Ф.ГБуЬник,
Ю. М. Зингерман,
Е.И. Селенскгш
СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКЕ
Под редакцией А.С.Кельзона
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов высших технических
учебных заведений
МОСКВА
«Высшая школа» 7987

ББК 22.21
Б90
УДК 531
Рс цс и з с- и т ы: кафедра теоретической механики лярь-
ковского политехнического института им. В. И. Ленина (snu.
кафедрой — проф. В. Н. Карабан); д-р физ.-мат. наук, проф.
П. В. Бутеним
Будник Ф. Г. и др.
Б90 Сборник задач по теоретической механике:
Учеб. пособие для студентов втузов/Ф. Г. Будник,
Ю. М. Зингерман, Е. И. Селенскин; Под ред. А. С.
Кельзона. — М.: Высш. шк., 1987.— 176 с: нл.
Пособие содержит задачи по всем разделам курса теоретической
механики, предназначенные для проверки усвоения студентами теоре-
теоретического материала. Задачи снабжены отсегнчи и могут 6biTb менер.ь-
човапы как при наличии контролирующих к:-шин, так и при Се:м..)Ш!н-
ноч контроле.
1703020000D309000000)—336 БЕК 22.Л
Б ' 126—87
001@1)—87 531
Учебное издание
Феликс Григорьевич Будник.
Юлий Моисеевич Зингерман,
Евгений Игоревич Селенский
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ
Здг редакцией А. В. Дубровский. Релакюр О. Г. Подобедова. Мл. релякюр
1. «Г1. Дрпохшы. Художник В. В. Knpp-цев. Художественный редактор Л. К. Гро-
мо'за. Тсхлнчсокип редактор Н. Л. Diir:o\nBa. Корректор Г. П. Кс^трикока
ИБ Л'- 6Ы7
li-,«. V OT-:i22. Сдано в набор 1909.КЗ. Пот,м. о печа!Ь 1.06.^7. Формат
Н', iO;-1.' j. Бум ит. ,\ь 2. Гаркктупа r.uj ера тури о я Печать вые ск л я. Об; t м
-.21 \с:ъ. nt-ч, л. 9,45 усл. кр.-отт. S.17 ^ч.-]лд. л. Тир..ж 64 ;ЯЮ зкч. ЗчК. Vt 6"*».
Пена 3.1 кон.
i«злглельстпо «Высшая школа», 1014-Я0, Москва, ГСП 4, Неглннпая \л.>
д. 29,14.
Илндиуирская типография Союзполигрофпрома при Государственном
ксылтете СССР по делам изчательств. полиграфии и книжной торговли
600000, г. Владимир, Октябрьски!! проспект, д.7
(С Издательство «Высшая шко^а», 1987

ПРЕДИСЛОВИЕ
Важнейшим элементом обучения современного специ-
специалиста является привитие ему навыков самостоятельной
работы, творческого подхода, умения быстро перестро-
перестроиться на новое, если оно оказывается лучше и продуктив-
продуктивнее старого, умения нешаблонно мыслить. Теоретическая
механика — фундаментальная дисциплина физико-мате-
физико-математического цикла — развивает не только общеинженер-
общеинженерную, но и общенаучную базу будущего специалиста.
Особое место в курсе отводится упражнениям и контро-
контролю усвоения практических навыков, так как решение
примеров и задач — один из наиболее эффективных спо-
способов оценки уровня знаний.
Настоящее пособие рекомендуется в основном для
контроля текущей успеваемости студентов, оно обобщает
многолетний опыт авторов по активизации самостоятель-
самостоятельной работы студентов машиностроительных специальнос-
специальностей. Б 1978 г. издательством Тульского политехнического
института был выпушен первый подобный сборник, со-
содержавший 400 задач, в создании которого участвовал
ряд преподавателей Брянского института транспортного
машиностроения, в том числе п авторы этого пособия.
Сборник был рассчитан на технические средства конт-
контроля, основанные на так называемом выборочном мето-
методе, т. е. содержал наряду с верными ответами и неверные.
Предлагаемый задачник снабжен лишь правильными
ответами и содержит 817 задач (нз старого сборник*
взято всего 67, принадчежащн.х авторам этого сборника,
а остальные задачи составлены заново по всем разделам
курса, в том числе: по статике— 176, кинематике — 221,
динамике — 420). Характерная особенность большинства
заданий — несложность математических выкладок, что
позволяет использовать задачник для быстрого контроля
текущей успеваемости в любой форме, ' как машинной,
так и безмашинной.
Многие современные технические средства контроля
не имеют возможности ввода свободно сконструирован-
сконструированного ответа, т. е. основаны на выборочном методе. Этот
1* 3

недостаток, вероятно, со временем будет устранен, по в
настоящем, иа наш взгляд, не должен все же являться
причиной отказа от применения подобных средств. Если
используемые на кафедрах технические средства именно
таковы, то преподаватели легко могут добавить к ука-
указанным в задачнике правильным ответам дополнительные
ответы, тщательно избегая случайных и бессмысленных,
ограничивая неверные ответы лишь типичными, наблю-
наблюдаемыми в работе студентов ошибками.
Авторы пособия ставили своей целью, сохраняя зна-
значение сборника И. В. Мещерского и других известных за-
задачников и не подменяя и не дублируя их, создать сборник
упражнений, предназначенный главным образом для
контроля и активизации самостоятельной работы сту-
студентов.
Задачи, помещенные в пособии, могут быть использо-
использованы и для аудиторных письменных контрольных работ,
а задачи с усложненными решениями — на олимпиадах
по теоретической механике. Для контроля можно исполь-
использовать и усложненные задачи, но при этом имеет смысл
не требовать от студентов полного решения, а предлагать
им определять лишь некоторые отдельные элементы. На-
Например, в задаче 70 можно ограничиться нахождением
лишь величины МАх или RAz и т. д., т. е. как бы разбивать
задачу на несколько отдельных примеров.
В составлении задач по всем разделам участвовал
каждый из авторов, а общее редактирование осуществле-
осуществлено А. С. Кельзоном.
Авторы задачника искрение благодарят профессоров
Н. В. Бутенина и В. Н. Карабана, а также коллектив ка-
кафедры теоретической механики Харьковского политехни-
политехнического института им. В. И. Ленина за ценные указания
н советы, сделанные ими при рецензировании и позволив-
позволившие улучшить сборник.
Авторы с признательностью примут отзывы, пожела-
пожелания и критические замечания читателей по содержанию
задачника, которые просят направлять по адресу:
101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул., 29/14, издатель-
издательство «Высшая школа».
Авторы

СТАТИКА
СВЯЗИ И ИХ РЕАКЦИИ
I. На рисунке а) изображены стержневые схемы че-
четырех опор: цилиндрической шарнирно-иеподвпжной, ци-
цилиндрической шарнирно-подвижнои, сферической шар-
шфно-неподвижной и жесткой заделки. Указать, какая
схема какую опору отображает (на рис. б) показаны
сами опоры).
а)
2)
У///////////У/.
1 )
у/}////////////.
К
51
'/.■y/,y////A
'й 1
////////////А
задаче 1
2. Определ!!ть, в каком случае возможно равновесие
балки АВ, загруженной силой F. Весом балки и трени-
трением пренебречь.
К задаче I

3. На невесомую трехшариирпую арку действует го-
горизонтальная сила F. Указать линию действия реак-
реакции RA.
К задаче 4
К задаче 3
К задаче 5
4. Показать реактивные
силу и момент жесткой за-
заделки, если балка АВ на-
нагружена вертикальной си-
силой F.
5. Указать линию дей-
действия реакции Ro, прене-
пренебрегая весом конструкции и опорного стержня ВС. Эле-
Элемент АВ конструкции и центр шарнира С лежат на од-
одной прямой.
СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
6. Определить величину проекции силы F на ось Ох,
если F= 100 Н.
7. Определить модуль равнодействующей двух сил
?i и F2, модули которых соответственно равны 6 н 10 Н.
■60"
К задаче 6
К задаче 7
К задаче 9
8. Какой угол <г образуют друг с другом две прило-
приложенные в одной точке силы, модули которых равны 5 и
16 Н, если модуль н.х равнодействующей равен 19 Н?

8. Найти модуль равнодействующей R плоской систе-
системы сходящихся сил F;, F2 и Fs, если F. = ,r3=2H, F-2=*
=2^2~H.
10. Найти модуль равнодействующей сне г ом-v. четырех
сходящихся сил, приложенных в точке О куба. Силы Fx
и f4 направлены вдоль ребер куба, силы F* и F?, — вдоль
диагоналей соответственно задней и нижней граней. Мо-
Модули сил равны fi==/74=2H, f2=f3=2}/'2H.
К задаче 10
К задаче 11
К задаче 12
П. По какому направлению должна действовать си-
сила, уравновешивающая данную систему сходящихся сил
Fu F2 и F3, модули и направления которых определяют-
определяются соответственно ребром ОС и диагоналями ОВ и OD
куба?
12. Определить проекцию силы Z7 на ось Ох, если /г=
= 200 Н, вектор F наклонен к плоскости хОу под углом
а=60°, а его проекция FXy на эту плоскость составляет
угол р=60° с осью Ох.
13. Проекция силы F на ось Oz равна 60 Н, а с осями
Ох и Оу сила составляет углы соответственно 45° и 60°.
Определить модуль силы. _
14. Вдоль большой диагонали куба действует сила F,
модуль которой равен 6 Н. Определить проекцию этой
силы на ось Ох.
15. Однородный брус АВ длины / и веса Р шарнирно
крепится на конце А и свободно опирается на цилиндр
радиусом г в точке К, образуя угол а с горизонтом. Пре-
Пренебрегая трением, указать, чему равен момент реакции
RA относительно точки D пересечения линии действия
силы тяжести Р и радиальной прямой О К, Трением пре-
пренебречь.

16. Сохраняя условие задачи 15, определить величи-
величину угла р между реакцией RA и брусом, если а ==30°,
/= 1,46г.
К задаче 14
К задачам 15, 16
17. Определить реакцию RA опоры А невесомой трех-
шарнирной арки, если F = 10 кН.
a i о
F
в А
К задаче 17
К задаче 18
18. Невесомая трехшарнирная арка нагружена гори-
горизонтальной силой F = 1O кН. Определить момент реакции
Re относительно точки С, если а = \ м.
19. Однородный стержень АВ веса 8 Н оказывает на
гладкую вертикальную стенку CD давление, равное 6 Н.
Определить реакцию шарнира А.
D
К задаче 19
К задаче 20

20. Кронштейн, удерживающий груз веса Р в верти-
вертикальной плоскости, составлен нз невесомых стержней
АВ и ВС. Определить усилие 5 в стержне АВ.
21. Определить вес груза Р, обеспечивающего равно-
равновесие диска весом G в заданном положении, если Е —
идеальный блок, а АВ — невесомый стержень.
К задаче 21
К задаче 22
22. Плоская стержневая конструкция формы квадра-
квадрата ABCD удерживает груз веса Р, подвешенный нитью к
узлу D. Пренебрегая весом стержней и нити, определить
усилие в стержне 5.
23. Определить угол наклона а реакции RA к оси не-
невесомой балки АВ, нагруженной силой /г=6 кН.
К задаче 23
К задаче 24
24. Пренебрегая весом блоков к трением, определить
вес Р груза 3 при равновесии системы, если вес грузов
1 и 2 соответственно равен Pi = 20 кН, Р2=40 кН.
25. Тяжелая однородная балка ВС удерживается в
равновесии в горизонтальном положении с помощью не-
невесомого стержня АВ, изогнутого по дуге окружности
радиуса г, и шарнирнс-неподвижкой опоры С. Определить
соотношение реакции шарниров В и С, если ВС=2г.
26. Груз Р равномерно поднимается лебедкой с по-
помощью троса, переброшенного через неподвижный блок

!, который закреплен в вершине трехстержневого крон-
кронштейна ABCD. Пренебрегая массой блока и трением и не
учитывая веса опорных стержней и троса, определить вес
Р, если с помощью датчика установлено, что усилие в
■-■тержне 3 равно 3 кН, а = р=60°, у = 30°.
К задаче 25
К задачам 26, 27
27. Сохраняя условие предыдущей задачи и учитывая
найденный вес Р, определить усилие в стержне 1.
28. Грузы P=3U0H и Q=600H подвешены на ве-
веревках, прикрепленных к узлу А неподвижного трех-
стержневого кронштейна
ABCD. При этом веревка, на
которой подвешен груз Q, рас-
расположена в плоскости уОг и
переброшена через идеаль-
идеальный блок Е. Пренебрегая ве-
весом опорных стержней и вере-
веревок, определить угол <р накло-
наклона веревки АЕ к оси Оу, при
котором усилие в стержне 3
кронштейна равно нулю.
29. Сохраняя условие зада-
задачи 28 н полагая ф=60°, определить усилие Si в стерж-
стержне 1, если а=30°, р=60°.
ТЕОРИЯ ПАР СИЛ
30. На к>б действует пара сил (F, F'). Какой угол а
составляет ее вектор-момент М с осью О у?
31. На куб, ребро которого равно 1 м, действует па-
пара сил (F, F'), при этом F —F = 2 H. Определить модуль
момента этой пары.
К задачам 28, 29
10

32. Невесомое кольцо радиуса г находится под дейст-
действием пары сил с моментом М. Определить реакцию опо-
опоры А.
33. Невесомое кольцо находится под действием двух
пар сил, моменты которых соответственно равны М\ и Af2,
при этом М2>М1. Указать направление реакции опоры А.
Я—Ь
/ I
*P
К задачам 30, 31
К задаче 32
К задаче 33
34. Невесомая плоская конструкция находится в рав-
равновесии под действием пары сил с моментом М. Опреде-
Определить момент реакции ~RF относительно точки А, если
AB = BC=CD=DE, ABJ_BC. CD±DE.
35. Плоская конструкция, состоящая из невесомых
стержней АВ и CD, находится под действием пары сил
с моментом М, Определить направление реакцшг RA.
К задаче 34
К задаче 35
36. Определить модуль и направление опорной реак-
реакции Rb, если невесомый изогнутый стержень АСВ нахо-
находятся под действием двух пар сил, лежащих в плоскости
стержня, моменты которых соответственно равны М\ =
= 5Н-м, М2=20Н-м.
37. Указать направление опорной реакции RA, если
невесомая балка АВ находится под действием пары сил
с моментом М.
U

38. К невесомому стержню ABC приложена пара с
моментом М=ЮН-м, плоскость действия которой па-
параллельна плоскости xAz. Определить проекции вектора
л/, О
м
4
К задаче 36
г
К задаче 33
К задаче 39
реактивного момента пространст-
пространственной заделки А на оси координат.
39. Дана система трех пар сил,
действующих во взаимно перпенди-
перпендикулярных плоскостях. Моменты пар
численно равны Mj=2H-m; Л42=
= ЗН-м; Л43=6Н-м. Определить
момент результирующей пары.
40. В плоскостях I, II, III дейст-
„ 1в 40 вуют пары сил с моментами, соот-
эадаче ветственно равными М]=1Н-м;
Л'12=2Н-м; М3=1Н-м. Опреде-
Определить модуль момента М пары, эквивалентной заданной
системе пар, если плоскость I параллельна плоскости
III, а плоскость II перпендикулярна плоскости I.
ПРОИЗВОЛЬНАЯ СИСТЕМА СИЛ
41. К чему приводится система трех сил, приложен-
приложенных, к кубу?

42. На куб действует система трех сил. Укажите ре-
результаты приведения этой системы к вершине О. (В этой
задаче и последующих Мо означает главный момент си-
системы сил относительно центра О, R' — ее главный
вектор.)
К задачам 41, 42
К задаче 43
43. Вдоль ребер куба длиной 1 м приложена система
трех сил, соответственно равных F{=5H; F2=10H;
/^=8 Н. Указать результаты приведения этой системы
к вершине О.
44. К какому простейшему виду приводится произ-
произвольная система сил, если для трех точек О, А и В, ле-
лежащих на одной прямой, Мо=МА = Мв¥=0?
45. К какому простейшему виду приводится произ-
произвольная система сил, если для трех точек О, А и В, не
лежащих на одной прямой, Mo — MA=MB—0?
46. Условие задачи 45 при Мо—МА=0; Мв¥=О.
47. К каким простейшим видам может приводиться
произвольная система сил, если для трех точек О, А и В,
не лежащих на одной прямой, МофМАфМв и все три
главных момента не равны нулю?
К задачам 43. 49
48. На куб действуют силы, модули и направления ко-
которых определяются соответствующими ребрами куба.
В каком случае система сил приводится к равнодейст-
равнодействующей?
13

49. Условие задачи 48. В каком случае система сил
приводится к динамическому винту?
50. Известны главный вектор R' C; 0; 2 Н) и главный
момент Мг> {—4 Н-м; 6 Н-м; 6 Н-м) системы сил, при-
приложенных к твердому телу. К чему приводится система
сил?
51. Известны главный вектор R' @; 3; 4 Н) и глав-
главный момент Мо B; —1; 2 Н-м) системы сил, приложеп-
ш.;.к к твердому телу. К чему приводится система сил?
52. На куб действуют силы Fu F2, F3, при этом моду-
модули и направления сил Ft и F2 определяются соответствую-
соответствующими ребрами куба, a F5 — диагональю его передней
К задаче 52
К задаче 53
грани. К какому случаю приводится система сил, если за
центр приведения принять вершину О куба?
53. Условие задачи 52, рисунок к задаче 53.
54. На куб действуют силы, модули и направления
которых определяются соответствующими ребрами куба.
В каком случае система сил приводится к паре сил?
У
А4Л
/
1
/
1 ,
/
/
/
Z)A /
/
/
г
j
/
/
К задаче 54
55. Принимая за центр приведения системы сил нача-
начало декартовой системы координат, получили главный век-
вектор JR' D Н; 0; 0) и главный момент М„ @; ЗН-м; 0).
Определить модуль главного момента той же системы
cm относительно нового центра О| @; 0; 2 м).
56, Система сил относительно начала декартовой си-
системы координат приведена к главному вектору R' @;
н

3 H; 4 Н) и главному моменту Мо @; 0; 5 Н-м). Опреде-
Определить модуль наименьшего главного момента системы М*.
57. Система сил относительно начала декартовой си-
системы координат приведена к главному вектору R' @;
ЗН; 4 Н) и главному моменту Мо @; 0; 5 Н-м). Опре-
Определить параметр динамического винта.
58. Система сил относительно начала декартовой си-
системы координат приведена к главному вектору R' @;
3 Н; 4 Н) и главному моменту Мо @; 4 Н-м; 0). Опреде-
Определить угол ф между этими векторами.
59. В точке А (х=2 м; у=—1 м; г=2 м) системы
координат хОуг приложена сила F (Fx——1 Н; Fy—0;
Fz==—2Н). Определить момент этой силы относительно
оси Ох.
К задаче 62
К задаче 63
К задаче 64
60. Условие задачи 59. .Определить момент этой силы
относительно оси Оу.
61. В точке А B м; —1 м; 2 м) системы координат
хОуг приложена сила F (—1 Н; 0; 2 Н). Определить мо-
момент этой силы относительно оси Ог.
62. К кубу, ребро которого равно 1 м, приложена си-
сила F, направленная по диагонали правой боковой грани
куба. Определить момент этой силы относительно оси Ох,
если F—2 Н.
63. Вдоль большой диагонали куба, ребро которого
равно 1 м, действует сила F, модуль которой равен 6 Н.
Определить момент этой силы относительно оси Ох.
64. Какому условию должны удовлетворять модули
сил Z7] и F2, приложенных к кубу, чтобы он не вращался
вокруг оси Ох, если силы направлены, как показано на
рисунке?
65. К точке А тела приложены две силы F. п F2, рав-
равные по модулю ЮН. Определить главный момент этой

системы сил относительно оси О г, если FlJ_F2. AOJlOz,
Тг\\Ог,АО=1 м.
66. Как направлен вектор реактивного момента про-
пространственной заделки О невесомой плоской конструк-
конструкции, если на нее действует сила F, направленная парал-
параллельно оси Ох. Плоскость конструкции совпадает с ко-
координатной плоскостью zOy.
г
К задаче 69
67. Какой по модулю момент Му нужно приложить к
оси коленчатого вала, чтобы он находился в равновесии
при следующих данных: F=50H, Q = 100H, а = 10см,
F\\Oz, Qllbx?
68. Тяжелый параллелепипед, закрепленный с помо-
помощью шести стержней, находится в равновесии. Указать
стержни, усилия в которых равны нулю.
69. Сколько среди опорных стержней невесомой про-
Сфанствениой конструкции О ABC, нагруженной в узлг
С вертикальной силой F, нулевых?
16

70. На пространственную конструкцию, конец_которой
жестко заделан, действуют вертикальная сила F, пара с
моментом М в плоскости, параллельной координатной
плоскости уАг, и распределенная нагрузка в той же
пос кости интенсивности q, изменяющаяся по закону тре-
у:""."ьнпка. Пренебрегая весом конструкции, определить
:.".'мент МА и реакцию RA заделки.
з?да-1г 70
К задачам 72, 73
К задаче 74
71. Однородная плита веса Р, выполненная в виде
равностороннего треугольника, подперта тремя верти-
вертикальными стержнями одинаковой длины. Определить
усилие в стержне /, пренебрегая весом опорных стерж-
стержней.
72. Плита, выполненная в виде равностороннего тре-
треугольника со стороной а=1 м, находится в равновесия
под действием равномерно распределенной по всей пло-
площади плиты вертикальной нагрузки интенсивности q.
Плита подперта тремя вертикальными стержнями одина-
одинаковой длины. С помощью датчика установлено, что в
стержне / от заданной нагрузки возникает усилие S =
2—659
17

— 1 кН, Пренебрегая весом плиты и опорных стержней,
определить интенсивность нагрузки.
73. Полагая в условии задачи 72 с=2 м и q~
— 1^3 кН/м2, определить усилие в стержне 2.
74. Полукруглая крышка DBE радиуса R и веса Р=
=Зл{/ЗН удерживается в равновесии подпоркой АВ
длины R под углом ф=60° к
плоскости хОу. Подпорка рас-
расположена в плоскости гОу.
Определить усилие S в под-
подпорке, а также реакции в шар-
шарнирах D и Е,
75. Однородная плита ABC
веса Р=3 кН, выполненная в
виде равностороннего тре-
треугольника, удерживается в
равновесии в горизонтальном
положении шестью опорными
стержнями, при этом стержень
1 расположен в плоскости yOz и составляет угол а = 60°
с вертикалью. Определить усилие в стержне /, пренебре-
пренебрегая весом опорных стержней.
СИСТЕМА СИЛ, ПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ
НА ПЛОСКОСТИ
76. К твердому телу приложена система си а, модули
и направления которых определяются сторонами тре-
треугольника ABC. Установить, к чему приводится система.
К задаче 75
p
A
* °' »
L
V
a
\
К задаче 76
К задаче 77
77. На прямоугольник АВЕК действует система трех
численно равных друг другу сил F;, F2, ~Fs. Определить
линию действия и направление равнодействующей этой
системы.
78. К квадрату со стороной а приложена система
трех сил Fit F2, Fa, направленных, как показано на рк-
18

.\!;ке, к численно равных /7[=/гз=/7; Г'2=Р I''2- Най-
Найти координаты точки С пересечения с осью Оу линии
действия равнодействующей данной системы сил,
79. К квадрату со стороной а приложена система ше-
шести сил, направленных, как показано на рисунке, и чис-
.телио равных F{=f'2 = F3=F4—F; F5 = F6 = F}/2.
п\.йш координаты точки С пересечения с осью Ох линии
действия равнодействующей данной системы сил.
У
1
F;
г,
V. у
А
/
Я
i
т
К задаче 78
К задачам 79, 80
80. Сохраняя условие задачи 79, определить, какой
момент надо добавить к заданной па рисунке системе
сил, чтобы равнодействующая этой системы проходила
через начало координат.
81. В плоскости хОу в точке А (х, у) приложена си-
сила F под углом а к оси Ох. Определить момент этой
силы относительно начала координат О.
К задаче 81
А* \х «Ы
F D
К задаче 82
82. На прямоугольную пластину ABCD в ее плоско-
плоскости действует система четырех равных по модулю сил:
Fi = F2=F3=F4=l H. Определить момент равнодейст-
равнодействующей этой системы сил относительно вершины С пла-
пластины, если AB=AE=ED = l м; а=45°.
19

83. На каком из четырех рисунков показана стати-
статически неопределимая задача по исследованию равнове-
равновесия изображенной конструкции?
84. На каком из четырех рисунков показана статиче-
статически определимая задача но исследованию равновесия
К задаче 84
тяжелого однородного бруса Л В, подвешенного с по-
помощью невесомых прямолинейных стержней?
8-5. Установить степень v статической неопределимо-
неопределимости плоской конструкции, показанной на рисунке.
86. Условие задачи 85, рисунок к задаче 86.
87. Для трехшарнирной арки, нагруженной парой сил
с моментом М, определить реакцию Rb- Весом арки пре-
пренебречь.
20

. Невесомый стержень АВ длины 6 м опирается в
точке В на гладкую вертикальную стену. К стержню
приложена пара сил с моментом Л1 = 12Н-м. Опреде-
Определить реакцию опоры А.
89. В плоскости квадрата ABCD действуют сила
4 Н и пара сил с моментом М = 2Н-м. При какой
силе F2, также действующей в плоскости квадрата, он
не будет вращаться вокруг опоры Л?
г
VM. Ш/л
К задаче 86
и
К задаче 87
К задаче 88
К задаче 89
90. В плоскости квадрата ABCD действуют три пары
сил, моменты которых соответственно равны М\ =
==2Н-м, Л12=4Н-м, М3=—ЗН-м. Определить проек-
проекцию Fy силы F, направленной вдоль стороны CD, при
условии, что квадрат не вращается вокруг опоры А.
91. К вершине А невесомого равностороннего тре-
треугольника ABC подвешен груз Р. Определить минималь-
минимальную силу Q, приложенную к вершине С треугольника,
которая обеспечит его равновесие в показанном на ри-
рисунке положении, когда сторона АС горизонтальна.
92. Сохраняя условие задачи 91, определить угол а
наклона силы Qm\n к стороне АС.
93. Однородная прямоугольная пластина с соотноше-
соотношением сторон 1 : |/ подвешена в точке О и находится
в вертикальной плоскости. При каких значениях угла а
пластина может находиться в равновесии?

94. Определить усилия в невесомых стержнях / и 2,
удерживающих однородную балку ВС веса Р в горизон-
горизонтальном положении.
95. Однородная квадратная пластина ABDE веса Р
находится в равновесии в положении, при котором
ADJ_BE. Определить модуль и направление реакции
шарнира А.
96. Горизонтальная балка АВ прикреплена к стене
шарниром А и удерживается в равновесии тягой CD,
составляющей с балкой угол 30°. В точках С и D к бал-
К задаче 90
К задачам 91, 92
К задаче 93
ке подвешены грузы весом по 200 Н каждый. Пренебре-
Пренебрегая весом балки, определить усилие S в тяге.
97. Определить модуль и направление реакции опо-
1'Ы О невесомого блока при равновесии системы, если
Р — 2 кН, Q=4 кН, с: = 30°. Трением пренебречь.
9К На невесомую балку АВ длины 1 м действуют
рве папы сил с моментами jW, = 5H-m, Af2=I0H-M.
Определить проекцию RA,, реакции в шарнире А при
равновесии балки.
99. Балка ABC нагружена, как показано на рисунке.
Пренебрегая весом балки и трением, определить реак-
зпмо шарннрпо-подвпжной опоры А.
22

100. Определить реакцию шарннрно-подвижной опо-
опоры А, если рама находится под действием распределен-
распределенной нагрузки интенсивности ^==1 кН/м.
101. На невесомую балку АВ, изогнутую по дуге ок-
окружности радиуса г —2 м, действует равномерно рас-
К задаче 97
К задаче 99
,с в
К задаче 96
К задаче 98
К задача 100
пределенная радиальная нагрузка. Определить интен-
интенсивность q этой нагрузки, если опорная реакция /?i =
=200 Н.
102. Невесомая балка АВ находится под действием
радиальной равномерно распределенной нагрузки ин-
интенсивности *7=2Н/м. Определить реакцию опор А и
В балки, если а=90°.

103. На раму ABCD на участке CD действуют вер-
вертикально распределенная нагрузка, меняющаяся по за-
закону треугольника, и сила F в плоскости рамы. При ка-
каком значении интенсивности q нагрузки равновесие ра-
рамы не нарушится, если жесткую заделку А заменить
цилиндрическим шарниром?
Ч
К задаче 101
К задаче 102
"X.
К задаче 103
К задаче 104
С V
К зедече 105
104. На Г-образную раму ABC, конец А которой
жестко заделан, действует в плоскости рамы сила F.
Определить реакции заделки А. _
105. На раму ABCD в точке D действует сила F, ле-
лежащая в плоскости рамы. Определить реакции задел-
заделки ,4.
106. Шар веса Р, опирающийся в точке D на шеро-
шероховатую горизонтальную стену, удерживается в равно-
равновесии с помощью невесомого стержня АВ, составляю-
составляющего со стеной угол а. Определить усилие S в стержне.
107. К кривошипу 0.4 кривошиппо-ползунного меха-
механизма приложен момент Л1 = 30Н-см, О/4 = 10 см,
АВ=20 см. Определить модуль горизонтальной силы F,
которую нужно приложить к ползуну В, чтобы меха-
механизм, находящийся в горизонтальной плоскости, сохра-
24

:-ял равновесие в показанном положении, когда OA.LAB.
Трением пренебречь.
108. Сохраняя условие задачи 107, определить дав-
давление N ползуна В на его направляющие.
109. Сохраняя условие задачи 107, определить реак-
реакцию в шарнире А.
в
К задаче 106
7?Ш
К задачам 107, 108, 109
К задаче 110
К задаче 111
110. Указать размер, который не требуется при оп-
определении опорных реакций в стержнях /, 2 и 3, удер-
удерживающих в равновесии невесомую прямоугольную
плиту под действием горизонтальной силы F.
111. Какой угол не требуется знать при определении
усилий в опорных стержнях, удерживающих в равнове-
равновесии невесомую треугольную плиту под действием момен-
момента Ж?
112. Определить реакцию опоры D плоской невесо-
невесомой конструкции, нагруженной парой сил с моментом
М, если AC=CB = CD = a.
ИЗ. Определить реакцию опоры D плоской невесомой
конструкции, нагруженной вертикальной силой F, если
а=45°, AC=CB CD
25

114. Условие задачи 113, рисунок к задаче 114, если
CB C
115. На невесомую плоскую составную конструкцию
действует вертикальная сила F, приложенная в точке В.
Определить реакцию шарнира D, если известно, что г —
= 100 Н, AC=CB=AD=l м.
3)
м
■z
К задаче 112
F
К задаче 1 И
К задаче 116
Al
К задаче 113
А.. С в
F
К задача j 15
« а
\
о "%
а
В\
F
X
К задачам 117, 118
116. На невесомую плоскую составную конструкцию
действует пара сил с моментом М=\0Н-м. Определить
реакцию шарнира Л, если AC=CB=AD—\ м.
117. Трехшарнирная арка находится под действием
вертикальной равномерно распределенной нагрузки ин-
интенсивности с; = \ кН/м и горизонтальной силы /"=
= 3 кН. Пренебрегая весом арки, определить реакцию
Ru если а=2 ы.
118. Сохраняя условие задачи 117, определить реак-
цаю Rs-

119. Конструкция состоит из балок АВ и CD одина-
одинаковой длины 1=1 м. Равновесие конструкции в пока-
показанном положении обеспечивается шарнирно-неподвиж-
ными опорами Л и С и вертикальным невесомым стерж-
стержнем ЕК, при этом CE=ED. Пренебрегая весом балок и
трением, определить реакцию Re от действия вертикаль-
"С "%" х
К задачам 119, 120
К задачам 121, 122
ной равномерно распределенной нагрузки интенсивно-
интенсивности q = V2 кН/м.
120. Сохраняя условие задачи 119, определить уси-
усилие S в стержне ЕК.
121. Изменив в задаче 119 положение опорного
стержня ЕК с вертикального на горизонтальное (рису-
(рисунок к задаче 121) и сохранив все остальные данные,
определить реакцию Rc.
122. Сохраняя условие задачи 121, определить усилие
в стержне ЕК.
К задаче 124
123. На горизонтальную балку АВ длины / действу-
действуют распределенная вертикальная нагрузка, меняющаяся
по закону треугольника с основанием .-,', и момент М—
= qPi%. Определить реакции жесткой заделки А.
124. На прямоугольную пластину ABCD в ее плоско-
плоскости действует система трех параллельных сил, причем
/7< = /72=1Н, f3—2H. Каково отношение площадей, iia
которые делит пластину линия действия равиодействук,-
шей этой системы?
27

125. Однородная балка АВ веса G—10 кН, несущая
груз Q=4 кН, удерживается в горизонтальном положе-
положении двумя невесомыми вертикальными стержнями / и 2.
Определить усилия в этих стержнях.
К задаче 125
К задаче 126 К задачам 127, 128
126. Система грузов находится в равновесии. Опре-
Определить вес груза Q, если Р—2 кН- Весом блоков и тре-
трением пренебречь.
127. Два груза С и D веса Р каждый с помощью не-
невесомых блоков одинакового радиуса, веревок и балки
АВ приведены в состояние равновесия, причем балка
горизонтальна. Определить усилие в ветви / веревки,
если все ветви вертикальны, а ось блока с неподвиж-
К задаче 129
Р=20ОН
К задаче 130
кь.-\1 центром и точка подвеса груза D лежат па одной
вертикали.
128. Сохраняя условие задачи 127, определить соот-
соотношение усилий в четырех ветвях веревок, обозначенных
ил рисунке цифрами.
129. Консольная балка находится вод действием вер-
чкл.члыюй равномерно распределенной нагрузки интен-

сивности q, вертикальной сосредоточенной силы Р и па-
пары сил (F, F'). Как изменятся реактивные сила и мо-
момент RA и Ма в жесткой заделке А, если с балки снять
пару сил (F, F'}?
130. Невесомая балка АВ с грузами Р и Q находит-
находится в равновесии в положении, показанном на рисунке.
На какое расстояние s нуж-
нужно передвинуть груз Р впра-
вправо, чтобы равновесие не на-
нарушилось при увеличении
груза Q на 20 Н?
131. Трехопориая балка
ABC находится под дейст-
действием вертикальной равно-
равномерно распределенной па-
грузки неизвестной интен-
интенсивности q. С помощью датчиков установлены реакции
в опорах А и С: УА=200Н, Ус=100Н. Пренебрегая ве-
весом балки, определить интенсивность q нагрузки.
132. Сохраняя условие задачи 131, определить реак-
реакцию опоры В.
К задачам 131, 132
ФЕРМЫ
133. Определить усилие в стержне 6 стержневой кон-
конструкции, нагруженной одинаковыми по модулю сила-
силами F, которые направлены по одной прямой.
К задаче 133
К задвче 134
134. Сколько стержней фермы, удерживающей груз
Р, испытывает сжимающие нагрузки?
135. Определить усилия в стержнях 2, 4, 5 и 6 фермы,
нагруженной в узле С силой F, которая составляет с
вертикалью угол 30°.
29

136. Для фермы, заданной в задаче 135, указать
стержни, усилия в которых равны нулю.
137. Для фермы, заданной в задаче 135, указать, как
нужно направить силу F, приложенную в узле С, чтобы
все стержни, кроме стержней 3 и 7, были пулевыми.
138. Определить реакцию опоры В, если сила F дей-
действует вдоль стержня АС фермы.
а в з ? с
К задачам 135, 136, 137
6
К задаче 142
К задаче 143
139. Ферма нагружена в узле С горизонтальной си-
силой F. Какое утверждение об усилии S в соответствую-
соответствующем стержне фермы неверно? 1) Si>0; 2) S8=0;
3) S5=0; 4) S4>0.
140. Указать нулевые стержни фермы, нагруженной,
KdK показано на рисунке, вертикальной силой Р.
30

14). В каких стержнях фермы, показанной на ри-
рисунке, усилия равны нулю, если приложенная к ферме
сила F действует вдочь АВ?
142. Указать количество п нулевых стержней фермы,
нагруженной вертикальней
силой Р.
143. Определить усклве
в стержне 1 фермы, нагру-
нагруженной вертикальней си-
силой Р.
144. Определить усилие
в стержне 4 фермы, нагру-
нагруженной вертикальной си-
силой Р. К задачам 144, 145
К задаче 146
145. Сохраняя условие задачи 144, определить усилие
б стержне 5 фермы.
146. Указать, какая из ферм является статически не-
неопределимой.
РАВНОВЕСИЕ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ
147. Тело весом Р находится в равновесии на шеро-
шероховатой наклонной плоскости с углом наклона а = 30°.
Определить коэффициент трепня скольжения.
148. Однородная пластина ABC, выполненная в фор-
форме равностороннего треугольника, опирается вершиной
А на гладкую вертикальную стену, а вершиной В — на
шероховатую горизонтальную плоскость. Каким должно
быть минимальное значение коэффициента трепня сколь-
скольжения /min в контактной точке В, чтобы при равновесии
пластины ее сторона ВС была вертикальна?
149. Однородная балка АВ длины 2/ и веса Р опи-
опирается в точке А г:а гладкую горизонтальную стену, а в
точке В—на шероховатую горизонтальную плоскость.
31

Каким должно быть значение минимального коэффи-
коэффициента трения скольжения /„,,-,. в контактной точке В,
чтобы балка оставалась в покое, составляя угол а=45°
с горизонтальной плоскостью?
150. Определить минимальный коэффициент трения
скольжения в контактной точке D однородной прямо-
К задаче 147
К задаче 148
К задаче 149
угольной пластины ABED и горизонтальной плоскости,
если в точке Л пластина опирается на вертикальную
гладкую стену и в положении равновесия диагональ АЕ
пластины горизонтальна. АВ=\ м; ВЕ=2 м.
151. Однородный призматический стержень АВ веса
Р находится в равновесии на наклонной шероховатой
плоскости с углом наклона а к горизонту. Определять
1
W///////.///////////7///////.
К задаче 150
К задаче 151
продольную силу S в среднем поперечном сечении стерж-
стержня, если коэффициент трения скольжения между стерж-
стержнем и плоскостью равен /.
152, Найти наибольший угол ее, при котором тело М
не будет соскальзывать со сферической поверхности,
если коэффициент трепня скольжения равен /. Разме-
Размерами тела пренебречь.
153. Определить наименьшее значение веса груза Q,
iijiit котором шарик веса Р будет оставаться в равнове-

сии в наинизшей точке В, если коэффициент трения
скольжения между шарниром и сферической опорной
поверхностью равен /. Массой блока А и трением на
блоке пренебречь.
154. Каков должен быть минимальный коэффициент
трения скольжения / в месте контакта однородной ква-
квадратной пластины веса Р с вертикальной стеной Л"Л\
если пластина в заданном положении находится в рав-
М
К задаче 152
К задаче 153
К задаче 154
К задаче 155
новеет;? BEJ_AD; BE\\NN. Весом стержня ВО прене-
пренебречь.
155. Однородная балка АВ длины / и веса Р лежит
на шероховатой горизонтальной плоскости. Какой по
модулю момент М способен вызвать вращение балки
вокруг оси Ог, перпендикулярной опорной плоскости и
проходящей через центр О балки, если давление балки
на плоскость распределено равномерно, а коэффициент
трения скольжения о плоскость равен /?
156. Однородный сплошной диск радиуса R и веса Р
лежит на шероховатой горизонтальной плоскости. Ка-
Какой по модулю момент М способен вызвать вращение дис-
диска вокруг оси Ог, перпендикулярной плоскости диска и
проходящей через его центр О, если давление диска на
опорную плоскость распределено равномерно, а коэф-
коэффициент трения скольжения о плоскость равен [?
3—659
33

157. Однородный цилиндр веса Р и радиуса основа-
основания R равномерно катится вверх по шероховатой на-
наклонной плоскости под действием силы F, приложен-
приложенной, как показано на рисунке. Определить силу F, если
коэффициент трения качения равен к.
158. Определить наименьший момент Мт1п, который
нужно приложить к звену ОА, чтобы из положения, по-
показанного на рисунке, покатить цилиндрический каток
V///////////////////////
К задаче 156
К задаче 157
У//////7////////,
К задаче 158
К задаче 159
веса Р=4 Н и радиуса г=8,1 мм, если коэффициент
трения качения между катком и горизонтальной опор-
опорной плоскостью £=0,01 см, О/4=Л£=Ю V~2 см. Ве-
Весом звеньев ОА и АВ и трепнем в шарнирах пренебречь.
159. Какой момент М нужно приложить к стержню
ОА, чтобы из положения, показанного на рисунке, сдви-
сдвинуть вправо призму BCDE высоты /г=0,1 м и веса Р=
= 10Н, если коэффициент трения скольжения между
призмой и опорной горизонтальной плоскостью f=0,1?
Весом стержня О А и трением в контактной точке В пре-
пренебречь.
160. Какой момент М нужно приложить к стержню
О А, чтобы из положения, показанного на рисунке, сдви-
сдвинуть вправо полудиск радиуса R и веса Р, если коэффи-
коэффициент трения скольжения между полудиском и опорной
34

горизонтальной плоскостью /=0,5? Весом стержня ОА
и трением в контактной точке В пренебречь,
161. Определить соотношение между максимальными
значениями горизонтальных сил F и Q, приложенных к
одному и тому же тяжелому брусу, при которых брус
будет оставаться в равновесии непосредственно на ше-
шероховатой горизонтальной плоскости и на двух опорных
^///////////////////////уУУр.
ТУ
К задаче 160
К задаче 161
катках. Соответствующие коэффициенты трения сколь-
скольжения и качения составляют /=0,1 и /г=0,005 см, ра-
радиус каждого катка г=5 см. Весом катков и попереч-
поперечными размерами бруса пренебречь.
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
162. Определить ординату ус центра тяжести равно-
равностороннего треугольника, составленного из однородных
стержней длины /.
/
f
к
л
X
задаче 162
У
7
к
4^
задаче
В
R
■•*—
163
D
163. Определить координаты центра тяжести одно-
однородного линейного контура OABD, составленного из по-
полуокружности ОАВ радиуса R и прямолинейного от-
отрезка BD длины R.
164. Определить ординату ус центра тяжести тонкой
однородной проволоки ОАВ, изогнутой в плоскости хОу
под углом о;.
3* 35

165. Определить абсциссу хс центра тяжести одно-
однородного линейного контура ABDE, лежащего в плоско-
плоскости хОу.
166. Определить абсциссу хс центра тяжести полу-
полукруга, диаметр ОА которого наклонен к оси Ох под уг-
углом 45°, а радиус R = 3 см.
ЗД-
1 л-
А
90'
9D
L
Ч
D
у
У
В
СМ
D
К задаче 164
К задаче 165
К задаче 168
К задаче 169
К задаче 170
167. Определить статический момент площади тон-
тонкой треугольной пластинки относительно оси Су.
168. Определить статический момент площади полу-
полукруга радиуса R относительно оси Ох.
169. Определить статический момент относительно
оси Ох плоской фигуры, составленной из квадрата со
стороной а и полукруга радиуса а/2.
36

170. Определить статический момент пластины, име-
имеющей форму равностороннего треугольника со стороной
/, относительно оси Ох.
171. Определить статический момент относительно
оси Oij площади ABDE, оставшейся после удаления из
равностороннего АОАВ со стороной а равностороннего
A0ED со стороной а/2.
0
V I
К задачам 171, 172
В z
К задаче 173
172. Сохраняя условие задачи 171, определить ста-
статический момент площади ABDE относительно оси Ох.
173. Определить координаты центра тяжести одно-
однородного линейного контура, составленного из полуок-
полуокружности ODB радиуса R, полуокружности ОКА радиу-
радиуса r=R/2 и прямолинейного отрезка АВ длины R.
Ъ
К задаче 174
174. Определить положение центра тяжести фермы,
составленной из однородных стержней одинаковой плот-
плотности.
175. Определить реактивный момент жесткой задел-
заделки плоской однородной конструкции веса Р, если АВ =
= BE=2ED = l.
176. Определить момент горизонтальной силы F от-
относительно центра тяжести плоской однородной конст-
конструкции, если AB~BD = t; DE=l/2.
37

КИНЕМАТИКА
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
177, Однородный стержень АВ движется в верти-
вертикальной плоскости Оху так, что его концы скользят по
сторонам прямого угла. Установить вид траектории цент-
центра тяжести стержня.
178. Ползуны А я В двухползунного механизма дви-
движутся соответственно по осям Ох и Оу. Установить вид
траектории точки М звена АВ механизма, если АМФ
ФМВ.
ОШУ/Шв
К задаче 17/
К задаче 178
179. Движение точки задано уравнениями х—
==bsinA/, y — bcoskt (b и k — постоянные величины).
Установить вид траектории точки.
180. Движение точки задано уравнениями # =
= bsin&/, y = ccos>kt F, с и k — постоянные величины
и Ьфс). Установить вид траектории точки.
181. Движение точки задано векторным уравнением
7==A—t)i^\-(t—1)/. Определить закон движения точки
по траектории s=s(/), отсчитывая дуговую координату
s от начального положения точки.
182. Движение точки задано уравнениями х=
=e'cos/, y=e'sin/, z—ef. Определить закон движения
s=s(t) точки по траектории, отсчитывая дуговую ко-
координату s от начального положения точки.
183. Точка движется по траектории в соответствии с
уравнением s — t2—4 (s — в метрах, / — в секундах).
Найти путь /7, пройденный точкой за первые 3 с с на-
начала движения.
184. Движение точки по траектории задано законом
s==f/3—Р—3^+4 (s — в метрах, / — в секундах). Опре-
Определить путь /7, пройденный точкой за t = 6 с.
38

185. Ломаная линия ОАВ изображает график изме-
изменения скорости точки v=v(t). Определить путь П,
пройденный точкой за ^=60 мин.
186. При движении точки ее скорость меняется со-
согласно закону v=2t—1. Определить закон движения
точки по траектории, отсчитывая дуговую координату s
от начального положения точки.
v, км/ч
60t,MUH
К задаче 185
t,
1)
t, U t
t, U t
t, tz t
t, tz t
К задаче 188
187. Точка движется по некоторой траектории со
скоростью v=4t (v — в метрах в секунду, t — в секун-
секундах). Указать закон движения точки, если при /=0
So=2 м.
188. Для заданного на рисунке графика изменения
дуговой координаты s=s(t), движущейся по траектории
точки, указать график изменения ее скорости v = v(t).
189. Условие задачи 188, рисунки к задаче 189.
190. Движение точки задано векторным уравнением
г = Ы
■ ill- (b и с—постоянные векторы). Определить
модуль вектора скорости точки.
191. Точка движется по некоторой траектории со-
гласно закону s = ;—|- t2(s — в метрах, t — в се-
секундах). Определить момент времени t\, когда скорость
точки приобретает наибольшее значение.

192. Сохранив условие задачи 191, определить наи-
наибольшее значение скорости точки.
193. Точка движется по некоторой траектории со-
согласно закону s = bte~kt (b и k — постоянные величи-
величины). Определить начальную скорость точки vo.
194. Движение точки в плоскости задано в поляр-
полярных координатах уравнениями r=sint, q>=2t (r —
в метрах, t — в секундах). Определить скорость точки в
момент времени t=n/2 с.
±г t
/ lt> t,t
К задаче 189
195. Движение точки в плоскости задано в полярных
координатах уравнениями r=e3t, ф=4/ (г — в метрах,
/ — в секундах). Определить скорость точки в функции
времени.
196. Движение точки в плоскости задано в полярных
координатах уравнениями r=sin/, q>=/ (г — в метрах,
/ — в секундах). Как движется точка по траектории?
197. Сохранив условие задачи 196, определить ради-
радиус кривизны траектории точки.
198. Движение точки задано векторным уравнением
r=(i — sin /) i-[- A—cos t)j (r — в метрах, t — в секун-
секундах). Определить касательное ускорение точки в момент
времени t=n с.
19S. Сохранив условие задачи 198, определить, какая
кривая является годографом вектора скорости точки.
200. Сохранив условие задачи 198, определить закон
движения точки по траектории, отсчитывая дуговую ко-
координату s от начального положения точки.
201. На рисунках а — г показаны скорость у, нор-
нормальное ап и касательное сГ% ускорения для различных
40

случаев движения точки М по окружности. Указать
случаи: 1) равномерного; 2) ускоренного; 3) замедлен-
замедленного движения точки; 4) какой рисунок не соответству-
соответствует условию задачи?
202. Точка движется прямолинейно согласно закону
s = be~kt (b и k — постоянные величины). Определить
начальное ускорение точки а0.
- 203. Точка движется по окружности радиуса R = l м
по закону s=P—3/ (s — в метрах, / — в секундах). Оп-
Определить ускорение точки в момент времени /=1 с
К задаче 201
204. Движение точки задано уравнениями х=
— bsinkt, y=bcos kt {b и k — постоянные величины).
Каковы нормальное ап и касательное ах ускорения
точки?
205. Движение точки задано уравнениями х—
= bsinkt2, y=bcoskt2 (b и k — постоянные величины).
Каково в этом случае касательное ускорение ах точки?
206. Сохранив условие задачи 205, указать, каково
нормальное ускорение ап точки.
207. По известным постоянным значениям нормаль-
нормального ~ап и касательного ах ускорений для случаев движе-
движения точки: а) а„=0, ах^=0; б) ап^=0, ах =0; в) а„^=0,
а ^=0; г) а„=0, ах =0 — указать случаи: 1) равнопере-
равнопеременного криволинейного; 2) равномерного криволиней-
криволинейного; 3) равномерного прямолинейного; 4) равнопере-
равнопеременного прямолинейного движений.
- 208. Точка движется по окружности радиуса R = \ м
по закону s=l2 — t (s — в метрах, / — в секундах). Оп-
Определить момент времени t\, когда касательное ускоре-
ускорение точки равно ее нормальному ускорению.
209. Точка М движется по окружности радиуса /? =
= 1 м из точки Мо согласно закону s=M0M=xt (s —
в метрах, t — в секундах), В какой первый после начала
движения момент времени ускорение точки направлено
вправо по горизонтали?
41

210. Сохранив условие задачи 209, указать первый
после начала движения момент времени, когда ускоре-
ускорение точки направлено вертикально вверх.
211. Движение точки задано уравнениями х=
— 3cos — /, y=3sin~t (x, у— в метрах, t — в секун-
О О
дах). Определить касательное ах и нормальное ап ус-
ускорения точки.
212. Движение груза В математического маятника
задано уравнением s=OS=s0cosp/ (s0 и р=|/Г£// —
И
К задачам 209, 210
К задаче 212
постоянные величины). Чему равно максимальное каса-
касательное ускорение с^ах груза В?
213. Сохранив условие задачи 212, определить мак-
максимальное нормальное ускорение с^ах груза S?
214. Прямолинейное движение точки задано уравне-
уравнением s = bcos(kt^-a) (b, k, a — постоянные величины).
Найти зависимость a=a(s) ускорения точки от коор-
координаты s.
215. Сохранив условие задачи 214, найти зависимость
v—v(s) скорости точки от координаты s.
216. При движении точки вдоль оси Ох ее скорость
является функцией координаты х v = v(x). Определить
ускорение точки.
' 217. Точка движется по окружности радиуса R =
=0,5 м с постоянным касательным ускорением ах =
=2 м/с2 из состояния покоя. Определить нормальное
ускорение ап точки в момент времени ^ = 1 с.
218. Точка равномерно движется по плоской траек-
траектории, радиус кривизны которой задан в функции вре-
времени р=/A—0,5/) (/ — в секундах). В какой момент
времени ускорение точки минимально?
42

* 219. Точка движется по окружности согласно закону
s=2t+l (s — в метрах, t — в секундах). Найти радиус
окружности, если ускорение точки а = \ м/с2.
ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА.
ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
220. В шестизвенном механизме к концу С звена 2
шарнирного параллелограмма ОАВО{ шарнирно при-
присоединен стержень CD, приводящий в движение ползун
5, Какие звенья механизма движутся поступательно?
К задаче 220
К задаче 221
О)
К задаче 224
221. Кузов / экипажа опирается в точках А и В на
рамы 2 тележек, которые шарнирно соединены с осями
колес 3 и 4. Колеса шарнирами С и D соединяются спар-
спарниками CD, причем OC|jOi£>. Какие изображенные на
рисунке элементы экипажа движутся поступательно,
когда он едет по прямолинейному участку пути?
222. Груз М приводится в движение веревкой ABD,
конец D которой движется с постоянной скоростью у.
Записать уравнение поступательного движения груза
вдоль оси Ох, приняв за начало отсчета начальное по-
положение груза, если 10 — начальная длина части верев-
веревки А0В, h — расстояние от верхней горизонтальной по-
поверхности груза до верхней точки В блока С.
43

223. Сохранив условие задачи 222, определить ско-
скорость vM движения груза М в функции угла а, образуе-
образуемого веревкой с горизонтальной плоскостью.
224. Определить скорость центра тяжести С ноку-
кольца радиуса R, вращающегося с угловой скоростью
ы = 1 рад/с вокруг горизонтальной оси, если R = \ м.
225. Вал DE вращается вокруг горизонтальной оси
по закону q>=2t (ф — в радианах, t — в секундах). Най-
Найти скорость точки А приваренного к валу стержня АВ
длины /=4 м. если АС=СВ и а=30°.
n
Ж
К задаче 225
К задаче 227
226. Диск, вращаясь равноускоренно из состояния
покоя, сделал 4,5 оборота за первые 3 с. Чему равно
угловое ускорение е диска?
227. Стержень ОА вращается вокруг горизонтальной
оси О. Указать правильное соотношение между скоро-
скоростями и ускорениями точек А и В стержня, если АВ =
2SO
228. Вал начинает вращаться вокруг неподвижной
оси из состояния покоя так, что его угловое ускорение
е = 3/ рад/с2. Определить угловую скорость со вала в мо-
момент времени /=4 с.
229. Сохранив условие задачи 228, определить закон
вращения вала, если при /=0 его угол поворота фО=О.
230. Пластина в виде полудиска радиуса R = l м
равномерно врашается вокруг вертикальной оси z с уг-
угловой скоростью со=1 рад/с. Найти ускорение центра
тяжести С пластины.
231. Тело вращается вокруг вертикальной оси z с уг-
жжой скоростью со и угловым ускорением е. Какие ри-
с\аки соответствуют замедленному вращению тела?
44

232. Сохранив условие задачи 231, указать, какие
рисунки соответствуют ускоренному вращению тела.
233. Диск радиуса /^=0,5 м вращается вокруг гори-
горизонтальной оси О. Известны ускорение точки В обода
диска ав=16 м/с2 и угол между ав и радиусом диска
fi=60°. Определить угловую скорость со и угловое ус-
ускорение е диска.
К задачам 231, 232
В
К задачам 233, 234
К задаче 235
К задаче 238
234. Сохранив условие задачи 233, указать направле-
направления со и е диска (направление против хода часовой
стрелки принято положительным, по ходу — отрицатель-
отрицательным).
235. Диск вращается вокруг горизонтальной оси О.
Известны скорость vB и ускорение ав точки В обода
диска. Указать направления угловой скорости со и угло-
углового ускорения е диска (направление против хода часо-
часовой стрелки принято положительным, по ходу — отри-
отрицательным).
238. Маховик радиуса R=l м вращается по закону
Ф=2/2 (ср — в радианах, / — в секундах). Определить
скорость точки обода маховика в момент времени, ког-
когда касательное ускорение точки равно ее нормальному
ускорению.
45

237. Сохранив условие задачи 236, определить, в ка-
какой момент времени угол между ускорением точки и ее
радиусом составит 45°.
238. Диск радиуса R вращается равномерно вокруг
оси О так, что за 1 с совершает 4 оборота. Чему равны
скорость и ускорение точки А обода диска?
239. Твердое тело вращается по закону ф=/3—3t2,
(ф — в радианах, t—в секундах). Определить, ускорен-
ускоренно или замедленно вращается тело в момент времени
/ !/
I 3)t
К задаче 245
240. Вращение твердого тела вокруг неподвижной
оси задано уравнением ф = 10/— 2t3 (ф— в радианах,
t — в секундах). Ускоренно или замедленно вращается
тело в момент времени /=1 с?
241. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси
по закону q>=27/ — /3 (ф — в радианах, / — в секундах).
Как будет вращаться тело?
242. Угловое ускорение тела определяется уравнени-
уравнением e=6t—Р (рад/с2). Определить его угловую скорость
в момент времени t=2 с, если начальная угловая ско-
скорость «о=0.
243. Маховик радиуса R = l м вращается по закону
Ф=/3 — З/2 (ф — в радианах, t — в секундах). Опреде-
Определить нормальное ускорение точки обода маховика в мо-
момент времени, когда касательное ускорение точки обра-
обращается в нуль.
244. Сохранив условие задачи 242, определить ско-
скорость точки обода маховика в момент времени, когда
касательное ускорение точки обращается в нуль.
245. Вращение твердого тела задано уравнением ф =
—2/3 — 3t2 (ф — в радианах, t — в секундах). Какой
46

рисунок правильно характеризует вращение тела в мо-
момент времени t=2k с?
246. Звено ОЛ шарнирного параллелограмма OABOi
вращается согласно закону ф=4<—t2 (ц> — в радианах,
t — в секундах). Определить модули и указать направ-
направления векторов:J) скорости vM; 2) касательного ам и
3) нормального а'и—ускорений точки М звена АВ ме-
механизма в момент времени /=1 с, если ОА=АМ —
=МВ=0,5 м и в данный момент времени звено ОА рас-
расположено вертикально.
м в
i/
К задаче 246
К задаче 247
К задаче 248
К задаче 249
247. Передача состоит из поступательно движущихся
реек 1 и 2 и ступенчатого зубчатого колеса, вращающе-
вращающегося вокруг неподвижной горизонтальной оси О. Ука-
Указать модуль и направление вектора скорости v2 рейки 2,
если скорость рейки / равна v\ и R=2r.
248. Диск радиуса i?=0,5 м приводится в движение
грузом Р, который опускается вниз по наклонной пло-
плоскости согласно закону x=2t (х — расстояние от груза
до места схода веревки с диска в метрах, t — в секун-
секундах). Определить ускорение точек обода диска.
249. Колесо / зубчатой передачи врашается по зако-
закону qn = 2/ (<р, — в радианах, t — в секундах) и приводит
47

в движение колесо 2. Найти ускорение точек обода вто-
второго колеса, если радиусы колес i?,=0,I м, /?2=0,05 м.
250. В механической передаче движение от колеса /
передается шкиву 2, а от него — бесконечным ремнем
шкиву 3. Пренебрегая скольжением ремня по шкивам,
определить угловую скорость соз шкива 3, если угловая
скорость колеса ) «1 = 10 рад/с и радиусы колес Ri =
=0,2 м; Я2=0,5 м, #з=0,25 м.
К задаче 250
К задаче 251
И
1
К задачам 252, 253
251. В механической пе-
передаче движение от колеса
/ передается колесу 3. Оп-
Определить угловую скорость
соз колеса 3, если угловая
скорость колеса / wi —
= 15 рад/с и числа зубьев
колес г, = 20, z2=50, z3=
= 25.
252. Груз Л. опускаясь
согласно закону x=tz—t (x — расстояние груза от мес-
места схода нити с поверхности вала в метрах, / — в секун-
секундах), приводит в движение ременную передач}'. Найти
угловое ускорение шкива 2, если радиусы шкивов Ri —
=0,5 м, R2=l м.
В
О)
К задаче 254

253. Сохранив условие задачи 252, найти ускорение
точки М обода шкива 2 в момент времени /=1 с.
254. В механизме движение от шестерни / переда-
передается шестернями 2, 3, 4 и 5 зубчатой рейке АВ. Опре-
Определить модуль и направление скорости рейки, если ац =
==2 рад/с и радиусы зубчатых колес #1 = #2=/?ч =
255. Механизм,
состоящий из бара-
барабана 6 и зубчатой
передачи, приводит-
приводится в движение коле-
колесом /. Определить
модуль и направле-
направление скорости и гру-
груза Р, если (oi =
= 4,5 рад/с И раДИу- К задаче 255
сы колес и барабана
равны: #,=#6=0,1 м, #2=#3=0,Зм, #4=0,15м, #5 =
=0,45 м. Колесо 4 жестко соединено с колесом 3, колесо
5 — с барабаном 6.
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
256. Колесо радиуса # = 1 м катится без скольжения
по прямолинейному рельсу, скорость его центра С по-
стояна и равна vc — 2 м/с. Определить скорость vA,
ускорение аА, нормальное апА и касательное а\ ускоре-
ускорения, радиус кривизны траектории рА точки А обода ко-
колеса, совпадающей в данный момент времени с левым
концом горизонтального диаметра.
257. Ползун А линейки эллипсографа движется с по-
постоянной скоростью и = 2 м/с. Определить в момент вре-
времени, когда угол наклона линейки к оси Ox q; = 45J,
ее угловое ускорение е, ускорение точки В, если ЛВ —
= 1 м, н указать, как движется в данный момент вре-
времени ползун В механизма. .;
258. Квадрат со стороной АВ—10 см движется в
плоскости чертежа. В данный момент времени извест-
известны ускорения его вершин А и В аА=20 см/с2, ав =
= 10 см/с2. Определить угловую скорость <в н угловое
ускорение е квадрата.
259. Кривошип ОА кривошипно-ползупного механиз-
механизма делает /г=60 об/мин. Определить скорость ползуна
В в момент времени, когда кривошип образует о осью
Ох угол ф=60°, если ОА=АВ=20 см.
4—659 49

260. Колесо радиуса R=l м катится без скольжения
по прямолинейному рельсу, при этом центр колеса С
имеет в данный момент времени скорость vc=2 м/с и
ускорение ас=4 м/с2. Определить скорость той точки
колеса, которая является в данный момент времени
мгновенным центром ускорений.
261. Сохранив условие задачи 260, определить уско-
ускорение точки колеса, совпадающей в данный момент вре-
времени с мгновенным центром скоростей.
У,
К задаче 259
К задачам 260, 261 К задаче 262
262. Квадрат со стороной АВ=\ см движется в сво-
своей плоскости. В данный момент времени ускорение его
вершины А равно ал=\^2 см/с2, угловая скорость и =
= 1 рад/с, угловое ускорение е = 0. Найти в этот момент
времени ускорение вершины В квадрата.
263. Квадрат со стороной АВ = \ см движется в
своей плоскости. Его угловая скорость изменяется по
закону «==/ рад/с. В момент времени /=1 с ускорение
точки А равно 2 см/с2. Определить в этот момент вре-
времени ускорение точки В квадрата.
264. Эпициклический механизм состоит из двух ко-
колес одинакового радиуса R: неподвижного / и подвиж-
подвижного 2, приводимого в движение кривошипом О А, кочо-
БО

рый вращается с угловой скоростью ы. С колесом 2
шарнирно связан шатун ВС, при этом ползун С переме-
перемещается в горизонтальных направляющих. Определить
скорость ползуна С в положении, показанном на рисун-
рисунке, когда шарнир В совпадает с наивысшей точкой ко-
колеса 2.
265. Механизм состоит из ползуна /, который дви-
движется со скоростью vA вдоль оси х—.V, шарнирно свя-
связанного с ним звена 2, элемент ЕК которого проходит
■У///////////////////,
К задаче 266
К задаче 267
через камень 3, вращающийся относительно неподвиж-
неподвижной горизонтальной оси С. Установить соотношение
между скоростями точек А и В механизма в положении,
когда АВ±АС, если АВ=АС и а=45°.
266. Кривошип ОА шарнирного четырехзвенника
вращается с угловой скоростью <вь Указать соотноше-
соотношение между угловыми скоростями юг и «3 звеньев АВ и
О\С механизма в положении, указанном на чертеже,
если в этом положении AOX_LAB.
267. В механизме движение от звена / с поршнем
передается ступенчатому зубчатому колесу 2, которое
катится без скольжения по горизонтальной плоскости и
4*
51

приводит в движение рейку 3, перемещающуюся в го-
горизонтальных направляющих. Определить модуль и на-
направление скорости с'3 рейки 3, если скорость поршня
равна V] и R=2 r.
268. В гидроцилиндре / подъемного механизма соз-
создается давление, обеспечивающее относительное пере-
перемещение со скоростью v поршня С звена 3, приводяще-
приводящего во вращательное движение вокруг горизнтальной оси
О2 звено 2. Определить скорость подъема груза в по-
положении механизма, изображенном на чертеже, если в
данный момент времени AOiA.OtO2, A.AOiO2=a,А
= О2В иАО2_1_ОВ.
со,
К задаче 268
К задаче 269
К задаче 270
269. Кривошип / механизма вращается с угловой
скоростью «1 и приводит в движение шарнирно связан-
связанное с ним звено 2, которое проходит через камень 3,
вращающийся относительно горизонтальной оси О\.
Указать соотношение между угловыми скоростями зве-
звеньев 1 и 2 механизма в положении, когда АОО;Л =90°.
270. Кривошип / механизма вращается с угловой
скоростью «1 и приводит в движение шарнирно связан-
связанное с ним звено 2, которое проходит через камень 3,
вращающийся относительно горизонтальной оси О{.
Определить скорость точки В звена 2 механизма в по-
положении, когда звенья 1 и 2 находятся на вертикаль-
вертикальной прямой, если «i = I рад/с, ОА = \ м, AB = OOi =
= 3 м.
271. В механизме движение от ползуна / передается
шарнирно связанному с ним звену 2, элемент DE кото-
которого проходит через камень 3, вращающийся относи-
относительно горизонтальной оси О. Определить угловую ско-
скорость звена 2 механизма в положении, когда ZJMO =
=45°, если vA=l м/с, АО= I м и DEA.AB.
52

272. Кривошип ОА кривошипно-ползунного механиз-
механизма вращается с постоянной угловой скоростью о. Ука-
Указать положение мгновенного центра ускорений шатуна
АВ механизма в положении, когда кривошип располо-
расположен вертикально,
273. Сохранив условие задачи 272, указать правиль-
правильное соотношение между ускорениями точек А и В ме-
механизма.
К задаче 271
К задачам 272, 273
К задаче 274
К задаче 275 К задачам 276, 277
274. Отрезок АВ движется в плоскости чертежа так,
что скорость его точки В всегда направлена по пря-
прямой ВС, образующей угол а=45° с горизонтальной
прямой. Чему равна скорость точки В, если в данный
момент времени скорость точки А равна vA и направ-
направлена перпендикулярно АВ?
275. Колесо катится без скольжения по прямолиней-
прямолинейному рельсу. Какая из точек колеса А, В, D, О имеет в
данный момент наименьшую скорость?
276. Кривошип ОА шарнирного четырехзвенника
OABOi вращается с угловой скоростью соЕ. Определить
угловую скорость со2 звена АВ в заданном положения
механизма.
277. Сохранив условие задачи 276, указать соотно-
соотношение между угловыми скоростями звеньев / и 3 в за-
заданном положении механизма.
53

278. Ползун А линейки эллипсографа движется с по-
постоянной скоростью v вдоль оси Ох. Указать соотноше-
соотношение между ускорениями точек В и С линейки АВ, если
АС^СВ.
279. В задаче 278 определить положение мгновенно-
мгновенного центра ускорений линейки АВ.
280. Кривошип ОА шарнирного четырехзвенника
OABOi вращается с угловой скоростью со8. Определить
угловую скорость со3 звена BOt в положении механиз-
К задачам 278, 279
К задачам 280, 281 К задачам 282, 283
ма, когда звенья ОА и АВ находятся на одной прямой.
281. Сохранив условие задачи 280, определить ско-
скорость точки В механизма, если OA—r, AB—l, ВО;—d.
282. Колесо катится без скольжения по прямолиней-
прямолинейному рельсу. Указать направление нормального ускоре-
ускорения некоторой точки А обода колеса, если В и Р —
точки, совпадающие с концами его вертикального диа-
диаметра, О — центр колеса.
283. Сохранив условие задачи 282, указать направ-
направление касательного ускорения точки А обода колеса.
284. Квадрат со стороной d совершает плоское дви-
движение. В данный момент времени известны его угловая
скорость со и скорость va точки А, направленная по
диагонали АВ. Определить скорость точки В квадрата.
285. Стержень ВС ^движется в плоскости чертежа.
Ускорения его концов ав и ас в данный момент перпен-
перпендикулярны ВС и направлены в противоположные сто-
стороны. Определить угловое ускорение е стержня.
286. Сохранив условие задачи 285, определить угло-
угловую скорость со стержня.
287. Квадрат со стороной d совершает плоское дви-
движение. В данный момент времени известны его угловая
скорость со, угловое ускорение е=0 и ускорение ав точ-
Б4

ки В, направленное по стороне ВС вниз. Определить
ускорение точки С квадрата.
288. Квадрат ABCD со стороной d совершает плос-
плоское движение. В данный момент времени известны ус-
ускорение ав точки В и его мгновенный центр ускорений,
совпадающий с точкой С квадрата. Определить уско-
ускорение aD точки D.
К задаче 288
К задаче 290
289. Кривошип ОА шарнирного четырехзвенника
BO вращается с угловой скоростью сог. Определить
угловую скорость со3 звена BOt в положении механиз-
механизма, когда ОА и OiB расположены вертикально, если
ОА=г, АВ = 1 и OiB=d.
290. Ползун А линейки эллипсографа движется со
скоростью ~гГа. Определить скорость ползуна В в поло-
положении линейки, когда /_ВАО=а.
291. Квадрат ABCD со стороной й совершает плос-
плоское движение. В данный момент времени известны его
угловая скорость со и скорость vA точки А, направлен-
направленная по стороне АВ. Определить скорость точки В квад-
квадрата.
292. Сохранив условие задачи 291, определить ско-
скорость точки D квадрата.
293. Квадрат ABCD со стороной d совершает плос-
плоское движение. В данный момент времени известны его
55

угловая скорость и=0, угловое ускорение е и ускоре-
ускорение аА точки А, направленное по стороне АВ. Опреде-
Определить ускорение точки D квадрата.
294. Сохранив условие задачи 293, определить уско-
ускорение точки В квадрата.
295. Стержень ВС движется в плоскости чертежа.
Ускорения его концов ав и ас в данный момент време-
времени перпендикулярны ВС и направлены в одну сторону.
в в
JO"
К задачам 291,292 К задачам 293, 294 К задаче 295
В
О
'■'///у///,
В
К задачам 296, 297
К задачам 298, 299
Определить угловое ускорение е отрезка, если ав>а,с.
296. Кривошип ОА кривошипно-ползунного механиз-
механизма вращается с постоянной угловой скоростью со; =
=6 рад/с. Определить угловое ускорение ег шатуна АВ
в положении механизма, когда кривошип и шатун на-
находятся на горизонтальной прямой, если О А=0,2 м,
Л£=0,6 м.
297. Сохранив условие задачи 296, определить угло-
угловую скорость к»2 шатуна АВ.
298. Отрезок ВС длины 0,5 м совершает плоское
движение. Ускорения его концов равны ав=4 м/с2,
ас = 2 м/с2 и направлены в данный- момент вдоль от-
отрезка. Определить угловую скорость со отрезка.
299. Сохранив условие задачи 298, определить угло-
угловое ускорение е отрезка.
300. Ползун В кривошипно-ползунного механизма
движется вдоль оси Ох с постоянной скоростью v=
=0,4 м/с. Определить угловое ускорение ег шатуна АВ
в положении механизма, когда кривошип ОА располо-
расположен вертикально, если ОЛ=0,2 м, /_ЛВО=30°.
56

301. Сохранив условие задачи 300, определить уско-
ускорение аА точки А механизма.
302. Сохранив условие задачи 300, определить угло-
угловое ускорение es кривошипа ОА механизма.
303. Кривошип ОА шарнирного четырехзвеиника
OABOt вращается с угловой скоростью cos = 2 рад/с.
Определить угловую скорость со3 звена BOt в положе-
положении механизма, когда кривошип ОА расположен верти-
вертикально, если ОЛ=0,2 м, BOt=0,4 м, ^£ЛО=45° и
звено ВО{ в заданном положении находится на прямой
г? х
К задачам 300, 301,302
а В х
К задаче 305
К задачам 303, 304
0,
К задачам 306,
307, 308
304. Сохранив условие задачи 303, определить угло-
угловую скорость к»2 звена АВ механизма.
305. Равносторонний /у ABC движется в плоскости
чертежа. В данный момент ускорения его вершии А и
В равны аА=ав и направлены по сторонам АС и ВС
треугольника. Указать направление ускорения точки D
стороны АВ, если AD=DB и сторона АВ расположена
горизонтально.
306. Квадрат ABCD со стороной 0,1 м движется в
плоскости чертежа. В данный момент времени ускоре-
ускорения его точек А и В равны аА = ав=0,2, м/с2 п направ-
направлены по стороне АВ, Определить угловую скорость со
квадрата.
57

307. Сохранив условие задачи 306, определить угло-
угловое ускорение е квадрата.
308.' Сохранив условие задачи 306, определить уско-
ускорение точки С квадрата.
309. Ползуны А и В двухползунного механизма дви-
движутся с равными по модулю vA = vB=v и противопо-
противоположными по направлению скоростями навстречу друг
другу вдоль оси Ох. Определить скорость Vc точки С
механизма, если АС = СВ и они образуют в данный мо-
момент времени с осью Ох угол а=45°.
К задаче 309
К задачам 310, 311 К задаче 312
310. В дифференциальном механизме кривошип ОА
вращается вокруг неподвижной оси О с угловой скоро-
скоростью @оа = 2 рад/с, колесо / — вокруг той же оси о уг-
угловой скоростью <»i=4 рад/с. Чему равна скорость точ-
точки С колеса 2, находящейся на верхнем конце диаметра,
совпадающего с кривошипом ОА, если радиусы ко-
колес Г;=г2=0,1 м? Кривошип и колесо / вращаются в
одном направлении.
311. Чему равна скорость точки С колеса 2 в задаче
310, если кривошип О А и колесо / вращаются в про-
противоположных направлениях?
312. В планетарном механизме колесо 2 приводится
в движение кривошипом ОА, вращающимся вокруг оси
О неподвижного колеса 1. Чему равна скорость точки
С колеса 2, находящейся на верхнем конце диаметра,
совпадающего с кривошипом ОА, если угловая скорость
кривошипа равна 2 рад/с и радиусы колес Г\—Г2 =
=0,1 м?
313. Колесо катится без скольжения по прямоли-
прямолинейному рельсу; скорость его центра С равна vc и по-
постоянна. Указать соотношение между ускорениями то-
точек А и В колеса, расположенными соответственно на
его горизонтальном и вертикальном диаметрах.

314. Ползун В линейкн эллипсографа АВ движется
вдоль оси Ох по закону x=\0t (л- — в сантиметрах,
t — в секундах). Определить угловую скорость © ли-
линейки в положении, когда она образует с осью Ох угол
30°, если АВ=20см.
315. Отрезок ВС движется в плоскости чертежа. Ус-
Ускорения его концов равны ас—2ав и направлены в
У\
К задаче 313 К задач-е 314
К задачам 317, 318
К задаче 319
данный момент по отрезку навстречу друг другу. Чему
равно ускорение точки D отрезка, если BD=BC/4?
316. Чему равно ускорение точки D отрезка в зада-
задаче 315, если BD=BC/3?
317. Кривошип ОА кривошипно-ползунного механиз-
механизма вращается с угловой скоростью coi. Определить ско-
скорость ползуна В в положении механизма, когда криво-
кривошип ОА расположен перпендикулярно шатуну АВ, если
О А—г и шатун образует с осью Ох угол 30°.
318. Сохранив условие задачи 317, определить угло-
угловую скорость со2 шатуна АВ в заданном положении ме-
механизма.
319. Кривошип ОА механизма эллипсографа враща-
вращается вокруг горизонтальной оси О с постоянной угловой
скоростью к»!. Определить положение мгновенного цент-
центра ускорений линейки СВ, если ОА=АС=АВ.
320. Кривошип ОА кривошипно-ползунного механиз-
механизма вращается с постоянной угловой скоростью coi# Где

находится мгновенный центр ускорений шатуна АВ в
положении механизма, когда кривошип и шатун нахо-
находится на горизонтальной прямой, если OA—AB = OD?
321. Плоский механизм состоит из трех одинаковых
по размерам зубчатых колес /, 2 и 3, из которых колесо
/ неподвижно, а колеса 2 и 3 при-
приводятся в движение кривошипом
ОА, вращающимся с постоянной
угловой скоростью си. Указать соот-
соотношение между скоростями точек
В и С колеса 3.
322. Сохранив условие задачи
321, указать соотношение между ус-
ускорениями точек В и D колеса 3.
О
D
В
'///////л
К задаче 320
К задачам 323, 324, 325
К задачам 321, 322
323. Колесо радиуса R ка-
катится без скольжения по
горизонтальной плоскости,
при этом центр колеса имеет
постоянную скорость v. С ко-
колесом шарнирно связан стер-
стержень АВ длины 1>2R, второй
конец которого скользит по той
лее плоскости. Определить уг-
угловое ускорение стержня в по-
положении, показанном на рисунке, когда шарнир В сов-
совпадает с наивысшей точкой колеса, а стержень накло-
наклонен к плоскости под углом 45°.
324. Сохранив условие задачи 323, указать соотноше-
соотношение между ускорениями точек А и В стержня.
325. Сохранив условие задачи 323, найти на стержне
АВ точку D, которая имеет в данный момент наимень-
наименьшее по модулю ускорение.
СФЕРИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА.
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
326. При сферическом движении твердого тела его
мгновенная угловая скорость определяется выражением
/, &— орты неподвижных координат-

ных осей и со — в радианах в секунду). Определить мо-
модуль мгновенного углового ускорения тела в момент вре-
времени /=1 с.
327. При сферическом движении твердого тела его
мгновенная угловая скорость определяется выражением
cD=2/i+2f/+ft (/? j9 k — орты неподвижных координат-
координатных осей и со — в радианах в секунду). Определить в
момент времени t—\ с скорость точки М тела, коорди-
координаты которой в этот момент времени х = 0, */=! м,
2=1 М.
X
К задаче 328
К задачам 329—332
328. Круглый конус с неподвижной вершиной в точке
О катится по плоскости Оху без скольжения, поворачи-
поворачиваясь вокруг неподвижной оси z с постоянной угловой
скоростью со. В какой плоскости лежит вектор мгновен-
мгновенного углового ускорения е конуса и как направлен век-
вектор ускорения аА точки А конуса?
329. Круглый конус высотой ОС=20 см и углом при
вершине АОВ=60° равномерно катится без скольжения
по плоскости Оху, имея неподвижную точку О, и совер-
совершает вокруг оси Oz за 1 с 2 оборота. Определить угло-
угловую скорость со вращения конуса вокруг мгновенной оси.
330. Сохранив условие задачи 329, определить мгно-
мгновенное ускорение е конуса.
331. Сохранив условие задачи 329, определить осе-
стремительное ускорение cfg точки С конуса.
332. Сохранив условие задачи 329, определить вра-
вращательное ускорение а^Р точки С конуса.
333. Для свободного твердого тела__ известны вектор
скорости некоторой точки A vA=2i—j+k (vA — в мет-
метрах в секунду), вектор угловой скорости co = i+2/—k
(со— в радианах в секунду) и радиус-вектор точки М
относительно точки А Гмл=—2i+J— 2F {гМа— в мет-
61

К задачам 336—340
том системы осей
pax). Определить проекцию скорости vMx точки М тела
на неподвижную ось Ох.
334. Сохранив условие задачи 333, определить проек-
проекцию скорости 1<му точки М тела на неподвижную ось Оу.
335. Сохранив условие задачи 333, определить проек-
проекцию скорости v.vz точки М тела на неподвижную ось Oz.
336. В кабине лифта, дви-
движущейся вверх относительно
неподвижной системы отсчета
xyz согласно закону z=0,l t2
(z — в метрах, t — в секундах)
по горизонтальной плоскости
равномерно катится без сколь-
скольжения круглый конус высотой
OiC=0,2m и углом при вер-
вершине y4OiB=60° с угловой
скоростью вокруг вертикаль-
вертикальной оси OiZi, связанной с лиф-
tti = 2 рад/с. Точка О\ конуса от-
относительно кабины неподвижна. Определить модуль ско-
скорости точки С конуса относительно неподвижной систе-
системы отсчета в момент времени £=1 с.
337. Сохранив условие задачи 336, определить модуль
скорости va точки А конуса относительно неподвижной
системы отсчета.
338. Сохранив условие задачи 336, определить модуль
скорости ив точки В конуса относительно неподвижной
системы отсчета,
339. Сохранив условие задачи 336, определить мо-
модуль ускорения ав точки В конуса относительно непо-
неподвижной системы отсчета.
340. Сохранив условие задачи 336, определить мо-
модуль ускорения ас точки С конуса относительно непод-
неподвижной системы отсчета.
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
341. Колесо катится без скольжения по прямолиней-
Еюму рельсу; скорость его центра С постоянна и равна
Т'с- По ободу колеса движется точка М с постоянной по
модулю относительной скоростью vr. Чему равна абсо-
абсолютная скорость va точки М в положениях 1, 2, 3 и 4,
совпадающих с концами вертикального и горизонталь-
горизонтального диаметров колеса?
342. Звено ОА кулисного механизма вращается во-
вокруг оси О с угловой сокростью coi и с помощью камня
62

А приводит в движение кулису 2, которая перемещает-
перемещается в горизонтальных направляющих. Определить ско-
скорость движения кулисы 2 в положении, когда Ха=1 м,
если кн = 1 рад/с и ОЛ=2 м.
343. Стержень / механизма движется в вертикаль-
вертикальных направляющих и приводит в движение шарнирно
связанный с ним ползун 2, который перемещается по
элементу BD звена 3, вращающегося вокруг оси О. Най-
Найти скорость точки D звена BDO в момент времени, ког-
когда jLAOD=45°, если t>i = l м/с, OD=\ м и BD±OD.
У
ш
ш
0
х* 2 m
У//////Ш
К задаче 341
К задаче 342
К задаче 343
К задаче 344
К задаче 345
344. Эксцентрик в_виде диска / радиуса R и эксцен-
эксцентриситетом r=R/y вращается вокруг оси О с угло-
угловой скоростью © и приводит в движение плоский толка-
толкатель 2, движущийся в горизонтальных направляющих.
Определить скорость толкателя в положении механиз-
механизма, когда ОО[ образует с горизонтальным диаметром
угол а=45°.
345. Кулак А движется поступательно по горизон-
горизонтальной плоскости и приводит в движение вдоль оси у
толкатель В. Определить скорость толкателя, если ско-
скорость кулака ил=0,6 м/с.
СЗ

348. Колесо радиуса R катится без скольжения по
горизонтальной плоскости, при этом центр колеса име-
имеет постоянную скорость v. С колесом шарнирно связан
стержень АВ длины 1>2R, второй конец которого сколь-
si.m- по той же плоскости. По стержню в направлении от
А к В движется точка М с постоянной относительной
скоростью v, = v. Определить абсолютную скорость точ-
точки М в положении, показанном на рисунке, когда шар-
шарнир В совпадает с наивысшей точкой колеса, а стержень
наклонен к горизонтальной плоскости под углом 60°,
В
К задаче 346
К задаче
347
К задачам 350, 351
347. Плоский механизм состоит из трех зубчатых ко-
колес /, 2 и 3 одинакового радиуса R — 1 м. Колесо / не-
п ивнжгго, колеса 2 и 3 приводятся в движение с по-
кедцыо кривошипа ОА, вращающегося с угловой ско-
скоростью ю=1 рад/с. По ободу колеса 3 движется точка
М с постоянной относительной скоростью tv = 2 м/с. Оп-
Определить абсолютную скорость этой точки в момент
времени, когда она совпадает с верхней точкой В
колеса 3.
348. Ось Ох вращается вокруг неподвижной оси Oz
системы Oxyz по закону ф=/ (ф—в радианах, / — в се-
секундах). Вдоль оси Ох движется точка согласно закону
.V —1+/2 (х—в метрах, i — в секундах). Определить мо-
луль абсолютной скорости точки в момент времени / =
= 1 с.
349. Сохранив условие задачи 348, определить мо-
,!д н, абсолютного ускорения точки в момент времени
,'- 1 с.

350. Окружность радиуса R = l м вращается в вер-
вертикальной плоскости Оху вокруг неподвижной оси Oz
согласно закону ср — — г (Ф — угол между диаметром
О А и осью Ох в радианах, t—в секундах). По окруж-
окружности движется точка М по закону s = OM = nt (s — в
в метрах, / — в секундах). Определить абсолютную ско-
скорость точки М в момент времени / = 1 с.
351. Сохранив условия задачи 350, определить абсо-
абсолютное ускорение точки М в момент времени / = 1 с.
352. Кривошип ОС кривошипно-кулисного механизма
вращается с угловой скоростью со=2 рад/с вокруг го-
горизонтальной оси Oz. Определить скорость кулисы
ABD в положении механизма, когда кривошип образу-
образует с осью Ох угол 30°, если ОС= 10 см.
X
К задачам 352, 353
К задачам 354, 355
353. Сохранив условие задачи 352, определить уско-
ускорение кулисы ABDy если кривошип вращается с посто-
постоянной угловой скоростью.
354. Стержень ОА вращается в вертикальной плос-
плоскости Оху вокруг неподвижной оси Oz по закону ср =
=sin 2nt (ф—в радианах, /—в секундах). Вдоль стерж-
стержня движется ползун М согласно закону s=OM=
= cos 2я/ м. Определить в момент времени t=\ с абсо-
абсолютное ускорение ползуна.
355. Сохранив условие задачи 354, определить абсо-
абсолютную скорость ползуна.
356. На рисунках стержень ОА вращается вокруг
оси О с угловой скоростью со. Вдоль стержня движется
ползун М с относительной скоростью v,. На каком ри-
рисунке неверно показано направление кориолнсова уско-
ускорения ас ползуна?
5—659
65

357. На первых трех рисунках тела ОА вращаются
вокруг горизонтальных осей О с угловой скоростью ю.
На четвертом рисунке вращение рамки происходит вок-
вокруг вертикальной оси Ог. Указать, в каком случае ко-
риолисово ускорение ас движущегося с относительной
скоростью vr ползуна М равно нулю.
К задаче 3S8
358. Корабль М идет с относительной скоростью vr:
1) вдоль экватора, 2) вдоль параллели, 3) и 4) вдоль
меридиана. На каком рисунке неверно направлен век-
вектор ускорения Кориолиса ас: 1) но радиусу экватора;
2) по радиусу параллели; 3) по касательной к парал-
параллели; 4) по радиусу к центру Земли.
359. Кривошип ОА кулисного механизма вращается
с угловой скоростью toi и приводит во вращение кулису
О.В с помощью ползуна 2, соединенного шарниром А с
66

кривошипом. Указать направление кориолисова ускоре-
ускорения точки А механизма в момент времени, когда кули-
кулиса 3 занимает вертикальное положение.
380. Стержень ЛВ механизма движется со скоро-
скоростью v в направляющих и приводит в движение шар-
нирно связанный с ним ползун А, который перемещается
по элементу DE звена DEO, вращающегося вокруг оси
О. Указать направление корнолисова ускорения точки
А, если в рассматриваемом положении механизма пол-
полка DE горизонтальна и DELEO.
О),
У/Ж
К задаче 362
К задаче 363
381. В плоскости Оху движется поступательно стер-
стержень Лб, составляя угол 30° с осью Оу. Ускорение стер-
стержня равно a=\0ti (с — в метрах на секунду в квадра-
квадрате). Вдоль стержня движется точка М по закону s =
—AM = 3t2 (s—в метрах, /—в секундах). Определить
абсолютное ускорение точки в момент времени £=1 с.
362. Стержень ОА длиной 1 м вращается вокруг не-
неподвижной горизонтальной оси Oz согласно закону ср=
■= — t (ф—в радианах, / — в секундах). К концу Л
стержня шарнирно прикреплен круглый диск радиуса
/-=0,5 м. По ободу диска движется точка М по закону
5*
67

$ = OiM=—rt (s—в метрах, t—в секундах). Определить
абсолютное ускорение точки М в момент времени t —
= 1 с.
363. Кривошип ОА кривошипио-ползуниого механиз-
механизма вращается вокруг оси О с угловой скоростью со. По
шатуну АВ от Л к В движется точка М с относительной
скоростью vr. В каких двух положениях кривошипа ко-
риолисово ускорение ас точки М равно О?
К задаче 364
К задаче 365
К задаче 366
364. Кривошип ОА=г вращается вокруг горизон-
горизонтальной оси О согласно закону q>=zit (ср—в радианах,
t — в секундах). По стержню АВ, шарнирно соединенно-
соединенному с кривошипом и постоянно имеющему вертикальное
положение, движется точка М со скоростью vr=n2rt
см/с. Определить абсолютную скорость va, кориолисово
а-, и абсолютное аа ускорения точки М в момент вре-
времени ^ = 0,5 си^ = 1 с.
365. Колесо 2 приводится в движение колесом /, вра-
вращающимся с угловой скоростью (Оь Как направлен век-
вектор корнолисова ускорения ас точки М, движущейся но
ободу колеса 2 по ходу часовой стрелки в положении,
когда точка совпадает с верхним концом его вертикаль-
вертикального диаметра?
366. Колесо 2 приводится в движение колесом 1, вра-
и:-!1.-щ1и;ся с углоной скоростью о>|. Как направлен век-
вектор корнолпсова ускорения ас точки /\1, движущейся по
сбеду колеса 2 против хода часовой стрелки в положе-
положении, когда rc-iKa совпадает с правым концом его гори-
горизонтального диаметра?
367. Кривошип 0/1 механизма вращается по закону
f(.-~b-,t и приводит в движение звено 3 с помощью иол-
:-\'Лй 2, связанного шарниром А с крнвошшюм. Устапо-

вить соотношение абсолютной va и переносной ve ско-
скоростей точки А в заданном положении механизма.
368. Как движется звено 3 механизма в задаче 367 в
момент времени /—1 с, если кривошип О А вращается
по закону q>=~-t (ф—в радианах, /—в секундах)?
369. Крнвошип / кулисного механизма равномерно
вращается вокруг горизонтальной оси О с угловой ско-
скоростью «I и с помощью шарнирно связанного с ним кам-
К задачам 367, 368
,50'
К задачам 370, 371
К задаче 372
ня 2 приводит в движение кулису 3, которая движется
в вертикальных направляющих. Каков характер отно-
относительного движения точки А механизма в положении,
изображенном на чертеже?
370. Диск вращается вокруг горизонтальной оси О
с угловой скоростью (а. По ободу диска движется точка
М с относительной скоростью v.. В каком положении
точки М ее кориолисово ускорение а., направлено вер-
вертикально вниз?
371. Сохранив условие задачи 370, указать, р каком
положении точки М ее кориолисово ускорение at. на-
направлено по горизонтали вправо?
872. Какое ускорение а необходимо сообщить клину
В, чтобы тело А, находящееся па наклонной плоскости
клина, свободно падало вниз, если угол наклона поверх-
поверхности к горизонтальной плоскости равен а?

СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ
ТВЕРДОГО ТЕЛА
373. Каким будет абсолютное движение тела, участ-
участвующего в двух поступательных движениях?
374. Тело вращается вокруг оси O\Zi с угловой ско-
ростьЕО o)i и одновременно вокруг оси Oz с угловой ско-
скоростью оJ. Оси O\Zi и Oz параллельны, и o)i = oJ. Ука-
Указать положение мгновенной оси вращения тела.
К задаче 374
К задаче 375
К задаче 376
375. Тело вращается вокруг оси O\Zi с угловой ско-
скоростью oil и одновременно вокруг оси Oz с угловой ско-
скоростью иг. Оси Oi2. и Ог параллельны, и оJ = —2o)i.
Указать положение мгновенной оси вращения тела.
376. Колесо 2 приводится в движение кривошипом
0/1, вращающимся с угловой скоростью u,0a==oj вокруг
оси О, и катится без скольжения по неподвижному ко-
70

лесу /. Указать схему сложения угловых скоростей ко-
колеса 2, если радиусы колес ri=/-2 = r.
377. Указать направление вектора момента пары
вращений.
378. Каким будет абсолютное движение тела, уча-
участвующего в двух вращениях вокруг пересекающихся
осей?
379. Диск вращается вокруг вертикальной оси с уг-
угловой скоростью cui = 3 рад/с и вокруг горизонтальной
оси с угловой скоростью 0J = 4 рад/с. Найти абсолютную
угловую скорость диска.
90"
о Л
90°
К задаче 377
(О
V
К задачам 381, 382
К задаче 383
Л
К задаче 384
380. Определить угловую скорость тела при его вин-
винтовом движении, если скорость точки М тела равна v и
образует с осью винта угол а = 30°. Точка М находится
на расстоянии d от оси винта.
381. Тело одновременно участвует в двух антипарал-
антипараллельных винтовых движениях с численно одинаковыми
угловыми о) и осевыми v скоростями, при этом оси вин-
винтов отстоят друг от друга на расстоянии й и лежат в
плоскости Oyz. Каким будет абсолютное движение тела?
71

382. Сохранив условие задачи 381, указать, как на-
направлена скорость абсолютного движения тела.
383. Тело одновременно участвует в трех вращениях
вокруг осей, направленных по сторонам АВ, DC и диа-
диагонали АС квадрата ABCD. Угловые скорости составля-
составляющих вращений численно определяются размерами сто-
сторон и диагонали квадрата. Каким будет абсолютное
движение тела?
384. Тело одновременно участвует в двух вращениях
с численно одинаковыми угловыми скоростями coi и к>2>
направленными вдоль ребер куба. Каким будет абсо-
абсолютное движение тела?
w,
/
и
F
/
1
К задаче 385
К задаче 386
К задаче 387
385. Тело одновременно участвует в трех вращениях
вокруг параллельных осей с численно одинаковыми уг-
угловыми скоростями @|, юг и соз, направленными вдоль
ребер куба. Указать направление мгновенной оси враще-
вращения тела и вектора абсолютной скорости точки В куба
vB.
386. Тело одновременно участвует в трех вращениях
вокруг параллельных осей с численно одинаковыми уг-
угловыми скоростями @|, юг и из, направленными вдоль
ребер куба. Определить положение мгновенной оси
вррщения тела.
387. Тело одновременно участвует в трех вращениях
вокруг осей, направленных по сторонам и диагонали
квадрата ОАВС. Угловые скорости составляющих вра-
вращений численно определяются размерами сторон и ди-
диагонали квадрата. Чему равна абсолютная угловая ско-
скорость тела, если coi =со?
388. Каким будет абсолютное движение тела, участ-
участвующего в двух парах вращений, лежащих в пересека-
пересекающихся плоскостях?
72

389. Каким будет абсолютное движение тела, участ-
участвующего в паре вращений и поступательном движении
в плоскости пары?
390. Каким будет абсолютное движение тела, участ-
участвующего в паре вращений и вращении вокруг оси, пер-
перпендикулярной плоскости пары?
391. Каким будет абсолютное движение тела, участ-
участвующего в паре вращений и вращении вокруг оси, ле-
лежащей в плоскости пары вращений?
392. Каким будет абсолютное движение тела, участ-
участвующего в паре вращений и вращении вокруг оси, про-
произвольно направленной к плоскости пары?
393. Каким будет абсолютное движение тела, участ-
участвующего в поступательном и вращательном движениях,
К задаче 396 К задаче 397
если ось вращения не перпендикулярна направлению
поступательного движения?
394. Каким будет абсолютное движение тела, участ-
участвующего в двух вращениях вокруг скрещивающихся
осей?
395. Каким будет абсолютное движение тела, участ-
участвующего в поступательном и вращательном движениях,
если ось вращения перпендикулярна направлению по-
поступательного движения?
396. Тело одновременно участвует в четырех враще-
вращениях вокруг осей, направленных по сторонам прямо-
прямоугольника ОАВС. Угловые скорости составляющих вра-
вращений численно определяются размерами сторон пря-
прямоугольника. Каким будет результирующее движение
тела?
397. Тело одновременно участвует в четырех враще-
вращениях вокруг осей, направленных по сторонам прямо-
прямоугольника ОАВС. Угловые скорости составляющих вра-
вращений численно определяются размерами сторон пря-
прямоугольника. Каким будет результирующее движение
тела?
73

ДИНАМИКА
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Прямая задача динамики точки
398. Материальная^ точка массы_/п=1 кг движется
согласно закону r=ie2'-^j cos2/ — kt2, где г—радиус-
вектор точки относительно инерциальной системы отсче-
отсчета Oxyz (г — в метрах; t — в секундах). Найти модуль
действующей на точку силы в начальный момент вре-
времени ^о = О.
399. Точечная масса движется относительно инерци-
инерциальной системы отсчета Oxyz под действием двух пос-
постоянных сил F\=k и F2—]/r3L Какой угол а составляет
вектор ускорения этой массы с вектором силы Fii
400. Движение материальной точки массой т вдоль
прямой, принятой за ось Ох, задано уравнением х=
— at2-{-bt\-c, где а, Ъ, с—постоянные. Найти силу F,
действующую на точку.
т
wMw/шМш у/////////////////////л
К задаче 401 К задаче 405
401. Плита массы т, установленная на двух одина-
одинаковых невесомых катках, движется поступательно вдоль
горизонтальной опорной плоскости с ускорением с при
действии горизонтальной силы F. Пренебрегая дефор-
деформациями катков и плиты, а также проскальзыванием
катков, определить модуль этой силы, если радиус кат-
катков—г, а коэффициент трения качения в местах их кон-
контакта с опорной плоскостью равен fK.
402. Три постоянные силы F\\ F2; F3, модули которых
удовлетворяют соотношению Ft : F2: Fz = 1 : 2 : 3, дей-
действуют на точку массы т=Ъ кг в одном и том же нап-
направлении и сообщают ему ускорение о=3м/с2. Найти
модуль каждой из этих сил.
403. Материальная точка массы т=\ кг движется
из состояния покоя под действием силы F=(t2—3t-\-2)i
вдоль оси Ox (F — в ньютонах; t — в секундах). Опреде-
Определить модуль наименьшего ускорения точки.
74

404. Материальная точка движется в горизонтальной
плоскости Оху согласно уравнениям x=bsmkt; у =
= frsin&/, где Ь и к — постоянные положительные па-
параметры. Какой угол б составляет с положительным
направлением оси Оу в момент времени t = \\k вектор
силы, вызывающей заданное движение точки?
405. Горизонтальная сила F приводит в движение из
состояния покоя находящийся на шероховатой опорной
плоскости брусок массы т. Полагая коэффициент тре-
трения скольжения / между бруском и опорной плоскостью
постоянным, найти ускорение бруска.
406. Два соприкасающихся _
бруска масс т.,=6кг и т2= F
= 4кг, расположенные па ше'ро-
ховатои горизонтальной плоско-
плоскости, ПРИВОДЯТСЯ В движение гори- К задаче 406
зонтальной постоянной силой
/-"=2514. Определить ускорение а брусков, если коэффи-
коэффициент трепня скольжения в месте их контакта с опорной
плоскостью равен /=0,2. Найти также усилие 5 взаимо-
взаимодействия брусков.
407. Материальная точка единичной массы движется
относительно инерциалыюй системы отсчета Oxyz в со-
соответствии с уравнениями х—?3; у=2г-; г=31. Опреде-
Определить силу F, под действием которой происходит это дви-
движение.
408. Материальная точка массы т=\ кг движется
относительно инерциалыюй системы отсчета Oxyz под
действием двух постоянных сил: Fl = i-\~2j-{-'ik и F2 =
= 3/+2/+& (Н). С каким ускорением движется эта
точка?
409. Материальная точка движется относительно
инерциальной системы отсчета Оху; под действием трех
постоянных сил: Л =!+/+&; F2 = 2l-\-2j-\-2k; F3=3i—
—3/+5Ve. Какой угол а составляет вектор ускорения точ-
точки с координатной осью Оу?
410. Два одинаковых бруска, связанных невесомой
перастяжимой нигыо, движутся вдоль горизонтальной
плоскости при действии неравных противоположно на-
направленных горизонтальных сил F\ и F2, причем Fi>F-2.
Пренебрегая трением, определить внутреннее усилие 5
и связывающей бруски нити.
411. Система трех одинаковых грузов, связанных не-

весомой веревкой, переброшенной через идеальный блок,
движется с ускорением а=0,2 g. Определить коэффици-
коэффициент трения скольжения между горизонтальной опорной
плоскостью и движущимися по ней грузами.
412. Система п одинаковых грузов массы т каждый,
связанных невесомым нерастяжимым канатом, приводит-
приводится в движение вдоль горизонтальной плоскости тяжелой
гирей, подвешенной к переброшенному через идеальный
блок свободному концу каната. Какова должна быть
К задаче 410
К задаче 412
К задаче 413
масса М этой гири при движении грузов с заданным ус-
ускорением а, если коэффициент трения скольжения грузов
по опорной плоскости равен f?
413. Груз веса Р, подвешенный на невесомом нерас-
нерастяжимом тросе, поднимается с помощью зубчатой пере-
передачи. Пренебрегая массой элементов передачи и сопро-
■гивлениями, определить силу натяжения троса Т, если
угловая скорость ведущего колеса передачи, имеющего
радиус R, изменяется по закону (я—kt, где k — положи-
положительная постоянная.
414. С каким ускорением а должна двигаться цистер-
цистерна вдоль горизонтального участка пути, чтобы уровень
содержащейся в ней жидкости неизменно составлял с ю-
ризонтом угол a—arctg h/l, где h — высота, /—длина
цистерны?
76

415. Какой угол а составляет с горизонтом уровень
жидкости в цистерне, движущейся прямолинейно под дей-
действием постоянной горизонтальной силы г, если вес цис-
цистерны вместе с содержащейся в ней жидкостью равен G.
Сопротивлениями и весом колес пренебречь.
416. Невесомый жесткий прямолинейный стержень с
точечным грузом массы т на конце равномерно враща-
вращается в вертикальной плоскости вокруг неподвижной оси
О, проходящей через второй конец стержня. В каком из
четырех положений стержня, отмеченных на рисунке,
'///у////////////////////.
К задаче 414
К задаче 415
m
OJ.
К задачам 416, 417
внутреннее усилие в нем будет наи-
наибольшим? Найти также разность
между максимальным Smax и мини-
минимальным Smin значениями внутрен-
внутреннего усилия во вращающемся
стержне.
417. Сохранив условие задачи
416, установить, с какой угловой
скоростью о> должен вращаться
стержень, чтобы в крайнем верх-
верхнем его положении внутреннее уси-
усилие в стержне было равно нулю. Длину стержня принять
равной /.
418. Материальная точка движется в плоскости Оху
в соответствии с уравнениями x=b sin ю/: y=b cos Ы, где
b и со— положительные константы. Найти направление
вектора действующей на точку силы в момент первого пе-
пересечения траекторией координатной оси Оу.
419. Уравнения движения материальной точки имеют
вид jc=2sinDf—л/2); y=2sinB/—я/2) (х, у — в мет-
метрах; t — в секундах). Как направлен вектор нормальной
составляющей действующей на точку силы в момент вре-
времени £—л/4 с?
420. Автомобиль массы-М=1 т равномерно движется
пи спммглрнчпому выпуклому мосту длины криволиней-

ного участка /=200 м и постоянного радиуса кривизны
р=100 м, имея скорость и=72 км/ч. Установить закон
изменения силы нормального давления автомобиля на
мост во времени, отсчитывая время с момента въезда ав-
автомобиля на мост.
421. Материальная точка движется по гладкой гори-
горизонтальной плоскости под действием силы F, в каждый
момент времени перпендикулярной вектору скорости v
этой точки. Как изменяется вектор v с течением времени?
422. Материальная точка массы
т=1кг движется по окружности ра-
радиуса /?=1 м в соответствии с уравне-
уравнением s=t2—/+1 (s — в метрах, /—■
в секундах). Определить силу F, дей-
действующую на точку в момент ^=0,5с.
423. Материальная точка движется
по окружности радиуса /? = 8м соглас-
согласно уравнению s=2i2 (s — в метрах;
/ — в секундах). Определить массу
этой точки, если известно, что при
к задаче 424 S_2M модуль действующей на точку
силы равен /7=J/5 H.
424. Жесткий невесомый стержень длиной / приварен
под углом а=60° к вертикальному равномерно вращаю-
вращающемуся валу. К свободному концу стержня прикреплен
точечный груз массы т. Установить, при какой угловой
скорости со вращения вала сила, с которой стержень дей-
действует на груз, будет направлена вдоль этого стержня.
425. Движение материальной точки массой т=\ кг
в плоскости задано кинематическими уравнениями вида
r=t; ф=2/ (г и ф—полярные координаты в метрах и
радианах; t—в секундах). Найти модуль действующей
на точку силы F при ф=2 рад.
Обратная задача динамики точки
426. Свободная материальная точка движется из на-
начала координат О под_действием силы тяжести с началь-
начальной скоростью v<j=Vvl. Установить вид траектории точки.
427. Материальная точка движется вдоль горизон-
горизонтальной оси Ох под действием переменной силы, график
изменения проекции Fx которой во времени представлен
на рисунке. Указать график зависимости скорости v этой
78

точки от времени, если в момент начала движения точка
имела скорость vo=voi, где ио>О.
428. Материальная точка весом G движется вдоль го-
горизонтальной оси Ох под действием постоянной силы F.
Найти закон движения этой точки при нулевых началь-
начальных условиях, т. е. при t=to=O; x=xo—O; х=Хп=0.
429. Материальная точка веса Р движется вдоль го-
горизонтальной оси Ох под действием силы F=kti. где k —
положительная постоянная. Найти закон движения точ-
точки при нулевых начальных условиях.
430. Материальная точка массы
т=2кг движется из начала коор-
координат вдоль горизонтальной оси Ох,
имея начальную скорость vo=
= 1,5 м/с и испытывая силу сопро-
тивления движению R=—kxi (H),
где & = 6Н-с/м — положительная
константа. Найти закон движения
ТОЧКИ. К задаче 426
n
К задаче 427
431. Материальная точка массы m=l кг движется
вдоль горизонтальной оси Ох под действием силы F=
= (l+x)i (H). Полагая начальные условия движения
точки нулевыми, найти координату х точки в момент
времени t= 1 с.
432. Материальная точка массы т движется из нача-
начала координат вдоль горизонтальной оси Ох, имея началь-
начальную скорость vo=voi и испытывая действие позиционной
силы F=—0,25mk2xi, где k — постоянная. Найти уравне-
уравнение движения точки.
433. Точка единичной массы движется без начальной
скорости вдоль горизонтальной оси Ох под действием си-
силы, проекция которой на эту ось равна Fx=Zx—2x+t.
79

Найти зависимость скорости точки от времени, если в
начальный момент точка находилась в начале координат.
434. Материальная точка массы т=\ кг движется
вдоль горизонтальной оси Ох под действием силы F=
= F(t)i; график изменения проекции силы на эту ось с
течением времени представлен на рисунке. Определить
скорость точки в момент времени £=10 с, если F0=l0 Н,
а начальные условия движения точки — нулевые.
4 с 8с 1,С
К задаче 434
t.c
К задаче 436
К задаче 435
435. Материальная точка
массы т=2кг движется вдоль
горизонтальной оси Ох под
действием силы F=F(t)i,
график изменения проекции
Fx которой с течением време-
времени представлен на рисунке.
Принимая, что при /0=0; х=
= хо=0 и a-=a-0=0, опреде-
определить скорость точки после прекращения действия силы,
если Fl=24 Н, а /4=9 Н.
436. Два груза одновременно начинают движение из
состояния покоя с высоты я над горизонтальной поверх-
поверхностью пола, причем первый груз соскальзывает без тре-
трения по плоскости, составляющей угол а=30° с горизон-
горизонтом, а второй свободно падает. Определить соотношение
скоростей vi и v2 этих грузов при достижении ими поверх-
поверхности пола.
437. Сохранив условие предыдущей задачи, устано-
установить соотношение времен /, и t2 движения грузов до со-
соприкосновения с горизонтальной поверхностью пола.
438. Материальная точка массы т=\ кг под дейст-
действием силы F=(t2—3t-\-2)i движется вдоль оси Ox (F--
в ньютонах, t-—в секундах). Определить максимальную
80

скорость Umax, которой достигает точка при своем дви-
движении, если в начальный момент времени она имела ну-
нулевую скорость и находилась в начале координат.
439. На материальную точку массы /п=3 кг действу-
действует периодическая сила F=3sint (F— в ньютонах, t—в
секундах), направленная вдоль горизонтальной осп Ох.
Определить уравнение движения точки, если она вышла
из начала координат без начальной скорости.
440. Материальная точка массы т=\ кг движется
относительно инерциалыюй системы отсчета Oxyz под
действием системы сил, равнодействующая которых F =
= i+yj+tk. Выражая F в ньютонах, t — в секундах, ко-
координаты точки — в метрах, определить положение М{
точки в момент времени ^ = 1 с, если точка вышла из
начала координат со скоростью vo=j м/с.
441. Материальная точка единичной массы движется
в горизонтальной плоскости Оху под действием силы F=
=—(tsin/+/cosO. Найти уравнение траектории, если в
начальный момент времени точка находилась в положе-
положении М_о @; 1) и имела скорость vo=i.
442. Материальная точка движется под действием си-
силы, направленной по касательной к траектории точки во
все время движения, Установить форму траектории точки.
443. Шарик веса Р--98 мН движется в горпзонталь-
Н1й плоскости под действием силы F=2nmH, где/г — орг
главной нормали траектории, Определить форму траек-
траектории шарика и путь L, пройденный им за первые дпе
секунды с момента начала движения, в который дуговая
координата шарика so=—0,5 м, а его скорость оо-—
==0.2 м/с.
444. Точка массы т=\ кг движется без начальной
скорости в горизонтальной плоскости под действием си-
силы /■■=2у-Ьо/2п (II), где т и п — орты касательной и
глазной поймали траектории. Установить форму траек-
траектории и закон движения точки по траектории, если от-
отсчет дуговой координаты s точки производится от на-
начального ее положения.
КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
Свободные колебания
445. Точка массы ?«--—2 кг совершает гармонические
колебания вдоль горизонтальной оси. Установить зависи-
зависимость действующей на точку восстанавливающей силы
6-639 Si

F от смещения х этой точки относительно центра колеба-
колебаний, если известны максимальные значения скорости и
ускорения точки: i>max=l см/с; ятах=2 см/с2.
446. Определить амплитуду процесса прямолинейного
движения материальной точки, представляющего собой
сумму двух гармонических колебаний вида хх = sin (kt -f-
+ —) и х2 = К~3 sin Ш + -7^-) (^ — в сантиметрах; / —
в секундах).
447. Колебательный процесс прямолинейного движе-
движения материальной точки представляет собой сумму двух
гармонических колебаний одинаковой частоты: хх =*
2*+— | и x2 = |/3sinB/+— \ (где х—в
метрах, t — в секундах). Какова начальная фаза а ре-
результирующего колебания точки?
448. "Материальная точка массы т, подвешенная на
пружине жесткости с\ совершает свободные незатухаю-
незатухающие колебания вдоль вертикали, на-
чу////////// чав свое движение из положения
равновесия со скоростью vq. Как
изменится амплитуда колебаний
этой точки, если при прочих равных
условиях ввести вторую, последова-
последовательно соединенную с первой пру-
пружину той же жесткости?
449. Что произойдет с периодом
свободных вертикальных колебаний
грузов, если от схемы а перейти к
К задаче 449 СХв"|пб?г
450. Груз массы т=16кг, под-
подвешенный на пружине жесткостью
с=4Н/м, отводят вниз из положения равновесия на рас-
расстояние 8 см и, сообщив ему некоторую начальную ско-
скорость вдоль вертикали, отпускают. Каким должно быть
значение v0 этой начальной скорости, чтобы последую-
последующие гармонические колебания груза происходили с ам-
амплитудой А = 10 см?
451. Материальная точка массы т=\ кг, подвешенная
па пружине, совершает вертикальные гармонические ко-
колебания, описывающиеся уравнением e = 2sin (Л^+1)
(z — в сантиметрах; t — в секундах). Зная максимальную
скорость точки tWx —4 см/с, определить жесткость пру-
пружины с.
452. Материальная точка совершает прямолинейные
82

гармонические колебания с периодом т~п/2 с. Опреде-
Определить начальную фазу а этих колебаний, если в момент
начала движения груз находился на расстоянии хо=1 см
от центра колебаний и имел скорость хо=4 см/с.
453. Однородный горизонтальный брус, подвешенный
на трех равноудаленных пружинах, совершает свободные
вертикальные колебания с периодом т. Определить мас-
массу М бруса, если жесткость средней пружины в два раза
больше жесткости с каждой из крайних пружин.
у/////;//////.'//////////,
\1с >с
К задаче 453
m
V7ZW///////////
К задаче 458
/77
К задаче 460
454. Уравнение вертикальных колебаний груза, под-
подвешенного на пружине, имеет вид z=A sinkt. Опреде-
Определить f — статическую деформацию пружины,
455. Пернсп вертикальных колебаний груза веса Р =
==9,8 Н, подвешенного на пружине, равен л/25 с. Найти
жосткость с этой пружины.
456. Определить соотношение длин /j н /2 двух мате-
математических маятников, совершающих малые свободные
колебания с периодами Т[—0,125 с н т->=0.5 с соответст-
соответственно.
457. Какую длину / должен иметь математический
маятник массы пг, чтоб:л период его малых колебаний
б'.?л рггвен периоду cepr;:i\;!.":fc::iix ко.'трглпнй гру^п такой
же массы, гкпв'лиеппою нц пружине жесткости с?
458. Груз массы т = \ кг подвешен на трех пружинах
с коэффициентами жесткости Г)=2Н/см; С2=с%=
=гт1 Н/см. Нзнтп частоту v свободных вертикальных ко-
й
ру
9. Дифференциальное уравнение колебаний ма-
материальной точки в толь горизонтальной оси Ох имеет епд
х-{-1х=\0 (х — в сантиметрах; / — в секундах). Опреде-
Определить координату Хг, центра колебаний В этой точки.
460. Найти закон вертикальных свободных колебаний
6*
83

точечного груза, подвешенного на невесомой пружине, от-
относительно верхней точки О крепления пружины, если
груз начинает движение из положения статического рав-
равновесия с начальной скоростью vo=l м/с. Длина неде-
формированной пружины /=30,2 см, а ее статическая де-
деформация под действием рассматриваемого груза 9,8 см.
461. Тело массы т совершает вертикальные колеба-
колебания на упругой подвеске, состоящей из четырех пружин
у////////////// 4) 2£й
ГТс '%
т
т
т
т
К задачам 461, 462
Гас
К задачам 463, 464
Y/////////////////////////////////.
К задаче 465
одинаковой жесткости с. Указать две схемы включения
пружин, обеспечивающие колебания тела с одинаковыми
периодами.
462. В условиях задачи 461 указать схему включения
пружин упругой подвески, обеспечивающую колебания
тела с наибольшим периодом.
463. Невесомая недеформированная вначале пружина
жесткости с скреплена с бруском массы т, находившим-
находившимся в покое на гладкой горизонтальной плоскости. Опре-
Определить значение максимальной силы упругости пружины,
если свободный конец пружины будет двигаться вдоль
горизонтали с постоянной скоростью v.
464. Сохранив условие задачи 463, определить закон
изменения деформации л пружины f>o времени при сле-
следующих исходных данных: т = \ кг; с=4Н/м; v—2 м/с.
465. Точка А приложения заданной силы F и брусок
В, находящийся на шероховатой горизонтальной плоско*

сти, разделены двумя одинаковыми последовательно сое-
соединенными пружинами жесткости с каждая. Определить
максимальную деформацию лшах комплекта пружин прч
движении бруска по опорной плоскости, если в началь-
начальный момент времени брусок находился в покос, а пру-
пружины били не деформированы.
486. Зависимость скорости прямолинейно движущей-
движущейся материальной точки от ее координаты называется фа-
фазовой траекторией процесса движения. Какая линия яв-
является фазовой траекторией процесса свободных верти-
вертикальных колебаний материальной точки, подвешенной на
линейной пружине, при отсутствии сопротивления среды?
■'■xP
p ;J-I
К задачам 457, 468 К задаче 472
46?. Груз веса Р = 0,1 кН установлен на двух одина-
одинаковых пружинах жесткости с—250 кН/м каждая. На этот
груз с высоты h — \ м сбрасывают другой груз такого же
веса Р. Пренебрегая сопротивлениями, определить ам-
амплитуду Л вертикальных колебаний двух грузов после их
абсолютно неупругого соударения.
468. Используя схему предыдущей задачи п положив
Р~0,98кН, с=1000кН/м, найти круговую частоту k ко-
колебаний двух грузов после их неупругого соударения.
489. Материальная точка массы г?» = 1кг совершает
свободные затухающие колебания в среде, создающей
силу сопротивления в 1 Н при скорости движения точки
1 м/с. С каким периодом т* колеблется эта точка, если за
два полных колебания амплитуда уменьшается в е раз?
470. Амплитуда свободных затухающих колебаний
материальной точки за время, равное пяти периодам,
уменьшилась в е раз. Найти логарифмический декремем
колебаний.
471. Материальная точка массы m—\f& кг, подвешен-
подвешенная на пружине жесткости г—ЗООН/м, совершает сво-
свободные вертикальные колебания. Какое движение будет
85

совершать эта точка при действии на нее дополнительной
силы /?=—60И Н, где v (м/с) —скорость точки, направ-
направленная вдоль вертикали?
472. Определить круговую частоту k* малых колеба-
колебаний точечной массы т=\ кг, находящейся на конце А
невесомого стержня ОЛ, закрепленного так, как показа-
показано на рисунке, если коэффициент жесткости пружины
с= 169 Н/м, коэффициент неупругого сопротивления
демпфера jii = 5 Н-с/м и ОВ — ВА. В положении равнове-
равновесия стержень горизонтален.
473. Включение демпфера приводит к возрастанию
периода свободных колебаний линейного осциллятора на
25 % по сравнению со значением периода при отсутствии
т
ж --vwww— ^
У/////////////////////////////////А
I cs l
LlM-
V с
D
К задаче 476 К задачам 478, 479
демпфирования. Каково отношение коэффициента зату-
затухания п к круговой частоте свободных незатухающих ко-
колебаний осциллятора?
474. Материальная точка совершает свободные зату-
затухающие колебания с декрементом О — ь°'75п. Установить
соотношение периода г* этих колебаний и периода т со-
соответствующих свободных колебаний точки без сопротив-
сопротивления.
475. Математический маятник массы т=2 кг и длины
/=0,49 м совершает малые затухающие колебания в сре-
среде с сопротивлением, пропорциональным первой степени
скорости; период этих колебаний т* = л/2с. Определить
коэффициент пропорциональности между силой, сопро-
сопротивления среды и скоростью, приняв g=9,8 м/с2.
476. Груз массы т=10кг, связанный с неподвижной
стеной посредством пружины жесткости с= 120 Н/м и
гидравлического демпфера с коэффициентом неупругого
сопротивления jli=20]/3 Н-с/м, начинает движение по
гладкой горизонтальной плоскости из положения равно-
равновесия с некоторой начальной скоростью и0, направленной
вдоль горизонтали. Найти первый после начала движе-
движения момент времени /ь в который усилие сопротивления
демпфера равно нулю.
86

477. Дифференциальное уравнение затухающих коле-
колебаний материальной точки вдоль горизонтальной оси Ох
имеет вид х-\-4 х-\-9 х=6 (х— в сантиметрах, t — в се-
секундах). Определить координату хв центра колебаний В
этой точки.
478. Однородный горизонтальный брус АВ массой
/Л = 10 кг закреплен на упругодемпфируюшей подвеске,
включающей две параллельно соединенные пружины
одинаковой жесткости с=25кН/м и гидравлический
демпфер с коэффициентом неупругого сопротивления
ц=0,2 кН-с/м. Определить закон движения бруса вдоль
вертикали после сообщения ему в положении равнове-
равновесия начальной скорости ио=1,4 м/с, направленный вниз.
Принять AD=DB.
479. Используя результат предыдущей задачи, опре-
определить время Т, по истечении которого амплитуда коле-
колебаний бруса уменьшится в е раз.
Вынужденные колебания
480. Груз, подвешенный на пружине, движется вдоль
вертикали при действии возмущающей силы Q =
= 10 sin B0/-f-1) Н. Пренебрегая сопротивлениями, ус-
установить значение коэффициента динамичности 6, если
статическая деформация пружины равна 9,8 см.
481. Материальная точка массы пг=\ кг, закреплен-
закрепленная на пружине жесткостью с=0,1 кН/м, движется
прямолинейно по горизонтальной гладкой плоскости при
действии возмущающей силы Q = 10sin A0H Уз); (Q —
в ньютонах; t—в секундах), направленной вдоль оси пру-
пружины. Установить закон изменения амплитуды вынуж-
вынужденных колебаний А с течением времени.
482. Груз, подвешенный на пружине жесткости с =
= 16 кН/м, подвержен действию возмущающей силы
0 = 32 sin 10Ш. Установить закон вынужденных резо-
резонансных колебаний груза, пренебрегая сопротивлениями.
483. Массивный груз, подвешенный на пружине жест-
жесткости с=0,1 кН/м, способен двигаться вдоль вертикали.
При какой возмущающей силе Q(t) вынужденные коле-
колебания груза будут точно такими же, как и при кинема-
кинематическом возмущении верхней точки крепления пружины
по закону |@ =0,02 sin 10/ (м)?
484. Колесо транспортного экипажа катится с посто-
постоянной горизонтальной скоростью и=10 м/с по неров-
неровности, заданной уравнением вида y = frsinO,2A* (x; у —
87

л метрах). В кузове экипажа, жестко связанном с цент-
центрам колеса, находится пружинный маятник с парамет-
параметрами /гс = 10 кг; с=0,1 кН/м. Пренебрегая сопротивле-
сопротивлениями и считая, что в момент начала движения центр
колеса экипажа находился на оси Оу, определить ам-
п.штуду Ь неровности, если амплитуда вынужденных
вертикальных колебаний маятника составляет Л =2 см.
К задачам
480, 482
К задаче 483
К задаче 484
"'//////////////////л
т
К задачам 485, 486
К задачам
488, 489
485. К ползуну В кривошипио-ползунного механизма
прикреплен левый конец горизонтальной пружины, име-
v щеп жесткость с—250 Н/м; к правому концу этой пру-
jMiiiLi присоединен груз массы /л = 10 кг, который мо-
аст перемещаться в горизонтальных направляющих без
тр.-чшя. Пренебрегая сопротивлениями, определить
а ■шлитуду А вынужденных колебаний груза, если крнво-
I--. т ОА длины /=0,4 м вращается с постоянной угло-
1; П скоростью @ = 3 рад/с; ОА—АВ и при ср—-0 пружи-
) .■. !:с деформирована. Установить также значение козф-

m
фнциента динамичности при выпуж ченных колебаниях
груза.
486. Каким должен быть закон вращения кривошипа
ОА в задаче 485, чтобы груз массы т двигался в резо-
резонансном режиме?
487. Материальная точка массы т—\ кг движется
вдоль горизонтальной оси Ох под действием силы Т—
=.-. (—12 л-—Збл'+sin 3t)i (H). Суперпозицией каких двух
процессов будет являться движение этой точки при за-
заданных ненулевых начальных условиях?
488. Груз массы т = 2кг,
закрепленный на упруго-
демпфирующей подвеске,
включающей две параллель-
параллельно соединенные пружины
одинаковой жесткости с =
= 144Н/м и гидравличес-
гидравлический демпфер с коэффициен-
коэффициентом сопротивления ц =
= 20Н-с/м, подвержен дей-
действию гармонической верти-
вертикальной силы Q. Определить
круговую частоту р устано-
установившихся вертикальных ко-
колебании груза, если фаза
этих колебаний отстает от фазы возмущающей силы Q
на величину е — п/4.
489. Решить задачу 488 при е = л/'2.
490. Твердое тело массы т = 20 кг совершает верти-
вертикальные вынужденные колебания на упругодемпфирую-
щей подвеске при действии вертикальной возмущающей
силы Q=20 sin 10/(H). Какому условию удовлетворяет
величина е сдвига фаз вынужденных колебаний и возму-
возмущающей силы, если жесткость пружины подвески с =
=8 кН/'м, а сила сопротивления демпфера пропорцио-
пропорциональна первой степени скорости его деформации?
491. Демпфированный осциллятор с параметрами
;и = 1кг; с=0,1 кН/'м; ц = 10Н-с/м движется вдоль
вертикала под действием периодической возмущающей
силы Q = Qos:n (pt-{-&). Во сколько раз максимальная
амплитуда вынужденных колебаний массы m превыша-
превышает резоианспио амплитуду этих колебаний?
492. К ползуну В крнвошипне-ползуппого механизма
прикреплен левый конец горизонтальной пружины, име-
имеющей жесткость с=250Н/м; к правому концу этой п; у-
К задаче 490
'/////////м
К задаче 491

жппы присоединен груз массы т = 10кг, который может
перемещаться в горизонтальных направляющих, пспыты-
ь.'.н сопротивление гидравлического демпфера, разделя-
разделяющего груз и неподвижную стену. Определить макси-
максимальную амплитуду /lmax установившихся колебаний гру-
груза, если кривошип ОА длины / = 0,12 м, вращается с
У
К задачам 492, 493
постоянной угловой скоростью; ОА=АВ; при ф = 0 пру-
пружина не деформирована; коэффициент сопротивления
демпфера ц = 80 Н • с/м.
493. Положив в условии предыдущей задачи угловую
скорость вращения кривошипа ОА равной 5 рад/с, опре-
определить коэффициент динамичности 0 при установивших-
установившихся колебаниях груза.
относительное движение мАтеридльной точки
494. Какое постоянное вертикальное ускорение а ке-
оочодимо сообщить точке подвеса математического ма-
яг.чика, чтобы он, занимая вначале горизонтальное поло-
положение, не менял его в дальнейшем?
495. К потолку неподвижного лифта подвешена пру-
пружина кссткости с=162Н/м с грузом массы т = 0,Зкг
на свободном конце, совершающим гармонические коле-
колебания. Как изменится расстояние от точки подвеса пру-
г; чны до центра колебаний груза при поступательном
движении- лифта вверх по вертикали с постоянным уско-
ускорением u~~'lj м/с2?
498. Математический маятник веса Р, прикрепленный
к потолку неподвижного лифта, совершает гармоничес-
гармонические колебания. Найти усилие натяжения Т нити этого
мятника в текущем его положении при свободном па-
д.лшн лифта.
497. В лифте, движущемся вертикально вверх с ус-
К';енпем а, осуществляется подъем груза массы in

с помощью каната, наматывающегося па барабан лебет-
кн, ь.огорьш вращается с угловым ускорением е. Опреде-
Определить усилие натяжения каната, приняв радиус бараса-
на равным г, пренебрегая сопротивлениями, а также ве-
весом каната к блока.
408. Точка подвеса математического маятника, имею-
имеющего длину /—1 м, закреплена на свободном конце пе-
растяжимого каната, намотанного на шкив радиуса г —
К задаче 493
Л задаче 499
К задаче 500
= 0,5 м. Пренебрегая сопротивлениями, а также масса-
массами всех ллемеш'св енсюмы, кроме точечной массы т
ыая'П1Пка, определип> 1!ернод % малых иыося1СЛЫ1ЫХ ко-
колебаний этого маяи.чичя, если шкив вращайся с угло-
угловым ускорением е= 12 рад/с2. При расчс;е нрииягь ус-
ускорение свободного иаделия g = 10 м/с-'.
499. Жесткий стер>ке;;ь, изогнутый по окружности ра-
радиуса R ч имеющий длииу l—nR/"d, npnijapeii к верти-
вертикальному валу. По сгержшо может скользнть C<-:i треш.л
тяжелый шарик, текущее положение коюриго iia cie['.-.;-
не характеризуется углом ф. Вал приводи:(.л ьо лраще-
ннс iij с0С1Ояння иоъон, нрп котором гр^-=!^>-0, а па-
чальпая оаюетелыид c^opociL шарика равна пу.ли.

При какой минимальной угловой скорости to,r,in враще-
вращения впла шарик сорвется со стержня?
500. На правом конце лежащей неподвижно горизон-
горизонтальной доски длины / находится брусок длины Ь. Дос-
Доске сообщено постоянное ускорение а, направленное
вправо по горизонтали. Пренебрегая трением, найти вре-
время t, по истечении которого брусок достигает левого кон-
конца доски.
501. Решить предыдущую задачу с учетом коэффици-
коэффициента трения скольжения / между контактирующими по-
поверхностями бруска и доски.
502. Диск вращается в показанном на рисунке на-
направлении с постоянной угловой скоростью со—2 рад/с
от
К задачам 502, 503
К задаче 505
вокруг горизонтальной оси, проходящей через его цента
О. Вдоль хорды А В просверлен капал (Л =0,5 м), пи ко-
которому в направлении от А к В равномерно движется
материальная точка массы т=0,\ кг с относительной
скоростью 17=2 м/с. Определить модуль и направление
добавочного динамического давления Лг точки на стенку
канала в положении, показанном на рисунке, когда точ-
точка находится в середине канала.
503. С какой угловой скоростью, но в направлении,
противоположном показанному на рисунке, должен вра-
вращаться д:;ск. чюйы в том же положении материальной
точки т ее добавочное динамическое давление на стен-
стенку канала было равно нулю? Все остальные данные за-
задачи 502 остаются неизменными.
504. Вертикальный вал с ирпиаренным к нему под уг-
углом а жестким прямолинейным стержнем длиной / раз-
1 «мерно вращается с уг.;овой скоростью ш. На стер/ке ;ь
насажен шарик массы т, который может перемещаться

относительно стержня, Найти силу трения гтр в Meet с
контакта шарика и стержня, при которой шарик нахо-
находится в относительном покое на середине стержня.
505. Жесткий криволинейный стержень равномерно
вращается вокруг неподвижной вертикальной оси. На
стержень насажен тяжелый шарик, который может без
трения перемещаться относительно стержня. По какой
кривой должен быть изогнут стержень, чтобы шарик мог
находиться в относительном покое в любом месте этого
стержня?
506. Брусок с закрепленным на нем математическим
маятником скользит без трения по наклонной плоско-
К задаче 506
К задаче 509
сти, составляющей с горизонтом угол а. Найти силу на-
натяжения S нити маятника в состоянии его покоя отно-
относительно бруска, если вес груза маятника равен G.
507. Жесткий стержень, изогнутый по дуге окружно-
окружности радиуса R, равномерно вращается вокруг неподвиж-
неподвижной вертикальной оси с угловой скоростью и. На стер-
стержень насажен тяжелый шарик, который может переме-
перемещаться относительно стержня. Пренебрегая трением,
определить радиус г окружности, которую описывает этот
шарик в состоянии относительного покоя.
508. Прямолинейный стержень ОА вращается в го-
горизонтальной плоскости вокруг оси, перпендикулярной
этой плоскости и проходящей через конец О стержня, с
постоянной угловой скоростью (о=5 рад/с. Вдоль стерж-
стержня может перемещаться ползун В, закрепленный с по-
помощью двух одинаковых пружин жесткости с=325Н/ч
каждая. Пренебрегая сопротивлениями, определить кру-
круговую частоту k относительных колебаний ползуна, ес-
если его масса т — \ кг.
509. Шарнирный параллелограмм ОАВО-, движетгя
в вертикальной плоскоеi и. Стержни ОА и OtB длнпи I
вращаются с постоянной угловой скоростью со вокруг
03

соответствующих горизонтальных осей О и Ох. Стержень
А. В несет на себе подпружиненный ползун С массы т.
Пренебрегая трением, определить разность максималь-
максимального и минимального давлений ползуна С на стержень
АВ.
510. Груз, подвешенный на пружине, вызывает ее
статическую деформацию, равную /. Какова будет мак-
максимальная деформация лтях этой пружины, если точка
ее подвеса получит постоянное, направленное вертикаль-
вертикально вверх ускорение a=g?
511. Груз массы /п=10 кг прикреплен к станине с
помощью пружины жесткости с=4 кН/м. Пренебрегая
п
уШ^Ш
К задаче 511
К задаче 512
трением, определить максимальную деформацию
г.ружины, если станина начнет двигаться с постоянным
горизонтальным ускорением о==3 м/с2 из состояния по-
покоя, в котором пружина не деформирована.
512. Тележка массы ти транспортирующая груз мас-
массы т2, ударяет с начальной скоростью tv, в пружинный
амортизатор жесткости с, закрепленный на неподвижной
стене. Какому условию должен удовлетворять коэффи-
коэффициент трения скольжения между контактными поверхно-
поверхностями груза и тележки, чтобы в процессе удара груз не
смещался относительно тележки?
МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА.
МАССА СИСТЕМ.Ь! И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАСС
513. Дана система п свободных материальных точек,
расположенных в пространстве. Каково должно быть
минимальное число идеальных стержней, связывающих
эти точки, чтобы система стала неизменяемой?
514. Неизменяемая механическая система состоит из
трех материальных точек одинаковой массы и имеющих
координаты: Л,@; 0; 0); Л2@; 0; /); Л3(/; /; /). Найти
радиус-вектор центра масс С этой системы.
84

515. Найти положение центра масс С системы, со-
состоящей из тонкого однородного стержня АВ массы т л
длины /, и точечной массы 2т, расположенной на кон-
конце В стержня.
516. Найти ординату ус центра масс системы из трех
однородных стержней массы т и длины / каждый, со-
составляющих равносторонний треугольник ОАВ, и трех
одинаковых точечных масс т, расположенных в верши-
вершинах треугольника.
517. В трех вершинах куба, ребро которого равно а,
расположены точечные массы; при этом /?ц = /я2 = >яз=
т,
И А
m7
К задаче 515
К задаче 516
К задаче 517
— т. Определить координаты центра масс этой систе-
системы, пренебрегая массой куба.
518. Как изменится осевой момент инерции некото-
некоторой механической системы с уменьшением всех линей-
линейных размеров в два раза при одновременном увеличе-
увеличении ее массы в три раза?
519. Механическая система состоит из четырех оди-
одинаковых материальных точек, расположенных в верши-
вершинах куба так, как показано на рисунке. Пренебрегая
массой куба, установить полярный момент инерции ме-
механической системы относи1ельно начала координат О,
если массы точек равны т, а ребро куба — а.
520. Тело состоит из двух элементов, выполненных в
виде массивного однородного шара радиуса г и невесо-
невесомого горизонтального сгержня. Какова должна быть
длина / этого смержня, чтобы момент инерцшпела отно-
относительно вертикальной осп вращения Ог был в 11 раз
больше осевого центрального момеша инерции шара?
521. Определить момент инерции однородною сплош-
сплошного цилиндра массы М и радиуса основания R относи-
относительно любой осн. совпадающей с образующей цллнадра.
522. Каково oiношение момента инерции еднородпо-

го шара относительно его центра к моменту инерции
этого же шара относительно любой из осей симметрии?
523. Определить момент инерции однородного шара
массы М и радиуса R относительно любой оси, каса-
касательной к его поверхности.
524. Однородные шар и прямой круговой конус име-
имеют одинаковую массу. Каково соотношение радиусов
инерции этих тел относительно осей симметрии, если
радиус основания конуса и радиус шара равны между
собой?
525. Найти соотношение осевых моментов инерции
и /2 однородного куба относительно двух централь-
о
Л задаче 519
К задаче 520
К задачам 526, 535
пых осей, одна из которых перпендикулярна грани куба,
а вторая совпадает с его диагональю.
526. Найти момент инерции тонкого -однородного
диска массы М и радиуса R относительно оси, проходя-
проходящей через точку О перпендикулярно плоскости диска,
527. Определить момент инерции тонкого однородно-
однородного кольца массы М и радиуса R относительно оси, про-
проходящей через точку О перпендикулярно плоскости
кольца.
528. Найти момент инерции тонкого однородного
стержня АВ массы М и длины / относительно оси, про-
проходящей через точку О перпендикулярно стержню, если
АО = 1/4.
529. Дискретная неизменяемая механическая систе-
система состоит из девяти материальных точек, расположен-
расположенных по объему куба так, как показано на рисунке. Каков
осевой момент инерции 1Х этой системы, если М=2т,
г ребро куба равно /? Массой куба пренебречь.
530. Определить момент инерции IAz системы, состоя-
состоящей из тонкого однородного стержня АВ веса Р и дли-
длины / и однородного тонкого диска веса Р и радиуса г—

= 44, относительно оси, проходящей через точку А пер-
перпендикулярно плоскости чертежа.
531. На рисунке показан однородный диск радиуса R
и массы М. Определить момент инерции диска относи-
относительно осп KL, проходящей через точку Д в плоскости
К задаче 527
К задаче 528
К задаче 52?
К задаче 530
К задаче 531
К задаче 532
О (/г, если точка /{ лежит на оси Оу п отстоит от диска
на расстоянии /?, а ось ДХ составляет с осью Оу
у гот 45°.
532. Даны четыре однородных тела одинаковой мас-
сь.: тонкое кольцо, диск, конус н шар. Как относятся
между собой моменты инерции этих тел относительно
вертикальных осей симметрии?
7—639
97

533. Материальная точка массы т=5 кг имеет ко-
координаты A; 2; 3), выраженные в метрах. Каков цент-
центробежный момент инерции lzx этой точки?
534. Неизменяемая механическая система состоит из
восьми одинаковых точек массы т=\ кг каждая и раз-
размещенных в вершинах куба со стороной а=\ м. Опре-
Определить центробежный момент инерции 1Ху этой системы,
пренебрегая массой куба.
m <
l
/
p
m
m
\/a
■Mm
m
a
m
К задаче 534
К задачам 536, 537
К задаче S38
Ой.
К задаче 539
535. Найти радиус инерции од-
однородного диска массы М и радиу-
радиуса R относительно оси, проходящей
через точку О перпендикулярно
плоское m диска, если OC=R/2
(см. рисунок к задаче 526).
536. Однородное твердое тело,
поверхность которого образована
вращением плоской кривой z=ky2
вокруг оси Ог, имеет высоту Н i\
изготовлено из материала плотно-
плотности у. Определить момент инерции этого тела относи-
относите ::л:о оси Ог .если радиус основания тела равен R.
537. Однородное твердое тело, поверхность i-.oroporo
об'НиЮвапа вращением плоской кривой z~ky- вокруг
оси Ог, имеет рпдпус основания R и массу М. Найти
момент инерции згого ic,ia относительно оси Oz.
538. Определить радиус инерции угольника ЛВС ог-
поапедьно осп, проходящей черел точку Л перпендику-
перпендикулярно его плоскости. Угольник соиавлен из двух тон-
Kii.\ однородных ст^жией АВ и ВС, длины которых рав-
т; ЛВ-—1. ВС=='21, а массы шЛй—т, тцс—2т.
98

539. Дискретная неизменяемая механическая система
состоит из четырех материальных точек О, А, В, D,
размещенных в вершинах квадрата со стороной 2/ и
имеющих массы т, Зт, 2т и 4т соответственно. Найти
ординату уа такой геометрической точки О\, для кото-
которой проходящая через нее ось О\Уи перпендикулярная
горизонтальной стороне квадрата и делящая ее пополам,
является главной осью инерции системы.
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
Теорема о движении центра масс
540. Однородный прямолинейный стержень ОА вра-
вращается вокруг неподвижной оси, перпендикулярной
стержню и проходящей через его конец О, в соответст-
соответствии с уравнением ф=я/2/2. Установить направление
главного вектора 7?(G) внешних сил, действующих на
стержень, при £=0.
К задаче 540 К задаче 541
541. Однородный диск радиуса г—0,2 м и массы
М —30 кг вращается вокруг неподвижной оси О, пер-
перпендикулярной плоскости диска и отстоящей от его
центра С па расстоянии ОС — /'. Определить модуль
главного вектора к{р) внешних сил, действующих па
диск, в момент времени, когда угловая скорость диска
со=1 рад/с, а его угловое ускорение е=4 УЪ рад/с2.
542. В механизме эллипсографа масса кривошипа ОА
равна 2/п, а масса каждого из ползунов В и D—т. Най-
Найти траекторию центра масс механизма, если OA—l, a
длина невесомой линейки BD равна 11, причем BA—AD.
543. Считая звенья шарнирного ромба ОАВО\ одно-
однородными стержнями одинаковой массы, определить тра-
траекторию его центра масс, если ОА =АВ—ВО1 — 1.
7* 99

544. Эллиптический маятник состоит из тела массы
n?i, которое может перемещаться поступательно по
гладкой горизонтальной плоскости, и точечного грузи
массы 1П2, связанного с телом невесомым жестким
стержнем. Определить форму траектории центра масс
маятника при его движении.
545. Три груза масс ти /щ, /п3, связанные невесомы-
невесомыми пружинами, находятся па гладкой горизонтальной
плоскости в состоянии покоя при недеформированных
пружинах. Через некоторое время, после того как край-
крайние грузы были сведены и отпущены без начальной ско-
У У
j- i
х
/г/УУ/У/УУл^/Я^фУ/УУУ'' х
К задаче 543
К задаче 544
УУУ//УУУ
-AW- Щ
УУУ////уУу77/УУУ//У//?у7у/У////уу7~х,
К задаче 545
К задаче 546
ростн, зафиксированы абсолютные перемещения всех
трех грузов вдоль оси Ох; \х=—5/; Ъ. = 1; 5з=2/. Оп-
Определить массу т2 среднего груза, если массы двух
крайних грузов mi = m3=m.
546. Механическая система состоит из двух призм
масс Ш\ = 3 кг и т2=:4 кг, опирающихся на гладкие
взаимно перпендикулярные плоскости. Считая извест-
известными угол а=45° и ускорение й=21 см/с2 нижней
призмы, движущейся по горизонтали, найти ускорение
ас центра масс системы.
547. Механическая система состоит из призматическо-
призматического тела А массы mi, которое может перемешаться по-
е;упательно по гладкой горизонтальной плоскости, а
прикрепленного к этому телу невесомого же-
J00

сткого стержня OB длины / с точечным грузом В массы
т2 на свободном конце. Приняв состояние покоя систе-
системы за исходное, определить перемещение тела А при
повороте стержня ОВ парой сил из горизонтального по-
положения 1 в вертикальное положение //.
548. Полый цилиндр веса F\ и радиуса R, закреплен-
закрепленный в колодке, может скользить без трения по горизон-
горизонтальной плоскости. Внутри цилиндра находится шарик
Ж
А
К задача 547 К задаче 548
/77,
£ А Ао
К задаче 549
-\\v-A
ii /'
■у
О
К задаче 550
X
ii1-
К задаче 55!
веса Р2, который из положения, показанного на рисунке,
начинает двигаться вниз по поверхности цилиндра без
начальной скорости. Определить перемещение х цилинд-
цилиндра по опорной плоскости к моменту времени, когда ша-
шарик займет внутри цилиндра крайнее нижнее поло-
положение.
549. Однородный стержень АВ длины 2/ опирается
концом Л па гладкую горизонтальную плоскость, при
этом в начальный момент угол наклона стержня к пло-
плоскости ранен tpo=603. Затем стержню предоставляют
возможность из состояния покоя свободно опускаться
на плоскость. Определить смещение AqA опорного конца
стержня к моменту, когда угол наклона стержня к пло-
плоское i и станет равным 30°.
550. Груз массы т-,—-2 кг закреплен па станине мас-
массы Шг=48 кг с помощью двух одинаковых пружин лее-
131

сткости с=2.5кН/м каждая. Груз и станина находились
в покое, а пружины были не деформированы. В некото-
некоторый момент времени груз отклонили от положения рав-
равновесия па величину *r,.i = 5 см вправо и отпустили без
начальной скорости. Отсчитывая координату Л'2 центра
тяжести станины or положения равновесия груза, найти
закон движения станины Л'2=Л'2(О-
551. По проволочной направляющей вдоль диагона-
диагонали вериксальпой квадратной рамы массы иг, сюявшей
а
К задаче 552
К задаче 553
неподвижно на гладкой горизонтальной плоскости, от-
отпущен из состояния покоя точечный груз А такой же
массы. Найти реакцию упора В, препятствующего сме-
смещению рамы по опорной плоскости.
■ 552. Звенья ОА и AlB кривошипио-ползунного меха-
механизма представляют собой однородные стержни длины /
н массы т каждый. Определить максимальное значение
Rmcx. горизонтальной составляющей реакции шарнира О
механизме:, если )гловая скорость вращения кривошипа
ОА постоянна п рав.ча ю, а масса ползуна В равна т.
Сопротивлениями движению пренебречь.
553. Рок/р вибратора с закрепленным на нем деба-
ла1»;ом в виде полуцилиндра радиуса R и массы ти
равномерно вращается с уктовой скоростью со. Станина
вибратора массы т2 установлена на гладком горизон-
горизонтальном фундамеше. Пренебрегая массой ротора п кор-
корила B!ioj):iгора, определи 1ь макги./.илыгое v-'Uvsne .V,,l4,Xj
iic;ic.;ai(;.i;cf.;i па фчндамеп! при pa&oie вибратора.
Теорема об изменении количества дзижекия
«о4. материальная Ю'зка !!a«.:;i двигаться из со-
С:о«1.ня покоя прямолинейно иод лспс1в;:ем cjkiu /■-^=
--kl' (/г — const, I—-время». Опре icaii'ih модуль ko.ui-
■iC^-ija ды:>кс«шя точки через lc после начали дьи:п.еиал,

555. Материальная точка массы т движется в пло-
плоскости Оху согласно уравнениям x==asin kt; y=
= bcoskl, где k, a, b—постоянные положительные ко-
коэффициенты. Найти импульс s сил, действующих на точ-
точку, за время перемещения ее в первом квадранте
плоскости Оху,
556. Материальная точка массы т равномерно дви-
движется по окружности со скоростью v. Найти импульс s
равнодействующей сил, приложенных к точке, за время
прохождения четверти окружности.
557. Сохранив условие предыдущей задачи, найти
импульс s равнодействующей за время t=nr/v, где г —
радиус окружности.
К задзче 559
К задзче 563
558. Mix свободную материальную точку массы м —
= 2 кг, движущуюся вдоль прямой, в течение времени
/==6с н направлении перемещения точки действует по-
постоянная сила /Г0=10Н. Найти приращение Ду скоро-
скорости этой точки за время действия силы.
559. Свободная материальная точка массы т начи-
начинает прямолинейное движение из состояния покоя под
действием силы F = F{1), график изменения которой во
времени представляв1; собой полуокру,'■: нос ih радиуса R.
Найти скорость v ioikh в момент времени /, численно
равный /?.
560. В данный момент времени скорость ползуна А
линейки ЛВ эллипсографа равна и=1м/с, а линейка
составляет с осью Ох угол 30е. Масса линейки равна
2 кг, длина 1 м. Пренебрегая массой ползунов н считая
линейку топким однородным стержнем, определить мо-
модуль количества движения линейки.
361. Два груза одинаковой массы т закреплены по
концам невесомого церастяжнмого каната, переброшен-
переброшенного через однородный шкив массы т и радиуса г. Зная
103

угловую скорость el вращения шкива и пренебрегая про-
проскальзыванием каната относительно шкива, определить
количество движения данной механической системы.
582. Неизменяемая механическая система из трех
материальных точек .4, В н D одинаковой массы т, раз-
размещенных в вершинах равностороннего стержневого
треугольника, движется в плоскости этого треугольника.
В положения, изображенном на рисунке, скорости точек
А и D одинаковы, равны и и направлены перпендику»
К задаче
К задаче 563 К задаче 5£4
лярно линии AD в противоположные стороны. Опреде-
Определить модуль и направление вектора Q количества дви-
движения системы в данном ее положении, пренебрегая
массой стержней треугольника.
563. Массы груза Л и колеса В механической систе-
системы одинаковы и равны т. Верхняя ветвь каната, пере-
переброшенного через блок, горизонтальна. Пренебрегая
массой каната и блока, а также проскальзыванием ко-
колеса на опорной плоскости, по заданному закону дви-
движения груза s= ~n~kt2 (&=consl, t — время) определить
молу.чь количества движения Q системы.
564. О июродная пластина, выполненная в виде
полукруга радиуса/?, равномерно вращается вокруг вер-
вертикальной оси г с угловой скоростью со. Определить мо-
модуль количества движения Q пластины, если ее толши-
ha равна !г, а плотность материала, из которого изготов-
изготовлена пластина, равна -у-
565. К колесу 2 планетарного механизма при пом\>-
L:;i шарнира В присоединен шатун ВС, конец С кото-
104

рого перемещается в горизонтальных направляющих.
Угловая скорость кривошипа ОА равна со, п в данный
момент криЕошпп вертикален. Массы звеньев составля-
составляют т2=тоА=п1вс = 1п; тс —— т. Радиусы колес оди-
одинаковы и равны R. Определить модуль количества дви-
движения механизма в положении, показанном на рисун-
рисунке, когда шарнир В совпадает с наивысшей точкой
колеса 2.
568. Тело начинает прямолинейное поступательное
движение по шероховатой горизонтальной плоскости со
:■.:■?..
К задаче 565
///
К задаче 567
i I
и
1
■I
К задаче 570
1
В
1
и!
w
У. уУУ/УУ/У.'У::УУУ/''.//У7.',- УУУУУУУУ/,'
К задаче 568
скоростью Uo=24,5 м/с. Через 5 с после начала движе-
движения скорость тела уменьшилась вдвое. Определить ко-
коэффициент трения / скольжения тела по плоскости.
587. Кривошннпо-ползупный механизм прикреплен к
станине массы т, установленной па гладком горизон-
горизонтальном фундаменте. Масса ползуна В механизма рав-
равна /И]. Пренебрегая массой звеньев О А и АВ, длины ко-
которых одинаковы и равны /, найти максимальное зна-
значение (.'щах горизонтальной скорости станины, если
кривошип ОА вращается с постоянной угловой скоро-
скоростью ш н при г — 0 угол ф = 0.
568. Два вагона масс /Д]=20 т и /;г2=30 т, двигав-
двигавшиеся навстречу друг другу по горизонтальному прямо-
прямолинейному участку пути со скоростями £.'1=3 м/с и v^ =
105

==2,5 м/с соответственно, сцеиляюил посе соударения.
Пренебрегая сопротивлениями движению, определить
модуль п направление скорости v сцепа.
569. От многоступенчатой ракеты массы М с отни-
сительной скоростью и отделяется отработавшая сту-
ступень массы т. Определить приращение Av скорости ра-
ракеты в момент отделения ступени.
К задаче 571
570. Горизонтальная водопроводная труба АВ длины
/=2,5 м и поперечным сечением S = 5cm2 своим левым
концом А жестко закреплена в монолитной стене. Пра-
Правый конец трубы загнут под прямым углом так, что во-
вода вытекает из трубы строго по вертикали вниз. Опре-
Определить реактивный момент МА, появляющийся в задел-
]•- Л трубы вследствие истечения из нее воды со
с. ;рость:о ;- = 4 м;с.
571. Через участки трубы постоянного сечения и раз-
.'-: • ной фору, и со скоростью v протекает жидкость, за-
г" .'-{якчм'-'л вес сечешге трубы. Направление устаповив-
и.- гося дв;,же'н;я жидкости указано на рисунке стрел-
к;: viii. Полагая вес участков трубы и заполняющей их
>!'.11дкостн одинаковыми во всех четырех случаях,устано-
р гь, в каком из этих случаев сила нормального давле-
' :л трубы на основание оказывается наибольшей.
572. Из сосуда, наполненного водой, вытекает струя
•'.-•рез вы ..очное отверстие диаметра d=4 см. Среднее
г-ризонтальное давление па стенки сосуда равно
1 /5,6 Н. Определить скорость v струи, пренебрегая по-
гчжеинем уровня воды в сосуде.
573. Из резервуара под давлением вытекает струя
}! 1ЛКОСТП с вертикальной скоростью в начальный мо-
ь м.т v=2 м/с. Определить площадь S2 поперечного се-
4i .:ня струн после того, как она пройдет расстояние /г —
1G6

= 0,255 м по вертикали, если поперечное сечение выход-
выходного отверстия резервуара Si=3 см2.
>/574. Вертикальная неподвижная стеклянная пласти-
пластина АВ омывается водой из шланга. Определить, с какой
наибольшей скоростью и может вытекать струя воды,
если давление на пластину не должно превышать 62,8 Н.
Диаметр выходного отверстия шланга равен 4 см. Ско-
Скорость растекания воды направлена вдоль пластины.
575. Изолированная материальная точка переменной
массы движется прямолинейно согласно уравнению s=
—kt2, где £ = const>0. Найти закон изменения массы
v
К задаче 572
К задаче 573
К задаче 574
точки во времени, если начальная ее масса равна ш6,
а относительная скорость v, отделяющихся от точки
частиц постоянна.
576. Масса изолированной материальной точки изме-
изменяется по закону гп—то — at, где то—начальная мас-
масса точки; « = const>0. Определить закон изменения
скорости точки t>(/), если начальная скорость точки
равна нулю, а относительная скорость i> отделяющихся
от нее чаггпц i;ocfo;ini;<j.
577. Модели ракеты, Имевшая в момент старта вес
Р = ЮИ, поднимается вершкалыю вверх. Пренебрегая
сопротивлениями движегмио ракегы, определить ее ус-
ускорение, если относительная скорость не течения продук-
продуктов сгорания топлива с —J000 м/с. а секундный расход
топлива составляет 0,05 кг, с.
578. Ракета движется в однородном ноле силы тяже-
тяжести oi'joc'Ki'.vibiio нперцналыюй системы отсчета О\-.г
.'jJi с уравнениями x — iu:y—ut; ^~--аг,
JU7

где а, й, с — постоянные коэффициенты. Масса ракеты
изменяется по закону m(t)=moe~kt, где k — заданная
константа. Пренебрегая сопротивлениями движению
ракеты, определить действующую на нее реактивную
силу Ф в момент времени, при котором начальная масса
ракеты уменьшится в е раз.
Теорема об изменении момента количества
579. Материальная точка массы т = 5 кг в данный
момент времени имеет скорость и = Зу-2/-|-й, а ее по-
положение относительно неподвижной системы отсчета
Oxyz определяется радиусом-вектором f—2Z+2/+&
(и — в метрах в секунду; г —в метрах). Найти модуль
момента количества движения этой точки относительно
начала координат О.
viH
К задаче 580
К задаче 581
К задаче 584
580. Материальная точка В массы т — \ кг движется
по окружности радиуса г=1 м согласно закону s =
= ^J30£=2/cos — t (Во — начальное положение точки
на окружности; 5 — в метрах; t— в секундах). Опреде-
Определить момент количества движения этой точки относи-
относительно оси Ог, перпендикулярной плоскости движения
точки, при t=\ с.
581. Материальная точка А движется по эллиптиче-
эллиптической траектории с полуосями 1Х = 5 см и 1У==3 см под
действием силы притяжения F к центру Оь совпадаю-
совпадающему с одним из фокусов эллипса. Определить скорость
и2 этой точки в положении Л2, если в положении А{ ее
скорость v\=27 см/с.
582. Материальная точка движется под действием
силы притяжения к началу О неподвижной системы ко-
108

ординат Oxyz. В момент времени t\, когда положение
точки определяется_раднусом-вектором n—ir\-j-\-2k, ее
скорость Vi=3i-\-2j-\-k (г — в метрах; v — в метрах в
секунду). Определить проекцию скорости Vq точки на
координатную ось Ох в момент времени f2, когда ради-
радиус-вектор r2=2i.-\-2i+4k,_a проекция и2г=1,5м/с. Найти
также модуль скорости v% рассматриваемой точки в мо-
момент времени B-
v
К задаче 585
К задаче 586
К задаче 587
583. Однородный сплошной диск массы УИ = 1О кг и
радиуса г=0,1 м вращается вокруг вертикальной оси
Oz, перпендикулярной плоскости диска, согласно закону
Ф=—t3—t2 + t (ф—в радианах; t—в секундах). По
О
ободу диска против хода часовой стрелки равномерно
движется материальная точка массы т=0,1 кг с отно-
относительной скоростью и=\ м/с. Определить кинетиче-
кинетический момент системы «диск—-точка» относительно оси
Oz при t—\ с, если угол поворота ф диска отсчитывает-
ся против хода часовой стрелки.
584. Однородный диск массы М и радиуса R катится
без скольжения по прямолинейному рельсу. Определить
кинетический момент диска относительно его мгновен-
мгновенной оси вращения, если скорость Ус центра С диска по-
постоянна.
585. Однородный диск массы М и радиуса R катится
без скольжения по прямолинейному рельсу. Центр С
диска имеет скорость v. С такой же по модулю ско-
скоростью v' по ободу диска движется материальная точка
массы т. Определить кинетический момент системы
«диск—-точка» относительно мгновенной оси вращения
109

диска, когда точка достигнет наивысшего положения на
диске.
586. Найти кинетический момент системы, состоящей
из линейки DAB массы 1т и длины 2/ и ползунов В и
D массы т каждый, относительно мгновенной оси вра-
вращения линейки, если ОА—AD—AB — l, угловая ско-
скорость невесомого кривошипа ОА равна со, угол АОВ ра-
равен 30°. Линейку считать тонким однородным стержнем.
587. Однородный прямолинейный стержень ОА мас-
массы т и длины / вращается с угловой скоростью со вокруг
неподвижной оси Oz, На свободном конце А стержня
z
К задаче 588
шарппрпо закреплен диск массы М — т, который вра-
вращается относительно стержня с той же по модулю, но
противоположно направленной уповой скоростью со.
Найти момент количества движения системы относи-
относительно оси Ог.
' 583. Fpyj веса Р, подвешен па нити, обмотанной во-
к.нг цилиндрического барабана веса Р2 и радиуса г.
Пренебрегая трением и массой нити, определить угловое
ускорение г. барабана, а также усилие S натяжения нити.
589. Система состоит из однородного горизонтально-
горизонтального стержня длины 21 и массы т, а также двух точечных
масс /и, закрепленных на его концах. Система начинает
к;-а!цаться из состояния покоя вокруг неподвижной вер-
■. чкя.льг.оГ! оси Ог под действием постоянного вращаю-
вращающего мом'-чпа Mr, Определять зависимость угловой ско-
скорости 01 системы от временя /.
500. Деэ одинаковых груза подвешены на нерастя-
жпмых невесомых тросах, намотанных па сплошные од-
гиродиые цилиндры разных масс: Л'?! —12 кг: Л12—5 кг.
Пренебрегая сопротивлениями, найти массу т каждого
р. f грузов, если время опускания их из состояния покоя
НО

па одну и ту же высоту h составляет соответственно t\ =
=4 с; ;2 = 3 с.
591. Одинаковые грузы массы m = l кг каждый под-
подвешены на нерастяжимых невесомых тросах, намотан-
намотанных па сплошные однородные цилиндры ра.лшх масс:
Mi = 14 кг; М2=2кг. Пренебрегая сопротивлениям»,
найти отношение промежутков времени t\ и /2, соответ-
соответствующих опусканию выведенных из состояния покоя
грузов на заданную высоту h.
л/,
\
А
т
К задачам 590, 591
|{ задачам 592,
593
К задаче 594
592. Системе, состоящей из однородной квадратной
пластины ABCD и находящейся в вершине В этой пла-
пластины материальной точки Л', сообщено вращение с уг-
угловой скоростью и' вокруг вертикальной оси, совпадаю-
совпадающей со стороной АО пластины. В некоторый момент
времени материальная точки М из состояния относи-
относительного покоя начинает двигаться вдоль диагонального
желоба IJD в плоскости пластины. Чему будет равна
угловая скорость «i вращения системы, когда .waiepii-
альмая точка окажеюя в по.юженпп О. *.•-'■ л и масса п.т.ч-
cxi-iпы г, три раза больше массы мг.геь-.чалыюй тсксн?
593. Схлранив условие задач!! 51J определить \ гло-
вое чекере-иле к системы в момент времен;!, когда \;л?е-

риальная точка М окажется в середине желоба, т.е.
BM=MD. Сторону квадратной пластины принять рав-
равной /.
594. Зубчатая передача состоит из двух колес, ра-
радиуса которых г\ и г2, а соответствующие осевые момен-
моменты инерции /[ и /2. К первому колесу приложен враща-
вращающий момент //1вр, на второе действует момент сил со-
сопротивления Мс. С учетом заданных соотношений
А1С=— МЩ1] г2=2гг, h=l%=l определить угловое уско-
ускорение ei первого колеса передачи, а также окружное уси-
усилие S взаимодействия колес в контактной точке.
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Элементарная теория гироскопов
595. Какой вращающий момент Мвр необходимо при-
приложить к однородному, тонкому и прямолинейному стер-
стержню длины / и веса Р, чтобы привести его во вращение
с угловым ускорением е вокруг центральной оси, перпен-
перпендикулярной стержню?
596. Маховик с моментом инерции относительно не-
неподвижной оси вращения, равным / = 15кг-м2, разгоня-
разгоняется из состояния покоя при действии постоянного вра-
вращающего момента МБр=75Н-м. Пренебрегая сопротив-
сопротивлениями, установить, по истечении какого времени t
маховик npnoopeiaei заданную частоту вращения п—
=- 150об/мнн.
597. К барабану, момент инерции которого относи-
тедько оси вращения равен /. приложен вращающий мо-
меат МВЬ=А sin kt, где А и к— постоянные величины.
Пренебрегая трением, определить угловую скорость ба-
барабана со в момент Бремени t{=^n/k, если соо=О.
598. Однородная тонкая пластинка в виде прямо-
прямоугольного треугольника с катетами а=0Л м приводится.
г.'- вращение из состояния покоя постоянным моментом
Л!, -_-4Н-м вокруг вертикальной оси, совпадающей с
0j1i»..m h:$ катетов. Пренебрегая сопротивлениями, найти
закон вращения пластинки ц~ц @, если при t = 0 угол
<f=0, а масса пластинки /к=2 кг.
599. Однородный тонкий прямолинейный стержень
АО массы Л1=1кг и длины / = 2м жестко прикреплен
г-1 прямым углом к вертикальной осп так. что АВ =
-- /j/. Пренебрегая сопротазлекнямн, определить угло-

вое ускорение е стержня под действием вращающего мо-
момента Л1вр=4Н-м.
600. Найти соотношение угловых ускорений верти-
вертикального невесомого вала с приваренным к нему тон-
тонким однородным прямолинейным стержнем при дейст-
действии заданного вращающего момента Мвр в двух раз-
различных случаях, когда Ki=90° и а2=30°.
К задаче 601
601. Однородный конус массы Л1 = 10кг п радиуса ос-
основания /? = 0,2м, находившийся в покое, действием по-
постоянного момента Л/В]>—GH-м приводится во враще-
вращение вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью
симметрии конуса. Пренебрегая сопротивлениями, устано-
установить, за какое время t конус приобретает угловую ско-
скорость со = 20 рад/с.
602. Однородные конус и сплошной цилиндр равных
масс и одинаковых радиусов оснований имеют оси вра-
вращения, совпадающие с продольными осями симметрии
этих тел. Найти соотношение промежутков времени г.
и t-i, за которые цилиндр п конус действием одного и Т'.>-
8—659 ИЗ

го же вращающего момента Мвр разгоняются из состоя-
состояния покоя до заданной угловой скорости со.
603. Квадрат, составленный из тонких однородных
стержней, жестко и симметрично закреплен на верти-
вертикальном невесомом валу, к которому приложен враща-
вращающий момент Мвр (рис. а). Во сколько раз необходимо
увеличить этот момент, чтобы при совмещении оси вра-
вращения с одной из сторон квадрата угловое ускорение его
не изменилось?
604. Равносторонний треугольник, составленный из
тонких однородных стержней, жестко скреплен с верти-
К задаче 604
К задаче 605
кальным невесомым валом по схемам /, 2, 3. Найти со-
соотношение угловых ускорений вала в каждом из трех
случаев при действии на него одного и того же враща-
вращающего момента.
605. Два однородных тела одинакового веса, выпол-
выполненные в виде куба и шара, вращаются вокруг централь-
центральных осей под действием постоянного вращающего мо-
момента. Каково должно быть соотношение размеров реб-
ребра а куба и радиуса г шара, чтобы время, необходимое
для разгона обоих тел из состояния покоя до заданной
угловой скорости, было одинаковым?
606. Угольник ОАВ состоит из двух тонких однород-
однородных стержней ОА и АВ, при этом длины их равны ОЛ =
= /, AS=2/, а массы тоА = т\ гпав^^Ъгп. В начальный
момент стержень ОА горизонтален и угольник находит-
находится в покое, а затем ему предоставляют возможность
вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизон-
горизонтальной оси О. Определить угловое ускорение угольни-
угольника в момент, когда угол поворота ср будет равен я/2, ес-
если ОА±АВ,
114

607. Сохраняя условие предыдущей задачи, опреде-
определить угол ф, при котором угловое ускорение угольника
будет иметь максимальное значение.
/ 608. Однородный круглый диск массы М=\ кг и ра-
радиуса R=\ м, расположенный в горизонтальной плоско-
плоскости, вращается вокруг вертикальной оси проходящей на
расстоянии ОС= — от центра диска, под действием по-
постоянного вращающего момента Мвр==ЗН-м. Опреде-
Определить угловую скорость диска через 1 с после начала дви-
движения, если начальная угловая скорость диска соо=О.
у////,
У
К задаче 606
К задаче 608
К зздаче 609
609. Цилиндрический вал массы /vf = 10 кг и радиуса
R = 0,\y. вращается с частотой п=600об/.\шн относи-
относительно продельной центральной оси. С какой силой Q
надо прижать тормозную колодку к валу, чтобы остано-
остановить его за 10 с, если коэффициент трепня скольжения
колодки о вал f—0,4, а радиус инерции вала относитель-
относительно оси вращения р=0,Зм. Трением в опорах вала пре-
пренебречь. Найти также число N полных оборотов вала с
момента начала торможения до остановки.
610. Однородное твердое тело, состоящее из диска
радиуса г и прямолинейного стержня АВ длины 1 = г,
вращается вокруг неподвижной оси, перпендикулярной
плоскости диска и проходящей через его центр О, под
действием постоянного вращающего момента Мвр. Пре-
Пренебрегая сопротивлениями, определить угловое ускоре-
ускореннее тела, если массы диска и стержня одинаковы и рав-
равны т.
611. При тарировке торсиона АС определен период
малых крутильных колебаний однородного диска веса
.Р=10Н и радиуса # = 0,1 м относительно оси симмет-
симметрии, перпендикулярной плоскости этого диска. Зная пе-
8*
115

риод колебаний т=0,2с, установить значение скр кру-
крутильной жесткости торсиона, пренебрегая массой по-
последнего.
612. Однородная квадратная пластина веса Р=2Н
симметрично закреплена на невесомой проволоке так, что
плоскость пластины остается горизонтальной. Зная кру-
крутильную жесткость проволоки сКр=12Н-м/рад и пери-
период малых крутильных колебаний пластины на проволо-
проволоке т=0,2с, установить длину / стороны пластины.
К задаче 610 К задаче 611 К задаче 612
•'//////'/////У. V///,//////.
К задаче 614
613. Два невесомых прямолинейных стержня длины
соответственно h и /2 с точечными грузами одинаковой
массы по концам симметрично закреплены на невесомом
вертикальном торсионном валу так, как показано на ри-
рисунке. Полагая, что жесткость участков вала с\ и с\\
удовлетворяет условию ст=4сц, и пренебрегая сопро-
сопротивлениями, установить, каким должно быть соотноше-
соотношение длины /) и 1'2 стержней при одинаковых периодах их
крутильных колебаний в указанных схемах.
614. Торсионный вал имеет два участка различной
крутильной жесткости: ci н сц. Пренебрегая массой ва-
вала, определить соотношение круговых частот k< и k-2 сво
f-Г'ЛНых крутильных колебаний однородного диска в двух
116

схемах его центрального закрепления на валу, если С\ =
= 4 сп.
615. Физический маятник состоит из стержня длины
2R и диска радиуса R. Определить приведенную длину
маятника /Пр, если стержень и диск однородные, а их
массы одинаковые.
616. Найти приведенную длину /пр физического маят-
маятника, представляющего собой угольник ОАВ, образо-
образованный двумя тонкими однородными стержнями ОА и
АВ. Длины стержней ОА = 1, АВ=21, а массы тОл = т;
тАв=2 т.
SO"
К задаче 615 К задаче 616 К задаче 617 К
задаче 618
617. Чему равна приведенная длина физического ма-
маятника, представляющего собой однородный шар ра-
радиуса /? = 10см, подвешенный в точке О?
618. Найти положение центра качаний К тонкого од-
однородного стержня длины АВ = 1.
619. Однородный тонкий прямолинейный стержень
ОА длины / и веса Р закреплен в вертикальной плоско-
плоскости с помощью шарнира О и двух одинаковых пружин
жесткости с каждая. Определить соотношение периодов
%■ и т2 малых свободных колебаний стержня в двух раз-
различных схемах его установки.
620. Физический маятник представляет собой симмет-
симметричное Т-образное тело, полученное жестким соедине-
соединением двух одинаковых однородных, тонких н прямоли-
прямолинейных стержней. Найти отношение периодов т; и то ма-
малых колебаний маятника для двух различных способов
erfs подвеса, указанных на рисунке.
621. Физический маятник в виде равностороннего
треугольника, составленного из тонких однородных стер-
стержней, имеет точку подвеса О. Найти отношение круго-

еых частот малых свободных колебаний маятника в
двух различных случаях: когда точка подвеса совпада-
совпадает с одной из вершин треугольника и когда она находит-
находится в середине одной из его сторон.
622. Два тонких однородных стержня АВ и DE оди-
одинаковой массы т и одинаковой длины I жестко скреп-
скреплены друг с другом в точке В — середине стержня DE.
В какой точке О нужно подвесить этот угольник, чтобы
к
К задаче 619
К задаче 620
\0
К задаче 621
К задаче 622
период получившегося физического маятника был наи-
наименьшим? (Найти расстояние а=СО от центра масс
угольника до точки подвеса О.)
623. Однородный прямолинейный стержень АВ дли-
длины /==9,8 см приварен под прямым углом к неподвиж-
неподвижной оси OD, наклоненной к вертикали под углом а =
= 30°. Определить круговую частоту k малых свобод-
свободных колебаний стержня, полагая ускорение стюбодпого
гкие:-':и .<: -—0,8 м/с2 и пренебрегая сопротивлениями.
624. ГпроС|.'1!1, укрепленный с помощью подшипни-
ьов ,4 и В в прямоугольной раме ЛОВЕ, вращается с уг-
.■vBofi скопост'-.к) «1 вокруг оси АВ. Вращение рамки во-
вокруг неподвижной вертикальной ос» Oz происходит с
угловой скоростью вч. Установить, какому условию удов-
удовлетворяют проекции гироскопического момента Мг па
118

оси неподвижной системы отсчета Oxyz, когда плоскость
рамки совпадает с плоскостью Oyz.
625. Положив в условиях предыдущей задачи, что ги-
гироскоп представляет собой однородный сплошной диск
радиуса R и массы т, определить гироскопическое дав-
давление Q на один из подшипников оси АВ, перпендику-
перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр
С, если угол а наклона оси АВ к вертикальной оси Oz
равен 30° и АЕ=1.
2
1
\
|
9?
ж
К задаче 624
626. Гироскоп в виде однородного сплошного диска
радиуса 0,1 м равномерно вращается с угловой скоро-
скоростью о)[ = 10s рад/с вокруг собственной горизонтальной
оси АВ, закрепленной в подшипниках Л и В и вращаю-
вращающейся вместе с квадратной рамкой вокруг неподвижной
вертикальной оси Oz с постоянной угловой скоростью
0J=0,1 рад/с. Определить соотношение гироскопической
Л'г и статической Л'с сил давления на каждый из под-
подшипников собственной оси гироскопа, если ДВ=0,4м.
Ускорение свободного падения g принять равным
10 м/с2.
627. Сохранив условие предыдущей задачи, опреде-
определить полные реакции NA и NB подшипников собствен-
собственной оси вращения гироскопа, если его вес Р=10Н.
Плескее движение твердеге тела
628. Движение тонкого однородного кольца массы
М=2кг и радиуса 7?=0,5 м в горизонтальной плоскости
Оху задано кинематическими уравнениями вида хс =
=5cos21; ус=Ъ%т21\ ф=4/2 (хс, ус — координаты
11Э

центра масс С кольца в метрах; t-—в секундах; ф—в ра-
радианах). Найти модуль главного вектора R^ действую-
действующих на кольцо внешних сил и главный момент A'Kf)
S
этих сил относительно центральной оси, перпендикуляр-
перпендикулярной плоскости движения кольца.
629. Тяжелое однородное кольцо падает из состояния
покоя, разматывая невесомую нить. Определить закон
движения центра масс С кольца, считая ,tco=O.
'/у/УУ/ШУ/
х
К задаче 629
У////////7/У7////////////////У///.
К задаче 630
УУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУУ/.
К задаче 632
630. Тонкий однородный круглый обруч приводится в
качение без скольжения по горизонтальной прямой Ох
с помошью постоянной горизонтальной силы F, числен-
численно равной весу обруча. Пренебрегая сопротивлением
качению, определить закон движения центра масс С об-
обруча, если хсо=О.
631. Сохраняя условие предыдущей задачи, опреде-
определить наименьшее значение коэффициента трения сколь-
скольжения, при котором возможно качение без проскальзы-
проскальзывания.
632. Однородный прямолинейный стержень АВ веса
Р и длины / падает, скользя концом А по гладкой го-
горизонтальной плоскости. В начальный момент времени
стержень занимал вертикальное положение и находился
в покое. Определить реакцию NA опорной плоскости в
зависимости от угла а, образуемого стержнем с этой
плоскостью («>0).
633. Однородный сплошной диск веса Р закреплен в
вертикальной плоскости с помощью шарнирно-непо-
двпжпой опоры А и нити BD так, что АСА.ВС, где С —
центр диска. Определить реакцию RA опоры А в момент
«.■срыва нити.
634. Однородный диск массы М и радиуса R начи-
г,?-с\ перекатываться без проскальзывания из состояния

покоя по шероховатой горизонтальной плоскости при
действии постоянного момента Мвр. Определить закон
вращения диска при перекатывании, если коэффициент
трения качения равен fK,
635. Сохранив условие задачи 634, установить, за ка-
какое время t с начала движения центр С диска перемес-
переместится на заданное расстояние L.
636. Однородный диск веса Р и радиуса /' начинает
движение в вертикальной плоскости из положения, при
котором центр С диска находится на расстоянии И от
поверхности пола. На диск действует постоянный мо-
В
К задаче 633
К задачам 634, 635
К задаче 636
мент .Мвр. Найти величину угла поворота ф диска в по-
положении, при котором центр диска будет находиться
па расстоянии — Н от поверхности пола.
637. Однородная квадратная пластина OABD массы
М=\ кг со стороной /=1 м находится на гладкой гори-
горизонтальной плоскости Оху в состоянии покоя и занимает
положение, изображенное на рисунке. Затем пласти-
пластина начинает движение в плоскости при действии посто-
постоянного момента Мвр=2Н-м и постоянной силы F, при-
приложенной к центру масс С, составляющей с осями Ох и
Оу углы в 45° и имеющей модуль F=5(/ 2 Н. Опреде-
Определить координаты хс, Ус центра масс и угол поворота ф
пластины через 2 с после начала движения,
638. На каком расстоянии h от горизонтальной пло-
плоскости должна быть приложена к однородному сплошно-
сплошному диску радиуса R горизонтальная постоянная сила F,
чтобы диск перекатывался без проскальзывания по этой
плоскости, а коэффициент трения скольжения в месге
контакта диска и плоскости при этом был равен нулю?
Трением качения пренебречь.

639. Решить задачу 638 при условии, что катящееся
тело представляет собой тонкое однородное кольцо ра-
радиуса R,
640. С вершины наклонной плоскости одновременно
отпускаются без начальной скорости диск, шар, кольцо
л полая тонкостенная сфера одинакового радиуса и оди-
■У/7//У,
К задаче 637
К задаче 638, 639
паковой массы. Все тела однородные. Рассматривая пе-
рекатывапие тел происходящим без скольжения, устано-
установить, какое из них придет к основанию наклонной пло-
плоскости первым, а какое — последним.
Теорема об изменении кинетической эиергии
641. На тележке, движущейся по горизонтальному
рельсовому пути с постоянной скоростью v=2 м/с, уста-
установлена лебедка, барабан которой имеет радиус г=0,5 м
и равномерно вращается с угловой скоростью со=2 рад/с.
На барабан намотан канат, с помощью которого осуще-
\
И
К задаче 641
К задаче 644
ствляется подъем груза В, Установить, во сколько раз
кинетическая энергия этого груза относительно пути
больше его кинетической эиергии относительно тележки.
642. Материальная точка движется по окружности
радиуса /?=2м под действием силы F, направленной к
122

центру этой окружности и имеющей модуль /•'=4 Н. Най-
Найти кинетическую энергию точки относительно инерциаль-
кой системы отсчета. _ _
643. Точка приложения силы F=Wi-\-2j + k (H) дви-
движется согласно уравнениям x=2sin — /; </—3; z=0(x,y,
г — в метрах; / — в секундах). Найти работу этой силы
за время t = l с с начала движения точки.
644. Один конец пружины закреплен неподвижно с
помощью шарнира О, а второй, свободный, конец М опи-
описывает эллиптическую траекторию, уравнение которой
имеет вид ,v2/4-f-f/2/9=l (x, у—в сантиметрах). Зная
У
Bo jf
в, х
К задаче 646
пи
с
6Н
От-
л
7 2 J\4
К задаче
W F
r J J f
_/
654
жесткость пружины с=2 Н/см и ее длину в иедеформи-
рованном состоянии /= I см, определить работу силы
упругости при перемещении точки М из положения Мх
на оси Ох в положение М2 на оси Оу.
645. Вектор силы задай выражением F=2[zi-TZj—
— {x-\-y)k] (F — в ньютонах, х, у, z—координаты точкн_
приложения этой силы в метрах). Найти работу силы F
при перемещении ее точки приложения из начала коор-
координат в текущее положение по кратчайшему пути.
646. Точка В приложения постоянной горизонтальной
силы F перемещается по дуге окружности рлдпуса Р.
Определить работу этой силы на перемещении точки В
из начального положения Во в положение В,.
647. Материальная точка массы /?/ = 1кг движется
из состояния покоя под действием сллы /■'•-—2// (Н), !;.'.•
правленной вдоль горизонтальной ось Ох. Определи;;,
мощность Л' этой силы в момент времени / —! с.
648. Две свободные материальные точки мйссы т
каждая одновременно начинают падать, пр:;че\г началь-
начальная скорость первой точки равна нулю, а второй i'u~-
123

=9,8 м/с и направлена вертикально вниз. Установить
соотношение мгновенных мощностей сил тяжести первой
п второй точек при t = \ с. _
649. Точка приложения силы F=3i-\-4k (H) движет-
движется согласно закону r=t2k (г— в метрах, i — в секундах).
Определить работу этой силы за первые две секунды с
момента начала движения.
650. Сохранив условие предыдущей задачи, опреде-
определить мощность силы F в момент времени t\~\ с.
651. В некоторый момент времени мощность силы
/:=3i+4& (H), приложенной к прямолинейно движущей-
движущейся точке, равна 8 Вт, а угол между направлениями век-
векторов силы F и скорости v точки равен a=arccosO,8.
Найти модуль скорости точки приложения силы в этот
момент времени.
652. Движение точки приложения силы F описывает-
описывается уравнением r=2isk (г—в метрах, t—в секундах).
Мощность, развиваемая этой силой в момент времени
/i=2c, равна 96 Вт, а угол, составляемый векторами ско-
скорости точки и силы, равен a=arcsin 0,6. Найти модуль
силы F в момент времени 1\.
653. Материальная точка перемещается под действием
силы F = i+j+k (Н) из положения Во B; 2; 2 м) в поло-
положение В C; 3; Зм). На какую величину AT изменяется
кинетическая энергия точки при таком перемещении?
654. Материальная точка массы т = \ кг, имевшая
начальную скорость ио=1м/с, движется прямолинейно
под действием силы I. Зависимость проекции силы Fx от
координаты х точки представлена графиком Fx=Fx(x)
на рисунке. Определить скорость точки к моменту пре-
прекращения действия силы.
655. Материальная точка массы т = \ кг движется
прямолинейно без начальной скорости под действием си-
силы F. Зависимость модуля силы от координаты х точки
представлена графиком F=F(x). Определить скорость
v, которую приобретает точка к моменту прекращения
действия силы.
858. Ползун, получив некоторую начальную скорость
v3, прошел по шероховатой горизонтальной плоскости
расстояние s = l м и остановился. Определить начальную
скорость ползуна, если коэффициент трения скольжения
/=0,1.
657. В вертикальной плоскости Оху расположена пе-
124

подвижная трубка АОВ, изогнутая в форме параболы
у=х2 (х, у—в метрах). Из точки А (—У 2; 2) трубки
без начальной скорости отпускают шарик веса Р. Пре-
Пренебрегая трением, определить давление шарика на труб-
трубку в ее наинизшей точке О.
658. Вагой массы т ударяет в пружинный амортиза-
амортизатор жесткости с, имея в момент начала удара скорость
v. Определить максимальную деформацию пружины
У
В
1 г з 4 х,м
К задаче 655
К задаче 657
V
/77
л ? f f S Л / / /iff/
К задаче 658
■/////////у//.'///////////////' х
К задаче 659
амортизатора, пренебрегая ее массой и полагая ее не-
деформированной перед ударом.
659. Материальная точка В скользит по гладкой на-
направляющей в виде полуокружности радиуса R, закреп-
закрепленной на поступательно движущейся вдоль горизон-
горизонтальной оси прямоугольной раме. Определить относи-
относительную скорость точки В в наинизшем ее положении
на полуокружности, если рама движется с постоянным
ускорением а, а в начальном положении Во относитель-
относительная скорость этой точки была равна нулю.
660. В планетарном механизме кривошип ОА враща-
вращается с угловой скоростью too- Радиусы колес Г| = г2=г3—
=г. Определить кинетическую энергию колеса 3, если
его масса равна т.
661. Однородный снаряд массы А!=10кг, имеющий
цилиндрическую и коническую части равной длины, дви-
движется вдоль горизонтали с постоянной скоростью и одмо-
125

временно равномерно вращается вокруг своей продоль-
продольной центральной оси с угловой скоростью ю=200 рад/с.
Определить величину Д7 разности значений кинетиче-
кинетической энергии снаряда относительно двух различных си-
систем отсчета, одна нз которых имеет начало в центре
масс С снаряда и движется поступательно, а вторая свя-
связана с поверхностью земли. Радиус цилиндрической ча-
части снаряда принять равным 0,1 м.
К задаче 660
К задаче 661
К задаче ib
682. Кинематические уравнения плоского движения
однородного диска радиуса /?=0,2м и массы /и=20 кг
в горизонтальной плоскости имеют вид xc=t; yc=t2;
<.;—I3 (xc. Ус—координаты центра С диска в метрах;
1 — в секундах; q> — в радианах). Найти кинетическую
-;лергию диска в момент времени t=\ с,
663. Тонкий однородный прямолинейный стержень
к лесы М = 1 кг и длины /=1 м движется в плоскости Оху
согласно уравнениям xc=t2; yc=2t; ф=4/3 (Хс, Ус —
координаты центра масс С стержня в метрах; / — в се-
секундах; ф — в радианах). Определить кинетическую энер-
энергию стержня в момент времени t = \ с.
664. Механическая система состоит из двух одинако-
одинаковых колес массы т каждое и прямолинейного однородно-
однородного стержня, соединяющего оси этих колес. Пренебрегая
126

проскальзыванием колес по горизонтальной опорной пло-
плоскости и считая их однородными сплошными дисками,
найти кинетическую энергию всей системы, если масса
соединительного стержня равна Зга, а скорость центра
одного из колес равна v.
665. Цепная передача состоит из четырех одинаковых
колес радиусов г=0,16м и цепи, вес единицы длины ко-
которой д=20Н/м. Ведущее колесо передачи имеет часто-
частоту вращения fl = 150 об/мин. Определить кинетическую
энергию цепи, если размер /—1 м.
К задаче 666
К задаче 667
666. Определить кинетическую энергию механизма,
состоящего из кривошипа ОА массы 3 т и длины /, шату-
шатуна АВ массы т и шарнирно связанного с ним колеса мас-
массы т, катящегося без скольжения по горизонтальной пло-
плоскости. Кривошип ОА вращается с угловой скоростью <о
н в рассматриваемый момент времени вертикалей. Кри-
Кривошип и шатун считать однородными тонкими стержня-
стержнями; масса колеса равномерно распределена по его оболу.
667. К колесу 2 планетарного механизма с помощью
шарнира В присоединен стержень ВС, конец С которого
перемещается в горизонтальных направляющих. Угловая
скорость кривошипа О А равна со, мнссы звеньев состав-
составляют mz=m, m0A=3 tn, тВс=0!5т и /«с = 0,25/и. Ра-
Радиусы колес одинаковы и равны R. Колесо 2 считать
ioiiiMim однородным диском. Определи ib кллешчсскун)
энергию механизма в положении, ьоказанном на рисунке,
когда шарнир В совпадает с верхним концом вергнкал^-
гоге диаметра колеса, а кривошип ОЛ вертикален.
€68. Найти кинетическую энергию ^ллнпсогр^фа, есш
ОА—-ЛВ=АС=1., угловая скорость крикошнпа ОА рав-
i-a со, вес звеньев составляет РпЛ—Рп = Рс—Р; Рвс-~
---'2 Р. Кривошип ОА и линейку ВС счшать юпкимп од-
псррднымп стержнями.
609. Однородное тонкое кильцо массы т и радиуса R

катится Оез скольжения по горизонтальной плоскости,
при этом центр С кольца имеет постоянную скорость v.
С кольцом с помощью шарнира В связан стержень АВ
такой же массы т и длины 1>2R. Конец А стержня пе-
перемещается по той же плоскости, что и кольцо. Опреде-
Определить кинетическую энергию системы «кольцо — стер-
стержень» в положении, показанном на рисунке, когда шар-
пир В совпадает с наивысшей точкой кольца.
670. Горизонтальная платформа, масса М которой
равномерно распределена по окружности радиуса R, мо-
может вращаться без трения вокруг вертикальной оси 2,
z
К задаче 668 К задаче 669
К задаче 670
проходящей через ее центр С. На платформе находится
материальная точка массы т—М, которая в некоторый
момент времени начинает двигаться по наружному кон-
контуру платформы с постоянной относительной скоростью
и, Определить кинетическую энергию системы, если вна-
вначале она находилась в покое.
671. К твердому телу, которое может вращаться без
трения вокруг вертикальной оси, приложен постоянный
момент Л1=2Н-м в плоскости, составляющей угол а=
=30° с осью вращения. Определить работу момента за
одни полный оборот тела.
872. Однородный сплошной диск веса G = 10H и ра-
днуса г=0,1 м начинает движение по горизонтальной
плоскости из состояния покоя под действием постоянной
горизонтальной силы /г = 10Н, приложенной к центру С
диска. Пренебрегая проскальзыванием диска по плоско-
плоскости, определить работу сил, действующих на диск, за вре-
время перемещения центра С на расстояние s = C0C=3m.
Коэффициент трения качения диска по опорной плоско-
плоскости /',. = 0,01 м. Аэродинамические сопротивления не учи-
учитывать.

673. Сохранив условие задачи 072. определить угло-
угловую скорость со диска при его перекатывании по опорной
плоскости в момент времени, соответствующий переме-
перемещению центра С на величину s=3m. Ускорение свобод-
свободного падения принять разным 10 м/с2.
674. Однородный круглый диск веса Р и радиуса R
может вращаться вокруг горизонтальной оси О в верти-
вертикальной плоскости. В начальный момент радиус ОС го-
горизонтален п диск отпущен без начальной скорости. Пре-
Пренебрегая трением, определить угловую скорость со диска
в момент, когда диск повернется ия угол я/6.
Я/2
К задачам £72, 673
К задаче 674
К задаче 675
675. Тонкое однородное кольцо веса Р и радиуса R
может вращаться в вертикальной плоскости вокруг гори-
горизонтальной оси О. В начальный момент времени линия
ОС (С — центр кольца) горизонтальна и кольцо отпуска-
отпускается без начальной скорости. Пренебрегая трением, опре-
определить угловую скорость (и кольца в момент, когда оно
повернется на угол л/2.
676. Колесо веса Р и радиуса R, масса которого ртз-
комерпо распределена по ободу, приводится из состояния
покоя во вращение вокруг центральной вертикальной оси
Сг моментом М2—Ьц> (Ь — постоянный коэффициент, а
ф—угол поворота в радианах). Пренебрегая трением,
определить угловую скорость о> колеса в конце его пер-
первого оборота вокруг оси Сг.
677. Однородный прямолинейный стержень ОА, за-
закрепленный в вертикальной плоскости с помощью шар-
пира О и нити АВ. состав тяет угол а с горизонтом. Пре-
Пренебрегая сопротивлениями, установить, па какой наи-
наибольший угол ф повернется стержень относительно
своего первоначального положения при обрыве нити АВ.
678. Пружинный самострел с шариком внутри уста-
установлен вертикально. Статическая деформация пружины,
вызываемая весом шарика, раьиа /=0,2см. Пружину с
9-659
129

шариком сжали на величину А=4см и затем отпустили
без начальной скорости. Пренебрегая сопротивлениями,
определить высоту h, на которую поднимется шарик над
верхним срезом ствола самострела.
679. Призматическое тело массы М, имеющее цилинд-
цилиндрическую выемку радиуса /?=0,075 м, может скользить
без трения по горизонтальной плоскости. По радиально-
К задаче 67'.
К задаче 63!
му желобу ЛиВ выемки перекатывается шарик массы
т=х1гМ. В начальный момент времени этот шарик был
опущен в желоб в верхней точке А без начальной скоро-
скорости. Пренебрегая размерами шарика и трением, опреде-
определить скорость и призматического тела, когда шарик ока-
окажется в пашшзшей точке D желоба, если в начальный
Movrci-T времен!: тело находилось б пи::се.
680. М;:;,!;':;;;; массы ,1-/ и радиуса инерции р относи-
относительно осп Брап^слпя делает п об/мин. После отсоедине-
отсоединения привода вал остановился, совершив N полных оборо-
оборотов. Пренебрегая сопротивлениями среды, определить
момент тре;-:мя Мг в опорах вала, считая э'.от момент по-
<;:.;ПШЫМ.

681. Однородный гибкий нерастяжимый трос навит
на цилиндрический барабан с горизонтальной осью вра-
вращения. В начальный момент времени t0 длина свисающей
с барабана части троса была равна /0. Полагая вес еди-
единицы длины троса равным р, определить работу, совер-
совершенную силой тяжести свисающей части троса за интер-
интервал времени [Л; t], если в текущий момент времени t
длина свисающей части троса стала равной /.
682. Определить круговую частоту k малых свобод-
свободных колебаний шарнирного параллелограмма в верти-
К задаче 683
К задаче 684
калькой плоскости, если весом кривошипов АВ и ED оди-
одинаковой длины /=39.2 см можно пренебречь.
683. Два катка одинакового радиуса г=0,1 м, имею-
имеющие соответственно массы Л11 = 1 кг; М2=2кг и осевые
моменты инерции /i=0,l кг-м?; /2 = 0,2кг-м2, связаны
невесомым стержнем АВ. Катки перекатываются без про-
проскальзывания по горизонтальной плоскости при действии
силы тяжести груза массы т = \\ кг, соединенного с осью
В первого катка посредством невесомого и нерастяжи-
нерастяжимого каната, который переброшен через безынерционный
блок. Пренебрегая сопротивлениями, определить усилие
5 в соединительном стержне.
684. Однородный тонкий прямолинейный стержень
ОА массы М=1 кг и длины /=0,102 м шарнирно за-
закреплен в точке О. Из верхнего вертикального своего по-
ложения стержень падает на недеформированный пру-
пружинный упор жесткости с=2,7 кН/м, имея в начальный
момент времени скорость точки А, равную vo=Iia/c.
Пренебрегая массой пружинного упора и неупругими
сопротивлениями движению, определить максимальную
деформацию Ятах пружины, если равновесным положени-
9*
131

ем стержня при опирании его на упор является горизон-
горизонтальное положение.
685. Однородный прямолинейный стержень ОА длины
/=0,102 м, шарнирно закрепленный в точке О, начинает
движение в вертикальной плоскости из крайнего верх-
верхнего своего положения, в котором начальная скорость
точки А равна t'0=l м/с. Пренебрегая сопротивлениями,
найти соотношение скоростей ь\ и v2 точки А в двух по-
последующих ее положениях, когда стержень соответствен-
соответственно горизонтален и занимает крайнее нижнеее свое по-
положение.
686. Угольник ОАВ состоит из двух тонких однород-
однородных стержней О А и АВ, при этом длины их равны ОА =
= /, AB=2l, а массы тол — т, тАВ=2т. В начальный
ч>
%■■
1
so1
!
К задаче 685 К задаче 686
В
К задаче 687
момент стержень ОА горизонтален и угольник находит-
находится в покое, а затем ему предоставляют возможность вра-
вращаться в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной
сен О. Определить угловую скорость угольника в мо-
момент, когда угол поворота <р будет равен я/2.
687. Однородный цилиндр радиуса R катится без
скольжения вверх по наклонной плоскости с углом а. к
горизонту вследствие толчка, полученного у ее основа-
основания. Определить расстояние С0С=1, которое пройдет
цилиндр до остановки, если при толчке точке А, лежа-
шей на верхнем конце диаметра, перпендикулярного на-
наклонной плоскости, сообщена скорость vA=t\ а коэф-
коэффициент трепня качения цилиндра по плоскости ра-
ранен /к.
688. Однородное тонкое кольцо радиуса R скатыва-
скатывается без скольжения по наклонной плоскости из состоя-
состояние покоя. Центр кольца, пройдя расстояние С0С=!,

приобрел скорость v. Определить коэффициент трения
качения [к кольца о плоскость, если угол наклона пло-
плоскости к горизонту равен а.
689. Двигатель мощностью 2я (Вт) сообщает валу
вращение с частотой п=60 об/мин. Какой вращающий
момент Мир передается двигателем валу?
690. Ценной транспортер осуществляет вертнклльное
перемещение грузов веса G=l кН и Q=0,2kH с посто-
постоянной скоростью w=0,25 м/с в направлении, указанном
К задаче 690
К задаче 691
К задаче 693
на рисунке. Пренебрегая сопротивлениями, найти необ-
необходимую мощность А'дц приводного электродвигателя
транспортера.
691. На рисунке изображена схема привода, осуще-
осуществляющего вертикальное перемещение груза веса G.
Определить закон изменения во времени мощности элек-
электродвигателя, приводящего во вращение зубчатое коле-
колесо радиуса г\, при подъеме груза с постоянным ускоре-
ускорением и—0,1 м/с* из состояния покоя, если известны
G —} кН; ri=r—0,1 м; г2=0,2м; осевые моменты инеп-
цнн вращающихся элементов привода /1=0Дкг-м2,
/,==0,6 кг-мг. Сопротивлениями и весом нерастяжимого
ншея, поддерживающего груз, пренебречь; принять g —
= 10 м/с2.
133

692. Сохранив условие задачи 691, установить Мвр —
вращающий момент, передаваемый электродвигателем
ведущему колесу привода.
693. Электродвигатель приводит во вращение бара-
барабан радиуса /?=0,1 м. На барабан намотан керастяжи-
мый канат, к свободному концу которого привязан груз
веса Q = 1kH. Найти мощность электродвигателя, не-
необходимую для равномерного подъема груза со скоро-
скоростью v = l м/с по наклонной плос-
плоскости с углом а=30° к горизонту,
если коэффициент трения скольже-
скольжения груза по плоскости /=1 V 3, а
приложенный к барабану момент
сил сопротивления Мс=ЮН-к.
Массой троса пренебречь.
694. Тяжелый однородный шар
связан с неподвижной вертикальной
осью тонким невесомым стержнем
BD, относительно которого шар мо-
может вращаться. Длина стержня BD,
перпендикулярного оси Oz, в три
раза превышает радиус шара. Ка-
Какую начальную горизонтальную скорость v перпендику-
перпендикулярно стержню BD необходимо сообщить центру С по-
покоившегося шара, чтобы шар сделал три полных оборо-
оборота вокруг оси Oz, если коэффициент трения качения ша-
шара по горизонтальной плоскости равен /к? Проскальзы-
Проскальзыванием шара по этой плоскости, а также трением на осях
пренебречь.
силовое поле
695. В каких из четырех случаев сила F, действую-
действующая на точку с координатами (х; у; г), является потен-
потенциальной? 1) T=xi-{-yj-\-zk; 2) f=f/2j'+.v/i_-fvz2£; 3) F=
^xi+yz9j-\-y2zk; 4) F=xi — yzj-rz'k.
C96. Две материальные точки масс /7?: = /.•? и in-:=2m
1;алОД;г<л: в вертикальной плоскости ()•-:? ;;а кривой,
списываемо;! \ \ аигепнем ,;~2х~ (х, ;--в метрах). При-
Принимая го!мк,и.г.г<\]/1,:чую ось Ох за пулевой уровень, оп-
определить coin ношение величин Hi и TTv потенциальной
i-нерпш этих точек, если их абсциссы соответственно
раьны X; = —2 м, х-2= I м.
697. Материальная течка массы т движется по ок-
{ у ж! .ости радиуса г в поле центральной силы, имея по-
J3-1

f?tn
тенциальную энергию П= , где й—const. Опреде-
Определить полную механическую энергию £ и скорость и точки
698. Потенциальная энергия точки в потенциальном
поле задана выражением П=6л;3 — 3(/2 — 2z (П — в
джоулях; х, у, г — в метрах). Как направлен вектор
силы F, действующей на точку, в положении, определяе-
определяемом координатами @; 0; 1м)?
699. Силовая функция потенциального силового поля
определяется выражением U=8x^-2y2 + 3z2 (U — в
джоулях; х, у, г — в метрах). Определить модуль силы
F, действующей на помещенную в это поле точку, если
положение точки задано координатами @; 0; 1 м).
700. Силовая функция
некоторого силового по-
поля определяется выраже-
выражением U=3x+2y+z (U—
в джоулях; х, у, z — в
метрах). Материальная
точка силами поля пере-
перемещается из положения
В\ с координатами C; 2;
1 м) в положение В2 с ко-
координатами A; 2; 3 М). К задаче 696 К задаче 702
Определить приращение
Д£ полной механической энергии точки на этом переме-
перемещении.
701. Силовая функция некоторого силового поля оп-
определяется выражением U=x-\-2y-\-3z (U — в джоу-
джоулях; л-, у, z — в метрах). Определить работу А, произ-
производимую силами поля по перемещению точки из поло-
положения Б] C; 2; 1 м) в положение В2 A; 2; Зм).
702. Два одинаковых груза массы т каждый подве-
подвешены на пружине жесткости с. Найти полную механи-
механическую энергию верхнего груза в момент мгновенного
отрыва нижнего, приняв в качестве нулевого уровень,
соответствующий положению статического равновесия
верхнего груза.
Элементарная теория удара
703. Две материальные точки одинаковой массы,
движущиеся относительно инерциальной системы отсче-
отсчета Oxyz со скоростями vi=i + 2j+3k и w2 = i—2/—3k,
испытывают абсолютно неупругое соударение. С какой
135

общей скоростью v бу;рт происходить движение точек
после удара?
704. Шарик массы т, двигавшийся на высоте h вдоль
горизонтальной плоскости со скоростью v, ударяет в
степу, наклоненную под углом «=45° к горизонту. Счи-
Считая удар абсолютно упругим, найти полную механиче-
сьую зперппо шарика в его наивысшем после отскока
а
К задаче 704
т
К задаче 706
J
h
1
1
i
< задаче 705
К задаче 707
Ш2
Д-0
от степы положении, выбрав в качестве нулевой эквипо-
эквипотенциальной поверхности указанную горизонтальную
плоскость, Сопротивлением среды пренебречь.
705. Шарик массы т, двигавшийся на высоте Л =
= 39,2 м параллельно горизонтальной поверхности пола
со скоростью v = 9,8 м/с, ударяет в стену, наклоненную
под углом а —45° к горизонту. Считая удар абсолютно
упругим и принимая ускорение свободного падения g=
= 9,8 м/с2, установить, через какое время / отскочивший
or степы шарик коснется пола, Сопротивлением среды
пренебречь.
706. Груз массы т математического маятника начи-
начинает движение из крайнего верхнего своего положения
без начальной скорости. В наинизшей точке своей тра-
траектории груз претерпевает абсолютно неупругое соуда-
соударение с материальной точкой такой же массы т. Пре-
336

небрегая сопротивлениями, найти максимальный угол
(ртах отклонения маятника от крайнего нижнего своего
положения после соударения.
707. Два шара масс тх и /п2 двигались навстречу
ДРУГ Другу С ОДИНаКОВЫМН ПО МОДУЛЮ СКОрОСТЯМИ L'i И V2.
После не вполне упругого центрального соударения пер-
первый шар останавливается, а второй отскакивает в сто-
сторону, противоположную первоначальному движению.
Найти коэффициент k восстановления при ударе шаров.
К задаче 709
К задаче 710
К задаче 711
708. Коэффициенты восстановления двух различных
шариков при ударе о монолитную плиту равны соответ-
соответственно ki и /гг. Определить соотношение высот h\ и h2,
на которые отскочат шарики от этой плиты после паде-
падения на нее с одной и топ же высоты.
709. Брусок массы т, движущийся вдоль горизон-
горизонтальной шероховатой плоскости со скоростью v0, уда-
ударяет в неподвижно стоящий брусок такой же массы.
Считая соударение брусков абсолютно неупругим и по-
полагая коэффициент трения скольжения брусков по опор-
опорной поверхности равным /", определить расстояние L,
которое пройдет каждый из брусков с момента их соуда-
соударения до полной остановки.
710. Однородный куб с ребром / = 1 м скользит без
начальной скорости по гладкой опорной плоскости, на-
наклоненной к горизонту под углом а=45°, и проходит
расстояние L=l,16 м до соударения с упором В. Счи-
Считая удар куба об упор абсолютно неупругим, определить
угловую скорость со вращения куба сразу после удара.
711. В конец В шарнирпо подвешенного однородного
и прямолинейного стержня ОВ длины I и массы М, на-
находившегося в покое, попадает и застревает в нем пуля

массы т=М, летевшая перпендикулярно стержню. При
каком наименьшем значении vmin скорости пули стер-
стержень сможет повернуться на угол сс=180° относительно
своего начального положения? Сопротивлениями прене-
пренебречь,
712. Физический маятник в виде однородного диска
с концентрическим отверстием шарнирно подвешен в
точке О и в начальный момент находится в покое. На-
Наружный диаметр диска D, а диаметр отверстия d=
М
'///'■■■
ч
w
I
К задача 712
К задачам 716, 717
К задаче 718
=0,6 D. На каком расстоянии / ниже центра тяжести С
диска необходимо нанести удар горизонтальной силой F,
чтобы горизонтальная реакция в шарнире О была рав-
равна пулю?
713. Лежавшее па гладкой горизонтальной плоскости
тонкое однородное кольцо массы М = \ кг и радиуса R =
— 0,5 м воспринимает ударный импульс S— ЮН -с, дей-
действующий в горизонтальной плоскости на расстоянии
l = R/2 от центра С кольца. Найти скорость vc центра
кольца в момент прекращения действия импульса.
714. Сохранив условие задачи 713, найти угловую
скорость со кольца в момент прекращения действия
ударного импульса.
715. Молот падает с высоты //=0,8 м на поковку.
Средняя сила ударного воздействия молота на поковку
в 41 раз превышает силу тяжести молота. Определить
продолжительность удара t, приняв g=10 м/с2.
716. В установке для экспериментального определе-
определения коэффициента трения прямоугольный брус массы
п? = 10 кг, зажатый между двумя колодками нормаль-
нормальным усилием Лг=50 кН, забивается вертикально падаю-
138

щим молотом массы М=90 кг с высоты /У—0,4'/ м над
верхней гранью бруса. Полагая удар неупругим, опре-
определить коэффициент трения скольжения / между брусом
и колодками, если в результате удара брус перемеша-
перемешается вниз на расстояние 6=0,01 м. Принять /==const,
g=10M/c2.
717. Используя схему задачи 716 и полагая извест-
известными величины т=10кг; Ж =90кг; ,V=50kH; /==0,28,
определить количество ударов п, необходимое для пере-
перемещения бруса на расстояние /г—0,15 м, если молот
каждый раз падает с одной и той же высоты Я=0,5м
над верхней гранью бруса. Принять /=const, a g=
= 10 м/с2. Удары считать неупругими.
718. В неподвижную горизонтальную плоскость под
углом сс1=я/4 к ней со скоростью wi = l м/с ударяет
шарик массы 7?г=19 г. Пренебрегая трением, найти
ударный импульс S, а также скорость v2 отскока шари-
шарика и угол сс2, составляемый вектором этой скорости с
плоскостью, если коэффициент восстановления при уда-
ударе £=0,5.
ОБЩИЕ МЕТОДЫ И ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
Метод кинетостатики
719. Материальная точка массы 7«=1 кг движется
по окружности радиуса г=1 м согласно закону s =
= 1,5/2 — t (s — в метрах, i — в секундах). Определить
модуль силы инерции этой точки в момент времени
t=\ с.
720. Плоский механизм состоит из трех одинаковых
по размерам зубчатых колес /, 2 и 3; при это:а колесо /
неподвижно, а два других приводятся в движение с по-
помощью кривошипа ОЛ, вращающегося с постоянной уг-
угловой скоростью. Определить направление силы инерции
точки В колеса 3 (ЛВ_\_ОА).
721. Камень вращается па нити длины I n горлзои-
талыюй плоскости с некоторой скоростью v. Как следу-
следует изменить длину нити, чтобы при увеличении скорости
вращения в два раза натяжение нити сохранилось
прежним?
722. По неподвижной направляющей в в;:до окруж-
окружности, расположенной в вертикальной плоскости, может
скользить без трения шарик массы т. ГЬ положения, ха-
характеризуемого углом а = 60°, шарик отпуьче;; бен на-
начальной скорости. Определить реакцию Л' направляю-
139

щей в момент прохождения шариком своего каинизше-
го положения.
723. Пружина жесткости с=14Н/м с точечным гру-
зом массы т = \ кг па свободном конце равномерно
вращается в горизонтальной плоскости Оху вокруг не-
неподвижного центра О, с которым связан другой конец
этой пружины. Определить удлинение пружины к, если
угловая скорость вращения о>=2 рад/с, а длина неде-
формированной пружины /о=10 см. Массой пружины
и сопротивлениями пренебречь.
У
К задаче 720
К задаче 722
К задаче 723
К задаче 724
| 1т' Пст^тГрст
К задаче 725
К задаче 726
724. Два одинаковых шара диаметра <Г=1 жестко
связаны с вертикальным валом АВ посредством невесо-
невесомых горизонтальных стержней длины 1\ = 1ч = 1. Уста-
Установить соотношение усилий в этих стержнях при равно-
равномерном вращении снслемы вокруг вертикальной оси г.
725. В вертикальном канале без трения свободно па-
дйрт твердое тело, состоящее из двух цилиндров масс
т, и т2 п невесомого жесткого соединительного стерж-
стержни. Найти внутреннее усилие S в этом стержне.
726. Пять брусков с соотношением масс 1:2:3:4:5
деажутся по гладкой плоскости под действием постоян-

постоянной горизонтальной силы F. Определить силу взаимо-
взаимодействия 5 третьего и четвертого брусков.
727. Совокупность п брусков одинаковой массы, свя-
связанных невесомыми жесткими стержнями, движется по
гладкой плоскости под действием постоянной горизон-
горизонтальной силы F. Установить соотношение усилий в пер-
первом и последнем соединительных стержнях.
728. Два груза веса Р{ = Р2 = Р, связанные невесо-
невесомой и нерастяжимой нитью, скользят вниз по шерохо-
шероховатой наклонной плоскости. При каком соотношении ко-
К задаче 727
К задаче 728
z
К задаче 729
К задаче 730
К задаче 731
эффициентов трения Д и f2 скольжения грузов по опор-
опорной плоскости нить, связывающая их, будет в натянутом
состоянии?
729. Два бруска, вес которых Gi = G2=G, соединены
невесомым жестким стержнем и скользят вниз по шеро-
шероховатой наклонной плоскости, составляющей угол а с
горизонтом. Определить усилие 5 в соединительном
стержне, если коэффициенты трения скольжения f\ и Д
брусков по плоскости неодинаковы, причем fz>fi.
730. Груз В удерживается на гладком горизонталь-
горизонтальном стержне, вращающемся вокруг неподвижной вертн-
141

калькой осп, с помощью нитей / и 2.-Найти соотношение
угловых скоростей со; и со2 стержня, при которых про-
произойдет разрыв сначала первой, а затем второй нити,
если разрывные усилия этих нитей 5j и 52 удовлетворя-
удовлетворяют условию 52>2Si.
731. Шарнирпо-стержневая система, состоящая из
двух невесомых стержней АВ и BD, вращается вокруг
неподвижной вертикальной оси Oz. В соединительном
шарнире В находится сосредоточенная масса. Устано-
Установить, при какой угловой скорости со вращения системы
усилие в горизонтальном стержне АВ будет в k раз пре-
превышать усилие в подпорке BD, если AB=l, a Z.ABD=a.
II
Ф~
/77,
£
ж
h
К задаче 732
К задаче 733
К задачам 734, 716
732. Два точечных груза масс гп\ и т2 закреплены на
концах невесомого горизонтального стержня, равномер-
равномерно вращающегося вокруг неподвижной вертикальной оси.
Груз массы Ш\ находится на расстоянии U от оси вра-
вращения. На каком расстоянии 12 от нее должен находить-
находиться груз массы Я22, чтобы добавочные динамические дав-
давления на подшипники А и В были равны нулю?
733. Два невесомых стержня А\А и В\В прикрепле-
прикреплены под прямыми углами к горизонтальному равномерно
вращающемуся валу DE. На концах стержней располо-
расположены точечные грузы А и В масс т\ и т2 соответствен-
соответственно. Стержень АХА закреплен на расстоянии 1Х от под-
подшипника D вала. На каком расстоянии Z2 от этого под-
подшипника следует закрепить стержень ВХВ, чтобы
добавочные динамические реакции подшипников D и Е
были одинаковы, если m2=2mi; В\В=2АХА\ DE=l?
734. Однородный круглый диск массы М = \ кг и
радиуса R = \ м вращается вокруг своей центральной
вертикальной оси г согласно закону ф=2^2 (ф — в ра-
142

дианах, t—в секундах). Определить главный момент М*
сил инерции диска относительно оси вращения.
735. Два одинаковых Г-образных стержня ABD и
EKL приварены под прямыми углами к горизонтально-
горизонтальному валу 00' и расположены в одной плоскости на рас-
расстоянии £'£=0,1 м. Определить момент М пары, обра-
образуемой силами инерции стержней при равномерном вра-
вращении вала с угловой скоростью со=2 рад/с, если /Ш =
—BD=EK=KL=0,l м, а масса каждого из прямоли-
прямолинейных однородных участков стержней т = \ кг.
О1
2>
К L
А Г
В &>
К задаче 735
D 0
К задаче 736 К задаче 737
736. Однородный прямолинейный стержень АВ длины
/, жестко прикрепленный к вертикальному валу DE под
углом а=60°, переносит точечный груз В, находящийся
на свободном конце стержня. Массы стержня и этого
точечного груза одинаковы. Найти кратчайшее расстоя-
расстояние h от заделки А стержня до линии действия равно-
равнодействующей сил инерции системы «груз — стержень»
при равномерном вращении вала.
737. Однородный прямолинейный стержень АВ мас-
массы т н длины I жестко закреплен на вертикальной оси
Oz под jivjoM а к ней. Найти момент М пары, образуе-
образуемой равнодействующими инерционных сил каждой из
половин стержня АС и СВ, при его равномерном вра-
вращении вокруг оси Oz с угловой скоростью 6).
73S. Вращение кривошипа ОЛ шарнирного паралле-
параллелограмма OABOi, расположенного и вертикальной пло-
плоскости, происходит с постоянной углосой скоростью. Оп-
Определить угол а между вектором силы тяжести G одно-
однородного стержня АВ и вектором равнодействующей /<"
ИЗ

его инерционных сил, когда ZOiO/4 = q>. Отсчет угла а
вести от вектора G против хода часовой стрелки.
739. Положив в условии предыдущей задачи, что вра-
вращение кривошипа ОА описывается уравнением ф=я<2
(гр—в радианах; t — в секундах), определить угол сс=
_л _
= (G; /?и) в момент времени t=\ с.
740. На цилиндрический барабан намотан невесомый
трос, к свободному концу которого подвешен груз мас-
массы т. Определить ускорение, которое нужно сообщить
оси О барабана, чтобы натяжение троса стало равным
нулю.
К задаче 738
К задачам 740,
742
К задаче 741
741. На конце консольной балки АВ длиной 2 м на-
находится лебедка, с помощью которой поднимают с уско-
ускорением а=\ м/с2 груз массы т = \т. Пренебергая весом
балки и лебедки, определить реактивные факторы в же-
жесткой заделке А.
742. Груз массы т, опускаясь, приводит с помощью
троса во вращение сплошной цилиндрический барабан
такой же массы (см. рисунок к задаче 740). Пренебре-
Пренебрегая массой троса и трением, определить давление на ось
барабана.
743. Тонкое однородное кольцо массы т равномерно
вращается вокруг центральной оси, перпендикулярной
плоскости кольца с угловой скоростью со. Найти интен-
интенсивность q" инерционной нагрузки, распределенной по
оПоду кольца.
744. Жесткая квадратная рамка, образованная че-
четырьмя однородными стержнями длины I и массы т
ьтждый, вращается вокруг неподвижной вертикальной
оси Oz, совпадающей с одной из сторон рамки. Опреде-
Определить модуль главного вектора инерционных сил рамки
в момент, когда ее угловая скорость равна со, а угловое
ускорение равно е.
144

745. Сохранив условие предыдущей задачи, опреде-
определить главный момент инерционных сил рамки относи-
относительно оси ее вращения.
746. Однородный сплошной диск равномерно враща-
вращается вокруг неподвижной оси (см. рисунок к задаче 734),
совпадающей с вертикальным диаметром диска. Устано-
Установить, по какой кривой распределена нагрузка, разрыва-
разрывающая диск вдоль этого диаметра.
747. Однородная прямоугольная пластина вращается
с постоянной угловой скоростью со вокруг неподвижной
вертикальной оси, проходящей через центр тяжести С
пластины и лежащей в ее плоскости. Найти размер Ь
I
К задачам 744, 745
У/Ш.
К задаче 747
пластины, при котором разрывное усилие, действующее
в среднем сечении пластины перпендикулярно оси вра-
вращения, равно силе тяжести пластины.
748. Отпущенная без начальной скорости вертикаль-
вертикальная зубчатая рейка BD массы Мх приводит во вращение
вокруг неподвижной центральной оси О шестерню мас-
массы М2. Определить ускорение а рейки, пренебрегая со-
сопротивлениями и рассматривая шестерню как однород-
однородный сплошной диск.
749. Три одинаковых груза веса G каждый связаны
нерастяжимыми гибкими нитями по схеме, приведенной
на рисунке. Пренебрегая трением, а также массой бло-
блока и нитей, определить усилие в нити, соединяющей пер-
первый и второй грузы.
750. На шкив радиуса г намотан нерастяжимый ка-
канат, к свободному концу которого подвешен однородный
прямолинейный стержень веса Р. Пренебрегая сопро-
сопротивлениями, а также массами шкива и каната, найги
10—659
145

внутреннее усилие S в среднем поперечном сечении стер-
стержня, если к шкиву приложен вращающий момент Л4вр.
751. Два однородных прямолинейных стержня АВ и
BD массы т и длины / каждый, находящиеся в верти-
вертикальной плоскости, связаны посредством шарнира В.
Определить добавочный динамический момент М«, в за-
заделке А стержня АВ. когда отпущенный без начальной
скорости из своего горизонтального положения стержень
BD повернется на угол 90°.
шшм.
z
[j
90°
К задаче 750
D
К задаче 751
с?
К задаче 752
К задаче 753
752. Груз веса Р=100Н поднимается с помощью
невесомого каната, намотанного на барабан радиуса
г = 0,1 м, под действием приложенного к барабану вра-
вращающего момента Л1ВГ= 19 Н-м. Принимая осевой мо-
момент инерции барабана равным /=0,2 кг-м2 и пренебре-
пренебрегая сопротивлениями, определить усилие 5 натяжения
каната. Принять £=10м/с2.
753. Тележка массы т2 с упруго связанным посред-
посредством пружины жесткости d грузом массы пц накатыва-
Мб

ется на пружинный упор жесткостью с2. Пренебрегая не-
неупругими сопротивлениями и инерционными свойствами
пружин и колес тележки, а также считая, что до момен-
момента удара тележки в упор груз mt относительно тележки
находится в покое, найти соотношение максимальных де-
деформаций Липах И Ягтах ПруЖИН, еСЛИ 7Л2 = 8 Шх И С2 = Сь
754. К горизонтальному валу АВ под прямыми угла-
углами приварены два однородных стержня, выполненные из
одного материала и расположенные в одной плоскости.
Расстояния этих стержней от ближайших к ним опор
А и В вала и расстояние между стержнями одинаковы.
I В
К задаче 754 К задаче 756
Длина ближайшего к опоре В стержня в два раза боль-
больше длины другого стержня. Найти соотношение доба-
добавочных динамических реакций RB и R1^ опор В и А ва-
вала при его равномерном вращении.
755. В условиях предыдущей задачи, пренебрегая ве-
весом вала АВ, а также положив угловую скорость вра-
вращения этого вала равной со, найти соотношение полных
реакций RB и Ra опор В и А, когда приваренные к ва-
валу стержни находятся в вертикальной плоскости в поло-
положении, указанном на рисунке, если длина короткого
стержня равна /.
756. Однородный прямолинейный стержень ОА веса
Р и длины /, удерживаемый в горизонтальном положе-
положении с помощью шарнирных опор О и В, воспринимает
момент М. Определшь реакцию Ro опоры О стержня
сразу после устранения опоры В.
757. Положив в условии предыдущей задачи Р—
= 10 Н, /=1м; Л1—ЗН-м, определить ускорение ас
центра масс стержня ОА в момент устранения опоры В.
758. На гладком горизонтальном диске радиуса R с
помощью шарнира В и пружины АО закреплен однород-
однородный тонкий прямолинейный стержень АВ массы т и
длины 1—R ]/2. Длина недеформированной пружины
равна R/2, а жесткость — с. Диск равномерно вращается
вокруг центральной оси О, перпендикулярной его пло-
10* U7

скости. Определить, при какой угловой скорости со вра-
вращения диска деформация пружины равна h—R/2.
759. На гладком горизонтальном диске радиуса R с
помощью шарнира В и пружины АО закреплен тонкий
однородный криволинейный стержень АВ, изогнутый по
дуге окружности радиуса R. Масса стержня равна т, а
его длина l=nR/2. При заданной угловой скорости со
вращения диска вокруг центральной оси О, перпендику-
перпендикулярной его плоскости, стержень АВ занимает на диске
К задаче 758
Р
ша
G
К задаче 759
QDL
К задаче 760
К задаче 761
положение, при котором АОЛ^ОВ. Определить жест-
жесткость пружины с, если ее длина в недеформированном
состоянии равна R/2.
760. Однородные пластины в виде прямоугольника и
полукруга, имеющие одинаковый вес, равномерно вра-
шаются вокруг горизонтальных осей с одной и той же
угловой скоростью. Найти соотношение размеров г и b
этих пластин, при котором добавочные динамические ре-
реакции опорных подшипников осей одинаковы, если
AB=DE=2l.
761. Однородный прямоугольный брусок с помощью
шарнира А закреплен на тележке, движущейся прямо-
прямолинейно и равноускоренно по горизонтальной плоскости.
Пренебрегая сопротивлениями, установить, при каких

значениях ускорения а тележки произойдет опрокндывл-
ние бруска, если высота бруска втрое превышает его ши-
ширину. Определить также реакцию RA шарнира А в мо-
момент начала опрокидывания, положив вес бруска рав-
равным С.
Приицип возможиых перемещений
762. Каток из двух жестко скрепленных цилиндров
радиусов п и гч удерживается в равновесии на горизон-
горизонтальной опорной плоскости с помощью двух грузов Р\
и Р2. Пренебрегая проскальзыванием катка по опорной
плоскости, найти соотношение между возможными пере-
перемещениями 6si и bs.2 этих грузов.
К задаче 762
К задаче 763
К задаче 764
К задаче 765
К задаче 766
763. Найти зависимость между горизонтальной Fi н
вертикальной F2 силами, приложенными в шарнирах А
и В плоского механизма, при равновесии этого механиз-
механизма в положении, изображенном па рисунке.
764. Найти соотношение возможных перемещений
Йф1 и бф3 звеньев 1 и 3 плоского стержневого механизма
в положении, в котором кривошип ОА вертикален и
Принять OAAB OD
i 49

765. На шероховатой горизонтальной плоскости ле-
лежит брусок веса Р=40Н, соединенный с грузом веса
6'=20Н посредством переброшенной через идеальный
блок нерастяжимой невесомой нити. С помощью пру-
жины жесткости с=1кН/м брусок связан с неподвиж-
неподвижной стеной. Определить минимальное значение fmin ко-
коэффициента трения скольжения между бруском и плос-
плоскостью, при котором брусок будет находиться в равно-
равновесии, а деформация пружины равна 1 см. Массой блока
пренебречь.
А
ШВ F
К задаче 767
К задаче 768
766. Грузы А и В удерживаются в равновесии посред-
посредством системы блоков и каната. Определить соотноше-
соотношение веса Ра и Рв этих грузов, пренебрегая массами бло-
блоков и каната.
767. К кривошипу О А длины /== ]/2/2м приложен
вращающий момент Mbp=60H-m. Посредством стерж-
стержня АС кривошип связан с центром С катка радиуса
/?=0,25м, находящегося на горизонтальной опорной
плоскости. К свободному концу шпн, намотанной на ба-
барабан радиуса г=0,П м, который жестко связан с кат-
катком, подвешен груз. Какому условию должен удовлетво-
удовлетворять вес G этого груза при равновесии системы в поло-
положении, изображенном на рисунке, когда Z.«4OC=45°,
если коэффициент трения качения катка по опорной пло-
плоскости /,5=0,01 м, ОА=АС, а прямая ОС горизонталь-
горизонтальна? Проскальзыванием катка по опорной плоскости и ве-
весом всех элементов системы, кроме указапноги груза,
пренебречь.
768. Определить модуль силы /\ действующей вдоль
горизонтальной зубчатой рейки АВ и обеспечивающей
равномерный подъем груза веса Р. Соотношение радиу-
радиусов колес привода таково: ri=2r2; /?2 = lI5/?[. Трением
пренебречь.
150

769. Какой вращающий момент Мвр необходимо при-
приложить к кривошипу ОА расположенного в горизонталь-
горизонтальной плоскости механизма, чтобы обеспечить указанное
на рисунке равновесное его положение при действии на
ползун D горизонтальной силы F, имеющей модуль F =
=20 Н, если г—0,1 м; R=2r; AB=r/2. Сопротивления-
Сопротивлениями пренебречь.
770. Определить реакцию опоры С составной невесо-
невесомой балки ABCD, нагруженной парой сил с момен-
моментом М.
Л
7///Z/,
К задаче 771
К задаче 770
А В
К задаче 772
771. Прямоугольная трехшарнирная арка находится в
равновесии при действии пары сил с моментом М. Пре-
Пренебрегая весом арки, найти реакцию опоры Е, если
AB=BC=CD=DE=l.
772. Стержневая конструкция, состоящая из трех од-
однородных шарнирио связанных горизонтальных стерж-
стержней, находится в равновесии в вертикальной плоскости.
Стержни выполнены из одного материала и имеют дли-
длины AB=l; BC=2l; CD=3l. Найти соотношение реак-
реактивных моментов Мд и Md заделок А и D.
773. Сохранив условие предыдущей задачи, найти
момент М пары сил, который нужно приложить к стерж-
стержню ВС, чтобы реактивные моменты МА и Мо заделок
А и D стали одинаковыми по модулю и знаку, если вес
стержня А В равен Р.
151

774. Невесомая плоская ферма воспринимает прило-
приложенную к узлу В вертикальную нагрузку Р. Определить
усилие 5 в стержне DE фермы, если AD=DE=EC=
= DB = BE.
775. Невесомый стержневой ромб OABD, к узлу D
которого подвешен груз весом Р, находится в равнове-
равновесии при действии силы F, приложенной к ползуну Е н
направленной вдоль горизонтальной диагонали ромба.
Определить модуль F этой силы, если в данном поло-
положении угол при вершине А ромба равен 2а.
К задаче 774
ХШ
К задаче 776
С 1Ш
К задаче 777
776. Однородный горизонтальный брус АВ веса G
леным концом А опирается па стержневой квадрат
ADOE, установленный так, что АОЛ.АВ; правый конец
В бруса закреплен на шариирно-подвижной опоре. Пре-
Пренебрегая весом стержней квадрата, определить усилие
S в его диагональном стержне DE.
777. К точкам А и D механизма приложены горизон-
горизонтальные силы F\ и F2. Пренебрегая сопротивлениями,
определить соотношение модулей этих сил при равнове-
равновесии механизма, когда ZAOD—a и АО=2ВО.
778. Через неподвижные блоки А и В и подвижный
блок С переброшен канат, к концам которого прикреп-
прикреплены грузы масс Ш\ и ш2, а к подвижному блоку — груз
массы т3. Определить минимальные значения /| и /2 ко-
коэффициентов трения скольжения грузов масс тх и m2
152

по опорным горизонтальным плоскостям при равновесии
системы. Весом блоков и каната пренебречь.
779. В эпициклическом механизме заданы радиусы
колес / и 2: /?[ = 0,4 м; /?2=0,2 м. На два одинаковых
барабана радиусов г=0,1 м, жестко связанные с коле-
колесами 1 и 2, намотаны нити, которые поддерживают гру-
грузы В и D. Пренебрегая сопротивлениями и весом колес
А В г=п 2
Я,
К задаче 778
К задаче 779
вместе с барабанами, найти вес Рв груза В и вращаю-
вращающий момент МБР, приложенный к кривошипу ОА, при
равновесии механизма, когда этот кривошип горизонта-
горизонтален, если вес груза D равен Ро—50Н.
Общее уравнение динамики
(принцип Даламбера—Лагранжа)
780. Пренебрегая трением и массами блоков, опреде-
определить ускорение грузов для системы, изображенной на
рисунке.
781. Через блок массы т переброшена невесомая
нить, к концам которой подвешены грузы масс т и Ъп
соответственно. Пренебрегая трением и считая массу
блока равномерно распределенной по его ободу, опре-
определить ускорение грузов.
782. К шкиву ) ременной передачи приложен вра-
вращающий момент Мвр=ЗН-м. Массы шкивов равномер-
равномерно распределены по их ободам и соответственно равны
М! = 1кг; M2=2 кг. Радиус шкива / равен 0,1м. Пре-
Пренебрегая трением, определить угловое ускорение шки-
шкива /.
783. Система состоит из трех тел одинакового веса
Р: бруска, находящегося на горизонтальной плоскости,
подвижного и неподвижного блоков,— а также невесо-
невесомого перастяжнмого каната. Рассматривая блоки как
однородные сплошные диски одинакового радиуса г п
пренебрегая сопротивлениями, определить, какую гори-
153

зонтальную силу F необходимо приложить к бруску,
чтобы обеспечить его движение с ускорением с= — g,
\ъ
784. К свободному концу переброшенного через иде-
идеальный блок невесомого и нерастяжимого каната, охва-
охватывающего тонкое однородное кольцо, подвешен груз В.
Массы груза и кольца одинаковы. Пренебрегая массой
блока, определить время t подъема кольца на заданную
высоту к, если в начальный момент времени система на-
находилась в покое.
К задаче 780 К задаче 781
К задаче 782
К задаче 783
У///////У////////////Л
К задаче 784
К задаче 785
785. К подвижному колесу эпициклического механиз-
механизма, расположенного в горизонтальной плоскости, при-
приложен вращающий момент М,р=0,11К-м. Радиусы
обоих колес механизма одинаковы и равны f=0,l м.
Масса подвижного колеса т=\ кг; такую же массу име-
имеет «кривошип ОА. Считая подвижное колесо однородным
диском, а кривошип ОА — однородным стержнем, опре-
определить угловое ускорение е кривошипа.
786. Система состоит из подвижного и неподвижного
блоков одинаковой массы т и радиуса /' и связывающе-
154

го эти блоки перасгяжимого невесомого каната. Прене-
Пренебрегая трением, определить, какой вращающий момент
Л1вр необходимо приложить к неподвижному блоку, что-
чтобы обеспечить подъем подвижного блока с заданным
ускорением а. Блоки считать однородными сплошными
дисками.
к
b
С'
Г
с
V.
задаче
*
> 786
F
1
В!
К
Е1
Й
ш ^^
задаче 787
А
.3s
К задаче 733
К задаче 789
787. В механизме, расположенном в горизонтальной
плоскости, кривошип ОА имеет длину /=0,15 м и мас-
массу Щ[=2 кг, масса тч ползуна /1 вдвое меньше массы
кривошипа. Кулиса BDE перемещается под действием
горизонтальной силы F=5H. Пренебрегая трением и
массой кулисы, определить угловое ускорение е криво-
кривошипа ОА, когда его угол поворота ф = 30°.
788. Момент инерции шкивов, насаженных iia общую
ось вращения О и жестко скрепленных между собой,
равен /о = 0,3 кг-м-, а пх радиусы rt = 0,2 м; гг —0,1 м.
Груз массы Ш[~= 1 кг падает отвесно и сообщает вра-
вращение шкивам; при этом второй груз массы itii=mi
скользит по шероховатой горизонтальной плоскости.
Определить коэффициент трения скольжения / эюго
груза по плоскости, если ускорение падающего груза
Gi~=0,lg\ Массами нитей и трепне.м на оси О прене-
пренебречь.
155

789. Определить круговую частоту к свободных ко-
колебаний механической системы, состоящей из неподвиж-
неподвижного блока массы М, катка массы т, который может
перекатываться без проскальзывания по наклонной
плоскости, и переброшенного через блок невесомого
ис-растяжимого каната, один конец которого связан с
центром катка, а второй прикреплен к вертикальной
пружине жесткости с. Массой пружины и трением пре-
пренебречь; блок и каток считать однородными сплошными
дисками; скольжение каната отсутствует.
790. Решить предыдущую задачу при условии, что к
свободному концу вместо катка присоединен брусок та-
такой же массы.
Метод обобщенных координат
791. Установить число степеней свободы s матери-
материальной точки в каждом из следующих случаев ее дви-
движения: а) свободное; б) по заданной пространственной
кривой; в) по заданной поверхности.
792. Установить число степеней свободы s системы
двух материальных точек, связанных жестким стержнем.
793. Какая из приведенных на рисунке механических
систем, совершающих движение в одной плоскости, име-
имеет наибольшее число степеней свободы?
156
К задаче 794

794. Какая из приведенных на рисунке механических
систем, элементы которых движутся в одной плоскости,
имеет наибольшее число степеней свободы? Скольжение
отсутствует.
795. На рисунке изображены механические системы,
составленные из твердых тел и нерастяжимых гибких
нитей. Скольжение нитей отсутствует, а грузы могут
двигаться прямолинейно. Определить, какая из указан-
указанных систем имеет две степени свободы.
796. Определить число степеней свободы механичес-
механической системы, изображенной на рисунке. Скольжение от-
отсутствует.
797. Определить число степеней свободы s механиче-
механической системы, изображенной на рисунке. Скольжение
нитей и катков отсутствует.
798. Условие задачи 797. Рисунок к задаче 798.
2)
ЛГ
\т,
К задаче 795
т,
К задаче 796
К задаче 7 97
ГО,
К задаче 798
К задаче 799
157

799. Элементы механической системы, имеющие мас-
массы nil, tn% 11Ч, соединены посредством невесомых связей
и движутся в вертикальной плоскости. Пренебрегая сме-
смещениями масс в поперечных направлениях, определить
число степеней свободы s этой системы.
800. Для механической системы, составленной из
твердых тел и гибких нерастяжимых нитей, установить
связь между возможными перемещениями груза массы
Ш[ и грузов масс т2 и тз. Скольжение нитей отсутству-
отсутствует. Сколькими обобщенными координатами характери-
характеризуется положение этой системы?
801. Колесо веса Р и радиуса г катится по горизон-
горизонтальной плоскости без проскальзывания под действием
горизонтальной силы F, приложенной к центру С этого
колеса. Выбирая в качестве обобщенной координаты
угол поворота <р колеса, определить обобщенную силу Q4,,
если коэффициент трения качения равен /к.
Ко
К задаче 800
К задаче 801
К задаче 802
802. Физический мая шик состоит из однородного
прямолинейного стержня ОА длины / и закрепленного
на его свободном конце точечного груза А. Пренебрегая
сопротивлениями, определить обобщенную силу Q^, со-
соответствующую углу (( отклонения маятника от положе-
положения его устойчивого равновесия, если веса стержня и
груза одинаковы и равны Р.
803. Двухмассовая механическая система, состоящая
из грузов / и 2 и двух невесомых пружин жесткости ct
и с2, движется по гладкой горизонтальной плоскости при
действии горизонтальной силы F, которая приложена к
грузу 2. Выбирая в качестве обобщенных координат си-
системы отклонения Х[ н Хч грузов от положения их ста-
статического равновесия, определить обобщенную силу Q2,
соответствующую координате х2.
158

804. В механической системе с одной степенью сво-
свободы в качестве обобщенной координаты может бычь
выбрано отклонение одного из грузов тх или т2 от его
начального положения. Найти соотношение обобщенных
сил Q[ и Q,u соответствующих
выбираемым таким образом об-
обобщенным координатам. Мас-
Массами блоков п нитей, а также
пренебречь.
К задаче 803
сопротивлениями
К задаче 804
п Y/////////////////////Z^y7/m/.
К задаче 805
805. Однородный сплошной диск массы М может пе-
перекатываться без скольжения по горизонтальной плос-
плоскости. К центру О\ диска прикреплены две одинаковые
горизонтальные пружины жесткости с каждая. Прене-
Пренебрегая массой пружин, определить кинетический потен-
потенциал L (функцию Лагранжа) такой механической си-
системы, если в качестве обобщенной координаты выбра-
выбрана координата х центра колеса, отсчитываемая oi
положения статического равновесия.
806. Эпициклический механизм состоит из неподвиж-
неподвижного зубчатого колеса /, кривошипа ОА массы Ът и
длины / и подвижного колеса 2 массы т. Принимая за
обобщенную координату угол ф поворота кривошипа ОА,
определить инерционный коэффициент av механизма.
Колесо 2 считать однородным сплошным диском.
807. К переброшенной через неподвижный блок нити
подвешен подпружиненный снизу груз В. Радиус блока
равен г, а жесткость пружины — с. Принимая за об-
обобщенную координату угол поворота <р блока, опреде-
определять соответствующий эгой координате коэффициент
жесткости сф системы. Потенциальную энергию системы
в положении ее равновесия считать равной нулю.
808. Система состоит из горизонтального бруса АВ
массы т и двух одинаковых катков массы т каждый;
159

К задаче 806 К задаче 807
К задаче 809
К задаче 808
К задаче 810
при этом брус связан с неподвижными стенками двумя
пружинами одинаковой жесткости с. Пренебрегая мас-
массой пружин и скольжением между брусом и катками, а
также между катками и горизонтальной опорной плос-
плоскостью, определить коэффициенты инерции и жесткости
системы, соответствующие обобщенной координате х,
отсчитываемой от положения равновесия бруса. Катки
рассматривать как однородные сплошные диски.
809. Механическая система состоит из двух одинако-
одинаковых блоков, подвижного и неподвижного, массы т каж-
каждый, невесомой нерастяжимой нити, переброшенной че-
через эти блоки, и горизонтальной пружины жесткости с.
Считая массу каждого из блоков равномерно распреде-
распределенной по ободу и пренебрегая массой пружины, опре-
определить коэффициенты инерции и жесткости системы, со-
соответствующие обобщенной координате х, равной рас-
расстоянию центра подвижного блока в текущий момент
времени от его положения при равновесии системы.
810. Однородный прямолинейный стержень ОА дли-
длины / и массы М закреплен в вертикальной плоскости с
помощью шарнира О и вертикальной невесомой пружи-
пружинь' жесткости с. В положении равновесия стержень го-
горизонтален. Принимая за обобщенную координату угол
160

поворота ф и рассматривая малые отклонения стержня
от положения его равновесия, определить коэффициен-
коэффициенты инерции и жесткости этой системы.
811. Оси двух зубчатых колес радиусов R и г соот-
соответственно связаны невесомым стержнем ОА, при этом
r-AWW—Ш
0&—I X
К задаче 81]
Г7*П
Уг/.
К задаче
Г
в
814
К задаче 8!2
А
!
к
в
'
К
WV
с
задаче
задаче 813
: 815
А
±
К задаче 816
К задаче 817
колесо радиуса R неподвижно, а масса подвижного ко-
колеса радиуса г равна т. К концу А стержня ОА при-
прикреплена вертикальная пружина жесткости с. В поло-
положении равновесия стержень горизонтален. Найти коэф-
коэффициенты инерции и жесткости системы, приняв за
П-659 161

обобщенную координату угол поворота ц стержня при ма-
малых его отклонениях от положения равновесия. Под-
Подвижное колесо считать однородным сплошным диском.
812. Однородный стержень ОАВ, изогнутый под прл-
мым углом, шарнирно закреплен в точке О и находится
б вертикальной плоскости. Найти значение обобщенной
координаты ц, стержня в положении его устойчивого рав-
равновесия, если ОА=ЛВ,
813. К верхнему концу А шарннрно закрепленного
однородного стержня ОА веса Р и длины I прикреплена
пружина, которая при вертикальном положении стержня
горизонтальна и не деформирована. Какому условию
должна удовлетворять жесткость с пружины, чтобы
вертикальное положение стержня было устойчивым?
814. Груз А закреплен на свободном конце невесо-
невесомого стержня ОА, удерживающегося в вертикальной
плоскости с помощью шарнира О и пружины BD. В по-
положении равновесия стержень горизонтален. Как изме-
изменится круговая частота к малых колебаний груза, если
расстояние О В от шарнира О до точки В крепления
пружины к стержню уменьшится в два раза?
815. Однородный сплошной диск массы М закреплен
в вертикальной плоскости с помощью шарнира О и пру-
пружины жесткости с. В положении равновесия диаметр
ОА диска вертикален, а пружина горизонтальна и не
деформирована. Определить период т малых колебаний
диска около положения его равновесия.
816. Невесомый стержень О А закреплен с помощью
шарнира О и двух одинаковых пружин жесткости с каж-
каждая. В точках Л и D стержня размещены два одинако-
одинаковых груза, масса каждого из которых равна in. Опреде-
Определить круговую частоту k малых колебаний системы, ес-
если в положении равновесия стержень ОА горизонтален
nOB = BD=DE=EA.
817. В механической системе вертикальная рейка АВ
закреплена с помощью двух одинаковых пружин жест-
жесткости с каждая. Массы рейки и каждого из двух одина-
одинаковых зубчатых колес равны т. Пренебрегая массами
пружнп п считая колеса однородными сплошными дис-
дисками, определить круговую частоту /г собственных ко-
колебаний системы.

ОТВЕТЫ
Статика
6) Fx =— БоУзН. 7) R = 14Н. 8) <р = 60°. 9) R = 4}/2>/.
10) R = 4КЗН. 12) Fx = БОН. 13) F = I20H. 14) Fx = 2|/"зН.
16) р = 45°. 17) RA = 5 ^2 кН. 18) УИС (#в) = 0.
19) #,, = ЮН. 20) S=Ptga. 21) Р = . 22) S6=—Р.
л sin a
23) а= arctg 1/2. 24) Р= гоКбкН. 25) /?с//?в = 1.
26) Р = 1 кН. 27) Sx =— 2 кН. 28) <р = 30°. 29) Sj = 427 Н.
30) а =45°. 31) М = 2У2Н-м. 32) RA = M/r. 33) Верти-
Вертикально вниз. 34) МА (Re) ——М. 35) Горизонтально влево.
36)RB = 5H; горизонтально влево. 37) Вертикально вниз.
38) МДх=0; МАу=— 10 Н-м; МАг = 0. 39)УИ = 7Н-м.
40) М = чУ~2У{-и. 41) К равнодействующей. 42) Мкф0;
_А_ _ _ _Л_
R' Ф 0; (Мо, /?') = 90°. 43) Мо ф 0; /?' ^ 0; (м0, R') Ф 90°.
44) Система приводится к паре сил. 45) Система находится в рав-
равновесии. 46) Система приьодится к равнодействующей. 47) Сис-
Система приводится к равнодействующей либо к динамическому винту.
50) К равнодействующей. 5!) К динамическому винту. 52) R' =
_ _ _Л_
= 0; М0Ф 0. 53) R' Ф 0; Мо ф 0; (Мо, R') Ф 90°. 55) М01 =
= И Н-м. 56) М* = 4 Н-м. 57) р= 0,8 ы. 58) ц,=
= arccosO,6. 59) 2Н-м. 60) 2 Н-м. 61) — i Н-м,
62)—КгН-м. 63) — 2]/H-m. 64)f1K2 = F2. 65) Mz =
= Ю Н-м. 66) || Ог вверх. 67) ту = 500 Н-см. 68) i; 5; 6.
ea-
earn) Четыре. 70) МЛд. = т + 2 f а ч— ; МАу=— Fa;
ч* 163

qa2 qa
71} S, =— P/3. 72) q = 4]/3 kH/m2. 73) S2 = 4 кН.
Уз
74) S=4H; VD ^ Кя -— i H; ZD = ZE = -у- (Зл - 2) H.
75) 5S --=—2 кН. 76) Система приводится к паре сил. 77) По ЕК
гт £ к К. 78) С@, а). 79) с(—^-, Oj. 80) .« = Fa. 81) Д1„ =
= ^(xsina + ycosa). 82) Мс (й) =— |/"н-м. 85) v=3.
{■6) v = 6. 87) RB = m/a\/~2. 88) Дл = 4 Н. 89)F2=4H.
g.j) fy =_ 3 H. 91) Qmin =- P/2. 92) a = 30°. 93) a, = 60J ,
c; ^ 240°. 94) Sx ~ S2 = P/j.-T. 95) /?д = Р/2; горизонтально
r-лево. 96) 5^ 1000 Н. 97) /?0^ 2J/3 кН; (/?0, «) = !20°.
98) RAy=— 5 кН. 99) Д„ = 300 Н. 100) RA = 2/3 кН.
101) q = !00 Н, м. 102) Яд = Яв = 2Н. 103) ^ = X
Ь U
:-. (cos a — sin a). 104) RA —— f; MA= F (ВС sin a + AB cos a).
_ P
105) R.=—F; M, = FADcosa. 108) S= .
л sin a + cos a
107) F = 3N. 108) ,V = |/H. 109) Д„ =2|/"Jh. ПО) Ь.
Ill) 30е. 112) RD = 0. 113) RD = F/3. 114) /?в = 0.
115) /?D = 200VH. 113) RA = !0}/2H. 117) Хи =
--- 2 кН; ^=3kH. 118) XB -=— 1 кН; YB = I кН.
119) Лс= 0; Kc=— i кН; 120) 5 =-2 кН. 121) Хс = 2 кН.
О/
)'с= I кН. 122) S=— 2 кН. 123) Дл = -^- ; Ж^ = 0.
124)i:3. 125)Sx = 8kH; S2 = 6kH. 126) Q = 4 кН.
127) ГХ = Р. 128) Ti.T2:T3:T^= i.— : i:-i- , 129) RA не из-
изменится, MA изменится. 130) S= 10 см. 131) q = 600 Н/м.
132) ^B = 700 H. 133) S6 = 0. 134) Два. 135) S4 = Sg =
f cos 30°
+S 5
== +it
sin 45
164
136) i; 2; 5. 137) Горизонтально.

140) 2;5;8. 141) i;2;9;ii. 142) n = 8. 143) 5X =
=+ —— . 144) S4 =— P. 145) 6\ =+—~ . 147) / >
sin a ■ j/2
> — ■ 148) fata = У 3/3. 149) fmln = 0,5. 150) /m!n=0,8.
151) S = tfcosa— sin a). 152) a = arctgf. 153) Q =
fV~2 1 2
" "r"rmin=l- 15S) M>—fPl: 158) Л1> —
157) F = P ^0SK + ^sinK , 158)Жш!п=1Н.см. lS9)Af>
^вШф + ^совф
2 /г
> — Н-м. 180) M>PRY 2. 161) max == 200. 162) yc =
" Vmax
,5 2/?
/ / 4 \ Кг
=—0,25/sina. 165) д;с=— . 188) *с= 3—— -^-см.
3 \ п ) 2
167) Sy =_ — а». 168) S^ = — /?». 169) 5^=-^- о».
170) S, = -i- Р. 171) Sy = -^~ аз. 172) 5я = -2_ й3.
173) д;с = 0,95/?; {/с = 0,438/?. 174) хс = a; j/c = 0,328a.
175) Л1Л =— 0,4Р/. 176) Мс (?) =— F//4.
Кинематика
177) Окружность. 178) Эллипс. 179) Окружность. 180> Эллипс.
181) s = Vc/t. 182) s = Кз(е'— i). 183) /7 = 9 м. 184) П =
= 36 м. 185) П= !5 км. 186) * = /(<—1). 187)s=2(i +
+ Сг) м. 190) v = Kb? + 2& -с + i;2<2. 191) <х = 1 с. 192) f
= 5/6 м/с. 193) vo = b. 194) & = 2 м/с. 195) и — Ь£'-.
196) Равномерно. 197) р = 0,5 м. 198) а% — 0. 199) Окруж-
Окружность. 200) s=8sin^/4. 20!) i) г; 2N; 3) а; 4) е.
а„, = ?А2. 203) а = 6 м/с2. 204) о„ ^ 0; аг=0.
иг = const. 203) ап пропорционально ^3. 207; 1) е< 2} б;
165

) ,-; 4) a. 208) 1Л = 0,5 (V 2 -f i ) с. 209) /=lc. 210) t=
- i ,5 с 211) ac =-- 0, on = ii*/3. 212) o^ax = —iL
213) c^d4 = —г . 2i4) й --=— k-s. 215) о = ft |/ fc? — s2.
213) u = v-^- . 217) firt —8 м/с3. 218) t—\ с 219) #=4 M.
d.v
222) л- == V ll - К — У\к ~ vQt - Л2 • 223) vM = у/cos a.
224) vc = 2/n м/с. 225) ил -= 2 м/с. 226) e = 2я рад/с?.
227) ил = 3i!B , йл = Зов . 228) со = 24 рад/с. 229) <р = <-:/2.
230) сс = 4/3п к/с'. 233) ев = 4 рад/с, е= !6 К 3 рад/с2.
234) Направление ш нельзя \стииовИ1Ь из лаи^'.ых ;мдам11, е« |-».
235) ««+», е«—». 236) ч^=2 м/с. 237) ^=^0,5 с. 238) с-л =
= 8л/^, ол — 64я-/?. 239) Ускоренно в отрицательном наирявлекни.
240) Замедленно в положительном направлении. 241) Замедленно
при 0<^< 3 с, ускоренно при 1>3с, 242) м = 4 рад/с.
243) an=9 м/с". 244) и = 3 ы/с. 246) 1) i'M = i w/c, пл! нап-
направлен перпендикулярно ОА в заданном направлении Ф; 2) йдГ = ! м/с2,
Од, направлен перпендикулярно 0,4 против заданного направления ф;
3) а", = 2 м/с2, е'д| направлен параллельно ОД, 247) i\, = 2у^>
влево. 248) а = 8 м/с2. 249) а —0,8 м/с?. 250) м3 = 8 рад/с.
25!) w3 12 рад/с. 252) е2 = 2 ра с2. 253) a =y'5 м,с2.
254) t'e = 0,G м/с, вниз. 255) v = 0,05 м/с, вверх. 258) vA =
= 2|/"м/с, ол = 4м/с2, ал=2|/2 м,с2, сл = 2|/ м/с^,
,1Л = 2|/2м. 257) е = 8 рад/с2, ав = 81/" м/с2, ускоренно
вниз. 258) ы--= 0, е=1рад/сг. 250) :-£ = 0,4л J/3 м,е.
28J) f= ]/2" м/с. 201) а — 4 м/с-. 2G2) оь,« 1 см ч-.
2G3) оь, = J/TO см/с-. 264) "с = 4 ыЯ. 233) ив ^ 2сА.
3
253) ш3 = (й2^0. 2C7) г3 — — t'i, Ыфаьо. 286) f0~t
!6G

269) co2 = co]# 270) vB =0,5 м/с. 271) co2 = i рад/с. 272) Точ .
ка С. 273) ав < аА . 274) vB = 0. 275) Точка О. 276) со2=
= 0. 277) со3< сох, 278) ав = 2ас # 279) Точка Л. 280) cog =
= 0. 281) »в = 0. 282) По АР. 283) По /Ш. 284) vB =
+ 2со2 d2. 285) е = ав+\ , 286) со=О. 287) ас =
— oB+cozd. 288) aD = ав , aD направлен по DC вниз. 289) СО2=
= -—- . 290) vB = vA ctg a. 29!) vB = ]/ vA + a2 d2.
292) t;D = vA + cod. 293) aD = aA+ ed. 294) ав =]/ 4
293) e = -f£ f£. . 296) e2 = 0. 297) co2=2 рад/с, 298) co2=
ВС
= 2 рад/с. 299) в = 0. 300) e2 = — \/~3 рад/с?. 301) я^ =
О
1.6
м/с2. 302) Bi = —-КЗ рад/с2. 303) со3 = I рад/с,
Уз 3
304) ^ = 2 рад/с. 305) Вертикально вверх. 303) со = 2 рад/с.
307) в = 0. 308) йс = 0,2|/ м/с2. 309) »с = t\ 310) ос=
= 0,4 м/с. 311) вс= 1,2 м/с. 312) »с = 0,8 м/с. 313) а^ >
> йв _ 314) со = I рад/с. 315) aD = — яв # 316) яд = 0.
2 i
317) yF = —- сох г. 318) со = со 319) Точка О. 320) В
Уз 3
точке О. 321) vB = vc ф 0. 322) ав = ас ^ 0. 323) e=v
324) ал = ав Ф 0. 325) Л£> = R ]/2 . 326) е = ]/41п-
рад/с2. 327) ч=3 м/с. 328) в лежит в плоскости Оху; ад
направлен параллельно оси Ог. 329) со = 4л уЗ рад/с. 330) е =
= !6nj/3" рад/с2. Х<!) а°сс = 480л- см/с2. 332) а^.р = 320л'-х
X |/з" см/с2. 333) vMx =— 1 м/с. 334) yMv = 3 м/с.
335) fMz = 6 м/с. 336) чс = 0,4 м/с. 337) йл = |/0Т52 м/с.
338) »в = 0,2 м/с. 339) вв = 1,8 м/с2. 340) яс = |/0,52 м/с2.
16/

341) i-=2vr — v* v 9= V <$ + 2i'c — 2vc v > v <. = v ; v , =
— ]/ v2r _}- ^ + 2i'c у . 342) у = j/3~ м/с. 343) t'B = j/2~2 м'с.
344) v == u)R/2, 345) ув = 0,2 j/ 3 м/с. 346) у = 1/' 7 У.
347) i'a = 6 м/с. 348) уа = 2]/ 2 м/с. 349) ав = 4 м,с2.
35СI'а = 0. 351) оа = '1-/2 м/с2. 352) t-= 0,1 м/с. 353) а =
^ 0,346 м/с2. 354) ео = &i2 м/с2. 355) va = 2л м/с, 359) Го-
ризонталыго влево. 360) Вертикально вверх. 361) аа = !4 м/с'2.
3 л/" -,/
352) аа = —л? м/с2. 363) !; 3. 364) vai = —— V 4 + л2 см/с;
го2 = л/- (л + 0 см/с; аС1 = асг = 0; ааХ = 2л2 /■ см/с2; оо2 =
--■ri'ry2 см/с2. 365) Вертикально вниз. 368) Влево по горизон-
горизонтали. 367) va/ve— i /cos ф. 368) Замедленно вправо. 369) Ус-
Ускоренное движение вправо. 370) В положении 3. 371) В положе-
положении 4. 372) а = g ctg cc. 373) Поступательным. 374) Параллель-
Параллельна осям OtZj и Ог и проходит через точку А, причем 0А = 0,5 001.
375) Параллельна осям OX2X и Ог и проходит через точку В, причем
OB ~ 00v. 377) По оси Ох в положительном направлении.
378) Сферическим. 379) wo = 5 рад/с. 380) со = -^-. 381) По-
Поступательное. 382) По оси Ох в положительном направлении.
383) Вращательное вокруг оси BD. 384) Винтовое. 385) Мгнои-ц-
ная ось направлена вдоль АЕ, i'B направлен по ВС от В к С.
386) Проходит через центр тяжести треугольника ACD. 387) ыа =
— 2ю]/2. 388) Поступательным. 389) Поступательным.
390) Винтовым. ЗЭ1) Вращательным вокруг мгновенной оси.
352) Мгновенным винтовым. 393) Винтовым. 394) Мгновенным
винтовым. 395) Мгновенным винтовым. 396) Вращательным вокруг
мгновенной оси. 397) Поступательным.
Динамика
398) Fo— 2V&H. 399) а= —. 400) F—2am. 401) F =
/ fi-P \
=Ча + ~2 I' 402)F1=i,5H; F2 = 3H; F3 = 4,5II.
!68

403) а=0,25 м/с2. 404) 0= 135е. 405) a = — —gf.
408) а •= 0,54 м/с*; S = 10 Н. 407) F = 2 (З/7-f- 2}). 408) а =
= 4 Кз м/с*. 409) а = л/2. 410) 5 = — (Ft + ^2)■ 411) /=
= 0,2. ) )(Ц
414) а= о. 415) а = arctg—■. 416) В положении 5; SmRX-~
I G
— Snim=2mg. 417) и — У g/l. 418) Вертикально вниз.
419) По оси а- в отрицательную сторону. 429) Л'—9,8 cos(!—П,2г)—
— 4 кН. 421) Вектор v изменяется только по направлению.
422) F = 2 т Н. 423) m = 0,5 кг. 424) а = у 2g/l. 425) F ■-=
= 4 У2Н. 426) Парабола, лежащая в плоскости Охг. 428) х =
= — g. 429) л- = — g. 430) х = — U -е--') м. 431) *=
= (е — 2) м. 432) л; = —— sin -j- . 4») ц = 0,5 (I — 2е*+ <;?')•
434) и =40 м/с. 435) f = 3 м/с. 433) t'iA'2 = i. 437) ttlt2 =
= 2. 438) ь'гаах = 5/6 м/с. 439) л: = * — sin t м.
44Э) мА—; е; —J м. 441) х2 + у2 = 1. 442) Прямая.
443) Окружность радиуса R = 0,2 ч; Z. = 0,4 м. 444) Окруж-
Окружность радиуса R = 0,8 м; s = Р. м. 445)f = 8A-H. 446) Л=
= К? см. 447) а == я/4. 448) Увеличится в 1^2 раз.
448) Увеличится в 2 раза. 450) tH = 3 см/с. 451) с= 4 Н/м.
452) а = л/4. 453) Л1 = —— . 454) / = -^- . 455) с = 25 Н/см.
456) —*- = . 457) t = -^- . 458) v = 20/п, Гц. 459) л;в =
= 2,5 см. 460) х = 0,i sin 10/ + 0,4 м. 461) Схемы 2 и 3,
462) Схема 4. 483) Fioax = t> j^mc . 464) Я=— sin 2* м.
485) Ятах = —- . 468) Эллипс. 467) А = 0,01 м. 468) k =
= 100 рад/с. 489) т* = i с. 470) г) = 0,1. 471) Апериодиче-
!69

ское движение. 472) к* = 6 рад/с. 473) и/А = 0,6. 474) т*/т=—.
4
475) ц = 8 Н.с/м. 476) /х = -^- с. 477) хв = 2/3 см. 478) г =
= 2tf-u" sin 70f см. 479) Г = 0,1 с. 480) 6=1/3. 481) Д=0,5/м.
482) гРез = 0,0i/ sin / !0/ — -|- J м. 483) у = 2 sin !0/ H. 484) Ъ —
--= 1,2 ем. 485) Л= 1,25 м; в = 25/16. 486) <р = 5* рад. 487) Су-
Суперпозиция гармонического и апериодического затухающего процессов.
488) р = 8 рад/с. 489) р = !2 рад/с. 490) 0 < е < у- .
2 _
491) В —it раз. 492) Дтах = °>25 м. 493) 6 = 5/8. 494) a = g.
Уз
495) Увеличится на 0,005 м. 493) Г = 0. 497) S = т (g+й+е/-).
498)
501)
т=
/ =
У
с.
2
i
A
г —
499)
-Ь)
-gf '
юшт =
502) Л
/= i
2g
/г
Н;
= l/ ^=^-).
g
[ со?/sin? a \
504) FTp =/nig cos а + I. 505) По параболе. 506) 6'==
= Gcosa. 507) г = л/ R2 — ~- . 508) £ = 25 рад/с.
50Э) Л?шах — А'т1п = 2т/ш2. 510) Хтах = 3/. 511) Хтах=1,5 см.
512) f> ——, где *= / ~ . 513) Зн — 6. 514) гс =
/,-._. 5 /Кз
= — (/ + / + 2Л). 515) ДС = —/. 516)vc = g^ •
1 2
517) хс — — а; ус~ zc— — a. 518) Уменьшится на 25%.
519) /0=6/па2. 520) 1 = г. 521) /=1,5.V№. 522) 3/2.
523) /= -—MR?. 524) 2/|/"з . 525) -^-=1. 526)/ =
5 /2
3 5 7
= —М/?г. 527)/=—MR*. 528)/ = МР. 529) /ж=
170

!85 PI2 i9
530) Iaz=-Й1) 1
rVI
533) /гзс=15 кг-м2. 534) /д.г, = 2 кг-м2. 535) V =.-.
533) /г = — nyHR*. 537) /г = — Л«?2. 538) р^/Гб/З.
6 о
539) ут =—/. 540) Вверх параллельно осп Оу. 541) #<f) —54 Н.
3
542) Окружность с центром 0 и радиусом г = —■ /. 543) Окруж-
/ i \ 2
иость с центром К { /; 01 и радиусом л = —— /. 544) Прямая,
\ 2 / " 3
параллельная оси Оу. 545) mz-— Зпг. 548) ас = 15 cm/cj. 547) s —
т91 V 3P2R
вправо. 548) х = -—- , п , . 549) И„ .4 =
=-^-(f/o — l). 550) jt2 =—0,2 cos 50/ см. 551) RB^~^~ mg.
l.'«, /?«■■!
552) /?шах= 4/nto2. 553) Wmax - (mx + m2) g -f
554) /то = — k. 555) s = ink Val + 63 . 556) s = F 2 mt'.
557) s = 2mv. 558) Ли = 30 м/с. 559) v = —— . 560) Q =
= 2 кг-м/с. 561) Q=0. 562) Q=V 3mv; по горизонтали вправо.
Vb 2
563) Q = —— imf. 5;4) 0= — ТЛ«/?'. 565) Q = 9maR.
2 3
2in,id
586) /=0,25. 567) fmax= l— . 568) t=0,3 м/с; влево.
tXi —p Ш f
569) Лс = -^-«. 570) .11^ = 20 if-м. 571) В случае 3. 572) г=
= 10 м/с. Й73M,= 2смг. 574) у ^ 10 м/с. 675) w=a.
== т- е ''с . 573) v -= :'r in —:^fi— . 577) a — 4g. 578) Ф =
,-n0— a/
/_j_g 1 5щ м (т~.) = зКо КГ-М-/С. 580) М
=—л кг'М2/с. 581) у2=3 см/с. 582) f2JC-= 2 к/с; i>2 =K-S,5m/c.
171

583) Kz = 0,01 кг-м^/с. 584) Kp = -^~ MvcR. 585) Kp= 16m +
3 \ 20 4
+ — M]vR. 588) Kp=-^-mP со. 587) К = —m/2co. 58S)e=
2 J о z 3
—*£*—; S=-^-. 589) „--*£!_. 590, ,п=2кг.
rBPH^) 2Я + Я 7/П/2
591) /x//2 =2. 592) со = 2ш0. 593) e = —- ^оЛ/ Jf • 694) ег =
. 596)
1A
597) @ = . 598) <p = 60№ рад. 599) e = 9 рад/с2. 600) e,:e2 =
ft/
= 1:4. 601) * = 0,4 с 602) ^^2= 3:5. 603) В 2,5 раза.
607)
604) e1:e2:e3 = 5:2:10. 605) с// = V1215 . 603) e=—-^-.
/ 4 \
> = arctg —-— . 608) @ = 4 рад/с. 609) Q = 45л Н:
\ 5 /
tf = 50. 610) e = -——— . 611) cBP=5 Н-м/рад. 612) /=0,6 м.
И/ПА"
65
613) /j^:^ = 2:5. 614) /ei:fc2=2:5. 615) /up =-—/?. 618) /np =
= —^r. 617) /np = 14 см. 618) ЛК=-^-/. 619)
24
2_
3
И--./ Г) _
620)
620) —!- =У 15/17. 621) ft,//e2= i.
г
4c/ + P т2
622) a = -j- 1/ -y . 623) /e = -у- рад/с. 624) Мгж < 0;
0; Мгг = 0. 625) Q = / 2 . 626) —f- = 2,5.
827) NA = 17,5 Н; NB=7,5 H. 628) /?(е)= 40 Н; Mg> =4 Н-м.
629) %=-|-g/2. 630) хс = — gfi. 631) /=0,5. 632) ^^4 =
, / 3MIR
635) i=\/ г. 636) ф =
Г = | / -^—p. K36) ф = —
172

g
= 10,5 м; ф=24рад. 638) h = — R. 639) h = 2R. 640) Пер-
Первым придет шар; последним—кольцо. 641) В 5 раз. 64?) 7=4 Дж.
643) Л =20 Дж. 644) А=— 3 Дж. 645) А = 0. 646) A=FR.
647) Л' = 4 Вт. 648) -^ = — . 649) А = 16 Дж. 650) Л=
= 8 Вт. 651) v = 2 м/с. 652) F = 5 H. 653) AT = 3 Дж.
654) f= 1 м/с. 655) t' = 6 м/с. 656) г„ = 1,4 м/с. 657) N=9P.
658) Яща.х = f lAn/c . 659) v = V^2/? (g — a). 660) T = 8m Ao^.
661) ДГ=900 Дж. 662) Г =51,8 Дж. 663) Т = 10 Дж.
664) Г = Яда2. 665) Г =32,2 Дж. 666) Т = 2/п/2©2. 667) Г =
668) 7: =3,5 . 669) 7'= З/ПУ2. 070) 7 =
g
= 0,25Мы2. 671) А==2п Дж. 672) А = 27 Дж. 673) м=60 рад/с.
674) со = V?g/3R . 675) со=2 |/g/5tf . 676) со = -^ 1 / —.
677) <f = я + 2а. 678) А = 36 см. 679) ц = 0,35 м/с. 680 /Ит =
• 681) л=т"('2- ^)- 682) А=5 рад/с-
i't 2
683) S = 54 Н. 684) Ятах = 0,022 м. 685) —— = —-
V Y ■
. 687) / = __^_!^ • 688) fk =
5/ 16g(/?sina + /cosa)
= ^'g^0^1) t 689) уив = i Н'м. 690) ,VHB= 200 Вт.
gl cos a
691) N = 102^ Вт. 692) /WBp = 51 Н-м. 693) zV = 1,1 кВт.
694) v= iVngfh. 695) В случаях 1 и 3. 696) ЩЩ2 = 2.
697) £ = — —^— ; и = у kjr . 698) По координатной оси Ог.
699) F = 10 Н. 700) АЕ = 0. 701) А = 4 Дж. 702) £ =
703) » = 7. 704) £ = /п («Л + -^~).
706) <ртаэс = 60°. 707) к = "'1~/П2 . 708) -^- = -i- .
2т2 ft2 ^
2
70S) L = -— • 710) со = 3 рад/с. 711) t;min = 2 К %j^
173

712) / = 0.34D. 713) vc = 10 м/с. 714) со = 10 рад/с. 715) t =
= 0,01 с. 716) / = 0,39. 717) и =10. 718) S = 0,02 Н-с;
v2= 0,79 м/с; a2 =-j-— arctg 2. 719)FHH = 5 H. 720) По
вертикали вверх. 721) Увеличить в 4 раза. 722) N = 2mg.
723) к = 4 см. 724) -f2- = 0,7. 725) S = 0. 726) S = — F.
if 5
727) я - 1. 728) /„ > fe. 729) S = -£■ (/2 - fc) cos a. 730) -^=
"ь C02
^L. 731)m = |/glg- . 732)/,= /,^-.
S2 V / sin a m2
9/ _i_ 4/
733) l2 = —^ . 734) M™ = 1 H-M. 735) M = 0,1 H-M.
О
736) ft = -— /. 737) УИ = — mco2 /? sin 2a. 738) a = cp + — .
3 1 _ _
739) a = —я —arctg—. 740) a = g. 741) YA= 10,8 кН; МА=
= 21,6 kH-m. 742) N = -\-mg. 743)9™ = ■—— . 744) Rm =
= 2ml V со4 + e8 . 745) M™=—ml2e. 748) По параболе.
2 3
749) S ^ — G 750) S ^
со2 * ''"' " 2Mr + УИ2 " 3
-. 751) УИ^= l,5mg/. 752) S= 130 H. 753)
=3!5. 755) _ _ 756)Л
=3!5. 755) = . 756)Ли=.
757) ac = 0,3g. 758) со = 1 / — . 759) с = -^^- . 760) ^r-
J >|g; ^-^ffl. 762) -^ = ^.
763) F^Fjidga. 704) —^-=2. 765) fmln = 0,25. 766) -^=
— . 767) 130 < G < 144 Н. 768) F = —
3 3
. 767) 130<G< 144 Н. 768) F=—. 709) УИвр=9Н.м.
174

/VI M MA
770) Rn = -7— . 771) RE == —pzr- • 772) ——
773) M = 9P/. 774) S = —^— . ao) t ~ — P tg a.
776) S=4~G- 77?) ~"!r = Т"Л • 77S) /! = —-; ^2 =
= -^- . 779) P, = 100 H; /VI n = 45 Н«м. 780) с = 0.
781) с = 4" g- 782> ei = 10° РаД/са- 783> F = P. 784) / =
= ]7 6/i/g. 785) e = 3 рад/с2. 786) Л1вр = -у C,5a + g).
787) 6= 10 рад/с2. 788) / = 0,25. 789) A == 1/ 177~~
790) ft= 1/
791) а) s = 3; б) s= 1; в) s= 2.
792) s = 5. 79i) Первая. 794) Первая. 795) Четвертая.
796) s=l. 797) s = 3. 793) s = 2. 7Э9) s = 4.
=— -' 2 — ; двумя обобще-hlimh координатами. 801) Q(p —
3
= pr — pfu. 802) (?ф =— -7- Pi sin ф. 803) Q2— F — c2 (x2~xl).
3 . 5
804) Qt/Q2 = 1 /2. 805) L = — M&— ex*. 806) сф = —■ nil2.
807) сф = crl. 808) a^ = 7m; tx = 8 с 899) ак = 6m; cr =4c.
1 3
810) оф=—Л№; c¥ = d2. 811) оф = — /п(/?+/-)9; сф =с (/?+/-J.
812) 9 = «irctg— 4-—- . 813) с > —— . 814) Уменьшится в 2
О £ 2.1
/ Им г
у,ш. ЯЩх^п]/ ~. 818) А= I/"—. 817) А =
F яг
175

ОГЛАВЛЕНИЕ
Cm
Предисловие . , J
Статика
Связи и их реакция , 5
Система сходящихся сил 6
Теория пар сил ....... ... 10
Произвольная система сил 12
Система сил, произвольно расположенных на плоскости . 18
Фермы » , 29
Равновесие прн наличии трения 31
Центр тяжести 35
Кинематика
Кинематика точки 38
Поступательное движение твердого тела. Вращение твердого
тела во:фуг неподвижной оси ... . .43
Плоское движение твердого тела .49
Сферическое движение твердого тела. Общин случаи движения
свободного твердого тела 60
Сложное движение точки . 62
Сложение движений твердого тела ....... 70
Динамика
Основные задачи динамики материально;! точки . , , . 74
Прямая задача динамики точки 74
Обратная задача динамики точки , 78
Колебания материальной точки ... 81
Свободные колебания . , 81
Вынужденные колебания . .... 87
Относительное движение материальной точки .... 90
Механическая система. Масса системы и геометрические ха-
характеристики распределения масс ...... 94
Общие теоремы динамики » , . 99
Теорема о движении центра масс 99
Теорема об изменении количества движения .... 102
Теорема об изменении момента количества движения . 108
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Элемен-
Элементарная теория гироскопов ..«..,. 112
Плоское движение твердого тела 119
Теорема об изменении кинетической энергии .... 122
Потенциальное силовое поле 134
Элементарная теория удара . , 135
Общие методы и принципы механики ....,, 139
Метод кинетостатики 139
Принцип возможных перемещений ..... 149
Общее уравнение динамики (принцип Даламберл—Ла-
гранжа) 153
Метод обобщенных координат ....... 155
Огреты . 163