/
Author: Демиденко Н.Д.
Tags: инженерное дело техника в целом химия теплообмен химические технологии
ISBN: 5-02-001560-1
Year: 1991
Text
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ОРДЕНА ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ
Красноярский вычислительный центр
Н.Д. ДЕМИДЕНКО
Моделирование
и оптимизация
тепло -
массообменных
процессов
в химической
технологии /
~ v a - a X
? I Й p I ™ S л
МОСКВА "НАУКАя
1991
УДК 62.52
♦
Моделирование и оптимизация тепломассообменных процессов в
химической технологии / Н.Д. Демиденко. — М.: Наука, 1991. — 240 с.
ISBN 5-02-001560-1.
В монографии приведены оригинальные результаты по разработке методов анализа
нестационарных процессов объектов с распределенными параметрами. Изложены ме-
тоды исследования оптимальных режиыов технологических объектов с рециркуля-
цией взаимодействующих потоков (ректификационные колонны и др.). Рассмотрен
широкий класс технологических процессов и обсуждено применение разработанных
методов для исследования промышленных объектов химической технологии.
Для научных и инженерно-технических работников, занимающихся разработкой
систем измерения и управления химико-технологическими процессами.
Табл. 14. Ил. 92. Библиогр. 225 назв.
Simulation and Optimization of Heat and Mass Transfer Processes in Chemical
Engineering / N.D. Demidenko. — M. Nauka, 1991. — 240.
In the monograph the original results of development of analyses of non-stationaiy
processes in objects with distributed parameters are presented. The considerable part of it is
devoted to the methods of investigation of optimal regimes in chemical technological objects
with recirculation flows interacting (rectification columns, etc.).
A wide choice of techological processes is considered where qualitative investigation of
non-stationary regimes and methods of their analysis is considered. The characteristic features
of them is the application of the methods developed for the investigation of industrial objects
of chemical engineering.
The monograth is recommended for scientists and engineers who deal with chemical
technology processes.
14 tabl., 92 xU., 225 ref.
Ответственный редактор
доктор технических наук В.Н. Ветохин
Рецензенты:
доктор физико-математических наук В.И. Быков,
доктор технических наук В.М. Володин
„2802000000-213 ,......
Д 042(02)-91 62°’91’ ' полУгодие
© Издательство "Наука", 1991
ISBN 5-02-001560-1
ПРЕДИСЛОВИЕ
Перед учеными в области моделирования и управления системами
с распределенными параметрами стоит целый ряд задач, решение
которых имеет важное прикладное значение и требует глубокой на-
учной проработки. К одной из таких задач относится проблема про-
ектирования оптимальных режимов аппаратов химической техно-
логии.
Процесс математического моделирования оптимальных режимов
управления объектами с распределенными параметрами можно на-
блюдать на примере работы аппаратов химической технологии (рек-
тификационные колонны, абсорберы и др ).
Несмотря на широкое распространение объектов химической тех-
нологии, процессы оптимального управления такими аппаратами все
еще детально не исследованы. В то же время имеется большой науч-
ный задел по моделированию статических и динамических режимов
объектов с распределенными параметрами. Таким образом, встает
задача перенесения этих результатов в моделирование процессов
управления объектов химической технологии.
Исследование процессов химической технологии представляет
собой сложную задачу, так как эти процессы описываются нели-
нейными системами дифференциальных уравнений в частных произ-
водных. Математическая постановка этих задач, как правило, не
сформулирована, а дается лишь технологическая постановка. Мате-
матические трудности прежде всего связаны с нелинейностью урав-
нений. и со сложностью граничных условий в виде обыкновенных
дифференциальных уравнений. Эти трудности обусловлены также
многомерностью задач, так как управляемые процессы характе-
ризуются довольно большим числом теплофизических и конст-
руктивных параметров.
Выбор рациональной методики решения задач является цент-
ральным вопросом в проблеме моделирования нестационарных ре-
жимов управляемого процесса. Декомпозиция общей проблемы на
ряд отдельных задач и разработка метода их решения определяют
возможность достижения конечной цели.
Основным преимуществом математического моделирования явля-
ется то, что качественные выводы, получающиеся из решений в более
простых, частных случаях, должны быть справедливы и для более
3
общей задачи. Следует подчеркнуть, что всякое частное решение
резко сужает класс исследуемых режимов. Само это решение можно
рассматривать как своеобразную априорную информацию о структуре
и свойствах уравнений, представляемую обычно в легко обозримой
форме.
Наряду с вычислительным экспериментом рассмотрение качест-
венной картины явлений дает возможность проверить и уточнить
постановку задачи, а сравнение с экспериментом позволяет судить о
правильности предположений, сделанных к разработанной модели, а
также дает информацию о том, насколько принятая модель близка к
реальным условиям. Исследование проблемы моделирования и оп-
тимизации химико-технологических процессов с целью получения
практических выводов должно на всех этапах проводиться с ис-
пользованием математической теории, физического и численного
эксперимента, применяемых совместно и согласованно. Только твор-
ческое объединение различных методологий, активный обмен инфор-
маций между различными подходами в исследованиях может при-
вести к цели при изучении задач оптимального управления, к ко-
торым относится проблема оптимизации тепломассообменных про-
цессов.
В настоящее время нет единой модели, позволяющей рас-
сматривать химико-технологические процессы тепломассообмена в
широком диапазоне изменения начальных и граничных условий с
учетом различных возмущающих воздействий и оценивать ста-
тические и динамические характеристики всего технологического
процесса. Создание такой модели часто тормозится отсутствием дан-
ных по нестационарным режимам (в том числе технологических
параметров).
В связи со сложностью решаемой проблемы очевиден переход к
численным оптимизационным методам, обеспечивающим машинный
поиск глобального оптимума для многомерных функционалов.
Монография написана на основе материалов исследований автора
и коллектива сотрудников под его научным руководством и пред-
ставляет одну из первых попыток комплексного решения пере-
численных выше вопросов оптимального проектирования химико-
технологических процессов. Разработанный автором подход к ре-
шению задач моделирования и оптимального управления может быть
использован и в других областях естествознания.
В. Ветохин
ВВЕДЕНИЕ
Основу проектирования современных химико-технологических
процессов, аппаратов и систем управления составляет матема-
тическое моделирование технологических режимов. Особое значение
процесс моделирования приобретает при автоматизированном про-
ектировании процессов и аппаратов химической технологии. Со-
ответствующее программное обеспечение САПР систем управления
химико-технологическими объектами прежде всего предусматривает
наличие математических моделей нестационарных режимов управ-
ляемого процесса. При этом если ранее модели предназначались для
расчета локальных систем стабилизации или регулирования со-
ответствующих объектов и, как правило, описывали процесс в узкой
области изменения параметров, то теперь от моделей требуется
такая степень адекватности процессу, которая позволяет на их ос-
нове решать задачи управления и оптимизации в широком диапазоне
режимов, а также проектирования самого объекта и системы уп-
равления.
В промышленности получает широкое развитие микропро-
цессорная техника, что обусловливает появление новых средств
автоматизации технологических процессов — микроконтроллеров.
Микроконтроллеры призваны заменить такие традиционные средства
автоматизации, как регулятор. Они входят в информационно-изме-
рительные системы и служат основой для нового поколения средств
автоматизации. Модули программ закладываются в память микро-
контроллеров, и программирование конкретного технологического
режима сводится к установлению последовательности выполнения
модулей и заданию параметров режима.
В книге рассмотрены вопросы математического моделирования
нестационарных режимов химико-технологических объектов с рас-
пределенными параметрами. Сформулированы и решены задачи оп-
тимального измерения и управления.
Проблеме получения и рационального использования измеряемой
информации в автоматических системах управления стали уделять
внимание' давно. Из отечественных публикаций по данной проблеме
следует отнести, например, работы Э.Л. Ицковича 180], В.Я. Ротача и
М.Б. Хаджийски [120, ЛИ и др.
В работе [801 рассматривается методика определения расстояния
5
•между датчиками при контроле линейно распределенного поля, т.е.
речь идет о распределенном измерении параметров процесса в
объекте с распределенными параметрами и решается одна из задач
проблемы дискретного распределенного измерения. Определение
расстояния между датчиками производится по статическим ха-
рактеристикам процесса с распределенными параметрами. Задача ре-
шена при измерении температуры вращающейся цементной обжи-
гательной печи. Эта задача имеет теоретический и практический
интерес и для детерминированных моделей управляемого процесса.
Однако такой аспект проблемы в работе [80] не рассматривается.
Своеобразные задачи определения оптимальных значений коэф-
фициентов вычислительного устройства статической информацион-
ной системы косвенного действия изучены В.Я. Ротачем и М.Б. Хад-^
жийски [120, 121, 149]. Подобные проблемы возникают в том случае,
когда непосредственное получение информации об управляемом
процессе оказывается затрудненным или вообще невозможным. В
этом случае авторы предлагают строить информационную систему
косвенного действия, т.е. вместо измерения одних фазовых ко-
ординат осуществляют измерение других. Задача синтеза системы
заключается в выборе таких параметров, чтобы вычисленные зна-
чения требующих измерения параметров возможно меньше отли-
чались от действительных. Эти задачи формируются и решаются в
статистической постановке.
Идея распределенного измерения получила развитие в работах [34,
35, 48, 49, 53, 54, 56, 57, 61, 62, 167—169], в которых используется поня-
тие весовой функции распределенного измерения (контроля [34]) и
решен ряд важных задач анализа и синтеза измерительных систем и
систем управления. В работах [34, 35] утверждается лишь принципи-
альная полезность распределенного контроля (измерения) в автома-
тических системах регулирования. Однако подтверждающих эту идею
каких-либо экспериментальных или математических исследований
даже на весьма упрощенных математических моделях химико-
технологических процессов в этих публикациях нет. В работах [48,
167—169] распределенное измерение и управление получили теоре-
тическое и прикладное развитие в качестве метода. Становление
этого общего метода обусловлено рассмотрением его на примере
типового по сложности и распространенности в химической техно-
логии процесса ректификации.
Развитие идеи распределенного измерения в химической тех-
нологии рассмотрено многими исследователями на примере про-
цессов ректификации [13, 27, 88, 116, 159, 191, 196, 222]. Расп-
ределенность параметров управляемого процесса особенно харак-
терна для ректификационных колонн. Эти объекты широко рас-
пространены в нефтехимической и нефтеперерабатывающей промыш-
ленности, и решение вопросов построения эффективных изме-
рительных систем и систем управления приводит к существенной
экономии материальных и энергетических ресурсов.
В теории управления большое развитие получило направление,
связанное с оптимизацией систем управления ОРП. Значительные
6
результаты в этом направлении получены ЛИ. Егоровым [74]. Т.К. Си-
разетдиновым [1261, Ж.Л. Лионсом (971 и др. В этих работах ис-
следуются методы определения оптимальных управляющих функций.
Однако в них не рассмотрены задачи оптимального управления, ко-
торые возникают при оптимизации переходных режимов в ректи-
фикационных колоннах. Главной отличительной чертой этих про-
цессов является наличие рециркуляции взаимодействующих потоков,
что приводит к своеобразным задачам оптимального управления.
Имеется довольно много работ по исследованию динамики таких
объектов. Среди них отметим монографию [481, целиком посвященную
этой проблеме, книги В.В. Кафарова и др. [26, 83—871, работы В.П.
Майкова [101—1031, содержащие разделы, в которых рассматриваются
вопросы математического описания динамики ОРП и т.д.
Следует отметить монографию академика В.В. Кафарова и В.Н. Ве-
тохина [83], где впервые собран обширный материал, описывающий
опыт по расчету процессов и аппаратов химической технологии с
щироким использованием методов системного анализа, моделиро-
вания и оптимизации.
Ректификационные колонны работают в основном в нестационар-
ном режиме, причем длительность переходных процессов зна-
чительна (например, в миоготарельчатых колоннах до нескольких
суток). Эти факторы усложняют задачу построения автоматических
систем управления и вызывают необходимость разработки более
совершенных методов анализа динамики и синтеза систем управ-
ления ректификационными установками.
Известные методы потарелочного расчета режимов 110, 150 и др.],
эффективные при расчетах с небольшим числом тарелок, становятся
малоэффективными при большом числе тарелок в колонне. В лучшем
случае удается рассчитать начальные участки кривых разгона, чего
недостаточно для построения высокоэффективных измерительных
систем и систем управления. Эти трудности еще более увеличиваются
при управлении процессом многокомпонентной ректификации. По-
этому важно построить такую математическую модель процесса
ректификации и методы исследования моделей динамики процесса
разделения многокомпонентных смесей в многотарельчатых ко-
лоннах, которые отражали бы его наиболее существенные cropoi ы и
были бы удобными и простыми при разработке вычислительных
алгоритмов и использовали в инженерной практике.
Наиболее полно достижения в моделировании статических про-
цессов ректификации изложены в [10, 1501. В работе [101 в основном (а в
[1501 полностью) излагаются методы расчета статических режимов. В
[101 рассмотрены алгоритмы анализа режимов бинарной ректи-
фикации. Кроме того, приводится тщательный анализ численных ре-
зультатов. На основе линейных уравнений с частными производными
записываются уравнения для участков колонн с последующим
решением методом преобразования Лапласа. В книге Ч.Д. Холланда
[150] систематически изложены результаты по исследованию метода
сходимости итерационного расчета — метода при расчете ста-
7
тических режимов многокомпонентной ректификации. Однако в этой
работе не исследуются задачи нестационарных режимов.
Проблема исследования динамических режимов процесса рек-
тификации в имеющейся литературе сводится к решению систем
обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности.
В [1171 разработаны так называемые системные методы решения
жестких систем, которые являются обобщением классических мето-
дов Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса и др. Устойчивость вычис-
лительных процессов при использовании этих методов обеспечи-
вается при значительном увеличении шага интегрирования выбором
соответствующей матрицы стабилизации. Применение системных ме-
тодов для решения практических задач показало, что они обес-
печивают требуемую точность решений и значительно сокращают вре-
мя счета по сравнению с классическими методами. Имеется много
работ по исследованию переходных режимов химико-технологи-
ческих аппаратов (в том числе ректификационных колонн) с при-
влечением современного математического аппарата дифференци-
альных уравнений в частных производных. Это, в свою очередь, дало
толчок развитию численных методов исследования краевых задач. К
этим работам относятся [23, 33, 66, 69, 79, 90, 100, 135, 154, 163, 171, 178,
186, 192, 198, 201, 203, 205, 211. 213, 216, 220, 2241.
В работе [66] дано описание существующих методов химической
технологии, которые подразделяются на четыре группы: точные,
асимптотические, численные и приближенные; отмечены их досто-
инства и недостатки. Показано, что различные методы дополняют
друг друга и их не следует противопоставлять.
В монографии рассматриваются проблемы в трех научных на-
правлениях. Первое направление связано с математическим моде-
лированием нестационарных режимов объектов с распределенными
параметрами (главы 1—3). Весь комплекс задач по моделированию
связан с ориентацией на процесс многокомпонентное™ ректи-
фикации. Несмотря на такую конкретную направленность, многие ис-
следования носят более общий характер для процессов, описываемых
уравнениями в частных производных. В главе 1 рассматриваются
некоторые модели таких процессов и дается теоретическая оценка
перехода от дискретной модели технологического процесса, опи-
сываемого обыкновенными дифференциальными уравнениями, к не-
прерывной (в частных производных). Такой вопрос возникает при
выборе математической модели управляемого процесса. В главе 2
формулируются и исследуются краевые задачи. Показаны суще-
ствование и единственность решения краевых задач. Показана схо-
димость предлагаемых конечно-разностных схем.
Второе направление, отраженное в настоящей монографии, отно-
сится к постановке и решению задач распределенного измерения и
оптимального управления объектами с распределенными пара-
метрами, описываемыми гиперболическими системами уравнений в
частных производных (главы 4—6). В главе 4 сформулированы задачи
оптимального измерения и управления для краевых задач с
гиперболической системой дифференциальных уравнений и слож-
8
ными граничными условиями. На основе методов вариационного ис-
числения получены необходимые условия оптимальности в замк-
нутых системах управления с различными типами регуляторов, ис-
следована корректность некоторых задач оптимизации.
В главе 5 рассмотрены задачи оптимального управления про-
цессами ректификации многокомпонентных смесей. Сформулированы
и решены задачи оптимального управления с различными управ-
ляющими потоками, с ограничениями на управляющие потоки и т.д.
Разработанные методы оптимизации охватывают довольно широкий
класс технологических режимов ректификационных установок.
Глава 6 посвящена постановке и решению задач распределенного
измерения параметров управляемого процесса ректификации. Про-
ведены исследования корректности некоторых задач оптимального
измерения.
В главе 7 рассмотрено третье направление монографии, связанное
с применением разработанной теории для конкретных промышлен-
ных аппаратов. В этой главе проведено исследование промышленной
установки сернокислотного алкилирования изобутана бутиленами,
состоящей из трех ректификационных колонн. Проведены численные
исследования статических и динамических характеристик ректифи-
кационных колонн, систем оптимального измерения и управления.
Показана на промышленных установках эффективность методов мо-
делирования оптимальных режимов, рассмотренных в монографии.
На основе математических методов моделирования процессов рек-
тификации нами используется детерминированный подход к проб-
леме оптимального управления. Преимущества этого подхода оче-
видны при решении задач анализа статических и динамических ха-
рактеристик управляемого процесса с целью проектирования аппа-
рата, выбора оптимального режима и синтеза высококачественных
систем управления.
В главе 8 изложены некоторые соображения по поводу иссле-
дования задач моделирования и оптимального управления сис-
темами, описываемыми параболическими системами уравнений. Таки-
ми системами описываются тепломассообменные режимы химико-
технологических объектов с продольным (обратным) перемешива-
нием.
Разработанные в книге методы анализа стационарных и не-
стационарных режимов ректификационных колонн и методы синтеза
оптимальных систем управления используются для построения
автоматических систем управления промышленными ректифика-
ционными установками.
ГЛ А В A 1
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СЛОЖНЫХ
ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
В этой главе приведены математические модели для объектов с
распределенными параметрами, в которых рабочий процесс про-
исходит при перемещении взаимодействующих сред. Физическая кар-
тина этих процессов, как правило, несколько упрощена для выде-
ления основных особенностей рассматриваемого класса процессов.
Последнее обстоятельство связано с возможностью типизации мо-
делей и применением общих методов исследования для всего класса
объектов в задачах управления.
Основой для составления математических моделей являются ко-
личественные закономерности, характеризующие физико-химические
процессы, протекающие в исследуемом объекте. При описании хи-
мико-технологических аппаратов в общем случае необходимо учиты-
вать уравнения гидродинамики, описывающие движение жидкостей и
газов, уравнения тепло- и массопередачи, характеризующие перенос
тепла и массы, и уравнения химического превращения веществ. Од-
нако здесь рассматривается лишь процесс тепломассопередачи.
11. МОДЕЛЬ НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ ПРОЦЕССА
РЕКТИФИКАЦИИ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СМЕСЕЙ
Рассмотрим процесс ректификации многокомпонентных смесей в
колонне. Будем исходить из предположения о непрерывности про-
цесса по длине колонн. Известно [13]. что рассмотрение процесса
ректификации непрерывным по длине многотарельчатой колонны не
приводит к существенным ошибкам при анализе ее статических и
динамических характеристик. При выводе уравнений нестационарных
режимов колонны примем следующие допущения [48]:
в элементарном участке достигается полное перемешивание жид-
кости и полное вытеснение пара;
движущая сила массообменного процесса пропорциональна раз-
ности концентраций компонентов в паровой фазе и равновесной;
движущая сила теплообменного процесса пропорциональна раз-
ности температур жидкой и паровой фаз, поступающих в элемент dl-t
кинетика массообменного процесса характеризуется коэффициен-
тами массопередачи.
Ю
Массообмен в нестационарном режиме
Составим уравнение для массообмена с учетом направления дви-
жения фаз и направления массообмена для z-ro компонента. Для
этого выделим элементарный участок dl колонны (рис. 1.1.1):
3(LxA Эх Э ( „ ЭхУ. Эх ,,
+ ——dl -Lxi + EL—j- + — El— \dl -El—^ +Ф dl -
dl dl dl\ dl J dl
откуда
3(Lx;) э ( dxt'} ( .
------7Г~
-У.)+Фл,-.
(1-1.1)
Аналогично получаем уравнение массообмена в паровой фазе:
э(я^) э(у>.) эг М
Эг dl dl < v dl,
(1-1-2)
= куАу*
-У.)+^уг
Рис. 1.1.1. Схема потоков взаимодействующих сред непрерывно распределенного
процесса ректификации
11
Известно, что
1=1 1=1
(1.1.3)
Последние соотношения позволяют исключить две неизвестные функ-
ции всистеме уравнений (1.1.1), (1.1.2), и, таким образом, для описания
процесса массопередачи имеется 2(N— 1) уравнений относительно
2(N — 1) функций.
Теплообмен в нестационарном режиме
Составим уравнения теплового баланса для элементарного участ-
ка dl колонны (см. рис. 1.1.1):
d(Hxh) d(Lh)
dt Э1
+ э/(£аТ*}+Лт(Гп_Гж)+Фа’
з(нун) d(vH) э( эти
~W~='~lT+di[EH az J
+ М7* - Т„) +фн
(1.1.4)
(1.1.5)
В связи с тем, что перенос тепла в колонне происходит во много раз
быстрее, чем изменение состава материального потока и его тем-
пературы, динамикой этого процесса в уравнениях (1.1.4), (1.1.5)
можно пренебречь.
Запишем поток i-ro компонента в жидкой фазе при вводе сырья или
выводе продуктов разделения из колонны (внешнее воздействие), для
чего используем единичную функцию Хевисайда:
, ч О ПРИ I < I:
= при/ >/р
где lj (j = — координаты точек ввода сырья и вывода про-
дуктов разделения.
Содержание Лго компонента в смеси в;-й точке элемента
J v dl
Переходя к пределу при dl 0, получаем IjXijSfl — lj), где 8(1 — lj) —
дельта-функция Дирака.
Легко показать, что
(1.1.6)
>1
Аналогично
/=1
12
I
' Фн = Z w(i - ij), ФА = f W(i - /.),
\ (1.1.7)
k = EVy8(/-/J, *L = W>(l-h}-
' /=1 y=l
t-
Знак плюс или минус слагаемых (1.1.6) и (1.1.7) зависит от того, со-
ответствуют ли они вводу или выводу потока.
/Ця TV-компонентных смесей уравнения (1.1.1), (1.1.2), (1.1.4), (1.1.5)
запишем в векторной форме.
Введем следующие вектор-функции: х = (хь..., х#) — вектор
компонентов, содержащихся в жидкой фазе; у = (уь...,УлО — вектор
компонентов, содержащихся в паровой фазе; xj = (ху,..., х^), yj =
«(yip..., Удг;) — векторы, составляющие исходную смесь в j-й точке
ввода потока в жидкой и паровой фазах соответственно; Фх = (Ф1Х,...,
.... Фу= (Ф1У,.... Фдгу) — векторы плотности потоков компонентов
в жидкой и паровой фазах сырья.
Заметим, что матрица коэффициентов массопередачи диаго-
нальная,-
Тепломассообмен в нестационарном режиме
Система уравнений, описывающих тепломассообменный процесс,
может быть представлена в следующем виде:
Э(/7хх) d(Lx) 3 (_ Эх)
dt dl Э/< L dl)
д(нуу) Э(РУ) э( Эу)_
dt + di a/cva/J~
Э(ЯЖА) Э(£А) д( ЭГЖ)
at di а/[Eh di)'
э(нун) %уН) af атп
' dT~ail "IT
N
1=1
St
N
=1.
i=l
7’
)+ф«.
х»
(1.1.8)
Система (1.1.8) — квазилинейная незамкнутая система диффе-
ренциальных уравнений в частных производных.
Незамкнутость системы уравнений (1.1.8) объясняется тем, что не-
13
известными функциями являются*. х(1, О» у(1> О» ?(1> О» L(l, О» VV, М»
гп(/, О. ТМ, Hx(l,1), Hy(l,t), EL(l, О, Ev(l, i), ky(l, t), kT(l, t), E„(l,i), EH(l, f).
Для ее замыкания можно использовать термодинамические зави-
симости I
Р = Р(Ь,У,Тж,Тп,х,у), Н = Н(Р,Тп,у), h = h(P,Tx,x), j
Hz = Hz(P,V,L,Tx,Tn), Hy = Hy(P,V,L,ln,Tx),
EL = EL(P,L,V,Tx,Ta), Ev=Ev(P,L,V,Tx,T„), (1’1.9)
ky = ky(P,L,V,Tx,T„), Ч(ЛТОЛ).
ЕА = ЕА(£,У,ТЖ,ТП), EH={L,V,TX.T„).
Отсутствие достаточно точных аналитических зависимостей для
расчета коэффициентов системы (например, ELy EVl куу Eh, Ен, кт)
ограничивает область применения модели (1.1.8), поскольку задача
идентификации в этом случае весьма сложна и для ее решения тре-
буется такое количество информации о процессе, которого доста-
точно для непосредственного решения задач управления.
Явление обратного перемешивания, обусловленное, например,
уносом жидкости паром, снижает градиент концентрации в фазах по
высоте аппарата, уменьшает движущую силу массопередачи и тем са-
мым снижает эффективность массообмена. Поэтому при проектирова-
нии массообменных аппаратов их конструктивные параметры выби-
раются таким образом, чтобы отрицательный эффект обратного пе-
ремешивания сводился к минимуму.
Математическая модель процесса ректификации, предназначенная
для решения задач управления, может быть упрощена без сущест-
венной потери точности за счет следующих допущений:
обратное перемешивание в жидкой и паровой фазах отсутствует;
теплота смешения потоков пара и жидкости равна нулю;
сырье поступает в колонну с температурой, равной температуре
сред в элементе dl.
При этих допущениях система (1.1.8) может быть записана в виде
Э(Нхх) Э(Ьх) /
-------—— = к (у-у +Ф
dr dl 3(Vy) , , . к а, + й <W) э(ьл) ( } э(»,и), Э(ТО) , } dt dl *т(ж ф"’ N N /=1 *=1 (1.1.10)
14
^Анализ системы уравнений (1.1.10) и (1.1.9) (из (1.1.9) при этом
исключаются соотношения для Eht EHt EL, Eyt показывает, что в общем
случае концентрации компонентов и давление в колонне не являются
однозначными функциями температуры пара и жидкости. Пар может
быть перегретым, а жидкость — находиться при температуре ниже
температуры кипения. Это прежде всего наблюдается в местах ввода
сырья и орошения. Возмущения по величине и температуре вводимых
потоков приводят к тому, что температура пара и жидкости в местах
ввода этих потоков в колонну будет отличаться от температуры
насыщения и кипения соответственно, в особенности на начальном
участке динамической характеристики. Температура парового пото-
ка, Поступающего в колонну, также может отличаться от темпера-
туры насыщения. Это следует учитывать при организации косвенного
измерения температуры управляемого процесса.
По уравнениям (1.1.9) можно рассчитывать распределения дав-
лений, потоков, температур и концентраций компонентов жидкой и
паровой фаз по длине колонны во времени, что позволяет исполь-
зовать данную модель для решения задач по распределенному изме-
рению и распределенному управлению.
1.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ
РЕКТИФИКАЦИИ С ПОСТОЯННЫМИ СКОРОСТЯМИ ДВИЖЕНИЯ
ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ СРЕД
При выводе уравнений нестационарных режимов процесса тепло-
массообмена сделаны следующие допущения [41:
1) движение потоков одномерное;
2) перемешивание в направлении движения отсутствует;
3) жидкость находится при температуре кипения, пар — при
температуре конденсации;
4) распределение давления по высоте колонны линейное.
Считая процесс массообмена непрерывным по длине колонны,
математическую модель можно представить в виде системы диффе-
ренциальных уравнений в частных производных. Запишем эти урав-
нения «для парового и жидкого потоков относительно единичной
площади поперечного сечения аппарата [48b
dt
(1.2.1)
^1^цУ--У^„
Первое слагаемое правых частей системы (1.2.1) характеризует
фазовый переход вещества, второе определяет ввод или вывод ве-
щества из колонны. Функции обычно считают заданными,
т.е. не учитываете^ переходный процесс по потокам. Такая модель
справедлива для переходных процессов при возмущении по кон-
центрации или при малых изменениях потоков во времени.
15
В математической модели необходимо учитывать динамику пото-
ков, так как входные и выходные потоки являются основными па-
раметрами. Считая функции L, V, Hxt Ну неизвестными, дополним
систему (1.2.1) еще четырьмя уравнениями: /
I
Е*. = i. Ел = i. (i Д.2)
i«=l i«l j
cx=LIH„ c2 = V///r (J.2.3)
Известно, что в ректификационной колонне с увеличением потоков!,
V увеличиваются удерживающие способности Нх, Ну и, наоборот.
Будем считать эту зависимость прямопропорциональной. Сделаем
преобразование системы уравнений (1.2. D—(1.2.3). В уравнениях (1.2.1)
произведем следующую замену:
#х*, = Рн. #уЛ=р2.. <L2-4)
Lx,. = PliL I Нх, Vyi = p2,V / Hr (1-2.5)
С учетом (1.2.3)—(1.2.5) уравнения (1.2.1) преобразуются к следующему
ВИДУ:
^г‘С1^-=М>’*"л)+фхг>
^ + С2^-=^()’.*-л)+ФЛ
Входящие в них значения функций х, и определяются из выражений
(1.2.2) и (1.2.4), т.е.
N N
Xi = Pl, I EPlr Л = P2i / ЕРг,. <l2-7)
/=1
Таким образом, систему уравнений (1.2.1)—(1.2.3) преобразовали в
систему (1.2.6)—(1.2.7), где
у* = к^, k^f^.a),
a = T = f4(P,Xi), Фх. = с4/5(1)Fxf. ,
®yi = 0 - с4)Л(0^ •
Модель (1.2.6) отличается от (1.2.1) в силу следующих обстоятельств.
Процесс многокомпонентной ректификации протекает при неэквимо-
лярном массообмене в отличие от бинарных смесей. Отсюда следует,
что потоки L, V есть функции I и а потому также функции
/, Л Однако, полагая L/Hx = const и V/Hv = const, имеем систему
16
уравнений (1.2.6) с постоянными коэффициентами, хотя потоки паро-
вой и жидкой фаз переменные.
\ Равновесная концентрация в паре определяется через кон-
центрацию компонентов144] эмпирической зависимостью
= ?U?k + ?и )xi / Ру (12 8)
гдеУ’ — давление в колонне; Тк — температура кипения жидкости; Р1Ь
«з* “ коэффициенты полинома второго порядка для зависимости
давления i-ro компонента как функции температуры.
Значения давлений чистых компонентов берутся в пределах ра-
бочего диапазона температуры ректификационной колонны.
Температура кипения определяется по формуле [1441
Тк = (-В + л1в2-4Ас} / 2А,
< J (1.2.9)
где
А = В = tP2jXj, С = - р.
м /=1
(1.2.10)
Давление в колонне изменяется линейно по высоте, и в точке с
координатой I оно равно
P = P„-(P„-Pt)l/L, (1.2.П)
где Рн, Рв — давление внизу и вверху колоны; L — длина колонны.
Функции Фх. и Фу. определяют количество вещества Z-го компонента,
вводимого (или выводимого) через боковую поверхность колонны, на
единицу длины в единицу времени, т.е. плотность ввода потока ком-
понента по высоте колонны.
Каждую из этих функций можно представить как произведение
двух функций: функция потока компонента F&f) и функция распре-
деления этого потока по длине
фж. (/,0=(ОШ Ф„. (/.о=fv. (ОШ
Ввод в ректификационную колонну осуществляется на некотором ее
участке. Функции J\(J) и/2(0 выберем такими, чтобы они имели один
ярко выраженный максимум в области ввода. В качестве таких функ-
ций взяты следующие:
/1 (/) = be-<l~h )2. /2(/) = Ье~а^2,
тогда
2. Зак. 3031
2.13 3 66
( 21 a v v И С К Ж 1
(1.2.12)
(1.2.13)
17
где xF. и yF. — концентрации компонентов в жидкости и паре потоков
сырья. /
Будем считать, что функции f^I) и f2(l) удовлетворяют условию I
dl = \. dl = \, (1.2Л4)
о о
тогда функции Fx(t) и Fy(t) равны потокам жидкости и пара, вводимым
через боковую поверхность:
= W = (1.2.15)
потому что
N L
J®Zi.(/,Od/ = Fz(O, (1.2.16)
i=l о
M0 = L ^U)dl = Fy(t\ (1.2.17)
1=1 о
Коэффициент массопередачи ку имеет сложную зависимость от тепло-
физических параметров процесса, конструктивных характеристик та-
релок, величины соотношения потоков, гидродинамических пара-
метров, составов разделяемой смеси и др. Влияние этого коэф-
фициента на разделительную способность ректификационной колон-
ны является определяющим. Наиболее простой зависимостью, как
показано в (481, дающей удовлетворительные результаты, является
следующая зависимость.
ку = kV, (1.2.18)
где V — величина парового потока. Коэффициент к определяется из
экспериментальных данных работы колонны.
Недостатком такой зависимости является то, что пользоваться ею
можно в ограниченной области изменения параметров, которую
можно определить из экспериментальных данных. К достоинствам
следует отнести ее простоту, что немаловажно при численном ре-
шении задачи, и то, что ее можно использовать для разных смесей и
для колонн с различным типом тарелок.
Для бинарных близкокипящих компонентов коэффициент к в ра-
венстве (1.2.18) считают одинаковым для обоих компонентов, т.е. по-
лагают, что массообмен эквимолярный потому, что удельная теплота
парообразования отличается у них незначительно [1361.
18
, 1.3. НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА
\ ТЕПЛОМАССОПЕРЕДАЧИ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СМЕСЕЙ
’ В данном параграфе строится нелинейная модель процесса рек-
тификации многокомпонентных смесей в многотарельчатых колон-
нах. в которых коэффициенты системы зависят от пространственной
и временной координат через гидродинамические параметры тарелки
[70, 72]. Проведен анализ гидродинамического режима тарелки с
переливными устройствами, особое внимание уделено межфазному
обмену. Установлена преемственная связь с более простыми ли-
нейными моделями, которые получаются из модели при специальных
предположениях.
Газодинамический расчет тарелки
Основной зависимостью, которую требуется определить при рас-
чете тарелки с переливными устройствами, является зависимость
расхода жидкости Q от уровня жидкости в переливном патрубке.
На рис. 1.3.1 дано схематическое изображение потоков на тарелке
колонны: Н — уровень жидкости в переливном патрубке, 5 — зазор,
а — высота гидрозатвора. ft(z) — уровень жидкости на тарелке. Рас-
смотрим одномерную модель при следующих предположениях:
1) влияние вязкости не учитывается;
2) течение вдоль тарелки считается квазистационарным;
3) горизонтальная составляющая скорости и зависит только от г-,
4) нормальная компонента скорости и давление линейно изме-
няются с глубиной.
Такой метод в гидродинамике называется методом поперечной
аппроксимации. Уравнения на искомые функции получаются из ин-
тегральных уравнений сохранения массы и импульса.
Для того чтобы вычислить расход жидкости, выделим в движу-
щейся среде элементарный участок А и запишем для него уравнения
сохранения импульса.
Уравнение сохранения импульса в горизонтальном направлении:
-у-(р«2й + Рй) - Ро = 0, (1.3.1)
dz v 1 dz
в вертикальном направлении:
-у-(рмг)й) - Ра + Ро + pgh = 0,
dz
где и — горизонтальная; г) — нормальная составляющие скорости; р —
массовая плотность жидкости; Рд — давление на дне тарелки; Р$ —
давление над тарелкой; g — ускорение свободного падения; Р = (Рд +
+Р0)/2 — среднее давление жидкости в вертикальном сечении. Кроме
того, примем, что течение жидкости вдоль тарелки квазиста-
ционарно, т.е.
рмй=е,
19
и добавим также уравнение, связывающее скорости:
Теперь система замкнута. Интегрируя первое уравнение и преобразуя
полученную систему, выведем основное уравнение для уровня жид-
кости на тарелке:
= -2^Р7с2Л2 - «А3 - 2с1А + G2 / Р / G- U-3-2)
где cltc2 — константы интегрирования; знак минус взят потому, что
по смыслу h(z) должна быть убывающей.
Граничные условия
Граничные условия записываются для заштрихованных областей
(см. рис. 1.3.1). На левой границе, записывая уравнение баланса по-
токов импульса, имеем
pu2ho-Pho+Ph2-Phl+PiH = 0,
где Рг — среднее давление в сливном патрубке. Преобразуя, получим
-Q/pho+pg(H-h0)s = 0. (1.3.3)
На правой границе считаем, что возмущение, вносимое сливным
порогом, заметно примерно на расстоянии а от него, а давление на
левой границе заштрихованной области меняется линейно от Рд на
дне тарелки до Pq на верхней границе жидкости. Тогда среднее дав-
ление на левой границе области В равно
Рср = Ро+П(Л-д)/Л,
20
гд£ П = (Рд — Ро)/2. Предположим также, что горизонтальная
составляющая скорости в области изменяется от и до 0 и ее
среднее значение равно и/2. Тогда, суммируя потоки импульса,
проходящего через границу области В, имеем
(Ро + П(Л- а) / Л)(Л- а) + ри2(Л- а) + ри2д /2 =
= (po + put)(hN-a)-Pobh,
где hN — уровень жидкости перед сливным порогом; «1 —
горизонтальная составляющая скорости перед ним; ДЛ — понижение
Рис. 1.3.2. Зависимость уровня жидко-
сти на тарелке А (кривая 1) и ее расхода Q
(кривая 2) от уровня жидкости а перелив-
ном патрубке Я
Высота сливного порога а = 0,1 м
уровня жидкости на граничном участке. Преобразуя и используя
равенство и = QJph, получим
П(Л - a)2h + Q(h - а) / р + Q2a / 2р = Q2h2 / p(hN - а). (1 3 4)
Найдем П, рассматривая потоки импульса, проходящие через гра-
ницы области, заключенной между левой и правой заштрихованными
граничными областями:
П = £о/Л-е2/рЛ2,
где Lq = L — L — поток импульса, поступающего от левой
границы. Кроме того, Lo можно найти, рассматривая потоки в левой
граничной области:
L0 = pgHs + pg(h0- s)2/2.
Подставляя полученные значения ПиА0 в (1.3.4), получим правое
граничное условие:
h(Hs + (Ло - s)2 / 2)(Л - a)2(hN - а) =
= hs(H - Ло)(л3 - (ЗаЛ / 2 - a2)(hN - а)).
Полученная краевая задача (1.3.2), (1.3.3), (1.3.5) называется двух-
точечной. В данном случае наличие у многочлена, стоящего под кор-
нем в правой части уравнения (1.3.2) двукратного корня Ло, позволяет
21
• решить задачу аналитически:
Л = с2р / g - 2Ло - (с2р / g - ЗЛо)[(1 + exp(2(z - с) / Q х
x^c2p-3g/to)) / (1 - exp(2(z - с) / Q^c2p - 3ghc))] .
Поскольку при z = 0 должно быть h = Ло, то существует единственное
решение h = Ло - const. Константа й0 определяется из условия на
правой границе:
Ло(//5 + (йо - s')}2 / 2(Ло - а)3 = h^H - h^- [ЗаИ^ 12-а2}^- а)}.
Решая это уравнение методом Ньютона при различных Я, получим
зависимость Л(Я). Расход 2(Я) определяется из левого граничного
условия. Графики зависимостей h(H) и Q(H) представлены на рис.
1.3.2. Силы трения, а также неодномерности потока приводят к
появлению перепада уровня h(z) на тарелке.
Уравнение для жидкой фазы
Условимся в дальнейшем нижним индексом обозначать номер
тарелки, а верхним — номер компонента. Пусть на z-ю тарелку
поступает количество жидкости 2+ = 22Л +1). а стекает с нее 2— =
Тогда изменение количества молей Л-го компонента равно
--------= Q(Hi+l)nMxM -Q(Hi}niXi ,
где Гц — число молей вещества в единице объема жидкости. С другой
стороны, количество жидкости можно вычислить, пользуясь геомет-
рическими размерами тарелки. Пусть площадь сечения патрубка
будет активная площадь тарелки — s2. Тогда количество Л-го ком-
понента жидкости на z-й тарелке равно
ЧЛЛ* = (НЛ + s2h(Hi)}xf.
Следовательно, имеем соотношение
+ 52Л(Я,))л,х^] = Q(Hi+1 )пмх?+1 -
От полной производной перейдем к частной, взятой в точке i, рас-
сматривая Н как непрерывную функцию дискретного аргумента:
Я, = Я(/Д/,г).
Кроме того, разность в правой части разложим по формуле Тейлора и
22
окончательно получим
Э Г/ ч >1 dffinx*)
—[(//^ + s2h(H))nxk] = А/ —-—
otu J di
(1.3.6)
где AZ — расстояние между тарелками.
Уравнение для газообразной фазы
Получим зависимость расхода пара от его мольной плотности. В
дальнейшем нам понадобятся следующие параметры: %i — время
образования одного пузырька пара в жидкости на z-й тарелке, кт —
число отверстий в тарелке, D — диаметр одного отверстия.
Зная эти величины, можно вычислить объем пара V(-, поступающего
на t-ю тарелку в единицу времени. Будем считать, что диаметр пу-
зырька совпадает с диаметром отверстия, тогда
= kritD3 / 6тР
Пусть mi — количество пара, находящегося между z-й и (z + 1)-й
тарелками, причем считаем, что количество пара, находящегося в
виде пузырьков в жидкости, незначительно и им можно пренебречь.
Тогда
m, = s2(A/ - ЛоХ-
Уравнение баланса для к-го компонента, следовательно, таково:
^-(j2(AZ- й0)л/^) = ЛтлО3 /б(л,_!^_1 /т,_! - л,/ /т,),
где nt — число молей в единице объема пара.
Как и выше, от полной производной dififyldt перейдем к частной,
взятой в точке i, а в правой части воспользуемся формулой Тейлора:
^•(52(Д/-Ло)л/)=-^-(1:тл03л//6т). (1.3.7)
Параметр 1/т есть нелинейная функция разности давлений —
Л+1— pgh- Выяснение конкретного вида зависимости требует от-
дельного рассмотрения.
Обмен между фазами
Рассмотрим межфазовый обмен, считая, что жидкость на тарелке
все время находится при температуре кипения, а поступающий пар
имеет такую же температуру. Тогда полное количество тепла, от-
данное жидкости проходящим через нее паром, равно нулю. Обозна-
чим, как и выше, через m число молей пара.
23
N
Пусть на i-ю тарелку в единицу времени поступает = S w/ молей
л 7-1
пара, а уходит с нее тм = £т/+1 молей. Тогда количество тепла,
/=1
сообщенное жидкости проходящим паром, равно
АГ ./ . . ч
7=1
где А/ — удельная теплота парообразования для j-го компонента.
Согласно сказанному выше, имеем
/=1 /-1
Левую часть равенства умножим и разделим на m/+b а правую — на т?
mi+i / mi+l = т( / m,, (1.3.8)
;=i ;=i
и найдем соотношение для равновесной концентрации:
у
Ум = ^.41 / ™м = Vm*+1 / Vmi+1 = / ^Sm-
>=1
Последнее равенство получено с помощью уравнения Клапейрона:
Р*+ J — парциальное давление к-го компонента над z-й тарелкой.
Далее нам потребуется формула, устанавливающая зависимость
парциального давления от концентрации. Выведем ее на основе
законов физической кинетики.
Считая, что пар в пузырьках находится в термодинамическом рав-
новесии с жидкостью, рассмотрим участок их границы ds. Согласно
распределению Максвелла, число молекул dnt имеющих в единичном
объеме скорость в интервале г> + dv, равно:
dn = сп ехр(-яп)2 / 2кТ)Л>,
где п — число молекул в единице объема жидкости; с —
нормировочный множитель; к — постоянная Больцмана; Т —
температура. За единицу времени, следовательно, границу ds
пересечет dnx>nds молекул, имеющих скорость в интервале *0 + dx>.
Будем рассматривать лишь нормальную компоненту скорости 1)я,
потому что нас интересуют только те молекулы, которые покидают
жидкость. Интегрируя по скорости, получим общее число молекул,
пересекающих ds за единицу времени.
J = |ъя dndsd\)n - ends J 1)яехр(-?ии2 12кГ)л>я =
vmin vmin
24 = cndsKTexp(-t7 / кТ) / т,
где Цпш “ минимальная скорость, необходимая молекуле для того,
2
чтобы покинуть жидкость; U = ягот1П/2 — энергия выхода молекулы.
Проведя аналогичные выкладки для пара, получим, что эа единицу
времени возвращается в жидкость молекул пара:
Л - / dnvndsdx>n = cndsKT I т, (1.3.9)
о
где Я— число молекул в единице объема пара. Поскольку пар и
жидкость находятся в термодинамическом равновесии, то J = т.е.
кТпехр(-{7 / кТ) = кТп - Р.
Если в этих выкладках всюду иметь в виду к-й компонент, то к7л* -
=Р* — парциальное давление. Левую часть поделим и умножим на п,
тогда отношение пк/п = хл есть концентрация к-го компонента в
жидкости. В многокомпонентной смеси энергия выхода одной
молекулы к-го компонента будет зависеть от мольных плотностей
всех компонент смеси, т.е. U = nN). Таким образом, окон-
чательно получим требуемую формулу.
Рк = лг*ехр(-1/*(л1,...,лА') / кт)кГл.
В случае, когда п и Uk совпадают с их значениями для чистого к-го
компонента, последнее равенство есть закон Рауля. Иначе говоря,
закон Рауля справедлив для какого-либо компонента, если только
его концентрация близка к 1. Причем для всех остальных фракций
этот закон невыполним. Отметим, также, что Uk(n\...t nN)
пропорциональна удельной теплоте парообразования №
ик = /NK,
где — масса одного моля к-го компонента смеси; NA — число
Авогадро. Таким образом, требуемая зависимость имеет вид
Рк = хкФк, (1.3.10)
где Ф* = ехр(—Х*ц*/ЯГ)лкТ; Я — газовая постоянная. Введем
коэффициент активности 7*= Ф*/Р°* Тогда из (1.3.10)
у* = ехр(-(1* - / RT)n/ л0*,
где PQk — давление; пОк — плотность; Х°* — удельная теплота
парообразования для чистого к-го компонента. Тогда в уравнении
(1.3.10)
Ф * — укркt
Величину для бинарных и тройных смесей можно рассчитать по
эмпирическим формулам Маргулиса и Ван-Лаара, приведенным в
25
[1121. Подставим (1.3.10) в равенство (1.3.9), затем полученное
* выражение подставим в (1.3.8):
дг . . . аг . . N . .
/тп;.
;=1 ;=1 7=1
.. „ к к
Используя последнее равенство, найдем разность тх — ml+l,
выражающую интенсивность обмена между фазами:
Mi - = т/(т^ / nti - (m*+1 / m, )(mi+1 / m, )) = - (m,+1 / m.) x
Выше был вычислен объем пара Vit поступающего на z-ю тарелку. Зная
его, можем найти массу пара mit поступающего на z-ю тарелку в
единицу времени:
mt = nkTD3ni 16т(.
Полученную величину принято называть коэффициентом массо-
передачи.
Полная система уравнений
Если концентрации и потоки пара и жидкости от тарелки к тарелке
меняются слабо, то, переходя к непрерывным функциям дискретного
аргумента (/Д/, окончательно получим систему
г) г .л п .
—[(#$! + 52Л(Я))лл*1—Ц-—-А/ = Ttk^nly* -
.
-Фкхк ! £а/Ф'х')/6т, (1.3.1b
;=1 /=1
^-[52(Д/-Л0)лу*] + -^-(тс/:т/)3луД: / 6т^ = пкТЬ3п{фк xk x
x£X/yy I ~yk)/6т,
/=i /=i
л
= х у = i
7=1 ?=1
Зависимость п от хк может быть определена по эмпирическим
формулам [112]. Таким образом, в этой системе 2#+ 2 уравнений и
столько же неизвестных: Н, nt 1,..., N, т.е. система замкнута.
Для ее решения нужно задать начальные и граничные условия.
Переход к системе уравнений в частных производных полезен
ввиду того, что для этих систем имеется обширная качественная
26
теория, позволяющая предсказать некоторые свойства решения еще
до численных результатов. Существует также большое число раз-
ностных схем, исследованных на предмет устойчивости и удобных в
использовании. Для большинства промышленных режимов переход к
системе в частных производных выполнить возможно. В точках ввода
сырья в колонну, где потоки и концентрации изменяются скачком,
следует записывать уравнения материального баланса и поль-
зоваться ими как граничными условиями. Однако, с физической точки
зрения, целесообразнее записывать разностные уравнения сразу для
обыкновенных дифференциальных уравнений. В этом случае мы не
связаны требованием плавности функций, которое в некоторых
ситуациях может оказаться слишком жестким.
В заключение сделаем сравнительный анализ моделей (1.2.1) и
(1.3.11). Выше было отмечено, что величина nk-rD3n/6т есть
коэффициент массопередачи. который в (4.1) обозначен ку. Кроме
того, следует положить: + s2h0(H))n = НХ1 n&lQ = L, s2(&l — h$n =
=Hyi TikjhD^/eT = V. Правые части сравним в случае бинарных смесей
Как известно, в модели (1.2.1)
у*1 = ох1 / (1 - (1 - а)*1),
где относительная летучесть а=Р1/Р2. В модели (1.3.11), если
предположить, что X1 = X2 == А, и коэффициенты активности у1 = у* = 1,
т.е. ф* = Р*. то
у*1 = PVX/ Х^х1 + Р2х2) = ах1^ - (1 - (х)х1).
В этом случае два уравнения на потоки от общей системы
отщепляются: суммируя каждую группу уравнений на концентрации
и имея в виду, что X1 = X2 = X. у1 = у2 = 1, получим
+ ^2*(W))«] - Д/ = О,
^[^(Д/ - йо)л ] + |у[яМ>3л / 6т] = 0.
Таким образом, неизвестные Нпп находятся отдельно, поэтому для
определения концентраций компонентов приходится решать уже
линейную систему. Следовательно, в случае бинарных смесей сис-
тема (1.2.1) оказывается частным случаем системы (1.3.11) при до-
вольно жестких ограничениях на коэффициенты активности и
удельные теплоты парообразования.
Аналогично в случае многокомпонентных смесей можно показать,
что модель (1.2.1) является частным случаем модели (1.3.11) при
условии
х1 =X2=...= XJV = X, y1=y2=...= yjv = 1.
Предложенная модель ректификации многокомпонентных смесей
является более общей и полнее учитывает особенности реального
27
процесса. При данной методике составления системы ее коэффи-
циенты вычисляются в процессе решения, а не относятся к числу
входных данных.
1.4. ОБОСНОВАНИЕ ПЕРЕХОДА
ОТ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ К НЕПРЕРЫВНОЙ
Математическая модель (1.2.1) применяется для описания процесса
ректификации как в насадочных колоннах, так и в тарельчатых 148]. В
последнем случае необходимо обоснование применимости такого
подхода, так как объект по своей природе дискретен. В данном
параграфе проводится анализ условий перехода от дискретной
модели к непрерывной [73].
Рассмотрим дискретную модель, полученную в работе [72] на
основе анализа процессов массообмена на каждой тарелке,
предполагая, что массообмен в колонне происходит на заданном
гидродинамическом фоне (т.е. L, (0, Vx (0, Нх. (0, Ну. (0 заданы). В этом
случае система уравнений для жидкой и газообразной фаз может
быть записана в виде [72]
~ (HXi (t)xk ) — LM (t)xk+1 + Lt:{t)xk = k.y..{yk — #(xk, J*)) + Fx. xkF,
~(Hy. (t)/) - K-!+ W)/ = kyi (к(хк,ук) - yk\ + Fy.ykP,
at' 1 ' v f (1.4.1)
—1, — V
к к
Здесь xi (z), (0— мольные концентрации it-ro компонента в
жидкости и паре; N — число тарелок в колонне; М — количество
компонентов. Для удобства потоки обозначены, как и в системе [48]:
Ях. (0 — количество жидкости на z-й тарелке, Ну. (0 — количество
пара над z-й тарелкой, L, (0t V, (0 — потоки жидкости и пара через
z-тарелку. Эти зависимости предполагаются известными. Суммируя
уравнения по it и учитывая, что
получаем связь между коэффициентами системы:
^.(0
at
= (0-ц(0 + ^,.
Эти соотношения представляют собой уравнения полного баланса
масс жидкости и пара для z-й тарелки. Правая часть системы
28
уравнений (1.4.1) по физическому смыслу представляет собой
скорость обмена между жидкой и паровой фазами, которая
к к к
пропорциональна разности yi — R (х-.уД Функция R задана
выражением [72]
. , м . .
>=1 =
/=1
где А/ — удельная теплота парообразования j-го компонента; Ф * —
некоторая функция температуры, являющаяся коэффициентом
пропорциональности между парциальным давлением к-го чистого
компонента в паре и его концентрацией в жидкой фазе; у/ —
равновесная концентрация к-го компонента над z-й тарелкой. В
случае близкокипящих смесей R совпадает су- .На одной или
- к
нескольких тарелках происходит подвод сырья с концентрацией xF>
если сырье в жидком виде, и у* — если в газообразном; Fx., Fy. —
потоки подводимого сырья. Коэффициент пропорциональности
между скоростью обмена и разностью у- — R (xi 9у^ принято называть
коэффициентом массообмена. В этой модели он оказался
совпадающим с полным потоком пара через тарелку. На практике
коэффициенты kyi и VL также пропорциональны, однако их отношение
несколько меньше единицы. Причиной этому может быть унос части
пара в обход клапанов (отверстий) в тарелке, что в данной модели не
учитывается. Тем самым мы ограничиваемся рассмотрением
процессов, в которых скорость жидкости находится в интервале
0,1—0,4 м/с [84].
Физический вывод уравнений массобмена позволяет установить,
по крайней мере качественно, основной характер зависимости
коэффициентов системы от параметров потоков. Однако для
количественного описания необходимо уточнение коэффициентов на
основе эмпирических данных. В частности, представляет большие
трудности теоретическое определение зависимости расхода
жидкости от уровня в переливном патрубке и потока пара от
перепада давления; качественно эти зависимости получены в работах
[72] и [190] соответственно.
Систему (1.4.1) необходимо дополнить уравнениями баланса массы
на первой и последней тарелках, которые конструктивно связаны с
испарителем (кубом) и холодильником (дефлегматором). Жидкость,
стекающая с нижней (первой) тарелки в испаритель, нагревается, и
образующийся пар поступает в нижнюю часть колонны. Кроме того,
часть жидкости из куба отбирается.в качестве готового продукта.
29
Уравнения баланса потоков пара внизу колонны:
4(ял Ш*) = v0M - + кп (я(х*,Л*) - Л
Л' ' V V 1 1 (1.4.2)
где индекс "О" относится к параметрам в испарителе. Для
определенности будем рассматривать технологический режим, при
котором уровень жидкости в испарителе поддерживается
постоянным. Тогда между потоками (0 и Vo (г) должно быть
выполнено соотношение
L1(t)-vo(o=m
где W (t) — количество продукта, отбираемого в единицу времени из
испарителя. С помощью этого соотношения можно исключить Vo (О из
равенства (1.4.2). Предполагая, что в кубе происходит испарение всей
к к
поступающей жидкости, имеем равенство = хР
Рассмотрим тарелку с номером N. Для нее также запишем
уравнение сохранения массы:
= LN(t)xkN + kyN(ykN — R(xkN,ykN)), (1.4.3)
где индекс "d" относится к дефлегматору. В дефлегматоре
производится сжижение (конденсация) поступившего из колонны
пара. Часть сконденсированной жидкости возвращается в колонну
(орошение), часть отбирается в качестве готового продукта Р(г).
Поэтому между потоками жидкости Ld (t) и пара VN (0 должно быть
выполнено соотношение
VN(t)~ Ld(t) = D(t),
которое позволяет исключить из уравнения (1.4.3) коэффициент Ld (0,
причем xd следует положить равным yNi так как в дефлегматоре не
происходит изменения массового состава.
Таким образом, получена полная система (1.4.1) — (1.4.3), состоящая
из 2Nx(M — 1) уравнений относительно 2Nx(M — 1) неизвестных х*,
у., 1 « i N, 1 « к « М — 1.
м м
Концентрации х- , уi могут быть найдены из соотношения
м м
= =i-
*=! к=\
30
Линеаризованная система
Установившемуся процессу массообмена отвечает не зависящее от
времени решение системы (1.4.1) — (1.4.3). При малых отклонениях от
статического режима можно перейти к линеаризованной системе
относительно возмущений концентраций:
X- ) — L/+lxf+1 + L.x* — ку. (yf —g(xf,у?)) = Fx.xkF,
^yiyi)-Vi-iyLi+Viy!:-ky.(g(xk,yk)-yk) = Fy.yk,
y*)~ v°y° + “** — y') = °’
~(HxNxn]— ^dxd +LnXn —ку1Аун —g(x^ ,ykN)) = 0,
dtx N ' ' v (1.4.4)
/ = 2,3.N — l, k = l,2,...,M — 1
M
где >yf) = X(avx; + Py7; )> ay»Ру — производные функции R.
;=i
Известно, что решение линейной системы существует и единственно
на всем интервале, на котором коэффициенты системы являются
непрерывными функциями t при любых начальных услвиях [114].
Одним из важных вопросов качественного исследования системы
является оценка возмущения решения системы, связанного с
вариацией правых частей и начальных данных. По физическому
смыслу изменение правых частей соответствует изменению
концентрации подводимого сырья. Умножая уравнения для жидкой
фазы на Li xk\ для паровой фазы — на и выполняя в правой
части оценки, основанные на известных неравенствах, получим
““--------------------------------/У -------- --------- у. — -f- 1 ----
dt 2 dt y‘ di ) 2 2
31
d Wyi (rf )2 <щ dHyi A (yf)2 (Voyo*)2 - M )2
------------------------ H-------------V ----------1---------------------
dt 2 V dt n dl J 2 2
Суммируя эти неравенства по I от 1 до N и по к от 1 до М — 1 и вводя
нормы
получим
((£, - ^)х*)2-(^у* )2] +
max (fcv.L,)M2 + max {ky.L^ky.vAx
x [la4IMA/B"i2+iX {A’X}m2 -и2-
Обозначая 0 максимальный среди всех коэффициент при I |u 112 в пра-
вой части*.
01=0 min
1 l^i^N I 1 1 ** J’
имеем
32
Умножая обе части неравенства на ехр (—0^/2), интегрируя от 0 до t,
имеем окончательную оценку:
|«(/)H»(0F"2 4 {4.Г,)И2(«’1"2 -1)- (1.4.5)
Неравенство позволяет оценить возмущение решения при заданных
возмущениях начальных условий и правых частей.
Для близкокипящих смесей (Я (х*, у*) = Jtx*) оценку можно
уточнить, предполагая коэффициенты Lit Vit Нх., Ну., ку. постоянными.
Умножая уравнения для жидкой фазы на к х*9 для паровой фазы на у*,
получим
...-Х‘ ' + ку. (kx^i-^kx^ + kx-F^,
CU £...............£.'
Суммируя по i = 1.....N, к = 1,..., М — 1, получим, используя для
последнего члена неравенство Коши—Буняковского:
min
К«f((V-О)й-(Vy*)2}+
Cll i \ Z
+|((Ь — W)xi*)2 — k(Lxf)2 — Х(кх- — у-)2 +
i,k
Имея в виду, что к 1, отбросим первые три слагаемых в правой части,
усилив тем самым неравенство. Вводя нормы, как и выше, получим
£ «I mm J ьи и I
3. Зак. 3031
33
Интегрируя, получим окончательно
КФ——г.
min 1кНх.Н„.}
l^N I x‘ >lJ
т.е. возмущение решения зависит от возмущения правых частей
линейно, а не экспоненциально, как в общем случае.
Оценка невязки между решениями
непрерывной и дискретной систем
Система уравнений (1.2.1) описывает массообмен в колонне
насадочного типа. Однако ею часто пользуются и для расчетов
процессов в тарельчатой колонне. При этом, очевидно, возникает
погрешность, связанная с тем, что значения коэффициентов Нх^НУе
Lh Vb kyi и переменных у4- рассматриваются как значения
непрерывно дифференцируемых функций Hx(l, t), Hy(l, t),L (I, t),V(l,
t), ку (l> 0» х (/, t), у (I, t) в точках Ц = i Д/, соответствующих положению
тарелок; Д/ — расстояние между тарелками. Полученным выше нера-
о к „к к
венством можно воспользоваться для оценки разности о л- = л- — х-,
8 у* = У* —у* гдеХ*, У* —решение системы (1.4.1) — (1.4.3), \ , у* —
решение системы (1.2.1), (1.4.2), (1,4.3), взятое в точках =
к к
Подставляя решение Х( , У • в систему уравнений (1.4.1) — (1.4.3),
получим
~(Нх;х?) + ^(н ) — LMxk+l + LiXi — L,+18xi+1 + L,8x, =
at' ' al' '
= ky.(Yk - R(xkYk)),
+ — Vi_l&yk_i+Vfiyk =
at' ' at' '
= kyjR(Xk,Yk)-Yk),
~(Hy.y^) + j((Hy.5yk) - Voyk + Viyk - V06yk0 + W =
XN ) + ) ^dxd + Lnxn — Ldbxd + Ln5x^/ =
^kyN(Yk-R(xkN,Yk)).
34
Линеаризуем функциюЛ(х*,У/) в окрестности(х* у*):
/=1 Mi У = 1 01:
где производные ЭЯ/ЭХ^, dR/dY] берутся в некоторых промежуточных
точках интервалов (х*9 X*), (у*, У*) соответственно.
Используя разложение Тейлора для разностей £,+1 х*,
-- к к к к
Vi _ 1 у£ _ v — Vi у; и учитывая, что хх > у i — решение системы (1.2.1) с
граничными условиями (1.4.2), (1.4.3), преобразуем систему (1.4.6) к
виду, аналогичному (1.4.1) — (1.4.3):
— LMbx^ + Lfix* = к (б/ — g(8x*,8/)) -
д/2 а2 (,(- > (-
Н'3М'3
2 dl2
+ Vfiyf = kyi (g(5x,\5/) - 5/)
и2 a2 a (- Yi
V ltt у l9t ,
2 а/2
+ Ln&Cn - kyN
‘*-1
Поэтому, согласно неравенству (1.4.5), для невязки (5х*» 8у*) имеем
оценку
|2
min
и
Здесь ||8м(0)| = 0, так как начальные условия для этой системы
нулевые;
X
2
12
[д2
Неравенство показывает, что близость решений дискретной и
непрерывной систем зависит от гладкости функций L (l,t),V
расстояния между тарелками, а также от промежутка времени. С
ростом t оценка ухудшается.
35
'ГЛАВА 2
ПОСТАНОВКА И ИССЛЕДОВАНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
ДЛЯ ОБЪЕКТОВ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Химико-технологические процессы характеризуются входными,
выходными величинами и величинами, определяющими условия про-
текания технологических процессов. Специфика объектов с рас-
пределенными параметрами в этой схеме проявляется в том, что все
или некоторые из перечисленных величин могут иметь характер
пространственных полей. Связь во времени между указанными
группами величин (или полей) представляется динамическими
характеристиками объекта.
Динамическая характеристика может быть выражена диф-
ференциальными и интегральными уравнениями, передаточными
функциями, частотными или переходными характеристиками. Все
они связаны между собой и являются по существу различными
формами представления математических моделей объектов или
систем. При аналитическом методе составления математических
описаний исходная информация об объекте содержится в системах
дифференциальных уравнений и краевых условиях. Другие
динамические характеристики так или иначе связаны с этим способом
представления динамики.
Переходная характеристика представляет собой зависимость от
времени выходного сигнала, вызванного входным сигналом
ступенчатой формы единичной амплитуды, а с математической точки
зрения — решение систем уравнений, описывающих объект при
соответствующих начальных и граничных условиях. Этот вид
динамических характеристик играет важную роль при исследовании
нестационарных режимов работы отдельных технологических
объектов, а также систем, включающих объекты в качестве составных
звеньев. Для исследования систем линейных уравнений с
постоянными коэффициентами удобным аналитическим аппаратом
является преобразование Лапласа. Применение этого преобразования
к системам уравнений в частных производных и соответствующим
краевым условиям позволяет свести их к задачам для систем
обыкновенных дифференциальных уравнений, составленных уже
относительно не самих искомых функций (оригиналов), а их
изображений по Лапласу, чем достигается некоторое упрощение
исходной задачи. Преобразованная система во многих случаях
допускает аналитическое решение, которое позволяет записать в
явном виде зависимость изображений интересующих нас функций от
исходных параметров задачи.
Обратный переход от изображения к искомому решению во
временной области для рассматриваемых объектов редко удается
выполнить аналитически. Однако уже изображение решения дает
достаточную информацию для оценки динамических свойств объекта.
Применение преобразования Лапласа приводит к другому виду
36
динамических характеристик — передаточным функциям,
представляющим собой отношение изображения искомого решения к
изображению функции входного воздействия при нулевых начальных
условиях. Использование аппарата преобразования Лапласа
особенно удобно в том случае, когда изучаемый объект является
звеном более сложной динамической системы, например системы
регулирования, поскольку передаточные функции для таких систем
вычисляются достаточно просто по передаточным функциям
входящих в систему звеньев.
Кроме того, имея передаточные функции объекта или системы,
можно в случае необходимости приближенно восстанавливать
решения во временной области путем применения численных
методов, основанных на использовании теории моментов и
различных способов интерполяционных функции комплексной
переменной. Вопросы, связанные с этими методами, рассмотрены
нами в работах [48, 561.
Многообразие способов анализа динамических характеристик и
методов их получения дает возможность в каждом конкретном
случае в зависимости от целей исследований и имеющихся при этом
средств выбирать наиболее подходящую форму представления
динамики объекта.
2.1. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
В зависимости от цели, стоящей перед исследователем, выбирается
та или иная модель управляемого процесса и формулируется
соответствующая краевая задача. Построим математические модели
ОРП исходя из требований синтеза высокоэффективных систем
распределенного контроля и распределенного управления.
Принимая определенные допущения и ограничения и сохраняя
адекватность реальному процессу, сформулируем краевые задачи
для анализа тепломассообменных процессов, которые используются
в дальнейшем для получения статических и динамических
характеристик аппаратов и при синтезе систем управления.
Краевая задача для исследования
нестационарных режимов ректификационных колонн
В химической технологии широкое распространение получили
тепломассообменные аппараты с рециркуляцией продуктов
разделения. Рециркуляция верхнего продукта в колоннах приводит к
тому, что подводимые и поднимающиеся вверх легкие компоненты
концентрируются в верхней части аппарата и могут быть отведены с
требуемой степенью чистоты. Стекающие вниз в жидкой фазе тяжелые
компоненты концентрируются в нижней части колонны. Таким
образом, рециркуляция верхнего продукта ведет к увеличению
степени обогащения легкими компонентами, а нижнего — к
уменьшению. Для получения высокой степени разделения смесей
37
• аппараты работают с рециркуляцией как верхнего, так и нижнего
продукта разделения.
Граничные условия в этом случае задаются уравнениями,
описывающими тепломассообменный процесс в кубе и дефлегматоре.
Краевая задача при этом формулируется следующим образом.
Найти решение системы уравнений (1.1.10) с начальными условиями
х(/,0) = Ф1(/), Я/,0)=ф2(/), Л(/,0) = фз(/), я(/,0) = ф4(/) (21 Л)
где (рх (/) (z = 1, 2, 3,4) — заданные вектор-функции.
и с граничными условиями
d(Hxk(t)]
= L(0.z)x(0j) - - W(t)xk(t), xt(0) = pls
dl
d(Hhk(O,t)\
-i— --------= L(O,t)h(O,t) — V(Q,t)H(O,t) — W(t)h(O,t) + Qk,
dt (2.1.2)
y(O,t) = a[y* (xt)-xt] + xt,
где коэффициент а характеризует различные типы кипятильников:
а = 0 — полный испаритель (обычно это условие принимается для
наиболее распространенного выносного кипятильника); а = 1 —
парциальный испаритель.
d[Hx,xd(t)\
{ Z = УлО)- М) + D(l))xd(t), хДО) = а,
A-^—L = VdHd - (Ld(t) + D(t))hd - Qd, hd(P) = a2,
V(1,Z) y(l,t) = Ldxd(t)-L(l,t)x(l,t), (2.1.3)
yd№) = Ed(y * —y(i.O) + y(U).
VdHd — V(M) "O-O = Ldhd - U\,t)h(\,t),
где Ed — эффективность дефлегматора. Для полного конденсатора
Ed = 0, для парциального дефлегматора Ed = 1.
В последующих главах приводятся методы решения этой задачи. С
помощью разработанных алгоритмов исследуется ряд про-
мышленных колонн с целью построения АСУ ТП.
Из общей задачи (1.1.10). (2.1.1) — (2.1.3) как следствия могут быть
получены частные задачи. Рассмотрим две такие задачи для
исследования процесса массопередачи.
38
Задача исследования процесса массопередачи
в колоннах без рециркуляции целевых продуктов
Одна из частных задач, вытекающая из (1.1.10), (2.1.1) — (2.1.3),
позволяет при ее решении определять концентрации компонентов в
жидкой и паровой фазах по длине колонны в нестационарном
режиме. При упомянутых выше ограничениях и допущениях процесс
описывается следующей системой уравнений 1481:
д(Нхх) d(Lx) г , х . .
- ----= ку(у~ у*)+Ф1(/,г), (2.1.4)
Э(я,у) d(Ly) , ч , ч
с начальными и граничными условиями
х(/,0) = <?!(/), у(/,0) = ф2(/), (2.1.5)
х(М> V10), У(0-0 = ф20) (2.1.6)
и условиями сопряжения
<Pi(l) = Vi(O), ф2(0) = у2(0).
Условия (2.1.6) являются также частными случаями граничных
условий (2.1.2), (2.1.3). Достоинством задачи в такой постановке
является то, что она учитывает распределенный характер процесса
ректификации и внешнее воздействие, обусловленное подачей сырья
в средней части колонны.
Полагая у* = ах, получаем систему
Н х — Lx' = kу (у — ах),
У (2.1.7)
Нуу + Vy' = ку(ах — у).
Эта система может быть сведена к обыкновенному диф-
ференциальному уравнению. При этом решение определяется в виде
x = e' z(0 Тогда из первого уравнения системы (2.1.7) находим
/ Нх ."I L
у = е‘ az + —-z----z.
I кУ J ку
Подстановка у во второе уравнение дает
НхНуг + {куНх + акуНу — LHyVHx]z +
+{akyV — kyL — HyL — VL)z = 0.
Полагая z= e^‘\ получим уравнение Риккати:
HxHyi(f) + HxHyx\t) + (kyHx + akyHy - LHy + W,)X(0 +
+oj^V - kyL — Llly — VL = 0.
39
* Задача анализа процесса массопередачи
в колоннах с рециркуляцией продуктов разделения
В этой задаче уравнения процесса массопередачи остаются в
форме (2.1.4) с начальными условиями (2.1.5).
Граничные условия задаются в следующем виде:
V к /=L(O,Ox(O,/)-V(O,0j(O,O-ir(Oxt(O. xt(0) = P1 (2.1:8)
at
y(0,t) = a(y*—xk)+xk, 1 = 0, O^t^r. (2.1.9)
d(Hx.xd(t)\
----L = Vdyd - (Д/ + D)x(lj), xd(0) = alt (2.1.10)
Vdyd - V(l,t)y(l,t) = Ldxd — L(l,t)x(l,t). (2.1.11)
yd = Ed(y* -y(l,O) + j(l,t). (2.1.12)
Аналогично можно сформулировать краевые задачи для
исследования процесса теплопередачи с учетом рециркуляции
потоков вверху и внизу колонны.
2.2. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ
МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ РЕКТИФИКАЦИИ сложных колонн
Дополним систему (1.2.6) начальными и граничными условиями.
Начальные условия:
Р1,(/,0)=фи(1). Р2,(/.0) = ф2,(/). (2.2.1)
где фи (/) и ф2( (/) — заданные функции значений плотностей в
стати ческом; реж и ме.
В этом разделе рассмотрено несколько краевых задач, которые
соответствуют различным режимам процесса ректификации и
отличаются граничными условиями.
Вверху и внизу колонны имеются емкости, в которых на-
капливается некоторое количество полученного продукта
разделения (HXd в дефлегматоре вверху и НХк в кубе внизу колонны).
Потоки продуктов, поступающих из колонны в дефлегматор и в куб,
разделяются на две части. Часть продуктов отбирается: вверху
колонны D и внизу — W. Другая часть возвращается в колонну.
Вверху колонны (с координатой в точке I = L) вводится в колонну
поток орошения Ld, внизу колонны (в точке I = 0) вводится паровой
поток VQ.
Первые уравнения системы (1.2.6), записанные относительно ри,
имеют отрицательный наклон характеристик, поэтому граничные
условия для них задаются в точке I = L, а для уравнений с
положительным наклоном характеристик — в точке I = 0. Таким
образом, граничные условия для функций рь и рд можно выразить
через входные потоки Ldn Vo Связь между плотностями и потоками
40
выражается равенствами
l = L: Ld(t)xd.(t) = Cipu(L,t),
1 = 0: V0(t)xk.(t) = c2p2i(0,t),
или
/ = L: Pu(l,t) = Ld(t)xd.(t)/C1, (2.2.2)
/ = 0: p2i(O,t) = Vo(t)xk.(t)/c2, (2.2.3)
где x^. (0» xk. (t) — концентрации i-го компонента на входах в
колонну, определяемые из покомпонентных материальных балансов,
записываемых для дефлегматора и куба.
Рассмотрим уравнения для процесса ректификации в
дефлегматоре. Из технологических соображений следует, что
количество жидкости в дефлегматоре HXd(t) со временем меняется
или поддерживается постоянным. Постоянным HXd будет в ста-
тическом режиме работы колонны, переменным — в ди-
намическом. Количество жидкости в дефлегматоре является
резервным и служит для поддержания работы колонны в рабочем
режиме на случай нестабильного поступления сырья в колонну, т.е.
при отсутствии подачи сырья колонна некоторое время может
работать в нормальном режиме за счет жидкости в дефлегматоре.
Запишем уравнения покомпонентного материального баланса для
переменного :
----С2р2»(^»0 — Xdi (0[Д*(0 + ^(0]» (2.2.4)
где D (t) — величина потока готового продукта, отводимого из
колонны; С2Р2» (Ь, 0 — поток /-го компонента, входящего в
дефлегматор. Из этого уравнения находится х^ (0 и подставляется в
(2.2.2).
Начальные условия определяются из начальных условий для
основных уравнений
xd(.(0) = (p1,(L)/ £(pi/L).
/-1
Ях^ (0 определяется из уравнения общего материального баланса
потоков для верха колонн:
-^-2 = Ц,(1)(226)
где Vd(t) = с2 Zp2/(^’O — поток пара, входящего в дефлегматор;
41
, начальное условие для этого уравнения HXd (0) задано. В случае, если
HXd поддерживается постоянным, уравнение (2.2.6) принимает
следующий ВИД:
Vd-Ld-D^, (2.2.7)
т е. сколько вещества поступает в дефлегматор (КДОХ столько его и
выходит (Ld + D).
В первом случае с неизвестной функцией HXd в уравнении (2.2.6)
должны быть заданы две функции: Ld(i) и D (t), во втором случае при
известной HXd может быть задана одна из них (Ld (г) или D (/)), а вторая
определяется из уравнения (2.2.7). Аналогичные рассуждения можно
провести для удерживающей способности куба.
1. Пусть количество жидкости в кубе HXk величина неизвестная.
Уравнение покомпонентного материального баланса в кубе
d(Hxtxk(t)]
-^-4----->- = C1Pli(0,0 - хк. - V0(t)y,M,
at
N
где x^. (0 — концентрация /-го компонента в кубе.
Для случая полного испарителя
X(O,Z) = Xt.(z).
Если испаритель парциальный, то
л(о,О=у«(О«
т.е. концентрация компонентов в паровом потоке является
равновесной и определяется из уравнения (1.2.8).
Так как HXk (t) — неизвестная функция, то для ее определения
необходимо еще уравнение общего материального баланса потоков
ДЛЯ куба:
—^ = Lo(z)-Vo(z)-IV(z), Wxt(0) = c. (2 212)
где
Л)(0 = ^1 Xpi>(0,0
/==1
2. Пусть удерживающая способность в кубе //Xfc=const. В этом случае
уравнение (2.2.12) принимает вид
^o(0-Vo(z)-lV(z) = 0. (2.2.13)
(2.2.8)
(2.2.9)
(2.2.10)
(2.2.11)
42
Для разрешимости краевой задачи должны быть заданы две функции:
Vq(i) и W(/), а функция Л0(г) определяется из основных уравнений.
В зависимости от того, заданы или неизвестны функции HXk(t) и
(0. можно сформулировать четыре краевые задачи.
Задача 1. Найти решение системы уравнений
dt dl ' 1
в области Q = {(/,/)|0 < I < 1, 0</<Т}
с начальными условиями
Р1,(/.0)= Ф1,(/), p2i(/.0) = (p2,(/)
и граничными при I = 0:
р21(0д) = ^о(Охк(' (0 / с2 (полный испаритель)
или с учетом (2.2.12)
НХк —;— = С1р1/(O.r) - L0(t)xk. (t), хк. (0) = ф1((0) / Хф1/(0).
ш ;=1
♦ <ШХМ)
= Lo(t)- V0(c) - W(t), Н (0) = с;
dt К
при I = L:
Pii(Lj)= Ld(t)xd.(t) / q (полный конденсатор); уравнение (2.2.4) преоб-
разуется так же, как и (2.2. 8):
dXj. (t) N
HXd —г— = C2p2,(£,t) - xd. (t)Vd(t), Xd. (0) = <p21(L) / £ф2>(£),
«< j-\
—^ = Vd(t)-Ld(t)-D(t), Htd(0)=c.
Из технологических соображений на все неизвестные функции
должны быть наложены ограничения:
Pu(/j)>0, (2.2.14)
p2i(M)>0, (2.2.15)
^xdmin “#*d(f)“#xdmax ’ (2.2.16)
(2.2.17)
Если выполняются ограничения (2.2.14)—(2.2.17), то будут выпол-
43
мяться условия
xdi(t)>0,
(2.2.18)
(2.2.19)
Ясно, что нельзя из куба дефлегматора исчерпать полностью какой-
то один компонент, не исчерпав всю жидкость, а это условие
выражено неравенствами (2.2.16)—(2.2.17). Кроме того, в емкости
всегда поступают компоненты с ненулевой концентрацией (условия
(2.2.18)—(2.2.19)). Остальные функции и коэффициенты должны быть
заданы таким образом, чтобы выполнялись ограничения
(2.2.14)—(2.2.17).
В книге приводятся исследования нестационарных режимов ра-
боты ректификационной колонны при изменениях параметров FL, Fv,
D, Ldt WtVQ,xFityFi, 1Ъ12.
При решении краевой задачи для конкретных режимов огра-
ничения (2.2.16)—(2.2.17) на Нх. Нх, могут оказаться слишком
жесткими и не для всех значений параметров Ld, D, FL, Fv, Vo> W
задача имеет решение. Это обстоятельство накладывает требование на
параметры процесса, входящие в математическую модель неста-
ционарных режимов ректификационных колонн. На практике в
реальных колоннах такое явление также имеет место, и выходят из
этого затруднения либо при помощи систем регулирования, либо
подбирая параметры на стадии эксплуатации ректификационных
установок. С помощью математического моделирования этот факт
можно установить на стадии проектирования процесса или аппарата
и проектировать режимы удается с учетом такого явления. Сделать
это можно следующими способами.
1. Решать многократно краевую задачу, варьируя значениями вход-
ных параметров, и выбирая параметры, удовлетворяющие всем урав-
нениям и ограничениям в требуемой области изменения независимых
переменных I и
2. Решать задачу до того момента времени, пока HXd или НХк не
достигнет граничного значения, затем изменить значения
соответствующих входных параметров, чтобы значение функций
7/х^(г) или не выходили за пределы области определения или
оставались на границе. Таким образом, решение задачи может
состоять из нескольких частей, для каждой из которых заданные
функции меняют свое значение, что соответствует реальной работе
промышленной ректификационной колонны.
3. Связать определенной зависимостью входные параметры с Нх^ и
Нх таким образом, чтобы HXd и Нх* не выходили за пределы
ограничений (2.2.16). (2.2.17) на всем интервале времени [0,71. Часто
пр*ф4иной отсутствия решения у краевой задачи бывает несоблюдение
балансов потоков, и поэтому необходимо ввести, например.
44
следующую зависимость:
/*£ + Fy = D + УИ.
(2.2.20)
Аналогичные равенства можно записать для куба и дефлегматора:
Vd{t) = Ld(t) + D(t), (2.2.21)
£о(0 = Уо(0+т (2.2.22)
Задача 2. Функции HXd и Нх* постоянны во времени, т.е. выпол-
няются равенства (2.2.20), (2.2.21). Математически эта задача фор-
мулируется следующим образом-.
эГ+ Сг “&=ку^ ~ *)+ф* ’1 -' - Q = {(/,г)|0 < 1 < L, 0 < t < Т}; (2.2.23)
Рн(Л0) = Фи(/), p2i(/.0) = <p2i(/); р2;(0,0 = Ц)(Фч(0/ с2\ (2.2.24) (2.2.25)
dxk. (0 r н*к dt =C1P1'(0>0-^,(0[Vo(f) + ^(0]; (0) = (ph(0) / £фо(0), l = 0, 0 < t < т- м A>(O-Vo(r)-^(t) = O; Pii(bj) = ^(0^(0/ci; Hld~~d^= C2p2i{L’^ " ^(о) = фп(ь)/ ЕФ1Дь); Vd(t)-Ld(t)-D(t) = O,l = O,O<t<T (2.2.26) (2.2.27) (2.2.28) (2.2.29) (2.2.30) (2.2.31) (2.2.32)
В зависимости от цели исследования из двух функций Уо(0» ^(0
или на соответствующей границе может быть задана одна из
них. Например, на границе /=0 функция 1У(0 задана, тогда из (2.2.28)
следует
Ш = Л) (0-^(0
и система уравнений на этой границе преобразуется к виду
р2, (0,0 = [ Л) (0 - (0 / с2»
45
Л*. (t) N
' нХк——=c1p1,(o,O-x*.(OA)(O. x*,(O)=q>i,(o)/ £ф1/о).
«* /=1
Если задана функция V0(r). тогда
p2i(O,t)=Vo(t}xk.(t)l q,
N
ихк —T— = CiPii(O,t)-Lo(l)xt.(t), Х*ДО) = Ф1,(О)/ ХФ1Д0).
al >1
Если на границе I = L:
1) задана функция D(t), тогда
Р1.(ь.0=[К<(0-^(0Ь(0/с1.
dxd. (t) N
Hxd... = c2p2i(L>0 - xdi (t)vd(t), xd. (0) = ф1((£) / X Ф1/(^);
al /=1
2) задана функция Ld(l)t тогда
рп(£,0 = Ьа(Ох4О/С1,
<£Q. (0 N
Hxd—7— = C2p2i^)-yd^Xd.(t), Ха.(0) = ф11(Ь)/ £ф1 (L).
al j=l
Таким образом, два варианта задания граничных условий на каждой
границе дают четыре варианта краевой задачи 2.
С учетом равенства (2.2.20) можно сформулировать еще четыре
варианта краевой задачи 2.
В табл. 2.2.1 указаны функции, которые могут быть неизвестными
или заданными в зависимости от варианта краевой задачи. Точками
указаны неизвестные функции, например, в варианте 2 таковыми
являются Уо(0 и D(t). Если функции неизвестны, на них накла-
дываются ограничения следующего вида:
0<FL(t)<FLm, 0<Fv(/)<FVm„, (2.2.33)
Vomin * V0(r)< VOm„, И^п < Иф)< (2.2.34)
Ldmia <Ld(t)<Ldmtx, G < D(t) < Dmx. (2.2.35)
Задача 3. Функция HXj задана, функция Hx (t) неизвестна.
d k
Так как эти случаи рассматривались в предыдущих краевых
задачах, то можно сразу записать краевую задачу
Эрп _ с, Эрп = к (у._у‘)+ф
dt 1 Э/ у[У‘ у‘1+ф^'
+ с2= Мл - У.)+Ф>. l<i<N,
О( О1
46
начальные условия
Р1.(/.0) = Фь(/). Р2,(/,0) = <р2((/),
граничные условия
p2i(0j)= V0(t)xk.(t) / с2,
dxk.(t) м
НХк —;— = qpj,(0,t)- Lo(t)xk (t), xt (0) = фь(0)/ £ф (0),
к dt ‘ у=1 v
(t)
= ^(1)- v0 (0 - иф), Нх (0) = с,1 = 0,0 <t <Т\
at
Pu(L’6 = Ld(‘)xd.(j)/q,
dr,/, (f) N
HXd —r— = c2p2,(L,t) - Vd(t)xd (t), xd (0) = ф1((ь) / £Ф1/(b),
a dt y=i
Vd(t)-Ld(t)-D(t)^O.
В зависимости от того, какая из функций (£^или £>) неизвестна,
имеем два варианта краевой задачи. С учетом равенства (2.2.18) имеем
еще два варианта краевой задачи. Все варианты задач представлены в
табл. 2.2.2.
Задача 4. Функция Нх^ (г) задана, функция HXd (г) неизвестна. Так
же как и для задачи 3, граничные условия были рассмотрены в
предыдущих задачах:
at al '
^- + с2-^7- = ^(у‘-у,)+ф>;, Q = {(M)|0</<L, 0</<r},
at al
начальные условия
Pi«G>0) = ф1((/), р21(/.0) = ф2<(/),
граничные условия
p2iM = Vo(t)xk.(t)/C2,
dxk. (t) &
НХк ‘1Р1.(0.') - Lo(t)xk. (t), хк. (0) = фь(0) / XФ1>(0).
dt j=i
МО - Vo (Г) - Иф) = 0, I = 0, 0 < t < Т-,
Pi.(^0 = bd0)x<i.(/)/c1,
dxd. (t) n
HXd—r~!- = c2p2i(L,t)-Vd(t)xd (t), xd (0) = фь(Л)/ £<Pi;(M
dt >1
(0
—- Ld(t) - D(t), HXd (0) = c, I = Lt 0 < t < T.
47
Таблица 2.2.1
Варианты краевых условий в задаче 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
• • •
• • •
Vo • • •
W • • • • • •
Id • • • •
8 • • • • • •
Таблица 2.2.2
Варианты краевых условий
взадаче3
1 г 3 *
•
•
• •
•
W •
Таблица 2.2.3
Варианты краевых условий
в задаче 4
1 2 3 4
• •
W • • •
Vo •
Гу •
3 •
Как и в предыдущей задаче, имеется четыре варианта краевых задач
(табл. 2.2.3), Все сформулированные краевые задачи используются для
исследования статических и динамических характеристик, а также
для решения задач оптимального контроля и управления для про-
цессов ректификации. Решение задачи статического режима полу-
чается из решения задачи, соответствующего динамическому режиму
работы при t —> ©о. При это должны выполняться следующие условия:
1) все заданные функции должны быть постоянны;
48
2) должно выполняться равенство FL(t) + Fy(t) = W(t) + D(j)> иначе
количество вещества в колонне постоянно будет возрастать или
убывать при заданных входных параметрах. При выполнении этого
условия количество вещества в кубе может изменяться только за счет
изменения количества вещества в дефлегматоре или (и) в самой
колонне, так как они связаны между собой потоками по известной
Схеме [84]. Аналогичный вывод можно сделать об изменениях
количества вещества в дефлегматоре и колонне;
3) в стационарном режиме (при /—»<») количество вещества в кубе,
дефлегматоре и колонне должно быть постоянным.
Для краевой задачи 2 третье условие выполняется, так как HXjwHXd
заданы постоянными и изменения количества вещества в колонне за
Счет изменений количества вещества в кубе и дефлегматоре не
происходит. При t —> оо в ней стабилизируются общие потоки пара и
жидкости и потоки компонентов.
В краевых задачах 3 и 4 постоянной задана только одна из функций
Нх* или HXd. Возьмем для примера краевую задачу 4. Здесь во всех
вариантах задана функция Ld. Рассмотрим поток вещества в колонне с
заданными входом (Z^) и выходом (V^), который в кубе превращается в
пар, но не изменяется за счет вещества в кубе, так как HXk = const.
Следовательно, этот поток при t —> <» стабилизируется, а это
означает, что и удерживающая способность Нх^ становится
постоянной. Аналогично и для краевой задачи 3, где задана функция
Vo(O>а Hxd = const. В краевой задаче 1 заданы оба входных потока в
колонну V d и Уо и при t —> оо величины потоков в колонне
стабилизируются, однако их нужно задать такими, чтобы Нх нНх
стали постоянными, иначе исходя из условий 2) количество вещества
в кубе приведет к изменению его в дефлегматоре и наоборот. Узнать,
соответствуют ли эти функции нужному решению, можно путем
решения этой задачи. Статический режим можно получить путем
выбора LX0 и Vo(0> решая задачу несколько раз. Из этого следует, что
статические режимы лучше всего изучать с помощью решения
краевых задач 2, 3 и 4.
Каждая из перечисленных краевых задач является математической
моделью работы ректификационной колонны. Выбор краевой задачи
определяется режимом работы колонны. Математическая модель
может представлять собой несколько краевых задач, решаемых
последовательно. При этом начальными условиями каждой после-
дующей задачи являются решения предыдущей в конечный момент
времени. Эти моменты могут быть заданы или определяться в
процессе решения, что связано с ограничениями на неизвестные
функции. Количество решаемых задач и их порядок решения
определяются алгоритмом системы управления.
С целью сравнения результатов, полученных по математической
модели, с экспериментальными данными реального процесса в
колонне проведено два эксперимента на промышленной колонне К-
4. Зак. 3031
49
•/0 , кгюль/ч
Рнс. 2.2.2
Рис. 2.2.1. График изменения возмущения по паровому потоку
Рис. 2.2.2. График изменения отбора кубового продукта при возмущении по паровому
потоку
Рис. 2.2.3. Кривые переходного процесса по температуре при возмущении по паро-
вому потоку в кубе а, 1 на 32-й тарелке (2,2) и вверху колонны (3.2)
1—3 — эксперимент; Г — 3‘ — расчет
403 установки ЛК-6У по снятию динамических характеристик.
Длительность переходных процессов равна примерно 6 ч. При про-
ведении экспериментов заменялись следующие параметры техно-
логического процесса: температура в трех точках по длине колонны
(в кубе, на 32-й тарелке и вверху колонны); давление вверху и внизу
колонны; потоки орошения, кубового продукта и сырья, а также
состав сырья и верхнего продукта. Для проведения расчетов
использованы технические характеристики колонны: количество
тарелок ~ 60, тарелка питания — 37-я, к.п.д. тарелки — 0,4, удер-
живающая способность по жидкости — 2,47 кмоль, удерживающая
способность по пару — 0,2 кмоль, количество жидкости в кубе — 50
кмоль, количество жидкости в дефлегматоре — 200 кмоль.
Разделяемая смесь состоит из четырех компонентов — этана,
пропана, изобутана и бутана. Измерения параметров техно-
логического процесса проведены в 53 точках по времени и пред-
ставлены на рис. 2.2.1—2.2.6. Для этих же моментов времени получены
и расчетные параметры.
Первый эксперимент проведен при возмущении по паровому
потоку (рис. 2.2 1). При этом в соответствии с общим балансом
входных и выходных потоков в колонне величина потока кубового
50
L#, кмоль/ч
Рис. 2.2.6
Рис. 2.2.4. График изменения возмущения по потоку орошения
Рис. 2.2.5. График изменения отбора кубового продукта при возмущении по потоку
орошения
Рис. 2.2.6. Кривые переходного процесса по температуре при возмущении по потоку
орошения в кубе (1.1 '), на 32-й тарелке (2,2') и вверху колонны (3, 3)
1—3 — эксперимент; Г — 3’ — расчет
продукта изменялась в соответствии с графиком, приведенным на
рис. 2.2.2. Потоки сырья и орошения поддерживались постоянными:
F = 331,3 кмоль/ч, Ld = 665,9 кмоль/ч. Состав сырья: этан — 1,22%,
пропан — 29,34%, изобутан — 19,9%, бутан — 49,7%. Давление: Рн =
= 19,45 кг/см2, Ра = 17,8 кг/см2. За время эксперимента концентрации
этана и пропана в дефлегматоре измерялись в трех временных
точках, а изобутана и бутана — в двух. Результаты этих измерений
отмечены точками на рис. 2.2.7. На рис. 2.2.3 приведены экспе-
риментальные и расчетные кривые переходного процесса по
температуре в трех точках по длине колонны.
Второй эксперимент проведен при возмущении по потоку
орошения (рис. 2.2.4). На рис. 2.2.5 приведено соответствующее
изменение отбора кубового продукта. Поток сырья поддерживался
постоянным: F = 372,5 кмоль/ч. Давление: Рн = 19,4 кг/см2, Рв = 18,1
кг/см2. Состав сырья: этан — 3,32%, пропан — 39.34%, изобутан —
19,07%, бутан — 38,27%. Концентрация бутана в дефлегматоре изме-
рялась в трех временных точках, концентрации остальных компо-
нентов замерялись в четырех точках. Результаты этих измерений
отмечены точками на рис. 2.2.8. На рис. 2.2.6 приведены экспе-
51
Рис. 2,2.7. Расчетные кривые переходного процесса по концентрации компонентов в
дефлегматоре при возмущении по паровому потоку
а — этан; б — пропан; в — изобутаи; г — бутан. Точками отмечены экспери-
ментальные значения концентраций
Рис. 2.2.8. Расчетные кривые переходного процесса по концентрации компонентов в
дефлегматоре при возмущении по потоку орошения
а — этан; б — пропан; в — изобутаи; г — бутан. Точками отмечены экспери-
ментальные значения концентраций
риментальные и расчетные кривые переходных процессов по
температуре в трех точках по длине колонны.
Из рис. 2.2.3 и 2.2.6 следует, что характер изменения экспе-
риментальных и расчетных температур совпадает. Менее четко это
совпадение просматривается для концентраций компонентов в
дефлегматоре (рис. 2.2.7, 2.2.8) из-за недостаточного числа замеров
концентрации компонентов. Расхождение экспериментальных и
расчетных данных можно объяснить следующими факторами:
1) недостаточной точностью измерения параметров (в особенности
состава потоков);
2) погрешностью математической модели;
3) недостаточным количеством временных точек измерения
состава сырья (одна — в первом эксперименте и две — во втором).
Как видно из рис. 2.2.3 и 2.2.6, расчетные значения температуры
меньше экспериментальных во всех временных точках. Частично это
объясняется тем, что в сырье, кроме перечисленных выше четырех
компонентов, имеются еще три высококипящих, концентрация
которых в эксперименте не измерялась и в расчетах не учитывалась.
С учетом этих компонентов температура кипения будет выше и
расхождение расчетного и экспериментального значений темпе-
ратур, по-видимому, будет меньше.
52
Средние значения отклонений расчетной температуры от экспе-
риментальной в кубе; на 32-й тарелке и вверху колонны для первого
эксперимента составляют 3.1. 2,9 и 9 °C. Для второго эксперимента
эти отклонения соответственно равны 3,3, 2,7 и 6,4 °C. Средние
значения отклонений расчетных концентраций от эксперименталь-
ных для этана, пропана, изобутана и бутана в первом эксперименте
соответственно равны (вес,%): 0,53; 19,3; 8; 9, во втором эксперименте
— 1,5; 20,3; 15,5; 0,9.
Уравнения (1.2.6) записаны для случая противотока. Первые
слагаемые правых частей уравнений определяют фазовый переход
компонентов. Из парового потока, который поднимается в верх
колонны навстречу потоку жидкости, конденсируются компоненты с
низкой летучестью, а из жидкости в пар переходят компоненты с
большей летучестью. Поэтому на выходе из колонны в жидкости в
основном присутствуют компоненты с высокой температурой кипе-
ния, а в паре — с низкой. Граница разделения между компонентами
определяется тепловым режимом работы колонны. Как видно из
уравнений (1.2.6), суммарное изменение потоков за счет фазовых
переходов равно нулю.
Однако, как уже говорилось ранее, из пара в жидкость переходят
компоненты с меньшей летучестью и с большей удельной теплотой
парообразования. Предполагая, что жидкость находится при темпе-
ратуре кипения, а пар — при температуре конденсации, количество
тепла, поступающего в жидкость при конденсации компонентов,
способно испарить большее количество вещества, чем сконден-
сировалось, так как испаряются компоненты с меньшей удельной
теплотой парообразования. Поэтому количество тепла, выде-
лившегося при конденсации одних компонентов, равно количеству
тепла, затраченному на испарение других компонентов. При этом
будут изменяться потоки за счет фазового перехода. Паровой поток
по ходу движения будет возрастать, а поток жидкости — умень-
шаться. Этим изменением можно пренебречь для случая бинарных
смесей, компоненты которых имеют удельную теплоту паро-
образования, незначительно отличающуюся друг от друга. Для
случая многокомпонентных смесей изменение потоков может быть
существенным.
Если компоненты пронумеровать в порядке увеличения летучести,
то можно записать
Vt.EM*= (2.2.36)
где 1, — удельная теплота парообразования /-компонента; г — гра-
ница между легколетучими и остальными компонентами.
Коэффициент к определяется следующим образом*.
к = f*i. если у- - у; > 0.
[*2, если у* - х < 0.
53
Рис. 2.2.9. Графики распределения по-
токов по длине колонны
Ll.Vj — эквимолярный массообмен;
неэквимолярный массообмен
Из равенства (2.2.36) находим к^.
*2 Хк(У1~У*)
—Г-
-у.)
1=1
Значение коэффициента Л2 опре-
деляется по экспериментальным
данным.
На рис. 2.2.9 приведены графи-
ки потоков пара и жидкости при
разделении смеси из четырех
компонентов для промышлен-
ной колонны К-34 установки сернокислотного алкилирования изобу-
тана бутиленами. Расчеты проведены для эквимолярного и неэкви-
молярного массообмена и показывают, что отклонение потоков по
длине колонны значительное.
2.3. ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЖИМОВ УСТАНОВЛЕНИЯ
ПРОЦЕССОВ МАССООБМЕНА
Для системы (2.1.4) с начальными (см. уравнение (2.1.5)) и гра-
ничными (см. уравнения (2.1.8)—(2.1.12)) условиями большой интерес
представляет исследование нестационарных режимов, в частности
процессов установления. При малых отклонениях от стационарного
состояния возможно проведение линеаризации системы и исполь-
зование метода стоячих волн для исследования спектра собственных
частот. Несмотря на простоту, метод позволяет получить не только
качественное представление о характере процесса установления, но
и определить важные количественные характеристики времен
установления, резонансные свойства [73].
Вычисление времен установления необходимо по двум причинам:
во-первых, это важно непосредственно в прикладном аспекте для
прогнозирования времени перехода с одного стационарного режима
работы на другой при изменении скорости поступления сырья или
его состава и других возмущениях. Во-вторых, это нужно Для
оптимального проведения расчетов в более сложных программах
решения задачи (2.1.4), (2.1.8), (2.1.12) по конечно-разностной методике.
В этом случае программа вычисления собственных частот и времен
установления включается как блок в общую программу и позволяет
оптимально выбрать шаг интегрирования по времени, совместимый с
устойчивостью и удовлетворительной аппроксимацией. Для конт-
54
роля точности расчетов по конечно-разностной методике можно
также использовать в качестве тестовых аналитические решения,
представленные в виде суперпозиции стоячих волн Если известно N
собственных частот, то можно выписать соответствующее TV-па-
раметрическое семейство решений в виде
6Г) * (ип\ л .
= еХя‘.
VW Л=1 \^л J
Здесь ип, Ьп “ собственные функции частот Хл (кп — комплексное
число); ся — произвольныекоэффициенты.
Для применения этой методики к системе (2.1.4) обозначим и =
V -Нуу и, линеаризуя в окрестности некоторого стационарного ре-
жима, получим систему
(2.3.1)
£+Я£=О2(Ь-»).
dt dl
где А и В — величины, пропорциональные скоростям потоков.
Граничные условия для этой системы запишем для простоты в виде
а2 —+ Р2—= У2и + 52Ц / = £, 0<кТ,
где а(, Рр X, 5; — коэффициенты, зависящие от параметров в кубе (I = 0)
и дефлегматоре (/ = L) и геометрических размеров этих устройств.
Решение задачи (2.3.1), (2.3.2), (2.1.5) ищем в виде
u(/,r) = u(/)eXx,v(/,r) = i)(/>v.
Подставляя эти выражения в систему (2.3.1) и граничные условия
(2.3.2), получим
и(/)1 - Аи'(/) = (v(0 - НО)-
ъ(/)х+в x5(i)=d2(H0 - и(0);
оцМО + Р1М0 = Y1«(/) + 8р(/). I = 0. О < t < Т,
a2"ku(l) + Р2М0 = ?2и(0 + 5гщ(0>1 ~ °> 0 < г < L.
(2.3.3)
(2.3.4)
Подставляя в (2.3.3) решение вида
и = ае^, 1
получим систему уравнений на собственные значения %:
ак -Вщ1 ~Dx(b- ak), Ьк + ВЬц = D2(ak- b),
из которой найдем ц(Х):
ifX X D2 ДА А
,z 2<А В В A J
[Г7х X A A*f X2 хЫ Хка
±Л —--------- + —— + + - +---------S-.
У4<А В В А ) АВ АВ АВ
Записав общее решение системы (2.3.3) в векторном виде
+ а1
^(Х-АЦг + А^/А/ ’
воспользуемся для определения X (следовательно, и ц1>2)
граничными условиями (2.3.4). Подставляя в (2.3.4) вектор решения
при I = 0 и I = L, получим
^е^Хоц - Yj + (XPi -SjDf^X-APi + Dxk)} + a2e^2t(ka.i +
+(xpi - 5i)A’1 (x - Aii2 + A*))=o, i = о. о < t < t,
a^xL^Ka2 - у 2 + (Xp2 - 52 )A-1 (X - Ащ + A*)) + a2e,t2L(}ja2 -
-Y2-(^p2-82)A“1(x-AU2 + A^)) = 0. l = L,0<t<T.
Определитель полученной системы должен быть равен нулю:
Г(Х) = еИ2£(Ха1 -Yi ч- (Xpt -SjDf^X- Ащ + D^)) х
х(а2Х - у2 + (Хр2 - 32 )А-1 (X - Api + А*:)) +
+еИ1£(Ха2 - у2 + (Хр2 - 5i )А-1 (X - Ащ + А*))х
x(Xoi - Yi + (XPi - 5i)A-1(X - Ац2 + А*)) = 0-
Определив корни X этого уравнения» тем самым найдем спектр
исходной задачи, который, вообще говоря, содержит бесконечное
число значений X. Поэтому процесс решения уравнения разобьем на
два этапа: определим “младшие” X внутри достаточно большого
замкнутого контура с и исследуем асимптотику уравнения при
X —> Для этого в уравнении (2.3.5) вычеркнем младшие члены (не
содержащие X и первого порядка относительно X). Тогда для
достаточно больших X получим уравнение
Х(А+В)£/АВ = Г 82_V1+ A\j к j а 1+
2 аЛ вГ AV в)
56
Логарифмируя и имея в виду, что X — комплексное число, т.е. 1 =
= £ +rq, получим
£ + Л1 =
АВ
(A + B)L П
-1п(^ + й).
В случае если логарифмируемая величина отрицательна, то
АВ (a2-S2 / £>2)(1 + 4/ В)Р,*
(A + B)L а ₽Е(1 + д/в)
D}
inAB t lY .4 2тшъ4В
(А + Л)£ V U (А + Л)Л
При n -» oo мнимая часть также стремится к бесконечности, поэтому
о №
пл~2яп-------—,
(A + B)L
т.е. qn растет пропорционально л, а £ растет за счет того, что растет
q под логарифмом. Поэтому главный член асимптотики
С ростом мнимой части Хего действительная часть логарифмически
сдвигается в сторону отрицательных значений. В случае поло
жительной величины под логарифмом результат будет аналогичным
На основе приведенных выше рассуждений разработан численный
алгоритм исследования времен установления для анализа
тепломассообменных процессов в ректификационных колоннах. Этот
алгоритм реализован на ЭВМ и использован при исследованиях как
бинарных, так и многокомпонентных смесей. При этом получены
времена установления переходных процессов для всех компонентов
исходной смеси установки сернокислотного алкилирования
изобутана бутиленами. Полученные количественные характеристики
могут быть использованы при настройке резисторов в системах
автоматического регулирования.
Этот подход применен и для контроля точности расчета не-
стационарных режимов ректификационных колонн и позволяет вы-
брать оптимальный шаг интегрирования дифференциальных уравне-
ний, обеспечивающий устойчивость конечно-разностной схемы.
В качестве примера рассмотрим пусковой режим для изобутан-
бутановой ректификационной колонны, основные конструктивные и
режимные характеристики которой приведены в [48]. Найдем для нее
время установления к статическому режиму, решая уравнение (2.3.5),
57
Рис. 2.3.1. Графики отклонений концентраций от равновесной
на выходе из колонны
причем, учитывая асимптотику решения, можно найти его только
внутри некоторого (достаточно большого) контура с. Из теории
функций комплексного переменного известно, что число нулей
аналитической функции F(X), не имеющей полюсов, определяется
внутри замкнутого контура с формулой
2га J F(X)
Зная число корней, можно их найти по формуле
V 1 Г.
У лип ---- X—т-^УХ,
й к 2nil Г(Х)
(2.3.6)
где а*— корень уравнения F(X) = 0; пк — его кратность; N — число
корней. Для начала расчетов подбираем такой контур с, внутри
которого находится только один корень. Вычислив его по формуле
(2.3.6) при N =s 1, увеличим с так, чтобы добавился еще один корень, и
найдем его из (2.3.6) при N = 2. Таким образом, можем найти столько
нулей функции F(X), сколько нужно для исследования спектра.
Полученное время установления Т = max'MRel « 18 ч находится в
согласии с реальным для данной установки. На рис. 2.3.1 приведены
графики зависимостей отклонений концентраций от равновесной на
выходе из колонны. Пример является лишь иллюстрацией метода и не
претендует на исчерпывающее описание процесса массообмена в
установке.
2.4. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ ОРП
ПРИ ВНЕШНЕМ ВОЗДЕЙСТВИИ
Рассмотрим непрерывный процесс взаимодействия двух проти-
вотсчно движущихся сред с пространственно распределенным воз-
действием на одну (например, вторую) из сред [581. Диффе-
58
ренциальные уравнения, описывающие этот процесс (в предпо-
ложении его линейности), имеют вид
Э01 30J Q ч
— =^(е2-е,),
»г^1 = ®г(01 -02)+/(х,<),
dt дх
(2.4.1)
где 0,- = 0*(хД), i = 1, 2, — параметры, характеризующие процесс; =
= wx(x,r) — скорости движения первой и второй сред соответственно;
®ь ~ постоянные коэффициенты, характеризующие свойства
взаимодействующих средах,/) — функция внешнего воздействия.
Дополним систему (2.4.1) следующими начальными и граничными
УСЛОВИЯМИ:
ЭДх,0) = 0, I = 1,2; 01(OJ) = 01BXW. 02(^г) = 02вх(О, (2.4.2)
где 0хвх(г), г = 1, 2, — заданные функции; L — длина аппарата,
принимаемая нами за единицу измерения.
Сделаем предположения о характере функции внешнего воз-
действия ДхД), учитывая реальные условия протекания техно-
логического процесса.
Прежде всего считаем, что распределенный технологический
процесс подвергается локальным внешним воздействиям, которые
поступают в несколько отдельных точек аппарата. Рассмотрим
случай Одного промежуточного воздействия w(r), имея в виду» что
задача легко обобщается на случай конечного числа точек проме-
жуточного воздействия и на случай непрерывного распределенного
воздействия по длине аппарата.
Внешнее воздействие w(t) в замкнутой системе регулирования
объектом может быть использовано в качестве управляющего
воздействия [56].
Введем функцию х(х), отражающую характер распределения
внешнего воздействия по длине объекта. Если зто воздействие
сосредоточено в одной точке объекта, то значение функции %(х)
равно 8-функции. Однако в общем случае, основываясь на физических
соображениях, можно полагать, что х(х) является гладкой функцией
с одним ярко выраженным экстремальным значением.
Функция внешнего воздействия f(x,t) представляется с учетом
сказанного в виде произведения функций w(t) и х(х), т.е.
/(х.О = w(0x(x). (2.4.3)
В качестве функции распределения
функция следующего вида:
xW=
xg[0,x,],
X G [хш,1].
внешнего воздействия взята
(2-4.4)
гдех,— координата точки приложения внешнего воздействия.
59
• Система уравнений (2.4.1) с условиями (2.4.2) и (2.4.3) решается с
помощью преобразования Лапласа. Применив к этой системе преоб-
разование Лапласа по г, получим неоднородную линейную систему
обыкновенных дифференциальных уравнений:
-«1191+«1202. (2.4.5)
^2- = + 02202 + F(x,p),
ах
где0; = 0|(х,р) = £{0Дх,г)}, F(x,p) = £{/(х,г)};
а11 = ~(а1 + Р'Ч)» й12 “ а1> ^21 ~ —а2’ Й22 ~ а2 + Р^2
а,, i = 1,2, — обобщенные параметры [58]; xit i ~ 1,2, — транспортные
запаздывания для каждой среды.
При этом граничные условия в изображении по Лапласу примут
вид
01 (*• Р)| х=0 = 01 вх (Р). 02(*.Р)|х=1 =02вх(р). (2.4.6)
где 0/x,p), F(x,p) — изображения по Лапласу соответствующих
функций.
Применяя к системе (2.4.5)—(2.4.Б) метод вариации произвольных
постоянных, получим решение в следующем виде для первой среды:
91 (х.р) = Кп (х,p)0j вх (р) + К12(х,р)02вх (р) + K12(x,p)w(p), •
W(p)= £{и>(г)}. (2.4.7)
где ЛГц(х,р), /Ci2(x,p) — передаточные функции по каналам
воздействий “вход — выход первой" и "вход второй — выход первой"
сред соответственно; ^чгС^р) — передаточная функция по внешнему
каналу воздействий, которая имеет вид
^12(^р) = ^1(^р) + ^2(лХ12(^р). (2.4.8)
где
<Ь(х,р) = - <Нх(^М
Л2-Л1\ О О У
^(p)=TJ-rfA2^2/х(^-Х2Ч -
Л2 “ Л1 V О 0 7
А/г = 1,2) — корни характеристического уравнения системы (2.4.5);
Л, =(Х, -an)/a12, i = l,2.
Для изображения переходного процесса во второй (регулирующей)
среде 0г(х^) получается выражение, аналогичное (2.4.7). Если внешнее
во
Рис. 2.4.1. Кривые разгона, полученные различными методами
1 — метод смещенных полиномов Лежандра; 2, 3 — интерполяционные методы с
равноотстоящими узлами и без учета транспортного запаздывания
(2.4.9)
отсутствии
по каналу
процесса в
воздействие fix, f) приложено в т промежуточных точках объекта, то
оно представляется в следующем виде*.
>1
а переходный процесс в первой среде будет в этом случае описы-
ваться выражением
0i(x,p) = 0?(x,p)+ ^^(х^ХДр),
/“1
где 0](х,р) — функция переходного процесса при
внешнего воздействия; К\2(х,р) — передаточная функция
у-го внешнего воздействия.
Таким образом, получено выражение переходного
регулируемой среде, преобразованное по Лапласу. Переход к ори-
гиналам с помощью имеющихся таблиц сделать не удается, поэтому
используются численные методы обращения преобразования Ла-
пласа, описанные в [48]. Испытаны два численных метода: интер-
поляционный метод с равноотстающими узлами и метод, основанный
на разложении функции-изображения в сходящийся ряд по
*
смещенным полиномам Лежандра Рк(х).
В работе исследовалось также влияние обобщенных параметров 0ц
иа2и координаты точки приложения внешнего воздействия х;на
переходные режимы аппарата.
Анализ динамики распределенных процессов проводится в
области изменения параметров аь а2е [1,10]. Эта область изменения
параметров, соответствующая некоторым типам теплообменников,
была получена экспериментальным путем [48].
На рис. 2.4.1 приведены две кривее (1,2) переходного процесса,
полученные интерполяционным методом обращения преобразования
Лапласа с равноотстоящими узлами при параметрах оц = 2, а2 = 3
и Tj = т2 = 0,5. Кривая 1, полученная на [ть71, лучше приближает экс-
61
йериментальную кривую, чем кривая 2 на отрезке 10,71. Объяснить это
можно тем, что кривая переходного процесса в точке Ti = 0,5 имеет
скачок (разрыв 1-го рода) и при сглаживании этого скачка кривая
переходного процесса менее точно приближает экспериментальную
кривую на всем отрезке [0,71. На рис. 2.4.1 представлена также кривая
переходного процесса, полученная по методу с применением
смещенных полиномов Лежандра (кривая 3) на [ть71, которая лучше
приближает экспериментальную кривую.
2.5. АНАЛИЗ МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ ТЕПЛО-
И МАССОПЕРЕДАЧИ В ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ АППАРАТАХ
При исследовании стационарных и переходных режимов в химико-
технологических аппаратах важным является выяснение вопросов
корректности поставленных краевых задач. Под корректностью
понимается существование решения, его единственность и непре-
рывная зависимость от начальных данных в некотором классе
функций [37]. Этот этап анализа моделей в инженерной практике
зачастую опускается. При этом большой опыт работы инженеров
исследователей с моделями с сосредоточенными параметрами
описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями
избавляет от многих неприятностей, связанных с недостаточным
математическим анализом таких моделей. При описании же про
цессов дифференциальными уравнениями в частных производных, в
особенности нелинейными, такой опыт отсутствует, и выяснение
корректности математической модели управляемого процесса
остановится обязательным.
В этом разделе исследуется корректность краевой задачи [71], в
которой учитывается рециркуляция взаимодействующих потоков,
что выражается в постановке граничных условий в виде обык-
новенных дифференциальных уравнений и тем отличающихся от
рассматриваемых обычно в курсах уравнений математической
физики.
Итак, рассмотрим следующую краевую задачу. Нестационарный
режим тепломассообменного аппарата описывается следующей сис-
темой дифференциальных уравнений в частных производных:
W»--
fel. «а..,
с начальными условиями
х(/>0) = <р1(/)>Я/.0) = <р2(/). (2.5.2)
Граничные условия задаются уравнениями, описывающими процессе
62
кубе и дефлегматоре колонны*.
б/(нх,хд(0)
= Lx-Vy~ Wxy(t), y(0j) = х* (г).
1 = 0, 0<t<T;
= Vdy + (Ld + D)xd(0.
at
{yd - V)y = Ldxd - Lx, 1 = 1, 0<t<T.
(2.5.3)
Для простоты ограничимся здесь случаем непрерывных
коэффициентов Нх, Ну, L, V, Нх , HXd- Из физических соображений
известно, что они не обращаются в нуль при любых I, t. Таким обра-
зом. можно несколько упростить рассматриваемую модель, продиф-
ференцировав все произведения и сгруппировав соответствующие
члены:
^-^ = куу-(кук + Нх + Ь')х+Фх,
dt dl х f
Граничные условия:
Hx. Q = Lx-(v + W + Hxt]y, 1 = 0, 0<
dt '
^AVd~V)dy [ H^Ldx
Ld dt Ld dt
(Ld+D)(Vd-V) d(HXd(Vd-V)
Vd Ld dt
Ld
Ld dt
x,
I = 1, О < t < т,
где означает дифференцирование no t, а....— по /.
Поделив уравнения на коэффициенты при первых членах и введя
новые обозначения, окончательно получим:
Эх /, чЭх ,
V ” av>f)47 = т^х + т^У + Л >
dt dl
(2.5.4)
Эу f/> чЭу -
47 + b(l = т^х + т^у + •
dl dl
63
Рассмотрим несколько более общие граничные условия:
а1^Г + ₽1'Т = 'у11х + 'у12>’’ z = 0> 0<1<Т’
at at
a2^ + ₽2^ = Y21^ + Y22J< /=1. 0<t<T,
at at
(2.5.5>
где — функции l и t- a„ p;, y^ — функции времени. Начальные
условия (2.5.2) остаются прежними. Задачи будем рассматривать в
области £2 = {(/,г) 10 < / < 1; 0 < г < Г).
Единственность решения
Доказательство единственности проведем при следующих, не нару-
шающих общности ограничениях на коэффициенты cq, р4:
а) исключаем случай, когда все четыре коэффициента а,-, р4-
обращаются в нуль, так как граничные условия имеют тогда клас-
сический ВИД;
б) не рассматриваем также случай, когда в нуль обращается любая
пара коэффициентов ai.pi или а2, Рг. так как дифференцированием
соответствующего граничного условия мы снова приводим его к
виду (2.5.5). Итак, потребуем, чтобы выполнялись условия
а?+ ₽?#(), а2+р2#0. (2.5.6)
Для доказательства построим диссипативный интеграл энергии.
Для этого введем новые функции ф(/,0 и у(/,0 следующим образом-.
П1Ф + П2Ф = + ₽1 У - Y11* - Y12J>
(2.5.7)
Si<p+ = va2i + p2у - y21x - y22y.
Коэффициенты и £,(Z,0 пока не определяем, это будет сделано в
дальнейшем, функции ц(/,г) и v(l,f) введены для того, чтобы
продолжить ai(0 и 0^(0 на всю область £2. Выберем p(O,r) = 1, v(0,r) = 1,
внутри £2 положим их произвольными гладкими функциями.
Коэффициенты р4(г) и Уу(1л) для простоты будем считать постоянными
по I. Граничные условия (2.5.5) можем записать теперь в следующем
виде:
Л1Ф + ЛгУ = °> / = 0, 0 < t < Т,
(2.5.8)
= 0, I = 1, 0 < t < Г.
Вместо исходной системы (2.5.4) будем рассматривать расширенную
систему, которая получается следующим образом. Из (2.5.7) найдем
выражения для х, у-.
* = [(Р2П1 - РЛ1 )ф + (Р2Л2 - РЛг)¥ + (P2Y11 - P1Y21 )* + (P2Y12 - P1Y22M
/ [оццрг -Piva2],
64
У = [(va2ih - )ф + (va2n2 - ца^2)ф + (va2Yn - ga^Jx +
+(va2Yi2-ga1Y22)j] / [va2₽i - ЦОЦрг].
Учитывая ограничения на a4- и видим, что знаменатель может
обратиться в нуль только в случае, когда paip2 = va23i, этого легко
избежать за счет выбора функций ц и v. Для простоты введем
коэффициенты Ср ф и запишем
' х = q<p + с2 у + С3Х + с4у,
(2.5.9)
у = di<p + d2y + d3x + d4y.
Из системы (2.5.4) найдем выражения х', у', учитывая (2.5.9):
, ci с2 Сз“^и Сд-т^ f
а а а а а
, di ^2 "*22 ~d4 "hi " /2
b b b b ь
Продифференцируем исходную систему по г, подставим найденные
значения х, у.х', у'и потребуем, чтобы система была записана в
канонической форме, т.е. в первом уравнении положим с2 = 0, а во
втором — di = 0, или, иначе,
П2/^2 = 31/₽2. /УП1 =a2/a!, (2.5.10)
что можно сделать за счет свободы выбора Т|*» Причем» поскольку
для определения 'Пь'П2»^ь^2®сть только два уравнения, мы имеем
еще некоторый произвол в выборе коэффициентов, что будет полезно
в дальнейшем. Поделим первое уравнение на С], второе — на d2>
введем новые коэффициенты а# и запишем расширенную систему:
ф - (аф) = акф + а12ф + а13х + а14у + + а17/2>
у + (Ьф) = + аггф + а23х + а^у + аи/2 + + avf2, (2.5.11)
X = (?1Ф + C2\|Z 4- С3Х + С4у,
у = dj9 + d2y + d3x + d4y.
Граничных условий (2.5.8) для этой системы достаточно, так как два
последних уравнения имеют вертикальные характеристики и условий
для х и у на границе задавать не нужно. Что касается начальных
условий (2.5.2), то их нужно дополнить условиями для ф и ф. Это
можно сделать, пользуясь соотношениями (2.5.7), причем х при t = 0 и
у при t = 0 можно определить из (2.5.4).
Умножим уравнения системы соответственно на ф, у, х и у, сложим
5. Зак. 3031
65
’ их и проинтегрируем результат от одной границы до другой:
2 of о 2 0 о/ о/ J 0
+J {(«is/1 + «1б/1 + «17/2 )ф + («25/2 + «2б/1 + «27/2 )фр. (2.. 5.12)
где X — вектор с компонентами (р, у, х, у; X' — транспонированный
ему;
а11 ^21 С1 0
q = й12 °22 0 ^2
а13 °23 С3 ^3
<а14 а24 С4 ^4 >
Назовем это тождество интегралом энергии и рассмотрим условия,
при которых он будет диссипативным. Из граничных условий (2.5.8)
найдем
Vo = -~фЬ=о> Vi =-г-ф|1=1
М2 42
и рассмотрим отдельно второй интеграл:
F = J й = (*V2 - «ф2)| 1=1 - (*v2 - «ф2)| 1=0 =
Граничные условия (и интеграл энергии) назовем диссипативными
[37], если форма Г > 0, т.е. если
Этого всегда можно добиться, выбрав соответствующим образом Ль
за исключением случая, когда либо =0, либо Т| 2 = 0, что
соответствует равенству нулю либо а2, либо pi (из (2.5.10)). Итак, в
случае a2pi = 0 диссипативный интеграл энергии построить нельзя
1
Обозначим Y(t) - f (ф2 + ф2 + х2 + y2)dl и вернемся к равенству (2.5.12)
о
Считая, что F > 0, проинтегрируем его по t от до t2:
1/ , '2 *21 '21
jjX'QXdldt + //{Us/ +a16/! +
'1 QO. qol
+<*17/2 )<P + (^/2 + + ^fi}^}dldt.
66
*2
Отбросив неположительный член — \Fdt, получим неравенство
1 *21
Z Q О
х{(/1 + Л + А)ф + (А + /1 + /г)ф^^>
гдеЯ= шах [а-Д.
1 7J
Пусть постоянные Л/и 7V оценивают сверху соответственно
матрицу Q и вектор, составленный из свободных членов и их
производных, тогда окончательно имеем неравенство
1 *2
-(У(г2)-ГИ< RNylY^y,
откуда по лемме об интегральном неравенстве [37] имеем оценку
|д/у(г) <^/7(0)^"' +RN(eM‘-1)/Af. (2.' 13)
Теорема единственности следует из (2.5.13). Действительно» пусть
существует два решения исходной системы (2.5.4). Тогда их разность
удовлетворяет однородной системе с нулевыми начальными
данными. Следовательно, в (2.5.13) W = 0 и У(0) = 0, а отсюда и Y(t> = 0.
т.е. норма разности двух решений равна нулю, что и требуется для
единственности. Введя норму ПУП = max V f (ф2 + ф2 + х2 + }
0<,<т 0
полученную оценку можем записать так:
jy|| < const[||y||;=0 + Ц/||],
где ИУН/=0 — норма начального условия; 11/11 — норма правой части
Последнее неравенство и означает непрерывную зависимость
решения от начальных данных.
Чтобы показать, что при a2Pi = 0 задача некорректна, посмотрим
пример типа Адамара. Для простоты ограничимся случаем
однородной системы с постоянными коэффициентами, т.е. в (2.5 4) / =
=/2 = 0, a, b, mij не зависят от / и t. Решение будем искать в виде х
= х(/)еЧ у = у(/)еЧ Подставим его в систему и получим краевую задач у
для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с п д.ю-
янными коэффициентами. Ее общее решение
x = cxeq}l + c2eq2lf y = a1c1eq11 + a2c2eq2\
где g2, ” корни характеристического уравнения
2 f к- ^11 т22 - АА А- тп -А ^12^21 _ п s м)
V a b j a b ab
Это решение зависит от X, коэффициентов системы и от
( X - т, 1 А а
= ---------------
V a Jm12
Для определения сь с2 подставим решение в граничные условия и
получим однородную линейную алгебраическую систему
Ci(X(ai +aiPi)-Yn -aiYi2) + c2(X(ai + <я2рх) - Yu-а2у12) = 0,
cie^ (Х(а2 + ) - У21 - «iУ22) + с2е,2(Х(а2 + а^р2) - Y2i -Д2 Y22) = 0.
Чтобы эта система имела нетривиальное решение, необходимо, чтобы
ее определитель был равен нулцт.е.
= (Mai + aiPi)~ Yn -<У12)(Ма2 +а2Рг)-?21 -а2Т22) е?1 _92 =
(Х(а2 + агР2) - Y2i - aiY22XMai + a2Pi)_ Y11 _ Д2У12)
= 0. (2.5.15)
Исследуем корни уравнения D(X). При a2Pi = 0 это уравнение имеет
бесконечно большой по модулю корень X. Действительно, пусть,
например. а2 = 0. Рассмотрим D(X) при 1X1 Из характеристи-
ческого уравнения (2.5.14) найдем, что в этом случае ~ -X / ft, <?2 ~ X /
/ a, ах - Х(а + b) / 6т12, а2 ~ 0(Х-1). Отбрасывая члены, не содержащие X,
получим
Dz ) _ Ц<*1 - (д + 6)712 / ^12 + Д1Р1 )^P2 _ е-Ца+Ь)1«Ь _ Р1_ ^-1 _
X(aiP2 - (a + b)y22J a,
_^-X(a+fr)/afr
Найдем корень уравнения / аД - е~^а + Ь)/аЬ = 0. Имея в виду, что X
комплексное (X = и + ги), это уравнение запишем в виде системы
^^Ц- = е-“(а+ь)/вЬсо8и IL-J, e-^+^sinu (2.5.16)
djir+v ах it+v
Поделив первое уравнение системы на второе и затем умножив его на
и, получим
= ue~u^a+b^lab cosm, — = —ctgv.
ajir+гг v
(2.5.17)
Пусть и тогда во втором уравнении це~и<а+ьУаЬ 0. Поэтому
поскольку cos о — ограниченная величина, то
Р1 и2/Ъ2
ах и2/о2+1
0, откуда
и2 /о2 -> 0. Следовательно, при —> ©о величина ctg о—> 0 (из первого
уравнения в (2.5.17). что реализуется на последовательности = я/2
+ ял при л —> ©о). Подставим найденное значение *ип во второе урав-
нение системы (2.5.16) и получим, что sin *о = ± 1. Пусть, например, ле-
ев
вая часть уравнения положительна, тогда окончательно имеем ия =
= Зя/2 + 2кп.
Найдем теперь и из уравнения
Pi + = е_и(а+Л)/а4
а! и2 + (Зя / 2 + 2пп)
Поскольку, как было показано выше, отношение u/ъ—> 0, то и мало по
сравнению сии членом и2 в знаменателе можем пренебречь. Итак,
для и получаем уравнение е~и*а+ь) 1 = Р^а^З/2 + 2л) л, откуда ил =
= ( 'а + b~^ + 2л)те))» т е- в плоскости (и, о) при и -> « все
корни уравнения D(K) = 0 расположены на кривой V = (ai/p1)eM*e + fr)/ah-
Теперь легко построить пример некорректности. Выделяя действи-
тельную часть X, рассмотрим решение
хл
1
------ехр
Inn
об .
-----In —
а + b Pi
М ( (
t — \2пп cos 2лл t -
. bj I
При л —> «> начальные данные близки к нулю (t = 0), но решение xn(l,t)
при любом t не ограничено. Случай 02 = 0 соответствует тому, что на
правой границе задаются граничные условия, в то время как
характеристики на эту границу "приходят".
Аналогично можно показать, что задача некорректна при Pi = 0.
Сделаем небольшое замечание об обратимости задачи. Иногда
бывает нужно узнать, как ведет себя решение не при t > 0, а при t < 0.
Задачи, которые разрешимы в сторону как отрицательных, так и
положительных г, называются обратимыми. Решать задачу в сторону
t > 0 и одновременно в сторону t < 0 можно только в том случае,
когда число характеристик с отрицательным наклоном равно числу
характеристик с положительным наклоном. В нашем случае это
условие выполнено, однако задача будет обратима только тогда,
когда все коэффициенты а,, Р, отличны от нуля. Если же оцРг = 0, то
задача необратима, так как в этом случае обратная задача некор-
ректна, как было показано выше.
Существование решения
Для доказательства существования решения задачи (2.5.4), (2.5.2),
(2.5.5) достаточно убедиться в эквивалентности систем (2.5.4) и (2.5. И).
Очевидно, что каждое решение системы является в то же время и
решением системы (2.5.11), так как последняя получена из (2.5.4)
дифференцированием и арифметическими действиями. Покажем те-
перь, что произвольное решение (ф,у,х.у) системы (2.5.11) удовлет-
воряет системе (2.5.4). Из последних двух уравнений (2.5.11) (имея в
виду, что dx = с2 = 0) выразим ф и у через х,у,х,у и подставим в преды-
69
1 д
(х-ax'-mnx-m12y-/1) +
Ci dt
дущие два уравнения. После тождественных преобразований получим
х ас3 + а
х-ах - тпх - т12у - fj--*---
асг
+ ~~(у + by' - т21х - ГП22У - fz} = 0.
Ьсх
— Т{У+ЬУ -m^x-m^y-/2) + —п—\У + Ьу ~ т^х - т^у - f2) +
и2 dt 0^*2
+ (х - ах' - г X - тХ2у - /,) = °.
Введем обозначения гг = х - ах' - тпх - ml2y - f\,z2=y + by' - т2хх -
~ттгУ - /2 и запишем
Эг1 । асг + а ас±
Эг а 1 b 2
дг2 Мл + Ь bd3 _
dt b 2 а 1
Начальные условия для функций ф и убыли выбраны таким образом,
что
zi| ,=о = (х - ax' - тпх - тпу - fx )| ,=0 = О,
гг| (=о = (У + by’ - т^х - т22у - /2)| ,=0 = О
Поскольку система обыкновенных дифференциальных уравнений для
2Ь z2 однородная и с нулевыми начальными условиями, то решение
ее всюду равно нулю. т.е.
2i(/,r) = х - ах' - тпх - тпу - Л = 0,
2г0.0 = У + by' - f«2ix - т22У =
Итак, произвольное решение системы (2.5.11) удовлетворяет системе
(2.5.4), т.е. они эквивалентны между собой. О системе (2.5.11) с
заданными граничными условиями (2.5.8) и начальными условиями
(2.5.2) известно, что решение ее существует [371, следовательно,
существует и решение эквивалентной ее задачи (2.5.4), (2.5.2). (2.5.5).
Таким образом, имеем теорему.
Тео рема. Решение задачи (2.5.4), (2.5.2), (2.5.5) с непрерывными
коэффициентами существует в области Q = [(l,t) I 0 < I < 1, 0 < t < Т}
единственно при а2Р1#0и непрерывно зависит от начальных
данных.
70
2.6. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ
ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
В этом параграфе сделан новый подход к доказательству сущест-
вования и единственности решения систем уравнений общего видг,
состоящий в декомпозиции исходной задачи и сведении ее к задаче
невыпуклой оптимизации. Этот подход применен к доказательству
существования и единственности решения полулинейной гипербо-
лической системы уравнений. Такие задачи моделируются и рассчи-
тываются. например, при описании ректификационных процессов с
рециркуляцией взаимодействующих потоков (см. [48]). Данный подход
позволяет доказать существование и единственность решения систе-
мы квазилинейных уравнений [124].
Рассмотрим краевую задачу для полулинейной гиперболической
системы
АЫ^- = /.(Р1.р2.х.')+ Ф,<х. О, (2Л1)
^7 + лг(х|^= /г(р|.Р!.х,<) + ФгСх. >)
ot ох
PU') = {P1 (*'). Рг(^0}- (рб£',+т,р1 е£л,р2еЕ'п),
xgS = (x0,x1), teT = (^0,^), G = SxT.
Заданы начальные и граничные условия
Р1(х,г0) = Ф1(х), p2(x,t0) = <р2(х),
Рг(*о>') = С1Р1(x0,t), Pi(x1j) = c2p2(x1,t). (2.6.2)
Здесь fi, / = 1,2 — заданные вектор-функции своих аргументов; Аь
д2 — диагональные матрицы, состоящие из положительных,
непрерывно дифференцируемых элементов; сь С2 — постоянны.
Представим описанную краевую задачу в виде
Д(р) = ©,(х), l<i^p,xe£l, (2.6.3)
G(p) = ,Y/x), 1<;<г, Х6Г, (2.0.4)
где Д-, /у — операторы уравнений и краевых условий соответственно;
Й, (х), у/х) заданы; х = {х,.xj; р = {pi(x)„.„ р/х)}.
* к
Представим операторы Lj в виде Lj = 2 L-. Составим h
Ь=1
вспомогательных задач относительно рк= р*(х)}:
L?(p*) = co-(x), l<k<h, (2.6.5)
G(P*) = Y?W- xerj eT,l<j<r. (2.6.6)
71
Условия (2.6.6) выбираются таким образом, чтобы в каждой
фиксированной точке контура Г условия (2.6.4) выполнялись хотя бы
для одного из решений р*.
Теорема 1. Если при разбиении ФЬ1 <i<p, на Ф* 1</<р, 1<
л
k<h, таком, что £ф. = Ф/,1^7^р, выполняются следующие условия:
*«1 1
1) существует единственное решение всей системы (2.6.5) — (2.6.6)
(1 < к < Л, 1 < i < р);
2) эту систему можно разбить на h задач, единственные решения
которых совпадают между собой, т.е. р1 = р/, i #у, то это же
решение имеет система (2.6.3)—(2.6.4).
Доказательство существования проводится суммированием по к
системы (2.6.5)—(2.6.6) (1 < i < р) на одном и том же решении.
Используя описанную выше схему, разобьем исходную систему
(2.6.1)—(2.6.2) на две вспомогательные задачи, каждая из которых, как
будет показано, имеет единственное решение.
Обозначим
^2 (р) = Aq. ~ /2 (р) - ^2
ох
(2.6.7)
4(р)^-А^-Л(р)=ф?-
4(р)Л=ф5,
/i(p(x,to))sPi(*.»o) = 4>iW.
Мр(хо .'))s Рг(хо.') - C1P1 (*о»') = 0.
Mp(xi ’0) = Pi (xi >') ~ сгР2(*1 •') = °>
(2.6. X)
z4(p(^.'o)) = Р2(*.'о) = Фг(*)-
Л
Здесь £Ф* = Ф;, i = 1,2, по построению.
к=1
Рассмотрим две задачи:
Д(р*) = ф}. /1(р*)=Ф1(Д
(2.6.9)
^2(р1) = Ф2> ^2(р! ) = °’
72
Л2(Р2) = Ф2. *3(Р2)=°>
(2.6.10)
4(р2)=ф2. /4(р2)=Ф2(4
Перечислим условия, при которых каждая А-я задача, к = 1,2, имеет
единственное решение.
Теорема 2. Пусть/}, ф, (/ =1,2) — липшиц-непрерывны по
р, гладкие по р, х, г и/} (f = 1,2) — липшиц-гладкие по этим (2,6.11)
переменным.
Тогда существует единственное решение p(x,r) = {pi(x,r), p2(x,r)} g
g E*+m задачи (2.6.9) (аналогично (2.6.10)), такое, что:
1)р1(х.0еЯяО1(С),р2(х,0бЯ^°(С);
2) уравнения (2.6.9) (аналогично (2.6.10)) удовлетворя-
ются ПОЧТИ ВСЮДУ В G;
3) на [xo,xj и [fojJ удовлетворяются начальные ус-
ловия, понимаемые в смысле равенства соответствующих
следов функций.
Здесь Я01 — стандартное обозначение для пространства Соболева,
состоящего из л-мерных вектор-функций pi(xj) g L 2(G), имеющих
обобщенную производную (pi), g L^G) [107]. Аналогичный смысл
имеет обозначение //^°(G). Доказательство теоремы 2 ничем в
принципе не отличается от доказательства теоремы 3. которая будет
сформулирована ниже.
Рассмотрим теперь общую систему (2.6.6)—(2.6.7) (к = 1,..., й; i =
= 1,...,р). В наших обозначениях это система (2.6.7)—(2.6.8). Покажем,
что она имеет единственное решение р= (Р1,р2].Для этого
представим ее в виде
ol ot
- А = Л (Р)+Ф? - /,(₽)<<4 И
(2.6.12
(2.6.13)
с граничными условиями
Zl(x^o) = <P1W. г2(х,г0) = ф2(х),
(2.6.14)
Для доказательства существования и единственности решения W =
= {z, р] задачи (2.6.13)—(2.6.14) будем действовать как авторы статьи
[105]. Как видим, задача (2.6.13)—(2.6.14) отличается от той, которая
рассмотрена в указанной статье, расчленением начального условия
73
для р на два условия, заданных в Xj и х0 соответственно, и
зависимостью условий, заданных в этих точках, от решений системы.
Наличие двух начальных условий для р в точках х0 и влечет
включение еще одной компоненты в определение оператора А:
L^m(G) L*2+m(G) [105]. В качестве оператора А рассмотрим
следующий:
AVK = -c1p1(x0,t) + c2p2(x!,t) +
*0
Х1 t
+ <P1W+ Ri'(p(x,T).x,T)dT;
X t0
ФгМ+ J/=2 (p(x,-c),x,-c)dT
'o
Сжимаемость этого оператора следует из оценки, которая дока-
зывается так же, как и аналогичная ей оценка в статье [105]. В
остальном доказательство корректности нашей задачи такое же, как в
указанной статье.
Итак, имеет место
Теорема 3. Общая система (2.6.13)—(2.6.14) имеет единственное
решение W = {z, р] в классе функций Я, определяемом условиями
(2.6.11), если функции, входящие в определение этой системы, удов-
летворяют условиям (2.6.12).
2 к
Покажем, что при заданном условии £ф- =Ф( (* = 1, 2) существует
й=1
решение задачи (2.6.13)—(2.6.14), такое, что zx = рй i = 1, 2. Для этого
рассмотрим функционал
,?JZ‘ P‘jt2+'"(G)’
(2.6.15)
минимум которого будем искать на выпуклом замкнутом множестве
управлений U:
2
Фх\ к = 1,2, i = l,2; £Ф?=ФХ>.
(2.6.16)
Здесь L2+m(G) — гильбертово пространство решений системы
(2.6.13)—(2.6.14); ф* — управления.
Теорема 4. В указанных обозначениях и при перечисленных
условиях существует набор Фр i = 1, 2; к = 1, 2, который решает
задачу
inf /(ф‘), 4 = 1,2, к = 1,2. (2.6.17)
Покажем это. Функционал ДФ*), i = 1,2, к = 1,2, в силу оценок,
74
которые доказываются аналогично [105], непрерывен и выпуклый по
W = {z, р]. Кроме того, при условии a (Mit а) < const, где Мt —
константа в условии роста [105]. а = max {aj, at — элементы матрицы
-1 *
Aj ,У = 1, 2, функционал 7(1Г(Ф)) коэрцитивен поФ. Поэтому по
теореме из [971 существует решение задачи (2.6.17).
Кроме того, достигается минимум функционала 7 = 0 на опти-
мальных управлениях. Это следует из рассмотрения необходимых
условий оптимальности:
ЭА,] п/ \
_^,2(z2-p2),
01
(fl) Pl
иХ
у г ,
+ ^-3 (Л) Р2
-А2 - Х-4 (/2) Р2 + ^2
ОХ
(2.6.18)
-Т
+ 2(z2 -р2);
MX’Z1)=^2(X7i) = 0,
А(*0 Аз(хО»0 “ С1^2(хо)^4(хО»0 = 0’ (2.6.19)
-c2A(x1)X3(x1j) +Д2(х1)Х4(х1,/) = 0.
Задача (2.6.18)—(2.6.19) по теореме 3 имеет единственное решение. Из
необходимого условия оптимальности также следует
M(xj) = 0, Х2(х,г) = 0. (2.6.20)
Таким образом, доказана
2 к
Теорема 5. При заданном условии £ф( = ф-, i = 1, 2, существует
4=1
решение задачи (2.6.13)—(2.6.14). такое, что zx = p£, i- 1,2.
Из теоремы 5 не следует существования единственного набора
оптимальных ф- , i = 1, 2, к = 1, 2, на котором бы достигалось zx = рр i =
= 1, 2, в силу отсутствия оценки, которая бы гарантировала нам
строгую выпуклость по Ф*, i = 1,2, к = 1, 2, выражения, входящего в
определение функционала (2.6.15).
Теперь, возвращаясь к вспомогательным задачам (2.6.10) и (2.6.11), а
от них к исходной системе (2.6.1)—(2.6.2), используя теорему 1,
получаем следующее:
Теорема 6. Если вектор-функции fh ф„ / = 1, 2, удовлетворяют
75
условиям (2.6.12) и o(Afb а) < const, то в классе функций Lj (G)
существует единственное решение системы (2.6.1)—(2.6.2).
Покажем, что система (2.6.1)—(2.6.2) в классе функций ^"(фпри
выполнении перечисленных условий обладает единственным
решением. Предположим противное. Пусть система (2.6.1)—(2.6.2)
имеет два решения: р и р. Так как эти решения удовлетворяют также
системам (2.6.9)—(2.6.10) согласно [124], для разности этих решений
выполнено неравенство
|p/z5+"(g)|2so.
откуда следует единственность.
Теорема 7. При выполненими условий теоремы 6 система
(2.6.1)—(2.6.2) имеет единственное решение в классе функций L^+m(G).
В связи с тем, что при описанном подходе сложные составные
операторы раскладываются на более простые, возможно доказа-
тельство существования и единственности решений для систем,
имеющих в качестве коэффициентов перед производными комбинацию
самих решений, т.е. для квазилинейных систем.
Данный подход может быть применен к любому типу систем:
гиперболическому, параболическому, смешанному. Существование и
единственность решений систем уравнений будут выполнены, если
будут удовлетворены условия теоремы 1.
Введенные функции ц существуют, но в то же время неизвестны.
Один из алгоритмов их нахождения описан в работе [116].
ГЛ АВ А 3
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА
НЕСТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ
ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
Для объектов с сосредоточенными параметрами имеется большое
количество эффективных методов и алгоритмов исследования пере-
ходных характеристик с помощью ЭВМ. Однако для объектов,
описываемых уравнениями в частных производных, создание таких
методов еще не завершено. Поэтому в книге разработан ряд чис-
ленных алгоритмов, пригодных для инженерных расчетов.
Вычислительный алгоритм анализа нестационарных режимов,
предназначенный для решения задач управления химико-техно-
76
логическими процессами, должен отвечать определенным требо-
ваниям по быстродействию и точности расчета переходных харак-
теристик в системах управления. Устойчивость применяемых схем
потарелочного расчета динамических характеристик многота-
рельчатых массообменных аппаратов обеспечивается тогда, когда
шаг дискретизации во временной координате не превышает, как
правило, нескольких секунд, что связано с большими затратами
машинного времени и накоплением погрешности, и понижает
эффективность схем потарелочного расчета при решении задач
управления.
3.1. МЕТОД ЦЕНТРАЛЬНЫХ РАЗНОСТЕЙ [63]
Противоточный химико-технологический процесс описывается
системой дифференциальных уравнений в частных производных
гиперболического типа [48, 63]. Рассмотрим краевую задачу: найти
вектор-функцию V = (и1,..., mn°+1uN), удовлетворяющую сис-
теме дифференциальных уравнений:
ди1 : Эи' £ ,;; ; ..
— + W = f »
dt dx /=i
. ' (3.1.1)
du1 du1 N •• •
dt dx j—i
в области fl = {(x, 0 I 0 < x < L, 0 < t < T} с заданными начальными и
граничными УЛОВИЯМИ:
и* (х,0) = ф1 (х)} 1 < i £ N,
и' (0, 0 = (г), 1 < i < /Vo; м' (£, 0 = (0> Nn+l<i<N. (3.1.2)
Будем предполагать, что функции ф\ у1,/’ограничены и
неотрицательны, а $ ограничены.
Известно [37], что эта задача корректна. Предлагаемый метод
позволяет свести решение задачи (3.1.1)—(3.1.2) к решению системы
алгебраических уравнений.
Покроем fl равномерной прямоугольной сеткой
= l(*m = tnht tn = nx)t 0<т<М,0<п<1, hM = = T]
и вместо функций непрерывного аргумента и1 (xj), (xj)./ (x*t) и
№ (x,t) будем рассматривать функции дискретного аргумента, по-
ложив
= и'(тй,лт), = w‘((m + 1/2)й,(л + 1/2)т),
fa = г№ +1 / (« +1 / 2)4 4» = ** ((m +1 / 2)й,(л + 1/2)4
Воспользовавшись четырехточечным шаблоном (рис. 3.1.1), заменим
дифференциальную задачу (3.1.1)—(3.1.2) разностной. Для этого во
77
Рис. 3.1.1. Четырехточечный шаб-
лон
внутренних точках сетки положим
ди1
тл
2^ (Мтл+1 + мт+1д+1 ~ мтл Мт+}л)» 1
Ъи1
Эх
_J_/ i i i
тл ~~ 2^ \^«+1л ^т+1л+1 ~ ^тл ~ ^тл+1
l<i<AZ,
Umn Д (Мжл Мт+1я *" мт+1л+1 + итл+1)» 1 — 1 — AZ,
~ (итл+1 + um+lrf+l Мтл um+ln) + o , (Um+ln + Mm+ln+l ~ итл " Мли+1) +
£ 'Zrl — '
1 N „
+ T Х^жл(мтл + um+ln + Млм+1 + ^m+ln+1) = /«Л* 1 — г — AZ0,
j=\
~^(umn+l + um+ln+l ~ umn ~ Mm+1«) ~ ~^~(Um+ln + Um+ln+l “ Umn “ и™+1) +
+ ~7 ^^тл[итл "* Um+ln + Мтл+1 + Mm+ln+l ) = fmn-> ^0 + 1 — 1 — AZ. (3.1.3)
4;=i
В результате дискретизации начальных и граничных условий (3.1.2)
получим
Um0 = Фт» 0 < т < М\ z .
m0 m . (3.1.4)
«ол=¥^ 1</<^; и1Мп = ^п, NQ + l<i<N.
Для доказательства условной разрешимости системы (3.1.3)—(3.1.4)
введем следующие обозначения:
t/1=(M1,...,Zo)r, t/2 = (uWo+1,...,MN)T,
78
где матрицы X11, X12, X21, К22 имеют размерность соответственно
NoX^o>^oX(^o). (*-*о)хМь
( 1 л А ( Nn+1 А
1Т,1 И> . V 9 И> и .
W1 = • 1у2= •. .
1о I и j
Представим систему (3.1.3) в следующем виде:
+ + + Ут+1л+1) =<£rfui>
^Ж+1п+1 + А^и2м+1 + B2M(Ulm+1 + и1т+1п+1) =ф2м,
А^ = Е1 /Т + 1У1 /й-ь^11 /2, А- = Е1 /Т-W1 /h+K11 /2,
А2^ = Е2 / т - W2 / h + К22 / 2, А?2- = Е2 / т + И'2 / h + К22 / 2,
Вм = К12/2, в^=К21/2, (3.1.5)
Фая = &я+1л + C^t/L - Bl~(u2„ + U2+ln) + 2FL,
Ф^л = <Ж+1Я + - вЦи1яя + 1/2+1я) + 2F^,
С£ = Е1 /т-IF1/й-К11/2, с£ = Е' /г + W1 /h-К11 /2,
= Е2 / т + W2 / h - К22 / 2. СД = Е2 / т - W2 / h - К22 / 2,
Е^Е2—единичные матрицы размерности No, N-No соответственно.
Поскольку функции ограничены, величина
о- max|x^(xj)|max{AT0, JV-JV0} (3.1.6)
также ограничена. Доказательство разрешимости системы (3.1.5)
проведем в предположении
т < 1 /4 о. (3.1.7)
Для решения системы (3.1.4)—(3.1.5) используем метод прогонки,
который отличается от стандартного тем. что граничные условия
для части компонент заданы на правом конце отрезка, а для другой
части компонент — на левом конце.
Предположим, что решение I/1, U2 уже найдено на слое п и найдем
его на слое п + 1. Рассмотрим систему (3.1.5) для т = 0. Умножим
второе уравнение в (3.1.5) на и вычтем из первого. В итоге
получим
(А11 - ВИА22}-'В2) Ulin+i+(A12-B2{A22)'1B2'] t/i„+1 +
k V 7 /bn \ /0л
+(в> - В' (Л“)-’Л2').a(/?„, = (ф- - вЧл*) V)... (ЗД.8)
Теперь умножим первое уравнение в (3.1.5) на и вычтем из
79
второго. Получим
(а21-вЧа11)-^1) t/2+1 + Га22-в2(а11)'1в11 t/2„+1 +
V /Од к v 7 76л
+(в2 -в2^11)’^1} t/U = ^-в2(а11)',ф11 . И 1 91
к 70л к v 7 7ол (3.1.9)
Учитывая, что и^л+ j известно, мы тем самым нашли способ выразить
°i..i чеРе1 Vi.fi » через uj,.,:
vL. =(л" -в,(ли)',8гГ|-[л12-в‘(ляу'вг] U'aM -
к '0Я1 к 76й
-(в1 -В^А22)’^21!.!/2^ +ГФ1 - В’(А22)-1ф2\
к ) к 70л J
(3.1.10)
<4« .(ли-в2(л“)-‘в')’'{-(лг‘ -
-(в2-в2(л")-,«')в.»и+(ф2-в2(л“)-’ф>)#_}. (3111)
Эти равенства можно переписать по-другому-.
^1л+1 = Л + Л» (3.1.12)
^ол+i = PAti + zi> (3.1.13)
где oq = -Гап -В^А22) ’в2>) (в2 -вЧа22)"1 А20 ,
к К 76л к ' ' 76л
л = -(а11 -в1(аЩ-1в2Гf-fаЭДа22)’^2) I/U +
'6Л( к /6л
4-Гф1 -вЧа22) *ф2^ 1,
V v ; Лл] (3.1.14)
pj = -f А22 - В^А11)"1/!1 Г f А21 - В^аН’В1) ,
к 76л к v 7 76л
21=-Га22-В2(а11)“1вО (4в2“в2(а11Г1в11 и0*+1 +
к 7бя ( к /6я
+Гф2-в2(ап)
к ' * J®nJ
Предположим теперь, что формулы, аналогичные (3.1.12), (3.1.13),
установлены для некоторого 1 < i < М:
uLi = <*&?+!+у,-
(3.1.15)
80
^-ln+1 +zi-
(3.1.16)
Выведем их для i + 1. С этой целью в уравнениях (3.1.5) для номера т =
«/исключимнеизвестное Uin+i с помощью уравнения (3.1.15). В итоге
получим
^^1Я+1 + л) + ^(£^+1 +£^1Я+1)=Ф1.
А41уД1«+1+ + ^(a<^+i + у/+1й+1)= ф?г
С помощью этих уравнений выразим 1/?+ 1я + i и ufn + i через 1я + Р
Имеем
^1я+1 = (A11 -D1/?2):* {(D1 А21 - В1). С/21и+1 +
+ фк - °}-. 4 - а\: fa - ^4 (3.1.17)
fa-
(3.1.18)
где
Р1=(А12а; + в}.)(А^ + В^а()-1, (3.1.19)
Dl = А? + В2 a, - В-?.1 (А?.1 Г* Al?a(. -в!.. f 3 1 20)
tn in tn 1 tn\ tn f tn * in yj.l.zAJ)
Формулы (3.1.17). (3.1.18) можно записать в следующем виде:
^J+in+i = ^i+i^Mn+i + Л+1 • (3.1.21)
^+1=Р.+1^+1я+1+г,+1, (3.1.22)
где
ai+1 =(А“-В1).., Pi+1 =(<b£(a")4.
х+1 =(а"-^в2);.1 (ф;я-°;яф;а+о;лФ--л.'я2х)’ (3.1.23)
Zi+1 = (dI Г’(ф1 -в2л+в-2 (а?.1 Г1 а-1? -вЯГа^Гф!.)
1+1 \ inf tn"'1 in\ inf *л <Л\ tn J
Итак, решение системы (3.1.4)—(3.1.5) можно получить с помощью
следующего алгоритма.
1. Определяем коэффициенты a,, pif yif zi для i = 1,2,...» М по
формулам (3.1.23), (3.1.19), (3.1.20), используя граничное условие для
функции U1 на левом конце отрезка [ОХ] (прямой ход прогонки).
2. Затем находим значения функций Uin+ р Uin + j для i = М0 по
формулам (3.1.15), (3.1.16), используя граничное условие для U2 на
правом конце (обратный ход прогонки).
6. Зак. зоз1 81
Для выяснения возможности применения этого метода (т.е.
существования всех обратных матриц в используемых формулах) нам
потребуется следующий результат.
Лемма. Пусть квадратная матрица А размерности пхп
представлена в виде суммы А = В + С, где
/. \ О
причем I bi I > Р > 0, 1 < i < п; II С IL < а < 0. Тогда матрица А
невырождена и справедлива оценка
ПА IL< 1/(Р-а).
Доказательство. На основании леммы Гершгорина [106]
невырождены матрицы А, В, Е—В"1 С. Используя ряд Неймана,
приходим к оценке
н 2
Ф1-+klcll- +|(В-1С) Я”+--
< 1 + а / р + (а / Р)2+...=р / (р - а).
Поскольку А-1 = (Е + В-1С) ' В-1, то
Цд-11 < |(Е + В-'с)-11|.|вч К. < 1 / (р - а),
Лемма доказана.
Докажем по индукции, что имеет место оценка
II ах IL < 1
(3.1.24)
и все обратные матрицы в формулах (3.1.14), (3.1.17)—(3.1.19). (3,1.23)
существуют. Начнем с i = 1. Напомним, что
(3125)
Из определения матрицы А22, оценки (3.1.17) и леммы вытекает оценка
II (A22)-1 IL^ I/O,
откуда следует, что
|B1(A22)‘1B2|^|B1h|(Aa)'1||.|B2U
На основании леммы существует матрица, обратная А11—В1(А22)~1В2.
Используя определенные нормы, легко показать, что
А11-ВЧа22)'^2]
82
a ifВ1 -В1 (А22 Г1 A21'I у1<2ст|М .
IK Л)л H
Отсюда и следует оценка (3.1.24).
Далее, предполагая выполненным неравенство (3.1.24),анало-
гичным образом доказывается невырожденность обращаемых матриц
на шаге i + 1 и оценка II ain IL< 1.
Теперь докажем, что решение дискретной задачи при достаточно
малых h и т близко к решению дифференциальной системы, т.е.
имеется сходимость. Для этого покажем, что точное решение
системы (3.1.1)—(3.1.2) почти точно удовлетворяет разностной
системе (аппроксимация) и что для решения разностной системы
имеет место оценка II U llA< II/11А, где II U ПА < 11/11^ какие-либо
нормы разностного решения Uh и правой части /, Мг — постоянная,
не зависящая от h (устойчивость). Чтобы показать аппроксимацию,
достаточно установить равенство Lhu-Lu = О (h), где Lk — разностный
оператор, a L — дифференциальный. Разложив в ряд Тейлора
функции итп, ит+1я, и‘тя+1> <+1я+1 и подставив эти разложения
в систему (3.1.3), после несложных преобразований получим, что
Lhu-Lu = О (h2 + т2), т.е. имеет место аппроксимация со вторым
порядком по отношению h и т. При наличии устойчивости такая
аппроксимация вполне удовлетворительна для практических целей.
Покажем теперь устойчивоть схемы. Для этого используем так
называемый энергетический метод, который состоит в том, что,
выбирая подходящую норму для решения системы, стараются
получить оценку вида
|“||ц -С1|“|у0 +с2|“||^1 +СзМц2 +
где II и Н у0 —нормы начального условия; II и 11^ , II и II у2 — нормы
граничных условий; II/ 11/7 — норма правой части; С1,С2,С3>С4“
постоянные, не зависящие от h и т.
Считая, что 1 < i <N0, умножим, Ле уравнение системы (3.1.3) на
2 (“тп + “т + 1я+1Ь а уравнение No + 1 < i < N на 2 (и^, + 1я +
+ м*те+1я+1). Для упрощения записи введем следующие обозначения:
Qmn ~ (^тл Um+\n ) “ ^^тл(^тл ~ ^т+1л) О’"»
/ • ' \2 / \2
^тл — (^тл ~ ^т+1л ) — ^т+1л ) & »
О*
-1,1 ^NOt
1, /V0+l<i<7V,
83
qL„+i - ei» -
Тогда исходную систему уравнений (3.1.3) можно записать так:
’ N ..
^^тл\итп + мт+1л + Wwi+1 +
7=1
N ..
+«L1„+1) + + U1M+1) + О(Л)£^(< + и'+1Я + <+1 +
/=1
+“i+i„+i) + 4/i.], i « N,
причем в правой части последнего соотношения сделана замена:
“т+1я+1 = “L.+1 + 0(h), и^,+1п = <,„ + 0(h).
Для в предположении, что Xmax w‘(xj) с 1, нетрудно получить
следующую оценку
Yi = 2 max 1, X. max w* (x,r) (
(3.1.26)
y2 = 2 1 - dl max w* (x,0
V *•*•* •
m-i .
Введем следующее обозначение Ql„ = Просуммируем левую и
m=0
правую части ( 3.1.10) по т и найдем выражение^* через Q&
. " . . . т « Г n .. .
X s^<+“"+ip+“^i +
р=0 2P=0^oU=l
\ • 1/ • \ т я М-1 N .. .
+“4+1Р+1) + 4fii, («^ + «iv+1) + 0(h)- £ Е +и'т+1р +
J р=0 т=0 [_/=1
+“^,+1 +“т+1Р+1) + 4Лр].
В силу неравенства (3.1.26), из которого следует, что
/ • \2 / \2
SmO (“то) +(«т+ю)
" • 2 / 2
04) +(4+1л)
84
можем записать, суммируя по i и п одновременно:
+Z £(^-^) + 2тЕ
х,л р=0 i,m,n
п ( N .. .
р=0^=1
+ “i.+ip)+
(3.1.27)
Для второго слагаемого в правой части (3.1.27) можно получить
следующую оценку-.
я I N 1
X 1(РмР-Pip)£(4Я) +
х,л р=0 л=0 х=1
I N . ,2
+2Ш maxw‘(x,r)X Z(“o.) • (3л 28)
Для гиперболической системы в канонической форме всегда можно
предполагать диссипативность граничных условий; т.е.
N . / . \2 N0 , . Ч2
Z Ча(4)г S-iK •
Nn+1 *=1
^0 . / . \2 N ’ / • \Ч.
ММ * £ Ч, г.
i=l »=У0+1
(3.1.29)
(3.1.30)
Из неравенства (3.1.29). (3.1.30) получим
о max w‘
NO. . 2 xti N 2 N
Z(^) Z (^) ^P Z
x-1 min ц/ x=Nq+1 x-JVq+1
M f \2
s Gc) >
(3.1.31)
N . . 4
x=No +1
max w'
min w*
N0 M . .2
^PS Z (“^.) •
/=1 m=0
(3.1.32)
x,t,i
С учетом последних неравенств неравенство (3.1.28) примет вид
я . . . . N / М-1 . 2
Z Х(рмР-Р0р)^™*{4М& 8АЛ/р}Х X Z {“m+ln} •
*,л р=0 х=1 я=1 т=0
85
Оценку для третьего слагаемого в правой части (3.1.27) можно
получить, применяя неравенство Коши—Буняковского:
я N
4,т,л\Р=0 У=1
U‘mn +'тл+1 Р
/,т,л
(3.1.34)
Введем нормы для решения системы u(x,t), для правой части
начальных условий:
м2=
itm,n i,m
Теперь воспользуемся е-неравенством
ИИ<гМ2 + ^И2, (3135)
где £ > О любое; обозначим у=тах {4Л/0, 8ЛЛ/Р) и, воспользовавшись
неравенствами (3.1.33)—(3.1.35), окончательно получим
tM’st.K. + T3M+4VWll»l2 + Wi2 +
+||«|2 + О(Л)7л'гИ| + ^Н2 + и.
О г о
откуда следует требуемая оценка:
11мКс1Му0 +C2II/II2+с3-
Данный метод решения системы квазилинейных диффе-
ренциальных уравнений в частных производных гиперболического
типа позволяет с минимальными затратами времени ЭВМ получать
статистические и динамические характеристики химико-техно-
логических аппаратов. Метод моделирования тепломассообменных
процессов на основе уравнения в частных производных является
эффективным в инженерной практике при анализе нестационарных
режимов и синтеза систем управления, поскольку он, во-первых,
отражает распределенный характер управляемых химико-техно-
логических процессов, во-вторых, достаточно строго математически
обоснован и позволяет разработать быстродействующий алгоритм
для расчета переходных режимов промышленных объектов.
86
3.2. МЕТОД ТРЕУГОЛЬНЫХ СЕТОК
Алгоритм численного решения краевой задачи
Ниже предлагается численный метод решения краевой задачи для
объектов с рециркуляцией взаимодействующих потоков. Пусть про-
цесс массопередачи в колонне описывается системой уравнений с
начальными и граничными условиями:
dt dl
(3.2.1)
э(я^(/,;)) a(Vy(/,0) ,
----——- + ——— - ку(у* -у)+Фу, 0<l<L, 0 < Z <Т,
х(/,0) = <р1(/),у(/,0) = <р2(/). (3.2.2)
d(Hx. xk(t)\
= L(O,0x(O,0 - V(0,f)y(0,0 - W(t)xk(t), (3 2 3)
xt(0) = ai, (3.2.4)
y(0,i) = а[у * -xt(l)] + **(')» (3.2.5)
d[Hx,xd(t\\
— = УаУЖ) - (Ld + D)xd(t), (3.2.6)
xd(0)=a2, (3.2.7)
yd(j) = У<ь- + Е<£У* ~ XL-0). (3.2.8)
К/УДО - V(L, 0у(1, О = L^O - L(L, t)x(L, t) (3.2.9)
Задача решается в области £2 = {(/, О I 0 < I <L, 0 < t < Т]. Для решения
задачи (3.2.1)—(3.2.9) построим численный алгоритм [4]. Заменим
производные в (3.2.1), (3.2.3), (3.2.6) конечно-разностными отно-
шениями. Для этого воспользуемся трехточечным шаблоном (рис.
3.2.1). В первом уравнении системы (3.2,1), где наклон характеристик
отрицательный, возьмем левый треугольник (см. рис. 3.2.1, а). а во
втором уравнении, где наклон характеристик положительный, —
правый треугольник (см. рис. 3.2.1. б).
Покроем область £2 прямоугольной сеткой с шагами Д/, AZ:
®д/,дг ={Gm =mM, tn = nbt, т = О,..., М, п-0..JV)}
и заменим дифференциальные уравнения конечноразностными:
ггтл+1 _ u^y гmn+1 _ rm—1л+1
лтл+1 г/х лтл _ ь лтл+1 ъ хж-1л+1 _
ДГ д/
= + фГ, (3.2.1а)
87
Рис. 3.2.1. Трехточечный шаблон
Ljmft+1 , — Vm+ln+lv vwn+l-v
У Утл+1 пу Утл V Ут+\п+\-у Утп+1 ,
Дг Д/
= ^(уяя-у1М) + Ф”я,
*mo=<Plm.Zno=<Pm (3.2.2 а)
irn+1 уП+1 _ иЛ уП
пхк лк П*кХк _ Олу vOflwп *
At ~L х°п V Уоп W Хк’ (3.2.3а)
х*=«1. (3.2.4 а)
Лл+1 = ф,+1 - хГ1 ] + 4+‘ • (3.2.5а)
1гП+1 уП+1 tin уП
х* fl a*dXd _ п п (/п Пл\ п
- )xd, (3.2.6а)
х2 = а2. (3.2.7а)
Уа" = Хил+1 + EafxL-i - Умя+1). (3.2.8а)
т/л+1 л+1 т/А/л+1 _гл+1_л+1 гМп+1 /а лл\
vd Уа -у yMn+i~Ld xd ~L xMn+^ (3.2.9а)
0<zn<Af, 0<«<W.
Алгоритм расчета состоит в следующем. Из уравнений (3.2.3а) и (3.2.5а)
найдем
п+1 ДЛОп Д/ИОл fi ~ Wn& Я
xk =—^гхОп--~гуОп------------------хк, xt=aP
нч н*к
Затем из уравнения (3.2.5а) найдем уоп+1и рассчитаем значения
ут+1л+1> 1 М, с помощью второго уравнения системы (3.2.1а):
Хп+1л+1
ргтл+1 __ ^гт+1
__________AZ у
Л1+1 л+1
^д/
77«л Д^ Lmn
ПУ Д/ > Д/ФГ
гл+1 л+1 У/пп у^ж+1л+1
88
Имея значение уМд+1, по уравнениям (3.2.6а)—(3.2.9а) найдем xMn+i-
Действительно,из уравнений (3.2.6а) и (3.2.7а) находим
. D-) ,
' “ "Z'
Y0 -П
xd “ а2-
Подставляя в (3.2.9) yjl) из (3.2.8), получим
Г“7Г^Г77~7 + L(L’1 }x(L’l>) =
Запишем разностный аналог последнего уравнения:
ОХМ ,
W' 71 А- ........ + ^n+lxMn+l = Ld+1xd+x +
1 + (1-а)хМл
+(иГ1Еа + V"»+1 ~Vdn+i)yMn+l.
Значения yMn+i и xd известны, требуется наити хМд+1, для чего
нужно решить квадратное уравнение.
г2 +
хМп+1 +
V^Eda + LMn+i - (1 - + (Vd+1Ed - VM„+i - Vdn+l)
+ /t \r ХМл+1 ~
w1*?1 + +yMn+i - кг1) 0
(1 - a)LM„+1
Имея значение Хмд+Ь из уравнения (3.2.1а) можем определить хтд+1,
М — 1 =^т^0:
^тл+1 __Н*1*
г -______________AL Х - г । х —
Ат—1л+1 £гп—1л+1 Атл+1 1л+1 тп
jjn—ln+1 —1л+1
Процедура повторяется для п = 1, 2,..., причем значения х, у,
полученные на предыдущем шаге, используются в качестве
начальных условий.
89
Оценка решений разностных уравнений
При численном расчете необходимо обращать особое внимание на
устойчивость разностной схемы, выбранной для нахождения прибли-
женного решения. Для доказательства устойчивости необходимо
получить оценку разностного решения в виде ||u|| q ||и0||4- с2||/||»
где ||и||— норма решения, Ци0|( — норма начального условия, ||/|| —
норма правой части, — достоянные, не зависящие от h. Отсюда
видно, что при изменении начальных условий или правых частей на
величину порядка h решение изменяется на величину того же поряд-
ка, т.е. рост ошибки, внесенной необходимыми данными, ограничен.
Здесь мы получим такую оценку для решения системы (2.6.11), кото-
рая эквивалентна (3.2.1). В первых двух уравнениях (3.2.1) раскроем
производные по /. Для простоты сохраним обозначения коэффициен-
тов при младших членах. Покроем область Q сеткой с шагом h = l/Af
по I и с шагом т == TIN по t, М, N задаем произвольно. Значения иско-
мых функций в узлах сетки обозначим х”**. утп, <?тя, 0 т М,
О п N, и запишем следующую систему:
фт+1и - ф™
т ~а h 1 ’
vmn+l _ ymn _
т h 2
(3.2.10)
тл+1 _ тп
_____________гтл((\пп д_ тл , „пптп
“ И Y + с2 V + с3 х + с4 У >
Т
утл+1 __ у™
2------2— = 4тлфтя + d^y™ + d^xmn + d^y™.
Через 5) и S2 обозначены комбинации младших членов и правых
частей. Для них можно получить оценки
о 2 9
г) +(/г) +(/г)
Аналогично
90
где
д = max
тп\2 1 л _
аи ) а2 =
В первых двух уравнениях системы приведем подобные члены
фтл+1 =
t та'"”'
<pffm
Тптя
h
(3.2.11)
тб™
1 — —— 1у"и
h I
Thmn
-¥-—ут~,п+Т$?Л
^.mn+1 _=
h
и к каждому из них применим лемму [361:
пусть
<о: (1—а) у + az + т5, 0=^a^l, la—£ 1<Ат,
тогда
©2^(1—a)y2 + Pz2 + (1+А) т (<о2+ z2 + 52).
Обозначим Р’ = тат+1я / h, Р" = тбт+1д / й. Из первого уравнения
(3.2.10) получим
(ф™+1)2«(1 — та™ /A)(q>™)2 + та'"+1"(ф'п+1")2 /
/ L . л -J /ул"1»*! 1 _l / С^1 1 I
/й + ^тдф / +Pi ) j- (3.2.12)
Выпишем неравенства для т = 0, 1,...,Л/—1 и просуммируем,
учитывая оценку для (S^")2:
2 2
Mf1(<pnw+1) — та0п{^0я)2 / h + TaM~ln((?Mn)2 /
m=0 m=0
Аналогичные выкладки проведем для второго уравнения и получим,
суммируя по т от 1 до М:
М 2 2 2 2
^£(vm'1) +г&°"(ф°',)/Л — тЬМп(чМп) /
m=l т=1
W 2 л
M + c2tS {(V™+1) +(фтя) + (3’2Л4)
т=1
91
Последние два уравнения разностной системы (3.2.10) умножим на
%mn + l + хтп и .ymn + 1 + утп сООТВвТСТВвННО И В Правой ЧаСТИ
воспользуемся оценкой ab^(a2 + ^)/2, получим
। v ( -тп . тп 1 _тп . тп\( _,тп\е' . -_тл//Лтл Xх . _Лп*п/ х,тп Xх /о n i сХ
+ 2\С] +С2 +Сз + с<* Ах / + Тс2 V4’ J +М> ) ’ (3.2.15)
+ ^р1ия + + dr )(/*" )2 + xdr (\|/тя )2 + ъ/Г(хт")2.
Выпишем неравенства для т = 0,1,...Д/ и просуммируем их:
+ -(сГ + сГ + сГ + сГ)(хт")2 +
2
+с4(утл)2 + |(сГ + сГ + сГ + сГ)(х'"п+1)21
+ + dr + dT + dr^y”1*)112 +
+ (dr + dr + dr + dr)(y"M+1 )2
Обозначим
величина Un эквивалентна норме решения системы (3.2.1). Сложим
почленно неравенства (3.2.1D—(3.2.15).
м
I
,п»=0
V1
4- d^1 -+7^Ci+742^2 + j +
п+1
+ d2*+7AiCx +7X3^2 + 1)(фшя)2 +
U
«tT+'d
92
+ 2 f~(сГ + <Г + сГ + сГ)+4Г + +7A2c2)(xm")2 +
m=0\^
+^сГ +1 (d™ + df* + dtp + d™) +1A& + 7A2c2 )(y"")2 + kUn+l + F J +
+t(c!M" + d^n +1A2c2 — 1 + aMn I h\
(ф£п)2 = t(7A2c2 +1 + aOn I fc)(<POn)2 + t(c2n + d?n +7^ + bOn I h)(y0n)2 —
—1(7Ajc] +l + bMn /h)(yMn)2,
1 mov J 1 / л«Л i I ^тл i 1 /^/тл i х/тл i Л*1* । Л*1* 7Г 7Г
^ = таХ^-(С! + С2 +Сз + с4 1>т(«1 + “2 + «3 + «4 ^1»^2
т»л[/' 1 Z '
Зреди коэффициентов при tp"1*, \pmn, х”", удд выберем максимальный и
>бозначим его M\t тогда последнее неравенство запишем так:
ил+х <ип + тм[[/л + Un+' + F + г(с1Мя + diMn + 7А2с2 — 1 — аМя / й)] х
х(ф"")2 _т(7А2с2 +1 + аОп /Л)(ф0")2 + т(с°" + d2n + 7А1с1 +1 — bOn / h)х
х(фОп)2 — т(7Дс, + l + bMn /hy(yMn)2,M
Из граничных условий (3.2.3а), (3.2.6а) найдем фОп = — СПг"^!") Y°">
фМл - — (^"/^^") и подставим в предыдущее неравенство:
(7Л+1 < Un + тМ(ип + С/л+1 + Г) -
-{t[(ciMn + diMn +7А2с2 — 1 + аМя / h)(tfn / ^"")2+7А1с1 + ЬМя / й]х
х(Vм*)2 — т[7А2с2 +1 + аОя / а][(т12П / <*) + ci°n + d2n +
+1А1с1+ЬОя / Л](\|/°Я)2}-
Выбрав соответствующим образом функции сделаем выражение
в фигурных скобках отрицательным, тогда, отбросив его, мы только
усилим неравенство
f/n+1 < Un + %м(ип + 1/й+1 + г).
93
Предположим, что тМ 1, и далее поступим так же, как это сделано в
[36]:
(1 — TM)(f/"+1 + F / 2) < (1 + TM)(t/" + F12),
ил + F12 < ЮМ-/у» + f / 2),
1 — xM ' ’
un < u° 1 + xM + — 1 + xAf
1 — xM 2 1 —xM'
Поскольку xM 1, то [(1+тЛ/)/(1-тЛ/)]'/х —> e2Mt при т —> 0, и из
последнего неравенства видим, чт<5 при и при достаточно малых
т ошибка, внесенная начальными данными, растет не быстрее, чем
экспонента, т.е. схема устойчива.
ГЛ АВ А 4
ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОРП
С РЕЦИРКУЛЯЦИЕЙ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ПОТОКОВ
В химической технологии, металлургии, энергетике и других
отраслях промышленности широко распространены объекты и
системы, в которых технологический процесс имеет про-
странственно распределенный характер. С точки зрения задач
управления подобные объекты обладают рядом характерных черт,
относящихся, с одной стороны, к математическим моделям и
методам расчета статических и динамических характеристик и, с
другой — к построению схем управления.
При проектировании систем управления промышленными
объектами с распределенными параметрами важную роль играет
рациональная организация систем измерения параметров уп-
равляемого процесса и первичной обработки измеряемой ин-
формации о состоянии технологического аппарата. Соответствующие
задачи ставятся по-разному в зависимости от функций про-
ектируемой системы и математических моделей управляемого
процесса. При этом возникает необходимость организации рас-
пределенного измерения и распределеного управления такими
процессами.
Развитие этих методов дается на примере процесса ректификации
многокомпонентных смесей. Рассмотрены методы синтеза высо-
кокачественных систем управления для широко распространенных
тепло- и массообменных процессов, осуществляемых по принципу
прямо- и противотока взаимодействующих сред.
Имея в виду, что управляемый объект — основное звено системы
управления по сложности аппаратурного оформления и
94
Рис. 4.1.1. Принципиальная схема распределенного измерения и управления
протекаемого в нем процесса, рациональная организация сбора
информации о состоянии сложного распределенного процесса
может существенно улучшить качественные показатели системы
управления в целом. Распределенный характер процесса требует
применения распределенного измерения управления. Это под-
тверждается успешной практикой использования измерения
параметров в промежуточных точках по длине аппарата.
Пусть известна математическая модель управляемого процесса.
Предположим, что производится измерение параметров этого
процесса по всей длине аппарата или системы. В то же время
регулирующие воздействия на систему заданы конечным числом
каналов воздействий и заданными типами стандартных регуляторов
(рис. 4.1.1).
Достаточно общая задача состоит в том, чтобы найти оптимальную
оценку состояния управляемого процесса для формирования
управляющих воздействий по каждому каналу по данным рас-
пределенного измерения. Таким образом, процесс управления
оптимизируется за счет распределенного измерения. В частности, эта
задача сводится к нахождению некоторой весовой функции рас-
пределенного измерения (контроля [34]). Тогда реализация системы
управления сводится к установке на объекте некоторого количества
датчиков, сигналы которых определенным образом поступают на
регулятор.
В системах управления технологическими объектами большинство
95
используемых датчиков по своим характетистикам близко к
точечным. Тем не менее полезно рассмотрение оптимального из-
мерения с распределенным датчиком. Способ обработки информации
в такой системе простейший. Он состоит в интегрировании с
некоторым весом функции состояния объекта по всей области
пространства, в которой определен управляемый процесс.
Рассматриваемая постановка оправдана, во-первых, тем, что в
некоторых производствах используются датчики с распределенными
параметрами (например, при производстве стеклопластиков [27]).
Во-вторых, она позволяет выяснить предельные возможности
улучшения качества управляемых систем за счет непрерывного
распределенного измерения.
В-третьих, имея функцию распределенного измерения, можно
поставить задачу об аппроксимации этой функции некоторым
конечным набором точек, т.е. перейти к дискретному распре-
деленному измерению.
Решение задач по определению весовых функций распределенного
измерения представляет и методический интерес, поскольку при
этом проявляется общность задач оптимального измерения и
оптимального управления. При этом для решения задач оп-
тимального измерения применяются методы теории оптимального
управления.
4.1. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ ТЕПЛОМАССООБМЕНА
Постановка задач оптимального управления
Рассмотрим следующую задачу опимального управления объектом
с распределенными параметрами, управляемый процесс в котором
описывается системой дифференциальных уравнений в частных
производных гиперболического типа [167—1691:
df дх jtsQ
(4.1.1)
^ = b2^ + f‘(ul......MA';Z1>...,Zz) + '"£cX=Xi,N0 + l<i<N,
dt dx j-Q
£2 = {(x,r)|0 < x < L,0 < t < T|};
M‘(x,0) = <p'(x),l^i<W; (4.1.2)
= (413)
и)(О) = <р<, 0<j<m + l; (4.1.4)
^(w)(f)>...,M^(t);M1(xy,t)....MW(x>,t);v)(0....,vJy(0) = O. <4л 5j
96
Если системой (4.1.D—*(4.1.5) описываются нестационарные режимы
ректификационных колонн» то в этом случае функции i? (х, t),
1 i N, характеризуют концентрации многокомпонентных сме-
сей, температуру взаимодействующих сред и т.д., причем первые
уравнений — для процессов в жидкой фазе, а остальные (N — No) — в
паровой фазе; Zi (х, t)t i — “объемные", или распределенные,
управления. Уравнения (4.1,3)—(4.1.5) отражают процессы, про-
исходящие в точках, распределенных по длине аппарата, включая и
граничные точки. На практике такие точки в ректификационных
установках обусловлены, в частности, стриппинг-колоннами.
Функции Uj (0 являются показателями концентраций, температуры и
т.д. в j-й точке аппарата, vj — управляющие функции (например,
входные потоки) в j-й точке объекта. Считаем, что система
(4.1.1)—(4.1.5) замкнута.
Теперь сформулируем задачу оптимального управления: для
управляемого процесса (4.1.1)—(4.1.5) найти такие управляющие
функции Zi (х, 0, и* (0 в классе кусочно-непрерывных функций из
промежутков
zimin — г<тах» У/min (0 — У/тах» (4.1.6)
которые в силу системы (4.1.1)—(4.1.5) максимизируют (минимизируют)
функционал качества
а' эа
.... ...(4.1.7)
Такая постановка задачи оптимального управления охватывает
довольно большой круг практически важных задач при ав-
томатизации химико-технологических установок.
Вводя вспомогательные управления //( (х, 0, Л* (0, приведем
неравенства (4.1.6') к равенствам
(*imax — — Zimin ) — °*
(У/max V/)(V/ У/min) (fy) = 0. (4.1,6)
Задача (4.1.D—(4.1.7) сформулирована для разомкнутой системы
управления и позволяет найти функцию оптимального управления
при различных возмущающих воздействиях. Управляющие потоки
могут быть связаны некоторыми ограничениями, обусловленными
технологическими условиями. В этом случае можно построить
области допустимых управлений (см. гл. 6).
7. Зак. 3031
97
Необходимые условия оптимальности
Для получения необходимых условий оптимальности (условий
стационарности) используются методы классического вариационого
исчисления [1671. Рассматриваемые в книге задачи характерны тем,
что одни и те же управления в задаче (4.1.1)—(4.1.7) являются как
граничными, так и "объемными". Управляющие функции предпола-
гаются кусочно-непрерывными, а соответствующие им решения —
непрерывными и кусочно-гладкими.
Для получения необходимых условий оптимальности рассматри-
вается вспомогательный функционал*.
I-Ii+I2=jjLdxdt + jldtt
Q dQ
где
V i=l Ot
+
+ ХГ‘((г,шах - zi)(zi - Zimin) "
m+1 Pj
j=0i=l
'du‘
4i //
+ ЛХ + ХедК»»
J=1 '
(г)-Х(О.-.-иХя1 ('))•
Здесь = Е/ (x,t), 1 N; у = у 1 i /, — функции Ла-
гранжа, определенные в Q = {(х,0 I 0 < х < L,0 < t < Г); функции
(0> л; = Л}* (О, 1 i * ph о j т + 1, е' =
= г*. (0,1 5 — также функции Лагранжа, определенные на [0,7]
(их можно считать определенными на 3D, причем ^‘ = Л j =
= е* = 0 на ЭО/{(х,0 I х =хр 0 j т + 1}).
Пусть г,-(х,0, Vх(г) — оптимальные управления; Hhhs — соот-
ветствующие им (согласно (4.1.6)) вспомогательные управления;
z? (xj), — оптимальные решения задачи (4.1.1) — (4.1.5), соответ-
ствующие этим управлениям; 8z(( 81£ — вариации управлений zit и*;8Нь
8h* — вариации вспомогательных управлений Я, и hs.\ 8u\ Ьи1. —
соответствующие вариации решений. Вычислив вариацию
вспомогательного функционала 8/ = 8/1 + 8/2 и объединяя члены при
98
одинаковых вариациях, получим сопряженную систему относитель-
но множителей Лагранжа:
их»..
dt дх
(4.1.8)
%L + b2^L = Zk, N0 + l^k^N,
dt dx
где
, др n . 3fx
l^^N,^(xT) = 0;
du i=l Эи
Э£< N L
= ftk(x,t)dx,
at k~\ о
де
^(T) = 0, l=£i=sPy>0« j«/n + l;
pj
Sy)* =0, J=s m,
(4.1.9)
(4.1.10)
(4.1.11)
(4.1.12)
де
A)
SYo +^*(0,r) = 0, l^k^N0',
i=l
A) .. ,
E Yo - Ь& (0.0 = °. No + 1 =s k =s N;
i=i
(4.1.13)
(4.1.14)
E Ym+i-*i№.0 = 0, l^k^N0;
1=1
E1 Ym+i + *zV(^.O = 0, No + 1 =S к < N-
e^ = 0,
S(₽“ + 8)) = 0,
P' Эи) Эи) Эм) ’ 5j у' Jmax >min
99
' у’//. = О,
dZi *=i 0Zi
Левые части конечно-разностных аналогов уравнений (4.1.18) и
(4.1.20) представляют собой градиент аппроксимированного функцио-
нала качества (4.1.7). Благодаря этому метод решения задачи оптими-
зации включает в себя решение двух краевых задач (исходной и
сопряженной к ней) и антиградиентный спуск по вариационным
равенствам к минимуму.
Полученные условия стационарности используются в дальнейшем
для определения оптимальных управляющих воздействий. В после-
дующих главах приведены соответствующие алгоритмы и результаты
расчетов для промышленных объектов.
4.2. НЕПРЕРЫВНОЕ РАСПРЕДЕЛЕННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ
В ОБЪЕКТАХ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Рассмртрим следующую постановку задачи оптимального
управления для системы автоматического регулирования. Используя
идею о весовой функции распределенного измерения (контроля 134]),
сигнал, поступающий на вход регулятора, можно представить в
следующем виде:
N L .
ф; = Е lu‘(x,t)g^(x)dx, (4.2.1)
1=1 о
где g* (х) — весовая функция распределенного измерения для 5-го
управляющего воздействия в j-й точке управления z-ro (измеряемого)
параметра.
Поставим задачу оптимального управления в замкнутых системах
со стандратными регуляторами П, И, Д, причем на вход этих регуля-
торов поступает сигнал вида (4.2.1). Для объекта, описываемого урав-
нениями (4.1.1)—(4.1.5), задача формулируется следующим образом. В
классе кусочно-непрерывных функций g“(x), удовлетворяющих огра-
ничениям
min ® j * °j max
(4.2.2)
найти такие, которые в силу системы (4.1.1)—(4.1.5) минизируют (мак-
симизируют) функционал качества (4.1.7).
Решение задачи оптимального управления в такой форме по-
зволяет найти оценку предельных возможностей распределенного
измерения. В дальнейшем эту задачу будем называть задачей
распределенного (оптимального) измерения. Практическая ценность
решения задачи состоит в возможности выбора структуры системы
100
управления и наиболее информативных параметров измерения для
управляемого процесса.
Ограничения на gj (х) можно не накладывать, если искать эти
функции в виде тригонометрических функций или других функций,
которые ограничены. В качестве такой функции можно выбрать,
например, sin (g* (х)).
Получим необходимые условия оптимальности (условия ста-
ционарности) для замкнутых систем оптимального управления с
различными законами регулирования.
1. П-регулятор. В этом случае управляющие функции имеют вид
«ДО (*)<&. °^т + 1’ (4.2.3)
»=10
а сопряженная система уравнений относительно функций Лагранжа
выглядит следующим образом.-
^- — b1^~ = Zk+Nk, l^k^N0,
dt dx
^-b,^- = Zk + Nk, N0+l^k^N, (4.2.4)
dt 2 дх
m+1 Л <7 . .
n* = x i
/=0 1=1 J=1
Для этой системы аналогично формулируется краевая задача с
начальными (4.1.9) и граничными (4.1.10) — (4.1.19) условиями.
Поскольку в этой задаче управляющей является лишь функция и* ((),
то соотношения (4.1.20) и (4.1.21) отсутствуют, а соотношение (4.1.18)
имеет вид
f^(₽7+8j)u‘(x,r)dz = O.
о<=1
2. И-регулятор. Управляющие функции задаются выражением
Ё /м(г.т)/м*(х,т)^(х)ЛА, (4.2.5)
ь=1 о о
где и (г,т) — заданное ядро регулятора.
Сопряженная система и уравнение (4.1.18) выглядят следующим
образом-.
-----bl^- = Zk + Nk \u(t,x}dx, l^k^N0,
dt dx n
101
— b2^- = Zk + Nk\u{t,x}dz, N0 + l^k^N, (4.2.6)
dt dx о
T Pj t
J £(P7 +8;)f«(CT)u*(xT)dTdr = 0,
o^=i о
Остальные уравнения сопряженной краевой задачи такие же, как и
в предыдущей задаче. По такому же принципу формулируются и все
остальные задачи в этом параграфе.
3. Д-регулятор. Здесь управляющие функции задаются следую-
щими выражениями:
^(0-Х J^^gf(x)dx. (4.2.7)
Ь=1 о d‘
Сопряженная задача относительно функций Лагранжа для Дг-
регулятора имеет вид
IewJVo,
dt dx dt
^- + d2^- = Z* +^T-. N0 + l^k^N. (4.2.8)
dt dx dt
Начальные условия для системы (4.2.8) имеют вид
^(х,Г)= 1 1\^(Т) + 8к(Т)), l^k^N. (4.2 9)
»=i ;=о
Соотношение (4.1.18) будет следующим:
J I(py+8')^^^b, = o. (4.2.10)
о /=1 dt
4. Дх-регулятор (измерение производной управляемых пара-
метров по пространственной координате duk (x,t)/dx). Управляющие
функции задаются формулой
X г duk(x,t) skf 4j
^(') = Z J—^-gjMdx.
k=l 0 dx
(4.2Л1)
Сопряженная система имеем вид
^-bl^. = zk+m^ I £(ру+8')^1
dt dx j=0 J=1 f=p dx
V^k^N0,
d£.k dtk l m+1 PJ 4‘ i \ dgsHx\
^- + b2^- = Zk+^ X E₽“+8<-^-2. No + l^k^N. (4.2.12)
dt dx j^q J=l J=p ' ax
102
Соотношение (4.1.18) выглядит следующим образом:
Т Р' ~х к ( \
J l(₽7 + 8<)^-^2* = 0.
о <=? ' дх
(4.2.13)
Полученные условия стационарности для этих законов ре-
гулирования служат основой для разработки алгоритмов и программ
расчета оптимальных систем измерения и управления. В по-
следующих главах приведены результаты исследований оптимальных
режимов для ректификационных установок.
4.3. ДИСКРЕТНОЕ ОПТИМАЛЬНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ
ПАРАМЕТРОВ ОРП
Рассмотрим достаточно общую задачу для системы дискретно-
распределенного измерения объекта с распределенными
параметрами (см. рис. 4.1.1). В этой задаче искомыми являются
координаты /-тых точек измерений £-го измеряемого параметра для s-
sk хк
го управляющего воздействия в j-й точке управления Ху, к у — коэф-
фициенты усиления сигнала в соответствующих точках измерения .
Можно также рассматривать задачу выбора координат точек
приложения управляющих воздействий — Xjtj = Чтобы
сформулировать задачу оптимизации в непрерывном варианте,
зададим вид функции распределенного измерения с неизвестными
хк
координатами точек измерения Ху и соответствующими коэффи-
хк хк
циентами усиления кц;. В частности, функцию gj (х) можно выбрать
следующим образом:
Qj
gf(x)=Lki*e 1' l^k^N, 0=sj=s»i + l. (4.3.1)
i=i
Можно так выбрать параметры этой функции, что она будет иметь
один ярко выраженный экстремум, соответствующий координате
точки измерения.
Теперь сформулируем задачу оптимального дискретно-рас-
хк
пределенного измерения: найти координаты точек измерения ху и
коэффициентов усиления к** к-го измеряемого параметра процесса в
у-том контуре управления /-й точке измерения для 5-го
управляющего параметра, которые в силу системы (4.1.1)—(4.1.5)
максимизируют (минимизируют) функционал качества системы (4.1.7).
1. П-регулятор. В этом случае функции управления представлены
формулой
N Qj L -с(х~^к}2
WjWMe dx. (4.3.2)
к=\ /=1 о
103
Необходимые условия оптимальности (условия стационарности) в
этом случае получаются следующие: в области Q = {(хд)
0<«Г) имеем сопряженную систему уравнений в частных про-
изводных:
---bi^- = Zk+ok, l^k^N0,
dt дх
^-+ b2^-=Zk+<jk, N0+l^k^N, (4.3.3)
dt дх
l=l y=o i=i j=i
начальные и граничные условия (4.1.9)—(4.1.17) остаются без
изменения. Градиенты функционала по оптимизирующим параметрам
имеют вид
Т L
J \^uk(xtt)dxdt^Qt (4.3.4)
о о
р. (
= f(P7 + 8)рх-х^ ,
1=1
J J vftkf (х - х£ yk(x,t)dxdt = 0, (4.3.5)
00
0^j^m + l.
При решении этой системы совместно с (4.1.1)—(4.1.5) получим
координаты оптимальных точек измерения и коэффициенты усиления
соответствующих сигналов. Аналогично формулируются задачи для
других регуляторов.
2. И-регулятор. Управляющие функции для этого регулятора
определяются следующим образом:
N Qj ,t L -cfx—rfk''?
v)(r) = Z Х^*/м((,т)/и*(х,т)е ' dxdx. (4.3.6)
b=4 i=i о о
Сопряженная система в этом случае имеет вид
----br - Zk +о* [к((,т)А,
dt---дх q
— + b2—^— = Zk+ek\u(t,x)dx, N0+l^k^N
dt dx о
Соотношения (4.3.4), (4.3.5) выглядят следующим образом:
TL t
J J ^^(xj^u^t^dxdxdt = 0,
oo о
104
J J Uk(x,t)(x — x£*)j u(t,x)didxdt = 0.
oo о
3. Дгрегулятор. Вид управляющей функции задается формулой
„(,)= £ (437)
*=1 /«1 о ™
Сопряженная система в этом случае следующая:
si_^=z»+<£, lejKW„
St dx dt
Na+i^N.
dt дх & 0
Начальные условия в этой задаче ненулевые:
е(хд)=о‘(г).
Соотношения (4.3.4), (4.3.5) принимают вид
и^‘^Н'=0’
0 0 01
4. Дх-регулятор (измерение градиента по длине аппарата
измеряемого сигнала дик (х, t)/dx). Вид управляющих функций оп-
ределяется по формуле
(4.3.8)
Сопряженная система следующая:
^- + b1^- = Zk+ek, l^k^N,
dt dx
----ft2^-=Zk + 0*. N^ + l^k^N0,
dt dx °
0* = 1 lrf(x-xf№ +
106
Соотношения (4.3.4), (4.3.5) имеют вид
st duk(x,t) . . _
J J < ’<Mt = 0.
0 0 °х
TW^k(X-X^)^^-dxdt = ().
0 0 °х
4.4. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ
ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
Цель этого раздела — сделать математическое обоснование для
ряда частных случаев в задачах оптимального управления, рас-
сматриваемых в работах [40—681, т.е. показать существование,
единственность оптимального управления и сделать, где это
возможно, строгий вывод необходимых и достаточных условий
оптимальности [123,125].
Здесь исследуются задачи оптимального управления системами
гиперболических уравнений. В связи с отсутствием корректных
постановок краевых задач общего вида даже для линейных систем
такого типа в разделе приводится в процессе исследования
небольшой обзор работ по этому вопросу. Особенно это относится к
граничным условиям, так как каждая из имеющихся в литературе
постановок имеет какие-то свои специфические граничные условия.
В рассмотрение включены только те краевые задачи и задачи
оптимального управления, которые имеют прикладную направ-
ленность: описывают некоторые режимы в динамике распределенных
процессов в технологических аппаратах и оптимальное управление
такими процессами.
Выяснение деталей, связанных с выделением подходящих ре-
жимов, т.е. таких, математические постановки которых соот-
ветствуют постановкам рассматриваемых здесь модельных задач,
выносится за рамки этого параграфа. Следует отметить только, что
выделение таких режимов не сужает принципиально сущности класса
исследуемых модельных задач, а критические моменты в этом
вопросе в основном снимаются. При подборе обзора ориентация шла
на модельные краевые задачи, приведенные в [48].
Первая краевая задача
Пусть G — ограниченная область в Rn, имеющая (л - 1)-мерную гра-
ницу Г класса гладкости С2» Q = ZxG, где Z — отрезок {г. 0 =е t =е Т] —
цилиндрическая область с боковой частью Q' = /х Г границы
области Q. Через G (т) обозначим . пересечение области Q с
плоскостью t = х и через Г (т) — границу этого пересечения. В
замыкании Q области Q задана гиперболическая система уравнений
106
в частных производных 1-го порядка:
^K_£Av(x,r)|^ + D(xjX = /, (4.4.1)
dt V=1 dxv
где W (x,f)tf (x,t) — векторы-столбцы размерности N; Av 9D — квад-
ратные матрицы порядка N; Avg C2 (Q) — элементы матрицы; D —
ограниченные измеримые функции.
Решение подчинено начальному условию
И/(х,О) = Жо(х) (4.4.2)
и граничному условию на Q':
B(x,t)W(x,t) = g(x,t),, (4.4.3)
где В — гладкая матрица на Q, имеющая N столбцов и фиксированное
число q линейно независимых строк; g — вектор-столбец раз-
мерности q.
При условии, что система (4.4.1) является гиперболической в
обобщенном смысле по И.Г. Петровскому в Q, симметричной на
удовлетворяет условиям II—IV из [1731 иприлюбых/е Н (Q), g е
с Н (Q), УИо е Н (G), существует единственно сильное решение (ИЛ$,
Р) задачи (4.4.1)—(4.4.3), для которого
Мо + ИО. +ио«сопя {Ио +ИО. +MJ (4.4.4)
где константа не зависит от /, g> ИЛ> и тройка (17, S, Р) — сильное
решение задачи (4.4.1)—(4.4.3), определенное с помощью после-
довательности функций
^(xjjeC^Q) при v —°о,
Iй'» - Чо + Н - SL + Н (х.Т) - ft. + ILW, - /|о +
+|В W, — s|Q. + |W,(x,O) - W„| -> 0.
Здесь использованы следующие определения норм-.
т 2 т 2
МЧИ dt' Ы1
о £1(с) о Г(г)
где
11<(1)= л^м2^.
GW
Ыг(о= Л£(*-')|2<&'
Г(<)
107
и*Лс*— элемент поверхности на Г (0. Аналогично определяются
Иг(.) “ М<г
В этом параграфе при формулировке задач управления мы
используем обозначения Лионса [97].
Пусть задано пространство управлений — гильбертово про-
странство U и отображение
В 6L
где L (UJT) — пространство непрерывных линейных отображений.
Для каждого управления ие U состояние управляемой системы
пусть определяется как решение W некоторой системы уравнений.
Кроме того, задано наблюдение
z(u)= cW(u)t
где с g .£ (Я,#), #—некоторое гильбертово пространство.
Далее, имеется положительно определенный оператор
N ,U),{Nu,u)y3>V||u|g, V > 0, Vw е U.
Каждому управлению и g U соответствует значение опти-
мизируемого функционала
J(«) = ||clF — гд|^+(№.«)„.
где 2Д — данный элемент пространства#. Пусть множество выпукло и
замкнуто в U.
Задача оптимального управления состоит в том, чтобы найти
min J(v).
\)€ <7э
Для первой краевой задачи управляемая система задается
следующим образом:
1 Д, (х, t) + D{x, l )W = f + Ви
dt v=i dx
— и W удовлетворяет условиям (4.4.2), (4.4.3). Согласно [173], эта
система уравнений однозначно определяет состояние W (в обоз-
начениях [173]).
Краевые задачи, рассмотренные в [48], с помощью методик,
описанных, например, в [173], [96], через эквивалентные пре-
образования приводятся в соответствие с первой краевой задачей.
108
Проверено, что для данной краевой задачи и задачи оптимального
, управления выполняются условия теории Лионса [97].
Аналогично ставятся задачи оптимального управления по границе
и начальным данным.
Вторая краевая задача
В этом разделе мы будем опираться на результаты по корректной
постановке краевой задачи, имеющиеся, например, в [96]. Вновь
рассматривается краевая задача для гиперболической системы, но
несколько иного ВИДД:
^L_A(x)^ = B(xX, WeEH, t>0, 0<х<1, (4.4.5)
dt dx
где A (x) — непрерывно дифференцируема и В (х) непрерывна. При
слабых предположениях [204] эту систему можно нормализовать так,
что
А(х) = diag(?4 (х) Х'р(х),Х*+1(х).Х+р+? (х)),р + q = п.
Здесь Xjt — собственные значения А (х), такие, что
Xi (хи.. х х; (х) < о < х;+1 (хн...« х;+, (х).
Новые матрицы А (х) и В (х) сохраняют свойства матриц А (х) и S (х).
Ссылаясь в дальнейшем на систему (4.4.5), будем иметь в виду, что она
записана для матриц А (х) и В (х).
Теперь А (х) может быть представлена в следующем виде:
X (a-W о "I
А(Х) [ 0 A+(x)J
в соответствии со знаками собственных чисел X*. а состояние
системы W может быть разбито на
W = l F|, W'eEp, W+eE9.
(W+)
Заданы начальные и граничные условия:
W (-.О) = Ио ~ заданная функция L2 ([0,1]; Ея), (4.4.6)
W~(0,t) = DoW+(0,t), (4-4.7)
1
W+ (l,t) = А И'" (1, () + J F(x)W(x, t)dx + Dv(t). (4.4.8)
о
Здесь функция v(r) е Е* задумана как граничное управление, F (х), 7>о»
DUD заданы.
109
Задачи типа (4.4.5)—(4.4.8) рассматриваются, например, при
моделировании нестационарных режимов процессов тепло- и
массообмена в сложных химико-технологических установках (см.,
например, [58], для полулинейных систем [48]; в этих работах имеется
физическая интерпретация таких краевых задач).
Пусть вначале F (х) s О, D — невырожденная матрица. Тогда
система (4.4.5)—(4.4.8) имеет обобщенное решение
(см. [207]),
H'(j)=5(0% + CWvw,
(4.4.9)
где v ^означает сужение v на [0, (); 5 (г) — ограниченный оператор в
Ьг ([0,1]; Е") и С (t): L2 ([0,r]; Е« -» L2 ([0,1]; En) — ограниченный
линейный оператор для каждого г Утверждение, что обобщенное
решение лежит в пространстве Е([0,«>); L2 ([0,1]; Ел), означает, что для
каждого О 0 W (-,0 принадлежит L2 ([0,1]; Еп) и
Известно также, что
где Мну зависят только от А (х), В (х), DQ, Dx , D. В [20а] имеются
оценки для М, у и нормы оператора С (0- Тогда (4.4.9) дает
„ +Р<М , (4.4.10)
где p, = }|C (t) ||, zs=O.
Поставим теперь задачу оптимального управления. Пусть задано
пространство управлений — гильбертово пространство U, здесь Ь2
([0^]; Е*), и множество допустимых управлений
C/d = {г»|е U, u(r)e А'для почти всех te [0, 73}, (4.4.11)
где К — выпуклое замкнутое подмножество в Е*. То есть множество
допустимых управлений задано локальными ограничениями.
Для каждого D g £/3 состояние управляемой системы определяется
как решение W системы уравнений (4.4.5)—(4.4.8) (F (х) s 0). Каждому
110
управлению^ е U3 соответствует значение функционала качества
*
ьг([о,1],£«)
'+|{7(-,Т);и) —Ж-()|2 + v(v,v) . (4.4.12)
*i Z2([0,l];E₽)
Здесь наблюдение является финальным, И7* (х), W * (х) — заданные
функции, v > 0.
Задача оптимального управления состоит в том, чтобы найти
inf J(v). (4.4.13)
Далее доказывается сходимость метода последовательных
приближений для реализации необходимых условий оптимальности,
записанных в форме вариационных неравенств, для задачи
оптимального управления гиперболической системой уравнений с
финальным наблюдением. Доказывается существование оптимальных
управлений нелинейной задачи управления для функционала общего
вида.
Вначале рассмотрим необходимые условия оптимальности.
Функционал (4.4.12) благодаря наличию в нем третьего слагаемого
является квадратичной функцией!) и представляется в виде/(и) =
=а (и,и) — 2 L(u), где а (и,и) — билинейная непрерывная на U форма, а
L(v) — линейная на U форма. Тогда для J (v) верна теорема 1.1 Лионса
[97], из которой следует, что существует единственный элемент и е
е t/d, который решает задачу (4.4.13).
Сопряженное состояние р (-,r) g L2 ([0,1]; Еп) определяется как
единственное решение задачи
= А(х) & - (В * (х) - А' (х)р),
dt дх
Р+ (0,0 = -(А+ (О))'1 р; А- (0)р- (0, t).
= -(А-(1))~1О;А+(1)Р+(1л), (4.4.14)
p+(-,T) = 2(w+(-,T) — Ж+),
p-(-,T) = 2[w~(-,T) — И4+).
Пусть выполнены перечисленные выше условия, при которых
исходная и сопряженная задачи являются корректно поставленными,
тогда существует единственное, оптимальное управление и g U3 для
функционала (4.4.12), удовлетворяющее соотношениям (4.4.5)—(4.4.8)
111
(Г(л^О), (4.4.14) и вариационному неравенству
(4.4.15)
Вывод вариационного неравенства имеется в [208]. Для решения
поставленной задачи применяется метод последовательных
приближений. Таким образом, для нахождения оптимального
управления требуется совместно решить системы (4.4.5)—-(4.4.8)
(F = (x)s0), (4.4.14) и вариационное неравенство (4.4.15). Это нера-
венство есть необходимое и достаточное условие для определения и
как проекции на множество U& т.е.
f A+(l)Dp+(«)
И"М——
где — оператор проектирования на L/j. В случае локальных
ограничений вида (4.4.11) проекция в L2 определяется следующим
образом:
(4.4.16)
2v
для почти всех t е [0,73.
В соответствии с методом последовательных приближений
рассмотрим последовательность [и,] такую, что
2v
(4.4.17)
почти для всех t е [0,7], где рк находятся из системы (4.4.14). a Wk,
присутствующие в системе (4.4.14), в свою очередь, находятся из
системы (4.4.5)—(4.4.8) (F (х) s0) при и= и^.
Покажем, что имеет место сходимость и* -> я в ([0,7]; &)- Следуя
схеме Рассела [207], определим оператор N: 1>г ([ОД]; Е*) —> 1>г ([0,7]; ^0
по формуле
Np(-,7’) = D,A+(l)p+(l,).
Оператор N является сопряженным оператору С: Е2 ([0,7]; Е») -» 7^
([0,1]; Е"), определяемому решеним задачи (4.4.5)—(4.4.8) (F (х)=0)
W (-,0) = 0 по формуле
Cu = W(-,T).
Это следует из соотношения [208]
-(С-Л*(1)р-(1..),«) . (4.4.18)
112 ' '
из которого получаем
j (P(-,T),Cu) = (Np(;T),u), (4.4.19)
т\е. N = С* (Т).
В связи с тем, что проектор на выпуклое множество является
нерастягивающим отображением, и из (4.4.19), (4.4.17), (4.4.14) и (4.4.10)
имеем
+1 W*IL^[O,T];£*) *
( А+(1)Пр?+1(1д)
”* к—
-Я> -
вр-л*(1)Ох
2v ^(lul.^) 2v
г max l^-(1)|
-1
t max|X, (l)|
V min[\(l)|
|D|.|(D-)-'|.|C(T)^(|or|.e,)
max|X,.(l)|
х||и;+1((г)-1П(-.П||иl0,1];E^~------И-p) x
1 I vmmx,.(l) “ 9
х||с*(г)|||с(г)Н«*+1(0-«*(0||
b2([0.T].E«)
Полученный результат сформулируем в виде теоремы.
Т е о р е м а 1. Для v > I имеет место сходимость и* -> и в 12 ([0,7];
где
maxlX^1))
у = _J------р||- (D‘)-1 •||С’(Г)|.|С(Г)|.
mmM)| В В
3. Зак. 3031
113
X
^([o.n-E*) 2v
X
X
Рассмотрим теперь задачу (4.4.5)—(4.4.8) полностью, не зануляя
член! F (х) W (х,1) dx. Для решения такой краевой задачи также верна
о
оценка (4.4.10) [208]. Эта оценка позволяет определить решение задачи
(4.4.5)—(4.4.8) в Ь2 для случая, когда
IF0(x) G£2([0,l];E").vWe ^([О, Г];£’)
как предел последовательности гладких решений, соответствующих
приближенным начальным данным.
Вновь рассмотрим задачу оптимального управления для краевой
задачи (4.4.5)—(4.4.8), ограничения на управление (4.4.11) и
функционала качества (4.4.12).
Тогда сопряженная система и вариационное неравенство имеют
ВИД
=~А +a+^p+^f^’
Р+М = -(А+(О))-1 D0‘А- (0)р- (0, t),
р~(1 = -(А-а))4^* A- (l)p+(lj),
p+(-,T) = 2[w+(-,T)-W.+ ),
(A+(l)Dp+(l,0 + 2v«,u - «^([o rj^^O.VVG Ud.
Вывод этого вариационного неравенства аналогичен выводу
вариационного неравенства (4.4.15). Так как для этой задачи
управления выполняется соотношение (4.4.18) [208], справедлив
аналогичный результат о сходимости (теорема 1).
Теперь рассмотрим вопрос о существовании оптимального
управления для нелинейной системы.
Пусть теперь в (4.4.8) £> = 0, a F — qx л-матрица-функция, линейно
зависящая от управления, т.е.
F = F(xtV>) = £ и/х)Еу(х),Е/х) g ЕД[0Д]).
/=1
Для решения краевой задачи такого вида в том случае, когда на
и(х) наложены ограничения и е где
= {и g U, v(x) g К для почти всех х g [ОД]}, (4.4.20)
К — выпуклое замкнутое подмножество в Е", U =Ь2 ([ОД]); Ем),
справедлива оценка, аналогичная (4.4.10) (см. [208]):
(4.4.21)
114
Определим теперь коэрцитивный относительно V функционал
качества следующим образом:
T1 1 1
J(v) = J J у(х, t, W(x, t))dxdt + J Z(x, W(x, T))dx+vju2dx;
oo oo
здесь v > 0, у и Z — известные функции своих аргументов.
Снова рассмотрим задачу (4.4.13) для вновь определенных J(v) и L7d.
В поставленной задаче управления отображение VF(v) становится
нелинейным, и здесь непременимы классические теоремы о
существовании и единственности оптимального управления 197],
разработанные для линейного случая.
Теорема 2. Для функционала качества (4.4.22) существует по
крайней мере одно оптимальное управление, т.е. такой элемент ие
что
J(w)<J(v), Vh€t/a.
Доказательство. Пусть {vj — минимизирующая пос-
ледовательность, т.е.
iHf J(v).
VG(Jd
Обозначим VF(v*) = В силу коэрцитивности функционала J(v)
последовательность {14} ограничена в /^([ОД]; Ет). В данном случае
коэрцитивность функционала выполняется, если от функций у и Z
потребовать ограниченность снизу. Поэтому из {vj можно выбрать
слабо сходящуюся последовательность ик -» и.
Пусть W — решение краевай задачи, соответствующей управлению
и. Покажем, что VF* -» VFno норме L2([0,l]; Е").
При х = 1 для разности решений имеем
(Wk _ ИТ = - Wj” + J - W)dx +
0 7=1
o/=l
Кроме этого, вектор-функция (Wk— VF) удовлетворяет системе
уравнений (4.4.5)—(4.4.8) (D = 0) с однородными начальными данными.
Поэтому справедлива оценка
k* - WIl2р 1/
Ilj ([0,1];^")
Так как интеграл в правой части неравенства представляет собой
непрерывный функционал в £,2([0Д]; Е"), а р* не зависит от к, то по
определению слабой сходимости правая часть стремится к нулю.
115
Таким образом, IIVF*—WII 0. Покажем, что искомое и оптимально:
ton J(Wkvk) = lira J J y(x, t, Wk )dtdx +
1 1
+ lim JZ(x,VFA)dx +v lim
*"*“0 *->“o
it i i
> lim JJ(p(xj,iy)t&dx + JZ(x,W)dx + vju2dx = J(W,u)
k->“oo о о
Здесь нам потребовалась полунепрерывность снизу функций Ф, Z.
Теоремя 2 доказана.
Третья краевая задача
В плоской ограниченной области й, граница которой Г состоит из
конечного числа кривых Гь 1 i /, класса С3, пересекающихся под
ненулевыми углами, рассмотрим дифференциальный оператор
первого порядка:
L = 2А1(х,у)Эх + 2А2(х,у)Эу + А3(х,у).
Матрицы функции Ah i=l,2, 3, размерности тхт принадлежат
классу эрмитовы; А3 такова, что
Re[A3a,a]^ £[а,а], £>0, VaeE",
причем постоянная к достаточно велика; [а, Ь] — скалярное
произведение в комплексном евклидовом пространстве Ем. Пусть
> 0, — соболевские пространства вектор-функций.
Ищется решение системы уравнений LW =f,fe Я*(£!), в
подпространстве Н *0(й) с НГ(О}9 определяемом граничными
условиями p'_(y)W = 0, у g Г;, 1 i < /; р' _(у) g СЦГ,) — операторы
проектирования в Ет.
Предполагается, что подпространства кегр (у) максимальны и
строго положительны, т.е. существуют постоянные
о\ > 0, такие, что [£*± а, а] > с^р^а. р'*д]9 Va е Ет. Здесь
Э± s(p±)* (АХ + А2Лу)р±;
- компоненты единичной внешней нормали кГР
Справедливо тождество
/
Re(Lz,z) = Re(Afz,z) + X(P’z,z)rj., z g Н\О\
lie
где
М = А3 - 9xAi - ЭуЛ2»
Э» = Лл; +
При выполнении условия А, Б (см. 197]) система LW = /, имеет при
любой /g Н1(£1) единственное решение 1УеЯ10(£2). Для задачи
оптимального управления справедливо следующее. Пусть в
последней краевой задаче f=J\ +But где и — управление. CW(k) —
тождественный оператор HQ(C1) -> Таким образом
удовлетворяются условия теории Лионса 197] — значит, оптимальное
управление существует и единственно.
ГЛ А В А 5
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОРП
С РЕЦИРКУЛЯЦИЕЙ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ
ПОТОКОВ
В этой главе осуществляется постановка и решение задач
оптимального распределенного управления ОРП. Необходимость
постановки и решения таких задач вызвана потребностью
промышленности. В самом деле, такие задачи возникают при
проведении пусковых режимов в химико-технологических объектах,
переходе от одного стационарного, режима к другому (при
изменении требований к конечным продуктам) и т.д. В этом случае
возмущающее воздействие известно и необходимо лишь определить
оптимальное управление. Решение таких задач позволяет проводить
переходные процессы в управляемом объекте более эффективно,
добиваясь более быстрого и точного перехода к требуемому
технологическому режиму.
В данной главе рассматриваются задачи оптимального управления
тепломассообменными процессами в ректификационных колоннах, в
которых управляющими воздействиями являются потоки
взаимодействующих сред. Рециркуляция потоков в установке
приводит к необходимости решения задач, ранее не рассматриваемых
в теории оптимального управления ректификационными колоннами.
5.1. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ РЕКТИФИКАЦИИ
Постановка задач
Для математических моделей процесса ректификации могут быть
поставлены задачи как оптимального управления, так и
оптимального измерения [48]. В этом разделе мы рассмотрим
*117
постановки задач оптимального управления с учетом особенностей
ректификационных колонн как объектов управления [48].
Одной из особенностей управляемого процесса являются
специфические граничные условия.
Простейшие граничные условия имеют вид (условия А)
х(1, о = ф(0. У(О, О = у(0, (5.1.1)
где ф(0, у(г) — заданные функции.
Если при I = 1 учитывать массообменный процесс в дефлегматоре,
то получим (условия Б)
H,d~Vy-(Ld + D)x, y(O,r) = Y(O-
dt (5.1.2)
Если учитывать также массообменный процесс в кубе (при I = 0), то
получим (условия В)
Hx.^- = Lx-Vy-Wxk при 1 = 0,
к dt (5.1.3)
Я ^ = Vy-(Ld + £>)x при 1 = 1,
at
,(о.<)=——
1 + (1-а)х*(г)
Функция xk(f) не входит в уравнение (2.1.4), поэтому ее целесообразно
исключить и из граничных условий. Тогда имеем
х (А = <*** = °-(dy(O,t) / dt) t
к а - (1 - a)y(0, t) ’ dt а- (1 - a)y(0, t)2 (5,4ч
аН &(Lx- Vy)[(a - (1 - а)у]2 - Wy[(a - (1 - а)у] при I = 0,
at
HXd^ = Vy-(Ld + D)x при / = 1-
dt
Дифференциальные уравнения (5.1.4) можно заменить интегральными:
у = (a - (1 - a)y)exp -J—— dx z° +
l о "xt Д
j Lx - Vy
о
j W
exp
при 1 = 0,
z° = y(0,0)/[a-(l-a)y(0,0)],
i Ld + D
х = ехр -J
dx x° + j V
—УехР
0/7х^
Z,L + 1
/о "ч
< 0 Hxd
при /= 1,х° = х(1,0). (5.1.5)
Решения уравнения (5.1.5) являются и решениями уравнений (5.1.4).
118
Если к уравнениям (2.1.4). начальным условиям (2.1.5) и краевым
условиям указанных видов добавить показатель качества процесса,
то получим задачу оптимального управления для системы,
описываемой уравнениями в частных производных.
Вопрос о необходимых условиях оптимальности для таких систем
изучен в ряде работ [28, 74, 97, 99, 126]. В них получены необходимые
условия типа принципа максимума. Однако применение этих условий
к нашей задаче или невозможно, или затруднительно ввиду
особенностей, связанных с уравнениями (2.1.4) и граничными
условиями.
Рассмотрим, в частности, вопрос о применении результатов [74). В
этой работе исследуется система уравнений вида
dldt V dl dr J (5j.6)
с граничными условиями, заданными на линиях I = 0 и t = 0; эти линии
являются характеристиками системы уоавнений (5.1.6).
Поскольку система (2.1.4) есть система гиперболического типа, она
может быть преобразована к виду (5.1.6). Действительно, уравнения
типа характеристик системы (2.1.4) таковы:
dt _ dl dt _ dl
7Г~~Т'
Решение этой системы:
Ях/ + Ь*(0 = си Hyl-V * (t) = с2,
где t
L* = jL(T)dT> V* = JV(T)dT.
о о
Вводя новую систему координат (£, д) соотношениями
(5.1.7)
£ = Ях/ + £*(0. П = Яу/-У*(г),
получаем
Эх _ Эх Эх Эх _ dt Э£ Эц ’ Э/ ^и, + ^ * ап
гВ ж 1 + & а? ‘ ап
Ну,
Ну,
и уравнения (2.1.4) преобразуются к виду
^(НхУ+НуЬ} = к(у*-у),
^(HxV + HyL) = k(y*-y)
(откуда, в частности, следует, что Эх/Эт] - dy/dfy.
‘ 119
Дифференцируя первое из этих уравнений по £ и заменяя Эу/Э£ на
дх/Эд, получаем уравнения в той форме, которая рассматривается в
[741:
ЭУ Эг 8L
dt ft у dt
Эу * Эх ду
"эГэ£~ э^
+ к
ЭхГ„ ЭУ „ Э/Л Э( ( а Эх Эх^
х dt ydt)dt, t<1 + (l-a)x)2 Эи,
(5.1.8)
Вычислим производную Э(/Э£:
Н£ - Нхт\ = HyL * +ЯХУ* = £2*.
Так как Э£2*/Эг - HyL + HXV >0, то существует обратная функ-
ция t = Яхт]), откуда Эг / Э£ = Нх / (HyL + ЯХУ). Оконча-
тельно (5.1. 8) принимает вид
( ЭУ 3L '
^-(HxV + Н l) = &-----—----5- - Нх * Ну * Н + к .
W * у 1 dt, (1 + (1 _ а)х)2 Эл HxV + HyL у
I >
Уравнения сторон прямоугольника £2 в новой системе координат
примут вид
при / = 0:
^ = L*(0, П = -У*(О.
или £ = £*(У*-1 (-!]))> или Л = “У*(£*"’(£));
при I = 1:
£ = Ях+£*(0, Л = Яу-У*(0,
или £ = Нх + L * (V*-1 (Ну + Т|))> ИЛИ л = Ну - V * (L*-1 (£ - Нх ));
при ( = 0:
$ = НХ1, п = Яу/-У*(0Х
т
или = Нх1. или т] = Hyl + J У(т)Л,
о
при 1 = Т:
l^Hxl + L*(T), l\~Hyl,
т
или £ = Нх1+ |£(т)Л, т] = Ну£ или
о
Кроме того, из (5.1.7) находим, что
нх н нх ну v ’
У J
Н т
или т] = —+/У(т)Л;
О
И 7
£ = #n + RCOrfc.
Иу О
120
Так как dGfdt = L/HX + VIHy> 0, то существует обратная для G
функция t = G-i (№ + Л/#?)- Таким образом, в новой системе
координат начальные условия (2.1.5) имеют вид
о*о-Уо-(1-а)хоУо
(1 + (1-а)х0(яхУ + Я/))
1=0,
G-1 3____И-
1ях Ну
Подобным же образом могут быть преобразованы и граничные
условия, задаваемые при I = 0 и I = 1. Однако свести эту задачу к
задаче Гурса, рассматривающейся в 174], не удается: причина
заключается в том, что правые части (2.1.4.) зависят от неизвестных
функций х(£, Т|), т]) или х(Е>, Т|), Эх(£, т])/Э£, и поэтому по их
значениям на линиях t = 0,1 = 0,1 - 1 не удается найти значения этих
функций на координатных линиях £ = Т| = 0.
Впрочем, для качественного исследования оптимальных
управлений может оказаться полезным и изучение задачи
оптимального управления для системы, описываемой уравнениями
(2.1.4), в предположении, что значения х(0, п), х(£,0) известны.
Из-за особенностей задачи управления процессом ректификации
не удается использовать результаты, полученные в [74], а для
исследования на оптимальность используется методика,
предлагаемая в [99]. Эта методика связана с введением
параметрических переменных и приведением системы к нормальной
форме.
Уравнения в нормальной форме
Для процесса, описываемого уравнениями (2.1.4) и краевыми
условиями (2.1.5), (5.1.3), поставим задачу оптимального управления
следующим образом: в классе кусочно-непрерывных управлений L =
= L(0, удовлетворяющих условию
0 L(0 Lm„ , (5.1.9)
найти то управление, для которого соответствующее решение задачи
(2.1.4), (2.1.5), (5.1.3) минимизирует функционал
ri 2 (5.1.10)
F = nbG,')-9‘G.')] dldt,
ooL
0*(/, t)t V(t) предполагаются заданными.
121
Для получения необходимых условий оптимальности уравнения
(2.1.4) и критерий оптимальности преобразуются к нормальной форме.
(5.1.11)
— - r(z) = с _ r(s) - с
=S1-
Применяя формулу Грина—'Остроградского к (5.1.10), получаем
F = \zdl~sdt,
dU
где Q - {(Z, /) I 0 < I < 1, 0 < t < Т), 3Q — граница прямоугольника Q,
или
F = + №s)dq,
dO
где q — координата на ЭО;
№ - 1 при (/, 0 е {0, Г) х [0, 1]; = 0 в остальных точках 3Q;
= — 1 при (/, г) е [0, 7] х {0, 1); = 0 в остальных точках 3Q.
Ограничения (5.1.9) преобразуем введением нового управления и к
ВИДУ
L(£max—L) —м2 = 0. (5.1.12)
В уравнениях (5.1.11) — параметрические
переменные. При введении этих переменных накладываются условия
интегрируемости системы:
(5.1.13)
122
Функции Лагранжа. Необходимые условия оптимальности
Задача А. Для этой задачи функции Лагранжа имеют следующий
вид.
BQ:
(5.1.14)
НаЭО:
i = - L) - «2]+с^2 + c^s-
Функции ^определяются как решение сопряженной задачи:
^1х,^2х_ to |ЧХ V
& Э/ (1 +(1 - сфс)2 L Нх Ну]
(5.1.15)
dt
_ Six
э/ (я, я?>
+ 2^(у-0*),
+ _ л + _ Q
dt dl * dt dl
(5.1.16)
Ч1х~"Ч2х=0, ^y^—^2y=o,
£ г(ж)
^,-^ = 0, ^Ч1,=0> -Sl^- + y(Lmax-2L) = 01
(5.1.17)
yu = 0
с краевыми условиями
1 + ^1, = 0, 1Ь = о при г = 0, 0«/«1,
о II м сч АЛ %2г ~ 0> “ 1 + = 0 при 1 = 0,
(5.1.18)
“ 0> !j2i = 0, -1 + ^ = 0 при . O^t^T, 1 = 1,
^=0, = 0Л15 =0,1 + ^и =0 при t = T, 0=s/«l.
Оптимальное управление и соответствующие ему функции x(l, t), y(l, f)
вместе с сопряженными переменными £ определяются как некоторые
‘ 123
решения задачи (5.1.11). (5.1.3). (5.1.12). (5.1.13). (5.1.16). (5.1.17). (5.1.18).
Это дает возможность установить некоторые свойства оптимального
управления.
Если у= 0, то = 0, отсюда:
а) из - 0 следует dxfdl = 0, что не согласуется с физическим
смыслом изучаемого процесса. Из £1х = 0 следует £2х = = ^2? = = О
ИЛИ у = 0*;
б) из 0 следует £2j = 0. что противоречит (5.1.18).
Следовательно, если на некотором промежутке t т2 не
выполнено условие у(/, г) = 0*(/, 0» тО на этом промежутке
оптимальное управление L(t) принимает только значения 0 или Lmax.
Если С ПОМОЩЬЮ (5.1.17) ИСКЛЮЧИТЬ функции ^2х, £>2у> ^2х > ТО
(5.1.16Н5.1.18) преобразуются к виду
3Su L^1X=t a fSlx м
dt Нх dl 1 1 + (1 - a)x)2
dSi, v 3Sly , + 1 i m| к 2Si.(y -9* ),
dt Hy dl /Ух ну}
d ll u? ro 1 X _ Q
dt dl dl dl
SuS^M^™- 2L).
1 + ^ = 0, Su=o при 1 = 0,
|J1XL = O, Su = 0, -i + Si,=o при 0 / = 0,
SiyV = O, Su = 0, -1 + Sb =o при 0 / = 1,
Six = 0. Sly = 0. i+Si, = o при г = Т, О«/=Й1.
(5.1.19)
Отметим, что из последнего уравнения системы (5.1.19) следует (в
предположении, что y(l, t) * 0*(/, 0). что £1х * 0, Ф 0, т.е. Эх/Э/ = 0.
Из условий типа Вейерштрасса—Эрдмана следует, что в точках
разрыва оптимального управления L(r) функции ^1х, ,
р р L Эх н V Эу н dz ~ ds
^lx~H^di~^y'H~y^i + ^sdi~^di
** у
остаются непрерывными.
Для определения значений оптимального управления используем
гамильтониан. Для данной задачи он имеет вид
Н = W + ^2x^2 + ^1/1 + Е>2у*2 + £1x^1 + ^2x^2 + £1Д +
+^21S2 + y(4Lmn-L)-u2).
Исключая функции £ и и, получаем Н = L£lx(dx/dl)/Hx + а, где через а
обозначены слагаемые, не зависящие от управления L(r). Условие
124
максимальности Н дает
L(0 =
О,
если^1х —>0,
dl
и дх л
если^^7<°*
о/
Случай £1х = 0 (на некотором промежутке изменения п оказывается
особым, но это возможно, как было показано, только если y(l, t) =
= е*(/,0-
Задача Б. Если учитывать ^процесс массообмена в
дефлегматоре, то функция Лагранжа L та же, что и в задаче А, а
функции I определяются следующим образом:
/=0 —-
dt
-fi—(vy-(Ld + D)x) + y{L(LmK - L)- Mz) + c(,)z + c^s,
*d ' (5.1.20)
где 0 = 0(1, 0 — множитель Лагранжа, который может быть отличным
от нуля лишь при 0 t Г, I = 1 (поэтому в дальнейшем считаем, что
0 = 0(0). Краевые условия для сопряженных переменных теперь
записываются в виде
^ = ia_L^0 + ^2x, 0х + У(Дп„-2£) = О;и = О
ч (5.1.21)
t,2y = °> ^2г =0. 1 + ^=0 ПРИ O’Sr’ST, /=1,
-1 + S1Z = 0, £1, = 0 при t = 0, 0« I « 1, (5.1.22)
=^2« =£>21 =° при о «г «Г, 1 = 0, (5.1.23)
=0. 1 + ^1, =0 при t = T, 0«/«L (5124)
Свойства оптимального управления, приведенные для задачи А,
сохраняются и в этом случае.
Задача В. Ив этом случае изменяется по сравнению с задачей А
только функция I и краевые условия для сопряженной системы:
'дх
/=0!
—y—flte - Vy)(a - (1 - a)y)2 - Wy(a - ₽y))
+У[(4£т« " Ь) - И2 )+C(,)Z + C(,)4
где 0j, 02 можно считать отличными от нуля только при I = 0,1 = 1
соответственно и поэтому они зависят только от I.
Граничные условия (5.1.21), (5.1.22), (5.1.24)сохраняются (сзаменой 0
125
на Op. кроме того,
dt aHxlr
Г/ 2
V[(a-(l-a)y]
+ (Lx - Vy)2(a - (1 - a)y)
d@2 ^2
(l-a) + aW-2W(l-a)yj-t,2y,
-^-x(a - (1 - a)y)2 + у (L^ - 2L) = 0,
°^хк
?и = 0, / = 0; ^Ц2г=0, 1 + ^ = 0-
(5.1.25)
Задача оптимального управления
с двумя управляющими функциями: L(t), V(f)
В этом случае по сравнению с предыдущим должны быть внесены
следующие изменения: кроме (5.1.12), надо рассматривать еще
ограничение
V(Vrotll-V)-M2 = 0.
(5.1.26)
Функции Лагранжа имеют вид
► (dz } , (ds „ t (ds
+ ^>2z 37 ~ 3“ - S1 + ^>2s 37 ~ S2 +
\ dl J ydt J \dl J
+y[l(A„„ - L) - u2] + e[v(Vm„ - V) - M2],
~l = у[4Ап.х - L) - и2] + e[v(vm„ - V) - M2] + cMz + c^s.
К системе (5.1.17) добавляются уравнения
(1 / Ну + e(Vm„ - 2V) = 0, ЕМ = 0.
(5.1.27)
(5.1.28)
Для управления L(t) получаем те же свойства, что и прежде.
Из анализа уравнений (5.1.28) следует, что если е = 0, то £<*) = о,
далее из SW = 0 следует ду / dl~0t что не соответствует физическому
смыслу задачи, наконец, из = 0 следует = 0 и
^(^1х / Ях) = 2!;н(у-0*). (5.1.29)
В частности, если е = 0 на (т, Т], то при t-^T из (5.1.18) получаемy(l, t)=
= 0*(/, 0- Если последнее условие не выполняется, то е = 0. Тогда из
равенства М = 0 следует, что V(t) может принимать лишь значения 0
ИЛИ 1^тах. „
Анализ гамильтониана Н (он в этой задаче отличается от
гамильтониана в задаче А дополнительным слагаемым, которое в
126
силу (5.1.26) для оптимального процесса равно нулю) дает
V(0=
Эу
Э/
Эу
Э/
Лпах. если
О, если
Случай £>\у(ду/д1) = 0 уже не является исключительным в такой
степени, как случай £1х(Эл/Э/ )= 0. Он приводит лишь к условию (5.1.29)
5.2. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТАМИ
С РЕЦИРКУЛЯЦИЕЙ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ПОТОКОВ
В предыдущем разделе рассматривалась задача оптимального
управления ректификационной колонной для упрощенных вариантов
модели процесса. Здесь рассматриваются более полные модели
процесса.
Особенности этих моделей заключаются в следующем; 1) учи-
тываются потоки в жидкой фазе, вводимые в колонну; 2) рас-
сматриваются точные краевые условия; 3) учитываются связи между
параметрами, характеризующими потоки жидкости и пара в колонне
кубе и дефлегматоре. Для получения необходимых условий
оптимальности (условий стационарности) используются методы
классического вариационного исчисления [99]. Однако рассмат
риваемые в [99] общие модели не включают модель процесса ректи-
фикации. Отличие связано с видом оптимизируемого функционала и с
тем, что в рассматриваемых нами задачах одни и те же управления
являются как граничными, так и "объемными*1. Поэтому для вывода
необходимых условий оптимальности здесь непосредственно
применяется метод вариаций. Управления предполагаются кусочно-
непрерывными, а соответствующие им решения — непрерывными и
кусочно-гладкими.
Постановка задачи
Здесь рассматривается следующая модель процесса:
at al
+ = 0<r<7\ 0</<l,
at al
краевые условия:
при I = 0
d(Hx.xk]
V / ' = L(O,t)x(O,t)-V(O,t)y(O,t)-Wxk(t),
at
(5.2 2)
127
y(o,r) = a[j£(xt) - x* (0]+’**(<):
при I = 1
= Vd(t)yd{t) - Mt) + D(t))xd(t),
Vdyd(t) - V(l,t)y(l,t) = Ldxd(t) - L(l,t)x(l,t), (5.2.3)
у Л) = y(i,t) + _ «С1»*)];
начальные условия
x(Z.O) = x0(l), y(l,O) = yo(l), 0</<l,
(5.2.4)
xrf(0) = xrf0, x.(O) = x.o, 0«a, Ed*L
Величина F(t) — поток в жидкой фазе, подводимый в колонну на
промежутке 10— о /0 + а; Фх(1) характеризует распределение
потока по этому промежутку, х? — его концентрация. Мы
рассматриваем не введение потока в точке, а случай распределения
его по промежутку. Функция Фх может иметь, например, вид
при 1/-/01<<т,
при 1/-/01>О
или
«М) =
|cos2m[n(/-/0)]
при
1/_/01<21 = ст
2п
0
при 1/-/01^<т.
Во втором случае т выбирается достаточно большим для
обеспечения нужной гладкости Фх(0; в обоих случаях к выбирается
так. чтобы
*0+о
*0-0
(5.2.5)
Величины потоков при этом удовлетворяют условиям
W(t) + D(t) = F(t), D(t) + Ld (t) = V(l,t),
W(t) + V(p,t) = L(p,t) Vd(t) = V(\,t).
(5.2.5)
Предполагается, что удерживающие способности Нх, Ну постоянны, V
128
не зависит от 2, a L(lt i) имеет вид
fL(lJ)
ММ)=
•L(l,t) + F(O ]Ф,(/М
I
£(!>/) +F(l)
При /0 + G 1,
при Iq - О I lQ + О,
при 0 < I 2q - о,
ИЛИ короче:
L(U) = L(l, 0 + L * (/j) = 1(0 + L * (/,0.
Такой вид L соответствует предположению, что изменение потока в
жидкой фазе по высоте колонны происходит только за счет
вводимого потока Г(Г). При этом условия (5.2.5) дают
w(n+D(o=m л(о+мо*т
ИЧО +V(0=^(0+F(0, V/0=V(O.
Из этих равенств следует, что L^t) = L(j) = L(l, t).
управляемого процесса принимают вид
. J)/ *
Яхх, - (£ + L*)x( = к(у - у*) + х + F<bxxF,
dl
Нуу, + Vyt = к(у * -у), 0 < t < Т, 0 < I < 1;
Яж. = (L + F)x - Vy - Wxk,
dt
y=4yt(xt)-xt] + xt> 0<кТ, / = 0;
11 *d ~ + D)xd, V(yd - y) = L[xd - x),
У4 = y + ^[yrf(x<i)-4 0<t<T’ z = 1’
W + D = F, D + L = V,
Анализ условий (5.2,56) показывает, что только два
потоков (W, D, L, V) являются независимыми. Выбор тех или иных
двух независимых потоков в качестве управлений определяет
соответствующие задачи (задачи А, Б, В, Г, Д). Эти задачи
рассматриваются как задачи оптимального управления в классе
кусочно-непрерывных управлений с критерием качества
Г1 2
р = Jе* U.o) dldt,
о» (5.2.6)
где 0* — заданная функция.
(5.2.5а)
Уравнения
(5.2.1а)
(5.2.2а)
(5.2.3а)
(5.2.56)
из четырех
9. Зак. 3031
129
Задачи оптимального управления
с разными управляющими потоками
Задача А. Здесь рассматривается задача оптимального
управления, при которой управляющими параметрами являются
потоки L = L0) и W = W(0. Потоки V, Dt Ld, Vd исключаются с помощью
условий (5.2.5). Управления L, W выбираются в классе кусочно?
непрерывных функций, принимающих значения в промежутках
L(t) Wmn « W(t) ,
поток F считается заданным.
Переходя к нормальной форме дифференциальных уравнений,
получаем следующую задачу. Рассматривается процесс ректифи-
кации, описываемый уравнениями
(5.2.7)
£ = — [(1У - L - Г)£2) + к(у * -у)] в Y, у{ = С(2), 0 < I < 1, 0 < t < Т,
Ну
при краевых условиях:
xb = -±-[(£ + F)x + {W - L - F)y - WrJ - Xk,
H*k
(5.2.8)
=0’ Z = 0’ 0<,<Г;
^ = -^~[L^F-Wlyd-xd ) = Xd,
H*d
(L + F- W'XXi - У) - L(*d - x) = 0, (5 2 9)
yd-y~Ed(y*d(xtl)-y)=o, /=1, 0<t<T,
при начальных условиях (5.2.4) и ограничениях на управления
(ь - ХЛп« - Ь) - U2 = 0, (W - WU )(Wmax - 1У) - г 2 = 0, (5 2 10)
где ut г — вспомогательные управления.
Итак, формулируется следующая задача: в множестве кусочно-
непрерывных функций L, Wt удовлетворяющих условиям (5.2.10),
найти такие, что соответствующее им решение задачи (5.2.7) — (5.2.9),
(5.2.4) дает минимум интегралу (5.2.6).
Для получения необходимых условий оптимальности рассматри-
вается вспомогательный функционал
j = j1 + j2 = JJZdfd/+ jidt,
Q ЭО
130
£=(У - в •)’ + - Х)+-«">)+Т|»>(я - г)+л<!>(л -; 12>),
~1 = W (4 - X*) + X?(у-хк- а(ук (хк) - хк)) + (хл - Xd) +
+1(^((Ь + F - VV)(Xi - У) ~ L(xd - х)) + - у - Ed()C(xj) - у)) +
+?((Ь - Anin )(Anax - Ь) - и2) + е((И< - »U ХЖпах - W) - Z2 ),
£(1), £(2)>Т|(1)ц(2) _ функции, определенные на й (й = {(/,/) I
I 0 < I < 1; 0 < t < Г}), у, е — функции, определенные на [0,Т]
(их можно считать определенными на Эй, причем е = X* = 0 на
*y{(M)|/ = O};Y = A<? = O на dQ/{(l,t^l = 1}.
Пусть L, W — оптимальные управления,- и, z — соответствующие им
(согласно (5.2.10)) вспомогательные управления; х, у, хк, xd, yd —
оптимальное решение задачи (5.2.7)—(5.2.9), (5.2.4), соответствующее
этим управлениям; 5L, 5W — вариации управлений L, W; 8и, 3z —
соответствующие вариации фиктивных управлений и, z; 5х, 5у, 8хк,
8xdt8yd — соответствующие вариации решений. Тогда, объединяя
члены 8L, 81У, получаем:
в й
^(1) Л(2)_й/у[^(1) ^(1)1 эГ
dt di ' I Нх Ну Нх dl ’
X ^7
(5.2.11)
^-(l + l*)+^2) = 0,
при / = 0, 0<t<T
^ = ^W + ^(-а(ук) + а - 11 = 0.
nxk \ у
£(2) + А1(£ + F) = 0, Т](2> - ^-(L + F-W)- $} = 0;
*А*
(5.2.12)
при / = 1, 0<t <Т
dt HXd
* 131
V2) -X(2)L + $}Ed(yd) = 0, T]<2> + + F-W)+ $>(1 -Ed) = 0,
1(1) (5.2.13;
—^—(L + F - W) - X(^(L + F - W) - X(d3) = 0;
H*d
при t - T, 0 < I < 1
4(]) = 0,n(1) = 0, (5.2.14)
при 0 < t < T
(x(0,t)-y(0,t))--f-(yd-xd)-
~^(yd - y(l, 0 - ^ + X(1J))- Г(Лшп + Лп« - 2L) = о, (5.2.15)
i «0) 10) 10)
J-jr<l2)di+77“(х* - МО) - -7Г~{ул - xd) - ^2)(?(1,0-X,)+
0 Hy Hxd
+t(Wada + iym„ - 2W) = 0, yu = 0, ez = 0.
Последние два уравнения (5.2.11) можно использовать для иск-
лючения функций £(2), т](2) (функции §О>, л(1) дальше обозначаются
через тр. Таким образом, если L,W — оптимальные управления, х, у,
x^,xd,yd — соответствующее им решение системы (5.2.7)—-(5.2.10), то
существуют функции т), *kd\у, е, удовлетворяющие уравнениям:
при 0<t <Tt 0<Z<l
4;-
(5.2.1Г)
, L+F-W
”—
при 1=0, 0<1<Т
.3L.0,
««
1(0
(L + r-^)-X(t2) = 0
Нч)
_Н
Л к * I Vk>
*к
(5.2.12')
н
У У
132
при t = Т, 0 < I < 1
£ = О, т] = О;
при I = 1, О < t < Т
dt нч
( _ л
j- + (L + F - W) + (1 - Ed )$> = О,
7
(5.2.13')
(5.2.14')
+ A.(J) L-X%Ed(yd) =0, (L + F-W)-^ = O-,
7 к Н *Л
*d
при 0 < t < Т
ol. Ях Иу J
1(0 1(0
- y(O,t)) + -f-(yd + Xrf) +
+$)ММ) - Ул + xd - х(1,0) - vfAnin + Лп« - 2L) = о, (5.2.15')
J-^~yidl - ^~{Ул -*</) + 77~(хк ~ ЯМ) - ^(ЯМ - Ул) +
О H*d Ихк
+e(WU + W^x - 2W) = 0, уи = 0, ez = 0.
Полученные необходимые условия отличаются от условий стаци-
онарности в [99] соотношениями (5.2.15*). Это отличие связано с тем,
что управления L, W являются граничными управлениями, но одно-
временно входят и в уравнения процесса, так что их вариации в Пи
на dQ не являются независимыми.
Так как уравнения (5.2.11')—(5.2.14') полностью определяют функции
П» x£\a/J\to условия (5.2.15) показывают, что равенство нулю
функций у, е связано с дополнительными жесткими условиями на
параметры задачи;
если у =0, то
1Г к „ 1 10) 1(0
j -^-х; + ^-У1 (B--^-(x(Q,t)-y(O,t)) + -^-(yd-Xd)-
0[_ Нх Ну J HXk tiXd
~^л\ул ~У(1>') - xd + х(1,Г)) = 0, 0< t < Г; (5.2.16)
133
если Е = 0, то
j_JL?;dZ + 2i.
о Н, НХк
Ч2)(у(1.')-Л/)=о. о<кт.
(5.2.17)
Поэтому основным случаем надо считать тот, при котором у * О,
е ф 0, z = и = 0, т.е. каждое из управлений L, W кусочно-постоянно и
принимает на промежутках постоянства лишь минимальное или
максимальное из допустимых значений.
Задача Б отличается от задачи А тем, что в ней учитываются
ограничения
Dnun s D(t) < £>m„, где D = F - W,
Vmin < V(r) £ Vmax, neV=L + F-W.
Из последних неравенств следует
W^n<W(t)<Wm^ Dmin<F-W<D^ V^<L + F-W<Vm^
или
%un * W(‘) * , F - Dm„ < W(t) <F-D^,
L^+F-Vmax<^)<F + Ztoax-Fmin.
Итак,
^min = + Annin “Knax}
£ min{iymax,F — Dmin + Anax»“^min }= ^max
при условии, что любой элемент множества {Vrmin,F-Dmax, F + L^n-
"VmaxJHe превосходит любой элемент множества {VHmax» F-Dmin, F +
+ Anax - ^minb Это означает, чо параметры задачи должны удов-
летворять условиям
Kni^Anax+^max. Knax - Anin + Mnin > (5.2.18)
а поток F должен удовлетворять неравенствам
F>W +D F<W +D
1 — rrmin TXZnun» 1 — Fmax ^max’
(5.2.19)
Будем предполагать, что эти условия выполнены. Заметим, что
необходимость выполнения первых четырех из условий (5.2.18),
(5.2.19) естественно вытекает из первых двух условий (5.2.5).
Аналогично можно получить соотношение
Lmin (ИЭ = max^, W - F + Vmin} < L(t) <
< min^, W - F + Vmax} = Lmn (Ж). (5.2.20)
При этом границы изменения W постоянны или определяются
потоком F, а границы изменения L зависят от управления W. Пере-
134
ходя к нормальной форме дифференциальных уравнений, получаем
следующую задачу: для процесса, описываемого уравнениями
(5.2.7)—(5.2.9), (5.2.4), в множестве кусочно-непрерывных управлений L,
VF, удовлетворяющих условиям
(W-Wnin\Wma-W)-z2 = 0, (5.2.21)
найти такие, что соответствующее им решение задачи (5.2.7)—(5.2.9),
(5.2.4) дает минимум интегралу (5.2.6) (z, и — вспомогательные управ-
ления).
Для Иолучения необходимых условий оптимальности рассмат-
ривается вспомогательный функционал
J = Jl + J2 = jjLdtdl+ jldt,
Q dQ
где
L = [у - e*)2 + - x)+- £(1))+n(1)(X - y)+n(2)(tf - £(2)),
t = - xk) + *(2)(? - xk - а(Ук(хк)~хк)) + ^(хл ~ xd) +
+A,(d2)((L + F - " У)" L(xd ~ *)) + ^dild - У) +
+y((L - L^W^L^W) - L) - u2) + e((VF - - W) - z2),
£(!), £(2), ^(i), ^(2) _ функции, определенные на П = {(/д) 10 < t < Г, 0 <
< / < 1); е — функции.определенные на [0,73 (их можно
считать определенными на dQ, причем
е = = 0 на ЭО/ = 0},
у = Х(') = 0наЭ£2/{(/,г)|/ = 1}).
Пусть L, W — оптимальные управления; и, z — соответствующие им
(согласно (5.2.21)) вспомогательные управления; х, yt xk, xd, yd —
оптимальное решение задачи (5.2.7)—(5.2.9), соответствующее этим
управлениям; 8L, 8VF — вариация управлений L, W; 8и, 8z — вариации
фиктивных управлений u, z; 8х, Sy, 8х*, 8xd, 8yd — соответствующие
вариации решений. Проводя соответствующие рассуждения (см.
задачу А настоящего раздела), получаем необходимые условия
оптимальности управляющих функций L и IF.
В рассматриваемой задаче для оптимальных 1, VF, и, z, х, у, х^ xd,
Yd условия (5.2.12)—(5.2.14) сохраняются, а условия (5.2.15) принимают
следующий вид (0 < t < 7):
j ^--^-{x^-yM) + -^-(yd-xd) +
“у J НХк nxd
+^ЧуМ -yd + xd- *(М)) - + ^(W) - 2L) = 0, (5.2.15")
135
J-~yidl y(O,t)) - - *d) ~ - yd) +
о Hy И*к U*d
+e(wL + «Lx - 2H<) -
-Y
=0.
Так как условия (5.2.12')—(5.2.14'), (5.2.15") определяют функции
£(2). П(1). П(2)» ^*2)> А.4П, A,j2). Х(/5 полностью, то случаи, когда
функции у, е равны нулю» связаны с дополнительными жесткими
условиями на параметры задачи. Поэтому основным случаем следует
считать тот, при котором z = 0, и = 0, у Ф 0, е * о, т.е. W = IFmin, W =
=Wmax или W = Г(0 + сь где Cl = const; L = L^, L = Lmax или L = —F(t) +
+<?2» где c2 = const. Условия (5.2.18) — (5.2.20) можно использовать для
построения областей значений оптимальных управлений. В
частности, пусть
F(f) + Апах - Kun < ^(0 - 0min. /ф) - Дпах <
< F(t) + ^тл* ~ Ктп» ^**(0 “ ^тах > ^*(0 + ^min “ Кпах«
Область значений управлений W(f) для этого случая приведена на
рис. 5.2.1.
Пусть оптимальное уравнение Иф) имеет вид, представленный
рис. 5.2.2. Соответственно этому управлению W(t) на рис. 5.2.3 по-
строена область значений управления L(t). Из этих двух рисунков
следует» что*.
1)если W = И^. то + HU -
« L(r)« minfU,, Ux + VU - F(t)};
2) если W = WU. to тах{ип,Утш + HU - F(t)} «
« Ц0 < min{Ux. Vm„ 4 HU - F(t)};
3) если W = F(r) - . to maxfL,,^, VU - Dm„} « L(f) =s
Пусть теперь график оптимального управления IF(O имеет вид,
приведенный на рис. 5.2.4. Область изменения управления L(t) по-
строена на рис. 5.2.5 при следующих условиях:
1) если W = F(t) + Lm„ - . то L = Lmn;
2) если W = HU • то max{Lmm>Vmn + HU - F(r)} «
L(t) min{ux, vmax + ни - ^(0};
136
Рис. 5.2.1. Область допустимых управлений W
7-W = F-D^;2-W=F+LmM-Vmili;3-W = F-Dmax;4~W=F^Lmin--
Рис. 5.2.2. График оптимального управления отбором внизу колонны
Рис. 5.2.3. Область значений управления L при оптимальном управлении W, прь
веденном на рис. 5.2.2
J-L=Vmax-F + W'm,x;2-L = Vmax-F+W'minJ-L = Vrnin-F + Wm,x-.4-L =
Рис. 5.2.4. График оптимального управления W
1 L — F+Ijjax ^пйп’ L-F
Рис. 5.2.5. Область значений управления L при оптимальном управлении W, при
веденном на рис. 5.2.4
b = Hmin-F+W'max
137
3) если W = F(t) - Z)max, то
max{*-^nin»Kiin ^max} МО т*П{Лпах»Кпах Mnax}’
Задача В. Поскольку управляющими параметрами являются
потоки L = L(t), D = D(t)t то потоки VtVd,Ld,W исключаются с
помощью условия
W = F — D,Ld = L, V = Vd = D + L. (5.2.5в)
По-прежнему управления L.D выбираются в классе кусочно-не-
прерывных функций, принимающих значение в промежутках
МО Мпах» ^min ^(0 Мпах-
а поток F считается заданным.
Переходя к нормальной форме дифференциальных уравнений, по-
лучаем следующую задачу. Рассматривая процесс ректификации, опи-
сываемый уравнениями
ЭГ
dl
ф-/)+ ^Фх = Х> =
(5.2.22)
/ = ±-[-(D + L)C(2) + к(у- у )] - Y, У1 = С(2)
при краевых условиях
xh = + L*)x - Vy - IFxJ = Xk,
H*k
У = a(y*(*t)-**) + **• ^ = 0. 0<7<T;
хй=-5-[(Р + 1Ь-(^ + О)х.]вХ„ 1 = 1, 0<t<T,
^xd
(D + L)(yd -y) = L(xd - x). yd - у = Ed(yd(xd) - >);
(5.2.23)
(5.2.24)
при начальных условиях (5.2.4) и ограничениях на управления:
9 (5.2.25)
“ Дпт)(Мпах “ b) - U2 = 0, (X) - ДшпХДпях ” Х>) - Z =0,
где и, 2 — вспомогательные управления, во множестве кусочно-
непрерывных функций L,Z), удовлетворяющих условиям (5.2.25).
найти такие, что соответствующее им решение задачи (5.2.22)-—(5.2.24).
(5.2.4) дает минимум интегралу (5.2.6).
138
Для получения необходимых условий оптимальности рассматри-
вается вспомогательный функционал Л
J = J1 + J2 = jjLdldt + jldt,
л да
где
L = (y- 0’)2 + - х) + £2(xJ - С(1)) + Т1(1)(>; - у) + П(2)(л - С(2)).
z' = ~ Хк) + ^\у ~хк~ а(>*(х*)) “ хь) + (4 - xd) +
+X(112)[(Z) + L)(yd -у)- L(xd - x)] + - у - Ed(y*d{xd) - >)] +
+т[(Ь - L™ )(Лпах - L) - и2] + e[(D - )(Dmax - D) - z2],
— функции, определенные на й = {(Z,0 10 < I < 1; 0 < t < T],
^d> X е “ Функции, определенные на XI, причем
е = = 0 на Xl/((J,t) 11 = 0}, у = л£} = 0 на Х1/{(Ц) 11 = 1}.
Пусть L,D — оптимальные управления; u,z — соответствующие им
(согласно (5.2.25)) вспомогательные управления; х, у, х^ х^, yd —
оптимальное решение задачи (5.2.22)—(5.2.24), (5.2.4), соответствующее
этим управлениям; 5L, 8D — вариации управлений L, D; 8и, 8z —
соответствующие вариации фиктивных управлений и, z; Sx, Sy, 5х*, 5х^
“ соответствующие вариации решений.
Тогда получаем следующие необходимые условия оптимальности:
при 0</<1,0</<Г
(5.2.26)
при I = 0,0 < t < Т
(5.2.27)
-X(t2) = 0;
Н,
при I = 1, 0 < t < Т
^(^ = 0.
139
4(1 + Г) - H^L + Hx^Ed{y*d} = 0,
(5.2.28)
(D + L)(t] + Hy^) + - Ed) = 0,
(i(i) ")
77-(D + L)-$ = 0;
I H*d )
при t = Г, 0 < I < 1
£ = 0, r| = 0; (5.2.29)
при 0 < t < T
if E n<2> "I X(1) X(1)
J —^-£()+-77"C dl-~-(x^-y(O,t)) + -f-(yd-xd)-
0< Их Иу J Uxk hxd
~^d\y - >(U) - xd + x(1.0) - Y(Anin + An.x - 2L) = 0,
(5.2.30)
J-^^dl - ^-(y(o,t) - xk) + ^-(yd - xd) - ^{yd - X1.0) +
0 Hy Hx Hxd
+е(Дшп + Dm„ - 2D) = 0, yu = 0, ez = 0.
Как и в задаче Б, основным случаем надо считать тот, при котором
у ф 0, е Ф 0, z = и - 0, т.е. каждое из управлений L, D кусочно-
постоянно и принимает на промежутках постоянства лишь мини-
мальное или максимальное из допустимых значений.
Задача Г. Эта задача получается из задачи В введением до-
полнительных ограничений, следующих из соотношений (5.2.5а) и
условий
Lmin « L(t)^ Lmtx,Dnda - D(t)^ Dmtx,Wn^n W(t)* W^,
VU « V(Z)^ Vm„,A« L(r)« В,<р(О« D(t)^ y(r),
где
A — inax^Z*^, VJnjn “ , Vmax — ^\nin}’
ф(0= max{D^,Vmb -L(0,F(0" W'm.x}, (5.2.31)
V(0 = min{Dmax,Vmax -L(t)9F(t)-Wmin}.
Переходя к нормальной форме дифференциальных уравнений, по-
лучаем следующую задачу. Для процесса, описываемого уравнениями
(5.2.22)—(5.2.24), (5.2.4), в множестве кусочно-непрерывных управлений
LtD, удовлетворяющих условиям
(D — ф)(ф — D) — z2 = 0, (L — А)(В — L) — и2 = 0, (5.2.32)
найти такие, что соответствующее им решение задачи (5.2.22)—(5.2.24),
(5.2.4) дает минимум интегралу (5.2.6).
140
Обычным способом для оптимальных L, D, и, z, xt у, хь х& как и
в задаче В, получаем условия (5.2.26)—(5.2.29). Условие же (5.2.30)
примет вид при 0 t Т
- Яо.<))+тНл. - -
0^ лх Лу ) HXk HXd
~^d\yd -y&t)-xd + х(1,0)- у(А + В - 2L) -
-e((D + ф)у£ - (у - О)<р£) = 0,
1 TI /,ч № №
.£-«<>.<)- х.) .i-fr, - х„).
О пу лхк axd
-у(1,/)) + е(ф + у-2D) = 0, ум = О, ez = O.
Как и в предыдущих задачах, основным случаем надо считать тот,
при котором у 0, е 0, z = и = 0, т.е. каждое из управлений кусочно-
постоянно и принимает на промежутках постоянства лишь макси-
мальное или минимальное из допустимых значений. В этом случае из
(5.2.31) следует, что управляющая функция может принимать четыре
значения: Amin,Lmax, — £>max, Утах — Anin- В соответствии с этим
для управления D(j) можно построить следующие области значений.
1 • Ь = Anin • Тогда ф = maxfOnrin, К», ~ Ашп Л 0 " Чах }.
V = min{£)max, - Anin .F(t) - Чип }.
Dnrin minfV^ - Lmin,F(«) - 4in}.
Dm„ э= max^ - L^n,F(t) - 4»x}-
На рис. 5.2.6,а, приведена область значений управления D(t).
2.1^ = 1^*. Здесь также из (5.2.31) имеем
ф = ШаХ^Ад^,— Aiax’^O) “ ^тах}»
V = Кп„ - Апхх.ЛО- Чип}.
Лпт « min{- Ап«. F(t) " Чип }.
Чах тах{Чп ^тах » г(0- ^тах}*
Область значений управленияР(г) приведена на рис. 5.2.6Д
В этих двух случаях управление D(t) может принимать любое зна-
чение, которое входит в определение функций ф(г) и у(/).
3.L = V^n “Алах Из (5.2.31) имеем
ф = rnax{Dmin,Dmax,F(z)- И'д»},
ф — Шш{Дтах + Vmax ~ 4nin»^(0 — ^min }»
F{t)-И'т.х Wmin.
• 141
б
Рис. 5.2.6. Графики оптимального управления L и соответствующая область значений
управления Z)(a—л
7™L = F-Wmin;2^L = F--.4'max
Здесь D(t) может принимать только одно значение £>тах (см. рис.
5.2.6,в).
4. L ~ Vmax - Рдуп- Аналогично предыдущим рассуждениям получим
V = min{Dmax,Dmin>F(z)-IVmin}>
Ф = + Vmin - Vmax,F(z)- 1Утах},
~ "U Dmin D(t) F(t) - HU.
Таким образом, D(f) может принимать лишь одно значение Dmi
(рис.5.2.6,г).
Пусть (см. рис. 5.2.7)
L =
Knin - ^max если t £ [0, Zj ]u [z2 , Г],
^тах.если/е^^г].
Тогда область изменения управления D(f) на всем временном участке
[О, 7] определится следующим образом (рис. 5.2.8):
<₽(') = max^ ,Dmax,F(z)- *>(')
« + Dmn,F(t)- W^} = y(z),
ze[0,Zi]o[z2>T];
<p(z) = max^, ,F(t) - Wmx
« min Vmax - Z^ax,F(z)- W^} = v(0
для t g [/b (J- Таким образом, вид управления D(t) определяется так:
D =Отлк при t g [О, / J U [/2. П; D(t) принимает значения От1 или
Vmin — Дпах на [Zb z3] и Dmax или F(t) — IVmax на [Z3> Zj.
Предположим, что
В этом случае функция D(i) приведена на рис. 5.2.9.
За д а ч а Д. Потоки L, D фиксированы, а V, Vd.Ld исключаются
согласно (5.2.5в). Управление F выбирается в классе кусочно-непре-
рывных функций и принимает значение в промежутке
^min F(!) =е Fmax
Переходя к нормальной форме дифференциальных уравнений, по-
лучаем следующую задачу. Рассматривается процесс ректификации,
описываемый уравнениями
(L + L’)C(1)+^-х + Л(у-/) + Гх£Фх =Х, Х>С(1).
Нх |_х ' dl '
yt = -2-[-(D + LK(2) + k{y* - >)] e Y, y\ = C(2)
(5.2.33)
143
L
0 t, t5 % T t
Pnc. 5.2.7. График оптимального уп-
равления L
Рис. 5.2.8. Область значений управления Р, соответствующая управлению L, приве-
денному на рис. 5.2.7
Рис. 5.2.9. График оптимального управления D
При краевых условиях
xb = -~[(L + F)x - Vy - W'xJ S Xk,
xk (5.2.34)
~x*l + x*’ Z = 0’ 0<t<T’
xdl=-^-[(D + L)yd-(L + D)xd]^Xd, 1 = 1, 0<t<T,
H*d
(D + L\yd - y) - L(xd - x) = 0, yd - у - Ed(yd - y) = 0
при начальных условиях (5.2.4) и ограничениях на управления
(F-Fmin)(Fin.x-F)-u2 = 0 (5.2.35)
(и — вспомогательное управление).
Задача состоит в том, чтобы в множестве кусочно-непрерывных
функций F, удовлетворяющих условию (5.2.35), найти такую, что соот-
ветствующее ей решение задачи (5.2.33)—(5.2.35), (5.2.4) дает минимум
интегралу (5.2.6). Применяя известную процедуру вариационного ис-
числения, получаем необходимое условие оптимальности:
в Q
я ’
• У • ,
1L+—= *
144
при I = О, О < t < Т
л ~нХк
(F-D) + ^(a - 1 - a(yk) j, (Г) = 0,
при/ = Г,0</<1
£ = 0, i] = 0;
при I ~ 1, 0 < t < T
x«<T)-o. -^2> + x2>v+x<Ji = o.
at **xd
№ L-~ L*~ w = 0, f J- - - $>(1 - Ed) = 0;
< Hxd ) “*d \™y J
при 0 < t < T
i-77-fe" -"»Л - V' - $4* - *)+y(F^ + - 2f)=o.
7U = 0.
Как и раньше, основным случаем надо считать тот, при котором
у^О, и = 0, т.е. управление F кусочно-постоянно и принимает на
промежутках постоянства только минимальное или максимальное из
допусти мых значени й.
Полученные результаты (условия стационарности) показывают, что
оптимальные управления кусочно-постоянны и принимают гранич-
ные значения из области допустимых значений, но не дают условий,
определяющих, когда управление минимально и максимально. Даль-
нейшее исследование задач А—Д должно проводиться с целью полу-
чения условий типа условий Вейерштрасса.
5.3. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
В ФОРМЕ ВЕЙЕРШТРАССА
В предыдущих разделах были получены необходимые условия
оптимальности в виде уравнений Эйлера-Лагранжа. В 150] было ука-
зано на необходимость дальнейшего исследования задачи с целью
получения условий типа условий Вейерштрасса. В данном разделе
приводятся результаты такого исследования [50,76].
Не теряя общности рассуждений, рассмотрим случай, когда £^ = 0,
что соответствует полной конденсации в дефлегматоре; отсюда
x/t) =х(1АхХ0 = у(1А Тогда математическая модель процесса при-
Ю Зак. 3031
145
нимает вид
Нхх - (L + L') х’ = к(у -у") + Щ^х + F(Z)x^x(/)>
(5.3.1)
Hyy't + Vy\ = *(?* ~У)> 0<1 < 1,0 < t <Т;
НХкх = (L + F)x-Vy+ Wxk, (5.3.2)
У =а ty*(xk) - xj + хк, I = 0, 0 < t <Т;
HXd х’ = V(y -х), I = 1, 0 < t < Т; (5.3.3)
х(/,0) = <pi(D, у(1, 0) = <р2(/), 0 < I < 1, х*(0) = а; (5.3.4)
W + V = L + F; (5.3.5)
О « Lmin « L (/) « Lmax, 0 < Wmin « W (/) « Wmax; (5.3.6)
соответственно упрощаются и уравнения (5.2.11) — (5.2.15) для множи-
телей Лагранжа, а приращение функционала, вызванное переходом от
оптимальных управлений Lt W и соответствующих им решений х. у, х*
системы (5.3.1) — (5.3.4) к произвольным допустимым управлениям
L = L + AL, lv = W + Д1У и соответствующим решениям х + Ах, у + &у,
Хк + Дх*# представляется в виде1
т
bJ = J [ AbL + Bbwyit + JJ Eidtdl + J E2dt,
0 Q dQ
где
A = TrJ Wid - -77-J + -^-lt(y(O,z) - x(0,0) -
0 nx 0 Hxk
a
B=" ^ldl+W1^) -
"у о И*к "xd
. 2 bL. .. bWx , .
El = by2 + ^“Ax^ - + O(bx),
x у
1 Величины A.*, совпадают cX X^ из раздела 5.2.
146
M AW
e2 = -^(Ax(l^(lj)-Ах(0Д(0,0 + ^(Ay(U)n(M)-
- Ay(O,r)T](O,z)) + (\Wbxk - ALAx(O,Z)) + AlVAy(O/) +
H*k
+ -^-Д1У(Ду(1,/) - Ax(l,z)) + О(Дх).
Величины Дх, Ду, Дх* определяются из уравнений
ЯхДх' - (L + AL + L’)Ax = %- - *(/)’Ах + ЛДу + x’AL + О(Дх), (5.3.7)
t * 01 I
Hybyt + (V + AV)Ayj = Л(у’)'Дх - kby-yfiV + О(Ах),
О < I < 1, 0 < t < Т;
НхЛх' = (L + AL + F)Ax(0,0 - (У + А У)Ду(О,г) +
~ м
+ (IF + Д 1У)Дх* + х(0,0ДЬ - у(О,ОДV + х*А W, (5.3.8 )
Ду((Х0 = (а(>* )*~а +1) Ах* + О( Дх*), 1 = О,О < t < Г;
Я^Дх;(1,0 = (^ + ДУ)(Ду(1д)-Дх(1л)) + (у(1,г)-х(1л))ДУ, (5.3.9)
I = 1, О < t < Т;
Дх(/, О)= Ау(1,О) = Дх*(О) = 0, 0 < I < 1; (5.3.10)
ДУ = Д£-ДИ\
производные Дх’, Ду’считаем ограниченными.
Для оценки приращений используется следующий результат, легко
получаемый из известного неравенства Гронуолла:
если
|ф(0< м(рг + /(|ф(т)|+ф(т)Ьт,
I V <0 у
ф(т) э=0, т, /st Т,
то
|ф(/)1<М1 Pl + Jv(T)dr
\ <о /
М = const,
(5.3.11)
(5.3.12)
, Afj = const, z0« T.
Из первого уравнения (5.3.8) получим неравенство
|ах*(/)|< м
147
а в силу (5.3.12) будем иметь
Из 2-го уравнения (5.3.8) и уравнения (5.3.12) следует оценка:
|Ду(О, z)K Ns j Лх(О,т)рт + N6 J ( AL(z)|+|AVF(z)|^z. (5.3.13)
Аналогично из (5.3.9>
|Ax(l, z)|< Ni J |Ду(1, т)|Л+Ns J (|aL(z)|+|AVF(z)|^z. (5.3.14)
Учитывая, что левые части (5.3.7) представляют производные вдоль
характеристик (с точностью до постоянного множителя), и интегри-
руя вдоль этих характеристик, получаем
|Дх(/,г)|« N9 I (|дх(/(т),т)|+|ду(/(т),т)|+|дь(т)|)л+|дх(/о.'о)|.
/“о (5.3.15)
где (QQ “ начальные точки соответствующих характеристик,
О *£ Го, < Г, причем / = О или = 1, = 0 или £ = 0.
Пусть
а(/) = шах1Дх(/,т)|, 0(0= max|у(/,т)|.
0 < г
0*и<1 0</<1
Тогда из (5.3.14) и (5.3.15) имеем
|Дх(/, z)|< N9 f (а(т) + Р(т))г/т + N9 f | AL(t )|dz + N, f Р(т)Л +
0 0 0
откуда
a(0^*u
Аналогично можно получить оценку
P(z)« Ni3j(a(T) + Р(т))Л + N14 j(|AL(f)|+|AVF(z)|)/z.
148 ° °
Еще раз применяя (5.3.13), получаем
Г у*
a(z)«Ni5 Jp(T>ft + N16 j[|AL(r)|+|AVF(r)|)/f>
О 0
(5.3.16)
P(O«n17 ja(T^+^lg JQal(O|+|avf(z)|)/l
Интегрируя от 0 до a и учитывая, что при/(т) О
J dtj /(rjdr = J rfcj f(r)dt = J (a - t)/(t)A =s Tj
0 0 О т 0 0
и заменяя о на /, получаем
Ja(T> N19 jp(T)A + 7% }(|дЦф|АИ'(0|)й,
о 0
Используя последнюю оценку в (5.3.16) и еще раз применяя (5.3.12),
приходим к оценкам вида
откуда
|Ах(/Д)|« Pj(|AL(z)|+|AVF(i)|)dz,
(5.3.17)
|Ay(/,i)|</’j(|AL(f)|+|AVF(z)|pZ.
Теперь мы можем оценить ер е2. Обозначая
S(t) = | AL(r)|+|AW(r)|,
q — наибольшее количество слагаемых в формулах для еь е^;
81 — максимум модулей коэффициентов при приращениях в этих фор-
мулах, получаем
к1(/,ф J8(r>*l +<7515(OPJ8(7>*,
\0 7 0
0 (5.3.18)
149
Теперь можно сформулировать необходимые условия оптималь-
ности.
Теорема. Если L(r), МО — оптимальное управление, х, у, х* —
соответствующее решение задачи (5.3.1)—(5.3.4), то в точках непрерыв-
ности управлений
AAL + B&W > О
для всех допустимых приращений AL, AVF, или, что то же самое,
Апо ПРИ А(0 < °. w(t) = 1Х« ПРИ B(t) < О,
Anin при А(г) >0, ' при В(г) > 0.
(5.3.19)
Доказательство. Пусть г0 — точка, в которой условия (5.3.19)
нарушаются, например» для L(t). Возьмем е > 0, так что при
A(z)< l/2 A(r0), L(z)< */2 (L(t0) + LmK) в случае A(t0)< 0,
A(t)> V2 A(t0), L(t)> 42 (L(r0) + 1^)8случаеA(fo)>O,
и выберем приращения
О при/е[0до]и[/о+^Т],
AL(f) = Lmax - Lfa) при z0 t < + e в случаеA(r0) < 0,
Anm _ ь(/о) ПРИ zo 1 < zo + e в случае A(r0) > 0,
AW(0 = 0.
Тогда при (0 < / < r0 + e, A(/) AL(0 < a < 0,
где
^(*o)(Anax ^(*o)) при A(/0)<0,
= I % A(t0)(Lmin L(z0)) приА(г0)>0,
T T
J[AAL + BAVF]dz < b(t)dt I« be,
о о
If \eldta\<bxei, If z2dt\<b2^,
n о
b2 “ постоянные, не зависящие от e, AJ < ae + bxz2 + b2& при
достаточно малом e, что противоречит оптимальности управлений
^(0» МО-Аналогично рассматривается случай, когда (5.3.19) не вы-
полняется для МО-
Как видим, доказательство теоремы указывает на способ улуч-
шения управлений, если условия (5.3.19) не выполнены. Это позволяет
построить итеративный процесс улучшения управлений при нару-
шении условий (5.3.19).
150
ГЛ AB A 6
РАСПРЕДЕЛЕННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ
ТЕПЛОМАССООБМЕННЫМИ ПРОЦЕССАМИ
Рациональное построение системы измерения параметров распре-
деленного технологического процесса дает возможность значитель-
но улучшить качественные показатели системы управления [34, 35,
48—51, 53, 54» 56]. Задача оптимального сбора информации об управ-
ляемом технологическом процессе рассматривается здесь приме-
нительно к классу объектов, в которых управляющее воздействие рас-
пределено в пространстве. Такая ситуация имеет место в ректифика-
ционных установках, в которых осуществляется рециркуляция взаи-
модействующих потоков, обусловливающих распределенное воздей-
ствие.
Задача распределенного измерения заключается в нахождении оп-
тимальной оценки состояния управляемого процесса при распреде-
ленном управляющем воздействии. Она сводится к определению оп-
тимальных в некотором смысле весовых функций распределенного
измерения. Система распределенного измерения реализуется на
практике установкой на объекте некоторого количества датчиков,
сигналы которых поступают на управляющие устройства, а послед-
ние воздействуют на объект [ 116].
6.1. РАСПРЕДЕЛЕННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ $
Сформулируем и решим задачу управления с оптимальной сис-
темой непрерывного распределенного измерения для класса ОРП [49],
нестационарные режимы которых могут быть описаны линейными
дифференциальными уравнениями; переходный процесс в таких
объектах может быть определен через передаточные функции по
соответствующим каналам возмущающих и управляющих воздействий.
В этом разделе исследуется система регулирования, в которой
промежуточный ввод реагента используется для организации допол-
нительного контура управления [49].
Анализ получившейся при этом двухконтурной системы автома-
тического регулирования (см. рис. 4.1.1) проводится на основе пере-
даточных функций, полученных во второй главе.
Представляет интерес способ формирования сигналов, подаваемых
как на основной, так и на промежуточный регулятор. Исследование
этого вопроса мы сводим к определению весовых функций распре-
деленного измерения для каждого контура регулирования.
1.Постановка задачи. Основой для формулировки задачи
управления является математическая модель процесса, приведенная
в первой главе.
Будем полагать, что целью системы управления объектом (2.4.1)—
(2.4.2) является минимизация функционала качества
Т ' ’ 2
F = (6.1.1)
О
151
где Т — фиксированное время управления; 0* — заданное значение
выходной величины; 01вых = 61(1»О “ выходная (регулируемая) ве-
личина.
Используем возможность подачи на объект двух управляющих
воздействий: одного за счет изменения граничных условий на входе
второй (регулирующей) среды ОгвхОХ другого за счет проме-
жуточного внешнего воздействия w(r). Передаточные функции ре-
гуляторов 17; (х = 1, 2) по каждому из каналов управления считаем
заданными.
Введем для удобства следующие обозначения:
кх2(х,р) = К12(х,р) = R2(x,p),
62вых(р)=^1(р)- ^(р) = Ъ2(р).
Тогда выражение для переходного процесса б^х, р) примет вид
2
01(х,р) = А'11(х,р)01вх(р) + £/?,(х,р). (6.1.2)
1=1
(6.1.3)
На входы регуляторов поступают сигналы <рХр), i = 1, 2, харак-
теризующие состояние объекта управления. Эти сигналы форми-
руются системой распределенного измерения и имеют вид
ф|(р) =
о
где gi(x)t i = lt2 — весовые функции распределенного измерения.
Функции управляющих воздействий v t{p)9 i = 1, 2, в соответствии с
(6.1.3) определяются выражением
Vi(p) = -с№)ф,(р) = -£A(p)J0i(x,p)g,(x)dx, i = 1,2.
О
(6.1.4)
Задача оптимизации рассматриваемой системы управления сос-
тоит в отыскании таких весовых функций распределенного изме-
рения #1(х) и которые принадлежат некоторому допустимому
множеству функций £2. обусловленному возможностью реализации
проектируемой системы управления и дает экстремальное значение
функционалу качества (6.1.1).
2. Условие оптимальности весовых функ-
ций распределенного измерения.Проварьируемоп-
тимальную весовую функцию g&x), (i = 1, 2):
ч fft(x).xE[0,l]\5,
S‘W = 1G„ xeS,i = 1.2.
(6.1.5)
где Gb G2 — произвольная точка из множества допустимых весовых
функций £2; 5 — сколь угодно малый интервал внутри отрезка [О, 1J.
152
Обозначим меру множества 3 через £, т.е. d(8) = е.
Найдем теперь приращение функции переходного процесса при
варьированных gi(x):
2 1 z
Д01 (х,р) = 0! (х,р) - 0! (х, р) = (х,p)Ut (p)f (0!(х,p)gt (х) -
/=1 о
~^Ax>P)sM)dx. (6.1.6)
Проделав над выражением J0i(x,p)f,(x)dx ряд тождественных пре-
О
образований, получим
1 1 *
J 91 (*.р)&(*)<& = J Qi (х,p)g№dx + J Л0!(x,p)ft(x)dx +
о о о
+E(01(x’,p)Gz-01(x’,p)ft(x')j + O(E), (6.1.7)
где х 6 6.
Подставляя (6.1.7) в (6.1.6) и пренебрегая 0(e), получим
2 1
Д0! (х,р) = -£<p,(x,p)J A0i(x,p)ft(x)dx + v(x,p), (6.1.8)
i=l О
где
, . 2 , v
у(х,р) = £01(х ,р)Ефх (х,р)(С/- &(х)),
1=1
<pi(x,p) = /?i(x.p)£/i(p). » = 1.2-
Чтобы найти A0i(x, р) из уравнения (6.1.8), умножим обе его части на
gj,j = 1, 2, и проинтегрируем по х на отрезке [0, 1]. Получим систему
уравнений
2
cj + = fj’ j = i>2, (6.1.9)
1=1
где
i i
cj = J№dx,p)gj(x)dx, aij = j<Pi(x'P)gj(x№>
0 0
1
0
Решая систему (6.1.9) относительно q, i = 1,2, получим
С1 = [(!* а2г)/2 ” a21/l] I A* C2 = [(!* al 1 }fl ~ a12/l]/
Д = (1 + an)(l+ 0.22.) ~ a12a21-
< 153
Таким образом, имеем
Д01(х,р)= +y(x-p)-
4=1
(6.1.10)
Преобразовав функции J\ и f2, входящие в выражения для cit i = 1, 2,
получим
2
fj = G; - &(* )) J = V.
4=1 ' '
Подставляя f\ и f2, найдем выражения для сг и с2:
2 х
YAji(jSi(.x) ,-GtJ
Cj = гвх(х,р}—-----—---------j = 1.2,
/ \ / Д
где
Л1 = а11(1+ a2z) “ а12а21» Л2 = а21» ^21=а12»
&22 -а2г(1+ аи)“а12а21-
Подставив <?! и с2 в (6.1.10), получим выражение для приращения
функции переходного процесса в регулируемой среде в изображении
по Лапласу:
2 / / .X \ / . X
А61 = е £(&(* ) - GjWUx.x ,р),
1=1' '
(6.1.11)
где
ИДх,х,р) = —----------------------, И<(х ,р) = Ид1,х ,р), х = 1»2,
или в оригиналах
2
А01вых(О = £'1{де1вых(/’)} = (&(Х ) - Gik(X’O.
1=1'
где
,p)J, i = l,2.
Подставим теперь А61вых (1) в F(g)'-
Ч?1>#2)= F £1(*’)»£2(* ))-2е
Щх’^^х’^г^^-^х.СрСг
154
(6.1.12)
где
2 т
n(x',g1(x'),g2(x')) = -Zft(^)Jw1(x'j)(0* -61вых(*))ж.
' i=l О
П(х .G^U-ZGjwJx ,r)(e -OibhxCOW.
i=l 0 м '
Далее для приращения функционалов качества получим
= Лй>fe) - Ла««2) = -2е[п(х .G^Ga) - п(х',й,«2)] > о,
т.е
П(х’.Gj.Gj)«П(х',&,&), й>«2е^. хе [0,1]. (6.1.13)
Последнее условие означает следующее: поскольку gfa), i = 1, 2 —
оптимальные функции, a G(- — произвольные элементы Q, то для
оптимальности g&x) необходимо, чтобы функция ГЦх,#!,^)
достигала максимума при любом фиксированному с [0,1].
Если Q определяется неравенствами
|А<х)| « l,i = 1,2,
то, очевидно, получим
т
&(х) = sign-] J(е* - 0ieux(z))w,(x,Odf k i = 1,2.
Io
(6.1.14)
В выражение И\-(х, р), ii = 1, 2, входит функция 0г(х, р). Для ее
Определения используем тот же прием, что и при отыскании Д0Ь
Представим (6.1.5) с учетом ранее сделанных обозначений в следу-
ющем виде:
2 1
6i(x,p)=A'11(x,p)01BX(p)- 2ф,(х,р))01(х,р)&(х)4х. (6.1.15)
1=1 о
1
Обозначим = J 02 (x,p)gi(x)dx9 i = 1, 2.
о
Тогда, умножив обе части (6.1.15) на gj (х) и проинтегрировав на от-
резке [0, 1], получим
2
Cj + ;=1, 2,
i=i
raeFj = jK11(x,p)g;(x)01BX(p)dx, J = l, 2.
о
(6.1.16)
* 155
Решив систему (6.1.16). получим
<?1 = ((1 + a^F! - ОаГгУД = У1(р)0) „(р),
с2 = ((1 + an)F2 - а^О/Д = y2(p)0i вх(р),
где
Yi(p) = 7“
л [о
+ “22)-&(*)“21]<М.
Уг(р) = -J-[fKnUp)[«2 W(i
Л [о
+ an)-«i(x)a12]dx -.
Окончательно для функции переходного процесса 6i(x,p) получим
следующее выражение:
(2 \
Кп(х,р)~ YRi&pjU^pYiXp} квх(р).
Х=1 )
(6.1.17)
а на выходе объекта значение функции 0i(xg?) будет определяться по
формуле
/ 2 \
е1вЫх(р) = ki(l,p)- Е^(1,р)Ц(р)у,(р) 01вх(р).
\ »=1 7
(6.1.18)
Теперь полностью найдены функции VF,(x,p), i = 1,2, и 0j ^(р), входя-
щие в (6.1.14) для определения оптимальных весовых функций gj(x) и
&(*)•
Итак, получено решение задачи оптимального измерения при рас-
пределенном управляющем воздействии. Однако доведение до чис-
ленного решения является самостоятельной задачей, которая реша-
ется с применением методов численного обращения преобразования
Лапласа. Алгоритм получения численных результатов описан ниже.
Задача оптимального измерения при распределенном управля-
ющем воздействии решалась при условии, что приращение функций
Д0! и 0! находилось в пространстве изображений. Это обстоятельство,
естественно, обусловливает определенные особенности построенных
численных алгоритмов решения задачи. Ниже приводится решение
этой же задачи, но при этом приращение A0j функции 0t ищется в
пространстве оригиналов, что имеет свою специфику при численном
решении задачи. Такие решения возможны, когда известны
переходные функции.
Переходный процесс в регулируемой среде в оригиналах можно
представить следующей формулой:
0i(xj) = JG1i(xj,T)0iBX(T)dT + J(g12(x>,t)u(t) + G12(x,^t)w(t) )rft,
гдеСи, ^12, 612— импульсные переходные функции, представляющие
156
собой реакцию объекта на воздействие в виде 5-функции по
соответствующим каналам воздействий. Оба регулятора определя-
ются функциями
t t
= w(t) = -Ju2(t,T)(p2(r)dT, (6.1.19)
О о
где Ui(r,x), и2 (г,т) — ядра, которые считаются заданными; ф^г) и ф2(0 —
сигналы, поступающие на регуляторы и выражающиеся следующими
соотношениями:
Ф/(т) = jei(x,T)ft(x)dx. i = l, 2. (6.1.20)
о
Подставим (6.1.19) в 0i(x,t) и получим
e^x.r) = JGn(xj,T)e1M(T)<ft - J f(g,t,),M(x,t& Ъ 6i))tfr<
О 00
где введены следующие векторные функции:
^)=(gi(^).foO,
Л/(х,/Л,г,91)=(^ 1 (х,/Лд,01),л/2(х.гЛд,е1)),
Мг (х, /, т, 6,) = 0! (£, t)J G12 (x, z, п)ц Спл)<ЛЬ
о
M2(x,tt^,x,el) = ©! (£, t)J Gl2(x,r,n)M2(n>T)rfn.
о
Проварьируем оптимальную весовую вектор-функцию g(x):
.Wcta. xe[0,l]\S,
G, x € 5»
где g(x) и G e Q; 8 — сколь угодно малый отрезок внутри [0,1].
Функционал качества F получит следующее значение:
^)=/(0*-(91м.х(О + Д01м«(О) л=
о
= j((0 * -01ВЫХ (О)2 - 2(0 * -9]вых (О)Д01ВЫХ ф.
После несложных тождественных преобразований найдем
Д01вых(О = -e((G - |/М(1,гЛ,т,01)л -
\0
Ч)Г(мЛл)/М(£л.Л»01>)<*П^),
00 о
157
где резольвента Г(ди£,т,) удовлетворяет уравнению
Г(х,<Лл)-(8(У. - -
i' r и ЭМ(х,г,С,Л.01)
- J j Г(С, n, Ъ T) WO-——' 12 dndC
00 O0J
Подставляя теперь Д01 ^(r) в выражение для F(g), получим
F(g) = F(g) - 2е(П£',6) - П(^')),
где
nfc.G) = 4 G,f f (0 * -01№lx {t^M^'^dx -
\ ко о
- J J Г(1, t£,x) J M(£, x, %, n, 0j )dr\dxdt>))dt,
00 0
nfc,g(£j)=-Wf(e * -01»X
\0 0
- } i r(i, J М (^лЛ ,n,0iH<ftdO^O).
00 n
Далее имеем
AF = F(g) - F(g) = - 2e(n(£,G) - ГЦ^*))) > 0,
откуда II(£,G) ГЦ^О,«(?) e ft e [0,1].
Поскольку g(x) — оптимальная вектор-функция, a G — произвольный
элемент ft то последнее условие означает, что для оптимальности
g(x) необходимо, чтобы функция n(£,g(£)) достигала максимума при
любом фиксированном
Если А определяют неравенства
gi(x)l< 1, i = l,2,
получаем
т ft
gi(x) = siga- -J(0*-0i„x(/)) jMifrt.x^eJdr-
Io Vo
- f f r(l, t) J Mi (£,т, X, n, 01
00 0 J
i^l, 2.
3. Анализ переходных процессов в двух-
контурной системе регулирования (расчет опти-
158
мальных весовых функций на ЭВМ). Рассмотрим результаты чис-
ленного анализа переходных процессов и весовых функций распре-
деленного измерения в объектах с распределенными параметрами в
замкнутой системе регулирования при распределенном управля-
ющем воздействии. Эти результаты сравниваются с кривыми переход-
ных процессов и весовыми функциями распределенного измерения
без распределенного управления, когда управление осуществлялось
только за счет изменения граничных условий (при регулирующем
воздействии, поступающем только на вход объекта).
Для анализа переходных процессов применялись методы числен-
ного обращения преобразования Лапласа — интерполяционный с
равноотстоящими узлами и метод, основанный на разложении
изображения функции переходного процесса в сходящийся ряд по
смещенным полиномам Лежандра.
Весовые функции ^СОи^Сх) находились из полученных в этом
разделе необходимых условий оптимальности методом последова-
тельных приближений.
На рис. 6.1.1 представлены кривые переходных процессов и весо-
вых функций, получающихся на каждой итерации. Анализ переход-
ных процессов проводился для параметров технологических
аппаратов схх е [0, 10] и а2 е [0, 10]. Время регулирования взято Т = 2,0.
Как показали расчеты, для устойчивых переходных процессов итера-
тивный процесс довольно быстро сходится. В пределах требуемой
точности обычно делается 5—6 итераций. Кривые, обозначенные F<°\
соответствуют переходному процессу в разомкнутой системе регу-
лирования. При этом новое установившееся значение выходной
величины совпадает с полученными стационарными значениями по
методу инерционностей.
Проведенные расчеты показывают, что качество регулирования
при распределенном управляющем воздействии повышается. Так, для
параметров 0ц = 2, а2 == 3 (см. рис. 6.1.1) показатель качества F°"T =
- 0,0372 без распределенного воздействия, а при распределенном
управлении (рис. 6.1.2) с подачей управляющего воздействия в точку
аппарата с координатой х, = 0,7 F007 = 0,0309. При этом показатель
качества улучшился примерно на 20Х.
Аналогичный результат получается для аппарата с параметрами
осх = 2 и а2 = 4. Показатель качества при подаче дополнительного
управляющего воздействия в точку аппарата с координатой х,- = 0,7
FonT = 0,0357, а без распределенного воздействия для этого же аппа-
рата FonT = 0,1093, т.е. улучшение показателя качества больше чем в
3 раза.
Таким образом, распределенное воздействие позволяет улучшать
качество процесса управления и, как показывают расчеты, улучшение
это может быть весьма существенным. Однако распределенное управ-
ляющее воздействие может увеличить перерегулирование и при
проектировании конкретных систем регулирования надо это иметь в
виду.
159
#вых
Рис. 6.1.1. Кривые регулирования в одноконтурной системе
1 — F<0) = 0,2009; 2 — F1’ = 0,0506; 3 — F®> = 0,0403; 4 —F& = 0,0372
Рис. 6.1.2. Кривые регулирования в двухконтурной системе
1 — № = 0,2009; 2 — = 0,0445; 3 — Г® » 0,0328; 4 —Л3) = 0,0309
Были рассчитаны кривые переходных процессов в зависимости от
координаты точки приложения регулирующего воздействия для
параметров аппарата oq=l, aj=2. При этом расчеты проведены длях4=
= 0,2—0,9. С увеличением координаты х, показатель качества улуч-
шается. Однако при этом усиливается перерегулирование. Поэтому
160
для аппарата с указанными параметрами координату точки приложе-
ния внешнего воздействия целесообразно выбирать на отрезке [0,4;
0,51. Полученная координата близка к значению, при котором дости-
гается минимум инерционности по управляющему каналу.
Для аппарата с параметрами dj = 2, = 3 координату приложения
внешнего воздействия следует выбирать на отрезке [0,3; 0,4].
На рис. 6.1.1 и 6.1.2 приведены также весовые функции распреде-
ленного измерения, которые получаются на каждой итерации. Харак-
терно, что оптимальные весовые функции ^(х) и gz(x) почти совпа-
дают при всех параметрах аппарата.
Для практических расчетов системы регулирования важно знать
пределы улучшения показателей качества, достигаемые в том случае,
когда система измерения состоит из конечного числа точечных
датчиков. Такая задача, связанная с выбором оптимальных координат
приложения управляющих воздействий и координат точек измере-
ния, решалась для теплообменника, описанного в [61]. Обобщенные
параметры для этого аппарата следующие: ои = 0,948, а2 = 1,495, ti ®
= 0,74, т2 = 0,26.
Наименьшее значение функционала качества /7ОПТ = 0,0459 со-
ответствует точке ввода внешнего воздействия с координатой х4 = 0,7.
Оптимальные промежуточные точки измерения имеют координаты
соответственно хх = 0,5 и хп = 0,3.
6.2. ОПТИМАЛЬНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ В СИСТЕМАХ УПРАВЛЕНИЯ
ХИМИКО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ОБЪЕКТАМИ
С РЕЦИРКУЛЯЦИЕЙ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ПОТОКОВ
В данном разделе поставлена и решена задача оптимального
распределенного измерения на основе метода вариационного исчис-
ления. Получены необходимые условия оптимальности весовых
функций распределенного измерения. Эти условия используются для
построения численного алгоритма расчета оптимальных весовых
функций. Конечно-разностные аналоги уравнений в необходимых
условиях представляют собой градиент аппроксимированного функ-
ционала качества. Следовательно, для численного решения задачи
оптимального измерения могут быть использованы градиентные
методы. Проведенные расчеты для промышленных аппаратов хими-
ческой технологии показывают хорошую сходимость численного
алгоритма [46,169].
Получены оптимальные весовые функции распределенного изме-
рения, дающие оценку измеряемым параметрам управляемого про-
цесса для промышленной ректификационной колонны К-101. С одной
стороны, эти функции дают оценку предельных возможностей
распределенного измерения и таким образом можно оценить другие
методы измерения. С другой — характер изменения функций
распределенного измерения может быть учтен и при организации
оптимального измерения в реальных системах управления.
11. Зак. 3031
161
Постановка задачи оптимального измерения
Исходя из закона сохранения количества тепла и массы в рамках
ранее принятых гипотез, рассмотрим следующую математическую
модель управляемого процесса:
^+с1^ = ку<У‘- Ур +ф1*> 1 « I « ЛГ. (6.2.1)
^+с2^ = ку(У* -У.)+ф2.» Q = {(/,010</<£,0<1<П-
Известна также связь концентраций с плотностями:
/# /N
^=Ри/1Ри, y^Pa/Zpy.
/ >=1 / 7=1
(6.2.2)
Поэтому система (6.2.1) содержит 2N неизвестных функций и столько
же уравнений.
Систему уравнений (6.2.1) дополним начальными и граничными
УСЛОВИЯМИ:
Р1Х/.О) = фь<0. РаХДО) = 92,(0, (6.2.3)
где фп(0. ФгХО — заданные функции;
при I = О
Р* (0,0 = Vo(0y/(0,0/c2,
где
j~i
= q Рн(0,0 - у(О,г)X р1у (0, г)
у(0,0) = ф2{(0)/£ф2>(0);
при I = L
Pu<Lfy^L^Ltt)!cb
Нг
ла
^!1 = С2 py(L,t)-xi(L,t)ip2j(L,t)
L /=1
£Ф1,(Ь),
/•«1
(612.4)
(6.2.5)
162
dlF (t) N
—Z— = c2 - Ld(t) - D(t), HId (0) = cq.
at j=i
Система (6.2.1)—(6.2.5) описывает процесс нестационарной массо-
передачи в ректификационной колонне с переменным уровнем в
дефлегматоре. Для того чтобы колонна неограниченно не исчер-
пывалась и не переполнялась, введем следующее условие:
](F(t)-D(t)-W(ttfdt = O, (6.2.6)
о
где Т — заданное время управления. Корректность этой краевой
задачи показана в [71].
Сформулируем задачу оптимального распределенного измерения.
В качестве цели оптимизации поставим требование достижения наи-
меньшего среднеквадратичного отклонения регулируемой величины
ХМ/) и (или) yi(l9f) вверху и внизу колонны (наилучшее качество
целевого продукта):
(6.2.7)
Нами исследованы также и другие критерии оптимизации, напри-
мер производительность аппарата, критерий разделительной способ-
ности [48].
Рассмотрим замкнутую систему регулирования с управлениемР(г).
Имея в виду использование распределенного измерения в паровой
фазе, на вход регулятора регулирующего D(t) поступит сигнал:
L N
где gs(J) — весовые функции распределенного измерения, дающие
оценку контролируемым параметрам в автоматической системе
регулирования, а управляющее воздействие D(f) в случае интеграль-
ного регулятора будет иметь вид
г L N
0 0j=1
где u(z,t) — заданная функция, характеризующая регулятор; ks = 1
только для измеряемых параметров, а для неизмеряемых ks = 0.
При измерении параметров жидкой фазы задача формулируется
аналогично. Задача оптимизации рассматриваемой системы управ-
ления состоит в нахождении таких весовых функций распреде-
ленного измерения gs(J)t которые в силу системы уравнений (6.2.1) —
(6.2.6) минимизируют функционал качества (6.2.7).
163
Необходимые условия оптимальности
Переходя к нормальной форме, получим следующую систему диф-
ференциальных уравнений, описывающую управляемый процесс:
+»,0’.-^)+фи-х„ Э-^=С“.
+*Л^-у1)+Фя«г<. ^“=С® 0<i<L,0<i<T.
при краевых условиях
Pi<O,0-Vo(0)',<O,0/c2 = O>
dt
= #- Р1,(о,0-л(о.охрц(о,0 = х:
нхк L >=1 J
ь»
л(0,0) = ф2,(0)/еф2;(0), 1 = 0, 0<t<T;
^!M = -^- p2i(L,t)-xi(L,t)Zp2j(L.t) = ХЛ,
dt HXd [ >=1 J
/N , ,
Z<Pi>(b),
7=1
= c2 i p . (L, t) - Ld (t) - D(t) = H, HXd (0) = a,.
at
с начальными условиями (6.2.3).
Для получения необходимых условий оптимальности рассмат-
ривается вспомогательный функционал
/ = /1+/2 = JJZJMr+ jldt,
о до
где 3Q — граница области Q,
164
Здесь цР, П<2> — функции, определенные на й, Х^Л Х^\ Х^3\
Х*}\ Х^} — функции, определенные на Эй.
Пусть gs(l) — оптимальные весовые функции, рп-» р*- — оптимальное
решение задачи (6.2. D—(6.2.6), соответствующее &(/)• Тогда, найдя
вариацию 81 = SZj + 8I2 и используя аргументацию вариационного
исчисления, будем иметь следующую сопряжённую систему диф-
ференциальных уравнений относительно (£<2>и
выражены через ит|*и и обозначены £г и т^, аналогично
исключаются Х£*?» Х^Ь
ах ’ ki '
Ъ C*L_
dt 1 Э/
а2 EP2j
>=1
/=1
+ Д(^-т)ри
N
^Plj
>1
(6.2.8)
= а2
k-£x)+ zpi№-m)
к=1
?к
N
P^hj
+ й3) - zm(o,0yt(o,0
*=1
ksi = 1 при s = i, ksi = Опри^Л
где Рк = AhT2 + ВкТ + Ск — парциальное давление для к-го компо-
нента. Рк = ЭР*/Эр1*. Т — температура в колонне, Akt Вк, Ск —
коэффициенты, определяемые по экспериментальным данным
методом наименьших квадратов, Р — общее давление в колонне,
^1,Т) = о, П,(/.Л = 0, (6.2.9)
N
/=i ;
dt
п.(о,О
j=l
Нхк
-2kp\yi(o,t)-e*2i), ^(т) = о,
1(2) N Г 1(2) (6.2.10)
^(0,0=-^--Еь(о,о-^--П,(0.0, 1=0, 0<t<T-,
kiXk s-1 ***к
4 165
rt(2) Kiic2 Ep2>(^»0
^ = UL,t)Ld(t)---------&---------2^{Xi(L,
dt
= ^/Hxd (0 - ixs(L,t)^/HXd (1) +
5=1
(6.2.11)
N f^x N
= ~lc2^ p2,(Lj)-x(Lj)Zp2/Lj) Я2,,
5=1 L ;=1 J
dt
1 = 0, 0<t<T-,
y*(/,t)dt = O, keG,
о
5=1
(6.2.12)
где G — множество индексов измеряемых параметров.
Метод численного решения задачи
оптимального измерения
Метод решения системы уравнений заключается в следующем:
а) задаются начальные приближения весовых функций $?(/), 1 i ^N-,
б) если g* (/) известны, то из системы (6.2.1)—(6.2.6) находятся р л, рл.,
а из сопряженной задачи (6.2.8)—(6.2.11) — Ел пл, Х(2)л, Х(2)лД(?л:
в) далее полагаем ^л +1 = g* - tL6 1 i 7V;
г) предельные значения весовых функций дают решение исходной
задачи.
Численные результаты
Выражение (6.2.12) — это градиент вспомогательного функционала
I. Можно показать, что это выражение есть градиент оптимизиру-
емого функционала (6.2.7). Следовательно, для численной реализации
метода можно использовать градиентные методы.
На рис. 6.2.1 и 6.2.2 приведены графики оптимальных весовых
функций распределенного измерения g(l) и соответствующие концен-
трации первого (легколетучего) компонента в дефлегматоре и в кубе
промышленной ректификационной колонны К-101. За измеряемый
параметр принята концентрация легколетучего компонента в
паровой фазеу1(/д) (см. рис. 6.2.1)? Кривые x°(Lj) и yi(O,r) соответствуют
начальной весовой функции g(l) = 0 при возмущении легколетучего
166
Рис. 6.2.1. Графики концентраций и весовых функций в оптимальной системе
управления с измерением параметров паровой фазы
Рис. 6.2.2. Графики концентраций и весовых функций в оптимальной системе уп-
равления с измерением параметров жидкой фазы
компонента в сырье на + 20% от исходного значения. Кривые на
графиках соответствуют: 1 — минимальному отклонению
концентрации хг(Ь,1), 2 — минимальному отклонению >1(0,/), 3 —
минимальному отклонению Xi(L,f) и у 1(0,0 одновременно от заданных
значений.
Для первой схемы автоматического регулирования регулируемая
величина близка к требуемому значению 0П и функционал качества
5ОПТ = 440"4. Содержание этого же компонента в кубе колонны >1(0,0
имеет наибольшее отклонение от заданного значения 021.
При оптимизации качества нижнего продукта в колонне откло-
167
нение регулируемой величины yi(O,t) от заданного значения умень-
шается по сравнению с первой схемой регулирования, однако вверху
колонны значение увеличивается. При этом 5ОПТ = 0,114.
Для критерия оптимизации отклонений одновременно верхнего и
нижнего продуктов кривая переходного процесса Xi(L,l) совпадает с
аналогичной кривой во второй схеме регулирования, а кривая >1(0,/)
также незначительно отличается от соответствующей кривой во
второй схеме и 5ОПТ = 0,329.
В случае распределенного измерения концентрации первого ком-
понента в жидкой фазе (см. рис. 6.2.2) при минимизации отклонения
Xi(L,0 от заданного 0П 5ОПТ = 4-10"2. При оптимизации отклонения
ji(0,0 от 02i 5ОПТ = 9*10"5. При одновременной минимизации отклоне-
ния Xi(L,0 и yi(0,0 от 0П и 0П 5ОПТ = 0,325.
6.3. КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ
ОПТИМАЛЬНОГО ИЗМЕРЕНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ
Уравнения состояния непрерывного тепломассообменного про-
цесса взаимодействия двух противоточно движущихся сред фор-
мально записываются в виде [49. 123]
Ав = въ, (6.3.1)
где А — линейный оператор в частных производных эволюционного
типа, здесь гиперболический; v = (0, в2) — управление; 0(1)) = (01(d),
02(v)) — состояние системы; В — оператор, который, можно считать,
задает граничные условия. После добавления начальных условий
0;(х,О) = 0ю,/= 1,2, (6.3.2)
и определения функционала качества 7(v) = (p(0(v)) + \|/( I I а)
задача оптимизации сводится к нахождению
in£7(v), в g Uj. (6.3.3)
Здесь U — гильбертово пространство, в котором задано в и система
(6.3.1) имеет единственное решение 0(в) е И, Ув е <7; Uj “ замкнутое
выпуклое подмножество (/.
Исходя из условий корректности постановки смешанной задачи
(6.3.1)—(6.3.2), для системы гиперболических уравнений с пере-
менными коэффициентами [1231 получена
Теорема. Существует единственное решение задачи (6.3.3), где
Ф(0(г») = II 0i(/,t,v) — 0*(г) 12w. V ( I -о | i/) = (^,v)y.
0*(z) — заданный элемент/7; — выходное значение продукта;
7V>0.
168
Доказательство теоремы проведено на основе теории, разра-
ботанной Лионсом [97] для функционала вида 7(п) = лСод)) + £(п), где
— положительно определенная билинейная непрерывная
форма, L(v) — непрерывная линейная форма. В данной задаче найдем
конкретный вид вариационного неравенства n(u9v> — и)^ L(y> — и),
Vv е и^ие. U оптимальное, т.е. получены необходимые и доста-
точные условия оптимальности.
Теперь рассмотрим задачу оптимального измерения. В разделе 6.1
решена такая задача для довольно широкого класса химико-тех-
нологических аппаратов. Для линейной математической модели уп-
равляемого объекта с постоянными коэффициентами на основе ме-
тода преобразования Лапласа получены необходимые условия опти-
мальности весовых функций распределенного измерения. Это необ-
ходимое условие позволяет численно определить оптимальные ве-
совые функции, дающие предельную оценку распределенного изме-
рения параметров управляемого процесса.
В данном разделе решена задача оптимального распределенного
измерения, управляемый процесс которого описывается дифферен-
циальными уравнениями в частных производных с переменными ко-
эффициентами.
Для решения задачи оптимального измерения используется метод
вариационного исчисления. Полученные необходимые условия опти-
мальности используются при построении численного метода расчета
оптимальных весовых функций распределенного измерения.
Исходя из закона сохранения количества тепла и массы, в рамках
гипотез, принятых в работе [58], рассмотрим уравнения, описывающие
этот процесс:
А > №.зл)
dt дх
где 0( = 0((х,О» i = 1» 2, — функции распределения температуры или
концентрации; w, = i = 1. 2, — скорость движения соот-
ветственно первой и второй сред; Дх,Г) — функция внешнего воз-
действия.
Здесь внешнее воздействие приложено в m промежуточных точках
и представляется в виде
Лхл)=5х/ФЛ0-
&
Система уравнения (6.3.4) дополняется начальными и граничными
УСЛОВИЯМИ:
0i(x,O) = O,i = l,2, (63.5)
169
91(0, /) - 0( вх(0» 0z(l»O - вх(0,
(6.3.6)
где 0t вх(0,02 вх(0 — заданные функции; L— длина аппарата.
Функционал качества имеет вид
т 2
J = J[e‘ -0i(L,f)] dt, (6.3,7)
о1
где Т — фиксированное время процесса управления; 0* — заданное
значение регулируемой величины; — выходная (регулируемая)
величина.
Используется возможность подачи на объект m + 1 управляющих
воздействий: при j = 0 за счет изменения граничных условий на вы-
ходе второй (регулирующей) среды \)о(О = 02 Вх(0; при 1 jm за
счет промежуточных управляющих воздействий v/O*
Таким образом, получаем m + 1 контурную систему автома-
тического регулирования. Функции управляющих воздействий j~
=0,..., m представляются в виде
t i
v}(t) = juj(t,T)jQx(x,i)gj(x)dxdT, (6.3.8)
о о
где 1)у(0— операторы используемых управляющих устройств (в дан-
ном случае интегральные) с заданными ядрами u/ст), определенными
L
в треугольнике 0 т t Т (см. [491), фДт) = —
о
воздействия на выходе регуляторов, характеризующие состояние
объекта управления и выражающиеся через весовые функции расп-
ределенного измерения gj(x).
Таким образом, задача оптимизации системы управления такова:
найти такие весовые функции g;(x)9 при которых выходное значение
функции состояния 0i(L,O минимизировало бы функционал качества
(6.3.7). В этой постановке в качестве управлений выступают весовые
функции gt{x), тогда отображение 0(g) становится нелинейным и прит
веденные выше выкладки при исследовании задачи оптимального из-
мерения неприменимы. В этих условиях получены необходимые
условия оптимальности в виде вариационных равенств, включающих
решение сопряженной к (6.3.4) системы. Имеет место
Лем ма 1. Сопряженная система уравнений и необходимые ус-
ловия оптимальности имеют вид
3^- + - цл + Иг*2 - J J А-')х
ot dx
т
X 5;(х)<*14 + J (L, Ji )ц2 (L, fl )и0 (fl, f )dfi£o W = 0.
(6.3.9)
170
Эц.2 Эц2 , .
— ^2 -ч ~~ М'2^’2 М'2^'1 ’
3t 2 Эх 2 21 (6.3.10)
2[е* -e1(L,t)]-H>1(L,t)H1(L,t) = 0, w’2(0,t)|i2(0,t) = 0;
Н!(х,Т) = 0, ц2(х,Т) = 0; (6.3.11)
Т t
Ло(01,ц2) = Jy.2(^^)w2(i,f)/«0(r,T)ei(x,T)rfT<ir; (6.3.12)
о о
LT t
^(6i-Hi) = JJlii(^f)X(^)jMy(t,T)rfcdt^. (6.3.13)
00 о
Метод решения системы уравнений заключается в следующем:
а) задаются начальные приближения весовых функций gj(х);
б) если g*(x) известны, то из системы уравнений (6.3.4) и граничных
условий (6.3.5), (6.3.6) находятся 0? = 0"(xj) и из сопряженной зада-
чи (6.3.9)—(6.3.11) находятся ц" = p"(x,t), i ~ 1,2;
в) далее полагаем
£о+’ =«о-^(0Г.Ц$), «Г1 =«7-^(0!-,^). т>0;
г) предельные значения весовых функций дают решение задачи.
Для численной реализации задачи (6.3.4)—(6.3.6), (6.3.9)—(6.3.13) по-
строена явная консервативная конечно-разностная схема, аппрок-
симирующая исходную систему уравнений (6.3.4) с первым порядком
на равномерной сетке.
При этом справедлива
Л е м м а 2. Левые части конечно-разностных аналогов уравнений
(6.3.12), (6.3.13) представляют собой градиент аппроксимированного
функционала качества (6.3.7).
Благодаря этому метод решения задачи оптимизации включает в
себя решение двух краевых задач: задачи (6.3.4) и сопряженной ей, а
также антиградиентный спуск по вариационным равенствам к мини-
муму. Расчеты были проведены для разомкнутой системы управления
и замкнутой с различными комбинациями gj{x)J =
Несмотря на ряд абстрагирований, задача оптимального измере-
ния дает прогноз работы теплообменника при граничном управлении
(/= 0) и в правой части (/ = и хорошо согласуется с экс-
периментальными данными.
171
ГЛ AB A 7
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА
МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ РЕКТИФИКАЦИИ
Основу процесса ректификации составляют тепломассообмен и
гидродинамика взаимодействующих потоков. Этот процесс
характеризуется большим числом параметров, связанных между
собой сложными зависимостями. Значительная часть параметров
является функциями временной и пространственных координат.
Анализ большой группы ректификационных колонн показал, что в
промышленных условиях в подавляющем большинстве случаев
колонны работают в динамическом режиме, т.е. со временем
меняются состав сырья, его количество и др. [481. Кроме того, на
колонну воздействует система управлений с помощью различных
параметров управления. Поэтому для исследования процесса
ректификации необходима математическая модель, которая отражает
динамику процесса при возмущении по различным параметрам.
7.1. СТАТИЧЕСКИЕ И ДИНАМИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ
РЕКТИФИКАЦИОННЫХ КОЛОН
Уравнения нестационарного процесса массообмена для
многокомпонентных смесей
При исследовании процесса ректификации в основном интерес
представляет распределение концентраций компонентов по длине
колонны в статических и динамических режимах ее работы.
Поэтому, как правило, математическая модель процесса
ректификации содержит систему уравнений, записанных отно-
сительно концентраций компонентов. Примером такой мате-
матической модели является следующая система уравнений [48]:
(7-1.1)
aky,) afvyj ,. ч
—+ -^— = ky(yi-yi) + p2fi,l^^N.
Эти уравнения выражают закон сохранения количества вещества
каждого компонента в жидкой и паровой фазах. Выражение ky(yi —
♦
—yi) определяет непрерывный по всей длине колонны фазовый
переход /-го компонента, что характерно для насадочных колонн.
Однако эти уравнения можно применять для описания процесса
ректификации в многотарельчатых колоннах, в которых массообмен
между фазами происходит в основном на тарелках.
Влияние гидродинамических явлений на процесс массообмена
можно выразить следующей зависимостью коэффициента массообмена
172
от величины парового потока [48]-.
ку =
где к определяется из экспериментальных данных.
Такая Зависимость является приемлемым приближением для
некоторый режимов работы ректификационной колонны. Равновесная
концентрация в паре определяется через концентрацию компонентов
эмпирической зависимостью [481
У* = (РиТ2К + Р2,ТК+Р3^/Р,
где Р — давление в колонне; ТК — температура кипения жидкости,-
31 — коэффициенты, полученные по эмпирической
зависимости давления чистых компонентов от температуры методом
наименьших квадратов, i =
Ввод потоков сырья в ректификационную колонну осуществляется
не по всей длине, а в некоторой ее части, которую будем называть
областью ввода. Функции (/Д), Рзд 0»0» определяющие плотности
потоков i-го компонента по длине колонны, находятся следующим
образом:
где FLt Fv (0 — потоки сырья в жидкой и паровой фазах; Хр (г), ур (t) —
концентрации i-ro компонента в сырье. В качестве функций fa (I) и
/2 (D можно взять функцию е‘а<1~1Р2 Система (7.1.1) может быть при-
ведена к виду
(7-1.2)
С2 = ку ~ У‘ + Р2У! ’18£ ,Й£ N'
Таким образом, имеем систему уравнений в частных производных с
постоянными коэффициентами. Если за единицу площади взять
площадь поперечного сечения колонны, то функции р1х-ир2х
являются средними плотностями i-ro компонента в жидкости и паре.
Функции Xi и ух определяются теперь следующим образом:
*i=Pu/ZPlrX=P2i/ZP2r
/=1 М
Полученная система уравнений (7.1.2) описывает процесс мас-
сообмена, протекающий внутри ректификационной колонны. Кроме
этого, необходимо учесть процессы, протекающие в кубе и
дефлегматоре, которые находятся на концах колонны. Уравнения,
описывающие процессы в кубе и дефлегматоре, определяют
граничные условия для системы уравнений (7.1.2).
173
Рассмотрим начальные и граничные условия для первых
уравнений системы (7.1.2). /
Начальные условия имеют следующий вид-. I
= / (7.1.3)
Выбор конкретных значений функции фи (/) рассмотрен в дальнейшем
при решении краевой задачи. '
Постановка краевой задачи
В большинстве случаев процесс ректификации осуществляется с
рециркуляцией выходных потоков в кубе и дефлегматоре. Граничные
условия для этих уравнений задаются на границе 1-L. Значения
концентраций компонентов в дефлегматоре определяются из урав-
нений покомпонентного материального баланса для дефлегматора:
d(Hx.xd. (О)
3 d~-~l = c2p2i(L, t) - Ld(t)xd. (t) - D(t)xd. (t). (7 j 4)
Начальные условия для уравнений (7.1.4) следующие:
N
*di (о)=Фь(ь) / Z Ф1Д).
;=1 (/л.э)
Количество жидкости в дефлегматоре HXj определяется из общего
в
материального баланса для дефлегматора.-
dH n
—— = с2 Хр2AL,t)-Ld(t) - (0)= с3.
dt j=\ (7.1.0)
Аналогично задаются начальные и граничные условия для
остальных N уравнений системы (7.1.2). Начальные условия*.
Р2.(/.0) = Ф2,(/). ^i^N. (7.1.7)
Граничные условия задаются в точке I - 0.
Концентрации компонентов жидкости, находящейся в кубе,
определяются из уравнений покомпонентного материального
баланса для куба*.
d{Hx. хь(г))
= с1Рн(0’0 *“ (7.1.8)
N
Хь (0) = Ф1.(0)/£ф1,(0).
/=1 ('•!•”)
Количество жидкости в кубе определяется из уравнения
материального баланса для куба:
dH n
ZP1/ (0,0 - W(t) - V0(t),HXk (0) = с4.
dt j=1 (7.1.10)
174
Итак, сформулированная краевая задача (7.1.2)—(7.1.10) является
математической моделью работы ректификационной колонны без
системы регулирования в нестационарном режиме. Решение этой
краевой задачи не всегда имеет технологический смысл, что для
ректификационной колонны соответствует аварийному режиму
работы. При этом происходит залив колонны или ее исчерпывание. С
помощью системы регулирования поддерживаются такие значения
входных и выходных потоков, чтобы выполнялся внешний
материальный баланс для колонны. В математической модели это
можно отразить следующим равенством:
FL + Fv = D(t)+W(t).
При заданных коэффициентах и t -> ©о получим решение краевой
задачи, соответствующее некоторому статическому режиму
работы ректификационной колонны. Такое решение с некоторой
точностью можно получить при конечном Л Для этого необходимо
найти показатель, характеризующий эту точность. Таким показателем
может быть следующее выражение:
n
XdM- У, (Ь.0| / *<и
В данном случае используется тот факт, что суммарная разность
между концентрациями компонентов в дефлегматоре и кон-
центрациями этих компонентов в паровом потоке, поступающем в
дефлегматор, должна равняться нулю в статическом режиме работы.
Если в некоторый момент времени t выполняется условие S < е (е >0),
то будем считать, что в этот момент времени решение краевой задачи
является решением для статического режима работы
ректификационной колонны с некоторой точностью. Величину £
можно задать, зная, например, время переходного процесса в
пусковом режиме работы для конкретной колонны. Кроме этого» во
многих случаях осуществляется стабилизация уровня жидкости в
кубе (HXk = const), что исключает недопустимое изменение уровней
жидкости в кубе и дефлегматоре. При HXj- const дифференциальное
а
граничное уравнение, выражающее материальный баланс для куба,
превращается в алгебраическое:
N
>1
Численный метод решения краевой задачи
Так как решить аналитически сформулированную краевую задачу
не удается, она решается численным методом. Рассмотрим алгоритм
численного решения краевой задачи (7.1.2)—(7.1.101 Для этого область
решения покроем равномерной сеткой с шагом At по временной
координате и с шагом А/ по пространственной. Для решения
175
уравнений на сетке выбран трехточечный шаблон (см. рис. 3.2(1).
Заменим производные в уравнениях соответствующими конечно
разностными соотношениями: I
л+1ж Ллт л+1ж+1 _я+1т /
Pli_____Pit r Ph___________Pli _ лт _ *лт\ , /
д, -C1 а/ ~кУ и» * ) +
_л+1т плт пл+1т пл+1т-1 /
r2i r2i . л r2i r2i _ k**»/,,*лт »ит^_1_ллт/
-----Z------ + C2 ------Tj------= кУ {У> -У, ) + P2/i»
^=kC2^P2J’
>=1
N N N
"" = - pM
/=1 y=l /=1
где L — длина объекта,
хГ = рГ/1р$,уГ = РЯ£р%-
7=1 r=l
Начальные условия при t = 0 примут вид
Р11Г = фП.р127 = ф£.
а граничные условия при I = 0 перепишутся следующим образом:
?н+1 =pii(^1)2 + P2iTni +Рз.]^1 /^.
-~тгх^ = с1Рн - ^я+1 - ^"4.
* ш
1 1 w 1 *
4- = Ф1. / ЁфЬ’^о" = q ЁР"; - W1,
а при 1-L:
Пл+1М __ гя+1 л+1 i
Pli “ bd xdi /с1»
»1Л+1 л+1 ТТЛ Л м
Hxd Xdi HxdXd пм п у М
- С2р2/ ХЛС2 2jP2j »
А / г
N
4=ф" / Хф">
176
Н™ -Цп N
xd \ xd _ _ Vn^ Tn Fln
Г“Т ~C2X,P2j Ld D ,HXd-CA,
Ы \ >=1
Для определения коэффициента к используются экспериментальные
данные. В работе [48] приведены значения концентраций в выходных
продуктах для двенадцати статических режимов колонны К-34 и
для десяти! режимов колонны К-21 установки сернокислотного
алкилирования изобутана бутиленами, а также имеются исходные
данные для расчета этих режимов. Для каждого режима найдено
такое значение коэффициента А (табл. 7.1.1), при котором расчетные
значения выходных концентраций имеют наименьшее отклонение от
экспериментальных данных и взято среднеарифметическое значение
этого коэффициента для каждой колонны. Среднее значение
коэффициента для колонн К-34 и К-29 равно соответственно 0,395 и
0,592, что близко к проектным значениям к.п.д. тарелок для колонн
(0.4 и 0,6). Это говорит о том. что для расчета процесса ректификации
можно брать в качестве значения коэффициента к проектное значение
к.п.д. тарелок. Разброс значений для коэффициента можно объяснить
следующими факторами:
1) недостаточной точностью измерения концентрации;
2) получением экспериментальных данных не в статическом
режиме (это видно из экспериментальных данных (для некоторых
режимов не соблюдается покомпонентный материальный баланс));
3) неполной адекватностью математической модели реальному
процессу.
Расчетные и экспериментальные значения концентраций в
выходных потоках показаны в табл. 7.1.2, 7.1.3 для колонны К-34, а для
Таблица 7.1.1
Средние значения отклонений расчетных концентраций ochobtibix компонентов
от экспериментальных в кубе (Дхд) и дефлегматоре (Дх^) и расчетные кл.д. та-
релки (к)
Номер экспери- мента ДхьХ Axd,X к Номер экспери- мента Дх*. X Дха, % к
Колой н а К-21 Колон н а К-34
1 12,4 17,6 0,53 1 7,2 0,74 ОД
2 9,4 0,28 0,58 2 2,2 4,1 0,18
3 0,12 0,34 0,48 3 4,1 2,7 0,45
4 8,4 2,9 0,7 4 2,7 3,5> 0,55
5 6,6 2,9 0,55 5 0,5 1,4 0,25
6 2,3 0,08 0,53 6 2,9 1,2 0,37
7 1,3 0,35 0,65 7 0,47 O.35- 0,43
8 5,2 0,13 0,55 8 5,9 2,4 0,48
9 3,5 0,96 0,6 9 0,97 0,53 0,49
10 3,7 0,8 0,55 10 1,6 0,04 0,47
И 1.2 0,4 0,39
12 0,39 0,08 0,38
12.3ак.3031
. 177
Таблица 7.1.2 /
Значения экспериментальных и расчетных концентраций компонентов (мол. до
ли) в кубовом остатке дебутанизатора К-34 /
Номер экспери- мента Бутан Пентаны Гексаны
экспери- мент расчет экспери- мент расчет экспери- мент расчет
1 0,0294 0,0223 0,3561 0,3346 0,0638 0,0599
2 0,0214 0,0182 0,1485 0,1546 0,0609 0,0608
3 0,0643 0,0841 0,2671 0,2462 0,0597 0,0591
4 0,1797 0,2021 0,3471 0,3327 0,0602 0,0584
5 0,0320 0,0308 0,1260 0,1271 0,0515 0,0511
6 0,0109 0,0183 0,1797 0,1698 0,0752 0,0757
7 0,0441 0,0403 0,1975 0,1961 0,0714 0,0751
8 0,0985 0,1138 0,2083 0,1854 0,0723 0,0776
9 0,0525 0,0530 0,2655 0,2615 0,1031 0,1041
10 0,0573 0,0538 0,0968 0,0999 0,0399 0,0392
11 0,0719 0,0759 0,1638 0,1602 0,0537 0,0541
12 0,0290 0,0278 0,1584 0,1578 0,0379 0,0374
Номер экспери- мента Гептаны Октаны Нонаны и выше
экспери- мент расчет экспери- мент расчет экспери- мент расчет
1 0,0639 0,0592 0,4444 0,4854 0,0424 0,0384
2 0,0601 0,0600 0,5772 0,5746 0,1319 0,1317
3 0,0743 0,0742 0,5007 0,5025 0,0337 0,0338
4 0,0619 0,0601 0,3283 0,3241 0,0228 0,0224
5 0,0759 0,0759 0,6436 0,6439 0,0709 0,0708
6 0,0662 0,0666 0,4919 0,4905 0,1761 0,1791
7 0,0645 0,0646 0,4819 0,4829 0,1407 0,1409
8 0,0814 0,0832 0,4996 0,4971 0,0399 0,0423
9 0,0843 0,0845 0,3888 0,3905 0,1057 0,1064
10 0,0504 0,0505 0,5906 0,5913 0,1650 0.1651
И 0,0578 0,0578 0,5879 0,5870 0,0649 0,0649
12 0,0326 0,0322 0,6763 0,6789 0,0658 0,0659
колонны К-21 — в табл. 7.1.4 и 7.1.5. Приведены средние значения
отклонений (в %) расчетных значений от экспериментальных для куба
Х/ц и для дефлегматора по всем экспериментам для основных
компонентов, а также среднее значение для обоих выходов. Как
показали расчеты, отклонения в среднем по основным компонентам
178
Таблица 7.1.3
Значения экспериментальных и расчетных концентраций компонентов (мол.
доли) в дефлегматоре колонны К-34
Номер экспери- мента \ Условные оп- ределения кон- центрации Изобутан Бутан Пентан
1 Эксп. 0,0105 0,8334 0,1562
Расч. 0,0104 0,8349 0,1548
2 Эксп. 0,1098 0,7606 0,1296
Расч. 0,1073 0,7735 0,1191
3 Эксп. 0,0008 0,9536 0,0456
Расч. 0,0024 0,9281 0,0695
4 Эксп. 0,0019 0,9957 0.0024
Расч. 0,0189 0,9607 0,0204
5 Эксп. 0,1389 0,8039 0,0572
Расч. 0,1339 0,8155 0,0503
6 Эксп. 0,0132 0,9222 0,0646
Расч. 0,0107 0,9115 0,0778
7 Эксп. 0,0293 0,9251 0,0456
Расч. 0,0295 0,9219 0,0486
8 Эксп. 0,0381 0,9465 0,0154
Расч. 0,0336 0,9233 0,0430
9 Эксп. 0,0455 0,*>122 0,0423
Расч. 0,0439 0,9074 0,0487
10 Эксп. 0,0451 0,9419 0,0129
Расч. 0,0463 0,9416 0,0121
И Эксп. 0,0451 0,9419 0,0129
Расч. 0,0467 0,9381 0,0152
12 Эксп. 0,0763 0,9051 0,0186
Расч. 0,0786 0,9043 0,0171
составляют около 5Х. Для более детального исследования различных
режимов работы ректификационной колонны К-34 возьмем исходные
данные эксперимента № 1 (табл. 7.1.6) и зададим все необходимые
коэффициенты и функции для соответствующей краевой задачи:
FL = 103,65 кмоль/ч. Fv~ 0. D= 27.06 кмоль/ч, Ld~ 45,21 кмоль/ч,
W = 76,59 кмоль/ч, HXd = 50 кмоль, Нх* = 30 кмоль, Рн = 3,6, Pg = 3,5,
<?! = 36 м/ч, с2 = 520 м/ч; коэффициенты Ры P3i получены методом
наименьших квадратов с использованием таблицы зависимости
давления чистых компонентов от температуры. Состав сырья:
хр = 0,02963, = 0,222151, х# = 0,14395, х/4 = 0,04452, хл = 0,04389, хЛ =
=0,42021, Хр = 0,0963. На рис. 7.1.1—7.1.3 приведены графики рас-
пределения концентраций компонентов (в статистическом режиме в
паре и жидкости) и температуры. Как видно из рисунков, в верхнем
179
Таблица 7.1.4 I
Значения экспериментальных и расчетных концентраций компонентов (мол.
доли) в дефлегматоре колонны К-21 /
Номер экспери- мента Условные оп- ределения кон- центрации Пропан Изобутан 1 Бутан /
1 Эксп. 0,1713 0,8934 0,0354
Расч. 0,0687 0,8656 0,0656
2 Эксп. 0,1125 0,7404 0,1472
Расч. 0,1127 0,7393 0,1565
3 Эксп. 0,0846 0,7188 0,1367
Расч. 0,0842 0,7797 0,1359
4 Эксп. 0,0693 0,7793 0,1514
Расч. 0,0735 0,7788 0,1469
5 Эксп. 0,0763 0,7794 0,1443
Расч. 0,0722 0,7786 0,1489
6 Эксп. 0,0903 0,6749 0,2348
Расч. 0,0904 0,6742 0,2347
Таблица 7.1.5
Значения экспериментальных и расчетных концентраций компонентов (мол.
доли) в дефлегматоре колонны К-21
Номер экспери- мента Условные оп- ределения кон- центрации Изопентан Бутан Пентаи
1 Эксп. 0,0247 0,4328 0,1215
Расч. 0,1717 0,2812 0,1204
2 Эксп. 0,0284 0,2210 0,1092
Расч. 0,0782 0,1811 0,0973
3 Эксп. 0,0180 0,4551 0,1454
Расч. 0,0162 0,4539 0,1453
4 Эксп. 0,0088 0,3919 0,1265
Расч. 0,0533 0,3303 0,1394
5 Эксп. 0,0246 0,3657 0,0887
Расч. 0,0793 0,3562 0,0799
6 Эксп. 0,0044 0,3926 0,1313
Расч. 0,0253 0,3750 0,1281
7 Эксп. 0,0105 0,3543 0,1433
Расч. 0,0000 0,3664 0,1430
8 Эксп. 0,0116 0,3811 0,1383
Расч. 0,0186 0,4002 0,1290
9 Эксп. 0,0129 0,3003 0,0754
Расч. 0,0111 0,3043 0,0694
10 Эксп. 0,0189 0,4235 0,1016
Расч. 0,0061 0,4246 0,0943
Таблиц^ 7.1.5 (окончание)
Номер \ экспери- мента Условные определения концентраций Гексан Гептан Октан Нонан
1 Эксп. 0,0211 0,0302 0,2654 0,1039
Расч. 0,0215 0,0299 0,2624 0,1127
2 Эксп, 0,0289 0,0612 0,4889 0,0631
Расч. 0,0289 0,0613 0,4896 0,0633
3 Эксп. 0,0202 0,0263 0,2421 0,0930
Расч. 0,0203 0,0262 0,2423 0,0954
4 Эксп. 0,0265 0,0569 0,3597 0,0297
Расч. 0,0285 0,0579 0,3609 0,0297
5 Эксп. 0,0460 0,0604 0,3769 0,0377
Расч. 0,0427 0,0566 0,3499 0,0354
6 Эксп. 0,0439 0,0387 0,2849 0,1041
Расч. 0,0437 0,0385 0,2853 0,1042
7 Эксп. 0,0484 0,0416 0,3111 0,0908
Расч. 0,0466 0,0400 0,3128 0,0911
8 Эксп. 0,0519 0,0557 0,3330 0,0283
Расч. 0,0507 0,0546 0,3191 0,0276
9 Эксп. 0,0283 0,0365 0,4272 0,1193
Расч. 0.0267 0.0366 0.4319 0.1199
10 Эксп. 0,0323 0,0345 0,3505 0,0398
Расч. 0,0334 0,0367 0,3637 0,0407
продукте в основном присутствуют изобутан и бутан, а в нижнем —
пентан, гексан, гептан, октан и нонан, В результате массообмена
паровой поток обогащается легколетучими компонентами, а жидкий
поток — высококипящими компонентами. Увеличение жидкого
потока происходит за счет ввода сырья в жидком виде. Увеличение
высококипящих компонентов в жидком потоке по ходу движения
повышает температуру кипения жидкости (см. рис. 7.1.3).
На рис. 7.1.4—7.1.9 представлены графики переходных процессов в
дефлегматоре и кубе по концентрации следующих компонентов:
изобутана, бутана, пентана и октана. В силу малости концентрации
остальных трех компонентов, кривые разгона их не приводятся.
Переходные процессы рассматриваются при ступенчатом возмущении
на ±20% по следующим параметрам: отбор верхнего продукта D
(кривые 1), орошение Ld (кривые 2), поток сырья F (кривые 3),
координата ввода сырья у (кривые 4), концентрация бутана в сырье
(кривые 5). Переходные процессы во всех случаях начинаются от
статического режима, который рассчитывается при исходных данных
181
Таблица 7.1.6
Экспериментальные (1-12) параметры колонны К-34
Параметр 1 2 3 4 5 / 6
Изобутан 0,0296 0,0048 0,0011 0,0077 0,357 0,0044
Бутан 0,2215 0,3955 0,4688 0,5067 0,2367 0,3926
Пентан 0,1439 0,2515 0,1656 0,2072 0,1073 0,1312
Гексан 0,0445 0,0324 0,0321 0,0349 0,3766 0,4397
Гектан 0,0438 0,0321 0,0404 0,0360 0,0559 0,0387
Октан 0,4202 0,2628 0,2734 0,1940 0,4737 0,2850
Нонан 0,0963 0,0208 0,0184 0,0134 0,0520 0,1041
D, кмоль/ч 27,86 44,27 48,34 36,11 23,25 45,74
£^,кмоль/ч 45,21 57,04 41,71 48,49 41,75 42,35
W, кмоль/ч 75,81 52,27 57,71 53,88 64,68 63,42
F, кмоль/ч 103,7 96,54 106,1 89,99 87,93 109,2
Параметр 7 8 9 10 И 12
Изобутан 0,0105 0,0,116 0,0146 0,0129 0,0188 0,036
Бутан 0,3524 0,3524 0,3330 0,3003 0,4234 0,4262
Пентан 0,1437 0,1383 0,1918 0,0754 0,1016 0,0940
Гексан 0,0485 0,0529 0,0699 0,0283 0,0323 0,0204
Гектан 0,0417 0,0556 0,0567 0,0365 0,0345 0,0175
Октан 0,3120 0,3330 0,2623 0,4272 0,3605 0,3700
Нонан 0,910 0,0283 0,0714 0,1192 0,0388 0,0359
D. кмоль/ч 35,74 29,83 22.99 25,73 29,16 30,83
Ьд, кмоль/ч 42,55 30,86 30,66 42,88 42,88 41,11
W. кмоль/ч 65,24 60,55 47,09 66,89 43,21 36,92
F, кмоль/ч 101 90,38 70,09 92,71 72,37 67,75
эксперимента № 1. При этом учитывается материальный баланс
ВХОДНЫХ И ВЫХОДНЫХ ПОТОКОВ:
FL + FV=D + W.
При возмущении по концентрации бутана х& в сырье происходит
возмущение и по концентрации пентана х^, так как х& + х/з = 0,36546.
При сравнении исходного статического режима с уста-
новившимся после возмущения особое внимание обратим на качество
получаемых продуктов разделения. В данном случае граница
разделения исходной смеси происходит между бутаном и пентаном,
т.е. между вторым и третьим компонентами (компоненты про-
нумерованы в порядке уменьшения их летучести). При идеальном
разделении в верхнем продукте присутствуют только изобутан и
бутан, остальные компоненты (пентан, гексан, гептан, октан, нонан) —
182
X;, мол. Золи CL
Рис. 7.1.1
Рис. 7.1.1. Распределение п& длине
колонны концентрации компонентов в
жидкой (а) и паровой (б) фазах
1 — изобутан;, г — бутан; 3 — пентан; в—
— октан
Рис. 7.1.2. Распределение по длине
колонны концентрации компонентов в
жидкой (а) и паровой (б) фазах
4 — гексан; 5— гептан; 7— нонан
Рис. 7.1.3. Распределение температуры
по длине колонны
Рис. 7.1.2
183
Рис. 7.1.4. Графики переходных процессов в кубе по концентрации октана при уве-
личении <а) и уменьшении (А на 20Х различных параметров
I - D. Z - L& 3 - F; 4 - If. 5 - Xf2
только в нижнем продукте. В реальной колонне разделение
происходит не полностью, бутан и пентан присутствуют в обоих
продуктах. Повышение качества обоих выходных продуктов
разделения, т.е. уменьшение концентраций бутана в кубе и пентана в
дефлегматоре, связано с увеличением разделительной способности
ректификационной колонны. Компоненты с летучестью большей, чем
у бутана, практически полностью отбирают вверху колонны, а с
184
Рис. 7.1.5. Графики переходных процессов в кубе по концентрации пентана при
увеличении <а) и уменьшении (А на 20% различных параметров
1 — D, г — Ld. 3 — F; 4 — Ip 5 — JJ2
летучестью меньшей, чем у пентана, — внизу колонны. Потоки этих
компонентов не изменяются на выходах, если не меняются их потоки
на входах. В этих случаях концентрации компонентов могут
изменяться за счет изменения доли их потоков в общем потоке (см.
рис. 7.1.4, 7.1.7). Качество выходных продуктов на обоих выходах
повышается, как известно, с увеличением потока орошения (см. рис.
7,1.5, а, 7.1.6,а, 7.1.8,а, 7.1.9,а), однако это связано со значительным
увеличением энергетических затрат.
Небольшое увеличение качества обоих продуктов связано с
увеличением координаты ввода сырья (см. те же рисунки). Изменение
координаты ввода практически не требует дополнительных
энергетических затрат, однако следует иметь в виду, что
конструктивно колонна может не иметь входа с необходимой
185
Рис. 7.1.6. Графики переходных процессов в кубе по концентрации бутана при уве-
личении (а) и уменьшении (б) на 20% различных параметров
1 —О; 2 —3 —F; 4 —/у; 5 —JJ2
Рис. 7.1.7. Графики переходных процессов в дефлегматоре по концентрации изобу-
тана при увеличении <а) и уменьшении (А на 20% различных параметров
l-D-Z-L^S-F-4-1^5-^
186
Рис. 7.1.8. Графики переходных процессов в дефлегматоре по концентрации бутана
при увеличении <а> н уменьшении (б) на 20Х различных параметров
1 — D.Z — Ld,3 — F; 4 — lpS — x^
координатой. Наибольшее влияние на качество выходных
продуктов оказывает изменение трех других параметров; F, D.
Возмущение по этим параметрам вызывает улучшение качества
одного продукта и ухудшение качества другого продукта (см. рис.
7.1.5—7.1.9). Например, увеличение значений параметров F, и
уменьшение значения D повышает качество продукта и при этом
понижается качество нижнего продукта.
Более подробную информацию о динамических режимах дают
графики отклонения параметров по длине аппарата в определенные
моменты времени (рис. 7.1.10—7.1.16). На этих рисунках приведены
отклонения для концентраций бутана, пентана и температуры. При
возмущении по параметрам х& F,D nLd имеются два экстремальных
значения отклонения температуры и концентрации: один в
укрепляющей части колонны, другой в исчерпывающей. Как известно,
координаты этих максимумов могут быть использованы при синтезе
замкнутых систем управления. В точках с этими координатами
осуществляется контроль управляемых параметров. Координаты
этих двух точек максимума зависят от параметров возмущения и
изменяются со временем.
187
xd3f мол- ®оли б
° Г । । । _ j____________с_______I
О 4 в 12
Рис. 7.1.9. Графики переходных процессов в дефлегматоре по концентрации пентана
при увеличении (а) и уменьшении (А на 20Х различных параметров
Рис. 7.1.10. Графики отклонений концентрации бутана <а> и пентана (А при воз-
мущении по орошению
1—4 —Г — 4 ’ — ALj = — 0,2десь и на рис. 7.1.11—7.1.16 J, Г —
t= 0,1 Ч; 2, 2' — 0,5; 3, 3'— 1.0; 4, 4’ — /=12ч
188
Рис. 7.1.11. Графики отклонений температуры при возмущении по орошению <л> и от-
бору вверху колонны (б)
1—3 — ALd = 0.2 L& 1 ’ — 3 ’ — ALj = —0,2 Ljo
Рис. 7.1.12. Графики отклонений концентрации бутана (а) и пентана (б) при воз-
мущении по отбору вверху колонны
_ ДО = 0,2 £>0; 7 ' —-Г — ДР =-Ю.2 £>о
489
Рис. 7.1.13. Графики отклонений темпе-
ратуры при возмущении по концентра-
ции бутана в сырье
1 —4 — Лхр, = 0,2 хро; ' —
Axf2 = —O,2xf2.o
Рис. 7.1.14. Графики отклонений концен-
трации бутана (а) и пентана (б) при
возмущении по концентрации бутана в
сырье
1—4— дХу2 = о,2 хро: 7 ' — 4 ’ — -
**/2 = —°*2 */20
190
Рис. 7.1.15. Графики отклонений кон-
центрации бутана (а) и пентана (С) при
возмущении по расходу сырья
1—3 — AF=O(2Fo;7’ — 3' — AF =
= -0,2F0
Рис. 7.1.16. Графики отклонения темпе-
ратуры при возмущении по расходу
сырья
1—3 — ДГ = 0,2F0; 3 ’ —3’ — AF =
= -0,2F0
<191
7.2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕЖИМОВ
РЕКТИФИКАЦИОННЫХ КОЛОНН
В этом разделе рассматривается задача оптимального управления
процессом массообмена в ректификационных колоннах. Решение
такой задачи представляет практический интерес в тех случаях,
когда известны возмущающие воздействия. Рассмотрены три задачи
оптимизации: в пусковом режиме, при переходе от одного режима к
другому и при стабилизации технологических параметров.
Для решения этих задач необходимо в первую очередь поставить
цель управления и выбрать соответствующий этой цели критерий
оптимальности.
Так как одним из показателей работы ректификационной колонны
является заданный состав выходных продуктов, то получение таких
продуктов и будем считать целью управления в нашей задаче.
Критерием оптимальности в этом случае может служить функционал,
который характеризует отклонение концентраций в выходных
потоках от их заданных значений:
N Тг
i=l О L
(7.2.1)
где kli9 кц — коэффициенты, определяющие ценность i-го компонента;
01р 02i — заданные числовые значения концентраций выходных
продуктов; Xki (f), Xdi (f) — СОСТав ВЫХОДНЫХ ПОТОКОВ; Т — время
управления.
В качестве управляющих параметров будем рассматривать
= Fi — величину жидкостного потока сырья; и2 = х/2 — кон-
центрацию компонента сырья в жидком потоке; «з = t — координату
точки ввода потока жидкости; u4 = Fy — величину потока сырья в
паре; «5 = ур — концентрацию компойенты сырья в паре,- и6 = /у —
координату точки ввода потока пара; Uq —D— величину потока
верхнего отбора; u% = Ld — величину потока орошения.
Особо следует сказать об управлении выбором координаты точки
ввода потоков. Решение задачи оптимального управления с помощью
таких параметров важно при проектировании ректификационных
колонн. Однако управление координатой ввода потока практически
не требует дополнительных энергетических затрат по сравнению с
другими параметрами.
Постановка и решение задачи
оптимального управления в разомкнутой системе
Задачу оптимального управления сформулируем для более общего
случая, когда в качестве управляющих функций выбран весь набор Up
8. На управляющие функции накладываются ограничения
И/min^ 0)^ (7.2.2)
Тогда задачу оптимального управления можно сформулировать
192
следующим образом; в классе непрерывных функций найти такие
функции Uj(t)y 1 <j£8t удовлетворяющие ограничениям (7.2.2), при
которых решение краевой задачи (7.1.2)—(7.1.10) дает минимум
функционалу (7.2.1).
Эту задачу можно решить вариационным методом. Соответственно
выбранным управлениям получим градиенты, с помощью которых
можно решить задачу оптимизации управляющих функций.
<0.(0*-Z Vk(«2 (0ММмКа(,’“з) dl +
*=1 о
N
+Ё11.(о.О^(О = °.
1=1 (/.Z.3)
ю2(г) = Ч(О/^№(/.Ф_в('’“з)2л=о,
о (/.2.4)
Ь # z, х2
о*=1 (7.2.5)
N fi t, \2 1
W4(0sb2HT)((/.t)V2i(«5(0> “( “з) Л + Т),(О,Г)хь.(г) = ок
i=i (о J (7.2.6)
n \2 = “3 dl = O,kyi = 0i=l l,i = m, 1 (7-2-7>
L N <o6(0 S “ «з(0) o»=i A7 ^a-з)2 d/=0 (7.2.8)
N ^(1) = ^ (0-^П;(ОЛ)хь(0 = О 4=1 (7.2.9)
i=l (7.2.10)
В эти уравнения входят решения краевой задачи (7.1.2)—(7.1.10) и
множители Лагранжа, которые являются решением сопряженной
краевой задачи
№_с К, = куУсг
dt 1 dl PL
*=1 L
37 + c2 37 = (n, - M M
df dl L *=i
с начальными условиями
^•(/,7)=0,Л/(Л7)= 0,1^ АГ,
13. Зак. 3031
(7.2.11)
(7.2.12)
*193
и граничными условиями
й>
Л(2) N ( 1(2) Л
^(0.0=-^—Хмо -r^--nj(o.r),
(7.2.13)
d^= -п.(ММ0 - «1(0 - «4(0+«7(0) +
at
++2*2i (xki (0 - е2,), 42) (П = о, i=о, о < t < т,
=-^,0«»(0+/ Нх + 2ки(хМ - QU),^(T)=о,
at
(7.2.14)
^3)(Т) = 0.
Решение задачи оптимального управления осуществляется итера-
ционным способом. Вначале задаются начальные значения управ-
ляющих функций Uj, 1 8, и методом конечных разностей после-
довательно решаются две краевые задачи: (7.1.2)—(7.1.10) и (7.2.11)—
—(7.2.14). Используя решения этих краевых задач, определяем гради-
енты (О;(0,1 <;<8. Новые значения управляющих функций и}нахо-
дятся по формуле
и* + 1 = и. - Т*й)*(0,
где к — номер итерации.
Значения коэффициентов т* > 0 подбираются такие, которые дают
монотонное уменьшение значения функционала (7.2.1).
Численное решение задач оптимизации
В качестве примера приведем решение трех задач оптимизации
управления при известном возмущении для промышленной колонны
К-34 [48] (разделяемая многокомпонентная смесь сведена к бинарной).
Так как колонна К-34 не имеет ввода сырья в паровом виде, то в
математической модели отсутствуют функции Fv, у&9 lv и
управляющими функциями являются FL>Xj}> lL,D9Ld.
194
Оптимизация пускового режима. В этом случае выберем целью
управления достижения в выходных потоках концентрации компо-
нентов и хс;. Значения этих концентраций являются решением
краевой задачи для статического режима. За решение в статическом
режиме принимается решение краевой задачи (7.1.2)—(7.1.10) в момент
времени tlt при котором практически заканчивается переходный
процесс. Переходным процессом в данном случае является пусковой
режим с выходом на некоторый статический режим при
D(f) =DCT, Ld-L^,FL = - Хд. lL = /^.Параметры этого стацио-
нарного режима используются во всех последующих задачах опти-
мизации, а в функционале (7.2.1)0и = х^т, 0^ = х^*. Положим ки = к^ т.е.
ценность всех компонентов одинакова.
В этой задаче возмущением является начальное состояние управ-
ляемого процесса, при котором концентрации компонентов по длине
колонны равны концентрациям этих компонентов в сырье. Таким
образом, начальные условия для краевой задачи (7.1.2)—(7.1.10) в
данном случае следующие:
Pi АЛО) = Ь{Ц0)х^0)/су р^О) = V(/,0)xX0)/c2,
Время управления возьмем Т = 20 ч.
Проведены расчеты шести вариантов задачи оптимизации пуско-
вого режима. В первых пяти вариантах задача оптимизации решается
с одной управляющей функцией. Значение остальных четырех
функций и начальное значение управляющей функции заданы такие,
как при расчете статического режима. Для этих пяти вариантов
задачи на рис. 7.2.1 приведены графики переходных процессов по
концентрации бутана в дефлегматоре и кубе при начальном и
оптимальном управлениях. Графики оптимальных управляющих
функций содержатся на рис. 7.2 2—7.2.6. В табл. 7.2.Г приведены
полученные значения функционала (7.2.1) для этих пяти вариантов
задачи при оптимальном управлении, а также при начальном
управлении (очевидно, что при начальном управлении, значения
функционала (7.2.1) для всех вариантов задачи одинаковы: S0 - 34,0).
В шестом варианте задачи в качестве управляющих взяты все пять
параметров. Начальные значения для управляющих функций такие
же, как в первых пяти вариантах. Графики переходных процессов по
концентрации бутана приведены на рис. 7.2.7, а для сравнения на рис.
7.2.2—7.2.6 приведены графики оптимальных управляющих функций.
Показатель качества в оптимальном режиме 5ОПТ = 14,3.
Как видно из табл. 7.2.1, наиболее эффективной управляющей функ-
цией является Ld (поток орошения). Однако следует заметить, что
увеличение потока орошения связано со значительным увеличением
энергетических затрат.
Следующим по эффективности управляющим параметром является
концентрация бутана в сырье С92). Управление этим параметром свя-
*195
Рис. 7.2.1. Графики переходных про-
цессов по концентрации бутана в деф-
легматоре и кубе в пусковом режиме при
разных управляющих параметрах
а — отбор вверху колонны; б — рас-
ход сырья; в — поток орошения; г — кон-
центрация бутана в сырье; д — коор-
дината вводы сырья.
1, 2 — в дефлегматоре; Г, 2' — в кубе,-
1, Г — при начальном управлении; 2,
2' — при оптимальном управлении
зано со значительным перераспределением выходных потоков в пре-
дыдущей колонне, что не всегда допустимо.
Наименее эффективным управляющим параметром является коор-
дината ввода сырья lLl однако изменение этого параметра осущест-
вляется практически без дополнительных энергетических затрат.
Оптимизация перехода от одного стационарного режима
работы колонны к другому. В данном случае с помощью управ-
ления меняется режим работы ректификационной колонны. Переход
осуществляется от одного статического режима к другому, кото-
рый задан 6h и 0^ В рассматриваемом примере
6ц = 0,87; Он = 0,13; ©21 = 0,2; 022.= 0,8.
Как и в предыдущей задаче, полагаем = к%.
Начальными условиями для краевой задачи (7.1.2)—(7.1.10) в этом
случае будут
Р1Х/.О) = р^(0, рзХ/,0) = р”(0.
Выбор параметров управления и задание начальных значений для
них осуществляются так же, как и в предыдущей задаче, и решаются
шесть вариантов задачи оптимизации. В первых пяти вариантах
выбрано по одной управляющей функции, в шестом варианте взяты в
качестве управляющих все пять функций.
На рис. 7.2.8—7.2.13 для этих вариантов задачи приведены графики
переходных процессов и концентрации бутана в дефлегматоре и
кубе, а также графики оптимальных управляющих функций.
197
Рис. 7.2.3. Графики оптимальной функции в пусковом режиме при управлении только
потоком орошения!^ с л и всеми параметрами F, у и ^(2)
Рис. 7.2.2. Графики оптимальной функции в пусковом режиме при управлении только
отбором вверху колонны D (Л и всеми параметрами D, Lj, FtlfH xjtfZ)
Рис. 7.2.5. Графики оптимальной функции в пусковом режиме при управлении только
концентрацией бутанах^ (Л и всеми параметрами F, if и у2(2)
Рис. 7.2.4. Графики оптимальной функции в пусковом режиме при управлении только
расходом сырья F (Л и всеми параметрами D, Ft /у и ^(2)
В табл. 7.2.2. приведены значения функционала (7.2.1) для пяти
вариантов задачи при оптимальных управляющих функциях, а также
при их начальном значении. Практически одинаковую и наилучшую
эффективность обеспечивают три управляющих параметра: D(f)t F(t) и
х^(0 (первый, второй и четвертый варианты задачи). В двух остальных
вариантах решения задачи оптимизации с управляющими функциями
lL(f) xL/t) значения функционала (7.2.1) при оптимальном и началь-
ном управлении отличаются незначительно. Также мало отличаются
значения функционала (7.2.1) в шестом варианте по сравнению с
первым, вторым и четвертым: 5ОПТ = 1,9. хотя управление осущест-
вляется с помощью пяти функций.
198
Рис. 7.2.6. Графики оптимальной функции в пусковом режиме при управлении только
координатой ввода сырья If (Л и всеми параметрами D, i&Fjpt
Рис. 7.2.7. Графики переходных процессов по концентрации бутана в кубе и деф-
легматоре в пусковом режиме
1,2—ъ дефлегматоре; Г, 2’ — в кубе; 1, Г — при начальном управлении; 2,2' — при
оптимальном управлении. Управляющие параметры: отбор вверху колонны, поток
орошения, расход сырья, концентрация бутана в сырье, координата ввода сырья
Стабилизация заданного состава выходных продуктов
при возмущении по составу сырья. Целью управления является
получение в выходных потоках концентраций компонентов х^]и х^,
которые соответствуют новому статическому режиму. Началь-
ными условиями для краевой задачи (7.1.2)—(7.1.10) является
Таблица 7.2.2
Показатели качества управлений при
переходе одного режима работы
колонны к другому
Таблица 73.1
Показатели качества управлений при
оптимизации пусковых режимов
колопиы
J UJ ^min
1 D 28,5
2 Fl 29,6
3 t 30,4
4 26,2
5 I* 20,9
j
1 D 1,94
2 Fl 1,92
3 II 3,18
4 5 I* 1,95 3,45
199
Таблица 7.2.4
Показатели качества управлений прп
различных возмущениях по составу
сырья (см. рпс. 7.2.22)
Таблица 1.23
Показатели качества управлений при
стабилизации состава выходных про-
дуктов колонны
J UJ *^min
1 D 0,005
2 Fl 0,1
3 t 0,38
4 4/ 1,0
•5 *^min s°
1 D 0,005 68,9
2 D 0,0067 13,2
3 D 0,0055 20,7
л^2,мол.0оли Q
0,87^—--------------
0,83
_ст
хаг
&12
хаг
Рис. 7.2.6. Графики изменения концентрации бутана а дефлегматоре (а) и кубе (б) при
управлении концентрацией бутана в сырье (в)
Рпс. 7.2.9. Графики изменения концентрации бутана в дефлегматоре (а) н кубе (б) при
управлении потоком орошения (в)
200
0,85
хаг, мол. Золи
a
0,86-
0,8k
VT
xaz
" —.afrz
Рис. 7.2.10. Графики изменения концентрации бутана в дефлегматоре (а) н кубе (А при
управлении координатой ввода сырья (в)
^4
Рис. 7.2.11. Графики изменения концентрации бутана в дефлегматоре (а) и кубе (б) при
управлении потоком сырья (в)
решение для этого же статического режима. Тогда
0h = ^, 02. =
(7.2.15)
Ри (/,0) = р^(0, Ргх (W) = р“(0.
(7.2.16)
Как и в предыдущих задачах, полагаем ки - к# =1.
Так как возмущение задается по составу сырья х& то количество
возможных управляющих функций сокращается до четырех:
4.(0,/7,(t). С каждой из этих четырех функций решена задача оптими-
зации. На рис. 7.2.14—7.2.17 приведены графики решения задачи для
этих четырех вариантов:
а)изменение концентрации бутана в сырье (максимальное откло-
нение ОТ ± 20%);
201
Рис. 7.2.12. Графики изменения концентрации бутана в дефлегматоре (а) и кубе (А при
управлении отбором верхнего продукта (в)
Рис. 7.2.13. Графики изменения концентрации бутана в дефлегматоре (а) и кубе (А при
управлении одновременно по параметрам/) (a), Ьд (П, F (Д). хд (е), If (О
б)изменение концентрации бутана в дефлегматоре при начальном и
оптимальном значениях управляющего параметра;
в)изменение концентрации бутана в кубе при начальном и опти-
мальном управлениях;
г)начальное и оптимальное значение управляющего параметра.
В табл. 7.2.3 приведены значения функционала (7.2.1) для четырех
вариантов задачи при оптимальном управлении и начальном значе-
нии управляющих функций. При начальном управлении 5° = 5,46.
Как видно из табл. 7.2.3, наиболее эффективным управляющим
параметром является величина отбора верхнего продукта D(f). При
оптимальном управляющем параметре концентрации на выходе х# и
202
Xf2f мол. Воли О.
Рис. 7.2.14. Графики изменения концентрации бутана в сырье (а), дефлегматоре и
кубе (в) при управлении отбором вверху колонны (п
Рис. 7.2.15. Графики изменения концентрации бутана в сырье (а), дефлегматоре (б) и
кубе (а) при управлении потоком сырья (П
практически совпадают с 0пи соответственно (см. рис. 7.2.14).
Проведена проверка эффективности управляющей функции D(t) при
трех других возмущениях по составу сырья (рис. 7.2.18). Соот-
ветственно этим возмущениям на рис. 7.2.19 приведены графики
переходных процессов для концентрации бутана, а на рис. 7.2.20 —
графики оптимальных значений управляющих функций. Значение
функционала (7.2.1) при оптимальном и начальном значениях управ-
ляющего параметра для трех вариантов задачи приведено в табл.
7.2.4. Из таблицы следует, что при разном характере возмущений по
составу сырья значение функционала (7.2.1) при оптимальном
управлении близко к нулю, т.е. состав потоков на выходе xdi и xki
отличается незначительно от заданного состава 01£ и 0^ за все время
управления.
203
Xf2> лол. Золи U
Рис. 7.2.16. Графики изменения концентрации бутана в сырье (а), дефлегматоре (б) и
кубе (в) при управлении выбором координаты ввода сырья (п
Рис. 7.2.17. Графики изменения концентрации бутана в сырье (а), дефлегматоре (б) и
кубе (в) при управлении потоком орошения
7.3. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМАМИ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
В этом разделе рассматриваются задачи оптимального управления
в замкнутой системе с непрерывным или дискретным по длине
колонны измерением управляемых параметров. В замкнутой системе
управления имеется цепочка обратной связи, которая состоит из
блоков измерения управляемых параметров, обработки полученных
сигналов и регулятора. Математическая модель в этом случае
дополнена уравнениями обратной связи. Выбор цели управления,
критерия оптимальности и управляющих параметров рассмотрен в
первом параграфе. Для решения задачи управления в замкнутой сис-
теме выбраны измеряемые параметры, способ обработки измеряемой
информации и регулятор.
204
1
0,5 7
0,51_______I________I______i_______I
0,5
0,6
0,k
0,2
t,4
Рис. 7.2.18. Возмущения по концентрации бутана а сырье
Рис. 7.2.19. Графики переходных процессов в дефлегматоре (а) и кубе (6У по
концентрации бутана при различных возмущениях по концентрации бутана в сырье
(см. рис. 7.2.18)
Рис. 7.2.20. Графики оптималь*
ного управляющего параметра при
возмущении по концентрации бу-
тана в сырье (см. рис. 7.2.18)
205
Оптимальное управление в замкнутой системе
с непрерывным измерением параметров
по длине аппарата
Непрерывное измерение параметров в системе управления пред-
полагает наличие непрерывно распределенных датчиков. Реализацию
таких датчиков можно осуществить в редких случаях, однако реше-
ние такой задачи дает предельную оценку эффективности системы
управления с дискретным измерением параметров и позволяет оце-
нить эффективность непрерывного измерения параметров по значе-
нию функционала (7.2.1).
Во многих случаях целесообразно использовать достаточно прос-
тые управляющие устройства, не требующие для реализации специа-
лизированной вычислительной техники. Поэтому возьмем достаточно
простой регулятор — пропорциональный, с коэффициентом пропор-
циональности 1.
Параметры для измерения выбираются из заданного набора воз-
можных параметров. В качестве такого набора взяты температура и
ее производные по времени и пространственной координате:
= а2(Ц=Ж а3(/,0 = М.
01 О1
Эти параметры по сравнению с другими параметрами имеют ряд
преимуществ: простая конструкция датчиков, высокая точность
измерения, малая задержка по времени.
Уравнения обратной связи имеют вид
н 3 L
Uj(t) = uO(t)+ъ \a.k(l,t)gkj{l)dl, (7.3.1)
i=l о
где м/0 — управляющая функция; ц?(0 — известная функция; g^(/) —
непрерывная весовая функция для оценки измеряемых параметров.
Способ обработки измеряемой информации состоит в интегри-
ровании произведения функции состояния объекта аД/д) и весовой
функции распределенного измерения
Задачу оптимального управления в замкнутой системе можно
сформулировать следующим образом: в классе непрерывных функций
найти такие функции $#(/),1 jг 8,1 к 3, при которых решение
системы уравнений (7.1.2)—(7.1.10), (7.3.1) дает минимум функционалу
(7.2.1).
Необходимые условия оптимальности получены вариационным
методом, а градиенты улучшения весовых функций имеют следующий
ВИД:
V^(0=fat(/,r)a);(0A = O, 1*4^8, к^ 3, (7.3.2)
о
206
где функции <0/0,1 j 8 (см. уравнения (7.2.3.)—(7.2.10)) зависят от
решения системы уравнений (7.1.2)—(7.1.10), (7.3.1) и от множителей
Лагранжа, которые являются решением следующей сопряженной
задачи:
at dl PL |_ *=i L J
^r+c2^7=c2k -S,) +
at Ol fc=l
0 < / < £, 0<t<T, 1 <£Ny
с начальными условиями
g
^(/.T) = -a2/(/.T)Z(B/(T)foy(/), ti,.(/,7’) = 0 (7.3.4)
и граничными условиями
при 1=0, 0 t Т
N
W0=Sx^(t)
i=l
1 N
----Z(o/t)a3/O,t)g3>(O),
С1 J=1
$(') = ЭД(0Д
-щЩ- U4(0 + 1*7(0] +
at с2
+J_x^l0(o+М**.(') - М =°;
41».
(7.3.5)
при l = Ly O^t^T:
"xrf L
>=1 J
$(t)= cfyM -a3i(L,t)iaij(t)g3j(L),
(7.3.6)
dt
*d
»-4- b5>[C2p2i(z..<) - x„(<)n(i)].
uf У-1
1^(7) = 0,
207
где
. „ . 3a3(Zj) . ZJ 4 3a2(/j)
a’'(,’')=aS&)’
*=i * 3ph(/,r)
4/*
3t
dl
Решение этой задачи оптимального управления осуществляется
итерационным способом. При некоторых начальных значениях
весовых функций gkj(J\ 1 к 3, 1 =s j 8, решаются после-
довательно две краевые задачи: (7.1.2)—(7.1.10) и (7.3.3)—(7.3.6) —
методом конечных разностей. Из решения этих систем уравнений
определяются значения функций Новые значения весовых функ-
ций распределенного контроля находятся по формуле
4+1=4-ЧЧ’
где i —номер итерации; > 0 выбираются такими, чтобы на каждой
итерации происходило уменьшение функционала (7.2 1).
Оптимальное управление в замкнутой системе
с измерением параметров в точках,
распределенных по длине аппарата
Как уже говорилось выше, применить на практике непрерывное
измерение удается в редких случаях, поэтому используется изме-
рение параметров в некоторых точках. В связи с этим возникает
задача нахождения оптимальных координат точек измерения и весо-
вых коэффициентов. В этом разделе рассматривается решение такой
задачи при заданном числе точек измерения.
Запишем для случая дискретного измерения уравнения обратной
связи, аналогичные (7.3.1);
г
«ДО = «;(') +2 1 SJ) dl, (7.3.7)
о
_ oz.
где Uy (0, Uy(t) те же, что и в уравнениях (7.3.1); R — количество точек
измерения £-й измеряемой функции J-й управляющей функции; —
координата 5-й точки £-й измеряемой функции j-й управляющей
функции; к\ — весовые коэффициенты.
208
На координаты точек измерения накладываются естественные
ограничения:
О Л L, 1 j =£ 8, 1 к 3, 1 5 R. (7.3.8)
Задачу оптимального управления в замкнутой системе с дискрет-
ным измерением можно сформулировать следующим образом: в
множестве действительных чисел найти такие значения параметров
Ли /Л, при которых решение системы уравнений (7.1.2) — (7.1.10) дает
минимум функционалу (7.2.1) с учетом ограничений (7.3.8).
Для получения необходимых условий оптимальности параметров
и Jt*. необходимо найти производные вспомогательного функци-
онала с учетом (7.3.7) по этим параметрам и приравнять их к нулю.
Уравнения обратной связи имеют вид (7.3.7).
Найдем производные вспомогательного функционала по
,* .к
параметрам lsi, ksj и приравняем их к нулю:
т д ( Л
(V*). = jw/oj= 0, (7.3.9)
о о
(v* ) = kksj J (0J (/ - /* )a* (/, dldt = 0. (7.3.10)
о о
Напомним, что функции зависят от решения краевой задачи (7.1.2)-
(7.1.10) и от множителей Лагранжа, которые являются решением
следующей сопряженной задачи:
Ъ r Ki _ №
dt dl PL
8 N
L
N
dt dl
(7.3.11)
С начальными условиями
8 R
(7.3.12)
и граничными условиями:
при / = 0, O^t^T
N г . /й 1 8 л
W0>0= ЦазЛОл^ДО)/^,
>1 L J ;=ir=i
14. Зак. 3031
209
(7.3.13)
= -1(1) (t )[Lo (0 - M1 (0 - u4 (t) (0] IC2 +
+^\t)L0(t)/HXk +2^.[хи(О-02)(О]Л(ь)(П = 0,
/=L,0«^^r.•
^(0 = ^.(£,0- £ l^(t)a3i(L,t)g^L).
/=1 r=l
=-x'i! w«,(0 / c,+х2>(0Ш / Hv +
+2*ii[xi(<)-e11(r)],X2iI(7-) = 0.
(7.3.14)
(<)[с2Р2,(Ц - *„ (<)v»(<)]' Hl .%>(!) = о.
ь** /=1
где
/Л V''V^a*G>0 к f,\
<«>;(') SS а4(0-
k=lr=ldpU(l,t)
Д Эа’
^.0s£(0]-^W«2,(m)£s}.(0.
' <« Г=1
4(0=4ехр{-с(/_/л)2};
Таким образом, задача оптимизации управления в замкнутой
системе с дискретным измерением сводится к решению системы
уравнений (7.1.2)—(7.1.10), (7.3.10)—(7.3.14) с учетом ограничений (7.3.8).
Эта задача решается численным методом итерационно. При
, к к
некоторых начальных значениях параметров к.г и ljT решаются по-
следовательно две краевые задачи: (7.1.2)—(7.1.10) и (7.3.12)—(7.3.14) —
методом конечных разностей. Затем из уравнений (7.3.10), (7.3.11)
находим значения величин (Vjr)k и (vjj)r Новые значения параметров
kjr и /* находятся по формулам
(<’
кг -42,w);
210
где i — номер итерации ; , Л^. —коэффициенты, которые
выбираются такими, чтобы на каждой итерации происходило
уменьшение функционала (7.2.1).
Численное решение задачи оптимизации
Приведем в качестве примера решение задачи стабилизации состава
выходных продуктов при возмущении по составу сырья. Суть задачи
состоит в следующем: при работе ректификационной колонны в
статическом режиме возникает возмущение по составу сырья и
необходимо с помощью системы управления поддерживать
постоянный состав выходных потоков, такой же как в статическом
режиме.
Решение этой задачи при управлении в разомкнутой системе и
выбор наиболее эффективной управляющей функции приведены в
первой главе. Теперь рассмотрим решение такой задачи при
управлении в замкнутой системе с наиболее эффективной
управляющей функцией и7 (0 (величина отбора верхнего продукта)
сначала для непрерывного измерения параметров, затем для
дискретного. Если в предыдущем случае задача оптимизации
управления сводилась непосредственно к оптимизации управляющих
функций, то для замкнутой системы управления она сводится к
оптимизации весовых функций измерения.
Начальные условия для краевой задачи (7.1.2)—(7.1.10) и значения
функций в функционале (7.2.1) для этой задачи определяются
условиями (7.2.15), (7.2.16). Из набора возможных измеряемых функций
а* (/,/), l^jt<3, возьмем поочередно все три функции; кроме этого,
для сравнивания рассмотрим четвертый вариант с измерением
одновременно всех трех функций. Каждый вариант задачи имеет
соответствующее уравнение обратной связи.
l.i<7(r) = u?(r) + Jaj (l,t)gn(l)dl,
О
2 .U7(t) = и? (0 + J a2(l,t)g72(l)dl,
0
3 .U7<0 = u%(t) + ja3(l,t)g13(l)dl,
0
L 3
4 .«7(0=«7(0+J SatG-OsztUM/.
o*=l
При решении задачи оптимизации уравнения каждого варианта
найдены значения функционала (7.2.1): = 1,92; S2 = 3,32; S3 = 0,29;
£4 = 0,15. При начальных значениях весовых функций измерения,
равных нулю, значение функционала (7.2.1) равно 5,46.
На рис. 7.3.1— 7.3.5 для четырех вариантов задачи приведены
графики переходных процессов по концентрации бутана в выходцых
211
Рис. 7.3.1. Графики переходных процессов по концентрации бутана в дефлегматоре
(а) и кубе (б) при управлении в замкнутой системе отбором верхнего продукта (в) с
непрерывной весовой функцией измерения <л
Измеряемый параметр Т
Рис. 7.3.2. Графики переходных процессов по концентрации бутана в дефлегматоре
(а) и кубе (б) при управлении в замкнутой системе отбором верхнего продукта (я) с
непрерывной весовой функцией измерения (Л
Измеряемый параметр &ПдТ
продуктах при оптимальных весовых функциях, а также графики
оптимальных весовых функций и оптимальных управляющих
параметров. По наименьшему значению функционала S определяем
наиболее эффективную измеряемую функцию для данной задачи. В
нашем случае такой функцией является дТ
Итак, решив задачу стабилизации состава выходных продуктов при
возмущении по составу сырья последовательно в разомкнутой
системе управления и в замкнутой с непрерывным измерением,
выбираем из заданных наборов функций Uj (г), a* (l,t) наиболее
эффективные управляющую и7 (0 и измеряемую аз (/,0 функции для
данной задачи. Теперь рассмотрим решение этой задачи в замкнутой
системе управления с дискретным измерением параметров с
212
ла2, иол- Золи
О,8У
хаг
0f83
^2, мол. доли б
Рис. 7.3.3. Графики переходных процессов по концентрации бутана в дефлегматоре
(а) и кубе (б) при управлении в замкнутой системе отбором верхнего продукта (в) с
непрерывной весовой функцией измерения <п
измеряемая функция 3773/
a
о
Рис. 7.3.4. Графики переходных процессов по концентрации бутана в дефлегматоре
(а) и кубе (А при управлении отбором верхнего продукта (в)
Измеряемые параметры Т, и 3773/
выбранными уже функциями и7 (0 и (Хз (/,/). Уравнение обратной связи
в этом случае имеет вид
л R L
= + £^7з/аз(^0#7з(0^’
г=1 О
где Я — количество точек контроля, которые заданы.
Ниже приведены значения функционала (7.2.1), полученные при
решении нескольких вариантов задачи оптимизации по определению
значений параметров кг13 и f13:
1 2 3 4 5 6 7
Smin 5,11 4,93 0,47 0,36 0,35 0,34 0,34
В качестве начальных значений для параметров кг13 и /73 взяты
213
Рис. 7.3.5. Непрерывные весовые функции измерения для измеряемых параметров Т
(Л), <Шд1 (Л И <Я7д1 (В)
Рис. 7.3.6. Графики оптимальных управляющих параметров D(t) в замкнутой (а) и
разомкнутой (б) системах управления и оптимальные весовая функция измерения g и
коэффициенты усиления к (в)
нулевые значения, а точки измерения 1Г13 равномерно распределены
по длине колонны.
При Я>4 минимальное значение функционала 5 изменяется незна-
чительно, т.е. наиболее рациональное количество точек измерения
для этой задачи равно четырем.
На рис. 7.3.6 для сравнения приведены графики управляющей
функции D (г) в замкнутой (а) и разомкнутой (б) системах управления.
Показаны также координаты точек измерения 1Г13 и значения
4
коэффициентов £73при Я =4. Для сравнения на этом же рисунке
приведен график непрерывной весовой функции измерения g13 (I).
Координаты точек экстремума функции g13 (0 практически совпадают
.4
с координатами точек измерения /73, и в этих точках совпадают знаки
4
функции g73 (/) и коэффициентов к 73. Отсюда следует, что за на-
,4 .4
чальные значения параметров к 7 3 и I 73 можно взять соот-
ветствующие координаты точек экстремума значений функции gn (I) и
ее значения в этих точках.
214
ГЛАВА В
ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ДИФФУЗИОННЫХ
ПРОЦЕССОВ
ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ
В этой главе рассматриваются задачи оптимизации процессов,
описываемых уравнениями в частных производных параболического
типа. Известно, что такими уравнениями можно описать
конвективный массообмен. Такими же уравнениями описываются
процессы массопередачи с обратным (продольным) перемешиванием
например, в ректификационных колоннах [83. 84]. Рассмотрим
несколько краевых задач и задач оптимизации для такого рода
процессов.
8.1. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ
В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ ДИФФУЗИОННЫМИ ПРОЦЕССАМИ
ТЕПЛОМАССОПЕРЕДАЧИ
Постановка задачи оптимального управления
На основе составления балансов соответствующих потоков
получим систему дифференциальных уравнений в частных
производных параболического типа, описывающую управляемый
процесс в двух взаимодействующих потоках. Эти уравнения
отличаются от уравнений типа теплопроводности наличием
конвективного слагаемого, учитывающего тепломассообмен в
движущихся средах.
Эи' ЭИ* , Э2И‘ .£/ . V \ "t1 £ ; „
Т = + (И •••’“ <z.zi) + ^cjUlj*Xl,V^N0,
ut OX OX j-q
(8.1.1)
Эи' Эм‘ , Э2м‘ i N \ .'v1 « >
sX^No + l^i^N-,
u'(x,0) = <p‘'(x),1«j«jV;
.,M^;M1(xy.r)....,Z(xy,r);
My(0) = <py,l^i^Py,Oe j^m + 1;
g‘(к)и?;u1 (xy,t)....,uN(xy,t);v}..,v4/) = 0;
^•x=o = O, 1^NO,
OX
^L-°. No + l^N,
ox I
где и* = и1 (x,r), — управляемые параметры
(8.1.2)
(8.1.3)
(8.1.4)
(8.1.5)
(8.1.6)
(8.1.7)
ХИМИКО-
215
технологического процесса (концентрации компонентов,
температура и т.д.). По-прежнему первые No уравнений описывают
нестационарные режимы, например, для ректификационных колонн в
жидкой фазе, а остальные (N —No ) — в паровой; = z, (xj) —
“объемные" управления; и* (х,,0> (0» 0</^т+1, — показатели
концентрации компонентов, температуры и т.д. в j-й точке аппарата;
vj = v* (г), — управляющие функции (например, вводимые и
выводимые потоки в ректификационной колонне).
Решение системы (8.1.1)—(8.1.7) ищется в области Q= {(x,r) |0<x<L,
0<t<T}.
Теперь сформулируем задачу оптимального управления
процессом (8.1.1)—(8.1.7) для разомкнутой системы.
Для управляемого процесса (8.1.1)—(8.1.7) найти такие уп-
равляющие функции Zi (x,r), Vj (t) в классе кусочно-непрерывных
функций из промежутков
min (^’ max »
(8.1.8)
которые в силу системы (8.1.1)—(8.1.7) максимизируют (минимизируют)
функционал качества
S = JJг(и!.....uN;Z1....z,)dxdt + JJ/(«1 ; и1 (0.0..... (8.1.9)
o do
Такая постановка задачи оптимального управления охватывает
довольно большой круг практических задач при автоматизации
химико-технологических установок. Задача (8.1.1)—(8.1.9) сфор-
мулирована для разомкнутой системы управления и позволяет найти
функции оптимальных управлений при различных возмущающих
воздействиях.
Необходимые условия оптимальности
Для получения необходимых условий оптимальности (условий
стационарности) применяются методы классического вариационного
исчисления. Управления предлагаются кусочно-непрерывными, а
соответствующие им решения — непрерывными и кусочно-гладкими.
Ограничения (8.1.8) преобразуем к равенствам введением фик-
тивных управлений Hi9 h*:
(^i max )(*»• ~~ min ) “ ~ 0»
(v'nux — v'j ) (v‘ — v'min ) — A'2 = 0.
216
Рассмотрим вспомогательный функционал
I = 1Х + /2 = JJLdxdt + JIdt, где
о до
/ -% i \
L = F+^‘ +Y/((z,m„-z,)(zi -zimin)-//?),
i=i {dt J " '
+ ^jgj + E<((v'max
J=1
+/(«*k0..
Здесь (*d), Y (xd) — функции Лагранжа, определенные в Q; (г),
(0» s qj.Q^j^m + 1, — функции Лагранжа, опре-
деленные на [0,7]. Их можно считать определенными на Э£1, причем
$ = q‘. = £' = 0 на 3Q\{ (x.t) к = х,, 0«j«m+1}.
Пусть zt{x, 0, 1 i /, \)*(0, O^j^m +1, — оптимальные
управления; (хд), й* (г) — соответствующие им фиктивные
управления; и* (хД «у (0 — оптимальное решение задачи (8.1.1 )—(8.1.7);
8z( (х,0» 5а>*(0 — вариации управлений z; (хДгу (0; 37/, (хД 5й* (0 —
вариации вспомогательных управлений Hi (xd) и й* (0; 8ul (xd), 8uj(t)—
соответствующие вариации решений. Найдя вариацию
вспомогательного функционала 37 = 3/1+3/2, объединяя слагаемые
при одинаковых вариациях и используя аргументацию теории
вариационного исчисления, получим сопряженную систему
относительно множителей Лагранжа:
Э/ дх Эх2 (8.1.10)
dt °2 Эх +b2 dx2 ’ ’ °
V(xJ) = O,l«*<AT; (8.1.11)
+ (8.1.12)
^•(T) = 0; (8.1.13)
Pi л
217
^^^ = ^(0,0+17?, 1^*0;
иХ
ОХ /=1
bl~d^=£
ОХ 1=1
No +i« N-,
ESjhj = 0,1« qjt 0^j^m+l;
L(P“ + 5*) = 0,
i=l
+ Y'U™ + z,™ - 2z,) = 0;
OZi 4=1
yiHi=Oi l^i^L
(8.1.15)
(8.1.16)
(8.1.17)
(8.1.18)
(8.1.19)
(8.1.20)
(8.1.21)
(8.1.22)
Таким образом, если z4-(x,0,vj (0 — оптимальное управление,
z? (x,0, u*(r) — соответствующие им решения систем (8.1.1.)—(8.1.7), то
существуют функции (х,0, (г), у* (хД), г* (г), удовлетворяющие
системе уравнений (8.1.10)—(8.1.22). Совместное решение краевых
задач (исходной и сопряженной) позволяет найти оптимальное
решение и оптимальное управление. В уравнениях (8.1.10)
сопряженной системы перед второй пространственной производной
стоит положительный коэффициент. С заданными значениями
функций Q (х,0 при t = Т такая система имеет решение, если исходная
система (8.1.1) имеет решение.
Решение этих задач на примере процессов ректификации рас-
смотрим в последующих разделах.
8.2. НЕПРЕРЫВНОЕ РАСПРЕДЕЛЕННОЕ ИЗМЕРЕНИЕ
ПАРАМЕТРОВ ДИФФУЗИОННОГО ПРОЦЕССА
В этом разделе сформулированы и решены задачи оптимального
управления диффузионным процессом в системах автоматического
регулирования с использованием идеи непрерывного рас-
пределенного измерения. Здесь используются понятия непрерывной
функции распределенного измерения. Эти функции являются
оценкой предельных возможностей распределенного измерения.
Методика получения необходимых условий оптимальности рас-
смотрена в предыдущих разделах.
218
1. Пропорциональный регулятор. Управляющая функция
задается выражением (4.2.3). Сопряженная краевая задача будет иметь
вид
dt ai dx 1 Эх2 ’ "о
^ + fl2^ + b2^=Z‘+N\No+l^N.
dt 2 Эх Эх2 0
Условие (8.1.20) принимает вид
jS(37-b3^.)«k(x,o^=o.
0*=i
(8.2.1)
(8.2.2)
Так как в задачах этого раздела нет управлений zx (х,г), то в
сопряженных задачах отсутствуют уравнения (8.1.21) и (8.1.22).
Остальные уравнения сопряженной задачи такие же, как и в разделе
4.4.
2, И-регулятор. Управляющие функции выражаются через
измеряемый параметр и весовую функцию распределенного
измерения формулой (425). Сопряженная система выглядит
следующим образом:
dt Эх Эх п
(8.2.3)
V" + а2 = Zk + Nkju(t,x)dx, No +1«k^N.
dt dx Эх о
Условие (8.1.20) имеет вид
1 f (₽7 + 8^uk(x,x)u(t,x)dxdt. (8.2.4)
о*=1 о
Остальные уравнения сопряженной задачи такие же, как в задаче с
П-регулятором.
3. Д/-регулятор. Управляющая функция имеет вид (4.2.7). По
аналогии с предыдущими рассуждениями будем иметь сопряженную
краевую задачу:
д^к эе 3V к dNk
-г------Г---h -Г 9 = Z + —— ,
dt dx dx2 dt
l^k^NQ,
Начальные условия в этой задаче ненулевые:
^k(x,T)=Nk(x,T),l^k^N,
(8.2.5)
(8.2.6)
219
а условие (8.1.20) принимает вид
J^(py + 5.)9u^M)A = 0
Л 1=1 о»
(8.2.7)
Остальные уравнения остаются без изменения.
4. Оптимальное измерение с Дх-регулятором. Управляющая
функция имеет вид (4.2.11).
Для зтой системы управления будем иметь следующую
сопряженную систему:
д$к
dt
эЧ*
Эх2
m+1 4j . dosk
= 2‘-££Ж+з-)-^,
/=0 j=1<=1 “X
m+1 Ч) Pj . dp5f
=2‘-ШР“+8‘
y=o,=ii=iv ’ dx
1«£«NO,
(8.2.8)
jV0 + 1«£«N.
Вместо условий (8.1.20) и (8.1.15)—(8.1.18) ватой задаче справедливы
соотношения
Т Pj л А
j ДР; + 8')~' j ’^dt = O; (8.2.9)
0 <=1
Ь1 %* (О?,) = aiV(O,t) + Zy‘o ~ ^k(0,t), ^k^N0, (8.2.10)
Эх t=i
f>2j.^(°’0 = ^y^_^(O,f), N0 + tek^N; (8.2.11)
Эх t=1
Y*+1 _Nk(L t) x^Nqi (8.2.12)
OX /=1
dtk(L t} ь pm+l
62-\1-^ = -аЛ*(Ал)- £ rt+1-Nk(L,t), N0+l^k^N. (8.2.13)
OX i=i
Остальные уравнения для сопряженной краевой задачи остаются
без изменения.
8.3. ДИСКРЕТНОЕ ОПТИМАЛЬНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ
ДИФФУЗИОННОГО ПРОЦЕССА ТЕПЛОМАССООБМЕНА ОРП
В данном разделе также получены необходимые условия оп-
тимальности П, И, J\i и Дх-регуляторов.
Модель управляемого процесса представлена параболической
системой дифференциальных уравнений в частных производных с
соответствующими краевыми условиями.
1. П-регулятор. Управляющие функции в этом случае (4.3.2).
220
Сопряженная краевая задача имеет вид
1<teWo.
Э/ дх дх1
N0+leteN.
dt 2 дх 2 дх2 0
(8.3.1)
Вместо (8.1.20) имеем два условия:
TL
\\^uk(x,t)dxdt^G, (8.3.2)
00
^^(x-x^y^dxdt. (8.3.3)
0 0
Остальные уравнения краевой задачи такие же, как и в разделе 4.4.
2. И-регулятор. Управляющие функции задаются выражением
(4.3.6). Сопряженная система имеет вид (8.3.1).
В этой задаче в качестве условий (8.3.2) и (8.3.3) в сопряженной
краевой задаче будут следующие:
TL t
Ш ^ijV.{t,T)uk(x,T)dxdxdt = 0, (8.3.4)
000
TL t
H!^v(x~x^)u(t,T)uk(x,T)dTdxdt = O. (8.3.5)
000
3. Д/-регулятор. Управляющие функции задаются выражением
(4.3.7). Сопряженная система имеет вид (8.3.1) с начальными не-
нулевыми условиями
£*(х,Т) =-о*(х,Т).
Вместо условий (8.3.4) и (8.3.5) будут условия
ИР; du^X'^dxdt = O,
0 0 W
j и - хи )Эи £х,~^=°-
0 0
4. Дх-регулятор. Управляющие функции имеют вид (4.3.8), а со-
пряженная система — (8.3.1). Условия (8.3.4) и (8.3.5) примут вид
JJtI; 3uk(X,e*dxdt = 0,
J J J Jy
0 0
J 4)^-^-dxdt = 0.
о о ол *
221
8.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕЖИМОВ
РЕКТИФИКАЦИОННЫХ КОЛОНН
С УЧЕТОМ ПРОДОЛЬНОГО ПЕРЕМЕШИВАНИЯ
Постановка задачи
Рассматривается задача оптимального управления процессами
массопередачи в аппаратах колонного типа с учетом продольного
(обратного) перемешивания. Такие процессы описываются диф-
ференциальными уравнениями в частных производных пара-
болического типа и осуществляются, например, в ректификационных
колоннах, разделяющих многокомпонентные смеси [48]:
Э(Яхх) d(Lx) д ( йх^
at az at < L az j
= ку(у-у')+Фх,
д(нуУ) d(vy) э( эу
at az az1 v az
-у)+фг
(8.4.1)
Покажем, что система (8.4.1) параболическая. Далее, вос-
пользовавшись результатами [130], убедимся, что система имеет
единственное решение. Рассмотрим случай линейной правой части
системы (8.4.1), т.е. у* = ох.Чтобы попасть в условия теорем 4.9 и 5.4 из
[130], введем следующие обозначения: Нх = a\L- a2,EL~ а\Ну -
V = a5, Ev - а6, ку = а\х = у = и2,1 = х.
Тогда система (8.4.1) примет вид
-a7i<2 + a7aui = ФХ,
4 4 ^^2 5 5 ^^7 6 dll? 6 7 7
at ~^- + ахи2 + а ь-=2--а 1аи1+а1и2 = <ъ
ot дх дх дх у
По условию [130] имеем
/п= ai ~ах + ш*1 + а1 —
/22 = at + ах + а?+ д4 ~ + (а
1 х dt [
s2 + = 0-
з \ Э 3^1 7 1 1
-ах)~-а ^’li2=-a ,121=-°^ •
a6)£-a6£T,5i+'2=0,
Тогда
/11 (х, t, i&, рк2Ь) = V ~s\x,t,iE>,p) =
= а} -ах+ аа7 + - /(а2 - + а3£2Х2,
222
/22(х>г>^Х>Д2*)= X ^4?+<2 =
= а4 + ах + а1 + a4p№b + i[a5 + а6£2Х2.
При Ь = 1 $г + 1г = 2, s2 +t2 - 2.
Тогда
/ft =л1Р+лЧ2»^ = а4р+аЧ2-
Итак
Теперь рассмотрим матрицу
(a’p + aV -а7
°Д -аа7 а4р + а6^\
и выпишем определитель
detL0 = a1a4p2 + (a1a6 + a3a4)^2p + a3a6^4 -a(a7)2 = 0.
Вычислим корни р\,рг последнего уравнения:
-(a'a6 + a3a4)^2 ±^(a1a6 + a3a4fe4 -4a1a3a4a6^4 + 4aa1a4(a7)2
А’2 = _—,
откуда следует условие параболичности
ага6 + а3а4 >0,ага4 >0,а3а6 >0,
или в обозначениях исходной задачи
HXEV + HyEL > 0,HxHy > 0tEvEL > 0,
что имеет место для реального процесса.
Сформулируем краевую задачу с соответствующими начальными и
граничными условиями:
х(/,0) = (PjO), у(/.0) = Ф2(/). (8.4.2)
Поскольку в системе (8.4.1) каждое уравнение имеет второй порядок,
то для каждого из них необходимо иметь два граничных условия. По
одному условию можно записать, учитывая процессы в кубе и
дефлегматоре. Так как учитывается рециркуляция потоков, то
граничные условия задаются в виде обыкновенных
223
дифференциальных уравнений на разных концах объекта:
-------------I=L(0,r)x(0,0-(V(0,0+lV(f))y(0Ir)I
-1 + D(0)x(M).
(8.4.3)
(8.4.4)
При формулировке еще двух краевых условий имеются трудности,
связанные с тем, что для решения краевой задачи необходимо иметь
условия на выходе парового и жидкостного потоков, на которые
никаких ограничений не накладывается.
Если для выходящих жидкого и парового потоков задать какие-
либо условия при I = О, I = 1, то будем иметь краевую задачу с
жесткими условиями (двухточечная задача); такая задача тоже может
иметь место.
Более технологичной является ситуация, когда эти потоки на
входе аппарата не связаны какими-либо ограничениями. В связи с
этим рассмотрим идеализированный аппарат, процесс в котором
осуществляется для паровой фазы на отрезке [0, + «>), а для жидкой —
на отрезке (- <», 0], причем обе фазы взаимодействуют лишь на отрезке
[0.1].
В этом случае можно записать граничные условия для обеих фаз:
Эх _п Зу
31*'" ’ 31
= 0. (8.4.5)
В бесконечно удаленной точке концентрации по пару и жидкости
постоянны.
Для поставленной краевой задачи сформулируем задачу
оптимального управления. В классе кусочно-непрерывных функций
LdiD найти такие, для которых соответствующее решение системы
(8.4.1)—(8.4.5) минимизирует функционал качества:
И(Х/>')-9*(М)) dldt, (8.4.6)
00
9* — предполагается заданным.
Необходимые условия оптимальности
Для получения необходимых условий оптимальности система
дифференциальных уравнений, описывающая процесс ректификации,
преобразуется к нормальному виду:
^ = _kc(i).^Lf(3)
dt нх s я/
<*£ (1) 3 х _ (з)
зГд
224
(8.4.7)
dy _ у (2)
dt н/
+ *к с(0
Чу
+ ~(/W-y) = yp
НУ
^ = <;(2)>^ = ;(4)> 0<z<r, 0<1< 1,
di а/2
При краевых условиях
х(0,0-у(0,t)s y2,
dt нхк нхк
& ^xd
Эх(-^,г)_ ду(+~, г) =0
д1 1 31
(8.4.8)
2»
Для получения необходимых условий оптимальности рассмат-
ривается вспомогательный функционал
/ - + /2 = jj Ldldt + J Idt, L и l определяются обычным образом/
О do
Используя аргументацию вариационного исчисления, получим для
оптимальных управлений W, Ld и соответствующих им оптимальных
решений х, у сопряженную систему уравнений в области £2
д£(1)__L д£(1) । к? .(2) ку t(i) dy* = Q
dt Нх 31 Ну , Нх Зх 9,
3t Ну 31 НУ 312 ну ъ нх >
с начальными условиями
^(1)(/,Т) = 0Л(2)(/, Т) = 0. (8.4.10)
На границе области Э£2 имеем
31
da,(t) V+ W . . V ч .
л +^-“.W-^V2)(°.-).M,(T)=o.
«+ Г1(И'„„ + - 2W) = О, (8'412)
_^М + ^±£Ш2(г)_^о)(1д) = о> СО2(Г) = 0>
х #
15. Зак. 3031
225
__^Ш!(,)+215М(1,,)+^21^М=О.
Н 2W » \
J J
^'СО2(0 +Тг^тах +^min -2Lrf) = 0,
H*d
где £tl\ £t2i — функции, определенные на Q; соь (Ог, уь у2 — на <9Q.
Алгоритм решения краевой задачи
Систему уравнений (8.4.1)—(8.4.4) решаем методом конечных
разностей. Для этого покроем всю область решения Q = {-<» < / < +«>,
прямоугольной Сеткой, "-о©" и н+«>" считаем равной 3L, где
L — длина колонны,
Заменим в уравнениях (8.4.1)—(8.4.4) производные конечно-
разностными отношениями, используя четырехточечный шаблон (см.
рис. 3.2.1). Таким образом, уравнения (8.4.1)—(8.4.4) примут вид
МЛ? - Дх/+1 + С1Х£ =-уА, + С2у^ =^,,
где
Aj = El I h2,B2=(Hxh2 + Lhr + 2Elt) I Th2,
Cj = (El + Lh} I h2,C2 = Evlh2,
A2 = (Vh + Ev)l h2,B2(Hyh2 + Vhr + 2Evt) I Th2,
w у
vi- = —- *1 + ky(y{ - y*J) + O',. Vyi = -y-y{ + ky (y*J - y{);
A * '
условие (8.4.4) в дискретном виде имеет вид xN = xN_x. yN = ,
yZ+1 = 1 т I TXJ г?+1 — 1 - Ал+ т I ТУ-^
”° 1 и т /о + и ^о» xn - 1 ^7 т
I н^к ; н*к I H-d ; нч
Для решения конечно-разйостной задачи применяется метод
прогонки. Аналогично решается сопряженная задача.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В монографии с единых методологических позиций рассмотрены
задачи исследования различных сторон проблемы моделирования и
оптимизации химико-технологических процессов.
Построены математические модели нестационарных режимов про-
цесса тепломассообмена при разделении многокомпонентных сме-
сей. Эти процессы описываются системой дифференциальных урав-
нений в частных производных и отражают непрерывный характер по
длине аппарата. Проведено обоснование перехода от дискретной мо-
дели к непрерывной.
Сформулированы и решены краевые задачи для исследования
нестационарных режимов объектов с распределенными параметрами.
Показана корректность краевых задач для процессов с рециркуля-
цией взаимодействующих потоков. Для оценки математических мо-
делей используются результаты экспериментов на промышленных
установках.
Сформулированы и исследованы задачи оптимального измерения и
управления объектами с распределенными параметрами. На основе
необходимых условий оптимальности разработаны алгоритмы и
программы решения задач оптимизации технологических режимов
промышленных установок.
Разработаны численные методы решения краевых задач и задач оп-
тимального управления. Проведено доказательство сходимости этих
методов.
Приведены результаты численного исследования промышленных
установок химической технологии. В качестве таких объектов
выбраны ректификационные установки для разделения многокомпо-
нентной смеси.
Рассматриваемые в книге управляемые процессы довольно слож-
ные, и поэтому затронуты различные стороны проблемы матема-
тического моделирования (постановка и исследование корректности
краевых задач), оптимизации (получение и анализ необходимых усло-
вий оптимальности), численного исследования технологических ре-
жимов и систем управления промышленных установок (построение
алгоритмов и обоснование их сходимости). С этой точки зрения
монография носит комплексный характер и направлена на решение
как фундаментальных проблем, так и конкретных прикладных задач.
Накопленный опыт позволил автору подойти к формулировке такого
подхода в математическом моделировании нестационарных режимов
химико-технологических процессов.
Поскольку рассматриваемые процессы энергоемки, возникает проб-
лема проектирования процессов и аппаратов, работающих с расходом
минимальной энергии. Поэтому представляется важным развитие
этих работ с учетом процесса теплообмена, позволяющего проекти-
ровать энергосберегающие технологии. Такое развитие возможно в
рамках изложенной в монографии теории с учетом конкретных
эффектов тепловых режимов, например теплообмена между потоками
жидкости и пара. «
227
ЛИТЕРАТУРА
Х.Абдикеримов Т., Егоров А.И., Живо-
глядов В.П, Крушель ЕГ. Применение
вариационных методов в теории инва-
риантных систем с распределенными па-
раметрами п Теория инвариантности
автоматических систем. М.: Наука, 1970.
Т. 1. С. 18—25.
Z. Абдулаев А.А., Алиев Р.А., Ула-
нов Г.М. Принципы построения автома-
тических систем управления промыш-
ленности предприятиями. М.: энергия.
1975. 440 с.
3. Авдеев А.М. Математическое моде-
лирование оптимального процесса раз-
деления многокомпонентных смесей //
Математические модели и методы реше-
ния задач механики сплошной среды.
Красноярск, 1986. С. 170—174.
4. Авдеев А.М., Демиденко Н.Д. Чис-
ленный метод исследования нестацио-
нарных режимов многокомпонентной
ректификации // Изв. СО АН СССР. Сер.
техн. наук. 1981. Вып. 2. № 8. С. 129—132.
5. Авдеев А.М., Демиденко НД. Дина-
мическая оптимизация процесса массо-
обмена в замкнутой системе управления
// П Всесоюэ. конф, по методам киберне-
тики хим.-технол. процессов. Баку, 1987.
С. 50
В. Алексеев Ю.А., Мазина С.Г., Местуев
Ю.Г. и др. Выбор рациональной техноло-
гической схемы и системы автомати-
ческого регулирования установки вто-
ричной перегонки бензинов // Химия и
технология масел. 1971. № 10. С. 45—48.
7.Али-Заде Н.С., Атакишиева М.К., Топ-
чибаев М.А. Некоторые вопросы мате-
матического моделирования ректифика-
ционных колонн // Вопросы матема-
тической кибернетики и прикладной
математики. Баку: элм, 1976. Вып. 2.
С. 103—109.
8. Амоль Ю.Д., Матвеев А. А. Построение
адаптивной модели ректификационных
колонн. Воронеж, 1984. 16 с. (Тр. Воронеж,
инж.-строит, ин-та).
3. Андреев Д.Я. К вопросу об оптими-
зации работы технологических установок
228
по переработке нефти // изв. вузов. Нефть
и газ. 1965. № 3. С. 109—113.
, 10. Андреев Ю.Н., Бутковский А.Г. Оп-
тимальное управление нагревом массив-
ных тел // Изв. АН СССР. Кибернетика.
1964. №5. С. 45—54.
11. Андреев Ю.Н., ОркинВ.М. О прибли-
женном решении задачи оптимального
управления распределенной системой //
АиТ. 1969. Т. 30, № 5. С. 30—40.
12. Анисимов И.В. Исследование
статических и динамических характе-
ристик процесса ректификации // Тр. П
контр. ИФАК. М., 1965. С. 265—274.
13. Анисимов И.В. Основы автома-
тического управления технологическими
процессами нефтехимической и
нефтеперерабатывающей промышленнос-
ти. Л.: Химия, 1967. 408 с.
14. АНИСИМОВ И.В.. Бодров В.И., Пок-
ровский В.Б. Математическое моделиро-
вание и оптимизация ректификационных
установок. М.: Химия, 19У5. 215 с.
15. Аронина ЕЕ., Аносова Г.М. Моде-
лирование промышленных ректифика-
ционных колонн для разделения мно-
гокомпонентных смесей углеводородов
// Автоматизация расчета процессов и
аппаратов химического производства,
технологии переработки и транспорта
нефти и газа на ЭВМ. Киев: Наук, думка,
1974. Вып. 7. С. 10—14.
16. Ахмадеев М.Г.. Кондратьев А.А. Мо-
делирование переходного процесса мно-
гокомпонентной ректификации на ЭЦВМ
// Технология нефти и газа. 1975. Вып. 26,
№ 4. С. 33—39.
17. Багатуров С. А. Основы теории и
расчета перегонки и ректификации. М.;
Химия, 1974. 439 с.
1 В. Балакирев В.С., Дудников ЕГ, Цир-
лин А.М. Экспериментальное исследо-
вание динамических характеристик про-
мышленных объектов управления М.;
Энергия, 1967. 232 с.
19. Барский Б.М., Плаксин И.Н. Критерий
оптимизации разделительных процессов.
М.: Наука, 1967. 83 с.
Z0.Белозерский C.C.. Гун Р.Б., Бирю-
ков В.В, Копя Ю.С. Новые схемы авторе-
гулирования простых ректификацион-
ных колонн // Нефтепереработка и
нефтехимия. 1966. № 5. С. 43—45.
21. Бенедек П, Ласло А. Научные
основы химической технологии. М.: Хи-
мия, 1970. 876 с.
22. Берсенев В.Л, Гймади Э.Х., Де-
ментьев В Т. Экспериментальные задачи
стандартизации. Новосибирск: Наука, 1978.
336 с.
23. Бесков В.С., Нагиев А.Г. Расчет
оптимальных переходных режимов хи-
мико-технологических систем, описыва-
емых дифференциальными уравнениями с
разрывными правыми частями // Изв. ву-
зов. Нефть и газ. 1984. № 9. С. 87—89.
24. Бодров В. И., Муромцев Ю.Л., Шам-
кин В.Н. Определение передаточных
функций ректификационных установок,
разделяющих многокомпонентные смеси
// Изв. вузов. Химия и хим. технология.
1977. Т. 20, № 8. С. 1218—1223.
25. Болтянский В.Г Оптимальное уп-
равление дискретными системами. М.:
Наука, 1973. 446 с.
26. Бояринов А.Н., Кафаров В.В. Методы
оптимизации в химической технологии,
м.: Химия, 1969. 564 с.
27. Бугров А.В., Дудкин НИ., Мас-
ленников И.М. Об управлении химико-
технологическими объектами с прост-
ранственно-распределенными парамет-
рами с использованием емкостных
измерительных преобразователей // Ав-
томатизация химических производств. М.:
ЦНИИТЭнефтехим, 1973. Вып. 1. С. 23—27.
2В. Бутковский А.Г. Методы управ-
ления системами и распределенными па-
раметрами. м.: Наука, 1975.568 с.
29. Бутковский А.Г. Управление сис-
темами и распределенными параметрами
// АИТ. 1979. № 11. С. 16—65.
3Q.Вилков ГТ. Оптимизация много-
клонных ректификационных установок:
Автореф. дис.... канд. техн. наук. М., 1971.
16 с.
31. Габасов Р., Кириллова Ф. Качест-
венная теория оптимальных процессов.
М.: Наука, 1971.287 с.
32. Гальцов А.В., Майков В.П Опти-
мизация процесса ректификации на ос-
нове термодинамического критерия //
Теорет. основы хим. технологии. 1971.
Т. 5,№ 2. С. 303.
ЗЗ. Гнмалеев М.К., Теляков Э.Ш. Иссле-
дование стационарных и переходных ре-
жимов работы ректификационных колонн
// Там же. 1986. Т. 20, № 4. С. 435—440.
ЗАГимельшейн Ф.Я. О синтезе опти-
мальной весовой функции распреде-
ленного контроля в системах управления
технологическими объектами //
Автометрия. 1966. № 1. С. 83—95.
ЗБ.Гимелытйн Ф.Я, Девятов Б.Н. За-
дача оптимальной оценки состояния
управляемых химико-технологических
процессов И ДАН СССР. 1965, Т. 165, №2.
С. 368—372.
36. ГИрсанов ИВ. О решении некоторых
краевых задач для параболических и
эллиптических уравнений с разрывными
коэффициентами // Там же. 1960. Т. 135.
№6. С. 1311—1313.
37. Годунов С.К. Уравнение матема-
тической физики. М.: Наука, 1971. 417 с.
Зв.Дегтярев ГЛ. Оптимальное управ-
ление процессами с распределенными
параметраьш в переменной области П Тр.
КАИ. 1974. Вып. 161. С. 37—48.
39. Дегтярев ГЛ., Сиразетдинов Т.К. Об
одной задаче оптимального управления
системами с распределенными парамет-
рами // Изв. АН СССР. Техн, кибернетика.
1967.» 1.С. 151—160.
Аб.Демиденко Н.Д., Авдеев А.М., Кар-
лов В.П, Садовская ЕВ. Оптимальное уп-
равление ректификационными колоннами
как объектами с распределенными пара-
метрами // V Всесоюэ. конф, по теории и
практике ректификации. Северодонецк,
1984. С. 219—220.
41. Демиденко Н.Д., Авдеев А.М., Кар-
лов В.П., Садовская ЕВ. Оптимальное
управление химико-технологическими
рбъектами с распределенными парамет-
рам // Методы кибернетики химико-
технологических процессов. М., 1984.
С. 185—186.
42. Демиденко Н.Д, Авдеев А.М., Кар-
лов В.П. Оптимальный контроль в сис-
темах управления химико-технологи-
ческими объектами // Изв. СО АН СССР.
Сер. техн. наук. 1983. Вып. 3, № 13.
С. 100—106.
43. Демиденко Н.Д. Метод исследова-
ния нестационарных режимов в системах
оптимального управления сложными ОРП
// Применение ЭВМ в задачах управления.
Красноярск, 1985. С. 15—26.
44. Демиденко Н.Д., Волосатое В.В. Мо-
делирование оптимальных режимов рек-
тификационных колонн с учетом про-
дольного перемешивания // Модели и
методы оптимизации сложных систем.
Красноярск, 1990. С. 98—104,
45. Демиденко Н.Д, Авдеев А.М. Чис-
ленное моделирование оптимальных ре-
жимов процесса многокомпонентной
229
ректификации // Всесоюз. конф, по ав-
томатизации и роботизации в хим.
пром-сти. Тамбов. 1986. С. 115—116.
4G. Демиденко НД., Авдеев А.М. Чис-
ленный метод исследования оптималь-
ного управления химико-технологичес-
кими объектами с рециркуляцией взаимо-
действующих потоков // Изв. СО АН СССР.
Сер. техи. наук. 1983. Вып. 2, № 8.
С. 112—117.
47. А.с. 654262 СССР. Устройство для
автоматического регулирования слож-
ной ректификационной колонны / Н.Д. Де-
миденко, Н.П. Ушатинская, Журавлев Л.П.
И др. П Б. И. 1979. №12. С. 19.
48. Демидеяко НД., Ушатинская Н.П.
Моделирование, распределенный конт-
роль и управление процессами ректи-
фикации. Новосибирск: Наука, 1978. 285 с.
49. Демиденко НД. Оптимизация сис-
темы контроля управляемых технологи-
ческих процессов тепломассообмена //
Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1978.
Вып. 3, № 13. С. 118—126.
50. Демиденко Н.Д., Девятов Б.Н,
Елин МЛ Оптимальное управление тех-
нологическими процессами и рецирку-
ляцией взаимодействующих потоков //
Там же. Вып. 2, №8. С. 126—130.
51. Демиденко НД., Авдеев А.М., Кар-
лов В.П., Ушанов С.В. Оптимальный
контроль и управление процессом ректи-
фикации // Тр. Всесоюз. совет, по пробл.
управления. М.: Наука, 1977. кн. 3. С. 20.
52. Демиденко НД., Авдеев А.М., Кар-
лов В.П., Ушанов С.В. Применение опера-
торских методов для анализа неста-
ционарных режимов тепломассооб-
менных аппаратов // Применение вычис-
лительной техники в автоматизированных
системах обработки информации.
Красноярск, 1977. С. 170—174.
53. Демиденко ИД, Авдеев А.М., Кар-
лов В.П., Ушанов С.В. Распределенный
контроль и распределенное управление
тепломассообменными аппаратами //
Там же. С. 174—178.
54. Демиденко НД., Ушанов С.В. Моде-
лирование, распределенный контроль и
распределенное управление процессами
ректификации // Изв. СО АН СССР. Сер.
техн. наук. 1975. Вып. 2, № 8. С. 103—109.
55. Демиденко Н.Д., Шевченко Р.С. Опти-
мизация квадратичной функции многих
переменных // Опыт применения мате-
матических методов и вычислительной
техники в народном хозяйстве Красно-
ярского края. Красноярск, 1966. С. 69—80.
56. Двмиденко НД, ГИмельшейн Ф.Я.,
Девятов Б.Н. Оптимальный контроль тех-
230
нологических объектов при распреде-
ленном управляющем воздействии // Изв.
СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1970. Вып. 1.
№3. С. 129—134.
57. Демиденко НД., Елин М.В., Девя-
тов Б.Н. Необходимые условия опти-
мальности управления процессами с ре-
циркуляцией потоков // Динамические
режимы в химии и химической техно-
логии. Новосибирск, 1979. С. 43—49.
58. Демиденко НД. Анализ динамики
управляемых технологических процес-
сов при распределенном управляющем
воздействии // Изв. СО АН СССР. Сер. техн,
наук. 1971. Вып. 1,№ 3, С. 118—124.
59. Демиденко НД., Авдеев А.М. Мате-
матическая модель с распределенными
параметрами для тепломассообменных
процессов промышленных ректифика-
ционных колонн // Управление произ-
водственными и техническими системами.
Красноярск, 1970. С. 67—78.
бО.Демиденко Н.Д., Бытев ВО., Уша-
нов С.В. Анализ модели нестационарных
режимов массопередачи в ректифика-
ционных колоннах // Изв. СО АН СССР.
Сер. техн. наук. 1975. Вып. 3, » 3.
С. 134—139.
Bi.Демиденко НД, Фейст Б.А. Иссле-
дования эффективности распределенного
воздействия в задаче синтеза системы
управления объектом с распределенными
параметрами // Тр. Ш краевой науч.-
техн. конф., посвящ. Дню радио. Красно-
ярск. 1972. Т. 2. С. 158-161.
62 .Демиденко НД. Численные методы
решения задач распределенного контро-
ля сложных технологических систем //
Радиотехника, тонкие магнитные пленки,
вычислительна^ техника. Красноярск,
1973. С. 143—145.
БЗ.Демиденко НД., Александрова ЕА.
Метод численного анализа нестационар-
ных режимов технологических процессов
// Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1977.
Вып. 2., №8. С. 109—115.
64 .Демиденхо Н.Д, Майер А.Б. Крите-
рии состояния и контроль объектов с
распределенными параметрами П Все-
союэ. конф, по информ, системам и
системам управления с распредел. пара-
метрами. Уфа, 1976. Ч. 2. С. 8.
65 .Демиденко Н.Д., Волосатев В.В. Оп-
тимальное управление диффузионными
процессами в ректификационных колон-
нах // Математическое моделирование в
науке и технике. Пермь, 1986. С. 115—116.
66 . Демиденко НД. Оптимальное управ-
ление химико-технологическими объек-
тами с ограничениями на потоки // Мате-
магические методы в химии. Грозный,
1985. С. 137—138.
67 .Демиденко Н.Д., Волосатое В.В. Оп-
тимальное управление процессами мас-
сообмена с обратным перемешиванием //
Автоматизация и роботизация в хими-
ческой промышленности. Тамбов, 1988.
С. 7—8.
бв.Демиденко НД., Королевский В.А.
Оптимизация многопоточного ввода
сырья в ректификационных колоннах //
Там же. С. 23—25.
GB.Дьяконов С.Г., Елизаров В.И., Ка-
фаров В.В. Сопряженное физическое и
математическое моделирование в задачах
проектирования промышленных аппара-
тов // Жури, прикл. химии, 1986. Т. 59, № 9.
С. 1927—1933.
70. Акаева ЕА. Квазилинейная модель
процесса тепломассопередачи многоком-
понентных смесей двухфазных потоков в
химико-технологических аппаратах //
Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1982.
Вып. 4,№3. С. 104—110.
71. Ожаева ЕА., Демиденко Н.Д. Качест-
венный анализ гиперболической системы,
описывающей процесс тепломассообмена
в технологических аппаратах // Там же.
1979. Вып. 3, № 13. С. 101—108.
72. Еркаева Е.А., Демиденко НД Гидро-
динамическая модель процесса много-
компонентной ректификации в многота-
рельчатых колоннах // Тр. Ш Всесоюа
конф, по мат. методам в химии / ЦНИИТЭ
нефтехим М., 1980. С. 75—81.
73. Акаева Е.А. Моделирование и ка-
чественное исследование процессов мас-
сообмена в ректификационной колонне.
М., 1988. 19 с. Деп. в ИНИОН АН СССР
01.12.88, № 8523-В.
74. ВГоров АН Оптимальные процессы
в системах с распределенными парамет-
рами и некоторые задачи теории инва-
риантности // изв. СО АН СССР. Сер. мат.
1965. Т. 29, № 6. С. 1205—1260.
75. Егоров К.В., Кошевич ГЕ. Задачи
выбора оптимальной интенсивности уп-
равления химико-технологическими про-
цессами // Всесоюз. конф, по методам
кибернетики хим.-техно л. процессов.
Баку, 1987. С. 119—120.
76. Елин М.В. Об оптимальном управле-
нии потоками в ректификационных
колоннах. М., 1982. 10 с. Деп. в ИНИОН АН
СССР 4.08.82, № 4292.
77. 3апрянов И. Технико-экономи-
ческий критерий качества функциони-
рования сложных технологических про-
цессов и его применение при статической
оптимизации режима ректификационных
колонн // Изв. ин-та техн, кибернетики
АН СССР. 1973. Т. 15. С. 89—109.
78. Зыков Д.Д., Гайванский Е.А., Тепса-
ев НА. Оптимизация подачи питания в
ректификационную колонну с высокоэф-
фективными тарелками П Тр. Грози. нефт.
НИИ. 1986. С. 6.
7ВИванов В.И., Кривошеев В.П., Ахма-
деев М.Г Особенности расчета пере-
ходных процессов в ректификационной
колонне П Автоматизированное и
метрологическое обеспечение измерений
в нефтяной и газовой промышленности.
Уфа, 1984. С. 148-152.
80. Ицкович Э.Л. Определение расстоя-
ния между датчиками при контроле
пространственно распределенных по-
лей // АиТ. 1963. Т. 24. № 2. С. 233—239.
81. Карлов В.П., Демиденко НД Метод
решения нестационарной задачи массо-
обмена в сложной ректификационной
колонне // Изв. СО АН СССР. Сер. техн,
наук. 1981. Вып. 3,№ 13. С. 114—121.
82. Кафаров В.В., Дорохов И.Н Сис-
темный анализ процессов химической
технологии: Основы стратегии. М.: Наука,
1976. 500 с.
83. Кафаров В.В., Ветохин В.Н Основы
автоматизированного проектирования
химических производств. М.: Наука, 1987.
624 с.
84. Кафаров В.В. Основы массопереда-
чи. М.: Высш, вис, 1979. 439 с.
85. Кафаров В.В. Методы кибернетики в
химии и химической технологии. М.:
Химия, 1976. 463 с.
88. Кафаров В.В.. Ветохин В.Н Основы
построения операционных систем в хи-
мической технологии. М.: Наука, 1980.
430 с.
87.Кафаров В.В., Перов В.Д., Мешал-
кин В.П. Принципы математического мо-
делирования химико-технологических
систем. М.: Химия, 1974. 344 с.
88.Кожинский ОС. Определение конт-
рольных тарелок ректификационных ко-
лонн П Кокс и химия. 1986. № 1. С. 37—39.
83.Кондратьев А.А., МарушинБ.К. о вы-
боре схемы и режима ректификации мно-
гокомпонентных смесей // Нефтеперера-
ботка и нефтехимия. Уфа, 1963. С. 5—15.
30. Краснов В.И., Волин Ю.М., Островс-
кий ГМ Эффективный алгоритм расчета
сложных ректификационных колонн //
Докл. АН АэССР. 1986. Т. 42, * 3. С. 44—47.
91. Красняк В.М. Способ оптимизации
блока ректификационных колонн //
Автоматизация и КИП. 1974. № 10. С. 12—14.
92. Кривошеев В.П, Попков В.Ф. Опти-
мизация статических режимов многокд-
231
лонной ректификационной установки по
критерию "прибыль” // Теорет. основы
хим. технологии. 1986. Т. 20, № 14.
С. 521—525.
93. Кузьмин С.Т., Андерс ВО., Чал-
ко А.Л., Шахмери И.А. Применение управ-
ляющей вычислительной машины в сис-
теме автоматического управления уста-
новкой первичной переработки нефти
повышенной производительности. Гроз-
ный: Чеч.-инг. кн. изд-во, 1971. 55 с.
94. Крылов В. И.. Скобля Н С. Справочная
книга по численному обращению преоб-
разования Лапласа. Минск: Наука и тех-
ника. 1963.295 с.
95. Ледов В.Г., Трухин Ю.В. Управление
ректификационной колонной. Томск, 1986.
11 с. (Тр. Том. политехи, ин-та).
96. Лионе Ж.Л. Некоторые методы
решения нелинейных краевых задач. м.:
Мир, 1972. 587 с.
97. Лионе Ж.Л. Оптимальное управ-
ление системами, описываемыми диффе-
ренциальными уравнениями с частными
производными. М.: Мир, 1972.414 с.
98. Липатов Л.Н Типовые процессы хи-
мической технологии как объектов уп-
равления. М.: Химия, 1973. 317 с.
99. Лурье К. А. Оптимальное управление
в задачах математической физики. М..
Наука, 1975. 478 с.
100. Мазина С.Г. Горбань В.А., Рыб-
цов В.В., Рыбцова ТА. Описание динами-
ческих свойств ректификационной колон-
ны как объекта с распределенными пара-
метрами // Жури, прикл. химии. 1986.
T.59.W4. С. 816—821.
101. Майков В.П. Синтез оптимальной
структуры ректификационных систем //
Теорет. основы хим. технологии. 1974.
№ 3. С. 435—441.
102. Майков В.П., Вилков Т.Т., Галь-
цов А.В. Термоэкономическое опти-
мальное проектирование многоколонных
ректификационных установок // Химия и
технология топлиа и масел. 1971. № 6.
С. 19.
ХОЗ.Майков В.П. Оптимальная статика
процесса ректификации в инженерных
расчетах // Там же. 1972. № 5. С. 40—44.
Ю4.Маковский 313. Автоматизация
процесса трансформации неравномерных
стоков. Фрунзе: Илим, 1977.166 с.
ЮВ.Маркин В.А., Стрекаловскнй А.С. О
существовании, единственности и устой-
чивости решения для одного класса ди-
намических систем, описывающих хими-
ческе процессы // Вести. МГУ. Сер. 15,
Вычисл. математика и кибернетика. 1977.
№4. С. 3—11.
232
100. Марчук Г.И. Методы вычисли-
тельной математики. Новосибирск: Наука,
1973. 352 с.
\07.Михайлов В.П. Дифференциальные
уравнения в частных производных. М.:
Наука, 1976.424 с.
108. Никифоров ЕН Постановка задачи
оптимального управления АВТ // Химия
и технология топлив и масел. 1974. № 11.
С. 31—34.
109. Николаев А.П Разработка методов
расчета и анализа брагоректификацион-
ных аппаратов в применении к задачам их
оптимального проектирования и эксп-
луатации-. Автореф. дис.... д-ра. техн, на-
ук. Киев, 1972. 32 с.
110. Обреыская В.Н., Сафонова Н.П., Уша-
тинскаяН.П, Уланова В.Н. Автоматические
системы управления процессами ректи-
фикации: Метод, пособие для студентов.
Куйбышев, 1974. 34 с.
111. Островский Г.М., Волин Ю.М Ме-
тоды оптимизации сложных химико-тех-
нологических систем. М.: Химия, 1970.
328 с.
112. Перри Д.Г Справочник инженера-
химика: В 2 т. Л: Химия, Т. 1. 640 с
113. Платонов В.М, Верго ВТ Раз-
деление многокомпонентных смесей. М.:
Химия, 1965. 247 с.
ИАПонтрягин Л.С. Обыкновенные
дифференциальные управления. М..- Фиэ-
маттиэ, 1961. 312 с
ИВ.Понтрягии Л.С., Волтянский В.Г,
Гамкрелидзе Р.В., Мищенко ЕВ. Матема-
тическая теория оптимальных процес-
сов. М.: Физматтиэ, 1961. 392 с.
116.А.с. 509280 СССР. Способ автома-
тического регулирования процесса рек-
тификации / Г.Б. Рабинович. Н.Д. Деми-
денко // Б. и. 1976. М 13, С. 10.
117.Ракитский Ю.В. Новые численные
методы решения обыкновенных диффе-
ренциальных и разностных уравнений //
Теория и техника вычислительных про-
цессов. Л., 1973. С. 88—97. (Тр. Ленннгр.
политехи, ин-та; № 332).
1 ХВ.Роэоноэр ЛИ. Принцип максимума
Л.С. Понтрягина в теории оптимальных
систем Н АиТ. 1959. Т. 20, № 10.
С. 1320—1334.
ПЭ.Ротач В.Я Расчет настройки про-
мышленных систем регулирования. М.; Л.:
Госэнергоиздат, 1961. 213 с.
120. Ротач В.Я.Хаджийски М.Б Синтез
информационных систем косвенного
действия // Изв. АН СССР. Техн, кибер-
нетика. 1966. № 3. С. 157—163.
121. Рогач В.Я, Хаджийски М.В. Оп-
тимальные статические информационные
системы косвенного действия // Там же.
1967. № 3. С. 199—205.
122. Самойленко Ю.И., Волкович В.Л.
Пространственно распределенные прием-
ные и управляющие системы. Киев: Техни-
ка, 1966. 312 с.
123. Садовская ЕВ. Оптимальное управ-
ление процессом теплообмена // ВЦ СО
АН СССР. Красноярск. 1964. Препр.
124. Садовская ЕВ. Метод декомпози-
ции в доказательстве существования и
единственности решения для одного
класса гиперболических систем уравне-
ний // Управление в технических и про-
изводственных системах. Красноярск,
1990. С. 132—141.
125. Садовская ЕВ. Сходимость метода
решения вариационного неравенства и
существование оптимальных управлений
для гиперболических систем уравнений
// Модели и методы оптимизации слож-
ных систем. Красноярск, 1990. С. 131—139.
126. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация
систем с распределенными параметрами.
М.: Наука, 1977.460 с.
127. Скрипник П.П.. Костенко М.И. О ра-
боте хроматографического метода опре-
деления состава алкилата // Автома-
тизация процесса нефтепереработ-
ки и нефтехимии. Куйбышев, 1974.
С. 77-80.
128. Скориков И.Е. Оптимизация про-
цесса экстрактивной ректификации ме-
тодом математического моделирования:
Дис.... канд. техн. наук. М., 1971.16 с.
129. Слинько М.Г. Моделирование хи-
мических реакторов. Новосибирск: Наука,
1968,96 с.
130. Солонников В. А. О краевых задачах
для линейных параболических систем
дифференциальных уравнений общего
вида. л.: Наука, 1965. (Тр. МИАН. Т. 83).
131. Стефани ЕП. Основы расчете наст-
ройки регуляторов теплоэнергетических
процессов. М.: Энергия, 1972.376 с.
132. Сыромятников А.А., Матвеев А.А.,
Кочергин И.И. Автоматизация процесса
экстрактивной ректификации бутан-бути-
леновой фракции // Автоматизация хим.
пром-сти. 1968. № 1. С. 19—30.
\ЗЗ.Сум-Шик Л.Е., Аэров М.Э., Быстро-
ве Т А. Исследование уноса и гидродина-
мический расчет колонн с бесперелив-
ными тарелками // Хим. пром-сть. 1963.
№ 1.С. 63—68.
134. Солский В С. Экономика тепловых
процессов химической технологии. М.:
Химия, 1970. 154 с.
135. Тасеъ Ж. Моделирование ректифи-
кационных аппаратов // Год. Внеш, хим.-
технол. ин-т. Бургас, 1983. Т. 18, № 2а.
С. 23—32.
136. Гатевский В.М. Физико-химические
свойства индивидуальных углеводо-
родов. М.: Гостоптехиздат, 1960. 412 с.
137. Тупчий А.Г. Выбор места уста-
новки чувствительного органа системы
автоматического регулирования подачи
тепла в ректификационную колонну //
Новости иефт. и газ. техники. 1962. № 12.
С. 11—14.
138. Туровский Ю.Е Исследование и
разработка систем автоматического уп-
равления производством сырого бензола
(с огневым подогревом масла): Автореф.
дис.... канд, техн. наук. Донецк. 1972.16 с.
13$. Ультриванов Н.П Распределенное
управление жидким проводником в маг-
нитном поле // Изв. вузов. Авиац. техника.
1975. №2. С. 135—139.
140. Уманская И.М., Горин В.Н., З&ту-
ренский Р.А. Исследование сходимости
итерационной процедуры расчета соста-
вов целевых продуктов ректификации //
Хим. технология. 1984. № 6. С. 48—50.
141. Ушанов С.В., Демиденко Н.Д. Иссле-
дование устойчивости замкнутых систем
регулирования объектов с распределен-
ными параметрами // Вычислительная
техника, радиотехика, радиоизмереиия,
магнитные материалы. Красноярск, 1974.
Ч. 1. С. 21—24.
142. Ушанов С.В., Демиденко Н.Д. и др.
Распределенный контроль и управление
ректификационными колоннами // Тео-
рия информационных систем и устройств
с распределенными параметрами. Уфа,
1974. Ч. 2. С. 13—14.
143. Ушанов С.В. Численное моделиро-
вание распределенных процессов ректи-
фикации в некоторых задачах оптими-
зации распределенного контроля:
Автореф. дис.... ханд. техн. наук. Л., 1977.
16с.
144. Ушатинская Н.П., Сафонове Н.П.,
Федотенкова Т.Д., Чеканов А.Ф. Матема-
тическая модель и алгоритм расчета
процесса многокомпонентной ректифи-
кации при наличии нераспределяющихся
компонентов // Автоматизация процес-
сов нефтепереработки и нефтехимии.
Куйбышев, 1974. Вып. 2. С. 44—50.
145. Федоренко Р.П. Приближенное ре-
шение задач оптимального управления.
М : Наука, 1978. 488 с.
146. Фельдбаум А.А., Бутковский А.Г.
Методы теории автоматического управ-
ления. М: Наука, 1971. 743 с.
147. Фомин Н.Г. Определение целесооб-
разного уровня управления процессов
233
ректификации: Автореф. дне.... канд. техн,
наук. М., 1970. 16 с.
146. Фролов Г.М Уксусная кислота,
ее производство и ректификациям.:
Гослесбумнздат, 1963.210 с.
149 . Хаджийски М.Б. Проектирование
систем управления технологическими
объектами.- В 3 т. София: Техника. 1984.
Т. 1.196 с.
150 . Холлаяд Ч.Д. Многокомпонентная
ректификация. М.: Химия. 1969. 351 с.
151 . Чермак Н.Детеркл В., Заварка Н
Динамика регулируемых систем в тепло-
энергетике и химии. М.: Мир, 1972. 623 с.
152 . Шохин Ю.И. Метод дифферен-
циального приближения. Новосибирск:
Наука, 1979.234 с.
153 .Яяеихо НН Метод дробных шагов
решения многомерных задач математи-
ческой физики. Новосибирск: Наука, 1967.
195 с.
ISiAlatigi I.M., Luyben WJL. Control of
a complex sidestreem column-stripper distril-
lation configuration Ц Industr. and Eng.
Chem. Process Des. and Develop. 1986. Vol.
25, № 3. P. 762—767.
155 .веяаИоя A., Seborg D.E.,
Mellichamp DA. Dynamic compartmental
models for separation processes // AIChE J.
1986. Vol. 32, № 7. P. 1067—1078.
156 .Pat. 4024027 / D.M. Boyd.
Fractionation heat balance control system.
Appl. 29.12.75; Publ. 17.05.77.
157 .Pat. 4028194 / D.M. Bo/U.
Systematiced method and control of
fractionation heat balance. Appl. 29.12.75;
Publ. 7.06.77.
15& .Brambilla A., Kardasz LN. Dynamic
matheamtical model and digital simulation of
multicomponent distillation column // Quad,
ing. chim. ital. 1975. Vol. 11, № 3.
P. 46-56.
1 59.Broritow C.B., Handey K.R. Optimal
control of a distillation column // AIChE J.
1968. Vol. 14, № 3, P. 467—472.
IGO.Buckley P.S. Distillation column
desing multivariable control. 1. Process and
control design // Instrum. Technol. 1978.
Vol. 25, № 9. P. 115—122.
Buckley P.S. Economics, energy and
equipment. 2 // Ibid. 1978. Vol. 25, N* 10.
P. 49—53.
l$Z.Buckley P.S. Control for sidestream
drawoff columns // Chem. Eng. Progr. 1969.
Vol. 65, № 5. P. 45—51.
lB3 .Carlson A.M. DAP — a Bechtel
approach to dynamic simulation // Proc.
Summer comput. simul. conf., Denver, Colo.,
Jully 19—21, 1982. Denver, 1982.
P. 520—525.
234
IGA.Cheung T.F., Marlin T£. Using dy-
namic simulation to evaliate distillation to
wer regulatory controly schemes // Ibid.
P. 462—469.
165.Chien l.-L., Mellichamp DA., Seborg
D£. Multivariable self-tuning control stategy
for distillation columns // Industr. and Eng.
Chem. Process Des. and Develop. 1986. Vol.
25, № 3. P. 595-600.
\G6.Daroux M„ Greffe JJL., Bordet J. Mo-
delling in chemical engineering and
distributed control // Modell. and simul.:
Proc. IASTED Intern, symp., Lygano. June
21—24, 1983. Lygano, 1983. P. 255—256.
Demidenko N.D. Optimal control of
the complicated objects distributed parameters
// SysL Anal, and Simul. 1985. Vol. 27. № 1.
P. 425—428.
XBB.Demidenko N.D. Modelling of
optimal regimes in chemical engineering
objects with interacting flow recirculation //
Syst. Anal. Model. Simul. 1987. Vol. 4.
P. 309-320.
1GS.Demidenko ND. Problems on optimi-
zation of information-measuring systems
with distributed parameters // Syst. Anal, and
Simul. 1990. Vol. 11, 12. P. 903-920.
VHkEdgar T£., Schwanke C.O. A review
of the application of modetn control theory
to distillation colymns // Proc. Joint
automal. contr. conf. San Francisco; N.Y.,
1977. Vol. 1. P. 1370-1376.
\71.Elaahl A., Luyben WJL. Control of an
energy-conservative complex configuration
of distillation columns four component
separations // Industr. and Eng. Chem.
Process Des. and Develop. 1985. Vol. 24, № 2.
P. 368-376.
\72.Fervaris G£., Donaii C. Multicompo-
nent distillation for non-ideal mixtures: Note-
2-atopbotton Newton—Raphson procedure //
Quad. ing. chim. ital. 1974. Vol. 10, № 10.
P. 153-156.
W3.Friedrichs K.O. Symmetric positive
linear differential equation // Commun. Pure
and Appl. Math. 1958. Vol. 11. P. 333—
418.
174.F7m£ GJL., Smith D£. Optimizing
fractionation performance through advanced
control // In strum. Technol. 1981. Vol. 28,
№ 8. P. 35—39.
175.Grimma GA. Concentration maxima
in ternary distillation at total reflux // Separ.
Sci. and Technol. 1985. Vol. 20, * 2/3.
P. 85-99.
VJB.Hansen T.,-Jorgensen S£. Optimal
open loop of binary batch distillation // ACI
83; 1 st IASTED Intern, symp. appl. contr.
and identif. Copenhagen, 1983. Vol. 1.
P. 14-20.
\77.Heckle M., Seid В., Gilles W.
Konventionelle und modeme Regelungeverfa-
hren fur Destillationskolonnen, Voraus-
berechnung und Betriebserfahragen H Chem.
Ing.-Techn. 1975. Bd. 47, № 5. S. 372-383.
17B.Herman DJ., Sullivan G.R., Thomas
S. Integration of process design, simulation,
and control systems // Chem. Eng. Res. and
Des. 1985. Vol. 63, № 6. P. 373-377.
179.1afri NN., Glinski G.S., Wood R.K.
The tranneht behaviour and control
characteristics of a continuous binary
distillation column // Trans. Inst. Chem.
Eng. 1965. Vol. 43, № 2. P. 56-61.
UM.Kerr D. To fimd optimum for deisohe-
xanizet // Hydrocarbon Process. 1969. № 10.
P. 93—96.
181.Ajm Dong Hyun, Shang Kun Soo. A
method of numerical solution for unsteady
state problems: Inversion of Laplace
transforms by recursive orthogonal
polynomial regression // Chem.Eng. J. 1984.
Vol. 29, * 1. P. 11 — 18.
132.Kirsch M., Brack G. Zur Festlegung
des Mesortesbei Temperaturregelung von
Rektifikations kolonnen // Chem. Techn.
1981. Vol. 33, № 5. P. 229-232.
133.Kisakurek B., Sumer A. A new
dynamic packed distillation model // Proc. П1
Pacif. chem. eng. congr. Seoul, May 8—11,
1983. Seoul, 1983. Vol. 3. P. 108-113.
134.Kister H.Z. Complex multicomponent
distillation // Chem. Eng. 1985. Vol. 92, № 10,
P. 71—80.
IWS.Kummel M., Foldager L. Geometric
control of a distillation column // Contr. and
Comput. 1986. Vol. 14, № 1. P. 21-26.
\3G.Kummel M., Foldager L. Geometric
control of a distillation column // ACI 83: 1
st IASTED Intern, symp. appl. contr. and
identif. Copenhagen, 1983. Vol. 1. P. 3—14.
l&7.Koppel LR.t Kamman D.T.
Voodward, two-point practical control of a
class of distributed processes // Industr. Eng.
Chem. Fundam. 1970. Vol. 9. P. 198—205.
tBB.Koppel L.B., Shih Yen Ping. Optimal
control of a class of distributed-parameter
systems with distributed controls // Ibid.
1968. VoL 7, № 3. P. 414-422.
189 .Kuriyama T., Miyoshi H., Ohniashi
N. et al. Computer control system of grade
distillation unit // Bull. Jap. Petrol. Inst.
1975. Vol. 17, № 1. P. 114-122.
19O .Larsen J., Kummel M. Hydrodynamic
model for controlled cycling in the column //
Chem. Eng. Sci. 1979. Vol. 34. № 4.
P. 455-462.
191 .Lee H.H., Koppel L.B., Lim H.C.
Optimal sensor location and controller
setting for class of countere worent processes
// Industr. and Eng. Chem. Process Des. and
Develop. 1973. Vol. 12, № 1. P. 36-41.
192 .Leso N., Besi J., Haber R. Ketkom-
ponensu desztillacio atmeneti allapotanak
szamitogepes modellezese // Meres es autom.
1985. Vol. 33, № 8. P. 285—290.
193 .Lupfer D£., Parsons JR. A predictive
control system for distillation columns //
Chem. Eng. Progr. 1962. Vol. 58, № 9.
P. 37-42.
194 . Lypfer D£.f Johnson ML. Automatic
control of distillation column echieve
optimum operation // ISA Trans. 1964. Vol. 3,
№2. P. 165—174.
195 .Luyben W.L. Feed plate manipulation
in distillation column feddforward control //
Industr. and Eng. Chem. Fundam. 1968. Vol. 7,
№ 3. P. 502—508.
196 .Luyben W.L. Feedback control of
distillation columns by double differential
temperature control // Ibid. 1969. Vol. 8, № 4
P. 739-744.
l97 .Maga L., Canera B., Dovi V., Randi
G. Studi de comportamento in regime
transitoro di una collonna di distillasine
permicele a molti component! // Riv.
combust. 1974. Vol. 28. P. 197—209.
199 .Majkowski M. Projection operator
analysis of macrotrahs // Inz. chem. i proces.
1986. Vol. 7, № 1. P. 167-174.
199 .McMullan E.C., SchinskeyF.G. Feed
forward analog computer control to a super-
tractionation // Contr. Eng. 1964. № 3.
P. 69-74.
200 .McNeil S. High performance column
control // Chem. Eng. Progr. 1969. Vol. 65,
№ 3. P. 33-39.
2Ы.Moser J.H. DYMODS — a computer
program system for simulation of process
dynamics // Proc. Summer comput. simul.
conf., Denver, Colo., July 19—21, 1982.
Denver, 1982. P. 514-519.
2Q2.Nisenfeld A£. Reflux or distillate
which to control // Chem. Eng. 1969. Vol. 21,
№6. P. 169—171.
2O3 .Pafemwi W.R., Bartram SJ., Doult
D.M., Topliffe D.B. Representing distributed
units in an equation-oriented simulator //
Process Syst. eng.: PSE'85: Use comput.
chem. eng. conf., Cambridge, 31 March—4
Apr., 1985. Cambridge, 1985.
P. 1-12.
294 .Philips R.S. Dissipative hyperbolic
systems // Trans. Amer. Math. Soc. 1957.
Vol. 86. P. 109-173.
205 .Porter K.E., Jenkins IE. Distillation
update 84 // Processing. 1984. Vol. 30, № 10.
P. 34-37.
20& .Rathore RN.S., Vonworner R., Pors
G.J. Synthesis of distillation system with
235
energy iteration I I AIChE J. 1974. Vol. 20,
№ 5. P. 940-950.
2XH.Russel D.L. Controllability and
stabilizability theory for linear partial
differential eguations // SIAM Rev. 1978.
Vol. 20, № 4. P. 639-739.
20&.Russel DL. Quadratic performance
criteria in boundary control of linear
symmetric hyperbolic systems // SIAM Rev.
Contra. 1973. VoL 11. P. 475-509.
ZW.Schmitt K. Die Automatisierung von
Chemieanlegen mit Mittleln der
Systemtechnik: Analisen und Trends Ц
Chem.-Ing. Techn. 1981. Bd. 53, * 8.
P. 620-625.
2\0.Stanley G.T.t McAvoy TJ. Dinamic
energy conservation aspects of distillation
control I I Industr. and Eng. Chem. Fundam.
1985. Vol. 24, № 4. P. 439-443.
ZW.Stathaki A., Mellichamp D.A.,
Seborg D.E. Dynamic simulation of a
multicomponent distillation column with
asimmetric dynamics // Canad. J. Chem. Eng.
1985. Vol. 63, № 3. P. 501-518.
ZIZ.Talbot FJ). Control of multicompo-
nent fractionators // Instrum. Chem. and
Petrol. Ind. 1966. Vol. 2. P. 69—73.
2l3.Tan K.S., Spinner J Ji. Numerical me-
thods of solution for continuous countercu-
rrent processes in the nonsteady state. 1, 2 //
AIChE J. 1984. Vol. 30, № 5. P. 770—786.
2l4.Trilling U., Kaibel G. Betriebser-
fahrungen mit Mehrhrossenregelungen an
Distillationskolonnen Ц Chem. Industr.
1979. Vol. 102, №6. P. 412—416.
ZYS.Tolliver TL.t McCune L.C. Finding
the optimum temperature control trays for
distillation columns // Instrum. Technol.
1980. Vol. 27, № 9. P. 75—80.
Zlb.Tzafestas S.G. Distributed parameter
control systems: Theory and application.
Oxford etc.: Pergamon press, 1982.
217.Vagi F., Wood RJC, Morris AJ.,
Tham M. Self-tuning control of distillation
columns: theory and practice I I Proc. Amer,
contr. conf., Boston, Mass., June 19—21,
1985. Boston, 1985. Vol. 3. P. 1269—
1274.
ZlZ.Wagner Л/.Auslegung der Konzentra-
tionsregelung von Distillationskolonnen im
Projektierungsstadium // Chem. Techn. 1966.
Vol. 18, № 6. P. 348-351.
21$. Wais ham M. Computer simulation
model applied to design problems of a
petrochemical complex Ц Open Res. Quart.
1974. Vol. 25, № 3. P. 399-410.
220 . Wei Chiu Nan. Dynamic simulation of
multicomponent distillation columns: A tool
for process analysis control design and
operator training // Proc. Summer comput.
simul. conf., Boston, Mass., July 23—25,
1984. Boston, 1984. Vol. 2. P. 616—623.
221 .Weiss man T.E. New distillation
method created // Oil week, 1970. Vol. 21.
P. 54-55.
222 . Wood CE. Tray selection for column
temperatnre control // Chem. Eng. Progr.
1968. Vol. 64, № 1. P. 85—88.
223 .Wood B.K., Flintoff B.C. Dynamic
process simulation CSSL versus simulation
program // Proc. Summer comput. simul.
conf., Denver, Colo., July 19—21, 1982.
Denver, 1982. P. 492-497.
224 . Yamada I., Hiraoka S., Matsui S. et
al. A method for solving design problem of
multieffect distillation process H Proc. JU
Pacif. chem. eng. congr., Seoul, May 8—11,
1983. Seoul, 1983. Vol. 3. P. 415-420.
22S .Yasuoki H.t Nakanishi E., Kunugita
E. Синтез компьютерной системы
управления ректификационной колон-
ной с использованием простого
алгоритма пуска // Катаку когаку
ромбунсю, 1985. Т. П, № 3. С. 337—342.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ........................................................... 3
Введение .............................................................. 5
Глава 1. Математическое описание сложных химико-технологических
объектов с распределенными параметрами................... 10
1.1. Модель нестационарных режимов процесса ректификации много-
компонентных смесей............................................ 10
1.2. Математическая модель многокомпонентной ректификации с посто-
янными скоростями движения взаимодействующих сред.............. 15
1.3. Нелинейная модель процесса тепломассопередачи многокомпо-
нентных смесей................................................. 19
1.4. Обоснование перехода от дискретной модели к непрерывной. 28
Глава 2. Постановка и исследование краевых задач для объектов с
распределенными параметрами........................................... 36
2.1. Постановка краевых задач.................................. 37
2.2. Исследование нестационарных режимов многокомпонентной ректи-
фикации сложных колонн......................................... 40
2.3. Исследование режимов установления процессов массообмена. 54
2.^И сследование нестационарных режимов ОРП при внешнем воздействии 58
2.5. Анализ модели нестационарных режимов тепло- и массопередачи в
технологических аппаратах...................................... 62
2.6. Существование и единственность решения для одного класса гипер-
болических систем уравнений.................................... 71
Глава 3. Численные методы анализа нестационарных режимов хиыико-
технологических аппаратов............................................ 76
3.1. Метод центральных разностей............................... 77
3.2. Метод треугольных сеток................................... 87
Глава ^Оптимизационные задачи управления для ОРП с рецирку-
ляцией взаимодействующих потоков..................................... 94
4.1. Необходимые условия оптимальности в задаче управления процес-
сом тепломассообмена........................................... 96
4.2. Непрерывное распределенное измерение в объектах с распреде-
ленными параметрами............................................. 100
4.3. Дискретное оптимальное измерение параметров ОРП........... 103
4.4. Существование и единственность оптимального управления.. 106
Глава 5.Оптимальное управление ОРП с рециркуляцией взаимодей-
ствующих потоков....................................................... 117
5.1. Оптимальное управление процессом ректификации............. 117
5.2. Необходимые условия оптимальности в задаче управления объекта-
ми с рециркуляцией взаимодействующих потоков.................. 127
5.3. Необходимые условия оптимальности в форме Вейерштрасса.. 145
Глава 6. Распределенное измерение и управление тепломассообыен-
ными процессами..................................................... 151
6.1. Распределенное измерение................................ 151
6.2.0птимальное измерение в системах управления хнмико-
технологическими объектами с рециркуляцией взаимодействующих
потоков.................................................... *161
237
Б.З.Качественное исследование задач оптимального измерения и уп-
равления.................................................... 168
Глава 7.Математическое моделирование процесса многокомпонентной
ректификации........................................................ 172
7.(.Статические и динамические режимы ректификационных колонн... 172
7.2. Моделирование оптимальных режимов ректификационных колонн... 192
7.3. Оптимальное управление системами с обратной связью..... 204
Глава 8. Задачи оптимизации диффузионных процессов химической
технологии......................................................... 215
8.1. Необходимые условия оптимальности в задачах управления диф-
фузионными процессами тепломассопередачи...................... 215
8.2. Непрерывное распределенное измерение параметров диффузионного
процесса...................................................... 218
8.3. Дискретное оптимальное измерение параметров диффузионного
процесса тепломассообмена ОРП............................. 220
8.4. Моделирование оптимальных режимов ректификационных колонн с
учетом продольного перемешивания......................... 222
Заключение ......................................................... 227
Литература ....................................................... 228
CONTENT
1. Preface............................................................................. 3
2. Introduction........................................................................ 5
Chapter 1.M athematical Description of Complex Chemical Technological Ob-
jects with Distributed Parameters..................................................... 10
1.1. A Model of Non-Stationary Regimes of Rectification Process in Multiplicity of
Mixtures....................................................................... 10
1.2. Mathematical Model of Multicomponent rectification with Constant Velocities of
Interacting Media............................................................... 15
1.3. Non-Linear Model of the Process of Heat and Mass Transfer in Multicomponent
Mixtures........................................................................ 19
1.4. Feasibility of Transition from Discrete Model to Continuous One........... 28
Chapter 2. Statement and Investigation of Boundary Problems for the Objects
with Distributed Parameters........................................................... 36
2.1. Statement of Boundary Problems............................................ 37
2.2. The Problem of Investigation of Non-Stationaiy Regimes of Multicomponent
rectification of Complicated Columns............................................ 40
2.3. Investigation of Regimes in Statement of Mass Transfer Processes.......... 54
2.4. Investigation of Non-Stationaiy regimes in ODP at Internal Influence...... 58
2.5. Model Analysis of Non-Stationary regimes in Heat and Mass'Transfer in Techno-
logical Installations........................................................... 62
2.6. Existence and Uniqueness of Solution for One of the Class of Hyperbolic Equation
Systems......................................................................... 71
Chapter 3. Nimerlcal Methods of Analysis of Non-Stationary Regimes in
Chemical Technological Installation................................................... 76
3.1. Central Differences Method................................................ 77
3.2. Triangular Nets Method.................................................... 87
Chapter 4. Optimization of Non-Stationary Regimes of ODP with Recircula-
tion of Interacting Flows............................................................. 94
4.1. Necessary Optimal Conditions on the Problem of Heat and Mass Transfer Process
Control......................................................................... 96
4.2. Continuous Distributed Measurement in the Objects with Distributed Parameters.. 100
4.3. Discrete Optimal Measurement of ODP....................................... 103
4.4. Existence and Uniqueness of Optimal Control.............................. 106
Chapter 5. Optimal ODR Control with Recirculation of Interacting Flows............ 117
5.1. Rectification Process Optimal Control..................................... 117
5.2. Necessary Optimal Conditions in the Problem of Object Control with Recircul-
ation of Interacting Flows...................................................... 127
5.3. Necessary Optimal Conditions if the Weierstrass Form..................... 145
239
Chapter 6. Distributed Measurement and Heat and Mass Transfer Processes
Control............................................................................ 151
6.1. Distributed Measurement................................................ 151
6.2. Optimal Measurement in Chemical Technological Objects with Recirculation
of Interacting Flows Control Systems......................................... 161
6.3. Qualitative Investigation of Optimal Measurement and Control Problems. 168
Chapter 7. Mathematical Simulation of Multicomponent Rectification
Process.......................................................................... 172
7.1. Static and Dynamic Rectification Columns Regimes....................... 172
7.2. Simulation of Optimal Regimes in Rectification Columns................. 192
7.3. Feedback Systems Optimal Control....................................... 204
Chapter 8. Optimization Problems of Diffusion Precesses in Chemical
Engineering........................................................................ 215
8.1. Necessary Optimal Conditions in the Diffusion Processes of Heat and Mass
Transfer Control Problems.................................................... 215
8.2. Continuous Distributed Measurement of Diffusion Process Parameters.... 218
8.3. Discrete Optimal Measurement of Diffusion Process of Heat and Mass Transfer
ODPParameters.................;.............................................. 220
8.4. Simulations of Optimal Regimes in Rectification Columns with Taking into
account Longitudinal Stirring................................................ 222
Conclusion...................................................................... 227
References..................................................................... 228
Научное издание
Демиденко Николай Данилович
МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ
ТЕПЛОМАССООБМЕННЫХ ПРОЦЕССОВ
В ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ
Утверждено к печати
Красноярским вычислительным центром СО АН СССР
Заведующий редакцией BJf. Орлов
Редактор И.Д* Казаринова
Художник Б,М. Рябышев, Художественный редактор И.Ю. Нестерова
Технический редактор Г,П. Каренина. Корректор Н.И. Харламова
Набор выполнен в издательстве на компьютерной технике
ИБ № 48564
Подписано к печати 20.08.91. Формат 60 X 90 1/16. Бумага офсетная № 1
Гарнитур а Сов. Кириллица. Печать офсетная
Усллечл. 15,0. Усл.кр-отт. 15,0. Уч.-издл. 14,7
Тираж 750 экз. Тип. зак. 3031. Цена 5р. 40к
Ордена Трудового Красного Знамени издательство ’’Наука”
117864 ГСП-7, Москва В-485, Профсоюзная ул., д. 90
Ордена Трудового Красного Знамени 1-я типография издательства ”Hayi
199034. Ленингвад В-34. 9-я линия. 12