Математический анализ. Часть II - Зорич В.А.

ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ, ТРЕТЬЕМУ И ПЯТОМУ ИЗДАНИЯМ
§6. Непрерывные отображения топологических пространств
*X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ С БОЛЕЕ ОБЩЕЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ
§4. Теорема о конечном приращении и некоторые примеры ее использования
§5. Производные отображения высших порядков
§6. Формула Тейлора и исследование экстремумов
§4. Сведение кратного интеграла к повторному
§5. Замена переменных в кратном интеграле
XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В R^n
§4. Площадь поверхности в евклидовом пространстве
§5. Начальные сведения о дифференциальных формах
XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§2. Форма объема, интегралы первого и второго рода
§3. Основные интегральные формулы анализа
XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
*XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ НА МНОГООБРАЗИЯХ
§3. Дифференциальные формы и их интегрирование на многообразиях
§4. Замкнутые и точные формы на многообразии
XVI. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ И ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ АНАЛИЗА НАД РЯДАМИ И СЕМЕЙСТВАМИ ФУНКЦИЙ
§2. Равномерная сходимость рядов функций
§3. Функциональные свойства предельной функции
*§4. Компактные и плотные подмножества пространства непрерывных функций
§2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
§4. Свертка функций и начальные сведения об обобщенных функциях
§5. Кратные интегралы, зависящие от параметра
Author: Зорич В.А.
Tags: анализ математический анализ функциональный анализ математика учебник для вузов
ISBN: 978-5-94057-891-8
Year: 2012
Similar
Курс математического анализа. Часть II. Книга 2.
Математический анализ. Часть 1
Курс математического анализа. Часть II. Книга 1.
Математический анализ. Часть 1
Text
                    « - - — _,
1
■ V- - ■

В. А. Зорин
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Часть II
Издание шестое, дополненное
Рекомендовано Министерством общего и профессионального образования
Российской Федерации в качестве учебника для студентов
математических и физико-математических
факультетов и специальностей
высших учебных заведений
Москва
Издательство МЦНМО
2012

УДК 517
ББК 22.16
386
Рецензенты: Отдел теории функций комплексного переменного
Математического института им. В. А. Стеклова
Российской Академии Наук.
Заведующий отделом академик А. А. Гончар.
Академик В. И. Арнольд.
Зорин В. А.
386 Математический анализ. Часть II. — 6-е изд.,
дополи.— М.: МЦНМО, 2012. —XIV+ 818 с. Библ.: 60 назв.
Илл.: 41.
ISBN 978-5-94057-891-8
ISBN 978-5-94057-893-2 (часть И)
Университетский учебник для студентов физико-математических
специальностей. Может быть полезен студентам факультетов и вузов с
расширенной математической подготовкой, а также специалистам в области
математики и ее приложений.
Предыдущее издание книги вышло в 2007 г.
ББК 22.16
ISBN 978-5-94057-893-2
9И785940И578932П>
ISBN 978-5-94057-891-8 © В. А. Зорич, 1998, 2002, 2007, 2012
ISBN 978-5-94057-893-2 (часть И) ©МЦНМО, 1998, 2002, 2007, 2012
«Учебник В. А. Зорина, представляется мне наиболее удачным из имеющихся подробных
учебников анализа для математиков и физиков. Основные его отличия от традиционных
изложений состоят, с одной стороны, в большей близости к естественно-научным
приложениям (и прежде всего к физике и механике), а с другой — в большем, чем это обычно
принято, использовании идей и методов современной математики: алгебры, геометрии,
топологии.
Курс необычно богат идеями и ясно показывает могущество идей и методов
современной математики при исследовании конкретных вопросов. Особенно нестандартен второй
том, включающий векторный анализ, теорию дифференциальных форм на многообразиях,
введение в теорию обобщенных функций и в теорию потенциала, ряды и преобразования
Фурье, а также начала теории асимптотических разложений.
... В наше время такое построение курса следует считать новаторским. Оно было
обычным во времена Гурса, но наблюдающаяся последние полстолетия тенденция к
специализации курсов выхолостила курс анализа, оставив ему почти одни лишь обоснования.
Необходимость вернуться к более содержательным курсам анализа представляется сейчас
очевидной, особенно в связи с прикладным характером будущей деятельности большинства
студентов.
... По моему мнению, курс является лучшим из существующих современных курсов
анализа.»
Из отзыва академика В. И. Арнольда

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к шестому изданию XI
Предисловия ко второму, третьему и пятому изданиям XII
Предисловие к первому изданию XIII
*Глава IX. Непрерывные отображения (общая теория) 1
§ 1. Метрическое пространство 1
1. Определение и примеры (1). 2. Открытые и замкнутые
подмножества метрического пространства (5). 3. Подпространство
метрического пространства (8). 4. Прямое произведение
метрических пространств (9).
Задачи и упражнения 10
§2. Топологическое пространство 11
1. Основные определения (11). 2. Подпространство
топологического пространства (16). 3. Прямое произведение
топологических пространств (17).
Задачи и упражнения 17
§3. Компакты 19
1. Определение и общие свойства компакта (19). 2. Метрические
компакты (21).
Задачи и упражнения 23
§ 4. Связные топологические пространства 24
Задачи и упражнения 25
§ 5. Полные метрические пространства 26
1. Основные определения и примеры (26). 2. Пополнение
метрического пространства (30).
Задачи и упражнения 34

IV
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 6. Непрерывные отображения топологических пространств .... 35
1. Предел отображения (35). 2. Непрерывные отображения (38).
Задачи и упражнения 42
§ 7. Принцип сжимающих отображений 43
Задачи и упражнения 49
* Глава X. Дифференциальное исчисление с более общей
точки зрения 51
§ 1. Линейное нормированное пространство 51
1. Некоторые примеры линейных пространств анализа (51).
2. Норма в линейном пространстве (52). 3. Скалярное
произведение з векторном пространстве (56).
Задачи и упражнения 59
§ 2. Линейные и полилинейные операторы 60
1. Определения и примеры (60). 2. Норма оператора (63). 3.
Пространство непрерывных операторов (68).
Задачи и упражнения 73
§ 3. Дифференциал отображения 74
1. Отображение, дифференцируемое в точке (74). 2. Общие
законы дифференцирования (77). 3. Некоторые примеры (78).
4. Частные производные отображения (86).
Задачи и упражнения 87
§ 4. Теорема о конечном приращении и некоторые примеры ее
использования 89
1. Теорема о конечном приращении (89). 2. Некоторые примеры
применения теоремы о конечном приращении (92).
Задачи и упражнения 96
§ 5. Производные отображения высших порядков 97
1. Определение η-го дифференциала (97). 2. Производная по
вектору и вычисление значений η-го дифференциала (98). 3.
Симметричность дифференциалов высшего порядка (100). 4.
Некоторые замечания (103).
Задачи и упражнения 104
§6. Формула Тейлора и исследование экстремумов 105
1. Формула Тейлора для отображений (105). 2. Исследование
внутренних экстремумов (106). 3. Некоторые примеры (108).
Задачи и упражнения 114
§ 7. Общая теорема о неявной функции 116
Задачи и упражнения 126

ОГЛАВЛЕНИЕ
V
Глава XI. Кратные интегралы 129
§ 1. Интеграл Римана на n-мерном промежутке 129
1. Определение интеграла (129). 2. Критерий Лебега
интегрируемости функции по Риману (132). 3. Критерий Дарбу (137).
Задачи и упражнения 140
§ 2. Интеграл по множеству 141
1. Допустимые множества (141). 2. Интеграл по
множеству (142). 3. Мера (объем) допустимого множества (144).
Задачи и упражнения 145
§ 3. Общие свойства интеграла 146
1. Интеграл как линейный функционал (146). 2. Аддитивность
интеграла (147). 3. Оценки интеграла (148).
Задачи и упражнения 151
§ 4. Сведение кратного интеграла к повторному 152
1. Теорема Фубини (152). 2. Некоторые следствия (155).
Задачи и упражнения 161
§ 5. Замена переменных в кратном интеграле 162
1. Постановка вопроса и эвристический вывод формулы замены
переменных (162). 2. Измеримые множества и гладкие
отображения (165). 3. Одномерный случай (166). 4. Случай
простейшего диффеоморфизма в Шп (169). 5. Композиция отображений и
формула замены переменных (171). 6. Аддитивность
интеграла и завершение доказательства формулы замены переменных в
интеграле (172). 7. Некоторые следствия и обобщения формулы
замены переменных в кратных интегралах (173).
Задачи и упражнения 178
§ 6. Несобственные кратные интегралы 181
1. Основные определения (181). 2. Мажорантный признак
сходимости несобственного интеграла (184). 3. Замена переменных в
несобственном интеграле (187).
Задачи и упражнения 191
Глава XII. Поверхности и дифференциальные формы в Еп . . 194
§ 1. Поверхность в W1 194
Задачи и упражнения 204
§ 2. Ориентация поверхности 205
Задачи и упражнения 212

VI
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Край поверхности и его ориентация 213
1. Поверхность с краем (213). 2. Согласование ориентации
поверхности и края (216).
Задачи и упражнения 221
§ 4. Площадь поверхности в евклидовом пространстве 222
Задачи и упражнения 229
§ 5. Начальные сведения о дифференциальных формах 233
1. Дифференциальная форма, определение и примеры (233).
2. Координатная запись дифференциальной формы (237).
3. Внешний дифференциал формы (240). 4. Перенос векторов и
форм при отображениях (243). 5. Формы на поверхностях (248).
Задачи и упражнения 249
Глава XIII. Криволинейные и поверхностные интегралы .... 252
§ 1. Интеграл от дифференциальной формы 252
1. Исходные задачи, наводящие соображения, примеры (252).
2. Определение интеграла от формы по ориентированной
поверхности (260).
Задачи и упражнение 264
§ 2. Форма объема, интегралы первого и второго рода 269
1. Масса материальной поверхности (269). 2. Площадь
поверхности как интеграл от формы (270). 3. Форма объема (272).
4. Выражение формы объема в декартовых координатах (274).
5. Интегралы первого и второго рода (275).
Задачи и упражнения 278
§ 3. Основные интегральные формулы анализа 281
1. Формула Грина (281). 2. Формула
Гаусса-Остроградского (287). 3. Формула Стокса в Е3 (291). 4. Общая формула Сток-
са (293).
Задачи и упражнения 297
Глава XIV. Элементы векторного анализа и теории поля . . . 303
§ 1. Дифференциальные операции векторного анализа 303
1. Скалярные и векторные поля (303). 2. Векторные поля и
формы в Е3 (303). 3. Дифференциальные операторы grad, rot, div
и V (307). 4. Некоторые дифференциальные формулы
векторного анализа (311). *5. Векторные операции в криволинейных
координатах (313).
Задачи и упражнения 323

ОГЛАВЛЕНИЕ
VII
§ 2. Интегральные формулы теории поля 325
1. Классические интегральные формулы в векторных
обозначениях (325). 2. Физическая интерпретация div, rot, grad (328).
3. Некоторые дальнейшие интегральные формулы (333).
Задачи и упражнения 336
§3. Потенциальные поля 339
1. Потенциал векторного поля (339). 2. Необходимое условие
потенциальности (340). 3. Критерий потенциальности
векторного поля (341). 4. Топологическая структура области и
потенциал (345). 5. Векторный потенциал. Точные и замкнутые
формы (348).
Задачи и упражнения 351
§ 4. Примеры приложений 355
1. Уравнение теплопроводности (356). 2. Уравнение
неразрывности (358). 3. Основные уравнения динамики сплошной
среды (360). 4. Волновое уравнение (362).
Задачи и упражнения 364
*Глава XV. Интегрирование дифференциальных форм на
многообразиях 367
§ 1. Некоторые напоминания из линейной алгебры 367
1. Алгебра форм (367). 2. Алгебра кососимметрических
форм (368). 3. Линейные отображения линейных пространств
и сопряженные отображения сопряженных пространств (372).
Задачи и упражнения 374
§2. Многообразие 375
1. Определение многообразия (375). 2. Гладкие многообразия и
гладкие отображения (381). 3. Ориентация многообразия и его
края (385). 4. Разбиение единицы и реализация многообразий в
виде поверхностей в Шп (390).
Задачи и упражнения 394
§ 3. Дифференциальные формы и их интегрирование на
многообразиях 397
1. Касательное пространство к многообразию в точке (397).
2. Дифференциальная форма на многообразии (401). 3.
Внешний дифференциал (404). 4. Интеграл от формы по
многообразию (405). 5. Формула Стокса (407).
Задачи и упражнения 409
§ 4. Замкнутые и точные формы на многообразии 415
1. Теорема Пуанкаре (415). 2. Гомологии и когомологии (419).
Задачи и упражнения 425

VIII
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XVI. Равномерная сходимость и основные операции
анализа над рядами и семействами функции 428
§ 1. Поточечная и равномерная сходимость 428
1. Поточечная сходимость (428). 2. Постановка основных
вопросов (429). 3. Сходимость и равномерная сходимость семейства
функций, зависящих от параметра (432). 4. Критерий Коши
равномерной сходимости (436).
Задачи и упражнения 437
§ 2. Равномерная сходимость рядов функций 438
1. Основные определения и критерий равномерной сходимости
ряда (438). 2. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости
ряда (441). 3. Признак Абеля - Дирихле (443).
Задачи и упражнения 448
§ 3. Функциональные свойства предельной функции 449
1. Конкретизация задачи (449). 2. Условия коммутирования
двух предельных переходов (450). 3. Непрерывность и
предельный переход (452). 4. Интегрирование и предельный
переход (456). 5. Дифференцирование и предельный переход (458).
Задачи и упражнения 464
* § 4. Компактные и плотные подмножества пространства
непрерывных функций 468
1. Теорема Арцела - Асколи (468). 2. Метрическое пространство
C(K,Y) (471). 3. Теорема Стоуна (473).
Задачи и упражнения 476
Глава XVII. Интегралы, зависящие от параметра 479
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра 479
1. Понятие интеграла, зависящего от параметра (479). 2.
Непрерывность интеграла, зависящего от параметра (480). 3.
Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра (482). 4.
Интегрирование интеграла, зависящего от параметра (486).
Задачи и упражнения 487
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 489
1. Равномерная сходимость несобственного интеграла
относительно параметра (489). 2. Предельный переход под знаком
несобственного интеграла и непрерывность несобственного
интеграла, зависящего от параметра (499). 3. Дифференцирование
несобственного интеграла по параметру (502). 4.
Интегрирование несобственного интеграла по параметру (505).
Задачи и упражнения 511

ОГЛАВЛЕНИЕ
IX
§3. Эйлеровы интегралы 515
1. Бета-функция (515). 2. Гамма-функция (517). 3. Связь между
функциями В и Г (521). 4. Некоторые примеры (522).
Задачи и упражнения 524
§ 4. Свертка функций и начальные сведения об обобщенных
функциях 528
1. Свертка в физических задачах (наводящие
соображения) (528). 2. Некоторые общие свойства свертки (531). 3. Дель-
таобразные семейства функций и аппроксимационная теорема
Вейерштрасса (535). *4. Начальные представления о
распределениях (542).
Задачи и упражнения 554
§ 5. Кратные интегралы, зависящие от параметра 561
1. Собственные кратные интегралы, зависящие от
параметра (561). 2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от
параметра (562). 3. Несобственные интегралы с переменной
особенностью (564). *4. Свертка, фундаментальное решение и
обобщенные функции в многомерном случае (569).
Задачи и упражнения 582
Глава XVIII. Ряд Фурье и преобразование Фурье 587
§ 1. Основные общие представления, связанные с понятием ряда
Фурье 587
1. Ортогональные системы функций (587). 2. Коэффициенты
Фурье и ряд Фурье (595). *3. Об одном важном источнике
ортогональных систем функций в анализе (608).
Задачи и упражнения 613
§ 2. Тригонометрический ряд Фурье 620
1. Основные виды сходимости классического ряда Фурье (620).
2. Исследование поточечной сходимости тригонометрического
ряда Фурье (625). 3. Гладкость функции и скорость убывания
коэффициентов Фурье (637). 4. Полнота тригонометрической
системы (643).
Задачи и упражнения 651
§ 3. Преобразование Фурье 660
1. Представление функции интегралом Фурье (660). 2.
Взаимосвязь дифференциальных и асимптотических свойств функции и
ее преобразования Фурье (676). 3. Важнейшие аппаратные
свойства преобразования Фурье (679). 4. Примеры приложений (686).
Задачи и упражнения 692

χ
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XIX. Асимптотические разложения 700
§ 1. Асимптотическая формула и асимптотический ряд 703
1. Основные определения (703). 2. Общие сведения об
асимптотических рядах (709). 3. Степенные асимптотические ряды (714).
Задачи и упражнения 717
§ 2. Асимптотика интегралов (метод Лапласа) 720
1. Идея метода Лапласа (720). 2. Принцип локализации для
интеграла Лапласа (724). 3. Канонические интегралы и их
асимптотика (727). 4. Главный член асимптотики интеграла
Лапласа (731). *5. Асимптотические разложения интегралов
Лапласа (734).
Задачи и упражнения 747
Некоторые вопросы и задачи коллоквиумов 755
Вопросы к экзамену 760
Экзаменационное задание (математический анализ, третий
семестр) 764
Промежуточное контрольное задание (математический
анализ, четвертый семестр) 765
Дополнение 1. Ряд как инструмент (вводная лекция) 766
Дополнение 2. Замена переменных в кратном интеграле
(вывод и первое обсуждение формулы замены переменных) . . . 774
Дополнение 3. Многомерная геометрия и функции очень
многих переменных (концентрация мер и законы больших
чисел) 782
Литература 792
Указатель основных обозначений 797
Предметный указатель 800
Указатель имен 815

ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ
От своего имени и от имени будущих читателей я благодарю всех, кто
нашел возможность, живя в разных странах, сообщить в издательство
или мне лично о погрешностях (опечатках, ошибках, пропусках),
замеченных в русском, английском, немецком или китайском изданиях
этого учебника. Замечания учтены и соответствующая правка внесена
в текст предлагаемого шестого русского издания.
Как выяснилось, книга пригодилась и физикам — очень этому рад.
Во всяком случае я действительно стремился сопровождать
формальную теорию содержательными примерами ее применения как внутри
математики, так и вне нее.
Шестое издание содержит ряд дополнений, которые, возможно,
будут полезны студентам и преподавателям. Во-первых, это некоторые
материалы реальных лекций (например записи двух вводных обзорных
лекций первого и третьего семестров) и, во-вторых, это
математические сведения (порой актуальные, например связь многомерной
геометрии и теории вероятностей), примыкающие к основному предмету
учебника.
Москва, 17 октября 2011 г.
В. Зорин

ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ, ТРЕТЬЕМУ
И ПЯТОМУ ИЗДАНИЯМ
В пятом издании исправлены замеченные погрешности четвертого.
Москва, 2006 год В. Зорич
Третье издание отличается от второго лишь локальной правкой (хотя в
одном случае она состояла даже в исправлении доказательства), а
также добавлением нескольких, как мне представляется, полезных задач.
Москва, 2001 год В. Зорич
Отличия второго издания этой книги от первого, помимо того, что
исправлены замеченные опечатки первого издания, в основных чертах
состоят в следующем. Заново изложены (надеюсь, к лучшему) некоторые
разделы отдельных тем (например, это коснулось рядов и
преобразований Фурье). Даны более прозрачные доказательства отдельных важных
теорем (например, общей теоремы о конечном приращении).
Включены некоторые новые примеры приложений и новые содержательные
задачи, примыкающие к соответствующим разделам теории и порой
заметно расширяющие ее. Приведены экзаменационные вопросы, а также
вопросы и задачи коллоквиумов. Расширен список дополнительной
литературы.
Дальнейшие сведения о материале и некоторых особенностях этой
второй части курса даны ниже в предисловии к первому изданию.
Москва, 1998 год В. Зорич

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В предисловии к первой части была дана достаточно подробная
характеристика курса в целом, поэтому я ограничусь здесь замечаниями по
содержанию лишь этой второй его части.
Основной материал настоящего тома составляют, с одной стороны,
кратные, криволинейные и поверхностные интегралы, доведенные до
общей формулы Стокса и примеров ее приложений, а с другой
стороны, аппарат рядов и интегралов, зависящих от параметра, включающий
ряды Фурье, преобразование Фурье и представления об
асимптотических разложениях.
Таким образом, эта часть II в основном соответствует программе
второго года обучения на математических факультетах
университетов.
Чтобы не закреплять жестко порядок следования указанных двух
больших тем по семестрам, я изложил их практически независимо.
Главы IX и X, с которых начинается эта книга, в сжатом и
общем виде воспроизводят по существу почти все самое ценное, что было
получено в первой части в отношении непрерывных и
дифференцируемых функций. Они отмечены звездочкой и написаны как дополнение к
первой части. В нем, однако, содержится много таких понятий,
которые уже сейчас фигурируют в любом изложении анализа математикам.
Наличие этих двух глав делает вторую книгу формально почти
независимой от первой при условии, что читатель достаточно подготовлен,
чтобы при чтении этих двух глав обойтись без многочисленные
примеров и наводящих соображений, которые в первой части предшествовали
излагаемому здесь формализму.
Основной новый материал книги, посвященный интегральному ис-

XIV
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
числению функций многих переменных, начинается с главы XI, с
которой, собственно, без потери связности восприятия после первой части
можно читать эту вторую часть курса.
При изложении теории криволинейных и поверхностных интегралов
разъясняется и используется язык дифференциальных форм и сначала
на элементарном материале вводятся все основные геометрические
понятия и аналитические конструкции, которые потом составляют
лестницу абстрактных определений, ведущую к общей формуле Стокса.
Такому итоговому изложению интегрирования дифференциальных
форм на многообразиях посвящена глава XV, которую я рассматриваю
как весьма желательное систематизирующее дополнение к
изложенному и разъясненному на конкретных объектах в обязательных для
изучения главах XI-XIV.
В разделе, относящемся к рядам и интегралам, зависящим от
параметра, наряду с традиционным материалом даны (гл. XIX)
начальные сведения об асимптотических рядах и асимптотике интегралов,
поскольку это, несомненно, полезный, благодаря своей эффективности,
аппарат анализа.
Для удобства ориентировки дополнительный материал или разделы,
которые при первом чтении можно опустить, помечены звездочкой.
Нумерация глав и рисунков этой книги продолжает нумерацию уже
вышедшей из печати первой части.
Биографические сведения здесь даются только о тех ученых,
которые не упоминались в первой части,
Как и прежде, для удобства читателя и сокращения текста начало
и конец доказательства отмечаются знаками Μ и ► соответственно, а
когда это удобно, определения вводятся специальными символами :=
или =: (равенства по определению), в которых двоеточие ставится со
стороны определяемого объекта,
Сохраняя традиции части I, в этой книге много внимания уделено
как прозрачности и логической четкости самих математических
конструкций, так и демонстрации содержательных естественно-научных
приложений развиваемой теории.
Москва, 1982 год
В. Зорич

* ГЛАВА IX
НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
(ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
В этой главе будут обобщены и изложены с единой точки зрения
свойства непрерывных отображений, которые были ранее установлены для
числовых функций и отображений типа /: Rm —>> W1. При этом будет
введен ряд простых, но важных понятий, имеющих
общематематическое употребление.
§ 1. Метрическое пространство
1. Определение и примеры
Определение 1. Говорят, что множество X наделено метрикой
или структурой метрического пространства, или что X есть
метрическое пространство, если указана функция
d:XxX^R, (1)
удовлетворяющая условиям
a) d(x\,X2) = 0 Ф> х\ = Х2,
b) d(xi,X2) = d(x2,xi) (симметричность),
c) d(x\,xs) ^ d(x\,X2) +а(х2,хз) (неравенство треугольника),
где χι, #25 хз — произвольные элементы X.
Функцию (1) называют в этом случае метрикой или расстоянием
вХ.
Таким образом, метрическое пространство есть пара (X, d),
состоящая из множества X и заданной на нем метрики.

2 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Элементы множества X в соответствии с геометрической
терминологией обычно называют точками.
Заметим, что если в неравенстве треугольника с) положить .тз = #ъ
то с учетом аксиом а) и Ь) метрики получим, что
О ^ d(xux2),
т.е. расстояние, удовлетворяющее аксиомам а), Ь), с), неотрицательно.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1. Множество Ш действительных чисел становится
метрическим пространством, если для чисел #ι, х2 положить d(x\,x<i) —
— |#ι — #21, как мы это всегда и делали.
Пример 2. На Ш можно ввести и много других метрик.
Тривиальной метрикой является, например, такая, при которой между любыми
двумя различными точками расстояние полагается равным единице.
Значительно содержательнее следующая метрика на KL Пусть χ н->
н-> f(x)—определенная для χ ^ 0 неотрицательная функция,
обращающаяся в нуль лишь при χ = 0. Если эта функция строго выпукла вверх,
то, полагая для точек х\, х2 €Ш
d(xi,x2) = f(\xi -ж2|), (2)
получим метрику на KL
Аксиомы а), Ь) здесь, очевидно, выполнены, а неравенство
треугольника следует из того, что, как легко проверить, / строго монотонна и
при 0 < а < Ъ удовлетворяет неравенствам
f(a + b)-f(b)<f(a)~f(0) = f(a).
В частности, можно было бы положить ά(χ\,χ2) = \/\х\ — х2\ или
d(xi,x2) = уЩ-~^г\· ^ последнем случае расстояние между любыми
точками прямой меньше единицы.
Пример 3. BRn, кроме традиционного расстояния
η
d(xi,x2) =
Ν

§ 1. МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
3
между точками х\ = (х\,..., я™), х2 = (х\,..., #2)5 можно ввести
расстояние
Σ И-414 , (4)
где ρ ^ 1. То, что для функции (4) выполнено неравенство
треугольника, вытекает из неравенства Минковского (см. гл. V, §4, п. 2).
Пример 4. Если в печатном тексте встретилось слово с
искаженными буквами, то, если дефектов не слишком много, мы без особого
труда восстанавливаем слово, исправляя ошибки. Однако исправление
ошибок и получение слова — операция не всегда однозначная, и
потому при прочих равных условиях предпочтение надо отдать той
расшифровке искаженного текста, для получения которой потребуется
сделать меньше исправлений. В соответствии со сказанным в теории
кодирования на множестве всех последовательностей длины п, состоящих
из нулей и единиц, используется метрика (4) при ρ = 1.
Геометрически множество таких последовательностей
интерпретируется как множество вершин единичного куба I = {х £ W1 | 0 ^
^ хг ^ 1,г = 1,... ,п} в W1. Расстояние между двумя вершинами — это
число перемен нулей и единиц, необходимое, чтобы получить из
координат одной из этих вершин координаты другой вершины. Каждая такая
перемена есть переход вдоль одного из ребер куба. Таким образом,
рассматриваемое расстояние есть кратчайший путь по ребрам куба между
рассматриваемыми его вершинами.
Пример 5. При сравнении результатов двух серий из η
однотипных измерений чаще всего используют метрику (4) при ρ = 2.
Расстояние между точками в этой метрике называют обычно их средним
квадратичным уклонением.
Пример 6. Если в (4) сделать предельный переход при ρ —> +оо,
то, как легко видеть, получается следующая метрика в W1:
d(x\,X2) = max \x\ — хг2\. (5)
Пример 7. Множество С[а,Ь] функций, непрерывных на
отрезке, становится метрическим пространством, если для функций /, g из
С[а, Ь] положить
d(f,g) = max\f(x)-g(x)\. (6)

4 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Аксиомы а), Ь) метрики, очевидно, выполнены, а неравенство
треугольника следует из того, что
\f(x) - h(x)\ < |/0r) - д(х)\ + \д(х) - h(x)\ < d(f,g) + d(g,h),
т.е.
d(f,h) = max\f(x) - h(x)\ < d(f,g) + d(g,h).
αζ.χζ.0
Метрика (6) — так называемая равномерная, или чебышёвская,
метрика в С[а,Ь]—используется тогда, когда мы желаем заменить одну
функцию другой, например, полиномом, по которой можно было бы
вычислять значения первой функции с нужной точностью в любой
точке χ £ [а, Ь]. Величина d(f,g) как раз характеризует точность такого
приближенного расчета.
Метрика (6) в С[а,Ь] очень схожа с метрикой (5) в W1.
Пример 8. Подобно метрике (4) в С[а, Ь] при ρ ^ 1 можно ввести
метрику
/6 γ/Ρ
dp{f,g)= U\f-g\v{x)dx\ (7)
То, что при ρ ^ 1 это действительно метрика, следует из
неравенства Минковского для интегралов, получающегося предельным
переходом из неравенства Минковского, которое можно написать для
интегральных сумм.
Особо важными частными случаями метрики (7) являются: при ρ =
= 1 — интегральная метрика; при ρ = 2 — метрика среднего
квадратичного уклонения; при ρ = +оо — равномерная метрика.
Пространство С[а,Ь], наделенное метрикой (7), часто обозначают
символом Ср[а,Ь]. Можно проверить, что Соо[а,Ъ} есть пространство
С[а,Ь], наделенное метрикой (6).
Пример 9. Метрику (7) можно было бы использовать также на
множестве 7£[а, Ь] функций, интегрируемых по Риману на отрезке [а, Ь].
Однако поскольку интеграл от модуля разности двух функций может
обратиться в нуль, даже если функции не совпадают тождественно, то
аксиома а) в этом случае не будет выполнена. Мы знаем, однако, что
интеграл от неотрицательной функции φ £ Tl[a, b] равен нулю тогда и
только тогда, когда φ(χ) = 0 почти во всех точках отрезка [а, Ь].

§ 1. МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
5
Таким образом, если разбить 1l[a, b] на классы эквивалентных
функций, причем функции из 72.[а, Ь] считать эквивалентными, если они
отличаются не более чем на множестве меры нуль, то на совокупности
?t[a, b] таких классов эквивалентности соотношение (7) действительно
задает метрику. Множество 7£[а,Ь], наделенное этой метрикой,
обозначается через Т1р[а, Ь], а иногда и просто через 1Zp[a, b].
Пример 10. В множестве С^[а^Ь] функций, определенных на
[а, Ь] и имеющих на этом отрезке непрерывные производные до
порядка к включительно, можно определить следующую метрику:
d{f,g) = max{M0,...,Mfc}, (8)
где
Mi= max |/(<)(s)-0w(s)|, ι = 0,1,..., Α.
Используя то, что (6) есть метрика, легко проверить, что и (8) есть
метрика.
Предположим, например, что / есть координата движущейся
точки как функция времени. Если ставится ограничение на допустимый
район пребывания точки в промежуток времени [а, Ь] и запрещается
превышать определенную скорость, а, кроме того, желают иметь
некоторый комфорт, состоящий в том, что ускорения не должны
превышать определенный уровень, то естественно рассмотреть для функции
/ £ С(2)[а,Ь] набор { max |/(x)|, max |/'(х)|, max \f"{x)\} и по этим ха-
a<^.x<^.b a<^.x<^.b a<^.x<^.b
рактеристикам два движения /, д считать близкими, если величина (8)
для них мала.
Рассмотренные примеры показывают, что одно и то же
множество можно метризовать различными способами. Введение той или иной
метрики диктуется обычно самой постановкой задачи. Сейчас же мы
будем интересоваться самыми общими свойствами метрических
пространств, присущими им всем.
2. Открытые и замкнутые подмножества метрического
пространства. Пусть (X, d) — метрическое пространство. Подобно
тому, как это было сделано в главе VII, § 1 для случая X = W1, в
общем случае тоже можно ввести понятия шара с центром в данной
точке, открытого множества, замкнутого множества, окрестности точки,
предельной точки множества и т. д.

6 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Напомним эти основные для дальнейшего понятия.
Определение 2. При δ > О и а £ X множество
В(М) = {х еХ \d(a,x) < δ}
называется шаром с центром а £ X радиуса δ или также δ-окрестно-
стъю точки а.
В случае общего метрического пространства это название
удобно, но его не следует отождествлять с традиционным геометрическим
образом, к которому мы привыкли в М3.
Пример 11. Единичный шар в С[а,Ь] с центром в функции,
тождественно равной нулю на [а, Ь], состоит из тех функций,
непрерывных на отрезке [а, Ь], модуль которых меньше единицы на этом отрезке.
Пример 12. Пусть X — единичный квадрат в R2, расстояние
между точками которого определяется как расстояние между этими
же точками в R2. Тогда X является метрическим пространством,
причем взятый сам по себе квадрат X с такой метрикой можно считать
шаром любого радиуса ρ ^ у/2/2 относительно своего центра.
Ясно, что так можно было бы построить шары весьма причудливой
формы. Так что термин шар не следует понимать слишком буквально.
Определение 3. Множество G С X называется открытым в
метрическом пространстве (X, d), если для любой точки χ £ G найдется
шар Β(χ,δ) такой, что Β(χ,δ) С G.
Из этого определения, очевидно, следует, что само X—открытое в
(X, d) множество; пустое множество 0 также открыто. Теми же
рассуждениями, что и в случае Rn, можно доказать, что шар В(а,г) или
его внешность {х £ X \ d(a,x) > г} суть открытые множества. (См.
гл. VIII, § 1, примеры 3, 4.)
Определение 4. Множество Τ С X называется замкнутым β
(X, d), если его дополнение Х\Т открыто в (X, d).
В частности, отсюда заключаем, что замкнутый шар
В(а,г) := {х G X \ d(a,x) ^ г}
является множеством, замкнутым в метрическом пространстве (X, d).

§ 1. МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
7
Для открытых и замкнутых множеств в метрическом
пространстве (X, d) справедливо
Утверждение 1. а) Объединение |J Ga множеств любой си-
стемы {Ga, a £ А} множеств Ga, открытых в X, является
множеством, открытым в X.
η
b) Пересечение |°| G{, конечного числа множеств, открытых в X,
г=1
является множеством, открытым в X.
а7) Пересечение |°| Та множеств любой системы {Та, а £ А} мно-
аеА
жесте Та, замкнутых в X, является множеством, замкнутым в X.
η
b7) Объединение |J T{ конечного числа множеств, замкнутых в X,
г=1
является множеством, замкнутым в X.
Доказательство утверждения 1 дословно повторяет доказательство
соответствующего утверждения для открытых и замкнутых множеств
в Rn, и мы его опускаем. (См. гл. VII, § 1, утверждение 1.)
Определение 5. Открытое в X множество, содержащее точку
жЕ1, называется окрестностью этой точки в X.
Определение 6. Точка χ £ X по отношению к множеству Ε С X
называется
внутренней точкой Е, если она содержится в Ε вместе с некоторой
своей окрестностью;
внешней точкой Е, если она является внутренней точкой
дополнения к£вХ,
граничной точкой Е, если она не является ни внутренней, ни
внешней точкой по отношению к Ε (т.е. если в любой окрестности этой
точки имеются как точки, принадлежащие, так и точки, не
принадлежащие множеству Е).
Пример 13. Все точки шара В(а,г) являются его внутренними
точками, а множество ΟχΒ(α,τ) = X \ В(а,г) состоит из точек,
внешних по отношению к шару В (а, г).
В случае пространства W1 со стандартной метрикой с!вМп сфера

8 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
S(a,r) = {χ £ W1 I d(a,x) = r > 0} является множеством граничных
точек шара B(a,r)l\
Определение 7. Точка а £ X называется предельной для
множества Ε С X, если для любой ее окрестности 0(a) множество Ε Π 0(a)
бесконечно.
Определение 8. Объединение множества Ε и всех его
предельных точек в X называется замыканием множества Ε в X.
Как и прежде, замыкание множества Ε С X будем обозначать
через Е.
Утверждение 2. Множество Τ С X замкнуто в X тогда и
только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.
Итак,
(Т замкнуто в X) 4=Ф (Τ — Τ в X).
Доказательство мы опускаем, так как оно повторяет
доказательство аналогичного утверждения в случае, когда X = М.п, изложенного
в гл. VII, §1.
3. Подпространство метрического пространства. Если
(X,d) — метрическое пространство, Ε — подмножество X, то, полагая
для любой пары точек χι, Х2 из Ε расстояние равным d(x\, £2)5 т. е.
расстоянию между этими точками в X, мы получим метрическое
пространство (Е, d), которое по отношению к исходному пространству (X, d)
принято называть подпространством.
Итак, мы принимаем следующее
Определение 9. Метрическое пространство (X\,d\) называется
подпространством метрического пространства (X, d), если Х\ С X
и для любой пары точек а, Ь множества Х\ справедливо равенство
d\(a,b) = d(a,b).
Поскольку шар В\(а,г) = {х £ Х\ \ d\(a,x) < г} в подпространстве
(X\,d\) метрического пространства (X, d), очевидно, является
пересечением
Вх(а,г) = Х1ПВ(а,г)
В связи с примером 13 см. также задачу 2 в конце этого параграфа.

§1. МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
9
множества Х\ С X с шаром В(а,г) в X, то всякое открытое в Х\
множество имеет вид
Gi = Хх Π G,
где G — множество, открытое в!,а всякое замкнутое в Х\
множество Т\ имеет вид
Тх = Χ Π JF,
где J7—множество, замкнутое в X.
Из сказанного следует, что свойство множества, лежащего в
метрическом пространстве, быть открытым или замкнутым относительно и
зависит от этого объемлющего пространства.
Пример 14. Интервал \х\ < 1, у = О оси абсцисс плоскости R2
со стандартной метрикой в R2 является метрическим пространством
(Xi,rfi), которое, как и всякое метрическое пространство, замкнуто
в себе, ибо содержит все свои предельные точки в Х\. Вместе с тем
очевидно, что Х\ не является замкнутым множеством в R2 — X.
Этот же пример показывает, что и понятие открытости множества
также относительно.
Пример 15. Множество С[а, Ь] непрерывных на отрезке [а, Ь]
функций с метрикой (7) является подпространством метрического
пространства 1Zp[a,b]. Однако, если на С[а,Ь] рассматривать метрику (6), а
не (7), то это уже не будет иметь место.
4. Прямое произведение метрических пространств. Если
(Χι,άι) и (X2,d2)— два метрических пространства, то в прямом
произведении Χι χ Х2 можно ввести метрику d. Наиболее
распространенные способы введения метрики в Х\ χ Χ2 состоят в следующем. Если
(χι,χ2) £ Χι х Xе! и {χ'ι,χ'ϊ) £ Χι х Χ2, то можно положить
d{{xux2),{x[,x2)) = γ<%(χι,χΊ) + d%(x2,x'2),
или
d((xi,x2),(x[,x2)) =di(xi,x\) + d2{x2,x2),
или
d((xux2), (x'i,x2)) = max{di(a?i,x[),d2(x2,x2)}.

10 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Легко видеть, что в любом из этих случаев мы получаем метрику
на Χι χ ^2·
Определение 10. Если (ΧΊ,ίίι), (X^cfe)— два метрических
пространства, то пространство (Х\ χ X2,d), где d—введенная любым из
указанных выше способов метрика в Х\ х^, будем называть прямым
произведением исходных метрических пространств.
Пример 16. Пространство R2 можно считать прямым
произведением двух метрических пространств R со стандартной метрикой на R,
а метрическое пространство R3 есть прямое произведение R2 x R1
метрических пространств К2 и t1 = R.
Задачи и упражнения
1. а) Развивая пример 2, покажите, что если /: M_j_ —> М_|_ —непрерывная
строго выпуклая вверх функция, причем /(0) = 0, а (X, d) — метрическое
пространство, то на X можно определить новую метрику df следующим
соотношением: df(xi,x2) = f(d(xi,X2)).
b) Покажите, что на любом метрическом пространстве (X, d) можно
ввести метрику d'(xi,X2) = , л/ьЖ2' \ ? в которой расстояния между точками не
будут превосходить единицу.
2. Пусть (X,d) — метрическое пространство с указанной в начале
примера 2 тривиальной {дискретной) метрикой, и пусть α Ε Χ. Каковы в
данном случае множества J3(a, 1/2), В(а11), £?(а, 1), В(а, 1), Б(а,3/2) и множества
{хЕХ \d(a,x) = 1/2}, {хеХ \ d(a,x) = 1}, £(a, 1) \ £(a, 1), B(a,l) \ J3(a,l)?
3. а) Верно ли, что объединение любого семейства замкнутых множеств
является множеством замкнутым?
b) Всякая ли граничная точка множества является его предельной точкой?
c) Верно ли, что в любой окрестности граничной точки множества
имеются как внутренние, так и внешние точки этого множества?
d) Покажите, что множество граничных точек любого множества является
замкнутым множеством.
4. а) Докажите, что если (У, άγ) есть подпространство метрического
пространства (X,dx), то для любого открытого (замкнутого) множества Gy
(Τγ) в Υ найдется такое открытое (замкнутое) множество Ωχ (Τχ) в Χ,
что GY = Υ Π Gx (Τγ = Υ Π Τχ).
Ь) Проверьте, что если открытые множества G'Y, Gy из Υ не
пересекаются, то соответствующие множества G'x, G"x в X можно выбрать так, что они
тоже не будут иметь общих точек.
5. Имея метрику d на множестве X, можно попытаться определить рас-

§ 2. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
11
стояние d(A,B) между множествами А С X и В С X следующим образом:
d(A,B) = inf d(a,b).
a) Приведите пример метрического пространства и двух замкнутых не
пересекающихся его подмножеств А, В, для которых d(A,B) = 0.
b) Покажите, следуя Хаусдорфу, что на множестве замкнутых
подмножеств метрического пространства (X, d) можно ввести метрику Хаусдорфа D,
полагая, что для А С X и В С X
D(A,B) := max{supd(a,#),supd(A,6)}.
аеА ьев
§ 2. Топологическое пространство
Для вопросов, связанных с понятием предела функции или
отображения, во многих случаях существенным является не наличие той или
иной метрики в пространстве, а возможность сказать, что такое
окрестность точки. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, что
само определение предела или определение непрерывности может быть
сформулировано в терминах окрестностей. Топологическое
пространство является тем математическим объектом, на котором операция
предельного перехода и непрерывность отображения изучаются в наиболее
общем виде.
1. Основные определения
Определение 1. Говорят, что множество X наделено
структурой топологического пространства, или наделено топологией, или что
X есть топологическое пространство, если указана система τ
подмножеств X (называемых открытыми множествами в X), обладающая
следующими свойствами:
a)0Gr;lGr.
Ъ)(УаеА(гаег)) =* U та€т.
аеА
η
c) {п е r;i = l,...,n) => f| n G т.
t=l
Таким образом, топологическое пространство есть пара (Χ, τ),
состоящая из множества X и системы τ выделенных его подмножеств,
обладающей теми свойствами, что τ содержит пустое множество и все

12 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
множество X, что объединение любого числа множеств системы τ есть
множество системы τ и пересечение конечного числа (любых двух)
множеств системы τ есть множество системы т.
Как видно, в аксиоматике а), Ь), с) топологического
пространства постулированы те свойства открытых множеств, которые мы уже
доказали в случае метрического пространства. Таким образом, любое
метрическое пространство с определенным выше понятием открытого
множества в нем является топологическим пространством.
Итак, задать топологию в X значит указать систему τ
подмножеств X, удовлетворяющую аксиомам а), Ь), с) топологического
пространства.
Задание метрики в X, как мы видели, автоматически задает
топологию на X, индуцированную этой метрикой. Следует, однако, заметить,
что разные метрики на X могут порождать на этом множестве одну и
ту же топологию.
Пример 1. Пусть X = W1 (п > 1). Рассмотрим в W1 метрику
di(xi,X2)5 задаваемую соотношением (5) § 1, и метрику ^2(^1^2)5
определенную формулой (3) § 1.
Из неравенств
di(xi,X2) < d2(£i,£2) < Vndi(xux2),
очевидно, следует, что каждый шар В (а, г) с центром в произвольной
точке aGl, понимаемый в смысле одной из этих метрик, содержит
шар с тем же центром, понимаемый в смысле другой метрики.
Отсюда в силу определения открытого подмножества метрического
пространства вытекает, что обе метрики индуцируют на X одну и ту же
топологию.
Почти все топологические пространства, которые мы будем
активно использовать в пределах этого курса, являются метрическими. Не
следует, однако, думать, что всякое топологическое пространство
можно метризовать, т.е. наделить его метрикой, открытые множества в
которой будут совпадать с открытыми множествами системы т,
задающей топологию на X. Условия, при которых это можно сделать,
составляют содержание так называемых метризационных теорем.
Определение 2. Если (X, т)—топологическое пространство, то
множества системы τ называют открытыми, а дополнения к ним в

§ 2. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
13
X — замкнутыми множествами топологического пространства (Χ,τ).
Топологию τ в множестве X редко задают перечислением всех
множеств системы т. Чаще систему τ задают, указывая лишь некоторый
набор подмножеств X, объединением и пересечением которых можно
получить любое множество системы т. Весьма важным поэтому
является
Определение 3. Базой топологического пространства (Χ,τ)
(открытой базой или базой топологии) называется такое семейство 95
открытых подмножеств X, что каждое открытое множество G £ τ
является объединением некоторой совокупности элементов
семейства 95.
Пример 2. Если (X, d)—метрическое пространство, а (X, т)—
соответствующее ему топологическое пространство, то совокупность
95 = {£?(а, г)} всех шаров, где а £ X и г > 0, очевидно, является базой
топологии т. Более того, если брать систему 95 всех шаров с
положительными рациональными радиусами г, то эта система также будет
базой топологии т.
Итак, топологию τ можно задать, описав лишь базу этой топологии.
Как видно из примера 2, топологическое пространство может иметь
много различных баз топологии.
Определение 4. Минимальная мощность баз топологического
пространства называется его весом.
Мы будем, как правило, иметь дело с топологическими
пространствами, допускающими счетную базу топологии (см., однако, задачи 4
и 6).
Пример 3. Если в Rk взять систему 95 шаров всевозможных
рациональных радиусов г = ^ > Ос центрами во всевозможных
рациональных точках ( ^,..., ^-1 £ Rk, то мы, очевидно, получим счетную
базу стандартной топологии пространства Rk. Нетрудно проверить,
что конечной системой открытых множеств стандартную топологию
в Rk задать невозможно. Таким образом, стандартное топологическое
пространство Rk имеет счетный вес.
Определение 5. Окрестностью точки топологического про-

14 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
странства (X, т) называется открытое множество, содержащее эту
точку.
Ясно, что если на X задана топология т, то для каждой точки
определена система ее окрестностей.
Ясно также, что система всех окрестностей всевозможных точек
топологического пространства может служить базой топологии этого
пространства. Таким образом, топологию в X можно ввести, описав
окрестности точек множества X. Именно эта форма задания топологии
в X и была начальной в определении топологического пространства1).
Заметьте, что, например, в метрическом пространстве саму топологию
мы ввели по существу, указав лишь, что такое ί-окрестность точки.
Приведем еще
Пример 4. Рассмотрим множество
C(R, Ж) вещественнозначных
непрерывных функций, определенных на всей
числовой прямой, и на его основе
построим новое множество — множество
ростков непрерывных функций. Две функции
/, д £ C(R, Ж) будем считать
эквивалентными в точке а 6 R, если найдется такая
окрестность U(a) этой точки, что Ух £ U(a) {f(x) = <?(#))·
Введенное отношение действительно является отношением эквивалентности
(оно рефлексивно, симметрично и транзитивно). Класс эквивалентных
между собой в точке а £ R непрерывных функций назовем ростком
непрерывных функций в этой точке. Если / — одна из функций,
порождающих росток в точке а, то сам росток будем обозначать символом /а.
Определим теперь окрестность ростка. Пусть U(a) —окрестность
точки а в R, / — определенная в U(a) функция, порождающая росток /а
в точке а. Эта же функция в любой точке χ £ U(a) порождает свой
росток fx. Множество {fx} ростков, отвечающих точкам χ £ Ϊ7(α),
назовем окрестностью ростка }а. Приняв множество таких
окрестностей всевозможных ростков за базу топологии, мы превратим
множество ростков непрерывных функций в топологическое пространство.
1)Понятия метрического и топологического пространства были
сформулированы в явном виде в начале двадцатого столетия. В 1906 г. французский математик
М. Р. Фреше (1878- 1973) ввел понятие метрического пространства, а в 1914 г.
немецкий математик Ф. Хаусдорф (1868-1942) определил топологическое пространство.

§ 2. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
15
Полезно заметить, что в полученном топологическом пространстве две
различные точки (ростки) /а, да могут не иметь непересекающихся
окрестностей (рис.66).
Определение 6. Топологическое пространство называется хаус-
дорфовым, если в нем выполнена аксиома Хаусдорфа: любые две
различные точки пространства обладают непересекающимися
окрестностями.
Пример 5. Любое метрическое пространство, очевидно, является
хаусдорфовым, поскольку для любых двух точек о,5 G I таких, что
d(a,b) > О, их шаровые окрестности В (a, ^d(a^b))^ В (Ь, ^d(a^b)J не
имеют общих точек.
Вместе с тем, как показывает пример 4, бывают и не хаусдорфо-
вы топологические пространства. Пожалуй, простейшим примером тут
может служить топологическое пространство (X, т) с простейшей
топологией τ = {0,Х}. Если X содержит хотя бы две точки, то (X, т),
очевидно, не хаусдорфово. Более того, дополнение Х\х к точке в этом
пространстве не является открытым множеством.
Мы будем работать исключительно с хаусдорфовыми
пространствами.
Определение 7. Множество Ε С X называется всюду плотным
в топологическом пространстве (X, т), если для любой точки χ ζ Χ и
любой ее окрестности U(x) пересечение Ε Π U(x) непусто.
Пример 6. Если в R рассмотреть стандартную топологию, то
множество Q рациональных чисел является всюду плотным в R.
Аналогично множество Q?1 рациональных точек W1 всюду плотно в W1.
Можно показать, что в каждом топологическом пространстве
имеется всюду плотное множество, мощность которого не превосходит веса
этого топологического пространства.
Определение 8. Метрическое пространство, обладающее
счетным всюду плотным множеством, называется сепарабелъным
пространством.
Пример 7. Метрическое пространство (Rn,d) в любой из
стандартных метрик является сепарабельным пространством, поскольку
множество <QP всюду плотно в нем.

16 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Пример 8. Метрическое пространство (С([0,1], R), d) с метрикой,
определенной соотношением (6), также сепарабельно, ибо, как следует
из равномерной непрерывности функций / £ С([0,1], R), график любой
такой функции сколь угодно точно можно аппроксимировать конечно-
звенной ломаной, вершины которой имеют рациональные координаты.
Множество таких ломаных счетно.
Мы будем иметь дело главным образом с сепарабельными
пространствами.
Отметим теперь, что поскольку определение окрестности точки в
топологическом пространстве дословно совпадает с определением
окрестности точки в метрическом пространстве, то, естественно,
рассмотренные в § 1 понятия внутренней, внешней, граничной,
предельной точки множества и понятия замыкания множества, использующие
только понятие окрестности, без изменения переносятся на случай
произвольного топологического пространства.
Кроме того (как видно из проведенного в гл. VII, § 1 доказательства
утверждения 2), справедливо также утверждение о том, что множество
в хаусдорфовом топологическом пространстве замкнуто в том и только
в том случае, когда оно содержит все свои предельные точки.
2. Подпространство топологического пространства. Пусть
(Χ,τχ) — топологическое пространство, а Υ — подмножество в X.
Топология τ χ позволяет определить следующую топологию ту в У,
называемую индуцированной или относительной топологией βΥ С X.
Открытым в Υ назовем любое множество Gy вида Gy — Υ Π Gx,
где Gx —множество, открытое в X.
Нетрудно проверить, что возникающая система ту подмножеств Υ
удовлетворяет аксиомам открытых множеств топологического
пространства.
Определение открытых в Υ множеств Gy, как видно, согласуется
с тем, которое мы получили в п. 3 предыдущего параграфа в случае,
когда Υ было подпространством метрического пространства X.
Определение 9. Подмножество Υ С X топологического
пространства (X, т) с индуцированной в Υ топологией ту называется
подпространством топологического пространства (X, т).

§ 2. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
17
Ясно, что множество, открытое в (Υ,τγ), уже не обязано быть
открытым в (Χ,τχ).
3. Прямое произведение топологических пространств. Если
(ΛΊ, τχ) и (Л^25 т2) — два топологических пространства с системами т\ =
= {Gi}, T2 = {G2} открытых множеств, то в Χι χ Χ2 можно ввести
топологию, считая ее базой всевозможные множества вида G\ х G2.
Определение 10. Топологическое пространство (Х\ χ Χ<ι, τ\ χ тг),
базу топологии которого составляют множества вида Gi x G2, где G^ —
открытое множество в топологическом пространстве (Xi,Ti), г = 1,2,
называется прямым произведением топологических пространств
(Χι,η), №,т2).
Пример 9. Если R = R1 и R2 рассматривать со стандартной
топологией, то, как видно, R2 является прямым произведением R1 xl1,
ибо всякое открытое множество в R2 можно получить, например, как
объединение «квадратных» окрестностей всех его точек. Квадраты же
(со сторонами, параллельными координатным осям) являются прямым
произведением интервалов — открытых в Ш множеств.
Следует обратить внимание на то, что множества вида G\ x G2, где
G\ £ т\ и G2 6 Т2, образуют лишь базу топологии, а не все открытые
множества прямого произведения топологических пространств.
Задачи и упражнения
1. Проверьте, что если (X,d)—метрическое пространство, то (X, \л.а\
— тоже метрическое пространство, причем метрики d и γ^ττι индуцируют
на X одну и ту же топологию. (См. также задачу 1 из предыдущего
параграфа.)
2. а) В множестве N натуральных чисел окрестностью числа η Ε Ν назовем
арифметическую прогрессию с разностью d, взаимно простой с п. Является
ли возникающее при этом топологическое пространство хаусдорфовым?
b) Какова топология N как подмножества R действительных чисел, взятых
со стандартной топологией?
c) Опишите все открытые подмножества R.
3. Если на одном и том же множестве заданы две топологии т\ и Г2, то
говорят, что топология Т2 сильнее топологии τϊ, если т\ С Т2, т.е. в Т2, кроме

18 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
открытых множеств, составляющих систему п, содержатся еще некоторые
множества, не вошедшие в т\.
a) Сравнимы ли две топологии на N, рассмотренные в предыдущей
задаче?
b) Если на множестве С[0,1] непрерывных вещественнозначных функций,
определенных на отрезке [0,1], ввести метрику сначала соотношением (6) из
§ 1, а затем соотношением (7) из того же параграфа, то на С[а,Ь] возникнут,
вообще говоря, две топологии. Сравнимы ли они?
4. а) Докажите подробно, что рассмотренное в примере 4 пространство
ростков непрерывных функций не хаусдорфово.
b) Объясните, почему это топологическое пространство не метризуемо.
c) Каков вес этого пространства?
5. а) Сформулируйте аксиомы топологического пространства на языке
замкнутых множеств.
b) Проверьте, что повторное замыкание множества совпадает с его
замыканием.
c) Проверьте, что граница любого множества является множеством
замкнутым.
d) Покажите, что если Τ замкнуто, a G открыто в (X,г), то множество
G\F открыто в (X, г).
e) Если (У,7у) — подпространство топологического пространства (Χ, τχ),
а множество Ε таково, что Ε CY С X и Ε е τχ, то Ее τγ.
6. Топологическое пространство (X, г), в котором любая точка является
замкнутым множеством, называют топологическим пространством в
сильном смысле или Т\-пространств ом. Проверьте, что
a) всякое хаусдорфово пространство является η-пространством (отчасти
поэтому хаусдорфовы пространства называют Т2-пространствами);
b) не всякое η-пространство является Т2-пространством (см. пример 4);
c) двоеточие X = {а, Ь} с системой открытых множеств τ = {0,Х} не
является η-пространством;
d) в η-пространстве множество Τ замкнуто тогда и только тогда, когда
Τ содержит все свои предельные точки.
7. а) Докажите, что в любом топологическом пространстве имеется всюду
плотное множество, мощность которого не превосходит веса пространства.
b) Проверьте сепарабельность метрических пространств С[а,Ь], С^[а,Ь],
Hi [α, 6], Нр[а, b] (формулы соответствующих метрик см. в § 1).
c) Проверьте, что если на множестве ограниченных вещественнозначных
функций, определенных на отрезке [а, 6], ввести метрику соотношением (6)
из § 1, то получится не сепарабельное метрическое пространство.

§3. КОМПАКТЫ
19
§ 3. Компакты
1. Определение и общие свойства компакта
Определение 1. Множество К в топологическом пространстве
(X, т) называется компактом (бикомпактом1)), если из любого
покрытия К множествами, открытыми в X, можно выделить конечное
покрытие К.
Пример 1. Отрезок [а, Ь] множества Ш действительных чисел,
рассматриваемого в стандартной топологии, является компактом, что
немедленно вытекает из доказанной в гл. II, § 1, п. 3 леммы о
возможности выделить конечное покрытие из покрытия отрезка интервалами.
И вообще га-мерный промежуток 1т = {х £ Rm | аг ^ хг ^ Ьг,г =
= 1,... ,га} в Rm является компактом, что было установлено в гл. VII,
§1,п.З.
В гл. VII, § 1, п. 3 было доказано также, что подмножество Rm
является компактом в том и только в том случае, когда оно замкнуто и
ограничено.
В отличие от относительных свойств множества быть открытым
или замкнутым в топологическом пространстве, свойство множества
быть компактом абсолютно в том смысле, что не зависит от
объемлющего пространства. Точнее, имеет место следующее
Утверждение 1. Подмножество К топологического
пространства (Χ,τ) является компактом в X тогда и только тогда, когда
К является компактом в себе как в топологическом пространстве с
индуцированной из (X, т) топологией.
< Сформулированное утверждение следует из определения
компакта и того обстоятельства, что каждое множество Gk, открытое в К,
получается пересечением К с некоторым множеством Gx, открытым
в X. ►
Таким образом, если (Χ,τχ) и (У, τγ) — два топологических
пространства, индуцирующих одинаковую топологию на множестве К С
С (Χ Π У), то К одновременно компактно или нет как в X, так и в У.
Пример 2. Пусть d — стандартная метрика наМ, а/ = {х£М|
^То понятие компакта, которое вводит определение 1, в топологии иногда
именуют бикомпактом.

20 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
0 < х < 1} —единичный интервал в R Метрическое пространство (J, d)
замкнуто (в себе) и ограничено, однако это не компакт, ибо, например,
оно не является компактом в R.
Установим теперь важнейшие свойства компактов.
Лемма 1 (о замкнутости компакта). Если К —компакт в хаус-
дорфовом пространстве (-Х", т), то К —замкнутое подмножество X.
Μ В силу критерия замкнутости множества достаточно проверить,
что любая предельная для К точка #о £ X принадлежит К.
Пусть #о ^ К. Для каждой точки χ £ К построим такую ее
открытую окрестность G(x), что #о обладает окрестностью, не
пересекающейся с G(x). Совокупность G(x), x £ К, всех таких окрестностей
образует открытое покрытие К, из которого выделяется конечное
покрытие G(xi),..., G(xn). Если теперь Oi(xo) —такая окрестность точ-
п
ки хо5 что G(xi) Π Οι(χο) = 0, то множество О(х) = f] Oi(xo) также
г=1
является окрестностью точки xq5 причем G(xi) Π Ο(χο) = 0 при любом
г = 1,..., п. Но это означает, что К Π О(хо) = 0 и хо не может быть
предельной точкой для К. ►
Лемма 2 (о вложенных компактах). Если Κι D K2 D ... D
D Kn D ... — последовательность непустых вложенных компактов
оо
хаусдорфова пространства, то пересечение f] K{ непусто.
г=1
Μ В силу леммы 1 множества G{ = К\ \К\, г = 1,...,п,... от-
оо
крыты в К\. Если пересечение f] K{ пусто, то последовательность
г=1
G\ С G2 С ... С Gn С ... в совокупности образует покрытие К\.
Извлекая из него конечное покрытие, найдем, что некоторый элемент Gm
последовательности уже покрывает К\. Но по условию Кш = K\\Gm φ 0.
Полученное противоречие завершает доказательство леммы 2. ►
Лемма 3 (о замкнутом подмножестве компакта). Замкнутое
подмножество Τ компакта К само является компактом.
< Пусть {Ga, a £ А} — открытое покрытие Т. Добавив к нему
открытое множество G — К\Т', получим открытое покрытие всего
компакта К. Из этого покрытия можно извлечь конечное покрытие К.

§ 3. КОМПАКТЫ
21
Поскольку GnJ=0, то, значит, из системы {Ga, a £ А} выделяется
конечное покрытие множества Τ. ►
2. Метрические компакты. Далее мы установим некоторые
свойства метрических компактов, т. е. метрических пространств,
являющихся компактами, относительно топологии, индуцированной
метрикой.
Определение 2. Говорят, что множество Ε С X является
ε-сетью в метрическом пространстве (X, d), если для любой точки
χ £ X найдется точка е £ Ε такая, что d(e, χ) < ε.
Лемма 4 (о конечной ε-сети). Если метрическое пространство
(К, d) — компакт, то для любого ε > 0 в нем имеется конечная ε-сеть.
< Для каждой точки χ £ К берем открытый шар Β(χ,ε). Из
открытого покрытия К этими шарами выделяем конечное покрытие В(х\, ε),
..., В(хп, ε). Точки χι,..., χη, очевидно, образуют искомую ε-сеть. ►
Наряду с рассуждениями, в которых выделяют конечные
покрытия, в анализе часто встречаются рассуждения, в которых из
произвольной последовательности извлекают сходящуюся
подпоследовательность. Оказывается, справедливо следующее
Утверждение 2 (критерий метрического компакта).
Метрическое пространство (К, d) является компактом в том и только в том
случае, когда из любой последовательности его точек можно извлечь
подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из К.
Сходимость последовательности {хп} к некоторой точке а £ К, как
и прежде, означает, что для любой окрестности U(a) точки а £ К
найдется номер N £ N такой, что при η > N будем иметь хп £ U(a).
Подробнее о пределе мы будем говорить ниже в § 6.
Доказательству утверждения 2 предпошлем две леммы.
Лемма 5. Если метрическое пространство {K,d) таково, что
из любой последовательности его точек можно выделить сходящуюся
в К подпоследовательность, то для любого ε > 0 имеется конечная
ε-сеть.
< Если бы для некоторого εο > 0 в К не было конечной εο-сети, то
в К можно было бы построить последовательность {хп} точек так, что
d(xn,Xi) > εο при любом η £ N и любом значении г £ {1,... ,п — 1}.

22 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Из этой последовательности, очевидно, нельзя выделить сходящуюся
подпоследовательность. ►
Лемма 6. Если метрическое пространство {K,d) таково, что
из любой последовательности его точек можно выделить сходящуюся
в К подпоследовательность у то любая последовательность
вложенных замкнутых непустых подмножеств такого пространства имеет
непустое пересечение.
< Если fi D... DfnD... — указанная последовательность
замкнутых в К множеств, то, взяв в каждом из них по точке, получим
последовательность χχ,..., хп,..., из которой извлечем сходящуюся
подпоследовательность {хщ}- Ее предел а £ К по построению обязан
принадлежать каждому из замкнутых множеств Т%, г; £ N. ►
Теперь докажем утверждение 2.
^ Сначала проверим, что если (К, d) — компакт, а {хп}
—последовательность его точек, то из нее можно выделить подпоследовательность,
сходящуюся к некоторой точке К. Если последовательность {хп}
имеет всего конечное число различных значений, то утверждение очевидно,
поэтому можем считать, что последовательность {хп} имеет
бесконечно много различных значений. Для Е\ — 1/1 строим конечную 1-сеть
и берем тот замкнутый шар Β(α^,Ι), который содержит бесконечное
число членов последовательности. По лемме 3 шар В(а\, 1) сам
является компактом, в котором существует конечная ε<ι = 1/2 сеть и ее шар
В(а,2,1/2), содержащий бесконечно много элементов
последовательности^ Так возникает последовательность 5(αχ,1) Э B(a2^l/2) D ... D
D В{ап, 1/п) D ... вложенных компактов, имеющих по лемме 2 общую
точку а £ К. Выбирая в шаре ί?(αι,1) точку хП1,
последовательности {хп}, затем в шаре В(а,2,1/2) точку хП2, последовательности с
номером П2 > п\ и т.д., получим подпоследовательность {xni}, которая
по построению сходится к а.
Докажем теперь обратное утверждение, т.е. проверим, что если
из любой последовательности {хп} точек метрического
пространства (К, d) можно выделить сходящуюся в К подпоследовательность, то
(К, d) —компакт.
В самом ^еле^ если из некоторого открытого покрытия {Ga, a £ А}
пространства (К, d) нельзя выделить конечное покрытие, то, построив
в силу леммы 5 конечную 1-сеть в К, найдем замкнутый шар В(а\, 1),

§3. КОМПАКТЫ
23
который тоже нельзя покрыть конечным набором множеств системы
{Ga,aeA}.
Этот шар В(а\, 1) теперь можно считать исходным множеством и,
построив в нем конечную 1/2-сеть, найдем в нем шар В(а2,1/2),
который не допускает конечного покрытия множествами системы {Ga, a £
еА}.
Получаемая таким образом последовательность вложенных
замкнутых множеств В(а\,1) Э В(а,2,1/2) D ... D В(ап,1/п) D ... в силу
леммы 6 имеет, и как видно из построения, только одну общую точку
а £ К. Эта точка покрыта некоторым множеством Gao нашей системы,
и, поскольку Gao открыто, все множества В(ап, 1/п) при достаточно
больших значениях η должны лежать в Gao. Полученное противоречие
завершает доказательство утверждения 2. ►
Задачи и упражнения
1. Подмножество метрического пространства называется вполне
ограниченным, если для любого ε > О оно имеет конечную ε-сеть.
a) Проверьте, что полная ограниченность множества не зависит от того,
формируется ли ε-сеть из точек самого множества или из точек объемлющего
пространства.
b) Покажите, что подмножество полного метрического пространства
является компактом тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено и
замкнуто.
c) Покажите на примере, что замкнутое ограниченное множество
метрического пространства не всегда вполне ограничено и, значит, не всегда является
компактом.
2. Подмножество топологического пространства называется
относительно компактным, если его замыкание является компактом.
Приведите примеры относительно компактных подмножеств Еп.
3. Топологическое пространство называется локально компактным, если
каждая точка этого пространства имеет относительно компактную
окрестность.
Приведите примеры локально компактных, но не компактных
топологических пространств.
4. Покажите, что для любого локально компактного, но не компактного
топологического пространства (Χ,τχ) найдется такое компактное
топологическое пространство (Υ,τγ), что X С У, а Υ \ Χ состоит из одной точки и
пространство (Χ,τχ) является подпространством топологического
пространства (Υ,τγ).

24 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
§ 4. Связные топологические пространства
Определение 1. Топологическое пространство (X, т) называется
связным, если в нем нет других открыто-замкнутых подмножеств1),
кроме самого X и пустого множества.
Это определение становится более прозрачным с точки зрения
нашей интуиции, если ему придать следующую форму.
Топологическое пространство связно тогда и только тогда, когда
его нельзя представить в виде объединения двух его непустых
замкнутых (открытых) подмножеств без общих точек.
Определение 2. Множество Ε в топологическом пространстве
(X, т) называется связным, если оно связно как топологическое
подпространство (X, т) (с индуцированной топологией).
Из этого определения и определения 1 вытекает, что свойство
множества Ε быть связным не зависит от объемлющего пространства.
Точнее, если (Χ,τχ) и (Υ,τγ) — топологические пространства,
содержащие Ε и индуцирующие на Ε одну и ту же топологию, то Ε связно
или нет одновременно как в X, так и в У.
Пример 1. Пусть Ε = {χ £ Ш \ χ Φ 0}. Множество Е- = {χ £ Ε \
χ < 0} непусто, не совпадает с Ε и в то же время открыто-замкнуто
в Ε (как и Е+ = {х £ Ε \ χ > 0}), если рассматривать Ε как
топологическое пространство с топологией, индуцированной стандартной
топологией R Таким образом, Ε не связно, как и подсказывает наша
интуиция.
Утверждение (о связных подмножествах Ж). Непустое
множество Ε С Ш связно тогда и только тогда, когда для любых χ, ζ,
принадлежащих Е, из χ < у < ζ следует, что у £ Е.
Таким образом, на прямой связными являются только промежутки
(конечные или бесконечные): интервалы, полуинтервалы, отрезки.
Μ Необходимость. Пусть Ε — связное подмножество Ш и
тройка точек а, Ь, с такова, что а £ Е, Ъ £ Е, но с ^ Е, хотя а < с < Ъ.
Полагая А = {х £ Ε \ χ < с}, В = {х £ Ε \ χ > с}, видим, что а £ А,
b е В, т. е. А^0иВф0иАПВ = 0. Кроме того, Ε = A U В и оба
множества А, В открыты в Е. Это противоречит связности Е.
То есть одновременно открытых и замкнутых.

§4. СВЯЗНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
25
Достаточность. Пусть Ε — подпространство R, обладающее
тем свойством, что вместе с любой парой точек а и Ь ему принадлежит
и всякая промежуточная точка отрезка [а, Ь]. Покажем, что Ε связно.
Предположим, что А — открыто-замкнутое подмножество Е,
причем Аф0иВ = Е\Аф0. Пусть а £ А и Ъ £ В. Для определенности
будем считать, что а < Ь (а φ Ь, так как АПВ = 0). Рассмотрим точку
с\ = sup{A Π [α, Ь]}. Поскольку Лэа^с^ЬЕВ, имеем с\ £ £7. Ввиду
замкнутости А в Ε заключаем, что с\ £ А.
Рассматривая теперь точку c<i = inf{S Π [ci,b]}, аналогично, ввиду
замкнутости ί?, заключаем, что с^ £ 5. Таким образом, а ^ ci < С2 ^ Ь,
поскольку ci £ Л, С2 £ 5 и Α Π Β = 0. Но из определений с\ и с^ и того,
что ί^ = ЛиВ, теперь вытекает, что ни одна точка интервала ]ci,C2[
не может принадлежать Е. Это противоречит исходному свойству Е.
Таким образом, множество Ε не может иметь подмножества А с
указанными свойствами, что и доказывает связность Е. ►
Задачи и упражнения
1. а) Проверьте, что если А — открыто-замкнутое подмножество (Х,т),
то В = X \ А тоже является таковым.
Ь) Покажите, что в терминах объемлющего пространства свойство
связности множества можно выразить в следующем виде: подмножество Ε
топологического пространства (X, т) связно тогда и только тогда, когда в X нельзя
указать пару открытых (замкнутых) и не пересекающихся множеств G'x, G'x
таких, что Ε Π G'x Φ 0, Ε Π G"x Φ 0 и Ε С G'x U G"x.
2· Покажите, что:
a) Объединение связных подпространств, имеющих общую точку, связно.
b) Пересечение связных подпространств не всегда связно.
c) Замыкание связного пространства — связно.
3. Группу GL(n) невырожденных матриц порядка η с вещественными
элементами можно рассматривать как открытое подмножество в
произведете2
нии Шг топологических пространств, если с каждым элементом матрицы
связывать свой экземпляр множества Ε действительных чисел. Связно ли
пространство GL(n)?
4. Топологическое пространство называется локально связным, если
каждая его точка обладает связной окрестностью.
a) Покажите, что из локальной связности еще не вытекает связность
топологического пространства.
b) Множество Ев!2 есть график функции χ *->- sin i (при χ φ 0) плюс
отрезок {(ж,у) е М2 | χ = 0 Λ \у\ ^ 1} оси ординат. На Ε
рассматривается индуцированная из Е2 топология. Покажите, что получающееся при этом

26 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
топологическое пространство является связным, но не является локально
связным.
5. В гл. VII, §2, п. 2 мы определили связное подмножество Еп как такое
множество Ε С Г, любые две точки которого можно соединить путем с
носителем в Е. В отличие от введенного в настоящем параграфе
определения топологической связности, рассмотренное в главе VII понятие именуется
обычно линейной связностью. Проверьте, что:
a) Всякое линейно связное подмножество Шп является связным.
b) Не всякое связное подмножество Еп при η > 1 является линейно связным
(см. задачу 4).
c) Всякое связное открытое подмножество Шп является линейно связным.
§ 5. Полные метрические пространства
В этом параграфе речь будет уже только о метрических
пространствах и, точнее, об одном классе таких пространств, играющем важную
роль в различных отделах анализа.
1. Основные определения и примеры. По аналогии с уже
известными нам из рассмотрения пространства W1 понятиями введем
понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей точек
произвольного метрического пространства.
Определение 1. Последовательность {xn',n £ Ν} точек
метрического пространства (X, d) называется фундаментальной
последовательностью или последовательностью Коши, если для любого ε > О
найдется номер N £ N такой, что при любых номерах га, η £ Ν,
больших, чем iV, выполняется соотношение d(xm,xn) < ε.
Определение 2. Будем говорить, что последовательность {хп;
η £ Ν} точек метрического пространства (X, d) сходится к точке а £
£ X и что а есть предел этой последовательности, если lim d(a, xn) — 0.
η—уоо
Последовательности, имеющие предел, будем, как и прежде,
называть сходящимися.
Теперь дадим основное
Определение 3. Метрическое пространство (X, d) называется
полным, если каждая фундаментальная последовательность его точек
является сходящейся.
Пример 1. Множество R действительных чисел со стандартной

§ 5. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
27
метрикой является полным метрическим пространством, что следует
из критерия Коши сходимости числовой последовательности.
Заметим, что поскольку всякая сходящаяся последовательность
точек метрического пространства, очевидно, является фундаментальной
последовательностью, то в определении полного метрического
пространства в сущности просто постулируется выполнение в нем критерия
Коши сходимости последовательности.
Пример 2. Если из множества R удалить, например, число 0, то в
стандартной метрике множество R \ 0 уже не будет полным
пространством. Действительно, последовательность хп = 1/η, η £ Ν, его точек
фундаментальна, но она не имеет предела в R \ 0.
Пример 3. Пространство W1 с любой из стандартных метрик в
нем является полным, как это было выяснено в гл. VII, § 2, п. 1.
Пример 4. Рассмотрим множество С[а,Ь] вещественнозначных
непрерывных на отрезке [о,Ь]сК функций с метрикой
d{f,g) = max\f(x)-g(x)\ (l)
αζ.χζ.0
(см. § 1, пример 7).
Покажем, что метрическое пространство (С[а, b],d) является
полным.
^ Пусть {/п(х);п £ N}—фундаментальная последовательность
функций из С[а,Ь], т.е.
νε>0 3NeN VmeN VnGN ((т>пЛп> Ν) =*
=*Vxe[a,b](\fm(x)-fn(x)\<e)). (2)
При каждом фиксированном значении χ £ [α, Ь], как видно из (2),
числовая последовательность {/п(х);п £ Ν} фундаментальна и по
критерию Коши имеет определенный предел /(х).
Итак,
f(x):= lim /n(x), хе[а,Ь]. (3)
η—уоо
Проверим, что функция f(x) непрерывна на [а,Ь], т.е. / £ С[а,Ь].
Из (2) и (3) следует, что при η > Ν выполнено неравенство
!/(*)-/„(*)Ю, Vse[a,6]. (4)

28 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Фиксируем точку χ £ [α, b] и проверим непрерывность функции / в
этой точке. Пусть смещение h таково, что (x + h) £ [α, Ь]. Из тождества
f(x + h)- f{x) = f{x + h)- fn{x + h)+ fn{x + h)- fn(x) + fn(x) - f(x)
вытекает неравенство
\f(x + h)-f(x)\^
< \f(x + h)- fn(x + Λ)| + \fn(x + h) - fn(x)\ + \fn(x) - f(x)\. (5)
Крайние члены правой части последнего неравенства в силу (4) не
превосходят ε, если η > N. Фиксировав η > Ν, получаем функцию
fn £ С[а, Ь] и, подбирая δ = δ(ε) так, что при \h\ < δ выполняется
|/η(χ + /ι) - fn(x)\ < ε, получаем, что \f(x + h) - f(x)\ < 3ε, если |Λ| < δ.
Но это и означает, что функция / непрерывна в точке х.
Поскольку точка χ была произвольной точкой отрезка [а, Ь], мы показали, что
feC[a,b]. ►
Итак, пространство С[а, Ь] с метрикой (1) является полным
метрическим пространством. Это очень важный и широко используемый в
анализе факт.
Пример 5. Если на том же множестве С[а,Ь] вместо метрики (1)
рассмотреть интегральную метрику
б
<*(/,$) = f\f-g\(x)dx, (6)
α
то возникающее метрическое пространство уже не будет полным.
Μ Ради простоты обозначений положим [а, Ь] = [—1,1] и
рассмотрим, к примеру, последовательность {/п £ С[—1,1]; η £ Ν} функций,
определенных следующим образом:
ί-l, если - 1 ^ χ ^ -1/п,
пх, если —1/п < χ < 1/п,
1, если 1/п ^ χ ^ 1
(рис.67).

§ 5. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 29
Из свойств интеграла
непосредственно вытекает, что эта последовательность
фундаментальна в смысле метрики (6) в
С[— 1,1]. Вместе с тем она не имеет
предела в С[—1,1], ибо если бы непрерывная
функция / £ С[— 1,1] была пределом
указанной последовательности в смысле
метрики (6), то на промежутке — 1 ^ χ < О
функция / должна была бы быть
постоянной, равной —1, а на промежутке 0 <
< χ ^ 1—постоянной, равной 1, что
несовместимо с непрерывностью / в точке
х = 0. ►
Пример 6. Несколько труднее показать, что даже множество
TZ[a, b] определенных на отрезке [а, Ь] вещественнозначных
интегрируемых по Риману на этом отрезке функций также не является полным в
смысле метрики (б)1). Мы покажем это, опираясь на критерий Лебега
интегрируемости функции по Риману.
^ В качестве [а, Ь] возьмем отрезок [0,1] и построим на нем
такое канторовское множество, которое не является множеством меры
нуль. Пусть Δ g]0, 1/3[. Удалим из отрезка [0,1] среднюю его часть
длины Δ, точнее, Δ/2-окрестность середины отрезка [0,1]. На каждом
из оставшихся двух отрезков удалим среднюю часть длины Δ · 1/3. На
каждом из четырех оставшихся отрезков удалим среднюю часть длины
Δ· 1/32 и т. д. Длина всех удаленных в таком процессе интервалов равна
Δ + Δ · 2/3 + Δ · 4/32 + ... + Δ · (2/3)η + ... = 3Δ. Поскольку 0 < Δ < J,
имеем 1 — 3Δ > 0 и, как можно проверить, отсюда следует, что
оставшееся на отрезке [0,1] (канторово) множество К не имеет меру нуль в
смысле Лебега.
Рассмотрим теперь следующую последовательность: {/п £ 7£[0,1];
η £ Ν}. Пусть fn — функция, равная единице всюду на [0,1], кроме
точек, выбрасываемых на первых η шагах интервалов, на которых она
полагается равной нулю. Легко проверить, что эта последовательность
фундаментальна в смысле метрики (6). Если бы некоторая функция
^По поводу самой метрики (6) на 1Z[a,b] см. замечание, сделанное в примере 9
из §1.

30 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
/ £ 7£[0,1] была пределом этой последовательности, то / должна была
бы почти во всех точках отрезка [0,1] совпадать с
характеристической функцией множества К. Тогда / имела бы разрывы во всех
точках множества К. Но поскольку К не имеет меру нуль, из критерия
Лебега можно было бы заключить, что / ^ 7£[0,1]. Значит, 11[а,Ь] с
метрикой (6) не является полным метрическим пространством. ►
2. Пополнение метрического пространства
Пример 7. Вернемся вновь на действительную ось и рассмотрим
множество Q рациональных чисел с метрикой, индуцированной
стандартной метрикой на R.
Ясно, что последовательность рациональных чисел, сходящаяся в R
к \/2, фундаментальна, но не имеет предела bQ, т.е. Qc указанной
метрикой не является полным пространством. Вместе с тем, Q
оказывается подпространством полного метрического пространства R, которое
естественно рассматривать как пополнение Q. Заметим, что
множество Q С Ш можно было бы рассматривать и как подмножество полного
метрического пространства R2, однако называть R2 пополнением Q не
представляется целесообразным.
Определение 4. Наименьшее полное метрическое пространство,
содержащее данное метрическое пространство (X, d), назовем
пополнением пространства (X, d).
Это интуитивно приемлемое определение требует по меньшей мере
двух разъяснений: что такое «наименьшее» и существует ли оно.
Очень скоро мы сможем ответить на оба эти вопроса, а пока примем
следующее более формальное
Определение 5. Если метрическое пространство (X, d) является
подпространством полного метрического пространства (У, d) и
множество X С У всюду плотно в У, то пространство (У, d) называется
пополнением метрического пространства (X, d).
Определение 6. Метрическое пространство (X\,di) называется
изометричным метрическому пространству (Х^6^), если существует
биективное отображение /: Х\ -¥ Х^ такое, что для любых точек а, Ъ
из Х\ справедливо равенство Й2(/(а),/(Ь)) = d\(a,b). (Отображение
/: Х\ —» Хг называют в этом случае изометрией.)

§ 5. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
31
Ясно, что введенное отношение рефлексивно, симметрично и тран-
зитивно, т.е. является отношением эквивалентности между
метрическими пространствами. При изучении свойств метрических
пространств мы изучаем не индивидуальное пространство, а свойства
сразу всех изометричных ему пространств. По этой причине изометричные
пространства можно не различать.
Пример 8. Две конгруэнтные фигуры на плоскости как
метрические пространства изометричны, поэтому при изучении метрических
свойств фигур мы вовсе отвлекаемся, например, от расположения
фигуры в плоскости, отождествляя между собой все конгруэнтные фигуры.
Приняв соглашение об отождествлении изометричных пространств,
можно показать, что если пополнение метрического пространства и
существует, то оно единственно.
Проверим предварительно, что справедлива
Лемма. Для любой четверки точек а, Ъ, и, ν метрического
пространства (X, d) имеет место неравенство
\d{a,Ь) - d(u, v)\ ^ d(a,и) + d{b, v). (7)
Μ Β силу неравенства треугольника
d(a, b) ^ d(a, и) + d(w,г;) + d(b, г;).
Ввиду равноправности пар a, b и и, г;, отсюда следует (7). ►
Теперь докажем
Утверждение 1. Если метрические пространства (Yi,di),
(^25^2) являются пополнениями одного и того же пространства
(X, d), то они изометричны.
Μ Изометрию f:Y\—>Y2 построим следующим образом. Для χ £ X
положим f(x) = χ. Тогда d2(/(si),/(a;2)) = d(f(x{), /(ж2)) = d{xux2) =
= d\(x\,X2) при х\,Х2 £ Х- Если у\ £ Υχ \ X, то у\ —предельная точка
для X, так как X всюду плотно в Y\. Пусть {хп\п £ Ν} —сходящаяся
к yi в смысле метрики d\ последовательность точек X. Эта
последовательность фундаментальна в смысле d\. Но поскольку на X метрики d\
и б?2 совпадают с d, эта последовательность фундаментальна также и
в (У^^Ь). Последнее пространство полное, поэтому эта
последовательность имеет в нем предел у2 £ У. Стандартным образом проверяется,

32 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
что такой предел единственный. Положим теперь f(yi) = У2· Поскольку
любая точка у2 £ ^2 \-Х\ так же как и любая точка у ι £ ΥΊ \Х, является
пределом некоторой фундаментальной последовательности точек из X,
то построенное отображение f:Y\—>Y2 сюръективно.
Проверим теперь, что для любой пары точек y'l5 у" из Y\ выполнено
равенство
d2(f(y[),f(y'{)) = dl(y[,y'{)- (8)
Если y'l5 y'l лежат в X, то это очевидно. В общем же случае возьмем
две последовательности {х'п\ η £ Ν}, {χ^; η £ Ν} точек из X, сходящиеся
соответственно к у[ и у". Из неравенства (7) вытекает, что
Му'пУ") = lim di«,0,
η—юо
или, что то же самое,
<*ι(ΐ/Ί,ί/ι)= limd«,<). (9)
η—юо
По построению эти же последовательности сходятся к у'2 = /(y'i) и
У2 = /(у7/) соответственно в пространстве (Y^cfo)· Значит,
d2(y'2,y'2)= Hmd«,<). (10)
η—юо
Сравнивая соотношения (9) и (10), получаем равенство (8). Это
равенство заодно устанавливает инъективность нашего отображения
/: Υ\ —» Уг и тем самым завершает доказательство того, что / —
изометрия. ►
В определении 5 пополнения (У, d) метрического пространства
(X, d) мы требовали, чтобы (X, d) было подпространством (У, d), всюду
плотным в (У, d). С точки зрения отождествления изометричных
пространств можно было бы теперь расширить представление о пополнении
и принять следующее
Определение 5'· Полное метрическое пространство (У, άγ)
называется пополнением метрического пространства (Χ, άχ), если в (У, άγ)
имеется всюду плотное подпространство, изометричное (Χ,άχ).
Докажем теперь
Утверждение 2. Каждое метрическое пространство имеет
пополнение.

§ 5. ПОЛНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
33
Μ Если исходное пространство само является полным, то оно само
является своим пополнением.
Идею построения пополнения неполного метрического
пространства (Χ, άχ) мы уже, по существу, продемонстрировали, доказывая
утверждение 1.
Рассмотрим множество фундаментальных последовательностей в
пространстве (Χ,άχ). Две такие последовательности {х'п',п £ Ν},
{χ'ή',η £ Ν} назовем эквивалентными или конфиналъными, если
dx(x'n,Xn) —> 0 при η —» оо. Легко видеть, что отношение
конфинальности действительно является отношением эквивалентности.
Множество классов эквивалентных фундаментальных последовательностей
обозначим через S. Введем в S метрику по следующему правилу. Если s'
и s" —элементы 5, а {х'п\ η £ Ν} и {х^; η £ Ν} —некоторые
последовательности из классов s' и s" соответственно, то положим
d(s',s")= ]imdx(x'nX). (11)
п—уоо
Из неравенства (7) следует, что это определение корректно:
написанный справа предел существует (по критерию Коши для числовой
последовательности) и не зависит от индивидуального выбора
последовательностей {х'п;п £ Ν}, {χ'ή',η £ Ν} из s', s".
Функция a(s',sn) удовлетворяет всем аксиомам метрики.
Полученное метрическое пространство (5, а) и является искомым пополнением
пространства (Χ, άχ). В самом деле^ (Χ, άχ) изометрично
подпространству (Sx,a) пространства (5, d), состоящему из тех классов
эквивалентных фундаментальных последовательностей, в каждом из которых
имеется постоянная последовательность {хп = χ £ Χ;π £ Ν}. Такой
класс s £ S естественно отождествить с точкой χ £ X. Получающееся
при этом отображение /: (Χ, άχ) —ϊ (5х,й), очевидно, изометрично.
Остается проверить, что (5χ, ά) всюду плотно в (5, а) и что (5, а) —
полное метрическое пространство.
Проверим сначала плотность (Sx,a) в (5, а). Пусть s—
произвольный элемент 5, а {хп'->п £ N}—фундаментальная последовательность
из (X, dx), принадлежащая этому классу s £ S. Взяв ξη = /(xn)5 n £
£ Ν, мы получаем последовательность {ξη;^ £ Ν} точек пространства
(5χ, d), которая, как видно из (11), имеет своим пределом именно s £ S.
Докажем теперь полноту пространства (5,а). Пусть {sn;n £ Ν} —
произвольная фундаментальная последовательность пространства

34 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
(S, d). Для каждого η £ N подберем элемент ξη из (Sx,d) так, что
d{sn^n) < Ι/π. Тогда последовательность {ξη'->η £ Ν}, так же как
и последовательность {sn;n £ Ν}, окажется фундаментальной. Но в
таком случае будет фундаментальной в (Χ, άχ) и последовательность
{χη = /-1(^η);^ £ Ν}. Последовательность {xn;^ £ Ν} определяет
некоторый элемент s £ 5, к которому в силу (И) и сходится данная
последовательность {sn;n £ Ν}. ►
Замечание 1. После доказанных утверждений 1 и 2 становится
понятно, что пополнение метрического пространства в смысле
определения 5' действительно является наименьшим полным пространством,
содержащим (с точностью до изометрии) данное метрическое
пространство. Этим мы уточнили и оправдали исходное определение 4.
Замечание 2. Построение множества R действительных чисел,
исходя из множества Q рациональных чисел, можно было бы провести
в полном соответствии с проведенным выше в общем виде построением
пополнения метрического пространства. Именно так переход от Q к R
был осуществлен Кантором.
Замечание 3. В примере 6 мы показали, что пространство 7£[а, Ь]
интегрируемых по Риману функций не является полным в естественной
интегральной метрике. Его пополнением является важное пространство
£[а, Ь] функций, интегрируемых по Лебегу.
Задачи и упражнения
1. а) Докажите следующую лемму о вложенных шарах. Пусть
(X,d)—метрическое пространство и Β(χι,τγ) Э ... Э В(хП1гп) Э ... —
последовательность замкнутых вложенных шаров в X, радиусы которых
стремятся к нулю. Пространство (X, d) полно тогда и только тогда, когда
для любой такой последовательности существует, и притом единственная,
точка, принадлежащая всем шарам этой последовательности.
Ь) Покажите, что если из условий сформулированной выше леммы
исключить требование гп —> О при η —> оо, то пересечение последовательности
вложенных шаров может оказаться пустым даже в полном пространстве.
2. а) Множество Ε С X метрического пространства (X, d) называется
нигде не плотным в X, если оно не плотно ни в одном шаре, т.е. если для
любого шара В(х,г) найдется другой шар B(xi,ri) С Б(ж,г), свободный от
точек множества Е.
Множество Ε называется множеством первой категории в X, если его
можно представить в виде счетного объединения нигде не плотных множеств.

§6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
35
Множество, не являющееся множеством первой категории, называют
множеством второй категории в X.
Покажите, что полное метрическое пространство есть множество второй
категории (в себе).
Ь) Покажите, что если функция / Ε С^°°^ [а, Ь] такова, что Vj; Ε [а, Ь] Зп Ε Ν
Vra > η (f^m\x) = 0), το функция / — многочлен.
§ 6. Непрерывные отображения топологических
пространств
Этот и следующий параграфы содержат наиболее важные с точки
зрения анализа результаты настоящей главы.
Основные понятия и утверждения, которые здесь изложены,
являются естественным, а иногда просто дословным переносом уже
хорошо известных нам понятий и утверждений на случай отображений
произвольных топологических или метрических пространств. Для
многих фактов при этом оказываются почти идентичными с уже
рассмотренными не только формулировки, но и доказательства, которые в
этих случаях, разумеется, опускаются со ссылкой на соответствующие
утверждения, изложенные подробно ранее.
1. Предел отображения
а. Основное определение и его частные случаи
Определение 1. Пусть /: Χ —ϊ У— отображение множества X с
фиксированной в X базой В = {В} в топологическое пространство У.
Говорят, что точка А £ У является пределом отображения /: Χ —ϊ Υ
по базе В и пишут lim/(x) = А, если для любой окрестности V(A)
точки А в Υ существует элемент В £ В базы Б, образ которого при
отображении / содержится в V(A).
В логической символике определение 1 имеет вид
lim/(x) = А := MV(A) cY3BeB (f(B) С V(A)).
Чаще всего нам будет встречаться случай, когда X, как и У, —■
топологическое пространство, а В — база окрестностей или
проколотых окрестностей некоторой точки aGl. Сохраняя для базы проколо-
о
тых окрестностей {и {а)} точки а прежнее обозначение χ —» α, можно

36 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
конкретизировать определение 1 для этой базы:
lim f{x) = А := VV(A) cY3U(a)cX (f(U (α)) C V(A)).
χ—Уа
Если (X, άχ) и (Υ,άγ) — метрические пространства, то последнее
определение можно переформулировать уже на языке ε-δ:
lim f{x) =Α:=νε>03δ>04χ<ΞΧ
x-+a
{0<άχ{α,χ)<δ => dY(AJ(x))<e).
Иными словами,
lim f(x) = A ^=> lim dY{A, f(x)) = 0.
x—Уа x—¥a
Мы видим, таким образом, что, имея понятие окрестности, можно
определить понятие предела отображения /:ХчУв топологическое
или метрическое пространство Υ так же, как это было сделано в случае
Υ = R или, более общо, в случае Υ = W1.
b. О свойствах предела отображения. Сделаем некоторые
замечания относительно общих свойств предела.
Отметим прежде всего, что получавшаяся ранее сама собой
единственность предела в случае, когда Υ не является хаусдорфовым
пространством, уже не имеет места. Если же Υ — хаусдорфово пространство,
то единственность предела имеет место и доказательство ее ничем не
отличается от уже проведенного в частных случаях Υ = R или Υ = W1.
Далее, если f:X—> Y — отображение в метрическое
пространство, то можно говорить об ограниченности отображения (что означает
ограниченность множества /(I) в У) и о финальной ограниченности
отображения по базе В в X (что означает существование элемента В
базы Б, на котором / ограничено).
Из самого определения предела отображения вытекает, что если
отображение /: Χ —ϊ Υ множества X с базой В в метрическое
пространство Υ имеет предел по базе Б, то оно финально ограничено по
этой базе.
c. Вопросы существования предела отображения
Утверждение 1 (о пределе композиции отображений). Пусть
Υ —множество с базой Βγ, а д: Υ —ϊ Ζ —отображение Υ в
топологическое пространство Ζ, имеющее предел по базе Βγ.

§6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
37
Пусть X —множество с базой Βχ и /: X —> Υ —такое
отображение Χ β Υ, что для любого элемента Βγ £ Βγ базы Βγ существует
элемент В χ £ В χ базы Βχ, образ которого содержится в Βγ, т. е.
f(Bx) С Βγ.
При этих условиях композиция g о /: X —» Ζ отображений fug
определена, имеет предел по базе Βχ и
\imgof(x) = \img{y).
βχ βγ
Доказательство см. в гл. III, § 2, теорема 5.
Другим важным утверждением о существовании предела является
критерий Коши, к которому мы теперь переходим. На сей раз речь
будет идти уже об отображении /: X —> Υ в метрическое и даже в
полное метрическое пространство.
В случае отображения /: X —> Υ множества X в метрическое
пространство (У, d) естественно принять следующее
Определение 2. Колебанием отображения /: X -¥ Υ на
множестве Ε С X называется величина
ω(/,Ε)= sup d(f(xi)J(x2)).
Имеет место
Утверждение 2 (критерий Коши существования предела
отображения). Пусть X—множество с базой В, /: X -¥ Υ —
отображение X в полное метрическое пространство (Y,d).
Для того, чтобы отображение } имело предел по базе В,
необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 нашелся такой элемент В
базы В, на котором колебание отображения меньше е.
Короче:
31im/(x) ^=ϊ Уе>03ВеВ Μ/,Я) < ε).
Доказательство см. в гл. III, § 2, теорема 4.
Полезно заметить, что полнота пространства Υ нужна только при
переходе от правой части последнего соотношения к левой. Более того,
если Υ не является полным пространством, то именно этот переход,
вообще говоря, невозможен.

38 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
2. Непрерывные отображения
а. Основные определения
Определение 3. Отображение /: X —> Υ топологического
пространства (Χ,τχ) в топологическое пространство (У, ту) называется
непрерывным в точке aGl, если для любой окрестности V(f(a)) С Υ
точки /(a) G У найдется окрестность U(a) С X точки aGl, образ
которой f(U(a)) содержится в V(f(a)).
Итак,
/: X —> Υ непрерывно в а € X :=
= VV(/(a)) 3U(a)(f(U(a)) С V(f(a))).
В случае, если X и Υ — метрические пространства (Χ, άχ), (Υ,άγ),
определение 3, разумеется, можно сформулировать на языке ε-δ:
f:X^Y непрерывно в а £ X :=
= νε>035 >0УхеХ {dx{a,x) <δ =» dY(f(a)J(x))<e).
Определение 4. Отображение /: X —> Υ называется
непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке χ £ X.
Множество непрерывных отображений Χ βΥ обозначают символом
C(X,Y).
Теорема 1 (критерий непрерывности). Отображение f:X^Y
топологического пространства (Χ,τχ) в топологическое
пространство (У, ту) непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого
открытого {замкнутого) подмножества Υ открыт (замкнут) в X.
<4 Поскольку прообраз дополнения есть дополнение к прообразу,
достаточно доказать теорему для открытых множеств.
Покажем сначала, что если / £ C(X,Y), а Gy £ ту, то Gx =
= /_1(Gy) £ τχ. Если Gx = 0, то открытость прообраза налицо.
Если же Gx φ 0 и а £ Gx, то по определению непрерывности
отображения / в точке а для окрестности Gy точки /(a) найдется
такая окрестность ϋχ(α) точки а в X, что f(Ux(a)) С Gy. Значит,
Ux(a) С Gx = f~l(Gy). Поскольку Gx = (J Ϊ7χ(α), заключаем, что
a<EGx
Gx —открыто, т.е. Gx £ τχ.

§6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
39
Теперь докажем, что если прообраз любого открытого в У
множества открыт в I, то / G C(X,Y). Но, взяв любую точку α (Ξ Χ и
произвольную окрестность Vy{}{q)) ее образа в У, мы обнаруживаем,
что множество ΙΙχ(α) = f~l{Vy(f(a))) является открытой
окрестностью точки ав1, образ которой содержится в Vy(/(a))·
Следовательно, проверено определение непрерывности отображения /: X —» У в
произвольной точке α £ Л\ ►
Определение 5. Биективное отображение /: X —> У одного
топологического пространства (Χ,τχ) на другое (У, ту) называется го-
меоморфным или гомеоморфизмом, если как оно само, так и ему
обратное отображение f~l:Y^X непрерывны.
Определение 6. Топологические пространства, допускающие го-
меоморфное отображение друг на друга, называются гомеоморфными.
Как показывает теорема 1, при гомеоморфном отображении
/: X —» У топологического пространства (Χ,τχ) на пространство
(Υ,τγ) системы открытых множеств τχ, τγ соответствуют друг другу
в том смысле, что Gx £ τ χ о f{Gx) = Θγ £ τγ.
Таким образом, с точки зрения топологических свойств гомеоморф-
ные пространства абсолютно одинаковы. Следовательно,
гомеоморфность топологических пространств есть такое же отношение
эквивалентности в множестве топологических пространств, как, например,
изометричность есть отношение эквивалентности в метрических
пространствах.
Ь. Локальные свойства непрерывных отображений. Укажем
локальные свойства непрерывных отображений. Они вытекают
непосредственно из соответствующих свойств предела.
Утверждение 3 (непрерывность композиции непрерывных
отображений). Пусть (Χ,τχ), (Υ,τγ), (Ζ,τζ)—топологические
пространства. Если отображение д: Υ —> Ζ непрерывно в точке b Ε Υ, α
отображение f: X —> Υ непрерывно в точке aGl, причем f(a) = b,
то композиция этих отображений д о /: X —> Ζ непрерывна в точке
аеХ.
Это следует из определения непрерывности отображения и
утверждения 1.
Утверждение 4 (ограниченность отображения в окрестности

40 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
точки непрерывности). Если отображение f: X —» У
топологического пространства (X,d) в метрическое пространство {Y,d)
непрерывно в некоторой точке а £ X, то оно ограничено в некоторой
окрестности этой точки.
Утверждение следует из финальной ограниченности (по базе)
отображения, имеющего предел.
Прежде чем формулировать следующее утверждение о свойствах
непрерывных отображений, напомним, что для отображений в R или
в W1 величину
Ц/,α) := limo;(/,B(a,r))
г—>0
мы назвали колебанием отображения / в точке а.
Поскольку и понятие колебания отображения на множестве, и
понятие шара В(а,г) остаются в силе в любом метрическом пространстве,
то определение колебания о;(/, а) отображения / в точке а также
остается в силе для отображения /: Χ —ϊ У метрического пространства
(Χ, άχ) в метрическое пространство (У, άγ).
Утверждение 5. Отображение fiX—ϊΥ метрического
пространства (Χ,άχ) в метрическое пространство (У,άγ) непрерывно в
точке а £ X тогда и только тогда, когда о;(/, а) = 0.
Это утверждение непосредственно следует из определения
непрерывности отображения в точке.
с. Глобальные свойства непрерывных отображений.
Остановимся теперь на важнейших глобальных свойствах непрерывных
отображений.
Теорема 2. При непрерывном отображении образ компакта
является компактом.
Л Пусть /': К —» У — непрерывное отображение компакта (Κ,τκ) в
топологическое пространство (Υ,τγ) и пусть {Gy,a £ А} — покрытие
f{K) множествами, открытыми в У. В силу теоремы 1 множества
{G*x = /_1(Gy),a £ А} образуют открытое покрытие К. Извлекая
из него конечное покрытие G^1, ... , G°^, находим конечное покрытие
Gy1, ... , Gyn множества f(K) С У. Таким образом, f(K) — компакт
в У. ►

§ 6. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
41
Следствие. Непрерывная вещественная функция /: К —> Ш на
компакте принимает в некоторой точке компакта наибольшее
(наименьшее) значение.
< Действительно, f{K) —компакт вЕ, т. е. ограниченное и
замкнутое множество. Это значит, что inf f{K) £ f{K) и supf(K) £ f{K). ►
В частности, если К — отрезок [а, Ь] С R, то мы вновь получаем
классическую теорему Вейерштрасса.
На отображения, непрерывные на компактах, дословно переносится
теорема Кантора о равномерной непрерывности. Прежде чем ее
формулировать, приведем нужное
Определение 7. Отображение /: X —> У метрического
пространства (Χ, άχ) в метрическое пространство (У, dy) называется
равномерно непрерывным, если для любого ε > О найдется δ > О такое, что
на любом множестве Ε С X с диаметром, меньшим ί, колебание α;(/, Ε)
отображения / меньше е.
Теорема 3 (о равномерной непрерывности). Непрерывное
отображение /: К —» У метрического компакта К в метрическое
пространство (Υ,τγ) равномерно непрерывно.
В частности, если К — отрезок на R, a Y = R, то мы вновь
возвращаемся к классической теореме Кантора, доказательство которой,
изложенное в гл. IV, §2, п. 2, практически без изменений переносится
на указанный общий случай.
Рассмотрим теперь непрерывные отображения связных
пространств.
Теорема 4. При непрерывном отображении образ связного
топологического пространства связен.
Μ Пусть f:X—>Y — непрерывное отображение связного
топологического пространства (Χ,τχ) на топологическое пространство (У, ту).
Пусть Εγ открыто-замкнутое подмножество Υ. В силу теоремы 1
прообраз Εχ = f~l(Ey) множества Εγ открыто-замкнут в X. В силу
связности X имеем тогда: либо Ε χ = 0, либо Ε χ = X. Но это означает,
что либо Εγ = 0, либо Εγ = У = f(X). ►
Следствие. Если функция /:Х—>Ш, непрерывная на связном
топологическом пространстве {Χ,τ), принимает значения f(a) = А £ R

42 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
и /(&) = В £ R, то длл любого числа С, лежащего между А и В,
найдется такая точка с £ X, в которой /(с) = С.
< Действительно, по теореме 4 f(X)— связное множество в R. Но
в R связными множествами являются только промежутки (см.
утверждение из § 4). Таким образом, вместе с точками А и В точка С
содержится в f(X). ►
В частности, если X — отрезок, мы возвращаемся к классической
теореме о промежуточном значении непрерывной вещественнозначной
функции.
Задачи и упражнения
1. а) Если отображение /: X —> Υ непрерывно, то будут ли образы
открытых (замкнутых) в X множеств открытыми (замкнутыми) множествами
в У?
b) Если при отображении /: X —> Υ не только прообраз открытого
множества, но и образ открытого множества открыт, то обязано ли / быть
гомеоморфизмом?
c) Если отображение /: X —> Υ непрерывно и биективно, то всегда ли оно
гомеоморфно?
d) Будет ли гомеоморфным отображение, удовлетворяющее условиям Ь)
и с) одновременно?
2. Покажите, что
a) всякое непрерывное биективное отображение компакта в хаусдорфово
пространство является гомеоморфизмом;
b) без требования хаусдорфовости пространства образа предыдущее
утверждение, вообще говоря, неверно.
3. Выясните, гомеоморфны ли (попарно) как топологические
пространства следующие подмножества Еп: прямая, интервал на прямой, отрезок на
прямой; сфера; тор.
4. Топологическое пространство (Χ,τ) называется линейно связным,
если любые две его точки можно соединить путем, лежащим в X. Точнее это
означает, что для любых точек А и В из X существует такое непрерывное
отображение /: / ->· X отрезка [а, Ь] С Ш в X, что /(а) = A, f(b) = В.
a) Покажите, что всякое линейно связное пространство связно.
b) Покажите, что любое выпуклое множество в Еп линейно связно.
c) Проверьте, что любое связное открытое подмножество Еп линейно
связно.
d) Покажите, что сфера S(a,r) линейно связна в Г (п > 1), но в
другом метрическом пространстве она как множество, наделенное совсем иной
топологией, может быть вообще не связной.

§ 7. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
43
е) Проверьте, что в топологическом пространстве нельзя соединить
путем внутреннюю точку множества с внешней точкой множества, не пересекая
границу этого множества.
§ 7. Принцип сжимающих отображений
Здесь будет установлен принцип, который, несмотря на всю свою
простоту, оказывается средством эффективного доказательства
многих теорем существования.
Определение 1. Точка а £ X называется неподвижной точкой
отображения f:X-^>X, если f(a) = a.
Определение 2. Отображение /: X —> X метрического
пространства (X, d) в себя называется сжимающим, если существует число q,
О < q < 1, такое, что для любых точек χχ, χ<ι из X имеет место
неравенство
d(f(xi), f(x2)) < qd(xi,x2). (1)
Теорема (принцип неподвижной точки Пикара1) -Банаха2)).
Сжимающее отображение /: X -¥ X полного метрического пространства
(X,d) в себя имеет и притом единственную неподвижную точку а.
Более того, для любой точки хо 6 X итерационная
последовательность хо, χι = f(xo)9 · · · f #n+i — f{xn)> · · · сходится к а. Скорость
этой сходимости дается оценкой
qn
d(a,xn) ^ d(xi,x0). (2)
1 -q
Μ Возьмем произвольную точку xq £ X и покажем, что
последовательность xq5 χι — f{xo), ··· 5 χη+ι — /(#η)5 ··· фундаментальна.
Отображение / сжимающее, поэтому в силу (1)
d(xn+i,xn) < qd(xn,xn-i) < ... < qnd(xi,xo)
^Ш.Э.Пикар (1856-1941)—французский математик, которому принадлежит
ряд важных результатов в теории дифференциальных уравнений и теории
аналитических функций.
2^С. Банах (1892- 1945) —польский математик, один из создателей
функционального анализа.

44 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
и
d(xn+k,xn) ^ d(xn, xn+i) + · · · + d(xn+k-u ^n+fc) ^
^ (qn + qn+l + ... + qn+r-l)d(xuxo) ^ -^-d(xux0).
1 -q
Отсюда видно, что последовательность х$, #ъ · · · 5 χη-> · · ·
действительно фундаментальная.
Пространство (X, d) полное, поэтому указанная последовательность
имеет предел lim хп = а £ X.
п—юо
Из определения сжимающего отображения видно, что сжимающее
отображение всегда непрерывно, поэтому
а = lim xn+i = lim f(xn) = /( lim xn) = /(a).
n—юо n—юо n—too
Таким образом, a — неподвижная точка отображения /.
Другой неподвижной точки отображение / иметь не может,
поскольку из о,{ = f{a>i), г = 1,2, с учетом (1), следует
О ^ rf(aba2) = rf(/(ai), /(аг)) ^ gdfai, аг),
что возможно только при rf(ai,a2) = 0, т.е. при αχ = α2·
Далее, из соотношения
qn
d(xn+k,xn) < d(xi,xo),
1-q
переходя к пределу при к —> оо, находим, что
d(a,xn) ^ d(xi,xo). ►
1-q
В дополнение к этой теореме докажем следующее
Утверждение (об устойчивости неподвижной точки). Пусть
(X,d)—полное метрическое пространство; (Ω,τ)—топологическое
пространство, играющее в дальнейшем роль пространства
параметров.
Пусть каждому значению параметра t £ Ω отвечает сжимающее
отображение fa: X -¥ X пространства X в себя, причем выполнены
следующие условия:

§ 7. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИИ
45
a) семейство {ft',t £ Ω} равномерно сжимающее, т.е.
существует такое число q, О < q < 1, что каждое отображение ft является
q-сжимающим;
b) при каждом χ Ε X отображение ft{x) - Ω —» X как функция от t
непрерывно в некоторой точке to £ Ω, т. е. lim ft{x) = Л0(х)·
t—yto
Тогда решение a(t) £ X уравнения χ = ft{x) β точке to непрерывно
зависит от t, т. е. lim a(t) = α(<ο).
Μ Как было показано при доказательстве теоремы, решение a(t)
уравнения χ = /«(ж) может быть получено как предел
последовательности {χη+ι = ft{xn)\ η = 0,1,... }, исходя из любой точки хо £ Х- Пусть
х0 = a{t0) = /ί0(α(*ο))·
С учетом оценки (2) и условия а), получаем
rf(a(t),a(to)) = d(a(t),xo) ^
< 1 d(xi,xo) = d(/t(a(*o)),/t0(a(*o))).
1 -g 1 -ςτ
Последний член в этом соотношении в силу условия Ь) стремится к нулю
при t —> ίο. Таким образом, доказано, что
lim d(a(i),a(io)) = 0, т.е. lim a(t) = a(to). ►
t—yto t—yto
Пример 1. В качестве важного примера применения принципа
сжимающих отображений докажем, следуя Пикару, теорему
существования решения дифференциального уравнения у'(х) = /(х,у(х)),
удовлетворяющего начальному условию у{хо) = Уо·
Если функция f £ C(R2,R) такова, что
|/(u,i;i)-/(ti,V2)| ^ Μ|νι -v2|,
где M—некоторая постоянная, то, каково бы ни было начальное
условие
у(хо) = Уо, (3)
существуют окрестность U(xo) точки хо € Ш и определенная в ней
единственная функция у = у(х), которая удовлетворяет уравнению
У' = 1(Х,У) (4)

46 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
и начальному условию (3).
Ч Уравнение (4) совместно с условием (3) можно записать в виде
одного соотношения
у{х) = У0 +
χ
Jf(t,y(t))
dt.
(5)
XQ
Обозначая через А(у) правую часть последнего равенства, находим,
что А: С(У(хо),Щ -> С(У{хо),Щ есть отображение множества
определенных в окрестности V(xo) точки #о непрерывных функций в себя.
Рассматривая С(У(хо),Щ как метрическое пространство с
равномерной метрикой (см. формулу (6) из § 1), находим, что
d(AyuAy2)= т_ах
xev(xo)
X X
j f(t,yi(t))dt- f f(t,y2(t))dt
№o
XQ
<
< max
xev(xo)
X
[ M\yi(t)-y2(t)\dt
№0
^ M\x-x0\d(yi,y2).
Если считать, что \x — xo| ^ 2Ж' то на соответствУюЩем отрезке J
оказывается выполненным неравенство
d(AyuAy2) ^ -d(yi,y2),
где d(y\,y2) — max \y\(x) — у2(х)\. Таким образом, мы имеем сжимающее
xei
отображение
А: С(1Л) ->C(I,R)
полного (см. пример 4 из §5) метрического пространства (C(J,R),d)
в себя, которое по принципу сжимающих отображений должно иметь
и притом единственную неподвижную точку у = Ау. Но это означает,
что найденная в С(1, Ж) функция и будет той единственной функцией,
которая определена в I э хо и удовлетворяет уравнению (5). ►
Пример 2. В качестве иллюстрации к сказанному будем искать,
исходя из принципа сжимающих отображений, решение уже знакомого
нам уравнения
У* = У

§ 7. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ 47
при начальном условии (3).
В данном случае
Лу = у0 +
χ
fv(t)dt,
XQ
и принцип применим по крайней мере при \х — х$\ ^ q < 1.
Исходя из начального приближения у(х) = 0, построим
последовательность 0, ух = -А(О),..., yn+\(t) = А(уп(<)),... приближений
Vi(*) = Уо,
Ы<) = Уо(1 + (ж-жо)),
Уз(*) = Уо(1 + (я? - хо) + J (х ~ χο)2),
Уп+iW = Уо(1 + (ж - хо) + 2[(ж ~ χο)2 + · · · + ^у(я ~ s0)n),
из которой уже видно, что
у(х) = у0ех"хо.
Принцип неподвижной точки, сформулированный в приведенной
выше теореме, носит также название принципа сжимающих
отображений. Он возник как обобщение рассмотренного в примере 1
доказательства Пикара теоремы существования решения дифференциального
уравнения (4). В полной общности принцип сжимающих отображений
был сформулирован Банахом.
Пример 3. Метод Ньютона отыскания корня уравнения f(x) =
= 0. Пусть выпуклая с положительной производной на отрезке [α, β] ве-
щественнозначная функция принимает на концах отрезка значения
разных знаков. Тогда на этом отрезке она имеет, и притом единственную,
точку а, в которой /(а) = 0. Наряду с простейшим общим методом
поиска точки а путем деления отрезка пополам существуют разные более
тонкие и быстрые методы отыскания точки а, использующие
специфику функций /. Так, в нашем случае можно воспользоваться следующим

48 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
Рис. 68.
методом, предложенным Ньютоном и называемым методом Ньютона
или методом касательных. Возьмем произвольную точку хо £ [α, β] и
запишем уравнение у = f{xo) + ff{xo){x — #o) касательной к графику
нашей функции в точке (xo,f(xo)). Найдем точку χ χ = xo — [f'{xo)]~l'f{xo)
пересечения касательной с осью абсцисс (рис. 68). Примем х\ в качестве
первого приближения корня а и повторим операцию, заменяя хо на х\.
Так мы получим последовательность
#п+1 = Хп ~ [/'(#n)] l ' /fan)
(6)
точек, которые, как можно проверить, в нашем случае будут монотонно
стремиться к а.
В частности, если f(x) = xk — α, т.е. когда мы ищем д/α, где а > О,
рекуррентное соотношение (6) имеет вид
•Еп+1 — %п
k
х„ — а
ГьХп
что при к = 2 преобразуется к знакомому выражению
_ 1 / _а_
2 V а;п
Способ (6) образования последовательности {хп} называют
методом Ньютона.
Если вместо последовательности (6) рассматривается
последовательность, получаемая рекуррентным соотношением
£п+1 = Хп- [f'(X0)] l * /fan),
(7)

§ 7. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
49
то говорят о модифицированном методе Ньютона1'. Модификация
состоит в том, что производная вычислена раз и навсегда в точке #о·
Рассмотрим отображение
χ н> А(х) = х- [/'ЫГ1/^)· (8)
По теореме Лагранжа
\А(х2) - А(Х1)\ = К/'ЫГ1 · f'(0\ ■ 1*2 - xil,
где ξ — некоторая точка, лежащая между χ ι и Χ2·
Таким образом, если на некотором отрезке /СК выполнены
условия
А(1) С / (9)
И
|[/'(аго)]-1-/'И1<9<1, (Ю)
то задаваемое соотношением (8) отображение А: I —» J окажется
сжимающим отображением этого отрезка. Тогда по общему принципу оно
имеет на отрезке единственную неподвижную точку а. Но, как видно
из (8), условие А(а) = а равносильно соотношению f(a) = 0.
Значит, при выполнении условий (9) и (10), для любой функции /
модифицированный метод Ньютона (7) на основании принципа
сжимающих отображений приводит к искомому решению а уравнения /(#) = 0.
Задачи и упражнения
1. Покажите, что в принципе сжимающих отображений условие (1) нельзя
заменить более слабым условием
d(/(zi),/(a2)) < d(xllx2).
2· а) Докажите, что если отображение f:X—>X полного метрического
пространства (X, d) в себя таково, что некоторая его итерация /п: X —> X
является сжимающим отображением, то / имеет, и притом единственную,
неподвижную точку.
^В функциональном анализе он имеет многочисленные применения и
называется методом Ньютона-Канторовича. Л.В.Канторович (1912-1986)—выдающийся
советский математик, экономико-математические исследования которого отмечены
Нобелевской премией.

50 ГЛ. IX. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ)
b) Проверьте, что рассмотренное в примере 2 отображение А: С(1,Ш) ->·
-> С(/, Ж) таково, что при любом отрезке I С Ш некоторая итерация Ап
отображения А является сжимающим отображением.
c) Получите из Ь, что найденное в примере 2 локальное решение у =
— уоех~х° на самом деле является решением исходного уравнения на всей
числовой прямой.
3. а) Покажите, что в случае выпуклой с положительной производной на
отрезке [α, β] функции, принимающей на концах отрезка значения разных
знаков, метод Ньютона (6) действительно дает последовательность {хп},
сходящуюся к той точке a Ε [а,/?], в которой /(а) = 0.
Ь) Оцените скорость сходимости последовательности (6) к точке а.

* ГЛАВА X
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ С БОЛЕЕ
ОБЩЕЙ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ
§ 1. Линейное нормированное пространство
Дифференцирование — это отыскание наилучшего локального
линейного приближения функции, поэтому любая сколь-нибудь общая
теория дифференцирования должна опираться на элементарные
представления, связанные с линейными функциями. Из курса алгебры
читателю хорошо знакомо понятие линейного пространства, а также
понятия линейной зависимости и независимости системы векторов,
базиса и размерности линейного пространства, подпространства и т. д. В
этом параграфе мы дадим представление о линейных пространствах
с нормой или, как говорят, линейных нормированных пространствах,
широко используемых в анализе. Начнем, однако, с примеров линейных
пространств.
1. Некоторые примеры линейных пространств анализа
Пример 1. Классическими примерами линейных пространств
над полем действительных и комплексных чисел являются
соответственно вещественное W1 и комплексное С1 арифметические
пространства размерности п.
Пример 2. В анализе, наряду с указанными в примере 1
пространствами Rn, С1, встречается наиболее близкое к ним
пространство / последовательностей χ = (χ1,..., χη,...) действительных или
комплексных чисел. Линейные операции в /, как и в W1 и С1, осу-

52
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ществляются покоординатно. Особенностью в сравнении с W1 или С1
является то, что любая конечная подсистема счетной системы
векторов {xi = (О,..., 0, хг — 1,0,...), г £ N} линейно независима, то есть
/ — бесконечномерное (в данном случае счетномерное) линейное
пространство.
Совокупность финитных последовательностей (все члены которых,
начиная с некоторого, равны нулю) является линейным
подпространством / пространства /, причем тоже бесконечномерным.
о
Пример 3. Пусть F[a, b] — множество числовых (действительно-
или комплекснозначных) функций, определенных на отрезке [а, Ь]. Это
множество является линейным пространством (над соответствующим
числовым полем) по отношению к операциям сложения функций и
умножения функции на число.
Совокупность функций вида
/ ч _ ί 0, если χ £ [а, 6] и χ φ τ,
\ 1, если я £ [а, Ь] и х — т
является континуальной системой линейно независимых векторов
bF[o,6].
Множество С[а, Ь] непрерывных функций, очевидно, является
подпространством построенного пространства F[a, Ь].
Пример 4. Если Х\ и Хч — два линейных пространства над
одним и тем же полем, то в их прямом произведении Х\ хХч естественным
образом вводится структура линейного пространства, если линейные
операции над элементами χ — (χι,Χ2) £ Χι χ Χ*ι выполнять
покомпонентно.
Аналогично вводится структура линейного пространства в прямом
произведении Х\ χ ... χ Χη любого конечного набора линейных
пространств. Это полный аналог пространств W1 и С1.
2. Норма в линейном пространстве. Теперь дадим основное
Определение 1. Пусть X—линейное пространство над полем
действительных или комплексных чисел.
Функция || ||: X —» R, ставящая каждому вектору χ £ X в
соответствие действительное число ||х||, называется нормой в линейном

§ 1. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО 53
пространстве X, если она удовлетворяет следующим трем условиям:
a) ||х|| =0 О χ = 0 (невырожденность);
b) ||λχ|| = |λ|||χ|| (однородность);
c) \\χχ + х2\\ ^ ||#i|| + ||x2|| (неравенство треугольника).
Определение 2. Линейное пространство с определенной на нем
нормой называется линейным нормированным пространством.
Определение 3. Значение нормы на векторе называется нормой
этого вектора.
Норма вектора всегда неотрицательна и, как видно из а), равна
нулю только для нулевого вектора.
Μ Действительно, для любого χ £ X в силу с) и с учетом а) и Ь)
получаем
о = цоц = \\х + (-х)ц ^ н +1| - х\\ = \\х\\ +1 - 1||И| = 2Цх||. ►
Из с) и принципа индукции следует общее неравенство
||si + ...+sn|| ^ ||χι|| + ... + ||χη||, (1)
а с учетом Ь) из с) легко вывести также полезное неравенство
ι*ιΙΙ-ινι|<ιι*ι-*2||. (2)
Любое линейное нормированное пространство имеет естественную
метрику
d(xi,x2) = \\х\ -x2\Y (3)
То, что так определенная функция d(xi,x2) удовлетворяет
аксиомам метрики, непосредственно следует из свойств нормы. Благодаря
наличию в X линейной структуры метрика d в X обладает двумя
дополнительными специфическими свойствами:
d(xi + х,х2 +х) = \\{х\ +х) - {х2 + х)\\ = \\х\ - х2\\ = d(xi,x2),
т. е. метрика инвариантна относительно переносов, и
d(XxuXx2) = \\Xxi - Хх2\\ = \\Χ(χι -Χ2)\\ = |λ|||χι - х2\\ = \X\d(xux2),
т. е. она однородна.

54
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Определение 4. Если линейное нормированное пространство
является полным как метрическое пространство относительно
естественной метрики (3), то оно называется полным нормированным
пространством или банаховым пространством.
Пример 5. Если для вектора χ = (х1,...,хп) £ W1 при ρ ^ 1
положить
ΙΝΙΡ:=(Σ>Τ)*, (4)
г=1
то, как следует из неравенства Минковского, мы получим норму в W1.
Пространство Rn, наделенное этой нормой, будем обозначать
символом К£.
Можно проверить, что
\\х\\р2 < INIph если Х ^Pi ^Р2, (5)
и что
\\x\\p^max{\xl\,...,\xn\} (6)
при ρ —» +оо. Таким образом, естественно положить
\\х\\оо-.= maxilx1!,...,^}. (7)
Тогда из (4) и (5) следует, что
INloo ^ \\х\\Р < \\x\\i < п\\х\\оо при ρ ^ 1. (8)
Из этого неравенства, как, впрочем, и из самого определения (4)
нормы ||х||р, видно, что W; является полным нормированным
пространством.
Пример 6. Предыдущий пример полезно обобщить следующим
образом. Если X = Χι χ ... χ Χη есть прямое произведение
нормированных пространств, то в X можно ввести норму вектора χ = (χχ,..., χη),
положив
\\*\\ρ··= (Σ,μρΫ> ρ^1' w
где \\xi\\ есть норма вектора Х{ £ Х{ в пространстве Х\.
Естественно, неравенства (8) и в этом случае остаются в силе.

§ 1. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО 55
В дальнейшем, когда рассматривается прямое произведение
нормированных пространств, всегда, если нет специальных оговорок,
предполагается, что в нем норма определена в соответствии с формулой (9)
(включая случай ρ = +оо).
Пример 7. Пусть ρ ^ 1. Обозначим через 1р множество таких
последовательностей χ = (х1,..., хп,...) действительных или комплекс-
оо
ных чисел, что ряд ^ \хп\р сходится, и для χ £ 1р положим
п=1
оо ι
ΙΝΙΡ:=(ΣΙ*Τ)*· (ю)
η=1
Используя неравенство Минковского, легко видеть, что 1Р является
линейным нормированным пространством относительно стандартных
линейных операций и нормы (10). Это бесконечномерное пространство,
по отношению к которому KJJ является линейным подпространством
конечной размерности.
Для нормы (10) справедливы все неравенства (8), кроме последнего.
Нетрудно проверить, что 1р является банаховым пространством.
Пример 8. В линейном пространстве С[а,Ь] числовых функций,
непрерывных на отрезке [а, Ь], чаще всего рассматривается следующая
норма:
||/||:= max\f{x)\. (11)
х€[а,Ь]
Проверку аксиом нормы мы оставляем читателю. Заметим, что эта
норма порождает уже знакомую нам метрику (см. гл. IX, § 5) на С[а, Ь]
и нам известно, что возникающее при этом метрическое
пространство полно. Таким образом, линейное пространство С[а,Ь] с нормой (11)
является банаховым.
Пример 9. В С [а, Ь] можно ввести и иную норму
б
ll/llP:=(/l/|P(z) <**)", р>1, (12)
α
которая сводится к (11) при ρ —» +оо.
Легко видеть (см., например, гл. IX, § 5), что при 1 ^ ρ < +оо
пространство С[а, Ь] с нормой (12) не является полным.

56
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3. Скалярное произведение в векторном пространстве.
Важный класс нормированных пространств составляют
пространства со скалярным произведением. Они являются прямым обобщением
евклидовых пространств.
Напомним
Определение 5. Говорят, что в линейном (над полем
комплексных чисел) пространстве X задана эрмитова форма, если задано
отображение ( , ): X х X —» С, обладающее свойствами:
a) (Х1,Х2> = (Ж2,Ж1>,
b) (Ахьх2> = А(хьх2>,
С) (хг + Д?2, Хз) = (XUXS) + (Я2, Ж3),
где х\, Х25 хг — векторы из X, а λ £ С.
Из а), Ь), с) следует, например, что
(χι,λχ2) = (λχ2,χι) = \(χ2,Χι) = λ(χ2,£ι) = λ(χι,χ2>;
(Χ1,Χ2 +^3> = (^2+^3,^1> = (Ж2,Ж1> + (Χϊ,Χΐ) = (Χΐ,Χ2> + (^1,^3>;
(χ,χ) = (χ,χ), т.е. (χ,χ) —действительное число.
Эрмитова форма называется положительной, если
d) (х,х)^0,
и невырожденной, если
e) (х,х) = 0 Ф> χ = 0.
Если X—линейное пространство над полем вещественных чисел,
то, разумеется, надо рассматривать вещественнозначную форму
(χι,#2)· В этом случае вместо а) можно записать просто (х\,Х2) =
= (#2,#ι), что означает симметричность формы относительно
векторов-аргументов, Х\, #2-
Примером такой формы может служить знакомое из аналитической
геометрии скалярное произведение векторов трехмерного евклидова
пространства. В связи с этой аналогией принято
Определение 6. Невырожденную положительную эрмитову
форму в линейном пространстве называют скалярным произведением в
этом пространстве.
Пример 10. В W1 скалярное произведение векторов χ =

§ 1. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО 57
= (х1,..., хп), у = (у1,..., уп) можно определить, положив
η
(х,у):=^хУ, (13)
г=1
а в С1 —положив
η
(х,у):=]ГхУ. (14)
г=1
Пример 11. В /2 скалярное произведение векторов х, у можно
определить, полагая
оо
г=1
Написанный здесь ряд сходится абсолютно, поскольку
оо оо оо
2Σι*νι<ΣΗ2+Σ^ι2·
г=1 г=1 г=1
Пример 12. В С[а,Ь] скалярное произведение можно определить
формулой
б
(f,9):=J(f'9)(x)d*. (15)
α
Из свойств интеграла легко следует, что все требования к
скалярному произведению в этом случае выполнены.
Для скалярного произведения справедливо следующее важное
неравенство Коши - Буняковского:
\{х,у)\2^(х,х)-(у,у), (16)
где равенство реализуется тогда и только тогда, когда векторы χ и у
коллинеарны.
Μ Действительно, пусть а — (х, х), Ъ = (х, у) и с = (у, у). По условию
α ^ 0 и с ^ 0. Если с > 0, то из
0 < (х + Ау, χ + Ху) = а + ЬХ + ЬХ + сХХ

58 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
при А = — ^ получим
(Κα
или
О ^ ас
что совпадает с (16).
Аналогично рассматривается случай а > 0.
Если же а = с = 0, то, подставляя в (17) λ = —Ь, получим 0 ^
^ — ЪЪ — ЪЬ — — 2|Ь|2, т. е. Ъ = 0, и неравенство (16) опять справедливо.
Если χ и у не коллинеарны, то 0 < (х + Ау, χ + Ay) и, следовательно,
неравенство (16) в этом случае строгое. Если же χ и у коллинеарны, в
этом случае оно, как легко проверить, переходит в равенство. ►
Линейное пространство со скалярным произведением обладает
естественной нормой
||*|| := λ/Μ (18)
и метрикой
d(x,y) := \\х-у\\.
Используя неравенство Коши-Буняковского, проверим, что если
(я, у) — невырожденная положительная эрмитова форма, то
формула (18) действительно определяет норму.
Μ В самом деле^
\\х\\ = yj(x,x) = 0 Ф> χ = 0,
поскольку форма (х, у) невырожденная.
Далее
цахЦ = у/(\х, λχ) = ^/αα(χ,χ) = μίν^ί) = |λ| ||χ||.
Проверим, наконец, неравенство треугольника
ΙΙ* + νΚΝΙ + ΙΜ|.
Нам, таким образом, следует показать, что
_ ЬЬ_ ЪЪ ЪЪ
с с с
-ЬЬ = ас- \Ь\2,

§ 1. ЛИНЕЙНОЕ НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО 59
или после возведения в квадрат и упрощений, что
(х, у) + (у,χ) ^ 2у/(х,х) · (у,у).
Но
(х,у) + (у,х) = (х,у) + (х,у) = 2Re(x,y) ^2|(х,у)|,
и доказываемое неравенство теперь непосредственно следует из
неравенства Коши-Буняковского (16). ►
Отметим в заключение, что линейные пространства со скалярным
произведением в конечномерном случае называют обычно
евклидовыми или эрмитовыми, когда полем констант является R или С
соответственно. Если же линейное нормированное пространство бесконечной
размерности, то его называют гильбертовым, если оно полно, и
предгильбертовым, если оно не полно по отношению к метрике,
индуцированной естественной нормой в нем.
Задачи и упражнения
1. а) Покажите, что если в линейном пространстве X задана метрика
d(x\,X2), трансляционно инвариантная и однородная, то X можно
нормировать, положив \\х\\ = d(0,x).
b) Проверьте, что норма в линейном пространстве X является
функцией, непрерывной по отношению к той топологии, которая индуцируется
естественной метрикой (3).
c) Докажите, что если X — конечномерное линейное пространство, а \\х\\
и \\х\\' — две нормы на X, то всегда можно найти положительные числа М, N
такие, что для любого вектора χ Ε Χ выполнено
м|ИК||*||ЧЭД|. (19)
d) На примере норм \\х\\\ и ||ж||оо в пространстве / убедитесь, что
предыдущее неравенство в бесконечномерных пространствах, вообще говоря, не
выполняется.
2. а) Докажите неравенство (5).
b) Проверьте соотношение (6).
c) Покажите, что при ρ —> +оо определенная формулой (12) величина ||/||р
стремится к величине ||/||, задаваемой формулой (11).
3. а) Проверьте, что рассмотренное в примере 7 нормированное
пространство 1Р является полным.
Ь) Покажите, что подпространство пространства /р, состоящее из
финитных (заканчивающихся нулями) последовательностей, не является банаховым
пространством.

60
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4. а) Проверьте, что соотношения (11), (12) задают норму в пространстве
С[а,Ъ], и убедитесь в том, что при этом в одном случае получается полное, а
в другом не полное нормированное пространство.
b) Задает ли формула (12) норму в линейном пространстве 1Z[a,b]
интегрируемых по Риману функций?
c) Какую факторизацию (отождествление) следует провести в 7Z[a, b],
чтобы задаваемая формулой (12) величина была нормой в полученном линейном
пространстве?
5. а) Проверьте, что формулы (13)-(15) действительно задают скалярное
произведение в соответствующих линейных пространствах.
b) Будет ли задаваемая формулой (15) форма скалярным произведением в
пространстве ΊΖ[α, Ь] интегрируемых по Риману функций?
c) Какие функции в 1Z[a, b] следует отождествить, чтобы ответ на
вопрос Ь) был положительным в фактор-пространстве классов эквивалентности?
6. Используя неравенство Коши-Буняковского, найдите нижнюю грань
(ь \ (ь \
значений произведения I J f(x)dx J I J(l/f)(x) dx J на множестве
непрерывных вещественнозначных функций, не обращающихся в нуль на отрезке [а, Ь].
§ 2. Линейные и полилинейные операторы
1. Определения и примеры. Начнем с того, что напомним
следующее
Определение 1. Если X и Υ—линейные пространства над
одним и тем же полем (в нашем случае полем R или С), то отображение
А: X —> Υ называется линейным, если для любых векторов χ, χχ, Χ2
пространства X и любого числа λ поля коэффициентов имеют место
равенства
Α(χι + х2) = А(хг) + А(х2),
Α{λχ) = \А{х).
Для линейного оператора А: X —» Υ вместо А(х) часто пишут Ах.
Определение 2. Отображение Α: Χι χ ... χ Χη —» Υ прямого
произведения линейных пространств Х\,..., Хп в линейное
пространство Υ называется полилинейным (η-линейным), если это отображение
у = А(х\,... ,хп) линейно по каждой переменной при фиксированных
значениях остальных переменных.
Множество π-линейных отображений Α: Χι χ ... χ Χη —» Υ будет
обозначаться символом С(Х\,..., Χη\ Υ).

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 61
В частности, при η = 1 получаем множество С(Х; У) линейных
отображений из Χι = X в У.
При η = 2 полилинейное отображение называется билинейным, при
η = 3 — трилинейным и т. д.
Не следует смешивать η-линейное отображение AeC(Xi, ..., Χη; У)
и линейное отображение А £ C(X;Y) линейного пространства X =
= Χι χ ... χ Χη (см. в этой связи примеры 9-11).
Если Υ = Ш или Υ = С, то линейные и полилинейные отображения
называют чаще линейными или соответственно полилинейными
функциями (или функционалами, если отображаются пространства
функций). Когда же Υ — произвольное линейное пространство, линейное
отображение А: X —» Υ чаще называют линейным оператором,
действующим из пространства X в пространство У.
Рассмотрим некоторые примеры линейных отображений.
Пример 1 · Пусть / — линейное пространство числовых финитных
о
последовательностей. Оператор А: I —> I определим следующим обра-
0 О
зом:
Α((χι, х2,...,хп, 0,...)) := (lxi, 2х2, · · ·, пхп, 0,...).
Пример 2. Функционал А: С([а,Ь],Ж) —» R определим
соотношением
A(f) := f(x0),
где / £ С([а, Ь], R), а хо — фиксированная точка отрезка [а, Ь].
Пример 3. Функционал А: С ([а, Ь],Ш) —> Ш определим
соотношением
б
A(f):=Jf(x)dx.
а
Пример 4. Преобразование A: C([a,b],R) -> C([a,b],R)
определим формулой
χ
A(f):= jf(t)dt,
а
где χ — точка, пробегающая отрезок [а, Ь].
Все это, очевидно, линейные отображения.

62
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Рассмотрим некоторые знакомые примеры полилинейных
отображений.
Пример 5. Обычное произведение (#ι,..., хп) \-> х\ ·... -хп η
действительных чисел является типичным примером η-линейной функции
Ag£(I,...,R;R).
η
Пример 6. Скалярное произведение (х\,Х2) ·-> (#ь#2) в
евклидовом векторном пространстве над полем R является билинейной
функцией.
Пример 7. Векторное произведение (χι,χϊ) ^ [#ъ#2] векторов
трехмерного евклидова пространства Ег является билинейным
оператором, т.е. А е £{Ег,Ег;Ег).
Пример 8. Если X — конечномерное векторное пространство над
полем R; {ei,..., еп} —базис в Χ; χ = хге\ — координатное
представление вектора xGl, то, полагая
A(xi,...,xn) = det
получаем η-линейную функцию А: Хп —» R.
В качестве полезного дополнения к приведенным примерам
разберем еще структуру линейных отображений произведения линейных
пространств в произведение линейных пространств.
Пример 9. Пусть X = Χι χ ... χ Хт—линейное пространство,
являющееся прямым произведением линейных пространств ΛΊ,..., Хт,
и пусть А: X —» Υ—линейное отображение X в линейное
пространство Υ. Представляя каждый вектор χ = (#ι,... ,xm) gIb виде
Χ = (Xl, . . . , Χγη) =r
= (zb0,...,0) + (0,z2,0,...,0) + ... + (0,...,0,:rm) (1)
и полагая для Х{ € Х%, г € {1,..., т}
Ai(xi):=A((0,...,0,XiA---,0)),
(2)

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 63
мы замечаем, что А\: Х{ —» У суть линейные отображения и что
А(х) = Аг(хг) + ... + Am(sm). (3)
Поскольку при любых линейных отображениях А{: X; —> У
определяемое формулой (3) отображение А: X = Χι χ ... χ Хш —» У, очевидно,
линейно, то мы показали, что формула (3) дает общий вид любого
линейного отображения А £ С(Х = Х\ χ ... χ Xm; У).
Пример 10. Исходя из определения прямого произведения У =
= Υ\ χ ... χ Υη линейных пространств Υ\,..., Υη и определения
линейного отображения А: X —» У, легко видеть, что любое линейное
отображение
А: Х->У = Ух χ ... хУп
имеет вид жнЛж = (Αχχ,..., Апх) = (уь ..., уп) = у G У, где А;: X ->
YJ—линейные отображения.
Пример 11. Объединяя примеры 9 и 10, заключаем, что любое
линейное отображение
А: Хх χ ... χ Хт = X -> У = Ух χ ... χ Υη
прямого произведения X = Χι χ ... χ Хт линейных пространств в
другое прямое произведение У = Υ\ χ ... χ Υη линейных пространств
имеет вид
( У\\ ( Mi Alm
У= .. 1 = 1 | | .. | =Ах, (4)
\ Уп / \ Ап\ Апт
где Aiji Xj —» Yi—линейные отображения.
В частности, если Χλ = Х2 = ... = Хт = R, Υ\ = Υ2 = ... = Υη = R5
то A^·: Xj —> Yi суть линейные отображения R Э χ *-> (i%jX £ R, каждое
из которых задается одним числом а^. Таким образом, в этом случае
соотношение (4) превращается в знакомую численную запись линейного
отображения A: Rm -> W1.
2. Норма оператора
Определение 3. Пусть Α: Χι χ ... χ Χη —» У — полилинейный
оператор, действующий из прямого произведения нормированных
пространств Χχ,..., Хп в нормированное пространство У.

64
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Величина
\\А\\- sud \Α^ι,'-,Χη)\γ ί5χ
где верхняя грань берется по всевозможным наборам #χ,... ,хп
отличных от нуля векторов пространств Х\,..., Хп, называется нормой
полилинейного оператора А.
В правой части формулы (5) вместо знака || · || нормы вектора
употреблено обозначение | · |, рядом с которым стоит символ того
нормированного пространства, которому вектор принадлежит. В дальнейшем
мы будем придерживаться этого обозначения для нормы вектора и,
если не возникает недоразумений, будем опускать символ
пространства, подразумевая, что норма (модуль) вектора вычисляется всегда в
том пространстве, которому вектор принадлежит. Мы хотим тем
самым пока внести некоторое различие в обозначения нормы вектора и
нормы линейного или полилинейного оператора, действующего на
нормированных векторных пространствах.
Пользуясь свойствами нормы вектора и свойствами полилинейного
оператора, формулу (5) можно переписать следующим образом:
= sup
χι ,...,χη
х{фО
α ι %1 %П
I I'M
\χι\ \χ.
= sup |A(eb...,en)|, (6)
ei ,.,.,βη
где последняя верхняя грань берется по всевозможным наборам ei,...,
еп единичных векторов пространств Х\,...,Хп соответственно (т.е.
\βχ\ = 1, г = 1,... ,п).
В частности, для линейного оператора А: X —» Υ из (5) и (6)
получаем
P||=sup!^ = sup|Ae|. (7)
х^О \Х\ |е| = 1
Из определения 3 нормы полилинейного оператора А следует, что
если || А || < оо, то при любых векторах χ ι £ Χ ι, г = 1,..., η, справедливо
неравенство
\А(хи...,хп)\ ζ \\Α\\\χι\ χ ... χ |χη|. (8)
В частности, для линейного оператора получаем
\Ах\ <ζ \\А\\ \х\.
(9)

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 65
Кроме того, из определения 3 следует, что если норма
полилинейного оператора конечна, то она есть нижняя грань тех чисел М, для
которых неравенство
\А(хи...,хп)\ ^ Μ|χι| χ ... χ \хп\ (10)
выполнено при любых значениях х\ £ Х{, г', = 1,..., п.
Определение 4. Полилинейный оператор А: Х\ χ ... χ Χη —» Υ
называется ограниченным, если существует такое число MgK, что при
любых значениях х\,..., хп из пространств Х\,..., Хп соответственно
справедливо неравенство (10).
Таким образом, ограниченными являются те и только те операторы,
которые имеют конечную норму.
На основании соотношения (7) легко понять геометрический смысл
нормы линейного оператора в знакомом случае A: Rm —» Rn. В этом
случае единичная сфера пространства Rm переходит под действием
преобразования А в некоторый эллипсоид в W1, центр которого
совпадает с нулем в W1. Значит, норма А в данном случае просто наибольшая
из полуосей этого эллипсоида.
С другой стороны, норму линейного оператора можно трактовать
также как верхнюю грань коэффициентов растяжения векторов при
данном отображении, что видно из первого равенства в (7).
Нетрудно доказать, что при отображении конечномерных
пространств норма полилинейного и, в частности, линейного оператора
всегда конечна. В случае пространств бесконечной размерности это,
вообще говоря, уже не так, что видно на первом из следующих
примеров.
Подсчитаем нормы операторов, рассмотренных в примерах 1-8.
Пример 1\ Если считать, что /—подпространство нормирован-
0
ного пространства /р, в котором вектор еп = (0,..., 0,1,0,...) имеет
п-\
единичную норму, то, поскольку Аеп = пеп, ясно, что \\А\\ = оо.
Пример 2\ Если |/| = max \f{x)\ ζ 1, то \Af\ = \f{x0)\ ζ 1,
причем \Af\ = 1, если f{xo) = 1, значит, ||А|| = 1.
Заметим, что если на том же линейном пространстве С ([а, Ь], Ж) вве-

66
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
сти, например, интегральную норму
б
\f\ = J\f\(x)dx,
то результат вычисления \\А\\ может существенно измениться.
Действительно, пусть [а, Ь] = [0,1], а хо = 1· Интегральная норма
функции /п = хп на отрезке [0,1], очевидно, равна п + ^, в то время как
Afn = Ахп = хп\х=1 = 1. Отсюда следует, что в этом случае \\А\\ = оо.
Всюду дальше, если не оговорено противное, пространство
С([а, Ь],М) рассматривается с нормой, определяемой максимумом
модуля функции на отрезке [а, Ь].
Пример З7· Если |/| = max \f{x)\ ^ 1, то
о о υ
\Af\ = I f f{x)dx\ < J \f\(x)dx < J ldx = b-a.
a | а а
Но при f(x) = 1 получаем \А1\ = Ъ — а, поэтому \\А\\ = Ъ — а.
Пример 4\ Если |/| = max |/(х)| ^ 1, то
Ι χ Ι χ
max / f(t) dt\ ^ max / |/|(ί) dt ^ max (χ — a) = b — а.
a^.x^.b\J a<Z.x^.b J a^.x^.b
\a Ι α
Но при /(ί) ξ 1 получаем
χ
/1 dt = b - α,
max
поэтому и в данном примере \\А\\ = b — а.
Пример 57· Непосредственно из определения 3 в данном случае
получаем, что \\А\\ = 1.
Пример б7. В силу неравенства Коши-Буняковского
|(xi,x2>| ^ \xi\ ' |^2|,

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 67
причем, если х\ = Х2, то это неравенство переходит в равенство.
Следовательно, || А || = 1.
Пример 7\ Мы знаем, что
|[Х1,£2]| = |£l||£2|sin<£,
где φ — угол между векторами χ χ и #25 поэтому \\А\\ ^ 1. В то же
время, если векторы χχ, Χ2 ортогональны, то sinc^ = 1. Таким образом,
\\А\\ = 1.
Пример 8\ Если считать, что векторы берутся в евклидовом
пространстве размерности п, то можно заметить, что А(х\,... ,хп) =
= det(#i,... ,хп) есть объем параллелепипеда, натянутого на векторы
χι,...,хп, и этот объем максимален, если векторы χχ,...,хп, сохранив
их длины, сделать взаимно ортогональными.
Таким образом,
|det(xx,...,xn)| ^ |χχ| ·... · |хп|,
причем для ортогональных векторов имеет место равенство. Значит, в
рассматриваемом случае \\А\\ = 1.
Оценим теперь нормы операторов, рассмотренных в примерах
9-11. Будем считать, что в прямом произведении X = Χι χ ... χ Хш
нормированных пространств Х\,..., Хт норма вектора χ =
= (χχ,... ,xm) введена в соответствии с принятым в § 1 (пример 6)
соглашением.
Пример 9\ Задание линейного оператора
А: Хх χ ... χ Хт = Х -> V,
как было показано, равносильно заданию т линейных операторов А% :
Х\ -л У, определенных соотношениями А\Х\ = А((0,..., 0, χι, 0,..., 0)),
г = 1,..., т. При этом имеет место формула (3), в силу которой
гага га
\ax\y ^^2\А^\у <Σιι^ιιι*ίΐ** < (Σηι)ν*.
г=1 г=1 г=1
Таким образом, показано, что
га
г=1

68
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
С другой стороны, поскольку
|Αί^| = |Α((0,...,0,^,0,...0))|^
ζ\\Α\\ |(0,...,Ο,χϊ,Ο,...,0)\χ = \\Α\\\χΐ\Χί,
можно заключить, что при любом г = 1,..., га справедлива также
оценка
ΙΙΛΙΙ < \\А\\.
Пример 10'. С учетом введенной в Υ = Υ\ χ ... χ Υη нормы в этом
случае сразу получаем двусторонние оценки
Ш^\\А\\^\\Аг\\.
г=1
Пример II7. Учитывая результаты примеров 9 и 10, можно
заключить, что
т η
ιι^ίκιι^ικΣΣιι^ιι·
t=l j=l
3· Пространство непрерывных операторов. В дальнейшем
нас будут интересовать не все линейные или полилинейные операторы,
а только непрерывные. В этой связи полезно иметь в виду
Утверждение 1. Для полилинейного оператора Α: Χι χ ...χ
хХп —» Υ, действующего из произведения нормированных
пространств Χι,...,Χη в нормированное пространство Υ, следующие
условия равносильны:
a) А имеет конечную норму,
b) A — ограниченный оператор,
c) А — непрерывный оператор,
а) А — оператор, непрерывный в точке (0,..., 0) £ Х\ χ ... χ Χη.
< Докажем замкнутую цепочку импликаций а) =>> Ъ) => с) => d) =>
=» а).
Ввиду (8), очевидно, а) => Ь).
Проверим, что Ь) => с), т.е. что из (10) следует непрерывность
оператора А. Действительно, учитывая полилинейность А, можем запи-

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 69
сать, что
Α(χι + Λχ, х2 + h2,..., χη + hn) - Α(χι,Χ2,..., xn) =
= А(Нъх2, · · ·, xn) + · · · + A(xux2,..., жп_1, Λη) =
+ A(hi,h2,хз, · · · ,Xn) + · · · + 4(жь ...,χη-2,Λη_ι,Λη) +
+ А(ЛЬ...,ЛП).
Теперь в силу (10) получаем оценку
\A(xi + hi, х2 + h2,..., Χη + hn) - А(хъ х2,..., хп)\ ^
< Μ(|Λι| · \χ2\ ·... · \хп\ + ... + |si| · \х2\ ·... · |χη-ι| · \Κ\ +
+ \hi\ · \h2\ · |х3| · · · · · \хп\ + · · · + \х\\ - \х2\ ' ···' kn-i| * |Λη| +
+ |Λι|·...·|Μ,
из которой следует непрерывность А в любой точке (χχ,...,χη) £
G Χι X ... Χ Χη·
В частности, если (χχ,..., хп) = (0,..., 0), то из с) получаем d).
Осталось показать, что d) => a).
По ε > 0 найдем δ = δ (ε) > 0 так, чтобы при max{|xi|,..., \хп\} < δ
иметь |Α(χχ,... ,χη)| < ε.
Тогда для любого набора ei,..., еп единичных векторов получаем
|А(еь...,еп)| = — |А(£еь ... ,£en)| < —,
т.е. ||А|| < фг < οο. ►
Выше (пример 1) мы видели, что не всякий линейный оператор
имеет конечную норму, т. е. он не всегда непрерывен. Мы отмечали также,
что нарушение непрерывности линейного оператора может произойти
только в случае, когда он определен на пространстве бесконечной
размерности.
Начиная с этого места, символом С(Х\,... ,Χη;Υ) будет
обозначаться множество полилинейных непрерывных операторов,
действующих из прямого произведения линейных нормированных
пространств Χχ,..., Хп в линейное нормированное пространство У.

70
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В частности, C(X\Y) есть множество всех линейных непрерывных
операторов из X в У.
В множестве C(Xi,..., Χη\ У) вводится естественная структура
линейного пространства:
(Α + Β)(χι,...,χη) := Α(χι,...,χη) + В(хи ... ,хп)
и
(ХА)(хи...,хп) := АА(хь...,хп).
Очевидно, если А,В е ЦХЪ ...,Хп\ У), то (А + В) <Е £(ХЬ · · ·, Χη\ Υ)
и(АА)б£№,...Д„;П
Таким образом, £(ΑΊ,..., Χη; У) можно рассматривать как
линейное пространство.
Утверждение 2. Норма полилинейного оператора является
нормой в линейном пространстве С(Х\,..., ХП;У) непрерывных
полилинейных операторов.
Μ Прежде всего отметим, что в силу утверждения 1 для
любого оператора А £ £(ΛΊ,..., Χη\ Υ) определено неотрицательное число
Ц4Ц < оо.
Неравенство (8) показывает, что
\\А\\=0е>А = 0.
Далее, по определению нормы полилинейного оператора
\\\л\\ тг* \(λΑ)(χΐ'···>χη)\ am |A||A(a?i,...,a?w)|
\\ХА\\ = sup —— г—τ— = sup —— г—τ— = А \\А\\.
*ι,..-,*η \Х\ · . . . · \Хп\ *ι,...,*η \Х\ ····* Fn
х^О х^О
Наконец, если А и В — элементы пространства С(Х\,..., Хп; У), то
р + вц= sup 1(^ + Д)(^-^)1 =
«i,...,«n Xl · . . . · Χη
χ^Ο
\A(xu...,xn)+B(xu...,xn)\
— sup :—: :—j ζ
χΐ,...,χπ \xl\ ' · · · ' \xn\
< sup 1^1.-^)1+ sup 1В{*и--->*п)}=\\А\\ + \\В\\.»
χ\,...,χη \Xl\ * . . . * \Xn\ «i,...,«n Χχ · . . . · Xn
x^O x^O

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 71
Теперь, употребляя символ С(Х\,..., Хп\ Y), мы будем иметь в
виду линейное пространство непрерывных η-линейных операторов,
нормированное указанной операторной нормой. В частности, С(Х, Y) —
нормированное пространство линейных непрерывных операторов,
действующих из X в Υ.
Сделаем к утверждению 2 следующее полезное
Дополнение. Если Χ, Υ, Ζ — нормированные пространства и
А е С{Х\ Υ), а В е £(У; Ζ), то
\\ΒοΑ\\ζ\\Β\\·\\Α\\.
•^ В самом деле,
„„ ... \(ВоА)х\ \\В\\\Ах\
\\В о А\\ = sup lv ; ' < sup1L-^—!■ =
= ||S||8upi^ = ||S||.||il||.^
хфО \х\
Утверждение 3. Если Υ — полное нормированное
пространство, то С(Х\,..., Χη\ Υ) также является полным нормированным
пространством.
Μ Проведем доказательство для пространства С(Х\ Υ) линейных
непрерывных операторов. Общий случай, как будет видно из приводимых
ниже рассуждений, отличается только более громоздкой записью.
Пусть А\, Α<ι,..., Ап,... —фундаментальная последовательность в
C(X;Y). Поскольку при любом χ £ X
\Атх — Апх\ = \{Ат — Лп)х| ζ \\Ат — Ап\\ |х|,
то ясно, что при любом χ £ X последовательность А\х, Α<χχ,...,
Апх,... фундаментальна в Υ. Ввиду полноты Υ она имеет предел в У,
который мы обозначим через Ах.
Итак,
Ах := lim Anx.
п—юо
Покажем, что А: X —» Υ—линейный непрерывный оператор.
Линейность А следует из того, что
lim Αη(\ιχι + λ2Χ2) = lim (ΧιΑηχι + \2Anx2) =
П-+00 П-+00
= λι lim Anx\ + X2 lim AnX2.
П-+00 n-+oo

72
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Далее, при любом фиксированном ε > О и достаточно больших
значениях га, π £ N выполнено \\Ат — Ап\\ < ε, поэтому
на любом векторе χ £ X. Устремляя в последнем неравенстве га к
бесконечности и пользуясь непрерывностью нормы вектора, получаем
|-/1Х Уа^Ж ^ £ \Х .
Таким образом, \\А — Ап\\ ^ ε, и, поскольку А = Ап + (А — Ап),
заключаем, что
РКИАгЦ + ε.
Следовательно, мы показали, что А £ С(Х; У) и \\А — Ап\\ —> 0 при
η —» оо, т. е. А = lim Лп в смысле нормы пространства £(Х; У). ►
η—юо
В заключение остановимся на одном специальном замечании,
относящемся к пространству полилинейных операторов, которое нам
потребуется при рассмотрении дифференциалов высшего порядка.
Утверждение 4. Между пространствами
С(Х\,... ,Xm;£(Xm+i,... ,Χη;Υ)) и С(Х\,... ,Χη;Υ)
при любом га £ {1,..., п) существует биекция, сохраняющая линейную
структуру и норму.
< Предъявим этот изоморфизм.
Пусть 33 £ £(Хь...,Хт;£(Хт+1,...,Хп;У)), т.е. 23(хь... ,хт) £
£ £(Xm+i,..., Хп\ У).
Положим
A(xi,...,xn) := 93(xi,...,£m)(xm+i,...,£n). (11)

§ 2. ЛИНЕЙНЫЕ И ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 73
Тогда
|33|| = sup
xi,...,xm \Χχ\ · ... · \хт\
= sup
sup |Ш(ж1,-,Жт)(Жт + 1у.,Жп)|
*1,···,*τη |£l| · . . . · |Хт|
*ι,.·Μ*η |χι| ·... · \хп\
Проверку того, что соотношение (11) задает изоморфизм
рассматриваемых линейных пространств, мы оставляем читателю. ►
Применяя η раз утверждение 4, в частности, получаем, что
пространство С(Х\\ С(Х2', · · ·; £{Хп', У)) · · ·) изоморфно пространству
С(Х\,..., Χη\ Υ) η-линейных операторов.
Задачи и упражнения
1. а) Докажите, что если А: X —> Υ—линейный оператор, действующий
из нормированного пространства X в нормированное пространство У, и
пространство X конечномерно, то А — непрерывный оператор.
Ь) Докажите для полилинейного оператора утверждение, аналогичное
сформулированному в а).
2. Два линейных нормированных пространства называются изоморфными,
если существует такой изоморфизм между ними (как линейными
векторными пространствами), который вместе с ему обратным является непрерывным
линейным оператором.
a) Покажите, что линейные нормированные пространства одинаковой
конечной размерности изоморфны.
b) Покажите, что для бесконечномерного случая утверждение а) уже,
вообще говоря, не имеет места.
c) В пространстве С([а,6],Е) введите две нормы так, чтобы
тождественное отображение С([а, 6],Е) на себя не было непрерывным отображением
полученных нормированных пространств.
3. Покажите, что если полилинейный оператор непрерывен в некоторой
точке, то он непрерывен всюду.
4. Пусть А: Еп —> Еп—линейное преобразование евклидова п-мерного
пространства, А*: Еп —> Еп — сопряженное к нему преобразование.
Покажите, что:

74
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
a) Все собственные значения оператора А · А*: Еп —> Еп неотрицательны.
b) Если λχ ^ ... ^ λη — собственные значения оператора А ■ А*, то \\А\\ =
= \Αη·
c) Если оператор А имеет обратный А~1: Еп ->· Еп, то |И_1|| = —i=.
d) Если (α*·)—матрица преобразования А: Еп ->· Еп в некотором базисе,
то справедливы оценки
max
ΣΗ)2 ^ 1ИН
^
\ ί=1 ^ «,J=
£ (α})2 ^ ч^1И11·
5. Пусть Ρ [ж] —линейное пространство многочленов от переменной χ с
вещественными коэффициентами. Норму вектора Ρ Ε IP[χ] определим формулой
\Р\ =
X
[ P2(x)dx.
У.
a) Ограничен ли в полученном пространстве оператор D: F[x] —> F[x]
дифференцирования D(P(x)) := Ρ'(χ)Ί
b) Найдите норму оператора F: Ψ[χ] —> Ψ[χ] умножения на я,
действующего по закону F(P(x)) := χ · Р(х).
6. На примере операторов проектирования в М2 покажите, что
неравенство \\В · А\\ ^ \\В\\ · ||Л|| может быть строгим.
§ 3. Дифференциал отображения
1. Отображение, дифференцируемое в точке.
Определение 1. Пусть Χ, Υ — нормированные пространства.
Отображение /: Ε —» Υ множества Ε С X в Υ называется
дифференцируемым β точке χ £ Е, внутренней для Е, если существует такое
линейное непрерывное отображение L(x): X —> У, что
f(x + h)- f(x) = L(x)h + α(χ; /ι), (1)
где α(χ; h) = o(h) при h —> 0, χ + h £ Ει\
^Запись «α(χ; h) = o(h) при h —> 0, χ + h Ε £7», разумеется, означает, что
lim Ja^fcJIylAli^O.

§3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ
75
Определение 2. Линейная относительно h функция L(x) £
£ C(X;Y), удовлетворяющая соотношению (1), называется
дифференциалом, касательным отображением или производной отображения
/: Ε —» Υ в точке х.
Как и прежде, мы будем обозначать L(x) одним из символов df(x),
Df{x) или f'{x).
Мы видим, таким образом, что приведенное общее определение
дифференцируемое™ отображения в точке почти дословно совпадает с уже
знакомым нам из главы VIII, § 2 определением, где оно рассматривалось
в случае X = Rm, Y = W1. Поэтому без повторных пояснений мы
позволим себе в дальнейшем употреблять такие введенные там понятия,
как приращение функции, приращение аргумента, касательное
пространство в точке, оставляя за ними соответствующие обозначения.
Проверим, однако, в общем виде следующее
Утверждение 1. Если отображение f: Ε —» Υ дифференцируемо
во внутренней точке χ множества Ε С X, то его дифференциал L(x)
в этой точке определен однозначно.
Μ Итак, проверим единственность дифференциала.
Пусть L\(x) и Ь2{х) —линейные отображения, удовлетворяющие
соотношению (1), т.е.
f(x + h)- f(x) - Li(x)h = αϊ (χ; Κ),
f{x + h) - f(x) - L2(x)h = a2(x; h),
где ai(x; h) = o(h) при h —> 0, χ + h £ E, i = 1,2.
Тогда, полагая L(x) = L2{x) — L\{x) и a(x;h) = a2(x;h) — oti(x;h),
после вычитания второго из равенств (2) из первого, получим, что
L(x)h = a(x;h).
Здесь L(x)—линейное относительно h отображение, а a(x;h) = o(h)
при h —> 0, χ + h £ Ε. Взяв вспомогательный числовой параметр λ,
можно теперь записать, что
\L(x)h\ = ' V^ Л = ~АЩЛ\Ь\ -> 0 при λ -> 0.

76
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Таким образом, L(x)h = О при любом h φ О (напомним, что χ —
внутренняя точка Е). Поскольку L(x)0 = О, то мы показали, что при
любом значении h имеет место равенство L\(x)h = L2(x)h. ►
Если Ε — открытое подмножество вХ,а/: Ε —> У— отображение,
дифференцируемое в каждой точке χ £ Ε, т. е. дифференцируемое на Е,
то в силу доказанной единственности дифференциала отображения в
точке, на множестве Ε возникает функция Ε Э χ ^ }'{х) £ £(Х;У),
обозначаемая /': Ε —> £(Х;У), которую называют производной от f
или производным отображением по отношению к исходному
отображению f:E—>Y. Значение f'(x) этой функции в индивидуальной точке
χ £ Ε есть линейное непрерывное отображение }'{х) £ С(Х\ У),
являющееся дифференциалом или производной функции / в данной
конкретной точке χ £ Е.
Отметим, что ввиду высказанного в определении 1 требования
непрерывности линейного отображения L(x) из равенства (1)
следует, что отображение, дифференцируемое в точке, необходимо является
непрерывным в этой точке.
Обратное, конечно, неверно, что мы уже видели на примере
числовых функций.
Сделаем еще следующее важное
Замечание. Если условие дифференцируемости отображения / в
некоторой точке а записать в виде
f(x) - f(a) = L(x)(x -а) + а{а;х),
где а(а; х) = о(х — а) при χ —> α, то становится ясно, что определение 1
на самом деле относится к отображениям /: А —» В любых
аффинных пространств (Л,Х), (В, У), линейные пространства X и У
которых нормированы. Такие аффинные пространства, называемые
аффинными нормированными пространствами, встречаются часто, поэтому
сделанное замечание полезно иметь в виду при использовании
дифференциального исчисления.
Все дальнейшее, если нет специальной оговорки, в равной степени
относится как к линейным, так и к аффинным нормированным
пространствам и лишь для упрощения записи мы используем символику
векторных пространств.

§3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ
77
2. Общие законы дифференцирования. Из определения 1
вытекают следующие общие свойства операции дифференцирования. В
приводимых ниже формулировках X, Υ, Ζ— нормированные
пространства, a U и V — открытые множества в X и Υ соответственно.
a. Линейность дифференцирования.
Если отображения fa: U —> Y, i = 1,2, дифференцируемы β
точке χ £ U, то их линейная комбинация (\\f\ + Аг/г): U —> Υ также
дифференцируема β точке х, причем
(λι/ι + λ2/2)'(χ) = λι/ί(*) + λ2/^(χ).
Таким образом, дифференциал линейной комбинации отображений
есть соответствующая линейная комбинация дифференциалов этих
отображений.
b. Дифференцирование композиции отображений.
Если отображение f:U^V дифференцируемо β точке χ £ U С X,
а отображение д: V —» Ζ дифференцируемо β точке f(x) = у £ V С Υ,
то композиция g о f этих отображений дифференцируема β точке х,
причем
(9ofy(x)=9'(Hx))of'(x).
Таким образом, дифференциал композиции равен композиции
дифференциалов.
c. Дифференцирование обратного отображения.
Пусть }: U —» Υ —непрерывное в точке χ £ U С X отображение,
имеющее обратное f~l: V —> X, определенное в окрестности точки
у = f(x) и непрерывное в этой точке.
Если отображение f дифференцируемо в точке χ и его
касательное отображение f'(x) £ C(X;Y) в этой точке имеет непрерывное
обратное [/'(я)]-1 £ C(Y,X), то отображение f~l дифференцируемо
в точке у = f(x), причем
[Г1Г(Пх)) = [/Ή]"1·

78
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Таким образом, дифференциал обратного отображения есть
линейное отображение, обратное к дифференциалу исходного отображения
в соответствующей точке.
Доказательства утверждений а, Ь, с мы опускаем, поскольку они
аналогичны тем доказательствам, которые были даны в гл. VIII, § 3 для
случая X = Rm, У = Rn.
3. Некоторые примеры.
Пример 1. Если f:U—>Y —постоянное отображение
окрестности U = Щх) С X точки х, т. е. f{U) = у0 £ У, то /'(х) = О £ ЦХ; У).
< Действительно, в этом случае, очевидно,
f{x + h)- f{x) -Oh = y0-yo-0 = 0 = o{h). ►
Пример 2. Если отображение /: Χ —> Υ есть линейное
непрерывное отображение линейного нормированного пространства X в
линейное нормированное пространство У, то }'{х) = f £ C(X;Y) в любой
точке χ £ X.
< Действительно,
f{x + h)- f{x) - fh = fx + fh- fx- fh = 0.+
Заметим, что на самом-то деле здесь f'(x) £ C(TXx;TYf(xj), и h —
вектор касательного пространства ТХХ. Но в линейном пространстве
определен перенос вектора в любую точку χ £ X, что позволяет нам
отождествить касательное пространство ТХХ с самим линейным
пространством X. (Аналогично в случае аффинного пространства {А,Х)
пространство ТАа векторов, «приложенных» к точке а £ А, можно
отождествить с векторным пространством X данного аффинного
пространства.) Следовательно, выбрав базис в X, его можно разнести по
всем касательным пространствам ТХХ. Это означает, что если,
например, X = Rm, У = W1 и отображение / £ £(Rm;Rn) задается
матрицей (а]), то в любой точке χ £ Rm касательное к нему отображение
f'{x): TW£ —> ТЩ,Х} также будет задаваться той же матрицей.
В частности, для линейного отображения х\-^ах = уизШвШ
при χ £ R и h £ ΤΜχ ~ R получаем соответствующее отображение
TRc 3h&ah€ TRf{x).

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ
79
С учетом сделанных оговорок результат примера 2 можно условно
сформулировать так: отображение /': X —> Y, производное от
линейного отображения /: X —> Υ линейных нормированных пространств,
постоянно, причем f'(x) = / в любой точке χ £ X.
Пример 3. Из правила дифференцирования композиции
отображений и результата примера 2 можно заключить, что если /: U —> Υ —
отображение окрестности U = U(x) С X точки χ £ X,
дифференцируемое в х, а А £ C(Y; Ζ), то
(AofY(x) = Aof'(x).
Для числовых функций, когда Υ = Ζ = Μ, это не что иное, как
знакомая возможность вынесения постоянного множителя за знак
дифференцирования.
Пример 4. Пусть снова U = U(x)—окрестность точки χ
нормированного пространства X, и пусть
f:U^Y = Ylx...xYn
— отображение U в прямое произведение нормированных пространств
ΥΊ,... ,УП.
Задание такого отображения равносильно заданию η отображений
fi: U —> 1^, г = 1,..., п, связанных с / соотношением
x*->f(x) = У = (Vi,..., Vn) = (/i(s),...,/n(s)),
справедливым в любой точке U.
Если теперь в формуле (1) учесть, что
f(x + h)- f{x) = (/χ(χ + Κ) - /ι(χ),..., fn(x + h) - /η(χ)),
L(x)h = (Li(x)h,..., Ln(x)h),
α(χ; К) = (αϊ(χ; /ι),..., αη(χ; /ι)),
то со ссылкой на результаты примеров 6 из § 1 и 10 из § 2 можно
заключить, что рассматриваемое отображение / дифференцируемо в
точке χ тогда и только тогда, когда дифференцируемы все его компоненты
fi: U —> 1^, г = 1,..., п, причем в случае дифференцируемости
отображения / имеет место равенство

80
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 5. Пусть теперь А £ С{Х\,... , ХП;У), т.е. А —
непрерывный п-линейный оператор, действующий из произведения Х\ χ ... χ
χ Хп линейных нормированных пространств Х\,..., Хп в линейное
нормированное пространство У.
Докажем дифференцируемость отображения
А: Хх χ ... хХп = Х ->Υ
и найдем его дифференциал.
Μ Используя полилинейность А, находим, что
А(х + К) - А(х) = Α(χι + Λι,..., Хп + hn) - А(хи ..., χη) =
= Α(χχ,..., Хп) + A(hi,x2,..., xn) + · · · + Α(χι,..., хп-ъ hn) +
+ A(h\, /l2, X3i · · · , Xn) + · · · + A(xi, . . . , Xn_2, Λη_ι, /ln) +
+ A(/ib ..., hn) - A(xu ..., xn).
Поскольку норма в X = Χ\ χ ... χ Χη удовлетворяет неравенствам
η
\Xi\Xi ^ \x\x ^Y^\xi\Xi,
г=1
а норма \\А\\ оператора А конечна и
μ(6,···,ωκΐμΐΙΙ6|χ···χ|^Ι,
можно заключить, что
А(х + К) - А(х) = Α(χι + Λι,..., хп + hn) - Α(χχ, ..., χη) =
= A(hi,x2, · · ·, xn) + · · · + Α(χι,..., Χη-ι, hn) + α(χ; /ι),
где α(χ; h) = o(h) при h —> 0.
Но оператор
L(x)/i = A(hi, X2,. · ·, Χη) + · · · + -A(a?i,..., xn-u hn)
есть линейный по h = (/ii,..., hn) непрерывный (в силу
непрерывности А) оператор.

§3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ
81
Таким образом, установлено, что
A\x)h = Α'(χι,..., xn){hi,..., hn) =
= A(/li,£2,··· ,Χη) + ··· + A(xi,... ,Xn_i,/in)
или, короче,
dA(xi,... ,xn) = A(dxi,x2,... ,xn) + · · · + Α(#ι,... ,xn-udxn). ►
В частности, если:
a) χι ·... · xn — произведение η-числовых переменных, то
d(x\ · ... · хп) = dx\ · Х2 * · · · * Хп + · · · + #1 * · · · * Xn-i * dxn;
b) (χ ι, £2)—скалярное произведение в £73, то
d(xi,X2) = (d#b#2) + (^1,^2);
c) [χι,Χ2] — векторное произведение в £73, то
d[xi,£2] = [ап,Ж2] + [xi,dx2\;
d) (х1,Х25^з) — смешанное произведение в £73, то
d(xi, X2, #з) = (dx\, X2, хз) + {xi,dx2, хз) + (хи χ2, dxs);
e) det(xi,..., χη) — определитель матрицы, составленной из
координат η векторов χι,..., хп n-мерного линейного пространства X с
фиксированным в X базисом, то
d(det(xi,...,xn)) = det(dxi,£25---5#n) + ··· + det(xb ... ,xn_i,dxn).
Пример 6. Пусть U — подмножество £(Х;У), состоящее из тех
линейных непрерывных операторов А: X —> У, которые имеют
непрерывные обратные операторы А~1: У —> X (принадлежащие C(Y;X)).
Рассмотрим отображение
иэА^А'1 е£(У;Х),
состоящее в том, что каждому оператору А £ U ставится в
соответствие обратный к нему оператор A~l £ C(Y;X).

82
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Доказываемое ниже утверждение 2 позволяет ответить на вопрос о
дифференцируемости этого отображения.
Утверждение 2. Если X—полное пространство и A G 17, то
при любом h £ C(X\Y) таком, что \\Щ < ||А_1||_1, оператор А + h
также принадлежит U и справедливо соотношение
{A + h)~l =A~l-A-lhA~l+o{h) при Л->0. (3)
Μ Поскольку
(А + h)~l = {А{Е + A~lh))-1 = {E + A~lh)-lA-\ (4)
то достаточно найти оператор (Е + A~lh)~l, обратный к оператору
(Е + A~lh) £ С(Х;Х), где Ε — тождественное (единичное)
отображение βχ пространства X на себя.
Пусть Δ := — A~lh. Учитывая сделанное к утверждению 2 из §2
дополнение, можно заметить, что ||Δ|| ^ ||^4_1|| * ||Л||, поэтому в силу
сделанных относительно оператора h предположений можно считать,
что ||Δ|| ^ q < 1.
Проверим теперь, что
{Ε - Δ)"1 = Ε + Δ + Δ2 + ... + Δη + ... , (5)
где ряд, стоящий справа, есть ряд, составленный из линейных
операторов Δη = (Δ ο ... о Δ) е ЦХ; X).
Ввиду полноты X (в силу утверждения 3 из §2) линейное
нормированное пространство С(Х;Х) является полным. Тогда сходимость
указанного ряда, составленного из векторов этого пространства,
немедленно вытекает из того, что ||Δη|| ^ ||Δ||η ^ qn, и того, что ряд
оо
53 Яп сходится, если \q\ < 1.
71=0
Непосредственная проверка
(Е + Δ + Δ2 + ...)(£ -Δ) =
= {Ε + Δ + Δ2 + ...)
и
(Ε-Α)(Ε + Α + Α2 + ...) =
= {Ε + Δ + Δ2 + ...)
- (Δ + Δ2 + Δ3 + ...) = Ε
- (Δ + Δ2 + Δ3 + ...) = Ε

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ
83
показывает, что мы действительно нашли (Ε — Δ)-1.
Стоит отметить, что свобода выполнения арифметических
операций над рядами (перестановки членов!) в данном случае
гарантируется абсолютной сходимостью (сходимостью по норме) рассматриваемых
рядов.
Сопоставляя соотношения (4) и (5), заключаем, что при \\h\\ ^
< \\АгЧ~1
{А + Η)'1 = А'1 - A~lhA~l + {A-lh)2A~l -...
... + (-1)η(Λ-1Λ)Μ-1 + ... (6)
Поскольку
II °°
Г^{-А-1К)пА-1
\\n-2
то из (6), в частности, следует равенство (3). ►
Возвращаясь теперь к примеру 6, можно сказать, что в случае
полного пространства X рассматриваемое отображение А н-> А~1 заведомо
дифференцируемо, причем
df{A)h = d{A~l)h = -A~lhA-\
В частности, это означает, что если А — квадратная невырожденная
матрица и А~1—обратная к ней матрица, то при возмущении
матрицы А с помощью матрицы h с близкими к нулю элементами матрицу
(А + /г)-1, обратную к возмущенной матрице А + /г, можно в первом
приближении находить по следующей формуле:
{A + h)-l^A-l-A~lhA-\
Более точные формулы, очевидно, можно получить, исходя из
равенства (6).
Пример 7. Пусть X — полное линейное нормированное
пространство. Важное отображение
ехр: С{Х;Х) ^С{Х;Х)
оо
^Σίμ-^πμ-ΊΚ
п=2

84
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
определяется следующим образом:
ехрА:=Е + ±А + ±А2 + ... + ±А" + ..., (7)
если А е С(Х',Х).
Стоящий в (7) ряд сходится, так как С(Х;Х) —полное
пространство и ||^т^4п|| ^ ^Г"? а числовой ряд Σ ^г~ сходится.
п=0
Нетрудно проверить, что
ехр(А + К) = ехр А + L(A)h + o(h) при h -> оо, (8)
где
L{A)h = h + ^{Ah + hA) + ^{А2Н + AhA + hA2) + ...
... + -(Αη~ιΗ + An~2hA + ... + AhAn~2 + hAn~l) +...
n!
и ||L(A)|| ^ ехрЦАЦ = e^A\ т.е. L(A) e £(£(*; X); C(X;X)).
Таким образом, отображение C(X;X) 3i4 ехр A £ £(X;X)
дифференцируемо при любом значении А.
Заметим, что если операторы А и h коммутируют, т.е. Ah = hA,
то, как видно из выражения для L(A)h, в этом случае L(A)h = (ехр A)h.
В частности, для X = R или X = С вместо (8) вновь получаем
ехр(А + К) = ехр А + (ехр A)h + o(h) при h -> 0. (9)
Пример 8. Попробуем дать математическое описание
мгновенной скорости вращения твердого тела с одной неподвижной точкой о
(волчок). Рассмотрим в точке о ортонормальный репер {е1,в2,ез},
жестко связанный с телом. Ясно, что положение тела вполне
характеризуется положением такого орторепера, а тройка {е1,в2,ез}
мгновенных скоростей движения векторов репера, очевидно, вполне
характеризует мгновенную скорость вращения тела. Положение самого
репера {е1,в2,ез} в момент t можно задать ортогональной матрицей (о^),
i,j = 1,2, 3, составленной из координат векторов βι, β2, ез
относительно некоторого неподвижного ортонормированного репера
пространства. Таким образом, движению волчка отвечает отображение t —> 0(t)

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ
85
из R (ось времени) в группу 50(3) специальных ортогональных
матриц третьего порядка. Следовательно, скорость вращения тела,
которую мы договорились описывать тройкой {е1,в2,ез}, задается
матрицей 0(t) =: {uj)(t) = (aj)(t) — производной от матрицы 0(t) = (o^)(t)
по времени.
Поскольку 0(t) — ортогональная матрица, то в любой момент t
выполнено соотношение
0{t)0*{t) = E, (10)
где 0*(t) — транспонированная по отношению к 0(t) матрица, а Е —
единичная матрица.
Заметим, что произведение А · В матриц есть билинейная функция
от А и £?, а производная от транспонированной матрицы, очевидно,
равна матрице, транспонированной по отношению к производной
исходной матрицы. Дифференцируя равенство (10) с учетом сказанного,
находим, что
0(ί)Ο*(ί) + Ο(ί)Ο*(ί) = 0
или
o(t) = -0(t)o*(t)0(t), (ii)
поскольку 0*(t)0(t) = Ε.
В частности, если считать, что в момент t репер {в1,е2,ез}
совпадает с репером пространства, то 0(t) = Ε и из (11) получается, что
0(t) = -0*(ί), (12)
т.е. матрица 0(t) =: Ω(ί) = (ω\) координат векторов {е1,в2,ез} в
базисе {в1,е2,ез} оказывается кососимметрической:
ω\ ω\ ω\ \ /0 -ω3 ω2
Ω(ί) = ( ω\ ω\ ω\ = ω3 0 -ω1
ω\ ω\ ω\ ) \ -ω1 ω1 0
Таким образом, мгновенная скорость волчка на самом-то ^еле
характеризуется тремя независимыми параметрами, что в наших
рассуждениях проистекало из соотношения (10) и что с физической точки
зрения естественно, поскольку положение репера {в1,е2,ез}, а значит,
и самого тела, описывается тремя независимыми параметрами (в
механике это, например, углы Эйлера).

86
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Если с каждым вектором ω = ule\ + α;2β2 +о;3ез пространства,
приложенным к точке о, связать правое вращение пространства с угловой
скоростью \ω\ относительно определяемой этим вектором оси, то из
полученных результатов нетрудно заключить, что в каждый момент t
тело имеет свою мгновенную ось вращения и скорость тела в данный
момент может быть адекватно описана мгновенным вектором скорости
вращения ω(ί) (см. задачу 5).
4. Частные производные отображения. Пусть U = U(a) —
окрестность точки а £ X = Χι χ ... χ Хт в прямом произведении
нормированных пространств Х\,...,Хт, и пусть f:U—> Y —
отображение U в нормированное пространство V. В этом случае
y = f{x) = /(ж1,...,жт), (13)
и значит, фиксировав в (13) все переменные, кроме одной
переменной Х{, положив Xk = flfc, A; £ {1,..., τη} \ г, мы получим функцию
/(аь ..., at-i, Xi, <ч+1,..., am) =: ψι{χχ), (14)
определенную в некоторой окрестности Ui точки щ пространства Х\.
Определение 3. Отображение ψ{\ Щ —> Υ по отношению к
исходному отображению (13) называют частным отображением по
переменной Х{ в точке а £ X.
Определение 4. Если отображение (14) дифференцируемо в
точке Х{ = щ, то его производная в этой точке называется частной
производной или частным дифференциалом отображения f в точке а по
переменной х\.
Эту частную производную обозначают обычно одним из символов
dif(a), Dif{a), |£(α), f'Xi(a).
В соответствии с этими определениями D{f(a) £ £(Λ^; Υ), точнее,
Α/(α)€£(Τ^(α;);ΤΥ(/(α))).
Дифференциал df(a) отображения (13) в точке а (если /
дифференцируемо в точке а) часто в рассматриваемой ситуации называют
полным дифференциалом, чтобы отличить его от частных
дифференциалов по отдельным переменным.

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ОТОБРАЖЕНИЯ
87
Ранее все эти понятия нам уже встречались в случае вещественно-
значных функций т вещественных переменных, поэтому мы не будем
здесь подробно их обсуждать. Отметим только, что, повторив прежние
рассуждения, с учетом разобранного в § 2 примера 9, легко доказать,
что и в общем случае справедливо следующее
Утверждение 3. Если отображение (13) дифференцируемо в
точке α = (αχ,..., ат) £ Х\ χ ... χ Хт = X, то оно имеет в этой
точке частные дифференциалы по каждой из переменных, причем полный
дифференциал и частные дифференциалы связаны соотношением
df{a)h = dif(a)hi + ... + dmf{a)hm, (15)
где h = (Ль ..., hm) G ΤΧχ(αι) χ ... χ TXm( ат) = ТХ(а).
На примере числовых функций мы уже уяснили себе, что наличие
частных дифференциалов, вообще говоря, не гарантирует дифферен-
цируемости функции (13).
Задачи и упражнения
1. а) Пусть А Е С(Х\Х) — нильпотпентный оператор, т.е. существует
такое к Ε Ν, что Ак — 0. Покажите, что оператор (Е — А) в этом случае имеет
обратный, причем (Е - Л)-1 = Ε + А + ... + Ак~1.
b) Пусть D: Ψ[χ] —> Ψ[χ] — оператор дифференцирования на линейном
пространстве F[x] полиномов. Заметив, что D — нильпотентный оператор,
запишите оператор exp(aD), где aGl, и покажите, что exp(aD)(P(x)) — Ρ (χ +
+ а)=:Та(Р(х)).
c) Запишите матрицы операторов D: Fn[x] —> Fn[x] и Та: Fn[x] —> Рп[ж] (из
задачи Ь) в базисе е* = (х _ л,, 1 ^ г; ^ п, пространства Рп[#] вещественных
полиномов степени η от одной переменной.
2. а) Если А, В е С(Х\Х) и ЗВ~г е С(Х\Х), то ехр(В~1АВ) =
= Β-λ(βχρΑ)Β.
b) Если АВ = В А, то ехр(Л + В) = ехр А · ехр В.
c) Проверьте, что ехр 0 = Ε и что ехр А всегда имеет обратный оператор,
причем (ехр Л)-1 = ехр(-Л).
3. Пусть А е С(Х\Х). Рассмотрим отображение φ α'· Μ ->· С(Х\Х),
определяемое соответствием Ε Э 1ι-» exp(tA) Ε С(Х;Х). Покажите, что:
a) отображение φ а непрерывно;
b) φ а есть гомоморфизм Ш как аддитивной группы в мультипликативную
группу обратимых операторов из С(Х;Х).
4. Проверьте, что:

88
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
a) Если λι,...,λη — собственные значения оператора Α Ε £(СП ;€?*), то
ехр λι,..., ехр λη суть собственные значения оператора ехр А.
b) det(exp^) = exp(tr^), где trA — след оператора А Ε £(СП;СП).
c) Если А Ε £(МП;МП), то det(exp^) > 0.
d) Если А* —транспонированная по отношению к матрице А Ε С(Сг;Сп)
матрица, а А — матрица из комплексно сопряженных (по отношению к
элементам А) элементов, то (ехр Л)* = ехр Л* и ехр Л = ехр Л.
e) Матрица I 1 1 1 не является матрицей вида ехр Л, какова бы ни
была квадратная матрица А второго порядка.
5. Напомним, что множество, наделенное одновременно структурой
группы и структурой топологического пространства, называется топологической
или непрерывной группой, если групповая операция непрерывна в указанной
топологии; если же групповая операция в некотором смысле даже аналитична,
то топологическая группа называется группой Ли1\
Алгебра Ли — это линейное пространство X с антикоммутативной
билинейной операцией [, ] : Χ χ X —> X, удовлетворяющей тождеству Якоби: для
любых векторов а,Ъ,с Ε Χ [[α, Ь], с] + [[6, с], а] + [[с, а], Ь] = 0. Группы и алгебры
Ли тесно связаны между собой и важную роль в осуществлении этой связи
играет отображение ехр (см. задачу 1).
Примером алгебры Ли может служить ориентированное евклидово
пространство Е3 с операцией векторного произведения его векторов. Обозначим
пока эту алгебру Ли через LA\.
a) Покажите, что вещественные кососимметрические матрицы порядка 3
образуют алгебру Ли (обозначим ее LA2), если произведение матриц А и В
определить соотношением [А, В] = А В — В А.
b) Покажите, что соответствие
/ 0 -ω3 ω2 \
Ω= Ι ω3 0 — ω1 J <-> (ui,U2,u>3) = &
\ -ω2 ω1 0 J
является изоморфизмом алгебр LA?, и LA\.
c) Проверьте, что если кососимметрическая матрица Ω и вектор ω
соответствуют друг другу, как указано в Ь), то для любого вектора г Ε Ε3 имеет
место равенство Пг = [и?, г], а для любой матрицы Ρ Ε 50(3) —соответствие
РПР-1 о Ρω.
d) Проверьте, что если Ε Э t ι-» 0(t) Ε 50(3) — гладкое отображение, то
матрица il(t) = 0~l(t)0(i) — кососимметрическая.
e) Покажите, что если r(t) — радиус-вектор некоторой точки
вращающегося волчка, a Q(t) — найденная в d) матрица (0_10)(ί), то r(t) = (ilr)(t).
^Точное определение группы Ли и соответствующую сноску см. в гл. XV, §2,
задача 8.

§ 4. ТЕОРЕМА О КОНЕЧНОМ ПРИРАЩЕНИИ
89
f) Пусть г πω — два приложенных к началу координат вектора
пространства Е3. Пусть в Е3 выбран правый репер и пространство совершает правое
вращение с угловой скоростью \ω\ вокруг оси, определяемой вектором ω.
Покажите, что при этом r(t) = [u?,r(£)].
g) Сопоставьте результаты задач d), e), f) и укажите вектор мгновенной
скорости вращающегося волчка, о котором говорилось в примере 8.
h) Используя результат задачи с), проверьте, что вектор скорости ω не
зависит от выбора неподвижного орторепера вЕ3,т. е. не зависит от системы
координат.
6. Пусть г = r(s) = (χ1 (s), χ2(s), χ3(s))—параметрическое уравнение
гладкой кривой в Е3, причем в качестве параметра взята длина дуги вдоль
кривой (натуральная параметризация кривой).
a) Покажите, что вектор ei(s) = ^f-(s), касательный к кривой, в этом
случае имеет единичную длину.
b) Вектор -4^(s) = -tt(s) ортогонален вектору е\. Пусть e<i(s)—единич-
"5 as
ный вектор, сонаправленный -^(s)· Коэффициент k(s) в равенстве -^
= k(s)e2(s) называют кривизной кривой в соответствующей точке.
c) Построив вектор ез(в) = [ei(s),e2(s)], мы получаем в каждой точке
нашей кривой репер {е1,в2,ез}(5), который называют репером Френе1^ или
сопровождающим трехгранником кривой. Проверьте следующие формулы Фре-
не:
^t(s) = k(s)e2(s),
%{в) = -fcWeiOO +x(s)e3(s),
<%(>) = -x(e)e2(*).
Выясните геометрический смысл коэффициента x(s), называемого
кручением кривой в соответствующей точке.
§ 4. Теорема о конечном приращении и некоторые
примеры ее использования
1. Теорема о конечном приращении. Изучая числовые
функции одной переменной, мы в гл. V, § 3, п. 2 доказали для них теорему
о конечном приращении и подробно обсудили различные аспекты этой
важной теоремы анализа. Здесь теорема о конечном приращении
будет доказана в общем виде. Чтобы ее утверждение было для читателя
очевидным, советуем восстановить в памяти обсуждения, проведенные
Ж. Ф. Френе (1816 -1900) —французский математик.

90
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
в указанном пункте, а также обратить внимание на геометрический
смысл нормы линейного оператора (см. §2, п. 2).
Теорема 1 (о конечном приращении). Пусть /: Ϊ7 —» У
—непрерывное отображение открытого множества U нормированного
пространства X в нормированное пространство Υ.
Если отрезок [х,х + h] = {ξ € Χ \ ξ = χ + 6h, 0 ^ θ ^ 1} полностью
содержится в U и отображение f дифференцируемо во всех точках
интервала ]х,х + h[= {ξ £ Χ \ ξ = χ + 0/ι,Ο < θ < 1}, то справедлива
следующая оценка:
\f(x + h)-f(x)\Y^ sup \\f'(mc(X;Y)\h\x. (1)
ξ€]χ,χ+Λ[
Μ Заметим прежде всего, что если бы для любого отрезка [х',хп] С
С [χ, χ + h] нам удалось проверить неравенство
!/(*")-/(*0|< sup ||/'(Ш*"-*'1, (2)
в котором верхняя грань берется уже по всему отрезку [х7, х77], то,
пользуясь непрерывностью / и нормы, а также тем, что
sup ||/'(OK sup ||/4ί)||,
ie[x',x") £e]x,x+/i[
мы в пределе при х' —> χ и х" —> χ + h получили бы неравенство (1).
Итак, нам достаточно доказать, что
\f(x + h)-f(x)\^M\h\, (3)
где Μ = sup 11/7 (x + 9h)\\ и функция / считается дифференцируемой
на всем отрезке [χ, χ + h].
Простая, использующая только неравенство треугольника и
свойства отрезка, выкладка
|/(*з) - /(*ι)| < |/Ы - /Ы1 + |/(*2) - /(*ι)| <
^ М\Х$ - Х2\ + М\х2 - Xl\ = M(\xs - Ж2| + \Х2 - Xl\) =
= М\хз — х\\
показывает, что если на частях [χι,α^], [ж25#з] отрезка [хь^з]
справедливо неравенство вида (3), то оно справедливо и на отрезке [х^хз]·

§4. ТЕОРЕМА О КОНЕЧНОМ ПРИРАЩЕНИИ
91
Значит, если оценка (3) неверна для отрезка [χ, χ + /ι], то
последовательным делением его пополам можно получить последовательность
стягивающихся к некоторой точке хо £ [х,х + h] отрезков [ак,Ьк] С
[χ,χ + /ι], на каждом из которых (3) нарушено. Поскольку хо £ [ак,Ьк],
то, рассмотрев отрезки [α^,^ο], [χο> bfcL по тем же соображениям можно
считать, что нашлась последовательность отрезков вида [жо5#о + hk] С
С [χ, χ + /г], где hk ^ О при А; —» оо, на которых
|/(жо + Л*)-/Ы|>М|Л*|. (4)
Если (3) доказать с заменой Μ на Μ + ε, где ε — любое
положительное число, то при ε —> О все равно получится (3), поэтому (4) тоже
можно заменить на
\f(xo + hk)-f(x0)\>(M + e)\hk\ (4')
и теперь показать, что это несовместимо с дифференцируемостью / в
точке хо·
Действительно, в силу дифференцируемости
|/(*о + hk) - f{x0)\ = \f'{xo)hk + o{hk)\ ζ
^\\f'(xo)\\\hk\ + o(\hk\)^(M + e)\hk\
при hk —> 0. ►
Теорема о конечном приращении имеет следующее часто технически
полезное
Следствие. Если А £ С(Х; Y), т. е. А есть линейное непрерывное
отображение нормированного пространства X в нормированное
пространство Υ', а /: U —» У —отображение, удовлетворяющее условиям
теоремы о конечном приращении, то
\f(x + h)-f(x)-Ah\^ sup \\f'(0 - А\\ \h\.
£e]x,x+h[
Μ Для доказательства достаточно применить теорему о конечном
приращении к отображению
t*->F(t) = f(x + th) - Ath

92
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
единичного отрезка [0,1] с!вУ, ибо
F(l) - F(0) = f(x + h)- f(x) - Ah,
F'{9) = f{x + 9h)h - Ah при 0 < θ < 1,
\\F'(e)\\^\\f'(x + eh)-A\\\h\,
sup ||F'(0)K sup ||/'(0 - A\\ \h\. ►
o<0<i {е]х,х+л[
Замечание. Как видно из доказательства теоремы 1, в ее условиях
нет нужды требовать, чтобы / было дифференцируемо как
отображение /: U —» У; достаточно, чтобы ограничение / на отрезок [х,х + h]
было непрерывным отображением этого отрезка, дифференцируемым
в точках интервала ]х,х + h[.
Это замечание в равной степени относится и к доказанному только
что следствию теоремы о конечном приращении.
2. Некоторые примеры применения теоремы о конечном
приращении.
а. Непрерывно дифференцируемые отображения. Пусть
f:U^Y (5)
— отображение открытого подмножества U нормированного
пространства X в нормированное пространство Υ. Если / дифференцируемо в
каждой точке χ £ Ϊ7, то, сопоставляя точке χ отображение f'(x) £
£ £(Х;У), касательное к / в этой точке, мы получаем производное
отображение
f':U^C(X;Y). (6)
Поскольку пространство C(X\Y) линейных непрерывных
операторов из X в У является, как нам известно, нормированным (нормой
оператора) пространством, то можно говорить о непрерывности
отображения (6).
Определение. В том случае, когда производное отображение (6)
непрерывно в Ϊ7, отображение (5), в полном соответствии с прежней
терминологией, будем называть непрерывно дифференцируемым.
Множество непрерывно дифференцируемых отображений типа (5)
будем по-прежнему обозначать символом C(l\U, У) или, короче,
С^)(?7), если из контекста ясно куда идет отображение.

§ 4. ТЕОРЕМА О КОНЕЧНОМ ПРИРАЩЕНИИ
93
Итак, по определению
/€СЯ(ЕГ,У) о f'eC(U,C(X;Y)).
Посмотрим, что означает непрерывная дифференцируемость
отображения в различных конкретных случаях.
Пример 1. Рассмотрим знакомую ситуацию, когда X = Υ = R,
и, таким образом, /: U —> R есть вещественнозначная функция
вещественного аргумента. Поскольку любое линейное отображение А £
£ С(Щ R) сводится к умножению на некоторое число aGK, т.е. Ah =
= α/ι, причем, очевидно, \\А\\ = |а|, то в любой точке χ £ U для любого
вектора h £ ΤΜχ ~ R получаем, что f'(x)h — α(χ)/ι, где а(х) —числовая
производная функции / в точке х.
Далее, так как
(/'(* + S) - f'(x))h = f'(x + S)h - f'(x)h =
= a(x + S)h — a(x)h = (a(x + δ) — α(χ))/ι, (7)
то
\\f'(x + 6)-f'(x)\\ = \a(x + S)-a(x)\
и, значит, непрерывная дифференцируемость отображения / в данном
случае равносильна рассматривавшемуся ранее понятию непрерывно
дифференцируемой числовой функции (класса С^1\и, Щ).
Пример 2. Пусть на сей раз X есть прямое произведение Х\ χ
χ ... χ Хт нормированных пространств. Отображение (5) в этом
случае есть функция f(x) = /(xi,...,xm) от т переменных Х{ £ Х^
г = 1,..., га, со значениями в пространстве Υ.
Если отображение / дифференцируемо в точке χ £ Ϊ7, то его
дифференциал df(x) в этой точке есть элемент пространства С(Х\ χ... χ Хт =
= Χ;Υ}
Действие df(x) на вектор h = (/ΐχ,..., /im), согласно формуле (15)
из § 3, представляется в виде
df(x)h = dif{x)hi + ... + dmf(x)hm,
где dif(x): Х% —> Υ, г = 1,..., га, суть частные производные
отображения / в рассматриваемой точке х.

94
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Далее,
т
(df(x + δ)- df(x))h = ^2(dif(x + δ)- dif(x))hi. (8)
г=1
Но в силу свойств стандартной нормы в прямом произведении
нормированных пространств (см. §1, п. 2, пример 6) и определения нормы
оператора получаем, что
\Ш(х + δ)- dif{x)\\c{Xi.Y) ^ \\df{x + δ)- df(x)\\c{x.Y) ζ
m
^*£\\дгПх + 6)-дгПх)\\С{Х.У). (9)
Таким образом, дифференцируемое отображение (5) в данном
случае непрерывно дифференцируемо в Ϊ7, если и только если все его
частные производные отображения непрерывны в U.
В частности, если X = Rm иУ = К, мы вновь получаем уже
знакомое понятие непрерывно дифференцируемой числовой функции га
действительных переменных (функции класса
Замечание. Стоит отметить, что в записи равенств (7) и (8) мы
существенно пользовались каноническим отождествлением ТХХ ~ X,
позволившим сравнивать или отождествлять векторы, лежащие в
различных касательных пространствах.
Покажем теперь, что для непрерывно дифференцируемых
отображений имеет место
Утверждение 1. Если К — выпуклый компакт в нормированном
пространстве X и f £ C^(K,Y), где Υ —тоже нормированное
пространство, то отображение /: К —» Υ удовлетворяет условию
Липшица на К, т. е. существует постоянная Μ > О такая, что для
любых точек х\,Х2 £ К выполнено неравенство
\f(x2)-f(xi)\^M\x2-xl\. (10)
Μ По условию /': К —> С(Х; Υ) есть непрерывное отображение
компакта К в метрическое пространство C(X;Y). Поскольку норма есть
непрерывная функция на нормированном пространстве, взятом с его
естественной метрикой, то отображение χ н-> ||/'(χ)||, как
композиция непрерывных отображений, само есть непрерывное отображение

§4. ТЕОРЕМА О КОНЕЧНОМ ПРИРАЩЕНИИ
95
компакта К в KL Но такое отображение обязано быть ограниченным.
Пусть Μ — такая постоянная, что в любой точке χ £ К имеет место
неравенство ||/7(χ)|| ^ М. Ввиду выпуклости К вместе с любыми двумя
точками χι £ К, хч £ К компакт К содержит и весь отрезок [χι,Χ2]·
Применяя к этому отрезку теорему о конечном приращении,
немедленно получаем соотношение (10). ►
Утверждение 2. В условиях утверждения 1 существует такая
неотрицательная стремящаяся к нулю при δ —> +0 функция ω(δ), что
имеет место соотношение
\f(x + h)- /(χ) - f'(x)h\ < ω(δ)\Η\, (11)
справедливое в любой точке χ £ К при \h\ < δ, если χ + h £ К.
А В силу следствия теоремы о конечном приращении можно
записать, что
\f(x + h)-f(x)-f'(x)h\< sup \\f'(x + eh)-f'(x)\\\h\
О<0<1
и, полагая
ω(δ)= sup ||/'(*2)-/'(*ι)ΙΙ,
\χ\-Χ2\<δ
получаем (11) ввиду равномерной непрерывности функции χ н-> /'(х),
непрерывной на компакте К. ►
Ь. Достаточное условие дифференцируемости. Покажем
теперь, как, располагая общей теоремой о конечном приращении, можно
в общем виде получить достаточное условие дифференцируемости
отображений в терминах частных производных.
Теорема 2. Пусть U — окрестность точки χ нормированного
пространства А = Αι χ ... χ Λ^, являющегося прямым
произведением нормированных пространств Х\ χ ... χ Хт, и пусть }': U —» Υ —
отображение U в нормированное пространство Υ. Если в U
отображение f имеет все частные производные отображения, то при
условии их непрерывности в точке χ отображение f дифференцируемо в
этой точке.
Μ Для упрощения записи проведем доказательство в случае т = 2.
Проверим непосредственно, что линейное относительно h = (/^,/12)

96
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
отображение
Lh = dlf(x)hl + d2f{x)h2
является полным дифференциалом / в точке х.
Сделав элементарные преобразования
f(x + h)-f(x)-Lh =
= f(xi + hux2 + h2) - f(xi,x2) ~ dif(x)hi - d2f(x)h2 =
= f(xi + hi,x2 + h2) - f(xi,x2 + h2) - dif(xi,x2)hi +
+ /(#ъ #2 + h2) - f{xi,x2) - 92/(^1,^2)^2,
по следствию из теоремы 1 получаем
|/(xi +hi,x2 + h2) - f(xi,x2) -dif(xi,x2)hi - d2f(xi,x2)h2\ ^
^ sup \\dif(xi+eihux2 + h2)-dif(xi,x2)\\\hi\ +
O<0i<l
+ sup \\d2f(xi,x2 + 92h2)-d2f{xux2)\\\h2\. (12)
О<02<1
Поскольку max{|/ii|, \h2\} ^ |/i|, то из непрерывности частных
производных <9i/, d2f в точке χ = (х\,х2), очевидно, следует, что правая
часть неравенства (12) есть o(h) при h = (hi,h2) —> 0. ►
Следствие. Отображение /: Ϊ7 —» У открытого
подмножества U нормированного пространства X = Χι χ.. .хХт в нормированное
пространство У непрерывно дифференцируемо тогда и только тогда,
когда в U непрерывны все частные производные отображения /.
Л В примере 2 мы показали, что при условии дифференцируемости
отображения /': U -¥ Υ его непрерывная дифференцируемость
равносильна непрерывности его частных производных.
Теперь же мы видим, что если частные производные непрерывны,
то отображение / автоматически дифференцируемо, а следовательно
(на основании примера 2), и непрерывно дифференцируемо. ►
Задачи и упражнения
1. Пусть /: / ->· Υ — непрерывное отображение отрезка /=[0,1]с1в
нормированное пространство У, a g: I —> Ш — непрерывная вещественнознач-
ная функция на /. Покажите, что если / и д дифференцируемы в интервале
]0,1[ и в точках этого интервала имеет место соотношение ||/'0*011 ^ <7;(£)? т°
справедливо также неравенство |/(1) - /(0)| ^ д(1) - д(0).

§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 97
2. а) Пусть f: I -> Υ— непрерывно дифференцируемое отображение
отрезка / = [0,1] С Μ в нормированное пространство Υ. Оно задает гладкий
путь в Υ. Определите длину этого пути.
b) Вспомните геометрический смысл нормы касательного отображения и
оцените сверху длину пути, рассмотренного в а).
c) Дайте геометрическое истолкование теоремы о конечном приращении.
3. Пусть f: U -> Υ — непрерывное отображение окрестности U точки а
нормированного пространства X в нормированное пространство Υ.
Покажите, что если / дифференцируемо в U \ а и f'(x) имеет предел L e C(X; Y) при
χ —> а, то отображение / дифференцируемо в точке а и /'(а) = L.
4. а) Пусть U — открытое выпуклое подмножество нормированного
пространства X, а /: U —> Υ — отображение U в нормированное пространство Υ.
Покажите, что если f'(x) ξ 0 на С/, то отображение / постоянно.
b) Обобщите утверждение а) на случай произвольной области U (т. е.когда
U — открытое и связное подмножество в X).
c) Частная производная У- гладкой функции /: D —> Е, заданной в
области Dei2 плоскости переменных (ж, у), тождественно равна нулю. Верно ли,
что тогда / не зависит от у в этой области? Для каких областей D это верно?
§ 5. Производные отображения высших порядков
1. Определение η-го дифференциала. Пусть U — открытое
множество в нормированном пространстве X, а
f:U^Y (1)
— отображение U в нормированное пространство У.
Если отображение (1) дифференцируемо в 17, то в U определено
производное от / отображение
f':U^C(X;Y). (2)
Пространство C(X;Y) =: Y\ является нормированным
пространством, по отношению к которому отображение (2) имеет вид (1), т.е.
f: U -* Y\ и можно поставить вопрос о его дифференцируемости.
Если отображение (2) дифференцируемо, то его производное
отображение
(/У:и^С(Х;¥1) = ЦХ;ЦХ;¥))
называют вторым производным отображением или вторым
дифференциалом от / и обозначают символом /" или/(2). И вообще принимается
следующее индуктивное

98
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Определение 1. Производным отображением порядка η £ N или
п-м дифференциалом отображения (1) в точке χ £ U называется
отображение, касательное в этой точке к производному отображению
порядка η — 1 от /.
Если производное отображение порядка к £ N в точке χ £ U
обозначать символом f(k\x), то определение 1 означает, что
/(»>(*) := (/(п-1))'(х). (3)
Таким образом, если f^n\x) определено, то
/(")(*) е С(Х; Yn) = С(Х; ЦХ; Υη-ι)) = · · ·
... = C(X;C(X;...;C(X;Y))...).
Следовательно, на основании утверждения 4 из §2, дифференциал п-
го порядка f(n\x) отображения (1) в точке χ можно
интерпретировать как элемент пространства С(Х,..., Χ; Υ) η-линейных непрерыв-
п раз
ных операторов.
Отметим еще раз, что касательное отображение f{x): ТХХ —>
—> ТУУ(Ж) есть отображение касательных пространств, каждое из
которых, благодаря аффинной или линейной структуре отображаемых
пространств, мы отождествляли с соответствующим линейным
пространством и говорили на этом основании, что }'{х) £ C(X;Y). Именно
это рассмотрение элементов f'(xi) £ C(TXXl;TYf(Xl)), /'(#2) £
£ C(TXX2'TYf(X2^) различных пространств как векторов одного и
того же пространства С(Х; Y) лежит в основе определения высших
дифференциалов отображения нормированных пространств. В случае
аффинного или линейного пространства имеется естественная связь
между векторами различных касательных пространств, соответствующих
различным точкам исходного пространства. Эта связь в конечном
счете и позволяет в данном случае говорить как о непрерывной диффе-
ренцируемости отображения (1), так и о его высших дифференциалах.
2. Производная по вектору и вычисление значений п-го
дифференциала. При конкретизации абстрактного определения 1
может быть удачно использовано понятие производной по вектору,
которое для общего отображения (1) вводится так же, как это в свое
время было сделано в случае X = Rm, Υ = R.

§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 99
Определение 2. Если X и У—линейные нормированные
пространства над полем R, то производной отображения (1) в точке χ £ U
по вектору h £ ТХХ ~ X назовем предел
Dhl(x):. lim /с+**)-/(«),
если указанный предел в У существует.
Непосредственно проверяется, что
Dxhf(x) = XDhf(x) (4)
и что если отображение / дифференцируемо в точке ж £ 17, то оно
имеет в этой точке производную по любому вектору, причем
Dhf{x) = f'(x)h, (5)
и, в силу линейности касательного отображения,
DXlhl+X2h2f(x) = λι£>Λι f(x) + \2Dh3f(x). (6)
Из определения 2 видно также, что значение Dhf(x) производной
отображения /: U —> У по вектору есть элемент линейного
пространства TYf(x^ ~ У, и что если L — линейное непрерывное отображение У
в некоторое нормированное пространство Z, то
Dh(Lof)(x) = LoDhf(x). (7)
Попробуем теперь истолковать значение f(<n\x){h\^...^hn) π-го
дифференциала отображения / в точке χ на наборе (/ΐχ,... ,/ιη)
векторов hi £ ТХс ~ X, г = 1,..., п.
Начнем с η = 1. В этом случае по формуле (5)
f'(x)(h) = f'(x)h = Dhf{x).
Рассмотрим теперь случай п=2. Поскольку f^(x) = C(X; С(Х; У)),
то, фиксировав вектор h\ £ X, мы сопоставляем ему по закону
ΛιΠ/(2>(ι)Λι
линейный оператор (f(2\x)h\) £ £(Х;У), а вычислив затем значение
этого оператора на векторе hi £ X, мы получим элемент
/(2>(*)(Λι,Λ2):=(/(2)№ι)Λ2εΓ (8)

100
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
пространства У.
Но
fW(x)h = (f')'(x)h = Dhf'(x),
поэтому
f{2)(x)(h1,h2) = (Dhlf'(x))h2. (9)
Если Л G£(X;7), a/ι G X, то спаривание Ah можно рассматривать
не только как отображение h \-> Ah из X в У, но и как отображение
А н^ Ah из £(Х; У) в У, причем это последнее отображение, как и
первое, является линейным.
Сравнив теперь соотношения (5), (7) и (9), можем записать, что
(DhJ'(x))h2 = Dhl(f'(x)h2) = DhlDhJ(x).
Таким образом, окончательно получаем
fW(x)(hl,h2) = DhlDh2f(x).
Аналогично можно показать, что при любом η Ε Ν имеет место
соотношение
/(η)(*)(Λι,..., К) := (... (/(n)0r)/*i)... Ы = DhlDh2... Dhnf{x), (10)
причем дифференцирование по векторам выполняется
последовательно, начиная от дифференцирования по hn и кончая
дифференцированием по h\.
3. Симметричность дифференциалов высшего порядка. В
связи с формулой (10), уже вполне пригодной для вычислений,
естественно возникает вопрос о том, в какой мере результат вычислений
зависит от указанного порядка дифференцирования.
Утверждение. Если для отображения (1) форма f(n\x) в
точке χ определена, то она симметрична относительно любой пары своих
аргументов.
Μ Основным элементом доказательства является проверка
справедливости этого утверждения в случае η = 2.
Пусть /ii, h2— два произвольных фиксированных вектора
пространства ТХХ ~ X. Поскольку U открыто в X, при всех достаточно
близких к нулю значениях t G К определена следующая
вспомогательная функция от t:
Ft{huh2) = f{x + t(hi + h2)) - f{x + thi) - f{x + th2) + f(x).

§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 101
Рассмотрим еще одну вспомогательную функцию
g(v) = f(x + ί(Λι + υ)) - f(x + ίν),
заведомо определенную для векторов г;, коллинеарных вектору /i2 и
таких, что |г;| < |/ΐ2|·
Заметим, что
Ft(huh2)=g(h2)-g(0).
Заметим также, что коль скоро функция /: U —> Υ в точке χ £ U
имеет второй дифференциал //7(х), она обязана быть дифференцируема
по крайней мере в некоторой окрестности точки х. Мы будем считать,
что параметр t настолько мал, что аргументы в правой части
определяющего функцию Ft(h\,h2) равенства лежат в указанной окрестности
точки х.
Воспользуемся этими замечаниями и следствием теоремы о
конечном приращении в следующих выкладках:
\Ft(huh2)-t2f"(x)(huh2)\ =
= \9(h2)-9(0)-t2f"(x)(h1,h2)\^
< sup \\g'(e2h2)-t2f"(x)h1\\\h2\ =
O<02<1
= sup \\(f'(x + t(hl+e2h2))-f'(x + te2h2))t-t2f"(x)hl\\\h2\.
0«?2<1
По определению производного отображения можно записать, что
f'(x + t{hi + 92h2)) = f(x) + /"(ar)(i(/»i + e2h2)) + o(t)
И
f'(x + te2h2) = f'(x) + f"(x)(te2h2) + o(t)
при t —> 0. Учитывая это, предыдущую выкладку можно продолжить и
после арифметических упрощений получить, что
\Ft(hl,h2)-t2f"(x)(h1,h2)\=o(t2)
при t —> 0. Но это равенство означает, что
Ft{hiM)
f"(x)(hl,h2) = lim
ί->-0 t2

102
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Поскольку очевидно i*t(/ii,/i2) — Ft(h2,h\), то отсюда уже следует,
что f"{x){huh2) = f"{x){h2M)-
Завершить доказательство утверждения теперь можно по индукции
дословно так же, как это было сделано при доказательстве
независимости значения смешанных частных производных от порядка выполнения
дифференцирования. ►
Итак, показано, что n-й дифференциал отображения (1) в точке
χ £ U есть η-линейный симметрический оператор
/<п>(а0 е ЦТХХ,... ,TXx;TYf{x)) ~ ЦХ, ...,X;Y),
значение которого на наборе (/ΐχ,..., hn) векторов hi £ ТХХ ~ X, г =
= 1,..., п, может быть вычислено по формуле (10).
Если X — конечномерное пространство, {βχ,...,β^} — базис в X и
hj = Ще{ — разложение векторов /ij, j = 1,... , π по этому базису, то в
силу полилинейности f(n'(x) можно записать, что
fW(x)(h1,...,hn) = f(nHx)Weil,...,h%ein) =
= f^(x)(eh,...,ein)h[^...-h^,
или, используя прежние обозначения <9гь..гп/(х) Для Dei ... Denf(x),
можно окончательно получить, что
/(η>(*)(Λι, · · ·, Μ = дь..и(Ф\1 ···>#,
где в правой части, как обычно, имеется в виду суммирование по
повторяющимся индексам в пределах их изменения, т. е. от 1 до к.
Условимся в следующем сокращении:
f^(x)(h,...,h)=:fW(x)hn. (11)
В частности, если речь идет о конечномерном пространстве X и
h = hxe^ то
f^(x)hn = dil...inf(x)hil-----hin,
что нам уже хорошо знакомо из теории числовых функций многих
переменных.

§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 103
4. Некоторые замечания. В связи с обозначением (11)
рассмотрим полезный и используемый уже в следующем параграфе
Пример. Пусть А £ С(Х\,..., ХП;У), т.е. у = Α(χχ,... , χη) есть
π-линейный непрерывный оператор, действующий из прямого
произведения линейных нормированных пространств Х\,..., Хп в линейное
нормированное пространство У.
В примере 5 из § 3 было показано, что А является
дифференцируемым отображением А: Х\ χ ... χ Χη —> У, причем
Α/(χχ,...,χη)(/ΐι,...,/ιη) =
= A(/li,X2,...,Xn) + ··· + A(Xi,...,Xn_i,/ln).
Таким образом, если Χι = ... = Хп = 1и если А — симметрический
оператор, то
А'(х,..., x)(h,..., К) = пА(х,..., χ, Κ) =: (πΑχη_1)/ι.
п-1
Значит, если рассмотреть функцию F: X —> У, определяемую
условием
X Э х^ F(x) = А(х,..., х) =: Ахп,
то она окажется дифференцируемой и
F'(x)/i = (πΑχ71"1)/*,
т. е. в этом случае
F'{x) = πΑχη~\
где Ахп~1 := А(х,..., х, ·).
п-1
В частности, если отображение (1) имеет в некоторой точке χ £ U
дифференциал /^п^(х), то функция F(h) = f^n\x)hn
дифференцируема и
F'{h) = nfW{x)hn-1. (12)
Заканчивая обсуждение понятия производного отображения п-го
порядка, полезно еще отметить, что если исходная функция (1)
определена на множестве U пространства X, являющегося прямым
произведением нормированных пространств Х\,..., Хт, то можно говорить

104
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
о частных производных отображениях dif(x),..., dmf(x) первого и
более высокого порядка <9гь.лп/(х) от Функции / по переменным Х{ £ Х^
г = 1,... ,га.
На основании теоремы 2 из § 4 в этом случае по индукции получаем,
что если в некоторой точке χ £ X = Χι χ ... χ Хт все частные
производные <9гь..гп/(х) отображения fiU—ϊΥ непрерывны, то в этой
точке отображение f имеет дифференциал п-го порядка f(n\x).
Если учесть еще результат примера 2 из того же параграфа, то
можно заключить, что отображение U Э χ ь-> f(n\x) £ С(Х,..., Χ\ Y)
s ν '
η раз
непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывны все частные
производные отображения U Э χ ь-> dilm.,inf(x) £ £(-Х^15...,Χιη\Υ)
порядка η (или, что то же самое, до порядка η включительно) исходного
отображения F: U —>Y.
Класс отображений (1), имеющих в U непрерывные производные
отображения до порядка η включительно, обозначают символом
С^п\и, У) или, если не возникает недоразумений, более коротким
символом или даже
В частности, если X = Χι χ ... χ Χη, то сделанное выше заключение
можно коротко записать в виде
(/еС<п)) ^=> (^„.JeC, ii,...,in = l,...,m),
где С, как всегда, символ соответствующего множества непрерывных
функций.
Задачи и упражнения
1. Проведите полностью доказательство равенства (7).
2. Проведите подробно конец доказательства утверждения о
симметричности f(n\x).
3. а) Покажите, что если для пары векторов h\, /12 и отображения (1)
в области U определены функции Dh1Dh2f, Dh2Dh1f и они непрерывны в
некоторой точке χ £ U, то в этой точке имеет место равенство Dh1Dh2f(x) =
= Dh2Dhlf(x).
b) Покажите на примере числовой функции f(x,y), что непрерывность в
некоторой точке смешанных производных £ / , 4-i-, хотя и влечет в силу а)
их равенство в этой точке, вообще говоря, не влечет наличия в этой точке
второго дифференциала функции.

§ 6. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 105
с) Покажите, что наличие f(2\x,y), хотя и обеспечивает наличие и равен-
d2f d2f
ство в соответствующей точке смешанных производных л л . л / , не влечет,
вообще говоря, их непрерывность в этой точке.
4. Пусть А € С(Х,... ,Х;У), причем А — симметрический п-линейный
оператор. Найдите последовательные производные до порядка η + 1
включительно от функции χ ι-»* Ахп := А(х,..., х).
§ 6. Формула Тейлора и исследование экстремумов
1. Формула Тейлора для отображений.
Теорема 1. Если отображение /: Ϊ7 —» У окрестности U = U(x)
точки χ нормированного пространства X в нормированное
пространство Υ таково, что } имеет в U производные до порядка п—1
включительно, а в самой точке χ имеет производную f^n\x) порядка п, то
f{x + h) = /(χ) + f'(x)h + ... + -.f{n\x)hn + o(\h\n) (1)
n!
при h —> 0.
Равенство (1) есть одна из разновидностей формулы Тейлора,
написанной на сей раз уже для достаточно общих классов отображений.
Μ Докажем формулу Тейлора (1) по индукции.
При η = 1 она верна в силу определения /7(х).
Пусть формула (1) верна для некоторого (п — 1) £ N.
Тогда на основании теоремы о конечном приращении, формулы (12)
из § 5 и сделанного предположения индукции получаем
f(x + h)- (fix) + f'(x)h + ... + -J^(x)hn)
€
< sup
0«?<1
f'{x + eh)-(f\x) + f'\x){eh) + ...
Ι^/Μ^χβΛ)»-1)!! \h\ = oflWr1)!*! = o(\h\n)
•••+(n-l)
при h —> 0. ►
Мы не останавливаемся здесь на других, иногда весьма полезных,
вариантах формулы Тейлора. В свое время они подробно обсуждались
для числовых функций. Теперь мы предоставляем их вывод читателю
(см., например, задачу 1).

106 ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2. Исследование внутренних экстремумов. Используя
формулу Тейлора, укажем необходимые, а также достаточные
дифференциальные условия внутреннего локального экстремума вещественнознач-
ной функции, определенной на некотором открытом множестве
нормированного пространства. Как мы увидим, эти условия аналогичны уже
известным нам дифференциальным условиям экстремума вещественно-
значной функции вещественного переменного.
Теорема 2. Пусть f: U —> R — вещественнозначная функция,
определенная на открытом множестве U нормированного
пространства X и имеющая в окрестности некоторой точки χ £ U
непрерывные производные отображения до порядка к — 1 ^ 1 включительно, а
также производное отображение f(k\x) порядка к в самой точке х.
Если f'(x) = 0,..., f(k~l\x) = 0 и fW(x) φ 0, то для того, чтобы
χ была точкой экстремума функции f,
необходимо, чтобы к было четно, а форма f^k\x)hk была полу-
определенной1*;
достаточно, чтобы значения формы f^k\x)hk на единичной
сфере \h\ = 1 были отделены от нуля; при этом, если на этой
сфере
fM(x)hk Ζ δ > 0,
то χ — точка локального минимума, а если
f{k\x)hk ^ δ < 0,
то χ — точка локального максимума.
Μ Для доказательства рассмотрим тейлоровское разложение (1)
функции / в окрестности точки х. Сделанные предположения
позволяют записать, что
fix + h)- f(x) = ±f{k)(x)hk + a(h)\h\k,
где a(h) — вещественнозначная функция, причем a(h) —> 0 при h —> 0.
Докажем сначала необходимые условия.
^Это значит, что форма f(<k\x)hk не может принимать значения разных
знаков, хотя при некоторых значениях h φ 0 она может обращаться в нуль. Равенство
f(%'(x) = 0, как обычно, понимается в том смысле, что f^(x)h = 0 для любого
вектора h.

§ 6. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 107
Поскольку f^(x) Φ 0, найдется такой вектор ho φ 0, на котором
f(k\x)h,Q φ 0. Тогда при значениях вещественного параметра £,
достаточно близких к нулю,
f(x + tho)-f(x) = ^(x)(th0)k + a(tho)\th0\k =
= ^k)(x)hk0 + a(tho)\h0\kyk
и заключенное во внешние скобки выражение имеет тот же знак, что
и fW{x)h%.
Для того, чтобы χ была точкой экстремума, необходимо, чтобы
левая (а значит, и правая) часть последнего равенства не меняла знака
при изменении знака t. Но это возможно, только если к четно.
Проведенное рассуждение показывает, что если χ — точка
экстремума, то знак разности f(x + tho) — f(x) при достаточно малых
значениях t совпадает со знаком /^(х)/^, и, следовательно, в этом случае
не может быть двух векторов /ίο, /ΐι, на которых бы форма f^k\x)
принимала значения разных знаков.
Перейдем к доказательству достаточных условий экстремума. Для
определенности рассмотрим случай, когда f^(x)hk ^ δ > 0 при \h\ = 1.
Тогда
fix + Λ) - f{x) = ±/kHx)hk + α(Λ)|Λ|* =
к
й'",(1)(щ) +«№)W>(h'+«w)i*i*.
и, поскольку a(h) —> 0 при h —> 0, последний член неравенства
положителен для всех достаточно близких к нулю векторов h φ 0. Таким
образом, для всех таких векторов h
f(x + h)-f(x)>0,
т.е. χ — точка строгого локального минимума.
Аналогично проверяется достаточное условие строгого локального
максимума. ►
Замечание 1. Если пространство X конечномерно, то единичная
сфера 5(х, 1) с центром в точке χ £ X, являясь ограниченным
замкнутым множеством в X, компактна. Тогда непрерывная функция

108
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(fc-форма) f(k\x)hk = дг1т..гк/{х)11г1 ·... · h4 имеет на S(x, 1) как
максимальное значение, так и минимальное значение. Если эти значения
разных знаков, то экстремума в точке χ функция / не имеет. Если же эти
значения одного знака, то, как было показано в теореме 2, экстремум
есть. В последнем случае достаточное условие экстремума, очевидно,
можно высказать в виде эквивалентного ему требования
определенности (положительной или отрицательной) формы f^(x)hk.
Именно в таком виде оно нам уже встречалось при рассмотрении
вещественнозначных функций в W1.
Замечание 2. Как мы видели на примере функций /: W1 —> М,
указанная в необходимых условиях экстремума полуопределенность
формы f(k\x)hk еще не является достаточным признаком экстремума.
Замечание 3. На практике при исследовании экстремумов
дифференцируемых функций обычно пользуются только первым или
первым и вторым дифференциалами. Если по смыслу исследуемой задачи
единственность и характер экстремума очевидны, то при отыскании
экстремума можно ограничиться первым дифференциалом, найдя ту
точку х, где f'(x) = 0.
3. Некоторые примеры.
Пример 1. Пусть L G C^K3, R), а / G С(1)(К Ч>к)· Иными
словами (гх1, гг2, гх3) ь-> ^(гх1, гх2, гх3)—определенная в Шг непрерывно
дифференцируемая вещественнозначная функция, ажи f(x) — гладкая ве-
щественнозначная функция, определенная на отрезке [а, Ь] С KL
Рассмотрим функцию
F: С(1)([а,Ь],Щ ->R, (2)
задаваемую соотношением
б
СМ([а,Ь],Ш) Э / -> F(f) = JL(xJ(x)j'(x))dx е Ш. (3)
α
Таким образом, (2) есть вещественнозначный функционал,
определенный на множестве функций / £ С(1\[а,Ь],Ш).
В физике и механике известны фундаментальные вариационные
принципы, связанные с движением. Согласно этим принципам истин-

§ 6. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 109
ные движения среди всех мыслимых выделяются тем, что они
совершаются по траекториям, вдоль которых те или иные функционалы
имеют экстремум. Вопросы, связанные с экстремумами функционалов,—
центральные в теории оптимального управления. Таким образом,
отыскание и исследование экстремумов функционалов является важной
самостоятельной задачей, теории которой посвящен обширный раздел
анализа — вариационное исчисление. Мы уже кое-что сделали для
того, чтобы переход от анализа экстремумов числовых функций к
отысканию и исследованию экстремумов функционалов был для читателя
естественным. Однако мы не будем углубляться в специальные
вопросы вариационного исчисления и проиллюстрируем на примере
функционала (3) лишь рассмотренные выше общие идеи дифференцирования
и исследования локальных экстремумов.
Покажем, что функционал (3) является дифференцируемым
отображением и найдем его дифференциал.
Заметим, что функцию (3) можно рассматривать как композицию
отображения
F1:CW([a,6],R)->C([a,b],R), (4)
задаваемого формулой
F1(f)(x) = L(x,f(x)j'(x)), (5)
и последующего отображения
ь
C([a,b],R) Эд^ F2{g) = Ig(x) dx e R. (6)
a
Отображение F2 в силу свойств интеграла, очевидно, линейное и
непрерывное, таким образом, с его дифференцируемостью вопрос ясен.
Покажем, что отображение F\ тоже дифференцируемо, причем
F[(f)h(x) = d2L(x, /(x), f'(x))h(x) + d3L(x, /(χ), f'(x))h'(x) (7)
при heCW{[а,Ь];Ш).
Действительно, в силу следствия из теоремы о конечном прираще-

110
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
нии в нашем случае можно записать, что
|ϋ(ϋ1+Δ1,ϋ2 + Δ2,ϋ3 + Δ3)-ϋ(ϋ1,ϋ2,ϋ3)-
з
- V<9iL(u\u2,u3)A'k sup ||(0iL(u + 0A)-0iL(ti),
Ы Ι ο<0<ι
d2L{u + ΘΑ) - d2L{u),d3L{u + ΘΑ) - dsL{u))\\ · |Δ| ^
^ 3 max \diL(u + θύ) - дМи)\ · max ΙΔΊ, (8)
o^^i ' v ' x n 1=1,2,3'
t=l,2,3
где и = (u1, u2, w3) и Δ = (Δ1, Δ2, Δ3).
Если теперь вспомнить, что в C^'Qa, b],R) норма l/l^u) функции /
есть тах{|/|с, \f\c\ (где \f\c eCTb максимум модуля функции на
отрезке [а, 6]), то, полагая и1 = х, и2 = /(х), и3 = /'(χ), Δ1 = 0, Δ2 = /г(х) и
Δ3 = /ι7(я), из неравенства (8), учитывая равномерную непрерывность
функций diL(ul,u2, w3), г = 1,2, 3, на ограниченных подмножествах Е3,
получаем
max \L(x, f(x) + h(x), f'(x) + ti(x)) - L(x, f(x), f'(x)) -
-d2L(xJ(x)J'(x))h(x) -d3L(x,f(x)J'(x))h'(x)\ =
= о(|Л|с(1)) при |/i|c(i) ->0.
Но это и означает, что имеет место равенство (7).
В силу теоремы о дифференцировании композиции отображений
теперь заключаем, что функционал (3) действительно дифференцируем и
ъ
F'{f)h = J(d2L(x, f(x)J'(x))h(x) + dsL(x, /(*), f'(x))ti(x)) dx. (9)
α
Часто рассматривается ограничение функционала (3) на аффинное
пространство тех функций / £ С(1'([а, Ь], М), которые на концах
отрезка [а, Ь] принимают фиксированные значения f(a) = A, f(b) = В. В этом
случае функции h из касательного пространства TCj ' должны на
концах отрезка [а, Ь] иметь нулевые значения. Учитывая это, равенство (9)
интегрированием по частям в рассматриваемом случае, очевидно, мож-

§ 6. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 111
но привести к виду
6
F'(f)h = У(ftL(s, fix), fix)) - ^з£(*, /(ж), f{x))h(x) dx, (10)
α
разумеется, уже в предположении, что L и / принадлежат
соответствующему классу
В частности, если / — точка экстремума (экстремаль) такого
функционала, то, согласно теореме 2, Ff(f)h = 0 при любой функции h £
G C^([a,6],R) такой, что h(a) = h(b) = 0. Отсюда и из (10) нетрудно
заключить (см. задачу 3), что функция / должна удовлетворять
уравнению
д2Цх, f{x), /'Or)) - ^d3L(x, f{x), fix)) = 0. (11)
Это частный вид уравнения, именуемого в вариационном
исчислении уравнением Эйлера - Лагранжа.
Рассмотрим теперь конкретные примеры.
Пример 2. Задача о кратчайшей.
Среди кривых, лежащих в плоскости и соединяющих две
фиксированные ее точки, найти ту кривую, которая имеет минимальную длину.
Ответ в данном случае очевиден, и он скорее послужит контролем
над следующими формальными выкладками.
Будем считать, что в плоскости фиксирована декартова система
координат, в которой указанными точками являются, например, точки
(0,0) и (1,0). Мы ограничимся рассмотрением только тех кривых,
которые являются графиками функций / £ С^^([0,1],М), принимающих
на концах отрезка [0,1] нулевые значения. Длина такой кривой
ι
Fif) = J у/1 + if )Цх)ах (12)
о
зависит от функции / и является функционалом рассмотренного в
примере 1 типа. В данном случае функция L имеет вид
L(ti\ti2,ti3) = ^1 + (^3)2,

112
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
поэтому необходимое условие экстремума (11) здесь сводится к
уравнению
±(_Ш_)=0
из которого следует, что на отрезке [0,1]
. J K ' = = const. (13)
Vi + (/')2(*)
Поскольку функция —jJL—= нигде не постоянна, то (13) возможно
лишь при условии, что f[x) = const на [α, b]. Таким образом, гладкая
экстремаль нашей задачи должна быть линейной функцией, график
которой проходит через точки (0,0), (1,0). Отсюда следует, что f(x) = 0,
и мы приходим к отрезку прямой, соединяющему две заданные точки.
Пример 3. Задача о кривой скорейшего спуска.
Эта классическая, поставленная в 1696 г. Иоганном (первым) Бер-
нулли, задача о брахистохроне состоит в отыскании формы желоба,
вдоль которого материальная частица под действием силы тяжести за
кратчайшее время переходит из заданной точки Ро в другую
фиксированную точку Ρχ, расположенную на более низком уровне.
Трением, разумеется, мы пренебрегаем. Кроме того, будем считать,
что тривиальный случай, когда обе точки находятся на одной
вертикали, исключен из дальнейшего рассмотрения.
В вертикальной плоскости, проходящей через точки Ро, -Рь введем
прямоугольную систему координат так, чтобы точка Ро была ее
началом, ось абсцисс была направлена вертикально вниз, а точка Р\ имела
положительные координаты (#i,yi). Форму желоба будем искать
только среди графиков, заданных на отрезке [0, х\] гладких функций,
удовлетворяющих условиям /(0) = 0, f(x\) = 2/1· На исследовании этого
отнюдь не бесспорного предположения мы пока не останавливаемся (см.
задачу 4).
Если частица начинала свое движение из точки Ро с нулевой
скоростью, то закон изменения величины ее скорости в выбранной системе
координат запишется в виде
ν = л/2дх
(14)

§ 6. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 113
Вспоминал, что дифференциал длины дуги вычисляется по формуле
аз = Vidx)2 + {dy)2 = ^/l + {f')2{x)dx, (15)
найдем время
о
движения вдоль траектории, заданной графиком функции у = f(x) на
отрезке [0, х\].
Для функционала (16)
π 1 2 3^ /1 + (U3)2
UL
поэтому необходимое условие экстремума (И) в данном случае
сводится к уравнению
d { f'(x)
dx\y/x{l + {fnx))
из которого следует, что
fix)
= о,
νϊΤϋψϊχ)
= cVx, (17)
где с—отличная от нуля постоянная (точки не лежат на одной
вертикали!).
С учетом (15) уравнение (17) можно переписать в виде
л = СуД- (18)
Однако с геометрической точки зрения
dx dv
— = cos<£, — =sin<^, (19)
ds ds
где φ — угол между касательной к траектории и положительным
направлением оси абсцисс.
Сравнивая уравнение (18) со вторым из уравнений (19), находим
χ = -=■ sin2 φ. (20)
cz

114
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Но из (19) и (20) следует, что
dy _ dy dx _ dx _ d /sin2yA _ sin2 ψ
άφ dx άφ άψ άφ \ с2 J с2
откуда находим
у= ^(2^-sin2^)+b. (21)
Полагая 2/с2 =: а и 2φ =: t, запишем соотношения (20) и (21) в виде
χ = а(1 — cost),
V " (22)
у = a(t — s'mt) + b.
Поскольку а ф 0, το χ — 0 лишь при t = 2&π, к £ Ζ. Из вида
функций (22) следует, что без ограничения общности можно считать,
что точке Ро = (0,0) отвечает значение t = 0 параметра t. В этом
случае b = 0, и мы приходим к более простой форме
χ = а(1 — cost),
V " (23)
у = a(t — s'mt)
параметрического задания искомой кривой.
Таким образом, брахистохроной является циклоида, имеющая в
исходной точке Ро точку возврата с вертикальной касательной.
Постоянная а, коэффициент гомотетии, должна быть подобрана так, чтобы
кривая (23) прошла также через точку Ρχ. Такой выбор, как можно
заметить, нарисовав кривую (23), вовсе не всегда является однозначным,
и это свидетельствует о том, что необходимое условие экстремума (11),
вообще говоря, не является достаточным. Из физических соображений,
однако, ясно, какому из возможных значений параметра а следует
отдать предпочтение (что, впрочем, можно подтвердить и прямым
вычислением).
Задачи и упражнения
1. Пусть f: U -> Υ — отображение класса C^n\U;Y) открытого
подмножества U нормированного пространства X в нормированное
пространство Y. Пусть отрезок [я, χ + h] полностью содержится в {/, и в точках
интервала ]х,х + h[ функция / имеет дифференциал (п + 1)-го порядка, причем
ΙΙ/(η+1)(£)ΙΙ ^ Μ в любой точке ξ е]х,х + h[.

§ 6. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА И ИССЛЕДОВАНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ 115
a) Покажите, что функция
g(t) = f{x + th) - (f(x) + f'(x)(th) + ... + I/W(x)(tft)»)
n!
определена на отрезке [0,1] С Μ, дифференцируема на интервале ]0,1[ и при
любом t Е]0, 1[ справедлива оценка
\\g'(t)\\ ζ ±M\th\n\h\.
η!
b) Покажите, что \д(1) - д(0)\ ζ J-lTj.M\h\n+1
c) Докажите следующую формулу Тейлора:
\f(x + Λ) - (f{x) + f\x)h + ... + -J(n\x)K
I V n·
d) Что можно сказать об отображении f:U —> У, если известно, что
/(п+1)(ж)е0в17?
2. а) Если п-линейный симметрический оператор А таков, что Ахп = О
для любого вектора χ Ε X, то Α(χι,...,χη) = О, т.е. оператор А равен нулю
на любом наборе χ ι,..., χη векторов из X.
b) Если отображение f:U—>Y имеет в точке χ Ε U n-й дифференциал
/(η) (χ) и удовлетворяет условию
f(x + ft) = L0 + Lift + ... + —<Lnhn + a(ft)|ft|n,
где Li, г = 0,1,... ,n суть г-линейные операторы, a a(ft) —» 0 при ft —» 0, то
Li = /W(s),i = 0,1,...,η,
c) Покажите, что из наличия приведенного в предыдущей задаче
разложения функции /, вообще говоря, еще не вытекает наличие η-го дифференциала
fW(x) (при η > 1) у этой функции в точке х.
d) Докажите, что отображение C(X;Y) зАи A~l Ε C(X;Y) в области
своего определения является бесконечно дифференцируемым, причем
(A-^HAXfti,..., К) = (-lJM-^i^-^a * · · · * Λ"1/^-1·
3. а) Пусть φ Ε С([а, 6],R). Покажите, что если для любой функции ft Ε
Ε С(2)([а, 6], Ε) такой, что ft(a) = ft(6) = 0, выполняется условие
6
/ (p(x)h(x) dx = 0, то φ(χ) Ξ 0 на [a, 6].
a
b) Выведите уравнение (11) Эйлера -Лагранжа как необходимое условие
экстремума функционала (3), ограниченного на множество функций / Ε
Ε С(2\[а, 6], Μ), принимающих на концах отрезка [a, b] заданные значения.
£
Μ
(п + 1)!
|ft|
п+1

116
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4. Найдите форму у = /(ж), а ^ χ ^ 6, меридиана той поверхности
вращения (вокруг оси Ох), которая имеет наименьшую площадь среди всех
поверхностей вращения с окружностями заданного радиуса га, гь в сечениях
поверхности плоскостями χ = α, χ = b соответственно.
5. а) Функция L в задаче о брахистохроне не удовлетворяет условиям
примера 1, поэтому непосредственное применение результатов примера 1 было в
данном случае неоправданным. Покажите, повторив с нужными
видоизменениями вывод формулы (10), что она и уравнение (11) остаются в силе и в
рассматриваемом случае.
b) Изменится ли уравнение брахистохроны, если частица стартует из
точки Ро с отличной от нуля начальной скоростью (движение происходит без
трения в закрытой трубке)?
c) Покажите, что если Ρ— произвольная точка брахистохроны,
отвечающей паре точек Ро, -Рь то ДУга этой брахистохроны от Ро до Ρ является
брахистохроной пары Ро, Р.
d) Допущение о том, что брахистохрона, отвечающая паре точек Ро, Pi,
может быть записана в виде у = /(ж), как выяснилось из окончательных
формул (23), не всегда оправданно. Покажите, используя результат задачи с), что
вывод формул (23) можно провести и без подобного предположения о
глобальном устройстве брахистохроны.
e) Расположите точку Ρχ так, чтобы отвечающая паре Ро, Pi
брахистохрона в системе координат, которая была введена в примере 3, не могла быть
записана в виде у = f(x).
f) Расположите точку Р\ так, чтобы отвечающая паре Ро, Pi
брахистохрона в системе координат примера 3 имела вид ?/=/(ж), причем / ^ С^ ([α, 6], Ε).
Таким образом, получится, что в этом случае интересующий нас
функционал (16) имеет на множестве С^([а,Ь],Ж) нижнюю грань, но не имеет
минимума.
g) Покажите, что брахистохрона пары точек Ро, Pi пространства является
плоской кривой.
6. Удаление d(Po,Pi) точки Ро пространства от точки Pi в однородном
гравитационном поле будем измерять временем движения материальной
частицы по брахистохроне, отвечающей паре Ро, Р\.
a) Найдите измеряемое в этом смысле удаление точки Ро от фиксированной
вертикальной прямой.
b) Найдите асимптотику функции d(Po, Pi), когда точка Pi поднимается
по вертикали, приближаясь к уровню высоты точки Ро.
c) Выясните, является ли функция d(Po,Pi) метрикой.
§ 7. Общая теорема о неявной функции
В этом заключительном параграфе главы почти весь развитый в
ней аппарат будет продемонстрирован в работе на примере исследо-

§ 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
117
вания неявно заданной функции. Представление о содержании и месте
теоремы о неявной функции в анализе и его приложениях читатель уже
имеет из гл. VIII, поэтому мы не останавливаемся здесь на
предваряющих формализм пояснениях существа дела. Отметим только, что на сей
раз неявно заданная функция будет построена совсем иным методом,
опирающимся на принцип сжимающих отображений. Этот метод
часто используется в анализе и весьма полезен ввиду его вычислительной
эффективности.
Теорема. Пусть Χ, Υ, Ζ—нормированные пространства
{например, W1, W1, Rk), причем Υ — полное пространство; W = {(х,у) 6
£ Χ χ Υ | \х — £о| < Οί Л \у — уо\ < β} —окрестность точки (хсьУо) β
произведении Χ χ Υ пространств Χ, Υ.
Если отображение F: W —» Ζ удовлетворяет условиям:
1. F{x0,yo)=0;
2. F(x,y) непрерывно в точке (хо^Уо);
3. F'(x,y) определено в W и непрерывно в (хсьУо);
4. Fy(xo,yo)—обратимый1^ оператор,
то найдутся окрестность U = U(xo) точки хо в X, окрестность
V = V(yo) точки уо в Υ и отображение }: U —> V такие, что:
I7. U х V С W;
27. (F{x,y) =0 eU xV) 4Ф (у = f(x), где xeU, a f(x) e V);
З7. Уо = /(жо);
47. / непрерывно в точке хо-
По существу, теорема утверждает, что если линейное
отображение F' обратимо в точке (условие 4), то в окрестности этой точки
соотношение F(x,y) = 0 равносильно функциональной зависимости
у = f(x) (заключение 27).
Μ 1° Для упрощения записи и, очевидно, без ограничения общности
рассмотрения можно считать, что хо = 0, уо = 0 и, следовательно,
И^ = {(х,у) еХ χΥ | \х\ <аЛ|у| </?}.
2° Основную роль в доказательстве теоремы играет
вспомогательное семейство отображений
дхМ-у-ЩОМ-'-Р^У), (1)
х)То есть Э^жо.уо]-1 € C(Z;Y).

118
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
зависящих от параметра χ £ X, \х\ < а, и определенных на множестве
{у е Υ | \у\ < β}.
Обсудим формулу (1). Прежде всего выясним, корректно ли
определены отображения дх и где лежат их значения.
При (я, у) £ W определено отображение F, значение F(x, у)
которого на паре (я, у) лежит в пространстве Z. Частное производное
отображение Fy(x,y) в любой точке (х,у) £ W, как мы знаем, есть линейное
непрерывное отображение пространства У в пространство Ζ.
По условию 4 отображение i^(0,0): У —» Ζ имеет непрерывное
обратное отображение (i^(0,0))-1: Ζ —> У. Значит, композиция
(i^(0,0))-1 · F(x,y) действительно определена и ее значения лежат в
пространстве У.
Итак, при любом χ из α-окрестности £?χ(0, α) := {χ £ Χ | |χ| < α}
точки 0 £ Χ дх есть отображение дх: Βγ(0,β) —» Υ /^-окрестности
Βγ(0,β) := {у £ Υ I |у| < /3} точки О £ У в пространство У.
Связь отображений (1) с задачей разрешения относительно
переменной у уравнения F(x, у) = 0 состоит, очевидно, в том, что точка ух
является неподвижной точкой отображения дх тогда и только тогда,
когда F(x,yx) = 0.
Зафиксируем это важное наблюдение:
9х{Ух) = Ух ^=> F(x,yx) = 0. (2)
Таким образом, отыскание и исследование неявно заданной
функции у — ух — f(x) сводится к отысканию неподвижных точек
отображений (1) и исследованию их зависимости от параметра х.
3° Покажем, что существует положительное число 7 < min{a,/3}
такое, что при любом χ £ X, удовлетворяющем условию \х\ < 7 < &,
отображение дх: By(0,7) —> У шара By(0,7) := {у € У | |у| < 7 < β}
в У является сжимающим отображением с коэффициентом сжатия, не
превосходящим, например, числа 1/2. Действительно, при любом
фиксированном χ £ £?χ(0, а) отображение дх: Βγ(0,β) —» У
дифференцируемо, что следует из условия 3 и теоремы о дифференцировании
композиции отображений, причем
9'x(y) = eY-(F^0,0))-1-(F^x,y)) =
= (Ft(0,0))"1 (F' (0,0) - F'(x, у)). (3)

§ 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
119
В силу непрерывности Fy(x,y) в точке (0,0) (условие 3) найдется
такал окрестность {(х,у) £ X х У \ \х\ < j < а Л\у\ < 7 < β} точки
(0,0) G Χ χ У, в которой
11<ШИ < 11(^(0,о))-1!! · ||^(о,о) - ^(х,у)ц < \. (4)
Здесь мы пользуемся тем, что (i^(0,0))-1 £ £(Z; У), т.е. тем, что
ΙΚ^Μηκοο.
Всюду дальше будем считать, что \х\ < 7 и |у| < 75 поэтому имеет
место оценка (4).
Таким образом, при любом χ £ £?χ(0,7) и любых yi,y2 £ #у(0,7)
по теореме о конечном приращении мы действительно получаем теперь,
что
\9х{У\) ~ 9х(У2)\ < sup ||57(0|| |ΐ/ι - 2/2I < dyi ~ Уъ\- (5)
4° Для того, чтобы утверждать существование неподвижной
точки ух отображения дх, нам надо иметь такое полное метрическое
пространство, которое при этом отображении переходит в себя (быть может,
и не на себя).
Проверим, что
для любого числа ε, удовлетворяющего условиям 0 < ε < η,
найдется такое число δ = δ(ε) из интервала ]0,7[5 что при любом χ £
£ £?χ(0, δ) отображение дх преобразует замкнутый шар £?у(0, ε) в се-
бя,т.е.дх(Ву(0,е))сВу(0,е).
Действительно, сначала по ε подберем число δ g]0, 7[ так, чтобы при
\х\ < δ иметь
Ы0)| = |(^(0,0))"1 -F(x,0)1 < ||(^(0,0))"11| \F(x, 0)| < \ε. (6)
Это можно сделать благодаря условиям 1 и 2, в силу которых
F(0,0) = 0 и F(x, у) непрерывно в точке (0,0).
Если теперь \х\ < δ(ε) < 7 и \у\ ^ ε < 7, то из (5) и (6) получаем
Ыу)\ < Ыу) ~ 9хШ + |0*(О)| < -\у\ + -ε < ε,
и, значит, при |х| < ί(ε)
0*(Sy(O,e))CBy(O,e). (7)

120
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Как замкнутое подмножество полного метрического
пространства Υ замкнутый шар £?у(0, ε) сам является полным метрическим
пространством.
5° Сопоставляя соотношения (5) и (7), на основании принципа
неподвижной точки (см. гл. IX, § 7) теперь можно утверждать, что при
каждом χ £ £?χ(0, δ(ε)) =: U найдется единственная точка у = ух =
=: f(x) £ £?у(0, ε) =: V, которая является неподвижной точкой
отображения дх: Βγ(0,ε) —> Βγ(0,ε).
В силу основного соотношения (2) отсюда следует, что так
построенная функция /: U —» V уже обладает свойством 27, а значит, и
свойством З7, поскольку ^(0,0) = 0 по условию 1.
Свойство I7 окрестностей U и V следует из того, что по построению
U χ V С Вх(0,а) χ Βγ(0,β) = W.
Наконец, непрерывность функции у = f(x) в точке χ = 0, т.е.
свойство 47, следует из 27 и того, что, как было показано в п. 4°
доказательства, для любого числа ε > 0 (ε < 7) найдется такое
число δ (ε) > 0 {δ (ε) < 7)5 что ПРИ любом χ £ Βχ(0,δ(ε)) выполнено
9χ{Βγ(0, ε)) С By(0, ε), τ. е. единственная неподвижная точка ух = f(x)
отображения дх: £?у(0,ε) —> £?у(0,ε) при |х| < ί(ε) удовлетворяет
условию \f{x)\ < ε. ►
Мы доказали теорему существования неявной функции. Сделаем
теперь ряд дополнений о свойствах этой функции, порождаемых
свойствами исходной функции F.
Дополнение 1 (о непрерывности неявной функции). Если в
дополнение к условиям 2, 3 теоремы известно, что отображения F :
W —» Ζ и F' непрерывны не только в точке (хо5Уо)? но и в некоторой
ее окрестности, то найденная функция /': U —» V будет непрерывна
не только в точке хо £ U, но и в некоторой ее окрестности.
< Из условий 3 и 4 теоремы на основании свойств отображения
£(У; Z) Э А н-> A~l £ C(Z; Y) (см. пример 6 из § 3) заключаем, что
в каждой точке (х,у) некоторой окрестности точки (хо^Уо) оператор
fy{x,y) £ C{Y\Z) является обратимым. Таким образом, при наличии
сделанного дополнительного предположения о непрерывности F все
точки (х, у) вида (х, f(x)) из некоторой окрестности точки (жо, Уо)
Удовлетворяют условиям 1-4, которым раньше удовлетворяла только
точка (ж0,уо)·

§ 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
121
Повторив построение неявной функции в окрестности любой из
этих точек (ί, у), мы получили бы функцию у = /(#) непрерывную в χ
и в силу 2' совпадающую с функцией у = f(x) в некоторой окрестности
точки х. Но это и означает, что функция / непрерывна в х. ►
Дополнение 2 (о дифференцируемости неявной функции).
Если в дополнение к условиям теоремы известно, что в окрестности W
точки (хо,уо) существует также частная производная F'x(x,y),
непрерывная в точке (хочУо), то функция у = f(x) дифференцируема в
точке хо, причем
f'(x0) = -(F^xcyo))'1 ■ (i^fohVo)). (8)
Μ Проверим непосредственно, что линейный оператор L £ С(Х; У),
стоящий в правой части формулы (8), действительно является
дифференциалом функции у = f(x) в точке хо-
Как и прежде, для упрощения записи будем считать, что хо = 0 и
у0 = 0, поэтому /(0) = 0.
Проведем сначала предварительный подсчет
\f(x)-f(0)-Lx\ = \f(x)-Lx\ =
= |/(χ) + ((^(0,0)Γ1·(^(0,0))χ| =
= 1(^(0, Ο^ί^ίΟ,Ο^ + ^ίΟ,Ο)/^))^
= 1(^(0,0))"1 {F{x, f(x)) - F(0,0) - i^(0,0)x - i^(0,0)/(*))| <
< 11(^(0,0))"11| \(F(xJ(x)) - F(0,0) - i^(0,0)x - i^(0,0)/(x))| <
< IIW0))-l\\.a{xJ{x)){\x\ + \f{x)\),
где a{x,y) -> 0 при (х, у) -> (0,0).
Эти соотношения написаны с учетом того, что F(x,f(x)) ξ 0, и
того, что непрерывность частных производных отображений Fx, F' в
точке (0,0) обеспечивает дифференцируемость функции F(x, у) в этой
точке.
Положим для удобства записи а := \\L\\ и Ъ := ||(i^(0,0)_1||.
Учитывая, что
|/(х)| = |/(х) - Lx + Lx\ ^ \f{x) - Lx\ + \Lx\ <: \f{x) - Lx\ + a\x\,
проведенную выше предварительную выкладку можно продолжить и
получить, что
\f(x) - Lx\ ^ Ьа(х, f(x))((a + 1)\х\ + \f(x) - Lx\),

122
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
или
1 -ba{x,f(x))
Ввиду непрерывности / в точке χ = О и того, что /(0) = 0, при
χ —> 0 также f(x) —> 0, поэтому а(х, /(#)) —> 0 при χ —> 0.
Значит, из последнего неравенства следует, что
|/(х) - /(0) - Lx\ = \f{x) - Lx| = о{\х\) при ж -> 0. ►
Дополнение 3 (о непрерывной дифференцируемости неявной
функции). Если в дополнение к условиям теоремы известно, что в
окрестности W точки (хсьУо) существуют и непрерывны частные
производные отображения Fx, F'y, то в некоторой окрестности точки хо
функция у = f(x) непрерывно дифференцируема и ее производное
отображение вычисляется по формуле
/'(*) = -(F^xJ(x)))-1 ■ (F>x(xJ{x))). (9)
Μ То, что в индивидуальной точке х, в которой оператор i^(x, /(#))
обратим, производное отображение f'(x) существует и выражается в
виде (9), нам уже известно из формулы (8).
Остается проверить, что при сделанных предположениях функция
/'(#) непрерывна в некоторой окрестности точки χ = х$.
Билинейная функция (А, В) \-> А · В— произведение линейных
операторов А, В — является непрерывной функцией.
Оператор В = —F'x(x,f(x)) непрерывно зависит от χ как
композиция непрерывных функций χ \-ϊ (х,/(х)) н-> —Fx(x,f(x)).
То же самое можно сказать о линейном операторе A~l = F'y(x, /(#)).
Остается вспомнить (см. пример 6 из § 3), что отображение A~l \-> A
также непрерывно в области своего определения.
Таким образом, задаваемая формулой (9) функция }'{х) непрерывна
в некоторой окрестности точки χ = хо как композиция непрерывных
функций. ►
Теперь мы можем подвести итог и сформулировать следующее
общее
Утверждение. Если в дополнение к условиям теоремы о неявной
функции известно, что функция F принадлежит классу C(k\W,Z),

§ 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 123
то определяемая уравнением F(x,y) = О неявная функция у = f(x)
принадлежит классу в некоторой окрестности U точки х$.
< При к = О и к = 1 утверждение уже доказано. Общий случай
может теперь быть получен по индукции из формулы (9), если
заметить, что отображение C(Y;Z) Э А н-> A~l £ C(Z;Y) (бесконечно)
дифференцируемо и что при дифференцировании равенства (9) правая
часть всегда содержит производные от / на один порядок более низкие,
чем левая часть. Таким образом, последовательное дифференцирование
равенства (9) возможно столько раз, каков порядок гладкости
функции F. ►
В частности, если
/'(я)/ц = -(Fy(x,f(x)))-1 ■ (Fx(x,f(x)))hu
ТО
f"{x){huh2) = -d(i^(ar,/(ar)))-%i^(a:,/(a:))/»i -
- (F,y{x,S(x)))-xd{F,x{x,f{x))h{)h2 =
= (F^xJix^dFKxJixVhiF^xJix^F^xJix))^ -
- (Fy(x, №)ГН№х{х, f{x)) + F':y{x, f{x))f'{x))hx)h2 =
= (Fy(xJ(x)))-l((Fy!x(x,f(x)) + Fy!y(x,f(x))f'(x))h2) χ
X (i^fo/Or)))-1^*,/^))/»! - (^(Ζ,/ОГ)))-1 Χ
x ((Fx'x(x,f(x)) + F%f(x,f(x))f'(x))h1)h2.
В менее подробной, но более обозримой записи это означает, что
f"{x){huh2) = {F'y)-l[{{F''x + ^/ΟΜί^Γ^Λι -
- (К+ ^/>i)M· (Ю)
Так можно было бы в принципе получить выражение для
производной любого порядка от неявной функции, однако, как видно уже
из формулы (10), эти выражения в общем случае слишком громоздки,
чтобы быть удобными в употреблении. Посмотрим теперь, как
конкретизируются полученные результаты в важнейшем частном случае,
когда X = Мт, У = Μη, Ζ = W1.

124
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В этом случае отображение ζ = F(x, у) имеет координатное
представление
z1 = F\x\...,xm,y\..
zn _ Fn(xl,...,xm,y1,.
,Уп),
,Уп)·
(И)
Частные производные отображения Fx £ £(Mm;Mn), F'y £ C(W;]
задаются матрицами
F'
± X
dF1
dFn
~дхг
dF1
дхт
dFn
дхт
FL
dF1
ду1
dFn
~дуг
dF1
дуп
dFn
дуп
вычисленными в соответствующей точке (х,у).
Непрерывность Fx и Fy, как нам известно, равносильна
непрерывности всех элементов указанных матриц.
Обратимость линейного преобразования Fy(xo,yo) £ £(Mn;Rn)
равносильна невырожденности матрицы, задающей это преобразование.
Таким образом, в рассматриваемом случае теорема о неявной
функции утверждает, что если
l)F1(^,...,xgl,yi,...,y?) = 01
i^(xj,... ,^,νέ,... ,1/5) = 0;
2) Fl(xl,... ,xm,yl,... , yn), i = 1,... ,n, — функции, непрерывные в
точке (4,.. . ,х^,у0\... ,у£) e Mm x W1;
3) все частные производные ^-(х1,..., хт, у1,.
ду3
j = 1,..., η, определены в окрестности точки (xj,
непрерывны в самой этой точке;
4) в точке (xj,..., xft1, y^,..., у#) определитель
,уп), ι = Ι,.,.,π,
- ,^ο*>Ι/ο» - - - >1/о) и
aF1
at/1
dF1
dFn
~dyr
dFn
матрицы Fy отличен от нуля, то найдутся окрестность U точки хо =
= (xj, · · · 5 #(Γ) в ^т 5 окрестность V точки уо = (уо,..., Уо) в Мп и
отображение /: U —> Υ, имеющее в данном случае координатное пред ста-

§ 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
125
вление
у1 = fl(x\...,xm),
(12)
уп = fn(x\...,xm),
такие, что:
I7) в пределах окрестности U х V точки (xj, ..., я™, j/q, ..., yj) £
G Mm x IRn система уравнений
r ίν,.,.,Λϊ1 у") = о,
[ ^(ζ1,...,*™,*/1,...,^) = О
равносильна функциональной зависимости /: U —> V, выраженной
равенствами (12);
2'Ы =/44, ···,*&*)>
,.η _ fn(„\ ~m\.
УО ~ J vx0' · · · 5^0 /'
З7) отображение (12) непрерывно в точке (xj, · · · > я™, Уо> · · · > Уо )·
Если же, сверх того, известно, что отображение (11) принадлежит
классу гладкости С^к\ то, как следует из приведенного выше
утверждения, отображение (12) также будет принадлежать классу С^к\
разумеется, в соответствующей своей области определения.
Формула (9) в рассматриваемом случае конкретизируется,
превращаясь в матричное равенство
1 д£]_ \ -1
ду1 дуп \ I "g^r дхт
df] df1 \ / §EL йЕ1 \ L/ dF± dF±
'дх1 дхт 1
dfn dfn I
dx^ ' ' ' dxm /
0Fn dFn I \ 0Fn dFn
dy1 dyn / \ dx1 ' ' ' dxm
в котором левая часть вычисляется в точке (я1,... ,хт), а правая —в
соответствующей точке (х1,..., хт, у1,..., уп), где уг = /г(х\..., хт),
г = 1,... , п.
Если η = 1, т.е. когда решается относительно у уравнение
F(x\...,x™,y) = 0,
dF,„i
матрица F'y состоит из одного элемента — числа ί-(χ ,... ,xm,y). В
этом случае у = /(х1,..., хт) и
з/ 0/\_ (dF\~l(dF dF\
дх1' ' <9xm / \ду) \ дх1' ' <9х

126
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Формула (10) в этом случае также несколько упрощается, точнее,
может быть переписана в следующем более симметричном виде:
w// w- h ч (ρχχ + F"yf')hiF^h2 - (F{JX + F*'yf')h2Fxhi
f {x){huh2) = τψτψ · (14)
Если же и η = 1, и т = 1, то у = f(x) есть вещественнозначная
функция одного числового аргумента, и формулы (13), (14) предельно
упрощаются, превращаясь в знакомые числовые равенства
/'(*) = -$(*,!/),
f"(x) = (Fxx+Fxyf^K-iFyx+Fyyf'^x ίχ у\
для первых двух производных неявной функции, задаваемой
уравнением F(x,y) = 0.
Задачи и упражнения
1. а) Предположим, что наряду с указанной в теореме функцией f:U->Y
нашлась функция f:U->Y, определенная в некоторой окрестности U
точки хо и удовлетворяющая условиям уо = /(#о) и F(x, f(x)) =0bU. Докажите,
что если / непрерывна β^ο,τοβ некоторой окрестности точки хо функции /
и / совпадают.
Ь) Покажите, что без предположения о непрерывности / в хо
утверждение а, вообще говоря, неверно.
2. Проанализируйте еще раз доказательство теоремы о неявной функции
и дополнений к ней и покажите, что:
a) Если ζ = F(x,y) непрерывно дифференцируемая комплекснозначная
функция комплексных переменных ж, у, то определяемая уравнением F(x,y) =
= 0 неявная функция у = f(x) будет дифференцируемой по комплексному
переменному х.
b) В условиях теоремы пространство X не обязано быть нормированным,
а может быть любым топологическим пространством.
3. а) Выясните, симметрична ли форма fn(x)(hi,Ii2), заданная
соотношением (10).
b) Запишите в матричном виде формы (9) и (10) для случая числовых
функций F(xx,x2,y) и F{x,yl,y2).
c) Покажите, что если Μ Э t и- A(i) Ε £(Μη;Μη) есть бесконечно гладко
зависящее от параметра t семейство невырожденных матриц A(t), то
= 2Α [—Α ) -Α ι—τΑ \ где Αλ=Α λ(ί)
dt2 \dt J dt2

§ 7. ОБЩАЯ ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
127
— символ матрицы, обратной к матрице А = A(t).
4. а) Покажите, что дополнение 1 к теореме является прямым следствием
условий устойчивости неподвижной точки семейства сжимающих
отображений, рассмотренных в § 7 главы IX.
Ь) Пусть {At: X —> X}— семейство сжимающих отображений полного
нормированного пространства X в себя, зависящих от параметра £, который
изменяется в области Ω нормированного пространства Т. Покажите, что если
At(x) — φ(ί,χ) является функцией класса С^п\С1 χ Χ,Χ), то неподвижная
точка x(t) отображения At как функция t принадлежит классу (7^η^(Ω,Χ).
5. а) Опираясь на теорему о неявной функции, докажите следующую
теорему об обратном отображении.
Пусть д: G —>· X — отображение окрестности G точки уо полного
нормированного пространства Υ в нормированное пространство X.
Если отображение χ = д(у)
1° дифференцируемо в G,
2° д'(у) непрерывно в уо,
3° д'(уо) обратимый оператор,
то найдутся окрестность V С Υ точки уо в Υ и окрестность U С X
точки хо в X такие, что д: V —> U биективно, а обратное к нему отображение
f:U—>V непрерывно в U и дифференцируемо в хо, причем
Пхо) = (д'ЫГ1·
b) Покажите, что если сверх приведенных в а) условий известно, что
отображение д принадлежит классу C^(V, {/), то обратное отображение /
принадлежит классу C^n^(f/, V).
c) Пусть /: Шп —> Шп —гладкое отображение, у которого в любой точке
χ Ε W1 матрица/'(ж) невырождена и удовлетворяет неравенству ΙΚ/')"1^)!! >
> С > 0 с константой С, не зависящей от х. Покажите, что / — биективное
отображение.
d) Используя опыт решения задачи с), попробуйте дать некоторую оценку
радиуса той шаровой окрестности U = В(хо,г) точки #o> в которой заведомо
определено рассматриваемое в теореме об обратной функции отображение
f:U->V.
6. а) Покажите, что если линейные отображения А Е C(X\Y) и В Ε
Ε С(Х;Ж) таковы, что кегЛ С кег В (кег, как обычно, символ,
обозначающий ядро оператора), то найдется такое линейное отображение λ Ε £(У;М),
что В = λ · А.
Ъ) Пусть X и Υ — нормированные пространства, а /: X —> Ш и д: X —>
—> Υ — гладкие функции на X со значениями в Ε и У соответственно. Пусть
S — гладкая поверхность, задаваемая в X уравнением д(х) = уо.
Покажите, что если хо Ε S — точка экстремума функции /|s, то любой вектор Л,
касательный к 5 в точке хо, одновременно удовлетворяет двум условиям:
f'(xo)h = 0ng'(xo)h = 0.

128
ГЛ. X. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
c) Докажите, что если хо Ε S точка экстремума функции /|s, то f'(xo) =
= Х-д'(х0), где λ eC(Y;R).
d) Покажите, как из предыдущего результата получается классический
необходимый признак Лагранжа условного экстремума функции на гладкой
поверхности в Шп.
7. а) Вслед за Адамаром покажите, что непрерывное локально обратимое
отображение /: Шп -> Шп обратимо глобально, (т.е. является биективным)
тогда и только тогда, когда при χ —> оо также f(x) —> оо. Убедитесь, что
вместо Rn здесь можно поставить любое нормированное пространство. Как
надо понимать (или переформулировать) условия Адамара, если от Rn или
нормированного пространства перейти к любому их гомеоморфному образу?
b) Пусть F : Χ χ Υ —> Ζ — непрерывное отображение, определенное на
прямом произведении нормированных пространств X и Υ. Покажите, что
уравнение F(x,y) =0 относительно у разрешимо глобально (в том смысле, что
локальное непрерывное решение у = f(x) распространяется как таковое на все
пространство X) в точности при выполнении двух условий: уравнение имеет
непрерывное решение в окрестности любой точки (хо,Уо), удовлетворяющей
условию F(xo,yo) = 0; и в паре (ж,?/), удовлетворяющей условию F(x,y) = 0,
вторая координа может, непрерывно изменяясь, стремится к бесконечности
лишь если первая координата в своем пространстве тоже стремится к
бесконечности.
c) Вслед за Джоном покажите, что если непрерывное локально обратимое
отображение /: В —» Η единичного шара В нормированного пространства
Η таково, что локально (в каждой точке шара) оно меняет элемент длины не
более чем в к ^ 1 раз (растягивая или сжимая), то в шаре радиуса к~2 это
отображение заведомо инъективно. (Внимание: бесконечномерное
нормированное пространство сдвигом координат можно изометрично вложить в себя
в качестве собственного подпространства, но это отображение не является
обратимым или локально обратимым. Оно обратимо только как отображение
на свой образ.)

ГЛАВА XI
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Интеграл Римана на n-мерном промежутке
1. Определение интеграла
а. Промежуток в Rn и его мера
Определение 1. Множество I = {х е W1 \ аг ^ хг ^ Ьг, г =
= 1,... ,п} называется промежутком или координатным
параллелепипедом в W1.
Если желают отметить, что промежуток определяется точками а =
= (а1,..., ап) иЬ= (Ь1,..., Ьп), то его часто обозначают символом 1а^
или, по аналогии с одномерным случаем, записывают в виде а ^ χ ^ Ь.
Определение 2. Промежутку I = {х е W1 \ аг ^ хг ^ Ьг, г =
= 1,..., п} ставится в соответствие число |/| := Y[ (bl — аг), называемое
г=1
объемом или мерой промежутка.
Объем (меру) промежутка I обозначают также символами ν(Ι) или
μ(Ι).
Лемма 1. Мера промежутка в W1
a) однородна, т. е. если Х1а,ь := 1\ау\ь, где λ ^ О, то
|λ/α,6| = ληΙ4,6|;
b) аддитивна, т. е. если промежутки J, /χ,..., Д таковы, что I =
= |J /^ и промежутки /χ,..., Д попарно не имеют общих внутренних
г=1

к
точек, то \1\ = ]П |2j|;
г=1
с) если промежуток I покрыт конечной системой промежутков
к к
/ь...,4, т. е. I С (J Ιχ, то \I\ ^ ]П \1{\.
г=1 г=1
Все эти утверждения легко вытекают из определений 1 и 2.
b. Разбиение промежутка и база в множестве разбиений.
Пусть задан промежуток I = {х £ W1 \ аг ^ хг ^ Ьг, г = 1,..., π}.
Разбиения координатных отрезков [аг, Ьг], г = 1,..., п, индуцируют
разбиение промежутка / на более мелкие промежутки, получающиеся
прямым произведением промежутков разбиения указанных координатных
отрезков.
Определение 3. Описанное представление промежутка I (в виде
к
объединения I = [j Ij более мелких промежутков Ij) будем называть
разбиением промежутка I и обозначать символом Р.
Определение 4. Величина λ(Ρ) := max d(L) (максимального из
l^j^k
диаметров промежутков разбиения Р) называется параметром
разбиения Р.
Определение 5. Если в каждом промежутке Ij разбиения Ρ
фиксирована некоторая точка ^ £ Ij, то говорят, что имеется разбиение с
отмеченными точками.
Набор {£i,...,£fc}, как и прежде, будем обозначать одним
символом £, а разбиение с отмеченными точками — символом (Ρ, £).
В множестве V = {(Ρ, ξ)} разбиений с отмеченными точками
промежутка I вводится база λ(Ρ) —> О, элементы В^ (d > 0) которой, как
и в одномерном случае, определяются соотношением В^ := {(Ρ, ξ) £ V \
λ(Ρ) < d}.
То, что В = {Bd} — действительно база, следует из существования
разбиений с параметром λ(Ρ), сколь угодно близким к нулю.
c. Интегральная сумма и интеграл. Пусть /: J —» R — вещест-
веннозначная1) функция на промежутке J, а Р = {/χ,..., Д} — разбие-
1 ^Обратите внимание на то, что в последующих определениях можно было бы
считать, что значения / лежат в любом линейном нормированном пространстве.
Например, это могут быть пространство С комплексных чисел, пространства Rn, С1.

§ 1. ИНТЕГРАЛ РИМ AHA НА п-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ 131
ние этого промежутка с отмеченными точками ξ = {£ъ ..., &}.
Определение 6. Сумма
к
σ{ί,Ρ,ξ):=ΣΗξ№
t=l
называется интегральной суммой (Римана) функции /,
соответствующей разбиению (Ρ, ξ) с отмеченными точками промежутка /.
Определение 7. Величина
/
f(x)dx:= Hm σ(/,Ρ,ί),
λ(Ρ)->0
если указанный предел существует, называется интегралом (Римана)
от функции f на промежутке I.
Мы видим, что данное определение и вообще весь процесс
построения интеграла на промежутке I С W1 дословно повторяет уже
знакомую нам процедуру определения интеграла Римана на отрезке. Для
большего сходства мы даже оставили прежний вид f(x)dx
подынтегрального выражения. Равносильные, но более развернутые
обозначения интеграла таковы:
[/(хг,...,хп)ах1·...· dxn или Λ·· f f(xl,...,xn)dx1·...· dxn.
Чтобы подчеркнуть, что речь идет об интеграле по многомерной
области J, говорят, что это кратный интеграл (двойной, тройной
и т. д. в соответствии с размерностью I).
d. Необходимое условие интегрируемости
Определение 8. Если для функции /:/—>· R указанный в
определении 7 конечный предел существует, то / называется интегрируемой
(по Риману) функцией на промежутке I.
Множество всех таких функций будем обозначать символом И{1).
Проверим следующее простейшее необходимое условие
интегрируемости.

132
ГЛ. XL КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Утверждение 1. / £ TZ(I) => f ограничена на I.
Μ Пусть Ρ— произвольное разбиение промежутка I. Если
функция / неограничена на J, то она неограничена и на некотором
промежутке 1{0 разбиения Р. Если (Р, £'), (Ρ, ξ")—разбиения Ρ с такими
отмеченными наборами точек, что £' и ξ" отличаются только выбором
точек £·0, £"0 в промежутке Iio, то
W,P,a -а(/,Р,Г)| = 1/(4) -fiOW^ol
Меняя одну из точек ^ , ξ" , при неограниченности / в 7^0, мы могли
бы сделать правую часть последнего равенства сколь угодно большой.
В силу критерия Коши отсюда следует, что интегральные суммы
функции / не имеют предела при λ(Ρ) —> 0. ►
2. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману.
Изучая интеграл Римана в одномерном случае, мы уже познакомили
читателя (без доказательств) с критерием Лебега существования
интеграла. Здесь мы напомним некоторые понятия и докажем этот
критерий.
а. Множество меры нуль в Rn
Определение 9. Говорят, что множество Ε С W1 имеет (п-мер-
ную) меру нуль или является множеством меры нуль (в смысле Лебега),
если для любого ε > 0 существует покрытие множества Ε не более чем
счетной системой {1{} π-мерных промежутков, сумма Σ|1ΐ| объемов
г
которых не превышает ε.
Лемма 2. а) Точка и конечное число точек суть множества
меры нуль.
b) Объединение конечного или счетного числа множеств меры нуль
есть множество меры нуль.
c) Подмножество множества меры нуль само есть множество
меры нуль.
d) Невырожденный промежуток1^ 1а^ С W1 не является
множеством меры нуль.
^То есть такой промежуток 1а,ь = {χ Ε Шп \ аг ^ хг ^ Ьг, г = 1,... , п}, что при
любом значении г Ε {1,..., п) имеет место строгое неравенство аг < Ьг.

§ 1. ИНТЕГРАЛ РИМ AHA НА п-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ 133
Доказательство леммы 2 ничем не отличается от доказательства ее
одномерного варианта, рассмотренного в п. 3d, § 1, гл. VI, поэтому мы
на нем не останавливаемся.
Пример 1. Множество рациональных точек в Rn (точек, все
координаты которых рациональны) счетно и потому является
множеством меры нуль.
Пример 2. Пусть /: I —> R— непрерывная вещественнозначная
функция, определенная на (п — 1)-мерном промежутке I С Rn_1.
Покажем, что ее график в Rn есть множество n-мерной меры нуль.
Μ Поскольку функция / равномерно непрерывна на J, то по ε > О
найдем δ > О так, чтобы для любых точек #ι,#2 £ I при условии
\х\ — %2\ < δ иметь \f(x\) — /(#2)| < ε· Если теперь взять разбиение
Ρ промежутка I с параметром Х(Р) < £, то на каждом промежутке 1{
такого разбиения колебание функции / будет меньше ε. Значит, если
Xi — произвольная фиксированная точка промежутка 2^, то п-мерный
промежуток Ц = 1{Х [f(xi) — ε, f(xi) + ε], очевидно, содержит всю часть
графика функции /, которая лежит над промежутком 7^, а
объединение |J 1{ промежутков 1{ покрывает весь график функции / над I. Но
г
ΣΙ^Ι = ΣΙ^Ι * 2ε = 2ε|/| (здесь \Ц\—объем /^ в Rn_1, \Ц\—объем 1{
г г
в Rn). Таким образом, уменьшая ε, действительно можно общий объем
покрытия сделать сколь угодно близким к нулю. ►
Замечание 1. Сопоставляя утверждение Ь) леммы 2 с
примером 2, можно заключить, что вообще график непрерывной функции
/: Rn_1 -» R или непрерывной функции /: Μ -> R, где Μ С Rn_1
является множеством п-мерной меры нуль в Rn.
Лемма 3. а) Класс множеств меры нуль не изменится от того,
понимать ли в определении 9 покрытие множества Ε системой
промежутков {1{} в обычном смысле, т. е. считая Ε С U^? или в более
г
жестком смысле, требуя, чтобы каждая точка множества была
внутренней точкой по крайней мере одного из промежутков покрытия1^.
'Иными словами, все равно, иметь ли в виду в определении 9 замкнутые или
открытые промежутки.

134
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
b) Компакт К в Шп является множеством меры нуль в том и
только в том случае, если для любого ε > О существует конечное
покрытие К промежутками, сумма объемов которых меньше ε.
Μ а) Если {1{}—покрытие множества Е, т. е. Ε С (J^5 причем
г
Σ \Ι%\ < ε5 το5 взяв вместо каждого промежутка 1{ гомотетичный ему
г
относительно его центра промежуток 7^, получим систему
промежутков {1{} такую, что Σ \Ii\ < ληε, где λ — общий для всех промежутков
коэффициент гомотетии. Если λ > 1, то, очевидно, система {1{} будет
покрывать множество Ε так, что любая точка Ε является внутренней
точкой по крайней мере одного из промежутков покрытия.
Ь) Это следует из а) и возможности извлечь конечное покрытие из
любого открытого покрытия компакта К. (В качестве такого
покрытия может выступать система {Ii \ dli) открытых промежутков,
получаемая из рассмотренной в а) системы {Ii}.) ►
b. Одно обобщение теоремы Кантора. Напомним, что
колебанием функции /: Ε —> R на множестве Ε мы назвали величину
о;(/; Е) := sup \f{x\) — /(#2)|5 а колебанием функции в точке χ £ Ε —
величину ω{}\ χ) := lim ω{}\ Ϊ7^(χ)), где Ug(x) — ί-окрестность точки х
δ—>ο
в множестве Ε.
Лемма 4. Если в каждой точке компакта К для функции / :
К —> R имеет место соотношение ω{}\χ) ^ ω$, то для любого ε > О
найдется δ > О такое, что для любой точки χ £ К будет выполнено
неравенство cu(f; U^(x)) < ωο + ε.
При ωο = О это утверждение превращается в теорему Кантора о
равномерной непрерывности функции, непрерывной на компакте.
Доказательство леммы 4 буквально повторяет схему доказательства
теоремы Кантора (п. 2, § 2, гл. VI), поэтому мы на нем не задерживаемся.
c. Критерий Лебега. Как и прежде, будем говорить, что
некоторое свойство имеет место почти во всех точках множества Μ или
выполнено почти всюду на М, если подмножество М, где это свойство
может нарушаться, имеет меру нуль.

§ 1. ИНТЕГРАЛ РИМ AHA НА п-МЕРНОМ ПРОМЕЖУТКЕ 135
Теорема 1 (критерий Лебега). / £ TZ(I) ^ (/ ограничена на /)Л
Л(/ непрерывна почти всюду на I).
Μ Необходимость. Если / £ ??,(/), то по утверждению 1
функция / ограничена на I. Пусть |/| ^ Μ на /.
Проверим, что / непрерывна почти во всех точках I. Для этого
покажем, что если множество Ε точек разрыва функции не есть
множество меры нуль, то / 0 7£(7).
оо
Действительно, представив Ε в виде Ε — (J Еп, где Еп = {χ £
n=l
£ Ι | ω{}\χ) ^ 1/™}, на основании леммы 2 заключаем, что если Ε
не имеет меру нуль, то найдется номер щ такой, что множество ЕПо
тоже не есть множество меры нуль. Пусть Ρ — произвольное разбиение
промежутка I на промежутки {/г}· Разделим промежутки разбиения Ρ
на две группы 4иВ, где
А = U £ Ρ | Ii Π Εηο φ 0 Λ «;(/; h) > ^- } , a Β = Ρ \ Α.
Система промежутков А образует покрытие множества ЕПо. В
самом деле^ каждая точка ЕПо лежит либо внутри некоторого
промежутка 1{ £ Ρ, и тогда, очевидно, 1{ £ А, либо на границе некоторых
промежутков разбиения Р. В последнем случае хотя бы на одном из этих
промежутков колебание функции должно быть (в силу неравенства
треугольника) не менее чем ^-, и он войдет в систему А.
Покажем теперь, что, выбирая различным образом набор ξ
отмеченных точек в промежутках разбиения Р, мы можем заметно менять
величину интегральной суммы.
Именно, выберем наборы точек £', £" так, чтобы в промежутках
системы В отмеченные точки обоих наборов совпадали, а в
промежутках Ii системы А точки ξ'{, ξ" выберем так, что /(£ί)-/(£") > д^· Тогда
\σ(/,Ρ,ξ')-σ(/,Ρ,ξ")\ =
>щ;Е\1г\>оо.
he а
Σ (/(«)-/ОН
|Л€Л
Существование такой постоянной с вытекает из того, что промежутки
системы А образуют покрытие множества ЕПо, которое по
предположению не есть множество меры нуль.
Поскольку Ρ было произвольным разбиением промежутка J, на
основании критерия Коши заключаем, что интегральные суммы σ(/, Ρ, ξ)

136
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
не могут иметь предел при λ(Ρ) —> О, т.е. / 0 7£(7).
Достаточность. Пусть ε — произвольное положительное число,
а Εε — {χ £ I I α;(/;χ) ^ ε}. По условию Εε есть множество меры нуль.
Кроме того, Εε, очевидно, замкнуто в J, поэтому Εε —компакт.
По лемме 3 существует такая конечная система 1\,..., Д промежутков
в Rn, что Εε С U ^ и Σ 1^г| < £· Положим Ci = (J 1{, а через С2 и Сз
обозначим объединение промежутков, полученных из промежутков 1{
гомотетией с центром в центре 1{ и коэффициентом 2 и 3
соответственно. Ясно, что Εε лежит строго внутри C<i и что расстояние d между
границами множеств C<i и Сз положительно.
Отметим, что сумма объемов любой конечной системы
промежутков, которые лежат в Сз и попарно не имеют общих внутренних точек,
не больше чем 3ηε, где η — размерность пространства W1. Это следует
из определения множества Сз и свойств меры промежутка (лемма 1).
Отметим также, что любое подмножество промежутка J, диаметр
которого меньше d, либо содержится в множестве Сз, либо лежит в
компакте К = I \ (C2 \ дСъ), где дСч — граница C<i (и, следовательно,
С2 \ <9С2 —совокупность внутренних точек множества С2).
По построению Εε С I \ К, поэтому в любой точке χ £ К должно
быть α;(/; χ) < ε. По лемме 4 найдется число δ > О такое, что для любой
пары точек χι,Χ2 £ К, удаленных друг от друга не больше чем на ί,
имеет место неравенство \f{x\) - /(#2)! < 2ε.
Сделанные построения позволяют теперь следующим образом
провести доказательство достаточности условий интегрируемости. Берем
любые два разбиения Ρ', Р" промежутка I с параметрами λ(Ρ'), λ(Ρ")
меньшими, чем λ = min{d, δ}. Пусть Ρ — разбиение, полученное
пересечением промежутков разбиений Р', Р", т.е. в естественных
обозначениях Ρ = {Iij = 1[ Π /''}. Сравним интегральные суммы σ(/, Ρ, ξ) и
σ(/, Ρ',ξ'). Учитывая, что |/г'| = ]Г |/^|, можно записать:
\σ(/,Ρ',ξ')-σν,Ρ,ξ)\ =
<
Σ(/(£)-/(^·))ΐ/ϋΐ
Ι υ
^ Σχ 1/(3) - /(iy)ll^l + Σ2 Ι/β) - /(ί«)Μ·
Здесь в первую сумму Σι вошли те промежутки /^ разбиения Р,

§ 1. ИНТЕГРАЛ РИМАНА НА n-ΜΕΡΗΟΜ ПРОМЕЖУТКЕ 137
которые лежат в промежутках 1[ разбиения Р7, содержащихся в
множестве Сз, а остальные промежутки разбиения Ρ отнесены к сумме ^2>
т.е. все они обязательно содержатся в К (ведь λ(Ρ) < d).
Поскольку |/| ^ Μ на /, заменяя в первой сумме |/(^) - f{£ij)\
величиной 2М, заключаем, что первая сумма не превосходит 2М · 3ηε.
Учитывая, что во второй сумме £^£г? £ Ц С К, а λ(Ρ7) < ί,
заключаем, что |/(^) - f{£ij)\ < 2ε, и, следовательно, вторая сумма не
превосходит 2ε\Ι\.
Таким образом, |σ(/,Ρ7,£7) - σ(/,Ρ,£)Ι < (2Af · 3n + 2|/|)ε, откуда
(ввиду равноправности Р7 и Р77), используя неравенство треугольника,
получаем, что
Η/,Ρ',ξ') - σ(/,Ρ",ξ")\ < 4(3nM + |/|)ε
для любых разбиений Ρ7, Ρ" с достаточно малыми параметрами. В силу
критерия Коши теперь заключаем, что / £ ΤΖ(Ι). ►
Замечание 2. Поскольку критерий Коши существования
предела функций имеет силу в любом полном метрическом пространстве,
то критерий Лебега в его достаточной (но не в необходимой) части,
как видно из доказательства, справедлив для функций со значениями в
любом полном линейном нормированном пространстве.
3. Критерий Дарбу. Рассмотрим еще один полезный критерий
интегрируемости функции по Риману, применимый уже только к ве-
щественнозначным функциям.
а. Нижние и верхние интегральные суммы. Пусть / — вещест-
веннозначная функция на промежутке J, а Р = {/г·}— разбиение
промежутка I. Положим
mi = inf /(x), Mi = sup f(x).
Определение 10. Величины
s(f,P) = Yimi\Ii\, S(f,P) = YiMi\Ii\
г г
называются соответственно нижней и верхней интегральной суммой
(Дарбу) функции f на промежутке I, отвечающей разбиению Ρ этого
промежутка.

138
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Лемма 5. Между интегральными суммами функции f:I—> Ш
имеют место следующие соотношения:
a) *(/, Р) = inf σ(/, Ρ, ξ) ζ σ(/, Ρ, ί) < supσ(/, Ρ, ξ) = S(/, Ρ);
b) если разбиение Ρ' промежутка I получается измельчением
промежутков разбиения Р, то s(f,P) ^ s(/, Р') ^ 5(/, Р') ^ 5(/, Р);
c) длл любой пары Р\, Ρ<ι разбиений промежутка I справедливо
неравенство s(/, Pi) ^ 5(/, Рг).
^ Соотношения а) и Ь) непосредственно следуют из определений 6
и 10 с учетом, разумеется, определений верхней и нижней граней
числового множества.
Для доказательства соотношения с) достаточно рассмотреть
вспомогательное разбиение Р, получающееся пересечением промежутков
разбиений Ρχ и Ρ<ι. Разбиение Ρ можно рассматривать как измельчение
каждого из разбиений Ρχ, Рг, поэтому из соотношений Ь) следует, что
*(/, А) < s(f, Ρ) < 5(/, Ρ) < 5(/, Р2). ►
Ь. Нижний и верхний интегралы
Определение 11. Нижним и верхним интегралом (Дарбу) от
функции f: I ^ Ж на промежутке I называются соответственно
величины
J = sups(/,P), J = inf 5(/,P),
Ρ ρ
где верхняя и нижняя грани берутся по всевозможным разбиениям Ρ
промежутка J.
Из этого определения и указанного в лемме 3 свойства сумм Дарбу
следует, что для любого разбиения Ρ промежутка имеют место
неравенства
s(f,P)^J^ J<5(/,P).
Теорема 2 (Дарбу). Длл любой ограниченной функции /: J —» R
имеют место утверждения
(3Λ(^ο5(/·Ρ))Λ(Λ<^οί(/·Ρ)=ί);

§ 1. ИНТЕГРАЛ РИМАНА НА n-ΜΕΡΗΟΜ ПРОМЕЖУТКЕ 139
^ Если сопоставить эти утверждения с определением 11, то
становится ясно, что в сущности надо лишь доказать существование
указанных пределов. Проверим это для нижних интегральных сумм.
Фиксируем ε > О и такое разбиение Ρε промежутка J, для которого
s(f,P£) > J_ - е. Пусть Γε — совокупность точек промежутка J,
лежащих на границе промежутков разбиения Ρε. Как следует из примера 2,
Γε есть множество меры нуль. Ввиду простоты структуры
множества Γε очевидно даже, что найдется число λε такое, что для любого
разбиения Р, для которого λ(Ρ) < λε, сумма объемов тех его
промежутков, которые имеют общие точки с Γε, меньше чем ε.
Взяв теперь любое разбиение Ρ с параметром λ(Ρ) < λε, образуем
вспомогательное разбиение Р', получаемое пересечением промежутков
разбиений Ρ и Ρε. В силу выбора разбиения Ρε и свойств сумм Дарбу
(лемма 5), находим
J-e<s(f,Pe)<s(f,P')^J.
Теперь заметим, что в суммах s(/, Р') и s(/, P) общими являются
все слагаемые, которые отвечают промежуткам разбиения Р, не
задевающим Γε. Поэтому, если |/(х)| ^ Μ на J, то
\s(f,P')-s(f,P)\<2Me
и, с учетом предыдущих неравенств, таким образом находим, что при
λ(Ρ) < λε имеет место соотношение
J-s(f,P)<(2M + l)e.
Сопоставляя полученное соотношение с определением 11, заключаем,
что предел lim s(f,P) действительно существует и равен J.
λ(Ρ)->0
Аналогичные рассуждения можно провести и для верхних сумм. ►
с. Критерий Дарбу интегрируемости вещественнозначной
функции
Теорема 3 (критерий Дарбу). Определенная на промежутке I С
С W1 вещественнозначная функция f:I—> Ш интегрируема на нем
тогда и только тогда, когда она ограничена на I и ее нижний и верхний
интегралы Дарбу совпадают.

Итак,
f £ TZ(I) <<f=> (/ ограничена на I) /\{J_ = J)-
Μ Необходимость. Если / £ 7£(J), то по утверждению 1
функция / ограничена на I. Из определения 7 интеграла, определения 11
величин J_, J и п.а) леммы 5 следует, что в этом случае также J_= J.
Достаточность. Поскольку s(f,P) ^ σ(/,Ρ,ξ) ^ 5(/,Ρ), то
при J_ — J крайние члены этих неравенств по теореме 2 стремятся к
одному и тому же пределу, когда λ(Ρ) —> 0. Значит, σ(/, Ρ, ξ) имеет и
притом тот же предел при λ(Ρ) —> 0. ►
Замечание 3. Из доказательства критерия Дарбу видно, что
если функция интегрируема, то ее нижний и верхний интегралы Дарбу
совпадают между собой и равны значению интеграла от этой функции.
Задачи и упражнения
1. а) Покажите, что множество меры нуль не имеет внутренних точек.
b) Покажите, что если множество не имеет внутренних точек, то это вовсе
не означает, что это множество меры нуль.
c) Постройте множество, имеющее меру нуль, замыкание которого
совпадает со всем пространством Шп.
d) Говорят, что множество Ε С I имеет объем нуль, если для любого
ε > 0 его можно покрыть конечной системой 1\,..., Ik промежутков так, что
к
Σ \1г\ < £· Всякое ли ограниченное множество меры нуль имеет объем нуль?
г=1
e) Покажите, что если множество Ε С Мп является прямым произведением
Ε χ е прямой Ε и множества е С Εη_1 (η — 1)-мерной меры нуль, то Ε есть
множество n-мерной меры нуль.
2. а) Постройте аналог функции Дирихле в Еп и покажите, что если
ограниченная функция /: / —> Ε равна нулю почти во всех точках промежутка /,
то это еще не означает, что / Ε Щ1).
Ь) Покажите, что если / Ε И{1) и f(x) =0 почти во всех точках
промежутка /, то f f(x) dx = 0.
3. Между прежним определением интеграла Римана на отрезке /С1и
определением 7 интеграла на промежутке произвольной размерности имеется
маленькое различие, связанное с определением разбиения и меры промежутка
разбиения. Уясните для себя этот нюанс и проверьте, что
б
/ f(x) dx = f(x) dx, если а < b
a I

§ 2. ИНТЕГРАЛ ПО МНОЖЕСТВУ
141
и
б
ff(x)dx=-fmdx, если а > 6,
α /
где / — промежуток на прямой Ε с концами а, Ь.
4. а) Докажите, что определенная на промежутке I С W1 вещественно-
значная функция /:/—>· R интегрируема на нем тогда и только тогда,
когда для любого ε > О существует такое разбиение Ρ промежутка /, что
S(f,P)-s(f,P)<e.
b) Используя результат а) и считая, что рассматривается вещественно-
значная функция /: / —> Е, можно несколько упростить доказательство
критерия Лебега в разделе, относящемся к достаточности. Постарайтесь
самостоятельно сделать эти упрощения.
§ 2. Интеграл по множеству
1. Допустимые множества. В дальнейшем нам предстоит
интегрировать функции не только по промежутку, но и по другим не
слишком сложным множествам в W1.
Определение 1. Множество Ε С W1 будем называть
допустимым, если оно ограничено в W1 и его граница дЕ есть множество меры
нуль (в смысле Лебега).
Пример 1. Куб, тетраэдр, шар в R3 (W1) являются допустимыми
множествами.
Пример 2. Пусть определенные на (п— 1)-мерном промежутке / £
£ W1 функции ψ{\ I —> R, г = 1,2, таковы, что ψ\(χ) < ψ2{χ) в любой
точке χ £ /. Если эти функции непрерывны, то на основании примера 2
из § 1 можно утверждать, что область в W1, ограниченная графиками
этих функций и боковой цилиндрической поверхностью, лежащей над
границей д1 промежутка /, является допустимым множеством в W1.
Напомним, что граница дЕ множества Ε С W1 состоит из точек,
в любой окрестности которых имеются как точки множества Е, так и
точки дополнения Ε в W1. Значит, справедлива
Лемма 1. Для любых множеств Е,Е\,Е2 С W1:
a) дЕ—замкнутое в W1 множество;
b) д(Ег U Е2) С дЕх U дЕ2;
c) д(Ег Π Ε2) С дЕг U дЕ2\

142
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
d) d{Ei\E2) СдЕгидЕ2.
Отсюда и из определения 1 вытекает, что имеет место
Лемма 2. Объединение или пересечение конечного числа
допустимых множеств является допустимым множеством; разность
допустимых множеств — тоже допустимое множество.
Замечание 1. Для бесконечного количества допустимых
множеств лемма 2, вообще говоря, неверна, как, впрочем, и
соответствующие утверждения Ь) и с) леммы 1.
Замечание 2. Граница допустимого множества — не только
замкнутое, но и ограниченное множество в Rn, т.е. это — компакт в W1.
Значит, по лемме 3 из § 1 ее можно покрыть даже конечной системой
промежутков со сколь угодно близкой к нулю суммой объемов.
Рассмотрим теперь характеристическую функцию
, ν _ Г 1, если χ £ Е,
XeW ~ \ 0, если χ 0 Я
допустимого множества Е. Как и для любого множества Е, функция
χ (х) имеет разрывы в граничных и только в граничных точках
множества Е. Значит, если Ε — допустимое множество, то функция xF{x)
непрерывна почти во всех точках пространства W1.
2. Интеграл по множеству. Пусть / — определенная на
множестве Ε функция. Условимся, как и прежде, символом fxF(x) обозначать
функцию, равную f(x) при χ £ Ε и равную нулю вне Ε (хотя / вне Ε
не определена).
Определение 2. Интеграл от функции f по множеству Ε
определяется соотношением
/ f{x)dx := / fxE(x)dx,
Ε IDE
где J — произвольный промежуток, содержащий множество Е.
Если стоящий в правой части равенства интеграл не существует,
то говорят, что / неинтегрируема (по Риману) на множестве Е. В
противном случае / называется интегрируемой (по Риману) на
множестве Е.

§ 2. ИНТЕГРАЛ ПО МНОЖЕСТВУ
143
Совокупность интегрируемых по Риману на множестве Ε функций
будем обозначать символом 1Ζ(Ε).
Определение 2, разумеется, требует пояснения, которое доставляет
Лемма 3. Если 1\ и 1<ι — два промежутка, содержащие порознь
множество Е, то интегралы
I fxE(x)dx, / fxE{x)dx
h h
существуют или не существуют одновременно, причем в первом
случае их значения совпадают.
Μ Рассмотрим промежуток I = /χ Π 1<χ. По условию I D Е. Точки
разрыва функции /χ либо совпадают с точками разрыва функции /
на Е, либо проистекают от разрывов функции χ и лежат на дЕ. Во
всяком случае, все эти точки лежат в J П /χ П /г. По критерию Лебега
(теорема 1, § 1) отсюда следует, что интегралы от /χ по
промежуткам J, /], 1<ι существуют или не существуют одновременно. Если они
существуют, то мы вправе выбирать разбиения J, /χ, 1<ι по своему
усмотрению. Будем поэтому брать только те разбиения промежутков /χ, 1<ι,
которые получаются продолжением разбиений промежутка / = /χ Π 1<ι.
Поскольку вне / рассматриваемая функция равна нулю, интегральные
суммы, отвечающие описанным разбиениям /χ и /2, сведутся к
интегральной сумме соответствующего разбиения промежутка /. После
предельного перехода отсюда получается, что интегралы по /χ и 1^ равны
интегралу от рассматриваемой функции по промежутку /. ►
Из критерия Лебега (теорема 1, §1) существования интеграла на
промежутке и определения 2 вытекает
Теорема 1. Функция /: Ε —> R интегрируема на допустимом
множестве тогда и только тогда, когда она ограничена и непрерывна
почти во всех точках множества Е.
Μ Функция /χ по сравнению с функцией / может иметь
дополнительно точки разрыва лишь на границе дЕ множества Е, которая по
условию является множеством меры нуль. ►

144
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3. Мера (объем) допустимого множества
Определение 3. Мерой (Жордана) или объемом ограниченного
множества Ε С W1 назовем величину
μ(Ε) := / 1 · dx,
Ε
если указанный интеграл (Римана) существует.
Поскольку
l-dx= / xE{x)dx,
Ε IDE
а множество точек разрыва функции χ совпадает с дЕ, то по
критерию Лебега получаем, что так введенная мера определена только для
допустимых множеств.
Таким образом, допустимые множества и только они являются
измеримыми в смысле определения 3.
Выясним теперь геометрический смысл величины μ(Ε). Если Ε —
допустимое множество, то
№)= / XE{x)dx= / χΕ{χ)άχ= / χΕ{χ)άχ,
IDE fDE IDE
где последние два интеграла суть нижний и верхний интегралы
Дарбу соответственно. В силу критерия Дарбу существования интеграла
(теорема 3 § 1) мера μ{Ε) множества определена тогда и только тогда,
когда указанные нижний и верхний интегралы совпадают. По теореме
Дарбу (теорема 2 § 1) они являются пределами нижних и верхних
интегральных сумм функции χ , отвечающих разбиениям Ρ промежутка I.
Но в силу определения функции χ нижняя интегральная сумма
равна сумме объемов промежутков разбиения Р, лежащих в Ε (это объем
вписанного в Ε многогранника), а верхняя сумма равна сумме объемов
тех промежутков разбиения Р, которые имеют общие точки с
множеством Ε (объем описанного многогранника). Значит, μ{Ε) есть общий
предел при λ(Ρ) —> 0 объемов вписанных в Ε и описанных около Ε
многогранников, что совпадает с принятым представлением об объеме
простых тел Ε С W1.

§ 2. ИНТЕГРАЛ ПО МНОЖЕСТВУ
145
При η = 1 объем принято называть длиной, а при η = 2 — площадью.
Замечание 3. Поясним теперь, почему вводимая определением 3
мера μ(Ε) множества называется иногда мерой Жор дана.
Определение 4. Множество £ С IP называется множеством
меры нуль в смысле Жордана или множеством объема нуль, если для
любого ε > О его можно покрыть такой конечной системой промежут-
к
ков /ь ..., 4, что ]П |Ji| < ε.
г=1
По сравнению с мерой нуль в смысле Лебега здесь появилось
требование конечности покрытия, которое сужает лебеговский класс
множеств меры нуль. Например, множество рациональных точек является
множеством меры нуль в смысле Лебега, но не в смысле Жордана.
Для того, чтобы верхняя грань объемов вписанных в
ограниченное множество Ε многогранников совпадала с нижней гранью объемов
описанных около Ε многогранников (и служила мерой μ(Ε) или
объемом Е), очевидно, необходимо и достаточно, чтобы граница дЕ
множества Ε имела меру нуль в смысле Жордана. Именно поэтому
принимают
Определение 5. Множество Ε называется измеримым в смысле
Жордана, если оно ограничено и его граница имеет меру нуль в смысле
Жордана.
Как видно из замечания 2, класс множеств, измеримых по Жордану,
это в точности тот класс допустимых множеств, который был введен
определением 1. Вот почему определенная выше мера μ(Ε) может быть
названа (и называется) мерой Жордана множеств Ε (измеримых по
Жордану).
Задачи и упражнения
1. а) Покажите, что если множество ЕсМп таково, что μ(Ε) = 0, то и
для замыкания Ε этого множества справедливо равенство μ(Ε) =0.
b) Приведите пример ограниченного множества Ε меры нуль в смысле
Лебега, замыкание Ε которого уже не является множеством меры нуль в смысле
Лебега.
c) Выясните, надо ли понимать утверждение Ь) леммы 3 из § 1 как то, что
для компакта понятия множества меры нуль в смысле Жордана и в смысле
Лебега совпадают.

146
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
d) Докажите, что если проекция ограниченного множества Ε С Шп на
гиперплоскость Εη_1 имеет (п — 1)-мерный объем нуль, то само множество Ε
имеет n-мерный объем нуль.
e) Покажите, что измеримое по Жор дану множество без внутренних точек
имеет нулевой объем.
2. а) Может ли существовать введенный определением 2 интеграл от
некоторой функции / по ограниченному множеству Е, если Ε не является
допустимым множеством (измеримым в смысле Жор дана)?
b) Интегрируема ли постоянная функция /: Ε —> Ш на ограниченном, но
неизмеримом по Жордану множестве Е?
c) Верно ли, что если некоторая функция / интегрируема на множестве Е,
то ограничение /\д, этой функции на любое подмножество А С Ε
множества Ε является интегрируемой на А функцией?
d) Укажите необходимые и достаточные условия на функцию /: Ε —> Ε,
определенную на ограниченном (но не обязательно измеримом по Жордану)
множестве Е, при которых интеграл Римана от нее по множеству Ε
существует.
3. а) Пусть Ε-множество меры нуль в смысле Лебега, а /: Ε —> Ε —
непрерывная и ограниченная функция на Е. Всегда ли / интегрируема на Е?
b) Ответьте на вопрос а), считая Ε множеством меры нуль в смысле Жор-
дана.
c) Чему равен интеграл от указанной в а) функции /, если он существует?
4. Неравенство Брунна - Минковского.
Непустым множествам Л, В С Мп сопоставим их (векторную) сумму (в
смысле Минковского) А+В := {α+b \ а е Л, Ъ Ε В}. Пусть V(E) —обозначение
для объема множества Ε С Шп.
a) Проверьте, что если А и В стандартные n-мерные промежутки
(параллелепипеды), то
V1/n{A + B)^ V1/n(A) + V1/n(B).
b) Докажите теперь предыдущее неравенство (оно называется
неравенством Брунна - Минковского) для произвольных измеримых компактов А и В.
c) Покажите, что неравенство Брунна - Минковского переходит в
равенство лишь в следующих случаях: когда V(A+B) = 0; когда А и В одноточечны;
когда А и В выпуклые гомотетичные тела.
§ 3. Общие свойства интеграла
1. Интеграл как линейный функционал
Утверждение 1. а) Множество 1Z(E) функций, интегрируемых
по Риману на ограниченном множестве Ε С W1, является линейным

§ 3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА
147
пространством относительно стандартных операций сложения
функций и умножения функции на число.
Ъ) Интеграл является линейным функционалом
/ : 11(E) —> R на пространстве 11(E).
Ε
Μ Если учесть, что объединение множеств меры нуль также
является множеством меры нуль, то утверждение а) вытекает
непосредственно из определения интеграла и критерия Лебега существования
интеграла от функции на промежутке.
Учитывая линейность интегральных сумм, предельным переходом
получаем линейность интеграла. ►
Замечание 1. Если вспомнить, что один и тот же предел
интегральных сумм должен существовать при Х(Р) —» О независимо от
выбора отмеченных точек £, то можно заключить, что (/ £ 11(E)) /\(f(x) =
= О почти всюду на Е) => I f f(x) dx = О 1.
Таким образом, если две интегрируемые функции совпадают почти
во всех точках множества Е, то их интегралы по Ε тоже совпадают.
Значит, если профакторизовать линейное пространство 11(E), относя
в один класс эквивалентности функции, совпадающие почти во всех
точках множества Е, то получится линейное пространство И(Е), на
котором интеграл тоже будет линейным функционалом.
2. Аддитивность интеграла. Хотя мы всегда будем иметь дело
с допустимыми множествами Ε С IRn, в п. 1 можно было этого и не
предполагать (что мы и сделали). Теперь же речь будет идти только о
допустимых множествах.
Утверждение 2. Пусть Е\, Е^ —допустимые множества в W1,
a f — функция, определенная на Е\ U #2·
а) Имеют место соотношения
3 J f(x)dx\ *=> Ш/(х)ах)/\Ы/(х)ах) ^3 J f(x)dx.
<EiUE2 / \ Ει / \ Е2 / ΕιΠΕ2

148
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
b) Если еще известно, что μ(Ε\ Π Ε2) = О, то при условии
существования интегралов имеет место равенство
/ f(x)dx= / f(x)dx+ / f(x)dx.
E1UE2 Ει Ει
< Утверждение а) следует из критерия Лебега существования
интеграла Римана по допустимому множеству (теорема 1, §2). При этом
надо только вспомнить, что объединение и пересечение допустимых
множеств также являются допустимыми множествами (лемма 2, §2).
Для доказательства утверждения Ь) заметим сначала, что
ХеюеъЮ =ΧΕι(χ) + ΧΕ2(χ) -ХешеьМ-
Значит,
/ /(*)<**= J fXElUE2(x)dx =
E1UE2 IDE1UE2
= J fXEl (x) dx + J fxE2 (x) dx- J fxEinE2 (x) dx =
III
= J f{x)dx+ J f{x)dx.
Ει E2
Дело в том, что интеграл
/ f*E1nE2MdX= J f№dX'
Е1ПЕ2
как нам известно из а), существует, а поскольку μ(Ε\ Π Ε2) = О, то он
равен нулю (см. замечание 1). ►
3. Оценки интеграла
а. Общая оценка. Начнем с одной общей оценки интеграла,
справедливой и для интегралов от функции со значениями в любом полном
линейном нормированном пространстве.

§ 3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА
149
Утверждение 3. Если f £ ЩЕ), то |/| £ 1Z(E) и имеет место
неравенство
[f(x)dxU f\f\(x)dx.
Ε \ Ε
Μ То, что 1/1 G ΤΖ{Ε), вытекает из определения интеграла по
множеству и критерия Лебега интегрируемости функции на промежутке.
Указанное неравенство получается теперь предельным переходом из
соответствующего неравенства для интегральных сумм. ►
Ь. Интеграл от неотрицательной функции. Следующие
утверждения относятся уже только к вещественнозначным функциям.
Утверждение 4. Для функции /: Ε —> R справедливо следующее
предложение:
(/ е ЩЕ)) Λ (Ух е E(f(x) ^ 0)) =Ф I f(x) dx > 0.
Ε
< Действительно, ведь если f(x) ^ 0 на Е, то fxE(x) ^ 0 в Р.
Далее, по определению
/ f{x)dx= / fxE{x)dx.
Ε IDE
Последний интеграл по условию существует. Но он является
пределом неотрицательных интегральных сумм, значит, он
неотрицателен. ►
Из доказанного утверждения 4 последовательно получаем
Следствие 1.
{f,geU{E))A{f ^днаЕ) =* I J f{x)dx ^ ί g{x)dx
\ Ε Ε У
Следствие 2. Если f £ 11(E) и в любой точке допустимого
множества Ε выполнены неравенства т ^ f(x) ^ М, то
τημ(Ε) ζ / f(x)dx ^ Μμ(Ε).
Ε

150
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Следствие 3. Если / £ ЩЕ), га = inf f(x), M = sup f(x), mo
X^E xeE
найдется такое число θ £ [га, Μ], что
J /(χ)άχ = θμ(Ε).
Ε
Следствие 4· Если Е — связное допустимое множество и
функция f: Ε —» R непрерывна, то найдется такая точка ξ £ Ε, что
j f{x)dx = f{£ME).
Ε
Следствие 5. Если в дополнение к условиям следствия 2
имеется функция g £ TZ(E), неотрицательная на Е, то
га / g(x)dx ^ / fg(x)dx ^ Μ / g(x)dx.
ЕЕ Ε
Последнее утверждение является обобщающим и обычно
называется, как и в случае одномерного интеграла, теоремой о среднем для
интеграла.
Μ Оно вытекает из неравенств mg(x) ^ f(x)g(x) ^ Мд(х) с учетом
линейности интеграла и следствия 1. Его можно доказать и
непосредственно, если перейти от интегралов по Ε к соответствующим
интегралам по промежутку, проверить неравенства для интегральных сумм, а
затем перейти к пределу. Поскольку все эти рассуждения уже подробно
проводились в одномерном случае, мы на деталях не останавливаемся.
Отметим лишь, что интегрируемость произведения / -д функций / и #,
очевидно, вытекает из критерия Лебега. ►
Продемонстрируем теперь полученные соотношения в работе,
проверив с их помощью, что справедлива следующая полезная
Лемма, а) Если интеграл от неотрицательной на промежутке I
функции f:I—> R равен нулю, то f(x) = 0 почти во всех точках
промежутка I.
Ь) Утверждение а) остается в силе, если промежуток I в нем
заменить любым допустимым (т. е. измеримым по Жордану)
множеством Е.

§ 3. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА
151
Μ По критерию Лебега функция / £ 1Ζ(Ε) непрерывна почти во всех
точках промежутка J, поэтому доказательство утверждения а) будет
закончено, если мы покажем, что f(a) = 0 в любой точке а £ J, в
которой функция / непрерывна.
Предположим, что f(a) > 0. Тогда f(x) ^ с > 0 в некоторой
окрестности Ui(a) точки а (окрестность Ui(a) можно считать промежутком).
Значит, по доказанным свойствам интеграла
f(x)dx = / f(x)dx+ / f(x)dx^ / f{x)dx ^ c/i([//(a)) > 0.
/ Uj(a) I\Uj(a) Uj(a)
Полученное противоречие проверяет справедливость
утверждения а). Если применить это утверждение к функции /χ и учесть, что
μ(8Ε) = 0, то получим утверждение Ь). ►
Замечание 2. Из доказанной леммы следует, что если Ε —
измеримое по Жордану множество вР,а ЩЕ)—рассмотренное в
замечании 1 линейное пространство классов эквивалентных функций,
интегрируемых на Ε и различающихся лишь на множествах меры нуль в
смысле Лебега, то величина ||/|| = f \f\(x) dx является нормой на 11(E).
Ε
< Действительно, ведь из равенства f\f\(x)dx = 0, теперь можно
Ε
заключить, что / лежит в том же классе эквивалентности, что и
функция, тождественно равная нулю. ►
Задачи и упражнения
1. Пусть Ε — измеримое по Жордану множество ненулевой меры, а / :
Ε —> R — непрерывная, неотрицательная интегрируемая функция на Ε и Μ =
= sup f(x). Покажите, что
хеЕ
2. Докажите, что если f,g Ε 71(E), то справедливо
а) неравенство Гель дера
J(f-g)(x)dxU I J\f\e(x)dx

гдер^ 1, О 1 и £ + i = 1;
b) неравенство Минковского
Ι/Ρ
Ε / \ Ε
j\f + g\*{x)dx
если ρ ^ 1.
Покажите, что
c) предыдущее неравенство меняется на противоположное, если 0 < ρ < 1;
d) знак равенства в неравенстве Минковского имеет место тогда и только
тогда, когда существует число λ ^ 0 такое, что с точностью до множества
меры нуль на Ε выполнено одно из двух соотношений f = Хд или д = λ/;
e) величина ||/||р = ( —гдк J \f\p(x)dx\ , где μ(Ε) > 0, монотонна
относительно ρ Ε Ш и при ρ ^ 1 является нормой в пространстве ΊΖ(Ε).
Выясните, при каких условиях в неравенстве Гель дера имеет место знак
равенства.
3. Пусть Ε — измеримое по Жордану множество в Еп, причем μ(Ε) > 0.
Проверьте, что если φ Ε С (Ε,Ж), а /: Ш —> Ж—выпуклая функция, то
f[]liE)J^x>>dx) ^ТЩ jU°v)(x)dx.
\ Ε Ι Ε
4. а) Покажите, что если Ε — измеримое по Жордану множество в En, a
интегрируемая на нем функция /: Ε —> Ш. непрерывна в его внутренней точке
а е Е, то
lim /ττλ I f(x)dx = /(α),
U%(a)
где, как обычно, U^(a) обозначает ί-окрестность точки в множестве Е.
Ь) Проверьте, что предыдущее соотношение остается в силе, если условие
«а — внутренняя точка Е» заменить условием μ([/|;(α)) > 0 для любого δ > 0.
§ 4. Сведение кратного интеграла к повторному
1. Теорема Фубини1). До сих пор мы говорили об определении
интеграла, условиях его существования и его общих свойствах. Здесь
^Г. Фубини (1870 -1943) —итальянский математик. Его основные труды
относятся к теории функций и геометрии.

§4. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 153
будет доказана теорема, которая наряду с теоремой о замене
переменных является инструментом для вычисления кратных интегралов.
Теорема1). Пусть Χ χ У— промежуток в Mm+n, являющийся
прямым произведением промежутков X С Мт и У С Шп. Если
функция /: Χ χ У —» Ш интегрируема на Χ χ У', то интегралы
/ /(х, у) dxdy, dx /(χ, у) dy, dy /(χ, у) dx
ΧχΥ Χ Υ Υ Χ
существуют одновременно и равны между собой.
Прежде чем браться за доказательство теоремы, расшифруем смысл
входящих в ее формулировку символов. Интеграл f f(x,y)dxdy —
ΧχΥ
это записанный в переменных χ £ X, у £ Υ знакомый нам интеграл от
функции / по промежутку ΧχΥ.
Символ f dx f f(x,y)dy следует понимать следующим образом: при
χ γ
фиксированном значении χ £ X вычисляется интеграл F(x) =
= f /(χ, у) dy по промежутку У, а затем полученная функция F: X —> Ш
γ
интегрируется на промежутке X. При этом, если для некоторого χ £ X
интеграл f f(x,y)dy не существует, то F(x) полагается равным любо-
γ
му числу между J_(x) = f f(x,y)dy и J{x) = //(x,y)dy, не исключая
L Y
и самих значений J_(x), J{x) нижнего и верхнего интегралов. Будет
показано, что тогда F £ 7£(Х).
Аналогичный смысл имеет символ f dy f /(χ, у) dx.
γ χ
В процессе доказательства теоремы выяснится, что совокупность
тех значений χ £ X, для которых J_(x) Φ J{x), является множеством
m-мерной меры нуль в X.
Аналогично и совокупность тех у £ У, при которых интеграл
^Эта теорема была доказана задолго до появления известной в теории функций
теоремы Фубини, частным случаем которой она является. Однако теоремы,
позволяющие сводить вычисление кратных интегралов к повторному интегрированию в
меньших размерностях, принято называть теоремами типа теоремы Фубини или,
для краткости, теоремами Фубини.

154
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
/ /(я, у) dx может не существовать, окажется множеством n-мерной ме-
х
ры нуль в У.
Заметим, наконец, что, в отличие от интеграла по (га + п)-мерно-
му промежутку Χ χ У, который мы в свое время условились
называть кратным интегралом, последовательно вычисляемые интегралы
от функции /(х, у) по У, затем по X, или по X, а затем по У, принято
называть повторными интегралами от этой функции.
Если X и У — отрезки прямой, то сформулированная теорема в
принципе сводит вычисление двойного интеграла по промежутку Χ χ У
к последовательному вычислению двух одномерных интегралов. Ясно,
что, применяя эту теорему несколько раз, можно свести вычисление
интеграла по fc-мерному промежутку к последовательному вычислению
к одномерных интегралов.
Сущность сформулированной теоремы очень проста и состоит в
следующем. Рассмотрим интегральную сумму Y^,f(xi,yj)\Xi\ * |^j|5 OT_
hi
вечающую разбиению промежутка Χ χ У на промежутки Χι χ Yj.
Поскольку интеграл от / по промежутку Χ χ У существует, то отмеченные
точки £ц £ Xi x Yj можно выбирать по своему усмотрению, и мы их
выбрали как «прямое произведение» выборов Х{ £ Х{ С X и у\ £ У С У.
Тогда можно записать, что
^ПХг,Уз)\Хг\ ■ \Yj\ =Σ\Χ*\Σ,ΗΧ*>νί№\ =
hi i i
i i
а это и есть допредельный вид нашей теоремы.
Дадим теперь ее формальное доказательство.
Μ Любое разбиение Ρ промежутка Χ χ У индуцируется
соответствующими разбиениями Ρχ, Ργ промежутков X и У. При этом каждый
промежуток разбиения Ρ есть прямое произведение Xi x Yj некоторых
промежутков Х^ Yj разбиений Ρχ, Ργ соответственно. По свойствам
объема промежутка \Х{ χ Yj\ = \Х{\ · \Yj\, где каждый из объемов
вычисляется в том пространстве Mm+n, Шт, W1, которому принадлежит
рассматриваемый промежуток.
Используя свойства нижней и верхней граней, а также определения
нижних и верхних интегральных сумм и интегралов, проведем теперь

§4. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 155
следующие оценки:
= Σ inf f(x,y)\Xi x Yj\ < Σ Η (Σ Ы П*ЛШ Ι №1 <
^ Σ ini f f^v)dv W ^ Σ ini ВДМ <
<■
Σ sup F{x)\Xi\ < V sup ( [ f{x,y)dy I |^| <
^ Σ sup Σ sup /(ж^)1^1 ι**ι <
^T snp f(x,y)\Xi xYj\ = S(f,P).
xGX
Поскольку / £ 7£(X χ У), то при λ(Ρ) —» 0 оба крайних члена этих
неравенств стремятся к значению интеграла от функции / по
промежутку Χ χ У. Это обстоятельство позволяет из написанных оценок
заключить, что F £ ΤΖ(Χ) и что имеет место равенство
/ f(x,y)dxdy = / F(x)dx.
ΧχΥ Χ
Мы провели доказательство в случае повторного интегрирования
по У, а затем по X. Ясно, что аналогичные рассуждения можно
провести и в случае, когда сначала идет интегрирование по X, а затем
по У. ►
2. Некоторые следствия
Следствие 1. Если / £ Έ,(Χ χ У), то при почти всех (в
смысле Лебега) значениях χ £ X интеграл f f(x,y)dy существует и при
γ
почти всех значениях у £ У существует интеграл f f(x,y)dx.
χ

< По доказанной теореме
/ / /(χ, y)dy- I /(χ, у) dy\ dx = 0.
Но стоящая в скобках разность верхнего и нижнего интегралов
неотрицательна. На основании леммы из §3 можно заключить, что эта
разность равна нулю почти во всех точках χ £ X.
Тогда по критерию Дарбу (теорема 3 § 1) интеграл f f(x,y)dy су-
γ
ществует почти при всех значениях χ £ X.
Аналогично доказывается и вторая часть сделанного
утверждения. ►
Следствие 2. Если промежуток I С W1 является прямым
произведением отрезков Ii = [аг, Ьг], г = 1,..., п, то
Ьп Ьп-\ Ь\
ί/{χ)άχ= Idxn ί dxn~l... ίf{x\x2,...,xn)dxl.
I an απ-ι αι
Μ Эта формула, очевидно, получается повторным применением
доказанной теоремы. Все внутренние интегралы в правой части
понимаются, как и в теореме. Например, всюду можно поставить знак
верхнего или нижнего интеграла. ►
Пример 1. Пусть /(я, у, z) = zs'm(x + у). Найдем интеграл от
ограничения этой функции на промежуток /СК3, определяемый
соотношениями 0 ^ χ ^ π, |у| ^ π/2, 0 ^ ζ ^ 1.
По следствию 2
1 π/2 π
/// f(x,y,z)dxdydz= dz / dy zsm(x + y)dx =
I 0 -π/2 0
1 π/2 Ι π/2
= I dz I (—zcos(x + y) \ζ=0) dy = dz / 2z cos у dy =
0 -π/2 Ο -π/2

§ 4. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 157
1 1
= J (2zsmy ς2_π/2) dz = JAzdz = 2.
о о
Доказанную теорему можно использовать и для вычисления
интегралов по достаточно общим множествам.
Следствие 3. Пусть D — ограниченное множество в Mn_1, а
Ε = {(χ,у) е W1 | (х е Ό)/\{Ψι{χ) < у ζ φ2{χ))}. Если f e ЩЕ),
то
φ2(χ)
f(x,y)dxdy= dx / f(x,y)dy. (1)
Ε D φι(χ)
Μ Пусть Ех = {{χ,у) G Шп I ψι(χ) ^ у ^ ψ2(χ)}, если χ £ Ζ), и
пусть £х = 0 при χ 0 Ζλ Заметим, что хЕ{х,у) = XD{x) ' ХЕх(у)-
Вспоминая определение интеграла по множеству и используя теорему
Фубини, получаем
f{x,y)dxdy= / fxE{x,y)dxdy =
Ε IDE
= dx fxE{x,y)dy= \ f{x,y)xEx{y)dy\xD{x)dx =
IXDD IyDEx Ix \Iy J
(φ2(χ) \ / Ψ2(χ) \
/ f{x,y)dy \xD{x)dx= / / f{x,y)dy \ dx.
φι(χ) J D \φι(χ) J
Внутренний интеграл здесь тоже может не существовать на
некотором множестве точек χ £ D меры нуль в смысле Лебега, и тогда ему
приписывается тот же смысл, что и в доказанной теореме Фубини. ►
Замечание. Если в условиях следствия 3 множество D измеримо
по Жор дану, а функции ψ\: D —> Μ, г = 1,2, непрерывны, то множество
Ε С W1 измеримо по Жордану.
Μ Граница дЕ множества Ε состоит из двух графиков непрерывных
функций ψ{: D —> Μ, г = 1,2 (являющихся в силу примера 2 § 1
множествами меры нуль), и части Ζ прямого произведения границы dD множе-

158
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ства D С Mn_1 на достаточно большой одномерный отрезок длины /.
По условию dD можно покрыть системой (п — 1)-мерных
промежутков, сумма (п — 1)-мерных объемов которых будет меньше ε/Ι. Прямое
произведение этих промежутков на выбранный отрезок (длины /) даст
покрытие множества Ζ промежутками, сумма объемов которых
меньше ε. ►
На основании этого замечания можно сказать, что на измеримом
множестве Ε такой структуры (как и на любом измеримом
множестве Е) функция /: Ε —> 1 £ Ш интегрируема. Опираясь на следствие 3 и
на определение меры измеримого множества можно теперь заключить,
что справедливо
Следствие 4. Если в условиях следствия 3 множество D
измеримо по Жордану, а функции ψ{\ D —> Ш, г = 1,2, непрерывны, то
множество Ε измеримо и его объем можно вычислять по формуле
μ(Ε) = J{ip2{x)-<Pi(x))dx. (2)
D
Пример 2. Для круга Ε = {{χ,у) G R2 | х2 + у2 ^ г2} по этой
формуле получаем
г г
μ(Ε) = y*(v^^2 _ (_^2—2))dy = 2J^^dy =
—г —г
г π/2 π/2
= 4 / \/r2 — у2 dy = 4 / r cos φ d(r sin φ) = 4r2 / το,ο$2φάφ =
πΓ2.
Следствие 5. Пусть Ε — измеримое множество, лежащее в
промежутке I С W1. Представим I в виде прямого произведения I =
= Ιχ χ 1у (п — 1)-мерного промежутка 1Х и отрезка 1у. Тогда при
почти всех значениях уо £ 1у сечение Еуо = {(х,у) 6 Ε \ у = уо}
множества Ε (η — 1)-мерной гиперплоскостью у = уо является измеримым ее
подмножеством, причем
μ(Ε) = j μ(Εν)άν, (3)

§ 4. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 159
где μ(Εν)—(η — 1)-мерная мера множества Еу, если оно измеримо,
и любое число между числами f 1 · dx и f l · dx, если Еу оказалось
Ёу еу
неизмеримым множеством.
< Следствие 5 вытекает непосредственно из доказанной теоремы
и следствия 1, если положить в них / = χ и учесть, что ХЕ{х,у) =
= ХЕ (*)· ►
Гуу
Отсюда, в частности, получается
Следствие 6 (принцип Кавальери1)). Пусть А и В — два тела
в пространстве М3, имеющие объем {т.е. измеримые по Жордану).
Пусть Ас = {(x,y,z) £ А \ ζ = с} и Вс = {(x,y,z) £ В \ ζ = с} —
сечения тел А и В плоскостью ζ = с. Если при каждом с £ R
множества Ас, Вс измеримы и имеют одинаковую площадь, то тела А и В
имеют одинаковые объемы.
Ясно, что принцип Кавальери можно сформулировать и для
пространства W1 любой размерности.
Пример 3. Используя формулу (3), вычислим объем Vn шара В =
= {х £ W1 | |х| ^ г} радиуса г в евклидовом пространстве W1.
Очевидно, V\ = 2г. В примере 2 мы нашли, что V<i — пг2. Покажем,
что Vn = cnrn, где сп — постоянная (которую мы ниже вычислим).
Выберем какой-нибудь диаметр [—г, г] шара и для каждой точки χ £ [—г, г]
рассмотрим сечение Вх шара В гиперплоскостью, ортогональной
выбранному диаметру. Поскольку Вх есть шар размерности η — 1, радиус
которого по теореме Пифагора равен л/г2 — х2, то, действуя по
индукции и используя формулу (3), можно написать:
г / π/2 \
Vn= cn-i(r2 - x2)V- dx = Cn-ι / cosn ψάψ
-r
\ "Τ/2 /
(При переходе к последнему равенству, как видно, была сделана замена
χ = τήηφ.)
Έ. Кавальери (1598 -1647) —итальянский математик, автор так называемого
метода неделимых для определения площадей и объемов.

160
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Итак, показано, что Vn = cnrn, причем
π/2
-π/2
Теперь найдем постоянную сп в явном виде. Заметим, что при га ^ 2
π/2 π/2
сп = cn-i / cosn φ άφ. (4)
Im= cosm ψάψ— / cosm 2 φ(1 - sin2 φ) άψ
-π/2 -π/2
π/2
1 ί τη-λ 1
= Im-2 + 7 / Sin^dcOS ψ = Ιπι-2 τίπι,
τη - I J τη- 1
-π/2
т. е. имеет место рекуррентное соотношение
Im = Im-2- (5)
m
В частности, 1<ι — π/2. Непосредственно из определения
величины 1т видно, что 1\ = 2. Учитывая эти значения /χ и /2, из
рекуррентной формулы (5) находим, что
_ (2fc)ll _(2fc-l)!! ((Л
Возвращаясь к формуле (4), теперь получаем
(2fc)l! (2AQ11 (2fc-l)ll (2π)*
C2fc+1=C2fc (2Ш)П ' 2=C2fe"1 (2Щ)Н ' 2~ШГ · · · =C1 ' (2Щ)Й
(2fc-l)!! (2fc-l)!! (2fc-2)!! 0 ртт)*"1 „
^=С2к-х-щ^-««-щ-π · ^^утт · 2= · · · =С2-ЩГ " 2'
Но, как мы видели выше, с\ = 2, a c<i — π, поэтому окончательные
формулы для искомого объема Vn таковы:
где fcGN, причем первая из этих формул справедлива и при к = 0.

§4. СВЕДЕНИЕ КРАТНОГО ИНТЕГРАЛА К ПОВТОРНОМУ 161
Задачи и упражнения
1. а) Постройте такое подмножество квадрата /с!2, что, с одной
стороны, его пересечение с любой вертикальной и любой горизонтальной прямой
состоит не более чем из одной точки, а, с другой стороны, замыкание этого
множества совпадает с /.
b) Постройте функцию /: / —> Е, для которой оба участвующих в теореме
Фубини повторных интеграла существуют и равны между собой, в то время
как / £11(1).
c) Покажите на примере, что если значения участвующей в теореме
Фубини функции F(x), подчиненные там условиям J_(x) ^ F(x) ^ J(x), в точ-.
ках, где 3_(х) < J(x), просто положить равными нулю, то функция F может
оказаться неинтегрируемой. (Рассмотрите, например, в Е2 функцию /(ж,?/),
равную единице, если точка (х,у) Ε Μ2 не является рациональной, и равную
1 — Ι/q в рациональной точке (p/q,m/n), где обе дроби несократимы.)
2. а) В связи с формулой (3) покажите, что если все сечения ограниченного
множества Ε семейством параллельных гиперплоскостей измеримы, то это
еще не означает, что Ε измеримо.
Ь) Пусть в дополнение к условиям а) известно, что функция μ(Ευ) из
формулы (3) интегрируема на отрезке 1У. Можно ли в этом случае утверждать,
что Ε — измеримое множество?
3. Используя теорему Фубини и положительность интеграла от положи-
pfif ffif
тельной функции, дайте простое доказательство равенства qxL· = $υ$χ сме_
шанных производных в предположении, что они являются непрерывными
функциями.
4. Пусть /: 1ауь —> П&— непрерывная функция, определенная на
промежутке 1а,ъ = {х Ε Шп \ аг ^ хг ^ Ь\ г = 1,...,п}, а функция F: 1а,ь -> Щ
определена равенством
F(x)= [ f(t)dt,
гДв Ια,χ С 1а,ь- Найдите частные производные этой функции по переменным
5. Пусть определенная на прямоугольнике / = [а, Ь] χ [с, d\ С М2
непрерывная функция f(x,y) имеет непрерывную в / частную производную ^.
а) Пусть F(y) = J /(ж, у) ах. Исходя из равенства F(y) = J[ J ?£-(x,t) dt+
a a \ с
+f(x1c))dx1 проверьте правило Лейбница, согласно которому F'(y) =
= }Ц(х,у)ах.

162
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
b) Пусть G(x,y) = ff(t,y)dt. Найдите f и f.
а У
Ну)
c) Пусть Η (у) = f f(x,y)dx, где h Ε С^[а,Ь]. Найдите Η'(у).
а
6. Рассмотрим последовательность интегралов
X X
ад = j /(у) dy, Fn(x) = I {X~J)nf(y) dy, η eN,
0 0
где/ Ε C(R,R).
a) Проверьте, что F'n(x) = Fn_i(z); Fik){0) = О, если fc ^ n; ^η+1)(ζ) =
= /(*)·
b) Покажите, что
Ж Xl χη-1 Χ
dxx dx2... / f(xn) dxn = — (χ - y)nf(y) dy.
0 0 0 О
7. а) Пусть f:E—> Ε — функция, непрерывная на множестве Ε = {(х,у) Ε
еШ2 lO^x^lAO^y^x}. Докажите, что
1 χ 11
dx f(x,y)dy = dy f(x,y)dx.
0 0 0 у
2π sin я
b) На примере повторного интеграла J dx f I - dy объясните, почему
о о
не каждый повторный интеграл является расписанным по теореме Фубини
двойным интегралом.
§ 5. Замена переменных в кратном интеграле
1. Постановка вопроса и эвристический вывод формулы
замены переменных. Рассматривая интеграл в одномерном случае, мы
получили в свое время важную формулу замены переменной в таком
интеграле. Теперь наша задача состоит в том, чтобы найти формулу
замены переменных в общем случае. Уточним вопрос.
Пусть Dx— множество в Мп, / — интегрируемая на Dx функция,
а φ: Dt —> Dx— отображение t \-> φ(ί) множества Dt С W1 на Dx.
Спрашивается, по какому закону, зная / и φ, находить функцию ψ в Dt

§ 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 163
так, чтобы иметь равенство
J f(X)dx = f mdt,
Dx Dt
позволяющее сводить вычисление интеграла по Dx к вычислению
интеграла по Dt7.
Предположим сначала, что Dt есть промежуток I С Мп, а φ: I —>
—> Dx—диффеоморфное отображение этого промежутка на Dx.
Любому разбиению Ρ промежутка I на промежутки /χ, /2, · · · ih
соответствует разложение Dx на множества φ(Ιΐ), г = 1,...,&. Если все эти
множества измеримы и пересекаются попарно лишь по множествам
меры нуль, то в силу аддитивности интеграла
J f(x)dx = Y, J f(x)dx. (1)
Если / непрерывна на Dx, то по теореме о среднем
J f(x)dx = f(tM<P(Ii)h
где & е φ(Ι{). Поскольку /(&) = ί(φ(η)), где т{ = ψ~1(ξί), то нам
остается связать μ(φ(Ι{)) с μ(Ιΐ).
Если бы φ было линейным преобразованием, то ψ{1%) был бы
параллелепипед, объем которого, как известно из аналитической геометрии
и алгебры, был бы равен | det φ'\μ(Ι{). Но диффеоморфизм локально
является почти линейным отображением, поэтому, если размеры
промежутков 1{ достаточно малы, то с малой относительной погрешностью
можно считать, что μ(φ(Ι{)) « | det (^'(т^Ц/г! (можно показать, что при
некотором выборе точки Т{ £ 1{ будет иметь место даже точное
равенство). Таким образом,
Σ ί f{*)dx « Σί{φ{η))\ά<*φ'{η)\\4. (2)
Но справа в этом приближенном равенстве стоит интегральная
сумма от функции f{<p{t))\ det φ'{ί)\ по промежутку J, отвечающая
разбиению Ρ этого промежутка с отмеченными точками т. В пределе при

164
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
λ(Ρ) —> О из (1) и (2) получаем
ί f(x)dx = f f{<p{t))\detip'{t)\dt.
Dx Dt
Это и есть искомая формула вместе с ее объяснением. Намеченный
путь к ней можно пройти со всеми обоснованиями (и это стоит
проделать). Однако, чтобы познакомиться с некоторыми новыми полезными
общематематическими приемами и фактами и избежать чисто
технической работы, мы в дальнейшем доказательстве кое в чем отклонимся
от этого пути.
Перейдем к точным формулировкам. Напомним
Определение 1. Носителем заданной в области D CW1 функции
/: D —> Ш назовем замыкание в D множества тех точек области Z), в
которых f(x) φ 0.
В этом параграфе мы рассмотрим ситуацию, когда интегрируемая
функция /: Dx —> Ш равна нулю в окрестности границы области Z>x,
точнее, когда носитель функции Dx (обозначаемый supp/) является
лежащим в Dx компактом1) К. Интегралы от / по Dx и по К, если
они существуют, очевидно, совпадают, поскольку вне К в D функция
равна нулю. С точки зрения отображений, условие supp/ = К С Dx
равносильно тому, что замена χ = φ(ί) действует не только на
множестве К, по которому в сущности и надо интегрировать, но и в некоторой
окрестности Dx этого множества.
Теперь сформулируем, что мы собираемся доказать.
Теорема 1. Если φ: Dt -^ Dx—диффеоморфизм
ограниченного открытого множества Dt С W1 на такое же множество Dx =
= φ(ϋί) С W1, a f £ TZ(DX) и supp/ —компакт в Dx, то /o^|det ψ'\ £
£ TZ(Dt) и справедлива формула
/ f(x) dx= / / о <^(t)| det φ'(ί)\ dt.
Dx=(p(Dt) Dt
(3)
Такие функции обычно называют финитными в рассматриваемой области.

§ 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 165
2. Измеримые множества и гладкие отображения
Лемма 1. Пусть φ: Dt —» Dx —диффеоморфизм открытого
множества Dt С Ш1 на такое же множество Dx С W1. Тогда
справедливы следующие утверждения:
a) Если Et С Dt —множество меры нуль (в смысле Лебега), то его
образ ip(Et) С Dx также является множеством меры нуль.
b) Если множество Et, содержащееся в Dt вместе со своим
замыканием Et, имеет объем нуль (в смысле меры Жордана), то его образ
ψ{Εί) — Ех содержится в Dx вместе со своим замыканием и тоже
имеет объем нуль.
c) Если измеримое (по Жордану) множество Et содержится в
области Dt вместе со своим замыканием Et, то его образ Ех = (p(Et)
является измеримым множеством и Ех С Dx.
Μ Заметим, прежде всего, что любое открытое подмножество D
пространства W1 можно представить в виде объединения счетного
числа замкнутых промежутков (которые к тому же попарно не имеют
общих внутренних точек). Для этого, например, можно разбить
координатные оси на отрезки длины Δ и рассмотреть соответствующее
разбиение пространства W1 на кубики с ребрами длины Δ.
Фиксировав Δ = 1, возьмем те кубики этого разбиения, которые содержатся
в D. Обозначим через F\ их объединение. Взяв далее Δ = 1/2, добавим
к F\ те кубики нового разбиения, которые содержатся в D\F\. Получим
множество F<i и т. д. Продолжая процесс, получим последовательность
F\ С ... С Fn С ... множеств, каждое из которых состоит из
конечного или счетного числа промежутков, не имеющих общих внутренних
точек и, как видно из построения, [jFn = D.
Поскольку объединение не более чем счетного числа множеств меры
нуль является множеством меры нуль, утверждение а), таким образом,
достаточно проверить для множества Et, лежащего в замкнутом
промежутке I С Dt. Это мы и сделаем.
Поскольку φ G С^{1) (т.е. φ' G С(/)), то существует постоянная Μ
такая, что ^'(ί)!! ^ Μ на /. В силу теоремы о конечном приращении
для любой пары точек ti,<2 G / и их образов х\ = <^(£ι), #2 = ψ{^2)
должно тогда выполняться соотношение \х2 — х\\ ^ М|<2 — ίι|.
Пусть теперь {1{}—такое покрытие множества Et промежутками,
что Σ\Ιΐ\ < ε. Без ограничения общности можно считать, что 1{ =
г

166
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
= h η / с /.
Совокупность {φ(Ιΐ)} множеств φ(Ιι), очевидно, образует покрытие
множества Ех — ψ{Ε\). Если t{ — центр промежутка 7^, то, ввиду
установленной выше оценки возможного изменения расстояний при
отображении φ, все множество φ(Ιι) можно накрыть таким промежутком 7^ с
центром Х{ = φ(U), линейные элементы которого в Μ раз отличаются
от соответствующих элементов промежутка 7^. Поскольку |7^| = Мп|7^|,
а φ(Ει) С |J 7^, то мы получили покрытие множества ip{Et) = Ех проме-
г
жутками, сумма объемов которых меньше, чем Мпе. Тем самым
основное утверждение а) леммы доказано.
Утверждение Ь) следует из а), если учесть, что Et, а значит, по
доказанному и Ех = <p(Et) суть множества меры нуль в смысле Лебега
и что Et, а значит и Ех — компакты. Ведь в силу леммы 3 § 1 всякий
компакт, являющийся множеством меры нуль в смысле Лебега, имеет
объем нуль.
Наконец, утверждение с) получается непосредственно из Ь), если
вспомнить определение измеримого множества и то, что при
диффеоморфизме внутренние точки множества Е% перейдут во внутренние
точки его образа Ех = (f(Et), а значит, дЕх = cp(dEt). ►
Следствие. При условиях теоремы стоящий в правой части
формулы (3) интеграл существует.
Μ Поскольку |det<£'(t)| ф О в Dt, то supp/oy?· |det φ'\ = supp/oy? =
= <^_1(supp/)—компакт в Dt. Значит, точки разрыва функции / о
о φ · |dety/|x#t в W1 совсем не связаны с функцией %£>t, а являются
прообразами точек разрыва функции / в Dx. Но / £ Tl(Dx), поэтому
совокупность Ех точек разрыва функции / в Dx является множеством
меры нуль по Лебегу. Тогда по утверждению а) доказанной леммы
множество Et = φ~ι(Εχ) имеет меру нуль. На основании критерия Лебега
теперь можно заключить, что функция / о ψ · | det <p'\xDt интегрируема
на любом промежутке It D Dt. ►
3. Одномерный случай
Лемма 2. а) Если φ: It —> 1х —диффеоморфизм отрезка It С Ш1
на отрезок 1Х С М1, a f £ 11{1Х), то f о φ · \φ'\ £ TZ(It) и
Jf(x)dx = j{foip.y\){t)dt. (4)
Ix It

§ 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 167
Ь) Формула (3) справедлива в Ш1.
Μ Хотя утверждение а) леммы 2 нам, по существу, уже известно,
мы дадим здесь независимое от изложенного в части I его короткое
доказательство, использующее имеющийся теперь в нашем распоряжении
критерий Лебега существования интеграла.
Поскольку / £ 1Ζ(Ιχ), a, φ: It —» Ix— диффеоморфизм, функция
/ ο φ \φ'\ ограничена на It. Точками разрыва этой функции могут быть
только прообразы точек разрыва функции / на 1Х. Последние по
критерию Лебега образуют множество меры нуль. Образ этого множества
при диффеоморфизме ψ~ι: Ιχ —» 7^, как мы видели при доказательстве
леммы 1, имеет меру нуль. Значит, / о ψ \ψ'\ £ TZ(It).
Пусть Рх — разбиение отрезка 1Х. Посредством отображения φ~ι
оно индуцирует разбиение Pt отрезка 7^, причем из равномерной
непрерывности отображений φ и ψ~ι следует, что Х(РХ) —> О ^ λ(Ρ^) —> 0.
Для разбиений Рх, Pt с отмеченными точками & = φ(η) запишем
интегральные суммы:
5^/(&)k»-s»-i| = ^2/οφ{τί)\φ{ίί) -(p(U-i)\ =
г г
= Σ/ ° <Р(тг)\<Р'{пШг ~ U-l\,
г
причем точки & можно считать выбранными именно так, что & = φ{τ{),
где Тг — точка, получаемая применением теоремы Лагранжа к разности
4>{ti) - 4>{U-i).
Поскольку оба интеграла в соотношении (4) существуют, выбор
отмеченных точек в интегральных суммах можно делать по своему
усмотрению, не влияя на величину предела. Значит, из написанного
равенства интегральных сумм в пределе при Х(РХ) —» 0 {X{Pt) —> 0)
получается равенство (4) для интегралов.
Утверждение Ь) леммы 2 вытекает из доказанного равенства (4).
Прежде всего отметим, что в одномерном случае |dety/| = \φ'\. Далее,
компакт supp/ легко покрыть конечной системой отрезков, лежащих
в Dx и попарно не имеющих общих внутренних точек. Тогда интеграл
от / по множеству Dx сведется к сумме интегралов от / по отрезкам
указанной системы, а интеграл от / о ψ\ψ'\ по Dt сведется к сумме
интегралов по отрезкам, являющимся прообразами отрезков этой
системы. Применяя к каждой паре соответствующих друг другу при ото-

168
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
бражении ψ отрезков равенство (4), после сложения получаем форму-
лу (3). ►
Замечание 1. Доказанная нами ранее формула замены
переменной в одномерном интеграле имела вид
ψ(β) β
J f(x)dx = J{fo<p.<p'){t)dt, (5)
φ[ά) <*
где φ было любым гладким отображением отрезка [α, β] на отрезок с
концами φ(α) и φ(β). В формуле (5) стоит не модуль \φ'\ производной,
а сама производная. Это связано с тем, что в левой части формулы (5)
может быть φ (β) < φ (α).
Если, однако, заметить, что для отрезка I с концами а и Ъ имеют
место соотношения
ib
f f(x) dx, если а ^ Ь,
аь
— f f(x)dx, если а > Ь,
то становится ясно, что в случае, когда φ — диффеоморфизм, формулы
(4) и (5) отличаются лишь внешним видом, а по существу совпадают.
Замечание 2. Интересно отметить (и этим мы не преминем
воспользоваться), что если φ: It —» Ix —диффеоморфизм отрезков, то
всегда справедливы формулы
Jf(x)dx = J(fotp\tf/\)(t)dt,
Ix h
Jf(x)dx = J(fotp\tf/\)(t)dt,
Ix h
относящиеся к верхним и нижним интегралам от вещественнозначных
функций.
А если это так, то, значит, в одномерном случае можно считать
установленным, что формула (3) остается в силе для любой
ограниченной функции /, если интегралы в ней понимать как верхние или как
нижние интегралы Дарбу.

§ 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 169
Μ Будем временно считать, что / — неотрицательная функция,
ограниченная константой М.
Снова, как и при доказательстве утверждения а) леммы 2, можно
взять отвечающие друг другу в силу отображения φ разбиения Рх, Pt
отрезков 1Х и It соответственно и написать следующие оценки, в
которых ε — максимальное из колебаний функции φ на промежутках
разбиения Pt:
Υ] sup f{x)\xi - Xi-i\ ^ У2 SUP /M*)) SUP \р'Ш\и - *t-i| <
i xeAxi i teAu teAu
< Σ sup (f(<p(t)) · sup \ip'(t)\) \AU\ <
i teAu \ teAu J
< Σ sup (f&(t)W(i)l + e))\AU\<:
i teAu
^Σ sup(f(cp(tW(t)\)\AU\ + eY^ sup /Μί))|Δί*Ι £
г
<
5^8ир(/И«))|^(*)1)|Д«<| + еМ|/4
г teAu
Учитывая равномерную непрерывность φ, отсюда при X(Pt) —> О
получаем
Jf(x)dx^J(foV\tf/\)(t)dt.
Ix h
Применяя доказанное к отображению φ~ι и функции /οφ\φ'\, получаем
обратное неравенство и устанавливаем тем самым для
неотрицательных функций первое из равенств замечания 2. Но поскольку любую
функцию можно представить в виде / = тах{/, 0} — тах{—/, 0}
(разности неотрицательных), то это равенство можно считать доказанным
и в общем случае. Аналогично проверяется и второе равенство. ►
Из доказанных равенств, конечно, можно вновь получить
утверждение а) леммы 2 в случае вещественнозначной функции /.
4. Случай простейшего диффеоморфизма в W1. Пусть φ :
Dt —> Dx—диффеоморфизм области Dt С Ш? на область Dx С Rx;
(t1,..., ίη), (χ1,..., χη) —координаты точек t £ Ш? и х £ Щ
соответственно. Напомним

170
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Определение 2. Диффеоморфизм φ: Dt —» Dx называется
простейшим, если его координатная запись имеет вид
χι = φι(ί\...χ) =t\
Ж*"1 = у?*"1 (t1,...,^) =«*-!,
a?*+1 = ^*+1(t1,...,tn) =«*+!,
хп = φη(ίι,...,ίη) =tn.
Таким образом, при простейшем диффеоморфизме меняется только
одна из координат (в данном случае координата с индексом к).
Лемма 3. Для простейшего диффеоморфизма φ: Dt —>> Dx
формула (3) верна.
< С точностью до перенумерации координат можно считать, что
рассматривается диффеоморфизм ψ, меняющий только n-ю
координату. Введем для удобства записи следующие обозначения:
(х\...,хп-\хп)=:(х,хп)\ (ί\...,ίηΛίΊ=:(Μη);
Dxn(x0) := {(x,xn) G Dx | χ = x0};
Dtn{to):={{t,tn)eDt\t = to}.
Таким образом, Dxn(x), Dtn(t)—это просто одномерные сечения
множеств Dx и Dt соответственно прямыми, параллельными n-й
координатной оси. Пусть 1Х — промежуток в MJ, содержащий Dx.
Представим 1Х в виде прямого произведения Ιχ = Ιχ χ Ιχη (п — 1)-мерного
промежутка 1Х и отрезка 1хп n-й координатной оси. Аналогичное
разложение It = If х hn запишем для фиксированного в Щ промежутка 7^,
содержащего Dt-
Используя определение интеграла по множеству, теорему Фубини и

§ 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 171
замечание 2, можно написать, что
/ f{x)dx= / f-xDx{x)dx= dx f ·χΌχ{χ,χη)άχη =
Ι χ ΙχΤΙ
= ί dx ί f(x,xn)dxn =
L/χ 1χ
Ιχ Dxn (χ)
0φη
{t,tn)dtn =
+П\ АлП _
= fdt J Ηϊ,φη(ϊ,ίη))
h Dtn(t)
= J dt J (f o<p\det<p'\xDt)(t,tn)dtn
= J(f ο φ\ det (f/\xDt)(t) dt = J(f ο φ\ det tp'\){t) dt.
h Dt
В этой выкладке мы учли также то обстоятельство, что для рас-
сматриваемого диффеоморфизма det у/ = ^г· ►
5. Композиция отображений и формула замены
переменных
Лемма 4. Если DT —> Dt —> Dx — два диффеоморфизма, для
каждого из которых справедлива формула (3) замены переменных в
интеграле, то она справедлива и для композиции φ о ψ: DT —> Dx этих
отображений.
Μ Для доказательства достаточно вспомнить, что (φ ο ψ)' = ψ1 ο ψ'
и что det(<£ о ФУ (г) = det^'(i) det4//(r), где t = φ(τ). Действительно,
тогда получаем, что
ί f{x) dx = f{f ο φ\ det φ'\){ί) dt =
/ ((/ ο φ о ф)\ det φ' о ф\\ det ψ'\){τ) dr =
Ι((ίο(φοφ))\άβΙ(ψοφΥ\))(τ)άτ. ►
Dx Dt
DT
DT

172
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
6. Аддитивность интеграла и завершение доказательства
формулы замены переменных в интеграле. Леммы 3 и 4 наводят
на мысль воспользоваться возможностью локального разложения
любого диффеоморфизма в композицию простейших (см. утверждение 2
из п. 4 § 6 гл. VIII часть I) и на этом пути получить в общем случае
формулу (3).
Сводить интеграл по множеству к интегралам по малым
окрестностям его точек можно по-разному. Например, можно воспользоваться
аддитивностью интеграла. Так мы и поступим. Опираясь на леммы 1,
3, 4, проведем теперь доказательство теоремы 1 о замене переменных
в кратном интеграле.
Μ Для каждой точки t компакта Kt = supp((/ о ψ)\ det ψ'\) С Dt
построим такую ее £(£)-окрестность 17(£), в которой диффеоморфизм
φ раскладывается в композицию простейших. Из -^-окрестностей
U(t) С U(t) точек t £ Kt выделим конечное покрытие и Ϊ7(£ι),..., U(tk)
компакта Kt. Пусть δ = ^ min{i(ii),... ,ί(ί^)}. Тогда любое
множество, диаметр которого меньше чем ί, и которое пересекается с Kt,
очевидно, содержится вместе со своим замыканием хотя бы в одной из
окрестностей системы U(t\),..., U(tk).
Пусть теперь I— промежуток, содержащий множество Dt, а Р —
такое разбиение промежутка J, что Х(Р) < min{i, d}, где число δ
найдено выше, a d — расстояние от Kt до границы множества Dt. Пусть
X := {Ii} — те промежутки разбиения Р, которые имеют с Kt непустое
пересечение. Ясно, что если Ii £ X, то Ii С Dt и
J(/ о φ\ det φ'\)(ί) dt = J'((/ ο ψ\ det <p'\)xDt)(t) dt =
Dt I
= Y,[(f°<p\det<p'\№dt· (6)
' U
Образ Ei = φ(Ι%) промежутков Ii по лемме 1 является измеримым
множеством. Тогда и множество Ε = [jEi измеримо, и supp/ С Ε =
г
= Ε С Dx. Используя аддитивность интеграла, отсюда выводим, что
f{x)dx= / /χΌχ (χ) dx= /χΌχ {χ) dx+ Ι /χΌχ (χ) dx =
Dx IXDDX IX\E Ε

§ 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 173
= J fXDx(x)dx = J f(x)dx = ^ J f(x)dx. (7)
Ε Ε { Ei
По построению любой промежуток 1{ £ X содержится в некоторой
окрестности U(xj), в пределах которой диффеоморфизм φ
раскладывается в композицию простейших. Значит, на основании лемм 3 и 4 можно
записать, что
I f(x) dx = f(f о φ\ det tf/\){t) dt. (8)
Ei h
Сопоставляя соотношения (6), (7), (8), получаем формулу (3). ►
7. Некоторые следствия и обобщения формулы замены
переменных в кратных интегралах
а. Замена переменных при отображениях измеримых
множеств
Утверждение 1. Пусть ψ: Dt —» Dx—диффеоморфизм
открытого ограниченного множества Dt С W1 на такое же множество
Dx С Rn; Et и Ех —подмножества Dt и Dx соответственно, причем
такие, что Et С Dt, Ех — Dx и Ех — φ{Ε%). Если / £ TZ(EX), то
f о ψ\ det ψ'\ £ 1Z(Et) и имеет место равенство
[ f(x)dx = J(fo<p\det<f/\)(t)dt. (9)
Ех Et
< Действительно,
J f(x) dx = J(fxEJ(x) dx = J(((fxEJ ο φ)\ det <p'\){t) dt =
Ex Dx Dt
= |((/o^)|det^|x^)(i)di = |((/o^)|det^|)(i)di.
Dt Et
В этой выкладке мы использовали определение интеграла по
множеству, формулу (3) и то обстоятельство, что χ =χΙΓ ° ψ· ►
hit ίΐιχ

174
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
b. Инвариантность интеграла. Напомним, что интеграл по
множеству Ε от функции /: Ε —> R сводится к вычислению интеграла от
функции /χ по промежутку I D Е.Ио сам промежуток I был по
определению связан с системой декартовых координат в W1. Теперь мы в
состоянии доказать
Утверждение 2. Величина интеграла от функции f no
множеству Ε С W1 не зависит от выбора декартовых координат в W1.
Μ Действительно, переход от одной системы декартовых координат
в W1 к другой такой же системе имеет якобиан, по модулю равный
единице. В силу утверждения 1 отсюда следует равенство
[ f{x)dx= i{fotp)(t)dt.
Ех Et
Но это и означает, что интеграл определен инвариантно: ведь если
ρ — точка множества Ε, χ = (χ1,..., χη) —ее координаты в первой
системе, t = (ί1,...,*71)—во второй, а х = φ(ί)—функция перехода от
одних координат к другим, то
f(P) = fx(x\---,xn) = ft(t\...,tn),
где ft = fx о φ. Значит, мы показали, что
I fx{x)dx= I ft{t)dt,
Ех Et
где Ех и Et—запись множества Е в системе координат χ и t
соответственно. ►
Из утверждения 2 и определения 3 § 2 меры (Жордана) множества
Ε С W1 можно заключить, что эта мера не зависит от выбора системы
декартовых координат в W1, или, что то же самое, мера Жордана
инвариантна относительно группы движений евклидова пространства W1.
c. Пренебрежимые множества. Используемые на практике
замены переменных или формулы преобразования координат иногда
имеют те или иные особенности (например, где-то может быть нарушение
взаимной однозначности, обращение в нуль якобиана или отсутствие

§ 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 175
дифференцируемости). Как правило, эти особенности бывают на
множествах меры нуль и потому для потребностей практики весьма
полезна следующая
Теорема 2. Пусть φ: Dt —> Dx—отображение измеримого (по
Жордану) множества Dt С Щ на такое dice множество Dx С Щ.
Предположим, что в Dt и Dx можно указать такие множества St, Sx
меры нуль (в смысле Лебега), что Dt\St и Dx\ Ьх открытые
множества, α φ отображает диффеоморфно и с ограниченным якобианом
первое из них на второе. Тогда для любой функции / £ TZ(DX) также
{focp)\detip'\en{Dt\St) и
I f(x)dx= I ((/op)|detV'|)(t)clt. (10)
Dx Dt\St
Если, кроме того, величина |dety/| определена и ограничена в Dt,
то
J f(x)dx = J({fotp)\det(f/\№dt. (11)
Dx Dt
Μ По критерию Лебега функция / может иметь разрывы в Z>x, a
значит, и в Dx \ Sx, лишь на множестве меры нуль. Образ этого
множества точек разрыва при отображении ψ~ι: Dx \SX —» Dt\St no лемме 1
является множеством меры нуль в Dt \ St. Таким образом,
соотношение (/ о ψ)\ det ψ'\ £ TZ(Dt \ St) будет немедленно следовать из того же
критерия Лебега интегрируемости функции, если мы установим, что
множество Dt \ St измеримо. То, что это действительное измеримое по
Жордану множество, будет побочным продуктом проводимых ниже
рассуждений.
По условию DX\SX — открытое множество, поэтому (Dx\Sx)ndSx =
= 0, значит, dSx С dDx U Sx и, следовательно, dDx U Sx = dDx U 5Х,
где Sx = Sx U dSx — замыкание в К£ множества Sx. Получается, что
dDx U Sx есть замкнутое ограниченное множество, т. е. компакт в W1,
который, как объединение двух множеств меры нуль, сам является
множеством меры нуль в смысле Лебега. Из леммы 3 § 1 нам известно, что
тогда множество dDx U Sx (а вместе с ним и Sx) имеет объем нуль, т. е.
для любого ε > 0 найдется такое конечное покрытие 1\,..., J*; этого
множества промежутками, что ]П |/^| < е. Отсюда, в частности, следу-
г=1

176
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ет, что множество Dx \ Sx (и аналогично множество Dt \ St) измеримо
по Жордану: ведь d(Dx \ Sx) С dDx U dSx С dDx U Sx.
Покрытие /χ,..., /д., очевидно, можно выбрать еще и так, чтобы
любая точка χ £ dDx \ Sx была внутренней точкой по крайней мере одного
из промежутков покрытия. Пусть Ux = (Jt=i ^· Множество Ux
измеримо, как и множество Vx = DX\UX. По построению множество Vx таково,
что Vх С Dx \ 5Х, и для любого измеримого множества Ех С Dx,
которое содержит компакт Уж, справедлива оценка
f(x)dx- f(x)dx\ = \ / f{x)dx
dx ex Ι Ιόλε*
£
ζ Μμ{Όχ \Εχ)<Μ·ε, (12)
где Μ = sup /(x).
x£Dx
Прообраз Vt = φ~ι{νχ) компакта Vx является компактом в
Dt \ St- Рассуждая как и выше, можно построить измеримый
компакт Wt, подчиненный условиям Vt С Wt С Dt \ St и обладающий
тем свойством, что для любого измеримого множества Е% такого, что
Wt С Et С Dt\St, выполняется оценка
J ((/o^|det^|)(i)^-|((/o^|det^|)(i)di
Dt\St
Et
< ε.
(13)
Пусть теперь Ех = φ{Εί). Для множеств Ех С DX\SX и Et С Dt\St
по утверждению 1 имеет место формула (9). Сопоставляя соотношения
(9), (12), (13) и учитывая произвольность величины ε > 0, получаем
равенство (10).
Докажем теперь последнее утверждение теоремы 2. Если функция
(/ о ψ)\ det ψ'\ определена на всем множестве Dt, то, поскольку Dt \ St
открыто в Щ, все множество точек разрыва этой функции на Dt
состоит из множества А точек разрыва функции (/ о ψ)\ det ^\\Dt\st
(ограничения исходной функции на множество Dt \ St) и, быть может,
некоторого подмножества В множества St U dDt.
Множество А, как мы видели, является множеством меры нуль по
Лебегу (ведь интеграл в правой части равенства (10) существует), а по-

§ 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 177
скольку StUdDt имеет объем нуль, то это же можно сказать про
множество В. Значит, достаточно знать, что функция (/ о у?) | det ψ'\
ограничена на Dt, как по критерию Лебега получится, что она интегрируема
на Dt. Но |/ о φ\(ί) ^ Μ на Dt, поэтому функция (/ о ψ)\ det ψ'\
ограничена на St, коль скоро функция | det φ'\ по условию ограничена на St-
Что же касается множества Dt\ St, то на нем функция (/ о ψ)\ det ψ'\
интегрируема и, значит, ограничена. Итак, функция (/ о ψ)\ det ψ'\
интегрируема на Dt* Но множества Dt и Dt \ St отличаются лишь на
измеримое множество St, объем которого, как было показано, равен
нулю. Значит, в силу аддитивности интеграла и обращения в нуль
интеграла по St можно заключить, что правые части равенств (10) и (11)
в рассматриваемом случае действительно совпадают. ►
Пример. Отображение прямоугольника I = {(г, ψ) £ R2 | 0 ^ г <
^ R Д 0 ^ ψ ^ 2π} на круг К = {(х, у) е М2 | х2 + у2 < R2}, задаваемое
формулами
x = rcos<£, y = rsin<^, (14)
не является диффеоморфизмом: вся сторона прямоугольника J, на
которой г = 0, переходит при этом отображении в одну точку (0,0); образы
точек (г, 0) и (г, 2π) совпадают. Однако если рассмотреть, например,
множества I \ д1 и К \ Е, где Ε — объединение границы дК круга К и
радиуса, идущего в точку (0, Д), то ограничение отображения (14) на
область 1\д1 окажется ее диффеоморфизмом на область К\Е. Значит,
по теореме 2 для любой функции / £ ΤΖ(Κ) можно написать, что
// f(x^y)dxdy= // /(rcos<£,rsin<£)rdr(i<£
к ι
или, применяя теорему Фубини,
2π Я
// f(x,y)dxdy= dtp I f"(r cos φ,r sin<^)r dr.
к oo
Соотношения (14) суть хорошо известные формулы перехода от
полярных координат к декартовым на плоскости.
Сказанное можно, естественно, развить и применительно к общей
полярной (сферической) системе координат в W1, которую мы
рассматривали в части I, где был указан также якобиан перехода от полярных
координат к декартовым в пространстве W1 любой размерности.

Задачи и упражнения
1. а) Покажите, что лемма 1 справедлива для любого гладкого
отображения φ: Dt —> Dx (см. в этой связи также задачу 8).
Ь) Докажите, что если D — открытое множество в Ет, а φ Ε C^(D,Wn)1
το φ(Ό) при т < η является множеством меры нуль в Шп.
2. а) Проверьте, что мера измеримого множества Ε и мера его
образа φ(Ε) при диффеоморфизме φ связаны соотношением μ(φ(Ε)) = θμ(Ε), где
ве
inf |det^'(*)|,sup|det^'(*)l
teE teE
b) В частности, если Е — связное множество, то найдется такая точка
τ е Е, что μ(φ(Ε)) = | det φ'{τ)\μ(Ε).
3. а) Покажите, что если формула (3) справедлива для функции / = 1, то
она верна и в общем случае.
Ь) Проведите вновь доказательство теоремы 1, но для случая / = 1,
упрощая его в этой специальной ситуации.
4. Не опираясь на замечание 2, проведите доказательство леммы 3, считая
известным лемму 2 и равенство интегралов от двух интегрируемых функций,
отличающихся лишь на множестве меры нуль.
5. Вместо свойства аддитивности интеграла и сопутствующего его
использованию анализа измеримости множеств, при сведении формулы (3) к ее
локальному варианту (т. е. к проверке формулы для малой окрестности точек
отображаемой области) можно пользоваться другим приемом локализации,
основанным на линейности интеграла.
a) Если гладкие функции βι,... ,е* таковы, что 0 ^ ei ^ 1, г = 1,...,fc,
к / к \
a X]ei(a:) ξ 1 HaDj, то f ( ]Γ eif J (x)dx = f f(x)dx для любой функции
i Dx \г=1 / Dx
f e n(Dx).
b) Если suppe^ лежит в множестве U С Dx, то J (eif)(x) dx — f(eif)(x) dx.
dx и
c) С учетом лемм 3 и 4 и свойства линейности интеграла из а) и Ь) можно
вывести формулу (3), если для любого открытого покрытия {Ua} компакта
К = supp/ С Dx построить такой набор гладких в Dx функций βι,.,.,β*,
к
что О ^ вг ^ 1, г = 1,..., fc; ]Г а = 1 на К\ и для любой функции е^ Ε {е^}
г=1
найдется множество Uai Ε {Ua} такое, что suppe^ С Uai.
Набор {ei} в этом случае называют разбиением единицы на компакте К,
подчиненным покрытию Ua.
6. Эта задача содержит план построения того разбиения единицы, о
котором шла речь в задаче 5.
а) Постройте функцию / Ε С^(Е,Ш) такую, что /|[-ι,ι] ξ 1 и supp/ С
С [-!-<$,!+<$], где <$>0.

§ 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 179
b) Постройте функцию / Ε С^°°^ (W1, Ж) с указанными в а) свойствами для
единичного кубика в Шп и его <5-раздутия.
c) Покажите, что для любого открытого покрытия компакта К С Мп
существует гладкое разбиение единицы на К, подчиненное этому покрытию.
d) В развитие с) постройте С^°°^-разбиение единицы в Rn, подчиненное
локально конечному открытому покрытию всего пространства. (Локальная
конечность покрытия означает, что любая точка покрываемого множества, в
данном случае W1, имеет окрестность, пересекающуюся лишь с конечным
числом элементов покрытия. Для разбиения единицы, содержащего бесконечное
число функций {е^}, вводится требование, чтобы любая точка множества, на
котором это разбиение строится, принадлежала не более чем конечному числу
носителей функций системы {е*}. При этом условии не возникает вопросов о
том, в каком смысле понимать равенство ]Ге^ = 1, точнее, стоящую в его
г
левой части сумму.)
7. Несколько иное в сравнении с изложенным доказательство теоремы 1,
опирающееся на возможность разложения лишь линейного отображения в
композицию простейших и более близкое к указанным в п. 1 эвристическим
соображениям, можно получить, доказав последовательно следующие
утверждения.
a) Проверьте, что при простейших линейных отображениях L: W1 \-> W1
вида (ж1,... ,ж*,... ,жп) ->· (ж1,... ,хк~1,Ххк,хк+1,... ,#п), λ / Ои (ж1,...,
хк,..., хп) \-ь (х1,..., хк~1, хк + χι, хк+г,..., хп) для любого измеримого
множества Ε С W1 выполнено соотношение μ(Σ(Ε)) = \ det 1,'\μ(Ε) и
докажите, что это соотношение справедливо для любого линейного отображения L :
Еп —> Еп. (Используйте теорему Фубини и возможность разложения
линейного преобразования в композицию указанных простейших.)
b) Покажите, что если φ: Dt —> Dx — диффеоморфизм, то для любого
измеримого компакта К С Dt и его образа φ(Κ) имеет место
соотношение μ(φ(Κ) ^ f | det(p'(t)\ dt. (Если а Ε Dt, то 3(φ'(α))~1 и в представлении
κ
φ(ί) = (φ*(α) ο ((//(α))-1 ο φ)(ί) отображение φ'(а) линейное, а отображение
((//(α))-1 ο φ близко к изометрическому в окрестности точки а.)
c) Покажите, что если рассматриваемая в теореме 1 функция /
неотрицательна, то J f(x)dx ^ J ((/ о φ)\ det φ'\)(ί) dt.
Dx Dt
d) Применив предыдущее неравенство к функции (/ о φ)\ det φ'\ и
отображению φ~ι: Dx —> Dt, покажите, что для неотрицательной функции /
формула (3) верна.
e) Представив функцию / из теоремы 1 в виде разности интегрируемых
неотрицательных функций, докажите справедливость формулы (3).
8. Лемма Сарда. Пусть D—открытое множество в W1, φ Ε
Ε C(1'(D,Mn) и S—множество критических точек отображения φ. Тогда
<^(S) является множеством меры нуль (в смысле Лебега).

180
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Напомним, что критической точкой гладкого отображения φ
области D С Ш™ в пространство Шп называлась такая точка χ Ε D, в которой
rang φ'(χ) < min{ra, η}. В случае т = η это равносильно условию det φ'(χ) — 0.
a) Проверьте лемму Сарда для линейного отображения.
b) Пусть / — промежуток в области D, а φ Ε C^(D,Rn). Покажите, что
существует такая функция α(Λ), α: W1 —> Ε, что a(h) —> 0 при h —> 0 и
\φ(χ + h) - φ(χ) - φ'(χ)Η\ ^ a(h)\h\ при любых χ, χ + h Ε /.
c) Используя b), оцените уклонение образа φ(Ι) промежутка / при
отображении φ от его же образа при линейном отображении L(x) = φ{ά)+φ'(ά){χ—α),
где а £ I.
d) Опираясь на а), Ь), с), покажите, что если 5 — множество критических
точек отображения φ в промежутке /, то <^(S) есть множество меры нуль.
e) Закончите теперь доказательство леммы Сарда.
f) Используя лемму Сарда, покажите, что в теореме 1 достаточно
потребовать, чтобы отображение φ было взаимно однозначным отображением класса
CW(Dt,Dx).
Отметим, что приведенная лемма Сарда является простым частным
случаем теоремы Сарда и Морса, по которой утверждение леммы справедливо,
даже если D С Мт, а φ е C^^(D,En), где к = тах{т — η + 1,1}. Величина к
здесь, как показал на примере Уитни, не может быть уменьшена, каково бы
ни было сочетание чисел тип.
В геометрии лемма Сарда известна как утверждение о том, что если
φ: D —> W1 — гладкое отображение открытого множества D С Ш™ в Εη, то
для почти всех точек χ Ε φ{β) их полный прообраз φ~ι(χ) — Мх в D есть
поверхность (многообразие) коразмерности η в Шт (т.е. т — dimМх = η для
почти всех χ Ε D).
9. Пусть вместо диффеоморфизма φ в теореме 1 рассматривается
произвольное отображение φ Ε C^(DtlDx) такое, что άβίφ'(ί) /Ов Dt. Пусть
п{х) = card{£ Ε supp(/ о φ) | φ{ί) = χ}, т.е. η(χ)—число точек носителя
функции / о φ, которые при отображении φ: Dt —» Dx переходят в точку χ Ε Dx.
Имеет место следующая формула:
j{f .n)(x)dx = J((f οφ)\ det tf/\)(t)dt.
Dx Dt
a) Какой геометрический смысл этой формулы при / = 1?
b) Докажите эту формулу для специального отображения кольца Dt =
= {t Ε Β? Ι 1 < \t\ < 2} на кольцо Dx = {χ Ε Κ£ | 1 < \χ\ < 2}, если в
полярных координатах (г, φ) и (ρ, θ) плоскостей М^ и Ж| соответственно это
отображение записывается формулами г = ρ, φ = 2Θ.
c) Попробуйте теперь доказать формулу в общем виде.

§ 6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
181
§ 6. Несобственные кратные интегралы
1. Основные определения
Определение 1. Исчерпанием множества Ε С М771 будем
называть такую последовательность измеримых множеств {Еп}, что Еп С
оо
С Εη+ι С Ε при любом η G N и (J Еп = Е.
п=\
Лемма. Если {Еп} —исчерпание измеримого множества Е, то:
a) lim μ(Εη) = μ{Ε)\
η—уоо
b) для любой функции f £ TZ(E) также }\еп 6 ΤΙ{Εη) и
lim / f(x)dx= / f(x)dx.
η—уоо
Εη
Ч а) Поскольку Еп С Εη+λ С Е, то μ(Εη) ^ μ(#η+ι) ^ μ(Ε) и
lim μ(Εη) ^ μ{Ε). Для доказательства равенства а) покажем, что вы-
п—уоо
полняется также неравенство lim μ(Εη) ^ μ{Ε).
η—уоо
Граница дЕ множества Ε имеет объем нуль, поэтому ее можно
покрыть конечным числом открытых промежутков, сумма объемов
которых меньше наперед заданной величины ε > 0. Пусть Δ — объединение
всех этих открытых промежутков. Тогда множество EUA =: Ε
открыто в Rm, причем по построению Ε содержит замыкание Ε множества Ε
и μ{Ε) ^ μ{Ε) + μ{Α) < μ{Ε) + ε.
Для каждого множества Еп исчерпания {Еп} можно повторить
описанное построение со значением еп = ε/2η. Тогда получим
последовательность открытых множеств Еп = Еп U Δη таких, что Еп С Еп,
^ оо ^ оо
μ{Εη) < μ{Εη) + μ{Αη) < μ{Εη) + εη и (J En D \J En D E.
n=l n=l
Система открытых множеств Δ, Ε\, Еч, · · · образует открытое
покрытие компакта Е.
Пусть Δ, ί?ι, ί?25 · · · 5 Ek — извлеченное из него конечное покрытие
компакта Е. Поскольку Е\ С Ε<χ С ... С Е^, то множества Δ, Δχ,...,
Ak,Ek тоже образуют покрытие Ε и, значит,
μ(Ε) < μ(Έ) ζ μ(Εώ + μ(Δ) + μ(Δι) + ... + μ(ΔΛ) < μ(Είί) + 2ε.
Отсюда следует, что μ(Ε) ^ lim μ(Εη).
η—уоо

182
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
b) То, что /|#n £ 1Z(En), нам хорошо известно и следует из критерия
Лебега существование интеграла по измеримому множеству. По
условию / £ 11(E), значит, существует постоянная Μ такая, что \f{x)\ < Μ
на Ε. Из аддитивности интеграла и общей оценки интеграла получаем
^Μμ(Ε\Εη).
Отсюда с учетом доказанного в а) заключаем, что утверждение Ь)
действительно имеет место. ►
Определение 2. Пусть {Еп} — исчерпание множества Е, а
функция /: Ε —» R интегрируема на множествах Еп £ {Еп}. Тогда величина
/f(x)dx:= lim / f(x)dx,
n^ooj
Ε En
если указанный предел существует и его величина не зависит от выбора
любого такого исчерпания множества Е, называется несобственным
интегралом от функции f no множеству Е.
Стоящий в левой части последнего равенства символ интеграла
обычно пишут для любой заданной на Ε функции, но говорят, что
этот интеграл существует или сходится, если существует указанный
в определении 2 предел. Если же такого общего для всех указанных
исчерпаний предела не существует, то говорят, что интеграл от
функции / по множеству Ε не существует или что интеграл расходится.
Цель определения 2 состоит в том, чтобы распространить понятие
интеграла на случай неограниченной подынтегральной функции или
неограниченной области интегрирования.
Введенный символ несобственного интеграла совпадает с символом
обычного — собственного интеграла, поэтому необходимо
Замечание 1. Если Ε — измеримое множество и / £ 11(E), то
интеграл от / по Ε в смысле определения 2 существует и совпадает с
собственным интегралом от функции / по множеству Е.
Μ Именно об этом говорит утверждение Ь) доказанной выше
леммы. ►
/ f(x) dx - f(x) dx\ = \ / f(x) dx
Ε En I \E\En

§ 6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
183
Совокупность всех исчерпаний любого сколь-нибудь обильного
множества практически необозрима, да всеми исчерпаниями и не
пользуются. Проверку сходимости несобственного интеграла часто облегчает
Утверждение 1. Если функция /: Ε —> R неотрицательна и
хотя бы для одного исчерпания {Еп} множества Ε указанный в
определении 2 предел существует, то несобственный интеграл от
функции f по множеству Ε сходится.
Μ Пусть {Ек}— другое исчерпание множества Е, на элементах
которого функция / интегрируема. Множества Е% := Е'кПЕп,п = 1,2,...
образуют исчерпание измеримого множества Е'к, поэтому из
утверждения Ь) леммы следует, что
/f(x)dx = lim / f(x)dx^ lim / f(x)dx = A.
η—уоо J η—уоо J
К Ε* En
Поскольку / ^ 0, a E'k С E'k+l С Е, то
3 lim / f(x)dx = B^A.
к-юо J
К
Но теперь исчерпания {Еп}, {Ек} равноправны, поэтому Л^Ви,
значит, А = В. ►
Пример 1. Найдем несобственный интеграл ffe^x +2/ ) dxdy.
R2
Будем исчерпывать плоскость R2 последовательностью кругов Еп =
= {(#,у) £ К2 | х2 +у2 < п2}. После перехода к полярным координатам
легко получаем, что
2π η
[[е(х2+У2) dxdy = Ιάφ I e~r\dr = π(1 - e"n2)
En 0 0
π
при η —> oo.
В силу утверждения 1 уже можно заключить, что рассматриваемый
интеграл сходится и равен π.
Из полученного результата можно извлечь полезное следствие, если
рассмотреть теперь исчерпание плоскости квадратами Е'п = {(х,у) £

184
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
£ R2 | \х\ < η Λ \у\ < и]. По теореме Фубини
η η /
ίί е(*2+У2) dxdy= ίdy ί e-(*2+»2) dx = ί ί
Ε'η —η —η \—η
В силу утверждения 1 последняя величина при η —> оо должна
стремиться к π. Таким образом, мы вслед за Эйлером и Пуассоном получаем,
что
/
е х dx = y/π.
—оо
Некоторые дополнительные не вполне очевидные на первый взгляд
особенности определения 2 несобственного кратного интеграла будут
указаны ниже в замечании 3.
2. Мажорантный признак сходимости несобственного
интеграла
Утверждение 2. Пусть f и д — определенные на множестве Ε
и интегрируемые на одних и тех же его измеримых подмножествах
функции, причем \f(x)\ ^ д{х) на Е. Тогда из сходимости
несобственного интеграла f g(x)dx вытекает сходимость интегралов f \f\(x)dx
Ε Ε
и f f(x)dx.
Ε
Μ Пусть {Еп} — исчерпание множества Ε, на элементах которого
обе функции g и / интегрируемы. Из критерия Лебега вытекает
интегрируемость функции |/| на множествах Еп, η £ Ν, поэтому можно
записать, что
J \f\(x)dx-J\f\{x)dx= J \f\(x)dx^
En+k En En+k\En
^ / g(x) dx = / g(x) dx — g(x) dx,
En+k\En En+k En
где к и п — любые натуральные числа. Эти неравенства с учетом
утверждения 1 и критерия Коши существования предела последовательности
позволяют заключить, что интеграл f \f\(x) dx сходится.

§ 6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
185
Рассмотрим теперь функции /+ := £(|/| + /), /_ := £(|/| - /).
Очевидно, 0 ^ /+ ^ |/| и 0 ^ /_ < 1/1· В силу уже доказанного
несобственные интегралы от функций /+ и /_ по множеству Ε сходятся. Но
/ = /+ — /_, значит, сходится и несобственный интеграл от функции /
по этому же множеству (и он равен разности интегралов от функций
/+и/_). ►
Для того, чтобы утверждением 2 можно было эффективно
пользоваться при исследовании сходимости несобственных интегралов,
полезно иметь некоторый набор эталонных функций для сравнения.
Рассмотрим в этой связи
Пример 2. В n-мерном единичном шаре В С IRn с выколотым
центром 0 рассматривается функция 1/га, где г = d(0,x)—расстояние
от точки χ £ В \ 0 до точки 0. Выясним, при каких значениях а £
£ R интеграл от этой функции по области В \ 0 сходится. Для этого
построим исчерпание области кольцевыми областями В (ε) = {χ £ В \
ε<ά(0,χ) < 1}.
Переходя к полярным координатам с центром 0, по теореме Фубини
получаем
1 1
— = J №d<pj —з- = cj -з^,
Β {ε) S ε ε
где άψ — άψ\.. .άφη-\, /(φ)—некоторое произведение синусов углов
Ψι-i - - - ·> Ψη-2, появляющееся в якобиане перехода к полярным
координатам в Rn, а с — величина интеграла по 5, которая зависит только от η
и не зависит от г и ε.
При ε —> +0 полученная величина интеграла по В (ε) будет иметь
конечный предел, если а < п. В остальных случаях последний интеграл
стремится к бесконечности, когда ε —> +0.
Итак, мы показали, что функция -рг^—г, где d—расстояние до
точки 0, интегрируется в проколотой окрестности этой точки лишь
при а < п, где η — размерность пространства.
Аналогично показывается, что вне шара £?, т.е. в окрестности
бесконечности, эта же функция интегрируется в несобственном смысле,
лишь когда а > п.
Пример 3. Пусть I = {х е W1 | 0 ^ ж* ^ 1, i = Ι,.,.,η} —

186
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
n-мерный куб, a Ik — его fc-мерная грань, задаваемая условиями xfc+1 =
= ... = хп = 0. На множестве I \ 1к рассмотрим функцию ,&, х, где
d(x)—расстояние от точки χ £ I \ Д до грани Д. Выясним, при
каких значениях а £ R интеграл от этой функции по множеству I \ h
сходится.
Заметим, что если χ = (χ1,... ,xfc,x*+1,... , χη), то
d{x) = 0я?*+1)2 + ... + (я?п)2.
Пусть /(ε) —это куб J, из которого удалена ε-окрестность грани 1^.
По теореме Фубини
I — = I dx1 dx* / Де**1-^" = [ *L
J d«(x) J '"· У ((a.*+l)2 + eee + (a.n)2)a/2 / |M|a '
/(ε) 4 /n-fc(e) In-k(e)
где w = (x*+1,... ,xn), In-k{s) —грань In-k С Rn_fc, из которой удалена
ε-окрестность точки и = 0.
Но на базе приобретенного в примере 1 опыта ясно, что
последний интеграл сходится лишь при а < η — к. Значит,
рассматриваемый нами несобственный интеграл сходится лишь при α < η — /с, где
к— размерность грани, около которой функция может неограниченно
возрастать.
Замечание 2. При доказательстве утверждения 2 было
проверено, что сходимость интеграла от функции |/| влечет сходимость
интеграла от функции /. Оказывается, для несобственного в смысле
определения 2 интеграла верно и обратное утверждение, чего не было в
рассматривавшемся нами прежде случае несобственного интеграла на
прямой, где мы различали абсолютную и неабсолютную (условную)
сходимости несобственного интеграла. Чтобы сразу понять суть
возникшего нового явления, связанного с определением 2, рассмотрим
следующий
Пример 4. Пусть функция /: R+. —> R определена на множест-
(—1)п~1
ве R+. неотрицательных чисел следующими условиями: /(х) = ^—^—,
если η — 1 ^ χ < π, π £ N.
Поскольку ряд Σ —η— сходится, то, как легко видеть, предел
А
при А —> оо интеграла //(х) dx существует и равен сумме указанного
о

§6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
187
ряда. Однако этот ряд не сходится абсолютно, и перестановкой его
членов можно получить ряд, например, расходящийся к +оо. Частичные
суммы нового ряда можно интерпретировать как интегралы от
функции / по объединению Еп соответствующих членам ряда отрезков
вещественной оси. Множества Еп в совокупности, очевидно, образуют
исчерпание области R+. задания функции /.
оо
Таким образом, несобственный интеграл f f(x)dx от предъявлен-
о
ной функции /: R+. 4 Rb прежнем его понимании существует, а в
смысле определения 2 не существует.
Мы видим, что требуемая в определении 2 независимость предела от
выбора исчерпания эквивалентна независимости суммы ряда от
порядка суммирования его членов. Последнее, как нам известно, в точности
равносильно абсолютной сходимости.
На самом-то деле практически всегда приходится рассматривать
лишь специальные исчерпания следующего вида. Пусть определенная
в области D функция /: D —> R неограничена в окрестности
некоторого множества Ε С dD. Тогда мы удаляем из D точки, лежащие в
ε-окрестности множества £", и получаем область Ό(ε) С D. При ε —> О
эти области порождают исчерпание D. Если же область
неограниченная, то ее исчерпание можно получить, взяв дополнения в D к
окрестностям бесконечности. Именно такие специальные исчерпания мы в свое
время и рассматривали в одномерном случае, и именно эти специальные
исчерпания непосредственно ведут к обобщению на случай
пространства любой размерности понятия главного (в смысле Коши) значения
несобственного интеграла, о котором мы в свое время уже говорили,
изучая несобственные интегралы на прямой.
3. Замена переменных в несобственном интеграле. В
заключение получим формулу замены переменных в несобственных
интегралах и тем самым сделаем весьма ценное, хотя и очень простое
дополнение к теоремам 1 и 2 из § 5.
Теорема 1. Пусть φ: Dt —> Dx—диффеоморфное отображение
открытого множества Dt С Щ на такое dice множество Dx С MJ,
а функция /: Dx —> Ш интегрируема на измеримых компактных
подмножествах множества Dx. Если несобственный интеграл f f(x)dx
Dx

188
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
сходится, то интеграл f ((/ о ψ)\ det <p'\){t) dt также сходится и их
значения совпадают.
< Открытое множество Д Ci? можно исчерпать
последовательностью лежащих в Dt компактов Е*, к £ N, каждый из которых является
объединением конечного числа промежутков пространства Щ (см. в
этой связи начало доказательства леммы 1 из §5). Поскольку φ: Dt —>
—> Dx — диффеоморфизм, исчерпанию {Ε*} множества Dt отвечает
исчерпание Е% множества Дс, где Е\ = φ{Ε*)—измеримые компакты
в Dx (измеримость множеств Е^ следует из леммы 1, § 5). В силу
утверждения 1 из § 5 можно записать, что
J f(x)dx = Ι((ίοφ)\ά<ΛφΤ№Λ.
Левая часть этого равенства при к —> оо по условию имеет предел.
Значит, правая часть при к —> оо тоже имеет, и притом тот же,
предел. ►
Замечание 3. Приведенным рассуждением проверено, что
стоящий в правой части последнего равенства интеграл имеет один и тот
же предел при любом исчерпании Dt указанного специального вида. В
дальнейшем мы будем использовать именно эту доказанную часть
теоремы. Но формально для завершения доказательства
сформулированного утверждения необходимо в соответствии с определением 2
проверить, что найденный предел существует для любого исчерпания
области Dt* Эту (не вполне элементарную) проверку мы оставляем
читателю в качестве хорошего упражнения. Заметим только, что из
доказанного уже можно извлечь сходимость несобственного интеграла от
функции |/ о у?|| det ψ'\ по множеству Dt (см. задачу 7).
Теорема 2. Пусть ψ: Dt —» Dx —отображение открытых
множеств Dt и Dx. Предположим, что в Dt и Dx можно указать такие
множества St, Sx меры нуль, что Dt\St, DX\SX —открытые
множества, α ψ диффеоморфно отображает первое из них на второе. Если
при этих условиях несобственный интеграл f f(x)dx сходится, то
dx
сходится также интеграл f ((/ о φ)\ det φ'\)(t)dt и их значения со-
Dt\St
впадают. Если к тому же величина | det ψ'\ определена и ограничена на

§ 6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
189
компактных подмножествах множества Dt, то функция (/°</?)| det φ'\
интегрируема в несобственном смысле по множеству Dt и имеет
место равенство
If(x)dx= I {{fotp)\A4ttp9\){t)dt.
Dx Dt\St
Μ Сформулированное утверждение является прямым следствием
теоремы 1 настоящего параграфа и теоремы 2 из § 5, если учесть, что при
отыскании несобственного интеграла по открытому множеству
можно ограничиться рассмотрением исчерпаний, состоящих из измеримых
компактов (см. замечание 3). ►
Пример 5. Вычислим интеграл ff % 2ч<*> который
х2+у2<1 ^ ~ Х ~ У '
при а > О является несобственным, поскольку тогда подынтегральная
функция неограничена в окрестности окружности х2 + у2 = 1.
Переходя к полярным координатам, по теореме 2 получаем
Г Г dxdy Г Г
J J (1-х2-у2)*- J J
У 0<г<1
rdrd<p
(1-r2)"*
При α > О последний интеграл тоже несобственный, но, поскольку
подынтегральная функция неотрицательна, его можно вычислять как
предел по специальному исчерпанию прямоугольника / = {(г, φ) £ R2 |
0<(/?<2πΛ0<Γ<1} прямоугольниками 1п = I (г, φ) £ R2 | 0 < φ <
<2πΛ0<Γ< 1 — ^ >, η G N. Используя теорему Фубини, находим, что
при а < 1
ff rdrdtp f f rdr π
II Ίχ=?τ=£%>Ιώρ I (T^ = w
0<ν?<2π О О
0<г<1
На основе этих же соображений можно сделать вывод, что исходный
интеграл при а ^ 1 расходится.
Пример 6. Покажем, что интеграл ff ■ £Х_~У \q сходится
\АМу\^Щ Ш
лишь при условии - + i < 1.

190
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Μ Ввиду очевидной симметрии достаточно рассмотреть интеграл
только по области £), в которой я ^ 0, у^Оих + y^l.
Ясно, что для сходимости интеграла необходимо одновременное
выполнение условий ρ > 0 и q > 0. Действительно, если бы, например, было
ρ ^ 0, то уже для интеграла по прямоугольнику Ια = {(#5у) G IR2 | 1 ^
^£^АД0^у^1}, лежащему в Ζ), мы бы получили оценку
ffdxdy= J} dy /dx/_^_ = (A_i)/_^y ,
J J M'+li/l* J J \x\p+\y\q J J i+\y\q y 'У ι+Ιι/Ι*'
IA 10 10 0
которая показывает, что при А —> оо этот интеграл неограниченно
возрастает. Таким образом, в дальнейших рассмотрениях можно считать,
что ρ > 0 и q > 0.
В ограниченной части области D подынтегральная функция не
имеет особенностей, поэтому исследование сходимости нашего интеграла
равносильно исследованию сходимости интеграла от той же функции,
но, например, по той части G области £), где хр + yq ^ а > 0. Число
а предполагается достаточно большим, чтобы кривая хр + уя = а при
х ^ 0, у ^ 0 лежала в D.
Переходя к обобщенным полярным координатам ψ по формулам
х = (rcos2(/?)1/p, у = (rsin2</?)1/9,
на основании теоремы 2 получаем
Г Г dxdy 2 [Г / 1 + 1_2 2-1 .2-1 \
/ / — г-г = // г ρ я cosp <psin<? φ) αταφ.
J J \x\p + \y\q p-q J J V ^ *7
G 0<<?<7г/2
Используя исчерпание области {(г, </?) £ R2 | 0 < </? < π/2 Ло^г<
< оо} промежутками /ед = {(^, ^)θΜ2|0<ε^(/?< π/2—εΛα ^ г < Α}
и применяя теорему Фубини, получаем
// (-
» 2_χ 2_1 \
cosp φ sin? ψ\άτάψ =
0<<ρ<π/2
π/2-ε
cosp </?sin<? y?dy> lim гр я dr.
A-too J
ε

§ 6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
191
Поскольку ρ > О и q > О, первый из этих пределов заведомо конечен,
а второй конечен, лишь когда - + ^ < 1. ►
Задачи и упражнения
1. Укажите условие на ρ и q, при котором интеграл JJ ■ ipvf \q
СХОДИТСЯ.
Λ
2. а) Существует ли lim fcosx2dx?
Л-юо q
b) Сходится ли интеграл J cos ж2 dx в смысле определения 2?
c) Проверив, что
lim / / sin(#2 +y2)dxdy = π
ι^°° J J
Π—У
\χ\ζη
lim / / sin(#2 + у2) dx dy = 0,
l-+°° J J
n~юо
убедитесь, что интеграл от sin (ж2 + у2) по плоскости Е2 расходится.
111
3. а) Вычислите интеграл JJJ άχνά\ά%.
ооо х у 2
b) Следует быть осторожным, применяя теорему Фубини к
несобственным (как, впрочем, и к собственным) интегралам. Покажите, что интеграл
2 2
// \ ~\\1 άχ dy расходится, в то время как оба повторных интеграла
я^>1,у^1 (ж +Р )
I dx ! ($+}γ dyn fdyf (я2 + у2)Д dx СХ°ДЯТСЯ-
c) Докажите, что если / Ε C(R2,R) и / ^ 0 в Я2, то из существования
оо оо оо оо
любого из двух повторных интегралов f dx f f(x,y)dy, f dy f f(x1y)dx
— oo —oo —oo —oo
вытекает, что интеграл ff f(x,y)dxdy сходится и равен значению этого по-
вторного интеграла.
4. Покажите, что если / Ε C(R, R), то
1
lim - [ ΊΟ k 0/(я?) dx = /(0).
h^on J h2 +x2jy ' J w
-1
5. Пусть D — ограниченная область вГс гладкой границей, a S —
гладкая fc-мерная поверхность, лежащая на границе области D. Покажите, что

192
ГЛ. XI. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
если функция / Ε C(D,R) допускает оценку |/| < ._ , где d = d(S,x)—
расстояние от точки χ Ε D до S, а, ε > 0, то интеграл от функции / по
области D сходится.
6. В дополнение к замечанию 1 покажите, что оно остается в силе даже
без предположения об измеримости множества Е.
7. Пусть D — открытое множество в W1, а функция f:D—>R
интегрируема на любом измеримом компакте, лежащем в D.
a) Покажите, что если несобственный интеграл от функции |/| по D
расходится, то найдется такое исчерпание {Еп} множества Z), что каждое из
множеств Еп является элементарным компактом в D, состоящим из
конечного числа n-мерных промежутков и JJ |/|(x) dx —> +оо при η —> оо.
Еп
b) Проверьте, что если интеграл от / по некоторому множеству сходится,
а от |/| расходится, то должны расходиться также интегралы от /+ = 2(1/1 +
+ /)и/_ = ΐ(|/|-/).
c) Покажите, что полученное в а) исчерпание {Еп} можно разрядить так,
что для любого η Ε N будет выполняться соотношение f /+ (χ) dx >
En+i\En
> f \f\(x)dx + n.
En
d) С использованием нижних интегральных сумм покажите, что если
f f+(x) dx > А, то найдется такой элементарный компакт F С Е, состоящий
Ε
из конечного числа промежутков, что J f(x) dx > Α.
F
e) Выведите из с) и d), что существует такой элементарный компакт Fn С
С Εη+ι \ Еп, для которого f f(x) dx > f \f\(x) dx + n.
Fn En
f) Покажите, используя е), что множества Gn — Fn ΓΊ En являются
лежащими в D элементарными компактами (т.е. состоят из конечного числа
промежутков), которые в совокупности образуют исчерпание множества D и
для которых имеет место соотношение j f(x) dx —> +оо при η —> оо.
Gn
Таким образом, если интеграл от |/| расходится, то расходится (в смысле
определения 2) и интеграл от функции /.
8. Проведите подробно доказательство теоремы 2.
9. Напомним, что если χ — (ж1,... ,жп), а ξ = (ξ1,... ,ξη), то (ж, ξ) = χ1 ξ1 +
-f... + χηξη есть стандартное скалярное произведение в W1. Пусть А = (а^·) —
комплексная симметричная (η χ η)-матрица. Обозначим через Re А матрицу с
элементами Re α^·; запись Re А ^ 0 (Re А > 0) означает, что ((Re А)х,х) ^ 0
(соответственно > 0) для любого xGln,a:/0.

§ 6. НЕСОБСТВЕННЫЕ КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
193
а) Покажите, что если Re А ^ 0, то при λ > 0, ξ е W1
/ ехр ( --(Αχ,χ) -i(x,£) J dx =
in
-(τ)^(*"*)-"·«ρ(-^-ί,β).
При этом ветвь \/det А выбрана следующим образом:
(det.4)-1/2 = |detJ4|-1/2exp(-i Ind A),
ι n
Ind A = ο Σars мЛл). I ars Мл)1 ^ 9'
2,=!
где μί(Α) — собственные значения матрицы А.
Ь) Пусть Л — вещественная симметричная невырожденная (пхп)-матрица.
Тогда при ξ е W1 и λ > О
/ ехр (i-(Ax,x) - ί(χ,ξ) J dx =
= (^y/2\detA\-^exp (-Αμ-^ξ)) ехр (|sgn л) .
Здесь sgn Л — сигнатура матрицы А, т.е.
sgn Л = 1/+(Л) -М^)>
где ^+(^4)— число положительных, ^-(Л)—число отрицательных
собственных значений матрицы А.

ГЛАВА XII
ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
ФОРМЫ В Rn
В этой главе разобраны понятия поверхности, края поверхности,
согласованной ориентации поверхности и ее края, выведена формула для
вычисления площади поверхности, лежащей в Rn, а также даны
начальные представления о дифференциальных формах. Владение
перечисленными понятиями весьма важно при работе с криволинейными и
поверхностными интегралами, которым посвящена следующая глава.
§ 1. Поверхность в W1
Эталоном fc-мерной поверхности является Шк.
Определение 1. Поверхностью размерности к (к-мерной
поверхностью или к-мерным многообразием) в W1 называется такое
множество S С IRn, каждая точка которого имеет в S окрестность1), гомео-
морфную2) Rk.
Определение 2. Отображение φ: Rk —> U С 5,
осуществляющее указанный в определении поверхности гомеоморфизм, называется
^Под окрестностью точки χ Ε S С Шп в множестве 5, как и прежде, понимается
множество Us(x) = SC\ U(x), где U(x) окрестность χ вШп. Поскольку в дальнейшем
речь будет только об окрестностях точки на поверхности, для упрощения
обозначений, если не возникает недоразумений, мы пишем U или U(x) вместо Us(x)·
2^На 5cRn,a значит, и на U С S имеется естественная, индуцированная из Шп
метрика, поэтому можно говорить о топологическом отображении U в Шк.

§ 1. ПОВЕРХНОСТЬ В Шп
195
картой или локальной картой поверхности 5; Rk — областью
параметров, a U — районом или областью действия карты на поверхности S.
Локальная карта вводит в U криволинейные координаты,
сопоставляя точке χ = φ(ί) £ U числовой набор t = (ί1,... ,tk) £ Rk. Из
определения поверхности видно, что совокупность описываемых им
объектов S не изменится, если в нем Шк заменить любым гомеоморфным Шк
топологическим пространством. Чаще всего вместо Rk за стандартную
область параметров локальных карт принимают открытый куб 1к или
открытый шар Вк в Шк. Но это чистая условность.
Для проведения некоторых аналогий и в целях большей
наглядности ряда последующих построений мы, как правило, в качестве
канонической области параметров локальных карт поверхности будем брать
куб 1к. Итак, карта
</>:/*->[/С S (1)
локально дает параметрическое уравнение χ = cp(t) поверхности
S С IRn, а сама fc-мерная поверхность, таким образом, локально
устроена как продеформированный стандартный fc-мерный промежуток
1к СГ.
Для вычислительных целей, как будет видно из дальнейшего,
параметрическое задание поверхности особенно важно. Иногда всю
поверхность можно задать всего лишь одной картой. Такую поверхность
обычно называют элементарной. Например, график в Rfc+1
непрерывной функции /: Jfc —» Μ является элементарной поверхностью. Однако
элементарность поверхности скорее исключение, чем правило.
Например, обычную нашу двумерную земную сферу уже нельзя задать
только одной картой. В атласе поверхности Земли должны быть по крайней
мере две карты (см. задачу 4 в конце параграфа).
В соответствии с возникшей аналогией примем
Определение 3. Набор A(S) := {φι: Ik —> U^i G Ν} локальных
карт поверхности 5, районы действия которых в совокупности
покрывают всю поверхность (т.е. S = (J^t)5 называется атласом поверхно-
г
emu S.
Объединение двух атласов одной и той же поверхности, очевидно,
тоже является атласом этой поверхности.
Если на отображения (1)—локальные параметрические уравнения
поверхности — не накладывать других ограничений, кроме того, что

196 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
это должны быть гомеоморфизмы, то поверхность в W1 может
оказаться расположенной весьма странно. Например, может случиться,
что гомеоморфная двумерной сфере поверхность, т. е. топологически —
сфера, лежит в Μ3, но ограничиваемая ею область не гомеоморфна шару
(так называемая рогатая сфера1)).
Чтобы избавиться от подобных затруднений, не связанных с
существом рассматриваемых в анализе вопросов, мы в гл. VIII, § 7
определили гладкую k-мерную поверхность, лежащую в Rn, как такое множество
Sc Rn, что для каждой точки хо G S найдутся ее окрестность U(xo)
вГи диффеоморфизм ф: U{x0) -> Iй = {* G W1 \ \t\ < 1,г = 1,... ,п},
при котором множество Us{xo) '-= S Π U(xo) преобразуется в куб 1к =
= Г П {t G Шп I tfc+1 = ... = tn = 0}.
Ясно, что гладкая в этом смысле поверхность является
поверхностью в смысле определения 1, поскольку отображения χ = ψ~ι(ίι,..., tfc,
0,..., 0) = <p(tl,..., £fc), очевидно, задают локальную параметризацию
поверхности. Обратное, как следует из упомянутого выше примера
рогатой сферы, вообще говоря, не имеет места, если φ просто
гомеоморфизмы. Однако если отображения (1) достаточно регулярны, то
понятие поверхности в прежнем и новом определении на самом-то ^еле
совпадают.
По существу, это уже было показано в примере 8 из §7 гл. VIII,
но учитывая важность вопроса, сформулируем утверждение точно и
напомним, как получается ответ.
Утверждение. Если отображение (1) принадлежит классу
и в каждой точке куба Ik имеет максимально возможный
ранг к, то найдутся число ε > 0 и такой диффеоморфизм ψε: I™ —> W1
куба I™ := {t е W1 \ \tf\ ^ ε,г = 1,... ,п} размерности η в
пространство W1, Что <p\iknjn = ψε\ΐΐ*ηΙ">·
Иными словами, утверждается, что при указанных условиях
отображения (1) локально являются ограничениями на fc-мерные кубы 2* =
= Ik Π Ι™ диффеоморфизмов полномерных кубов I™.
< Положим для определенности, что уже первые к из η
координатных функций хг = φι(Ϋ,..., ife), г = 1,..., η, отображения χ = φ(ί)
^Пример поверхности, о которой идет речь, был построен Александером.
Дж. У. Александер (1888-1977) —американский математик-тополог.

§ 1. ПОВЕРХНОСТЬ В Rn
197
таковы, что det ( ^-) (0) Φ 0, i,j = 1,..., к. Тогда в силу теоремы о
неявной функции соотношения
xl = <pl(t\...,tk),
χ* = ^(ί1,·..,ί*),
ζ*+1 = ν*+1(*\···Λ
[ x« = V,«(t1,...,i*)
около точки (ίο5^ο) = (0, <^(0)) эквивалентны соотношениям
tk = fk(x\...,xk),
xk+1 = fk+l{x\...,xk),
xn = fn(x\...,xk).
В таком случае отображение
tl = fl{x\...,xk),
tk = fk(x\...,xk),
tk+l=xk+1-fk+1{x\...,xk),
tn = xn -fn(x\...,xk)
является диффеоморфизмом полномерной окрестности точки xq G W1.
В качестве φε можно теперь взять ограничение обратного к нему
диффеоморфизма на некоторый куб /". ►

198 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Шп
Изменением масштаба, разумеется, можно сделать так, чтобы в
последнем диффеоморфизме было ε = 1, а куб I™ был единичным.
Итак, показано, что для гладкой поверхности в W1 можно принять
следующее эквивалентное прежнему
Определение 4. Поверхность размерности к в W1 (введенная
определением 1) называется гладкой (класса С^т\ т ^ 1), если она
обладает атласом, локальные карты которого являются гладкими (класса
С^т\ т ^ 1) отображениями и в каждой точке области своего
определения имеют ранг к.
Заметим, что условие на ранг отображений (1) существенно.
Например, аналитическое отображение R Э t \-> (я1, я2) £ М2, задаваемое
формулами ж1 = ί2, ж2 = ί3, определяет кривую в плоскости R2,
имеющую острие в точке (0,0). Ясно, что эта кривая не является гладкой
1-мерной поверхностью в R2, ибо последняя должна иметь касательную
(1-мерную касательную плоскость) в любой точке1).
Таким образом, в частности, не следует смешивать понятие
гладкого пути класса С(т) и понятие гладкой кривой класса С^т\
В анализе, как правило, имеют дело с достаточно гладкими
параметризациями (1) ранга к. Мы убедились, что в этом случае принятое
здесь определение 4 гладкой поверхности совпадает с уже
рассмотренным в гл. VIII, § 7. Однако если прежнее определение было наглядным
и сразу избавляло от некоторых лишних хлопот, то известное
преимущество определения 4, согласованного с определением 1 поверхности,
состоит в том, что оно с легкостью может быть доведено до
определения абстрактного многообразия, не обязательно лежащего в W1. Здесь
же нас будут интересовать пока только поверхности в W1.
Рассмотрим некоторые примеры таких поверхностей.
Пример 1. Напомним, что если F1 Ε C(m)(Rn,R), г = 1,...,
η — к — такой набор гладких функций, что система уравнений
Fl{x\...,xk,xk+\...,xn) = 0,
(2)
Fn-fc(x1,...,xfc,xfc+1,...,xn) = 0
в любой точке множества S своих решений имеет ранг η — &, то эта
О касательной плоскости см. в гл. VIII, § 7.

§ 1. ПОВЕРХНОСТЬ В R7
199
система либо вовсе не имеет решений, либо в качестве множества
решений имеет fc-мерную С(т)-гладкую поверхность S bW1 .
Μ Проверим, что если S Φ 0, то S действительно удовлетворяет
определению 4. Это вытекает из теоремы о неявной функции, в силу
которой в некоторой окрестности любой точки хо G S система (2), с
точностью до переобозначения переменных, эквивалентна системе
[ xn = fn(x\...,xk),
где /fc+1,..., fn £ C^m\ Записывая последнюю систему в виде
[ xl=t\
хк = tk,
<
xk+1 = fk+1(tl,...,1*),
( xn = fn(t\...,tk),
приходим к параметрическому уравнению окрестности точки xq G S
на S. Дополнительным преобразованием область параметров,
очевидно, можно превратить в каноническую, например в /fc, и получить
стандартную локальную карту (1). ►
Пример 2. В частности, задаваемая в W1 уравнением
(х1)2 + ... + (хп)2 = г2 (г>0) (3)
сфера есть (п - 1)-мерная гладкая поверхность в Rn, поскольку
множество S решений уравнения (3), очевидно, непусто и в любой точке S
градиент левой части уравнения (3) отличен от нуля.
При η = 2 получаем в R2 окружность
(X ) +{Х ) = Г ,

200 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
которую легко локально параметризовать полярным углом 0, используя
полярные координаты
{я1 = rcos0,
я2 = rsin0.
Отображение 0 н-> (χ1^χ2)(θ) при фиксированном значении г > 0
является диффеоморфизмом на любом промежутке вида 0о < θ < 0о +
+ 2π, и двух карт (например, отвечающих значениям 0о — 0 и #о — ~π)
достаточно, чтобы составить атлас окружности. Одной канонической
картой (1) здесь обойтись нельзя хотя бы потому, что окружность —
компакт, в отличие от R1 или I1 = В1, а свойство топологического
пространства быть компактом инвариантно относительно
топологических преобразований.
Полярные (сферические) координаты могут быть использованы и
для параметризации двумерной сферы
(ж1)2 + (а.2)2 + (а.3)2 = г2
в R3. Обозначая через φ угол между направлением вектора (я1,я2,я3)
и направлением оси Охг (т.е. 0 ^ φ ^ π), а через φ — полярный угол
проекции радиус-вектора (я1, я2, я3) на плоскость (х1^х2)^ получаем
х3 = rcos^,
я2 = г sin?/; sin φ,
я1 = г sin ф cos ψ.
В общем случае полярные координаты (г, 0χ,..., 0η-ι) в ^п вводятся
соотношениями
Xх — г COS 01,
я2 = г sin 01 cos 02,
(4)
χη-1 _ rs'mQl sin02 · ... · sin0n_2COS0n_i,
xn — τ sin 0i sin 02 · ... · sin0n_2sin0n_i.
Напомним якобиан
J = rn_1 sin71"2 0i sin71"3 02 · ... · sin0n_2 (5)

§ 1. ПОВЕРХНОСТЬ В Rn
201
перехода (4) от общих полярных координат (г,0χ,..., 0η-ι) κ
декартовым координатам (х1,... , хп) в W1. Из выражения якобиана видно, что
он отличен от нуля, если, например, 0 < 0* < π, г = 1,..., π — 2 и г > 0.
Значит, даже не ссылаясь на простой геометрический смысл
параметров 015..., 0П_15 можно гарантировать, что при фиксированном г > 0
отображение (015..., θη_ι) ь-> (х1,..., хп) как ограничение локального
диффеоморфизма (г, 015..., 0П_Х) м· (х1,..., хп) само локально диффео-
морфно. Но сфера однородна относительно группы ортогональных
преобразований W1, поэтому отсюда уже следует возможность построения
локальной карты для окрестности любой точки сферы.
Пример 3. Цилиндр
(х1)2 + ... + {хк)2 = г2 (г>0),
при к < η есть (п — 1)-мерная поверхность в Rn, являющаяся прямым
произведением (г — 1)-мерной сферы плоскости переменных (х1,..., хк)
и (п — &)-мерной плоскости переменных (xfc+1,... ,хп).
Локальная параметризация этой поверхности, очевидно, может
быть получена, если в качестве первых к — 1 из (п — 1) параметров
(ί1,..., tn~l) взять полярные координаты 015..., вк_1 точки (к —
^-мерной сферы в Rk, a tk,..., tn~l положить равными xfc+1,..., χη
соответственно.
Пример 4. Если в плоскости χ = 0 пространства R3, наделенного
декартовыми координатами (х,у,£), взять кривую (1-мерную
поверхность), не пересекающую ось Οζ, и вращать ее относительно оси Οζ,
то получится 2-мерная поверхность, в качестве локальных координат
которой можно принять локальные координаты исходной кривой
(меридиана) и, например, угол поворота (локальная координата на
параллели).
В частности, если в качестве исходной кривой взять окружность
радиуса а с центром в точке (6,0,0), то при а < b получим двумерный
тор (рис. 69). Его параметрическое уравнение может быть представлено
в виде
χ = (b + a cos φ) cos φ,
у = (b + a cos ф) sin φ,
ζ = a sin?/;,
где ф — угловой параметр на исходной окружности — меридиане, в, φ —
угловой параметр на параллели.

202 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Шп
Рис. 69.
Рис. 70.
Любую поверхность, гомеоморфную построенному тору вращения, в
топологии принято называть тором (точнее, двумерным тором). Как
видно, двумерный тор есть прямое произведение двух окружностей.
Поскольку окружность получается из отрезка склеиванием
(отождествлением) его концов, тор можно получить из прямого произведения
отрезков, т. е. из прямоугольника, склеиванием противоположных
сторон прямоугольника по соответствующим точкам (рис. 70).
В сущности, этим мы уже в свое время пользовались, когда
установили, что конфигурационное пространство двойного маятника является
двумерным тором, а движению маятника соответствует путь на торе.
\
1
ч 1
/
А
ь.
Ρ
ис. 7
Ί.
/
/
1 '"^
1 ,
1 1
\
\
ч
с.
Пример 5. Если гибкую ленту (прямоугольник) склеить по
стрелкам, указанным на рис. 71, а, то можно получить кольцо (рис. 71, с) или
цилиндрическую поверхность (рис. 71, Ь), что с топологической точки
зрения одно и то же (эти поверхности гомеоморфны). Если же ленту
склеить по стрелкам, изображенным на рис. 72, а, то получим в R3
поверхность (рис. 72, Ь), называемую в математике листом Мёбиуса1^.
А. Ф. Мёбиус (1790 -1868) — немецкий математик и астроном.

§ 1. ПОВЕРХНОСТЬ В R7
203
[ι
а.
b.
Рис. 72.
а.
Локальные координаты на этой поверхности естественно вводятся
посредством координат на плоскости, в которой лежит исходный
прямоугольник.
Пример 6. Сопоставляя изложенное в
примерах 4 и 5, поддавшись естественной
аналогии, можно теперь предписать склейку
прямоугольника (рис. 73, а), объединяющую в
себе и элементы тора, и элементы листа
Мёбиуса. Но подобно тому, как лист Мёбиуса нельзя
было склеить без разрывов или
самопересечений, не выходя за пределы плоскости R2, так и
предписанную склейку не удастся выполнить
в R3. Однако в ffi4 это уже можно сделать и в
результате получить в ffi4 поверхность,
которую принято называть бутылкой Клейна1^. Попытка изобразить эту
поверхность предпринята на рис. 73, Ь.
Последний пример дает некоторое представление о том, что
поверхность порой легче описать саму по себе, нежели ее же, лежащую в
определенном пространстве ffin. Более того, многие важные поверхности
(различной размерности) первоначально возникают не как
подмножества ffin, а, например, как фазовые пространства механических систем,
как геометрический образ непрерывных групп преобразований, как
фактор-пространства относительно групп автоморфизмов исходного
пространства, и так далее, и тому подобное. Мы ограничимся пока
этими первоначальными замечаниями, оставляя их уточнение до гл. XV,
где будет дано общее определение поверхности, не обязательно лежа-
Рис. 73.
^Ф. Х.Клейн (1849-1925)—крупный немецкий математик, впервые строго
обосновавший непротиворечивость неевклидовой геометрии. Знаток истории
математики, один из организаторов издания «Энциклопедии математических наук».

204 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Шп
щей в Rn. Но уже здесь, еще не дав этого общего определения, сообщим,
что, согласно известной теореме Уитни1), любую &-мерную поверхность
можно гомеоморфно отобразить на некоторую поверхность, лежащую
в пространстве R2/c+1. Значит, рассматривая поверхности в Rn, мы на
самом-то реле ничего не теряем с точки зрения их топологического
разнообразия и классификации. Эти вопросы, однако, лежат уже в стороне
от наших скромных потребностей в геометрии.
Задачи и упражнения
1. Для каждого из множеств Еа, задаваемых условиями
Еа = {(х,у)еШ2 \х2-у2 = а},
Ea = {(x,y,z)eR3 \х2-у2 = а},
Еа = {{x,y,z) e R3 | х2 +у2 - ζ2 = α},
Ea = {zeC\ |ζ2-1| = α},
в зависимости от значения параметра α Ε К. выясните:
a) является ли Еа поверхностью;
b) если да, то какова размерность Еа;
c) СВЯЗНО ЛИ Εα.
2. Пусть /: W1 —> W1—гладкое отображение, удовлетворяющее условию
/о/ = /.
a) Покажите, что множество fiW1) является гладкой поверхностью в Еп.
b) Какой характеристикой отображения / определяется размерность этой
поверхности?
3. Пусть ео, ех,..., еп — ортонормированный базис в евклидовом
пространстве Rn+1, χ = ж°ео + xxei +... + япеп, {х} — точка (ж0,ж1,... ,яп), е15... , еп—
базис в W1 С Mn+1.
Формулы
χ - х°е0 . χ - х°е0 .
Ψ1 = 1_д,о ПРИ х Φ ео> Ψ* = i + jp ПРИ х Ф ~е°
задают стереографические проекции
Φι: Sn \ {ео} -+ Μη, ф2 : Sn \ {-e0} -+ W1
из точек {ео} и {—ео} соответственно.
а) Выясните геометрический смысл этих отображений.
^Х. Уитни (1907-1989)—американский математик-тополог, один из создателей
теории расслоенных пространств.

§2. ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ
205
b) Проверьте, что если t Ε Rn и t φ 0, то (гр2 ° Ψ ι X)(t) = rW, где ^ * =
rl
= WlUnUeo})"1·
c) Покажите, что две карты ψ^1 = φι: W1 -> Sn \ {eo}, ^l = ψ2'· №η ->·
-> Sn \ {—e0} образуют атлас сферы Sn С En+1.
d) Докажите, что любой атлас сферы должен иметь не менее двух карт.
§ 2. Ориентация поверхности
Напомним, прежде всего, что переход от одного репера е15... ,еп
пространства W1 к другому ех,..., еп осуществляется посредством
квадратной матрицы (а*·), возникающей из разложений ej = а1^.
Определитель этой матрицы всегда отличен от нуля и все реперы
пространства разбиваются на два класса эквивалентности, если в один класс
отнести реперы, для которых определитель матрицы взаимного
перехода положителен. Такие классы эквивалентности называют классами
ориентации реперов пространства W1.
Задать ориентацию W1 значит по определению фиксировать один из
этих классов ориентации реперов Rn. Таким образом,
ориентированное пространство W1—это само пространство W1 плюс
фиксированный класс ориентации его реперов. Чтобы указать класс ориентации,
достаточно предъявить любой его репер, поэтому можно сказать, что
ориентированное пространство W1—это W1 вместе с фиксированным
в нем репером.
Репер в W1 порождает в W1 систему координат, и переход от
одной такой системы координат к другой осуществляется матрицей (а^),
транспонированной по отношению к матрице (агА связи реперов.
Поскольку определители этих матриц одинаковы, можно было бы все
сказанное выше об ориентации повторить на уровне классов ориентации
систем координат в W1, относя в один класс те координатные
системы, взаимный переход между которыми осуществляется матрицей с
положительным якобианом.
Оба эти, по существу, совпадающие подхода к описанию понятия
ориентации пространства W1 проявятся и при описании понятия
ориентации поверхности, к которому мы переходим.
Напомним, однако, еще полезную для дальнейшего связь между
координатами и реперами в случае, когда речь идет о системе
криволинейных координат.

206 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Пусть G и D — диффеоморфные области, лежащие в двух
экземплярах пространства Rn, наделенных декартовыми координатами
(ж1,... ,жп) и (ί1,...,*71) соответственно. Диффеоморфизм φ: D —» G
можно рассматривать как введение в области G криволинейных
координат (t1,...,*71) по закону χ = <p(t), т.е. точка χ £ G
наделяется декартовыми координатами (t1,...,*71) точки t = φ~ι(χ) £ D.
Если в каждой точке t £ D рассмотреть репер el5...,en
касательного пространства T1RJ1, составленный из ортов координатных
направлений, то в β возникнет поле реперов, которое можно
рассматривать как разнесение по точкам D параллельно самому себе орторе-
пера исходного пространства Rn, содержащего область D. Поскольку
φ: D —> G — диффеоморфизм, отображение <p'(t): TDt —» TGx=(p(t)
касательных пространств, осуществляемое по закону TDt Э е —> ip'{t)e =
= ξ £ TGX, в каждой точке t является изоморфизмом касательных
пространств. Значит, из репера е1,...,еп в TDt при этом получится
репер ξι = y/(t)ei,... ,ξη = ip'(t)en в TGX, а поле реперов на D
преобразуется в поле реперов на G (рис. 74). Поскольку φ £ &ι\Ό, G), to
векторное поле ξ(χ) = £{φ{ί)) = ip'(t)e(t) непрерывно в G, если
векторное поле e(t) непрерывно в D. Таким образом, любое непрерывное
поле реперов (состоящее из η непрерывных векторных полей) при
диффеоморфизме преобразуется в непрерывное поле реперов. Рассмотрим
Рис. 74.
теперь пару диффеоморфизмов ψι: D\ —> G, г = 1,2, которые по закону
х — (fiiU) вводят в одной и той же области G две системы
криволинейных координат (t\,..., t™) и (t\,..., Щ). Взаимно обратные
диффеоморфизмы φι ο ψ2: Di —> D<i, φ2 ο φι: Ζ)2 —> Di осуществляют взаимные
переходы между этими системами координат. Якобианы этих
отображений в соответствующих друг другу точках областей Ζ)χ, D<i взаимно
обратны и, следовательно, имеют один и тот же знак. Если область G
(а вместе с нею Di и D<i) связна, то ввиду непрерывности и
необращения в нуль рассматриваемых якобианов они имеют один и тот же знак
во всех точках областей Di и D2, соответственно.
D

§2. ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ
207
Значит, все вводимые указанным способом в связной области G
системы криволинейных координат распадаются точно на два
класса эквивалентности, если в один класс отнести те системы, взаимные
преобразования которых осуществляются с положительным якобианом.
Такие классы эквивалентности называют классами ориентации систем
криволинейных координат в области G.
Задать ориентацию в области G по определению означает
фиксировать в G класс ориентации систем ее криволинейных координат.
Нетрудно проверить, что принадлежащие одному классу
ориентации системы криволинейных координат области G порождают в G (как
это описано выше) такие непрерывные поля реперов, которые в каждой
точке χ £ G лежат в одном классе ориентации реперов касательного
пространства TGX. Можно показать, что вообще непрерывные поля
реперов области G в случае ее связности разбиваются точно на два класса
эквивалентности, если в один класс относить поля, реперы которых в
каждой точке χ £ G принадлежат одному классу ориентации реперов
пространства TGX (см. в этой связи задачи 3, 4 в конце параграфа).
Таким образом, одну и ту же ориентацию области G можно задать
двумя совершенно равносильными способами: указанием некоторой
системы криволинейных координат в G или заданием любого
непрерывного поля реперов в G, принадлежащего тому же классу ориентации,
что и поле реперов, порожденное этой системой координат.
Теперь ясно, что ориентация связной области G вполне
определится, если хотя бы в одной точке χ £ G будет указан репер,
ориентирующий TGX. Это обстоятельство широко используется на практике. Если
такой ориентирующий репер в некоторой точке хо £ G задан, и взята
какая-то система криволинейных координат φ: D —> G в области G,
то, построив в TGXo репер, индуцированный этой системой координат,
сравниваем его с заданным в TGXo ориентирующим репером. В
случае, когда оба репера принадлежат одному классу ориентации TGXo,
считают, что криволинейные координаты задают на G ту же
ориентацию, которая предписывается ориентирующим репером. В противном
случае — противоположную ориентацию.
Если G открытое, но не обязательно связное множество, то,
поскольку все изложенное применимо к любой связной компоненте
множества G, для того, чтобы ориентировать G, надо задать свой
ориентирующий репер в каждой связной компоненте G. Значит, если таких
компонент га, то множество G допускает 2т различных ориентации.

208 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Шп
Сказанное об ориентации области G С W1 можно дословно
повторить, если вместо области G рассмотреть задаваемую одной картой
гладкую fc-мерную поверхность S bW1 (рис. 75). В этом случае системы
криволинейных координат S тоже разбиваются естественным образом
на два класса ориентации в соответствии со знаком якобиана
преобразований их взаимного перехода; тоже возникают поля реперов на S;
тоже задание ориентации может быть осуществлено ориентирующим
репером, лежащим в некоторой касательной к S плоскости TSXo.
Единственный новый элемент, который тут возникает и требует
проверки, это неявно присутствующее
Утверждение 1. Взаимные переходы от одной системы
криволинейных координат на гладкой поверхности S С IRn к другой
являются диффеоморфизмами той же степени гладкости, что и карты
поверхности.
Μ В самом А^еле^ в силу утверждения
из § 1 любую карту Ik —> U С S локально
можно рассматривать как ограничение на
IknO(t) диффеоморфизма J7: 0(t) -> О (χ)
некоторой η-мерой окрестности 0(t)
точки t G Ik С IRn на n-мерную окрестность
О(х) точки χ £ S С IRn, причем Τ того
же класса гладкости, что и φ. Если теперь
ψ\\ Ik —> U\ и ψ2\ l\ —> U<i — две такие
карты, то возникающее в их общей
области действия отображение φ%1 ο φι
(переход от первой системы координат ко
второй) локально представляется в виде φ%1 °
οφλ(ίι,... ,tk) = Т21 oTi{tl,... ,tfc,0,... ,0), где Τι и Тъ —
соответствующие диффеоморфизмы n-мерных окрестностей. ►
На примере элементарной поверхности, задаваемой одной картой,
мы разобрали все существенные компоненты понятия ориентации
поверхности. Теперь мы завершим дело окончательными определениями,
относящимися к случаю произвольной гладкой поверхности в W1.
Пусть S — гладкая fc-мерная поверхность в Rn, и пусть φι: Ik —> U^
φj: Й —> Uj — две локальные карты поверхности 5, районы действия
которых пересекаются, т. е. U% Π Uj Φ 0. Тогда между множествами
J №
21 Г~
I ^ —
1

§2. ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ
209
l]fj = <p^l{Uj), Iji = φ^ι(υι), как было только что доказано, естественно
устанавливаются взаимно обратные диффеоморфизмы ψ^\ 1^ —> Й{,
ψ^\ Ij{ —> Ι ψ осуществляющие переход от одной локальной системы
криволинейных координат на S к другой.
Определение 1. Две локальные карты поверхности называют
согласованными, либо когда районы их действия не пересекаются, либо
когда это пересечение непусто и взаимные переходы в общей области
действия этих локальных карт осуществляются диффеоморфизмами с
положительным якобианом.
Определение 2. Атлас поверхности называется ориентирующим
атласом поверхности, если он состоит из попарно согласованных карт.
Определение 3. Поверхность называется ориентируемой, если
она обладает ориентирующим атласом. В противном случае
поверхность называется неориентируемой.
В отличие от областей пространства W1 или элементарных
поверхностей, задаваемых одной картой, произвольная поверхность может
оказаться и неориентируемой.
Пример 1. Лист Мёбиуса, как можно проверить (см. задачи 2, 3
в конце параграфа), — неориентируемая поверхность.
Пример 2. Бутылка Клейна в таком случае — тоже
неориентируемая поверхность, поскольку она содержит в качестве своей части лист
Мёбиуса. Последнее видно непосредственно из конструкции бутылки
Клейна, изображенной на рис. 73.
Пример 3. Окружность и вообще fc-мерная сфера —
ориентируемые поверхности, что доказывается непосредственным предъявлением
атласа сферы, состоящего из согласованных карт (см. пример 2 из § 1).
Пример 4. Рассмотренный в примере 4 из § 1 двумерный тор
также является ориентируемой поверхностью. Действительно, используя
указанные в примере 4, § 1 параметрические уравнения тора, легко
предъявить его ориентирующий атлас.
Мы не останавливаемся на деталях, поскольку ниже будет указан
другой более наглядный способ контроля ориентируемости достаточно
простых поверхностей, который с легкостью позволит проверить
сказанное в примерах 1-4.

210 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Шп
Формальное описание понятия ориентации поверхности будет
завершено, если к определениям 1, 2, 3 добавить еще приведенные ниже
определения 4, 5.
Два ориентирующих атласа поверхности будем считать
эквивалентными, если их объединение также является ориентирующим
атласом этой поверхности.
Указанное отношение действительно является отношением
эквивалентности между ориентирующими атласами ориентируемой
поверхности.
Определение 4. Класс эквивалентности ориентирующих атласов
поверхности по указанному отношению эквивалентности называется
классом ориентации атласов поверхности или просто ориентацией
поверхности.
Определение 5. Ориентированной поверхностью называется
поверхность с фиксированным классом ориентации ее атласов (т.е. с
фиксированной на ней ориентацией).
Таким образом, ориентировать поверхность—значит тем или
иным способом указать определенный класс ориентации
ориентирующих атласов этой поверхности.
Имеет место уже знакомое нам в его частных проявлениях
Утверждение 2. На ориентируемой связной поверхности
существует точно две ориентации.
Обычно их называют взаимно противоположными ориентациями.
Доказательство утверждения 2 см. в гл. XV, §2, п. 3.
Если ориентируемая поверхность связна, то для задания ее
ориентации вполне достаточно указать какую-нибудь локальную карту этой
поверхности или ориентирующий репер в какой-нибудь из ее
касательных плоскостей. Этим широко пользуются на практике.
Когда поверхность имеет несколько связных компонент, то такое
указание локальной карты или репера естественно делается в каждой
компоненте связности.
Очень широко на практике применяется также следующий способ
задания ориентации поверхности, лежащей в уже ориентированном
пространстве. Пусть ^-ориентируемая (п — 1)-мерная поверхность,
лежащая в евклидовом пространстве Rn, с фиксированным в Rn
ориентирующим репером βχ,..., еп. Пусть TSX — (η — 1)-мерная плоскость,

§ 2. ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ
211
касательная к S в точке χ £ 5, а η — вектор, ортогональный Т5Х, т.е.
вектор нормали к поверхности S в точке х. Если при заданном
векторе η условиться в TSX репер ξΐ5... ,£η_χ выбирать так, чтобы реперы
(е1?..., еп) и (п, £1?..., ^п_х) = (е1?..., ёп) принадлежали одному
классу ориентации пространства W1 то, как
легко видеть, такие реперы (ξι,...,
ζη-ι) плоскости TSX сами окажутся
принадлежащими одному классу ориен-
ез ΓΗ^-ΙΙ^-Κ/ тации этой плоскости. Значит,
указание класса ориентации плоскости Т5Х,
VL
а вместе с ним и задание ориентации на
связной ориентируемой поверхности, в
Рис. 76. этом случае можно осуществить, задав
нормальный вектор η (рис.76).
Нетрудно проверить (см. задачу 4), что ориентируемость (п — 1)-
мерной поверхности, лежащей в евклидовом пространстве Rn,
равносильна наличию на ней непрерывного поля ненулевых нормальных
векторов.
Отсюда, в частности, с очевидностью следует ориентируемость
сферы, тора и неориентируемость листа Мёбиуса, о чем говорилось в
примерах 7-10.
Связные (π — 1)-мерные поверхности в евклидовом пространстве Rn,
на которых существует (однозначное) непрерывное поле единичных
нормальных векторов, в геометрии называют двусторонними.
Таким образом, например, сфера, тор, плоскость в R3
—двусторонние поверхности, в отличие от листа Мёбиуса, являющегося в этом
смысле односторонней поверхностью.
Заканчивая обсуждение понятия ориентации поверхности, сделаем
несколько замечаний, относящихся к практике использования этого
понятия в анализе.
В вычислениях, связанных в анализе с ориентированными
поверхностями в Rn, обычно сначала находят какую-то локальную
параметризацию поверхности 5, не заботясь об ориентации. Затем строят в
некоторой касательной плоскости TSX к поверхности репер ξΐ5..., ξη-1
из векторов (скорости), касательных к линиям выбранной системы
криволинейных координат, т. е. строят ориентирующий репер,
индуцированный этой системой координат.
Если пространство W1 было ориентировано, а ориентация S зада-

212 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Шп
валась полем нормальных векторов, то берут вектор η данного поля в
точке χ и сравнивают репер η, ξΐ5..., ξη-1 с репером el5..., еп,
ориентирующим пространство. Если эти реперы одного класса ориентации,
то локальная карта по принятому выше соглашению задает нужную
ориентацию поверхности, а когда эти реперы не согласованы,
выбранная карта задает ориентацию поверхности, противоположную
предписанной нормалью п.
Ясно, что при наличии какой-то локальной карты (п — 1)-мерной
поверхности простым изменением порядка координат можно получить
локальную карту нужной ориентации (ориентации, предписанной
фиксированным нормальным вектором η к двусторонней
гиперповерхности, лежащей в ориентированном пространстве W1).
В одномерном случае, когда поверхность сводится к кривой,
ориентацию чаще задают касательным вектором к кривой в некоторой ее
точке, и в этом случае часто вместо «ориентация кривой» говорят
направление движения вдоль кривой.
Если на плоскости R2 выбран ориентирующий R2 репер и задана
замкнутая кривая, то положительным направлением обхода (вдоль
кривой) ограниченной этой кривой области D принято считать такое, при
котором репер η, ν, где η — вектор внешней по отношению к D нормали
к кривой, a v — вектор скорости обхода, согласован с ориентирующим
репером R2.
Это означает, что, например, при традиционно рисуемом на
плоскости (правом) репере, положительным обходом будет движение «против
часовой стрелки», при котором область, ограниченная кривой, остается
«слева».
В этой связи саму ориентацию плоскости или плоской области часто
задают, отмечая не репер в R2, а положительное направление движения
вдоль какой-нибудь замкнутой кривой, обычно окружности.
Задание такого направления по существу есть указание
направления кратчайшего поворота первого вектора репера до его совмещения
со вторым, что равносильно заданию класса ориентации реперов на
плоскости.
Задачи и упражнения
1. Является ли указанный в задаче 3 с) из § 1 атлас сферы ориентирующим
атласом этой сферы?

§ 3. КРАЙ ПОВЕРХНОСТИ И ЕГО ОРИЕНТАЦИЯ 213
2. а) Воспользовавшись примером 4 из § 1, предъявите ориентирующий
атлас двумерного тора.
b) Докажите, что не существует ориентирующего атласа листа Мёбиуса.
c) Покажите, что при диффеоморфизме f:D—>D ориентируемая
поверхность 5 С D переходит в ориентируемую поверхность 5 С D.
3. а) Проверьте, что принадлежащие одному классу ориентации системы
криволинейных координат области G С W1 порождают такие непрерывные
поля реперов в G, которые в каждой точке χ Ε G задают реперы одного
класса ориентации пространства TGX.
b) Покажите, что в связной области G С W1 непрерывные поля реперов
разбиваются точно на два класса ориентации.
c) На примере сферы покажите, что гладкая поверхность S С W1 может
быть ориентируемой, хотя на 5 не существует непрерывного поля реперов
касательных к 5 пространств.
d) Докажите, что на связной ориентируемой поверхности можно задать
точно две различные ориентации.
4. а) В пространстве W1 фиксировано подпространство Εη_1, взят вектор
vGln \En_1 и два репера (ξΐ5... ,£η_χ), (£χ,... ,£η_ι) подпространства Εη_1.
Проверьте, что эти реперы принадлежат одному классу ориентации
реперов пространства Εη_1 тогда и только тогда, когда реперы (ν,£χ,... ,^.χ),
(ν,ίι, · · · ?ίη-1) задают одинаковую ориентацию пространства W1.
b) Покажите, что гладкая гиперповерхность S С W1 ориентируема тогда
и только тогда, когда на 5 существует непрерывное поле единичных
нормальных к 5 векторов. Отсюда, в частности, вытекает ориентируемость
двусторонних поверхностей.
c) Покажите, что если grad F/O, то задаваемая уравнением F(xl,..., хп) =
= 0 поверхность ориентируема (предполагается, что уравнение имеет
решение).
d) Обобщите предыдущий результат на случай поверхности, задаваемой
системой уравнений.
e) Объясните, почему не каждую гладкую двумерную поверхность в Е3
можно задать уравнением F{x,y,z) = 0, где F — гладкая функция без
критических точек (т. е. gradF φ 0).
§ 3. Край поверхности и его ориентация
1. Поверхность с краем. Пусть W1—евклидово пространство
размерности &, наделенное декартовыми координатами t1,... ,tfe.
Рассмотрим полупространство Hk := {t £ Rk \ tl ^ 0} пространства Rk.
Гиперплоскость дНк := {t £ Шк \ tl = 0} будем называть краем
полупространства Нк.

214 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Заметим, что множество Нк :=Нк\дНк,т.е. открытая часть Η ,
является простейшей fc-мерной поверхностью. Само же
полупространство Ηк формально не удовлетворяет определению поверхности ввиду
наличия в Нк точек края дНк. Множество Нк является эталоном
поверхностей с краем, которые мы сейчас опишем.
Определение 1. Множество S С W1 называют поверхностью
(размерности к) с краем, если любая точка χ £ S имеет окрестность U
в S, гомеоморфную либо Rfc, либо Нк.
Определение 2. Если при указанном в определении 1
гомеоморфизме U на Нк точке χ £ U соответствует точка края дНк, то χ
называется точкой края поверхности (с краем) S и своей окрестности U.
Совокупность всех точек края называется краем поверхности S.
Край поверхности S, как правило, будет обозначаться символом dS.
Отметим, что дНк при к = 1 состоит из одной точки, поэтому,
сохраняя соотношение дНк = Rk~l, мы в дальнейшем будем понимать R0 как
одну точку, а Ж0 будем считать пустым множеством.
Напомним, что при гомеоморфном отображении φ^: G\ -л Gj
области d С Шк на область Gj С Шк внутренние точки области Gi
переходят во внутренние точки образа ^y(Gt) (это — теорема Брауэра).
Следовательно, понятие точки края поверхности не зависит от выбора
локальной карты, т. е. определено корректно.
Определение 1 формально включает в себя и случай поверхности,
описанный в определении 1, §1. Сопоставляя эти определения, видим,
что если на S нет точек края, то мы возвращаемся к прежнему
определению поверхности, которое теперь можно было бы считать
определением поверхности без края. Отметим в этой связи, что термин
«поверхность с краем» обычно употребляется тогда, когда множество точек
края непусто.
Понятие гладкой (класса С^) поверхности S с краем вводится, как
и для поверхностей без края, требованием, чтобы S обладала атласом
карт данного класса гладкости. При этом мы подразумеваем, что для
карт вида ψ: Нк —> U и частные производные от φ в точках края дНк
вычисляются только по области Нк определения отображения φ, т.е.
иногда это односторонние производные, а якобиан отображения φ
отличен от нуля всюду в Нк.
Поскольку Шк можно диффеоморфизмом класса С(°°) преобразовать

§ 3. КРАЙ ПОВЕРХНОСТИ И ЕГО ОРИЕНТАЦИЯ 215
в куб Ik = {t £ Rk I |i*| < 1, i = 1,... ,fc}, причем так, что Hk
преобразуется в часть /# куба Jfc, определяемую дополнительным условием
t1 ^ 0, то ясно, что в определении поверхности с краем (даже в случае
ее гладкости) можно было бы заменить Шк на Jfc, а Нк на 1^ или на
куб 1к с одной присоединенной гранью Jfe~1:={t£Rfe|t1 = l, \tf\ <
< 1, г = 2,...,А;}, являющейся, очевидно, кубом на единицу меньшей
размерности.
С учетом этой всегда присутствующей свободы в выборе
канонических локальных карт поверхности, сопоставляя определения 1, 2 и
определение 1 из § 1 видим, что справедливо следующее
Утверждение 1. Край к-мерной поверхности класса С^ сам
является поверхностью того же класса гладкости, причем
поверхностью без края и на единицу меньшей размерности в сравнении с
размерностью исходной поверхности с краем.
< Действительно, если A(S) = {(Hk, φι, Щ)} U {(IRfc, φ$, 17;)} — атлас
поверхности S с краем, то A(dS) = {(Rk~l,(pi\dHk=Rk-i,dUi)},
очевидно, является атласом того же класса гладкости для края dS. ►
Укажем некоторые простые примеры поверхностей с краем.
а. Ь.
Рис. 77.
Пример 1. Замкнутый п-мерный шар В в W1 есть п-мерная
поверхность с краем. Ее край дВ™ есть (п - 1)-мерная сфера (см. рис. 76
и рис. 77, а). Шар В , называемый часто по аналогии с двумерным
случаем n-мерным диском, можно гомеоморфно преобразовать в половину
п-мерной сферы, краем которой является экваториальная (π—1)-мерная
сфера (рис. 77, Ь).

216 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В R7
Пример 2. Замкнутый куб ϊη в W1
по лучам, исходящим из его центра, можно
гомеоморфно преобразовать в замкнутый
шар дВ . Следовательно, /п как и В , есть
n-мерная поверхность с краем, который в
данном случае образован гранями куба
(рис.78). Отметим, что на ребрах,
являющихся пересечениями граней, никакое
отображение куба на шар, очевидно, не может
быть регулярным (т. е. гладким и ранга π).
Пример 3. Если лист Мёбиуса получать описанным в примере 5,
§ 1 склеиванием двух противоположных сторон теперь уже замкнутого
прямоугольника, то, очевидно, в R3 получится поверхность с краем,
причем ее край гомеоморфен окружности (правда, заузленной в R3).
При другой возможной склейке этих же сторон получится
цилиндрическая поверхность, край которой состоит из двух окружностей.
Эта поверхность гомеоморфна обычному плоскому кольцу (см. рис. 71
к примеру 5, § 1). На рис. 79, а, Ь, 80, а, Ь, 81, а, Ь, которые мы исполь-
Рис. 79. Рис. 80.
зуем в дальнейшем, изображены попарно гомеоморфные поверхности
с краем, лежащие вй2 иК3. Как видно, край поверхности может
оказаться несвязным, даже если сама поверхность была связной.
2. Согласование ориентации поверхности и края. Если в
евклидовом пространстве Rk фиксирован ориентирующий орторепер
е15..., efc, который индуцирует в Rk декартовы координаты х1,..., xfc,
L
L

§3. КРАЙ ПОВЕРХНОСТИ И ЕГО ОРИЕНТАЦИЯ 217
то векторы в2,..., β£ на краю дНк = Rk~l полупространства Нк = {жЕ
£ Rk | χ1 ^ 0} задают ориентацию, которую считают согласованной с
заданной репером е15..., ек ориентацией полупространства Нк.
а. Ь.
Рис. 81.
В случае, когда к = 1 и дНк = Rk~l = R° есть точка, следует
особо договориться о том, как ориентировать точку. По определению
точку ориентируют, приписывая ей знак + или —. В случае дН1 = R0
берется (R0, +) или короче +R0.
Мы хотим теперь в общем случае определить, что значит
согласованность ориентации поверхности и края. Это весьма важно для
практики вычислений, связанных с поверхностными интегралами, о
которых будет речь ниже.
Прежде всего убедимся в том, что имеет место следующее общее
Утверждение 2. Край dS гладкой ориентируемой
поверхности S сам является гладкой ориентируемой поверхностью (быть
может, и несвязной),
< С учетом утверждения 1 нам остается только проверить
ориентируемость dS. Покажем, что если A(S) = {{Hk, φι, Ui)}U{(Rk ,(pj, Uj)} —
ориентирующий атлас поверхности с краем 5, то атлас A(dS) =
= {(Rk~~l,(pi\dHk=^k-i,dUi)} края тоже состоит из попарно
согласованных карт. Для этого, очевидно, достаточно проверить, что если
t = ψ(ί) есть диффеоморфизм с положительным якобианом
окрестности UHk(to) в Нк точки to £ дНк на окрестность UHk(to) в Нк
точки to £ дНк, то положительный якобиан имеет также
отображение ф\ди Λ(ίο) окрестности UdHk(to) = dUHk(to) в дНк точки to на
окрестность UdHk(to) = dUHk(to) в дНк точки to = ^(*о)·
Заметим, что в любой точке to = (0,*§,...,t§) ^ Жк якобиан J

218 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Шп
отображения φ имеет вид
J(to) =
дф1
дф2
dF
дфк
dF
0
дфк
dF
0
дф2
dF
дфк
dF
дф1
dt1
дф2
dF
дф2
dF
дфк
dF
дфк
dF
поскольку при tl = О должно быть также tl = φ1 (0,t2,...,tfc)E0
(граничные точки переходят при диффеоморфизме в граничные). Остается
заметить, что при tl < О должно быть также ϊι = φι(ίι,ί2,..., tk) < О
(ведь t = φ(ί) £ Нк), поэтому значение т^-(0, £2,..., tk) не может быть
отрицательным. По условию J (to) > 0 и раз ^-(0, £2,..., tk) > 0, то из
указанного равенства определителей следует, что якобиан отображения
Ф\ди к — Φ(®ι & -> · · · 5 tk) положителен. ►
Отметим, что случай одномерной поверхности (к = 1) в
утверждении 2 и следующем определении 3, очевидно, надо оговорить особо в
соответствии с принятым по этому случаю в начале пункта
соглашением.
Определение 3. Если A(S) = {(Hk,(pi, U%)}П{(Rfc,<^·,
[/^—ориентирующий атлас стандартных локальных карт поверхности S с
краем dS, то A(dS) = {(Шк~г ,(p\dHk=]&k-iidUi)} есть ориентирующий атлас
края. Задаваемая им ориентация края dS называется ориентацией
края, согласованной с ориентацией поверхности.
Заканчивая рассмотрение ориентации края ориентируемой
поверхности, сделаем два полезных замечания.
Замечание 1. На практике, как уже отмечалось выше,
ориентацию лежащей в W1 поверхности часто задают репером касательных к
поверхности векторов, поэтому проверку согласованности ориентации
поверхности и ее края в этом случае осуществляют следующим образом.
Берут fc-мерную плоскость Т5Х0, касательную к гладкой поверхности S
в точке хо края dS. Поскольку локально структура поверхности S
около точки хо такая же, как и структура полупространства Ηк около
точки 0 £ дНк, то, направив первый вектор ориентирующего S орто-
репера £ι, &> · · · > & £ TSXo по нормали к dS и в сторону внешнюю по

§3. КРАЙ ПОВЕРХНОСТИ И ЕГО ОРИЕНТАЦИЯ 219
отношению к локальной проекции S на TSXo, получают в (к —
^-мерной плоскости TdSXo, касательной к dS в точке хо5 репер &, ···>&;,
который и задает ориентацию TdSXo, а значит, и dS, согласованную с
заданной репером £ι, &5 · · · 5 & ориентацией поверхности S.
На рис. 77-80 на простых примерах показаны процесс и результат
согласования ориентации поверхности и ее крал.
Отметим, что описанная схема предполагает возможность
переносить задающий ориентацию S репер в разные точки поверхности и ее
края, который, как видно из примеров, может быть и несвязным.
Замечание 2. В ориентированном пространстве Rk рассмотрим
полупространства Hi = Нк = {х е Rk | х1 ^ 0} и Н\ = {х е Rk \
хх ^ 0} с индуцированной из Rk ориентацией. Гиперплоскость Г =
= {х £ Rk | хх — 0} является общим краем i/* и Н\. Легко видеть,
что ориентации гиперплоскости Г, согласованные с ориентациями Hi
и ϋ+, противоположны. Это относится и к случаю к = 1, в котором
это постулируется.
Аналогично, если ориентированную к-мерную поверхность
разрезать некоторой (к — 1)-мерной поверхностью (например, сферу —
экватором), то на указанном разрезе возникнут две противоположные
ориентации, индуцированные ориентациями примыкающих к разрезу
частей исходной поверхности.
Этим наблюдением часто пользуются в теории поверхностных
интегралов.
Кроме того, им можно воспользоваться, чтобы следующим образом
определить ориентируемость кусочно гладкой поверхности.
Дадим прежде всего определение такой поверхности.
Определение 4 (индуктивное определение кусочно гладкой
поверхности). Точку условимся относить к нульмерным поверхностям
любого класса гладкости.
Кусочно гладкой одномерной поверхностью (кусочно гладкой
кривой) назовем такую кривую в Rn, которая после удаления из нее
конечного или счетного числа некоторых нульмерных поверхностей (точек)
распадается на гладкие одномерные поверхности (кривые).
Поверхность S С W1 размерности к назовем кусочно гладкой, если
из нее можно так удалить конечное или счетное число кусочно гладких
поверхностей размерности не выше к — 1, что остаток распадется на

220 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Шп
гладкие fc-мерные поверхности Si (с краем или без края).
Пример 4. Граница плоского угла и граница квадрата суть
кусочно гладкие кривые.
Граница куба или граница прямого кругового конуса в R3 суть
двумерные кусочно гладкие поверхности.
Вернемся теперь к ориентации кусочно гладкой поверхности.
Точку (нульмерную поверхность), как это уже отмечалось, принято
ориентировать, приписывая ей знак + или —. В частности, край
отрезка [а, Ь] С R, состоящий из двух точек а, Ь, если отрезок ориентирован
направлением от α к Ь, принято согласованно (с этой ориентацией
отрезка) ориентировать так: (а, —), (Ь, +) или в иной записи —а, +Ь.
Рассмотрим теперь fc-мерную (к > 0) кусочно гладкую поверхность
S CW1.
Предположим, что две гладкие поверхности 5^, S{2 из
определения 4 кусочно гладкой поверхности S ориентированы и примыкают
друг к другу вдоль гладкого куска Г (к — 1)-мерной поверхности
(ребра). Тогда на Г, как на краю, возникают ориентации, согласованные
с ориентациями S^ и Si2 соответственно. Если эти две ориентации на
любом таком ребре Г С 5^ Π S{2 противоположны, то исходные
ориентации S^ и Si2 считаются согласованными. В случае, если S^ Π5^2 пусто
или имеет размерность, меньшую чем (& — 1), любые ориентации 5^, Si2
считаются согласованными.
Определение 5. Кусочно гладкую fc-мерную (к > 0) поверхность
будем считать ориентируемой, если с точностью до конечного или
счетного числа кусочно гладких поверхностей размерности не выше (к — 1)
она является объединением гладких ориентируемых поверхностей Si,
допускающих их одновременную взаимно согласованную ориентацию.
Пример 5. Поверхность трехмерного куба, как легко проверить,
является ориентируемой кусочно гладкой поверхностью. И вообще, все
указанные в примере 4 кусочно гладкие поверхности ориентируемы.
Пример 6. Лист Мёбиуса легко представить в виде объединения
двух ориентируемых гладких поверхностей, примыкающих по части
края, однако эти поверхности нельзя ориентировать согласованно.
Можно проверить, что лист Мёбиуса не является ориентируемой
поверхностью даже с точки зрения определения 5.

§3. КРАЙ ПОВЕРХНОСТИ И ЕГО ОРИЕНТАЦИЯ 221
Задачи и упражнения
1. а) Верно ли, что край поверхности S СШп есть множество S\S, где 5 —
замыкание 5 в Еп?
b) Имеют ли поверхности Si = {(х,у) Ε Ш2 | 1 < х2 + у2 < 2}, 52 = {(х,у) Ε
6 12 \0<х2+у2} край?
c) Укажите край поверхностей Si = {(х,у) Ε I2 | 1 ^ х2 + у2 < 2},
S2 = {(x,y)eR2 \1^х2+у2}
2. Приведите пример неориентируемой поверхности с ориентируемым
краем.
3. а) Каждая грань куба 1к = {х Ε Шк \ \хг\ < 1, г = 1,..., к} параллельна
соответствующей (к — 1)-мерной координатной гиперплоскости
пространства ЕЛ, поэтому в грани можно рассмотреть тот же репер и ту же систему
координат, что и в этой гиперплоскости. Укажите, в каких гранях
получающаяся при этом ориентация согласуется с ориентацией куба /Л,
индуцированной ориентацией Rk, а в каких не согласуется. Разберите последовательно
случаи fc = 2, к = 3 и к = п.
b) В некоторой области полусферы 5 = {(x,y,z) ЕМ3 | х2 + у2 + ζ2 =
= lAz > 0} действует локальная карта (i1,*2) \-> (sini1 cost2, sin t1 sin ί2, cost1),
а в некоторой области края dS этой полусферы действует локальная карта
11-» (cost,sin£,0). Выясните, задают ли эти карты согласованные ориентации
поверхности 5 и ее края dS.
c) Постройте на полусфере 5 и ее крае dS поля реперов, индуцированные
указанными в Ь) локальными картами.
d) На крае dS полусферы 5 укажите репер, задающий ориентацию края,
согласованную с полученной в с) ориентацией полусферы.
e) Задайте полученную в с) ориентацию полусферы 5 с помощью вектора,
нормального к 5 С М3.
4. а) Проверьте, что лист Мёбиуса не является ориентируемой
поверхностью даже с точки зрения определения 5.
Ь) Покажите, что если 5 — гладкая поверхность в Еп, то определения ее
ориентируемости как гладкой и как кусочно гладкой поверхности
равносильны.
5. а) Будем говорить, что множество Scln есть fc-мерная поверхность
с краем, если для каждой точки χ Ε S найдутся ее окрестность U(x) в!п и
диффеоморфизм ψ: U(x) —> In этой окрестности на стандартный куб /nCln,
при котором ip(S Π U(x)) совпадает либо с кубом Ik = {t Ε In \ tkJtl = ... =
= tn = 0}, либо с его частью 1к Π {t Ε Rn \tk ^ 0}, которая является fc-мерным
промежутком с одной присоединенной к нему гранью.
Исходя из сказанного в § 1 при обсуждении понятия поверхности,
покажите, что это определение поверхности с краем не эквивалентно определению 1.
Ь) Верно ли, что если / Ε C^(#*,R), где Нк = {х Ε Шк \ х1 ^ 0}, то
для любой точки χ Ε дНк можно найти ее окрестность U(x) в1*и функцию

222 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В R"
Τ е С«Ци(х),Ж) так, что Яя*ш/<*) = /1я*п1/<*)?
с) Если указанное в а) определение использовать для описания гладкой
поверхности с краем, т.е. считать ψ гладким отображением максимального
ранга, то будет ли такое определение гладкой поверхности с краем совпадать
с принятым в § 3?
§ 4. Площадь поверхности в евклидовом пространстве
Перейдем теперь к определению площади fc-мерной кусочно гладкой
поверхности, лежащей в евклидовом пространстве Rn, n ^ к.
Напомним сначала, что если £х,..., £к — к векторов евклидова
пространства Rfc, то объем V(£l5...,£fc) параллелепипеда, натянутого на
эти векторы как на ребра, может быть вычислен посредством
определителя
V{tl,...,tk) = det{® (1)
матрицы J = (^), строки которой образованы координатами данных
векторов в некотором ортонормированном базисе е15..., ек
пространства Rk. Отметим, однако, что на самом-то деле формула (1) дает не
просто объем, а так называемый ориентированный объем
параллелепипеда. Если V φ О, то определяемое формулой (1) значение V
положительно или отрицательно в соответствии с тем, принадлежат ли реперы
el5..., efc, £l5..., £к одному или разным классам ориентации
пространства R*.
Заметим теперь, что произведение JJ* матрицы J на ее
транспонированную J* есть не что иное, как матрица G = (gij) попарных
скалярных произведений д^ = (&, ^) данных векторов, т. е. матрица Грама1^
системы векторов ξΐ5..., £fc. Таким образом,
det G = det( J Г) = det J det J* = (det J)2, (2)
и, значит, неотрицательное значение объема V(£l5... ,£fc) можно
получить в виде
У(Ь,...,£к) = у/&ЧШ,Ы). (3)
Последняя формула удобна тем, что в ней, по существу, уже нет
координат, а есть только набор геометрических величин,
характеризующих рассматриваемый параллелепипед. В частности, если эти же
См. сноску на стр. 592.

§4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 223
векторы £ι,... ,£д. считать лежащими в n-мерном (η ^ к) евклидовом
пространстве W1, то формула (3) fc-мерного объема (или fc-мерной
площади) натянутого на них параллелепипеда останется без изменений.
Пусть теперь г: D ^ S CW1 — fc-мер-
ная гладкая поверхность S в
евклидовом пространстве W1, заданная в
параметрическом виде г = r(tl,..., tfc), т. е. в
виде гладкой вектор-функции r(t) =
= (χ1,..., xn){t), определенной в области
D С Шк. Пусть е15..., ек — ортонормиро-
ванный базис в Rfc, порождающий
координатную систему (ί1,..., tk).
Фиксировав точку to = (tj,..., ί§) £ Ζ), возьмем
положительные числа /ι1,..., hk столь
малыми, чтобы параллелепипед J, натянутый
на векторы hlei £ TDto, г = 1,..., к,
приложенные к точке to, лежал в области Ζλ
На поверхности 5 в силу отображения D —» S параллелепипеду I
соответствует фигура Is, которую условно можно назвать
криволинейным параллелепипедом (см. рис.82, отвечающий случаю к = 2, η = 3).
Поскольку
Рис. 82.
i+l
Г(<0, ...,*0 5*0+^5*0 5···5*θ)
dr
-Γ(4,...,ίΓ1,4*ο1"1.···,«δ) = ^ϊ(*ο)Λ<+ο(Λ<),
смещению от ίο на вектор Wei отвечает в W1 такое смещение от
точки г(<о), которое при hl —> 0 можно с точностью до o(hl) заменить
частным дифференциалом ^j{t<o)hl =: Гг^г. Таким образом, при
малых значениях /гг, г = 1,..., &, криволинейный параллелепипед Is мало
отличается от параллелепипеда, натянутого на векторы hlr\,..., /iferfc,
касательные к поверхности S в точке г (ίο)· Считая по этой причине,
что объем AV криволинейного параллелепипеда Is должен тогда быть
близок к объему указанного стандартного параллелепипеда, находим
приближенную формулу
AV « y/deb(gij)(t0)Atl ·... · Atk,
где положено gij{t0) = (г*, ^>(*о)? Δ** = Λ*, г, j = 1,..., fc.
(4)

224 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В R7
Если теперь все пространство R , в котором лежит область
параметров Z), стандартным образом замостить fc-мерными
параллелепипедами малого диаметра d, взять среди них те, которые лежат в Z),
вычислить по формуле (4) приближенное значение fc-мерного объема
их образов и взять сумму полученных так значений, то мы придем к
величине
Σ Jdet(9ij)(ta)Atl ·...· Atk,
а
которую можно считать приближенным значением fc-мерного объема
или площади рассматриваемой поверхности 5, причем это
приближение должно становиться более точным при d —> 0. Таким образом, мы
принимаем
Определение 1. Площадью (или к-мерным объемом) заданной в
параметрическом виде D Э t \-> r(t) £ S гладкой fc-мерной
поверхности 5, лежащей в евклидовом пространстве W1, называется величина
Vk(S) := J ^аеЬ((гг,г^))Ц)сИ1... dtk. (5)
D
Посмотрим, как выглядит формула (5) в уже знакомых нам частных
случаях.
При к = 1 область D С Ш1 есть промежуток с некоторыми
концами а,Ь (а < Ь) на прямой R1, a S в этом случае — кривая в W1.
Формула (5), таким образом, при к = 1 превращается в формулу
б б
Vi(5)= f\r(t)\dt= ί yJ{xiy + ... + {x"Y{t)dt
α a
для вычисления длины гладкой кривой.
Если к = п, то S — диффеоморфная области D n-мерная
область вКп. В этом случае матрица Якоби J = x'{t) отображения D э
Э (tl,...,tn) = <и r(t) = (χ1,... ,xn)(t) £ S квадратная.
Воспользовавшись теперь соотношением (2) и формулой замены переменных в
кратном интеграле, можно написать, что
Vn(S)= I >/det G(t) dt = f \det χ'{t)\dt = idx = V(S),
D D S

§4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 225
т.е., как и следовало ожидать, мы пришли к объему области S bW1.
Отметим, что при к = 2 и η = 3, т.е. когда S — двумерная
поверхность в R3, часто вместо стандартных обозначений gij = (ri,rj)
используют следующие: σ := V^S), Ε := дц = (γι,Γι), F := gyi — g<i\ =
= (n5 ^2)5 G := 522 = (^25 ^2)5 а вместо t1, t2 пишут соответственно w, v.
В этих обозначениях формула (5) приобретает вид
σ= if yjEG - F2 dudv.
D
В частности, если и = χ, ν = у, а поверхность 5 — есть график
гладкой вещественнозначной функции ζ = /(χ, у), определенной в области
D С IR2, то, как легко подсчитать,
" = // y/l + (fi)2 + (fi,)2 dx dy.
D
Вернемся теперь вновь к определению 1 и сделаем несколько
полезных для дальнейшего замечаний.
Замечание 1. Определение 1 корректно лишь в том случае, когда
стоящий в формуле (5) интеграл существует. Он заведомо существует,
например, если D — измеримая по Жордану область, а г £ C^^D^W1).
Замечание 2. Если поверхность 5, участвующую в
определении 1, разбить на конечное число поверхностей 5l5...,5m с кусочно
гладкими краями, то этому разбиению S будет отвечать такое же
разбиение области D на соответствующие 515..., Sm области £>15..., Dm.
Если поверхность S имела площадь в смысле равенства (5), то при
каждом значении а = 1,..., т определены величины
Vk(SQ) = f y/detfarMQdt.
В силу аддитивности интеграла отсюда следует, что
vfc(S) = £V*(se).
α
Мы установили таким образом, что площадь fc-мерной поверхности
аддитивна в том же смысле, что и обычный кратный интеграл.

226 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Замечание 3. Последнее замечание позволяет переходить, если
нужно, к исчерпанию области Z), а значит, оно позволяет расширить
смысл формулы (5), в которой теперь интеграл можно понимать и как
несобственный.
Замечание 4. Более существенно аддитивность площади можно
использовать для определения площади произвольной (а не только
заданной одной картой) гладкой или даже кусочно гладкой поверхности.
Определение 2. Пусть S — произвольная кусочно гладкая
к-мерная поверхность в W1. Если после удаления из S конечного или счетного
числа кусочно гладких поверхностей размерности не выше чем к — 1 она
распадается на конечное или счетное число гладких параметризуемых
поверхностей 515..., 5т,..., то полагаем
Ffc(S) := 5>fc(SQ).
а
Аддитивность кратного интеграла позволяет проверить, что так
определенная величина ν^(5) не зависит от способа описанного
разбиения поверхности S на гладкие куски 5l5..., 5m,..., каждый из которых
лежит в районе действия какой-то локальной карты поверхности S.
Отметим также, что из определений гладкой и кусочно гладкой
поверхностей легко следует, что описанное в определении 2 разбиение S
на гладкие параметризуемые куски 515..., Sm всегда возможно и
даже с соблюдением естественного дополнительного требования
локальной конечности разбиения. Последнее означает, что любой компакт
К С S может иметь общие точки лишь с конечным числом
поверхностей Sv ..., 5m,... Нагляднее это можно выразить иначе, сказав, что
любая точка поверхности S должна обладать окрестностью, которая
пересекается не более чем с конечным числом множеств 515..., 5т,...
Замечание 5. В основной формуле (5) участвует система
криволинейных координат t1,... ,tfe. Естественно поэтому проверить, что
определяемая равенством (5) величина Vk(S) (а тем самым и
величина Vk(S) из определения 2) инвариантна при диффеоморфном переходе
D Э (t1,..., tk) = t \-> t = (t1,..., tk) G D к новым криволинейным
координатам ί1,..., ifc, меняющимся в соответствующей области D С Шк.

§4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 227
Μ Для проверки достаточно заметить, что матрицы
в соответствующих друг другу точках областей D и D связаны
соотношением G = J*GJ, где J = (^-)—матрица Якоби
отображения ΰ Э t 4 t G О, a J* — транспонированная по отношению к J
матрица. Таким образом, det G(t) = det G(t)(det J)2(t), откуда следует,
что
ί л/det G(t)dt = ί yJdetG(t(t))\J(t)\dt= ί ^det G(t)dl ►
£> D
£>
Итак, мы дали инвариантное по отношению к выбору системы
координат определение fc-мерного объема или площади fc-мерной кусочно
гладкой поверхности.
Замечание 6. Этому замечанию мы предпошлем
Определение 3. Про множество Е, лежащее на fc-мерной
кусочно гладкой поверхности, будем говорить, что оно является
множеством к-мерной меры нуль или имеет площадь нуль в смысле Лебега,
если при любом ε > О его можно покрыть конечной или счетной
системой 5l5..., 5m,... (возможно пересекающихся) поверхностей Sa С S
так, что ^Vk(Sa) < ε.
а
Как видно, это дословное повторение определения множества меры
нуль, лежащего в Rk.
Легко видеть, что в области D параметров любой локальной карты
φ: D —» S кусочно гладкой поверхности S такому множеству Ε
отвечает множество φ~ι(Ε) С D С Шк fc-мерной меры нуль. Можно даже
проверить, что это характеристическое свойство множеств Ε С S
площади нуль.
На практике при вычислении площадей, а также вводимых ниже
поверхностных интегралов полезно иметь в виду, что если кусочно
гладкая поверхность S получена из кусочно гладкой поверхности S
удалением из S множества Ε площади нуль, то площади поверхностей S и S
одинаковы.

228 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Шп
Польза этого замечания в том, что из кусочно гладкой поверхности
часто легко так удалить множество площади нуль, что в результате
получится гладкая поверхность 5, задаваемая всего лишь одной картой.
Но тогда площадь 5, а значит, и площадь S можно вычислить прямо
по формуле (5).
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Отображение ]0,2π[3 t \-> (Rcost,Rsmt) E R2 есть
карта дуги S окружности х2 + у2 = i?2, получаемой удалением из
этой окружности S единственной точки Ε = (i?, 0). Поскольку Ε—
множество длины нуль на 5, можно писать, что
2π
Vi(5) = Vi(5) = ί VR2sm2t + R2cos2tdt = 2тгД.
о
Пример 2. В примере 4 § 1 было указано следующее
параметрическое представление двумерного тора SbK3:
г (φ, ψ) = ((b + a cos ψ) cos φ, (b + a cos ψ) sin φ, a sin?/;).
В области D = {(φ, φ) |0<<£<2π,0<?/;< 2π} отображение (φ, ψ) *->
н-> г (φ, ψ) диффеоморфно. Образ S области D при этом
диффеоморфизме отличается от тора S на множество Е, состоящее из координатной
линии φ = 2π и линии ψ = 2π. Множество Ε состоит, таким образом,
из одной параллели и одного меридиана тора и, как легко видеть,
имеет площадь нуль. Значит, площадь тора можно найти по формуле (5),
исходя из приведенного параметрического представления,
рассматриваемого в пределах области D.
Проведем необходимые выкладки:
г φ = (—(6 + a cos?/;) sin φ, (b + acos?/;)cos<£,0),
ϊψ = (—α sin?/;) cosy?, — a sin?/; sin φ, a cos?/;),
0ii = (*φ,τφ) = (b + acos?/;)2,
912 =921 = (+φ,Γψ) =0,
522 = (*>>*>) — α J
detG =
5n 5i2
521 522
= a2(b + acos?/;)2.

§4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 229
Следовательно,
2π 2π
V2{S) = V2{S) = ί άψ ί a{b + a cos φ) άψ = 4тг2аЬ.
ο ο
Отметим в заключение, что указанным в определении 2 способом
можно теперь вычислять также длины и площади кусочно гладких
кривых и поверхностей.
Задачи и упражнения
1 · а) Пусть Ρ и Ρ — две гиперплоскости евклидова пространства W1, D —
подобласть Р, a D — ортогональная проекция D на гиперплоскость
Р.^Покажите, что (п — 1)-мерные площади D и D связаны соотношением σ(Ό) =
= σ(Ό) cos α, где α — угол между гиперплоскостями Ρ, Ρ.
b) Учитывая результат а), укажите геометрический смысл формулы da =
= J\ + (/-J.)2 + (fy)2dxdy для элемента площади графика гладкой функции
ζ = f(x,y) в трехмерном евклидовом пространстве.
c) Покажите, что если поверхность S в евклидовом пространстве Е3 задана
в форме гладкой вектор-функции г = г (u, v), определенной в области DcM2,
то площадь поверхности S можно найти по формуле
a(S) = JJ\[r'u,r'v}\dudv,
D
где [r^rj,] — векторное произведение векторов ^, ^.
d) Проверьте, что если поверхность ScM3 задана уравнением F(x, у, ζ) =
= 0, а область U поверхности S взаимно однозначно ортогонально
проектируется на область D плоскости (х,у), то имеет место формула
a{U) = jj\^dxdy.
D
2. Найдите площадь сферического прямоугольника, образованного двумя
параллелями и двумя меридианами сферы 5с13.
3. а) Пусть (r,tp,h) — цилиндрические координаты в М3. Гладкая кривая,
расположенная в плоскости φ = φο и заданная там уравнением г = r(s),
где s — натуральный параметр, вращается вокруг оси h. Покажите, что
площадь поверхности, полученной вращением куска этой кривой, отвечающего
отрезку [si,«2] изменения параметра s, может быть найдена по формуле
*2
σ = 2π / r(s) ds.
*ι

230 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Шп
Ь) График гладкой неотрицательной функции у = f(x), определенной на
отрезке [а, Ь] С М+, вращается сначала вокруг оси Ох, затем вокруг оси Оу.
В каждом из этих случаев напишите формулу для площади соответствующей
поверхности вращения в виде интеграла по отрезку [а, Ь].
4. а) Центр шара радиуса 1 скользит вдоль гладкой плоской замкнутой
кривой, имеющей длину L. Покажите, что площадь поверхности
образованного при этом трубчатого тела равна 2 π · 1 · L.
b) Исходя из результата а), найдите площадь двумерного тора,
полученного вращением окружности радиуса а вокруг оси, лежащей в плоскости
окружности и удаленной от ее центра на расстояние Ь > а.
5. Изобразите заданную в декартовых координатах (x,y,z)
пространства М3 винтовую поверхность
Ζ 7Γ
2/-stg-=0, \z\ ^ -h
и найдите площадь той ее части, для которой г2 ^ х2 + у2 ^ R2.
6. а) Покажите, что площадь Ωη_ι единичной сферы в W1 равна jOffix ?
1 Ы
где Г(а) = f e~xxa~1 dx. (В частности, если η четно, то Г (^) = ί ^-γ^Υ-·, а
если η нечетно, то Г (§) = ^Z-tyf*-)
b) Проверив, что объем Vn(r) шара радиуса г в W1 равен yTLrn, пока-
жите, что ^4r=i = Ωη-ι.
c) Найдите предел при η —> оо отношения площади полусферы {xGln |
|ж| = 1Лжп>0}к площади ее ортогональной проекции на плоскость хп = 0.
d) Покажите, что при η —» оо основная часть объема n-мерного шара
сосредоточивается в сколь угодно малой окрестности его граничной сферы,
а основная часть площади сферы — в сколько угодно малой окрестности ее
экватора.
e) Покажите, что из сделанного в d) наблюдения, часто называемого
явлением концентрации, вытекает красивое следствие:
Регулярная функция, непрерывная на сфере большой размерности, почти
постоянна на ней (вспомните, например, давление в термодинамике).
Поконкретнее:
Рассмотрим, например, функции, удовлетворяющие условию Липшица с
фиксированной константой. Тогда для любых ε > 0 и δ > 0 найдется такое Ν,
что при η > N у любой такой функции /: Sn —> Ш имеется значение с со
следующими свойствами: площадь того множества, где значения / отличаются
от с больше чем на ε, составляет не более чем <5-долю от площади всей сферы.
7. а) Пусть xl^...^xk — система векторов в евклидовом пространстве W1,
η ^ к. Покажите, что определитель Грама этой системы может быть предста-

§4. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 231
влен в виде
l^n<...<ik^n
где
b) Выясните геометрический смысл величин Р%х..лк из а) и сформулируйте
результат задачи а) как теорему Пифагора для мер произвольной
размерности fc, 1 ^ к ^ п.
c) Объясните теперь формулу
·-/
N
at1 аг*
ас**? аж^
\ at* atk
dt1 ...dtn
для площади, заданной в параметрическом виде χ = χζί1,..., tk), t Ε D С Шк
fc-мерной гладкой поверхности.
8. а) Проверьте, что в определении 2 величина 14(5) действительно не
зависит от указанного там способа разбиения 5 на гладкие куски Sx,..., Sm,...
b) Покажите, что кусочно гладкая поверхность S допускает локально
конечное разбиение на куски Sl5..., 5т,..., описанные в определении 2.
c) Докажите, что из гладкой поверхности 5 всегда можно так удалить
множество Ε площади нуль, что останется гладкая поверхность 5 = S \ Е,
которая уже может быть описана одной стандартной локальной картой φ: I —>
->S.
9· Длину кривой, подобно школьному определению длины окружности,
часто определяют как предел длин соответствующим образом вписанных в
кривую ломаных. Предел берется при стремлении к нулю длин звеньев вписанных
ломаных. Следующий простой пример, принадлежащий Г. Шварцу,
показывает, что аналогичные действия при попытке определить площадь даже очень
гладкой поверхности через площади «вписанных» в нее многогранных
поверхностей могут привести к абсурду.
В цилиндр радиуса R и высоты Η впишем многогранник следующим
образом. Рассечем цилиндр горизонтальными плоскостями на т равных
цилиндров высоты Н/т каждый. Каждую из т + 1 окружностей сечения (включая
окружности верхнего и нижнего оснований исходного цилиндра) разобьем
на η равных частей так, чтобы точки деления на каждой окружности
находились под серединами дуг ближайшей верхней окружности. Теперь берем
пару точек деления любой окружности и точку, лежащую непосредственно
над или под серединой дуги, заключенной между этой парой точек.

232 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Шп
Указанные три точки порождают треугольник, а совокупность всех
таких треугольников образует многогранную поверхность, вписанную в
исходную цилиндрическую поверхность (боковую поверхность прямого кругового
цилиндра). На вид этот многогранник похож на примятое и собравшееся в
гармошку голенище сапога, поэтому его часто называют сапогом Шварца.
a) Покажите, что если тип устремить к бесконечности, но так, чтобы
при этом отношение п2/т стремилось к нулю, площадь построенной
многогранной поверхности будет неограниченно расти, хотя размеры каждой ее
грани (треугольника) при этом стремятся к нулю.
b) Если же пит стремятся к бесконечности так, что отношение т/п2
стремится к некоторому конечному пределу р, то площади многогранных
поверхностей будут стремиться к конечному пределу, который в зависимости
от величины ρ может быть больше, меньше или (при ρ = 0) равен площади
исходной цилиндрической поверхности.
c) Сравните описанный здесь способ введения площади гладкой
поверхности с тем, который изложен в §4, и объясните, почему в одномерном случае
результаты совпадают, а в двумерном уже, вообще говоря, не совпадают.
Каковы условия на последовательность вписанных многогранных поверхностей,
гарантирующие совпадение результатов?
10. Изопериметрическое неравенство.
Пусть V(E) — обозначение для объема множества Ес1п,аЛ+Б — сумма
(векторная) множеств A,BcRn (сумма в смысле Минковского; см. задачу 4
к § 2 главы XI).
Пусть В — шар радиуса h. Тогда А + В =: Ah есть Λ-окрестность
множества А.
Величина
называется внешней площадью по Минковскому границы дЛ множества А.
a) Покажите, что если дА — гладкая или достаточно регулярная
поверхность, то μ+(ΘΑ) совпадает с обычной площадью поверхности дА.
b) Используя неравенство Брунна-Минковского (см. задачу 4 к §2
главы XI), получите теперь классическое изопериметрическое неравенство в W1
μ+φΑ) > nvnV^iA) =: /χ(5Λ);
здесь ν — объем единичного шара в!п,а μ(δΆ) — площадь ((п — 1)-мерная)
поверхности шара, имеющего тот же объем, что и множество А.
Изопериметрическое неравенство означает, что тело А С W1 имеет
площадь границы μ+(ΘΑ), не меньшую, чем шар того же объема.

§ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 233
§ 5. Начальные сведения о дифференциальных формах
Дадим теперь первоначальные представления об удобном
математическом аппарате дифференциальных форм, обращая здесь основное
внимание на его алгоритмические возможности, а не на подробности
теоретических конструкций, которые будут изложены в гл. XV.
1. Дифференциальная форма, определение и примеры. Из
курса алгебры читателю хорошо известно понятие линейной формы,
и мы этим понятием уже широко пользовались при построении
дифференциального исчисления. Там главным образом встречались
симметрические формы. Здесь же речь будет о кососимметрических
(антисимметрических) формах.
Напомним, что форма L: Хк —> Υ степени или порядка &,
определенная на упорядоченных наборах ξλ,..., £к векторов линейного
пространства X и принимающая значения в линейном пространстве У,
называется ко со симметрической (антисимметрической), если значение формы
меняет знак при перестановке местами любой пары ее аргументов, т. е.
Д£ъ ···)£*)···)&)···)&) — ~~-£(£ΐ) · · · j£j) · · · )6) · · · )&)·
В частности, если & = ^, то независимо от остальных векторов
значение формы будет равно нулю.
Пример 1. Векторное произведение [ζι,&Ι векторов
пространства R3 есть билинейная кососимметрическая форма со значениями в
линейном пространстве R3.
Пример 2. Определенный формулой (1) §4 ориентированный
объем Vr(^1,..., £k) параллелепипеда, натянутого на векторы £х,..., £к
пространства Шк, является кососимметрической вещественнозначной к-
формой в Rk.
Нас будут пока интересовать вещественнозначные формы (случай
Υ = R), хотя все излагаемое ниже применимо и в более общей ситуации,
например, когда Υ есть поле С комплексных чисел.
Линейная комбинация кососимметрических форм одной степени в
свою очередь является кососимметрической формой, т.е. кососимме-
трические формы одной степени образуют линейное пространство.
В алгебре вводится, кроме того, операция Λ внешнего умножения
кососимметрических форм, которая упорядоченной паре Ap,Bq, таких

234 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Шп
форм (степени ρ и q соответственно) сопоставляет кососимметриче-
скую форму АР A Bq степени ρ + q. Эта операция
ассоциативна: (Α? Α Bq) ACr = A? А {Bq А Сг),
дистрибутивна: (А*> + В?) ACq = A? ACq + В? A Cq,
косокоммутативна: Ар A Bq = (-l)PqBq Α Α*.
В частности, если речь идет об 1-формах А и £?, то имеет место
антикоммутативность А/\В = — £?У\ А операции, подобная
антикоммутативности упомянутого в примере 1 векторного произведения,
обобщением которого и является внешнее умножение форм.
Не вникая в детали общего определения внешнего произведения,
примем пока к сведению перечисленные свойства этой операции и
отметим, что в случае внешнего произведения 1-форм L1?..., Lk £ £(МП, Ж)
результат Lx Λ... ALk есть fc-форма, которая на наборе векторов ξι,...,
принимает значение
-Ε-ιΛ... Λ £-*(&,...,&)
МЫ
Liitk)
Lkiti)
det{Lj(M). (1)
Если соотношение (1) принять в качестве определения его левой
части, то из свойств определителей легко следует, что в случае линейных
1-форм А, В, С действительно: А А В = -В ААи(А + В)АС =
= АаС + ВАС.
Рассмотрим несколько полезных для дальнейшего примеров.
Пример 3. Пусть π* £ £(Rn,R), г = Ι,.,.,π — проекторы.
Точнее, линейная функция π1: W1 —» R такова, что на любом векторе
ξ = (ξ1,..., ξη) £ W1 она принимает значение π2(ξ) = £г проекции этого
вектора на соответствующую координатную ось. Тогда в соответствии
с формулой (1) получаем
^Л...Л7Г**(*1,···,**)
fi1
fik
(2)
Пример 4. Декартовы координаты векторного произведения
[£ъ6] векторов ξι = (£},£?> fi)> & = (ξ^&ίΙ) евклидова
пространства Μ3, как известно, определяются из равенства
Κι, 6
■(
Й Й
Й Й
1
Й Й
Й Й
)
Й Й
Й Й

§ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 235
Таким образом, в соответствии с результатом примера 3 можно
записать, что
^([6,6]) = ττ2Λπ3(6,ω,
ЛКъ^НтгЗЛтг^ъЫ,
τ3([ξι,6]) = 7Γ1Λ7Γ2(ξ1,6)·
Пример 5. Пусть /: D —> R — определенная в некоторой
области D С W1 и дифференцируемая в точке хо £ D функция. Как
известно, дифференциал df(xo) функции в точке является линейной
функцией, определенной на векторах ξ смещения от этой точки, точнее,
на векторах пространства TDXo, касательного к D (к W1) в
рассматриваемой точке. Напомним, что если х1,..., хп — координаты вР,а
df(xoM)
%(χο)ξ1 + ... + ^(χο)ξη
дх
дх71
Dtf(xo).
В частности, ахг(£) = ξ1, или, более формально, ахг(хо){£) = С-
Если Д,..., fk — определенные в G и дифференцируемые в точке #о £
£ G вещественнозначные функции, то в соответствии с формулой (1) в
точке хо на наборе £х,..., £к векторов пространства TGXo получаем
#1 Л... Л #*(&,...,&)
4Ш)··· 4f*(*i)
(3)
и, в частности,
ах^А...Аах^(^,...,й)
U1 ■■■ Uk
£4 сЧ
sfc · · · sfe
(4)
Таким образом, из линейных форм d/1,..., dfk, определенных на
линейном пространстве TDXo « ТШ£0 « W1, получились определенные на
этом же пространстве кососимметрические формы степени к.
Пример 6. Если / £ C(l\D, R), где D — область в Rn, то в любой
точке χ £ D определен дифференциал df(x) функции /, который, как
было сказано, является линейной функцией df(x): TDX —> TRr,x, « R
на линейном пространстве TDX, касательном к D в точке х. При
переходе от точки к точке в области D форма df(x) = /7(х)> вообще говоря,

236 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Шп
меняется. Итак, гладкая скалярная функция f:D-+R порождает в
каждой точке области D линейную форму df(x), или, как говорят,
порождает в D поле линейных форм, определенных на соответствующих
касательных пространствах TDX.
Определение 1. Будем говорить, что в области Dclln задана
вещественнозначная дифференциальная р-форма ω, если в каждой
точке χ £ D определена кососимметрическая форма ω (χ): (TDX)P —> R.
Число р обычно называют степенью или порядком
дифференциальной р-формы ω. В этой связи р-форму ω часто обозначают через ων.
Таким образом, рассмотренное в примере 6 поле дифференциала df
гладкой функции /': D —ь Ж есть дифференциальная 1-форма в
области Ό,&ω = dx4 Λ.. .Adxtp есть простейший пример дифференциальной
формы степени р.
Пример 7. Пусть в области D С W1 задано векторное поле, т. е.
с каждой точкой χ £ D связан вектор F(x). При наличии евклидовой
структуры в W1 это векторное поле порождает следующую
дифференциальную 1-форму ω\ρ в D.
Если ξ— вектор, приложенный к точке χ £ D, т.е. ξ £ TDX, то
положим
ulF{x){i) = {F{x),i).
Из свойств скалярного произведения вытекает, что ωιΓ(χ) =
= (F(x),-) действительно является линейной формой в каждой точке
χ eD
Такие дифференциальные формы возникают очень часто.
Например, если F — непрерывное силовое поле в области D, а ξ— вектор
малого смещения от точки χ £ Ζ>, то элементарная работа поля,
отвечающая такому смещению, как известно из физики, определяется именно
величиной (F(x),£).
Итак, поле сил F в области D евклидова пространства W1
естественным образом порождает в D дифференциальную 1-форму ulF, которую
в этом случае естественно назвать формой работы поля F.
Заметим, что в евклидовом пространстве дифференциал df гладкой
в области DcRn функции /: Z) —» Μ тоже можно считать 1-формой,
порожденной векторным полем, которым в данном случае является поле
F = grad/. В самом деле, ведь по определению вектор grad/(x) таков,

§ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 237
что для любого вектора ξ £ TDX имеет место равенство df(x)(£) =
= (grad/(x),£).
Пример 8. Заданное в области D евклидова пространства W1
векторное поле V может также следующим образом порождать
дифференциальную форму ω^~χ степени п— 1. Если в точке χ £ D взять
соответствующий ей вектор поля V(x) и еще п — 1 векторов £1?..., ξη-1 £ ΤΌΧ,
приложенных к точке х, то ориентированный объем параллелепипеда,
натянутого на векторы V(x), ξ1?..., £п_1? равный определителю
матрицы, строки которой состоят из координат этих векторов, очевидно,
будет кососимметрической (п — 1)-формой по переменным £1?..., £п_х.
При π = 3 форма ojy- есть обычное смешанное произведение (V(x),
£ъ^2) векторов, из которых один V(x) задан, а тогда по двум
оставшимся аргументам получается кососимметрическая 2-форма ω\ —
= (V,;-).
Например, если в области D имеется установившееся течение
жидкости и V(x)—вектор скорости течения в точке χ £ Ζ), то величина
(V(x), ξι, £2) есть элементарный объем жидкости, которая протекает за
единицу времени через натянутую на малые векторы ξι, ^2 £ TDX
площадку (параллелограмм). Выбирая по разному векторы £ι, &> мы будем
получать различные по конфигурации и расположению в
пространстве площадки (параллелограммы), одной из вершин которых является
точка х. Для каждой такой площадки будет, вообще говоря, свое
значение (ν(χ),ξι,ξ2) формы cuy(x). Как было сказано, оно показывает,
сколько жидкости протекло за единицу времени через данную
площадку, т.е. характеризует расход жидкости или поток через выбранную
элементарную площадку. По этой причине форму ω\, как, впрочем, и
ее многомерный аналог о;^-1, часто называют формой потока
векторного поля V в области D.
2. Координатная запись дифференциальной формы.
Остановимся теперь на координатной записи кососимметрических
алгебраических и дифференциальных форм и покажем, в частности, что
любая дифференциальная fc-форма в некотором смысле является линейной
комбинацией стандартных дифференциальных форм вида (4).
Для сокращения записи будем (как мы это делали в аналогичных
случаях и прежде) по повторяющимся сверху и снизу индексам
подразумевать суммирование в пределах области допустимых значений этих

238 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
индексов.
Пусть L — fc-линейная форма в W1. Если в W1 фиксирован базис
ех,..., еп, то каждый вектор ξ £ W1 получает координатное
представление ξ = £гвг в этом базисе, а форма L приобретает координатную
запись
% ί») = £(ίί4 ^4) = ^,,..,^,...,^ (5)
Числа α^,.-.,ζ — ^(ezi > · · · > егк) вполне характеризуют форму L, если
известно, в каком базисе е1?..., еп они получены. Эти числа, очевидно,
симметричны или кососимметричны по их индексам тогда и только
тогда, когда соответствующим видом симметрии обладает форма L.
В случае кососимметрической формы L координатное
представление (5) можно несколько преобразовать. Чтобы направление этого
преобразования стало ясным и естественным, рассмотрим частный случай
соотношения (5), когда L — кососимметрическая 2-форма в R3. Тогда
для векторов ξι = ^е^, ^2 = £2^2 > гДе ^ьг2 = 1)2,3, получаем
ЩиЬ) = L^e^&ei,) = L(eil)ei2Krd2 =
= Цеи etfltl + Цеи β2)ξ\ξ% + Цеи ε3)ξ\ξ! +
+ L(e2, e^fe1 + L(e2, e2)&& + L(e2, β3)ξ?ξ| +
+ L(e3,e^Ul + L(e3, e2)&% + L(e3, e3)^23 =
= L(eu ε2)(ξ\ξ22 - ξ№) + Цеи β3)(ξ\ξ32 - £?£) +
tf -ei2
г2
# Й
+ L(e2,e3)(^23 --еМ) = Σ ^Κ-^)
где суммирование ведется по всем возможным комбинациям индексов
2*1,2*2, которые удовлетворяют указанным под знаком суммы
неравенствам.
Аналогично и в общем случае для кососимметрической формы L
можно получить следующее представление:
|?1 ··· ?i |
1^2l<...<2fc^7l
(6)
Тогда в соответствии с формулой (2) последнее равенство можно
переписать в виде
%,...,&)= Σ L(eil,...,eik)niiA...Ani>°(tl,...,tk).
l^ii<...<ik^n

§ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 239
Таким образом, любую кососимметрическую форму L можно
представить в виде линейной комбинации
L= Σ α^.^1 A...Anik (7)
fc-форм π11 A...Aiifc, являющихся внешним произведением,
составленным из простейших 1-форм π1,..., πη в W1.
Пусть теперь в некоторой области D С W1 задана
дифференциальная fc-форма ω и некоторая система криволинейных координат
х1,..., хп. В каждой точке χ £ D фиксируем базис ei(x),..., еп(х)
пространства ΤΌΧ, составленный из единичных векторов
координатных направлений. (Например, если х1,..., хп — декартовы координаты
в Rn, то βχ(χ),..., еп(х) есть просто репер е1?..., еп пространства Rn,
параллельно перенесенный из начала координат в точку х.) Тогда в
каждой точке χ £ D на основании формул (4) и (6) получаем, что
"(s)(£i, ···,&) =
]Г ω{βίι (χ),..., eik{x)) dxil Λ ... Λ dxifc(£i,. ..,£*)
Ιζΐι<...<ik^n
ИЛИ
ω{χ) = Σ ач-..ik (χ)dx%l A ... Λ dxlk. (8)
l^ii <...<ik^n
Таким образом, любая дифференциальная fc-форма является
комбинацией простейших fc-форм dx4 Λ... Λ dx4, составленных из
дифференциалов координат. Отсюда, собственно, и название «дифференциальная
форма».
Коэффициенты ^...^(х) линейной комбинации (8), вообще говоря,
зависят от точки х, т. е. это какие-то функции, определенные в области,
где задана форма ω^.
В частности, нам уже давно известно разложение дифференциала
df{x) = §^{χ)άχ1+■ ■ ■+ ъ^{х) άχη' (9)
а, как видно из равенств
(F,i) = (F^(x)eh(x),^ei2(x)) =
= (eh(x),ei2(x))F^(x)e = ghi2{x)F^ {x)C* =
= gili2(x)F^(x)dx^^),

240 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Шп
имеет также место разложение
ωιΡ(χ) = (F(x)r) = (gili(x)Fil(x))dxi = <ц(х)ах\
которое в декартовых координатах выглядит особенно просто:
г=1
ωιΡ{χ) = (F{x)^) = Υ^Ρ{(χ)άχ\
Далее, в R3 имеет место равенство
(10)
(И)
V1 {χ) V2{x) V3{x)
U tf ί?
S2
V\x)
й е2
+ V2(x)
1 ξ\
+ V3(X)
2
2
U £2
откуда следует, что
ω1(χ) = ^!(χ) dx2 λ dx3 + V2{x) dx3 Λ dx1 + V3{x) dxl Λ dx2. (12)
Аналогично, из разложения по строке определителя η-го порядка
для формы ω7^1 получаем следующее разложение:
η ^
о^-1 = ^2(-1У+1У*{х) dxl Λ ... Λ dxi Λ... Λ dxn, (13)
i=l
где знак стоит над дифференциалом, который следует опустить в
указанном слагаемом.
3. Внешний дифференциал формы. Все, что было до сих пор
сказано о дифференциальных формах, пока в сущности относилось к
каждой точке χ области задания формы в отдельности и имело чисто
алгебраический характер. Специфической для анализа операцией над
дифференциальными формами является операция их (внешнего)
дифференцирования.
Условимся в дальнейшем под дифференциальными формами нулевого
порядка в области D CW1 понимать функции /: D —» R, определенные
в этой области.

§ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 241
Определение 2. (Внешним) дифференциалом от 0-формы / в
случае, если / — дифференцируемая функция, называется обычный
дифференциал df от этой функции.
Если заданная в области D CW1 дифференциальная р-форма [р ^ 1)
ω(χ) = flti...tp(s) dxn Λ ... Λ dx%v
имеет дифференцируемые коэффициенты а^ь.^р(х), то ее (внешний)
дифференциал есть форма
άω(χ) = daix^,ip(x) Λ dx11 Λ ... Λ dxtp.
Используя разложение (9) дифференциала функции и опираясь на
вытекающую из соотношения (1) дистрибутивность внешнего
произведения 1-форм, заключаем, что
дйол ι
άω{χ) = *ь; р{х) dxl Adx*1 Л...Л ахг" =
C/JC
= (*iii...iv{x) dxl Λ dxn Λ ... Λ dxv,
т. е. (внешний) дифференциал от р-формы (ρ ^ 0) всегда есть форма
степени ρ + 1.
Отметим, что данное выше определение 1 дифференциальнойр-фор-
мы в области ΰ С Rn, как теперь можно понять, слишком общо,
поскольку никак не связывает формы о;(ж), соответствующие различным
точкам области D. Реально в анализе используются лишь формы,
коэффициенты агь..гр(ж) координатного представления которых являются
достаточно регулярными (чаще всего бесконечно
дифференцируемыми) функциями в области D. Порядок гладкости формы ω в области
D С W1 принято характеризовать низшим из порядков гладкости ее
коэффициентов. Совокупность всех форм степени ρ ^ 0 с
коэффициентами класса C(°°\D,№) чаще всего обозначают символом ΩΡ(Ζ), Ш)
или Ωρ.
Таким образом, определенная нами операция дифференцирования
форм осуществляет отображение d: Ωρ —> Ωρ+1.
Рассмотрим несколько полезных конкретных примеров.
Пример 9. Для 0-формы ω = f(x,y,z) — дифференцируемой
функции, определенной в области D С IR3, — получаем
df , df , df ,
άω = -^-dx + -^-dy + -^-dz.
οχ ay αζ

242 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Шп
Пример 10. Пусть
ω{χ, у) = Р(х, у) dx + Q(x, у) dy
— дифференциальная 1-форма в области D пространства R2,
наделенного координатами (х,у). Считал Ρ и Q дифференцируемыми в D
функциями, в соответствии с определением 2 получаем
άω(χ, у) = dP /\dx + dQ Ady =
(3PJ дР\ J fdQj dQ\ J
= —dyAdx + —dxAdy=^—-—)(x,y)dxAdy.
Пример 11. Для 1-формы
ω = Ρ dx + Qdy + Rdz,
заданной в области D пространства Μ3, получаем
(дк dQ\ J J (дР dR\ J J fdQ dP\ J J
Пример 12. Подсчет дифференциала 2-формы
ω = Ρ dy A dz + Q dz A dx + Rdx A dy,
где Ρ, Q, R — дифференцируемые в области Del3 функции, приводит
к соотношению
(дР dQ 8R\ J J J
άω = ——l· -ζ—l· -ζ- dx Ady A dz.
\ ox oy ο ζ J
Если (χ1, χ2, χ3) — декартовы координаты в евклидовом
пространстве R3, ах н-> /(χ), χ н-> F(x) = (Ρ1, Ρ2, Р3)(х), χ н-> V = {V1, V2, V3)(x)
— гладкие скалярное и векторные поля в области D С К3, то вместе с
ними (особенно в физических задачах) часто рассматривают
соответственно векторные поля
grad/ = ( -τ—Γ) τγοι ~^~ч I —градиент скалярного поля /, (14)
V дх1 οχΔ αχ6 Ι

§ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 243
_ (dF^_ _ dF^ dF^_ _ dF*_ dF*_ _ dF^\ _
\ dx2 dx3 ' dx3 dx1 ' dx1 dx2 J
ротор векторного поля F (15)
и скалярное поле
dVl dV2 dV3
div V = -7-y + -7—2" + -^—3- — дивергенция векторного поля V. (16)
О градиенте скалярного поля мы в свое время уже говорили. Не
останавливаясь пока на физическом содержании ротора и дивергенции
векторного поля, отметим лишь связь этих классических операторов
теории поля с операцией дифференцирования форм.
В евклидовом ориентированном пространстве М3 между
векторными полями и один- и два-формами имеется взаимно однозначное
соответствие
F +> ωιΓ = (F, ·>, ν+*ω2Ε = (V, ·, ·)·
Заметим также, что любая 3-форма в области D С К3 имеет вид
р(хх, х2, х3) dx1 Adx2 Adx3. Учитывая эти обстоятельства, можно ввести
следующие определения для grad/, rotf, div V:
f н-> ω°(= f) н-> άω°(= df)=ulg ^g:= grad/, (14')
F н^ ωρ н^ do;^ = ωΐ »->· r := rot F, (15')
V н-> a/2, h-> du\r =ω2^ p:= div V. (16')
Примеры 9, 11, 12 показывают, что при этом в декартовых
координатах мы приходим к выписанным выше выражениям (14), (15), (16)
для grad/, roti*1, div V. Таким образом, перечисленные операторы
теории поля можно рассматривать как конкретные проявления операции
дифференцирования внешних форм, которая выполняется
единообразно на формах любой степени. Подробнее о градиенте, роторе и
дивергенции будет сказано в гл. XIV.
4. Перенос векторов и форм при отображениях. Посмотрим
внимательнее на то, что происходит с функциями (0-формами) при
отображении областей.

244 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Шп
Пусть φ: U -> V — отображение области U С Rm в область V С
С W1. Под действием отображения φ каждая точка t £ U переходит в
определенную точку χ = φ(ί) области V.
Если на V определена функция /, то благодаря отображению φ :
U —» V на области U естественно возникает полученная из /
функция <£*/) которая определяется равенством
(¥>*/)(*) := /(*»(*)),
т. е. чтобы найти значение φ*/ в точке t £ 17, надо отправить t в точку
χ = φ(ί) £V и вычислить там значение функции /.
Таким образом, если при отображении φ: U —> V точки области U
переходят в точки области V, то множество определенных на V
функций под действием построенного соответствия / \-> ψ*} отображается
(в обратную сторону) в множество функций, определенных на U.
Иными словами, мы показали, что при отображении φ: U —» V
естественно возникает отображение φ*: Q°(V) —> Ω°(ί7), которое
преобразует заданные на V нуль-формы в нуль-формы, определенные на U.
Рассмотрим теперь общий случай переноса форм любой степени.
Пусть φ: U —> V — гладкое отображение области U С Щ1 в область
V С KJ, φ'{ί): ТЩ -> ТУх=(рщ—соответствующее φ отображение
касательных пространств, и пусть ω — некоторая р-форма в области V.
Тогда форме ω можно сопоставить р-форму ψ*ω в области 17, которая
в точке t £ U на наборе векторов тх,..., тр £ ТЩ определяется
равенством
φ*ω{ί){τι,..., Тр) := ω{φ{ί)){φ[τι,..., φ'ρτρ). (17)
Таким образом, каждому гладкому отображению φ: U —» V
соответствует отображение ψ*: №(V) —» ΩΡ(Ϊ7), которое переносит
заданные на V формы в область U. Из соотношения (17), очевидно, следует,
что
φ*(ω' + ωΤ') = φ*{ωΤ) + φ*{ω'% (18)
φ*{Χω) = Χφ*ω, если λ Ε R. (19)
Вспомнив закон (ψ ο ψ)' = ψ' ο φ' дифференцирования композиции
отображений φ: U —> V, ψ: V —> W, из (17) заключаем дополнительно,
что
(ф о φ)* =φ*ο<ψ* (20)

§ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 245
(естественный обратный ход: композиция отображений
ψ* : №(W) -> №(V), ψ* : №(V) -> Ωρ([/)).
Посмотрим теперь, как практически осуществляется перенос форм.
Пример 13. В области V С Щ возьмем 2-форму ω = dx4 Λ dx%2.
Пусть ж* = ^(t1,..., tm), г = 1,..., η — координатная запись
отображения <p:U->V области U С Щ1 в V.
Мы хотим найти координатное представление формы ψ*ω в U.
Берем точку t G U и векторы Ti,T2 G ТС/*. В пространстве TVx=(pty им
отвечают векторы ξι = φ'(ί)τ\, ^2 = φ'(ϊ)τ2, координаты (£|,... ,ξ^1),
(^2» · · ·»£sP) которых выражаются через координаты (т^,..., т]71),
(т2,..., τψ) векторов τχ, Τ2 с помощью матрицы Якоби по формулам
(по j суммирование от 1 дот).
Таким образом,
ψ*ω{ί){τι,τ2) := ω(φ(ί))(ξι,ξ2) = dx^ Аах'Ц^,^) =
й1 й2
Л\ £12
S2 S2
т
■ Σ
дхЦ_ ji дх*2 72
&С*1 jl дх^2_ J2
dtn т2 дР2 т2
dxh dxi2
dV1 дФ
Ji
Г2
J*
rj2
T2
JUL f)Th ftTi2
= у °* °* dt»Adt»(rUT2) =
*-* dV* dV*
^ / d^ dxi2 dx1' dxi2 \ , ,
1 <ΊΊ ^1о<Гт х '
l^jl<J2^rn
- Σ
dx*i dx*2
dtn dm
dx*} dx{2
dm dm
{t)dtjl AdtJ2{rUT2).

246 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
Следовательно, мы показали, что
φ*№ Λ dx**) = £ ^χφΐ^ dtJl Λ dth'
Если воспользоваться свойствами (18) и (19) операции переноса
форм1) и повторить проведенную в последнем примере выкладку в
общем виде, то получим следующее равенство:
φ* 5Ζ α*ΐν..,*ρ(χ)dx%l л... л dxtp
\l^.ii<...<ip^.n
= Σ ^^Ρ(^))%11'···'^)^1Λ···Λ^. (21)
1^г1<...<гр^п \ ' ' ' ' ' '
Заметим, что если в форме, стоящей здесь под знаком <£*,
формально сделать замену χ = χ(ί), выразить дифференциалы dx1,... ,dxn
через дифференциалы rfi1,... , dtm и упростить полученное выражение,
пользуясь свойствами внешнего произведения, то мы как раз и
получим правую часть равенства (21).
Действительно, для каждого фиксированного набора индексов
г\ч ··· ч%р
ati,...,tp(s) dx4 Λ ... Λ dx%v =
, , ν ν дхч дхгр , ,·
= *ι,..,<ρ(*(*))^ · · · ·' a^d< л... λ Λ"· =
= Σ ^b-,ipH«))a(g,-,^))^ a ... λ <^.
Суммируя такие равенства по всем упорядоченным наборам 1 ^ г ι <
< ... < гр ^ η, получаем правую часть соотношения (21).
^Если (19) использовать поточечно, то видно, что
φ*(α(χ)ω) = α(φ(ί))φ*ω.

§ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 247
Таким образом, мы доказали следующее важное в техническом
отношении
Утверждение. Если в области V С W1 задана
дифференциальная форма ω, α ψ: U -¥ V—гладкое отображение области U С Шт
в V, то координатная запись формы φ*ω может быть получена из
координатной записи
У^ ati,...,tp(s) dx4 Λ ... Λ dxtp
формы ω прямой заменой переменных χ = φ(ί) (с последующим
преобразованием в соответствии со свойствами внешнего произведения).
Пример 14. В частности, если т = η = ρ, то соотношение (21)
сводится к равенству
φ*(άχι Λ ... Λ dxn) = det cp'(t)dtl Λ ... Λ dtn. (22)
Значит, если под знаком кратного интеграла вместо }{х) dx1... dxn
писать f(x)dxl Λ ... Λ dxn, то формула
ί f{x) dx = ί f((p(t)) det φ\ϊ) dt
ν=φ(ϋ) U
замены переменных в кратном интеграле при сохраняющих
ориентацию диффеоморфизмах (т.е. при dety/(t) > 0) получалась бы
автоматически формальной подстановкой χ = <p(t), подобно тому, как это
имело место в одномерном случае, и ей можно было бы придать
следующий вид:
ί ω= ί φ*ω. (23)
φ(ϋ) U
Заметим в заключение, что если степень ρ взятой в области V С Щ
формы ω больше, чем размерность т области U С Мт, которая
отображается посредством φ: U —> V в область V, то соответствующая ω на U
форма φ*ω, очевидно, окажется нулевой. Таким образом, отображение
φ*: Ωρ(ν) —» Ωρ(ί7), вообще говоря, не обязано быть инъективным.
С другой стороны, если φ: U —> V имеет гладкое обратное
отображение ψ~ι: V -¥ 17, то в силу соотношения (20) и равенств φ~ιοφ = е^г,

248 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Шп
φ ο φ ι = еу получаем, что (φ)* ο (φ х)* = ej^, (φ ι)* ο [φ)* = ву, и
поскольку вц и ву — тождественные отображения Ωρ([7) и Ωρ(ν)
соответственно, то отображения φ*: QP(V) -> W(U), {φ~1)*: QP(U) -> W(V),
как и следовало ожидать, оказываются взаимно обратными. То есть в
этом случае отображение φ*: №(V) —» ΩΡ(Ϊ7) биективно.
Отметим, наконец, что наряду с уже указанными выше
свойствами (18)-(20) отображение φ* переноса форм, как можно проверить,
удовлетворяет также соотношению
φ*{άω) = ά{φ*ω). (24)
Это принципиально важное равенство показывает, в частности, что
определенная нами в координатном виде операция дифференцирования
форм на самом ,а,еле не зависит от выбора системы координат, в
которой записана дифференцируемая форма ω. Подробнее это будет
обсуждаться в гл. XV.
5. Формы на поверхностях
Определение 3. Говорят, что на гладкой поверхности S С W1
задана дифференциальная р-форма ω, если в каждой точке χ £ S на
векторах касательной к S плоскости TSX определена р-форма ω(χ).
Пример 15. Если гладкая поверхность S лежит в области D С
С Кп, в которой определена форма о;, то поскольку в любой точке χ £ S
имеет место включение TSX С TDX, можно рассмотреть ограничение
формы ω(χ) на TSX. Так на S возникает форма a;|s, которую
естественно назвать ограничением формы ω на поверхность S.
Как мы знаем, поверхность локально или в целом задается
параметрически. Пусть φ: U —» S = φ(ϋ) С D — параметризованная гладкая
поверхность в области £), а ω — форма в D. Тогда форму ω можно
перенести в область U параметров и записать φ*ω в координатном виде
в соответствии с установленным выше алгоритмом. Ясно, что
получаемая при этом в U форма φ*ω совпадает с формой ip*(u\s)-
Заметим, что коль скоро φ'{ί): TUt —» TSX в любой точке t £ U есть
изоморфизм между TUt и Т5Х, то можно переносить формы как с S
на 17, так и с U на 5, поэтому как сами гладкие поверхности обычно
задают локально или в целом параметрически, так и формы на них в
конечном счете обычно задают в областях изменения параметров
локальных карт.

§ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 249
Пример 16. Пусть Jy — рассмотренная в примере 8 форма
потока, порожденная векторным полем скоростей течения V в области D
ориентированного евклидова пространства R3. Если S — гладкая
ориентированная поверхность в Z), то можно рассмотреть ограничение
Uyls Ф°РМЫ ων на S* Получаемая при этом форма Uy\s
характеризует поток через каждый элемент поверхности S.
Если φ: I —> S локальная карта поверхности S, то, сделав
замену переменных χ = φ(ί) в координатном выражении (12) формы ω\,
получим координатное выражение определенной на квадрате I
формы ψ*ωγ = ^*(^vU) B данных локальных координатах поверхности.
Пример 17. Пусть ωιΓ — рассмотренная в примере 7 форма
работы, порожденная действующим в области D евклидова пространства
полем сил F. Пусть φ: Ι —ϊ φ(Ι) С D — гладкий путь (φ — не
обязательно гомеоморфизм). Тогда в соответствии с общим принципом
ограничения и переноса форм на отрезке I возникает форма φ*ω^,
координатное представление a(t)dt которой можно получить, выполнив замену
переменных χ = <p(t) в координатном выражении (11) формы u)lF.
Задачи и упражнения
1. Вычислите значения приведенных ниже дифференциальных форм ω
в Еп на указанных наборах векторов:
a) ω = χ2 dx1 на векторе ξ = (1,2,3) € ТЩ3^2 ^.
b) ω = dx1 Λ dx3 + χ1 dx2 Λ dx4 на упорядоченной паре векторов ξι, £г £
е rR(i,ο,ο,ο)·
с)ш = d/, где / = хг+2х2+.. .+пхп, а£ = (1, -1,..., (-1)η_1) Ε ТЕ^1Д) д).
2. а) Проверьте, что форма dx4 Λ.. ./\dx%k тождественно равна нулю, если
не все индексы г15..., гк различны.
b) Объясните, почему на n-мерном векторном пространстве нет отличных
от нуля кососимметрических форм степени ρ > п.
c) Упростите запись формы, заданной в виде
2 dx1 Λ dx3 Λ dx2 + 3 dx2 Λ dx1 Λ dx2 - dx2 Λ dx3 Λ dx1.
d) Раскройте скобки и приведите подобные члены
(х1 dx2 + χ2 dx1) Λ (χ3 dx1 Λ dx2 + χ2 dx1 Λ dx3 + χ1 dx2 Λ dx3).
e) Форму d/ Adg, где / = ln(l + |x|2), g = sin |x|, χ = (χ1, χ2, χ3), запишите
в виде комбинации форм dx4 Λ dx12,1^ϊι<Ϊ2^3.

250 ГЛ. XII. ПОВЕРХНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ В Rn
f) Проверьте, что в Еп
df1 Λ ... Λ dfn(x) = det (jfj) Wdx1 Λ ... Λ dxn.
g) Проведите все выкладки и покажите, что при 1 ^ к ^ η
df1 Λ ... Λ dfk = Σ det
1^г1<г2<..<гд.^п
дхП дхгк
dfk dfk
дхП дхгк
dxh Λ ... Λ dxik.
3. а) Покажите, что форма а четной степени коммутирует с любой
формой /3, т. е. α Λ β — β Λ α.
η
Ь) Пусть ω = Σ dpi Λ dql и ωη = ω Λ ... Λ ω (η раз). Проверьте, что
г=1
ωη = n\dp1Adq1 Λ ... Λ φη Λ d<?n = (-lj^dpi Λ ... Λ φη Λ φ1 Λ ... Λ <fyn.
4. а) Форму ω = d/, где /(ж) = (ж1) + (χ2)2 + ... + (χη)η, запишите в виде
комбинации форм da:1,..., d#n и найдите дифференциал da; формы ω.
b) Проверьте, что для любой функции / £ C^(D,R), d2/ = 0, где d2 =
= d о d, а d — оператор внешнего дифференцирования.
c) Покажите, что если коэффициенты а^...^ формы а; = ^...^(a^da;*1 Λ
Λ ... Λ dx*fc принадлежат классу C^(D, Ε),то d2^; ξΟβ области D.
d) Найдите внешний дифференциал формы У ξ ~ Х!}У в области ее опреде-
х + 2/
ления.
5. Если под знаком кратного интеграла J f(x) dx1 ... dxn произведение
D
dx1 ... dxn понимать как форму dx1 Λ ... Λ dxn, то, согласно результату
примера 14, у нас будет возможность формально получать подынтегральные
выражения формулы замены переменных в кратном интеграле. Выполните,
согласно этой рекомендации, переход от декартовых координат:
a) к полярным координатам в Ε2,
b) к цилиндрическим координатам в Ε3,
c) к сферическим координатам в Е3.
6. Найдите ограничение формы:
a) dx1 на гиперплоскость хг = 1.
b) dx Λ dy на кривую χ = x(t), у = y(t), a < t < b.
c) dx Λ dy на плоскость в Ε3, задаваемую уравнением χ — с.
d) dy Adz + dz Adx + dx Л dy на грани стандартного единичного куба в Е3.
e) ωι = dx1 Λ ... Λ dxl~l/\ dx1 /\dxl+l Λ ... Λ dxn на грани
стандартного единичного куба в Еп; знак стоит над дифференциалом dx1, который
выбрасывается из написанного произведения.

§ 5. НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМАХ 251
7. Выразите в сферических координатах Е3 ограничение следующих форм
на сферу радиуса R с центром в начале координат:
а) ах.
h)dy.
с) dy Λ dz.
8. Отображение φ: Ε2 -> Ε2 задано в виде (и,ν) \-ь (и · г>, 1) = (ж,у)
Найдите:
a) φ*(άχ).
b) ¥>·(*)·
c) φ*{у ас).
9. Проверьте, что внешний дифференциал d: ΩΡ(Ζ)) —» ΩΡ+1(Ζ)) обладает
следующими свойствами:
a) ά(ωι + с^г) = duj\ + du;2.
b) ά(ω\/\ω2) = do;iAa;2 + (—l)dega;ict;iAda;2, где degc^i —степень формы cji.
c) Va; Ε Ωρ d(du;) = 0.
d)V/ett° df=t^dx\
i=i ax
Покажите, что отображение d: ΩΡ(Ό) —> ΩΡ+1(Ζ)), обладающее свойствами
а), Ь), с), d), единственно.
10. Проверьте, что отображение φ: ΩΡ(Υ) -> ΩΡ(Ϊ7), отвечающее
отображению φ: U —> V, обладает следующими свойствами:
a) φ*(ωι + ω2) = φ*ωχ +φ*ω2.
b) φ* (ωχ Αω2) = φ*ωι Λφ*ω2.
c) άφ*ω = φ*άω.
d) Если еще имеется отображение ψ: V -> W,to (ψ ο φ)* = φ* ο ψ*.
11. Покажите, что гладкая fc-мерная поверхность ориентируема тогда и
только тогда, когда на ней существует нигде не вырождающаяся fc-форма.

ГЛАВА XIII
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Интеграл от дифференциальной формы
1. Исходные задачи, наводящие соображения, примеры
а. Работа поля. Пусть F(x) — непрерывное векторное поле сил,
действующих в области G евклидова пространства W1. Перемещение
пробной частицы в поле связано с совершением работы. Требуется
вычислить работу, совершаемую полем, при перемещении единичной
пробной частицы по заданной траектории, точнее, вдоль гладкого пути
7: I->7(J) CG.
Мы уже касались этого вопроса, рассматривая приложения
определенного интеграла, поэтому здесь можно лишь напомнить решение
задачи, отмечая некоторые характерные и полезные для дальнейшего
элементы конструкции.
Известно, что в постоянном поле F
перемещение на вектор ξ связано с
работой, равной (F,£).
Пусть t ь» x(t) —определенное на
отрезке I = {teR\a^t^b} гладкое
отображение η: I -¥ G.
Возьмем достаточно мелкое
разбиение отрезка [а, Ь]. Тогда на каждом
промежутке Ц = {t £ J I ^-i ^ * ^ U} раз-
Рис. 83. биения с точностью до бесконечно малых

§ 1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 253
или
более высокого порядка выполняется равенство x(t) — x(U) « x'(ti)(t —
— ti). Вектору Т{ = U+i —1{ смещения из t% в ti+\ (рис. 83) в
пространстве W1 отвечает перемещение из точки x(U) на вектор Ах{ = Χχ+\ — ж*,
который с указанной погрешностью можно считать совпадающим с
вектором & = ж(^)т^, касательным к траектории в точке x(U). Ввиду
непрерывности поля F(x), его можно считать локально постоянным, и
потому работу ΔΑ{, отвечающую промежутку (времени) 2^, можно с
малой относительной погрешностью вычислять в виде
AAi«(F(si),6)
AAi*(F(x(ti)),x(ti)TU.
Α = ΣΑΑ** Y^(F(x(U)),x(ti))Ath
г г
откуда, переходя к пределу при измельчении разбиения отрезка J,
получаем, что
б
А = J(F(x(t)),x(t))dt (1)
α
Если выражение (F(x(t)),x(t))dt переписать в виде (F(x),dx), то,
считая координаты в W1 декартовыми, ему можно придать вид Fl dxl +
+ ... + Fn dxn', после чего формулу (1) можно записать как
А= ί Fldxl + ...+Fndxn (2)
Значит,
-h-
или как
(2')
7
Точный смысл написанным в (2) и (2') интегралам от 1-формы
работы вдоль пути 7 придает формула (1).
Пример 1. Рассмотрим поле сил F = I —,—-— ], опре-
\ х2 + у2 χ2 Л· у2)
деленное во всех точках плоскости R2, кроме начала координат.
Вычислим работу этого поля вдоль кривой 71, заданной в виде χ = cost, у =

254 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
= sin t, 0 ^ t ^ 2π, и вдоль кривой 72 5 заданной соотношениями χ = 2 +
+ cost, у = sint, 0 < t ^ 2π. В соответствии с формулами (1), (2), (2')
находим
ν χ
J ωρ J χΔ + yz χΔ + yA
7i 7i
2π
sint-(— sint) cost-cost . ,
+ —^ г-ό- ]dt = 2π
f f
У V cos2 £ + sin21 cos2 t + sin21
о
и
2π
/χ _ f—ydx + xdy_ ί — sint(— sint) + (2 + cost) cost _
ωρ = I x2 + y2 =J (2 + cosi)2+sin2i dt =
12 72 0
2π π Ο
/*l + 2cos* /*l + 2cos* Г 1 + 2cos(2tt-u) .
= / dt = / <й + / ; <ш =
У 5 + 4cos£ у 5 + 4cos£ J 5+ 4cos(27r - u)
π
/* 1 + 2 cos ί , Γ 1 + 2 cos и ,
= / г—: :dt- -— du = 0.
J 5 + 4 cos t 75 + 4 cos w
о о
π π
о о
Пример 2. Пусты — радиус-вектор точки (x,y,z) £ R3, а г = \г\.
Пусть всюду в М3 вне начала координат задано поле сил вида F = f{r)r.
Это — так называемое центральное поле. Найдем работу поля F на
пути 7· [0,1] —> Μ3 \ 0. Используя (2), находим
ίf(r)(xdx + ydy + zdz) = - I f(r)d{x2+y1 + z2) =
7 7
1 1
= \jf(r(t))dr2(t) = \ff (у/Щ) du(t) =
о о
г?
= 2 / /(V") Αί = Φ(Γ0,τ·ι).
'о
Здесь мы, как видно, положили x2(t) + y2{t) + z2(t) = r2(t), r2(t) =
«(*)) ro = r(0), ri = r(l).

§ 1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 255
Итак, в любом центральном поле работа на пути j оказалась
зависящей только от расстояний го, г χ начала и конца пути до центра О
поля.
В частности, для гравитационного поля -g-r единичной точечной
г
массы, помещенной в начало координат, получаем
ή
ф(П), ri) = - I -^ du = .
2 J и6'2 го Γχ
г2
Ь. Поток через поверхность. Пусть в области G
ориентированного евклидова пространства R3 имеется установившееся течение
жидкости (или газа) и χ н-> V(x)—поле скоростей этого течения в
области G. Пусть, кроме того, в G взята гладкая ориентированная
поверхность S. Для определенности будем считать, что ориентация S задана
полем нормалей. Требуется определить (объемный) расход или поток
жидкости через поверхность 5, точнее, требуется найти, какой объем
жидкости протекает в единицу времени через поверхность S в
указанную ориентирующим полем нормалей сторону этой поверхности.
Для решения задачи заметим, что если поле скоростей течения
постоянно и равно V, то поток в единицу времени через натянутый на
пару векторов ξχ, ^2 параллелограмм Π равен объему параллелепипеда,
построенного на векторах V, ξχ, &· Если η — нормаль к Π и ищется
поток через Π в сторону, указываемую нормалью гу, то он равен
смешанному произведению (V, ξχ, ^)5 если η и репер ξχ, ^2 задают одинаковую
ориентацию Π (т.е. если гу, ξχ, ^2 — репер заданной в R3 ориентации).
Если же репер ξχ, ^2 задает в Π ориентацию, противоположную
определяемой нормалью η, то поток в сторону, указанную нормалью ту, равен
Вернемся теперь к исходной постановке. Предположим для
простоты, что поверхность S в целом допускает гладкую параметризацию
ψ: I —» S С G, где I— двумерный промежуток плоскости R2.
Разобьем I на маленькие промежутки /^ (рис.84). Образ φ(Ι{) каждого
такого промежутка аппроксимируем параллелограммом, натянутым на
образы ξχ = <£7(^)τχ, ^2 = φ'{ί{)τ2 векторов τχ, Τ2 смещения вдоль
координатных направлений. Считая, что V(x) мало меняется в пределах
куска ψ{Ιχ) поверхности, и заменяя φ(Ι{) указанным параллелограммом,
можем считать, что поток Δ^ через кусок φ(Ι{) поверхности с малой

256 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Рис. 84.
относительной погрешностью совпадает с потоком постоянного поля
скоростей V(x{) = V(cp(ti)) через параллелограмм, порожденный
векторами ξι, ξ2·
Считая, что репер ξι, ξ2 задает на S ту же ориентацию, что и гу,
находим
Суммируя элементарные потоки, получаем
Τ = ΣΔ?ι « Σ>ν(*<)(*ι,&),
г г
где и>у(х) = (V(x), ·, ·) (рассмотренная в примере 8 § 5 гл. XII) 2-форма
потока. Если перейти к пределу (беря все более мелкие разбиения Ρ
промежутка J), то естественно считать, что
Т:= ta Γ4(ϋ)(ίι,6) =: [ω2ν- (3)
л(Р)—¥\) J
S
Последний символ есть интеграл от 2-формы Jy по
ориентированной поверхности S.
Вспомнив (см. формулу (12) §5 гл. XII) координатное выражение
формы потока Jy в декартовых координатах, мы вправе записать так-

§ 1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 257
же, что
Τ = ί V1 dx2 A dx3 + V2 dx3 A dxl + V3 dxl A dx2. (4)
s
Мы обсудили лишь общий принцип решения поставленной задачи.
В сущности, мы дали только точное определение (3) потока Τ и
ввели некоторые обозначения (3), (4), но не получили пока эффективной
вычислительной формулы, подобной формуле (1) для работы.
Заметим, что формула (1) получается из выражения (2), если вместо
х1,... ,хп в него подставить функции (х1,... , хп)(£) = #(£), задающие
путь 7· Напомним (см. § 5 гл. XII), что такая замена интерпретируется
как перенос заданной в G формы ω на отрезок I = [а, Ъ].
Совершенно аналогично и вычислительная формула для потока
может быть получена прямой подстановкой в (4) параметрических
уравнений поверхности.
В самом деле^
<«£ (*<)(&>&) =иуЫи)){р'{и)т1^'(и)т2) = {φ*ω2,)(ίί)(τι,τ2)
и
5>ν(*0(&>&) = Σ/(φ*ω2ν)(ίί)(τ1,τ2).
г г
Форма φ*ωγ определена на двумерном промежутке J С R2. В J
любая 2-форма имеет вид f(t)dtl A dt2, где / — зависящая от формы
функция на J, поэтому
φ"ω2ν{ίί){τι,τ2) = f{ti)dtl Adt2{rur2).
Но dtl Adt2(ri,T2) = τ\ ·τ2 есть площадь определяемого
ортогональными векторами τι, т2 прямоугольника 1{.
Таким образом,
£ f(ti) dtl л di2(n, τ2) = £ ЯЬШ-
г г
При измельчении разбиения в пределе получим
ί /(ί) dtl Adt2 = ί /(ί) dtl dt2, (5)

258 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
где в левой части, согласно (3), стоит интеграл от 2-формы ω2 =
= f(t) dt1 Adt2 no простейшей ориентированной поверхности /,ав
правой части — интеграл от функции / по прямоугольнику I.
Остается вспомнить, что координатное представление f{t)dtl Adt2
формы φ*ωγ получается из координатного выражения формы Jy
прямой заменой переменных χ = φ(ί), где φ: Ι —> G — карта поверхности S.
Выполнив эту замену, из (4) получим
Τ = / ων = Ψ*ων =
S=<p{I)
У1Ш)
дх2 дх3
дх2 дх3
W W
+ ν2{φ(ί))
дх3 дх1
dt1 ~dtr
дх3 дх1
W W
+
+УгШ)
дх1 дх2
дх^ дх2
dt1 A dt2.
Последний интеграл, как показывает равенство (5), есть обычный
интеграл Римана по прямоугольнику I.
Таким образом, мы нашли, что
■/
ν\ψ{ι)) ν\Ψ{ι)) у*Ш)
dt
WW
EL·
at
Sfw
dt
dt dt ,
(6)
где χ = φ(ί) = (φι,φ2, ip3)(tl,t2) — карта поверхности 5, задающая ту
же ориентацию 5, что и указанное нам поле нормалей к S. Если карта
φ: I —» S задает на S противоположную ориентацию, то равенство (6),
вообще говоря, нарушится, но, как следует из приведенных в начале
пункта соображений, в этом случае его левая и правые части будут
отличаться только знаком.
Окончательная формула (6), очевидно, есть просто-напросто
аккуратно записанный в координатах i1, t2 предел сумм знакомых нам
элементарных ПОТОКОВ АТ% « (V"(Xi),^i,^2)·
Мы рассмотрели случай поверхности, задаваемой одной картой.
В общем случае гладкую поверхность S можно разбить на гладкие
куски 5г, не имеющие между собой существенных пересечений, и найти
поток через S как сумму потоков через куски Si.

§ 1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 259
Пример 3. Пусть среда движется поступательно с постоянной
скоростью V = (1,0,0). Если в области течения взять любую
замкнутую поверхность, то, поскольку плотность среды не меняется,
количество вещества в объеме, ограниченном взятой поверхностью, должно
оставаться неизменным. Значит, суммарный поток среды через такую
поверхность должен быть равен нулю.
Проконтролируем в этом случае формулу (6), взяв в качестве S
сферу х2 + у2 + Z2 = R2.
Сферу S с точностью до множества, имеющего площадь нуль и
потому пренебрежимого в рассматриваемом вопросе, можно задать
параметрически
χ — R cos ψ cos φ,
у = Rcosi/jsincp,
ζ = i?sin?/>,
где 0 < φ < 2π, -π/2 < ψ < π/2.
После подстановки в (6) этих соотношений и V = (1,0,0), получим
-/
дх1 дх2
W W
дх1 дх2
π/2 2π
άψ άψ = R2 / cos2 ψ άψ / cos φ άψ =
-π/2 0
0.
Поскольку интеграл равен нулю, мы даже не интересовались, в
какую сторону (внутрь или наружу) ведется расчет потока.
Пример 4. Пусть поле скоростей движущейся в пространстве Е3
среды в декартовых координатах х, у, ζ определяется равенством
V(x,y,z) = (V1 ,V2 ,Vs)(x,y, z) = (χ, у, ζ). Найдем в этом случае
поток через сферу х2 + у2 + z2 = R2 внутрь ограниченного ею шара (т. е.
в сторону внутренней нормали).
Взяв параметризацию сферы из предыдущего примера и выполнив
подстановку в правую часть формулы (6), найдем, что
2π π/2
-π/2
ucos^cosy? Rcosipsmcp Rsinil>
-Rcos/фs'mφ Rcos ψ cos<^ 0
R sin?/; cos<£ —Rsmilisincp Rcosi/j
άψ =

260 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2π π/2
0 -π/2
Теперь проверим, согласуется ли задаваемая криволинейными
координатами (φ, ψ) ориентация сферы с ориентацией, задаваемой
внутренней нормалью. Легко убедиться, что не согласуется. Поэтому искомый
поток Τ = -47ri?3.
В данном случае полученный результат легко проверить: вектор V
скорости течения в каждой точке сферы равен по величине Д,
ортогонален сфере и направлен наружу, поэтому поток изнутри во вне равен
площади сферы 4πϋ2, умноженной на R. Поток в противоположную
сторону получается равным —4πϋ3.
2. Определение интеграла от формы по ориентированной
поверхности. Решение рассмотренных в п. 1 задач приводит к
определению интеграла от fc-формы по ориентированной fc-мерной
поверхности.
Пусть сначала S — гладкая fc-мерная поверхность в Rn, заданная
одной стандартной картой φ: I —> S. Пусть на S задана fc-форма ω.
Интеграл от формы ω по параметризованной поверхности φ: I —» S
строится следующим образом.
Берем разбиение Ρ fc-мерного стандартного промежутка J С IRn,
индуцированное разбиениями (отрезков) проекций на координатные
оси. В каждом промежутке 1{ разбиения Ρ берем вершину <$,
имеющую минимальные значения координат, и связываем с ней к
векторов τι,...,7>, идущих в направлении координатных осей в к
соседних с U вершин промежутка 1{ (см. рис.84). Находим векторы ξχ =
= φ'(ίΐ)τι,... ,£& = (р'(и)ть касательного пространства TSXi=ip(t.^
вычисляем α;(χ^)(ξι,..., £k) =: (φ*ω)(ίΐ)(τι,..., τ>), составляем
интегральную сумму Σω(χΐ)(£ΐι · · · 5&0 и переходим к пределу, когда параметр
г
Х(Р) разбиения стремится к нулю.
Таким образом, мы принимаем
Определение 1 (интеграла от к-формы ω по заданной картой
φ: I —» S гладкой k-мерной поверхности).
Ιω:= ,^λΣ^)^1' ···>&)= lim ΛΣ(ν*^)(*<)(τι, · · ·, rk). (7)

§ 1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 261
Если применить это определение к fc-форме f(t)dtlA...A dtk на I
(когда ψ — тождественное отображение), то, очевидно, получим, что
ίf(t)dtl A...Adtk = ίf(t)dtl...dtk. (8)
Таким образом, из (7) следует, что
J cu = Jip*u;, (9)
S=<p{I) /
а последний интеграл, как видно из равенства (8), сводится к
обычному кратному интегралу от соответствующей форме φ*ω функции / на
промежутке I.
Важнейшие соотношения (8) и (9) мы вывели из определения 1, но
они сами могли бы быть приняты в качестве исходных определений.
В частности, если D — произвольная область в W1 (не обязательно
промежуток), то, чтобы не повторять процедуру суммирования, положим
ί /(ί) dtl Λ ... Λ dtk := ί /(ί) dtl... dtk. (87)
D D
а для гладкой поверхности, заданной в виде ψ: D —» S и fc-формы ω на
ней, положим
ί ω:= ίφ*ω. (97)
S=(p{D) D
Если S — произвольная кусочно гладкая fc-мерная поверхность,
а ω — определенная на гладких кусках S fc-форма, то, представив S
как объединение (J 5^ гладких параметризованных поверхностей, пере-
г
секающихся, быть может, лишь по множествам меньшей размерности,
полагаем

262 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
В отсутствие содержательной физической или иной решаемой
соотношением (10) задачи, такое определение вызывает вопрос о
независимости полученной величины интеграла от разбиения |J S{ и от выбора
г
параметризации отдельных его кусков.
Проверим корректность данного определения.
Μ Рассмотрим сначала простейший случай, когда S есть область Dx
в Rn, а φ: Dt —> Dx — диффеоморфизм области Dt С W1 на область Dx.
В Dx = S fc-форма ω имеет вид f(x)dxl Λ ... Λ dxk. Тогда, с одной
стороны, в силу (8)
/ f(x) dx1 Λ ... Λ dxk = / f{x) dx1... dxk.
Dx Dx
С другой стороны, по (9') и (8')
ω:= φ*ω= f((p(t)) det φ'(ί) dt1... dtk.
Dx Dt Dt
Но если dety^t) > 0 в Д, то по теореме о замене переменных в
кратном интеграле имеет место равенство
ί f{x) dx1... dxk = ί f(<p(t)) det φ'{€) dt1... dtk.
Dx=(p{Dt) Dt
Значит, считая, что на S = Dx имелись координаты х1,...,^ и
криволинейные координаты ί1,..., tk одного класса ориентации, мы
показали, что величина интеграла f ω не зависит от того, в какой из этих
s
двух систем координат проводить его вычисление.
Отметим, что если бы криволинейные координаты ί1,..., tk
задавали на S другую ориентацию, т.е. при det^'(i) < 0, очевидно, правая и
левая части последнего равенства отличались бы знаком. Таким
образом, о корректности определения интеграла можно говорить только в
случае ориентированной поверхности интегрирования.
Пусть теперь ψχ : Dx —> S и ψχ: Dt —> S — две параметризации
одной и той же гладкой fc-мерной поверхности S и ω — fc-форма на S.
Сравним интегралы
Ι φ*ω и / φ*ω. (11)
Dx Dt

§ 1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 263
Поскольку ψι = ψχ ο (φ~ι о (pt) = ψχ о φ, где ψ = ψ~ι ο φί: Dt -> Dx —
диффеоморфизм Dt на Z)x, το φ*ω = φ*{φχω) (см. равенство (20) §5
гл. XII). Значит, форму φ*ω в Dt можно получить заменой χ = <p(t)
переменных в форме φχω. А как мы только что проверили, в этом случае
интегралы (11) совпадают, если det φ'(ί) > 0 и отличаются знаком, если
det (f/(t) <0.
Итак, показано, что если <pt\ Dt -^ 5, φχ: Dx —>> S —
параметризации одного класса ориентации поверхности 5, то интегралы (11)
совпадают. Независимость интеграла от выбора любой из согласованных
систем криволинейных координат на поверхности S проверена.
Независимость интеграла (10) по ориентированной кусочно гладкой
поверхности S от способа ее разбиения (J Si на гладкие куски вытека-
г
ет из аддитивности обычного кратного интеграла (достаточно
рассмотреть более мелкое разбиение, получающееся наложением двух
разбиений и проверить, что значение интеграла по нему совпадает со
значением на каждом из двух исходных разбиений). ►
На основе проведенных рассмотрений теперь разумно принять
следующую цепочку формальных определений, соответствующих
изложенной в определении 1 конструкции интеграла от формы.
Определение 1' {интеграла от формы по ориентированной
поверхности S CW1).
a) Если в области D сШк задана форма f(x)dxlA...A dxk, то
/ f{x) dx1 Л...Л dxk := / f(x) dx1... dxk.
D D
b) Если S СШп — гладкая fc-мерная ориентированная поверхность и
φ: D —» S — ее параметризация, а ω — fc-форма на 5, то
ω:=± φ* ω,
S D
причем знак + берется, если параметризация φ согласуется с заданной
ориентацией 5, а знак — берется в противоположном случае.
c) Если S — кусочно гладкая fc-мерная ориентированная поверхность
в Μη, ω — fc-форма на S (определенная там, где S имеет касательную

264 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
плоскость), то
S г Si
где 5ι,..., Sm,... —разложение S на гладкие параметризуемые к-мер-
ные куски, пересекающиеся разве лишь по кусочно гладким
поверхностям меньшей размерности.
Мы видим, в частности, что изменение ориентации поверхности
влечет за собой изменение знака интеграла.
Задачи и упражнения
1. а) Пусть я, у — декартовы координаты на плоскости Е2. Укажите, для
какого векторного поля форма ω = — 9 ^ 9 ах Л—9 х 9 dy является его фор-
х + у χ + у
мой работы.
Ь) Найдите интеграл от указанной в а) формы ω по следующим путям 7г ·
[О,π] Э t -^> (cost,sint) <Ξ Μ2; [0,π] Э t -^ (cosi,-sini) G Μ2;
путь 7з состоит в движении по отрезкам, соединяющим последовательно
точки (1,0), (1,1), (—1,1), (—1,0); путь 74 состоит в движении по отрезкам,
соединяющим последовательно точки (1,0), (1,-1), (—1,-1), (—1,0).
2. Пусть / — гладкая функция в области Dcln,a 7 — гладкий путь в D
с началом ро Ε D и концом р\ Ε D. Найдите интеграл от формы ω = df no
пути 7·
3. а) Найдите интеграл от формы ω = dy Λ dz + dz Λ dx по границе
стандартного единичного куба в Ε3, ориентированной внешней нормалью.
Ь) Укажите поле скоростей, для которого рассмотренная в а) форма ω
является его формой потока.
4. а) Пусть ж, у, ζ — декартовы координаты в Еп. Укажите поле
скоростей, для которого форма
_ xdy Adz Λ-ydz l\dx + zdx l\dy
U= (χ2+ ^2 + ^2)3/2
была бы его формой потока.
b) Найдите интеграл от указанной в а) формы ω по сфере x2+y2+z2 = Д2,
ориентированной внешней нормалью.
c) Покажите, что поток поля —9—^Xy0VyZ\ »Уо через сферу (х-2)2+y2+z2 =
{хг +yz +ζζ)ό'ζ
= 1 равен нулю.
d) Проверьте, что поток указанного в с) поля через тор, параметрические
уравнения которого даны в примере 4 § 1 гл. XII, также равен нулю.

§ 1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 265
5. Известно, что между давлением Р, объемом V и температурой Τ
данного количества вещества имеется связь f(P,V,T) = О, называемая в
термодинамике уравнением состояния. Например, для одного моля идеального
газа уравнение состояния выражается формулой Клапейрона -ψ R — О,
где R — универсальная газовая постоянная.
Поскольку величины Р, V, Τ связаны уравнением состояния, зная любую
пару из них, в принципе можно определить и остающуюся величину. Значит,
состояние любой системы можно характеризовать, например, точками (V, Р)
плоскости Е2 с координатами V, Р, тогда эволюции состояния системы как
функции времени t будет отвечать некоторый путь η в этой плоскости.
Пусть газ помещен в цилиндр, в котором без трения может перемещаться
поршень. Меняя положение поршня, за счет механической работы мы можем
изменить состояние газа, заключенного между поршнем и стенками
цилиндра. Наоборот, меняя состояние газа (например, подогревая его), можно
заставить газ совершать механическую работу (например, за счет расширения
поднимать груз). В этой задаче и следующих задачах 6, 7, 8 все процессы
считаются проходящими столь медленно, что в каждый конкретный момент
давление и температура успевают усредниться во всем объеме вещества и,
таким образом, в каждый момент времени система удовлетворяет уравнению
состояния. Это так называемые квазистатические процессы.
a) Пусть 7 — путь в плоскости V, Р, отвечающий квазистатическому
переходу заключенного между стенками цилиндра и поршнем газа из состояния
Vo, Po в состояние Vi, Pi. Покажите, что величина А совершаемой на этом
пути газом механической работы определяется следующим криволинейным
интегралом: А = J P dV.
7
b) Найдите механическую работу, совершаемую одним молем идеального
газа при переходе из состояния Vo, Ро в состояние V\, Р\ по каждому из
следующих путей (рис.85): 7olj— изобара OL (Р = Р0), затем изохора LI (V = Vi);
Ίοκι— изохора OK (V = Vo); затем изобара ΚΙ (Ρ = Pi); 70/—изотерма
Τ = const (в предположении, что PoVo = P\V\).
c) Покажите, что полученная в а) формула для механической работы,
совершаемой заключенным между поршнем и стенками цилиндра газом, на
самом деле является общей, т. е. она остается в силе для работы газа,
заключенного в любой деформируемой оболочке.
6. Количество тепла, получаемого
системой в том или ином процессе изменения ее
состояний, как и совершаемая системой
механическая работа (см. задачу 5), зависит не только
от начального и конечного состояний системы,
но и от пути перехода. Важной характеристи- I у у у
кой вещества и совершаемого им (или над ним)
термодинамического процесса является тепло- Рис. 85.

266 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
емкость — отношение полученного веществом тепла к изменению его
температуры. Точное определение теплоемкости можно дать в следующей форме.
Пусть χ — точка в плоскости состояний F (с координатами V, Р, или V, Т,
или Р, Т), а е Ε TFX — вектор, указывающий направление смещения из
точки х. Пусть t— малый параметр. Рассматриваем смещение из состояния χ в
состояние χ + te вдоль отрезка на плоскости F, определяемого этими
состояниями. Пусть AQ(x1te)—полученное в этом процессе веществом тепло, а
AT(x,te)—изменение температуры вещества.
Теплоемкостью С = С(х,е) вещества (системы), отвечающей
состоянию χ и направлению е смещения из этого состояния, называется величина
AQ(x,te)
Cix.e) = hm —— -.
v ' ; t->o AT(x,te)
В частности, если система теплоизолирована, то ее эволюция происходит
без обмена теплом с внешней средой. Это так называемый адиабатический
процесс. Отвечающая такому процессу кривая на плоскости состояний F
называется адиабатой. Значит, смещению из данного состояния χ в направлении
адиабаты отвечает нулевая теплоемкость системы.
Смещению по изотерме Τ = const отвечает бесконечная теплоемкость.
Особенно часто используются теплоемкости Су = С(х,еу), С ρ =
= С (χ, ер), отвечающие смещениям по изохоре V = const и изобаре Ρ = const
соответственно. Опыт показывает, что в довольно широком диапазоне
состояний данной массы вещества каждую из величин Су, С ρ можно считать
практически постоянной. Теплоемкости, отвечающие одному молю данного
вещества, принято называть молярными и обозначать (в отличие от прочих)
прописными (а не строчными) буквами. Мы будем считать, что имеем дело с
одним молем вещества.
Между количеством AQ полученного веществом в данном процессе
тепла, изменением AU его внутренней энергии и совершенной им механической
работой АА в силу закона сохранения энергии имеется связь AQ = AU + АА.
Таким образом, при малом смещении te из состояния χ Ε F полученное
веществом тепло можно найти как значение формы SQ := dU + PdV в точке χ
на векторе te e TFX (формулу PdV работы см. в задаче 5с)). Значит, если
координатами состояния считать Τ и V, а в качестве параметра при смещении
(в неизотермическом направлении) принять Т, то можно написать, что
п _у AQ _dU dU dV dV
Производная -^ определяет направление смещения из состояния χ Ε F
плоскости состояний с координатами Т, V. В частности, если -^ = 0, то
смещение идет в направлении изохоры V = const, и мы получаем, что Су =

§ 1. ИНТЕГРАЛ ОТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ 267
= fjr. Если Ρ = const, то ^ = ($£\ (в обЩем случае V = V(P,T) —
это разрешенное относительно V уравнение состояния /(Р, V, Т) = 0). Значит,
где индексы Р, V, Τ в правой части указывают параметр состояния,
фиксируемый при отыскании соответствующей частной производной. Сопоставляя
полученные выражения для Су и Ср, видим, что
Экспериментами на газах (опыты Джоуля1^-Томсона) установлено и
затем постулировано в модели идеального газа, что его внутренняя энергия U
зависит только от температуры Т, т.е. (шН =0. Таким образом, для
идеального газа С ρ — Су = Ρ I -^р 1 . Учитывая, что для моля идеального газа
PV = ДТ, отсюда получаем соотношение С ρ — Су = Д, называемое в
термодинамике уравнением Майера2\
То, что для моля газа внутренняя энергия зависит только от температуры,
позволяет записать форму SQ в виде
6Q=^rdT + PdV = CvdT + PdV.
Чтобы вычислить количество тепла, полученное молем газа на пути 7
изменения его состояний, надо, следовательно, найти интеграл от формы Су dT +
+ PdV по 7· Эту форму иногда удобно иметь в переменных V, Р. Если
воспользоваться уравнением состояния PV = RT и соотношением С ρ — Су = Д,
то получим
SQ = Cp^dV + Cv^dP.
К R
a) Напишите формулу для количества Q тепла, получаемого молем газа
при изменении его состояний вдоль пути 7 плоскости состояний F.
b) Считая величины Ср, Су постоянными, найдите величину Q,
отвечающую каждому из путей joli, Ίοκι, Ίοι, указанных в пункте Ь) задачи 5.
c) Найдите (вслед за Пуассоном) уравнение адиабаты, проходящей через
точку (Vo,Po) плоскости состояний F с координатами V, Ρ (Пуассон нашел,
^Дж. П. Джоуль (1818-1889)—английский физик; открыл закон теплового
действия тока, а также определил независимо от Майера механический эквивалент
теплоты.
2^Ю.Р.Майер (1814-1878) — немецкий ученый, врач по образованию; высказал
закон сохранения и превращения энергии, нашел механический эквивалент теплоты.

268 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
что на адиабате
руСр/Су = congt величина СР/СУ называется
адиабатической постоянной данного газа. Для воздуха Ср/Су « 1,4.) Вычислите после
этого работу, которую необходимо совершить, чтобы теплоизолированный от
внешней среды моль воздуха, находящегося в состоянии (Vo, -Po)> поместить в
объем Vi = 2^о-
_ 7. Напомним, что цикл Карно1^ изменения
состояния рабочего тела тепловой машины
(например, газа, находящегося в цилиндре под
поршнем) состоит в следующем (рис.86).
Имеются два энергоемких тела, нагреватель и
холодильник (например, паровой котел и
атмосфера), находящиеся при постоянной температуре
Τι и Тг соответственно (Τι > Тг). Рабочее тело
(газ) рассматриваемой тепловой машины, имея
у в состоянии 1 температуру Τχ, приводится в
контакт с нагревателем и за счет уменьшения
Рис. 86. внешнего давления по изотерме квазистатиче-
ски расширяется и переводится в состояние 2.
При этом машина заимствует от нагревателя тепло Q\ и производит
механическую работу Αι2 против внешнего давления. В состоянии 2 газ
теплоизолируют и заставляют квазистатически расширяться до состояния 3, пока его
температура не достигнет температуры Т2 холодильника. При этом машина
также совершит некоторую работу А23 против внешнего давления. В
состоянии 3 газ приводят в контакт с холодильником и путем увеличения давления
изотермически сжимают до состояния 4. При этом над газом совершается
работа (сам газ совершает отрицательную работу А34) и газ отдает
холодильнику некоторое количество тепла Q2· Состояние 4 выбирается так, чтобы из
него можно было вернуться в исходное состояние 1 квазистатическим
сжатием газа по адиабате. Итак, из состояния 4 газ возвращают в состояние 1.
При этом над газом придется совершить работу (а сам газ произведет
отрицательную работу An). В результате описанного кругового процесса (цикла
Карно) внутренняя энергия газа (рабочего тела машины), очевидно, не
изменится (ведь мы вернулись в исходное состояние), поэтому произведенная
машиной работа равна А = А\2 + А23 + А%± + Ац = Qi — Q2-
Полученное от нагревателя тепло Q\ лишь частично пошло на совершение
работы А. Величину η = ^- = 1q^2 естественно назвать коэффициентом
полезного действия рассматриваемой тепловой машины.
а) Используя результаты, полученные в пп. а) и с) задачи 6, покажите,
что для цикла Карно имеет место равенство ψ- = ψ*-.
^Н. Л. С. Карно (1796-1832)—французский инженер, один из родоначальников
термодинамики.

§2. ΦΟΡΜΑ ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 269
Ь) Докажите теперь следующую первую из двух знаменитых теорем Кар-
но. Коэффициент полезного действия тепловой машины, работающей по
циклу Карно, зависит только от температур ΤΊ и Т2 нагревателя и
холодильника (но не зависит от устройства машины и вида ее рабочего тела).
8. Пусть 7 — замкнутый путь в плоскости F состояний рабочего тела
произвольной тепловой машины (см. задачу 7), отвечающий замкнутому циклу ее
работы. Количество тепла, которым рабочее тело (например, газ)
обменивается с внешней средой, и температура, при которой происходит теплообмен,
связаны фундаментальным неравенством Клаузиуса f !ψ- ^ 0. Здесь 6Q —
7
форма теплообмена, о которой говорилось в задаче 6.
a) Покажите, что для цикла Карно (см. задачу 7) неравенство Клаузиуса
обращается в равенство.
b) Покажите, что если рабочий цикл 7 может протекать и в обратном
направлении, то для него неравенство Клаузиуса обращается в равенство.
c) Пусть 7ι и 72—те участки пути 7> н& которых рабочее тело
тепловой машины соответственно получает тепло извне и отдает его в
окружающую среду. Пусть ΤΊ — максимальная температура рабочего тела на
участке 7ΐ) &Т2 — (его) минимальная температура на участке 72 цикла η. Наконец,
пусть Q\ —полученное на участке 71 тепло, a Q2 — тепло, отданное на
участке 72· Исходя из неравенства Клаузиуса, покажите, что £р ^ ^Я.
d) Получите оценку η ^ ιγ 2 коэффициента полезного действия (см.
задачу 7) любой тепловой машины. Это—вторая теорема Карно. (Оцените
заодно к. п. д. паровой машины, в которой максимальная температура пара не
превышает 150°С т.е. Т\ = 423К, а температура
холодильника—окружающей среды — порядка 20°С, т. е. Т2 = 291 К).
e) Сравните результаты задач 7Ь) и 8d) и проверьте, что тепловая
машина, работающая по циклу Карно, имеет наибольший (в пределах возможного
при заданных значениях ΤΊ и Т2) коэффициент полезного действия.
9. Дифференциальное уравнение -$- — ^ψΧ называют уравнением с
разделяющимися переменными. Обычно его переписывают в виде g(y)dy = f(x) dx,
в котором «переменные разделены», и затем «решают», приравнивая
первообразные J g(y) dy = f f(x)dx. Используя язык дифференциальных форм,
дайте теперь развернутую математическую аргументацию этому алгоритму.
§ 2. Форма объема, интегралы первого и второго рода
1. Масса материальной поверхности. Пусть S — материальная
поверхность в евклидовом пространстве Шп. Предположим, что нам
известна (поверхностная) плотность р(х) распределения массы на
поверхности S. Требуется определить массу всей поверхности S.

270 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Для решения задачи прежде всего надо учесть, что поверхностная
плотность р(х) в точке χ £ S есть предел отношения массы Am части
поверхности, попавшей в окрестность точки х, к площади Δσ этой же
части поверхности, когда окрестность стягивается к точке х.
Разбив поверхность S на мелкие доли S{ и считая ρ непрерывной
функцией на 5, можно, пренебрегая изменением ρ в пределах каждой
малой доли, найти м^ссу Si из соотношения
Ami « p(Xi)Aai,
в котором Ασΐ — площадь поверхности 5^, а х\ £ S{.
Суммируя эти приближенные равенства и переходя к пределу при
измельчении разбиения, получим, что
т = ρ άσ. (Ι)
s
Символ написанного здесь интеграла по поверхности 5, очевидно,
требует разъяснений, которые позволили бы довести дело до
вычислительных формул.
Отметим, что по самой постановке задачи левая часть равенства (1)
никак не зависит от ориентации поверхности S и, значит, этим же
свойством должен обладать стоящий справа интеграл. Это на первый
взгляд контрастирует с тем понятием интеграла по поверхности, о
котором мы подробно говорили в § 1. Ответ на возникший вопрос кроется
в определении элемента поверхности da, к анализу которого мы и
переходим.
2. Площадь поверхности как интеграл от формы.
Сопоставляя определение 1 § 1 интеграла от формы с конструкцией, которая
привела нас к определению площади поверхности (§4 гл. XII), видим,
что площадь заданной в параметрическом виде φ: D —> S гладкой
fc-мерной поверхности 5, лежащей в евклидовом пространстве Rn,
является интегралом от некоторой формы Ω, которую мы пока только
условно будем называть формой объема или элементом объема на
поверхности S. Из соотношения (5) § 4 гл. XII следует, что в криволинейных
координатах φ: D -+ S (т.е. будучи снесена в область D) форма Ω
(точнее φ*Ω) имеет вид
ω = Jdet{gij){t) dt1 Λ ... Λ dtk, (2)

§ 2. ΦΟΡΜΑ ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 271
где<М*) = (§£,^),*,; = 1,...Л
При другой параметризации φ: D —» S той же поверхности для
вычисления площади S по области D надо соответственно интегрировать
форму
ω = у/det(gij)(t) dt1 Λ ... Λ dt*, (3)
Обозначим через ч/> диффеоморфизм ψ~ι ο φ. D ^ D,
осуществляющий переход от координат t к координатам t поверхности S. В свое
время мы уже подсчитали (см. замечание 5 §4 гл.XII), что
y/det(gij)® = y/det{gij){il>$)) ■ | detψ'(ϊ)\. (4)
Вместе с тем очевидно, что
ψ*ω = y/det(gij)(il>(t)) det φ'(ϊ) dtι Λ ... Λ dtk. (5)
Сопоставляя равенства (2) - (5), видим, что ψ*ω = ΰ, если det φ'(ϊ) >
> 0, и φ*ω = —ω, если det ?//(£) < 0. Если формы ω и ω получались
переносом φ* и соответственно φ* из одной и той же формы Ω на 5, то
всегда должно быть выполнено равенство φ*(φ*Ω) = φ*Ω или, что то
же самое, φ*ω = ω.
Мы приходим, таким образом, к заключению, что формы на
параметризованной поверхности 5, которые надо интегрировать, чтобы
получить площадь этой поверхности, различны — отличаются знаком,
если параметризации задают на S различные ориентации; эти формы
совпадают для параметризаций, принадлежащих одному классу
ориентации поверхности S.
Таким образом, форма объема Ω на S должна определяться не
только самой поверхностью 5, лежащей в евклидовом пространстве Мп, но
и ориентацией S.
Это может показаться парадоксальным: площадь поверхности по
нашим представлениям не должна зависеть от ориентации!
Но ведь мы пришли к определению площади параметризованной
поверхности через интеграл, интеграл от некоторой формы. Значит, если
результат наших вычислений не должен зависеть от ориентации
поверхности, то, как следует из свойств интеграла, при разных ориента-
циях поверхности мы должны интегрировать разные формы.
Доведем высказанные соображения до точных определений.

272 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3. Форма объема
Определение 1. Если Шк—ориентированное евклидово
пространство со скалярным произведением (, ), то формой объема Ω на R*,
соответствующей данной ориентации Шк и скалярному произведению
( , ), называется такая кососимметрическая fc-форма, которая на
ортонормированием репере данного класса ориентации Шк принимает
значение единицы.
Значение fc-формы на репере βχ,..., е*, очевидно, вполне определяет
эту форму.
Заметим также, что форма Ω определяется не индивидуальным ор-
тонормированным репером, а только их классом ориентации.
^ В самом А^еле^ если βχ,..., ек и βχ,..., ёк — два таких репера
одного класса ориентации, то матрица О перехода от второго базиса к
первому является ортогональной матрицей, причем detO = 1. Значит,
Ω(βχ,..., ек) = det О · Ω(βχ, ...,ёк) = Ω(βχ,..., ек) = 1. ►
Если в R* фиксирован ортонормированный базис βχ,...,β£, a
..., пк — проектирование Шк на соответст!
оси, то, очевидно, π1 Λ ... Λ π*(βχ,..., e^) = 1 и
Ω = π1 Λ... Λ π*.
Таким образом,
π1,..., π* — проектирование ЖГ на соответствующие координатные
Ω(6, ···,&) =
Это ориентированный объем параллелепипеда, натянутого на
упорядоченные векторы ξχ,..., ξ^.
Определение 2. Если гладкая fc-мерная ориентированная
поверхность S лежит в евклидовом пространстве W1, то в каждой касательной
к S плоскости TSX, имеются ориентация, согласованная с
ориентацией 5, и скалярное произведение, индуцированное скалярным
произведением в Rn, а значит, есть и форма объема Ω(χ). Возникающая при
этом на S дифференциальная fc-форма Ω называется формой (или
элементом) объема на поверхности 5, индуцированной вложением S в
евклидово пространство Rn.

§ 2. ΦΟΡΜΑ ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 273
Определение 3. Площадь ориентируемой гладкой поверхности
есть интеграл по этой поверхности от формы объема,
соответствующей выбираемой на поверхности ориентации.
Это сформулированное на языке форм и уточненное до деталей
определение площади, конечно, согласуется с определением 1 § 4 гл. XII,
к которому мы пришли, рассматривая заданную в параметрическом
виде к-мерную гладкую поверхность S С Мп.
Μ Действительно, параметризация ориентирует поверхность и все
касательные к ней плоскости TSX. Если ξι,... ,£& — репер в TSX
фиксированного в TSX класса ориентации, то из определений 2 и 3 формы
объема Ω следует, что Ω(χ)(ξχ,..., ξ*;) > 0. Но тогда (см. равенство (2)
§4 гл. XII)
ВД(*ь ···,&) = y/d<*((tutj)). ► (6)
Отметим, что сама форма Ω(χ) определена на любом наборе ξι,...,
£к векторов TSX, но равенство (6) действует только на реперах
заданного в TSX класса ориентации.
Отметим также, что форма объема определена только на
ориентированной поверхности, поэтому, например, бессмысленно говорить о
форме объема на лежащем в R3 листе Мёбиуса, хотя можно говорить
о такой форме в пределах каждого ориентируемого куска этой
поверхности.
Определение 4. Пусть S — fc-мерная кусочно гладкая
(ориентируемая или неориентируемая) поверхность в Rn, a 5χ,..., 5m,...
—конечное или счетное число ее гладких параметризуемых кусков,
пересекающихся, быть может, лишь по поверхностям размерности не выше
к — 1 и таких, что S = [j Si.
г
Площадью (или к-мерным объемом) поверхности S называется
сумма площадей поверхностей S{.
В этом смысле можно говорить о площади, которую имеет
лежащий в R3 лист Мёбиуса, или, что то же самое, искать его массу, если
это материальная поверхность с единичной плотностью распределения
вещества.
Традиционными рассуждениями проверяется корректность
определения 4 (независимость получаемой величины площади от разбиения
5χ,..., 5m,... поверхности S).

274 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
4. Выражение формы объема в декартовых координатах.
Пусть S — гладкая гиперповерхность (размерности η — 1) в
ориентированном евклидовом пространстве Rn, наделенная ориентирующим ее
непрерывным полем единичных нормалей η(χ), χ £ S. Пусть V — форма
(n-мерного) объема в Rn, а Ω — форма ((π - 1)-мерного) объема на S.
Если в касательном пространстве TSX взять репер £ι,...,£η-ι из
класса ориентации, задаваемого единичной нормалью η(χ) к TSX, то,
очевидно, можно записать следующее равенство:
V(s)(*l, £ъ · · ·, £η-ι) = Ω(χ)(ξι, · · ·,£η-ι).
(7)
< Справедливость его следует из того, что при указанных условиях
обе его части неотрицательны, а равны они по величине потому, что
объем параллелепипеда, натянутого на векторы η,ζι,... ,£η-ι> равен
площади основания Ω(χ)(ξι,..., £η-ι)> умноженной на высоту |t7| = 1. ►
Но
ν(χ)(η,ξι,...,£η-ι) =
η1
£η-1
en
Sn—
η-1
= ^("^"У (*) dxl Λ...Λάχ{ Λ...Λ dxn(£u ..., ξη-ι)·
t=l
Здесь χ1,... ,χη — декартовы координаты в задающем ориентацию
ортонормированном базисе βχ,..., еп, а крышка над дифференциалом
йхг означает, что в этом слагаемом он отсутствует.
Таким образом, получается следующее координатное выражение
для формы объема на ориентированной гиперповерхности S CW1:
п ^
Ω = J](-l)'-y (x) dxl Λ ... Λ dx* Λ ... Λ <fen(&,... ,ξη-ι). (8)
t=l
Здесь стоит заметить, что при изменении ориентации поверхности
направление нормали η(χ) меняется на противоположное, т. е. форма Ω
при этом заменяется новой формой — Ω.
Из тех же геометрических соображений следует, что при
фиксированном значении г £ { 1,..., п }
(η{χ), β<)Ω(£ι,..., ξη_ι) = V(a?)(e<, ξι,...,ξη-ι)·
(9)

§2. ΦΟΡΜΑ ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 275
Последнее равенство означает, что
τ?'(χ)Ω(χ) = (-l)i_1 dxl Λ ... Λ dxi Λ ... Λ dxn(&, ..., ξη_ι). (10)
Для двумерной поверхности S в Rn элемент объема чаще всего
обозначают символами da или dS. Их не следует воспринимать как
дифференциалы неких форм а и S, это единые символы. Если х, у, ζ —
декартовы координаты в R3, то в этих обозначениях соотношения (8),
(10) запишутся так:
da = cos αϊ dy Adz + cos 0:2 dz Adx + cos аз dx Λ dy,
cos αϊ da = dy Λ dz, ,
. . . (ориентированные площади проекции
cos a.2 da — dz Λ αχ, ч
на координатные плоскости),
cos аз da — ах Nay
Здесь (cos αϊ, cos а2, cos аз)(х)—направляющие косинусы
(координаты) единичного вектора т\(х) нормали к S в точке χ £ 5. В этих
равенствах, как, впрочем, и в равенствах (8), (10), во избежание
недоразумений, конечно, правильнее было бы справа ставить знак \s
ограничения соответствующей формы на поверхность 5, но чтобы не
загромождать формулы, мы ограничимся этим замечанием.
5. Интегралы первого и второго рода. В ряде задач,
типичным представителем которых является рассмотренная выше задача об
определении массы поверхности по известной плотности, возникают
интегралы типа (1). Их часто называют интегралами от функции по
поверхности или интегралами первого рода.
Определение 5. Интегралом от функции ρ по ориентируемой
поверхности S называют интеграл
/
рП (11)
от дифференциальной формы ρΩ, где Ω — форма объема на S
(отвечающая выбираемой при вычислении интеграла ориентации S).
Ясно, что так определенный интеграл (11) не зависит от
ориентации 5, поскольку изменение ориентации сопровождается
соответствующей заменой формы объема.

276 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Подчеркнем, что в сущности здесь речь идет не об
интегрировании функции, а об интегрировании формы ρΩ специального вида по
поверхности S с определенной на ней формой объема.
Определение 6. Если S — кусочно гладкая (ориентируемая или
неориентируемая) поверхность и ρ— функция на 5, то интегралом (11)
„. фуНКЦт „ „ n„eep»OOTO S называв сумму £ U „„хегралов
от функции ρ по параметризуемым кускам 5χ,..., 5Ш,... описанного в
определении 4 разбиения поверхности S.
Интеграл (11) обычно называют поверхностным интегралом
первого рода.
Например, таковым является интеграл (1), выражающий массу
поверхности S через плотность ρ распределения массы по поверхности.
Для выделения интегралов первого рода с их свойством
независимости от ориентации, интегралы от форм по ориентированным
поверхностям часто называют поверхностными интегралами второго рода.
Заметим, что, поскольку на линейном пространстве все кососим-
метрические формы, степень которых равна размерности
пространства, пропорциональны, между любой fc-формой о;, заданной на fc-мерной
ориентируемой поверхности 5, и формой объема Ω на S имеется связь
ω = ρΩ, где ρ — некоторая, зависящая от ω функция на S. Значит,
ω= ρΩ,
s s
т. е. любой интеграл второго рода может быть записан в виде
соответствующего интеграла первого рода.
Пример 1. Интеграл (27) §1, выражающий работу на пути η :
[α, b] —> Мп, можно записать в виде интеграла первого рода
f(F,e)ds, (12)
7
где s — натуральный параметр на 7> ds — элемент (1-форма) длины,
а е — единичный вектор скорости, несущий в себе всю информацию
об ориентации η. С точки зрения физического смысла решаемой
интегралом (12) задачи он столь же выразителен, как и интеграл (1) § 1.

§ 2. ΦΟΡΜΑ ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 277
Пример 2. Поток (3), § 1 поля скоростей V через
ориентированную единичными нормалями п(х) поверхность 5сМп можно записать
в виде поверхностного интеграла
f(V,n)da (13)
s
первого рода. Информация об ориентации S заключена здесь в
направлении поля нормалей п.
Геометрическое и физическое содержание подынтегрального
выражения в (13) столь же прозрачно, как и соответствующий смысл
подынтегрального выражения окончательной вычислительной форму-
лы (6) § 1.
Для сведения читателя отметим, что довольно часто встречаются
обозначения ds := eds, da := η da, вводящие векторный элемент длины
и векторный элемент площади соответственно. В этих обозначениях
интегралы (12), (13) имеют вид
J(F,ds) и J(V,da),
7 S
наиболее удобный с точки зрения физической интерпретации. Для
краткости скалярное произведение (А, В) векторов А, В часто
записывают символом А· В.
Пример 3. Закон Фарадея1^ утверждает, что электродвижущая
сила, возникающая в замкнутом проводнике Г, находящемся в
переменном магнитном поле В, пропорциональна скорости изменения
потока магнитного поля через ограниченную контуром Г поверхность S.
Пусть Ε — вектор напряженности электрического поля. Точная запись
закона Фарадея с учетом ориентации и принятых выше обозначений
может быть представлена в виде равенства
Φ E-ds = -— В da.
Г S
Кружок в знаке интеграла по Г — дополнительное напоминание о
том, что интеграл берется по замкнутому контуру. Работу поля вдоль
^М. Фарадей (1791 -1867) —выдающийся английский физик, создатель учения об
электромагнитном поле.

278 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
замкнутого контура часто называют циркуляцией поля вдоль этого
контура. Так что по закону Фарадея циркуляция напряженности
электрического поля, порожденного в замкнутом проводнике Г переменным
магнитным полем, равна взятой с обратным знаком скорости
изменения потока напряженности магнитного поля через натянутую на
контур Г поверхность S.
Пример 4. Закон Ампера1^
fBd8=^Ijd(T
(где В — вектор напряженности магнитного поля, j—вектор
плотности тока, εο, с — размерные постоянные) утверждает, что циркуляция
напряженности, порожденного электрическим током магнитного
поля вдоль контура Г, пропорциональна силе тока, протекающего через
ограниченную контуром Г поверхность S.
Мы рассмотрели интегралы первого и второго рода. Читатель мог
заметить, что это терминологическое различие очень условно.
Реально мы умеем интегрировать и интегрируем только дифференциальные
формы. Ни от чего другого интеграл и не берется (если интеграл
претендует на независимость от выбора системы координат, используемой
при его вычислении).
Задачи и упражнения
1. Дайте формальное доказательство равенств (7) и (9).
2. Пусть 7 — гладкая кривая, ds— элемент длины на η.
а) Покажите, что
j'f(S)dsUJ\f(S)\
ds
для любой функции / на 7> Для которой оба интеграла определены.
Ь) Проверьте, что если |/(s)| ^ Μ на 7, а / — длина кривой 7, то
/
f(s)ds
<М1.
^ А. М. Ампер (1775 -1836) —французский физик и математик, один из
основоположников современной электродинамики.

§ 2. ΦΟΡΜΑ ОБЪЕМА, ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА 279
с) Сформулируйте и докажите аналогичные а) и Ь) утверждения в общем
случае интеграла первого рода, взятого по fc-мерной гладкой поверхности.
3. а) Покажите, что координаты (xq^Xq^Xq) центра масс, распределенных
с линейной плотностью р(х) вдоль кривой 7, следует искать из соотношений
хг0 / p{x)ds = / xlp(x)ds, г = 1,2,3.
7 7
b) Запишите уравнение винтовой линии в13 и найдите координаты
центра масс куска этой линии, считая, что масса распределена вдоль кривой с
постоянной плотностью, равной единице.
c) Укажите формулы для центра масс, распределенных по поверхности 5
с поверхностной плотностью р, и найдите центр масс, равномерно
распределенных по поверхности полусферы.
d) Укажите формулы для момента инерции массы, распределенной с
плотностью ρ по поверхности 5.
e) Покрышка колеса имеет массу 30 кг и форму тора, внешний диаметр
которого 1 м, а внутренний 0,5 м. При балансировке колеса его устанавливают
на балансировочный станок, раскручивают до скорости, отвечающей
скорости движения порядка 100 км/час, и затем останавливают тормозными
колодками, трущимися о стальной диск, диаметр которого 40 см, а ширина 2 см.
Оцените температуру, до которой нагрелся бы этот диск, если бы вся
кинетическая энергия раскрученной покрышки при остановке колеса ушла на
нагревание диска. Удельную теплоемкость стали считать равной с = 420 Дж/(кг-К).
4. а) Покажите, что силу, действующую на точечную массу то,
расположенную в точке (#ο,ί/θ)2ο)) со стороны материальной кривой 7> имеющей
линейную плотность р, следует искать по формуле
F = Gmof-^rds>
7
где G — гравитационная постоянная, а г — вектор с координатами (х — хо, у —
-2/ο,ζ-ζο).
b) Напишите соответствующую формулу в случае, когда масса
распределена по поверхности 5.
c) Найдите гравитационное поле однородной материальной прямой.
d) Найдите гравитационное поле однородной материальной сферы.
(Укажите поле как вне шара, ограниченного сферой, так и в самом этом шаре.)
e) Найдите гравитационное поле, создаваемое в пространстве
однородным материальным шаром (рассмотрите как внешние, так и внутренние
точки шара).
f) Считая Землю жидким шаром, найдите давление в нем как функцию
расстояния от центра. (Радиус Земли 6400км, средняя плотность 6г/см3.)

280 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
5. Пусть 7ι и 72 — два замкнутых проводника, по которым текут токи J ι
и J2 соответственно. Пусть ds\ и ds2— векторные элементы этих
проводников, отвечающие направлениям тока в них, вектор R\2 направлен от ds\ к d«2,
a R21 — ~"Ri2-
По закону Био и Савара1^ сила dF\2, испытываемая вторым элементом со
стороны первого, равна
dFl2 = 2|p2|2[d82[d8b#12]],
со1К12Г
где квадратными скобками обозначено векторное произведение векторов, а
со — размерная постоянная.
a) Покажите, что на уровне искусственной дифференциальной формулы
Био и Савара может случиться, что dF\2 Φ — dF2i, т.е. «действие не равно
противодействию».
b) Напишите (интегральные) формулы для полных сил Fi2 и F21
взаимодействия проводников 7ι, 72 и убедитесь, что F12 = —F21.
6. Формула коплощади (формула Кронрода - Федерера).
Пусть Мт и Nn — гладкие поверхности размерностей тип
соответственно, лежащие в евклидовом пространстве высокой размерности (Mm, Nn могут
быть и абстрактными римановыми многообразиями, но сейчас это
несущественно). Допустим, что т ^ п.
Пусть /: Мт —> Nn — гладкое отображение. При т > η отображение
df(x): TxMm ->· Tf(x)Nn имеет непустое ядро kerdf(x). Обозначим через
Т^Мт ортогональное дополнение к kerd/(#), а через </(/,#) обозначим
якобиан отображения df(x)\T±Mm : Т^Мт ->· Tf^Nn. Если т = п, то J(f,x)
совпадает с обычным якобианом.
Пусть dvk (ρ) — обозначение для формы объема на fc-мерной поверхности в
точке р. Будем считать, что vo(E) = card Ε, где Vk (Ε) — fc-объем множества Е.
a) Используя, если нужно, теорему Фубини и теорему о ранге (о
локальном каноническом виде гладкого отображения), докажите следующую
формулу Кронрода-Федерера: f J(f,x)dvm{x) = j vm-n(f-1(y)) dvn(y).
Mm Nn
b) Покажите, что если А — измеримое подмножество в Мт, то
/ J(f,x)dvm(x) = / Vm-n{Ar\f~l{y)) dvn{y).
A Nn
Это общая формула Кронрода-Федерера.
c) Докажите следующее усиление теоремы Сарда (утверждающей в ее
простейшем варианте, что образ множества критических точек гладкого
отображения имеет меру нуль). (См. гл. XI, § 5, задача 8.)
1}Био (1774-1862), Савар (1791-1841)—французские физики.

§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 281
Пусть, как и прежде, /: Мт —> Nn — гладкое отображение, а К —
компакт в Мт, на котором rangd/(#) < η при всех χ Ε К.
Тогда f vm-n (К Г) f~x(y)) dvn(y) = 0. Получите отсюда также сформу-
Nn
лированный выше простейший вариант теоремы Сарда.
d) Проверьте, что если f:D—^Rnu:D-^R — гладкие функции в
регулярной области DcMn, причем и не имеет критических точек в D, то
D R u-l(i)
e) Пусть V/(t) — мера (объем) можества {χ Ε D \ f(x) > t} и пусть
функция / неотрицательна и ограничена в области D.
оо
Покажите, что f f dv = - JtdVf(t) = f Vf(t)dt.
DUO
f) Пусть φ e C(1)(R,R+) и φ(0) = 0, a / Ε С(1)(ДЕ) и V{fl(t) —мера
оо
можества {х е D \ \f(x)\ > t}. Проверьте, что f φ о fdv = f φ'(t)V\f\(t)dt.
D о
§ 3. Основные интегральные формулы анализа
Важнейшей формулой анализа является уже известная нам
формула Ньютона - Лейбница. В этом параграфе будут получены формулы
Грина, Гаусса - Остроградского и Стокса, которые, с одной стороны,
являются развитием формулы Ньютона - Лейбница, а с другой
стороны, в совокупности, образуют наиболее используемую часть аппарата
интегрального исчисления.
В первых трех пунктах параграфа, не стремясь к общности
формулировок, на наглядном материале мы получим три классические
интегральные формулы анализа. Они будут сведены в одну общую формулу
Стокса в четвертом пункте, который формально можно читать
независимо от первых трех.
1. Формула Грина. Формула Грина1)—это следующее
Утверждение 1. Пусть М2 —плоскость с фиксированной в ней
системой координат х, у; D — компактная область в этой плоско-
^Дж. Грин (1793-1841)—английский математик и математический физик.
Могила Ньютона в Вестминстерском аббатстве обрамлена пятью меньшими плитами с
блистательными именами: Фарадей, Томсон (лорд Кельвин), Грин, Максвелл, Дирак.

282 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
сти, ограниченная кусочно гладкими кривыми; Р, Q — функции, глад
кие в замкнутой области D. Тогда имеет место соотношение
dQ__
дх ду)
//(:
D
- J dxdy = / Ρ dx + Q dy,
3D
(i)
в котором справа стоит интеграл по границе 3D области £),
ориентированной согласованно с ориентацией самой области D.
Рассмотрим сначала простейший вариант формулы (1), когда D
есть квадрат I = {(#5у) £М2 |0^ж^1, 0^у<1}, aQ = 0
в I. Тогда формула Грина сводится к равенству
I dl
(2)
которое мы и докажем.
Μ Сводя двойной интеграл к повторному и применяя формулу
Ньютона-Лейбница, получаем
II^dxdy=IdxI^dy=
= f(P(x, 1) - Ρ(χ, 0)) dx = - I P(x, 0) dx + ί P(x, 1) dx.
0 0 0
Доказательство закончено. Остальное — дело определений и
интерпретации уже полученного соотношения. Дело в том, что разность двух
последних интегралов есть как раз то, что стоит в правой части
равенства (2).
Действительно, кусочно гладкая кривая dl
распадается на четыре куска (рис. 87). Их можно
рассматривать как параметризованные кривые
1(
74
0
73
71
1
]
1
72
Рис. 87.
71 '·
72:
73:
74
[0,1]-»· К2,
[0,1]^М2,
[0,1] ^Ш2,
:[0,1]^М2,
где
где
где
где
х^(х,0),
У^ (1,У),
жЗ> 0г,1),
у^(о,у).

§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 283
По определению интеграла от 1-формы ω = Ρ dx по кривой
ι
[P{x,y)dx := ί Ί{{Ρ{χ,υ)άχ) := ί P{x,0)dx,
71 [0,1] 0
1
ίP(x,y)dx:= f >YS(P(x,y)dx):= [ody = 0,
72 [0,1] 0
1
ίP{x,y)dx:= ί ^{P{x,y)dx):= fp(x,l)dx,
73 [0,1] 0
1
f P{x,y)dx:= f Y4{P{x,y)dx):= fody = 0
74 [0,1] 0
и, кроме того, в силу указанного в утверждении 1 выбора ориентации
границы области, с учетом ориентации кривых 71, 72 5 7з и 74 5 очевидно,
ω = ω + ω + ω + ω = ω + ω — ω — ω,
61 71 72 -73 -74 71 72 73 74
где —7г есть кривая 7г5 взятая с противоположной задаваемой
отображением 7г ориентацией.
Таким образом, равенство (2) проверено. ►
Аналогично проверяется, что
U^dxdy = f Qdy, (3)
/ di
Складывая равенства (2) и (3), получаем формулу Грина
ι οι
для квадрата I.
Заметим, что несимметричность Ρ и Q в формуле Грина (1) и
равенствах (2), (3) связана с несимметричностью χ и у: ведь χ и у
упорядочены, и этим в I2 и в I задана ориентация.

284 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
На языке форм доказанное соотношение (I7) можно переписать в
виде
Ιάω= ί ω, (Ι")
/ di
где ω — произвольная гладкая 1-форма на I. Справа здесь стоит
интеграл от ограничения формы ω на границу di квадрата I.
Проведенное доказательство соотношения (2) допускает очевидное
обобщение: если Dy — не квадрат, а «криволинейный
четырехугольник», боковые стороны которого — вертикальные отрезки (быть
может, даже вырождающиеся в точку), а две другие стороны — графики
кусочно гладких функций ψι(χ) ^ ψ2(χ) над отрезком [а, Ь] оси Ох, то
U^dxdy = - J Pdx. (2')
Dy dDy
Аналогично, если имеется такой же «четырехугольник» Dx по
отношению к оси Оу, т. е. с двумя горизонтальными сторонами, то для него
справедливо равенство
U^dxdy= J Qdy. (3')
Dx dDx
Предположим теперь, что область D можно разрезать на конечное
число областей типа Dy (рис. 88). Тогда для этой области D тоже верна
формула вида (2').
Μ В самом деле^ двойной интеграл по области D в силу его
аддитивности есть сумма интегралов по кускам типа Dy, на которые разрезана
область D. Для каждого такого куска справедлива формула (27), т.е.
двойной интеграл по нему равен интегралу от
формы Ρ dx по ориентированной границе
этого куска.
Но соседние куски на общей части их
границ индуцируют противоположные
ориентации, поэтому при сложении интегралов по
границам всех кусков в результате взаимных уни-
~х~ чтожений, очевидно, останется только
интеграл по границе 3D самой области D. ►

§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 285
Аналогично, если область D допускает разбиение на области
типа Дс, то для D справедливо равенство типа равенства (З7).
Области, которые можно разрезать как на куски вида Дс, так и
на куски вида Dy, условимся пока называть простыми областями. На
самом-то деле это достаточно богатый для всех практических целей
класс областей.
Записав для простой области оба соотношения (27), (З7), после их
сложения получим формулу (1).
Итак, для простых областей формула Грина доказана.
Мы не будем здесь заниматься дальнейшими ее уточнениями (см.
по этому поводу задачу 2), а продемонстрируем лучше другой весьма
плодотворный путь рассуждений, по которому можно было бы пойти,
установив равенства (I7), (I77).
Пусть область С получена гладким отображением φ: I —» С
квадрата I. Если ω — гладкая 1-форма на С, то
/ άω := / φ*άω = / άφ*ω = / φ*ω =: / ω. (4)
с ι ι di ac
Восклицательным знаком здесь отмечено уже доказанное нами
равенство (см. (I77)); крайние равенства — определения или их прямые
следствия; оставшееся второе слева равенство связано с
независимостью внешнего дифференцирования от системы координат.
Значит, для области С тоже справедлива формула Грина.
Наконец, если какую-то ориентированную область D удается
разрезать на конечное число областей типа области С, то из уже описанных
выше соображений о взаимном уничтожении интегралов по тем частям
границ областей С^, которые лежат внутри Z), следует, что
/ άω = Σ / άω = Σ / ω = / ω' (5)
D l Ci l dd dD
т. е. для области D формула Грина тоже имеет место.
Можно показать, что любая область с кусочно гладкой границей
попадает в описанный класс областей, но мы не будем этого делать,
поскольку позже (гл. XV) будет описан полезный технический прием,
который позволяет избежать подобных геометрических затруднений,
заменяя их сравнительно просто решаемым аналитическим вопросом.

286 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Рассмотрим некоторые примеры использования формулы Грина.
Пример 1. Положим в (1) Ρ = —у, Q = х. Тогда получим, что
/ -ydx + xdy = 2dxdy = 2a(D),
dD D
где σ(Ό)—площадь области D. Используя формулу Грина, можно,
таким образом, получить следующие, уже встречавшиеся нам выражения
для площади области на плоскости через криволинейные интегралы по
ориентированной границе этой области:
σ(Ό) = - / —ydx + xdy = — / ydx— \ xdy.
dD dD dD
В частости, отсюда следует, что работа А = f P dV, которую тепло-
7
вая машина совершает при изменении состояния ее рабочего вещества
по замкнутому циклу 7> равна площади той области плоскости Р, V
состояний, которая ограничена кривой η (см. задачу 5 § 1).
Пример 2. Пусть В = {(х,у) 6 IR2 | х2 + у2 ^ 1} — замкнутый
круг на плоскости. Покажем, что любое гладкое отображение /': В —» В
замкнутого круга в себя имеет по крайней мере одну неподвижную
точку (т. е. такую точку ρΕΰ, что f(p) = ρ).
< Предположим, что неподвижных точек у отображения / нет.
Тогда для любой точки ρ £ В однозначно определены луч с вершиной /(р),
проходящий через точку р, и точка φ(ρ) £ дВ пересечения этого
луча с ограничивающей круг В окружностью. Таким образом, возникло
бы отображение φ: В —> дВ, которое, как легко видеть,
тождественно на границе дВ круга, а в целом той же гладкости, что и исходное
отображение /. Покажем, что такого отображения φ не существует.
В области Ш2 \ 0 (плоскость с выброшенным началом координат)
рассмотрим уже встречавшуюся нам в §1 форму ω = ~У £ + \ У. Не-
χ +у
посредственно проверяется, что άω = 0. Поскольку дВ £ Ш2 \ 0, то при
наличии отображения φ: В —> дВ можно было бы получить форму φ*ω
на В, причем άφ*ω = φ*άω = φ*0 = 0. Значит, по формуле Грина
/ ψ*ω = / άψ*ω = 0.
дв в

§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 287
Но ограничение ψ на дВ есть тождественное отображение, поэтому
дВ дВ
Последний же интеграл, как было проверено в примере 1 §1, отличен
от нуля. Полученное противоречие завершает доказательство
сформулированного утверждения. ►
Это утверждение справедливо, конечно, и для шара В любой
размерности (см. пример 5). Оно справедливо также не только для гладких,
но и для любых непрерывных отображений /: В —> В. В этом общем
виде оно называется теоремой Брауэра1' о неподвижной точке.
2. Формула Гаусса—Остроградского. Подобно тому, как
формула Грина связывает интеграл по границе плоской области с
соответствующим интегралом по самой области, приводимая ниже
формула Гаусса - Остроградского связывает интеграл по границе
пространственной области с интегралом по самой области.
Утверждение 2. Пусть М3 —пространство с фиксированной в
нем системой координат х, у, z; D — компактная область в Μ3,
ограниченная кусочно гладкими поверхностями; Р, Q, R — функции,
гладкие в замкнутой области D.
Тогда имеет место соотношение
|///(f+f+di)ixd^=
D
— Ρ dy Λ dz + Q dz Λ dx + Rdx Λ dy.
| dD_
Вывод формулы (6) Гаусса - Остроградского можно провести, шаг
за шагом повторив с очевидными изменениями вывод формулы Грина.
Чтобы это повторение не было дословным, рассмотрим сразу не
кубик в R3, а область Z>2, изображенную на рис.89, которая ограничена
^ Л. Э. Я. Брауэр (1881 -1966) —известный голландский математик. С его именем
связан ряд принципиальных теорем топологии, а также анализ оснований
математики, приведший к философско-математическим концепциям, называемым
интуиционизмом.
(6)

288 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Рис. 89.
боковой цилиндрической поверхностью S с образующей, параллельной
оси Oz, и двумя шапочками 5i, S2— графиками кусочно гладких
функций φ\, ψ2, определенных в одной и той же области G С Щоу
Проверим, что для области Ζ>2, выполнено соотношение
/ / / — dxdydz = Rdx Λ dy.
dDz
(7)
<P2(x,y)
/ / / -7— dxdydz = / / dxdy / -7— cb =
G φι(χ,ν)
D
= // (Я(х,у,^2(я,у)) -R{x,y^i{x,y)))dxdy =
= - R(x,y,<pi(x,y))dxdy + // R(x,y,(p2(x,y))dxdy.
G G
Поверхности 5i, S2 имеют соответственно следующее
параметрическое представление:
Si: (χ,у) ι—► (x,y,(^i(x,y)),
S2: (x,y) 1—► (х,у,^2(я,у)).

§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 289
Криволинейные координаты (х,у) на S\ задают ориентацию,
противоположную той, которая индуцируется ориентацией области Z>2, a
на #2 — такую же, как и та, которая индуцируется ориентацией Dz.
Значит, если S\ и #2 считать частями ориентированной указанным в
утверждении 2 образом границы области £)2, то последние два
интеграла (с учетом их знаков) можно интерпретировать соответственно
как интегралы по S\ и S2 от формы Rdx Λ dy.
Цилиндрическая поверхность S имеет параметрическое
представление вида (t,z) ь-> (x(t),y(t),;z), поэтому ограничение формы Rdx Λ dy
на S равно нулю, как, следовательно, и интеграл от этой формы по S.
Таким образом, для области Dz соотношение (7) действительно
имеет место. ►
Если ориентированную область D можно разрезать на конечное
число областей типа области Z>2, то, поскольку на поверхности, по
которым примыкают друг к другу две такие области, индуцируются
противоположные ориентации, при сложении интегралов по границам
произойдут взаимные уничтожения, в результате которых останется лишь
интеграл по ориентированной границе 3D исходной области D.
Следовательно, формула (7) верна и для областей, допускающих
указанное разбиение на области типа области Dz.
Аналогично можно ввести области Dy и Z>x, цилиндрические
поверхности которых имеют образующие, параллельные осям Оу и Ох
соответственно, и показать, что если некоторую область D можно
разрезать на области вида Dy или £)х, то для D соответственно имеют
место соотношения
ίίίψ-dxdydz^ (( QdzAdx, (8)
Ъ 3D
—-dxdydz= PdyAdz. (9)
Ъ dD
Итак, если D — простая область, т.е. область, допускающая
каждое из трех указанных выше разбиений на области типа Z)x, Dy, Dz,
то, складывая равенства (7), (8), (9), получаем для D равенство (6).
В силу уже указанных при выводе формулы Грина причин, мы не
будем сейчас заниматься описанием условий простоты области и
дальнейшим уточнением доказанного (см. по этому поводу задачу 8 или
пример 12 к § 5 гл. XVII).

290 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Отметим, однако, что на языке форм в бескоординатном виде
формулу Гаусса-Остроградского можно записать следующим образом:
ίάω = ί ω, (6')
Ъ dD
где ω — гладкая 2-форма в области D.
Поскольку для кубика I = J3 = {(х,у, z) £ Μ3 |0^х^1,0^у^
^Ι,Ο^ζ^Ι} формула (б7), как было показано, верна, то ее
распространение на более общие классы областей, конечно, можно провести с
помощью стандартных выкладок (4) и (5).
Пример 3. Закон Архимеда. Вычислим результирующую силу
давления однородной жидкости на погруженное в нее тело D. Декартовы
координаты х, у, ζ в R3 выберем так, чтобы плоскость х, у
совпадала с поверхностью жидкости, а ось ζ направим в сторону выхода из
жидкости. На элемент da площади поверхности S тела Z), находящейся
на глубине ζ, действует сила давления pgznda, где р — плотность
жидкости, g — ускорение силы тяжести, а п — единичная внешняя нормаль
к поверхности S в соответствующей элементу da точке поверхности.
Значит, искомая результирующая сила выражается интегралом
■//
pgzn da.
Если η = excosax + e^cosa^ + e2cosa2, το η da = exdy Λ dz +
+ ey dz A dx + ez dx A dy (см. § 2, п. 4). Используя формулу (6) Гаусса-
Остроградского, находим, таким образом, что
F = ехрд / / zdy Adz + еурд / / ζ dz A dx + ехрд / / zdx Ady —
s s s
= exP9 / / / Odxdydz + eypg / / / Odxdydz +
D D
+ ezpg dxdydz = pgVez,
D
где V — объем тела £>, а значит, Ρ = pgV — вес жидкости, вытесненной
телом. Мы пришли к закону Архимеда: F = Pez.

§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 291
Пример 4. Используя формулу (6) Гаусса-Остроградского,
можно дать следующие формулы для объема V(D) тела D, ограниченного
поверхностью dD:
dD
χ dy Λ dz + у dz Λ dx + ζ dx Λ dy =
= xdy Adz = ydz/\dx= zdx /\dy.
dD dD dD
3. Формула Стокса в R3
Утверждение 3. Пусть S — ориентированная кусочно гладкая
компактная двумерная поверхность с краем dS, лежащая в области
G С I3, б которой задана гладкая 1-форма ω = Ρ dx + Qdy + Rdz.
Тогда имеет место соотношение
Pdx + Qdy + Rdz= II ί — - -^-)dyAdz +
ds s
fdP a??\ J fdQ dP\ J
+ {-^-^)dzAdx+{-^-^)dxAdy^
(10)
где ориентация края dS берется согласованной с ориентацией
поверхности S.
В иной записи это означает, что
Ι άω= Ι ω. (ΙΟ7)
ds
< Если С — стандартная параметризованная поверхность φ: I —» С
в Е3, где / — квадрат в R2, то для С соотношение (10) вытекает из
равенств (4), с учетом доказанной для квадрата и используемой в них
формулы Грина.
Если ориентируемую поверхность S можно разрезать на
простейшие поверхности указанного вида, то для такой поверхности
соотношение (10) тоже справедливо, что следует из равенств (5) с заменой в
них D на S. ►
Как и в предыдущих случаях, мы не доказываем здесь, что,
например, кусочно гладкая поверхность допускает указанное разбиение.

292 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Покажем, как выглядело бы приведенное
доказательство формулы (10) в координатной
записи. Чтобы избежать уж слишком громоздких
выражений, мы распишем только первую и
основную из двух его фраз, да и то с некоторыми
упрощениями. А именно, введем обозначения X , X , X
для координат точки χ £ R3 и проверим только,
что
/ Р(х) dxl = / / т-^ dx2 Λ dxl + τ-^ dxs Λ dxl,
as s
χ — x{t)
t = t(r)
Рис. 90.
поскольку остальные два слагаемых левой части
формулы (10) можно исследовать аналогично. Будем для простоты
считать, что S получается при гладком отображении χ — x(t) области Ζ),
лежащей в плоскости R2 переменных i1, t2 и ограниченной одной
гладкой кривой 7 — &D, параметризованной с помощью отображения t =
= ί(τ) точками отрезка а ^ τ ^ β (рис. 90). Тогда край Г = dS
поверхности S можно записать в виде χ — х(£(т)), где τ пробегает отрезок
[α, β]. Используя определение интеграла по кривой, формулу Грина для
плоской области D и определение интеграла по параметризованной
поверхности, последовательно находим
/«-ζ
о/ /./ т/ 9χ1 dtl 9χ1 dt2
dr =
dt1 A dt2 =
=f{p{x{t))w)dtl + {p{x{t))w)dt21
J J [dt1 V dt2 J dt2 \ dt1 J
■it
dP dx1 dP dx1
at1 dt2 at2 dt1
dt1 A dt2 =
дР_д^дх^ _ dP dxi dx1
dxi dt1 dt2 dxi dt2 dt1
dt1 A dt2
D

§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 293
-//
D
дР_дх^ дР дх3
дх2 dt1 + дх3 dt1
дх2 дх2
w ~w
дх1 дх1
dt1 ~W
дх1
dt2
дР дх2 дР дх3
+
дх2 dt2
дР
дх1
+
дх3
дх3 dt2 ) dt1
dt1 Λ dt2 =
dt1 Λ dt2 =
дх3 дх3
дх1 дх1
dt1 dt2
чп
-—zdx1 Λ dxl + -ρ—,zdx3 Λ dxl
ox1 ox6
Двоеточием здесь обозначены равенства по определению, а
восклицательным знаком — переход, использующий уже доказанную формулу
Грина. Остальное — тождественные преобразования.
Используя основную идею доказательства формулы (10'), мы, таким
образом, непосредственно проверили (не ссылаясь на то, что φ*ά =
= άφ*, но фактически доказав это в рассматриваемом случае), что
формула (10) для простой параметризованной поверхности
действительно имеет место. Формально мы провели рассуждение только для
члена Pdx, но ясно, что это можно сделать и для двух оставшихся
слагаемых 1-формы, стоящей под знаком интеграла в левой части
равенства (10).
4. Общая формула Стокса. При всем внешнем различии формул
(1), (6), (10) их бескоординатная запись (17/), (5), (б7), (107) оказывается
просто идентичной. Это дает основание считать, что мы имели дело
с частными проявлениями некоторого общего закона, который теперь
легко угадать.
Утверждение 4. Пусть S — ориентированная кусочно гладкая
к-мерная компактная поверхность с краем 95, лежащая в области
GcRn, β которой задана гладкая (к — 1)-форма ω.
Тогда имеет место соотношение
(П)

294 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
в котором ориентация края dS берется согласованной с ориентацией
поверхности S.
Μ Формула (11), очевидно, доказывается теми же общими
выкладками (4), (5), что и формула Стокса (10;), если только она справедлива
для стандартного fc-мерного промежутка Ik = {χ = (χ1,... , xfc) £ Rk \
0 ίξ хг ίξ 1, г = 1,..., к}. Проверим, что для Ik формула (11)
действительно имеет место.
Поскольку на Ik (к — 1)-форма имеет вид ω = ^2ia{(x)dxl Λ ...Λ
Λ dxl Λ... Λ dxk (суммирование по г = 1,..., к с пропуском
дифференциала dxz), то (11) достаточно доказать для каждого слагаемого
в отдельности. Пусть ω = а(х) dxl Λ ... Λ dxl Λ... Λ dxk. Тогда άω —
= (—1)г_1 -^j(x)dxl Λ ... Λ dxl Λ ... Λ dxk. Теперь проведем выкладку:
дхг
..Adxk =
Jk [к
1
= (-Ι)'"1 ί dxl... dx1' ... dxk I J^(x) dx1' =
jk-\ 0
= (-l)<-1 I (а(х\...,х'-\1,х'+\...,хк)-
/fc-1
- a{x\ ..., х*~\0, xi+\ ..., xk)) dx1 ... dxi ... dxk =
= (-l)i-1 ί a(t\...,ti-\l,ti,...,tk-1)dt1...dtk-1 +
Jk-l
+ {-1У f a{t\...,ti-\0,ti,...,tk-1)dtl...dtk-\
Jk-l
Здесь Ik~l такой же, только (к — 1)-мерный промежуток в Efc-1,
как и 1к в Rk; кроме того, мы здесь переобозначили переменные х1 =
_ .Л ~г-1 — 4-i-l „i+l _ 4.г „к _ j.k — 1
— ί/ , . . . , Jb — ί/ , Jb — ί/ , . . . , Jb — ί/ .
Отображения
1к~1 Э t = (ί1,..., ί*"1) ■—► (ί1,..., ί*"1,1, f,..., ί*"1) <Ξ /*,
ik-13t = (t\...,tk-1)^{t\...,ti-\o,ti,...,tk-1)€ik

§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 295
суть параметризации соответственно верхней Γ^χ и нижней Г^о
граней промежутка Jfc, ортогональных оси Охг. Эти координаты на обеих
гранях задают один и тот же ориентирующий грань репер βχ,..., е^_х,
e^+χ,..., е&, отличающийся от репера βχ,..., е&, пространства Efc
отсутствием вектора е^. Вектор е^ на грани Гц является внешней по
отношению к 1к нормалью, как и вектор —е^ для грани Г#). Репер е^, βχ,...,
вг_х, е^+х,..., β£, переходит в репер βχ,..., е&, пространства Шк после
г — 1 перестановки соседних векторов, т. е. совпадение или
несовпадение ориентации этих реперов определяется знаком числа (—1)г_1. Таким
образом, указанная параметризация задает на Гц ориентацию, которая
превращается в ориентацию Ι\χ, согласованную с ориентацией Jfc, если
ее взять с поправочным коэффициентом (—1)г_1 (т.е. не менять при
нечетном г и менять при четном г).
Аналогичные рассуждения показывают, что для грани 1\о придется
взять поправочный коэффициент (—1)г к ориентации, заданной
предъявленной параметризацией грани Г^.
Итак, последние два интеграла (вместе со стоящими при них
коэффициентами) можно интерпретировать соответственно как интегралы
от формы ω по граням Гц и Г^ промежутка Jfc, взятым с ориентацией,
индуцированной на них ориентацией промежутка 1к.
Теперь заметим, что на каждой из оставшихся граней
промежутка 1к постоянна одна из координат х1,..., хг_1, хг+1,..., хк. Значит,
соответствующий ей дифференциал тождественно равен нулю на
такой грани. Таким образом, форма άω тождественно нулевая и интеграл
от нее равен нулю по всем граням, отличным от Г^о, Гц.
Значит, найденную выше сумму интегралов по этим двум граням
можно интерпретировать как интеграл от формы о;, взятый по всему
краю д1к промежутка /fc, ориентированному согласованно с
ориентацией самого промежутка 1к.
Формула
άω = ω,
jk д1к
а вместе с ней и формула (11) доказаны. ►
Как видно, формула (11) является следствием формулы Ньютона-
Лейбница, теоремы о сведении кратного интеграла к повторному и
серии определений таких понятий, как поверхность, край поверхности,

296 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ориентация, дифференциальная форма, ее дифференцирование и
перенос.
Формулы (1), (6), (10) Грина, Гаусса - Остроградского и Стокса
являются частными случаями общей формулы (11). Более того, если
заданную на отрезке [а, Ь] С R функцию / интерпретировать как 0-фор-
му о;, а интегралом по ориентированной точке от 0-формы считать
значение функции в этой точке, взятое со знаком ориентации точки,
то саму формулу Ньютона - Лейбница тоже можно рассматривать как
простейший (но независимый) вариант формулы (11). Следовательно,
фундаментальное соотношение (11) справедливо во всех размерностях
Формулу (11) обычно называют общей формулой Стокса. В
качестве исторической справки процитируем здесь несколько строк из
предисловия М. Спивака к его книге, упомянутой в списке литературы.
«Впервые формулировка теоремы1) появилась в виде приписки к
письму сэра Уильяма Томсона (лорда Кельвина) к Стоксу,
датированному 2 июля 1850 г. Опубликована она была в качестве восьмого вопроса
к экзаменам на смитовскую премию 1854 г. Этот конкурсный экзамен,
которому ежегодно подвергались лучшие студенты-математики
Кембриджского университета, с 1849 по 1882 г. проводился профессором
Стоксом. Ко времени его смерти результат был повсеместно известен
как теорема Стокса. Современниками Стокса были даны по крайней
мере три доказательства: одно опубликовал Томсон, другое было
изложено в «Трактате о натуральной философии» Томсона и Тейта и третье
предложил Максвелл в «Электричестве и магнетизме». С тех пор именем
Стокса были названы значительно более общие результаты, сыгравшие
столь заметную роль в развитии некоторых разделов математики, что
теорема Стокса вполне может дать материал для размышлений о
ценности обобщений».
Отметим, что современный язык форм восходит к Эли Картану2),
а вид (11) общей формулы Стокса для поверхностей в Rn, по-видимому,
впервые предложил Пуанкаре. Для областей n-мерного
пространства W1 формулу знал уже Остроградский, а первые дифференциальные
формы написал Лейбниц.
Таким образом, общую формулу Стокса (11) не случайно порой
Имеется в виду классическая формула Стокса (10).
Эли Картан (1869-1951)—выдающийся французский геометр.

§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 297
называют формулой Ньютона - Лейбница - Грина - Гаусса -
Остроградского-Стокса-Пуанкаре. Из сказанного можно заключить, что это
еще далеко не полное ее название.
Используем эту формулу, чтобы обобщить результат, полученный
в примере 2.
Пример 5. Покажем, что любое гладкое отображение /: В —» В
замкнутого шара В С Мт в себя имеет по крайней мере одну
неподвижную точку.
< Если бы отображение / не имело неподвижных точек, то, как и в
примере 2, можно было бы построить гладкое отображение φ: В —> дВ,
тождественное на сфере дВ. В области Rm \ 0 рассмотрим векторное
поле г-ртг, где г — радиус-вектор точки χ = (ж1,... ,жш) £ Rm \ 0, и
отвечающую этому полю форму потока
/г \„ А (-1У~1хЫх1 A...Adxi A...Adxm
\ИШ / U ((х1)2 + ... + (хт)2)-/2
(см. формулу (8) из §2). Поток такого поля через границу шара В =
= {х £ Ш \ \х\ = 1} в сторону внешней нормали к сфере дВ, очевидно,
равен площади сферы дВ, т.е. f ω Φ 0. Но, как легко проверить прямой
дв
выкладкой, άω = 0 в Mm \ 0, откуда с использованием общей формулы
Стокса, как и в примере 2, следует, что
ω = φ*ω = / άφ*ω = / φ*άω = / φ*0 = 0.
дв дв Έ β β
Полученное противоречие завершает доказательство. ►
Задачи и упражнения
1. а) Изменится ли формула (1) Грина, если перейти от системы
координат я, у к системе координат у, х?
Ь) Изменится ли при этом формула (Ι")?
2. а) Докажите, что формула (1) остается в силе, если функции Р, Q
непрерывны в замкнутом квадрате /, их частные производные ^-, ^
непрерывны во внутренних точках квадрата /, а двойной интеграл из формулы (Г)
существует хотя бы как несобственный.

298 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Ь) Проверьте, что если граница компактной области D состоит из кусочно
гладких кривых, то в аналогичных указанным в а) предположениях
формула (1) остается в силе.
3. а) Проведите подробно доказательство равенства (2').
b) Покажите, что если граница компактной области Del2 состоит из
конечного числа гладких кривых, имеющих лишь конечное число точек
перегиба, то D — простая область по отношению к любой паре координатных
осей.
c) Верно ли, что если граница плоской области состоит из гладких кривых,
то в Е2 можно так выбрать оси координат, что по отношению к ним она
окажется простой областью?
4. а) Покажите, что если функции Р, Q в формуле Грина таковы, что
^ — ί- = 1, то площадь σ(Ό) области D можно находить по формуле σ(Ό) =
= f Pdx + Qdy.
3D
b) Выясните геометрический смысл интеграла fydx, взятого по некото-
7
рой (быть может, и незамкнутой) кривой на плоскости с декартовыми
координатами ж, у. Исходя из этого, вновь истолкуйте формулу cr(D) = — j ydx.
3D
c) В качестве проверки последней формулы найдите с ее помощью
площадь области
.2 „,2
£ = {(z)2/)€E2|5 + go}.
5. а) Пусть χ = x(t) — диффеоморфизм области Dt С Ж2 на область Dx С
С М2 . Используя результаты задачи 4, а также независимость криволинейного
интеграла от допустимого изменения параметризации пути, докажите, что
dx= \x'(t)\dt,
Dx Dt
где dx = dx1 dx2, dt = dt1 dt2, \x'(t)\ = detx'(t).
b) Выведите из а) формулу
ί f(x)dx= f f(x(t))\detx'(t)\dt
Dx
замены переменных в двойном интеграле.
6. Пусть f(x,y,t) — гладкая функция, удовлетворяющая в области
определения условию i^j) +(^ί) τ^0· Тогда при каждом фиксированном
значении параметра t уравнение f(x,y,t) =0 задает кривую 7t в плоскости Е2. Так
на плоскости возникает семейство {7t} кривых, зависящих от параметра t.

§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 299
Гладкая кривая Гс12, задаваемая параметрическими уравнениями χ = x(t),
у = y(t), называется огибающей семейства кривых {7г}> если ПРИ любом
значении to из совместной области определения {7t} и функций x(t), y(t), точка
χ (to), у (to) лежит на соответствующей кривой 7t0 и кривые Г и 7t0 касаются
в этой точке.
a) Считая, что я, у — декартовы координаты на плоскости, покажите, что
задающие огибающую функции x(t), y(t) должны удовлетворять системе
уравнений
Г /(*,</,*)= О,
\ §£(*,!/,*) = О,
а сама огибающая с геометрической точки зрения есть граница проекции
(тени) поверхности f(x,y,t) = О пространства Е? ^ на плоскость ]R? >.
b) В плоскости с декартовыми координатами ж, у дано семейство прямых
χ cos α + у sin a — р(а) = 0. Роль параметра здесь играет полярный угол а.
Укажите геометрический смысл величины р(а) и найдите огибающую этого
семейства, если р(а) = с + α cos α + b sin α, α, 6, с — постоянные.
c) Опишите зону досягаемости снаряда, который может быть выпущен из
зенитного орудия под любым углом φ Ε [0,π/2] к горизонту.
d) Покажите, что если функция р(а) из Ь) 27г-периодическая, то
соответствующая огибающая Г является замкнутой кривой.
e) Используя задачу 4, покажите, что длина L полученной в d) замкнутой
кривой Г может быть найдена по формуле
2π
L = / р(а) da.
о
= / Р(а) <
(Считайте, что ρ е С^).
f) Покажите также, что площадь σ области, ограниченной полученной в d)
замкнутой кривой Г, может быть вычислена по формуле
2π
σ = 2 / ^ ~ ^^ da' ^ = ^°ί)'
о
7. Рассмотрим интеграл f cos γ'n) ds, в котором η — гладкая кривая в Ε2,
7
г — радиус-вектор точки (х,у) Ε 7> г — 1г1 — >/χ2 + 2/2> n — единичный
нормальный вектор к 7 в точке (я,?/), меняющийся непрерывно вдоль 7, ds —
элемент длины кривой. Этот интеграл называется интегралом Гаусса.
а) Запишите интеграл Гаусса как поток /(ν,η)^ плоского векторного
7
поля V через кривую 7·

300 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
b) Покажите, что в декартовых координатах я, у интеграл Гаусса имеет
знакомый нам по примеру 1 § 1 вид ± f ~У £ + \ У, где выбор знака определя-
j χ ~\- у
ется выбором поля нормалей п.
c) Вычислите интеграл Гаусса для замкнутой кривой 7, один раз
обходящей начало координат, и для кривой 7? ограничивающей область, которая не
содержит начала координат.
d) Покажите, что C0SiT»n/ ds = άφ, где φ— полярный угол
радиус-вектора г, и укажите геометрический смысл значения интеграла Гаусса для
замкнутой и для произвольной кривой 7 С М2.
8. При выводе формулы Гаусса - Остроградского мы считали, что D —
простая область, а функции Р, Q, R принадлежат классу C^(D,R).
Покажите, усовершенствовав рассуждения, что формула (6) верна, если D —
компактная область с кусочно гладкой границей; Р,Q, R Ε C(_D,IR); iU-, ^,
-π- Ε C(D,IR); а тройной интеграл сходится хотя бы как несобственный.
9. а) Если функции Р, Q, R в формуле (6) такие, что ^ + Щ + ^§ = 1,
то объем V(D) области D можно найти по формуле
vm-ff
Pdy Adz + Qdz Adx + Rdx Ady.
dD
b) Пусть f(x,t) —гладкая функция переменных χ Ε Dx С Μ£, £ Ε Dt С KJ1,
причем τ^ = \-^γ ·>·"·>-Qn) Φ 0· Напишите систему уравнений, которой
должна удовлетворять (п — 1)-мерная поверхность в М£, являющаяся
огибающей семейства поверхностей {St}, задаваемых условиями f(x,t) = 0, t E Dt
(см. задачу 6).
c) Выбирая в качестве параметра t точку на единичной сфере, укажите
такое семейство плоскостей в Е3, зависящих от параметра £, огибающей ко-
2 2 2
торого был бы эллипсоид \ + *С + ^я- —
Ια сг с
d) Покажите, что если замкнутая поверхность 5 является огибающей
семейства плоскостей
cosai(t)x + cos a2(t)y + cosas(t)z — p(t) = 0,
где αχ, α2, аз — углы, которые нормаль к плоскости образует с осями
координат, а параметром t является переменная точка единичной сферы S2 С М3,
то площадь а поверхности S можно найти по формуле а = f p(t) da.
s2
e) Покажите, что объем тела, ограниченного рассмотренной в d)
поверхностью 5, можно найти по формуле V = % f p(t) da.
s

§ 3. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 301
f) Опробуйте указанную в е) формулу, отыскав по ней объем эллипсоида
g) Как выглядит n-мерный аналог формул, указанных в d) и е)?
10. а) Используя формулу Гаусса- Остроградского, проверьте, что поток
поля г/г3 (где г — радиус-вектор точки χ Ε Μ3, а г = \г\) через гладкую,
гомеоморфную сфере поверхность 5, охватывающую начало координат, равен
потоку этого же поля через поверхность сколь угодно малой сферы \х\ = ε.
b) Покажите, что указанный в а) поток равен 4π.
c) Проинтерпретируйте интеграл Гаусса f cos\^n) ds в Ε3 как поток поля
s
г /г3 через поверхность 5.
d) Вычислите интеграл Гаусса по границе компактной области D С I3,
рассмотрев как случай, когда D содержит внутри себя начало координат, так
и случай, когда начало координат лежит вне области D.
e) Сопоставляя задачи 7 и 10 а) - d), укажите n-мерный вариант интеграла
Гаусса и соответствующего векторного поля. Дайте n-мерную формулировку
задач a)-d) и проверьте ее.
11. а) Покажите, что замкнутая жесткая поверхность S С Ш3 остается в
равновесии при действии равномерно по ней распределенного давления. (На
основании принципов статики задача сводится к проверке равенств J J n da =
s
= 0, ff[r,n]da = 0, где η — вектор единичной нормали, г — радиус-вектор,
s
[г,п]—векторное произведение г и п.)
Ь) Твердое тело объема V полностью погружено в жидкость, имеющую
удельный вес 1. Покажите, что полный статический эффект давления
жидкости на тело сводится к одной силе F величины V, направленной вертикально
вверх и приложенной к центру массы С объемной области, занимаемой телом.
12. Пусть Г: 1к —> D—гладкое (не обязательно гомеоморфное)
отображение промежутка 1к С Шк в область D пространства Еп, в которой
определена fc-форма ω. По аналогии с одномерным случаем отображение Г будем
называть k-путем и положим по определению J ω = f Γ*ω. Просмотрите до-
Г jk
казательство общей формулы Стокса и убедитесь, что она верна не только
для fc-мерных поверхностей, но и для fc-путей.
13. Используя общую формулу Стокса, докажите по индукции формулу
замены переменных в кратном интеграле (принцип доказательства указан в
задаче 5а)).
14. Интегрирование по частям в кратном интеграле.
Пусть D — ограниченная область в Шт с регулярной (гладкой или кусочно
гладкой) границей dD, ориентированной внешней единичной нормалью η =
= (n1,...,nm). _
Пусть /, g — гладкие функции в D.

302 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
a) Покажите, что
fdifdv= f frtda.
D dD
b) Докажите следующую формулу интегрирования по частям:
j(dif)gdv = J fgn1 da- J f{di9) dv.
D dD D

ГЛАВА XIV
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
И ТЕОРИИ ПОЛЯ
§ 1. Дифференциальные операции векторного анализа
1. Скалярные и векторные поля. В теории поля
рассматриваются функции χ \-> Т(х), которые каждой точке χ фиксированной
области D сопоставляют некоторый специальный объект Т(х), называемый
тензором. Если в области D задана такая функция, то говорят, что
в D задано тензорное поле. Мы не намерены здесь давать
определение тензора — оно будет рассмотрено в алгебре и дифференциальной
геометрии. Скажем только, что числовые функции D Э χ ь-> f(x) £ Μ,
а также вектор-функции W1 D D Э χ *-> V(x) £ ТЩ « W1
являются частными случаями тензорных полей и называются соответственно
скалярным и векторным полем в области D (эту терминологию мы
употребляли и раньше).
Дифференциальная р-форма ω в D есть функция f D О 3 ж и
н-> ω(χ) £ £((Rn)p,R), которую можно назвать полем форм степени ρ в
области D. Это тоже частный случай тензорного поля.
Здесь мы прежде всего будем интересоваться скалярными и
векторными полями в областях ориентированного евклидова пространства Шп.
Эти поля играют первостепенную роль во многих естественнонаучных
приложениях анализа.
2. Векторные поля и формы в М3. Напомним, что в евклидовом
векторном пространстве R3 со скалярным произведением ( , ) между
линейными функциями А: М3 —> Ми векторами А £ М3 имеется со-

304 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
ответствие, состоящее в том, что каждая такая функция имеет вид
Α(ξ) = (Α,ξ), где А — вполне определенный вектор из R3.
Если пространство еще и ориентировано, то каждая билинейная
функция В: Μ3 χ М3 —> R однозначно записывается в виде £?(ξι,ξ2) =
= (В,ξι,£2)5 где В— некоторый, вполне определенный вектор из М3,
а (В,ξι,£2), как всегда,—смешанное произведение векторов В, £χ, £2
или, что то же самое, значение формы объема на этих векторах.
Таким образом, в ориентированном евклидовом векторном
пространстве R3 с каждым его вектором можно указанным способом связать
линейную или билинейную форму, а задание линейной или билинейной
формы равносильно заданию соответствующего вектора в R3.
Если в R3 имеется скалярное произведение, то оно естественным
образом возникает и в любом касательном пространстве ΤΚί*,
состоящем из векторов, приложенных к точке χ £ R3, а ориентация R3
ориентирует каждое пространство ТЩ..
Значит, если в ТЩ. задать 1-форму ωι(χ) или 2-форму о;2(я), то
при перечисленных условиях это равносильно заданию в ТМ%.
некоторого вектора А(х) £ ΤΚί*, соответствующего форме о;1 (я), или вектора
В(х) £ ТМ^, отвечающего форме ω2(χ).
Следовательно, задание в некоторой области D ориентированного
евклидова пространства R3 1-формы ω1 или 2-формы ω2 равносильно
заданию в D соответствующего форме векторного поля А или В.
В явном виде это соответствие состоит в том, что
икШ) = (А{хМ), (1)
<*>в(*)(*иЬ) = (В(хМи&), (2)
где А(х), В(х), t tu&eTDx.
Мы видим уже знакомые нам форму работы ω1 = ω\ векторного
поля А и форму потока ω2 = ω2Β векторного поля В.
Скалярному полю /:£)—» R можно следующим образом
сопоставить 0-форму и З-форму в D:
ω) = /, (3)
u) = fdV, (4)
где dV — элемент объема (форма объема) в ориентированном
евклидовом пространстве R3.

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 305
Ввиду соответствий (1)-(4) операциям над формами отвечают
определенные операции над векторными и скалярными полями. Это
наблюдение, как мы вскоре убедимся, технически очень полезно.
Утверждение 1. Линейной комбинации форм одинаковой
степени отвечает линейная комбинация соответствующих им векторных
или скалярных полей.
Μ Утверждение 1, конечно, очевидно. Приведем, однако, например,
для 1-форм полную запись доказательства:
α\ωιΑι + α2ωιΜ = ах (Аи ·) + а2 (А2, ·) =
= (αχΑι + α2Α2, · > = ^αιΑι+α2Α2· ►
Из доказательства видно, что а\ и а2 можно считать функциями
(не обязательно постоянными) в области D задания форм и полей.
Для сокращения записи условимся, наряду с уже используемыми
символами (,),[,], скалярное и векторное произведения векторов А
и В в М3, когда это будет удобно, обозначать соответственно через
А В и Ах В.
Утверждение 2. Если А, В, Αι, Α2 —векторные поля в
евклидовом ориентированном пространстве R3, то
^Л^2 ="А1хА21 (5)
ω\Λω% = ω\.Β. (6)
Иными словами, внешнему произведению 1-форм, порожденных
полями Αχ, А2, отвечает векторное произведение А\ χ Α2 этих полей,
поскольку именно оно порождает получаемую в результате 2-форму.
В этом же смысле внешнему произведению 1-формы ω\ и 2-фор-
мы ω2Β, порожденных векторными полями А и В соответственно,
отвечает скалярное произведение А · В этих полей.
Μ Для доказательства фиксируем в М3 ортонормированный базис и
отвечающую ему декартову систему координат я1, я2, я3.
В декартовых координатах
з з
ωιΑ{χ№ = Α(χ) ζ, = ΣΑ'(χ)? = Σ^*)^)'
г=1 г=1

306 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
т.е.
"А
1 - A1 dx1 + A2 dx2 + A3 dx3,
(7)
ΪΒ^χ) В2{х) В3(х)
<£(*)(*!,&)= ίϊ ί? ί?
Ι ^2 S2 S2
= Β1 (χ) dx2 Λ dx3 + Β2(χ) dx3 Λ dx1 + Β3(χ) dx1 Λ ώ?2)(£ι, £2),
т.е.
α£ = Б1 dx2 Λ dx3 + Б2 dx3 Λ dx1 + В3 dx1 Λ dx2
(8)
Поэтому в декартовых координатах, с учетом выражений (7) и (8),
получаем
ωΑι Λ ωΑ2 = (А\ άχ1 + А1 άχ2 + Al άχ3) Λ (^2 άχ1 + Α2 άχ1 + Α2 άχ3) =
= (Α?Α| - Α\Α\) dx2 Λ dx3 + {Α\Α\ - Α\Α\) dx3 Λ dx1 +
+ (Α} Α| - Α\Α\) dx1 Λ dx2 = ω%,
где Β = Αι χ Α2.
Координаты были использованы при доказательстве лишь для того,
чтобы проще было найти вектор В соответствующей 2-формы. Само
же равенство (5) от координат, разумеется, не зависит.
Аналогично, перемножив равенства (7) и (8), получим
ωιΑΑω2Β = {А1 В1 + А2В2 + А3В3) dx1 Λ dx2 Λ dx3 = ω3ρ.
В декартовых координатах dx1 Adx2 Adx3 есть форма объема в R3, а
стоящая в скобке перед формой объема сумма попарных произведений
координат векторов А и В есть скалярное произведение этих
векторов в соответствующих точках области, откуда следует, что р(х) =
= А{х)-В{х). ►

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 307
<Ц=:
άωιΑ=:
άω2Β =:
• /I1
^grad/·
2
• ωά\νΒ·
3. Дифференциальные операторы grad, rot, div и V
Определение 1. Внешнему дифференцированию 0-форм
(функций), 1-форм и 2-форм в ориентированном евклидовом пространстве R3
отвечают соответственно операции нахождения градиента (grad)
скалярного поля, ротора (rot) и дивергенции (div) векторного поля,
определенные соотношениями
(9)
(10)
(И)
В силу установленного равенствами (1)-(4) соответствия между
формами, скалярными и векторными полями в М3, соотношения (9)-
(11) являются корректным определением операций grad, rot и div,
выполняемых соответственно над скалярным полем и векторными полями.
Эти операции, или, как говорят, операторы теории поля, отвечают
одной операции внешнего дифференцирования форм, только применяемой
к формам различной степени.
Укажем сразу же явный вид этих операторов в декартовых
координатах я1, я2, х3 пространства R3.
Как мы выяснили, в этом случае
"J = /, (3')
cu1A = A1dx1 + A2dx2 + A3dx3, (Г)
ω2Β = В1 dx2 A dx3 + В2 dx3 A dx1 + В3 dx1 A dx2, (8')
ω" = pdx1 A dx2 A dx3. (4')
-ι-
Поскольку
.Jrad/ :=*,} = *=!£dJ + ^dx2 + ILdx*,
то из (77) следует, что в этих координатах
^f=*S+eS+eS> (9,)
где βι, β2, ез — фиксированный в R3 ортонормированный базис.

308 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Поскольку
<4,t А ·= <Ь/а = d (A1 dx1 + A2 dx2 + A3 dx3) =
(дА3 дА2\ J о J з (дА1 ЭА3\ J з J ι
= W-^)dx Adx +{w-dxT)dx Adx +
(дА2 dAl\ J , ,o
+ U^~^J Λ '
то из (8') следует, что в декартовых координатах
(дА3 дА2\ (дА1 дА3\ (дА2 дА1\ пп1.
тоьА=е1Ы-^)+е2Ы-д^)+езЫ--д^)-{10)
Для запоминания последнее соотношение часто записывают в
следующем символическом виде:
rot A
е\ е2 е3
д д д
дх дх дх
А1 А2 А3
(Ю")
Далее, поскольку
^div в := d^B = d (В1 dx2 Λ dx3 + В2 dx3 Λ dx1 + В3 dx1 Λ da;2) =
(дв1 дв2 дв3\ л , J 2 _, з
то из (4') следует, что в декартовых координатах
<г В - — — —
cte1 cte2 cte3
(11')
Из полученных формул (9'), (10;), (И7) видно, что grad, rot и div
являются линейными дифференциальными операциями (операторами).
Оператор grad определен на дифференцируемых скалярных полях и
сопоставляет им векторные поля. Оператор rot тоже векторнозначен, но
определен на дифференцируемых векторных полях. Оператор div
определен на дифференцируемых векторных полях и он ставит им в
соответствие скалярные поля.

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 309
Отметим, что в других координатах эти операторы будут иметь
выражения, вообще говоря, отличные от полученных выше их
выражений в декартовых координатах. Об этом мы еще скажем в п. 5 этого
параграфа.
Заметим еще, что векторное поле rot А обычно называют
ротором А, ротацией поля А или вихрем поля А. В последнем случае вместо
символа rot А иногда пишут символ curl А.
В качестве примера использования рассмотренных операторов
приведем запись через них знаменитой1) системы уравнений Максвелла2),
описывающей состояние компонент электромагнитного поля как
функций точки χ — (я1, я2, я3) пространства и времени t.
Пример 1 (система уравнений Максвелла для электромагнитного
поля в вакууме).
1. divE = —. 2. divB = 0.
Здесь p(x,t) — плотность электрического заряда (количество
заряда, отнесенное к единице объема), j{x,t)—вектор плотности
электрического тока (скорость протекания заряда через единичную площадку),
E(x,t) и B(x,t)—векторы напряженности электрического и
магнитного поля соответственно, εο и с — размерные постоянные (при этом
с—скорость света в вакууме).
В математической и особенно физической литературе наряду с
введенными операторами grad, rot, div широко используется
предложенный Гамильтоном символический векторный дифференциальный опе-
^По этому поводу известный американский физик и математик Р. Фейнман
(1918-1988) в своих лекциях по физике (см. русский перевод: М., Мир, 1966, т. 5,
с. 27) с присущим ему темпераментом пишет: «В истории человечества (если
посмотреть на нее, скажем, через десять тысяч лет) самым значительным событием XIX
столетия, несомненно, будет открытие Максвеллом законов электродинамики. На
фоне этого важного научного открытия гражданская война в Америке в том же
десятилетии будет выглядеть мелким провинциальным происшествием».
2^Дж. К. Максвелл (1831-1879) — выдающийся шотландский физик; создал
математическую теорию электромагнитного поля, известен также исследованиями по
кинетической теории газов, оптике и механике.

310 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
ратор набла (оператор Гамильтона1^)
„ д д д
V = ei^ + e2a^ + e3^' (13)
где {е1,е2,ез}—ортонормированный базис в М3, а я1, я2,
х3—соответствующие ему декартовы координаты в Шг.
По определению применение оператора V к скалярному полю / (т. е.
к функции) дает векторное поле
df df df
что совпадает с полем (97), т. е. оператор набла есть попросту
записанный в других обозначениях оператор grad.
Используя, однако, векторную структуру записи оператора V,
Гамильтон предложил систему формальных операций с ним, копирующую
соответствующие алгебраические операции с векторами.
Прежде чем демонстрировать эти операции, отметим, что в
обращении с оператором V надо придерживаться тех же принципов и
соблюдать те же правила предосторожности, что и в обращении с обычным
оператором дифференцирования D = -^-. Например, cpDf равно ψ^
а не -^{ψί) или не /^. Значит, оператор действует на то, что ему
подставляют справа; левое умножение в данном случае играет роль
коэффициента, т.е. ψΌ есть новый дифференциальный оператор φ-^, а
не функция % Далее Я2 = D-D, т. е. D2/ = D(Df) = £ (£/) = £,f.
Если теперь, следуя Гамильтону, обращаться с V как с заданным в
декартовых координатах векторным полем, то, сопоставляя
соотношения (13), (9'), (10") и (И7), получаем
grad/ = V/, (14)
rotA = VxA, (15)
divB = V В. (16)
Так через оператор Гамильтона и векторные операции в R3
записываются операторы grad, rot и div.
1}У. Р. Гамильтон (1805-1865) — знаменитый ирландский математик и механик;
сформулировал вариационный принцип (Гамильтона) и построил
феноменологическую теорию оптических явлений; создатель теории кватернионов и родоначальник
векторного анализа (кстати, ему принадлежит сам термин «вектор»).

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 311
Пример 2. В записи (12) системы уравнений Максвелла
участвовали только операторы rot и div. Используя описанные принципы
обращения с оператором V = grad, мы в качестве компенсации для
оператора grad перепишем систему Максвелла в следующем виде:
1. VE= —. 2. V В = 0.
дВ j 1 дЕ (12')
at eocz cz at
4. Некоторые дифференциальные формулы векторного
анализа. В евклидовом ориентированном пространстве R3 мы
установили связь (1) - (4) между формами, с одной стороны, и векторными
и скалярными полями — с другой. Это позволило внешнему умножению
и дифференцированию форм сопоставить соответствующие операции
над полями (см. формулы (5), (6) и (9)-(H)).
Этим соответствием можно пользоваться для получения ряда
основных дифференциальных формул векторного анализа.
Например, имеют место следующие соотношения:
rot (/А) = / rot А - А х grad /, (17)
div(/A) = А · grad/ + / div A, (18)
div(A χ В) = В · rot А - А · rot В. (19)
Μ Проверим последнее равенство:
4iiv AxB = άωΑχΒ = ά(ωΑ Λ "в) = άω\ f\UlB-UlAf\ άω1Β =
— ^rot Α Λ ωΒ ~ ωΑ Λ ^rotB — ωΒ·το\,Α ~ ωΑ-τοΧΒ = ^B-rot A-A-rot В'
Аналогично проверяются и первые два соотношения. Разумеется,
проверку всех этих равенств можно осуществить и непосредственным
дифференцированием в координатах. ►
Если учесть, что ά2ω = О для любой формы о;, то можно также
утверждать, что справедливы равенства
rotgrad/ = 0, (20)
divrotA = 0. (21)

312 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Μ Действительно:
"rotgrad/ = <Цг*1/ = d{du))) = ά2ω) = О,
"div rot a = ^rot A = d{dw\) = d2o;i = 0. ►
В формулах (17)-(19) операторы grad, rot, div применяются
однократно, в то время как в (20) и (21) рассматриваются операции второго
порядка, получающиеся последовательным выполнением каких-то двух
из трех исходных операций. Кроме приведенных в (20) и (21), можно
рассмотреть также следующие парные комбинации этих операторов:
grad div A, rot rot A, div grad/. (22)
Оператор div grad применяется, как видно, к скалярному полю. Этот
оператор обозначают буквой Δ («дельта») и называют оператором
Лапласа1' или лапласианом.
Из формул (9'), (И7) следует, что в декартовых координатах
М = ^- + ^- + ^- (23)
Поскольку оператор Δ действует на числовые функции, его можно
применять покомпонентно к координатам векторных полей А = е\ А1 +
+ в2А2 + езА3, где βι, β2, ез — ортонормированный базис в R3. В этом
случае
ΔΑ = ехАА1 + е2АА2 + егАА3.
С учетом последнего равенства, для тройки операторов второго
порядка (22) можно выписать следующее соотношение:
rot rot А = grad div А - А А, (24)
на доказательстве которого мы не останавливаемся (см. задачу 2).
Равенство (24) может служить определением ΔΑ в любой, не обязательно
ортогональной системе координат.
^П. С. Лаплас (1749-1827)—знаменитый французский астроном, математик и
физик; внес фундаментальный вклад в развитие небесной механики,
математической теории вероятностей, экспериментальной и математической физики.

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 313
Используя язык векторной алгебры и формулы (14)-(16), все
операторы второго порядка (20) - (22) можно записать через оператор
Гамильтона V:
rot grad / = V χ V/ = 0,
div rot A = V · (V χ A) = 0,
grad div A = V (V · A),
rot rot A = V χ (V χ A),
div grad / = V · V/.
С точки зрения векторной алгебры обращение в нуль первых двух
из этих операторов представляется вполне естественным.
Последнее равенство означает, что между оператором
Гамильтона V и лапласианом Δ имеется простая связь:
Δ = V2.
*5· Векторные операции в криволинейных координатах
а. Подобно тому, как, например, сфера х2 + у2 + ζ2 = а2 имеет
особенно простое уравнение R = а в сферических координатах,
векторные поля χ ь-> А(х) вК3 (или W1) часто приобретают наиболее
простую запись в системе координат, отличной от декартовой. Поэтому
мы хотим теперь найти явные формулы, по которым можно было бы
находить grad, rot и div в достаточно широком классе криволинейных
координат.
Но прежде надо уточнить, что понимается под координатной
записью поля А в той или иной системе криволинейных координат.
Начнем с двух наводящих примеров описательного характера.
Пример 3. Пусть на евклидовой плоскости R2 фиксированы
декартовы координаты я1, ж2. Когда мы говорим, что в R2 задано
векторное поле (Ах,А2)(х), то мы имеем в виду, что с каждой точкой
χ = (xl,x2) G К2 связан некоторый вектор А(х) G TIIi£, который в
базисе пространства ТК£, состоящем из ортов βχ(χ), в2(х)
координатных направлений, имеет разложение А(х) = А1(х)е\(х) + А2(х)е2{х)
(рис.91). В данном случае базис {ei(x),e2(x)} пространства ТК£, по
существу, не зависит от точки х.
Пример 4. В случае, когда в той же плоскости R2 задается
полярная система координат (г, φ), с каждой точкой χ £ R2 \0 тоже мож-

314 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
в2(ж)
А(х)
Рис. 91.
Рис. 92.
но связать орты е\(х) = ег(х), в2{х) = βφ(χ) (рис.92) координатных
направлений. Они тоже образуют базис в ТМ^, по которому можно
разложить связанный с точкой χ вектор А(х) поля А: А(х) = А1(х)е\(х) +
+ А2(х)е2{х). Тогда упорядоченную пару функций (А1, А2)(х)
естественно считать записью поля А в полярной системе координат.
Так, если (А1, А2)(х) = (1,0), то это поле единичных векторов в М2,
идущих в радиальном направлении в сторону от центра 0.
Поле (А1,А2)(х) = (0,1) получается из предыдущего поля
поворотом каждого его вектора против часовой стрелки на угол π/2.
Это не постоянные поля в R2, хотя компоненты их координатного
представления постоянны. Дело все в том, что базис, по которому идет
разложение, синхронно с вектором поля меняется при переходе от точки
к точке.
Ясно, что компоненты координатного представления этих полей в
декартовых координатах вовсе не были бы постоянными. С другой
стороны, действительно постоянное поле (состоящее из параллельно
разнесенного по точкам плоскости вектора), которое в декартовых
координатах имеет постоянные компоненты, в полярных координатах имело
бы переменные компоненты.
Ь. После этих наводящих соображений рассмотрим вопрос о
задании векторных полей в криволинейных системах координат более
формально.
Прежде всего напомним, что система криволинейных координат ί1,
ί2, t3 в области Del3 —это диффеоморфизм φ: Dt —» D области Dt
евклидова пространства параметров М^ на область Z), в результате ко-

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 315
торого каждая точка χ = φ(ί) £ D приобретает декартовы координаты
^ъ ^2? ^з соответствующей точки t £ Dt.
Поскольку φ — диффеоморфизм, касательное отображение φ'(ί) :
TlRj* —> ТЩ. щ является изоморфизмом векторных пространств.
Каноническому базису &(«) = (1,0,0), &(<) = (0,1,0), &(*) = (0,0,1)
пространства ТЩ отвечает базис пространства ТМ^ ^, состоящий
из векторов &(#) = ¥>'(*)&(*) = t i ·> i = 1? 2,3, координатных
направлений. Разложению А(х) = αιζι(χ) + а2^г(^) + аз£з(#) любого
вектора А(х) £ ТШ%. по этому базису отвечает такое же разложение
A(t) = αιξι(ί) + 0:2^2(£) + «з€з(*) (с теми же компонентами αχ, α2, аз!)
вектора A(t) = (φ')~ιΑ(χ) по каноническому базису ξι(ί), &(*)? £з(£) в
Tffif. При отсутствии евклидовой структуры в R3 числа αχ, α2, аз
составили бы наиболее естественную координатную запись вектора А(х),
связанную с рассматриваемой системой криволинейных координат.
с. Однако принятие такого координатного представления не вполне
соответствовало бы тому, о чем мы договорились в примере 4. Дело в
том,что базис ξι(χ), &(#)? £з(#) пространства TRJ*, соответствующий
каноническому базису £ι(ί), &(*)? £з(£) в ТШ%, хотя и состоит из
векторов координатных направлений, вовсе не обязан состоять из ортов
этих направлений, т.е., вообще говоря, (&,&) {χ) ф 1.
Теперь мы учтем это обстоятельство, связанное с наличием
структуры евклидова пространства в R3 и, следовательно, в каждом
векторном пространстве ТШ%..
Благодаря изоморфизму <p'(t): ТЩ —> ТЩ. ,^ в ТЖ^ можно
перенести евклидову структуру пространства Т1Й*, положив для любой
пары векторов τχ, Τ2 £ TIRj* (τι,Τ2) := (φ'τι,φ'τ2). В частности, для
квадрата длины вектора отсюда получается следующее выражение:
^, ^. , (i)rV = <£,$) (t)rV = ^(i)dil(r)^(T).
Квадратичная форма
ds2 = дф) dt1 dtj, (25)
коэффициенты которой суть попарные скалярные произведения
векторов канонического базиса, вполне определяет скалярное произведение

316 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
в Тщ. Если такал форма задана в каждой точке некоторой области
Dt С К?, то, как известно из геометрии, говорят, что в этой области
задана риманова метрика. Риманова метрика позволяет, оставаясь в
прямолинейных координатах ί1, ί2, ts пространства ]R^, в каждом
касательном пространстве Tffif (t £ Dt) ввести свою евклидову структуру,
что соответствует «кривому» вложению φ: Dt —» D области Dt в
евклидово пространство М3.
Если векторы &(#) = Ψ'(*)&(*) — я» (*)' * = 1>^, 3,
ортогональны в Т1В§, то g%j{t) — О при г Φ j. Это значит, что мы имеем дело с
тприортпогональной сеткой координат. В терминах пространства ТЩ
это означает, что векторы &(£), г = 1,2,3, канонического базиса
взаимно ортогональны в смысле определяемого квадратичной формой (25)
скалярного произведения в ТЩ. Дальше мы будем рассматривать для
простоты только триортогональные системы криволинейных
координат. Для них, как было отмечено, квадратичная форма (25) имеет
следующий специальный вид:
ds2 = Ex{t) {dt1)2 + E2{t) {dt2f + Es{t) {dt3)2 , (26)
где Ei(t) = 9ii(t), t = l,2,3.
Пример 5. В декартовых (х, у, ζ), цилиндрических (г, φ, ζ) и
сферических (i?, <£, θ) координатах евклидова пространства R3
квадратичная форма (25) имеет соответственно вид
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 = (26')
= dr2 + r2 άψ2 + dz2 = (26")
= dR2 + R2 cos2 θ άψ2 + R2 άθ2. (26'")
Таким образом, каждая из этих систем является триортогональной
системой координат в области своего определения.
Векторы £i(t), &(*)? £з(*) канонического базиса (1,0,0), (0,1,0),
(0,0,1) в ТЩ, как и отвечающие им векторы &(ж) £ ΤΈ3, имеют
следующую норму1): |£i| = у/дй. Значит, орты (единичные в смысле
скалярного квадрата векторы) координатных направлений имеют для триорто-
^В триортогональной системе (26) |&| = у/Щ = Hi, г = 1,2, 3. Величины ifi, i?2,
Hz обычно называют коэффициентами или параметрами Ламе.
Г. Ламе (1795-1870) — французский инженер, математик и физик.

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 317
тональной системы (26) следующее координатное представление в
βι(ί) = (τίΓ'0,0) > e2W = (θ. ^.о) > «*(*) = (θ,0, ^) · (27)
Пример 6. Из формул (27) и результатов примера 5 вытекает,
что для декартовых, цилиндрических и сферических координат
тройки ортов координатных направлений имеют соответственно следующий
вид:
ех = (1,0,0), еу = (0,1,0), е2 = (0,0,1); (27')
ег = (1,0,0), εψ=(θ^,θ), ez = (0,0,1); (27")
eR = (1,0,0), «,= (θ,-^,θ), «.= (0,0,5). (27"'}
Разобранные выше примеры 3, 4 подразумевали, что вектор
поля раскладывается по базису, состоящему из ортов координатных
направлений. Значит, отвечающий вектору А(х) £ ТШ% поля вектор
A(t) £ ТЩ следует раскладывать не по каноническому базису ξι(£),
&{t), £з(£)> ^ по базису ei(t), β2(ί), ез(£), состоящему из ортов
координатных направлений.
Таким образом, отвлекаясь от исходного пространства R3, можно
считать, что в области Dt С Щ задана риманова метрика (25) или (26)
и векторное поле t —> Α(ί), координатное представление (Л1, A2, As)(t)
которого в каждой точке t £ Dt получается в результате разложения
A(t) = Al(t)ei(t) соответствующего этой точке вектора A(t) поля по
ортам координатных направлений.
d. Теперь разберемся с формами. Любая форма в D при
диффеоморфизме φ: Dt —» D автоматически переносится в область Dt. Этот
перенос, как нам известно, происходит в каждой точке χ £ D из
пространства ТШ% в соответствующее пространство ТЩ. Поскольку мы
перенесли в ТЩ евклидову структуру из Т1В§, то из определения
переноса векторов и форм следует, что, например, определенной в ТЩ.
форме олд(х) = (А(х), ·) соответствует точно такая же форма u>\(t) =
= (Α(ί),·) в ТЩ, где А(х) = φ'(ϊ)Α(ϊ). Это же можно сказать и о
формах вида о;^, а;3 не говоря уж о формах о;? — функциях.
После сделанных разъяснений все дальнейшие рассмотрения уже
можно вести только в области Д С 1?, отвлекаясь от исходного
пространства R3, считая, что в Dt задана риманова метрика (25), заданы

318 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
скалярные поля /, ρ и векторные поля А, В, а также формы α;?, ωιΑ,
ω2Β, 07р, которые в каждой точке t £ Dt определяются в соответствии с
евклидовой структурой в ТЩ, задаваемой римановой метрикой.
Пример 7. Форма объема dV в криволинейных координатах ίχ,
#2, ts-> к&к мы знаем, имеет вид
dV = τ/det gij(t) dt1 Λ dt2 Λ dt3.
Для триортогональной системы
dV = y/ElE2Es(t) dt1 Λ dt2 Λ dt3. (28)
В частности, в декартовых, цилиндрических и сферических
координатах соответственно получаем
dV = dx Λ dy Λ dz = (28')
= rdrAdcpAdz= (28")
= Я2 cos θ dR Λ άφ Λ άθ. (28'")
Сказанное позволяет записать форму ω3 = ρ dV в различных
системах криволинейных координат.
е. Наша основная (и теперь уже легко решаемая) задача состоит в
том, чтобы, зная разложение A(t) = Al(t)ei(t) вектора A(t) £ ТЩ по
ортам ei(t) £ TIR^, г = 1,2,3, триортогональной системы координат,
определяемой римановой метрикой (26), найти разложение форм w\(i)
и u2A(t) по каноническим 1-формам dt1 и 2-формам dt1 Λ dP
соответственно.
Поскольку все рассуждения будут относиться к любой, но
фиксированной точке £, для сокращения записи мы позволим себе опускать
символ £, отмечающий привязку рассматриваемых векторов и форм к
касательному пространству в точке t.
Итак, βι, β2, ез—базис в TKf, состоящий из ортов (27)
координатных направлений; А = А1е\ + А2в2 + А3ез— разложение вектора
А £ ТШ$ по этому базису.
Заметим, прежде всего, что из формул (27) следует, что
1 i \ 0, если г φ j,
<&{*) = -=%, где δ* = \ ' / ^ (29)
y/Ei J I 1' если г = ·?'
diA^(efc'e') = 71W^ ^ *« = \1, если (м) = (*,/). (30)

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 319
f. Таким образом, если ω\ := (А, ·) = а\ dt1 + а2 dt2 + as dt3, то, с
одной стороны,
ωιΑ(α) = (Α,α) = Α\
а с другой стороны, как видно из (29),
ωΑ(βΐ) = (αι dtl + a2 dt2 + as dt3)(ei) = αι · -γ=-
Следовательно, αι = Агу/Щ, и мы нашли разложение
ω\ = Al^/%dtl + A2^/%dt2 + A3^/%dt3 (31)
формы олд, отвечающее разложению А = Alei + A2e2 + A3es вектора А.
Пример 8. Поскольку в декартовых, сферических и
цилиндрических координатах соответственно
А — /\.χθχ τ* Ά-yCy ~г Ά-ζ^ζ =ζ
= AReR + Αφβφ + Авев,
то, как следует из результатов примера 6,
ω\ = Axdx + Ау dy + Azdz = (31')
= Ardr + Αφτ άψ + Azdz = (31")
= ARdR + ΑφΚ cos ψάψ + AeR <Ю. (31'")
g. Пусть теперь В = Ble\ + B2e2 + #3e3, a ω2Β = b\ dt2 A dt3 + b2 dts Λ
Λ dt1 + bs dt1 Λ dt2. Тогда, с одной стороны,
ω%(β2,е3) := <JV(B,е2,e3) =
з
= Σ В*аУ(еи е2, е3) = В1 · (еь е2, е3) = В\
г=1
где dV — форма объема в ΊΊξ (см. (28) и (27)).
С другой стороны, из (30) получаем
ω2Β(β2, е3) = (6i dt2 Λ dt3 + Ь2 dt3 Λ dt1 + Ь3 dt1 Λ dt2)(e2, e3) =
= bid£2Ad£3(e2,e3) =
y/E2Es

320 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Сравнивал результаты, заключаем, что Ъ\ = BX\JE2E^. Аналогично,
убеждаемся в том, что Ъ2 = В2у/Е\Е$ и Ьз == В3\/Ё\Ё2.
Таким образом, мы нашли координатное представление
ω2Β = Bl^E2E3dt2 A dt3 + B2^E3Eidt3 A dt1 + B3y/ElE2dtl A dt2 =
= ^ΕλΕ2Ε3 (-^= dt2 A dt3 + -^L· dt3 A dt1 + -^L dt1 A dt2) (32)
WEi \E2 л/Ез J
формы ω2Β, отвечающей вектору В = Ble\ + В2е2 + В3е$.
Пример 9. Используя обозначения, введенные в примере 8, и
формулы (267), (2677), (26777), в декартовых, цилиндрических и сферических
координатах получаем соответственно
ω2Β = Вх dy Л dz + Ву dz A dx + Bz dx Ady = (327)
= Brr άφ Adz + Βφ dz Adr + Bzr dr Αάφ = (32")
= BRR2 cos θάφί\άθ + ΒφΙΙάθ AdR + BeR cos OdRAdtp. (32777)
h. Добавим еще, что на основании формулы (28) можно написать,
что
ω3ρ = p^ExE2E^dtl A dt2 A dt3. (33)
Пример 10. В частности, для декартовых, цилиндрических и
сферических координат формула (33) имеет соответственно
следующий вид:
ω3ρ = pdx Ady Adz = (ЗЗ7)
= prdr AdcpAdz = (ЗЗ77)
= pR2 cos θ dR Α άφ Α άθ. (33777)
Теперь, когда получены формулы (31)-(33), легко, исходя из
определений (9)-(11) операторов grad, rot и div, найти их координатное
представление в триортогональной системе криволинейных координат.
Пусть grad/ = Ale\ + А2е2 + А3ез- Опираясь на определения,
запишем

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 321
На основании формулы (31) отсюда заключаем, что
1 Ы . 1 df 1 df
grad/
df 1
J-ei +
df 1
ίβ2 +
гез·
(34)
VEldt1 L JW2dt2 ' ' JTzdt*
Пример 11. В декартовых, полярных и сферических
координатах соответственно
дх
^anf=^Ze^ + Q^ey + ^Ze
21
дг
д£
dR
ду
df
df
or τ αφ αζ
ед +
df
\_d_f_
Rcosedtp^^ R2d0
еф +
ев-
(34')
(34")
(34'")
Пусть задано поле A(t) = (A1ei + А2е2 + A3es){t). Найдем
координаты В1, В2, В3 поля rot A(t) = B(t) = (Β^ι + B2e2 + £3e3)(i).
Исходя из определения (10) и формулы (31), получаем
ui20tA := άωιΑ = d{Aly/Ehdtl + A2y/E2dt2 + A3yJ%dt3) =
На основании соотношения (32) теперь заключаем, что
1 (dAzyfWz _ dA^/Щ
у/Ё2~Щ V dt2 dt3 )'
at3 at1 ;'
3 = 1 (dA2VW2 _ dAly/Wx\
Б1
Б'
У/Е3Е1 \
т.е.
rot A =
VΈ1Ε2Ε3
у/Ё[ех л/Ще2 л/Ще3
д д д
WWW
у/Ё[Ах y/W2J^ у/Ё~ъАъ
(35)

322 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Пример 12. В декартовых, цилиндрических и сферических
координатах соответственно
+ . (dAz дАу\ ^(эах зал ^(дАу зал
TOtA=Ы~-дг)ех+ Ы-ь)еу+ Ы-w)ez = (35)
= 1 idAz дгАЛ | (дАг ЭАЛ с +1 (ΟτΑφ_ΘΑΛβ = „
г \ д<р dz J г \ dz дг J ψ τ \ дг δφ J
RcosO V
дАв dA(ficos9\ 1 (дАп dRAe\
— ^~-— I eR + τ; I -ST Κ7Γ- I ev> +
д<р дв J Λ R\ дв dR J
1 (BRA, 1 8AR\
i. Пусть теперь задано поле B(t) = {Ble\ + B2e2 + Bzez)(i). Найдем
выражение для divB.
Исходя из определения (И) и формулы (32), получаем
ЧнуВ := d^B = d (Bl^/E2Ezdt2 Λ dt3 +
+ B2^/E3Eldt3 Λ dt1 + B3^ElE2dtl A dt1) =
fdVEo-Щв1 дУЁ^Щв2 дУЁТЩв3\ , ,+2 ,
= ( ati + dt2 + а<з )dt Adt Adt-
На основании формулы (33) теперь заключаем, что
dlvB = 7mm{ at* + at* + at» | (36)
В декартовых, цилиндрических и сферических координатах отсюда
соответственно получаем
_1(«*+ЩЛ+^_ (36»)
1 (dR2cos0BR dRBy дЯсоавВв\
R2cos0 \ dR δφ дв J' [ '

§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА 323
j. Соотношения (34), (36) можно использовать для получения
записи оператора Лапласа Δ = div grad в произвольной триортогональной
системе координат:
Δ/ = dlvgrad/ = div [WiWei + ^^β2 + -^-^ j =
(37)
Пример 13. В частности, для декартовых, полярных и
сферических координат из (37) получаем соответственно
= ±±(rw\ + L*l + #i= (ЗГ)
г дг \ дг ) г2 δψ2 dz2
= 1 0 (&°f\{ λ ^ ι 1 д (c„edS\ М»\
R23R V dRj + R2cos2edip2 + R2cos9de \ 3Θ] ' К }
Задачи и упражнения
1. Операторы grad, rot, div и алгебраические операции.
Проверьте следующие соотношения:
для grad:
a) V(/ + 5) = V/ + Vff,
b) V(f-g) = fVg + gVf,
c) V(j4 · В) = (В ■ V)A + (А · V)B + В χ (V χ А) + А χ (V χ В),
d) V (^Λ2) = (Λ · У)А + Α χ (V χ Α);
для rot:
e) V х (fA) = fVxA + VfxA,
f) V χ (Α χ B) = (B · V)A - (A · V)B + (V · B)A - (V · A)B;
для div:
g) ν·(/Λ) = ν/·Λ + /ν·Α,
h) V · (A x B) = В · (V χ A) - A ■ (V χ Β)
и перепишите их в символах grad, rot, div.
(Указания. Λ · V = Л1 ,Α- + Л2 А + А3 Д.; fl.V/V-B;Ax(BxC) =
&Е1 дзг дх
= В(А-С)-С(А-В).)

324 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
2. а) Запишите в декартовых координатах операторы (20)-(22).
b) Проверьте прямым вычислением соотношения (20), (21).
c) Проверьте формулу (24) в декартовых координатах.
d) Запишите формулу (24) через оператор V и докажите ее, используя
формулы векторной алгебры.
3. Из рассмотренной в примере 2 системы уравнений Максвелла выведите,
4ToV-j = -g.
4. а) Укажите параметры Ламе Hi, H2, Н3 декартовых, цилиндрических
и сферических координат в Е3.
Ь) Перепишите формулы (28), (34)-(37), используя параметры Ламе.
5. Поле А = grad -, где г = у/х2 + у2 + ζ2, запишите в
a) декартовых координатах х, у, ζ\
b) цилиндрических координатах;
c) сферических координатах.
d) Найдите rot А и div А.
6. В цилиндрических координатах (г,φ,ζ) функция / имеет вид In-.
Запишите поле А = grad / в
a) декартовых координатах;
b) цилиндрических координатах;
c) сферических координатах.
d) Найдите rot А и div А.
7. Напишите формулы преобразования координат в фиксированном
касательном пространстве ТЩ,, рЕ I3, при переходе от декартовой системы
координат в Е3 к
a) цилиндрическим координатам;
b) сферическим координатам;
c) произвольной триортогональной системе криволинейных координат.
d) Применяя полученные в с) формулы и формулы (34)-(37),
проверьте непосредственно инвариантность векторных полей grad A, rot А и величин
div Α, Δ/ относительно выбора системы координат, в которой происходило
их вычисление.
8. Пространство Ε3, как твердое тело, вращается вокруг некоторой оси с
постоянной угловой скоростью ω. Пусть ν — поле линейных скоростей точек
в фиксированный момент времени.
a) Запишите поле υ в соответствующих цилиндрических координатах.
b) Найдите rot v.
c) Укажите, как направлено поле rot v по отношению к оси вращения.
d) Проверьте, что | rotu| = 2ω в любой точке пространства.
e) Истолкуйте геометрический смысл rot v и геометрический смысл
обнаруженного в d) постоянства этого вектора во всех точках пространства.

§ 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
325
§ 2. Интегральные формулы теории поля
1. Классические интегральные формулы в векторных
обозначениях
a. Векторная запись форм ω\, ω2Β. В предыдущей главе мы уже
отметили (см. §2, формулы (23), (24)), что ограничение формы ωιΡ
работы поля F на ориентированную гладкую кривую (путь) 7 или
ограничение формы Jy потока поля V на ориентированную поверхность S
можно записать соответственно в следующем виде:
ωιΡ\Ί = (F,e)ds, ufy\s = (V,n)da,
где е — ориентирующий η единичный вектор, сонаправленный с
вектором скорости движения вдоль 7> ds—элемент (форма) длины на 7>
п — ориентирующий поверхность S вектор единичной нормали к
поверхности, a da — элемент (форма) площади на поверхности S.
В векторном анализе часто используют векторный элемент длины
кривой ds := eds и векторный элемент площади поверхности da :=
= nda. Используя эти обозначения, можем теперь писать:
ω\\Ί = (A,e)ds = (A, da) =A-ds, (1)
ω%\3 = (B,n)da = (Β,άσ) =Β άσ. (2)
b. Формула Ньютона —Лейбница. Пусть / £ C(l\D, Ж) а η :
[α, Ь] —> D — путь в области D.
В применении к 0-форме ω®, формула Стокса
/0/? = /*"/.
с одной стороны, означает равенство
что совпадает с классической формулой
б
/(7(b)) -/(7W) = /4f(7(*))
α

326 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Ньютона - Лейбница, а с другой стороны, по определению градиента
она означает, что
/"? = /<4rad/· (3)
#7 7
Таким образом, используя соотношения (1), формулу Ньютона-
Лейбница можно переписать в виде
/(7(b))-/(7(o)) = /(grad/)-di.
(3')
В такой записи она означает, что
приращение функции на пути равно работе на этом пути
поля градиента этой функции.
Это довольно удобная и информативная запись. Кроме
очевидного вывода о том, что работа поля grad/ вдоль пути η зависит только
от начала и конца пути, формула позволяет сделать и несколько более
тонкое наблюдение. А именно, движение по поверхности / = с уровня
функции / происходит без совершения работы полем grad/, поскольку
в этом случае grad / · ds = 0. Далее, как показывает левая часть
формулы, работа поля grad/ зависит даже не столько от начала и конца
пути, сколько от того, на каких поверхностях уровня функции / лежат
эти точки.
с. Формула Стокса. Напомним, что работа поля на замкнутом
пути называется циркуляцией поля на этом пути. Чтобы отметить,
что интеграл берется по замкнутому пути, вместо традиционного
обозначения f F - ds часто пишут § F · da. Если η — кривая на плоскости,
7 7
то иногда употребляют еще и символы (μ , ψ , в которых указано на-
7 7
правление движения по кривой η.
Термин циркуляция употребляется и тогда, когда речь идет об
интеграле по некоторому конечному набору замкнутых путей. Например,
таковым может служить интеграл по краю некоторой компактной
поверхности с краем.

§ 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
327
Пусть А — гладкое векторное поле в области D
ориентированного евклидова пространства K3,aS — (кусочно) гладкая
ориентированная компактная поверхность с краем в области D. В применении к
1-форме олд, с учетом определения ротора векторного поля, формула
Стокса означает равенство
as s
,2 А
rot A*
(4)
Используя соотношения (2), формулу (4) можно переписать в виде
классической формулы Стокса
(4')
В такой записи она означает, что
циркуляция векторного поля на границе поверхности равна
потоку ротора этого поля через саму поверхность.
Как всегда, при этом на 3S выбирается ориентация, согласованная
с ориентацией S.
d. Формула Гаусса—Остроградского. Пусть V — компактная
область ориентированного евклидова пространства Е3, ограниченная
(кусочно) гладкой поверхностью 8V— краем V. Если В — гладкое
поле в V, то в соответствии с определением дивергенции поля формула
Стокса дает равенство
дУ V
4iivB·
(5)
Используя соотношение (2) и запись pdV формы ω*ρ через форму
объема dV в R3, равенство (5) можно переписать в виде классической
формулы Гаусса - Остроградского
dV V
divBdV.
(5')
В такой записи она означает, что
поток векторного поля через границу области равен
интегралу от дивергенции этого поля по самой области.

328 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
е. Сводка классических интегральных формул. В итоге мы
пришли к следующей векторной записи трех классических
интегральных формул анализа:
//= / (V/) · cte (формула Ньютона-Лейбница), (3")
δη 7
A- ds = / (V χ Α) · da (формула Стокса), (4")
as s
В · da = (VB)dV (формула Гаусса-Остроградского). (5")
dv ν
2. Физическая интерпретация div, rot, grad
а. Дивергенция. Формулу (57) можно использовать для
выяснения физического смысла величины divB(x)— дивергенции векторного
поля В в некоторой точке χ области V задания поля. Пусть V(x) —
содержащаяся в V окрестность (например, шаровая) точки х. Объем
этой окрестности позволим себе обозначать тем же символом V(x), a
ее диаметр буквой d.
Из формулы (57) по теореме о среднем для тройного интеграла
получаем
[[В-da = divB{x')V{x),
dV(x)
где χ' — некоторая точка окрестности V(x). Если d —> 0, то х' —> х, а
коль скоро В — гладкое поле, то и div В (χ') -^ div В (χ). Значит,
И Β-άσ
агуВ(х) = ш"Пх) . (6)
d-^0 V [X)
Будем считать В полем скоростей течения (жидкости или газа).
Тогда поток поля через границу области V(x) или, что то же самое,
объемный расход среды через границу этой области, в силу закона
сохранения массы возникает только за счет стоков или источников (в том
числе связанных с изменением плотности среды) и равен суммарной
интенсивности всех этих факторов, которые мы будем называть одним

§ 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
329
словом «источники» в области V(x). Значит, дробь в правой части
соотношения (6) есть средняя (отнесенная к единице объема) интенсивность
источников в области У(ж), а предел этой величины, т.е. divВ(х) есть
удельная (отнесенная к единице объема) интенсивность источника в
точке х. Но предел отношения общего количества некоторой величины
в области V(x) к объему этой области, когда d —> 0, принято называть
плотностью этой величины в точке х, а плотность как функцию точки
обычно называют плотностью распределения данной величины в той
или иной части пространства.
Таким образом, дивергенцию div В векторного поля В можно
интерпретировать как плотность распределения источников в области
течения, т.е. в области задания поля В.
Пример 1. Если, в частности, div В ξ 0, т. е. никаких источников
нет, то поток через границу любой области должен бы быть нулевым:
сколько втекает в область — столько из нее и вытекает. И, как
показывает формула (57), это действительно так.
Пример 2. Точечный электрический заряд величины q создает в
пространстве электрическое поле. Пусть этот заряд помещен в
начало координат. По закону Кулона1^ напряженность Ε = Ε (χ) поля в
точке xGR3 (т. е. сила, действующая на пробный единичный заряд в
точке х) представляется в виде
4πεο И3'
где εο—размерная постоянная, а г — радиус-вектор точки х.
Поле Ε определено всюду вне начала координат. В сферических
координатах Ε = -gjL—^eR^ поэтому из формулы (36'") предыдущего
параграфа сразу видно, что div Ε = 0 всюду в области определения
поля Е.
Значит, если взять любую область V, не содержащую начала
координат, то в силу формулы (5') поток поля Ε через границу dV области V
окажется нулевым.
Возьмем теперь сферу Sr = {χ £ R3 | \x\ = R} радиуса R с
центром в начале координат и найдем поток поля Ε через эту поверхность
^Ш. О. Кулон (1736-1806) — французский физик. С помощью изобретенных им
же крутильных весов опытным путем открыл закон (Кулона) взаимодействия
покоящихся зарядов и магнитных полюсов.

330 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
в сторону внешней (по отношению к ограничиваемому сферой шару)
нормали. Поскольку вектор е# как раз и является единичной внешней
нормалью к сфере, то
J J 4πε0Β,2 4πε0#2 ε0
Sr Sr
Таким образом (с точностью до размерной константы εο, зависящей
от выбора системы физических единиц), мы получили величину заряда,
содержащегося в ограниченном сферой объеме.
Заметим, что в условиях разобранного примера 2 левая часть
формулы (5') корректно определена на сфере dV = S#, а подынтегральная
функция правой части определена и равна нулю всюду в шаре V, кроме
всего лишь одной точки — начала координат. И тем не менее
проведенные вычисления показывают, что интеграл в правой части формулы (57)
нельзя трактовать как интеграл от тождественного нуля.
С формальной точки зрения можно было бы отмахнуться от
разбора этой ситуации, сказав, что поле Ε не определено в точке 0 £ У, и
потому мы не имеем права говорить о равенстве (5'), доказанном для
гладких, определенных во всей области V интегрирования полей.
Однако физическая интерпретация равенства (5') как закона сохранения
массы подсказывает, что при правильной трактовке оно должно быть
справедливо всегда.
Посмотрим внимательнее, в чем состояла неопределенность в
начале координат величины div Ε из примера 2. Формально в начале
координат не определено и исходное поле £7, но, если искать div £7, исходя
из формулы (6), то, как показывает пример 2, надо было бы считать,
что div £7(0) = +оо. Значит, под интегралом в правой части (5)
оказалась бы «функция», равная нулю всюду, кроме одной точки, где она
равна бесконечности. Это соответствует тому, что вне начала
координат вообще нет зарядов, а весь заряд q мы умудрились поместить в
нулевой объем — в одну точку 0, в которой плотность заряда,
естественно, стала бесконечной. Мы сталкиваемся здесь с так называемой δ
(дельта)-функцией Дирака1).
^П. А. М.Дирак (1902-1984)—английский физик-теоретик, один из создателей
квантовой механики. Подробнее о (5-функции Дирака будет сказано в гл. XVII, § 4,
п.4 и §5, п.4.

§ 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
331
Плотности физических величин в конечном счете нужны, чтобы,
взяв от них интеграл, найти значения самих величин. Поэтому нет
нужды определять отдельно ί-функцию как функцию точки, важнее
определить интеграл от нее. Если считать, что физически «функция»
δΧο(χ) = δ(χο',χ) должна отвечать плотности такого распределения,
например массы в пространстве, при котором вся масса, равная по
величине единице, сосредоточена только в одной точке #о5 то естественно
положить, что
Г-, *,т/ ί 1, когда х0 е V,
J О, когда х0 f V.
ν к
Таким образом, с точки зрения математической идеализации
представлений о возможном распределении физической величины (массы,
заряда, и т.п.) в пространстве, следует считать, что ее плотность
распределения есть сумма обычной конечной функции, отвечающей
непрерывному распределению величины в пространстве, и некоторого набора
сингулярных «функций» (типа ί-функции Дирака), отвечающих
сосредоточению величины в отдельных точках пространства.
Значит, с этих позиций результаты проведенных в примере 2
вычислений можно было бы выразить в виде одного равенства div Ε (χ) =
= ^-ί(0;χ). Тогда применительно к полю Е интеграл в правой части
соотношения (57) действительно оказывается равным либо q/εο, либо О,
в зависимости от того, содержит ли область V начало координат (и
сосредоточенный в нем заряд) или не содержит.
В этом смысле можно (вслед за Гауссом) утверждать, что поток
напряженности электрического поля через поверхность тела равен (с
точностью до коэффициента, зависящего от системы единиц) сумме
электрических зарядов, содержащихся в теле. В этом же смысле надо
трактовать плотность ρ распределения электрического заряда в
системе уравнений Максвелла, рассмотренной в § 1 (формулы (12)).
Ь. Ротор. Рассмотрение физического смысла ротора векторного
поля начнем со следующего примера.
Пример 3. Пусть все пространство, как твердое тело, вращается
с постоянной угловой скоростью ω вокруг фиксированной оси (пусть
это ось Οζ). Найдем ротор поля ν линейных скоростей точек простран-

332 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
ства (поле рассматривается в любой, но фиксированный момент
времени).
В цилиндрических координатах (г, φ, ζ) поле υ(τ,φ,ζ) имеет
простую запись: ν(τ,φ,ζ) = ωτβφ. Тогда по формуле (35") из § 1 сразу
находим, что rot v = 2uiez. To есть rot v в данном случае является
вектором, направленным вдоль оси вращения. Его величина 2ω с точностью
до коэффициента совпадает с угловой скоростью вращения, а
направление вектора, с учетом ориентации всего пространства R3, вполне
определяет и направление вращения.
Описанное в примере 3 поле в малом напоминает поле скоростей
жидкости у воронки (стока) или поле вихреобразного движения
воздуха в области смерча (тоже сток, но вверх). Таким образом, ротор
векторного поля в точке характеризует степень завихренности поля в
окрестности этой точки.
Заметим, что циркуляция поля по замкнутому контуру меняется
пропорционально изменению величины векторов поля и, как можно
убедиться на том же примере 3, ее можно тоже использовать в качестве
характеристики завихренности поля. Только теперь, чтобы вполне
описать завихренность поля в окрестность точки, придется считать
циркуляцию по контурам, лежащим в трех различных плоскостях. Реализуем
сказанное.
Возьмем круг S{(x) с центром в точке х, лежащей в плоскости,
перпендикулярной к направлению г-й координатной оси, г = 1,2,3.
Ориентируем Si(x) с помощью нормали, в качестве которой возьмем орт е\
этой координатной оси. Пусть d — диаметр S{(x). Из формулы (4) для
гладкого поля А сразу получаем, что
§ A- da
(rotA)-ei = lim0S,(;) , (7)
d->0 Oi[X)
где через Si(x) обозначена площадь рассматриваемого круга. Таким
образом, отнесенная к единице площади циркуляция поля А на
окружности dSi в плоскости, ортогональной г-й координатной оси,
характеризует г-ю компоненту вектора rot А.
Чтобы полнее уяснить себе смысл ротора векторного поля,
вспомним, что любое линейное преобразование пространства есть
композиция растяжений в трех взаимно ортогональных направлениях,
переноса пространства как твердого тела и его вращения как твердого те-

§2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
333
ла. При этом любое вращение можно реализовать как вращение вокруг
некоторой оси. Любая гладкая деформация среды (течение жидкости
или газа, оползание грунта, изгибание стального стержня) локально
линейна. С учетом сказанного и примера 3 можно заключить, что если
имеется векторное поле, описывающее движение среды (поле скоростей
точек среды), то ротор этого поля в каждой точке дает мгновенную ось
вращения окрестности точки, величину мгновенной угловой скорости
и направление вращения вокруг мгновенной оси. То есть ротор
полностью характеризует вращательную часть движения среды. Это будет
несколько уточнено ниже, когда будет выяснено, что ротор следует
рассматривать как некоторую плотность распределения локальных
вращений среды.
с. Градиент. О градиенте скалярного поля, т. е. попросту о
градиенте функции, мы в свое время уже довольно подробно говорили,
поэтому здесь остается только напомнить главное.
Поскольку <^rad/(£) = (grad/,ξ) = d/(£) = Drf, где ^/ —
производная функции / по вектору ξ, то вектор grad/ ортогонален
поверхностям уровня функции /, указывает в каждой точке направление
наиболее быстрого роста значений функции, а его величина |grad/|
дает скорость этого роста (относительно единицы длины, которой
измеряются смещения в пространстве изменения аргумента).
О градиенте как плотности будет сказано ниже.
3. Некоторые дальнейшие интегральные формулы
а. Векторные варианты формулы Гаусса-Остроградского.
Истолкование ротора и градиента как некоторых плотностей,
аналогичное истолкованию (6) дивергенции как плотности, можно получить
из следующих классических формул векторного анализа, связанных с
формулой Гаусса-Остроградского:
/ V · В dV = da · В (теорема о дивергенции), (8)
V dV
is/xAdV= ί da x А (теорема о роторе), (9)
ν dv

334 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
/ VfdV = / daf (теорема о градиенте). (10)
ν dv
Первое из этих трех соотношений с точностью до обозначений
совпадает с равенством (57) и является формулой Гаусса -
Остроградского. Векторные равенства (9), (10) вытекают из (8), если применить эту
формулу к каждой компоненте соответствующего векторного поля.
Сохраняя те же обозначения V(x), d, что и в равенстве (6), из
формул (8) — (10) единообразно получаем
/ da-В
V.B(x) = KmdV{x) , (6')
d-^0 V [Χ)
f da χ Α
VxA(x) = lim^— , (11)
I daf
Vf(x) = hmdVi*\ . (12)
d->0 V [X)
Правые части равенств (8) - (10) можно интерпретировать
соответственно как скалярный поток векторного поля В, как векторный поток
векторного поля А и как векторный поток скалярного поля / через
поверхность dV, ограничивающую область V. Тогда величины divB,
rot A, grad/, стоящие в левых частях равенств (б7), (11), (12), можно
интерпретировать как соответствующие плотности распределения
источников этих полей.
Заметим, что правые части соотношений (б7), (11), (12) не зависят
от системы координат. Отсюда вновь можно сделать вывод об
инвариантности градиента, ротора и дивергенции.
Ь. Векторные варианты формулы Стокса. Подобно тому, как
формулы (8) - (10) были результатом совмещения формулы
Гаусса-Остроградского с алгебраическими операциями над векторными и
скалярными полями, следующая тройка формул получается совмещением
этих же операций с классической формулой Стокса (которая выступает
в качестве первого из этих трех соотношений).

§ 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
335
Пусть S — (кусочно) гладкая компактная ориентированная
поверхность с согласованно ориентированным краем <?5, da — векторный
элемент площади на поверхности 5, a ds— векторный элемент длины
на 3S. Тогда для гладких полей А, В, / имеют место соотношения
[ da-{V x А)= I ds-A, (13)
s as
[{da xV)xB= ids χ В, (14)
S dS
ί daxVf = ίdsf. (15)
s as
Формулы (14), (15) вытекают из формулы Стокса (13). На их
доказательстве мы здесь не останавливаемся.
с. Формулы Грина. Если S — некоторая поверхность, а п —
единичный вектор нормали к 5, то производную Dnf функции / по
вектору η в теории поля чаще всего записывают символом w-. Например,
(V/, da) = (V/, η) da = (grad /, η) da = Dnf da = ^da. Таким
образом, ffcda есть поток поля grad/ через элемент da поверхности.
В этих обозначениях можно записать следующие достаточно
широко используемые в векторном анализе и теории поля формулы Грина:
JvfVgdV + JgV2fdV = J(gVf) ■ άσ 1= Jg^-da) , (16)
V V dV \ dV /
I
(gVzf-fVzg)dV =
I Г / fit Яп\
da . (17)
В частности, если в (16) положить / = д, а в (17) положить д = 1,
dV \ dV
dg_
dn

336 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
то соответственно получим
J\Vf\2dV + JfAfdV = J fVf-άσ 1 = J f^daV (16')
ν ν av \ av I
JAfdV = Jxtf.da Uj^-daV (17')
ν av
Последнее равенство часто называют теоремой Гаусса. Докажем,
например, второе из равенств (16), (17):
« У (0V/ - fVg) ■ da = J V · (gVf - fVg) dV =
dv ν
= f{Vg ■ V/ + gV2f - V/ · Vy - /V2<?) dV =
ν
= |(5V2/ - /V25) dV = J(gAf - fAg) dV.
ν ν
Мы воспользовались формулой Гаусса - Остроградского и тем, что
V · (φ А) = V<p · А + <pV · А. ►
Задачи и упражнения
1. Исходя из формулы Гаусса-Остроградского (8), докажите
соотношения (9), (10).
2. Исходя из формулы Стокса (13), докажите соотношения (14), (15).
3. а) Проверьте, что формулы (8), (9), (10) остаются в силе и для
неограниченной области V, если подынтегральные функции в поверхностных
интегралах имеют порядок 0(^1 при г —> оо. (Здесь г = |r|, r — радиус-вектор
точек пространства Е3.)
b) Проверьте, остаются ли в силе формулы (13), (14), (15) для
некомпактной поверхности S С I3, если подынтегральные функции в криволинейных
интегралах имеют порядок О I -^) при г —> оо.
c) Приведите примеры, показывающие, что для неограниченных
поверхностей и областей формулы Стокса (4') и Гаусса - Остроградского (5'), вообще
говоря, несправедливы.

§2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
337
4. а) Исходя из интерпретации дивергенции как плотности источников,
объясните, что уравнение 2 системы (12) § 1 уравнений Максвелла
подразумевает отсутствие у магнитного поля точечных источников (т. е. магнитных
зарядов не бывает).
Ь) Используя формулу Гаусса-Остроградского и систему (12) § 1
уравнений Максвелла, покажите, что никакая жесткая конфигурация пробных
зарядов (например, один заряд) не может находиться в состоянии устойчивого
равновесия в области электростатического поля, свободной от (других)
зарядов, создающих это поле. (Предполагается, что никакие иные силы, кроме
создаваемых полем, при этом на систему не действуют.). Этот факт известен
как теорема Ирншоу.
5. Если электромагнитное поле стационарно, т.е. не зависит от времени,
то система (12), § 1 уравнений Максвелла распадается на две независимые
части—систему V-E — -£-,VxE = О уравнений электростатики и систему
fc0
V χ В = —2-ττ, V · В = О уравнений магнитостатики.
Уравнение V Ε = ρ/εο> где ρ — плотность распределения зарядов, по
формуле Гаусса-Остроградского преобразуется в соотношение f Ε · άσ — Q/εο,
s
где слева стоит поток напряженности электрического поля через замкнутую
поверхность 5, а справа — сумма Q зарядов, попавших в область,
ограниченную поверхностью 5, деленная на размерную постоянную εο· В электростатике
это соотношение обычно называется законом Гаусса. Используя закон Гаусса,
найдите электрическое поле Ε
a) создаваемое однородно заряженной сферой, и убедитесь, что вне сферы
оно совпадает с полем точечного заряда той же величины, помещенного в
центре сферы;
b) однородно заряженной прямой;
c) однородно заряженной плоскости;
d) пары параллельных и однородно заряженных зарядами
противоположного знака плоскостей;
e) однородно заряженного шара.
6. а) Докажите формулу Грина (16).
b) Пусть / — гармоническая в ограниченной области V функция (т.е. /
удовлетворяет в V уравнению Лапласа Δ/ = 0). Покажите, исходя из
равенства (17'), что поток градиента этой функции через границу области V равен
нулю.
c) Проверьте, что гармоническая в ограниченной связной области
функция определяется с точностью до аддитивной постоянной значениями своей
нормальной производной на границе этой области.
d) Исходя из равенства (16'), докажите, что если гармоническая в
ограниченной области функция на границе области всюду равна нулю, то она
тождественно равна нулю во всей этой области.
e) Покажите, что если на границе ограниченной области значения двух

338 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
гармонических в этой области функций совпадают, то эти функции совпадают
во всей области.
f) Исходя из равенства (16), проверьте следующий принцип Дирихле: среди
всех непрерывно дифференцируемых в области функций, принимающих
заданные значения на границе области, наименьшее значение интегралу Дирихле
(т. е. интегралу от квадрата модуля градиента функции по области)
доставляет гармоническая в области функция и только она.
7. а) Пусть r(p,q) = \р — q\—расстояние между точками p,q евклидова
пространства Е3. Фиксировав точку р, получим функцию rp (q) точки q Ε Ш3.
Покажите, что Ar~1(q) — 4nS(p;q), где δ — дельта-функция.
b) Пусть g — гармоническая в области V функция. Полагая в формуле (17)
/ = 1/гр, с учетом предыдущего результата получаем
4π9(ρ) = f (gV^- - ^Vgj · da.
s
Докажите это равенство аккуратно.
c) Выведите из предыдущего равенства, что если 5 — сфера радиуса R с
центром в точке р, то
S
Это так называемая теорема о среднем для гармонических функций.
d) Исходя из предыдущего результата, покажите, что если В — шар,
ограниченный рассмотренной там сферой 5, a V(B)—его объем, то справедливо
также равенство
в
e) Если p,q — точки евклидовой плоскости Ε2, то вместо рассмотренной
в а) функции — (отвечающей потенциалу заряда, помещенного в точку р)
возьмем теперь функцию In — (отвечающую в пространстве потенциалу
равномерно заряженной прямой). Покажите, что Δ In — = 2π<5(ρ;<7), где S(p\q) в
данном случае есть дельта-функция в Е2.
f) Повторив проведенные в а), Ь), с), d) рассуждения, получите теорему о
среднем для функций, гармонических в плоских областях.
8. Многомерная теорема Коти о среднем.
Классическая теорема о среднем для интеграла («теорема Лагранжа»)
утверждает, что если функция f:D—>R непрерывна на компактном, измеримом
и связном множестве D CW1 (например, в области), то найдется такая точка
ξ е D, что
Jf(x)dx = №-\D\,
D

§3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
339
где \D\—мера (объем) D.
a) Пусть теперь f,g Ε С(£),М), т.е. /, д — непрерывные вещественнознач-
ные в D функции. Покажите, что верна следующая «теорема Коши»: найдется
точка ξ Ε D такая, что
g(t)Jf(x)dx = №jg(x)dx.
D D
b) Пусть D — компактная область с гладкой границей dD, a f,g — два
гладких векторных поля в D. Покажите, что найдется такая точка ξ Ε -D, что
divff(0 · Flux / = div /(0 · Fluxg,
OJJ OJJ
где Flux — поток векторного поля через поверхность dD.
§ 3. Потенциальные поля
1. Потенциал векторного поля
Определение 1. Пусть А — векторное поле в области β С Р.
Функция U: D ^ Ш называется потенциалом поля А в области £>,
если в этой области А — grad U.
Определение 2. Поле, обладающее потенциалом, называется
потенциальным полем.
Поскольку в связной области частные производные определяют
функцию с точностью до константы, то в такой области потенциал
поля определен с точностью до аддитивной постоянной.
В первой части курса мы уже вскользь говорили о потенциале. Здесь
мы обсудим это важное понятие несколько подробнее. Отметим в
связи с данными определениями, что в физике при рассмотрении разного
рода силовых полей потенциалом поля F обычно называют такую
функцию 17, что F = — grad U. Такой потенциал отличается от введенного
определением 1 только знаком.
Пример 1. Напряженность F гравитационного поля,
создаваемого помещенной в начало координат точечной массой М, в точке
пространства, имеющей радиус-вектор г, вычисляется по закону Ньютона
в виде
F=-GM^, (1)

340 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
где г = \г\.
Это сила, с которой поле действует на единичную массу в
соответствующей точке пространства. Гравитационное поле (1) потенциально.
Его потенциалом в смысле определения 1 является функция
U = GM-. (2)
г
Пример 2. Напряженность Ε электрического поля точечного
заряда q, помещенного в начало координат, в точке пространства,
имеющей радиус-вектор г, вычисляется по закону Кулона
Е= Я г
4πεο τ"3'
Таким образом, такое электростатическое поле, как и
гравитационное поле, потенциально. Его потенциал φ, в смысле физической
терминологии, определяется соотношением
q ι
4πεο г
2. Необходимое условие потенциальности. На языке
дифференциальных форм равенство А = grad U означает, что ω\ — dufy =
= dU, откуда вытекает, что
άω\ = 0, (3)
поскольку а2и)ц = 0. Это необходимое условие потенциальности поля А.
В декартовых координатах оно имеет совсем простое выражение.
Если А = (А1,...,Ап) и А = gradt/, то в декартовых координатах
СкТТ
Аг — τγ7ι i = 1,...,га, и при достаточной гладкости потенциала U
ох
(например, непрерывность вторых частных производных) должно быть
дА* дА* . . л
что попросту означает равенство смешанных производных
д2и д2и
dxi dxi dxi дх1'
П
В декартовых координатах ω\ — ]П Аг dxl, поэтому равенство (3)
г=1
и соотношения (З7) действительно в этом случае равносильны.

§ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
341
В случае R3 по определению ротора άω\ = ^otA, поэтому
необходимое условие (3) потенциальности поля А для R3 можно переписать в
виде
rot A = О,
что соответствует уже знакомому нам соотношению rot grad U = 0.
Пример 3. Заданное в декартовых координатах пространства R3
поле А = (x,xy,xyz) не может иметь потенциал, так как, например,
д(ху) / дх
ох ' ~ду'
Пример 4. Рассмотрим поле А — уА.х, Ау) вида
А={~хЧ^,^Т?)' (4)
заданное в декартовых координатах во всех точках плоскости, кроме
начала координат. Необходимое условие потенциальности ^-^ = -^-
здесь выполнено. Однако, как мы сейчас убедимся, это поле не
потенциально в области своего определения.
Таким образом, необходимое условие (3) или, в декартовых
координатах, условия (3'), вообще говоря, не являются достаточными для
потенциальности поля.
3. Критерии потенциальности векторного поля
Утверждение 1. Непрерывное в области DcKn векторное
поле А потенциально в D тогда и только тогда, когда его циркуляция
{работа) на любом лежащем в D замкнутом пути 7 равна нулю:
/
A-ds = 0. (5)
Μ Необходимость. Пусть А = gradi/. Тогда по формуле
Ньютона— Лейбница (§2, формула (3'))
/■
А-аз = иЫЪ))-иЫа)),
7
где 7'· [а5Ь] ~~> D. Если η(α) = j(b), т.е. когда путь 7 замкнутый,
очевидно, правая, а вместе с ней и левая часть последнего равенства
обращаются в нуль.

342 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Достаточность. Пусть условие (5) выполнено. Тогда интеграл
по любому (не обязательно замкнутому) пути в области D зависит
только от его начала и конца, а в остальном от пути не зависит.
Действительно, если 7ι и 72 — два пути с общим началом и концом, то, пройдя
сначала путь 71, а затем путь — 725 (т·е· 72 в обратном направлении), мы
получим замкнутый путь 7, интеграл по которому, с одной стороны, в
силу (5) равен нулю, а с другой стороны, есть разность интегралов по
7ι и 72· Значит, эти интегралы действительно равны.
Фиксируем в D некоторую точку xq и положим теперь
χ
U(x) = J
А ■ ds, (6)
ХО
где справа стоит интеграл по любому пути, идущему в области D из
точки xq в точку χ £ D. Проверим, что определенная так функция U
является искомым потенциалом поля А. Для удобства будем считать,
что в W1 взята декартова система координат (я1,..., хп). Тогда A-ds =
= A1 dxl + ... + Ап dxn. Если от точки χ прямолинейно сместиться на
вектор /ге^, где е\ — орт соответствующей координатной оси, то при
этом функция U получит приращение
U(x + hei)-U(x)= i Ai(x1,...,xi-l,t,xi+l,...,xn)dt,
равное интегралу от формы А · ds по указанному пути перехода из χ
в x + hei. Ввиду непрерывности поля А последнее равенство по теореме
о среднем можно записать в виде
U(x + hei) - U(x) = А{(х\ ... ,х{~\х{ + 0/i,xm,... ,χη)/ι,
где 0 ^ θ ^ 1. Поделив это равенство на h и устремив h к нулю,
получаем
т.е. действительно А = gradU. ►
Замечание 1. Как видно из доказательства, для
потенциальности поля А достаточно, чтобы условие (5) выполнялось для гладких

§ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
343
путей или, например, хотя бы для ломаных, звенья которых
параллельны координатным осям.
Теперь вернемся к примеру 4. В свое время (см. пример 1 § 1 гл. VIII)
мы подсчитали, что циркуляция поля (4) на окружности х2 + у2 = 1,
пробегаемой один раз против часовой стрелки, равна 2π(^ Ο).
Таким образом, на основании утверждения 1 можно заключить, что
поле (4) не потенциально в рассматриваемой области R2 \ 0.
Но ведь, например,
gradarctg - = ( —γ-—«> ~г~к—о ) '
χ \ х1 + у1 х1 + у2)
и, казалось бы, функция arctg ^ является потенциалом поля (4). Что
это — противоречие?! Противоречия пока нет, поскольку единственный
правильный вывод, который следовало бы в этой ситуации сделать,
состоит в том, что функция arctg ^ не определена во всей области R2 \ 0.
И это действительно так: возьмите, например, точки оси Оу. Но тогда,
скажете вы, можно рассмотреть функцию φ(χ, у) —полярный угол
точки (х, у). Практически это та же функция arctg ^, но φ(χ, у) определена
и при χ = 0, лишь бы точка (х, у) не совпадала с началом координат.
Всюду в области R2 \ 0
XI X
xz + yz xz + yz
Однако и теперь противоречия никакого нет, хотя сейчас уже
ситуация более деликатная. Обратите внимание на то, что φ на самом-то
р^еле не является непрерывной однозначной функцией точки в нашей
области R2 \ 0. При обходе точки вокруг начала координат против
часовой стрелки ее полярный угол, непрерывно меняясь, увеличится на 2π,
когда точка вернется в начальное положение. То есть мы приходим в
исходную точку не с тем же, а с новым значением функции.
Следовательно, либо надо отказаться от непрерывности φ в области R2 \0, либо
надо отказаться от однозначности φ.
В малой окрестности (не содержащей начала координат) каждой
точки области R2 \ 0 можно выделить непрерывную однозначную ветвь
функции φ. Все такие ветви отличаются лишь на аддитивную
постоянную, кратную 2π. Именно поэтому все они имеют одинаковый
дифференциал и могут служить локальными потенциалами нашего поля (4).
Тем не менее во всей области R2 \ 0 поле (4) потенциала не имеет.

344 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Разобранная на примере 4 ситуация оказывается типичной в том
смысле, что необходимое условие (3) или (3') потенциальности поля А
локально является и достаточным. Имеет место
Утверждение 2. Если необходимое условие потенциальности
поля выполняется в некотором шаре, то в этом шаре поле имеет
потенциал.
< Для наглядности сначала проведем доказательство в случае круга
D = {я, у £ R2 | х2 + у2 < г2} на плоскости R2. В точку (х,у) круга из
начала координат можно прийти по двум различным двузвенным
ломаным 7ι, 725 звенья которых параллельны координатным осям (рис.93).
Поскольку D — выпуклая область, весь ограниченный этими ломаными
прямоугольник I содержится в D.
По формуле Стокса с учетом условия (3) получаем
Jlj1a = Jdu;lA = 0.
di ι
На основе замечания к утверждению 1
отсюда уже можно сделать вывод о
потенциальности поля А в D. Кроме того, на основе
доказательства достаточности в утверждении 1 в
качестве потенциала вновь можно взять
функцию (6), понимая при этом интеграл как
интеграл по пути, ведущему из центра в
рассматриваемую точку вдоль ломаной, звенья
которой параллельны координатным осям. В
рассмотренном случае независимость такого
интеграла от выбора пути 71, 72 непосредственно
вытекала из формулы Стокса для прямоугольника.
В высших размерностях из формулы Стокса для двумерного
прямоугольника следует, что замена двух соседних звеньев ломаного пути
на два звена, составляющие параллельные исходным стороны
соответствующего прямоугольника, не меняет интеграла по пути. Поскольку
такими перестройками последовательно можно перейти от одного
ломаного пути к любому другому, ведущему в ту же точку, то и в общем
случае потенциал оказывается определенным корректно. ►
Рис. 93.

§ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
345
4. Топологическая структура области и потенциал.
Сопоставляя пример 4 и утверждение 2, можно заключить, что при
выполнении необходимого условия (3) потенциальности поля вопрос о том,
всегда ли оно потенциально, связан с устройством (топологической
структурой) области, в которой поле задано. Следующие рассмотрения (здесь
и в п. 5) дают первоначальное представление о том, какие именно
характеристики области отвечают за это.
Оказывается, если область D такова, что любой замкнутый путь,
лежащий в Z), можно, не выходя за пределы области Z), стянуть в
некоторую точку этой области, то в ΰ необходимое условие (3)
потенциальности поля уже будет и достаточным. Ниже мы назовем такие
области односвязными. Шар — односвязная область (и потому имеет
место утверждение 2), а вот плоскость с проколом R2 \ 0 не
является односвязной, так как охватывающий начало координат путь нельзя
стянуть в точку этой же области, не выходя за ее пределы. Именно
поэтому не всякое удовлетворяющее условиям (3') поле в R2 \ 0, как мы
видели в примере 4, обязано быть потенциальным в области Μ2 \ 0.
Перейдем теперь от описаний к точным формулировкам. Прежде
всего поясним, что мы имеем в виду, когда говорим о деформации или
стягивании пути.
Определение 3. Говорят, что в области D имеется гомотопия
(или деформация) замкнутого пути 70· [0,1] —> D в замкнутый путь
7ι: [0,1] —> D, если указано такое непрерывное отображение Г: I2 —> D
квадрата I2 = {{tl,t2) G R2 | 0 ^ t* ^ 1,г = 1,2} в область £>, что
Γ(ί\0) = 7о(*1), Γ(ί\ΐ) = 71 (ί1) и Г(0,*2) = Г(1,*2) при любых t\t2 e
е[о,1].
Таким образом, гомотопия и есть отображение Г: I2 —> D (рис. 94).
Если переменную t2 считать временем £, то согласно определению 3
в каждый момент времени t — t2 мы имеем свой замкнутый путь
T(tl,t) — 7« (рис.94)1). Изменение этого пути со временем таково, что
в начальный момент t — t2 — 0 он совпадают с путем 7(h a B мо_
мент t — t2 — 1 он преобразуется в путь 71 ·
Поскольку в любой момент t £ [0,1] выполняются условия 7*(0) —
Ша рис. 94 вдоль некоторых кривых стоят ориентирующие их стрелки, которые
будут использованы несколько позже и на которые читатель пока не должен
обращать внимания.

346 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Рис. 94.
= Г(0,£) = Γ(1,ί) = 7ί(1)> означающие, что путь 7*— замкнутый,
отображение Г: I2 —> D индуцирует на боковых сторонах квадрата I2
одинаковые отображения Po(tl) := Г(^,0) = T(tl, 1) =: βι(ίι).
Отображение Г является формализацией нашего представления о
том, как постепенно путь 70 деформируется в путь 71 · Изменение этого
пути со временем таково, что в начальный момент t2 — О он совпадает
с путем 7о 5 а в момент t2 — 1 он преобразуется в путь 71 ·
Ясно, что время можно пустить в обратную сторону, и тогда мы из
пути 7ι получим путь 7о·
Определение 4. Два замкнутых пути называются гомотопными
в области, если их можно гомотопировать друг в друга в пределах
этой области, т. е. построить в этой области гомотопию одного пути в
другой.
Замечание 2. Поскольку пути, с которыми нам придется в
анализе иметь дело, это, как правило, пути интегрирования, то без
дополнительных оговорок мы будем рассматривать только гладкие или
кусочно гладкие пути и их гладкие или кусочно гладкие гомотопии.
Для областей, лежащих в Rn, можно проверить, что наличие
непрерывной гомотопии (кусочно) гладких путей в них обеспечивает и
наличие (кусочно) гладкой гомотопии этих же путей.
Утверждение 3. Если 1-форма ω\ в области D такова, что

§ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
347
άω\ — О, а замкнутые пути 70 u 7ι гомотопны в D, то
μ-μ
70 71
Μ Пусть Г: I2 —> D — гомотопия 70 в 7ι (см· рис. 94). Если /о, 1\ —
основания квадрата /2, a Jo, Λ—его боковые стороны, то, по
определению гомотопии замкнутых путей, ограничение Г на /о и h совпадает
с 7о и 7ι соответственно, а ограничение Г на Jo и Λ дает некоторые
пути βο и βχ в D и, поскольку Г(0,£2) = Г(1,£2), пути βο и /3χ просто
совпадают. В результате замены переменных χ = Г(£) форма олд
перенесется в квадрат I2 в виде некоторой 1-формы ω — Г*олд. При этом
άω — άΓ*ωιΑ = Γ*άω\ = 0, так как άω\ — 0. Значит, по формуле Стокса
Ιω=Ιάω=
0.
дР I2
Но
Ιω=Ιω+Ιω-Ιω~Ιω=
h h Jo
= J "A + J "A - J "A ~ f«>A = f«>A ~ J ωΑ·
dl2 /o J\ h Jo
70 βχ 71 βο 70 71
Определение 5. Область называется односвязной, если любой
замкнутый путь в ней гомотопен точке (т.е. постоянному пути).
Итак, именно в односвязной области любой замкнутый путь можно
стянуть в точку.
Утверждение 4. Если заданное в односвязной области D поле А
удовлетворяет необходимому условию (3) или (З7) потенциальности,
то оно потенциально в D.
< В силу утверждения 1 и замечания 1 к нему нам достаточно
проверить, что равенство (5) имеет место для любого гладкого пути η в
области D. Путь η по условию гомотопен постоянному пути, носитель
которого состоит из одной точки. Интеграл по такому одноточечному
пути, очевидно, равен нулю. Но в силу утверждения 3 при гомотопии

348 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
интеграл не меняется, значит, и для пути η должно быть выполнено
равенство (5). ►
Замечание 3. Утверждение 4 включает в себя утверждение 2.
Однако, имея в виду некоторые приложения, мы сочли полезным дать
независимое конструктивное доказательство утверждения 2.
Замечание 4. Утверждение 2 было доказано без ссылки на
возможность гладкой гомотопии гладких путей.
5. Векторный потенциал. Точные и замкнутые формы
Определение 6. Поле А называется векторным потенциалом
поля В в области ΰ CR3, если в этой области выполняется
соотношение В — rot А.
Если вспомнить связь между векторными полями и формами в
евклидовом ориентированном пространстве Μ3, а также определение
ротора векторного поля, то соотношение В — rot А можно переписать в
виде ω2Β — άω\. Отсюда следует, что ω\ινΒ = άω2Β — (Ρω\ — 0. Таким
образом, мы получаем следующее необходимое условие
divB-0, (7)
которому в области D должно удовлетворять поле В, чтобы оно
могло иметь векторный потенциал, т.е. чтобы оно могло быть ротором
некоторого векторного поля А в этой области.
Поле, удовлетворяющее условию (7), часто, особенно в физике,
называют соленоидалъным полем.
Пример 5. В § 1 мы выписали систему (12) уравнений Максвелла.
Второе из уравнений этой системы как раз совпадает с равенством (7).
Таким образом, естественно появляется желание считать магнитное
поле В ротором некоторого векторного поля А — векторного
потенциала поля В. Именно к такому векторному потенциалу и переходят при
решении системы уравнений Максвелла.
Как видно из определений 1 и 6, вопросы о скалярном и векторном
потенциале векторных полей (последний вопрос при этом мы ставили
только вМ3) являются частными случаями общего вопроса о том, когда
дифференциальная р-форма ωρ является дифференциалом άωρ~ι
некоторой формы ωρ~ι.

§ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
349
Определение 7. Дифференциальная форма ωρ называется
точной в области Ζ), если в этой области существует такая форма ωρ~ι,
что ωρ — άωρ~ι.
Если форма ωρ точна в D, то άωρ = ά2ωρ~ι — 0. Таким образом,
условие
άω = 0 (8)
является необходимым условием точности формы ω.
Как мы уже видели (пример 4), не всякая форма, удовлетворяющая
этому условию, является точной, поэтому вводится
Определение 8. Дифференциальная форма ω называется
замкнутой в области £), если в этой области она удовлетворяет условию (8).
Имеет место
Теорема (лемма Пуанкаре). Если форма замкнута в шаре, то
она и точна в нем.
Здесь уже речь идет о шаре в W1 и о форме любого порядка, поэтому
утверждение 2 является простейшим частным случаем этой теоремы.
Лемму Пуанкаре можно истолковать и так: необходимое условие (8)
точности формы локально является и достаточным, т. е. для любой
точки области, где выполнено условие (8), найдется такая ее окрестность,
в которой форма ω точна.
В частности, если векторное поле В удовлетворяет условию (7), то
из леммы Пуанкаре следует, что по крайней мере локально оно является
ротором некоторого векторного поля А.
Мы не останавливаемся здесь на доказательстве этой важной
теоремы (желающие прочитают его в гл. XV), а предпочтем в заключение
(опираясь на сведения об 1-формах) пояснить в общих чертах связь
вопроса о точности замкнутых форм с топологией области их задания.
Пример 6. Рассмотрим плоскость М2 с двумя выколотыми
точками pi, р2 (рис. 95) и изображенные на рисунке их носителями пути 7(ь 7ι
и 72· Путь 72 в пределах рассматриваемой области D можно стянуть в
точку, поэтому если в D задана замкнутая форма о;, то интеграл от нее
по 72 равен нулю. Путь 70 нельзя стянуть в точку, но, не меняя значения
интеграла от формы о;, этот путь можно прогомотопировать в путь 7ι·

350 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Рис. 95.
Интеграл по пути 7ъ очевидно, сводится к
интегралу по одному циклу, обходящему по
часовой стрелке точку ρχ, и удвоенному интегралу
по циклу, обходящему точку р2 против часовой
стрелки. Если через Τχ и Τ<ι обозначить
интегралы от нашей формы ω по малым окружностям,
охватывающим соответственно точки ρχ и р2 и
проходимым, например, против часовой
стрелки, то можно понять, что интеграл от формы ω
по любому замкнутому пути в области D будет
равен п{Г\ + П2Т2, где π χ и П2 — некоторые
целые числа, указывающие, сколько раз и в каком
направлении мы обошли каждую из дырок ρχ,
Р2 плоскости М2.
Окружности ex, C2, зацепляющие ρχ и р2, служат как бы базисом, в
котором любой замкнутый путь 7СД с точностью до не влияющей
на интеграл гомотопии, имеет вид 7 = ^ι^ι + П2С2. Величины f ω = Т{
Ci
называют циклическими постоянными или периодами интеграла. Если
область более сложная и в ней имеется к штук независимых простейших
циклов, то в соответствии с разложением 7 = п\С\ + .. .+ПкСк получится,
что f ω = πχΤχ + ... + п^Т^. Оказывается, для любого набора Τχ,...,Т^
7
чисел в такой области можно построить замкнутую 1-форму, которая
будет иметь именно такой набор периодов (это частный случай
теоремы Де Рама; см. гл. XV).
Для наглядности мы обратились к рассмотрению плоской области,
но все сказанное можно повторить и для любой области ucKn.
Пример 7. В полнотории (области, ограниченной в Шг тором)
все замкнутые пути, очевидно, гомотопны сколько-то раз пробегаемой
окружности, охватывающей дырку. Эта окружность и составит здесь
единственный не точечный базисный цикл с.
Более того, все сказанное можно повторить и для путей высших
размерностей. Если вместо одномерных замкнутых путей — отображений
окружности или, что то же самое, отображений одномерной сферы,
брать отображения fc-мерной сферы, ввести для них понятие гомотопии
и смотреть, сколько таких негомотопных между собой отображений к-

§ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
351
мерной сферы в данную область D CW1 существует, то получится
некоторая характеристика области Z), которая в топологии оформляется
в так называемую k-ю гомотопическую группу области D и
обозначается nj£(D). Если все отображения fc-мерной сферы в D гомотопны
постоянному отображению, то считается, что группа π^(£>)
тривиальна (состоит только из одного элемента). Может так случиться, что
πι(Ό) тривиальна, a ^{D) не тривиальна.
Пример 8. Если в качестве D взять пространство R3 с
выброшенной из него точкой 0, то, очевидно, любой замкнутый путь в такой
области стягивается в точку, а сферу, охватывающую выброшенную
из R3 точку 0, нельзя в пределах этой области прогомотопировать в
точку.
Оказывается, за периоды замкнутой fc-формы ответственна не
совсем гомотопическая группа π^(Ζ>), а так называемая группа
гомологии Hk(D) (см. гл. XV).
Пример 9. Из сказанного можно заключить, что, например, в
области D — R3 \ 0 всякая замкнутая 1-форма точна (М3 \ 0 — одно-
связная область), но не всякая замкнутая 2-форма является точной. На
языке векторных полей это означает, что любое безвихревое поле А
в R3 \ О является градиентом некоторой функции, но не всякое поле В
без источников (div В — 0) является в этой области ротором
некоторого поля.
Пример 10. В противовес примеру 9 возьмем в качестве
области D полноторие. Для полнотория группа π\(Ό) не тривиальна (см.
пример 7), a ^{D) тривиальна, поскольку любое отображение /: S2 —»
—> D двумерной сферы в D в пределах D стягивается в постоянное
(образ сферы стягивается в точку). В этой области не всякое
безвихревое поле потенциально, но всякое поле без источников является ротором
некоторого поля.
Задачи и упражнения
1. Покажите, что любое центральное поле А = f(r)r потенциально.
2. Пусть F = — gradf/ — потенциальное силовое поле.
Покажите, что положения устойчивого равновесия частицы в таком поле
находятся в точках минимума потенциала U этого поля.
3. Для электростатического поля Ε система уравнений Максвелла (§1,
(12)), как уже отмечалось, сводится к паре уравнений V · Ε = ^-, VxE = 0.

352 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Условие V χ Ε = 0, по крайней мере локально, подразумевает, что Ε =
= — grad φ. Поле точечного заряда потенциально, а поскольку любое
электростатическое поле есть сумма (или интеграл) таких полей, то оно тоже всегда
потенциально. Подставляя Ε = —Vy? в первое из уравнений
электростатического поля, получим, что его потенциал φ удовлетворяет уравнению Пуассо-
на1^ Αφ = -β-. Потенциал φ полностью определяет поле Е, поэтому описание
поля Ε сводится к отысканию функции φ — решения уравнения Пуассона.
Зная потенциал точечного заряда (пример 2), решите следующую задачу.
a) Два заряда —q, +q находятся в точках (0,0, — d/2), (0,0, d/2)
пространства Μ3, наделенного декартовыми координатами (х, ?/,ζ). Покажите, что на
большом по сравнению с величиной d удалении от этих зарядов потенциал
создаваемого ими электростатического поля имеет вид
где г — модуль радиус-вектора г точки (x,y,z).
b) Удаление от зарядов на большое расстояние равносильно сближению
зарядов, т.е. уменьшению величины d. Если теперь величину qd =: ρ
фиксировать и уменьшать d, то в пределе в области R3 \ 0 получится функция
φ = -ς^- -?Lp. Удобно ввести вектор р, равный по величине ρ и направленный
от —q к +q. Пару зарядов —q, +q и получаемую описанным предельным
переходом конструкцию называют диполем, а вектор ρ—диполъным моментом.
Полученная в пределе функция φ называется потенциалом диполя. Найдите
асимптотику потенциала диполя при уходе от диполя по лучу, составляющему
угол θ с направлением дипольного момента.
c) Пусть φο — потенциал единичного точечного заряда, а φι — потенциал
диполя, имеющего дипольный момент ρχ. Покажите, что ψ\ = — (pi · V)<^o·
d) Конструкцию с предельным переходом, которую мы провели для
пары зарядов при получении диполя, можно повторить для четверки зарядов
(точнее, для двух диполей с дипольными моментами pi, Р2) и получить ква-
друполь и соответствующий ему потенциал. В общем случае можно получить
мулътиполъ порядка j с потенциалом φ^ — (—l)J(Pj · V)(pj_i · V)... (pi ·
-ν)φο = Σ Q\kl —ιψ—j > гДе Q\ki — так называемые компоненты момен-
i+k+i=j дх дУ dz
та мультиполя. Проведите выкладки и проверьте формулу для потенциала
мультиполя в случае квадруполя.
e) Покажите, что главный член асимптотики потенциала скопления
зарядов при удалении от этого скопления равен ^- ψ, где Q — суммарный заряд
^С. Д.Пуассон (1781-1840)—французский механик, математик и физик;
основные работы по теоретической и небесной механике, математической физике и теории
вероятностей. Уравнение Пуассона появилось в его исследованиях гравитационного
потенциала и притяжения сфероидами.

§ 3. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
353
скопления.
f) Покажите, что главный член асимптотики потенциала электрически
нейтрального тела, состоящего из зарядов противоположного знака
(например, молекула), на большом по сравнению с размерами тела расстоянии от
него равен ^^Р'^г. Здесь ег — единичный вектор, направленный из тела на
наблюдателя; ρ = Y^qidi, где qi — величина г-го заряда, a d{ — его радиус-
вектор; начало координат выбрано в одной из точек тела.
g) Потенциал любого скопления зарядов на большом расстоянии от
скопления раскладывается (в смысле асимптотики) по функциям типа потенциалов
мультиполей. Покажите это на примере первых двух членов такого
потенциала (см. d), e) и f)).
4. Проверьте, односвязны ли следующие области:
a) круг {(х,у) е Ш2 | х2 + у2 < 1};
b) круг с выколотым центром {(х,у) еШ2 | О < х2 + у2 < 1};
c) шар с выколотым центром {(ж, y,z) еШ3 | О < х2 + у2 + ζ2 < 1};
d) кольцо Ux,у) еШ2 £ < х2 + у2 < 11;
e) шаровое кольцо \ (ж, у, ζ) Ε Μ3 ^ < χ2 + у2 + ζ2 < 1 >;
f) полноторие в Е3.
5. а) Дайте определение гомотопии пути с закрепленными концами.
Ь) Докажите, что область односвязна тогда и только тогда, когда любые
два пути в ней, имеющие общее начало и общий конец, гомотопны в смысле
определения а).
6. Покажите, что:
a) любое непрерывное отображение f:S1->S2 окружности 51
(одномерной сферы) в двумерную сферу S2 стягивается по S2 в точку (в постоянное
отображение);
b) любое непрерывное отображение f:S2^S1 тоже гомотопно
отображению в одну точку;
c) любое отображение f'.S1 —> S1 гомотопно при некотором η Ε Ζ
отображению φ ι-» ηφ, где φ — полярный угол точки окружности;
d) любое отображение сферы S2 в полноторие гомотопно отображению в
одну точку;
e) любое отображение окружности 51 в полноторие гомотопно при
некотором η Ε Ζ замкнутому пути, пробегающему η раз окружность,
охватывающую дырку полнотория.
7. В области Ε3 \ 0 (пространство с выброшенной точкой 0) постройте:
a) замкнутую, но не точную 2-форму;
b) векторное поле без источников, которое не является ротором какого-
либо векторного поля в этой области.
8. а) Могут ли в области D = W1 \ 0 (пространство Шп с выброшенной
точкой 0) быть замкнутые, но не точные формы степени ρ < η — 1?

354 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Ь) Постройте в области D = W1 \ О замкнутую, но не точную форму
степени ρ = η — 1.
9. Если 1-форма ω замкнута в области D CW1, то в силу утверждения 2
любая точка χ Ε D имеет окрестность U(x), в пределах которой форма ω
точна. Далее ω — замкнутая форма.
a) Покажите, что если два пути 7г: [0,1] —^ D, г = 1,2, имеют
одинаковые начала и концы и отличаются лишь на промежутке [α, β] С [0,1], образ
которого при каждом из отображений 7г лежит в пределах одной и той же
окрестности U(x), то J ω = f ω.
71 72
b) Покажите, что для любого пути [0,1] Э t ι-» j(t) E D можно указать
такое число δ > 0, что если путь η имеет те же начало и конец, что и путь 7,
и уклоняется от η не больше чем на <5, т. е. max |7(£) — 7(01 ^ <^ то f ω — f ω-
c) Покажите, что если два пути 7ь 72 с общими началом и концом
гомотопны в области D как пути с закрепленными концами, то для замкнутой в D
формы ω имеет место равенство f ω = f ω.
71 72
10. а) Позднее будет доказано, что любое непрерывное отображение Г:
I2 —> D квадрата I2 можно сколь угодно точно равномерно аппроксимировать
гладким отображением (даже с полиномиальными компонентами). Выведите
отсюда, что если пути 7ъ 72 в области D гомотопны, то при любом ε >
> 0 можно найти такие гладко гомотопные между собой пути 7ъ 72 > что
o<f<i '^^ " 7ί^' ^ ε' * = 1'2'
Ь) Используя результаты задачи 9, покажите теперь, что если интегралы
по гладко гомотопным путям от замкнутой в области D формы равны
между собой, то они равны и для любых гомотопных в этой области путей (без
предположения о гладкости этой гомотопии). Сами пути, разумеется,
предполагаются настолько регулярными, насколько это нужно для интегрирования
по ним.
11. а) Покажите, что если формы ωρ, ωρ-1, ωρ~ι таковы, что ωρ =
= άωρ~ι = άωρ~ι, то (по крайней мере локально) можно указать форму ωρ~2
такую, что ωρ~ι = ωρ~ι + άωρ~2. (То, что любые две формы,
отличающиеся на дифференциал некоторой формы, имеют одинаковый дифференциал,
очевидно, вытекает из равенства (Ρω = 0.)
b) Покажите, что потенциал φ электростатического поля (задача 3)
определяется с точностью до аддитивной постоянной, которая фиксируется, если
потребовать, чтобы на бесконечности потенциал стремился к нулю.
12. Из системы уравнений Максвелла (§ 1, (12)) получается следующая
пара уравнений магнитостатики: VJ3 = 0, VxJ3 = —-^-ч·· Первое из этих урав-
ε°
нений показывает, что, по крайней мере локально, поле В имеет векторный
потенциал А, т. е. В = V х А.
а) Опишите произвол в выборе потенциала А магнитного поля В (см. за-

§4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ
355
дачу Па)).
b) Пусть х, у, ζ — декартовы координаты в Е3. Найдите потенциал А
однородного магнитного поля J3, направленного вдоль оси Οζ, при соблюдении
каждого (в отдельности) из следующих дополнительных требований: поле А
должно иметь вид (О, Ау, 0); поле А должно иметь вид (Ах, 0,0); поле А должно
иметь вид (Ах, Ау, 0); поле А должно быть инвариантно относительно
поворотов вокруг оси 0ζ.
c) Покажите, что выбор потенциала А, удовлетворяющего
дополнительному требованию V--A = 0, сводится к решению уравнения Пуассона, точнее к
отысканию скалярной функции ψ, которая при заданной скалярной функции /
удовлетворяет уравнению Δ^ = /.
d) Покажите, что если потенциал А статического магнитного поля В
выбрать так, что V · А = 0, то он будет удовлетворять следующему векторному
уравнению Пуассона: Δ А = — —^. Таким образом, привлечение потенциалов
позволяет свести отыскание электростатических (задача 3) и магнитостати-
ческих полей к решению уравнения Пуассона.
13. Известна следующая теорема Гелъмголъца1^: любое гладкое в
области D евклидова ориентированного пространства Е3 поле F можно
разложить в сумму F = F\ + F2 безвихревого поля F\ и соленоидального поля F2.
Покажите, что построение такого разложения можно свести к решению
некоторого уравнения Пуассона.
14. Пусть данная масса некоторого вещества переходит из состояния,
характеризуемого термодинамическими параметрами Vo, Ро> (То), в состояние
V, Ρ, (Τ). Предположим, что процесс протекает медленно (квазистатически) и
идет по пути 7 плоскости состояний (с координатами V, Р). В термодинамике
доказывается, что величина S = f -ψ-, где SQ— форма теплообмена, зависит
7
только от начала (Vo,Po) и конца (V,P) пути, т.е. после фиксирования одной
из этих точек, например (Vo,Po)> S становится функцией состояния (V,Р)
рассматриваемой системы. Эта функция называется энтропией системы.
a) Выведите отсюда, что форма ω = -ψ- является точной, причем ω = dS.
b) Используя указанный в задаче 6 § 1 гл. XIII вид формы SQ для
идеального газа, найдите энтропию идеального газа.
§ 4. Примеры приложений
Чтобы показать введенные выше понятия в работе, а также
пояснить физический смысл формулы Гаусса - Остроградского - Стокса как
1^Г. Л. Ф. Гельмгольц (1821 -1894) —немецкий физик и математик, один из
первооткрывателей общего закона сохранения энергии. Кстати, именно он впервые четко
разделил понятия силы и энергии.

356 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
закона сохранения, мы рассмотрим здесь в качестве иллюстрации
вывод некоторых важных уравнений математической физики.
1. Уравнение теплопроводности. Изучается скалярное поле
Τ = T(x,y,;z,t) температуры наблюдаемого тела как функция точки
(я, у, ζ) тела и времени t. В результате теплообмена между
различными частями тела поле Τ может как-то меняться. Однако это изменение
не произвольно, а подчинено определенному закону, который мы и
хотим в явном виде выписать.
Пусть D — некоторая объемная часть наблюдаемого тела,
ограниченная поверхностью S. Если в D нет источников тепла, то изменение
внутренней энергии содержащегося в D вещества может происходить
только в результате теплообмена, т. е. в данном случае путем переноса
энергии через границу S области D.
Подсчитав отдельно изменение внутренней энергии в объеме D и
поток энергии через поверхность 5, мы на основе закона сохранения
энергии приравняем эти величины и получим нужное соотношение.
Известно, что для увеличения на ΔΤ температуры однородной
массы т требуется тепловая энергия в количестве cm AT, где с — удельная
теплоемкость рассматриваемого вещества. Значит, если за
промежуток времени Δί наше поле Τ изменилось на величину ΔΤ = Т(х, у, z, t +
+ At) — T(x,y,;z,£), то внутренняя энергия в области D изменилась на
величину
cpATdV, (1)
D
где ρ = р(х, у, ζ) — плотность вещества.
Из эксперимента известно, что в достаточно большом диапазоне
изменения температур количество тепла, протекающее в результате
теплообмена через выделенную в теле площадку άσ = η da за
единицу времени, пропорционально потоку — gradT · da поля — gradT через
эту площадку (grad берется по пространственным переменным х, у, ζ).
Коэффициент к пропорциональности зависит от вещества и
называется его коэффициентом теплопроводности. Знак минус перед gradT
отвечает тому, что энергия переходит от более нагретых частей тела
к менее нагретым. Таким образом, за промежуток времени At через
границу S области D в сторону внешней нормали пройдет следующая
///

§4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ
357
энергия (с точностью до o(At)):
At // - к grad Τ -da. (2)
s
Приравнивал величину (1) ко взятой с противоположным знаком
величине (2) после деления на At и перехода к пределу при At —> О,
получаем
HI cp^dV = Цк grad Τ · da. (3)
D S
Это равенство и является уравнением на функцию Т. Считая Τ
достаточно гладкой, преобразуем равенство (3), используя формулу
Гаусса - Остроградского:
/// сржdv=IIIdiy{k grad т) dVt
D D
Отсюда ввиду произвольности области Z), очевидно, следует, что
сур
ср-^— = div(fcgradT). (4)
ot
Мы получили дифференциальный вариант интегрального
равенства (3).
Если бы в области D были источники (или стоки) тепла,
интенсивность которых имела бы плотность F(x, у, ζ, £), то вместо равенства (3)
мы должны были бы написать равенство
IIIcp^dv=IIfcgradT ■άσ+IIIFdv' (з,)
D S D
и тогда вместо (4) мы получили бы уравнение
дТ
ср— = div(k grad T) + F. (4')
ot
Если тело считать изотропным и однородным в смысле его
теплопроводности, то коэффициент к будет постоянной и уравнение (4)
преобразуется к следующему каноническому виду:
^ = ο2ΔΤ + /, (5)

358 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
где / = ^, а2 = ^ — коэффициент температуропроводности.
Уравнение (5) называется обычно уравнением теплопроводности.
В случае установившегося режима теплообмена, когда поле Τ не
зависит от времени, это уравнение превращается в уравнение Пуассона
ΑΤ = φ, (6)
где φ = — -о/, а если еще и тепловых источников в теле не было, то
а
получается уравнение Лапласа
ΔΤ = 0. (7)
Решения уравнения Лапласа, как уже отмечалось, называют
гармоническими функциями. В теплофизической интерпретации
гармонические функции отвечают установившимся температурным полям в
телах, тепловые потоки в которых идут без стоков и источников в самих
телах, т. е. источники тепла находятся вне тела. Например, если на
границе 3V тела V поддерживать заданный тепловой режим Т\дУ = т, то
со временем температурное поле в теле V стабилизируется в виде
некоторой гармонической функции Т. Такая интерпретация решений
уравнения Лапласа (7) позволяет предугадать ряд свойств гармонических
функций. Например, надо полагать, что гармоническая в области V
функция не может иметь внутри этой области локальных максимумов,
иначе бы из этих более нагретых участков тепло только утекало и они
бы охлаждались вопреки предположению о том, что поле стационарно.
2. Уравнение неразрывности. Пусть p=p(x,y,z,t)—плотность
некоторой материальной среды, заполняющей наблюдаемое
пространство, а υ = v(x,y, z,t)—поле скоростей движения среды как функция
точки (х, у, ζ) пространства и времени t.
Исходя из закона сохранения количества вещества, пользуясь
формулой Гаусса - Остроградского, укажем взаимосвязь этих величин.
Пусть D — область в наблюдаемом пространстве, ограниченная
поверхностью S. За промежуток времени Δί количество вещества в
области D изменяется на величину
(р(х, y,z,t + At) - р(х, у, z, t)) dV.
D
///

§ 4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ
359
За малый промежуток времени At поток вещества через поверхность S
в сторону внешней нормали к S равен (с точностью до o(At)) величине
At- pv - da.
s
Если в области D не было источников и стоков, то в силу закона
сохранения количества вещества
III ApdV = -At IIpv · da
D S
или в пределе при At —> О
///ι—//—
D S
Применяя к правой части этого равенства формулу Гаусса -
Остроградского и учитывая, что D — произвольная область, заключаем, что
для достаточно гладких функций ρ, ν должно выполняться
соотношение
^ = - div(p»), (8)
называемое уравнением неразрывности сплошной среды.
В векторных обозначениях уравнение неразрывности запишется в
виде
^ + V · (pv) = 0, (8')
или, в более развернутом виде,
^- + v-Vp + pV'V = 0. {8")
ot
Если среда несжимаема (жидкость), то объемный расход среды
через замкнутую поверхность S должен быть нулевым:
//
ν · da = О,
s

360 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
откуда (на основании той же формулы Гаусса - Остроградского)
следует, что для несжимаемой среды
divv = 0. (9)
Значит, для несжимаемой среды переменной плотности (вода и
масло) уравнение (8") приводится к виду
^+v-Vp = 0. (10)
Если среда еще и однородна, то Vρ = 0, и потому -£ = 0.
3. Основные уравнения динамики сплошной среды.
Выведем теперь уравнения динамики движущейся в пространстве
сплошной среды. Наряду с уже рассмотренными выше функциями ρ, ν,
которые и здесь будут обозначать плотность и скорость среды в данной
точке (х, у, ζ) пространства в момент времени £, рассмотрим давление
ρ = р(х, у, г, t) как функцию точки пространства и времени.
Выделим в пространстве, занятом средой, область £),
ограниченную поверхностью 5, и рассмотрим силы, действующие на выделенный
объем среды в фиксированный момент времени.
На каждый элемент pdV массы среды могут действовать
некоторые силовые поля (например, гравитационное). Эти поля создают так
называемые массовые силы. Пусть F — F(x,y,z,t) — плотность
создаваемых внешними полями массовых сил. Тогда со стороны таких полей
на элемент массы pdV действует сила FpdV. Если указанный элемент
в рассматриваемый момент времени имеет ускорение а, то по закону
Ньютона это эквивалентно наличию еще массовой силы инерции,
равной —apdV.
Наконец, на каждый элемент άσ — ηάσ поверхности S со
стороны частиц среды, соседних с попавшими в Ζ), действует поверхностная
сила —pdcr, вызванная давлением (здесь η — внешняя нормаль к S).
По принципу Даламбера в каждый момент движения любой
материальной системы все силы, приложенные к ней, включая и силы инерции,
взаимно уравновешиваются, т.е. их равнодействующая должна быть
равна нулю. В нашем случае это означает, что
{F - a)pdV - ίίράσ = 0. (11)
D S
///

§ 4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ
361
Первый член этой суммы есть равнодействующая массовых сил и
сил инерции, а второй дает равнодействующую давления на
поверхность 5, ограничивающую рассматриваемый объем. Мы для простоты
считаем, что имеем дело с идеальной (не вязкой) жидкостью или
газом, в которых давление на площадку άσ имеет вид pdcr, где число ρ
не зависит от ориентации площадки в пространстве.
Применяя формулу (10) из § 2, на основании равенства (11) получаем
JIJ(F - a)pdV - JlJgmdpdV = 0,
D D
откуда ввиду произвольности области Z), очевидно, следует, что
pa = pF - gradp. (12)
В таком локальном виде уравнение движения среды вполне
соответствует уравнению Ньютона движения материальной частицы.
Ускорение а частицы среды есть производная -£ от скорости υ этой
частицы. Если χ = χ(ί), у = y(i), ζ = z(t)—закон движения частицы в
пространстве, а ν = ν (χ, у, ζ, t)—поле скоростей среды, то для любой
индивидуальной частицы получаем
dv dv dv dx dv dy dv dz
dt dt dx dt dy dt dz dt
или
a = — + (v · V)v.
Таким образом, уравнение движения (12) приобретает следующую
форму:
-£ = F--gradp (13)
at p
или
-т^ + {υ · V)v = F - -Vp. (14)
at ρ
Уравнение (14) обычно называется гидродинамическим уравнением
Эйлера.

362 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Векторное уравнение (14) равносильно системе трех скалярных
уравнений на три компоненты вектора υ и еще на пару функций р, р.
Таким образом, уравнение Эйлера еще не вполне определяет
движение идеальной сплошной среды. К нему, правда, естественно добавить
уравнение неразрывности (8), но и тогда система еще будет недоопре-
делена.
Чтобы движение среды стало определенным, к уравнениям (8) и (14)
следует добавить еще информацию о термодинамическом состоянии
среды (например, уравнение состояния f(p,p,T) = О и уравнение на
теплообмен). Представление о том, что могут дать эти соотношения,
читатель получит из следующего заключительного пункта этого
параграфа.
4. Волновое уравнение. Рассмотрим теперь движение среды,
соответствующее распространению в ней звуковой волны. Ясно, что
такое движение тоже подчиняется уравнению (14), но благодаря
специфике явления это уравнение в данном случае можно упростить.
Звук есть чередующиеся состояния разрежения и уплотнения
среды, причем отклонения давления от его среднего значения в звуковой
волне очень малы — порядка 1 %. Поэтому звуковое движение состоит в
малых отклонениях элементов объема среды от положения равновесия,
совершаемых с малыми скоростями. Однако скорость
распространения возбуждения (волны) по среде соизмерима со средней скоростью
движения молекул среды и обычно значительно превышает скорость
теплообмена между различными частями рассматриваемой среды.
Таким образом, звуковое движение объема газа можно рассматривать как
малые колебания около положения равновесия, совершаемые без
теплообмена (адиабатический процесс).
Ввиду малости самих макроскопических скоростей ν, пренебрегая
в уравнении движения (14) членом (ν · V)v, получаем равенство
Если по той же причине пренебречь членом вида -£v, то последнее
равенство приводится к уравнению
— {pv)=pF-Vp.

§4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ
363
Применив к нему оператор V (по координатам я, у, ζ), получим
— (V ·/w) = V · pF - Δρ.
Используя уравнение неразрывности (8') и введя обозначение
V · pF = — Φ, приходим к уравнению
^ = Ф + Ар.· (15)
Если влиянием внешних полей можно пренебречь, то уравнение (15)
сводится к соотношению
£-*· <*>
между плотностью и давлением в звучащей среде. Поскольку процесс
адиабатический, уравнение состояния /(ρ, ρ, Τ) = 0 сводится к
некоторому соотношению ρ = ψ (ρ), из которого следует, что ^-£ = ф'(р)^-% "'"
+ ^//(р)(т#) · Ввиду малости колебания давления в звуковой волне
можно считать, что ф'{р) = Ф'(ро), гДе Ро—равновесное давление.
Тогда ф" = О и ^-£ « φ'(ρ)¥-ξ. Учитывая это, из (16) получаем
окончательно
где α = (^'(Ро))1^2· Это уравнение описывает изменение давления в
среде, находящейся в состоянии звукового движения. Уравнение (17)
описывает простейший волновой процесс в сплошной среде. Оно
называется однородным волновым уравнением. Величина а имеет простой
физический смысл: это скорость распространения звукового
возбуждения в данной среде, т.е. скорость звука в ней (см. задачу 4).
В случае вынужденных колебаний, когда на каждый элемент объема
среды действуют некоторые силы, объемная плотность распределения
которых задана, уравнение (17) заменяется соответствующим
уравнению (15) соотношением
^P=a2Ap + f, (18)
которое при / ψ О называют неоднородным волновым уравнением.

364 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Задачи и упражнения
1. Пусть поле скоростей υ движущейся сплошной среды потенциально.
Покажите, что если среда несжимаема, то потенциал φ поля υ является
гармонической функцией, т.е. Αφ = 0 (см. (9)).
2. а) Покажите, что уравнение Эйлера (14) можно переписать в виде
dv , /1 Л „ 1
+ grad -υ ] — υ xrotv = F grad p
V2 / Ρ
dt
(см. задачу 1 к § 1).
b) Проверьте, исходя из полученного в а) уравнения, что безвихревое
течение (rot ν = 0) однородной несжимаемой жидкости возможно только в
потенциальном поле F.
c) Оказывается (теорема Лагранжа), если в какой-то момент течение в
потенциальном поле F = grad U было безвихревым, то оно было и будет
безвихревым всегда. Такое течение, следовательно, по крайней мере локально
потенциально, т.е. υ = grady?. Проверьте, что для потенциального течения
однородной несжимаемой жидкости, происходящего в потенциальном поле F,
в каждый момент времени выполняется соотношение
«-(*+т+Н-а
d) Выведите из полученного равенства так называемый интеграл Коши
— соотношение, утверждающее независимость левой его части от
пространственных координат.
e) Покажите, что если течение к тому же и установившееся, т. е. поле ν
не зависит от времени, то имеет место соотношение
о
V Ό
— Η U = const,
2 ρ
называемое интегралом Бернулли.
3. Течение, поле скоростей которого имеет вид υ = (vXlvyi0), естественно
назвать плоскопараллелъным или просто плоским течением.
а) Покажите, что условия divv = 0, rot υ = 0 несжимаемости и
потенциальности для плоского течения имеют соответственно следующий вид:
dv^ dv^ =0 dvx dvy __
Эх dy dy dx

§ 4. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ
365
b) Покажите, что эти уравнения по крайней мере локально
гарантируют существование функций ф(х,у) и (р{х,у) таких, что (—vy,vx) = grad^ и
(νχ,υυ) = gra,d<p.
c) Проверьте, что линии уровня φ = ci, ψ = С2 этих функций
ортогональны и покажите, что в установившемся потоке линии ψ = с совпадают с
траекториями движущихся частиц среды. Именно поэтому функцию ψ
называют функцией тока, в отличие от функции φ — потенциала скоростей.
d) Покажите, в предположении достаточной гладкости функций φ, ψ, что
обе они являются гармоническими функциями и удовлетворяют системе
уравнений Коши - Римана:
δφ _di\) δφ _ δψ
дх ду ду дх
Гармонические функции, удовлетворяющие системе Коши-Римана, называют
сопряженными гармоническими функциями.
e) Проверьте, что функция f(z) = (φ + iip)(x,y), где ζ = χ + гу, является
дифференцируемой функцией комплексного переменного ζ. Это и определяет
связь плоских задач гидромеханики с теорией функций комплексного
переменного.
4. Рассмотрим простейший вариант ^-ξ = а ^-^ волнового уравнения
(17). Это случай плоской волны, в которой давление зависит только от
координаты χ точки (x,y,z) пространства.
a) Сделав замену переменных и = x — at,v = x + at, приведите это
уравнение к виду 0ц § = 0 и покажите, что общий вид решения исходного уравнения
таков: ρ = f(x + at) + д(х — at), где /, д — произвольные функции класса С^2\
b) Истолкуйте полученное решение как две волны f(x) и д(х),
распространяющиеся соответственно влево и вправо вдоль оси Ох со скоростью а.
c) Считая, что и в общем случае (17) величина а есть скорость
распространения возбуждения, и учитывая соотношение а = (^'(Ро))-1^2? найдите,
вслед за Ньютоном, скорость с ν звука в воздухе, полагая, что температура в
звуковой волне постоянна, т. е. полагая, что процесс звуковых колебаний
является изотермическим. (Уравнение состояния ρ = j^; R = 8,31 град .^оль —
универсальная газовая постоянная; μ = 28,8 ^ж — молекулярный вес
воздуха. Расчет проведите для воздуха, находящегося при температуре 0°С, т.е.
Г = 273 К. Ньютон нашел, что суу = 280 м/с.)
d) Считая процесс звуковых колебаний адиабатическим, найдите, вслед за
Лапласом, скорость сь звука в воздухе и уточните тем самым результат с ν
Ньютона. (При адиабатическом процессе ρ = ср1'. Это формула Пуассона из
задачи 6 к §1 гл. XIII. Покажите, что если сдг = */£ то сь = 7 л/л· Для
воздуха 7 ^ 1,4. Лаплас нашел сь — 330 м/с, что превосходно согласуется с
опытом.)
5. Используя скалярный и векторный потенциалы, систему уравнений

366 ГЛ. XIV. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ПОЛЯ
Максвелла ((12) § 1) можно свести к волновому уравнению (точнее, к
нескольким однотипным волновым уравнениям). Решив эту задачу, вы убедитесь в
сказанном.
a) Из уравнения V · В = 0 вытекает, что, по крайней мере локально, В =
= V χ А, где поле А — векторный потенциал поля В.
b) Зная, что В = V χ А, покажите, что из уравнения V χ Ε = — ^М
следует, что, по крайней мере локально, найдется скалярная функция φ такая,
что Ε = -Χ7φ- ^г.
c) Проверьте, что поля Ε = —Χ7φ — ίτ- и В = V χ А не изменятся, если
вместо пары φ, А взять другую пару потенциалов φ, А, такую, что φ = ψ~^τ·,
А = А + Vt/j, где ф — произвольная функция класса С^2\
d) Из уравнения V-E = ■£- вытекает первое соотношение — V2<p— £V-A =
= -Ρ- между потенциалами φ и А.
e) Из уравнения c2V χ Β — ίτ- = j- вытекает второе соотношение
между потенциалами φ и А.
f) Используя с), покажите, что, решив вспомогательное волновое
уравнение Δψ + / = -^^НЬ н€ меняя полей £" и J3, можно выбрать потенциалы ^
и А так, чтобы они удовлетворяли дополнительному (так называемому
калибровочному) условию V · А = — -2 7$-·
g) Покажите, что если потенциалы φ и А выбраны так, как сказано в f),
то из d) и е) получаются искомые неоднородные волновые уравнения
δ2φ 2 А рс2 д2А 2 . . J
—\ = с2 Αφ + *—, —- = с2АА + ±
дъ2 εο ot2 ε0
на потенциалы у?иА. Найдя φ и А, найдем и поля Ε = V<^, В = V χ Α.

* ГЛАВА XV
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
НА МНОГООБРАЗИЯХ
§ 1. Некоторые напоминания из линейной алгебры
1. Алгебра форм. Пусть X—линейное пространство, a Fk:
Хк —> Ш — вещественнозначная fc-форма на X. Если ei,...,en—базис
в X, а χι = x%xtix,...,Хк = х%кегк —разложение векторов χχ,...,х^ £ X
по этому базису, то в силу линейности Fk по каждому аргументу
Fk{xu ...,xk) = Fk(xileil,... ,xikeik) =
= * \£%\) · · · 5 ^ik)x ' . . . ' X — 0>%\..Л^ . . . * X . \L)
Таким образом, после задания базиса в X, fc-форму Fk: Xk —> R
можно отождествить с набором чисел а^...^ = Fk(e{1^..., е^).
Если ?ι,..., еп — другой базис в X и ajlm„jk = Fk(ej1,..., е^), то,
полагая е} = с*е^, j = 1,..., η, находим (тензорный) закон
aji-jk = F \cjxeiii * * * >cjkeib' = а^-лксз\ ' — ' ' Cjk { '
преобразования числовых наборов а^...^, 2^...^, отвечающих одной и
той же форме Fk.
Множество Тк \— {Fk: Хк —> Щ fc-форм на линейном
пространстве X само является линейным пространством относительно
стандартных операций
{Fk+F$){x):=F*{x) + F${x), (3)
{\Fk){x) := XFk{x) (4)

368 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
сложения fc-форм и умножения fc-формы на число.
Для форм Ffc, Fl произвольных степеней к и / определяется
следующая операция ® их тензорного произведения:
(Fk ® Fl)(xu ..., хк, a?fe+i,..., xk+i) :=
= Ffc(xb...,xfc)F/(xfc+1,... ,xfc+/). (5)
Таким образом, Fk ® Fz является формой Ffc+/ степени А; + /.
Очевидны соотношения:
(\Fk)®Fl = \{Fk®Fl), (6)
(Ft + F%) ®Fl = Ft ®Fl + F% ® Fz, (7)
Fk ® (Fj + Fj) = Ffc ® F{ + Fk ® F^, (8)
(Ffc ® Fz) ®Fm = Fk® (Fl ® Fm). (9)
Итак, множество J7 = {.Ffc} форм на линейном пространстве X
относительно введенных операций является градуированной алгеброй
F — ® Р, в которой линейные операции выполняются в пределах каж-
к
дого входящего в прямую сумму пространства Р, и если Fk £ Ρ,
F1 еР, то Fk®Fl еР+1.
Пример 1. Пусть X*—сопряженное к X пространство
(состоящее из линейных функций на X) и е1,..., еп — базис вГ, взаимный с
базисом ei,... ,еп в X, т.е. el(ej) — ij.
Поскольку ег(х) = el(x^ej) = x^el(ej) = χ^δ1, = хг, то, учитывая (1)
и (9), любую fc-форму Ffc: Хк —» R можно записать в виде
Ffe = a<1...<Jbe<1®...®e<*. (10)
2. Алгебра кососимметрических форм. Рассмотрим теперь
в Ρ подпространство Ω^ кососимметрических fc-форм, т. е. ω £ Ω*,
если для любых различных индексов i,j £ {Ι,.,.,η} имеет место
равенство
Ш[Х\) . . . , #2 5 · · · ->Xj->··· -> Хк) = ~~Ш\Х\, . . . , Xj, . . . , Х\, . . . , Xfc j.
Из любой формы Fk £ J-*fc можно получить кососимметрическую
форму с помощью операции А: Ρ —> Ω^ альтернирования форм,
определяемой соотношением
AFHxi,...,Xk):=liFHxi1,...,XiX:ik, (И)

§ 1. АЛГЕБРА ФОРМ
369
где
°\...к — Л
1, если подстановка (\1,,,г£) четная,
-1, если подстановка (\1,,,г£) нечетная,
О, если (\ь*'г£) —не подстановка.
Если Fk — кососимметрическая форма, то, как видно из (11), AFk =
= Fk. Таким образом, A(AFk) = AFk и Αω = ω, если ω G Ω*. Значит,
А: Тк —> Ω^ является отображением Тк на Ω*\
Сопоставляя определения (3), (4), (11), получаем
A(Ff + F%) = AF? + AF%,
A{XFk) = XAFk.
(12)
(13)
Пример 2. С учетом соотношений (12), (13) из разложения (10)
получается, что
AFfe = a<1...<JbA(e<1®...®e<*)J
поэтому интересно найти А(еч ® ... ® е%к).
Из определения (И) с учетом того, что ег(х) = хг, находим
1 <.·,
А(^®...®е^)(х1,...,х^ = -е^Ч^1)-...-е^М^^«
г\..лк _
к\
к\
Cii '·· xik°l...k -
ft!
х-
л
X?
л
X
г3к
,3к
(14)
Тензорное произведение кососимметрических форм, вообще говоря,
уже не является кососимметрической формой, поэтому в классе косо-
симметрических форм вводится следующая операция Λ их внешнего
произведения:
Kill
(15)
Таким образом, ик Α ω1 есть кососимметрическая форма сик+1
степени к +1.

370 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
Пример 3. Опираясь на результат (14) примера 2, из
определения (15) находим
е« Λ е{Цхих2) = J^M*'1 ® ei2)(Xl,x2) =
е^{хг) ei2{xi)
е^{х2) ei2{x2)
~г1 тг2
«Ι/ -ι «Ι/ -ι
~*1 ~*2
«I/O «I/O
■ (16)
Пример 4. Используя полученное в примере 3 равенство,
соотношение (14) и определения (11), (15), можно написать, что
eh A(ei2 Aei3){xl,x2,x3) =
(1 + 2)!
1!2!
А{ен ® (е12 Λ егз)){Х1,х2,х3) =
3!
1!2!
е \xji)(e Ле )(^2,^зН2 3 — oi^ii
= ж,
т»2 ~13
«I/O «I/O
~г2 „13
«I/O «I/O
X.
.«1
тг2 тг3
JL· -ι «Ι/ι
тг2 _гз
«I/O «I/O
+ 41
~г2 ^3
XJ2 XJ2
~*2 „13
Х3з Х32
rJ2 „13
JL· -ι JL· -ι
J2 Лз
JjC\ «I/Q
4
13233
2 3
г1 „г2
X л Χ
пг3
#2 ^2
~*ι ^2
«I/O «I/O
г2 „гз
Χ
гз
Аналогичная выкладка показывает, что
eil /\(ei2 Ле*3) = (eh Ле*2)Ле*3.
(17)
Используя разложение определителя по столбцу, на основании
принципа индукции заключаем, что
eh A...Aeik{xi,...,xk) =
eh{xi)
eh{xk)
eik{xi)
eik{xk)
(18)
причем, как видно из проведенных выкладок, формула (18) справедлива
для любых 1-форм еч,..., е%к (не обязательно базисных форм
пространства X*).

§1. АЛГЕБРА ФОРМ
371
Учитывал перечисленные выше свойства тензорного произведения
и альтернирования форм, получаем следующие свойства внешнего
произведения кососимметрических форм:
(шк + ω$) Л^=о;{Ла;Ч^А ω1, (19)
(Хшк)Лш1 = Х(шк/\ш1), (20)
шкЛш1 = (-1)к1ш1Лшк, (21)
(o;fc Л ω1) Λ ω™ = ω* Λ (ω1 Λ ω171). (22)
Μ Равенства (19), (20), очевидно, следуют из соотношений (6)-(8)
и (12), (13).
Из соотношений (10)-(14) и (17) для любой кососимметрической
формы ω = агь.-гд.^*1 ® ... ® егА: получаем
о; = Ао; = ^...^(е*1 ® ... ® eifc) = — α^...^*1 Λ ... Л е**.
Используя уже доказанные равенства (19), (20), теперь для
доказательства равенств (21), (22) их достаточно проверить лишь для форм
вида еп Л...Лен.
Ассоциативность (22) для таких форм уже установлена
равенством (17).
Из равенства (18) и свойств определителей для указанных
специальных форм немедленно получаем соотношение (21). ►
Заодно мы показали, что любая форма o;Gilfc может быть
представлена в виде
"= Σ wiA-Ae<*· (2з)
l^ii<...<ik^n
Итак, множество Ω = {Ω^} кососимметрических форм на
векторном пространстве X относительно линейных операций (3), (4) и внеш-
dimX
него умножения (15) является градуированной алгеброй Ω = 0 Ω*.
к=0
Линейные операции на Ω выполняются в пределах каждого линейного
пространства Ω^, и если и)к то uk Λ ω1 £
В прямой сумме 0 Ω^ суммирование ведется от нуля до
размерности пространства X, поскольку кососимметрические формы ик: Хк —>
—> R, степень которых выше размерности линейного пространства X,
обязательно тождественно равны нулю, что видно из соотношения (21)
(или из соотношений (23) и (18)).

372 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
3. Линейные отображения линейных пространств и
сопряженные отображения сопряженных пространств. Пусть X
и У— линейные пространства над полем R вещественных чисел (или
над любым иным, но одним и тем же для X и У полем) и пусть /: X —>
—> Υ — линейное отображение X в У, т.е. для любых χ,χχ,Χ2 £ X и
любого числа λ £ R выполнено
/(χι + ж2) = 1{х\) + 1{х2) и 1{\х) = М(х). (24)
Линейное отображение /: X —> Υ естественным образом порождает
сопряженное с ним отображение Г : Τγ —> Τχ множества Τγ заданных
на Υ полилинейных форм в аналогичное множество Τχ. Если Fy—
fc-форма на У, то по определению
{l*F$){xu ...,xk):= F$(lxu..., lxk). (25)
Из (24) и (25) видно, что l*Fy есть fc-форма F% на
пространстве X, т.е. 1*(Τγ) С Τχ. Более того, если форма Fy была кососим-
метрической, то форма (l*Fy) = F% тоже кососимметрическая, т.е.
1*(Ωγ) С Ω^. Отображение I* в пределах каждого линейного
пространства Τγ или Ω^>, очевидно, линейно, т.е.
1*{F* + F2fc) = l*Ff + /*F2fc и l*{\Fk) = \l*Fk. (26)
Сопоставляя теперь определение (25) с определениями (5), (11), (15)
тензорного произведения, альтернирования и внешнего произведения
форм, заключаем, что
1*{FP ® Fq) = {l*Fp) ® (l*Fq), (27)
Γ(Α^Ρ)=Α(Γ^Ρ), (28)
Γ{ωρ Λ α;9) = {Γωρ) Λ (Γα;«). (29)
Пример 5. Пусть ei,... ,em—базис в X, ίΓχ,... , ?η— базис в У, а
/(б*) = с?ё}, г £ {l,...,m}, j £ {Ι,.,.,η}. Если fc-форма Fy в базисе
е\,..., еп имеет координатное представление
F£{yl,...,yk)=bjl...jky{1 -...'у{к,
r№bji-jk =^κ(βίι,...,βΛ), то
(Z*F£)(xi,... ,хк) = агь.д^!1 * · · · * 4*>

§1. АЛГЕБРА ФОРМ
373
где агх„лк = Ьл.,.^41 ' · · · * <Й> поскольку
= F^(c^ejl,...,c^ejk)=F^(en,...,e3k)c^-...-c^.
Пример 6. Пусть е1,...,ет и ?1,...,еп — базисы сопряженных
пространств Χ*, Υ*, взаимные (или сопряженные) с указанными в
примере 5 базисами пространств X и Υ соответственно. В условиях
примера 5 получаем
(1*е>)(х) = (1*е>)(х%) =?(Ле;) = х*Р{с*ек) =
= х*с*е>(ек) = х^6{ = с>х{ = 4е\х).
Пример 7. Сохраняя обозначения примера б и учитывая
соотношения (22), (29), теперь получаем
1*{Рг А...Арк) = ГеР1 А ... А е>к =
= (41ei0A...A(^e<*)=cj11.....^A...Ae** =
Σ
l^i\<...<ik^m
С71
С71
Jk
СЧ
e11 Λ ... Λ e
ч
Принимал во внимание равенства (26), отсюда можно сделать вывод,
что вообще
**1 Σ bh...h^A...AVk
l^ji<...<jk^n
Σ
u3i.~3k
1ζΐχ<...<ik^m
l^Jl<-<Jk^n
г ι
J'l
-4
rJk
Li\
Jk
ЬЧ
e4 Λ ... Λ егк =
Σ аП'.лкеп Λ
l^i\<~.<ik^m
Ae
гк

374 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
Задачи и упражнения
1. Покажите на примерах, что, вообще говоря,
a) Fk®Fl ^Fl®Fk;
b) A(Fk®Fl)£AFk®AFl;
c) если Fk,Fl е Ω, то не всегда Fk <g> Fl e Ω.
2. а) Покажите, что если βι,..., еп — базис линейного пространства X, а
линейные функции е1,... ,еп на X (т.е. элементы сопряженного к X
пространства X*) таковы, что e^(ei) = Sj, то е1,... ,еп — базис в X*.
b) Проверьте, что из fc-форм вида еп <8>... <8> e2fc можно образовать базис
пространства J7* = ^(Х) и найдите размерность (dim J7*) этого
пространства, зная, что dim X — п.
c) Проверьте, что из форм вида еп Λ ... Λ егк можно образовать базис
пространства Ω* = Qk(X) и найдите dimO*, зная, что dimX = п.
к=п
d) Покажите, что если Ω = 0 Ω*, то dim Ω = 2η.
*=ο
3. Внешняя (грассманова1^) алгебра G над линейным пространством X и
полем Ρ (обозначаемая обычно символом Д(Х) в соответствии с символом Λ
операции умножения в G) определяется как ассоциативная алгебра с
единицей 1, обладающая следующими свойствами:
1° G порождается единицей 1 и X, т. е. любая подалгебра в G, содержащая
1 и X, совпадает с G;
2° χ Λ χ — О для любого вектора χ Ε Χ;
3° dimG = 2dimX.
a) Покажите, что если βι,..., en — базис в X, то совокупность 1, βι,..., еп,
ei Λ б2,..., en_i Λ еп,..., е\ Λ ... Λ еп элементов G вида е^ Λ ... Λ eik =: е/, где
/ = {i\ < ... < ik] С {1,2,.. .,η}, образует базис в G.
b) Исходя из полученного в а) результата, можно провести следующее
формальное построение алгебры G — f\(X).
Для указанных в а) подмножеств / = {ζι,... ,г&} множества {1,2,... ,п}
образуем формальные элементы е/, (отождествляя ещ с е^, а б0 с 1),
которые примем за базис линейного пространства G над полем Р. Умножение в G
определим формулой
( Σ а/е/ ) ( Σ ftjej ) = Σ α^ε(^ J)eiuJ,
^Γ. Грассман (1809 -1877) — немецкий математик, физик и филолог; ему, в
частности, принадлежит первое систематическое построение учения о многомерном
линейном и евклидовом векторном пространствах, а также само определение скалярного
произведения векторов.

§ 2. МНОГООБРАЗИЕ
375
где ε(/, J) = sgn [} (j—i). Проверьте, что при этом получается грассманова
алгебра /\(Х).
c) Докажите единственность (с точностью до изоморфизма) алгебры
ЛРО·
к=п
d) Покажите, что алгебра /\(Х) градуирована: f\(X) — 0 Д (X), где
к=0
Д (X)—линейная оболочка элементов вида е^ Л ... Л е\к\ при этом, если а Е
Ε ДР(Х), а 6 Ε Л*№> то α Л 6 Ε ЛР+<7№· Проверьте, что α Л Ь = (-1)™Ь Л а.
4. Пусть Л: X —> Υ — линейное отображение пространства X в
пространство Υ. Покажите, что существует единственный гомоморфизм /\(А) :
/\(Х) -> Λ00 из ΛΡΟ Β Л00> совпадающий с Л на подпространстве /\'(Х) С
С Л(^0> отождествляемом с X.
b) Покажите, что гомоморфизм /\(А) переводит /\К(Х) в Л (Υ)·
Ограничение Л(^) на /\к(Х) обозначают через Д (А).
c) Пусть {е^; г = 1,... , га}—базис в X, a {ej; j = 1,... ,η}—базис в У,
и пусть оператору А в этих базисах отвечает матрица (а!·). Покажите, что
если {е/; 7 С {1,... ,га}}, {ej; J С {1,... ,η}} — соответствующие базисы
пространств Д(Х) и Л (У), то матрица оператора Д (Л) имеет вид a,j — det(aj),
г Ε 7, j E J, где card J = card J = к.
d) Проверьте, что если А: X —> У, В: Υ —> Ζ — линейные операторы, то
справедливо равенство /\(В о А) = /\(В) о /\(А).
§ 2. Многообразие
1. Определение многообразия
Определение 1. Хаусдорфово топологическое пространство со
счетной базой топологии1) называется n-мерным многообразием, если
любая его точка имеет окрестность 17, гомеоморфную либо всему
пространству Rn, либо полупространству Нп = {х £ W1 \ χ1 ^ 0}.
Определение 2. Отображение ^: Шп —> U С Μ (или ^: ifn —>
—» Ϊ7 С М), осуществляющее указанный в определении 1
гомеоморфизм, называется локальной картой многообразия М, Шп(Нп) —
областью параметров, a U — районом или областью действия карты на
многообразии М.
Локальная карта наделяет каждую точку χ £ U координатами
соответствующей ей точки t = φ~ι(χ) £ W1. Таким образом, в районе U
См. гл. IX, § 2, а также замечания 2, 3 настоящего параграфа.

376 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
действия карты вводится локальная система координат, и потому
отображение ψ или, в более развернутой записи, пара (17, ψ) в самом
привычном смысле слова является картой района U.
Определение 3. Набор карт, районы действия которых в
совокупности покрывают все многообразие, называется атласом
многообразия.
Пример 1. Сфера S2 = {х е Ш3 \ \х\ = 1} является двумерным
многообразием. Если S2 интерпретировать как поверхность Земли, то
атлас географических карт будет атласом многообразия S2.
Одномерная сфера S1 = {х £ R2 | \х\ = 1}—окружность в R2,
очевидно, является одномерным многообразием. Вообще, сфера Sn —
= {χ £ Rn+1 I \x\ = 1} является n-мерным многообразием. (См. гл. XII,
§1·)
Замечание 1. Вводимый определением 1 объект
(многообразие М), очевидно, не изменится, если вместо W1 и Нп брать любые
гомеоморфные W1 и Нп области параметров в пространстве W1.
Например, это могут быть открытый куб 1п = {х £ W1 | 0 < хг < 1, г =
= 1,... ,п} и куб с присоединенной к нему гранью 1п = {х £ Rn|0 <
< хх ^ 1 и 0 < хг < 1, г = 2,... ,п}. Такими стандартными областями
параметров довольно часто пользуются.
Нетрудно также проверить, что вводимый определением 1 объект не
изменится, если потребовать лишь, чтобы каждая точка χ £ Μ имела
в Μ окрестность Ϊ7, гомеоморфную некоторому открытому
подмножеству полупространства Нп.
Пример 2. Если X — m-мерное многообразие с атласом карт
{{υα,φα)}, а Υ — n-мерное многообразие с атласом {(V^,^/?)}, τοίχ
χ Υ можно рассматривать как (т + п)-мерное многообразие с атласом
{(Wap,xap)}, где Wap = Ua х Vp, а отображение χαβ = {ψα,Ψβ)
переводит в Wap прямое произведение областей определения φα и ψ β.
В частности, двумерный тор Т2 = Slx Sl (рис. 69) или n-мерный тор
Тп = S1 χ ... χ S\ являются многообразиями соответствующей раз-
п раз
мерности.
Если районы [/г, Uj действия двух карт (?7г,^), (Uj,4>j)
многообразия Μ пересекаются, т.е. U{ Π Uj Φ 0, то между множествами 1ц —

§ 2. МНОГООБРАЗИЕ
377
— Ψ% (Uj), Iji — φ* (U{) естественно устанавливаются взаимно
обратные гомеоморфизмы φ^: Iij —> Iji, ψ^: Iji —> 1^, где ψ^ = ψ~ι ο ψί\Ι ,
Ψβ = Ψϊ1 ° ΨίΙι - Эти гомеоморфизмы часто называют функциями
замены координат, поскольку они осуществляют переход от одной
системы локальных координат к другой такой же системе в общей области
Ui Π Uj, их действия (рис. 96).
Рис. 96.
Определение 4. Число η в определении 1, называется
размерностью многообразия Μ и обычно обозначается символом dimM.
Определение 5. Если при указанном в определении 1
гомеоморфизме φ: Нп —> U точке χ £ U соответствует точка φ~ι(χ) на границе
дНп полупространства Нп, то χ называют точкой края
многообразия Μ (и окрестности 17). Совокупность всех точек края
многообразия Μ называется краем этого многообразия и обычно обозначается
символом дМ.
В силу топологической инвариантности внутренних точек (теорема
Брауэра1)) понятия размерности и точки края многообразия
определены корректно, т. е. не зависят от используемых в определениях 4 и 5
^Теорема утверждает, что пригомеоморфном отображении φ: Ε ν-¥ φ(Ε)
множества Ε С Шп на множество φ(Ε) С Шп внутренние точки множества Ε преобразуются
во внутренние точки множества φ(Ε).

378 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
индивидуальных локальных карт. Теорему Брауэра мы не доказывали,
но инвариантность внутренних точек относительно диффеоморфизмов
нам хорошо известна (это следствие теоремы об обратной функции).
Поскольку в дальнейшем нам придется иметь дело именно с
диффеоморфизмами, мы не останавливаемся здесь на теореме Брауэра.
Пример 3. Замкнутый шар В = {х £ W1 \ \х\ ^ 1} или, как
говорят, замкнутый n-мерный диск является π-мерным многообразием,
краем которого является (п-1)-мерная сфера Sn~l = {χ £ W1 \ \x\ = 1}.
Замечание 2. Многообразие М, множество точек края
которого непусто, обычно называют многообразием с краем, оставляя
термин многообразие (в собственном смысле слова) за многообразиями без
края. В определении 1 эти случаи не разделены.
Утверждение 1. Край дМ n-мерного многообразия с краем Μ
является (п — 1)-мерным многообразием без края.
Μ Действительно, дНп = Rn_1, а ограничение на дНп карт атласа
многообразия Μ вида ψι: Нп —> U{ порождает атлас дМ. ►
Пример 4. Рассмотрим плоский
двойной маятник (рис.97), плечо а
которого много меньше плеча Ъ и может
вращаться свободно, а размах колебаний
плеча Ъ ограничен упорами.
Конфигурация такой системы в любой конкретный
момент характеризуется двумя углами
α, β. Если бы ограничений не было, то
конфигурационное пространство
двойного маятника, очевидно, можно было бы
отождествить с двумерным тором Т2 =
= Sa χ Sp.
При наличии указанных ограничений
конфигурационное пространство двойного маятника параметризуется
точками цилиндра S^ x /L где S^ — окружность, отвечающая
возможным положениям плеча a, a il = {β £ Ш \ \β\ ^ Δ} — отрезок, в пределах
которого может меняться угол /?, характеризующий положение плеча Ь.
В этом случае мы получаем многообразие с краем. Край этого мно-

§ 2. МНОГООБРАЗИЕ
379
гообразия состоит из двух окружностей S& χ {—Δ}, S& χ {Δ},
являющихся произведением окружности S& и концов {—Δ}, {Δ} отрезка /L
Замечание 3. На рассмотренном примере 4 видно, что порой
координаты на множестве Μ (в примере это α, β) возникают
естественным образом и они сами вводят на Μ топологию. Значит, в
определении 1 многообразия нет нужды всегда заранее требовать, чтобы на Μ
уже была топология. Суть понятия многообразия в том, что точки
некоторого множества Μ параметризуются точками некоторого набора
подобластей пространства W1. Между появляющимися при этом на
частях Μ системами координат возникает естественная связь, которая
выражается в отображениях соответствующих областей
пространства W1. Значит, можно считать, что Μ получается из набора областей
пространства W1 указанием закона отождествления их точек или,
описательно говоря, путем указания закона их подклейки друг к другу.
Итак, задать многообразие по существу означает задать набор
подобластей Rn и закон соответствия точек этих подобластей. На
дальнейших уточнениях сказанного (формализации понятия склеивания или
отождествления точек, введении топологии на Μ и т.п.) мы не
задерживаемся.
Определение 6. Многообразие называется компактным
(связным), если оно является компактом (связно) как топологическое
пространство.
Рассмотренные в примерах 1-4 многообразия компактны и
связны. Край появившегося в примере 4 цилиндра S& χ il состоит из двух
независимых окружностей и является одномерным компактным, но
несвязным многообразием. Край 5η_1 = дВ n-мерного диска из
примера 3 является компактным многообразием, которое связно при η > 1 и
несвязно (состоит из двух точек) при π = 1.
Пример 5. Само пространство Rn, очевидно, является связным,
некомпактным многообразием без края, а полупространство Нп
доставляет простейший пример связного некомпактного многообразия с
краем. (И в том, и в другом случае атлас можно взять состоящим из
единственной карты, отвечающей тождественному отображению.)
Утверждение 2. Если многообразие Μ связно, πιο оно линейно
связно.

380 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
^ Фиксировав точку χ о £ М, рассмотрим множество ЕХо тех точек
многообразия М, которые можно соединить с хо в пределах Μ
некоторым путем. Множество ЕХо, как видно из определения многообразия,
непусто, открыто и замкнуто в М. Но тогда £7Хо = М. ►
Пример 6. Если каждой квадратной вещественной матрице по-
2
рядка η сопоставить точку пространства Rn , координаты которой
получаются выписыванием в определенном порядке всех элементов
матрицы, то группа GL(n, R) всех невырожденных матриц порядка η
превращается в п2-мерное многообразие. Это многообразие некомпактно
(элементы матриц никак не ограничены) и несвязно. Последнее
вытекает из того, что GL(n, Щ содержит матрицы как с положительным, так
и с отрицательным определителем. Точки GL(n,R), отвечающие двум
таким матрицам, нельзя соединить путем (на котором бы тогда
появилась точка, соответствующая матрице, имеющей определитель, равный
нулю).
Пример 7. Группа 50(2, Щ ортогональных преобразований
плоскости R2, имеющих определитель, равный единице, состоит из ма-
/ cos a sin α λ
триц вида . и, таким образом, может считаться мно-
\ -sina cos α у
гообразием, которое отождествляется с окружностью — областью
изменения углового параметра а. Таким образом, 50(2, Ж) —одномерное
компактное связное многообразие. Если допустить и отражения
относительно прямых в плоскости R2, то мы получим группу 0(2, R) всех
вещественных ортогональных матриц второго порядка. Ее естественно
можно отождествить с двумя различными окружностями,
отвечающими матрицам с определителем 1 и —1 соответственно. То есть 0(2, Ж) —
одномерное компактное, но несвязное многообразие.
Пример 8. Пусть а — вектор плоскости R2 и Та — группа
движений плоскости, порожденная вектором а. Элементами группы Та
являются сдвиги на векторы вида па, где η £ Ζ. Под действием элементов д
группы Τа каждая точка χ плоскости смещается в точки д(х) вида
χ + па. Совокупность точек, в которые данная точка χ £ R2 переходит
под действием элементов данной группы преобразований, называется
орбитой этой точки. Свойство точек R2 принадлежать одной орбите,
очевидно, является отношением эквивалентности на R2, и орбиты
являются классами эквивалентных в этом смысле точек. Область в R2,
содержащая по одной точке каждой орбиты, называют фундаментальной

§ 2. МНОГООБРАЗИЕ
381
областью данной группы автоморфизмов (уточнение см. в задаче 5d)).
В нашем случае в качестве фундаментальной области можно взять
полосу ширины |а|, ограниченную двумя параллельными прямыми,
ортогональными вектору а. Следует только учесть, что сами эти прямые
получаются друг из друга сдвигом на α и —а соответственно. В
пределах ортогональной а полосы ширины, меньшей чем |а|, нет
эквивалентных точек, поэтому все орбиты, имеющие представителей в такой
полосе, однозначно наделяются координатами своих представителей.
Так фактор-множество М2/Та орбит данной группы Та превращается в
многообразие. Из сказанного выше о фундаментальной области легко
понять, что это многообразие гомеоморфно цилиндру, который
получается склеиванием по эквивалентным точкам граничных прямых полосы
ширины \а\.
Пример 9. Пусть теперь а и Ь — пара ортогональных векторов
плоскости R2 и Таь — группа сдвигов, порожденная этими векторами.
Фундаментальной областью в данном случае будет прямоугольник со
сторонами а, Ь. В пределах этого прямоугольника эквивалентными
будут лишь точки, лежащие на его противоположных сторонах. После
соответствующей склейки сторон фундаментального прямоугольника
убеждаемся, что возникающее многообразие R2/Ta?5 гомеоморфно
двумерному тору.
Пример 10. Рассмотрим еще группу Ga^ движений плоскости Μ2,
порожденную следующими преобразованиями: а(х,у) = (х + 1,1 — у),
Ь(х,у) = (х,у + 1).
Фундаментальной областью для группы Ga^ будет единичный
квадрат, горизонтальные стороны которого отождествляются по точкам,
лежащим на одной вертикали, а боковые стороны квадрата
отождествляются по точкам, симметричным относительно его центра. Таким
образом, возникающее многообразие R2/Ga^ оказывается
гомеоморфно бутылке Клейна (см. гл. XII, § 1).
Мы не останавливались здесь на полезных и важных примерах,
которые были разобраны в § 1 гл. XII.
2. Гладкие многообразия и гладкие отображения
Определение 7. Атлас многообразия называется гладким
(класса С^ или аналитическим), если все функции замены координат для

382 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
карт данного атласа являются гладкими отображениями
(диффеоморфизмами) соответствующего класса гладкости.
Два атласа данной (одной и той же) гладкости считаются
эквивалентными, если их объединение является атласом той же гладкости.
Пример 11. Атлас, состоящий из единственной карты, можно
считать сколь угодно гладким. Рассмотрим в этой связи на прямой Е1
один атлас, порожденный тождественным отображением R1 Э х *->
н-> ψ(χ) = χ £ R1, а другой атлас — порожденный любой строго
монотонной функцией R1 3 ж и φ(χ) £ R1, отображающей R1 на R1.
Объединением этих атласов будет атлас, который, очевидно, имеет
наименьшую из гладкостей функций φ и φ~ι.
В частности, если φ(χ) = χ3, то атлас из карт {х,х3} не является
гладким, так как φ~1(χ) = χ1/3. Используя сказанное, можно построить
на R1 бесконечно гладкие атласы, объединение которых будет атласом
наперед заданного класса гладкости С^).
Определение 8. Гладким многообразием {класса C^k\
аналитическим) называется многообразие Μ с заданным на Μ классом
эквивалентности атласов данной гладкости.
После этого определения понятна следующая терминология:
топологическое многообразие (класса С^0)), многообразие класса
аналитическое многообразие.
Для того, чтобы задать весь класс эквивалентности атласов
данной гладкости на многообразии М, достаточно задать любой атлас А
из этого класса эквивалентности. Таким образом, можно считать, что
гладкое многообразие есть пара (М, А), где Μ — многообразие, а А —
атлас данной гладкости на М.
Совокупность эквивалентных атласов данной гладкости на
многообразии часто называют структурой данной гладкости на этом
многообразии. На одном и том же топологическом многообразии могут
существовать различные гладкие структуры даже одной и той же гладкости
(см. пример 11 и задачу 3).
Рассмотрим еще несколько примеров, в которых мы обратим
основное внимание на гладкость функций замены координат.
Пример 12. Одномерное многообразие ШР1, называемое
вещественной проективной прямой, есть пучок прямых в R2, проходящих
через начало координат, с естественным отношением близости прямых

§ 2. МНОГООБРАЗИЕ
383
(измеряемой, например, величиной меньшего угла между прямыми).
Каждая прямая пучка однозначно определяется ненулевым
направляющим вектором (я1, я2), причем два таких вектора задают одну и ту
же прямую в том и только в том случае, когда они коллинеарны.
Значит, ШР1 можно рассматривать как совокупность классов
эквивалентных упорядоченных пар (я1, я2) вещественных чисел. При этом по
крайней мере одно из чисел пары должно быть отлично от нуля, и две
пары считаются эквивалентными (отождествляются), если они
пропорциональны. Пары (х1,^2) обычно называют однородными
координатами на ШР1. Используя интерпретацию ШР1 в однородных координатах,
легко построить атлас из двух карт на ШР1. Пусть [/*, г = 1,2 — те
прямые (классы пар (я1, я2)) из ШР1, для которых хг φ 0. Каждой
точке (прямой) ρ £ U\ взаимно однозначно соответствует пара (1,^-1,
определяемая числом t\ — ^-. Аналогично точки района Ό<ι находят-
X
ся во взаимно однозначном соответствии с парами вида ( ^, 11 и за-
1 Г1
даются одним числом t£ = -«. Таким образом, в JJ\ и TJ*i возникают
X
локальные координаты, которые, очевидно, соответствуют введенной
выше в ШР1 топологии. В общей области U\ Π U2 действия
построенных локальных карт вводимые ими координаты связаны
соотношениями t\ = (£2)_1,£2 = (t\)~l, показывающими, что построенный атлас
принадлежит не только классу С^°°\ но даже является аналитическим.
Полезно иметь в виду также следующую интерпретацию
многообразия ШР1. Каждая прямая исходного пучка прямых вполне определяется
точкой пересечения с единичной окружностью. Но таких точек
ровно две, причем они являются диаметрально противоположными
точками окружности. Близость прямых равносильна близости
соответствующих пар точек окружности. Значит, ШР1 можно интерпретировать
как окружность с отождествленными (склеенными) диаметрально
противоположными точками. Если взять только полуокружность, то на
ней окажется лишь одна пара отождествляемых точек — концы
полуокружности. Склеив их, мы получим снова топологически окружность.
Таким образом, ШР1 как топологическое пространство гомеоморфно
окружности.
Пример 13. Если рассмотреть теперь пучок прямых,
проходящих через начало координат в R3, или, что то же самое, совокупность

384 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
классов пропорциональных упорядоченных троек (я1, я2, я3)
вещественных чисел, не обращающихся в нуль одновременно, то мы получим
вещественную проективную плоскость MP2. В районах Ϊ7ι, t/2, ?7з, где
соответственно я1 φ О, я2 Φ О, χ3 Φ О, вводятся локальные системы
координат (l,f^) = (l,*?,*f) - (*?,*f), (f^1^) = (4 Ml) -
~ (*2>*i)> (^з'^з'1) = (АЛЛ) ~ (*з>*§)> которые, очевидно, связаны
между собой соотношениями £· = (ij)-1,^ = ^(ί^)-1, относящимися к
общим частям районов действия локальных карт.
Например, переход от координат (t\,t\) к координатам (£2^2) B
области U\ Π ί/2 выражается формулами
4 = air1, 4 = tltfr\
2
Якобиан этого преобразования равен — (£2)-3 и, поскольку £2 = ^,
X
он определен и отличен от нуля в точках, отвечающих точкам
рассматриваемого множества U\ Π U2-
Итак, ШР2 — двумерное многообразие, обладающее аналитическим
атласом из трех карт.
По тем же соображениям, что и в примере 12, где была
рассмотрена проективная прямая MP1, проективную плоскость ШР2 можно
интерпретировать как двумерную сферу S2 С К3 с отождествленными
диаметрально противоположными точками или как полусферу с
отождествленными диаметрально противоположными точками граничной
окружности. Проектируя полусферу на плоскость, мы получаем
возможность интерпретировать ШР2 как круг (двумерный диск) с
отождествленными диаметрально противоположными точками его граничной
окружности.
Пример 14. Совокупность всех прямых на плоскости R2 можно
разбить на два множества: U — невертикальные прямые, V —
негоризонтальные прямые. Каждая прямая из U имеет уравнение вида у =
= и\х + u<i и тем самым характеризуется координатами (1x1,1x2), B то
время как любая прямая из V имеет уравнение я = ι;ι у + V2 и задается
координатами (νι,ι^)· Для прямых из пересечения U Π V действуют
функции преобразования координат ι;ι = ixj"1, V2 = —t^ixj"1 и ιχι = vj"1,
1x2 = — V2V1 . Таким образом, рассматриваемое множество наделяется
аналитическим атласом из двух карт.

§2. МНОГООБРАЗИЕ
385
Любая прямая на плоскости имеет уравнение ах + by + с = О и
характеризуется тройкой чисел (а,Ь,с), причем пропорциональные
тройки задают одну и ту же прямую. Может поэтому показаться, что здесь
мы вновь имеем дело с проективной плоскостью ШР2, рассмотренной
в примере 13. Однако если в MP2 допускались любые тройки чисел,
не равных одновременно нулю, то теперь не допускаются тройки
вида (0,0, с), где с φ 0. Всем таким тройкам в MP2 отвечает одна и та
же точка. Значит, полученное в настоящем примере многообразие го-
меоморфно тому, что получается удалением из ШР2 одной точки.
Если интерпретировать ШР2 как круг с отождествленными диаметрально
противоположными точками граничной окружности, то, выколов центр
круга, мы с точностью до гомеоморфизма получим кольцо, внешняя
окружность которого склеивается по диаметрально противоположным
точкам. Простым разрезанием легко показать, что при этом
получается не что иное, как знакомый лист Мёбиуса.
Определение 9. Пусть Μ и N — гладкие многообразия
класса С^к\ Отображение /: Μ —» N называется I-гладким (класса С^),
если локальные координаты точки f(x) £ N являются функциями
класса С^ от локальных координат точки χ £ Μ.
Приведенное определение имеет смысл и корректно (не зависит от
выбора локальной карты), если I ^ к.
В частности, гладкие отображения МвК1 —это гладкие функции
на М, а гладкие отображения R1 (или промежутка R1) в Μ — это
гладкие пути на М.
Итак, степень гладкости функции /: Μ —> N на многообразии Μ
не может превышать степени гладкости самого многообразия.
3. Ориентация многообразия и его края
Определение 10. Две карты гладкого многообразия называются
согласованными, если переход от локальных координат одной карты к
локальным координатам другой карты в их общей области действия
осуществляется диффеоморфизмом, имеющим всюду положительный
якобиан.
В частности, если районы действия локальных карт имеют пустое
пересечение, то такие карты признаются согласованными.
Определение 11. Атлас А гладкого многообразия (М, А) назы-

386 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
вается ориентирующим атласом многообразия М, если он состоит из
попарно согласованных карт.
Определение 12. Многообразие называется ориентируемым,
если оно обладает ориентирующим атласом. В противном случае
многообразие называется неориентируемым.
Два ориентирующих атласа многообразия будем считать
эквивалентными (в смысле рассматриваемого сейчас вопроса об ориентации
многообразия), если их объединение также является ориентирующим
атласом этого многообразия. Легко видеть, что введенное отношение
действительно является отношением эквивалентности.
Определение 13. Класс эквивалентности ориентирующих
атласов многообразия по указанному отношению эквивалентности
называется классом ориентации атласов многообразия или ориентацией
многообразия.
Определение 14. Ориентированным многообразием называется
многообразие с указанным классом ориентации его атласов, т. е. с
фиксированной на многообразии ориентацией.
Значит, ориентировать многообразие — это указать на нем (тем или
иным способом) определенный класс ориентации его атласов. Для
этого, например, достаточно указать любой конкретный ориентирующий
атлас данного класса ориентации.
Различные используемые на практике способы задания ориентации
на лежащих в Rn многообразиях описаны в §§ 2, 3 гл. XII.
Утверждение 3. Связное многообразие либо неориентируемо,
либо допускает две ориентации.
< Пусть А и А — два ориентирующих атласа данного
многообразия Μ с диффеоморфными переходами от локальных координат карт
одного из них к другому. Предположим, что нашлась точка ро € Μ
и такие две карты этих атласов, районы Ui0, Uj0 действия которых
содержат ро> а якобиан преобразования координат этих карт в
соответствующих точке ро точках областей параметров положителен.
Покажем, что тогда для любой точки ρ £ Μ и любых карт атласов А, А,
районы действия которых содержат точку р, якобиан преобразования
координат в соответствующих координатных точках тоже будет
положителен.

§ 2. МНОГООБРАЗИЕ
387
Сделаем прежде всего очевидное наблюдение, что если в точке ρ £
£ Μ якобиан преобразования положителен (отрицателен) для какой-то
пары включающих ρ карт из атласов А и А, то он в ρ положителен
(отрицателен) для любой такой пары карт, поскольку в пределах
одного атласа преобразования координат происходят с положительным
якобианом, а якобиан композиции отображений равен произведению
их якобианов.
Пусть теперь Ε— подмножество М, состоящее из тех точек ρ £ Μ,
в которых преобразования координат от карт одного атласа к картам
другого происходят с положительным якобианом.
Множество Ε непусто, так как ро £ Е. Множество Ε открыто в М.
Действительно, для любой точки ρ £ Ε найдутся содержащие ρ
районы U{, Uj некоторых карт атласов А и А. Множества U{, Uj открыты
в М, поэтому открыто в Μ и множество UiHUj. На содержащей ρ
связной компоненте множества U{ Π Uj, являющейся открытым в U\ Π Uj и
в Μ множеством, якобиан преобразования не может менять знак, не
обращаясь в нуль. То есть в некоторой окрестности точки ρ якобиан
остается положительным, что и доказывает открытость множества Е.
Но множество Ε еще и замкнуто в М. Это следует из непрерывности
якобиана диффеоморфизма и того обстоятельства, что якобиан
диффеоморфизма не обращается в нуль.
Итак, Ε — непустое открыто-замкнутое подмножество связного
множества М. Значит, Ε = Μ и атласы А, А задают на Μ одну и
ту же ориентацию.
Заменив во всех картах атласа А одну из координат, например tl
на — ί1, получим ориентирующий атлас —А, принадлежащий другому
классу ориентации. Поскольку якобиан преобразования координат из
произвольной карты в карты атласов А и —А имеет противоположный
знак, то на Μ любой ориентирующий Μ атлас эквивалентен либо А,
либо -А. ►
Определение 15. Конечную последовательность карт данного
атласа назовем цепочкой карт, если районы действия любой пары карт
с соседними номерами имеют непустое пересечение (Ui Π ίΤ^-μι φ &)-
Определение 16. Цепочка карт называется противоречивой или
дезориентирующей, если якобиан преобразования координат от любой
карты цепочки к следующей ее карте положителен, районы действия
первой и последней карт цепочки пересекаются, но преобразование ко-

388 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
ординат от последней карты к первой имеет отрицательные значения
якобиана.
Утверждение 4. Многообразие ориентируемо тогда и только
тогда, когда на нем не существует противоречивой цепочки карт.
А Поскольку любое многообразие распадается на связные
компоненты, ориентация которых задается независимо, достаточно доказать
утверждение 4 для связного многообразия М.
Необходимость. Пусть связное многообразие Μ ориентируемо
и А — задающий ориентацию Μ атлас. По доказанному в
утверждении 3 любая гладко связанная с картами атласа А локальная карта
многообразия Μ либо согласована со всеми картами атласа А, либо
согласована со всеми картами атласа —А. Это легко усмотреть из самого
утверждения 3, если ограничить карты атласа А на район действия
взятой карты, который можно рассматривать как связное
ориентированное одной картой многообразие. Отсюда следует, что противоречивой
цепочки карт на многообразии Μ не существует.
Достаточность. Из определения 1 следует, что на
многообразии существует атлас из конечного или счетного числа карт. Возьмем
такой атлас А и занумеруем его карты. Рассмотрим карту (17ι,^ι) и
любую карту ([/*, φι) такую, что UiHUi Φ 0. Тогда якобиан
преобразований координат <рц, <рц либо всюду отрицателен, либо всюду в области
определения преобразований положителен. Он не может иметь
значения разных знаков, поскольку иначе в множестве U\ U U{ можно было
бы указать связные подмножества отрицательности и
положительности якобиана ?7_, Ϊ7+ и цепочка карт (Ϊ7ι, φ{), ([/+, ¥>ι), (17*, ψί), (17-, ψί)
оказалась бы противоречивой.
Итак, меняя, если потребуется, знак одной из координат в карте
{UiitPiji можно получить карту с тем же районом действия U^
согласованную с картой (Ϊ7ι,(^ι). После описанной процедуры две карты
{υ^φι), (Uj,(pj) такие, что XJ\ Π Ui Φ 0, U\ Π Uj Φ 0, Ui Π Uj Φ 0,
сами окажутся согласованными: иначе мы построили бы
противоречивую цепочку из трех карт.
Таким образом, все карты атласа, районы действия которых
пересекаются с Ϊ7ι, уже можно считать согласованными между собой.
Принимая теперь каждую из этих карт за эталон, можно согласовать с нею
новые, не охваченные на первом этапе карты атласа. Противоречивых
ситуаций при этом не возникнет, поскольку противоречивых цепочек

§ 2. МНОГООБРАЗИЕ
389
на многообразии по условию не существует. Продолжая этот процесс и
учитывая связность многообразия, мы построим на нем атлас,
состоящий из попарно согласованных карт, что и доказывает
ориентируемость данного многообразия. ►
Полученный критерий ориентируемости многообразия, как,
впрочем, и соображения, используемые при его доказательстве, можно с
успехом применять при исследовании конкретных многообразий. Так,
рассмотренное в примере 12 многообразие MP1 ориентируемо. Из
указанного там атласа легко получить ориентирующий атлас MP1. Для
этого достаточно изменить знак локальной координаты одной из двух
построенных там карт. Впрочем, ориентируемость проективной
прямой ШР1, очевидно, следует также из того, что многообразие MP1 го-
меоморфно окружности.
Проективная плоскость MP2 неориентируема: любая пара карт
построенного в примере 13 атласа MP2 такова, что преобразования
координат в пределах пары имеют как области положительности, так и
области отрицательности якобиана. Как мы видели при доказательстве
утверждения 4, отсюда следует существование противоречивой
цепочки карт на ШР2.
По той же причине неориентируемо и рассмотренное в примере 14
многообразие, которое, кстати, как отмечалось, гомеоморфно листу
Мёбиуса.
Утверждение 5. Край ориентируемого гладкого n-мерного
многообразия является ориентируемым (π—1)-мерным многообразием,
допускающим структуру той же гладкости, что и исходное
многообразие.
Μ Доказательство утверждения 5 проводится дословно так же, как
и рассмотренное в гл. XII, § 3, п. 2 доказательство аналогичного
утверждения 2 для поверхностей, лежащих в Rn. ►
Определение 17. Если А(М) = {(Яп,<^, t/*)} U {(Rn, φ$, Uj)}
— ориентирующий многообразие М атлас, то совокупность карт
А(дМ) = {(Rn_1 ,<Pi\dHn=Rn-1idUi)} есть ориентирующий атлас края
дМ многообразия М. Задаваемая этим атласом ориентация края
называется ориентацией края, согласованной с ориентацией многообразия.
Важные и часто используемые на практике способы задания
ориентации лежащей в W1 поверхности и согласованной ориентации ее края

390 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
подробно описаны в §§ 2, 3 гл. XII.
4. Разбиение единицы и реализация многообразии в
виде поверхностей в Rn. Здесь будет изложена одна специальная
конструкция, называемая в математике разбиением единицы. Эта
конструкция часто бывает основным приемом сведения глобальных
вопросов к локальным. В дальнейшем мы продемонстрируем это при выводе
формулы Стокса на многообразии, а здесь используем разбиение
единицы для пояснения возможности реализации любого многообразия в
виде некоторой поверхности в пространстве W1 достаточно большой
размерности п.
Лемма. На Ш можно построить функцию f £ С(°°) (М, Ш) такую,
что f(x) = 0 при \х\ > 3, f(x) = 1 при \х\ ^ 1 и 0 < f(x) < 1 при
1 < \х\ < 3.
< Проведем построение одной такой функции, исходя из знакомой
, / \ ί е(-1/х ) при i/O, D , τ
нам функции дух) = < ^ __ π свое вРемя (см* часть I?
стр.221) мы проверили, что д £ С(°°\Ш,М), показав, что д^(0) = 0
при любом значении η £ N.
В таком случае неотрицательная функция
п( \ ί е"^"1) · е"(х+1) при |х| < 1,
G(x) = j
"2 . е-(х+1)"2
0 при \х\ ^ 1
также принадлежит классу а вместе с нею и функция
X
F(x) = J G(t)
+оо
принадлежит этому классу, поскольку F'(x) = G(x) I f G(t)dt.
J -00
Функция F строго возрастает на промежутке [—1,1], F(x) = О при
χ ^ — 1 и F(x) = 1 при χ ^ 1.
В качестве искомой функции можно теперь взять
f(x) = F{x + 2) + F(-x - 2) - 1. ►

§ 2. МНОГООБРАЗИЕ
391
Замечание. Если /: R —> R— построенная в доказательстве
леммы функция, то определенная в Rn функция
e(x\...,xn) = f(xl-al).....f(xn-an)
такова, что θ £ C(°°)(Rn,R), 0 < θ ^ 1 в любой точке χ £ Rn, θ {χ) = 1
на промежутке 1(a) = {χ £ Rn | \хг — аг\ ^ 1, г = 1,..., η}, и носитель
supp0 функции Θ содержится в промежутке 1(a) = {х £ Rn | \хг — аг\ ^
< 3, г = 1,...,п}.
Определение 18. Пусть Μ — многообразие класса гладкости
а X — подмножество М. Говорят, что система Ε = {еа, а £ А}
функций еа £ C(fc)(M, R) является к-гладким разбиением единицы на
множестве X, если
1° 0 ^ еа(х) ^ 1 для любой функции еа £ Ε и любого χ £ Μ;
2° каждая точка χ £ X обладает такой окрестностью ?7(х) в М, что
только конечное число функций системы Ε отлично от тождественного
нуля на U(x);
3° ]Г е*(х) = 1 на X.
еаеЕ
Заметим, что в силу условия 2° при любом χ £ X в последней сумме
лишь конечное число слагаемых отлично от нуля.
Определение 19. Пусть О = {θβ, β £ В} — открытое покрытие
множества X С М. Говорят, что разбиение единицы Ε = {eQ, α £ А}
на X подчинено покрытию О, если носитель любой функции из
системы Ε содержится по крайней мере в одном из множеств системы О.
Утверждение 6. Пусть {(Ui, φι), г = 1,..., га} — конечный набор
карт некоторого k-гладкого атласа многообразия Μ, районы U{, г =
= 1,... ,га, действия которых образуют покрытие компакта К С М.
Тогда на К существует разбиение единицы класса С^к\ подчиненное
покрытию {Ui, г = 1,... , га}.
Μ Для любой точки #о £ К проведем сначала следующее построение.
Берем последовательно область Ui, содержащую хо, соответствующую
карту ψ{: Rn(tfn) -> Uh точку t0 = 4>7l(xo) £ Rn(tfn), функцию 9(t-t0)
(где 0(t) —указанная в замечании к лемме функция) и ограничение 9t0
функции 9(t — to) на область параметров карты ψ\.
Пусть Ito — пересечение единичного куба с центром to £ Rn и
области параметров карты ψ{. Реально 6to отличается от 9(t—to), a It0 от со-

392 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
ответствующего единичного куба, только когда областью параметров
карты φι является полупространство Нп. Открытые в Μ множества
φΐ(Ιί), построенные по каждой точке χ £ К и соответствующей ей
точке t = φ~ι(χ) для всех допустимых значений г = 1,2,..., т, в
совокупности образуют открытое покрытие компакта К. Пусть {^(it,·)? 3 —
= 1,2,...,/}— извлеченное из него конечное покрытие компакта К.
Очевидно, ψ{. (Itj) С Щ. Определим на Щ функцию 9j(x) = 9tj οφ~ι(χ).
Распространим 9j(x) на все многообразие М, полагая функцию
равной нулю вне Щ. Сохраним за этой распространенной на Μ функцией
прежнее обозначение 9j. По построению 9j £ С^к\М, М), suppfy С Щ,
О ^ 9j(x) ^ 1 на Μ и 9j(x) ξ 1 на φ^(Ι^) С Щ. Тогда функции
ег(х) = вг(х), е2(х) = 92{х){\ - θλ{χ)\ ..., et(x) = 0/(х) · (1 - 0/_ι(χ))
• (1 — θ\(χ)) составят искомое разбиение единицы. Проверим лишь, что
/
Σ ej(x) = 1 на К, поскольку остальным требованиям к разбиению еди-
3 = 1
ницы на К, подчиненному покрытию {U^,..., Щ } С {Ui, г = 1,..., га}
компакта К, система функций {βχ,..., е/}, очевидно, удовлетворяет. Но
1 ~ ~
1 - Σ еАх) = С1 - 010*0) ·.·.·(!- в/(я?)) = 0 на К,
3=1
поскольку каждая точка χ € К покрыта некоторым множеством
<Pij{Itj)i на котором соответствующая функция 9j тождественно
равна единице. ►
Следствие 1. Если Μ —компактное многообразие и А —атлас
класса CW на М, то на Μ существует конечное разбиение единицы
{ei,...,e/}? подчиненное покрытию многообразия районами действия
карт атласа А.
Μ Поскольку Μ — компакт, атлас А можно считать конечным.
Теперь мы оказываемся в условиях утверждения 6, если положить в нем
К = М.*>
Следствие 2. Для любого лежащего на многообразии Μ
компакта К и любого содержащего К открытого множества G С Μ
существует функция /: Μ —> Ш класса гладкости многообразия Μ такая,
что f(x) = 1 на К и supp/ С G.
Μ Покроем каждую точку χ £ К окрестностью ?7(х), лежащей в G и

§ 2. МНОГООБРАЗИЕ
393
в пределах района действия некоторой карты многообразия М. Из
открытого покрытия {U(x), χ £ К} компакта К извлекаем конечное
покрытие и строим подчиненное ему разбиение единицы {βχ,..., е/} на К.
ι
Функция / = Σ ei будет искомой. ►
г=1
Следствие 3. Каждое (абстрактно заданное) компактное
гладкое n-мерное многообразие Μ диффеоморфно некоторой компактной
гладкой поверхности, лежащей в пространстве Έ.Ν достаточно
большой размерности N.
< Чтобы не осложнять идею доказательства несущественными
деталями, проведем его для случая компактного многообразия Μ без
края. В этом случае на Μ есть гладкий конечный атлас А = {φι: I —>
—> U{, г = 1,... , га}, где I— открытый π-мерный куб в Rn. Подберем
чуть меньший куб /' такой, что /' С J, а множества {Щ = ψί{1'), i =
= l,...,m} все еще образуют покрытие М. Полагая в следствии 2
К = /', G = J, Μ = Rn, построим функцию / G C(°°)(Rn,R) такую, что
/(<) = 1 при t e Г и supp/ С I.
Рассмотрим теперь координатные функции t\(x),... ,tf(x)
отображений ψ~ι: Ui —> /, г = 1,..., m, и введем с их помощью на Μ
следующие функции:
„k(fr\ _ / (/ ° ^г"1)^) · *i (*) ПРИ х ^ Ή,
У< W ~ \ О при χ £ Uu
г = 1,... ,га; А; = 1,... ,п.
В любой точке χ £ Μ ранг отображения МЗжи у (я) = (у},...,
2/!Ν · · · 5Ут5 · · · 5Ут)(х) £ Rmn максимален и равен п. Действительно,
если χ е υ[,Ύοφ~ι(χ) =te Γ,/οφ7ι(χ) = 1иу1?(<р{(г)) = ή, k = Ι,.,.,π.
Если, наконец, рассмотреть отображение Μ Э χ *-> Υ (χ) = (у(х), / о
о (^(х),...,/ о φ^{χ)) е Rm*n+m, полагая / о φ~ι(χ) = О вне Uh
г = 1,...,т, то это отображение, с одной стороны, очевидно, будет
иметь тот же ранг п, что и отображение χ \-ϊ у (χ), а с другой стороны,
будет заведомо взаимно однозначным отображением Μ на образ Μ
в ]Rm*n+m. Проверим последнее утверждение. Пусть р,q— различные
точки М. Найдем область Щ из системы {Щ, г = 1,...,т},
покрывающей М, которая содержит точку р. Тогда / о φ~ι(ρ) = 1. Если
/ ° ΨΪ1(θ) < 15 то уже Υ(ρ) ф Y(q). Если же / о cp~l(q) = 1, то p,q e Ui,

394 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
у\(р) = tk(p), y\(q) = tk(q) и tk(p) φ t\(q) хотя бы для одного значения
к £ {1,..., π}. То есть и в этом случае Υ (ρ) Φ Y{q). ►
По поводу общей теоремы Уитни о реализации произвольного
многообразия в виде поверхности в W1 читатель может обратиться к
специальной геометрической литературе.
Задачи и упражнения
1. Проверьте, что вводимый определением 1 объект (многообразие) не
изменится, если потребовать лишь, чтобы каждая точка χ Ε Μ имела
окрестность U(x) С М, гомеоморфную открытому подмножеству
полупространства Нп.
2. Покажите, что
a) многообразие GL(n,R) из примера 6 некомпактно и имеет точно две
связные компоненты;
b) многообразие SO(n,R) (см. пример 7) связно;
c) многообразие 0(п, Ж) компактно и имеет точно две связные
компоненты.
3. Пусть (М,А) и (М,А)— многообразия с заданными на них гладкими
структурами^ одной и той же степени гладкости С^к\ Гладкие многообразия
(Μ,Α), (Μ,Α) (гладкие структуры) считаются изоморфными, если
существует такое отображение f: Μ -> Μ класса С^, которое имеет обратное
отображение f~1:M->M того же класса гладкости С^ в атласах А, А.
a) Покажите, что на Е1 все структуры одинаковой гладкости изоморфны.
b) Проверьте высказанные в примере 11 утверждения и выясните, не
противоречат ли они задаче а).
c) Покажите, что на окружности 51 (одномерной сфере) любые две
структуры изоморфны. Отметим, что это утверждение остается в силе и для
сфер, размерность которых не превосходит 6, а уже на 57, как показал Мил-
нор1), существуют неизоморфные С(°°) -структуры.
4. Пусть S — подмножество n-мерного многообразия Μ такое, что для
любой точки хо Ε S найдется такая карта χ = φ(ί) многообразия Μ,
район U действия которой содержит хо, а множеству SOU в области параметров
t = (t1,..., tn) карты φ отвечает fc-мерная поверхность, задаваемая
соотношениями tk+1 = О,... ,£п = 0. В этом случае S называется k-мерным
подмногообразием многообразия М.
а) Покажите, что на S естественным образом возникает структура
fc-мерного многообразия, индуцированная структурой многообразия Μ и име-
^Дж. Милнор (род. 1931) —один из наиболее крупных современных американских
математиков; основные работы относятся к алгебраической топологии и топологии
многообразий.

§ 2. МНОГООБРАЗИЕ
395
ющая ту же гладкость, что и гладкость структуры многообразия М.
b) Убедитесь в том, что fc-мерные поверхности S в Еп в точности и
являются fc-мерными подмногообразиями Еп.
c) Покажите, что при гладком гомеоморфном отображении /: Е1 —> Т2
прямой Е1 в тор Т2 образ /(М1) может быть всюду плотным
подмножеством Т2 и в этом случае не будет одномерным подмногообразием тора, хотя и
будет абстрактным одномерным многообразием.
d) Проверьте, что объем понятия «подмногообразие» не изменится, если
считать S С Μ fc-мерным подмногообразием n-мерного многообразия Μ в
том случае, когда для любой точки хо Ε S найдется локальная карта
многообразия М, район U действия которой содержит хо, а множеству SDC/b
области параметров карты отвечает некоторая fc-мерная поверхность
пространства Шп.
5. Пусть X—хаусдорфово топологическое пространство (многообразие),
a G — группа гомеоморфных преобразований пространства X. Группа G
называется дискретной группой преобразований пространства X, если для
любых (быть может, и совпадающих) точек х\,Х2 Ε X найдутся такие их
окрестности {/ι, Ό<ς соответственно, что множество {д Ε G \ g(U\) Π Ό<ς φ 0} —
конечно.
a) Отсюда следует, что орбита {д(х) Ε X | д Ε G} любой точки χ Ε Χ
дискретна, а стабилизатор Gx = {д Ε G | д(х) = х} любой точки χ Ε Χ
конечен.
b) Проверьте, что если G — группа изометрий метрического
пространства X, обладающая двумя указанными в а) свойствами, то G — дискретная
группа преобразований X.
c) Введите естественную структуру топологического пространства
(многообразия) на множестве X/G орбит дискретной группы G.
d) Замкнутое подмножество F топологического пространства
(многообразия) X с дискретной группой G преобразований называют
фундаментальной областью группы G, если оно является замыканием открытого
подмножества X и если множества g(F), где g Ε G, не имеют попарно общих внутренних
точек и образуют локально конечное покрытие пространства X. Покажите
на приведенных в основном тексте примерах 8-10, как
фактор-пространство X/G (орбит) группы G получается из F «склеиванием» некоторых
граничных точек.
6. а) Используя конструкции примеров 12, 13, постройте п-мерное
вещественное проективное пространство Ш>п.
b) Покажите, что EFn ориентируемо, если η нечетно, и неориентируемо,
если η четно.
c) Проверьте, что многообразия 50(3,Е) и ШР3 гомеоморфны.
7. Проверьте, что построенное в примере 14 многообразие действительно
гомеоморфно листу Мёбиуса.

396 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
8. а) Группа Ли1^ —это группа G, наделенная структурой
аналитического многообразия так, что отображения (<7ι,#2) "->· 9\ · #2> 9 ^ 91 являются
аналитическими отображениями G x G и G в G. Покажите, что рассмотренные
в примерах 6, 7 многообразия являются группами Ли.
b) Топологическая группа (или непрерывная группа)—это группа G,
наделенная структурой топологического пространства так, что групповые
операции умножения и перехода к обратному элементу непрерывны как
отображения GxG—^G^G—^Gb рассматриваемой топологии G. На примере
группы Q рациональных чисел покажите, что не всякая топологическая группа
является группой Ли.
c) Покажите, что каждая группа Ли является топологической группой в
смысле данного в Ь) определения.
d) Доказано2^, что любая топологическая группа G, являющаяся
многообразием, есть группа Ли (т. е. G как многообразие допускает аналитическую
структуру, в которой группа становится группой Ли). Покажите, что любое
групповое многообразие (т.е. любая группа Ли) является ориентируемым
многообразием.
9. Система подмножеств топологического пространства называется
локально конечной, если каждая точка пространства имеет окрестность,
пересекающуюся лишь с конечным числом множеств системы. В частности, можно
говорить о локально конечном покрытии пространства.
Одна система множеств называется вписанной в другую, если любое
множество первой системы содержится по крайней мере в одном из множеств
второй системы. В частности, можно говорить о том, что одно покрытие
некоторого множества вписано в другое такое покрытие.
a) Покажите, что в любое открытое покрытие Еп можно вписать
открытое локально конечное покрытие Шп.
b) Решите задачу а) с заменой Еп произвольным многообразием М.
c) Покажите, что на W1 существует разбиение единицы, подчиненное
любому наперед заданному открытому покрытию W1.
d) Проверьте, что утверждение с) остается в силе для произвольного
многообразия.
^С. Ли (1842-1899)—выдающийся норвежский математик, родоначальник
теории непрерывных групп (групп Ли), которая имеет теперь фундаментальное
значение в геометрии, топологии и математических методах физики; один из лауреатов
Международной премии имени Лобачевского (награжден в 1897 г. за работу по
применению теории групп к обоснованию геометрии).
2^Это ответ на так называемую пятую проблему Гильберта.

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 397
§ 3. Дифференциальные формы и их интегрирование на
многообразиях
1. Касательное пространство к многообразию в точке.
Напомним, что каждому гладкому пути R Э t и x(t) £ W1 (движению
в Rn), проходящему в некоторый момент to через точку xq = x(to) €
£ Rn, мы сопоставили вектор ξ = (£\...,£n) мгновенной скорости:
ξ = x(t) = (i1,... ,in)(£o)· Совокупность таких векторов £, связанных с
точкой #о £ Кп, естественно отождествляется с арифметическим
пространством W1 и обозначается символом ТЩ£0 (или TXo(Rn)). В ТШ£0
вводятся те же линейные операции над элементами ξ £ TIR£0, что и
над соответствующими элементами линейного пространства W1. Так
возникает линейное пространство TMJ , называемое касательным
пространством к W1 в точке хо £ IRn.
Забыв мотивировки и наводящие соображения, можно теперь
сказать, что формально ТЩ0 есть пара (хо,^п), состоящая из точки хо £
£ W1 и связанного с нею экземпляра линейного пространства W1.
Пусть теперь Μ — гладкое п-мерное многообразие с атласом А
класса гладкости не ниже, чем С^1\ Мы хотим определить касательный
вектор £ и касательное пространство ТМРо к многообразию Μ в точке
Ро € М.
Воспользуемся для этого указанной выше интерпретацией
касательного вектора как мгновенной скорости движения. Возьмем гладкий
путь R Э t н p(t) £ Μ на многообразии М, проходящий в момент to
через точку ро = p{to) £ Μ. Параметры карт (т.е. локальные
координаты) многообразия Μ будем здесь обозначать буквой х,
отмечая их снизу индексом соответствующей карты, а сверху номером
координаты. Итак, в области параметров каждой карты (E/i,¥>i),
район Ui действия которой содержит точку ро, пути η отвечает свой путь
t уЛ ψ~ι op(t) = Xi(t) £ Rn(ufn), который является гладким по
определению гладкого отображения R Э t ·-> p(t) £ Μ.
Таким образом, в области параметров карты (Ui,cpi), где ψ{ есть
отображение ρ — φ%{χ{), возникает точка Xi{to) = ψ^1{ρο) и вектор
ξι = ii(to) £ TR£,t ч. В другой такой карте (Uj, tpj) это будут
соответственно точка Xj{to) = φ7ι{ρο) и вектор £j = ij(to) £ TW ,t у
Естественно считать, что это координатные выражения в различных картах
того, что мы хотели бы назвать касательным вектором ξ к
многообразию Μ в точке ро £ Μ.

398 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
Между координатами х^, Xj действуют гладкие взаимно обратные
функции перехода
Xi = (fji(xj), Xj = <Pij(Xi), (1)
в результате чего пары (#г(£о),£г), {xj(to),£j) оказываются связанными
соотношениями
Яг(*о) = iPjiiXjitv)), Xj(t0) = <Pij(Xi(to)), (2)
ξί = ^i(a?j(io))ij, tj = ¥>y(s»(io))&. (3)
Равенства (3), очевидно, вытекают из формул
*<(*) = V>'ji(zj(t))xj(t), ij(t) = ^(я?<(«))яг<(«),
получающихся из (1) в результате дифференцирования.
Определение 1. Будем говорить, что задан вектор ξ,
касательный к многообразию Μ в точке ρ £ Μ, если в каждом пространстве
TIRJi., касательном кГв точке х^ отвечающей точке ρ в области
параметров карты (Ui,(fi), где Щ Э р, фиксирован вектор &, причем так,
что выполняются соотношения (3).
Если элементы матрицы Якоби ψ'^ отображения φ^ записать в яв-
ном виде ^#г, то получаем, таким образом, следующую явную формулу
связи двух координатных представлений одного и того же вектора ξ:
tf=Ea£<T k = l,2,...,n, (4)
где частные производные вычисляются в соответствующей ρ точке Xj =
= <pjHp)-
Обозначим через ТМр совокупность векторов, касательных к
многообразию Μ в точке pGM.
Определение 2. Если линейную структуру на множестве ТМр
ввести, отождествляя ТМр с соответствующим пространством ТЩ£.
(ТН™.), т.е. суммой векторов из ТМР считать вектор, координатное
представление которого в ТМ£ (ТН%) отвечает сумме координатных

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 399
представлении слагаемых, и аналогично определить умножение вектора
на число, то получаемое при этом линейное пространство
обозначается обычно одним из символов ТМр, Тр(М) и называется касательным
пространством к многообразию Μ в точке ρ £ Μ.
Из формул (3), (4) видно, что введенная в ТМр линейная
структура не зависит от выбора индивидуальной карты, т.е. в этом смысле
определение 2 корректно.
Итак, мы определили касательное пространство к многообразию.
Интерпретации касательного вектора и касательного пространства
могут быть различными (см. задачу 1). Например, одной из таких
интерпретаций является отождествление касательного вектора с линейным
функционалом. Это отождествление основано на следующем
наблюдении, которое мы сделаем в W1.
Каждый вектор ξ £ ТШ£0 есть вектор скорости, отвечающий
некоторому гладкому пути χ = χ(ί), т.е. ξ = x(t)\t=t0i причем хо = x(to).
Это позволяет определить производную Όξ/(χο) в точке #о по вектору
ξ £ ТМ^0 от гладкой функции /, заданной в Шп (или в окрестности
точки хо)· А именно:
Dtf(x0):=ft(fox)(t)
(5)
ί=ίο
т.е.
D(f(xo) = ί'(χο)ξ, (6)
где f'(xo) —касательное к / отображение (дифференциал /) в точке хо.
Функционал ϋξ: C^(Rn^R) —» Μ, сопоставляемый формулами (5),
(6) вектору ξ £ 24RJ , очевидно, линеен по /. Из формулы (6) видно
также, что величина Όξ/(χο) при фиксированной функции / линейно
зависит от £, т.е. сумме векторов отвечает сумма соответствующих
линейных функционалов, а умножение вектора ξ на число отвечает
умножение функционала Όξ на это же число. Таким образом, между
линейным пространством ТШ£0 и линейным пространством
соответствующих линейных функционалов Όξ имеется изоморфизм. Остается
определить линейный функционал £>£, указав набор его
характеристических свойств, чтобы получить новую, но, конечно, изоморфную
прежней, интерпретацию касательного пространства ТШ£0.

400 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
Заметим, что, кроме указанной выше линейности, функционал Όξ
обладает следующим свойством:
ЩИ ' 9)Ы = Dtf(x0) · д(х0) + /(so) ' Οξ9(χ0). (7)
Это закон дифференцирования произведения.
В дифференциальной алгебре аддитивное отображение а ·-> а'
кольца А, удовлетворяющее соотношению (а · Ъ)' = а' · Ъ + а · Ь', называют
дифференцированием (точнее, дифференцированием кольца А). Таким
образом, функционал Όξ: C(l\Rn,R) —» R является
дифференцированием кольца C^^R^R). Но ϋξ еще и линеен относительно линейной
структуры пространства
Можно проверить, что линейный функционал /: С(°°) (W1, R) —» М,
обладающий свойствами
l(af + β9) = al(f) + βΙ(9), α,ββΜ, (8)
i(f-g)=i(f)g(xo) + f(xo)Hg), (9)
имеет вид £>£, где ξ Ε ΤΊζί0. Таким образом, касательное пространство
ТМ^0 к Rn в точке #о можно трактовать как линейное пространство
функционалов (дифференцирований) на С(°°)(МП,М), удовлетворяющих
условиям (8), (9).
Базисным векторам ei,..., еп пространства ТК^0 отвечают функци-
оналы Dekf(x0) = ~^jf(x)
дх
вычисления соответствующей частной
X=XQ
производной от функции / в точке хо· Таким образом, при
функциональной интерпретации пространства ТЩ0 можно сказать, что
функционалы 1 ^-,..., ^Дг > образуют базис ТЩ0.
Если ξ = (ξ1,... ,£η) Ε ΤΚ£0, то соответствующий вектору ξ
оператор Όξ имеет вид Όξ = £fc-^.
Совершенно аналогично касательный вектор ξ к п- мерному
многообразию Μ класса С^00' в точке ро Ε Μ можно интерпретировать
(или определить) как элемент пространства дифференцирований / на
(7(°°)(М, R), обладающих свойствами (8), (9), при этом в
соотношении (9) хо, естественно, заменяется на ро и тем самым функционал /
связывается именно с точкой ро Ε Μ. Такое определение касательного
вектора ξ и касательного пространства ТМРо формально не требует
привлечения локальных координат и в этом смысле, очевидно,
инвариантно. В координатах (х\,..., xf) локальной карты ([/*, φι) оператор /

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 401
имеет вид ξΐΛς + ... + ξ?^ = Όξί. Набор чисел (#,... ,£f)
естественно называется координатами касательного вектора I Ε ТМР0 в
координатах карты (Ui,cpi). Координатные представления одного и
того же функционала / Ε ТМР0 в картах (£/i,^i), {Uj,<Pj) в силу законов
дифференцирования связаны соотношениями
Т^А. = Τ trnj_ = γ ί γ МГ ) А (4')
k=i °^ m=i axj fe=1 \m=i axj / ^t
которые, естественно, повторяют соотношения (4).
2. Дифференциальная форма на многообразии. Рассмотрим
теперь пространство Т*Мр, сопряженное к касательному
пространству ТМр, то есть Т*Мр есть пространство линейных вещественнознач-
ных функционалов на ТМр.
Определение 3. Пространство Т*Мр, сопряженное
пространству ТМр, касательному к многообразию Μ в точке ρ Ε Μ, называется
кокасателъным пространством к многообразию Μ в точке р.
Если многообразие Μ — класса С(°°\ f Ε С^°°\М,Ш), а
Ιξ—отвечающее вектору ξ Ε ТМр дифференцирование, то при фиксированной
функции / Ε С^°°\М,Ш) отображение ξ н-> ^/, очевидно, будет
элементом пространства Т*Мр. В случае Μ = W1 получается ξ \-> D^f(p) =
= /'(р)£, поэтому построенное отображение ξ \-ϊ Ζξ/, естественно,
называется дифференциалом функции / в точке ρ и обозначается обычным
символом df(p).
Если ТШа_1, ч (или ТНп_1, ч при ρ Ε дМ)—пространство,
ответа (р) V φ* (ρ) ι ν ν
чающее в карте (Ua,cpa) многообразия Μ касательному
пространству ТМр, то пространство T*Rn_i , сопряженное к TRn_i ,
естественно считать изображением (представителем) пространства Т*Мр
в этой локальной карте. В координатах (х\,...,х™) локальной карты
(υα,φα) базису |-|-,..., JL J пространства TKJ_,(р) (или TfiJ_1(p),
если ρ Ε <?М) отвечает взаимный с ним базис {dx1,..., dxn} в
сопряженном пространстве. (Напомним, что άχι(ξ) = ξ1, поэтому dxl (-^-г) = ί!·.
Выражения этих взаимных базисов в другой карте (Up, φ β) могут
оказаться не столь простыми, ибо -Д- = ^l_J* dx\ = ^^άχί.)

402 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
Определение 4. Говорят, что на гладком п-мерном
многообразии Μ задана дифференциальная форма ω171 степени га, если на каждом
касательном к Μ пространстве ТМр, pGM, определена кососимметри-
ческая форма ωπι(ρ): (TMp)m -> К
Практически это означает, всего-навсего, что в каждом
пространстве TRn_! (или ΤΗη_λ ), отвечающем пространству ТМр в карте
Ψα. \Р) ψα \Ρ)
(Ua,cpa) многообразия М, задана соответствующая m-форма ωα(χα),
где ха = ψα1{ρ)- То, что две такие формы α;α(χα), ωρ(χβ) являются
представителями одной и той же формы о;(р), выражается
соотношением
ωα(Χα)((ξΐ)α, · · · , (ξτη)α) = ωβ{Χβ){(ξΐ)βι · · · , (ζπι)β), (Ю)
в котором χα, χ β — представители точки ρ £ Μ, а (ξι)α,..., (£m)a,
(£ι)/?> · · · 5 {£πι)β — представители векторов £χ,..., £m £ ΤΜρ в картах
{Ца,Ч>а), {υβ,ψβ) соответственно.
В более формальной записи это означает, что
ха = ψβα{Χβ)<> Χβ = ψαβ&α), (3')
ία = ψ'βΛχβ)ξβ, ξβ = Ψαβ(χ*)ξ*ι (4')
где, как обычно, ψβα и ψαβ являются соответственно функциями φ~ι ο
о φ β, ψΖι ο ψα преобразования координат, а касательные к ним
отображения ψ'βα =: (ψβα)*', ψ'αβ —'- {ψαβ)* осуществляют изоморфизм
касательных к W1 (Нп) пространств в соответствующих точках χα, χ β.
Как было сказано в §1, п. 3, сопряженные отображения {ψ'βαΥ =: φ%α,
(ψ'αβ)* =: Ψαβ осуществляют при этом перенос форм, и соотношение
(10) в точности означает, что
ωα(χα) = φ*αβ(χα)ωβ{χβ), (ΙΟ7)
где α и β — равноправные индексы (которые можно поменять местами).
/ dxj \
Матрица (с^) отображения φ'αβ{χα) известна: (с^) = I —Л· Ι (χα). Та-
ким образом, если
Ua{Xa) = Σ "iu-tm dx% Λ . . . Λ dx^ (11)
\^Л\ <...<im^.n

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 403
то в соответствии с формулой (30) из § 1 получаем, что
Σ ail„.imdx%/\...Adx%' =
Ιζΐΐ<...<ΐτηζη
τ—\ ΙΧ0 > * * * > ΧΘ Ι
= Σ ^l-im-H; Н-Ы^Л.-.Л^, (13)
l^i1<...<im^n С/ ( Χα -> · · · 5 ΧΟί J
l^Jl<...<jm^n \ /
где ^i—L как всегда, означает определитель матрицы из
соответствующих частных производных.
Итак, различные координатные выражения одной и той же формы ω
получаются друг из друга прямой заменой переменных (с раскрытием
соответствующих дифференциалов координат и последующими
алгебраическими преобразованиями в соответствии с законами внешнего
умножения).
Если условиться форму ωα считать переносом заданной на
многообразии формы ω в область параметров карты (Ϊ7α, φα), то естественно
писать, что ωα = φαω и считать, что ωα = ψα ο (φ~ι)*ωβ = φ*αβωβ, где
композиция φα°{ψβ1)* Β данном случае играет роль формальной
детализации отображения φ*αβ = (φ~ι ο φα)*.
Определение 5. Дифференциальная m-форма ω на п-мерном
многообразии Μ принадлежит классу гладкости С^к\ если
коэффициенты агь..гт(#а) ее координатного представления
"а = Ψαω = Σ an~irn (χα) dx%al Λ . . . Λ dx%™
в любой карте {υα,φα) атласа, задающего на Μ гладкую структуру,
являются функциями соответствующего класса
Из формулы (13) видно, что определение 5 корректно, если само
многообразие Μ имеет гладкость класса C(fc+1); например, когда Μ
есть многообразие класса С(°°\

404 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
Для заданных на многообразии дифференциальных форм
естественным образом (поточечно) определены операции сложения,
умножения на число и внешнего умножения (в частности, умножения на
функцию /: Μ —> Μ, которая по определению считается формой
степени нуль). Первые две из этих операций превращают множество Ωψ
m-форм класса С^ на Μ в линейное пространство. В случае к = оо
это линейное пространство обычно обозначают символом Ω771. Ясно,
что внешнее произведение форм ω1711 Ε Ω]™1, ω1712 Ε Ω™2 дает форму
ωτηι+πι2 _ ωτηι д ωπι2 e Q™i+™2^
3. Внешний дифференциал
Определение 6. Внешним дифференциалом называется
линейный оператор d: Ωψ —> Ω]™^1, обладающий следующими свойствами:
1° d: Ω^ —> Ω\_λ на любой функции / Ε Ω^ совпадает с обычным
дифференциалом df этой функции.
2° d: (ω™1 Α ω1712) = άω™1 Α ω1712 + (-l)mio;mi Λ άω™2, где ω1711 Ε Ω]™1,
ωτη2 eQ™*u
3° d2 :=dod = 0.
Последнее равенство означает, что для любой формы ω форма d(dcv)
нулевая.
Наличие требования 3° подразумевает, таким образом, что речь
идет о формах гладкости не ниже чем класса С^2'.
Практически это означает, что рассматривается С(°°)-многообра-
зие Μ и оператор d, действующий из Ω771 в Ω771^1.
Формула для вычисления оператора d в локальных координатах
конкретной карты (а вместе с нею и единственность оператора d) вытекает
из соотношения
d Σ сп~лАх) dxh Λ ... Λ dxim 1 -
\l^.ii<...<im^.n
Σ dcii:.im(x) A dxil A ... Λ dxim + (14)
+ Ι Σ Сч..лш d(dxh A ... Λ dx1™) = 0
Существование оператора d вытекает теперь из того, что опреде-

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 405
ленный в локальной системе координат соотношением (14) оператор
удовлетворяет условиям 1°, 2°, 3° определения 6.
Из сказанного, в частности, следует, что если ωα = φ^ω и ωρ =
= φ*„ω— координатные представления одной и той же формы о;, т.е.
ωα = Ψαβωβ'>ΎΟ dua и άωβ также будут координатными
представлениями одной и той же формы (do;), т.е. άωα = ψ*αβάωβ. Таким образом,
справедливо соотношение ά(φ^βωβ) = φ*αβ(άωβ), что в абстрактной
записи означает коммутативность
άφ* = φ*ά (15)
оператора d и операции φ* переноса форм.
4. Интеграл от формы по многообразию
Определение 7. Пусть Μ — n-мерное гладкое ориентированное
многообразие, на котором координаты х1,...,хп и ориентация
задаются одной картой φχ\ Dx -> Μ с областью параметров Dx С W1.
Пусть ω — η-форма на Μ и а(х) dx1 Λ ... Λ dxn — ее координатное
представление в области Dx. Тогда
J ω := J a(x) dx1 Λ ... Λ dxn, (16)
Μ Dx
где слева стоит определяемый интеграл от формы ω по
ориентированному многообразию М, а справа — интеграл от функции а(х) по
области Dx.
Если φχ: Dt —> Μ — другой состоящий из одной карты атлас М,
задающий на Μ ту же ориентацию, что и атлас φχ: Dx —> Μ, то якобиан
det φ'(ί) функции χ = φ(ί) преобразования координат всюду
положителен в области Dt. Форме ω в Dt отвечает форма
φ*(α(χ) dx1 Л...Л dxn) = a(x(t)) det φ'(ί) dt1 A ... Λ dtn.
По теореме о замене переменных в кратном интеграле имеет место
равенство
ί а(х) dx1... dxn = ί a(x(t)) det <pf(t) dt1... dtn■,
Dx Dt

406 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
показывающее независимость левой части соотношения (16) от выбора
системы координат на М.
Итак, определение 7 корректно.
Определение 8. Носителем определенной на многообразии Μ
формы ω называется замыкание множества тех точек χ £ Μ, где
ω(χ) φ 0.
Носитель формы ω обозначается символом suppo;. В случае 0-форм,
т. е. функций, мы уже с этим понятием встречались. Вне носителя
координатное представление формы в любой локальной системе координат
является нулевой формой данной степени.
Определение 9. Заданная на многообразии Μ форма ω
называется финитной формой, если suppo; — компакт в М.
Определение 10. Пусть ω — финитная форма степени η на п-
мерном гладком многообразии М, ориентированном атласом А. Пусть
ψι\ Di —> Щ {(Ui,(pi), i = l,...,m}—конечный набор карт атласа А,
районы Ϊ7ι,..., Um действия которых покрывают suppo;, a ei,...,е& —
подчиненное этому покрытию разбиение единицы на suppo;. Повторяя
некоторые карты по нескольку раз, можно считать, что т = к и что
suppe^ Ct/i,i = l,...,m.
Интегралом от финитной формы ω по ориентированному
многообразию Μ называется величина
/га л
":=Σ/^*(β^), (17)
М i=lDi
где ψ*{βιω) — координатное представление формы βιω\υ{ в области Di
изменения координат соответствующей локальной карты.
Докажем корректность этого определения.
< Пусть А = {(fj : Dj —> Uj}— другой атлас, задающий на Μ ту же
гладкую структуру и ориентацию, что и атлас А, и пусть [Д,..., Ϊ7^,
βχ,..., βγή — соответствующее покрытие suppo; и подчиненное ему
разбиение единицы на suppo;. Введем функции /^ = е^·, г = 1,...,т,
j = 1,..., га, и положим ω^ = fijtu.
Заметим, что suppo;^ С W%j = UiH Uj. Отсюда и из корректности
определения 7 интеграла по задаваемому одной картой ориентирован-

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 407
ному многообразию вытекает, что
/ <Ρί(ωυ) = / Ψί(ωυ) = I Щ{ь>ц) = Ι fijfaj).
Суммируя эти равенства по г от 1 до га и по j от 1 до га с учетом
т т
того, что Σ fij =ej, Σ fij = ei-> получим интересующее нас тождест-
i=l j=l
во. ►
5. Формула Стокса
Теорема. Пусть Μ — ориентированное гладкое n-мерное
многообразие и ω —гладкая финитная дифференциальная форма степени п—
— 1 на нем. Тогда
ί ω = ί άω, (18)
дм м
где ориентация края дМ многообразия Μ берется согласованной с
ориентацией многообразия М. Если dice дМ = 0, то f άω = 0.
м
Μ Без ограничения общности можно считать, что областями
изменения координат (параметров) всех локальных карт многообразия Μ
являются либо открытый куб I = {х £ W1 | 0 < хг < 1, г = 1,... ,п},
либо куб I = {x eW1 | 0 < хх < 1 Λ 0 < х* < 1, г = 2,..., п] с одной
(определенной!) присоединяемой к кубу I гранью.
С помощью разбиения единицы утверждение теоремы сводится к
случаю, когда suppo; лежит в районе U действия одной карты вида
ψ: I —» U или φ: I —» U.B координатах этой карты форма ω имеет вид
η ^
ω = ^2 °"i(x) dxl A ...Adx1 A... A dxn,
г=\
где символ , как обычно, означает пропуск соответствующего
множителя.
В силу линейности интеграла утверждение достаточно доказать для
одного члена
ω{ = Oi(x) dxl А ... Λ dx% A ... Λ dxn (19)

408 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
суммы. Дифференциалом такой формы является п-форма
ω* = (-l)i_1|^(x) dxl Λ ... Λ dxn. (20)
ахг
Для карты вида φ: I —» U оба интеграла в (18) от
соответствующих форм (19), (20) равны нулю: первый потому, что suppa^ С J, a
второй — по той же причине, если учесть теорему Фубини и соотноше-
1 В
ние l^\dxl = а{(1) — α*(0) = 0. Этим заодно исчерпывается случай,
о дх
когда дМ = 0.
Таким образом, остается проверить равенство (18) для карты φ :
Если г > 1, то и для такой карты оба интеграла равны нулю, что
следует из приведенных выше соображений.
Если же г = 1, то
/ ω\ = / ω\ = / -—^(х) dxl... dxn =
м и j
о о \o /
1 1
= /... / αι(1,χ2,... ,xn)dx2 ...dxn = / ω\ = Ι ωχ.
oo ди дм
Итак, при п > 1 формула (18) доказана.
Случай η = 1 совпадает с формулой Ньютона - Лейбница, если
принять, что концы α, β ориентированного отрезка [α, β] отмечаются
знаками а_ и /3_|_, а интеграл от 0-формы g(x) по такой ориентированной
точке полагается равным — д(а) и +#(/?) соответственно. ►
По поводу доказанной теоремы сделаем некоторые замечания.
Замечание 1. В формулировке теоремы ничего не говорится о
гладкости многообразия Μ и формы ω. В таких случаях обычно
подразумевают, что каждый из этих объектов имеет гладкость С(°°). Из
доказательства теоремы видно, однако, что формула (18) верна и для
форм класса на многообразии М, допускающем формы такой
гладкости.

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 409
Замечание 2. Из доказательства теоремы, как, впрочем, и из
самой формулы (18), видно также, что если suppo; — компакт, лежащий
строго внутри М, т. е. suppo; Π дМ = 0, то f άω = 0.
Μ
Замечание 3. Если Μ — компактное многообразие, то для любой
формы о; на Μ ее носитель suppo;, как замкнутое подмножество
компакта М, является компактом. Следовательно, в этом случае любая
форма о; на Μ является финитной и имеет место равенство (18). В
частности, если Μ — компактное многообразие без края, то для любой
гладкой формы на Μ имеет место равенство / άω = 0.
м
Замечание 4. Для произвольных (не финитных) форм ω на
многообразии, не являющемся само по себе компактом, формула (18),
вообще говоря, не имеет места.
Рассмотрим, например, знакомую нам форму ω = х ϊ~^7χ в КРУ_
х +У
говом кольце Μ = {(х,у) G К2 | 1 ^ х2 + у2 ^2}, наделенном
стандартными декартовыми координатами. В этом случае Μ — компактное
двумерное ориентированное многообразие, край дМ которого состоит
из двух окружностей С{ — {(х, у) £ R2 | х2 + у2 = г}, i = 1,2. Поскольку
άω = 0, то по формуле (18) находим, что
0= άω = ω — ω,
М С2 С\
где обе окружности С\ и С2 пробегаются против часовой стрелки. Мы
знаем, что
ω = /α; = 2π^0.
Значит, если вместо Μ рассмотреть многообразие Μ = Μ \ С\, то
дМ = С2 и
/ άω = 0 φ 2π = ω.
м дм
Задачи и упражнения
1. а) Два гладких пути 7г · Ш -> М, г = 1,2, на гладком многообразии Μ
назовем касающимися в точке ρ Ε Μ, если 7ι(0) — 72(0) — Ρ и в каждой

410 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
локальной системе координат φ: Rn(Hn) —> U, район U действия которой
содержит точку р, выполняется соотношение
\φ~1 о 71 (*) - Ψ~1 ° 72(01 = o(t) при t -> 0. (21)
Покажите, что если равенство (21) выполнено в одной из указанных систем
координат, то оно будет выполнено и в другой такой же локальной системе
координат гладкого многообразия М.
b) Свойство путей касаться в некоторой точке ρ Ε Μ является
отношением эквивалентности на множестве гладких путей, проходящих на Μ через
точку р. Класс эквивалентности по этому отношению назовем пучком
касающихся путей в точке ρ Ε Μ. Установите намеченное в §3, п. 1 взаимно
однозначное соответствие между векторами пространства ТМР и пучками
касающихся в точке ρ Ε Μ путей.
c) Покажите, что если пути 71,72 касаются в точке ρΕ М, а / Ε С^ (М, Е),
то
d) Покажите, как каждому вектору ξ Ε ΤΜΡ сопоставляется функционал
/ = /ξ(= £)ξ): С^°°^(М,Ε) ->· Ε, обладающий свойствами (8), (9), где хо = р.
Обладающий этими свойствами функционал назовем дифференцированием в
точке ρ Ε Μ.
Проверьте, что дифференцирование Ζ в точке ρ есть локальная операция,
т.е. если /ι,/2 Ε С^°°^ и /ι(χ) = fa(x) в некоторой окрестности точки р, то
Ifi = If2.
e) Покажите, что если х1,..., хп —локальные координаты в окрестности
П 8 8
точки р, то Ζ = У2 (^г)-^Т) где -^-т —операция вычисления частной производ-
дх дх
отвечающей точке р. (Указание. Запишите функ-
в локальных координатах; вспомните, что для функ-
п
имеет место разложение f(x) = /(0) + Σ xlgi(x), где
г=1
идг(0) = §1(0),г = 1,...,п.)
f) Проверьте, что если Μ — многообразие класса С^°°\ то линейное
пространство дифференцирований в точке ρ Ε Μ изоморфно построенному в п. 1
настоящего параграфа пространству ТМР, касательному к Μ в точке р.
2. а) Если в каждой точке ρ Ε Μ гладкого многообразия Μ фиксирован
вектор ξ(ρ) Ε ТМр, то говорят, что на многообразии Μ задано векторное
поле. Пусть X — векторное поле на М. Поскольку в силу предыдущей задачи
любой вектор Х(р) = ξ Ε ΤΜΡ можно интерпретировать как
дифференцирование в соответствующей точке р, то по любой функции / Ε С^°°^ (Μ, Е)
можно построить функцию Xf(p), значение которой в любой точке ρ Ε Μ
вычисляется применением Х(р) к /, т. е. дифференцированием / по вектору Х(р)
ной
цию
ции
9г е
по хг в
f\u(p) ·
г=1
точке
Μ ->
/ Ε C(°°)(Rn,
С(°°)(ЕЯ
l,R) и
Ε
Ε)
9г(

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 411
поля X. Поле X на Μ называется гладким (класса С^00)), если для любой
функции / е С(°°)(М, R) функция Xf тоже принадлежит классу С^(МД).
Дайте локальную координатную запись векторного поля и эквивалентное
приведенному, но координатное определение гладкого (класса С^°°^)
векторного поля на гладком многообразии.
b) Пусть X и Υ — два гладких векторных поля на многообразии М. Для
функций / Ε С(°°)(М,Е) построим функционал: [X,Y]f := X(Yf) - Y(Xf).
Проверьте, что [Χ, Υ]—тоже гладкое векторное поле на М. Оно называется
скобкой Пуассона векторных полей X и Υ.
c) Наделите гладкие векторные поля на многообразии структурой
алгебры Ли.
3. а) Пусть X и ω — гладкое векторное поле и гладкая 1-форма на
гладком многообразии М. Пусть ωΧ означает применение ω к вектору поля X
в соответствующих точках многообразия М. Покажите, что ωΧ — гладкая
функция на М.
b) Учитывая задачу 2, покажите, что имеет место следующее
соотношение:
άωι(Χ,Υ) = Χ(ωιΥ) - Υ (ω1 Χ) - ωι([Χ,Υ}),
где Χ, Υ— гладкие векторные поля, άω1— дифференциал формы ω1, άω1 (Χ, Υ)
— применение άω1 к парам связанных с одной точкой векторов полей Χ, Υ.
c) Проверьте, что в общем случае формы ω порядка т справедливо
соотношение
τη+1 ^
άω{Χί,...,Χτη+ί)=Σ{-\γ+ιΧίω(Χι,---,Χί,
г=1
+ Σ (-i)i+M№,^],*i,
l^*<j^m+l
где символ отмечает выпускаемый член, [Χ^,Χ^]—скобка Пуассона полей
Xi, Xj, а Х{Ш — дифференцирование функции α;(Χι,..., Х^,..., Xm+i) по
векторам поля Х{. Поскольку скобка Пуассона определена инвариантно, то
полученное соотношение можно расценить как довольно сложное, но инвариантное
определение оператора d: Ω —> Ω внешнего дифференцирования.
d) Пусть ω — гладкая m-форма на гладком n-мерном многообразии М.
Пусть (ξι,... ,£m+i)i — векторы в Еп, отвечающие в карте φι: W1 4i/cM
векторам £i,...,£m+i Ε ΤΜΡ. Обозначим через П^ образованный векторами
(£ι) · · ·) ζτη+ι)ί в Мп параллелепипед, и пусть λΠ^ — параллелепипед, натянутый
на векторы (λξι,... ,A£m+i)^. Образы <^(Π^), φί(ΧΠ.ί) этих параллелепипедов
в Μ обозначим через Π и ΛΠ соответственно. Покажите, что
άω(ρ)(ξ1,..., £m+i) = Hm —
0(λΠ)
Дт+l) +
, At,...,Aj,..., Am_|_ij,
h

412 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
4. а) Пусть /: Μ —> N — гладкое отображения гладкого m-мерного
многообразия Μ в гладкое n-мерное многообразие N. Используя интерпретацию
касательного вектора к многообразию как пучка касающихся путей (см.
задачу 1), постройте индуцируемое отображением / отображение /*(р): ТМР —>
-+TNf(p).
b) Покажите, что отображение Д линейно и запишите его в
соответствующих локальных координатах многообразий Μ и N. Объясните, почему Д (р)
называют дифференциалом отображения f в точке ρ или отображением,
касательным к f в этой точке.
Пусть / — диффеоморфизм. Проверьте, что Д[Х, У] = [/*Х,/*!"]. Здесь
Χ, Υ — векторные поля на М, а [·, ·] — их скобка Пуассона (см. задачу 2).
c) Касательное отображение /*(р): ТМР -> TNq=f^ касательных
пространств, как известно из § 1, порождает сопряженное отображение f*(p)
сопряженных пространств и вообще определенных на TNf^ и ТМР пространств
fc-форм.
Пусть ω — fc-форма на Ν; fc-форма f*u на Μ определяется соотношением
(/VKp) (6, •••,Ы:=Ц/Ш/4ъ ···,/*&),
где ξι,... ,& Ε ТМР. Так возникает отображение /*: ftk(N) -> Ω* (Μ)
пространства Ω* (TV) заданных на N fc-форм в пространство Ω*(Μ) fc-форм на М.
Проверьте следующие свойства отображения /*, считая Μ и N
многообразиями класса гладкости С^°°^:
1° /*—линейное отображение;
2° f*(u>! Abb) = f*U! A f*LJ2]
3° do f* = f* о d, т.е. dtf*u) = f*{du)\
40(/2θ/ι)* = Λ*ο/*.
d) Пусть М и N — гладкие n-мерные ориентированные многообразия, а
φ: Μ -> Ν — диффеоморфизм Μ на, N. Покажите, что если ω — η-форма на N
с компактным носителем, то
/ ω = ε φ*ω,
φ{Μ) Μ
{1, если φ сохраняет ориентацию,
— 1, если φ меняет ориентацию.
e) Пусть A D В. Отображение г: В —> А, которое каждой точке χ Ε В
ставит в соответствие ее же как точку множества Л, называют каноническим
вложением В в А.
Если ω — форма на многообразии М, а М' — подмногообразие М, то
каноническое вложение г: М' —> Μ порождает на М' форму ί*ω, которую
называют сужением или ограничением формы ω на М'. Покажите, что правильная

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ФОРМУЛА СТОКСА 413
запись формулы Стокса (18) должна иметь вид
άω = ί*ω,
м дм
где г: дМ —> Μ — каноническое вложение дМ в М, а ориентация на дМ
берется согласованной с ориентацией М.
5. а) Пусть Μ — гладкое (С^°°^) ориентируемое n-мерное многообразие,
а Ω™(Μ)—пространство гладких (С^°°^) η-форм с компактным носителем
на М. Покажите, что существует и притом единственное отображение J :
м
Ω™ (Μ) —> Ε, обладающее следующими свойствами:
1° отображение j линейно;
м
2° если φ: In(In) -> U С Μ — карта задающего ориентацию Μ атласа,
suppo; С U и в локальных координатах х1,... ,жп этой карты ω = а(х) dx1 Λ
Λ ... ЛсЬп, то
ω = / а(х) dx1 ... dxn',
Μ Ιη(ϊη)
где справа стоит интеграл Римана от функции а по соответствующему кубу
Ιη(ϊη).
b) Всегда ли указанное выше отображение можно продолжить до
обладающего теми же свойствами отображения j : Ωη(Μ) —> Ш пространства Ωη(Μ)
м
всех гладких η-форм на М?
c) Используя то, что в любое открытое покрытие многообразия Μ
можно вписать не более чем счетное локально конечное покрытие Μ и то, что
для любого такого покрытия на Μ существует подчиненное этому покрытию
разбиение единицы (см. задачу 9 из §2), определите интеграл от η-формы по
ориентированному гладкому n-мерному (не обязательно компактному)
многообразию так, чтобы он обладал указанными выше свойствами 1°, 2°
применительно к формам, для которых интеграл конечен. Покажите, что для этого
интеграла формула (18), вообще говоря, не имеет места, и дайте условия на ω,
достаточные для справедливости формулы (18) в случае, когда Μ = Еп, и в
случае, когда Μ = Нп.
6. а) Используя теорему существования и единственности решения
дифференциального уравнения χ = υ (χ), а также гладкую зависимость решения
от начальных данных, покажите, что гладкое ограниченное векторное поле
υ(χ) в Шп можно рассматривать как поле скоростей установившегося
течения. Точнее, покажите, что существует такое гладко зависящее от параметра
(времени) t семейство диффеоморфизмов φι: Шп —> Шп, что φι (χ) при
фиксированном значении xEin является интегральной кривой нашего уравнения,

414 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
т.е. φ^°' = v(tpt(x)), причем φο(χ) = х- Отображение ψι\ W1 -> Rn,
очевидно, характеризует перемещение частиц среды за время t. Проверьте, что
семейство отображений φι: W1 —> W1 является однопараметрической группой
диффеоморфизмов, т.е. (<^)-1 = φ-и 4>t2 ° ψΐ\ = <^2+*ι·
b) Пусть ν — векторное поле в Еп, а φι — однопараметрическая группа
диффеоморфизмов Шп, порожденная полем v. Проверьте, что для любой
гладкой функции / е С(°°) (Шп, Ж) имеет место соотношение
Vm±(f(tpt(x))-f(x))=Dv{x)f.
Если ввести обозначение v(f) := Dvf, согласованное с обозначениями из
задачи 2, и вспомнить, что / о φί =: у>£/, то можно написать, что
lim-t(V;f-f)(x)=v(f)(x).
c) Теперь естественно определяется и дифференцирование заданной в W1
гладкой формы ω любой степени вдоль поля v. А именно, положим
ν(ω)(χ) := Jim -(φ*ω - ω)(χ).
Форма υ (ω) называется производной Ли от формы ω вдоль поля ν и
чаще всего обозначается специальным символом Lvu. Определите производную
Ли Lxu формы ω вдоль поля X на произвольном гладком многообразии М.
d) Покажите, что производная Ли на С^°°^-многообразии Μ обладает
следующими свойствами.
1° Lx—локальная операция, т.е. если в окрестности U С Μ
рассматриваемой точки χ Ε Μ поля Χι, Х2 и формы ω\, ω2 соответственно совпадают,
то {LXiuji){x) = (Lx2u>2)(x).
2° Lxilk(M) ctf(M).
3° Lx: Ω* (Μ) ->· Ω* (Μ) —линейное отображение при любом к = 0,1,2,...
4° Lx(u)\ Λ ω2) = (Ι,χωι) Λ ω2 + ω\ Λ Σχω2.
5° Если / Ε Ω°(Μ), το Lxf = df(X) =: Xf.
6° Если / Ε Ω°(Μ), το Lxdf = d{Xf).
e) Проверьте, что указанные выше свойства 1°-6° однозначно
определяют операцию Lx.
7. Пусть X — векторное поле, а ω — форма степени к на гладком
многообразии М.
Внутренним произведением поля X и формы ω называется (к — 1)-форма,
обозначаемая через г χω или через IJwh определяемая следующим
соотношением (ixu)(Xi1...1Xk-i) := u(X,Xi,...,Xk-i), где Хи ... ,Хк-г
—векторные поля на М. Для 0-форм, т. е. функций на М, положим Х_1 / = 0.

§4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ
415
a) Покажите, что если в локальных координатах х1,..., хп карты φ: Еп —>
—> U С Μ форма ω (точнее ω\υ) имеет вид J^ ah...ik(x) dx4 Л ... Л
1^*1 <---<гк^п
/\ах*ь = jpai^.^dx*1 Л... Л da:**, а, X = X*JL, то
ίχω = (1с - iv^tQ*'*2»-'*fc dx%2 Л * * * Л dx%k'
b) Проверьте далее, что если df = Щ-τάχ1, то ixd/ = ХгЩ-т — X(f) = Dxf.
ox ox
c) Пусть X(Μ) — пространство векторных полей на многообразии М, а
Ω(Μ) — кольцо кососимметрических форм на М. Покажите, что существует
только одно отображение г: Х(М) χ Ω(Μ) ->· Ω(Μ), обладающее следующими
свойствами:
1° г—локальная операция, т.е. если поля Χχ, Χ^ и формы ωχ, ω2
соответственно совпадают в окрестности U точки χ Ε Μ, то (ίχ1ωι)(χ) = (ίχ2ω2)(χ)'1
2° ix(ilk(M)) Ctt*-1^);
3° ίχ : Slk(M) ->· Ω*-1(Μ)—линейное отображение;
4° если ωχ е ΩΛι(Μ), ω2 G Ω*2(Μ), το ίχ(ωι Λω2) = ίχωι Λω2 + (-1)Λια;ι Λ
Лад;
5° если ω Ε Ω1 (Μ), то гхо; = ω {Χ), а если / Ε Ω°(Μ), το ίχ/ = 0.
8. Докажите следующие утверждения.
a) Операторы d, г χ и Lx (см. задачи 6, 7) удовлетворяют так называемому
тождеству гомотопии
Lx=ixd + dix, (22)
где X — любое гладкое векторное поле на многообразии.
b) Производная Ли коммутирует с d и ίχ, т.е.
Lx od = do Lx, Lx οίχ = гх о Σχ.
c) [Lx, %γ] = ι[ΧΎ], [Lx, LY] = L[XyY], где как всегда [Л, В] = А о В - В о Л
для любых операторов А, #, для которых выражение ЛоВ — ВоА определено.
В данном случае все скобки [ , ] определены.
d) Lxfu = fLxu + df Λ ίχω, где / Ε Ω°(Μ), а α; Ε Ω*(Μ).
(Указание. Основным в задаче является п.а). Его можно проверить,
например, индукцией по степени формы, на которую действуют операторы.)
§ 4. Замкнутые и точные формы на многообразии
1. Теорема Пуанкаре. В этом параграфе будут дополнены
сведения о замкнутых и точных дифференциальных формах, которые были
изложены в гл. XIV, § 3 в связи с теорией векторных полей в области

416 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
пространства W1. Как и прежде, символ ΩΡ(Μ) будет означать
пространство всех гладких вещественнозначных форм степени ρ на гладком
многообразии М, а Ω(Μ) = \J№(M).
ρ
Определение 1. Форма ω £ ΩΡ(Μ) называется замкнутой, если
Определение 2. Форма ω £ ΩΡ(Μ), ρ > 0, называется точной,
если существует такая форма а £ ΩΡ_1(Μ), что ω = da.
Множество всех замкнутых р-форм на многообразии Μ обозначим
через ΖΡ(Μ), а множество всех точных р-форм на Μ обозначим
символом Вр(М).
Для любой формы ω £ Ω (Μ) имеет место соотношение ι4(άω) = О,
которое показывает, что ZP(M) D ВР(М). Нам уже известно из гл. XIV,
§ 3, что, вообще говоря, это включение является строгим.
Важный вопрос о разрешимости (относительно а) уравнения da = ω
при выполнении необходимого условия άω = О на форму ω
оказывается тесно связан с топологической структурой многообразия М. Более
полно сказанное будет расшифровано ниже.
Определение 3. Многообразие Μ будем называть стягиваемым
(в точку #о £ М) или гомотопным точке, если существует такое
гладкое отображение h: Μ χ J -> Μ, где J = {t G Ш | 0 ^ t ^ 1}, что
h(x, 1) = χ и h(x,0) = xo·
Пример 1. Пространство W1 стягивается в точку посредством
отображения h(x,t) = tx.
Теорема 1 (Пуанкаре). Любая замкнутая (р + 1)-форма (ρ ^ 0)
на стягиваемом в точку многообразии Μ является точной.
Μ Нетривиальная часть доказательства состоит в следующей
«цилиндрической» конструкции, сохраняющей силу для любого
многообразия М.
Рассмотрим «цилиндр» Μ χ Ι — прямое произведение Μ на
единичный отрезок I, и два отображения з\\ Μ —> Μ χ Ι, ji(x) = (χ, г), г = 0,1,
отождествляющие Μ с основаниями цилиндра Μ χ I. Тогда естествен-
^В зависимости от способа введения оператора d это свойство или
доказывается, и тогда его часто называют леммой Пуанкаре, или включается в определение
оператора d.

§4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ
417
но возникают соответствующие отображения Ц: ΩΡ(Μ χ J) —> ΩΡ(Μ),
которые сводятся к тому, что в форме из ΩΡ(Μ χ J) переменная t
заменяется значением г(= О,1), при этом, разумеется, di = 0.
Построим линейный оператор К: ΩΡ+1(Μ χ Ι) -> ΩΡ(Μ), который
на мономах определим следующим образом:
K(a(x,t)dxil Α.,.Αάχ^1) := 0,
К (α(χ, ί) di Λ dxil Λ ... Λ dx*?) := ( / α(χ, ί) di J dx*1 Λ ... Λ dxV
Основное нужное нам свойство оператора К состоит в том, что для
любой формы ω £ ΩΡ+1(Μ χ 7) имеет место соотношение
Κ(άω) + ά(Κω) = j{cu - ]%ω. (1)
Это соотношение достаточно проверить для мономов, поскольку все
операторы К, d, j*> Jo линейны.
Если ω = α(χ, t) dxil Л ... Л dx^1, то Κω = 0, ά{Κω) = 0,
да
άω = —dt Λ dxn Λ ... Λ dx*p+1 + [члены без di],
(Jo
*^>=(/!*)
da;*1 Л ... Λ ώ>+ι =
= (a{x, 1) - a(x, 0)) da;*1 Л ... Л ofe*"*1 = j{w - Ци,
и соотношение (1) справедливо.
Если ω = а(х, t) dt Л dx%1 Л ... Л ах1р, то ,^ω = Цш = 0. Далее,
Κ(άω) = К I - Σ in; dt Л dxio Л dxh Л ... Л da> J =
= ~ Σ (/ йdi Ida;io Λώ,'Λ-Λ άχίρι
го \о
<*(Χω) =d I I ίa{x,t)dt\ dxh Λ...Λάχ**

418 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
t) dt dxio Λ dxil Λ ... Λ dx^ =
dxl° Adx11 Λ.,.Λάχ1?.
Таким образом, и в этом случае соотношение (1) справедливо1).
Пусть теперь Μ — стягиваемое в точку хо £ Μ многообразие, h: Μ χ
χ I —> Μ — указанное в определении 3 отображение, ω — (ρ + 1)-форма
на М. Тогда, очевидно, h о jl: Μ —> Μ — тождественное отображение,
a h о jo: Μ —» хо — отображение Μ в точку хо5 поэтому (j* о }ι*)ω = ω
и (Jq oh*)u = 0. Значит, в этом случае из (1) следует, что
K{d{h*cu)) + d{K{h*cu)) = ω. (2)
Если к тому же ω — замкнутая форма на М, то, поскольку d(h*u)) =
= h* (άω) = 0, из (2) получаем, что
d(K(h*u>)) = ω.
Таким образом, замкнутая форма ω является внешним
дифференциалом формы а = Κ(1ι*ω) £ ΩΡ(Μ), т.е. ω — точная форма
на М. ►
Пример 2. Пусть А, £?, С — гладкие вещественнозначные
функции переменных х, у, ζ в R3. Требуется решить относительно функций
Р, Q, R систему уравнений
ду dz
%
Ш - §0. — Δ
дР dR _ r> /Q\
dQ дР _ Г
дх ду ~ °*
Для совместности системы (3), очевидно, необходимо, чтобы
функции А, £?, С удовлетворяли соотношению
ЗА № 9С=0
дх ду dz
Шо поводу обоснования проведенного в последнем равенстве дифференцирования
интеграла по переменной хг° см., например, гл. XVII, § 1.

§ 4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ
419
которое равносильно замкнутости в Mr формы
ω = Ady Adz + Вdz Adx + Сdx Ady.
Система (З) будет решена, если будет найдена такая форма
а = Ρ dx + Q dy + Rdz,
что da = ω.
В соответствии с изложенной при доказательстве теоремы 1
рецептурой и с учетом построенного в примере 1 отображения h после
простых вычислений получим
а = Κ(Κ*ω) = [ / A(tx,ty,tz)tdt J (y.dz - zdy) +
°(r \
+ I / B(tx,ty, tz)tdt J (zdx — xdz) +
/ C(tx,ty,tz)tdt J (xdy — ydx).
ι
+
Можно и непосредственно проверить, что da — ω.
Замечание. Произвол в выборе формы а, удовлетворяющей
условию da = ω, обычно довольно большой. Так, вместе с формой а любая
форма вида α + άη, очевидно, тоже будет удовлетворять этому же
уравнению.
В силу теоремы 1 на стягиваемом многообразии Μ любые две
формы а, /3, удовлетворяющие условию da — άβ — ω, отличаются на точную
форму. Действительно, d(a — β) = 0, т.е. форма (а — β)—замкнутая
на М, а значит, по теореме 1 она точная.
2. Гомологии и когомологии. В силу теоремы Пуанкаре любая
замкнутая форма на многообразии локально является точной. Склеить
эти локальные первообразные в одну форму на всем многообразии
удается далеко не всегда, и это зависит от топологической структуры
многообразия. Например, замкнутая в проколотой плоскости R2 \ 0 форма

420 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
ω = ~у γ* + \ ? рассмотренная в § 3 гл. XIV, локально является диффе-
х +у
ренциалом функции ψ = ср(х,у)—полярного угла точки (х,у), однако,
продолжение этой функции в области R2 \ 0 приводит к
многозначностям, если замкнутый путь, по которому идет продолжение,
охватывает дырку — точку 0. Примерно так же обстоит дело и с формами
других степеней. «Дырки» в многообразиях могут быть различные —
не только проколы, но и такие, как, например, у тора или кренделя.
Структура многообразий высших размерностей может быть довольно
сложной. Связь между устройством многообразия как топологического
пространства и взаимоотношением замкнутых и точных форм на нем
описывается так называемыми группами (ко)гомологий многообразия.
Замкнутые и точные вещественнозначные формы на
многообразии Μ образуют линейные пространства ΖΡ(Μ) и ВР(М)
соответственно, причем ZP(M) D В?(Μ).
Определение 4. Фактор-пространство
Нр{М) := Ζρ{Μ)/Βρ{Μ) (4)
называется группой р-мерных когомологий (с вещественными
коэффициентами) многообразия М.
Таким образом, две замкнутые формы ω\,ω2 G ZP(M) лежат в
одном классе когомологий или когомологичны, если ω\ — ω<χ G BP(M),
т. е. если они отличаются на точную форму. Класс когомологий формы
ω G ZP(M) будем обозначать символом [ω].
Поскольку ΖΡ(Μ) есть ядро оператора dp: ΩΡ(Μ) -> ΩΡ+1(Μ), а
Вр(М) есть образ оператора dP~l: Ωρ~ι(Μ) -> ΩΡ(Μ), то вместо (4),
часто пишут
Нр{М) =Kerdp/Imdp-\
Подсчет когомологий — дело, как правило, трудное. Можно, однако,
сделать некоторые тривиальные общие наблюдения.
Из определения 4 следует, что если ρ > dim Μ, то НР(М) = 0.
Из теоремы Пуанкаре вытекает, что если Μ стягиваемо, то при
р>0 Нр{М) =0.
На любом связном многообразии Μ группа Н°(М) изоморфна М,
так как Н°(М) = Ζ°(Μ), а если для функции /: Μ —> R на связном
многообразии Μ выполнено соотношение df = 0, то / = const.

§4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ
421
Таким образом, например, для пространства W1 получается, что
Hp(Rn) = О при ρ > О и uf°(Rn) ~ R. Это утверждение (с точностью
до тривиального последнего соотношения) эквивалентно теореме 1 при
Μ = W1 и тоже называется теоремой Пуанкаре.
Более наглядную геометрическую связь с многообразием Μ имеют
так называемые группы гомологии.
Определение 5. Гладкое отображение с: Ιρ —ϊ Μ р-мерного куба
/сРв многообразие Μ называют сингулярным кубом на
многообразии М.
Это прямое обобщение понятия гладкого пути на случай
произвольной размерности р. В частности, сингулярный куб может состоять в
преобразовании куба I в одну точку.
Определение 6. Цепью (сингулярных кубов) размерности ρ на
многообразии Μ называется любая конечная формальная линейная
комбинация Σ akck сингулярных р-мерных кубов на Μ с вещественными
к
коэффициентами.
Как и пути, сингулярные кубы, получающиеся друг из друга диф-
феоморфным изменением параметризации с положительным
якобианом, считаются эквивалентными и отождествляются. Если же такая
замена параметризации происходит с отрицательным якобианом, то
соответствующие (противоположно ориентированные) сингулярные кубы
с, с- считаются противоположными и полагают с- = —с.
Цепи размерности ρ на многообразии М, очевидно, образуют
линейное пространство относительно стандартных операций сложения и
умножения на вещественное число. Это пространство мы обозначим
через СР(М).
Определение 7. Границей д1 р-мерного куба Ρ в W называется
(р — 1)-мерная цепь
i=0 i=i
в W, где Cij: Jp_1 -> W —отображение (ρ— 1)-мерного куба в W,
индуцированное каноническим вложением соответствующей грани куба Ρ
в W. Точнее, если Р'1 = {х € Rp_1 | 0 ^ хт ζ 1, т = 1,... ,р - 1}, то
су(5) = (ж1,..., xj~l,i, χι,..., χΡ'1) е Ш.

422 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
Легко проверить, что это формальное определение границы куба в
точности совпадает с операцией взятия края стандартно
ориентированного куба Ρ (см. гл. XII § 3).
Определение 8. Граница дс сингулярного р-мерного куба есть
(р — 1)-мерная цепь
г=0 j=l
Определение 9. Граница р-мерной цепи ^,akck на многообра-
зии Μ есть (р — 1)-мерная цепь
д I J^ akck ) := Σ akdck.
\ k J k
Таким образом, на любом пространстве цепей СР(М) определен
линейный оператор
д = др:Ср{М)^Ср-1{М).
Исходя из соотношения (5), можно проверить, что для куба имеет
место соотношение д(д1) = 0. Следовательно, вообще д о д = д2 = 0.
Определение 10. Циклом ζ размерности ρ или р-циклом на
многообразии называется такая цепь, для которой dz = 0.
Определение 11. Граничным циклом Ъ размерности ρ на
многообразии называется цепь, являющаяся границей некоторой (р+
^-мерной цепи.
Пусть Ζρ(Μ) и Вр(М) — совокупности р-мерных циклов и р-мерных
граничных циклов на многообразии М. Ясно, что Ζρ(Μ) и Вр(М)
являются линейными пространствами над полем R и что Zp(M) D Вр(М).
Определение 12. Фактор-пространство
Нр{М) := Ζρ{Μ)/Βρ{Μ) (6)
называется р-мерной группой гомологии (с вещественными
коэффициентами) многообразия М.
Таким образом, два цикла ζ\,Ζ2 £ ΖΡ(Μ) лежат в одном классе
гомологии или гомологичны, если ζ\ — ζ<ι £ Вр{М\ т. е. если они отличаются

§ 4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ
423
на границу некоторой цепи. Класс гомологии цикла ζ £ Zp(M) будем
обозначать через [ζ].
Как и в случае когомологий, соотношение (6) можно переписать в
виде
НР(М) = Кетдр/1тдр+1.
Определение 13. Если с: Ι —ϊ Μ — сингулярный р-мерный куб, а
ω—р-форма на многообразии М, то интегралом от формы ω по этому
сингулярному кубу называется величина
(7)
с /
Определение 14. Если *52akck— цепь размерности р, а ω —
k
р-форма на многообразии М, то интеграл от формы по такой цепи
понимается как линейная комбинация ]Г а& J ω интегралов по соответ-
k cfc
ствующим сингулярным кубам.
Из определений 5-8 и 13, 14 следует, что для интеграла по
сингулярному кубу справедлива формула Стокса
J άω= ίω, (8)
с дс
где с и ω имеют размерность ρ и степень ρ — 1 соответственно. Если
учесть еще определение 9, то можно заключить, что вообще формула
Стокса (8) остается в силе для интегралов по цепям.
Теорема 2. а) Интеграл от точной формы по циклу равен нулю.
b) Интеграл от замкнутой формы по границе цепи равен нулю.
c) Интеграл от замкнутой формы по циклу зависит только от
класса гомологии цикла.
d) Интеграл от замкнутой формы по циклу зависит только от
класса когомологий формы.
e) Если замкнутые р-формы ω\, ω<ι и циклы ζ\, ζ<ι размерности ρ
таковы, что [ω\] = [α^] и [z\[ — fa], то
Ιωι=Ιω2·
Ζ\ Ζ2
-

424 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
Μ а) По формуле Стокса f άω — f ω = О, так как dz = 0.
ζ dz
b) По формуле Стокса f ω = f άω = 0, так как άω = 0.
дс с
c) Вытекает из Ь).
d) Вытекает из а).
e) Вытекает из с) и d). ►
Следствие. Билинейное отображение ΩΡ(Μ) χ СР(М) —> Ш,
задаваемое формулой (о;, с) ь-> J ω, индуцирует билинейное отображение
с
ΖΡ(Μ) χ ΖΡ(Μ) ->■ Ш и билинейное отображение НР(М) χ НР(М) -> Ш.
Последнее задается формулой
([ω],[ζ]) ^ J ω, (9)
Ζ
гдeωe ZP(M) uze Zp(M).
Теорема З (де Рам1)). Задаваемое формулой (9) билинейное
отображение НР(М) χ Нр(М) -> R невырождено2\
Мы не останавливаемся здесь на доказательстве этой теоремы де
Рама, но дадим несколько ее переформулировок, позволяющих в явном
виде представить используемые в анализе ее следствия.
Прежде всего заметим, что каждый класс когомологий [ω] G НР(М)
в силу (9) можно интерпретировать как линейную функцию Μ (И) =
= f ω. Таким образом, возникает естественное отображение НР(М) —>
ζ
-ϊ Я*(М), где Н*(М) — сопряженное к НР(М) пространство. Теорема
де Рама утверждает, что это отображение является изоморфизмом, и
в этом смысле НР(М) = Н*(М).
Определение 15. Если ω — замкнутая р-форма, a z — цикл
размерности ρ на многообразии М, то величина рег(;г) := f ω называется
ζ
периодом (или циклической постоянной) формы ω на цикле ζ.
^Ж.де Рам (1903-1969) — бельгийский математик; основные работы относятся
к алгебраической топологии.
2^Напомним, что билинейная форма L(x,y) называется невырожденной, если при
любом фиксированном отличном от нуля значении одной из переменных получается
не равная нулю тождественно линейная форма по другой переменной.

§ 4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ
425
В частности, если цикл ζ гомологичен нулю, то, как следует из
утверждения Ь) теоремы 2, рег(;г) = 0. По этой причине между
периодами имеется следующая связь:
Σα*ζ*
= 0 =► ]Га*реф*)=0, (10)
L *
т.е. если линейная комбинация циклов является граничным циклом,
или, что то же самое, гомологична нулю, то соответствующая линейная
комбинация периодов равна нулю.
Имеют место следующие две теоремы де Рама, которые в
совокупности равносильны теореме 3.
Теорема 4 (первая теорема де Рама). Замкнутая форма точна
тогда и только тогда, когда все ее периоды равны нулю.
Теорема 5 (вторая теорема де Рама). Если каждому р-циклу ζ Ε
Ε ΖΡ(Μ) на многообразии Μ сопоставить число рег(;г) с соблюдением
условия (10), то на Μ найдется такая замкнутая р-форма ω, что
f ω = рег(;г) для любого цикла ζ Ε Zp(M).
ζ
Задачи и упражнения
1. Проверьте прямым вычислением, что полученная в примере 2 форма а
действительно удовлетворяет уравнению da = ω.
2. а) Докажите, что любая односвязная область в Е2 стягиваема по себе
в точку.
Ь) Покажите, что в Е3 предыдущее утверждение, вообще говоря, не имеет
места.
3. Проанализируйте доказательство теоремы Пуанкаре и покажите, что
если гладкое отображение h: Μ χ Ι —ϊ Μ рассматривать как семейство
зависящих от параметра t Ε I отображений ht: Μ —> Μ, то для любой замкнутой
на М формы ω, все формы hi ω, t E / будут лежать в одном классе когомоло-
гий.
4. а) Пусть t \-> ht Ε C(°°\M,N)—гладко зависящее от параметра t Ε
E/Cl семейство отображений многообразия Μ в многообразие N.
Проверьте, что для любой формы ω Ε Ω (TV) справедлива следующая формула го-
мотопии:
^(h*tu)(x) = dh*t(ixu)(x) + Щгхаи>)(х). (11)
Здесь χ Ε Μ; Χ — векторное поле на Ν, причем X(x,i) E ΤΝ^(Χ) и X(x,t)
есть вектор скорости для пути t1 \-> htt (χ) при t1 = t\ оператор г χ внутреннего

426 ГЛ. XV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
произведения формы и векторного поля определен в задаче 7 предыдущего
параграфа.
b) Из формулы (11) получите утверждение, высказанное в задаче 3.
c) Опираясь на формулу (11), докажите вновь теорему 1 Пуанкаре.
d) Покажите, что если К — стягиваемое в точку многообразие, то для
любого многообразия Μ и при любом целом значении ρ имеет место равенство
Н*>(К χ М) = Н*(М).
e) Получите из формулы (11) соотношение (22) предыдущего параграфа.
5. а) Используя теорему 4, а также непосредственно покажите, что если
замкнутая 2-форма на сфере S2 такова, что f ω = 0, то форма ω — точная.
b) Покажите, что группа H2(S2) изоморфна Е.
c) Покажите, что #X(S2) = 0.
6. а) Пусть φ: S2 -> S2—отображение, которое каждой точке χ е S2
ставит в соответствие диаметрально противоположную ей точку — χ Ε S2
(антипод). Покажите, что между формами на проективной плоскости ШР2
и формами на сфере 52, инвариантными относительно отображения φ (т.е.
φ*ω = ω), имеется взаимно однозначное соответствие.
b) Представим ШР2 как фактор-многообразие 52/Г, где Г — группа
преобразований сферы S2, состоящая из тождественного отображения и антипо-
дального отображения φ. Пусть π: S2 -¥ ШР2 = 52/Г — естественная
проекция, т.е. π(χ) = {χ, —х}. Покажите, что π ο φ = π, и проверьте, что
V77Gfip(S2) (φ*η = η) <=ϊ 3ω Ε ΩΡ(1Ρ2) (π*α; = η).
c) Используя задачу 5 а), покажите теперь, что Я2(ШР2) = 0.
d) Докажите, что если функция / Ε C(S2,B) такова, что f(x) — f(—x) =
= const, то / = 0. Учитывая задачу 5 с), выведите отсюда, что #Χ(ΙΚΡ2) = 0.
7. а) Представив ШР2 в виде стандартного прямоугольника Π с
отождествлением противоположных сторон, указанным на рис. 98 ориентирующими
стороны стрелками, покажите, что дИ = 2с; — 2с;дс = Р — Q; del — Ρ — Q.
b) Выведите из сделанного в предыдущем задании наблюдения, что на ШР2
нет нетривиальных двумерных циклов и, используя теорему де Рама,
покажите, что Н2(ШР2) = 0.
с) Покажите, что единственным (с точностью до
множителя) нетривиальным одномерным циклом на MP2
является цикл с' — с и, поскольку с! — с— 2#П, выведите
из теоремы де Рама, что ЯХ(ШР2) = 0.
8. Найдите группы #°(М), Н1{М), Н2{М), если:
a) М = 51 —окружность;
b) М = Т2 — двумерный тор;
c) Μ = К2 — бутылка Клейна.
Рис. 98. 9. а) Докажите, что диффеоморфные
многообразия имеют изоморфные группы (ко)гомологии соответствующей размерности.

§ 4. ЗАМКНУТЫЕ И ТОЧНЫЕ ФОРМЫ
427
Ь) На примере Е2 и ШР2 покажите, что обратное утверждение, вообще
говоря, неверно.
10. Пусть X и Υ —линейные пространства над полем Е, a L(x, у) —
невырожденная билинейная форма L: Χ χ Υ —>· R. Рассмотрим отображение X —>·
—>· У*, осуществляемое соответствием ХЭжи L(x, ·) Ε У*.
a) Докажите, что построенное отображение инъективно.
b) Покажите, что для любой системы j/i,..., yk линейно независимых
векторов пространства Υ в X найдутся такие векторы ж1,... ,жЛ, что xl(yj) :=
= L(xl,yj) = <5*, где й*. = 0 при г ^ j и Jj = 1 при г = j.
c) Проверьте, что построенное отображение Χ —ϊ Υ* является
изоморфизмом линейных пространств X и У*.
d) Покажите, что первая и вторая теоремы де Рама означают в
совокупности, что с точностью до изоморфизма НР(М) = Н*(М).

ГЛАВА XVI
РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ И ОСНОВНЫЕ
ОПЕРАЦИИ АНАЛИЗА НАД РЯДАМИ
И СЕМЕЙСТВАМИ ФУНКЦИЙ
§ 1. Поточечная и равномерная сходимость
1. Поточечная сходимость
Определение 1. Говорят, что последовательность {/η; η £ Ν}
функций fn: Χ —» R сходится в точке χ £ X, если сходится
последовательность {/η(#); τι £ Ν} значений этих функций в точке х.
Определение 2. Множество Ε С X точек, в которых
последовательность {/η; η £ Ν} функций /п: X —» R сходится, называется
множеством сходимости последовательности функций.
Определение 3. На множестве сходимости последовательности
функций {/η; η £ Ν} естественно возникает функция /: Ε —ϊ Μ,
задаваемая соотношением /(#) := lim /n(#)· Эта функция называется
п—юо
предельной функцией последовательности {/η; η £ Ν} или пределом
последовательности функций {/η; η £ Ν}.
Определение 4. Если f: Ε —ь R— предельная функция
последовательности {/η; η £ Ν}, то говорят, что эта последовательность
функций сходится (или сходится поточечно) к функции f на
множестве Е.
В этом случае пишут f(x) = lim /n(#) на Ε или fn —> f на Е при
η—юо
П —» 00.

§ 1. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 429
Пример 1. Пусть X = {х £ R | χ ^ 0}, а функции /п: X —» R
заданы соотношением /п(х) = χη, η £ N. Множеством сходимости этой
последовательности функций, очевидно, является отрезок J = [0,1], а
предельной является функция /: I —» R, задаваемая условиями
Г 0, если 0 ^ χ < 1,
I 1, если χ = 1.
Пример 2. Рассматриваемая на R последовательность функций
2
/п(#) = sm^ х сходится на R к функции /: R —» 0, тождественно равной
нулю.
Пример 3. Последовательность fn(x) — sm™x тоже имеет своим
η
пределом функцию /: R —» 0, тождественно равную нулю.
Пример 4. Рассмотрим на отрезке I = [0,1] последовательность
функций /п(х) = 2(п + 1)х(1 — х2)п. Поскольку ngn —> 0 при |д| < 1, эта
последовательность на всем отрезке I стремится к нулю.
Пример 5. Пусть га, η £ Ν, и пусть /т(х) := lim (cosra^x)2n.
п—уоо
Если т\х — целое, то fm(x) = 1, если же т! χ £ Ζ, το, очевидно, fm(x) =
= 0.
Рассмотрим теперь последовательность {/m; га £ N} и покажем,
что на всей числовой оси она сходится к функции Дирихле
Г0, если χ £ Q,
[1, если χ £ Q.
Действительно, если χ ^ Q, то га! χ ^ Ζ, и fm(x) = 0 при любом
значении т £ N, значит, /(х) = 0. Если же χ = £ где ρ £ Ζ, q £ Ν, то уже
при т^ q будет т! χ £ Ζ и fm(x) = 1, что влечет /(х) = 1.
Итак, lim /m = D(x).
m—уоо
2. Постановка основных вопросов. Предельный переход
встречается в анализе на каждом шагу и часто бывает важно знать, какими
функциональными свойствами обладает предельная функция. Главные
из таких свойств для анализа — непрерывность, дифференцируемость,
интегрируемость. Значит, важно выяснить, будет ли предельная
функция непрерывной, дифференцируемой или интегрируемой, если
соответствующим свойством обладали допредельные функции. При этом

430
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
особенно важно найти достаточно удобные в работе условия, при
выполнении которых из сходимости функций следует сходимость
производных или интегралов от этих функций к производной или интегралу
от предельной функции.
Как показывают разобранные выше простейшие примеры, без
каких-либо дополнительных условий соотношение «fn —> f на [а, Ь] при
η —> оо», вообще говоря, не влечет ни непрерывности предельной
функции, даже при непрерывности функций /п, ни соотношений f'n —> f
b b
или f fn(x)dx —> f f(x)dx, даже если все указанные производные и
α α
интегралы определены.
Действительно,
в примере 1 предельная функция разрывна на отрезке [0,1], хотя
допредельные функции непрерывны на нем;
в примере 2 производные η cos η2χ допредельных функций вообще
не сходятся, а значит, не сходятся и к производной от предельной
функции, которая в данном случае тождественно равна нулю;
ι
в примере 4 имеем f fn(x)dx = 1 при любом значении η £ Ν, в то
о
1
время как f f(x) dx = 0;
о
в примере 5 каждая из функций /ш равна нулю всюду, кроме конеч-
ь
ного числа точек, поэтому $ fm(x)dx = 0 на любом отрезке [а,Ь] £ М,
а
в то время как предельная функция V вообще не интегрируема ни на
каком отрезке числовой оси.
Вместе с тем:
в примерах 2, 3, 4 непрерывны как допредельные, так и предельные
функции;
в примере 3 предел производных cos^lx функций последовательности
з совпадает с производной от предельной функции этой
последовательности;
1 1
в примере 1 имеем f fn{x) dx —> f f(x) dx при η —> оо.
о о
Наша основная цель — выяснить, в каких же случаях предельные
переходы под знаком интеграла или под знаком дифференцирования
законны.
Рассмотрим в этой связи еще

§ 1. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 431
Пример 6. Мы знаем, что при любом χ £ R
*in— г3+^5--+ет*г™+1+···· (1)
но после приведенных примеров мы понимаем, что соотношения
га=0
/ sinxdx = 2_] I
α т=0а
\т
(2т+ 1)!
x2m+1 <fe, (3)
вообще говоря, нуждаются в проверке.
В самом реле^ если равенство
S(x) = αι(χ) + а2{х) + ... + ат(х) +
η
понимать в том смысле, что Six) = lim Sn(x), где Sn(x) = У] аш(ж),
η">°° m=l
то соотношения
5Ή = Σ й'т^
т=1
/ S(x)dx = Y^ / am(x)dx
в силу линейности операций дифференцирования и интегрирования
равносильны равенствам
S'(x) = lim S'n(x),
b b
/ S(x)dx= lim / Sn(x)dx,
a a
к которым мы теперь должны относиться с осторожностью.
В данном случае оба соотношения (2), (3) легко проверяются,
поскольку известно, что при любом χ £ R
I 2 I 4_ (-i)m
2!Х +4!Х *··+ (2m)!
cosx = 1 - ^-хг + ^гх4 - ... + \*\9 х2т + ...

432
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
Однако представьте себе, что равенство (1) является определением
функции sinx. Ведь именно так обстояло дело с определением
функций sin z, cos z, ez для комплексных значений аргумента. Тогда нам
нужно было бы свойства возникшей новой функции (ее непрерывность, диф-
ференцируемость, интегрируемость), как и законность равенств (2),
(3), извлекать непосредственно из того, что эта функция является
пределом последовательности частичных сумм написанного ряда.
Главным понятием, с помощью которого в § 3 будут получены
достаточные условия законности указанных предельных переходов, является
понятие равномерной сходимости.
3. Сходимость и равномерная сходимость семейства
функций, зависящих от параметра. При обсуждении постановки
вопросов мы ограничились выше рассмотрением предела
последовательностей функций. Последовательность функций—это важнейший
частный случай семейства функций /Дх), зависящих от параметра £, когда
t G N. Последовательности функций, таким образом, занимают здесь
то же место, какое в теории предела функций занимает теория предела
последовательности. О пределе последовательности функций и
связанной с ней теорией сходимости рядов функций мы будем подробно
говорить в § 2, а здесь обсудим основные для всего дальнейшего понятия
сходимости и равномерной сходимости семейства функций, зависящих
от параметра.
Определение 5. Функцию (х,£) *-> F(x,t) двух переменных х, £,
определенную на множестве Χ χ Τ, называют семейством функций,
зависящих от параметра £, если по тем или иным причинам переменная
t £ Τ выделяется и называется параметром.
Множество Τ при этом называют множеством или областью
значений параметра, а само семейство часто записывают в виде Л(х) или
{/ί; ί Ε Τ}, явно выделяя параметр.
Нам, как правило, придется в этой книге рассматривать такие
семейства функций, для которых областью параметров Τ являются
множества N, R, С натуральных, действительных или комплексных чисел
соответственно или их подмножества, хотя, вообще говоря,
множество Τ может быть любой природы. Так, в рассмотренных выше
примерах 1-5 было Τ = N. В примерах 1-4 при этом можно было бы без
потери их содержательности считать, что параметр η есть любое по-

§ 1. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 433
ложителыюе число, а предел берется по базе η —» оо, η £ R+.
Определение 6. Пусть {/^: X —> R; ί £ Τ} — семейство функций,
зависящих от параметра, и пусть β — база в множестве Τ значений
параметра.
Если существует предел limft(x) при фиксированном значении χ £
£ X, то говорят, что семейство функций сходится в точке х.
Множество всех таких точек сходимости называется множеством
сходимости семейства функций при данной базе В.
Определение 7. Говорят, что семейство функций сходится на
множестве Ε С X при базе В, если оно сходится при этой базе в
каждой точке χ £ Ε.
Функция f(x) := limft(x) на Е называется предельной функцией
или пределом семейства функций ft на множестве Ε при базе В.
Пример 7. Пусть ft(x) = е"^)2, χ £ X = IR, t £ Τ = R \ 0,
В — база t —> 0. Это семейство сходится на всем множестве R, причем
если χ = 0,
£ϊδ'"'ν~/ 1^0, если χ φ 0.
Jim ft (χ) = |ο'
Теперь дадим два основных определения.
Определение 8. Говорят, что семейство {ft; t £ Τ} функций
ft: Χ —> Ш сходится поточечно (или просто сходится) на
множестве Ε С X при базе В к функции /: Ε —> R, если \imft(x) = /(#) в
любой точке χ £ Е.
В этом случае мы часто будем писать (ft —> } на Е).
Определение 9. Говорят, что семейство {ft; t £ Τ} функций
/^: Χ —> R сходится равномерно на множестве Ε С X при базе В
к функции /: Ε —» R, если для любого ε > 0 найдется такой элемент В
базы #, что при любом значении t £ В в любой точке χ £ £7
выполняется неравенство |/(я) — ft{x)\ < ε.
В этом случае мы часто будем писать (ft =t f на Ε).
в

434
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
Приведем еще формальную запись этих важных определений:
(Λ-^/наЕ):^
= νε>ο Ухе Ε звеВ vteB (\f(x) - ft{x)\ <ε),
(ft =* f на Ε) :=
в
= νε>ο звеВ Ухе Ε vteB (\f(x) - ft(x)\ <ε).
Соотношение между сходимостью и равномерной сходимостью
напоминает соотношение между непрерывностью и равномерной
непрерывностью функции на множестве.
Чтобы лучше уяснить взаимоотношение сходимости и равномерной
сходимости семейства функций, введем величину At(x) = \f(x) ~ ft{x)\,
измеряющую отклонение значения функции ft от значения функции /
в точке χ е Е. Рассмотрим также величину Δ« = supA^x), характе-
хеЕ
ризующую, грубо говоря, максимальное (хотя его может и не быть) по
всем точкам χ е Ε отклонение значений функции ft от
соответствующих значений функции /. Таким образом, в любой точке χ е Ε имеем
At(x) ^ At.
В этих обозначениях приведенные определения, очевидно, можно
записать следующим образом:
(ft -^fn&E):=\/xeE {At{x) -> 0 при В),
(ft =i f на Ε) := {At -> 0 при В),
в
Теперь ясно, что
(ft =* f на Ε) =» (ft —> / на Ε),
в в
т. е. если семейство ft сходится равномерно к функции / на
множестве Е, то оно и поточечно сходится к / на этом множестве.
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
Пример 8. Рассмотрим семейство функций ft: I —> Μ,
определенных на отрезке / = {х£М|0^£^1}и зависящих от параметра
t е ]0,1]. График функции у = ft(x) изображен на рис.99. Ясно, что
в любой точке χ е I limft(x) = 0, т.е. ft —> f = О при t —> 0. Вместе

§ 1. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 435
с тем At = sup|/(x) - ft(x)\ = sup|/*(ж)| = 1, т.е. At -ft О при t -> 0, и
хе/ же/
значит, семейство сходится, но не сходится равномерно.
Будем для удобства в таких случаях
говорить, что семейство сходится к предельной
функции неравномерно.
Если параметр t интерпретировать как
время, то сходимость семейства функций ft
на множестве Ε к функции / означает, что
при любой заданной точности ε > О для
любой точки χ £ Ε можно указать момент ίε,
О
t 2t I x
начиная с которого, т. е. при τ > τε, значения
Рис. 99. всех функций ft в точке χ будут отличаться
от значения f(x) меньше чем на ε.
Равномерная же сходимость означает, что наступит момент ίε,
начиная с которого, т. е. при t > ίε, уже сразу во всех точках χ £ Ε будет
выполнено соотношение \f(x) — ft{x)\ < ε-
Для неравномерной сходимости типична изображенная на рис. 99
картина бегущего горба большого уклонения.
Пример 9. Последовательность заданных на отрезке 0 ^ χ ^ 1
функций fn{x) = хп — х2п, как легко видеть, в любой точке χ этого
отрезка стремится к нулю при η —> оо. Чтобы выяснить,
равномерная ли эта сходимость, найдем величину Ап = max |/n(#)|. Посколь-
ку /п(х) = nxn~l(l - 2хп) = 0 при χ = 0 и χ = 2-1/п, то ясно, что
Δη = /η (2-1/η) = 1/4. Таким образом, Ап -/> О при η —> оо, и наша
последовательность сходится к предельной функции /(ж) ξ 0
неравномерно.
Пример 10. Рассмотренная в примере 1 последовательность
функций /п = хп на отрезке 0 ^ χ ^ 1 сходится к функции
Г 0, если 0 ^ χ < 1,
/0*0 = i , !
^ I, если χ = 1
неравномерно, так как при любом η £ N
Δη = sup \f(x) - fn{x)\ = sup \f(x) - fn(x)\ =
= sup \fn(x)\ = sup \xn\ = 1.
0<ζ<1 0<ζ<1

436
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
Пример 11. Рассмотренная в примере 2 последовательность фун-
2
кций /п(#) = Sin^ х сходится к нулю равномерно на всем множестве Ш
при η —> оо, так как в данном случае
\f(X)-fn(X)\ = \fn(x)\JfBpi
I п
т. е. Δη ^ 1/п и, значит, Δη —> О при η —> оо.
η
4. Критерии Коши равномерной сходимости. В
определении 9 мы сказали, что значит, что семейство функций ft равномерно
на некотором множестве сходится к заданной на этом множестве
функции. Обычно, когда задается семейство функций, предельная функция
еще неизвестна, поэтому разумно принять
Определение 10. Будем говорить, что семейство {fa i G Τ}
функций ft: X —> Ш сходится на множестве Ε С X равномерно при
базе В, если оно сходится на этом множестве и сходимость к возникающей
при этом на Ε предельной функции /: Ε —» R является равномерной в
смысле определения 9.
Теорема (критерий Коши равномерной сходимости). Пусть {fa
t £ Τ}—семейство функций ft: Χ —> Μ, зависящих от параметра
t £ Τ, и В— база в Т. Для того, чтобы семейство {fa < Ε Τ}
сходилось на множестве Ε С X равномерно при базе В, необходимо и
достаточно, чтобы для любого ε > О нашелся такой элемент В
базы В, что при любых значениях параметров ίι,<2 GB в любой точке
χ £ Ε было выполнено неравенство \fa{x) — ft2ix)\ < ε-
В формальной записи это означает, что ft сходится равномерно на Ε
прибазе£«=^У£>0 ЗВ еВ Vibi2 еВ УхеЕ {\fa{x)-ft2(x)\ < О·
^ Необходимость приведенных условий очевидна, ибо если
f:E—> Ш — предельная функция и ft =4 / на Ε при #, то найдется
элемент В базы В такой, что при любом t £ В и любом χ £ Ε будет
\f(x) - ft{x)\ < ε/2. Тогда при любых <χ,<2 £ В и любом χ £ Ε будет
|/tl(:r) - ДЛх)| ^ |/0r) - /tl(:r)| + 1/0*0 - ίφ)\ < ε/2 + ε/2 = ε.
Достаточность. При каждом фиксированном значении χ £ £7
величину /t(x) можно рассматривать как функцию переменной t £ Т.

§ 1. ПОТОЧЕЧНАЯ И РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ 437
Если выполнены условия теоремы, то для этой функции выполнены
условия критерия Коши существования ее предела при базе В.
Значит, семейство {ft; t £ Τ} по крайней мере поточечно сходится
к некоторой функции /: Ε —> Ш на множестве Ε при базе В.
Если теперь перейти к пределу в неравенстве \fti(x) — ft2(x)\ < ε->
справедливом при любых ίι,<2 6 В и любых χ £ Ε, то можно
получить, что \f(x) — ft2(x)\ ^ £ ПРИ любом t<i £ В и любом χ £ £7, а это
с точностью до несущественных переобозначений и замены строгого
неравенства нестрогим как раз совпадает с определением равномерной
сходимости семейства {ft; t £ Τ} к функции /: Ε —> Ш на множестве £7
при базе В. ►
Замечание 1. Определения сходимости и равномерной
сходимости, которые мы привели для семейств вещественнозначных функций
ft: X —> Μ, разумеется, остаются в силе для семейств функций ft: X —»
—» Υ со значениями в любом метрическом пространстве У.
Естественное изменение, которое при этом следует сделать в приведенных
определениях, состоит в замене \f(x) — ft(x)\ на άγ (f(x),ft(x)), где άγ
означает метрику в пространстве У.
Для векторных нормированных пространств У, в частности для
У = С, или У = Rm, или У = С71, не приходится делать даже этих
формальных изменений.
Замечание 2. Критерий Коши, конечно, тоже остается в силе для
семейств функций ft: X —> У со значениями в метрическом
пространстве У, если У — полное метрическое пространство. Как видно из
доказательства, условие полноты У нужно лишь в пункте, относящемся
к достаточности условий критерия.
Задачи и упражнения
1. Выясните, равномерно ли сходятся рассмотренные в примерах 3-5
последовательности функций.
2. Докажите равенства (2), (3).
3. а) Покажите, что рассмотренная в примере 1 последовательность
функций сходится равномерно на любом отрезке [0,1 — δ] С [0,1], но на множестве
[0,1] сходится неравномерно.
b) Покажите, что это же справедливо и μππ последовательности,
рассмотренной в примере 9.
c) Покажите, что рассмотренное в примере 8 семейство функций ft при
t -> 0 сходится равномерно на любом отрезке [<5,1] С [0,1], но на множестве

438
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
[0,1] сходится неравномерно.
d) Исследуйте на сходимость и равномерную сходимость семейство
функций ft(x) = sin to при t —> О, а затем при t —> оо.
e) Охарактеризуйте сходимость семейства функций ft(x) = e~tx при t —>
—> +оо на произвольном фиксированном множестве Ε С Ш.
4. а) Проверьте, что если семейство функций сходится (сходится
равномерно) на множестве, то оно сходится (сходится равномерно) и на любом
подмножестве этого множества.
b) Покажите, что если семейство функций ft: X —> Ш сходится (сходится
равномерно) на множестве Ε при базе β, а д: X —> Ш — ограниченная функция,
то и семейство g-ft: X —> Ш тоже будет сходиться (равномерно сходиться) на Ε
при базе В.
c) Докажите, что если семейства функций ft: X —> Μ, gt: Χ —> Ш
равномерно сходятся на множестве Ε С X при базе β, то и семейство ht = aft +Pgt,
где α, β Ε Μ, тоже сходится равномерно на множестве Ε при базе В.
5. а) При доказательстве достаточности условий критерия Коши мы
совершили предельный переход limftx(x) = f(x) по базе В в Т. Но t\ Ε Β,
а В — база в Т, а не в В. Можем ли мы совершить этот предельный переход
так, чтобы t\ оставалось в ΒΊ
b) Поясните, где в доказательстве критерия Коши равномерной
сходимости семейства функций ft: X —> Ш использована полнота Е.
c) Заметьте, что если все функции семейства {ft: X —> Щ t Ε Τ}
постоянные, то доказанная теорема в точности дает критерий Коши существования
предела функции φ: Τ —> Ε при базе В в Т.
6. Докажите, что если семейство функций ft Ε С(/,Ε), непрерывных на
отрезке / = {ж Ε Μ | α ^ ж ^ 6}, сходится равномерно на интервале ]а, Ь[, то
оно сходится, и причем равномерно, на всем отрезке [а, Ь].
§ 2. Равномерная сходимость рядов функций
1. Основные определения и критерий равномерной
сходимости ряда
Определение 1. Пусть {ап: X —» С; η Ε
Ν}—последовательность комплекснозначных (в частности, вещественнозначных) функ-
оо
ций. Говорят, что ряд Σ ап{х) сходится или равномерно сходится на
множестве Ε С X, если на Ε сходится или соответственно равномерно
( т
сходится последовательность < sm(x) = ^ αη(χ); т £ N

§ 2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИЙ 439
т
Определение 2. Функция sm(x) = ]П αη(#)5 κ&κ и в случае чи-
п=1
еловых рядов, называется частичной суммой или, точнее, m-й частич-
оо
кой суммой ряда ]П αη(^)·
п=1
Определение 3. Суммой ряда называется предел
последовательности его частичных сумм.
Таким образом, запись
s(x) = Υ^αη(χ) на Ε
п=\
означает, что sm(x) —> s(x) на Ε при т —> оо, а запись
оо
ряд У^ап(х) равномерно сходится на Ε
означает, что sm(x) =4 s(χ) на Ε при m —> оо.
Исследование поточечной сходимости ряда в сущности есть
исследование сходимости числового ряда, и с этим мы уже знакомы.
Пример 1. Функцию ехр: С —> С мы в свое время определили
соотношением
оо 1
ехрг:=У2—гп, (1)
п=0
убедившись предварительно, что стоящий справа ряд сходится при
каждом значении ζ £ С.
На языке определений 1-3 можно теперь сказать, что ряд (1)
функций αη(ζ) = —\Ζη сходится на всей комплексной плоскости и функция
ехр ζ является его суммой.
В силу принятых определений 1, 2 между рядами и
последовательностями их частичных сумм устанавливается обратимая связь: зная члены
ряда, получаем последовательность частичных сумм, а зная
последовательность частичных сумм, восстанавливаем все члены ряда: характер
сходимости ряда отождествляется с характером сходимости
последовательности его частичных сумм.
Пример 2. В примере 5 из § 1 была построена последовательность
{/m; m G N} функций, сходящаяся на Μ к функции Дирихле Т>(х). Если

440
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
положить а\(х) = /ι(χ) и ап(х) = /п(#) — /η-ι(#) при η > 1, то мы
оо
получим ряд Σ αη(#)5 который будет сходиться на всей числовой оси,
71=1
ОО
и Σ αη0*0 = Щх)-
п=1
Пример 3. В примере 9 из § 1 было показано, что
последовательность функций fn(x) — хп — х2п сходится, но неравномерно, к нулю на
отрезке [0,1]. Значит, полагая а\(х) = /ι (ж), ап(х) — /n(#) — /n-i(#)
оо
при п > 1, получим ряд ]П Q>n{x)i который сходится к нулю на отрезке
71=1
[0,1], но сходится неравномерно.
Прямая связь между рядами и последовательностями функций
позволяет каждое утверждение о последовательностях функций
переформулировать в виде соответствующего утверждения о рядах функций.
Так, применительно к последовательности {sn: X —> С; η £ Ν}
доказанный в § 1 критерий Коши равномерной сходимости
последовательности на множестве Ε С X означает, что
νε>0 3NeN \/m,n2>N \/хеЕ (\зП1(х)-зП2(х)\<е). (2)
Отсюда с учетом определения 1 получается
Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости ряда). Ряд
оо
]П а<п(х) сходится равномерно на множестве Ε тогда и только то-
71=1
гда, когда для любого ε > 0 найдется такое число N £ Ν, что при
любых натуральных га, п, удовлетворяющих условию га ^ η > Ν', в
любой точке χ £ Ε выполнено неравенство
\ап(х) + ... + ат(х)\ < ε. (3)
Μ Действительно, полагая в (2) п\ — га, п2 — η — 1 и считая sn(x)
частичной суммой нашего ряда, получаем неравенство (3), из которого,
в свою очередь, при тех же обозначениях и условиях теоремы вытекает
соотношение (2). ►
Замечание 1. Мы не указали в формулировке теоремы 1 область
значений функций ап(х), подразумевая, что это Ш или С. На самом ^еле
областью значений, очевидно, может быть любое векторное
нормированное пространство, например W1 или С1, если только оно является
полным.

§2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИЙ 441
Замечание 2. Если в условиях теоремы 1 все функции ап(х)
постоянны, мы получаем уже знакомый нам критерий Коши сходимости
оо
числового ряда ]П ап.
Следствие 1 (необходимое условие равномерной сходимости ря-
оо
да). Для того, чтобы ряд ]П ап(х) сходился равномерно на некото-
п=\
ром множестве Е, необходимо, чтобы ап =4 0 на Ε при η —> оо.
< Это вытекает из определения равномерной сходимости
последовательности к нулю и неравенства (3), если положить в нем т = п. ►
Пример 4. Ряд (1) сходится на комплексной плоскости С нерав-
оо для любого η £ Ν, в то время как по
1 η
номерно, поскольку sup -7^
zee ln'
необходимому условию равномерной сходимости, при наличии таковой,
величина sup |αη(#)| должна стремиться к нулю.
хеЕ
Пример 5. Ряд J2 —, как мы знаем, сходится в единичном круге
К = {ζ е С | \ζ\ < 1}. Поскольку U^ < ±, при ζ е К, то ^ =$ 0 на К
при η —> оо. Необходимое условие равномерной сходимости выполнено,
однако этот ряд сходится неравномерно на К. В самом деле^ при любом
фиксированном η £ Ν, считая ζ достаточно близким к единице, можно
в силу непрерывности членов ряда добиться выполнения неравенства
Jin I
Ζ Ζ
η "' 2η
>
1_ J_
η '" 2η
>
По критерию Коши отсюда заключаем, что рассматриваемый ряд
не сходится равномерно на множестве К.
2. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда
оо
Определение 4. Будем говорить, что ряд ]П αη(#) сходится аб-
п=\
солютно на множестве Е, если в любой точке χ £ Ε соответствующий
числовой ряд сходится абсолютно.
оо оо
Утверждение 1. Если ряды ]П сьп(х) и ]П Ьп(х) таковы, что
п=1
п=1
\ап{х)\ ^ Ьп(х) при любом χ £ Ε и при всех достаточно больших но-

442
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
оо
мерах η £ Ν, то из равномерной сходимости ряда ]П Ьп(х) на Ε вы-
п=\
оо
текает абсолютная и равномерная сходимость ряда ]Р сьп(х) на том
п=\
dice множестве Е.
< В силу принятых условий при всех достаточно больших номерах η
и т (пусть η ^ га) в любой точке χ £ Ε выполнены неравенства
\ап{х) + ... +ат{х)\ ^ \ап{х)\ + ... + |am(x)| ^
^ Ьп{х) + ... + Ьт{х) = \Ьп(х) + ... + Ът(х)\.
По критерию Коши для любого ε > О можно в силу равномерной
оо
сходимости ряда ]Г Ьп(^) указать номер N £ N так, что при любых
п=1
т ^ п > N и любом χ £ £7 |ЬП(#) + · · · + Ьт(х)\ < ε. Но тогда из
написанных неравенств следует, что в силу того же критерия Коши
оо оо
должны равномерно сходиться и ряд ]П αη(#)5 и ряд ]П |αη(χ)|. ►
п=\ п=\
Следствие 2 (мажорантный признак Вейерштрасса равномерной
оо
сходимости ряда). Если для ряда ]П ап(х) можно указать такой схо-
п=\
оо
дящийся числовой ряд ]П Мп, что sup|an(x)| ^ Мп при всех доста-
п=1 хеЕ
оо
точно больших номерах η £ Ν, то ряд ]П ап(х) сходится на множес-
п=\
тве Ε абсолютно и равномерно.
< Сходящийся числовой ряд можно рассматривать как ряд из
постоянных на множестве Ε функций, который в силу критерия Коши
сходится равномерно на Е. Значит, признак Вейерштрасса вытекает
из утверждения 1, если положить в последнем Ьп(х) = Мп. ►
Признак Вейерштрасса является наиболее простым и вместе с тем
наиболее часто используемым достаточным условием равномерной
сходимости ряда.
В качестве примера его применения докажем следующее полезное
оо
Утверждение 2. Если степенной ряд ]П cn(z — zo)n сходится в
п=0
точке ζ φ zo, то он сходится абсолютно и равномерно в любом круге
Kq = {ζ £ С | \ζ - ζ0\ < q\C - z0\}, где 0 < q < 1.

§ 2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИЙ 443
Μ Из сходимости ряда ]П οη(ζ — zo)n в силу необходимого признака
сходимости числового ряда следует, что οη(ζ — zo)n —> О при η —> оо.
Значит, в рассматриваемом круге Kq при всех достаточно больших зна-
I _ \п
чениях η £ N справедливы оценки \cn(z — ζο)η\ = \οη(ζ — zo)n\ · > ~ ζ° ^
| s ζο |
οο
^ \°η{ζ — Ζο)η\ ' Qn < 4η· Поскольку ряд Σ Qn ПРИ \я\ < 1 сходится, из
оценок \θη(ζ—ζο)η\ < qn на основе мажорантного признака равномерной
сходимости получаем высказанное утверждение 2. ►
Сопоставляя это утверждение с формулой Коши-Адамара для
радиуса сходимости степенного ряда (см. гл. V, §5, (17)), приходим к
заключению, что имеет место
Теорема 2 (о характере сходимости степенного ряда). Степен-
оо
ной ряд Σ cn(z — zo)n сходится в круге К = {ζ £ С | \z — zq\ < i?},
радиус которого определяется по формуле1' R = ( lim х/\сп\)
Κόχη—уоо /
ши-Адамара. Вне этого круга ряд расходится. На любом замкнутом
круге, лежащем строго внутри круга К сходимости ряда, степенной
ряд сходится абсолютно и равномерно.
Замечание 3. Как показывают примеры 1 и 5, на всем круге К
степенной ряд не обязан при этом сходиться равномерно. Вместе с тем
может случиться, что степенной ряд равномерно сходится даже на
замкнутом круге К.
оо п
Пример 6. Радиус сходимости ряда ]П — равен единице. Но если
\ζ\ ^ 1, то
пг2
^ -т, и по признаку Вейерштрасса рассматриваемый
η
ряд сходится абсолютно и равномерно в замкнутом круге К = {ζ £ С |
\А < 1}·
3. Признак Абеля —Дирихле. Следующие пары родственных
достаточных условий равномерной сходимости ряда несколько более
специальны и существенно связаны с вещественнозначностью Определен-
^В исключительном случае, когда lim л/|сп| = оо, считается, что R = О, а круг К
п—юо
вырождается в единственную точку zq.

444
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
ных компонент рассматриваемых рядов. Но эти условия тоньше, чем
признак Вейерштрасса, поскольку они позволяют исследовать и такие
ряды, которые сходятся, но неабсолютно.
Определение 5. Говорят, что семейство Τ функций /: X —> С
равномерно ограничено на некотором множестве £ С I, если
существует такое число Μ £ R, что для любой функции / £ Τ справедливо
соотношение sup|/(#)| ^ М.
хеЕ
Определение 6. Последовательность функций {Ьп: X —> Щ η £
£ Ν} называется неубывающей (невозрастающей) на множестве Ε С
С X, если для любого χ £ Ε таковой является числовая
последовательность {Ьп(х); η £ Ν}. Неубывающие и невозрастающие на
множестве последовательности функций называются монотонными
последовательностями на этом множестве.
Напомним (в случае необходимости см. гл. VI, §2, п. 3) следующее
тождество, называемое преобразованием Абеля:
га—1
/] акЬк — АтЪт ~ An-lbn + ]>2 Ak^k ~ bfc+l).
(4)
к=п
где ак = Ак- Ак_ъ к = п,..., га.
Если Ьп, Ьп+ъ · · · 5 Ьт — монотонная последовательность
вещественных чисел, то, даже если ап,ап+\,... ,am комплексные числа или
векторы какого-то нормированного пространства, на основании
тождества (4) можно получить следующую нужную нам оценку:
y^Qfcbfc
к=п
^4 max \Ак\ · тах{|Ьп|, |Ьт|}.
п—1<к<т
(5)
Μ В самом ^еле^
| + |Лп_хЬп| +
га—1
У^ Ak(bk - bk+i)
к=п
£
га—1
^ max \Ак\ ■ \Ът\ + \Ьп\ + У \Ьк - bk+i\ =
<п 1 <?1г< пт I ■ » I
к=п

§ 2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИЙ 445
= тах_ \Ак\ · (\Ьт\ + \Ьп\ + \Ьп - Ът\) ^
^4 max \Ak\ · тах{|Ьп|, |Ьт|}.
В участвующем в этой выкладке равенстве как раз и использована
монотонность последовательности чисел Ьк. ►
Утверждение 3 (признак Абеля - Дирихле равномерной
сходимости ряда). Для равномерной сходимости на множестве Ε ряда
оо
Σ an(x)bn(x), члены которого являются произведениями комплексно-
значных функций ап: X —» С и вещественнозначных функций Ъп: X —>
—> R, достаточно, чтобы выполнялась любая пара следующих условий:
к оо
αχ) частичные суммы sk{x) = Σ ап{х) ряда ]П ап{х) равномерно
71=1 71=1
ограничены на Е;
βι) последовательность функций Ьп(х) монотонна и равномерно
стремится к нулю на множестве Е;
или
оо
с*2) ряд ]П ап{х) равномерно сходится на Е;
п=1
/?2) последовательность функций Ьп(х) монотонна и равномерно
ограничена на Е.
Μ Монотонность последовательности Ьп(х) позволяет при каждом
χ £ Ε записать аналогичную (5) оценку
^ak{x)bk{x)
к=п
^ 4 max \Ак(х)\ · тах{|Ьп(х)|, \Ьт(х)\}, (5')
где в качестве Ак(х) возьмем sk{x) — sn-i(x).
Если выполнена пара условий αϊ), /?ι), то, с одной стороны,
существует такая постоянная М, что |Л^(х)| ^ Μ при любом к £ N и любом
χ £ £7, а с другой стороны, каково бы ни было число ε > О, при всех
достаточно больших значениях пиши любом χ £ Ε будет
выполнено неравенство тах{|Ьп(х)|, |Ьт(х)|} < -^. Значит, из (5) следует, что
при всех достаточно больших значениях пиши любом χ £ Ε будет

446
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
Σ ak{x)bk{x)\ < ει т.е. для рассматриваемого ряда выполнен крите-
к=п I
рий Коши равномерной сходимости.
В случае пары условий а2), /?2) ограниченной оказывается
величина тах{|Ьп(х)|, |Ьт(х)|}. В то же время, ввиду равномерной сходимости
оо
ряда ]Г ο>η{%)·> по критерию Коши для любого ε > О при любых до-
статочно больших значениях η и к > η и любой точке χ £ Ε будет
|Afc(x)| = \sk{x) — sn-i(x)\ < ε. Учитывая это, из неравенства (5) вновь
заключаем, что для рассматриваемого ряда выполнен критерий Коши
равномерной сходимости. ►
Замечание 4. В случае, когда функции ап и Ьп — постоянные,
утверждение 3 превращается в признак Абеля - Дирихле сходимости
числовых рядов.
Пример 7. Исследуем при χ £ R сходимость ряда
оо 1
Υ —einx. (6)
п=1
Поскольку
η
_ гпх
а
(7)
то при а ^ 0 для ряда (6) не выполнено необходимое условие
сходимости, и он расходится при любом значении igK. Таким образом, в
дальнейшем можно считать, что а > 0.
Если а > 1, то из (7) на основании признака Вейерштрасса
заключаем, что ряд (6) сходится абсолютно и равномерно на всей числовой
оси R
Для исследования сходимости при 0 < α ^ 1 воспользуемся
признаком Абеля - Дирихле, полагая ап(х) = етх и Ьп(х) = —&. Поскольку
при а > 0 постоянные функции Ьп(х) монотонно и, очевидно,
равномерно относительно χ £ R стремятся к нулю, то остается исследовать
оо
частичные суммы ряда ]П егпх.
п=1
η
Для удобства дальнейших ссылок мы рассмотрим суммы Σ etkxi
к=0
отличающиеся от частичных сумм нашего ряда только начальным
слагаемым 1.

§ 2. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ ФУНКЦИЙ 447
Используя формулу геометрической прогрессии и формулу Эйлера,
последовательно находим при χ φ 2πτη, т £ Ζ,
п pi(n+l)x
гкх с
Σ
к=0
е =
п+1,
2
егх _ l
sinf
sin
n+1
sin-
sin
£(.
η . . η
cos —χ + г sin— χ
)· (8)
Значит, для любого η £ Ν
Σ*
fc=0
гкх
€
|sinf|'
(9)
откуда по признаку Абеля - Дирихле вытекает, что ряд (6) при 0 <
< а ^ 1 сходится равномерно на любом множестве Ε С R на
котором inf I sin. 51 > 0. В частности, ряд (6) просто сходится при любом
х£Е
χ φ 2πτη, т £ Ζ. Если же χ = 2πτη, то еш27гт = 1, и ряд (6) превраща-
оо
ется в числовой ряд ]П -а-, который при 0 < а ^ 1 расходится.
п=\
Покажем, что из сказанного уже можно заключить, что при 0 <
< а ^ 1 ряд (6) не может сходиться равномерно ни на каком
множестве Е, замыкание которого содержит точки вида 2πτη, т £ Ζ. Положим
— °° ι
для определенности, что 0 £ Е. Ряд ]П -W при 0 < а ^ 1 расходит-
-ι ^
ся. По критерию Коши найдется число εο > 0 такое, что, какое бы
N £ N ни взять, можно будет подобрать числа т ^ η > Ν так, что
1
+ ...+
1
> εο > 0. В силу непрерывности функций егкх на R
отсюда следует, что в Ε можно выбрать точку х, столь близкую к нулю,
что
п°
+ ...+
ти
> εο·
Но это в силу критерия Коши равномерной сходимости ряда
означает, что на указанном множестве Ε ряд (6) не может сходиться
равномерно.
В дополнение к сказанному можно отметить, что, как видно из
равенства (7), ряд (6) сходится неабсолютно при 0 < а ^ 1.

448
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
Замечание 5. Для дальнейшего полезно заметить, что, отделяя
в (8) действительную и мнимую части, получаем следующие
соотношения:
Σ cos Цх · sin Щ^х , ч
coskx = 2___2_ 10
к=0 2
Σ. sinfx-sin^x
sinfcx = 2 . 2—, (11)
fc=o 2
справедливые при χ φ 2πτη, га £ Ζ.
В качестве еще одного примера использования признака Абеля-
Дирихле докажем следующее
Утверждение 4 (так называемая вторая теорема Абеля о степен-
оо
ных рядах). Если степенной ряд Σ cn(z — zo)n сходится в некоторой
п=0
точке ζ £ С, то он сходится равномерно на отрезке с концами ζο, ζ.
Μ Точки указанного отрезка представим в виде ζ = ζο + (ζ — zo)t,
где 0 ^ t ^ 1. Подставив это выражение для z в данный степенной ряд,
оо оо
получим ряд Σ сп{С — zo)ntn. По условию числовой ряд Σ сп(( — zo)n
сходится, а последовательность функций tn монотонна и равномерно
ограничена единицей на отрезке [0,1]. Значит, выполнены условия о^),
/?2) признака Абеля - Дирихле и утверждение 4 доказано. ►
Задачи и упражнения
1. Исследуйте характер сходимости на множествах Ε С Ш при различных
значениях действительного параметра а следующих рядов:
оо
_ \ V"^ COS ПХ
п=1
оо
ι \ v^ sinnx
ь) Σ -йп-
η=1
2. Докажите, что следующие ряды сходятся равномерно на указанных
множествах:
оо , чП
а) Σ Ьё~^п при о ^ χ <: ι.
п=1
b) Σ ЦУ_е-™ при о <ξ χ <: +оо.
c) Σ ^r+F при 0 ^ ж ^ +ос.
п=1

§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 449
3. Покажите, что если ряд Дирихле Σ ^г сходится в точке хо Ε Μ, то он
п=1
сходится равномерно на множестве χ ^ хо, причем, если χ > xq + 1, то ряд
сходится абсолютно.
£^ (-1)η~1χ2
4. Проверьте, что ряд V ±—^—^— сходится равномерно на Е, а ряд
п=1 (1 + ^2)П
оо 2
^ —ж хотя и сходится на Е, но неравномерно.
5. а) На примере рядов из задачи 2 покажите, что признак Вейерштрас-
са равномерной сходимости ряда является достаточным, но не необходимым
условием равномерной сходимости ряда.
оо
Ь) Постройте ряд ^ о,п(х) с неотрицательными непрерывными на отрезке
п=1
О ^ χ ^ 1 членами, который сходится равномерно на этом отрезке, и в то же
оо
время ряд Σ Мп, составленный из величин Мп = max |ап(ж)|, расходится.
п=1 O^a^l
6. а) Сформулируйте упомянутый в замечании 4 признак Абеля - Дирихле
сходимости ряда.
Ь) Покажите, что условие монотонности {Ьп} в нем можно несколько
ослабить, потребовав, чтобы последовательность {Ьп} была монотонна лишь с
точностью до поправок {/?п}> образующих абсолютно сходящийся ряд.
7. В дополнение к утверждению 4 покажите вслед за Абелем, что если
степенной ряд сходится в некоторой точке границы круга сходимости, то его
сумма имеет в этом круге предел по любому не касательному к граничной
окружности направлению, идущему в эту точку.
§ 3. Функциональные свойства предельной функции
1. Конкретизация задачи. В этом параграфе будут даны
ответы на поставленные в § 1 вопросы о том, когда предел семейства
непрерывных, дифференцируемых или интегрируемых функций является
функцией, обладающей тем же свойством, и когда предел производных
или интегралов от функций семейства совпадает с производной или
интегралом от предельной функции этого семейства.
Чтобы разъяснить математическое содержание обсуждаемых
вопросов, рассмотрим, например, связь непрерывности и предельного
перехода.
Пусть fn(x) —» f(x) на R при η —> оо, и пусть все функции
последовательности {/η; η £ Ν} непрерывны в точке хо £ R. Мы интересуемся
непрерывностью предельной функции / в той же точке xq. Для ответа
на этот вопрос нам нужно проверить равенство lim f(x) = /(хо)5 ко_
х—Ухо

450
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
торое в терминах исходной последовательности переписывается в виде
соотношения lim ( lim fn(x)) = lim /n(#o) или, с учетом данной нам
X—УХО \П—УОО / П—УОО
непрерывности функций /п в точке хо5 записывается в форме
следующего подлежащего проверке соотношения:
lim ( lim fn{x)) = lim ( lim fn(x))- (1)
X—УХО \П—УОО / 71—УОО \Х^УХ0 /
В левой части этого соотношения сначала делается предельный
переход по базе η —> оо, а затем предельный переход по базе χ —> хо5
а в правой части предельные переходы по тем же базам проводятся в
другом порядке.
Изучая функции нескольких переменных, мы видели, что
равенство (1) имеет место далеко не всегда. Видели мы это и на разобранных
в предыдущих двух параграфах примерах, показывающих, что предел
последовательности непрерывных функций не всегда является
функцией непрерывной.
Дифференцирование и интегрирование являются некоторыми
специальными операциями предельного перехода. Значит, вопрос о том,
получим ли мы одно и то же, если сначала продифференцируем
(проинтегрируем) функции семейства, а затем перейдем к пределу по
параметру семейства, или сначала найдем предельную функцию семейства,
а затем будем ее дифференцировать (интегрировать), снова сводится к
проверке возможности изменения порядка двух предельных переходов.
2. Условия коммутирования двух предельных переходов.
Покажем, что если из последовательно выполняемых предельных
переходов хотя бы один равномерен, то предельные переходы
перестановочны.
Теорема 1. Пусть {Ft; t £ Τ} —семейство функций Ft: Χ —> С,
зависящих от параметра t; Βχ —база в X, Вт— база в Т. Если при
базе Вт семейство сходится равномерно на X к функции F: X —> С, а
при каждом t £ Τ существует предел limFt(x) = At, то существуют
Βχ
оба повторных предела lim I limi^(x) I, lim I limi^(x) I и имеет место
βχ \^т J Вт \Βχ J
равенство
^(H^W· (2)

§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 451
Эту теорему удобно записать в виде следующей диаграммы:
Ft(x) =* F(x)
Βχ
А
У з
1 / \
\/-^ А
Βχ
5
(3)
Вт
в которой над диагональю указаны условия, а под диагональю — их
следствия. Равенство (2) означает, что эта диаграмма коммутативна,
т. е. окончательный результат А не зависит от того, выполнить ли
сначала операции, отвечающие переходу по верхней и правой стороне
диаграммы, или в том же смысле сначала пройти по левой, а затем по
нижней ее стороне.
Докажем сформулированную теорему.
Μ Поскольку Ft =4 F на X при базе Вт, по критерию Коши для
любого ε > О найдется такой элемент Вт базы Вт, что при любых
ίι,*2 £ Вт и любом χ £ X будет выполнено неравенство
\Ftl(x)-Ft2(x)\<e. (4)
Переходя в этом неравенстве к пределу по базе Βχ, получим
соотношение
\Atl-At2\^e, (5)
справедливое для любых <ι, <2 6 Вт- По критерию Коши существования
предела функции отсюда следует, что функция At имеет некоторый
предел А по базе Вт- Проверим теперь, что А = HmF(x).
Фиксировав #2 £ Вт, найдем такой элемент В χ базы Βχ, что при
любом χ £ Βχ имеет место неравенство
\Ft2(x) - At2\ < ε. (6)
Не меняя <2, совершим в (4) и (5) предельный переход по базе Вт
относительно параметра t\. Тогда получим, что
\F(x)-Ft2(x)\^e, (7)
\A-At2\^e, (8)
причем неравенство (7) справедливо при любом χ € X.

452
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
Сопоставляя соотношения (6)-(8), пользуясь неравенством
треугольника, получаем, что
\F(x) - А\ < 3ε
при любом χ £ Βχ. Тем самым проверено, что А = limF(x). ►
Замечание 1. Как видно из приведенного доказательства,
теорема 1 остается в силе для функций Ft: X —> Υ со значениями в любом
полном метрическом пространстве У.
Замечание 2. Если к условиям теоремы 1 добавить требование
существования предела limAj = А, то, как видно из доказательства,
равенство limF(x) = А можно получить, даже не предполагая полноту
Βχ
пространства Υ значений функций Ft: X —» Υ.
3. Непрерывность и предельный переход. Покажем, что если
непрерывные в некоторой точке множества функции сходятся
равномерно на этом множестве, то и предельная функция непрерывна в этой
точке.
Теорема 2. Пусть {/t; t G Τ} —семейство функций ft: X —> С,
зависящих от параметра t; В — база в Т. Если ft =3 f на X при базе В
и функции ft непрерывны в точке хо £ Х^ то функция /: X —> С тоже
непрерывна в этой точке.
Μ В нашем случае диаграмма (3) приобретает следующий
конкретный вид:
ft(x) =4 f{x)
X—>Х0 s
ft(xo) —^ /(so) ,
Здесь все предельные переходы, кроме правого вертикального,
заданы самими условиями теоремы 2. Нетривиальное нужное нам следствие
теоремы 1 состоит именно в том, что lim f(x) = /(хо)· ►
χ—>хо
Замечание 3. Мы не конкретизировали природу множества X.
На самом ^еле это может быть любое топологическое пространство,
лишь бы в X была определена база χ —> xq. Значения функций ft могут
X—>XQ

§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 453
лежать в любом метрическом пространстве, которое, как следует из
замечания 2, даже не обязано быть полным.
Следствие 1. Если последовательность функций, непрерывных
на множестве, сходится на нем равномерно, то предельная функция
тоже непрерывна на этом множестве.
Следствие 2. Если ряд из функций, непрерывных на некотором
множестве, сходится на нем равномерно, то сумма ряда тоже
непрерывна на этом множестве.
В качестве иллюстрации возможного использования полученных
результатов рассмотрим
Пример 1. Метод Абеля суммирования рядов.
Сопоставляя следствие 2 со второй теоремой Абеля (утверждение 4
из §2), приходим к заключению, что справедливо
оо
Утверждение 1. Если степенной ряд ]П cn(z — zo)n сходится в
п=0
некоторой точке ζ, то он сходится равномерно на отрезке [ζο, ζ],
идущем из ζο в точку ζ, и сумма ряда непрерывна на этом отрезке.
оо
В частности, это означает, что если числовой ряд ]Г сп сходится,
п=0
оо
то степенной ряд ]П спхп сходится равномерно на отрезке 0 ^ χ ^ 1
п=0
оо
действительной оси и его сумма s(x) = ]П спхп непрерывна на этом
п=0
оо
отрезке. Поскольку 5(1) = ]П сп, можно, таким образом, сказать, что
п=0
оо
если ряд Σ сп сходится, то справедливо равенство
п=0
оо оо
п=0 п=0
Интересно, что в соотношении (9) правая часть порой может иметь
смысл даже тогда, когда ряд, стоящий слева, в традиционном его
понимании является расходящимся. Например, ряду 1 — 1 + 1 — ...
соответствует ряд χ — х2 + х3 — ... , который при \х\ < 1 сходится к функции
х/(1 + х). При χ —> 1 эта функция имеет предел 1/2.

454
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
Метод суммирования ряда, называемый методом Абеля, состоит в
приписывании левой части равенства (9) значения правой части этого
равенства, если последнее значение определено. Мы видели, что если
оо
ряд Σ сп в традиционном смысле сходится, то по методу Абеля ему
п=0
будет сопоставлена его же классическая сумма. Вместе с тем, напри-
оо
мер, расходящемуся в традиционном смысле ряду ]П (—1)п метод Абеля
п=0
сопоставляет естественную усредненную величину 1/2.
Дальнейшие вопросы в связи с разобранным примером 1 можно
найти в задачах 5-8.
Пример 2. В свое время, обсуждая формулу Тейлора, мы
показали, что при \х\ < 1 имеет место разложение
(1 + х)а =
а а(а - 1) 2 α(α - 1)... (а - η + 1) „ ,_ч
= l+V.X+ 2Г~Х +- + - —^. -*+- (10)
Можно проверить, что при а > 0 числовой ряд
а а(а - 1) а(а - 1)... (а - η + 1)
1! 2! η!
сходится. Значит, по теореме Абеля, если а > 0, ряд (10) сходится
равномерно на отрезке 0 ^ χ ^ 1. Но функция (1 + х)а непрерывна в точке
χ = 1, поэтому можно утверждать, что если а > 0, то равенство (10)
имеет место и при χ = 1.
В частности, можно утверждать, что при а > 0
... + (-ΐΓ.°'"-1)---'°-"+1)ί2. + ..., (11)
п!
и этот ряд сходится к функции (1 — t2)a равномерно на отрезке [—1,1].
Полагая в (11) a=^nt2 = l — χ2 при \х\ < 1, получаем, что
\х\ = 1-1(1-з?) + Щ^-(1-**)2-..., (12)
и стоящий справа ряд многочленов сходится к функции \х\ равномерно
на отрезке [—1,1]. Полагая Рп(х) := Sn(x) - 5П(0), где Sn(x) есть п-я

§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 455
частичная сумма этого ряда, находим, что какую бы точность ε > О ни
задать, найдется такой многочлен Р(х), что Р(0) = 0 и
max \\х\ — Р(х)\ < ε
Вернемся теперь к общей теории.
Мы показали, что непрерывность функций сохраняется при
равномерном предельном переходе. Условие равномерности предельного
перехода является, однако, только достаточным для того, чтобы пределом
непрерывных функций была непрерывная же функция (см. по этому
поводу примеры 8, 9 из § 1). Вместе с тем имеется конкретная ситуация,
в которой из сходимости непрерывных функций к непрерывной же
следует, что эта сходимость является равномерной.
Утверждение 2 (теорема Дини1))· Если последовательность
непрерывных на компакте функций сходится на нем монотонно и к
непрерывной же функции, то эта сходимость равномерная.
Μ Пусть для определенности }п стремятся к / не убывая.
Фиксируем произвольное ε > О и для любой точки χ компакта К найдем такой
номер пх, что 0 ^ f(x) — /Пх(х) < £· Поскольку функции / и fUx
непрерывны на К, неравенства 0 ^ f{£) — fnx (£) < ε останутся в силе и в
некоторой окрестности U(x) точки χ £ К. Из покрытия компакта К
такими окрестностями можно извлечь конечное покрытие U{x\),..., U(xk)
и затем фиксировать номер η(ε) = max{nxi,... ,nXfc}. Тогда при
любом η > η(ε) в силу неубывания последовательности {/η; η £ Ν} будем
иметь 0 ^ /(£) - /η(£) < ε в любой точке ξ £ К. ►
оо
Следствие 3. Если члены ряда ]П ап(х) суть неотрицательные
п=\
непрерывные на компакте К функции ап: К —» R и ряд сходится на К
к непрерывной функции, то он сходится на К равномерно.
η
А Частичные суммы sn(x) = ]П а^(х) данного ряда удовлетворяют
условиям теоремы Дини. ►
Пример 3. Покажем, что последовательность функций /п(#) =
= п(1 — х1'п) при η —> +оо сходится к функции /(#) = In - равномерно
^У. Дйни (1845-1918) —итальянский математик, наиболее известные его работы
относятся к теории функций.
(13)

456
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
на каждом отрезке [а, Ь], лежащем в промежутке 0 < χ < оо.
Μ Функция хг = etlnx при фиксированном χ > О выпукла по £,
поэтому отношение xt ~q (как угловой коэффициент хорды) не возрастает
при t-^+Ои стремится к In я.
Значит, /n(#) /* In ^ при χ > 0 и η —> +оо. По теореме Дини отсюда
следует, что указанная сходимость fn(x) к 1п^ является равномерной
на каждом отрезке [а, Ь] С ]0, +оо[. ►
Отметим, что при этом, например, на промежутке 0 < χ ^ 1
равномерной сходимости, очевидно, нет, поскольку функция 1п^
неограничен на нем, в то время как каждая из функций fn(x) ограничена на
этом промежутке (зависящей от η константой).
4. Интегрирование и предельный переход. Покажем, что
если интегрируемые на отрезке функции сходятся на нем равномерно, то
предельная функция тоже интегрируема и ее интеграл по этому
отрезку равен пределу интегралов исходных функций.
Теорема 3. Пусть {ft; t £ Τ}—семейство функций ft: [α,Ь] —>
—> С, определенных на отрезке а ^ χ ^ Ь и зависящих от параметра
t £ Τ; В — база в Т. Если функции семейства интегрируемы на [а, Ь]
и ft =4 / на [а, Ь] при базе В, то предельная функция f: [а, Ь] —> С тоже
интегрируема на отрезке [а, Ь] и
о о
/ f(x) dx = lim / ft{x) dx.
< Пусть ρ = (Ρ, £)—разбиение Р отрезка [α, b] с отмеченными
точками ξ = {£ι,..·,£η}· Рассмотрим интегральные суммы Ft(p) =
= Σ Л(&)Дж<, t £ Т и F(p) = Σ /(6)Да?<. Оценим разность F(p) -
г=1 г=1
— Ft{p). Поскольку ft =4 / на [а, Ь] при базе #, для любого ε > О можно
найти такой элемент В базы Б, что при любом ί G Вв любой точке
χ £ [а, Ь] будет выполнено неравенство \f(x) — ft(x)\ < e~z~^· Значит,
при t £ В
\F(p) - Ft(p)\ =
Σ(/(ω-Λ(ω)Δ*,
г=1
г=1

§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 457
и эта оценка справедлива не только при любом значении t E В, но и
при любом разбиении ρ из множества V = {(Ρ, £)} разбиений отрезка
[а, Ь] с отмеченными точками. Таким образом, Ft =4 F на V при базе В.
Теперь, взяв в V традиционную базу Х(Р) —» О, по теореме 1 находим,
что коммутативна следующая диаграмма:
η
Σ Μξί)Δχ> =: Ft(p) =4 F(p) := Σ f^)AXi
i=l / i=l
λ(Ρ)->0
λ(Ρ)->0
6/6
/ Λ(χ) dx =: At > A:=f f(x) dx,
a a
что и доказывает сформулированную теорему 3. ►
оо
Следствие 4. Если ряд ]П fn{x) из интегрируемых на отрезке
[а, Ь] С К функций сходится равномерно на этом отрезке, то его
сумма тоже интегрируема на отрезке [а, Ь] и
ί[Σ/η(χ))άχ = Σ ifn(x)
ί \η=1 / n=l{
dx.
Пример 4. В этом примере, записывая ^г^, будем считать, что
при χ = 0 это отношение равно единице.
В свое время мы отмечали, что функция Si(x) = f^dt не являет-
о
ся элементарной. Используя доказанные теоремы, можно, тем не менее,
получить достаточно простое представление этой функции в виде
степенного ряда.
Для этого заметим, что
gE* = f* (~1)П t2n (14)
ί 2^(2п + 1)!* ' ^
η=0 ν '
и стоящий справа ряд сходится равномерно на любом отрезке [—а, а] С
С KL Равномерная сходимость ряда следует из мажорантного призна-
ка Вейерштрасса равномерной сходимости ряда, поскольку , I I ^, <
2п °° 2п
^ /9Д+ IV ПРИ 1*1 ^ fl' В Т° ВРемЯ как чиСЛОВОЙ РЯД Σ (2п+1)! схоДится·

458
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
На основании следствия 4 теперь можно написать
= Σ(2η + 1)!(2η + 1)·
Полученный ряд, кстати, тоже сходится равномерно на любом
отрезке числовой оси, поэтому, какой бы отрезок [а,Ь] изменения
аргумента χ ни указать и какую бы ни назначить допустимую абсолютную
погрешность, можно подобрать многочлен — частичную сумму
полученного ряда, который в любой точке отрезка [а, Ъ] позволит
вычислить Si(x) с погрешностью, не превышающей заданной.
5. Дифференцирование и предельный переход
Теорема 4. Пусть {ft; t G Τ} —семейство функций ft: Χ —> С,
определенных на выпуклом ограниченном множестве X (лежащем в Ш,
С или ином линейном нормированном пространстве) и зависящих от
параметра t £ Τ; В — база в Т. Если функции семейства
дифференцируемы на X, семейство {f[; t GT} производных сходится равномерно
на X к некоторой функции φ: X —> С, а исходное семейство {ft; t £ Τ}
сходится хотя бы в одной точке хо £ X, то оно сходится равномерно
на всем множестве X к дифференцируемой функции f: X —> С, причем
/' = ¥>·
Μ Покажем сначала, что семейство {ft; t £ Τ} равномерно
сходится на множестве X при базе В. Воспользуемся теоремой о конечном
приращении в следующих оценках:
|/tl(x)-/t20r)K
< Ι(Λι(*) - fM) - (Λι(*ο) - Л2Ы)| + |/tl(*o) - /*2Ы1 <
^ SUP 1/^(0 -fM\\x-X0\ + \ft1{X0)-ft2{X0)\=^(x,ti,t2)·
По условию семейство {f[; t £ Τ} сходится равномерно на X при
базе #, величина Л(хо) к^к функция t при той же базе В имеет предел,
а \х — xq\—ограниченная величина при χ £ X. Ввиду необходимости

§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 459
условий критерия Коши для равномерной сходимости семейства
функций // и существования предела функции /г(хо)5 Для любого ε > О
найдется такой элемент В базы #, что для любых ίι,<2 £ 5 и любого
же! будет Δ(χ,ίχ,ί2) < ε. А это в силу написанных оценок означает,
что семейство функций {ft; t £ Τ} тоже удовлетворяет условиям
критерия Коши и, следовательно, равномерно сходится на X при базе В к
некоторой функции /: X —> С.
Вновь используя теорему о конечном приращении, получим теперь
следующие оценки:
Ш* + л) - /пИ - Λ'χ (*)/») - (/*,(* + л) - /*,(*) - /4(*)л)| =
= |(Λι - ft,){x + h)- (fh - /ь){х) - (fh - ft2)'(x)h\ ζ
< sup \(ft1-ftj(x + eh)\\h\ + \(ftl-ft2)'(x)\\h\ =
O<0<1
= ( sup |Λ> + 9h) - П2(х + 9h)\ + |Л» - П2(х)\) \h\.
\o«?<i /
Эти оценки, справедливые при х, χ + h G X, ввиду равномерной
сходимости семейства {//; ί 6 Т} на X, показывают, что семейство
{Ft; t 6 Τ} функций
ft{x + h)-ft(x)-fl{x)h
Ft{h) = щ '
которые мы будем рассматривать при фиксированном значении χ £ X,
сходится при базе В равномерно относительно всех значений h φ О
таких, что χ + h £ X.
Заметим, что Ft(h) —> О при h —> О ввиду дифференцируемости
функции ft в точке χ £ X, а ввиду того, что ft —> f ^ ft —> ψ при
базе В, имеем Ή(Λ) -> F(/i) = /(* + *) η/j*) - ¥>(*)* при базе Б.
Применяя теорему 1, можно теперь записать коммутативную
диаграмму
ft(x + h) - ft(x) - fl(x)h _. ^^ ) jr^) — f(x + h)-f(x)-<p(x)h
o/ > о .
Правый предельный переход при h —> О показывает, что функция /
дифференцируема в точке χ £ X и /'(х) = <^(я). ►
л->о

460
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
оо
Следствие 5. Если ряд ]П /п(#) из функций fn: X —> С, диффе-
п=\
ренцируемых на ограниченном выпуклом множестве X (лежащем в Ш,
С или любом линейном нормированном пространстве), сходится хотя
оо
бы в одной точке χ £ X, а ряд Σ f'n(x) сходится равномерно на X,
оо
то ряд ]П fn(x) тоже сходится равномерно на X, его сумма диффе-
п=\
ренцируема на X и
(оо \ ' оо
Σίη{χ)\ (*) = ΣΛ(*).
n=l J n=l
Это вытекает из теоремы 4 и определений суммы и равномерной
сходимости ряда с учетом линейности операции дифференцирования.
Замечание 4. Приведенные доказательства теорем 3 и 4, как и
сами теоремы и их следствия, остаются в силе для функций fa: Χ —>Υ
со значениями в любом полном линейном нормированном
пространстве У. Например, Υ может быть R, С, Rn, С1, С[а, Ь] и т. д. Областью X
определения функций ft в теореме 4 тоже может быть
соответствующее подмножество любого линейного нормированного пространства.
В частности, X может лежать в М, С, Rn или С™. Для вещественнознач-
ных функций вещественного аргумента (при дополнительных
требованиях к сходимости) доказательства этих теорем можно сделать еще
более простыми (см. задачу 11).
В качестве иллюстрации использования теорем 2-4 докажем
следующее широко используемое и в теории, и в конкретных вычислениях
Утверждение 3. Если круг К С С сходимости степенного ряда
оо
]П cn(z — zo)n не сводится к единственной точке ζ = ζο, то внутри К
п=0
сумма f(z) этого ряда дифференцируема, причем
оо
f'(z) = Y/ncn(z-z0)n-1. (15)
Кроме того, функцию f{z): К —> С можно интегрировать по
любому гладкому пути j: [0,1] —> К, и если [0,1] Э £ ι—> z(t) £ К, z(0) = zq,

§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 461
ζ(1) = ζ, то
/00
1
Замечание 5. Здесь J f(z) dz := J /(z(t))z;(t) dt. В частности, ec-
7 0
ли на интервале — R < χ — χο < R действительной оси R имеет место
оо
равенство f(x) = ]П ап(х - хо)п, то
п=0
χ
р ОО
f{t)dt = ^2^-(x-x0r
χο
<4 Поскольку lim n \/n\cn\ = lim л/\сп , то из формулы Коши-
п—>оо п—>оо
оо
Адамара (теорема из §2) вытекает, что степенной ряд ]П ncn(z—zo)n~l,
п=\
оо
полученный почленным дифференцированием ряда ]П cn(z — zo)n, име-
п=0 ^
ет тот же круг сходимости if, что и исходный степенной ряд. Но по той
оо
же теореме из §2 ряд ]П ncn(z — zo)n~l сходится равномерно в любом
п=1
оо
круге Kq таком, что Kq С К. Поскольку ряд ]П cn(z — zo)n, очевидно,
п=0
сходится при ζ = zo, к нему теперь применимо следствие 5, чем и
обосновывается равенство (15). Итак, показано, что степенной ряд можно
дифференцировать почленно.
Проверим теперь, что его можно и интегрировать почленно.
Если 7: [0,1] —> К— гладкий путь в К, то найдется круг Kq
такой, что 7 С Kq и Kq С К. На Кя исходный степенной ряд сходится
равномерно, поэтому в равенстве
f(z(t)) = '£cn(z(t)-zo)n
п=0
стоящий справа ряд из непрерывных на отрезке 0 ^ t ^ 1 функций
сходится равномерно на этом отрезке к непрерывной же функции f(z(t)).

462
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
Умножение этого равенства на функцию z'(t), непрерывную на
отрезке [0,1], не нарушит ни самого равенства, ни равномерной
сходимости ряда. Значит, по теореме 3 получаем
оо 1
J f(z(t))zf(t) dt = f2J c"(zW - «o^wdt
n=00
Ho
1
J(z(t) - s(0)) V(t) dt=^J d(z(t) - ζ(0))^ =
1 (z(l) - ζ(0)Γ+ι = -^-(z(l) - z0)n+\
n + ly y ' v 7/ n +1
и мы приходим к равенству (16). ►
оо
Поскольку в разложении f(z) = ]Г Cn(z — zo)n, очевидно, со = /(^о)5
п=0
то, последовательно применяя равенство (15), вновь получаем знакомые
f(n)(zn)
соотношения сп = 1—^п~' которые показывают, что степенной ряд
однозначно определяется своей суммой и он является ее рядом Тейлора.
Пример 5. Бесселева функция Jn(x), n G N есть решение
уравнения Бесселя1'
х2у" + ху' + (х2 - п2)у = 0.
Попробуем найти решение этого уравнения, например, при η = 0, в
оо
виде степенного ряда у = ]Р ckxk. Последовательно используя форму-
лу (15), после элементарных преобразований приходим к соотношению
С! + J2(k2ck + ck_2)xk~l = 0,
к=0
из которого, в силу указанной единственности степенного ряда с
данной суммой, находим
d = 0, к2ск + cfc_2 = 0, к = 2, 3,...
^Ф. В. Бессель (1784-1846) —немецкий астроном.

§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 463
Отсюда легко вывести, что с^-х — О, к £ N, и c^k — (—l)fc ^ 2к ·
Если считать Jq{0) = 1, то мы приходим к соотношению
оо 2к
(к\)222к'
Написанный ряд сходится на всей прямой R (и во всей плоскости С),
поэтому проведенные выше до конкретизации его вида операции над
этим рядом являются законными.
Пример 6. В примере 5 мы искали решение уравнения в виде
степенного ряда. Если же ряд задан, то, используя формулу (15), можно
непосредственно проверить, является ли сумма ряда решением
данного уравнения. Так, прямым вычислением можно убедиться в том, что
введенная Гауссом функция
F(«, д7,,) -1 + V 4.t')...H-')'Wt.)...tft.-4^
v ^ n.'7(7 + l)··· Ь + п-1)
(гипергеометрический ряд) корректно определена при \х\ < 1 и
удовлетворяет так называемому гипергеометрическому дифференциальному
уравнению
х{х - 1)у" - [7 - (α + β - 1)х] · у' + αβ · у = 0.
Отметим в заключение, что, в отличие от теорем 2, 3, в теореме 4
требуется, чтобы не исходное семейство, а семейство производных
сходилось равномерно. Мы уже видели (см. пример 2 § 1), что
последовательность функций fn(x) = л sin π2χ может сходиться к
дифференцируемой функции /(ι) ξ 0 равномерно, в то время как последовательность
производных f'n(x) не сходится к f'(x). Дело в том, что производная —
это характеристика скорости изменения функции, а не величины
значений функции. Даже при очень малых по абсолютной величине
изменениях значений функции производная формально может меняться очень
сильно, как это имеет место в рассмотренном случае малых колебаний
большой частоты. Именно это обстоятельство легло в основу
построенного Вейерштрассом примера непрерывной нигде не дифференциру-
оо
емой функции, которую он задал в виде ряда f(x) = ]П ancos(bn7rx),
п=0

464
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
очевидно, равномерно сходящегося на всей прямой R, если 0 < а < 1.
Вейерштрасс показал, что если параметр Ь выбрать удовлетворяющим
о
условию а - Ь > 1 + ^π, то, с одной стороны, / будет непрерывна как
сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций, а с
другой стороны, она не будет иметь производную ни в одной точке χ £ KL
Формальная проверка последнего утверждения довольно утомительна,
поэтому желающие получить более простой пример непрерывной
функции без производной могут посмотреть задачу 5 из § 1 гл. V.
Задачи и упражнения
1. Используя степенные ряды, найдите решение уравнения у"(х) — у(х) = О,
удовлетворяющее условиям
a) 2/(0) = 0, 2/(1) = 1;
b) 2/(0) = 1, 2/(1) = 0.
00 п-1
2. Найдите сумму ряда Σ ? ,.
п=1 ^ '
3. а) Проверьте, что задаваемая в виде ряда функция
к=0 v '
является решением уравнения Бесселя с индексом η ^ 0 из примера 5.
Ь) Проверьте, что гипергеометрический ряд из примера 6 доставляет
решение гипергеометрического уравнения.
4. Получите и обоснуйте следующие пригодные для вычислений
разложения полных эллиптических интегралов первого и второго рода при 0 < к < 1
л \ ΤΙ—1 /
5. Найдите
a) £ rkeik*]
к=0
η
b) Σ rk cos ^φ\
η
c) Σ r* sm ^φ>
k=0

§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 465
Покажите, что при \г\ < 1
оо
(Г) ^Г rkeiklp = - . г—·
' /-^ 1 — г cos φ — ir sin φ '
fc=0
оо
e) i + У] rk cos k(p = \ · — T;
; 2 ^ ^2 l-2rcos<^ + r2'
CO
f) Σ r* sin fcy> = r-^ 7.
7 ^ ^ l-2rcos<^ + r2
Проверьте, что в смысле суммирования ряда методом Абеля
g) 2 + Σ cosktp = О, если φ ф 2πη, η Ε Ζ;
со
h) ]Γ sinfcy? = ^ ctg ^, если ^ ф 2πη, η Ε Ζ.
6. Рассмотрев произведение рядов
(α0 + αχ + ... )(6ο + δι + ...) = (°0 + ci + ··· )>
где сп = aobn + αι6η_ι + ... + an-\bi + αη6ο, и используя утверждение 1, по-
со со со
кажите, что если ряды J^ an, J^ 6n, X] сп сходятся соответственно к А, В
п=0 п=0 п=0
и С, то А · Б = С.
η η со
7. Пусть 5П = 5^ CLk и ση = - Σ sk· Ряд ]Г α* называется суммируемым
k=l k=l k=l
no Чезаро1}, точнее (с, 1)-суммируемым к А, если lim ση = А. В этом случае
п—юо
со
пишут £ α* = А(с,1).
a) Проверьте, что 1-1 + 1-1 + ... = ^(c, 1).
b) Покажите, что ση = £ (1 - ^-=-Μ α*·
со со
c) Проверьте, что если Σ ак — А в обычном смысле, то и Σ ak — А(с, 1)·
к=1 к=1
со
d) (с,2)-суммой ряда У] а& называют величину lim -(σι + ... + ση), если
к=\ п^°°
этот предел существует. Так можно определить сумму (с, г) любого порядка г.
со со
Покажите, что если Σ ak = A(c,r), то Σ ак — A(c,r + 1).
k=l k=l
CO
e) Докажите, что если Σ ак — А(с, 1), то и методом Абеля этот ряд сум-
к=1
мируется к той же величине А.
8. а) «Теорема глауберова типа)) — это собирательное название для
теорем, дающих возможность при тех или иных дополнительных условиях ре-
Х'Э. Чезаро (1859-1906)—итальянский математик, занимался анализом и
геометрией.

466
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
гулярности судить о поведении самих величин по поведению некоторых их
средних. Примером такой теоремы, относящейся к методу Чезаро
суммирования рядов, является следующее утверждение, которое вы можете попробовать
доказать вслед за Харди1).
Если Σ ап — Жс> 1) и если ап = О ί -) , то ряд Σ ап сходится в обыч-
п=1 ^ ' п=1
ном смысле и к той же сумме.
Ь) Сама теорема Таубера2) относится к методу Абеля суммирования рядов
и состоит в следующем.
оо оо
Пусть ряд Σ апХп сходится при О < χ < 1 и lim Σ αηΧη — Л. Ес-
п=1 х-И-0 п=1
ли lim αΐ + α2 + · · · + пап _ q^ mo рЯ() у^ а^ сходится в обычном смысле и
n->oo n п=1
причем к А.
9. Полезно иметь в виду, что в отношении предельного перехода под
знаком интеграла существуют теоремы, дающие гораздо более свободные
достаточные условия для возможности такого перехода, чем те, которые
предоставляет теорема 3. Эти теоремы составляют одно из основных достижений так
называемой теории интеграла Лебега. В случае, когда функция интегрируема
по Риману на отрезке [а,6], т.е. / Ε 7£[α,6], эта функция принадлежит
также пространству С[а, Ь] функций, интегрируемых по Лебегу, причем значения
б б
интегралов (R) f f(x) dx, (L) f f(x) dx Римана и Лебега от / совпадают.
а а
Вообще пространство £[а, Ь] есть пополнение пространства 1Z[a, b] (точнее,
1Z[a, b]) по интегральной метрике, а интеграл (L) f есть продолжение линейной
а
Ь
функции (R) f с 7£[а, Ь] на £[а, Ь].
а
Итоговая теорема Лебега «об ограниченной сходимости» утверждает, что
если последовательность {/η; η Ε Ν} функций fn Ε £[α, b] такова, что
существует неотрицательная функция F Ε £[α,6], мажорирующая функции
последовательности, т. е. \fn(x)\ ^ F{x) почти всюду на [а,6], то из
сходимости fn->f почти во всех точках отрезка [а, Ь] вытекает, что / Ε £[а, Ь]
ь ъ
и lim (L) Г fn(x) dx = (L) Г fix) dx.
a) Покажите на примере, что даже если все функции последовательности
{/п5 ^ € N} ограничены одной и той же константой Μ на отрезке [а, 6], из
^Г. Х.Харди (1877-1947) — английский математик; основные труды посвящены
теории чисел и теории функций.
2^А.Таубер (род. 1866; год смерти неизвестен) — австрийский математик;
основные исследования относятся к теории чисел и теории функций.

§ 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ 467
условий fn Ε 7£[α,6], η Ε Ν и fn —> f поточечно на [α, b] не следует, что
/ Ε Ща,Ь] (см. пример 5 из § 1).
6 б
b) Основываясь на сказанном о взаимоотношении интегралов (R) J", (L) j
а а
и теореме Лебега, покажите, что если в условиях предыдущего пункта задачи
б б
известно, что все же f e 7£[а, 6], то (R)ff(x)dx = lim (R) f fn(x)dx. Это
η—юо
α α
существенное усиление теоремы 3.
c) Применительно к интегралу Римана можно сформулировать еще
следующий вариант теоремы Лебега о монотонной сходимости.
Если последовательность {/η; η Ε Ν} функций fn Ε 1Ζ[α, b] сходится к
нулю монотонно, т. е. О ^ /n+i ^ fn и fn —> 0 при η —> оо Λιλ любого
ь
χ Ε [α, 6], то (R) j fn(x) dx —> 0.
α
Докажите это утверждение, используя при необходимости следующее
полезное наблюдение.
ι
d) Пусть / Ε Ща,Ь], |/| ζ Μ и f f(x)dx ^ a > 0. Тогда множество
о
Д = [χ ε [0,1] | f(x) ^ а/2} содержит конечное число таких интервалов,
сумма I длин которых не меньше, чем а/(4М).
Докажите это, используя, например, интервалы такого разбиения Ρ
отрезка [0,1], которому отвечает нижняя сумма Дарбу s(/, P), удовлетворяющая
ι
соотношению 0 ^ / f(x) dx - s(/, Ρ) < α/4,
ο
10. а) Покажите на примерах из § 1, что не всегда из сходящейся на отрезке
последовательности функций можно извлечь подпоследовательность, которая
сходилась бы равномерно на этом отрезке.
b) Гораздо труднее непосредственно проверить, что из
последовательности {/η; η Ε Ν} функций fn(x) = sinnx нельзя извлечь подпоследовательность,
которая сходилась бы в любой точке отрезка [0,2π]. Докажите, что это,
однако, именно так (используйте результат задачи 9Ь) и то обстоятельство, что
2π
f (sinrikX — sinnfc+i#)2 dx — 2π φ 0 при п& < η*+ι).
о
c) Пусть {/η; η Ε Ν} —равномерно ограниченная последовательность
функций fn Ε Ща,Ь]. Пусть
χ
Fn(x)= f fn(t)dt (a^x^b).
a
Покажите, что из последовательности {Fn; η Ε Ν} можно извлечь
подпоследовательность, равномерно сходящуюся на отрезке [а, Ь].

468
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
о
/'
11. а) Покажите, что если /, /η Ε 7£([α, Ь],Ж) и /п =| / на [а, Ь] при η —» оо,
то для любого числа ε > О найдется такой номер iVEN, что при любом η > Ν
будет выполнено соотношение
6 I
(/ ~ /n)(s) ds < е(Ь - α).
ι α Ι
b) Пусть /n Ε C^da,6], Ε), η Ε N. Используя формулу fn(x) = /η(#ο) +
+ / /ή(*)^> докажите, что если /^ =| у? на отрезке [а, 6] и существует точка
#о € [а>Ь], Для которой последовательность {/η(#ο); η Ε Ν} сходится, то
последовательность функций {/η; η Ε Ν} сходится равномерно на [а, 6] к некоторой
функции / Ε С^)([а,6],Е), причем /£=*/' = <р.
* § 4. Компактные и плотные подмножества пространства
непрерывных функций
Этот параграф посвящен более специальным вопросам,
относящимся, однако, к вездесущему для анализа пространству непрерывных
функций. Все эти вопросы, как, впрочем, и сама метрика пространства
непрерывных функций1), тесно связаны с понятием равномерной
сходимости.
1. Теорема Арцела — Асколи
Определение 1. Семейство Τ функций /: X —> У, определенных
на множестве X и принимающих значения в метрическом
пространстве У, называется равномерно ограниченным на множестве X, если
множество ^ = {уЕУ|3/Е^-*ЗхЕХ (у = /(#))} значений функций
семейства ограничено в У.
Для числовых функций или для функций /: X —» W1 это попросту
означает существование такой константы Μ ЕМ, что для любого χ Ε Χ
и любой функции / Ε В будет \f(x)\ ^ М.
Определение 1'· Если множество V С У значений функций
семейства Τ вполне ограничено (т. е. при любом ε > О для V βΥ найдется
конечная ε-сеть), то семейство Τ называется вполне ограниченным.
^Если вы еще не вполне освоились с общими понятиями из главы IX, то без потери
содержательности дальнейшего можете считать, что всюду речь идет о функциях,
действующих из R в R, или из С в С, или из Шт в Шп.

§4. ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 469
Для пространств У, где понятия ограниченного и вполне
ограниченного множества совпадают (например для М, С, Мп, С71 и вообще
в случае локально компактного пространства У), понятия равномерно
ограниченного и вполне ограниченного семейства функций со
значениями в У тоже совпадают.
Определение 2. Пусть X и У — метрические пространства.
Семейство Τ функций /: X —> У называется равностепенно непрерывным
на множестве X, если для любого ε > О существует δ > О такое, что
при χι,Χ2 £ -X" соотношение dx(xi,X2) < ί влечет dy(/(xi),/(x2)) < £>
какова бы ни была функция / семейства.
Пример 1. Семейство функций {хп\ η £ Ν} не является
равностепенно непрерывным на отрезке [0,1], но оно равностепенно непрерывно
на любом отрезке вида [0, q], где 0 < q < 1.
Пример 2. Семейство функций {sinnx; η £ Ν} не равностепенно
непрерывно ни на каком невырожденном отрезке [а, Ь] С Ш.
Пример 3. Если семейство {/а: [а, Ь] —> R; а £ А}
дифференцируемых функций /а таково, что семейство {/^; а £ А} их
производных /^ равномерно ограничено постоянной, то, как следует из
формулы конечных приращений, |/а(#2) — /α(#ι)| ^ М\х2 — #ι|, и, значит,
исходное семейство равностепенно непрерывно на отрезке [а, Ь].
Связь введенных понятий с равномерной сходимостью непрерывных
функций демонстрирует уже следующая
Лемма 1. Пусть К и У—метрические пространства, причем
К — компакт. Для того, чтобы последовательность {/η; η £ Ν}
непрерывных функций fn: К —» У сходилась на компакте К равномерно,
необходимо, чтобы семейство {/η; η £ Ν} было вполне ограниченным
и равностепенно непрерывным.
Μ Пусть fn =4 / на К. По теореме 2 из §3 заключаем, что / £
£ C(K,Y). Из равномерной непрерывности / на компакте К
вытекает, что для любого ε > О найдется такое δ > О, что при #ι,#2 £ К
(ак(х\,Х2) < δ => dy(/(xi),/(x2)) < ε)· По этому же ε > О найдем
такой номер iV £ Ν, чтобы при η > N в любой точке χ Ε К иметь
dy(/(x),/n(x)) < ε. Сопоставляя эти неравенства, пользуясь
неравенством треугольника, находим, что при любом η > N и #ι,#2 £ -К"
из (ίκ(χι,Χ2) < ί следует dy(/n(xi),/n(#2)) < 3ε. Значит, семейство

470
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
{/п5 ю- > N} равностепенно непрерывно. Добавляя к нему
равностепенно непрерывное семейство {Д,... ,/дг}, состоящее из конечного числа
непрерывных на компакте К функций, получим равностепенно
непрерывное семейство {/η; η £ Ν}.
То, что оно вполне ограничено, вытекает из неравенства
dy(/(x),/n(x)) < ε, справедливого при χ € К и η > Ν, а также из
ν
того, что f(K) и (J fn{K) компактны в У, и, значит, вполне ограни-
чены в У. ►
На самом ^еле справедлива следующая общая
Теорема 1 (Арцела-Асколи). Пусть Τ — семейство функций
f': К —> У, определенных на метрическом компакте К со
значениями в полном метрическом пространстве У
Для того, чтобы любая последовательность {fn £ Т\ η £ Ν}
содержала равномерно сходящуюся подпоследовательность, необходимо
и достаточно, чтобы семейство Τ было вполне ограниченным и
равностепенно непрерывным.
Μ Необходимость. Если бы Τ не было вполне ограниченным
семейством, то, очевидно, можно было бы построить такую
последовательность {/η; η £ Ν} функций fn £ Τ, которая не была бы вполне
ограниченной и из которой (см. лемму) уже нельзя было бы извлечь
равномерно сходящуюся последовательность.
Если семейство Τ не равностепенно непрерывно, то найдутся число
εο > 0 и такие последовательность функций {/п £ Т\ η £ Ν} и
последовательность {(χ'η,χ'ή)', η £ Ν} пар (χ'η,χ'ή) точек х'п, χ'ή, сходящихся
при η —> оо к некоторой точке хо £ К, что άγ(/η(χ'η), fn{x'n)) ^ £о > 0.
Тогда из последовательности {/η; η £ Ν} уже нельзя извлечь
сходящуюся равномерно подпоследовательность: ведь по лемме 1 функции такой
подпоследовательности должны были бы составлять равностепенно
непрерывное семейство.
Достаточность. Компакт К будем считать бесконечным
множеством, иначе утверждение тривиально. Фиксируем в К счетное
всюду плотное подмножество Ε— последовательность {хп £ К\ η £ Ν}.
Такое множество Ε легко получить, взяв, например, объединение
точек конечных ε-сетей в К, получаемых при ε = 1,1/2,..., 1/π,...
Пусть {/η; η £ Ν} —произвольная последовательность функций се-

§ 4. ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 471
мейства Т.
Последовательность {/η(#ι); ть £ Ν} значений этих функций в
точке χι по условию ограничена в У и, поскольку Υ — полное
пространство, из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность
{/nfc(#i); fc G Ν}. Функции полученной последовательности, как будет
видно, удобно обозначить через /], η G N. Индекс 1 показывает, что
это последовательность, построенная по точке х\.
Из полученной последовательности извлечем
подпоследовательность {fnk\ к £ N}, которую обозначим через {/^; η £ Ν}, такую, что
последовательность {fnk{x2)\ & £ Ν} является сходящейся.
Продолжая этот процесс, получим серию {/^; η £ Ν}, к = 1,2,...
последовательностей. Если теперь взять «диагональную»
последовательность {дп = /™; η £ Ν}, то она, как легко видеть, будет сходиться
в любой точке всюду плотного множества Ε С К.
Покажем, что последовательность {дп\ η £ Ν} сходится в любой
точке компакта К и что ее сходимость равномерная на К. Для
этого фиксируем ε > О и подберем δ > О в соответствии с определением 2
равностепенной непрерывности семейства Т. Пусть Е\ = {£χ, ...,£&} —
конечное подмножество Е, образующее ί-сеть в К. Поскольку
последовательности {<7п(£г); ть £ Ν}, г = 1,2,..., к сходятся, найдется такой
номер JV, что при га, π ^ N будет dY{дт{&), дп{&)) < ε для г = 1,2,..., &.
Для каждой точки χ £ К найдется такая точка £j £ Ε, что
d/c (#,£;) < δ. В силу равностепенной непрерывности семейства Τ
отсюда следует, что dY (дп(х), gn(£j)) < ε при любом η £ N. Используя
полученные неравенства, теперь находим, что при любых га, η > Ν
dY(gm{x),9n(x)) < ау{дп(х),дп(^)) + dY(gm(£j),gn(£j)) +
+ dY{gm{x),gm{£j)) < e + ε + ε = 3ε.
Ho χ —произвольная точка компакта К, значит, по критерию Коши
последовательность {дп; η £ Ν} действительно равномерно сходится
на К. ►
2. Метрическое пространство C(K,Y). Одной из наиболее
естественных метрик на множестве C(K,Y) функций /: К —> У,
непрерывных на компакте К и принимающих значения в метрическом
пространстве У, является следующая метрика равномерной сходимо-

472
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
сти
d(f,g) = maxdY(f(x),g(x)),
где /, д £ С (К, У), а максимум существует, так как К — компакт.
Происхождение названия метрики связано с тем, что, очевидно, d(/n,/) —>
->0 & /п=5/наК
Учитывая последнее соотношение, на основании теоремы 2 из §3
и критерия Коши равномерной сходимости можно заключить, что
метрическое пространство С (К, У) с метрикой равномерной сходимости
является полным.
Напомним, что компактным подмножеством метрического
пространства называется такое подмножество, из любой последовательности
точек которого можно извлечь последовательность Коши (или, что то
же самое, фундаментальную последовательность). Если исходное
метрическое пространство полное, то такая последовательность будет
даже сходящейся.
Теорема Арцела-Асколи дает описание компактных подмножеств
метрического пространства C(K,Y).
Следующая важная теорема, которую мы собираемся доказать, даст
описание достаточно разнообразных всюду плотных подмножеств
пространства C(K,Y). Естественный интерес, который представляют
такие подмножества, связан с тем, что функциями, составляющими их,
можно равномерно, т.е. со сколь угодно малой абсолютной
погрешностью на всем К, аппроксимировать любую функцию /: К —> У,
непрерывную на К.
Пример 4. Классический результат Вейерштрасса, к которому
мы будем еще не раз возвращаться и который обобщает приведенная
ниже теорема Стоуна, состоит в следующем.
Теорема 2 (Вейерштрасс). Если / £ С([а, Ь],С), то существует
такая последовательность {Ρη; η £ Ν} многочленов Рп: [а, Ь] —> С,
что Рп =4 / на [а, Ь]. При этом, если f £ С([а, Ь],М), то и
многочлены Рп можно выбрать из С([а, Ь],М).
На геометрическом языке это означает, например, что многочлены
с вещественными коэффициентами образуют всюду плотное
подмножество в пространстве С([а,Ь],Ж).
Пример 5. Если теорема 2 требует все-таки нетривиального до-

§ 4. ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 473
казательства (оно дано ниже), то на основании равномерной
непрерывности любой функции / £ С([а, Ь],М) легко заключить, что множество
кусочно линейных непрерывных вещественнозначных на отрезке [а, Ь]
функций является всюду плотным подмножеством в С([а, Ь],М).
Замечание 1. Отметим, что если Е\ ВСЮДУ ПЛОТНО В £/2? & -Е/2
всюду плотно в £?з5 то в смысле той же метрики £7χ, очевидно, будет
всюду плотным в Е%.
Это означает, например, что для доказательства теоремы 2
достаточно показать, что кусочно линейную функцию можно сколь угодно
хорошо приблизить многочленом на соответствующем отрезке.
3. Теорема Стоуна. Прежде чем переходить к общей теореме
Стоуна, приведем следующее, полезное для восприятия дальнейшего,
доказательство теоремы 2 (Вейерштрасса) в случае
вещественнозначных функций.
< Заметим сначала, что если /,j G С([а, Ь],М), α £ Ш и функции
/, д допускают равномерную (сколь угодно точную) аппроксимацию
многочленами, то ее допускают и непрерывные на [а, Ь] функции / + #,
/ * 9, otf.
Ha отрезке [—1,1], как было показано в примере 2, §3, функция \х\
η
допускает равномерное приближение полиномами Рп(х) = ]Г) а^хк.
k=l
Значит, соответствующая последовательность полиномов Μ · Рп(х/М)
дает равномерную аппроксимацию функции \х\ уже на отрезке \х\ ^ М.
η
Если / е С({а,Ъ],Ж) и Μ = max|/(x)|, то из
\У\ ~ Σ скУк
к=\
\у\ ^ Μ следует
< ε при
< ε при а < χ ^ Ъ. Значит, если /
Ι/(*)Ι-Σ<*№)
I к=\
допускает равномерную аппроксимацию многочленами на отрезке [а, Ь],
η
то ]П ckfk и 1/1 тоже допускают такую аппроксимацию.
к=1
Наконец, если / и д допускают равномерную аппроксимацию
многочленами на отрезке [а, Ь], то в силу сказанного ее допускают и функции
max{/, g} = i{(f + 9) + \f-9\), ™in{/, <?} = \ ((/ + 9) - I/ - д\) ■
Пусть α ζ ξι < ξ2 ^ Ь, f(x) = 0, 9ξιξ2(χ) = g^-, h(x) = 1,
Φξ^ = тах{/,^^2}, -^ξιξ2 = min{/i, Φξ^}. Линейные комбинации
функций вида Ρξ1ξ2, очевидно, порождают все множество непрерывных ку-

474
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
сочно линейных функций на отрезке [а, Ь], откуда, в силу примера 5, и
следует теорема Вейерштрасса. ►
Прежде чем формулировать теорему Стоуна, определим несколько
новых понятий.
Определение 3. Совокупность А вещественно (комплексно)-
значных функций на множестве X называется вещественной
(комплексной) алгеброй функций на X, если из /, д £ А и а £ Ш(С) следует,
что
(f + 9)eA; (f-g)€A; (α/) € Α.
Пример 6. Пусть I С С. Многочлены Ρ (ζ) = со + c\z + C2Z2 +
+ ... + cnzn, η £ Ν, очевидно, образуют комплексную алгебру функций
на X.
Если взять X = [а,Ь] сШи многочлены брать только с
действительными коэффициентами, то получим вещественную алгебру функций на
отрезке [а, 6].
Пример 7. Линейные комбинации с коэффициентами из Ш или С
функций епх, η = 0,1,2,..., очевидно, тоже образуют алгебру
(соответственно вещественную или комплексную) на любом отрезке [а, Ь] С KL
То же можно, сказать и о линейных комбинациях функций
{einx; η £ Ζ}.
Определение 4. Будем говорить, что некоторая совокупность S
функций, определенных на множестве X, разделяет точки
множества X, если для любой пары точек #ι,#2 £ X найдется функция / £ S
такая, что f(xi) φ f{x2)·
Пример 8. Совокупность функций {епх; η £ Ν} и даже каждая
из них разделяет точки KL
Вместе с тем, совокупность 27г-периодических функций {ешх; η £
£ Ζ} разделяет точки отрезка, если его длина меньше 2π и, очевидно,
не разделяет точки отрезка длины, большей или равной 2π.
Пример 9. Вещественные многочлены в совокупности образуют
множество функций, разделяющее точки любого отрезка [а, Ь], так как
это делает уже один многочлен Р(х) = х. Сказанное можно повторить
относительно множества X С С и совокупности комплексных
полиномов на X. В качестве одной разделяющей функции теперь можно взять
Ρ {ζ) = ζ.

§ 4. ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 475
Определение 5. Будем говорить, что семейство Τ функций
/: X —> С не исчезает на множестве X, если для любой точки хо £ X
найдется функция fo € Τ такая, что /о(^о) Φ 0.
Пример 10. Семейство Τ — {1, χ, χ2,... } на отрезке [0,1] не
исчезает, а вот все функции семейства То = {#, х2,... } обращаются в нуль
при χ = 0.
Лемма 2. Если алгебра А вещественных {или комплексных) на
множестве X функций разделяет точки X и не исчезает на X, то
для любых различных точек х\,х2 £ X и любых вещественных (или,
соответственно, комплексных) чисел с\, с2 в А найдется такая
функция /, что f(xi) = сь f(x2) = с2.
Μ Очевидно, лемму достаточно доказать, лишь когда с\ = 0, с2 = 1
и когда с\ = 1, с2 = 0.
Ввиду равноправности точек χχ, х2, рассмотрим лишь случай с\ — 1,
с2 = 0.
Заметим сначала, что в А существует такая специальная
разделяющая точки χχ, Х2 функция 5, которая, наряду с условием s{x\) φ s(x2),
удовлетворяет требованию s(xi) φ 0.
Пусть g,h e A, g(x\) φ g{x2), g{x\) = 0, h(x\) φ 0. Очевидно,
найдется такое число λ £ R\0, что \(h(x\) — h(x2)) φ g{x2). Тогда функция
s = g + Xh и будет искомой.
Теперь, полагая /(х) = s ^x' ~ S\X2)S\X) ? находим функцию / из
s (я?х) - s(x1)s(x2)
нашей алгебры А, удовлетворяющую поставленным условиям: }{х\) = 1
и /(х2) = 0. ►
Теорема 3 (Стоун1)). Пусть А — алгебра определенных на
компакте К непрерывных вещественнозначных функций. Если А
разделяет точки компакта К и не исчезает на К, то А является всюду
плотным подмножеством пространства С(К,Щ.
Μ Пусть А — замыкание в С(К,Щ множества А С С(К,Ш), т.е. А
состоит из тех непрерывных функций / £ С (К, М), которые можно
сколь угодно точно равномерно приближать функциями из А. Теорема
утверждает, что А = С(К,Ш).
^М. X. Стоун (1903-1989) — американский математик; основные труды
относятся к топологии и функциональному анализу.

476
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
Повторяя проведенные при доказательстве теоремы Вейерштрасса
рассуждения, замечаем, что если /, д £ А и а £ М, то функции /+#, /·#,
а/, |/|, max{/,#}, min{/, #} тоже принадлежат А. По индукции можно
проверить, что вообще, если /ь /2,..., /п 6 А, то тах{/ь /2,..., /п} и
min{/i, /2,..., /η} тоже лежат в А.
Теперь покажем, что для любой функции / £ С (К, R), любой точки
χ £ К и любого числа ε > 0 найдется такая функция дх £ Л, что
#х(х) = f(x) и #х(£) > f(t) - ε при любом t Ε Д\
Чтобы в этом убедиться, для каждой точки у £ К возьмем в
соответствии с леммой 2 функцию hy £ А такую, что hy(x) = f(x)
и hy (у) = /(у)· В силу непрерывности на К функций / и hy
найдется такая открытая окрестность Uy точки у, что hy(t) > f(t) — ε
при любом t £ Uy. Из покрытия компакта К открытыми
множествами Uy извлекаем конечное покрытие {Uyi, Uy2,..., Uyn}. Тогда функция
дх = max{hyi, hy2,..., hyn } £ А будет искомой.
Взяв теперь для каждой точки χ £ К такую функцию дх,
заметим, что ввиду непрерывности функций дх и / найдется такая
открытая окрестность Vx точки χ £ К, что gx(t) < f(t) + ε при
любом t £ Vx. Поскольку К — компакт, найдется его конечное
покрытие {VXl, VX2,..., VXrn} такими окрестностями. Функция д = min{gXl,
9x2 5 · · · 5 9хт } принадлежит алгебре А и по построению в любой точке
удовлетворяет двойному неравенству
f(t)-e<g(t)<f(t) + e.
Но число ε > О было выбрано произвольно, поэтому доказано, что
любую функцию / £ С(К, R) можно сколь угодно точно равномерно
приблизить на К функциями из алгебры А. ►
Задачи и упражнения
1. Семейство Τ функций /: X —> У, определенных на метрическом
пространстве X и принимающих значения в метрическом пространстве У,
называется равностепенно непрерывным в точке хо £ X, если для любого ε > О
найдется δ > О такое, что для любой функции / £ Τ соотношение άχ(χ, хо) < δ
влечет άγ(/(χ), f (хо)) < ε.
а) Покажите, что если семейство Τ функций /: X —> У равностепенно
непрерывно в точке хо £ Х-, то любая функция / £ Τ непрерывна в точке яо>
но утверждение, обратное к этому, неверно.

§ 4. ПРОСТРАНСТВО НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ 477
b) Докажите, что если семейство Τ функций f:K—>Y равностепенно
непрерывно в любой точке компакта К, то оно равностепенно непрерывно
на К в смысле определения 2.
c) Покажите, что если метрическое пространство X не является
компактом, то из равностепенной непрерывности семейства Τ функций /: X —> Υ в
каждой точке χ Ε X еще не вытекает равностепенная непрерывность Τ на X.
По этой причине, если семейство Τ равностепенно непрерывно на
множестве X в смысле определения 2, его часто называют равномерно
равностепенно непрерывным на множестве. Таким образом, между равностепенной
непрерывностью в точке и равномерной равностепенной непрерывностью семейства
функций на множестве X соотношение такое же, как между непрерывностью
и равномерной непрерывностью отдельной функции /: X —> Υ на
множестве X.
d) Пусть ui(f\E)—колебание функции /: X —> Υ на множестве Ε С X,
а В (ж, <5)—шар радиуса δ с центром в точке χ Ε Χ. Определением каких
понятий являются следующие записи:
Ve>0 3δ > О V/eJ7 u(f;B(x,S)) < ε,
Ve>0 3δ >0 VfeJ7 Vxe X ω(/;Β(χ,δ))<ε?
e) Покажите на примере, что теорема Ариела-Асколи, вообще говоря,
не имеет места, если К не является компактом: постройте на Ε равномерно
ограниченную и равностепенно непрерывную последовательность {/η; η Ε Ν}
функций fn — φ (χ + η), из которой нельзя извлечь равномерно сходящуюся
на Ш. подпоследовательность.
f) Опираясь на теорему Арцела-Асколи, решите задачу 10 с) из §3.
2. а) Объясните подробно, почему любую непрерывную кусочно линейную
функцию на отрезке [а, Ь] можно представить в виде линейной комбинации
функций вида F^ ,ξ2, указанных в доказательстве теоремы Вейерштрасса.
b) Докажите теорему Вейерштрасса для комплекснозначных непрерывных
функций /: [а, Ь] -> С.
6
c) Величину Мп = f f(x)xn dx часто называют n-м моментом функции
а
/: [а, Ь] —> С на отрезке [а, Ь]. Покажите, что если / Ε С ([а, Ь], С) и Мп = 0 при
любом η е Ν, то f(x) = 0 на [а, Ь].
3. а) Покажите, что алгебра, порожденная парой функций {1,#2} плотна
в множестве всех четных, непрерывных на отрезке [—1,1] функций.
b) Решите предыдущий вопрос для алгебры, порожденной одной
функцией {ж}, и множества нечетных функций, непрерывных на отрезке [—1,1].
c) Любую ли функцию / Ε С([0,7г],С) можно сколь угодно точно
равномерно аппроксимировать функциями алгебры, порожденной парой функций
{l,ete}?
d) Ответьте на предыдущий вопрос в случае / Ε С([—π,π],С).

478
ГЛ. XVI. РЯДЫ И СЕМЕЙСТВА ФУНКЦИЙ
e) Покажите, что ответ на предыдущий вопрос будет положительным
тогда и только тогда, когда /(—π) = /(π).
f) Любую ли функцию / Ε С([а,Ь],С) можно равномерно
аппроксимировать линейными комбинациями функций системы {1, cos ж, sin ж,... , cosnx,
sinnx,... }, если [α, b] С ]— π,π[ ?
g) Любую ли четную функцию / Ε С ([—π, π], С) можно равномерно
аппроксимировать функциями системы {1, cos ж,..., cosnx,... }?
h) Пусть [α, b] — произвольный отрезок прямой Ш. Покажите, что алгебра,
порожденная на [а, Ь] любой не обращающейся в нуль строго монотонной
функцией φ(χ) (например, еж), плотна в С ([а, 6],Е).
i) При каком расположении отрезка [а, Ь] С Ш порожденная функцией
φ(χ) = χ алгебра плотна в С ([a, b], E)?
4. а) Комплексная алгебра функций А называется самосопряженной, если
из / Ε А следует, что / Ε Л, где /(ж)—значение, сопряженное к f(x).
Покажите, что если комплексная алгебра А не вырождается на X и разделяет
точки X, то при условии самосопряженности алгебры А можно утверждать,
что подалгебра Ац вещественнозначных функций алгебры А тоже не
вырождается на X и тоже разделяет точки множества X.
b) Докажите следующий комплексный вариант теоремы Стоуна.
Если комплексная алгебра А функций f: X —> С не вырождается на X и
разделяет точки X, то при условии самосопряженности алгебры А можно
утверждать, что она плотна в С(Х,С).
c) Пусть X = {ζ Ε С | \ζ\ = 1} — единичная окружность, А — алгебра на X,
порожденная функцией ег(р, где φ — полярный угол точки ζ Ε С. Эта алгебра
не вырождается на X и разделяет точки X, но не является самосопряженной.
Докажите, что для любой функции /: X —> С, допускающей
равномерную аппроксимацию элементами алгебры Л, должно выполняться равенство
2π
/ /(ег1р)егп1р άφ = 0 при любом η Ε N. Используя это обстоятельство, проверь-
о
те, что ограничение на окружность X функции f(z) — ~z есть непрерывная
на X функция, которая не входит в замыкание указанной алгебры А.

ГЛАВА XVII
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
В этой главе общие теоремы о семействах функций, зависящих от
параметра, будут применены к одному из наиболее часто встречающихся в
анализе виду таких семейств — к интегралу, зависящему от параметра.
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
1. Понятие интеграла, зависящего от параметра. Интеграл,
зависящий от параметра,—это функция вида
F(t) = J }{x,t)dx, (l)
Et
где t играет роль параметра, пробегающего некоторое множество Т, а
каждому значению t Ε Τ отвечает множество Et и интегрируемая на
нем в собственном или несобственном смысле функция <^(х) = /(#,£).
Природа множества Τ может быть самой разнообразной, но
важнейшими, разумеется, являются случаи, когда Τ — подмножество
пространств R, С, W1 или С71.
Если при каждом значении параметра t G Τ интеграл (1) является
собственным, то принято говорить, что функция F в (1) есть
собственный интеграл, зависящий от параметра.
Если же при всех или при некоторых значениях ί G Г интеграл
в (1) существует только в несобственном смысле, то функцию F обычно
называют несобственным интегралом, зависящим от параметра.
Но это, конечно, всего лишь терминологические условности.

480 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
В том случае, когда χ £ Rm, Et С IRm и т > 1, говорят, что имеют
дело с кратным (двойным, тройным и т. д.) интегралом (1), зависящим
от параметра.
Главное внимание мы сосредоточим, однако, на одномерном случае,
составляющем основу любых обобщений. Более того, для простоты мы
сначала в качестве Et будем брать только не зависящие от параметра
промежутки числовой прямой R, ик тому же будем считать, что на
них интеграл (1) существует в собственном смысле.
2. Непрерывность интеграла, зависящего от параметра.
Утверждение 1. Пусть Ρ = {(х,у) £ IR2 \а^х^ЬЛс^у^
ίξ d} — прямоугольник в плоскости R2. Если функция f: Ρ —> R
непрерывна, т. е. если / £ С(Р,Щ, то функция
ъ
F(y) = Jf(x,y)dx (2)
α
непрерывна в любой точке у £ [с, d].
Μ Из равномерной непрерывности функции / на компакте Ρ
вытекает, что φν(χ) := /(х,у) =4 f(x,yo) =: Ψνο(χ) на КЬ] при у -> у0,
УчУо £ [с,d\- При каждом у £ [с, d] функция ^(х) = /(я,у) непрерывна
по χ на отрезке [а, Ь], а значит, и интегрируема на нем. По теореме о
предельном переходе под знаком интеграла теперь можно утверждать,
что
б б
F(yo) = / f{x,yo)dx = lim / f(x,y)dx = lim F(y). ►
J У^Уо J У^Уо
a a
Замечание 1. Как видно из приведенного доказательства,
утверждение 1 о непрерывности функции (2) остается в силе, если в качестве
множества значений параметра у взять любой компакт К, конечно, при
условии, что / £ С(1 χ К, R), где I = {х £ R \ а ^ χ ^ Ь}.
Отсюда, в частности, можно сделать вывод, что если / £ C(I x
xD,R), где D — открытое множество в Rn, то F £ C(Z),R), поскольку
любая точка у о £ D имеет компактную окрестность К С Z), а
ограничение функции / на Ι χ К является непрерывной функцией на компакте
I хК.

§ 1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 481
Мы сформулировали утверждение 1 для вещественнозначных
функций, но, конечно, оно вместе с доказательством сохраняет силу и для
векторнозначных функций, например, для функций, принимающих
значения в С, в Rm или С™.
Пример 1. При доказательстве леммы Морса (см. часть I, гл. VIII,
§6) мы упоминали о следующем утверждении, называемом леммой
А дам ар а.
Если функция / в окрестности U точки хо принадлежит классу
C^)(i7, R), то в некоторой окрестности точки хо ее можно
представить в виде
f(x) = /(х0) + φ(χ)(χ - χο), (3)
где ψ — непрерывная функция, причем φ(χο) = /'(χο)·
Равенство (3) легко следует из формулы
ι
/(х0 + h) - /(хо) = ί /'(хо + th) dt · h (4)
о
Ньютона - Лейбница и утверждения 1, применяемого к функции F(h) =
ι
= / f(xo + th) dt: остается сделать замену h = χ — хо и положить φ(χ) =
о
= F(x-x0).
Полезно заметить, что равенство (4) имеет место для хо, h £ Rn, где
η не обязано быть только единицей. Раскрывая символ /' подробнее и
полагая для простоты записи хо = 0, можно вместо (4) написать
/(х1,...^-)-/^,...^)^^!^^1,...,^)^.^,
i=l 0
и тогда в равенстве (3) следует положить
η
cp{x)x = Y^cpi{x)x\
г=1
где^(яг) = f%L(tx)dt.
о дх

482 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
3. Дифференцирование интеграла, зависящего
от параметра
Утверждение 2. Если на прямоугольнике Ρ = {(х,у) £ Μ2 | α ^
^x^bAc^y^d} функция /: Ρ —» Ш непрерывна и имеет
непрерывную частную производную по у, то интеграл (2) принадлежит классу
C^Qc, d],R), причем
b
F'(y) = j^(x,y)dx.
(5)
Формулу (5) дифференцирования собственного интеграла (2) по
параметру часто называют формулой или правилом Лейбница.
Μ Проверим непосредственно, что если уо £ [с, d], то Р'(уо) можно
вычислить по формуле (5):
F(y0 + h)- F(y0) - Ι ί ^{x,y0)dx J h
f(x,yo + h) -f(x,yo) - -Q-(x,yo)h ) dx
й
ь
/(
α
6
\f(x,yo + h) - f{x,yo) - -Q-{x,yo)h
b
lor p\ r
sup \ — (x,yo + 9h) - — (x,y0)
o<0<iIoy dy
^
dx <
dx\h\ = (p(yo,h) · \h\.
По условию |£ G C(P,R), поэтому д£(ж,у) =4 д£(ж,уо) на отрезке
а ^ χ ^ b при у —» уо, откуда следует, что <^(уо, /ι) —> 0 при h —> 0. ►
Замечание 2. Непрерывность исходной функции / использована
в доказательстве лишь как достаточное условие существования всех
участвующих в нем интегралов.
Замечание 3. Проведенное доказательство и использованная в
нем форма теоремы о конечном приращении показывают, что
утверждение 2 остается в силе, если вместо отрезка [с, d\ взять выпуклый

§ 1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 483
компакт в любом векторном нормированном пространстве. При этом,
очевидно, можно еще считать, что / принимает значения в некотором
полном векторном нормированном пространстве.
В частности, и это порой бывает весьма полезно, формула (5)
применима и к комплекснозначным функциям F комплексного
переменного у £ С и к функциям F(y) = F(yl,... , уп) от векторного параметра
у = (у\...,уп)еС1.
В последнем случае ££, конечно, можно расписать покоординатно в
виде ( Щг,..., -^- 1 и получить из (5) соответствующие частные про-
\<V дуп J
изводные |£(у) = / |4(х> у\ · · ·, Уп) dx функции F.
ОУ а °У
π
Пример 2. Проверим, что функция и(х) = /cos(n<^ — xsm(p)d(p
о
удовлетворяет уравнению Бесселя х2и" + хи' + (х2 — п2)и = 0.
Действительно, выполнив дифференцирования в соответствии с
формулой (5), после простых преобразований находим
π π
— χ2 / sin2 φ cos(n<£ — χ sin φ) άψ + χ / sin ψ sin(n<£ — χ sin ψ) άψ +
ο ο
π
+ (χ2 — η2) / cos(n<^ — χ sin φ) άψ =
ο
π
= — / ((χ2 sin2 <£ + η2 — χ2) cos(n<^ — χ sin <^) —
ο
— χ sin <£ sin(n<£ — χ sin ψ))άψ =
= — (η + χ cos у?) sin(n<^ — χ sin y?) |o =0.
Пример З. Полные эллиптические интегралы
π/2 π/2
ад = / ^i-*2sin2VdVl ад = / ^ (6)
о ο ν ^
как функции параметра fc, 0 < А; < 1, называемого модулем соответ-

484 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
ствующего эллиптического интеграла, связаны соотношениями
dE Ε - К dK Ε Κ
dk k ' dk k{l-k2) k'
Проверим, например, первое из них. По формуле (5)
тг/2
dE (и ■
M=-Jksl
sin^ ψ · (1 — k2 sin2 ψ) l'2 άψ =
о
π/2 π/2
Ε-Κ
= j- ί(1 - k2 sin2 ψ)1'2 άψ - j- ί(1 - k2 sin2 ψ)-1'2 άψ = k .
о о
Пример 4. Иногда применение формулы (5) позволяет даже
вычислить интеграл. Пусть
π/2
F(a) = / 1η(α2 - sin2 φ) άψ (α > 1).
ο
Согласно формуле (5)
π/2
"(-) - / ^V - -ττ-Γ,
) or — sin φ ν or — 1
ο
откуда F(a) = π 1η(α + λ/ο:2 — 1) + α
Величину с тоже легко найти, если заметить, что при а —> +оо, с
одной стороны, F(a) =π1ηα + π1η2 + β + ο(1), а, с другой стороны, из
определения F(a) с учетом равенства 1η(α2 — sin2 ψ) = 2 In α + o(l) при
α —> +οο получается, что F(a) = π In α + ο(1). Значит, 7г1п2 + с = 0и
F(a) =n\n^(a + y/a2-l).
Утверждение 2 можно несколько усилить.
Утверждение 2\ Пусть на прямоугольнике Ρ = {(х,у) £ К2 |
а^х^ЬЛс^у^а} функция /: Ρ —> R непрерывна и имеет
непрерывную частную производную ^; пусть далее а(у) и /3(у) такие
непрерывно дифференцируемые на [с, d\ функции, что при любом у £ [с, d\

§ 1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 485
их значения лежат на отрезке [а, Ь]. Тогда интеграл
F(y)= J f(x,y)dx (7)
определен при любом у £ [с, d], принадлежит классу C^Qc, d], М) и
справедлива формула
F'(y) = f(P(y),y) - β'(υ) - f(a(y),y) · а'(у) + J ^(x,y)dx. (8)
Μ Β соответствии с правилом дифференцирования интеграла по
пределам интегрирования и с учетом формулы (5) можно сказать, что
функция
β
Ф(а,/?,у) = / f{x,y)dx
а
при условиях, что α, β £ [а, Ь] и у £ [с, d], имеет следующие частные
производные:
5Ф 5Ф дФ f df
эр=№у), ^ = -/(«.у), ^ = j^y)dx-
а
С учетом утверждения 1 заключаем, что все частные
производные функции Φ непрерывны в ее области определения. Значит, Φ —
непрерывно дифференцируемая функция. Теперь формула (8)
получается дифференцированием сложной функции F(y) = Ф(а(у),/3(у),у). ►
Пример 5. Пусть
χ
ад = j^y J(x - <)n_1/(<) at,
где η £ Ν, a / — непрерывная на промежутке интегрирования функция.
Проверим, что Fn(x) = f(x).

486 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Прип = 1 Fi(x) = Jf(t)dtnF[(x) = f(x).
О
По формуле (8) при π > 1 находим
χ
К{х) = ^hy.{x' x)n~lf{x) + (^Ь)Т /(* - *)п"2/оdt = ρη-ύ*)·
о
По принципу индукции заключаем, что, действительно, Fn(x) =
= f(x) при любом η Ε Ν.
4. Интегрирование интеграла, зависящего от параметра
Утверждение 3. Если функция /: Ρ —> R непрерывна в
прямоугольнике Ρ = {(х, у) GlR2 \a^x^bAc^y^d}y то интеграл (2)
интегрируем на отрезке [с, d\ и имеет место равенство
U) \ }(} \
J \J f(x,y)dx\dy = J ljf(x,y)dy\dx. (9)
Μ С точки зрения кратных интегралов равенство (9) есть
простейший вариант теоремы Фубини.
Приведем, однако, доказательство соотношения (9), позволяющее
обосновать его независимо от теоремы Фубини.
Рассмотрим функции
<р(и)
и / о \ о / и \
= / I / ffay)dx dy, ф(и) = / I / f(x,y)dy J dx.
Ввиду того, что / £ С(Р, Ж) на основании утверждения 1 и
непрерывной зависимости интеграла от верхнего предела интегрирования,
заключаем, что φ, ψ £ С([с, d],R). Далее, ввиду непрерывности функ-
6
ции (2), находим, что ψ'{и) — f f(x,u)dx, а по формуле (5) получаем,
α
6
что ψ (и) = f f(x,u)dx при и £ [с, d\. Таким образом, φ'{и) = ψ9 (и) и,
α
значит, φ(η) = ψ (и) + с на отрезке [с, d\. Но поскольку φ(0) = ψ(0) = О,
то на отрезке [с, d\ имеет место равенство φ(η) = ф(и), из которого при
u — d получается соотношение (9). ►

§ 1. СОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 487
Задачи и упражнения
1. а) Объясните, почему функция F(y) из соотношения (2) имеет предел
б
§φ(χ)άχ, если зависящее от параметра у Ε Υ семейство функций φυ(χ) =
а
— f(x,y)i интегрируемых на отрезке а ^ χ ^ 6, равномерно сходится на нем
к функции φ(χ) при некоторой базе В в Υ (например, при базе у —> уо)-
b) Докажите, что если Ε — измеримое множество в Ет, а функция /: Ε χ
χ Ιη ->· Ε, определенная на прямом произведении Ε χ Ιη = {(x,t) Ε Em+n |
χ Ε Ε At Ε Ιη} множества Ε и n-мерного промежутка /п, непрерывна, то
определенная равенством (1) при Et = Ε функция F непрерывна на 1п.
c) Пусть Ρ = {(χ, у) ЕЕ2 \а^х^ЬЛс<^у^(1},и пусть / Ε С(Р,Е),
α, β Ε C([c,d\, [α, 6]). Докажите, что тогда функция (7) непрерывна на отрезке
[сЛ
а
2. а) Покажите, что если / Ε С(Е, Ε), то функция F(#) = ^ J f(x + ί) eft
— α
не только непрерывна, но и дифференцируема на Е.
Ь) Найдите производную указанной функции F(x) и убедитесь, что F Ε
ЕС^)(Е,Е).
3. Используя дифференцирование по параметру, покажите, что при \г\ < 1
π
F(r) =|ln(l
2r cos ж + г ) dx = 0.
о
4. Проверьте, что следующие функции удовлетворяют уравнению Бесселя,
указанному в примере 2.
π
a) и = хп f cos(# cos у>) sin2n ^ d<^.
о
b) J^X) = (2η-ηΐ)!!π_/(1 " *2)ПЧ COS^**.
c) Покажите, что отвечающие различным значениям η Ε Ν функции Jn
связаны соотношением Jn+i = Jn-i — 2 J'n.
5· Развивая пример 3 и полагая к := л/1 — fc2, E(fc) := Ε (к), К (к) := К (к),
покажите, вслед за Лежандром, что
a) ж(ЕК + ЁК- КК) = 0.
b) ЕК + ЁК-КК = π/2.
6. Вместо интеграла (2) рассмотрим интеграл
б
Ну) = / f(x,y)9(x)dx,
а
где д — интегрируемая на отрезке [а, Ь] функция (д Ε Ща, Ь]).

488 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Повторив приведенные выше доказательства утверждений 1-3,
последовательно проверьте, что
a) Если функция / удовлетворяет условиям утверждения 1, то функция Τ
непрерывна на отрезке [с, d\ (ТЕ C[c,d\).
b) Если функция / удовлетворяет условиям утверждения 2, то функция Τ
непрерывно дифференцируема на [с, d\ (Τ Ε C^^fc, d]), причем
ь
Τ\у) = / —(x,y)g(x)dx.
с) Если функция / удовлетворяет условиям утверждения 3, то Τ
интегрируема на [с, d\ [Τ Ε 1Z[c, d]), причем
α ο ι α \
/ Hv)dy = / I / f(x,y)g(x)dy J dx.
7. Формула Тейлора и лемма Адамара.
a) Покажите, что если / — гладкая функция и /(0) = 0, то f(x) — χφ(χ),
где φ — непрерывная функция и φ(0) = /'(0).
b) Покажите, что если / е С^ и /(*) = 0 при к = 0,1,...,η — 1, то
f(x) = χηφ(χ), где φ — непрерывная функция и φ(0) = ^т/^(0)·
c) Пусть / — определенная в окрестности нуля функция класса С^.
Проверьте, что справедлива следующая формула Тейлора с остаточным членом в
форме Адамара:
/(*) = /(о) + ^/'(0)* + ■ ■ ■ + (^4т)т/(п~1)(0)*п~1 + *>(*)>
где φ — функция, непрерывная в окрестности нуля, и φ(0) = ^т/^(0)·
d) Обобщите результаты задач а), Ь), с) на случай, когда / — функция
нескольких переменных. Запишите основную формулу Тейлора в мультиин-
дексных обозначениях
|α|=0 |α|=η
и заметьте в дополнение к сказанному в задачах а), Ь), с), что если / Ε С(п+р),
τοφα е С(р).

§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 489
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
1. Равномерная сходимость несобственного интеграла
относительно параметра
а. Основное определение и примеры. Пусть при каждом
значении у £ Υ сходится несобственный интеграл
ω
F(y) = J f(x,y)dx (l)
α
по промежутку [а,о;[с К. Для определенности будем считать, что
интеграл (1) имеет единственную особенность, связанную с верхним
пределом интегрирования (т. е. или ω = +оо или функция / неограничена
как функция χ в окрестности точки ω).
Определение. Говорят, что несобственный интеграл (1),
зависящий от параметра у £ У, сходится равномерно на множестве Ε С У,
если для любого числа ε > О существует такая окрестность ϋ^ω^ω)
точки ω в множестве [α,ω[, что при любом Ъ £ Uu^u) и любом
значении у £ Ε имеет место следующая оценка
Ι ω
I f(x,y)dx
16
остатка интеграла (1).
Если ввести обозначение
б
Fb(y):= J f(x,y)dx (3)
α
для собственного приближения несобственного интеграла (1), то
приведенное основное определение этого параграфа можно (и, как будет
видно из дальнейшего, весьма полезно) переформулировать также в
иной, равносильной прежней, форме:
равномерная сходимость интеграла (1) на множестве Ε С Υ по
определению означает, что
< ε
(2)
Fb(y) =4 F(y) на Ε при 6 -> ω, b G [α, ω[. (4)

490 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Действительно, ведь
ω b
F(y)= f(x,y)dx:= Jim f(x,y)dx= Jim Fb(y),
J b-^ω I b-^ω
a 6€[a,u/[ fl 6€[a,u/[
поэтому соотношение (2) можно переписать в виде
\F(y) - Fb(y)\ < ε. (5)
Последнее неравенство справедливо при любом Ь £ С/[ад(с<;) и любом
у £ £7, что и указано в соотношении (4).
Итак, соотношения (2), (4), (5) означают, что если интеграл (1)
сходится равномерно на некотором множестве Ε значений параметра, то с
любой наперед заданной точностью и одновременно для всех у £ Ε этот
несобственный интеграл (1) можно заменить некоторым собственным
интегралом (3), зависящим от того же параметра у.
Пример 1. Интеграл
dx
J χ2 + у2
1
сходится равномерно на всем множестве Ш значений параметра у £
поскольку при любом у £ Μ
+оо +оо
/dx Г dx _ 1
χ2 + у2 ^ J x2 Ь
6
как только Ь > 1/ε.
Пример 2. Интеграл
+оо
I e~xydx,
о
очевидно, сходится, лишь когда у > 0. При этом на любом множестве
{у £ Ш | у ^ уо > 0} он сходится равномерно.

§2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 491
В самом деле, если у ^ уо > 0, то
+оо
(К / e~xydx = -е~Ьу ζ — е~Ьуо -> О при 6 -> +оо.
J У Уо
Вместе с тем на всем множестве R+. = {у £ R | у > 0} равномерной
сходимости нет. Действительно, отрицание равномерной сходимости
интеграла (1) на множестве Ε означает, что
3ε0>0 \/Β€[α,ω[ 3be[B,u;[ Зу <Ξ Ε
ω
Ι
f(x,y)dx
> ε0
В нашем случае в качестве εο можно взять любое действительное
число, поскольку
+оо
/ е~ху dx = -е~Ьу -> +оо, когда у -> +0,
J У
каково бы ни было фиксированное значение Ъ £ [0, +оо[.
Рассмотрим еще один менее тривиальный пример, которым мы в
дальнейшем воспользуемся.
Пример 3. Покажем, что каждый из интегралов
Ф(х)= f xaya+P+le-(l+x^ydy,
о
+оо
F(y)= f xaya+P+le-(l+x^y dx,
в которых а и β — фиксированные положительные числа, сходится
равномерно на множестве неотрицательных значений параметра.

492 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Для остатка интеграла Ф(х) сразу получаем, что
+оо
О < f x<*y<*+P+le-(l+x)y dy =
6
+00 -(-00
= I {xy)ae-xyyP+le-y dy<Ma I y^le~y dy,
где Ma = max uae u. Поскольку последний интеграл сходится, то
0^и<+оо
при достаточно больших значениях Ь £ Ш он может быть сделан меньше
любого наперед заданного числа ε > 0. Но это и означает равномерную
сходимость интеграла Ф(х).
Теперь рассмотрим остаток второго интеграла F(y):
+00
0 ^ I ж V+/3+1e~(1+x)1' dx =
-t-00 -t-00
= у0е-У ί (χν)α6-χννάχ = νββ-ν ί uae~u,
+ 00 +00
du.
by
Поскольку при у ^ О
+00 +00
/ иае~и du ^ иае~и du < +00,
by
а уРе~у —> О при у —> О, то для ε > О, очевидно, найдется такое число
уо > 0, что при любом у £ [0, уо] остаток интересующего нас интеграла
будет меньше ε независимо даже от значения Ь £ [0, +оо[.
Если же у ^ уо > 0, то, учитывая, что Ма = max у^е~у < +оо, а
0^?/<+оо
+00 +00
О ^ / иае~и du < J uae~u du —> О при Ъ —> +оо, заключаем, что при
by byo
всех достаточно больших значениях Ъ £ [0, +оо[ одновременно для всех
значений у ^ уо > О остаток интеграла F(y) можно сделать меньшим,
чем ε.

§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 493
Объединяя участки [0,уо]5 [уо> +°о[, заключаем, что, действительно,
по любому ε > О можно так подобрать число £?, что при любом Ь > В и
любом у ^ О соответствующий остаток интеграла F(y) будет меньше,
чем ε.
b. Критерий Коши равномерной сходимости интеграла
Утверждение 1 (критерий Коши). Для того, чтобы
несобственный интеграл (1), зависящий от параметра у £ Y, сходился
равномерно на множестве Ε С У, необходимо и достаточно, чтобы для
любого ε > О существовала такая окрестность Ща^,[(и) точки ω, что
при любых ί>ι,ί>2 £ υ^α,ω[{ω) и любом у £ Ε выполняется неравенство
ъ2
I
f(x,y)dx
< ε.
(6)
Μ Неравенство (6) равносильно соотношению \Fb2{y) — Fbx(y)\ < ε,
поэтому утверждение 1 является прямым следствием записи (4)
определения равномерной сходимости интеграла (1) и критерия Коши
равномерной сходимости на Ε семейства функций i^(y), зависящих от
параметра Ъ £ [α,α;[. ►
В качестве иллюстрации использования этого критерия Коши
рассмотрим следующее иногда полезное его
Следствие 1. Если функция f в интеграле (1) непрерывна на
множестве [а, о;[х[с, d\, а сам интеграл (1) сходится при любом у £
£]с, d[, но расходится при у = с или у = d, то он сходится
неравномерно на интервале ]с, d[, равно как и на любом множестве Ε С]с, d[,
замыкание которого содержит точку расходимости.
А Если при у — с интеграл (1) расходится, то на основании критерия
Коши сходимости несобственного интеграла существует число εο > О
такое, что в любой окрестности ϋ^α^(ω) найдутся числа 6χ, ί>25 Для
которых
f(x,c)dx\ > ε0· (7)
Ifti
02
/■

494 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
02
> ε0.
Собственный интеграл
ь2
,„)dx
61
является в нашем случае непрерывной функцией параметра у на всем
отрезке [с, d\ (см. утверждение 1 из § 1), поэтому при всех значениях у,
достаточно близких к с, вместе с неравенством (7) будет выполняться
неравенство
б2
f(x,y)dx\
Ifti
На основании критерия Коши равномерной сходимости
несобственного интеграла, зависящего от параметра, теперь заключаем, что
рассматриваемый интеграл не может сходиться равномерно ни на каком
подмножестве Ε с]с, rf[, замыкание которого содержит точку с.
Аналогично рассматривается случай, когда интеграл расходится
при у = d. ►
Пример 4. Интеграл
e~tx2 dx
02
/■
/
о
сходится при t > О и расходится при t = О, поэтому он заведомо
сходится неравномерно на любом множестве положительных чисел, имеющем
нуль предельной точкой. В частности, он сходится неравномерно на
всем множестве {t £ R | t > 0} положительных чисел.
В данном случае сказанное легко проверить и непосредственно:
+оо +оо
/ e~tx2 dx — —^\ e~u2 du -> +00 при t -> +0.
ь bVt
Подчеркнем, что тем не менее на любом отделенном от нуля
множестве {t £ Ш | t ^ to > 0} наш интеграл сходится равномерно, поскольку
+оо +оо
0 < —ρ / e~u2 du ^ —= / е~и2 du -> 0 при 6 -> +оо.
ЪлД &лДо

§2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 495
с. Достаточные условия равномерной сходимости
несобственного интеграла, зависящего от параметра
Утверждение 2 (признак Вейерштрасса). Пусть функции /(х, у),
д{х,у) интегрируемы по χ на любом отрезке [а, Ь] С [α,ω[ при каждом
значении у £ У.
Если при каждом значении у £ Υ и любом χ £ [а, а;[ имеет место
неравенство |/(х,у)| ^ д(х,у), а интеграл
ω
l·
g{x,y)dx
сходится равномерно на Y, то интеграл
f(x,y)dx
/■
сходится абсолютно при каждом у £ Υ и равномерно на
множестве Υ.
< Это следует из оценок
/ f{x,y)dx\ ^ / \f(x,y)\ dx ^ / g{x,y)dx
и критерия Коши равномерной сходимости интеграла
(утверждение 1). ►
Наиболее часто встречается тот случай утверждения 2, когда
функция g вообще не зависит от параметра у. Именно в этом случае
доказанное утверждение 2 обычно называют мажорантным признаком
Вейерштрасса равномерной сходимости интеграла.
Пример 5. Интеграл
оо
/
cos αχ
ТТх*
dx
сходится равномерно на всем множестве К значении параметра а, по-
оо
скольку
cosaz
1+аГ
^ 1 с ήτ
ζ 2, а интеграл J ^ сходится.
1 ~г X q 1 ~г X

496 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
г.2
Пример 6. Ввиду неравенства \smxe~tx | ^ e~tx интеграл
оо
/ sinxe_<x dx,
о
как следует из утверждения 2 и результатов примера 3, сходится
равномерно на любом множестве вида {t £ R | t ^ to > 0}. Поскольку
при t = 0 интеграл расходится, на основании следствия критерия Ко-
ши заключаем, что он не может сходиться равномерно ни на каком
множестве Е, имеющем нуль своей предельной точкой.
Утверждение 3 (признак Абеля-Дирихле). Предположим, что
функции /(х,у), д{х,у) при каждом значении у £ У интегрируемы по χ
на любом отрезке [а, Ь] С [а, а;[.
Для равномерной сходимости интеграла
ω
I
(f'9)(x,y)dx
на множестве У достаточно, чтобы была выполнена любая из
следующих двух пар условий:
Oil) Существует постоянная Μ £ R такая, что при любом Ъ £
£ [а,а;[ и любом у £ У выполнено неравенство
ъ
J f{x,y)dx
<М;
βι) при каждом у £ У функция д(х, у) монотонна по χ на
промежутке [а,а;[ и д{х,у) =4 0 на Υ при χ —> ω, χ £ [а,а;[.
а^) Интеграл
ι
f(x,y)dx
сходится равномерно на множестве У;
/%) тг/ш каждом у £ У функция д(х,у) монотонна по χ на
промежутке [а,а;[ гд существует постоянная Μ £ R такая, что при любом
χ £ [а,а;[ м любом у £ У выполнено неравенство
\д(х,у)\ <М.

§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 497
Ч Применяя вторую теорему о среднем для интеграла, запишем, что
62 ξ &2
/(/ '9){x,y)dx = g{bl,y) / f(x,y)dx + g(b2,y) / /(x,y)dx,
где ξ £ [61,62]· Если 6ι и 62 брать в достаточно малой окрестности
υ[α,ω[{ω) точки а;, то правую часть написанного равенства можно
сделать по модулю меньшей любого наперед заданного числа ε > О, причем
сразу для всех значений у £ У. В случае первой пары условий αϊ), β\)
это очевидно. В случае второй пары α^), β2) это становится
очевидным, если воспользоваться критерием Коши равномерной сходимости
интеграла (утверждение 1).
Таким образом, вновь ссылаясь на критерий Коши, заключаем, что
исходный интеграл от произведения / · д по промежутку [α, ω[
действительно сходится равномерно на множестве Υ значений параметра. ►
Пример 7. Интеграл
+оо
/sin я ,
ах,
1
как следует из критерия Коши и признака Абеля - Дирихле
сходимости несобственных интегралов, сходится лишь при а > 0. Полагая
/(#,а) = sinx, д(х,α) = χ_α, видим, что при α ^ ао > 0 для
рассматриваемого интеграла выполнена пара αϊ), β\) условий утверждения 3.
Следовательно, на любом множестве вида {а £ R | а ^ ао > 0} данный
интеграл сходится равномерно. На множестве {α£Μ|α>0} всех
положительных значений параметра интеграл сходится неравномерно,
поскольку он расходится при α = 0.
Пример 8. Интеграл
+оо
о
сходится, и притом равномерно, на множестве {у £ R | у ^ 0}.
^ Прежде всего, на основании критерия Коши сходимости
несобственного интеграла легко заключить, что при у < 0 данный интеграл

498 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
вообще расходится. Считал теперь у ) 0 и полагая /(я, у) = ^§^,
д{х,у) = е~ху', видим, что выполнена вторая пара о^), /%) условий
утверждения 3, откуда и вытекает равномерная сходимость
рассматриваемого интеграла на множестве {у £ R | у ^ 0}. ►
Итак, мы ввели понятие равномерной сходимости несобственного
интеграла, зависящего от параметра, и указали некоторые наиболее
важные признаки такой сходимости, вполне аналогичные
соответствующим признакам равномерной сходимости рядов функций. Прежде,
чем переходить к дальнейшему, сделаем два замечания.
Замечание 1. Чтобы не отвлекать внимание читателя от
основного введенного здесь понятия равномерной сходимости интеграла, мы
всюду подразумевали, что речь идет об интегрировании вещественно-
значных функций. Вместе с тем, как теперь легко проанализировать,
полученные результаты распространяются и на интегралы от вектор-
нозначных функций, в частности, на интегралы от комплекснозначных
функций. Здесь стоит только отметить, что, как всегда, в критерии
Коши необходимо дополнительно предполагать, что соответствующее
векторное пространство значений подынтегральной функции
является полным (для М, С, Rn, C71 это выполнено), а в признаке Абеля-
Дирихле, как и в соответствующем признаке равномерной сходимости
рядов функций, надо считать вещественнозначным тот сомножитель
произведения /·#, относительно которого предполагается, что он
является монотонной функцией.
Все сказанное в равной степени относится и к основным
результатам последующих пунктов этого параграфа.
Замечание 2. Мы рассмотрели несобственный интеграл (1),
единственная особенность которого была связана с верхним пределом
интегрирования ω. Аналогично определяется и исследуется
равномерная сходимость интеграла, единственная особенность которого связана
с нижним пределом интегрирования. Если же интеграл имеет
особенности на обоих концах промежутка интегрирования, то его представляют
в виде
LJ2 С LJ2
/ f(x,y)dx = / f(x,y)dx + / f(x,y)dx,
ω\ ω\ с
где с £ ]α;ι, ^[, и считают сходящимся равномерно на множестве Ε С У,

§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 499
если на Ε сходятся равномерно оба стоящие в правой части равенства
интеграла. Легко проверить, что такое определение корректно, т. е. не
зависит от выбора точки с £ ]o;i, u^f.
2. Предельный переход под знаком несобственного
интеграла и непрерывность несобственного интеграла,
зависящего от параметра
Утверждение 4. Пусть /(х, у) — семейство зависящих от
параметра у £ Υ функций, интегрируемых хотя бы в несобственном
смысле на промежутке а ^ χ < ω, и пусть Βγ — база в Υ.
Если
а) для любого Ъ £ [α,α;[
/(χ, у) =4 φ{χ) на [α, b] при базе Βγ
b) интеграл f f(x,y)dx сходится равномерно на Υ,
а
то предельная функция φ несобственно интегрируема на [α,α;[ и
справедливо равенство
ω ω
lim / f(x,y)dx = / φ(χ)άχ. (8)
Μ Доказательство сводится к проверке следующей диаграммы:
ЫУ) := / /(*, У) dx =4 J /(χ, у) dx =: F{y)
a
Βγ
b ^
f φ(χ) dx
a
b-+u> a
^^
\
}
b—tu>
Βγ
fψ{χ) dx .
a
Левый вертикальный предельный переход следует из условия а) и
теоремы о предельном переходе под знаком собственного интеграла
(см. теорему 3 из § 3 гл. XVI).
Верхний горизонтальный переход есть запись условия Ь).

500 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
По теореме о коммутировании двух предельных переходов отсюда
следует существование и совпадение стоящих под диагональю пределов.
Правый вертикальный предельный переход есть то, что стоит в
левой части доказываемого равенства (8), а нижний горизонтальный
предельный переход дает по определению несобственный интеграл,
стоящий в правой части равенства (8). ►
Следующий пример показывает, что в рассматриваемом случае
несобственного интеграла одного условия а) для обеспечения
равенства (8), вообще говоря, недостаточно.
Пример 9. Пусть Υ = {у е Ш \ у > 0}, а
f(T ,л _ / Vy, если 0 ^ χ ^ у,
/№yj-\ 0, если у<х.
Очевидно, /(х, у) =4 0 на промежутке 0 ^ χ < +оо при у —> +оо. Вместе
с тем, при любом у £ Υ
+оо у у
/ /(х, у) dx = / /(χ, y)dx = -dx = l,
ooo
поэтому равенство (8) в данном случае не имеет места.
Используя теорему Дини (утверждение 2 § 3 гл. XVI), из только что
доказанного утверждения 4 можно получить иногда весьма полезное
Следствие 2. Пусть при каждом значении вещественного
параметра у £ Υ С Ш вещественнозначная функция /(х,у)
неотрицательна и непрерывна на промежутке а ^ χ < ω.
Если
a) с ростом у функции /(я, у), монотонно возрастая, стремятся
на [α,α;[ к функции φ(χ),
b) φ е C([a,a;[,R) и
ω
c) интеграл f φ (χ) dx сходится,
а
то справедливо равенство (8).
Μ Из теоремы Дини следует, что /(х,у) =4 ψ(χ) на каждом отрезке
[а, 6] С [α,ω[.

§2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 501
Из неравенств 0 ^ /(я, у) ^ φ(χ) и мажорантного признака
равномерной сходимости вытекает равномерная относительно параметра у
сходимость интеграла от /(х,у) по промежутку а ^ χ < ω.
Таким образом, оба условия утверждения 4 выполнены и, значит,
имеет место равенство (8). ►
Пример 10. В примере 3 из § 3 гл. XVI мы проверили, что
последовательность функций fn{x) = τι(1 — х1/п) является монотонно
возрастающей на промежутке 0 < χ ^ 1, причем /n(#) /^ In ^ при η —> +оо.
Значит, по следствию 2
lim I n(l-xl'n)dx= [\n-dx.
n-юо J J Χ
о о
Утверждение 5. Если
a) функция /(х,у) непрерывна на множестве {(х,у) G Μ2 | α ^ χ <
<LuAc^y^d},
ω
b) интеграл F(y) = f f(x,y)dx сходится равномерно на [с, d\, то
α
функция F(y) непрерывна на [с, d\.
Μ Из условия а) следует, что при любом Ъ £ [а, о;[ собственный
интеграл
Ыу) = / f{x,y)dx
является функцией, непрерывной на [с, d\ (см. утверждение 1 § 1).
По условию b) Fb(y) =4 F(y) на [с, d] при b —> ω, b £ [α,α;[, откуда
теперь и следует непрерывность на [с, d] функции F(y). ►
Пример 11. В примере 8 было показано, что интеграл
F(y)= f —e-xydx (9)
о
сходится равномерно на промежутке 0 ^ у < +оо. Значит, на основании
утверждения 5 можно заключить, что функция F(y) непрерывна на
каждом отрезке [0, d\ С [0, +оо[, т. е. непрерывна и на всем промежутке

502 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
0 ^ у < +оо. В частности, отсюда следует, что
+оо +оо
Ιψβ^άχ= Ιψάχ. (10)
lim
2/-Ц-0 J X
0 0
3. Дифференцирование несобственного интеграла по
параметру
Утверждение 6. Если
a) функции /(я, у), f'y(x,y) непрерывны на множестве {(х,у) £ К? |
а ^ χ < ω Ас ^ у ^ d},
ω
b) интеграл Ф(у) = f f'y(x,y)dx сходится равномерно на множес-
а
тве Υ = [с, d\, a
ω
c) интеграл F(y) = f f(x,y)dx сходится хотя бы при одном значе-
а
нии уо £ У,
то он сходится, и даже равномерно, на всем множестве У; при
этом функция F(y) оказывается дифференцируемой и справедливо
равенство
ω
F'(y) = Jfl(x,y)dx.
а
< В силу условия а) при любом Ъ £ [α, ω[ функция
6
Ыу) = / f{x,y)dx
а
определена и дифференцируема на промежутке с ^ у ^ d, и по правилу
Лейбница
б
(Fb)'y(v) = ffy(x,v)dx.
В силу условия Ь) семейство зависящих от параметра b £ [α, ω[
функций (Fb)'(y) сходится равномерно на [с, d\ к функции Ф(у) при Ь —> ω,
Ъ £ [α,ω[.

§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 503
По условию с) величина i^(yo) имеет предел при Ь —> ω, Ь £ [α,α;[.
Отсюда следует (см. теорему 4 § 3 гл. XVI), что само семейство
функций Fb(y) сходится на [с, d\ равномерно к предельной функции F(y),
когда Ъ —> ω, Ъ £ [α,α;[, при этом функция F оказывается
дифференцируемой на промежутке с ^ у ^ d и имеет место равенство F'{y) = Ф(у).
Но это как раз то, что и требовалось доказать. ►
-t-oc
/
Пример 12. При фиксированном значении а > 0 интеграл
хае"Х2/ dx
о
сходится равномерно относительно параметра у на любом промежутке
вида {у £ R | у ^ уо > 0}: это следует из оценки 0 ^ хае~ху < хае~хуо <
УО
< е~х 2 5 справедливой при всех достаточно больших значениях χ £ R.
Значит, по утверждению 6, функция
+оо
е~ху dx
о
бесконечно дифференцируема при у > 0 и
+оо
^п)(у) = (-1)п I xne-xydx.
о
Но F(y) = i поэтому F^n\y) = (-1)п-^, и, следовательно, можно
заключить, что
-t-oc
Пу) = /
г/' - -. ■ - у
+00
/"■-■ -
уП+1 '
le~xydx
о
В частности, при у = 1 получаем
+оо
/ xne~x dx = η!
о
Пример 13. Вычислим интеграл Дирихле
+оо
/sin я ,
dx.
χ
о

504 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Для этого вернемся к интегралу (9) и заметим, что при у > 0
F'{y) = - f smxe-xydx, (11)
о
поскольку интеграл (11) сходится равномерно на любом множестве ви-
да {у е Μ | у > уо > 0}.
Интеграл (11) легко вычисляется через первообразную
подынтегральной функции и получается, что
ρ'^ = -γ^2 ПРИ У>0'
откуда следует, что
F(y) = — arctgy + с при у > 0. (12)
При у —> +оо, как видно из соотношения (9), F(y) —> 0, поэтому из (12)
следует, что с = π/2. Теперь из (10) и (12) получается, что F(0) = π/2.
Итак,
/
0
Заметим, что использованное при выводе равенства (13)
соотношение «F(y) —> 0 при у —> +оо» не является прямым следствием
утверждения 4, поскольку Щ^е~ху =4 0 при у —> +оо лишь на промежутках вида
{х £ R | χ ^ хо > 0}, а на промежутках вида 0 < χ < хо равномерной
сходимости нет: ведь Щ-^-е~ху —> 1 при χ —> 0. Но при хо > 0
оо хо +оо
/sinx _т?. , Г s'mx _т?. _ /* sinx _т?. _
е Х2/ dx = / е Х2/ dx + / е ху dx
χ J χ J x
0 0 хо
и, если задано ε > 0, то сначала выберем хо столь близко к нулю, что
sinx ^ 0 при χ £ [0,хо] и
хо яо
0 0
при любом у > 0, а затем, фиксировав хо, на основании утверждения 4,
устремляя у к +оо, сделаем интеграл по промежутку [хо, +оо[ тоже по
модулю меньшим, чем ε/2.
хо хо
f sinx _χυ f sinx
0 < / e xy dx < /
J x J x

§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 505
4. Интегрирование несобственного интеграла по
параметру
Утверждение 7. Если
a) функция f(x,y) непрерывна на множестве {(х,у) £ IR2 | α ^ χ <
<u;Ac^y^d} и
ω
b) интеграл F(y) = f f(x,y)dx сходится равномерно на
промежуток
ке [с, d\,
то функция F интегрируема на [с, d\ и справедливо равенство
d ω ωά
dy f(x,y)dx = dx f(x,y)dy. (14)
с а а с
Μ При b £ [α, α;[ на основе условия а) и утверждения 3 из § 1 для
собственных интегралов можно записать, что
d Ъ Ъ d
dy f(x,y)dx = dx f(x,y)dy. (15)
с а ас
Используя условие Ь) и теорему 3 § 3 гл. XVI о предельном переходе
под знаком интеграла, в левой части равенства (15) делаем предельный
переход при b —> ω, b £ [α,α;[ и получаем левую часть равенства (14).
Правая часть равенства (14) по самому определению несобственного
интеграла является пределом при b —> ω, b £ [α,α;[ правой части
равенства (15). Таким образом, благодаря условию Ь) из (15) при b —> ω,
b £ [α,α;[, получаем равенство (14). ►
Следующий пример показывает, что, в отличие от случая
перестановки двух собственных интегралов, одного условия а), вообще говоря,
недостаточно для справедливости равенства (14).
Пример 14. Рассмотрим функцию /(х,у) = (2 — ху)хуе~ху на
множестве {(х,у) £ R2 | 0 ^ χ < +οο Λ 0 ^ у ^ 1}. Используя
первообразную и2е~и функции (2 — и)ие~и, легко подсчитать
непосредственно, что
1 +оо +оо 1
0 = / dy ι (2 - ху)хуе~ху dx φ j dx j (2 - xy)xye~xy dy = 1.

506 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Следствие 3. Если
a) функция /(х,у) непрерывна на множестве Ρ = {(х,у) GK2 | а ^
^x<LuAc^y^d},
b) неотрицательна на Ρ и
ω
c) интеграл F(y) = f f(x,y)dx как функция у непрерывен на про-
а
межутке [с, d],
то имеет место равенство (14).
< Из условия а) следует, что при любом Ь £ [α,ω[ интеграл
о
Fbiy) = / f(x,y)dx
является непрерывной по у функцией на отрезке [с, d\.
Из условия Ь) вытекает, что Fb1(y) ^ Fb2(y) при ί>ι ^ ί>2·
На основании теоремы Дини и условия с) теперь заключаем, что
Fb =* F на [с, d] при Ь —> ω, Ъ £ [α, ω[.
Таким образом, выполнены условия утверждения 7 и,
следовательно, в рассматриваемом случае равенство (14) действительно имеет
место. ►
Следствие 3 показывает, что пример 14 связан с тем, что в нем
функция /(х,у) не является знакопостоянной.
В заключение докажем теперь одно достаточное условие
перестановочности двух несобственных интегралов.
Утверждение 8. Если
a) функция /(х,у) непрерывна на множестве {(х,у) G Μ2 | α ^ χ <
< ω Λ с ίξ у < ω},
b) оба интеграла
ω ω
F(y) = f /(x, у) dx, Ф(х) = Ι /(χ, у)
dy
сходятся равномерно, первый — относительно у, на любом отрезке
[с, d\ С [с,о5[, α второй — относительно χ на любом отрезке [а, Ь] С
С [α,ω[,

§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 507
с) существует хотя бы один из двух повторных интегралов
ω ω ω ω
dy \f\(x,y)dx, dx \f\(x,y)dy,
то имеет место равенство
ω ω ω ω
dy f(x,y)dx = dx f(x,y)dy. (16)
Μ Пусть для определенности существует второй из двух указанных
в с) повторных интегралов.
Ввиду условия а) и первого из условий Ь) на основании
утверждения 7 можно сказать, что при любом d £ [с, ω[ для функции /
справедливо равенство (14).
Если мы покажем, что при d —> ω, d £ [с, ω[ правая часть
равенства (14) стремится к правой части соотношения (16), то равенство (16)
будет доказано, поскольку тогда его левая часть тоже будет
существовать и являться пределом левой части равенства (14) по самому
определению несобственного интеграла.
Положим
d
®d{x) := / f(x,y)dy.
с
При любом фиксированном d £ [с, ω[ функция Ф^ определена и,
ввиду непрерывности /, непрерывна на промежутке а ^ χ < ω.
В силу второго из условий Ь) на любом отрезке [а, Ь] С [α, ω[ Ф</(х) =3
=4 Ф{х) при d —> ω, d £ [с,а5[.
ω ω
Поскольку |Ф<Дх)| ^ f \f\(x,y)dy =: G(x), a интеграл fG(x)dx, co-
c α
впадающий со вторым из интегралов условия с), по предположению
сходится, на основе мажорантного признака равномерной сходимости за-
ω
ключаем, что интеграл f Φά{χ)άχ относительно параметра d сходится
α
равномерно.

508 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Таким образом, выполнены условия утверждения 4 и можно
заключить, что
lim / Φά(χ)άχ = / Φ(χ)άχ-,
d-
d^cM α α
а именно это нам и оставалось проверить. ►
Следующий пример показывает, что появление в утверждении 8
дополнительного по сравнению с утверждением 7 условия с) не является
случайным.
Пример 15. Вычисление при А > 0 интеграла
+оо
Х2~у2 dx=-
j (х2+у2)2- х2+у2
А
+00_ А 1_
А ~ Α* + ν2< А
показывает заодно, что при любом фиксированном значении А > 0
он сходится равномерна относительно параметра на всем множестве Ш
действительных чисел. То же самое можно было бы сказать об
интеграле, отличающемся от написанного заменой dx на dy. Значения этих
интегралов, кстати, отличаются только знаком. Прямое вычисление
показывает, что
+?° +?° 9 9 +?° +?° 9 9
π / , / χΔ - yz , . / f / χΔ - yz , π
"ϊ= J dxl wrwdy* Jdy J wrw>dx=*·
A A A A
Пример 16. При α > 0 и β > 0 повторный интеграл
+оо +оо +оо -boo
ί dy I хауа+Р+1е-(1+х^уах= ί yPe-ydy I {xy)ae-^ydx
0 0 0 0
от неотрицательной непрерывной функции, как показывает написанное
+оо
тождество, существует: он равен нулю при у = 0 и равен f у@е~у dy ·
о
+оо
• f uae~u du при у > 0. Таким образом, в этом случае выполнены усло-
о
вия а) и с) утверждения 8. То, что для рассматриваемого интеграла

§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 509
выполнены оба условия Ь), было проверено в примере 3. Значит, в силу
утверждения 8, имеет место равенство
+оо +оо +оо +оо
f dy f x<*y<*+/3+ie-(i+*)</ dx = ί dx ί жауа+/3+1е-(1+я^ dy.
0 0 0 0
Подобно тому, как из утверждения 7 вытекало следствие 3, из
утверждения 8 можно вывести
Следствие 4. Если
a) функция /(х,у) непрерывна на множестве
Ρ = {(χ5у) eR2 \а^х<сиЛс^у<и>},
b) неотрицательна на Р,
c) оба интеграла
ω ω
ПУ) = J' /(*, У) dx, Ф(х) = J/(*, y)
dy
являются непрерывными функциями на промежутках [α,α;[, [с,о5[
соответственно и
d) существует хотя бы один из повторных интегралов
ω ω ω ω
dy f(x, у) dx, dx f{x, y) dy,
с а а с
то существует и другой повторный интеграл, причем их значения
совпадают.
Л Рассуждая, как и при доказательстве следствия 3, из условий
а), Ь), с) на основе теоремы Дини заключаем, что в рассматриваемом
случае выполнено условие Ь) утверждения 8. Поскольку / ^ 0, наше
условие d) совпадает с условием с) утверждения 8. Таким образом,
все условия утверждения 8 выполнены и, значит, имеет место
равенство (15). ►
Замечание 3. Как указывалось в замечании 2, интеграл,
имеющий особенности на обоих концах промежутка интегрирования,
сводится к сумме двух интегралов, каждый из которых имеет по одной

510 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
особенности. Это позволяет применять доказанные здесь
утверждения и их следствия также к интегралам по интервалам ]o;i,a;2[c M.
При этом, естественно, те условия, которые раньше выполнялись на
отрезках [а, Ь] С [α,ω[, теперь должны быть выполнены на отрезках
[а,6] θ]ωι,ω2[.
Пример 17. Используя изменения порядка двух несобственных
интегрирований, покажем, что
+оо
Je-*2dx=\vt. (17)
о
Это известный интеграл Эйлера - Пуассона.
Μ Заметим сначала, что при у > 0
+оо +оо
J:= f e~u2 du = y I e"^)2 dx
о о
и что значение интеграла в равенстве (17) не изменится от того,
понимать ли интеграл взятым по полуинтервалу [0, +оо[ или по интервалу
]0,+оо[.
Таким образом,
+оо +оо +оо
I уе~у2 dy I e"(X2/)2 dx= f е~у2 dy I e~u2 du = J2,
0 0 0 0
при этом считаем, что интегрирование по у ведется в пределах
интервала ]0, +оо[.
Как мы проверим, в указанном повторном интеграле допустимо
изменение порядка интегрирований по переменным χ и у, поэтому
+оо +оо +оо
dx π
J>= Jdx Iye-^2)y2dy=\f -
+ x2 4'
о о
откуда и следует равенство (17).
Обоснуем теперь законность изменения порядка интегрирований.

§ 2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 511
Функция
уе-(1+*2)У2ау=-. λ
J "" ^~21+χ2
о
непрерывна при χ ^ 0, а функция
+оо
fye
о
-(1+х2)у2 dx = е-у2 . j
непрерывна при у > 0. Учитывая сделанное выше общее замечание 3,
на основе следствия 4 заключаем теперь, что проведенное изменение
порядка интегрирований действительно законно. ►
Задачи и упражнения
1. Пусть а = ао < α,χ < ... < ап < ... <ω. Представим интеграл (1) в виде
оо ап
суммы ряда Σ ψη(ν), где φη(ν) — f f(x->y) dx. Докажите, что интеграл (1)
η=1 οη_ι
сходится равномерно на множестве Ε С Υ тогда и только тогда, когда любой
оо
последовательности {ап} указанного вида отвечает ряд ^ ψη{ν)·, сходящийся
п=1
равномерно на множестве Е.
2. а) В соответствии с замечанием 1 проведите все построения п. 1 в случае
комплекснозначной подынтегральной функции /.
Ь) Проверьте высказанные в замечании 2 утверждения.
ι
3. Проверьте, что функция Jo(x) — ^ J cosxt ^ уд0влетв0ряет уравне-
о ν ι - *
нию Бесселя у" + ^у' + у = 0.
4. а) Исходя из равенства Г 0 У 0 = Ϊ-. покажите, что Г —^—^Ц— =
• ож+2/ о {*2+У2)п
_ π (2η - 3)!! 1
~~ 7 " (2п - 2)!! * х2п-1 *
b) Проверьте, что 7(l+*/w))n = 5 ' g^§v^·
c) Покажите, что (1 + (у2/п)) \ е~у на Ε при η —» +ос и что
+оо +оо
^/(! + $/»))" = /е~'4·
η—>·+οο
0 0

512 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
d) Получите следующую формулу Валлиса:
(2п-3)Н 1
АНН 77: ^ТТ7 — ~7=-
п-кхэ (2η-2)ϋ ν/π
5. Учитывая равенство (17), покажите, что
+°° 2 2
a) f e~x cos2xydx = ^^е~у .
о
+°° 2 2 У 2
b) J* е-* sin2x?/da; = e-2/ f e* dt.
о о
6. При условии t > О докажите тождество
+оо +оо
~*ж r sin(x - £)
ί f^-2dx= Γ*
У 1 + ж2 у ж
О ί
dx,
используя то обстоятельство, что оба эти интеграла как функции параметра t
удовлетворяют уравнению у + у = Ι/t и стремятся к нулю при t —> +оо.
7. Покажите, что
о о \ о /
π/2
где К (к) = J , Ψ —полный эллиптический интеграл первого рода.
О у 1 - к2 sin2 φ
8. а) Считая, что а>0и6>0и используя равенство
+оо Ь +оо
-ах я — ох
/г Г е~ах _ е~ох
dx / е~ху dy = dx,
О α 0
вычислите последний интеграл.
Ь) При а > О, Ь > О вычислите интеграл
/g — ax _ e~bx
cos x dx.
χ
о
с) Используя интеграл Дирихле (13) и равенство
+оо Ь +оо
/dx f . 7 /* cos аж — cos bx .
"У sin ay dy= у ^ d*>
а О

§2. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 513
вычислите последний интеграл.
9. а) Докажите, что при к > О
+оо +оо +оо +оо
[ e~ktsmtdt f e~tu2du= ί du i e~{kW)tsintdt.
0 0 0 0
b) Покажите, что предыдущее равенство остается в силе и при значении
к = 0.
c) Используя интеграл Эйлера-Пуассона (17), проверьте, что
+ °
уД~ y/π J
-tu2
+оо
e~tu~ du.
о
d) Используя последнее равенство и соотношения
+оо
+оо +оо +оо +оо
ί · 2 j * f sin * ^ f 2 j 1 /* COS £ _
/ smx ax = — / —=- at, / cos ж ax = — I —=- at,
J 2 J St J 2 У
0 0
получите значение ( ^y?) интегралов Френеля
+оо +оо
/ sin ж2 dx, / cosx2dx.
о о
10. а) Используя равенство
+оо +оо +оо
/ dx — \ sin я dx \ е ху
dy
и обосновав возможность изменения порядка интегрирований в повторном
интеграле, получите вновь найденное в примере 13 значение интеграла
Дирихле (13).
Ь) Покажите, что при а > О и β > О
+£° . ( £, если β < α,
Г sinaz I 2' ^
/ cos/toa£=< j, если β = a,
{ χ [θ, если /? > a.
Этот интеграл часто называют разрывным множителем Дирихле.

514 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
с) Считая а > О, β > О, проверьте равенство
+оо
/sin ax sin βχ _ Г f/?,
ж χ \ fa,
если /3 ^ а,
если а ^ β.
d) Докажите, что если числа α, αϊ,...,ап положительны и а > ^ а^, то
г=1
+оо
Г
J χ χ χ 2
о
sin ax sin αϊ χ smana; π
αχ = τταια2 ... αη.
11. Рассмотрим интеграл
ω
Ну) = / f(x,y)9(x)dx,
a
где g— локально интегрируемая на промежутке [α,ω[ функция (значит, при
любом Ъ Ε [α,ω[ #|[α,&] 6 1Z[a, b]). Пусть функция / удовлетворяет порознь
условиям а) утверждений 5-8. Если в остальных условиях этих утверждений под
знаком интеграла f(x,y) заменить на f(x,y) · д(х), то получатся условия, при
которых можно, используя задачу 6 из § 1 и дословно повторяя доказательства
утверждений 5-8, заключить соответственно, что
a) TeC[c,d\.
b) Те CW[c,d\, причем
ω
Г'(у) = / -g-(x,y)g(x)dx.
а
c) Τ Ε 7£[с, d], причем
d ω / d \
Ι Ну)dy= Ι Ι / ffayMx)dy Ι dx.
с а \с /
d) T несобственно интегрируема на [c,cD[, причем
ω ω / ω \
/ Hy)dy = / I / f(x,y)9(x)dy J dx.
с a \c /
Проверьте это.

§ 3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ
515
§ 3. Эйлеровы интегралы
В этом и следующем параграфах будет продемонстрировано
приложение развитой выше теории к некоторым важным для анализа
конкретным интегралам, зависящим от параметра.
Эйлеровыми интегралами первого и второго рода соответственно
называют, следуя Лежандру, две следующие специальные функции:
ι
Β(α,/?):= /χα-ι{1-χ)β~1(1χ, (1)
о
Г(а):= f xa-le~xdx. (2)
о
Первую из них называют бета-функцией, а вторую, особенно часто
используемую, гамма-функцией Эйлера.
1. Бета-функция
a. Область определения. Для сходимости интеграла (1) на
нижнем пределе интегрирования необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось условие а > 0. Аналогично, сходимости интеграла (1) в единице
отвечает условие β > 0.
Таким образом, функция Β(α, β) определена при одновременном
выполнении двух условий:
а > 0 и β > 0.
Замечание. Мы здесь всюду считаем а и β действительными
числами. Следует, однако, иметь в виду, что наиболее полная картина
свойств функций В и Г и наиболее глубокие приложения этих функций
связаны с выходом в область комплексных значений параметров.
b. Симметричность. Проверим, что
Β(α,β) = Β(β,α). (3)
Μ Для доказательства достаточно в интеграле (1) сделать замену
переменной χ = 1 — t. ►

516 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
с. Формула понижения. Если а > 1, то имеет место равенство
Β(α,β)= "-1 Β(α-1,β). (4)
α + β - 1
Л Выполняя при α > 1 и β > О интегрирование по частям и
тождественные преобразования, получаем
Β(α,/?) = -Ι**-1^-*)* + ^Цг^· [χα~2(1-χ)βάχ =
Ρ \ο Ρ J
о
1
= ^__Ι ίχα~2((1 -χ)β~ι - (1 -χ)^"1*)^ =
о
= ^Β(α-1,/3)-^Β(α,/3),
откуда и следует формула понижения (4). ►
Учитывая формулу (3), можно теперь записать формулу понижения
Β(α,)9) = -^-ΓΒ(α,)9-1) (4')
α + β - 1
по параметру /3, считая, разумеется, что /3 > 1.
Непосредственно из определения функции В видно, что В(а, 1) = i,
поэтому при η £ N получаем
п-1 π-2 π-(π-Ι)
Β(α'η) = Τ^Τ;—Τ ' 77ΙΤ>—ο ''"' ΖΖ^—й—й Β(α' χ) =
α + η — 1 α + η — ζ α + η — [η — 1)
("-1)! . (5)
α(α + 1) ·... · (α + η - 1)
В частности, при га, π £ Ν
ч (m-l)!(n-l)!
d. Другое интегральное представление функции В. Иногда
бывает полезно следующее представление бета-функции:
в("^)= JjT^Tpdy· (7)
о
Μ Оно получается из (1) заменой переменной χ = у^:· ►

§ 3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ
517
2. Гамма-функция
a. Область определения. Из формулы (2) видно, что задающий
функцию Г интеграл сходится в нуле лишь при α > 0, а на
бесконечности, за счет быстро убывающего множителя е_х, сходится при любом
значении α £ К.
Таким образом, функция Г определена при α > 0.
b. Гладкость и формула для производных. Функция Г
бесконечно дифференцируема, причем
Γ<η>(α)= ί xa-l\nnxe-xdx. (8)
о
< Проверим сначала, что при любом фиксированном значении η £
£ N интеграл (8) сходится равномерно относительно параметра а на
каждом отрезке [а, Ь] С ]0, +оо[.
Если 0 < α ίξ а, то (поскольку χαΙ2 1ηη χ —> 0 при χ —> +0) найдется
число сп > 0 такое, что
\ха-1\ппхе-х\ <Х2~1
при 0 < χ ίξ сп. Значит, на основании мажорантного признака
равномерной сходимости можно заключить, что интеграл
Сп
ίxa~l\nnxe-xdx
о
сходится равномерно по а на промежутке [а, +оо[.
Если же а ^ Ъ < +оо, то при χ ^ 1
\xa-l\nnxe-x\ ^x^lln^le"*,
и аналогично заключаем, что интеграл
+оо
ί xa~l\nnxe-xdx
Сп
сходится равномерно по а на промежутке ]0, Ь].

518 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Совмещал эти выводы, получаем, что интеграл (8) сходится
равномерно на любом отрезке [а, Ь] С ]0, +оо[.
Но при этих условиях дифференцирование под знаком интеграла (1)
законно. Значит, на любом таком отрезке [а, Ь], а следовательно и на
всем промежутке 0 < а, функция Г бесконечно дифференцируема и
справедлива формула (8). ►
с. Формула понижения. Имеет место соотношение
Г(а + 1) = аГ(а), (9)
называемое формулой понижения для гамма-функции.
Ч Интегрируя по частям, находим, что при а > О
+оо
' dx
Γ(α + 1) := ί хае~х dx = -хае-х|+°° + α ί ха-1е~х,
ο ο
= α ί xa-le~xdx =: αΓ(α). ►
ο
+οο
Поскольку Γ(1) = f e~x dx = 1, заключаем, что при η £ N
о
Г(п + 1) = п! (10)
Таким образом, функция Г оказалась тесно связанной с теоретико-
числовой арифметической функцией п!
d. Формула Эйлера —Гаусса. Так обычно называют следующее
равенство:
(п - IV
Г(а) = lim па · — ^ /' -. (11)
v ' n-юо а(а +1) ·... · (а + п- 1) v '
Μ Для его доказательства сделаем в интеграле (2) замену
переменной χ = In ^ и получим новое интегральное представление функции Г:
ι
Г(а)= An""1 (Μ du. (12)

§3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ
519
В примере 3 § 3 гл. XVI было показано, что последовательность
функций fn(u) = n(l —u1/71), монотонно возрастал, сходится на промежутке
О < и < 1 к функции In ί - 1 при η —> оо. Используя следствие 2 из § 2
(см. также пример 10 из §2), заключаем, что при а ^ 1
1 1
/Ίη""1 (~\ du = J^n""1 ί(1 - ul/n)a~l du. (13)
Сделав в последнем интеграле замену переменной и = г;п, из (12),
(13), (1), (3) и (5) получаем
1
Г(а) = lim ηα ί νη~ι{1 - v)a~l dv =
n-юо у
lim ηαΒ(η, α) = lim ηαΒ(α, η) =
η—юо η—юо
ν а (П-1)!
— lim η ·
п-юо α(α + 1) · ... · (α + η — 1)'
Применяя к доказанному для α ^ 1 соотношению Τ (α) = lim ηαΒ(α,η)
Π—ЮО
формулы понижения (4) и (9), убеждаемся в справедливости
формулы (11) при всех а > 0. ►
е. Формула дополнения. При 0 < а < 1 значения а и 1 — α
аргумента функции Г называют взаимно дополнительными, поэтому
равенство
Г(а) · Г(1 - а) = -г^— (0 < а < 1) (14)
sin πα
называют формулой дополнения для гамма-функции.
Ч Используя формулу Эйлера - Гаусса (11), после простых
тождественных преобразований находим, что
Г(а)Г(1 - а) = lim (па— ,. (w ψ -

520 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
1-α (""Ψ
χ η
-а))
(1 -а)(2 -а) · ... · (π-а)
= lim (η τ г х
^~v e(i + f)·.•••(ι + ^τ)
I ) =
(l-f)(l-f)-....(l-^)(n-a)7
lim
а n-юо Λ α2>\ Λ а2>\ Λ α2 \
{}-■&){}-ψ)'··■■[}~ικ=φ)
Итак, при 0 < а < 1
1 °° 1
Γ(α)Γ(1-α) = -ΠΓΓ^·
η=1 η2"
(15)
Но имеет место классическое разложение
sin πα = πα ТТ Ι 1 =■ ) . (16)
■й(-5)·
(Сейчас мы не останавливаемся на его доказательстве, поскольку
позже, при рассмотрении рядов Фурье, оно будет получено в качестве
простого примера использования общей теории; см. гл. XVIII, §2,
пример 6.)
Сопоставляя соотношения (15) и (16), приходим к формуле (14). ►
Из формулы (14), в частности, следует, что
rQ)=VJ. (17)
Заметим, что
+оо +оо
Г (1). /,-/>.-*-2/.-*,

§ 3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ
521
и, таким образом, мы вновь получаем значение интеграла Эйлера-
Пуассона:
+оо
/ е и2 du= -y/π.
3. Связь между функциями В и Г. Сопоставляя формулы (6)
и (10), можно заподозрить следующую взаимосвязь:
Β(β,/9) = Γ(α + β) (18)
между функциями В и Г. Докажем эту формулу.
Μ Заметим, что при у > 0
-t-oo
Г{а) = уа ί ха-1е~хус1х,
о
поэтому справедливо также равенство
+оо
(1+у)°+(> У J
о
используя которое, с учетом формулы (7), получаем
/*-1
о
+оо / +оо \
= ( [уа~1 ί x°+P-le-Wxdx\ dy =
о \ о /
+00 / +00 \
= ί ί y«-ia;e+/9-ie-(i+w)xdy\ dx =
о \ о

522 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
+оо / +оо
о \ о /
Τί 7 \
= / \χβ-ιβ-χ / ua-le-udu\ dx = Γ(α) · Γ(β).
Нам остается объяснить отмеченное восклицательным знаком
равенство. Но именно оно было рассмотрено в примере 16 из §2: ►
4. Некоторые примеры. Рассмотрим в заключение небольшую
группу взаимосвязанных примеров, в которых встречаются введенные
здесь специальные функции В и Г.
Пример 1.
π/2
J sin*"1 ^cos^"1 ψάψ = ±Β (|, 0 . (19)
0
Λ Для доказательства достаточно в интеграле сделать замену
переменной sin2 φ = χ. ►
Используя формулу (18), интеграл (19) можно выразить через
функцию Г. В частности, с учетом (17) получаем
π/2 π/2
J sin-1 ψάψ = J cos-ΐφώρ = ^^Μτ-
(20)
Пример 2. Одномерный шар радиуса г — это попросту отрезок,
а его (одномерный) объем V\(r)—это длина 2г такого отрезка. Итак,
Vi(r) = 2r.
Если считать, что ((π — 1)-мерный) объем (п — 1)-мерного шара
радиуса г выражается формулой V^_i(r) = cn_irn_1, то, интегрируя по
сечениям (см. пример 3 §4 гл. XI), получаем
г ** ( Ψ \
Vn(r) = / cn_i(r2 - z2)V dx = c„_i / €θ8ηψάψ ■ rn,

т.е. Vn{r) = СпГп, где
π/2
cn = 2cn-i / cosn(pd(p.
о
Благодаря соотношениям (20), последнее равенство можно
переписать в виде
таким образом,
^"^ r(f)'r(^)'""r(i)'Cl
или, короче,
^ Г(§)
Сп ~~π 2 г(п+2)Сь
Но ci = 2, а Г (!) = ^Г Q) = \yft, поэтому
7Г2
сп
п+2\ *
Γ(ψ)
Следовательно,
или, что то же самое,
"•м-гт*"·
Мг) = |гшг"' (21)
Пример 3. Из геометрических соображений ясно, что dVn(r) =
= Sn-i(r) dr, где Sn-i(r) — (η — 1)-мерная площадь сферы,
ограничивающей в W1 n-мерный шар радиуса г.
Таким образом, 5n_i(r) = ^р(^), и с учетом формулы (21),
получаем
s ,ω-—г""1
5-l(r)-r(f)r ·

524 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Задачи и упражнения
1. Покажите, что:
а) В (1/2,1/2) = тг.
00 а-1
b)B(a,l-a) = J^dx.
О
с) ^(α,β) = }χα-1(1-χ)0-1\ηχάχ.
О
\ г dx _ π
' JQ ^l + xn nsin^·
; J0 1 + x3 Зч/З
8) / T^ = iElFa(0 <«<!)■
^^"Mn^ . _ dn
h) /£^ρΕώ=^(5Ι^_)(ο<α<1).
0
i) Длина кривой, задаваемой в полярных координатах уравнением гп =
= ап cosny?, где η Ε N и а > О, выражается формулой аВ (2> зк)·
2. Покажите, что:
a) Г(1) = Г(2);
b) производная Г' функции Г в некоторой точке хо Е]1,2[ обращается в
нуль;
c) функция Г' является монотонно возрастающей на промежутке ]0,+оо[;
d) функция Г монотонно убывает на промежутке ]0,#о] и возрастает на
промежутке [жо)+оо[;
1 / ι \х~* ι
e) интеграл J ( In ^ 1 In In ^ du равен нулю при χ = хо;
о ν '
f) Γ(α) - \ при а -* +0;
+°° η
g) lim Г е~х dx = 1.
η—юо q
η—1 / \ π-1
3. Формула Эйлера Ε := Π Γ (|) = ^Ζ2" .
a) Покажите, что £2 = *Π Γ (|) Γ (~Υ
η—1
b) Проверьте, что -Ε2 = . „ . 0^π τ—, ^лг-
7 sin 5 sin 2j · ··. -sin(n - 1)5
η η ν > η
c) Исходя из тождества ζζ Ζ\ — Π \ζ ~ ^~^)-> получите при ζ —> 1

§3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ
525
последовательно соотношение
п-1
к=1
а из него соотношение
п=Ц(1-е^),
= 2"1 Π
η—1 ,
. κπ
sm —.
η
d) Используя последнее равенство, получите формулу Эйлера.
4. Формула Лежандра Г(а)Г (а + ^) = ^^1Г(2а).
1/2/ , чЗЧ^-1
a) Покажите, что Β(α,α) = 2 J ί | — ί ^ — ж) ) dx.
b) Сделав в предыдущем интеграле замену переменной, докажите, что
c) Получите теперь формулу Лежандра.
5. Сохраняя обозначения задачи 5 из § 1, укажите путь, на котором с
использованием интегралов Эйлера может быть выполнена вторая, более
деликатная часть указанной задачи.
a) Заметьте, что при к = —т= будет к = к и
π/2 π/2
Ё = Е= [ \ 1-1·8ίτι2φώρ, Κ = Κ= [ . άψ =.
Iv 2 / ν/ΓΓϊ^ΐ
b) После соответствующей замены переменных эти интегралы приводятся
к виду, из которого следует, что при к = \/у/2
К = ^=В (1/4,1/2) и 2Е - К = ^=В (3/4,1/2).
c) Теперь получается, что при к = 1/\/2
ЕК + ЁК-КК = π/2.
ι
6. Интеграл Раабе1^ J\nT(x)dx.
о
Покажите, что:
ι ι
a) J\nT(x)dx = J\nT(l-x)dx.
о о
^Ж. Л. Раабе (1801 -1859) —швейцарский математик и физик.

526 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
1 π/2
b) / In Т(х) dx = 2 In π — ^ f In sin ж dx.
о о
π/2 π/2
c) J* lnsin£cfo= f \nsin2xdx — ξ In2.
о о
π/2
d) J In sin χ dx —~\ In 2.
о
ι
e) /1пГ(ж)сЬ = 1пл/2тг.
о
7. Используя равенство
+oo
и обосновав возможность изменения порядка соответствующих
интегрирований, проверьте, что
а) Т^^ = 2ГД:М'¥(0<<■<!);
+оо .
с) Получите теперь еще раз значение интеграла Дирихле J ^^ dx и зна-
о
+оо +оо
чение интегралов Френеля J cosx2dx, J sinx2 dx.
о о
8. Покажите, что при а > 1
+°°
»<*—ι
J £z^dx = T(*) <(<*),
где ζ (а) = Σ -и- — дзета-функция Римана.
п=1
9. Формула Гаусса. В примере 6 § 3 гл. XVI была указана введенная
Гауссом функция
^—' п!7(7 + 1) ... (7 + га — 1)
n=l v '
являющаяся суммой написанного гипергеометрического ряда. Оказывается,
имеет место следующая формула Гаусса:
F(g/?7l) = r(7)-r(7-a-/?)
( '^7' j Γ(7-α)·Γ(7-/3)·

§3. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ
527
a) Раскладывая функцию (1 — tx) & в ряд, покажите, что при а > О, η—а >
>0и0<ж<1 интеграл
ι
Ρ(χ)= (t«-l(\-ty-«-l(\-tx)-Pdt
о
можно представить в виде
оо
Р(х) = ^Рп-хп,
п=0
где Р, = /3(/3 + 1).--(/3 + п-1) . Γ(α + η)-Γ(7-α)
1^Гп ^П Г(7 + п)
b) Покажите, что
_ Г(а) · Г(7 ~ α) α(α + 1).. ■ (α + η - 1)β(β + 1)...(/? + η - 1)
Г(7) π\η(η -f 1)... (7 + η - 1)
c) Докажите теперь, что при α > О, 7 — а>0и0<ж<1
Р{х) = т^А.ПаЛъхУ
d) При дополнительном условии η — а — β > О обоснуйте возможность
перехода к пределу при χ —> 1 — 0 в обеих частях последнего равенства и
покажите, что
Γ(α)·Γ(7-α-0 _ Γ(α) ■ Г(7 - α)
Г(7-/3) ~ Г(7) *^'^'
откуда и следует формула Гаусса.
10. Формула Стирлинга.1)
Покажите, что:
а) 1п|±| = 2х Σ 5^ при |х| < 1.
771=0
b)(n+i)ln(l + l) =1+1^ + 1^+1^ + ...
с) К (» + ι) In (l + 1) < 1 + lMl + 1} при η е N.
, ,„+1/2
d) ι < iiluJ < _sl^_.
e12(n+l)
e) °™ = (n+i/2) — монотонно убывающая последовательность.
'Дж. Стирлинг (1692-1770)—шотландский математик.

528 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
f) Ъп = апе ты — монотонно возрастающая последовательность.
g) η! = спп+1/2е~п+т$г, где 0 < θη < 1, а с = lim an = lim bn.
η—юо η—>·οο
h) Из соотношения sin πχ = πχ Ц (1 — ^ ) при ж = 1/2 вытекает формула
n=l V n '
Валлиса
^ Έ. (η!)222η 1
yvr = lim — · —7=.
п-юо (2η)! -/η
i) Имеет место формула Стирлинга
п! = л/2^(-)Пе^, О<0„< 1,
j) Г(ж + 1) ~ у/2пх (|)ж при ж ->· +ос.
11. Покажите, что Т(х) = ^ п + х ' А + J tx~le~l dt. Это соотношение
п=о п* ι
позволяет определить Τ (ζ) для комплексных ζ ЕС вне точек 0, — 1, — 2,...
§ 4. Свертка функций и начальные сведения об
обобщенных функциях
1. Свертка в физических задачах (наводящие
соображения). Разнообразные приборы и системы живой и неживой природы
осуществляют свои функции, отвечая соответствующим сигналом / на
воздействие /. Иными словами, каждый такой прибор или система
является оператором А, преобразующим входной сигнал / в сигнал / = Af
на выходе. Разумеется, у каждого такого оператора своя область
воспринимаемых сигналов (область определения) и своя форма ответа на
них (область значений). Удобной математической моделью для
большого класса реальных процессов и аппаратов является линейный
оператор А, сохраняющий сдвиги.
Определение 1. Пусть А — линейный оператор, действующий на
линейном пространстве определенных на R вещественно- или комплекс-
нозначных функций. Обозначим через Tto оператор сдвига,
действующий на том же пространстве по закону
(Τί0/)(ί):=/(ί-ί0).
Говорят, что оператор А инвариантен относительно сдвигов (или
сохраняет сдвиги), если для любой функции / из области определения
оператора А справедливо равенство
A(Ttof) = Tto(Af).

§4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ
529
Если t — время, то соотношение AoTio = Tto о А можно трактовать
как предположение о том, что свойства прибора А неизменны во
времени: реакции прибора на сигналы f(t) и /(£ — to) отличаются только
сдвигом на to по времени и больше ничем.
Для любого прибора А возникают две следующие основные задачи:
во-первых, предугадать реакцию / прибора на произвольное входное
воздействие / и, во-вторых, зная сигнал / на выходе прибора,
определить, если это возможно, поступивший на прибор входной сигнал /.
Сейчас на эвристическом уровне мы решим первую из этих двух
задач применительно к инвариантному относительно сдвигов линейному
оператору А. Простой, но очень важный факт состоит в том, что
оказывается для описания отклика / такого прибора А на любой входной
сигнал / достаточно знать отклик Ε прибора А на импульсное
воздействие δ.
L
Определение 2. Отклик E(t)
прибора А на единичное импульсное воздействие δ
называют аппаратной функцией прибора (в
оптике) или импульсной переходной
функцией прибора (в электротехнике).
Мы будем, как правило, пользоваться бо- ι ( δα(ί)
лее коротким термином «аппаратная
функция».
Не вдаваясь пока в детали, скажем, что q t
импульс имитируется, например, функцией
ία(ί), изображенной на рис. 100, причем эта Рис. 100.
имитация считается все более точной по мере уменьшения
длительности а «импульса» при сохранении его общей «энергии» а · -^ = 1.
Вместо ступенчатых функций для имитации импульса можно использовать
гладкие функции (рис. 101) с соблюдением естественных условий:
fa > 0, ί fa(t)dt =1, ί fa(t)dt -> 1 ПРИ α -> 0,
Ш U(0)
где U(0) — произвольная окрестность точки t = 0.
Откликом прибора А на идеальный единичный импульс
(обозначаемый вслед за Дираком через δ) следует считать функцию E(t), к
которой стремятся отклики прибора А на имитирующие импульс δ входные

530 ГЛ. XVII ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
сигналы по мере того, как эта имитация улучшается. Разумеется, при
этом подразумевается некоторая (не уточняемая пока) непрерывность
оператора А, т.е. непрерывность изменения отклика / прибора при
непрерывном изменении входного воздействия /.
Рис. 101.
Например, если взять последовательность {An(t)} ступенчатых
функций An(t) := £ι/η(£) (рис.100), то, полагая ААп =: Еп,
получаем Αδ := Ε = lim En = lim AAn.
n—юо n—юо
Рассмотрим теперь входной сигнал /, рис. 102 и изображенную на
этом же рисунке кусочно постоянную функцию lh{t) = Σ/(τ0^/ι(^ ~~
г
— Ti)h. Поскольку lh —> f при h —> 0, то надо считать, что
Th = Alh -> Af = /при h -> 0.
Но если оператор А — линейный и сохраняющий сдвиги, то
Th(t) = Y^f{Ti)Eh{t-Ti)h,
где Eh = ASh- Таким образом, при h —> 0 окончательно получаем
f(t) = jf(T)E(t-T)dT.
(1)
Формула (1) решает первую из двух указанных выше задач. Она
представляет отклик f(t) прибора А в виде специального интеграла,
зависящего от параметра t. Этот интеграл полностью определяется
входным сигналом /(<) и аппаратной функцией E(t) прибора А. С
математической точки зрения прибор А и интеграл (1) просто одно и то
же.

§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ
531
Отметим заодно, что задача определения входного сигнала по
выходу / сводится теперь к решению относительно / интегрального
уравнения (1).
Определение 3. Сверткой функций п:М->Си^:М->С
называется функция и * ν: R —> С, определяемая соотношением
(и * υ){χ) := / u(y)v(x - у) dy, (2)
R
в предположении, что указанный несобственный интеграл существует
при всех χ £ R.
Таким образом, формула (1) утверждает, что отклик линейного
прибора А, сохраняющего сдвиги, на входное воздействие, задаваемое
функцией /, является сверткой / * Ε функции / и аппаратной
функции Ε прибора А.
2. Некоторые общие свойства свертки. Рассмотрим теперь с
математической точки зрения основные свойства свертки.
а. Достаточные условия существования. Напомним сначала
некоторые определения и обозначения.
Пусть /: G —> С — вещественно или комплекснозначная функция,
определенная на открытом множестве GcM.
Функция / называется локально интегрируемой на G, если любая
точка χ £ G имеет окрестность U(x) С G, в которой функция f\u(x)
интегрируема. В частности, если G = R, условие локальной
интегрируемости функции /, очевидно, равносильно тому, что f\[a,b] € ТЦо^Ъ] для
любого отрезка [а, Ь].
Носителем функции / (обозначение supp/) называется замыкание
в G множества {х £ G \ f(x) φ 0}.
Функция / называется финитной (в G), если ее носитель —
компакт.
Множество функций /: G —> С, имеющих в G непрерывные
производные до порядка т (0 ^ т ^ оо) включительно, принято
обозначать символом C^m)(G), а его подмножество, состоящее из финитных
функций, символом Cq (G). В случае, когда G = М, вместо и
Cq (Щ принято употреблять сокращения соответственно.

532 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Укажем теперь наиболее часто встречающиеся случаи свертки
функций, в которых без труда обосновывается ее существование.
Утверждение 1. Каждое из перечисленных ниже трех условий
является достаточным для существования свертки и*ν локально
интегрируемых функций и: Ш —> С и ν: Ш —> С.
1) Функции \и\2 и \ν\2 интегрируемы на R.
2) Одна из функций \и\, \υ\ интегрируема на R, а другая ограничена
на R.
3) Одна из функций и, ν финитна.
< 1) По неравенству Коши-Буняковского
/ \u(y)v(x -y)\dy\ ^ / \и\2(у) dy \ \v\2(x - у) dy,
\R / Ж Ж
откуда и следует существование интеграла (2), поскольку
+оо +оо
/ \v\2(x-y)dy = / \v\2(y)dy.
—оо —оо
2) Если, например, |гх| — интегрируемая на R функция, & \ν\ ^ Μ
на R, то
/ \u(y)v(x -y)\dy ζ Μ \u\(y)dy < +oo.
R R
3) Пусть suppu С [α, 6] С R. Тогда, очевидно,
6
/ u(y)v(x -y)dy= / u(y)v{x - у) dy.
R a
Поскольку и nv локально интегрируемы, последний интеграл
существует при любом значении χ Ε R.
Случай, когда финитной является функция г;, сводится к
разобранному заменой переменной χ — у — ζ. ►

§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ
533
b. Симметричность
Утверждение 2. Если свертка и*ν существует, то
существует также свертка ν * и и имеет место равенство
и* ν = ν * и. (3)
Μ Выполнив в интеграле (2) замену переменной x — y — z^ получаем
+оо +оо
u*v(x):= / u(y)v(x — у) dy = / v(z)u(x — ζ) dz =: ν * u(x). ►
—οο —οο
c. Сохранение сдвигов. Пусть, как и выше, ТХо — оператор
сдвига, т.е. (ТХ0)/(х) = f(x - xQ).
Утверждение 3. Если свертка и*ν функций и и ν существует,
то справедливы следующие равенства:
ТХ0(и * υ) = ТХои * ν = и * ТХог;. (4)
^ Если вспомнить физический смысл формулы (1), то первое из
написанных равенств становится очевидным, а второе тогда получается
из симметричности свертки. Проведем, однако, формальную проверку
первого равенства:
(Тхо)(и * υ)(χ) := (и * υ)(χ - хо) :=
+оо -(-οο
= / u{y)v{x -xo-y)dy= / u(y - xo)v{x -y)dy =
—οο —οο
+ Ο0
= / {TXou){y)v{x - у) dy =: {{TXou) * υ){χ). ►
-οο
d. Дифференцирование свертки. Свертка функций является
интегралом, зависящим от параметра, и ее дифференцирование
проводится в соответствии с общими законами дифференцирования таких
интегралов, разумеется, при выполнении соответствующих условий.
Условия, при которых свертка (2) функций и и ν непрерывно
дифференцируема, заведомо выполнены, если, например, и — непрерывная,
а υ — гладкая функция и одна из функций u, v — финитна.

534 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
^ Действительно, если ограничить изменение параметра любым
конечным промежутком, то при указанных условиях весь интеграл (2)
сведется к интегралу по некоторому, не зависящему от х, конечному
отрезку. А такой интеграл уже можно дифференцировать по
параметру в соответствии с классическим правилом Лейбница. ►
Вообще справедливо следующее
Утверждение 4. Если и—локально интегрируемая функция, а
ν — финитная функция класса <?от) (0 ^ т < +оо), то {и * v) e С(т),
причемх)
Dk(u*v)=u*(Dkv). (5)
^ Когда и — непрерывная функция, утверждение непосредственно
следует из только что доказанного выше. В общем виде оно получается,
если еще принять во внимание наблюдение, сделанное в задаче 6 § 1. ►
Замечание 1. Ввиду коммутативности свертки (формула (3))
утверждение 4, разумеется, останется в силе, если в нем поменять
местами uhu, сохранив, однако, левую часть равенства (5).
Формула (5) показывает, что свертка коммутирует с оператором
дифференцирования, подобно тому как она коммутирует с оператором
сдвига (формула (4)). Но если формула (4) симметрична по и и г;, то в
правой части формулы (5) и и г;, вообще говоря, нельзя поменять
местами, поскольку функция и может просто не иметь соответствующей
производной. То, что свертка и * г;, как видно из (5), при этом все же
может оказаться дифференцируемой функцией, наводит на мысль, что
приведенные в утверждении 4 условия являются достаточными, но не
необходимыми для дифференцируемости свертки.
Пример 1. Пусть /—локально интегрируемая функция, a iQ —
«ступенька», изображенная на рис. 100. Тогда
+оо χ
(/ * δα)(χ) = J f(y)Sa(x -y)dy=± J f(y) dy, (6)
—oo x—a
и, следовательно, если функция / непрерывна в точках χ и χ—α, свертка
/*ία уже оказывается дифференцируемой в χ —усредняющее действие
интеграла.
Здесь D — оператор дифференцирования и, как обычно, Dkv = v{

§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ
535
Условия дифференцируемости свертки, сформулированные в
утверждении 4, являются, однако, вполне достаточными практически для
всех встречающихся случаев применения формулы (5). По этой
причине мы не будем здесь заниматься дальнейшим их уточнением, а
предпочтем продемонстрировать некоторые новые красивые возможности,
которые открываются благодаря обнаруженному сглаживающему
действию свертки.
3. Дельтаобразные семейства функции и аппроксимацион-
ная теорема Веиерштрасса. Заметим, что интеграл в
соотношении (6) дает среднее значение функции / на промежутке [χ — α,χ],
поэтому, если / непрерывна в точке х, то, очевидно, (/ * δα)(χ) —» f(x)
при а —> 0. Последнее соотношение, следуя наводящим соображениям
п. 1, относящимся к представлению о ί-функции, хотелось бы записать
в виде предельного равенства
(/ * δ)(χ) = /(х), если / непрерывна в х. (7)
Это равенство показывает, что ί-функцию можно трактовать как
единичный (нейтральный) элемент по отношению к операции свертки.
Равенство (7) можно считать вполне осмысленным, если будет
показано, что любое семейство функций, сходящихся к ί-функции, обладает
тем же свойством, что и рассмотренное в (6) специальное семейство δα.
Перейдем к точным формулировкам и введем следующее полезное
Определение 4. Семейство {Δα; а £ А} функций Δα: R —> R,
зависящих от параметра а £ А, называют δ-образным или
аппроксимативной единицей при базе В в А, если выполнены следующие три
условия:
a) все функции семейства неотрицательны (Δα(χ) ^ 0);
b) для любой функции Δα семейства f Aa(x)dx = 1;
R
c) для любой окрестности U точки 0 £ R lim f Aa(x) dx = 1.
6 и
Последнее условие с учетом первых двух, очевидно, равносильно
тому, что lim f Aa(x) dx = 0.
5 R\U
Рассмотренное в п. 1 и примере 1 исходное семейство «ступенек» ία,
конечно, является ί-образным при а —> 0. Приведем другие примеры
ί-образных семейств функций.

536 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Пример 2. Пусть φ: R —> R — произвольная неотрицательная
интегрируемая на R финитная функция такая, что f φ(χ)άχ = 1. При
R
а > О построим функции Аа(х) := ^(§)· Семейство этих
функций при а —> +0, очевидно, является аппроксимативной единицей (см.
рис.101).
Пример 3. Рассмотрим последовательность функций
ί±η\%) — \ \х\<1
[ 0 при \х\ > 1.
Для того, чтобы установить ί-образность этой последовательности,
надо лишь проверить, что кроме условий а), Ь) для нее при базе η —> оо
выполнено и условие с) определения 4. Но ведь при любом ε £ ]0,1]
1 1
0 < /(1 - х2)п dx ^ 1(1 - е2)п dx =
ε ε
= (1 - ε2)η(1 - ε) -> 0, когда η -> со.
Вместе с тем
1 1
ί(1 - х2)п dx > ί(1 - х)п dx = —Ц-.
о о
Значит, условие с) действительно выполнено.
Пример 4. Пусть
Δη(χ) = <
π/2
cos2n(x)/ JT cos2nxdx при \x\ ^ π/2,
-π/2
0 при |х| > π/2.
Как и в примере 3, здесь остается проверить лишь условие с).
Заметим сначала, что
π/2
2n„, 1D/ 1 Λ 1Г(п+£) Γ(Ι) Γ(Ι)
I ~~ ""*~ 2"v"' 2'2У 2 r(n) n ' 2n
о
cosJnxdx = -B n + -,- = - v_. .Jn/ · -^ >

§4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ
537
С другой стороны, при ε £ ]0, π/2[
π/2 π/2
/ cos2nxdx < / cos2nedx < -(cose)2".
ε ε
Сопоставляя полученные неравенства, заключаем, что, каково бы
ни было число ε £ ]0, π/2],
π/2
/ Δη(χ) dx —> О при η —> оо,
ε
откуда и следует, что условие с) определения 4 выполнено.
Определение 5. Будем говорить, что функция /: G —> С
равномерно непрерывна на множестве Ε С G, если для любого ε > О
можно указать число ρ > 0 такое, что при любом ж G £и любом
у £ G из р-окрестности Uq(x) точки χ в G выполнено соотношение
|/(*)-/(ί/)|<ε.
В частности, если Ε = G, мы возвращаемся к определению функции,
равномерно непрерывной на всей своей области определения.
Теперь докажем следующее основное
Утверждение 5. Пусть /: R —> С — ограниченная функция, а
{Δα; а £ А}—δ-образное семейство функций при а —> ω. Если при
любом а £ А свертка f * Δα существует и функция f равномерно
непрерывна на множестве Ε С R, то
(/ * Аа)(х) =4 f(x) на Ε при а —> ω.
Итак, утверждается, что семейство функций /*Δα равномерно
сходится к функции / на множестве Ε ее равномерной непрерывности. В
частности, если Ε состоит только из одной точки х, условие
равномерной непрерывности / на Ε сводится к условию непрерывности
функции / в точке х, и мы получаем, что (/ * Аа)(х) —> f(x) при а —> ω. Это
и послужило нам в свое время поводом для записи соотношения (7).
Докажем утверждение 5.
Μ Пусть \f(x)\ ^ Μ на R. По числу ε > 0 подберем в соответствии с
определением 5 число ρ > 0 и обозначим через U(0) р-окрестность нуля
вЕ.

538 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Учитывал симметричность свертки, получаем следующие оценки,
справедливые одновременно для всех точек χ £ Ε:
К/*Δβ)(*)-/(*)| =
J f(x-y)Aa(y)dy-f(x)
/«
£
£
(f(x-y)-f(x))Aa(y)dy\
J \f(x-y)-f(x)\Aa(y)dy+ J \f(x-y)-f(x)\Aa(y)dy<
U(0)
R\i/(0)
< ε
[ Aa{y)dy + 2M J Aa{y)dy^e + 2M I Aa{y)dy.
R\i/(0) R\t/(0)
i/(0)
При a —> ω последний интеграл стремится к нулю, значит, начиная
с какого-то момента, при всех χ € Ε будет выполнено неравенство
|(/*Δβ)(χ)-/(χ)|<2ε,
что и завершает доказательство утверждения 5. ►
Следствие 1. Любую финитную непрерывную на R функцию
можно равномерно аппроксимировать финитными бесконечно
дифференцируемыми функциями.
Μ Проверим, что в указанном смысле Cq всюду плотно в Со-
Пусть, например,
ф) = | fc*exp(-T3^) ПРИ М<!>
[ 0 при \х\ ^ 1,
где коэффициент к выбран так, что f φ(χ) dx = 1.
R
Функция φ финитна и бесконечно дифференцируема. В таком
случае семейство бесконечно дифференцируемых функций Δα = -^ψ (§),
как отмечалось в примере 2, является ί-образным при а —> +0. Если
/ £ Со, то ясно, что и / * Δα £ Со- Кроме того, по утверждению 4
/ * Δα £ Cq . Наконец, из утверждения 5 вытекает, что / * Δα =4 /
на R при а -» +0. ►

§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ
539
Замечание 2. Если рассматриваемая функция / £ Со
принадлежит классу Cq , то, каково бы ни было значение η £ {0, l,...,m},
можно гарантировать, что (/ * Δα)(η) =4 /^п^ на R при α —> +0.
^ Действительно, в этом случае (/ * Δα)(η) = /(η) * Δα (см.
утверждение 4 и замечание 1). Остается сослаться на доказанное
следствие 1. ►
Следствие 2 (аппроксимационная теорема Вейерштрасса)·
Каждую непрерывную на отрезке функцию можно равномерно
приблизить на этом отрезке алгебраическим многочленом.
Ч Поскольку при линейной замене переменной многочлен переходит
в многочлен, а непрерывность и равномерность аппроксимации
функций сохраняются, следствие 2 достаточно проверить на любом удобном
нам отрезке [а,Ь] С R. Будем поэтому считать, что 0<а<Ь<1,и
пусть ρ = min{a, 1 — b}. Заданную нам функцию / £ С[а, Ь] продолжим
до непрерывной на R функции F, полагая F(x) = 0 при χ £ R\]0,1[ и,
например, линейно сопрягая 0 с /(a), f(b) с 0 на участках [Ο,α] и [Ь, 1]
соответственно.
Если теперь взять ί-образную последовательность функций Δη, из
примера 3, то на основании утверждения 5 уже можно заключить, что
F * Δη =4 / = F\[a,b] на [α·> Ь] ПРИ п —> °°· Но при χ £ [α, 6] С [0,1]
оо 1
F * Ап(х) := / F(y)An(x -y)dy = ί F(y)An(x -y)dy =
-оо О
= У FMft, · (1 - (χ - y)2)"^ = У F(y) ( f^ak(y)xk) dy =
о о ™=0 '
= Σ\ [F(y)ak(y)dy\xk.
Последнее выражение является многочленом Р2п(#) степени 2π, и
мы показали, что Ρ<ιη =4 / на [а, Ь] при η —> оо. ►
Замечание 3. Несколько развив проведенные рассуждения,
можно показать, что теорема Вейерштрасса остается в силе, даже если
отрезок [а, Ь] заменить произвольным, лежащим в R компактом.

540 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Замечание 4. Нетрудно также проверить, что для любого
открытого в R множества G и любой функции / е C(m)(G)

существует последовательность {Р^} полиномов такая, что при каждом η £
£ {0,1,..., га} Р^ =4 /(п) на любом компакте К С G, когда & —» оо.
Если, кроме того, множество G ограничено и / £ C(m\G), то можно
добиться, чтобы Р^ =4 /^ на G при к —> оо.
Замечание 5. Подобно тому, как для доказательства следствия 2
была использована ί-образная последовательность примера 3, можно
использовать последовательность из примера 4 и доказать, что любая
27г-периодическая функция на Ш равномерно приближается
тригонометрическими полиномами вида
η
Тп{х) = /^ a*; cos кх + bk sinfcx.
fc=0
Выше использовались лишь ί-образные семейства финитных
функций. Следует, однако, иметь в виду, что во многих случаях важную
роль играют ί-образные семейства не финитных функций. Приведем
только два примера.
Пример 5. Семейство функций Ау(х) = ^ · 2 У 2 при у —> +0
χ + у
является ί-образным на R, так как Δ^ > 0 при у > 0,
оо
/Ау(х) dx — — arctg ( — )
+oo
= 1
x=—оо
и при любом р > 0 справедливо соотношение
Р
/ Δν(χ) dx — — arctg » 1,
7 π у
когда у —» +0.
Если /: R —> R — непрерывная и ограниченная функция, то функция
+оо
и(х,у) = - ——
π J (χ -
№)V
02 + у
#, (8)

§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ
541
представляющая собой свертку / * Ду, определена при любых χ £ R и
У>0.
Интеграл (8), называемый интегралом Пуассона для
полуплоскости, как легко проверить (используя мажорантный признак
равномерной сходимости), является ограниченной бесконечно
дифференцируемой функцией в полуплоскости R+ = {(x,y) £ R2 | у > 0}.
Дифференцируя под знаком интеграла, убеждаемся, что при у > 0
д2и д2и / а2 а2 \ Л л
т.е. w — гармоническая функция.
На основании утверждения 5 можно гарантировать также
сходимость и(х,у) к f(x) при у —> 0. Таким образом, интеграл (8) решает
задачу построения ограниченной функции, гармонической в
полуплоскости R+ и принимающей заданные граничные значения / на дЩ..
1 _*i
Пример 6. Семейство функций Δ« = —γ=β « является ί-образ-
2у7г£
+оо
ным на R при t —» +0. Действительно, АДх) > 0; / А«(ж) = 1, посколь-
—оо
ку j e~v dv = y/π (интеграл Эйлера-Пуассона); наконец, при любом
—оо
ρ > 0 выполнено соотношение
ρ р/2уД
Г 1 _^2 I [ _ 2
/ —т=е 4t dx = —— / е υ dv —» 1, когда ί —> +0.
У 2^ V* J
-ρ -р/2уД
Если / — непрерывная и, например, ограниченная функция на R, то
функция
+оо
u(x,t) = ^=Jf(t)e-i^P1dt, (9)
—оо
представляющая собой свертку /*Δ«, очевидно, бесконечно
дифференцируема при t > 0.
Дифференцируя под знаком интеграла при t > 0, получаем, что
ди д2и х f д д2 \ А Λ

542 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
т. е. функция и удовлетворяет одномерному уравнению
теплопроводности с начальным условием u(x,0) = f(x). Последнее равенство следует
трактовать как предельное соотношение u(x,t) —> f(x) при t —> +0,
вытекающее из утверждения 5.
* 4. Начальные представления о распределениях
а. Определение обобщенных функций. В п. 1 настоящего
параграфа мы на эвристическом уровне вывели формулу (1), дающую
возможность определить отклик линейного преобразователя А на входной
сигнал / по известной аппаратной функции Ε прибора А. При
определении аппаратной функции прибора существенно использовалось
некоторое интуитивное представление о единичном импульсном
воздействии и описывающей его ί-функции. Ясно, однако, что ί-функция на
самом-то реле не является функцией в классическом понимании этого
термина, поскольку она должна обладать следующим противоречивым
с классической точки зрения набором свойств: δ(χ) ^ 0 на R; δ(χ) = 0
при χ φ 0; / δ(χ) dx = 1.
R
Понятия, связанные с линейными операторами, сверткой, ί-функ-
цией и аппаратной функцией прибора приобретают точные
математические описания в так называемой теории обобщенных функций или,
иначе, теории распределений. Исходные посылки этой теории и
начальные сведения о все шире используемом ее аппарате мы собираемся
сейчас изложить.
Пример 7. Рассмотрим материальную точку массы га,
способную перемещаться вдоль оси и связанную с началом координат
упругой пружиной; к— коэффициент упругости пружины. На покоящуюся
в начале координат точку начинает действовать зависящая от времени
сила /(£), смещающая точку вдоль оси. В силу закона Ньютона
тх + кх = /, (10)
где x(t) —координата точки (смещение от положения равновесия) в
момент t.
При указанных условиях функция x(t) однозначно определяется
функцией / и решение x(t) дифференциального уравнения (10),
очевидно, линейно зависит от его правой части /. Таким образом, мы имеем
дело с линейным оператором / \-> х, обратным к дифференциальному

§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ
543
оператору жн/ (В = га—~ + к), связывающему x(t) и /(£) соотноше-
V dt /
нием £?х = /. Поскольку оператор А, очевидно, сохраняет сдвиги по
времени, то, чтобы найти отклик x(t) описанной механической
системы на функцию /(£), достаточно ввиду формулы (1) знать отклик на
единичное импульсное воздействие δ, т. е. достаточно знать (так
называемое фундаментальное) решение Ε уравнения
гпЁ + кЕ = 6. (11)
Соотношение (11) не вызвало бы вопроса, если бы δ действительно
обозначало функцию. Однако пока равенство (11) неясно. Но
формально неясно и фактически неверно — совсем разные ситуации. В нашем
случае надо лишь уяснить смысл равенства (11).
Один путь к такому разъяснению нам уже знаком: δ можно
понимать как имитирующее ί-функцию ί-образное семейство классических
функций Δα(ί), а Е — как предел, к которому стремятся решения Ea(t)
уравнения
тпЁа + кЕа = Аа (10')
при соответствующем изменении параметра а.
Другой, имеющий свои значительные преимущества, подход к
обсуждаемому вопросу состоит в принципиальном расширении
представления о функции. Он исходит из того, что вообще объекты
наблюдения характеризуются их взаимодействием с другими («пробными»)
объектами. Так и функцию предлагается рассматривать не как набор
значений в различных точках, а как объект, способный определенным
образом действовать на другие (пробные) функции. Конкретизируем
это пока слишком общее высказывание.
Пример 8. Пусть / £ C(R, R). В качестве пробных возьмем
функции класса Со (непрерывные финитные на Ж). Функция / порождает
следующий, действующий на Со функционал
</,¥>>:= Jf{xMx)dx. (12)
R
Используя ί-образные семейства финитных функций, легко понять,
что (/, φ) = 0 на Со в том и только в том случае, когда f(x) = 0 на R.

544 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Таким образом, каждая функция / £ С (Ж, Ш) порождает в силу (12)
линейный функционал А: Со —> К, и, подчеркнем, при этом различным
функциям /ι, /2 соответствуют различные функционалы Afx, Af2.
Значит, формула (12) осуществляет вложение (инъективное
отображение) множества С(М, R) функций в множество £(Со; Щ линейных
функционалов на Со и, следовательно, каждую функцию / £ C(M,R)
можно интерпретировать как некоторый функционал Af £ £(Co;M).
Если вместо множества С(М, R) непрерывных функций рассмотреть
множество функций, локально интегрируемых на М, то по той же
формуле (12) получается отображение указанного множества в
пространство £(Со;М). При этом ((/, φ) = О на Со) ^ (/(#) — 0 во всех точках
непрерывности функции / на R, т.е. f(x) = О почти всюду на Ш).
Значит, в рассматриваемом случае получается вложение в £(Со; Щ классов
эквивалентных функций, если в один класс отнести локально
интегрируемые функции, отличающиеся лишь на множестве меры нуль.
Итак, локально интегрируемые на R функции / (точнее, классы
их эквивалентности) в силу формулы (12) можно интерпретировать
как линейные функционалы Af £ £(Со;М). Осуществляемое по
формуле (12) отображение / ь->- Af = (/, ·) локально интегрируемых
функций в пространство £(Со; К) не является отображением на все £(Со; М),
поэтому, интерпретируя функции как элементы £(Со; М) (т. е. как
функционалы), мы, кроме классических функций, интерпретируемых как
функционалы вида (12), получим и новые функции (функционалы), не
имеющие прообраза в классических функциях.
Пример 9. Функционал δ £ £(Cb;R) определяется соотношением
(δ,φ):=δ(φ)~φ(0), (13)
которое должно быть выполнено для любой функции φ £ Со-
Можно проверить (см. задачу 7), что никакая локально
интегрируемая на R функция / не способна представить функционал δ в виде (12).
Итак, мы вложили множество классических локально
интегрируемых функций в более широкое множество линейных функционалов.
Эти линейные функционалы и называют обобщенными функциями или
распределениями (точное определение дано ниже). Распространенный
термин «распределение» имеет физическое происхождение.
Пример 10. Пусть на R распределена единичная масса (или
единичный заряд). Если это распределение достаточно регулярно, в том

§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ
545
смысле, что оно имеет, например, непрерывную или интегрируемую
на Ш плотность р(х), то взаимодействие массы Μ с другими
объектами, описываемыми функциями φ £ Cq , может задаваться в виде
функционала
Μ (φ) = / ρ(χ)φ(χ)άχ.
R
Если распределение сингулярно, например, вся масса Μ
сосредоточена в одной точке, то, «размазывая» массу и интерпретируя
предельную точечную ситуацию с помощью ί-образного семейства регулярных
распределений, получаем, что взаимодействие массы Μ с указанными
выше другими объектами должно выражаться формулой
Μ(φ) = φ(0),
показывающей, что такое распределение массы на Ш следует
отождествить с ί-функцией (13) на R.
Проведенные предварительные рассмотрения делают осмысленным
следующее общее
Определение 6. Пусть Ρ—линейное пространство функций,
называемое в дальнейшем пространством основных или пробных
функций с определенной в Ρ сходимостью функций.
Пространством обобщенных функций или распределений над Ρ
назовем линейное пространство Р' линейных непрерывных (вещественно-
или комплекснозначных) функционалов на Р. При этом
предполагается, что каждый элемент / £ Ρ порождает некоторый функционал
А} = (/,·) £ Р' и что отображение / —» Aj является непрерывным
вложением Ρ в Р', если сходимость в Р' вводится как слабая
(«поточечная») сходимость функционалов, т.е.
Р'эАп^АеР':=УсреР {Αη{φ) -> Α(φ)).
Уточним это определение в конкретном случае, когда Ρ есть
линейное пространство Cq (G, С) бесконечно дифференцируемых
финитных в G функций, где G — произвольное открытое подмножество R
(быть может, и совпадающее с R).
Определение 7 (пространств V и D')· Сходимость в Cq(G, С)
введем следующим образом: последовательность {φη} функций ψη £

546 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
£ Cq (G,C) будет считаться сходящейся к функции φ £ Cq (G, С),
если существует компакт К С G, в котором содержатся носители всех
функций последовательности {φη} и при любом значении m = 0,1,2,...
φ)™' =4 ψ^ на К (а значит, и на G), когда η —> оо.
Получаемое при этом линейное пространство с заданной в нем
сходимостью принято обозначать символом T)(G), а когда G = R —
символом V.
Соответствующее этому пространству основных (пробных)
функций пространство обобщенных функций (распределений) обозначают
символом V'(G) или V соответственно.
В этом и следующем параграфах мы не будем рассматривать
никаких других обобщенных функций, кроме элементов введенного
пространства D'(G), поэтому без специальных оговорок будем употреблять
термин распределение или обобщенная функция, имея в виду
элементы V{G).
Определение 8. Распределение F £ V(G) называется
регулярным, если его можно представить в виде
Ffo>) = Jf{xMx)dx, P6P(G),
G
где /—локально интегрируемая в G функция.
Нерегулярные распределения называют сингулярными
распределениями или сингулярными обобщенными функциями.
В соответствии с этим определением ί-функция (из примера 9)
является сингулярной обобщенной функцией.
Действие обобщенной функции (распределения) F на основную
(пробную) функцию <£, т.е. спаривание F и φ будем, как и прежде,
обозначать одним из двух равнозначных символов F((p) или (F,(p).
Прежде чем переходить к техническому аппарату, связанному с
обобщенными функциями, ради которого мы и привели определение
обобщенной функции, отметим, что само понятие обобщенной
функции, как и большинство математических понятий, имело определенный
период внутриутробного развития, когда оно лишь неявно зарождалось
в трудах ряда математиков.
Физики, вслед за Дираком, уже в конце двадцатых — начале
тридцатых годов активно использовали ί-функцию и оперировали с сингу-

§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ
547
лярными обобщенными функциями, не смущаясь отсутствием должной
математической теории.
В явном виде идея обобщенной функции была высказана
С.Л.Соболевым1), заложившим в середине тридцатых годов математические
основы теории обобщенных функций. Современное состояние аппарата
теории распределений в значительной степени связано с выполненными
в конце сороковых годов работами Л.Шварца2). Сказанное поясняет,
почему, например, пространство V обобщенных функций часто
называют пространством обобщенных функций Соболева - Шварца.
Изложим теперь некоторые элементы аппарата теории
распределений. Развитие и расширение использования этого аппарата
продолжается и в наши дни, в основном в связи с потребностями теории
дифференциальных уравнений, уравнений математической физики,
функционального анализа и их приложений.
Для упрощения записи мы будем рассматривать дальше только
обобщенные функции класса D7, хотя все их свойства, как будет видно
из определений и доказательств, остаются в силе для распределений
любого класса V(G), где G — произвольное открытое подмножество R.
Действия с распределениями определяются, исходя из интегральных
соотношений, справедливых для классических функций, т. е. для
регулярных обобщенных функций.
Ь. Умножение распределения на функцию. Если /—локально
интегрируемая на R функция, а д £ то при любой функции φ £
£ Cq , с одной стороны, gtp £ Cq , а с другой стороны, имеет место
очевидное равенство
/ (/ * 9)(х)<р(х) dx= f{x){g · φ)(χ) dx
R R
или, в других обозначениях,
(/ '9,ψ) = (f,9'<p)-
1'C. Л. Соболев (1908 - 1989) —один из наиболее крупных советских математиков.
2) Л. Шварц (1915 - 2002) —известный французский математик. За упомянутые
работы на Международном математическом конгрессе 1950 г. удостоен Филдсовской
премии, присуждаемой молодым математикам.

548 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Это соотношение, справедливое для регулярных обобщенных
функций, лежит в основе следующего определения распределения F · #,
получаемого умножением распределения F £ D' на функцию g £ С^00':
(F-g,<p):=(F,g-<p). (14)
Правая часть равенства (14) определена, и тем самым задается
значение функционала F · g на любой функции φ £ D, т. е. задается сам
функционал F · д.
Пример 11. Посмотрим, как действует распределение δ · #, где
д £ С(°°). В соответствии с определением (14) и определением
распределения δ получаем
(δ·9,ψ) := (δ,9-φ) := (ρ· у>)(0) == «ДО) · у>(0).
с. Дифференцирование обобщенных функций. Если / £ С^1\
а у? £ Gq , то интегрированием по частям получаем равенство
ί /'(χ)φ(χ) dx = -f f(x)(f/(x) dx. (15)
R R
Это равенство является отправной точкой для следующего
основного определения дифференцирования обобщенной функции F £ V:
<*",¥>) :=-<*V>. (16)
Пример 12. Если / £ С^1\ то производная от / в классическом
смысле совпадает с производной от / в смысле теории распределений
(разумеется, если, как всегда, отождествлять классическую функцию
с соответствующей ей регулярной обобщенной функцией). Это следует
из сопоставления соотношений (15) и (16), в которых правые части
совпадают, если распределение F порождается функцией /.
Пример 13. Возьмем функцию Хевисайда1^
«-{ί
τη \ ι 0 ПРИ # < 0,
Н{Х) = < ι при х>0,
^О. Хевисайд (1850 -1925) — английский физик и инженер, разработавший на
символическом уровне важный математический аппарат, который теперь называется
операционным исчислением.

§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ
549
называемую иногда единичной ступенькой и, рассматривал ее как
обобщенную функцию, найдем производную Н' этой разрывной в
классическом смысле функции.
Из определения регулярной обобщенной функции Н, отвечающей
функции Хевисайда, и на основании соотношения (16) находим
+оо +оо
(Η',φ) := -{Η,ψ') := - ί Η(χ)φ'(χ)άχ = - ί φ'(χ)άχ = φ(0),
-οο Ο
поскольку φ £ Cq\ Таким образом, (Η', φ) = (ί, </?), какова бы ни была
функция φ £ Cq . Значит, Η' = δ.
Пример 14. Вычислим (δ', φ):
(δ',φ):=-(δ,φ'):=-φ'(0).
Естественно, что в теории обобщенных функций, как и в
классическом случае, для определения высших производных полагают, что
Сопоставляя результаты последних двух примеров, можно,
следовательно, записать, что
<я>> = V(o).
Пример 15. Покажем, что (£(п),¥>) = (-l)Vn)(0)·
^При η = О это — определение ί-функции.
Мы видели в примере 14, что написанное равенство справедливо и
при η = 1.
Докажем его по индукции, считая, что для фиксированного
значения η £ N оно уже установлено. Опираясь на определение (16), находим
<ί(η+1\ν>:=((ί(η))/,ν>:=-(ί(η)^/> =
= -(-i)n(^)(n)(o) = (-i)n+V(n+1)(o). ►
Пример 16. Пусть функция /: R —> С непрерывно
дифференцируема при χ < О и при χ > О, и пусть существуют односторонние
пределы /(—0), /(+0) функции в точке 0. Обозначим через J/(0)
величину /(+0) — /(—0) скачка функции в точке 0, а через /' и {/'}
соответственно производную функции / в смысле теории распределений

550 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
и распределение, определяемое функцией, которая равна обычной
производной от / при χ < 0 и χ > 0. При χ = 0 последняя функция не
определена, но это и не важно для интеграла, которым она определяет
регулярное распределение {/'}.
В примере 1 мы отмечали, что если / £ С^1\ то /' = {/'}·
Покажем, что в общем случае это не так, а справедлива следующая важная
формула:
/' = {/'}+ J ДОМ. (17)
^ Действительно,
оо
if', φ) = -U,ψ') = - J ί{χ)ψ'{χ)άχ =
—оо
0 +оо
= -(1 + ])иШ(*))<ь = -(и-ч>)(х)\1=-оо-
-оо 0
0 +О0
- J f'(x)ip(x)dx + (/ · φ)(χ)\ϊ°° - J f'(x)(p(x)dx) =
о
+ O0
= (/(+0) - Η-0))φ(0) + J f{xMx)dx =
—оо
= U/(0)· £,¥>> +<{/'},¥>>·►
Если все производные до порядка т функции /: R —> С на
промежутках χ < 0 и χ > 0 существуют, непрерывны и имеют односторонние
пределы при χ = 0, то, повторяя проведенное при выводе формулы (17)
рассуждение, получим
f{m) = ^(m)| + ; д0) . g(m-l) + ^/(q) . g(m-2) + _
...+ J/(m"1)(0)-i. (18)
Укажем теперь некоторые свойства операции дифференцирования
обобщенных функций.
Утверждение 6.
а) Любая обобщенная функция F £ D' бесконечно дифференцируема.

§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ
551
b) Операция D: V —> V дифференцирования линейна.
c) Если F £ V, g £ С^°°\ то (F · g) £ V и справедлива формула
Лейбница
т
(F · д)^ = ]Г Стр{к) ' 9{т~к)·
к=0
d) Операция D: V —> V дифференцирования непрерывна.
оо
e) Если ряд ]П fk{x) = 5(ж), составленный из локально интегриру-
k=l
емых функций Д: К —> С, сходится равномерно на каждом лежащем
в R компакте, то в смысле обобщенных функций его можно
дифференцировать почленно любое число раз, и получаемые при этом ряды
будут сходиться в V.
< a) (F(m),¥>) := -(Ft™-1),^') := (-l)m(i^(m)).
b) Очевидно.
c) Проверим формулу при т = 1:
((F ■ д)', φ) := -{Fg, φ') := -(F,g- φ') = -(F, (g ■ ψ)' - g' ■ φ) =
= (F',gip) + (F,g' ■ φ) = (F' ■ 9,φ) + (F ■ 9',φ) = (F' ■ g + F ■ 9',φ).
В общем случае формулу можно получить теперь методом
индукции.
d) Пусть Fm —> F в V при т —> оо, т.е. для любой функции φ £
£ V(Fm, φ) —> (F, φ) при т —> оо. Тогда
<F^> := -<*W> -+ -(*>') =: <*»·
e) При указанных условиях сумма S(x) ряда как равномерный на
т
компактах предел локально интегрируемых функций Sm(x) = ]П fk{x)
k=l
сама является локально интегрируемой. Остается заметить, что для
любой функции φ £ V (т. е. финитной и бесконечно дифференцируемой)
имеет место соотношение
(Sm,<p) = / Sm{x)cpdx -> / S(x)cp(x)dx = (S,<p).
R R
Теперь на основании доказанного в d) заключаем, что S'm —» S' при
т —> оо. ►

552 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Мы видим, что, сохраняя важнейшие свойства классического
дифференцирования, операция дифференцирования обобщенных функций
приобретает ряд новых замечательных свойств, открывающих
большую оперативную свободу, которой не было в классическом случае из-
за наличия там недифференцируемых функций и неустойчивости
(отсутствия непрерывности) классического дифференцирования
относительно предельных переходов.
d. Фундаментальное решение и свертка. Мы начали этот
пункт с интуитивных представлений о единичном импульсе и
аппаратной функции прибора. В примере 7 была указана простейшая
механическая система, которая естественным образом порождает
линейный оператор, сохраняющий сдвиги по времени. Рассматривая ее, мы
пришли к уравнению (11), которому должна удовлетворять аппаратная
функция Ε этого оператора.
Мы закончим пункт, снова вернувшись к этим вопросам, но теперь
с целью продемонстрировать их адекватное математическое описание
на языке обобщенных функций.
Начнем с осмысления уравнения (11). В правой его части стоит
обобщенная функция ί, поэтому соотношение (11) следует трактовать
как равенство обобщенных функций. Поскольку нам известны
операция дифференцирования обобщенных функций и линейные операции
над распределениями, то левая часть уравнения (11) теперь тоже
понятна, даже если ее трактовать в смысле обобщенных функций.
Попробуем решить уравнение (11).
При t < О система находилась в покое. При t = О точка получила
единичный импульс, поэтому в момент t = О она приобрела такую
скорость ν = г;(0), что mv = 1. При t > О на систему не действуют внешние
силы и ее закон движения χ = x(t) подчиняется обыкновенному
дифференциальному уравнению
тх + кх = О, (19)
которое следует решать при начальных данных х(0) = 0, х(0) = ν =
= 1/т.
Такое решение единственно и немедленно выписывается:
1 Гк
x(t) = . sin \j —ί, t ^ 0.

§4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ
553
Поскольку в нашем случае при t < 0 система покоится, то можно
заключить, что
E(t) = -J£L sin J—i, t e Μ, (20)
Vkm V m
где i/ — функция Хевисайда (см. пример 13).
Проверим теперь, пользуясь законами дифференцирования
обобщенных функций и результатами рассмотренных выше примеров, что
задаваемая равенством (20) функция E(t) удовлетворяет
уравнению (11).
Для упрощения записи проверим, что функция
/ \ τιί χ^ηωχ /οι\
е(х) = Η (χ) (21)
удовлетворяет в смысле теории распределений уравнению
(£ + ^)« = *. (22,
Действительно,
id2 \ <Р (..
(&+и)е-&{н—)+'*{и—)-
= Η h 2H cos ωχ - ωΗ(χ) sin ωχ +
и)
π, ч . r/sino;x
+ (jH(x)smujx = ό h 2ό cos ωχ.
си
Далее, для любой функции φ £ V
-,sina;x Λ_ \ /., sino;x \ ._ Л/ ч .
£ h 2icoso;x,(^ > = ( £ , φ ) + (d,2(cosu;x)(p} =
/ _ d fs'muix \\ Л /ЛЧ
Л ч , ч sino;x 7/ Л
= — I (cos(jux)(p(x) -\ φ (χ) Ι
+ 2φ(0)=φ(0) = (δ,φ),
х=0
тем самым проверено, что функция (21) удовлетворяет уравнению (22).
Введем, наконец, следующее

554 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Определение 9. Фундаментальным решением или функцией
Грина (аппаратной функцией или функцией влияния) оператора А:
V —> V называется такал обобщенная функция £ G Р', которая под
действием оператора А переходит в функцию δ £ V, т.е. А(Е) = δ.
Пример 17. В соответствии с этим определением функция (21)
является фундаментальным решением для оператора А = ( —^ + ω2),
поскольку она удовлетворяет уравнению (22).
Функция (20) удовлетворяет уравнению (11), т.е. является
функцией Грина для оператора А = 1т— + к). Фундаментальная роль
аппаратной функции оператора, сохраняющего сдвиги, уже обсуждалась
в п. 1, где была получена формула (1), на основании которой можно
теперь записать соответствующее указанным в примере 7 начальным
условиям решение уравнения (10):
+°° · Гк
SinA/irT
/SHI \ I irT
f(t-r)H(r) У™ dr, (19)
у km
—оо
+оо
x(t) = -7= ί f(t-r)smJ-Tdr. (20)
Vkm J V m
о
Учитывая продемонстрированную важную роль свертки и
фундаментального решения, ясно, что желательно определить также свертку
обобщенных функций. Это делается в теории распределений, но мы
на этом останавливаться не будем. Отметим лишь, что в случае
регулярных распределений определение свертки обобщенных функций
равносильно рассмотренному выше классическому определению свертки
функций.
Задачи и упражнения
1. а) Проверьте ассоциативность свертки: и * (ν * w) = (u*v) *w.
b) Пусть, как всегда, Γ(α) — гамма-функция Эйлера, а Н(х)—функция
Хевисайда. Положим
Ηζ(χ) := Н(х)^—геХх, где а > 0, а λ Ε С.
Покажите, что Н« * Щ = Н*

§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ
555
η—1
с) Проверьте, что функция F = Н(х) ,х_ х\}еХх является n-й сверточной
степенью функции / = Н(х)еХх, т. е. F = /*/*...* /.
> ν '
П
ι - χ2
2. Функция Ga(x) = —у=е 2^, σ > О, задает плотность распределения
σ\/2π
вероятностей в гауссовском нормальном законе распределения вероятностей.
a) Нарисуйте график функции Ga(x) при различных значениях
параметра σ.
b) Проверьте, что математическое ожидание (среднее значение) случайной
величины с распределением вероятностей Ga равно нулю (т.е. JxGa(x)dx =
R
= о).
c) Проверьте, что среднее квадратическое уклонение величины χ от своего
/ χΐ/2
среднего значения (дисперсия х) равно σ (т.е. (fx2Ga(x)dx) =σ).
d) В теории вероятностей доказывается, что плотность вероятности
суммы двух независимых случайных величин является сверткой плотностей
распределения вероятностей самих этих величин. Проверьте, что Ga * Gp =
e) Покажите, что сумма η однотипных случайных величин (например,
η независимых измерений одного и того же объекта), распределенных по
нормальному закону G^, распределена по закону Ga^. Отсюда, в
частности, следует, что ожидаемый порядок погрешности среднего арифметического
η таких измерений, взятого в качестве значения измеряемой величины, равен
σ/y/n, где σ — вероятная погрешность отдельного измерения.
оо
3. Напомним, что функция А(х) = Σ апхп называется производящей фун-
п=0
кцией последовательности αο,αι,...
Пусть даны две последовательности {а&}, {Ьк}- Если считать, что а& =
= bk = 0 при к < 0, то свертку последовательностей {а&}, {6&} естественно
определить как последовательность < с& = Y2ambk-m \· Покажите, что
производящая" функция свертки двух последовательностей равна произведению
производящих функций этих последовательностей.
4. а) Проверьте, что если свертка и * ν определена и одна из функций w, υ,
периодична с периодом Т, то и *ν — тоже Т-периодическая функция.
b) Докажите теорему Вейерштрасса об аппроксимации непрерывной
периодической функции тригонометрическими полиномами (см. замечание 5).
c) Докажите усиленные варианты аппроксимационной теоремы
Вейерштрасса, указанные в замечании 4.
5. а) Пусть компакт К С К. содержит строго внутри себя замыкание Ε
множества Ε из утверждения 5. Покажите, что в этом случае f f(y)Ak(x —
κ

556 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
-y)dy=t f(x) на Ε.
b) Из разложения (1 - z)~l = 1 + ζ + ζ2 + ... выведите, что д(р,в) :=
c) Проверьте, что при 0 ^ ρ < 1
Рр(0) :=Re#(p,0) = - + pcos0 + р2 cos20 + ...;
функция Ρρ(θ) имеет вид
1 1-р2
Рр(0) =
2 1-2pcos0 + p2
и называется ядром Пуассона для круга.
d) Покажите, что семейство зависящих от параметра ρ Ε [0,1[ функций
2π
Рр(0) обладает следующим набором свойств: ΡΡ(Θ) ^ 0, i J Ρρ(θ)άθ = 1,
о
2π-ε
/ Рр(0) d0 ^ 0 при ρ -> 1 - 0.
е) Докажите, что если / Ε (7[0,2π], то функция
2π
η(ρ,θ) = ί ίPp(e-t)f(t)dt
— гармоническая в круге ρ < 1 и w(p, 0) =4 /(0) при ρ —» 1 — 0. Таким образом,
ядро Пуассона позволяет строить гармоническую в круге функцию, имеющую
заданные граничные значения на границе круга.
f) Для локально интегрируемых функций и и ν в случае, когда они
периодические, причем с одинаковым периодом Т, можно корректно определить
операцию свертки (свертки по периоду) следующим образом:
а+Т
(u*v)(x) := / u(y)v(x — y)dy.
а
Периодические функции на Ε можно интерпретировать как функции,
заданные на окружности, поэтому введенную операцию естественно считать
определением свертки двух функций, заданных на окружности.
Покажите, что если /(0) — локально интегрируемая 27г-периодическая
функция на Ш. (или, что то же самое, / — функция на окружности), а семейство
Ρρ(θ) зависящих от параметра ρ функций обладает свойствами ядра
Пуассона, перечисленными в d), то (/ * Рр 1 (0) —> /(0) при ρ —> 1 — 0 в любой точке
непрерывности функции /.

§4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ
557
6. а) Пусть φ{χ) := α-exp ( —^ ) при \х\ < 1 и φ{χ) := О при \х\ ^ 1; α —
постоянная, выбираемая из условия f φ (χ) dx = 1. Проверьте, что при а —> +0
семейство функций φα(χ) = -&ψ (§) является <5-образным семейством функций
класса Cq на Е.
b) Для любого промежутка /С1и любого ε > 0 постройте функцию е(ж)
класса Cq такую, что 0 ^ е(х) ^ 1 на Е, е(х) = 1^жЕ/и, наконец, supp e С
С Ιει где Ιε—ε-окрестность (или ε-раздутие) множества I в Е. (Проверьте,
что при соответствующем значении а > 0 в качестве е(х) можно взять χι*φα·)
c) Докажите, что для любого ε > 0 существует такой счетный набор {е&}
функций ek Ε Cq (ε-разбиение единицы на Ε), который обладает
следующими свойствами: Vfc Ε N, V# Ε .Ε (0 ^ е^(ж) ^ 1); диаметр носителя suppe^
любой функции семейства не превосходит ε > 0; любая точка χ Ε Ε
принадлежит лишь конечному числу множеств supp е&; ]Г е& (х) = 1 на Е.
d) Покажите, что, каково бы ни было открытое покрытие {С/7,7 Ε Γ}
открытого множества G С Ε и какова бы ни была функция φ Ε C^°°^(G),
существует такая последовательность {yv,fc Ε Ν} функций φ^ Ε Cq , которая
обладает следующими свойствами: Vfc Ε Ν, З7 Ε Γ (supp φ^ С t/7); любая точка
χ Ε G принадлежит лишь конечному числу множеств supp^; Σ <£&(#) = у>(#)
на G.
e) Докажите, что множество функций Cq , интерпретируемых как
обобщенные функции, всюду плотно в соответствующем C^°°\G) множестве
регулярных обобщенных функций.
f) Две обобщенные функции F\, F2 из V (G) считаются совпадающими на
открытом множестве U С G, если для любой функции φ Ε T)(G)^ носитель
которой лежит в U, выполняется равенство (Fi,<^) = (F2,y>). Обобщенные
функции Fi, F2 считаются локально совпадающими в точке χ € G, если они
совпадают в некоторой окрестности С/(я) С G этой точки. Докажите, что
(Fi = F2) & (F\ = F2 локально в любой точке ж Ε G).
7. а) Пусть φ(χ) := ехр ί —-^— 1 при \х\ < 1 и <^(я) := 0 при \х\ ^ 1.
Покажите, что для любой локально интегрируемой на Ε функции / выполняется
соотношение J /(χ)φε(χ) dx —> 0 при ε —> +0, где φε(χ) = φ (f).
R
b) Учитывая предыдущий результат и то обстоятельство, что (δ,φε) =
= φ(0) ф 0, докажите, что обобщенная функция J не является регулярной.
c) Покажите, что существует последовательность регулярных
обобщенных функций (даже отвечающих функциям класса Cq ), которая сходится
bD'k обобщенной функции <5. (На самом-то деле любая обобщенная функция
является пределом регулярных обобщенных функций, отвечающих функциям

558 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
из V = Cq . В этом смысле регулярные обобщенные функции образуют
всюду плотное в V множество, подобно тому как рациональные числа Q всюду
плотны в множестве Ш. всех действительных чисел.)
8. а) Вычислите значение (F, φ) обобщенной функции F Ε V на функции
φ е V, если F = sinx<5; F = 2cosx6; F = (1 +χ2)δ.
b) Проверьте, что операция F *-> ipF умножения на функцию ψ Ε С^°°^
является непрерывной операцией в V.
c) Проверьте, что линейные операции над обобщенными функциями
непрерывны в V.
9. а) Покажите, что если F — регулярное распределение, порожденное
л. » t( \ ί 0 при χ ίξ 0, „, „ „
функцией fix) = < п то г = Я, где Η — распределение,
ух при χ > U,
отвечающее функции Хевисайда.
Ь) Вычислите производную от распределения, отвечающего функции \х\.
10. а) Проверьте справедливость следующих предельных переходов в V:
lim — = π<5; lim — = 7пг<5; lim — = = In Ы.
<*->·+ο a^ + az <*->·+ο aJ + ar <*->·+ο ar + α"2
b) Покажите, что если / = f(x) —локально интегрируемая на Ε функция,
а Д = /(ж + ε), то Д ->· / в V при ε ->· 0.
c) Докажите, что если {Δα} — <5-образное семейство гладких функций при
χ
а —> 0, то Fa = J Aa(t)dt —> Η при а —> 0, где Η — обобщенная функция,
—оо
отвечающая функции Хевисайда.
11. а) Через δ (χ—а) обычно обозначают «сдвинутую в точку α δ-функцию»,
т.е. обобщенную функцию, действующую на функции ^Е^по правилу (δ(χ —
— α),φ) = φ (а). Покажите, что ряд ]Г δ(χ — к) сходится в V.
b) Найдите производную функции [х] ([х] — целая часть числа х).
c) 27г-периодическая функция на Ε в пределах промежутка ]0,2π] задана
формулой /|]ο,2π](ζ) = 2 ~ !йр· Покажите, что /' = -^ + ]Г δ(χ - 2пк).
kez
d) Проверьте, что δ(χ — ε) —> δ (χ) при ε —> 0.
e) Обозначая, как и прежде, сдвинутую в точку ε <5-функцию через δ (χ—ε),
покажите прямым вычислением, что -(δ(χ — ε) — δ (χ)) —> —δ'(χ) = —δ'.
ΐ) Исходя из предыдущего предельного перехода, интерпретируйте —δ'
как распределение зарядов, соответствующее диполю с электрическим
моментом +1, расположенному в точке χ = 0. Проверьте, что (—<5',1) = 0 (полный
заряд диполя равен нулю) и что (—<5', х) = 1 (его момент действительно
равен 1).
g) Важным свойством <5-функции является ее однородность: δ(Χχ) =
= λ-1 δ (χ). Докажите это равенство.

§ 4. СВЕРТКА ФУНКЦИЙ
559
12. а) Для обобщенной функции F, заданной в виде (F, φ) = f ^/χφ(χ) dx,
о
проверьте следующие равенства:
+оо
О
о
+оо
1 Г φ(χ) - φ(0)
χ3/2
о
dx:
+оо
{F '^ = 8 У хЧ> dX>
<^)=(-χ)"Τ~3)!!
ч
+00ψ(χ) - φ(0) - χψ'(0) - ... - £^<»-2)(0)
—- αχ.
2π+1
Ж 2
0
b) Покажите, что если η — 1 < ρ < η и обобщенная функция х+р задана
соотношением
, _р г Τψ(χ) - v(0) - V(o) -... - ^т^(га-2)(0) j
(V.v):= у —Р <&.
о
то ее производной является функция — рт+ , определяемая соотношением
О
13. Определяемая равенством
+оо / / — ε +оо\
^■■--^r-fH-MhlY-f
dx
обобщенная функция обозначается символом V-. Покажите, что:

560 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
b)(\n\x\y=Vl
с) ί(νί)',φ\ = +f *(*) + *("*)-МО) cfe.
14. С определением произведения обобщенных функций могут возникнуть
сложности: например, функция |ж|-2/3 абсолютно интегрируема (в
несобственном смысле) на Е; она порождает соответствующую обобщенную функцию
+оо
f \χ\~2^φ(χ) dx, но квадрат ее |я|-4/3 уже не является интегрируемой функ-
— оо
цией даже в несобственном смысле. Ответы на следующие вопросы
показывают, что в V принципиально нельзя определить естественную ассоциативную
и коммутативную операцию умножения любых обобщенных функций.
a) Покажите, что для любой функции / Ε С(°°) имеет место равенство
f(x)s = №)δ.
b) Проверьте, что
c) Если бы операция умножения была распространена на любые пары
обобщенных функций, то она по крайней мере не была бы ассоциативной и
коммутативной, иначе
0 = 0Г- = (χδ(χ))Τ- = (δ(χ)χ)ν- = δ(χ) (xV-) = δ(χ)1 = Щх) = δ.
χ χ χ \ χ)
15. а) Покажите, что фундаментальное решение Ε для линейного
оператора А: V —> £>', вообще говоря, определено неоднозначно — с точностью до
любого решения однородного уравнения Af = 0.
b) Рассмотрим дифференциальный оператор
/ d \ dn dn~l
Покажите, что если щ = щ(х) такое решение уравнения Ρ (ж, -э- 1 щ =
= 0, которое удовлетворяет начальным условиям ио(0) = ... = ик0 }(0) = 0,
ио (0) — 1) то Функция Е(х) = Н(х)ио(х) (где Н(Х) — функция Хевисайда)
является фундаментальным решением для оператора Ρ Iж, ^).
c) Найдите указанным способом фундаментальные решения для
операторов
(£+α)' (έ+α2)' £· (έ+Τ' тек
d) Используя полученные результаты и свертку, найдите решения уравне-
ний ££ = /, \ш+аТ = /· гДе / е C(R'E)·

§ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 561
§ 5. Кратные интегралы, зависящие от параметра
В первых двух пунктах этого параграфа будут указаны свойства
собственных и несобственных кратных интегралов, зависящих от
параметра. Общий итог этих пунктов состоит в том, что основные
свойства кратных интегралов, зависящих от параметра, по существу не
отличаются от соответствующих свойств подробно рассмотренных выше
одномерных интегралов, зависящих от параметра. В третьем пункте
мы рассмотрим важный для приложений случай несобственного
интеграла, особенность которого сама зависит от параметра. Наконец, в
четвертом пункте будет рассмотрена свертка функций многих
переменных и некоторые специфически многомерные вопросы обобщенных
функций, тесно связанные с интегралами, зависящими от параметра, и
классическими интегральными формулами анализа.
1. Собственные кратные интегралы, зависящие от
параметра. Пусть X — измеримое подмножество Rn, например,
ограниченная область с гладкой или кусочно гладкой границей; У— некоторое
подмножество Шп.
Рассмотрим зависящий от параметра у £ У интеграл
F(y) = Jf{x,y)dx, (1)
X
где функция / предполагается определенной на множестве Χ χ Υ и
интегрируемой на X при любом фиксированном значении у £ У.
Для интеграла (1) справедливы следующие утверждения.
Утверждение 1. Если ΧχΥ — компакт в Rn+m, и / £ С(Х χ У),
то F eC(Y).
Утверждение 2. Если У — область в Шт, f £ С(Х χ У) и ^L £
£ С(Х х У), то функция F дифференцируема в Υ по переменной уг, где
у = (у15---,у'5---5ут) и
X
Утверждение 3. Если X и Υ — измеримые компакты вШп и Мт

562 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
со ответственно j а } £ С(Х х У), то F £ C(Y) С 7£(У) и
j F(y) dy '·= fdy J /(*, y)dx = j dx j /(x, y) dy. (3)
Υ Υ Χ Χ Υ
Отметим, что значения функции / могут при этом лежать в любом
векторном нормированном пространстве Ζ. Важнейшие частные
случаи— когда Ζ есть R, С, W1 или О1. В этих случаях проверка
утверждений 1-3, очевидно, сводится к их доказательству при Ζ — R Но
при Ζ — Ш доказательства утверждений 1 и 2 дословно повторяют
доказательства соответствующих утверждений для одномерного интеграла
(см. гл. XVII, § 1), а утверждение 3 является простым следствием
утверждения 1 и теоремы Фубини (гл. XI, §4).
2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от
параметра. Если в интеграле (1) неограничены множество X С Шп или
функция /, то он понимается как несобственный кратный интеграл
(см. гл. XI, §6), т.е. как предел собственных интегралов, взятых по
множествам соответствующего исчерпания X. При исследовании
кратных несобственных интегралов, зависящих от параметра, как правило,
интересуются специальными исчерпаниями, подобными тем, которые
мы рассматривали в одномерном случае. В полном соответствии с
одномерным случаем из области интегрирования X при этом удаляют
ε-окрестность множества особых точек1), находят интеграл по
оставшейся части Χε множества X и затем находят предел значений
интегралов по Χε при ε -> +0.
Если указанный предельный переход является равномерным
относительно параметра у £ У, то говорят, что несобственный интеграл (1)
сходится равномерно на У.
Пример 1. Интеграл
F{\)= iie-x(x4y2Uxdy
^То есть точек, в любой окрестности которых функция / неограничена. Если и
множество X неограничено, то из X удаляется также окрестность бесконечности.

§ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 563
получается предельным переходом
Ц е-Ч*Чу2) dx dy := д [J е-х(хЧу2) dx dy
R2 x2+y2<^l/e2
и, как легко проверить, используя полярные координаты, он сходится
при λ > 0. Далее, на множестве Е\0 = {X £ R | λ ^ λο > 0} он сходится
равномерно, поскольку при λ £ Εχ0
0 < Π β-λ(χ2+*2> dx dy < И β-λ°(χ2+»2) dx dy,
χ2+2/2^1/ε2 χ2+2/2^1/ε2
а последний интеграл стремится к нулю, когда ε —> 0 (исходный
интеграл F(X) сходится при λ = λο > 0).
Пример 2. Пусть, как всегда, В(а,г) = {х е W1 \ \х — а\ < г} —
шар радиуса г с центром а £ W1, и пусть у £ Мп. Рассмотрим интеграл
УУ) J {l-\x\)« ε->+0 J (1-Й)"
5(0,1) Β(Ο,Ι-ε)
Переходя к полярным координатам в Мп, убеждаемся, что данный
интеграл сходится лишь при а < 1. Если значение α < 1 фиксировано,
то по параметру у интеграл сходится равномерно на любом компакте
УсКп, поскольку в этом случае \х - у\ ^ M(Y) £ R.
Отметим, что в рассмотренных примерах множество особых точек
интеграла не зависело от параметра. Таким образом, если принять
указанное выше понимание равномерной сходимости несобственного
интеграла с фиксированным множеством особых точек, то ясно, что все
основные свойства таких кратных несобственных интегралов,
зависящих от параметра, получаются из соответствующих свойств
собственных кратных интегралов и теорем о предельном переходе для семейств
функций, зависящих от параметра.
Мы не останавливаемся на переизложении этих в принципе уже
знакомых нам фактов, а предпочтем использовать развитый аппарат при
рассмотрении следующей весьма важной и часто встречающейся
ситуации, когда особенность несобственного интеграла (одномерного или
кратного) сама зависит от параметра.

564 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
3. Несобственные интегралы с переменной особенностью
Пример 3. Как известно, потенциал помещенного в точку χ £
£ R3 единичного заряда выражается формулой 17(ж, у) = ■ _ ., где у —
\х У\
переменная точка пространства М3. Если теперь заряд распределен в
ограниченной области Ictfc ограниченной плотностью μ(χ) (равной
нулю вне X), то потенциал U(y) так распределенного заряда (в силу
аддитивности потенциала), очевидно, запишется в виде
Щу) = [ Щх, уМх) dx= [ ^Щ. (4)
J J \х-у\
Μ3 Χ
Роль параметра в последнем интеграле играет переменная точка
у G R3. Если точка у лежит вне множества X, то интеграл (4)
собственный, если же у £ X, то \х — у\ —> О при X Э χ —> у и точка у
оказывается особой для интеграла. С изменением у эта особая точка,
таким образом, перемещается.
Поскольку U(у) = lim U£(y), где
ε->+0
Х\В(у,е)
то естественно, как и прежде, считать, что рассматриваемый
интеграл (4) с переменной особенностью сходится равномерно на
множестве У, если U£(y) =4 U(у) на Υ при ε —> +0.
Мы приняли, что \μ{χ)\ ^ Μ £ Ш на X, поэтому
Г μ(χ)άχ\ ΆΓ dx Λ w о
J 1^ — 2/1 J \х-у\
ХпВ(у,е)
В(у,е)
Эта оценка показывает, что \U(y) — Ue(y)\ ^ 2πΜε2 при любом у £
£ М3, т.е. в указанном смысле интеграл (4) сходится равномерно на
множестве Υ = R3.
В частности, если проверить, что функция U£(y) непрерывна по у,
то отсюда уже можно будет из общих соображений сделать вывод о
непрерывности потенциала U(y). Но непрерывность функции U£(y)
формально не вытекает из утверждения 1 о непрерывности собственного

§ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 565
интеграла, зависящего от параметра, так как в нашем случае с
изменением у меняется область интегрирования X \ В (у, ε). Рассмотрим
поэтому внимательнее вопрос о непрерывности функции U£(y).
Заметим, что при \у — уо| ^ ε
U (л.\ _ / л~ч~,~~ , / μ(χ)άχ
.«- / ΐ^+ /
\х-у\'
Х\В(у0,2е) (Х\В(у,е))пВ(уо2е)
Первый из этих двух интегралов при условии, что \у — уо\ < ε,
непрерывен по у (как собственный интеграл с фиксированной областью
интегрирования). Второй же интеграл по абсолютной величине не
превосходит
Mdx
J |s-y|
В(уо,2е)
= 8πΜε2.
Значит, при всех значениях у, достаточно близких к уо, будет
выполнено неравенство \Ue(y) — U£(yo)\ < ε + 16πΛΓε2, устанавливающее
непрерывность U£(y) в точке уо £ IR3.
Таким образом, показано, что потенциал U(y) является
непрерывной функцией во всем пространстве R3.
Разобранные примеры дают основание принять следующее общее
Определение 1. Пусть интеграл (1) является несобственным и
как таковой сходится при каждом значении у G У. Пусть Хе— часть
множества X, полученная удалением из X ε-окрестности множества
особых точек интеграла1), a F£(y) = f f(x,y)dx. Будем говорить, что
Хе
интеграл (1) сходится равномерно на множестве У, если F£(y) =3 F(y)
на Υ при ε —> +0.
Из этого определения и соображений, аналогичных тем, которые
были продемонстрированы в примере 3, немедленно вытекает
следующее полезное
Утверждение 4. Если функция f в интеграле (1) допускает
оценку |/(х,у)| ζ \х-у\*> где Μ е R, χ е X С W1, у е Υ С Шп и
а < п, то интеграл сходится равномерно на множестве Υ.
^См. сноску на стр. 562.

566 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Пример 4. В частности, на основании утверждения 4 заключаем,
что интеграл
χ
полученный формальным дифференцированием потенциала (4) по
переменной уг (г — 1,2,3), сходится равномерно на множестве Υ = R3,
поскольку
μ(χ)(χί -уг)
\х-у\3
^
Μ
на
\х-у\2'
Как и в примере 3, отсюда следует непрерывность функции V{(y)
Μ3.
Убедимся теперь в том, что на самом-то деле функция U(y)—по-
щиал (4)—имеет частную производную ^К и что ^(у) = Vi(y).
дуг дуг
Для этого, очевидно, достаточно проверить, что
б
\Ь
I
Уг{у\у\уЛ)ауг = и{у\у\УЛ)
Но действительно,
α α Χ
b b
-I
kX
μ(χ)άχ
\x-y\
= U(y)
y=a
уг=а
Единственное нетривиальное место в этой выкладке — изменение
порядка интегрирований. В общем случае для перестановки
несобственных интегрирований достаточно иметь абсолютно сходящийся по
совокупности переменных кратный интеграл. В нашем случае это
условие удовлетворено, поэтому выполненная перестановка законна. Ее,
конечно, можно обосновать и непосредственно благодаря простоте
рассматриваемой функции.

§ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 567
Итак, показано, что потенциал ?7(у), порожденный распределенным
в пространстве М3 зарядом ограниченной плотности, является
функцией, непрерывно дифференцируемой во всем пространстве.
Использованные в примерах 3 и 4 приемы и рассуждения позволяют
вполне аналогично рассмотреть следующую более общую ситуацию.
Пусть
F(y) = Ικ(ν-φ(χ))<ψ(χ,ν)άχ, (5)
χ
где Χ — ограниченная измеримая область в Мт; параметр у пробегает
область Υ С IRm, причем η ^ га; φ: X —> Rm—гладкое
отображение, удовлетворяющее условиям rang^'(x) = η, и ||^;(ж)|| ^ с > О, т.е.
φ задает n-мерную параметризованную поверхность, точнее, η — путь
в Rm; К е С (R™ \ 0,R), т.е. функция К (ζ) непрерывна в Rm всюду,
кроме точки ζ = 0, около которой она может быть и неограниченной;
ψ: Χ χΥ ^ Ш — ограниченная непрерывная функция. Будем считать,
что при каждом у £ Υ интеграл (5) (вообще говоря, несобственный)
существует.
В рассмотренном нами выше интеграле (4), в частности, было
η = га, φ(χ) = χ, ф(х,у) = μ(χ), Κ{ζ) — \ζ\
-ι
Нетрудно проверить, что при указанных ограничениях на
функцию φ определение 1 равномерной сходимости для интеграла (5)
означает, что по любому а > 0 можно выбрать ε > 0 так, что при любом
у G У будет
/
< «, (6)
К(у-(р(х))ф(х,у)ах\
\\ν-φ(χ)\<ε
где интеграл берется по множеству1) {х £ X \ \у — φ(χ)\ < ε}.
Для интеграла (5) справедливы следующие утверждения.
Утверждение 5. Если интеграл (5) с указанными при его
описании условиями на функции ψ, ψ, К сходится равномерно на Υ, то
FeC(Y,R).
^ Здесь мы считаем, что само множество X ограничено в Шп. В противном случае
к неравенству (6) надо еще приписать аналогичное неравенство, в котором интеграл
берется по множеству {х € X \ \х\ > 1/ε}.

568 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Утверждение 6. Если про интеграл (5) известно
дополнительно, что функция φ не зависит от параметра у (т. е. ф(х,у) = ψ{χ)),
а К £ С(1\Шт \ О, Ш), то при условии равномерной сходимости
интеграла
I w^y~φ(χ^^dx
χ
на множестве у £ Υ, можно утверждать, что функция F имеет
непрерывную частную производную ^—г, причем
дуг
BF Г ВК
w{y)=J w{y ~ф)Жх) dx- (7)
χ
Доказательства этих утверждений, как было сказано, вполне
аналогичны проведенным в примерах 3 и 4, поэтому мы на них не
останавливаемся.
Отметим лишь, что сходимость несобственного интеграла (при
произвольном исчерпании) влечет его абсолютную сходимость. В
примерах 3, 4 условие абсолютной сходимости использовалось нами в оценках
и при перестановке порядка интегрирований. В качестве иллюстрации
возможного использования утверждений 5, 6 рассмотрим еще один
пример из теории потенциала.
Пример 5. Пусть заряд распределен на гладкой компактной
поверхности ScR3c поверхностной плотностью заряда и(х). Потенциал
такого распределения заряда называется потенциалом простого слоя
и, очевидно, представляется поверхностным интегралом
J F -У\
s
Пусть ν — ограниченная функция; тогда при у £ S этот интеграл
собственный и функция U(y) бесконечно дифференцируема вне S.
Если же у £ 5, то интеграл имеет в точке у интегрируемую
особенность. Особенность интегрируема, так как поверхность S гладкая и в
окрестности точки у £ S мало отличается от куска плоскости Μ2, на
которой, как мы знаем, особенность типа 1/га интегрируема при а < 2.
Это общее соображение, используя утверждение 5, можно превратить
в формальное доказательство, если локально в окрестности Vy точки

§ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 569
у £ S представить S в виде χ = <p(t), где t £ Vt С Μ2 и rangy/ = 2.
Тогда
fis{x)da{x) _ f !/(¥?(<)) IA./&P д(Р\и+
J \x-y\ -J |y-V(t)lV W'^V '
и, применяя утверждение 2, убеждаемся еще и в том, что интеграл (8)
представляет функцию 17(у), непрерывную во всем пространстве М3.
Вне носителя заряда, как уже отмечалось, объемный потенциал (4)
и потенциал простого слоя (8) бесконечно дифференцируемы. Проводя
это дифференцирование под знаком интеграла, единообразно
убеждаемся в том, что вне носителя заряда потенциал, как и функция 1/|х —у|,
в R3 удовлетворяет уравнению Лапласа ΔΪ7 = 0, т.е. является в
указанной области гармонической функцией.
*4. Свертка, фундаментальное решение и обобщенные
функции в многомерном случае
а. Свертка в W1
Определение 2. Свертка и* ν определенных на W1 вещественно
или комплекснозначных функций w, v задается соотношением
(и * ν)(χ) := / u(y)v(x — у) dy. (9)
Пример 6. Сопоставляя формулы (4) и (9), можно заключить,
что, например, потенциал U распределенного в пространстве R3 с
плотностью μ(χ) заряда есть свертка (μ * Ε) функции μ и потенциала Ε
единичного заряда, помещенного в начало координат пространства Е3.
Соотношение (9) есть прямое обобщение рассмотренного в § 4
определения свертки. По этой причине все разобранные в §4 для случая
η — \ свойства свертки вместе с их выводами остаются в силе, если
там всюду заменить R на W1.
Дельтаобразное семейство в W1 определяется так же, как и в Μ с
заменой R на Rn и с пониманием U(0) как окрестности в W1 точки
ОеМп.
Понятие равномерной непрерывности функции /: G —> С на
множестве Ε С G, а вместе с ним и основное утверждение 5 § 4 о сходимости

570 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
свертки / * Δα к /, тоже со всеми деталями и следствиями переносится
на многомерный случай.
Отметим лишь, что в примере 3 и доказательстве следствия 1 из § 4
при определении функций Ап(х) и φ(χ) соответственно следует
заменить χ на \х\. Небольшие видоизменения ί-образного семейства,
приведенного в примере 4 § 4, потребуются для доказательства теоремы Вей-
ерштрасса об аппроксимации периодических функции
тригонометрическими полиномами. В этом случае речь идет о приближении функции
/(х1,... ,хп), непрерывной и периодической с периодами Τχ,
Т2,..., Тп по переменным я1, я2,..., хп соответственно.
Утверждение состоит в том, что для любого ε > 0 можно
предъявить тригонометрический полином от η переменных с
соответствующими периодами Τχ,Τ2,... ,ТП, который равномерно с точностью до ε
приближает / на W1.
Мы ограничимся этими замечаниями. Самостоятельная проверка
доказанных в §4 для η = 1 свойств свертки (9) в случае
произвольного η £ N будет для читателя простым, но полезным упражнением,
способствующим адекватному пониманию изложенного в § 4.
Ь. Обобщенные функции многих переменных. Остановимся
теперь на некоторых многомерных элементах введенных в § 4 понятий,
связанных с обобщенными функциями.
Пусть, как и прежде, C^°°\G) и Cq(G) — соответственно
обозначения множеств бесконечно дифференцируемых и финитных
бесконечно дифференцируемых в области G С W1 функций. Если G = Rn,
то будем применять сокращения С(°°) и Cq соответственно. Пусть
га := (rai,..., mn) — мультииндекс, а
(m) .= (JLY1 (_d_Yn
φ ' {дх1) '"'\дхп) φ'
вводится сходимость функций; как и в определении 7, §4
считается, что φ^ —> φ в Cq(G) при к —> оо, если носители всех
функций последовательности {φк} содержатся в одном и том же лежащем
в G компакте и для любого мультииндекса га φ^1 =4 φ^™' на G при
к —> оо, т. е. имеет место равномерная сходимость функций и всех их
производных.
После этого принимается

§ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 571
Определение 3. Линейное пространство Cq(G) с введенной
сходимостью обозначается через V(G) (при G = W1 через V) и
называется пространством основных или пробных функций.
Линейные непрерывные функционалы на V(G) называются
обобщенными функциями или распределениями. Они образуют линейное
пространство обобщенных функций, обозначаемое через V'(G) (или 2?',
еслиС = Мп).
Сходимость в D'(G), как и в одномерном случае, определяется как
слабая (поточечная) сходимость функционалов (см. §4, определение 6).
Определение регулярной обобщенной функции дословно
переносится на многомерный случай.
Остается прежним и определение ί-функции и смещенной в точку
хо G G ί-функции, обозначаемой через δ(χο) или чаще, но не всегда
удачно, через δ(χ - хо)·
Рассмотрим теперь некоторые примеры.
Пример 7. Положим
1 Ы2
At(x) := 7=—е й
где а > О, t > О, χ £ W1. Покажем, что эти функции,
рассматриваемые как регулярные распределения в Rn, сходятся в V' при t —> +0 к
^-функции W1.
Для доказательства достаточно проверить, что семейство
функций At является ί-образным в W1 при t —> +0.
Используя замену переменной, сведение кратного интеграла к
повторному и значение интеграла Эйлера - Пуассона, находим
,2 - /+°°
[At{x)dx = —^- [e Iwtl d(-iL^=_l_[ [ e~u2du
У n ; (V50n ^ \2aVV (\/^)n l У
Mn Mn Voo
Далее при любом фиксированном значении г > 0
В(0,г) Β(0ι_^_)
= 1.
когда ί —> +0.

572 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Учитывал, наконец, неотрицательность функций Δ^(χ), заключаем,
что они действительно составляют ί-образное семейство функций в W1.
Пример 8. Обобщением ί-функции (отвечающей, например,
единичному заряду, помещенному в начало координат пространства W1)
является следующая обобщенная функция Ss (отвечающая
распределению заряда по кусочно гладкой поверхности S с единичной
поверхностной плотностью распределения). Действие Ss на функции φ £ V
определяется соотношением
(*s,¥>) := / ψ{χ)άσ.
s
Распределение Ss, так же как и распределение ί, не является
регулярной обобщенной функцией.
Умножение распределения на функцию из V определяется в W1 так
же, как и в одномерном случае.
Пример 9. Если μ £ D, то μί# есть обобщенная функция,
действующая по закону
№s,V>) = / φ(χ)μ(χ)άσ. (10)
S
Если бы функция μ(χ) была определена только на поверхности 5,
то равенство (10) можно было бы рассматривать как определение
обобщенной функции μί£· Так вводимая обобщенная функция по
естественной аналогии называется простым слоем на поверхности S с
плотностью μ.
Дифференцирование обобщенных функций в многомерном случае
определяется по тому же принципу, что и в одномерном, но имеет
некоторую специфику.
Если F £ V(G) и G С Rn, то обобщенная функция ^ определяется
дхг
соотношением
Отсюда следует, что
(F(m>,V> = (-l)N(F,p(m)),
(И)

§ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 573
η
где т — (mi,..., тш) — мультииндекс и \т\ — Σ πΐ{.
г=1
рр тр рр тр
Естественно проверить, что . . = . .. Но это следует из ра-
дхгдх3 дх3дхг
венства правых членов соотношений
дх1дх1 '*/ \ ' дх^дх1
I d2F \ _ / д2<р \
\ дхздх* ,φ/\ ' дх*дх> /
вытекающего из классического равенства . f . = . f i, справедли-
(JX (JX (JX (JX
вого для любой функции φ £ V.
Пример 10. Рассмотрим теперь оператор D = Σ amDm, где m =
га
(β \ГП\ / β \ΤΠη
—[) · ... · у —) , %-
числовые коэффициенты, а сумма распространяется на некоторый
конечный набор мультииндексов. Это дифференциальный оператор.
Транспонированным по отношению к оператору D или
сопряженным к D называется оператор, обозначаемый обычно символом lD
или D* и определяемый соотношением
(DF,tp)=-(F, *D<P),
которое должно быть выполнено при любых φ £ V и F £ V. Исходя из
равенства (11), можно теперь написать явную формулу
^D = ]T(-l)HamjD™
га
для оператора, сопряженного к указанному дифференциальному
оператору D.
В частности, если все значения \гп\ четны, оператор D оказывается
самосопряженным, т. е. для него lD — D.
Ясно, что операция дифференцирования в D'(Rn) сохраняет все
свойства дифференцирования в ТУ (Ж). Рассмотрим, однако, следующий
специфически многомерный и важный
Пример 11. Пусть S — гладкое (п — 1)-мерное
подмногообразие Rn, т.е. S — гладкая гиперповерхность. Предположим, что
определенная на W1 \ S функция / бесконечно дифференцируема и все ее

574 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
частные производные имеют предел в каждой точке χ £ S при
одностороннем подходе к χ с любой стороны (локально) поверхности S.
Разность между этими пределами будет скачком I -^4
рассматриваемой частной производной в точке х, соответствующим определенному
направлению прохода сквозь поверхность S в точке х. При изменении
этого направления меняется знак скачка. Скачок, таким образом,
можно считать функцией на ориентированной поверхности, если, например,
условиться, что направление прохода задается ориентирующей
поверхность нормалью.
Функция —U определена, непрерывна и локально ограничена вне 5,
дхг
причем в силу сделанных допущений / локально является финально
ограниченной при подходе к самой поверхности S. Поскольку S —
подмногообразие Rn, как бы мы ни доопределили —U на 5, мы получим
функцию с разрывами разве что на 5, и потому локально
интегрируемую в Еп. Но интегрируемые функции, отличающиеся на множестве
меры нуль, имеют равные интегралы, поэтому, не заботясь о
значениях на 5, можно считать, что -^4 порождает некоторую регулярную
дхг
обобщенную функцию
{Ц}
, действующую по закону
({&}")-№-)»*■
Покажем теперь, что если / рассматривать как обобщенную
функцию, то в смысле дифференцирования обобщенных функций имеет
место следующая важная формула:
iHi?}+(,/)scosa'is· (12)
где последний член понимается в смысле равенства (10); {I f)s —
скачок функции / в точке χ Ε 5, соответствующий любому (из двух
возможных) направлению единичной нормали η к S в точке х, a coso^—
проекция η на ось хг (т. е. η — (cos αχ,..., cos α*)).
< Формула (12) обобщает равенство (17) из §4, которое мы и
используем при ее выводе.

§ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 575
Рассмотрим для определенности случай, когда г — 1. Тогда
+оо
х2...хп — оо
Г +оо
= f ... j dx2...dxn \(ΐ/)φ+ J §^Vdxl
= Ι ^ψ dx+[...[ (I f)<pdx2 ... dxn.
Rn
Здесь скачок I f функции / берется в точке χ — (χ1, χ2,..., χη) £ S
при прохождении через нее в направлении координатной оси х\. В этой
же точке берется значение функции ψ при вычислении произведения
(Ι ί)ψ. Значит, последний интеграл можно записать в виде
поверхностного интеграла первого рода
/ (-T/)^COSQ!i da,
s
где ot\ — угол между направлением оси χ χ и нормалью к S в точке х,
направленной так, что при прохождении через точку χ £ S в
направлении этой нормали функция / имеет именно полученный нами скачок
If. Это означает всего-навсего, что cos а,\ ^ 0. Остается заметить, что
если выбрать другое направление нормали, то для него одновременно
изменят знак и скачок функции и косинус угла между направлением
оси х1 и направлением нормали, значит, произведение {If) cos αχ при
этом не изменится. ►
Замечание 1. Как видно из проведенного доказательства,
формула (12) имеет место уже тогда, когда для функции / определен
скачок {I f)s в любой точке χ Ε 5, а вне S существует частная
производная -^г, локально интегрируемая в W1 хотя бы в несобственном смысле,
дхг
порождающая регулярную обобщенную функцию
{Ц}-

576 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Замечание 2. В точках χ £ S, в которых направление оси х1 не
трансверсально S, т. е. касательно к S, могут возникнуть затруднения
в определении скачка ί / по такому направлению. Но из доказательства
формулы (12) видно, что последний ее член получен в связи с
интегралом
[(If^dx2...dxn.
х2...хп
Проекция на плоскость х2,...,хп множества Ε указанных точек
имеет (п — 1)-мерную меру нуль и потому не влияет на значение
интеграла. Значит, форму (12) можно считать имеющей смысл и
справедливой всегда, если при coso^ = 0 символу (i/)scosa^ приписывать
значение нуль.
Замечание 3. Аналогичные соображения позволяют
пренебрегать и множествами, имеющими площадь нуль, поэтому формулу (12)
можно считать доказанной и для кусочно гладких поверхностей.
В качестве следующего примера покажем, как из
дифференциального соотношения (12) непосредственно получается классическая
интегральная формула Гаусса-Остроградского, причем в том наиболее
свободном от излишних аналитических требований виде, о котором мы
в свое время поставили читателя в известность.
Пример 12. Пусть G — конечная область в Rn, ограниченная
кусочно гладкой поверхностью S; А — (А1,..., Ап) —векторное поле,
непрерывное в G и такое, что функция div А — ]П —τ определена в G и
г=1 дхг
интегрируема в G хотя бы в несобственном смысле.
Если считать, что вне G поле А равно нулю, то скачок такого поля
в любой точке χ границы S области G при выходе из области G равен
—А(х). Полагая, что η — единичный вектор внешней нормали к 5,
применяя формулу (12) к каждой компоненте Аг поля А и, суммируя эти
равенства, приходим к соотношению
div A = {div A} - {А · n)Ss, (13)
в котором А · η — скалярное произведение векторов А и η в
соответствующей точке χ £ S.
Соотношение (13)—это равенство обобщенных функций.
Применим его к функции φ £ Cq , равной единице на G (существование и
/

§ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 577
построение такой функции уже неоднократно обсуждалось). Поскольку
для любой функции ψ £ V
(div Α,φ) = - ί{Α · νφ) dx (14)
(что вытекает непосредственно из определения дифференцирования
обобщенной функции), то для нашего поля А и функции ч/>, очевидно,
(divA,^) = 0. Но с учетом равенства (13) это дает соотношение
0 = ({div А},ф)- ((A -n)6s,il>),
которое в классической записи
0= [divAdx- [(A-n)da (15)
G s
совпадает с формулой Гаусса-Остроградского.
Разберем еще несколько важных примеров, связанных с
дифференцированием обобщенных функций.
Пример 13. Рассмотрим векторное поле А = -^, определенное
W
в К3 \ 0, и покажем, что в пространстве D'(R3) обобщенных функций
имеет место равенство
|з
(ϋντ^ο =4πί. (16)
\χ\
Заметим сначала, что при χ ф 0 в классическом смысле div -^ = 0.
W
Теперь, используя последовательно определение div А в виде
соотношения (14), определение несобственного интеграла, равенство
div-^r = 0 при χ ф 0, формулу (15) Гаусса - Остроградского и фи-
нитность функции φ, получаем
\div jija' у = ~ j (щз · УФ)) dx =

578 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
= lim - / ( —^ · νφ(χ) J dx =
*->+ο J \\х\г ^v 7
ε<|ζ|<1/ε
= lim - f div (?prt) dx =
ε^+O J \ |x|3 J
Cl/ε
/ φ{χ)^τ da = Απφ{0) = (4π5, φ).
J \χ\ά
ε<|χ|<1/ε
= lim
ε-Ц-О
Для оператора A: V(G) —> V(G), как и прежде,
фундаментальным решением назовем обобщенную функцию Ε С D'(G), для которой
А{Е) = δ.
Пример 14. Проверим, что в D'(R3) регулярная обобщенная
функция Е(х) — — τ-Π является фундаментальным решением оператора
Действительно, Δ = divgrad, a grad£7(x) = —Ξ_ При χ Φ О, поэтому
4π|χ|
равенство divgrad£7 = ί вытекает из доказанного соотношения (16).
Можно, как и в примере 13, проверить, что при любом η £ Ν, η ^ 2,
divR^^' (16,)
2πη/2
где ση = ρ/ у2ч — площадь единичной сферы в W1.
Отсюда с учетом соотношения Δ = div grad можно заключить, что
Δ1η|Χ| =2πί в R2
и
Δ—^ = -(η - 2)σηί в Rn, n > 2.
Пример 15. Проверим, что функция
2
„, ч Hit) _J-|i

§ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 579
где χ £ Rn, t £ Μ, a if — функция Хевисайда (т. е. мы полагаем Е(х, t) —
— О при t < 0), удовлетворяет уравнению
(д 2
Δ \Ε = δ.
Здесь Δ — оператор Лапласа по χ в W1, а δ = δ(χ,ί) есть й-функция
в Щ χ Щ = JR"+1.
и прямым дифференцированием
убеждаемся в том, что
- а2 А )Е = 0 при t > 0.
д_
dt
Учитывая это обстоятельство, а также результат примера 7, для
любой функции φ £ D(Rn+1) получаем
(jt - α2Δ^ Ε,φ^ = - (ε, (^+α2Α)ψ) =
\dt
— lim
ε->+0
= lim
ε->+0
= - ί dt Ι Ε(χ,ί)(-£+α2Αφ) dx =
0 Μ™
+οο
= - lim / dt / £(χ,ί) ( -^- + α2Αφ) dx =
ε Rn
+οο
/ Ε(χ,ε)φ{χ,0)άχ + dt (— a2AE J φάχ\
.Rn ε Rn J
/ Ε(χ, ε)φ(χ, 0) dx + / Ε(χ, ε)(φ(χ, ε) - φ(χ, 0)) dx
Rn Rn J
= lim / Ε(χ,ε)φ(χ,0)άχ = φ(0,0) = (δ, φ).
Пример 16. Покажем, что функция
E(x,t) = —H(at-\x\),

580 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
где α > 0, ж G 1^, t G ij, Η— функция Хевисайда, удовлетворяет
уравнению
д2 2д2\
dt2~ad^)E=^
в котором δ = S(x,t) есть «^-функция пространства V(M}C χ Щ) =
= £>'(
Пусть φ € £>(R2), полагая для краткости Da := —-^ — а2-^, находим
д? дх'
(ΠαΕ,φ) = (Ε,Παφ) = ί dx f E(x,t)na<p(x,t)dt =
+00 +00 +00 at
=hhId>-V4^=
-00 \x[ 0 — at
a
+OO +OO
=-έ/Ι(^)--Ι/[^')-Ι<-'·Φ-
-oo 0
H-oo +00
о о
= \φ(0,0) + ±φ(0,0) = φ(0,0) = (δ,φ).
В § 4 мы достаточно подробно изложили роль аппаратной функции
оператора и роль свертки в задаче определения входного воздействия и
по выходу и линейного оператора Аи = и, сохраняющего сдвиги. Все
изложенное там по этому поводу без изменений переносится на
многомерный случай. Значит, если нам известно фундаментальное решение Ε
оператора А, т.е. если АЕ — ί, то можно предъявить и решение и и
уравнения Аи = / в виде свертки и — / * Ε.
Пример 17. Используя функцию E(x,t) примера 16, можно,
таким образом, предъявить решение
t x+a(t—r)
u(x,t) = ±Jdr j №τ)άξ
0 x-a(t-r)

§ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 581
уравнения
д2и 2д2и _
др а дх2 " L
являющееся сверткой / * Ε функций / и Е, заведомо существующей в
предположении, например, непрерывности функции /.
Непосредственным дифференцированием возникшего интеграла по параметрам легко
проверить, что u(x,t)— действительно решение уравнения Ώαυ, = /.
Пример 18. Аналогично на основе результата примера 15
находим решение
* _ 2
u{x,t) = Idr f {(£'τ) e"4J?(fedg
V J J J [2aJv{t - τ)Υ
0 Rn
уравнения ^ — Au = /, например, в предположениях
непрерывности и ограниченности функции /, обеспечивающих существование
написанной свертки / * Е. Отметим, что эти предположения делаются
для примера и далеки от обязательных. Так, с точки зрения
обобщенных функций можно было бы ставить вопрос о решении уравнения
π—Au = /, допуская в качестве /(х, t) обобщенную функцию φ(χ)·δ(ί),
где φ <E£>(Rn), а δ <Е V(R).
Формальная подстановка такой функции / под знак интеграла
приводит к соотношению
V J J [2ay/irt\n
[2ау/тп\п
Применяя правила дифференцирования интеграла, зависящего от
параметра, можно убедиться, что эта функция является решением
уравнения ^ — а2Аи — О при t > 0. Отметим, что u(x,t) —> φ(χ), когда
t —> +0. Это вытекает из результата примера 7, где была установлена
ί-образность встретившегося здесь семейства функций.
Пример 19. Наконец, вспоминая полученное в примере 14
фундаментальное решение оператора Лапласа, в трехмерном случае находим
решение
«м-/Г
J \х ~
il

582 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
уравнения Пуассона Аи — —4π/, которое с точностью до обозначений
и перенормировки совпадает с рассмотренным нами ранее
потенциалом (4) распределенного в пространстве с плотностью / заряда.
Если в качестве функции / взять is(x)Ss, где S — кусочно гладкая
поверхность в М3, то формальная подстановка в интеграл приводит к
функции
HOMO
\*-t\ '
являющейся, как мы знаем, потенциалом простого слоя, точнее,
потенциалом заряда, распределенного по поверхности S С IR3 с
поверхностной плотностью и(х).
Задачи и упражнения
1. а) Рассуждая, как и в примере 3, где была установлена непрерывность
объемного потенциала (4), докажите непрерывность потенциала простого
слоя (8).
Ь) Проведите полное доказательство утверждений 4 и 5.
2. а) Покажите, что для любого множества Мс1пи любого е > О можно
построить функцию / класса С^°°^ (W1, Ε), удовлетворяющую следующим трем
условиям одновременно: Уж 6 1п (0 ^ f{x) ^ 1); Ух е Μ (f(x) = 1); supp/ С
С Με, где Με— ε-раздутие (т.е. ε-окрестность) множества М.
Ь) Докажите, что для любого замкнутого в Шп множества Μ существует
такая неотрицательная функция / Ε С^°°^(ЕП,Е), что (f(x) = 0) <& (х е М).
3. а) Решите задачи 6 и 7 из § 4 применительно к случаю пространства W1
произвольной размерности.
Ь) Покажите, что обобщенная функция <5$ (простой слой) не является
регулярной.
4. Используя свертку, докажите следующие варианты аппроксимационной
теоремы Вейерштрасса.
a) Любую непрерывную на компактном n-мерном промежутке I С W1
функцию f: Ι —ϊ Ж можно равномерно приблизить на нем алгебраическим
многочленом от η переменных.
b) Предыдущее утверждение остается в силе, даже если заменить /
произвольным компактом К С Ш и считать, что / Ε С (К,С).
c) Для любого открытого в Еп множества G С Мп и любой функции
/ Ε C(m)(G,R) найдется такая последовательность {Рк} алгебраических
многочленов от η переменных, что при любом мультииндексе а = (αχ,..., ап)
таком, что |а| ^ га, на каждом компакте К С G будет Р^ =4 /^ при
к —> ос.
и(х) = I

§ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 583
d) Если G — ограниченное открытое подмножество Ж1 и / Ε C(°°)(G,R),
то существует такая последовательность {Рк} алгебраических многочленов
от η переменных, что при любом а = (αι,...,αη) Ρ^ =4 /^ на G, когда
к —> оо.
e) Любую периодическую с периодами ΤΊ, Τ2,..., Тп по переменным х1,...,
жп функцию / е C(Rn,M) можно в Еп равномерно аппроксимировать
тригонометрическими многочленами от η переменных, имеющими те же периоды
Τι,Τ2,... ,Тп по соответствующим переменным.
5. Эта задача содержит дальнейшие сведения об усредняющем действии
свертки.
а) На основе числового неравенства Минковского в свое время при ρ ^ 1
мы получили интегральное неравенство Минковского
/ \а(х) +Ь(х)\
Оно в свою очередь позволяет предугадать следующее обобщенное
интегральное неравенство Минковского:
f \ \Р \1/р / \ I/P
j\jf{x,y)dy\ dx\ ^ I lj\f\p(x^)dx\ dy.
Докажите это неравенство, считая что ρ ^ 1, что Χ, Υ — измеримые
множества (например, промежутки в Ет и W1 соответственно) и что правая часть
неравенства конечна.
b) Применив обобщенное неравенство Минковского к свертке / * д,
покажите, что при ρ ^ 1 имеет место соотношение ||/ * д\\р ^ ||/||ι · ||^||р, где, как
/ \ 1/р
всегда, \\и\\р = I j \u\p(x)dx j
c) Пусть φ е С^(!",»), причем О ^ φ{χ) ^ 1 на W1 и f φ{χ)άχ = 1.
Положим φε(χ) := ^φ (§■) и /ε := / * ^ при ε > 0. Покажите, что если / Ε
Ε 7гр(Еп) (т.е. если существует интеграл J \f\p(x)dx), то fe e С(°°>(W1,Ж) и
ИЛИ, < И/11,».
Отметим, что функцию fe часто называют усреднением функции f с
ядром φε.
d) Сохраняя предыдущие обозначения, проверьте, что на любом
промежутке I CW1 справедливо следующее неравенство:
НЛ-/||р,/ ^ sup ||тл/-/||Р|/,
\h\<s

584 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
где |Η|Ρϊ/ = ( f \и\р(х) dxj , a Thf(x) = f(x - Λ).
e) Покажите, что если / Ε 7£p(Rn), то Цгд/ - /||р>/ ->■ 0 при Λ -» 0.
f) Докажите, что для любой функции / Ε 7£p(Rn), ρ ^ 1 справедливы
соотношения ||Д||Р ^ ||/||р и ||Д - /||р -► 0 при ε -> +0.
g) Пусть 1ZP(G) —векторное с нормой || ||Pjg? пространство абсолютно
интегрируемых на открытом множестве Gcln функций. Покажите, что
функции класса C^°°^(G) Π 1ZP(G) образуют всюду плотное подмножество 1ZP(G)
и что это же верно и для множества Cq (G) Π ΊΖΡ (G).
h) Случаю ρ = ос в предыдущей задаче можно сопоставить следующее
утверждение: любую непрерывную на G функцию можно в G равномерно
аппроксимировать функциями класса C^°°^(G).
i) Если / — Т-периодическая локально абсолютно интегрируемая на Ε фун-
(а+Т \1/Ρ
кция, то, полагая ||/||р,т = I / \f\p(x)dx I , будем через ΊΖ^ обозначать
линейное пространство с указанной нормой. Докажите, что \\fe — /||р,т —> 0
при ε -> +0.
j) Пользуясь тем, что свертка двух функций, из которых одна
периодическая, сама периодична, покажите, что гладкие периодические функции
класса С(°°) всюду плотны в ΊΖρ.
6. а) Сохраняя обозначения примера 11 и используя формулу (12),
проверьте, что если / Ε C(1)(Rn \ 5), то
d2f
dxldxi
i = {£L·} + έ(( J/)scosaj(5s) + ( J ^οοβα,ί*.
b) Покажите, что сумма У2 ( Ϊ -^t) cos α* равна скачку ( I Ш-) нор-
i-i \ дхг / s \ ση/ s
мальной производной от функции / в соответствующей точке χ Ε 5, причем
этот скачок не зависит от направления нормали и равен сумме ( -f^+ -&£-) (х)
нормальных производных от /, взятых в точке χ с обеих сторон
поверхности 5.
c) Проверьте соотношение
где ^—нормальная производная (т.е. (JfaFi4>) := ~ \F>?&))> a (J"/)s —
скачок функции / в точке χ Ε S в направлении нормали п.
d) Используя полученное выражение для Δ/, докажите справедливость

§ 5. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 585
классической формулы Грина
G S
в предположении, что G — конечная область в W1, ограниченная кусочно
гладкой поверхностью 5; /, φ Ε C^l\G) Π C^2\G), а стоящий слева интеграл
существует хотя бы как несобственный.
e) Покажите, что если <5-функция соответствует единичному заряду, по-
мещенному в начале координат 0 пространства Шп, и функция — -^- отвечает
диполю с электрическим моментом +1, расположенному в точке 0 и
ориентированному вдоль оси х1 (см. задачу Не) из §4), а функция v(x)8s — простой
слой, отвечает распределению зарядов по поверхности 5 с поверхностной
плотностью v(x), то функция —-tt-(v(x)8s), называемая двойным слоем, отвечает
распределению диполей по поверхности 5, ориентированных по нормали η и
имеющих поверхностную плотность момента ν (χ).
f) Полагая в формуле Грина φ = ■ _ ■ и используя результат примера 14,
покажите, что любая гармоническая в области G функция / класса C^(G)
представляется в виде суммы потенциала простого и двойного слоя,
расположенных на границе 5 области G.
7. а) Функция т—г является потенциалом напряженности А = —^
электрического поля, создаваемого в пространстве Е3 единичным зарядом,
помещенным в начало координат. Нам известно также, что
div ( - гтт 1 = 4π<5, div ( - т—гт 1 = 4πα<5, div grad ι — ) = 4π<5.
V Μ3/ V Μ3/ \\x\J
Исходя из этого, объясните, почему надо полагать, что функция U(x) —
= / У _ffi должна удовлетворять уравнению Δ С/ = —4πμ. Проверьте, что она
действительно удовлетворяет написанному уравнению Пуассона.
Ь) Физическое следствие формулы Гаусса-Остроградского, известное в
теории электромагнитного поля как теорема Гаусса, состоит в том, что
поток через замкнутую поверхность 5 напряженности электрического поля,
создаваемого распределенными в пространстве Е3 зарядами, равен Q/eq (cm.
с. 329), где Q — полный заряд в области, ограниченной поверхностью 5.
Докажите эту теорему Гаусса.
8. Проверьте следующие равенства, понимаемые в смысле теории
обобщенных функций.
а) ΔΕ = <5, если
ί ά1ηΜ
ВД= _ r(t) ■ ,_(n-
Ι 2π"/2(η-2)|Χ|
при хеШ2,
2> при жбГ, п > 2.

586 ГЛ. XVII. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
Ъ) (Δ + к2)Е = δ, если Е(х) = -\Vr или если Е(х) = -e-j-^- и χ 6 Ε3.
4π\х\ ν ' 4π|χ|
с) ПаЕ = <5, где оператор ϋα = -^ - а
2 / о \2
Vax1 J + '"+\дхп)
,аЕ =
= W^'f'w» при * € * ™ * = £&'*' Ξ ё?'^ - Ν2) при ^ к3'
ί Ε I Здесь H(t)—функция Хевисайда, Sat = {χ Ε Ш3 \ \χ\ = at} — сфера,
α>0.
d) Используя предыдущие результаты, предъявите решение и уравнения
Ли = / для соответствующего дифференциального оператора А в виде
свертки / * Ε и проверьте, например, в предположении непрерывности функции /,
что полученные вами интегралы, зависящие от параметра, действительно
удовлетворяют уравнению Аи = /.
9. Дифференцирование интеграла по жидкому объему.
Пространство заполнено перемещающимся веществом (жидкостью). Пусть
ν = v(t,x) ир = p(t,x)—соответственно скорость перемещения и плотность
вещества в момент времени t в точке х. Будем наблюдать за перемещением
порции вещества, заполняющего в начальный момент область Ωο·
a) Выразите в виде интеграла массу вещества, заполняющего область Ω^,
полученную из Ωο к моменту £, и запишите закон сохранения массы.
b) Продифференцировав интеграл F(t) = J f(t,x)du с переменной обла-
стью интегрирования Ω^ (жидкий объем), покажите, что F'(t) = f -fifdu +
+ J f(v,n)da, где Ω^, dSlt, du, da, η, υ, ( , ) — соответственно область, ее
граница, элемент объема, элемент площади, единичная внешняя нормаль,
скорость потока в момент t в соответствующих точках и скалярное произведение.
c) Покажите, что F'(t) из задачи Ь) можно представить в виде F'(t) =
= f(%+div(fv))cL·.
d) Сопоставляя результаты задач a), b), с), получите уравнение
неразрывности §2 + div(pw) = 0. (См. в этой связи также гл. XIV, § 4, п. 2.)
e) Пусть |Ωί|—объем области Ω*. Покажите, что L*' = f άϊννάω.
Qt
f) Покажите, что поле ν скорости потока несжимаемой жидкости безди-
вергентно (div v = 0) и что это условие есть математическая запись
несжимаемости (сохранения объема) любой порции эволюционирующей среды.
g) Поле (р, q) фазовой скорости гамильтоновой системы классической ме-
ханики удовлетворяет уравнениям Гамильтона ρ = — -д—, q = -д—, где Η =
= Η (ρ, q) —функция Гамильтона системы. Вслед за Лиувиллем покажите, что
гамильтонов поток сохраняет фазовый объем. Проверьте также, что функция
Гамильтона Η (энергия) постоянна вдоль линий тока (траекторий).

ГЛАВА XVIII
РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§ 1. Основные общие представления, связанные с понятием
ряда Фурье1)
1. Ортогональные системы функций
а. Разложение вектора в линейном пространстве. На
протяжении всего курса анализа мы неоднократно отмечали, что те или иные
классы функций по отношению к стандартным арифметическим
операциям образуют линейные пространства. Таковы, например,
основные для анализа классы гладких, непрерывных или интегрируемых на
области X С W1 вещественно, комплексно или вообще векторнозначных
функций.
С точки зрения алгебры равенство
/ = Oiifi + ... + αη/η,
где /, /ι,..., fn — функции данного класса, а о^ — коэффициенты из
поля R или С, попросту означает, что вектор / является линейной
комбинацией векторов /ι,..., fn рассматриваемого линейного пространства.
^Ж. Б. Ж. Фурье (1768-1830)—французский математик. Его основной труд
«Аналитическая теория теплоты» (1822) содержал выведенное Фурье уравнение
теплопроводности и метод разделения переменных (метод Фурье) его решения (см.
стр. 608). Ключом в методе Фурье является разложение функции в
тригонометрический ряд (ряд Фурье). Исследованием возможности такого разложения занимались
впоследствии многие крупные математики. Это, в частности, привело к созданию
теории функций действительного переменного, теории множеств, а также
способствовало развитию самого понятия функции.

588 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
В анализе, как правило, приходится рассматривать «бесконечные
линейные комбинации» — ряды функций вида
оо
/ = 5>*/*· (ι)
к=1
Определение суммы ряда требует, чтобы в рассматриваемом
линейном пространстве была задана некоторая топология (в частности,
метрика), позволяющая судить о стремлении к нулю разности f оп,
η
где Sn = ]П akfk·
Основным для классического анализа приемом введения метрики на
линейном пространстве является определение в этом пространстве той
или иной нормы вектора или того или иного скалярного произведения
векторов. Обсуждению этих понятий был посвящен § 1 гл. X.
Сейчас мы будем рассматривать только пространства, наделенные
скалярным произведением (которое, как и прежде, будем обозначать
символом ( , )). В таких пространствах можно говорить об
ортогональных векторах, ортогональных системах векторов и ортогональных
базисах, подобно тому, как это говорилось в знакомом из
аналитической геометрии случае трехмерного евклидова пространства.
Определение 1. Векторы х, у линейного пространства,
наделенного скалярным произведением ( , ), называются ортогональными
(относительно этого скалярного произведения), если (х,у) = 0.
Определение 2. Система векторов {х^; к £ К} называется
ортогональной, если векторы системы, отвечающие различным значениям
индекса к, попарно ортогональны.
Определение 3. Система векторов {е^; к £ К} называется орто-
нормированной (или ортонормальной), если для любых индексов г, j £
£ К выполняется соотношение (е^еу) = i^j, где Sij — символ Кронеке-
1, если г = j,
0, если г φ j.
Определение 4. Конечная система векторов χχ,..., хп
называется линейно независимой, если равенство а\Х\ +α2£2 + · · . + θίηχη = 0
возможно, лишь когда а\ = ot^ — ... = ап = 0 (в первом случае 0 — нулевой
вектор пространства, во втором случае 0 — нуль поля коэффициентов).
ра, τ
. е. Si j = <

§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
589
Произвольная система векторов линейного пространства
называется системой линейно независимых векторов, если линейно независима
каждая ее конечная подсистема.
Основной вопрос, который нас сейчас будет интересовать, это
вопрос о разложении вектора пространства по заданной системе линейно
независимых векторов.
Имея в виду дальнейшие приложения к пространствам функций
(которые могут быть и бесконечномерны), мы должны считаться с тем,
что такое разложение может, в частности, привести к ряду типа
ряда (1). Именно в этом и будет состоять элемент анализа при
рассмотрении того основного и по существу алгебраического вопроса, который
мы поставили.
Как известно из курса аналитической геометрии, разложения по
ортогональным и ортонормированным системам имеют много
технических преимуществ в сравнении с разложениями по произвольным
линейно независимым системам (легко вычисляются коэффициенты
разложения; по координатам векторов в ортонормированном базисе легко
вычисляется скалярное произведение этих векторов и т. д.).
Именно поэтому мы будем в основном интересоваться
разложениями по ортогональным системам. В пространствах функций это будут
разложения по ортогональным системам функций или ряды Фурье,
изучению которых и посвящена эта глава.
Ь. Некоторые примеры ортогональных систем функций.
Развивая пример 12 из § 1 гл. X, на линейном пространстве 7£2(^5С)
локально интегрируемых на множестве X CW1 функций, имеющих
интегрируемый на X (в собственном или несобственном смысле) квадрат
модуля, введем скалярное произведение
</,<?>:= J(f-g)(x)dx. (2)
χ
Поскольку |/ -g\ ^ ^(|/|2 + Ы2)> интеграл в равенстве (2) сходится
и, значит, корректно определяет величину (/,#).
Если речь будет о вещественнозначных функциях, то в
соответствующем вещественном пространстве ^{Х^Щ соотношение (2) сводится

590 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
к равенству
(f,9):=f(f-9){x)dx. (3)
χ
Опираясь на свойства интеграла, легко проверить, что все
указанные в § 1 гл. X аксиомы скалярного произведения в этом случае
выполнены, если отождествлять функции, отличающиеся лишь на множествах
n-мерной меры нуль. Всюду дальше в основном тексте параграфа
скалярные произведения функций будут пониматься в смысле равенств (2)
и(3).
Пример 1. Вспомним, что при целых тип
π
/гтх -гпх л _ I 0>
- \ 2тГ,
если тфп,
если т = п;
(4)
π
/
0, если тфп,
cos mx cos nxdx = { π, если т = η Φ 0, (5)
2π если т = η = 0;
π
/
cos mx sin nx dx = 0; (6)
π
/sin mx sin nxdx = < '
если га ^ π,
если т = η φ0.
(7)
Эти соотношения показывают, что {ешж;п £ Z} является
ортогональной системой векторов пространства 72.2([—π, π], С)
относительно скалярного произведения (2), а тригонометрическая
система {l,cosnx,sinnx;n £ Ν} ортогональна в 72я([—π,π],Μ). Если
рассматривать тригонометрическую систему как набор векторов в
7£2([—я",тг],С), т.е. допустить линейные комбинации с комплексными
коэффициентами, то в силу формул Эйлера ешх — cos их + isinnx,
cosnx = ^(егпх + е_шх), sinnx = ^(emx - е~гпх) окажется, что
рассмотренные системы линейно выражаются друг через друга, т.е.
алгебраически эквивалентны. По этой причине систему экспонент
{ешх;п £ N} также называют тригонометрической системой или
точнее тригонометрической системой в комплексной записи.

§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
591
Соотношения (4) - (7) показывают, что рассмотренные системы
ортогональны, но не нормированы, а системы < -j=exnx\n £ Ζ k \ -75=5
-7= cos nx, -7= sinnx; nGN уже ортонормированы.
Если вместо отрезка [—π, π] взять произвольный отрезок [—/,/] С
С R, то заменой переменной можно получить аналогичные системы
< егтпх; π £ Ζ > и < 1, cos упх, sin jnx; n £ Ν>, ортогональные в
пространствах Т^2{[—Μ],С) и 7£2([~~М]5К), а также соответствующие орто-
нормированные системы
< —=ег in>GZ , < —=, —ρ cos τηχ, —ρ sin -ηχ\ η £ Ν > .
Пример 2. Пусть Jx— промежуток в Rm, a /^— промежуток
в Rn, и пусть {fi{x)} — ортогональная система функций в Τ^^ζ,Κ), а
{gj{y)}—ортогональная система функций в Т12{1у,Щ- Тогда, как
следует из теоремы Фубини, система функций {г^(х,у) := fi(x)gj(y)}
ортогональна в TZ2{IX х 1У,Щ.
Пример 3. Заметим, что при ос φ β
- β)1 sin(a + β)1
ί · · a a 1 /^sin(a ~
/ sm ax sin ox ax = -I
/3 tg a/ — a tg /3/
/3 a + /3
0
= cos al cos βΐ ·
a2-/?2
Значит, если величины а и β таковы, что Щ^- = Ц^-, то исходный
интеграл равен нулю. Следовательно, если £ι < £2 < · · · < £п < · · · по_
следовательность корней уравнения tgξl = с£, где с — произвольная
постоянная, то система функций {sin(£nx); η £ Ν} ортогональна на
отрезке [0, /]. В частности, при с = О получаем знакомую систему < sin ( η-ηχJ ;
π (Ξ NJ.
Пример 4. Рассмотрим уравнение
ί ~^i + q(x))u(x) = Xu(x),

592 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
где q £ С(°°)([а, b],R), a λ — числовой коэффициент. Предположим, что
функции 1*1,142,... класса С(2)([а,Ь],М) обращаются в нуль на концах
отрезка [а, Ь] и каждая из них удовлетворяет данному уравнению со
своим значением λι, Аг,... коэффициента А. Покажем, что если λ^ Φ Aj,
то функции щ, Uj ортогональны на [а, Ь].
Действительно, интегрируя по частям, находим, что
dx.
ь ь
\\da?+ 9^ ) Щ^ Uj^ dx= щ№ \[~ch? + q^ ) Uj^
a a
В соответствии с уравнением отсюда получаем, что
Xi(ui,Uj) = \j(ui,Uj)
и, поскольку Х{ φ Aj, теперь заключаем, что (ui,Uj) = 0.
В частности, если q(x) = 0 на [а, Ь], а [а, Ь] = [Ο,π], мы вновь
получаем ортогональную на [Ο,π] систему {sinnx;n £ Ν}.
Дальнейшие примеры, в том числе и примеры важных для
математической физики ортогональных систем, читатель найдет в задачах к
этому параграфу.
с. Ортогонализацил. Хорошо известно, что в конечномерном
евклидовом пространстве на основе любой линейно независимой системы
векторов каноническим образом (с помощью процесса ортогонализа-
ции Грама1)-Шмидта2)) можно построить ортогональную и даже ор-
тонормированную систему векторов, эквивалентную данной. Этим же
способом, очевидно, и в любом линейном пространстве со скалярным
произведением можно ортонормировать любую линейно независимую
систему его векторов ч/>ь ч/>25 · · ·
^И. П.Грам (1850-1916) — датский математик, продолживший исследования
П. Л. Чебышёва и выявивший связь между разложениями в ряды по ортогональным
системам и проблемой наилучшего квадратичного приближения (см. далее ряды
Фурье). Именно в этих исследованиях возникли процесс ортогонализации и известная
матрица Грама (см. стр.222 и систему (18) на стр.601).
2'Э. Шмидт (1876-1959)—немецкий математик, изучавший в связи с
интегральными уравнениями геометрию гильбертова пространства и описывавший ее языком
евклидовой геометрии.

§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
593
Напомним, что процесс ортогонализации, приводящий к ортонорми-
рованной системе φ\, ψ2, · · ·, описывается следующими соотношениями:
Ф\ Ф2- (Φ2,φι)φι
Ч>1 = ΤΓΓΊρ ^2 ~
ΙΙΐΜΓ Ύ \\Φ2-(Φ2,φχ)φΛ'
ψη =
η-1
Φη - Σ(Φη,φ*)φΗ
η-1
Φη - ΣίΦη,φώφΗ
Λ=1
Пример 5. Процесс ортогонализации линейно независимой
системы {1, х, х2,... } в 72я([~~ 1,1], К) приводит к так называемой системе
ортогональных многочленов Лежандра. Отметим, что многочленами Ле-
жандра часто называют не сами многочлены этой ортонормированной
системы, а им пропорциональные. Множитель пропорциональности
выбирается из разных соображений: например, чтобы коэффициент при
старшей степени многочлена был равен 1 или чтобы значение
многочлена при χ = 1 было равно 1. Ортогональность системы при этом,
очевидно, не нарушается, а ортонормированность, вообще говоря,
теряется.
Стандартные многочлены Лежандра, определяемые формулой Род-
рига
_ ι dV-i)"
nW~n!2" dx" '
нам уже встречались. Для них Рп(1) = 1. Выпишем несколько первых
многочленов Лежандра, нормированных условием равенства единице
коэффициента при старшей степени переменной:
Щх) = 1, Ρ\{χ)=χ, Ρ2(χ) = χ2-\, %{χ) = χζ-\χ.
О О
Ортонормированные многочлены Лежандра имеют вид
Рп(х) = ^^γ^Ρηίχ),
где η = О,1,2,...
Прямым вычислением можно убедиться в их ортогональности на
отрезке [—1,1]. Принимая указанную выше формулу за определение
многочлена Рп{х), проверим ортогональность системы {Рп(х)}
многочленов Лежандра на отрезке [—1,1]. Для этого достаточно проверить, что

594 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
многочлен Рп{х) ортогонален многочленам 1,х,... ,xn_1, линейными
комбинациями которых получаются многочлены Pk{x) степени к < п.
Интегрируя по частям при к < π, действительно получаем, что
/^P(x)dx-J-/^^.dn"""1(x2-1)ndx-0
J X ^n[X) dX ~ к\2Ч dx^ dx"-k-i dX ~ υ*
-1 -1
Некоторые представления об источнике ортогональных систем
функций в анализе будут даны в последнем пункте этого параграфа и в
задачах к нему, а сейчас мы вернемся к основным общим вопросам,
связанным с разложением вектора по векторам заданной системы в
линейном пространстве со скалярным произведением.
d. Непрерывность скалярного произведения и теорема
Пифагора. Нам предстоит работать не только с конечными, но и с
бесконечными суммами (рядами) векторов. Отметим в этой связи
свойство непрерывности скалярного произведения, которое позволяет
распространить привычные алгебраические свойства скалярного
произведения и на случай рядов.
Пусть X — векторное пространство со скалярным произведением
( , ) и с индуцированной им в X нормой ||х|| := ^/(х,х) (см. § 1 гл. X).
оо
Сходимость ряда ]П Х{ = χ из векторов Х{ £ X к вектору χ £ X будет
г=1
пониматься именно в смысле указанной нормы.
Лемма 1 (о непрерывности скалярного произведения). Пусть
( , ): X2 —> С — скалярное произведение в С-линейном
пространстве X. Тогда
а) функция (х,у) ь-> (х,у) непрерывна по совокупности переменных;
оо оо
ь) если χ = Σ χΐ> то (χι у) = Σ (χΰ у);
г=1 г=1
с) если ei,e2,... —ортонормированная система векторов в X и
°° °° °°
χ = ]П хге{, а у = ]П уге{, то (х,у) = ]П хгу\
г=1 г=1 г=1
Μ Утверждение а) вытекает из неравенства Коши - Буняковского
(см. § 1 гл. X):
|(х-£о,у-уо)|2 < Цх-χοΙΙ2· ||у-уо||2.

§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
595
Из а) вытекает Ь), поскольку
η I оо \
(Х>У) = ^(хиУ) + 1 5Ζ x»Vh
г=1 \г=п+1 /
оо
а Σ хг —> О ПРИ η —^ °°.
г=п+1
Утверждение с) получается повторным применением Ь) с учетом
соотношения (х,у) = (у,ж). ►
Из доказанной леммы непосредственно вытекает
Теорема (Пифагор1)).
a) Если {χι}—система взаимно ортогональных векторов и χ =
= Σχί> то INI2 = ΣΜ2·
г г
b) Если {вг} —система ортонормированных векторов их = Σχ%βΐι
то \\χψ = Σ И2·
г
2. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье
а. Определение коэффициентов и ряда Фурье. Пусть {е^} —
ортонормированная, а {/^} — ортогональная системы векторов в
пространстве X со скалярным произведением ( , ).
Допустим, χ = Σχ%1ΐ- Коэффициенты хг в таком разложении векто-
г
ра χ находятся непосредственно:
г _ \х-> Н/
Если 1{ — е^ то выражение еще упрощается:
X — \Х, €{)·
^Пифагор Самосский (ориентировочно 580-500 до н.э.) — знаменитый
древнегреческий математик и философ-идеалист, основатель Пифагорейской школы, в
которой, в частности, было сделано потрясшее древних математическое открытие о
несоизмеримости стороны и диагонали квадрата. Сама же классическая теорема
Пифагора была известна в ряде стран задолго до Пифагора (правда, возможно без
доказательства).

596 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Заметим, что формулы для хг имеют смысл и вполне определены,
если дан сам вектор χ и ортогональная система {U} (или {е^}).
Равенства χ = Σ x%h (или χ = Σ χ1£ΐ) Для вычисления хг по этим формулам
г г
уже не требуется.
Определение 5. Числа < (?.\\ \ называются коэффициентами
Фурье вектора χ £ X в ортогональной системе {1{}.
Если система {е^} ортонормирована, то коэффициенты Фурье
имеют вид {(x,ei)}.
С геометрической точки зрения г-й коэффициент Фурье (х,е^)
вектора χ € X есть проекция этого вектора на направление единичного
вектора е^. В знакомом случае трехмерного евклидова пространства Es
с заданным в нем ортонормированным репером βχ, β2, ез
коэффициенты Фурье хг = (х,е^), г = 1,2,3, суть координаты вектора χ в базисе
еъ е2, ез, возникающие в разложении χ = xle\ + х2в2 + х3ез-
Если бы вместо трех векторов βχ, β2, ез нам было дано только два
βχ, β2, то разложение χ = xle\ +х2в2 по ним имело бы место уже далеко
не для каждого вектора χ £ Es. Тем не менее, коэффициенты Фурье
хх = (х, е^), г = 1, 2, определены и в этом случае, а вектор хе = χιβ\+χ2β2
в этом случае является ортогональной проекцией вектора χ на
плоскость L векторов βχ, β2· Среди всех векторов этой плоскости вектор хе
выделяется тем, что он наиболее близок к вектору χ в том смысле, что
для любого вектора у £ L будет ||х — у||^||х — хе\\. В этом и состоит
замечательное экстремальное свойство коэффициентов Фурье, к
которому мы вернемся ниже в общей ситуации.
Определение 6. Если X—линейное пространство со скалярным
произведением ( , ), а /χ, 1<ι,..., /η,... —ортогональная система
ненулевых векторов в J, то любому вектору χ £ X можно сопоставить ряд
X~tl<hA)k- (8)
Этот ряд называется рядом Фурье вектора χ по ортогональной
системе {Ik}-
Если система {/^} конечна, то ряд Фурье сводится к конечной сумме.
В случае ортонормированной системы {е^} ряд Фурье вектора χ £

§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
597
£ X запишется особенно просто
оо
х^^2(х,ек)ек. (8')
к=1
Пример 6. Пусть X = 7?,2([-π,π],Μ). Рассмотрим в этом
пространстве ортогональную систему {l,cos kx^smkx; к £ Ν} примера 1.
Функции / £ Έ,2{[—π,π],Μ) отвечает ряд Фурье
/ ~ -^— + Σ ак(f) cos kx + bk(f) sinкх
Z k=i
по этой системе. Множитель ^ при αο(/) поставлен, чтобы придать
единообразие следующим, вытекающим из определения коэффициентов
Фурье, формулам:
Як
(/) = -/ f(x) cos kx dx, к = 0,1,2,... (9)
—π
π
6fe(/) = - / f(x)smkxdx, k = 1,2,... (10)
Положим /(χ) = χ. Тогда ак = 0, к = 0,1,2,..., а Ък = (-l)fc+1|,
к = 1,2,... Значит, в этом случае получаем:
оо 2
/(ж) = χ - 5Z(-!)fc+1-r sin As.
Пример 7. В пространстве ί^2([-π,π],€) рассмотрим
ортогональную систему {егЬ;;А; £ Ζ} примера 1. Пусть / £ 7?,2([—π, π], С).
В соответствии с определением 5 и соотношениями (4), коэффициенты
Фурье {ck(f)} функции / в системе {егкх} выражаются формулой:
π
/ £)%КХ £)%КХ \
<*(/) = ^ №e-**dx =УГ'°/ ■ (И)

598 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Сравнивал равенства (9), (10), (11), с учетом формулы Эйлера βιφ =
= cos φ+г sin φ получаем следующие соотношения между
коэффициентами Фурье одной и той же функции относительно тригонометрической
системы, записанной в действительной и комплексной формах:
Ск = <
\(аь — г'Ь^), если к ^ 0,
(12)
\(а~к + ib-k), если к < 0.
Для того, чтобы в формулах (9) и (12) случай к = 0 не составлял
исключения, принято (считая Ьо == 0) через ао обозначать не сам
начальный коэффициент Фурье, а вдвое большую величину, что и было
сделано выше.
Ь. Основные общие свойства коэффициентов и рядов
Фурье. Следующее геометрическое наблюдение является ключевым в
этом разделе.
Лемма (о перпендикуляре). Пусть {Ik} —конечная или счетная
система ненулевых взаимно ортогональных векторов
пространства X и пусть ряд Фурье вектора χ £ X по системе {Ik} сходится
к некоторому вектору х\ £ X.
Тогда в представлении χ = х\ + h вектор h ортогонален х/; более
того, h ортогонален всему линейному пространству, порожденному
системой векторов {Ik}, а также его замыканию в X.
Μ Учитывая свойства скалярного произведения, достаточно
проверить, что (/г, 1т) = 0 для любого вектора lm £ {Ik}·
Нам дано, что
к (hJk)
Значит,
\™j I'm) = \#э 1>т) ~ / j Tj jTTx^fcj т)
к
(hJk)
— {%-> lm) /j 7 ν У"ГП1 I'm) — U. ►
\lmi I'm)

§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
599
Геометрически лемма о перпендикуляре очень прозрачна, и мы ее
по существу уже отметили, рассмотрев в разделе 2 а систему из двух
ортогональных векторов в трехмерном евклидовом пространстве.
На основании этой леммы можно сделать ряд важных общих
заключений о свойствах коэффициентов Фурье и рядов Фурье.
Неравенство Бесселя
Учитывая ортогональность векторов х\ и h в разложении χ = х\ + /г,
по теореме Пифагора находим, что ||х||2 = ||#/||2 + ||^||2 ^ ||#/||2
(гипотенуза не меньше катета). Это соотношение, записанное в терминах
коэффициентов Фурье, называется неравенством Бесселя. Выпишем его.
По той же теореме Пифагора
ινι2 = Σ
(x,h)l2
ih,h)
{h,h). (13)
Значит,
Σ
IfoWl / Μ-.ΙΙ2
ih,h)
< 1МГ- (14)
Это и есть неравенство Бесселя. Особенно просто оно выглядит
для ортонормированной системы векторов {е^}:
Σκ*,β*>|4ΝΙ2. (is)
В терминах самих коэффициентов Фурье а^ общее неравенство
Бесселя (14) запишется в виде ]П l^fcPllWI2 ^ \\χ\\2ι что в случае ортонор-
к
мированной системы сводится к ]Γ)ΙαΑ;|2 ^ ||#||2·
к
Мы поставили знак модуля у коэффициента Фурье, допуская
комплексные пространства X. В этом случае коэффициент Фурье может
принимать комплексные значения.
Отметим, что при выводе неравенства Бесселя мы воспользовались
предположением о существовании вектора х\ и равенством (13). Но если
система {1^} конечна, то нет сомнений в существовании вектора х\ (т. е.
в сходимости ряда Фурье в X). Значит, неравенство (14) справедливо
для любой конечной подсистемы {/&}, а тогда и для всей системы тоже.

600 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Пример 8. Для тригонометрической системы (см. формулы (9),
(10)) неравенство Бесселя имеет вид
Ы/)1 ,
2 °°
Σ
к=\
1 Г
£М/)12 + Ы/)12^-/|Л2(*)<*г. (16)
Для системы {егкх;к е Z} (см. формулу (11)) неравенство Бесселя
записывается особенно изящно:
+оо *
Е1с^Я|2<^/|/|2И^· (17)
—π
Сходимость рядов Фурье в полном пространстве
Пусть Σ %кек = Σ(χ5 ек)ек — РЯД Фурье вектора χ £ X по ортонор-
к к
мированной системе {е^}. В силу неравенства Бесселя (15) ряд ^ |xfc|2
к
сходится. По теореме Пифагора
\\хтет + ... + хпеп\\2 = \хт\2 + ... + \хп\2.
По критерию Коши сходимости ряда правая часть этого равенства
становится меньше любого ε > О при всех достаточно больших
значениях т и η > га. Значит, тогда
\\хтет + ...+хпеп\\ < у/е.
Следовательно, ряд Фурье ]Г хке^ удовлетворяет условиям критерия
к
Коши сходимости ряда и сходится, если только исходное
пространство X является полным относительно метрики, индуцированной нормой
||х|| = у/(х,х).
Для упрощения записи мы провели рассуждение для ряда Фурье по
ортонормированной системе. Но все можно повторить и для ряда Фурье
по любой ортогональной системе.
Экстремальное свойство коэффициентов Фурье
Покажем, что если ряд Фурье Y^xkek = Σ ?х,ек\^к вектора χ £ X
к к ^еье*'
по ортонормированной системе {е^} сходится к вектору χ ι £ X, то
именно вектор х\ дает наилучшее приближение вектора χ среди всех

§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 601
оо
векторов у = Σ &kek пространства L, натянутого на {е^}, т.е. для
любого у £ L
\\х — х/|| ^ \\х — у||,
причем равенство здесь возможно только при у = х\.
Действительно, по лемме о перпендикуляре и теореме Пифагора
\\х - у\\2 = \\(х- Х1) + (х{ - у)\\2 = \\h + (Xl - у)\\2 =
= \\hf + \\xl-y\\2>\\h\\2 = \\x-xlf.
Пример 9. Несколько отвлекаясь от нашей основной цели
—изучения разложений по ортогональным системам, предположим, что
имеется произвольная система линейно независимых векторов #χ,...,χη
в X и ищется наилучшая аппроксимация заданного вектора χ G X ли-
п
нейными комбинациями ]П Oij^Xk векторов системы. Поскольку в прос-
к=1
транстве L, порожденном векторами χχ,..., хп, процессом ортогонали-
зации можно построить ортонормированную систему βχ,... ,еп,
порождающую пространство L, то на основании экстремального свойства
коэффициентов Фурье можно заключить, что существует, и притом
единственный, вектор х\ £ L такой, что \\х — х/|| = inf \\х — у\\. По-
уеь
скольку вектор h — χ — х\ ортогонален пространству L, из равенства
х\ + h = χ получаем систему уравнений
( (χχ,Χχ)αχ + ... + (Χη,Χΐ)θίη = (Χ, Xl)
< (18)
V \Xli Χη)®1 ι · · · τ* \Χη-> Χη/Οίη = \Χ-> Χη)
η
на коэффициенты αχ,..., αη разложения χ\ = Σ акхк искомого векто-
pa χι по векторам системы χχ,..., хп. Существование и единственность
решения этой системы вытекают из существования и единственности
вектора х\. В силу теоремы Крамера отсюда, в частности, можно
сделать заключение о необращении в нуль определителя этой системы.
Иными словами, попутно показано, что определитель Грама системы
линейно независимых векторов не равен нулю.
Описанная задача аппроксимации и соответствующая ей система
уравнений (18), как мы уже отмечали, возникает, например, при обра-

602 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
ботке экспериментальных данных по методу Гаусса наименьших
квадратов (см. также задачу 1).
с. Полные ортогональные системы и равенство Парсеваля
Определение 7. Система {х^а £ А} векторов
нормированного пространства X называется полной по отношению к множеству
Ε С X (или полной в £7), если любой вектор χ £ Ε можно сколь угодно
точно в смысле нормы пространства X приблизить конечными
линейными комбинациями векторов системы.
Если через L{xa} обозначить линейную оболочку в X векторов
системы (т. е. совокупность всех конечных линейных комбинаций
векторов системы), то определение 8 можно переформулировать следующим
образом:
система {ха} полна по отношению к множеству Ε С X, если Ε
содержится в замыкании L{xa} линейной оболочки векторов системы.
Пример 10. Если X = Е3, а βχ, β2, ез— базис в Ег, то система
{βι, β2, ез} полна в!,а система {ei, e<i\ уже не является полной вХ, но
является полной по отношению к множеству L{ei,e2} или любому его
подмножеству Е.
Пример 11. Последовательность функций 1, я, я2,... рассмотрим
как систему {хк; к £ 0,1,2,... } векторов пространства КъЦа, Ь]? Щ или
7^2([β5 Ь], С). Если С[а, Ь] — подпространство непрерывных функций, то
эта система полна по отношению к множеству С[а,Ь].
Μ Действительно, какова бы ни была функция / £ С[а, Ь] и каково
бы ни было число ε > 0, по теореме Вейерштрасса найдется
алгебраический многочлен Р(х) такой, что max \f{x) — Р{х)\ < ε. Но тогда
х£[а,6]
||/--Р||:=
\
ъ
I*|/ -P\2{x)dx<Vb^L
и, значит, линейными комбинациями функций системы можно сколь
угодно точно приблизить функцию / в смысле нормы
рассматриваемого пространства Т^^Ч- ►
Отметим, что, в отличие от ситуации примера 9, в нашем случае не
каждая непрерывная на отрезке [а, Ь] функция является конечной ли-

§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
603
нейной комбинацией функций взятой системы, а всего лишь
приближается такими линейными комбинациями. Итак, С[а, Ь] С L{xn} в смысле
нормы пространства 7^2 [я? Ь].
Пример 12. Если из системы функций {l,cos kx,s'mkx; к £ Ν}
удалить одну из функций, например 1, то оставшаяся система {cosfcx,
sinкх\ к £ N} не будет полной в 72-2([—π5 π]> Q или 72-2 ([—π, π], Ж).
Μ В самом деле^ по лемме 3 наилучшую аппроксимацию функции
f(x) = l среди всех конечных линейных комбинаций
η
Тп(х) = /^(flfc cos кх + bk sinкх)
к=\
данной длины η дает тот тригонометрический многочлен Тп(х), в
котором а^ и Ь^ — коэффициенты Фурье функции 1 относительно
рассматриваемой ортогональной системы {cos kx,s'mkx-, к £ Ν}. Но в силу
соотношений (5) такой полином наилучшего приближения должен быть
нулевым. Значит, всегда
U-TJI > IUI
N
7Г
ldx = \[Ък > 0,
и приблизиться к единице ближе, чем на величину л/27г линейными
комбинациями функций системы нельзя. ►
Теорема (условия полноты ортогональной системы).
Пусть X—линейное пространство со скалярным произведением
( 5 )? а hi hi · · · 5 'п5 · · · — конечная или счетная система ненулевых
взаимно ортогональных векторов в X. Тогда следующие условия
эквивалентны:
a) система {Ik} полна по отношению к множеству1^ Ε С X;
b) для любого вектора χ £ Ε С X имеет место разложение (в ряд
Фурье)
-Σ
к ilk,h)
h; (Щ
^Множество Ε может, в частности, состоять из одного, по тем или иным
причинам представляющего интерес, вектора.

604 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
с) для любого вектора χ £ Ε С X имеет место равенство {Парсе
валя1')
|(*,Щ|2
-Σ
(h,h)
(20)
Особенно простой вид равенства (19) и (20) имеют для ортонорми-
рованной системы векторов {е^}. В этом случае
х = X^efc)efc
(19')
N1 =J2\(x,ek)\2·
(20')
Таким образом, важное равенство Парсеваля (20) или (20')—это
теорема Пифагора, записанная в терминах коэффициентов Фурье.
Докажем сформулированную теорему.
Μ а) =>> Ь) в силу экстремального свойства коэффициентов Фурье;
b) =>> с) по теореме Пифагора;
c) =^ а), т.к. ввиду леммы о перпендикуляре (см. раздел Ь) по
теореме Пифагора имеем
\\Х\
Σ
\ (hJk)
h
y;l^f*>l2.»
k=i {hJk)
Замечание. Отметим, что из равенства Парсеваля вытекает
следующее простое необходимое условие для полноты ортогональной
системы по отношению к множеству Ε С X: в Ε нет ненулевого вектора,
ортогонального всем векторам системы.
В качестве полезного добавления к теореме и сделанному замечанию
докажем следующее общее
Утверждение. Пусть X —линейное пространство со скалярным
произведением, а х\,Х2,... —система линейно независимых векторов
в X. Для того, чтобы система {х^} была полной в X,
^М. А.Парсеваль (1755-1836)—французский математик, обнаруживший это
соотношение для тригонометрической системы в 1799 г.

§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
605
a) необходимо, чтобы в X не было отличного от нуля вектора,
ортогонального всем векторам системы;
b) в случае, когда X—полное (гильбертово) пространство,
достаточно, чтобы в X не было отличного от нуля вектора,
ортогонального всем векторам системы.
Μ а) Если вектор h ортогонален всем векторам системы {χ*;}, то на
основании теоремы Пифагора заключаем, что никакая линейная
комбинация векторов системы {xk} не может отличаться от h меньше, чем
на величину \\h\\. Значит, если система {х^ полная, то \\h\\ = 0.
b) Процессом ортогонализации получим из системы {х^ ортонор-
мированную систему {е^}, линейная оболочка которой Ь{е^} совпадает
с линейной оболочкой Ь{х^} исходной системы.
Берем теперь произвольный вектор χ € X. Ввиду полноты
пространства X ряд Фурье вектора χ по системе {е^} сходится к некоторому
вектору хе £ X. По лемме о перпендикуляре вектор h = χ — хе
ортогонален пространству £{е&} = L{x^}. По условию h = 0. Значит, χ = хе
и ряд Фурье сходится к самому вектору х. Таким образом, вектор χ
сколь угодно хорошо приближается конечными линейными
комбинациями векторов системы {е^}, а следовательно, и конечными линейными
комбинациями векторов системы {х^}. ►
Условие полноты пространства в пункте Ь) утверждения является
существенным, о чем свидетельствует следующий
Пример 13. Рассмотрим пространство /2 (см. § 1 гл. X) вещест-
оо
венных последовательностей а = (α1, α2,...), для которых Σ {°?Ϋ < °°·
3=1
Скалярное произведение векторов а = (а1, а2,...) и Ъ = (Ь1, Ь2,...) из /2
оо
определим стандартным образом: (а, Ь) := ]Р а?Ъ?.
з=\
Рассмотрим теперь в /2 ортонормированную систему е^ = (0,..., 0,
к
1,0,0,...), к = 1,2,... В нее не входит вектор ео = (1,0,0,...). К
системе {е^; fcGN} добавим еще вектор е = (1,1/2,1/22,1/23,...) и
рассмотрим линейную оболочку L{e, βχ, β2,... } указанных векторов. Эту
линейную оболочку можно рассматривать как линейное пространство X
(подпространство /2) со скалярным произведением, взятым из /2·
Отметим, что вектор ео = (1,0,0,...), очевидно, не может быть

606 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
получен конечной линейной комбинацией векторов системы е, βχ, β2,...,
поэтому он не лежит в X. Вместе с тем, он сколь угодно точно может
быть приближен в 1<ι такими линейными комбинациями, поскольку е —
η
~ L· ^кек = (1?0, . . . ,0, ^+Т> ^+2> · · · )·
Значит, мы одновременно установили, что X не замкнуто в 1<ι
(поэтому X, в отличие от 1<ι, не полное метрическое пространство), но в
то же время замыкание 1в!2 совпадает с 1<ι, т. к. система ео, βχ, β2,...
порождает все пространство /2·
Теперь заметим, что в X = L{e, βχ,β2,... } нет отличного от нуля
вектора, ортогонального всем векторам βχ, β2,...
η
Действительно, пусть χ £ X, т. е. χ = ае+ Σ о^еь и пусть (х, е^) =
= 0, к = 1,2,... Тогда (х,еп+х) = -^- = 0, т.е. α = 0. Но тогда
ак = (х,ек) = 0, & = 1,...,п.
Значит, мы построили нужный пример: ведь ортогональная система
βχ,β2,... не является полной в X, т.к. она неполна в замыкании X,
совпадающем с /2·
Рассмотренный пример, разумеется,
типично бесконечномерный. На рис. 103 сделана
попытка изобразить случившееся.
Отметим, что в бесконечномерном случае
(так характерном для анализа) возможность
сколь угодно точно приблизить вектор
линейными комбинациями векторов системы и
возможность разложить вектор в ряд по
векторам системы, вообще говоря, разные
свойства системы.
Обсуждение этого вопроса и заключительный пример 14 прояснят
особую роль ортогональных систем и рядов Фурье, для которых эти
свойства имеют место одновременно (о чем говорит доказанная выше
теорема).
Определение 8. Система χχ, χ<ι,..., χη,... векторов линейного
нормированного пространства X называется базисом
пространства X, если любая конечная ее подсистема состоит из линейно
независимых векторов и любой вектор χ € X может быть представлен в виде
χ = Σ акхкч гДе ак —коэффициенты из поля констант пространства X,
к

§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
607
а сходимость (в случае бесконечной суммы) понимается по норме
пространства X.
Как соотносятся полнота системы векторов и свойство системы
быть базисом?
В конечномерном пространстве X полнота в X системы векторов,
как следует из соображений компактности и непрерывности, очевидно,
равносильна тому, что эта система является и базисом в X. В
бесконечномерном случае это, вообще говоря, не так.
Пример 14. Рассмотрим множество С([— 1,1], Щ непрерывных на
отрезке [—1,1] вещественнозначных функций как линейное
пространство над полем R со стандартным скалярным произведением,
определенным формулой (3). Обозначим это пространство символом C2Q— 1,1], Щ
и рассмотрим в нем систему линейно независимых векторов 1, я, я2,...
Эта система полна в пространстве C2Q— 1,1], Щ (см. пример 11), но
не является базисом.
оо
Μ Покажем сначала, что если ряд ]П ос^хк сходится в С2([—1,1], IR),
к=0
т.е. в смысле среднего квадратического уклонения на отрезке [—1,1],
то он же, рассматриваемый как степенной ряд, сходится поточечно на
интервале ]— 1,1[.
Действительно, по необходимому условию сходимости ряда имеем
llafc#fc|| —> 0 при к —> оо. Но
к\2 ; 2 2
аьх ах = at— -.
* ) fc2fc + l
-1
Значит, |afc| < y/2k + 1 при всех достаточно больших значениях к.
оо
В таком случае степенной ряд Σ akxk заведомо сходится на интервале
к=0
Обозначим теперь через φ сумму этого степенного ряда на
интервале ]— 1,1[. Заметим, что на каждом отрезке [а,Ь] с]— 1,1[ степенной
ряд сходится к φ\[α£] равномерно, а следовательно, и в смысле среднего
квадратического уклонения тоже.
Отсюда следует, что если непрерывная на отрезке [—1,1] функция /
является суммой этого ряда в смысле сходимости в пространстве
Сг([—1,1],R), то / и φ совпадают на ]- 1,1[.
\акх
к\\2
-/(

608 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Но функция ψ бесконечно дифференцируема. Значит, если в
пространстве Сг([— 1,1], Щ взять любую не бесконечно дифференцируемую
на интервале ] — 1,1[ функцию, то ее уже нельзя в этом пространстве
разложить в ряд по системе {хк; к — 0,1,... }. ►
Итак, если взять, например, функцию f(x) — \х\ и
последовательность чисел <εη = ^;π£Ν>,το можно построить последовательность
\Рп(х)\ η £ Ν} конечных линейных комбинаций Рп(х) = ао + ос\х +... +
+ апхп элементов системы {хк; к £ Ν} такую, что ||/ — Рп\\ < ^, т.е.
Рп —> f при η —> оо. Если нужно, то в каждой такой линейной
комбинации Рп{х) коэффициенты можно даже считать выбранными
единственным наилучшим способом (см. пример 9). Тем не менее, разложения
оо
/ = Σ акхк ПРИ этом не возникает по той причине, что при переходе
к=0
от Рп(х) к Ρη+ι(χ) меняется не только последний коэффициент αη+ι,
но, возможно, и все предыдущие ао,..., ап.
Если же система ортогональная, то этого не происходит (ао,..., ап
не меняются) в силу экстремального свойства коэффициентов Фурье.
Например, можно было бы от системы мономов {хк} перейти к
системе ортогональных полиномов Лежандра и разложить f(x) = \х\ в
ряд Фурье по этой системе.
* 3. Об одном важном источнике ортогональных систем
функции в анализе. Теперь дадим представление о том, как в
конкретных задачах появляются те или иные ортогональные системы
функций и возникают ряды Фурье по этим системам.
Пример 15. Метод Фурье.
Отрезок [0,1] СК будем считать положением равновесия
однородной упругой струны, закрепленной в концах этого отрезка, а в
остальном свободной и способной совершать малые поперечные колебания
около этого положения равновесия. Пусть u(x,t)—функция,
описывающая эти колебания, т.е. в каждый фиксированный момент времени
t — to график функции u(x,to) над отрезком 0 ^ χ ^ / задает форму
струны в момент to· Это, в частности, означает, что u(0, t) — u(Z, t) — 0
в любой момент ί, поскольку концы струны закреплены.
Известно (см., например, гл. XIV, §4), что функция u(x,t) удовле-

§1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
609
творяет уравнению
д2и 9д2и /л„ч
8? = ·*?· (21)
где положительный коэффициент а зависит от плотности и модуля
упругости струны.
Одного уравнения (21), конечно, недостаточно для определения
функции w(x, t). Из опыта мы знаем, что движение w(x, t) однозначно
определится, если, например, задать положение w(x,0) = ψ(χ) струны в
какой-то (будем его называть начальным) момент времени t — 0 и
скорость ^г(#,0) = ψ {χ) точек струны в этот момент. Так, если мы,
оттянув струну, придаем ей форму φ(χ) и отпускаем, то ψ(χ) = 0.
Итак, задача о свободных колебаниях струны1 \ закрепленной в
концах отрезка [0,/], свелась к отысканию такого решения u(x,t)
уравнения (21), которое удовлетворяет граничным условиям
u(0,i) = tx(/, *) = 0 (22)
и начальным условиям
и(х, 0) = φ(χ), —(χ, 0) = ф(х). (23)
Для решения подобных задач существует довольно естественная
процедура, называемая в математике методом разделения переменных
или методом Фурье. Она состоит в следующем. Решение u(x,t) ищется
оо
в виде ряда Σ Xn(x)Tn(t), члены которого X(x)T(t) являются специ-
п=1
ального вида (с разделенными переменными) решениями данного
уравнения, удовлетворяющими граничным условиям. В нашем случае, как
мы увидим, это равносильно разложению колебания w(x, t) в сумму
простейших гармонических колебаний (точнее, в сумму стоячих волн).
Действительно, если функция X(x)T(t) удовлетворяет уравнению
(21), то X{x)T"(t) = a2X"(x)T(t), т.е.
-Ώ*1 = ^Μ (24)
a2T{t) Х{х) ' У }
^Отметим, что начало математическому исследованию колебаний струны
положил еще Брук Тейлор.

610 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
В уравнении (24) независимые переменные χ и t оказались в разных
его частях (разделились), поэтому обе части на самом-то реле
должны представлять некоторую, одну и ту же, постоянную λ. Если учесть
еще граничные условия X(0)T(t) = X(l)T(t) — 0, которым должно
удовлетворять рассматриваемое нами решение специального вида, то его
отыскание сводится к одновременному решению уравнений
T"(t) = Xa2T{t), (25)
Χ" {χ) = ΧΧ{χ) (26)
при условии, что Х(0) = X(l) = 0.
Легко написать общее решение каждого из этих уравнений в
отдельности:
T(t) = A cos \i\at + В sin y/Xat, (27)
χ (х) = С cos y/Xx + Dsiny/Xx. (28)
Если мы попытаемся удовлетворить условиям Х(0) — Х(1) — 0, то
получим, что при λ φ 0 должно быть С — 0 и, отбросив тривиальный
случай D — 0, получаем, что siny/Xl = 0, откуда \[Х — ±ηπ/1, η £ Ν.
Таким образом, в уравнениях (25), (26) число λ, оказывается, можно
выбирать только среди некоторой специальной серии чисел (так
называемых собственных чисел задачи), Хп — (ηπ/l)2, где η £ N.
Подставляя эти значения λ в выражения (27), (28), получаем серию
специальных его решений
un{x,t) — sinn—χ lAncosn—t + Bnsmn—t) , (29)
удовлетворяющих граничным условиям un(0, t) — un(l,t) — 0 (и
описывающих стоячую волну вида Φ (χ) · sin(o;i + θ), в которой каждая точка
χ £ [0,1] совершает простые гармонические колебания со своей
амплитудой Ф(х), но одной и той же для всех точек частотой ω).
Величины ωη — η™, η £ Ν, по естественной причине называют
собственными частотами струны, а ее простейшие гармонические
колебания (29) — собственными колебаниями струны. Колебание u\(x,t) с
наименьшей собственной частотой называют основным тоном
струны, а остальные ее собственные колебания ^(х, t), u$(x,t), ...
называют обертонами (именно обертоны создают характерную для данного
музыкального инструмента окраску звука, называемую тембром).

§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
611
Мы хотим теперь представить искомое колебание и(х, t) в виде сум-
оо
мы Σ ип{х, t) собственных колебаний данной струны. Граничные усло-
п=1
вия (22) при этом автоматически выполнены, и надо только
позаботиться о выполнении начальных условий (23), которые означают, что
оо
φ(χ) — 2_. Ап sin π—χ (30)
η=1 1
И
οο
ψ(χ) = > η—Bnsmn—χ. (31)
ι ι
η=1
Таким образом, дело свелось к нахождению пока еще свободных
коэффициентов Ап, Вп, или, что то же самое, к разложению функций φ
и ψ в ряд Фурье по системе < sinnyx; n £ Ν >, ортогональной на отрезке
[о,/]·
Полезно заметить, что возникшие из уравнения (26) функции
<s'mrijx;n £ N> можно рассматривать как собственные векторы ли-
нейного оператора А — -^, отвечающие его собственным значениям
λη = ^τ, которые появились из условия, что оператор А действует на
пространстве функций класса С^2^[0,/], обращающихся в нуль на
концах отрезка [0,/]. Значит, равенства (30), (31) можно трактовать как
разложения по собственным векторам данного линейного оператора.
Линейные операторы, связанные с конкретными задачами,
являются одним из основных источников ортогональных систем функций в
анализе.
Напомним один известный из алгебры факт, вскрывающий причину
ортогональности таких систем.
Пусть Ζ—линейное пространство со скалярным произведением
( , ), а Ε— некоторое (возможно совпадающее с Ζ) его
подпространство, плотное в Ζ. Линейный оператор А: Ε —> Ζ называется
симметрическим, если для любых векторов х,у £ Ε выполнено равенство
(Ах, у) = (х,Ау). Так вот: собственные векторы симметрического
оператора, отвечающие различным его собственным значениям,
ортогональны.
< Действительно, если Аи — аи, Αν — βν и а ф /3, то

612 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
a(u,v) — (Au,v) — (и, Αν) = β(η, ν),
откуда следует, что (и, г;) = 0. ►
Полезно теперь с этой точки зрения посмотреть на пример 3, где,
в сущности, рассматривались собственные функции оператора А —
= ( —2 + я(х)) 5 действующего на пространстве функций класса
С(2)[а, Ь], обращающихся в нуль на концах отрезка [а, Ь].
Интегрированием по частям можно убедиться в том, что этот оператор на
указанном пространстве является симметрическим (относительно
стандартного скалярного произведения (4)), поэтому результат примера 4
является конкретным проявлением отмеченного алгебраического факта.
.2
В частности, когда q(x) = 0, из А получается оператор —^ который
при [а, Ь] — [0,1] встретился нам в последнем примере 15.
Отметим также, что в рассмотренном примере дело свелось к
разложению функций φ и φ (см. соотношения (30) и (31)) в ряд по собствен-
.2
ным функциям оператора А = -%-. Здесь, конечно, возникает вопрос о
ах
принципиальной возможности такого разложения, эквивалентный, как
мы теперь понимаем, вопросу о полноте системы собственных функций
рассматриваемого оператора в выбранном пространстве функций.
Полнота в 1Ζ2[—π,π] тригонометрической системы (и некоторых
других конкретных систем ортогональных функций) в явной форме,
по-видимому, впервые доказана Ляпуновым1). В неявном виде полнота
конкретно тригонометрической системы присутствовала уже в работах
Дирихле, посвященных исследованию сходимости тригонометрических
рядов. Эквивалентное полноте равенство Парсеваля для
тригонометрической системы, как уже отмечалось, было обнаружено Парсевалем еще
на рубеже XVIII - XIX веков. В общей постановке вопросы полноты
ортогональных систем и их приложения в задачах математической
физики были одним из основных объектов исследований Стеклова2), ко-
^А. М.Ляпунов (1857-1918) —русский математик и механик, выдающийся
представитель школы П. Л. Чебышёва, творец теории устойчивости движения. Успешно
занимался различными областями математики и механики.
2^В. А. Стеклов (1864-1926)—русский советский математик, представитель
созданной П. Л. Чебышёвым петербургской математической школы, основатель школы
математической физики в СССР. Его имя носит Математический институт
Российской Академии наук.

§ 1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
613
торый и ввел в математику само понятие полноты (замкнутости)
ортогональной системы. При исследовании вопросов полноты он, кстати,
активно использовал метод интегрального усреднения (сглаживания)
функции (см. §§4, 5 гл. XVII), который поэтому часто называется
методом усреднений Стеклова.
Задачи и упражнения
1. Метод наименьших квадратов. Зависимость у = f(x\,... ,хп)
величины у от величин £χ,... ,хп изучается экспериментально. В результате га (^ п)
экспериментов была получена таблица
XI
а\
αψ
Х2 .·
а\ ..
αψ
хп
■ α-ϊ
п
У
ъ1
Ъгп
в строках которой указан набор (а\,аг2,... ,ajj значений параметров £χ,
Х2,..., хп и соответствующее ему значение Ьг величины у, измеренное
прибором с определенной точностью. По этим экспериментальным данным требует-
п
ся получить удобную для расчетов эмпирическую формулу вида у = Σ α.%χ%.
г=1
Коэффициенты αχ, с*2, · · ·, &п искомой линейной функции надо подобрать так,
/ т / η \~2
чтобы минимизировать величину \ Σ ( bk — Σ aiai ) среднего
квадратичного уклонения данных, получаемых по эмпирической формуле, от
результатов, полученных в экспериментах.
Проинтерпретируйте этот вопрос как задачу о наилучшей
аппроксимации вектора (б1,..., Ът) линейными комбинациями векторов (а*,...,а™), г =
= 1,..., п, и покажите, что дело сводится к решению системы линейных
уравнений типа системы (18).
2. а) Пусть С[а, Ь] —линейное пространство непрерывных на отрезке [а, Ь]
функций с метрикой равномерной сходимости функций на этом отрезке, а
С?2[а, Ь] — то же линейное пространство, но с метрикой среднего квадратич-
Гь
ного уклонения функций на этом отрезке (т.е. d(f,g) = \ f \f — g\2{x)dx ).
Покажите, что сходимость функций в С [а, Ъ] влечет их сходимость в С2[а, 6],
но не обратно, и что пространство Сг[а, Ь] не является полным, в отличие от
пространства С[а,Ь].
Ь) Объясните, почему система функций {1,ж,ж2,... } линейно независима
и полна в С2[а,Ь], но не является базисом этого пространства.

614 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
c) Объясните, почему полиномы Лежандра являются полной
ортогональной системой и даже базисом в Сг[—1,1]·
d) Найдите первые четыре члена разложения Фурье функции sin7nr на
отрезке [—1,1] по системе полиномов Лежандра.
e) Покажите, что квадрат нормы ||РП|| в Сг[—1,1] η-го полинома Лежандра
равен
2 / 1Чп(п + 1)(п + 2)...2п
2п + 1
= (-ir(" + iy-fc/(^-i)-
dx
f) Докажите, что среди всех полиномов данной степени п, с
коэффициентом 1 при старшей степени переменной, полином Лежандра Рп(х) является
наименее уклоняющимся от нуля в среднем на отрезке [—1,1].
g) Объясните, почему для любой функции / Ε Сг([—1,1],С) должно быть
выполнено равенство
1 ^ II
J \f\2(x) dx = Σ (η + 1) \f f(x)Pn(x) dx
п=0
где {Ро, Pi, · · · } —система полиномов Лежандра.
3. а) Покажите, что если система {#ι, #2> · · · } векторов полна в
пространстве X, а пространство X является всюду плотным подмножеством
пространства У, то система {х\,Х2, - - - } полна также и в У.
b) Докажите, что линейное пространство С [а, Ь] функций, непрерывных на
отрезке [а, Ь], всюду плотно в пространстве 72-2 [о, Ь]. (В задаче 5g из § 5 гл. XVII
утверждалось, что это верно даже для бесконечно дифференцируемых
финитных на отрезке [а, Ь] функций.)
c) Используя аппроксимационную теорему Вейерштрасса, докажите, что
тригонометрическая система {l,cosfcx,sinfcx;fc Ε Ν} полна в 7?з[—ττ,π].
d) Покажите, что системы {1,ж,ж2,... }, {l,cosfcE,sinfcr; к Ε Ν} полны в
7^2 [—7г, 7г], но первая не является, а вторая является базисом этого
пространства.
e) Объясните, почему для любой функции / Ε ΊΖ([—π,π],С) справедливо
равенство (Парсеваля)
ι г ι ι2 °°
πλ 2 *τί
где числа а&, Ьь определены формулами (9), (10).

§1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
615
оо
f) Используя результат примера 8, покажите теперь, что ]Г -=■ = Z.
п=1 п
4. Ортогональность с весом, а) Пусть ρο,ρι,... ·>ρη— непрерывные
положительные в области D функции. Проверьте, что формула
</,<?> = Σ /\k{x)f{k){x)g{k){x)dx
k=oJD
задает скалярное произведение в C(n\D,€).
b) Покажите, что в пространстве 1Z(DyC) при отождествлении функций,
отличающихся лишь на множествах меры нуль, с помощью положительной и
непрерывной в D функции ρ можно ввести следующее скалярное произведение:
</,£> = p(x)f(x)g(x)dx.
D
Функция ρ в этом случае называется весовой функцией, а если (/, д) = О,
то говорят, что функции / и д ортогональны с весом р.
c) Пусть φ: D -> G — диффеоморфизм области D С W1 на область G С W1,
и пусть {uk(y)\k Ε Ν}—ортогональная в смысле стандартного скалярного
произведения (2) или (3) система функции в G. Постройте систему функций,
ортогональных в D с весом р(х) = \dettp'(x)\, а также систему функций,
ортогональных в D в смысле стандартного скалярного произведения.
d) Покажите, что система функций {ет^п(х,у) = ег(тх+пу)',т,п Ε Ν}
ортогональна на квадрате I = {(х,у) ЕМ2 | \х\ ^ π Λ \у\ ^ π}.
e) Постройте систему функций, ортогональную на двумерном торе Т2 С
С Μ2, заданном параметрическими уравнениями, указанными в примере 4 из
§ 1 гл. XII. Скалярное произведение функций / и д на торе при этом
понимается как поверхностный интеграл f f~gda.
Т2
5. а) Из алгебры известно (и мы это попутно в теории условного
экстремума тоже доказали), что каждый симметрический оператор А: Еп —> Еп,
действующий в n-мерном евклидовом пространстве Еп, имеет отличные от
нуля собственные векторы. В бесконечномерном случае это, вообще говоря,
не так.
Покажите, что линейный оператор f(x) \-> xf(x) умножения на
независимую переменную является симметрическим в Сг([а, 6],]R), но не имеет
отличных от нуля собственных векторов.
Ь) Задача Штурма1^ - Лиувилля, часто возникающая в уравнениях
математической физики, состоит в отыскании отличного от тождественного нуля
^Ж.Ш. Ф. Штурм (1803-1855) — французский математик (кстати, иностранный
почетный член Петербургской Академии наук); основные работы относятся к
решению краевых задач уравнений математической физики.

616 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
решения уравнения и"(х) + [q(x) + Хр(х)]и(х) = О на промежутке [а, 6],
удовлетворяющего некоторым краевым условиям, например, и(а) = и(Ь) = 0.
При этом функции р(х) и q(x) считаются известными, непрерывными на
рассматриваемом промежутке [а, Ь], причем р(х) > 0 на [а, Ь].
Такая задача нам уже встретилась в примере 15, где нужно было решить
уравнение (26) при условии, что -Х"(0) = Х(1) = 0. В этом случае у нас было
q(x) = 0, р(х) = 1 и [а,Ь] = [0,/]. Мы убедились в том, что задача Штурма -
Лиувилля, вообще говоря, может оказаться разрешимой лишь при некоторых
специальных значениях параметра λ, которые по этой причине называют
собственными значениями соответствующей задачи Штурма - Лиувилля.
Покажите, что если функции / и g являются решениями задачи Штурма-
Лиувилля, отвечающими собственным значениям λ/ φ λρ, то на отрезке [а, Ь]
выполнено равенство 4-{g' f—f'g) — (λ/ —Xg)pfg и функции /, g ортогональны
на [а, Ь] с весом р.
c) Известно (см. §4, гл. XIV), что малые колебания неоднородной струны,
закрепленной в концах отрезка [а, 6], описываются уравнением (рих)х = pu"t,
где и = u(x,t)—функция, задающая форму струны в каждый момент £, ρ =
= р{х)—линейная плотность, а р = р(х)—коэффициент упругости в точке
χ Ε [α, b]. Условия закрепления означают, что u(a,t) = u(b,t) = 0.
Покажите, что если искать решение этого уравнения в виде X(x)T(t), то
дело сведется к системе Τ" = ΛΤ, (рХ'У = АрХ, в которой λ — общее для
обоих уравнений число.
Таким образом, для функции Х(х) возникает задача Штурма-Лиувилля
на отрезке [а, 6], разрешимая лишь при определенных (собственных)
значениях параметра λ (Считая, что р(х) > 0 на [а, Ь] и что ρ Ε С^^[а,6], заменой
X
переменной s = f -4у уравнение (рХ'У = АрХ, очевидно, приводится к виду,
в котором оно уже не содержит первой производной.)
d) Проверьте, что оператор S(u) = (р(х)и'(х)У — q(x)u(x), действующий
на пространстве тех функций класса С^[а, Ь], которые удовлетворяют
условиям и(а) = и(Ь) = 0, является симметрическим на этом пространстве (т.е.
(Su^v) = (w,5v), где ( , )—стандартное скалярное произведение
вещественных функций). Проверьте также ортогональность собственных функций
оператора 5, отвечающих его различным собственным значениям.
e) Покажите, что решения Χι, Хг уравнения (рХ'У — АрХ, отвечающие
различным значениям λ ι, λ2 параметра λ и обращающиеся в нуль на концах
отрезка [а, 6], ортогональны на [а, Ь] с весом р(х).
6. Полиномы Лежандра как собственные функции, а) Используя указанное
в примере 5 выражение полинома Лежандра Рп{х)-> а также равенство (х2 —
- 1)п = (х - 1)п(х + 1)п, покажите, что Рп(1) = 1.

§1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
617
b) Дифференцируя тождество {х2 — \)^{х2 — 1)п = 2пх(х2 — 1)п, покажите,
что Рп (х) удовлетворяет уравнению
(х2 - 1) · Р£(х) + 2х · Р'п(х) - п(п + \)Рп(х) = 0.
c) Проверьте симметричность оператора
dx2 dx dx
^-<
на пространстве С^[—1,1] С 1Ϊ2[—1,1] и> исходя из соотношения А(Рп) =
= п(п + 1)РП, объясните ортогональность полиномов Лежандра.
d) Используя полноту системы {1,ж,ж2,...} в С^[—1,1], покажите, что
размерность собственного пространства оператора А, отвечающего его
собственному значению λ = п(п + 1), не может быть больше единицы.
e) Докажите, что оператор А = 4- \{х2 — ^)4-\ не может иметь в
пространстве С^[—1,1] собственных функций, не входящих в систему {Ро(я),
Pi (ж),... } полиномов Лежандра, и собственных значений, отличных от чисел
{n(n + l);n = 0,l,2,...}.
7. Сферические функции, а) В Е3 при решении различных задач
(например, задач теории потенциала, связанных с уравнением Лапласа Аи = 0)
решение ищут в виде ряда из решений специального вида. В качестве таковых
берут однородные многочлены Sn(x,y,z) степени п, удовлетворяющие
уравнению Δυ, = 0. Такие многочлены называются гармоническими
многочленами. В сферических координатах (τ,φ,θ) гармонический многочлен Sn(x,y,z),
очевидно, имеет вид τηΥη{θ, φ). Возникающие при этом функции Υη(θ,φ),
зависящие только от координат О^0^7г,О^<^^27гна сфере, называют
сферическими функциями. (Они являются тригонометрическими
многочленами от двух переменных с 2п+1 свободными коэффициентами у Уп, что связано
с условием Δ5η = 0.)
Используя формулу Грина, покажите, что при т ф η функции Ут, Υη
ортогональны на единичной сфере в Е3 (в смысле скалярного произведения
(YmiYn) = f f Ym'Yn da, где поверхностный интеграл берется по сфере г = 1).
Ь) Отправляясь от полиномов Лежандра, можно ввести еще полиномы
Рп,т = (1 — х2)171/2 геП(дО? га = 1,2,... ,п, и рассмотреть функции
dx
Pn(cos0), Pnjm(cos0)cosra<^, Pnjm(sin0)sinra<£. (*)
Оказывается, любая сферическая функция Υη(θ,φ) с индексом η является
линейной комбинацией указанных функций. Принимая это к сведению и
учитывая ортогональность тригонометрической системы, покажите, что
функции системы (*) образуют ортогональный базис в (2п + 1)-мерном
пространстве сферических функций данного индекса п.

618 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
8. Полиномы Эрмита. В квантовой механике при исследовании уравнения
линейного осциллятора приходится рассматривать функции класса С^ (Ж) со
+оо
скалярным произведением (/,#) = / fgdx в С^(Ж) С ΊΖ2 (Л&, С), а также
— оо
специальные функции Нп(х) = {—\)пех -^—е^~х ), η = 0,1,2,...
dxn
a) Покажите, что Щ(х) = 1, Ηχ(χ) = 2х, Н2(х) = 4ж2 — 2.
b) Докажите, что Нп(х) — полином степени п. Система функций {Но(х),
Ηχ(χ),... } называется системой полиномов Эрмита.
c) Проверьте, что функция Нп(х) удовлетворяет уравнению Н'^{х) —
-2хН'п(х) + 2пНп{х) = 0.
d) Функции ψη(χ) — е~х /2Нп(х) называют функциями Эрмита.
Покажите, что ψη(χ) + (2п + 1 — χ2)ψη(χ) = 0 и ψη(χ) —> 0 при ж —» оо.
+оо
e) Проверьте, что f ψηψτη dx = 0 при т φ п.
— оо
2
f) Покажите, что полиномы Эрмита ортогональны на Ε с весом е~х .
9. Полиномы Чебышёва-Лагерра^ {Ln(x)\n = 0,1,2,... } можно
определить формулой Ln(x) := ех—^-^—*.
Проверьте, что:
a) Ln(x) есть полином степени п;
b) функция Ln(x) удовлетворяет уравнению
xL'^x) + (1 - я?)Ь;(я?) + nLn(x) = 0;
c) система {Ln; η = 0,1,2,... } полиномов Чебышёва-Лагерра
ортогональна с весом е~х на полупрямой [0, +оо[.
10. Полиномы Чебышёва {Т0(х) = 1,Тп(х) = 21_ncosn(arccosx);n Ε Ν}
при |ж| < 1 можно задать формулой
n( j_ (2n)! V dx»1 j ·
Покажите, что:
a) Тп(х) есть полином степени п;
b) Тп(х) удовлетворяет уравнению
(1 - х2)Т';{х) - хТ'п{х) + п2Тп{х) = 0;
c) система {Τη; η = 0,1,2,... } многочленов Чебышёва ортогональна с
весом р(х) = . на промежутке ]— 1,1[.
VI — х2
Э. Н. Лагерр (1834 -1886) — французский математик.

§1. ОСНОВНЫЕ ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
619
11 а) В теории вероятностей и теории функций встречается следующая
система функций Радемахера1^ {фп{х) = φ(2ηχ);η = 0,1,2,...}, где φ(ί) =
= sgn(sin27r£). Проверьте, что это ортонормированная система на отрезке
[0,1].
Ь) Система функций Хаара2^ {xn,k(x)}, где η = 0,1,2,..., а к = 1,2,22,...
определяется соотношениями
ХпАх) = {
1, если §|^ <х< ||^,
-1, если §|^f <x< 2^т,
0 в остальных точках [0,1].
Проверьте ортогональность системы Хаара на отрезке [0,1].
12. а) Покажите, что любое n-мерное векторное пространство со
скалярным произведением изометрически изоморфно арифметическому евклидову
пространству W1 той же размерности.
b) Напомним, что метрическое пространство называется сепарабельным,
если в нем имеется счетное всюду плотное подмножество. Докажите, что
если линейное пространство со скалярным произведением сепарабельно, как
метрическое пространство с индуцированной этим скалярным произведением
метрикой, то в нем есть счетный ортонормированный базис.
c) Пусть X — сепарабельное гильбертово пространство (т.е. X — сепара-
бельное и полное метрическое пространство с метрикой, индуцированной
скалярным произведением в X). Взяв в X ортонормированный базис {е^г Ε Ν},
построим отображение X Э χ *-> (ci,C2,...)> гДе сг — (x,ei)—коэффициенты
Фурье разложения вектора χ по базису {е^}. Покажите, что это отображение
является биективным, линейным и изометричным отображением X на
пространство /2, рассмотренное в примере 14.
d) Используя рис. 103, укажите, в чем состоит идея построения примера 14,
и объясните, почему она связана именно с бесконечномерностью
рассматриваемого пространства.
e) Объясните, как построить аналогичный пример в пространстве
функций С[а,Ь] С 1Z2[a,b].
^Г. А. Радемахер (род. 1892) — немецкий (с 1936 г. — американский) математик.
2) А. Хаар (1885 - 1933) —венгерский математик.

620 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§ 2. Тригонометрический ряд Фурье
1. Основные виды сходимости классического ряда Фурье
а. Тригонометрический ряд и тригонометрический ряд
Фурье. Классический тригонометрический ряд — это ряд вида1)
ао
+ ^2 ак cos kx + bk sin кх, (1)
k=l
получаемый на базе тригонометрической системы {l,cos kx,sinkx; к £
£ Ν}. Коэффициенты {ao,ak,bk',k £ Ν} здесь вещественные или
комплексные числа. Частичные суммы тригонометрического ряда (1) суть
тригонометрические многочлены
η
Тп(х) = -г- + У^ flfc cos kx + bk sin kx (2)
k=l
соответствующей степени π.
Если ряд (1) сходится поточечно на R, то его сумма /(#), очевидно,
2π-πepиoдичecκaя функция на R. Она вполне определяется заданием ее
ограничения на любой отрезок длины 2π.
Обратно, если дана 27г-периодическая функция на R (колебания,
сигнал и т. п.) и мы желаем разложить ее в сумму некоторых канонических
периодических функций, то для этой цели первыми претендентами
служат простейшие 27г-периодические функции {l,coskx,smkx;k £ Ν},
представляющие простые гармонические колебания целых частот.
Допустим, нам удалось представить непрерывную функцию в виде
суммы
оо
f(x) — тг + /Ζ ak cos kx + bk sin kx (3)
2 fe=i
равномерно сходящегося к ней тригонометрического ряда. Тогда
коэффициенты разложения (3) легко и вполне однозначно находятся.
Домножая в этом случае равенство (3) последовательно на каждую
из функций системы {l,cos kx,smkx-, k £ Ν}, пользуясь возможностью
^Запись свободного члена в виде ао/2, удобная для рядов Фурье, здесь не
обязательна.

§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
621
почленно интегрировать получаемые при этом равномерно сходящиеся
ряды и учитывая соотношения
π
—π
π
Г dx = 2π,
-π
/ cos rax cos nxdx = / sin rax sin nxdx = 0 при га ^ π, га, π £ Ν,
—π —π
π π
/ cos2nxdx — \ sin2πχ dx = π, π £ Ν,
находим коэффициенты
flfc
= afe(/) = - / f (χ) cos kxdx, к = 0,1,..., (4)
—π
π
bfc = МЯ = - / /(z)sinA;xdx, fc = 1,2,... (5)
—π
разложения (3) функции / в тригонометрический ряд.
Мы пришли к тем же коэффициентам, какие бы мы имели,
рассматривая (3) как разложение Фурье вектора / £ 7^2 [—π, π] по
ортогональной системе {l,cos fcx,sinfcx; к £ Ν}. Это не удивительно, поскольку
из равномерной сходимости ряда (3), конечно, вытекает и его
сходимость в среднем на отрезке [—π, π], а тогда коэффициентами ряда (3)
должны быть коэффициенты Фурье функции / по рассматриваемой
ортогональной системе (см. § 1).
Определение 1. Если для функции / имеют смысл интегралы
(4), (5), то сопоставляемый / тригонометрический ряд
f ^^. + f^ak(f)coskx + bk(f)siakx (6)
Z k=i
называется тригонометрическим рядом Фурье функции /.
Поскольку других рядов Фурье, кроме тригонометрических, в этом
параграфе не будет, мы для краткости позволим себе порой опускать

622 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
слово «тригонометрический» и будем говорить просто «ряд Фурье
функции /».
В основном мы будем иметь дело с функциями класса ΤΖ([—π, π], С)
или, несколько шире, с функциями, квадрат модуля которых
интегрируем (хотя бы в несобственном смысле) на промежутке ] — π,π[.
Сохраним прежний символ ΤΖ^—π, π] для обозначения линейного
пространства таких функций со стандартным скалярным произведением в
нем
π
(f,g) = Jfgdx. (7)
—π
Неравенство Бесселя
1 }
"£\ak(f)\2 + \bk(f)\2<- \f\2(x)dx, (8)
справедливое для любой функции / £ 7^2([~^г5 'тг]? С), показывает, что
далеко не каждый тригонометрический ряд (1) может быть рядом
Фурье некоторой функции / £ 72.2 [—π5π]·
Пример 1. Тригонометрический ряд
как нам уже известно (см. пример 7 из §2 гл. XVI), сходится на R, но
он не является рядом Фурье никакой функции / £ 7^2 [—π, π], так как
РЯД Σ (^) расходится.
ыл\2
Итак, изучаться здесь будут не произвольные тригонометрические
ряды (1), а ряды Фурье (6) функций класса Т^—я", π], а также класса
абсолютно интегрируемых на ]— π,π[ функций.
Ь. Сходимость в среднем тригонометрического ряда
Фурье. Пусть
мл
т
к=\
Sn(x) = ^^ + J2ak{f)coskx + bk{f)sinkx (9)

§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
623
— п-я частичная сумма ряда Фурье функции / £ 72,2 [~-π, π].
Отклонение Sn от / можно измерять как в естественной метрике пространства
7^2[—π, π], индуцированной скалярным произведением (7), т. е. в смысле
среднего квадратичного уклонения
II/ - «»Н =
Л
/I
J\f-Sn\2(x)dx (10)
Sn от / на промежутке [—π, π], так и в смысле поточечной сходимости
на этом промежутке.
Первый из указанных видов сходимости для произвольного ряда
Фурье был рассмотрен в § 1. Конкретизация полученных там
результатов применительно к тригонометрическому ряду Фурье связана прежде
всего с тем, что тригонометрическая система {l,cos kx,sinkx; к £ Ν}
полна в 7^2 [—π, π] (это уже отмечалось в § 1 и будет независимо
доказано в п. 4 настоящего параграфа).
Значит, основная теорема из § 1 в нашем случае позволяет
утверждать, что справедлива следующая
Теорема 1 (о сходимости в среднем тригонометрического ряда
Фурье). Ряд Фурье (6) любой функции / £ 7?,2([—π, π],С) сходится к
ней в среднем (10), т. е.
f(x) = "V" + Σ аь(Л cos кх + МЯ sin кх,
и имеет место равенство Парсеваля
π
Мы часто будем использовать более компактную комплексную
форму записи тригонометрических полиномов и тригонометрических
рядов, основанную на формулах Эйлера егх = cos χ + г sin x, cos x = ^ (егх +
+ е~гх), sinx = тр(егх — е~гх). Используя их, частичную сумму (9) ряда
Фурье можно записать в виде
η
Sn(x) = Σ <*е*х, (9')

624 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
где
Ск = <
а сам ряд Фурье (6) —в виде
+оо
/~5>е**, (6')
—оо
\(dk — ibk), если к > О,
\ао, если к = О, (12)
^(a_fc + ib_fc), если /с < О,
π
ck = ck(f) = ±-J f(x)e-ikxdx, keZ, (13)
—π
и, значит, Cfc—попросту коэффициенты Фурье функции / по системе
{eikx;keZ}.
Обратим внимание на то, что суммирование ряда Фурье (б7)
понимается в смысле сходимости сумм (97).
Теорема 1 в комплексной записи означает, что для любой функции
/етг2([-7г,7г],с)
т.е.
/И = Ёс*(Яе'
гкх
П2'
—оо
И
1 °°
^ΙΙ/ΙΙ2 = Σΐ*(/)Ι2. (14)
—оо
с. Поточечная сходимость тригонометрического ряда
Фурье. Теорема 1 полностью решает вопрос о сходимости ряда Фурье (6)
в среднем, т. е. по норме пространства 7^2[—π, π]. Вся дальнейшая часть
этого параграфа в основном будет посвящена изучению условий и
характера поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Мы
рассмотрим только наиболее простые аспекты этого вопроса.
Исследование поточечной сходимости тригонометрического ряда, как правило,
дело настолько тонкое, что, несмотря на традиционное центральное
место, которое после Эйлера, Фурье и Римана в теории функций
занимали ряды Фурье, до сих пор нет внутреннего описания класса тех

§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
625
функций, которые представляются сходящимся к ним в каждой точке
тригонометрическим рядом (проблема Римана). До недавнего
времени не было даже известно, обязан ли ряд Фурье непрерывной
функции сходиться к ней почти всюду (то, что сходимости всюду при этом
может не быть, уже знали). В свое время А.Н.Колмогоров1) даже
построил пример всюду расходящегося ряда Фурье функции / £ L[—π, π]
(где L[—π, π]—пространство функций, интегрируемых по Лебегу на
промежутке [—π, π], получаемое метрическим пополнением
пространства 1Ζ[—π, π]), а Д. Ε. Меньшов2) построил тригонометрический ряд (1),
содержащий отличные от нуля коэффициенты и сходящийся к нулю
почти всюду (нуль-ряд Меньшова). Поставленный Н.Н.Лузиным3)
вопрос (проблема Лузина) о том, обязан ли ряд Фурье любой функции
/ £ L>2[—π,π] (где L<i\—π, π] — метрическое пополнение пространства
7^2[—π, π]) сходиться почти всюду, был решен, причем утвердительно,
только в 1966 г. Л. Карлесоном4). Из результата Л. Карлесона, в
частности, следует, что ряд Фурье любой функции / £ 7£2[—π,π] (например,
непрерывной) обязан сходиться почти во всех точках отрезка [—π, π].
2. Исследование поточечной сходимости
тригонометрического ряда Фурье
а. Интегральное представление частичной суммы ряда
Фурье. Обратимся теперь к частичной сумме (9) ряда Фурье (6) и,
подставив в ее комплексную запись (97) выражения (13) коэффициентов
Фурье, проделаем следующие преобразования:
^ A. H. Колмогоров (1903-1987) —выдающийся советский ученый; работы по
теории вероятностей, математической статистике, теории функций, функциональному
анализу, топологии, логике, дифференциальным уравнениям и прикладным
аспектам математики.
2) Д. Е. Меньшов (1892-1988)—советский математик, один из наиболее крупных
специалистов в теории функций действительного переменного.
3^Н. Н. Лузин (1883-1950) —русский советский математик, один из наиболее
тонких знатоков теории функций, родоначальник большой московской математической
школы («Лузитании»).
4^Л. Карлесон (род. 1928)—выдающийся шведский математик; основные труды
относятся к различным областям современного анализа,

626 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
= ^ //(<)( Σ J^Adt. (15)
_π \к=—п /
Но
п „г(п+1)и _ „-гпи г(п+^)и _ -г{п+\)и
Dn(u) := У е*ы = : - = 1 —х , (16)
причем, как видно из самого определения, Dn(u) = (2π + 1), если еги = 1.
Значит,
, ч sin (η + h) и , ч
Dn(u) = \ !2j , (17)
sin ^w
где отношение считается равным 2п +1, когда знаменатель дроби
обращается в нуль.
Продолжая выкладку (15), теперь имеем
π
/(ί)Β„(ι-ί)Λ. (18)
Мы представили Sn(x) в виде свертки функции / с функцией (17),
называемой ядром Дирихле.
Как видно из исходного определения (16) функции Dn(u), ядро
Дирихле 27г-периодично, четно, и, кроме того,
π π
^- J Dn(u)du = ^ J Dn(u)du = l. (19)
-π 0
Считая функцию / 27г-периодической на R или периодически
продолженной с отрезка [—π, π] на R, делая в (18) замену переменной,
получаем, что
π π · ( ι\
Sn(x) = ^- f f(x-t)Dn(t)dt = ±- [ f(x-t)Sm[n+u>}tdt.
2π J 2π J sin it
(20)
Делая замену переменной, мы здесь воспользовались тем, что
интеграл от периодической функции по любому отрезку, длина которого
равна периоду функции, одинаков.

§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
627
Учитывал четность Dn(t), равенство (20) можно переписать в виде
π
Sn{x) = -^ f{f{x -t) + f{x + t))Dn{t) dt =
0
= ±-J(f(x-t) + f(x + t))S[n{n+iptdt. (21)
2π J sin kt
ο Δ
b. Лемма Римана и принцип локализации. Полученное
представление (21) частичной суммы тригонометрического ряда Фурье со- *
вместно с формулируемым ниже наблюдением Римана служит основой
для исследования поточечной сходимости тригонометрического ряда
Фурье.
Лемма 1 (Риман). Если локально интегрируемая функция /:
]^ъ^2[—>* К абсолютно интегрируема (хотя бы в несобственном
смысле) на промежутке ]α;ι,α;2[, то
Ш2
г\х
е dx -> 0 тг/ж λ -> оо, AG
(22)
ωι
Л Если ]α;ι,α;2[ — конечный промежуток, a f(x) = 1, то (22)
проверяется непосредственным интегрированием и переходом к пределу.
Общий случай сведем к этому простейшему.
Фиксируя произвольно ε > 0, выберем сначала отрезок [а, Ь] С
С] α;ι, u^f так, чтобы при любом λ £ R было
CJ2 О
jf(x)eiXxdx- Jf(x)t
eiXxdx
ω\
< ε.
(23)
Ввиду оценок
[ f{x)eiXxdx- [ f{x)eiXxdx\ ζ
л)\ а |
α α;2 α ш\
< У |/(х)еаа;| dx + У |/(ж)е<Ав| dx = | |/|(х) dx + j |/|(x) dx
ί*Ί
ωχ

628 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
и абсолютной интегрируемости / на ]α;ι,α;2[, указанный отрезок [а,Ь],
конечно, существует.
Поскольку / £ 72.([а, b],R) (точнее f\[a,b] £ ^([а5Ь])), то найдется
η
такая нижняя сумма Дарбу ]П rrijAxj, где га^· = inf /(#), что
° η
О < / /(χ) dx - 2^ mjAxj < ε.
Вводя теперь кусочно постоянную функцию #(х) = га^·, если χ £
£ [xj_i,Xj], j = 1,... ,π, получаем, что д(х) ^ /(х) на [а, Ь] и
0£
ь ь
)еах dx
Jf(x)eiXxdx-Jg(x)e
а а
Ь
< /|/И -0(*)1 |еа1|^ = j{f{x)-g{x))dx < ε. (24)
Но
rrijelXx dx =
[9(χ)β*χ*άχ = Σ ί
7 = 1
a J ί Xj-ι
1 n
= — J2 ί™^*) Ρ -> 0 при λ ->· oo, ХеШ. (25)
Ζ /Λ V ' \ Xj — ι
Сопоставляя соотношения (22)-(25), получаем то, что и
утверждалось. ►
Замечание 1. Отделяя в (22) действительную и мнимую части,
получаем, что
/ /(x)cosAxdx —> О и / /(x)sinAxdx —» 0 (26)
при λ —» оо, λ £ R Если бы в последних интегралах функция / была
комплекснозначна, то, отделяя уже в них действительную и мнимую

§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
629
части, мы получили бы, что соотношения (26), а значит, и
соотношение (22), на самом-то деле^ конечно, справедливы и для комплекснознач-
ных функций /: ] ω\, ω2 [—> С.
Замечание 2. Если известно, что / £ 7^2[—π, π], то в силу
неравенства Бесселя (8) можно сразу заключить, что
π π
/ f(x) cos nxdx ^ 0 и / f(x) sinnx dx —> 0
—π —π
при η —> οο, η £ Ν. Этим дискретным вариантом леммы Римана в
принципе уже можно было бы обойтись в тех начальных исследованиях
классических рядов Фурье, которые будут здесь проведены.
Возвращаясь теперь к интегральному представлению (21)
частичной суммы ряда Фурье, замечаем, что если функция /
удовлетворяет условиям леммы Римана, то, поскольку sin ^t ^ sin ^δ > О при
О < δ ^ t ^ π, мы вправе на основании соотношений (26) записать,
что
δ · / 14
Sn{x) = ^- /(/(x-t) + /(x + t))Sin^^^dt + o(l)npHn^oo. (27)
2π J sin H
Важное заключение, которое можно сделать, имея равенство (27),
состоит в том, что сходимость ряда Фурье в точке вполне определяется
поведением функции в сколь угодно малой окрестности этой точки.
Сформулируем этот принцип в виде следующего утверждения.
Теорема 2 (принцип локализации). Пусть f u д—вещественно-
или комплекснозначные локально интегрируемые на промежутке
]—7г,7г[ и абсолютно интегрируемые на нем (хотя бы в
несобственном смысле) функции.
Если функции fug совпадают в сколь угодно малой окрестности
точки хо 6 ]—7г,7г[, то их ряды Фурье
+оо +оо
f{x) ~ Σck(f)eik*, g(x) ~ Σck(9)eikx

630 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
сходятся или расходятся в точке хо одновременно, а в случае
сходимости их суммы в хо совпадают1^.
Замечание 3. Как видно из проведенных при получении равенств
(21), (27) рассуждений, точка #о в принципе локализации может быть
и концом отрезка [—π, π], но тогда (и это существенно!) для
совпадения в окрестности точки xq периодически продолженных на R с
отрезка [—π, π] функций / и g необходимо (и достаточно), чтобы исходные
функции / и g совпадали в окрестности обоих концов отрезка [—π, π].
с. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке
Определение 2. Говорят, что функция /: JJ —> С, заданная в
проколотой окрестности точки χ £ R, удовлетворяет в точке χ условиям
Дини, если
a) в точке χ существуют оба односторонних предела
/(х_) = limf(x - t), f{x+) = limf(x + t);
£-►+0 i-^+0
b) интеграл
(f(X-t)-f(x_)) + (f(x + t)-f(x+))
I
+0
dt
сходится абсолютно2^.
Пример 2. Если / — непрерывная в U(x) функция,
удовлетворяющая в точке χ условию Гельдера
\f(x + t)-f(x)\^M\t\a, 0<α<1,
то, поскольку тогда справедлива оценка
f(X + t)-f(x)
t
t|l-a'
функция / удовлетворяет в точке χ условиям Дини.
^Хотя и не обязательно совпадают со значением f(xo) = g(xo).
ε
2' Имеется в виду абсолютная сходимость интеграла J хоть при каком-нибудь зна-
0
чении ε > 0.

§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
631
Ясно также, что если определенная в проколотой окрестности U(x)
точки χ непрерывная функция / имеет односторонние пределы /(х_),
/(#+) и удовлетворяет односторонним условиям Гельдера
\f(x + t)-f(x+)\^Mta,
\f(x-t)-f(x_)\^Mta,
где t>0, 0<а<1,а Μ — положительная постоянная, то функция /
по той же причине, что и выше, будет удовлетворять условиям Дини.
Определение 3. Вещественно или комплекснозначную
функцию / будем называть кусочно непрерывной на отрезке [а, Ь], если
существует такой конечный набор точек а = xq < х\ < ... < хп — Ъ этого
отрезка, что функция / определена, непрерывна на каждом интервале
]xj-i,Xj[, j = Ι,.,.,π и имеет односторонние пределы при подходе к
его концам.
Определение 4. Функцию, имеющую на данном отрезке кусочно
непрерывную производную, будем называть кусочно непрерывно
дифференцируемой функцией на этом отрезке.
Пример 3. Если функция кусочно непрерывно
дифференцируема на отрезке, то она удовлетворяет условиям Гельдера с показателем
а = 1 в любой точке этого отрезка (это вытекает из теоремы Лагранжа
о конечном приращении). Значит, в силу примера 1 такая функция
удовлетворяет условиям Дини в любой точке рассматриваемого отрезка. В
концах отрезка, разумеется, проверке подлежит только
соответствующая односторонняя пара условий Дини.
Пример 4. Функция f(x) = sgnx удовлетворяет условиям Дини в
любой точке χ £ R, в том числе и в нуле.
Теорема 3 (достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке).
Пусть /: R —> С—2π-периодическая функция, абсолютно
интегрируемая на отрезке [—π, π]. Если функция f удовлетворяет в точке χ £ R
условиям Дини, то ее ряд Фурье сходится в точке х, причем
±ck{f)^=f{X-)+2f{X+). (28)
— ОО

632 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Μ На основании соотношений (21) и (19)
Sn(x) -
2
= ι г щ, - ρ - !(х.)) + (Д* +1) - /(,+)) s.n / ι\
π J 2sin к V 2/
о Δ
Поскольку 2 sin \t~t при ί —» +0, то, благодаря условиям Дини, на
основании леммы Римана можно утверждать, что при η —> оо последний
интеграл стремится к нулю. ►
Замечание 4. В связи с доказанной теоремой и принципом
локализации отметим, что изменение значения функции в точке не влияет
ни на коэффициенты, ни на ряд, ни на частичные суммы ряда Фурье,
поэтому сходимость и сумма такого ряда в точке определяется не
индивидуальным значением функции в точке, а интегральным средним ее
значений в сколь угодно малой окрестности этой точки. Именно это и
нашло отражение в теореме 3.
Пример 5. В примере 6 из § 1 мы нашли ряд Фурье
00 (-1)*+!
х ~ > 2 sin kx
^ к
k=l
функции f(x) = χ на промежутке [—π, π]. Продолжая функцию f(x)
периодично с интервала ]—π,π[ на всю числовую ось, можно считать,
что указанный ряд является рядом Фурье этой продолженной функции.
Тогда на основании теоремы 3 получаем, что
)fc+1 о.^ и^ _ J χ, если \х\ < π,
если |х| = π.
В частности, при χ = 5 отсюда следует, что
(-1)" = π
2п + 1 4 '
п=0
Σ

§2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
633
Пример 6. Пусть α £ R и \а\ < 1. Рассмотрим 2π-периодическую
функцию /(х), заданную на отрезке [—π, π] формулой /(χ) — cos αχ.
По формулам (4), (5) найдем ее коэффициенты Фурье:
М/) =
bn(f) =
—π
π
cos αχ cos nx dx =
(-1)η8ΐηπα 2α
π
α2 — η2'
cos αχ sin nx dx — 0.
По теореме 3 в любой точке χ £ [—π, π] имеет место равенство
cos αχ =
2α sin πα / 1 ^ (-l)n
Ι 2α2 ^ a2 -n2
π
При х = π отсюда получаем, что
2a A 1
ι ζα г—ν ι
ctgna = — > -=—
στη/ тг ' * ΓνΔ —
πα π *—' αζ — ηΔ
η=1
(29)
Если |α| ^ αο < 1, το
1
72—Ι?
^ -2 ?, поэтому стоящий в правой
η -α0
la — η
части равенства (29) ряд сходится равномерно по α на любом отрезке
\а\ ^ αο < 1. Значит, законно его почленное интегрирование, т.е.
2a da
η П=1 η
π*
и
In
sin πα
πα
χ οο
0 η=1
η

634 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
что дает
n=l x κ
и окончательно
00 / ~2
πχ
00 / 2 \
-п-30
при |χ| < 1. (30)
Мы доказали, таким образом, соотношение (30), на которое в §3
главы XVII ссылались при выводе формулы дополнения для функции
Г(х) Эйлера.
d. Теорема Фейера1). Рассмотрим теперь последовательность
функций
S0(x) + ... + Sn(x)
ση(χ) :=
π + 1
являющихся средними арифметическими соответствующих частичных
сумм So(x),..., Sn(x) тригонометрического ряда Фурье (6)
2π-периодической функции /: R —> С.
На основе интегрального представления (20) частичной суммы ряда
Фурье имеем
π
ση(χ) = ^ J f{x-t)Tn(t)dt,
где
^η(ί) = —i-r(A)(i) + · · · + Dn(t)).
η + 1
Вспоминая явный вид (17) ядра Дирихле и учитывая, что
> sin /с + - ί = - sin -t) > (cos kt - cos(k + l)t) = г—>
^Л. Фейер (1880-1956)—известный венгерский математик.

§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
635
находим
^ (χ_ sin2 ψί
(η + l) shr ±t
Функция Тп называется ядром Фейера, точнее, п-м ядром Фейера.
Учитывая исходное определение (16) ядра Дирихле Z)n, можно
заключить, что ядро Фейера является гладкой 27г-периодической
функцией, значение которой равно (п + 1) там, где знаменатель последней
дроби обращается в нуль.
Свойства ядер Фейера и Дирихле во многом схожи, но в отличие
от ядер Дирихле ядра Фейера еще и неотрицательны, поэтому имеет
место следующая
Лемма 2. Последовательность функций
д (х) = ί έ^Μ' если \х\ ^ π>
пУ } \ О, если \х\ > π
является δ-образной на Ш.
Μ Неотрицательность Ап(х) ясна.
Равенство (19) позволяет заключить, что
оо π π
/ An(x)dx = / An(x)dx = — / Tn(x)dx =
2^n + lh=o_„
η J
Σ / Dk{x)dx = \.
1 П J
Наконец, при любом δ > О
-δ +οο
0 ίξ / An(x)dx = / An(x)dx = An(x)dx^
^ ~2π(π + 1)
δ
1 j dx
ь + 1) J sin2 L·
при η —> оо. ►

636 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Теорема 4 (Фейер). Пусть /: R —> С—2π-периодическая
абсолютно интегрируемая на отрезке [—π, π] функция. Тогда,
a) если на множестве Ε С Ш функция f равномерно непрерывна,
то
ση(χ) =4 f{x) на Ε при η —> оо;
b) если f e C(R,C), то
ση(χ) =t f{x) на R при η —> оо;
c) еа/ш / непрерывна в точке χ £ R, mo
tf"n(#) —> /(^) Щи п —> °о.
^ Утверждения Ь) и с) являются специальными случаями
утверждения а).
Само же утверждение а) является частным случаем общего
утверждения 5 из § 4 гл. XVII о сходимости свертки, поскольку
π
ση{χ) = ^Jf(x- ^«(i) dt = {f* An){x). ►
—π
Следствие 1 (теорема Вейерштрасса об аппроксимации
тригонометрическими многочленами). Если функция /: [—π, π] —> С
непрерывна на отрезке [—π, π] и /(—π) = /(π), mo эта функция может быть
сколь угодно точно равномерно на отрезке [—π, π] аппроксимирована
тригонометрическими многочленами.
Μ Продолжая / 27г-периодически, получим непрерывную
периодическую на R функцию, к которой по теореме Фейера равномерно сходятся
тригонометрические многочлены ση(χ). ►
Следствие 2. Если функция /. непрерывна в точке х, то ее ряд
Фурье либо вовсе расходится в этой точке, либо сходится к f(x).
Μ Формально в проверке нуждается только случай сходимости. Если
последовательность Sn(x) при η —> оо имеет предел, то тот же предел
имеет и последовательность ση(χ) = °^ ~^'+ι" ^ΧΚ Но по теореме
Фейера ση(χ) —> f(x) при η —> оо, значит, и 5п(х) —> f(x) при η —> оо,
если вообще предел Sn(x) при η —> оо существует. ►
Замечание 5. Отметим, что ряд Фурье непрерывной функции и
в самом ^еле может в некоторых точках расходиться.

§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
637
3. Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов
Фурье
а. Оценка коэффициентов Фурье гладкой функции. Начнем
с простой, но важной и полезной леммы.
Лемма 3 (о дифференцировании ряда Фурье). Если
непрерывная функция f £ С([—π, 7г],С), принимающая на концах отрезка [—π, π]
равные значения (/(—π) = /(π)), кусочно непрерывно дифференцируема
на [—π, π], то ряд Фурье ее производной
оо
/'-Σ <*(/>**
—оо
может быть получен формальным дифференцированием ряда Фурье
оо
/~I>(/)e<fc*
—оо
самой функции, т. е.
ck(f') = ikck(f), kez. (3i)
М Исходя из определения коэффициентов Фурье (13),
интегрированием по частям находим
π
ck(f') = ^Jf'(x)e-ikxdx =
—π
π
= ±/(«)β-»*Γ +^Jf(x)e-ik*dx = ikck(f),
—π
поскольку f(n)e~ik7r - f(-n)eik7r = 0. ►
Утверждение 1 (о связи гладкости функции и скорости убывания
ее коэффициентов Фурье). Пусть f £ С^т~1\[—π, π], С) и f{j\-n) =
— /У)(π), j = 0,1,..., т — 1. .Εα/ш функция f имеет на отрезке [—π, π]
кусочно непрерывную производную f(m) порядка т, то
ck(fW) = (ik)mck(f), kez, (32)

638 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Ы/)1 = TtL. = ° (j^\ при к -> оо, к е Z, (33)
1*1Г
оо
причем Σ 7fc < °°·
-оо
^ Соотношение (32) получается в результате m-кратного
использования равенства (31)
c*(/<m>) = {ik)ck{f{m-l)) = ... = (»*)"*<*(/).
Полагая 7fc = lcfc(/^)|> c учетом неравенства Бесселя
1 }
—π
из (32) получаем соотношение (33). ►
Замечание 6. В доказанном утверждении, как и в лемме 3,
вместо условий f^\—π) = /^(π) можно было бы считать, что / является
заданной на всей прямой 27г-периодической функцией.
Замечание 7. Если тригонометрический ряд Фурье записывать
в форме (6), а не в комплексной форме (б7), то вместо простых
соотношений (32) пришлось бы писать заметно более громоздкие
равенства, смысл которых, однако, тот же: при указанных условиях ряд
Фурье можно дифференцировать почленно (в какой бы из форм (6)
или (б7) он ни был задан). Что же касается оценок коэффициентов
Фурье ak(f), bk(f) ряда (6), то, поскольку ak(f) = ck(f) + c_fc(/), bk{f) =
= i{ck(f) - c-k(f)) (см. формулы (12)), из (33) следует, что если
функция / удовлетворяет указанным в утверждении условиям, то
M/)l = ^, IM/)l = |t *6N, (33')
оо оо
где Σ αϊ < °° и Σ 0к < °°> причем можно считать ак — рк — 7fc+7-fc·
к=\ к=1
Ь. Гладкость функции и скорость сходимости ее ряда
Фурье
Теорема 5. Если функция /: [—π, π] —> С такова, что

§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
639
а) /еСИ)^,,], meN,
κ)/ω(-π) = /ω(π),7· = 0,ι,...,™-ι,
с) / имеет на [—π, π] кусочно непрерывную производную /(т)
порядка т ^ 1,
то ряд Фурье функций f сходится к f абсолютно и равномерно на
отрезке [—π, π], причем отклонение п-й частичной суммы Sn(x) ряда
Фурье от f(x) на всем отрезке [—π, π] имеет оценку
где {εη} —стремящаяся к нулю последовательность положительных
чисел.
Μ Частичную сумму (9) ряда Фурье запишем в компактной
форме (9')
η
Sn(x) = J2ck(f)eik*.
В соответствии с условиями на функцию /, согласно утверждению 1,
имеем |cfc(/)| = 7fc/|&|m5 причем Y^jk/\k\m < °о: поскольку 0 <
< lkl\k\m ^ \Ы + l/k2m) и т > 1, имеем Σ7λ/Ι*Γ < °°· Значит,
последовательность Sn(x) на отрезке [—π,π] равномерно сходится (в
силу мажорантного признака Вейерштрасса для рядов или критерия
Коши для последовательностей).
В силу теоремы 3 предел S(x) последовательности Sn(x) совпадает
с /(#), поскольку функция / удовлетворяет условиям Дини в каждой
точке отрезка [—π, π] (см. пример 3) и, ввиду /(—π) = /(π), функция /
периодически продолжается наКс сохранением условий Дини в любой
точке жеК.
Теперь, используя соотношение (31), имеем возможность
приступить к оценке:
|/(х) - 5„(х)| = \S(x) - Sn(x)\ =
±k=n+l
ikx
€

640 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
< Σ м/)1= Σ wi*r<
±k=n+l ±k=n+l
/oo \ 1/2 / oo \ 1/2
Μ Σ τ2 Σ vH
Первый сомножитель в правой части неравенства Коши-Буняков-
оо
ского стремится к нулю при η —> oo, поскольку Σ Ik < °°·
—oo
Далее (см. рис. 104)
V i/k2m< I dx = г г
^ ' ^ J x2m 2m-1 η2™"1*
Таким образом, получается то, что и утверждает теорема 5. ►
η η + 1
Рис. 104.
В связи с полученными результатами сделаем несколько полезных
замечаний.
Замечание 8. Из теоремы 5 (и существенно использованной при
ее доказательстве теоремы 3) можно легко и независимо от теоремы
Фейера вновь получить аппроксимационную теорему Вейерштрасса,
сформулированную в следствии 1.
< Достаточно доказать ее для вещественнозначных функций.
Используя равномерную непрерывность функции / на отрезке [—π, π],
аппроксимируем / на этом отрезке равномерно с точностью до ε/2
кусочно линейной непрерывной функцией <^(х), принимающей на концах

§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
641
отрезка те же значения, что и /, т. е. φ(—π) = φ (π) (рис. 105). По
теореме 5 ряд Фурье функции φ сходится к φ равномерно на отрезке [—π, π].
Взяв частичную сумму этого ряда, уклоняющуюся от φ(χ) не более чем
на ε/2, получим тригонометрический многочлен, аппроксимирующий
исходную функцию / с точностью до ε на всем отрезке [—π, π]. ►
^π 0| π х
Рис. 105.
Замечание 9. Предположим, нам удалось представить
функцию /, имеющую особенность — скачок, в виде суммы / = φ+ф
некоторой гладкой функции ф и некоторой простой функции φ, имеющей ту
же особенность, что и / (рис. 106 а, с, Ь). Тогда ряд Фурье функции /
окажется суммой быстро и равномерно сходящегося в силу теоремы 5
ряда Фурье функции ф и ряда Фурье функции φ. Последний можно
считать известным, если взять стандартную функцию φ (на рисунке
φ(χ) — —π — χ при —π < χ < 0 и φ(χ) = π — χ при 0 < χ < π).
Рис. 106.
Это наблюдение используется как в прикладных и вычислительных
вопросах, связанных с рядами (метод А. Н. Крылова1) выделения
особенностей и улучшение сходимости рядов), так и в самой теории три-
^А.Н.Крылов (1863-1945)—русский советский механик и математик, внесший
большой вклад в вычислительную математику и особенно в методы расчета
элементов кораблей.

642 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
гонометрических рядов Фурье (см., например, явление Гиббса1\
описанное в задаче 11).
Замечание 10 об интегрировании ряда Фурье.
Благодаря теореме 5 можно сформулировать и доказать следующее
дополняющее лемму 4 о дифференцировании ряда Фурье
Утверждение 2. Если функция /: [—π, π] —> С кусочно
непрерывен
на, то соответствие f(x) ~ Σ ck{f)e%kx после интегрирования пре-
—оо
вращается в равенство
о -°°
где штрих свидетельствует об отсутствии в сумме члена с
индексом к — 0; суммирование происходит по симметричным частичным
η
суммам Σ, и при этом ряд сходится равномерно на отрезке [—π,π].
—η
Μ Рассмотрим вспомогательную функцию
χ
f(t)dt-co(f)x
о
на промежутке [—π, π]. Очевидно, F £ С[—π,π]. Далее, F(—π) = ^(π),
поскольку
π
F(n) - F(-n) = j f(t) dt - 2тгсо(/) = О,
—π
что следует из определения со(/). Поскольку производная F'(x) — f(x) —
оо
— со(/) функции F кусочно непрерывна, ряд Фурье Σ Ck(F)elkx фун-
—оо
кции F по теореме 5 сходится к F равномерно на отрезке [—π,π]. По
лемме 4 ck{F) = £k^jp- при к φ 0. Но ck{F') = с*(/), если к φ 0. Запи-
оо
сывая теперь равенство F(x) = Σ Ck{F)elhx в терминах функции / и
—оо
учитывая, что F(0) = 0, получаем то, что и утверждалось. ►
χ
F{x) = Jf(t)dt-co(f)o
1^Дж. У. Гиббс (1839-1903)—американский физик и математик, один из
основоположников термодинамики и статистической механики.

§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
643
4. Полнота тригонометрической системы
а. Теорема о полноте. В заключение вернемся вновь от
поточечной сходимости ряда Фурье к его сходимости в среднем (10).
Точнее, используя накопленные факты о характере поточечной
сходимости ряда Фурье, дадим независимое от уже встречавшегося в
задачах доказательство полноты в 72,2 ([—π,π],Μ) тригонометрической
системы {l,cos kx,s'mkx; к £ Ν}. При этом, как и в п. 1, под 72-2([—я",7г],К)
или 72,2([—π, π], С) понимается линейное пространство вещественно- или
комплекснозначных функций, локально интегрируемых на промежутке
] — 7г,7г[ и имеющих интегрируемый на ] — π,π[ (хотя бы в
несобственном смысле) квадрат модуля; это векторное пространство
предполагается наделенным стандартным скалярным произведением (7),
порождающим норму, сходимость по которой и есть сходимость в среднем (10).
Теорема, которую мы собираемся доказать, попросту утверждает,
что система тригонометрических функций полна в 722([—π, π], С). Но
мы сформулируем теорему так, что в самой формулировке будет ключ
к излагаемому доказательству. Оно основано на том очевидном факте,
что свойство полноты транзитивно: если А приближает £?, а В
приближает С, то А приближает С.
Теорема 6 (о полноте тригонометрической системы). Любая
функция f £ 7^2[—π,π] может быть сколь угодно* точно
приближена в среднем
a) финитными на ] — π,π[ интегрируемыми по Риману на отрезке
[—π, π] функциями;
b) финитными кусочно постоянными на отрезке [—π, π]
функциями;
c) финитными непрерывными кусочно линейными на отрезке [—π, π]
функциями;
d) тригонометрическими полиномами.
Μ Поскольку теорему, очевидно, достаточно доказать для веще-
ственнозначных функций, то мы и ограничимся этим случаем,
а) Из определения несобственного интеграла следует, что
π π—δ
(x)dx = lim / f2(x)dx.
-π -π+δ
/

644 ГЛ. XVIIL РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Значит, каково бы ни было число ε > О, найдется число δ > О такое,
что функция
f (<r\ = i f(X^ 6СЛИ Ν < π ~ *>
т } \ О, если π - δ ζ \χ\ ζ π
будет отличаться в среднем на [—π, π] от / меньше, чем на ε, поскольку
π π+δ π
/(/ - fs?{x) dx = ί f{x) dx + ί f\x) dx.
—π —π π—δ
b) Достаточно проверить, что любую функцию вида fs можно в
72-2 ([—^7г, -7г], IR) аппроксимировать кусочно постоянными финитными на
[—π, π] функциями. Но функция fs уже интегрируема по Риману на
отрезке [—π + ί, π — δ]. Значит, она ограничена на нем некоторой
постоянной М, и, кроме того, существует такое разбиение —π + δ = хо <
< χι < ... < хп = π — δ этого отрезка, что соответствующая ему
η
нижняя интегральная сумма Дарбу ]П гПгАхг функции fs отличается
г=1
от интеграла fs по отрезку [—π + ί, π + δ] меньше чем на ε > 0.
Полагая теперь
, ν ί mi, если χ e]xi-i,Xil i = l,...,n,
ШХ) = S Λ γι
[0 в остальных точках отрезка [—π, π],
получим, что
π π
J Us - 9)2{χ) dx ζ ί \fs - g\ \fs + g\(x) dx
£
-π+5
<2M ί {}δ-9){χ)άχ^2Με,
и, значит, действительно fs можно сколь угодно точно в среднем на
отрезке [—π, π] аппроксимировать кусочно постоянными на этом
отрезке функциями, обращающимися в нуль в окрестности концов отрезка
[-π, π].
с) Теперь уже достаточно научиться приближать в среднем
указанные в Ь) функции. Пусть д — такая функция. Все ее точки разрыва

§2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
645
Χι,..., хп лежат в интервале ] — π, π[. Их конечное число, поэтому,
каково бы ни было число ε > О, можно подобрать число δ > О столь
маленькое, что ί-окрестности точек χχ,...,χη не пересекаются, содержатся
строго внутри интервала ] — π,π[ и 2δηΜ < ε, где Μ = sup |д(ж)|. За-
меняя теперь функцию д на отрезках [χι — £, χ%+δ\, г = 1,..., п, линейной
функцией, интерполирующей значения д(х{ — δ) и ρ(χ^+ί), которые
функция д принимает на концах соответствующего отрезка, мы получим
кусочно линейную непрерывную и финитную на [—π, π] функцию д$. По
построению |д<у(ж)| ^ Μ на [—π, π], значит,
π π
/ (3 - 9δ?{χ) dx^2M \g- g6\(x) dx =
—π —π
η Xi+S
= 2MJ2 \g-gs\{x)dx <2Μ·(2Μ·2ί)·η<4Με,
и возможность аппроксимации доказана.
d) Осталось показать, что тригонометрическим полиномом можно
в среднем на отрезке [—π, π] приблизить любую функцию класса с). Но
ведь при любом ε > О для любой функции типа д$ по теореме 5
найдется тригонометрический многочлен Тп, равномерно с точностью до ε
π
аппроксимирующий д$ на отрезке [—π, π]. Значит, f (g$ — Тп)2(х) dx <
—π
< 2πε2, и возможность сколь угодно точной аппроксимации в среднем
на отрезке [—π, π] любой функции класса с) посредством
тригонометрических полиномов установлена.
Ссылаясь на неравенство треугольника в 72-2[—π, π], можно теперь
заключить, что и вся теорема 6 о полноте в 7^2 [—π, π] указанных
классов функций тоже доказана. ►
Ь. Скалярное произведение и равенство Парсеваля. После
доказанной полноты в 72-2([—π, π], С) тригонометрической системы на
основании теоремы 1 можем утверждать, что для любой функции / £
£ 7^2([—π, π], С) имеет место равенство
f=a^U + ^ak(f)coskx + bk(f)smkx (34)
1 k=i

646 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
или, в комплексной записи, равенство
оо
/ = Σ<*(/)βΛχ· (35)
где сходимость понимается как сходимость по норме пространства
7^2 [—π, π], т. е. в среднем, а предельный переход в (35) совершается при
п
η —» оо по суммам вида Sn(x) = Y^ck(f)elkx.
—η
Если переписать равенства (34), (35) в виде
τ'-'τΓΤ + Σ^+ΗΜϋΐ, (340
ι °° Jkx
WJ-EjM)Ww, (350
то в правых частях окажутся ряды по ортонормированным системам
\ —f=, -4= cos кх, Д= sinкх: к £ N >, \ -±=егкх\ к £ Ζ >. Значит, на ос-
новании общего закона вычисления скалярного произведения векторов,
по их координатам в ортонормированном базисе (см. лемму 1 из § 1)
можно утверждать, что для любых функций / и д из 7?,2([—π, π], С)
справедливо равенство
-</,*> = ao(/fo(ff) +|>№*ы+мяш (зб)
или, в иной записи, равенство
1 °°
r(f,g) = Y,ck(f)ck(g), (37)
2π
где, как всегда,
7Г
(/>»> = / f(x)g(x)dx.
В частности, при / = д из (36) и (37) получаем записанное в двух
эквивалентных между собой формах классическое равенство Парсева-

§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
647
ля
l,m,2 ЫЛГ °°
— + Σμλι2 + ιμ/)Ι2, (38)
к=\
1 °°
2^ιι/ιι2 = Σι^(/)ΐ2· (39)
—оо
Мы уже отмечали, что с геометрической точки зрения равенство
Парсеваля можно рассматривать как бесконечномерный вариант
теоремы Пифагора.
На основе равенства Парсеваля легко доказать следующее полезное
Утверждение 3 (о единственности ряда Фурье). Пусть fug —
функции из 72-2 [—тг, 7г]. Тогда,
a) если тригонометрический ряд
оо / оо \
— + ^ a,k cos кх + bk sin кх Ι = Y^ с^егкх )
2 fe=i V -оо /
сходится κ f в среднем на отрезке [—π, π], то он является рядом
Фурье функции /;
b) если функции fug имеют один и тот же ряд Фурье, то они
совпадают почти всюду на отрезке [—π, π], т. е. f — g в 72.2[—π, π].
< Утверждение а) на самом ^еле есть частный случай общего факта
единственности разложения вектора в ряд по ортогональной системе.
Скалярное умножение, как мы знаем (см. лемму lb), немедленно
показывает, что коэффициентами такого разложения являются
коэффициенты Фурье и только они.
Утверждение Ь) можно получить из равенства Парсеваля с учетом
доказанной полноты в 72-2 ([—π, π], С) тригонометрической системы.
Поскольку разность (/ — д) имеет нулевой ряд Фурье, то в силу
равенства Парсеваля ||/ — д\\п2 — 0· Значит, функции / и д совпадают
во всех точках непрерывности, т. е. почти всюду. ►
00 f(n)( \
Замечание 10. Рассматривая ряды Тейлора ]П ' fa) (χ—α)η, мы
п=0
в свое время отметили, что различные функции класса
могут иметь одинаковые ряды Тейлора (в некоторых точках а £ R). Этот

648 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
контраст с только что доказанной теоремой единственности рядов
Фурье не следует слишком абсолютизировать, поскольку всякая теорема
единственности относительна в том смысле, что она относится к
определенному пространству и определенному виду сходимости.
Например, в пространстве аналитических функций (т. е. функций,
допускающих локально представление в виде поточечно сходящегося к
оо
ним степенного ряда Σ αη(ζ — ζο)η) две различные функции в любой
п=0
точке имеют не совпадающие тейлоровские разложения.
Если, в свою очередь, при изучении тригонометрических рядов
отказаться от пространства 72-2 [—π, π] и рассматривать поточечную
сходимость тригонометрического ряда, то, как уже отмечалось (см.
стр.520), можно построить тригонометрический ряд, не все
коэффициенты которого равны нулю и который тем не менее почти всюду
сходится к нулю. По утверждению 3 такой нуль-ряд, конечно, не
сходится к нулю в смысле среднего квадратичного уклонения.
В заключение в качестве иллюстрации использования свойств
тригонометрических рядов Фурье рассмотрим следующий принадлежащий
Гурвицу1) вывод классического изопериметрического неравенства в
двумерном случае. Чтобы избавиться от громоздких выражений и
случайных технических трудностей, мы будем пользоваться комплексной
записью.
Пример 7. Между объемом V области в евклидовом
пространстве Еп, η ^ 2 и (п — 1)-мерной площадью F, ограничивающей область
гиперповерхности, имеется соотношение
ηηνηνη~ι ^ Fn, (40)
называемое изопериметрическим неравенством; здесь vn — объем
единичного n-мерного шара в Еп. Равенство в изопериметрическом
неравенстве (40) имеет место только для шара.
Название «изопериметрическое» связано с классической
геометрической задачей отыскания среди замкнутых плоских кривых данной
длины L той кривой, которая ограничивает наибольшую площадь S. В
этом случае неравенство (40) означает, что
4π5 ^ L2. (41)
^ А. Гурвиц (1859 -1919) — немецкий математик, ученик Ф. Клейна.

§2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
649
Именно это неравенство мы теперь и докажем, считая, что
рассматриваемая кривая является гладкой и задана параметрически в виде
χ = ¥>(s), у = ifr{s), где s — натуральный параметр (длина) вдоль
кривой, а функции φ и ψ принадлежат классу C^fO, L]. Условие
замкнутости кривой означает, что φ(0) = ip(L), ψ(0) = ф(Ь).
Перейдем от s к параметру t = 2π-^ — π, изменяющемуся от —π до π,
и будем считать, что наша кривая задана в параметрическом виде
x = x(t), y = y(i), -π^ί^π, (42)
причем
χ(-π) = χ(π), у(-тг) = у(тг). (43)
Соотношения (42) запишем в виде одной комплекснозначной
функции
ζ = z(t), -π ^ t ^ π, (42')
где я(<) = x(t) + iy{t), и ввиду (43) ζ(-π) = 2(π).
Заметим, что
И*)|2 = (χ'(ί))2 + (y'(t)f = (Ι)'
и, значит, при нашем выборе параметра t
i*w = ё· (44)
Учитывая далее, что zz; = (x — iy)(x' + iy') = {хх1 + yy') + i{xy' — х'у),
и пользуясь равенствами (43), запишем в комплексном виде формулу
площади области, ограниченной замкнутой кривой (42):
π π
S = \ JЫ - yx')(t) dt = j.j z'(t)z(t) dt. (45)
—π —π
Напишем теперь разложение функции (42') в ряд Фурье
оо
z{t) = Y^ckeik\

650 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
тогда
оо
—оо
Равенства (44) и (45) означают, в частности, что
1 || /||2 1 / , I , wO .. L
2π"Ζ "
π
2π
В терминах коэффициентов Фурье, как следует из равенств (37),
(39), полученные соотношения приобретают вид
L2 = 47r25>Cfc|2,
—оо
оо
S = п^кскск.
—оо
Таким образом,
оо
L2 - 4π5 = 4π2 ^(Α;2 - к)\ск\2.
Правая часть этого равенства, очевидно, неотрицательна и
обращается в нуль только при условии, что ск = 0, когда fc G Ζ и fc ^ 0,1.
Итак, неравенство (41) доказано, и заодно получено уравнение
*(<) = с0 + c\elt, -π ^ у ^ π,
той кривой, для которой оно превращается в равенство. Это
комплексный вид параметрического уравнения окружности с центром в точке со
комплексной плоскости и радиуса |ci|.

§2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
651
Задачи и упражнения
1. а) Покажите, что
оо
sin пх π — χ
Σ sin пх π — χ
= —-— при 0 < χ < 2π,
1 П
71=1
и найдите сумму этого ряда в остальных точках жЕ1.
Используя предыдущее разложение и пользуясь правилами действий с
тригонометрическими рядами Фурье, покажите теперь, что:
b) L· 2A; = Ί ~ Ί ПРИ ° < Χ < π*
οο
с) Σ ™<£*ζϊ)χ = τ при ο < χ < π.
οο /_-ι\η—1
°0 Σ *τϊ—sinna? = § при \χ\ < π·
η=1
ΟΟ (_-ι\Π
е) χ2 = τς +4 Σ 2 cosnx ПРИ \χ\ < π·
η=1
f) χ = \ -1 ς: co(s2(f-"i)^ °ρ- ο <«^ π.
„λ 3χ2 — 6πχ + 2π2 ν^ cos ηχ πΤ4„ c\ ^ „ ^ „
g) л ~ 2-τ —:χ- ПРИ 0 ζ ζ ζ π.
η=1 η
h) Нарисуйте графики сумм встретившихся здесь тригонометрических
рядов над всей осью Е. Используя полученные результаты, найдите суммы
следующих числовых рядов:
^2η+1' ^η2' ^ η2 '
η=0 η=1 η=1
2. Покажите, что:
a) если /: [—π, π] —> С нечетная (четная) функция, то ее коэффициенты
Фурье имеют следующую особенность: а&(/) = 0 (&*(/) = 0) при к = 0,1,2,...;
b) если /: Ε —> С имеет период 2π/τη, то ее коэффициенты Фурье с&(/)
могут быть отличны от нуля, лишь когда к кратно га;
c) если /: [—π, π] —> Ε вещественнозначна, то при любом к € N с&(/) =
= 2-*(/);
d) К(/)| ^ 2 sup |/(х)|, |Ь*(/)| ^ 2 sup |/(a?)|, |с*(/)| ^ sup \f(x)\.
\χ\<π \χ\<π \χ\<π
3. а) Покажите, что каждая из систем функций {coskx;k = 0,1,...},
{sin кх\ к Ε Ν} полна в пространстве 7^2 [α> α + π] при любом значении α Ε Ε.
b) Разложите функцию f(x) = χ в промежутке [Ο,π] по каждой из этих
двух систем.
c) Нарисуйте графики сумм найденных рядов над всей числовой осью.

652 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
d) Укажите тригонометрический ряд Фурье функции f{x) = \х\ на отрезке
[—π, π] и выясните, сходится ли он равномерно к этой функции на всем отрезке
[-π, π].
оо
4. Ряд Фурье Σ Ck(f)etkx функции / можно рассматривать как специаль-
—оо
оо / -1 +оо \
ный случай степенного ряда ]Г ск*к ( — Σ ск*к + Σ ск*к ) ·> в котором ζ про-
-оо \ -оо 0 /
бегает единичную окружность комплексной плоскости (т.е. ζ = егЬ).
Покажите, что если коэффициенты Фурье с&(/) функции /: [—π, π] —> С
убывают так быстро, что lim \ck(f)\l^k = с_ > 1, a lim \ck(f)\l^k = с+ < 1,
*_>_оо *->+оо
то:
а) функцию / можно рассматривать как след на единичной окружности
оо
к.
некоторой функции, пред ставимой в кольце с_1 < \z\ < с+* рядом ^Г ckz
—оо
оо
b) при ζ = х + iy и In — < у < In — ряд Σ ck(f)etkz сходится абсолютно
— "■" — оо
(и, в частности, его сумма не зависит от порядка суммирования членов);
c) в любой полосе комплексной плоскости, задаваемой условиями а ^
оо
^ 1тζ ^ 6, где 1η— < α < 6 < In —, ряд Σ Ck(f)etkz сходится абсолют-
— "■" —оо
но и равномерно;
2
d) используя разложение ег = 1 + -^ + ^ + ... и формулу Эйлера егх =
= cos χ + г sin ж, покажите, что
COS X COS ПХ
1 + —— + ... + — + ... = ecosx cos(sinz),
1! η!
sin ж sinnx rn.T . , , ч
—— + ... + — + ... = ecosx sin(sinz);
1! η!
\ ζ2 ζΑ . ζ3 ζ5
e) используя разложения cos z — \ — -^r + 4т — · ·., sin ζ = ζ — ~зг + ^г — · · · >
проверьте, что
Σ°° , i4nCOs(2n+ 1)х χ w . ч
(-1) i?T7 + lV = sin(cosz)ch(sinz),
n=0
оо
(2n + 1)
Σ sin(2n + 1)ж .
( ' -7^——гтт-=cos(cosx)sh(sinx),
n=0
oo
(2n + l)!
Σ cos2nz .
(-1) (2 vt = cos(cosz)ch(sinz),
n=0 ^ '"
Σ, l4nsin2nx χι/. \
(—1) = cos(cosx)sh(sinx).
n=0 ^ ''

§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
653
5. Проверьте, что:
a) системы < l,cosfc^x,sinfc^x;fc Ε Щ, <егк~Т'х;к eZ> ортогональны и
полны в пространстве Έ,2([<*>, а> + Т], С) при любом абЕ;
b) коэффициенты Фурье а&(/), 6&(/), £&(/) Т-периодической функции /
по указанным системам не зависят от того, раскладывается ли функция в ряд
Фурье на отрезке — γ, γ или на любом ином отрезке вида [а,а + Т]\
c) если Ck(f) и Ck(g)—коэффициенты Фурье Т-периодических функций /
и#, то
а+Т оо
1 Г °°
Τ J f(x)9(x)dx = ^2ck(f)ck(g);
α "°°
d) коэффициенты Фурье ск(Ь) нормированной множителем ψ «свертки»
τ
h(x) = ^J f(x-t)g(t)dt
Т-периодических гладких функций f и д и коэффициенты Фурье с&(/), ск{д)
самих функций / и д связаны соотношением ск{Ь) = Ck(f)ck(g), к Ε Ъ.
6. Докажите, что если а несоизмеримо с π, то:
л Ν Λ π
a) lim ^ £ eik(<x+na>> = ^ f eikt eft;
ЛГ-юо -■ n=1
b) для любой непрерывной 27г-перйодической функции /:
■С
N
η=1 ^.
7. Докажите следующие утверждения:
а) Если функция /: Ε —> С абсолютно интегрируема на !
оо оо
J f(x)eiXxdxU J \f(x+j)-f(x)
dx.
то
b) Если функции /:М->Сир:М->С абсолютно интегрируемы на Ε и,
кроме того, д по модулю ограничена на Е, то
оо
/
f(x + t)g(t)etXtdt =: <ρλ(ζ) =t 0 на Ε при λ -> оо.

654 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
c) Если /: Ε —> С — 27г-периодическая абсолютно интегрируемая на
периоде функция, то остаток Sn(x) — f(x) ее тригонометрического ряда Фурье
может быть представлен в виде
π
Sn(x)-f(x) = ±J(A2f)(x,t)Dn(t)dt,
о
где Dn — n-e ядро Дирихле, а (Δ2/)(χ,ί) = f(x + t) — 2f(x) + f(x — t).
d) Для любого δ £]0,π[ полученную выше формулу остатка можно
привести к виду
δ
Sn(x) - f(x) = 1 J ^(Δ2/)(*, t) dt + o(l),
о
где о(1) стремится к нулю при η —> ос, причем равномерно на каждом отрезке
[а, 6], на котором функция / ограничена.
e) Если функция /: [—π, π] —> С удовлетворяет на отрезке [—π, π] условию
Гель дера \f(xi) — /(#2)! ^ М\х\ — хъ\а (где Μ и а — положительные числа) и,
кроме того, /(—π) = /(π), то ряд Фурье функции / сходится к ней равномерно
на всем отрезке.
8. а) Докажите, что если /: Ш. —> Ш. — 27г-периодическая функция,
имеющая кусочно гладкую производную /(т) порядка т (га Ε Ν), το / можно
представить в виде
π
f(x) = ^ + lJBm(t-x)f(™\t)dt,
D , ν ^ cos (ku+ϊψ) ^ „
где Вт(и) = Σ, —. m ^ » rn e Κ
b) Пользуясь указанным в задаче 1 разложением в ряд Фурье функции
π 7 х на промежутке [0,2π], докажите, что В ι (и) — многочлен степени 1, а
Вт(и) — многочлен степени га на отрезке [0,2π]. Эти многочлены называются
многочленами Бернулли.
2π
c) Проверьте, что при любом га Ε Ν J Bm(u) du = 0.
о

§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
655
9. а) Пусть хт = 2^7+\, m = 0,1,..., 2п. Проверьте, что
2 2п
2п +
- 2_^ cos ^ж™ cos lxm = Ski)
m=0
2n
— У] Smkxmnnlxm = <5fc/,
2n + l ^
m=0
2n
> sin COS
m=0
где fc, / — неотрицательные целые числа, а <5&/ = 0 при fc =^ / и 8ы — 1 при fc = /.
b) Пусть /: Ε —» Ш — 2π-πepиoдичecκaя абсолютно интегрируемая на
периоде функция. Отрезок [0,2π] разобьем точками хт = ЗтГТТ' m = 0,1,..., 2п,
на 2п + 1 равных отрезков. Интегралы
2π 2π
αΛ(/) = — / f (x) cos kxdx, &*(/) = — / f(x) sin kxdx
о о
вычислим приближенно по формуле прямоугольников, соответствующей
этому разбиению отрезка [0,2π]. Тогда получим величины
2 2п
2*(/) = о ГТ У] /(Xm)cOsfcxm,
2п + 1 ^—'
т=0
2 2п
МЛ = 2п+1 51 /(^m)sinfcxm,
т=0
которые и подставим в n-ю частичную сумму 5П(/, ж) ряда Фурье функции /
вместо соответствующих коэффициентов а&(/) и bk(f).
Докажите, что при этом получится тригонометрический полином Sn(/, x)
порядка η, интерполирующий функцию / в узлах жт, га = 0,1,...,2п, т.е. в
этих точках f(xm) = S(f1xm).
10. а) Пусть функция f:[a,b]->R непрерывна и кусочно
дифференцируема, и пусть ее производная /' интегрируема в квадрате на промежутке ]а, Ь[.
Используя равенство Парсеваля, докажите, что:
а) если [а,Ь] = [0,π], то при выполнении любого из двух условий /(0) =
π
= /(π) = 0 или f f(x) dx — 0 справедливо неравенство Стеклова
π π
J f2(x)dx^J(f')2(x)dx,

656 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
в котором равенство возможно лишь при f(x) = a cos x;
b) если [α, b] = [—π, π] и одновременно выполнены два условия /(—π) = /(π)
π
И J f(x) dx = О, то справедливо неравенство Виртингера
— π
π π
J f\x)dx< J(f')2(x)dx,
—π —π
где равенство возможно лишь при f(x) = a cos ж + Ь sin ж.
11. Явление Гиббса — так называется описываемая ниже особенность
поведения частичных сумм тригонометрического ряда Фурье, «впервые
обнаруженная Уилбрейамом (1848 г.) и позже (1898 г.) переоткрытая Гиббсом».
(Математическая энциклопедия, том 1, Москва, 1977 г.)
a) Покажите, что
4 ^ sin(2fc — \)х . .
sgnx = ~2^—^г—[— ПРИ |я|<тг.
π к=1
b) Проверьте, что функция Sn(x) = - Σ * 2к -ι имеет максимум при
к=1
х = 2^ и что при η —> ос
Sn (f) = - Σ Τ ~!^ .l^J^dx» 1Д79.
V2n/ π^ (2fc-1)^T η nj χ
Таким образом, колебание Sn(x) при η —> оо около точки ж = 0 примерно
на 18 % превышает скачок самой функции sgn x в этой точке (проскакивание
Sn(x) «по инерции»).
c) Нарисуйте предел графиков функций Sn(x) задачи Ь).
Пусть теперь вообще 5П(/, х)—п-я частичная сумма
тригонометрического ряда Фурье функции /, и пусть при η —> оо 5п(/,ж) —> f(x) в проколотой
окрестности 0 < \χ—ξ\ < δ точки ξ, в которой / имеет односторонние пределы
/(ξ~) и /(£+)· Для определенности будем считать, что /(ξ-) ^ /(£+)·
Говорят, что в точке ξ имеет место явление Гиббса для сумм 5п(/,ж), если
ШП Sn(f,x) < /(£_) ^ /(£+) < Ш Sn(f,x).
n-юо п-^оо
d) Используя замечание 9, покажите, чтр для любой функции вида φ(χ) +
+ csgn(x - ξ), где с ф О, |ξ| < π, а <^ € С^1^—π,π], в точке ξ имеет место
явление Гиббса.
12. Многомерные тригонометрические ряды Фурье, а) Проверьте, что
система функций -п>е%кх ^ гДе & = (ki,.·. ,кп), χ = (χι,... ,жп), fcx =

§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
657
= k\Xi + ... + кпхп и fci,..., кп € Z, ортонормальна на любом n-мерном кубе
/ = {χ Ε Шп | a, ^ Xj ^ α, + 2π,^ = 1,2,...,η}.
b) Интегрируемой на / функции / сопоставим сумму / ~ Σ с*(/)е ·>
—оо
которая называется рядом Фурье функции f по системе < Ш2е1кх г» ес~
ли Cfc(/) = 7=- Г f(x)e~tkx dx. Числа Ck(f) называются коэффициентами
{2π)η'ζ j
Фурье функции / по системе < Ш2е1кх г·
В многомерном случае ряд Фурье часто суммируют с помощью сумм
SN(x) = Σ <*(/)«"*>
\k\<^N
где запись \к\ ^ N означает, что N = (iVi,..., Νη) и |fcj | ^ iV}, j = 1,...,η.
Покажите, что для любой 27г-периодической по каждой из переменных
функции f(x) = f(xi,.,.,Χη)
1 Г п
SN(x) = — / Π ^ (*i " **)/(*)dt =
π π
= ^ / · · · / я* - *) Π *ч (*ί )Λι · · ·di»'
—π —π ·? = 1
где Dnj(u) — iVj-e одномерное ядро Дирихле.
c) Докажите, что сумма Фейера
1 1
Ых) := лчТ5>(*> = (ΛΓ1+1)-....(ΛΓ„ + 1) Σ ··· Σ &!...*„(*)
fc=0
2π-пepиoдичecκoй по каждой из η переменных функции f(x) = /(#ι,... ,#п)
может быть представлена в виде
σ^(χ) = ^ / /(* " ж)ф^(*) л>
где $n(u) = Π Fn(v>j), & Fn —Nj-e одномерное ядро Фейера.
d) Распространите теперь теорему Фейера на n-мерный случай.
e) Покажите, что если 27г-периодическая по каждой из переменных
функция / абсолютно интегрируема на периоде / хотя бы в несобственном смысле,
то J \f(x + и) — f(x)\ dx —> О при и —> О и j \f — σ/ν|(#) dx —> О при Ν —> ос.

658 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
f) Докажите, что две абсолютно интегрируемые на кубе / функции / и д
могут иметь совпадающие ряды Фурье (т.е. с&(/) = Ck(g) для любого муль-
тииндекса к) в том лишь случае, когда f(x) = g(x) почти всюду на /. Это
усиление утверждения 3 о единственности ряда Фурье.
g) Проверьте, что исходная ортонормальная система < Ш2е%кх \ полн&
в 7^2 (I) , значит, ряд Фурье любой функции / € 7^2 (I) сходится к / в среднем
на /.
h) Пусть / — 27г-периодическая по каждой из переменных функция класса
С(°°)(МП). Проверьте, что с*(/(а>) = №kack(f), где а = (аь...,ап), к =
= (fci,..., fcn), |а| = |αι| + ... + |ап|, ка = к*1 ·... · fc£n, aj —неотрицательные
целые.
i) Пусть / — 27г-периодическая по каждой из переменных функция класса
С(тп)(Шп). Покажите, что если для каждого мультииндекса α = (αϊ,... ,αη)
такого, что а^ есть 0 или т (при любом j = 1,... ,η), выполнена оценка
то
^||/<«>|»(*)ώ<Μ»,
см
\f(x)-SN(x)\^
Nm~? '
где N_ = min{iVi,..., iVn}, а С — постоянная, зависящая от m, но не зависящая
от N и от χ € /.
j) Заметьте, что если какая-то последовательность непрерывных функций
сходится в среднем на промежутке / к функции / и одновременно сходится
равномерно к функции φ, то f(x) = φ(χ) на /.
Используя это наблюдение, докажите, что если 27г-периодическая по
каждой из η-переменных функция /: Шп —> С принадлежит классу С^^(МП,С),
то тригонометрический ряд Фурье функции / сходится к ней равномерно на
всем пространстве Шп.
13. Ряды Фурье обобщенных функций. Любую 27г-периодическую функцию
/: Ш —> С можно рассматривать как функцию f(s) точки на единичной
окружности Г (точка фиксируется значением s натурального параметра 0 ^ s ^ 2π).
Сохраняя обозначения § 4 гл. XVII, рассмотрим на Г пространство V(T)
функций класса С(°°)(Г) и пространство V(T) обобщенных функций, т.е.
линейных непрерывных функционалов на Т>(Т). Действие (значение)
функционала F € V'(T) на функцию φ € Ί)(Τ) будем обозначать символом F(tp), избегая
символа (F, φ), использованного в этой главе для обозначения эрмитова
скалярного произведения (7).
Каждая интегрируемая на Г функция / может рассматриваться как
элемент V (Г) (регулярная обобщенная функция), действующий на функции φ е

§ 2. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ
659
Ε Т>(Т) по формуле
2π
№ = Jf(sMs)d8.
Сходимость последовательности {Fn} обобщенных функций пространства
ТУ (Г) к обобщенной функции F Ε ^'(Г), как обычно, означает, что для любой
функции φ Ε V'(T)
lim Fn(y>) = F(^).
η—>·οο
а) Используя то обстоятельство, что для любой функции φ Ε С^°°\Г) по
оо
теореме 5 на Г справедливо соотношение (p(s) — Σ с&(^)е*Л* и, в частности,
—оо
оо
равенство φ(0) = Σ cfc(^)> покажите, что в смысле сходимости в пространс-
—оо
тве обобщенных функций ТУ (Г)
п 1
У^ —егкв ->· J при η ->· оо.
2π
fc= —η
Здесь δ — тот элемент пространства ТУ (Г), действие которого на функцию
φ Ε Ί)(Τ) определено соотношением δ (φ) = φ(0).
b) Если / Ε 7£(Γ), то коэффициенты Фурье функции / по системе {etks},
определенные стандартным образом, можно записать в виде
2π
О
По аналогии определим теперь коэффициенты Фурье Ck(F) любой
обобщенной функции F Ε V(T) формулой Ck(F) = ^F(e~tks), имеющей смысл,
поскольку e~lks Ε Τ)(Τ).
Так любой обобщенной функции F Ε ТУ (Τ) сопоставляется ее ряд Фурье
**~£с*(*у-
iks
1 aiks
Покажите, что δ ~ Σ ^е
—оо
с) Докажите следующий замечательный по своей простоте и
открывающейся свободе действий факт: ряд Фурье любой обобщенной функции F Ε
Ε ТУ (Τ) сходится к F (в смысле сходимости в пространстве Х)'(Г)).

660 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
d) Покажите, что ряд Фурье функции F € V'(T) (как и сама функция F и
как любой сходящийся ряд обобщенных функций) можно дифференцировать
почленно любое число раз.
e) Исходя из равенства δ = Σ ^е%к8 -> найдите ряд Фурье функции δ'.
—оо
f) Вернемся теперь с окружности Г на прямую Ж и рассмотрим
функции elks как регулярные обобщенные функции пространства Т>'(Ж) (т.е. как
линейные непрерывные функционалы на пространстве Т>(Ж) финитных на Ε
функций класса Cq (M)).
Любая локально интегрируемая функция / может рассматриваться как
элемент пространства Т>'(Ш) (регулярная обобщенная функция из D'(R)),
действующий на функции φ € Cq (Μ, С) по закону /(φ) = f f(x)(p(x)dx. Сходи-
R
мость в V(R) определяется стандартным образом:
( lim Fn = F) := 4φ € V(R) ( lim F„(^) = F(^)) .
\n—>·οο / \n—юо /
Покажите, что в смысле сходимости в D'(E) справедливо следующее
равенство:
.. оо оо
—оо —оо
в обеих частях которого подразумевается предельный переход при η —> оо
η
по симметричным частичным суммам 5^, а δ(χ — хо), как всегда, обозначает
—η
сдвинутую в точку хо J-функцию пространства D'(E), т.е. δ(χ — χο)(φ) —
= φ(χο).
§ 3. Преобразование Фурье
1. Представление функции интегралом Фурье
а. Спектр и гармонический анализ функции. Пусть f(t) —
Т-периодическая функция, например, периодический сигнал частоты ψ
как функция времени. Будем считать, что функция / абсолютно
интегрируема на периоде. Раскладывая / в ряд Фурье (в случае достаточной
регулярности / ряд Фурье, как известно, сходится к /) и преобразо-

§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
661
вывал этот ряд
(f) °°
/(<) = -^— + Y^ak(f) cos kcuot + bk(f) sinkcuot =
Z k=i
oo oo
= £<*(/)е<А**< = C0 + 2J2 Ы cos(kcu0t + argcfc), (1)
-oo k=l
получаем представление / в виде суммы постоянного члена Щ- = со —
среднего значения f no периоду и синусоидальных компонент с
частотами щ = ψ (основная частота), 2щ (вторая гармоническая
частота), и т.д. Вообще k-я гармоническая компонента 2\ck\ cos(k-£-t+
+ argcfcj сигнала f(t) имеет частоту кщ = ψ, круговую частоту
ки)$ = 2пкщ = γ-k, амплитуду 2\ск\ = Ja\ + b\ и фазу argc^ =
Разложение периодической функции (сигнала) в сумму простых
гармонических колебаний называют гармоническим анализом функции /.
Числа {cfc(/); к £ Z} или {ao(f),dk(f),bk(f)', к £ N} называют спектром
функции (сигнала) /. Периодическая функция, таким образом, имеет
дискретный спектр.
Прикинем (на эвристическом уровне), что произойдет с
разложением (1) при неограниченном увеличении периода Τ сигнала /.
Полагая для упрощения записи I = -^ и а^ = kj, перепишем
разложение
оо
в следующем виде:
где
оо / .
Ск
ι
е**'у, (2)
-iakt df

662 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
и, значит,
/
-/
Считал, что при / —> +оо мы приходим в пределе к рассмотрению
произвольной абсолютно интегрируемой на R функции /, введем
вспомогательную функцию
оо
с(а) = ± J f(t)e-iatdt, (3)
—оо
значения которой в точках а = otk мало отличаются от величин с^ в
формуле (2). В таком случае
оо
/(*)«5>(°*)в<в*'т' (4)
—оо
где otk = кj и afc+i — c*k = у. Последняя сумма напоминает
интегральную сумму и при измельчении разбиения, происходящего при / —> оо,
получаем
оо
/(*)= J c(a)eiatda. (5)
— ОО
Таким образом, вслед за Фурье мы пришли к разложению функции /
в континуальную линейную комбинацию гармоник переменной частоты
и фазы.
Интеграл (5) ниже будет назван интегралом Фурье. Это
континуальный эквивалент ряда Фурье. Функция с(а) в нем — аналог
коэффициента Фурье. Она будет названа преобразованием Фурье функции /
(заданной на всей прямой R). Формула (3) преобразования Фурье
вполне эквивалентна формуле коэффициентов Фурье. Функцию с(а)
естественно считать спектром функции (сигнала) /. В отличие от
рассматриваемого ранее случая периодического сигнала / и соответствующего
ему дискретного спектра (в виде коэффициентов Фурье), спектр с(а)
произвольного сигнала может не обращаться в нуль на целых
промежутках и даже на всей прямой (непрерывный спектр).

§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
663
Пример 1. Найдем функцию, имеющую следующий финитный
спектр:
Г h если \α\ζα,
у J \ О, если \а\ > а. w
Μ По формуле (5) при t φ О находим
/(*) = J heiat da = к**-°~* = 2Л^, (7)
—α
а когда t = О, получаем /(0) = 2/т, что совпадает с пределом 2hsm^at
при ί -» 0. ►
Представление функции в виде (5) называют представлением
функции в виде интеграла Фурье. Ниже мы обсудим условия, при которых
такое представление возможно, а сейчас рассмотрим еще один
Пример 2. Пусть Ρ— прибор, обладающий следующими
свойствами: это линейный преобразователь сигналов (т. е. Ρ I Σ ajfj ) =
= ^,ajP(fj))i сохраняющий периодичность сигнала (т.е. P(elujt) =
э
= ρ(ω)βιωί, где коэффициент ρ (о;) зависит от частоты ω периодического
сигнала elujt).
Мы употребляем компактную комплексную форму записи, хотя,
конечно, все можно переписать и через функции cosutf и smut.
Функция ρ(ω) =: Β,(ω)βιφ(ω) называется спектральной
характеристикой прибора Р, ее модуль i?(o;) принято называть частотной
характеристикой, а аргумент φ (ω) — фазовой характеристикой
прибора Р. Сигнал elujt, пройдя через прибор, преобразуется на выходе в
сигнал измененный по амплитуде благодаря
множителю R(u) и сдвинутый по фазе ввиду наличия слагаемого φ(ω).
Предположим, что нам известны спектральная характеристика ρ(ω)
прибора Ρ и сигнал /(£), поступивший на вход прибора, а требуется
узнать сигнал x(t) = P(f)(t) на выходе прибора.
Представив сигнал f(t) в виде интеграла Фурье (5) и пользуясь ли-

664 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
нейностью прибора Ρ и интеграла, находим
оо
x(t) = P(f)(t) = ί с{ы)р{и>)еш du>.
— ОО
В частности, если
/ л Г 1 при \ω\ ^ Ω, .
^) = \θ при μ>Ω, (8)
то
Ω
)eiut άω
x(t) = / c(u)t
-η
и, как видно из определения спектральной характеристики прибора,
Ρ(ρΐωΐλ _ ί еш при μ| ^ Ω,
[ ' \ О при |о;| > Ω.
Прибор Ρ со спектральной характеристикой (8) пропускает
(фильтрует) без искажения частоты, не превосходящие Ω, и срезает всю
ту часть сигнала, которая относится к высоким частотам
(превышающим Ω). По этой причине такой прибор в радиотехнике называют
идеальным фильтром низкой частоты (с верхней граничной
частотой Ω).
Перейдем теперь к математической стороне дела и к более
тщательному рассмотрению возникших здесь понятий.
Ь. Определение преобразования Фурье и интеграла Фурье.
В соответствии с формулами (3) и (5) введем
Определение 1. Функция
оо
ПШ:=^ / f(x)e-&dx (9)
—оо
называется преобразованием Фурье функции /: R —> С.
Интеграл здесь понимается в смысле главного значения
оо А
[ /{х)е~*х dx := lim ί f(x)e~iix dx,
J Λ-Ц-оо J

§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
665
и считается, что он существует.
Если /: R —> С — абсолютно интегрируемая на R функция, то,
поскольку \f(x)e~lxZ\ = \f(x)\ при х,£ £ R, для любой такой функции
имеет смысл преобразование Фурье (9), причем интеграл (9) сходится
абсолютно и равномерно по ξ на всей прямой R.
Определение 2. Если с(£) = .F[/](£) — преобразование Фурье
функции /: R —» С, то сопоставляемый / интеграл
оо
/(*)- J ο(ξ)β^άξ, (10)
— ОО
понимаемый в смысле главного значения, называется интегралом
Фурье функции /.
Коэффициенты Фурье и ряд Фурье периодической функции
являются, таким образом, дискретными аналогами преобразования Фурье
и интеграла Фурье соответственно.
Определение 3. Понимаемые в смысле главного значения
интегралы
оо
?Ш®-=\ J f(x)<**&dx, (11)
— ОО
ОО
ЪШ):=^ J ί(χ)*ΐηξχάχ (12)
— ОО
называются соответственно косинус- и синус-преобразованиями Фурье
функции /.
Полагая α(ξ) = Τ[/](ξ), α(ξ) = ЪШО, Κξ) = ?,[/\{ξ), получаем
отчасти уже знакомое нам по рядам Фурье соотношение
сЮ = \Ш-гЬ(0). (13)
Как видно из соотношений (11), (12),
α(-ξ) = α(ξ), Κ-ξ) = -Κξ). (14)

666 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Формулы (13), (14) показывают, что преобразования Фурье вполне
определяются на всей прямой М, если они известны лишь для
неотрицательных значений аргумента.
С физической точки зрения это вполне естественный факт — спектр
сигнала надо знать для частот ω ^ 0; отрицательные частоты а в (3)
и (5)—плод формы записи. Действительно,
А / о А\ А
J ο{ξ)β** άξ = ( J + J J с(0е^ άξ = J(с(0е^ + сЫ)е~^) άξ =
(α(ξ) cos χξ + Ь(£) sinx£) άξ,
-A \-A 0 / 0
A
/<
0
и, значит, интеграл Фурье (10) можно представить в виде
оо
ί{α{ξ) cos χξ + δ(ξ) sin χξ) άξ, (ΙΟ7)
ο
вполне соответствующем классической форме записи ряда Фурье. Если
функция / вещественнозначна, то из формул (13), (14) в этом случае
следует
с(-0 = 4£), (15)
поскольку в этом случае α(ξ) и δ(ξ) — вещественные функции на R, что
видно из их определений (11), (12). Впрочем, равенство (15) при условии
/(х) = /(χ) получается и непосредственно из определения (9)
преобразования Фурье, если учесть, что знак сопряжения можно вносить под
знак интеграла. Последнее наблюдение позволяет заключить, что для
любой функции /: R —> С справедливо равенство
Я/](-0 = Л/ДО· (16)
Полезно также заметить, что если / — вещественная и четная
функция, т.е. f{x) = f{x) = f{-x), то
^[/](0 = ^[/](0, ^[/](0 = 0,
jffifi = я/](0 = Л/Κ-ί);

§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
667
если / — вещественная и нечетная функция, т.е. /(#) = f(x) — —/(—#),
то
тс[Ш) = о, *·,[/](*) = Я/КО, (18)
ЛШ = -Л/КО = Л/К-О;
а если / — чисто мнимая функция, т.е. /(#) = —/(#), то
Л/К-0 = -Л/КО- (19)
Заметим, что если / — вещественнозначная функция, то ее интеграл
Фурье (10') можно записать также в виде
оо оо
J у/«2Ю+*(0<х*№ + <йЮ) di = lf |c(i)| cos(*£ + φ(ξ)) d£,
о о
где φ(ξ) = - arctg Щ = argc(f).
Пример 3. Най/
(считая /(0) = а е R).
/г-г 1.1/ ч ι. 1 /* sin
-Λ
Λ
1 /* sinatcosat , 2 /* sinatc
= lim — / dt= —
A->+oo 2π J t 2π J t
Пример 3. Найдем преобразование Фурье функции f(t) = Sln^a
Αβίηα'-β-ωΛ =
-Λ
Λ +οο
ί cos at ,
-dt
■έ/(
-Λ 0
+οο
sin(a + a)t sin(a — α)ί\
Η ; at —
ο
οο
= ^(sgn(a+a)+sgn(a-a)) /* ^ du = { | Sgn°' еСЛИ |α| < |α|'
2π 7 ti ^ ϋ,
если \а\ > |α|,
ο
поскольку нам известно значение интеграла Дирихле
оо

668 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Значит, если считать а ^ 0 и взять функцию f(t) = 2/isln^a из
равенства (7), то мы, как и следовало ожидать, получаем в качестве
ее преобразования Фурье указанный соотношениями (6) спектр этой
функции.
Рассмотренная в примере 3 функция / не является абсолютно
интегрируемой на К и ее преобразование Фурье имеет разрывы. О том, что
преобразование Фурье абсолютно интегрируемых функций не имеет
разрывов, говорит следующая
Лемма 1. Если функция /: Ш —> С локально интегрируема и
абсолютно интегрируема на R, то
а) ее преобразование Фурье F[f]{£) определено при любом значении
£GR;
Ъ)Я/]еС(К,С);
c)supW](OKw / \№\dx;
ξ -00
d) Я/Κί) -> 0 при ξ-> oo.
Μ Мы уже отмечали, что \f(x)e~lx^\ ^ |/(#)|, откуда следует
абсолютная и равномерная по ξ £ R сходимость интеграла (9). Этим
одновременно доказаны пп. а) и с) леммы.
Пункт d) следует из леммы Римана (см. §2).
Для фиксированного конечного А ^ О оценка
А I А
I f{x){e-ix^+V - e-*t)dx\ < sup \e~ixh - 1\ [ \f{x)\dx
устанавливает непрерывность по ξ интеграла
А
-А
l- J f(x)e-*Xdx,
2π
-А
равномерная сходимость которого при А —> +оо позволяет заключить,
Пример 4. Найдем преобразование Фурье функции /(<) = е~г /2:
+00 +00
F[f](a)= i e-t2'2e-iatdt= ί е~1^2 cos at dt.

§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
669
Дифференцируя последний интеграл по параметру α и интегрируя
затем по частям, находим, что
ИЛИ
±\nT[f]{a) =-а.
Значит, T[f](a) = се~а /2, где с — постоянная, которую, пользуясь
интегралом Эйлера-Пуассона (см. гл. XVII, §2, пример 17), находим из
соотношения
= jT[/](0)= ί e-t2'2dt = Vbt.
Итак, мы нашли, что F[}\{ol) = \/2ке а '2, и одновременно показа-
ли, что ТШа) = v/2^e-"2/2, a Ta[f](a) = 0.
с. Нормировка преобразования Фурье. Преобразование
Фурье (3) и интеграл Фурье (5) мы получили как естественные конти-
π
нуальные аналоги коэффициентов Фурье с& = ^ / f{x)e~lkxdx и ряда
—π
оо
Фурье Σ Cke%kx периодической функции / в тригонометрической си-
—оо
стеме {егкх\к £ Z}. Эта система не является ортонормированной, и
лишь простота записи в ней тригонометрического ряда Фурье
заставляет по традиции рассматривать ее вместо значительно более
естественной ортонормированной системы < -j=elkx\ к £ Ζ >. В этой норми-
рованной системе ряд Фурье имеет вид ^ c^-j=elkx:, а коэффициенты
-оо ν2π
π
Фурье определяются формулами с& = -j= f f(x)e~lkxdx.
— 7Г
Аналогом таких естественных коэффициентов Фурье и такого ряда
Фурье в континуальном случае были бы преобразование Фурье
оо
^):=-L· J f(x)e-^dx (21)

670 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
и интеграл Фурье
оо
f(x) = -±Jfc)(**#, (22)
—оо
отличающиеся от рассмотренных выше лишь нормировочным
множителем.
В симметричных формулах (21), (22) практически сливаются
«коэффициент» Фурье и «ряд» Фурье, поэтому в дальнейшем мы будем, по
существу, интересоваться только свойствами интегрального
преобразования (21), называя его нормированным преобразованием Фурье или,
если не возникает недоразумений, просто преобразованием Фурье
функции /.
Вообще, интегральным оператором или интегральным
преобразованием принято называть оператор А, действующий на функции / по
закону
A(f)(y) = jK(x,y)f(x)dx,
X
где К(х,у)—заданная функция, называемая ядром интегрального
оператора, а X С IRn — множество, по которому происходит
интегрирование и на котором считаются определенными подынтегральные
функции. Поскольку у — свободный параметр из некоторого множества У,
то A(f) есть функция на этом множестве Υ.
В математике существует ряд важных интегральных
преобразований, и среди них преобразование Фурье занимает одну из самых
ключевых позиций. Это обстоятельство имеет довольно глубокие корни и
связано с замечательными свойствами преобразования (21), которые мы в
какой-то степени опишем и продемонстрируем в работе в оставшейся
части параграфа.
Итак, будем рассматривать нормированное преобразование
Фурье (21).
Наряду с обозначениями / для нормированного преобразования
Фурье, введем следующее обозначение
оо
Kt):=-±=J f{x)t**dx, (23)
— ОО
т.е. /(£) = /(-£)·

§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
671
Формулы (21), (22) говорят о том, что
/=/ = /, (24)
т.е. интегральные преобразования (21), (22) взаимно обратны. Значит,
если (21) есть преобразование Фурье, то интегральный оператор (23)
естественно назвать обратным преобразованием Фурье.
Ниже будут подробно обсуждены и обоснованы некоторые
замечательные свойства преобразования Фурье. Например,
/ * д = V2tt/ ■ д,
11/11 = 11/11·
Т. е. преобразование Фурье переводит операцию
дифференцирования в операцию умножения на независимую переменную;
преобразование Фурье свертки функций сводится к умножению их преобразований
Фурье; преобразование Фурье сохраняет норму (равенство Парсеваля)
и тем самым является изометрическим преобразованием
соответствующего пространства функций.
Но начнем мы с формулы обращения (24).
По поводу еще одной удобной нормировки преобразования Фурье
см. задачу 10.
d. Достаточные условия представимости функции
интегралом Фурье. Мы сейчас докажем теорему, вполне аналогичную как по
форме, так и по содержанию, теореме о сходимости в точке
тригонометрического ряда Фурье. Чтобы максимально сохранить знакомый
вид прежних формул и преобразований, мы в этом пункте
используем ненормированное преобразование Фурье с(£) вместе с его несколько
громоздким, но порой удобным обозначением J-*[/](0· В дальнейшем,
изучая интегральное преобразование Фурье как таковое, мы, как
правило, будем работать с нормированным преобразованием Фурье /
функции /.
Теорема 1 (о сходимости интеграла Фурье в точке). Пусть
f: R —> С — абсолютно интегрируемая функция, кусочно непрерывная
на каждом конечном отрезке числовой оси R.

672 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Если функция f удовлетворяет в точке χ £ R условиям Дини, то
ее интеграл Фурье ((5), (10), (10'), (22)) сходится в этой точке к
значению ^(/(х_) + /(#+)), равному полусумме левого и правого пределов
функции в этой точке.
Μ По лемме 1 преобразование Фурье с(£) = ^[/](0 функции /
непрерывно на R и, значит, интегрируемо на любом отрезке [—А, А].
Подобно тому, как мы преобразовывали частичную сумму ряда Фурье,
проведем теперь следующие преобразования частичного интеграла
Фурье:
Λ /i / OO \
SA(x) = J c{i)e^ di= J" J i- J /(t)e-* dt e** d£ =
-A -A V -oo /
oo / Λ \ oo . „ . „
1 f I f ·, *\* \ 1С e<x-t)A - e-%(x-t)A
i(x — t)
-oo \—A / -oo
oo oo
sin(x — t)A , 1 f ., ч sin Au ,
dt
1 /* Λ/ι48ΐη(χ - t)A . 1 /* ., 4sin^
-oo -oo
oo
= - / (f(x -u)+ f(x + и)) du.
π J и
Произведенное во втором от начала выкладки равенстве изменение
порядка интегрирования законно. В самом деле, ввиду кусочной
непрерывности / для любого конечного В > 0 справедливо равенство
I [hiте~щdt)*ίχξdi = hI f{t)[Iei{x~mάξ)dt'
-A \ -B I -B \-A /
из которого при В —> +оо, учитывая равномерную сходимость по ξ
в
интеграла f f(x)e~lt^ dt, получаем нужное нам равенство.
-в
Теперь воспользуемся значением интеграла Дирихле (20) и завер-

§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
673
шим наши преобразования:
= I ?(/(- -«) - /(--)) + № + и) -/(»+)) sinj4„riM,
о
Полученный интеграл стремится к нулю при А —> оо. Поясним это
и тем самым закончим доказательство теоремы.
Представим этот интеграл в виде суммы интегралов по
промежутку ]0,1] и по промежутку [1,+оо[. Первый из этих двух интегралов
стремится к нулю при А —> +оо ввиду условий Дини и леммы Римана.
Второй интеграл есть сумма четырех интегралов, отвечающих
четырем слагаемым f(x — u), f(x + u), /(x_), /(#+). К первым двум из этих
четырех интегралов опять применима лемма Римана, а последние два
с точностью до постоянного множителя приводятся к виду
+00 +00
/sin Аи . Г sin г; ,
йи = αν.
и J ν
1 А
Но при А —> +оо последний интеграл стремится к нулю, поскольку
интеграл Дирихле (20) сходится. ►
Замечание 1. В доказательстве теоремы 1 мы фактически
рассматривали сходимость интеграла в смысле главного значения. Но если
сопоставить записи (10) и (107) интеграла Фурье, то становится
очевидным, что именно рассмотренное понимание сходимости интеграла (10)
отвечает сходимости интеграла (10;).
Из доказанной теоремы получаем, в частности,
Следствие 1. Пусть /: R —> С — непрерывная, абсолютно
интегрируемая функция.
Если в каждой точке χ £ R функция f дифференцируема или
имеет конечные односторонние производные, или удовлетворяет условию
Гелъдера, то она представляется своим интегралом Фурье.
Итак, для функций указанных классов оба равенства (3), (5) или
(21), (22) имеют место, и мы тем самым доказали для таких функций
формулу обращения преобразования Фурье.

674 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 5. Предположим, что известен сигнал v(t) = P(f)(t) на
выходе прибора Р, рассмотренного в примере 2, а мы хотим найти
сигнал /(£), поданный на вход прибора Р.
В примере 2 мы показали, что f и ν связаны соотношением
оо
v{t)= ί ο{ω)ρ{ω)βίωίάω,
где c(uj) = Τ[ί]{ω)—спектр сигнала / (ненормированное
преобразование Фурье функции /), ар — спектральная характеристика прибора Р.
Считая все эти функции достаточно регулярными, на основе
доказанного заключаем, что тогда
ο(ω)ρ(ω) = Τ[ν](ω).
Отсюда находим c(uj) = Τ[ί\{ω). Зная с(о;), интегралом Фурье (10)
найдем сигнал /.
Пример 6. Пусть а > 0 и
№ = { е"
Тогда
+оо
~ах при х > 0,
0 при χ ^ 0.
F[f№ = ^ J e-axe-*xdx = ±-
2π α + ίξ
о
Обсуждая само определение преобразования Фурье, мы уже
отметили в пункте b ряд его очевидных свойств. Отметим еще, что если
f-(x) := /(—ж), то Τ[/-](ξ) = F[f](-Q- Это элементарная замена
переменной в интеграле.
Возьмем теперь функцию е~а^ = /(х) + f(—x) =: ¥>(#)·
Тогда
*Μί) = Я/КО + Я/К-0 = ^7УТ72·
Если же взять функцию ψ(χ) = f(x) — /(—x), являющуюся нечетным
продолжением функции е~ах, χ > 0, на всю числовую ось, то
^К0=Я/1«)-Л/1(-0 = ~- *
πα2 + £2

§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
675
Используя теорему 1, точнее, ее следствие, получаем, что
- ί -
2π J a
00 ίχξ ( е~ах, если χ > О,
^, если χ = О,
О, если χ < 0;
άξ
—оо
+оо . ^
оо
ϊ-οο
π J a
+оо
i/-
π J a
/ —
&
2Χξ
2_l£2
+ ί'
df = S
e~ax, если χ > 0,
0, если х = 0,
-eax, если χ < 0.
Все интегралы здесь понимаются в смысле главного значения, хотя
второй, ввиду его абсолютной сходимости, можно понимать и в смысле
обычного несобственного интеграла.
Отделяя в двух последних интегралах действительные и мнимые
части, находим уже встречавшиеся нам интегралы Лапласа
a»*; .de=jLe-i«i>
+оо
J α2+ξ2^~ 2α
о
+°°
άξ = -е a|x|sgnx.
/
α2 + ξ2 ъ 2
Пример 7. На основе примера 4 легко найти (элементарной
заменой переменной), что если
f(x) = е-2*2, то /(£) = -U-£.
V2a
Очень поучительно проследить за одновременной эволюцией
графиков функций / и / при изменении параметра а от 1/\/2 до 0. Чем
«сосредоточеннее» одна из функций, тем «размазаннее» другая. Это
обстоятельство тесно связано с квантово-механическим принципом Гей-
зенберга. (См. в этой связи задачи 6, 7.)
Замечание 2. Заканчивая обсуждение вопроса о возможности
представления функции интегралом Фурье, отметим, что, как
показывают совместно примеры 1 и 3, сформулированные в теореме 1 и ее

676 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
следствии условия на функцию / являются достаточными, но не
являются необходимыми для возможности такого представления.
2. Взаимосвязь дифференциальных и асимптотических
свойств функции и ее преобразования Фурье
а. Гладкость функции и скорость убывания ее
преобразования Фурье. Уже из леммы Римана следует, что преобразование Фурье
любой абсолютно интегрируемой на Ш функции стремится на
бесконечности к нулю. Это уже отмечалось и в доказанной выше лемме 1. Теперь
мы покажем, что, подобно коэффициентам Фурье, преобразование
Фурье тем быстрее стремится к нулю, чем глаже функция, от которой оно
берется. Взаимный с этим факт будет состоять в том, что чем быстрее
стремится к нулю функция, от которой берется преобразование Фурье,
тем глаже ее преобразование Фурье.
Начнем со следующего вспомогательного утверждения.
Лемма 2. Пусть /: R —> С — непрерывная функция, обладающая
локально кусочно непрерывной производной /' на R. Если при этом
a) функция }' интегрируема на Ж, то f(x) имеет предел и при χ —>
—> — оо, и при χ —> +оо;
b) функции f и f интегрируемы на Ш, то f(x) —> О при χ —> оо.
Μ При указанных ограничениях на функции /, /' имеет место
формула Ньютона-Лейбница
X
f(x) = f(0) + Jf'(t)dt.
о
В условиях а) правая часть этого равенства имеет предел как при
χ —> +оо, так и при χ —> —оо.
Если же имеющая пределы на бесконечности функция /
интегрируема на R, то оба эти предела, очевидно, обязаны быть равны
нулю. ►
Теперь докажем
Утверждение 1 (о связи гладкости функции и скорости убывания
ее преобразования Фурье). Если f £ C^(R,С) (к = 0,1,...) и все
функции f, /',..., /^ абсолютно интегрируемы на Ж, то

§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
677
а) при любом η £ {0,1,..., к}
/^(о = «пт (25)
Ъ) М) = о (j-^j при ξ -> 0.
Μ Если к = 0, то а) тривиально верно, а Ь) следует из леммы Римана.
Пусть к > 0. По лемме 2 функции /,/',..., f^k~1^ стремятся к нулю
при χ —> оо. Учитывая это, выполним интегрирование по частям:
оо
/W(i):=^|/<*>(s)e-«*<fc =
— ОО
. оо
- {г° f f{x)e-^dx={iOkm
2π
Таким образом, равенство (25) установлено. Это очень важное
соотношение и мы к нему еще вернемся отдельно.
Мы показали, что /(£) = {ίξ)~1ς/^{ξ), но по лемме Римана /(*)(£) —>
—> О при ξ —> О, поэтому утверждение Ь) тоже доказано. ►
Ь. Скорость убывания функции и гладкость ее
преобразования Фурье. Ввиду почти полного совпадения прямого и
обратного преобразований Фурье справедливо следующее, дополнительное к
утверждению 1,
Утверждение 2 (о связи скорости убывания функции и
гладкости ее преобразования Фурье). Если локально интегрируемая функция
/: R —> С такова, что функция xkf(x) абсолютно интегрируема на R,
то
a) преобразование Фурье функции f принадлежит классу
b) имеет место равенство
fik)(0 = (-i)k^f^m). (26)

678 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Μ Для к = О соотношение (26) тривиально выполнено, а
непрерывность /(£) уже была доказана в лемме 1. Если к > О, то при η < к на
бесконечности имеет место оценка \xnf(x)\ ^ \xkf(x)\, из которой
следует абсолютная интегрируемость функции xnf(x). Но \хп}\х)е~г^х\ ^
^ |хп/(х)|, что позволяет, ссылаясь на равномерную по параметру ξ
сходимость соответствующих интегралов, последовательно провести
их дифференцирование под знаком интеграла:
оо
— ОО
ОО
/'(ξ) = ~= J xf(x)e-^dx,
\к
fW{£) = L^ J xbf{x)e-^dx.
Последний интеграл по лемме 1 является функцией, непрерывной
по £ на всей числовой прямой. Значит, действительно, / £
eCW(R,C). ►
с. Пространство быстро убывающих функции
Определение 4. Обозначим символом 5(М, С) или более
коротким символом S совокупность всех функций / £ C(°°)(R, С),
удовлетворяющих условию
зир\хр^а\х)\ <оо,
хеш
каковы бы ни были неотрицательные целые числа а и β. Такие функции
называют быстро убывающими (при χ —> оо).
Совокупность быстро убывающих функций, очевидно, образует
линейное пространство относительно стандартных операций сложения
функций и умножения функции на комплексное число.
2
Пример 8. Функция е~х или, например, все финитные функции
класса Cq (R, С) входят в S.

§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
679
Лемма 3. Ограничение преобразования Фурье на S является
автоморфизмом S как линейного пространства.
<4 Проверим, что (/ е S) => (/ Ε S).
Для этого заметим сначала, что по утверждению 2а) / £ C(°°)(R, С).
Далее заметим, что операция умножения на ха (а ^ 0) и
операция D дифференцирования не выводят из класса быстро убывающих
функций. Значит, при любых целых неотрицательных значениях а и β
из того, что / £ 5, следует, что функция D@(xaf(x)) принадлежит
пространству S. Ее преобразование Фурье по лемме Римана стремится к
нулю на бесконечности. Но по формулам (25), (26)
^(^7(ϊ))(ί) = ίβ+ν/(β)«),
и мы показали, что £^/^(0 ~~> О ПРИ £ —► оо, т. е. / £ 5.
Покажем теперь, что S = S, т.е. что преобразование Фурье
отображает S на все множество S.
Напомним, что прямое и обратное преобразования Фурье связаны
простым соотношением /(£) = /(—ξ). Изменение знака аргумента
функции, очевидно, является операцией, переводящей множество S в себя.
Значит, обратное преобразование Фурье тоже переводит
пространство S в себя.
Наконец, если / — произвольная функция из 5, то, по доказанному,
φ = / £ S и по формуле обращения (24) получаем, что / = φ.
Линейность преобразования Фурье очевидна, поэтому лемма 3
теперь полностью доказана. ►
3. Важнейшие аппаратные свойства преобразования Фурье
а. Некоторые определения, обозначения и примеры. Выше
мы достаточно подробно рассмотрели преобразование Фурье заданной
на вещественной прямой функции /: R —> С. В частности, мы уяснили
связь, существующую между свойствами регулярности самой функции
и соответствующими свойствами ее преобразования Фурье. Теперь,
когда этот вопрос в принципе решен, мы будем рассматривать
преобразования Фурье только достаточно регулярных функций, чтобы в
концентрированной форме и без технических осложнений изложить
фундаментальные аппаратные свойства преобразования Фурье. Взамен мы
рассмотрим не только одномерное, но и многомерное преобразование

680 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Фурье и выведем его основные свойства практически независимо от
изложенного выше.
Желающие ограничиться одномерным случаем могут ниже считать
п = 1.
Определение 5. Пусть /: W1 —> С—локально интегрируемая
на W1 функция. Функция
/(*):=(2^//(3;)β~ΐ(ξ'*)ώ (27)
Rn
называется преобразованием Фурье функции /.
При этом имеется в виду, что χ = (χι,...,χη), ξ = (£ι,...,£η),
{ζιχ) — £ι^ι + ··· + ζη^η, а интеграл считается сходящимся в
следующем смысле главного значения:
А А
/ φ(χι,...,χη)<1χι ...dxn := lim / ... / φ(χ\,... ,χη) dx\ ...dxn.
Rn -A -A
В таком случае многомерное преобразование Фурье (27) можно
рассматривать как η одномерных преобразований Фурье, проведенных по
каждой из переменных χχ,..., хп.
Тогда, когда функция / абсолютно интегрируема, вопрос о том, в
каком смысле понимается интеграл (27), вообще не возникает.
Пусть а = (αϊ,..., ап) и β = (/3χ,..., βη) — мультииндексы,
состоящие из неотрицательных целых чисел ay, /3j, j = Ι,.,.,π, и пусть,
я1<*1
как всегда, Da обозначает оператор дифференцирования —^ —
ОХ л . . . ΟΧ γι
порядка \а\ := а\ + ... + αη, а х@ := х^ · ... · Хп-
Определение 6. Обозначим символом S(Rn,C) или, если не
возникает недоразумений, символом 5, совокупность всех функций / £
£ С(°°)(МП,С), удовлетворяющих условию
sup \χβϋα/{χ)\ < оо,
xeRn
каковы бы ни были неотрицательные мультииндексы а и β. Такие
функции называют быстро убывающими (при χ —> оо).

§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
681
Множество S с алгебраическими операциями сложения функций и
умножения функции на комплексное число, очевидно, является
линейным пространством.
Пример 9. Функция е~^ , где \х\2 = х\ + .. . + ж^, и все финитные
функции класса Cq (Rn,C) входят в S.
Если / £ 5, то интеграл в соотношении (27), очевидно, сходится
абсолютно и равномерно по ξ, на всем пространстве W1. Более того, если
/ G 5, то в соответствии со стандартными правилами этот интеграл
можно дифференцировать сколько угодно раз по любой из переменных
ξι,... ,£η· Таким образом, если / е S, то / е C(°°)(Rn,C).
Пример 10. Найдем преобразование Фурье функции ехр(—|х|2/2).
При интегрировании быстро убывающих функций, очевидно, можно
пользоваться теоремой Фубини и, если требуется, то можно
беспрепятственно менять порядок несобственных интегрирований.
В данном случае, используя теорему Фубини и пример 4, находим
(2π)»/2 J
е-*?/2е-*«, dx. = 1[е-Ф2 = е-К12/2.
Теперь выделим и докажем основные аппаратные свойства
преобразования Фурье, считая, чтобы избежать технических осложнений, что
преобразование Фурье применяется к функциям класса S. Это
примерно так, как если бы научиться оперировать (считать) рациональными
числами, а не полным пространством R сразу. Процесс пополнения
единообразен. См. по этому поводу задачу 5.
b. Линейность. Линейность преобразования Фурье очевидна: она
следует из линейности интеграла.
c. Взаимоотношения оператора дифференцирования и
преобразования Фурье. Имеют место формулы
&~т = (i)lalem), (28)
{**№)№ = (i)la{Da№)- (29)
=п^у

682 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Μ Первая из них получается, как и формула (25), интегрированием
по частям (разумеется, с предварительным использованием теоремы
Фубини, если речь идет о пространстве W1 размерности η > 1).
Формула (29) обобщает соотношение (26) и получается прямым
дифференцированием интеграла (27) по параметрам £χ,... ,£п. ►
Замечание 3. Ввиду очевидной оценки
\Ш^щ^/\т\<1х<+°о,
Rn
из равенства (28) вытекает, что /(£) —> О при ξ —> оо, какова бы ни
была функция / £ 5, поскольку Daf £ S.
Далее, совместное использование формул (28), (29) позволяет
написать, что
откуда следует, что если / £ 5, то при любых неотрицательных муль-
тииндексах а и β имеем ^Daf(£) —> О, когда ξ —> оо в Rn. Таким
образом, показано, что
(f€S) =► (f€S).
d. Формула обращения
Определение 7. Оператор, определяемый (вместе с его
обозначением) равенством
Rn
называется обратным преобразованием Фурье.
Имеет место следующая формула обращения преобразования Фурье:
/=/=/ (31)
или в форме интеграла Фурье
/(*) = ^//W*·0^ (32)
Rn

§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
683
Используя теорему Фубини, формулу (31) можно немедленно
получить из соответствующей формулы (24) для одномерного
преобразования Фурье, но мы, как и обещали, проведем короткое независимое
доказательство этой формулы.
Μ Покажем сначала, что для любых функций /, д £ 5(R, С)
справедливо соотношение
/ 0(£)/(ξ)β<(χ'ξ) άξ = J g(y)f(x + у) dy. (33)
Rn Rn
Оба интеграла имеют смысл, поскольку /, д £ 5, а по замечанию 3
тогда и /, д G S.
Преобразуем интеграл, стоящий в левой части доказываемого
равенства
Rn
=19{ξ) [j2^ I пу)е~г{Ш dy] 6ΐ{χ'ξ)άξ=
= g(y- x)f(y) dy= g(y)f(x + y) dy.
Rn Rn
Законность проведенного изменения порядка интегрирования не
вызывает сомнений ввиду того, что / и д — быстро убывающие
функции. Итак, равенство (33) проверено.
Заметим теперь, что при любом ε > О
-L. f д&)№ άξ = ^^ J 9(η)β~^ an = ε"^(ν/ε),
Rn Rn
значит, в силу равенства (33)
J 9(εξ)ί(ξ)^{χ'ξ) άξ = J e-ng(y/e)f(x + y)dy = J g(u)f(x + eu) du.

684 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Учитывал абсолютную и равномерную по ε сходимость крайних
интегралов последней цепочки равенств, при ε —> О получаем
9(0) J Д£У (ж'° άξ = f(x)J g{u) du.
Rn Rn
Положим здесь д{х) = e-l*l /2. В примере 10 мы видели, что д(и) =
оо
= е~^1 /2. Вспоминал интеграл Эйлера-Пуассона f е~х dx = ^/π, с
—оо
помощью теоремы Фубини заключаем, что f е~\и\ /2 du = (2π)η/2, и в
Rn
результате получаем равенство (32). ►
Замечание 4. В отличие от одного равенства (32), означающего,
что / = /, в соотношениях (31) присутствует еще равенство / = /.
Но оно немедленно вытекает из доказанного, поскольку /(£) = /(—£) и
/но = /й-
Замечание 5. Мы уже видели (см. замечание 3), что если / £ 5,
то / £ 5, а значит, и / £ 5, т. е. S С S и S С 5. Из соотношения
/ = / = / теперь заключаем, что S = S = S.
е. Равенство Парсеваля. Так принято называть соотношение
(f,9) = (f,9), (34)
которое в развернутой форме означает, что
У /№(*) <te = у /(ОКО <*£. (34')
Rn Rn
Из (34), в частности, следует, что
|2 = </,/> = </,/> = 11/Н2. (35)
С геометрической точки зрения равенство (34) означает, что
преобразование Фурье сохраняет скалярное произведение между
функциями (векторами пространства S) и, значит, является изометрией
пространства S.

§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
685
Равенством Парсеваля иногда называют также соотношение
/ /ШО άξ = J f(x)g(x) dx, (36)
Rn Rn
которое получается из равенства (33), если положить там χ = 0.
Основное равенство Парсеваля (34) получается из соотношения (36), если в
нем вместо д написать д и воспользоваться тем, что (д) = д (ибо д = д
кд = д = д).
f. Преобразование Фурье и свертка. Имеют место следующие
важные соотношения:
(fjg) = (2^2f.g, (37)
(/·<?) = (2π)-"/2/*3 (38)
(называемые иногда формулами Бореля), которые связывают операции
свертки и умножения функций посредством преобразования Фурье.
Докажем эти формулы:
« (/ * д№ = ^2 /(/ * д)(х)е-*Ы dx =
Rn
=щ^-2 S[Ss{x-уш dy) е~г{',х) dx=
= щ^19{у)е~ы ( f f(x-y)e~i{t'x~v)dx\ dy =
Rn \Rn I
=-(2^Г2 j 9{УУ-^ ( JHu)e-^dU) dy =
Rn \Rn I
= fg(v)e-K>v)№)dy = (2π)η/2/(0$(0·
Rn
Законность проведенного изменения порядка интегрирования не
вызывает сомнений, если f,g€S.
Формула (38) может быть получена аналогичной выкладкой, если
воспользоваться формулой обращения (32). Впрочем, равенство (38)

686 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
можно вывести из уже доказанного соотношения (37), если вспомнить,
что / = / = /,/=/,/ = /и что гГ^и = ΰ·ν, и * ν = ΰ*ν. ►
Замечание 6. Если в формулы (37), (38) подставить /ид
вместо / и д и применить к обеим частям полученных равенств обратное
преобразование Фурье, то придем к соотношениям
Fg = (2n)-n/2(f*~g), (ЗГ)
f*g = (2n)n'2(f-g). (38')
4. Примеры приложений. Продемонстрируем теперь
преобразование Фурье (и отчасти аппарат рядов Фурье) в работе.
а. Волновое уравнение. Успешное использование преобразования
Фурье в уравнениях математической физики связано (в
математическом отношении) прежде всего с тем, что преобразование Фурье
заменяет операцию дифференцирования алгебраической операцией
умножения.
Пусть, например, ищется функция и: Ш —> М, удовлетворяющая
уравнению
а0и{п\х) + aiu{n~l\x) + ... + апи(х) = /(х),
где ао,...,ап— постоянные коэффициенты, а / — известная функция.
Применяя к обеим частям этого равенства преобразование Фурье (в
предположения достаточной регулярности функций и и /), благодаря
соотношению (28) получим алгебраическое уравнение
(a0(t£)n + αι(ίξ)"-1 + ... + αη)ύ(ξ) = β(ξ)
относительно й. Найдя из него ύ(ξ) = l>.'L , обратным преобразованием
Фурье получаем и(х).
Применим эту идею к отысканию функции и = w(x, £),
удовлетворяющей bRxM одномерному волновому уравнению
д2и 2д2и , ^
_=а2_ (а>0)
и начальным условиям
ди
и(х, 0) = f{x), — {χ, 0) = g{x).

§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
687
Здесь и в следующем примере мы не будем останавливаться на
обосновании промежуточных выкладок, потому что, как правило, легче
бывает найти нужную функцию и непосредственно проверить, что она
решает поставленную задачу, чем обосновать и преодолеть все
возникающие по дороге технические трудности. Существенную роль в
принципиальной борьбе с этими трудностями, кстати, играют обобщенные
функции, о чем уже упоминалось.
Итак, рассматривая t как параметр, сделаем преобразование Фурье
по χ обеих частей нашего уравнения. Тогда, считая возможным
выносить дифференцирование по параметру t за знак интеграла, с одной
стороны, и, пользуясь формулой (28), с другой стороны, получим
откуда находим
ύ(ξ, t) = Α(ξ) cos αξί + Β (ξ) sin αξί.
В силу начальных данных
ύ(ξ,^ = β(ξ) = Α(ξ),
ΰ[(ξ,0) = (η[)(ξ,0) = ο(ξ) = αξΒ(ξ).
Таким образом,
U(£, t) = /(£) cos αξί + Щ)- ήηαξί =
αξ
= I/(£)(e*< + e"***) + -^l(eia^ - e~iait).
2 2 ίαζ
Домножая это равенство на -Л=егх^ и интегрируя по £, короче, взяв
обратное преобразование Фурье и используя формулу (28),
непосредственно получаем
t
1 If

688 ГЛ. XVIII РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Ь. Уравнение теплопроводности. Еще один элемент аппарата
преобразований Фурье (а именно формулы (37'), (38')), оставшийся в
тени при рассмотрении предыдущего примера, хорошо проявляется при
отыскании функции и = и(х, t), χ £ Rn, t ^ 0, удовлетворяющей во всем
пространстве W1 уравнению теплопроводности
— = azAu (a > 0)
at
и начальному условию и(х,0) = f(x).
дх\ дхп
Выполнив преобразование Фурье по переменной χ £ W1, получим в
силу (28) обыкновенное уравнение
Здесь, как всегда, Δ = —^ + ... + 2
§«,*) = а2(.-)2(й + ...+ай(е,*),
из которого следует, что
u(i,t) = c(i)e-eW,
где |£|2 = ξ1 + ... + ££. Учитывая, что й(£, 0) = /(ξ), находим
βκ,ί) = /(0·β-βϊ|ί|ϊ*.
Применяя обратное преобразование Фурье, с учетом
соотношения (37') получаем
ф, t) = (2тг)-п/2 j f(y)E0(y - χ, t) dy,
Rn
где Eo(x,t) — та функция, преобразованием Фурье которой по χ
получается функция е~а 1^1 *. Обратное преобразование Фурье по ξ функции
е~а '£' *, в сущности, нам уже известно из примера 10. Сделав
очевидную замену переменной, найдем
Полагая E(x,t) — (2π) n/2Eo(x,t), находим уже знакомое нам (см.
гл. XVII, § 4, пример 15) фундаментальное решение
E{x,t) = {2aV^i)-ne~^~t (t > 0)

§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
689
уравнения теплопроводности и формулу
u(M) = (/*S)M)
для решения, удовлетворяющего начальному условию u(x,0) = f(x).
с. Формула Пуассона. Так называется следующее соотношение:
оо оо
л/2тг 53 ψ(2™) = 53 ${η) (39)
га=—оо η——оо
между функцией ^: R —» С (пусть ^ £ 5) и ее преобразованием
Фурье ψ. Формула (39) получается при χ = О из равенства
оо оо
у/Ъг 53 VO* + 2πη) = 53 £(ПКПЖ' (40)
т=—оо п=—оо
которое мы и докажем, считая, что φ — быстро убывающая функция.
Μ Поскольку <^,^g5, ряды в обеих частях равенства (40) сходятся
абсолютно (поэтому их можно сумммировать как угодно) и равномерно
по χ на всей прямой R. Далее, поскольку производные быстро
убывающей функции сами являются функциями класса 5, то можно заключить,
оо
что функция f(x) = Σ φ(χ + 2ππ) принадлежит классу
η——оо
Функция /, очевидно, 27г-периодическая. Пусть {£*(/)} — ее
коэффициенты Фурье по ортонормированной системе \ -j=elkx\ к £ Ζ >. Тогда
2π _ 2π
ck(f):=-j=Jf(x)e-ik*dx= JT -^^{x + 2nn)e-ikxdx =
0 n=-oo 0
οο 2π(η+1) οο
= Σ -7P / iP(x)e-<teifa = 4= [ Ф)е~гкхс1х=:(р(к)-
„±Г^ ν2π _./ Λ/2π У
Но / — гладкая 27г-периодическая функция, поэтому ее ряд Фурье
сходится к ней в любой точке χ £ R. Значит, в любой точке χ £ R
справедливо соотношение
5] φ(χ + 2πη) = /(χ)= 53 έ"(/) ГТГ = ^ТГ Σ ^(п)е*~ ►

690 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Замечание 7. Как видно из доказательства, соотношения (39),
(40) справедливы далеко не только для функции класса S. Но если все же
φ £ 5, то равенство (40) можно сколько угодно раз дифференцировать
почленно по аргументу х, получая как следствие новые соотношения
между φ,φ',... и φ.
d. Теорема Котельникова1) · Этот пример, основанный, как и
предыдущий, на красивом комбинировании ряда и интеграла Фурье,
имеет прямое отношение к теории передачи информации по каналу
связи. Чтобы он не показался искусственным, напомним, что в силу
ограниченных возможностей наших органов чувств мы способны
воспринимать сигналы только в определенном диапазоне частот. Например,
ухо «слышит» в диапазоне от 20 герц до 20 килогерц. Таким образом,
какие бы ни были сигналы, мы, подобно фильтру (см. п. 1), вырезаем
только ограниченную часть их спектра и воспринимаем их как сигналы
с финитным спектром.
Будем поэтому сразу считать, что передаваемый или получаемый
нами сигнал f(t) (где t — время, — оо < t < оо) имеет финитный спектр,
отличный от нуля лишь для частот о;, величина которых не превышает
некоторого критического значения а > 0. Итак, f(u) = 0 при |α;| > α,
поэтому представление
оо
f{t) = -j= f ϊ{ω)β^άω
— ОО
для функции с финитным спектром сводится к интегралу лишь по
промежутку [—α, α]:
а
/Ме*" άω. (41)
—а
На отрезке [—α, α] функцию $(ω) разложим в ряд Фурье
оо
/Н = 5>(/У^ (42)
—оо
^В. А. Котельников (1908-2005)—советский ученый, известный специалист в
теории радиосвязи.
m = wJ

§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
691
по системе \ег ak;k €Ъ\, ортогональной и полной на этом отрезке.
Учитывал формулу (41), для коэффициентов с^(/) этого ряда получаем
следующее простое выражение:
«1Л=-£/Л*-,"'*'-^'(~*)· (43)
—а
Подставляя ряд (42) в интеграл (41), с учетом соотношений (43)
находим
«"^/(*Σ/&)«'-'4- =
_α \ fc=-oo /
-έ Σ/(=*)/«*-*"<"■
к=-оо _а
Вычислив эти элементарные интегралы, приходим к формуле Ко-
телъникова
к=-оо ν α >
Формула (44) показывает, что для восстановления сообщения,
описываемого функцией f(t) с финитным спектром, сосредоточенным в
полосе частот |α;| ^ α, достаточно передать по каналу связи лишь
значения f(kA) (называемые отсчетными значениями) данной функции
через равные промежутки времени Δ = π/α.
Это утверждение в совокупности с формулой (44) принадлежит
В. А. Котельникову и называется теоремой Котелъникова или
теоремой отсчетов.
Замечание 8. Сама по себе интерполяционная формула (44)
была известна в математике еще до работы В. А. Котельникова (1933 г.).
Но в этой работе впервые было указано фундаментальное значение
разложения (44) для современной цифровой (кодово-импульсной) записи и
передачи непрерывных сообщений по каналу связи. В общем виде этот
вопрос был позднее исследован выдающимся американским инженером-
математиком Клодом Шенноном, работа которого 1948 года легла в
фундамент теории информации.

692 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Замечание 9. Реально время передачи и приема сообщения
ограничено, поэтому вместо всего ряда (44) берут некоторую его частичную
N
сумму Σ. Специальные исследования посвящены оценке возникающих
-Ν
при этом погрешностей.
Замечание 10. Если считать, что количество информации,
передаваемой по каналу связи, пропорционально количеству отсчетных
значений, то в соответствии с формулой (44) пропускная способность
канала связи пропорциональна ширине а полосы пропускаемых им
частот.
Задачи и упражнения
1. а) Запишите подробно доказательства соотношений (16)-(19).
Ь) Рассматривая преобразование Фурье как отображение /·->·/,
покажите, что оно обладает следующими часто используемыми свойствами:
/(αί) _>!/(£)
(правило изменения масштаба);
/(ί-ίο)^/Μβ-*ωί°
(сдвиг входного сигнала—фурье-прообраза — по времени, или теорема о
переносе),
[/(t + id)±/(f-to)]->U
I j (ω) zsincttfo;
(сдвиг преобразования Фурье по частоте);
1 ~
f(t) cosu0t \-> π[ί(ω - ωο) + ώ + ω0)],
f(t) smu0t ■-► -[/(ω - ω0) - ώ + ω0)}
(амплитудная модуляция гармонического сигнала);
/(*) sin2 -£- и· -[2/(ω) - /(ω - ω0) - /(ω + ωο)].

§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
693
с) Найдите преобразования Фурье (или, как говорят, фуръе-образы)
следующих функций:
Ил^-\ 0 при \t\>A
(прямоугольный импульс);
ΠA(t) COS UJot
(гармонический сигнал, промодулированный прямоугольным импульсом);
UA(t + 2A)+nA(t-2A)
(два прямоугольных импульса одинаковой полярности);
nA(t-A)-nA(t + A)
(два прямоугольных импульса разной полярности);
л^ЛИ1-^) ^ κι^
[ 0 при |*| > Л
(треугольный импульс);
cos а*2 и sin а*2 (а > 0);
|*Г* и |*|-^е-а1'1 (о>0).
d) Найдите фурье-прообразы следующих функций:
о;Л Λ. sin2 α; Л Λ . 2 α; Л
sine , 2г —, 2 sine ,
π ωΑ π
где sine ^ := ^^ — функция отсчетов.
e) Используя предыдущие результаты, найдите значения уже
встречавшихся нам интегралов:
оо оо оо оо
/sinύ Ρ sin ύ Ρ Ρ
άχ, / —— άχ, / cosx2dx, / sinx2dx.
—оо —оо —оо —оо
f) Проверьте, что интеграл Фурье функции f(t) можно записать в любом
из следующих видов:
оо оо оо
/(t) ~ f /(ш)еиш άω = γ ί du ί /(х)е~^х-^ dx =
ОО ОО
= — Ι άω Ι $(χ)<:ο$2ω(χ — ί)άχ.
-оо —оо
оо оо

694 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
2. Пусть / = f(x,y)—решение двумерного уравнения Лапласа —£ +
+ —^ =0в полуплоскости ί/^O, удовлетворяющее условиям /(ж,0) = д(х) и
/(я, у) —> 0 при у —> +ос для любого жЕ1.
a) Проверьте, что преобразование Фурье /(£,?/) функции / по
переменной χ имеет вид д(£)е~у№.
b) Найдите фурье-прообраз функции е~у^ по переменной ξ.
c) Получите теперь уже встречавшееся нам (гл. XVII, § 4, пример 5)
представление функции / в виде интеграла Пуассона
+оо
3. Напомним, что п-м моментом функции /: Ε —> С называется вели-
оо
чина Mn(f) = f xnf(x)dx. В частности, если / — плотность распределения
—оо
оо
вероятностей, т.е. f(x) ^ 0 и / f(x)dx = 1, то хо = Μχ(/) есть матема-
—оо
тическое ожидание случайной величины χ с распределением /, а дисперсия
оо
сг2 := j (x — xo)2f(x)dx этой случайной величины представляется в виде
—оо
σ2 = М2(/) - М2(/).
Рассмотрим следующее преобразование Фурье
оо
/(0= / №e-**dx
функции /. Раскладывая е г^х в ряд, покажите, что:
а) /(0 = Σ (~')ηηΥη(/)Γ если, например, / Ε 5.
п=0
b)Mn(/) = (t)n/(n)(0),n = 0,l,...
с) Пусть теперь / вещественнозначна, тогда /(ξ) = Α(ξ)βφ^\ где Α (ξ) —
модуль, а φ (ξ)—аргумент /(ξ), причем Α(ξ) = Α(—ξ) и φ (—ξ) = —φ(ζ)·
Полосе
жим для нормировки, что J f(x)dx = l. Проверьте, что тогда
—оо
/(0 = 1 + ίφ'(0)ξ + А"{0) -^(О» V + ο(ξ2) fc-Ю)
И
хо ■■= Mi(/) = -^'(0), а σ2 = М2(/) - М2(/) = -А"(0).

§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
695
4. а) Проверьте, что функция е~а\х\ (а ^ 0), как и все ее производные,
определенные при χ φ 0, убывает на бесконечности быстрее любой
отрицательной степени переменной \х\ и тем не менее эта функция не принадлежит
классу 5.
Ь) Убедитесь в том, что преобразование Фурье этой функции бесконечно
дифференцируемо на Е, но не принадлежит классу 5 (и все потому, что е~а\х\
не дифференцируема при χ = 0).
5. а) Покажите, что функции класса 5 плотны в пространстве 7^2 (^η> С)
абсолютно интегрируемых с квадратом функций /: Еп —> С, наделенном
скалярным произведением (/,д) = f (/ -~g)(x)dx и порожденными им нормой
Rn
( \1/2
11/11= f\f\4x)dx) и метрикой d(f,g) = ||/ - д\\.
\Rn /
b) Рассмотрим теперь 5 как метрическое пространство (5, d) с указанной
метрикой d (сходимости в смысле среднего квадратичного уклонения на Еп).
Пусть Z/2(Mn,C) или, короче, Z/2—пополнение метрического пространства
(5, d) (см. гл. IX, §5). Каждый элемент / Ε 1/2 определяется
последовательностью {ψΐζ} функций φ^ Ε 5, которая является последовательностью Коши в
смысле метрики d.
Покажите, что тогда и последовательность {φк} фурье-образов
функций φ к является последовательностью Коши в 5 и, следовательно, задает
определенный элемент / Ε 1/2, который естественно назвать преобразованием
Фурье элемента / Ε Ι/2-
c) Покажите, что в Lz естественным образом вводится линейная
структура и скалярное произведение, относительно которых преобразование Фурье
оказывается линейным изометрическим отображением Z/2 на себя.
d) На примере функции f(x) = . можно видеть, что если / Ε
ν ι + χ2
Ε 7г2(М,С), то не обязательно / Ε 7£(R,C). Тем не менее, если / Ε 7£2(M,C),
то, поскольку /—локально интегрируема, можно рассмотреть функцию
А
βΑ(ξ) = -^=Ι f(x)e-^dx.
-А
Проверьте, что fA Ε C(R,C) и fA Ε 7г2(М,С).
e) Докажите, что /л сходится bL2k некоторому элементу / Ε 1/2 и ||/л|| —>
-^ 11/11 — 11/11 ПРИ А ~+ +°° (это — теорема Планшереля1)).
6. Принцип неопределенности. Пусть φ (χ) и ψ(ρ) —функции класса 5 (или
оо
элементы пространства Ζ/2 из задачи 5), причем ψ = φ и J \φ\2(χ)άχ =
—оо
Μ. Планшерель (1885 -1967) —швейцарский математик.

696 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
— / \ψ\2(ρ)<1ρ= 1.Β таком случае функции \φ\2 и \ψ\2 можно рассматривать
—оо
как некоторые плотности распределения вероятностей случайных величин χ
и ρ соответственно.
a) Покажите, что сдвигом по аргументу (специальным выбором начала
отсчета аргумента) функции φ, не меняя величины \\φ\\, можно получить но-
оо
вую функцию φ такую, что Μχ(|(^|2) = f χ\φ\2(χ)άχ = О, а затем, не меняя
—оо
Α^ι(Μ2) — 0) можно аналогичным сдвигом по аргументу функции ψ добиться
оо
того, что Mi(|^|2) = J ρ\ψ\2(ρ) dp = 0.
—оо
b) Рассмотрите при вещественном параметре а величину
оо
/
\αχφ(χ) + φ'(χ)\2 dx ^ 0
и, опираясь на равенство Парсеваля и формулу φ'(ρ) = гр$>(р), покажите, что
α2Μ2(\φ\2) - а + М2(|^|2) ^ 0. (Определения Μλ и М2 см. в задаче 3.)
с) Получите отсюда соотношение
М2(М2) · М2(\ф\2) > 1/4.
Это соотношение показывает, что чем более «сосредоточена» сама
функция φ, тем «размытее» ее преобразование Фурье и обратно (см. в этой связи
примеры 1, 7 и задачу 7Ь).
В квантовой механике это соотношение, называемое принципом
неопределенности, приобретает конкретный физический смысл. Например, нельзя
одновременно измерить точно и координату квантовой частицы, и ее
импульс. Этот фундаментальный факт (называемый принципом
неопределенности Гейзенберга1}), в математическом отношении совпадает с найденным
выше соотношением между М2(|<^|2) и М2(|^|2).
Следующие три задачи дают начальное представление о преобразовании
Фурье обобщенных функций.
7. а) Используя пример 1, найдите спектр сигнала, выражаемого функцией
,β(*) = |ά при И**·
при \t\ > a.
Ь) Проследите за изменением функции Aa(t) и ее спектра при а —> +0
и скажите, каким, по вашему мнению, следует считать спектр единичного
импульса, выражаемого <5-функцией.
^В. Гейзенберг (1901 - 1976) —немецкий физик, один из создателей квантовой
механики.

§3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
697
c) Используя пример 2, найдите теперь сигнал φ(ί) на выходе идеального
фильтра низкой частоты (с верхней граничной частотой а), возникающий как
ответ на единичный импульс δ{ί).
d) Опираясь на полученный результат, истолкуйте теперь физический
смысл членов ряда Котельникова (44) и предложите принципиальную схему
передачи сигнала /(£), имеющего финитный спектр, основанную на формуле
Котельникова (44).
8. Пространство Л. Шварца. Проверьте, что:
a) Если φ Ε 5, а Ρ— полином, то (Ρ · φ) Ε S.
b) Если φ Ε 5, то Όαφ Ε S и Ό@(ΡΌαφ) Ε 5, где а и β— неотрицательные
мультииндексы, а Р — полином.
c) В 5 вводится следующее понятие сходимости. Последовательность {<fk}
функций (fk € S считается сходящейся к нулю, если для любых
неотрицательных мультииндексов α, β последовательность функций {x&Da(pk} сходится
к нулю равномерно на W1. Соотношение φ^ —> φ Ε S будет означать, что
(φ - ч>к) -> о в 5.
Линейное пространство 5 быстро убывающих функций, наделенное
указанной сходимостью, называется пространством Шварца.
Покажите, что если φ^ —> φ в 5, то и (pk —> φ в 5 при к —> ос. Таким
образом, преобразование Фурье является линейным непрерывным
преобразованием пространства Шварца.
9. Пространство S' обобщенных функций умеренного роста. Линейные
непрерывные функционалы, определенные на пространстве 5 быстро
убывающих функций, называют обобщенными функциями медленного или
умеренного роста. Линейное пространство таких функционалов (сопряженное к
пространству 5) обозначают символом S'. Значение функционала F Ε S' на
функции φ Ε S будем записывать символом F((p).
a) Пусть Р: W1 —> С — полином от η переменных, а /: Шп —> С—локально
интегрируемая функция, допускающая на бесконечности оценку \f(x)\ ^
^ |Р(ж)| (т.е., быть может, растущая при χ —> ос, но умеренно: не быстрее,
чем степенным образом). Покажите, что тогда / можно считать (регулярным)
элементом пространства 5', если положить
ί(φ) = Jί(χ)φ(χ)άχ &eS).
Rn
b) Умножение обобщенной функции F Ε 5' на обычную функцию /: Шп —>
-> С определяется, как всегда, соотношением (fF)((p) := F(fip). Проверьте,
что для обобщенных функций класса S' корректно определено умножение не
только на функции / Ε 5, но и на полиномы Р: Шп —> С.
c) Дифференцирование обобщенных функций F Ε S' определяется
традиционным способом: (DaF)(<p) := (-1)^Ρ(Όαφ).

698 ГЛ. XVIII. РЯД ФУРЬЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Покажите, что это определение корректно, т. е. если F Ε S', то и DaF Ε S'
при любом неотрицательном целочисленном мультииндексе а = (αχ,...,ап).
d) Если / и φ достаточно регулярные функции (например, класса 5), то,
как видно из соотношения (36), имеет место равенство
Ηψ) = / f(x)<p(x)dx = / f(x)(p(x)dx = /(φ).
R* R*
Это равенство (Парсеваля) и кладут в основу определения преобразования
Фурье F обобщенной функции F Ε S', полагая по определению, что F((p) :=
= ηψ)-
Благодаря инвариантности пространства 5 относительно преобразования
Фурье, это определение корректно для любого элемента F Ε 5.
Покажите, что оно не является корректным для обобщенных функций
пространства D'(Rn), действующих на пространстве D(En) гладких финитных
функций. Именно этим обстоятельством и объясняется роль пространства 5
Шварца в теории преобразования Фурье и его применении к обобщенным
функциям.
e) В задаче 7 мы получили начальное представление о преобразовании
Фурье J-функции. Преобразование Фурье <5-функции можно было бы
наивно искать прямо по общему определению преобразования Фурье регулярной
функции. Тогда мы нашли бы, что
*«=(^/аде-'(<'',<ь=(^-
Rn
Покажите теперь, что при корректном отыскании преобразования Фурье
обобщенной функции δ Ε 5'(Μη), т.е., исходя из равенства δ(φ) = δ(φ)1
получается (то же самое), что δ(φ) = φ(0) = —72". Итак, преобразование Фурье
(2π)
J-функции есть постоянная функция. (Можно перенормировать
преобразование Фурье так, чтобы эта константа была равна единице, см задачу 10.)
f) Сходимость в 5', как всегда в обобщенных функциях, понимается в
следующем смысле: (Fn -tFbS' при η -> ос) := (\/φ Ε 5(Fn(<^) ->· F((p) при
η —> ос)).
Проверьте формулу обращения (интеграл Фурье) для <5-функции:
А
-А
g) Пусть δ(χ — #о)> как обычно, означает сдвиг <5-функции в точку #о> т.е.
δ(χ — χο)(ψ) = ψ(χο)· Проверьте, что ряд
оо / Ν \
п=—оо \ — Ν /

§ 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
699
сходится в пространстве 5'(К.), (здесь δ Ε S'(R) и η Ε Ζ).
h) Используя возможность почленно дифференцировать сходящийся ряд
обобщенных функций и учитывая равенство из задачи 13f, § 2, покажите, что
оо
если F = Σ 6(х — п), то
F = V2^ ]Г *(я-2тгп).
i) Используя соотношение F(tp) = F(ip), получите из предыдущего
результата формулу Пуассона (39).
j) Докажите следующее соотношение (θ-формула)
Σ e~tn2 = Л Σ е~4п2 («> °)>
играющее важную роль в теории эллиптических функции и теории
теплопроводности.
10. Если преобразование Фурье T\f\ функции /: Ε —> С определить
формулой
/("):=*[/]("):= J f(t)e-2'Mdt,
то многие относящиеся к преобразованию Фурье формулы станут особенно
простыми и изящными.
a) Проверьте, что f(u) = -±=f (^).
b) Покажите, что f[f[f]}(t) = /(-*), т.е.
оо
е2™' ώ/.
Это наиболее естественная форма разложения f(t) по гармоникам
различных частот ι/, а /(ι/) в этом разложении есть частотный спектр функции /.
c) Проверьте, что δ = 1 и 1 = <5.
d) Убедитесь в том, что формула Пуассона (39) теперь принимает
особенно изящный вид
Σ ^(η) = Σ ^(η)·

ГЛАВА XIX
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Большинство явлений, с которыми нам приходится сталкиваться, в
математическом отношении характеризуется некоторым набором
числовых параметров с довольно сложной зависимостью между ними. Однако
описание явления, как правило, существенно упрощается, если
известно, что некоторые из этих параметров или их комбинации очень велики
или, наоборот, очень малы.
Пример 1. При описании относительных движений,
происходящих со скоростями ν, много меньшими скорости света (\v\ <С с), вместо
преобразований Лоренца (гл. I, § 3, пример 3)
χ =
x-vt , _ t - (£) χ
t' =
можно использовать преобразования Галилея
х' — х — vt^ t' — £5
поскольку ν/с « 0.
Пример 2. Период
π/2
Τ = 4χ
ϊ/
>/l-ft2sin20
о
колебаний маятника через параметр к2 = sin2 ^ связан с углом φο
максимального отклонения маятника от положения устойчивого равно-

ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
701
весия (см. гл. VI, § 4). Если колебания малы, т. е. φο « 0, то для периода
таких колебаний получается простая формула
Пример 3. Пусть на частицу массы га действует возвращающая
ее в положение равновесия сила, пропорциональная величине
отклонения (пружина с коэффициентом жесткости &), и сила сопротивления
среды, пропорциональная (с коэффициентом а) квадрату скорости
частицы. Уравнение движения в этом случае имеет вид (см. гл. V, § 6)
тх + ах2 + кх = 0.
Если среда «разрежается», то а —» 0 и, надо полагать, движение
становится близким к описываемому уравнением
тх + кх = 0
(гармонические колебания частоты γ ^), а если среда «густеет», то
а —> оо и, поделив на а, получаем в пределе уравнение х2 = 0, т.е.
x(t) = const.
Пример 4. Если π(χ)—количество простых чисел, не
превосходящих χ £ R, то, как известно (см. гл. III, § 2), при больших значениях χ
величину 7г(х) с малой относительной погрешностью можно находить
по формуле
( \ х
lnx
Пример 5. Куда более тривиальными, но не менее важными
являются соотношения
sinx « χ или 1п(1 + х) « х,
относительная погрешность в которых тем меньше, чем ближе χ к нулю
(см. гл. V, § 3). Эти соотношения при желании могут быть уточнены,
sinx « χ — туя3, 1η(1 + χ) « χ — -ж2,
«3. Δι
приписыванием одного или более следующих членов, получаемых по
формуле Тейлора.

702 ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Итак, задача состоит в том, чтобы найти обозримое, удобное и в
существенном правильное описание изучаемого явления, используя
специфику ситуации, возникающей, когда какой-то характеризующий
явление параметр (или комбинация параметров) мал (стремится к нулю)
или, наоборот, велик (стремится к бесконечности).
Значит, по существу речь снова идет о теории предельного
перехода.
Задачи такого рода называются асимптотическими. Они
возникают, как можно понять, практически во всех отделах математики и
естествознания.
Решение асимптотической задачи обычно состоит из следующих
этапов: выполнение предельного перехода и отыскание (главного
члена) асимптотики, т.е. удобного упрощенного описания явления;
оценка погрешности, возникающей при использовании найденной
асимптотической формулы, и выяснение области ее применимости; уточнение
главного члена асимптотики, аналогичное (но далеко не всегда столь
алгоритмичное) процессу дописывания следующего члена в формуле
Тейлора.
Методы решения асимптотических задач (называемые
асимптотическими методами) обычно весьма тесно связаны со спецификой
задачи. К числу редких достаточно общих и в то же время
элементарных асимптотических методов, конечно, относится формула Тейлора—
одно из наиболее важных соотношений дифференциального исчисления.
Эта глава должна дать читателю начальные представления об
элементарных асимптотических методах анализа.
В первом параграфе мы введем общие понятия и определения,
относящиеся к элементарным асимптотическим методам, а во втором
используем их при изложении метода Лапласа построения
асимптотического разложения интегралов Лапласа. Этот метод, найденный
Лапласом в его исследованиях по предельным теоремам теории
вероятностей, является важнейшей составной частью развитого впоследствии
Риманом метода перевала, излагаемого обычно в курсе комплексного
анализа. Дальнейшие сведения о различных асимптотических методах
анализа можно найти в специальных книгах, цитированных в списке
литературы. В них также имеется обширная бибилиография,
относящаяся к этому кругу вопросов.

§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 703
§ 1. Асимптотическая формула и асимптотический ряд
1. Основные определения
а. Асимптотические оценки и асимптотические равенства.
Начнем для полноты с некоторых напоминаний и пояснений.
Определение 1. Пусть / : X —> Υ и д : X —> Υ — вещественно-,
комплексно- или вообще векторнозначные (в соответствии с природой
множества У) функции, определенные на множестве X, и пусть В—
база в X. Тогда соотношения
/ = 0(g) или f(x) = 0{д{х)) χ е X,
f — 0(g) или f(x) = 0(g(x)) при базе В,
f = о(д) или f(x) = o(g(x)) при базе В
означают по определению, что в равенстве \f(x)\ = a(x)\g(x)\
вещественная функция а(х) является, соответственно, ограниченной на X,
финально ограниченной при базе В и бесконечно малой при базе В.
Эти соотношения обычно называют асимптотическими оценками
(функции /).
Соотношение
f ~ g или f(x) ~ д(х) при базе В,
по определению означающее, что f(x) = д(х) + о(д(х)) при базе В,
называют обычно асимптотической эквивалентностью или
асимптотическим равенством^ указанных функций при базе В.
Асимптотические оценки и асимптотические равенства объединяют
термином асимптотические формулы.
Там, где указание аргумента функции несущественно, принята
сокращенная форма обозначений / = о(д), / = 0(g), или / ~ д, которой
мы уже систематически пользовались.
Если / = 0(g) и одновременно д = 0(f), то пишут /xjh говорят,
что / и д — величины одного порядка при данной базе.
В наших дальнейших рассмотрениях Υ = С или Υ = Щ ХсС, или
ICi; В, — как правило, одна из баз 1Эж-^0 или X Э χ —> оо.
^Полезно иметь в виду также часто употребляемый для обозначения
асимптотических равенств символ ~.

704
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Используя введенные обозначения, можно, в частности, написать,
что
cosx = 0(l), х e R,
cosz^O(l), z e С,
\nez = 1 + z + o(z) при ζ->0, ζ е С,
(1 + χ)α = 1 + ах + о(х) при χ -> 0, χ G R,
X / X \
π(χ) = Ь о ( ) при χ —» +оо, жЕЙ.
lnx Vlnx/
Замечание 1. По поводу асимптотических равенств полезно
заметить, что они являются всего лишь предельными соотношениями,
использование которых в вычислительных целях возможно, но после
дополнительной работы, связанной с оценкой остатка. Об этом мы уже
говорили, обсуждая формулу Тейлора. Кроме того, надо иметь в
виду, что асимптотическая эквивалентность, вообще говоря, позволяет
проводить вычисления с малой относительной, но не малой
абсолютной погрешностью. Так, например, при χ —> +оо разность π(χ) — j^
не стремится к нулю, поскольку при каждом значении х, являющемся
простым числом, функция π(χ) имеет единичный скачок. Вместе с тем,
относительная погрешность от замены π(χ) на j^ стремится к нулю:
-γψγ -> 0 при χ -> +оо.
Это обстоятельство, как мы увидим ниже, приводит к важным в
вычислительном отношении асимптотическим рядам, следящим за
относительной, а не за абсолютной погрешностью приближения и потому
часто расходящимся, в отличие от классических рядов, для которых
абсолютная величина разности между приближаемой функцией и п-й
частичной суммой ряда стремится к нулю при η —> +оо.
Рассмотрим некоторые примеры получения асимптотических
формул.
Пример 6. Трудоемкость вычисления значений п! или Inn!
возрастает при увеличении η £ N. Воспользуемся, однако, тем, что η велико
и получим при этом условии удобную асимптотическую формулу для
приближенного вычисления Inn!

§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 705
Из очевидных соотношений
пг η к η η k+l ηγ
l\nxdx = 2_\ ι ^ηχάχ < y^lnA; < 2Ζ / ^ηχάχ= / lnx
1 k=2k-l k=l k=2 к 2
dx
следует, что
η 2 η+1
Но
0 < Inn! - / \nxdx < / \nxdx + / \nxdx < 1η2(η + 1).
1 1 η
η
/ Inxdx = η(1ηη — 1) + 1 = η Inn — (η — 1),
1
поэтому при η —> οο
η
Inn! = j\nxdx + 0{\n2(n+l)) =
= nlnn — (η — 1) + O(lnn) = nlnn + 0(n).
Поскольку 0(п) = o(nlnn), когда η —> +oo, относительная
погрешность формулы Inn! w nlnn стремится к нулю при η —> +оо.
Пример 7. Покажем, что при χ —> +оо функция
fn(x)= I -dt (пеЩ
ι
асимптотически эквивалентна функции дп(х) = х~пех. Поскольку
9п{х) —> +оо при χ —» +оо, то, применяя правило Лопиталя, находим,
что
lim щ= lim щ= lim «-«■ =1.
Пример 8. Найдем поточнее асимптотическое поведение
функции
X
Г е4
/(ЯГ) = у ydt,
1

706
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
которая лишь постоянным слагаемым отличается от интегральной
экспоненты
χ
Ei(ar) = ί -dt.
— ОО
Интегрируя по частям, получаем
1 1
ι
, /0! 1! 2! (п-1)!\|ж f n!e* ,
= ^(τ + ? + ? + ··· + 1-Η-)|1 + /ϊ=τγλ·
Последний интеграл, как показано в примере 7, есть 0(х~(п+1)ех)
при χ —» +оо. Включая в 0(х~(п+1)ех) еще и получаемую при подста-
п
новке t = 1 постоянную — е ]П (& — 1)!, находим, что
к=\
Погрешность О ( -щгг) приближенного равенства
к=\
асимптотически бесконечно мала по сравнению с каждым, в том числе
и последним, членом написанной суммы. Вместе с тем, при χ —> +оо
каждый следующий член суммы есть бесконечно малая в сравнении с
предшествующим членом, поэтому естественно написать
неограниченную уточняющуюся последовательность подобных формул в виде ряда,
порожденного функцией /:
fc=l

§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 707
Отметим, что этот ряд, очевидно, расходится при любом значении
χ £ R, поэтому нельзя писать
к=1
Таким образом, мы имеем здесь дело с некоторым новым и явно
полезным асимптотическим пониманием ряда, связанным, в отличие
от классического случая, с относительным, а не абсолютным
приближением рассматриваемой функции. Частичные суммы такого ряда, в
отличие от классического случая, используются не столько для
приближения значения функции в конкретных точках, сколько для описания
коллективного поведения значений функции при рассматриваемом
предельном переходе (который в нашем примере состоял в стремлении χ
к +оо).
Ь. Асимптотическая последовательность и
асимптотический ряд
Определение 2. Последовательность асимптотических формул
/(*) =Ψο(χ)+ο(ιΙ>ο(χ)),
f{x) = фо{х) + Ψι{χ) + ο{ψι{χ)),
f{x) = ψο(χ) + φι(χ) + ... + φη(χ) + ο{ψη{χ)),
справедливых при некоторой базе В в множестве X, где определены
рассматриваемые функции, записывают в виде соотношения
f(x) ~ ^о(я) + Ψι(χ) + ···+ Фп(х) + · · ·
оо
или, короче, в виде f(x) ~ ]П Фк{%) и называют асимптотическим
к=0
разложением функции f при данной базе В.
Из этого определения видно, что в асимптотическом разложении
всегда
о(фп(х)) = ψη+ι(χ) + ο(ψη+ι(χ)) при базе В
и, значит, при любом значении η = 0,1,...
ψη+ι(χ) = ο(ψη(χ)) при базе В,

708
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
т.е. каждый следующий член разложения доставляет поправку,
асимптотически более тонкую по сравнению с предшествующим членом.
Асимптотические разложения обычно появляются в виде линейной
комбинации
<Wo(#) + с\Ч>\{х) + ... + οηψη{χ) + ...
функций той или иной удобной для конкретной задачи
последовательности {</>п
(доопределение 3. Пусть X — множество с заданной в нем базой В.
Последовательность {φη{χ)} определенных на X функций называется
асимптотической последовательностью при базе В, если φη+\(χ) =
= ο(φη(χ)) при базе В (каковы бы ни были два соседние члена φη, φη+ι
этой последовательности) и если на любом элементе базы В ни одна из
функций ψη £ {φη{χ)} не равна нулю тождественно.
Замечание 2. Условие, что (<^п|б)(#) Ψ 0 на элементах В
базы В естественно, поскольку в противном случае все функции φη+ι,
φη+2, · · · были бы равны нулю тождественно на В и система {φη}
оказалась бы в асимптотическом отношении тривиальной.
Пример 9. Следующие последовательности, очевидно, являются
асимптотическими:
a) Ι,χ,χ2,... ,хп,·... при χ —> 0;
b) 1, |, \,..., -L,... при χ -> оо;
с\ ТР1 ТР2 тРп
при базе χ —> 0, если р\ < р2 < ... < рп < · · ·,
при базе χ —> оо, если р\ > р2 > ... > рп > · · ·;
d) последовательность {д(х)(рп(х)}, полученная из асимптотической
умножением всех ее членов на одну и ту же функцию.
Определение 4. Если {φη} — асимптотическая
последовательность при базе #, то асимптотическое разложение вида
f(x) ~ съ(ръ(х) + ci(pi(x) + ... + Сп<рп(х) + · · ·
называется асимптотическим разложением или асимптотическим
рядом функции f по асимптотической последовательности {φη} при
базе В.
Замечание 3. Понятие асимптотического ряда (применительно к
степенным рядам) было сформулировано Пуанкаре (1886), активно ис-

§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 709
пользовавшего асимптотические разложения в своих исследованиях по
небесной механике, но сами асимптотические ряды, как и некоторые
методы их получения, встречались в математике еще раньше. По
поводу возможного обобщения понятия асимптотического разложения в
смысле Пуанкаре (которое мы изложили в определениях 2-4) см.
задачу 5 в конце параграфа.
2. Общие сведения об асимптотических рядах
а. Единственность асимптотического разложения. Говоря об
асимптотическом поведении функции при некоторой базе #, мы
интересуемся лишь характером предельного поведения функции, поэтому если
какие-то две, вообще говоря, различные, функции / и д совпадают на
некотором элементе базы #, то они имеют одинаковое асимптотическое
поведение при базе Вив асимптотическом смысле должны считаться
совпадающими.
Далее, если заранее фиксировать асимптотическую
последовательность {ψη}, по которой желательно вести асимптотическое разложение,
то надо считаться с ограниченными возможностями любой такой
системы функций {ψη}- А именно, найдутся функции, которые при данной
базе бесконечно малы в сравнении с любым членом ψη асимптотической
последовательности {ψη}·
Пример 10. Пусть ψη{χ) = Дг? η = 0,1,..., тогда е~х = ο(φη(χ))
при χ —> +оо.
Таким образом, естественно принять
Определение 5. Если {ψη{ζ)}— асимптотическая
последовательность при базе #, то функция / такая, что для каждого η = 0,1,...,
f(x) = ο(φη(χ)) при базе #, называется асимптотическим нулем
относительно последовательности {ψη{χ)}·
Определение 6. Функции / и g будем называть асимптотически
совпадающими при базе В относительно последовательности
функций {ψη}, асимптотической при базе #, если разность / — g этих
функций является асимптотическим нулем относительно
последовательности {ψη}.
Утверждение 1 (о единственности асимптотического
разложения). Пусть {ψη}—асимптотическая последовательность функций

710
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
при некоторой базе В.
a) Если функция f допускает асимптотическое разложение по
последовательности {ψη} при базе В, то это разложение единственно.
b) Если функции fug допускают асимптотическое разложение по
системе {ψη}, то эти разложения идентичны в том и только в том
случае, когда функции fug асимптотически совпадают при базе В
относительно последовательности {ψη}·
< а) Пусть функция φ не равна нулю тождественно на элементах
базы В.
Покажем, что если f(x) = ο(ψ(χ)) при базе В и одновременно f(x) =
= cψ(x) + ο(ψ(χ)) при базе #, то с = 0.
Действительно, \f{x)\ ^ 1С(/К#)| — |о((¥>(ж))| — 1С11^(^)1 ~ °{\ψ{χ)\)
при базе #, поэтому, если \с\ > 0, то найдется элемент В\ базы #, в
любой точке которого будет выполнено неравенство |/(х)| ^ ψ|<^(χ)|.
Если же f(x) = ο(ψ(χ)) при базе #, то найдется элемент £?2 базы #,
в любой точке которого \f(x)\ ^ ψ|ν>(#)|· Значит, в любой точке χ £
£ В\ П£?2 должно быть выполнено неравенство ψ|</?(#)| ^ ν·|</?(#)| или,
в предположении, что \с\ Φ 0 неравенство 3|</?(х)| ^ 2|</?(х)|. Но это
невозможно, если φ(χ) Φ 0 хотя бы в одной точке χ £ В\ Π £?2·
Рассмотрим теперь асимптотическое разложение функции / по
последовательности {ψη}-
Пусть f(x) = cwq(x) + ο(ψο{χ)) и f(x) = Ζοψο(χ) + ο(ψο{χ)) при
базе В. Вычитая второе равенство из первого, получаем, что 0 = (со -
— с0)<ро{х) + ο(ψο(χ)) при базе В. Но 0 = ο(ψο(χ)) при базе #, значит, по
доказанному со — со = 0.
Если совпадение коэффициентов со = со,... ,cn_i = cn-i двух
разложений функции / по системе {ψη} уже доказано, то из равенств
f(x) = cwo(x) + ... + Cn-ιψη-Λχ) + θηψη(χ) + ο(φη(χ)),
f(x) = CWq(x) + . . . + Cn-Ιψη-Λχ) + Οηψη{χ) + θ(ψη{χ))
тем же способом получаем, что и сп = сп.
Ссылаясь на принцип индукции, заключаем, что утверждение а)
верно.
Ь) Если при любом η = 0,1,... f(x) = co^o(^) + · · · + ^ηψη{χ) +
+ ο(ψη{χ)) и g(x) = со</?о(#) + · · · + θηψη{χ) + ο(ψη{χ)) при базе В, то при
любом η = 0,1,... f(x) — g(x) = ο(ψη{χ)) при базе #, и, значит, фун-

§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 711
кции /ид асимптотически совпадают относительно асимптотической
последовательности {φη(χ)}-
Обратное утверждение следует из а), поскольку асимптотический
нуль, в качестве которого мы возьмем разность / — #, должен иметь
только нулевое асимптотическое разложение. ►
Замечание 4. Мы обсудили вопрос о единственности
асимптотического разложения. Подчеркнем, однако, что само по себе
асимптотическое разложение функции по заданной наперед асимптотической
последовательности возможно далеко не всегда. Не всегда же две
функции / и д вообще должны быть связаны одним из асимптотических
соотношений / = 0(g), f = о(д), или / ~ д при базе В.
Довольно общая асимптотическая формула Тейлора, например,
указывает конкретный класс функций (имеющих при χ = О производные
до порядка π), каждая из которых заведомо допускает
асимптотическое представление
№ = /(0) + ^/'(0)* +... + ±/пЧо)*п + ο(χη)
при χ —> 0. Но вот уже функции х1/2 нельзя дать асимптотическое
разложение по системе Ι,χ,χ2,... Таким образом, асимптотическую
последовательность и асимптотическое разложение не следует
отождествлять с некоторым каноническим базисом и разложением по нему
любой асимптотики. Возможных видов асимптотического поведения
много больше того, что может описать фиксированная
асимптотическая последовательность, поэтому описание асимптотического
поведения функции—это не столько разложение по заранее заданной
асимптотической системе, сколько ее отыскание. Нельзя, например,
вычисляя неопределенный интеграл от элементарной функции, заранее
требовать, чтобы ответ был композицией определенных элементарных
функций, потому что он вообще может не быть элементарной
функцией. Поиск асимптотических формул, подобно вычислению
неопределенных интегралов, представляет интерес лишь в той степени, в какой
ответ проще и доступнее для исследования, чем исходное выражение.
Ь. Допустимые действия с асимптотическими формулами.
Элементарные арифметические свойства символов о и О (такие, как
о(д) + о(д) = о(д), о{д) + 0(g) = 0(g) + 0(g) = 0(g) и т. п.) были рассмо-

712
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
трены еще в теории предела (гл. III, § 2, утверждение 4). Из этих свойств
и определения асимптотического разложения вытекает очевидное
Утверждение 2 (о линейности асимптотических разложений).
Если функции fug допускают асимптотические разложения f ~
оо оо
— Σ αηψη, 9 — Σ ^ηψη по асимптотической последовательности
п=0 п=0
{ψη} при базе В, то их линейная комбинация af + Pg также допуска-
оо
ет такое разложение, причем (af + Pg) ~ ]П (ααη + β^η)ψη·
η=0
Дальнейшие свойства асимптотических разложений и вообще
асимптотических формул будут относиться ко все более специальным
случаям.
Утверждение 3 (об интегрировании асимптотических равенств).
Пусть f—функция, непрерывная на промежутке I = [α;ω[ (или на
промежутке Ι = ]α;,α]).
a) Если функция д(х) непрерывна, неотрицательна на
промежутка
ке I, а интеграл f g(x)dx расходится, то из соотношений
а
f(x) = 0(g(x)), f(x) = o(g(x)), f(x)~g(x) при I Э χ -> ω
вытекает соответственно, что
F(x) = 0(G(x)), F(x) = o(G(x)) и F(x) ~ G(x),
где
X X
F(x) = I f(t)dt и G{x) = ! g(t) dt.
a a
b) Если непрерывные положительные на промежутке I = [α,ω[
функции φη(χ), η = 0,1,..., образуют асимптотическую последова-
ω
тельность при I Э χ —> ω, а интегралы Фп(х) — /ψη(^)άί при χ £ I
X
сходятся, то функции Фп(х), η = 0,1,... тоже образуют
асимптотическую последовательность при I Э χ —> ω.
ω
c) Если интеграл Т(х) = f f(x)dx сходится и функция f име-
X
оо
ет асимптотическое разложение f(x) ~ ]П 0ηψη(χ) при I Э χ —> ω
η=0

§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 713
по указанной в Ъ) асимптотической последовательности {φη{χ)}> то
оо
для Τ справедливо асимптотическое разложение Т(х) — Σ спФп(х).
п=0
< а) Если f(x) = 0(g(x)) при I Э х —> ω, то найдутся точка xo £ /
и постоянная Μ такие, что \f{x)\ ^ Мд(х) при χ £ [хсьЦ- Значит, при
χ £ [хсьЦ имеем
Sf(t)dt
<
xo
+ М fg{t)dt = 0[fg{t)dt
xo
\If(t)dt\
Ι α Ι
Для доказательства оставшихся двух соотношений можно
воспользоваться (как и в примере 7) правилом Лопиталя, учитывая, что G(x) =
χ
= f g(t) dt —> оо при 7 Э χ —> ω. Β результате получим, что
α
Л. F(x) Л. F'(x) л. f{x)
lim —— = hm = lim ——-.
/Эж-Ю> G(X) Ι3χ^ω G'(x) Ι3χ^ω g(x)
b) Поскольку Фп(х) —> 0 при J э х —> ω (η = 0,1,...), то, вновь
применяя правило Лопиталя, находим, что
lim %#= lim %#= lim ^±# = 0.
c) Функция гп(х) в соотношении
f(x) = съ(ръ(х) + θιψι(χ) + ... + cnipn{x) + rn(x),
как разность непрерывных на / функций, сама непрерывна на I и, оче-
ω
видно, Rn(x) = frn(t)dt —> 0 при I Э х —> ω. Но гп(х) = ο(φη(χ)) при
χ
I Э χ —> ω и Фп(х) —> 0 при I Э х —> ω, поэтому из того же правила
Лопиталя следует, что в равенстве
Т(х) = с0Ф0(х) + βιΦι(χ) + ... + спФп(х) + Rn{x)
величина Rn(x) есть о(Фп(х)) при I э х —> ω. ►
Замечание 5. Дифференцирование асимптотических равенств и
асимптотических рядов, вообще говоря, незаконно.
Пример 11. Функция f(x) = e~xsin(ex) непрерывно
дифференцируема наКи является асимптотическим нулем относительно
асимптотической последовательности \-^\ при χ —> +оо. Производные от

714
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
функций — снова с точностью до множителя имеют вид -т-, однако
χη β χ
функция /'(#) = —exsin(ex) + cos(ex) не только не является
асимптотическим нулем, но вообще не имеет асимптотического разложения по
последовательности \ — > при χ —> +оо.
3. Степенные асимптотические ряды. Остановимся в
заключение на степенных асимптотических разложениях, которые
встречаются особенно часто, хотя порой и в некотором обобщенном виде, как
это было в примере 8.
Мы будем рассматривать разложения по последовательности {хп\
η = 0,1,...}, асимптотической при χ —> 0, и по последовательности
<—;n = 0,l,... k асимптотической при х —> оо. Поскольку с
точностью до замены χ = - это один и тот же объект, мы сформулируем
очередное утверждение только для разложений по первой
последовательности и отметим затем специфику некоторых из приводимых
формулировок в случае разложений по второй последовательности.
Утверждение 4. Пусть 0 — предельная точка множества Е, и
пусть
f(x) ~ а0 + а\х + а2х2 + ... ,
д(х) ~ Ь0 + Ъ\х + Ь2х2 + ...
при Ε Э χ ->■ 0.
Тогда при Ε Э χ -> 0
оо
a) (α/ + β9)(χ) ~ £ («an + pbn)xn;
п=0
оо
b) (f-g)(x) ^ Σ спХп, гдесп = a0bn + aibn-i + .. . + anb0, n = 0,1,...;
η=0
c) ec/m Ьо Φ 0, mo (£) (χ) ~ ]Π dn^n^ где коэффициенты dn нахо-
дятся из рекуррентных соотношений
а0 = bodo, а\ = bo^i + bid<b · · · ? ап — /Z bkdn~k^ · · · 5
fc=o
d) еа/ш £7 — проколотая окрестность или полуокрестность точ-

§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 715
ки О, a f непрерывна на Е, то
X
J 2 π
о
е) если в дополнение к условиям d) / £ С^1\Е) и
f'(x) ~a,Q + a[x + ...,
то о!п — (п + 1)αη+ι, η = 0,1,...
^ а) Это частный случай утверждения 2.
b) Используя свойства символа о( ) (см. гл. III, §2, утверждение 4),
получаем, что
(f-g)(x) = f(x)-g{x) =
= (α0 + ахх + ... + апхп + о{хп)){Ь0 + Ьгх + ... + Ьпхп + о(хп)) =
= {a0bo) + {aoh + aib0)x + ... + {а0Ьп + а\Ьп-\ + ... + anbo)xn + о(хп)
при Ε Э χ -> 0.
c) Если Ьо 7^ 0, то g(x) φ 0 при х, близких к нулю, поэтому
можно рассматривать отношение ^ψ\ — h(x). Проверим, что если в
представлении h(x) = do + d\x + ... + dnxn + rn(x) коэффициенты do,...,
dn выбраны в соответствии с утверждением с), то гп(х) = о(хп) при
Ε Э χ —> 0. Из тождества f(x) = g(x)h(x) получаем, что
ао + а\х + ... + апхп + о(хп) =
= {Ъ0 + Ь1х + ... + Ьпхп + o(xn))(d0 + dix + ...+ dnxn + rn{x)) =
= (Ьо^о) + (bo^i + bido)x + ... + {bodn + bidn-i + · · · + bndo)xn +
+ b0rn{x) + o{rn(x)) + o(xn),
откуда следует, что о(хп) = born(x) +o(rn(x)) +o(xn) или rn(x) = o(xn)
при Ε э х —> 0, поскольку bo φ 0.
d) Это вытекает из утверждения Зс), если положить там ω = 0 и
0 χ
вспомнить, что — / f(t)dt = f f(t) dt.
χ 0
e) Поскольку функция }'{х) непрерывна на ]0,х] (или [х,0[) и огра-
х
ничена (стремится к а'0 при χ —> 0), то интеграл f f'(x)dt существует.
о

716
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Очевидно, f(x) = ао + f f'(t)dt, так как f(x) —> ао при χ —> 0. Под-
о
ставляя в это равенство асимптотическое разложение f'(x) и пользуясь
доказанным в d), получаем, что
f(x) ~а0 + а'0(х) + °±х2 + ... + °^хп + ...
Δ Π
Из единственности асимптотического разложения (утверждение 1)
следуют теперь соотношения о!п — (п+ 1)αη+χ, η = 0,1,... ►
Следствие 1. Если U — окрестность (полуокрестность)
бесконечности eR, й функция f непрерывна в U и имеет асимптотическое
разложение
}(х) ~ аоН 1--9+... + — + ... при U Э χ -> оо,
χ xz хп
то взятый по лежащему в U промежутку интеграл
оо
П*) = J (/(<) - «о - у) dt
X
сходится и имеет следующее асимптотическое разложение:
>(х) ~ h тгт + · · · Η + · · · при и Э χ -> оо.
ν у χ 2х2 пхп
Л Сходимость интеграла очевидна, поскольку
f(t) - ао - — ~ -J при U Э t -> оо.
Остается, ссылаясь, например, на утверждение 3d),
проинтегрировать асимптотическое разложение
/(*) -ао-у-^" + ^з" + ... + — ... при U3t->oo. ►
Следствие 2. £с/ш β дополнение к условиям следствия 1
известно, что f £ С^1^?/), м /' допускает асимптотическое разложение
f'{x) ~ an + — + % + ... + % + ... тг/ж С/ Э ж -> оо,
χ χζ хп

§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 717
то это разложение можно получить формальным
дифференцированием разложения функции f, причем
ап = — (п — 1)αη_χ, η = 2,3,... и α0 = αχ = 0.
Л Поскольку f'{x) = a'0 + ^+ 0(1/'χ1) при U Э χ —> оо, то
/(ж) = f{xQ) + I f'(t) dt = α'0ζ + αΊ In a; + 0(1)
xo
при 17 Э х —> оо, и так как /(х) ~ αο + ^τ + ^§ + · · · 5 а последовательность
х,1пх,1,-,~2,... асимптотическая при U Э χ —> оо, утверждение 1 ΠΟ-
зволяет заключить, что а'0 = а!х = 0. Теперь, интегрируя разложение
/'(я) ~ ^| + ^| + ..., в силу следствия 1 получаем разложение функции
X X
/(х), и на основании единственности разложения приходим к
соотношениям а'п = — (п — 1)αη-ι при π = 2, 3,... ►
Задачи и упражнения
оо
1. а) Пусть h(z) = Σ αηΖ~η при \ζ\ > Μ, χ Ε С. Покажите, что тогда
η=0
оо
ft(z) ~ Σ αηζ~η при С Э ζ -> оо.
п=0
b) Считая, что искомое решение у(х) уравнения у'(х) + у2(х) = sin -^ при
оо
χ —> оо имеет асимптотическое разложение у(х) ~ Σ спХ~п\ найдите первые
п=0
три члена этого разложения.
оо
c) Докажите, что если f(z) = Σ αηΖη при \ζ\ < г, ζ Ε С, a ^(z) ~ 6ιζ +
η=0
+ b2Z2 + ... при С Э ζ —> О, то в некоторой проколотой окрестности точки
О Ε С определена функция fogn (fog)(z) ~ cq + с\ζ + C2Z2 +... при С Э ζ —> О,
где коэффициенты cq, ci, ... получаются подстановкой ряда в ряд так же, как
и для сходящихся степенных рядов.
2. Покажите, что:
a) Если / — непрерывная, положительная и монотонная функция при χ ^ О,
то
пг, П
П я
J2f(k)= / f(x)dx + 0(f(n))+0(l) при п-юо;
к=о {
b) Σ г = Inn + с + o(l) при η —> ос.
*=1

718
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
с) Σ ka{\iikf ~ "^fi"^ при η -+ оо и а > -1.
3. Интегрированием по частям найдите асимптотические разложения при
χ —> +оо следующих функций:
+оо
a) Ts(x) = J ts~1e~t dt—неполная гамма-функция;
X
ι * _ 2
b) erf (ж) = —т= J e~l dt—функция вероятности ошибок (напомним, что
* —х
оо 2
j e~x dx = ν/π — интеграл Эйлера-Пуассона);
—оо
+°° г*
c) F(x) = f jG-dt, если α > 0.
4. Используя результат предшествующей задачи, найдите
асимптотические разложения при χ —> +оо следующих функций:
X . ОО .
a) Si(#) = / ^- dt — интегральный синус (напомним, что f Щ]^ dx = ^ —
о о
интеграл Дирихле);
X X
b) С(х) = f cos ^t2 dt, S(x) = /sin^i2di — интегралы Френеля (напо-
b о
+ 00 ОО у
мним, что J* cosar2 dx = f sinar2 dx = ^у? )·
О 0 V
5. Эрдейи1) принадлежит следующее обобщение введенного Пуанкаре и
рассмотренного выше понятия разложения по асимптотической
последовательности {ψη(χ)}>
Пусть X — множество, В— база в Χ, {φη(χ)}— асимптотическая при
базе В последовательность функций на X. Если заданные на X функции /(ж),
гро(х)1гр1 (х)1гр2(х)1... таковы, что для любого η = О,1,... имеет место
равенство
η
/о*о= Σψ*(χϊ+°(^(ж)) при базе β>
k=0
то пишут
f(x) ~ Σ Ψη(χ), {ψη(χ)} при базе В
п=0
и говорят, что имеется асимптотическое в смысле Эрдейи разложение
функции / при базе В.
a) Обратите внимание на то, что в задаче 4 вы получили разложения
асимптотические в смысле Эрдейи, если считать φη(χ) — х~п, η = 0,1,...
b) Покажите, что асимптотические в смысле Эрдейи разложения не
обладают свойством единственности (функции ψη можно менять).
А. Эрдейи (род. 1908)—английский математик.

§ 1. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА И АСИМПТОТИЧЕСКИЙ РЯД 719
с) Покажите, что если заданы множество X, база В в X, функция / на X
и последовательности {μη(χ)} и {φη(χ)}, вторая из которых является
асимптотической при базе β, то разложение
оо
f(x) ~ Σ ο>ημη(χ)·> {ψη(χ)} при базе β,
η=0
где ап — числовые коэффициенты, либо вообще невозможно, либо единственно.
6. Равномерные асимптотические оценки.
Пусть X — множество, В χ—база в X, и пусть /(ж,?/), д(х,у)—
определенные на множестве X и зависящие от параметра у Ε Υ (векторнозначные)
функции. Положим \f(x,y)\ = a(x,y)\g(x,y)\. Говорят, что асимптотические
соотношения
f(x,y) = o(g(x,y)), f(x,y) = 0{д{х,у)), f(x,y) ~ д(х,у)
при базе В χ равномерны по параметру у на множестве У, если
соответственно а(х,у) =4 0 на Υ при базе βχ, а(х,у) равномерно по у Ε Υ финально
ограничена при базе Βχ и, наконец, f = а · д + о(д), где а(х,у) =4 1 на Υ при
базе Βχ.
Покажите, что если в множестве Χ χ Υ ввести базу В — {Вх χ Υ}, элементы
которой суть прямые произведения элементов Вх базы В χ и множества Υ, то
указанные определения соответственно равносильны тому, что
f(x,y) = o(g(x,y)), f(x,y) = 0(д(х,у)), f(x,y) ~ д(х,у)
при базе В.
7. Равномерные асимптотические разложения.
Асимптотическое разложение
оо
f(x,y) ~ Σ ап(у)<Рп(х) при базе Βχ
п=0
называется равномерным относительно параметра у на множестве У, если
в равенствах
η
f(x,y) = 5^ал(2/)^л(ж) + гп(я:,2/), η = 0,1,...
имеет место равномерная по у е Υ оценка гп(х,у) = ο(φη(χ)) при базе Βχ в
множестве X.
а) Пусть Υ — измеримое (ограниченное) множество в Шп, и пусть при
каждом фиксированном значении χ Ε Χ функции f(x,y),a>o(y),ao(y),...
интегрируемы на Υ. Покажите, что если при этих условиях асимптотическое раз-
оо
ложение f(x,y) ^ Σ ап(у)<Рп(х) при базе Βχ равномерно по параметру у е У,
п=0

720
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
то справедливо также асимптотическое разложение
/ f(x,y)dy - ]ζ / a<n(y)dy φη(χ) при базе Βχ.
Υ η=0 \Υ J
b) Пусть У = [c,d| С I Предположим, что функция f(x,y) при каждом
фиксированном χ Ε X непрерывно дифференцируема по у на отрезке Υ и при
некотором уо Ε Υ допускает асимптотическое разложение
оо
ί(χ,νο)^^2ο,η{νο)ψη(χ) при базе βχ.
п=0
Докажите, что если при этом имеет место равномерное по у Ε Υ
асимптотическое разложение
Ё1
ду
(х,у) ~ Σ αη(υ)ψη(χ) при базе Βχ
η—О
с непрерывными по у коэффициентами ап(у)1 η = 0,1,..., то исходная фун-
оо
кция f(x,y) имеет асимптотическое разложение f(x,y) — Σ ο>η{ν)φη{χ) при
п=0
базе Βχ, равномерное по у е У, его коэффициенты ап(у), η = 0,1,..., гладко
на промежутке Υ зависят от у и -^(у) = ап(у).
8. Пусть р(х) —гладкая, положительная на отрезке с ^ χ ^ d функция.
a) Решите уравнение ^-|(ж,А) = Х2р(х)и(х,X) в случае, когда р(х) ξ 1
на [c,d].
b) Пусть 0 < га ^ р(х) ^ Μ < +ос на [с, d], и пусть w(с, λ) = 1, ^(с, λ) = 0.
Оцените снизу и сверху величину и(х,Х) при χ Ε [c,d].
оо
c) Считая, что 1пи(ж,Л) ~ ^ сп(х)\1~п при λ ->· +ос, где co(x),ci(x),...
п=0
— гладкие функции, и, пользуясь тем, что (^-1 = —-— (^-1 , покажите, что
С'02(Х) =Р(Х) И (<_! + £ 4 ■ <-*) (*) = 0.
V к=о /
§ 2. Асимптотика интегралов (метод Лапласа)
1. Идея метода Лапласа. В этом параграфе будет изложен
метод Лапласа — один из немногих достаточно общих методов
построения асимптотики интеграла, зависящего от параметра. Мы ограничим-

§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 721
ся рассмотрением интегралов вида
б
F(X) = Jf(x)exs^dx, (l)
α
где S(x)— вещественнозначная функция, а λ — параметр. Такие
интегралы обычно называют интегралами Лапласа.
Пример 1. Преобразование Лапласа
+оо
£(/)«)= / f(x)e-t*dx
о
является частным случаем интеграла Лапласа.
Пример 2. Сам Лаплас применял свой метод к интегралам вида
б
/ f(x)(pn(x)dx, где η £ Ν, а φ (χ) > 0 на ]α,6[. Такой интеграл тоже
α
является частным случаем общего интеграла Лапласа (1), поскольку
φη(χ) = ехр(п\пср(х)).
Нас будет интересовать асимптотика интеграла (1) при больших
значениях параметра λ, точнее, при λ —> +оо, λ £ R
Чтобы при описании основной идеи метода Лапласа не отвлекаться
на второстепенные детали, будем считать, что в интеграле (1) [а, Ь] =
= I— конечный отрезок, функции f(x) и S(x) гладкие на /, причем
S(x) имеет единственный, и притом строгий, максимум S(xo) в
точке хо £ /. Тогда функция exp(XS(x)) тоже имеет строгий максимум в
точке #05 который тем более резко возвышается над остальными
значениями этой функции на отрезке /, чем больше значение параметра λ.
В результате, если f(x) ψ 0 в окрестности хо5 то весь интеграл (1)
можно заменить интегралом по сколь угодно малой окрестности
точки £о5 допуская при этом относительную погрешность, стремящуюся к
нулю при λ —> +оо. Это наблюдение называется принципом
локализации. Обращая историческую последовательность событий, можно
было бы сказать, что этот принцип локализации для интегралов Лапласа
очень напоминает принцип локального действия ί-образных семейств
функций и самой ί-функции.

722
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Теперь, когда интеграл берется только по малой окрестности
точки хо5 функции f(x) и S(x) можно заменить главными членами их
тейлоровских разложений при I Э χ —> #ο·
Остается найти асимптотику получаемого канонического
интеграла, что делается без особого труда.
В последовательном выполнении этих этапов и состоит по существу
метод Лапласа отыскания асимптотики интеграла.
Пример 3. Пусть хо = a, S'(a) φ О и /(а) ^ О, что бывает,
например, когда функция S(x) монотонно убывает на отрезке [а, Ь]. При этих
условиях f(x) = f(a) + о(1) и S(x) = S(a) + (χ - a)S'(a) + o(l), когда
J Э χ —> а. Реализуя идею метода Лапласа, при малом ε > 0 и λ —> +оо
находим, что
α+ε
F{\) ~ J f(x)exs^ dx ~ f(a)exs^ />5» dt =
_ /(α)β^) Λ5,(α)
~ XS'(a) (l '■
Поскольку Sf(a) < 0, отсюда следует, что в рассматриваемом случае
f(a)exsW
ΕΜ—ΛάίαΓ'"",Χ^+Χ- (2)
Пример 4. Пусть а < хо < Ь. Тогда S'(xo) = 0, и мы
предположим, что S"(xo) φ 0, т.е. S"(xo) < 0, поскольку #о — точка максимума.
Используя разложения f(x) = f(xo) + о(х — хо) и S(x) = S(xo) +
+ ^S,f(xo)(x — хо)2 + о((х — хо)2)5 справедливые при χ —> χο> находим,
что при малом ε > 0 и λ —> +оо
хо+е ε
F{\) ~ / f(x)exs^ dx ~ /(x0)eAS(lo) f еИ"(*о)*2 dt.
xq—s
Выполнив в последнем интеграле замену переменной ^XS"(xo)t2 =
= —и2 (ведь S"(xo) < 0), получаем
φ(Χ,ε)
/«^*-f лй=> / '"*"
-V(V)

§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 723
где φ(\, ε) = J-xs"^e -> +оо при λ -> +оо.
Учитывал, что
/ е и2 du = y/π,
—оо
находим теперь главный член асимптотики интеграла Лапласа в
рассматриваемом случае:
"т ~ fjEa'to**"' ■*-*-»-*»·
(3)
Пример 5. Если хо = а, но S'(xo) = О и S"(xo) < О, то, рассуждая,
как и в примере 4, на сей раз получим, что
α+ε ε
F{\) ~ / f{x)exs^ dx ~ /(s0)eAS(xo) /e^5"^»2 dt,
и, значит,
F<A) ~ if A^b/(l°)eAS(*°) ΠΡ" λ "* +0°· <4)
Мы получили на эвристическом уровне три наиболее
употребительные формулы (2)-(4), относящиеся к асимптотике интеграла (1)
Лапласа.
Из приведенных рассмотрений ясно, что метод Лапласа с успехом
можно использовать при исследовании асимптотики любого интеграла
f(x,\)dx при λ —> +оо, (5)
X
если: а) для этого интеграла имеет место принцип локализации (т. е.
весь интеграл можно заменить эквивалентным ему при λ —> +оо
интегралом, взятым по сколь угодно малым окрестностям некоторых
выделенных точек) и Ь) если в локализованном интеграле подынтегральную
функцию удается заменить более простой, для которой асимптотика, с
одной стороны, совпадает с искомой, а с другой стороны, легко
находится.

724
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Если, например, в интеграле (1) функция S(x) имеет на отрезке
[а, Ь] несколько точек локального максимума £(ьжъ · · · ,χη, το5
используя аддитивность интеграла, заменим его с малой относительной
погрешностью суммой таких же интегралов, но взятых по столь малым
окрестностям U(xj) точек максимума £(ь#ъ · · · >#η, что в них
содержится только по одной такой точке. Асимптотика интеграла
/ f(x)exs^dx при λ->+οο,
U(xj)
как уже говорилось, не зависит от величины самой окрестности U(xj),
и потому асимптотическое разложение этого интеграла при λ —> +оо
обозначают символом F(\,Xj) и называют вкладом точки Xj в
асимптотику интеграла (1).
Принцип локализации в его общей формулировке, таким образом,
означает, что асимптотика интеграла (5) получается как сумма
^F(X^Xj) вкладов всех критических в том или ином отношении то-
з
чек подынтегральной функции.
Для интеграла (1) это точки максимума функции S(x) и, как видно
из формул (2) - (4), основной вклад вносят только те точки локального
максимума, в которых достигается значение абсолютного максимума
функции S(x) на отрезке [а,Ь].
В следующих пунктах этого параграфа мы разовьем высказанные
здесь общие соображения и затем рассмотрим некоторые полезные
приложения метода Лапласа. Для многих приложений изложенного уже
достаточно. Ниже будет также показано, как получать не только главный
член асимптотики, но и весь асимптотический ряд.
2. Принцип локализации для интеграла Лапласа
Лемма 1 (об экспоненциальной оценке). Пусть Μ = sup S(x) <
a<x<b
< oo, и пусть при некотором значении λο > 0 интеграл (1) сходится
абсолютно. Тогда он сходится абсолютно при любом λ ^ λο, и при
таких значениях λ справедлива оценка
ь
\FW\ < J\f(x)eXS{x)\dx < ЛеАМ, (6)
α

§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 725
где AeR.
Μ Действительно, при λ ^ λο
\F(X)\ =
ί f(x)exs^dx\ = ί f(x)eXoS^e^-Xo^s{xUx
a | | α
b ί b
< 6(λ-λο)Μ ί |^^)eA0S(x)| άχ = j e-\oM f |/(χ)βλο5(χ)| άχ
eXM. ►
Лемма 2 (об оценке вклада точки максимума). Пусть
интеграл (1) сходится абсолютно при некотором значении λ = λο, и пусть
внутри или на границе промежутка I интегрирования нашлась такая
точка хо, в которой S(xo) = sup S(x) = Μ. Если функции f(x) и
a<x<b
S(x) непрерывны в точке хо, причем f(xo) φ О, то для любого ε > О
и любой достаточно малой окрестности Uj(xo) точки хо в I имеет
место оценка
ί f{x)exs^dx
U!(X0)
> £еА(5(Х°)~£)
(7)
с постоянной В > О, справедливая при λ ^ тах{Ао,0}.
Μ При фиксированном ε > О возьмем любую окрестность Ui(x$), B
пределах которой \f(x)\ ^ ^|/(хо)| и S(xo) -ε ^ S(x) ^ S(xo). Считая /
вещественнозначной, можем заключить теперь, что в пределах Uj{x)
значения функции / одного знака. Это позволяет при λ ^ тах{Ао,0}
записать, что
/ f(x)exs^dx
U^xo)
ί \f{x)\exs^dx^
> ί \\f{xo)\eX{S{xo)-£) dx = Ββχ^χ°ϊ-ε\ ►
υ^χο)
Uiixo)
Утверждение 1 (принцип локализации). Пусть интеграл (1)
сходится абсолютно при некотором значении λ = λο, и пусть вну-

726
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
три или на границе промежутка I интегрирования функция S(x)
имеет единственную точку хо абсолютного максимума, т. е. вне любой
окрестности U(xo) точки #о
sup S(x) < S(xo).
I\U(x0)
Если при этом функции f{x), S(x) непрерывны в точке хо и f(xo) φ
Φ 0, то
F(X) = FUl{xo)(\)(l + 0(\-00)) при λ^+οο, (8)
где Ui(xo) —произвольная окрестность хо в I,
^(*ο)(λ):= J f(x)exs^dx,
U^xo)
α 0(λ~°°) —функция, которая есть о(Х~п) при λ —> +оо и любом η £
6Ν.
Μ Из леммы 2 следует, что если окрестность Ui(xo) достаточно
мала, то каково бы ни было число ε > 0 при λ —> +оо финально
выполняется неравенство
Κ(*ο)(λ)| > еН3Ы-<\ (9)
Вместе с тем в силу леммы 1 для любой окрестности U(xo) точки х0
справедлива оценка
ί |/(х)|еА5(х) dx ^ ΑβΧμ при λ -> +оо, (10)
I\U(xo)
где А > 0 и μ = sup S(x) < S(xo)-
xei\u(Xo)
Сопоставляя эту оценку с неравенством (9), легко заключить, что
неравенство (9) имеет место финально при λ —> +оо для любой
окрестности Ui(xo) точки xq.
Теперь остается написать, что
F(X) = Fj(X) = FUl{xo)(X) + FAt/(xo)(A),
и, сославшись на оценки (9), (10), заключить о справедливости
соотношения (8). ►

§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 727
Итак, установлено, что с относительной погрешностью порядка
0(Х~°°) при λ —> +оо можно, описывая асимптотику интеграла
Лапласа (1), заменить его интегралом по сколь угодно малой окрестности
Ui(xo) точки хо абсолютного максимума функции S(x) на промежутке
интегрирования I.
3. Канонические интегралы и их асимптотика
Лемма 3 (о каноническом виде функции в окрестности
критической точки). Если вещественнозначная функция S(x) в
окрестности (полуокрестности) точки xq £Ш принадлежит классу гладкости
(j{n+k) ^ Прицем
S'(x0) = ... = S^~lHxo) = О, S^(x0) φ 0,
а к £ N или к = оо, то существуют такие окрестности
(полуокрестности) 1Х точки хо, 1у точки 0 в R и такой диффеоморфизм
φ е C^k\ly,Ix), что
S{tp{y)) = S(x0) + syn, когда Υ е Iy и s = sgnS^xo)·
При этом
„(0)=хо .^(О)-(р^)
^ Воспользовавшись формулой Тейлора с интегральным видом
остатка
ι
S(x) = S(x0) + (* " Х°}" [ SW(хо + t(x - х0))(1 - t)n~l Λ,
(η- 1)! J
о
представим разность S(x) — S(xo) в виде
S(x)-S(x0) = (x-xo)nr(x),
где функция
1
Γ(χ) = (^Zl)! / 5(П)(хо + t(x - *о))(1 - t)n~l dt
о

728
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
в силу теоремы о дифференцировании интеграла по параметру χ
принадлежит классу причем г(хо) — -^jS^(xo) Φ 0. Значит, функция
у = ψ(χ) = (х — хо) л/\г(х)\ в некоторой окрестности (полуокрестности)
1Х точки хо также принадлежит классу гладкости С^ и даже
монотонна, поскольку
Ψ'Μ=^=(^)'%ο.
В таком случае рассматриваемая на 1Х функция φ имеет обратную
функцию ψ~ι = φ, определенную на промежутке 1У = ф(1х),
содержащем точку 0 = ψ{χο)- При этом φ £ C(k\ly,Ix).
( ι \1/η
Далее, φ'(0) = {ψ'(χο)) ι = ( (n™, J · Наконец, по самому
построению S((p(y)) = S(xo) + syn, где s = sgnr(xo) = sgnS'^(xo)· ►
Замечание 1. Наибольший интерес представляют обычно
следующие случаи: η = 1 или 2, а к = 1 или оо.
Утверждение 2 (о редукции). Пусть в интеграле (1) отрезок
интегрирования I = [а, Ь] конечный и выполнены следующие условия:
a) /,SeC(J,R);
b) ma>xS(x) достигается только в одной точке #о £ 1\
c) S £ C^(Ui(xo)^) в некоторой окрестности Ui(xo) точки хо
(рассматриваемой в пределах промежутка J);
d) S^ (х0) ф 0, и если К η, то S^ (х0) = ... = fif^"1) (x0) = 0.
Тогда при λ —> +оо интеграл (1) с погрешностью, определяемой
принципом локализации (8), может быть заменен интегралом вида
R(\) = exs^ I r{y)e-Xyn dy,
где 1у = [—ε, ε], или Iy = [0, ε], ε — сколь угодно малое положительное
число, а функция г того же класса гладкости на 1у, что и функция f
в окрестности точки #о-
< Используя принцип локализации, заменим интеграл (1)
интегралом по такой окрестности Ix = Ui(xq) точки xq, b которой выполнены

§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 729
условия леммы 3. Сделав замену переменной χ = (р(у), получим
Jf(x)exs^dx = Jf&(yW(y)e-xyndy exs^\ (11)
Знак минус в показателе (—\уп) связан с тем, что по условию #о =
= φ(0) есть точка максимума. ►
Асимптотику канонических интегралов, к которым в основных
случаях приводится интеграл Лапласа (1), дает
Лемма 4 (Ватсон1))· Пусть α > О, /3 > О, 0<a^ooufe
£ C([0,a],R). Тогда относительно асимптотики интеграла
а
W{\) = I xP-lf{x)e~Xxa dx (12)
о
при λ —> +оо справедливы следующие утверждения:
a) Главный член асимптотики интеграла (12) имеет вид
W(X) = 1/(0)Γ(/?/α)λ-£ + О (λ-^) , (13)
если известно, что f(x) = /(0) + 0(х) при χ —> 0.
b) Если f(x) = ао + а\х + ... + апхп + 0(xn+1) при χ —> 0, то
^ = ΪΣ«4ν)Γ!?+0(Γ*)' <14>
к=0 Ч '
c) Если / — бесконечно дифференцируема при χ = 0, то имеет
место асимптотическое разложение
-™^Σ^(*±ί)Λ-*, (15,
k=0 ' Ч У
которое можно дифференцировать по λ любое число раз.
< Представим интеграл (12) в виде суммы интегралов по
промежуткам ]0, ε] и [ε,α[, где ε— сколь угодно малое положительное число.
) Дж. Н. Ватсон (Уотсон) (1886 -1965) — английский математик.

730
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
По лемме 1
α
e~Xxadx
^Ae~M =0(λ_0°) при λ->+οο,
поэтому
ε
W{\)= i xi3-1f{x)e~Xxa dx + 0{\-°°) при λ->+οο.
В случае b) f(x) = Σ akxk + rn(x), где гп е С[0,е] и \rn(x)\ ^ Cxn+1
к=0
на отрезке [0, ε]. Значит,
W{X) = J2ak fxk+P-le-Xxadx + c{\) ίχη^β~Χχα dx + ο{\-°°),
к=0 о 0
где с(Х) —ограниченная величина при λ —> +оо.
По лемме 1 при λ —> +оо
ε +оо
ί xk^-le~Xxa dx = ί xk+e-le-Xx° dx + 0(\-°°).
Ho
+00
I xk+p-ie-xx° dx = ir (tt£\
A <* ,
откуда теперь и следует формула (14) и ее частный случай —
формула (13).
Разложение (15) вытекает из равенства (14) и формулы Тейлора.
Возможность дифференцировать разложение (15) по λ следует из
того, что производная интеграла (12) по параметру λ есть интеграл
того же типа (12) и для W'(\) можно в соответствии с формулой (15)
предъявить в явном виде асимптотическое разложение при λ —> +оо,
совпадающее с тем, которое получается формальным
дифференцированием исходного разложения (15). ►

§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 731
Пример 6. Рассмотрим преобразование Лапласа
+оо
F(X)= f f(x)e-Xxdx,
о
уже встречавшееся нам в примере 1. Если этот интеграл сходится
абсолютно при некотором значении λ = λο, а функция / бесконечно
дифференцируема при χ = О, то по формуле (15) находим, что
оо
F(A)^^/W(0)A-(fc+1) при λ^+οο.
к=0
4. Главный член асимптотики интеграла Лапласа
Теорема 1 (о типичном главном члене асимптотики). Пусть
в интеграле (1) отрезок интегрирования I = [а,Ь] конечный, /, S £
£ C(J, R) и ma,xS(x) достигается только в одной точке хо 6 /.
Пусть также известно, что f{xo) φ О, f(x) = f{xo) + О (χ — хо)
при I Э χ —> Ж(ь α функция S принадлежит классу гладкости С^ в
окрестности точки хо-
Тогда:
а) если хо = а, к = 2 и S'(xq) φ О (га. е. S'(xq) < 0), то
S'(xc
Ъ) если а < хо <Ь, к = 3 и S"(xo) φ 0 (т. е. S"(xo) < 0), то
F(X) = J£o) .eW^X-^l + СКА-1)] при X ->■ +оо; (2')
-Ь'(хо)
F(X) = J-^-)f(xo)e"s^X-^2[l + 0(X-1/2)} при Х -+ +оо; (3')
с) если ж0 = о, fe = 3, S'(a) = 0 и S"(a) φ О (т. е. 5"(а) < 0), то
F(X) = ]J^^)f(xo)eXS^X-^[l + 0(X-1/2)} при X -► +оо. (4')
^ Используя принцип локализации и делая замену переменной χ =
= (f(y), указанную в лемме 3, придем, согласно утверждению 2 о
редукции, к следующим соотношениям:

732
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
a) F(X) = βλ*(*ο) (}(f о <p){y)<f/{y)e-xv dy + 0{\-°°)\;
b) F(\) = βλ5(*°) ( f (/ о <р)Ш(у)е-хУ2 dy + 0(λ-°°) J =
,AS(x0) Q{{f 0 ^)(У)^(У) + (/ ο φ)(-ν)φ'(-υ))β-^2 dy + 0(λ-°°));
c) F(A) = eA^o) (/(/ о <р)(у)<р'(у)е-хУ2 dy + 0(\-°°i
Функция (}οφ)φ' при сформулированных выше требованиях
удовлетворяет условиям леммы Ватсона. Остается применить лемму Ватсона
(формула (14) при η = 0) и вспомнить выражения для φ(0), и <£7(0),
указанные в лемме 3. ►
Итак, мы обосновали формулы (2) - (4) вместе с той
замечательно простой, ясной и эффективной рецептурой, которая привела нас в
разделе 1 к этим формулам.
Рассмотрим некоторые примеры приложений доказанной теоремы.
Пример 7. Асимптотика гамма-функции. Функцию
+оо
Γ(λ + 1) = ί гхе~1сИ (λ> -1)
о
можно представить в виде интеграла Лапласа
+оо
Γ(λ + 1)= [ е-*еХШ(И,
о
и если при λ > 0 сделать замену переменной t = λχ, то придем к
интегралу
+оо
Г(А + 1)-А~/«-*--'*.
который можно исследовать средствами доказанной теоремы.
Функция S(x) = In χ—χ имеет единственную точку максимума χ = 1
на промежутке ]0, +оо[, причем 5"'(1) = —1. На основании принципа
локализации (утверждение 1) и утверждения Ь) теоремы 1 заключаем,

§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 733
что
Γ(λ + 1) = л/2^А (j) [1 + CKA-1/2)] при λ —> +оо.
В частности, вспоминал, что Г(п + 1) = п! при η £ Ν, получаем
классическую формулу Стирлинга1'
п\ = V27rn(n/e)n[l + 0(п"1/2)] при η -> оо, π е N.
Пример 8. Асимптотика функции Бесселя
Ux) = - / excos*cosn0d0,
о
где η <Е N. Здесь /((9) = cos n<9, S(0) = cos (9, max S(0) = 5(0) = 1,
S"(0) = 0, S"'(0) = — 1, поэтому на основе утверждения с) теоремы 1
ех
1п(х) = [1 + 0(х"1/2)] при χ -> +оо.
γ2πχ
Пример 9. Пусть / е CW([a,b],R), S е C<2)([a,b],R), причем
S(x) > 0 на [а, Ь] и max S(x) достигается только в одной точке хо 6
£ [а,Ь]. Если /(хо) ^ 0, 5"(#ο) = 0 и S"(xq) φ О, то, переписав интеграл
б
ЛА) = |/(х)[5(х)]Айх
α
в форме интеграла Лапласа
б
JT(A)= f f{x)exlnSWdx,
а
на основании утверждений Ь) и с) теоремы 1 получаем, что при λ —>
-> +оо
^(λ) = tf(xo)J^^[S(xo)]X+1/2\-l/2[l + 0(\-V%
1^См. также задачу 10 к §3 гл. VII.

734
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
где ε = 1, если а<хо<Ьие = 1/2, если хо = а или хо = Ъ.
Пример 10. Асимптотика полиномов Лежандра
π
Рп(Х) = - ί(χ + vV-lCOS0)n
άθ
при η —> оо, η G Ν, в области ж > 1 может быть получена как частный
случай предыдущего примера, когда / = 1,
5(0) = ж + ^а:2 - 1 cos θ, max 5(0) = 5(0) = χ + \Д2 - 1,
S'(0)=0, S"(0) = -λ/χ2 - 1.
Таким образом,
(Т _l Λ/τ2 _ ι\η+1/2
Рп(х) = (Х +Zl 4Л^Ц- [1 + 0(п-1/2)} при η -> +оо, η€Ν.
ν2πηνχ^ - 1
* 5. Асимптотические разложения интегралов Лапласа.
Теорема 1 дает только главные члены характерной асимптотики
интеграла Лапласа (1) и к тому же при условии, что /(хо) φ 0. В целом это,
конечно, наиболее типичная ситуация, и поэтому теорема 1,
несомненно, является ценным результатом. Однако уже лемма Ватсона
показывает, что асимптотика интеграла Лапласа порой может быть доведена
до асимптотического разложения. Такая возможность особенно важна,
когда /(хо) = 0 и теорема 1 ничего не дает.
Совсем отбросить условие /(хо) φ 0, не заменив его ничем,
разумеется, нельзя, оставаясь в рамках метода Лапласа: ведь если /(х) = О
в окрестности точки хо максимума функции S(x) или если /(х) очень
быстро стремится к нулю при χ —> хо, то точка хо может и не быть
ответственной за асимптотику интеграла. Теперь, когда в
результате проведенных рассмотрений мы уже пришли к определенному типу
{еХсХ~Рк} (ро < Р\ < ···) последовательностей, асимптотических при
λ —» +оо, можно говорить об асимптотическом нуле по отношению к
такой последовательности и, не предполагая, что /(хо) φ 0, можно
следующим образом сформулировать принцип локализации:
асимптотика интеграла Лапласа (1) при λ —> +оо с точностью до
асимптотического нуля по отношению к асимптотической последовательности

§2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 735
< Pi < · · ·) совпадает с асимптотикой порции этого
интеграла, взятой по сколь угодно малой окрестности точки хо,
если это единственная точка максимума функции S(x) на промежутке
интегрирования.
Мы не будем, однако, возвращаться к рассмотрению и уточнению
этих вопросов, а, считая / и S функциями класса С^00', дадим вывод
соответствующих асимптотических разложений, использующий лемму 1
об экспоненциальной оценке, лемму 3 о замене переменной и лемму 4
Ватсона.
Теорема 2 (об асимптотическом разложении). Пусть I = [а, Ь] —
конечный отрезок, /,Sg C(J,R), maxS(x) достигается только в од-
х€1
ной точке хо £ I и /, 5 £ C^°°\Ui(xo)^) в некоторой окрестности
Ui(xo) точки хо· Тогда относительно асимптотики интеграла (1)
справедливы следующие утверждения:
а) Если х0 = а, S(m\a) φ О, S^\a) = О для 1 ^ j < т, то
оо
F{\) ~ \-llmexs^^ak\-klm при λ ->· +оо, (16)
где
{-1)к+1тк (к + 1
о-к
Γ(4τ){ΗΜ~ί) №)Μ*,α))Ι*=α,
А;!
h{x,a) = {S{a) - S{x)Y-1/m/S'{x).
b) Если a<x0<b, S^2m^(x0) φ 0, S^(x0) = 0 для 1 ^ j < 2m, mo
00
F{\) ~ \-l/2mexs^Y^ck\-k/m при λ ->+oo, (17)
k=0
где
0(-l)2^(2m)2fcr/2fc + l\ / „ ,d\2h
h(x,x0) = (S(x0) - S(x))l-^/S'(x).
c) Если f^{xo) φ 0 и f(x) ~ -=г/(п)(а;о)(ж _ хо)п при х ->■ #0» mo
главный член асимптотики в случаях a) u b) соответственно имеет

736
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
вид
F(X) = —\me
га
^± λ5(α)ρ
П + 1
га
га!
\Sm(a)
1/Η(α) + θ(Α-^)
, (18)
F(X) = Ιλ-^βλ^)Γ f^-tl
m
(2m)!
n + 1
2m
|52™Ы1
(19)
d) Разложения (16), (17) можно дифференцировать по λ любое
число раз.
Μ Из леммы 1 следует, что в наших условиях с точностью до
величины вида еА5(Х0)О(А~°°) при λ —> оо интеграл (1) можно заменить
интегралом по сколь угодно малой окрестности точки хо·
Сделав в такой окрестности замену переменной χ = φ (у), указанную
в лемме 3, приведем последний интеграл к виду
-xs^J(foV)(y)v'(y)e-^dy,
(20)
где 1у = [0, ε], а = га, если хо = а и 1у = [—ε, ε], α = 2га, если а < хо < Ъ.
Окрестность, в которой производилась замена χ = у?(у), можно
считать столь малой, что обе функции /, S в ней бесконечно
дифференцируемы. Тогда и полученную под знаком интеграла (20) функцию
(/ ° ψ) {у)ψ'{у) можно считать бесконечно дифференцируемой.
Если 1у = [0, ε], т. е. в случае хо = а, к интегралу (20)
непосредственно применима лемма 4 Ватсона и наличие разложения (16) тем самым
уже доказано.
Если же 1у = [—ε, ε], т. е. в случае а < хо < Ь, приводим интеграл (20)
к виду
ε
оЩхо) j[{} 0 φ){ν)φ'{υ) + (/ о φ){-υ)φ>{-υ)]6-*ν2τη dy (21)

§2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 737
и, вновь применяя лемму Ватсона, получаем разложение (17).
Возможность дифференцировать разложения (16), (17) следует из
того, что при наших условиях интеграл (1) можно дифференцировать
по λ, и при этом снова получается интеграл, удовлетворяющий
условиям теоремы. Для него выписываются разложения (16), (17), и можно
непосредственно убедиться в том, что эти разложения действительно
совпадают с теми, которые получаются формальным
дифференцированием разложений (16), (17) исходных интегралов.
Остановимся теперь на формулах для коэффициентов а^ и с^. По
лемме Ватсона ак = ^^(0)Г (Цг), где Φ (у) = (/ о φ) (у) φ'(у).
Учитывая, однако, что
S(<p(y))-S(a) = -ym,
S'W(y) = -тут~\
<p'(y) = -m(S(a)-S(x))1-^/S'(x),
d , d
dy=<Piy)dx-'
Ф(у) = f(x)<p'(y),
р-(0) = (-m)k+1 (h{x,a)—j (f(x)h(x,a))\x=a,
получаем
dyk
где h(x,a) = {S{a) - ОД)1"™/S'{x).
Аналогично получаются формулы для коэффициентов с&
применением леммы Ватсона к интегралу (21).
Полагая ψ (у) = f{φ{y))φ,{y) + f(φ(-y))φ,{-y), можно записать, что
при λ —> +оо
/■
о п=°
Но, V(2fc+1)(0) =0 ввиду четности функции ф(у), поэтому последнее
асимптотическое разложение можно переписать в виде
Г и \ -V" а Х V-V^Mr fM + l\ ._«±ι
π к=0

738
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Остается заметить, что ф(2к^(0) = 2ф(2*)(0), где Ф(у) = /(φ(ν))φ'(ν).
Теперь формула для с^ получается из уже установленной формулы
коэффициента аь заменой в ней к на 2к и удвоением результата такой
подстановки.
Для получения главных членов (18), (19) асимптотических
разложений (16), (17) при указанном в с) условии f(x) = -^jf(n\xo){x — #o)n +
+ 0((х — xo)n+1)5 где f^(xo) φ 0, достаточно вспомнить, что χ = φ(ν),
х0 = ¥>(0), χ - хо = <р'{0)у + 0(у2), т. е.
(/ о <р){у) = уп (ί^(^(0)Γ + ОЫ )
и
(/ о νΧί/У (У) = Уп (^τ^(ψ'(0))η+1 + 0(у)
1/т
при у ->■ 0, поскольку <р'(0) = ( (^! ) Φ 0, если ι0 = « ψ'(0) =
(\ l/2m
iue&i) #0, если α <*„<».
Остается подставить полученные выражения соответственно в
интегралы (20), (21) и воспользоваться формулой (13) из леммы Ватсо-
на. ►
Замечание 2. Из формулы (18) при η = 0 и т = 1 вновь получаем
формулу (27).
Аналогично из (19) при η = 0 и m = 1 получаем соотношение (З7).
Наконец, равенство (47) получается из равенства (18) при η = 0 и
га = 2.
Все это, разумеется, в условиях теоремы 2.
Замечание 3. Теорема 2 относится к случаю, когда функция S(x)
имеет на отрезке I = [а, Ь] единственную точку максимума. Если же
таких точек несколько х\,... ,хп, то интеграл (1) разбивают в сумму
таких интегралов, асимптотика каждого из которых уже описывается
теоремой 2. То есть в этом случае асимптотика получается как сумма
η
Σ F(\,Xj) вкладов указанных точек максимума.
3 = 1
Легко себе представить, что при этом могут произойти некоторые
или даже полные взаимные уничтожения.

§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 739
Пример 11. Если S е C(°°)(R,R) и S{x) -> —оо при χ —> оо, то
ею
F(A) = I S'(x)exsW dx = 0 при λ > 0.
— ОО
Значит, в этом случае такая интерференция вкладов заведомо
должна иметь место. С формальной точки зрения приведенный пример
может показаться неубедительным, поскольку раньше речь шла о
конечном отрезке интегрирования. Однако этот вопрос снимает следующее
важное
Замечание 4. В теоремах 1 и 2 для облегчения и без того
громоздких формулировок мы считали, что промежуток интегрирования
I— конечный, а интеграл (1)—собственный. На самом же деле^ если
вне любой окрестности U(xo) точки максимума #о £ I выполнено
неравенство sup S(x) < S(xo), то лемма 1 уже позволяет заключить, что
1\Щхо)
интегралы, взятые по промежуткам, лежащим вне U(xo),
экспоненциально малы в сравнении с exs(x°^ при λ —> +оо (разумеется, при условии,
что интеграл (1) абсолютно сходится хотя бы при некотором значении
λ = λ0).
Таким образом, и теорема 1, и теорема 2 применимы также к
несобственным интегралам, если выполнены указанные только что условия.
Замечание 5. Полученные в теореме 2 формулы для
коэффициентов ввиду их громоздкости обычно удается использовать лишь для
получения нескольких первых членов асимптотики, нужных в
конкретных вычислениях. Общий вид асимптотического разложения более
простой, чем указанный в теореме 2, по этим формулам для
коэффициентов а^, С£ получить удается крайне редко. И все же такие ситуации
встречаются. Рассмотрим для разъяснения самих формул следующие
примеры.
Пример 12. Асимптотику функции
+оо
Erf (х) = I e~u2 du
X

740
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
при χ —> +оо легко получить интегрированием по частям:
_ 2 +°° _ 2 _ 2 +°°
откуда после очевидных оценок следует, что
Erf (χ) - ^ Σ £}Щ^ЖХ-* ПрИ ж _> +0О. (22)
fc=0
Получим теперь это разложение, исходя из теоремы 2.
Сделав замену и = х£, приходим к представлению
+оо
Erf (я) = χ ί е~хН2 dt.
Полагая здесь λ = χ2 и обозначая переменную интегрирования, как и
в теореме 2, буквой х, сводим вопрос к отысканию асимптотики
интеграла
оо
F{\)= f e~Xx2 dx, (23)
ι
поскольку Erf(x) = xF(x2).
Интеграл (23) с учетом замечания 4 удовлетворяет условию
теоремы 2: S{x) = -х2, S'{x) = -2х < 0 при 1 ^ χ < +оо, S"(l) = -2,
5(1) = -1.
Итак, х0 = а = 1,т = 1, f(x) = 1, h(x,a) = ^, h(x,a)^ = з^^·
Значит,
^=2x3xJ V 2ж) = \2xdx) \\~2J (_1)Χ J =
= (-i)3(-l)(-3)x"5,
Μ _ίίΛ* (Μ - (2*-1)"д.-(2*+1)

§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 741
Полагая χ = 1, находим, что
(-1)л+1„,, л.( (2Ar-l)!!\ _ lNfc(2fc-l)!!
Выписав теперь асимптотическое разложение (16) для
интеграла (23), с учетом соотношения Erf(x) = xF(x2) получаем разложение
(22) для функции Erf(x) при χ —> +оо.
Пример 13. В примере 7, исходя из представления
+ 00
Γ(λ + 1) = λλ+1 ί β-λ(χ"1ηχ) dx, (24)
о
мы получили главный член асимптотики функции Γ(λ + 1) при λ —> +оо.
Попробуем теперь, пользуясь теоремой 2Ь), уточнить найденную ранее
формулу.
Для некоторого упрощения дальнейшей записи заменим в
интеграле (24) χ на χ + 1. Тогда получим, что
+00
Γ(λ + 1) = АА+1е"А ί e*On(i+*)-*) dx,
-ι
и дело свелось к исследованию асимптотики интеграла
+оо
F(X) = ί βλ(ΐη(ΐ+χ)-χ) dx (25)
-1
приА->+оо. Здесь S(x) =ln(l + x)-x, S'(x) = γψ^-Ι, S'(0) = 0, т.е.
xo = 0, S"(x) = ——-—25 5/;(0) = —1^0, т.е. с учетом замечания 4
(l + ж)
выполнены условия Ь) теоремы 2, где надо положить еще f(x) ξ 1 и
т = 1, так как S"'(0) ^ 0.
Функция /ι(χ,#ο) — Мх) в данном случае имеет следующий вид:
h(x) = -U^(x - 1η(1 + χ))1/2.

742
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Если мы хотим найти первые два члена асимптотики, то нам надо
вычислить при χ = О
{h(x)£)°(h(x))=h(x),
(Hx)£Y(h(x)) = h(x)§(x),
(h(x)i)2 (h(x)) = (h(x)£) (Λ(χ)ί(χ)) =
= 4x)[(%)2(x) + h{x)Q(x)].
Это вычисление, как видно, легко сделать, если найти значения /ι(0),
/ι'(0), /i/7(0), которые в свою очередь можно получить из тейлоровского
разложения функции /ι(χ), χ ^ 0 в окрестности нуля:
h(x) = -ψ [χ - (χ - \χΐ + |χ3 - |χ4 + 0(χ5))]1/2 =
= -ψ[\χ2-\χ* + \χ* + 0{χψ2 =
Таким образом, Λ(0) = -4-, Λ'(0) = -^, Λ"(0) = -Κ-,
(ВД£)°(ВД)
(Цх)^)1 (h(x))
(НхШЧНх))
х=0
х=0
х=0
1
"V2'
3'
12л/2'

§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 743
co = -2r(£)(-^)=V5F,
Cl - Z 2! L Ы ^ 12л/2У - ^ 21 Ы 12x/2 " 12 *
Значит, при λ —> oo
F(A) = ν^λ"1/2 (l + Ιλ"1 + 0(λ"2)) ,
т. е. при λ —> +оо
T(X + 1) = V2^\(^\ (l + λχ-ι + o(\-2)Y (26)
Полезно иметь в виду, что асимптотические разложения (16), (17)
можно находить также, следуя доказательству теоремы 2, без
привлечения указанных в формулировке теоремы 2 выражений для
коэффициентов.
В качестве примера получим вновь, но несколько иначе,
асимптотику интеграла (25).
Используя принцип локализации и делая в окрестности нуля замену
х = tp(y) такую, что 0 = φ(0), S(tp(y)) = ln(l + φ (у)) - tp(y) = -у2,
сводим вопрос к исследованию асиптотики интеграла
ε ε
j^(y)e-xy2dy = J ф(у)е~хУ2 dy,
-ε О
где ψ (у) = φ'(у) + ^{—у)- Асимптотическое разложение последнего
интеграла получается на основании леммы Ватсона
/We-V^='£iiMr(i±i)A-<*+l>/2 при λ^+0ο,
что с учетом соотношений ^(2*+1)(0) = О, ф(2к>>(0) = 2(р(2к+1Ц0) дает
асимптотический ряд
к=0 ν ' \ / \ / k-Q

744
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Итак, для интеграла (25) получаем асимптотическое разложение
FW*A-VVi£;!^i°>A-*, (27)
fc=0
где χ = φ(/μ) такая гладкая функция, что х—1п(1+х) = у2 в окрестности
нуля (по χ и по у).
Если мы хотим найти первые два члена асимптотики, то в общую
формулу (27) надо подставить конкретные значения <^'(0) и φ^(0).
Быть может, не бесполезно продемонстрировать следующий прием
для вычисления этих значений, который вообще можно использовать
для получения тейлоровского разложения обратной функции по
разложению прямой функции.
Считая, что χ > О при у > 0, из соотношения
χ — 1п(1 + х) = у2
последовательно получаем
V i1 - Iх+V+ο{χ3)) = у2>
/21 \_1/2
χ = V2y ( 1 - -χ + -χ2 + 0(χ3))
= у/2у + ~тУХ ~ ~^νχ2 + 0(ух3).
Но χ ~ \/2у при у —> О (χ —> 0), поэтому, используя уже полученное
представление ж, можно продолжить эту выкладку и получить, что при
у^О
x = V2y+^y (л/2у + ψυχ + 0(у3) J - y|y(V2y)2 + 0(y4) =
= V2y + \y2 + \y2x - ^V + 0(</4) =
= V2y + \y2 + \у\Лу) - ^y3 + 0(y4) =
= ^y+2-y2 + ^y3 + 0{y%

§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 745
Таким образом, для интересующих нас величин φ'(0), φ(3\θ)
получаем следующие значения: <^'(0) = у/2^ φ^(0) = *ψ.
Подставляя их в формулу (27), находим, что
F(X) = λ"1/2\/2^ ( 1 + -^λ"1 + 0(λ"2) J при λ->+οο,
откуда вновь можно получить формулу (26).
В заключение сделаем еще два замечания, относящиеся к
обсуждаемым в этом параграфе вопросам.
Замечание 6 (о методе Лапласа в многомерном случае).
Отметим, что метод Лапласа с успехом применяется и при исследовании
асимптотики кратных интегралов Лапласа
F{\)= If(x)exs^dx,
χ
в которых χ £ Мп, X — область в Mn, /, S — вещественнозначные
функции в X.
Для таких интегралов справедлива лемма 1 об экспоненциальной
оценке, в силу которой исследование асимптотики такого интеграла
сводится к исследованию асимптотики его порции
J f(x)exsWdx,
Щх0)
взятой по окрестности точки xq максимума функции S(x).
Если это невырожденный максимум, т.е. S/f(xo) Φ 0, то по лемме
Морса (см. ч. I, гл. VIII, § 6) существует замена переменной χ — у?(у)
такая, что S(xq) - S(tp(y)) = |у|2, где \у\2 = (у1) +... + (уп)2. Тем самым
дело сводится к каноническому интегралу
|(/o^)(y)det^(y)e-A|2/|2dy,
который в случае гладких функций /, 5, применяя теорему Фубини,
можно исследовать, опираясь на доказанную выше лемму Ватсона (см.
в этой связи задачи 8-11).

746
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
Замечание 7 (о методе стационарной фазы). Метод Лапласа в
его расширенной трактовке, как мы уже отмечали, это:
1° определенный принцип локализации (лемма 1 об
экспоненциальной оценке),
2° способ локального приведения интеграла к каноническому виду
(лемма Морса) и
3° описание асимптотики канонических интегралов (лемма Ватсо-
на).
Идея локализации нам уже ранее встречалась при изучении ί-образ-
ных семейств функций, а также при исследовании ряда и
преобразования Фурье (лемма Римана, гладкость функции и скорость убывания ее
преобразования Фурье, сходимость ряда и интеграла Фурье).
Важное место в математике и ее приложениях занимают интегралы
вида
F{\)= ί f{x)eiXS^dx,
χ
где χ С Мп, называемые интегралами Фурье. Интеграл Фурье
отличается от интеграла Лапласа лишь скромным множителем г в
показателе. Это приводит, однако, к тому, что при вещественных λ и S(x)
получается |егА,с,(ж)| = 1 и, значит, идея доминантного максимума при
исследовании асимптотики интеграла Фурье непригодна.
Пусть X = [а,Ь] С R1, / е С^°°\[а,Ь],Щ (т.е. / -финитна на [а,Ь]),
и S"(χ) φ О на [а, Ь].
Интегрируя по частям и используя лемму Римана (см. задачу 12),
получаем, что
i\S(x) _
I f(x)eiXS^dx = - I Щаег>
У гА У S'(x)
а а
a
6 Ь
= \ J /i (x)eiXS^ dx = ... = ±J fn(xyXS^ dx =
= ο(λ η) при λ -¥ οο.

§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 747
Таким образом, если S"(0) Φ О на отрезке [а, Ь], то за счет все
увеличивающейся при λ -» оо частоты осцилляции функции elXS^ интеграл
Фурье по отрезку [а, Ь] оказывается величиной типа 0(λ~°°).
Функция S(x) в интеграле Фурье называется фазовой функцией.
Таким образом, для интеграла Фурье имеет место свой принцип
локализации, называемый принципом стационарной фазы. Согласно этому
принципу асимптотика интеграла Фурье (в случае / £ Cq ) с
точностью до величины 0(Х~°°) при λ —» оо совпадает с асимптотикой
порции интеграла Фурье, взятой по окрестности U(xo) стационарной
точки #о фазовой функции (т.е. точки #о5 в которой S'(xo) = 0).
После этого заменой переменной дело приводится к каноническому
интегралу
ε
Е(\) = J f(x)eiXxa dx,
о
асимптотика которого описывается специальной леммой Эрдейи,
имеющей для интеграла Фурье ту же роль, что и лемма Ватсона рля
интеграла Лапласа.
Указанная схема исследования асимптотики интеграла Фурье
называется методом стационарной фазы.
Природа принципа локализации в методе стационарной фазы совсем
иная, чем в случае интеграла Лапласа, но общая схема метода Лапласа,
как видно, оказывается пригодной и здесь.
Некоторые подробности, относящиеся к методу стационарной
фазы, читатель найдет в задачах 12-17.
Задачи и упражнения
Метод Лапласа в одномерном случае.
1. а) Функция h(χ) = е~Хх при а > 0 достигает максимума, когда χ = 0.
При этом h(χ) есть величина порядка 1 в J-окрестности точки χ = 0 размера
δ = 0(\-^α).
Используя лемму 1, покажите, что если 0 < δ < 1, то интеграл
а
W(X)= [ χβ-ιί{χ)β-χχ" dx,
где c(X,S) = λ~^~, имеет порядок 0(е~АХ ) при λ —> +ос; А— положительная
постоянная.

748
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
b) Докажите, что если функция / непрерывна при χ = О, то
W(X) = α_1Γ()9/α)[/(0) + о(1)]Х~0/а при λ -> -hoc.
c) В теореме 1,а), условие f(x) = f(xo) + О (χ — хо) можно ослабить,
заменив его условием непрерывности / в точке х$. Покажите, что при этом
сохраняется тот же главный член асимптотики, но, вообще говоря, не само
равенство (2'), в котором теперь 0(х — хо) заменяется на о(1).
2. а) Числа Бернулли В^к определяются из соотношения
оо
1 1 - l ST B2k *2fe-l ш ^ 0/тг
Известно, что
оо
О
Покажите, что
(т){х) - Ых- к ~ ΣIfх~2к при х -* +0°-
\ / и—η
к=0
Ь) Докажите, что при χ —> +ос
/ 1\ 1 °°
ι Τ(χ) ~ Ιχ--\\ηχ-χ-\--\η2π-\-^2
^ ' к=\
1ηΓ(ζ) ~ U - ^ ] In* - ζ + ^ 1η2π + V ^_ x~2fc+1.
Это асимптотическое разложение называется рядом Стпирлинга.
c) Используя ряд Стирлинга, получите первые два члена асимптотики
функции Г {х + 1) при χ —> +оо и сравните ваш результат с полученным в
примере 13.
d) Следуя методу примера 13 и независимо от этого пользуясь рядом
Стирлинга, покажите, что
Γ^ + 1^^^(ΐ)'(1 + ϊ^ + 2^+°(ά)) ПРИ ^+0С·
3. а) Пусть / е C([0,o],R), 5 Е C^([0,a],R), S(x) > 0 на [0,α] и S(x)
достигает максимума при χ = 0, причем S'(0) φ 0. Покажите, что если /(0) Φ
7^0, то
a
/(λ) :=jf(x)Sx(x) dx ~ -Λ^λ+ι(0) при λ -+ +οο.

§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 749
Ь) Получите асимтотическое разложение
оо
при λ —> +ос,
к=0
если дополнительно известно, что /, 5 Ε С(°°)([0,а],М).
4. а) Покажите, что
π/2
/ sinnidi = W^-(l + 0(n-1)) при η^+οο.
о
b) Выразите этот интеграл через эйлеровы интегралы и покажите, что
при η Ε Ν он равен (2п)]\ ' ?*
c) Получите формулу Валлиса π = lim - f /2 _ т\и) ·
d) Найдите второй член асимптотического разложения исходного
интеграла при η —> +ос.
5. а) Покажите, что f (1 — х2)п dx ~ J^ при η —> +ос.
-ι ν
b) Найдите следующий член асимптотики этого интеграла.
6. Покажите, что если а > О, то при χ —> -hoc
+оо
/ t~attx dt~ J^x^ exp (Jri) .
о
7. а) Найдите главный член асимптотики интеграла
+оо
J (l + t)ne-ntdt при п->+ос.
о
+оо
Ь) Используя полученный результат и тождество к\п~к = f e~nttk dt,
о
покажите, что
η ι
^ с*fc!п~* = W^(l +0(п-1)) при п^+оо.
к=0 "
Метод Лапласа в многомерном случае.
8. Лемма об экспоненциальной оценке. Пусть Μ = supS(#), и пусть при
некотором значении λ = λο интеграл
F(A)= / f(x)exs^dx (*)
DcKn

750
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
сходится абсолютно. Покажите, что тогда он сходится абсолютно при λ ^ λο и
|/(λ)| ^J\f(x)exs^\dx ζ Лехм (λ > λ0),
D
где А — положительная постоянная.
9. Лемма Морса. Пусть хо — невырожденная критическая точка функции
S(x), жЕМп, определенной и принадлежащей классу С^°°^ в окрестности
точки хо. Тогда существуют окрестности U и V точек χ = xq, у = 0 и
диффеоморфизм φ : V -> U класса С(°°) (V, U) такие, что
5Μ2/)) = 5(χο) + ^έ^(^)
2
det^'(O) = 1,ι/ι,... ,ί/η — собственные числа матрицы S'xX(xo), а, у = (у1,...,
уп) — координаты точки i/Eln.
Докажите эту несколько конкретизированную форму леммы Морса,
исходя из леммы Морса, изложенной в части I, гл. VIII, § 6.
10. Асимптотика канонического интеграла, а) Пусть t = (ti,... ,ίη), V —
= {t e W1 | \tj\ < S,i = l,2,...,n}, a e C(°°>(V,R). Рассмотрим функцию
F\(\,t') = J a(ti,... ,in)e~~ilil cfti, где t' = (t2,... ^n)? *Ί > 0. Покажите,
-(5
что Fi{\,t') ~ X] afc(£')A~^ +sJ при λ ->· -hoc; это разложение равномерно по
t' € V e {t e W1'1 | \tj\ ^ 6J = 2,...,n} и ak е C^V^R) при любом
fc = 0,l,...
b) Домножая Fi(A, t') на е~?г2 и обосновав законность почленного
интегрирования соответствующего асимптотического разложения, получите
асимптотическое разложение функции
δ
F2(X,t")= F1(X,t')e-^tidt2 при λ -> -hoc,
-δ
где ί" = (*3,···,*η), ^2 > 0.
c) Докажите, что для функции
δ δ ч η
... / o(ii,...,i„)e •7=1 J °dti...dtn,
-δ -δ
где ι/j > 0, j = 1,... , η, имеет место асимптотическое разложение
оо
Α(λ) ~ λ-"/2 ^afcA-* при λ -> +оо,

§2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 751
11. Асимптотика интеграла Лапласа в многомерном случае, а) Пусть
D — замкнутая, ограниченная область в Rn, /, 5 Ε C(D,IR), тах5(ж)) дости-
гается только в некоторой внутренней точке хо области Z); /, 5 Ε С^°°^ в
некоторой окрестности точки хо, причем detS"(xo) φ 0.
Докажите, что если интеграл (*) абсолютно сходится для какого-нибудь
значения λ = λο, то
оо
F(X)~eXS{xo)X-n/2Y^akX-k при λ -> +оо,
причем это разложение можно дифференцировать по λ любое число раз, а его
главный член имеет вид
F(X)=exs{xo)\-n/2
/5Ил(/м+о(а"'))'
Ь) Проверьте, что если в предыдущем утверждении вместо /, 5 Ε
известно лишь, что / Ε С, а 5 Ε С^ в окрестности точки хо, то при λ -> +оо
главный член асимптотики останется тем же, с заменой 0(λ_1) на о(1) при
λ ->· +оо.
Метод стационарной фазы в одномерном случае.
12. Обобщение леммы Римана. а) Докажите следующее обобщение леммы
Римана.
Пусть 5 Ε С^([а,Ь],Щ и S'(x) φ 0 на [α,6] =: i". Тогда для любой
абсолютно интегрируемой на промежутке / функции / имеет место соотношение
б
F{X) = ί f(x)eiXS{x) dx -> 0 при λ -> оо, λ Ε Ε.
α
Ь) Проверьте, что если, сверх того, известно, что / Ε С^п+1^(/,М), а 5 Ε
то при λ —> оо
ίο \S'(x)dx) S'(x)
b
)
+ ο(λ"
"(n+l)\
c) Выпишите главный член асимптотики функции F(X) при λ -> оо, λ Ε Ш.
d) Покажите, что если 5 Ε С*00^/,»), а /|[а,с] Ε С(2)[о,с], /|М] Ε С(2)[с,Ь],
но / ^ С^2^[а, Ь], то функция -F(A) не обязана быть величиной о(А-1) при λ ->
-> оо.

752
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
e) Докажите, что когда /, 5 Ε С(°°)(/,Е), функция F(X) допускает
разложение в асимптотический ряд при λ —> оо.
f) Найдите асимптотические разложения при λ —> оо, λ Ε Μ следующих
ε
интегралов: J*(l + x)~aipj(x,\)dx, j = 1,2,3, если а > 0, a ψι = егХх, гр2 —
о
= cosAx, фз = sinAx.
13. Принцип локализации а) Пусть J = [а,Ь] С R, / 6 (^(/.R), 5 6
€ С(оо)(7, R) и 5'(ж) Φ 0 на /. Докажите, что тогда
F(A)
О
:= ί f(x)eiXS{x) dx = 0(|АГ°°) при А ^ оо.
Ь) Пусть / Ε С^00^/,»), 5 Ε C(°°)(/,R); хи... ,zm — конечное число
стационарных точек функции 5(ж), вне которых S' (χ) φ 0 на /. Обозначим
через F(\,Xj) интеграл от функции f(x)etXS^ по окрестности U(xj) точки Xj,
j = 1,... ,m, не содержащей в замыкании других критических точек.
Докажите, что
т
F(A) = ^F(A,^)+0(|Ar°°) при А ^ оо.
14. Асимптотика интеграла Фурье в одномерном случае, а) В
достаточно общей ситуации отыскание асимптотики одномерного интеграла Фурье
благодаря принципу локализации сводится к описанию асимптотики
канонического интеграла
= jx^f(x)
Е(Х) = / х^-^(х)егАх dx,
о
для которого справедлива следующая
Лемма Эрдейи. Пусть а ^ 1, β > 0, / Ε C(°°>([0,a],R) и f{k)(a) = 0,
k = 0,1,2,... Тогда
E(A)~y^afcA α при А ->· +oo,
k=0
где
a, '*±£bi**/(4(°>
a \ a J
k\
причем это разложение можно дифференцировать по А любое число раз.
Пользуясь леммой Эрдейи, докажите следующее утверждение.
Пусть / = [хо -<5, χο + δ] — конечный отрезок, /, S Ε С^00) (J, Е), причем / €
е Со(/, М), а 5 имеет на / единственную стационарную точку ж0> где 5'(жо) =

§ 2. АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ (МЕТОД ЛАПЛАСА) 753
= 0, но S"(x0) φ 0. Тогда при λ -* -hoc
XQ+S
оо
к
f(x)eiXS^ dx ~ e<i«enS"(*o)e<AS(*o)A-i ^ajfcA
XQ — O
и главный член асимптотики имеет вид
р{х'Хо) = V j^^^ssnS''{X0)+xs{X0))(fM + ο(λ-1)).
b) Рассмотрите функцию Бесселя целого индекса η ^ 0:
π
Jn(x) = — / cosixsiny? — ny?) d<^.
0
Покажите, что
τ / \ /~2~ / ηπ тг\ ^/ _1ч
Лг(#) = \/ — cos Ι χ — J + U(x ) при χ —> +oc.
V πχ V 2 4/
Метод стационарной фазы в многомерном случае
15. Принцип локализации, а) Докажите следующее утверждение. Пусть
D — область в Г, / Ε (^(β,Ε), 5 е С(°°>(1>,Е), gradS(z) ^ 0 при х е
e supp / и
F(X) := ί f(x)eiXS{x) dx. (**)
D
Тогда для любого k € N найдется такая положительная постоянная А(к),
что при Α ^> 1 имеет место оценка |F(A)| ^ A(fc)A~*, и, значит, F{\) — 0(А~°°)
при А -> +ос.
Ь) Пусть по-прежнему / G C^iD,»), S е С(°°)(£),К), но 5 имеет в £>
конечное число критических точек х\,..., жт, вне которых grad S(x) φ 0.
Обозначим через F(\,Xj) интеграл от функции f(x)elXS^ по такой окрестности
U(xj) точки Xj, в замыкании которой нет критических точек, отличных от
точки Xj. Докажите, что
т
F(\) = J2F(X,xj) + 0(\-°o) при А->+ос.
3=1
16. Приведение κ каноническому интегралу. Если хо — невырожденная
критическая точка функции 5 € C^°°^(D,R), определенной в области Dcln,

754
ГЛ. XIX. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
то по лемме Морса (см. задачу 9) существует такая локальная замена пере-
п
менных χ = <р(у), что х0 = <р(0), 5(у>(у)) = S(x0) + ? Σ £з(У3)2* гДе ^i = ±1»
i=i
У = (j/V-->J/n)> причем det<^'(y) > 0.
Используя принцип локализации (задача 15), покажите теперь, что если
/ G С(^оо) (D, Е), 5 е С(оо) (D, Е), 5 имеет в D не более конечного числа
критических точек и все они невырождены, то исследование асимптотики интеграла
(**) сводится к исследованию асимптотики специального интеграла
Ф(А):=у ...у fKy\...,yn)e j=1 dyl...dyn.
-δ δ
17. Асимптотика интеграла Фурье в многомерном случае, а) Используя
лемму Эрдейи (задача 14 а)) и план действий, описанный в задаче 10,
докажите, что если D — область в En, /, S e C(°°)(D,E), supp/ — компакт в £),
хо — единственная, и притом невырожденная, критическая точка функции 5
bD,to для интеграла (**) при λ —> +оо имеет место асимптотическое
разложение
оо
F(X) ~ \-n/2ei\s{x0) ^ajfcA-fc,
fc=0
которое можно дифференцировать по λ любое число раз.
Главный член асимптотики имеет вид
FW = (у J exp
Ζ7Γ
iAS(a;o) + —sgnS"(a;o)
χ |detS/;(a?0)r1/2[/(a:o) H-OiA"1)] при А -* -hoc.
Здесь S"(x) — симметрическая и по условию невырожденная матрица
вторых частных производных функции 5 в точке хо (гессиан), а sgnS"(xo) —
сигнатура этой матрицы (или соответствующей ей квадратичной формы),
т. е. разность v+ — z/_ между числом положительных и числом отрицательных
собственных значений матрицы S"(xq).

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ
КОЛЛОКВИУМОВ
III семестр
Ряды и интегралы, зависящие от параметра
1. Критерий Коши сходимости ряда. Теорема сравнения и основные
достаточные признаки сходимости (мажорантный, интегральный, Абеля-Ди-
оо
рихле). Ряд ((s) = Σ n~s.
n=l
2. Равномерная сходимость семейств и рядов функций. Критерий Коши
и основные достаточные признаки равномерной сходимости ряда функций
(мажорантный, Абеля - Дирихле).
3. Достаточные условия коммутирования двух предельных переходов.
Непрерывность, интегрирование, дифференцирование и предельный переход.
4. Область сходимости и характер сходимости степенного ряда. Формула
Коши - Адамара. Теорема Абеля (вторая). Тейлоровские разложения основных
элементарных функций. Формула Эйлера. Дифференцирование и
интегрирование степенного ряда.
5. Несобственный интеграл. Критерий Коши и основные достаточные
признаки сходимости (мажорантный, Абеля-Дирихле).
6. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от
параметра. Критерий Коши и основные достаточные признаки равномерной
сходимости (мажорантный, Абеля - Дирихле).
7. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование собственного
интеграла, зависящего от параметра.
8. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование несобственного
интеграла, зависящего от параметра. Интеграл Дирихле.
9. Эйлеровы интегралы. Области определения, дифференциальные
свойства, формулы понижения, различные представления, взаимосвязь. Интеграл

756 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ
Пуассона.
10. Дельтаобразные семейства функций. Теорема о сходимости свертки.
Классическая теорема Вейерштрасса о равномерном приближении
непрерывной функции алгебраическим многочленом.
Задачи, рекомендуемые к вопросам коллоквиума
t d
1. Пусть Ρ — полином. Вычислите (е За· )Р(х).
2. Проверьте, что вектор-функция etAxo решает задачу Коши χ = Ах,
х(0) — χ0 (χ = Ах — система уравнений, задаваемая матрицей А).
3. Найдите с точностью до о(1/п3) асимптотику положительных корней
λ ι < А2 < ... < Ап < ... уравнения sin χ + 1/х = 0 при η -> ос.
4. а) Покажите, что In 2 = 1 — 1/2 + 1/3 — ... Сколько членов этого ряда
надо взять, чтобы знать In 2 с точностью до Ю-3?
b) Проверьте что ^ In j-^rj = t+ ^t3 + ^t5 +... Используя это разложение,
удобно вычислять In ж, полагая χ = y-=-j·
c) Полагая в b) t = 1/3, найдите, что
Сколько членов этого ряда надо взять, чтобы знать In 2 с точностью до Ю-3?
Сравните с тем, что было в а).
Это один из приемов улучшения сходимости.
5. Проверьте, что в смысле Абеля
a) 1-1 + 1...= £;
оо
b) Σ sin fc<^ = 2 ctg ^, φ φ 2πη, η Ε Ъ;
1 °°
c) 2 + Σ cosfcy? = 0, φ Φ 2πη, η Ε Ζ.
6. Докажите лемму Адамара:
a) если / Ε C(1)(t/(z0)), то f(x) = f(x0) + ¥>(s)(s - so), где φ Ε C(t/(x0))
и φ(χο) = f'(xo)\
b) если/еС(п)([/(ж0)),то
f(x) = /(я?о) + уу/'Ы(я - so) + ... +
+ (^ГЛ]!/(П~1)(Жо)(ж " Хо)П~1 + ^)(* " *оГ'
где ψ е C(U(x0)) и φ(χ0) = ^/(п)Ы-
c) Как выглядят эти соотношения в координатной записи, когда χ = (ж1,
... ,жп), то есть когда / — функция η переменных?

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ 757
7. а) Проверьте, что функция
ι
cosxt
Jo(x) = — / -j==dt
о
y/Ϊ^Ρ
удовлетворяет уравнению Бесселя у" + -у' + у = 0.
b) Попробуйте решить это уравнение, используя степенные ряды.
c) Найдите степенные разложения функции Jo(x).
8. Проверьте справедливость асимптотических разложений
+оо оо , ч
а) Т(а,х):= / t^e^dt ~ β~* £) γ^+ι)**"* >
+оо
b) Erf(x) := / е-' Λ ~ ^ν^"* Σ
ι
при ж -> +оо.
9. а) Вслед за Эйлером найдите, что ряд 1 — Их + 2\х2 — 3\х3 +... связан
с функцией
S(x) := / -^ Λ.
V ; J 1+xt
о
b) Сходится ли этот ряд?
c) Дает ли он асимптотическое разложение S(х) при χ -> О?
10. а) Линейный прибор Л, характеристики которого постоянны во
времени, в ответ на входной сигнал S(t) в виде <5-функции выдал сигнал
(функцию) E(t). Каков будет ответ прибора на входной сигнал /(£), — оо < t < +ос?
Ь) Всегда ли по преобразованному сигналу / := Af однозначно
восстанавливается исходный сигнал /?

758 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ
IV семестр
Интегральное исчисление (многие переменные)
1. Интеграл Римана на n-мерном промежутке. Критерий Лебега
существования интеграла.
2. Критерий Дарбу существования интеграла от вещественнозначной
функции на n-мерном промежутке.
3. Интеграл по множеству. Мера Жор дана множества и ее
геометрический смысл. Критерий Лебега существования интеграла по измеримому
множеству. Линейность и аддитивность интеграла.
4. Оценки интеграла.
5. Сведение кратного интеграла к повторному: теорема Фубини и ее
важнейшие следствия.
6. Формула замены переменных в кратном интеграле. Инвариантность
меры и интеграла.
7. Несобственные кратные интегралы: основные определения,
мажорантный признак сходимости, канонические интегралы. Вычисление интеграла
Эйлера - Пуассона.
8. Поверхность размерности к в Еп и основные способы ее задания.
Абстрактное fc-мерное многообразие. Край fc-мерного многообразия как
(к — 1)-мерное многообразие без края.
9. Ориентируемые и неориентируемые многообразия. Способы задания
ориентации абстрактного многообразия и (гипер)поверхности в W1.
Ориентируемость края ориентируемого многообразия. Согласованная
ориентация многообразия и края.
10. Касательный вектор и касательное пространство к многообразию в
точке. Интерпретация касательного вектора как дифференциального
оператора.
11. Дифференциальная форма в области D СШП. Примеры:
дифференциал функции, форма работы, форма потока. Координатная запись
дифференциальной формы. Операция внешнего дифференцирования.
12. Отображение объектов и сопряженное отображение функций на этих
объектах. Преобразование точек и векторов касательных пространств в этих
точках при гладком отображении. Перенос функций и дифференциальных
форм при гладком отображении. Рецепт выполнения переноса форм в
координатном виде.
13. Коммутирование переноса дифференциальных форм с операциями их
внешнего умножения и дифференцирования. Дифференциальная форма на
многообразии. Инвариантность (корректность) операций над
дифференциальными формами.
14. Схема подсчета работы и потока. Интеграл от fc-формы по fc-мерной
гладкой ориентированной поверхности. Учет ориентации. Независимость ин-

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ 759
теграла от выбора параметризации. Общее определение интеграла от
дифференциальной fc-формы по fc-мерному компактному ориентированному
многообразию.
15. Формула Грина на квадрате, ее вывод, интерпретация и запись на
языке интегралов от соответствующих дифференциальных форм. Общая формула
Стокса. Редукция к fc-мерному промежутку и доказательство для fc-мерного
промежутка. Классические интегральные формулы анализа как конкретные
варианты общей формулы Стокса.
16. Форма объема в W1 и на поверхности. Зависимость формы объема от
ориентации. Интеграл первого рода и его независимость от ориентации.
Площадь и масса материальной поверхности как интегралы первого рода. Запись
формы объема fc-мерной поверхности Sk С Мп в локальных параметрах и
запись формы объема гиперповерхности 5n_1 С1пв декартовых координатах
объемлющего пространства.
17. Основные дифференциальные операторы теории поля (grad, rot, div)
и их связь с оператором d внешнего дифференцирования в евклидовом
ориентированном пространстве Ш3.
18. Запись работы и потока поля в виде интегралов первого рода.
Основные интегральные формулы теории поля в Е3 как векторная запись
классических интегральных формул анализа.
19. Потенциальное поле и его потенциал. Точные и замкнутые формы.
Дифференциальный необходимый признак точности формы и
потенциальности векторного поля, его достаточность в односвязной области. Интегральный
критерий точности 1-форм и векторных полей.
20. Локальная точность замкнутой формы (лемма Пуанкаре). Глобальный
анализ. Гомологии и когомологии. Теорема де Рама (формулировка).
21. Примеры приложений формулы Стокса (Гаусса-Остроградского):
вывод основных уравнений механики сплошной среды. Физический смысл
градиента, ротора и дивергенции.
22. Оператор набла Гамильтона и работа с ним. Градиент, ротор и
дивергенция в триортогональных криволинейных координатах.
Задачи, рекомендуемые к вопросам коллоквиума
Ниже за отделенным скобкой номером вопроса через тире идут номера
страниц и рекомендуемых задач, находящихся на этих страницах.
1)140 — 2,3. 2)141 — 4. 3) 145—1; 146 —3, 4. 4)151 — 1,2,152 — 3,4.
5)162 —6, 7; 280 —6- 6) 180 —9; 250 —5, 6. 7) 191 —1, 5; 192 —7. 8)204 — 2,3;
229—1; 230-4. 9) 212 — 1; 213 — 2, 3, 4; 251—11. 10) 409 — 1; 410 — 2.
11) 251 — 9; 411 — 3. 12) 412 — 4. 13) 251 — 8, 10. 14) 264 — 3, 4. 265 — 5;
269 — 9. 15) 297—1; 301 — 10, 13, 14. 16) 232 — 10; 280 — 5. 17) 323 — 1;
324 — 2. 18) 336—1, 2, 3; 337 — 4; 338 — 8. 19) 353 — 7; 355 — 13, 14.
20)354—11,12. 21) 301 —11; 324 —8. 22)324 — 4,5,6.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
III семестр
Ряды и интегралы, зависящие от параметра
1. Критерий Коши сходимости ряда. Теорема сравнения и основные
достаточные признаки сходимости (мажорантный, интегральный, Абеля-Ди-
оо
рихле). Ряд ((s) = Σ n~S'
n=l
2. Равномерная сходимость семейств и рядов функций. Критерий Коши
и основные достаточные признаки равномерной сходимости ряда функций
(мажорантный, Абеля - Дирихле).
3. Достаточные условия коммутирования двух предельных переходов.
Непрерывность, интегрирование, дифференцирование и предельный переход.
4. Область сходимости и характер сходимости степенного ряда. Формула
Коши - Адамара. Теорема Абеля (вторая). Тейлоровские разложения основных
элементарных функций. Формула Эйлера. Дифференцирование и
интегрирование степенного ряда.
5. Несобственный интеграл. Критерий Коши и основные достаточные
признаки сходимости (мажорантный, Абеля - Дирихле).
6. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от
параметра. Критерий Коши и основные достаточные признаки равномерной
сходимости (мажорантный, Абеля - Дирихле).
7. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование собственного
интеграла, зависящего от параметра.
8. Непрерывность, дифференцирование и интегрирование несобственного
интеграла, зависящего от параметра. Интеграл Дирихле.
9. Эйлеровы интегралы. Области определения, дифференциальные
свойства, формулы понижения, различные представления, взаимосвязь. Интеграл
Пуассона.

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
761
10. Дельтаобразные семейства функций. Теорема о сходимости свертки.
Классическая теорема Вейерштрасса о равномерном приближении
непрерывной функции алгебраическим многочленом.
11. Векторное пространство со скалярным произведением.
Непрерывность скалярного произведения и связанные с этим его алгебраические
свойства. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Теорема
Пифагора. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье. Примеры скалярных
произведений и ортогональных систем в пространствах функций.
12. Лемма о перпендикуляре. Экстремальное свойство коэффициентов
Фурье. Неравенство Бесселя и сходимость ряда Фурье. Условия полноты ор-
тонормированной системы.
13. Классический (тригонометрический) ряд Фурье в вещественной и
комплексной форме. Лемма Римана. Принцип локализации и сходимость
ряда Фурье в точке. Пример: разложение cos(ax) в ряд Фурье и разложение
sin(7nr)/7T£ в бесконечное произведение.
14. Гладкость функции, скорость убывания ее коэффициентов Фурье и
скорость сходимости ее ряда Фурье.
15. Полнота тригонометрической системы и сходимость в среднем
тригонометрического ряда Фурье.
16. Преобразование Фурье и интеграл Фурье (формула обращения).
Пример: вычисление / для f(x) := ехр(—а2х2).
17. Преобразование Фурье и оператор дифференцирования. Гладкость
функции и скорость убывания ее преобразования Фурье. Равенство Парсева-
ля. Преобразование Фурье как изометрия пространства быстро убывающих
функций.
18. Преобразование Фурье и свертка. Решение одномерного уравнения
теплопроводности.
19. Восстановление переданного сигнала по спектральной функции
прибора и принятому сигналу. Теорема отсчетов (формула Котельникова-
Шеннона) .
20. Асимптотическая последовательность и асимптотический ряд.
Пример: асимптотическое разложение функции Ei(#). Различие между
сходящимися и асимптотическими рядами. Асимптотика интеграла Лапласа (главный
член). Формула Стирлинга.

IV семестр
Интегральное исчисление (функции многих переменных)
1. Интеграл Римана на n-мерном промежутке. Критерий Лебега
существования интеграла.
2. Критерий Дарбу существования интеграла от вещественнозначной
функции на n-мерном промежутке.
3. Интеграл по множеству. Мера Жор дана множества и ее
геометрический смысл. Критерий Лебега существования интеграла по измеримому
множеству. Линейность и аддитивность интеграла.
4. Оценки интеграла.
5. Сведение кратного интеграла к повторному: теорема Фубини и ее
важнейшие следствия.
6. Формула замены переменных в кратном интеграле. Инвариантность
меры и интеграла.
7. Несобственные кратные интегралы: основные определения,
мажорантный признак сходимости, канонические интегралы. Вычисление интеграла
Эйлера - Пуассона.
8. Поверхность размерности к в W1 и основные способы ее задания.
Абстрактное fc-мерное многообразие. Край fc-мерного многообразия как
(к — 1)-мерное многообразие без края.
9. Ориентируемые и неориентируемые многообразия. Способы задания
ориентации абстрактного многообразия и (гипер) поверхности в W1.
Ориентируемость края ориентируемого многообразия. Согласованная
ориентация многообразия и края.
10. Касательный вектор и касательное пространство к многообразию в
точке. Интерпретация касательного вектора как дифференциального
оператора.
11. Дифференциальная форма в области D сШп. Примеры:
дифференциал функции, форма работы, форма потока. Координатная запись
дифференциальной формы. Операция внешнего дифференцирования.
12. Отображение объектов и сопряженное отображение функций на этих
объектах. Преобразование точек и векторов касательных пространств в этих
точках при гладком отображении. Перенос функций и дифференциальных
форм при гладком отображении. Рецепт выполнения переноса форм в
координатном виде.
13. Коммутирование переноса дифференциальных форм с операциями их
внешнего умножения и дифференцирования. Дифференциальная форма на
многообразии. Инвариантность (корректность) операций над
дифференциальными формами.
14. Схема подсчета работы и потока. Интеграл от fc-формы по fc-мерной
гладкой ориентированной поверхности. Учет ориентации. Независимость ин-

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
763
теграла от выбора параметризации. Общее определение интеграла от
дифференциальной fc-формы по fc-мерному компактному ориентированному
многообразию.
15. Формула Грина на квадрате, ее вывод, интерпретация и запись на
языке интегралов от соответствующих дифференциальных форм. Общая формула
Стокса. Редукция к fc-мерному промежутку и доказательство для fc-мерного
промежутка. Классические интегральные формулы анализа как конкретные
варианты общей формулы Стокса.
16. Форма объема в Еп и на поверхности. Зависимость формы объема от
ориентации. Интеграл первого рода и его независимость от ориентации.
Площадь и масса материальной поверхности как интегралы первого рода. Запись
формы объема fc-мерной поверхности Sk С W1 в локальных параметрах и
запись формы объема гиперповерхности 5n_1 Cln в декартовых координатах
объемлющего пространства.
17. Основные дифференциальные операторы теории поля (grad, rot, div)
и их связь с оператором d внешнего дифференцирования в евклидовом
ориентированном пространстве Е3.
18. Запись работы и потока поля в виде интегралов первого рода.
Основные интегральные формулы теории поля в Е3 как векторная запись
классических интегральных формул анализа.
19. Потенциальное поле и его потенциал. Точные и замкнутые формы.
Дифференциальный необходимый признак точности формы и
потенциальности векторного поля, его достаточность в односвязной области. Интегральный
критерий точности 1-форм и векторных полей.
20. Локальная точность замкнутой формы (лемма Пуанкаре). Глобальный
анализ. Гомологии и когомологии. Теорема де Рама (формулировка).
21. Примеры приложений формулы Стокса (Гаусса-Остроградского):
вывод основных уравнений механики сплошной среды. Физический смысл
градиента, ротора и дивергенции.
22. Оператор набла Гамильтона и работа с ним. Градиент, ротор и
дивергенция в триортогональных криволинейных координатах.

ЭКЗАМЕНАЦИОННОЕ ЗАДАНИЕ
(математический анализ, третий семестр)
1. Рассмотрим последовательность {/п} вещественнозначных функций,
определенных, например, на отрезке [0,1].
a) Какие виды сходимости последовательности функций вы знаете?
b) Дайте определение каждой из них.
c) Какова связь между ними? (Докажите эту связь или приведите
поясняющий пример, когда такой связи нет.)
2. Дана 27г-периодическая функция /. Она тождественно равна нулю на
интервале ] — π, 0[ и f(x) = 2х на отрезке [0, π]. Найдите сумму 5 стандартного
тригонометрического ряда Фурье этой функции.
3. а) Известно разложение функции (1 +х)~г в степенной ряд
(«геометрическая прогрессия»). Получите отсюда степенное разложение функции 1п(1+я)
и обоснуйте ваши действия.
b) Каков радиус сходимости полученного ряда?
c) Сходится ли этот ряд при χ = 1 и, если да, будет ли его сумма равна
In 2? Почему?
4. а) Известно, что спектральная функция (характеристика) ρ
линейного прибора (оператора) Л всюду отлична от нуля. Как, зная функцию ρ и
полученный сигнал д = Л/, найти переданный сигнал /?
Ь) Пусть функция ρ такова: ρ(ω) = 1 при \ω\ ^ 10 и ρ(ω) = 0 при \ω\ >
> 10. Пусть известен спектр д (преобразование Фурье) принятого сигнала #,
а именно, д(и) = 1 при \ω\ ^ 1 и д(ш) = 0 при \ω\ > 1. Наконец, пусть известно,
что входной сигнал / не содержит частот за пределами частот, пропускаемых
прибором А (т.е. за пределами частот \ω\ ^ 10). Найдите входной сигнал /.
5. Используя Г-функцию Эйлера и метод Лапласа, получите весьма
ценную асимптотическую формулу Стирлинга п\ ~ \/2πη 1-) .

ПРОМЕЖУТОЧНОЕ КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
(математический анализ, четвертый семестр)
1. Вычислите значения приведенных ниже форм ω в W1 на указанных
наборах векторов:
a) ω = x2dxl на векторе ξ = (1,2,3) Ε ТЩг 2 3);
b) ω = dx1 Λ dx3 + xldx2 Λ dx4 на упорядоченной паре векторов ξι,ξ2 G
^™(i,o,o,o)· (Полагаем^ = (#,...,#),& = (Й,··· ,Й)0
2. Пусть Z1,... , /п — гладкие функции аргумента ж = (х1,... , χη) Ε ln.
Выразите форму df1 Λ ... Λ d/n в терминах форм dx1,... , d#n.
3. В области Del3 действует векторное поле сил F. Рассчитываем
работу, необходимую для перемещения в этом поле из точки а Ε D в точку Ь Ε D
вдоль гладкого пути η С D.
a) Напишите формулу для подсчета этой работы в виде интеграла первого
и второго рода (т.е. в терминах ds и dx,dy,dz соответственно).
b) Проверьте, что в гравитационном поле F эта работа не зависит от пути
и равна ... ?
4. а) В области Del3 имеется векторное поле V (например, поле
скорости некоторого течения). Напишите формулу для подсчета потока
векторного поля V через ориентированную поверхность 5 = S+ С D в виде интеграла
первого и второго рода (т.е. в терминах da и dy Λ dz, dz Λ dx, dx Λ dy
соответственно) .
b) Взят выпуклый многогранник Del3. На каждой его грани построен
вектор, направленный вдоль внешней нормали и по величине равный площади
соответствующей грани. Физика говорит, что сумма этих векторов равна
нулю (иначе построим вечный двигатель). Математика дает то же. Покажите
это.
c) Прямым расчетом выведите закон Архимеда (подсчитайте
выталкивающую силу, действующую на тело, погруженное, например, в наполненную
водой ванну, как результирующую давления на поверхность тела).

ДОПОЛНЕНИЕ 1
РЯД КАК ИНСТРУМЕНТ
(вводная лекция)
В геологии сначала найдут, разведают месторождение, а потом
разрабатывают. В математике так же. Аксиоматика и полезный формализм
возникают как результат решения конкретных вопросов и задач. Они
не падают с неба, как это может показаться неопытному студенту,
когда всё начинается с аксиом.
Этот семестр в значительной степени посвящен рядам, т. е. по
существу пределу последовательности. Чтобы замечательно эффективный
аппарат теории рядов не свелся к абстрактному исследованию
сходимости ряда (существованию некоего предела), дадим хотя бы начальное
представление о том, где и как работает этот инструмент.
0. Разминка
а) Букашка на резинке (задача, предложенная Л. Б. Окунем А. Д.
Сахарову).1)
• Вы держите один конец резинового шнура длиной 1 км. От
второго его конца, который закреплен, к вам со скоростью 1 см/с ползет
букашка. Каждый раз, как только она проползает 1 см, вы растягива-
х'Мартин Гарднер в своей книге «Путешествие во времени» (Москва, Мир, 1990,
с. 133) пишет: «Эту замечательную задачу в духе парадокса Зенона об Ахиллесе и
черепахе придумал Д. Уилкин из Новой Каледонии. Впервые она была опубликована в
декабре 1972 г. в разделе занимательных задач французского ежемесячника „Science
et Vie", который с присушим ему блеском ведет Пьер Берлокен».

ДОПОЛНЕНИЕ 1. РЯД КАК ИНСТРУМЕНТ
767
ете резинку на 1 км. Доползет ли букашка до вашей руки? Если да, то
приблизительно сколько ей на это потребуется времени?
b) Интеграл и оценка сумм.
После некоторого размышления для ответа на предыдущий вопрос
вам может оказаться полезной сумма Sn = l + - + - + ...-\—.
2 3 η
η j
• Вспомните интеграл и покажите, что Sn — 1 < Г -dx < Sn-\.
ι х
c) От обезьяны до доктора наук всего 106 лет.
Литлвуд в своей известной книжке «Математическая смесь», говоря
о больших числах, писал, что 106 лет — время, необходимое для
превращения обезьяны в доктора наук1).
• Поспеет ли букашка на защиту или хотя бы к концу света?
1. Экспонента
а) Степенные разложения функций exp, cos, sin.
Согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
ех = 1 + -х + -х2 + ... + —хп + гп(х),
где гп(х) = (п + 1)!е^ · xn+1 и \ξ\ < |х|;
1 1 (—1)п
cos χ = 1 - —χ2 + —χ4 - ... + -j^TT^2n + r2n(s),
где r2n(x) = j^y cos (ί + \{2n + 1)) χ2"*1 и \ξ\ < |χ|;
sinx = χ _ ^3 + i_x5 _ + Jzll!_x2n+i + Γ2η+ι(χ)5
где r2n+1(x) = -^—^sin [ξ + \{2n + 2)) x2^2 и |ξ| < |x|.
Поскольку при η —» оо для любого фиксированного значения χ £ R
остаточный член в каждой из приведенных формул, очевидно, стремит-
Дж. Литлвуд, Математическая смесь. Москва, Физматлит, 1962, с. 111.

768
ДОПОЛНЕНИЕ 1. РЯД КАК ИНСТРУМЕНТ
ся к нулю, то пишут
sinx = χ --χ3 +-χ5 - + ^~^П χ2η+1 +
SmX Χ Vх +5\Χ '"+(2п + 1)!Ж +'"
b) Выход в комплексную область и формула Эйлера.
Подставим в правую часть первого из этих равенств вместо χ
комплексное число ix. Тогда после простых арифметических
преобразований мы вслед за Эйлером получим замечательное соотношение
егх = cos x + г sinx.
Положив здесь χ = π, найдем, что ег7Г + 1 = 0. Это знаменитое
равенство, соединяющее фундаментальные константы математики: е —
анализ, i — алгебра, π — геометрия, 1 — арифметика, 0 — логика.
Мы определили функцию ехр для чисто мнимых значений аргумента
и получили формулу Эйлера егх = cos χ + г sinx, из которой, очевидно,
также следует, что
cosx = -(eix + e~ix) и sinx = —(eix - e~ix).
Δι Lib
c) Экспонента как предел.
Мы знаем, что (1 + - 1 —> ех при η —> оо и χ £ Ш. Естественно
полагать, что ez := lim (1 Η— ) , где теперь ζ = х+гу — произвольное
п->оо \ п/
комплексное число. Подсчет этого предела дает ez = ex(cosy + г sin у).
• Проверьте это и получите формулы для cos z и sin z.
d) Умножение рядов и основное свойство экспоненты.
Выражение ex(cosy + г sin у) для ех+гу естественнее получить прямо
из соотношения ех+гу = ехегу', если, конечно, оно справедливо и для
комплексных значений аргумента функции ехр.

ДОПОЛНЕНИЕ 1. РЯД КАК ИНСТРУМЕНТ
769
Проверим это прямым умножением. Пусть и и ν — комплексные чи-
ОО л ОО л
ела. Полагал еи := Σ ~йик η ev := Σ —ν™! находим
к=0 к- т=0 ™"
\к=0 / \т=0 / к=0т=0
ОО ОО
^-ί ^ k\m\ ^<nr '
η=0 к+т=п η=0
eu+v.
Мы здесь воспользовались тем, что ]П ' }ukvm = (и + г;)п, по-
к+т=п
скольку uv = vu.
е) Экспонента от матрицы и роль коммутативности.
А что если в выражении
eA = 1+hA+j\A2+'"+hAn+-
считать А квадратной матрицей, полагая, что и 1 обозначает
единичную матрицу I того же размера? Например, если А — единичная
матрица, то, как легко проверить, еА окажется диагональной матрицей с
элементами е на главной диагонали.
• Вычислите ехр А для следующих матриц А:
'О 1 0>
О О
О О Г \0
; -°о· (-0,1). (! ю- С ί)· b χ i
о о о>
• Пусть А\и А2 — последние две матрицы второго порядка.
Найдите eAl, еА<2 и убедитесь, что е^1 · еА<2 φ eAlJrA2. В чем тут дело?
• Покажите, что etA = I + tA + o(t) при t —> 0.
• Проверьте, что det(J + tA) = 1 + t · (tr A) + o(t), где tr A — след
квадратной матрицы А.
• Выведите важное соотношение: deteA = etrA.
f) Экспонента от оператора и формула Тейлора.
Пусть Р(х) —многочлен, а, А = — —оператор дифференцирования.
Тогда (АР)(х) = <£(х) = Р'(х).

770
ДОПОЛНЕНИЕ 1. РЯД КАК ИНСТРУМЕНТ
• Проверьте, что соотношение exp(t—)Р(х) = Р(х + t) является
знакомой вам формулой Тейлора.
• Кстати, сколько членов ряда для ех надо взять, чтобы получить
многочлен, позволяющий вычислять ех на отрезке [—3,5] с точностью
до 10"2?
2. Бином Ньютона
a) Степенное разложение функций (1 +х)а.
Зная для натуральных значений а формулу степени бинома
ζ-. \с* л а a(a-l) о α(α - I)... (а - η + I) „
(I + х)а = I + -х + 2, V + ... + -^ }—^ }-хп + ... ,
Ньютон понял, что она справедлива для любых а, только сумма при
этом может быть бесконечной.
Например, (I + χ)~ι = I — χ + χ2 — χ3 + ..., если |х| < I.
b) Интегрирование ряда и разложение ln(l + х).
Проинтегрировав последний ряд по отрезку [0, х], найдем, что
ln(l + χ) = χ — -χ2 + -χ3 + ... при \х\ < Ι.
Δ ο
c) Разложения (Ι + χ2)~ι и arctgx.
Аналогично написав разложение (I + χ2)-1 = 1 — χ2 + χ4 — χ6 + ...
и проинтегрировав его по отрезку [0, х], получим разложение
1 з 1 в
arctg χ = χ - -х + -х - · · · ,
3 5
из которого при χ = 1 вроде бы следует, что -7 = 1 — - + - — - + ...
Может быть это и так (и действительно это так), но чувствуется,
что мы уже выходим на границы дозволенного. Следующий пример
только усилит наши опасения.
d) Разложение (1 — х)-1 и вычислительные странности.
При χ = 1 разложение (1 + х)-1 = 1 — х + х2 — х3 + ... приводит к
равенству - = 1 — 1 + 1 — 1 + ...
Расставив в нем скобки, можно получить - = (1 —1) + (1 —1) + ... = 0,
а можно получить и - = 1 + (—1 + 1) + (—1 + !) + ... = !.

ДОПОЛНЕНИЕ 1. РЯД КАК ИНСТРУМЕНТ
771
После такого приходится ставить под сомнение почти все, что мы
так успешно и беззаботно делали, перемножая бесконечные суммы
(ряды), переставляя и группируя в них члены, интегрируя их. Во всем этом
явно надо разобраться. Этим мы вскоре займемся, а пока упомянем еще
одну область использования рядов.
3. Решение дифференциальных уравнений
a) Метод неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим простейшее уравнение χ + χ = 0 гармонических
колебаний и будем искать его решение в виде ряда x(t) = ао + a\t + a2t2 + ...
Подставляя ряд в уравнение, собирая члены с одинаковыми
степенями t и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в обеих
частях уравнения, получим бесконечную систему соотношений:
2а2 + а0 = О, 2 · За3 + «ι = 0, 3 · 4а4 + а2 = О,
Если начальные условия х(0) = хо и х'(0) = г;о даны, то из x(t) =
ао + a\t + α2ί2 + ... и x'(t) = а\ + a2t + ... при t = 0 находим ао = хо и
а\ = vo- Зная ао и αχ, теперь можно последовательно однозначно найти
остальные коэффициенты разложения.
Например, если х(0) = 0 и х'(0) = 1, то
*(*) = *-^3 + ^5-...=sint,
а если х(0) = 1 и х'(0) = 0, то
*(t) = l-^t2 + ^t4-... = cost.
b) Использование экспоненты.
А что если решение искать в виде x(t) = βλί? Тогда χ + χ =
= ext(X2 + 1) = 0 и, следовательно, λ2 + 1 = 0, т. е. λ = г или λ = —г.
Но что это за странные комплексное колебания x(t) = elt, x(t) = e~lt
или x(t) = c\elt + c2e~lt ?
• Проанализируйте ситуацию и доделайте все же задачу до конца,
например, если х(0) = 0 и х'(0) = 1 или если х(0) = 1 и х'(0) = 0.
Вспомните формулу Эйлера и сравните ваши результаты с полученными
выше.

772
ДОПОЛНЕНИЕ 1. РЯД КАК ИНСТРУМЕНТ
4. Общая идея приближения и разложения
a) Смысл позиционной системы счисления. Иррациональные числа.
Вспомним, что означает привычная запись π = 3,1415926... или
вообще десятичная дробь ао5 оцо^з · · · Ведь это сумма аоЮ° Η-αχΙΟ-1 +
+ α210-2+α310-3 + ...
Мы знаем, что конечные дроби отвечают рациональным числам, а
запись иррационального числа требует бесконечного числа десятичных
знаков и, следовательно, требует рассмотрения бесконечного числа
слагаемых и бесконечных сумм — рядов.
Если мы обрываем этот ряд на каком-то месте, мы получаем
рациональное число. С ним мы обычно и работаем. Что при этом произошло?
Мы упростили объект, позволив себе некоторую ошибку. Т. е. мы
приближаем сложный объект (здесь иррациональное число) удобными нам
объектами (здесь рациональными числами), допуская при этом
некоторую ошибку, которую называем точностью приближения. Улучшение
точности приводит к усложнению приближающего объекта.
Компромисс приходится искать в соответствии с конкретными
обстоятельствами.
b) Разложение вектора по базису и аналогии в рядах.
В линейной алгебре и геометрии мы раскладываем векторы по
базису. Традиционная для анализа запись
№ = /(0) + ^f'(0)x + i/" (0)z2 + ...
фактически означает то же самое, если считать, что базисом является
набор функций еп — хп. Это ряд Тейлора функции / в точке #о — 0.
Аналогично, если какой-то периодический сигнал или процесс f(t)
подвергают спектральному анализу, то интересуются его разложени-
оо
ем f{t)= Σ CLncosnt + Ьп sin nt на простейшие гармонические КОлеба-
ния. Такие ряды называются классическими (или
тригонометрическими) рядами Фурье.
Новое, что тут имеет место в сравнении с ситуацией линейной
алгебры, состоит в том, что рассматривается бесконечная сумма, которая
понимается как некоторый предел конечных сумм.
Значит, кроме структуры линейного пространства, в пространстве
наших объектов должно быть определено то или иное понятие близости

ДОПОЛНЕНИЕ 1. РЯД КАК ИНСТРУМЕНТ
773
объектов, позволяющее говорить о пределе последовательности самих
объектов или их сумм.
с) Расстояние.
Близость объектов определяется наличием того или иного понятия
окрестности объекта (окрестности точки пространства). Это
называется заданием топологии пространства. В топологических
пространствах можно говорить о пределе и непрерывности.
Если в пространстве тем или иным способом введено расстояние
между объектами — точками пространства, то автоматически
определена и окрестность точки, и даже точнее, любая ее ί-окрестность.
Расстояние между точками одного и того же пространства
можно измерять по-разному. Например, расстояние между двумя
непрерывными функциями на отрезке можно измерять максимумом модуля
разности функций на этом отрезке (равномерная метрика), а можно
измерять величиной интеграла от модуля разности функций на этом
отрезке (интегральная метрика). Выбор метрики диктуется
содержанием рассматриваемой задачи.

ДОПОЛНЕНИЕ 2
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
(вывод и первое обсуждение формулы замены
переменных1))
1. Постановка вопроса и эвристический вывод
формулы замены переменных
Рассматривал интеграл в одномерном случае, мы получили в свое
время важную формулу замены переменной в таком интеграле. Теперь
наша задача состоит в том, чтобы найти формулу замены переменных
в общем случае. Уточним вопрос.
Пусть Dx— множество в Rn, / — интегрируемая на Dx функция,
а φ: Dt —» Dx— отображение t \-> φ(ί) множества Dt С W1 на Dx.
Спрашивается, по какому закону, зная / и φ, находить функцию ψ в Dt
так, чтобы иметь равенство
[ f{x)dx= [i/>(t)dt,
Ac Dt
позволяющее сводить вычисление интеграла по Dx к вычислению
интеграла по Dt?
Предположим сначала, что Dt есть промежуток I С IRn, а φ: I —>
—> Dx — диффеоморфное отображение этого промежутка на Dx.
Любому разбиению Ρ промежутка / на промежутки /χ, 1^ ..., /fc
соответствует разложение Dx на множества φ{1%), г = !,...,&. Если все эти
^Фрагмент лекций с альтернативным и независимым доказательством формулы
замены переменных.

ДОПОЛНЕНИЕ 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 775
множества измеримы и пересекаются попарно лишь по множествам
меры нуль, то в силу аддитивности интеграла
J f(x)dx = Yi J f(x)dx. (1)
Dx i=1 ¥>('<)
Если / непрерывна на Dx, то по теореме о среднем
}{χ)άχ = }{ξί)μ{ψ{Ιί)\
I
где & е φ(Ι%). Поскольку ffa) = ί{φ{η)), где η = φ~ι{ξΐ), то нам
остается связать μ(φ(Ι{)) с μ{1%) = \Ii\-
Если бы φ было линейным преобразованием, то ψ(Ι%) был бы
параллелепипедом, объем которого, как известно из аналитической
геометрии и алгебры, был бы равен \άβίφ'\μ(Ιΐ). Но диффеоморфизм
локально является почти линейным отображением, поэтому если размеры
промежутков 1{ достаточно малы, то с малой относительной
погрешностью можно считать, что μ(φ(Ι{)) « |det φ'(τί)\μ(Ι{) (можно показать,
что при некотором выборе точки Т{ £ 1% будет иметь место даже точное
равенство). Таким образом,
к f
Σ / №
к
Λτ » 5^/(v»(7-i))|det ν»'(τ<)1 * №1- (2)
i=\{h) <=1
Но справа в этом приближенном равенстве стоит интегральная
сумма от функции f ((p(t))\det φ'(t)\ no промежутку J, отвечающая
разбиению Ρ этого промежутка с отмеченными точками т. В пределе при
Х(Р) -> О из (1) и (2) получаем
J f(x)dx = J f&m*et<P'(t)\dt· (3)
Dx Dt
Это и есть искомая формула вместе с ее объяснением.
Намеченный путь к ней можно пройти со всеми обоснованиями. Собственно,
нам надо только показать законность последнего предельного
перехода, предполагавшего, что стоящий в (3) справа интеграл существует, а
также уточнить использованную связь μ(φ(Ι^) « |dety/(ri)| · \Ii\.
Проделаем это.

776 ДОПОЛНЕНИЕ 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
2. Некоторые свойства гладких отображений
и диффеоморфизмов
a) Напомним, что любое гладкое отображение φ замкнутого
ограниченного промежутка / С 1п (как и любого выпуклого компакта)
является липшицевым. Это следует из теоремы о конечном
приращении и ограниченности ψ' (в силу непрерывности) на компакте:
lv(*2)-¥>(*i)l< sup ||^И11-1*2-*i| <i|*2-*i|. (4)
r€[ti,t2]
b) Это, в частности, означает, что при отображении φ расстояние
между точками не может увеличиться более, чем в L раз.
Например, если какое-то множество Ε С I имело диаметр d, то
диаметр его образа ψ(Ε) не больше чем Ld, и множество φ(Ε) можно
покрыть (n-мерным) кубиком с ребром величины Ld и объемом (Ld)n.
Так, если Ε — n-мерный кубик с ребром δ и объемом ίη, то
его образ покрывается стандартным координатным кубиком объема
{Ly/ES)n.
c) Из этого следует, что при гладком отображении образ множества
меры нуль также является множеством меры нуль (в смысле п-мерной
меры). [Ведь в определении множества меры нуль, как легко заметить,
можно ограничиться покрытиями из кубиков вместо покрытий общими
п-мерными промежутками — «прямоугольными параллелепипедами».]
Если гладкое отображение φ: Dt —» Dx к тому же имеет и гладкое
обратное отображение φ~ι: Dx —> Dt, т.е. если φ — диффеоморфизм,
то, очевидно, и прообраз множества меры нуль тоже имеет меру нуль.
d) Поскольку при диффеоморфизме якобиан dety/ отображения
всюду отличен от нуля, а само отображение взаимно однозначно, то
(в силу теоремы об обратной функции) внутренние точки любого
множества при таком отображении переходят во внутренние точки образа
этого множества, а граничные точки — в граничные точки образа.
Вспоминая определение допустимого (измеримого по Жордану)
множества как ограниченного множества, граница которого имеет
меру нуль, можем заключить, что при диффеоморфизме образ
измеримого множества также является измеримым множеством.
(Это верно и для любых гладких отображений.) Но для
диффеоморфизмов еще и прообраз измеримого множества, очевидно, является
измеримым множеством.

ДОПОЛНЕНИЕ 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 777
е) Последнее, в частности, означает, что если ψ: Dt —» Dx —
диффеоморфизм, то из существования интеграла, стоящего в левой части
доказываемой формулы (3), вытекает (на основании критерия Лебега)
и существование интеграла, стоящего справа.
3. Связь мер образа и прообраза при диффеоморфизме
Покажем теперь, что если φ: I —> φ(Ι)—диффеоморфизм, то
μ(φ(Ι)) = idet φ'{t)dt, (5)
в предположении положительности подынтегральной функции dety/.
Отсюда по теореме о среднем, в частности, получится, что найдется
такая точка τ £ J, что
μ(φ(Ι))=άβίφ'(τ)\Ι\. (6)
Формула (5) фактически есть частный случай формулы (3), когда
Для линейных отображений она известна, хотя, возможно, без
обсуждения деталей, связанных с тем, что она справедлива по отношению
к линейным отображениям не только простейших параллелепипедов,
но и любых измеримых множеств. Поясним это. Известно, что
линейное отображение раскладывается в композицию простейших, которые,
с точностью до возможной перестановки пар координат, сводятся к
изменению только одной из них: умножению на число или добавлению к
одной из координат другой. Теорема Фубини позволяет сказать, что в
первом случае объем любого измеримого множества умножится на тот
же множитель, что и умножаемая координата (точнее, на его модуль,
если рассматриваются неориентированные объемы). Во втором случае
фигура хотя и меняется, но ее объем остается прежним, поскольку
соответствующие одномерные сечения лишь сдвигаются, сохраняя
линейную меру. Наконец, перестановка пары координат меняет ориентацию
пространственного репера (определитель такого линейного
преобразования равен —1), но не меняет значения неориентированного объема
фигур. (На языке теоремы Фубини это просто смена порядка двух
интегрирований.)

778 ДОПОЛНЕНИЕ 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
Остается вспомнить, что детерминант композиции линейных
отображений является произведением детерминантов сомножителей.
Итак, считая, что для линейных и аффинных отображений
формула (5) уже установлена, докажем ее для произвольного
диффеоморфизма с положительным якобианом.
a) Воспользуемся еще раз теоремой о конечном приращении, но
теперь чтобы оценить возможное отклонение отображения φ: I —> φ(Ι)
от аффинного отображения t \-> A(t) = φ(α) + φ'(α)(ί — α), где t —
переменная, а а — фиксированная точка промежутка 7. Отображение
А: I —> А(1) есть просто линейная часть тейлоровского разложения
отображения φ в точке а £ I.
Применяя к функции t \-> φ(ί) — φ'(α)(ί — а) теорему о конечном
приращении, находим
\ip(t) - φ(α) - if/(a)(t - а)\ < sup \\φ'{τ) - φ\α)\\ · |t - α\. (7)
re[a,t]
Учитывая равномерную непрерывность непрерывной функции ψ' на
компакте J, из (7) заключаем, что существует неотрицательная
функция δ \-> ε(ί), стремящаяся к нулю при δ —> +0, такая что для любых
точек i,aE/Cln
\t-a\^y/nS => \(p(t)-A(t)\ = \<p(t)-(p(a)-(p'(a)(t-a)\ ζ ε{δ)δ. (8)
b) Теперь перейдем непосредственно к доказательству формулы (5).
Позволим себе сначала маленькое техническое облегчение: будем
считать, что длины ребер параллелепипеда I соизмеримы и,
следовательно, его можно разбить на одинаковые кубики {1{} сколь угодно
малого размера ребер δι = δ и объема δ{η = ίη, т.е. I = \JI{ и \1\ =
г г
В каждом кубике 1{ фиксируем некоторую точку сц, построим
соответствующее аффинное отображение Ai(t) = φ(αι) — φ'(α{)(ί — a*),
рассмотрим образ А{(д1{) границы д1{ кубика 1{ при отображении А{ и
возьмем £(£)£-окрестность этого образа, которую обозначим через Δ^.
В силу (8) образ <р(д1{) границы дЦ кубика Ц при диффеоморфизме
φ лежит в Δ$. Значит, имеют место следующие включения и
неравенства:
Аг{1г)\АгС<р{1г)сМ1{)иАг
\МЬ)\-\Ы^\<р{Ь)\^\МЫ\ + \Ы·

ДОПОЛНЕНИЕ 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 779
Суммируя их, находим, что
Σ \мт - Σ ιδ*ι < hj)i = Σ и*)1 < Σ iA'№)i+Σ ι^ι· w
г г г г г
Но при £ -> +0
J2\MIi)\ = ^2 det φ'(ai)\Ii\ -> f det<p'(t)dt,
г г j
поэтому для доказательства формулы (5) в нашем случае осталось
проверить, что Σι 1^г| —> 0 при δ —> +0.
c) Оценим сверху объем |Δ^|, опираясь на оценки (4) и (8). Согласно
(4) ребра параллелепипеда A{(Ii) имеют длину не большую, чем Li, где
δ = δί — длина ребра кубика 7^. Поэтому (п — 1)-мерная «площадь»
каждой из 2п граней параллелепипеда Ai(I{) не больше чем (L6)n~l. Мы
берем £(£)£-окрестность такой грани. Ее объем оценивается величиной
(2 + 2)ε(ί)ί(£ί)η_1, где вторая двойка написана для поглощения вклада
скругленных частей этой окрестности, возникающих около края самой
грани. Таким образом, |Δ*| < 2π · ΑΣη~ιε(δ)δη, поэтому
Σ |Δ<| < SnLn-1 Σ ε(δ)% = 8nLn-^(i)|/|,
г г
и мы видим, что Σ% \Δ{\ —> 0 при δ —> +0.
d) Проведенная оценка величины \А{\ заодно показывает, что сколь
угодно малое уменьшение ребер исходного промежутка J, которое,
возможно, следовало бы сделать, чтобы получить их соизмеримость, в
пределе не влияет на результат.
4. Некоторые примеры, замечания и обобщения
Итак формула (3) для случая Dt = I и непрерывной функции /
доказана. Рассмотрим и обсудим некоторые примеры. Эти обсуждения
заодно покажут, что на самом реле мы уже доказали формулу (3) не
только для Dt = I и не только для непрерывной функции /.
а) Пренебрежимые множества. Используемые на практике замены
переменных или формулы преобразования координат иногда имеют те
или иные особенности (например, где-то может быть нарушение взаим-

780 ДОПОЛНЕНИЕ 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ
ной однозначности, обращение в нуль якобиана или отсутствие
дифференцируемое™). Как правило, эти особенности бывают на множествах
меры нуль и потому сравнительно легко преодолеваются.
Например, если нам нужно перейти от интеграла по кругу к
интегралу по прямоугольнику, мы часто делаем замену переменных
x = rcos<£, y = rsmcp. (10)
Это хорошо известные формулы перехода от полярных координат к
декартовым на плоскости. При этом отображении прямоугольник I =
{(г, ψ) G R2 | 0 ^ г ^ R, 0 ^ φ ^ 2π} преобразуется в круг К =
{(я, у) £ R2 | х2 + у2 ^ R2}. Это отображение гладкое, но оно не
является диффеоморфизмом: вся сторона прямоугольника J, на которой
г = 0, переходит при этом отображении в одну точку (0,0); образы
точек (г, 0) и (г, 2π) совпадают. Однако если рассмотреть, например,
множества I \ 31 и К \ Е, где Ε — объединение границы дК круга К и
радиуса, идущего в точку (0, Д), то ограничение отображения (10) на
область I \д1 окажется ее диффеоморфизмом на область К \ Е.
Значит, если вместо прямоугольника I взять лежащий строго внутри него
чуть меньший прямоугольник /$, то к нему и его образу К$
применима формула (6). А тогда, исчерпывая прямоугольник I такими
прямоугольниками Is и замечая, что при этом их образы К§ исчерпывают
круг К, что \1$\ —> \1\ и \К$\ -> \К\, в пределе получаем формулу (6)
применительно к самой исходной паре К, I.
Сказанное, естественно, относится и к общей полярной
(сферической) системе координат в W1.
Разовьем сделанное наблюдение.
Ь) Исчерпания и предельные переходы.
Исчерпанием множества Ε С IRm будем называть такую
последовательность измеримых множеств {Еп}, что Еп С Еп+\ С Ε при любом
оо
η е N и (J Еп = Е.
п=1
Лемма. Если {Еп} —исчерпание измеримого множества Е, то
a) lim μ(Εη) = μ(Ε);
П—УОО
b) для любой функции / £ 11(E) также /|яп £ ΤΖ(Εη) и
lim / f(x)dx= / f(x)dx.
n-юоу J
En Ε

ДОПОЛНЕНИЕ 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ 781
< (а) Поскольку Еп С Εη+χ С Е, то μ(Εη) ^ μ(£7η+ι) ^ μ(Ε)
и lim μ(Εη) ^ μ^). Для доказательства равенства а) покажем, что
п—юо
выполняется также неравенство lim μ(Εη) ^ μ(Ε).
η—юо
Граница дЕ множества Ε — компакт меры нуль, поэтому ее
можно покрыть конечным числом открытых промежутков, сумма объемов
которых меньше наперед заданной величины ε > 0. Пусть Δ —
объединение всех этих открытых промежутков. Тогда множество О = Ε U Δ
открыто в Rm, причем по построению О содержит замыкание Ε
множества Ε и μ(0) ^ μ(Ε) + μ(Δ) < μ(Ε) + ε.
Для каждого множества Еп исчерпания {Еп} повторим описанное
построение со значением εη = ε/2η. Получим последовательность
открытых множеств Оп = Еп U Δη таких, что Еп С Οη, μ(Οη) ^ μ(Εη) +
оо оо
+ μ(Δη) < μ(£η) +εη и (J On D (J #n D E.
Система открытых множеств Δ, Οι, Ο2,... образует открытое
покрытие компакта Ε.
Пусть Δ, Οι, (?2,..., Ο^ — извлеченное из него конечное покрытие
компакта Е. Поскольку Е\ С Еч С ... С Е^, то множества Δ, Δχ,...
... , Δ^, £Jfc тоже образуют покрытие Ε и, значит,
μ(Ε) < μ(£) < μ(βΛ) + μ(Δ) + μ(Δχ) + ... + μ(Δ*) < μ(^) + 2ε.
Отсюда следует, что μ(Ε) ^ lim μ(Εη).
Π—УОО
(Ь) То, что }\еп G 1Ζ(Εη), нам хорошо известно и следует из
критерия Лебега существования интеграла по измеримому множеству. По
условию / £ 11(E), значит, существует постоянная Μ такая, что \f(x)\ ^
^ Μ на Е. Из аддитивности интеграла и общей оценки интеграла
получаем
f(x)dx- f(x)dx\ = \ / f(x)dx
Ε Εη
Ε\Εη
^Μμ(Ε\Εη).
Отсюда с учетом доказанного в а) заключаем, что утверждение Ь)
действительно справедливо. ►
Аддитивность интеграла и возможность исчерпания области
интегрирования такими областями, где формула замены переменных
заведомо действует, позволяет применять ее и к исходным областям.
Вообще, идея исчерпания лежит в основе многих конструкций анализа, в
частности в основе определения несобственного интеграла.

ДОПОЛНЕНИЕ 3
МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
И ФУНКЦИИ ОЧЕНЬ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
(концентрация мер и законы больших чисел)
0. Наблюдение
Почти весь объем многомерного тела находится в малой
окрестности границы тела.
a) Проверьте это на примерах куба и шара. Покажите, что если с
тысячемерного арбуза радиуса 1 метр снять корку толщины 1 см, то
останется меньше тысячной доли исходного арбуза.
b) Если сферу Sn~l(r) С IRn ортогонально спроектировать на
гиперплоскость, проходящую через центр сферы, то получится шар
(дважды покрытый) той же размерности η — 1 и того же радиуса г.
Учитывая полученное выше, заметьте (пока на качественном уровне), что
почти вся площадь сферы Sn~l(r) при η » 1 сосредоточена в малой
окрестности экватора — пересечения сферы и указанной
гиперплоскости.
1. Сфера и случайные векторы
а) Сфера Sn~l (г) радиуса г с центром в начале координат п-мерного
евклидова пространства W1 проектируется ортогонально на
координатную ось. Получается отрезок [—г,г]. Фиксируем отрезок [а, Ь] С
С [—г, г]. Пусть S[a,b]—площадь той части 5£~у(г) сферы £п_1(г),
которая проектируется в отрезок [а, Ь]. Найдите отношение Γία' J,,

ДОПОЛНЕНИЕ 3. МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ФУНКЦИИ 783
т.е. вероятность Ргп[а,Ь] того, что случайно выбранная точка сферы
окажется в слое S^~^(r) над отрезком [а, Ь], считая, что точки
распределены по сфере равномерно.
Ответ:
/(l-(x/r)2)^dx
Ргп[а,ь] = ^ :—·
/ (1 - (x/r)2) V dx
—г
b) Пусть δ £ (0,1) и [а,Ь] = [ir,r]. Покажите, что при η —> оо
Prn[«5r,r]~-^=e-^52-.
όν2ππ
Указание: можно воспользоваться методом Лапласа получения
асимптотики интеграла по большому параметру.
c) Из полученного в пункте Ь) результата следует, что подавляющая
часть площади многомерной сферы сосредоточена в малой окрестности
экваториальной плоскости — в слое S^SrSJr) над отрезком [—ir, Sr].
Выведите отсюда, что если в W1 взять случайно и независимо пару
единичных векторов, то при п> 1 с большой вероятностью они
окажутся почти ортогональными, т.е. их скалярное произведение будет
близко к нулю. Оцените вероятность того, что это скалярное
произведение окажется больше ε > О и подсчитайте его дисперсию при π ^> 1.
d) Развивая результат, полученный в пункте а), покажите, что
когда г = ау/п, то при η —> оо
1 Г —
Ргп[а,Ь] -> -=^ е *°*dx.
V 2πσ J
е) Учитывая полученный в пункте d) результат, получите теперь
закон Гаусса распределения ошибок измерений и законы Максвелла
распределения молекул газа по скоростям и энергиям (считая в первом
случае, что измерения независимы и их среднее квадратичное
стабилизируется с ростом количества наблюдений, а во втором случае — что
газ однороден и совокупная энергия молекул в порции газа
пропорциональна количеству молекул в этой порции).

784 ДОПОЛНЕНИЕ 3. МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ФУНКЦИИ
2. Многомерная сфера, закон больших чисел
и центральная предельная теорема
Решал эту задачу, «откройте» следующий важный во многих
отношениях (например, для статистической физики) факт.
Пусть Sm — единичная сфера в евклидовом пространстве Rm_fl
очень большой размерности т + 1. Пусть на сфере задана достаточно
регулярная (например, из некоторого фиксированного класса
Липшица) вещественнозначная функция. Берем случайно и независимо друг
от друга пару точек на сфере и вычисляем в них значения нашей
функции. С большой вероятностью эти значения будут почти одинаковы и
близки к некоторому числу Mf.
(Это, пока еще гипотетическое, число Mf называют медианным
значением функции или медианой функции. Его также называют средним
значением функции в смысле Леей. Мотивировка терминов вскоре
прояснится вместе с точным определением Mf.)
Введем некоторые обозначения и соглашения. Договоримся
расстояние между точками сферы Sm С Rm+1 понимать в смысле ее
геодезической метрики ρ. Через As обозначим ί-окрестность в Sm множества
А С Sm. Поднормируем стандартную меру сферы, заменив ее
равномерно распределенной вероятностной мерой μ, т.е. /х(5т) = 1.
Справедливо следующее утверждение, доказанное Полем Леви и
именуемое обычно изопериметрическим неравенством Леви.
Для любых 0<а<1и6>0 существует Ώήη{μ(Αβ) \ А С 5т, μΑ =
= а} и он достигается на сферической шапочке меры а.
Здесь А0 = Б(г), где В (г) = В(х0,г) = {х е Sm \ ρ(χ0,χ) < г} и
μ(Β(ν)) = а.
a) При а = 1/2, т.е. когда А0 — полусфера, получите следствие:
если подмножество А С Sn+l такое, что μ(Α) ^ 1/2, то μ(Α$) ^
^ 1 - у/п/8е~6 п/2. (При η —> оо здесь у/п/8 можно заменить на 1/2.)
b) Обозначим через Mf такое число, для которого
p{i6Sm|/(x)^M/}^l/2 и μ{χ € Sm | f(x) > Mf} > 1/2.
Его-то и называют медианой или средним в смысле Леви значением
функции }: Sm —» R (Если Му-уровень функции / на сфере имеет

ДОПОЛНЕНИЕ 3. МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ФУНКЦИИ 785
нулевую меру, то мера каждого из указанных двух множеств будет в
точности равна половине μ-площади сферы Sm.)
Получите следующую лемму Леви:
если f е C{Sn+l) и А = {χ е Sn+1 | f(x) = Mf}, то μ{Αδ) >
> 1 - ^фе-ь2п12.
c) Пусть теперь ω/(δ) = sup{|/(x) - f(y)\ \ g(x,y) < δ} — модуль
непрерывности функции f.
Значения функции / на множестве As близки к Mf. Точнее, если
ω/(ί) ^ ε, то \f(x) — Mf\ ^ ε на As. Таким образом, лемма Леви
показывает, что «хорошие» функции на самом-то деле почти постоянны
на почти всей области определения 5т, когда ее размерность т очень
велика.
Считая, что / £ Lip(5n_1,R) и L — константа Липшица для
функции /, оцените Рг{|/(х) — Mj\ > ε} и дисперсию величины \f(x) — Mf\
при η > 1.
d) Выполните предыдущие оценки в случае, когда функция /
определена не на единичной сфере, а на сфере Sn~l(r) радиуса г.
e) Если / — гладкая функция, то в качестве константы
Липшица L для нее, очевидно, может служить максимум модуля ее
градиента. Например, для линейной функции Sn = -(х\ + ... + хп) имеем
L = Ln = —=. Пусть имеется последовательность липшицевых функций
fn £ L\p(Sn 1(rn), R), для которых Ln = О I —=. I при том, что τη — л/п.
Оцените Рг{|/П(х) — Mfn\ > ε} и дисперсию величины \fn(%) — Mfn\
при η > 1.
В частности, когда /п = 5П, получите стандартный закон больших
чисел.
f) Пусть fn = χι +... +хп · Уровни этой функции — гиперплоскости
в Rn, ортогональные вектору (1,... , 1). То же можно сказать и о
линейной функции Ση = —}={х\ + . ·. + хп) с той разницей, что при движении
из начала координат в направлении (1,... ,1) ее значения совпадают с
расстоянием до начала координат. По этой причине на сфере Sn~l(rn)
они распределены так же, как любая из координат.
Используя это наблюдение и результат задачи l.d), полагая гп =
= Оу/п, получите ваш вариант центральной предельной теоремы.

786 ДОПОЛНЕНИЕ 3. МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ФУНКЦИИ
3. Многомерный промежуток (многомерный «куб»)
a) Пусть I— стандартный единичный отрезок [0,1] числовой
прямой R, а Iй — стандартный п-мерный промежуток в Rn, обычно
именуемый π-мерным единичным кубом. Это единица объема в Кп, но ее
размеры у/п при η » 1 весьма внушительны. Значит, даже липшицева
функция с константой Липшица L может на 1п иметь разброс значений
в пределах Ly/n.
Тем не менее здесь, как и в рассмотренном выше случае сферы,
имеет место явление асимптотической стабилизации (концентрации)
значений таких функций при η —> оо.
Попробуйте теперь сами найти нужные формулировки и провести в
соответствии с ними исследование вопроса до посильного вам уровня.
(Затем просмотрите еще раздел 5 этого добавления.)
b) Если бы мы имели η независимых случайных величин х^
принимающих значения на единичном отрезке [0,1] и имеющих распределения
вероятностей Pi(x), которые равномерно по г отделены от нуля (в
частности, все Рг(х) могут быть одинаковы), то с ростом η подавляющая
часть случайных точек (ж χ,... , хп) £ 1п окажется в непосредственной
близости границы куба.
Объясните это и, учитывая результаты пункта а), получите ваш
обобщенный закон больших чисел.
c) Покажите на примере, что если плотности вероятностей
случайных величин пункта Ь) сосредоточить в вершинах куба в виде точечных
масс, то асимптотической стабилизации значений липшицевых
функций при η —> оо может не быть.
d) Выше мы отметили, что хотя объем куба 1п в W1 равен
единице, его диаметр у/п при π ^> 1 растет, что создает трудности. Однако
справедливо следующее полезное компенсирующее наблюдение: если
каждое из двух подмножеств А и В куба 1п имеет меру, большую сколь
угодно малого фиксированного положительного числа ε, то расстояние
между А и В ограничено сверху константой, зависящей только от ε (и
не зависящей от π).
Проверьте это и, если нужно, воспользуйтесь этим.
e) Подсчитайте объем единичного шара в М.п и убедитесь, что
радиус шара единичного объема при η —> +оо растет как у/п/(2пе).
Вернитесь к разделам 1, 2 и убедитесь еще раз, что нормальное распределение

ДОПОЛНЕНИЕ 3. МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ФУНКЦИИ 787
и примыкающие к нему законы в геометрическом аспекте тесно
связаны с простым многомерным объектом — шаром единичного объема.
4. Гауссовские меры и их концентрация
a) В связи с обсуждением наблюдаемой стабилизации (постоянства)
значений регулярной функции на многомерной сфере мы сказали в
разделе 2 этого дополнения об изопериметрическом неравенстве на сфере.
Такой же вопрос о минимизации меры ί-раздутия множества важен и по
тем же причинам интересен также по отношению к другим
пространствам, которые служат естественными областями определения нужных
функций.
Например, для гауссовских вероятностных мер, определяемых
нормальным распределением вероятностей в стандартном евклидовом
пространстве Rn, ответ на этот вопрос тоже известен (получен Борелем).
В этом случае экстремальной областью (с исходно фиксированным
значением гауссовской меры и ^-раздутием, понимаемым в евклидовой
метрике) оказывается полупространство.
В частности, если взять полупространство гауссовской меры - и
непосредственно вычислить значение гауссовской меры дополнения к его
евклидову ί-раздутию, то, учитывая упомянутое изопериметрическое
неравенство Бореля, можно заключить, что для любого множества А,
имеющего в пространстве W1 гауссовскую меру -, меру его δ-раздутия
можно оценить снизу в виде μ(Α$) ^ 1 — 1$, где 1$ — интеграл от плот-
, ,-R ( Ы2\
ности (2π) 2 exp I — 1у- I гауссовской меры по полупространству,
удаленному от начала координат на евклидово расстояние δ.
Оценка интеграла Is сверху позволяет, например, утверждать, что
μ(Α§) ^ 1 — 2ехр I — — ). Проверьте это!
b) Это грубая оценка, но и она показывает быстрый рост μ(Α$) при
увеличении ί, каково бы ни было исходное множество А меры -.
Очень интересно (а учитывая возможные переходы в
бесконечномерные пространства, даже весьма полезно) заметить, что последняя
оценка не зависит от размерности пространства. Может показаться,
что отсутствие здесь размерности пространства—большая потеря и
слабость оценки в контексте обсуждаемой концентрации меры и ста-

788 ДОПОЛНЕНИЕ 3. МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ФУНКЦИИ
билизации значений функций многих переменных. На самом деле, эта
оценка фактически содержит в себе даже результат о концентрации
меры на единичной сфере большой размерности, обсуждавшийся выше.
Достаточно проверить (проверьте!), что основная часть гауссовской
вероятностной меры евклидова пространства W1 при π » 1
сосредоточена в единичной окрестности евклидовой сферы радиуса у/п. Значит,
в пересечении этой окрестности с полупространством, заметно
удаленным от начала координат, доля этой меры экспоненциально мала.
Таким образом, основная часть меры оказывается в той части
окрестности сферы радиуса у/п, которая попадает в слой между двумя
близкими параллельными гиперплоскостями, симметричными относительно
начала координат. Если, сделав это наблюдение, теперь гомотетией
перейти от сферы радиуса у/п к единичной сфере, то получится принцип
концентрации меры на единичной сфере, который мы обсуждали
выше (проведите нужные вычисления!). В нем размерность пространства
присутствует явно. Она присутствовала и в гауссовском случае, но
была спрятана в размере у/п сферы, в окрестности которой сосредоточена
основная доля меры всего пространства.
5. Еще немного о многомерном кубе
В евклидовом пространстве W1 рассмотрим n-мерный единичный
промежуток («куб»)
Г
:= \х = (х\ ... ,хп) е Шп I \х*\ < ^,г = 1, 2, ,п\.
Его объем равен 1, хотя диаметр равен у/п. (Напомним, кстати,
что евклидов шар единичного объема в W1 имеет радиус порядка у/п,
о чем уже было сказано выше.) Будем считать стандартную меру
вероятностной равномерно распределенной мерой на кубе Iй.
Пусть а = (а1,... , ап) —единичный вектор, ах = (х1,... , хп) —
произвольная точка куба 1п.
Справедливо следующее неравенство (оценка вероятности типа
неравенства Бернштейна): Ргп
П
Интерпретируя сумму ]П агхг как скалярное произведение (а, х), по-
г=1
нимаем, что оно может быть большим (порядка у/п), если вектор а на-

ДОПОЛНЕНИЕ 3. МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ФУНКЦИИ 789
править не вдоль какого-то одного ребра куба, а вдоль главной
диагонали, смешивал все координатные направления в равной степени. Взяв
/ 1 1 \
а = -7=,... ,—= , на основании указанной оценки заключаем, что
\у/п y/nj
объем n-мерного куба 1п с ростом η концентрируется в относительно
малой окрестности гиперплоскости, проходящей через начало
координат ортогонально вектору
В частности, если рассматривать биллиард в таком кубе как
динамическую систему (газ) из невзаимодействующих частиц, то при η ^> 1
подавляющее большинство траекторий частиц будет идти в
направлении, почти перпендикулярном фиксированному вектору
находясь большую долю времени в окрестности указанной выше
гиперплоскости.
Заметим также, что сечение куба этой выделенной гиперплоскостью
будет становиться все более «круглым» по мере роста размерности п.
6. Кодирование сигнала в канале с шумом
Укажем в заключение еще одну область, где функции очень
большого числа переменных тоже появляются естественным образом и где
принцип концентрации меры проявляется и используется тоже по
существу.
Мы уже привыкли к цифровому (дискретному) кодированию и
передаче сигнала (музыки, изображения, сообщения — информации) по
каналу связи. В таком виде сообщение можно себе мыслить как
вектор χ = (я1,... ,хп) в пространстве W1 очень большой размерности.
На передачу такого сообщения затрачивается энергия Е,
пропорциональная ||х||2 = |хх|2 +... + |хп|2 (подобно рассмотренной выше
суммарной кинетической энергии молекул газа). Если Τ — продолжительность
передачи сообщения х, то Ρ — Ε /Τ — средняя мощность,
затрачиваемая на передачу одного символа (одной координаты вектора х). Если
Δ — среднее время, затрачиваемое на передачу одной координаты
вектора х, то Τ = ηΔ и Ε = пРА.
Передающее и принимающее устройства согласованы так, что
передатчик преобразует (кодирует) подлежащее передаче исходное
сообщение в форму вектора х, отправляет его по каналу связи, а приемник,
(v^'-'v^J
(ν^'···'0ί)

790 ДОПОЛНЕНИЕ 3. МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ФУНКЦИИ
знал код, расшифровывает я, преобразуя его в форму исходного
сообщения.
Если нам надо передать Μ сообщений -Αχ,... , Ам длины π, то
достаточно в шаре радиуса Ε = пРА фиксировать Μ точек αχ,... ,ам->
согласовав этот выбор с приемным концом канала связи. Если в канале
связи нет помех, то, получив вектор а из согласованного набора,
приемник безошибочно декодирует его в соответствующее сообщение А.
Если же в канале связи есть помехи (что обычно и случается), то
помеха, случайный вектор ξ = (ξ1,... ,£п), сместит передаваемый вектор
α и на приемник поступит вектор а + £, который надо будет правильно
расшифровать.
Если точки αχ,... ,ам были выбраны так, что шары радиуса ||£|| с
этими центрами не пересекаются, то однозначная расшифровка еще
возможна. Но если соблюдать это требование, то уже нельзя брать
сколько угодно точек αχ,... ,ам-> и возникает проблема плотной
упаковки шаров. Это сложная задача, решения которой в
рассматриваемой ситуации, как показал Шеннон, можно избежать, учитывая, что
размерность η пространства W1 здесь огромна.
Позволим себе иногда ошибаться при расшифровке принятого
сообщения. Потребуем, однако, чтобы вероятность ошибки была сколь
угодно мала (меньше любого фиксированного положительного числа).
Шеннон показал, что даже при наличии в канале связи случайных
помех (белый шум) любой ограниченной мощности, выбирая достаточно
длинный код (т.е. при больших значениях π), можно добиться
скорости передачи сколь угодно близкой к скорости передачи информации
по каналу без шума, при этом со сколь угодно малой вероятностью
ошибки.
Геометрическая идея теоремы Шеннона непосредственно связана с
обсуждавшимися выше особенностями распределения меры (объема)
областей в пространстве большой размерности. Поясним это.
Предположим, что два одинаковых шара в пространстве W1
пересекаются. Если принятый сигнал окажется в этом пересечении, то
возможна ошибка в расшифровке переданного сообщения. Но если
вероятность попадания в какую-то область считать пропорциональной
относительному объему области, то естественно сравнить объем
пересечения шаров с объемом шара. Проведем нужную оценку. Если центры
двух шаров радиуса 1 находятся на взаимном расстоянии ε (0 < ε < 2),
то пересечение этих шаров содержится в шаре радиуса у/l — {ε/2)2 с

ДОПОЛНЕНИЕ 3. МНОГОМЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ФУНКЦИИ 791
центром в середине отрезка, соединяющего центры исходных шаров.
Значит, отношение объема пересечения двух исходных шаров к
собственному объему каждого из них не превосходит (1-(ε/2)2)η/2. Теперь
ясно, что при любом фиксированном значении ε эта величина может
быть сделана сколь угодно малой за счет выбора достаточно большого
значения п.

ЛИТЕРАТУРА
I. Классика
1. Первоисточники
Ньютон И.
a. Математические начала натуральной философии. (Перевод с
латинского в кн.: Крылов А. Н. Собрание трудов. Т. 7. — Л.-М.: Изд-во
АН СССР, 1936, с. 57-662.)
b. Математические работы. — М.-Л.: ОНТИ, 1937.
Лейбниц Г. В. Избранные отрывки из математических сочинений.
Успехи матем. наук, 1948, т.З, вып. 1, с. 165-205.
2. Важнейшие систематические изложения предмета
Эйлер Л.
a. Введение в анализ бесконечных. В 2-х т. — М.: Физматгиз, 1961
b. Дифференциальное исчисление. — М.-Л.: Гостехиздат, 1949.
c. Интегральное исчисление. В 3-х т. — М.: Гостехиздат, 1956-1958.
Коши О. Л.
a. Алгебраический анализ. — Лейпциг: Бэр и Хэрманн, 1864.
b. Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном
исчислении. — СПб.: Имп. Акад. наук, 1831
3. Классические курсы анализа первой половины XX столетия
Валле-Пуссен Ш.-Ж. Курс анализа бесконечно малых. В 2-х т. М.-Л.:
ГТТИ, 1933.
Гурса Э. Курс математического анализа. В 2-х т. М.-Л.: ОНТИ, 1936.

П. УЧЕБНИКИ
793
II. Учебники1)
Архипов Г. И., Садовничий В. Α., Чубариков В. Н. Лекции по
математическому анализу. — М.: Высшая школа, 2000.
Ильин В. Α., Садовничий В. Α., Сендов Б. X. Математический
анализ. В 2-х ч. Изд. 2-е, перераб. — М.: Изд-во Моск. ун-та. 4.1, 1985.
4.11,1987.
Камынин Л. И. Курс математического анализа. В 2-х ч. — М.: Изд-во
Моск. ун-та. Ч. I, 1993. Ч. II, 1995.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х т. — М.: Высшая
школа. Т. I, II, 1988. Т. III, 1989.
Никольский С. М. Курс математического анализа. В 2-х т. — М.:
Наука, Физматлит, 1990.
III. Учебные пособия
Виноградова И. Α., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи
и упражнения по математическому анализу. — М.: Изд-во Моск. ун-та,
1988.
Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу. — М.: Наука, Физматлит, 1990.
Макаров Б. М., Голузина М. Г., Лодкин Α. Α., Подкорытов
А. Н. Избранные задачи по вещественному анализу. — М.: Наука,
Физматлит, 1992.
Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. В 2-х ч. —
Новосибирск: Изд-во Инс-та матем. Ч. I, книги 1 и 2, 1999. Ч. II, книги 1 и 2,
2000, 2001.
Рудин У. Основы математического анализа. Изд. 2-е. — М.: Мир, 1976.
Шилов Г. Е.
a. Математический анализ. Функции одного переменного. — М.: Наука,
Физматлит, 1969. 4.1-2, 1969. Ч.З, 1970.
b. Математический анализ. Функции нескольких вещественных
переменных. Ч. 1-2. — М.: Наука, Физматлит, 1972.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального
исчисления. В 3-х т. Изд. 7-е, стереот. — М.: Наука, Физматлит, 1969.
^Приведенные в этом разделе книги допущены Минвузом СССР, рекомендованы
Комитетом по высшей школе Миннауки России или Министерством образования
Российской Федерации в качестве учебников для студентов, обучающихся по
специальностям «Математика», «Прикладная математика», «Механика», «Прикладная
математика и информатика».

794
ЛИТЕРАТУРА
IV. Дополнительная литература
Александров П. С, Колмогоров А. Н. Введение в теорию функций
действительного переменного. — М.: ГТТИ, 1938.
Альберт Эйнштейн и теория гравитации. Сб. статей. (Сборник
фундаментальных работ математиков и физиков, связанных со становлением и
развитием современного представления о пространстве, времени и
материи. Издан к 100-летию со дня рождения А.Эйнштейна.) — М.: Мир,
1979.
Арнольд В. И. Математические методы классической механики. Изд. 3-е,
перераб. и доп. — М.: Наука, Физматлит, 1989.
Босс В. Лекции по математике. Анализ. — М.: Едиториал УРСС, 2004.
Де Брейн. Асимптотические методы в анализе. — М.: Изд-во
иностранной литературы, 1961.
Бурбаки Н. Очерки по истории математики. (В том числе статья
«Архитектура математики».) — М.: Изд-во иностранной литературы, 1963.
Вейль Г. Математическое мышление. — М.: Наука, Физматлит, 1989.
Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. — М.: Мир,
1967.
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — М.: Наука, Физматлит,
1971.
Дубровин Б. Α., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная
геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, Физматлит, 1986.
Дьедонне Ж. Основы современного анализа. — М.: Мир, 1964.
Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции. — М.:
Наука, Физматлит, 1962.
Зельдович Я. Б., Мышкис А. Д. Элементы прикладной математики.
— М.: Наука, Физматлит, 1967.
Зорич В. А. Математический анализ задач естествознания. — М.:
МЦНМО, 2008.
К ар тан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы.
— М.: Мир, 1971.
Клейн Ф. Очерки о развитии математики в XIX столетии. — М.: Наука,
Физматлит, 1989.
Колмогоров А. Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и
функционального анализа. Изд. 4-е, перераб. — М.: Наука, Физматлит, 1976.
Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия.—
М.: Наука, Физматлит, 1986.

IV. ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
795
Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В
2-х т. — М.: Наука, Физматлит, 1970.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.Н. Теория
поля. — М.: Наука, Физматлит, 1967.
Манин Ю. И. Математика и физика. — М.: Знание, 1979. — (Новое в
жизни, науке, технике. Серия: Математика, кибернетика; №12.)
Мил нор Дж. Теория Морса. — М.: Мир, 1965. — (Библиотека сборника
«Математика».)
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных
многообразиях. — М.: Мир, 1971.
Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. — М.: Наука,
Физматлит, 1990.
Полна Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. В 2-х т. Изд.3-е. —
М.: Наука, Физматлит, 1978.
Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.:
Наука, Физматлит, 1974.
Пуанкаре А. О науке. — М.: Наука, Физматлит, 1990.
Спивак М. Математический анализ на многообразиях. — М.: Мир, 1971.
Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа . В 2-х ч.
Изд. 2-е. — М.: Физматгиз, 1962-1963.
Федорюк М. В. Метод перевала. — М.: Наука, 1977.
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по
физике.
Т. I. Современная наука о природе; законы механики. — М.: Мир, 1965.
Т. 4. Кинетика, теплота, звук. — М.: Мир, 1965.
Т. 5. Электричество и магнетизм. — М.: Мир, 1966.
Т. 6. Электродинамика. — М.: Мир, 1966.
Т. 7. Физика сплошных сред. — М.: Мир, 1966.
Хал мош П. Конечномерные векторные пространства. — М.: Наука,
Физматлит, 1963.
Шварц Л. Анализ. В 2-х т. — М.: Мир, 1972.
Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Том IV. — М.: Наука, 1967. (В
том числе статьи «Мотивы научного исследования» (с. 39-41) и «Физика
и реальность» (с. 200-227).)

УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Логические символы
=> — логическое следование (импликация)
<=$> — логическая эквивалентность (равносильность)
:= Ί равенства по определению; двоеточие
=: J со стороны определяемого объекта
Множества
Ε — замыкание множества Ε — 8
дЕ — граница множества Ε —141
о
Ε := Е\ дЕ — внутренность (открытая часть) множества Ε
В (χ, г) —шар с центром в точке χ радиуса г — 6
S(x1r) — сфера с центром в точке χ радиуса г — 7
Пространства
(X, d) —метрическое пространство X с метрикой d— 1
(X, τ) — топологическое пространство X с системой τ открытых
множеств—11
W1 (Сп) — арифметическое n-мерное вещественное (комплексное)
пространство
Ε1 = Ε (С1 = С) — множество вещественных (комплексных) чисел
χ = (ж1,... ,хп) —координатная запись точки n-мерного пространства
С(Х, У) — множество (пространство) непрерывных на X функций со
значениями в Υ — 471
С [а, Ь] — сокращенное обозначение для С ([а, 6], Ж) или С ([а, 6], С)
С^ (Χ, Υ) — множество к раз непрерывно дифференцируемых
отображений из X в У —92, 104
CW [α, b] — сокращенное обозначение для С^ ([а, Ь], Ж) или С^ ([а, Ь], С)
Ср[а, Ь] — пространство С[а, Ь], наделенное нормой ||/||р — 55
C<i\a, b] — пространство С [а, Ь] с эрмитовым скалярным произведением
(fid) функций или с нормой средне квадратичного уклонения

УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
797
11(E)—множество (пространство) функций, интегрируемых по Риману
на множестве Ε—143
Ща, Ь]—сокращенное обозначение для 11(E) при Ε = [α, b]
ΊΖ(Ε) —пространство классов интегрируемых по Риману функций,
совпадающих почти всюду на Ε —147
ΊΖΡ(Ε) (ΊΖΡ(Ε))—пространство ΊΖ(Ε), наделенное нормой ||/||р
7^2(#) (712(E))—пространство ΊΖ(Ε), наделенное эрмитовым скалярным
произведением функций (/, д) или нормой средне квадратичного уклонения
Т1р[а,Ь], ΊΖ2(Ε)—сокращенные обозначения для 1ΖΡ(Ε), ΊΖΡ(Ε) при Ε =
= [a,b]
С(Х; Υ) (С(Х\,..., Χη\ Υ)) — пространство линейных (η-линейных)
отображений из X (Χχ χ ... χ Χη) в У — 69
ΤΜΡ или Τ Μ (ρ), ΤΡΜ, ΤΡ(Μ) — пространство, касательное к поверхности
(многообразию) Μ в точке ρ € Μ — 397, 398
S — пространство Шварца быстро убывающих функций — 678
V(G) — пространство основных финитных функций в области G — 546, 571
V'(G) — пространство обобщенных функций в области G — 546, 571
V — сокращенное обозначение для V(G) при G = W1 —546, 571
V — сокращенное обозначение для V'(G) при G = W1 —546, 571
Метрики, нормы, скалярные произведения
d(x\1X2) — расстояние между точками х\1Х2 в метрическом пространстве
(X,d)-1
|ж|, ||х|| — модуль (норма) вектора χ Ε Χ в линейном нормированном
пространстве X — 52
||Л|| — норма линейного (полилинейного) оператора А — 64
II/Ир :— (f\f\p(x) dx)x/p,p ^ 1 — интегральная норма функции / — 55
Ε
Ц/Иг — норма средне квадратичного уклонения (||/||р при ρ = 2)
(α, b) — эрмитово скалярное произведение векторов а, Ь — 56
(f,g) := j(f · g)(x)dx — эрмитово скалярное произведение функций
/,0-589
а - Ь — скалярное произведение векторов а, Ь в Е3 —305
а х Ь или [а, Ь] — векторное произведение векторов а, b в Е3 — 305
(а, 6, с) — смешанное произведение векторов а, 6, с в Е3 — 237
Функции
g о / — композиция (суперпозиция) функций / и g
f~l —функция, обратная к функции /
f(x) — значение функции / в точке х; функция от χ
f(xl,..., χη) — значение функции / в точке χ = (χ1,..., χη) Ε Χ п-мерно-
γο пространства Χ; функция, зависящая от η переменных χι,...,χη
supp/ — носитель функции / — 531

798
УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
J f(x) — скачок функции / в точке χ — 549, 574
{ft\t Ε Τ} — семейство функций, зависящих от параметра t Ε Τ — 432
{/η5^ € Ν} или {/η} — последовательность функций — 428
ft —> f на Ε — сходимость семейства функций {ft; t Ε Τ} κ функции / на
множестве Ε при базе В в Τ — 433
ft =3 / на Ε — равномерная сходимость семейства функций {ft\t Ε Τ} κ
в
функции / на множестве Ε при базе В в Τ — 433
/ = о(д) при В "| асимптотические формулы (символы
/ — 0(g) при В > сравнительного асимптотического поведения
f ~ д или f ~ д при В J функций / и д при базе В) — 703
оо
f(x)— Σ ψη(χ) ПРИ β — разложение в асимптотический ряд — 708
п=1
V(x) —функция Дирихле — 429
ехр А — экспонента от линейного оператора А — 84
В (α, β) — бета-функция Эйлера— 515
Τ (а) — гамма-функция Эйлера— 515
χ — характеристическая функция множества Ε —142
Дифференциальное исчисление
/' (х)) /* (х)) df (χ) ,Df(x) — касательное к / отображение (дифференциал /)
в точке χ — 75, 401
—lj,dif(x),Dif(x) —частная производная (частный дифференциал) в точ-
ох
ке χ = (х1,... ,жп) по переменной хг от функции /, зависящей от переменных
х\...,хп — 86
Dvf(x) —производная функции / по вектору υ в точке χ — 99, 399
V — оператор набла Гамильтона — 310
grad / — градиент функции / — 242
div А — дивергенция векторного поля А — 243
rot В — ротор (вихрь) векторного поля В — 243
Интегральное исчисление
μ(Ε) — мера множества Ε —144
f f(x)dx
ff(x\...,xn)dx1...dxn
f'--ff(x\...,xn)dx1...dxn
Ε
J dy f f (x, y) dx — повторный интеграл — 153
γ χ
fPdx + Qdy + Rdz,}
Ί Ι криволинейный интеграл (второго рода) или ра-
fF-ds, f(F,ds) [бота поля F = (Р, Q, R) вдоль пути 7 — 251, 277
7 7 /
интеграл от функции /
по множеству Ε С Шп —131, 142

УКАЗАТЕЛЬ ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
799
j f ds — криволинейный интеграл (первого рода) от функции / вдоль кри-
7
вой 7 — 276
JfPdyAdz + QdzAdx + RdxAdyA интегРал (второго рода) по
J ς I поверхности Ь в Mr; поток
f fF-άσ, f f(F,da), [ поля F = (P,Q,R) через
s s J поверхность 5 — 257,277
j j f da — поверхностный интеграл (первого рода) от функции / по по-
S
верхности 5 — 276
Дифференциальные формы
ω (ωρ) — дифференциальная форма (степени р) — 236, 402
ωρ Λ uq — внешнее произведение форм шр,шя — 233, 369
du—(внешний) дифференциал от формы ω — 241
fu — интеграл от формы ω по поверхности (многообразию) Μ — 261,
м
263, 406
ωρ := (F(x), ·) —форма работы— 236
ω γ := (V(x),·,·) — форма потока — 237

предметный указатель
Указатель алфавитный; основой входа как правило является объект (дифференциал,
закон, интеграл, многообразие, теорема, форма, явление и т.п.).
Для удобства читателя некоторая часть терминов доступна несколькими
путями: например, «Функция дельта Дирака», «Дельта-функция Дирака» и «(^-функция»,
или «Значение несобственного интеграла главное (в смысле Коши)» и «Главное
значение несобственного интеграла ...»
Кроме того, в некоторых случаях (см., например, «Кратный интеграл», «Ряд
функций» или «Ряд Фурье») через знак ~ присоединены указания о расположении
основных относящихся к объекту фактов.
(^-окрестность б
(^-функция 330
ε-сеть 21
η-пространство 18
Т2 -пространство 18
^-формула 699
fc-мерный объем 224
к-иуть 301
п-й момент 477
n-мерный диск 215
р-форма 236
р-цикл 422
Абсолютная сходимость
несобственного интеграла 495
— ряда 441, 442
Адиабата 266
Адиабатическая постоянная 268
Алгебра внешняя 371, 374, 375
— Грассмана 371, 374, 375
Алгебра Ли 88
— форм 367
кососимметрических 371
— функций 474
вещественная 474
комплексная 474
самосопряженная 478
разделяющая точки 475
Альтернирование 368
Амплитуда 661
Амплитудная модуляция 692
Анализ функции гармонический
(спектральный) 661
Аппаратная функция 529, 554
Аппроксимативная единица, см. дель-
таобразное семейство
Асимптотика 702, 703
— гамма-функции 732, 741, 748
— интеграла канонического 729
Лапласа 731, 735, 751

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
801
Асимптотика интеграла Фурье 747,
752, 754
— полиномов Лежандра 734
— функции Бесселя 733
вероятности ошибок 739
Асимптотическая задача 702
— оценка 703
равномерная 719
— последовательность 708
— формула 703
—эквивалентность 703
Асимптотические методы 702
Асимптотический нуль 709
— ряд 708
степенной 714-717
Асимптотическое равенство 703
— разложение 707, 708
в смысле Эрдейи 718
равномерное 719
— совпадение функций 709
Атлас поверхности (многообразия)
195, 376
— аналитический 381
— гладкий 381
— класса С(к) 381
— ориентирующий 209, 386
Атласы эквивалентные по гладкости
382
— по ориентации 210, 386
База в множестве разбиений 130
— топологии 13
— топологического пространства 13
Базис векторного пространства 606
Бета-функция (Эйлера) 515-516
Бикомпакт 19
Брахистохрона 112-114
Бутылка Клейна 203
Вектор касательный к многообразию
398, 400, 410
— собственный оператора 611
Векторное поле 410
гладкое 411
Векторный потенциал 348
магнитного поля 354-355
Векторы ортогональные 588, 611
Величины одного порядка 703
Вес (топологического пространства)
13
Вихрь (ротор) векторного поля 309
Вложение каноническое 412
Внешнее произведение 369
— умножение 233
Внешний дифференциал 241, 404, 411
Внешняя алгебра 371, 374-375
Внешняя точка 7, 16
Внутреннее произведение 414-415
Внутренняя точка 7, 16
Волновое уравнение 363, 686
неоднородное 363
однородное 363
Гамма-функция (Эйлера) 515,
517-528
Гамма-функция неполная 718
Гармоническая функция 337
сопряженная с данной 365
Гармонические компоненты 661
Гармонические многочлены 617
Гармонический анализ 661
Гаусса - Остроградского формула
287, 576-577
в векторном анализе 327
Гессиан 754
Гипергеометрическое уравнение 463
Гипрегеометрический ряд 463
Главное (в смысле Коши) значение
несобственного интеграла 187
Гладкие структуры 394
Гомеоморфизм 39
Гомологии 422
Гомотопическая группа 351
Гомотопия 345
Гомотопные пути 346
Градиент 242, 307, 321, 333
—, физическая интерпретация 333
Граница куба 421
— сингулярного куба 422
Граничная точка 7, 16
Граничный цикл 422
Грассманова алгебра 371, 374 - 375
Группа гомологии 351, 422
— гомотопическая 351

802
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Группа когомологий многообразия
420, 426
— Ли 88, 396
— непрерывная 88, 396
— преобразований дискретная 395
— топологическая 88, 396
Двойной слой 585
Дельта-функция 330, 529, 534, 542,
544, 558, 571, 659, 660, 698
Дельтаобразное семейство функции
535
Деформация (замкнутого пути) 345
Дзета-функция Римана 526
Дивергенция 243, 307
—, физическая интерпретация
328-329
Диполь 352
Дипольный момент 352
Диск п-мерный 215, 378
Дискретная группа преобразований
395
Диффеоморфизм простейший 170
Дифференциал внешний 241, 404, 411
— отображения 75
— полный 86
— порядка η 98
— формы 241, 404, 411
— частный 86
Дифференциальная форма 236
замкнутая 349, 416
класса С(к) 241, 403
на гладкой поверхности 248
на многообразии 402
нулевого порядка 240
, ограничение (сужение) на
подмногообразие 412
потока векторного поля 237
работы поля 236
точная 349, 416
финитная 406
Дифференциальное уравнение с
разделяющимися переменными 269
Дифференциальный оператор 573
самосопряженный 573
сопряженный данному 573
Дифференциальный оператор,
транспонированный по отношению к
данному 573
Дифференцирование 75
— в точке многообразия 410
— интеграла, зависящего от
параметра 482, 502, 568
по жидкому объему 586
— кольца 400
— на многообразии 410, 412
— обобщенной функции 548, 550
— ряда функций 460
Фурье 637
— семейства функций, зависящего от
параметра 458
— степенного ряда 460
Единичная ступенька 549
Задача асимптотическая 702
— о брахистохроне 112
— о кратчайшей 111
— о кривой скорейшего спуска 112
— Штурма-Лиувилля 615
Закон Ампера 278
— Архимеда 290
— Био - Савара 280
— Гаусса 337
— Кулона 329
— Ньютона 339
— распределения нормальный 555
— Фарадея 277
Замена переменных в интеграле
162-173, 187-189
Замкнутое множество в метрическом
пространстве б
в топологическом пространстве
13
Замыкание 8, 16
Значение несобственного интеграла
главное в смысле Коши 187
Изобара 265
Изометрия (метрических
пространств) 30
Изоморфизм гладких структур 394
— линейных нормированных
пространств 73

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
803
Изопериметрическое неравенство 232,
648-650
Изотерма 265
Изохора 265
Импульс прямоугольный 693
— треугольный 693
Импульсная функция прибора 529
Интеграл 131
— Бернулли 364
— Гаусса 299
— Дарбу верхний 138
нижний 138
— двойной 131
— Дирихле 338, 503
— дифференциальной формы по
многообразию 405, 406
по поверхности 260, 263
по сингулярному кубу 423
по цепи 423
— Коши 364
— кратный 131
— криволинейный 252
— Лапласа 721
— от функции по поверхности 275,
276
— по множеству 142
— поверхностный второго рода 276
первого рода 276
— Пуассона 541, 694
— Раабе 525
— Римана по множеству 142
по промежутку 131
— тройной 131
— Френеля 513, 718
— Фурье 663, 665, 698, 746, 747,
751-754
— Эйлера второго рода 515
первого рода 515
— Эйлера-Пуассона 510, 521, 669,
684, 718
— эллиптический 464, 483, 487, 512
Интеграл, зависящий от параметра
479, 480, 489, 561, 562
кратный 561 - 562
с переменной
особенностью 564
Интеграл, зависящий от параметра,
несобственный 479
~ дифференцирование 502
~ интегрирование 505, 506
~ предельный переход и
непрерывность 499-501
~ равномерная сходимость 489
~ ~ критерий Коши 493
~ ~ признак Абеля - Дирихле 496
~ ~ признак Вейерштрасса 495
·- собственный 479
~ дифференцирование 482
~ интегрирование 486
~ непрерывность 480
Интегралы Френеля 718
—эйлеровы, см. эйлеровы
интегралы
Интегральная сумма Дарбу 137
Римана 131
Интегральное представление
частичной суммы тригонометрического
ряда Фурье 625
Интегральный синус 718
Интегрирование по частям в кратном
интеграле 301-302
Исчерпание множества 181
Калибровочное условие 366
Карта локальная 195, 375
—, область параметров 195, 375
—, район действия 195, 375
Карты согласованные 209, 385
Касательное отображение 412
— пространство к!пв точке 397
к многообразию в точке 399,
409-410
Касательный вектор к многообразию
в точке 398, 401, 410
Касающиеся пути 409
Категория множества 34
Квадруполь 352
Класс ориентации атласов
многообразия 386
поверхности 210
— реперов 205
— систем координат 205, 207
Когомологии 420, 426

804
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Кокасательное пространство 401
Колебание отображения 37
в точке 40
Коммутирование, см. перестановка
Компакт 19
— метрический 21
— элементарный 192
Координаты декартовы 316
— касательного вектора 401
— криволинейные 195, 313
— полярные 199
— сферические 200, 316-323
— триортогональные 316-323
— цилиндрические 316 - 323
Коэффициент полезного действия
тепловой машины 268
— температуропроводности 358
— теплопроводности 356
Коэффициенты Ламе 316
— Фурье 595, 596, 598; 653, 655
Край многообразия 378
— поверхности 214
—полупространства 213
Кратный интеграл 131
зависящий от параметра 561,
562
~ замена переменных 162, 173
~ интегрирование по частям 301, 302
~ повторное интегрирование
(«теорема Фу бини») 153-155
несобственный 182
с переменными
особенностями 565
Кривизна кривой 89
Криволинейный интеграл 252
Критерий Дарбу 137-140
— Коши равномерной сходимости
интеграла 493
ряда 440
семейства функций 436
— Лебега 135-137
— метрического компакта 21
— непрерывности отображения 38
— потенциальности поля 341
Критическая точка 180
Кручение кривой 89
Лапласиан 312
Лемма Адамара 481, 488
— Ватсона 729, 746
— Морса 180, 481, 727, 745, 746, 750,
754
— о вложенных шарах 34
— о непрерывности скалярного
произведения 594
— о перпендикуляре 598
— об ε-сети 21
— об оценке вклада точки
максимума 725
— об экспоненциальной оценке 724,
749
— Пуанкаре 349
— Римана 627, 751
— Сарда 179-180
— Эрдейи747, 752, 754
Лист Мёбиуса 202, 213, 216, 221,
384-385
Мажорантный признак равномерной
сходимости интеграла 495
ряда 442
Максимум локальный 106
Массовые силы 360
Матрица Грама 222
Мгновенная ось вращения 86
Мера множества (по Жордану) 144,
145
— промежутка 129
Метод выделения особенностей
(Крылова) 641
— касательных (Ньютона) 48
— касательных модифицированный
(Ньютона-Канторовича) 49
— Лапласа 720-724
в многомерном случае 745, 749
— локализации в асимптотике
интеграла Лапласа 725
в асимптотике интеграла
Фурье 753, 754
— множителей Лагранжа 128
— наименьших квадратов (Гаусса)
613
— разделения переменных (Фурье)
587, 608-611

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
805
Метод стационарной фазы 746
в многомерном случае
753-754
в одномерном случае
751-753
— суммирования рядов (Абеля) 453,
454, 465
(Чезаро) 465
— усреднений Стеклова 613
— Фурье 587, 608-611
Методы асимптотические 702
Метрика 1
— дискретная 2, 10
— интегральная 4
— равномерная 4
— равномерной сходимости 4, 471
— риманова 316
— среднего квадратичного уклонения
3,4
— Хаусдорфа 11
— чебышёвская 4
Минимум локальный 106
Многообразие 375
— аналитическое 382
— без края 378
— вложенное в Rn 194
— гладкое 382
— класса С{к) 382
— компактное 379
— неориентируемое 386
— ориентированное 386
— ориентируемое 386
— с краем 378
— связное 379
— стягиваемое 416
— топологическое 382
Многочлен тригонометрический 620
Многочлены Бернулли 654
— гармонические 617
— Лежандра 593, 614, 616-617
— Чебышёва 618
— Чебышёва - Лагерра 618
— Эрмита 618
Множество вполне ограниченное 23
— всюду плотное 15
— второй категории 35
Множество допустимое 141
— замкнутое в метрическом
пространстве 6
в топологическом пространстве
13
— измеримое по Жордану 145
—канторово 29
— меры нуль по Жордану 145
по Лебегу 132
— нигде не плотное 34
— объема нуль 145
— открытое в метрическом
пространстве 6
в топологическом пространстве
11, 12
— относительно компактное 23
— первой категории 34
— площади нуль 227
— связное 24
— сходимости семейства функций
433
Модуль вектора, см. норма
— функции 694
— эллиптического интеграла 483
Момент диполя 352
— мультиполя 352
— функции 477
Мультиполь 352
Набла (оператор Гамильтона) 310,
323
Направление движения (вдоль
кривой) 212
— обхода области 212
Непрерывная группа 88
Неравенство Бесселя 599
— Брунна-Минковского 146
— Виртингера 656
— Гель дера 151
— изопериметрическое 232, 648-650
— Клаузиуса 269
— Коши - Буняковского 57, 532
— Минковского 152
, обобщенное 583
— Стеклова 655
— треугольника 1

806
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Несобственный интеграл, зависящий
от параметра 479, 489
~ дифференцирование по параметру
502
~ интегрирование по параметру
505-506
~ предельный переход и
непрерывность 499-501
~ равномерная сходимость 489
~ ~ критерий Коши 493
~ ~ признак Абеля - Дирихле 496
~ ~ признак Вейерштрасса 495
Норма в линейном пространстве 52
— вектора 53
—оператора 64
Носитель дифференциальной формы
406
— функции 164, 531
Нуль-ряд Меньшова 625
Обертоны 610
Область действия карты 195, 375
— значений параметра 432
— односвязная 347
— параметров карты 195, 375
— простая 285
— фундаментальная группы 381, 395
Обобщенная функция 545, 571
регулярная 546
сингулярная 546
умеренного роста 697
Объем множества 144, 291
— промежутка 129
—шара в Rn 230, 522-523
Огибающая семейства кривых 299
Ограничение формы на
подмногообразие 248, 412
Однопараметрическая группа
диффеоморфизмов 414
Односвязность области 347
Окрестность в метрическом
пространстве 7
— в топологическом пространстве 13
— ростка функции 14
Оператор Гамильтона 310, 323
— дифференциальный, см.
дифференциальный оператор
Оператор инвариантный
относительно сдвигов 528
— интегральный 670
— Лапласа 312
— линейный 60, 61
— набла 310
— нильпотентный 87
— ограниченный 65
— полилинейный 60, 65, 68
— самосопряженный 573
— сдвига 528
— симметрический 611
— сопряженный 573
Операторы теории поля 307
в криволинейных
координатах 313-323
Операционное исчисление 548
Орбита точки 380, 395
Ориентация края, согласованная с
ориентацией многообразия 389
согласованная с ориентацией
поверхности 218
— многообразия 386
— области пространства 207
— поверхности 207, 210, 212, 218
— противоположная данной 210
Ориентированное пространство 205
Ортогонализация 592-594
Ортогональность с весом 615
Ортогональные векторы 588
Основная частота 661
Основной тон 610
Открытое множество в метрическом
пространстве б
в топологическом пространстве
11, 12
Отображение билинейное 61
— гладкое 385
— гомеоморфное 39
— дифференцируемое в точке 74
— дифференцируемое на множестве
76
— касательное 75
— класса С(0 385
— линейное 60
— непрерывно дифференцируемое 92

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
807
Отображение непрерывное 38
в точке 38
— ограниченное 36
— полилинейное 60
— производное 76
высшего порядка 97, 98
— равномерно непрерывное 41
— сжимающее 43
— сопряженное 373
— трилинейное 61
— финально ограниченное 36
— частное 86
Оценка асимптотическая 703
— равномерная 719
Параллелепипед координатный 129
Параметризация натуральная 89
Параметры Ламе 316
Перестановка интегралов 153
несобственных 506 - 509
собственных 153
— предельных переходов 450, 451
— суммирования и
дифференцирования ряда 460
и интегрирования ряда 457
Период интеграла 350
— на цикле 424
Площадь /с-мерной поверхности 224,
273
как интеграл от формы
270-271
— внешняя по Минковскому 232
— кусочно гладкой поверхности 273 ·
— сферы в Rn 230, 523
Поверхность /с-мерная 194
— без края 214
— гладкая 196, 198
— двусторонняя 211
— кусочно гладкая 219
ориентируемая 220
— неориентируемая 209
— нульмерная 219
— односторонняя 211
— ориентированная 210
— ориентируемая 209
— с краем 214
— элементарная 195
Подмногообразие 394
Подпространство метрического
пространства 8
— топологического пространства 16
Покрытие вписанное в другое
покрытие 396
—локально конечное 396
Поле векторное 303
на многообразии 410
гладкое 411
— линейных форм 236
— потенциальное 339
— скалярное 303
— соленоидальное 348
— тензорное 303
— форм 303
— центральное 254
Полином, см. многочлен
Полная система векторов (функций)
602-608
Полнота тригонометрической
системы функций 643
Полный дифференциал 86
Положительное направление обхода
212
Полярные координаты 199-201
Пополнение пространства 30, 32
Порядок (степень)
дифференциальной формы 236
Последовательность асимптотическая
708
— Коши 26
— сходящаяся 26
— фундаментальная 26
— функций монотонная 444
невозрастающая 444
неубывающая 444
сходящаяся в точке 428
на множестве 428
равномерно 436
Постоянная циклическая 350
Потенциал векторный 348
магнитного поля 354-355
— диполя 352
— поля 339
— простого слоя 568

808
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Потенциал распределенного заряда
564
— скалярный 339
— скоростей 365
Поток векторного поля через
поверхность 255-258, 277, 327
Почти всюду 134
Правило Лейбница 161, 482
Предел 35, 36
— интеграла по параметру 456
— отображения 35
— последовательности 26
функций 428
— семейства непрерывных функций
452-453
функций 433
Предельная точка 8, 16
— функция 428
Предельный переход под знаком
интеграла 456
под знаком производной 458
Преобразование Абеля 444
— Галилея 700
— интегральное 670
— Лапласа 721
— Лоренца 700
— Фурье 664
в пространстве hi 695
косинус- и
синус-преобразования Фурье 665
многомерное 680
нормированное 670
обобщенных функции 698
свертки функций 685
, сдвиг по частоте 692
, скорость убывания и
гладкость 676, 677
, теорема о переносе 692
, формула обращения 682
Признак Абеля - Дирихле
равномерной сходимости интеграла
496
ряда 445
— Вейерштрасса равномерной
сходимости интеграла (мажорантный)
495
Признак Вейерштрасса равномерной
сходимости ряда (мажорантный)
442
Принцип Даламбера 360
— Дирихле 338
— Кавальери 159
— локализации для интеграла
Лапласа 721
Лапласа 721
для ряда Фурье 629, 752, 753
— неопределенности 695 - 696
— неподвижной точки 43, 47
— Пикара- Банаха 43, 47
— сжимающих отображений 47
— стационарной фазы 746, 747, 751,
753
Проблема Гильберта пятая 396
— Лузина 625
— Римана 625
Проективная плоскость 384
— прямая 382
Произведение внутреннее поля и
формы 414, 415
— многообразий 376
— обобщенных функций 560
— прямое метрических пространств
10
топологических пространств 17
—скалярное 56
функций 589
— форм внешнее 369
тензорное 368
Производная Ли 414
— отображения 75
вторая 97
по вектору 99
частная 86
Производное отображение 76
— порядка η 98
Производящая функция
последовательности 555
чисел Бернулли 748
Промежуток (в Rn) 129
Простой слой 572
Пространство аффинное
нормированное 76

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
809
Пространство банахово 54
— гильбертово 59
— евклидово 59
—касательное 75
к многообразию 399
— кокасательное 401
— линейно связное 26, 42
— линейное нормированное 53
полное 54
—локально компактное 23
— локально связное 25
— метрическое 1
полное 26
— нормированное полное 54
— обобщенных функций 545, 571
Соболева - Шварца 547
умеренного роста 697
— основных функций 545, 571
—предгильбертово 59
— пробных функций 545, 571
— связное 24
— сепарабельное 15
— топологическое 11
— хаусдорфово 15
— Шварца 678, 680, 697
— эрмитово 59
Процесс адиабатический 266
— квазистатический 265
Прямое произведение метрических
пространств 10
топологических пространств 17
Пути гомотопные 346
— касающиеся на многообразии 409
Пучок касающихся путей 410
Пятая проблема Гильберта 396
Работа поля 253
Равенство асимптотическое 703
— Парсеваля 604, 623, 647, 684, 685
для преобразования Фурье 684
Равномерная ограниченность 468
— сходимость интеграла 489
, признаки, см. признак,
критерий
— ограниченность ряда функций 438
семейства функций 436
Равномерной сходимости метрика
471
Разбиение единицы 178, 390-392
/с-гладкое 391
подчиненное покрытию 391
—локально конечное 226
— промежутка 130
с отмеченными точками
130
Разделение точек функциями
474
Разделения переменных метод
608-611
Разложение асимптотическое 707
интеграла Лапласа 735
равномерное 719
— в ряд Тейлора, см. формула
Тейлора
Фурье, см. ряд Фурье
— в степенной ряд, см. формула
Тейлора, степенной ряд
Размерность многообразия 377
Разрывный множитель Дирихле
513
Распределение, см. обобщенная
функция
Расстояние, см. метрика
Репер ориентирующий 207
— Френе 89
Решение фундаментальное 554, 578
оператора Лапласа 578
Риманова метрика 316
Росток функции 14
Ротация поля 309
Ротор 243, 307, 309
—, физическая интерпретация
331-333
Ряд асимптотический 708, 719
в смысле Пуанкаре 708
в смысле Эрдейи 718
общий 708
степенной 714
— гипергеометрический 463
— Дирихле 449
— степенной 442, 443, 460
— Стирлинга 748

810
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ряд тригонометрический 620
— функций 438
~ дифференцирование 460
~ интегрирование 457
~ непрерывность суммы 453, 455
~ сходимость (равномерная) 438
~ ~ критерий Коши 440
~ ~ необходимое условие 441
~ ~ признак Абеля - Дирихле 445
~ ~признак Вейерштрасса 441, 442
Ряд Фурье 596, 621
~ гладкость функции и скорость
сходимости ее ряда Фурье 639
~ интегральное представление
частичной суммы 625
~ коэффициенты Фурье 595
~ ~ экстремальное свойство 600
~ лемма Римана, принцип
локализации и сходимость в точке 627,
629
~ неравенство Бесселя 599
по общей ортогональной
системе векторов 596
по тригонометрической системе
функций 621
~ полнота тригонометрической
системы и сходимость
тригонометрического ряда Фурье в
среднем 643, 647
многомерный 656-658
обобщенной функции 658-660
, сходимость в среднем 623
, сходимость в точке 630 - 632
Сапог Шварца 232
Сарда лемма 179-180
— теорема 281
Свертка функций 531
вЁп 569
дифференцирование 534
симметричность 533
сохранение сдвигов 533
Семейство функций 432
(^-образное, см. дельтаобразное
семейство
вполне ограниченное 468
Семейство функций не исчезающее на
данном множестве 475
равномерно ограниченное 468
равностепенно непрерывное
469, 476-477
в точке 476 - 477
— разделяющее точки 474
Сингулярный куб 421
Система векторов линейно
независимая 588
ортогональная 588
, условия полноты 603
ортонормированная, или орто-
нормальная 588
полная 602
— подмножеств вписанная в другую
систему 396
локально конечная 396
— тригонометрическая 590
в комплексной записи 590
— функций Радемахера 619
Хаара 619
— экспонент 590
Скалярное произведение 56
Скобка Пуассона (векторных полей)
411
Слабая сходимость 545
Слой двойной 585
— простой 572, 582
Собственное значение задачи
Штурма-Лиувилля 616
Собственные колебания 610
— частоты 610
— числа задачи 610
Собственный вектор оператора
611
Согласование ориентации
поверхности и края 218
Сопровождающий трехгранник 89
Спектр функции 661
непрерывный 662
Спектральная характеристика 663
Среднее значение по периоду 661
Среднее квадратичное уклонение 3,
623
Стабилизатор точки 395

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
811
Степенной ряд 442, 443, 460
асимптотический 714
Степень дифференциальной формы
236
Структура гладкая 382
Сужение, см. ограничение
Сумма интегральная Дарбу 137
Римана 131
Суммирование рядов методом Абеля
453, 465
Чезаро 465
Сфера Александера 196
Сферические функции 617
Сходимость несобственного
интеграла 182
в смысле главного значения
(по Коши) 187
зависящего от параметра 489
равномерная 489
— обобщенных функций 545
— ряда векторов 588
функций абсолютная 441
равномерная 438
— семейства (последовательности)
функций в среднем 623
поточечная 433
равномерная 436
— функционалов сильная (по норме)
71-72
слабая 545
Тембр 610
Тензорное произведение 368
Теорема Абеля о степенных рядах
(«вторая») 448
о сходимости степенных рядов
448
— Арцела- Асколи 470
— Брауэра о неподвижной точке 297
об инвариантности внутренних
точек 377
— Вейерштрасса об аппроксимации
алгебраическими многочленами
472, 539, 540
тригонометрическими
многочленами 636
— Гаусса 336, 585
Теорема Гельмгольца 355
— Дарбу 138
— Дини 455
— Ирншоу 337
— Карно 269
— Котельникова 690, 691
— Коши о среднем многомерная 338
— Лагранжа 364
— Лебега о монотонной сходимости
467
об ограниченной сходимости
466
— о главном члене асимптотики
интеграла 731
— о градиенте 334
— о дивергенции 333
— о коммутировании двух
предельных переходов 450
— о конечном приращении 89 - 92
— о неявной функции 116-120
— о равномерной непрерывности 41
— о роторе 333
— о среднем для гармонических
функций 338
для интеграла 150
— об асимптотическом разложении
интеграла Лапласа 735
— об обратном отображении 127
— отсчетов 691
— Пифагора 595
для мер произвольной
размерности 231
— Планшереля 695
— Пуанкаре 416
— де Рама 424
— Сарда 281
— Стоуна 475
для комплексных алгебр 478
— существования решения
дифференциального уравнения 45 - 46
— Таубера 466
— тауберова типа 465
— Уитни 204, 394
— Фейера 636
— Фубини 153-155
— Харди 466

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
812
Тепловая машина 268
Теплоемкость 266
— молярная 266
Течение плоскопараллельное 364
Тождество гомотопии 415
— Якоби 88
Топологическая группа 88
Топологическое пространство 11
— в сильном смысле 18
Топология (на множестве) 11, 12
— более сильная 17
Тор 202
Точка внешняя 7, 16
— внутренняя 7, 16
— граничная 7, 16
— края 214
— критическая 180
— метрического пространства 2
— предельная 8, 16
Трехгранник сопровождающий 89
Тригонометрический многочлен 620
— ряд 620
Триортогональные координаты 316
Угловая скорость 84 - 86
Умножение внешнее 233
Уравнение адиабаты 267
— Бесселя 462, 483, 487, 511
— волновое, см. волновое уравнение
— гидродинамическое Эйлера 361
— гипергеометрическое 463
— дифференциальное 45, 46, 269
— Майера 267
— неразрывности 359
— Пуассона 352
— состояния 265
— теплопроводности 358, 688
— Эйлера - Лагранжа 111
Уравнения Коши-Римана 365
— магнитостатики 337
— Максвелла 309, 311
— электростатики 337
Условие необходимое равномерной
сходимости ряда 441
Условия Дини 630
— полноты ортогональной системы
603-605
Усреднение функции с данным ядром
583
Фаза 661
Фазовая функция 747
— характеристика 663
Фильтр низкой частоты 664
Форма антисимметрическая 233
— дифференциальная, см.
дифференциальная форма
— кососимметрическая 233, 368-371
— объема вШк 272
на поверхности в Шп 272
— полу определенная 106
— потока поля 237
— работы поля 236
— эрмитова 56
невырожденная 56
положительная 56
Формула Валлиса 512, 749
— Гаусса 526
— Гаусса-Остроградского 287, 297,
327, 333, 576-577
в векторном анализе 327
— гомотопии 425
— Грина 281, 335, 585
— дополнения для гамма-функции
519
— замены переменных в интеграле
164
— коплощади 280
— Котельникова 691
— Коши-Адамара 443
— Кронрода-Федерера 280
— Лежандра 525
— Лейбница 482
— Ньютона - Лейбница 326
— обращения преобразования Фурье
673, 682
— понижения для бета-функции 516
для гамма-функции 518
— Пуассона 689, 699
— Стирлинга 527, 733
— Стокса 291, 294, 297, 327, 334, 407,
413, 423
bR3 291
в векторном анализе 327

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
813
Формула Стокса общая 293 - 296, 407
— Тейлора 105, 488
— Эйлера для гамма-функции 524
— Эйлера - Гаусса 518
Формулы Бореля 685
— Грина 335 - 336
— дифференциальные теории поля
311-313
— интегральные теории поля 328,
333, 334
— Френе 89
Фундаментальная область 381, 395
— последовательность 26
Фундаментальное решение 543, 554,
578
Функции асимптотически
совпадающие 709
эквивалентные 709
— замены координат 377
— сферические 617
Функционал линейный 61
— полилинейный 61
Функция аппаратная прибора 529,
554
— Бесселя 462, 487
— бета Эйлера 515
— быстро убывающая 678, 680
— вероятности ошибок 718
— гамма Эйлера 515, 517-528
— гармоническая, см. гармоническая
функция
— Грина 554
— дельта Дирака (^-функция) 330,
529, 534, 542, 544, 558, 571, 659,
660, 698
— дзета Римана 526
— Дирихле 429
— дифференцируемая, см.
отображение
— замены координат 377
— интеграл Френеля 718
— интегральная экспонента 706
— интегральный синус 718
— интегрируемая по Риману на
множестве 142
на промежутке 131
Функция кусочно непрерывная 631
— кусочно непрерывно
дифференцируемая 631
— линейная 61
—локально интегрируемая на
множестве 531
— неинтегрируемая по Риману на
множестве 142
— обобщенная, см. обобщенная
функция
— отсчетов 693
— полилинейная 61
— предельная 428
— производящая, см. производящая
функция последовательности
— равномерно непрерывная на
множестве 537
— тока 365
— фазовая 747
— финитная 164, 531
— Хевисайда 548, 558, 560, 579, 586
Цепочка карт многообразия 387
дезориентирующая, или
противоречивая 387
Цепь сингулярных кубов 421
Цикл граничный 422
— Карно 268
— размерности ρ 422
Циклическая постоянная 424
Циклы гомологичные 422
Цилиндр 201
Циркуляция поля вдоль контура 278
Настная производная 86
Частный дифференциал 86
Частота 661
— гармоническая 661
— круговая 661
— собственная колебаний струны 610
Частотная характеристика 663
Частотный спектр 699
Чебышёва многочлены 618
Чебышёва - Лагерра многочлены 618
Чебышёвская метрика 4
Числа Бернулли 748
— собственные задачи 610

814
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Шар (в метрическом пространстве) б
— замкнутый б
Штурма - Лиувилля задача, см.
задача Штурма - Лиувилля
Эйлера уравнение
гидродинамическое 361
Эйлера - Лагранжа уравнение 111
Эйлеровы интегралы 515-528
второго рода 515
первого рода 515
Эквивалентность атласов 382
— функций асимптотическая 703
Экспонента интегральная 706
— от оператора 84, 87, 88
Экстремум функции (функционала)
достаточное условие 106
необходимое условие 106
условный 128
Электростатики уравнения 337
Элемент (форма) объема 272
Эллиптический интеграл 464, 483,
487
Энтропия 355
Эрмитова форма 56
невырожденная 56
положительная 56
Явление Гиббса 642, 656
Ядро Дирихле 626, 635, 657
— Пуассона для круга 556
— Фейера 635
Якоби тождество 88
Якобиан замены координат общих
полярных 200
сферических 318
триортогональных 318
цилиндрических 318

УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Абель Н.Х. (Abel N.H.) 443-445,
448, 449, 453, 496
Адамар Ж. (Hadamard J.) 443, 481,
488
Александер Дж. У. (Alexander J. W.)
196
Ампер A.M. (Ampere A.M.) 278
Архимед (Αρχιμήδης) 290
Арцела Ч. (Arzela С.) 468, 470, 477
Асколи Дж. (Ascoli G.) 468, 470, 477
Банах С. (Banach S.) 43
Бернулли Д. (Bernoulli D.) 364
Бернулли И. (Bernoulli Johann) 112
Бернулли Я. (Bernoulli Jacob) 654, 748
Бессель Φ. В. (Bessel F.W.) 462, 464,
483, 487, 599
Био Ж.-Б. (Biot J.-B.) 280
Борель Э. (Borel E.) 685
Брауэр Л.Э.Я. (Brouwer L.E.J.) 214,
287, 377
Брунн Г. (Brunn Η.) 146
Буняковский В. Я. 57, 532
Валлис Дж. (Wallis J.) 512, 749
Ватсон (Уотсон) Дж.Н. (Watson
G.N.) 729, 746
Вейерштрасс К. Т. В. (Weierstrafi
K.Th.W.) 442, 463, 472, 477, 495,
539, 582, 636
Виртингер В. (Wirtinger W.) 656
Гамильтон У. P. (Hamilton W. R.) 310
Гаусс К.Ф. (Gauss C.F.) 287, 297,
299, 300, 327, 331, 336, 337, 463,
518, 526, 555, 576, 585
Гейзенберг В. (Heisenberg W.) 696
Гёльдер О. (Holder О.) 151
Гельмгольц (фон Гельмгольц) Г. Л. Ф.
(von Helmholtz H. L. F.) 355
Гиббс Дж.У. (Gibbs J.W.) 642, 656
Гильберт Д. (Hilbert D.) 396
Грам И. П. (Gram J. P.) 222, 592, 601
Грассман Г. Г. (Grassmann H.G.) 374
Грин Дж. (Green G.) 281, 297, 298,
335, 554
Гурвиц A. (Hurwitz A.) 648
Даламбер Ж. (D'Alembert J.) 360
Дарбу Г. (Darboux G.) 137-139, 144,
467
Де Рам, см. Рам
Джоуль Дж.П. (Joule J. P.) 267
Дини У. (Dini U.) 455, 500, 630
Дирак П. А. М. (Dirac P. A. M.) 330,
546
Дирихле (Лежен — Дирихле) П. Г.
(Lejeune — Dirichlet P. G.) 338,
429, 443, 445, 449, 496, 503, 513,
612, 626, 657, 667, 672, 673
Жордан К. (Jordan С.) 144-146, 150,
151, 157-159, 165, 175, 176
Галилей Г. (Galilei G.) 700
Ирншоу С. (Earnshaw S.) 337

816
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Кавальери Б. (Cavalieri В.) 159
Кантор Г. (Cantor G.) 34, 41, 134
Канторович Л. В. 49
Карлесон Л. (Carleson L.) 625
Карно Н. Л. С. (Carnot N. L. S.) 268
Картан Э. (Cartan Ε.) 296
Кельвин (лорд Кельвин), см. Томсон
Клапейрон Э. (Clapeyron Ε.) 265
Клаузиус Р.Э. (Clausius R.E.) 269
Клейн Ф.Х. (Klein F. Ch.) 203, 381
Колмогоров А. Н. 625
Котельников В. А. 690, 691
Коши О. Л. (Cauchy A.L.) 26, 37, 57,
338, 364, 365, 436, 440, 443, 493,
532
Кронрод А. С. 280
Крылов А.Н. 641
Кулон (де Кулон) Ш. (de Coulomb
Ch.) 329, 340
Лагерр Э. (Laguerre E.) 618
Лагранж (де Лагранж) Ж. Л. (de
Lagrange J. L.) 49, 111, 128, 364
Ламе Г. (Lame G.) 316
Лаплас (де Лаплас) П. С. (de Laplace
P.S.) 312, 323, 358, 365, 694, 720,
721
Лебег А. Л. (Lebesgue H.L.) 132, 134,
141, 144-146, 150, 167, 175, 466,
467
Лежандр Α. Μ. (Legendre Α. Μ.) 487,
525, 593, 614, 616
Лейбниц Г. В. (Leibniz G.W.) 161,
296, 326, 482, 551, 676
Ли С. (Lie S.) 88, 396, 414
Лиувилль Ж. (Liouville J.) 615
Лоренц Г. A. (Lorentz Η. Α.) 700
Лузин Η. Η. 625
Ляпунов Α. Μ. 612
Майер (фон Майер) Ю. Р. (von
Mayer J.R.) 267
Максвелл Дж.К. (Maxwell J. С.) 281,
296, 309, 331, 337, 366
Мёбиус Α. Φ. (Mobius A.F.) 202, 385,
395
Меньшов Д. Е. 625
Милнор Дж. (Milnor J.) 394
Минковский Г. (Minkowski H.) 146,
152, 232, 583
Морс А.Р. (Morse A.P.) 180
Морс М.Н. (Morse M.H.) 745, 746, 750,
754
Ньютон И. (Newton I.) 48, 297, 326,
361, 365, 676
Остроградский М. В. 287, 296, 327,
576, 577, 585
Парсеваль М. (Parseval M.) 604, 612,
623, 645, 647, 684, 685
Пикар Ш.Э. (Picard Ch.E.) 43, 45
Пифагор (Πυθαγόρας) 231, 595
Планшерель Μ. (Plancherel M.) 695
Пуанкаре Α. (Poincare H.) 296, 349,
416, 425, 708, 709
Пуассон С. Д. (Poisson S.D.) 267, 352,
365, 411, 510, 521, 541, 556, 582,
669, 684, 689, 694, 699
Раабе Й.Л. (Raabe J.L.) 525
Радемахер Г. A. (Rademacher Η. Α.)
619
де Рам Ж. (de Rham G.) 424
Риман Б. (Riemann В.) 129-132, 365,
526, 625, 627, 632, 668, 751
Савар Ф. (Savart F.) 280
Сард A. (Sard Α.) 179, 180, 281
Соболев С. Л. 547
Стеклов В. А. 612, 655
Стирлинг Дж. (Stirling J.) 527, 733,
748
Стоке Дж.Г. (Stokes G.G.) 291, 294,
296, 297, 327, 407, 413, 423
Стоун М.Х. (Stone M.H.) 475, 478
Таубер A. (Tauber А.) 466
Тейлор Б. (Taylor В.) 105, 488, 609
Томсон У., лорд Кельвин (Thomson
W., Lord Kelvin) 267, 281, 296
Уитни X. (Whitney H.) 180, 204, 394

Уотсон, см. Ватсон
Фарадей М. (Faraday M.) 277
Федерер Г. (Federer H.) 280
Фейер Л. (Fejer L.) 634-636, 657
Фейнман P. (Feynman R.) 309
Френе Ж.-Ф. (Frenet J.-F.) 89
Френель О. (Fresnel А.) 513, 718
Фреше М. (Frechet M.) 14
Фубини Г. (Fubini G.) 152, 153
Фурье Ж. (Fourier J.) 587, 589, 595,
596, 608, 609, 653-656, 660-699,
746
Хаар А. (Нааг А.) 619
Харди Г.Х. (Hardy G.H.) 466
Хаусдорф Ф. (Hausdorff F.) 11, 14, 15
ИМЕН 817
Хевисайд О. (Heaviside О.) 548
Чебышёв П. Л. 4, 592, 618
Чезаро Э. (Cesaro E.) 465
Шварц Г. A. (Schwarz Η. Α.) 231, 232
Шварц Л. (Schwartz L.) 547, 697
Шмидт Э. (Schmidt E.) 592
Штурм Ш. (Sturm Ch.) 615
Эйлер Л. (Euler L.) Ill, 361, 510, 515,
518, 521, 524, 669, 684
Эрдейи A. (Erdelyi A.) 718, 747, 752,
754
Эрмит Ш. (Hermite Ch.) 56, 618
Якоби К. Г. Я. (Jacobi К. G. J.) 88

Владимир Антонович Зорин
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Часть II
Директор издательского проекта И.В.Ященко
Компьютерный набор: А. А. Ахметшин, Е. И. Бунина,
Т. В. Михайлова, М.А. Ушаков, Д. А. Шварц, В. В. Шувалов
Верстка: В.В.Кондратьев
Рисунки (с использованием системы METRPOST): В.В.Кондратьев
Подписано в печать 19.10.2011г. Формат 70 χ 100/16
Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 52
Тираж 2000. Заказ № 6218
Издательство Московского Центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Б. Власьевский пер. 11. Тел. (499) 241-74-83
Отпечатано в ОАО «Первая Образцовая типография»,
филиал «Дом печати — ВЯТКА» в полном соответствии
с качеством предоставленных материалов.
610033, г. Киров, ул. Московская, 122
Факс: (8332) 53-53-80, 62-10-36
http://www.gipp.kirov.ru e-mail: order@gipp.kirov.ru
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,
Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. (499) 241-72-85. E-mail: biblio@mccme.ru