VWHMVdA вдчидауийниазФФШ/  i
mnixvdu
Л. А. АЛЬСЕВИЧ
Л. П. ЧЕРЕНКОВА
ПРАКТИКУМ
по
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ
Допущено Министерством народного образования БССР в качестве учебного Пособия для студентов вузов, обучающихся по специальности ОА D2 «Прикладная математика»
МИНСК «ВЫШЭЙШАЯ ШКОЛА»
ББК 22.161.6я73 А57
УДК517.9 (076.5) /075.8)
Рецензенты: кафедра дифференциальнь,х уравнений Гомельского государственного университета; проф каф₽дРы дифференциальных уравнений Ленинградского государственна1'0 университета др фнз.-мат. наук А. Ф. Андреев
1602070100-076
А-----------------1в— 90
М 304 (03)—90
ISBN 5-339-00332-9
© Л. А. Альсевич, Л. П. Черенкова. 1990
ПРЕДИСЛОВИЕ
Пособие составлено в соответствии с программой курса дифференциальных уравнений для студентов, специализирующихся по прикладной математике. Построено оно так, чтобы выработать у учащихся практические навыки решения и исследования дифференциальных уравнений и систем, описывающих эволюционные про' цессы в различных областях естествознания.
В каждом параграфе даются краткие теоретические
набором заданий для контрольных работ. В конце пособил приведены задания для лабораторных работ, выполнение которых требует наличия у студентов, кроме знания теоретических положений курса, исследовательских навыков и умения работать с ЭВМ.
Расположение материала, операторный подход к изложению теории линейных стационарных дифференциальных уравнений и стационарных линейных векторных уравнений, методика изучения элементарных уравнений как уравнений, приводимых к уравнениям в полных дифференциалах, отличают данное пособие от традиционных.
Изучение линейных уравнений со стационарным оператором позволяет уже в начале курса рассматривать приложения дифференциальных уравнений к теории колебаний, которая в свою очередь знакомит студентов с качественной теорией дифференциальных уравнений, развивает у них исследовательские навыки.
Наряду с широко известными методами интегрирования линейных стационарных систем дифференциальных уравнений (методы Коши, Лагранжа, Д’Аламбера, экспонентное представление решения) предлагается операторный метод сведения системы к системе независимых уравнений, являющийся модификацией метода Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений. В случае комплексных собственных значений матрицы
3
системы приводится способ построения действительного общего решения стационарной системы, не требующий оперирования с комплексными матрицами.
Пособие составлено на основании опыта проведения практических и лабораторных занятий по курсу дифференциальных уравнений на факультете прикладной математики Белорусского государственного университета имени В. И. Ленина. По структуре и методике изложения материала оно связано с книгой IO. С. Богданова и Ю. Б Сыроида «Дифференциальные уравнения» (Мн.: Выш. шк., 1983).
Наряду с задачами, составленными авторами, в практикуме приведены стандартные задачи из известных сборников задач по дифференциальным уравнениям.
Авторы благодарны товарищам по работе за помощь при составлении пособия. С особой признательностью авторы отмечают, что на протяжении всей работы над рукописью они пользовались идеями, советами и замечаниями д-ра физ.-мат. наук, проф. Ю. С. Богданова.
Авторы выражают глубокую признательность рецензентам — коллективу кафедры дифференциальных уравнений Гомельского государственного университета (зав. кафедрой канд. физ.-мат. наук, доц. В. И. Мироненко) и д-ру физ.-мат. наук, проф. кафедры дифференциальных уравнений Ленинградского государственного университета А. Ф. Андрееву — за ценные советы и замечания, способствовавшие улучшению книги.
Все отзывы и пожелания просим присылать по адресу: 220048, Минск, проспект Машерова, 11, издательство «Вышэйшая школа».
Авторы
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Множества:
N — натуральных чисел
Q — рациональных чисел
R — действительных чисел
R । — действительных положительных чисел
С — комплексных чисел
R — числовая плоскость
R" — л-мерное евклидово пространство
|а, Ь| — промежуток
}о, Ь| — интервал
[а, Ь] — отрезок
| —оо. Н-ое>| — числовая прямая
0 — пустое
I — промежуток задания решения (*1 Р) — всех < удовлетворяющих условию Р
Действия над множествами:
€ — принадлежит с — включается U — объединение множеств fj — пересечение множеств
Знаки:
V — для вСех
3 — существует
{..3 — множество
д — сумм^
k — T?7t — индекс k пробегает натуральные значения от I до и Re — действительная часть
Im — мнимая часть
=> — следует
<> — равносильно
Операторы:
D = —----оператор дифференцирования по t
D* =
d*
dt* ’
k C N, — оператор дифференцирования k-го порядка
Dv — тождественный оператор
Ln — линейный дифференциальный оператор
J — интеграл
d — дифференциал
(...)z —- производная
d , v
, (••)» ~* частная производная по х
Д — приращение
Математические величины:
R”.
x=(xi....ха) — л-мерный вектор
хл — k-я координата вектора
хТ — транспонированный вектор
Л — матрица с элементами alt rank Л — ранг матрицы Л const — постоянная
Л'<к> — общее решение однородного уравнения лЧ11 — частное решение неоднородного уравнения
Физические величины:
m масса
Е — модуль Юнга
g — ускорение свободного падения
/ — сила тока
С — электрическая емкость
L — индуктивность
R — электрическое сопротивление q — электрический заряд
ВВЕДЕНИЕ
I.. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
1.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ. ПОРЯДОК УРАВНЕНИЯ. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
Дифференциальное уравнение для определения функции х = х(1) имеет вид
F(t, х, Dx, D*x.. £>ях) = 0.
где F —'заданная функция своих аргументов; D — оператор дифференцирования по t, т. е. оператор, действующий по следующим правилам:
гл dx
~ ‘йГ’
'х = D(Dkx) =	=	k £ N, Dov s х
' dl\dtk /	d/‘+l
Искомая функция х = х(0 зависит от одного аргумента i. Рассматриваемое уравнение называют обыкновенным. Обыкновенное дифференциальное уравнение может быть записано также с помощью дифференциалов, искомой функции и независимой переменной.
Порядком уравнения называют порядок старшей из производных или старшего из дифференциалов искомой функции, входящих в уравнение.
Решением уравнения называют функцию x = x(t), которая задана на промежутке 1 =	61 с: R, имеет все
производные до порядка п включительно и обращает на промежутке I уравнение в тождество
F{1, x(i\ Dx(l), D*x(t). D"x(t))sO V 1.
Задача. Определить, какие из приведенных функций х являются на соответствующем множестве I решениями уравнения D2x-f-4x = = I /cos 2t:
а)	х — -т-cos2t In ccs 2t ~h -4-sin 2/, I = •
6)	x = -—cos 2t In |cos 2/1 + -тг sin 2/, 1
Л
T
7
в)	х = 4-cos 2/ in cos 2/ + 4"sin 2/, 1 = 1— Д 4 Г U ] ~r~, 4	2	J 4	4 L J 4
9л Г
4 L
.	o. , . n. ,	1 7л 9л Г
г)	х = cos 2/ + sin 2/, I = I —, —— I.
J 4	4 |_
Решение, а) Функция /(/)=!/cos 2/ определена и непрерывна на заданном интервале I = | — л/4. л/4[. Непосредственной подстановкой
х — —cos 2/ In cos 2/ 4- — sin 2/, 4	2
i	!
Dx = t cos 2<--— sin 21 la cos 2/»
it
D2x — —cos 2/ In cos 2t — 2Z sin t -|- I /cos 2/
в данное уравнение убеждаемся, что оно обращается в тождество на 1=]—л/4, л/4|. Следовательно, заданная функция х является решением уравнения.
б)	Считать функцию х решением заданного уравнения на промежутке I = )0, л/2[ нельзя, так как она не дифференцируема на I и правая часть уравнения f(t)= l/cos2f разрывна на I.
в)	Согласно определению решения дифференциального уравнения, функция, заданная на множестве 1=]—л/4, л/4|и)7л/4, 9л/4{, не является решением, так как в этом случае множество I не является промежутком, т. е. не является связным.
г)	Функция /(/)=!/cos 2/ определена и непрерывна на заданном интервале Г — J7n/4. 9л/4(. Подставив в исходное уравнение
X = cos 2/ -р sin 21, йх— — 2 sin 2/ + 2 cos 21, Dzx = —4 cos 2/ — 4 sin 21,
будем иметь 0= l/cos2t Это означает, что х не является решением данного уравнения.
Определить, какие из приведенных функций являются решениями уравнения на указанном множестве:
1.	х = tDx -f- tex/‘:
а)	х=—/inln/, I=f0, + °°[;
б)	х = — / in In /, I = ]1, + оо [;
в)	х = — t in In i, I = [1, + сю[;
r)	x = ln /, I = ]0, 4-oo[.
2.	D2x - 2Dx 4- x = e'/l\
a)	x = e'ln/, 1=10, 4-°°Г»
6)	x = fe/ln/, I JO, 4-oo{;
в)	x=/?ln/, I=J —oo, 0( (J ]0, 4-°°[;
r) x = ?(/ln 1/14-0, I = ]-oo, 0[.
8
3.	(2/4-1) D*x 4- 4tDx — 4x = 0;
a)	x^t^e'21. l = ] — 2, -1[U]1, 2(;
6)	x = e2t, 1 = ]-— oo, 4~°°[;
в)	x = CJ 4- Сгв-2', I =• R, Ci, C2 — постоянные;
г)	x = t, I — R-
4.	Dx~ -1	д/^:
a) x = /3'2, I=|0, 4-oo[; 6) x=|/|3/2, I = ]-oo,0[; в) x== 1 4- /V2,I = [0; 4- OO [; r) x ~ — /3/2,I = [0, 4- 00 [.
a) x = sin/, 1=40; л/2[;	б) x=/sin/, I = [0, n/2[;
в) x = sin/, I = [0, 4-oo[; r) x = sin/, I = [0, л/2].
6.	x = tDx 4- V> —(Dx)2:
a)	x — Ct 4- V C2, 1 ~ R> C — постоянная;
б)	х = 2/, l = R;
в)	х = /, I — ] — 00, 4-o°|;
r)	x — /. I =[ —2, -l]U[0, 1].
7.	D x 4- Dx = sin //cos2 /:
a)	№ 1 /cos 14- cos t In cos t4- (t — tg /) sin /, = ]-л/2, л/2[;
б)	x = 1 4- cos / 4- sin /, I = ] — л/2, л/2[;
в)	x = cos / In cos / 4- (/ — tg I) sin / 4- 1 /cos /, = ]—л/2, л/2[и]Зя/2, 5л/2[.
Показать, что функции х = х(/), зависящие от произвольных постоянных С], С2, Сз, С4 6 R. являются решениями соответствующих уравнений. Указать максимальный промежуток I:
8.	x=C\ec‘‘t xD2x = (Dxf.
9,	х = Ci cos 3/ 4- C2 sin 3/, D2x 4- 9x = 0.
10.	x = Ci cos 3/ 4- C2 sin 3/ 4- //9, D2x 4- 9x = /.
i 1. x ~ Ci cos 3/ 4- C2 sin 3/ 4- \ D2x 4- 9t = 18e3'.
12. x=Ci//4-^2> ID'x 4'2Z)x = 0.
13. x = CJ4-C2, x = tDx 4-(Dx)2.
К. X — C]i 4- sin Ci, x — tDx 4- sin Dx.
15.	x=Ci/-pinCi, x = /Dx4-ln Dx.
16.	x = Ci ch / 4- C2 sh /, D2x — x = 0.
9
17.	x = Ciew-t-C2ew, Xi, A.2£R, D2x — (1, 4- K2)Dx 4-4~ ХДгХ — 0.
19. Доказать, что многочлены Чебышева
Тт(() = cos (tn arccos /)/2'" *, т £ N,
удовлетворяют уравнениям
(I — /2) Dx — IDx -f- rn2x = 0, гп £ N.
Показать, что функции х = x(t), заданные неявно, являются решениями соответствующих уравнений:
20.	х — arctg (х -|- /) 4- С, (х 4-1)2 Dx= 1.
21.	/ х2 4- х, DxD3x — 3(D2x)2 — 0.
22.	х In х — i — 5 e1' dx = 0, x(l 4~ x) ^x 4" (&x)2 —
— 2txel\
23.	9x2 — 4a/3 = 0, (Dx)2 — at = 0, a £ R.
24.	(x - /) (x2 - /2 4- I) = 0, tx (Dx)2 - (I2 + x2) Dx 4-4- /x = 0,
25.	(tx 4- I) (t2x — I) = 0, (Dx)2 4- — Dx 4-	= 0.
26.	x3 - 7t2x 4- 6Z3 = 0, (Dx)3 — 7Dx 4-6 = 0.
27.	(x - /3/3) (x - e'*'2) (x 4- I //) = 0; (Dx)3 4- (f 4- ix 4~
4- x2) (txDx - (Dx)2) - l3x^ = 0.
28.	x4 = 4a2/2, x2(Dx)2 — a2 = 0, a £ R.
29.	/2 4- x2 = a2, x = (Dx — ад/1 4- (Dx)2, a £ R.
Показать, что функции x = x(t), заданные параметрически, являются решениями соответствующих уравнений:

t (Dx)2 + xDx — 1=0.
' I = T 2 in T,
x = — In r 4- —, т > 0, T	-r
xDx — 2/(£>x2) -1=0.
„ Jl = 2(l-p) + e-’, lx = 2-p2 + e-"(14-p), p€R.
x=(l +Px)/ + (Dx)2.
„. (t = e-” cos <p,
• lx = (l 4-sin 2if)e~s'f/4, <p£ R,
4x = (Z)x4-/)2.
35 K = ₽-’'(1 +<₽)> ,	,
d5‘ (x = (l +2<p + 2<p2)e-2V4, <pe R,
4x = (Dx)2 4- t2.
„„ И = е_ф/2со5ф,
’’’• (x = (2 + sin 2<₽)e 4/4, <p€R, 2x = t1 + ‘Dx 4- (Dx)2.
jt = p3/4 —p2/2,
37-	lx = 3p716 - p3/3, p € R.
-1Udx)34-4d*+t^ + < +
(Dx)2 *
Каждое дифференциальное уравнение имеет, вообще говоря, семейство решений, задаваемое формулой, содержащей произвольные постоянные.
Решается обратная задача: построить дифференциальное уравнение по известному решению х^= x(t, Ci, .... Cn), заданному соотношением Ф(/, х, С|, .... С„) = 0.
Дифференциальное уравнение, связывающее / и x(Z), получается путем исключения постоянных Сь Сп из системы
п
Ф(/, х, Сь .... Сл)==0, £>ф(/, х, Ci, ...» сл) = о, £)ПФ(/, x,*Cj... Crt) = 0.
Построить дифференциальные уравнения наименьших порядков путем исключения произвольных постоянных:
38.	х = -1 + С.
39.	х — С\е1 С?е~‘ -f- sin Z.
40.	/2 + С/х — х2 == 2/.
41.	х — С cos /, у = С sin /.
42.	х2/3 +/2/3 = С2/3.
43.	х = Ct + С/д/1 +С2.
44.	х=/(1 + (Zdfy
45.	х = Д-^1Л + 5/2.
J 1 I
46-	*=4$vrdT + c) + sin L 2
47.	х-С2-С?<--^-/2 = 0.
48.	Зх = 3/ + (/ + С,)’ + Сг.
49.	Зх = 4(/ + С$’г + С2/ + С3.
50.	х In х -J- / 4 С|Х 4 С2 == 0.
51.	2С|Х = (С|/ + С2)2 4 I-
52.	Составить дифференциальное уравнение семейства парабол, оси симметрии которых параллельны оси ординат, а вершины расположены на оси абсцисс.
53.	Составить дифференциальное уравнение семейства парабол, вершины которых совпадают с началом координат, а осью симметрии является ось абсцисс.
54.	Составить дифференциальное уравнение однопараметрического семейства окружностей единичного радиуса, центры которых лежат на прямой у — 1.
55.	Составить дифференциальное уравнение семейства эллипсов, центры которых совпадают с началом координат, а оси симметрии — с осями координат.
12
2.	ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ОБЩЕЕ И ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЯ.
НАЧАЛЬНАЯ И ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧИ. ФУНКЦИЯ ГРИНА
Простейшим дифференциальным уравнением порядка п является уравнение
Dnx = f (/), t £ I,
где функция f(Z) непрерывна на промежутке I.
Совокупность решений рассматриваемого уравнения, заданную формулой, содержащей п произвольных постоянных, называют общим решением.
Общим решением простейшего уравнения служат функции
*(/) = S CjZ-f-jM — J f(Trt)rfTn-rfT2)rfTi lt=0	s ' s s	'
или n— I	I
x(t)= £ C*/‘ +	Vs 6 I, G€R,
Jt = O	5
k = 0, n—l.
Решение, получающееся из общего при конкретных значениях постоянных Ck, Л = 0, п—1, называют частным решением. Для выделения частного решения из общего используют начальные, граничные и другие дополнительные условия. Условия, относящиеся к одному значению аргумента, называют начальными, а относящиеся к различным значениям аргумента,— граничными.
Начальная задача (задача Коши) для простейшего уравнения порядка п имеет вид
D'lx = Z£l, Dkx\t=s = lk, /г = 0, п-1.
Решение начальной задачи для простейшего уравнения определяется по формуле
п — 1	t
А = 0	.<
Найти общие решения уравнений:
56.	Dx = I sin I, I = R.
57.	Dnx = t, I = R.
13
58.	D3x = t~3, I = ]0, 4-oo[.
59.	Dx = cos2 /, I == R.
GO. Dx = tg /, I = ] — л/2; л/2[.
61.	Dx = (\ -t2)~3/2, 1 = ]—I, 1[.
62.	Dx = sin3 t, 1 = R.
63.	Dx = el cos /, I = R.
64.	D2x == cos 2/, I =s R.
65.	D2x — sin t/t, I = ]0, 4- oo [.
66.	D2x = e'/t, l=]0, 4-oo [.
Решить начальные задачи и обосновать выбор I:
67.	Dx = ctg t, I = ]0, л[, х|/=л/2 = — I.
68.	Ox =— 1, 1=]—oo, —1/2(, x|,__,=7.
69.	Dx = cos t, I = R, x|/ = 10.
70.	Dx = I/~\J I —1\ I=]-l, )[, x|,_0=93.
71.	£>3x= — cos/, 1 = R, 4=0 = 1» £>4=o=O, £>24=o = —1.
72.	£>3x==2//3, 1 = ]—oo, Of. 4=-« = £>4=-i ~ = £>24=-i = l-
73.	D\ = e/4-3/"5/2/4,I = ]0> 4-oo[,x|r=1 = £>4e| = = £>24=J =0.
74.	£>2x=l, 1 = 7?:
a) x/=/o = a, £>4=/6 = P; 6) x^o=O, Dx\l=0 = O', в) x/=o=O, £>4=о = 1; r) xr=0=l, £>4=o=O. 75. P3x = e“/, I = R, x|/==0 = £>4=o = £>24=o
76 £>2x = (/— I)-3 — (/4- I)-3, I-]-l,l[, x|/=0 = ^*4=o —
Решить граничные задачи:
77.	D2x = 2, I = R, 4—,=0. 4-=0.
78.	£>3x = 2/-3,	I=]0, 4-oo[,	4=1 =Dx\^2 =
= D2x|/=3=0.
79.	Dx=— sin/, I = R, 4=0 = l, 4=я/2=0.
80.	Dx= —sin /, I = R, 4=0 = 1, 4=n/2 = 1.
81.	Показать, что граничная задача Dx = f(f), I = R, 4=*=fl, -^|/=r = ^ s^/^r, имеет решение лишь в исключительных случаях, и описать эти случаи.
82.	Показать, что граничная задача D2x — f(f), I = R, 4=s = о. 4,=г = i < г, всегда имеет решение, и найти его.
14
Граничная задача для простейшего уравнения при л = 2
D~x = [(f), /Е1=[а, 6|, х|,=и=Л, х|/=й=В,
имеет решение
л
х = х(/) = 4^1 А + в + ( G(t, т)/(т)Л, Ь — a b — а j ' \ '
а
где G (/, т) = (/ — т) • ! (/ — т) — * (Ь — т); I (/) — функция единичного скачка:
Функция G(Z» т) называется функцией Грина граничной задачи.
Записать с помощью функции Грина решения граничных задач:
83.	D2x = t, х|/=0 = 1, х|/=2 = 1.
84.	D 'x = cos t, х|/=0 = О, л'|/ия = 0.
85.	D2x = tgt, х|/=о = О, х|,=л/4 = 1.
86.	D2x = t, л|/=о=О,	| — 0.
II. ПРОСТЕЙШИЕ УРАВНЕНИЯ
3. УРАВНЕНИЯ с кусочно-непрерывной неоднородностью
Решением простейшего дифференциального уравнения я-го порядка Z)"x = /(/), /£1, с кусочно-непрерывной неоднородностью f(J} называется функция, имеющая непрерывные производные до (я — 1)-го порядка включительно, обладающая кусочно-непрерывной производной порядка п и обращающая уравнение в тождество всюду на I.
Решение задачи Коши (начальной задачи)
D"x = f(t), /£1, £>‘x|,_s=U 1г = 0. л —1, s£l, в случае кусочно-непрерывной неоднородности f на I может быть получено по формуле построения решения задачи Коши для непрерывной /'.
15
Задача 1. Найти общее решение уравнения
Решена е. Так как Dsx D{Dfx), то исходное уравнение приводится к уравнению второго порядка
1)72+СГ, /<0.
V73 + Ci. />0.
Учитывая, что искомое решение х(/) должно быть непрерывно на 11= R н иметь непрерывные производные первого и второго порядков, потребуем непрерывности £>2х в точке / =? О, что приводит к равенству Cf-^0,5 — Cj. Следовательно, Cf=Ci—0,5. Тогда
р + 1)72 + С, - 0.5. / < 0, l/73+Ci,	/>о.
Отсюда
Ш + D73! + (С, - 0,5)1 + С?, t < 0.
V712 + CU + C2,	/^0.
Вследствие непрерывности Dx в точке I ~ 0 -f- 1/6 = Сг, откуда С} — С» — 1/6. Следовательно,
((<+ 1)73'- + (С, - 0,5) I + С2 - 1/6. V712 + С4 + С21
получаем CJ -f-
f <0, /^0,
откуда
+ (€(-0,5)—+ (С2- 4-p + Cf. /<0.
2	\ О J
~5~ +	+ Сз, t 0.
Непрерывность решения х(0 в точке (= 0 требует выполнения равенства С$ + I /24 = Сэ. Следовательно, искомое решение определяется формулой
/<0,
Задача 2. Найти общее решение уравнения
J—I. /<0 I I. t>
Н
Решение. Данное уравнение первого порядка имеет решение
х(/) =
|-1 + С*. /<0, I / + С|, />0.
причем Cf = Сь
Обратим внимание на тот факт, что для найденной кусочнодифференцируемой функции x(t) производная Dx в точке / = 0 — односторонняя (именно правая) производная.
Найти общие решения уравнений:
87. D3x =	а £ R. 88. D2x = I (/) sin t.
89. D2x = / Л 1 < °’	90. Dx = (2 +tl 1 < °'
(sin t. r>0.	I 0 0.
(-1, /<0,
9L £>2x = /sgnf, sgn t = <	0, f = 0r
( I, t > 0.
Решить задачи Коши:
92.	Dx = e1' • 1 {/), z|,_0 = 2.
93.	P2x= l(f — 3):
4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОСТЕЙШИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. ПРОСТЕЙШИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЕСТЕСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
Геометрические приложения. При отыскании кривых у==у(х\ удовлетворяющих некоторым условиям, нередко бывает легче установить соотношения между дифференциалами переменных х и у, используя геометрический смысл этих понятий, и, следовательно, построить дифференциальное уравнение для функции у(х). Построение касательной, определение длины подкасательной и поднормали основано на том, что у'(хо) определяет угловой коэффициент касательной к кривой у = у(х) в точке (до, у(х0)). Подкасательной кривой у~у(х) в точке (хо. у(х0)) называется проекция на ось абсцисс направленного отрезка касательной, заключенного между точкой касания и точкой пересечения с осью абсцисс. Поднормаль кривой у = у(х) в точке (х0, у(хв)) — это проекция на ось абсцисс отрезка нормали от точки (x(j, у(хо)) до точки пересечения нормали с осью абсцисс.
17
Иногда при решении геометрических задач получается интегральное уравнение (уравнение, содержащее интеграл искомой функции), которое приводится к дифференциальному уравнению с помощью операции дифференцирования.
Задача 1. Найти кривые, у которых тангенс угла между касательной н положительным направлением осн Ох пропорционален абсциссе точки касания
Решение. Пусть =	— искомая кривая. Тогда - -
С/Х
есть тангенс упоминаемого в условии задачи угла Следовательно, dy	л .	-
-т—	=ах<), где а — коэффициент пропорциональности. Так как
требуемое соотношение должно выполняться для всех точек искомой кривой, то имеем дифференциальное уравнение у' = ах Решив его, получим кривые у = ах~/2 + С, С £ R, удовлетворяющие условию задачи.
94.	Найти кривые, у которых тангенс угла между касательной и положительным направлением оси Ох обратно пропорционален абсциссе точки касания.
95.	Найти кривые, у которых тангенс угла между касательной и положительным направлением оси Ох равен квадрату абсциссы точки касания.
96.	Найти проходящую через точку (1, I) кривую, у которой отрезок касательной в произвольной точке, заключенный между осями координат, делится точкой касания в отношении 2 : 3, считая от оси абсцисс.
97.	Найти проходящую через точку (1,1) кривую, у которой отрезок нормали в произвольной точке, заключенный между осями координат, делится точкой касания в отношении 2 : 3, считая от оси абсцисс.
* 98. Найти кривые, нормаль в каждой точке которых проходит через точку (п, Ь).
< 99. Найти кривые, у которых величина поднормали во всех точках кривой одинакова и равна а, а > 0. (У к а-з а н и е. При решении полученного дифференциального уравнения рассматривать х = х(у).)
100. Найти кривые, у которых подкасательная во всех точках имеет постоянную длину, равную а.
•101. Найти кривые, для которых площадь фигуры, заключенной между осями координат, кривой и прямой, параллельной оси ординат, проходящей через произвольную точку кривой, равна кубу ординаты этой точки. (Указание. Воспользоваться вычислением площади криволинейной трапеции с помощью интеграла.)
18
Простейшие математические модели естественных процессов. При решении задач естествознания с помощью дифференциальных уравнений необходимо сначала составить дифференциальное уравнение задачи, т. е. соотношение, связывающее независимую переменную t, трактуемую чаще всего как время, искомую функцию х(/) и скорость ее изменения Dx(f). Затем найти его общее решение и, наконец, учесть условия, с помощью которых можно определить значения постоянных, входящих в общее решение дифференциального уравнения.
Задача 2. Точечный заряд q находится на продолжении оси тонкого стержня длиной / на расстоянии а от его левого конца. Определить силу притяжения стержня и точечного заряда, если на стержне равномерно распределен заряд Q

Р и с. 1
Решение. По закону Кулона модуль силы притяжения F между двумя точечными зарядами qi и qz, расположенными на расстоянии г друг от друга, выражается зависимостью

где k — коэффициент пропорциональности (коэффициент притяжения). Определим силу притяжения dF данного точечного заряда элементом dx (рис. 1). Пусть Qi — заряд стержня длиной dx, тогда Qi = = Qdx/l. где Q/l — заряд стержня единичной длины. Расстояние г между точечным зарядом и зарядом элемента dx стержня равно a -f- х. Применив закон Кулона, получим дифференциальное уравнение
dF~k —, / /г.	’
проинтегрировав которое, будем иметь общее решение
F=-k-^~ —5—-4-С
I а 4- х
Так как при х = 0 сила F равна нулю, то C = k~-
1 -ь
— Тогда а
сила притяжения точечного заряда отрезком стержня длиной х
F-k^- Х
I а (а 4- х) *
19
При х = I находим силу притяжения точки всем стержнем:
а (а + /)
102.	Найти зависимость пути 5 от времени t при равномерном прямолинейном движении со скоростью ио, если s|(3/0 =50.
103.	Материальная точка движется прямолинейно с постоянным ускорением а. Найти закон движения точки, если начальная скорость ее ио, а путь, пройденный к началу движения, равен so-
104.	Найти закон движения материальной точки при свободном падении с заданной высоты Ло с начальной скоростью VQ.
105.	Тело начинает двигаться по прямой с ускорением, равным Оо/(1 -Ь /)2 (со — постоянная), из состояния покоя при t = 0. Найти закон движения тела.
106.	Скорость изменения концентрации c(t) препарата с изотопным индикатором в момент времени / равна 2~‘ (где /—время в часах). Найти концентрацию в момент t = 3. если начальная концентрация составляет 1 г/л.
107.	Скорость роста популяции насекомых в момент времени I (время выражено в днях) задается величиной 9000/(1 + t}2. Составить математическую модель процесса. Найти численность популяции насекомых в момент времени /, если начальная популяция состояла из 1000 насекомых.
108.	Дрожжи в растворе сахара растут таким образом, что их масса увеличивается со скоростью 1,03* In 1,03 (/ — время в часах). Пусть начальная масса дрожжей составляет 1 г. Составить математическую модель процесса и найти значение массы дрожжей после:
а) 10 мин роста; б) 20 мин роста.
109.	Скорость роста популяции бактерий в момент I равна 104 -2 - 10ч (где t — время в часах). В начальный момент численность популяции равна 106. Найти численность популяции после: а) 1 часа; б) 5 часов; в) 10 часов. Указать момент времени, в который популяция примет максимальное значение.
110.	В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность популяции возрастает со скоростью
20
loop 100+3С, (((ЮЧ-Г)2
где i — время, ч- Найти размер этой популяции:
а) в момент времени /; б) максимальный.
Hi. Судно водоизмещением т, движущееся прямым курсом, в момент включения двигателя имело скорость vo. Считая, что модуль силы упора винтов Q пропорционален времени с коэффициентом^ пропорциональности k, а сила сопротивления воды Т постоянна, составить математическую модель движения, определить путь 5, пройденный судном за время 6, если за это время его скорость увеличилась в два раза.
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
III.	ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
5.	ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ СО СТАЦИОНАРНЫМ ОПЕРАТОРОМ
Общее решение однородного уравнения. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами в основной форме имеет вид
Dnx an-\Dn~xх	+ a\Dx аъх =	/£ I,
где	£^=0, л —1, а [ непрерывна на I. Если
fsO, то уравнение называют однородным, при f^O— неоднородным.
Уравнение
Dnx 4- an_\Dn~ lx 4- ..,4- a\Dx 4- а^х = О
есть однородное уравнение, соответствующее исходному неоднородному, где До, ...» an-i те же, что и в исходном уравнении.
Стационарный дифференциальный оператор л-го порядка
£„ = £>'' +а,+ •• + a,D + aaD°, определенный на множестве функций с непрерывной производной порядка л, является линейным оператором, т. е.
Ln(ax-f-pi/) = aLnx4- $Lny, а, 0 £ R.
Линейное уравнение со стационарным оператором Ln (иногда называемое стационарным уравнением) записывается в виде
Lnx = f(t\ / 6 I.
Для стационарного линейного оператора Ln алгебраическое относительно v уравнение
vn 4- ап_|Ул~1 4-... 4-aiv 4- до = О называется характеристическим уравнением оператора Ln. Корни его vi. v2, vm кратностей d\, di, dm соот-22
ветственно (di -j- ds 4- ••• + dm = n) называются характеристическими числами линейного однородного дифференциального уравнения или собственными значениями оператора Ln, при этом характеристический полином может быть записан в виде
Vrt 4	1 Ч-... 4~ £7|V 4-Go =
= (V — Vt/' (v —	— (v —
Над операторами производятся обычные действия, как и над полиномами от D, поэтому оператор Ln можно разложить на множители, т. е. факторизовать:
Ln = (О- vxD*>f (D — v2DDf -(О —
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения со стационарным оператором имеет вид
x(l) = 5 (Q/W cos pd 4- Ri(t) sin ц//) exp (MO 4-/=1 m
+ S P,(/)exp(v,/),
где vm- 1 = X/ 4- Ф/, v2/ = ^1 — ip-i, 1=1, r,— попарно комплексно-сопряженные корни характеристического полинома; V/, / = 2г4-1> —♦	—действительные корни;
Qz, Rt, Pi — полиномы с произвольными действительными коэффициентами. Степень Qf, равная степени Ri, на единицу меньше кратности корня v2i-1 = X/ 4- Щи Степень Pt на единицу меньше кратности действительного корня V/. Каждое слагаемое первой суммы общего решения строится для пары комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения. Каждому действительному корню характеристического уравнения соответствует слагаемое второй суммы.
Совокупность решений однородного уравнения Lnx = 0 является п-мерным линейным пространством. Базис этого пространства называют базисом пространства решений или фундаментальной системой решений.
Задача. Построить обитое решение для следующих однородных уравнении, предварительно определив собственные значения операторов:
а)	/)2х — 4Dx = 0.	6) D х - 3Dx 4* 2х = 0;
в) Dlx 4- 2Dx + 1 Ох = 0;	1 j D'x 4.2D'x — 8Dx + 5x = 0;
д) Z)5x — 8D'x -J- 26D ‘x — 40Zrx 4- 25Dx = 0.
23
Решение, a) v2— 4v = 0=>Vi—0, di = i; vz = 4, d2=l=> =>*(/)= Ci + C2e4';
6)	v3-3v + 2 = 0=>V! = 1, di =2; v3= —2, d2 = I =>*(/) = (G + ~Ь Сз1)е' 4~ Cse~2f;
в)	№ 4- 2v + 10 = 0=*-vj = — J + 3i. di = I; v2=—I—3i, dj = = I =>x(/) = (Ci cos 3/ 4“ C2 sin 3f) e
r) v<+2v2—8v 4-5 = 0=*-vi = 1, th = 2; v2 = — i 4-2i, d2=i; vs = — I — 2/. dz = 1 =►*(/) = (Ci 4- C2/) e* 4- (Сз cos 21 4- C4 sin 2/) e~';
Д) v5 — 8v4 4- 26v3 — 40v2 4- 25v = 0=>vj =0, di = I; v2 = 2 4-1, d2 = 2; v3 = 2-t, d3 = 2=>x(/)= Ci4-((C24-C3/)cos/+(C<4-4- CsO sin /) e2'.
Построить общие решения уравнений:
112.
114.
116.
118.
119.
121.
122.
123.
D2x 4- Dx — 2x = 0.	113. D’x 4-40x 4-3x = 0.
D2x — 2Dx = 0.	115. 2D2x — 5Dx 4-2x = 0.
O2x4-7Dx = 0.	117. O2x —4Dx4-5x = 0.
D3x — 3D2x + 4Dx — 2x = 0.
O2x —Ox4-x = 0.	120. D‘x —x = 0.
D“x — 5O2x + 1 ODx — 6x = 0.
D'x + 2D3x 4- 4D3x 4- 6Dx 4- 3x = 0.
D3x 4- 5D2x 4- 7Dx 4- 3x = 0.
Для данных уравнений выписать и факторизовать оператор L„. Построить общие решения уравнений:
124. D2x — 2Dx 4- х = 0.	1_25> D2x — 60x4- 13х=0.
126.	О2х4-4х = 0.	127. 4D2x4-4Dx4-x = 0.
128.	О2х4-Зх = 0.	129. О2х 4-4Dx 4-4х = 0.
130.	О3х — 6О2х4- 1Юх — 6х = 0.
131.	О3х 4- 4D2x — Dx — 4х = 0.
132.	О3х —2О2х = 0.	133. D4x — 5D2x4-4x = 0.
134.	D*x 4- 4D2x 4- Зх = 0.
135.	D’x 4- 2D2x — 3Dx 4- 5x = 0.
136.	O5x —10D3x4-9Dx = 0.
137.	D7x 4- 4Oex — D3x — 4D2x = 0.
138.	D"x — 8O3x 4-26D2x — 40Dx 4-25x = 0.
Построить общее решение уравнения L,tx = 0:
139.	Z.9 = (О — 3D")2 (О — <D°) (О 4- iD°) (о — — -Цд. оЛ (о — -ЦД- D"\ D.
140.	t6 = (O-O'’)i(O-(24-<jD'')(D-(2-0O")(7) --л/7О").
24
141. Le
= (о + (I + п/з) О0)3 (D + (I -<->/3D°)3) D(D 4-142. £8=(О+(1+г\^)О0)г(О+(1— r^)D°)sD3(D — |-D0).
143.	L8 = (D-iV5D")4(D + iV5D°)4.
144.	L7 =(D — i-fitfyiD + i-\/5D0)2(D +V5D0)3.
145.	L9 = (D—-^D°)3(D+t/3D0)3(D—(3 — -t)D°)D(D-(3 + 1)0°).
146.	Lio = DS(O + D°)2 (d -	+ L.)0°)
_ 1Л £>°) (D + 0,7D°).
147.	L5 = (О - 0.1D°)2 (D-h/3 + y)D°)(°- (V3-4Ло“ 'io.
148.	L,о = (О + 0,100)4 (O + zD°)2 (O - iD°)2 (O — (i + + 2)O°)(D + (1-2)O°).
149.	' Составить линейное однородное уравнение со стационарным оператором по характеристическому уравнению:
a) 9v2 — 6v 4-1 = 0;	б> v(v 4-l)(v4-2) = 0.
в) (v24-	—0.	г) v2(v—1) = 0.
150ь Составить линейное однородное уравнение со стационарным оператором и записать его общее решение по известным корням характеристического уравнения:
a) vi = 1. di = 1; v2 = 2, d2 — 1;	6J- vi = 1, d\ *= 3;
в) Vi = 3 4- 2i, di = 1; v2 = 3 — 2i, dz = 1;
r) vi = 2, d\ 5= 1; v2 = i, dz = I; v3 = — Z, dz = 1.
151.	При каких значениях параметра X уравнение Dzx-j-Xx — 0 имеет ненулевые решения, удовлетворяющие граничным условиям х[=0 = 0, х|/=:П=0? Найти эти решения.
25
152.	Решить граничные задачи:
ар D2x + х = 0, х /=0 == I, х 1=я/2 = 1; 6pD2x 4-х = 0, х/=0 = 1, л/=л=2;
в) D2x 4- х = О, х ,=0 = 1, х /=Эл = 1 .
153.	При каких значениях а граничная задача для уравнения D2x 4- ах = О имеет ненулевое решение, если:
а)	04-oeDxU=°;
б)	^|/=о “ % L = a » ^-^L=:O = М-л
154.	Решить граничную задачу D'x — аАх = О, x|/s=;0 = = £2х|,=0 =0, х|/=л = 2Л|,=Л =0, a£R.
Дифференциальное уравнение колебательного движения. Простейшие случаи колебательных движений материальной точки имеют большое значение как в технических приложениях, так и при рассмотрении различных явлений природы. Таков, например, закон движения груза, подвешенного на упругой пружине, движение часового маятника, движение отдельных точек струн музыкальных инструментов, движение отдельных предметов на корабле при боковой качке, изменение силы тока в электрической цепи, сезонное размножение популяций и т. д. Все эти движения имеют некоторые общие черты и характеристики. К ним относятся: положение равновесия, максимальное отклонение от положения равновесия (амплитуда колебаний), время, в течение которого совершается полный цикл колебательного движения (период) .
Для описания закона движения материальной точки используется второй закон Ньютона-, при постоянной массе произведение массы точки на ее абсолютное ускорение равно приложенной к материальной точке силе,
—*
т. е. tn = Л где v — вектор скорости.
Рассмотрим, к примеру, очень важную с точки зрения приложений механическую систему, изображенную на рис. 2. Движение материальной точки массой m описывается дифференциальным уравнением
26
Здесь х — отклонение материальной точки от положе-ния равновесия; — k\ —— сила сопротивления среды, которую считаем пропорциональной скорости; —k2x— сила упругости пружины; /(/) — вынуждающая внешняя сила. В том случае, когда сила сопротивления среды и вынуждающая сила отсутствуют, уравнение принимает вид
tn = — k2x или D2x 4- k2x = О, at-
где k? = k2/in. Это уравнение называют уравнением свободных колебаний. Его общее решение имеет вид
х = Ci cos kt -j- C2 sin kt или x = A cos (kt -|- <p),
где A = y Ci + C2 — амплитуда; ф = arctg (C2/Ci) — начальная фаза Свободных колебаний. Число k называют частотой колебания. Движение такой материальной точки называют гармоНическим\ Т = 2л/А — период.
В случае, когда сопротивлением среды пренебречь нельзя, а вынуждающая сила отсутствует, движение рассматриваемой механической системы описывается уравнением вида D2x -j- 2aDx -|- k2x = 0. При A2 —cr>0 решение этого уравнения
х = е а,(С। cos -y/k2 — a21 -j- С 2 sin д/А~ — a21)
представляется в виде
х — Ае al cos (д/а2 —	+ ф), А ф Е R*
Амплитуда этого гармонического колебания равна Ae~a,t при а>0 с увеличением времени t она уменьшается, а рассматриваемое уравнение описывает затухающее гармоническое колебание. Промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями от положения равновесия называется периодом затухающего колебания Т = 2л/д/а2 —а2. При а2 — — k~ 0 решение дифференциального уравнения х=С| ехр(( — а^-д/д2 — /г2)/) -j-C2ехр(( —а—д/а2—А2)/)
не описывает Колебательного движения и называется апериодическим. Апериодическое движение описывается
27
уравнением и при а2 — k2 == 0. В этом случае х = (Ci 4~ + С2/)е-а/.
155.	При каких значениях h все ненулевые решения уравнения D2x + Лх = 0 представляют собой гармонические колебания? Указать их вид и период.
156.	При каких значениях b все ненулевые решения уравнения D2x -f- 2Dx 4- bx = 0 представляют собой:
а)	затухающие гармонические колебания;
б)	затухающие апериодические движения?
157.	При каких значениях а все ненулевые решения уравнения D2x 4- 2aDx 4- х = 0 представляют собой затухающие 1армонические колебания?
158.	При каких значениях k все ненулевые решения уравнения D2x 4- 2£)х 4- k2x = 0 представляют собой затухающие гармонические колебания?
159.	Определить период колебаний, описываемых уравнениями:
a) D2x + 2Dx-{- 10х = 0;	б) D2x4-3x = 0.
в) D2x — Dx 4- х = 0;	г) D гх 4- 4Dx 4- 5х = 0.
160.	При каких а и b все решения уравнения £>2х4-4- aDx 4- bx = 0 ограничены на всей числовой оси — оо < <С / < оо ?
161.	При каких а и b все решения уравнения £> ’х4-4- aDx 4- bx—0 стремятся к нулю, если:
а) /->4-оо; б) /-> —оо?
162.	При каких а и b уравнение D2x 4- aDx 4- bx = 0 имеет хотя бы одно отличное от нулевого решение, стремящееся к нулю при /->- 4- оо ?
163. При каких D2x 4- aDx 4- bx = 0 множестве точек I?
а и b каждое решение уравнения обращается в нуль на бесконечном
164.	При каких а и b каждое решение уравнения D2x 4- aDx 4- bx == 0 монотонно?
165.	При каких а н b хотя бы одно решение уравнения D2x 4- aDx 4- bx — 0. кроме нулевого, монотонно?
166.	Найти условие, при котором общее решение уравнения т 	4- k — 4- cs = 0 (где т, k, с — постоянные):
28
а)	содержит тригонометрические функции;
б)	не содержит тригонометрических функций.
167.	Доказать, что если k столь мало, что величиной j2 k2/m2 можно пренебречь, то решение уравнения т —— -J-
-j- k — + cs = 0 приближенно равно решению уравнения, dt
которое получилось бы в случае k = 0, умноженному на
Замечание. Данное уравнение описывает движение частицы массой т, притягиваемой к неподвижной точке, находящейся на линии движения этой частицы, с силой, пропорциональной ее расстоянию от неподвижной точки до частицы, в среде с трением, пропорциональным ее скорости (с И k — коэффициенты пропорциональности). Полученное утверждение показывает, что небольшая сила трения оставляет движение частицы практически неизменным, но при этом происходит уменьшение в геометрической прогрессии амплитуд следующих друг за другом колебаний.
168.	Математическим маятником называется материальная точка массой tn. подвешенная на невесомом стержне длиной / и движущаяся в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Уравнение движения математического маятника имеет вид 6" -|- рО' -|- q sin 6 = — О, где р = Ь/1 (постоянная b характеризует сопротивление среды); q = g/m', я — ускорение свободного падения; 6 = 6(/) — угол отклонения стержня от вертикали. Для малых отклонений маятника от вертикали, т. е. для малых величин угла 0, учитывая, что sin 0 = 0 -|- о(02) при 0->О, получаем приближенное линейное уравнение движения математического маятника. Для малых отклонений маятника выделить случаи, когда маятник:
а)	стремится занять вертикальное положение: двигаясь апериодически; совершая затухающие колебания;
б)	совершает периодические колебания.
169.	Угловое ускорение при кручении описывается дифференциальным уравнением
d? к <₽ zn dl.
Пусть <р = фо при t = 0 и угловая скорость кручения равна нулю. Найти зависимость угла кручения ф от вре-
29
мени I в следующих случаях:
а) 6г>л2; б) Л2==п2; в) k2<.n2.
170.	Уравнение движения стрелки гальванометра для малых колебаний имеет вид
-^+2*^+ы2(6-а) = 0,
где 0 — угол, на который стрелка поворачивается в момент времени /; /г, а), а — заданные постоянные. Решить это уравнение, если:
а) /г > со; б) k = со; в) k < со.
171.	Уравнение поперечных колебаний упругого тонкого стержня имеет вид

d2u dz~
4-y2u = 0,
где р, у — постоянные. Построить общее решение уравнения при 20 =—13, у = 6.
172.	Уравнение свободных колебаний упругого кольца имеет вид
d*w * "rfO^
4- г
d'w
йх d'w ati2
4- ccw = 0,
где г, а — постоянные. Построить общее решение при г = —2, а2 = 2.
173.	Конденсатор емкостью С разряжается через цепь с сопротивлением R и коэффициентом самоиндукции L. Задача Коши U" 4- pU' 4- qU — 0, £/(/«) =t/o,	=
= —/о/2 определяет закон изменения напряжения U = = U(t) на обкладках конденсатора; р = R/L, q — 1 /(LC), /о — сила тока в цепи в момент /о. Указать случаи:
а)	когда U(f) стремится к нулю при Z->4~°° без колебаний;
б)	когда U(i) совершает/периодические колебания;
в)	когда £/(/) стремится к нулю при /->4“°°» совершая колебания.
6. БАЗИС ПРОСТРАНСТВА РЕШЕНИЙ
Совокупность п линейно независимых решений ФИО, k = 0, и. — I, однородного уравнения Lnx = 0 образует базис пространства решений] 30
Совокупность решений i|4.(Z), k = 0, п — 1, линейно независима на I, если определитель Вронского
1Г(/) =
...	Ф«-1
£)фо ...	Офп-1
£>"-'фо ... О"-Чп-1
не обращается в нуль ни в одной точке I. Из формулы Лиувилля — Остроградского W (Г) = U7 (0) ехр (—ал- iZ) ?
следует, что если №(0)у=0, то W(t) 0 на I. i
(Общее решение однородного уравнения строится с помощью базиса по формуле
x(t) = 5 ЗДДО, C*6R, £ = 0, п — 1.
Показать, что данные решения k—Q, п— 1, однородного линейного уравнения порядка п образуют базис пространства решений. Построить это уравнение и записать для него общее решение:
174.	фо(/) — t2e2t, яр| (Z) = te2it ф2(0 = е2/.
175.	i|>o(0 = e2', i|>i(0 = e-3'. М>2(0= «-
176.	фо(/) = sin Z, ф1 (/) = cos t.
177.	ipo(Z)=chZ, ipi (Z) = sh t.
178.	}фо(/) = sin Z, ipi (Z) = cos Z, ф2(/) = el.
179.	^o(Z) = Z sin Z, ф| (Z) = Z cos Z, фг(/) = sin Z, фз(/) = = cos Z.
180.	Ц>о(0 = '2. Ч>|(/) = Л *!(/)= 1. фз(<) = е/-
181.	) 4>o(/) = /e i]>i(/) = e	= e‘ sin 2/, фз(О =
= e‘ cos 2Z.
182.	' tyo(Z) = Ze5' sin 4-,	ф[(/) = Ze2/ cos4-, ФгИ =
= e2'sin4*> T3(Z) = e2/cosy.
183.	ip0(Z) = Ze^', 4)|(Z)==e_/, ip2(/) = ch2Z. фзИ = = sh 2Z.
Составить линейное однородное уравнение со стационарным оператором по его общему решению:
184.	x=C{et/4 -j-Cie-21.
185.	х = (Ct -J- C2t)e~t/3.
186.	x = Ci exp((—1 +^5)0 + C2exp((—1 — V$)0-
/
187.	х = (Ci cos 2t + C2 sin 2t)e2t.
188.	x = C(et/4 4- C2e~2t + C3e‘.
189.	x = (С. 4- C2t)el/4 4- (C3 4- C4t)e~2/.
190.	x = Ci 4-(C2 cos-y[5t Сз sin
191.	x = (C, 4-G/4-C3/2)e'2/.
19ih x = (Ci 4~ j2^ cos / -j- (C3 4* С4/ Isin A 193; x = (Cj 4~ C2Z) 4~ 4~ С4/.
Базис пространства решений q>k(t\ k = 0, n — 1, уравнения Lnx = 0 называется нормированным в точке i = 0, если
£>'ч4-о = fy*. /• * = о. n - I.
где 6м = {o' kk^'-t т. е.
каждая функция
£«=
= 0, п — 1, является решением задачи Коши
Lnq>k = 0. D’q)k |f=0 = 8jk, j = 0, n — 1.
Базис, нормированный в точке t = s =£ 0, получается из базиса, нормированного в точке / = 0, сдвигом на s, т. е. если <р*(0» & = 0, п— I,— базис, нормированный в точке t = 0, то фд(/— $). Л =5=0, п— I,— базис, нормированный в точке t=s.
Задача. Построить базис пространства решений уравнения D2x 4-4- Зх = 0, нормированный в точке t = L
Решение. Для решения задачи строим базис, нормированный в точке t = 0, для чего решаем две начальные задачи
1) £>2х4-Зх = 0, л/»0=1, Dx[,= 0;
2) Д2х + Зх = 0, х|4_0 = 0. Dx|/4,0= 1
Общее решение данного уравнения имеет вид х = Ct sin д/з"/ 4-4- С2 cos ~у/з(, откуда
/
Dx = VsCi cos 5/ — -у/зСг sin
Удовлетворяя начальным условиям первой задачи, получаем
{I =а С*>	/—
2’	=> <ро(/) — cos*уЗ /.
0= д/ЗС|
Удовлетворяя начальным условиям второй задачи, получаем
(0 = С2,	... I .
J _	=>-fpiU)=—^=:Sin~v3/.
( I = -уз Cl	-д/З
32
Базис, нормированный в точке / = I. имеет вид
w(/_ J) = cos-v6(/ - I), <p((i - l)=	- i).
*V3
Построить базис пространства решений, нормированный в точке t~s, для следующих уравнений:
D4x— 2О‘-х— О, s = 0.
195. D4x— х = 0, s — 1.
I9U £)4x-|-x^0, s = 0.
197. Z/x-Ь 4x^=0, s= —2.
19$ 2D2x + Dx — x = 0, s= -0,1.
199. P3x-hx=^0, s = 0.
200J D3x — 3D2x 4- 3Dx — x = 0, s = — I.
201.	D4x + 2D3x 4-3Z)2x-}-2Z)x = 0, s = 0.
202.	Z)2x4-9x-=0. s = 3.
203. D2x 4- Dx 4- = 0, s = —3.
204. D2x — 2Dx 4- x = 0, s = —1.
205.	D?x 4- 2Dx 4- * = 0. s = 1.
206.	D4x 4-4 D3x 4-3x = 0, s = 0.
207.	D*x 4- 2D2x 4- x = 0, s = 0.
IV. НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
7. СТРУКТУРА ОБЩЕГО РЕШЕЖ4Я. МЕТОД ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ
Общее решение неоднородного уравнения
Lnx = f(t\ /61, представляет собой сумму общего решения х00 однородного уравнения Алх = 0, соответствующего данному неоднородному, и частного решения а» неоднородного уравнения: X — Х09 4~ Х’чи •
Метод вариации произвольных постоянных (правило Лагранжа) отыскания частного решения неоднородного уравнения основан на рассмотрении общего решения соответствующего однородного уравнения
л— I
Л>0(/) = 2
/<-0
где ip*(/), ^ = 0, п—L—базис пространства решений. Частное решение неоднородного уравнения по правилу
2 Зак. 2708
33
Лагранжа записывают в следующем виде:
п— I
^„(0= 2 цА(/)фл(/),
Л=0
где Duo, Du\, Dun-i удовлетворяют системе линейных уравнений
^>oDuq 4 ... + ipn-ijDttrt-i = 0, DtyoDuo 4- — 4- Dtyn-\Dun_i = О,
Dn 2^Оиа-\-... -f- Dn 2фв-Л_| = 0, Dn~ i|?o£>«o4	'tyn-iDun-1 =f.
Для записи частного решения неоднородного уравнения достаточно использовать одну из первообразных каждой функции множества Duo, Du\, .... Dun_\. Если Ck — произвольные постоянные, то формула
х = 2 (^(/)4- С*)фл(/)
дает общее решение неоднородного уравнения.
Задача 1. Построить общее решение уравнения
D2x 4- 2Dx = sin t, I = R.
Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид х0О= Coe~2i 4- Cj. Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде хчн = uo(t)e~2‘ 4- Система для определения Duq, Du\ имеет вид
e~2,Duo 4* 1 • Du\ = 0, —2e~2lDuo 4 0 ' Du\ = sin t.
Отсюда следует, что Duo~--------y^sinf, Dui = ~sint и и©(/) =
= —0,1 (2 sin t — cos t)e2t, u\(l) = —0,5 cos /. Тогда хчн(0 = —0,2 sin t — — 0,4 cos t и общее решение данного неоднородного уравнения запишется в виде
х(0 = Сое~214- Cj — 0,2 sin t — 0,4 cos /.
Задача 2. Построить общее решение уравнения D3x-]-Dx = = sin / cos-2 /, предварительно выбрав промежуток I.
Решение. Так как функция f(t) = sin I cos-2t должна быть непрерывной на I, то в качестве I можно взять интервал ]—я/2, л/2{. Учитывая, что х00 = Со 4- Ci sin 14- Cs cos /, частное решение данного уравнения ищем в виде
хч11(0 = «о(б 4 МО sin / 4- «а(0 cos /.
34

Система для определения £>но, Dui, Du2 имеет вид
{Duo 4~ Dui sin t Dili cos t = 0, Du\ cos t — Du2 sin I = 0, — Dut sin t — Dus cos t =sin t cos~2 t,
откуда Duo = sin t cos~2 I, Du\ = — sin21 cos-2 I, Du2=—(gt. Следовательно,
f sin 1	1	, Г
«o(O = \-----я— dt =--------1- Co.
J cos* t cos t
«i(0 = "	= — tg f-H + Сь
J cos t
u2(/) = — $ (g Idt = In cos t + C2.
Положив Co = Ct = C2 = 0, получим
x4ll(/) = I/cos I -}-(/ — tg Z)sin t 4- cos I In cos t.
Общее решение данного уравнения имеет вид
x(t) = Со 4- Ci sin / 4- С2 cos / 4- 1/cos 14-4- (t — tg /)sin t 4- cos l In cos t.
Задача 3. Построить общее решение уравнения D2x — x=\/t, указать промежуток I.
Решение Так как /(/)=!//, то положим, например, 1 = = ]0, 4-°°[> Учитывая, что Хоо = Сое14~ Cie~', имеем хчи — иое14-4- и\в~г. Система для Duq, Dut имеет вид
Duoe* 4- Date ' = 0.
Duoe* — Du\e~l = I //.
Из нее следует, что Duo = e ‘/(21), Du\ = —e‘/(2t). А тогда
t	t
I Г e~r	I Г eT
uo(t)= -^\—-dx, ut(J)= - — \ — dT.
J •	** J •
I	I
Следовательно, t	t	t
гл e‘ C e~r a e~' C e' a f sh(/ —t) ,
*-» = T ) ~ Л —Г J	- ) —V— dT-
I	1	1
Общее решение исходного уравнения имеет вид
х(/) = Сое' 4- Cte~l 4- sh(/T dx.
1
35
Применить правило Лагранжа для разрешения уравнений, предварительно выбрав промежуток I:
208.	D2x + 2Dx + x = 3e-'
209.	D~x + 3Dx + 2х = 1 /(<
212.	D3
213.	D2.
214.	D2.
215.	D2.
216.	D2.
217.	£>2
a) в) д)
/(/) = —sin 3/2Z; 6) f(/) = cos 3/2 Z;
f (t) = sin 5/21 cos '/2t;
e)	/(Z) = -
Vsin' t cos® t
ж)	/(/)=—ctg2/; з) /(/)=!//; и) /(/)= 1/sin/;
к)	f(t) = 2/cos°/; л) f(/) = tg/.
218.	D2x - Px = f (/): a)	/(/) = ._£_;	6)	=
= е2'д/1 — e2l\ в) f (f) = e2i cos r) =
8.	ФУНКЦИЯ КОШИ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. РАЗРЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПО ПРАВИЛУ КОШИ
Функцией Коши оператора Ln называют функцию фл-1(0» являющуюся решением начальной задачи (задачи Коши)
L„x = 0. D‘x|,_o = 0, k = 0, п-2, D''-'x|,=0=l.
Решение начальной задачи
Lnx = f(t), zei. P‘x|,=s = ^, * = 0, n —I, с помощью функции Коши записывается в виде
л —I	/
х(/) = 2	— s) 4- j <р„_ । (/ — T)f(r)rfT,
k = 0	s
36
где фо(*~s). •••» <рл-|(/ — s)—нормированный в точке / = s базис пространства решений уравнения Lnx — 0.
п — I
Первое слагаемое решения 2	— s) является ре-
шением начальной задачи
£,лх = 0» £>*х|
f=s = b, 6 = 0, и — 1.
Слагаемое J <рл_|(/— т)/(т)с?т служит решением нуле-
вой начальной задачи для неоднородного уравнения
= /(/), /61, Dk Формула
jc|z=s = O, £ = 0, п — 1.
x(t) = 2 Ck^k(t) + $ j (/ — т) f(т)сГт,
где £ = 0, n — 1,— некоторый базис пространства решений однородного уравнения Lrtx = 0, составляет правило Коши интегрирования уравнения Lnx = f(t\
/61-
Задача. Построить общее решение уравнения Dzx Ч- 2Dx = sm t.
Решение. Общее решение уравнения Dzx 4- 2Dx = 0 имеет вид хоо = С\е~2' + Сг. Для нахождения частного решения данного уравнения построим функцию Коши ф|(/), решив начальную задачу £гхЦ-Ч~2Дх = 0, х|/в0=0, Dx|/=0=l. Функция Коши имеет вид «₽>(/) = = — 4-е~г/-Ь Тогда
*чн(0 =
— -^e~2^-t)Asin vdr =
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения имеет вид x(t) = С^~21 Ч- С2 — 0.2 sin / - 0,4 cos t - 0,1е~2' Ч- 0,5.
Правило Коши удобнее всего применять для построения решений различных начальных задач с одним и тем же оператором Ln и с одной неоднородностью f.
37
Построить функцию Коши для данных операторов:
219.	= О2 4-<o2D0.
220.	= D2 — ы2О°.
221.	Li = D2 4- 2D + O°.
222.	L, = D2 — 20 4-0°.
223.	Z.3 = D3 — 6D2 + 1 ID — 6D°.
224.	L3 = D3 + 4D2 — D — 4D°.
225.	L< = D4 - 5D2 4- 40“ 226. L, = O' 4- 4D2 4- 30°.
227.	Ls = D5— IOD34-9D. 228- Li = D2 — 2D 4- 2D°.
229.	Lt = D' — D + D°.	230.	L3 = D3 — 2D2 4- 2D.
231.	£S = D3 —2D54-D.	232.	L^D4-4D2.
Записать решения нулевых при t —s начальных задач, где функция f непрерывна на I и sgl:
233.	D2x + a>2x = f, s = 1.
234.	D2x — u>2x = f, 5=10.
235.	D2x 4- 2Dx 4- x = f, s = a.
236.	D2x — 2Dx -j- x = f, s = 5.
237.	D3x-6D2+HDx — 6x = f, s = 0,5.
238.	D3x 4- 4D2x — Dx — 4x = F, s = 0.
239.	D4x — 5D2x 4- 4x = f, s=—2.
240.	D4x4-4D2x4-3x = f, s=—10.
241.	D5x — 10D3x4-9Dx = f, s = 0.
242.	D2x — 2Dx4-2x = f, s=l.
243.	D2x — Dx 4- x = f, s = 2.
244.	D3x — 2D2x 4- 2Dx = [, s = —3.
245.	D3x — 2D2x 4- Dx = f, s = 0.
246.	D4x — 2D2x = f, s=—0,5.
Применить правило Коши для разрешения уравнений, указать промежуток I:
J47. D2x -f- 2£)х -j- х — e2t:
а) х|/=| = 1, £>л|/=1^=5; б) х|/=з7=,2, Dx|,=7=I;
в) -*:|/=Q = 0, Z)x|t=o = O; г) x|t=l=l, Dx\(^ = 0.
248.	D2x4-x = 2(l -/):
a)	xL^o = 2, Z)x|z_q= 2j
6)	4_, =0,	£>x|/=l=0;
в)	x|/—o=1, £>x|f=o = O;
г)	л’|/=—з==:	7, Z)x|f=_3= — 1.
249.	D2x 4- Dx 4- x = 2e':
* a) x|/=o = O, Z)x|/=_q=1; 6) x|/=o=s=l, Z?a']/=0 = O.
250.	Dzx 4- 4x = f(/), x|r=0 = Z)x|/=,0 =5= 1:
38
a)/(/) = sin/; 6) /(/)=!/(/+I);
M f (0=1/cos 21; r) f(t)=el.
251.	D2x + 4x= 1/sinZ, х|,_д/2=1, £>x|,_n/, = — 2.
252.	D2x + x = f(t), x|,_0 = 0. £>x|(=o = 1 
a) /(/) = 4t cos /; 6) f(t) = 2(1 — /);
в) f(/) = tgZ; r) f(/) = ln(/+l).
253.	O2x + 9z = 36e3'.
254.	D2x — 4Dx + 5x = 2Pe'.
255.	D2x + x = 1	1 /cos t.
256.	D2x x = cos t4- (cos 20~ 3?'2.
257.	D2x —6Dx + 9x=4e' + (2 + 6£+9<2)/(3.
258.	D~x + 2Dx + x = 8e' + Зе~'ф + >.
9. УРАВНЕНИЕ С КВАЗИПОЛИНОМОМ. ПРАВИЛО ЭЯЛЕРА
Квазиполиномом называется функция вида
S Р/(/)ехр(у//), i
где у/ £ С; Pi(i) — полином с комплексными коэффициентами, причем yi=^=yi при l=£j-
Действительный квазиполином имеет вид
S РА(/)ехр(?л/) -|- S (/?/(/)cos 0/ -Ь
4- ///(Z)sin P/OexpfctjOi li'F
где у*, ct;, р/ 6 R; Pk(t), Rj{t\ H,(t) — полиномы с действительными коэффициентами. _______
Если функции i=l, nt, являются решениями уравнений соответственно Lnx — hi(l), i= 1, tn, то их сум-
m	m
ма x{t) = S Xi(t) — решение уравнения Lnx = S К{1). По-i=I	<=1
этому построение частного решения действительного линейного уравнения с действительным квазиполиномом в правой части сводится к определению частных решений уравнений вида
Lnx — Pffye11 и Lrtx = (/?(0cos 4~ К(f)sin
Если f(/) = P(f)eyt, где y — контрольное число правой части, то уравнение Lnx = f имеет частное решение вида
x)(.W = fQ(/)eT/,
39
где Q(t) — полином с неопределенными коэффициентами, степень которого совпадает со степенью полинома Р(/); г— кратность того из корней характеристического урав-неяйя," который совпадает с контрольным числом у. Если у не является корнем характеристического уравнения, то г = 0.
Если f (Z) = (/?(/)cos р/ -f- //(/)sin pf)ee/, где у = а + Ф— контрольное число правой части, то уравнение Lnx — f имеет частное решение вида
х1Н (/) = Г(М(Z)cos р/ -Н (/) sin (M)eat,
где M(l), N(t) — полиномы с неопределенными коэффициентами, степень которых равна максимальной из степеней полиномов /?(/) и //(/); г — кратность того из корней характеристического уравнения, который совпадает с контрольным числом у.
Задача 1. Построить частное решение уравнения £>2х— 4£>х4~ 4- 4х = 2е2'
Решение. Так как степень Р(/) = 2 равна нулю и характеристическое уравнение имеет корень v = 2 кратности d ~ 2, совпадающий с контрольным числом правой части v = y = 2, то частное решение ищем в виде хЧ11(/) = /2Ла- Подставив хчн(/) и его производные и £>2x,Jh(/) в уравнение, найдем Л = 1 Следовательно, хЧ11(/) = геЧ
Задача 2. Построить общее решение уравнения £)2х4~ Dx — 2 cos t.
Решение. Так как /?(/) — 2. Щ1) = 0 (степень 7?(/) = 0, степень Я(/)=—сю) н собственные значения оператора =	+ £ равны
vj = 0, v2 = — 1, то коэффициентами при cos / н sin t являются полиномы нулевой степени, т. е. M(t) = A, N(t) = B. Контрольное число у — = 0-|-/ не является собственным значением оператора поэтому хЧц(0 ищем в виде x4M(Z) = /°0 cos t 4-В sin /). Требуя, чтобы *.,„(/) обращало данное уравнение в тождество, получаем: А=—I, В=1, т е. хчн(/)= —cos /4-sin t Тогда общее решение уравнения имеет вид
х(/)=С| + С2*>~' —cos/-|-sin /.
Задача 3. Указать вид частного решения уравнения
D~x 4- х — i2 cos 14- 2 sin 14- e2t sin 2/ 4- №
Решение. Определим собственные значения оператора Lj = = D2 4- D1': v2 4- I = 0=> vi — i, dt = I, V2 = —i, ds = 1 Правую часть уравнения рассматриваем как сумму трех слагаемых	/з(/).
где f, (/) = /2 cos / 4- 2 sin t; * у( = i, /?, (/) = г, Ht (I) = 2. Ы/) = e2‘sin 2f; y2=24-2i, /?2(/) = 0, Z/2(/)=J; /3(/)=/V; y3=l, P(/) = /3. Частное решение данного уравнения имеет следующий вид:
х.1И(0 == /((Л/2 4- Bi 4- C)cos 14- (Ml2 4- Nt + £)sin /) 4-
4- (a sin 2/ 4- b cos 2t)e2i 4- (p/3 4- mt2 4" ni + №
40
Применить правило Эйлера для нахождения частных решений уравнений:
259.	D2x — 2Dx — Зх = е“.
260.	D2x + x = 4te'.
261.	D2x — х = 2е' — Л
262.	D2x + Ox — 2x = 3te'.
263.	D'2x — ЗОх 4-2х = sin/.
264.	D~x — Эх = е3' cos /.
265.	D2x —2Dx4-x = 6/e'.
266.	D2x 4- x = t sin t.
267.	D2x 4- ADx 4- 4x = le2'.
268.	D2x — 5Dx = 3/2 + sin 5i.
269.	D5x4-D2x = Z.
270.	D“x — 4£»3x 4- 8D2x — 16£»x 4- 16x = 96/e2'.
Построить общие решения уравнений, используя правило Эйлера:
271.	D2x 4- х = 4 sin t.
272.	D2x — 5Dx 4- 4x = 4/2e2'.
273.	D2x — 3Dx 4- 2x = / cos t.
274.	D2x + 3Dx — 4x = te~‘ + e~,‘. .275. D2x —4£>x4-8x = e2'4-sin2f.
276.	D2x 4- 2Dx — 3x = t2e'.
277.	D3x — D2x = 12t2 4- Gt.
278.	D‘2x + Dx = 4t2e'.
279.	D2x 4- 10Z)x 4- 25x =4e“5'.
280. D2x 4- 3Dx 4- 2x — t sin t.
,281. D3
, 282. D2
283.	D2
284.	D2
285.	D3x 4- D2x 4- Dx 4- x = i3 -
286.	D*x 4~ %D2x 4- 16x = cos t.
2Ш. D3x - 6D2x 4- HDx - 6x = (12/V — l)e2/.
-2,
x — 4Dx 4- 4x —1'~.
'x 4- x = e,
x 4- x = 2 cos t — 2 cos3t.
Пользуясь правилом Эйлера, решить начальные за-
288.	D2xA-x = 4el, x\t^ = 4t Dx\t^0=—3.
289.	D2x — 2Dx = 2e‘' x|,= l = — 1,
290.	D2x4-2Dx4-2x =	x|f==0= Dx|1=ft = 0.
291.	D3x — 3Dx — 2x = 9e2t, x|/a0 = 0, £)х|ж=а0= —
292.	4-D2x = 2cos/. x|,=0=— 2, Z)x|/«=€=1.
/)2x(,=o = D -^|г=о = 0.
41
293.	.D4x-x = 8<?'>4-o= -1. Ox|,„0 = 0. D2x|/=0 = = 1. D3x|.o = O.
294.	D~x 4- 4x = sin t, x|/=0=I, Dx|z=c0=l.
295.	Z)3x-Z)2x —Px4-x = 4(6Z—l)e'4-3Z, x|z=0=I, £>*b=o= — 1, D2x|z==o = O.
Пользуясь правилом Эйлера, указать вид частных решений уравнений:
296.	D2x — 2Dx -f- 2х = е' -f- / сод Z.
297.	D2x 4- 6Dx 4- 1 Ox = 3ie~3t — 2e3t cos Z.
298.	D2x— &Dx 4~ 20x = 5te4/ sin 21.
299.	D2x 4- 7Dx 4~ I Ox = te~2t cos 5/.
300.	D2x — 2Dx 4- 5x = 2te* 4- e* sin 21.
301.	D2x — 2Dx 4- x =? 2tel 4- e{ sin 2t.
302.	D2x — SDx 4- 17x = (Z2 — 3/ sin l)e".
303.	D3x 4- Dx = sin 14-1 cos t + e~l cos 2/ 4-Z2-
304.	D3x - 2D2x 4- 4Dx - 8x = e2t sin 2t 4- 2t2.
305.	D2x — 9x = (r 4-sin 3/)e-3z.
306.	D2x 4- 4x = cos t cos 3/.
<307. D2x — 4Dx 4- 5x — e2t sin2 L
308.	D^x 4- 5D2x 4- 4x = sin t cos 21.
309. йгх — ЗОх + 2х = 310. D2x — х = 4 sh t. 311. D2x + 2Dx + 2x =	= 2'. = ch t sin t.
•312. D2x — 8Dx-j- 17x = (Z—3sin2Z4-Z2cos2Z4~sinZ)e3/. 313. D3x 4- 3D2x 4- 3Dx 4- x =	' 4- t2ef 4- sin t4- ch 2/.
314.	D4x 4- 5D2x 4- 6x = sin at, a£R.
315.	DAx — aAx = t2 4- 1 4- sin Z, a £ R.
316.	D5x — 2D4x -f- 5D3x — 1 0D2x — 36Dx 4- 72x = ealt a€R.
317.	DAx 4- 2a2D2x 4- a4x = cos a/, a 6 R.
318.	Составить линейное неоднородное уравнение второго порядка, общим решением которого является функ
ция:
а)	х = (Ci cos i 4- Cgsin i)e2t 4- Зе2';
б)	x = (C| 4- С2/)е“'4-2/е';
в)	х — С\е2 4- Сяе14" Zc'.
319.	Найти все решения уравнений, удовлетворяющие заданным условиям на бесконечности:
а)	D2x — 4Dx 4- 5х = sin /, x(Z) ограничено при Z-> —> 4~00;
б)	D2x — х^=), x(Z) ограничено при /->00; /->4~°°.
— 00;
42
в)	D2x-^2Dx4-5x = 4cos2Z4~sin2Z, x(Z) ограничено при /->— ос;
г)	Л2х~4Рх4-4х = (9/24-5/--12)е', х(/)->0 при /-> —t—*•— °о;
д) D2x 4- 4Dx + Зх = 8ez + 9. х(/)->3 при оо.
320.	Указать уравнения, при решении которых нельзя применить правило Эйлера:
а)	О2х + Ыс-\-х = е-(, I = R;
б)	£>2х — x^=tg/, 1 = ] —л/2, л/2|;
в)	D2x — Dx 4~ х = е'//2, I = ]0, + оо [;
г)	D2x -J- 9Рх 4- Зх — e2t cos /, 1 = R;
Д) D2x — 10х=д/7?» I = f0, 4-oo[;
e)	D2x4-2px —x = sine2/, I = R;
ж)	D2x -f- 4Dx = e2t sin /, I = R;
з)	£)2x — Dx -|- 2x = sin t cos /, 1 = R.
321.	Указать уравнения, которые разрешимы по правилу Эйлера:
a)	D2x — 2Dx — Зх = ez 4- sin /, 1 = R;
6)	D2x 4- Dx — x== cos2 f, I = R;
в)	D2x4- 3Px — 5x = e '-y/l —e2/, I = 1 — oo, Of;
r) £2x - Z?X 4-* = *7(/2 4-1). I = R;
д)	P2x-pi0x = 3/24-5/4-I, I = R;
e)	D2x4- 1 Ox = (3Z24-5/4- 1)/Z, I = |0, 4-co[;
ж)	D2x 4- 1 Ox = cos t sin 2/, I — R;
a) Z)2x4- 10x = cos//sin2Z, I —]0; л/2[.
10. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Движение материальной точки по прямой под действием силы притяжения к неподвижному центру, пропорциональной отклонению от него, и силы сопротивления среды, пропорциональной скорости движения точки, описывается дифференциальным уравнением
^. + 2а^.+Л=0, di2 1 dl
что следует из второго закона Ньютона. С учетом возбуждающей силы f(0 дифференциальное уравнение движения
43
материальной точки принимает вид
+ 2а— + k*x = /(<).
dt2 * dt 1	'k 7
При отсутствии сопротивления среды (а — 0) и наличии периодической возбуждающей силы f(f) = Н sinful + у) дифференциальное уравнение движения принимает вид
+ k2x = Н sin(<of 4- v).
Общее решение однородного уравнения 4- k2x = 0 характеризует собственные колебания. Частное решение неоднородного уравнения
н
*чн (/) = -г.----гг Sin (uf 4- у)
К --- <0"
при k =/= со характеризует вынужденные колебания материальной точки.
Общее решение неоднородного уравнения представляет собой наложение свободных и вынужденных колебаний (принцип суперпозиции сил), т. е.
х(/) = Ci cos kt 4- C2sin kt 4- - 2 - 2- sin (co/ 4- ?)•
Если частота co внешней силы близка к частоте k собственных колебаний, то амплитуда H/(k2 — со2) очень велика, вследствие чего может произойти разрушение всей колебательной системы. Это явление носит название резонанса. В чисто резонансном случае при u = k общее решение уравнения имеет вид
х(/) = Ci cos kt 4- С2 sin kt — 1^- cosfkt 4- y).
При /->4" 00 амплитуда вынужденных колебаний Ht/(2k) неограниченно возрастает.
С учетом сопротивления среды и при синусоидальной вынуждающей силе дифференциальное уравнение движения принимает вид
4- 2а— 4“ k2x = Н sin (со/ 4“ у)-
dt2 dt	4 *
44
Общее решение однородного уравнения+ 2д — 4*
dr dt
4- k2x = 0 при а> 0 и /г — а2 >» 0 описывает собственные колебания и при	стремится к нулю. Частное
решение неоднородного уравнения при больших t описывает установившийся режим и соответствует вынужденным колебаниям.
Задача I. Тело совершает 90 колебаний в минуту, амплитуда колебаний уменьшается вдвое в течение !5 с. Составить дифференциальное уравнение движения.
Решение. Так как тело совершает затухающие гармонические колебания, то закон движения имеет вид
х(/) = Ае~°‘ cos((o/ <р),
где со — частота колебаний, а период колебании Т = 2л/со. Из условия задачи следует, что одно колебание тело совершает за €0/90 с. Следовательно, Т = 2/3 и со = 3л. Учитывая, что при / = 0 амплитуда колебания равна А, а при /= 15 с Ae~lSa— ~х-А, имеем а= и *(/) =
(In 2 \
— —I) cos (Зя/ ф), где Л, ф—произвольные постоянные.
Дифференциальное уравнение второго порядка, общим решением которого является jc(Z) и корни характеристического уравнения vi,2 =
In 2
=--------- ± 3ju, имеет вид
1 &
. 1п 4 _ , / In2 2 . _ 2\ D х -}- Dx -Ь (-™е- + 9л )х = 0.
Io	\ zzo /
Задача 2. На идеально гладкой плоскости, наклоненной к горизонту под углом а = 30° (рис. 3), находится груз массой т=1 кг, прикрепленный к пружине, жесткость которой с = 4.9- !03 Н/м. Определить закон колебаний груза, если он отпущен без начальной скорости из положения, при котором пружина не деформирована.
Р и с. 3
Решение. На рис. 3 ось Ох совпадает с направлением движения груза вдоль наклонной плоскости, за начало координат выбрана точка статического равновесия Сила упругости пружины F = cAl, где Л/ — изменение длины пружины по сравнению с ее естественным (ненапряженным) состоянием: А/ = 14-	/ — удлинение пружины при равно-
весии. Обозначим через /0 длину пружины до деформации. Так как на
45
систему, кроме силы упругости, действует еще вес груза Р, где Р* = = Р sin а = mg sin а, то дифференциальное уравнение движения
т
d2x
— — с(/ л:) ~Ь Z3 sin а.
В точке х = 0 имеет место равновесие, т. е. при этом — = —т в 0-at at
Из предыдущего уравнения имеем 0= — с/4-Psina, следовательно, d2x
т + сх = 0, т. е. дифференциальное уравнение закона движения
груза не зависит от статического удлинения пружины. Учитывая, что в начальный момент времени 1=0 пружина была иедеформирована и груз был отпущен без начальной скорости, математическую модель движения груза запишем в виде
т
d7x	Л
+ сх -- 0, х
=
/-0
dx ~di
= 0» /=о
. Р sin а , mg sin а где /  --------или I = —=--------.
с	с
Используя данные задачи, имеем х(/)= — 0,1 cos 70/ см. Следовательно, амплитуда колебаний А = 0,1 см, а период колебаний Г = 2п т/m/c « 0,0898 с.
322.	Проинтегрировать уравнение
-$	-+2«4+^ = ^:
а)	в случае свободных колебаний в среде без сопротивления; найти период и частоту колебаний;
б)	в случае вынужденных колебаний в среде без сопротивления при наличии синусоидальной вынуждающей силы с нулевой начальной фазой;
в)	в случае вынужденных колебаний в среде с сопротивлением при наличии синусоидальной вынуждающей силы с нулевой начальной фазой;
г)	в случае отсутствия внешней силы; выделить случай затухающих гармонических колебаний.
323.	При каком условии относительно со общее решение уравнения D2x -f- х=^ sin со/ не будет иметь векового члена? (Указание. В небесной механике вековым членом называется выражение, имеющее вид произведения периодической функции и степени независимой переменной.)
324.	При каких значениях k общее решение уравнения D2x + k2x = sin 2t не имеет векового члена? (См. указание к задаче 323.)
46
325.	При каких значениях k и to общее решение уравнения D х 4- kx = cos cot имеет вековой член? (См. указание к задаче 323.)
326.	При каких значениях k и со уравнение Z)2jc4~ 4- k2x — sin со/ имеет хотя бы одно периодическое решение?
327.	Показать, что частное решение уравнения D2x 4-4- р2х — k cos pt представляет колебания с неограниченно возрастающей амплитудой.
328.	Найти периодические решения уравнения £>2х4-4- aDx 4- bx *= sin со/.
329.	Качка корабля описывается дифференциальным уравнением
4-	2h— 4- k2u = a sin со/ 4- b cos со/, dt2	dt
где a, b, A, A, co — постоянные, h < A; и = u(f) — наклон корабля в момент времени /. Проинтегрировать уравнение. Исследовать наличие установившегося режима и найти в этом режиме наибольшее отклонение корабля от положения равновесия.
330.	Если ось вала турбины расположена горизонтально и центр масс диска, насаженного на вал, не лежит на оси, то прогиб у (рис. 4) оси вала при его вращении удовлетворяет уравнению
A|_4-A-L—ы2}у — g cos со/ 4- есо2, dt2 \та )
где т — масса диска; a — постоянная, зависящая от способа закрепления концов Л и В; со — постоянная угловая
скорость; g — ускорение свободного падения; в — эксцентриситет центра масс диска. Найти общее решение этого уравнения.
331.	Равновесный размер популяции некоторого вида в заданной среде оценивается в 1000 особей. Численность популяции испытывает флуктуации около этого среднего значения и описывается уравнением /Л==4л2(1000— х), где х == х(/) — численность популяции в момент / (в годах). Найти численность популяции спустя 6, 12 и 18 месяцев, если в начальный момент времени популяция состояла из 1500 особей. Начальная скорость изменения численности равна нулю.
332.	В эксперименте с голоданием масса испытуемого за 30 дней уменьшилась с 56 до 44 кг. Ежедневная потеря массы, согласно наблюдениям, пропорциональна массе испытуемого. Найти закон изменения массы как функции времени. Определить массу испытуемого после 15 дней голодания.
333.	При большой скорости вращения тонкого длинного вала длиной / с закрепленными концами под действием центробежной силы происходит искривление его формы. Прогиб вала у в зависимости от абсциссы х удовлетворяет уравнению == a?yt где o' =s ; т — масса единицы длины вала; со — угловая скорость вала; Е — модуль Юнга; I — момент инерции поперечного сечения вала относительно оси. Определить критическую угловую скорость вала, т. е. скорость, при которой изменяется форма вала, если на закрепленных его концах
^2..
изгибающие моменты и прогибы равны нулю.
334.	Составить уравнение движения и найти период свободных колебаний груза массой т, подвешенного к пружине, если движение происходит без сопротивления.
335.	Один конец пружины закреплен неподвижно, а к другому прикреплен груз массой tn. При движении груза со скоростью v сила сопротивления среды равна Ни, а сила упругости пружины пропорциональна отклонению от положения равновесия и равна kx. При 1 — 0 грузу, находившемуся в положении равновесия, сообщена скорость г?о. Составить математическую модель движения и исследовать закон движения.
336.	Материальная точка массой 1 г отталкивается вдоль прямой от некоторого центра с силой, пропорцио-48
калькой расстоянию от нее до этого центра, коэффициент пропорциональности равен четырем. Сопротивление среды пропорционально скорости движения, коэффициент пропорциональности равен трем. В начале движения расстояние от центра до точки равно I см, а скорость — нулю. Найти закон движения точки.
337.	Материальная точка массой т движется по прямой под действием силы /j, модуль которой пропорционален отклонению материальной точки от положения равновесия, и силы сопротивления среды /2, модуль которой пропорционален скорости движения материальной точки. Начальное отклонение материальной точки равно so, начальная скорость ио. Составить математическую модель закона движения. Выделить случаи: движения без колебания; гармонических колебаний; затухающих гармонических колебаний.
338.	Тело массой 1 кг подвергается действию силы упругости, стремящейся вернуть его в положение устойчивого равновесия. Сила пропорциональна смещению и равна 2 Н при смещении в 1 м. Сопротивление среды пропорционально скорости. Амплитуда после трех колебаний уменьшается в 10 раз. Составить уравнение движения и найти период колебаний.
339.	Материальная точка массой tn притягивается каждым из двух центров с силой, пропорциональной расстоянию. Коэффициент пропорциональности равен k. Расстояние между центрами 26. В начальный момент точка находится на линии соединения центров на расстоянии а от ее середины. Начальная скорость равна нулю. Найти закон движения точки.
340.	К пружине подвешен груз. Статическое удлинение пружины равно I. Построить математическую модель и найти закон колебаний груза, если в начальный момент пружина была растянута из ненапряженного состояния до длины 3/, а груз был отпущен без начальной скорости. Определить частоту собственных незатухающих колебаний и их период.
341.	Сила, натягивающая пружину, пропорциональна увеличению ее длины и равна 10 Н, когда длина увеличивается на 1 см. К пружине подвешен груз массой 2 кг. Составить дифференциальное уравнение движения и найти период колебательного движения груза при условии, что он был слегка оттянут вниз и затем отпущен.
49
342.	Статические удлинения пружины под действием двух грузов равны соответственно /| и /2- Определить частоту свободных незатухающих колебаний и их период, если к концу пружины подвесить оба груза. Составить предварительно дифференциальное уравнение движения и найти закон движения.
343.	Статическое удлинение пружины под действием данного груза равно 20 см. В момент /о == 0 груз, находясь в положении равновесия, получил начальную скорость и стал совершать незатухающие колебания с амплитудой, равной 4 см. Определить закон движения груза и начальную скорость, принимая ускорение свободного падения g равным 1000 см/с2.
344.	Груз массой 100 г подвесили к концу недеформи-рованной пружины и отпустили без начальной скорости. Длина недеформированной пружины равна 65 см, а при равновесии груза на пружине ее длина равна 85 см. Составить математическую модель движения и определить закон движения груза, амплитуду и период колебаний, наибольшую силу упругости пружины, учитывая, что g = 9,81 м/с2.
345.	На вертикально расположенной пружине подвешены два равных груза, в результате чего она удлинилась на I. После этого один из грузов оборвался. Составить математическую модель движения второго груза, найти закон его движения, пренебрегая массой пружины.
346.	Два одинаковых груза подвешены на пружине. Составить математическую модель и найти закон движения одного из этих грузов при условии, что второй груз оборвется. Удлинение пружины за счет одного груза равно а.
347.	Тело массой tn подвешено на пружине с жесткостью с. При вертикальном движении тела на него действует сила сопротивления среды R— — 2 дСтси. Составить математическую модель и определить закон движения тела, если оно в начальный момент имело скорость ио, направленную вниз, удлинение пружины было равно а.
348.	Статическое удлинение пружины под действием груза массой т равно /. На колеблющийся груз действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости (/?== — bv). Определить наименьшее положительное 6, при котором процесс движения будет апериодическим.
50
349.	Используя условие задачи 348, определить уравнение движения груза, если в начальный момент он находился в положении равновесия и имел скорость и0, направленную вниз.
350.	Материальная точка массой т совершает затухающие колебания под действием силы упругости пружины, коэффициент жесткости которой с, и силы сопротивления среды /? = — уо, где у>0. Путем демпфирования (изменения силы сопротивления среды) значение коэффициента у изменено до такого значения уь что частота колебаний точки уменьшилась вдвое. Найти уь
351.	Используя условие задачи 350, найти значение yi, при котором частота колебаний точки увеличится вдвое, и установить условие, при котором это возможно.
352.	Груз массой т подвешен на пружине с жесткостью с. На него действуют возмущающая сила Q, на-
правленная вдоль вертикали х, и сила сопротивления среды /?= —bv. Составить дифференциальное уравнение движения груза. Определить амплитуду А вынужденных колебаний груза, если Qx — H sinyc/mt.
353. Пружина скреплена со штоком поршня, который
находится в камере (рис. 5). В эту камеру попеременно сверху и снизу поступает свежий
воздух, вследствие чего сила, действующая на поршень, изменяется по закону F = 2,3 sin 8л/ (t — время, с; F— сила, Н). Составить дифференциальное уравнение и определить вынужденные колебания поршня, если его масса гп = 0,5 кг, а жесткость пружины с = 200 Н/м.
354.	На груз массой т — 1 кг, подвешенный на пружине с жесткостью с =1600 Н/м, действует
возмущающая сила с амплитудой	Рис 5
100 Н и частотой, равной частоте свободных незатухающих колебаний. Во избежание резонанса к грузу подсоединяют демпфер, создающий силу сопротивления, пропорциональ-
ную скорости движения груза; коэффициент пропорциональности k. При каком значении k амплитуда вынужден
51
ных колебаний не превысит 5 см? Массой демпфера пренебречь.
355.	Цилиндрический чурбан радиусом 3 м и массой 81 кг стоит вертикально в воде. Составить дифференциальное уравнение движения, найти период колебания, которое произойдет, если немного приподнять чурбан и затем отпустить его. Масса 1 м3 воды равна 1 т. (d2x
Указание, т— ~ —Ft где F — сила, выталкивающая dt“
чурбан (определяется законом Архимеда).)
356.	Бочка массой т = 4т находится на поверхности воды, уровень которой в месте нахождения бочки изменяется вследствие волнения по закону Asin-|-1 (t — в секундах, s — в метрах). Считая площадь горизонтального сечения 5сеч постоянной и равной 5 м2, определить вертикальные колебания бочки относительно уровня спокойной воды, если плотность воды 6=1 т/м3. В начальный момент бочка находилась в положении статического равновесия при спокойной воде и скорость ее была равна нулю. Сопротивлением воды пренебречь. (Указание. Возмущающая сила Fx = 6s<SCC4g.)
Моделирование электрических цепей. Для расчета режима работы электрических цепей, содержащих любые комбинации сопротивлений /?, индуктивностей L и емкостей С, используется связь между падением напряжения на элементе цепи и силой тока в нем. Эта зависимость описывается законом Ома U = RI для резистивного элемента, характеризующегося электрическим сопротивлением; для индуктивного элемента — законом U — — для емкостного элемента U —	1 — где
at	с at
q — заряд емкостного элемента.
Резистивный, индуктивный и емкостный элементы цепи относятся к пассивным элементам цепи, к активным же элементам относятся так называемые источники электродвижущей силы (ЭДС) и источники тока.
Основными законами электрических цепей являются законы Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма всех токов, подходящих к любой точке цепи, равна нулю.
Второй закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма
52
падений напряжений на любой последовательности элементов, образующих замкнутую цепь, равна нулю.
Задача 3. Электрический контур состоит из последовательно включенных (рис. 6) источника тока с постоянной ЭДС Е — Еъ, сопротивления /?, индуктивности L и емкости С. Исследовать ток /(/) в цепи в зависимости от времени /.
Решение. В момент времени t падение напряжения на сопротивлении U\ — на индуктивном элементе (/2 = L на емкостном at t
элементе	/(т)е/т (предполагается, что включение цепи
о
происходит в момент времени / = 0). По второму закону Кирхгофа Ul + U2^-U3 = EV, т. е.
t
L-%-+Rl+±Al(v)dx = E<,.
о
После дифференцирования полученного соотношения приходим к однородному уравнению
l£L
Л’
dd dt
0.
Ез v
= —. Характеристическое урав-
(=.0 L
, «	» I __ Л til |
Начальные данные: /	=0, —j—
at |
некие Lv2 Rv 4- i/C == 0 имеет корни
v,.,= -	±
Так как R. C, L положительные, то Revi <0 и Rev2<0. Таким образом, как следует из структуры общего решения,
lim /(/) = 0, lim — -= 0.
<-*4-°°	/-*4-со dt
53
Если /?2С — 4L >» 0, то
Учитывая начальные данные, имеем
С, = - С2 - Ео -yJc/(R*C - 4£) ’ Следовательно,
'«'2£"’"р(“и7')sh^\l-4L~cL '
Если №С — 4L = 0, то
/(/) = (Cj + С2/)ехр (- ~ t}.
Используя начальные данные, имеем
/W=s^-/exp (-4-')
Если R-C - 4L С 0. то
Отсюда, используя начальные данные, получаем

Задача 4. Рассмотреть процесс, протекающий при размыкании электрической цепи (рис. 7). Найти напряжение между размыкающими контактами.
54
Решение. Составим дифференциальное уравнение для цепи после размыкания ключа К. По второму закону Кирхгофа имеем
+ («i + R2)/ = E.
Решение однородного уравнения, соответствующего неоднородному, называется свободным током /си:
, А /	4- /?2 Л
/«= Д ехр (-----------t ).
Частное решение неоднородного уравнения называется установившимся током //. для данного уравнения /y = £/(/?j 4-/?а). Следовательно,
I = /„ +/, = Л exp (- ^'-+ fo. t\ + —f	.
Использовав начальные данные задачи, имеем
357.	Электрический контур состоит из последовательно включенных источника тока Е — Ео cos со/, сопротивления /?, индуктивности L и емкости С (см. рис. 5). Составить дифференциальное уравнение тока l — в цепи в зависимости от времени t.
358.	К цепи, состоящей из емкости С и индуктивности L, соединенных последовательно, в момент времени / = 0 приложена ЭДС Е = Ео cos(<o/ 4- а). Начальный ток и заряд равны нулю. Определить силу тока в цепи в момент / при условии, что о2 \/(LC).
359.	К описанной в задаче 358 цепи с нулевыми начальными током и зарядом в момент t = 0 приложена ЭДС Е = Eq sin nt с резонансной частотой. Определить силу тока в цепи в момент /.
360.	Уравнение электрического тока в цепи, содержащей индуктивность и сопротивление, имеет вид
£ = ^+/?/ = £.
где L — индуктивность; / — сила тока; I — время; R — сопротивление; Е — ЭДС. Определить /, предполагая, что:
а)	Е — 0, /|(=о = /о;
б)	E — Eq, Eq — постоянная;
в)	Е — Eq sin со/.
55
361.	Уравнение электрического тока в некоторой цепи имеет вид
di । 1 г 1 dE dt ' ЕС Е dt ’
где 1 = 1(1) — сила тока в цепи в момент времени /; /?, С — постоянные. Определить /(/)» предполагая, что:
а)	Е — Eq, Eg — постоянная;
б)	E = Eosin<o/.
362.	Колебательный контур, представляющий собой замкнутую электрическую цепь, обладает емкостью С, самоиндукцией L и сопротивлением R. При переходе энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно напряжение на конденсаторе уменьшается за счет сопротивления. Составить дифференциальное уравнение изменения заряда конденсатора q, силы тока / и напряжения U на конденсаторе. Найти закон изменения заряда q конденсатора, если в начальный момент времени максимальный заряд на конденсаторе равен Q, а ток в цепи отсутствует.
363.	Электрическая цепь состоит из индуктивного L, емкостного С и резистивного R элементов и источника напряжения Uo, соединенных так, как показано на рис. 8.
Р и с. 8
В момент времени / = 0 ключ К замыкает цепь. Составить дифференциальное уравнение изменения заряда q емкостного элемента в зависимости от времени. (Указание. Воспользоваться вторым законом Кирх гофа.)
56
364.	К катушке с сопротивлением R и самоиндукцией L приложена ЭДС Е, изменяющаяся со временем по закону Е — Eq sin со/. Найти силу тока 1 в цепи, если 1 — 0 при / = 0.
365.	К резистору сопротивлением R, обладающему индуктивностью L, приложена ЭДС, равная Eq sin (cd/ 4-4- а). Начальный ток равен нулю. Составить дифференциальное уравнение тока в цепи. Найти силу тока в момент времени /.
366.	Электрическая цепь состоит из конденсатора емкостью С, катушки с сопротивлением R и индуктивностью элемента £. Найти зависимость силы тока от времени в катушке, подверженной действию постоянной ЭДС, равной Eq, если в начальный момент времени сила тока равна нулю и L^ — Eq.
367.	Цепь состоит из последовательно включенных сопротивления, индуктивности и емкости. Начальные ток и заряд равны нулю. К цепи приложена ЭДС, равная Е[ при 0 < t Т и Ег при t>T (Е\, Е? — постоянные). Показать, что при t> Т сила тока в цепи
/ = expf—-A- /)sin nt —
nL г\ 2L /
- 4^- ех₽ (- 4 - r))sin п(‘~
где п2 = 1/(£С) — /?7(4£2) =# 0.
V. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ОДНОРОДНОГО ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА СО СТАЦИОНАРНЫМ ОПЕРАТОРОМ
11. СХЕМА РАСПОЛОЖЕНИЯ ФАЗОВЫХ ГРАФИКОВ
Решение обыкновенного дифференциального уравнения, сохраняющее постоянное значение при всех I, называется стационарным.
Для линейного уравнения второго порядка со стационарным оператором £2x-J-aiZ)x4-aox==O при Яо#~ О единственным стационарным решением является нулевое, т. е. х(/) = 0. При ао = 0 стационарными будут решения х(/) = С, где С 6 R-
Евклидову плоскость R2 = Оху называют фазовой для рассматриваемого уравнения, если решения x — x(t) этого
57
уравнения изображаются на ней в виде фазовых графиков / = [(*• !/)|* = А(0> У = У(*) =	*£r)-
Фазовый график стационарного решения л(/) = С состоит из одной точки (С, 0). Графики нестационарных решений представляют собой параметрически заданные линии.
Если в рассматриваемом уравнении аргумент t заменить на — I, т. е.
+fl,	+во*(_/) = О,
d(-/)2	d(-t) k 7
то оно перейдет в уравнение D х— a\Dx-|-clqx = 0 того же типа, но с противоположным по знаку вторым коэффициентом. Это означает, что действительные части собственных значений оператора исходного уравнения изменят знак на противоположный, следовательно, направление движения по фазовым графикам изменится на противоположное и фазовые графики решений второго уравнения будут симметричны относите.!]ьно прямой у = 0 фазовым графикам исходного уравнения.
Если фазовый график I вырождается в точку Mo(*o, //о), то Л4о называется точкой покоя или равновесия. При ао #= 0 стационарному решению х(0 — 0 соответствует фазовый график х = 0, i/ = 0 и уравнение обладает единственной точкой покоя 0(0, 0/ При До = 0 уравнение обладает прямой покоя у = 0
Для невырожденного уравнения (оо =/= 0) из соотношения y{t) — Dx(t) следует, что в верхней полуплоскости x(t) возрастает, движение по графикам / происходит слева направо, в нижней полуплоскости x{t) убывает, движение — справа налево. Вдоль фазового графика решения х = x(t) уравнения выполняется условие Dy(t)= —aiy(f)— — aox(t), поэтому прямая —aiy — OqX = 0 делит фазовую плоскость на две части, в одной из которых Dy > 0, следовательно, у возрастает, а в другой Dy<0, т. е. у убывает. В точках прямой —а\у — аох = О фазовые графики имеют горизонтальные касательные. Угловой коэффициент касательной к графику в точке М (%(/), y(t)) имеет вид
_ — cny(t) — aox(i)
М"’ -	J(ij 
58
Отсюда можно сделать вывод, что графики I пересекают ось = 0 с вертикальной касательной.
Говорят, что график / примыкает к началу координат 0(0; 0) при	если M(t)=(x(t), y(t))->-0 при
/-^4-оо. Если же Af(/)->0 при /-> — оо, то график I выходит из начала координат. Если существует
( Пгп-^-=л\
^+ооХ(0	— оо Л(/)	/
то говорят, что график примыкает к точке 0(0, 0) с направлением k, т. е. касаясь прямой у = kx. В этом случае k — собственное значение оператора £г. поэтому примыкание вдоль прямой возможно только в случае наличия действительных собственных значений оператора £2. Прямая у — kx, где k — собственное значение оператора, состоит из фазовых графиков решений исходного уравнения, так как если Dx(t) = y(t) = kx(f), то D2x(t) — Dy(f) = = kDx(f) = k2x(t) и при подстановке в уравнение получается (k2 -|- Д)k 4- ао)х(/) = О
Прямая y^=kx состоит из трех графиков: двух лучей, выходящих из начала координат, и точки О.
Задача I. Начертить схему расположения фазовых «рафиков уравнения D’x + ЗОх 4- 2х = 0.
Рис. 9
Решение. Так как Vi = — 1. di = I; v2 = —2, d2 = I, to x(/) = = Cie~* 4- Cse~2t, y(t) = — Cie~‘— 2Сче~21— уравнения фазовых гра-
59
фнков. Очевидно, что х(/)->0 и y(t)-*O при	следовательно,
все графики примыкают к точке 0(0, 0).
При Сг = 0 получаем графики, лежащие на прямой Л: </=—*, при С| =0— графики, лежащие на прямой у = —2х. Касательные к фазовым графикам горизонтальны лишь в точках прямой 3//4-2х = 0. А так как при С» О
-C[e~t-2C2e^1 lim ——-	hm ---------- -r-— = — 1,
(-*+<» x(t)	С\е + Сзе
то все графики, не лежащие на 6, входят в точку О по направлению
прямой /|. Учитывая, что при С-?=#0 lim	2 н х(/)-^<»,
t-*-— 00
у(()-+ 00 при — оо, заключаем, что все графики, кроме лежащих на Л, на бесконечности асимптотически приближаются к прямой h. Схема расположения фазовых графиков на плоскости Оху приведена на рис.|& Точка покоя О в данном случае — бикритический узел (устойчивый).
Задача 2. Начертить схему расположения фазовых графиков уравнения D2x — 3Dx + 2х = 0.
Решение. Данное уравнение отличается от уравнения, рассматриваемого в предыдущей задаче, только знаком при втором коэффициенте, и поэтому фазовые графики будут симметричны относительно оси Ох фазовым графикам, полученным при решении задачи 1. Направление движения по графикам — от начала координат. Схема расположения фазовых графиков дана на рис.Л^ Точка покоя О в этом случае — неустойчивый бикритический узел
Рнс. 10
Задача 3. Начертить схему расположения фазовых графиков уравнения О2х — 4Dx 4- 4х = 0.
60
Решение. Корни характеристического уравнения v2 — 4v 4- 4 = = 0 — действительные равные числа, vi =2, rf| = 2. Уравнение фазовых графиков
'х(/) = (С1/ + С2)е2,|
.</(/) = (2Cif 4-2С2+С<)е2'.
При С|=0 имеем лучевые графики, лежащие на прямой /: у = 2х.
Так как х(/)-»-0. y(t)-+Q прн /-> - со и при С, о. С2#=0
lim Ж= lim .(^+,^4-С.)^ =2 (Ci/4-Сг)*2'
то все графики, Кроме 0(0, 0), выходят из начала координат, касаясь прямой у = 2х. Из условия *(/)-* оо и »/(/)-* ©о при /->4-00 и lim	= % следует, что точки М фазовых графиков аенмпто-
I->+ со
тически приближается при /->4-00 к прямой у = 2х. Фазовые графики имеют горизонтальные касательные в точках пересечения с прямой у — х = 0. Схема расположения фазовых графиков показана на рис. NX] Точка покоя О в этом случае — монокритический узел (неустойчивый ).
Рис II
Задача 4. Начертить схему расположения фазовых графиков уравнения Irx — D* _ 2х = 0.
Решение. Оператор Lt уравнения имеет два действительных собственных значения разных знаков: V|=2, v2 =—I. Фазовые графики уравнения заданы в параметрической форме:
*(/) =* С^* 4- С,е~\ y(f) = 2С,е2' - С2е~‘.
Графиками, примыкающими к точке 0(0, 0), будут лишь лучевые, лежащие на	у—2х при Сч=$ и у=—х при Ci—G. Так
как x(Z)-*O, j/(0~*-0 при I-* 4- со на прямой у= — х, то движение направлено к точке покоя О, а поскольку х(/)-*-0, //(/)—*-0 при /-> — со
61
на прямой у — 2х, то движение на ней направлено от точки покоя О. Так как
lim -^-=2, lim -^2-== — I, ,— 4-00 Л'(/)	x(t)
то фазовые графики асимптотически приближаются к лучам прямой у = 2х при /-*-4-°° и к лучам прямой у = — х при /-> —со. Прямая, на которой Dy = O. имеет вид у = —2х. Точка покоя О в этом случае называется седлом, а прямые у = 2х и у = —х — сепаратрисами седла. Схема расположения фазовых графиков приведена на рис. 12.
Рис. 12
Задача 5. Начертить схему расположения фазовых графиков уравнения D2x 4- 4х = 0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет корни vj =2/, V2 = — 2i. В этом случае нет лучевых графиков н уравнение фазовых графиков
>(/) = Ci cos 2t -J- Сз sin 21, y(J) = —2Ci sin 2t 4- 2Сг cos 2t.
Отсюда ясно, что x(f) и i/(/) не стремятся к нулю ни при /-*-4-00, ни прн — Исключив параметр /, получим х2 4- у2/4 = С? 4* 4- С2, т е. х2 4- У2/4 = С2. Это каноническое уравнение эллипса с полуосями а —С, Ь = 2С. Так как Dy = O на прямой х = 0 и в правой полуплоскости Dy < 0, а в левой Dy > 0, то движение по графикам происходит в направлении движения часовой стрелки. Точка покоя О в данном случае — центр. Схема расположения фазовых графиков приведена на рис. 13.
Задача 6. Начертить схему расположенных фазовых графиков уравнения D2x 4- 2Dx 4- 5х = 0.
62
Рис. 13
Решение. Собственными значениями оператора £2 = JD2 4- 2£) 4" 4~ 50° будут V) = —14-2/, V2 = — 1 — 2i. В этом случае фазовые графики задаются уравнением
fx(/) = (Ci cos 2/ 4- С2 sin 2Z) е~*.
V(/) = ((2С2 - С,) cos 21 - (2Ci 4- с2) sin 2/) е~‘.
Так как при Z->4~°° х(/)->0, //(/)-»-0, то все графики входят в точку О, причем, поскольку cos 2t и sin 2t бесконечное число раз меняют знак при Z->4-°°. графики бесконечное число раз будут пересекать координатные оси, т. е. в этом случае графики наматываются на точку О. Они представляют собой спирали. На прямой 2у 4-4-5г = 0 имеем Dy = O. Точка покоя О в этом случае — фокус (устойчивый). Схема расположения фазовых графиков показана на рис. 14.
Р и с. 14
63
Задача 7. Начертить схему расположения фазовых графиков уравнения D*x — 2Dx = 0.
Решение. Стационарные решения данного уравнения имеют вид >(/) = С. Следовательно, точками покоя будут все точки осн у = 0, т. е. х=еС, i/===0. Определив собственные значения Vi=0, v2 = 2 оператора L-2 = D2-— 2D, запишем уравнение фазовых графиков: fx(/)=Ci + C2e2'.
\y(t) = 2С2е2‘
или у = 2х — 2СЬ т. е. графики—лучи прямых у = 2x4- С. В этом случае имеем прямую неизолированных точек покоя. Схема расположения фазовых графиков приведена на рис. 15.
Задача 8. Начертить схему расположения фазовых графиков уравнения D*x == 0.
Решение. В этом случае имеем прямую неизолированных точек покоя х = С, у^=0, а фазовые графиня заданы уравнением х = Cit Сг, у = С\. Схема их расположения приведена на рис. 16.
Начертить схему расположения фазовых графиков уравнений:
368. D2x — 2Dx — Зх = 0.
370. D2x + 6Dx + 25х = 0.
372. Z)2x-j-4Рх 4-Зх = 0.
374. D2x — 2Dx 4- х 0.
376. D2x 4- 4Z)x 4- 5x = 0.
369. £>2x4-2Dx4-x = 0.
371. Z)2x4-9x = 0.
373. D2x4-x = 0.
375. D2x — 2Dx — 8x = 0.
377. D'2x — 3Dx=;0.
Начертить схему расположения фазовых графиков уравнений с операторами:
378. D2 4- W 4- QDQ. 379. D2 — 5D4-6Z)0.
380. D2 + D — 6П°.	381. D2 — — D — —D\
1	2	4-
64
382. Z)2 + D Ч- D°.	383. D2 4- D + 7D°.
384. D2 -f- 4D -J- 4D\	385. D2 -f- o>2D\ w 0.
Исследовать расположение графиков, проходящих при / = 0 через точки (0, 1), (1, 1), (I, 0), для следующих уравнений:
386.	D2x + (5 4- a)Z)x + (6 + 3aU = 0.
387.	D'x 4- aDx — x — 0.
388.	D2x 4 aDx -J- x — 0.
389.	D2x 4- м = 0.
12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТИПА ТОЧКИ ПОКОЯ
Теорема о точках покоя. Тип точки покоя О невырожденного линейного однородного стационарного уравнения второго порядка (а0	0) определяется видом
собственных значений оператора Л2, а именно:
vi, v2 € R,	vjv2	<0	о седло,
vi, v2 £ R,	V|V2	>0,	vi	=/= v2 о узел бикритический,
V|, v2 C R,	V|V2	>0,	vi	= v2 о узел монокритический,
vi,2 = ^±fp»	о фокус,
Vi. 2 =Х;£i|x> X = 0 центр.
Задача. Определить тип точки покоя уравнения D2x 4 2o,Dx 4 4*=0 в зависимости от параметра а.
Решение. Так как тин точки покоя можно указать, зная корни характеристического уравнения, то выпишем их:
— a 4 V®2 — 4
vi =---------в------» V2 =
— a — 'x/a?—4
2
для v2 4 2av 4 I = 0.
Если a2 — 4 > 0, т. е. |al > 2, то v( £ R, v2 £ R и vjv? = I > 0, а потому точка покоя О — бикритический узел.
Если а2—4 = 0, т. е. |а| = 2, то vi = v2CR. Точка О—моно-критическин узел.
Если а2 — 4 < 0, т. е. |а| < 2, то vi и v2 комплексно-сопряженные числа. Если 0 < I <х| < 2, то точка покоя О — фокус.
При a = 0 точка покоя О — центр.
390. Переформулировать теорему о точках покоя, заменив условия, налагаемые на собственные числа vj, v2 оператора Z.2, условиями на коэффициенты ао, и дискриминант А = a'f — 4ao характеристического уравнения.
3 Зак. 270В
65
391. Является ли точка покоя 0(0, 0) фокусом для уравнения D2x 4- aDx — р2х = 0, а, £ £ R, при некоторых значениях параметров аир? Какой тип точки покоя возможен при различных значениях параметров?
Используя теорему о точках покоя, установить точки покоя и их тип для следующих уравнений:
392. D2x —х —0.
394. £>2x4-Dx = 0.
396. О2х — 4Ох — 5х = 0.
398. О2х + 4х = 0.
400. 2О2х — 5Dx + 2х = 0.
402. 4О2х4-4£)х4-х = 0.
393. 4О2х — 4Ох 4-х = 0.
395. D2x + 4Dx 4- 5х == 0.
397. D2x — 4Dx 4- 7х = 0.
399. D2x 4- 4Dx 4- Зх = 0.
401. D2x 4- 7Dx = 0.
403. 10D2x = 0.
Определить тип точки покоя уравнений в зависимости от значений параметра а:
404.	D2x 4- 2aDx 4- х = 0,
405.	D2x — (i — а) Dx — ах — 0.
406.	D2x — 2a2Dx 4-4х — 0.
407.	D2x —2(a2 —2)Dx4-4x = 0.
408.	D2x — 2aDx 4- (a2 4- 1 )x = 0.
409.	D2x 4- 3aDx -j- 3x = 0.
410.	D2x 4- a£)x 4- (a — I )x = 0.
411.	D2x4-(1 -a2)Z)x-a2x = 0.
412.	D2x4~2(1—a)Dx — 2ctx = 0.
VI. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ CO СТАЦИОНАРНЫМ ОПЕРАТОРОМ
13. УСТОЙЧИВОСТЬ в СМЫСЛЕ ЛЯПУНОВА
Решение уравнения Lnx — f(f), ffl, удовлетворяющее начальным данным Z/x|,=s = £b & = 0, п — I, £*(ER, обозначим x(t, Q, i =	...» Отклонением,
решений x(t, £) и х(/, £ 4- А£) называется величина
Л —I
Р(/, Д£) = S |Л(<. 6 + да-О‘х(/, £)|.
где £4-АЕ = (Ео-НДЕо, ...» |п_|4-А£л-|), A^eR, / = = 0, п— 1,— возмущения начальных данных.
Решение х(/, уравнения Lnx = f(t)> / £l = [s, 4-°°[, называется устойчивым по Ляпунову (устойчивым по Ляпунову в положительном направлении), если V е>0
66
3 6 > О, V Д£ € R", V / s, s С I, из неравенства | Д£|	6
следует, что р(/, Д£) С в. Аналогично определяется устойчивость по Ляпунову в отрицательном направлении, т. е. для f £ ] — оо, $].
Для линейного уравнения устойчивость одного из решений обеспечивает устойчивость и всех остальных решений. В таком случае говорят, что уравнение устойчиво. Устойчивость уравнения Lnx=f(t) с непрерывной функцией f(f) равносильна устойчивости уравнения Lnx = — О, так как р(/, Д£) не зависит от f(t).
Критерий устойчивости. Уравнение Lnx = = /(/),	4"00 . устойчиво в том и только в том
случае, когда характеристический полином оператора Ln является ляпуновским, т. е. действительные части всех собственных значений оператора неположительны и все собственные значения с нулевыми действительными частями простые.
Необходимым условием устойчивости уравнения является неотрицательность коэффициентов характеристического полинома оператора Ln, т. е. условие а, О, / = 0, п — 1.
Если уравнение рассматривается на множестве I = R, то можно говорить о двусторонней устойчивости решения x{t,
Критерий двусторонней устойчивости. Для двусторонней устойчивости уравнения Lnx = f(f), t £ R, необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического полинома оператора Ln были однократными и Re V/ = 0, / = 1, п.
Задача. Исследовать устойчивость уравнений:
a)	D3x 4- D2x 4- 4Dx -f- 4x = te*. i=|0. 4“°°h
6)	D3x — D2x 4- Dx — x = sin /. в) D2x — x = 0,
r) D*x 4- 13D2x 4- 36x = t2 - 2t.
Решение а) Так как vi = — I, v2 = 2/, v3 == — 2i, то уравнение устойчиво по Ляпунову на I.
6)	Так как vj = 1. vi — i, v3 = ~i, т e. среди корней характеристического уравнения есть один (v = 1) с положительной действительной частью, то уравнение неустойчиво по Ляпунову на 1 = = }0, 4- 00 (г но устойчиво на I = ] —	0[.
в)	Характеристические корни vi — I, v2 =—I. Наличие положительного и отрицательного корней говорит о том, что уравнение неустойчиво и на 1=] —оо, 0[ и 1=]0, 4-°°[-
г)	Корни vj=2i, v2 = — 2:, v3 = 3i, v4 = —3/ имеют нулевые действительные части и однократны, следовательно, уравнение обладает двусторонней устойчивостью.
67
413.	Вывести коэффициентный критерий двусторонней устойчивости уравнения L^x — O.
414.	Вывести коэффициентный критерий двусторонней устойчивости уравнения LaX = 0.
415.	Возможна ли двусторонняя устойчивость уравнения L$x ~ f (/), i £ R?
Исследовать устойчивость уравнений:
416.	D2x Dx — 2х = е‘.	417. Р2х + 7Ях = sin/.
418.	2D2x — 5Dx 4~ 2х ~ f(t\ f(l) непрерывна на R.
419.	D2x-\-2Dx-^ 10x==f(q> f(t) непрерывна на R.
420.	D2x + 4Dx + Зх = 0.	421. £>2x —2Z)x = 0.
422. D'x + 4D2x 4- 3x = 0.
423. D3x 4- 4D2x — Dx — 4x = ch t.
- 424. D5x — 10P3x 4- 9Dx = 0.
425, D7x — D6x 4- 2£)4x 4- № sh t.
• 426. D3x 4- W2x 4- 2Dx =; 0.
w 427. D*x 4- 6Z>5x 4-13P4x 4- 12D*x 4- 4D2x == 0.
428.	При каких значениях а уравнение D2x4w = = el устойчиво?
429.	При каких значениях b уравнение D2x-^2Dx + 4- bx == cos t устойчиво?
430.	При каких значениях k уравнение D2x 4-2Dx4-
4- k2x I устойчиво?
431.	При каких значениях а и b уравнение D2x 4-4~ 2aDx 4* bx = t двусторонне устойчиво?
14. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
Решение х(/, £) уравнения £йх=4й, /£!=(.$, 4~оо(, с непрерывной /(/) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и для любых достаточно малых А£ выполняется условие Jim р(/, АУ = 0, т. е. Зт]>0> VAg, |A£|^i], р(/, А|)->0 при /-►-f-oo.
Асимптотическая устойчивость одного из решений линейного уравнения обеспечивает асимптотическую устойчивость всех решений, т. е. асимптотическую устойчивость уравнения. Отметим, что асимптотическая устойчивость уравнения L«x = f(() с непрерывной функцией f(f) равносильна асимптотической устойчивости уравнения £лх = 0.
Критерий асимптотической устойчивости. Для асимптотической устойчивости уравнения Lnx =
68
= f(t)f необходимо и достаточно, чтобы собственные значения v( оператора Ln удовлетворяли условию Re V/ < 0, т. е. чтобы характеристический полином был гурвицевьил.
Критерий Гурвица. Необходимым и достаточным условием того, чтобы полином v" 4-4~- 4-H-Giv-j-co был гурвидевым, является положительность всех главных миноров гурвициана этого полинома, т. е. определителя порядка п.
Ом — I	1	0	• • •	0
	#л —2	й'П — 1	» * 	0
О.Ц — 5	Oh-4	Дд	3	a • a	0
	fln.— 2ft	Gil—[In — 1}	• • •	a0
причем при j <. 0 считают а, = О
Задача. Исследовать асимптотическую устойчивость уравнений:
а)	-f- W х 4- 5£>х 4- 2х = 0;
б)	D3x -j- Dix-\- 4Dx -f- 4х = te~‘;
в)	D*jc + D3’c + Dx + 2x = t.
Решение, а) Так как vi = — I, d| — 2; v2 = —2, d2 = I, т. e. все корни характеристического многочлена имеют отрицательные действительные части, то уравнение асимптотически устойчиво на i — [0, 4- °°1-б) Так как среди корней характеристического уравнения vi — = — I. v3 = 2i. \’з—2i есть корни с нулевой действительной частью, то уравнение обладает устойчивостью на 1=|0, 4-°°|. но ио обладает асимптотической устойчивостью.
в)	Характеристическое уравнение v3 4- v2 4- v 4- 2 =0 не имеет целочисленных корней. Для исследования асимптотической устойчивости уравнения воспользуемся критерием Гурвица. Гурвнциан уравнения имеет вид
I	0
I	1
0	2
1
2
0
= — I, Л ~—2
Так как Д2<0 н А3<0, то асимптотической устойчивости нет.
Исследовать устойчивость и асимптотическую устойчивость следующих уравнений:
* 432. D^x 4- 6D2x -}- 9Dx — iezt еа< cos 27.
433. D3x 4- Dx — sin t -Г t cos t.
434. D*x 4- 5D2x 4- 4x = sin / cos 2/.
435. D3x — D*x — Dx -h x = 3ez.
436. D3x — 2D2x 4- Wx — 8x = 0.
69
437.	D2x 4- 2Dx 4- x — sin t.
438.	D2x 4- 6Dx 4- 13% = 0.
439.	D4x + 2D3x + 4D2x + (
440.	D4x 4- 6D3x 4- 13D2x 4-
С помощью критерия Гурвица исследовать асимптотическую устойчивость следующих уравнений:
441.	D3x-±2D*x х 4- 2D3x х - 2D3x х 4- 2D3x
442.
443.
444.
445.
446.
4- 6D2x - Dx = 0. -3£>2x4-7Dx44 - 2D2x 4- 2Dx — 3x = 0.
4- 6D2x 4- 5Dx 4- €
x
С помощью критерия Гурвица исследовать, при каких значениях параметров а и b данные уравнения асимптотически устойчивы:
447.
Л 448.
<4449.
450.
451.
452.
D3x 4- clD2x 4- bDx 4- 2х — 0.
D3x 4- 3D2x 4- clDx 4- bx = 0.
D4x 4- aD3x 4-Д-2-Х-4- 2Dx 4* x = 0.
D4x 4- D3x 4- aD2x 4- Dx 4- bx = 0.
D4x 4- 2D3x 4- 3D2x 4- 2Dx 4- ax = 0.
D4x 4- aD3x 4- 4D2x 4- 2Dx 4- bx — 0.
453.	Частица массой m движется прямолинейно под действием восстанавливающей силы, пропорциональной смещению частицы (коэффициент пропорциональности Zm), и силы сопротивления, пропорциональной ее скорости (коэффициент пропорциональности 2шц). Составить дифференциальное уравнение движения частицы и исследовать его асимптотическую устойчивость.
454, Материальная точка массой т движется прямолинейно, отталкиваясь от начала координат О с силой, пропорциональной расстоянию до точки О (коэффициент пропорциональности 4т). На точку действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости движения этой точки (коэффициент пропорциональности 3/п). Составить дифференциальное уравнение движения и исследовать его устойчивость.
455.	Тяжелая точка массой т падает в среде, сопротивление которой пропорционально скорости движения точки. Составить дифференциальное уравнение движения точки, если при скорости 1 м/с сила сопротивления равна 1 /3 веса точки, начальная скорость — нуль. Исследовать устойчивость уравнения движения.
70
456.	Материальная точка массой пг = 2 г совершает прямолинейные колебания под действием восстанавливающей силы, пропорциональной расстоянию этой точки от ее положения равновесия (коэффициент пропорциональности равен восьми), и возмущающей силы F — = 4 cos t. Составить дифференциальное уравнение движения и исследовать его устойчивость.
Контрольная работа 1
Вариант I
1.	Построить общие решения уравнений:
•з \	y — 1 *^/У х IО у — П-
б) = 0, где Li = D(D ’+ 2t£>°)3(D — 2<D°)3(£> - £>°)2.
2.	Найти одно из частных решений уравнения О2х + 4- х — 2 sin /4-4 cos t.
3.	Используя функцию Коши, записать решение нулевой начальной задачи для уравнения D2x 4~ Dx 4- х = = /(/), t £ R, при /== I.
4.	Определить тип точки покоя уравнения D2x 4- aDx 4~ 4- х = 0 в зависимости от значений параметра а.
5.	Методом Лагранжа построить общее решение уравнения D2x 4-х = 2/sin31, указав промежуток I.
Вариант I!
1.	Построить общие решения уравнений:
a)	D4x4- 10£>2х4-9х = 0;
б)	LiX = 0, где Li = (о -	D0)3 (D — iD°'f (D +
+ iD°)\D + (1 + i)D°) (D + (1 - i)D°).
2.	Указать вид частного решения уравнения D’x — — 4х = ((4 — 4t) cos I — (2/ 4- 6) sin t) e!.
3.	Используя функцию Коши, записать решение нулевой начальной задачи для уравнения D2x 4- 2Dx 4- х ~ = f(/), t С R> при / 3.
4.	Определить тип точки покоя уравнения Dx — — a2Dx 4- 4х = 0 в зависимости от значений параметра а.
5.	Методом Лагранжа построить общее решение уравнения D2x — 2Dx 4- х — е‘/t, указав промежуток I.
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
VII. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ВЕКТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
15. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Линейные векторные уравнения и их скалярная запись. Линейное векторное дифференциальное уравнение первого порядка в нормальной форме для определения на промежутке I=|a, 6|czR «-мерной функции х = = x(0 = (x'i(0, .... х'п(/))г имеет вид
0х^Л(О*4-/(О, /61.
где квадратная матричная функция (коэффициент уравнения) Л(0 = (а*/(0) и векторная функция (неоднородность уравнения) /(0 = (/i(0. /п(0)г заданы на про-
межутке I.
Данное уравнение равносильно системе в нормальной форме п линейных относительно неизвестных скалярных функций xk[t\ п, дифференциальных уравнений (п — размерность системы)
п
Dxk— X
/=|
а*/(0 х/ Ч- /*(0»
k = 1, n, t С 1.
Скалярные функции ал/(0 называют коэффициентами системы, матрицу (akj(lT) —	— матрицей коэффициен-
тов системы, fk(f) — неоднородностями системы.
Например, линейное векторное уравнение Dx ~A(J)x 4-+ /(0» гДе
равносильно
системе скалярных линейных уравнений
Z)xj — t^Xj 2x9 Ху
DX2 — 4 vi — X2 -p е<хз 4* e~\
Dxy = 5xi -f- хз tg t -|- 1 /sin /, / £ ]0* n/2[.
72
Отмстим, что система рассматривается на том промежутке I, где заданы ее коэффициенты и неоднородности.
Систему уравнений в нормальной форме, т. е. разрешенную относительно старших производных искомых функций, путем введения вспомогательных переменных всегда можно привести к системе уравнений первого порядка.
Задача I. Привести систему = ai । (/)х +	4-/(0.
]&у = bdt)Dx + bt(t)Dy Ч- а21у)х Ч- а22(/)у Ч- g(0. t £ I.
к системе в нормальной дифференциальной форме размерности 4.
Реше н и е. Введем вспомогательные неизвестные следующим образом: х = Х|, у = хъ Dx = Dxi=xz, Dy = Dx2 = х*. Тогда получим:
{Dx\ = х3,
Dxt = х<,
Dx3 = a, i(/)xi Ч-	+ КО.
Dx< = <32i (/jxi 4- a3}(t)x-i 4- bi (/)хз 4- bz(i)x^ 4- g(l)> t 6 I.
«
Решением линейного векторного уравнения называют дифференцируемую векторную функцию х(/), заданную на промежутке I и обращающую уравнение в тождество на I. Совокупность компонент решения х = х(0, t £ I, линейного векторного уравнения образует систему решений Xk = Xk(t), А — 1, п, системы дифференциальных уравнений, и наоборот.
Если неоднородность линейного векторного уравнения отсутствует, т. е. /(Z) = 0 V/EL то уравнение называют однородным, в общем случае — неоднородным (аналогично для системы).
Линейное векторное дифференциальное уравнение с постоянной матрицей А называют уравнением со стационарным оператором. Соответствующую систему называют системой с постоянными коэффициентами. Иногда такие уравнения и системы для краткости называют стационарными.
Специальные линейные векторные уравнения первого порядка. Задание матрицы А и вектора /(/) определяет конкретное линейное векторное уравнение. Специальный вид матрицы характеризует специальное уравнение. Так, диагональной матрице А соответствует диагональное линейное векторное уравнение, треугольной — треугольное. Интегрирование указанных специальных видов сво
73
дится к последовательному интегрированию уравнений соответствующей системы дифференциальных уравнений.
Задача 2. Проинтегрировать уравнение Dv = Дх -ЬНО. где		
А =	1 о о О СО о	
	0	0	1	
Решение. Соответствующая система имеет вид
f Dx\ — 2xi. •
Ч Dx2 = 3x2, k Dx3 = хэ,
откуда следует, что xt(l) == CieSl, Хг(/) = С2е3', x3(/)==C3ef или х(/) = = (С|е2<, Сгег<, С3е‘)т- Полученное решение является общим. Из способа построения решений данной системы следует, что других решений она не имеет.
Задача 3. Проинтегрировать уравнение Dx=> Дх-f-/(/), где
Решение. Соответствующая система имеет вид
Dxi = 2xi -j- 3x2 4- 4х31 Вх2 = Х2 4- 2х3. kj » • Dx3 = Зхз.
откуда следует, что х3(/)=С3е3', х2(/) = С2е' 4- С3е3'. Х|(/)*= Cie2' — - ЗС/ + 7С3е“ или х (/) = (C,ea/ - ЗС2е' 4- 7С3е3'. С2е‘ 4- С3е\ С3е3‘) — общее решение исходного линейного векторного уравнения.
Интегрирование неоднородных линейных векторных /равнений специального вида производится аналогичным образом.
Теорема об однозначной разрешимости. Пусть векторная функция f(f) = (fi(t), ...» fM)r непрерывна на 1. Тогда У$£1. V £€Rn задача Коши для уравнения со стационарным оператором
Dx = Лх 4- [(/), однозначно разрешима на I.

Задача 4. Найти решение задачи Коши Dx ±= Ах 4- f(/), x|feM = — где
74
•4 = [o _03}zw-[f]-s-‘^[?]•' = ’•
Решение В скалярной записи задача имеет вид
(Dxt = 2xi + **.
(£>х2 = —3X2 + •• Ь-l = О» *= •• / € R-
Система является диагональной, общее решение ее X|(/)=Cie7‘ —
-е', х2(/)а= С2е~3/-|-1/3. Используя начальные данные, получаем
=	— е', х3(П =-b(2e“3t,-3}4-1). Найденное решение постав-
ленной задачи является частным решением уравнения
Проинтегрировать специальные лвцейные векторные уравнения вида Dx=? Ах +	где A, f(f) заданы. Ука-
зать подразумеваемый промежуток I:
457. А =
458. А =
О

/«^0.
2 О О
75
5 6
О 8
О О
464. A =
10
е*
2? е~‘
« <•*
Решить задачи Коши:
465. А =
466. А =
f(0 = 0, s = 3, 5 =
0 О
0
468. А = О
16. СВЕДЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ К СОВОКУПНОСТИ НЕЗАВИСИМЫХ УРАВНЕНИЙ
Связь между стационарными линейными системами размерности п и линейными уравнениями со стационарным оператором. Вопрос о сведении стационарных систем к стационарным уравнениям рассмотрим на примере однородной системы размерности два
Dxi — ах\ -f- Ьх?, Dx? — cxi -j- dx?,
сведя ее к уравнению второго порядка относительно переменной Х| или Х2> Продифференцировав первое уравнение системы по /> получим D*x\ = aDx^ 4- bDx2. Подставив вместо Dx? его выражение из второго уравнения, будем иметь D2x\ = aDxi -f- bcx\ -J- bdx?. Если b =£ 5^0, то, исключив x? из полученного уравнения и использовав первое уравнение исходной системы, будем иметь линейное уравнение второго порядка относительно переменной Ль
Р2Х) = aD*i bcxi d(Dxi — axi)
76
1ЛИ
D2x\ — (a -J- d)Dxi -f- (ad — bc)xi = 0.
Таким образом, интегрирование заданной ложет быть заменено разрешением системы
D7Xi — (а + d)Dxi (ad — bc)xi == 0,
х2 y ~ СХ|)*
системы
'же не имеющей нормальной формы. Данную систему ip и b = 0 можно свести к уравнению второго порядка ’олько относительно переменной х2, если с 0. При b = = с==0 система распадается па два независимых урав-1ения (имеет диагональный вид) и не может быть •ведена к одному дифференциальному уравнению второго юрядка.
Если неоднородность f(i) дважды дифференцируема <а I, то неоднородную систему размерности два описан-1ым способом также можно свести к неоднородному, юобше говоря, уравнению второго порядка.
Путем сведения к уравнениям высших порядков разрешить системы:
469.
Dx\ = х2, Dx2== —xi.
470.
Dxt = Зхг — X|, Dx2 = x2 4“ xi 4- e'.
471.
(Dxi = — xi 4-*2 4-*', lOx2 = х\ — xi4-e'-
Dx\ =-- — xi 4-X2 4- sin t, Dx-2 =* — 4xi 4* 3x2 4~ e'-
( Dx\ == 2xi 4- x2 4- x3, 475. < Dx2 =-= — 2xt — x3,
I Dx3 = 2xi 4- x2 4- 2x3.
(Dxi = x3 4- Л 474. < Dx2 = 2x2 4* sin /, lkDx3= — Xi.
I Dxi = x3 4- ef, 476. j Dx2 = xi-j-
V DX3 = X2.
| Dxi = — 2xi — 2x2 — 4x3, 47L< —Sxi + xi —2x^ 478.
I Dx3 5xi 4" 2x2 4- 7x3.
Dxi = 4xi — X2, Dx2 = bxi 4- 2x2.
77
Решить задачи Коши:
f Dxi — ЗХ| 2X2, I ______ Y I __ t
479’ I 0X2 = — 3X| +2X2, Х'1/ = 0-^2|,_0— 1-
( Dx\ — x3,
480. J jDx2 = Xi, xi|f=0 = x2|/=o = O, x3|/e0= L
( Охз= — x2,
{Dxi =X2 4- хз,
Dx2 — 3X| 4-X3, X||/ = 0 = 0, *2|г=0 = ХзЬ=0= 1-
Dx3 = 3Xj 4- X2,
Операторный метод интегрирования дифференциальных систем*. Операторный метод является модификацией метода Гаусса решения линейных систем алгебраических уравнений. Оператор D дифференцирования по t обладает свойством DnDm = Dn+m = DmDn. Линейный оператор L(D) =z anDnan-iDn~l + aiD + аод/, a*6R, £ = 0, n, будет нулевым тогда и только тогда, когда все его коэффициенты равны нулю. Матрица A(D), элементами которой являются операторы Lij(D), называется D-матрицей. Определитель матрицы А(р) системы является D-определителем.
Элементарными преобразованиями D-матриц называются следующие: 1) перестановка i-й и /-й строк; 2) умножение элементов z-й строки на постоянный множитель, отличный от нуля; 3) прибавление к элементам х-й строки соответствующих элементов j-й строки, умноженной на Dk слева (k — целое неотрицательное число и I #= /). Эти преобразования обозначаются Si Sh aSi, соответственно.
Система дифференциальных уравнений
S Lf/(D)x; = A(/), Z=l, л, /61, /=»
где Lit(D) —линейный оператор некоторого порядка; /(/) —(Л(/), •••» Л (/))г — неоднородность, в векторно-
* Альсевич Л. А., Апатенок Р. Ф., Черенкова Л. П Исследование структуры решения линейных стационарных систем дифференциальных уравнений общего вида с помощью матриц специального вида.— М., 1987 — 11 с.—Деп. в ВИНИТИ 13.01.88, № 203-В88.
78
матричной записи принимает вид
A(D)x = f(t), t£l, x£Rn,
Отметим, что в результате элементарных преобразований приходим к равносильной системе дифференциальных уравнений. Если неоднородность /(/) дифференцируема на I требуемое число раз, то с помощью элементарных преобразований матрица системы приводится к треугольному виду с точностью до расположения столбцов. Осуществляя те же самые элементарные преобразования над расширенной матрицей, систему можно свести к равносильной системе треугольного вида, которая содержит хотя бы одно уравнение относительно одной из компонент вектора л. Разрешение полученной системы производится последовательным интегрированием ее уравнений.
Задача 1. Проинтегрировать систему уравнений fDxi — 3D2x2 4- Dx? 4~	— Зх2 *= О,
|DX] 4- DX2 — Х| — Xz — О-
Решение. Перепишем систему в операторном виде: KD 4-	4- (-3D2 4- D - 3Dc)%2 = О,
l(D — D°)xi 4- (D - D°)x2 = 0.
Матрица A(D) данной системы имеет вид rD4-9D° -3D24-D-3D°1 ^“[d-d0 D-D° j
Приведем матрицу A{D) с помощью элементарных преобразований к треугольному виду:
Г£>4-90° — 3D24-D — 30° 1
LD-D0	D — D°	J
_____[D + 9D°	— 3D2 4- D - 30° ]______ t — 10D°	3D2 4- 2D° J ToSi+as/
_____Г 90D°	3D3 — 30D2 4- 12D — 30D° 1
’’>l-40D°	3D2 + 2D° J 95,+s,
_____Г3D3 — 30D2 4- 12D — ~30DQ ]
L 0	3D3— 3D24- 12D — 12D°J~st/3 s>/3
_____* Г300“	D3 — 1OD2 4- 4D - 10D° 1______
"I 0 D3 — D2 4- 4D — 4D° J Si —s> *'
_____f30D°	- 9D2 - 6D°	1___
*L 0 D3 - D2 4- 4D — 4D° J -*./3*
_____  Г10D°	— 3D2 - 2D°	1
IO D3 -- D2 4- 4D — 4D° J
79
Заметим, что последние три преобразования сделаны для удобства интегрирования полученной треугольной системы. Таким образом, исходная система равносильна системе
JIOx, - (3D2 + 2D")x2 = 0. \(D3 - D2 4- 4D - 4D°)x2 *= 0.
из второго уравнения которой получаем х2(/) = С^е1 -|- С? sin 21 4-
С3 cos 2t. Тогда из первого уравнения системы следует, что х\{1) =
—	(3D2x2 4- 2х2), т. е. xi (/) = ~ Cie‘ — С2 sin 2t — С3 cos 2/. Таким
образом, решение системы имеет вид:
Х| (/) = Cie1 — С? sin 2/ — Cg cos 2t, x2(Z) = Cie' 4~ sin 2/ -J- C3 cos 2/.
Задача 2. Разрешить неоднородную систему
(Dxi — Dx2 — 2xt -|- 2x2 = /, (d2Xi 4- 2Dx2 4- xa = ef.
Решение. Расширенная матрица системы имеет вид
I’D —2D°	-D4-2D0; t 1
LD24-D° 2D : ?]’
Над этой матрицей будем производить элементарные преобразования так, чтобы матрица A(D) стала треугольной. Этого можно добиться, например, с помощью следующих преобразований' 1) S2 — DSa; 2) 2$i — — S2; 3) 5S2 4-2DSi; 4) S14-S2; 5) —S2/2. В результате исходная система равносильна следующей:
JD3x2 — 3Dx2 — 2хэ = — е1 — t, (5xi = 2D3x? — D2x2 — 8Dx> 4-	— 1.
Решив первое уравнение полученной системы, будем иметь
7 х2(/) = (Ci 4- С2/)	4- С3е2' 4-	(е' 4- 2/ — 3). Следовательно,
xi (/) = (С21 4- Ci) е~‘ - 4 Сзеа/ 4- -1 - 1.
*	11^
Х2(/) = (С2/ 4- С|)<ГГ 4- Сзе2’ 4- -А. е' + v — Т	-С	*
есть общее решение исходной системы.
Задача 3. Найти общее решение системы
(2D2Xi — D2x2 — Dx\ — Dx2 4- 9xi — Зх2 = Q, (2D2X| — D2x2 4- C>xi 4-	4- 7xi — 5x2 = 0.
Решение. Матрица системы имеет вид
[2D2 — D4-9Du -D2-D-3D°] ~ L2D24-D4~ 7D°	-D24-D —5D°J
80
С помощью элементарных преобразований матрицу A(D) можно привести к треугольному виду
ГЮ£>°	—3D2 —2D°	1
[ О D3 — D2 4- 4D — 4D° J’
Общее решение уравнения D3x} — D2x^ 4~ 4Dx« — 4x2 = 0 имеет вид
Хз(/) = С\е{ 4- Сг cos 2/ -|- Сз sin 2t Из первого уравнения системы lOxi — 3D2x2 — 2хг =1Г находим, что х( (/) = -у- Cie' — С2 cos 2/ — — Сз sin 2t. Следовательно, общее решение исходной системы имеет вид:
xj(f) = -vj-Cie' — C2cos2f — Cjsin 2C xs(0 = C\e‘ -j- Co cos 2t 4- Сз sin 2t.
Задача 4. Проинтегрировать неоднородную систему A (D)x = /(/), t € I, где
	"d°	D°	D2	D		1
H(D) =	0 2D°	0 2D°	D2 D2 4- 2D2	D° 2D4-D0	. /(') =	t
	D	D	2D3	D24-Do		t
Решение. Расширенная матрица системы с помощью элементарных преобразований может быть приведена к виду
~D°	D°	D2	D	Г
0	0	D3	D°	t
0	0	0	0	0
0	0	0	0	0
Отсюда следует, что система совместна и ранг ее матрицы равен двум. Выберем в качестве минора, не равного тождественно нулю по D, минор наименьшей степени относительно D, т. е. минор ID0 D	л
0 D° ’ ^сходная снстема равносильна следующей:
Jxi 4- Dx< = 1 — Х2 — Р2хз, ( х< = t — Р3хз,
где xs, хз — произвольные функции. Отсюда х< = t — D3X3, х( >= = D*X3 — D2x'3 — x'j.
Отметим, что в качестве минора можно было бы взять и минор I D° D2 I „
Л гчз • Тогда исходная система свелась бы к-системе
ГХ| 4" D2*3 = 1 — Х2 — Dx«, Р3хз — t — х«.
Замечание. Общее решение совместной неоднородной системы, ранг матрицы которой равен г, содержит п — г произвольных функций.
81
Используя операторный метод, проинтегрировать системы:
482. •	f D2xt — Dx2 -f- Dx3 — 4xj — 2x? — 2x3 = 0, ! 2Dx\ — D2X2 + О2хз 4~ 3xa — 4x3 = 0, I Dx\ + D2X2 — 2xi — X2 — 4хз =*= 0.
483. <	f Dxi = — 2xj — 2x2 — 4x3, j DX2 = — 2xi + X2 — 2x3, V. Dx3 — 5xj 4- 2x2 ~b 7x3.
484. <	f Dxi — xi 4- 2x2 + x3 = 0, DX2 4- X| — x2 — x3 = 0, IDX3 — xi 4- x3 = 0.
485. j	Г Dx\ — 3xi 4- x2 — x3 = 0, DX2 — X| — x2 — X3 = 0, I Dx3 — 4xi 4- x2 — 4x3 = 0.
486.	( Dxi — x2 = 0, ( Dx2 — xi = 2 ch t.
487.	/ 4Dxt — Dxz 4- Зх/ = sin /, \ Dx\ 4- x2 = cos i.
488. )	о’ о II II -M cm 1 1 CM — * * СЧ СЧ Ci C}
489. j	f D2Xi — 2x2 = 0, l Л2хг 4- 2xt = 0.
490: j	Г Dxi =x34-x2 —X|, DX2 = X| 4- x2 4" *3» [ DX3 = xi 4- x2 — x3.
491. |	о’ о" о II II it t*> C5 CM 4 * x <N — — Ц * ч £ CQQ к	>
492. {	D2x\ 4- 2xi 4- 4x2 = e\ D2X2 — X| — 3x2 = —t.
493. /	D2Xi 4- 5xj 4- x2 = cos 2tt D2X2 — X| 4- 3X2 = 0.
494. |	D2x\ 4- Dxz — 5Dxj 4- 13xi 4~ 20x2 = 0, D2X2 4~ 3 'x2 4~ 7)xi 4~ 2xi 4~ 3x2» 0.
82
17. МЕТОД Д'АЛАМБЕРА РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ
ВЕКТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Линейную функцию переменных хп с дифференцируемыми на промежутке I коэффициентами 6*(/) и неоднородностью <р(/)
..., хя, /) = di(/)xi 4-...4- bn(t)xlt 4- (р(/)
называют линейным первым интегралом системы дифференциальных уравнений
Dxk^= 2 akj(t}xj 4~ k=l, n, t £ I,
если F сохраняет постоянное значение вдоль любого решения Xk^xk{t), k — \, п, системы, т. е. F(xi(t), xn(t), t) = C=i const V / € I- Систему n первых интегралов системы линейных дифференциальных уравнений ГДх|...
хп, t), /=» 1, и, называют полной системой первых интегралов, если любое решение ха=ха(1), 6—1, п, системы может быть найдено из системы соотношений

•, Хп, — С/, j — 1, п, Z £ I,
при подходящем выборе постоянных С/. Полную систему первых интегралов кратко называют также полным или общим интегралом дифференциальной системы или соответствующего линейного векторного уравнения.
Правило Д'Аламбера заключается в построении полного интеграла линейной дифференциальной системы с постоянными коэффициентами путем образования интегрируемых комбинаций.
Задача I. Проинтегрировать систему
Dx\-------xi 4” Ха 4" Xj 4~ 4/2,
Dx2 = xi — х2 4~	+ 12е*',
Охз = *1 + *2 4-	— 4/.
Решение. Сложив первые два уравнения и отняв третье, получим уравнение D(x, 4- xs — х3) = — (х, + х2 — хз) + (4/2 4- 12е2' 4- 4/), линейное относительно х( 4- хя — х3. Разрешив его, найдем первый интеграл системы: xi 4- — *з = Cte_/ 4- 4(es/ 4- /2 — i 4- 1). Вычтя из первого уравнения второе, будем иметь D(xt — х2) = —2(xt —	4-
4~4/2—12е . Проинтегрировав полученное линейное неоднородное уравнение относительно разности xi — х2, определим еще один первый
83
интеграл системы: xt — х2 = С2е~2' 4- Зе57 4- 2/’ — 2i 4- I Третью интегрируемую комбинацию получим, сложив два первых уравнения с удвоенным третьим D(xi 4- *2 4" 2хз) = 2(Х| 4- х2 4- 2х3) 4- 4/2 4- 12е2' — — 8/. Отсюда Xi 4* *s 4- 2хз == Ge2' 4- 12/е*' 4-14-2/— 2/2. Общий интеграл системы имеет вид:
xt 4- *z - Кг = Cte-' 4- 4(е2' 4- *2 -1 4- I).
х, - хг = С2е~214- Зе2' 4- 2/2 - 2/ 4- !, Xi 4- Х2 4- 2*з = Ge2' 4- 12/е2' 4- I 4- 2/ - 2/г.
Разрешив систему относительно хь х2, хз, получим общее решение системы’
х, w=4 с>е~'+4 с^е~1‘+4-с*“ + (2i+-Jr)c’'+2,3 -21+2-о	2	О	\ О /
*»(')=4 с'е~'~ т &*“+4 Сзе?'+ (й _ 4)*г'+11
х,(1) = 4 С,ги- 4С|«-' + (4/ - 4)^' - I + 2*- /2.
Задача 2. Составить интегрируемые комбинации для системы
f Dxt = <21 xi 4- Z>|X2 4- /1 (0.
I Dx2 — ctjXi 4" b3x2 4* i 6 J.
Решение. Прибавив к первому уравнению второе, умноженное на k, получим D (х, 4- kx2) = (сц ka$) xt 4- (bi 4- kb2) x2 4- /1 (0 4-4- £/i(0 нлн
D (xi 4- Лхг) = (a, 4- ka3) (x, +	x2) 4- /1 (0 4- *k(0.
ь I hb Интегрируемая комбинация возможна, если —L- .—L =	t. e.
aj 4- Aa2
если уравнение a2k2 4- (fli — b2) k — bt = 0 имеет действительные корни k\ и fcs. При fej Ф k3 имеем две различные интегрируемые комбинации, что позволяет построить полный интеграл системы, а значит, и общее решение. Если kt = k2. то строим один первый интеграл системы, что дает возможность свести данную систему к одному уравнению
Проинтегрировать системы:
Dy.\ = —— 2х2,
0X2 = 3xi -|- 4*2
496.
ОХ) — 2xt — Х2, Ох2 == xi *4~ 2х2.
(Dxi — 3xi 5х2,
I Dx2 = — 2xi •— 8x2.
" Dx\ = 2xi 4- Зх2 -р4*з, 498. < Ох2=3ki-4-2х2 4-4x3, Ох3 = 5xi 4- 5x2 4- 2хз.
499.
Dxi = 5xi 4“ 4х2 4-Ох2 == 4xt 4~ 5х2 4~ 1 •
84
500.
Dxi =s 2xj 4- 4/2 4- cos C Dx2~—x\ — 2x2 4- sin t.
{Dx\ == л'2 4- Хз, Dx2 = Xi 4- *3, Dxz = Xi 4- x2.
Dx\
x2 4-*з4- 10 cos /, 502. -j Dx2 — Xi 4~ Хз 4- 2ez, ( Охз =s X| 4- x2 — 10 sin t.
18. ЭКСПОНЕНТНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ. МЕТОД КОШИ
Матричный метод интегрирования однородных стационарных линейных векторных уравнений. Совокупность частных решений ха(/)==(х|А(/), ...» хлХ.(/))т, k— 1, л, уравнения Dx — Ах образует базис пространства решений, если линейная комбинация jq(/), k — 1, л, с произвольными п
постоянными коэффициентами, т. е. S CkXk(t\ содержит все решения уравнения. Совокупность базисных решений уравнения образует квадратную матрицу Ф(/) размерности и:
ф(0=	*«(0 Х2|(/)	... *22(0	*1п(0 *2л(0
	Хл|(0	Хл2(/)	...	Хпп (J)
Матрица Ф(/) называется базисной (фундаментальной) матрицей линейного векторного уравнения. Так как общее решение уравнения представимо в виде
x{t)=C\	Xw(i)	4-C2	X|2(/)	+...+c„	1 X\n(t) *2n(/) 9
			Xn2(0		*nn(0
то х(^) = Ф(/)С> где С = (Си С2, ...» Сп)т — произвольный постоянный вектор.
Базисная матрица Ф(/) называется нормированной при f=s, если Ф($) = £, где Е— единичная матрица, т. е. —0 при i^ k и xkk(s)= 1.
Из представления решения однородного уравнения следует, что Ф (/) — еЛ‘ ехр 4/, где exp At =s
85
оО
= У _L_Amlm, i Е R, Ф(О)«=Е. Таким образом, общее /л!
т =«=0
решение уравнения представимо в виде x(t) = eAt С. Решение начальной задачи
Dx = Ax, x|1=JM. /£R, HR\
представимо в виде *(/) =
Задача 1. Найти общее решение уравнения
Dx =
Г О 1-1
Решение. Для записи решения в виде экспоненты опреде-А Г О И
лим степени матрицы А = I _ J:
л0=£=П 1]-л’=л’у,г=["о -*!]•
Л3 =	~oj, А* = Е, Л6 = Л, ЛС = Л2
и т. д, т. е. Л4я = £, Л^+'^Л, Л4"+2 = Л2, Л4^3 = Л3, п 6 N.
Следовательно,
еА1 = Е + At + -1- АгР +... + ~ ЛаГ> 4*...«
Г1 °1_и/Г 0 Ч-u —Г-1	01 ^LT0
LO lj L —I oj+ 2» L 0	-1J+3!L1 OJ
ДГ1 °l-k
+ 41 LO ll+"~
.	/2_K _L	4. f e 4. . (-1Г1'2*-1 t
2'.	(2fe)l	31	(2А-1)! *"”
^3!	(2ft-I)!	2!	(2ft)!
fcos t
— sin /
sin t cos I
Тогда
xU) =
cos t
—sin t
sin 11 ГС| 1 cos f JLCaJ
Ci cos t 4- C2 sin I — Ci sm 14- C2 cos t
= C>
cos t I 1 q I sin t
—sinlj Lcost
86
Задача 2. Решить начальную задачу
Dx~
1 1	I П1
О Г	L21
Решение. Решением начальной
задачи является функция
л(/) = еЛу+п [11 —
& 1
cos(( 4-1) — sin (/+1)
sin (t 4- 1) cos (/ 4- О
1И
Следует отметить, что не всегда удается усмотреть закономерность образования степеней матрицы А.
Задача 3. Найти общее решение уравнения
Решение. Степени матрицы А имеют вид:
3 Г—13	—14] .4 Г —29	-30]
L 21	22]' Л L 45	46 j "
Тогда
ел,С = (£ + ЛГ + £лг+4н3 + 4гЛ,+--)с = \	21	«э!	4!	/
есть общее решение заданного уравнения.
Вычисление экспоненты матрицы. Вычисление экспоненты квадратной матрицы А можно проводить, используя нормальную жорданову форму матрицы А, не прибегая к представлению ее в виде ряда.
Приведем несколько теорем из курса алгебры.
Теорема 1. Для всякой матрицы существует комплексная жорданова форма. Для действительной матрицы существует действительная жорданова форма тогда и только тогда, когда все ее собственные значения действительные.
Теорема 2. Число клеток Жордана в жордановой форме матрицы совпадает с максимальным числом линейно независимых собственных векторов этой матрицы.
Теорема 3. Пусть v — собственное значение (ха
В7
рактеристическое число) матрицы А размерности п. Если г — ранг матрицы Д — vE, то имеется п — г линейно независимых собственных векторов матрицы А.
Для матрицы А порядка п 3 теорема 3 дает возможность определить жорданову форму матрицы с точностью до порядка следования клеток Жордана. Для матрицы А порядка п > 3 количество клеток Жордана gh(v) размерности /г, соответствующих действительному собственному значению v, определяется по формуле
— rank И vE)h~1 — 2 rank (Л — vE)h-f-
4- rank (Л — vE)h+'.
Теорема 4. Если bit bz, ...» bk—линейно независимые собственные векторы матрицы Л, соответствующие собственному значению v, то любая нетривиальная комбинация этих векторов также является собственным вектором матрицы А с собственным значением v.
Пусть матрица А представима в виде Л = 5/5~[х где / — нормальная жорданова форма матрицы A; S — трансформирующая матрица.
Теорема 5. Столбцами матрицы S являются собственные и присоединенные векторы матрицы А, причем расстановка собственных и присоединенных векторов в матрице S зависит от формы записи матрицы /.
Собственный вектор Go = (?ь ...» уп)г, соответствующий собственному значению v кратности d, определяется из системы (Л — v£)oo = 0, а присоединенный вектор ai — из системы (Л — vE) а/= а/_ ।, 1 k—1, где k — размерность соответствующей клетки Жордана.
Например, если матрица Жордана имеет вид
Vi	О	О	О
. __ 0	Vi	О	О
О	О	V2	1 ’
О	О	О	V2
т. е. имеет три клетки размерностей 1,1,2 соответственно, то трансформирующая матрица
ai 0i Yi 61
£ _ 0.2 02 г? 62
аз 0з Тз бз
СЦ 04 ?4 64
88
где £Х|=(аь аг, аз» а4)г, аг = (₽1, Рг» ₽з, fii)T— линейно независимые собственные векторы матрицы Ау отвечающие собственному числу vu a3 = (yh у2, Уз, у4)г— собственный вектор, отвечающий собственному числу л’г; a4 = (6i, 6г, бз, б4)г—ему присоединенный.
Так как A=S/S-11 то е*1 = eSiS'x‘ =^SeJlS~[. Для / = diag(//,(v1), .... 4(vj), где
	'v* 1 0 ... 0 о'	
	0 Vfe 1	...	0	0	
4 (**) = •		, k= 1, г,
	0	0 0 ... V* 1	
	0 0 0 ... 0 vk	
есть клетка Жордана размерности 4, соответствующая характеристическому числу vkt ен = diag (exp (Л, (vQ/), .... exp (Д (vr)t)), причем
exp (//t(vA)/)==
= exp Vkt

Приведение матрицы А к нормальной жордановой форме / используется при решении стационарных линейных векторных уравнений. Общее решение однородного стационарного линейного векторного уравнения имеет вид
л(/) = Ф(/)С = eAt С == Se!t S~'C.
Задача 4. Найти общее решение уравнения Dx = Ax, где
О О'
I 2 О I
Решение. Построим нормальную жорданову форму J матрицы А. Для этого составим характеристическое уравнение: det (Л — v£) = = 0, т. е. (t—v)3 = 0. Собственное значение v=*i матрицы А имеет кратность d = 3. 'Гак как г — rank [А — Е) = 2, то данному собственному числу соответствует один собственный вектор, а следовательно, одна клетка Жордана, т. е.
89
Собственный вектор До = (у,, у2, уз) определяется из соотношения
О
— 1
3
О о о
откуда ao==tz(O, 1, 0)г, где а — произвольная постоянная, отличная от нуля. Присоединенные векторы at и а2 определяются из соотношений:
где 0, 5 — произвольные постоянные. Положим а =12. р = б = О, тогда ао = (О, 12, О)7, а, = (0, 0. 6)7 а2 = (2, О, I)7,
Используя формулу общего решения, имеем
— Cie1
(t - ЗЕ) Cie* - С2е’ - 2С3е‘
-С3е'
Задача 5. Найти решение начальной = £, где
задачи Dx — Ax> x|,w<t =
Решение. Собственными значениями матрицы А будут ~ I. tfi =2; v2 = —1, d2= 1. Собственному значению vi = 1 соответствует один собственный вектор, так как г= rank (А — Е) = 2 Следовательно,
90
Для vj = 1 собственный вектор а0 = (1, 0, i)r. а присоединенный вектор С| ==(!, 3, 0)г. Для V2= 1 собственный вектор a2=(i, —2, 2)г. Тогда
	j	1	Г		6	-2	-5
s =	0	3	-2	•»s_| =₽	-2	1	2
	1	0	2		-3	1	3
Решение начальной задачи определяется по формуле
4K) = Sey</-'»>S-,£,
Общее решение линейного векторного уравнения можно получить, используя замену х = Sy, det S #= 0, в уравнении Dx — Ax. Тогда Dy = S~~'ASy. Подберем S так, чтобы — A а это значит, что S— трансформирующая матрица. Полученное уравнение Dy=?Jy имеет общее решение {/(/) == еп С. Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид x(/)j= SeH С.
Задача 6. Найти общее решение уравнения Dx = Ax, где
А =
-I
3
— 2]
4 J
Решение. Построим нормальную жорданову форму / матрицы А, для чего найдем ее собственные значения. Характеристическое уравнение det (Л — v£) = 0 приводится к виду v2 — 3v 2	0. Отсюда
V| = I, v2 = 2. Так как корни различные, то из теоремы 2 следует, что
, Г1 ! 01	/< [>' *
to : 2J [о :еа'Г
Для построения трансформирующей матрицы S определим собственные векторы 01. Оз. соответствующие собственным значениям V( = 1 н va — 2. Для vi = 1 имеем — 2у( — 2?г =» 0, откуда = —-уь
91
т. е. ai=Yi(l, — 1)С Для v2 = 2 имеем —Зу,—2у2 = 0, откуда Vi = = _2у2/3, т. е. 02= — 4-у2(2, — 3)г. Для построения S достаточно
О
взять по одному вектору из полученных множеств, например о> = = 0, — 1)г, йг = (2, —3), тогда
21
-3 Г
Общее решение данного уравнения имеет вид
х(1) =
2] [6х О
-3 J L О eil
1 Г Cl 1 Г Ci£f 2С2ег/1 J kJ" 1-С(е'-ЗС2е2']
Задача 7. Найти общее решение ния Dx~Ax, где
линейного векторного уравне-
-9
18
-17
Решение. Так как собственные значения матрицы А есть vi = 1, dt =2; va= —2, d2 = 1 и собственному значению v« = I соответствует матрица
А -Е==	9	—з	_д“ — 18	6	18 18	-6	-18	
ранг которой равен единице, то, следовательно, собственному значению w = I соответствуют два линейно независимых собственных вектора» которые определяются из уравнения 9yi — Зу2 — 9?з = 0. Такими векторами будут, например. О|=(1, 3, 0)', а? = (0, —3, 1)г.
В матрице Жордана J числу v, = 1 соответствуют две клетки (теорема 2). Собственному значению v2 = — 2 соответствует собственный вектор оз = (1, —2, 2)г. Матрица Жордана / и трансформирующая матрица S имеют вид:
Общее решение данного уравнения
CjC1 Сзе~гч ЗСе'-ЗСге'-гСзе-2' С^'Ч-ЗСге"2'
92
Задача 8. Найти общее решение
уравнения Dx = Ах. где
3	-1 О	О'
Л= 1	10	0
3	0 5—3*
4—13—1 • «
Решение. Характеристическим уравнением матрицу А будет (2 — v)* = 0, так Как del (А — vE) = (2 — v)4. Отсюда следует, что собственное значение v = 2 матрицы А имеет кратность d — 4. Так как
	‘1	-1	0	О'	
rank — 2£) = rank	I -1	0	0 3	3 3—3	= 2,
	4-13-3 L	J	
то п — г = 2, следовательно, собственному значению v»2 соответствуют два собственных вектора, а значит, две клетки Жордана. Для определения числа £/,(2) клеток Жордана размерности й (Л = = 1,2,3) воспользуемся приведенной ранее формулой, тогда
gi (2) = rank (Л - 2£)° - 2 rank (/I - 2£)' + rank (А - 2Ef, ga(2) = rank (Д — 2£)‘ — 2 rank (Д — 2£)2 rank (Д — 2£)3, g3(2) = rank (Д - 2£)2 - 2 rank (Д - 2£)3 -f- rank (Д - 2£)4
Так как (Д -- 2£)2 = О, где О — нулевая матрица, то rank (Д — — 2£/ = 0 для й^2 и £|(2) = 0, g2(2) = 2, £з(2)=^0. Таким образом, жорданова форм£ матрицы А содержит две клетки Жордана размерности два, т. е. иМеет вид
Тогда
Трансформирующая матрица, состоящая из двух собственных и двух присоединенных векторов, имеет вид “1	0	0	0 ’
1-1	0	0
I	—1/3	I	1/3 ’
1°	0	1	°
причем в первой и третьем столбцах ее расположены собственные векторы, во втором — присоединенный к первому собственному век-
93
тору, в четвертом — ко второму. Общее решение уравнения имеет вид x(f) = SellC, где С = (СЬ С2, Сз. С<г—произвольный постоянный вектор.
Если среди собственных значений матрицы А имеются комплексные v = ос 4-/0, 0 =£ 0, то жорданова форма матрицы А существует только над полем комплексных чисел и матрица S в этом случае — комплексная. Совокупность частных решений %*(/) = (xi*(/), —» *лл(0)г» образующих базис пространства решений уравнения Dx — Ax, представляет собой множество комплекснозначных функций. Так как Re Xk(t) и Im Xk(f) комплекснозначного решения Xk(l) также являются линейно независимыми решениями, отвечающими комплексно-сопряженным собственным значениям матрицы Л, то и в этом случае строится базисная матрица над полем R.
Задача 9. Построить общее решение уравнения Dx = Ах, где
над полем действительных чисел.
Решение. Так как det (А — vE) = v2 -f- 1, то vi, о = ±i — собственные значения матрицы А. Следовательно,
О
— i J
Трансформирующая матрицы Л. т. е
матрица
состоит из собственных векторов
Базисная матрица
Ф(/) = $е" =
е" _leil
е~" ie~lt
Учитывая, что действительная и мнимая части решений, образующих базис, также являются решениями, в качестве базисной матрицы возьмем матрицу
Ф(/) =
cos /
— sin t
sin t cos t
Общее решение уравнения запишется в виде
- г cos/ sin /1 rCi 1_________Г Cicos t -J- С2 sin 11
x(/) —Ф(/)С——sjn cos / ] L^J L—Csin /-|-C2cos / J
94
где С — произвольный постоянный действительный вектор.
Второй способ построения действительного решения дает формула x(t) = SenS~]C. Так как
то
5	2 LI i J’
JT1 I]	Ге"	0 1 Г1	—4 1	ГС|1
2 и	-d	[о	«-"] L1 d	1^2J
[cos t
— sin t
sin 11 cos / J
[Ci
[C2
Способ построения действительного общего решения системы при наличии комплексных собственных значений матрицы, не требующий оперирования комплексными матрицами*, состоит в том, что указанное решение находится по формуле
x(t) = S exp (If) С,
где 7—действительная матрица специального вида; S — действительная матрица, трансформирующая А к 7; С6 IT
Если v = а 4- /р, v = а — ф — собственные значения матрицы А, которым соответствуют две клетки A(v) и размерности h в нормальной жордановой форме матрицы Л, то в матрице J им соответствует клетка размерности 2й вида
Т __ [А(а) — “	Д(а) ’
-•	«а
где Eh — единичная матрица порядка h. С помощью выражения для экспоненты матрицы /гл, где
/A(v) Ofl_
Oh Jh(v)
(Oh — нулевая матрица порядка h), экспонента матрицы Jzh определяется следующим образом:
ехр (/л(а) /) cos fit —exp (Л(a) t) sin 0/
exp (/A(a) t) sin 0/ exp (/A(a) f) cos 0/
exp (J2ht) =
♦ Альсевич Л. А., Апатенок P. Ф., Мазаник С. А., Черенкова Л. П. К вопросу построения вещественного решения линейной системы дифференциальных уравнений —Мн., 1983.— 22 с.— Деп. в БелНИИТИ 04 07 83, № 693 Бе-Д83.
95
Блоки, из которых состоит матрица J, строятся отдельно для действительных и комплексных собственных значений матрицы А. Действительному собственному значению v матрицы А в J соответствует п — rank (Л — vE) жордановых блоков, причем количество g/«(v) блоков размерности Л с собственным значением v определяется по формуле
gh(y)= rank (Л — vE)ft 1 — 2 rank (Д — vE)h -|-+ rank (Д — vE/'+
Двойной блок строится по одному из пары комплексносопряженных собственных значений v матрицы Д; число этих блоков равно п — rank (Л — vE). Число блоков порядка 21г также определяется по приведенной выше формуле.
Задача 10. <	Тостронть матрицы 1 и exp (7/) для	матрицы
А =	2	0-1	-1	—1	-1 0	2	1111 0	0	2	2	10 0	0	0	1	2	1	— 1 1 0 2	•
	0	0	0	-1	—1	—1 0	0	0	0	0	1 0	0	0	0	0	-1	-1 9 — 1
Решение. Собственными значениями матрицы А будут vt = 2, d, =3, v2,3= + 1, d2,з = 2. Максимальное число линейно независимых собственных векторов равно четырем. Тогда
		1 о о о о о о	
			
		0 12	1*0 0	0	0	
		0 1 0	2 ! 0	0	0	0	
		1 	 	 	1 	 	 	 	 				 	 		
		0	0	0 1 0	1	-1	(Г	
		0	0	0 I 0	0	0	-1	
		0	0	0 | 1	0	0	1	
		0	0	0 1 0	1	0	0	
			
	[V! о	ООО	0	0
			
	0 ।	te2‘ 1 0	0	0	0
	0 I 0	е-‘ | 0	0	0	0
	0	0	0	| cos / 1 cos t —sin t	— t sin /
	0	0	0 I 0	cos t	0	— sin t
	0	0	0	| sin t t sin I	cos t	t cos t
	0	0	0	| 0	sin t	0	cos /
96
Задача II. Решить уравнение Dx = Axt где
1
3
2
Решение. Так как det (Л — vE) — (v — 2) (v2 — 6v 4- iO), то vi = = 2, d\ = I; vj з = 3 ± i, d2,3 = I. Используя выражения для J и exp (7/) имеем:
	"2 :	0	o'		Ге2'	0
7 =	0 ,	3	— 1	, exp (7/) =	0	e3' cos I
	0 :	1	3		0	e31 sin i
О
—е3' sin /
е3' cos t
Матрица S является матрицей перехода от базиса в|, ег, к базису bi, Ь2, Ь3 вещественного линейного пространства. Если А — матрица оператора f в базисе е(, е2, <?з, то J— матрица оператора / в базисе Ь\, Ь2, Ьз Следовательно, f(bi) — 2Ь\, ДЬ2} = 3ft2 + b3, f(b3} = — &24-363» т е. ЛЬ|=2Л|, Л62 = 3Z>2 4-^з, Ab3 =—b2 4- ЗЬз. Отсюда следует, что bi—собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному числу v = 2, bi—(и, 0, и)т. Для определения векторов Ь2 и Ь3 имеем систему
(Л - ЗЕ) Ь2 = Ьз, или Г((Л - ЗЕ)2 + Е) Ьэ = О,
(Л - ЗЕ) Ьз = -Ьз ЦЛ - ЗЕ)^2 = Ьз.
Так как
(Л - ЗЕ) =
то b3 — (v. О, Зо)г, bi = (v, 2v, v)T. Таким образом,
Полагая, например, u = u = I. имеем
I
О
3
Действительное общее х(1) = $епС, т. е.
решение системы определяется по формуле
х(/) =
о
е3‘ cos /
е3‘ sin t
О
—е3' sin /
е3' cos I
I
О I
I
2
I
1
О
3
о о
С\е21 + C2e3'(cos t 4- sin /)+ С3е31 (cos t — sin t) 2C2e3t cos t — 2Сзе3' sin t
C\e7i J- Сзё31 (cos 14- 3 sin t) 4- Сзв3,(3 cos t — sin I)
4 Зак. 2708
97
Используя представление exp At в виде ряда, найти общее решение уравнений:
503. Dx =
504. Dx =
505. Dx~
506.
1 О
0
508. Dx =
512. Dx~
509. Dx =
510. Dx= О
o	A Al		
-2 0	0 3	0 0	X.
0	0	3_	
0 0	o'		
3 0 0 1	0 0	X.	
0 1	1		
Используя экспонентное представление решения, найти общее решение линейного векторного уравнения Ох = ~ Ах с заданной матрицей А:
	1	2	0 ’		4	6	o'
513.	0	2	0	514.	—3	-5	0
	-2	-2	— 1 4		-3	-6	1.
(V| — I, v2 = 2, v3=— J).
(vi = —2, v2 = 1, dz = 2).
98
о
515.
517
\ 519.
16	16
-7	-6
13
-5
-6 -8 -7
-3, ^=1, d2^2).
-3
8
10
—8
IO
(vi=2, di=2; V2 = 0).
* 521.
-5
6
21
-26
V2 = 0t
17
-21 d2 = 2).
516.
(v =
518.
520.
(V| =
522.
I, d = 3).
-12
3 8
-14 di=2;
8
6
-5
— 2
0
-2
-10 v2 = 0).
2
3
5
6
1
\ 523
3
3
О
3
О
2
3 •
О
3
524.
0
2
0
0
0
Построить действительное общее решение линейного векторного уравнения Dx = Ax с заданной матрицей А:
525.
“1	1 -2 0“
2	1	0 2
I 0	11
0—1	2 1
(v-1, d = 4).
	1	I	0	0
526.	1	1	0	0
	0	0	I	1
	0	0	0	1
(vi= l,di=2; V2=0, V3=2).
0 0 o'
1 О О
1 1 О
4 0 1 (v=l, d = 4).
3 i 0 o'
99
0	1—21
530> 10	0	1
0	1—1	1
(vi=Z, di =2; V2= — iy dz—2).
Решить начальные задачи Dx — Ax, x|r=5 = £:
533. A =
22
8	16
V2 = —2, V3 =
534. A =
V2 = 0, d<2 = 2).
535. A =
-3 -3
-2 —2 (v=0, d = 3).
536. Л =
5
— 2
1
0
0
s = 1
537. A =
(v= -1, J = 3).
100
538. А =
Метод Коши интегрирования неоднородных линейных векторных уравнений. Решение начальной задачи (задачи Коши) Dx = Ax + f(t),	*1ь=4=|» sЕI, имеет вид
Л'(/) = ел<-'— > 5 + J е^'-ч^т) dr. S
Общее решение неоднородного уравнения по правилу Коши записывается в виде
х(/) == еА1 С 4- j eA{t	s£l,
s
где С — произвольный «-мерный вектор; еА(‘~т) = K(Z, т) — матрица Коши. Следует обратить внимание на то, что первое слагаемое правой части равенства доставляет общее решение однородного уравнения, соответствующего данному, а второе — частное решение нулевой начальной задачи Dx = AxA~f(t), x|/=J=0, неоднородного уравнения.
Задача 12. Построить решение начальной задачи Dx = /4х -f- f (/), f=i = L где
Решение. Используя задачу 5. получаем:
101
Тогда
(4 — 2t)e‘ - Зе~'
—бе* 4- 6е~'
(6 — 2/)е'—бе-'
(/- 1)е‘4-е-' Зе' - 2е“‘ (/ - 2) е' 4- 2е“'
(2/ - 3) е' + Зе~' бе' — 6е~' .
(2/— 5) е'4-бе“'
2)
’о I О
"(/ 4- 1)е'+24- е-(,+2) Зе'+2- 2e-('+*J /е'+24-2е“{,+г)
/	( Г((4 -2/4- 2т)е<“л - Зе-<‘-^
$е^'-’7(т)г/т= J (-6е'-т4-бе-<'-т>)ет
*	“2 ((6 — 2/ 4- 2т) е'~т — 6е“ е'
।
J ((4 - 2i 4- 2т) е' - 3e“'e2t) dx —2
t
J (—6e'4-6e''e2t)^T
— 2
t
J «6 -2/4- 2т) e' - бе "'e*) dx -2
u	J
(—6/4*9) e' — 3e“('+4)
(5 4-2/-/2)e?4-3e-^+^
Применив формулу для решения
начальной задачи, будем иметь
(Зе2 _ 9 _ б/)е' - (2е~2 4- Зе-<)е~' (5Ц-2/4- /е2 - /2)е' 4- (2е“2 4- Зе~4)е-'
х(/) =
Задача 13. Найти общее решение векторного уравнения Dx — =Mx4-f(/), где
Решение. Для данной матрицы А форма / и exp It имеют вид:
2 О О
t О
1 О О I
I
2
О
В качестве трансформирующей матрицы
нормальная жорданова
можно взять
г» о
i
S= 1
1
о о
о
102
а тогда
S'1 =
0 1 -1
I о -I о о 1
ел' = е*‘
о
-t
I о
I 1 о о
Общее решение исходного векторного уравнения имеет вид
С,
х(/) = е11
Dx = Ах -|- f (Z), / 6 I» при заданных А
Проинтегрировать по методу Коши неоднородное векторное уравнение и /(/):
О
О
541. А =
f(t)= 0 (vi = 1, v2 =
= 2, v3 =
-2
542.
/(/)- 0 (v=M = 3). О
543.
544.
di =2; V2 —
-5
е1
2е' О
21
-26
17 , f(t) =
--21
Решить начальные задачи Dx — Ах -|- [(/), / £ I, x|f±=5 = £, по методу Коши:
А =
О
— 2
3
3
6
О
8

О
О
545. А =
1	2
О	2
— 2 —2
О
О
/«= 0,4
I/ о —
О О О
(vi = 1, V2 = 2, v3 =
103
-2
(v = 0, d = 3).
547. А = —3
19. МЕТОД ЭЙЛЕРА ИНТЕГРИРОВАНИЯ ОДНОРОДНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ВЕКТОРНЫХ УРАВНЕНИИ
Метод Эйлера интегрирования однородных линейных векторных уравнений состоит в разыскании и линейно независимых решений уравнения £>х==Дх, где Л — постоянная матрица размерности п> в виде х(1)=>Ье'1 с неопределенными составляющими вектора b; v — собственное значение матрицы А. Если независимых решений х(/), соответствующих собственному значению v* матрицы А, меньше, чем его кратность d&, то пополнение совокупности построенных линейно независимых решений производится с помощью решений вида
х(0 = (ао 4- ad 4-...4- a/) exp v J, где <%о» «I.. а/ — векторы с неопределенными коорди-
натами.
Построение начинается с /=1. Число построенных независимых решений х(/), отвечающих собственному значению V*, должно быть равно кратности dk корня v$. Объединение совокупностей линейно независимых решений, отвечающих всем собственным значениям матрицы Д, образует базис пространства решений.
Задача I. Найти базис пространства решений уравнения = = Лл\ где
/1= 3
-1 о"
I —1 О I
104
Реш е н и е. Матрица А имеет собственное значение v = 2, d =3. Решение уравнения ищем в виде x(t) = bezl, где b=(bi, Ьз, Ьз)1 После подстановки в уравнение имеем 2e?tb = Ae~‘b, т е. (А—2Е)Ь = О Так как
2—1 о"
танк^А — 2£) = гапк 3
-1
О
то собственному значению v = 2 матрицы А отвечает один собственный вектор. Линейно независимые частные решения ищем в виде х»(/) = = бе , x»(Z) = (сел 4- ait)e~'. Хз(1) = (0о 4- М 4- 0г/2) е*1 Собственный вектор b находим из системы (А — 2£)Ь = О. Получаем, что b = Х(1, 2, i)r где — произвольная постоянная. Тогда х((/) = е2' (1, 2, 1)г Для определения векторов ао и а> подставим в исходное уравнение x2(l). Получим
(«| 4- 2»|/ 4- 2ао)е2/ = A (а(/ 4- a0)e2f
Отсюда имеем системы Acti=2ai, A an = 2ao 4- а». Следовательно, ai«=(l, 2, I)г собственный вектор матрицы А, а а0 = (1, |, 0)г — ему присоединенный. Тогда Хз(/) = е2'(/ 4~ L 2/ -£ I. /)г Для определения векторов Ро, 01, р2 подставим в исходное уравнение Хз(/). Получим
(202/ 4- 0| 4-	4-2₽|/4- 20о>2' = А (02/а 4- 0>/ 4- 0о) е2'
Отсюда имеем системы А02 = 20у, A0i = 20i 4- 202, А0О = 20о 4- 0i Следовательно, 02 = (.'I, 2, 1)’— собственный вектор матрицы A, 0i = = (0, —2. — 2у—присоединенный вектору 202, 0О = (0, 0, 2)’ — присоединенный вектору 0|. Тогда Хз(г) = е2'(г, 2/2—2/, г— 2/-|-2)г Таким образом, базисная матрица уравнения имеет вид
Ф(/) = <г'
Задача 2. Найти общее решение уравнения Dx = Ах, где
Решена е. Матрица А имеет собственное значение v = I, d = 3; г = rank (А — Е) = I. Так как п — г = 2, то собственному значению v = I соответствуют два линейно независимых собственных вендор bi и Ьл. Частные решения ищем в виде xi(t) = btel, Xi(t)=bie,t х /) = = (at/ 4~ ао)е‘. Собственные векторы = (I, I, 0)г и bi = (!, 2, — 1)г найдены из системы (А — Е)Ь = О. Для определения векторов си и а« получаем системы Aai=ai, (А—£’)au = ai. из которых следует, что ai»(l, 2, —I)’—собственный вектор матрицы А, а ао=(1, 0, 0)^ — ему присоединенный. Следовательно,
Ф(/) = е'
I I 0
/4- I 2/ — /
Тогда х(/) = Ф(/)С — общее решение.
105
Задала 3. Найти действительное общее решение уравнения Dx^= — Ах, где
3	7-3
Л= -2 —5	2
-4 —10	3
Решение. Матрица А имеет собственные значения vi — I. v2 I, v3=s —i. Так как все собственные значения матрицы А различны, то частные решения системы ищем в виде jri(/) = dief, Xs(t) = x3(t)= Ьъе~и Вектор bi=(—2, I. 1)г—собственный вектор матрицы А, соответствующий значению vi = 1. Следовательно, Л|(/) = е'(—2, I. 1)г. Собственным вектором, отвечающим собственному значению v2=u, является вектор £>а = (— 1 4- 2i, 1 — i, 2)г. Следовательно, л2(/) = е"(-1 4-2/. 1 — 2)г.
Действительными линейно независимыми решениями являются:
Re х2(/) =
—cos t — 2 sin i cos / 4- sin i
2 cos i
Im хг(/) =
—2 cos f 4~ sin f cos t — sin t
—2 sin t
Следовательно, базисная матрица имеет вид
Ф(П-
—2е'
—cos i — 2 sin t cos 14“ sin i
2 cos t
—2 cos t -j- sin t cos t — sin t
—2 sinjf
Действительное общее решение определяется формулой х(/) = = Ф(/)С, CER3.
Разрешить по методу Эйлера линейное векторное уравнение Dx = Ax с заданной матрицей:
7 —12
3	-
—2
(v\ = 2. v2 —
548.
550.
552.
-4	0
0 “Л -1, v3==0).
549. — 3
6 0
-5 0
-6 1
(vi = — 2, v2 = I, d2 = 2).
551.
0_
= 2; v2 = 0).
6 —
1	-5
2	-6
3 0 8 3—1	6
-2	0 -5
(v=-l, J = 3).
2
0
0
2 0
(vi = —2, di =2; v2=2).
106
о
о
555.
2
3
О
-5
557.
О
559.
5
20. МЕТОД ЛАГРАНЖА ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ВЕКТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
Метод Лагранжа интегрирования неоднородных линейных векторных уравнений (метод вариации произвольных постоянных) состоит в отыскании частного решения неоднородного линейного векторного уравнения первого порядка Dx = Ах + КО» в таком же виде, какой имеет общее решение однородного линейного векторного уравнения Dx = Ах, соответствующего исходному неоднородному, т. е. в виде
х*н(0 = ф(0“(0»
где Ф(/) — базисная матрица уравнения Dx — Ак\ — вспомогательная векторная функция, подлежащая определению. Для определения u(t) подставляем х1Н(/) в уравнение с ненулевой правой частью, после чего имеем
D<b(t) u(t) -I- Ф(t)Du(t) = ЛФ(/) u(t) -f- /(/), t £ I.
Учитывая, что /)Ф(/) = ЛФ(/), получаем систему простейших дифференциальных уравнений Du{l) ~ Ф~1 (t) f(i), t € 1. Отсюда t
и(/) = J Ф~1 (т) /(т) dx, s С I. s
В качестве u(t) берется одна из первообразных. Следовательно,	(
х,н(0=ф(0$Ф_|Ш^
107
или
хто(/)=5ф(0Ф-'(т)/(т)Л,
$
где Ф(/)Ф“ ’(т) = K(t, т) — матрица Коши.
Задача. Найти общее решение уравнения Dx = Ах f(l), t g I, где
Решение. При рассмотрении метода Эйлера построено общее решение однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному Базисная матрица определена как
Ф{1) = е'
/4-1 2/
-/
Для нений
определения сЦ/) построим систему дифференциальных урав-
откуда
т е
2~^Г-|- С|
-l + i-<3,i + C2 о
In / — 2-^4- Сз
Полагая С» = Сэ — С3 = 0, получаем

108
Г	4	1
О
2(VT-/)+2/ In /- А/З/2
О
t _ t in t 4- 4 t3f2 о
Общее решение неоднородного уравнения имеет вид .«(/) =	4- хчц(/),
где Хоо(/) — общее решение однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному; хЧ11(/) — одно из частных решений неоднородного линейного векторного уравнения. Тогда
х(0 = е'
/4-1 2/ —I
(t 4-1) In t - 4 /3/2 -t 2^/7- 4/3/Э — 2/4-2f In t О
I -1 In t 4- 4tV'
О
Методом Лагранжа можно отыскивать и решение начальной задачи
Dx=^ Лх4- /W. *US = £> s,
Для этого, используя начальные данные, из общего решения
х(/) = Ф(/)С 4- Ф(/)$ ф-'(т)/(т) А
определяют постоянный вектор С. Положив £ = Ф($)С, получают С = Ф^'($)£. Тогда решение начальной задачи запишется в виде
х(/) = Ф(/)Ф 1 (s)2;-J-J Ф(/) Ф *(т)/(т)^т.
4>
Если Ф(/) = ел/, то решение рассматриваемой начальной задачи принимает вид	{
х(/) =	J ел(/-т)/(т)с?т.
Применить метод Лагранжа для разрешения линейного векторного уравнения Dx = Ах 4- f (/)* / € I, при заданных А и /(/):
109
560.	Л =
561.	А
562.	А =
563* А =
-H=o —
— cos t cos t 4- sin t
564. А =
565. A =
566. A =
567. A =
I^R.

568. Л= —3
(V1 ——2, v2= L, d2~2).
no
VIII. ИССЛЕДОВАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ВЕКТОРНЫХ УРАВНЕНИИ
21. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ВЕКТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ В СМЫСЛЕ ЛЯПУНОВА. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
Если x(tt £) — решение начальной задачи
Рх—Ак4-/(0, х|,=$=£>
а х(/, £ -|- Д£) — решение начальной задачи
Dx = Ах 4- f(t\ :=£4-Д£,
где А — постоянная квадратная матрица порядка п\
=	/п(/))г— непрерывная векторная функция;
xf R"; £ — начальный rt-мерный вектор; Д£ — приращение начального вектора, то отклонением решении x{t, £) к х(/, £4-Д£) называется величина
р(/, Д?)=||х(/, 5 + Д|)-х(/, g)||.
Отклонение не зависит от / и определяется только матрицей А и приращением Д£, поэтому при исследовании устойчивости неоднородных векторных уравнений можно рассматривать только однородные стационарные линейные векторные уравнения вида Dx = Ax.
Если I =[s, -4-°0{wVo0H6s>0,V<Cl, HASH 5 выполняется условие р(/, Д£) < е, то решение х(/, уравнения Dx ~ Ах 4* f (0 называется устойчивым в смысле Ляпунова.
Решение x{t, Э уравнения Dx=Ax+f(t)t *61, асимптотически устойчиво на I, если: 1) оно устойчиво по Ляпунову на 1; 2) И д > 0.V Д£, IIД£ II 6, Пт р(/, Д£)~
I—♦'-{-©О
= 0. Отметим, что в случае линейных уравнений первое условие следует из второго и ограничение || Д£||	6 можно
опустить.
Устойчивость (асимптотическая устойчивость) одного из решений линейного уравнения влечет за собой устойчивость (асимптотическую устойчивость) всех его реше
Ш
ний, т. е. устойчивость (асимптотическую устойчивость) уравнения. Так как р(/, Д£) не зависит от Д то устойчивость (асимптотическая устойчивость) неоднородного линейного уравнения эквивалентна устойчивости (асимптотической устойчивости) однородного линейного уравнения, соответствующего неоднородному.
Критерий устойчивости. Для устойчивости решений линейного векторного уравнения £Ъс = Дх4-Д0 необходимо и достаточно, чтобы Rev/^0, /=!,/*, где v, — собственные значения матрицы Л, причем тем собственным значениям vft, для которых Rev^ —О, в матрице Жордана соответствовали клетки размерности 1.
Критерий асимптотической устойчивости. Для асимптотической устойчивости решений линейного уравнения Dx = Ax + f(t) необходимо и достаточно выполнение неравенств Re vj <10, / = 1, н, где vf — собственные значения матрицы А, или, что равносильно, чтобы характеристический полином v" -f- ап- iv"-1 +... -R aiv -R ao матрицы Д был гурвицевым* т. е. чтобы все главные миноры гурвициана этого полинома
1	а	...	0
Оп-з	ал—2	।	...	0
&п — (2 м-f-I)	Пл — 2/1	Д//-(2п-1)	•••	По
были положительными (здесь при j < 0 имеем ц = 0).
Задача I. Исследовать устойчивость и асимптотическую устойчивость линейного векторного уравнения Dx = Ах, если:
	3	0	8~		0	2	0‘	
а) А =	3 -1	6	; б) Д =	0-3	0	•
	-2	0	-5		1	4-1	
				Ьм	-J	
	"—2	0 О'			’-1 1	г
в) А =	ООО	•	г) А =	— 5	21	17
	ООО			6	—26	-21
Решение, а) Так как v = — 1, d = 3, то все решения уравнения асимптотически устойчивы.
б) Так как vj== — 1. v^ = —3, v3 = 0, то все решения уравнения устойчивы, но не асимптотически.
в) Так как — —2, V2 = O, d?=2 н нулевому корню в матрице Жордана J=A соответствуют две клетки, то все решения уравнения устойчивы.
112
г) Так как vi = — i. v$ = 0, //2 = 2, а
Г-1! о о; о г
О I о О_
то все решения уравнения неустойчивы.
Задача 2. Определить область на плоскости параметров a, (J, для точек которой асимптотически устойчиво уравнение Dx Аг, где
а О
— 1 а
Р -I
Р
О
Решен и е. Характеристический полином матрицы А имеет вид (1 4-	— 2сф() ~Ь v). Один его корень vi = — 1. корни v2, Уз удов-
летворяют соотношениям vj уз = —2, vsv3 = I — 2сф. Так как необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости решений является отрицательность характеристических корней, то при данных условиях > 0, т. е. I — 2о$ > 0. Отсюда < I/2.
Задача 3. Исследовать асимптотическую устойчивость уравнения Dx = AXi где
0	1 о
Л =	0	0 i
-2
Решение. Характеристический полипом v3 4- 2v? 4-2v 4- 3 матрицы А не имеет целочисленных корней. Для исследования устойчивости воспользуемся критерием Гурвица. Гурвнцнан имеет вид
2	1	0
3	2	2
0	0	3
|2	11
и Д| = 2 > 0, Да = L о > 0, Дз = ЗДа > 0. Следовательно, уравнение асимптотически устойчиво.
Исследовать устойчивость и асимптотическую устойчивость линейных векторных уравнений вида Dx — Ах с заданной матрицей:
ИЗ
575.
О О О
1 -1	2
—2	1	О
3 —3	1
1 -2	-1
576.
О
О о -2
I	О	О
О	I	О
О	О	I
-3	— 4	— 2
577. till
578.
5
-3 о
—2
579.
О
2
О
3
14
580
О
2
О
-3
3
О
582.
3
О
О
3
О
о о
-3
3
581.
583.
О
О о
—8
О
о о
584.
О
О
586.
2
О
О
о
—2
о о о
О
О
О
О
О О О
О
О
О О О
О О О О
585.
О
О
3
О
-2
О
8
6
-5
О
~2
О
114
Определить область плоскости параметров асимптотической устойчивости линейных уравнений вида Dx — Ax
с заданной матрицей:
590. Г 0
а	О	О
О	а	О
а	0	а
о =#= О
599.
600. а
b — 2аЬ — 1
-Ь
21. ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ОДНОРОДНОГО СТАЦИОНАРНОГО линейного ВЕКТОРНОГО УРАВНЕНИЯ
Плоскость R2 называется фазовой для уравнения Dx — ~Ах, x=^(xi, х2)т, где А — постоянная матрица порядка 2, если каждое решение этого уравнения изображается фазовым графиком (траекторией) / £ R, на этой плоскости.
Характеристический полином матрицы
а с
115
имеет вид v2 — v (а + d) -f- (ad — be) = v2 — tr A • v A (tr A — след матрицы A, A == det 4). Так как у матрицы
О
—А
характеристический полином det (В — vE) совпадает с характеристическим полиномом матрицы Д, то матрицы А и В подобны, если А Ф КЕ. Преобразованию матрицы А к подобной матрице В соответствует аффинное преобразование у = Sx, det S 0 плоскости R . Изучение поведения фазовых графиков данного векторного уравнения сводится, таким образом, к изучению поведения фазовых графиков уравнения Dx = Bx, x(ER2. Уравнение £>х = — Вх в координатной форме имеет вид
Dx\ = х2,
Dx2 = —XiA + х2 tr А.
Эта система определяет фазовые графики уравнения D2xi tr А • Dxi -|- Axi = 0. Таким образом, изучение фазовых графиков векторного уравнения Dx = Ах при А ф
КЕ сводится к рассмотрению поведения фазовых графиков полученного стационарного уравнения; при этом тип точки покоя 0(0, 0) линейного векторного уравнения такой же, как и у линейного однородного стационарного уравнения второго порядка D2x — tr А • Dx + А • х = 0.
Задача 1. Начертить схему расположения фазовых графиков системы
Решение. Для данной системы уравнение D’xi —tr А • Dxi -Ь д . х\ = 0 имеет вид £>2Xi 4~*i =0. Так как корни характеристического уравнения vi = /, v? = —i, то точка покоя 0(0, 0) — центр. Решение рассматриваемого уравнения имеет вид Х| (/) = Ct cos t -j- С2 sin t и x2 = = Dx\ = — Ci sin 14- C2 cos t. следовательно, фазовые графики являются окружностями Xi 4" ^2 = С? 4-4- Ci, Ci, Са e R.
Матрица В совпадает с исходной матрицей А, следовательно, аффинное преобразование плоскости R5 в данном случае является
116
тождественным. А поэтому фазовые графики исходной системы задаются уравнением л? -|- х? ~ С2, С £ R. Схема расположения фазовых графиков системы приведена на рис. 17.
Задача 2. Установить тип точки жения фазовых графиков уравнения
покоя Начертить схему располо-
Решение. Так как det (А — vE) = v2 — 1, то vt = I, v2 = — 1 — собственные значения матрицы А. Следовательно, точка покоя 0(0, 0) — седло.
Матрица В, подобная А, запишется в виде
В-
11
О J’
причем матрица S, трансформирующая А к В, имеет вид
О
I
и det S = -1 ¥= 0.
Фазовые графики системы Dy —By совпадают с фазовыми графиками уравнения D2xi — jq = 0 и изображены на рис. 18. Для построе
ния фазовых графиков исходной системы произведем аффинное преобразование плоскости Оу.у?, заданное матрицей S. При этом вектор a = (ai, а2) переходит в вектор b = (bi, b2), определяемый равенством Sa = b. Векторы (1, 0), (—I, 0), (О, 1), (0, —1), (I, I), (—1, — I), (—1, 1), (1, —1), определяющие координатные оси и асимптоты гипербол, переходят в векторы соответственно (0, I), (0, —I), (1, — 1), (—I, I), (I, 0), (—1, 0), (I, —2), (—1, 2). Схема расположения фазовых графиков исходной системы приведена на рис. 19.
117
Задача 3. Установить тип точки покоя системы
Dx^
Решение. Для данной системы имеем уравнение D2xj — — 3Dxi 2xi = 0, собственные значения оператора £2 которого vj = 1, v2 = 2. Точка покоя 0(0, 0) — неустойчивый бикритический узел.
Рассмотрим теперь случай А = кЕ, X =?£ 0. Исходная система в этом случае имеет вид Dx~hxt r£R2, 16R, Х#^0. Параметрические уравнения траекторий (решения системы) представимы в виде *| = Ciekt, х2 = С2^{. При Ci = Со = 0 траектория системы — точка покоя 0(0, 0). При С? + Oi 0 траектории системы представляют собой лучи, примыкающие к нулю. Схема расположения фазовых графиков приведена на рис. 20 и 21. Точку покоя
0(0, 0) при таком расположении фазовых графиков называют дикритическим узлом, неустойчивым в случае X > 0 и устойчивым при 1<0. Отметим, что на фазовой плоскости одного однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами дикритических узлов не возникает.
При 1 = 0 система имеет вид £)х = 0. Так как уравнения фазовых графиков xi = Ci, Х2 — С2. где С\ С R и С2 € R» то любая точка плоскости R2 является точкой покоя для данной системы. Этот случай для одного уравнения второго порядка также не возникает.
118
Р и с. 21
Установить тип точки покоя и начертить схему расположения фазовых графиков однородных уравнений вида Dx~Ax с заданной матрицей:
604.
603.
609.
607.
2 0
О 2
Исследовать на устойчивость линейные векторные уравнения вида Dx = Ах с заданной матрицей и указать тип точек покоя (й 6
119
618.
620.
616. Г i
621. -10
0
-10
622. Система
23. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
дифференциальных уравнений
(Dx^ = 2х\ — хч, \Dx2^= —Xi 4-2x2
описывает взаимное влияние популяции двух конкурирующих видов на скорость их роста. Допустим, что начальные популяции Xi(0) и х2(0) состоят соответственно из 100 и 200 особей. Найти численность обоих видов в момент времени t.
623.	Допустим, что Х|(/) — численность вида-хищника, а х2(^) — численность вида-жертвы в момент времени /. Скорость роста их популяций описывается системой дифференциальных уравнений
(Dxt 5= xj х2, (£)Х2 = —Х| 4~ Х2.
Определить численность популяций в момент времени /, если начальные популяции xi(0) = x2(0) = 1000 особей. Когда наступит вымирание вида-жертвы?
624.	Составить математическую модель кооперации двух видов популяций, если численность популяции каждого вида возрастает пропорционально численности популяции другого вида (коэффициенты пропорциональности — соответственно 4 и 1) и убывает пропорционально собственной численности (коэффициент пропорциональности 2). Найти численность популяций в момент времени t, если начальные популяции состояли соответственно из 100 и 300 особей.
625.	Популяции некоторого вида в момент времени I содержат Х|(/) самцов и х2(/)самок. Система, предлагаемая в качестве модели роста такой популяции, имеет вид
120
fVxi = —axi -j- bx2, \Dx2 — CX2,
где a, b, c — положительные постоянные. Определить количество самцов и самок в момент времени t, если xi (0) = а, х2(0) = р.
626.	Колония бактерий увеличивается пропорционально се численности, но выделяемый бактериями яд истребляет их пропорционально числу бактерий и массе яда. Предполагая, что скорость выработки яда пропорциональна численности колонии, составить математическую модель процесса. Показать, что число бактерий, сначала возрастающее до некоторого значения, а затем убывающее до нуля, в момент времени t определяется формулой N M/cti1 kt, где М — наибольшее число бактерий, а время i измеряется с того момента, когда W =
627.	Преобразование радиоактивного вещества происходит со скоростью, пропорциональной его массе. При этом скорость преобразования такова, что половина массы изменяется по истечении 27 мин. В свою очередь половина полученной массы преобразуется в другое вещество в течение 19,5 мин. Приняв первоначальную массу за единицу, найти массы двух новых веществ, полученных по истечении одного часа.
628.	В некоторой химической реакции вещество х преобразуется в вещество у со скоростью, пропорциональной массе вещества х, в то же время образовавшееся вещество у посредством обратной реакции переходит в вещество х со скоростью, пропорциональной массе вещества у. Химический анализ дал такие результаты: при х= 10, у^=0\ при / = 3 х = 6, у = 4; при °° х = 5,5, у = 4,5. Найти зависимость х и у от I.
629.	По горизонтальной хорде вертикально расположенного круга движется точка массой 1 кг, на которую действует упругая сила, пропорциональная расстоянию от точки до центра круга и направленная все время к центру. Коэффициент пропорциональности Аг = 16 Н/м. Кроме того, на точку действует сила сопротивления, пропорциональная скорости, причем коэффициент пропорциональности у=10 Н«с/м, Определить уравнение движения точки, если в начальный момент она находилась в крайнем правом положении и была отпущена без начальной скорости. Расстояние от центра до хорды 30 см, радиус круга 50 см. (Указан и е. Систему координат
121
Оху выбрать так, чтобы ось Ох совпадала с хордой, а ось Оу — с диаметром, рис. 22.)
630.	Решить задачу 629, если масса точки равна 0,5 кг.
631.	Материальная точка массой т притягивается каж
дым из двух центров с силой, пропорциональной расстоянию. Коэффициент пропор-
Рис. 22
циональности равен k. Расстояние между центрами 2Ь. В начальный момент точка находится на линии соединения центров на расстоянии с от ее середины. Начальная скорость равна v0 и направлена перпендикулярно к прямой, соединяющей центры. Составить математическую модель движения точки.
632.	Солевой раствор переливается из одного сосуда в другой со скоростью, пропорциональной объему раствора, с коэффициентом про
порциональности а, откуда он вытекает с постоянной скоростью bt где а>0, Ьу>0. Составить математическую модель процесса и определить объемы солевого раствора в сосудах в момент времени t, если в начальный момент времени сосуды содержали соответственно 1000 и 100 см3 солевого раствора. Показать, что: если Ь-+а> 1000, то солевой раствор во втором сосуде убывает со временем; если
b / а < 1000, то солевой раствор во втором сосуде накапливается до максимального объема, а затем убывает.
633.	Сообщество из п индивидуумов подвергается воздействию редкого инфекционного заболевания. В момент времени t оно состоит из *i(/) восприимчивых индивидуумов, хо(/) заражаемых, контактирующих с другими, и х3(0 изолированных или обладающих иммунитетом. Математическая модель распространения этого заболевания задается системой
Dxi = — a*j(0)x2, Ох2 = (axi (0) — b)x2, Охз = bx2l
где a, b — положительные постоянные, отражающие скорости, с какими заражаются восприимчивые индивидуумы
122
и зараженные изолируются или приобретают иммунитет. Построить решение системы, если Х2|/=о = Хг(0).
634.	Вещество А разлагается на два вещества Xt и Х2. Скорость образования каждого из них пропорциональна массе неразложившегося вещества А. Найти законы изменения массы веществ X] и Х2 в зависимости от времени если через час после начала процесса они равны соответственно а/8, 3^/8, где а — первоначальная масса вещества А.
635.	Индуктивность, емкость и сопротивление соединены по схеме, приведенной на рис. 23. Цепь подключается к источнику с постоянной ЭДС, равной £0. До включения ток и заряд в цепи отсутствовали. Составить математическую модель тока в цепи.
Р и с. 23	Р и с. 24
636.	Электрическая цепь, включающая два индуктивных элемента и два элемента сопротивления, соединена по схеме, показанной на рис. 24. Цепь подключается к источнику с ЭДС, равной £. Составить математическую модель тока в цепи.
Контрольная работа 2 Вариант I
I.	Сведением к стационарному уравнению проинтегрировать систему дифференциальных уравнений
(Dx = 2x4-1/,
\Dy = Зх -j- 4//.
2.	Используя экспонентное представление решения, найти общее решение линейного векторного уравнения Dx = Axt где
123
4 = 1	2 —1 .
1 -1	2
3.	Используя метод Лагранжа, проинтегрировать систему дифференциальных уравнений
fDx = у — 5 cos /, (Dy==2x 4-1/.
Вариант II
1.	Сведением к стационарному уравнению проинтегрировать систему дифференциальных уравнений
(Dx = x + y, \Dy — Зу — 2х.
2.	Используя экспонентное представление решения, найти общее решение линейного векторного уравнения Dx = Ax, где
2
3
3.	Используя метод Лагранжа, проинтегрировать систему дифференциальных уравнений
Dx^y 4- 2ez, = х 4-t2.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
IX. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА В НОРМАЛЬНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ
24. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ. ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ
• Основные определения. Уравнение первого порядка в нормальной дифференциальной форме имеет вид
Р(х, у)dx -|- Q(x, у)dy = 0.
Коэффициенты Р и Q считаются непрерывными в некоторой области PczR2, |Р(х, !/)l + IQ(x, у)\ ^0 в D.
Решением в явном виде дифференциального уравнения в нормальной дифференциальной форме называется непрерывно дифференцируемая функция у~у(х) (или х = х(у)), определенная на промежутке I оси Ох (или оси Оу) и обращающая это уравнение в тождество на I.
Если функция Q отлична от нуля в области D, то ’уравнение равносильно уравнению, разрешенному относительно производной у' — dy/dx, т. е. уравнению
yf= — Р(х, y)/Q{x, у).
Решение уравнения в нормальной дифференциальной форме может быть задано параметрически — парой непрерывно дифференцируемых функций x=^x{t\ y = y(t\ |л''(*)1 ~h	на некотором промежутке Т измене-
ния параметра /, обращающих уравнение в тождество па Т. Решение в явном виде является частным случаем решения в параметрической форме.
Решение у = у(х) или х = х(у) рассматриваемого уравнения может быть задано в неявном виде соотношением м(х, у) — 0, где и — некоторая дифференцируемая функция, отличная от постоянной и такая, что du{x, у) = 0 в силу дифференциального уравнения.
Гладкая кривая, являющаяся графиком некоторого решения дифференциального уравнения или состоящая из таких графиков, называется интегральной кривой этого уравнения.
125
Семейство решений уравнения в нормальной дифференциальной форме, зависящее от произвольной постоянной С, называют общим решением уравнения в области D, заполненной графиками решений этого семейства. Каждое из решений этого семейства, которое получается при конкретном значении постоянной С, называют частным решением данного уравнения. Если общее решение в неявной форме имеет вид и(х, у) —С —О, что равносильно и(х, у) —С, то его называют общим интегралом уравнения в нормальной дифференциальной форме.
Рассматриваемые в этом разделе уравнения (уравнения в полных дифференциалах и приводящиеся к ним) называются элементарными уравнениями и всегда интегрируются в квадратурах.
Уравнения в полных дифференциалах. Уравнение в нормальной дифференциальной форме, заданное в односвязной области £), называется уравнением в полных дифференциалах, если на D существует непрерывно дифференцируемая функция п(х, у), такая, что
du(x, у) = Р(х, y}dx + Q(x, y)dy, (х, y)^D.
Уравнение в полных дифференциалах равносильно уравнению du(x, z/) = 0. Общий интеграл его имеет вид «(*. У) = С.
Необходимым и достаточным условием того, что уравнение в нормальной дифференциальной форме есть уравнение в полных дифференциалах, является выполнение условия Эйлера
%- = £ V(x, y)£D. ду дх '
Для отыскания функции и(х, у) можно воспользоваться соотношениями
^L=P(x, у), d-^-==Q(x, у)
или формулой
(х. у)
У) — J Р(х, y)dx+Q{x, y}dy —
(Хо. у»)
г	У
= yn)dx+ jQ(x, y\dy>
хо	у0
126
где (х0, уо) — любая фиксированная, а (х, у) — произвольная точки области D.
Решение начальной задачи (задачи Коши)
Р(х, i/)dx-}-Q(x, y)dy~Ot i/|x=J = g, определяется формулой
(*. у)
J Р(х, y)dx+Q(x, y)dy — 0. (*. а
Среди уравнений в полных дифференциалах простейшими являются уравнения с разделенными переменными P(x)dx -f- Q(y)dy = 0, для которых общий интеграл находится по формуле
*	у
\P(x)dx+ \Q(y)dy = C.
Хо.^	у0
Задача 1. Найти общий интеграл уравнения
(sin 2х , \ . , / ---------f-х Мх 4- (у —
У /	\
sina х \
—> = °-
’ Решение. В качестве области D можно взять полуплоскость 1/ > 0 либо у < 0. Пусть
£> = ((*, t/)lx£ Rf^C R+}.
Убедимся, что данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах, для чего проверим выполнение условия Эйлера:
дР _ sin 2х dQ _ sin 2х
ду	у2 ' дх	у2 ’
дР _ dQ ду ~ дх
V(x,
Для нахождения функции и(х, у) воспользуемся формулой, определяющей ее через криволинейный интеграл, взяв за (хо, уо) точку (0, 1):
«(*.!/)= J ( Sm^ I * )dx + (у —	=
(0,1)
= j (sin 2x + x) dx +
0	1
127
Общин интеграл исходного уравнения имеет вид s^+ Ц£=с, (х. ,)ео.
V	&
Задача 2. Найти общий интеграл уравнения
(х3 + xy'^dx 4- (j?y -f- y*)dy = 0.
дР
Решение. Для данного уравнения P = R’. Так как -х— = ду
дО
=^2ху и —— = 2ху, то уравнение является уравнением в полных
CZA
дифференциалах. Найдем функцию и(х, у), воспользовавшись соотношениями:
ди(х, у) 3 . о
ди(х, у) дУ
— х2у 4- у2
Тогда
и(х, у) = j (.? xy*}dx = л3/4 4- х2у2/2 4- <р(у)
Отсюда	= Х?У + ^'(У)- Следовательно. х2у 4- <р'(у) = х2у 4- у3
и ф'(у) — у3, а <р(у) = у‘*/4 4- С. Окончательно имеем
и(х. у) = х74 4- xV/2 4- //4 4- с.
Общий интеграл исходного уравнения имеет вид
(х*4-£/7 = с*
Задача 3. Найти решение начальной задачи
(sin ху 4- ху cos xy)dx Н“ Xs cos xydy =* 0, у |ж=. । = 0.
дР
Решение. Для данного уравнения D = R< Так как -ч— — ду
л	2	0Q о	.	дР дЦ
= %Х COS ху — XU sIII ху,	=i= 2х COS ху — Х~у SU1 ху, ТО -тг— S=
дх	ду ох
и исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Решение начальной задачи имеет вид
с« «Л
j (sin ху 4" ху cps xy)dx 4- л2 cos xydy = 0. (1.0)
Следовательно, соотношение х sin ху = 0 вместе с начальным условием = 0 определяет решение данной задачи Коши в неявном виде.
Проверить, являются чли данные уравнения уравнениями в полных дифференциалах; найти общий интеграл уравнений, указав область D:
637.
128
* 638.
639.
xdx 4~ ydy । xdy — ydx
П i 2*	X*
yx* 4-1/
dx  ydy _л
*	1 -b»/2 '
• 640. i X
dx 4* (y3 4~ In x)dy — Q.
641. (4f/2 — 6xz)ydy 4(2 — 9xz/3) xdx = 0
*642. (-—+— }dx + ( -JL=4-~ —
' д/хг + у2 X У '	'V** + У*
7)* "
- 643. x(2x2 4- у2) + у[хг + 2y2)y' = 0.
644, x sin xdx -j- cos' ydy = 0.
*645. (x cos у — cos x 4~ 1 /y)dy 4- (sin у 4- У sin x 4-4-I/x)Jx = 0.
646.	2xydx 4- x dy = 0.
647.	f(xy)(ydxxdy)^=0, где f — непрерывно дифференцируемая функция.
648.	(f (x + у) + f (x — y))dx + (f (x + y) —f(x— y))dy=0, где f — непрерывно дифференцируемая функция.
. 649. f(~^	5=s0, где f — непрерывно диффе-
ренцируемая функция.
Решить начальные задачи:
650.	Ц-dx + £^-dy = 0, у|х=|=1. У	У
651.	(1 4- у2 sin 2x)dx — 2у cos2 xdy = 0, у]х=:О—0.
652.	2х(1 4~д/*2 —у)dx — -yjx2 ydy = 0, y]x=l ~ 1.
653.	—cig xdx = 0, хL=! = л/2. у °	1 ”	9
654.	+	+	=0, у|._0 = -1.
655.	4(х2—y2)(xdx — ydy} = Q, ^|tf=0 = I- ч
656.	x dx 4- у dy = 0, x|y== j = 1.
657.	(2x cos у — у2 sin x)dx 4- (2y cos x — x2 sin y)dy = = 0» «/Ь=я/2 = л/2.
Интегрирующий множитель. Функция р(х, у), непрерывная и отличная от нуля в некоторой области Gc:D,
5 Зах 270В
129
называется интегрирующим множителем уравнения в нормальной дифференциальной форме
Р(х, y)dx+Q(x> y)dy = O>
если уравнение
у}Р(х* y)dx + p,(x, y}Q(x, y)dy = G
является уравнением в полных дифференциалах на G.
В односвязной области каждое решение исходного уравнения является решением полученного уравнения в полных дифференциалах, и наоборбт.
Если <о = <о(х, у) — заданная функция от х и у и
- %A|(q	м Ч7<о).
\ ду дх ) I \ дх ду)	• '
то р(<о) = ехр^ j
В случае, когда интегрирующий множитель у) обращается в нуль на некотором подмножестве множества G, полученное уравнение в полных дифференциалах может иметь дополнительные решения по отношению к решениям исходного уравнения.
Если ц = р(х, у) — интегрирующий множитель уравнения в нормальной дифференциальной форме, то Ср(х, у), где С =£ 0 — постоянная, также является интегрирующим множителем этого уравнения.
то
Задача 4. Привести уравнение (2ху* — 3y3)dx 4- (7 — 3xy*)dy = О к уравнению в полных дифференциалах, зная, что оно имеет интегрирующий множитель вида ц = ц(х) или g = |x(i/).
Решение. Проверим, существует ли для данного уравнения интегрирующий множитель вида ц = р(х). Для этого воспользуемся приведенной выше формулой для Ф(ш), полагая <о = г.
/5Р_ _д0_\,	4ХУ-6/
\ ду дх J'4 7-Зху2	U
Следовательно, данное уравнение интегрирующего множителя вида p. = |i(x) не имеет. Пусть теперь ш = у. Так как
/дР dQ \,	_ 4ху — бу2
\ ду у дх )' '	— 2ху2 4- Зу3
exp 2 In =
Уй
-|=Ч'И.
•>
Ус>
130
В качестве р(у) можно взять i/y2- Умножив исходное уравнение на интегрирующий множитель ц(у)=1/у2, получим уравнение в полных дифференциалах
(2х - 3y)dx + (7/у2 - 3x)dy = 0.
Задача 5. Привести уравнение (Зр3 — x)dx 4- (2у3 — fay)dy = 0 к уравнению в полных дифференциалах, зная, что оно имеет интегрирующий множитель вида р = р(х 4- у2).
Решение. По условию о = х 4- у2, поэтому
ш(х + и=) =	ЁУ+—___________________
1 *!Г> (2/ - 6хУ) I - (Зу2 - х)2У х + S2
Тогда
w	з
(С 3	\	/ св \ wo
- J-Aj=.exp^-3ln —) = v
Ый
Полагая сор =? I и учитывая, что ш = х 4- у2, получаем ц(х 4- у2) — = (х4-у2)-3- Умножая исходное уравнение на (хЧ-у2)""3. приводим его к уравнению в полных дифференциалах
Зу2 — х 2уэ — fay (*4у2)3	(*‘4-У2)3
в области х 4- У2 > 0 и в области х4~Уг<0- Граница этих областей х=— у2 является решением исходного уравнения, что проверяется непосредственно подстановкой в уравнение
Проинтегрировать' уравнения, найдя интегрирующий множитель указанного вида:
658.	(х2 + y)dx — xdy = 0, р = р(х) или р — р(у).
659.	2ху In ydx + (х2 4- у\1у2 4- 1 )dy = 0, р = р(х) или И = н(у)-
660.	(х 4- sin х 4- sin y)dx 4~ cos ydy = 0, p = p(x) или Р = р(у).
661.	(ху* 4- y)dx — xdy = 0, и = Р(Л) или р = р(у).
662.	(2ху2 — y)dx 4- (у2 4- + y)dy == 0, ц=р(х) или Р- = р(^)-
663.	(х2 4- У2 + 1 )dx — 2xydy = 0, р. = р(г/2 — х2) или р = ц(х).
664.	xdxydyx{xdy — ydx) = tit р, = р.(х2 4- У2)-
665.	(х2у3 4- y)dx 4- (х3у2 — x)dy =^0, р = р(х4-у), р,= = p(xrf, p, = p,(jr — у2\ ц = р(х"4-/).
666.	-^dx4-(x— ~^dy = 0, р, = р.(у/х).
131
667.	Зх sin (y/x)dx = (xdy — ydx) cos (y/x), p == p(y/x).
668.	(x 4- y2\dx 4- у (I — x)dy = 0, p, = p(x2 4- y2)-
669.	(x2 — lJ 4- V)xdx 4- (x2 — y*)ydy = 0, p = pfx2 — y2).
670.	Найти кривую, для которой площадь фигуры, ограниченной осями координат, данной кривой и ординатой произвольной точки кривой, равна четвертой степени ординаты этой точки.
671.	Найти кривую, у которой отрезок касательной в любой точке кривой, заключенный между точкой касания и осью абсцисс, равен расстоянию от точки пересечения касательной оси абсцисс до точки (0, а).
672.	Найти кривые, обладающие тем свойством, что квадрат расстояния от произвольной точки кривой до начала координат, умноженный на отрезок, отсекаемый на оси абсцисс нормалью к кривой в данной точке, равен кубу абсциссы этой точки.
674. Найти кривую, для которой площадь сектора, ограниченного этой кривой, полярной осью и радиусом-вектором любой точки кривой, равна шестой части куба этого радиуса-вектора.
674. Найти кривую, для которой площадь сектора, ограниченного кривой, полярной осью и радиусом-вектором любой точки кривой, равна четвертой степени этого радиуса-вектора.
2$. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Уравнение вида
Pi WQi (у)^х 4" Pi(x)Q2(y)dy = 0 называется уравнением с разделяющимися переменными. С помощью интегрирующего множителя ц(х, /у) — = (Qi(i/)^2(x))'_| в любой области <?, где Qi(y)P2(x) 0, оно сводится к уравнению в полных дифференциалах
Рг(х) d + <2,(0 d‘J 01 которое является уравнением с разделенными переменными.
Решениями исходного уравнения являются все решения полученного уравнения и вещественные решения функционального уравнения Qi (у) • Р?(х) = 0.
132
Задача 1. Найти общее решение уравнения
4- \dx — xydy — О.
Решение. Это уравнение, заданное на R2, является уравнением с разделяющимися переменными После умножения его на ише-грирующнй множитель ц(х, у) = (хз// + I)'1 получаем уравнение в полных дифференциалах
ydy
которое определено при х^>0 и при х<0 Если х<0, то общий интеграл полученного уравнения имеет вид
jn ( — х) — i или х — —ехр С* ехр *7/4-1-Если же х > 0, то общий интеграл имеет вид
In х —	4- i = С| или x = exp CJexp + 1
Так как хд// 4- 1 — О при x =0 й при любом у и х-0 является решением исходного уравнения, то общее решение исходного уравнения записывается в виде:
х = Ci ехр -у/у* I, Ci < 0, х=Са ехр т/у* 4- I Си > 0.
х = 0
или х = С ехр V/4-1 * С Е R-
Задача 2. Найти кривые, у которых oiрезок касательной между точкой касания н осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат.
Решение. Пусть у = у{х) — искомая кривая {рис. 25). Возьмем на ней произвольную точку М(х0, уо). Тогда у*{хо) есть угловой коэффициент касательной к кривой в точке (хо, Ца] и у — уц = у'(хо) (х — х(>) — уравнение касательной. Координаты точек пересечения касательной с ко-	у ((
ординатными осями можно найти из	.
следующих систем:	’ °
(у — уо = у' (хо) (х — Хо), Ь = о.
'У — уо = у' (хо) (х — Хо). х = 0.
Рис. 25
Тогда Л(хо — уо/у'(хо), 0) н В(0, у0 — /(хр)хо). По условию задачи отрезок AM делится точкой В пополам, поэтому 2х0 — */о//(х0) = 0.
133
Так как полученное соотношение должно выполняться для всех точек искомой кривой, то для определения функции у(х) имеем дифференциальное уравнение 2xtf — y = Q
Уравнение 2xdy — ydx —О с помощью интегрирующего множителя р(х, у) — (xy)~i сводится к уравнению в полных дифференциалах
Му	dx
У х
Его общий интеграл In у2 — In х = Ct при к > 0 и In у2 — In (—х) = = С! при х < О, т. е.
С,х, Ci > 0. — Csx, Cs2>0
или у2 — Сх, С #= 0.
Так как функциональное уравнение ху = 0 имеет решения jt = O и у = 0. причем у = 0 является решением уравнения 2xz/ — у = О, то кривыми, обладающими требуемым свойством, будут у2 = Сх, С £ R.
Проинтегрировать уравнения:
675.	2x2ydy — (у2 — 2)dx = 0.
676.	cos (у — x)dx — dy = O.
677.	(x-)-2y)dy = dx.
678.	xy[\ 4- y2)dx — (1 4- x2)dy = 0.
679.	(x34- ])ydx4-x(y2 — l)dy = 0.
680.	хд/14- i/2 4- zr/14^xV = 0.
681.	x2\y 4- l)dx 4- Ц3 -V)(y- \)dy = 0.
682.	у (x 4- 1 )dx 4~ x*( 1 — y)dy = 0.
683.	dx 4- -fc- dy = 0.
cos2 x cos2 у
P +y\(eyx-^dy)-(i + y)dy^0. 685. tg x sin ydx 4- cos2 x ctg ydy = 0. 686. (1 4- x )dy —‘xydx = 0.
687.	[x - 2y — \)dx 4- (Зх — 61/4- 2)dy = 0.
Решить начальные задачи:
688.	Хг/l — y2dx 4-ydy = 0, i4-o=0.
689.	VVl — i?dx + ydy = 0, </|x=o = — 1.
690.	Xr?1 ~-yz<ix + ydy = Q, i4=o= 1-
691.	(x2 — l)dy + Zxtfdx = 0, xL=. = 0.
692.	xdy -f- (y - y2)dx = 0, z/|। = 0,5.
693.	ctg xdy + (y — 2)dx = 0, x|, = 0.
134
694.	y' = e*+‘J, у|л=о = О.
696.	~}/l —у2dx 4~ д/l —x2dy — 0, //1^0=1.
697.	yxdx -HI + x*}dy — 0, x|y= j = 0.
698.	y' sin x — у cos x = 0, у|х=я/2 = 1.
699.	Найти кривые, у которых подкасательная вдвое больше абсциссы точки касания.
700.	Найти кривые, у которых угол, образованный касательной и радиусом-вектором точки касания, имеет постоянную величину для всех точек кривой. (Указа-н и е. Для решения полученного уравнения ввести полярные координаты.)
701.	Найти кривые, у которых отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится точкой касания пополам.
702.	Найти кривые, у которых абсцисса центра масс площадки, ограниченной осями координат, кривой и орди натой любой точки кривой, равна 3/4 абсциссы этой точки. (Указание. хс — !— , где Моу =Ц xdxdy
статический момент площадки D относительно оси Оу.)
26. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА. УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ
Линейные уравнения первого порядка. Уравнение в нормальной дифференциальной форме
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = Q
называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка, если оно линейно относительно искомой функции. Если искомой функцией считать у, то уравнение, линейное относительно у, имеет вид
(р(х)у -I- q(x))dx 4- r(x)dy = 0, х £ I,
где функции р(х), q(x\ г(х) непрерывны на I и г(х)=^0
Линейное относительно у уравнение при непрерывно дифференцируемой функции г(х) сводится к уравнению в полных дифференциалах с помощью интегрирующего множителя р = который имеет вид
135

где /о, к принадлежат интервалу I, на котором г(х)=/=0.
Для каждого интервала знакоопределенности функции г(х) строится свой интегрирующий множитель.-Умножая линейное относительно у уравнение на р(л), получаем уравнение в полных дифференциалах, общий интеграл которого имеет вид
у ехр (й?+Игехр (л)dt=с-
Хп	Хи	Ха
Отсюда общее решение рассматриваемого уравнения в области D = I X R имеет вид
Aq	Xq	Xq
Линейное относительно у уравнение, разрешенное относительно производной, имеет вид у' 4-	— Q (х),
где функции Р(х) и Q(x) непрерывны на Ic R. В этом случае общее решение уравнения задается формулой
X	X	I
4/ = ехр^— \P(x)dx^(c 4- $ф(/)ехр0Р(т)б/т} dt
Решение начальной задачи (задачи Коши) (р(х}у 4- q(x))dx 4- г(x)dy 0, x£l, y|x==s = £, s£l,
может быть найдено из общего решения или по формуле
^ = ехр(-$5тл)0~ 5>хр( S	S

Решение задачи Коши для уравнения, разрешенного относительно производной»
/4-Р«£/ = (2(х), £/[х = 5 = £,
получается из его общего решения при xv = s, С = £ или по формуле
136
у = ехр( — ] P(i)d.T^ (% -f- J Q(t) ехр ( $ P(t)d^dl
Задача I. Проинтегрировать уравнение (2t/ 4- 4х) dx — (2х 4-4- l)di/ = 0.
Ретеиие. Функции р[х}~2, q{x} — Ax, г(х)=^—(2x4г О непрерывно дифференцируемы на R, г(х) = 0 при х——1/2 Построим общее решение исходного уравнения на I = [—1/2, 4~°°]. положив хо = О. Используя формулу общего решения, получаем
X	X	<
*=ех₽(Ь-7ТТ‘/т)(С+ ктг ехр(Ч^ТГЛ)Л) = О	о	0
X
/	Г 4/
= ехр(In (2х 4- 1)) (С 4- \ ехр(— In (2/ 4- I ))dt \	1 £> I I I
о
= (2x4- 1)(С, 4- In (2л 4-1))4~ »
Для х £ og , — I /2{ использование формулы общего решения приводит к функции £/ = (2*4-1)(£j 4-In (—2х—I))4“ I. Следует заметить, что х = — I /2 также является решением исходного уравнения.
Итак, полное решение уравнения
((2x4- I) (С-bin (2x4-0)4- I. х> -1/2, 1(2х 4- 1)(С4- 1п(—2х— I)) 4-1, х< -1/2,
и х = — 1/2, у — любое.
Задача 2. Проинтегрировать уравнение (х 4- y2}dy = ydx
Решение. Данное уравнение является линейным относительно переменной х. Перепишем его, используя производную искомой функции в виде х'--~х = у Функции Р(у) — —l/у. Q(y)=*y непре рыв но дифференцируемы на 1| = |—оо, 0 и 12 = 10, 4"°°Ь Используя формулу общего решения, получаем
— I	— I	— I
( Су + у2. у >0.
—	4- у2, y<Q-
т. е.
137
Исходное уравнение допускает также решение у = 0, к — любое. Итак, х(у) = Су 4- у’, у =£ О, и у ==0, х — любое.
Метод Лагранжа (вариации произвольной постоянной) решения линейного уравнения первого порядка. Правая часть линейного дифференциального уравнения первого порядка у' + Р(х)у — Q(x), т. е. функция Q(x), называется неоднородностью уравнения. Если неоднородность Q(x) == 0, то уравнение называют однородным, в противном случае — неоднородным. Уравнение у' 4-
—0 называют однородным, соответствующим неоднородному уравнению у' Р(х)у = Q(x). Линейное однородное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, его общее решение имеет вид л
у = Сехр(—Р^дт^
Функция у(х) = у00(х)4учн(х), где у>,н(х) — частное решение неоднородного уравнения, линейного относительно у, а ум (л) — общее решение соответствующего однородного уравнения, является общим решением неоднородного линейного уравнения.
Частное решение неоднородного линейного уравнения первого порядка по методу Лагранжа ищут в виде
Учи (х) = и(х) ехр f — JP(z)dT ), .Ко	*
где и(х) — некоторая функция, для определения которой г/Ч1|(х) подставляется в уравнение.
Задача 3. Проинтегрировать уравнение у' — у cos х ~ cos х.
Решение. Линейное однородное уравнение у' —.у cos х' = 0, соответствующее данному, имеет общее решение yOcW^ CesiD*. Частное решение исходного уравнения ищем в виде учк(х) = u(x)t’lln« Подставим уЧ1|(х) в уравнение
и'е5|п я J- ие * cos х — ue9in’ cos х = cos х, т е. и' =e‘'3,njtcos x Отсюда //(x)=s=—е-9|пх. Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид у = Се9'п*—- 1.
Уравнение Бернулли. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением Бернулли, если оно имеет вид
(р(х)у 4- q{x)ym)dx 4- r(x)dy = 0, л € L
138
Если г(х)^0 в I» уравнение Бернулли можно записать в виде
yr + P{x)y=Q{x)yml *61.
Подстановка и—ук~т приводит уравнение Бернулли к линейному уравнению первого порядка относительно функции и(х).
Задача 4. Проинтегрировать уравнение у' —	— х3гу2
Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли, где Р{х)=—3/х, Q(x)=— х3, /п=2. Прежде чем ввести подстановку, разделим обе части уравнения на у2:
В полученном уравнении положим и=\/у, н так как и'= — у'jy\ то преобразованное уравнение принимает вид
du
dx
, 3 -------и =
X
Полученное линейное уравнение интегрируем по методу Лагран-] С
жа. Его общее решение имеет вид н(х) = —Следовательно, у( 1- с\=х3 — общее решение исходного уравнения.
Проинтегрировать линейные уравнения:
703.	х2/ — 2ху = 3у.
704.	(у — y3)dx 4- (2ху2 — х — y*}dy — 0,
705.	dy + (у tg х ——= 0.
706.	у' + 2ху=2 ехр (—х2).
707.	(2х + y)dy = ydx -f- 4 In ydy,
708.	(2^ — x}yr = 1.	709. xf — x cos y = sin 2y.
710. (2x — y2)y' = 2y.	711. 2(x4 + y)dx — xdy = 0.
712.	y' 4-2xy =s=0.
713.	/ + /,«1/ = /(х)Г(х),
где f — любая непрерывно дифференцируемая функция.
Проинтегрировать уравнения Бернулли:
714.	(х2 + У* + \}dy 4- xydx — 0.
715.	(х3 -j- ^‘}dy = 3x~dx.
139
716.	2y' sin х + У cos х = у3 sin2 х.
717.	у* - у COS X = у2 COS X.
718.	у' + 2у/х = у3/х3
719.	=
720.	у' tg x 4- 2y tg2 x = ay2.
721.	xdy + ydx = y2dx.
722.	3y2dy ~ (x + y3 + 1 )dx.
723.	xy3dx = (x2y -f- tydy.
Решить начальные задачи:
724.	x(x — l)y' + y=^x2(2x~ 1), £/|х=2 = 4.
725.	xf 4- х cos у — cos у, x|,,=0=l.
726.	(2x exp x2 4~ 2xy)dx — dy — Qt y|x=0 = 0.
727.	y' + y/x2 = e1'*, </|x=1=0.
728.	у' +xy — xy3=^0, г/|Л^0 = 1-
729.	2ydy = (x + y2)dxt i/|Xi=o = O.
730.	Найти .кривые, у которых отрезок, отсекаемый касательной на оси абсцисс, равен квадрату ординаты точки касания.
731.	Найти кривые, у которых отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равен квадрату абсциссы точки касания.
732.	Найти кривые, у которых отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равен среднему геометрическому постоянной а и абсциссы точки касания.
733.	Найти кривые, у которых площадь трапеции, образованной касательной к кривой в произвольной ее точке, осями координат и прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку касания, равна а2.
734.	Найти кривые, у которых отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, пропорционален квадрату ординаты точки касания.
735.	Найти кривые, у которых отрезок, отсекаемый касательной на оси абсцисс, пропорционален квадрату абсциссы точки касания.
736.	Найти кривые, у которых отрезок, отсекаемый касательной на оси абсцисс, пропорционален кубу абсциссы точки касания.
737.	Найти кривые, у которых отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, пропорционален кубу ординаты точки касания.
140
27. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ. УРАВНЕНИЯ ПРИВОДЯЩИЕСЯ К ОДНОРОДНЫМ
Однородные уравнения. Уравнение
Р(х, y)dx -Н Q(x, y)dy = О называется однородным, если оба его коэффициента являются однородными функциями одной степени, т. е.
ly) = tkP{x, у\ Q(tx, ty)~ikQ(x, у), (lx, ty)£D.
Подстановка у— их преобразует данное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными хи' — <р(&)— и.
Задача I. Найти общее решение уравнения
ху' == У + Vх5 + У*-
Решение. Данное уравнение является однородным. Запишем его в виде, разрешенном относительно производной:
У' = У/х + -yfr+(y/xf
Введя подстановку у = их, получим уравнение с разделяющимися переменными и'х = д/1 + и2. Его общее решение и 4- д/1 4- и2 — = Сх, 0. Возвратившись к у, получим общее решение исходного уравнения:
У 4~ Vх2 У2 “ ^-х2, С 0.
Проинтегрировать уравнения:
738.	у2 — 2ху -Ь *2у' = 0.
739.	y2dx 4- x2dy — xydy.
740.	у'^+^Л.
х У'(У/Х)
741.	xdy — у — х ctg - - dx = 0.
742.	и' = ~ 4- tg — cos2 — .
743.	ху' -у \п -^- = 0.
744.	(д/х2 — у + у) dx — xdy = 0.
745.	xdy — (у х i.g—\dx = 0. х.	Л
14!
Уравнения, приводящиеся к однородным. Дифференциальное уравнение вида
Л (ах + by + c)dx 4- fa(Ax	By + C)dy — О
или
__f(Ax A- By С\
& l\ax + by + c /’
где Ab — аВ =£ 0, приводится к однородному уравнению с помощью подстановки х = £ 4- а, у~ т] 4- Р, где £, г) — новые переменные; а, р — постоянные, удовлетворяющие алгебраической системе уравнений
I Аа 4- Вр 4- С == О,
I аа 4- бр 4- с == 0.
Если Ab — аВ — 0, то подстановка Ах -р By ~ и сводит исходное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.
Задача 2. Привести уравнение (у 4- х — 1 )dy 4- (2х — у 4~ 3")dx = 0 к однородному.
Решение Полагая х = £ 4- a, у = t) 4- р, где а, р £ R — некоторые постоянные, имеем
(пЧЧ + а + ₽-№п442В-л + 2а-₽ + 3)^0,
В качестве аир возьмем решение системы
[ а + ₽ — 1 = О, (2а — р -f- 3 = 0,.
т. е. а = — 2/3, Р = 5/3. В этом случае полученное уравнение принимает вид
to +	+	- пМ = 0.
Оно является однородным
Задача 3. Привести уравнение (у — 2х 4- l)dy 4- (2у — 4х 4- 3)dx = 0 к уравнению с разделяющимися переменными.
Решение. Система уравнений относительно а и Р
( - 2а + ₽ -J- 1 = 0, 1-4а4-2Р4-3 = 0
несовместна, ее определитель равен нулю Используем подстановку у—2х~и Исходное уравнение приводится в этом случае к уравнению с разделяющимися переменными
(« 4" \)du 4- (5д 4" 5)dx = 0
142
Проинтегрировать уравнения:
746.	(Зу — 7х+ 7)dx + (7у — Зх + 3)dy = 0.
747.	у' = ?( Г1-2,)2.
748.	(к 4- 2у 4- I Wx 4- (3 — 2x)dy = 0.
749.	(2х ~у-Ь 4)dy 4~ (х — 2у 4- 5)dx = 0.
750.	(х — 5у 4- 7)dx 4~ (4х — 2у 4- 10)сй/ = 0-
751.	(2х — у — 1 )dx 4- (2 у— х + l)dy = 0.
752.	(х — у4-3)с/х4-(Зх4-</4-=
753.	(2x + 2y-l)dx + (x + y-2)dy = 0.
754.	(х 4- 2# 4- \}dy — (2х 4- 4у 4- 3)dx = 0.
755.	(xj-y)2y' ~а2.
756.	Показать, что уравнение
(tfz/2 4’ by(kx2 4- lx 4- rn) 4- c(kx2 4~ /х 4- rn)2) (2kx 4~ 0 = == (kx2 4- lx 4- m)2y'
приводится к однородному уравнению подстановкой kx2 lxт — и.
757.	Показать, что уравнение
(2&1/ 4- 1}х2у' = о- (ky2 -\-1у 4- ^)2 4- b(ky2x-^ 1ух+тх) 4- сх2 приводится к однородному уравнению подстановкой ky2 4- 1у + т = и.
758.	Показать, что уравнение
(ау3 4~ Ьху2 4- cxy3)dx 4~ (а।х2у 4- ^ix3 4- Cix3y)dy = 0 приводится к уравнению
(аи 4- bv 4- c)du 4~ (ai« 4- b\v 4- Ci)du 0 заменой переменных x~ l/и, y=\/v.
759.	Найти кривые, для которых отрезок, отсекаемый нормалью на оси ординат в какой-нибудь точке кривой, равен расстоянию от этой точки до начала координат.
760.	Найти кривые, для которых произведение абсциссы произвольной точки на отрезок, отсекаемый нормалью на оси абсцисс, равно удвоенному квадрату расстояния от этой точки до начала координат.
143
761.	Найти кривые, для которых площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс, кривой и двумя ординатами, из которых одна постоянная, а другая переменная, равна отношению куба ординаты к абсциссе.
762.	Найти кривые, у которых отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равен абсциссе точки касания.
28. СЛУЧАИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ
Дифференциальное уравнение
(рМу2 + Q Му 4- г(х))4х 4- s(x)dy = °> х € 1>
где р(х), s(x) не обращаются в нуль на I, называется уравнением Риккати. Записанное с помощью производной искомой функции, оно имеет вид
y' = PMy2 + QMy + RM'XO-
Уравнение Риккати не является элементарным. Оно интегрируется в квадратурах в исключительных случаях. С помощью подстановки у = а(х)н за счет выбора функции а(х) уравнение Риккати сводится к уравнению вида

причем а(х) = 4Ь1 /Р(х), а с помощью подстановки у = р(х) 4- и — к уравнению вида
!£ = Ри2 + Я +/>р2 + Q₽ - р',
причем 3(х) — — Q/(2P). Комбинируя обе подстановки, уравнение Риккати можно привести к виду у' = = ±y2 + RM.
Если известно частное решение у — у\(х) уравнения Риккати, то подстановка у = у\ + \ /и приводит его к линейному относительно функции и уравнению. Отметим, что уравнение Риккати
у' =Л^-^В-^-4-4» X X4
где Л, В CQ R, допускает частное решение вида z/j(x) =
— а/х. а £ R, если алгебраическое относительно а урав-
144
нение Да2 -|-(В-|~1)а-|-С = 0 корни.
Уравнение Риккати вида
имеет действительные
подстановкой у — иу х приводится к уравнению с разделяющимися переменными.
Уравнение Риккати вида у' = ау2 -|- b/х заменой у = 1 /ц сводится к однородному уравнению.
Задача 1. Свести уравнение Риккати у‘ — у2 — ху — x-f- I =0. которое имеет частное решение у = — I, к линейному уравнению.
Решение. Сделаем в уравнении Риккати подстановку г/ — = — 1 + l/и, где д = а(х). Так как у' = — и'/и2, то уравнение примет вид
Получившееся при этом уравнение а'1 =0 является линейным.
Задача 2. Свести уравнение Риккати у — у2 4- у sin х — cos х = 0 к линейному уравнению, если f/ = asinx—вид его частного решения.
Решение. Найдем значение а, при котором функция a sin х будет решением исходного уравнения. Для этого подставим в уравнение функцию у = a sin х:
a cos х — a2 sin2 х 4- a sin2 х — cos х = 0.
Отсюда (а—1)cos хе? 0 и (а — а2) sin2х = 0. Следовательно, а=1. Гак как i/ = sinx—частное решение данного уравнения, то сделаем подстановку у — sin х 4- 1/«, тогда
cos х--zu> — (sin х -|-» 4-(smxH-1 sin x — cos x = 0
u \ и /	\ и/
В результате получаем линейное уравнение и' 4- и sin х 4- I = 0.
Задача 3. Проинтегрировать уравнение Риккатн у' 4- 2у2 — I /х2 = 0.
Решение Частное решение данного уравнения ищем в виде у = а/х При подстановке его в уравнение получаем
— а/х2 4" 2д2/х2 — J/x2 = 0.
Имеем квадратное относительно а уравнение, корни которого ai = l. ап = — 1/2 определяют два частных решения у\ = 1/х н уч = — (2х)~‘ указанного вида данного уравнения Риккати. Подстановка у = 1/х 4- 1/и сводит его к линейному уравнению и" — 4и/х — 2 = 0, общее решение которого имеет вид и = Сх* — 2х/3 Тогда у — х~‘ 4- (Сх4 — 2х/3)“1 — общее решение исходного уравнения.
145
Проинтегрировать уравнения:
763.	у‘=у2 + X.
764.	у' = ±-у2 + А-. О	оХ
765.	у’ + у2 + уУ-4г=0-
766.	y' + j/2=--±-.
767.	у' = у2 —ху —х, у\—ах +Ь.
768.	(х2у2 + ху 4-1 )dx — x2dy — 0, у\ = а/х.
769.	(у2— (2x4- l)f/4-x2-}-2x)dx—xdy—О, у^ = ах + Ь.
770.	у' -Ь Щ? — аУх == I» f/i == Лх 4~ & - 771. dy 4- (у2 — 2/x2)dx = 0.
772.	Проинтегрировать уравнение xdy — (х2у2 — (2х 4~ 4- 1)*/ -F l)dx, приведя его к уравнению Риккати с коэффициентом при квадрате неизвестной функции, равным единице.
773.	Проинтегрировать уравнение (4у2 — 4х2у 4- *4 4~ 4- х 4- 4)dx — dy — 0, приведя его к уравнению Риккати, не содержащему явно искомой функции.
774.	Проинтегрировать уравнение (х2у2 — у+ V)dx — —xdy = 0t приведя его к уравнению Риккати с коэффициентом при квадрате искомой функции, равным единице.
775.	Проинтегрировать уравнение (у2 — 2х2у 4- х4 4-4- 2х 4- 4)dx — dy = 0, приведя его к уравнению Риккати, не содержащему явно искомой функции.
776.	Найти общее решение уравнения Риккати, если известны три его частных решения.
777.	Свести уравнение Риккати ху'f(x)(y2— х2) — -у-0 к линейному уравнению, если частное решение его имеет вид у\ = ах 4- Ь.
Преобразовать уравнения Риккати с помощью указанных подстановок и указать тип полученных уравнений:
778.	у' 4- У2 — %х2у 4- х4 — 2х — 1 = 0, а(х) — у — х2.
779.	у' + !? + (хи— 1)/(х) = 0, у = 1/х4- 1/и(х).
780.	у' = (у 4- х)2 и(х} == у 4- х.
781.	у' — у2 4-(*2 4-4)!/ — 2х = 0, и(х) = у — х2 — 1.
782.	у' + ау(у — х)= 1, и(х) = у — х.
783.	у' 4- ху2 — х3у — 2х = 0, и(х) = х2 — у.
784.	х2(у' — у2) — ах2у 4- ах 4- 2 = 0, и(х) — ху — 1.
785,	х2(/ 4- ау2} = 6, и{х)~ху.
146
Определить тип дифференциальных уравнений и указать метод их интегрирования:
786.	{ху2+ x)dx + {y — xiy)dy = O. v
787.	у' + sin= sin
788.	(x2 — y2)dy = 2xydx. 789. у' = х/уу/х.
790. ^dx + {хеу — 2y)dy = 0.	791. х' 4- х = cos у.
792.	(1 +x2)dy-(2xy + {l x2)2)dx = 0. W
793.	(х + y)dx 4- (х + у — \)dy = 0.
794.	у' - 2ху = ЗхV.	795. у' = 2*-~Уу 4- 1.
796.	yf = у2-х24-1 .
797.	(1 4-хд/х24-^2)^4-(— I 4-V^ + l/2)	= 0.
798.	xdy 4- ydx 4- y2{xdy — ydx) =. 0.
799.	(xcos-^4-i/sin-^-)t/dx4-(xcos^- — ysin-^\xdy = 0.
Проинтегрировать уравнения с помощью указанных подстановок:
800.	(х — 2y3)dx 4- Зу2{2х — y3)dy = 0, «/3 = м(х). j 801. ху' 4“ * = хех~у, е* — и{х).
802.	у' 4- sin у 4- х cos у 4- х = 0» tg{у/2) = и{х).
803.	у = хи(х).
ху -ух1 — у2 4- х
804.	у' - ех~у 4- ех = 0, у = In и{х).
Используя указанную подстановку, преобразовать данные уравнения и указать тип и метод интегрирования полученных уравнений:
805.	у{х 4- in у) 4- {х — in у)у' = 0, 1п у — и{х).
806.	у' — cos {ay 4- bx), а 0, и{х) = ау 4- Ьх.
807.	у' 4- a sin {ay 4- bx) 4- 0 = 0, и{х) — ау-\- bx.
808.	у' = f{ax 4- by), и{х) = ах 4- by.
809.	у' = {~у]х2 -\-у2 — х)/у, x = r cos <р, у = г sin <р.
810.	ху3 — {х2у2 - у*)и' = 0, 1/3-п(х)
811.	хг/4- 1 4- (х2 — х3у)у' = 0, х= \/t.
812.	{ay3 4- bxy2 4- сху3) 4- {а^2у 4- 6,х3 4- Cix3y)y' = 0, х= \/t, у=Л/и.
813.	ау'{у)у' + Р{х)(р{у) = Q{x), и{х) = <р{у).
814.	xyf — //(In ху — 1) = 0, и{х) — ху.
147
„2
815.	ху' — y(x In у 4- 2) = 0, u(x) =—.
816.	xy' -|- sin (y — x) = 0, u(x) = x tg .
817.	(x2 4~ l)f/' 4" x sin У cos у — x(x2 4- I) cos2 у = 0, w W = tg y.
818.	Доказать, что линейное уравнение у'-±-Р(х)у = — Q(x) остается линейным при любой замене независимой переменной х = <р(/).
819.	Доказать, что линейное уравнение у' Р(х)у — = Q(x) остается линейным при любом линейном преобразовании искомой функции у = f(x)u 4~<pW.
820.	Доказать, что уравнение Бернулли у' 4- Р(х)у = = Q(x)f/'n не меняет типа при преобразовании y = f(x)u, где f{x) — любая заданная дифференцируемая функция.
821.	Доказать, что уравнение Риккати у' — Р(х)у2 4-4“ Q(x)y + Р{х) не меняет типа при любой замене независимой переменной х = <р(/).
822.	Доказать, что уравнение Риккати у' = Р(х)у2 4~ 4- Q(x)y-j- Р(х) не меняет типа при любом дробно-линейном преобразовании искомой функции
„ _ «(х)и + Р(х) а(х)и -i~ Ь(х) *
где а(х)6(х) — а(х)р(х) 0.
823.	Найти кривую, для которой площадь фигуры, ограниченной осями координат, самой кривой и ординатой любой ее точки, равна произведению квадрата ординаты этой точки и ее абсциссы.
824.	Найти кривые, для которых площадь сектора, ограниченного кривой, полярной осью и радиусом-вектором любой точки кривой, равна произведению полярных координат этой точки.
825.	Найти кривую, для которой площадь сектора, ограниченного кривой, полярной осью и радиусом-вектором любой точки кривой, равна четвертой степени полярного радиуса этой точки.
826.	Найти кривые, у которых любая касательная пересекается с осью ординат в точке, одинаково удаленной от точки касания и от начала координат.
827.	Найти кривую, проходящую через точку (4, 3), если угловой коэффициент касательной к ней в любой точке в два раза меньше углового коэффициента радиуса-вектора точки касания.
148
828.	Найти кривые, у которых площадь трапеции, образованной осями координат, ординатой произвольной точки кривой (прямой, параллельной оси ординат) и касательной кривой в этой точке, равна половине квадрата абсциссы данной точки.
829.	Найти кривую, для которой площадь фигуры, ограниченной осями координат, самой кривой и ординатой (прямой, параллельной оси ординат) произвольной точки кривой, равна кубу этой ординаты.
830.	Найти кривые, для которых отрезок, отсекаемый на оси абсцисс нормалью к кривой в произвольной ее точке, на а единиц больше абсциссы этой точки.
831.	Найти кривые, у которых сумма абсциссы и расстояния до начала координат любой точки кривой равна подкасательной кривой в этой точке.
29. ОСОБЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИИ В НОРМАЛЬНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Однозначная разрешимость задачи Коши. Функция f(x, у)> определенная на множестве Е cz R2, удовлетворяет на Е условию Липшица по аргументу у, если существует постоянная L, которую называют постоянной Липшица, такая, что для любых точек (х, у\) и (х, у2) из Е выполняется неравенство
!/(*»	К*, У2)\<Е\у1—у2\.
Отметим, что если функция f(x, у) непрерывна вместе с fy(x, У) на компакте V cz R2, то f(x, у) заведомо удовлетворяет условию Липшица по у на V.
Теорема Пикара—Л ин делёф а. Если функция f(x, у) непрерывна по совокупности переменных (х, у) и удовлетворяет условию Липшица по переменной у на области De R2, то задача Коши у' =f(x, у),	= £/о>
(*о, yo)£D, однозначно разрешима в некоторой окрестности U ТОЧКИ (хо, Уо).
Различные примеры, приведенные далее, показывают, что нарушение условий теоремы Пикара—Линделёфа часто приводит либо к неоднозначной разрешимости задачи Коши, т. е. к существованию у рассматриваемого уравнения более одного решения, удовлетворяющего данным начальным условиям, либо к неразрешимости задачи Коши.
149
Точки существования и единственности. Точки ветвления. Точка (х, у) £ D с R2 называется точкой существования дифференциального уравнения Р(х, y)dx -|--Ь Q(x> У)^У — 0, если через нее проходит хотя бы одно решение этого уравнения. Точка существования (х, у) Е обладающая окрестностью, внутри которой все решения уравнения, проходящие через эту точку, совпадают,
называется точкой единственности. В противном случае точка (х, y)£D называется точкой неединственности. Точка существования (х, у) 6 D, через которую проходят два решения с одной касательной и различающиеся в любой сколь угодно малой окрестности рассматриваемой точки, называется точкой ветвления (рис. 26).
Рис. 26
Решение уравнения Р(х, y)dx+Q(x, y)dy=^Oy график которого состоит из точек ветвления, называется особым.
Задача I. Проинтегрировать уравнение 2ху\~-уг dx + ydy = 0. Указать особые решения. Выделить решения, проходящие через точки Mt(l, I) и М2(1, 0).
Решение. Так как уравнение определено при |^| I, то в качестве области D берется полоса x£j— со, oof, уЕ[— I, 1|. Внутри полосы уравнение приводится к уравнению с разделенными переменными
2xdx -f- -У- dy — О-1-»а
Общее решение его имеет вид х2 — у! — у2 = С, С Е R. Ойо является общим решением и для исходного уравнения в D. Функция у = I и у s= — I также являются решениями исходного уравнения. Отметим, что эти решения не могут быть получены из общего нн при каком C£R. Любая точка (х0, 1), принадлежащая кривой у—1, будет принадлежать также и одной из кривых семейства х3 —	—у2 = С,
а именно кривой х* — yl — у* ~ х2. Таким образом, через каждую точку (х0, 1), *oER> проходят две интегральные кривые исходного уравнения, следовательно, точки прямой у=1 —это точки неединственности. Покажем, что они являются точками ветвления, для чего определим угловые коэффициенты касательных к интегральным кривым в точке (х0, I). Угловой коэффициент прямой у 1 равен нулю. Угловой
150
коэффициент каждой интегральной кривой семейства х2 — д/i ~-у* = С определяется из дифференциального уравнения с разделенными переменными
(1у____~х — У3
dx ~~ у
Тогда t/'(xo) = O. Таким образом, точки (х0, I), являются точками ветвления, а прямая у 1 — особым решением уравнения Исследование точек прямой у ~ т. е. точек (хп, — 1), хо g R. проводится аналогично Прямая у= — \ также является особым решением исходного уравнения.
Через точку M\(l, I) проходят две интегральные кривые </=1 и у =* хд^ — х* уравнения, через точку Л/а(1, 0) — одна интегральная кривая х =₽ \/| — у2.
Огибающая семейства решений. Общее решение уравнения Р(х, y)dx + Q(xt y)dy = 0 имеет вид Ф(х, у, С) == = 0. При каждом фиксированном С это соотношение задает интегральную кривую, т. е. данное соотношение задает однопараметрическое семейство интегральных кривых уравнения. Огибающей однопараметрического семейства кривых Ф(х, у, С)==0 называется кривая у~ = <р(х), которая в каждой своей точке касается одной из кривых семейства, причем в разных точках — различных кривых. Таким образом, если Ф(х, у, С) — Ь— общее решение уравнения, то огибающая у = ф(х) является особым решением этого уравнения, так как состоит из точек ветвления. Система уравнений
( Ф(.г, у, С) == 0, 1Ф£(*. у, С) —0 определяет дискриминантные кривые, к которым принадлежит и огибающая. Отметим, что дискриминантная кривая будет огибающей, если кривые семейства не имеют на дискриминантной кривой особых точек, т. е. точек, в которых ФГ Фу2 = 0.
Задача 2. По виду общего решения (х — С)3 4- у2 = 4. х С, уравнения уу' = д/4 — у3 исследовать наличие особых решений.
Решение Определим дискриминантные кривые заданного семейства
(х - СУ 4- у' = 4, -2(х-С) = 0
=>£/2 = 4,
т. е у = 2 и у = — 2, Подстановкой в уравнение убеждаемся, что найденные дискриминантные кривые являются решениями приведенного
151
863.	у' — sin у 4- cos х.
864.	у' —~\JI 4- х2 у2 4- У sin х 4~ cos х.
865.	Может ли линейное уравнение у1 — р(х)у 4- q(x), где р(х) и q(x) — непрерывные функции для всех x£R, иметь особое решение?
866.	Может ли уравнение Бернулли у' = Р(х}у 4-4- q(x)ya, где функции р(х) и q(x) непрерывны на R и а £ R, иметь особое решение?
867.	Может ли уравнение Риккати у' = р(х)у2 4-+ Q(*}y + г(х), где функции р(х), q(x)t г(х) непрерывны на R, иметь особое решение?
ЭО. СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ
Истечение жидкости из резервуара. Заполненный жидкостью резервуар имеет в.дне отверстие, через которое вытекает жидкость. Скорость истечения жидкости определяется формулой v = c-\j2gh, где с — постоянная, зависящая от типа жидкости (для воды, например, с = 0,6); g — ускорение свободного падения; h — высота уровня жидкости над отверстием.
Задача 1. Коническая воронка высотой Н с углом раствора при вершине, равным а (рис. 28), заполнена водой. Вода вытекает
через отверстие, площадь которого о Найти время, за которое вся вода вытечет из воронки.
Решение Пусть в момент времени t высота уровня жидкости над отверстием h h(l). Предположим, что за время dt уровень воды в воронке понизится на dh. Тогда для малого dt объем вытекшей жидкости будет равен объему цилиндра высотой dh и радиусом х = tg-y • h, т. е. dV =
= — л/i2 tg2 dh За это же время dt че-рез отверстие вытечет объем воды, равный объему цилиндра, площадь основания
Р и с. 28	которого <з и высота vdt = cdt-\[2g h. т. e.
dV ~ cdta y]2gh. Приравнивая полученные выражения, приходим к дифференциальному уравнению
—лй3 tg2 -~dh = со -yjlghdt.
154
Это уравнение с разделяющимися переменными. Используя начальные данные = получаем математическую модель (задачу Коши) рассматриваемого процесса:
—лИ2 tg*---dh = со-yfiighdt, Я|/_0 = Я.
Решив задачу Коши, будем иметь
_ 2Л tga(ci/2) ^yS/2_ft®/!}
Время T, за которое жидкость вытечет из воронки, определяется соотношением
Г = -1 л
868.	Вода вытекает из отверстия в дне цилиндрического сосуда. Высота цилиндра Я, площадь основания S, площадь отверстия а. Составить математическую модель истечения воды и определить время, за которое вытечет вся жидкость.
869.	В дне котла, имеющего форму полушара радиусом 1 м и наполненного водой, образовалась щель площадью 0,25 см2. Найти время истечения воды из котла.
870.	За какое время вода, заполняющая полусферическую чашу диаметром 2 м, вытечет из нее через круглое отверстие радиусом 0,1 м, вырезанное в дне?
871.	Высота цилиндрического резервуара с вертикальной осью равна 6 м, а диаметр 4 м. За какое время вода, заполняющая резервуар, вытечет из него через имеющееся в дне круглое отверстие радиусом 1/12 м?
872.	Длина цилиндрического резервуара с горизонтальной осью равна 6 м, диаметр 4 м. За какое время вода, заполняющая резервуар, вытечет из него через имеющееся в дне круглое отверстие радиусом 1/12 м?
873.	Вертикально стоящий резервуар имеет в дне небольшое отверстие. Предполагая, что скорость истечения воды пропорциональна давлению, найти, за какое время вытечет половина первоначального объема воды, если известно, что 1/10 этого объема вытечет за первые сутки.
874.	В резервуар глубиной 4 м, поперечное сечение которого — квадрат со стороной 6 м, поступает вода со скоростью 10 мумии. За какое время резервуар будет наполнен, если в то же время вода вытекает из него через имеющееся в дне квадратное отверстие со стороной 1/12 м?
155
Распространение теплоты. Если на каждой из поверхностей, ограничивающих какое-либо тело, поддерживать постоянную температуру, то по истечении некоторого времени тело приходит в состояние» при котором температура в каждой его определенной точке постоянна (не зависит от времени). Если температура Т является функцией только одной координаты, например то в этом случае, согласно закону Ньютона для теплопроводности, количество теплоты, проходящее за 1 с через площадку А, перпендикулярную к оси Ох,
Q=-kA“^-dx
где k — постоянная величина, называемая теплопроводностью данного вещества.
Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха: dT/dx— —k(T — /), где Т —температура тела в момент времени т; t — температура воздуха; k — положительный коэффициент пропорциональности.
Задача 2. Полый железный шар (А = 58,66 Дж/(м’С«К)), внутренний радиус которого 6 см, а внешний 10 см, находится в стационарном тепловом состоянии, причем температура на внутренней его поверхности 200 ttC, а на внешней 20 °C. Найти температуру на расстоянии г (6 см < г <10 см) от центра шара и количество теплоты, которое шар отдает в окружающую среду за I с.
Решение. Температура тела на поверхности Л, представляющей собой сферу радиусом г, где 6 см <. г <; 10 см, зависит только от г, Т = Г(г). Площадь поверхности Л равна 4лг2. Количество теплоты, проходящее через поверхность Л, определяется законом Ньютона
Q= -4nr2fe~. аг
Поскольку источников теплоты между поверхностями шара нет, приходим к следующему иыводу; через поверхность Л для любого г проходит одно н то же количество теплоты, т. е. Q= const. Интегрируя записанное выше уравнение, получаем 4лАТ = Q/r Л- С. Подставляя сюда Г=20°С. г=10>10-й м и Т = 200 °C, г = 6-Ю-2 м, находим: С = - I ОООлА, Q = 10 800лА, Т = 2700/г - 250. Тогда Q = 108лй = = 19 892,77 Дж/с.
875.	Паропроводная труба диаметром 20 см защищена слоем магнезии толщиной 10 см. Теплопроводность магнезии k =0.71 Дж/(м«С’К). Допустив, что температура трубы 160 °C, а внешней поверхности слоя магнезии 30 °C, найти распределение температуры внутри покрытия,
156
а также количество теплоты, отдаваемое трубой в окружающую среду в течение суток на протяжении трубы в 1 м.
876.	Толщина кирпичной стены 30 см; k = = 0,63 Дж/(м • с • К). Установить, как зависит температура от расстояния от точки до наружного края стены, если температура равна 20 °C на внутренней и 0 °C на внешней поверхности стены. Найти также количество теплоты, которое стена площадью 1 м2 отдает в окружающую среду в течение суток.
877.	Согласно закону Ньютона, скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Если температура воздуха равна 20 °C и тело в течение 20 мин охлаждается от 100 до 60 °C, то через какое время температура его понизится до 30 °C?
878.	Определить время совершения преступления, если в момент обнаружения температура тела равнялась 31 °C, а час спустя составляла 29 °C (считать, что в момент смерти человека температура его тела равна 37 °C, а температура воздуха 21 °C).
879.	Температура вынутого из печи хлеба в течение 20 мин понижается от 100 до 60 °C. Температура окружающего воздуха 25 °C. Через какое время с момента начала охлаждения температура хлеба понизится до 30 °C?
Движение материальной точки. При решении задач динамики материальной точки используют второй закон
Ньютона F = гааГ
Задача 3. Материальная точка массой m с начальной скоростью йо движется прямолинейно. На точку действует сила сопротивления F, направленная в сторону, противоположную направлению движения, и по модулю равная 1г\1и (k—размерный постоянный коэффициент). Определить время Л от начала движения точки до остановки и путь $, пройденный точкой.
Решение. Примем за ось Ох прямую, вдоль которой происходит движение, а за начало координат — начальное положение точки На точку действует только одна сила F, следовательно, дифференциальное уравнение движения точки имеет вид
157
d2x dv
= и уравнение
Так как точка движется по прямой, то dr
принимает вид
dv mdt~
Его общее решение
~mv2/3 =s= — fet + Ci.
/=0 u = o0. to Ci=—Следовательно,
Поскольку при v2/3 =	— 2kt /(Зт). Так как в момент Л (остановки точки) и = 0,
то отсюда следует, что ti =	Уо/3. Для того чтобы найти х как
функцию t, полученное частное решение исходного уравнения перепишем в виде
dx _ dt~
„/3 _2kt_ М/2
0 Зт )
Проинтегрировав его, будем иметь
Зт
5k
х =
’ 2/3 2kt Vo/3--^— Зт
3/п
Так как при / = 0 х = 0, то Cz — Таким образом, Зт s/з Зт f 2/з	\5/3.
Х=5Г5'-
Х = —
Зт
Следовательно, в момент остановки t = h пройденный путь
880.	Вычислить путь, пройденный поездом, и время его движения до полной остановки, если замедляющая сила есть линейная функция скорости.
881.	Найти скорость v движения материальной точки массой т при свободном горизонтальном полете под действием первоначального толчка и силы сопротивления среды Г, модуль которой в зависимости от скорости движения v дается формулой F = — k\va — k2v, где kit k2l а — размерные постоянные.
882.	Материальная частица массой т падает в среде, сопротивление которой пропорционально квадрату скорости частицы (km — коэффициент пропорциональности). Найти закон изменения скорости от времени. Показать,
158
что при /-> + оо скорость приближается к ^g/k, где g — ускорение свободного падения.
883.	Материальной точке, находящейся на поверхности Земли (радиус Земли /?), сообщена начальная вертикальная скорость ио =~y]2gR (вторая космическая скорость). Определить закон движения точки (силой сопротивления воздуха пренебречь).
884.	Пуля, двигаясь со скоростью ио = 400 м/с, пробивает стену толщиной Л = 20 см и вылетает из нее со скоростью сц = 100 м/с. Полагая силу сопротивления стены пропорциональной квадрату скорости движения пули, найти время Т движения пули в стене.
885.	Судно водоизмещением 12 000 т движется прямолинейно со скоростью vo = 20 м/с. Сопротивление воды пропорционально квадрату скорости судна и равно 36 000g Н при скорости 1 м/с. Какое расстояние пройдет судно после остановки двигателя, прежде чем скорость v станет равной 5 м/с?
Растворение веществ. Скорость растворения твердого вещества в жидкости при постоянной температуре пропорциональна наличной в данный момент массе нераство-ренного вещества и разности между концентрацией насыщенного раствора и концентрацией в данный момент.
Задача 4. Нерастворимое вещество содержит в своих порах хд = = 10 кг соли. Подвергая его действию Vo = 90 л воды, установили, что в течение 1 ч растворилась половина содержавшейся в нем соли. Сколько соли растворится в течение того же времени, если объем V воды удвоить? Концентрация насыщенного раствора равна 1/3.
Решение. Пусть х = х(/) — масса нерастворенной соли в момент Бремени t. Процесс растворения веществ описывается уравнением m — х \ ‘ ~ )
dx ~dt
где k — коэффициент пропорциональности; m — первоначальная масса соли.
В условиях рассматриваемой задачи имеем задачу Коши dx . / I 10 — х
= Ю» 1 = 0
dt \ з 90 X	i 2Й//9
решение которой —-	=
X ~т“ Z и	о
Для определения коэффициента k учитываем, что в течение I = I ч 9	3
растворилось х=хй/2 соли. В результате получим й= — 1п-=-.
2	5
Если V — 2Vo, то задача Коши имеет вид
159
dx _ 9	3	10— x\
dt “2 П5 **\3	180 / X
Ее решение представимо в виде получаем, что осталось х = 5,2 кг соли.
= 10.
SZ/4
. Полагая 1= 1 ч,
886.	Нерастворимое вещество, содержащее в своих порах 2 кг соли, подвергается действию 30 л воды. Через 5 мин 1 кг соли растворяется. Через сколько времени растворится 99 % первоначальной массы соли, если концентрация насыщенного раствора равна 1/3?
887.	Из некоторого химически недеятельного вещества добывают серу, растворяя ее в бензоле. Найти, сколько серы можно растворить в течение 6 ч, если в данном веществе содержится 6 г серы и если взято 100 г бензола (масса, в которой при насыщении растворяется 11 г серы). Известно, что коэффициент пропорциональности k = — —0,42 • 10“4 м3/ (с • кг).
888.	Дно резервуара вместимостью 0,3 м3 покрыто смесью соли и нерастворимого вещества. Допуская, что скорость растворения соли пропорциональна разности между концентрацией в данный момент и концентрацией насыщенного раствора (равной 1/3) и что данная масса чистой воды растворяет 1/3 кг соли в 1 мин, найти, сколько соли будет содержать раствор по истечении 1 ч.
889.	В резервуаре вместимостью 0,1 м3 находится рассол, содержащий 10 кг растворенной соли. В резервуар вливается вода со скоростью 3 • 10~3 м3/мин, а из него вытекает с такой же скоростью смесь, причем концентрация поддерживается однородной (например, посредством перемешивания). Сколько соли останется в резервуаре по истечении 1 ч?
890.	В резервуаре находится 0,1 м3 рассола, содержащего 10 кг растворенной соли. В резервуар вливается вода со скоростью 3-10“3 м3/мин, а из него вытекает смесь со скоростью 2 • 10~3 м3/мин, причем концентрация поддерживается однородной посредством перемешивания. Сколько соли содержится в резервуаре по истечении 1 ч?
891.	Воздух в помещении вместимостью V — 10 800 м3 содержит 0,12 % СОг- В помещение равномерно поступает чистый воздух, содержащий 0,04 % СО2. Сколько кубических метров воздуха ежеминутно поступает в помещение, если по истечении 10 мин содержание СО2 падает до 0,06 %? Найти закон изменения объема СО- с течением
160
времени. (Указание. Считать, что в единицу времени в помещение поступает q м3 воздуха).
892.	Во фляжку вместимостью 1 л по одной трубке поступает кислород, а по другой вытекает смесь его с содержавшимся во фляжке воздухом^ Допуская, что концентрация смеси поддерживается равномерной и воздух содержит 21 % кислорода, построить математическую модель рассматриваемого процесса.
Математическая модель биологической популяции. Скоросоть роста популяции представляет собой разность между рождаемостью и смертностью ее представителей в момент времени t. При ограниченных пространстве и пищевых ресурсах рождаемость пропорциональна количеству особей, а смертность — квадрату этого количества. Математическая модель роста популяции в этом случае описывается дифференциальным уравнением
= рХ - 6X2,
dt
где х(/) — количество особей в популяции в момент времени t (размер популяции); 3, 6 — соответственно средняя рождаемость и средняя смертность в данной популяции. Приведенное уравнение называется логистическим, а функция x(t) описывает логистический рост популяции. При логистическом росте популяция с течением времени приближается к предельному (равновесному) размеру, определяемому как lim x(t).
t— -|- со
893.	Определить равновесный размер популяции, если на 1000 особей в единицу времени 100 особей рождается, а гибнет одна. Предполагается при этом, что начальная численность популяции равна 10 особям. Построить график логистической кривой.
894.	Для популяции х(/), изменяющейся согласно уравнению логистического роста, доказать, что скорость роста максимальна тогда, когда популяция достигает численности, равной половине равновесного значения.
895.	Популяция бактерий возрастает от начального размера в 100 единиц до .равновесного размера в 100 000 единиц. Предполагается, что в течение первого часа она увеличилась до 120 единиц. Считая, что рост популяции подчиняется логистическому уравнению, определить ее размер в момент времени /.
.^6 Зак 2708	ЦП
&
896.	Проинтегрировать модифицированное логистическое уравнение
I -2.) dl	\ х /
для р= 100, 6=1, т — 10. Построить графики х(/) для t >» 0 при х(0) = 20 и х(0) = 5.
897.	Рост, выживание и деление клеток определяются потоком питательных веществ через оболочку клетки. Это означает, что на ранних стадиях клеточного роста увеличение массы клетки в момент времени t пропорционально квадрату радиуса клетки, а масса клетки пропорциональна его кубу. Построить дифференциальное уравнение, описывающее изменение массы клетки в зависимости от времени /, если начальная масса клетки равна а.
Контрольная работа 3
Вариант I
1.	Указать тип и метод интегрирования дифференциальных уравнений:
a)	(2ху2 4- Зх2 4- 1 /х2 4- 2Х2/y^dx -f- (2х2у 4- Зу2 + + 1 /у2 — 2x3/y3)dy = 0;
б)	ху(1 4- y2}dx 4- (1 4- *2)dy = 0;
в)	2xydx — (х2 — yjdy’ = 0;
г)	у' ctg х — у = 2 cos2 х ctg х;
Д) **У2У' + *У3 == а2, а Е R;
е) у'= 4у2 — 4х2у 4-х4 4-* 4“ 4; ж) ух'— 2х 4-у2 = 0.
2.	Проинтегрировать уравнение, установив вид интегрирующего множителя:
(х3( 1 4- 1п х) 4- 2y)dx 4- х(3у2х2 — 1 )dy = 0; ц = ц(х),
Н ==
3.	Преобразовать уравнение у(х4~ In у)4~(х— — 1пу)у' = 0 с помощью подстановки In у = г\. Указать тип и метод интегрирования полученного уравнения.
162
Вариант II
1.	Указать тип и метод интегрирования дифференциальных уравнений.
а)	ху(1 + y2)dx — (1 4-х2)Ж/ = 0;
б)	в) +	2xydy==Qt
{x-yY
г)	(4 — х^у' -|- ху — 4;
Д) У' tg х 4- 2у tg2 х = ay2, а £ R;
е) ху' = х2у2~ t/4- 1; ж) dx4(х4~y2)dy = 0.
2.	Проинтегрировать уравнение, установив вид интегрирующего множителя:
/(х — y)dx 4- (1 — xy2)dy = 0; р = р(х), g = p(t/).
3.	Преобразовать уравнение 4/' = 1 4-е*+2у с помощью подстановки т] = е~2у. Указать тип и метод интегрирования полученного уравнения.
X. УРАВНЕНИЯ В ОБЩЕЙ ФОРМЕ
31. ПРИВЕДЕТЕ УРАВНЕНИЙ В ОБЩЕЙ ФОРМЕ К УРАВНЕНИЯМ В НОРМАЛЬНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка для определения функции у = у(х), х£ R, в общей форме имеет вид F(x, у, у') — 0, где F — заданная функция на области Е cz R3. Это уравнение называют также уравнением, не разрешенным относительно производной.
Непрерывно дифференцируемая функция у = z/(x), х £ /, обращающая уравнение в общей форме в тождество на /, называется решением этого уравнения.
Если уравнение, разрешенное относительно производной у' = f (х, у), (х, y)^D<=. R2, в каждой точке области D задает единственное значение у', т. е. единственное направление касательной к интегральной кривой, проходящей через точку (х, у), то уравнение, не разрешенное относительно производной Е(х, у, у')~0, каждой точке (х, y)^D — Щ)оХуЕ ставит в соответствие, вообще говоря, не одно значение у', т. е. через точку (х, у) может проходить несколько интегральных кривых с различными касательными.
Задача Коши для уравнения в общей форме имеет вид
Е(х, у, у') = °» £/(хо) = 4/0. 4/'(хо) = 4/6, Ях'о» Уо, Ус) — ®-
163
Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если точка (%о, уо, у'о) € С Е такова, что F(xq, yGt уо) = 0 и функция F непрерывно дифференцируема в окрестности этой точки, причем //о, z/o)¥=0, то задача Коши имеет единственное решение у = у(х).
Условие уг{хо) = у'о задает направление касательной к интегральной кривой у = у(х) в точке (х0, z/o). Решение у = у(х) уравнения в общей форме является частным решением, если в каждой его точке сохраняется единственность решения задачи Коши.
Наряду с частными решениями могут быть особые решения, графики которых состоят из точек ветвления, т. е. особые решения — это огибающие однопараметрического семейства интегральных кривых. Подозрительной на особое решение является дискриминантная кривая, определяемая системой
Ф(х, у, С) = 0, У> с) = О,
где Ф(х, у, С) = О— общее решение уравнения.
Так как в точках особого решения нарушаются условия теоремы существования и единственности, то кривую, подозрительную на особое решение, можно найти исключением у' из системы
I F(xt у, у') = О,
I У> /) = о.
Одним из методов интегрирования уравнения Г(х, у, у') —0 является разрешение его относительно производной у'. В результате получается одно или несколько уравнений вида y' — fk(xt у), каждое из которых интегрируют отдельно.
Полное решение уравнения в общей форме будет, вообще говоря, объединением полных решений полученных уравнений, разрешенных относительно производной. Указанным методом разрешают, как правило, уравнения, алгебраические относительно производной, т. е. уравнения вида
у)(у')п 1+ а»(х, у)у' -|- а0(х, #) = 0, являющиеся уравнениями первого порядка л-й степени.
1Ь4
Задача I. Проинтегрировать уравнение (у')2 = у
Решение. Данное уравнение распадается на два: у' = ~ -у/у и у' =—~\/у Общее решение первого уравнения есть 2~\[у = ==х4-С|, второго 2~\[у = — х + С2. Тогда общее решение исходного уравнения представимо в виде 4у — (х— С)2 и определяет семейство парабол с вершинами на осн Ох. Для отыскания особого решения исключим у' из системы
(у')2 — У = О,
21/= 0.
Решением данной системы является прямая у = 0. Очевидно, что у(х)=0 является решением рассматриваемого уравнения. Так как через каждую точку (С, 0) проходят три решения ~у/у = (х 4- С)/2, — х 4* С)/2 и у = 0 с горизонтальной касательной, то решение у = 0 является особым решением исходного уравнения. На рис. 29 штриховой линией изображен график склеенного решения.
Задача 2. Проинтегрировать уравнение у'* — ху'1 — 4уу* 4- 4*У = 0.
Решение. Данное уравнение приводится к уравнению {у' — — 4у) (У' — х) = 0. которое распадается на три у' = х, у' = 2 -\[у, у' = — 2\[у. Решая полученные уравнения при уу^О, имеем: у = х2/2 + С, = х + С, — -\/у = х -Ь С. С С R- Общее решение заданного уравнения можно записать в виде
{у — х2/2 — С) (у/у — х — С) (-\/у + х 4- С)= 0
Функция z/ = 0 также является решением исходного уравнения. Это особое решение дифференциального уравнения, так как интсграль ные кривые представляют три однопараметрических семейства кривых, причем, как видно из рис. 30, прямая t/ = 0 является огибающей двух из этих семейств.
Уравнение в общей форме можно свести к уравнению, разрешенному относительно производной, продифферен
165
цировав по х исходное уравнение. Полученное уравнение F'x F'vy' F'y-у" == 0 разрешается относительно у". Неудобство этого метода состоит в том, что он повышает
порядок уравнения, а следовательно, расширяет множество решений.
Задача 3. Проинтегрировать уравнение (/)’ 4- У' = 1.
Решение. Продифференцировав исходное уравнение по х, получим у'(у" 4- у} = 0. Это уравнение распадается на два: у' = 0 и у" 4- у — 0. Общее решение первого уравнения у = С, второго у — = Ci cos х 4- С2 sin х. Полученное множество решений будет шире множества решений исходного уравнения. Выделим из множества те функции, которые удовлетворяют исходному уравнению Подстановка У = С в исходное уравнение дает С2=1. Следовательно, решениями исходного уравнения будут прямые у = I и у — — I. Подстановка У = Ci cos х 4- С3 sin х дает С?4-С1=1. т е. С, = cos С, C2 = sinC. Следовательно, решениями исходного уравнения являются функции у = sin (х 4- С). Таким образом, полное решение исходного уравнения имеет вид
у — sin (х 4- С), С 6 R, У = С
!/ = -I
Решения у = I и у = — I — особые решения, так как являются огибающими семейства у = sm (х 4- С).
Разрешив уравнения относительно у', построить полные решения:
898. у* 4- ху — у2 4- ху'.	899. уг 4- (х 4- 2)е^ = 0.
900. у^ — 2ху' — 8х2.	901. у'(2у — у') = у2 sin2 х.
902.	= — у\
903.	у^ — уу'2 — х2у' 4- х‘2у = 0.
166
904.	х2у' 4 Зхуу' -j- 2tz2 = 0.
905.	/-±У' = О.
*тл
906.	у'2 — 4у~ 0.	907. у'2 — ху/с? — 0
908.	у'2 — х2у2 = 0.
909.	у'3 — (х2 + ху 4 у2) (у*3 — хуу'} — х3г/3 = 0
Найти интегральные кривые, проходящие через задан ную точку М(хо, {/о):
910.	у2у^ = а2, М(0, 0)
911.	/+3^-/+2^ = 0, М(1, 1); М(1, 0).
912.	уу* + 2ху'— у = 0, М(1,0);
913.	(1 —х2)(у'3 4- 4ху'2) = у' 4- 4х, Л1(1, 0)
914.	у2 у'2 — 2хуу' + 2у2 — х2 = 0, М(1, I), ЛКО, 0); М(1, 0).
32. МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА
Одним из методов интегрирования уравнений F(x, у, у') = 0, не разрешенных относительно производной, является метод введения параметра. Предположим, что известны функции x = x(w, у), у = у(и, v), р = р(и, у), для которых
F(x(u, v}, у(и, о), р(и, v))	0,
и и v — новые переменные. Используя основное соотношение dy = y'dx, которое в данном случае имеет вид dy(u, v) = p(u, v)dx(u, и),
где p(u, v) = y'Xi уравнение F(x, у, у') — 0 сводим к уравнению, разрешенному относительно производной:
du /рдх \ //ду дх \ du \ ди ди //	"ди /‘
Если уравнение F(x, у, у') = 0 имеет вид у — <р(х, у'), т. е. разрешено относительно у, то, полагая у' =р, полу чаем у = <р(х, р). Вычисляя отсюда dy и используя основ ное соотношение, имеем q'xdx 4- <p₽dp — pdx Отсюда dx _____________________ q>p
dp P —	’
167
если р — <р'х ф 0. Полученное уравнение есть уравнение, разрешенное относительно х'. Решением его является функция х — х(р, С). Решение исходного уравнения получаем в параметрической форме: х = х(р, С), у =• = <р(х(р, С), р). Случай р — (jpx = O исследуется отдельно, так как могут быть потеряны решения.
Если уравнение F(x, у, у') — 0 разрешено относительно х, т. е. имеет вид х — ф((/> у'), то, полагая у' — р и используя основное соотношение dy — pdx, получаем
dy = pWydy -f- %dp).
Задача 1. Проинтегрировать уравнение у = х(ер' -г у').
Решение Полагая у' = р, получаем у = х^ 4- р), откуда dy =	-|- p)dx 4- х(ер -j- I ^dp. Основное соотношение в этом случае
приводит к уравнению с разделяющимися переменными epdx-\-x{ep-\-4-i)dp = 0, общим решением которого будет х = С ехр (—р 4-Общее решение исходного уравнения в параметрической форме представимо в виде
х = Сехр(—р4-е р), у = Cle” 4~ р)ехр(—р 4- е р).
Задача 2. Проинтегрировать уравнение у'' 4- 4ху' — 2у 4- 2х2 = 0.
Решение. Данное уравнение линейно относительно у. Разрешив его относительно у, получим у = х2 + 2ху'+ y'J/2. Полагая у'=р, имеем у = х2 4- 2хр 4- р2/2, откуда dy = (2х 4- 2p}dx (2х 4- p)dp. Используя основное соотношение» приходим к уравнению pdx = (2x~\-4- 2p)dx 4- (2х 4- p)dp, тек уравнению (dx 4- dp) (2х 4- р) = 0. Общее решение уравнения dx 4- dp = 0 имеет вид х 4- р = С, т. с. р = С — х. Подставляя полученное значение р в выражение для у, получаем общее решение исходного уравнения х2 4- 2у = С(С 4- 2х). Случай 2х4-р = 0 приводит к решению у——х2, которое является особым. Таким образом, полное решение исходного уравнения записывается в виде
Г л2 + 2р = С(С4-2х).
[ У 4- х2 = 0.
Частными случаями уравнения Г(х, у, у') = 0 являются неполные уравнения F(x, у') = 0, F(у, у') = 0 и F(y') = 0.
Уравнение F(x, y') — Q интегрируется путем введения параметра х —у' = p(t) так, чтобы	р(1))==0.
Тогда общее решение уравнения в параметрической форме
!
х = Ф(О. У = $ P^WMdi: + С. и
168
Если существует %о€ R> такое, что
lini f(xo, =
/ — Ь°°
(•/'--)
то x~Xq является решением уравнения F(x, у') — 0. Это решение может быть и особым.
В случае F(y, у') = 0 подбираем у = ср(х), у' ~р(1) так, чтобы F(q>(t\ p(t)) = Q. Тогда общее решение рассматриваемого уравнения в параметрической форме
t
to
Уравнение F(y, y') = 0 может иметь особые решения вида у = уо, если F(yo, 0) — 0
Неполное уравнение F(y') = 0 имеет общее решение вида	если уравнение F(p) = 0 имеет изоли-
рованные корни. Общее решение рассматриваемого уравнения при условии, lim F(y') = 0 дополняется решениями (</ —— оо) вида х = С.
Задача 3. Проинтегрировать уравнение х = у' In у'.
Решение. Введем параметр, положив у' = р Тогда х = р In р, откуда dx = (ln р + \)dp. Учитывая, что dy = pdx, имеем dy = p(In р 4* -}- i)dp Тогда
р = jr(ln т+ l)dT н- C| = у In Р 4- у + с. I
Общее решение исходного уравнения в параметрической форме
х — р In р, 2	2
i,=₽.inp+er+c
Задача 4. Проинтегрировать уравнение у/~\ I -j-i/'" = 2.
Решение. Введем параметр, положив j/' = sh/, тогда у = = 2 д/1-f-sh2/ или p = 2ch/. Учитывая, что dy — sh t dx, имеем 2 sh fdt = sh Idt. Отсюда 2dt = dx при условии sh t =/=0, t. e. 2t = .t-j-C Общим решением уравнения в явной форме будет p = 2ch-^t—
Проверим условие sh / = 0 или у' = 0. Решением полученного уравнения служит функция у = 2. Так как кривые семейства у = о , х Т* £	f
= 2 ch —— не имеют особых точек, то система
1ОУ
' О I * Н- С
У = 2 Ch —— < л z
определит огибающую семейства. Этой огибающей служит прямая у = 2. Следовательно, решение </ = 2 — особое решение- уравнения. Полное решение исходного уравнения запишется следующим образом:
Г о . х + с « = 2ch~2—.
_У = 2.
Задача 5. Проинтегрировать уравнение у' -4- sin у' — tg 2у'.
Решение Решением уравнения у' -f- sin у' — tg 2у' = 0 служит У' = а*, где а* — изолированный корень. Тогда у = а*х 4- С, т. е. = —С)/х. Следовательно, общее решение уравнения имеет вид
!Ci£+sinsji£=tg2«zL£. X	X Ь X
Задача 6. Световой луч выходит из точки Д(0, уо). Используя закон преломления света
cos ai cos а2
------—------= const vi v2
(здесь ось аг — углы наклона к оси Ох касательных в любых двух точках траектории луча, ylt и2— скорости луча в этих точках), найти уравнение формы луча в оптической среде, в которой скорость луча обратно пропорциональна ординате.
Решение Возьмем на луче произвольную точку М(х, у) (рис. 31). Полагая eq = а, щ = v, где а — угол наклона касательной, a v — ско-
рость луча в этой точке, на основании закона преломления света будем иметь, что —-— = С (С — некоторая постоянная, не зависящая от выбора точки М). По условию задачи v = k/y, где k — коэффициент пропорциональности. Следовательно, у cos а, = kC или у cos а = а, где a = kC.
170
Зная, что i/cos а. = д/1 + tg2 а ® д/1 +!/' . получаем дифференциальное уравнение у = а~\]\ -|- t/ • Положим р = у' = sh/ Тогда у = = ад/1 4- sh2 / = a ch /, a dx = dy/p Так как dy = ashtdl и р = sh t, то dx — adt и х = at — С Общее решение в параметрической форме имеет вид х — at — С. у = a ch i. Исключая параметр /, получаем общее , х 4~ С ..
решение в явном виде; у = a ch —-— Из начального условия у(О) — уо находим, что С = a Arch (уа/а). Следовательно, уравнение формы луча в оптической среде имеет вид
/ X	у0\
у = a ch I — + Arch — I \й	а )
Путем введения параметра построить полное решение следующих уравнений:
-915. ху'‘ = I +</'.	916. у = у,г/2 + 1пу'.
.917. х = 1/(1 +у'').	918. х=у'4-1п/
919. х — у' sin у' + cos у'. 920. у = х у' — Iп у'
922. х = In у' + sin у'
924. у' In у' — у = 0.
926. у' = еу'/у.
928. у = 2ху' + У2У'3-
930. 5у+у'* = х(х + у').
932. у'2 — 2ху' = х2-4у.
921. arcsin— = у'-У'
923. у' — arctg-^-_______________у'
925. y-y/l +y's = y'.
927. у'=еху'/у.
929. х~у'2 = хуу' 4- 1 •
931. 2хи' — у = у' !п уу'.
933. у' - 7у' 4- 6 = 0.
934. у'ъ — (а 4- b 4- I)*/'2 4- (flb 4- а 4- b)y' —ab=0
935. у'3 — 4хуу' 4- 8у2 = 0.
936. у = у'2 — у'х 4- х2/2.
33. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И ИЛЕРО
Уравнение вида у = хф(./) 4~ называется уравнением Лагранжа. Введение параметра у' = р и использование основного соотношения dy = y'dx приводит его к линейному относительно х уравнению
dx _ х ф' . у' dp р — Ф ' р — ф *
Для р = a,k, таких, что р — ф(р) = 0, получаем дополнительные решения вида у = а*х 4~ С.
Уравнение вида у = ху' 4- <р(*/) называется уравнением Клеро. Оно является частным случаем уравнения Лагранжа. Вводя параметр у' — р, получаем у = хр 4- ф(р)-
171
Используя основное соотношение dy = y'dx, приходим к уравнению (я 4-(p'(p))tZp = О, откуда dp —0 и я 4-4“ ^(р) = 0- Таким образом, у — хС 4- ф(С) — общее решение, а система х 4- <р'(р) — 0, у == хр 4- <р(р), вообще говоря, приводит к особому решению уравнения Клеро. Отметим, что общее решение уравнения Клеро представляет семейство прямых, особое решение — огибающую семейства.
Задача 1. Проинтегрировать уравнение у — 2ху' у'*
Решение Это уравнение является уравнением Лагранжа.
Полагая у' — р, получаем у — 2хр 4- р2. Используя основное соотноше-dx 2
ине dy = pdx, имеем pdx — 2pdx 4- 2(х -j- p)dp, т. е. — —-х — 2.
„ £р р
Решение полученного уравнения имеет вид х = С/р —2р/Ъ Общее решение уравнения Лагранжа в параметрическом виде запишется следующим образом:
fx = С/р2 — 2р/3, Ь = 2С/Р-Р2/3.
Так как р = 0 — решение уравнения — pdx = 2(х 4- p)dp, то у = С может быть потерянным решением исходного уравнения. Подставим у=С в данное уравнение Лагранжа. Отсюда следует, что С = 0, т. е. у = 0 — решение, не являющееся частным. Полное решение уравнения Лагранжа имеет вид
’ Г х = С/р2 — 2р/3, | у = 2С/р — р2/3, . V =0-
Задача 2. Проинтегрировать уравнение у — ху' 4- р'(1 4- у').
Решение Это уравнение является уравнением Клеро. Его общее решение имеет вид у ~ Сх 4- С(1 4- С). Для построения особого решения составляем систему
р = Сх 4-С(1 4-С).
I* 4- I 4-2С = 0
Исключая параметр С, получаем
т е. 4у4-(*+ 1)2 = 0. Полное решение исходного уравнения имеет вид
Г у = Сх 4“ С(1 4* б), [ 4z/4-(x4-	= 0.
Задача 3. Найти кривую, у которой полуразность подкасательной н поднормали в любой ее точке равна абсциссе точки касания Решение. Уравнения касательной и нормали к кривой у = у(х) в точке М(хо, t/о) (рис 32) имеют вид.
У — Уо — у'(хс) (х — хо), у — уо =--- - (х — х0).
У (*о)
172
Подкасательная и поднормаль представляют собой отрезки AD и DB соответственно. Согласно условию задачи, составляем дифференциальное уравнение уъ/у'о — уоуЬ — 2х0, где i/'(*o) = */о- Учитывая, что это условие должно выполняться в любой точке кривой, перепишем
Р и с. 32
полученное уравнение в виде у = ——- к. Это уравнение является * — у'
уравнением Лагранжа. Для удобства интегрирования перепишем его в виде, разрешенном относительно х, т е. х = ух‘ /2 — у/(2х'). Положим
,	1	1 У
х = р, тогда х = -?ру — у —
или х =
откуда
dx=4 (₽ - +f 0+?)*•
Воспользовавшись основным соотношением dx = pdy, получим
0.
„	-	dw dp п
После преобразования имеем —-----— = 0, откуда у = Ср. Общее реше-
ние в параметрической форме
или в явной форме
х = //7(2С)-С/2.
Окончательно имеем 2Сх = у1 — С2
При построении кривых, заданных свойствами их касательных, часто искомые кривые оказываются особым решением уравнения Клеро.
173
Задача 4. Найти кривую, касательные к которой образуют вместе с прямоугольными осями координат треугольник постоянной площади, равной двум.
Решение. Уравнение касательной к кривой у = у(х) в точке М(хо, i/о) имеет вид у — у0 = у'(х0) (х — х0) Так как касательная отсекает на осях координат отрезки уо~ у'(х0)х0 и х0 — у^/у’(х0), то, согласно условию задачи, получаем дифференциальное уравнение (у — i/'х)2 = = — откуда у = ху' ± 2д/—i/'. Полученное уравнение есть уравнение Клеро Его общее решение у==Сх±2’\/—С Огибающая полученного однопараметрического семейства прямых — кривая ху = 1. Следовательно, искомой кривой является гипербола ху — 1.
Проинтегрировать уравнения Лагранжа и Клеро:		
937.	У + ху' =	938. у=ху,г — 2у'3.
939.	у = ху'+а-\/\ Ч-£/'2.	940. х=у/у' + 1/у’3.
941.	X + У/у' = 4/^/у'.	942. ху'3 — уу' — у' + I = 0.
943.	у — 2ху' + sin уг.	944. у = 2ху' -j- In у'.
945.	у = х(1 + y')-j-y'1.	946. у = ху' + у'2.
947.	У = *У' + а/у' .	948. ху'(у' + 2) = у.
949.	2у'(у — ху') = 1.	950. у'3 = 3(ху'-у).
951.	У = ху' +у' .	952. у = ху' + у'—у'2.
953.	Найти кривую, у которой сумма квадратов чисел, обратных длинам отрезков, отсекаемых касательной к кривой в любой ее точке на осях координат, была бы постоянна.
954.	Найти кривую, у которой отрезок касательной в любой ее точке, заключенный между координатными осями, имеет постоянную длину а.
955.	Найти кривую, у которой отрезок касательной, отсекаемый координатными осями, делится пополам параболой у2 = 2х.
956.	Найти кривую, у которой произведение длин отрезков, отсекаемых касательной на осях координат, имеет постоянную величину 4а2.
957.	Найти кривую, у которой отрезок нормали, отсекаемый осями координат, имеет постоянную длину а.
958.	Найти кривую, если расстояние от данной точки до любой касательной к этой кривой постоянно и равно а.
959.	Найти кривую, если произведение длин перпендикуляров, проведенных из двух данных точек на касательную в любой точке кривой, имеет постоянную величину а2. (Указание. Считать заданные точки лежащими на оси
174
абсцисс, симметрично относительно начала координат Л (с, 0) и В( — с, 0).)
960.	Найти кривую, если произведение длин перпендикуляров, проведенных из двух данных точек на касательную в любой точке кривой, имеет постоянную величину, равную а2. (См. указание к задаче 959.)
961.	Найти кривую, касательные которой отсекают на осях координат отрезки, составляющие в сумме 2а.
962.	Найти кривую, касательные к которой образуют с осями координат треугольник площадью 2а2.
34. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И ИЗОГОНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ
Задача о траекториях на плоскости в случае декартовых координат. Ортогональной траекторией однопараметрического семейства плоских кривых Ф(х, у, С) — 0 называется кривая L, пересекающая все линии семейства под прямым углом. Для определения уравнения траектории L составляется система
/Ф(х, у, С) = 0,
1Ф£(х, У. С) + Ф£(х, У. С)у'=0,
из которой исключается параметр С. Полученное уравнение Г(х, у, у') — ® есть дифференциальное уравнение заданного семейства. Используя условие ортогональности, дифференциальное уравнение траектории L можно записать в виде F(x, у, — 1/у') = 0.
Задача 1. Найти ортогональные траектории семейства кривых y=Cix2.
Решение. Составим дифференциальное уравнение данного семейства:
У = С.х2,
!/ =
т. е С1 = у'/(2х), следовательно, у = ху'/2
Дифференциальное уравнение ортогональной траектории имеет вид
у=------х— или 2уу' х — 0. Решив полученное дифференциальное
2 у'
уравнение с разделяющимися переменными, получим 2ydy 4- xdx — 0, т. е. у2 4- х2/2 = С. Итак, ортогональными траекториями семейства парабол у = С\х2 служит семейство эллипсов лг/2 4- у2 = С.
Задача 2. Доказать, что силовые (векторные) линии поля, создаваемого силой F(Fx(x, у), Fv(x, у), имеющей потенциал и(х, у), ортогональны линиям уровня поля и(х, у).
175
Решенн е. Дифференциальное уравнение векторных линий имеет вид
dx dy
Тх~Ту'
с л	। du	dyiiy	„
где F = grad и = —£i 4- т. е. — = — . Следовательно, угловой ох оу	dx и*
коэффициент касательной к силовой линии в произвольной ее точке kt = Uy/u’x. Линии уровня поля и{х, у) имеют вид и[х, у)= С. Их диффе-dy	u's
ренциальное уравнение iixdx -р u'ydy = 0, т. е. — =*= — — - Угловой коэф-dx	u'v
и'х
фициент касательной к линии в точке (х, у) Ъ = — —. Так как kdt2 = — 1 Uy
в произвольной точке поля и(х, у), то этим доказана ортогональность.
Изогональной траекторией однопараметрического семейства плоских кривых Ф(х, у. С) = 0 называется кривая L, пересекающая все линии семейства под постоянным углом а (а Ф л/2). Если Г(х, у, у') — 0 — дифференциальное уравнение заданного семейства, то, используя условие изогональное™
У' = (yL — tg a)/(l + yL tg a),
где yL — угловой коэффициент касательной к кривой Lt получаем дифференциальное уравнение изогональной траектории в виде
г’ / Уг — tgа \ л Fix. у ~ *—) — 0.
Задача 3. Найти траектории, пересекающие под постоянным углом а семейство прямых, проходящих через начало координат.
Решение. Семейство прямых y = Cix. Его дифференциальное уравнение у = у'х. Тогда дифференциальное уравнение изогональной траектории имеет вид
у' — k
1+^'
т. е. (у + kx)dx -j- (ky — x)dy — 0, где k = tg a. Полученное уравнение является однородным, и его общее решение имеет вид
Найти ортогональные траектории семейства кривых: • 963. ху = С’.	• 964. у2 = 2Сх.
965. Си2 = х3.	966. № + у2 + 2Су = 0.
967. х3 — Зху2 + С = 0. 968. у2+ 2Сх = С2.
176
969. (х — С)2 4- у2 — R2, R — постоянная.
970. (х^-1)Ч&'2)2=С2.
Найти изогональные траектории семейства кривых: * 971. х2 = 2С(у — хд/з), а = 60°.
972. z/2 = 4Cx, а = 45°.
Найти силовые линии поля, создаваемого силой, имеющей потенциал /г(х, у):
973. м=х2 + г/2- _________ 974. и=у2 + х2/2.
975. и “ q/r, г =ух2 -f- у2.	- 976. и = ху.
Задача о траекториях на плоскости в случае полярных координат. В некоторых случаях при отыскании изогональной траектории решение задачи упрощается, если однопараметрическое семейство кривых задано в полярной
системе координат Ф(<р, г, С) = 0. Если f(<p, г,
дифференциальное уравнение заданного семейства, то при замене dr/d<p выражением
(4-7tga)/(;7-tg4
в случае л/2 получаем дифференциальное уравнение изогональной траектории
г(ч,,Л1+<уи>ез)=0.
Если же а = л/2, то дифференциальное уравнение ортогональной траектории получим при замене dr/dq на — г2/г\ т. е. дифференциальное уравнение ортогональной траектории в полярной системе координат имеет вид
F(<p. г. -г2Д')=0.
Задача 4. Наити ортогональные траектории семейства кривых г = 2Cj sin <р.
Решение, Для получения дифференциального уравнения искомой траектории исключаем параметр Ci из системы
(г = 2Ci sin ф, г' ='2С) cos ф.
При этом г* — г etg ф. Заменяя в полученном уравнении г' на — г2/г', приходим к дифференциальному уравнению ортогональной траектории г'/г = — tg ф, общим решением которого является семейство кривых г = 2С cos ф.
177
Задача 5. Записать дифференциальное уравнение изогональных траекторий (а = л/4) к семейству кривых г = 2Ci sm ф.
Решение. Дифференциальное уравнение заданного семейства г' — г ctg ф. Заменяя г' на	' П0ЛУчаем Дифференциальное
уравнение семейства изогональных траекторий
г'(1 + г ctg ф) = г2 ctg ф — г.
Найти ортогональные траектории семейства кривых (в задачах 978—981 перейти к полярным координатам):
977. г2 = С sin 2д>.
'«78.	А
980.	(х2 4- z/2)3 -F С(х3 - Зх//2) == 0.
981.	(х2 4- //2)2 = С2 ху.
982.	Найти ортогональные траектории семейства окружностей радиусом /?, проходящих через начало координат.
983.	Найти траектории, пересекающие кривые г== = С cos (р под углом а. (Указание. Перейти к декартовой системе координат.)
984.	Найти траектории, пересекающие семейство кардиоид г = С(1 4“ cos ср) под углом а.
35. УРАВНЕНИЯ п-го ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА
Основное определение. Уравнение п-го порядка в общей форме имеет вид
F(x, У, у', ...» У{п}) = 0, где функция F(x, уо, у\, .... //п) определена на области D cz Rn+2. Решением этого уравнения называется функция у = у(х)у дифференцируемая п раз на промежутке 1 cz R и обращающая это уравнение в тождество на I.
Уравнения, не содержащие искомой функции и ее производных до fc-го порядка. Уравнение вида F(x, у^.
//л)) = 0 допускает понижение порядка. Произведем замену искомой функции, положив ir = z{x). Учитывая, что t/(ft+,) = zz, ..., //(n) = z(n“ft), приводим данное уравнение к дифференциальному уравнению F(x, z, z', ..., 2<rt~ft)) = 0 порядка n — k. Если z = <p(x, Ci, .... Cn-k) — общее решение полученного уравнения, то общее решение исходного уравнения получается при интегрировании простейшего уравнения k-ro порядка t/fc) = <p(x, Сь ..., Сп_*)-
178
Задача 1. Проинтегрировать уравнение ху"' = у" — ху".
Решение. Положив у" — г(х), получим хг' — z — xz. Интегрируя это уравнение с разделяющимися переменными
dz I — х ,
— =--------dx, z #= 0, х О,
z х
приходим к общему решению z = С\хе~х. Учитывая, что у" — г, получаем у" — Cixe~*. Следовательно, у = Су (х -f- 2)е~* -J- Сцх + С3 — общее решение исходного уравнения. Случай г = 0, т е у" — 0, не приводит к новым решениям.
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной. Уравнение вида F(y, у',.... у{п)) = 0 допускает понижение порядка на единицу с помощью замены искомой функции у' — z(y). Так как
у" = z't/Ух = zzy,
О	п	О
у'" = z'y у'х + 22$ у* = Z2z'< 4- zz'J, с помощью метода математической индукции показывается, что и у^> — Ф(2, z',...» 2(л“ °). Следовательно, указанная замена приводит исходное уравнение к уравнению (п — — 1)-го порядка относительно функции z(t/), т. е. к уравнению Fi(z/, z, z', .... z(n~,)) = 0. Если z = <p(r/, Ci, Cn_i)~ общее решение полученного уравнения, то общее решение исходного уравнения получится при интегрировании уравнения первого порядка у' — cp(z/, Сь
Задача 2. Проинтегрировать уравнение уу"=у'3.
Решение. Положим у' = г(у), тогда у" =*z'yz. Относительно z
C^'ln y- ЛРИ У >
Итак, полное решение исходного уравнения
получаем уравнение yzz' = г3. Отсюда г = dy _	1
dx Ci— In у '
«/In у + г 4- Cii/+ С2 = О, У In (— У) + х + Сху -I- С2 = 0. z/=C.
Уравнения в точных производных. Уравнение Е(х, У> /> •, !/(л)) = 0 называется уравнением в точных производных, если существует функция Ф(х, у, у\ .... такая, что
-^Ф(х, у, гД, y^-^~F(x, у, у', .... у л}).
В этом случае исходное уравнение равносильно уравнению
У> У\ •••» У('п~'>)=С, где С—произвольная постоян
на
ная. Таким образом, исходное уравнение сводится к уравнению порядка п — 1.
Задача 3. Проинтегрировать уравнение 2уу' 4- у" = 0.
Решение. Так как 2уу' + у" + </'). т£> Данное уравнение равносильно уравнению с разделяющимися переменными Р24-у'“ Сь Полное решение исходного уравнения имеет вид
при С t < 0,
при С| > 0.
Уравнения, однородные относительно искомой функции и ее производных. Уравнение F(x, д, у', ..., г/л)) = 0 называется однородным относительно искомой функции и ее производных, если функция F обладает свойством
F(x, iy0, .....,	tyn)^tkF{x, y0, yt* ..., yn).
В этом случае исходное уравнение с помощью подстановки yf = yz сводится к уравнению порядка п — I относительно новой искомой функции z = z(x).
Задача 4. Проинтегрировать уравнение х?уу" — {у — ху')2 = 0.
Решение. Так как F(x, уа. у\, уг) = х2уъуг — (Уч — ху\)г* то
F(x, ty0, tyi. lyd^ t2(xyoy2—(yo-~ xyt)2).
Следовательно, исходное уравнение — однородное относительно ис-комой функции у(х) и ее производных у'(х), у"(х). С помощью подстановки у' = yz, у" = y'z -|- yz' = yz2 + yz' исходное уравнение приводится к виду yi{x1z> — 1 4- 2xz) — 0. Отсюда хггг — 1 4- 2xz — 0. Потери решения у = 0 не будет, так как оно является решением уравнения у' = yz. Общее решение полученного линейного уравнения первого порядка z‘ 4- 2z/x = = 1/х2 имеет вид £ = Ci/x24~ 1А- Отсюда у' = (С|Д24- \/х)у. Следовательно, у = C2xe~c,f*— общее решение исходного уравнения.
Уравнения, однородные относительно независимой переменной и ее дифференциала, искомой функции и ее дифференциалов. Уравнение F(x, у, y't.... у(п)) = 0 в дифференциальной форме имеет вид
Н(х, у, дх, dy, dry.<А/) = 0.
Уравнение в дифференциальной форме называется однородным* если H(xq* yQ* (/uya) является однородной функцией своих аргументов, т. е.
J80
H(ixQy tyQt txh tyi,...»tyn) tkH(xo, yQ) xltyh ..., ya) V/ > 0.
Это равносильно тому, что
F(tx, t'y, tQy', Г'у”, ..., l'~ny^)^ tkF(x,y,y'.z/w) V/>0.
Введение новых переменных т = 1пх, z^y/x позволяет свести указанное уравнение к уравнению, не содержащему явно независимой переменной.
Задача 5. Проинтегрировать уравнение х~(уу" 4- у' ) — цг = 0.
Решение. Данное уравнение в дифференциальной форме имеет вид x\yd у -г (dyf) — y2(djcr = 0. Так как
Н(х<^ у^ У\. уг} = хЦуьуъ + yl) — уох\,
то
//(/А'о. (f/o, ^1, tyb ^2) — t4 (х$(уоуг 4- у$ — у^}.
Следовательно, Н — однородная функция, k = 4, а исходное уравнение является однородным уравнением указанного типа.
Введем новые переменные т = 1пх, z — y/x, т. е. y~e*z. Так как
У* — y'xXt = (е*г + етг$е т = г 4- zi, У$ = (tfii — (z 4~ z&e ' = (гЛ- z''>)e~\
то исходное уравнение принимает вид zz? +	=0- Полученное
уравнение подстановкой z'~u(z\ z" ~ u'zu сводится к линейному уравнению первого порядка гии'г 4- Зги + и2 = 0 или и'г 4-и = — 3,
13
и=/=0г общее решение которого а = С| —-^г. Относительно г полу-
, 1 3
чаем уравнение z'.^=Ci---5-2, общее решение которого
Z Z
± д^2С, Сге-^/З .
Следовательно,
</ = ± е' V(2^« - С2е-3*)/3.
Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид S/W = ±V(2Ci^-C2)/(3x).
Случай и=^0 приводит к решению и — Сх исходного уравнения^ содержащемуся в общем.
Задача 6. Составить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет кривая, обладающая тем свойством, что ордината любой ее точки равна ординате центра масс однородной криволинейной трапеции, ограниченной кривой, осями координат н ординатой этой точки кривой.
181
Р н с. 33
Решение. Пусть у=у(х)—искомая кривая. Так как ордината центра масс указанной криволинейной трапеции (рис. 33) определяется по формуле
§ydxdy
D
& = „-----*
й dxdy
D
то имеем соотношение
*	у(х)	х	у(х)
J dx J ydy = у{х) j dx J dy, 0	0	0	0
которое записывается в виде X	X
i- ( y2(x)dx = у(х) ( y(x)dx.
л* J	н
о	с
Дифференцируя полученное равенство по х, приходим к соотношению
^ = У' J y(x)dx + y\ о
I y(x)dx=-^-^ 2 у
. Повторное дифференцирование приводит к
дифференциальному уравнению 4у'‘ = уу".
Задача 7 («задача о погоне»). Пусть точка Р движется по оси Ох (рис. 34) с постоянной скоростью и > 0. а точка М — по некоторой кривой L в плоскости Оху с постоянной скоростью и (и > v), причем вектор скорости точки М в каждый момент времени направлен в точку Р Кривая L называется линией погони. Предполагая, что в начальный момент времени точка Р находится в начале координат, а точка М — на оси Оу в точке Мо(0, £/0) (уо > 0), найти уравнение линии погони L,
182
Р н с. 34
точку В(х, 0), в которой точка М догонит точку Р, и продолжительность погони Т.
Решение. Составим дифференциальное уравнение линии погони. Учитывая, что вектор скорости направлен по касательной к траектории движения, имеем tga = — у'(х); с другой стороны,
IKMI у
\КР\ vt-x'
Следовательно, у' = у/(х — vt). Дифференцируя обе части полученного „	dt уу" „
равенства по х, найдем, что — —	. Кроме того,
ах иу‘
U dt
~^~dx dt ’
откуда	j
получим дифференциальное уравнение линии погони
. Приравняв полученные выражения для dt/dx,
УУ vy‘
и
где k~ — < 1. Требуется найти решение этого уравнения, удовлетво
ряющее начальным условиям у (О') == у$ и //'->— <ю при х-> 4- 0. Полученное уравнение относится к типу уравнений, допускающих понижение порядка с помощью введения новой функции у' = z(y). Задача Коши для функции z имеет вид

2
z , z-> — со при у-*уь.
Решая эту задачу, получаем
- = к — к\
«	2\\Уо/	\ yj )
183
•"•’'-ЖУ-ОГ)
чальных данных х(уо) = 0, имеем
dy. Решая это уравнение при на-
л = л ( 1	/ЛЛ*+1_____1 («X ~
‘2V-HW 1-Л\и0/ /^l-fc2’
Точка В имеет абсциссу х = ycuu/(ti — г2), а продолжительность погони Т — you/{и2 — у2).
Проинтегрировать уравнения:
985. ху" 4- ху' = у'.	986. хуу" — ху' — у у' = 0.
987. хгу" — х2у'2 + 2хуу' — у2 ~ б.
988. у у'" — у'у" = 0.	989. (у'")2 — y"yw = 0.
990.	хуу" ±ху'2— у у' = 0.
991.	(I +х2)у" +/Ч 1=0.
992.	у"' — (у")3 = 0.	993. у'" — 2у" = 0.
994. у3у" 4- 1 =0.	995. у' — у3у" = 1.
Понизить порядок уравнений:
996. у"—-L/ + р£=1- 997. /'(е' + 1) + / = 0.
998. у3у"==\.	1	999. у'г + 2уу" = 0.
1009. у" + у' cos х — у sin х = 0.
1001. у" = 2уу'.	1002. 2ху'у" = i/ — 1.
1003.	2у'(у" +2) = х(у"'?.
1004.	ху" = у' + х sin (//х).
1005.	(у")3 + ху" = 2у'.	1006. у"'у' = (у")3.
1007.	+ 3—=0.	1008. у" — ху' + у+ 1.
У"	У
1009. J!— = 2^- .	1010. уу" + у' = 1.
у	у'
1011.	хуу" — ху'1—2уу' = 0.
1012.	х4у" + (ху' — у)3 = 0.
1013.	уу" = / + у'.	1014. уу" - / =-!-^~у'.
1 X
Ю15. —
1016.	Найти кривые, у которых радиус кривизны есть постоянная величина а. (Указание. Радиус кривизны определяется формулой R ~(уг 4” 1)3/2/*/'-)
1017.	Найти кривые, у которых радиус кривизны равен отрезку нормали, заключенному между осью абсцисс и прямой у = а.
184
1018.	Найти кривые постоянной кривизны a (k = 1 /Rz k — кривизна кривой).
1019.	Найти кривые, радиус кривизны которых пропорционален кубу длины отрезка нормали между точкой касания и осью Ох.
1020.	Найти кривые, радиус кривизны которых равен длине отрезка нормали между точкой касания и осью Ох.
1021.	Найти кривые, радиус кривизны которых в каждой точке равен угловому коэффициенту касательной к кривой в этой точке.
1022.	Дифференциальное уравнение, определяющее форму каната, укрепленного в двух точках и подверженного действию только своего собственного веса, имеет вид Ну" = s^/l -j-y'2, где Н— горизонтальное натяжение (постоянная величина); s — линейная плотность каната. Определить форму каната.
«023. Масса одного километра телеграфной проволоки равна 40 кг. Если между укрепленными концами проволоки расстояние 200 м, а середина проволоки опустилась на 5 м, то как велико горизонтальное натяжение? (Указание. Воспользоваться уравнением задачи 1022.)
1024. Материальная точка массой tn брошена вертикально вверх с начальной скоростью г>о. Составить математическую модель движения точки, если сопротивление воздуха пропорционально кубу скорости.
1025. Найти закон движения тела, свободно падающего без начальной скорости, считая, что сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и что предельная скорость (при /-^-j-oo) равна 75 м/с.
Контрольная работа 4
Вариант I
1.	Проинтегрировать уравнения Лагранжа и Клеро:
а) 2ху'— у=.\Пу'\ б) у = ху' — у'\
2.	Проинтегрировать уравнение у'у'" — 3(y"f ~ 0.
3.	Понизить порядок уравнения 2х3у"' — хгу" — (у"') и указать тип и метод интегрирования полученного уравнения.
4.	Проинтегрировать уравнение в точных производных У" 4- У'А — У/*2 = Зх2.
1Ъ5
Вариант II
1.	Проинтегрировать уравнения Лагранжа и Клеро:
а) 2ху' -у- cos у'; б) у = ху' — (2 + У* )•
2.	Проинтегрировать уравнение 2уу" у' =0.
3.	Понизить порядок уравнения (г/")2 + у' = ху" и указать тип и метод интегрирования полученного уравнения.
4.	Проинтегрировать уравнение в точных производных УУ" + у' — 1-
ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
XI. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С НЕПРЕРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
36. ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА УРАВНЕНИЯ С ИЗВЕСТНЫМ ЧАСТНЫМ РЕШЕНИЕМ
Линейным ураанением п-го порядка с переменными коэффициентами называется уравнение вида
D'Ix4-an_l(/)Dn~1x4-...4-al(/)Dx4-ao(/)x = f(/), I, где ak(t), k = 0, л — 1, и, f(t)— функции, непрерывные на I.
Частным случаем линейных уравнений являются стационарные уравнения, интегрирование которых принципиально не представляет больших трудностей. Если заменой переменных можно линейное уравнение с переменными коэффициентами преобразовать в уравнение с постоянными коэффициентами, то с помощью обратного преобразования получаем решение данного уравнения в элементарных функциях.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если коэффициенты fe = 0, п— I, и неоднородность f(t) непрерывны на I, то задача Коши
Dnx 4- ап_,(t)Dn~1 х -Ь...4- a}(t)Dx 4- а^х = f(t), t € L
0y4=s=£/> / = 0, n-1. V s6LV|/€ R,
имеет единственное решение x = x(t), определенное на всем I.
Однородное линейное уравнение п-го порядка с переменными коэффициентами имеет вид
Олх4-ал_1(ООп-,х4-...4'а)(0^х4-ао(Ох = ^> *€ С
Совокупность п линейно независимых частных решений х0(/),	Хп_((/) однородного уравнения с* непрерывными
коэффициентами образует базис пространства решений. Базис нормирован в точке t = s, если DkXj(t)\t^s =
187
где &kj — символ Кронекера, j, k = 0, п — 1. Совокупность решений хо(/), ...» хя_|(/) образует базис» если определитель Вронского
U7(/) =	PXoW	Xn-i(t) Dxn-i(t)
	D'>-'xo(/)	...	
отличен от нуля хотя бы в одной точке промежутка I. Если %о(/),	х«_|(/) — линейно независимые на I част-
ные решения линейного однородного уравнения /г-го порядка, то его общее решение х(1) представимо в виде
X t = CqXq f) -J- C|Xi (/)	4“ C- |ХЯ — । (/),
где Ci, 1 = 0, n — 1, — произвольные постоянные.
Общее решение неоднородного линейного уравнения n-го порядка представляет собой сумму общего решения однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному, и частного решения неоднородного уравнения.
Для определения частного решения неоднородного уравнения используется метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). В этом случае частное решение х4И(/) ищут в виде
Х,Н (0 = U^x^t) 4-... Н- Un— 1 (/)Хл- I(/),
где ut(t\ i = Q, п — 1, — функции, подлежащие отысканию.
Производные Dut(t) должны удовлетворять следующей алгебраической системе:
D«o(/)xo(/)
Dwo(/)£>xq(/)
+... + Дня_1(/)хл_|(/) = 0,
4-... 4- £>«rt-i(Z)£>xn_i(/) = 0,
Ou0(/)D',-2Xo(/) + ... + Du„_, (/)О—2х„_, (/) = О, Du0{t)Dn~'xo(Z) +... 4- Dun-dt)Dn-'x„-।(/) = f(l).
Общего метода интегрирования линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами нет. Однако в некоторых случаях эти уравнения с помощью подстановки приводимы к уравнениям, решение которых можно построить.
Если известно частное решение xi (/) линейного однородного уравнения п-го порядка, то порядок уравнения
188
можно понизить на единицу» сохраняя линейность уравнения. Для этого надо подставить в уравнение х(/) — —	а затем произвести замену Ог(/) = «(/).
Пусть xi(/) — частное решение линейного однородного уравнения второго порядка D9x ~bp(Z)Dx 4- <7(/)х — 0. Произведем в этом уравнении замену x — x\Z. Определив
Dx = zDxi -f- X\Dz, D2x = zD2X\ 4~ 2Dx\Dz 4- x\D2z
и подставив их в уравнение» получим
zD2x\ 4* zpDx\ -j-	4~ 2DzDx\ 4- x\D2z 4- pXiDz — 0.
Так как xi(/)— решение исходного уравнения» то D2xi 4- p(t)Dxi 4-	= 0. Теперь имеем уравнение вто-
рого порядка, не содержащее искомой функции z:
(2Dxi 4~ pxi)Dz 4- x\D2z = 0.
Положив Dz~u, D2z = Du, придем к уравнению x\Du 4- (2Dxi 4- pxi)u = 0, которое является линейным однородным уравнением первого порядка относительно искомой функции и, а также уравнением с разделяющимися переменными.
Задача 1. Проинтегрировать уравнение
„	2/^,2
D х —	} Dx 4 ТГру* = °*
если известно его частное решение xi = t
Решение. Делаем замену х = tz Определив Dx и D2x, подставляем их в уравнение, в результате чего получаем
ш22 + ттт
Dz = 0.
Положив Dz = и, приходим к уравнению
2 tDu 4—г-----и = 0,
Г 4 I
общее решение которого имеет вид и = СЦ1 + Возвращаясь к функции г, получаем простейшее уравнение первого порядка Dz — = Ci(l 4-/~2), откуда z(0 = Ci(/ — /“') 4-С2 иля z(t) = С,(Is — I)// 4-4- С>. В результате имеем общее решение исходного уравнения x(0 = Ci(f- 1)4 С2/.
Задача 2. Проинтегрировать уравнение
9/	9	I
£>2л-7-ррШ4-	= р />0.
189
Решение. Использовав предыдущую задачу, выпишем общее решение однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному: xo(f) = С0(г — 1)4-С/. Частное решение хчн(0 данного неоднородного уравнения ищем в виде лчи(О = «о(/)(<2—1) + «|(0Л используя метод Лагранжа. Система для Du^t), Du\(t) имеет вид
f(/2 — i)Dno + /£>«i =0, 12(Du<> + Dut == !//.
Отсюда Du0 =1/(14-t~), Du, = }/t — 2//( 1 4 Z2). Следовательно,
«о(/) = arctg t, hi (/) = In - ••	. x4U (0 = (/2 —- I) arctg t 4 t In -	.
1 -f- <	1 —f— /
Тогда общее решение исходного уравнения
x(Z) = Со(/2 - I) -I- Cti 4(t2 - I) arctg / 4 / In
Общего метода отыскания частных решений линейного уравнения второго порядка не существует. Иногда частное решение можно найти в виде полинома некоторой степени п:
tn -j— an_\tn ’QiGo-
Отыскание частного решения в виде полинома производится методом неопределенных коэффициентов.
Задача 3. Найти частное решение уравнения (1 — 2/2)£>2х 4 2Dx 4 4х = 0.
Решение. Будем искать частное решение уравнения в виде полинома степени п, т. е. в виде *i(/) = Г 4 ал-|/л“| 4 — 4 °о Подставляя Х|(0 в уравнение, получаем
(I - 2/2) (л(л - 1)/л~2 4(л — l)(n — 2)an_ltn-3 4-4 2аг)4 4 2(лГ“1 4 (л - 1)а„_ |/я-2 4- 4 ai) 4 4 (Г 4 iln~1 4 -4 4 Ci / 4 йо) = 0.
Получено тождество л-й степени относительно I. Коэффициенты при tn в левой и правой частях тождества равны соответственно — 2л(л—1)44 и 0. В результате для нахождения степени многочлена получаем уравнение второй степени относительно п: л2 — п — — 2=0. Его решения Л|=2,'л2 =—1. Следовательно, решением данного дифференциального уравнения может быть полином второй степени. Таким образом, частное решение ищем в виде Xi(/) = r4 4 ai 4 b. Подставив этот полином в исходное уравнение, получим 2(1 -2/2)42(2t 4 о)4 4(J2 4 at 4 или (2a 4 2)/4 a 4 2b 4 I = — 0. Отсюда 2a 4 2 = 0, a 4 2b 4 I - 0. t. e. a = — 1, 6=0. Следовательно, xI(/) = /2 — t является частным решением исходного дифференциального уравнения.
190
Построив частное решение в виде полинома Х|(/) = =/л 4-a,1_i/n~1 -|- ••4* ai/-j-ao, проинтегрировать уравнения:
1026.	(2/-{-1)Д2х-Н/£>х —4х = 0.
1027.	(/-1)D2x-(/4-1)Dx4-2x = 0.
1028.	(1 —/2)£)2х-/£х4-9х = 0.
1029.	(1 - t2)D2x - tDx 4- x = 0.
Построив частное решение указанного вида, проинтегрировать уравнения:
1030.	tD2x - (2/ 4- l)Dx 4- (/ 4- 1)х = 0, xi (/) = eai.
1031.	(2/4- l)D2x 4- 2(2/ - \)Dx - 8х = 0, xi (/) = eat.
1032.	(/2 — l)Z)2x — 6x = 0, xl(/) = a0/34-ai/24-а2/4-аз-
1033.	(1 -/2)D2x-2/Dx4-6xt0, X[(t)^a0i2 4-4~ flj/ 4- о?-
1034.	Z2(Z2 + l)D2x + (2/3 + f)Dx - x = 0, x,(t) = g/Z.
1035.	(1 -Z2)O2x — ZDx + x/4 = 0, *i(Z)=Vg0Z4-g,.
Проинтегрировать уравнения с известным частным решением:
1036.	Z2(Z 4- 1 )D2x - 2х = 0. х1 (Z) = 1 + 1 /Z, Z > 0.
1037.	tD2x + 2Dx — tx = 0, xi(Z) = e'/Z, Z>0.
1038.	(е'+ l)D2x— 2Dx —e‘x = 0, x1(Z) = e'— I.
1039.	D2x+^-Dx + x = 0,	Z>0.
1040.	D2x + ^-Dx + x= \/i, l>0.
1041.	/(1 — t)2D2x — 2x = 0, X!(Z) = //(1—/), Z>1.
1042.	t2D2x + 4tDx + 2x = 0. x1(/)=l/Z, t > 0.
1043.	(1 4- t2)D2x-j- tDx — x4-i=0. х,(/) = 1 — част-ное решение соответствующего однородного уравнения.
1044.	/2(/2 4- 1)7)2х4-(2/34-/)^х-л == -/-2//, Х|(/) = 1// — частное решение соответствующего однородного уравнения.
1045.	t2D2x-\-tDx — x = 2t, Xi(t) — t — частное решение соответствующего однородного уравнения.
1046.	Доказать, что если Х|(Г) — ненулевое частное решение уравнения
D2x 4- p(f)Dx 4- q{t)x = 0, / € I.
191
то второе частное решение этого уравнения можно найти по формуле
/ ехр / — j p(a)da\
X2(Z) == xi (/) (---------dx, to 6 I.
J Xf(x)
h
1047.	Подобрав одно частное решение уравнения
D~x — Dx 4- x/t — 0, построить его общее решение.
1048.	Подобрав одно частное решение уравнения
D2x — tg t • Dx 4~ 2x = 0, построить его общее решение.
1049.	Найти решение задачи Коши
(2/ _ t*)D*x 4- (/2 - 2}Dx 4- 2(1 - t)x = 0,
=z	= К
если уравнение имеет частное решение Х| (/) = £*.
1050.	Уравнение (1 4~ t2)D2x -4- 2lDx — 2х = 4/2 4- 2 допускает частное решение x(t}~ г. Подобрав одно частное решение однородного уравнения, найти решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям хЦ_, =0, Dx\t=_t =0.
37. ПРИВЕДЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ К СТАЦИОНАРНОМУ
Линейное уравнение второго порядка D2x 4- p(t)Dx 4* 4~^(/)х = 0 с непрерывными на 1 коэффициентами в некоторых случаях можно свести к стационарному линейному уравнению. Этого иногда можно добиться за счет введения независимой переменной т = <р(/), где <p(t) = t ________
= с J -\/q(o)dci, /о Е I. Указанная замена независимой передо
менной всегда приводит линейное уравнение второго порядка к уравнению того же вида, у которого коэффициент при искомой функции постоянен.
Преобразование зависимой переменной x(t) подстановкой х = а(Г)у при удачном выборе функции а(/) приводит к уравнению с нулевым коэффициентом при Dy.
Для приведения неоднородного уравнения с непрерывными коэффициентами к уравнению с постоянными коэффициентами пользуются теми же подстановками, что и для однородного уравнения, причем иногда оказывается необходимым применение комбинаций обеих подстановок.
192
Задача 1. Проинтегрировать уравнение tKD2x 4- 2t3Dx 4- п2х = 0. Решение. Произведем замену т = <р(/), где
i
<₽(/) = с J	— An/t.
величина.
Таким образом, x = An/t, t > 0, где А — постоянная Положив А = 1, найдем Dx н D2x:
где DT == —-оператор дифференцирования по т.
dx
Данное уравнение принимает вид
t* (~D2x ^DtX^— 2ZrtDrX 4- пгх = 0
или
n2D2x 4- 2ntDjc — 2ntDtX 4-n?x = 0*
В результате получили стационарное линейное уравнение второго порядка Dlx 4-х = 0. Так как характеристическое уравнение v24- I = 0 имеет корни vi=i, V2= — i, то х(т) = С> cos т 4 Ci sin т. Произведя обратную замену, получим
х{1) = Ci cos -у-4- Ся sin	t > 0.
Задача 2. Проинтегрировать уравнение t2D2x 4- tDx 4- (/* — - 1/4)х = 0.
Решение Положим x~<x{t)y. Потребуем, чтобы в полученном уравнении коэффициент при Dy равнялся нулю. Из этого условия и найдем функцию а(/). Так как
Dx = a(t)Dy 4- yD<x, D2x ~ a(t)D2^ 4- 2Da • Dy 4- yD2a, то, подставив x, Dx, D2x в исходное уравнение, получим уравнение
l*aD2y 4- 2i2Da • Dy 4- t2yD2a 4- taDy 4- tyDa + (/2 — 1 /4)oay = 0, которое после приведения подобных членов принимает вид
t2a.D2y -Ь (2/2Da 4- ia}Dy -f- (t2D2a 4- IDa 4- (/’ — I/4)a)i/ = 0.
Полагаем 2t2Da -|- fa = 0. Этому уравнению удовлетворяет, например, функция a(f) = 1/-^?/ £ JO, 4- °° [. В результате получаем уравнение D2f/ 4- У = 0, решением которого является функция y(t) = Ct cos / 4*
7 Зак. 2703
(93
-|- Ci sin Л Так как x = y/v •то Решение исходного уравнения имеет вид
Х(/) = С!
cos t
у/г
Путем замены независимой переменной проинтегрировать уравнения:
1051.	/4£)2х4-х = 0.
1052.	О2х — 2(Зе2' + 1 )Dx 4- 8е4'х = 4е6'.
1053.	D2x — Dx + е“х = 0.
1054.	(1 + t2)2D2x + 2t (1 + t2)Dx 4- x = 0.
1055.	2tD2x + Dx + 2x = 0.
1056.	(1 — t2)D2x - tDx + n2x = 0.
Построить общее решение уравнений, приведя их к стационарным уравнениям путем замены искомой функции:
1057.	D2x + (4/ +!)£>* + (4/2 + 21 + 2)х = 0.
1058.	tD2x + 2Dx — tx = e‘.
1059.	D2x— ^-Dx — (a2— £V = 0.
1060.	Гй2х + 2t3D2x + (t3 + I )2x = 0.
1061.	(D’x-Hl-H)Dx+y(l -l)x = 0.
1062.	D2x + 4tDx + (4t2 + I )x = 0.
С помощью указанных подстановок проинтегрировать уравнения:
1063.	tD2x - (Ю/2 + l)Dx + 24/3x = 0. /2 = т.
1064.	t'D2x + (2i3-5/2)Dx + 6x =	t=\/x.
1065.	l8£>2x + (6/44-4f)Dx + 9x = 0, /~3 = т.
1066.	t2D2x — 3tDx + 4x = t In I, In / = t.
1067.	t'D2x — a2x = 0. t = 1 /r.
1068.	t3D2x + 2t3Dx — 4x = 1 //, / = 2/т.
1069.	tD2x + 2Dx + a2lx = 0, tx=^y.
1070.	£>3x4-A£>2x —x = 0, tx = y.
1071.	D2x + у Dx 4- x = 0, x = x/t.
1<M
38. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА
Простейшим примером линейного уравнения с переменными коэффициентами является уравнение Эйлера, которое имеет вид
(/ — a)nDnX -F (/ — а)п~ ’ ап __, Dn~1 х 4- ... 4-
-j- (/ — a)ai Dx 4- clqX = f(l\ t C L
где а, сх*, Л = 0, п— I,— постоянные. Отметим, что I.
Если /(/) = 0, то уравнение Эйлера является однородным дифференциальным уравнением, если f(/) О, — неоднородным. Для определенности считают, что f(t) непрерывна на I, где в качестве I взят один из лучей 1+ = {/|/ > а) или 1_ = {/|/ < а).
В уравнении Эйлера произведем замену аргумента I на т по формуле т = 1п|/ — а|. Если /£1+, то т== = 1п (/— а), если t 6 1-,тот = 1п (а — /). При такой замене луч Г переходит в прямую Ir=j— оо, 4~ Обратная замена t = a 4- ет переводит It в Г+, а / = а — ех переводит 1г в 1_. Обозначим Dx оператор дифференцирования по т,
т. е. Dr--~. Для определенности будем считать
т. е. t = а е\ Установим связь между производными Dkx и Djx, учитывая, что ^=- -1	= е~т:
’ J	’ dt di/dt
Dx = Dxx~=e~'Dxx, at
D2x = D(Dx) <= D,(e~'Dxx)^ = (D?x — Ртх)е~2',
D3x = D(D2x) = Z>,((D?x - Z),x)e-2r)^ =
= (D?x - 3D?x +2D,x)e-s’.
Используя метод математической индукции, можно показать, что
D"x = (Dk,x + А,-1 D4~1 х +... + A
где Aj — постоянная, j = 1, k — 1.
Подставляя в уравнение Эйлера вместо производных Dx, D2x, .. Dnx их выражения через Dxx, D2x, Dxx и (/ — a)k —е, получаем линейное уравнение со стационарным оператором. Производя замену t — а = ё1 в уравнении Эйлера, необходимо преобразовать и правую часть уравнения, т. е. /(/) заменить на f(eT4-tx).
195
Отметим, что при 1 = 1_, т. е. при замене Z = a—е\ уравнение Эйлера приводится к такому же стационарному уравнению, как и при замене f = a-HT,
Неоднородное уравнение Эйлера всегда сводится к неоднородному уравнению со стационарным оператором, а однородное — к однородному.
Однородное уравнение Эйлера
(/ — a/D"jc + (t - <х)л-'а„_|D"~lx +... 4-= О, i € 1±
подстановкой / —а±ет преобразуется к стационарному уравнению
£>?х Ьп-1 ‘х +... Ч- b\D^ -f- box = О,
характеристическое уравнение которого имеет вид
Vя 4" Ьп— । vn 1 4~ ••• ~|“ 6о = 0.
Характеристическое уравнение может быть получено подстановкой x==ev/ в однородное стационарное уравнение. Подстановка x=±ev/ в однородное стационарное уравнение равносильна подстановке х = |/ — аГ в однородное уравнение Эйлера. Подстановка х=|/ — аГ V t € приводит к определяющему уравнению Эйлера
v(v— l)...(v — л4- l)4~v(v— l)...(v — n42)a„_| 4-... 4-4-ao = O,
которое равносильно характеристическому уравнению. Так как общее решение однородного стационарного уравнения имеет вид
г	т
X = S COS Ц/Т 4- /?/(т) sin 4" S /«=1	/ = 2г4-1
где корень характеристического уравнения v* имеет кратность dk, k = т, а Р*, Q*, Rk — полиномы степени dk—l и V2/_ । =* Ki 4- ip-i, vzi = — ipu 1=1, r, = / == 2r 4- 1,m, то общее решение однородного уравнения Эйлера представимо в виде
г
х = S (Q/(ln If — a|) cos Ц/ In (/ — a| 4~ Pz(ln |/ — i
196
nt
— a|) sin щ In U — a|)|Z—ah -J- 2 P/(in|Z— / = 2r + l
— cc|) I / — ap'
Задача I. Проинтегрировать уравнение Эйлера
a)	t3D3x — 3/2£>2x4-6/Dx-6x = 0;
6)	t2D3x—tDx = t in t;
в)	Q — 2fDzx — 3(J — 2)Dx -V 4x = t
Решение, а) Так как a==0, то положим 1 = 1+= JO, 4~ °°[ Произведя замену t — e\ получим
D3x - 3D?x 4- 2Ол — 3D?x -f 3£>»x 4-	— 6x = 0
или
D?x - 6D?x + 1 IZXx - 6x = 0.
Так как характеристическое уравнение v3 — 6v2 {- I tv — 6 = и имеет корни vi = i, v2 = 2, V3 = 3, то x(t) = C\ex -f- C2e2* 4- Сзё3' — общее решение полученного стационарного уравнения. Произведя обратную замену т = In t, получим общее решение рассматриваемого уравнения Эйлера х(Г) =* С(/ 4- С2/3 + С3/а
б) Так как a = 0 и функция f (/) = / In / определена при / > 0. то I = 1+ = ]0. 4~ °°L Произведя замену / = ет, получим следующее неоднородное стационарное уравнение с квазиполиномом в правой части. D?x — 2£>,х — те. Корин характеристического уравнения № — — 2v = 0 равны 0 и 2. Общее решение однородного стационарного уравнения х^,(т) = Cj -f- С2е2' Так как контрольное число правой части у = 1, то частное решение неоднородного стационарного уравнения ищем в виде хч„(т) = (Дт4-В)ет После подстановки х.ш(т) в неоднородное стационарное уравнение получаем А —	1, В = 0. Общее решение
неоднородного стационарного уравнения имеет вид х(т)= Ci-f-Cae2* — —те1. Следовательно, общее решение уравнения Эйлера представимо в виде х(/) = С| С2Р — /inf.
в) а = 2, функция f(t) = / определена для всех t £ R- Положим I = 1_, т. е произведем замену / = 2 — е’ Тогда
Dx =
at
D2x = £\(- e-’D,x)^ = (D?x - Djc}e~2'
Имеем £>?x —4D»x4-4x = 2 —e’ Так как корни характеристического уравнения v—2, d=2 и yi=0, у2 = 1—контрольные числа правой части, то х(т) = (С| 4- С2т)е2’ — е' 4- 1/2. Учитывая, что т = = 1п (2 — /), имеем х(/) = (/ — 2)2 (Ci 4~ С2 In (2 — /)) 4- — 3/2 — общее решение рассматриваемого уравнения Эйлера.
Задача 2, Построить общее решение уравнения Эйлера, используя определяющее уравнение:
а)	/2D2x4-^-x = 0. /е 1 =1 + ,
б)	13О3х 4- 41 Dx 4- 9х/4 = 0, I £ 1 +.
в)	/2Я2х4-/Ях4-* = 0./CI-
197
Решение, Положим х = С, тогда Dx=vf ’, Dix^= = v(v — |)Г“‘. Подставив в уравнение вместо х. Dx и D2x их выражения через /, получим l'v(y — I)/’-2 + tvtv~'—Г = 0, т. е. v(v—1)4-v — 1=0 if V|=l, v2=--l. Тогда общее решение заданного уравнения запишется в виде x(t) = Cit 4- Czi~'.
6)	Так как — 1) 4- 4v 4- 9/4 = 0 — определяющее уравнение и v = - 3/2, d = 2 — его корень, то общее решение заданного уравнения имеет вид x(t) = (С| -Ь С2 In /)/-3/2.
в)	Определяющее уравнение v(v—l)4-v4“l«=0 имеет корни vj = v2= —Общее решение исходного уравнения
х(/) = Ci cos In (— /) 4- С2sin In (— /).
1097. Проинтегрировать уравнение l2D2x—£-(£>x)24-J-A
4- 4/Dx 4- 4x = 0, полагая и
1098.	Сфера радиусом 7? окружена оболочкой, образованной концентрическими сферами, радиусы которых Ri и Rz. Потенциал поля U в точке, расположенной на расстоянии г от центра, удовлетворяет уравнению
d2u . 2 dU п
*Т" dr- г dr
Построить общие решения уравнений Эйлера:
1072.	(/ 4- 2)3 D3x + 3 (/ 4- 2)2 D2x — 6 (/ 4- 2)Dx — 6х=0.
1073.	t2D2x 4- tDx 4- 2х = 2 cos In t 4- sin In f.
1074.	(2/ 4- I )2 D2x 4-1(2/ 4-1 )Dx 4- 2x =%t 4- 2.
1075.	t2D2x — 7/Dx4-15x = 0.
1076.	t2D2x — 2tDx 4- 2x = 0.
1077.	l2D2x — IDx 4- 2x = 0.
1078.	t~D'x — 51D x 4- 13x = 0.
1079.	t3D3x 4- 2t2D2x 4- 2x = 0.
1080.	t2D3x = 2Dx.
1081.	t2D2x — 3tDx 4- 3x = 2t3.
1082.	t2D2x 4- tDx 4- 4x = 2 cos In / 4- sin In t.
1083.	(2/ 4- 3)’ D3x 4- 3(2/ 4- 3)Dx — 6x = 0.
1084.	(2/ 4- 1 )3D3x 4- 2(2/ 4-1 )D2x 4- Dx == 0.
1085.	(/4- I)3P2x4-3(/4- I)2Dx4-(/4- 1)x = 6 ln(/ 4-1 )•
1086.	t2D2x — 2x — 14- 3 In /.
1087.	(/ — 2)2D2x — 3(/ — 2}Dx 4- 4x = /.
1088.	t2D2x — 9/Dx4-2lx = 0.
1089.	t2D2x — tDx — x = 0.
1090.	t2D2x — tDx 4- 5x = t sin (2 In /) 4- cos In /.
Решить задачи Коши:
1091.	t2D2x — tDx — Зх = 0, 4-i =Д P4-i = 2.
1092.	t2D2x — 3lDx4-4x = 0, x|,_, = e2. Dx\^e=e.
1093.	t2D2x+ lDx-)-4x = 4 sin In t2, 4=.t =2, Dx|,_, = l.
1094.	(/ — l)2O2x — 2(/ — l)Dx4-2x = 0,	x|1=2 = I.
£>4=2 = 2.
1095.	l2D2x + tDx + 3x = t3, x|,_l== 0, D.4_I.
1096.	(/4- l)3£>3x — 3(/4- 1)2£>2x4-4(/4- l)Ox —4x = 0, x),_0 = 0, £>x|,_0 = 0, O2x](-o = >•
Найти потенциал U, если он принимает значение U\ на сфере радиусом R и Us на внутренней поверхности оболочки.
1099.	Круговой цилиндр радиусом R окружен оболочкой, образованной цилиндрами, радиусы которых Ri и /?2, а длины одинаковы. Потенциал поля U в точке, расположенной на расстоянии г от оси цилиндра, удовлетворяет уравнению
№	1
dr2	г dr
Найти потенциал U, если он принимает значение U\ на цилиндре радиусом R и U2 на внутренней стороне оболочки.
1100.	Жидкость течет по трубопроводу, длина которого велика по сравнению с радиусом R поперечного сечения. Разность давлений на концах трубопровода равна р (р > 0). Скорость течения жидкости v(r) (здесь г — расстояние от частицы жидкости до оси трубопровода) описывается дифференциальным уравнением
rfv  1 dv  _____р_
dr2 г dr	k '
где k — некоторая заданная постоянная. Найти скорость течения жидкости, если а|г==/?==0.
1101.	Толстостенная труба, внутренний радиус которой Гу, а внешний л, искривляется под действием нагрузки р. Считая трубу бесконечно длинной, полагаем, что радиальное смещение и = и(г) удовлетворяет дифференциальному уравнению
г^4-<—-«=о.
dr" dr
198
199
Найти радиальное смещение при условии, что труба находится под действием постоянной внутренней нагрузки р. В этом случае смещение удовлетворяет следующим граничным условиям: <rr=sO при r — ri и стг-|-р = О при г — го, где 0Г — радиальное напряжение, определяемое следующим образом:
где Е — мъдулъ упругости; р. — коэффициент поперечного (радиального) растяжения.
1102.	В условиях задачи 1101 найти радиальное смещение «(г), если труба находится под действием постоянной нагрузки р на наружную стенку. В этом случае 0г =0 при г = го и аг4-р = 0 при г = гь
Контрольная работа 5
Вариант I
1. Проинтегрировать уравнение
1(41 - 1 )D2x + 2(2/ - 1 )Dx - 4х = 6/(2/ — 1)
с известным частным решением х = 1 //, / > 0, однородного уравнения, соответствующего данному.
2. Проинтегрировать уравнение t2D^x-^~tDx— х = — t cos t — (1 + /2) s>n Е
Вариант II
1. Проинтегрировать уравнение
(I 4- /2)Л2х 4- tDx - х -h 1 = О
с известным частным решением х = t однородного уравнения, соответствующего данному.
2. Проинтегрировать уравнение t3D2x-\-4t2Dx-\-
4-2/х=1.
200
XII. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ГОЛОМОРФНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
39. ГОЛОМОРФНЫЕ РЕШЕНИЯ
Пусть 1о — интервал ]/о — R, to + /?[ или ]— оо, оо[, если /?=-|-оо. Функция /(/) называется голоморфной на промежутке То, если она задана на 1о и представима в виде сходящегося на 10 степенного ряда
fit) = 2 o^t - l0)k.
As=0
Линейное уравнение
Dnx-\- aa_\(t)D" *x + ax(t)Dx + а0(1)х ~ f(l).
t € Io,
где коэффициенты k 0, n — 1, и неоднородность /(/) являются голоморфными функциями на 10, называется линейным уравнением с голоморфными коэффициентами.
Теорема о существовании голоморфного решения. Задача Коши
Dnx-\-an_\(t)Dn *х4-... 4-ai(/)Dx+a0(/)x = /(/), t С Io, D'x|,^ = ^ / = 65^Г’
где а*(/), k = 0, п — 1, и / (/) — голоморфные на 1о функции, при любых £/€ R, / = 0, п — 1, имеет единственное голоморфное на U решение
х(0 = 6о + 6.	+... +	1	+ £ Ak(t - /о)‘.
Л*=п
Коэффициенты Ап, An+i,... однозначно выражаются через |о, £i>	£n-i-
Общее решение линейного уравнения с голоморфными на 10 коэффициентами дается формулой
х(0=Со + С,И+... +	+ у А„(1 - tBy,
11	(п — 1)!
'	k=rn
где Со, С|, Сл-1 — произвольные постоянные, через которые однозначно выражаются коэффициенты А,, Лп-н, ...
201
Зная структуру общего решения линейного уравнения с голоморфными коэффициентами, можно строить решения этих уравнений, используя метод неопределенных коэффициентов.
Для построения общего решения однородного линейного уравнения второго порядка с голоморфными на 1п коэффициентами
D2x + p(l)Dx 4- q(f)x = О
поступают следующим образом. Строят в виде степенных рядов нормированный в точке / = /0 базис пространства решений Х|(/) и х2(/)» т. е. ищут решения, удовлетворяющие начальным данным x|/=/e=l, Dx|/=/=0 и х|/=/о = б, ^4=^1' Тогда общее решение рассматриваемого уравнения записывается в виде х(/) = CiXi(Z) -f- СгХгЦ), где Ci, С2 — произвольные постоянные. Если ряд, представляющий решение задачи Коши для однородного уравнения, удается просуммировать, т. е. выразить его сумму через элементарные функции, то в этом случае рассматриваемое уравнение можно свести к уравнению первого порядка.
Задача- Построить в виде степенного ряда решение задачи Коши Dzx = tDx — х+ I — cos t, х|1ш.0 = О, = 1-
Решение. Коэффициенты исходного уравнения и неоднородность /(х) = I — cos I разлагаем в степенные ряды по степеням /:
/2	/4	/6
Ci(/) = Л* а0(/)= —!,/(/) = --------—1--£-
п '	2!	4!	6!
Решение задачи Коши будем искать в виде ряда по степеням t
x{t) = 2 АпГ л = 0
Дифференцируя обе части этого равенства два раза по I, имеем:
©о	оо
Dx= 2 пАпГ~1, D2x^ 2 «(п-1)АяГ~2 л=1	л=2
Полученные ряды для х(/), Dx(t\ D*x(t), ai(t), ao(f), f(i) подставляем в исходное уравнение:
2А* 4- 6Ast + 12А<«2 4-... 4- п(и. - 1)АпГ’г 4- - = — /(А| 4- 2А2/ 4- ЗА3/2 -Ь 4А<? 4-... 4- nAntn~l 4- ••) —
-(Ло + л,; + л2?+л3/3+ . +/W +...) + —-£-4-^—...
202
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получаем систему алгебраических уравнений для определения А,:
t°:	Ао + 2Л2 = О,
t :	6/4 з = О,
/2:	— Л2 + 12Л4 = J/2,
/й:	— 2Л3 + 20Л5=0.
/<:	_ ЗДИ- ЗОЛБ = - 1/24,
Л:	— 4Л5 + 42Л7=О,
t6:	— 5Л3-|-56Лй= 1/720,
Из начальных условий следует, что Ло = О. Л1 = 1, а нз полученной системы — что Л2п + 1=0, n = it 2, .... Л2 = 0, Лч = 1/24, Ле = 1/360, Ла = 11 /40320, ... Решение исходной задачи Коши имеет вид
24 + 360 + 40 320
Построить нормированный при t — 0 базис пространства решений в виде рядов по степеням t и записать общее решение уравнений:
1103.	(1 — t2)D2x — 4tDx — 2х = 0.
1104.	D2x — iDx — 2х = 0.
1105.	D2x -f- i2x = 0.
1106.	(1 — t)D2x + x = Q.
1107.	D2x — t2x = 0.
Построить решение задач Коши в виде степенного
ряда:
1108.	(2i - t2)D2x 4- (t2 - 2)Dx 4- 2(1 - t)x = 0, x|z_, =-= 1,
1109.	D2x — tDx-}-x — 1 = 0, x|/=0=0,	0.
1H0. D2x — 2Dx 4- № 0, x|/=z() = 0, Dx|^0 = l.
1111.	D2x — lx = 0, x|<=0 ~ 0, Dx /=c = 1.
1112.	D2x-Hx = 0, xUo=O, £>x/==0=L
1113.	D2x -j- tDx -|- x = 0, x|/=0 = 1, Dx|/e:0 = 0.
1114.	Найти разложение решения x(t) задачи Коши Dx — 2/х=1, х ,=о=0 по степеням t и показать, что
х(/) J dx.
1115.	Показать, что функция х(/) = (arcsin t)2 является решением задачи Коши
(1 — /2)О2х — tDx = 2, х|/=0 = 0, £>х|/=о — 0,
и найти разложение этой функции в степенной ряд.
203
Построить в виде ряда частное решение, удовлетворяющее поставленным начальным условиям, просуммировать этот ряд, найти второе частное решение и построить общее решение уравнений:
1116.	D2x — 2tDx Ч- 2х = 0, 4=о=О, £)х|/=0=2.
1117.	(l + t)D2x — tDx-x = 0, х|/=0 = 1, £)х|,=0=1.
1118.	(1 -t2) D2x -2tDx + 2x = 0, х|(=0=0. Dx ((=аС = 1.
1119.	(1 — tDx — х = 0, х|/==о==1, Z)x|/=0=l.
40. ОБОБЩЕННЫЕ СТЕЛЕННЫЕ РЯДЫ. УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ
Формальные решения. Обобщенным, степенным рядом ©о
около / = 0 называется ряд S aftZA+p, где р — некоторое постоянное число, причем либо о0 =5^ 0, либо аь = 0 для всех k.
Если степенной ряд S a.ktk имеет радиус сходимости ь=о
ск>
R > 0, то обобщенный степенной ряд S <W*+₽ сходится
при 0 < t < R (если р 0, то сходится и при t = 0).
Наряду с обобщенными степенными рядами рассматриваются и формальные обобщенные степенные ряды, для которых не ставится вопрос о сходимости.
Для линейных дифференциальных уравнений, коэффициентами которых являются обобщенные степенные ряды, ставится вопрос о построении формальных решений в виде обобщенных степенных рядов. Для построения таких решений формальный обобщенный степенной ряд с неопределенным параметром р и неопределенными коэффициентами щ подставляют в уравнение и определяют (если это возможно) величины р и а* из бесконечной системы алгебраических уравнений. Если полученный формальный обобщенный степенной ряд сходится, то он будет и решением дифференциального уравнения.
Задача I. Построить в виде обобщенного степенного ряда около / = 0 общее решение уравнения
,ч2 . 3/ — 2/2	/-{-I
D2x 4------5-— Dx-------=— х - О
2/2	2/2
204
Решение. Точка / = 0 является особой точкой данного уравнения. Решение уравнения ищем в виде формального обобщенного степенного ряда
СО
х(/) = 2 aktk+p. л=о
Так как
со
Dx^ 2 (Л4-р)а*М+₽-‘, А=0
оо
£)2х= 2 (б 4~ р) (& 4~ P — 1)а*/*+р~2, л=о
то после подстановки в исходное уравнение будем иметь
ОО	со
2 2 (Л 4-р)(£ 4-р—|)а*/*+р4-3 2 (^4-р)Ол/*+р-оо	оо	со
-2 2 (ft + p)aft/A+«’+'- 2	2 а*/*+»’	=	0
fc-0	А=0	А=0
ИЛИ
2 (2А? 4- 4Лр + 2р2 + k + р - 1)аик+р — *=о
- 2 (2А + 2Р+ l)aJ*+p+‘ =0. А —0
Приравняв нулю коэффициенты прн степенях i, получим бесконечную алгебраическую систему:
/₽:	(2р(р — 1) 4-Зр — 1) Go = 0,
(2р2 4- 5р 4- 2) а! - (2р 4- 1) со = 0, Г+2:	(2р2 4“ 7р 4-9) с2 — (2р 4-3) О| = 0,
/₽+т:	(2ш2 4-4тр 4-2р2 4-«I 4-р — l)am-(2m— I +
4“ 2р) От — I — 0,
Так как до 0, то из первого уравнения получаем квадратное уравнение 2р2 4- р — I = 0 для определения р, называемое определяющим уравнением Его решения pi = — I и р=1/2. Так как р,_р2=— 3/2 не является целым числом, то можно построить два линейно независимых формальных решения уравнения. Положим р = — — тогда формальный обобщенный степенной ряд имеет вид
m=Q
где а„ определяется рекуррентным соотношением
т(2/п — 3)от — (2т — 3)am_i = 0.
205
Тогда am = cia/ml, т = 1, 2, ... Одно формальное решение представимо обобщенным степенным рядом
ОО
.л До V г"'	е‘
х'^~ i /, m!	t ‘
тп=О
Полученное решение xi(/) является неформальным решением уравнения, так как ряд сходится для всех /=/=().
Полагая р = I /2, получаем второе решение:
771 = 0
Так как степенной ряд
Z3 (2/)т
(2m+ 3)"
771 = 0
сходится на R, то, следо-
вательно, хз(1) определяет решение уравнения для всех /	0. Частные
решения
СЮ
х' t = И Х2(/) = 3//2 £ (2/„ _|_3)[1
771=0
линейно независимы на ]0, оо [, следовательно, общее решение исходного уравнения представимо в виде
*(/) =- С|
L+У (2/уп
I	/ , (2т + 3)11 '
771=0
Найти те решения уравнений, которые выражаются степенными или обобщенными степенными рядами:
1120.	tD2x-^2Dx +1x^=0.
1121.	9/2£)2х — (Z2 — 2)х = 0.
1122.	t2D2x 4- 2t Dx — (/* 4-2/4- 2)х = 0.
1123.	i2D2x - t2Dx. 4- (/ — 2)x = 0.
Уравнение Бесселя. Линейное уравнение второго порядка
l2D2x 4- IDx + (Z2 - v2)x = 0
называется уравнением Бесселя индекса v. Точка t = 0 является особой точкой. Решение уравнения Бесселя ищут в виде обобщенного степенного ряда. Определяющее урав-
206
нение для р имеет вид р2 — v2 = 0. При v 0 решением уравнения Бесселя является
оо х(0 = а0 £
22>fe!(v+ l)-(v + &)
Так как этот ряд сходится для всех /	0, то х(/) явля-
ется неформальным решением уравнения. Если положить а0 = |/(2vr(v -f- I)), где T(v) — гамма-функция, то решение уравнения Бесселя
Z(— I)*	// \2ft-|-v
й!Г^ + А>4-1) *=о
называется функцией Бесселя пбрядка v первого рода. Если v не является целым числом, то решения JV(Z) и J_v(/) линейно независимы и общим решением уравнения Бесселя будет х(/) = Ci/V(/) + CzJЕсли v = nt n£Z, то частным решением, линейно независимым с решением служит функция Бесселя индекса v второго рода Yn(l). Для v 5^ п функция Л(/) определяется соотношением
7v(/) cos vn — sin vn
При v==zz
Y„(f)= lim Tv(0 = — lim	-(-!)« "^£1
v-*n	Л v-*n \ uv	uv
Решения Jv(f) и Kv(/) образуют базис пространства решений уравнения Бесселя при любом v £ R.
Общее решение уравнения Бесселя задается формулой
х(/) = СЛ(/) + С2К(/).
Задача 2. Проинтегрировать линейное однородное уравнение /2Д*х 4- tDx 4- (f2 - 9)х = 0.
Решение. Данное уравнение является уравнением Бесселя индекса 3. Частными линейно независимыми решениями его служат функции Бесселя первого и второго рода /з(0 и Уз(/). Общее решение представимо в виде
х(/)=С1/3(/)4-С2У3(/).
207
Задача 3. Показать, что /|/2(0 ='у2/(л/) sin /. Решение. По определению
7|/г^	2^ /г!Г(Л 4-3/2)
2*4-1/2
А=вО
24+1/2
лТо	' 3  5—(2A 4- I) -ул
f 2 . t — sin L nt
*	Л=0
Задача 4. Привести уравнение D*x 4-	1 • Dx -j- х = 0 к урав-
нению Бесселя с помощью замены искомой функции х = t~pz. Решение. Так как
Dx == -pi-^-'z + rpDz,
D*x = p(p 4- l)t-p~3z - 2pt~p~lDz -f- t~pD3z,
то после выполнения подстановки уравнение примет вид
ГрО*2 4- t~p~'Dz 4- (/-₽ — р2Г'р~*}г = 0.
После умножения полученного уравнения на tp+i приходим к уравнению Бесселя t^D^z 4- tDz 4- (/2 — P2)z = 0 индекса р.
1124.	Показать, что /_1/2 (t)=y2/(nt) cos t.
1125.	Показать, что У1/2 w = -Vwj cos I и У_1/2(0=72/(л0 sin t.
1126.	Показать, что для любого v£R имеют место рекуррентные соотношения для функций Бесселя:
±О(С/,(/)) = /'’-7,_1(0,
л f^X = _ 21+1W. t \г J r+‘
(Указание. Считать l/(k— 1)! = 0 при k = 0.)
1127.	Используя рекуррентные соотношения для функций Бесселя, доказать, что:
омо=-4^(о+л-.(о,
Ш,(/)=Лл(/) + /у+1(/), 4mO=/v+iW + A-i(0-
208
1128.	Доказать, что имеют место рекуррентные соотношения:
P(/vyv(/)) = /vrv_1(/),
П-t-. (О г
1129.	Выразить Л/2(0 и У3/2(/) через элементарные функции. (Указание. Воспользоваться формулами из задач 1127, 1128.)
1130.	Привести уравнение t2lfx 4- tDx 4- (а2/2 — v2)x = = 0, а =£ 0, к уравнению Бесселя с помощью замены независимой переменной т — at.
1131.	Привести уравнение D2x — Dx/t 4- (1 — tn1/i2)x = = 0 к уравнению Бесселя путем замены искомой функции x = ty.
Проинтегрировать уравнения:
1132.	<2O2x + <Dx + (f—1/4)х = 0-
1133.	12О2х + tDx + (I2 — 1 /9)х = 0.
1134.	t2D2x + lDx + (t2 — 81)х = 0.
1135.	t2D2x + tDx + (t2 — 8)x = 0.
H36. tD2x 4- — Dx 4- 2- x = 0.
1137.	t2D2x 4- tDx 4- (4t2 — -0 x = 0.
1138.	t2D2x — 2tDx-{-4(D — l)x = 0.
1139.	D2x4-	+ Tsx = q-
1140.	D2x+ ^-Dx + x = 0.
1141.	D2x 4- A Dx 4- 4x = 0.
1142.	t2D2x + tDx + 4(D ~ 2)x = 0.
1143.	Найти решение задачи Коши
t2D2x + tDx-j-(t2--I/4)х = 0, x\{^n/2 = l, £bc|/=aJl/2 =0, и исследовать его поведение при Z->0.
1144.	Для уравнения t2D2x 4- tDx 4- (t2 — I /4)x = 0 указать все решения, ограниченные около 1 = 0.
1145.	Для уравнения t2D2x 4- tDx 4- (t2 — 9/4)х = 0 указать все решения, ограниченные около 1 = 0.
209
41.	КОЛЕБЛЕМОСТЬ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С НЕПРЕРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Решение линейного уравнения второго порядка £>2х 4--j-p(l)Dx -J- q(i)x = 0 с непрерывными на промежутке 1 = — 1а, Ь| коэффициентами р(/) и q(t) называют неколеблю-щимся на промежутке I, если оно имеет на I не более одного нуля. В противном случае решение называется колеблющимся на 1.
Рассматриваемое линейное уравнение с непрерывно дифференцируемой функцией р(1) замено/i искомой функции
х = у ехр
i
$€ I»
S
приводится к каноническому виду Q?y 4- Q(f)j/ = O, где Q(l) — — p2(t)/4 —• Dp(i)/2 4- <7(0- Указанное Преобразование сохраняет нули соответствующих решений.
Теорема. Если Q(/)	0 V/ € I, то все решения урав-
нения £гх4" 0(0*=® 0 являются неколеблющимися на I.
Теорема. Если Q (/)	0 на I = ]а, 4~ 00 ( и
4- оо
j Q(t)«/t== оо, то все решения уравнения Z)2x4~ Q(t)x~ = 0 имеют бесконечное число нулей на I.
Теорема Штурма. Если 6 и — два последовательных нуля решения Х|(/) уравнения D2x -f- Q(t)x = 0, то всякое другое линейно независимое решение х2(/) этого же уравнения имеет один нуль между h и /2.
Теорема сравнения Штурма. Если непрерывные коэффициенты Qi(/) и Q2(0 уравнений D2x-\- Q\(t)x~ = 0 и try 4- Q?(f)y = 0 на промежутке I = b | удовлетворяют неравенству Qi(/)^Q2(/), то между двумя последовательными нулями решения х(/) первого уравнения заключен по крайней мере один нуль решения у(1) второго уравнения.
Привести уравнения к каноническому виду. Исследовать колеблемость ненулевых решений:
1146.	t2D2x 4-fDx 4-(/2 — 1/4)х = 0, />0.
1147.	/2Р2х - 2Шх 4-(/2-р 2)х = 0, />0.
1148.	№х - 4tDx 4- (6 — /2)х = 0, t > 0.
1149.	(1 4-/2)П2х 4-4/Z)x + 2х == 0.
210
1150.	t&x — Dx~ 4/3x = 0.
1151.	(1 +/2)O2x +/Dx + x = 0.
1152.	Найти условие, при котором все ненулевые решения уравнения D2x 4- pDx 4- qx = 0, где р, не-колеблюшиеся на R-
1153.	Пусть непрерывная на I = ]а, 4-oof функция Q(t) удовлетворяет неравенству Q(t)^ т> 0. Доказать, что все решения уравнения D2x 4- Q(/)x = 0 имеют бесконечное число нулей. (Указание. Воспользоваться теоремой сравнения Штурма.)
1154.	Пусть непрерывная на 1 == ]а, 4-°°1 функция (?(/) удовлетворяет неравенству 0 < т С Q(t)^M и 6 — расстояние между последовательными нулями некоторого решения уравнения D2x 4- Q(t)x — 0. Доказать, что 6 удовлетворяет неравенству п/д[м 6 зт/^/дп.
Оценить расстояние между двумя последовательными нулями ненулевого решения уравнений на заданном промежутке:
1155.	D2x 4- 2/х == 0, [20, 45 .
1156.	/£>2х4-х = 0, [25, 100.
1157.	D2x - 2e‘Dx 4- A = 0, [2, 6].
1158.	Исследовать колеблемость ненулевых решений уравнения Эйлера i*D2x 4- а х == 0 при t > 0.
1159.	Привести уравнение Эйлера t2D2x + a\tDx + 4-асх = 0, /> 0, к каноническому виду и исследовать колеблемость сто ненулевых решений.
1160.	Доказать, что все ненулевые решения уравнения Эйри D2x — /х = 0 являются неколеблющимися на ]0, 4- °° [•
1161.	Привести уравнение Бесселя t2D2x tDx + 4- (/2 — v2)x = 0 индекса v к каноническому виду.
1162.	Исследовать колеблемость ненулевых решений уравнения Бесселя В2х 4-^ 1 — v 4 ) х = 0, t > 0. (Указание. Воспользоваться теоремой сравнения Штурма и результатом задачи 1154.)
1163.	Показать, что всякое решение уравнения (14-4- t2)D?x 4~ /3 2 cos2 / • х = 0 имеет бесконечное число нулей.
1164.	Показать» что каждое решение уравнения 4~ .2
4- -4- х = 0, I > 0, <о =# 0, при а 1 имеет бесконечное числЬ нулей.
211
XIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
42. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В НОРМАЛЬНОЙ ДИФФЕРЕ ЩИ АЛЬНОЯ ФОРМЕ
Векторные уравнения. Векторное линейное относительно Dx уравнение Dx = f(f, х), /6R, x6R", где f: (j->Rn, G cz Rn+I, записывается в виде следующей системы:
Dxk = fk(t, .., хл), k = TTnt
которая называется векторным дифференциальным уравнением или системой обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме. Число уравнений системы определяет ее размерность. Рассматриваемая система задана на области G a Rn+I, если в каждой точке (/, Х|, xn)£G определены и непрерывны функции f\t ..., fn.
Систему, содержащую производные любых порядков,
F/(/, xi, Хп. Dxi, .... Dxn. Dkxi.... Dlxn)~(K
/= 1, n, k, /£N,
можно свести к системе дифференциальных уравнений первого порядка, введя новые переменные.
Дифференцируемая векторная функция x(/) = (xi(/), .... хп(/))\ заданная на IczR и обращающая векторное уравнение Dx~f(t, х) в тождество на I, называется решением векторного уравнения. Совокупность компонент решения х(/), t £ I, векторного уравнения образует систему решений Xk(i\ k= 1, n, /61, дифференциальной системы.
Задача Коши для векторного уравнения имеет вид
Dx=f(t, х), (i, х)€ G, *Us = t
Теорема Пеано. Если функция f непрерывна на области GcR^1, то задача Коши имеет решение в окрестности точки s, 5 61-
Теорема Пикара—Линделёфа. Если функция f непрерывна на области	и удовлетворяет
условию Липшица по х в некоторой окрестности U точки (5. Ю € G, т. е.
212
lf(t> y)}<L\x-y\ V(/, x), (/, y)£U, где L — некоторая постоянная (постоянная Липшица), то задача Коши однозначно разрешима в окрестности точки s, s С1 (локально однозначно разрешима).
Условие Липшица будет выполнено, если функции
Kt. х)=	*)’	-df,	dh - дх,	* ‘ ’	dx. ,	x) = dfn	dfn dxn _
	Jn(t, х)	
непрерывны на выпуклом по х компакте V с: Rn‘H. Совокупность п функций
хл(/)— Ci, ..., Сп), k1, п,
называется общим решением системы в нормальной дифференциальной форме Dxk = fk(t, xit хп), k = = I, п, на области G, если для любой точки (t> Хъ ...» хп)6<? система Xft = q>k(t, С{.Ся), А = д, разрешима
относительно постоянных Сь Сг, ..., Сп, и при найденных значениях постоянных совокупность хй(/), &= 1, и, является решением системы.
Для линейной системы в нормальной дифференциальной форме
5 Pkj(i)xjgk(t)t fc=l, л, /6IgR, /-I
(см. § 15) с непрерывными на ] коэффициентами задача Коши глобально однозначно разрешима на I.
Первые интегралы. Функция Ф(/, xlt .... хп), отличная от постоянной на любой непустой подобласти области G, называется первым интегралом системы Dxk = fk(t, Xi, ..., хя), k—l,n, если она сохраняет постоянное значение вдоль решений этой системы, т. е. для любого решения Xi(/), ..., xn(t) дифференциальной системы Ф(/, Х|(/), xn(rj) = С. Если первый интеграл не зависит от I, то он называется стационарным.
213
Задача 1. Доказать, что функция Ф(хь Xi) = x* + x% является первым интегралом системы
(DX\ = Х2, (РХз = — .
Решение- Данная система является линейной стационарной системой. Построим ее общее решение сведением данной системы к системе независимых уравнений:
(Dxt = х2, jD~Xi = Dxz, (D'~Xi = — *i,_ (DX2 = —*1	= —X| (X2 ~ Dxi
xi (/) = Ci cos t 4- C2 sin t, x2(/) = — Ci sin / -j- C2 cos t.
Определим значение <D(xi, x2) вдоль решений системы:
Ф(Х|(С, №(0)=ХТ(/) + Х22(/) =
— (Ci cos t 4- С2 sin /)2 (— Ci sin / 4~ G» cos /)2 = Cf 4- Cl — C. Следовательно, Ф(х|, X2) = x? 4~ *2 является первым интегралом рассматриваемой системы.
Теорема о первом интеграле. Дифференцируемая функция Ф(/, xi,..., хп) является первым интегралом системы Dxk — fk(t, ........,	хл), Л= 1, л, в том и только
в том случае, если выполняется тождество
I	г 	г ।	t	л
~дГ	+ +	—и
V (Л хь xn)£G.
Задача 2. Доказать, что функция Ф(/, xi, х2) = arctg (xi/x2) — t является первым интегралом системы
f Dxt х*/х2, (£>х2== —х2/Х|
для любых Х| > 0 и х2 > 0.
Решение. Проверим справедливость тождества, указанного в теореме о первом интеграле, для данной функции Ф(/, xi, х2), учитывая, что Ь *=х?/х2, fs = — х1/х>. Так как
дФ . дФ Xi дФ	xi
——   — I — —  - —	  , — I  —Г	I	—
dt	дх\ то -14-— ^ ., х( 4-Х2 Следовательно, Ф(/, хь хо)- 214	xi 4- *2 дхъ	л2 4- хг Х|	Х| /	х! \ 2 । •> 1	) ~ '’* Xi	Xi 4“ *2 \ Х| / - первый интеграл системы.
Базис первых интегралов. Первые интегралы Фь
Фт, т п, системы Dxk = fk(tt xi, .... хЛ k = 1, и, независимы на некоторой области G cz Rn+', если на G ранг матрицы Якоби J равен т, т. е.
	ГдФ1		<ЭФ| "I	
	dxt	« « «	дхи	
rank				т.
			<?Фгя	
	дх\		дх„	
Совокупность независимых первых интегралов Ф|, ..., Фй системы Dxk — fk(t, xi, ...» хп), k^=\, п, называется базисом первых интегралов, если любой первый интеграл можно представить в виде ЧГ = Я(Ф|, ФЛ).
Теорема существования первых интегралов. Пусть функция f(t, х) определена в области G cz R"+1 и V (s, I) 6 G однозначно разрешима задача Коши Dx = — f(t, х), x|/=:S=£. Тогда V (s, %) EG существует окрестность, в которой система Dxk = f*(t, xi,.... хп), k= 1, п, имеет базис первых интегралов.
Наличие tn (теп) независимых первых интегралов системы
Dxk = fk(t, xit ...» хп), k= I, п.
позволяет понизить размерность ее на m единиц. Базис первых интегралов системы позволяет построить ее общее решение.
Задача 3. Понизить размерность системы
= х2,
DX2 = X|,
Охз = хэ.
зная ее первый интеграл Ф = (х|
Решение. Вдоль решении системы Ф(/, xt(l), л-2(/), л’з(0) = С, т. е. (xi -f- х2)/хз = С. Отсюда Jti — — х2 + Схз. Исключая из данной системы, получаем систему
Dx2= — x-zH- Схъ, Dx3 = л-3
размерности 2.
215
Задача 4. Проинтегрировать систему
Dx, = х2>
Dx2 — хз,
Dx3 — —А2х2, k о,
предварительно убедившись, что функции
Ф1 = k2xi 4- хз, Фг = kx2 cos kt — хз sin kt, Ф3 = kx2 sin kt -f-4- x3 cos kt,
являющиеся первыми интегралами, образуют базис системы.
г»	п дФ| 2 <ЭФ| <ЗФ1
Решение. Так как —= 0, —— = k, ----------= 0, — - = 1
dt дх\ дх2	дхз
и 0+£2Х2-Т 0-хз+ 1( — £2х2) = О, то тождество теоремы о первом интеграле для Ф1 выполнено для всех (/, xi, х2, хз)£И4. Аналогично проверяем справедливость тождества для функций Ф2 и Ф3:
—А2х2 sin kt — kx3 cos kt 4- 0 • x2 -|- k cos kt • x3 — sin kt • (— fc2x2) s 0, A2x2 cos kt — kx3 sin kt 4- 0 • x2 4- k sin kt • x3 4- cos kt • (— fc2x2) as 0.
Матрица Якоби / функций Ф|, Ф2, Ф3 имеет вид
J = О
'k2
о k cos kt k sin kt
1
— sin kt cos kt
О
Так как detJ = k3^Q, то функции Ф|, Ф2, Фз образуют базис первых интегралов. Разрешив алгебраическую систему
k2xi 4-хз = Ci,
kx2 cos kt — Хз sin kt = Ci, kx2 sin kt 4- x3 cos kt = Сз
относительно xi, x2, x3, получим общее решение исходной системы:
Xi (/) = (С| 4- Сз sin kt — Сз cos kt)/k2, x2(0 = (C2 cos kt 4- Сз sin kt) /k, x3(t) — Сз cos kt — Ci sin kt.
Одним из методов построения первых интегралов системы является образование интегрируемых комбинаций посредством сложения, вычитания и деления данных уравнений. Иногда уравнения предварительно умножаются на некоторые функции.
Задача 5. Проинтегрировать систему
^z2)l/eR.л•,>0.x!>0^
216
Решение. Так как Dx\ = dx\/dt, Dxz — dx^/dt, то, разделив уравнения почленно, составим интегрируемую комбинацию
dx\	х|
dxi	xi
Интегрируя полученное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, получаем общее решение xJ = Xi4-Ci- Следовательно, первый интеграл системы имеет вид Ф| — х*— х|. Подставляя хг = *\/х1 + Ci в систему, понижаем ее размерность на единицу и приходим к уравнению с разделяющимися переменными
dxi д/х* 4- Ci dt ~~ xi
общее решение которого х?4-vxf4-Ci = Сге2'. Отсюда следует, что С» = е~21(х\ 4* х|). Полученная совокупность первых интегралов Ф] = ==Х2 —х«, Ф2 =e~2t(xi 4- х2) образует базис первых интегралов, так как ранг матрицы Якоби / равен двум. Разрешая функциональную систему уравнении
Хг — xf — Cf = О,
4 + 4 _ с,е2' = О
относительно Xi и х», получаем общее решение системы:
x.W=T^e!'--^e- >
Линейную систему в нормальной дифференциальной форме с переменными коэффициентами путем замены переменных иногда можно свести к линейной стационарной системе. Если линейная система имеет вид
п	_____.
£>х* = ф(/) 5 akiXj + gk(t\ £=i, п,
то она сводится к линейной стационарной системе заменой /
независимой переменной т = J s £ I.
S
Задача 6. Проинтегрировать систему
(Dxi =( —2xi 4- х2) ctg / 4" cos /.
(£>Х2 = (—3xi 4- 2xj) ctg t 4- cos3 /, t £ ]0, л(,
приведя ее к системе с постоянными коэффициентами.
217
Решение. Введем новую переменную
t
г = J ctg idt, т = In Sin t, л/2
т. е. sin t s=- e\ Так как
DXi ~ _±1 dt
dxi dt	dx? _ dx? dt
dx di 1X2 dt dx dt
t. e Dxi ==
er вид
Л. . n dx2 . .
Dx? =	- ctg t, то исходная система пркннма-
d*i dx dx? dx
В результате получили линейную неоднородную стационарную систему. Используя дня ее разрешения метод сведения к одному уравнению, приходим к общему решению:
xj (т) == C\ez 4- Сге'1 - eJl/8, х»(т) = 3C(er + C2e~z - ет - 5e3l/S
Возвращаясь к переменной С подучаем общее решение исходной системы’
Х| (0 - С, sm I 4- С2 —1—---• ~ sin31.
sin t 8
Ка(0 — ЗС) sin t 4 С? —J—---sini-----it sin /.
sin t	8
Проверить, являются ли первыми интегралами систем функции Ф,(/, Х|,.... х„). {Проинтегрировать системы:
1165 (&Х1~ХЪ Ф| =Х| COS Z —Х2$1П Л Ф2 = Х1|Х2, {Dx2~—Фз = Xi sm tХ2cos G ф4 = х? — xi.
1166.
Dxi =x3, Dx2~X4, Dxs= —k2X2, ,Dx4 = —k2X\;
Ф1 =x2 4- X4 4- 2k X1X2, Ф2 = 2x3x4 4- k2(x? 4- ^2), Фз = (/e(xi — xo) 4- Xj — x4)e~Aff Фц = &(X1 4- x2) cos kt — (хз 4-4“X4) sin kt.
Dxi (x? — /)/x2, Dx2 = — xr,
Ф1 — t2 4~ 2xiхз, Ф2 = xj — — /Х2, Фз = X| 4“ 2xj.
1168.
Dxi ==xt> Dx2 — x2, Dx^ X3;
Ф» = (xi 4- X2) / (хз 4- -vi)> Ф2 = (хз — x2)/(xi 4~ X2), Ф3 = (xi 4- Хз)/х2.
218
1169.
Dx\ = x2, DX2 = Xit DX3 = хз;
Ф1 = x? — X2, Ф2 = (x I —X2)/Хз, Фз =* x2 4- xl.
1170.
OXi = 2xt 4-Ф1 =хт4-х1, Ф2=Х|£? 2t±e \ DX2 = — 3xs -H; Фз = X2e'u — 3e3'.
2	2
(DX\ = — — Xl-h— X2-M, 1171J
\Ox2 = — yXi — yx2 + /;
Ф1 = (xi -p X2) /3	-4- I* 5- ^5.
ф2 = (x, + 2x2) t* - 4? - 4 /6-
1I7O /Ох| = 5х1-р4х2 + е/, 1 2’ \Dx2 — 4x) -j- 5x2~P l;
Ф| = ^X| 4“ X2 4" -g- & 4“	»
Ф2 = (xi — X2 — te* —• l)e_/.
Dx\ = xi 4-Dx2 = 2xix2;
Oi = /4- 1/(xi4~ x2), Ф2 == t -|- 1 / (xi — x2)-
1174.
Dx\ = //x2, Dx? = — //x'b
Ф, =гХ|Х2, Ф2 = 1П X2 4" /2/(2Х|Хг)
|0Xi = Xi/(X2 — *)» 10x2 = xi 4-1;
r Dx\ = x?x2, IOX2 = X2// —X1X2;
Ф1 = (x2 — z)/xi, Ф2 = in Xl — fxi/(x2 — /).
ф| =X|X2/(2/), ф2 ==xje-zx,x,/2.
Проинтегрировать системы, комбинации:
построив интегрируемые
1177.
1179.
(Oxi == l/x2, [Ox2 = l/xi.
( Dx\ = x2/(x2 — xi)2, lOx2 = Xi/(X2 —Xl)2.
1178.
1180.
Dxi = x?/x2, Ox2 = x2/xi.
Oxi ~ X?/X2, Ox2 = Xi-
219
1181 l^Xl ==sin x* C0SX2’ пая fDXi=e 7x2>
I jDx2 = cos sin x2.	( DX2 — e 7*i •
Проинтегрировать линейные системы, приведя их к линейным стационарным системам:
г £>xi == 1 4-(—xj + x2-j-x3)/tt
1183.	| Dx2 = t2 4~ (xj—x2 4~ Хз)/Л
I Px3 = (4 4- xi -f- x2 4- xj)//«
/ £>X| = (—2xj — 2x2 — 4x3)//,
1184.	j Dx2 = ( — 2xt 4- x2 — 2хз)Л,
' Dx3 = (5xi 4- 2x2 4- 7x3)//.
/ Dx\ = (—2xi — 2x2 — 4x3)//2,
1185.	J Dx2 = (~2xi 4-x2 - 2x3)//2,
t Dx3 = (5xi 4- 2x2 + 7x3)//2.
/ Ox\ — (—2xj — 2x2 — 4хз)/(2-\Д)* 1186. 1 Dx2 = (- 2xt -b x2 - 2xs) /(2\T),
Dx3 ~ (5xi 4~ 2x2 4- 7x3)	.
HR7 /	=(4x; — x2)/Z,
,,o/- px2^(5xi-b2x2)//.
11RR f =(“~~i~ x2) cos
t Dx2 == (—4xi 4- 3x2) cos t.
11 Q I Ихj (3x2
liey- IDx2=1-Hx24-xi)/7.
1190. f°Xl=(-x‘ + x24-sinVF)/(2V0> lz)x2 = ( — 4xj -b3x24-e^')/(2V*)-
43. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ В СИММЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Векторное уравнение Dx~f(x), х£ R" можно представить в виде системы
_ dx2 __	__ dxn __
/l(Xj, дя)	•••» Хп)	fn(,Xi, ..., Хл)
220
Систему
dx\ _____ dx? __________	__ dx„
fl(xit .... x„) fi(xi. ...» xn) ' fn(x... x„)
называют системой в симметрической форме.
Для разрешения последней системы надо найти п — 1 независимых первых интегралов, т. е. построить базис первых интегралов. Первые интегралы системы в симметрической форме целесообразнее находить, определяя интегрируемые комбинации, для построения которых используют основное свойство пропорций (равных отношений)
dx\ _ dxi __	___ dxn _ fp\dxt 4- qWx2 4~ —4- <fr.dxn
ft [2	’ fn	<$>lA + ф2^2 ~Ь —+ ф/Jn
Теорема об интегрируемой комбинации.
Если выражение
ф1(хЬ ..., Xn'jdX} +ф2(Х1, Хл)^Х2-Ь..+ фл(*1» •» xn)dxn является дифференциалом некоторой функции Ф(хь ...» Хп} и
ф J fl + Ф2/2 +... Н- фЛ = о v (Х1, ..., хп) € G,
то Ф — первый интеграл системы.
Задача 1. Проинтегрировать систему dX\________________________dxj________dx3
х3 — X'i xi — Хз ~~ Хз — Xi ’
Решение. Построим интегрируемые комбинации: dxi ________________ dx\ -j- dx% 4~ dxz
X3 — X2	хз —Xs4-Xi — Хз4~Х2~Х| *
dxi____________Jtjzfxi 4- xidXz 4~ x^dxz___
Хз — X2 ~ Xt (X3 — X2) 4- X2(Xj — Хз) 4~ X3(X2 — X|) ’
Так как знаменатели правых частей равны нулю, то dxi 4- dx2 4* dX3 и xidxi 4~ x2dx2 4-Xjdx3 — интегрируемые комбинации. Следовательно, xj 4~ xj 4-хз = Ф1 и xj 4- xl 4- xj — Ф2— первое интегралы. Так как
J 1	1 Ио
rank	= 2,
[ 2х(	2х2 2хз J
то Ф| и Ф2 образуют базис первых интегралов. Следовательно, общее решение данной системы имеет вид
pi 4-xjj 4~ Х3 = Ct, (х> 4- xj 4- xi = Сг.
221
Задача 2. Построить базис первых интегралов системы dxi dxt _ dx3
Xi + xl + xi № x3
Решение. Для построения базиса найдем два независимых первых интеграла системы, используя следующие интегрируемые комбинации:
dx2 __ dxj dX2 _ dxi — 2xjdx3 — 2x3dx3
Xs	A”	Xi-f-Xz+xi—2.d —2xi
т e.
dx2   dx3
x2	x3
dx2 _ </(*! — xj ->- *%) X2 X| — xi — x|
В результате получаем x2 = 6'1x3 и C2x2 =	— xl — x$. Таким
образом, Ф| = x2/xJ( Ф2 = (xi — xi — x3)/x2 — первые интегралы Они образуют базис, так как
rank ।
£ х2
Х2
Ji. хз
2х3
Х2 1
Построить базис первых интегралов:
11	dxi __ dx^ ______________ dx3 __________ dxt
3 (x2 — x4)	2 (x3 — Xi) 3 (x4 — x2)‘	2 (xi — x3) *
j j gy t/Xi ___ dx^ ___ dXi
X2 xi xT"*
1198.
X3 — X2 Хз —X2
1199. — =— =---------------——
xix2 x2 xjx2x3 — 2xf
222
1200	__ dx% _____
Xi X2	X3 — X? — X5
j 201	=__________________dx-j
X| (x2 4- X3)	Хз(ХЗ — X2)	X«(X2 — Хз) *
1202	  f/xo	__	хз
Х|Хз	Х?Хз	Х|Х2
1203.	—----- =-----—-----= —: ------.
Х| (хз — Хз)	Х2(х2 — Xj)	Х2 — Х)Хз
120^ d**   dx?   dX3 Х2Х3	xtx3	Х1Х2
1205.	Составить систему в нормальной дифференциальной форме, эквивалентную дифференциальному уравнению D3x 4- k'^Dx = 0.
1206.	Исключив переменные, заменить систему одним дифференциальным уравнением наименьшего порядка:
/ Dxi = bx-з — сх2, ( Dx\ = ах2хз,
а) < Dx2 = сх\ — ахз, б) j Dx2 = 0xix3,
( Рхз == ах* ~6хг,	( Охз = УХ1Х2;
( D^X{ + k2X2 = 0,
I D х2 4- k2x\ = 0.
1207.	Составить систему в нормальной дифференциальной форме, эквивалентную системе уравнений
D3x\ = а(хьО2Хз — x3Z>2x2), £)2х2 = Ь(хъОх\ — Х\Охз), £)2Хз = СХ|Х2.
1208.	Твердое тело с одной неподвижной точкой, совпадающей с центром инерции тела, движется под действием его веса- Это движение описывается системой
' A^-=(C-B)qr,  В^^А~С)гр. .С^-^(В-А)рд,
где Я, В, С — главные моменты инерции (положительные постоянные, определяемые для каждого тела); р, qy г —
223
проекции угловой скорости на прямоугольную систему координат, начало которой совпадает с центром инерции тела, а оси — с главными осями инерции. Построить два независимых стационарных первых интеграла.
1209.	Согласно закону всемирного тяготения, движение центра масс планеты, притягиваемой центром масс Солнца, описывается уравнением
-0,
где г = xei -j- ув2 + ze$\ k2— постоянная, зависящая от массы Солнца и гравитационной постоянной; начало координат совпадает с центром масс Солнца. Записать уравнение движения в координатной форме, перейти к системе в нормальной дифференциальной форме, записать ее в симметрической форме и построить три независимых стационарных первых интеграла.
44. ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА И УСТОЙЧИВОСТЬ
Функция Ляпунова. Рассматривается векторное дифференциальное уравнение Dx — f(t, %) с непрерывной правой частью f, определенной для t s, V х £ R", которое обладает свойством однозначной разрешимости любой задачи Коши
Dx = f(t, х),
Предполагается, что все решения x = x(f) векторного уравнения Dx = f(t, х) определены для l^s.
Решение x{t)—x[t\ s, %) векторного уравнения Dx = = х) устойчиво по Ляпунову в положительном направлении (устойчиво), если
Ve> 0 Э 6 > 0, V / > s, V Д^Е R", ||Д||| <
=>IIx{t\ s, |4-Ag) — x(t; s, g)||<e.
Решение x(f) = x(t; s, g) асимптотически устойчиво no Ляпунову, если оно устойчиво по Ляпунову и Э т)> О, такое, чтоУ Д£, ||Д£|| < т]=> ||х(/; s, £-|-Д£) — x(t\ s, £)||-> —►О при /-*- 4* 00
Вопрос об устойчивости данного решения х(/) = = х(/; s, £) векторного уравнения Dx = f(t, х) сводится к вопросу об устойчивости нулевого решения векторного
224
уравнения Dy = g(t, у\ полученного из данного заменой !/ = х —х(/; s, У, где g(t, 0) = 0.
Теорема Ляпунова об устойчивости. Если существует функция и: R"—>-R, непрерывно дифференцируемая, положительная при х^О, x^R", и у(0) = 0, для которой
где г — положительная постоянная, v — функция Ляпунова, то нулевое решение векторного уравнения Dx = — f(C х\ 0) = О устойчиво.
Следствие. Если векторное уравнение имеет стационарный первый интеграл и, положительный в проколотой окрестности точки х — 0, и п(0) — 0, то нулевое решение векторного уравнения устойчиво.
Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если существуют функция Ляпунова и и непрерывно дифференцируемая функция w: Rrt-*-R, положительная при х =/= О, х £ R'1, и ui(0) = 0, такие, что
grad v •f<
— w V/ s, V х, | x||
где г — положительная постоянная, то нулевое решение векторного уравнения Dx—f(t, *)» f(C 0) = 0, асимптотически устойчиво.
Задача I. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы
Dxi = х2 sin / — х?,
Dx-2 — — Xi sin / — X2,
убедившись в том, что функция ха) = х? + х2 является функцией Ляпунова.
Решение. Функция ц(хь ха) = х? Ч-х2 непрерывно дифференцируема и положительна при всех xt 0 и xt=£Q и о (0, 0) = 0. Так как
/=[ xxs‘"‘ Л1 /(tft o) = fol
L—X| Sin 4 — Х2 J	LUj
и grad v = (2xt, 2х2)г, то
grad v • f = 2xix2 sin I — 2xf — 2xixa sin t — 2x£ = = -2(xJ4-x&
8 Зак. 2708
225
Поскольку grad и-/С 0 при всех х(, х2, то o(xj, X2) = x?4-xi — функция Ляпунова данной системы. Следовательно, на основании теоремы Ляпунова нулевое решение х(/)==(0, 0)г устойчиво.
Если положить ьу(Х|, х2) = 2(xi 4-х2), то на основании теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости нулевое решение будет и асимптотически устойчивым, так как а»(Х|, х2) > О VX|#=0, х2 =5^ О и а»(0, 0) = 0, a grad v • f —w.
Устойчивость по первому приближению. Для исследования нулевого решения векторного уравнения на устойчивость выделяют, если это возможно, в правой части уравнения линейную часть в окрестности точки х = 0, т. е. векторное уравнение Dx = f(t, х), /(/, 0) = 0, приводят к виду Dx=^Ax + g(t, х), g(t, 0) = 0, g(t, х) = о(||х||), при х->-0.
Стационарное линейное векторное уравнение Dx~Ax называют первым приближением векторного уравнения вдоль нулевого решения.
Теорема об устойчивости по первому приближению. Если все собственные значения матрицы А имеют отрицательные действительные части, то нулевое решение векторного уравнения Dx = Ах + g(t, х), g(t, 0) — = 0, g(t, х) = о(||х||), при х-э-0 асимптотически устойчиво для t s. Если хотя бы одно собственное значение имеет положительную действительную часть, то нулевое решение неустойчиво.
Задача 2. Исследовать на устойчивость стационарные решения Х| = kn, Х2 = 0, k £ Z, системы
(Dx\ — Х2,
I Dx2 = — b sin xi — ах2, a, b £ R.
Решение. При b = 0, а 0 исходная система принимает вид
{Dx, — х2,
Ох2 = —ах2.
При 6 = 0, а = 0 система имеет вид
(Dx, = Х2, I Ох2 = 0.
В этих случаях стационарным решениям Xi — С, хг = 0 соответствует прямая покоя х2 = 0.
Исследуем на устойчивость стационарные решения системы при b 5^ 0 и k = 0, ft = 1.
1. ft = 0. Запишем разложение sin xi по формуле Тейлора в окрестности точки Х| = 0:
х? < sin Х| =Х|---—4- о(Х|).
226
Система первого приближения имеет вид
{Dxt = х2,
Dxt = — bxi — ах2.
Характеристическое уравнение матрицы системы
имеет вид v2 -|- av b = О
При а > О, b > 0 собственные значения матрицы А имеют отрицательные действительные части, следовательно, нулевое решение xi = 0, х2 = 0 асимптотически устойчиво.
При а > О, Ь < 0 и при любом b и а < 0 решение Xi = 0, х2 = О неустойчиво, так как среди собственных значений матрицы А существует значение с положительной действительной частью.
При а = 0, b < 0 собственные значения матрицы А противоположны по знаку, следовательно, решение х> = 0, х2 = 0 неустойчиво.
При о = 0, b > 0 собственные значения матрицы А имеют нулевую действительную часть В этом случае теорема о первом приближении не дает ответа об устойчивости решения. Для исследования устойчивости нулевого решения Х| =0, х2 = 0 системы
(Dxi = х2, lZ)x2 = —b sin Xi
воспользуемся теоремой Ляпунова, положив п = хг/2 + 6(1—cosxt). Функция v в окрестности точки (0, 0) положительна и о (0, 0) = 0, a grad и • f = 6х2 sin Xi — 6х2 sin х> = 0. Следовательно, решение Х| = О, х2 = 0 устойчиво.
2. k~\. Запишем разложение sin Xi по формуле Тейлора в окрестности точки Х| = л:
sin Xj = — (х, — л) + “7^-------o((xi — л)4).
О:
Система первого приближения имеет вид
(Dxi — х2,
(Дх2 = b(xt — л) — ох2.
Произведя замену переменных Х|—л=с/ь х2=£/2, получим систему
fDl/l = у2,
[Dy2~byi —ау2.
Характеристическое уравнение матрицы системы
имеет вид v2 -J- av — b —Q.
При a > 0, b < 0 собственные значения матрицы А имеют отрицательные действительные части, следовательно, нулевое решение 1/1=0, у2 = 0 асимптотически устойчиво, а значит, асимптотически устойчиво и решение xi = л, х2 = 0 исходной системы.
227
При любом диа<0ид>0, Z>>0 решение Xi = л, х2 = О неустойчиво, так как среди собственных значений матрицы Л имеются значения с положительной действительной частью.
При а == О, b > 0 собственные значения матрицы А противоположны по знаку, следовательно, решение Х|=л, *2 = 0 неустойчиво
При а =«= 0, b <2 0 собственные значения матрицы Л имеют нулевые действительные части В этом случае теорема о первом приближении ответа не дает. Для исследования устойчивости нулевого решения У\ = 0, 1/2 = 0 системы
(Dyi = {/?,
(Дуг = b sin tji
воспользуемся теоремой Ляпунова, положив о = у*/2 — £>(1 — cos yt). Функция и в окрестности точки (0, 0) положительная и v(0, 0) = 0, a grad и • / = — Ь ьж 4- у?Ъ sin t/i 0 Следовательно, решение Л| = л. х2 =?= 0 исходной системы устойчиво.
Отметим, что вследствие 2л-перноднчности правых частей системы по Х| устойчивость решений xt = Ы, х2 = 0 определяется по устойчивости решений xi = 0, х2 = 0 н х, =s= л, х2 = 0. Рассмотренная система соответствует уравнению Ргх 4» аРх 4- b sin х = 0, которое описывает колебания маятника.
Проверить устойчивость нулевых решений систем:
1 о ( А (	= Х2,	Ю11 (	== "^2*
* [ Dx2 — — х?.	’ Z)x2 = —Xi expx2.
- f Dx{ == x2(x? +
* | Dx2 = —х,(х?-|-х?).
1213.
Pxj = — X2Z?Z"\/xf + X2, Dxi =* x\e‘yx2\ 4- x2.
1214 / &Xl = A'2,
Dx2=— sin2xj.
—	+ *2.
jDx2 = x । -y/x2 xf.
1215.
1216.
pX| = — x2(xf 4-x2), Dx2 = 4xi (xf -f- x2).
Используя указанную функцию и, проверить устойчивость нулевого решения систем:
1217.	Х2’ v = xt 4-2x5.
| Dx2 = Xi,	1
228
,2,8-{^=х7-^)Я
Ztp(z) >0, U = X? 4- X2.
1219. (8l’=fWs+^ > f(O) = <p(O)^O, 2/(2) <0, ( Dx2 = — X| -f- ф(хД '	'' '
2<p(z) <0, U == X? 4~ *2-
f Dxi =2x2 — 2x,/(l 4-xi)2,	,	2
1220. I______2x2	__ 2x, V = xi4-x?/(l 4-
X~ (1+x,)2	(i+x?)2’
4-x2).
1221.
/ Dxi =xix2 — xi 4~x2, ( Dx2 = Xi — x?x2 — x|,
V = X? 4* 2X2.
Используя указанную функцию о, проверить асимптотическую устойчивость нулевого решения систем;
1222	- (ох2=х?-Л v ~х,+хг-
1223	. ( ®х' = 7Х>е‘ ~Х*’ v = х? + xi.
[ [}х2 — Xi —х2,
1224	. ( 2х' = ~x'f' +3Х?' u = x? + xf.
\Dx2=— Xi— xi,	3
I225	.( ^X| = ~x’ 7 х’’ t>=x‘ + X2.
\Dx2 = x,— X2,
1226	f DX' = 2X2 -2xi/(1+x')2’ v_ xf ,
1л	l/  *“	_ * j-- А/2-
1 -	2x^>	2xi	14-XT
По первому приближению исследовать устойчивость нулевого решения систем:
1 997 / DXi = %2 4 Х?Х? 4- xi, | Dx2 = Xi — 4х2.
1228 f Dx' ~ ~~Х2 4" cos х2, | DX2 ~ ЗХ) — 4x2-
129Q ( OXt= — X24“Sin Х|, | Dx2 ~ 4xi — 4х2 4~ sin2 х2.
229
{Dx\ = —sin (x2 + Хз), Dx? = — Xi — хз 4- xi, DX3 = — Xl — X2 — 2XjX2.
( Dxx — 3X1 4- 8x3 4- xi — Хз, 1231. < Dxz == 3x 1 — x2 4~ 8x3,
( Dx3 = — 2xi — 5x3 4- xf.
{Dxx — —sin Xi 4- x3> Dx2 = 2x2, Dx3 = — xi — 3x3.
1233.<
Dxi —X1—X2 — X3,
Ox2 == Xl 4- x2eXl, Охз = 3xj 4- sin X3 4“ xl
/ Dxi — хз 4- exp x? — cos Xi, 1234. | Dx. = tg Xi,
1 £>x3 —x2.
1235.
Dx} = —2xi — x2>
Ox2 = sin 2xi — 4x2.
1236.
Ox i = 2-\/1 4-Х2 — 2ек,+хз, Ox2 — 2xi — 4x2.
1237.
Ox\ =
Dx2 =
— X| 4~ X2 4~ 5x{ 4- 3XJX2, —2xi — 3x2 4~ 10x2.
Определить область асимптотической устойчивости нулевого решения систем в зависимости от значений параметров:
1238 I	—®хI 4~ х2 4~ Зх2,
’ I Dx2= ~еХ{ 4-еол-\
1239 / &Xi =flXft
( Dxz = bx\ — 3 tg x2.
/ Dx\ = Х2 — 7x2x?,
1240. j Dx2 = x3 4- x2 4- 3xf, v Охз == —2xi — bx2 — ахз.
230
{Dxi = axi -|-xi0. Dx2 = sin ax2t Dxs = ax i 4- ахз.
{DXi = — X\ +
Dx2 = — ax\ — x2 + ахз — cos 2xi 4- cos хз, £)хз = — bxi — ax2 — X3.
1243.
[ 0x2 = axi — a~x2.
1244 / =fl2xi — 3 In (! 4-x2), ' I Dx2 — ax i 4- 4x2.
1245 I	4" *2 — 2 exp x2,
’ I Ox2 = 5axi — a x2.
1246.	Исследовать устойчивость нулевого решения системы
Dx\ — ах? 4-*2, 0X2 = Х| 4- d*2-
1247.	Исследовать устойчивость нулевого решения системы
Dxi = —2а
Ох2 = —xi
1248.	Исследовать устойчивость нулевого решения системы
Dxi = —7х? —
Dx2 = xi — 4х2.
2х2,
XIV. НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ВЕКТОРНЫХ УРАВНЕНИИ
45. МЕТОД ПИКАРА
Последовательные приближения к решению дифференциального уравнения. Метод Пикара относится к аналитическим методам построения приближенных решений дифференциальных уравнений, т. е. построения функций, близких к истинному решению на всем промежутке существования решения или на части этого промежутка
231
Теорема Пеано. Пусть функция f(x, у) непрерывна в прямоугольнике
П = ((х, i/)||x —хоКа, |z/ — t/oK&l-
Тогда задача Коши
/ = f(x. У), !/L=xo=£/o, (х, t/)E П, (хо, г/о)€П,
имеет по крайней мере одно решение на отрезке [хо — 6, хо -Ь 6], где б = min {о, b/М], если |f(x, у)| < М на прямоугольнике П.
Теорема Пикара — Линделёфа. Пусть функция f(x, у) непрерывна в прямоугольнике
П = ((х, £/)||х — XolCd, |t/ — t/olCM
и удовлетворяет условию Липшица по переменной у. Тогда задача Коши у' — f(x, у), у|x=Jfo = у0 локально однозначно разрешима, решение у(х) определено, по крайней мере, на отрезке [х0 — б, х04-б], где б —min (а, Ь/М}, если lf(x, у)| С Л1 на прямоугольнике П. Решение может быть построено по методу последовательных приближений:
f/o(x) = t/o, х
!/л(х)= z/o-l-J f(/, yn_{(tydt, n=l, 2, .Со
t/(x) == lim t/„(x).
Задача 1. Найти область существования решений уравнения у' = ~ х cos у -j- e“v.
Решение Правая часть уравнения f (х, у) — х cos у 4- ежу непрерывна во всех точках плоскости Оху. Поэтому, согласно теореме Пеано, через каждую точку плоскости проходит хотя бы одна интегральная кривая.
Задача 2. Найти область существования и единственности решения уравнения у' = 2^ДуГ
Решение. Так как правая часть уравнения /(х, у) = 2у]у\ определена и непрерывна во всех точках плоскости Оху, то через каждую точку плоскости проходит хотя бы одна интегральная кривая ,	п к -г	df sgn у
(теорема Пеано). Так как	непрерывна в любом прямо-
ду Vl'/I
угольнике, не содержащем точек прямой // = 0, то в этой области условие Липшица выполнено и исходное уравнение имеет единственное локальное решение.
232
В прямоугольниках, содержащих точки оси Ох, условие Липшица не выполняется. Действительно, если бы условие Липшица выполнялось, то при у =£ t было бы справедливо неравенство
i/u у)-к*. ок	lf(x' - <L
(L— постоянная Липшица), тогда как при / —О и г/--0
|/(х, у)-)(х, 0)1	2
!*-01 ТЫ
Легко проверить, что существуют два решения исходного уравнения-
. . л , \ I (х —Хо)2, х>х0, »,(*) = О и <й(х) = | _(х_х„)2. х<0.
удовлетворяющих начальному условию (/|д„л = 0 Следовательно, в точках прямой t/ = 0 нарушена единственность решения исходной задачи.
Задача 3. Построить решение задачи Коши у' — х~у, !/|„о= 1 методом последовательных приближений.
Решение Построим последовательность приближений к решению по методу теоремы Пикара — Линделёфа:
</oW= 1.
»,«=!+	))<//= 1-х + х72.
о
уг(х) = 1 + $(/-!+/-/2/2)<// = I - х 4-X2-х3/6, о
i/3(x) = 14- 5 (/ - I 4-1 - /2 4- /76) dt = I - X 4" г - *3/3 4- x72i. о
у<(х) = I 4- J (/ — I 4- I - /2 4- /73 — /4 /24) rfZ = I - х 4-X2 — Х3/3 4-
°	4-х712 — х7120.
Уп{х) = I — х 4- —
Переходя в выражении уп(х) к пределу, находим предельную функцию
у{х)= lim уя[х)= 2е~* — I 4-*.
Л-» оо
которая и является искомым решением.
Задача 4. Найти три последовательных приближения к решению задачи Коши у' = у1 + 2х — 1, f/|x=0=l Оценить величину отрезка,
233
на котором решение существует и последовательные приближения сходятся к нему, если
11 = ((х, у)||х|< 1/2. \у — ЦС 1}.
Решение. Находим последовательные приближения: Уо(х) = 1, у,(х)= 1 Ч-	|)Л= 1 4-х2.
о
х
Г	9	I
У2 (х) = 1 4- \ ((1 + /2)г 4 2/ - 1) dt = 14- X2 4- 4 х3 4- 4- Xs
J	3	□
О
Чтобы выяснить, при каких х гарантируется существование решения и сходимость последовательных приближений, надо применить теорему Пикара — Линделёфа. Найдем max |/(х, г/)1 на П:
max |у2 4" 2х — 11 = 4,
|х |^0.5
следовательно, |/(х, t/)| С 4 и М = 4 В силу теоремы существования решения сходимость последовательных приближений обеспечена для |х| С б, где б = min {a, b/M] = min (1/2, 1/4)= 1/4, т. е. на отрезке — 1,4 С х С 1/4 Отметим, что решение, вообще говоря, может существовать не только на этом отрезке, но и на большем
1249. Выяснить, удовлетворяют ли приведенные ниже функции условию Липшица по у в области
П ={(х, //)|0<х< 1, 0<у < 1):
а) ху2 4- х3; б) sin (я — //); в) 1/(х-j-у);
г) ~у/у-}-2х; д) ly — xl.
1250.	Будет ли через любую точку плоскости Оху проходить только одно решение уравнения у' = 2х 4-+ х5у2?
1251.	Указать условия, достаточные для однозначной разрешимости задачи Коши в точке (%о, //о):
аИЧШ б) у'= р(х)у + q(x); в) / = ф(х)/ф(/Д
1252.	Пользуясь теоремой существования решения, указать какой-нибудь отрезок |х| Л, на котором существует решение задачи Коши у' — у2, y|t=0= 1.
1253.	Решить задачу Коши у' = у2, у|х_0 = 1. На каком интервале существует ее решение? Сравнить с предыдущим результатом.
234
Используя теорему Пикара—Линделёфа, проверить однозначную разрешимость задач Коши. Оценить длину промежутка существования решения и построить указанные приближения к искомому решению:
1254.	/==х — у2, ^|хв0 = 0; П = ((х, i/)|lx|<l, |{/|< <2); уо, yi, уъ уз.
1255.	у' = у2 — Зх2 — 1, 1/(х=0=1, П = {(х, {/)||х|^ < 1/2, |i/ — 1| С 1); Уо> У2-
1256.	у' = уЛ~е\ i/|x=o = 1. П=((х, t/)||x|< 1, \у— — 1 К 1); I/O, г/i, У2.
1257.	/=х-}-у2, 1/|Л=о = О; П = ((х. £/)||х| < 2, |i/| С < 1); !/о» У\. У2-
1258.	у' — 2у — 2х2 — 3, i/|x=0=2; П = {(х, у)\ х|< I II/ — 2|^ 1); i/o, I/!, 1/2.
1259.	ху' — 2x — yt 1/|х=, =2; П = {(х, i/)||x — 1|< 1/2, \у — 2|< 1); уо, l/ь 1/2-
1260.	у' = у2 — х\ i/|xeO = 0; П = ((х, i/)||x|< 1, |уК < 1); i/o, 1/1, i/2.
1261.	у' = у2-х\ i/U0=l; П==((х, i/)||x|<l/2, \у~ I С I); i/o, i/i, 1/2.
Методом последовательных приближений найти решения задач Коши:
1262.	у' 4 х2у = х2, i/|x=2 = l
1263.	у' = х + у, i/|Xm0==0.
1264.	у' = у, 1/|х=з0 = 1-	1265. у' = ху, t/|x==()=l
1266. у' = (у - 3)(х2 + х3), i/U5 = 3.
Последовательные приближения к решению дифференциальной системы. Метод последовательных приближений переносится на случай задачи Коши для векторного уравнения.
Теорема Пикара — Линделёфа. Пусть векторная функция f непрерывна на множестве
П = ((х, f/)€R"+l
||х — ХоКр, ||£/— z/o|| Ср}
и удовлетворяет условию Липшица по переменной у Тогда задача Коши у' — [(х, у), i/|x==Xo = уо локально однозначно разрешима, решение у(х) определено, по крайней мере, на отрезке |х0 — 6, xo-j-6j, где 6 = min{p, р/А4|, если ||f(x, i/||^M V(x, у)Е П.
235
Решение может быть построено по методу последовательных приближений:
t/o(x) = z/o.
yn(x) = yQ^ $ f(t,	n = l, 2, ....
*0 y(x) ~ lim yn(x)-H-~ oo
Задача 5. Найти три последовательных приближения к решению задачи Коши
Решение. Строим последовательные приближения: </о(л)= !, 2о(х)= —2,
^(л)=1+ J(-2)d/*=l-2x, Zl(x)=-2 4--2)^ = -2-о	о
— Jt4/4.
у2{х) = I + J (-2 - t*/4)dt = I - 2x - x5/20, о
X
Г „ /	\	И 9 v®
z2(x)= -2+ U3/l — 2t — 2—~-\dt = -2-~
о
Построить n последовательных приближений к решению задач Коши:
1267.	4-» = °. 4-о = 1; «=з.
1268.	{^±^++t=o0’ 4-0 = 1. 4-0=1: « = з.
1269.	{^Zx + Г ^Uo = l. «L-o = l: «=2.
1270.	(г' + 2у + 5г=°6, 4-о = 1. 4-о = 1; « = 2.
1271.	{^пГУ’ 4'1-0=°. г|-о = 1/2; и = 3.
,272‘	{z' = y-y + Z' 4-0 = 1, 4-0 =-2; п = 2.
236
46. МЕТОД ЛОМАНЫХ ЭЙЛЕРА
Численное решение дифференциальных уравнений. Метод ломаных Эйлера относится к численным методам построения приближенных решений дифференциального уравнения, т. е. построения таблиц приближенных значений искомого решения при отдельных значениях аргумента. Метод рассматривается в предположении однозначной разрешимости задачи Коши.
Интегральный критерий. Для того чтобы непрерывная функция г/(х), х СI» была решением задачи Коши y'~f(x, у), у\х==Х9~уо, XoEL необходимо и достаточно выполнения интегрального тождества
X
*/(*) = уо 4- J Дт, у(х))йт V X С 1, *о Е I-
Хо
Метод Эйлера приближенного решения исходной задачи Коши состоит в том, что на промежутке x-t т
+ Л функцию Дт, у(х)) считают равной постоянной величине f(xit у$, которая уже известна. Тогда вместо интегрального тождества получают следующую формулу для нахождения приближенного значения
yt+i =yi + hf(xi, yt).
Разбивая точками х0, Х\, .... хп = Х промежуток [х0, XJ на п равных частей, Л = - ~*° , последовательно вычисляют значения уь ..., уп по итерационной формуле
£/1 + 1 ^yi-j-hftXi, yi), i = О, п — I.
При этом искомая кривая у = у(х), проходящая через точку Л4о(хо, уо), заменяется ломаной Л4оЛ4|...Л4л с вершинами Mi, i = 0, п. Каждое звено M,Mi+1, i = 0, п — I, этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением касательной в точке М/(хг-, yi) к той интегральной кривой исходного дифференциального уравнения, которая проходит через точку Mi (рис. 35). Ломаная Эйлера может быть построена как справа от начальной точки (х0, уо), так и слева.
Задача 1. Применив метод Эйлера, составить па отрезке [0, 1] таблицу приближенных значений решения задачи Коши г/' = х«//2, ^|д„0= I, выбрав шаг Л = 0, 1.
237
Решение. Приближенные значения будем вычислять последовательно, используя итерационную формулу:
»+=!/<+ 0,1-^-, < = 579.
Результаты вычислений приведены в табл. 1.
Таблица 1
i	Xi	У!	/(*. jft)	y,)	Точное решение у =
0	0,0	1,0000	0,0000	0,0000	1,0000
1	0,1	1,0000	0,0500	0,0050	1,0025
2	0,2	1,0050	0,1005	0,0101	1,0100
3	0,3	1,0151	0,1523	0,0152	1,0227
4	0,4	1,0303	0,2067	0,0207	1,0408
5	0,5	1,0509	0,2626	0,0263	1,0645
6	0,6	1,0772	0,3232	0,0323	1,0942
7	0,7	1,1095	0,3883	0,0388	1,1303
8	0,8	1,1483	0,4593	0,0459	1,1735
9	0.9	1,1942	0,5374	0,0537	1,2244
10	1.0	1.2479			1,2840
Метод ломаных Эйлера дает непосредственный алгоритм построения приближенного (численного) решения, и его можно реализовать на ЭВМ.
Методом Эйлера при указанных значениях h найти численное решение задач Коши на заданных отрезках:
1273. у' = хг + уг, */U0=l; [0. 1]; h = 0.2.
1274. у’= I +ху\ </|х=0 = 0; [0, I]; ft = 0,l.
238
1275.	/=-{(2 + уД,1/Ь=1 = 1; [1; 2]; /1 = 0,2.
1276.	у' = ху3, y|,_0= I; [0; 0,6]; /1 = 0,1.
1277.	/ = (х+ «/)/(!/-x).i/Uo= 1;[0, 1];Л = 0,1.
1278.	у' = у + (1 + х)у2, ц|„о = 1; [0; 0,5]; h = 0,1.
1279.	/=-</2 + у/(х+1), 4/|„0 = 1: [О, 1]; /1 = 0,1.
1280.	/ = у/х, у|,_, = 1; [1, 4]; /1 = 0,5.
1281.	у1 = х2у + 2, {/|,_о=О; [О, I]; /1 = 0,1.
1282.	у'= ($ — х2у)/х2, 1/|х_|=2;|1; 1,5];Л = 0,1.
Численное решение дифференциальных систем. Метод Эйлера распространяется на решение задачи Коши для векторного уравнения. Для задачи Коши
{z' = f2(x’ У- 4 У^^~У°' г'х=Л 2°’ Х^Х^Х>
приближенные значения //( + | ~	1), z«+i « z(x,+i) ре-
шения вычисляются последовательно по формулам:
z/,+ i	yit Zi),
zt+1 = Zi 4-hf2(xi, yit Zi), i = 0, n —I.
Задача 2. Применив метод Эйлера, составить на отрезке [1, 2) таблицу приближенных значений решения задачи Коши
У' = z,
z' + t/ + z/x = 0.
»L.,=0,77; z|,_,= -0.44
с шагом h = 0,1.
Решение. Приближенные значения решения задачи Коши вычисляем по итерационным формулам:
У1+ 1=1/1+ 0.1?,. Zi.,. ,=21+0,1 ( — у, — Zi/xi), 1 = 0, 9.
Результаты вычислений приведены в табл. 2.
Методом Эйлера при указанном значении h найти численное решение задач Коши:
1283.	{^^ + у)х, Я-о = 1. zU0 = l; (0, 1]; Л = 0,1.
1284.	=	Я-о = -1. г|,_„=1; [0, 1];
Л = 0,1.
239
Таблица 2
1	х.	У«	z.
0	1.0	0.77000	-0,44000
1	и	0.72600	-0.47300
2	1.2	0.67870	-0,50260
3	1.3	0.62844	-0.52859
4	1.4	0,57558	— 0,55077
5	1.5	0,52050	-0.56899
6	1.6	0,46361	-0,58311
7	1.7	0,40530	—0,59302
8	1,8	0,34599	—0,59867
9	1,9	0,28613	— 0,60001
10	2.0	0.22613	-0,59704
1285.	*’	</Uq=2,	г|,_„=1.; [О, 1];
h = 0,1. Сравнить с точным решением.
,286-{z = /-tZ> $4-о = °- *1-0 = 1; [0; 0,5];
1287. {y'/Zx+г2’	= '• zl«~o = и [0; 0.61; л=о,1.
1288.	2у + 3г, ^-о =2, г|„0 = -2; (0; 0,5];
h = 0,1. Сравнить с точным решением.
Г / = z — и,
1289J 2'= 1/4-2, i/|X!s0 = l, z|x=0=2, I и' = у 4- iz,
[О, 1]; Л = 0,1. Сравнить с точным решением.
wlx=^o — 3;
1290. Материальная точка массой ш движется по прямой под влиянием упругой силы, стремящейся вернуть точку в положение равновесия и пропорциональной удалению точки от этого положения (k\m — коэффициент пропорциональности). Движение происходит в среде, сопротивление которой пропорционально кубу скорости (fc2m — коэффициент пропорциональности). Составить математическую модель движения, если в момент времени t^=0 удаление и скорость равны единице. Применив
240
метод Эйлера, найти численное решение задачи Коши на отрезке [0; 0,2] с шагом h 0,02, если:
а) *1 = 1, *2 = 0,1; б) *|=0,1, *2 = 0,2.
1291. Материальная точка единичной массы брошена вертикально вверх с начальной скоростью о0. Сила сопротивления среды при единичных значениях коэффициентов определяется по формуле F — —(х + и2), где х — высота подъема в момент времени t. Составить математическую модель движения точки, если в момент t == 0 высота подъема равнялась нулю. Применив метод Эйлера, найти численное решение задачи Коши на отрезке [0, 1] с шагом h 0,1 и оо = Ю м/с.
47. ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННО? О РЕШЕНИЯ В ВИДЕ РЯДА
Приближенное решение дифференциальных уравнений.
К аналитическим методам построения приближенного решения задачи Коши относится метод построения решения в виде степенного ряда. Применение этого метода для линейных уравнений возможно, если коэффициенты уравнения и неоднородность голоморфны (см. гл. XI). Для уравнений вида у' = f(x, у) требуется голоморфность функции f(x, у}.
Функция f(x, у) называется голоморфной в окрестности точки (до, f/o), если она представима сходящимся степенным рядом
OQ
/(х, у)= S СЬт(х — Х0/(у— Уо)'п.
к. /п=0
Теорема Коши. Пусть функция f(х, у) голоморфна в окрестности точки (хо, уо). Тогда решение задачи Коши У' У\ «/|х=х„ = Уо существует, единственно и является голоморфной функцией на интервале |х — Ха|<г(1 — — £_,/(2Л,)), где г — любое число, меньшее числа F, для которого ряд сходится в области |х — х0| < /?,	— у()| <
С R; М = max f(x, у) в этой области. Следовательно, решение представимо сходящимся на этом интервале степенным рядом (рядом Тейлора)
ум = У.' к ~ ~~
А=>0
241
Отрезок ряда Тейлора дает приближенное решение задачи Коши.
Задача 1. Найти семь первых членов разложения в ряд Тейлора решения задачи Коши у* — х2 -f-у2, #|x=.o = 0.
Решение. Функция /(х, у) = х1-\~уг голоморфна при всех значениях х и у, поэтому решение исходной задачи представимо рядом Тейлора. Из данных задачи следует, что #|хо0 = 0, 1/|х^о = 0. Дифференцируя исходное уравнение, находим;
у" = 2х 4- 2уу', у"' = 2 + 2уу" + 2у'\	= 2уут -Ь 6/#".
f/s) = 2yyw + 8у'у'" + 6у"\ у™ = 2t/t/5) + 10t/V4) + 20у"у"', Ут = 2#«/6) +	+ 30y"tj» + 20#'"’.
Полагая х — 0 и используя уже известные значения #|яш=о = О, У' | ,=о — 9» находим последовательно:#'7 |х=о = 0, у'" |х=0 = 2, #t<)|x-0 = = 0, #(5)|х=_0 = 0, #(6’|XDo = °> #<7,|х«о = 80. Используя найденные значения производных, получаем разложение в ряд Тейлора искомого решения: #(х) = х3/3 + х'/бЗ + ...
Найти решение задач Коши в виде степенного ряда:
1292.	(1 — х2)у" — Х!/ + у = 0, у|х_о = 0,	/L_o=I.
1293.	(1 — х2)у" — ху' = 0, 4||Л_0 = 1, /|х_0 = 0.
1294.	y' = cos(x — у), у|„0 = 0.
1295.	у" + 2xif = — 2е-х’, i/|x=0 = 1, /|„0 = 0.
1296.	г/"4-4х21/= —2sinx2,	1, /L_0 = 0.
1297.	у' + хеу — х2+\/х, £/|„_, = 0.
1298.	у" + 2ху' — 2у= — 4е~х\ f/|x_0 = l, £/'Uo = O-
1299.	y"-xy' + y-l=0t y\x=Q = 0, /|^о = 0.
Построить п членов разложения в степенной ряд решения задач Коши:
1300.	/ = еу 4- ху, у I,,0 = 0; п = 7.
1301.	/ = cos(z + f/), уж_о=0; п = 7.
1302.	у" +ху' = е-*’, у ,_0 = 1, </|Л г =0; п = 5.
1303.	у' = еу + х2, «4=1 =0; п = 5.
1304.	у" = х2у — у', у|,_0 = 1, /L_o = 0; п = 9.
Приближенное решение дифференциальных систем. Построение приближенного решения в виде степенного ряда возможно и при решении задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
242
Теорема Коши. Задача Коши у' = f(x, у), у|х^Д) — = г/о, х, хо 61, у, уо € Rn, для голоморфного в окрестности точки (х0, Уо) векторного уравнения имеет решение, голоморфное на некотором интервале |х— х0|<г, г>0. Голоморфность функции означает голоморфность ее компонент.
Теорема Коши справедлива и для уравнений высших порядков, так как они стандартной заменой сводятся к векторному уравнению.
Задача 2. Найти в виде степенного ряда решение задачи Коши (у' = У + г — х?,	,	.
Iz' —а2-+-3х2 —е2х	’ ’ гЬ=о — О-
Решение. Функции fi(x, у. z) — y + z — х3 и [г(х, у, z)=y*-j-4-Зх3 —е2* голоморфны в окрестности точки (0, 1, 0), поэтому компоненты решения задачи Коши представимы рядами Тейлора:
п*=0
п=0
Из данных задачи следует, что j/|x„0 = 1, а|х_о = 0, /|х_0 = J, z'|x=o=O. Дифференцируя уравнения исходной системы, находим:
у" = д' г' — Зх3, у'" = у" 4- г" _ бх, yW^y'" 4-2"' — 6,
z" — 2уу' 4- 6х — 2е3х, г'" = 2/ 4- 2уу" 4- 6 — 4е2х. г«> = Gy'у" 4- 2уу"' — 8е2х,
= бу"' 4- Sy'у"' 4- 2уу™ - 1&?2х.
Полагая х = 0 и используя известные значения у|х=>0, zjx=0, !/'|Хж=о» г'Ь-о« находим последовательно. у"\х 0=1, z"\x о = О, S~L-o= 1. г"'1.-о = 6.	= I, г(,,к-о = 0> l/51l„«= I. ^’|.-о=
= 0, .. Используя найденные значения производных, получаем:
X2 X х* х^ sW«l+i.+ v + _ + _ + 4,
Проанализировав данные выражения, можно ожидать, что решение задачи Коши имеет вид i/(x) = ex. z(x) = х3. Непосредственной подстановкой в систему убеждаемся, что указанные функции являются решением системы и удовлетворяют начальным условиям. В силу однозначной разрешимости поставленной задачи Коши искомое решение
оо
представимо рядами у{х) =	г(х) = х3.
Л=я0
243
Найти в виде степенного ряда решение задач Коши:
*305. {^'= 2у — z — 2ех, ^t-o = 1. 21«-о=|-
1306.	{^yJxy_z + Xt = -I. 4-, = 1.
1307.	у" - 2x1/ - 2у = 0, у|,=0 = 1, /	= 0.
1308.	2у" + ху' + 2у = х cos х, </|х_0 = 1. /|х_о = 1.
1309.	{^Zb_2l/_u &|х_о=О. г|х_о = 1-
Найти п первых отличных от нуля членов разложения в ряд решения задач Коши:
1310.	W,~Z' 1/|х_о = О. г|х=о=1. п=3.
X < — лу,
1311.	/' = х/ + х, /х=0 = К /1=0=0; и = 4.
1312.	{^^г+2’ Я-о = 1. г|«»о = 1; « = 4.
. 1313.	Я-О=о, 2|„о = -1; « = 4.
1314. у" = ху' — уг, jr|x_0=l, /|,_о=2; л = 4.
1315.	—xu^Z’ !/L-o=1' г|х_о = —<; «=4.
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
XV. ЛИНЕЙНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
48. ОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ЗАДАЧА КОШИ
В координатной форме линейное однородное уравнение с частными производными первого порядка имеет вид
fi(*i..	+... + f„(x... х„)±- = 0.
Решением линейного однородного уравнения с частными производными первого порядка называется функция u~u(xi, ..., хп), которая задана на области Gcz дифференцируема по всем своим переменным и обращает данное уравнение в тождество на 6.
Уравнения с частными производными первого порядка характерны тем, что задача их интегрирования сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому теория интегрирования уравнений с частными производными первого порядка излагается в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее решение уравнения с частными производными зависит от произвольной функции.
Теорема. Дифференцируемая функция u(xi, .... хп) является решением линейного однородного уравнения с частными производными первого порядка тогда и только тогда, когда эта функция — первый интеграл системы в симметрической форме
dx\ ____	__ dxn
/i(*i. хп) ”* fn(xi, .... х„) *
Построив базис первых интегралов ut, ..., системы в симметрической форме, общее решение линейного однородного уравнения с частными производными первого порядка записывают в виде и — Н(щ, .... ил_|), где Н — произвольная дифференцируемая функция.
24t>
Задача 1. Проинтегрировать уравнение
, V ди , .	, ди . . .ди
(ХЗ - X,)	+ (X, - Хз) + (х2 - х,)	- 0.
Решение Для данного уравнения составим систему в симметри ческой форме:
dxt — dx* — dXi Хз — *2 Х| — Хз Х2 — Л'1
Базис первых интегралов полученной системы имеет вид (см. за-зачу 1 из § 43) ut =xi+*2 4-хз. «э = х? 4- xl + 4. Следовательно, общее решение исходного уравнения определяется функцией
и = Я(Х| -|- Хг + хз, х? 4~ xl 4- хз).
Под задачей Коши понимаем нахождение решения н(хь хл) линейного однородного уравнения с частными производными, обладающего свойством
u(xlt Xi_i, a, xi+h *„)==
—• ф(^1» •••» Xi—I» №4* I, •••> Хл),
где a — заданная постоянная; <p(xi,	Xi-h, x«) —
заданная функция.
Задача Коши для линейного однородного уравнения записывается в виде
хп)^— + ...4-/л(х|,	хп)-^~ =0,
UX |	<7Хл
ll(Xl, Xi—i, Xi, Xi-f-1,	•Хл)|х/ = а —“
Xi— 1, Xj-f-j, Xn).
Схема решения задачи Коши для линейного однородного уравнения следующая:
1)	записывается соответствующая система в симметрической форме и строится базис ее первых интегралов
Хл), Urt-i(X|..... хл);
2)	составляется система функциональных уравнений л Ц|(хь х,_ь a, xf+i, хя) = С|,
\ Нл—I (Xl> ---> Xi—1, Ct,	Хл) Cn—l>
которая разрешается относительно %i, Xi-i, xi+l, xn: Х| = Л|(С|, Cn), ...» Xi—1 = Ft—1 (C|, Cn), • Ft-j-1 (C1,	Xn	Fn(C , Cn),
246
3)	решение задачи Коши задается формулой
" =	...» «л-i), F/_i(wb «п_|),
Л-м(«ь ...» Mn-l), ...» Рп(щ, ...yUn-i)).
Задача 2. Решить задачу Коши
ди , ди , ди
xi -3---F х2 -3-Ь -3— — О,
dxt дхг дхз
«(*»» х2. Х3)|*, = |=Х| 4-х3.
Решение. Составим систему в симметрической форме: dxi __ dx-j _ дхз xi хг ~~ I *
Базис ее первых интегралов щ = x2/xj, u2 = хз — In Х|. Для определения
Xi, Х3 имеем систему
р/х, = С(.
(Хз — In Xl = С-2.
Отсюда xi = !/С|, х3 = С2 — In С\.
Решение задачи Коши имеет вид и — \/щ 4- и2 — In ut или и = = Хз — In х2 4- Х|/Х2.
1316.	Убедиться, что функция z — у(ху), где ср — произвольная дифференцируемая функция, является решением линейного однородного уравнения
х* у*-=0. дх ду
Построить общее решение линейных однородных уравнений с частными производными первого порядка:
1317.	(х24-х3)-^- +(Л| + а'з)-^- 4~(*i
ОХ[	ОЛ2	млз
1Q1© v	I у ди I у ди , ди _п
1<51о. Хз—— -|-Х4 —  -|-Х|-5— -f- Х2-5— == V.
иХ[	0x2	дхз	0X4
1319.	(xl-xl)-^+X3^L-хг^- =0.
4	1 dxi дх2 дхз
1320.	+ xi ¥- + (Х1Х2Х3 - 2х?)-^- = 0.
<?Х|	дх2	дхз
1321.	X1 (х2 Хз)~— 4“ Хз(л'з — Х2Ул~~ 4“ Х2(х'2 — Хз)~— = 0. dxi	0x2	'0x3
«олл	ди .	„ ди ।	ди Л
1322.	Х2Хз^— 4-Х1Х3-3-НХ1Х2-3— =0.
dxi	дх2	дх3
247
ди ди л
1323‘	~X'~fa2
ди । , ди _л
1324.	+
1325.	х.^+^4-з>=0-
1326.	(xi +2*2)-^- ~х^ =°-
Решить задачи Коши:
u|XlS=u —
u|x,=*0 =
,	л ди > „ ди . ди _ л
1327. (4хг-Хз)-^ +х*~ё^ +Хз дха ~v> — xi + Хз-
1328. (4X2 - Хз)^- + х2-^- + хз	= О.
49 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ. ЗАДАЧА КОШИ
В координатной форме квазилинейное уравнение с частными производными, имеет вид
—	•••» A’^i, w).
248
Для интегрирования этого уравнения составляется система в симметрической форме:
..........dxi 		_ dx„ ________ du fl(Xl____________________________________________________ Xn, U)_/Я(Х|. Xn,	и) gfa. Л’«, w) ’
Если щ(х|...xn, «), ..., vn(xlt ..., xn, u) — базис первых
интегралов системы в симметрической форме, то функциональное уравнение G(vi.... v„)^= 0 определяет (при
выполнении условия теоремы существования для неявных функций) общее решение и квазилинейного уравнения с частными производными как функцию переменных Х), ..., хп. Функция G — произвольная дифференцируемая функция.
Задача I. Построить общее решение уравнения , ди и —----------------------г -з— = 0.
dxi дх2
Решен» е. Система в симметрической форме имеет вид dxi   dx?   du и I	б~'
Базис ее первых интегралов oi = zz, vz = хх/и — xs. Функциональное уравнение б (и, х,/и — *2} = 0 определяет общее решение данного уравнения как неявно заданную функцию.
Задача Коши для квазилинейного уравнения с частными производными первого порядка имеет вид
fi(*i.... xnt и)~ +... + fn(xi, ...» хп, =
Олу	OXn
‘• ••» Xfjt ll), ц(Х|, ..., X{— i, Xit . V/_j_ j, •«»» — <p(X|, ..., Xi— 1, Xi -j. j , ..., Xrt),
где a — заданная постоянная; <p — заданная функция. Схема решения задачи Коши для квазилинейного уравнения следующая:
1)	составляется система в симметрической форме и строится базис ее первых интегралов
и), ...» Уп(хь ...» хЛ, ц);
2)	записывается система функциональных уравнений
Vi(xi, Xi—i, a, Xj_|.}, ..., хл, w)С i,
Цл(Х|, ...» Xi— I, О, Xi।, Хл, П) == Сл,
249
которая разрешается относительно хь .... xt_i, х,+ |, ...» Хп, и\
x\=F\(C\, .... Сп)... х£_|=Л-|(С|. .... Сл), x,+ i =
= Fi^r(Ci... Сп), •••, хл = Fn(C\, .... Сд),
U = Fл4-1(С1» •••» Сп),
3)	составляется функциональное уравнение
fn+i(v!, Vn) — <p(Fi(ti|, .... ti„), ....	..., Vn),
Fl+i(vi, .... vn), ..., Fn(vi, .... un)) = 0;
4)	для записи аналитического решения задачи Коши полученное функциональное уравнение разрешается, если это возможно, относительно и.
Задача 2. Решить задачу Коши
(Х2 + к)2
d« . ди
дхх	+ <Эх2
«(Х|, Х2)|Л,-0 = *Ь
= X|W,
Решение. Составим систему в симметрической форме:
dx\ _ dxz _ du (Xo-f-u)2	—Xj(X2 4"2«)	X\U ’
для которой ui=(x2-f-n)u, U2 = x?4-x2 — «2 является базисом первых интегралов. Система для определения Х| и и имеет вид
и* = С,.
х2 — и2 = С2.
Отсюда Xi = -\Jct 4- С2, « = д/С|ГСледовательно,
Fi(Ci, Сз) '== ~у/С। 4” Сг? F2(C|, Сг) — "\/С|.
Так как (pfxi) = x2, то функциональное уравнение и2 4- х^и — = (х? 4-х2 4-задает в неявной форме решение и = и(хи х2) за дачи Коши.
1335.	Проверить, является ли функция z — arcig-^-— решением квазилинейного уравнения
dx । дг   и — v
ди	ди	и* 4- vz
250
1336.	Проверить, является ли функция z=—, f(x2-y2) где f — произвольная дифференцируемая функция, решением квазилинейного уравнения
1 dz । 1 dz   z
х дх у ду	у2'
Построить общее решение квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка:
1337.	xi—--х?——=Х|—Х2.
dxt дх2
1338.	(и + ^)-^-+(и + ^’)-^- = иг — е’'+х\
V ' dxi '	dxz
1339.	Xi ~ + xs-^- = *1*2 + и.
иХ\	ОХ'*
1340.	х,-^- + х,-^~ =и. dxi	дх2
1341.	3(x2-u)^+2(x3-xi)^+3(u-x2)£- -— 2(Л1 — хз) = 0.
«ОДП V	I V	__ ft
. Х| —— 4~ Х2 —х— — Ы — Xj — Х%. дх\ дх2
1343.	(w + х2 — Xi)-— -f-(w-|-xi ~Хг)-™-^Х1 Н-х2-Ь«-
1 ЧДД v ди । v ди । v ди —,, 1 Л'Х2
1044. Х| - -	Х2-5— 4- Хз—— — и 4---.
дх\ dxs дхз	хз
1345.	(хг —	+ *2 +	— *1 — Х2’
1346.	х2#- =и.
dxt
Решить задачи Коши:
1347.	Xl^-+u^-=0, u|x,_, = -z2.
1348.	x^+x^+xl^^u, uV,_t=±+±. dxi дх2 ‘ dx3	‘ x2 Хз
1349.	2x?-^-+ (3x^X2 + x3,)-^-= 2x?u, u|x,_,=xi. OX |	OX2
1350.	2x3i + (.3x1x2 +	= 2x2lU, и |I1_1 = 1 + -L.
(7Л|	0X2	Xs
251
1QK1 „ du	I v dll   X1X2	f.|	__ v
1351. X| —— T —-------------------» ^|xi = 2 •—-^2-
dxi дх? и •
1352. x,-^--2x2^- =x? + xl, u\n^=xi OX}	0X2
1353.	Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению
y^L-X^=O
& дх ду
и проходящую через кривую х = 0, y2 — 2pz.
1354.	Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению
dz . dz ~дх
и проходящую через кривую х = а, у2/Ь2 — z2/с2 = 1.
1355.	Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению
xz4£+i/z 41-1-^ = 0 дх * ду *
и проходящую через кривую z — 0, ху ~ а2.
1356.	Среди поверхностей z — z(x, у) пространства R3 выделить те, все нормали которых пересекают ось Oz. Найти ту из поверхностей, которая проходит через параболу z — у2, х = — 1. (Указание. Воспользоваться условием, что в любой точке поверхности вектор нормали к поверхности, радиус-вектор этой точки и орт оси Oz компланарны.)
1357.	Среди поверхностей z = z(x, у) пространства R выделить те, все нормали которых пересекают прямую х = Z, y — t. z = 0, t £ R. Найти ту из полученных поверхностей, которая в плоскости х = 1 проходит через параболу z2 = 2у. (У к а з а н и е. Воспользоваться условием, что в произвольной точке поверхности вектор нормали поверхности, радиус-вектор этой точки и направляющий вектор данной прямой компланарны.)
1358.	В пространстве Oxyz найти поверхности, касательные плоскости к которым отсекают на оси Oz отрезок постоянной длины а.
252
XVI. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
50. УРАВНЕНИЕ ПФАФФА
Уравнение Пфаффа в пространстве R3 имеет вид
Р(х, у, z)dx 4- Q(x, у, z)dy + /?(х, у, z)dz = О,
где Р, Q, R достаточно гладкие в области G cz R3 функции.
Интегралом уравнения Пфаффа называется зависимость между х, у и 2, такая, что дифференциалы dx, dy и dz, вычисленные с учетом этой зависимости, обращают уравнение в тождество на G.
Если указанная зависимость имеет вид и(х, у, 2) = 0, то она называется двумерным интегралом или интегральной поверхностью.
Задача 1. Показать, что поверхность г = х2 — у является двумерным интегралом уравнения Пфаффа
2xdx — (1 у 4- z — x2)dy — dz = 0.
Решение. Так как dz — 2xdx — dy, то
2xdx — (I 4- f/ + x2 — у — x?)dy — (2xrfx — dy) s 0.
Следовательно, z = x2 — у — интегральная поверхность.
Теорема. Уравнение Пфаффа обладает двумерным интегралом в области G в том и только в том случае, если выполнено условие интегрируемости
р/dQ _	J Q( dR —	|	/ OP _
\ dz dy /	\ dx dz)	\ dy dx)
V (x, y, Z) E G.
Условие интегрируемости заведомо выполняется, если
dQ __ др Q OR __ дР ^0 дР _ dQ dz dy ’ дх dz ’ ~dy~ ~дх
\ e. если rot P = 0, где F = (P, Q, R). В этом случае левая гасть уравнения Пфаффа является полным дифференциа
253
лом некоторой функции и = и(х, у, z), которая определяется криволинейным интегралом
(*. у.
y,z)=^ j Р(х, у, z)dx-\- Q(x, у, z)dy -f- /?(х, у, z)dz, (*o. yo. io)
где (x0, !/o, zo) — произвольная фиксированная точка из G. Следовательно, u(x, у, z) = C задает двумерный интеграл уравнения Пфаффа.
Если rot F = 0, то векторное поле F является потенциальным, а функция ц(х, у, z) — его потенциалом. Если rot F =7^0, а условие интегрируемости выполнено, т. е. F rotf = 0, то существует такая функция р = р(х, у, z\ называемая интегрирующим множителем, что выражение
рР(х, у, z)dx 4- pQ(x, у, z)dy + \iR(x, у, z)dz есть полный дифференциал некоторой функции и(х, у, z), которая является двумерным интегралом уравнения Пфаффа и определяется криволинейным интегралом. Решение уравнения Пфаффа в этом случае можно получить, и не прибегая к криволинейным интегралам.
Задача 2. Проинтегрировать уравнение Пфаффа
adx -|- -—v—du — dz = 0. У + а У
Решение?Для данного уравнения Пфаффа условие интегрируемости выполнено, следовательно, существует двумерный интеграл z(x, У) = С- Полный дифференциал функции z(x, у) имеет вид
, dz , dz dz = —— dx 4- —— dy. dx dy
Переписав данное уравнение Пфаффа в виде
dz = adx 4- -—r^—dy, У+ а
заключаем, что функция z должна удовлетворять системе уравнений
dz _ dz z — ax dx ' dy у -Ya
Интегрируя по х первое уравнение, получаем z = cx 4-/({/). где /G/) — произвольная дифференцируемая функция. Выберем /(р) так, г/ \ чтобы z была решением второго уравнения системы f(у)—	• т- е-
254
dfty}. dy [(У) У + a ный интеграл
. Отсюда f(y)=b(y + a), b £ R. Таким образом, двумер-
уравнения Пфаффа имеет вид ах by 4- ab — z — 0.
Геометрически получение решения уравнения Пфаффа в виде двумерного интеграла означает построение поверхностей, ортогональных заданному векторному полю F = (Л Q, Я).
Уравнение Пфаффа может иметь и одномерные интегралы, представляющие собой зависимость между переменными х, у и z в виде
«(х, у, г) и(х, у, г)
= 0, = 0.
Указанная зависимость описывает интегральную кривую.
Найти интегральные поверхности уравнений Пфаффа:
1359.	xdx -f-y2dy — z2dz — 0.
1360.	yzdx 4- xzdy -f- xydz — 0.
1361.	<p(x)dx4- \p(y)dt/4-7](z)dz = 0, где <p, ф, ^ — непрерывные функции.
1362.	+ y ~ z^dx	+ У ~~ z)dy + (* 4- у 4- z)dz __ q
4- У2 4- z2 + 2xy
1363.	f (x 4- У 4- 2) (dx 4- dy 4- dz) — 0, где f — непрерывная функция.
1364.	/(д/х2 4- у2 4- z2) (xdx 4- ydy 4- zdz) = 0, где f — непрерывная функция.
1365.	(1 —l-^.y.\dx + (—+A:}dy—^dz = 0.
\ У z /	\ z y* J z2
1366.	(x2 — 2yz)dx 4- (y2 — 2xz)dy 4- (z2 — 2xy)dz — 0.
Найти интегральные поверхности уравнений Пфаффа, используя указанный интегрирующий множитель ц(х, у, г):
1367.	yzdx 4- xzdy 4- xuzdz = 0, ц — 1 /{xyz\
1368.	(2х2 4- 2ху 4- 2xz2 4~ I )dx 4- dy 4- 2zdz = 0, u = e*.
1369.	{yz — z2)dx — xzdy 4- xydz = 0, u. — l/(x2z2).
1370.	z(l — z2)dx-\-zdy — (x4-//4~*^)dz = 0, p=i/z2.
1371.	(y — z)dx 4-(z — x)dy 4- (x — y)dz = 0, p = l/(x — yf.
1372.	Убедиться, что векторное поле F — xex-\-yei — — гвз потенциально, и найти его потенциал.
255
1373.	Найти поверхности, которые в каждой своей точке ортогональны векторному полю F = г, где г — радиус-вектор точки.
1374.	Найти поверхность, проходящую через точку (I, 1, 1) и ортогональную векторному полю F = (1— — 4x)ei -h (1 -j- 4у)е2 — 4ze3 в каждой своей точке.
51. МЕТОД ЛАГРАНЖА
Метод Лагранжа (метод Лагранжа—Шарпи) используется для построения двупараметрического семейства решений Ф(х, у, и, а, р) = 0 (полного интеграла) нелинейного уравнения с частными производными первого порядка с двумя независимыми переменными F(x, у, и, р, </) = 0, ди . п ди
где	W
Теорема. Пусть функция и(х, у, и, р, q) является двумерным первым интегралом системы в симметрической форме
dx __dy __ du _______ dp ___ dq
~pF'P + qFi ~-(F'K + pF'u) ~ -(F'v +qF'u) ’
а функциональная система
(F(x, у, и, p, q) = 0, lu(x, yt u, p, q) — a
имеет решения р = Р(х, у, и, a), q = Q(x, у, и, а). Тогда двумерный интеграл Ф(х, у, и, а, 0) уравнения Пфаффа Р(х, у, иу a)dx-\-Q(xy у, и, a)dy ~du — 0 будет полным интегралом исходного уравнения.
Задача. Построить полный интеграл уравнения px+qy-\-pq — и=0.
Решение. Система в симметрической форме для определения v(x, у, и, р, q) имеет вид
dx _ dy __________du_________ dp __ dq
x + f —	~p(* + <z) + q(У + p)~ 0 ~ 0 ‘
Ее первый интеграл будет v = р Составляем функциональную систему fpx+qy+pq — и=0, = а,
из которой находим’ р — а, q = (« — cxx)/(i/ а). Тогда уравнение Пфаффа имеет вид
256
, , и — ax , adx 4-------dy — du = 0.
У + a
Двумерный интеграл его (см § 50) и = ах 4- fiy + ар. Он является полным интегралом исходного уравнения
Построить полный интеграл уравнений:
1375. р2 + <?2 = 1.	1376. р2 = u2(l — pq).
1377. р2 + upq — и2 = 0. 1378. р2 — q2 = 1.
1379. 1+р2 + ? = 0.	1380. p + z?2 = 0.
Контрольная работа 6
Вариант I
1.	Построить базис первых интегралов системы
dx _________________dy__dz
ty — z ~~y ~z ‘
2.	Проинтегрировать уравнение
dz 2 dz xy — ~x-~ = yz. * dx dy
3.	Решить задачу Коши
+У^ = г~хУ> z(x- 1/)Ь-2=у2+1.
4.	Проинтегрировать уравнение
x4±+j/2*f.=0. dx	dz
Вариант II
I.	Построить базис первых интегралов системы
dx _____dy dz
'	5 i 2	"	•
x 4- У 4- z	У	2
2.	Проинтегрировать уравнение
2=°-
9 Зак. 2708
257
J
3.	Решить задачу Коши
х^. -Vy-^- = z — х2 — у\ z(x, у)1У=:-2=х — х2. дх ду
4.	Проинтегрировать уравнение
„ ди , „ ди п У “5— I 2 “5— = О-J дх dz
ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ
РАБОТА 1
Цель работы — исследование стационарных линейных векторных уравнений.
Подготовка к выполнению работы — изучение теоретического материала по вопросам:
1)	структура решений стационарных линейных уравнений;
2)	структура решений стационарных линейных векторных дифференциальных уравнений (гл. III);
3)	поведение решений при i-*-oo (гл. VI);
4)	качественное исследование математических моделей колебательных процессов (§ 10);
5)	схема расположения фазовых графиков стационарного линейного уравнения второго порядка;
6)	классификация точек покоя по величинам собственных значений оператора L% (гл. V, § 22).
Замечание. Если коэффициенты оператора Li зависят от действительного параметра, то значение этого параметра называют бифуркационным. если сколь угодно малым возмущением его можно изменить тип точки покоя уравнения L2x = 0.
Задания к лабораторной работе
Вариант I
1.	При каких значениях параметров а и b уравнение D2x -f- aDx bx = 0 описывает:
а)	гармонические колебания (указать их вид и период);
б)	затухающие гармонические колебания (указать их вид, амплитуду и период)?
2.	При каких значениях параметра b уравнение D2x -f-4- 2Dx -j- bx = ef неустойчиво? Определить тип точки покоя однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному, в зависимости от Ь. Начертить схему
259
расположения фазовых графиков однородного уравнения при b — — 3.
3.	Какие значения параметра а являются бифуркационными для оператора А2 = D2 + aJD 4- D°?
4.	Определить область устойчивости и асимптотической устойчивости системы
Dxi =
Dx<i = Х\ 4~ а,х2 4"
Установить тип точки покоя однородной системы, соответствующей данной неоднородной, в зависимости от а.
5.	Приняв модуль силы сопротивления воздуха при свободном полете планера F = kv (где k — коэффициент пропорциональности, v — скорость планера), определить расстояние, которое пролетит планер за время / от момента, когда его скорость была равна ио- Считать, что движение планера происходит по горизонтальной прямой. Масса планера равна т.
6.	Составить математическую модель кооперации популяций двух видов, если численность популяции каждого вида возрастает пропорционально численности популяции другого вида (коэффициенты пропорциональности — соответственно 4 и 1) и убывает пропорционально собственной численности (коэффициент пропорциональности 2). Найти численность видов в произвольный момент времени /, если начальные популяции состояли соответственно из 100 и 300 особей.
Вариант II
1.	При каких значениях параметров а и b все ненулевые решения уравнения D2x 4- aDx 4 bx — 0 представляют собой апериодические движения? Указать их вид, выделить область изменения параметров, при которых уравнение описывает затухающие апериодические движения. При каких значениях параметров а и b данное уравнение имеет только монотонные решения^
2.	При каких значениях параметра а уравнение D2x — 2a2Dx -j- 4х = sin t 4 е2/ устойчиво? Определить тип точки покоя однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному, в зависимости от параметра а. Начертить схему расположения фазовых графиков однородного уравнения при а — 1.
260
3.	Какие значения параметра а являются бифуркационными для оператора = Г)2 4 О 4 ocD°?
4.	Определить область устойчивости и асимптотической устойчивости системы
Dxi ~ — xi — Х2 4 sin /2, Dx2 == axi — ах2 4
Установить тип точки покоя однородной системы, соответствующей данной неоднородной, в зависимости от параметра а.
5.	К катушке с сопротивлением и индуктивностью приложена ЭДС Е, изменяющаяся со временем по закону Е = Ео sin со/. Найти силу тока / в цепи, если / = О при /^0.
6.	Груз массой 100 г подвесили к концу недеформиро-ванной пружины и отпустили без начальной скорости. Длина недеформированной пружины 65 см, а при равновесии груза на пружине ее длина 85 см. Составить математическую модель движения и определить закон движения груза, амплитуду и период колебаний, наибольшую упругую силу пружины, учитывая, что g — 9,81 м/с2.
Вариант III
1.	При каких значениях параметров а и b все решения уравнения D2x -|- aDx 4- bx = 0:
а)	ограничены на всем R;
б)	двусторонне устойчивы и устойчивы в отрицательном направлении?
2.	При каких значениях параметра а уравнение D2x 4 aDx -Г (« — 1)х = t cos t асимптотически устойчиво? Определить тип точки покоя однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному, в зависимости от параметра а. Начертить схему расположения фазовых графиков однородного уравнения при а == 3.
3.	Какие значения параметра а являются бифуркационными для оператора L2 == D2 4- 2aD 4 <z3Z)°?
4.	Определить область устойчивости и асимптотической устойчивости системы
Dx\ — ах\ -4 х2 4 ? 4 Л йх2 = Ьх\ 4 &Х2-
Установить тип точки покоя однородной системы, соответствующей данной неоднородной, в зависимости от а и Ь.
26!
5.	Электрическая цепь состоит из конденсатора емкостью С, катушки с сопротивлением R и индуктивностью L. Найти зависимость силы тока от времени в катушке, подверженной действию постоянной ЭДС, равной Ео, если в начальный момент времени сила тока равна нулю и dl __£о dt L ’
6.	По горизонтальной хорде вертикального круга движется точка массой 0,5 кг. На точку действует упругая сила, пропорциональная расстоянию от нее до центра и направленная все время к центру (коэффициент пропорциональности k = 16 Н/м). Кроме того, на точку действует сила сопротивления, пропорциональная первой степени скорости, причем коэффициент пропорциональности у = 10 Н-с/м. Определить уравнение движения точки, если в начальный момент она находилась в крайнем правом положении и была отпущена без начальной скорости. Принять расстояние от центра до хорды равным 30 см, а радиус круга 50 см. (Указание. Систему координат выбрать так, чтобы ось Ох совпадала с хордой, а ось Оу — с диаметром.)
РАБОТА 2
Цель работы — изучение элементарных дифференциальных уравнений, использование их при решении прикладных задач естествознания.
Подготовка к выполнению работы — изучение теоретического материала по вопросам:
I)	типы и методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной дифференциальной форме;
2)	однозначная разрешимость задачи Коши (гл. IX);
3)	уравнения в общей форме, возможность приведения их к элементарным;
4)	особые решения и геометрическое исследование полученного результата (гл. X).
Задания к лабораторной работе
Вариант I
1.	Указать тип и проинтегрировать уравнения: а) (Зх3 -|- 6xy2)dx 4- (6х2у 4y3)dy = 0;
262
б)	(х — 2ху — y2)dy 4- y2dx — 0;
в)	ху'+у — ху2-
2.	Используя подстановку y3 * — u(x)t преобразовать уравнение ху3 — (х2у2— у3)у' — Q. Указать тип и метод интегрирования полученного уравнения.
3.	Указать особые решения уравнения у’ —у3 = 0.
4.	Найти кривые» у которых любая касательная пересекается с осью ординат в точке, одинаково удаленной от точки касания и от начала координат.
5.	Скорость истечения жидкости определяется формулой
о = k^2ght
где k — коэффициент трения (для воды k = 0,6); g — ускорение свободного падения; h — высота уровня жидкости над отверстием. Длина цилиндрического резервуара с горизонтальной осью — 6 м, диаметр — 4 м. За какое время вода, заполняющая резервуар, вытечет из него через круглое отверстие радиусом 1/12 м, сделанное в дне резервуара?
6.	Дифференциальное уравнение, определяющее форму каната, укрепленного в двух точках и подверженного действию только силы собственного веса, имеет вид
Ну" = sV?+/,
где Н — горизонтальное натяжение (постоянная величина); s — линейная плотность каната. Определить форму каната.
Вариант II
1.	Указать тип и проинтегрировать уравнения:
а)	3^21/'-Ь^4-х = 0;
б)	y~dx + (x — xy}dy = 0't
в)	xdx +ydy xdy — ydx __ g
ух' + у —
2. Использовав подстановку ух — и(х), преобразовать уравнение ху' — у(1п ху — 1) = 0. Указать тип и метод интегрирования полученного уравнения
3. Указать особые решения уравнения ху'7— 2уу' 4-
4- 4х = 0.
263
4.	Найти кривую, проходящую через точку (4, 3), если угловой коэффициент касательной к ней в любой точке в два раза меньше углового коэффициента радиуса-вектора точки касания.
5.	Тело температурой 25 °C погружено в термостат, в котором поддерживается температура О °C. Определить, за какое время тело охладится до 10 °C, если за 20 мин оно охлаждается до 20 9С. (Скорость охлаждения тела в среде пропорциональна разности между температурой тела и температурой среды.)
6.	Материальная точка массой т брошена вертикально вверх с начальной скоростью оо. Сопротивление воздуха пропорционально кубу скорости точки. Составить математическую модель движения точки.
Вариант 111
1.	Указать тип и проинтегрировать уравнения:
а)	(х2 — 3xy2)dx 4- (у3 — 3x2y)dy ~ 0;
б)	(2* 4- y)dy = ydx -J~4 In ydy;
в)	(Зх2 — y2)dy == 2xydx.
2.	Использовав подстановку х	= и(х), пре-
образовать уравнение ху' 4- sin (у — х)~ 0. Указать тип и метод интегрирования полученного уравнения.
3.	Указать особые решения уравнения (у' — I)2 — — у3 = 0.
4.	Найти кривую, для которой площадь фигуры, ограниченной осями координат, данной кривой и ординатой произвольной точки кривой, равна кубу этой ординаты.
5.	В резервуаре находится 0,1 ма рассола, содержащего 10 кг растворенной соли. В резервуар вливается вода со скоростью 3« 10-3 м3/мин, а из него вытекает смесь со скоростью 2 • 10~~3 м3/мин, причем концентрация поддерживается равномерной посредством перемешивания. Сколько соли содержит резервуар по истечении 1 ч? (Скорость растворения твердого вещества в жидкости при постоянной температуре пропорциональна массе нераство-ренного вещества и разности между концентрацией насыщенного раствора и концентрацией в данный момент.)
6.	Найти кривые, радиус кривизны которых в каждой точке равен угловому коэффициенту касательной к кривой в этой точке.
264
РАБОТА 3
Цель работы — качественное исследование плоских систем.
Подготовка к выполнению работы — изучение теоретического материала по вопросам:
1)	функции Ляпунова и устойчивость (§ 44);
2)	дифференциальные системы в симметрической форме; базис первых интегралов (§ 43); консервативные системы;
3)	уравнения с частными производными (гл. XVI).
Замечание. Плоская система называется консервативной, если она имеет первый интеграл, определенный на всей плоскости.
Задании к лабораторной работе
Вариант I
1.	Переходя к полярным координатам, проинтегрировать систему
(Dxt — — х2 — *1 (х? + х%), I Dx2 = Xi— х2(х? 4- х$).
Исследовать устойчивость нулевого решения системы.
2.	При каких значениях параметра а асимптотически устойчиво нулевое решение системы
Dxi — ах2 — xt -|- xfeu, Dx2 = — axl — х2 -j- Xi (x? 4- x2)?
3.	С помощью функции Ляпунова
v(yi« Уч) =!/? 4“ У\Уч + Уч. (уi. Уч) € R2,
где y\ = xi — i, t/2 = x2, исследовать устойчивость решения
xi — I. x2 = 0 системы
Dxi = ) — 3xi 3x? 4- 2x1 — x? — 2x1x1, DX2 = X2 — 2X]X2 4~ x^x2 — x2.
4.	Доказать, что если какое'-либо одно решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений неустойчиво, то неустойчивы все решения этой системы.
5.	Найти решение задачи Коши
У 17 ~х	= У' ~ xl- “(х-^U=o = ’V-
265
6.	Будет ли консервативной система
dxi  dx-i _ dxz 2 Х2Х3 Х1Х3 Х|Х2 '
Вариант II
1.	Переходя к полярным координатам, проинтегрировать систему
Исследовать устойчивость нулевого решения системы.
2.	При каких значениях параметра а асимптотически устойчиво нулевое решение системы
Dx\ = 2е *• — д/4 -f- ах2, Dx2 = In (1 4- 9xi 4- ах2)?
3.	С помощью функции Ляпунова v(xi, х2) = xf 4" *2 исследовать устойчивость решения нулевой задачи Коши для уравнения D2x 4- (Dxy х = 0.
4.	Доказать, что если каждое решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений ограничено, то система устойчива по Ляпунову.
5.	Построить общее решение уравнения
ди
<3xi
ди
дх*
ди дх3
6.	Будет ли консервативной система
dxi __ dxs   dx2
Хз — xl	Хз	~Х2
Вариант III
1.	Переходя к полярным координатам, проинтегрировать систему
Dx{ = — х2 4- *i(l — — *г)>
Dx2 = Х| 4- хг( I — х? — xi).
266
Исследовать устойчивость нулевого решения системы.
2.	При каких значениях параметра а асимптотически устойчиво нулевое решение системы
| Pxi == — ах2 4- (1 — xi — х2) — х2(х? х2),
I Dx2 = axi 4- х2(1 — х? — х2) 4" (*? 4- х2)?
3.	Используя функцию Ляпунова вида ц(хь х2) = = ах* 4~ £х2, проверить асимптотическую устойчивость нулевого решения системы
Г Dxi = — X? — Х2,
( 0X2 — Х\ — Х2.
4.	Доказать, что если линейная однородная система асимптотически устойчива, то все решения ее стремятся к нулю при /->4'°°-
5.	Решить задачу Коши
Х|(хз — хг)^- + х2(х2 — Xl)^ + (xi — xix3)-^- = О, u(xi, Х2, Хз)|Г( = 1 =Хз/х2.
6.	Показать, что система Dx\ — — х2, Dx2 = xt консервативна, а система Dx\ = xi, Dx2 = x2 — нет.
РАБОТА 4
Цель работы — построение приближенного решения задачи Коши,
Подготовка к выполнению работы — изучение теоретического материала по вопросам:
I)	голоморфные решения линейных уравнений с голоморфными коэффициентами;
2)	структура решений уравнения Бесселя (гл. XII);
3)	приближенное решение дифференциальных уравнений и систем методом последовательных приближений (§ 45);
4)	численное решение дифференциальных уравнений и систем методом Эйлера (§ 46); приведение результата в виде следующей таблицы:
i	х,	У>	г,	fi(xh ytt Z()	h[xi, yt, zij	hfi{xit yu zi)	yi. z!)
							
267
Задания к лабораторной работе
вариант I
1.	Построить в виде степенного ряда решение задачи Коши
(1 — t)Dzx tDx — х = 0, х|/=0= 1, Dx|/=0= 1,
предварительно обосновав его существование.
2.	Найти решение задачи Коши
t2D2x + tDx + (/2 - 1/4)х = 0, x|,_„Z2 = 1.
О*|| = л/2 = О,
и исследовать его поведение при /->0.
3.	Используя теорему Пикара — Линделёфа, проверить однозначную разрешимость задачи Коши
ху' = 2х — уу у |х=। = 2;
П = {(х, х/)||х— 11 < 1/2, jz/-2|<l|.
Оценить длину промежутка существования решения и построить приближения г/0, уь у2 к решению у(х).
4.	Применив метод Эйлера, составить на отрезке [0, 1] с шагом Л = 0,1 таблицу приближенных значений решения задачи Коши
(у' = 1 —1/z,	.	_	.	.	,
\г' = 1/(у — х),	----*’ zl«-° —*•
(Возможно использование ЭВМ.)
Вариант II
1.	Построить в виде степенного ряда решение задачи Коши
(1 —/2)£)2х —/£>х4-х = 0, х|/==о=1, Рх|^о=О, предварительно обосновав его существование.
2.	Для уравнения tzDzx tDx 4~ (/2 — 1 /4)х — 0 указать все решения, ограниченные около t == 0.
3.	Используя теорему Пикара — Линделёфа, проверить однозначную разрешимость задачи Коши
f/'=V — Д !/|х=о=О; П=((х, */)||х|< 1,
268
Оценить длину промежутка существования решения и построить приближения уо, у\, у% к решению у(х).
4.	Применив метод Эйлера, составить на отрезке [0; 0,6] с шагом Л = 0,1 таблицу приближенных значений решения задачи Коши
(у'=^Х-[z' = xy,
(Возможно использование ЭВМ.)
Вариант III
1.	Построить в виде степенного ряда решение задачи Коши
(1 —/2)£)2х—Юх-|-2х = 0, х]г=о = 0, Dx|f=o=I.
предварительно обосновав его существование.
2.	Для уравнения t~D2x + tDx -J- (Z2— 9/4)х = 0 указать все решения, ограниченные около t = 0.
3.	Используя теорему Пикара — Линделёфа, проверить однозначную разрешимость задачи Коши
у' =у‘ — Л г/|„о= 1;
П = ((х, </)||х|<1/2, |y-l|<l).
Оценить длину промежутка существования решения и построить приближения уо, у\, у-2 к решению у(х).
4.	Применив метод Эйлера, составить на отрезке [0; 0,5] с шагом h = 0,1 таблицу приближенных значений решения задачи Коши
| у' = ху 4- z, lz' = z/ — z,
у\х=о = 0, z[
(Возможно использование ЭВМ.)
ОТВЕТЫ
39. D2x - х + 2 sin I = 0. 40. Dx = --4L xdx + ydy = 0. t(t2-2t -}-x2)	J
42.	Dx=—д/?/Г43. x=tDx+Dx/~\/l+(Dx)2. 44. x = /(Dx-e'). 45. x = tDx — t sin t — 5/2 46. x = IDx — i cos t -|- sin t — Z3/ln t. 47. Dx = = lD2x + (D2x)2 48. (Dx)2 = 4(Dx - 1). 49. 2D3x + (D2x)3 = 0. 50. xD2x= = (Dx)3. 51. 2xD2x = 1 + (Dx)2. 52. 2yy" = y' . 53. 2x//'-0 = O. M. y'\y-V?=y(2-y). 55.	—</'4~—/ = 0. 56. x = C-
। X
Л-1
— t cos I 4- sin I. 57. x= S Cu* + r+7(n+ I)’ 58. x=4ln/4-k=.o	2
4~ Co 4- Cit -|- C2/2. 59. x = — / 4" *7- sin 2/ -|- C. 60. x = — In cos t 4- C. 4b	4
61.	x = C 4- //V* — *2* x = — cos t 4- -5-cos3 t 4- C. 63. x = = у er(sin / 4-cos/) 4-c. 64. x = — -^-cos 2/ 4- Co 4- C,t. 65. x = t	t
= Co 4- C\t 4- l t —--dx 4- cos t 66. x — Co 4- Ci? 4- t- e'dx, s C I.
J	т	Jr
л/2	$
67.	x = In sin t — 1. 68. x = (V4/2 — 1 4- 28 — V*)/4 69- x = sin / 4- 10.
70.	x~ arcsin t 4- 93. 71. x== sin t 4- 1 — t 4- /y2. 72. x=ln( —f)4-+ /= + « + 4.	73. x = e'+2^+(l-2e)^-4/-X_|.
74.	a) x=y/24-(P-/o)?4-a-₽/o4--^?a; б) x = /2/2; в) x = ? +
4-	?2/2; r) x = 1 4- в/2. 75. x = — e~( 4- I - t 4- /’/2. 76. x = 1 4 4-(Г-1)~‘. 77. x = /2— 1. 78. x= In Z4-(?2-13/4-I2)/18. 79. x =
Г
= cos /. 80. Нет решения 81. Решение существует при условии =
= b — а.
I	г
82. х = ((/ - x)f(x)dx -	(/ - т)/(т)Л 4-
J	Г — S J	г — S
Ь‘	S
2
83. х = I 4- J С(/, x)xdxt G(l, т) = (/ - т) • I (/ — т) 4- /(т - 2)/2. 84. х = о
270
— t)cost«/t, G(t, r) = (/— t) • I (/— т)-Н(т — л)/л. 85. x = О	л/4
= — 4~ ( G(t. T)tg-rdt, G(t, r) = (/ — t) • !(/ — т) + 41 (г — л/4)/л. Л	J
О I
86. x = JG(/. т)т4т, G(t, т) =(!-%)• 1(/-t)4-/(t—I).
(С, — l)/4-C2. /<0, — sin t -J~ C\t 4“ C2l t 0.
/3/6 4- (C, - 1)/4- C2, — sin t 4- C\t 4- C2
/>0.
эо. х=(^л1г	<0’ 9i.x=4-/3sen/ + Co/ + C1- 92 * =
( г /4 4“ C, I и.	о
=	3)2 •!(/-3)+-|-; в) x =	3)2 • !(< —3). 94. </ = HnZ +
4-С, где k — коэффициент пропорциональности. 95. 1/=С-Ь^/3. 96. i/ = x-3^. 97. 2x2-3/ = -I. 98. (x - a)2 4- {y - b)2 - R2. 99.	=
= 2tzx4-C. 100. у=Сек,л. 101. 3x/2 = 2x4-C. 102. s = v0(* — *о) 4-$<ь 103. s = at2/2 4- vtf. 4- s0. 104. h = gt2/2 4- vot 4- h0. 105. s = a0(t~ — 1п(/4- I)) 106. c(0 =C-2~71n2, c(3) = 1 4-7/(8 In 2) г/л. 107. p'(t) = 9000/(1 4- 0й.	P(0)= 1000, p(t) = 10 000 — 9000/(1 4-0-
108. m'(0= 1.03'In 1.03, m(0)=l; a) m(l/6) = 1,03’/б г; 6) m(l/3) = = 1,ОЗ|/3 г. 109. а) 1,009- 106; б) 1,025- 10е; в) 10е; / = 5 ч. 110. р (/) = d s
= 1000 4- 1000//(100 4-/2), Рт»х= 1050 при/ = 10ч. Ill.m й/—Г,
s|/«o = °.	=v0, S=4*wo/1----F“—•	1,2- X = Cte 2'4- c2el.
11 ° dt t^o	3 bm
113. x = Cte-’4-C2e-3'. 114. x = C! + C2e2'. 115. x = Cte2'4-C2e‘/2.
116. x= Ci 4-C2e~7'. 117. x = (Ci cos / 4-C2 sin 0 e2'. 118. x=C\e,+
(-J3	\
Ci cos—-— I 4* C2 sin—— /J et/2.
271
120. x = Cie‘4 С2е 1 -f- Сз cos i 4 С4 sin t. 121. x — Cte‘ 4 C2e~31 4 4- (Сз cos /4-C<sin t)e‘. 122. x= (Ci 4C2Z)e“'4C3cos 'y/Tz-f-^sin л/Г/. 123. x = (Ci + C2Z) e~‘ 4 C3<?~3'.	124. x = (C, 4 C2Z) e*.	125. x =
= (Ci cos 2t 4- Сг sin 2Z) e31. 126. x=t Ci cos 2Z 4- C2 sin 2f. 127. x = = (Ci 4- C2Z)e~//2. 128. x = Ci cos4-C2 sin д£и. 129. x=(Ci4 4-<fee~2'- 13O.x = C|?4-C2e2,4-C3e3/. 131. x = C,? 4- C2e~‘ 4 C3e~4! 132. x = Cj4-C2/4-C3e2f. 133. x = Ge^Ctf-^Ge2^ C4e"2'. 134. x = == Ci cos t 4- C2 sin t 4- C3 cos -^3t 4- C4 sin 135. x = (Ct 4- C2Z) e14 4- (C3 cos 21 4- C4 sin 2Z) e~l. 136. x = Ci 4- C2t’'4C3e~'4C4e314- C^"3'. 137. x = C\ 4~ Cit 4- Cy?~4,4 Cap14" C^e z4 C$ cos i 4 Ст sin t. 138.x = = ((Ci 4- C3t) cos t 4 (C3 4- C41) sin Z) e21. 151. Л = A2. k € N, x = Csin дЙ, CfR. 152. a) x «= cos / 4-sin/, б) нет решения; в) x = cos t 4- C sin t, C € R. 153. a) a = A2, A 6 4 x *= C cos -\£tZ, C € R» или a = 0 и x = C, C£R; 6) a = 4A2, A £ N, или a=0. 154. a£R, x(/) = 0. 155. Л > 0, x= Ci cos ~y[ht 4- C2 sin “y/ht, T = 2n/^h. 156. a) b 1; 6) 0 <_ b С I. 157. 0<д<1. 158. [Al > 1. 159. а) 2л/3; б) 2л/дб; в) 4я/дб; г) 2л. 160. а = 0, 6>0. 161. а) д > О, 6>0; 6) д<0, 6 > 0. 162. Ь <0 или 6>0, а > 0. 163. д2<46. 164. д2 - 46 > 0, b > 0. 165. а2 — — 46 >0. 166. a) k2 — 4mc<Q; б) А2 —4тс>0. 173. а) р2 — 4? > 0, <7 > 0, р > 0 или р2 — 4<у = 0 и р > 0; б) р = 0. q > 0; в) р2 — 4q < О, р > 0. 174. Dsx-6D2x4-12Dx-8x = 0. 175. Dax 4- D2x - 6Dx == 0. 176. D2x 4- x = 0. 177. D2x — x = 0. 178. D3x — D2x 4- Dx — x === 0. 179. D*x 4- 2D2x 4- x = 0. 180. D*x — D3x = 0. 181. D4x + 2D2x 4- 8Dx 4-
4- 5x = 0. 182. D4x - 8P3x 4- у C2x - 18Dx 4-	*= 0. 183. D*x 4-
4- 2D3x — 3D2x — 8Dx — 4x = 0. 184. 4D2x 4- 7Dx — 2x = 0. 185. 9D2x 4-4-6Dx4-X = 0. 186. D2x 4- 2Dx - 4x = 0. 187. D2x — 4Dx 4~ 8x 0. 188. 4D3x 4-3D2x - 9Dx 4-2x = 0.	189. 16D4x4-56£>Jx4~33Z)2x —
— 28Z)x 4-4x = 0. 190. D3x 4- 2D2x — 4Dx = 0. 191. D3x4-6D2x4-4- 12Dx 4- Ba- = 0. 192. D'x 4- 2£>*x 4^0. 193. D'x - 2D3x 4 D2x = 0. 194. фо(/)=1, <pi(Z) = />	ф2</) = у ch ~ 4“ ’	<₽з(/)== —4-4
Л»	Z
—!—sh^S. 195. <po(Z— l) = 4-cos(Z— 1)4 4-ch(Z— I), tpi(Z — l) = 2Д/2	2	Z
= У sin(Z — !)4 4-sh(Z — 1). ф2(/ —
-^-sin(Z —l)44-sb(Z —1). 196. <₽o(Z) = cos-^=_-ch-^.» <₽i(Z) = In In
— v cos(Z — 1)4 vch^ ~ *)’
<P3(Z—i) =
272
= cos(Z + 2)ch(Z + 2), (pj (t 4- 2) - ~ cos(Z 4- 2)sh(Z + 2) 4- 4 sin(Z 4-
+ 2'ch« + 2), Ы' + 2)=	Ч>з<Г + 2)= -|-sin(' +
+ 2)ch(f + 2) - -i cos(/ + 2)sh« + 2).
9
198. (potZ + OJ)^ -£-e(,+0,)/,+ «5
+	<!«,(/+ o,l)= 4 e“+0J,/’- 4 e-<'+0J».	199. <н(1) =
О	о	<3
— 4cos~^3t)e ,/2,	<рг{0 = 2е~‘4-(—^sin-\/3/— 2ссв-\/з0е_,/2
200. <f0(/ + l) = (/!+l)e'+72, «)>,(/ +1) = (1-/>'+'/2. <p3(Z 4-1) = = (/ + l)2e'+'/2. 201. <p,(Z) = l, 4’>« = 4-e"'-46°s~^-' +
202. <po(Z — 3) = cos 3(Z - 1), <pi (Z — 3) = -1- sin 3(Z - I) 203. <p0(Z + 3) = О
£-(< + 3). 204. q»(/+l)=ф,(/+1) =
= -4=e-('+»/2sin
= (Z + l)et+'. 205. фо(/ - 1)= te-^. <p,(Z-l) = (/-1)е",+л. 206. <₽□(/) = = ACosZ----^-cos-v/Sz, <Fi(Z)=4sinZ---sin л/Tz, q>2(/) =
= 4 cos t--cos -y/Tz, q>3(Z) = -i- s’n *-sin "\/5z. 207. <po(/) =
j-	Z.	v
1	13	1
= cos Z 4- -y t Sin Z, <pi (Z) =-— Z cos Z 4- — sin /,	<j)2(Z) = --1 sin Z,
-л»	&
=- 4 * c°s *+4L 208‘к=<Ci+C2 +4e~^+i^s/2/5’ I = ]-I. 4-«>[ 209. x=CIe-/4-C2e-2, + (e-/ + e-5/)ln(e/4-1). I = R. 210. x = (Ci + C2t)el+ \/t, I=]0, 4-oo[. 2H. x = (Ct 4- 62Z)e' -— 4*'M2+ l)4-/e'arctg Z. I = R. 212. x = Cl4-C2sinZ4-C3cosZ-— (sin— sin Z In sin Z 4-(Z 4~ ctg Z)cos Z, I = j0, л[. 213. x=*=Ci4-4- C3e‘ + (e‘ 4- 1) (In (e1 4- 1) - Z), 1 == R. 214. x = (C, 4- C2t)e3i 4- 1/Z. 1 = ]0, 4-oo[. 215. л'оо = Ci cos 2Z |~ C2 sin 2Z; a) x„-4^sin^ + tr
273
4- cos 21 In cos 2t. I = ] — л/4. л/4[; б) хчн = in cos t — t cos 2t, I = | —л/2, n/2J 216. x00=Cie'4-C2e"'; a) x41t = —4*^71 = ]0, 4-oo[, t
6) x4lt = lsh-ft Г— dx. 1=10. 4-00 { 217. xoo= Ci cos / 4-C2 sin/; J T‘ i
a) x41) = “\/sin 2t, I = ]0, л/2[; 6) xNB = —-ycos 21. 1=]—л/4. л/4|;
в) x.IK = t sin t 4- cos i in cos /, I = |—л/2, л/2[, г) xw=-^-tg2l— — cos21 — 4-sin t In 1и(л/4 4-1/2) ~ 1, 1 = ]—л/2, л/2[; д) хчн = £
= -i- cos / Vctgz' I = ]0. ^/2[; e) x4l, = cos t 4- j^sin t ^jtg2t,
I = JO, л/2[; ж) хчн = 2 — cos / In ctg-^-. I = ]0, л[. з) хЧ1| = Z
f	t
. Г	cost ,	fsinx	. . .. .	.
= sin/\--------dr —cos/I-----------dx. 1 = ]0. 4-oo [; и) x4H = sin/insin/ —
1	T	I	1»
I	I
cos 2i
— / cos /, I = JO, л(, к) x4M =------------— , I = ] — л/2, л/2[; л) хчв =
• cos /
= cos t In tg(n/4 — t/2), 1 = 1- n/2, n/2J. 218. xw = Ci 4- C2e', a) x4H =
=/е' —(I 4-e') In (1 4-e'), I = R; 6) x.IH = 4-(l-e2,)3/2 4-О
4- e‘(el^l — e2' 4- arcsin e‘\ I = J — oo, 0[; в) хчи = —cos e1, I — R;			
г) X,„ = e7/, I = ]0, 4-«(-		219. <pi(/)= — sm cot 220. co	Ф1 (?) = — sh ш/. Cl)
221.	«jn (/) = /£-'.	222.	<pi(/) = /ef. 223.	<p2(/)=v		
224.		~re u. 225. <рэ(/) = ~sh2t		 sh t. lu	и	u	
226.	/Л	1	 > фз(О = 2 sin I	sin ~\/з t. 227. <р<(/) = 		-^ch/4-=Jrch3/. О	/z
228.	<pi(/) = efsin/. 229.	2	"\Л <P1(O— ——e,/2sm	/. 7з	230.	ф2(/) =
1 ~ 2 1 — 8 2 4 9	4- -^-(sin t — cos t)e\ sh2/-4-/. 247. a) 4 e-('-3), I = R; 6) x	231. <p2(/)= 1 4-(*~ О*'-х = (6/-5)е-('-,)+4-е2' = (3/-I9)e-{'-7>+ 4-e2'- У	232. фз(0 = ' (е-«-з> + О _ ' (e-»-30 + О
+ 20е-«-го. [ = R; e) x = ' « _ _L/c-< _ '	| = R; r) x =
*7	У	О	У
=	± e2'_ JL /е-'+з_|_ 2 e-/+3t 1==it 248. a) x= 2(1-0,
У о	У
274
I = R; б) — cos /,
249. a)
x = 2(l —/)-f-2 sin(/— I), 1 = R, в) x = 2(1 —/) 4-2stnZ— I = R; r) x = 2(l — Z) — 15 cos (/4-3)4-sin (Z 4-3), I = R.
x = JLe' _ JLe-'/=Cos-^Lf, I = R; 6)	x=-?-e' +
л/З	л/З \
~~2~l ~ дю sin —— t	I = R. 250. a) x = cos2Z4-
4- - sin 2/ 4- sin /, <3	3
I = R;
6)
x = cos 21 -|- — sin 2/ 4-
(
. I f sin 2 t — т) ,	_	л j
+ V \-----7jZ“i—~ dr, I —] — i, 4* oo [; в) x = cos2Z 4- — (I 4- !)sin 2/ 4-
J * 1 I	z
4-4-cos 2/In cos 2/. 1=] — л/4, л/4[; г) x = A*' + -f-sin 2/ + •	Ou
4	I	/
4- -y cos 2t, 1 = R. 251. x = sin / 4~ sin 2t 4- sin 2/ In tg —, I = ]0, л[. 252. a) x = Z2 sin Z 4~ /cos/, I = R; 6) x ~ 2(1 — Z) — 2 cos t 4- 3 sin Z, I = R; B) x = 2 sin t — cos Zin tg 4- -£-\ 1 = ] — л/2, л/2[: г) x =
t
= sin Z 4- In (Z 4- 1) — j ~ 4-~i rfT’ I==J —l- + °°[- 253. x = 0
= С, cos 3/4-C2 sin 3Z 4-2e3', I = R. 254. x = (Ct cos I 4- C2 sin t)e2t 4-4- (Z2 4- 3/ 4- l)e\	I = R.	255. x = Ci cos t 4- C2 sin t 4-1 sin I 4-
4~ cos t In cos 14- 1,	1 = ]—л/2, л/2[ 256. x = C( cos I 4- C2 sin Z —
- Vcos 21 4- 4 / sin Z, 1=]- Л/4, n/4[ 257. x = (C, 4- C2Z)e3' - e' 4-4-l/Z. I=]0, 4-oo[. 258. x = (C14-C2/)e-/4-2er4-4e,(Z4-05/7o, 1=1-1. 4- po[. 259. x4ll = e175. 260. x4B = 2(Z - l)e'. 261. x4„ = = /е'4-/2 + 2. 262. x4I1 = (l'2-4-zV 263- x4Il = l?sin/4-\	о /	iv
3	I
+ To cos 1 264- x!>« = ^(6 sin / — cos Z)e3/. 265. x,1H = /V. 266. x4J1 =
= (I sin t — f cos 0/4. 267. xq„ = (2/— l)e’'/32. 268. x„ = ^-(cos 5/—
Ou
_ Sin 5Z) - 1- Z3 - Z2 - JL t. 269. x„„ = /76. 270. x4,. = (2Z3-
4-(2/- 2/2 - 3)e2'. 273. x
. /3 cos' - (-8
. x=
,6
sin 21.	276. x =
4
5
275
+ ^ + Л')«п'- 28L * = (Cl + C!/)e' + Cse-a+f^-4V +
у UU	1U J	\	& J
1 I ч
+ te~2‘. 282. х = (Ci 4- С2/)е2' + ~ t2 + у t 4- у. 283. х = Ci cos t 4-4- Ci sin t 4- e‘/2.	284. x — Ci cos / 4“ Сг sin t 4- (4/ sin t -j- cos 3/)/16
285. x = Cie“' + Сг cos t 4- C3 sin t 4- t\ 286. x = (C, 4- C2/)cos 2t 4-4- (C3 4' C«/)sin 2/ 4- ~ cos t. 287. x = Ы 4- Cae3r 4- C3e2' 4- (21/-— 9/2 4- 2/3)e3< 4- te2‘. 288. x = 2 cos i — 5 sin 14- 2e'. 289. x = e — I 4-4-e2/_ — 2e'. 290. x — (t 4- 2 — 2 cos t — sin t)e~'. 291. л ==(/— l)e2r 4-4- (1 — t)e~'. 292. x = t — 2 cos t — t sin t. 293. x = (2t — 3)? 4- е~г 4-4- cos t 4- 2 sin t. 294. x = cos 2/4- 4-(sin / 4-sin 2/)	295. x =
J
= ^2/3 — 4/3 4~ 5/— y^e'4-3(/4* l)4~ у e-<- 318. a) D2x-4Dx4-4- 5x = 3e2i; 6) O2x 4- 2Dx 4- x = 8(/ 4- I )<?'; в) D2x - 3Dx 4- 2x = - e'. 319. a) x=>(sin f 4-cos Л/8, б) x = I, x = Ce *— 1. x = Ce' — 1, C 6 R; в) x = 4(cos2/4-4 sin 2/)/17; г) нет решений, x = (C|C2/)e7'4-4-(9f -f 41/4" 52)e'. CiC2£R-. a) x = 3. 323. I co I I 324. |/e|	2.
cw cos co/ 4- (w2 — b) sin co/
325. co = k. 326. co k. 328. П рн о 0 д^щ2 |	~~~~~~ *
при a =*0, h<0 н при a — O, b> 0, b to1,	Q -——-sin tot;
b — co
при a=0, b > 0. b co2, д/ь/со £ Q Ct cos^/bt 4- Сг sin^T/ 4-
4-7-----— sin со/. Ct, C2£R; при a=0. 6>0. b = co2 периодических
b — co
решений нет, при a = 0, b = 0 —	329. и = e~ht (Ci sin -y/k1 — h2t 4-
(i)4
_ Г5----------T7.\ . t i t	— со2)4-25Лсо
4- Сг cos -ул2 — h11) 4- p sin tot 4- q cos tot, где p = y------- / 1 T,
(Ar — or)2 4- 4Л^со^
b(k2 — to1) — 2ahto
17л	,.2\2 1 лсЛ.г
ma
k2-toz
e<°2	fe2
где k =
ma
— co2.
g
1	2	ht . n -n 8	. eco	2
при ------< to2 у = C\ekl 4- Сге--------rz—г cos co/ — —где k‘ =
та	к' ~r to	k
>	1	1	2	j g	ii ECO2/2
= co2---------; при-----— ы y = Ci + Сг1--------cos co/ 4--------—. 331.
ma ma	co	2
/11\'/30
x= 500 cos 2п/4-1000; 500; 1500; 500. 332. x = 56 (-—) , «49 kt.
333. co =	ft 6 Z. 334. mD2x 4- kx= 0, k > 0, T = 2л -^m/k.
I2 V m
j2 y,	/fjr	dx I
335. m —r 4- й -7Г 4- kx = 0, x|l=0 = 0, —	= oo. 336. x = (4e' 4-
dt2	dt	dt L-o
+ ₽ *')/5. 337. m^-+h~+llx = 0.	х|.-о=Л>,	- И.
276
l
338. £i + 2-^lnlO dx т^ + 1п’ Ю *
339. x=a cos ^2k/m t. 340.	4- — x = 0.
7* = -^-Д/Йбл3+ In210).
х|/,о = 2/. —I	=0;
dt
d2x
341.	4- 500x = 0.
л ~Jb	d2x g	/ ~
7* =———c. 342. —-y- 4- -  x = 0, x=C|COS“\/—-—t 4-25	dt /14-/2	V h 4- Zs
+ C1SinyT+Ta‘- а=ут^- T-2n^,+l^g. 343. x = = 4sin-^0/, v0 «28 см/с. 344. A^-4-|Lx = 0. x|/=0=-20. — \ =*0; x= —20cos It, 20 cm; 2n/7 c. 1,96 H. 345. _u x = 0 ul I f"0	^2	'	/	'
/-0
/
x - — cos 2
1	1
x|<„=o = o, ------1
	= 0; x = a cos
di h-o
dx f-o—a> я7 dt f_o
~-t. 346. -^-4- — /	di2 a
• g ,	d2x	j—
— t 347. m 4* 2 \mc
a	dt'
dx ~dt
= uo; x
/
2 *
348. frm,n = 2m yg/l. 349. x = vci exp(— yg/l t). 350. Yi — уЗлт
351. vi = '\/4Ya“ 12л1с, -J3mc < Y < Ял/тс. 352. m — 4- b — dt2 dt
= H sin
H	/ m	d2x
— ~\ —• 353. —x- 4- 400x = 4.6 sin 8л/. x == b	V C	di2
j2
= —1.98 sin 8л/ см. 354. k > 50 кг/с. 355. 9—— 4- ЮООлх = 0. dt2
T=1 „
5 V «0 Co =	----г? s*n +“) ~ n cos a s,n nt ~ w sin a cos л0. где
= I /(Z.C). 359. / = ~ t sin ni. 360.' a) I = f0 exp (-	6)
Eo	/	/?/ \	. .	£0	/7?	\ J
— ~o~ 4- C exp f-j— к в) I —	-	—- ( -у- sin bit — ui cos wt
К	\ L /	R 4- Lui2 *
+ Cexp(--^-). 361. a)/ = C, exp/-A.)
СЕы	dt
+  I + rw (“S + RCw Sin “°- Звг- л-  L dt  LC' — 4-A j" i-L-l-n ti^.RdU I di’ L dt + LC ' dt’ + L dt + LC U °’	4 ~
In	7.7	49 . 3
10c 35®-t = -3OSlnV'+ 9CTS,nT'M-
I; б) I = Ci exp 7 . /? dq
358.
n~ =
RC
dt'
277
= Q ехр (-—— I (cos ш/ + ——
\ 2L / \ 2Lw
™-L^+^ + ±4 = U'-
. t . I	f	Ri\\
— L<d cos id/ -|- Leo exp I-~L~J/
Eq (
I = —о-i~T ((<°^ cos a — /? sin
/?* + E и \
\	Г\ ~r*~
sln“7 где о = л/тс--«т-364.	/ = --д £o (r sin tat —
R -f- E a) \
365. E ~ 4- Rl = Eq sin (ш/ 4- a), x) exp (-+ R sin (о/ 4- a) —
\	2CEo / Rt\ -yj4LC — R2C2
— Lu cos {(at 4- a)). 366. I = ,		- exp ( — 757- isin —---------I.
7	~\]4LC—R2C2	' 2L/ 2LC
392. О—седло. 393. О — узел монокритический. 394. у = 0— прямая покоя. 395. О — фокус. 396. О — седло. 397. О — фокус. 398. О — центр. 399. О—узел бикритнческий. 400. О—узел бикритическнй. 401. у = = 0 — прямая покоя. 402. О — узел монокритический. 403. у = 0— прямая покоя. 404. 0< |ai < 1 — фокус; a = 0— центр, |a| > I — бикритическнй узел, |а| = i — монокритический узел. 405. а>0 — седло, а < 0 и а — I — бикритическнй узел, а = — 1 — монокрнти-
чсский узел а =5 0—прямая покоя. 406. 0с1а|<-у2 — фокус, а = = 0 — центр, |а| > д//Г— бикритнческий узел, 1а| — ~\/2 — монокрн-тическнй узел. 407. а = 0 и |а| = 2 — монокритический узел, 0< |а| < <2, |а|	~\/2 — фокус, | ct I = ~у/2 — центр, I а I >2 — бикритнческий
узел. 408. а = 0 — центр, а =/= 0 — фокус. 409. а = 0 — центр, 0 < |а| < <2/-у]з — фокус. |а|>2/-д/Г—бикритнческий узел, |<х| = 2/VT-монокритический узел 410. а = 2—монокритический узел, а<1 — седло, ct > 1 и а Ф 2 — бикритнческий узел, а = ! — прямая покоя. 411. а = 0 — прямая покоя, а #= 0 — седло. 412. а > 0 — седло, а < <0 — бнкритическин узел, а = 0—прямая покоя. 416. Неустойчиво. 417. Устойчиво. 418. Неустойчиво. 419. Устойчиво. 420. Устойчиво. 421. Неустойчиво. 422. Устойчиво. 423. Неустойчиво. 424. Неустойчиво. 425. Неустойчиво. 426. Устойчиво. 427. Неустойчиво. 428. а > 0. 429. b > 0. 430. Л £ R. 431. а = 0, b > 0. 432. Устойчиво. 433. Двусторонне устойчиво. 434. Двусторонне устойчиво. 435. Неустойчиво. 436. Неустойчиво. 437. Асимптотически устойчиво. 438. Асимптотически устойчиво. 439. Устойчиво. 440. Асимптотически устойчиво. 441. Асимптотически устойчиво. 442. Асимптотической устойчивости нет. 443. Неустойчиво. 444. Асимптотической устойчивости нет. 445. Неустойчиво. 446. Асимптотически устойчиво. 447. а > 0. ab > 2. 448. b > 0, За — — д > 0. 449. Асимптотически неустойчиво при всех а. 450. b > 0, а > b + 1. 451. 0 < а < 2. 452. а > Q, Ь> 0,8а — а2Ь > 4. 453. D2x 4-4- 2pDx 4- кх = 0. при отсутствий" силы сопротивления (ц = 0) — устойчивость, в остальных случаях — асимптотическая устойчивость. 454.
D2x 3Dx — 4х = 0» неустойчиво. 455. D2x + Dx = g, движение
О
устойчиво, но не асимптотически. 456. D~x 4- 4х = 2 cos /, устойчиво, но не асимптотически. 457. х=₽(С,е-', С2, С3е')г. 458. х = (С|в-' + + е'/2. Ci. С3, Сзе1------sin ijT. 459. х = (С.е2', С2е2'. С3е7/)Г.
460. х = /Си?2' — 1/2, е2,(с2+ \^Jre-2tdx\ C3e7l\T, t > 0. 461. x =
278
= (C,e,,C2e2,-2Ctet, -Gte'4-C2e2'4-С3е')г. 462. x = (C(e2' - 3C2e' + -I- 7C3e3'. C#* 4- C3e3?. Сз*3')г. 463. x = (b 4- Clt C2e' - 12/ - 12 - 6Clt C3e4' - I -J- -П.Г2С| - 4- С2е')Г. 464. x = (c^1 + 2C2ee< 4- - - C3e">14-4	3/	\	о
+ -^-A	+	Сзе1"-le')'. 485. x = (e'~3, 0)r.
466. x = (3e‘ — t — 1, 3te'-H~H)r- 467. x=(e' —/ — 1. (t — 2)e' 4-t 4- 2. 3e' — 3)T. 468. x = (e', (Z 4- Z2/2)e', (t 4- l)ey. 469. x = (C, cos 14- C2 sin t, — Ci sin t 4- C2 cos t)T. 470. x = (clC2' 4- C2e"2' - e‘, Cie21 — у C2e~*‘ — - L Лт. 471. x = (c, + C^' + A e'. C, - Ge-a + A e'Y- «2. x = = ((Ci 4- C2f 4- у ^e'— у cos t - у sin t, (2Ct 4- C2 4- 2C2Z 4-1 4-4- Z2)e' — 2 cos ty. 473. X = ((C, 4- C8Z)e', (2C, 4- C2 4- 2C2Z)eV. 474. x =
(1	2
Ci cos t 4- C2 sin i 4- !, C3e,f-=-cosf-р-sin/, — Cisin I —
о	5
- C2 cos Z - Zу. 475. xi = — C2e' 4- C3e2', x2 = (Ci 4- C2Z)e' — 2C3e2', -*3 = (C2—C|—C2Z)e'4-2Сзв2'.	476. xi = (Ci cos t 4-
4-	С2 sin Z^e-'/a + (c3 4- у Z^e' — e~', X2 = -L c{ —
л/з \ д/з /д/з I \	\ _4,9 /л 1
2~C2J cosy-Z 4-^y-Ci — у C2) sm-y-zje 4- (c3 4- у I -
- 4)e' -e-' хз=((- 4Ci+Ar c=)cos Ar'+(ArCi -- A c,)sin 2^ -P + (c3 + A. i _ Ay + e-_ 477. x, = C.e' + 4- Сге2' 4- Сзв3', х2 — у Cie‘ 4- у C3e3', x3 = — Cie1 — C2e2'-C3e3'.
478. xi = (Ci cos 2Z 4- C2 sin 2/)e3', x2 = Ci (cos 2Z 4-2 sin 2Z)e3'4- C2(sin 2t — — 2 cos 2Z)e3f. 479. x, = 4 4-4-	^2 = 4- ~ -F*5'- 480. x, = - Д-е' 4-
o о	оз	3
+ у (cos--Z 4- VTsin -y- ty,/2, x2 = у e' 4- A (-^Tsin 1 —
~ cos t }e,/2. Хз = 4-+ 4 e'/2 cos-z 48!. Xi = ~e3t —
л-2=уе3'4-4е"2'’ ^з^=у e3,4--le-2'. 482. x, = --iC.e"'4-□	D	v	3	o’
+ 24; Oe-3* - C.e‘ + Csev - A c^', x2 = A C.e- - A C2«-3' + 4- C<e‘ 4- Cse3' 4- C^e~i(, Хз = Cie“‘4-C2e“3'4-C3e2'. 483. х^гс,*^
279
4- 2C2e3f - C3e2f. x2 = Cte' 4 C2e3', x3 = - 2Ctel - 3C2e3' 4 C3e2f. 484. л, = С, 4 3C2e2', x2 = - 2C2e214 C3e“', x3 = Ci 4 C2e2'-2C3e-'. 485. xi = Cie14 C2e2' 4 C&>‘, x3 = C^e1 - 2C2e2' 4 C3<?6/, x3 =	—
- 3C2e2'43C3es/. 488. x, = Cte'4 C2e“'4 * sh/, x2 = Ci*'-C2<?“'4 4 sh t 4 t ch t. 487. xi = C\e~‘ 4 C2e-3/, x2 = C\e~l 4 3C2e-3' 4 cos /. 488. xi = C\e* 4 C2e~' 4 C3 coss i 4 C4 sin t, x2 = Cie' 4 C2e~‘— C3cos/— — C4 sin t. 489. xi = (Ci sin t — C2 cos 1)е‘ — (C3 sin 14 C4 cos x2 = = (Ci cos t 4 C2 sin t)e‘ 4 (C3 cos t4 C4 sin	490. xi = Cte~* 4
4 Cse2t - C3e’2'. x2 = -C(e-‘ 4 2C2e2/. x3 = Cte~‘ 4 C2e2' 4 C3e~2t. 491. Х| = С2г?-2'4С3е', x2 =» C2e~2/ 4 (Ci - 2C3)e'. x3 = (C3- Ci)ef 4 4 C2e“2'. 492. X| = C^e1^2 4 C2e~ty^ 4 C3 cos 14 C4 sin I 4 e1 — 2t, x2 = = — Cte^2 — С2е~^ —C3 cos t---C4 sin t 4 t — e'/2. 493. Xj =
ч	4
= (lC4 - Ci -	- C2z 4 Л /5Vos 2/ 4 64-1 - 4C2 - C3 — C4/)s‘n2C
\	I о	J	\ 4	/
x2 = (Ci + C2t—~ I2} cos 2t 4 (c3 4 c4 /)sin 21. 494. xi = (C, 4 C2t 4 \	J
4C3/2)ef4C4e-'. x2= (-1c14^C2--^-C34/({|c3 --у C2)-y C3/2V-C4e~'. 495. x, = Cte'4 2C2e2'. x2=-C,e'-
x2 = — Cte2‘ — 2C2e
4 c^~‘ - Сзе-31, x2 = 4C,e10' - С2е~( - Сз*"3'.
499. x, = уСг’*  ’ л 1  1 "	•' ' 1 4
2
x2 = Cie2' 4 (C3 - 2Co)e~f, x3 C\e“
— 3C2e2<. 496. xi = (Ci cos 14 C2 sin t)e2lt x2 = (Ci sin t — C2 cos tje21. ла-7-----R/*	, /-.Л-7Г----- z- -2Г	O/V--7I	498	X|=4Cie’0'4
x3 = 5C^,0,4 2C3e-3/.
16 ~ *'t-1 9  Xs = т c,e9f “ 500. xi = —3 sin t — 2 cos t 4 2C|/ — 4 C2. 501. xi = Cje" 4 (C2 4 C3)e-f. e_/. 502. xi 4 x24x3 =
5
9 ’
,2i
[cos/ —sin/ sin t cos / e1
507. exp At = 0 0
0 0 e-1
506. exp At =
' e 1
. 508. exp At = te~* 0
0 e-'
0
504. exp At = ch t sh 11 sh t ch t Г
0 ’ 0 e2’
. 509.ехрЛ/ =
0
0
— I 0
-3t2 — t 1 — 3t— 1 0
0 2/
1
510. expAt = e‘
t
t
t t
1
511, exp At =
512. exp At =
’e2t 0 0 0
0 e3' 0
0
0 0 e' te1
O' 0 0 e*
280
Указание. Для задач 513—524 х(/) = Se"S~ 'С. 513. ехр Л =
514. 515.	'е' 0 0 е2/ 0 0 е ехр Л — ехр Л =	0 ' 0 —t е~ С С е' 0 0	• *' ( t ( 3‘ С е 0	) O' ?' 0 ) el 0 ’ te' e(	вариант S => ,	вариант S = .	вариант S =	1	2	O' 0 1 O' 0 1 -2 1 1	1'
						0	1		
						— 1 —2		
						-1 -2		
						1	1		
						1	0		
						— 2 -4		
						1	1		
						1	2		
516.	ехр // = е 517.	ехр Л = е 518.	ехр Л = 519.	ехр Л = 520.	ехр Л —		-< S' 0 0 0 0 е~‘ 0	1 0 О' 0 1 t 0 0 1 1 t 0 1	/ 3 о 1 о о' е~‘ 0 . 0	1 о o' е2' 0 , 0 1 te"‘ o' е~‘ о		.	вариант S = * .	вариант S = вариант S = вариант S = ,	вариант S =	~-2	4 0	3 1	-2 2	0 — Г 1 1 —3 1 0	0 — 2 I 1	1 -1 —2 2 3 — 1 ' 10-1 0 2	1 --3 _з _ -3 -2 -	Г 0 . 0  4 3 -4 -1	c 
		0 е~*	0 0	1 0“		4	2 1	2 -	I -3"	
512. ехр Л =		0	1	I ,	вариант S =	1 -6 -	-1	
522.	ехр Л — е2 523.	ехр Л — е‘ е 524.	ехр It =		0 'Г1 |р ~1 0 0 м 2» 3 3	0 t ’ 1 j I I 0 0 e~2t 0	1 -  /72' t 1 0 /e-: e~2	вариант S = 1 .	вариант S = u , вариант S =	— 1	8	0 1 11 1 OJ — 1 — 1 1 1	0 0. 1-12 0 -1 -1" 1	0	0. 3	1	0		
281
Указание. Для задач 525—528 х(/) = Se*‘C. 525. ехр Л =
"1 L О О
= е‘
О О
О
I
О
О
О
1
О
О t
вариант S =
О
О
526.
ехр Л =
е' О О О
1е‘ е1 О О
О О
1
О
О '
О О е2/
вариант
S =
’О
О
О
527.
ехр Л = е1
О О О
I
I
О
О
/
О
t
528.
ехр// = е2/
О
О О
О
О
Указ
а и и е.
Для
/2/2 /
О
задач
О О
О
О'
О о
вариант
вариант
S =
S =
О о
1 4
О 1 О 7
1
О О
/3/6 /2/2 / 1
529—532 x(t) = SeT,C.
О]	Г О 0 2
—е' sin 2/ , вариант 3 = —1 —10
О 0 1
/ 2 О О I 0 ‘ ООО
I I “
— I 1
О 0 ‘
0 °_
-1 О' 2 О О 1 ’
О I
О I О'
1-1	1
— 1 I —I * О —I	I
529. ехр Л =
. 530. ехр Л =
е* О О е' cos 2/
0 e1 sin 2/		e‘ cos 2/	
cos /	/ cos /	— sin / -	— / sin /"
0	cos /	0	— sin /
sin /	/ sin /	cos /	/ cos /
0	sin /	0	cos i
sin I cos /
1 —3 О
	'1	1	0	o'
вариант S =	0	I	1	0
	0	0	1	1
	0	0	0	1
- о, Г cos / 531. ехр// = е I . . I—sin/
532. exp 7/ =
Зйз(г-2)_4е-2(г-2)+2е-</-'21
О. Г COS/ sin/l	ё Г I П соо	Q--2U-2) , <)р-it-2)
=е2/	, , вариант 3=1 L 533. х= &
[—sin/ cos/J	L 2 0J	Зе3(,~2)__4e-<,-2)
534,
"(^+l)/2 3(e2' - I )/2 e2/— I
535. x^= 2
536. x = e{~'
537.
539
12/ + 61
9/4- 46 — 6/ —29
14e2'- I2e'
7^
I2e' — l4^2,4-3e-z
282
541. л =
542. х =
((4/ + 1)С| + 8/Сз)е-' + 4/3 (ЗС-Ь С2 4- 6С3/ — 3)е~' 4- З/3 + 3 (-2G/ 4- (I — 40С3е-' - 2t3 4- 3/2/2
543. л =
544. х =
545. х =
C>(2e-r+/-U+Ct(e~Sf-6e-’)+C*(S-«-5e >)-(Б/ + 16)»"’- 4 »’+ 4-Г-16Л-1Б d> 2
С,(2г *—3<—2Л C.(7 + 15f—6с-'Л-(?,(5 + 12г—5е-')+(3—6Qe-’+2/J+ у/’4-101-3
Ci(24-4r-2е-‘)4-С (6с"' —2О/-0Л-С1(5е-‘—1бг—<)-}-(€( —У}с-'— 4 г’—2с- I5/+9 м
е‘ - 1
О
3 —2е“‘ —е'
546. х =
Е’ (^~2	—s)+ 1 )+£»((/—s)’+5(/— s))— gj^-Z -5 - -j-2(< — s)
—$ •	— + 2 ~ S)	b (1 — 3 (/—s)—(/ — s)!) + §3	— + (/ — 5)
~ । (~F~ +<z -«))-£*(0 -s)’+(/ -s)J+Ь	4- ’)
548. Ф(/)
550. Ф(0
547. х =
Г 2e2t
e^'
-e21
2e2t
-e2t
e
e~‘
e~‘
-2e~l
4
3
— 4
549. Ф(/) =
-e“a/ e-il e-2'
(2t + l)ezl O'
(2 - t)e* - I
te21 1
. 551. Q>(/) = e-'
Г-2
0
I
-2el 0 " e1 0 . 0 e'
4 4/+Г 3 3f — 2 —21
283
Г-2
552. Ф(/)=
554. Ф(ф
556.	Ф(/) =
557.	Ф(/)
558.	Ф(ф
559.	Ф(/) =
У к а 560. Ф(/)
561.	Ф(/)
562.	Ф(0
563.	Ф (/)
564.	Ф(/)
565.	Ф(/)
•^•чн ==
566.	Ф(1)
е 1
1
0
и 0
3
I 1
553. Ф(/) =
"О 1
е‘ О О
555. Ф(/) = е'
О
?2
О
-е~г/ О e~2t
'О О
I 2t
1
е' е2* cos /	e2/sin/
2е' e2/(cos t 4- sin /) e2t(sin t — cos /) e‘ 2e2'sin/ — 2e2< cos t
О te~2i
2 ’ б/2 6/-Н
e' 2e‘ e'	e2'(3 cos 3/-f-3 sin 3/) e?'(5 cos 3/ 4" 3 sin 3/) 4e2{ cos 3/	e2,(3 sin 3/ — 3 cos 3/) e2/(5 sin 3/ — 3 cos 3/) 4c2/ sin 3/
~e‘	e2,(3 cos 3/4-3 sin 3/)	e2'(3 sin 3/ — 3 cos 3/)
e‘	4e2/ cos 3/	4e2/ sin 3/
2e‘	e2<(5 cos 3/4-3 sin 3/)	e2/(5 sin 3/ — 3 cos 3/)
e(l+VH)f
а н и e.
cos /
—sin I
Для задач 560—571 sin /1 Hg 1 cos/} Хч,,“ L 2 }
= ф(')с+-М9-
Г1	2е~Ч _ /2< Г111
Li	e-'J* Хчи“ 6 [25 J'
4e-3'l	Г/2 4-/1
е-3']’	I-/72J'
sin/1 __ Г cos In (—cos /) + (/ — n) sin / 1 cos / J’ ‘“l~ L — sin / In (—cos/) + (/ — n)cos /J
—e e2t
cos / — sin /
Feos / —sin /
L — 2 cos /
cos / 4- sin /1
-2sin/ J’ x-‘
(I — t) cos / — sin t ] (/ — 2) cos / 4- / sin / J’
	— e"3' —		88
25	9	15	225
— e5'-	-L e -3' -	8	16
25	9	15 / +	225
284
567. Ф(/)^=Г C°Stt
L—sm/
sin t "| cos t ]'
^чн ---
f	/
icos т , , . . f sin т . --------ат 4- sin t I----dz
T	J	T
1 1
t	t
Seos т . ,	, f sin т
------ат 4* c°s t i----
T	J	т
i	I
570. Ф (/) =
2e2'
—eat
e~‘
e~l
-2e~‘
6/2 + 6 q
-6/34-6/-9
571. Ф(/) =
e1
2e‘
(3 cos 3/4-3 sin 3/) e21 4e21 cos 3/
(5 cos 3/4-3 sin 3/) es‘
(3 sin 3/ — 3 cos 3/) e2t 4e3‘ sin 3/
(5 sin 3/^3 cos 3/) e21
(SI	9	\
— 4" cos 3/-— sm 3/ ) e2t
6	6	6	J
/90	2	2	\
~2e' 4- (£ - 4 sin 3/ - 4 cos 3/ ) e21
\ У	о	У	j
'34	2
— sin 3/ 4- -Q- cos 3/
J
572. Неустойчиво. 573. Неустойчиво. 574. Асимптотически устойчиво.
575. Асимптотически устойчиво. 576. Асимптотически устойчиво.
577. Неустойчиво. 578. Асимптотически устойчиво. 579. Неустойчиво.
580. Устойчиво, но не асимптотически. 581. Неустойчиво. 582. Неустойчиво. 583. Неустойчиво. 584. Устойчиво, но не асимптотически. 585. Неустойчиво 586. Асимптотически устойчиво- 587. При a£R устойчиво, но не асимптотически. 588. При а < 0, b £ R асимптотически устойчиво; при а = 0, b € R устойчиво, ио не асимптотически. 589. При а > 0. оЬ > 2
285
асимптотически устойчиво. 590. При За — Ь > 0, 6 > 0 асимптотически устойчиво. 591. При а < 0 асимптотически устойчиво; при а > О неустойчиво. 592. При а £ R, b £ R асимптотически устойчиво. 593. При а 4- с < 0, ас 4- Ь2 > 0 асимптотически устойчиво; при а 4- с < О, ас 4- Ь2 = 0 устойчиво. 594. При а < 0. а2 — Ьс> 0 асимптотически устойчиво; при а < 0, а2 — Ьс = 0 и а = 0, Ьс < 0 устойчиво. 595. При а < 0 асимптотически устойчиво. 596. При а > 0 и а < — 1 асимптотически устойчиво, при а = 0 н а = — 1 устойчиво. 597. При а £ R неустойчиво. 598. При а < 0 асимптотически устойчиво; при а = О устойчиво. 599. При а<—1/2 асимптотически устойчиво. 600. При а — b < О, (I—а)Ь<1 асимптотически устойчиво; при а — Ь<0 и 6(1 — а) = I устойчиво 601. х> = xz — прямая покоя 602. (О, 0) — узел. 603. (О, 0) — дикритический узел. 604. (О, 0) — седло 605. (О, 0) — седло 606. (О, 0) — седло. 607. (О, 0) — фокус. 608. xt = х2 — прямая покоя. 609. (0, 0) — узел. 610. Неустойчиво, (0, 0) — фокус. 611. Неустойчиво, (0, 0) при ос > 0 — узел, при а < 0 — седло, при а = 0 х2 = 0 — прямая покоя. 612. Устойчиво, xi —2x2 = 0— прямая покоя. 613. Неустойчиво, (0, 0)—седло. 614. Устойчиво асимптотически, (0, 0)—узел. 615. При а < 0 устойчиво асимптотически, при а > 0 неустойчиво, (0, 0) при а =£ 0 — фокус, при а = 0 — центр 616. При ос £ R неустойчиво, (0, 0) при а >• 0 — узел, при а с 0—седло, при а = 0 Х| = 0— прямая покоя. 617. Неустойчиво, (0, 0) — узел 618. Устойчиво, (0. 0) — центр 619. Устойчиво асимптотически, (0, 0) — узел 620. Неустойчиво, (0, 0) — седло. 621. Устойчиво асимптотически, (0, 0) — дикритический узел. 622. xi = 150е' — 50е3/, х2 = 150е' 4- 50е3'. 623. х, = 1000 (cos t 4- sin /)е‘,
X2 = 1000(cos t - sin t)el, t = л/4. 624.	2x'f 4X21 L.o =
\UX2 — X| — ZX2,
= 100,	x2|, 0 = 300. X, = 350 — 250е“Л x2 = 175 4- 1256““'.
625. xi — (a------4---------------— ecl, Xz =	626.	= /V(a —
\ a 4~ C / a-f-C	at
dT
— ЬТ}, —7— = cN, где a. b, c — постоянные; T — масса яда в момент t. dt
627.
dB
-dT=-kB'
dC
-r.^kB-lC. at
В = 0,214, C = 0,249
628.
rfx
kx — ly, dt	У
у = 4,5(1 -	x = 10 - y. 629. x = 40 (4e~21 — 8eB')/3 cm. 630. x =
= 40(3 cos 3/ 4- 4 sin 3/)e“*73 cm.
631.
d2x dt2 d2y dt2
4- 2kx = 0,
4- 2ky = 0.
dt t—c
dt t=~o
a2
2ky2 ,.2~,
632.
dV\ dt
m

x I м —
= -aVi. ^~~=aVi — b, Vi|f=o=!OOO, V2|,.0= 100, где У|. V2 — dt
объемы солевых растворов: Vi = 1000a al, V2 = — lOOOe "' — 6/ —900.
286 Г
z dxx
I =*i(a — Xi — x2), 634. <	где X|(/), x2(/) — массы веществ соответ-
ственно Xi и Х2 в момент /, х( = а(! — 2“')/4, х2 = За(1 — 2-')/4. t	i
635. L-%- 4--L((/-/1)dr = £0./?/,- уг((/—/|)г/т = 0, /|/_о=0, a i с* j	с» 1
о	о
?|/эо = 0. где /, 4-/2 = /. 636.	+ /?,(/, -/2) 4- £ = 0.	+
di	at
+ Rih -Ь Ri(h - /.) = 0. 637. arctg x + arctg у = C. R2. 638.
4-^/x = C, x>0. 639. 2In(—x)+ln(l+«/2) = C, x<0. 640. t/ + 4-4f/lnx=C, x>0. 641. x2 + y* — 3x3t/s = C, R2. 642. V*2 y* -j-4- In (ху) + x/y = C, x > 0, у 0. 643. x4 -j-x2y2 -j-y4= C, R2. 644. sinx — — x cos x -{- ~ у 4- sin 2y = 0, R2. 645. x sin у — у cos x 4- In (ху) — C, x > О, у > 0. 646. x2y = C, R2. 647. F (ху) — С, где F (u) — первообразная f (u), R2. 648. F(x 4- У) — F(x — у) — С, где F(u) — первообразная f (u), R2. 649. F(y/x) — С, где F(h) — первообразная f(u}, x > 0. 650. у = x. 651. x — у2 cos2 x = 0. 652. у = x2 — V90 — x2)2/2. 653. у = = sin x. 654. In (—x — y) 4- 1 — y/(x 4- y) = 0. 655. x — д/l 4~ */2- 656. x = = д/2 — у3. 657. x2 cos у 4- № cos x = 0. 658. x — y/x = C. 659. 3x2 In у 4-4- (у2 4- l)3/z = C. 660. 2e* sin у 4- 2e* (x — 1) 4- e* (sin x — cos x) = C. 661. x2/2 + x/y = C,y> 0. 662. x^4- У 4- In У — x/y = С, у > 0. 663.1 -f-4- y2 — x2 = Cx. 664. у — 1 = C ~\Jx2 4“ У2- 665. x2y2 4- 2 In (x/y) = C, x > 0, у > 0. 666. у2/2 - x/y = С. у > 0. 667. x2 = C (sin (y/x))2f\ x > 0. 668. -yjx1 4- i/2 = С (x — I). 669. 2x2 4- 2y2 4- In (2x2 — 2y2 4- I) = C, 2x2 — — 2y2 4-I > 0 670. y~4y3y', у|х<=с = 0, 3x — 4y3 = 0. 671. 2xydx + 4- (y2 — x2 — a2)dy = 0, p "= 1 /у2, x2 4- y2 4- a2 — Cy = 0. 672. y2(2x2 4-+ y2)^C. 673. rz=l, r|v.o = 0, r = <p. 674. i=8rr', r|^0 = 0, r = = ->J^/2. 675. y2 - 2 « Cel'x. 676. ctg —Г— = х4-С,г/-х = 2Лл, k € Z, ^я>
положить у — x = и. 677. x 4- 2y 4- 2 = Cey, положить x	2y — и,
678. (I 4-x2)(l 4-^) = Cy2. 679. 4- 4" v 4- ,n (*/«/) = C. 680.	+
О z
I-----	r3  I	r	1	I
4- -Ji 4- / = c. 681. 3y 4- In —-4 = C. 682. In — - ------= C.
V	(У+ l)6	У	x	у
683.	tg x tg у = C. 684. e2x — 2ey — In (1 4- y2) — 2 arctg у = C. 685. tg2 x — “ ctg2 У — С. 686. у = C Vl 4-x2. 687. x 4- 3t/ — In (x — 2y) = С, положить x — 2y — u. 688. x2 4- 1 = 2 д/l —y2. 689. у — — *\/l — x\ у — — I. 690. 1/= д/l—Л У=^ 691. t/(ln(!-x2)4-1)= I- 692. y(14-x)=I. 693. у = 2 — 3 cos x. 694. e' 4- e~y — 2 695. у — x 4- In (xy) 4- e — 2 = 0.
287
696. arcsin x + arcsin у = я/2, у = I. 697. уд/l ф-x2 = I. 698. у = sin x.
699. yx' — 2x = 0, x— Cy2, C£ R. 700. x 4- уу' = a^(x2 -|-y2)(l 4-^’). где a — косинус угла; г = С ехр (а<р/ д/l — а2). 701. ху'4-у = 0, ху=С. 702. ху' = 2у. у = Сх2. 703. у = Сх2е‘3'х. 704. х = у2 + Су-yjl-у\ у = 0. у = 1, у = — L 705. у = С cos х 4- sin х. 706. у = (С 4- х) ехр (—х2). 707. х = 2 In у — у 4-I + Су2. 708. х = Се~!,-^еи. 709. x = Cesin* — — 2 (14-sin у). 710. х = Су—у2/2. 711. у = Сх2 + х\ 712. у = = Сехр(—х2). 713. у =/(х) — I 4-Се ~/w. 714. у* 4* 2х2у2 4- 2у2 = С. 715. х3 = (С 4-У) в*. 716. у2(С — x)sinx = 1. 717. у(Се -в1п* — I) = I. 718. 3/у2 = 1/?4-ЗСх\ 719. 2х3у3 - За’х2 = С. 720. ay(sin2x-— 2 In sin х) — 2 cos2 х = Су. 721. у(1 4- Сх) = 1. 722. х ф- у3 4- 2 = Се*. 723. х-= 1 — 2/хф- Се“2/Х. 724. у = х2. 725. х= 1. 726. у = х2е< 727. у = (х — 1)е’/х. 728. у= I. 729. х4-у24-1=е*. 730. х' =
= —х —у, у2 4- х 4- Су = 0. 731. у'= — у — х, х24-Сх4-у = 0.
У	X
I / а	!—	2	2а2
732. у'=—У—~\1—> у — Сх ф-2д/ах. 733. у' =—у-j-. у =
„ ъ , 2а2	.	,1ft,	х	.	. .
= Сх24- -т— 734. у = — у — — у“. у = >£--. где ft — коэффи-Зх	хх	G ф- ях
.	1 ft 2	у
циент пропорциональности. 735. х'=—х-— х , х =	где
ft — коэффициент пропорциональности. 736. х' = — х——х3, Д? = Я-—ft, ' У У .г у2
где ft — коэффициент пропорциональности. 737. у' ——у----------у3,
I С
—у =	---ft, где ft — коэффициент пропорциональности. 738. х(у —
— х) = Су, у = 0. 739. y = Ceyfx. 740. <р(у/х) = Сх. 741. cos(y/x)=Cx. 742. tg(y/x)=Cx. 743. In (у/х) = Сх. 744. arcsin (у/х) = 1л Сх • sgn х, у = х, у—— х. 745. sin(y/x) = Cx. 746. (у 4- х— 1)е (у — х 4- I)2 = С.
/	и 4- 2 \
747. ехр ( —2 arctg ) = С (у 4- 2). 748. In (2х — 3) — (4у 4-4-5)/(2х-3) = С. 749. (х4-У- I)3 = С{х-у 4-3). 750. (х4*у+ 1)г = — С(х —2у4-4). 751. х’ — ху 4-у2 —х4-у = С. 752. хф-у— 1 = ^Сехр	Y 753. x4-y4-i =Cexpf^i^Y 754.	=
\(*+у— 0/	\ 3 )
= С (5х ф- !0у 4- 7)2. 755. х = -у 4- a tg -^-С . 759. xdx 4- (у -
— ‘Vx24-y2)dy =0, х2 = С (2у ф- С). Указание. Положить х = иу.
760. хуу' = х2 4- 2у\ д/х2 4- у2 = Сх2. 761. х3 4-у2 = Зхуу', (х2 — 2у2)3 = = Сх2. 762. xdy 4- (х — у) dx = 0, у = Сх — х In х. 763. у =
1	2х - С^1г
-----------------------=т-. 764. у —	---------=-. х (— I 4- tg (С — In V*))	Сх ’ — х
765. у =
2х4 —2С х5 4-Сх '
288
766. у = -±- + Ж(С + |ПХ) 	767. у, - х + I. у = х + 1 +
ехр (2х 4- х2/2)	„„	. .	1 ,	1
+-------7^--------------- 768.». = - 1/х.» = - - + 7(С_|ПХ)-
С — J ехр (2 с -f- т2/2) dx
хо	е
769. у\=х, у = х + 1/(1 4- Сх) 770. y^ = х, у = х 4-------------
С 4- Je— l^-dx 9Л>3 It	X -i- Г_ 1	D
771. У = -Д%Л |)- ”2- У = ~X+C) m- У = *g (4X + C, + X“/2-774. x» = tg(x+C). 775. у = 2 lg(2x + С) + Л 777. »,=x, »,= -x, u' 4- и (1 — 2xf(x)) — f(x) = 0 778. u' 4- и — I = 0 — уравнение с разделяющимися переменными. 779. ii' — (x/(x) 4- 2/x)u = I — линейное уравнение. 780. и' = ul -j- I — уравнение с разделяющимися переменными. 781. и' — (х2 4- 1)п = ц2 — уравнение Бернулли 782. и' 4- а (ха 4- hj) = = 0 — уравнение Бернулли. 783. и' 4- х3и = хи — уравнение Бернулли 784. хи' — (их 4- 3) и = и2 — уравнение Бернулли. 785. хи' 4- аи1 —и — — Ь = 0 — уравнение с разделяющимися переменными. 800. (2 — — u)xdu 4- (I — и*)(1х = 0, (х 4- У*)3 — С(х — у3). 801. хи' 4- и = хе*, у = = in (е* — е*/х 4- С/х). 802. и' + и 4- х = 0, tg (у/2) = Се — х 4- 1. 803. х (и~ 4- I) 4- (х2и 4- I/V”— ил)и' = О, у — х sin (С — (х2 4- у2)/2) 804. u'4-e'u— ех = 0, у = In (1 4- С ехр (—ех)) 805. (х 4- и) 4- (х — — и) и' = 0. 806. и' — a cos и — b = 0. 807. и' 4- fla sin и 4- nfi — Ь = 0. 808. u' = a + bf(u). 809. ^=—retg-^-. 810. Зхи — (х2 — и2) и' = 0. 8!1.(/4-1/) — —	= 0.812. (а/4-Ь«4-с) 4- (fl./4-*i« 4-Ci)^ = 0.
813. au"-}-P(x)u = Q(x). 814. xu'— ulnu = 0 815. u' 4-u In a = 0. 816. 2xu' 4- u2 4- x2 = 0. 817. (x2 4- 1) n' 4- xu = (x2 4- l)x. 823. 2xy' 4-4-^—1=0, xQ/—i)2=C. 824. r2 = 2(<pr'4-r), г = 2/(1 4- C<p) 825. d<p = 8rdr, r (0) = 0. 4r2 = <p 826. x2 — y2 4- 2xyy' = 0, x1 + y2 —
о
— Cx = 0 827. xdy — 2ydx = 0. //=3x2/l6. 828. y'——y=—l, у = Cx2 4- x. 829. dx — 3ydy = 0, y(0) = 0, 3y2 — 2x = 0. 830. yy' = a.
y2 = 2ax 4- C. 831. t/ (x4- Vх2 + уг)= У> У^ = (x 4- V*2 + i/2) 832. arctg x 4- arctg у = С, особых решений нет 833. x *\A -j-y2 = С. особых решений нет. 834. “\А 4'Xf 4- лА 4-£/2 = С, особых решений нет. 835. х2 — 2 дА — у2 = С, f/=l, У =—1—особые решения. 836. у2 — — 2-ф—х? = С; х= I, х=— 1—особые решения. 837. дА — х24-+ д А ~ I/2 =	У—1> </=—•• x=l, х=—I— особые решения.
838. е~у — 1 = Се*, особых решений нет. 839. </=(х4-3)3; у = 0 — особое решение 840. у2 = (х 4- С)3; у = 0 — особое решение. 841. у3/2 = = х 4- С, у = 0. особых решений нет. 842. у 4- ~^у~ —х2 = Сх2; у = х, у= —х — особые решения 843. tg(j//x) = In Сх, особых решений не1. 844. у2 = | — (х — С)2, у = 1, у — I — особые решения 845. у = ху* 4-4* 1 /У'\ У2 = 4х — особое решение 846. yz = 2xyi/ 4- («/{Z)2. особых реше-
10 Зек. 2708
289
ннй нет. 847.	4- I) = (ytf -f- x)2/2; у = x, у = — x — особые решения.
848. (yi/f ^y2 = I: t/=i, y=^—1—особые решения. 849. у = у' + +	Уг = 4e* — особое решение. 850. х2// = у (у + 2); у = 0 — особое
решение. 851. у=^0—особое решение. 852. у = х — особое решение. 853. у = 0 — особое решение. 854. Особых решений нет. 855. Особых решений нет. 856. Особых решений нет. 857. у = х — особое решение. 858. Особых решений нет. 859. у = 0 — особое решение. 860. Особых решений нет. 861. Особых решений нет. 862. у = 0 — особое решение. 863. Особых решений нет. 864. Особых решений нет. 865. Нет. 866. Да, при а£]0, 1[. 867. Нет. 868.	А|,в0 = //; Т = ~^\/н,
где k = 0,Q-^-y/2g. 869. Т= -Л' 100<Д0 ~7 ч 20 мин g70 (Л2_ 5	15-0,25д/2§
- 2Л) dh = — 6.7^— dt; Т - 37,7 ( (А3/2 - 2hl/2) dh ж 35,2 с. 871. ~ = л V/U	J	U ь
I
2-480д4Г	/б" dh —0,6-лд/20
= —kyh; Т= —-р--------= 16'\/-ё- мин. 872. —  --------—У
д/5-60	* °	dt	144 • 12 д/4/i — Л2
Т= 18,5 мин. 873. dh = —khdl, Т = In 2 ln“1 (10/9) » 7 дн. 874.	—
\ о
-O.G^Zghf—) ^dt = 36dh. 7=14,7 мин. 875. Q~=—2jilkdT. (/ = I м). 7 « 592 - 187,6 In г °C, Q « 7236 • Ю3 Дж. 876. Qdx = - k X X 1 • dt. х^0 = 0. Т = 2х/3 °C. Q = 3620 • 10э Дж. 877.	= ~k(T —
-20), 7|т=1О=100; т=1 ч. 878.	- k(T - 21). Т\ха=0^3\; т =
иТ
М53Й1П-2'10630 ч- 879‘ -^=-*(’’-25). п._о =
882. — = g — kV\ 0 =	883. m =
dt	* k С ехр (2-yJkgt) + 1	dt
=	=Я.4!.1 =«х=(/г^+4/?^У'3.Ука
Xх r=0 dt If-о	\	2	*	/
3 а н и e. При интегрировании уравнения воспользоваться тем, что
d2x df
= и 884. m = —kv2, dx	dt
и|,=0 = о0; T = h
1/1 Vq/ Ui
290
I2 0P0 do or 2	»	100 , /4-5
= 0.00108 c. 885. —-y-dT = ~3Qv ' ylr=£> = y“; 5=~,n~V“’
...	100 o ___	2~X \ xl -2-	• x -
s(b)= —ln2. 886.	- *^3	30 у	x + 8 -
I	09
— — ewis £ „ _. ]n _1-, x (l) — масса нерастворенной соли в момент t.
5	’	4	?
dx Л / .	6 — х \	।	I lx	_
887.	—0»15x ^0,0	|00 у xlr=o— ln 6(x + 5) “ 2,7;
x = 0,!9 4, x(/)—масс? нерастворенной соли в момент времени t.
888. 4г = 64 - -^7Г )'	= °'* * ~ 18,1 кг; хЩ — масса раство-
at \ о dvv /
Зх ренной соли в момен<г времени /. 889. dx==-dt, x|r=D= 10;
x = 1,654 кг, x(l)_масса соли 8 растворе в момент времени t. 890. dx =
________гх я/ »-|	=10; х = 3.9 кг; х(7) — масса соли в растворе ~ IOO-H ' Ь=(Г
в момент времени /. 891- dx = q ^0,0004 [ggOCTx^f'=0 = 0-0012 X X 10800; q-у 1500 м3, х?=4,32-|-8,64<’1500'; x(t) — объем СОз в помещении в момент времени t. 892. dx = q(\ — х)dt, xj/=o = O,21; x=l — — 0,79e-fl'; x(/)_объе’М кислорода во фляжке в момент времени /;
q — объем* кислорода, поступающего во фляжку в единицу времени.
893. 44 = ^(OJ—0,0014 *Ь=о = Ю; lim x(t) = 100 895. 4 = dt	t-^+oa	О
lOOe”'	D	, 119.976	dx
= 100 000- x(t} =____•—------sr. r^e 6 = In-------. 897. ---- =
ivuuuu. xy) o^ + O.OOle^	F 99,976	di
= Лх2/3, x|/=0=a, k > 0; x (/) = (a’/3 4- kt/З)3, x(/) —масса клетки в момент времени /.
898.
У = Се\
у = Се-* + х — I-
899. 4е-‘'/3=(х4-2)</3 + С.
900.
у = 2х2 + С, у=-х* + С.
901.
1п Су = х + sin х, In Су = х — sin х, V = 0.
902.
У = Се1, у = Се~к.
903.
у = х2/2 -}- С, у= —х3/2 + С, У = Се~х.
904.
У = С/х.
905.
291
906.
’У —
-у/у — Х-^х/(За) = С, ~у/у + х-^х/{3а) = С, У = 0.
908.
Гу = Се</2, [у = Се
909.
У = С + л73, у--Се1/2, у=—1/(х4~С).
910. у2 = 2ах, у2 = — 2ах. 911. ху — I = 0, х2у —1=0, у = 0. 9<2. у = 0; у = 0, у2 = 4(1 — х). 913. у 4- 2х3 = 1. у = I 4- атсздп х. у = = I — arcsin х. 914. у = х, (х —2)24-/ = 2; у = х, у=—х; (х —2 —
915.
х=(1 4-р)р
у = 3/(2р2) 4- 2/р + С.
916- f* = Р — Р~1 4~ С, Ь = In р 4- р’/2
917. Гх = (| 4-р2)-'.
U = р(Р‘ + О-1 — arctg р 4- С.
919. (х = р sin р 4- cos р, (!/ = (р2—2) sinp4~2р cosp4-C.
918.
920.
921. (x = psinp,
(у = (р2 — 0 sin р 4- р cos р 4- С.
922. (х = !п р 4- sin р,
(У = С4-р(1 4-sinp) 4-cosp.
923. (х = р tg р — In cos р 4- С, (у = р2 tgp.
925. уг(х — С)24-у2= I.
924. (х = С 4- (In р 4- 1)72, (у = р In р.
926. tx = С 4 In In р 4- 1/1п р. (у = p/Ui р.
927.
Сх = In Су, у = ех.
928.
гх = (Ср~2 - С2)/2, .У = Ср~\ З2х3 4- 27у4 = 0.
У = 0.
929. р=± In Ср)	930.
I У = Т Ср - (2 In Ср)-,/2).
х ~ С — р/2, у = С2/5 - р2/4. 4у = лЛ
931.
у2 = 2Сх — С In С,
932.
.2
2(х - СУ,
У-С х /
У- С
X
934.
«6=0. 935. у=С(х — Cf.
292
937.
х=*р 1/2(Inр 4- С), У =* ''Jplfi — hi Р — С), У^О.
938.
гх = 2р+ I +С(р- I)-2 ly=p, + Cp’(p^l)“l
У = 0.
У = х — 2
941.
940.
х = Су + С*. 4х 4- у* = 0.
943.
х = 3^(4 — In р — С).
У = Р~ ,/2(1п р d- С),
х = 0.
942.
Гу = Сх — I 4- 1/С |_(у4-1)2-4х = 0.
х=р 2(С - cos р - рsin р),	944.
у = р“1 (2С — 2 cos р — р sin р), У = 0.
х = Ср'-—р *, у = In р — 2 + 2Ср~'
945. (х = Се-° — 2р 4- 2. ^=^(1 4-р)~Р2 + 2.
947.
y = Cx-t-aC 2»
iy2 — 27ах2 = 0-
949. Г2Са(у- Сх) = I, [8у3 — 27л2 = 0.
946.
948.
950.
Г</ = Сх4-С2, l_4t/ -|- х5 = 0.
Гу = Сх-С3/3. [9/ — 4х3 = 0.
951. у = (д/х 4- I - С)2-
952.
р=С(х+1)-С2.
[4у = (х + If
953. у'* 4 I = а (у —. у'х)2, х2 + У1 — l/а. <х > Q- 954. у = ху" ± ± ay'/ д/I Ч-у\ х2/3 -Ь у*/3 = а? 3 955. (у — ху')2 — 4 (л — у//). у2 4-4- !6х = 0. 956. (у -• ху')2 = — 4а2у', ху = а2. 957. (х 4- yy'f 4- (у + + x/y'f = <22- * = —Д=Т (С + 0/|1 3\-\ У = ' -(а - С — -\/i+p \	20+аИ/	^+р2
— - - ° от) 958. / (а - х) 4- У - ₽ = а д/• + I — а)2 4- (у — 2(1 4-Р ) /
— О)2 = а2, где (а. 0)--заданная точка. 959.у = ху'4- ч aJ(l 4~уг) + С У^: ^4-(^+С2)/ = д2(а24-С2). 960. у = х/ 4-	- а2(1 + /);
(С2-а2)уг = о2(С--аа). 961. у >у'4-2ау'(у'- I)’*. (у-х — 2а)2 =: вах 962. У = ху' 4- 2а д/—у’, ху = а . 963. х2 — у2 = С2 964. 2х2 4- у2 = 2Сг. 965. 2 г2 4- Зу2 = С\ 966. х‘ 4- У' 4- 2Сх = 0 967. у3 - Зх'у 4- С = 0. 968. у7 = С (С + 2х).
293
971. 2xi/ - ^(x2 + у2) = С. 972. 1п (2х2 + ху +	+
4- -— arctg *	= С. 973. у=Сх. 974. у = Сх*. 975. у = Сх.
д/7 x-fi
976. х2 — у2 = С. 977. г2 = С cos 2ср. 978. г2 = С sin 2<р 979. (х2 + <Г)2 + 4-Сху = 0. 980. (x24V)34-C£/(t/2-3x2)=0. 981* r2 = C2cos2«p. 982.	= t~ tg [+ С’ 983. г = С cos (<р - а). 984. г = С (1 4- cos (ср -
(г = 2/? cos /.
—2а)). 985. у=1п(х4-С1)+С2 986. у= 987. У=х}пc?-Cix’ 988. у = С2е с'‘ 4- Сле ”	989. у = С.х2 4- С2х 4- С3, у = С2е с‘‘ 4- С3х +
4- С«. 990. у = С2 д/х24" Сь 991. у = (1 4- С*) In (х 4- С|) - С,х 4- С2. 992. ( К = С' ~“ Р)*/2,	993. у = C,xe21 4- С2х + Сз- 994. х =
] .v = c3+4-cjp’-4p\ I	Arf	О
= С2 4- л/с1У2 4- I /С|. 995. е?х+с- *= С2 4- 2//2 4- 2 д Л/ 4- С2у* 4- । • 1016. (/ 4-1)3/2 = ш/"> (х-С1)24-(«/-С?)2 = а2. 1017. ау" = у' 4-1. у 4- a In cos 4- С2 = 0. 1018. у"' = а2(! 4- У'У> (* “ С.)2 4- {У ~ — С*) = 1/й2. 1019. пу"у3 =1, (х — С^2 — пу* = С^п2, где п — коэффициент пропорциональности 1020. уу" — у' — I = 0. у = = ± Ch (С,х 4- с2). 1021. у'у" = (I 4- /)3/г. у = д/’-(*4-С,)2 4-
4- In ----~+С|	4- С*: 1022. у = С2 ch X 4- С'- 1023. Н =
I 4- V1 — (х-ГС|)2	п
(ГХ	/ dx V I Л
s=40^H. 1024.	= ~т8 ~ k\J^)  хЬ“0=г°*
= Оо. (-0
(12х
k > 0, где к — коэффициент пропорциональности. 1025.
1026. Xi=/t x = Cjf 4-С2е-2'. 1027. xt=;/24-l, х Ct(/2 4- I) 4- С2е'.
1028. Xi = 4/э — ЗЛ х = Ct(4/3 — 3/) 4- Cj^/1 “	0- Ю29. X) = /,
х=С|/4-С2д/| -/2. 1030. х1=е/, х = (С,/2 4- С^е1. Ю31. х^е'2', х= Ci(4/2 4-1)4-С2е~2/ 1032. х, = /'*-/, х = С, (&s - 2 - t(t2 -\ **
-	4-Со(/’-/). 1033. X|=3Z2—I» х = С1(3^-1)4-
4-Cj^6f-(3/2-	1034. Xi = /“‘. х = /-‘(С| V/24- I 4-С2).
1035. Xi =	4- I, х = Ci д// 4- 1 4- С2 д/1 — /. 1036. х'=С(^14-у)4-
4-С2^4 4-1 —	,n(/4- 1)) 1037. х =/“‘(Cie’'4-С2е') 1038.* =
294
= Cl(e,~ i)4-C2(e'4- I)-1. 1039. x = C,~ 4* C2. 1040. x =
/4- 1 —— ’ In/ )+C,./(l-
—/)“’. 1042. x= C,/-1 4-C?/~2. 1043. х = С1/ + С2д/Г+7+1. 1044. x = /“ ‘ (Ci 4- CiлА* + * + I" 4	,045- * =C,/-'4-C2/4-/!n/.
i
1047. x = C}t -f- Cit di. 1048. x = Ct sin t -j- C2(l — sin t • In tg(n/4 +
6>
4-//2)). 1049. x = t2 — el~'. 1050. x = 2 4- (3 4- n/2)/ 4. 2/ arctg t 4- /2-
1051. x = l(Ci cosy 4-Gsiny), *>0. Ю52. x= Cie'” + C2e2'”4-1 n 3
4- e2t 4- y- 1053. x = Ct cos e' 4- C2 sin e1 1054. x — Ct cos arctg t 4-л-	*x
4- C2 sin arctg t. 1055. x — Ci cos 2"\^4- C2 sin 2*\^7 />0. 1056. x =
= Ci cos(n arccos I) 4- C2 sm(n arccos t) 1057. x = Cie-1’ 4- Сге-'*-'.
1	t
1058. x = — e‘ 4- С, у 4- C2—— 1059. x = t(Cieal 4- Сге~а'). 1060. x = &	4>	»
= /-,/2(Ci 4-C2e-'), />0 1062. x = e-/,(C1e'4-C2e-/)- «0ЙЗ. x = = Cie2,‘ 4- C2e3'*. 1064. x = Cie~2/,+ C2e"3"4~ eif,/\2. 1065. x== = (Ct 4- C2/“3)e’/< 1066. x.= Cd2 4- C2/2 In t 4- (In t 4- 2)/. 1067. x = = /(C,ee/,4-C2e-0/<). 1068. x = Cfe2/,+ Ctf~2/t - 1/(4/). 1089. x = = /-’ (C, sin at 4- C2 cos at). 1070. x = у 4- e~"2 (c2 sin 14-4-C3cosyy/)). 1071. x = /"‘(Ci cos/ + C2sin/). 1072. x = Ct(Z 4-4- 2)3 4- C2(f 4- 2)"1 4- C3(/ 4- 2)~2.	1073. x = ~ cos In / 4- sin In 14-
4-G cos(-^5*ln/V|- Casinf-vS’ln /). 1074. x=Ct(2/4-l)-’4-C2(2/4-4-!)“24-(2/4-l)/3	1075. x = C|t3 4- C2t5 1076. x = Ci/24-C2/.
1077. x = /(Ci cos In / 4- C2 sin In /)	1078. x = /3(C| cos(2 In /) 4-
4- C2 sin (2 In /)). 1079. x = C|/_| 4- /(C2 cos In. I 4- C3 sin In /). 1080. x = = C, 4-C2 In / 4-C3/3.	Ю81. x —C1/4-C2/3 4-/3 In /.	1082. x =
= Ci cos(2 In /) 4- Cz sin(2 In /) 4- (2 cos In / 4- sin In /)/3. 1083. x= C|(/4-
4- 3/2)V2 4- C2(/ 4- 3/2)1 /a. 1084. x=C! 4-
+ G sin (1 In ft + ^.)))
('+4)(С:со5(4|п('+т))+
1085. x = (/4- l)~‘(Ci 4-C2 ln(/4- !) +
3	3	1
4-ln3(/4-I)). 1086. x = Ci — + C2/2-— In/ +у - —/. Ю87. x=
I	jG
= (/ - 2)*’(Ci 4- Ci ln(/ - 2)) 4-1 - 3/2. 1088. x = C\/7 4-C2/3. 1089. x =
= cl/11	c2/*-A
1090. x = / (Ci cos(2 In I) 4- C2 sin (2 In /)) —
295
—In / cos(2 In/)~р-у cos In / ——sin In Л 1091. x = (t3 — f~l)/2. 1092. x = /*(2 — In /). 1093. x = 2 cos In t2 4- sin In P — In / cos In t\ 1094. x = (/-l)2. Ю95. x (cos(-/))-3-V§'sin(-\6’ln(-/)) + + l3)/i2. 1096. x = (j -H)	± - 2-In (I 4-	+ I)4- '°97’ * =
= (C1f-‘ + C2/"!)2. 1098.	+ -~~L	Ю99.
{/ = ((£/,- f/2)lnr+ t/2 InIn/?!) In “'(/?//?,). 1100. o = C, In r-|-4- C2 — pr2/(4k), v = p(R2 — г2)/(4£). Указание. C, = 0. так как при С, =# 0 точки жидкости, движущиеся ио оси трубопровода, должны иметь бесконечную скорость, что невозможно; С2 = p/?z/(4&). 1101. и = = р4((1 -р)г-Н1 +р)пЛ)/(£И-^)). поз. х, = 1-Н2 + /«4-...= «(I -Z7)-'. X2 = /-H3 + Z6-h...= Z(l -i2)-', x = (Cv-b CrfXl-Z*r’.
kfl j4n
1105. X| =
/ t 3-4•(4n — l)4n ’ n=*? 1
x2
t3	2^	5/s
ЗГ	41	5Г
n= I
t'1 i3 /4	24
5!
2!	3!	4!
H07.

x2= t~
in
CO
n!
t-
X~~ 2
=ef~l. 1109.
n = o
CP
1110. X = /<?' 1111. X = 2-+ У o—	----rr •
12 La 3-4-3n(3n 4- I)
л = 2
1113. x = 2^
lnt!a
Г77— ==e-'/2. II16. X, =2/,
rt=l /
/ fe
X2= o |-
n=₽0
T=e‘.x2=e'
dt.
I
i
n = 0
2
n-^0
$in /
296

ИЗО. r2D,2x 4 тО,х 4 (т2 — v2)x = 0.	1131. FD*y 4 tDy + (t2 — (nr 4
4-l))y = 0. Ш2.	4GiCcslX ИЗЗ. x = C,J4
4 С2/-|/з(/). 1134. x== Ct/9(/) 4 CiY9(t). 1135. x=	4 C2J -Sfi(i).
1136. x = ^CJ	C‘J —	1137. x = C\/ i/a(2/) 4
4C2/-1/3(2Z). 1138. x^t3,2(CJ-^(t2)Y 1139. x=C,/0(//4) 4 4С2Гс(//4). 1140. x = (Cl/3(04f2F3(/))/-3. 1141. x = /“'(CUi(2/)4
4 GX, (2/)). 1142.x	Ci/V2(/’)4 C2y_^(/2).
,н3-
_J_cos/\ при n44 x==C7l/2(0 = C^. 1145. x^ л I J	t
= CJ л/ЖО == C —— cos Л 1146. DJy 4 у = 0; все решения у/ ' 1	'
имеют бесконечное число нулей. 1147. Dsy 4 У = 0; все решения имеют бесконечное число нулей. 1148. D2y -у»0; все решения неколеблюшиеся. 1149. D2y = i.k, все решения неколеблюшиеся. Указание-
В задачах 1150, 1151 произвести замену независимой переменной. 1150 Dlx — х = 0, все решения неколеблюшиеся. 1151. D;x4* = 0; все решения имеют бесконечное число нулей. 1152. 4/у <2 р2. 1155. 0,33 <2 <£< 0,5. 1156. 15,7 <2 6 < 32. 1157. 0J 5 <2 б < 1,2. 1158. При <г< 1/4 решения неколеблюшиеся, при а2 > 1/4 решения имеют бесконечное число нудей. U59. О2у 4 41~’\4а04 2а> — а?) у = <>, при 4а1( 4 4 2Д| — о? < 1 /2 решения неколеблюшиеся; при 4а0 4 2ф — а2 > 1/2 •	v"* I /4 \
решения имеют бесконечное число нулей. 1161. D~y 4(1—'----— ]и
= 0. 1162. При любых v£R все решения имеют бесконечное число нулей ; при 0 <2 v < 1/2 расстояние Ь между двумя последовательными кулями меньше я; при v = I /2 расстояние 6 = л; при v > I /2 расстояние б > л; при /-*-4°° расстояние б—*-л. 1165. Ф|, Ф3 —базис системы. 1166. Ф[, Ф«, Фз. Ф« — базис системы. 1167. Ф1—первый интеграл, Xi =--—— :	х2 =	— С j 41а/3^ 1168. Ф|, Ф2,
2\СГ-С11-Н2/3
Фз — зависимые первые интегралы, Xi = Cie1, х$ = Cze', хз = Сзе' 1169. Ф| — первый интеграл, xi = Cie‘4 Cse *2 — С.^ — Cze~\ хз==Сле‘. 1170. Ф2—первый интеграл, Ф2 = xie~2,4^_f, Фч =x2e3/ — e3t/3 — базис. 117L Фи Ф2 — базис. 1172. Фь Ф2 — базис. 1173. Фи Фг — базис. 1174. Ф|, Ф2—базис. 1175. Ф|, Ф2 — базис, 1176. ф|, Ф2 — базис.
297
1177. x, = -у/сй + СМсГ. хг = VC‘(2/ + <S). 1 178. Xi = (Cie' + C2e-')-', x2 ^{Ci€~l - Cie1)-1. 1179. x, = (Ci -b Ci - /)/д£(С2^/), X2 (C, -— Cs + 0/V2"(cs - О- 118°- *i = Cic2eC,‘. A? = C3ec,‘. 1,8L A’i = = arclg(Cie') 4- arctg(C2e'), x2 = arctg(Cie') — arctg/Cap') 1182. x» — = -\1с'1Сз — 2Cie~\ х2 = -y^CiCi — 2e~‘)/C\.	1183. Xi 4- x2 — x3
^Ci/-‘4-y * + *p3”4’ *i “X2 + 2x3 = C2/2 + 4Z + T/3 + 8’ x, -хз = Сз/'2 + vZ - 4“Л 1,84‘ x* = Clt + Сг/2 + C^' Л = <C,/ + «М
4- C3/3)/2, x3 = - Cit — C2/s — 4 C3A 1185. xi = Cte~'/l + C^'2^ +
+ Сле-Ч
x2 = (Cie-'^+C3e-3//)/2.
x3^-Cte-'/'-C^'2//-
--~С3е'“3/'. 1186. x, С!^4-C2e2^4-СзеЧ x2=(C^+C3es^)/2. x3 = - Сзе-^~ ~ С3е3Л	1187. x( = (Ct cos (2 in t) 4-
4- Ci sin(2 in /))Л Xi = СТ/3(со5(2 in /) 4- 2 sin(2 In /) 4- C$/3(sin(2 in /) — — 2 cos(2 in/)).	1188. Xj =(C| 4- C2 sin i)esint, x2 = (2C| 4-C2 4-
4- 2Сг sin /)ei,,u. 1189. xt == C|/2 4- C2/“2 — t, x2 = Ci/2 — -i- С3Г2 — ~t.
О	о
1190. xi = fci 4- С2“\/^4- 4*)^ —5’cosV sin*2~ (2C*
4-C24-2C2-\A+Л^~+/)ел7~~ 2cos-y/L 1191. Ф, ~ x2/x3. Ф2 = Х! — — 4х2 4- хз- П92. Ф । == 1 /xi — 1 /(Х2 + хз), Ф2 — 1 /xj — I /(х2 — х3). 1193. Ф! = (xi -х2)/(х2-х3), Фг == (X) 4- х2 4" х3) (х, - х2)2. 1194. Ф( = = xi 4" хз, Ф2 =s= (xi 4- х2 4- Хз) (х2 — 3xi — Хз). 1195. Ф> = х2 — х2, ф2 = = X2 — X2, Фз — (Х| 4- Хз)/(х2 4- Х4). 1196. ф[ — Х| 4" Хз, Ф2 = Х2 4- х<, Фз = 2 (xi — Хз)2 4- 3 (х2 — х<)2. 1197. Ф ।	х’| — х$, Ф2 = (х । 4- xs)/x3.
1198. Ф|=х|4-хз, Ф2 = Х|—х2Хз. 1199. Oi=x2/xi, Ф2^1п(х3 — — г^/хз) —Х|. 1200. Ф|=Х|/х2, Ф2 = (х? 4-х$ 4-хз)/хз. 1201. Ф| = == х2 4“ хз, Ф2 — Xj (х2 — хз). 1202. Ф1 = Xi/x2, Ф2 — X\Xi — Хз- 1203. Ф1 = =₽ xi 4-Х3 — Хз, Ф2 == in Xi 4- хз/х2. 1204. Ф, = х? — xl, Ф2 = х? — х?. 1208. Ф| = Ар2 4" BQ2 + Сх2 — удвоенная кинетическая энергия тела, ф2 = Л5р*' 4-	4~ С2г — квадрат кинетического момента. 1209. Ф| =
dx dy
— yw — zv; Ф2=г« — xw Ф3=хо —г/u, где u = 4/* ° ~ w=^. 1210. и = ±х? 4- 4-J& 1211. и == ехр х| 4-х2. 1212. v — dt	4	2
=г х2 4- х2. 1213. v = 2х? 4- xj. 1214. v = sin2 Xi 4- 4" х>1. 1215. v = х?+х2. 4
1216. у = 2х?4- -^-х2- 1222. w = 4(xf 4-xf), асимптотически устойчиво. 1223. до = 4(xfeA'4-Х2). асимптотически устойчиво. 1224. до = б(Х1е114~ 4-х2), асимптотически устойчиво. 1225. w ~ 4(х^ 4" х2), асимптотически устойчиво. 1226. до ------5- (------- 4' х2 1, асимптотически устой-
(1 4-х,/ \() 4-х;Г	/
чиво. 1227. Неустойчиво. 1228. Асимптотически устойчиво. 1229. Асимпто-
298
тическн устойчиво. 1230. Неустойчиво. 1231. Асимптотически устойчиво. 1232. Неустойчиво. 1233- Неустойчиво. 1234. Неустойчиво. 1235. Асимптотически устойчиво. 1236. Асимптотически устойчиво. 1237. Асимптотически устойчиво. 1238. При а < 0 асимптотически устойчиво. 1239. При о < 0 и любом Ь асимптотически устойчиво. 1240. При а > 0, ab — — 2 > 0 асимптотически устойчиво. 1241. При а<0 асимптотически устойчиво. 1242. При а 6 R, 6£R асимптотически устойчиво. 1243. При а< 0 или а>1 асимптотически устойчиво. 1244. Асимптотической устойчивости нет при любом а. 1245. При а<0 асимптотически устойчиво. 1246. Неустойчиво. 1247. Асимптотически устойчиво, у = х?4-л5, = 4х*	6x2. 1248. Асимптотически устойчиво, ь = х2 4~ 2х|, w
= 14xi -f- Iбхо. 1249. а) Да; б) да; в) нет; г) да; д) нет. 1250. Да. 1251. а) хо=#О, [ — непрерывно дифференцируемая функция; б) р(х), <?(х)— непрерывны; в)	ф непрерывна, ф непрерывно диффе-
ренцируема. 1252. 6 = min {a, b/(\ 4- i>)2) и б всегда меньше 1, |х} < 1 1253. z/ = (l-x)-', х<1. 1254. М = 5, 6 = 2/5; ^ = 0, z/i = х2/2, у* = х2/2 — х5/20, 1/3 = х2/2 — Xs/20 4'	160 — х1 ‘/4400. 1255. М = 4,
6 = 1/4; i/o= 1.	= 1 — хэ, у-2 — 1 — х3 — х*/2 + л/7 1256. М = 1 4- е.
г = (1+еГ'. w=l. у, = I + (1 + е)х, V2^-r~ + _1+£г + + —!—е(’+й'. 1257. Л« = 5. 6=1/1 9, = 0. </1=^/2. «л = *72 +
1 4-е	/
/	о
4-х5/20. 1258. /М^З,: 6=1/3; //0 = 2, у. = 24~х — ~х3, ^ = 24-г	3
9 I
4- х 4- х*-— х3---— х*. 1259. Л1 = 4/3, 6=1/2; у0 = 2, yt = 2х —
— 1п х, yi — 2 -j- In2 х. (260. Л4=1, 6=1;	= t/t = — х3/3, у? =
= х7/63 - х3/3. 1261. М = 4, 6=1/4; «о = I. t/i = 1 4- х — х3/3, ys = = I 4- х 4- х2 4- х3/3 — х</6 — 2х5/!5 4- хубЗ. 1262. у = 1. 1263. у = = ед—х—1. 1264. у = е\ 1265. (/ = е,,/2. 1266. у = 3. 1267. у0(х) = 0, 2о(х)== 1; tfi(x) = x, z, (х) = 1 4-х2/2; у>(х) = х4- х3/2, г2(х) = 1 4-с 4-+ х*/$;	//з(х) = х4- ~х34- -i-х6,	г,(х) = I + хг4- TS х<!
1268. //о(х) = I, Zo(x) = 1; yt(х) = 1 — 4х, г((х) = I; y-j(x) = I — 4 г 4- 6v2 2г(х) = 1 — 2ха; уз х) = 1 — 4х 4- бх2 — ~ х\ г3(х) = 1 — 2х’ 4- х1 1269. уо(х) = 1, 20(х) = I; yi(х) = I — х 4* *2/2, Zi<x) = I 4- х 4- х2/2; г/2(х) = I — х — х2/2 — х3/3 — х*/4 — х^/го, г2(х) = 1 4- х 4" *3/6. 1270. £/0(х) = I, Zo(x) = I; yt (х) = I — 6х, 2| (х) = 1 — 7х; у2 (х) =1 — 6л 4~ 4-^ха, г2(х)= I — 7х-Р 77л2- 1271. уо(х) = О, г0(х)= 1/2; f/i(x) = ‘-Ls
= --^х, z,(x)=l/2; £/г(х)= — ~х-~Х2, г2(х) = 4-—-1 хг; Z	Z	Z О
у3(х)=--^х-±х^~±х\
1272. уц(х) = I, zo(x) = — 2; yt(х) = 1 — х 4- -Xs/2. г« W = ~2 "t" 3*;
У2(х) = 1 — х 4- 4- л2 4- 4"х3- 22W —2 4- Зх—2хг4- 4-х3 1290.4т = л о	о	at*
= и<з. 1292. f/ = x. 1293. у 1. 1294. у = Х. 1295. у = ьо
299
1296.«=У^1=созЛ .297. у
п\	£_t	(2л)!	у
й=0	л=0
,293.	,= £<^ = е-<
л = 0
^2 О
1300. ^ = х+4^-Ь Vх'+ £ о
I! <	53 с 269 6
24	120	"* 720	"
х2 хл
1302. г/=1+~-4г+- ,303-A О1
-0’+^(-'-')<+- 1304. </=14-
1	2
1301. у=^х--------— х3 + — х5 Ч- ...
3	о
</ = 2(х — 04- -^-(х — О2 4- -^-(х — 2хч _	2х6	2х6'	2х7 62ха
41	5!	+ 61	7!	' 8!	+
,3°5. у = £ 4=Л Z- £ Чг2^"'-,3fl6- *= Z<-л»0	л=0	л=С
оо	ею
“’>=- 'А. г=х. ,307. у = £ £ =е< ,308. Р-£ (- 1Г(-££_ = п=0	л=0
оо . ,	2л +1	00
= s.,.x .309 !!/=.^(_,Г^_=sinx, г= £(-.Г^-=со5х. я=0	1
л s^Q
г4	IЛ	1	IЛ
1310. у = х 4- -я- - 4- -=рх7 4- —. г=*1 + —?4 — хс4-.„ 1311.^= О * тг	/1	О	QI
= иЧ + -^х’+-£*’ + •• ,3,2‘ «=1+2*+4*1+*3 + -. oJ DI /I	2
z = I 4-хЧ- -|-х2Ч- ух3+ -- 1313. у = х— у*34- -|-хэ — -|-х4 + ...,
Х2-Хъ	I319- “ = ^(^4-х1 xi-x2x3). 1320. м = //(х2/х,,
1п(хэ — 2х|/хг) — х7). 1321. « = //(х2Ч-х! Х|(х2 —Хз)). 1322. л = //(Х1 — — Хг, X? —Хз). 1323. « = //(х? —х?). 1324. « =/7(ха. In Хз — х./хг). 1325. и = Н(х\/хг. Х|/х3). 1326. и = Л/(Х|Х2 — xi). 1327. и = (х( — 4х2 4-4- хз)* (х£ 4- хз)/(4х2 — хэ)2.	1328. и = x2x3(xi — 4хг 4- хэ)2/(х3 -- 4Х2)2.
1329. и = (х2 4- Хз) (х| — 4Хй 4- А‘з)/(х3 — 4х2).	1330. и = х(х2 — xf.
1QQ. (*i 4-*г~ хг— 1) (х2хз-)-х2 In xi)
1331. U — —-----——т--------—**:-:----г---------•. 1332. U = 1п Л| 4-Хз/Хг.
(х3 — хг 4- № In Xi)	'
300
j 333. u=(xi—х2хз) (х24--*з)- 1334- н = XjХ2~|~хз1337. G (XiX2, Xi + x2 - «) = 0. 1338,	xt 4- ue~“) = 0. 1339. G
Х|Х2-ц_\	0 |340 G/xt_xt* 4-x? \	0 |341 cfXi4_ ^X2 + ^
X| )	\	и /
2(x,-xa)!+3(x2-u)’) = 0.	1342. G0p 22-+** + “ ) = °.
1343.	G((x2-x,)(x,+x2 + 2u).	(x, + x!-u)s(x,+x2 + 2u))=0.
1344.	—----— lnx(\ = O. 1345. G(x, 4-u,(xi+x2-J-w)(x2—
\ x2 хз X|	Хз /
— 3xi — u)) — 0. 1346. 6(x2, ue~x,/x’) = 0. 1347. и = x2/(ln xj — I). 1348. и = e1 - |/X,(x2-1 4- xi' - 2хГ ’ 4- 2). 1349, и = x,x5/(ti + (*i ~ I )**) 1350. w=xi(x?4-xi)/X2. 1351. -\/4x2/X| —X|X24-w2 = 2x2/x|. 1352. 2x?(x2 4-4- !) = xl 4- 4u — I. 1353. x2 4- y2 — 2pz. 1354. C~2x2z2 — а*Ь~*у2 4- x2 = 0. 1355. xi/4-22 = a2. 1356. z =//(x2 4-f/2); z = x2 + y2-l. 1357. G(x+y, x2 4- y1 4- z2) = 0, z2 = 2xy. 1358. G -Z 0 или z~ Х$(У/Х) ~
~a. 1359 х2/2 4-^/3-г74 = С. 1360. xyz=C. 1361. J <p(x)dx 4-
JCo
У	2
4- (V(y}dy 4- (t](z)dz = C. 1362. In ^(x 4- y}2 4~ z2 4- arctg —- = C. J	J	X	у
Уо	20
V	V
1363. J f(v)dv = С, где v = x 4- у 4- z, o0 — x0 4- yo 4- z0. 1364. j vf (u)dv = Vo	Vo
= С, где V = ->/x2 4- уг 4- гг; u0 = 'yjxii 4- yl 4- z«. 1365. x —x/y+xy/z— =^=C. 1366. x3 4- У3 4- z3 — 6xyz = C. 1367. xyez = C. 1368. ex’(x4-.v4-4-z2) = C. 1369. ^—У_ = С. 1370.	=C. 1371.
xz	z	x — у
C. 1372. xJ 4- Уг — г2 C. 1373. x2 4- У1 4- z2 = C. 1374. x2 -y24-zg =
= 4- (x 4- z/).	1375. ax 4- -yjl — a2 у — u = C. 1376. V1 + vz2 j-
-\l\ 4- ctz2 — I	1------- -^1 4- az — I
4- In---------—---------x — ay = C. 1377. 2-yl 4- az 4- In—--- ------------
2-\la	yl 4-az 4- \
— x — ay = C. 1378. xch а фsh a — и = C. 1379. ax — (I 4- a2)y — — u = C. 1380. a2x 4- ay 4-	= C.
Контрольная работа 1
Вариант I. 1. V| = —1, v2=*4. v3 = —3. 2. x = 2cos/ — sin 1.
2	'л/з'
3. <p,(/) = —— e“'/2sin '-5— t 4. Фокус при 0< |a| < 2. бикритический тД
узел при |а| >2, монокритическнй узел при |а| =2, центр при а=г=0
5. х = Ci sin / 4- Сг cos 14- (2 cos21 l)/sin t, I = JO, n[.
30!
Вариант II I. v( =» 3i, vj = — 3/, v3^=f, v< = — i. 2. x^((4/4* 4-B)cos t 4(a? 4- b)sin l)el. 3. <Pi(O = fe-'. Центр при a = 0. фокус при 0 C lai С 2, бккритическин узел прн > 2, монокритнчеекик узел при |а| = 2 5. х = (Ci 4- С2/)е' — te' 4~ (е1 In I, I=JO, 4-оо|.
Контрольная работа 2
Вариант I. 1. х~ С|в( 4- С2е\ у — — С ief + ЗС^е51. 2. Х| = = Ск?2'4-(С2 4- С3)с“. х2 = Суг'+ Сзе31, Хз — Cje2' 4- Сзе31. 3. х = = С|«?2' 4- Cte~‘ — 2 sin Z — cos t, у = 2Cte2' — С2е~г 4- sin t 4- 3 cos Z.
Вариант II. I. x = (C( cos t 4- Сз sin Z)e2f, // = ((Ci 4 C2)cos z 4 4- (G - Ci)sin t)es'. 2. xt = Ci-i-C2e'. x3 3Ci 4- C3e', x3=-Ci + 4-(C2-C3)e'. 3. x = Cie'4-Gtf-'4-- <2 - 2. t/ = Cie'-Cae-'4-4-(Z — l)e' —2Z.
Контрольная работа 3
Вариант I. 1. а) В полных дифференциалах; б) с разделяющимися переменными; в) однородное; г) линейное, д) Бернулли; е) Риккати; ж) линейное 2. ц = х~3, у3 — ух~' 4- х In х = С, X = 0. 3. (х 4-4- г})с!х 4- (х — п)</П = °-
Вариант И. 1/ а) С разделяющимися переменными; о) в полных дифференциалах; в) однородное; г) линейное; д) Бернулли; е) Риккати; ж) линейное. 2. р = у~2, х2— 2ху — 2у~1г=С, у = 0. 3. rf 4-4 2хп 4- 2^ = 0.
Контрольная работа 4
Вариант I- 1. а) {*_	J. |п о- б> У - Сх с2‘ у== х^4-
\*т -* £• £/	“ t	1 • f-' •
2.	у = ± ~ ~\!Cix Сз 4- С3, У — С\х 4- Сз 4. у = Cix~1 4- Сзх 4 хч/5.
Вариант П. I. а)
X = (С — sin р)р~2 4-1>~1 cos р, у=^2(С — sin p)p~l 4- cos p, 6) у = — ।;
-2-C2, y = x2/4-2. 2. 4z/3 = 9Ci(x-C2)2, y=C. 4. KiHCj.
у — Cx —
о 2 
</-=x24
Контрольная работа 5
Вариант I. I. x == Gz*'1 4- C2(2Z 4- 04/* 2. x = CiZ~‘ 4- C^t 4- sin Z.
Вариант II. I. x= Cit 4- I 4 C2Vh^- 2. x= Ct/~’ 4 C2/“2 4-4- f-1 In t.
Контрольная работа 6
Вариант I. 1. (1>1=чу/г, ф2 = х^2г/4з. 2. G(x2-^y2. г/х)==0.
3.	(х 4- 2^)2 = 2х(г 4- ху), (Ф, = х/у, Ф# = (ху 4- z)/x). 4. и = Н(у, x*/z).
Вариант И. Ь Ф^ = и/г, Ф2=#=(х — уЛ — г2)/г. 2. G(x2 — 4г,
4- У1/х) = 0. 3. х — 2у = х2 4- У~ -+ г, (Ф« — х/у, Ф2 ={x~i х~ 4~ у2)/х, 4. и = Н(у, In z — х/у).
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. ПРОИЗВОДНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Функция	Производная	Функция -	Производная
x“t n€R	рхи“1	arcs*n x	i/^i-x2
а*, а 6 R j-	ax In a	arccos x	— 1/д/1-*2
е*	e*	arctg x	1/(1 +*’)
logo х, а С R+	T log. e	arcctg x	-1/(1 + Xi}
In х	\/x	sh x	ch x
Sin X	COS X	ch x	sh x
COS х	—sin x	th x	1 /ch x
tgx ctgx	1/cos2 X — l/sin2 x	db x	— 1/sb2 x
2. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Функция	Первообразная	Функция	Первообразная
л"*, n e R. H T3 4* — 1	-—Ц-л‘‘+' u-t-1		l_ sin2 X	—ctgx
1/x	In |x|	l/*\/l —x2	arcsin x
a*, a£ R+	ayin a	W+x2)	arctg x
e*	e*	sh x	ch x
sin x	— cos X	ch x	sU x
cos X	sin x	I/ch2 x	th x
1/cos* X	tgx	l/sh*x	—cth x
3, ИНТЕГРАЛЫ, НЕ БЕРУЩИЕСЯ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
t
f sin / «, Г sin т .	&
I -----dt = I----------ат 4- С, С £ К
J t J т
303
t
C cos I .. f cos X
\ —~— di = \------dx 4- С, C £ R
J t J т
s
t
Sex
— dx + C, ce R
T
s
t
~dt= [-jl—dx + C. C6R in t j in x
s
4.	ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
sm2 а 4- cos2 а = I
sin а sm р = -^-(cos(a — ₽) — cos (а 4- p)) At
sin a cos р = ±(sin(a _ р) + sin(a + р))
cos a cos р = A (cos(a - р) 4- cos(a 4- Р))
sin 2а = 2 sm a cos a cos 2а = cos2 а — sin2 а
1 + cos 2а = 2 cos2 а I — cos 2а = 2 sin2 а
5.	ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
, е — е sh а =
ch ct =
sh а th а =
ch2 а — sh2
2	---- 2
_______еа — е~а ,	.	_ ch а еа 4- е~а
ch а еа4-е~“ с а sh а
й== I ch 2а = sh2 а 4~ ch2 a sh 2а = 2 sh a ch а 4“ ch 2а == 2 ch2 а 1 — ch 2а = —2 sh2 а
6. ОСНОВНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ТЕЙЛОРА
304
(I 4- x)a = I 4- ax 4- CT^a --- x2 4-... 4-g(a-l)-(«-n+O x„+	xe)_( 1(
7. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ »-а Vs	х2т~1
arctgx=x_ 2_ + л_ _...+(_ Ir-+.... xe(-1.  j.
X5	x6	x2m~1
shx = x+-^-4- —-H-. + t2m_ |}! 4---, x2	x*	x2'"
chx=1 + _4__ + ...+ _4-...,xeR,
1п(1 -X)= -X-	*€(-!; I[,
—L_=|_x + x=-...+(-l)"x”+..., *€] —1, l[, I X
= I + * + x2 + ..• + *" + .... *61-1. 1[.
„ '  =1+2x+ 3x4  + ("+)*" + -- *61-1. '(. (1 — *)
, I 3 ,	1-3 Б ,	, (2n- I)!! x2"+t
arcsinx x4-23x4-2>4>5*4--4-	2n 4- 1 +
4--. x€|-l. I].
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Основное логарифмическое тождество а^^ь.
Множества:
N ={1, 2. 3, ...)— натуральных чисел:
Z = (—2, —1. 0. I. 2, ...}—целых чисел;
Q=f— 1 т 6 Z, п £	— рациональных чисел;
п I	J
R = {oo, ай, Аз.. flo€Z, аь€(0, I, 2... 9}) — действительных
(вещественных) чисел.
Расстояние между двумя точками Л(Х|, t/i) и В(хг, у3) на плоскости d — V(x2 — xi)2 4- 0/2 — f/i)2-
Координаты середины отрезка А В : Х|4-*2	!/l4-!/2
х 2	’	2	•
Общее уравнение прямой
Лх4-В^-)-С = 0 (Л24-В2 =/= 0).
Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:
о05
Ax + By 4- С =0
±-у]а*+В*
I	.	»	,
где-----г--------нормирующим множитель прямой; знак выбирается
± ~\/А~ -^-В2
противоположным знаку С, если С=#0, н произвольно, если С = 0. Расстояние от точки А (ло, t/о) до прямой Ах 4- By 4- С — О
d == ^хр
т/а*+в2
Если А = (aif)nn — квадратная матрица размером пХп, то Д — = det А — ее определитель.
Минор — определитель матрицы, составленной из элементов, стоящих на пересечениях k разных строк и fe разных столбцов данном матрицы с сохранением упорядоченности.
Минор Мц, элемента а,* определителя — определитель, получающийся из исходного вычеркиванием i-й строки и k-ro столбца.
Для определителя
	йц
	221
det А =	
	On— i 1
	
о12	...	л-1	01 л
022	... Я2П-1	О2п
fln-l 2	... On —| л—1	On— 1 л
Ол2	• •. О п л — 1	Опл
главные миноры — суть определители:
Ai = |Дц|, Дг = I Я,|...............Д„_|	=
I $21	&22 I
П|1	... П| л—I
On— I i	... Qn~-1 n— I
Д„ = det А.
Алгебраическое дополнение Ат элемента п,> определителя матрицы А — это определитель, равный (—1У+*ЛЬ. где Мт — минор элемента atf!.
Произведением матрицы A — (а,*) размером т X п иа матрицу В ~ (bit)} размером п X Р называется матрица С = (сц) размером л
tn X Р, у которой сц = 2 autbkj, i = I, т\ j = I, р; С = АВ. л=|
Матрица А~’ — обратная матрице A = (a4J)nft, если АА~1 = А^’.4 = = Е, причем
Au Ajt ... Дм
а-i ।	Д«2 Агг ... АП2
det А ...................'
А । л Ао^ ... Апп • — где A.fe — алгебраические дополнения элементов матрицы А.
Ранг матрицы — наивысший порядок отличных от нуля ее миноров. Обозначение: rank А.
Преобразование (оператор, отображение) f линейного простраист-
306
ва V в себя (J:	называется линейным, если f(ах> + &х2) =
= af (xi) -I- М(хг) V xi, хг E V, Va. p € R или C.
Нулевой вектор x € V называется собственным вектором линейного оператора /, если 3X£R (Х£С для комплексного У), такое, что f(x)=kx. Число X называется собственным значением оператора f, соответствующим собственному вектору х.
Собственные числа X линейного оператора f—корни характеристического уравнения det (Л — ХЕ) = 0.
Односторонние производные функции /: X-*R в точке хо£Х:
Г (хо)= Jim	4^х)--£(хо)
Дх—+ 0	&Х
f'_(xo)= lim	-М*)
Дх-*—0	Дх
Функция, дифференцируемая в точке хо,
f (хо 4- Дх) = f (хо) 4- 4 Дх 4- о(Дх), Л = f (х0).
В этом случае дифференциал функции /(х) в точке Хо dy = f'(x0)dx.
Пусть w = f(x, у). Тогда ее приращение в точке (х0; уо)
Щ = f(xo + Дх, i/o 4- А{/) — f (Хо, Ус).
Функция, дифференцируемая в точке (х<г,
bf = АДх 4- ВЛу 4- о(р) при р-*-0 (р й="\/Дх2 4"Д^)-
В этом случае дифференциал функции в точке (хо: уо) df = Abx + Bbyt df = dx + dy, df df
где ~ду — частные производные, вычисленные в точке (хо; оо
Ряд S сп(х — хо)" —степенной, радиус сходимости, ]а—/?, л=0
а 4- /?[ — интервал сходимости
СО
Если Ri —радиус сходимости ряда S aftx", —радиус сходи-п=0
оо
мости ряда S ЬлХ", a, P£R, то л«=0
со	со	оо
a S длхя4-р S Ьпхп^ 5 (аа„ 4-06„)х". |х| < min {ЯцЯг}; /1 = 0	л=0
307
2 na«v_|, |xl<Rt; n = I
J( S antn)dt = S \anCdt, |a| <R,. |x|<Rb a \ ла=О J n—0 a
Теорема Барроу: если f непрерывна, то
=w
ЛИТЕРАТУРА
Основная
Богданов Ю. С., Сыроид Ю. Б. Дифференциальные уравнения.— Мн.: Выш. шк., 1983.— 239 с.
Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений.— Мн.: Наука и техника, 1979.— 743 с.
Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.— М.: Наука, 1976.— 576 с.
Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкнэвенным дифференциальным уравнениям.— Мн.: Выш. шк.» 1987.— 319 с.
Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М.: Наука, 1982.— 331 с.
Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения.— М.: Наука, 1980.— 231 с.
Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.— М.: Наука. 1979.— 128 с.
Дополнительная
Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях.— М.: Наука, 1987.— 160 с.
Амелькин В. В., Садовский А. П. Математические модели и дифференциальные уравнения.— Мн.: Выш. шк., 1982.— 272 с.
Пономарев К. К- Составление дифференциальных уравнении.— Мн.: Выш. шк., 1973.— 560 с.
Понтрягин Л. С. Дифференциальные уравнения и их приложения.— М.: Наука, 1988.— 208 с.
Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.— М.: Высш, шк., 1967.— 564 с.
Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.— М.: Наука, 1964.— 272 с.
Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений.— М.: Фнз-матгиз, 1958.— 468 с.
Эрроусмит Д., Плейс к. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями.— М.: Мир, 1986.—243 с.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Амплитуда гармонических колебаний 26
Базнс нормированный 32. 187 — первых интегралов системы 215
— пространства решений 23, 30, 32, 85, 104, 187
Бифуркационное значение параметра 259
Блок матрицы 96
------ двойной 96
Вековой член 46
Векторы линейно независимые 89
Вектор присоединенный 88
—	собственный 88
График фазовый 58, 115
Гурвициан 69, 112
Движение апериодическое 27
—	гармоническое 27
— колебательное 27
Емкость 30
Жесткость пружины 45
Задача граничная 15
— Коши 13, 101, 163, 212
— начальная 13, 101
— — нулевая 37, 101
Закон Архимеда 52
—	Кирхгофа 52
—	Кулона 19
—	Ньютона 26, 157
—	Ома 52
—	преломления света 170
Заряд точечный 19
Индукция 30
Интеграл общин 83, 126
—	первый 213
—	— линейный.83
—	— стационарный 213
—	полный системы 83
—	уравнения Пфаффа 253
—	— — двумерный 253
—	одномерный 255
Квазиполином 39
— действительный 39
Клетка Жордана 87
Колебания вынужденные 44
— собственные 44
Комбинация интегрируемая 83, 216
Конденсатор 30
Кривая дискриминантная 151
— интегральная 125, 255
Критерий устойчивости 67, 112
— — асимптотической 68, 112
—	— двусторонней 67, 112
—	Гурвица 69
—	интегральный 237
Коэффициент притяжения 19
— теплопроводности 156
310
Коэффициенты системы 72
«Линия векторная 175
—	погони 182
—	силовая 175
Логистический рост 161
Ломаная Эйлера 237
Математическая модель естественного процесса 19 -----прикладных задач 43
Матрица базисная 85
-----нормированная 85
—	Жордана 87
—	Коши 101
—	коэффициентов системы 72
—	нулевая 95
—	оператора 78
—	перехода 97
—	системы расширенная 79
—	специального вида 95
— трансформирующая 88
— фундаментальная 85
— Якоби 215
Маятник математический 29
Метод вариации произвольных
Постоянных 33, 107, 138, 188
— введения параметра 167
— Гаусса 78
— Лагранжа 33, 107, 138, 188, 256
— Лагранжа — Шарли 256
— ломаных Эйлера 237
— операторный интегрирования дифференциальных систем 78 — последовательных приближений 232
— Эйлера 104, 237
Минор 81
Моделирование электрических
цепей 52
Модуль Юнга 48
Множитель интегрирующий 130, 254
Момент изгибающий 48
— инерции 223
Напряжение радиальное 200
Неоднородность кусочно-непрерывная 15 — системы 72 — уравнения 72
Область односвязная 126 Огибающая однопараметрнче-ского семейства решений 151 Оператор дифференцирования 7 — линейный 22 — нулевой 78 — стационарный 22
Определитель Вронского 31. 188
Отклонение решений 66, 111 Отрезок ряда Тейлора 241
Период колебания 26
—	— гармонического 27
—	— затухающего 27
Поверхность интегральная 253 Плоскость фазовая 57, 115 Подкасательная 17
Поднормаль 17
Поле векторное 254 — потенциальное 254
Полином гурвнцев 69, 112
—	ляпуновский 67
—	характеристический 23
Порядок дифференциального уравнения 7
Постоянная Липшица 149, 213 — произвольная 11
Потенциал поля 254
Правило Д’Аламбера 83 — Коши интегрирования систем 101 —-------уравнений 37
— Лагранжа интегрирования уравнений 33
311
Преобразование аффинное 116 — — тождественное 116 Преобразования элементарные D-матриц 78
Принцип суперпозиции сил 44
Производная односторонняя \1 Прямая неизолированных точек покоя 64 — покоя 58
Радиус кривизны 184
Размер равновесный 161
Размерность системы 72, 212
Разрешимость глобальная 213 — задачи Коши 149 — — — неоднозначная 149 — локальная 213
Режим установившийся 45
Резонанс 44
Решение дифференциального уравнения 7. 15, 73, 163, 178, 245 — в явном виде 125 — колеблющееся 210
— начальной задачи 36. 86, 136
— неколеблющееся 210
—	нестационарное 57
—	неявно заданное 125
—	общее 13, 23, 31, 33, 86, 126
— особое 150, 164
— параметрически заданное 11, 125
—	полное 164
— приближенное аналитическое 231. 241 -----численное 237, 239
—	склеенное 165
—	стационарное 57
—	устойчивое по Ляпунову 66, 111, 224
—-------— в положительном
направлении 66, 215
—	формальное 205
—	частное 13, 33, 126
Ряд степенной 201, 241
—	— обобщенный 204
—	формальный 205
—	Тейлора 241
Свойство пропорций 221
—	равных отношений 221
Седло 62
Семейство решений двупараметрическое 256
Сепаратриса седла 62
Сила возбуждающая 43
—	— периодическая 44
—	— синусоидальная 44
—	упругости 45
Символ Кронекера 188
Система в нормальной форме 73
—	в симметрической форме 221
—	диагонального вида 73
—	консервативная 265
—	обыкновенных дифференциальных уравнений 73, 212
— решении 73, 212
— с постоянными коэффициентами 73
—	треугольного вида 79
След матрицы 133
Собственное значение 23, 88
Соотношение основное 167 #
Теорема Коши 241, 243
— Ляпунова об устойчивости 225
—----------асимптотической
225
— об интегрируемой комбинации 221
-----однозначной разрешимости 74
— — устойчивости по первому приближению 226
— о первом интеграле 214
— о существовании голоморфно-
го решения 261
312
Теорема о точках покоя 65
— Пеано 212, 232
— Пикара — Лннделёфа 149, 212, 232, 235
— сравнения Штурма 210
— существования н единственности задачи Коши 164, 187 — первых интегралов 215
— Штурма 210
Теплопроводность 156
Ток свободный 55
— установившийся 55
Точечный заряд 19
Точка ветвления 150
— единственности 150
— неединственности 150
— особая 151
— покоя 58
— равновесия 58
— существования 150
Траектория изогональная 176
— ортогональная 175
— фазовая 115
Уравнение алгебраическое относительно производной 164 — Бернулли 138
— векторное дифференциальное 212
—- в нормальной дифференциальной форме 125
— в полных дифференциалах 126
— в точных производных 179
— движения стрелки гальванометра 30
— дифференциальное в общей форме 125
— — линейное 135
—-------векторное 72, 73
—-------— диагональное	73
—----------первого порядка
129
— —--------специальное 73
—	— — — треугольное 73
—	— обыкновенное 7
— — простейшее 13
-----с голоморфными коэффициентами 20!
— — с переменными коэффициентами 187
— — с постоянными коэффициентами 22
— — стационарное неоднородное 22
—------- однородное 22, 73
— — с частными производными 245
— интегральное 18
— качки корабля 47
— квазилинейное с частными производными 248
— Клеро 171
— Лагранжа 171
— логистическое 161
— невырожденное 58
— неполное 168
— не разрешенное относительно производной 163
— не содержащее искомой функции 178
— — — явно независимой переменной 179
— однородное 141, 180
— — в дифференциальной форме 180
— — относительно искомой функции н ее производных 180 — — — независимой переменной и ее дифференциалов 180 — определяющее 196, 205
— поперечных колебаний стержня 30
— Пфаффа 253
— разрешенное относительно производной 125
— Риккати 144
— свободных колебаний 27
313
—-------кольца 30
— со стационарным оператором 22. 73
— с разделенными переменными 127, 132
— с разделяющимися переменными 132
-	— углового ускорения при кручении 30
—	характеристическое 22
—	Эйлера 196
—	элементарное 126
У	зел бикритнческий 59
—	дикритический 118
—	монокритический 61
Условие интегрируемости уравнения Пфаффа 253
—	Липшица 142, 212
—	- устойчивости необходимое 67
—	Эйлера 126
Условия граничные 13
— начальные 13
Устойчивость асимптотическая
68, 111, 224
— двусторонняя 67
— по Ляпунову 66, ill, 224
—• по первому приближению 225
Фаза начальная 27
Факторизация оператора 23
Фокус 63
Формула Лиувилля — Остроградского 31
Функция Бесселя второго рода 207 ----- первого рода 207 — голоморфная 201, 241 — Грина 15 — единичного скачка 15 — Коши оператора 36 — кусочно дифференцируемая 17
—	Ляпунова 225
—	однородная 141
— Хевисайда 15
Центр 62
Частота колебания 27
Число контрольное 39 — характеристическое 88
Экспонента матрицы 87
Элемент емкостный 52
—	индуктивный 52
—	резистивный 52
ОГЛАВЛЕНИЕ
П реднсловие............................................ 3
Основные обозначения ................................... 5
ВВЕДЕНИЕ
I. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений ........................................... 7
1.	Дифференциальное уравнение. Порядок уравнения. Решения уравнения ................................................. 7
2.	Простейшие дифференциальные уравнения. Общее и частное решения. Начальная	и	граничная	задачи.	Функция	Грина	13
II. Простейшие уравнения......................... 15
3.	Уравнения с кусочно-непрерывной	неоднородностью	....	15
4.	Геометрические приложения простейших дифференциальных уравнении. Простейшие математические модели естественных процессов................................................. 17
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
111. Однородные уравнения............................   22
5.	Линейные уравнения со стационарным оператором....... 22
6.	Базис пространства решений.......................... 30
IV. Неоднородные уравнения............................. 33
7.	Структура общего решения. Метод вариации произвольных постоянных ................................................. 33
8.	Функция Коши линейного оператора. Разрешение уравнения по правилу Коши.............................................. 36
9.	Уравнение с квазиполиномом	Правило Эйлера...... 39
10.	Математические модели	прикладных задач............. 43
315
V. Фазовая плоскость однородного линейного уравнения второго порядка со стационарным оператором....................... 57
II.	Схема расположения фазовых графиков.................. 57
12.	Определение типа точки покоя......................... 65
VI. Устойчивость по Ляпунову линейных уравнений со стационар^ ным оператором .........................................  66
13.	Устойчивость в смысле Ляпунова....................... 66
Ы. Асимптотическая устойчивость.........................  68
Контрольная работа ]....................................  71
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
VH. Методы интегрирования стационарных линейных векторных уравнений...............................................  72
15.	Специальные линейные векторные уравнения . .......... 72
16.	Сведение линейной системы к совокупности независимых уравнений ..................................................  76
17.	Метод Д’Аламбера решения линейных векторных уравнений 83
18.	Экспонентное представление решений. Метод К<?шк ....	85
19.	Метод Эйлера интегрирования однородных линейных векторных уравнений........................................... 104
20.	Метод Лагранжа интегрирования неоднородных линейных векторных уравнений........................................ 107
VIII. Исследование стационарных линейных векторных уравнений 111
21.	Устойчивость решений линейных векторных уравнений в смысле Ляпунова. Асимптотическая устойчивость . .............Ill
22.	Фазовая плоскость однородного стационарного линейного векторного уравнения....................................... 115
23.	Разные задачи....................................... 120
Контрольная работа 2.....................................123
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
IX. Уравнения первого порядка в нормальной дифференциальной форме................................................... 125
24.	Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель ..................................................  125
316
25.	Уравнения	с разделяющимися	переменными................132
26	Линейные	уравнения первого	порядка. Уравнения Бернулли 135
27.	Однородные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным ...............................................141
28.	Случаи интегрируемости уравнения Риккати..............144
29.	Особые решения уравнений в нормальной дифференциальной форме............................................. 149
30	Составление математических моделей прикладных задач. . .	154
Контрольная работа 3..................................... 162
X.	Уравнения в общей форме............................... 163
31.	Приведение уравнений в общей форме к уравнениям в нормальной дифференциальной форме.................... 163
32.	Метод введения параметра..............................167
33	Уравнения Лагранжа н Клеро.............................171
34-	Ортогональные и изогональные траектории...............175
35.	Уравнения л-го порядка, допускающие	понижение порядка 178
Контрольная работа 4 ................	185
ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Линейные векторные уравнения с переменными коэффициентами
XI.	Линейные уравнения с непрерывными коэффициентами ...	187
36 Понижение порядка уравнения с известным частным решением 187
37.	Приведение линейного уравнения к стационарному ....	192
38 Уравнение Эйлера...................................... 195
Контрольная работа 5 ................	200
XII.	Линейные уравнения с голоморфными	коэффициентами ...	201
39.	Голоморфные решения...................................201
40.	Обобщенные степенные ряды	Уравнение	Бесселя...204
41	Колеблемость решений уравнения второго порядка с непрерывными коэффициентами................................210
XIII.	Дифференциальные системы с переменными коэффициентами 212
42.	Дифференциальные системы в нормальной дифференциальной форме..............................................212
43.	Дифференциальные системы в симметрической форме . . .	220
317
44.	Фувкции Ляпунова и устойчивость.................224
XIV.	Некоторые методы приближенного решения векторных уравнений ............................................  231
45.	Метод Пикара....................................231
46.	Метод ломаных Эйлера............................237
47.	Построение приближенного	решения в виде ряда....24!
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
XV.	Линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка................................245
48.	Однородные линейные уравнения. Задача Коши......245
”49. Квазилинейные уравнения с частными производными. Задача Коши.............................................248
XVI.	Нелинейные уравнения с частными производными первого порядка.............................................253
50. Уравнение Пфаффа................................253
51. Метод Лагранжа..................................256
Контрольная работа 6................................257
ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ
Работа 1............................................259
Работа 2............................................262
Работа 3............................................265
Работа 4............................................267
Ответы..............................................270
Приложения..........................................303
Литература..........................................309
Предметный указатель................................310
Учебное издание
Альсевнч Лариса Алексеевна Черенкова Людмила Павловна
ПРАКТИКУМ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
Заведующий редакцией Л. Д. Духвалов Редактор Е. В. Сукач
Младшие редакторы В. М. Кушнлевич, И. В. Моховикова Художественный редактор Ю. С. Сергачев Технический редактор Г. М. Романчук Корректор Л. А. Еркович
ИБ № 2897
Сдано 8 набор 21.06.69. Подписано в печать 13.07 90, Формат 84X108/32 Бумага тип. № 2. Гарнитура литературная. Высокая печать. Усл псч. л. 16.8. Усл. кр -отт. 16.8. Уч.-изд. л. 17,24. Тираж 5300 экз. Зак. 2708. Цена I р.
Издательство «Вышэйшая школа» Государственного комитета БССР по печати. 220048. Минск, проспект Машеровв, II.
Минский ордена Трудового Красного Знамени полиграфкомбннзт МППО нм Я Коласа. 22000а, Минск, Красная, 23