Author: Мещерский И.В.
Tags: механика физика теоретическая механика задачи по механике кинематика
ISBN: 978-5-9511-0019-1
Year: 2010
Text
МЕЩЕРСКИИ
по теоретической
механике
И. В. МЕЩЕРСКИЙ
ЗАДАЧИ
по ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКЕ
Под редакцией
В. А. ПАЛЬМОВА, Д. Р. МЕРКИНА
Издание пятидесятое,
стереотипное
РЕКОМЕНДОВАНО
Учебно методическим объединением
по университетскому политехническому
образованию в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям подготовки
и специальностям в области техники
и технологий по дисциплине
«Теоретическая механика»
ЛАНЬ®
Санкт-Петербург • Москва • Краснодар
2010
ББК 22.25
М 56
Мещерский И. В.
М 56 Задачи по теоретической механике: Учебное пособие. 50-е
изд., стер. / Под ред. В. А. Пальмова, Д. Р. Меркина. — СПб.:
Издательство «Лань», 2010. — 448 с.: ил. — (Учебники для
вузов. Специальная литература).
ISBN 978-5-9511-0019-1
Учебное пособие соответствует содержанию федеральной дисцип-
лины «Теоретическая механика» государственных образовательных
стандартов по направлениям подготовки и специальностям в области
техники и технологий.
Содержит задачи различного уровня сложности по всем разделам
дисциплины «Теоретическая механика»; размещено значительное
число задач, отражающих развитие современной техники; имеются
разделы, посвященные материальным системам с неголономными свя-
зями, а также механике систем при наличии сил и моментов, нося-
щих случайный характер.
Предназначено для студентов вузов, обучающихся по направле-
ниям подготовки и специальностям в области техники и технологии
по дисциплине «Теоретическая механика» „гт,- оо ое
ЪЪК zz.zo
Рецензенты:
ИНДЕЙЦЕВ Д. А. — доктор физико-математических наук, профес-
сор, чл. корр. РАН, директор Института проблем машиноведения РАН;
ТОВСТИК П. Е. — доктор физико-математических наук, профессор,
заведующий кафедрой «Теоретическая механика» ГОУ ВПО «СПбГУ».
ЛР W: 065466 от 21.10.97. Гигиенический сертификат 78.01.07.953.П.007216.04.10
от 21.04.2010 г., выдан ЦГСЭН в СПб
Издательство «ЛАНЬ», lan@lpbl.spb.ru; www.lanbook.com;
192029. Санкт-Петербург, Общественный пер., 5 Тел./факс: (812)412-29-35, 412-05-97,
412-92-72. Бесплатный звонок по России: 8-800-700-40-71
ГДЕ КУПИТЬ
Для того, чтобы заказать необходимые Вам книги, дос таточно обратиться
в любую из торговых компании Издательского Дома «ЛАНЬ»:
по России и зарубежью. «ЛАНЬ-ТРЕЙД». 192029, Санкт Пет“рбург, ул. Крупской, 13.
тел.: (812) 412-85 78. 412-14-45, 412-85-82; тел./факс: (812) 412-54-93. e-mail:
trade@Ianpbl-spb.ru; 1CQ: 446-869-967; www.lanpbl.spb.ru/price.htm
в Москве и в Московской области ЛАНЬ-ПРЕСС». 109263, Москва, 7-я ул.
Текстильщиков, д. 6,19; тел.: (499) 178-65-85; e-mail: lanpress@ultimanet.ru
в Краснодаре и в Краснодарском крае. «ЛАНЬ-ЮГ».
350072, Краснодар, ул. Жлобы, д. 1 '1; тел.: (861) 274-10-35; e-mail: lankrd98@mail.ru
Интернет магазины: Издательство «Лань»: http://www.lanbook.com
«Сова»: http://www.symplex.ru; «Ozon.ru»: http://www.ozon.ru
Подписано в печать 08.06.10. Бумага офсетная. Формат 84'108‘/м.
Гарнитура Литературная. Печать офсетная. Усл. п. л. 23,52 Тираж 3000 экз.
Заказ № 1318
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ОАО «ИПП «Правда Севера».
163002, г. Архангельск, пр. Новгородский, 32.
Тел./факс(8182) 64-14-54, тел.: (8182) 65-37-65
www.ippps.ru, e-mail: zakaz@ippps.ru
© Издательство «Лань», 2010
© И. В. Мещерский, 2010
© Издательство «Лань»,
художественное оформление, 2010
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к тридцать пятому изданию................................6
Из предисловия к тридцать второму изданию............................7
ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ
СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
Глава I. Плоская система сил.........................................9
§ 1. Силы, действующие по одной прямой...........................9
§ 2. Силы, линии действия которых пересекаются в одной точке .... 10
§ 3. Параллельные силы..........................................23
§ 4. Произвольная плоская система сил............................33
§ 5. Силы треиия.................................................52
Глава II. Пространственная система сил .............................63
§ 6. Силы, линии действия которых пересекаются в одной точке ... 63
§ 7. Приведение системы сил к простейшему виду..................68
§ 8 Равновесие произвольной системы сил.........................72
§ 9. Центр тяжести .............................................36
ОТД ЕЛ ВТОРОЙ
КИНЕМАТИКА
Глава III. Кинематика точки....................................... 91
§ 10. Траектория и уравнения движения точки......................91
§ 11. Скорость точки.............................................96
§ 12. Ускорение точки....................................- . 109
Глава IV. Простейшие движения твердого тела........................107
§ 13. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.............107
§ 14. Преобразование простейших движений твердого тела...........НО
Глава V. Плоское движение твердого тела......................... . 115
§ 15. Уравиеини движения плоской фигуры.........................115
§ 16. Скорости точек твердого тела в плоском движении. Мгновенный
центр скоростей..................................................118
§ 17. Неподвижная и подвижная центроиды.........................129
§ 18. Ускорении точек твердого тела в плоском движении. Мгновенный
центр ускорений................................................. 131
Глава VI. Движение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
Пространственная ориентация........................................140
§ 19. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку . . 140
§ 20. Пространственная ориентация; кинематические формулы Эйлера н
их модификация; аксоиды......................................... 143
3
Глава VII. Сложное движение точки........................................150
§ 21. Уравнения движений точки.......................................150
§ 22. Сложение скоростей точки.......................................155
§ 23. Сложение ускорений точки.......................................161
Глава VIII. Сложное движение твердого тела...............................176
§ 24. Сложение движений тела ........................................176
а) Сложение плоских движений тела..............................176
б) Сложение пространственных движений тела.....................181
§ 25. Смешанные задачи на сложное движение точки и твердого тела 190
отдел третий
ДИНАМИКА
Глава IX. Динамика материальной точки................................196
§ 26. Определение сил по заданному движению . , ...................196
§ 27. Дифференциальные уравнения движения . . . , .................202
а) Прямолинейное движение .....................................202
б) Криволинейное движение......................................208
§ 28. Теорема об изменении количества движения материальной точки.
Теорема об изменении момента количества движения материальной
точки............................................................214
§ 29. Работа и мощность..............................................218
§ 30. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки 221
§ 31. Смешанные задачи . ............................................226
§ 32. Колебательное движение.....................................234
а) Свободные колебания.........................................234
б) Влияние сопротивления иа свободные колебания...........246
в) Вынужденные колебания........................ ..........253
г) Влияние сопротивления на вынужденные колебания...............255
§ 33. Относительное движение.........................................257
Глава X. Динамика материальном системы...................'...............262
§ 34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инер-
ции твердых тел .................................................262
§ 35. Теорема о движении центра масс материальной системы . . . 269
§ 36. Теорема об изменении главного вектора количеств движения мате-
риальной системы. Приложение к сплошным средам . . ... 274
§ 37. Теорема об изменении главного момента количеств движения мате-
риальной системы. Дифференциальное уравнение вращения твердо-
го тела вокруг неподвижной оси...................................277
§ 38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы 292
§ 39. Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела........306
§ 40. Приближенная теория гироскопов.............................310
§ 41. Метод кинетостатики............................. ..........313
§ 42. Давление вращающегося твердого тела па ось вращения . . . . 319
§ 43. Смешанные задачи...........................................324
j 44. Удар........................................................ 327
§ 45. Динамика точки н системы переменной массы (переменного со-
става) ..........................................................333
Глава XI. Аналитическая механика . ......................................341
§ 46. Принцип возможных перемещений . ,..............................341
§ 47. Общее уравнение динамики.......................................350
§ 48. Уравнения Лагранжа 2-го рода 354
§ 49. Интегралы движения, преобразование Рауса, канонические уравне-
ния Гамильтона, уравнения Якоби — Гамильтона, принцип Гамиль-
тона — Остроградского........................................... 372
§ 50. Системы с качением. Неголономные связи . ......................379
4
Глава ХП. Динамика космического полета................................388
§ 51. Кеплерово движение (движение под действием центральной силы) 388
§ 52. Разные задачи................................................395
Глава XIII. Устойчивость равновесия системы, теория колебаний, устойчи-
вость движения.........................................................397
§ 53. Определение условий равновесии системы. Устойчивость равновесия 397
§ 54. Малые колебания системы с одной степенью свободы ..... 403
§ 55. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы , .416
§ 56. Устойчивость движения........................................432
§ 57. Нелинейные колебания.........................................437
Глава XIV. Вероятностные задачи теоретической механики................440
§ 58. Вероятностные задачи статики.................................442
§ 59. Вероятностные задачи кинематики и динамики...................445
ДЕТСКИЙ листок
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРИДЦАТЬ ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
В настоящем издании продолжена попытка отразить в задач-
нике новые проблемы техники и более полно охватить разделы
механики, ранее не нашедшие достаточного освещения. Кроме того,
все величины в задачах переведены в Международную систему
единиц (СИ), введенную в СССР с 1 января 1980 г. в соответствии
со стандартом Совета Экономической Взаимопомощи СТ СЭВ
1052—78*). В конце книги приведена таблица основных, дополни-
тельных и производных единиц геометрических, кинематических,
статических и динамических величин этой системы.
Новые разделы составлены М. И. Бать (Смешанные задачи на
сложное движение точки и твердого тела, § 25), Н. А. Фуфаевым
(Системы с качением. Неголоиомные связи, § 50), И. Б. Челпано-
вым (Вероятностные задачи теоретической механики, глава XIV).
Одновременно дополнены новыми задачами почти все остальные
разделы, в частности введены задачи, связанные с манипулято-
рами; часть задач исключена.
Авторский коллектив понес тяжелую утрату — в 1980 г. после
тяжелой продолжительной болезни скончался один из ведущих
соавторов и титульных редакторов, член-корреспондент Академии
Наук СССР, профессор Анатолий Исакович Лурье, возглавляв-
ший авторский коллектив с 1935 г.
Подготовили «Сборник» к печати и представили новые задачи
М. И. Бать, Н. В. Бутенин, А. С. Кельзон, А. И. Лурье, Д. Р. Мер-
кни. Кроме перечисленных выше лиц, новые задачи для настоя-
щего издания представили Е. Г. Бергер, Ю. Г. Исполов, М. В. Ми-
ронов, 3. Б. Сегал, В. Б. Старосельский, И. Б. Челпанов, Н. А. Фу-
фаев.
Нумерация задач двойная: первое число означает номер пара-
графа, второе — номер задачи в этом параграфе. В скобках указы-
вается номер, который имела задача в тридцать втором — три-
дцать четвертом изданиях.
•) Соответствует ГОСТ 8.417—81, введенному с 1 января 1982 г. (Примеч.
ред.\
6
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ
К ТРИДЦАТЬ ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
•«Сборник задач по теоретической механике» И. В. Мещерского,
составленный первоначально по мысли и под редакцией И. В. Ме-
щерского группой преподавателей теоретической механики б. Пе-
тербургского политехнического института как пособие для препо-
давания механики в этом институте, постепенно получил самое ши-
рокое распространение как в нашей стране, так и за ее пределами.
Начиная с 1914 г., когда вышло первое издание «Сборника», он
переиздавался только в нашей стране тридцать один раз; первому
печатному изданию предшествовало еще несколько литографиро-
ванных изданий.
Одна из основных причин успеха и распространения «Сборника»
заключается в том, что в нем подобраны задачи, имеющие конкрет-
ную форму, дающие возможность студентам приобрести необходи-
мые для них навыки в применении общих теорем и методов к ре-
шению конкретных прикладных вопросов.
«Сборник» неоднократно перерабатывался.
Составителями задач, помещенных в первом издании «Сбор-»
ника» 1914 г., были: Л. В. Ассур, Б. А. Бахметьев, И. И. Бентков-
ский, А. А. Горев, К. М. Дубяга, А. М. Ларионов, И. В. Мещерский,
В. Ф. Миткевич, Е. Л. Николаи, К. Э. Рерих, Д. Л. Тагеев,
В. В. Таклинский, С. П. Тимошенко, А. И. Тудоровский, А. П. Фан-
дер-Флит, А. К. Федерман, В. Д. Шатров и другие. В последующих
изданиях приняли участие также Е. К. Митропольский и
М. Л. Франк.
В подготовке одиннадцатого переработанного издания прини-
мали участие М. И. Акимов, М. И. Бать, Б. А. Берг, Н. К. Гср.чин,
Ю. В. Долголенко, А. С. Кельзон, Ю. Г. Корнилов, А. И. Лурье,
К- В. Меликов, Н. Н. Наугольная, П. И. Нелюбин, Н. П. Неронов,
Е. Л. Николаи, В. Ф. Пекин, П. Н. Семенов, А. А. Смирнов,
С. А. Сороков, К. И. Страхович, As И. Чекмарев и Ф. Г. Шмидт.
Две существенные переработки осуществлены в четырнадцатом
и шестнадцатом изданиях. Работа по подготовке обоих изданий
была выполнена коллективом кафедры теоретической механики
Ленинградского политехнического института. Составили новые за-
дачи и редактировали: отдел статики — С. А. Сороков, кинема-
тики — Н. Н. Наугольная и А. С. Кельзон, динамики материальной
7
точки—А. С. Кельзон, динамики системы — М. И. Бать, уравнений
Лагранжа и теории колебаний — Г. Ю. Джанелидзе. Общее редак-
тирование осуществил А. И. Лурье. Кроме упомянутых лиц, для
четырнадцатого издания предоставили новые задачи Н. С. Ваби-
щевич, Н. И. Идельсон, В. Л. Кан, А. И. Холод няк, А. И. Цымлов
н Н. А. Докучаев.
Развитие^ науки и техники за последние десятилетия вызвало
необходимость новой переработки «Сборника» (последняя, наибо-
лее существенная переработка была осуществлена в 1949 г., в ше-
стнадцатом издании).
В тридцать втором издании сделана попытка, не выходя за
рамки теоретической механики, отразить в какой-то степени новые
проблемы техники и более полно охватить те вопросы классической
механики, которые не нашли до сих пор достаточного освещения,
В связи с этим в «Сборник» введены новые разделы, содержащие
задачи по пространственной ориентации, динамике космического
полета, нелинейным колебаниям, геометрии масс, аналитической
механике. Одновременно существенно дополнены новыми задачами
разделы кинематики точки, кинематики относительного движения
и плоского движения твердого тела, динамики материальной точки
и системы, динамики точки и системы переменной массы, устойчи-
вости движения. Небольшое количество новых задач введено также
почти во все другие разделы «Сборника»; некоторые задачи исклю-
чены из него. Сделаны также небольшие перестановки в размеще-
нии материала. В конце «Сборника» в качестве добавления приве-
дена Международная система единиц (СИ).
Работа по подготовке тридцать второго издания выполнена
группой преподавателей высших учебных заведений г. Ленинграда.
Составили новые задачи и подготовили к печати: отдел статики —
Д. Р. Меркин, отдел кинематики — М. И. Бать (§§ 15—18),
А. С. Кельзон (§§ 21—25) и Д. Р. Меркин (§§ 10—14 и 19—20),
отдел динамики материальной точки — А. С. Кельзон, отдел дина-
мики материальной системы — М. И. Бать (§§ 34—44) и Н. В. Бу-
тенин (§ 45), отдел аналитической механики — М. И. Бать (§§ 46,
47) и Д. Р. Меркин (§§ 48, 49), отдел динамики космического по-
лета— Д. Р. Меркин, отдел теории колебаний и устойчивости дви-
жения — Н. В. Бутенин. Кроме вышеупомянутых лиц предоставили
новые задачи М. 3. Коловский, И. Е. Лившиц и Б. А. Смольников.
Считаем своим приятным долгом выразить искреннюю благо-
дарность профессорам Г. Ю. Степанову и В. Н. Щелкачеву и
возглавляемым ими коллективам кафедр за ценные замечания
и советы, позволившие улучшить «Сборник».
ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ
СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
ГЛАВА 1
ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ
§ 1. Силы, действующие по одной прямой
1.1(1.1). Два груза, в 10 Н и 5 Н, висящие на одной веревке,
укреплены на ней в разных местах, причем больший груз висит
ниже меньшего. Каково натяжение веревки, если верхний конец
ее прикреплен к неподвижной точке?
Ответ-. 10 Н и 15 Н.
1.2(1.2). Буксир тянет три баржи различных размеров, следую-
щие одна за другой. Сила тяги винта буксира в данный момент
равна 18 кН. Сопротивление воды движению буксира равно 6 кН;
сопротивление воды движению первой баржи — 6 кН, второй
баржн — 4 кН и третьей — 2 кН. Имеющийся в распоряжении ка-
нат выдерживает безопасно растягивающую силу в 2 кН. Сколько
канатов надо протянуть от буксира к первой барже, от первой ко
второй и от второй к третьей, если движение — прямолинейное и
равномерное?
Ответ-. 6, 3 и 1 канат.
1.3(14). На дне шахты находится человек веса 640 Н; посред-
ством каната, перекинутого через неподвижный блок, человек удер-
живает груз в 480 Н. 1) Какое давление оказывает человек на дно
шахты? 2) Какой наибольший груз он может удержать с помощью
каната?
Ответ-. 1) 160 Н; 2) 640 Н.
1.4(1.5). Поезд идет по прямолинейному горизонтальному пути
с постоянной скоростью; вес поезда, ие считая электровоза,
12-103 кН. Какова сила тяги электровоза, если сопротивление дви-
жению поезда равно 0,005 давления поезда на рельсы?
Ответ- 60 кН.
1.5(1.6). Пассажирский поезд состоит из электровоза, багаж-
ного вагона веса 400 кН и 10 пассажирских вагонов веса 500 кН
каждый. С какой силой будут натянуты вагонные стяжки и какова
сила тяги электровоза, если сопротивление движению поезда равно
0,005 его веса? При решении задачи принять, что сопротивление
движению распределяется между составом поезда пропорциональ-
но весу и что движение поезда равномерное.
9
Ответ-. Сила тяги электровоза 27 кН, Гц =2,5 кН, Ло =
= 2-2,5 кН и т. д. (нижний индекс означает номер вагона, начи-
ная от электровоза).
§ 2. Силы, линии действия которых пересекаются
в одной точке
2.1 (2.1). В центре правильного шестиугольника приложены
силы 1, 3, 5, 7, 9 и 11 Н, направленные к его вершинам. Найти
величину и направление равнодействующей и уравновешивающей.
Ответ-. 12 Н; направление уравновешивающей противоположно
направлению заданной силы в 9 Н.
2.2(2.3). Силу в 8 Н разложить на две по 5 Н каждая. Можно
ли ту же силу разложить на две по ЮН, 15 Н, 20 Н и т. д.? На
две по 100 Н?
Ответ: Да, если не заданы направления разложения.
2.3(2.4). По направлению стропильной ноги, наклоненной к го-
ризонту под углом а = 45°, действует сила Q = 2,5 кН. Какое уси-
лие S возникает при этом по направлению горизон-
тальной затяжки и какая сила N действует на стену
по отвесному направлению?
•F—'-S Ответ: S — N = 1,77 кН.
Ш 2.4(2.5). Два трактора, идущих по берегам пря-
мого канала с постоянной скоростью, тянут барку
к задаче 2.з при помощи двух канатов. Силы натяжения ка-
натов равны 0,8 кН и 0,96 кН; угол между
ними равен 60°. Найти сопротивление воды Р, испытываемое бар-
кой при ее движении, и углы аир, которые должны составлять
К задаче 2.5 К задаче 2.6
канаты с берегами канала, если бар-
ка движется параллельно берегам.
Ответ: Р = 1,53 кН, а = 33°,
Р = 27°.
2.5(2.6). Кольца А, В и С трех
пружинных весов укреплены непо-
движно на горизонтальной доске.
К крючкам весов привязаны три ве-
ревки, которые натянуты и связаны
в один узел D. Показания весов: 8,
7 и )3 Н. Определить углы аир,
образуемые направлениями веревок,
как указано на рисунке.
Ответ: а. = 27,8°, Р = 32,2°.
2.6(2.7). Стержни АС и ВС соединены между собой и с верти-
кальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт С дей-
ствует вертикальная сила Р = 1000 Н.
Определить реакции этих стержней на шарнирный болт С, если
углы, составляемые стержнями со стеной, равны: а = 30° и
Р = 60°.
Ответ: 866 Н, 500 Н.
10
2.7(2.8). На рисунках а, б и в, как и в предыдущей задаче, схе-
матически изображены стержни, соединенные между собой, с по-
толком и стенами посредством шарниров. К шарнирным болтам
В, F и К подвешены гру-
зы Q = 1000 Н.
Определить усилия в
стержнях для случаев:
а) а — р = 45°;
б) а = 30°, р = 60°;
в) а = 60°, р = 30°.
Ответ: a) Si=S2 =
= 707 Н; б) 5, =577 Н;
S2= —1154 Н*); в) S1 =
= —577 Н; S2 = 1154 Н.
2.8(2.9). Уличный фо-
нарь подвешен в точке В
к середине троса АВС, прикрепленного концами к крюкам А и С,
находящимся на одной горизонтали. Определить натяжения Т\ и
Т2 в частях троса АВ и ВС, если вес фонаря равен 150 Н, длина
всего троса АВС равна 20 м и отклонение точки его подвеса от
горизонтали BD = 0,1 м. Весом троса пренебречь.
Ответ: Ti = T2 = 7,5 кН.
2.9(2.10). Уличный фонарь веса 300 Н подвешен к вертикаль-
ному столбу с помощью горизонтальной поперечины АС = 1,2 м и
подкоса ВС = 1,5 м. Найти усилия S] и S2 в стержнях АС и ВС,
считая крепления в точках А, В и С шарнирными.
Ответ: Sx = 400 Н, S2 = —500 Н.
2.10(2.11). Электрическая лампа веса 20 Н подвешена к по-
толку на шнуре АВ и затем оттянута к стене веревкой ВС. Опре-
делить натяжения: ТА шнура АВ и Тс веревки ВС, если известно,
что угол а = 60°, а угол р = 135°. Весом шнура и веревки пре-
небречь.
Ответ: ТА = 14,6 Н, Тс = 10,4 Н.
2.11(2.12). Мачтовый край состоит из стрелы АВ, прикреплен-
ной шарниром А к мачте, и цепи СВ. К концу В стрелы подвешен
•) Знак минус показывает, что стержень сжат.
И
груз р = 2 кН; углы ВАС = 15°, АСВ = 135°. Определить натяже-
ние Т цепи СВ и усилие Q в стреле АВ.
Ответ'. Т = 1,04 кН; Q — 2,83 кН.
2.12(2.13). На одной железной дороге,
участок пути ь ущелье подвешен так, как
проведенной в горах,
показано на рисунке.
Предполагая подвеску АВ нагруженной силой Р — 500 кН, найти
усилия в стержнях АС и AD.
Ответ-. Стержни АС и AD сжаты одинаковым усилием 539 кН.
2.13(2.14). Через два блока А и В, находящихся на одной го-
ризонтальной прямой АВ = /, перекинута веревка CAEBD. К кон-
цам С и D веревки подвешены гири ве-
са р каждая, а к точке Е — гиря веса
Р. Определить, пренебрегая трением
на блоках и их размерами, расстояние
х точки Е от прямой АВ в положении
равновесия. Весом веревки пренебречь.
„ Pl
Ответ: х — —. .
2 V4p2 — Р2
2.14(2.15). Груз веса 25 Н удержи-
вается в равновесии двумя веревками,
натягиваемыми грузами. Один
Н; синус угла, образуемого соответ-
ствующей веревкой с вертикалью, ра-
вен 0,6. Пренебрегая трением на бло-
ках, определить величину р второго
груза и угол а, образуемый второй ве-
ревкой с вертикальной линией. Весом
веревки пренебречь.
Ответ: р = 15 Н, sin а = 0,8.
2.15(2.16). К веревке АВ, один ко-
нец которой закреплен в точке А, при-
вязаны в точке В груз Р и веревка
перекинутая через блок; к концу ее D привязана гиря Q веса
100 Н. Определить, пренебрегая трением на блоке, натяжение Т
веревки АВ н величину груза Р, если в положении равновесия
перекинутыми через
из этих грузов
блоки и
весит 20
К задаче 2.15
BCD,
12
углы, образуемые веревками с вертикалью ЕЕ, равны: а = 45°,
₽ = 60°.
Ответ: Т = 122 Н, Р = 137 Н.
2.16(2.17). Груз Р — 20 кН поднимается магазинным краном
ВАС посредством цепи, перекинутой через блок А и через блок D,
который укреплен на стене так, что угол CAD — 30°. Углы между
стержнями крана: АВС = 60°, АСВ = 30°. Определить усилия Qj и
Qi в стержнях АВ и АС.
Ответ: Qi == 0, Q2 = —34,6 кН.
2.17. Два одинаковых цилиндра I веса Р каждый подвешены
на нитях к точке О. Между ними лежит цилиндр II веса Q. Вся
система находится в равновесии. Цилиндры I не касаются друг
К задаче 2.16
К задаче 2.17
К задаче 2.13
друга. Определить зависимость между углом а, образованным
нитью с вертикалью, и углом р, образованным прямой, проходя-
щей через оси цилиндров I и II, с вертикалью.
Ответ: tg р = + 1) tg а.
2.18(2.18). На двух взаимно перпендикулярных гладких наклон-
ных плоскостях АВ и ВС лежит однородный шар О веса 60 Н.
Определить давление шара на каждую плоскость, зная, что пло-
скость ВС составляет с горизонтом угол 60°.
Ответ: Nd = 52 Н, NE = 30 Н.
2.19(2.19). К вертикальной гладкой стене АВ подвешен на тросе
АС однородный шар О. Трос составляет со стеной угол а, вес шара
Р. Определить натяжение троса Т и давление Q шара на стену.
Ответ: Т — P/cos a, Q = Р tg а.
2.20(2.20). Однородный шар веса 20 Н удерживается на глад-
кой наклонной плоскости тросом, который привязан к пружинным
весам, укрепленным над плоскостью; показание пружинных весов
10 Н. Угол наклона плоскости к горизонту равен 30°. Определить
13
угол а, составляемый направлением троса с вертикалью, и давле-
ние Q шара на плоскость. Весом пружинных весов пренебречь.
Ответ: а = 60°, Q — 17,3 Н.
2.21(2.21). Шарик В веса Р подвешен к неподвижной точке А
посредством нити АВ и лежит на поверхности гладкой сферы ра-
диуса г; расстояние точки А от поверхности сферы АС — d, длина
нити АВ = /, прямая АО вертикальна. Определить натяжение Т
нити и реакцию Q сферы. Радиусом шарика пренебречь.
Ответ: Т^Р-^у, Q^P-^-
2.22(2.22). Однородный шар веса 10 Н удерживается в равно-
весии двумя тросами АВ и CD, расположенными в одной верти-
кальной плоскости и составляющими один с другим угол 150°.
Трос АВ наклонен к горизонту под углом 45°. Определить натя-
жение тросов.
Ответ: ТВ=№,Ъ Н, Тс = 14,1 Н.
2.23(2.23). Котел с равномерно распределенным по длине ве-
сом Р = 40 кН и радиуса R = 1 м лежит на выступах каменной
К задаче 2.23
К задаче 2.24
кладки. Расстояние между стенками кладки I = 1,6 м Пренебре-
гая трением, найти давление котла на кладку в точках А и В.
Ответ: Na = Nb= 33,3 кН.
2.24(2.24). Вес однородного трамбовочного катка равен 20 кН,
радиус его 60 см. Определить горизонтальное усилие Р, необходи-
мое для перетаскивания катка через каменную плиту высоты 8 см,
в положении, указанном на рисунке.
14
Ответ-. Р = 11,5 кН.
2.25(2.25). Однородный стержень АВ веса 160 Н, длины 1,2 м
подвешен в точке С на двух тросах АС и СВ одинаковой длины,
равной 1 м. Определить натяжения тросов.
Ответ: Натяжение каждого троса равно 100 Н.
2.26(2.26). Однородный стержень АВ прикреплен к вертикаль-
ной стене посредством шарнира А и удерживается под углом 60’
к вертикали при помощи троса ВС, образующего с ним угол 30°.
Определить величину и направление реакции R шарнира, если из-
вестно, что вес стержня равен 20 Н.
Ответ: R = 10 Н, угол (/?, ЛС) = 60°.
2.27(2.27). Верхний конец А однородного бруса АВ, длина кото-
рого 2 м, а вес 50 Н, упирается в гладкую вертикальную стену.
К нижнему концу В привязан трос ВС. Найти, на каком расстоя-
нии АС нужно прикрепить трос к стене для того, чтобы брус на-
ходился в равновесии, образуя угол BAD — 45°. Найти натяжение
Т троса и реакцию R стены.
Ответ: AC = AD = 1,41 м, Т' = 56 Н, R = 25 Н.
2.28(2.28). Оконная рама АВ, изображенная на рисунке в раз-
резе, может вращаться вокруг горизонтальной оси шарнира А и
своим нижним краем В свободно опирается на уступ паза. Найти
реакции опор, если дано, что вес рамы, равный 89 Н, приложен
к середине С рамы и AD == BD.
Ответ: RA = 7Q,4 Н, RB = 31,5 Н.
2.29(2.29). Балка АВ поддерживается в горизонтальном поло-
жении стержнем С£>; крепления в А, С и D шарнирные. Опреде-
15
лить реакции опор А и D, если на конце балки действует верти-
кальная сила F — 5 кН. Размеры указаны на рисунке. Весом пре-
небречь.
Ответ: Ra = 7,9 кН, Rd = 10,6 кН.
2.30(2.30). Балка АВ шарнирно закреплена на опоре А-, укоица
В она положена на катки. В середине балки, под углом 45° к ее
К задаче 2.30
оси, действует сила Р = 2 кН. Определить реакции опор для слу-
чаев а и б, взяв размеры с рисунков и пренебрегая весом балки.
Ответ: а) 7?д = 1,58 кН, 7?в = О,71 кН; б) /?Л=2,24 кН,
Rb = 1 кН.
2.31(2.31). На рисунках изображены балки АВ, удерживаемые
в горизонтальном положении вертикальными стержнями CD. На
К задаче 2.3!
концах балок действуют силы F = 30 кН под углом 60° к гори-
зонту. Взяв размеры с рисунков, определить усилия 5 в стержнях
CD и давления Q балок на стену, если крепления в А, С и D шар-
нирные. Весом стержней и балок пренебречь.
Ответ: a) S = 39 кН, Q = 19,8 кН; б) S = 39 кН, Q = 19,8 кН.
2.32(2.32). Электрический провод АСВ натянут между двумя
столбами так, что образует пологую кривую, стрела провисания
которой CD — f=l м. Расстояние между столбами АВ = I — 40 м.
Вес провода Q = 0,4 кН. Определить натяжения провода: Тс
в средней точке, ТА и Тв на концах.
При решении задачи считать, что вес каждой половины провода
приложен на расстоянии 1/4 от ближнего столба.
Ответ: Тс = -^- = 2 кН; ТА = ТВ = 2,01 кН.
16
2.33(2.33). Для рамы, изображенной на рисунке, определить
опорные реакции и Rd, возникающие при действии горизонталь-
ной силы Р, приложенной в точке В. Весом рамы пренебречь.
Ответ: RA — P д/5/2, Rd = Р/2.
2.34(2.34). В двигателе внутреннего сгорания площадь поршня
равна 0,02 м2, длина шатуна ЛВ=30 см, длина кривошипа
ВС = 6 см. Давление газа в данный момент над поршнем равно
К задаче 2.33
К задаче 2 34
Pi = 1000 кПа, под поршнем Р2 — 200 кПа. Найти силу Т, дей-
ствующую со стороны шатуна АВ на кривошип ВС, вызванную
перепадом давлений газа, если угол АВС = 90°. Трением между
поршнем и цилиндром пренебречь.
Ответ: Т — 16 кН.
2.35(2.35). Воздушный шар, вес которого равен G, удерживает-
ся в равновесии тросом ВС. На шар действуют подъемная сила Q
и горизонтальная сила давления ветра, __
равная Р. Определить натяжение троса _ ( /т\
в точке В и угол а. -----*+-—]
Ответ: Т = -у/Р2 + (Q — G)2, а =
. Р / 1
^arctg-Q-^. / ।
2.36(2.36). Для сжатия цементного ку- /
бнка М по четырем граням пользуются s'
шарнирным механизмом, в котором
стержни АВ, ВС н CD совпадают со сто-
ронами квадрата ABCD, а стержни 1, 2, к задаче 2.35
3, 4 равны между собой и направлены
по диагоналям того же квадрата; две равные по модулю силы Р
прикладываются к точкам А и D, как показано на рисунке. Опре-
делить силы 7Vb N2, N3, Na, сжимающие кубик, и усилия Si, S2, S3
в стержнях АВ, ВС и CD, если величина сил, приложенных в точ-
ках А и D, равна 50 кН.
Ответ: N\ — N2 = N3 — Na — 70,7 кН. Растягивающие усилия:
S, = S2 = S3 = 50 кН.
2.37(2.37). Два трамвайных провода подвешены к поперечным
проволочным канатам, из которых каждый прикреплен к двум
17
столбам. Столбы расставлены вдоль пути на расстоянии 40 м друг
от друга Для каждого поперечного каната расстояния АК = KL =
= £/3 = 5 м; ДС = £0 = 0,5 м. Пренебрегая весом проволочного
каната, найти натяжения Tt, Т2 и Т3 в частях его AC, CD и DB,
если вес 1 м провода равен 7,5 Н.
Ответ. Т\ = Т3 = 3,015 кН, 7^ = 3 кН.
2.38(2.38). К шарниру А стержневого шарнирного четырехуголь-
ника ABDC, сторона CD которого закреплена, приложена сила
Q=100 Н под углом BAQ = 45°. Определить величину силы R,
приложенной в шарнире В под углом ABR = 30° таким образом,
чтобы четырехугольник ABDC был в равновесии, если углы:
CAQ. = 90°, DBR = 60°.
Ответ: R = 163 Н.
2.39(2.39). Стержневой шарнирный многоугольник состоит из
четырех равных стержней; концы А и Е шарнирно закреплены;
узлы В, С и D нагружены одинаковой вертикальной нагрузкой Q.
В положении равновесия угол наклона крайних стержней к гори-
зонту а = 60°. Определить угол р наклона средних стержней к го-
ризонту.
Ответ: р = 30°.
18
2.40(2.40). Для трехшарнирной арки, показанной на рисунке,
определить реакции опор Л и В, возникающие при действии гори-
зонтальной силы Р. Весом арки пренебречь.
2.41(2.41). Прямолинейный однородный брус АВ веса Р и не-
весомый стержень ВС с криволинейной осью произвольного очер-
тания соединены шарнирно в точке В и так же соединены с опо-
рами А н С, расположенными на одной горизонтали АС. Прямые
АВ и ВС образуют с прямой
АС углы а = 45°. Определить
реакции опор Л и С.
Ответ: РА^^~Р, Рс =
. V2 р
4
2.42(2.42). Наклонная бал-
ка АВ, на конец которой дей-
ствует сила Р, серединой Bi к задаче 2.42
опирается на ребро консоли
балки CD. Определить опорные реакции, пренебрегая весом балок.
Ответ: RA = Р, Rc — 4Р/ [З, Rd = 2Р/д/З-
2.43(2.43). Дана система, состоящая из четырех арок, размеры
которых указаны на рисунке. Определить реакции опор Л, В, С и
D, возникающие при действии горизонтальной силы Р.
Ответ: Ra = P^2/2, Rb = P, Rc = P. Rd = P^2/2.
К задаче 2.43
2.44(2.44). Кран состоит из неподвижной башни АС и подвиж-
ной фермы ВС, которая имеет шарнир С н удерживается тросом
АВ. Груз Q = 40 кН висит на цепи, перекинутой через блок в точке
В и идущей к вороту по прямой ВС. Длина АС —ВС. Определить,
19
пренебрегая весом фермы и трением на блоке, натяжение Т троса
АВ и силу Р, сжимающую ферму по прямой ВС, как функции угла
АС В = <р.
Ответ-. Т = 80sin(<p/2) кН; Р —80 кН независимо от угла <р.
2.45(2.45). Блок С с грузом Р = 18 Н может скользить вдоль
гибкого троса АСВ, концы которого А и В прикреплены к стенам.
Расстояние между стенами 4 м; длина троса 5 м. Определить на-
К задаче 2.44
К задаче 2.45
тяжение троса при равновесии блока с грузом, пренебрегая весом
троса и трением блока о трос.
Натяжения частей троса АС и СВ одинаковы; их величина может быть
определена из подобия треугольника сил и равиобедрениого треугольника, одна
из боковых сторон которого есть прямая ВСЕ, а основание лежит на вертика-
ли BD.
Ответ: 15 Н независимо от высоты BF.
2.46(2.46). Для переправы через реку устроена люлька L, кото-
рая посредством ролика С подвешена к стальному тросу АВ, за-
крепленному в вершинах башен А и В. Для передвижения ролика
К задаче 2.4В
С к левому берегу служит канат CAD, перекинутый через блок А
и наматываемый на ворот О; такой же канат имеется для подтя-
гивания люльки к правому берегу. Точки А и В находятся на од-
ной горизонтали на расстоянии АВ — 100 м одна от другой; длина
троса АСВ равна 102 м; вес люльки 50 кН. Пренебрегая весом
канатов и троса, а также трением ролика о трос, определить натя-
20
К задаче 2.47
жение каната CAD и натяжение троса АСВ в тот момент, когда
длина ветви АС — 20 м.
Ответ: Scad = 7,5 кН; See = Зсд = 95,6 кН.
2.47(2.47). Оконная рама АВ, изображенная на рисунке в раз-
резе, веса 100 Н, открывается, вращаясь вокруг горизонтальной
оси А, при помощи шнура BCD, огибающего блоки С и D. Блок С,
размерами которого пренебрегаем, и точка
А лежат на одной вертикали; вес рамы при-
ложен в ее середине; трением также прене-
брегаем. Найти натяжение Т шнура в за-
висимости от угла <р, образуемого рамой
АВ с горизонталью АН, предполагая АВ —
— АС, а также наибольшее и наименьшее
значения этого натяжения.
Ответ: Т = 100 sin (45° — ф/2) Н;
Tmax = 70,7 Н при <р = 0;
Tmin = 0 при <р = 90°.
2.48(2.48). На круглом гладком цилиндре с горизонтальной
осью и радиуса О А =0,1 м лежат два шарика А и В; вес первого
1 Н, второго 2 Н. Шарики соединены нитью АВ длины 0,2 м. Опре-
делить углы и ф2, составляемые радиусами ОА и ОВ с верти-
кальной прямой ОС в положении равновесия, и давления М и И2
шариков на цилиндр в точках А и В. Размерами шариков пре-
небречь.
Ответ: ф, = 2 — <р2, tg <р2 = уХ'Хт’ <Pi = 84°45'» <р2 = 29°50',
Ni = cos <₽! Н = 0,092 Н, N2 = 2 cos ф2 Н = 1,73 Н.
2.49(2.49). Гладкое кольцо А может скользить без трения по
неподвижной проволоке, согнутой по окружности, расположенной
в вертикальной плоскости. К кольцу подвешена гиря Р и привя-
зана веревка АВС, которая перекинута через неподвижный блок В,
находящийся в высшей точке окружности; размерами блока пре-
небрегаем. В точке С подвешена гиря Q. Определить центральный
угол ф дуги АВ в положении равновесия, пренебрегая весом кольца
21
и трением на блоке, и указать условие, при котором возможно рав-
новесие.
Ответ: sin(<p1/2) = Q/(2P), <р2 — тс; первое из указанных поло-
жений равновесия возможно при Q <2 2Р, второе — при любых
Q и Р.
2.50(2.50). На проволочной окружности АВС радиуса R, распо-
ложенной в вертикальной плоскости, помещено гладкое кольцо В,
вес которого р; размерами кольца пренебречь. Кольцо посредством
упругой нити АВ соединено с наивысшей точ-
кой А окружности. Определить угол <р в по-
ложении равновесия, зная, что сила натяже-
ния нити Т пропорциональна ее относитель-
ному удлинению, причем коэффициент пропор-
циональности равен k.
Если через L и I обозначим длину нити соответ-
ственно в состоянии растянутом н нерастянутом, то
„ 1 JW , 2р1
Ответ: cos <р — — kR _ р[-, если k2^ J. р в противном случае
<р = 0.
2.51(2.51). Точка М притягивается тремя неподвижными цен-
трами Л41(Х1, У1), М2(х2, у2) и Л4з(х3, уз) силами, пропорциональ-
ными расстояниям: Л = kif\, F2 = k2r2, Fs = ksrs, где
r2 = MM2, r3=MMSl a fei, k2, k3 — коэффициенты пропорциональ-
ности. Определить координаты х, у точки М в положении равно-
весия.
_______k\X\ + k7Xj+ k3xs .. _ fcij/i -|- k,y2 4- k2y3
ответ, x — ki + ki + ka > У— ki + ki + k3 -
2.52(2.52). Однородная прямоугольная пластинка веса 50 Н под-
вешена так, что может свободно вращаться вокруг горизонтальной
оси, проходящей вдоль одной из ее сторон. Равномерно дующий
ветер удерживает ее в наклонном положении под углом 18° к вер-
тикальной плоскости. Определить равнодействую-
щую давлений, производимых ветром на пла-
стинку перпендикулярно ее плоскости.
Ответ: 5 sin 18° = 15,5 Н.
2.53(2.53). Концевая цепь цепного моста за-
ложена в каменное основание, имеющее форму
прямоугольного параллелепипеда, среднее сече-
ние которого есть ABDC. Стороны АВ — АС =
= 5 м, удельный вес кладки 25 кН/м3; цепь рас-
положена на диагонали ВС. Найти необходимую длину а третьей
стороны параллелепипеда, если натяжение цепи Т — 1000 кН.
тх
К задаче 2.53
I
1
1
Основание должно быть рассчитано на опрокидывание вокруг ребра £>; прн
расчете пренебрегаем сопротивлением грунта.
Ответ: а > 2,26 м.
У
:=1
II.
*
22
2.54(2.54). Земляная насыпь подпирается вертикальной камен
ной стеной АВ. Найти необходимую толщину стены а, предпола-
гая, что давление земли на стену направлено горизонтально, при-
ложено на 1/3 ее высоты и равно 60 кН/м (на метр длины стены):
удельный вес кладки 20 кН/м3.
Стена должна быть рассчитана
на опрокидывание вокруг ребра А.
Ответ: 1,42 м.
2.55(2.55). Водонапорная
башня состоит из цилиндриче-
ского резервуара высоты 6 м и
диаметра 4 м, укрепленного на
четырех симметрично располо-
женных столбах, наклонных к
горизонту; дно резервуара на-
ходится на высоте 17 м над
уровнем опор; вес башни 80
кН, давление ветра рассчиты-
вается на площадь проекции
К задаче 2.54 К задаче 2.55
поверхности резервуара на плоскость, перпендикулярную направле-
нию ветра, причем удельное давление ветра принимается равным
1,25 кПа. Определить необходимое расстояние АВ между основа-
ниями столбов.
Расстояние АВ должно быть рассчитано на опрокидывание давлением ветра
при горизонтальном его направлении.
Ответ: АВ 15 м.
§ 3. Параллельные силы
3.1(3.1). Определить вертикальные реакции опор, на которые
свободно оперта у своих концов горизонтальная балка длины I,
нагруженная равномерно по р Н на единицу длины. Вес балки
считать включенным в равномерно распределенную нагрузку.
Ответ: Ri = Rz= l/2pl Н.
3.2(3.2). Определить вертикальные реакции опор горизонталь-
ной балки пролета I, если груз Р помещен на ней на расстоянии х
от первой опоры.
Ответ: Ri = P 1 jX-, R2t=P -р.
З.З(З.З). Однородный стержень АВ, длина которого 1 м, а вес
20 Н, подвешен горизонтально на двух параллельных веревках АС
и BD. К стержню в точке Е на расстоянии АЕ — 1/4 м подвешен
груз Р = 120 Н. Определить натяжения веревок Тс и То.
Ответ: Тс = 100 Н, TD = 40 Н.
3.4(3.4). На горизонтальную балку, лежащую на двух опорах,
расстояние между которыми равно 4 м, положены два груза, один
С в 2 кН, другой D в 1 кН, так, что реакция опоры А в два раза
23
больше реакции опоры В, если пренебречь весом балки. Расстоя-
ние CD между грузами равно 1 м. Каково расстояние х груза С
от опоры А?
3.5(3.5). Трансмиссионный вал
Р, = 3 кН, Р2 = 5 кН, Р3 = 2 кН.
ЗООсн
К задаче 3.5
АВ несет три шкива веса
Размеры указаны на рисунке.
Определить, на каком расстоя-
нии х от подшипника В надо
установить шкив веса Р2, что-
бы реакция подшипника А рав-
нялась реакции подшипника В;
весом вала пренебречь.
Ответ: х = 139 см.
З.б(З.б). Определить силы
давления мостового крана АВ
на рельсы в зависимости от
положения тележки С, на которой укреплена лебедка. Положение
тележки определить расстоянием ее середины от левого рельса в
долях общей длины моста. Вес моста Р = 60 кН, вес тележки
с поднимаемым грузом Pj = 40 кН.
Ответ: Fa={7 — 4л) 10 кН, FB = (3 + 4п) 10 кН,где п = ACjAB.
К задаче 3.6
I
J
I
Ц
•‘о
3.7(3.7). Балка АВ длины 10 м и веса 2 кН лежит на двух опо-
рах С и D. Опора С отстоит от конца А на 2 м, опора D от конца
В — на 3 м. Конец балки А оттягивается вертикально вверх посред-
ством перекинутого через блок троса, на котором подвешен груз Q
'Ч
и
'10
г
24
веса 3 кН. На расстоянии 3 м от конца А к балке подвешен груз Р
веса 8 кН. Определить реакции опор, пренебрегая трением на
блоке.
Ответ: Rc = 3 кН, Rd = 4 кН,
D__
~7^в
К задаче 3.8
К задаче 3.7
3.8(3.8). Горизонтальный стержень АВ веса 100 Н может вра-
щаться вокруг неподвижной оси шарнира А. Конец В оттягивается
кверху посредством перекинутой через блок нити, на которой под-
вешена гиря веса Р= 150 Н. В точке, находящейся на расстоянии
20 см от конца В, подвешен груз Q веса 500 Н. Как велика длина
х стержня АВ, если он находится в равновесии?
Ответ: х — 25 см.
3.9(3.9). Конец А горизонтального стержня АВ веса 20 Н и
длины 5 м оттягивается кверху посредством перекинутой через блок
веревки, на которой подвешен груз веса 10 Н. Конец В таким же
образом оттягивается кверху по-
средством груза веса 20 Н. В точках
С, D, Е и F, отстоящих одна от дру-
гой и от точек А и В на 1 м, подве-
шены грузы веса соответственно 5,
10, 15 и 20 Н. В каком месте надо
подпереть стержень, чтобы он оста-
вался в равновесии? К задаче 3.9
Ответ. В середине.
3.10(3.10). К однородному стержню, длина которого 3 м, а вес
6 Н, подвешены 4 груза на равных расстояниях друг от друга,
причем два крайних — на концах стержня. Первый груз слева ве-
сит 2 Н, каждый последующий тяжелее предыдущего на 1 Н. На
каком расстоянии х от левого конца нужно подвесить стержень,
чтобы он оставался горизонтальным?
Ответ: х = 1,75 м.
3.11(3.11). Однородная горизонтальная балка соединена со сте-
ной шарниром и подперта в точке, лежащей на расстоянии 160 см
от стены. Длина балки 400 см, ее вес 320 Н. На расстояниях 120 см
и 180 см от стены на балке лежат два груза веса 160 Н н 240 Н.
Определить опорные реакции.
Ответ: 790 Н — вверх, 70 Н — вниз.
3.12(3.12). Однородная горизонтальная балка длины 4 м и веса
5 кН заложена в стену, толщина которой равна 0,5 м, так, что опи-
рается на нее в точках А н В. Определить реакции в этих точках,
если к свободному концу балки подвешен груз Р веса 40 кН.
Ответ: Ra = 340 кН — вверх, Rb = 295 кН — вниз.
25
3.13(3.13). Горизонтальная балка заделана одним концом в
стену, а на другом конце поддерживает подшипник вала. От веса
вала, шкивов и подшипника балка испытывает вертикальную на-
грузку Q, равную 1,2 кН. Пренебрегая весом балки и считая, что
нагрузка Q действует на расстоянии а — 0,75 м от стены, опреде-
лить реакции заделки.
Ответ: Реакция /? = 1,2 кН, реактивный момент М = 0,9 кН-м.
К задаче 3.12
К задаче 3.13
3.14(3.14). Горизонтальная балка, поддерживающая балкон,
подвергается действию равномерно распределенной нагрузки ин-
тенсивности д = 2 кН/м. На балку у свободного конца передается
К задаче 3.14
нагрузка от колонны Р — 2 кН. Расстояние оси колонны от стены
1=1,5 м. Определить реакции заделки.
Ответ: /? = 5 кН, М — 5,25 кН м.
3.15(3.15). На консольную горизонтальную балку действует
пара сил с моментом Л4 = 6 кН-м, а в точке С вертикальная на-
грузка Р = 2 кН. Длина пролета балки АВ = 3,5 м, вынос консоли
ВС = 0,5 м. Определить реакции
опор.
Ответ: Ра = 2 кН—вниз, RB =
= 4 кН — вверх.
3.16(3.16). На двухконсольиую го-
ризонтальную балку действует пара
сил (₽,Л/ на левую консоль — равно-
мерно распределенная нагрузка интен-
сивности д, а в точке D правой консоли — вертикальная нагрузка
Q. Определить реакции опор, если P = 1 кН, Q = 2 кН, д =
= 2 кН/м, а = 0,8 м.
Ответ: Ra = 1,5 кН, RB = 2,1 кН.
26
3.17(3.17). На балке АВ длины 10 м уложен путь для подъем-
ного крана. Вес крана равен 50 кН, и центр тяжести его находится
на оси CD\ вес груза Р равен
вылет крана KL = 4 м; рас-
стояние Л С = 3 м. Найти опор-
ные реакции в точках А и В
для такого положения крана,
когда стрелка крана DL нахо-
дится в одной вертикальной
плоскости с балкой АВ.
Ответ-. рА = 53 кН, Рв =
= 37 кН.
3.18(3.18). Балка АВ длины
показанную на рисунке. Интенсивность нагрузки равна q Н/м на
концах А и В балки и 2/у Н/м в середине балки. Пренебрегая ве-
сом балки, найти реакции опор D и В.
3.19(3.19). Горизонтальная балка АС, опертая в точках В и С,
несет между опорами В и С равномерно .распределенную нагрузку
интенсивности q Н/м; на участке АВ интенсивность нагрузки умень-
шается по линейному закону до нуля. Найти реакции опор В и С,
пренебрегая весом балки.
Ответ: 7?в = f (За + 3ft + -£) Н; /?с = -| (зб - -у-) Н.
3.20(3.20). Прямоугольный щит АВ ирригационного канала мо-
жет вращаться относительно оси О. Если уровень воды невысок,
щит закрыт, но, когда вода достигает некоторого уровня Н, щит
поворачивается вокруг оси и открывает канал. Пренебрегая тре-
К задаче 3.20
нием и весом щита, определить вы-
соту Н, при которой открывается
щит.
Ответ: Н = 3h sin а.
К задаче 3.21
3.21(3.21). Предохранительный клапан А парового котла соеди-
нен стержнем АВ с однородным рычагом CD длины 50 см и веса
ДО Н, который может вращаться вокруг неподвижной оси С)
27
диаметр клапана d = 6 см, плечо ВС — 7 см. Какой груз Q нужно
подвесить к концу D рычага для того, чтобы клапан сам откры-
вался при давлении в котле, рав-
ном 1100 кПа?
Ответ-. Q = 430 Н.
3.22(3.22). Несколькоодинано-
вых однородных плит длины 21
сложены так, что часть каждой
К задаче 3.23
К задаче 3.22
плиты выступает над плитой нижележащей. Определить предель-
ные длины выступающих частей, при которых плиты будут нахо-
диться в равновесии.
При решении складываются последовательно веса плит, начиная с верхней.
„ , 1 , 1 г 1 , 1 ,
Ответ: I, -^l, -jl, -4I, I н т. д.
3.23(3.23). Железнодорожный кран опирается иа рельсы, рас-
стояние между которыми равно 1,5 м. Вес тележки крана равен
30 кН, центр тяжести ее находится в точке А, лежащей на линии
KL пересечения плоскости симметрии тележки с плоскостью ри-
сунка. Вес лебедки В крана равен 10 кН, центр тяжести ее лежит
в точке С на расстоянии 0,1 м от прямой KL. Вес противовеса D
равен 20 кН, центр тяжести
его лежит в точке Е на рас-
стоянии 1 м от прямой KL.
Вес укосины FG равен 5 кН,
и центр тяжести ее находит-
ся в точке Н на расстоянии
1 м от прямой KL. Вылет
крана LM = 2 м. Опреде-
лить наибольший груз О, ко-
торый не опрокинет крана.
Ответ: Q = 51,8 кН.
3.24(3.24). Центр тяжести
К задаче 3.24 ПСреДВИЖНОГО реЛЬСОВОГО
крана, вес которого (без про-
тивовеса) равен = 500 кН, находится в точке С, расстоя-
ние которой от вертикальной плоскости, проходящей через
правый рельс, равно 1,5 м. Крановая тележка рассчитана на
подъем груза Р2 == 250 кН; вылет ее равен 10 м. Определить наи-
меньший вес Q и наибольшее расстояние х центра тяжести проти-
28
вовеса от вертикальной плоскости, проходящей через левый рельс
В так, чтобы кран не опрокинулся при всех положениях тележки
как нагруженной, так и йена груженной. Собственным весом те-
лежки пренебречь.
Ответ: Q = 333 кН, х = 6,75 м.
3.25(3.25). Кран для загрузки материалов в мартеновскую печь
состоит из лебедки А, ходящей на колесах по рельсам, уложенным
на балках передвижного моста В. К нижней части лебедки при-
креплена опрокинутая колонна D, служащая для укрепления ло-
паты С. Какой вес Р должна иметь лебедка с колонной, чтобы
груз Q — 15 кН, помещенный на лопате на расстоянии 5 м от вер-
тикальной оси ОА лебедки, не опрокидывал ее? Центр тяжести
лебедки расположен на оси ОА; расстояние каждого колеса от
оси О А равно 1 м.
Ответ: Р 60 кН.
3.26(3.26). Подъемный кран установлен на каменном фунда-
менте. Вес крана Q = 25 кН и приложен в центре тяжести А на
расстоянии АВ = 0,8 м от оси крана; вылет крана CD = 4 м. Фун-
дамент имеет квадратное основание, сторона которого EF = 2 м;
удельный вес кладки 20 кН/м3. Вычислить наименьшую глубину
фундамента, если кран предназначен для подъема тяжестей до
30 кН, причем фундамент должен быть рассчитан на опрокидыва-
ние вокруг ребра F.
Ответ: 1,06 м.
3.27(3.27). Магнитная стрелка подвешена на тонкой проволоке
и установлена горизонтально в магнитном меридиане. Горизонталь-
ные составляющие силы земного магнитного поля, действующие на
полюсы стрелки в противоположных направлениях, равны каждая
0,02 мН, расстояние между полюсами 10 см. На какой угол нужно
закрутить проволоку, чтобы стрелка составила угол 30° с магнит-
ным меридианом, если известно, что для закручивания проволоки
на угол 1° нужно приложить пару, момент которой равен
0,05 мН-см?
Момент закручивающей пары пропорционален углу закручивания.
Ответ: 32°.
29
3.28(3.28). Два однородных стержня АВ и ВС одинакового по-
перечного сечения, из которых АВ вдвое короче ВС, соединенные
своими концами под углом 60°, образуют ломаный рычаг АВС.
У конца А рычаг подвешен на нити АО. Определить угол а на-
клона стержня ВС к горизонту при равновесии рычага; попереч-
ными размерами стержней пренебречь.
Ответ: tga = -|-^/3, сс=19°5'.
3.29(3.29). Два стержня АВ и ОС, вес единицы длины которых
равен 2р, скреплены под прямым углом в точке С. Стержень ОС
может вращаться вокруг горизонтальной оси О; АС = СВ = а,
ОС = Ь. В точках А и В подвешены гири, веса которых Р\ и Р2;
Р2 > Pi- Определить угол а наклона стержня АВ к горизонту в по-
ложении равновесия.
„ i а Рг — Pi
Ответ: tg а = -г- р-; р ,—~л—г—.
ь b Р2 + Pi 4- р (4а 4- Ь)
3.30(3.30). Подъемный мост АВ поднимается посредством двух
брусьев CD длины 8 м, веса 4 кН, по одному с каждой стороны
моста; длина моста АВ — СЕ = 5 м; длина цепи АС = ВЕ\ вес
К задаче 3.31
моста 30 кН и может считаться приложенным в се-
редине АВ. Рассчитать вес противовесов Р, уравно-
вешивающих мост.
Ответ: Р — 13,83 кН.
3.31(3.31). Главную часть дифференциального
блока составляют два неизменно связанных между
собой шкива А, ось которых подвешена к непод-
вижному крюку. Желоба их снабжены зубцами, за-
хватывающими бесконечную цепь, образующую две
петли, в одну из которых помещен подвижной блок
В. К подвижному блоку подвешен поднимаемый
груз Q, а к свисающей с большого блока ветви
свободной петли приложено усилие Р. Радиусы
шкивов А суть R и г, причем г < R. Требуется най-
ти зависимость усилия Р от величины поднимае-
мого груза Q и определить это усилие в случае: Q = 500 Н, R =
= 25 см. г = 24 см. Трением пренебречь.
Ответ: Р = у<?(1 __0 = 1ОН.
30
3 32(3.32). Дифференциальный рычаг состоит из стержня АВ,
имеющего неподвижную опорную призму в точке С, и перекладины
DE, соединенной с рычагом АВ посредством шарнирных серег AD
и EF. Груз Q = 1 кН подвешен к перекладине в точке G посред-
ством призмы. Расстояние между вертикалями, проведенными че-
рез точки С и G, равно 1 мм. Определить вес гири Р, которую
нужно подвесить к рычагу АВ в точке И на расстоянии СИ — 1 м
для того, чтобы уравновесить груз Q. Трением пренебречь.
Ответ: Р= 10 11.
К задаче 3.32
К задаче 3.33
3.33(3.33). В шарнирном четырехзвенном механизме звено ВС
параллельно неподвижному звену AD. Звено AB<=h перпендику-
лярно AD. Посредине АВ приложена горизонтальная сила Р. Ка-
кую горизонтальную силу Q следует приложить к звену CD в точке
Е, если CE = CD/4, чтобы механизм был в равновесии? Найти
реакцию в шарнире D. Весом звеньев пренебречь.
Ответ: Q = 2/3Р, Rd = '/еР и направлена по AD вправо.
3.34(3.34). Для измерения больших усилий Q устроена система
двух неравноплечих рычагов АВС и EDF, соединенных между со-
бой тяжем CD. В точках В и Е имеются неподвижные опоры. По
рычагу EDF может передвигаться груз Р веса 125 Н. Сила Q, при-
ложенная в точке А, уравновешивается этим грузом, помещенным
на расстоянии / от точки D.
К задаче 3.34
К задаче 3.35
На какую длину х надо передвинуть для сохранения равновесия
груз Р при увеличении силы Q на 10 кН, если указанные на ри-
сунке размеры соответственно равны: а = 3,3 мм, 6 = 660 мм,
с = 50 мм?
Ответ: х = 2 см.
3.35(3.35). Балка АВ длины 4 м, веса 2 кН может вращаться
вокруг горизонтальной осн А и опирается концом В на другую
балку CD длины 3 м, веса 1,6 кН, которая подперта в точке Е и
соединена со стеной шарниром D. В точках М и N помещены грузы
по 0,8 кН каждый. Расстояния: AM = 3 м, ED =2 м, ND = 1 м.
Определить опорные реакции.
31
Ответ-. Ra — 1,2 кН, /кв = 1,6 кН, Re~4 кН, = 0.
3.36(3.36). Консольный мост состоит из трех частей: AC, CD
и DF, из которых крайние опираются каждая на две опоры. Раз-
меры соответственно равны: АС = DF — 70 м, CD = 20 м,
К задаче 3.36
АВ — EF = 50 м. Погонная нагрузка на мост равна 60 кН/м.
Найти давления на опоры А и В, производимые этой нагрузкой.
Ответ: Na <= 1020 кН, NB = 3780 кН.
К задаче 3.37
3.37(3.37). Консольный мрст состоит из главной фермы АВ и
двух боковых ферм АС и BD. Собственный вес, приходящийся на
погонный метр фермы АВ, равен 15 кН, а для ферм АС и BD ра-
вен 10 кН. Определить реакции
всех опор в тот момент, когда весь
правый пролет FD занят поездом,
вес которого можно заменить рав-
номерно распределенной по про-
лету FD нагрузкой интенсивно-
сти 30 кН на погонный метр. Раз-
меры соответственно равны: АС =>
= ВО = 20 м; AE — BF = }5 м;
EF = 50 м.
Ответ: Rc = 100 кН, Rd ~ 400 кН, Re — 542,5 кН, Rf =
= 1607,5 кН.
3.38. Для осмотра на плаву днища понтона водоизмещением
D — 2000 кН его носовая оконечность поднимается краном грузо-
подъемности Р = 750 кН. Принимая удельный вес воды у =.
32
— 10 кН/м3, определить наибольший подъем днища над уровнем
воды h, если понтон имеет форму прямоугольного параллелепипеда
длины L — 20 м, ширины В — 10 м. Центр тяжести понтона С ле-
жит посередине его длины. Точка К крепления троса подъемного
крана и центр тяжести С находится на одинаковом расстоянии от
днища понтона. (Водоизмещение судна численно равно его весу.)
Ответ: h = 1,36 м.
§ 4. Произвольная плоская система сил
4.1(4.1). К однородному стержню АВ, который может вращать-
ся вокруг шарнира А, подвешена в точке В на веревке гиря С
веса в 10 Н. От конца стержня В протянут трос, перекинутый че-
рез блок D и поддерживающий гирю веса в 20 Н. Найти величину
угла BAD = а, при котором стержень будет находиться в положе-
нии равновесия, зная, что АВ — AD и вес стержня 20 Н. Трением
на блоке пренебречь.
Ответ: а — 120°.
4.2(4.2). Горизонтальная балка крана, длина которой равна I,
у одного конца укреплена шарнирно, а у другого конца В подве-
шена к стене посредством тяги ВС, угол наклона которой к гори-
зонту равен а. По балке может перемещаться груз Р, положение
которого определяется переменным расстоянием х до шарнира А.
Определить натяжение Т тяги ВС в зависимости от положения
груза. Весом балки пренебречь.
Ответ. Т = ~~.
I sin а
4.3(4.3). Однородный шар веса Q и радиуса а и гиря веса Р
подвешены на веревках в точке О, как показано на рисунке. Рас-
стояние ОМ = Ь. Определить, какой угол образует прямая ОМ
с вертикалью при равновесии.
Ответ:
4.4(4.4). Ломаный рычаг АВС, имеющий неподвижную ось В,
весит 80 Н; плечо АВ = 0,4 м, плечо ВС — 1 м, центр тяжести ры-
чага находится На расстоянии 0,212 м от вертикальной прямой BD.
В точках А и С привязаны веревкй, перекинутые через блоки £ и
2—1318 33
F и натягиваемые гирями веса Pi = 310 Н и Р2 = 100 Н. Пренебре-
гая трением на блоках, определить угол BCF — <р в положении рав-
новесия, если угол ВАЕ = 135°.
Ответ: <pj = 45°, <рг = 135°.
4.5(4.5). Лебедка снабжена храповым колесом диаметра di
с собачкой А. На барабан диаметра d2, неподвижно скрепленный
с колесом, намотан трос, поддер-
живающий груз Q. Определить
давление/? на ось В собачки,если
дано: Q = 50 Н, di = 420 мм, d2 = 240 мм, Л = 50 мм, а = 120 мм.
Весом собачки пренебречь.
~ _ d2 Va2 4- h2
Ответ: R = Q-r- —------—
Ci a
= 31Н.
4.6(4.6). Однородная балка AB веса P опирается на две глад-
кие наклонные прямые CD и DE, находящиеся в вертикальной пло-
скости; угол наклона первой из них к горизонту равен а, второй:
90° — а. Найти угол 0 наклона
балки к горизонту в положе-
нии равновесия и давления ее
на опорные прямые.
К задаче 4.6 К задаче 4.7
Ответ: Na=P cos ос, Nb =
= Р sin a, tg 0 = ctg 2а, 0 =
= 90° — 2а при а 45°.
4.7(4.7). Однородная балка
веса 600 Н и длины 4 м опи-
рается одним концом на глад-
кий пол, а промежуточной точ-
кой В — на столб высоты 3 м,
образуя с вертикалью угол 30°. Балка удерживается в таком поло-
жении веревкой АС, протянутой по полу. Пренебрегая трением,
определить натяжение веревки Т н реакции RB столба и Rc
пола.
Ответ: Т = 150 Н, RB = 173 Н, Rc = 513 Н.
4.8(4.8). Однородная балка АВ веса 200 Н опирается на глад-
кий горизонтальный пол в точке В под углом 60° и, кроме того,
34
поддерживается двумя опорами С и D. Определить реакции опор
в точках В, С и D, если длина АВ = 3 м, СВ =0,5 м, BD~ 1 м.
Ответ-. RB = 200 Н, Rc = 300 Н, RD = 300 Н.
4.9(4.9). Однородная плита АВ веса Р = 100 Н свободно опи-
рается в точке А и удерживается под углом 45° к горизонту двумя
стержнями ВС и BD. BCD — равносторонний треугольник. Точки С
и D лежат на вертикальной прямой CD. Пренебрегая весом стерж-
ней и считая крепления в точках В, С и D шарнирными, опреде-
лить реакцию опоры А и усилия в стержнях.
Ответ: Ra = 35,4 Н, Sc = 89,5 Н, So = —60,6 Н.
4.10(4-10). Однородный стержень АВ веса 100 Н опирается од-
ним концом на гладкий горизонтальный пол, другим — на гладкую
плоскость, наклоненную под углом 30° к горизонту. У конца В
стержень поддерживается веревкой, перекинутой через блок С и
несущей груз Р; часть веревки ВС параллельна наклонной пло-
скости. Пренебрегая трением на блоке, определить груз Р и силы
давления Na и Ув на пол и на наклонную плоскость.
Ответ: Р = 25 Н; NA = 50 Н; NB = 43,3 Н.
4.11(4.11). При сборке моста пришлось поднимать часть мосто-
вой фермы АВС тремя канатами, расположенными, как указано
К задаче 4.П
К задаче 4.12
на рисунке. Вес этой части фермы 42 кН, центр тяжести находится
в точке D. Расстояния соответственно равны: AD =4 м, DB = 2 м,
BF = 1 м. Найти натяжения канатов, если прямая АС горизон-
тальна.
Ответ: Тд = 18 кН, Тв = 17,57 кН, Тс = 12,43 кН.
4.12(4.12). Стропила односкатной крыши состоят из бруса АВ,
у верхнего конца В свободно лежащего на гладкой опоре, а ниж-
ним концом А упирающегося в стену. Наклон крыши tg а = 0,5;
35
на брус АВ приходится вертикальная нагрузка 9 кН, приложенная
в середине бруса. Определить реакции опор в точках А и В.
Ответ-. Ха — 1,8 кН, Уд = 5,4 кН, RB = 4,02 кН.
4.13(4.13). К гладкой стене прислонена однородная лестница
АВ под углом 45° к горизонту; вес лестницы 200 Н; в точке D на
расстоянии, равном 1/3 длины лестницы, от нижнего конца нахо-
дится человек веса 600 Н. Найти силы давления лестницы на
опору А и на стену.
Ответ: ХА = 300 Н, УЛ = —800 Н, Хв = —300 Н.
4.14(4.14). На подъемной однородной лестнице длины 6 м и
веса 2,4 кН, которая может вращаться вокруг горизонтальной оси
К задаче 4.14
К задаче 4.16
К задаче 4.17
А и наклонена под углом 60° к горизонту, в точке D стоит человек
веса 0,8 кН на расстоянии 2 м от конца В. У конца В лестница
поддерживается веревкой ВС, наклоненной под углом 75° к гори-
зонту. Определить натяжение Т веревки и реакцию А оси.
Ответ: Т = 3?'35 кН, ХА «= 0,867 кН, Уд = —0,0344 кН.
4.15(4.15). Однородная балка АВ веса Р=100 Н прикреплена
к стене шарниром А и удерживается под углом 45° к вертикали
при помощи троса, перекинутого через блок и несущего груз G.
Ветвь ВС троса образует с вертикалью угол 30°. В точке D к балке
подвешен груз Q веса 200 Н. Определить
вес груза G и реакцию шарнира А, прене-
брегая трением на блоке, если ВО — ]/4 АВ.
Ответ: G=146 Н, Хл=73 Н, Ул=173 Н.
4.16(4.16). Шлюпка ви-
сит на двух шлюпбалках,
причем вес ее, равный 9,6
кН, распределяется меж-
ду ними поровну. Шлюп-
балка АВС нижним полу-
шаровым концом опирает-
ся на подпятник А и на
высоте 1,8 м над ним сво-
бодно проходит через под-
шипник В; вылет шлюпбалки равен 2,4 м. Пренебрегая весом шлюп-
балки, определить силы давления ее на опоры А и В.
Ответ: ХА — —6,4 кН, УА = —4,8 кН, Хв = 6,4 кН.
4.17(4.17). Литейный кран АВС имеет вертикальную ось вра-
щения MN; расстояния: MN = 5 м; АС — 5 м; вес крана 20 кН,
36
центр тяжести его D находится от осн вращения на
2 м; вес груза, подвешенного в точке С, равен 30
реакции подшипника М и подпятника N.
Ответ". Хм = —-38 кН, = 38 кН, У,/ ----
= 50 кН.
4.18(4.18). Кран в шахте, поднимающий
груз Р — 40 кН, имеет подпятник Лив точ-
ке В опирается на гладкую цилиндрическую
поверхность, ось которой Ау вертикальна.
Длина хвоста АВ равна 2 м. Вылет крана
JDE = 5 м. Вес крана равен 20 кН и прило-
жен в точке С, расстояние которой от вер-
тикали Ау равно 2 м. Определить реакции
опор А и В.
Ответ: ХА = 120 кН, YA = 60 кН, Хв=>
= -120 кН.
4.19(4.19). Кран для подъема тяжестей
состоит из балки АВ, нижний конец кото-
рой соединен со стеной шарниром А, а верх-
ний удерживается горизонтальным тросом ВС, Определить натя-
жение Т троса ВС и давление на опору А, если известно, что вес
груза Р = 2 кН, вес балки АВ равен 1 кН и приложен в середине
балкн, а угол а = 45°.
Ответ: Т == 2,5 кН, ХА — —2,5 кН, УА = —3 кН.
расстоянии
кН. Найтн
К задаче 4.18
4.20(4.20). Кран имеет шарниры в точках А, В и D, причем
AB = AD=;BD = 8 м. Центр тяжести фермы крана находится на
расстоянии 5 м от вертикали, проходящей через точку Л. Вылет
крана, считая от точки А, при с
этом равен 15 м. Поднимаемый \
груз весит 200 кН; вес фермы Р = ; '
= 120 кН. Определить опорные i 30Д*Д^\
реакции и натяжение стержня BD ---1—
для указанного положения крана.
Ответ: ХА = 260 КН, УА — К задаче 4.21
= 770 кН, 7 = 520 кН.
4.21(4.21). Симметричная стропильная ферма АВС у одного
конца шарнирно укреплена в неподвижной точке Л, а у другого
конца В опирается катками на гладкую горизонтальную пло-
37
скость. Вес фермы 100 кН. Сторона АС находится под равномерно
распределенным, перпендикулярным ей давлением ветра; равно-
действующая сил давления ветра равна 8 кН. Длина АВ —6 м,
угол С АВ = 30°. Определить опорные реакции.
Ответ: ХА = —4 кН, Ул = 54,6 кН, YB = 52,3 кН.
4.22(4.22). Арочная ферма имеет неподвижный опорный шар-
нир в точке А, в точке В — подвижную гладкую опору, плоскость
К задаче 4.22
которой наклонена к горизонту
под углом 30°. Пролет АВ = 20 м.
Центр тяжести фермы, вес кото-
рой вместе со снеговой нагрузкой
равен 100 кН, находится в точке
С, расположенной над серединой
пролёта АВ. Равнодействующая
сил давления ветра F равна 20 кН
и направлена параллельно АВ, линия ее действия отстоит от АВ
на 4 м. Определить опорные реакции.
Ответ: ХА =—11,2 кН, Ул -=46 кН, /?е = 62,4 кН.
4.23(4.23). Ферма ABCD в точке D опирается на катки, а в точ-
ках А и В поддерживается наклонными стержнями АЕ и BF, шар-
нирно укрепленными в точках Е и F. Раскосы фермы и прямая EF.
К задаче 4.23
наклонены к горизонту под углом 45°; длина панели ВС = 3 м;
стержни АЕ и BF одинаковой длины; расстояние EF = 3^2 м;
АН = 2,25 -\/2м. Вес фермы и нагрузки равен 75 кН и направлен
по прямой CG. Найти реакцию катков
Ответ: Rd — 15 кН.
4.24(4.24). Давление воды на маленькую площадку плотины
возрастает пропорционально расстоянию ее от свободной поверх-
ности воды и равно весу столба воды, высота которого равна этому
расстоянию, а площадь основания равна взятой площадке. Опреде-
лить толщину плотины в ее основании в двух случаях:
I) когда поперечное сечение плотины прямоугольное;
2) когда это сечение треугольное.
Плотина должна быть рассчитана на опрокидывание вокруг
ребра В давлением воды, причем коэффициент устойчивости дол-
жен быть равен 2. Высота h плотины такая же, как глубина воды,
и равна 5 м. Удельный вес воды у — 10 кН/м3, удельный вес ма-
териала плотины vi =22 кН/м3.
38
Коэффициентом устойчивости называется отношение момента веса массива
к моменту опрокидывающей силы. Давление воды на площадку плотины
длиной 1 м и высотой dy, где у — расстояние площадки от дна в метрах,
равно в килоньютонах y(h — y)dy. Момент этого давления относительно точ-
h
кя В равен у (h — y)ydy, Опрокидывающий момент равен $ у (h — у) у dy.
о
К задаче 4.24
Ответ-, а = 2,75 м; b = 3,37 м. >
4.25(4.25). Определить реакции опор А и В
балки, находящейся под действием одной
К задаче 4.28
ОЛП
К задаче 4.26
сосредоточенной силы и пары сил. Нагрузка и размеры указаны
на рисунке.
Ответ: ХА = 2 кН, YA = —4,32 кН, YB = 7,78 кН.
4.26(4.26). Определить реакции опор А и В балки, находящейся
под действием двух сосредоточенных сил и равномерно распреде-
ленной нагрузки. Интенсивность распределенной нагрузки, вели-
чины сил и размеры указаны на рисунке.
Ответ: ХА = 2,6 кН, YA = 4,2 кН, Хв =* 15,6 кН.
4.27(4.27). Определить реакции заделки консольной балки, изо-
браженной на рисунке и находящейся под действием сосредоточен-
ной силы и пары сил.
Ответ: X = 1 кН, У = 1,73 кН, М =0,47 кН-м.
'АУ
% ,4 ISKti/rt 2кНн
К задаче 4.28
4.28(4.28). Определить реакции заделки консольной балки, изо.
браженной на рисунке и находящейся под действием равномерно
распределенной нагрузки, сосредоточенной силы и пары сил.
Ответ: X =2,8 кН, У = 1,7 кН, М = — 5,35 кН-м.
4.29(4.29). Определить реакции заделки консольной балки, изо-
браженной на рисунке и находящейся под действием равномерно
распределенной нагрузки, одной сосредоточенной силы и двух пар
сил.
Ответ: X — 11,8 кН, У = —2,8 кН, М = — 86,8 кН-м.
39
Ч=1,5кН/г1
К задаче 4.30
4.30(4.30). Определить реакции заделки консольной балки, изо-
браженной на рисунке и находящейся под действием пары сил и
распределенной нагрузки, изменяющейся по за-
кону треугольника.
Ответ-. X<= —9 кН, У = 0, М = 40 кН-м.
4.31(4.31). Определить реакцию заделки кон-
сольной балки, изображенной на рисунке и на-
ходящейся под действием сосредоточенной силы,
пары сил и распределенной нагрузки, изменяю-
щейся по закону треугольника и трапеции.
Ответ: X = 137 кН, У = 25 кН, М =
= —270 кН - м.
4.32(3.38). Горизонтальная разрезная балка
А СВ у конца А заделана в стену, у конца В опи-
рается на подвижную опору; в точке С — шарнир. Балка загру-
жена краном, несущим груз Р веса 10 кН; вылет KL = 4 м, вес
крана Q = 50 кН, центр тяжести крана лежит на вертикали CD.
Размеры указаны на рисунке. Определить, пренебрегая весом бал-
ки, опорные реакции в точках А и В для такого положения крана,
когда он находится в одной вертикальной плоскости с балкой АВ.
Ответ: Ра = 53,75 кН, Вв = 6,25 кН, МА = 205 кН.
К задаче 4.31
К задаче 4.32
4.33(4.32). Определить реакции опор А, В, С и шарнира D со-
ставной балки, изображенной на рисунке вместе с нагрузкой.
Ответ: Хл = —2,8 кН, УА = —4,4 кН, Ув = 22,2 кН, Ус = 5 кН.
XD = 0, Yd == ±5 кН.
К задаче 4.33
ЛУГ
д
К задаче 4.34
4.34(4.33). Определить реакции опор А, В, С и шарнира D со-
ставной балки, изображенной на рисунке вместе с нагрузкой.
Ответ: ХА = 3 кН; УА = 13,8 кН; Ув = — 6,6 кН; Ус = 10 кН,
XD = 0; Yd == zb5 кН.
4.85(4.34). Мост состоит из двух частей, связанных между со-
бой шарниром А и прикрепленных к береговым устоям шарнирами
В н С. Вес каждой части моста 40 кН; их центры тяжести D и Е\
40
па мосту находится груз Р — 20 кН; размеры указаны на рисунке.
Определить силу давления в шарнире А и реакции в точках В и С.
Ответ: ХА == ±20 кН, YA = =F8 кН, Хв = —Хс = 20 кН, YB =
f= 52 кН, Yc = 48 кН.
4.36(4.35). На гладкой горизонтальной плоскости стоит перед-
вижная лестница, состоящая из двух частей АС и ВС, длины 3 м,
веса 120 Н каждая, соединенных шарниром С и веревкой EF; рас-
стояние BF = АЕ = 1 и; центр тяжести каждой из частей АС и ВС
находится в ее середине. В точке D на расстоянии CD = 0,6 м
стоит человек, весящий 720 Н. Определить реакции пола и шарни-
ра, а также натяжение Т веревки EF, если угол ВАС =?АВС = 45°.
Ответ: RA = 408 Н, RB = 552 Н, Хс = ±522 Н, Yc = ±288 Н,
7 = 522 Н.
4.37(4.36). Мост состоит из двух одинаковых частей М и N,
соединенных между собой и с неподвижными опорами посредством
шести стержней, наклоненных к горизонту под углом 45° и снаб-
женных на концах шарнирами. Размеры указаны на рисунке.
В точке G помещен груз веса Р. Определить те усилия в стерж-
нях, которые вызваны действием этого груза.
Ответ: 7?л = 0, РВ = Р V2/3, /?с = 0, Rd = P^/zIz, RE =
К задаче 4.33
4.38(4.37). Мост состоит из двух одинаковых горизонтальных
балок, соединенных шарниром А и прикрепленных шарнирно к ос-
нованию жесткими стержнями /, 2, 3, 4, причем крайние стержни
вертикальны, а средние наклонены к горизонту под углом а = 60°.
Соответствующие размеры равны: ВС = 6 м; АВ = 8 м. Опреде-
лить усилия в стержнях и реакцию шарнира А, если мост несет
вертикальную нагрузку Р = 15 кН на расстоянии а =4 м от
точки В,
41
Ответ-. Si = —6,25 кН, S2 = S3 = —5,77 кН, S4 = 1,25 кН,
XA = ±2,89 кН, Ya = ±3,75 кН.
4.39(4.38). Вдоль мастерской, здание которой поддерживается
трехшарнирной аркой, ходит по рельсам мостовой кран. Вес попе-
речной балки, передвигающейся по рельсам, 12 кН; вес крана 8 кН
(кран не нагружен); линия действия веса крана отстоит от левого
рельса на расстоянии 0,25 длины балки. Вес каждой половины
арки равен 60 кН и приложен на расстоянии 2 м от вертикали,
С
К задаче 4.39
проходящей через соответствующую опору А или В; опорные
рельсы мостового крана расположены на расстоянии 1,8 м от этих
вертикалей. Высота здания 12 м, ширина пролета 16 м. Равнодей-
ствующая сил давления ветра равна 12 кН и направлена парал-
лельно АВ, линия ее действия отстоит от А В на 5 м. Определить
реакции шарниров А нВ и силу давления в шарнире С.
Ответ'. ХА = 2 кН, Ул = 67,8 кН, Хв = —14 кН, YB = 72,2 кН,
Хс = ± 14 кН, Yc = ±4,2 кН.
4.40(4.39). Груз Р = 25 Н подвешен к концу горизонтального
бруса АВ. Вес бруса Q = 10 Н и приложен в точке Е. Брус при-
креплен к стенке посредством шарнира А и подперт стержнем CD,
с которым скреплен тоже посредством шарнира. Весом стержня
CD пренебрегаем. Разме-
ры указаны на рисунке.
-------£—СХ—_ Определить реакции шар-
g------с ниров А и С.
Ответ: ХА — —30 Н,
УА = —17 Н, Rc = 60 Н.
4.41(4.40). Два одно-
К задаче 4.42 РОДНЫХ бруСЗ ОДИНЭКОВОЙ
длины соединены шанир-
но в точке С, а в точках А и В также шарнирно прикреплены к опо-
рам. Вес каждого бруса равен Р. В точке С подвешен груз Q.
Расстояние АВ = d. Расстояние точки С до горизонтальной пря-
мой АВ равно Ь. Определить реакции шарниров А и В.
Ответ: -Xa^Xb^-^(P + Q), Ya = Yb = P+-%.
4.42(4.41). Два стержня АС и BD одинаковой длины шарнирно
соединены в точке D и так же прикреплены к вертикальной стене
42
в точках А и В. Стержень АС расположен горизонтально, стержень
BD образует угол 60° с вертикальной стеной. Стержень АС в точке
Е нагружен вертикальной силой Pi =40 Н и в точке С силой
Q = 100 Н, наклоненной к горизонту под углом 45°. Стержень BD
в точке Р нагружен вертикальной силой Р2 = 40 Н. Дано: АЕ =
= ВС, BF=FD. Определить реакции шарниров А и В.
Ответ: ХА = —287 Н, Ул=6 Н, Лв = 216 Н, Ув=145 Н.
4.43(4.42). Подвеска состоит из двух балок АВ и CD, соеди-
ненных шарнирно в точке D и прикрепленных к потолку шарни-
рами А и С. Вес балки АВ равен 60 Н и приложен в точке Е. Вес
балки CD равен 50 Н и приложен в точке F. В точке В к балке
АВ приложена вертикальная
сила Р — 200 Н. Определить
реакции в шарнирах А и С, ес-
ли заданы следующие размеры:
АВ = 1 м; CD = 0,8 м; АЕ =
= 0,4 м; CF = 0,4 м; углы на-
клона балок АВ и CD к гори-
зонту соответственно равны:
а = 60° и ₽ = 45°.
Ответ: —ХА=ХС = \35 Н,
Ул = 150 Н, Ус= 160 Н.
4.44(4.43). Горизонтальная
балка АВ длины 2 м, прикреп-
ленная к вертикальному столбу А С в точке А и подпертая подкосом
DE, несет на конце груз Q веса 500 Н; столб АС укреплен подко-
сом FG, причем АЕ == CG = 1 м; подкосы DE и FG наклонены под
углом 45° к горизонту. Найти усилия $£ и Sf в подкосах DE и FG
и реакцию грунта в точке С, предполагая, что крепления шарнир-
ные, и пренебрегая весом балки, столба и подкосов.
Ответ: SE = —1410 Н, = —1410 Н, Хс = Ю00Н, Ус =
= —500 Н.
К задаче 4.45
К задаче 4.46
4.45(4.44). В мостовой ферме, изображенной на рисунке, на
узлы С и D приходится одинаковая вертикальная нагрузка
Р = 100 кН; наклонные стержни составляют углы 45° с горизон-
том. Найти усилия в стержнях 1, 2, 3,4, 5 и 6, вызываемые данной
нагрузкой.
Ответ: Si = —141 кН, S2 = 100 кН, S3 = 141 кН, S4 = —200 кН.
S5 = 0, S6 = 200 кН.
4.46(4.45). В мостовой ферме, изображенной на рисунке, узлы
С, D и Е загружены одинаковой вертикальной нагрузкой Р =
43
= 100 кН. Наклонные стержни составляют углы 45° с горизонтом.
Найти усилия в стержнях 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8 к 9, вызываемые дан-
ной нагрузкой.
Ответ- S} = —150 кН, S2 = 0, S3 = 212 кН, 34= —150 кН.
S5 = —50 кН, Se = 150 кН, S7 = 71 кН, S8 = —200 кН, S9 = 0.
4.47(4.46). Для сборки моста устроен временный деревянный
кран, перемещающийся по рельсам А и В на колесах. К среднему
узлу С ннжнего пояса DE краНа
К задаче 4.47
в горизонтальном стержне CF
прикреплен блок, служащий для
поднятия тяжести с помощью це-
пи. Вес поднимаемого с подмостей
груза Р = 50 кН, причем в мо-
мент отделения его от подмостей
направление цепи составляет с
вертикалью угол а — 20°; во избе-
жание колебаний груза он оття-
гивается горизонтальным кана-
том ОН.
Предполагая, что горизонталь-
ная составляющая натяжения це-
пи воспринимается одним правым
рельсом В, определить усилие Si
момент отделения груза от под-
в
мостей и сравнить его с тем усилием S2, которое получилось бы при
угле а = 0. Размеры указаны иа рисунке.
Ответ: Si = 104,6 кН; S2 = 50 кН.
4.48(4.47). Найти величину усилия, сжимающего предмет М
в прессе, при следующих условиях: усилие Р = 0,2 кН и направлено
перпендикулярно рычагу ОА, имеющему неподвижную ось О; в рас-
сматриваемом положении пресса тяж ВС перпендикулярен О В и
делит Z.ECD пополам, при-
чем Z CED — arctg 0,2 =
= 11°20'; длина ОА = 1 м;
ОВ = 10 см.
Ответ: 5 кН.
4.49(4.48). Цепь ОО( са-
мозахватывающего грузы
приспособления соединена
шарниром О со стержнями
ОС == OD = 60 см. Стерж-
ни соединены шарнирами же
с двумя равными ломаными
рычагами САЕ и DBF, которые могут вращаться вокруг точек А
и В соединительного стержня GH. В шарнирах Е и F особые ко-
лодки удерживают груз Q= 10 кН трением. Расстояние точки Е
от стержня GH равно EL = 50 см, а расстояние ее от стержня ОС
равно EN — 1 м. Высота треугольника COD равна (Ж =10 см.
Найти силу, растягивающую соединительный стержень GH, пре-
небрегая весом частей механизма.
44
Ответ: 60 кН.
4.50(4.49). Определить реакции шарниров А, С, D, Е и Н
в стержневой системе, изображенной на рисунке, если СЕ — ЕН =
= HD и АС = СВ.
Ответ: Ra — Rd=^ Rh = Р, RE = 2P, Rc — Р л/2- Стержень EG
растянут, стержень НК сжат.
4.51(4.50). Натяжение приводного ремня, осуществляемое при
помощи ломаного рычага АО2О\ и натяжного ролика Оь равно по
ту и другую сторону ролика Р Н. Найти величину груза Q при
равновесии системы, если дано;
КАО2О{ = 90°, D = 55 см, d = 15 см,
1\ = 35 см, 12 = 15 см, /3 = 45 см,
Р= 18 Н.
Ответ: Q= 12 Н.
К задаче 4.51
4.52(4.51). Груз Р веса 4,8 кН удерживается на гладкой на-
клонной плоскости посредством веревки, параллельной плоскости
и намотанной на неподвижный вал лебедки АВС. Угол наклона
плоскости к горизонту 60°. Вес лебедки Q = 2,4 кН, ее центр тя-
жести находится на прямой
СО; лебедка опирается в
точке А на гладкий пол, а в
точке В прикреплена к полу
болтом. Найти опорные ре-
акции, пренебрегая расстоя-
нием веревки от плоско-
сти.
Ответ: Ya = 4,8 кН, Хв =
= 2,08 кН, YB = 1,2 кН.
4.53(4.52). Однородный к задаче 4.52 К задаче 4.53
стержень АВ длины 2Z и веса
Р может вращаться вокруг горизонтальной оси на конце А стерж-
ня. Он опирается на однородный стержень CD той же длины 21,
который может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей
через его середину Е. Точки А и Е лежат на одной вертикали на
расстоянии АЕ = I. К концу D подвешен груз Q = 2Р. Определить
угол «р, образуемый стержнем АВ с вертикалью в положении рав-
новесия, пренебрегая трением.
45
Ответ: <p = arccos ‘/8 = 82°50'.
4.54(4.53). Два однородных стержня АВ и АС опираются в точке
А на гладкий горизонтальный пол и друг на друга по гладким вер-
тикальным плоскостям, а в точках В и С на гладкие вертикальные
стены. Определить расстояние DE между стенами, при котором
стержни находятся в положении равновесия, образуя
друг с другом угол в 90°, если дано: длина АВ равна
а, длина АС равна Ь, вес АВ равен Pi, вес АС ра-
вен Р2.
z-1 пс a Рг-\-b*J Рх
Ответ: DE = — .
Vp, +
4.55(4.54). Однородный брусок АВ, который может вращаться
вокруг горизонтальной оси А, опирается на поверхность гладкого
цилиндра радиуса г, лежащего на гладкой горизонтальной пло-
скости и удерживаемого нерастяжимой нитью А С. Вес бруска 16 Н;
длина /1В = Зг, АС = 2г. Определить натяжение нити Т и силу
давления бруска на шарнир А.
Ответ: Т == 6,9 Н, ХА = —6 Н, YA = —12,5 Н.
4.56(4.55). Между двумя гладкими наклонными плоскостями
ОА и ОВ положены два гладких соприкасающихся однородных
цилиндра: цилиндр с центром С\ веса Р\ — 10 Н и цилиндр с цен-
тром С2 веса Р2 = 30 Н. Определить угол <р, составляемый прямой
К задаче 4.56
К задаче 4.57
С\С2 с горизонтальной осью хОх\, давления Nx и N2 цилиндров на
плоскости, а также силу N взаимного давления цилиндров, если
угол АОхх — 60°, а угол В Ох — 30°.
Ответ: <р = 0; М, = 20 Н; М2 = 34,6 Н; N = 17,3 Н.
4.57(4.56). Два гладких однородных шара С] и С2, радиусы ко-
торых и /?2, а веса Рх и Р2, подвешены на веревках АВ и AD
в точке A; AB = l\\ AD = l2; h + Ri = l2 + R2; угол BAD —a.
Определить угол 0, образуемый веревкой AD с горизонтальной пло-
скостью АЕ, натяжения веревок Тх, Т2 и силу давления одного
шара на другой.
Ответ: tg 6 = - -^-+Р1 С05а, Г. = р. ?in <е~а/2>
& Р, sin а ’ 1 1 а ’
cos-
Т = D sin (6 ~ с/2) V — D I cos 6 I
2 2 cos (с/2) ’ 2 cos (а/2) “
46
каждым из нижних цилинд-
К задаче 4.68 К задаче 4.5D
4.58(4.57). На двух одинаковых круглых однородных цилинд-
рах радиуса г и веса Р каждый, лежащих на горизонтальной пло-
скости и связанных за центры нерастяжимой нитью длины 2г,
покоится третий однородный цилиндр радиуса R и веса Q. Опреде-
лить натяжение нити, давление цилиндров на плоскость и взаим-
ное давление цилиндров. Трением пренебречь.
Ответ: Давление каждого нижнего цилиндра на плоскость равно
Р + Q/2. Давление между верхним и
ров равно + Натяжение
2 V/?2 + 2r R
Qr
нити равно —.
2 ^R2 + 2rR
4.59(4.58). Три одинаковых тру-
бы веса М = 120 Н каждая лежат,
как указано на рисунке. Определить
давление каждой из нижних труб
на землю и на удерживающие их с
небречь.
Ответ: Давление на землю равно 180 Н. Давление на каждую
стенку равно 34,6 Н.
4.60. Ферма ABCD в точке D опирается на катки, а в точках А
и В поддерживается наклонными стержнями АЕ и BF, шарнирно
укрепленными в точках Е и F. Раскосы фермы и прямая EF на-
клонены к горизонту под углом 45°; длина панели ВС = 3 м;
боков стенки. Трением прс-
стержни АЕ и BF одинаковой длины; расстояние EF = 3 V2«;
АН = 2,25 д/2м. Вес фермы равен 25 кН и направлен по вертикали,
проходящей через точку С. Вес нагрузки 112,5 кН. Определить, на
каком расстоянии х от точки В нужно расположить нагрузку,
чтобы реакция в опоре D стала равна нулю.
Ответ: х = 0,25 м.
4.61. Механизм робота-манипулятора представляет собой шар-
нирный трехзвенник; звенья поворачиваются в вертикальной пло-
скости. Найти моменты сил приводов в шарнирах А и В механизма
робота-манипулятора, необходимые для того чтобы удерживать
звенья механизма в горизонтальном положений. Масса объекта ма-
нипулирования тс = 15 кг. Длины звеньев: /1=0,7 м, /2 = 0,5 м.
47
Звенья однородные и их массы соответственно равны: /П1 = 35 кг,
т2 = 25 кг.
Ответ: МА = 530 Н-м, Мв = 135 Н-м.
Примечание к задачам 4.61—4.64. Механизмы, создающие моменты
в шарнирах, на рисунках не указаны,
А
К задаче 4.61
К задаче 4.62
4.62. Найти моменты сил приводов в шарнирах механизма ро-
бота-манипулятора, находящегося в равновесии, когда второе звено
поднято под углом 30° к горизонту. Масса объекта манипулирова-
ния /пс=15 кг. Длины звеньев: /1=0,7 м, /2 = 0,5 м. Массы
звеньев: т\ = 35 кг, т2 = 25 кг.
Ответ: МА = 510 Н-м, Мв = 117 Н-м.
4.63. Механизм робота-манипулятора в. положении равновесия
расположен в вертикальной плоскости. Длины звеньев: /1 = 0,8 м,
/2 = 0,5 м, /3 = 0,3 м. Массы звеньев: т\ •= 40 кг, т2 = 25 кг,
тз — 15 кг. Найти моменты сил приводов в шарнирах, если рука
CD манипулятора несет груз, масса которого mD= 15 кг. Звенья
считать однородными стержнями.
Ответ: Ма ==665 Н-м, Мв = 248 Н-м, Л4с = 46,7 Н-м.
4.64. Рука механизма робота-манипулятора удерживает в рав-
новесии груз, масса которого то = 15 кг. Пружина разгрузочного
устройства, предназначенного для уменьшения нагрузки на при-
вод, действует на первое звено силой F = 3000 Н, приложенной
на расстоянии АЕ == 0,2 м от шарнира А. Найти моменты сил в
шарнирах. Длины звеньев: Ц = 0,8 м, 12 = 0,5 м, /з = 0,3 м. Массы
звеньев: т} = 40 кг, т2 = 25 кг, т3 = 15 кг. Звенья считать одно-
родными стержнями.
Ответ: Ма = 502 Н-м, Мв = 214 Н-м, Мс = 33 Н-м.
4.65(5.5). Определить опорные реакции и усилия в стержнях
крана, изображенного на рисунке, при нагрузке в 8 кН. Весом
стержня пренебречь.
48
Ответ- RA — 26 кН, RB = 18 кН — вниз.
Номер стержня 1 2 3 4 5
Усилие, кН — 16,4 + 11,5 -14,3 —1 + 19
4.66(5.6). Определить опорные реакции и усилия в стержнях
стропильной фермы, изображенной вместе с приложенными к ней
силами на рисунке.
Ответ: Ra — 3,4 кН, RB = 2,6 кН.
Номер стержня 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Усилие, кН -7,3 +5,8 —2,44 —4.7 —4,7 +3,9 —0,81 -5,5 +4,4
К задаче 4.63
4.67(5.7). Определить опорные реакции и усилия в стержнях
пильчатой фермы, изображенной вместе с действующими на нее
силами на рисунке.
49
Ответ: Ra = 3,25 кН, RB = 2,75 кН.
Номер стержня 1 2 3 4 5 6 7
Усилие, кН +1,3 +3.03 —3.5 —2,5 —2,6 + 1.73 — 1,73
4.68(5.8). Определить опорные реакции и усилия в стержнях
фермы крана, изображенного вместе с приложенными к нему си-
лами на рисунке.
Ответ: Ra = 3 кН, RB = 9 кН.
Номер стержня 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Усилие, кН -0,6 +5,1 —3,13 —5,4 —2,0 +2,0 —2,83 0 -3,0
4.69(5.11). Определить опорные реакции и усилия в стержнях
сооружения, изображенного вместе с действующими на него си-
лами на рисунке.
Как в этой, так и в следующих задачах ось Ох направлена по
горизонтальной прямой АВ вправо, а ось Оу — по вертикали вверх.
Ответ: Хд = —2 кН, Уд = 1,4 кН, Ув = 2,6 кН.
Номер стержня 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Усилие, кН +4.5 —4,5 +2 —2,44 +2,44 +2 0 —2,6 —1,4
4.70(5.12). Определить опорные реакции и усилия в стержнях
раскосной фермы, изображенной на рисунке вместе с нагрузкой.
Ответ: Ха — —1 кН, Уд =» 3 кН, Ув = 1 кН.
Номер стержня I 2 3 4 5 6 7 8 9
Усилие, кН —2 —2 —I + 1.41 +2 +4,24 —4 + 1,41 -1
50
4.71(5.13). Определить опорные реакции и усилия в стержнях
мостовой фермы, которая вместе с приложенными к ней силами
изображена на рисунке.
Ответ-. Ул = 2,1 кН, Хв = —2 кН, Ув = 2,9 кН
Номер стержня 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Усилие, кН —2,97 +2,1 +2,1 -2,1 + 1.5 +0,9 0 —4,1 +0,9
4.72(5.14). Определить опорные реакции и усилия в стерж-
нях сооружения, изображенного вместе с приложенными к нему
силами на рисунке. Стержни 3 и 4 не соединены шарниром в точке
их пересечения.
Ответ- У л = 2,2 кН, Хв = —2 кН, Ув = 2,8 кН.
Номер стержня 1 2 3 4 5
Усилие, кН —6 —7 +4,9 +2.53 —5,7
4.73(5.15). Определить опорные реакции и усилия в стержнях
навесной фермы, изображенной вместе с действующими на нее
силами на рисунке.
51
Ответ: ХА — 5,4 кН, Уд = 6 кН, Хв — —5,4 кН.
Номер стержня 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 п
Усилие, кН —5.4 -3,6 -1.8 +2,06 +2,06 +4,1 —6 +3.5 —3 +2,7 —2
К задаче 4.73
4,74(5.17). В узлах стропильной фермы с
вследствие давления ветра возникают силы,
равными панелями
перпендикулярные
К задаче 4.74
кровле: Pi = Pa — 312,5 Н и Р? — Р$ = 625 Н. Определить вызы-
ваемые ветром реакции опор и усилия в стержнях фермы, размеры
которой указаны на рисунке.
Ответ: Ya = 997 Н, Хв = 1040 Н, YB = 563 Н. S, = -1525 Н,
S2 =-1940 Н, 53 = —1560 11, S4 = S5 = S6 - -970 H, S7 =
= +1100 H, Sg = 440 H, S9 = —215 H, Sio = Sn = —230 H, Sl2 =
= S13 = S14 = 0, SIE = -26 H, Si6 = +1340 H, S17 = - ИЗО H,
Sib = 4-1050 H, S19 = —750 H.
I
1
5
I
I
t
И
ч
§ 5. Силы трения
5.1(2.56). Определить необходимую затяжку болта, скрепляю-
щего две стальные полосы, разрываемые силой Р = 2 кН. Болт
поставлен с зазором и не должен работать на срез. Коэффициент
трения между листами равен 0,2,
52
Указание. Болт не должен работать на срез, поэтому его надо затянуть
с такой силой, чтобы развивающееся между листами трение могло предотвратить
скольжение листов. Сила, действующая вдоль оси болта, и является искомой
затяжкой.
Ответ. 10 кН.
5.2(2.57), Листы бумаги, сложенные, как показано на рисунке,
склеиваются свободными концами через лист таким образом, что
получаются две самостоятельные кипы А и В. Вес каждого листа
0,06 Н, число всех листов 200, коэффициент трения бумаги о бу-
магу, а также о стол, на котором бумага лежит, равен 0,2. Пред-
полагая, что одна из кип удерживается неподвижно, определить
наименьшее горизонтальное усилие Р, необходимое для того, чтобы
вытащить вторую кипу.
К задаче 5.1
К задаче 5.2
Ответ-. При вытаскивании А из В сила Р — 241,2 Н, а при вы-
таскивании В из Л сила Р = 238,8 Н.
5.3(2.58). Вагон, спускающийся по уклону в 0,008, достигнув
некоторой определенной скорости, движется затем равномерно.
Определить сопротивление /?, которое испытывает вагон при этой
скорости, если вес вагона равен 500 кН.
Уклоном пути называется тангенс угла наклона пути к горизонту; вследствие
малости уклона синус может быть принят равным тангенсу этого угла.
Ответ: R = 4 кН.
5.4(2.59). Поезд поднимается по прямолинейному пути, имею-
щему уклон 0,008, с постоянной скоростью; вес поезда, не считая
электровоза, 12000 кН. Какова сила тягиРэлектровоза,если сопро-
тивление движению равно 0,005 силы давления поезда на рельсы?
Ответ: Р = 156 кН.
5.5(2.60). Негладкой наклонной плоскости придан такой угол а
наклона к горизонту, что тяжелое тело, помещенное на эту пло-
скость, спускается с той постоянной скоростью, которая ему сооб-
щена в начале движения. Определить коэффициент трения f.
Ответ: f = tg а.
5.6(2.61). Найти угол естественного откоса земляного грунта,
если коэффициент трения для этого грунта f = 0,8.
Углом естественного откоса называется тот наибольший угол наклона откоса
к горизонту, при котором частица грунта, находящаяся на откосе, остается в
равновесии.
Ответ: 38°40'.
53
5.7(2.63). Ящик веса Р стоит на шероховатой горизонтальной
плоскости с коэффициентом трения f. Определить, под каким углом
0 надо приложить силу Q, и величину этой силы при условии^
сдвинуть ящик при наименьшей величине Q.
Ответ: 0=arctg/; Qmin = -,==.
V1 + Р
5.8(2.64). Три груза А, В, С веса 10 Н, 30 Н и 60 Н соответ-
ственно лежат на плоскости, наклоненной под углом а к гори-
зонту. Грузы соединены тросами, как показано на рисунке. Коэф-
фициенты трения между грузами и плоскостью равны fA =0,1,
К задаче 5.7
К задаче 5.8
fB — 0,25 и fc = 0,5 соответственно. Определить угол а, при кото-
ром тела равномерно движутся вниз по плоскости. Найти также
натяжения тросов Гл в и Твс.
Ответ: a = arctg0,38, Tab = 2,7 Н, Гвс = 6,5 Н.
5.9(2.65). На верхней грани прямоугольного бруса В, вес ко-
торого 200 Н, находится прямоугольный брус А веса 100 Н. Брус В
опирается своей нижней гранью на горизонтальную поверхность С,
причем коэффициент трения между ними f2 = 0,2. Коэффициент
трения между брусами А и В fi = 0,5. На брус А действует сила
л
В
с
К задаче 5.9
К задаче 5.10
Р = 60 Н, образующая с горизонтом угол а = 30°. Будет ли брус А
двигаться относительно В? Будет ли брус В двигаться относи-
тельно плоскости С?
Ответ: Брусы А и В остаются в покое.
5.10(2.66). Два тела А и В расположены на наклонной пло-
скости С так, как показано на рисунке. Тело А весит 100 Н, тело
В — 200 Н. Коэффициент трения между А к В ft = 0,6, между
В и С f2 == 0,2. Исследовать состояние системы при различных
значениях силы Р, приложенной к телу А параллельно наклонной
плоскости.
]
I
I
I
1
I
I
»
»
t
Ъ
*
54
Ответ: При Р < 98 Н оба тела двигаются вниз, не перемещаясь
друг относительно друга; при 98 Н < Р < 102 Н оба тела нахо-
дятся в покое; при Р > 102 Н тело В неподвижно, а тело А сколь-
зит по телу В вверх.
5.11(2.67). На наклонной плоскости лежит прямоугольный брус
В веса 400 Н. К нему с помощью троса присоединяют прямоуголь-
ный брус А веса 200 Н, который, скользя
по наклонной плоскости, натягивает трос.
Коэффициенты трения с наклонной пло-
скостью }а = 0,5 и fB~ 2/3. Будет ли си-
стема в дальнейшем находиться в покое?
Найти натяжение Т троса и величины -------------
сил трения, действующие иа каждое тело. к задаче б.и
Весом троса пренебречь.
Ответ: Система останется в покое. Fa = 86,6 Н, FB = 213,4 Н,
Т = 13,4 Н.
5.12(2.68). Клин С вставлен между двумя телами А и В, кото-
рые лежат на шероховатой горизонтальной плоскости. Одна сто-
рона клина вертикальна, другая — образует с вертикалью угол
а — arctg 1/3.
Вес тела А равен 400 Н, а вес тела В 300 Н; коэффициенты
трения между поверхностями указаны на рисунке. Найти величину
силы Q, под действием которой одно из тел сдвинется, а также
К задаче 5.12
К задаче 5.13
значение силы трения F, действующей при этом со стороны гори-
зонтальной плоскости на оставшееся неподвижным тело.
Ответ: Q = 70 Н, причем начнет двигаться тело A; FB — 83 Н.
5.13(2.69). Цилиндр А лежит в направляющих В, поперечное
сечение которых — симметричный клин с углом раствора 0. Коэф-
фициент трения между цилиндром А и направляющей В равен f.
Вес цилиндра равен Q. При какой величине силы Р цилиндр нач-
нет двигаться горизонтально? Каков должен быть угол 0, чтобы
движение началось при значении силы Р, равной весу цилиндра Q?
Ответ: Р = , 0 = 2 arcsin f.
sm (0/2)
5.14(2.70). Цилиндр веса Q лежит на двух опорах А и В, рас-
положенных симметрично относительно вертикали, проходящей че-
рез центр цилиндра. Коэффициент трения между цилиндром и опо-
рами равен f. При какой величине тангенциальной силы Т цилиндр
55
начнет вращаться? При каком-угле 0 это устройство будет само-
тормозящимся?
Ответ- Т== (l + n^ose-f OCarccos-j^.
5.15(2.71). Пренебрегая трением между ползуном А и направ-
ляющей, а также трением во всех шарнирах и подшипниках криво-
р _______ Qa cos ф — f sin <р
; Hmln— г sin(g) + e) *
шипного механизма, определить, какова должна
быть сила Р, необходимая для поддерживания гру-
за Q при указанном на рисунке положении меха-
низма. Каковы минимальное и максимальное значе-
ния Р, обеспечивающие неподвижность груза Q,
если коэффициент трения между ползуном А и на-
правляющей равен р
Ответ.
г sin (ф + 6)
р ____ Qa cos <р + f sin q>
max r sin (ф + 6)
5.16. Груз В веса Р удерживается с помощью
троса BAD в равновесии при подъеме по шерохова-
той поверхности, имеющей форму четверти круго-
вого цилиндра. Коэффициент трения между поверх-
ностью и грузом f — tg ср, где ср — угол трения,
натяжение троса как функцию угла а. Найти усло-
Q
К задаче Б.15
Определить
вне, которому должен удовлетворять угол а, чтобы натяжение
троса принимало экстремальное значение. Размерами груза и бло-
ка А пренебречь.
Ответ: S = P sin <р)~' ^атяжение •$ принимает экстре-
tg (ф + а) „
мальное значение при , .—г = 2.
1 tg (45 + а 2 + ф)
К задачам Б.16 и 5.17
К задаче 5.18
5.17. Груз В веса Р удерживается в равновесии при спуске по
шероховатой поверхности, имеющей форму четверти кругового ци-
линдра. Коэффициент трения между поверхностью и грузом [ =
= tg ср, где ср — угол трения. Определить натяжение троса S как
функцию угла а. В каких пределах может меняться натяжение
троса при равновесии груза В? Размерами груза и блока пре-
небречь.
56
Ответ-. S = P 'sjn (45°(°. a/2 — <r) ' ^РУ3 будет находиться в рав-
новесии, если натяжение троса будет изменяться в пределах
р________________sin (a+ ф) е р sin (а — ф)
Г sin (45° 4- a/2 + Ф) ° Г sin (45° ± a/2 - ф) ‘
При a < <р груз будет в равновесии и при отсутствии троса.
5.18. Груз Q может скользить по шероховатым горизонтальным
направляющим CD. К грузу прикреплен трос, пропущенный через
гладкое отверстие А и несущий груз Р. Коэффициент трения груза
о направляющие / = 0,1. Вес груза Q= 100 Н, груза Р = 50 Н.
Расстояние от отверстия А до оси направляющих О А = 15 см.
Определить границы зоны застоя (геометрического места положе-
ний равновесия груза). Размерами груза и отверстия пренебречь.
Ответ. Границы имеют координаты ±4,64 см.
5.19. Автомобиль удерживается с помощью тормозов на на-
клонной части дороги. При перемещении тормозной педали на
2 см тормозные колодки дисковых тормозов перемещаются на
0,2 мм. Диаметр рабочей части диска 220 мм, нагруженный диа-
метр колеса 520 мм, вес автомобиля 14 кН. Определить, с какой
силой водитель должен нажимать на педаль тормоза, если угол
наклона дороги 20°. Трением качения пренебречь. Коэффициент
трения скольжения между тормозными колодками и диском [ = 0,5.
Тормоза всех колес работают одинаково.
Ответ: 0,226 кН.
5.20. Груз Q может скользить по шероховатым горизонтальным
направляющим АВ. К грузу прикреплен трос,, несущий груз Р.
Определить границы участков, где равновесие невозможно, если
вес груза Q = 100 Н, груза Р = 45 Н, коэффициент трения сколь-
жения f — 0,5. Расстояние от центра блока D до оси направляю-
щих Л =15 см. Размерами блока D и груза Q пренебречь.
Ответ: Два участка с границами, координаты которых соответ-
ственно равны (—39,6 см, —23,8 см) и (23,8 см, 39,6 см).
5.21( 4.59). К валу приложена пара силе моментом Л! = 100 Нм.
На валу заключено тормозное колесо, радиус г которого равен
25 см. Найти, с какой силой Q надо прижимать к колесу тормоз-
ные колодки, чтобы колесо оставалось в покое, если коэффициент
трения покоя f между колесом и колодками равен 0,25.
Ответ: Q = 800 Н. -
57
5.22(4.60). Трамвайная дверь отодвигается с трением в нижнем
пазу. Коэффициент треиия f не более 0,5. Определить наибольшую
высоту h, на которой можно поместить ручку двери, чтобы дверь
при отодвигании не опрокидывалась. Ширина двери I = 0,8 м;
К задаче 5.23
центр тяжести двери находится на ее вертикаль-
ной оси симметрии.
Ответ: h = -^ = 0,8 м.
5.23(4.61). Цилиндрический вал веса Q и ра-
диуса R приводится во вращение грузом, подве-
шенным к нему на веревке; вес груза равен Р.
Радиус шипов вала r — R/2. Коэффициент тре-
ния в подшипниках равен 0,05. Определить, при
каком отношении веса Q к весу Р груза послед-
ний опускается равномерно.
Ответ: Q/P = 39.
5.24(4.62). Кронштейн, нагруженный вертикальной силой Р =
= 600 Н, прикреплен к стене двумя болтами. Определить затяжку
болтов, необходимую для укрепления кронштейна на стене. Коэф-
фициент трения между кронштейном и стеной f = 0,3. Для боль-
шей осторожности расчет произвести в предположении, что затянут
только верхний болт и что болты поставлены с зазором и не
должны работать иа срез.
К задаче 5 24
К задаче 5 25
Дано b/a > f.
Указание. Затяжкой на-
зывается усилие, действующее
вдоль оси болта Полная за-
тяжка верхнего болта состоит
из двух частей: первая устра-
няет возможность отрыва крон-
штейна и опрокидывания его
вокруг иижнего болта, вторая
обеспечивает то нормальное
давление верхней части крон-
штейна на стену, которое вы-
зывает необходимую силу тре-
иия.
Ответ: 2 кН.
5.25(4.63). Пест АВ приводится в движение пальцами М, наса-
женными на вал. Вес песта 180 Н. Расстояние между направляю-
щими С и D равно 6 = 1,5 м. Расстояние точки прикосновения
пальца к выступу от оси песта а = 0,15 м. Найти силу Р, необхо-
димую для подъема песта, если принять во внимание силу треиия
между направляющими С и D и пестом, равную 0,15 давления
между трущимися частями.
Ответ: Р = 186 Н.
5.26(4.64). Горизонтальный стержень АВ имеет на конце А от-
верстие, которым он надет на вертикальную круглую стойку CD\
длина втулки 6 = 2 см; в точке Е на расстоянии а от оси стойки
к стержню подвешен груз Р. Определить, пренебрегая весом
58
стержня Л В, расстояние а так, чтобы под действием груза Р стер-*
жень оставался в равновесии, если коэффициент трения между
стержнем и стойкой f = 0,1.
Ответ, а 10 см.
5.27(4.65). К вертикальной стене приставлена лестница АВ,
опирающаяся своим нижним концом иа горизонтальный пол. Коэф-
фициент трения лестницы о стену fi, о пол f2. Вес лестницы вместе
с находящимся на ней человеком равен р и приложен в точке С,
К задаче 5.27
К задаче 5.28
которая делит длину лестницы в отношении m/п. Определить наи-
больший угол а, составляемый лестницей со стеной в положении
равновесия, а также нормальные составляющие реакций стены
и Nв пола для этого значения а.
р
1 + fill
5.28(4.66). Лестница АВ веса Р упирается в гладкую стену и
опирается иа горизонтальный негладкий пол. Коэффициент трепня
лестницы о пол равен f. Под каким углом а к полу надо поставить
лестницу, чтобы по ней мог подняться доверху
человек, вес которого р?
Ответ: tga^—-p--p..
5.29(4.67). Лестница АВ опирается на неглад-
кую стену и негладкий пол, составляя с послед-
ним угол 60°. На лестнице помещается груз Р.
Пренебрегая весом лестницы, определить графи-
чески наибольшее расстояние ВР, при котором
лестница остается в покое. Угол трения для сте-
ны и пола равен 15°.
Ответ: ВР = ’/2 АВ.
К задаче 5.29
5.30(4.68). Тяжелый однородный стержень АВ лежит на двух
опорах СиЬ, расстояние между которыми CD = а, АС = Ь. Коэф-
фициент трения стержня об опоры равен f. Угол наклона стержня
к горизонту равен а. Какому условию должна удовлетворять длина
стержня 21 для того, чтобы стержень находился в равновесии, если
толщиной его можно пренебречь?
Ответ: 2/2s 2/> + п + у-tg а, I > а + Ь. Первое условие вклю-
чает второе при а > <р, где <р = arctg f — угол трения; если же
59
a < Ф, то достаточно удовлетворить второму условию. При
I <. а + b равновесие при принятом на рисунке расположении
опоры С невозможно.
5.31(4.69). Однородный брус опирается в точке А на негладкий
горизонтальный пол и удерживается в точке В веревкой. Коэффи-
циент трения бруса о пол равен f. Угол а, образуемый брусом
с полом, равен 45°. При каком угле ср наклона веревки к гори-
зонту брус начнет скользить?
Ответ; tg <р = 2 1/f.
К задаче 5.30
5.32(4.70). Однородный стержень своими концами А и В может
скользить по негладкой окружности радиуса а. Расстояние ОС
стержня до центра О окружности, расположенной в вертикальной
плоскости, равно Ь. Коэффициент трения между стержнем и окруж-
ностью равен f. Определить для положений равновесия стержня
Определить для положений равновесия стержня
угол ф, составляемый прямой ОС с вертикаль-
ным диаметром окружности.
„ , .. fca(l + f) t
Ответ: etg ф ----f.
5.33(4.72). Прокатный стан состоит из двух
валов диаметром d = 50 см, вращающихся в
противоположные стороны, указанные стрел-
ками на рисунке; расстояние между валами
а = 0,5 см. Какой толщины Ь листы можно
прокатывать на этом стане, если коэффициент
трения для раскаленного железа и чугунных
валов f — 0,1?
Для работы стана необходимо, чтобы лист захва-
тывался вращающимися валами, т е. чтобы равнодей-
к листу нормальных реакций и сил трения в точках А
ствующая приложенных
и В была направлена по горизонтали вправо.
Ответ: b 0,75 см.
5.34(4.73). Блок радиуса R снабжен двумя шипами радиуса г,
симметрично расположенными относительно его средней плоскости.
Шипы опираются на две цилиндрические поверхности АВ с гори-
зонтальными образующими. На блок намотан трос, к которому
подвешены грузы Р и Рь причем Р > Р\. Определить наименьшую
величину груза Р\, при которой блок будет находиться в равнове-
60
сии, предполагая, что коэффициент трения шипов о цилиндрнче-*
ские поверхности АВ равен f, а вес блока с шипами Q.
Указанное на рисунке положение системы ие может быть положением рав-
новесия; последнее требуется предварительно найти.
Ответ: В положении равновесия плоскость, проходящая через
оси цилиндра АВ и блока, образует с вертикалью угол, равный
углу трения;
р -
1 R^/i + P + fr
5.35(4.75). Для опускания грузов употребляется ворот с тор-
мозом, изобра?кенный на рисунке. С барабаном, на который намо-
тана цепь, скреплено концентрическое деревянное колесо, которое
тормозят, надавливая на конец А
CD с концом D тормозного рыча-
га ED. Диаметр колеса а = 50 см;
диаметр барабана b = 20 см;
ED = 120 см; FE = 60 см; АВ —
— 1 м; ВС = 10 см. Определить
силу Р, уравновешивающую груз
Q = 8 кН, подвешенный к под-
вижному блоку, если коэффи-
циент трения дерева о сталь f=
= 0,4; размерами колодки F пре-
небрегаем.
Ответ: Р — 0,2 кН.
5.36(4.76). На гранях АВ и ВС
призмы АВС помещены два оди-
наковых тела G и И веса Р, свя-
занные нитью, перекинутой через
блок в точке В. Коэффициент трения между телами и гранями
призмы равен f. Углы ВАС и ВСА равны 45°. Определить, пре-
небрегая трением на блоке, величину угла а наклона грани АС
к горизонту, необходимую для того, чтобы груз G начал опускаться.
61
Ответ-. tga = f.
5.37(4.77). Глубина заложения опор железнодорожного моста,
перекинутого через реку, рассчитана в том предположении, что вес
опоры с приходящимся на нее грузом уравновешивается давле-
нием грунта на дно опоры и боковым трением, причем грунт — мел-
козернистый песок, насыщенный водой, принимается за жидкое
тело. Вычислить глубину h заложения этих опор, если нагрузка на
опору 1500 кН, вес опоры на 1 м ее высоты 80 кН, высота опоры
над дном реки 9 м, высота воды над дном 6 м, площадь основания
опоры 3,5 м2, боковая поверхность опоры на 1 м высоты 7 м2, вес
1 м3 песку, насыщенного водой, равен 18 кН, вес 1 м3 воды равен
10 кН и коэффициент трения о песок стального футляра, в кото-
ром заключена каменная опора, 0,18.
При расчете трения принимаем во внимание, что среднее боковое давление
па 1 м2 равно 10(6 + 0,9Л)кН.
Ответ: Л = 11 м.
5.38(4.78). Определить угол а наклона плоскости к горизонту,
при котором ролик радиуса г — 50 мм равномерно катится по пло-
скости. Материал трущихся тел — сталь, коэффициент трения каче-
ния k = 0,05 мм.
Ввиду малости угла а можно принять а = tg а.
Ответ: а — 3'26".
5.39(4.79). Определить силу Р, необходимую для равномерного
качения цилиндрического катка диаметра 60 см и веса 300 Н по
горизонтальной плоскости, если коэффициент
'X трения качения k — 0,5 см, а угол, составляе-
/ МЫЙ силой Р с горизонтальной плоскостью,
+------- равен а - 30°.
\ J Ответ: Р = 5,72 II.
5.40(4.80). На горизонтальной плоскости ।
лежит шар радиуса R и веса Q. Коэффициент
к задаче 539 трения скольжения шара о плоскость f, коэф- 1
фициент трения качения k. При каких уело- I
виях горизонтальная сила Р, приложенная в центре шара, сооб- (
щает ему равномерное качение?
Ответ: k/R < f-, P = Qk/R.
5.41. При взаимодействии с ледяным покровом ледокол рас-
сматривается в равновесии под действием веса судна G, силы под-
держания воды D, упора винтов R, а также сил, действующих со
стороны льда в точке форштевня К: нормального давления N и
максимальной силы трения F. Угол наклона форштевня <р = 30°,
коэффициент трения f = 0,2. Известны значения G — 6000 кН,
R = 200 кН, а = 20 м, b — 2 м, е — 1 м. Пренебрегая дифферен-
том судна, определить вертикальное давление судна на ледяной .>
покров Р, силу поддержания D и расстояние ее от центра тяжести
судна I.
62
Ответ-. P = = кН, 0 = 5770 кН, I = 0,83 м.
г + tgq>
5.42. Груз Q может скользить по шероховатой вертикальной на-*
правляющей АВ. К грузу прикреплен трос, несущий груз Р. Пре-
небрегая размером блока О, определить: 1) условие, при котором
возможна зона застоя (геометрическое место
возможных положений равновесия); 2) усло-
вие, при котором верхняя граница зоны застоя
находится в положительной части осн у, 3) ор-
динаты границ зоны застоя при Q=5 Н,
Р = 10 Н, f — 0,2, OD == 10 см; 4) ординаты границ зоны застоя
при Q = 1,5 Н, Р = 10 Н, [ =0 ,2, OD = 10 см.
Ответ: 1) Q2/P2 1 + /2; 2) Q/P < f; 3) У, = —3,26 см, У2 =
= —8,6 см; 4) У1 = 0,5 см, У2 = —3,59 см.
ГЛАВА II
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ
§ 6. Силы, линии действия которых пересекаются в одной точке
64(6.1). Угловой столб составлен из двух одинаково наклонен
иых брусьев АВ и АС, скрепленных в вершине посредством шар
ннра. Угол ВАС = 30°. Столб под- п и
держивает два горизонтальных
провода AD и АЕ, составляющих
между собой прямой угол. Натя-
жение каждого провода равно
1 кН. Определить усилия в брусь-
ях, предполагая, что плоскость
ВАС делит пополам угол DAE,
пренебрегая весом брусьев.
Ответ: Sb = —Sc = 2,73 кН.
6.2(6.2). Горизонтальные про-
вода телеграфной линии подве-
К задаче 6.1 К задаче 6.2
щены к телеграфному столбу АВ с подкосом АС и составляют угол
DAE — 90°. Натяжения проводов AD и АЕ соответственно равны
120 Н и 160 Н. В точке А крепление шарнирное. Найти угол а
между плоскостями ВАС и ВАЕ, при котором столб не испытывает
63
бокового изгиба, н определить усилие S в подкосе, если он постав-
лен под углом 60° к горизонту. Весом столба и подкоса пре-
небречь.
Ответ: а = arcsin(3/5) — 36°50', S == —400 Н.
б.З(б.З). Груз Q = 100 Н поддерживается брусом АО, шар-
нирно закрепленным в точке А и наклоненным под углом 45° к
К задаче 6.3
горизонту, и двумя горизонтальными цепями
ВО и СО одинаковой длины; ЛСВО =
= Z.BCO = 45°. Найти усилие S в брусе и на-
тяжения Т цепей.
Ответ: S = —141 Н, Т — 71 Н.
6.4(6.4). Найти усилия Si и S2 в стержнях
АВ и АС и усилие Т в тросе AD, если дано,
что ^CBA = ZВСА = 60°, Z£\4D=30°. Вес
груза Р равен 300 Н. Плоскость АВС горизон-
тальна. Крепления стержней в точках А, В и С
шарнирные.
Ответ: Г = 600 Н, Si = S2 = —300 Н.
6.5(6.5). Найти усилия в стержне АВ и цепях АС и AD, под-
держивающих груз Q веса 420 Н, если АВ — 145 см, ДС = 80 см,
ЛО = 60 см, плоскость прямоугольника CADE горизонтальна, а
плоскости V и W вертикальны. Крепление в точке В шарнирное.
Ответ: Тс = 320 Н; TD = 240 Н; Тв = —580 Н.
6.6(6.6). Определить усилия в тросе АВ и в стержнях АС и AD,
поддерживающих груз Q веса 180 Н, если АВ = 170 см, АС =
= ЛО = 100 см, CD =120 см; CK — KD и плоскость ACDA го-
ризонтальна. Крепления стержней в точках А, С и D шарнирные.
Ответ: 204 Н, —60 Н.
6.7(6.7). Переносный кран, поднимающий груз Q веса 20 кН,
устроен так, как указано на рисунке; АВ = АЕ = AF = 2 м; угол
EAF = 90°, плоскость крана АВС делит прямой двугранный угол
EABF пополам. Определить силу Pit сжимающую вертикальную
стойку АВ, а также силы Рг, Р3 и Р4, растягивающие струну ВС и
тросы BE и BF, пренебрегая весом частей крана.
64
Ответ: Pi = 42 кН, Р2 = 58 кН, Р3 = Р4 = 50 кН.
6.8(6.8). Груз Q веса 1 кН подвешен в точке D, как указано
на рисунке. Крепления стержней в точках А, В и D шарнирные.
Определить реакции опор А, В
и С.
Ответ: рА=рв = 2,64 кН,
/?с = 3,35 кН.
6.9(6.9). Воздушный шар,
удерживаемый двумя тросами,
К задаче 6.7
К задаче 6.8
находится под действием ветра. Тросы образуют между собой пря-
мой угол: плоскость, в которой они находятся, составляет с пло-
скостью горизонта угол 60°. Направление ветра перпендикулярно
линии пересечения этих плоскостей и параллельно поверхности
земли. Вес шара и заключенного в нем газа 2,5 кН, объем шара
215,4 м3, вес 1 м3 воздуха 13 Н. Определить натяжения Тх и Та
тросов и равнодействующую Р сил давления ветра на шар, считая,
что линии действия всех сил, при-
ложенных к шару, пересекаются
в центре шара.
Ответ: 71 = 7’2 = 245 Н, Р —
= 173 Н.
6.10(6.10). На рисунке изобра-
жена пространственная ферма,
составленная из шести стержней
1, 2, 3, 4, 5, 6. Сила Р действует
на узел А в плоскости прямоуголь-
ника ABCD; при этом ее линия
действия составляет с вертикалью
С А угол 45°. &ЕАК = AFBM.
Углы равнобедренных треугольни-
ков ЕАК, FBM и NDB при вер-
шинах А, 'В и D прямые. Определить усилия в стержнях, если
Ответ: Sx = —0,5 кН, Sa = —0,5 кН, S3 = —0,707 кН, S4 =
= +0,5 кН, 5б = +0,5 кН, = — 1 кН.
6.11(6.11). Определить усилия в вертикальной стойке и в ногах
крана, изображенного на рисунке, в зависимости от угла а, если
3—1318
65
дано: АВ = ВС — AD — АЕ. Крепления в точках А, 'В, D и Е шар-
нирные.
Ответ:_ SBD = P (cos а—sin а); SBE — Р (cos а sin а); £лв =
= — Р -х/% cos а.
К задаче 6.11
6.12(6.12). Угловой столб АВ, поддерживающий воздушный
кабель, удерживается двумя оттяжками АС и AD, причем
Z-CBD = 90°. Определить усилия в столбе и оттяжках в зависи-
мости от угла <р, образованного одной из двух ветвей кабеля с пло-
скостью СВА. Ветви кабеля горизонтальны и взаимно перпенди-
кулярны, натяжения в них одинаковы и
равны Т.
Ответ: £лс = 27'(51‘пф — соэф); 5ЛВ =
= 2Т(sin ф + cos ф), Sab = —2 V 37 sin ф.
Оттяжки будут натянуты обе одновре-
менно при условии л/4 < ф < Зл/4. При
Ф < л/4 или ф > Зл/4 одна из оттяжек
должна быть заменена брусом.
6.13(6.13). Мачта АВ удерживается в
вертикальном положении посредством четы-
рех симметрично расположенных оттяжек.
Угол между каждыми двумя смежными от-
тяжками равен 60°. Определить давление
натяжение каждой из оттяжек равно 1 кН,
6.14(6.14). Четыре ребра АВ, AC, AD и АЕ правильной пяти-
угольной пирамиды изображают по величине и направлению че-
тыре силы в масштабе 1 Н в 1 м. Зная высоту пирамиды АО = 10 м
и радиус круга, описанного около основания, ОС = 4,5 м, найти
мачты на землю, если
а вес мачты 2 кН.
Ответ: 4,83 кН.
66
равнодействующую R и расстояние х от точки О до точки пересе-
чения равнодействующей с основанием.
Ответ: R = 40,25 Н, х = 1,125 м.
6.15(6.15). К вершине В треножника ABCD подвешен груз Е,
вес которого 100 Н. Ножки имеют равную длину, укреплены на
если известно, что они
К задаче 6.17
горизонтальном полу и образуют между собой равные углы.
Определить усилие в каждой из ножек,
образуют с вертикалью BE углы в 30°.
Ответ: 3,85 Н.
6.16(6.16). Найти усилия S в ногах
AD, BD и CD треноги, образующих углы
в 60° с горизонтальной плоскостью, если
вес Р равномерно поднимаемого груза
равен 3 кН. При этом АВ — ВС — АС.
(Вид сверху рисунка аналогичен рис.
6.17.)
Ответ: S — 2,3 кН.
6.17(6.17). Для подъема из шахты
груза Р веса 30 кН установлены тренога
ABCD и лебедка Е. Определить усилия в
ногах треноги при равномерном поднятии
груза, если треугольник АВС равносто-
ронний и углы, образованные ногами и
тросом DE с горизонтальной плоскостью,
равны 60°. Расположение лебедки по от-
ношению к треноге видно из рисунка.
Ответ: Sz= Sb =31,5 кН, Sc =
= 1,55 кН.
6.18(6.18). На гладком полу стоит трехногнй штатив; нижние
концы его ножек связаны шнурами так, что иожки и шнуры шта-
тива образуют правильный тетраэдр. К верхней точке штатива
подвешен груз веса Р. Определить реакцию пола R в точках опоры
и натяжение шнуров Т, выразив искомые величины через Р.
67
Ответ: R——P, Т=—^=-.
3 з V6
6.19(6.19). Решить предыдущую задачу в том случае, когда
ножки штатива связаны шнурами не в концах, а в серединах, при-
нимая при этом во внимание, что вес каждой ножки равен р и при-
ложен к ее середине.
Ответ: R = ±P + p, Т = 2Р-^3р 7б-
6.20(6.20). Три однородных шара А, В и С одинаковых ради-
усов положены на горизонтальную плоскость, взаимно прикасаются
и обвязаны шнуром, огибающим их в экваториальной плоскости,
а четвертый шар О того же радиуса и также однородный, веса
ЮН, лежит на трех нижних. Определить натяжение шнура Т,
вызываемое давлением верхнего шара. Трением шаров между со-
бою и с горизонтальной плоскостью пренебречь.
Ответ: Т = 1,36 Н.
6.21(6.21). В точках А, В и С, лежащих на прямоугольных ко-
ординатных осях на одинаковом расстоянии I от начала координат
О, закреплены нити: AD — BD = CD = L, связанные в точке D,
координаты которой
х == у = z = (/ - V3L2 - 2Z2)-
В этой точке подвешен груз Q. Определить натяжение нитей ТА
Тв и Тс, предполагая, что z\J^l<L<l.
Ответ: TA = TB =-------. г-------- LQ, Tc — ——, LQ.
A 31 V3is — 2Z2 c 3Z V3Z.2 - 2Z2
§ 7. Приведение системы сил к простейшему виду
7.1(7.1). К вершинам куба приложены по направлениям ребер
силы, как указано на рисунке. Каким условиям должны удовлет-
ворять модули сил Fi, F2, F3, Fit F3 и Fe, чтобы они находились
в равновесии? .
68
Ответ: Fi = Fi = Fs = Ft = Fs = Ft,.
7.2(7.2). По трем непересекающимся и непараллельным ребрам
прямоугольного параллелепипеда действуют три равные по модулю
силы Р. Какое соотношение должно существовать между ребрами
а, b и с, чтобы эта система приводилась к одной равнодействую-
щей?
Ответ: а = b — с.
К задаче 7.2
К задаче 7.3
7.3(7.3). К четырем вершинам А, Н, В и D куба приложены
четыре равные по модулю силы: Р, = Р2 = Р3 = Р< — Р, причем
сила Pi направлена по АС, Р2— по HF, Р3— по БЕ и Р4— по DG.
Привести эту систему к простейшему
виду.
Ответ: Равнодействующая равна 2Р и на-
правлена по диагонали DG.
7.4(7.4). К правильному тетраэдру ABCD,
ребра которого равны а, приложены силы:
Л по ребру АВ, F2 по ребру CD и
F3 в точке Е— середине ребра BD. Вели-
чины сил Ft и F2 какие угодно, а проекции
силы F3 на оси х, у и г равны -f- F25 д/з/б;
-F2/2; —F2 <2/3.
К задаче 7.4
Приводится ли эта система сил к одной
Если приводится, то найти координаты х и z
линии действия равнодействующей с пло-
скостью Охг.
Ответ: Приводится, так как проекции глав-
ного вектора и главного момента на коорди-
равнодействующей?
точки пересечения
г.
натные оси имеют значения
Ух = Г2Л/3/2, К„ = Л-0,5Е2, К2 = 0;
Л1х = 0, Л4у = 0, Afz = -a^-(F1+F2).
„ , Мг а <3 (Г, + F2) п к зада,е 7 5
Координаты: х—-~ =---------, z=0.
Vy ОГ1- ОГ2
7.5(7.5). К вершинам куба, ребра которого имеют длину 5 см,
приложены, как указано на рисунке, шесть равных по модулю
сил, по 2 Н каждая. Привести эту систему к простейшему
виду.
69
Ответ-. Система приводится к паре, момент которой равен
20-у/3 Н • см и составляет с координатными осями углы: cosa =
= — cos р — cos у = д/з/з.
7.6(7.6). Систему сил; Pj = 8 Н, направленную по Oz, и
Рг = 12 Н, направленную параллельно Оу, как указано на рисунке,
где О А = 1,3 м, привести к каноническому виду, определив вели-
чину главного вектора V всех этих сил и величину их главного
К задаче 7.6
момента М относительно произвольной точки, взятой на централь-
ной винтовой оси. Найти углы а, р и у, составляемые центральной
винтовой осью с координатными осями, а также координаты х и
у точки встречи ее с плоскостью Оху.
Ответ: V = 14,4 Н, Л1=8,65 Н-м, а =90°; р = arctg(2/3);
у = arctg(3/2); х — 0,9 м; у = 0.
7.7(7.7). Три силы Pi, Р2 и Р3 лежат в координатных плоскостях
и параллельны осям координат, ио могут быть направлены как в
ту, так и в другую сторону. Точки их приложения Л, В и С на-
ходятся на заданных расстояниях а, Ь и с от начала координат.
Какому условию должны удовлетворять величины этих сил, чтобы
они приводились к одной равнодействующей? Какому условию
должны удовлетворять величины этих сил,
чтобы существовала центральная винтовая
ось, проходящая через начало координат?
/П \ гл О. , Ь , С г, Pt Р?
/ \\ \ Ответ-, + 77 + р3 — °; bPs —
/Л \ л
J.J—5—= <1Р2
' —у В первом ответе Рь Р2 и Р3 — проекции
сил.
х/с 7.8(7.8). К правильному тетраэдру ABCD
К задаче 7.8 с ребраМИ, рЭВНЫМИ С, ПрИЛОЖеНЭ СИЛЭ Fj ПО
ребру АВ и сила F2 по ребру CD. Найти
координаты х и у точки пересечения центральной винтовой оси
с плоскостью Оху.
eV3 2F“ — P2t
Ответ:
° FiF2
2 F2t + F* ’
70
7.9(7.9). По ребрам куба, равным а, действуют двенадцать рав-
ных по модулю сил Р, как указано на рисунке. Привести эту си-
стему сил к каноническому виду и определить координаты х и у
точки пересечения центральной винтовой оси с плоскостью Оху.
Ответ. V = 2Р -у/b, М = 21^Ра -у/б, cos а = — cos 0 = — ’/2 cos V —
= —VeVe, х = */ = 2/3а.
7.10(7.10). По ребрам прямоугольного параллелепипеда, соот-
ветственно равным 10 м, 4 м и 5 м, действуют шесть сил, указан-
ных на рисунке: Pi = 4 Н, Р2 = 6 Н, Р3 = 3 Н, Р4 <== 2 Н, Рь = 6 Н,
К задаче 7.9
К задаче 7.10
Р6 = 8 Н. Привести эту систему сил к каноническому виду и опре-
делить координаты хну точки пересечения центральной винтовой
оси с плоскостью Оху.
Ответ:. V = 5,4 Н, М = —47,3 Н-м, cos а = 0, cos 0 = 0,37,
cos у = 0,93, х = —11,9 м, у — —10 м.
7.11(7.11). Равнодействующие Р = 8000 кН и F = 5200 кН сил
давления воды на плотину приложены в средней вертикальной пло-
скости перпендикулярно соответствующим граням на расстоянии
// = 4 м и h = 2,4 м от основания. Сила веса G\ = 12000 кН пря-
моугольной части плотины приложена в ее центре, а сила веса
О2 = 6000 кН треугольной части — на расстоянии одной трети
длины нижнего основания треугольного сечения от вертикальной
71
грани этого сечения. Ширина плотины в основании b = 10 м, в
верхней части а = 5 м; tga = 5/12. Определить равнодействую-
щую распределенных сил реакции грунта, на котором установлена
плотина.
Ответ: Rx = 3200 кН, Ry — 20 000 кН; уравнение линии дей-
ствия равнодействующей: 125х — 20z/ -f- 53 = 0.
7.12(7.12). Вес радиомачты с бетонным основанием G = 140 кН.
К мачте приложены сила натяжения антенны F = 20 кН и равно-
действующая сил давления ветра Р — 50 кН; обе силы горизон-
тальны и расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях;
И =15 м, h = 6 м. Определить результирующую реакцию грунта,
в котором уложено основание мачты.
Ответ: Силы реакции грунта приводятся к левосторонней ди-
наме, состоящей из силы V = 150 кН, направленной по централь-
ной оси
— 30 4- 14y + 2z 30 — 5z—14х — 2х-|-5у
б ~ 2 — — 14
вверх, и пары сил с моментом М = 60 кН-м. Ось динамы пересе-
кает плоскость основания в точке х = 2,2 м, у = 2 м, г = 0.
§ 8. Равновесие произвольной системы сил
8.1 (8.1). На круглой наклонной площадке, ось которой ACD
наклонена к вертикали под углом 20°, укреплено в точке В тело
веса 400 Н. Определить момент относительно оси AD, создаваемый
силой тяжести тела, если радиус СВ = 3 м гори-
1зонталеи.
Ответ: 410 Н-м.
('"'S/ 8.2(8.2). Ветряной двигатель имеет четыре
\. крыла, наклоненных под углом а =15° =
\ = arcsin 0,259 к плоскости, перпендикулярной
оси вращения; равнодействующая сил давления
7 ветра на каждое крыло равна 1 кН, направлена
по перпендикуляру к плоскости крыла и прило-
к задаче 81 жена в точке, отстоящей на 3 м от оси вращения.
Найти вращающий момент.
Ответ: 31,1 кН-м.
8.3(8.3). Электродвигатель, помещенный на оси О колесного
ската трамвайного вагона, стремится повернуть ось против часовой
стрелки, причем величина момента вращающей пары сил (Р, Р)
равна 6 кН-м, а радиус колес 60 см.
Определить силу тяги Q колесного ската, предполагая, что он
стоит на горизонтальных рельсах. Трением качения пренебречь.
Сначала находим сумму сил трения между колесами и рель-
сами, взяв моменты сил относительно оси О. Затем проектируем
все силы, приложенные к колесному скату, на горизонтальное на-
правление.
Ответ: Q = 10 кН.
72
8.4(8.4). К окружностям трех дисков: А радиуса 15 см, В ра-
диуса 10 см и С радиуса 5 см приложены пары сил; величины сил,
составляющих пары, соответственно равны Pi = 10 Н, Р2=20 Н
и Р. Оси О А, О В и ОС лежат в одной плоскости; угол АО В пря-
мой. Определить величину силы Р и угол ВОС = а так, чтобы си-
стема трех дисков, будучи совершенно свободной, оставалась в рав-
новесии.
Ответ-. Р = 50 Н, а = arctg(—0,75) = 143°10'.
8.5(8.5). Подъемный кран установлен на трехколесной тележке
АВС. Известны размеры крана: AD = DB = 1 м, CD = 1,5 м,
СМ = 1 м, KL =4 м. Кран уравновешивается противовесом F. Вес
крана с противовесом равен Р — 100 кН и приложен в точке G,
лежащей в плоскости LMNF на расстоянии GH = 0,5 м от оси
крана MN-, поднимаемый груз Q весит 30 кН. Найти давление ко-
лес на рельсы для такого положения крана, когда плоскость его
LMN параллельна АВ.
Ответ-. Na = 8,33 кН, NB = 78,33 кН, Nc = 43,33 кН.
8.6(8.6). Временный подъемный кран состоит из пирамиды
с горизонтальным основанием в виде равностороннего треуголь-
ника АВС и с вертикальной гранью в виде равнобедренного
73
треугольника ЛОВ; в точках О и D шарнирно закреплена вертикаль-
ная ось крана, вокруг которой может вращаться стрела ОЕ, несу-
щая груз Р. Основание АВС прикреплено к фундаменту подшип-
никами А и В и вертикальным болтом С. Определить реакции опор
при расположении стрелы в плоскости симметрии крана, если вес
груза Р = 12 кН, вес крана Q = 6 кН, причем расстояние его
центра тяжести S относи OD равно h = 1 м, а = 4 м, Ь = 4 м.
Ответ: Za = Хв — 15,06 кН; Zc = —12,12 кН; Ха = Хв = 0.
8.7(8.7). Крышка светового машинного люка удерживается в
горизонтальном положении стойкой FG, упирающейся в крышку
в точке F на расстоянии EF = 1,5 м от оси крышки. Вес крышки
Р = 180 Н; длина ее CD = 2,3 м; ширина СЕ = 0,75 м, а расстоя-
ния шарниров Л и В от краев крышки АЕ = ВС = 0,15 м. Найти
реакции шарниров А и В и усилие S в
стойке FG.
Ответ: Zx = —94 Н, ZB = 136 Н,
Ya = YB = 0, S = 138 Н.
8.8(8.8). Однородная прямоуголь-'
ная пластинка ABCD, опираясь на три
точечные опоры, две из которых рас-
положены в вершинах прямоугольни-
ка Л и В, а третья — в некоторой точ-
ке Е, удерживается в горизонтальном
положении. Вес пластинки равен Р.
Давление на опоры в точках Л и В со-
ответственно равны Р/4 и Р/5. Найти
давление Ne на опору в точке Е и ко-
ординаты этой точки, если длины сто-
рон пластинки равны а и Ь.
Ответ: Ne^^P, х = ^-а, у=*
10 h
= и Ь'
8.9(8.9). Стол стоит на трех ножках, концы которых А, В и С
образуют равносторонний треугольник со стороной а. Вес стола
равен Р, причем центр тяжести его расположен на вертикали zOOi,
проходящей через центр Oi треугольника АВС. На столе помещен
74
груз р в точке М, координаты которой х и у\ ось Оу параллельна
АВ. Определить давление каждой ножки иа пол.
_ жг Р + р । (Уз V Р + р .
Ответ. Na = —— +V— Х~У)~- ^в^=—~ +
. ( . -у/з \Р .. Р + р 2 Уз X л
+ + з Xj а , Nc з 3 а Р-
8.10(8.10). Круглый стол стоит на трех ножках Ль Л2 и Л3;
в центре О помещен груз. Какому условию должны удовлетворять
центральные углы <рь <р2 и <р3 для того, чтобы давления на ножки
Ль Л2 и Л3 относились, как 1:2! У§?
При решении задачи берутся моменты сил относительно двух из радиусов
ОЛЬ ОЛ2 и ОЛз.
Ответ: Ф1 = 150°; ф2 = 90°; ф3 = 120°.
8.11(8.11). Круглая пластинка, весом которой пренебрегаем, по-
коится в горизонтальном положении, опираясь центром иа острие
О Не нарушая равновесия, по окружности пластинки разместили
грузы: Pi веса 1,5 Н, Р2 веса 1 Н и Р3 веса 2 Н. Определить углы
аир.
Ответ: а = 75°30', ₽ = 151°.
К задаче 8.10 К задаче 8.11 К задаче 8.12
8.12(8.12). Ременный шкив CD динамо-машины имеет радиус
10 см; размеры вала АВ указаны на рисунке. Натяжение верхней
ведущей ветви ремня ^ = 100 Н, нижней ведомой 72 = 50 Н.
Определить вращающий момент М и реакции подшипников А и В
при равновесии системы, пренебрегая весом частей машины;
(Р,Р) — пара, образуемая силами сопротивления.
Ответ: М = 5 Н-м, ХА=~180 Н, Хв = 30 Н, ZA = ZB = 0.
8.13(8.13). На горизонтальный вал, лежащий в подшипниках
Л и В, действуют: с одной стороны вес тела Q = 250 Н, привязан-
ного к шкиву С радиуса 20 см посредством троса, а с другой
стороны вес тела Р = I кН, надетого на стержень DE, неизменно
скрепленный с валом АВ под прямым углом. Даны расстояния:
ЛС = 20 см, CD — 70 см, BD = 10 см. В положении равновесия
стержень DE отклонен от вертикали на угол 30°. Определить рас-
стояние I центра тяжести тела Р от оси вала АВ и реакции под-
шипников Л и В.
75
Ответ: I = 10 см, ZA = 300 Н, ZB = 950 Н, ХА = Хв = 0.
8.14(8.14). На горизонтальный вал АВ насажены зубчатое ко-
лесо С радиуса 1 м и шестерня D радиуса 10 см. Другие размеры
указаны на рисунке. К колесу С по направлению касательной при-
ложена горизонтальная сила Р — 100 Н, а к шестерне D, также
по касательной, приложена вертикальная сила Q. Определить силу
Q и реакции подшипников А и В в положении равновесия.
Ответ: Q=1 кН, Х„ = —10 Н, Хв = — 90 Н, ZA = —900 Н,
ZB = — 100 Н.
К задаче 8.13 К задаче 8.14
8.15(8.15). Рабочий удерживает груз Q = 800 Н с помощью
порота, схематически изображенного на рисунке; радиус барабана
Р =5 см; длина рукоятки ЛД = 40 см, ДС==СВ = 50 см. Опре-
делить давление Р на рукоятку и давления оси ворота на опоры
К задаче 8.15 К задаче 8.16
А и В при том положении ворота, когда рукоятка А К горизон-
тальна; сила Р вертикальна.
Ответ: Р = 100Н, Хл=400 Н, ZA = —100 Н, Хв = 400 Н,
ZB = 0.
8.16(8.16). С помощью ворота, схематически изображенного на
рисунке, удерживается груз Q = 1 кН. Радиус барабана /? = 5 см.
Длина рукоятки KD = 40 см; AD — 30 см; ЛС = 40 см; СВ—
= 60 см. Веревка сходит с барабана по касательной, наклоненной
к горизонту под углом 60°. Определить давление Р на рукоятку и
76
реакции опор Л и В при том положении ворота, когда рукоятка
KD горизонтальна.
Ответ: Р = 125 Н, ХА = —300 Н, ZA = —357 Н, Хв = —200 Н,
ZB = —384 Н.
8.17(8.17). На вал АВ ворота намотана веревка, поддерживаю-
щая груз Q. Радиус колеса С, насаженного на вал, в шесть раз
больше радиуса вала; другие размеры указаны на рисунке. Ве-
ревка, намотанная на окружность колеса и натягиваемая грузом Р
весом 60 Н, сходит с колеса по касательной, наклоненной к гори-
зонту под углом а = 30°. Определить вес груза Q, при котором
ворот остается в равновесии, а также реакции подшипников А и
В, пренебрегая весом вала и трением на блоке D.
Ответ: Q = 360 Н, ХА = —69,3 Н, ZA = 160 Н, Хв = 17,3 Н,
ZB = 230 Н.
8.18. Прямоугольная однородная полка ABCD веса G удержи-
вается в горизонтальном положении тросом ЕН, составляющим с
плоскостью полки угол а. Определить на-
тяжение Т троса (весом его пренебречь)
и реакции петель Л иВ,если АК = КВ =
= DE=:EC и НК перпендикулярно
АВ.
Ответ: Г —-к-г—> XA = XB — -~c.\.va,
2 sin а л ° 4 Б
7 — 7 — —
ZA— — 4
8.19(8.19). Однородная прямоугольная
крышка веса Р = 400 Н удерживается
при открытой на 60° над горизонтом про-
тивовесом Q. Определить, пренебрегая трением на блоке D, вес Q
и реакции шарниров А и В, если блок D укреплен на одной вер-
тикали с Л и AD =АС,
Ответ: 0 = 104 Н, ХА = 100 Н, ZA = 173 Н, Хв = Q,ZB = 200 Н.
8.20(8.20). Однородная прямоугольная крышка ABCD ящика
может вращаться вокруг горизонтальной оси АВ на петлях в точ-
ках Л и В. Горизонтальная веревка СЕ, параллельная Ах,
77
удерживает крышку под углом DAx = 30°. Определить реакции в
петлях, если вес крышки 20 Н.
Ответ: ХА =0, ZA = 10 Н, Хв == 17,3 Н, ZB = 10 Н.
8.21(8.21). Крышка прямоугольного ящика ABCD подперта
с одной стороны палочкой DE. Вес крышки 120 Н; AD = АЕ: угол
DAE = 60°. Определить реакции шарниров А и В, а также уси-
лие S в палочке, пренебрегая ее весом.
Ответ: ХА = 17,3 Н, ZA = 30 Н, Хв = 0, ZB = 60 Н, S = 34,5 Н.
8.22(8.22). Фрамуга ABDC веса Q = 100 Н открыта на угол
с = 60°. Дано BD — ВН\ СЕ — ED-, веревка EF параллельна пря-
мой DH. Определить усилие
Р, необходимое для удержа-
ния фрамуги в равновесии,
и реакции петель А и 'В.
Ответ: Р = 50 Н, ХА =
= ХВ = 2\,1 Н, ZA=ZB =
= 37,5 Н.
8.23(8.23). Разводная
часть ABCD моста веса 15 кН
поднята цепью СЕ, переки-
нутой через блок Е на ле-
в вертикальной плоскости СВу. Опре-
положения натяжение
К задаче 8.23
бедку К. Точка Е находится
делить для изображенного на рисунке
цепи СЕ и реакции в точках А
и В. Центр тяжести разводной
части совпадает с центром
прямоугольника ABCD.
Ответ: Т = 3,75 кН, YA = 0,
Za=7,5 кН, Yb = — 3,25 кН,
ZB = 5,625 кН.
8.24(8.24). Однородная пря-
моугольная рама веса 200 Н
к задаче 8.24 прикреплена к стене при по-
мощи шарового шарнира А и
петли В н удерживается в горизонтальном положении веревкой СЕ,
привязанной в точке С рамы и к гвоздю Е, вбитому в стену на од-
ной вертикали с А, причем ЛЕСА = ХВАС = 30°. Определить на-
тяжение веревки и опорные реакции,
78
Oreeri 7 = 200 Н, ^л = 86 6 Н, УА = 150 Н, ZA = 100 И,
хв = гБ = о.
8.25(8.25). Полка ABCD вагона, которая может вращаться во-
круг оси АВ, удерживается в горизонтальном положении стерж-
нем ED, прикрепленным при помощи шарнира Е к вертикальной
стене ВАЕ. Вес полки и лежащего на ней груза Р равен 800 Н и
приложен в точке пересечения диагоналей прямоугольника ABCD.
Даны размеры: ЛД = 150 см, AD = 60 см, АК = ВН — 25 см.
Длина стержня ED — 75 см. Определить усилие S в стержне ED
пренебрегая его весом, и реакции петель К и Н.
Ответ-. 5 = 666,7 Н,А\ = —666,7 H,Zk = —100 Н,Дн = 133,ЗН,
Zu = 500 Н.
К задаче 8.2з
К задаче 8.27
8.26(8.26). Квадратная однородная пластинка ABCD со сторо-
ной а = 30 см и веса Р = 5 Н закреплена в точке А при помощи
Шарового шарнира, а в точке В при помощи цилиндрического
шарнира. Сторона АВ горизонтальна. В точке Е пластинка опи-
рается на острие. В точке Н на пластинку действует сила F па-
раллельно стороне АВ. Найти реакции в точках А, В и Е, если
СЕ = ED, ВН — 10 см, Г = 10 Е и пластинка
образует с горизонтальной плоскостью угол
а = 30°.
Ответ-. ХА = 10 Н, УЛ =2,35 Н, ZA =
= —0,11 Н, Ув = —3,43 Н, Zb = 3,23 Н, РЕ =
= 2,17 Н.
8.27(8.27). Однородная горизонтальная
плита веса Р, имеющая форму прямоугольного
парралелепипеда, прикреплена неподвижно к
шестью прямолинейными стержнями,
определить усилия в опорных стержнях, обусловленные весом
плиты, если концы стержней прикреплены к плите и неподвиж-
ным устоям шаровыми шарнирами.
Ответ'. 5] = 53 = S4 = 55 = 0, 52 = 5б = —£-•
8.28(8.28). Определить усилия в шести опорных стержнях, под-
держивающих квадратную плиту ABCD, при действии горизон-
тальной силы Р вдоль стороны AD. Размеры указаны на рисунке.
79
Ответ-. St = P, S2=-P V2, S3 = — P, S4 — P^/2, S3 = P^/2,
Sg = — P.
8.29(8.29). Прямоугольная дверь, имеющая вертикальную ось
вращения АВ, открыта на угол CAD — 60° и удерживается в этом
положении двумя веревками, из которых одна, CD, перекинута че-
рез блок и натягивается грузом Р — 320 Н, другая, EF, привязана
К задаче 8.28
К задаче 8.29
к точке F пола. Вес двери 640 Н; ее ширина АС = AD = 1,8 м;
высота АВ = 2,4 м. Пренебрегая трением на блоке, определить на-
тяжение Т веревки EF, а также реакции цилиндрического шар-
нира в точке А и подпятника в точке В.
Ответ: Т = 320 Н, ХА = 69 Н, Уд = —280 Н, Хв = 208 Н,
Ув = 440 Н, ZB = 640 Н.
8.30(8.30). Стержень АВ удерживается в наклонном положении
двумя горизонтальными веревками AD и ВС. При этом в точке А
стержень опирается на вертикальную стену,
на которой находится точка D, а в точке
В — на горизонтальный пол. Точки А и С
лежат на одной вертикали. Вес стержня
8 Н. Трением в точках А и В пренебрегаем.
Проверить, может ли стержень оставаться
в равновесии, и определить натяжения Тд
и Тв веревок и реакции опорных плоскостей,
если Z.ABC *=• ZВСЕ = 60°.
Ответ: ТА = 1,15 Н, Тв = 2,3 Н,RA = 2 Н,
Re —8 Н.
к задаче В.30 8.31(8.31). Пара сил, вращающая водя-
ную турбину Т и имеющая момент 1,2 кН-м,
уравновешивается давлением на зубец В конического зубчатого
колеса ОВ и реакциями опор. Давление на зубец перпендикулярно
к радиусу ОВ — 0,6 м и составляет с горизонтом угол а = 15° =
= arctg0,268. Определить реакции подпятника С и подшипника А,
если вес турбины с валом и колесом равен 12 кН и направлен
вдоль оси ОС, а расстояния ДС = Зм, ДО = 1 м.
80
Ответ-. ХА = 2,667 кН, Хс = —0,667 кН, УА = —Ус == 0,107 кН,
Zc = 12,54 кН.
8.32(8.32). Ветряной двигатель с горизонтальной осью АС имеет
четыре симметрично расположенных крыла, плоскости которых со-
ставляют с вертикальной плоскостью, перпендикулярной оси АС,
равные углы 30°. На расстоянии 2 м от оси к каждому крылу при-
ложена нормально к его плоскости равнодействующая сил дав-
ления ветра, равная 1,2 кН (крыло D в проекции на плоскость ху
К задаче 8.33
изображено отдельно). Ось двигателя опирается в точке А на под-
шипник, в точке С — на подпятник и удерживается в покое вер-
тикальным давлением Р на зубец колеса В, производимым не по-
казанной на рисунке шестерней. Радиус колеса В равен 1,2 м; рас-
стояния: ВС = 0,5 м, А В = 1 м, AF =
= 0,5 м. Определить давление Р и ре-
акции опор.
Ответ: Р = 4 кН, Za = 1,333 кН,
Ус = —0,416 кН, Zc = 2,667 кН, ХА =
= Хс = 0.
8.33(8.34). Груз Q равномерно под-
нимается мотором М посредством бес-
конечной цепи. Определить реакции
опор А и В и натяжения в цепи, если
ветви цепи наклонены к горизонту под
углами 30° (ось OjXi параллельна оси
Лх), Известно, что г =10 см, R =
= 20 см, Q = 10 кН, натяжение ведущей части цепи вдвое больше
натяжения ведомой части, т. е. 1\ = 2ТЪ
Ответ: 71 = 10 кН, Тц = 5 кН, ХА =—5,2 кН, ZA = 6 кН,
Хв = — 7,8 кН, ZB =1,5 кН.
8.34(8.35). Для подъема копровой бабы веса Р = 3 кН служит
вертикальный ворот, вал которого радиуса г = 20 см опирается
нижннм концом на подпятник А, а верхним концом удерживается
81
в подшипнике В. Вал приводится во вращение мотором. Найти не-
обходимый для равномерного подъема копровой бабы вращающий
момент мотора, а также реакции в подпятнике А и подшипнике В.
К задаче 8.34
При этом дано: hi = 1 м, h = 30 см
и вес вращающихся частей ворота
Pi = 1 кН.
Ответ-. Л1Вр==0,6 кН-м, ХА=0,
Ул = —2,1 кН, ZA = 1 кН, Х£ = 0,
Ул = —0,9 кН.
8.35(8.36). Ворот, служащий для
подъема породы из наклонного шур-
фа, состоит из вала радиуса 0,25 м
и длины 1,5 м. Вал приводится во
вращение при помощи мотора (на
рисунке не показан). Определить
реакции опор и вращающий момент
AfBP мотора, если вес вала равен
0,8 кН, вес груза 4 кН, коэффициент
трения между грузом и
поверхностью шурфа равен 0,5, угол на-
клона шурфа к горизонту равен 30° и место схода троса с вала
находится на расстоянии 50 см от подшипника В. Вращение вала
считать равномерным.
К задаче 8.35
Ответ: Л1вр = 0,93 кН-м, ХА = —1,08 кН, ZA — 1,02 кН, Хв~
= -2.15 кН, ZB = 1,65 кН.
К задаче 8.36
8.36(8.37). Горизонтальный вал трансмиссии, несущий два шки-
ва С и D ременной передачи, может вращаться в подшипниках А
и В. Радиусы шкивов: гс — 20 см, m = 25 см; расстояния шкивов
82
от подшипников: а = b = 50 см; расстояние между шкивами
с = 100 см. Натяжения ветвей ремня, надетого на шкив С, горизон-
тальны и имеют величины Т\ и 6, причем Л = 20=5 кН, натя-
жения ветвей ремня, надетого на шкив D, образуют с вертикалью
угол а = 30° и имеют величины 7"а и /2, причем Т2 = 2/2. Опреде-
лить натяжения Т2 и t2 в условиях равновесия и реакции подшип-
ников, вызванные натяжениями ремней.
Ответ: Т2 = Ь кН, /2 = 2 кН, Хл = —6,375 кН, Z, = 13 кН,
Хв = —4,125 кН, ZB = 3,9 кН.
8.37(8.38). Давление шатуна двигателя, сосредоточенное в се-
редине D шейки коленчатого вала, равно Р = 20 кН и направлено
под углом 10° к горизонту, причем плоскость ODOi, проходящая
через оси вала OOi и шейки D, образует с вертикалью угол 30°.
К задаче 8.37
От маховика усилие передается на завод канатом, ветви которого
параллельны и наклонены к горизонту под углом 30°. Действие
силы Р уравновешивается натяжениями Т и t ветвей каната и
реакциями подшипников А и В. Вес маховика 13 кН, диаметр его
d = 2 м, сумма натяжений ветвей каната Т + t = 7,5 кН, а указан-
ные на рисунке расстояния равны: точки D от оси ОО\ г = 125 мм,
I = 250 мм, m = 300 мм, п = 450 мм. Определить реакции подшип-
ников А и В и натяжения t и Т,
Ответ: ХА = —5,7 кН, ZA = — 4,47 кН, Хв = —20,48 кН,
ZB = 10,25 кН, Т = 4,92 кН, i = 2,58 кН.
8.38(8.39). Для передачи вращения с одного вала на другой,
ему параллельный, установлены два одинаковых вспомогательных
шкива, заклиненных на горизонтальной оси KL. Ось может вра-
щаться в подшипнике М, укрепленном на колонке MN. Треуголь-
ное основание этой колонки притянуто к полу двумя болтами А и
В и свободно опирается точкой С. Болт А проходит через круглое
отверстие в основании, болт же В — через продолговатое отвер-
стие, имеющее направление линии АВ. Ось колонки проходит че-
рез центр треугольника АВС.
Определить реакции в точках А, В и С, если расстояние оси KL
от пола равно 1 м, расстояния середин шкивов от оси колонки
равны 0,5 м и натяжения всех четырех ветвей ремней принимаются
83
одинаковыми и равными 600 Н. Ветви правого ремня горизон-
тальны, а ветви левого наклонены к горизонту под углом 30°. Вес
всей установки равен 3 кН и приложен к точке, лежащей на оси
колонки; даны размеры: АВ =* ВС = СА — 50 см.
Ответ-. ХЛ = 960 Н; УЛ=0; 2Л=—2,39 кН; Хв=1,28 кН-
Za = —1,19 кН, Zc = 5,97 кН.
К задаче 8.38
8.39(8.40). Подвеска подшипника ременного шкива D прикреп-
лена к гладкому горизонтальному потолку MN в точках А и С
и упирается в него точкой В. Эти точки лежат в вершинах равно-
стороннего треугольника АВС со стороной 30 см. Положение
центра ременного шкива D определяется вертикалью EF — 40 см,
опущенной из центра Е треугольника АВС, и горизонталью
FD — 50 см, параллельной стороне АС. Плоскость шкива перпен-
дикулярна прямой FD. Натяжение Р каждой ветви ремня равно
, 1200 Н н наклонено к вертикали под углом
Z!/T с 30°. Определить реакции в опорах А, В и
/рх С, пренебрегая весом частей.
/ Ответ. УЛ «= 1,4 кН, ZA = 1,85 кН, ZB =
/Dp^'''fJF = 1,15 кН, Ус = —2,6 кН, Zc = —5,08 кН.
е! Г\ // 8.40(8.41). Картина в раме, имеющей
J / । // _ форму прямоугольника ABCD, подвешена
iРу ' на вертикальной стене при помощи шнура
j/ --------—-J,- EKF, надетого на крюк К так, что край АВ.
7 горизонтален; точки Е, F — середины сто-
* рон AD и ВС. Картина наклонена к стене
К задаче 8.40 . 3
под углом а = arctg — и опирается на два
гвоздя L и М, вбитых в стену, причем AL == МВ. Размеры кар-
тины: АВ — 60 см, AD = 75 см; вес картины 200 Н и приложен
в центре прямоугольника ABCD-, длина шнура 85 см. Определить
натяжение Т шнура и давления на гвозди L и М.
Ответ; Т - 85 Н, Уь — Ум = —45 Н, ZL = ZM = —60 Н.
84
8.41(8.42). Бифиляр состоит из однородного стержня AAi, под-
вешенного на двух нерастяжимых нитях длины I, которые укреп-
лены в точках В и Bi. Длина стержня AAi ^BBi = 2г, а вес Р.
Стержень повернут вокруг вертикальной оси
на угол а. Определить момент М пары, кото-
рую нужно приложить к стержню, чтобы удер-
жать его в равновесии, а также натяжение Т
нитей.
,. Pr2 sin а
М = - -
yjl2 — 4r2 sin2 (а/2)
у —_______... . 1Р — - .
2 -y/l2 — 4r2 sin2 (о/2)
8.42(8.44). Тренога ABDE, имеющая фор-
Ответ:
му правильной пирамиды, укреплена шарнир- к задаче s.4i
но на двух консольных балках. Через блок,
укрепленный в вершине Е треноги, перекинут трос, равномерно
поднимающий с помощью лебедки груз веса Р. От блока к лебедке
трос тянется параллельно консоли. Определить реакции заделки
К задаче 8.42
К задаче 8.43
первой консоли, пренебрегая ее весом и весом треноги. Высота
треноги равна 1/2.
Ответ: Хо=-^-Р, Y0 = P, Z0=yP, МХ = --^Р1,
Му = -^-Р1' Мг = -^-Р1.
8.43. Четырехзвенный механизм робота-манипулятора располо-
жен в горизонтальной плоскости Оху. Длины всех звеньев одина-
ковы и равны /, масса каждого звена т. Масса объекта манипу-
лирования 2т. Найти моменты сил тяжести относительно коорди-
натных осей. Звенья считать однородными стержнями.
Ответ: Мх ——4,98 mgl, My = 6,98 mgl, М2 = 0.
85
§ 9. Центр тяжести
9.1 (9.1). Определить положение центра тяжести С стержневого
контура AFBD, состоящего из дуги ADB четверти окружности ра«
диуса FD = R и из дуги полуокружности AFB, построенной на
хорде АВ как на диаметре. Линейные плотности стержней одина-
ковы.
Ответ: CF *= R ( д/2 - 1) + (3 - 2 д/2) *= 0,524/?.
9.2(9.2). Определить положение центра тяжести С площади,
ограниченной полуокружностью АОВ радиуса R и двумя прямыми
9.3(9.3). Найти центр тяжести С площади кругового сегмента
ADB радиуса АО = 30 см, если угол АОВ = 60°.
Ответ: ОС = 27,7 см.
9.4(9.4). Определить положение центра тяжести однородного
диска с круглым отверстием, предполагая радиус диска равным л.
радиус отверстия равным г2
и центр этого отверстия на-
ходящимся на расстоянии
п/2 от центра диска.
г1г2
Отеет:
9.5(9.5). Определить ко-
ординаты центра тяжести
четверти кольца, показанно-
го на рисунке.
Ответ: хс = ус = \,38 см.
К задаче 9.6 К задаче 9.6
9.6(9.6). Найти координаты центра тяжести фигуры, изобра-
женной на рисунке.
Ответ: хс = 0,61а.
9.7(9.7). Найти центр тяжести поперечного сечения плотины,
показанного на рисунке, принимая, что удельный вес бетона равен
24 кН/м3, а земляного грунта 16 кН/м3.
86
Ответ: хс — 8,19 м, ус — 1,9 м.
9.8(9.8). Найти координаты центра тяжести поперечного сече-
ния иеравнобокого уголка, полки которого имеют ширину ОА = а,
OB = b и толщину АС = BD =* d.
a3-{-bd — d3
2(a+b-d)
Р + ad — d3
2 (6+a *
Ответ: х —
9.9(9.9). Найти расстояние центра тяжести таврового сечения
ABCD от стороны его АС, если высота тавра BD = h, ширина
полки АС = а, толщина полки равна d и толщина стенки равна Ь.
К задаче 9.6
К задаче 9.9
Ответ:
ad3 + bh3 — bd3
2 (ad -\-bh — bd) '
9.10(9.10). Найти центр тяжести двутаврового профиля, раз-
меры которого указаны на рисунке.
Ответ: хс = 9 см.
9.11(9.11). Найти координаты центра тяжести однородной пла-
стинки, изображенной на рисунке, зная, что АН — 2 см, HG ==>
= 1,5 см, ДВ = Зсм, ВС = 10 см, £Т = 4см, ££>=2 см.
с 10 , ю
Ответ: x = 5-jg- см, см.
К задаче 9.12
К задаче 9.10
К задаче 9.11
9.12(9.12). В однородной квадратной доске ABCD со стороной
АВ — 2 м вырезано квадратное отверстие EFGH, стороны которого
соответственно параллельны сторонами ABCD и равны 0,7 м каж-
дая. Определить координаты х и у центра тяжести оставшейся
части доски, зная, что ОК = OiK = 0,5 м, где О и Oi — центры
квадратов, ОК и О\К соответственно параллельны сторонам квад-
ратов.
Ответ: х = у — —0,07 м.
87
9-13(9.13). Провести через вершину D однородного прямоуголь-
ника ABCD прямую DE так, чтобы при подвешивании отрезанной
по этой прямой трапеции ABED за вершину Е сторона AD, рав-
ная а, была горизонтальна.
Ответ'. BE = 0,366а.
9.14(9.14). Дай квадрат ABDC, сторона которого равна а.
Найти внутри него такую точку Е, чтобы она была центром тя-
К задаче 9.13 К задаче 9.14
жести площади, которая полу-
чится, если из квадрата выре-
зать равнобедренный треуголь-
ник АЕВ.
Ответ-. Хе = a/2, $л-=0,634а.
9.15. Четыре человека не-
сут однородную треугольную
пластину. Двое взялись за две
вершины, остальные — за сто-
роны, примыкающие к третьей
вершине. На каком расстоянии
от третьей вершины они должны поместиться, для того чтобы каж-
дый из четырех поддерживал четверть полного веса пластины?
Ответ-. На расстоянии, равном 1/3 длины соответствующей сто-
роны.
9.16(9.16). Определить координаты центра тяжести системы
грузов, расположенных в вершинах прямоугольного параллелепи-
педа, ребра которого соответственно равны: АВ = 20 см, ДС =
= 10 см, AD = 5 см. Веса грузов в вершинах А, В, С, D, Е, F, G, В
соответственно равны 1 Н, 2 Н, 3 Н, 4 Н, 5 Н, 3 Н, 4 Н, 3 Н.
Ответ: х = 3,2 см, у — 9,6 см, z = 6 см.
9.17(9.17). Определить координаты центра тяжести контура
прямоугольного параллелепипеда, ребра которого суть однород-
ные бруски длиной: О А = 0,8 м, ОВ = 0,4 м, ОС — 0,6 м. Веса
брусков равны соответственно: ОА = 250 Н, ОВ, ОС и CD по
75 Н, CG —200 Н; AF — 125 Н, AG и GE по 50 Н, BD, BF, DE
и EF по 25 Н.
Ответ: х = 0,263 м, у = 0,4 м, z = 0,105 м.
88
9.18(9.18). Найти координаты центра тяжести тела, имеющего
вид стула, состоящего из стержней одинаковой длины и веса. Дли-
на стержня равна 44 см.
Ответ: х = —22 см, у = 16 см, z — 0.
К задаче 9.19
9.19(9.19). Найти координаты центра тяжести плоской фермы,
состоящей из семи стержней, длины которых указаны на рисунке,
если вес 1 м для всех стержней один и тот же.
Ответ: х — 1,47 м, у = 0,94 м.
9.20(9.20). Найти координаты центра тяжести деревянного мо-
лотка, состоящего из прямоугольного параллелепипеда и ручки
с квадратным сечением. Да-
но: а = 10 см, Ъ = 8 см, с =
— 18 см, d = 40 см, I —
= 3 см.
Ответ: х = 0, у = 8,8 см,
2=0
9.21(9.21). Корпус легко-
го крейсера весит 19000 кН.
Центр тяжести корпуса на-
ходится по вертикали над
килем на высоте у\ = 6 м.
После спуска на воду внутри
К задаче 9.20
корпуса установлены глав-
ные машины и котлы. Главные машины весят 4500 кН, и ордината
центра тяжести их у2 — 3 м. Вес котлов равен 5000 кН, и ордината
центра тяжести их у3 = 4,6 м. Определить ординату ус общего
центра тяжести корпуса, машин и котлов.
Ответ: ус = 5,28 м.
9.22(9.22). На корабле водоизмещением в 45000 кН груз весом
в 300 кН перемещен из носового отсека в кормовой на расстояние
60 м. Насколько переместился общий центр тяжести корабля и
груза?
Ответ: На 0,4 м.
9.23(9.23). Для однородного тетраэдра ABCDEF, усеченного па-
раллельно основанию, даны; площадь АВС = а, площадь DEF = Ь,
89
расстояние между ними h. Найти расстояние г центра тяжести дан-
ного усеченного тетраэдра от основания АВС.
h а + 2 -y/ab + ЗЬ
Ответ: z =----——-7---—.
4 а + у ab + Ь
9.24(9.24). Корпус якорной подводной мины имеет форму ци-
линдра с выпуклыми сферическими днищами. Радиус цилиндриче-
ского пояса г = 0,4 м, высо-
та цилиндрического пояса
h = 2г; высоты сферических
сегментов соответственно
равны: ft = 0,5г и f2 = 0,2г.
Найти центр тяжести поверх-
ности корпуса мины.
Ответ: хс = Ус — 0, гс =
= 1,267г = 0,507 м.
9.25(9.26). Найти пре-
дельную высоту h цилиндра,
при которой тело, состоящее
плотности и одинакового ра-
из цилиндра и полушара одинаковой
диуса г, теряет устойчивость в положении равновесия, когда оно
опирается поверхностью полушара на гладкую горизонтальную
плоскость.
Центр тяжести всего тела должен совпадать с центром полушара. Рас-
стояние центра тяжести однородного полушара от его основания равно 3/8г.
Ответ: h = rl-у/2-
9.26(9.27). Найти предельную высоту h конуса, при которой
тело, состоящее из конуса и полушара одинаковой плотности и
радиуса г, теряет устойчивость в положении равновесия при усло-
вии предыдущей задачи.
Ответ: h = r и/З-
9.27(9.28). Тонкий однородный лист изогнут в виде двух тре-
угольников и квадрата, как показано на рисунке: равнобедренный
треугольник О АВ лежит в плоскости ху, прямоугольный треуголь-
ник ODE — в плоскости yz (вершина прямого угла — точка Е),
квадрат ОВКЕ — в горизонтальной плоскости. Определить коор-
динаты центра тяжести изогнутого листа.
Ответ: Хс = 3,33 см, ус — 0,444 см, zc = 3,55 см.
90
ОТДЕЛ ВТОРОЙ
КИНЕМАТИКА
ГЛАВА III
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
§ 10. Траектория и уравнения движения точки
10.1(10.1). По данному уравнению движения точки на произ-
вольно выбранной траектории построить через равные промежутки
времени шесть положений точки, определить расстояние s по траек-
тории от начала отсчета до конечного положения точки и пройден-
ный ею путь о за указанный промежуток времени (s и о — в сан-
тиметрах, t — в секундах).
1) s = 5 — 4t + /2, 0s^ t^5.
Ответ; s = 10 см, о = 13 см.
2) s = 1 + 2t — Р, 0 < / < 2,5.
Ответ; s = —0,25 см, а = 3,25 см.
3) s = 4 sin 10/, л/20 sS t «S Зл/10.
Ответ; s = 0, а — 20 см.
10.2(10.2). По данным уравнениям движения точки найти урав-
нения ее траектории в координатной форме и указать на рисунке
направление движения.
1) x—3t— 5, у —4— 2t.
Ответ: Полупрямая 2х 4- Зу — 2 — 0 с началом в точке х = —5,
У —4.
2) х = 2/, у = 8/2.
Ответ: Правая ветвь параболы у = 2х2 с начальной точкой
х = 0, у = 0.
3) х — 5 sin 10/, у — 3 cos 10/.
Ответ: Эллипс v = 1 с начальной точкой х = 0, у = 3.
25 У
4) х = 2 — 3 cos 5/, у =4 sin 5/ — 1.
л с» (•* — 2)2 . (и +1)2 , „ о
Ответ: Эллипс ---д—-—|- ~ 16 - 1=11 с начальной точкой х =
==-1, у = —1.
5) x = ch/ = -j(e/ + e_<), у = sh/ = -^ (е‘— е_/).
Ответ: Верхняя часть правой ветви гиперболы х2 — у2 — 1 с на-
чальной точкой х = 1, у — 0.
91
10.3(10.3). Построить траекторию точки, радиус-вектор кото-
рой изменяется согласно уравнению (г0 и е — постоянные задан-
ные векторы, i и / — координатные орты).
1) r = r0 + t-e.
Ответ: Полупрямая, проходящая через начальную точку Л10(г0),
параллельно вектору е.
2) г — г о + cos t-e.
Ответ: Отрезок МоЛД прямой линии, проходящей через точку
М(г0) параллельно вектору е. Начальная точка Mo(ro + е); вторая
крайняя точка Mi(r0 — е). При 1-»-оо конец радиус-вектора прой-
дет бесчисленное число раз через каждую точку траектории.
3) r = acosT-^pri4-fcsin-T~j.
X2 и2
Ответ: Отрезок верхней части эллипса 1- Точка на-
чинает движение от левой вершины эллипса, монотонно прибли-
жаясь к его правой вершине.
10.4(10.4). По заданным уравнениям движения точки найти
уравнение ее траектории, а также указать закон движения точки
по траектории, отсчитывая расстояние от начального положения
точки.
1) х = 312, у=412.
Ответ: Полупрямая 4х— Зу = 0; s = 5/2.
2) х = 3 sin t, у = 3 cos t.
Ответ: Окружность х2 + у2 = 9; s — 31.
3) х = a cos21, у = a sin2 t.
Ответ: Отрезок прямой х-]-у— а = 0, причем О^х^а;
s = a V2 sin2/.
4) х == 5 cos 5/2 у = 5 sin 512.
Ответ: Окружность x2 + У2 = 25; s = 25/2.
10.5(10.5). Мостовой кран движется вдоль мастерской согласно
уравнению х — I; по крану катится в поперечном направлении те-
лежка согласно уравнению у = 1,51 (х и у — в метрах, / — в секун-
дах). Цепь укорачивается со скоростью v = 0,5 м/с. Определить
траекторию центра тяжести груза; в начальном положении центр
тяжести груза находился в горизонтальной плоскости Оху; ось Oz
направлена вертикально вверх.
Ответ Траектория — прямая: у — 1,5х; z — 0,5х.
10.6(10.6). Движение точки, описывающей фигуру Лиссажу, за-
дается уравнениями х = 3 sin f, у = 2 cos 21 (1 — в секундах).
Найти уравнение траектории, вычертить ее и указать направление
движения точки в различные моменты времени. Указать также
ближайший после начала движения момент времени lj, когда
траектория пересечет ось Ох.
Ответ: Часть параболы 4х2 + 9у = 18, вдоль которой |х|^3,
1 у\ < 2, 11 = л/4 с.
10.7(10.7). При соответствующем выборе осей координат урав-
нения движения электрона в постоянном магнитном поле опреде-
ляются равенствами x = asinAl, у — a cos kt, z = vt, где a, k и
92
-v — некоторые постоянные, зависящие от напряженности магнит-
ного поля, массы, заряда и скорости электрона. Определить траек-
торию электрона и закон движения его по траектории.
Ответ: Электрон движется по винтовой линии. Начальная точка
х = 0, г/ = а, 2 = 0; шаг винта h=~v. Закон движения элек-
трона по винтовой линии s = ->Ja2k2 A- v2t.
10-8(10.8). Гармонические колебания точки определяются зако-
ном х = a sin (kt ф- е), где а > 0 — амплитуда колебаний, k > 0 —
круговая частота колебаний и е(—л е л)—начальная фаза.
Определить центр колебаний а0, амплитуду, круговую частоту,
период Т, частоту колебаний f в герцах и начальную фазу по сле-
дующим уравнениям движения (х— в сантиметрах, t — в секун-
дах):
Уравнения движения Отвгт
O0- CM a. cm k. рад/с T, c f. Гц e
1. х = — 7 cos 121 0 7 12 Я/6 6/я — л/2
2. х — 4 sin (л//20) — — 3 cos (я!/20) 0 5 я/20 40 0,025 — arctg (3/4)
3. х = 2— 4 sin 140/ 2 4 140 я/70 70/л Я
4. х = 6 sin2 18/ 3 3 36 я/18 18/л — л/2
5. cos2-^- t ou —1 2 я/30 60 1 60 — я/2
10.9(10.9). Груз, поднятый на упругом канате, колеблется со-
гласно уравнению х = a sin (kt -J- Зл/2), где а — в сантиметрах,
k — в рад/с. Определить амплитуду и круговую частоту колебаний
груза, если период колебаний равен 0,4 с и в начальный момент
Хо = —4 см. Построить также кривую расстояний.
Ответ: а = 4 см, k = 5л рад/с.
10.10(10.10). Определить траекторию точки, совершающей од-
новременно два гармонических колебания равной частоты, но раз-
ных амплитуд и фаз, если колебания происходят по двум взаимно
перпендикулярным осям: х= a sin(^/ -f- а), у = b sin(&/ -ф- 0).
Ответ: Эллипс уг + • /----—у- cos (а — 0) = sin2 (а — 0).
10.11(10.11). Найти уравнение траектории движения точки, по-
лучающегося при сложении взаимно перпендикулярных колебаний
разной частоты:
1) х = a sin 2со/, у = a sin со/;
2) х — a cos 2со/, у = a cos со/.
Ответ: 1) х2а2 = 4у2(а2— у2);
2) 2у2 — ах — а2 = 0, причем |х|^ а, |с/|^ а.
10.12(10.12). Кривошип ОА вращается с постоянной угловой
скоростью со = 10 рад/с. Длина ОА = АВ = 80 см. Найти уравне-
93
К задаче 10.12
ния движения и траекторию средней точки М шатуна, а также
уравнение движения ползуна В, если в начальный момент ползун
находился в крайнем правом поло-
жении; оси координат указаны на
рисунке.
Ответ: 1) хм = 120 cos 10/, ум =.
= 40 sin 10/.
2) Траекторией точки М являет-
ся эллипс 4- -^г= 1;
3) уравнение движения ползуна
В х = 160 cos 10/.
уравнения движения и траекторию
точки обода колеса радиуса R = 1 м автомобиля, если автомобиль
движется по прямолинейному пути с постоянной скоростью 20 м/с.
Принять, что колесо катится без скольжения; за начало коорди-
нат взять начальное положение точки на пути, принятом за ось Ох.
Ответ: Циклоида х = 20/ — sin 20/, у = 1 — cos 20/.
10.14(10.15). Даны уравнения движения снаряда
10.13(10.14). Определить
* ст/®
х — и0 cos а • /, у = и0 sin а -1 — .
где v0—начальная скорость снаряда, а — угол между п0 и гори-
зонтальной осью х, g— ускорение силы тяжести. Определить тра-
екторию движения снаряда, высоту И, дальность L и время Т по-
лета снаряда.
g
Ответ: Траектория — парабола i/ = tga-x------5,— х2;высота
2vj cos a
2 2
//==—sin2a, L = —sin2a, T = 2— sin a.
2g e 8
10.15(10.16). В условиях предыдущей задачи определить, при
каком угле бросания а дальность полета L будет максимальной.
Найти соответствующие высоту и время полета.
2 2
Vn /— Un
Ответ: a = 45°, Lmax = -^, Я=-£. Т = ^2-±.
8 4g 8
10.16(10.17). В условиях задачи 10.14 определить угол броса-
ния а, при котором снаряд попадает в точку А с координатами
X и у.
v^±^vl-2v^y-
Ответ: tg a = —------------------.
6 gx
10.17(10.18). Определить параболу безопасности (все точки, ле-
жащие вне этой параболы, не могут быть достигнуты снарядом при
данной начальной скорости о0 и любом угле бросания а).
~ °о е ,
Ответ: у =--------- х-.
2g 2v*
94
10.18(10.19). Точка движется по винтовой линии
х = a cos kt, у — a sin kt, z = v/.
Определить уравнения движения точки в цилиндрических коорди-
натах.
Ответ-, г = а, <р — kt, z = vt.
10.19(10.20). Даны уравнения движения точки:
X — 2а cos2 (ki!2), у— asm kt,
где а и k — положительные постоянные. Определить траекторию
и закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние от
начального положения точки.
Ответ: Окружность (х — а)2 + у2 = a2; s = akt.
10.20(10.21). В условиях предыдущей задачи определить урав-
нения движения точки в полярных координатах.
Ответ: г = 2а cos (kt/2); <p = kt/2.
10.21(10.22). По заданным уравнениям движения точки в де-
картовых координатах
х = R cos2 (kt/2}, у = (R/2) sin kt, z = R sin (kt/2)
найти ее траекторию и уравнения движения в сферических коор-
динатах.
Ответ: Линия пересечения сферы х2 4- у2 4- z1 = R2 и цилиндра
(х — Д/4)2 4- y2 — R2/^. Уравнения движения в сферических коор-
динатах: г = R, <р = kt/2, 0 = kt/2.
10.22(10.23). Точка участвует одновременно в двух взаимно
перпендикулярных затухающих колебаниях, уравнения которых
имеют вид
х = Ae~ht cos (kt 4-е), у = Ae~ht sin (kt 4- е),
где А>0, й>0Д>0ие — некоторые постоянные. Определить
уравнения движения в полярных
координатах и найти траекторию
точки.
Ответ: г = Ае~м, <р = kt 4- е;
траектория — логарифмическая
л ,
„ - -т- <<р-е)
спираль г = Ае *
10.23. Плоский механизм ма-
нипулятора переносит груз из од-
ного положения в другое по тра-
ектории, определяемой полярны-
ми координатами центра схвата
rc = rc(t), <pc = q>c(t). Найти:
1) законы изменения углов и отрабатываемых соответствую-
щими приводами, обеспечивающие выполнение заданной програм-
мы; 2) законы изменения этих углов, если груз перемещается по
прямой, параллельной оси у, отстоящей от нее на расстоянии а по
закону у = s(t), где s — заданная функция времени /.
95
Ответ:
1) Ф1 = Фс (0 ни arccos -с-(2+ ;;» " * 2 * *~ •
гс <0 - zi - 12
ф2=± arccos 2/i/-2-2-,
о. . S (Г) о2 + s2 (0 + /2 - /2
2) ф, =arctg-------т arccos----------
е а 21! -у/аг + s* (Г)
Фг = ± arccos
§ 11. Скорость ТОЧКИ
11.1(11.1). Точка совершает гармонические колебания по за-
кону х = a sin kt. Определить амплитуду а и круговую частоту k
колебаний, если при х — xi скорость v = vt, а при х = скорость
V = V2.
Ответ: а=у\ /V^-; k = д / .
V u|-u2 V х2~х?
11.2(11.2). Длина линейки эллипсографа ДВ = 40 см, длина
кривошипа ОС = 20 см, АС = СВ. Кривошип равномерно вращает-
ся вокруг оси О
У
И
Ж
К задаче 11.2
с угловой скоростью со. Найти уравнения траекто-
рии и годографа скорости точки А4 ли-
нейки, лежащей на расстоянии AM =
= 10 см от конца А.
— 4-21 = 1- +
900 ‘100 ’ 900со2
1.
Ответ:
j -
1 ЮОш2
11.3(11.3). Точка описывает фигуру
Лиссажу согласно уравнениям
х — 2 cos t, у = 4 cos 2f
(х, у — в сантиметрах, t— в секундах). Определить величину и на-
правление скорости точки, когда она находится на оси Оу.
Ответ-. 1) и = 2 см/с, cos (и, х) =—1; 2) и = 2 см/с,
cos (и, х)= 1.
11.4(11.5). Кривошип ОА вращается с постоянной угловой ско-
ростью со. Найти скорость середины А1 шатуна кривошипноползун-
ного механизма и скорость ползуна В в зависимости от времени,
если ОА = АВ = а (см. рисунок к задаче 10.12).
Ответ: 1) vM = у о д/8 sin2 со/ -f- 1; 2) vB = 2асо sin со/.
11.5(11.6). Движение точки задано уравнениями
X — V0t COS у = Vat sin CX0 —
I
1
I
I
I
J
«I
4
I
»1
*
4
причем ось Ох горизонтальна, ось Оу направлена по вертикали
вверх, ио, g и а0 < л/2 — величины постоянные. Найти: 1) траек-
торию точки, 2) координаты наивысшего ее положения, 3) проек-
ции скорости на координатные оси в тот момент, когда точка нахо-
дится на оси Ох,
в я2
Ответ. I) Парабола y = xtga0----------5ъ—х2; 2) х = — X
2vg cos* aa 2g
v2
X sin 2a0, у — sin2 a0; 3) vx = x0 cos a0, v^=±rosinao, причем
верхний знак соответствует начальному моменту времени, а ниж-
11.6(11.7). Движение точки задано теми же уравнениями, что
и в предыдущей задаче, причем и0 = 20 м/с,а0 = 60°, g = 9,81 м/с2.
Найти, с какой скоростью щ должна выйти из начала координат
в момент t = 0 вторая точка для того, чтобы, двигаясь равномерно
по оси Ох, она встретилась с первой точкой, и определить расстоя-
ние Х\ до места встречи.
Ответ: щ — 10 м/с, х, = 35,3 м.
11.7(11-8). Определить высоты hi, hi и й3 над поверхностью
воды трех пунктов отвесного берега, если известно, что три пули,
выпущенные одновременно в этих пунктах с горизонтальными ско-
ростями 50, 75 и 100 м/с, одновременно упали в воду, причем рас-
стояние точки падения первой пули от берега равно 100 м; принять
во внимание только ускорение силы тяжести g — 9,81 м/с2. Опре-
делить также продолжительность Т полета пуль и их скорости щ,
v2 и vs в момент падения в воду.
Ответ: Л1 = Л2 = Л3 = 19,62 м, Т — 2 с, щ = 53,71 м/с, и2 —
= 77,52 м/с, ц3 = 101,95 м/с.
11.8(11.9). Из орудия, ось которого образует угол 30° с горизон-
том, выпущен снаряд со скоростью 500 м/с. Предполагая, что сна-
ряд имеет только ускорение силы тяжести g = 9,81 м/с2, найти
годограф скорости снаряда и скорость точки, вычерчивающей го-
дограф.
Ответ: Годограф — вертикальная прямая, отстоящая от начала
координат на 432 м; щ = 9,81 м/с?.
11.9(11.10). Определить уравнения движения и траекторию
точки колеса электровоза радиуса R = 1 м, лежащей на расстоя-
нии а = 0,5 м от оси, если колесо катится без скольжения по го-
ризонтальному прямолинейному участку пути; скорость оси колеса
v = 10 м/с. Ось Ох совпадает с рельсом, ось Оу — с радиусом точ-
ки при ее начальном низшем положении. Определить также ско-
рость этой точки в те моменты времени, когда диаметр колеса, на
котором она расположена, займет горизонтальное и вертикальное
положения.
Ответ: Укороченная циклоида х=10/ — 0,5sinl0f, у=\ —
— 0,5 cos 10/. Скорость: 1) 11 м/с; 18 м/с; 2) 5 м/с; 15 м/с.
4—1318
97
К задаче 11.10
11.10(11.11). Скорость электровоза v0 = 72 км/ч; радиус ко-
леса его /? = 1 м; колесо катится по прямолинейному рельсу без
скольжения.
1) Определить величину и направление скорости v точки М на
ободе колеса в тот момент, когда радиус точки М составляет с на-
правлением скорости п0 угол л/2 -f- а.
2) Построить годограф скорости точки М и
определить скорость Hi точки, вычерчивающей
годограф.
Ответ'. 1) Скорость v = 40 cos(a/2) м/с и на-
правлена по прямой МА;
2) Окружность р = 2va cos 0, где 0 = а/2,
радиуса г — v0 (см. рисунок); vi = v2JR =
= 400 м/с2.
11.11(11.12). Определить уравнения движе-
ния и траекторию точки М колеса вагона радиу-
са R = 0,5 м, отстоящей от оси на расстоянии
а = 0,6 м и лежащей в начальный момент на
0,1 м ниже рельса, если вагон движется по пря-
молинейному пути со скоростью v —10 м/с.
Найти также моменты времени, когда эта точка
будет проходить свое нижнее и верхнее положения, и проекции ее
скорости на оси Ох, Оу в эти моменты времени. Ось Ох совпадает
с рельсом, ось Оу проходит через начальное нижнее положение
точки.
Ответ: Удлиненная циклоида
х — 10/ — 0,6 sin 20/; у = 0,5 — 0,6 cos 20/;
при /=-у^-с— нижнее положение точки, щ =—2 м/с, ^ = 0;
при t — -^- (1 4- 2k) с — верхнее положение точки, vx = 22 м/с,
vu — 0, где k = 0, 1, 2, 3 ...
11.12(11.13). Точка участвует одновременно в двух взаимно
перпендикулярных затухающих колебаниях согласно уравнениям
х = Ae~ht cos (kt + е), у = Ae~ht sin (kt + e).
Определить проекции скорости точки на оси декартовых и поляр-
ных координат и найти модуль скорости точки.
Ответ: 1) vx = — [Acos(6/+ е) + fe sin (А/+ е)],
Vy = — Ae~ht [Л sin (kt + в) — k cos (kt + e)];
2) vr = -Ahe-ht, v<f = Ake~ht;
3) v = А д/й2 + k2 e~ht = y/h2 + k2 r.
11.13(11.14). Какую кривую опишет корабль, идущий под по-
стоянчым курсовым углом а к географическому меридиану? Ко-
рабль принять за точку, движущуюся по поверхности земного
шара.
98
Ответ', tg (-j-+ -у) == tg ( +-у-) ef’--1»’с,й где ф —широта,
а X, — долгота текущего положения корабля (эта кривая назы-
вается локсодромией).
Указание. Воспользовать-
ся сферическими координатами г,
Л и <р.
11.14(11.15). Уравнения
движения точки М в цилинд-
рической системе координат
имеют вид (см. задачу
10.8)
г — а, <р = kt, z = vt.
Найти проекции скорости
точки .М на оси цилиндриче-
ской системы координат, уравнения движения точки Mi, описываю-
щей годограф скорости, и проекции скорости точки Мь
Ответ: 1) vr = 0, = ak, vz = v;2) = ak, <pi = n/2 -f- kt, Z\ = v;
3) Or, = 0, и,,, = afe2, иг, = 0.
11.15(11.16). Точка M движется по окружности согласно урав-
нениям
г = 2а cos (kt/2), ф = kt/2
(г, ф — полярные координаты). Найти проекции скорости точки
М на оси полярной системы координат, уравнения движения точки
Mi, описывающей годограф скорости, и проекции скорости
точки Ml-
Ответ: 1) vr = — ak sin(W/2), = ak cos(ft//2); 2) и = ak,
Ф1 = л/2 + kt\ 3) vri = 0, % — ak2.
11.16(11.17). Точка движется по линии пересечения сферы и ци-
линдра согласно уравнениям
г = R, ф = kt/2, 6 = kt/2
(г, ф, 6 — сферические координаты; см. задачу 10.21). Найти мо-
дуль и проекции скорости точки на оси сферической системы коор-
динат.
Ответ: vr = 0, vv = (Rk/2) cos (kt/2), ve = Rk/2,
v = (Rk/2)^l + cos2 (kt/2)-
11.17(11.18). Найти в полярных координатах (г, ф) уравнение
кривой, которую опишет корабль, сохраняющий постоянный угол
пеленга а на неподвижную точку (угол между направлением ско-
рости и направлением на точку), если дано: а и гф=0 = го- Корабль
принять за точку, движущуюся на плоскости, и за полюс взять
99
произвольную неподвижную точку в этой плоскости. Исследовать
частные случаи а — 0, л/2 и л.
Ответ'. Логарифмическая спираль г = roe~vctsa. При а = л/2
окружность г = го; при а — 0 или а = л прямая.
§ 12. Ускорение точки
12.1(12.1). Поезд движется со скоростью 72 км/ч; при тормо-
жении он получает замедление, равное 0,4 м/с2. Найти, за какое
время до прихода поезда на станцию и на каком от нее расстоянии
должно быть начато торможение.
Ответ: 50 с, 500 м.
12.2(12.2). Копровая баба, ударив сваю, движется затем вместе
с ней в течение 0,02 с до остановки, причем свая углубляется в
землю на 6 см. Определить начальную скорость движения сваи,
считая его равнозамедленным.
Ответ: 6 м/с.
12.3(12.3). Водяные капли вытекают из отверстия вертикальной
трубочки через 0,1 с одна после другой и падают с ускорением
9,81 м/с2. Определить расстояние между первой и второй каплями
через 1 с после момента истечения первой капли.
Ответ: 0,932 м.
12.4(12.5). Считая посадочную скорость самолета равной
400 км/ч, определить замедление его при посадке на пути
I = 1200 м, считая, что замедление постоянно.
Ответ: w = 5,15 м/с2.
12.5(12.6). Копровая баба падает с высоты 2,5 м, а для ее под-
нятия на ту же высоту требуется втрое больше времени, чем на
падение. Сколько ударов она делает в минуту, если считать, что
свободное падение копровой бабы совершается с ускорением
9,81 м/с2?
Ответ: 21 удар.
12.6(12.7). Ползун движется по прямолинейной направляющей
с ускорением wx = — л2 sin у I м/с2. Найти уравнение движения
ползуна, если его начальная скорость о0х = 2л м/с, а начальное
положение совпадает со средним положением ползуна, принятым
за начало координат. Построить кривые расстояний, скоростей и
ускорений.
Ответ'- x = 4sin-~ t м.
12.7(12.8). Поезд, имея начальную скорость 54 км/ч, прошел
600 м в первые 30 с. Считая движение поезда равнопеременным,
определить скорость и ускорение поезда в конце 30-й секунды, если
рассматриваемое движение поезда происходит на закруглении ра-
диуса R = 1 км.
Ответ: v = 25 м/с, w — 0,708 м/с2.
12.8(12.9). При отходе от станции скорость поезда возрастает
равномерно и достигает величины 72 км/ч через 3 мин после от-
100
хода; путь расположен на закруглении радиуса 800 м. Определить
касательное, нормальное и полное ускорения поезда через 2 мин
после момента отхода от станции.
Ответ: wt = ‘/9 м/с2, wn = 2/а м/с2; w = 0,25 м/с2.
12.9(12.10). Поезд движется равнозамедленно по дуге окруж-
ности радиуса = 800 м и проходит путь s = 800 м, имея началь-
ную скорость ио — 54 км/ч и конечную v = 18 км/ч. Определить
полное ускорение поезда в начале и в конце дуги, а также время
движения по этой дуге.
Ответ: wo = 0,308 м/с2, w0 = 0,129 м/с2, Т = 80 с.
12.10(12.11). Закругление трамвайного пути состоит из двух
дуг радиусом pi = 300 м и р2 = 400 м. Центральные углы си =
= а2 — 60°. Построить график нормаль-
ного ускорения вагона, идущего по за-
круглению со скоростью v = 36 км/м.
12.11(12.12). Точка движется по дуге
окружности радиуса R — 20 см. Закон ее
К задаче 12.10
движения по траектории: s = 20 sin nt
(t — в секундах, $ — в сантиметрах).
Найти величину и направление скорости, касательное, нормальное
и полное ускорения точки в момент /=5 с. Построить также гра-
фики скорости, касательного и нормального ускорений.
Ответ: Скорость равна по величине 20л см/с и направлена в сто-
рону, противоположную положительному направлению отсчета дуги
s; wt — 0; w = wn = 20л2 см/с2.
12.12(12.13). Прямолинейное движение точки происходит по за-
кону $ = {at + e~at), где а и g— постоянные величины. Найти
начальную скорость точки, а также определить ее ускорение в
функции от скорости.
Ответ: и0 = 0, w — g — av.
12.13(12.14). Движение точки задано уравнениями
х = 10 cos (2л//5), у — 10 sin (2л//5)
(х,у — в сантиметрах, t — в секундах). Найти траекторию точки,
величину и направление скорости, а также величину и направление
ускорения.
Ответ: Окружность радиуса 10 см; скорость и —4л см/с и на-
правлена по касательной в сторону перехода от оси Ох к оси Оу
поворотом на 90°; ускорение w = 1,6л2 см/с2 и направлено к центру.
12.14(12.15). Уравнения движения пальца кривошипа дизеля
в период пуска имеют вид х = 75 cos 4/2, у = 75 sin 4/2 (х, у — в сан-
тиметрах, t — в секундах). Найти скорость, касательное и нормаль-
ное ускорения пальца.
Ответ: v = 600/ см/с, wt = 600 см/с2, wn = 4800f2 см/с2.
12.15(12.16). Движение точки задано уравнениями
х = a (ekt + e~kt), у = a (ekt — e~kl),
где а и ft — заданные постоянные величины.
101
Найти уравнение траектории, скорость и ускорение точки как
функции радиуса-вектора г = -yjx2 + у2.
Ответ-. Гипербола х2— у2 — 4а2; v = kr\ w — k2r.
12.16(12.18). Найти радиус кривизны при х=у = 0 траекто-
рии точки, описывающей фигуру Лиссажу согласно уравнениям
х = —a sin 2со/, у = —a sin <о/.
Ответ-, р = оо.
12.17(12.19). Найти величину и направление ускорения, а также
радиус кривизны траектории точки колеса, катящегося без сколь-
К задаче 12.18
жения по горизонтальной оси Ox, если точка описывает циклоиду
согласно уравнениям
х — 20/ — sin 20/, у = 1 — cos 20/
(/ — в секундах, х, у — в метрах). Определить также значение ра-
диуса кривизны р при / = 0.
Ответ: Ускорение ш = 400 м/с2 и направлено по МС к центру С
катящегося круга; р — 2МА, р0 = 0.
12.18(12.20). Найти траекторию точки М шатуна крнвошипно-
ползунного механизма, если г — I = 60 см, МВ = ф =
(/ — в секундах), а также определить скорость, ускорение и радиус
кривизны траектории точки в момент, когда <р = 0.
Ответ: Эллипс -j^- + = L п = 80л см/с, w= 1600л2 см/с2,
р = 4 см.
12.19(12.21). На проволочной окружности радиуса 10 см надето
колечко М; через него проходит стержень ОД, который равномерно
вращается вокруг точки О, лежащей на той же
окружности; угловая скорость стержня такова,
что он поворачивается на прямой угол в 5 с.
Определить скорость и и ускорение w колечка.
Ответ: v — 2л см/с, w =; 0,4л2 см/с2.
12.20. В условиях предыдущей задачи опре-
делить скорость и ускорение колечка М как
функцию угла <р, если угловое ускорение стержня
ОМ равно k cos <р {k — const). В начальный момент при / — 0
угол <р и его скорость равнялись нулю, радиус окружности г,
Ответ-, v = 2г -\/2k sin <j>, w = 2kr -y/\ 4~ 15 sin2<p.
102
12.21(12.22). Движение снаряда задано уравнениями
х = vot cos а0, у = vot sin сс0 — 1Л gt2.
где v0 и ао — постоянные величины. Найти радиус кривизны траек-
тории при t = 0 и в момент падения на землю.
Ответ-. p = t)2/(gcosa0).
12.22(12.23). Снаряд движется в вертикальной плоскости со-
гласно уравнениям х = 300/, у — 400/ — 5/2 (/ — в секундах, х,у—
в метрах). Найти: 1) скорость и ускорение в начальный момент,
2) высоту и дальность обстрела, 3) ра-
диус кривизны траектории в начальной
и в наивысшей точках.
Ответ: По = 500 м/с, w() = 10 м/с2,
Л = 8 км, s = 24 км, р0 = 41,67 км,
р = 9 км.
12.23(12.24). Из орудия береговой
артиллерии с высоты h = 30 м над
уровнем моря произведен выстрел под
углом а0 = 45° к горизонту с началь-
ной скоростью снаряда v0 = 1000 м/с.
Определить, на каком расстоянии от
К задаче 12 23
орудия снаряд попадет в цель, находящуюся на уровне моря. Со-
противлением воздуха пренебречь.
Ответ: 102 км.
12.24(12.25). Найти касательное и нормальное ускорения точки,
движение которой выражается уравнениями
х = а/, y^pt — gf/2.
_ е (в — gi) ga
Ответ: wt = — ——= ~, где v — скорость точки.
12.25(12.26). Точка движется по винтовой линии согласно урав-
нениям x = 2cos4/, у = 2sin4/, г = 2/, причем за единицу длины
взят метр. Определить радиус кривизны р траектории.
Ответ: р = 21 /8 м.
12.26(12.27). Движение точки задано в полярных координатах
уравнениями г = aekt и <р = kt, где а и k — заданные постоянные
величины. Найти уравнение траектории, скорость, ускорение и ра-
диус кривизны траектории точки как функции ее радиус-вектора г.
Ответ: г = ае® — логарифмическая спираль; v = kr*j2, w =
«= 2k2r, р = г -у/2.
12.27(12.28). Движение точки задано уравнениями
х = 2/, у = Р
(t— в секундах, х и у — в сантиметрах). Определить величины и
направления скорости и ускорения точки в момент времени / = 1 с.
Ответ: v — 2 ^2 см/с, w — 2 см/с2, (v, х) — 45°, (w, х) — 90°.
12.28(12.29). Построить траекторию движения точки, годограф
скорости и определить радиус кривизны траектории в начальный
103
момент, если точка движется согласно уравнениям
х = 4/, у = t3
(t — в секундах, х и у — в сантиметрах).
Ответ: Уравнение траектории -----------кубическая парабола;
годограф скорости — прямая, параллельная оси vv; р0 = оо (на-
чальная точка траектории —•
В точка перегиба).
12.29(12.30). Кривошип
О]С длиной а/2 вращается
с постоянной угловой ско-
ростью со вокруг ОСИ 01.
В точке С с кривошипом
шарнирно связана линейка
АВ, проходящая все время
через качающуюся муфту О,
находящуюся на расстоянии
а/2 от оси вращения Оь
Приняв точку О за полюс, найти в полярных координатах урав-
нения движения точки М линейки, отстоящей от шарнира С на
расстоянии а, ее траекторию, скорость и уско-
рение (в начальный момент угол ф =
== ZCOOt=0).
Ответ: 1) г = а(1 + cos(£o//2)), <р = <oZ/2;
2) г = а(1+со5ф) — кардиоида;
3) v — awcos(<ol/4);
4) w==—j- zy/54-4cos—.
12 .30(12.32). В условиях задачи (12.29) оп-
ределить радиус кривизны кардиоиды при г =
— 2a, ф = 0.
Ответ: р0 = */3а.
12 .31(12.33). Конец А стержня АВ переме-
щается по прямолинейной направляющей CD
К задаче 12.31
с постоянной скоростью va- Стержень АВ все время проходит че-
рез качающуюся муфту О, отстоящую от направляющей CD на
расстоянии а. Приняв точку О за полюс, найти в полярных коор-
динатах г, ф скорость и ускорение точки М, находящейся на ли-
нейке на расстоянии b от ползуна А.
I) . ——г__________ О ,---- > -
Ответ: t) =^a2 sin2 фr2cos4 ф, w — — cos3 фдД + 3sin2 ф,
где г = д/а2 4-и2/2 — й, ф == arctg (vAt/a).
12.32(12.34). Точка М движется по винтовой линии. Уравнения
движения ее в цилиндрической системе координат имеют вид
г — а, ф = kt, z = vf.
104
Найти проекции ускорения точки на оси цилиндрической! си-
стемы координат, касательную и нормальную составляющие уско-
рения и радиус кривизны винтовой линии.
Ответ-. 1) wr = —ak2, wv = 0, wz = 0;
2) = 0, wn = ak2-,
3) p=4a2fe24-v2)/(afc2).
12 .33(12.35). Точка M движется по линии пересечения сферы
х2 + У2 + z2 = R2 и цилиндра (х— 7?/2)2 -f- у2 = 7?2/4. Уравнения
движения точки в сферических координатах имеют вид (см. за-
дачу 10.21)
г = R, ф = kt/2, 0 = kt/2.
Найти проекции и модуль ускорения точки в сферических ко-
ординатах.
Ответ-. wr = —(I 4- cos2 0), = — — sin 0,
we = — sin 0 cos 0, w — + sin20.
4 4 T
12.34(12.36). Корабль движется под постоянным курсовым
углом а к географическому меридиану, описывая при этом лок-
содромию (см. задачу 11.13). Считая, что модуль скорости v ко-
рабля не изменяется, определить проекции ускорения корабля на
оси сферических координат г, X и <р (Л — долгота, <р — широта
места плавания), модуль ускорения и радиус кривизны локсо-
дромии.
,, V1 V3 • .
Ответ: wr=------wK =---------r- sin a cos a tg <p,
«4 = —sin2 a tg ф, w = -^-Vl 4- sin2atg2<p,
V1 + sin3 e ig3 <p
г» о v sin p .
где R — радиус Земли, ф = <p0 4-------t-
12.35(12.37). Выразить декартовы координаты точки через то-
роидальные координаты г = С7И,ф и <р и определить коэффициенты
Ляме.
Ответ: 1) х = (а 4* г cos <p)cos ф, у = (а 4- г cos <p)sin ф, z =
= г sin <р;
2) Hr = 1, = а 4- г cos <р, Я,, = г.
12.36(12.38). Движение точки задано в тороидальной системе
координат г, ф и <р. Найти проекции скорости и ускорения точки
на оси этой системы отсчета.
Ответ: 1) 1>, = г, в1)1=(а4- г cos ф)ф, = г<р;
2) wr = ?— (а 4- г cos <p)cos <рф2 — гф2,
w^ = (a 4- г cos <р)ф 4- 2 cos ф/ф — 2r sin ффф,
о’ф = гф 4- 2/ф 4- (а 4* г cos ф) sin фф2.
105
12.37(12.39). Точка движется по винтовой линии, намотанной на
тор, по закону
г = R = const, ф = at, ф = kt.
Определить проекции скорости и ускорения точки в тороидаль-
ной системе координат (со >= const, k = const).
К задачам 12.35—12.37
Ответ: vr=0, Гф=(а + У? cos ф) со,
— Rk,
wr = — [ (a -f- R cos <p) cos ф<о2 -f- Rk2],
= —2Rak sin ф,
wv = co2 (а 4- R cos <p)sin ф.
12.38. Механизм робота-манипуля-
тора состоит из поворотного устрой-
ства 1, колонны для вертикального пе-
ремещения 2 и выдвигающейся руки
со схватом 3. Найти скорость и ускорение центра схвата при за-
данных ф(<), z(t). r(t).
w = VV — гф2)2 + (гф + 2f ф)2 + z2.
12.39. Вертикальная колонна, несущая руку робота-манипуля-
тора, может поворачиваться на угол ф. Рука со схватом поворачи-
К задаче 12.38
К Задаче 12.39
К задаче 12.40
вается на угол ft и выдвигается на расстояние г. Найти скорость
и ускорение центра схвата.
Ответ: v =* -у/г2 4~ г2#2 4- г2 sin2 Оф2,
w = [(г — rb2 — гф2 sin2 О)2 4- (ГО 4“ 2rv — гф2 sin О cos О')2 4-
4- (гф sin О 4- 2гф sin О 4- 2гфо cos О)2]7*.
12.40. Механизм робота-манипулятора состоит из поворотного
устройства с вертикальной осью (угол поворота — ф) и двух
звеньев, расположенных в вертикальной плоскости (углы поворота
106
звеньев — th и 02). Найти скорость центра схвата при переносе
Ответ-, v = + II + О2)2 + 2ZJ2 + О2) cos 02 +
4* {l\ sin 4- /2 sin (-&J 4- $2))2 Ф2 Л-
ГЛАВА IV
ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 13. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
13.1(13.1). Определить угловую скорость: 1) секундной стрелки
часов, 2) минутной стрелки часов, 3) часовой стрелки часов, 4) вра-
щен ня Земли вокруг своей оси, считая, что Земля делает один обо-
рот за 24 часа, 5) паровой турбины Лаваля, делающей 15000 об/мин.
Ответ: 1) и = л/30 рад/с = 0,1047 рад/с.
2) со = л/1 800 рад/с = 0,001745 рад/с.
3) <о = л/21 600 рад/с = 0,0001455 рад/с.
4) w = л/43 200 рад/с = 0,0000727 рад/с.
5) и = 1 571 рад/с.
13.2(13.2). Написать уравнение вращения диска паровой тур-
бины при пуске в ход, если известно, что угол поворота пропор-
ционален кубу времени и при t = 3 с угловая скорость диска
равна ю = 27л рад/с.
Ответ: ф = л/3 рад.
13.3(13.3). Маятник центробежного регулятора, вращающийся
вокруг вертикальной оси АВ, делает 120 об/мин. В начальный мо-
мент угол поворота был равен л/6 рад. Найти угол поворота и
угловое перемещение маятника за время t = 1/2 с.
13
Ответ: ф = -ц-л рад; Дф = 2л рад.
13.4(13.4). Тело, начиная вращаться равноускоренно из состоя-
ния покоя, делает 3600 оборотов в первые 2 минуты. Определить
угловое ускорение.
Ответ: е = л рад/с2.
13.5(13.5). Вал начинает вращаться равноускоренно из состоя-
ния покоя; в первые 5 с он совершает 12,5 оборота. Какова его
угловая скорость по истечении этих 5 с?
Ответ: со = Юл рад/с.
13.6(13.6). Маховое колесо начинает вращаться из состояния
покоя равноускоренно; через 10 мин после начала движения оно
имеет угловую скорость, равную 4л рад/с. Сколько оборотов сде-
лало колесо за этн 10 мин?
Ответ: 600 оборотов.
13.7(13.7). Колесо, имеющее неподвижную ось, получило на-
чальную угловую скорость 2л рад/с; сделав 10 оборотов, оно вслед-
107
ствие трения в подшипниках остановилось. Определить угловое
ускорение е колеса, считая его постоянным.
Ответ-, е = 0,1л рад/с2, вращение замедленное.
13.8(13.8). С момента выключения мотора пропеллер самолета,
вращавшийся с угловой скоростью, равной 40л рад/с, сделал до
остановки 80 оборотов. Сколько времени прошло с момента вы-
ключения мотора до остановки, если считать вращение пропеллера
равнозамедленным?
Ответ: 8 с.
13.9(13.9). Тело совершает колебания около неподвижной осн,
причем угол поворота выражается уравнением
Ф = 20° sin ф,
К задаче 13.10
где угол -ф выражен в угловых градусах зависимостью -ф =(2/)°,
причем t обозначает секунды. Определить угловую скорость тела
в момент t = 0, ближайшие моменты t\ и t2, в которые изменяется
направление вращения, и период колебания Т.
Ответ: (о = -д^-л2 рад/с, Zt = 45 с, 4=135 с, 7=180 с-
13.10(13.10). Часовой балансир совершает крутильные гармо-
нические колебания с периодом 7=1/2 с. Наибольший угол от-
клонения точки обода балансира от по-
ложения равновесия а = л/2 рад. Найти
угловую скорость и угловое ускорение
баланса через 2 с после момента, когда
балансир проходит положение равно-
весия.
Ответ: со = 2л2 рад/с, е = 0.
13.11(13.11). Маятник колеблется в
вертикальной плоскости около неподвиж-
ной горизонтальной оси О. Выйдя в на-
чальный момент из положения равнове-
сия, он достигает наибольшего отклоне-
ния а = л/16 рад через 2/3 с.
1) Написать закон колебаний маятника, считая, что он совер-
шает гармонические колебания.
2) В каком положении маятник будет иметь наибольшую угло-
вую скорость и чему оиа равна?
Ответ: 1) ф = -^|-sinрад.
2) В отвесном положении; сотах=-^-л2 рад/с2.
VT1
13.12(13.12). Определить скорость v и ускорение w точки, на-
ходящейся на поверхности Земли в Ленинграде, принимая во вни-
мание только вращение Земли вокруг своей оси; широта Ленин-
града 60°, радиус Земли 6370 км.
Ответ: v = 232 м/с, w =0,0169 м/с2,
108
К задаче 13.14
13.13(13.13). Маховое колесо радиуса 0,5 м вращается равно-
мерно вокруг своей оси; скорость точек, лежащих на его ободе,
равна 2 м/с. Сколько оборотов в минуту делает колесо?
Ответ: п = 38,2 об/мнн.
13.14(13.14). Точка А шкива, лежащая на его ободе, движется
со скоростью 50 см/с, а некоторая точка В, взятая на одном ра-
диусе с точкой Л, движется со скоростью 10 см/с;
расстояние АВ = 20 см. Определить угловую ско-
рость о и диаметр шкива.
Ответ: (о = 2 рад/с, d = 50 см.
13.15(13.16). Маховое колесо радиуса /?=2м
вращается равноускоренно из состояния покоя;
через /= 10 с точки, лежащие на ободе, обла-
дают линейной скоростью v = 100 м/с. Найтн
скорость, нормальное и касательное ускорения
точек обода колеса для момента t — 15 с.
Ответ: v = 150 м/с, wn = 11250 м/с2, оч = 10 м/с2.
13.16(13.16). Найти горизонтальную скорость и, которую нужно
сообщить телу, находящемуся на экваторе, для того чтобы оно,
двигаясь равномерно вокруг Земли по экватору в особых направ-
ляющих, имело ускорение свободного падения. Определить также
время Т, по истечении которого тело вернется в первоначальное
положение. Радиус Земли /? = 637-106 см, а ускорение силы тя-
жести на экваторе g ==• 978 см/с2.
Ответ: v = 7,9 км/с, Т = 1,4 ч.
13.17(13.17). Угол наклона полного ускорения точки обода ма-
хового колеса к радиусу равен 60°. Касательное ускорение ее в дан-
ный момент (£^=10^3 м/с2. Найтн нормальное
ускорение точки, отстоящей от оси вращения на
расстоянии г = 0,5 м. Радиус махового колеса
R = 1 м.
Ответ: Wn = 5 м/с2.
13.18(13.18). Вал радиуса R и 10 см приво-
дится во вращение гирей В, привешенной к нему
на нити. Движение гири выражается уравнением
х = 100/2, где х — расстояние гири от места
схода нити с поверхности вала, выраженное в
сантиметрах, t — время в секундах. Определить
угловую скорость w н угловое ускорение е вала, а также полное
ускорение w точки на поверхности вала в момент t.
Ответ: (о = 20/ рад/с, е = 20 рад/с2, w = 200 д/1 + 400/4 см/с8.
13.19(13.19). Решить предыдущую задачу в общем виде, выра-
зив ускорение точек обода колеса через пройденное гирей расстоя-
ние х, радиус колеса R и ускорение гири х = w0 = const.
Ответ: w = w0 V1 + 4х2//?2.
13.20(13.20). Стрелка гальванометра длины 3 см колеблется во-
круг неподвижной оси по закону <р = фо sin kt. Определить ускоре-
109
ние конца стрелки в ее среднем и крайних положениях, а также
моменты времени, при которых угловая скорость и> н угловое уско-
рение е обращаются в нуль, если период колебаний равен 0,4 с,
а угловая амплитуда <р0 == л/30.
Ответ: 1) В среднем положении стрелки ау-=8,1 см/с2,
2) В крайних положениях стрелки w = 77,5 см/с2.
3) со = 0 при t =(0,1 + 0,2п) с (п = 0, 1, 2, .,
4) в = 0 при t = 0,2п с (п = 0, 1,2, ...).
§ 14. Преобразование простейших движений твердого тела
14.1(14.1). Угловая скорость зубчатого колеса 1 диаметра
Di = 360 мм равна 10л/3 рад/с. Чему должен равняться диаметр
зубчатого колеса II, находящегося с колесом I во внутреннем за-
цеплении, угловая скорость ко-
торого в три раза больше угло-
вой скорости колеса /?
Ответ: D?= 120 мм.
14.2(14.2). Редуктор скоро-
сти, служащий для замедления
вращения и передающий вра-
щение вала I валу II, состоит
из четырех шестерен с соответ-
ствующим числом зубцов: zi =
= 10, Z2 = 60, z3 = 12, z4 = 70.
Определить передаточное отно-
шение механизма.
Ответ: im — <oi/a>n = 35.
приводится в движение из со-
К задаче 14.1
14.3(14.3). Станок со шкивом А
стояния покоя бесконечным ремнем от шкнва В электромотора;
радиусы шкивов: п = 75 см, г2 — 30 см; после пуска в ход электро-
мотора его угловое ускорение равно 0,4л рад/с2. Пренебрегая
К задаче 14Л
скольжением ремня по шкивам, определить через сколько времени
угловая скорость станка будет равна Юл рад/с.
Ответ: 10 с.
14.4(14.4). В механизме стрелочного индикатора движение от
рейки мерительного штифта 1 передается шестерне 2, на оси ко-
торой укреплено зубчатое колесо 3, сцепляющееся с шестерней 4,
ПО
несущей стрелку. Определить угловую скорость стрелки, если дви-
жение штифта задано уравнением х = a sin kt и радиусы зубча-
тых колес соответственно равны л2, га и
Ответ'. Иа = ak cos kt.
14.5(14.5). В механизме домкрата при вращении рукоятки А
начинают вращаться шестерни 1, 2, 3, 4 и 5, которые приводят
в движение зубчатую рейку В домкрата. Определить скорость по-
следней, если рукоятка А вращается с угловой скоростью, равной
К задаче 14.5
М>
К задаче 14.7
я рад/с. Числа зубцов шестерен: Zi = 6, z2 = 24, z3 = 8, z4 = 32;
радиус пятой шестерни rs = 4 см.
Ответ: ов*=7,8 мм/с.
14.6(14.6). Для получения периодически изменяющихся угло-
вых скоростей сцеплены два одинаковых эллиптических зубчатых
колеса, из которых одно вращается равномерно вокруг оси О,
с угловой скоростью io = 9л рад/с, а другое приводится первым во
вращательное движение вокруг оси Оь
Осн О и Oi параллельны и проходят
через фокусы эллипсов. Расстояние
ОО\ равно 50 см, полуоси эллипсов 25
и 15 см. Определить наименьшую и
наибольшую угловые скорости коле-
са Oi,
Ответ: Ыгпш = л рад/с, (Отах = У
= 81л рад/с.
14.7(14.7). Вывести закон передачи
вращения пары эллиптических зубча-
тых Колес с полуосями а и Ь. Угловая
скорость колеса I цц = const. Расстоя-
ние между осями O\Oz = 2a, ф— угол,
образованный прямой, соединяющей осн _______
осью эллиптического колеса I. Оси проходят через фокусы эл-
липсов.
д2 _ с2 .
Ответ: а2 = -2-_ 2nc cos ф + с2 W с —линейный эксцентриси-
тет эллипсов; с — — b2.
вращения, н большой
111
14.8(14.8). Найти наибольшую и наименьшую угловые скорости
овального колеса О2, сцепленного с колесом Оь угловая скорость
которого равна 8л рад/с. Оси вращения колес находятся в центрах
овалов. Расстояние между осями равно 50 см. Полуоси овалов
равны 40 и 10 см.
Ответ: сот1п = 2л рад/с, wmax == 32л рад/с.
14.9(14.9). Определить, через какой промежуток времени зубча-
тое коническое колесо Oi радиуса Г] = 10 см будет иметь угловую
К задаче 14.8 К задаче 14.9
скорость, равную 144л рад/с, если оно приводится во вращение из
состояния покоя таким же колесом О2 радиуса г2 = 15 см, вра-
щающимся равноускоренно с угловым ускорением 4л рад/с2.
Ответ: t =« 24 с.
14.10(14.10). Ведущий вал I фрикционной передачи вращается
с угловой скоростью со = 20л рад/с и на ходу передвигается (на-
правление указано стрелкой) так, что расстояние d меняется по
закону d = (10 — 0,50 см (t — в секундах).
Определить: 1) угловое ускорение вала II как функцию рас-
стояния d\
2) ускорение точки на ободе колеса В в момент, когда d — г,
даны радиусы фрикционных колес: г — 5 см, R = 15 см.
Ответ: 1) 8 — рад/с2, 2) w =* 30л V^O 000л2 -+-1 см/с2.
14.11(14.11). Найти закон движения, скорость и ускорение пол-
зуна В кривошипно-ползунного механизма ОАВ, если длины ша-
туна и кривошипа одинаковы: АВ = ОА = г, а вращение криво-
шипа ОА вокруг вала О равномерно: со = ы0. Ось х направлена
112
по направляющей ползуна. Начало отсчета расстояний — в центре
О кривошипа.
Ответ: x = 2r cos toot, vx= — 2гь>0 sin <вц/, wx = — to2x.
14.12(14.12). Определить закон движения, скорость и ускоре-
ние ползуна В кривошипно-ползунного механизма, если кривошип
ОА вращается с постоянной угловой ско-
ростью (оо. Длина кривошипа О А = г, дли-
на шатуна АВ =1.
Ось Ох направлена по направляющей
ползуна. Начало отсчета — в центре О
К задаче 14.12
К задаче 14.13
кривошипа. Отношение r/l — 'K следует считать весьма малым
(X 1); а = toot-
(X \ Л
cos OqI 4- -у cos 2со0м 4-1-— г,
vx = — га0 ( sin toQl 4- -у sin 2<о01) ,
wx = — га2 (cos aot 4- X cos 2©0Z).
14.13(14.13). Найти закон движения стержня, если диаметр
эксцентрика d = 2г, а ось вращения О находится от оси диска С
на расстоянии ОС = а, ось Ох направлена по стержню, начало от-
счета — на оси вращения, а/г = X.
Ответ: х = а cos ф 4_ r V1 — X2 s’n2 Ф-
14.14(14.14). Написать уравнение движения поршня нецентраль-
ного кривошипно-ползунного механизма. Расстояние от оси вра-
щения кривошипа до направляю-
щей линейки h, длина кривошипа
г, длина шатуна /; ось Сх направ-
лена по направляющей ползуна.
Начало отсчета расстояний — в
крайнем правом положении пол-
зуна; IJr — K h/r = k, ф = toOt.
Ответ: х —г[У(Х 4- I)2 — k2—
— -у/л2 — (sin ф 4- k}2 — cos ф]-
К аздаче 14.14
14.15(14.15). Кулак, равномерно вращаясь вокруг осн О, соз-
дает равномерное возвратно-поступательное движение стержня
АВ. Время одного полного оборота кулака 8 с, уравнения движения
113
стержня в течение этого времени имеют вид (х — в сантиметрах,
t — в секундах)
( 30 + 56 0 </<4,
ХД70-56 4</<8.
Определить уравнения контура кулака и построить график движе-
ния стержня.
Ответ: г —«
30+ — ф,
7А 20
70---Ф,
О^ф ++,
л ^Ф <^2л.
К аадаче 14.16
К ответу задачи 14.15
14.16(14.16). Найти закон движения и построить график воз-
вратно-поступательного движения стержня АВ, если задано урав-
нение профиля кулака
г=/20-\—— ф см, 0 < ф < 2л.
Кулак равномерно вращается с
|л рад/с.
угловой скоростью, равной
К задаче 14.16
Ответ: х —20+101 за время одного оборота кулака (3 с),
после чего движение периодически повторяется.
14.17(14.17). Написать уравнение контура кулака, у которого
полный ход стержня h = 20 см соответствовал бы одной трети обо-
рота, причем перемещения стержня должны быть в это время про-
порциональны углу поворота. В течение следующей трети оборота
стержень должен оставаться неподвижным, и, наконец, на протя-
жении последней трети он должен совершать обратный ход при
тех же условиях, что и на первой трети. Наименьшее расстояние
конца стержня от центра кулака равно 70 см.
114
Ответ: Контур кулака, Соответствующий первой трети оборота,
представляет архимедову спираль:
г = ф + 70) см.
Второй трети оборота соответствует окружность радиуса г = 90 см.
Для последней трети оборота контур кулака представляет собой
также архимедову спираль:
г = (90 — -^-ф)см.
14.18(14.88). Найти, на какую длину опускается стержень, опи-
рающийся своим концом о круговой контур радиуса г = 30 см ку-
лака, движущегося возвратно-поступательно со скоростью v =
— 5 см/с. Время опускания стержня I = 3 с. В начальный момент
стержень находится в наивысшем положении.
Ответ: h = 4,020 см.
14.19(14.19). Найтн ускорение кругового поступательного дви-
жущегося кулака, если при его равноускоренном, движении без
начальной скорости стержень опустился за 4 с из наивысшего по-
ложения на h = 4 см. Радиус кругового контура кулака г = 10 см.
(См. рисунок к задаче 14.18.)
Ответ: w = 1 см/с2.
ГЛАВА V
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 15. Уравнения движения плоской фигуры
15.1(15.1). Линейка эллипсографа приводится в движение кри-
вошипом ОС, вращающимся с постоянной угловой скоростью и0
вокруг осн О. Приняв ползун В за полюс, написать уравнения пло-
ского движения линейки эллипсографа, есла ОС = ВС = АС = г.
В начальный момент линейка АВ была расположена горизонтально.
Ответ: хв = 2г cos aot, у в = 0, <ps = —o0i.
15.2(15.2). Колесо радиуса R катится без скольжения по гори-
зонтальной прямой. Скорость центра С колеса постоянная и равна о.
115
Определить уравнения движения колеса, если в начальный мо-
мент ось у', жестко связанная с колесом, была вертикальна, а не-
подвижная ось у проходила в это время через центр С колеса. За
полюс принять точку С.
v ”
Ответ-. xc — vt, yc = R> —
15.3(15.3). Шестеренка радиуса г, катящаяся по неподвижной
шестеренке радиуса R, приводится в движение кривошипом ОА,
вращающимся равноускоренно с угловым ускорением е0 вокруг оси
К задаче 15.1
К задаче 15 3
О неподвижной шестеренки. Составить уравнения движения под-
вижной шестеренки, приняв за полюс ее центр А, если при t — 0
угловая скорость кривошипа <оо = 0 и начальный угол поворота
Фо = О.
Ответ: хл = (Я4-г)со5-^, уА = (R -|- г) sin —, ф,=
Ной
где Ф1 — угол поворота подвижной шестеренки.
15.4(15.4). Шестеренка радиуса г, катящаяся внутри неподвиж-
[ шестеренки
радиуса R, приводится в движенйе кривошипом
ОА, вращающимся равномерно вокруг оси
О неподвижной шестеренки с угловой ско-
ростью и0. При t = 0 угол фо = 0. Соста-
вить уравнения движения подвижной ше-
стеренки, приняв ее центр А за полюс.
Ответ: xA = (R — г) cos со0/,
Рл = G? — г) sin <оо/, ф, = — (R/r — 1)сос/,
где ф1 — угол поворота подвижной шесте-
ренки; знак минус
ренка вращается в
иую кривошипу.
уравнения движения
показывает, что шесте-
сторону, противополож-
шатуна, если кривошип
15.5(15.5). Найти ..
вращается равномерно; за полюс взять точку А на оси пальца
кривошипа; г — длина кривошипа, I — длина шатуна, соо — угловая
скорость кривошипа. При t = 0 угол а = 0.
Ответ: х = г cos <V, у = г sin ьа0/, ф= — arcsin sinc^/J.
116
15.6(15.7). Муфты Д и В, скользящие вдоль прямолинейных на-
правляющих, соединены стержнем АВ длины /. Муфта А движется
с постоянной скоростью va- Написать уравнения движения стержня
К задаче 15.5 К задаче 15.6
ДВ, предполагая, что муфта А начала двигаться от точки О. За
полюс принять точку А. Угол ВОА равен л — а.
Ответ! ХЛ— — vAt cos а, уА = vAt sin а, ф = arcsin -у- sin а).
15.7(15.8). Конец А стержня АВ скользит по прямолинейной
направляющей с постоянной скоростью п, причем стержень при
движении опирается на штифт D. Написать уравнения движения
стержня и его конца В. Длина стержня равна I, превышение
штифта D над прямолинейной направляющей равно Н. В начале
движения конец стержня Д совпадал с точкой О — началом не-
подвижной системы координат; ОМ = а. За полюс принять точку Д.
Ответ: xA = vt, уА = 0, (p = arctg
... a — vt Hl
XB = Vt + I - F=. - yB = .
V//2 + (a-o/)s V/72 4-(a - of)2
15.8(15.9). Кривошип О1Д длины a/2 вращается с постоянной
угловой скоростью со. С кровошипом в точке А шарнирно соединен
стержень ДВ, проходящий все время через качающуюся муфту О.
причем 001 = a/2. Найти уравнения движения стержня ДВ и
траекторию (в полярных и декартовых координатах) точки М, на-
ходящейся на стержне на расстоянии а от шарнира А. За полюс
принять точку Д.
Ответ 1) хл = у (1 + cos 0)1), УА=^~ sin со/, ф == -у-,
117
2) Кардиоида: p = a(cos<p—1), х2 4-у2 — а(х — д/х2 + У2)-
15.9(15.11). Кривошип ОА антипараллелограмма OABOi, по-
ставленного на большое звено OOi, равномерно вращается с угло-
вой скоростью <о. Приняв за полюс точку А, составить уравнения
движения звена АВ, если ОА = OtB = а и OOi = АВ — b (а < Ь)’,
в начальный момент кривошип ОА был направлен по OOi.
Ответ: хд = а cos at, цд = а sin at, а —2 arete - sin a- , .
Л T b — a cos cd*
15.10(15.12). Кривошип ОА антипараллелограмма OABOi, по-
ставленного на малое звено OOi, равномерно вращается с угловой
К задаче 15.10
скоростью <о. Приняв за полюс точку А, составить уравнения дви-
жения звена АВ, если ОА = OiB = а и OOi = АВ = Ь (а>Ь)',
в начальный момент кривошип ОА был направлен по
Ответ: хл = а cos at, уА — а sin at, <р = 2 arcctg cos ,
§ 16. Скорости точек твердого тела в плоском
движении. Мгновенный центр скоростей
16.1(16.1). Направив ось перпендикулярно скорости любой из
точек плоской фигуры, показать, что проекции на эту ось скоростей
всех лежащих на ней точек равны нулю.
16.2. Колесо катится по наклонной плоскости, образующей угол
30° с горизонтом. Центр О колеса движется по закону хо = 10/2см,
_________. где х — ось, направленная параллельно на-
g / А. . клонной плоскости. К центру О колеса подве-
шен стержень ОА =36 см, качающийся вокруг
\ горизонтальной оси О, перпендикулярной пло-
скости рисунка, по закону q> = -y-sin-^-f рад.
К задаче 16.2 Найти скорость конца А стержня АО В MO-,
мент времени t = 1 с.
Ответ: скорость равна 2,8 см/с и направлена параллельно на-
клонной плоскости вниз.
16.3(16.4). При движении диска радиуса г = 20 см в вертикаль-
ной плоскости ху его центр С движется согласно уравнениям
118
Хс= ю/ м, ус = (100 — 4,9/2)’ м. При этом диск вращается вокруг
горизонтальной оси С, перпендикулярной плоскости диска, с по-
стоянной угловой скоростью со = л/2 рад/с. Определить в момент
времени t = 0 скорость точки А, лежа-
щей на ободе диска. Положение точки А
на диске определяется углом <р = со/, от-
считываемым от вертикали против хода
часовой стрелки.
Ответ: Скорость направлена по гори-
зонтали вправо и равна по модулю
.10,31 м/с.
16.4(16.5). Сохранив условие преды-
дущей задачи, определить скорость точки
А в момент времени t = 1 с.
Ответ: vak = 10 м/с, — —9,49 м/с,
va = 13,8 м/с.
16.5(16.6). Два одинаковых диска радиуса г каждый соединены
цилиндрическим шарниром А. Диск I вращается вокруг неподвиж-
ной горизонтальной оси О по закону ф =
= Ф(/). Диск II вращается вокруг горизон-
тальной оси А согласно уравнению ф =
= ф(/). Оси О и А перпендикулярны пло-
скости рисунка. Углы ф и ф отсчитываются
от вертикали против хода часовой стрелки.
Найти скорость центра С диска II.
Ответ: vCx = г (ф cos ф 4- ф cos ф),
vCg — г (ф sin ф -}- ф sin ф),
fc = г ^Ф2 + 'Ф2 + 2ффСО5 (ф—ф)-
16.6(16.7). Сохранив условие предыдущей
рость точки В диска II, если Z-ДСВ = л/2.
Ответ:
vBx = г [ф cos ф + д/2ф cos (45° + ф)],
vBy — г [ф sin ф 4- д/2ф sin (45° 4- ф)],
vB — г л/ф2 + 2Ф2 4- 2 -у^2фф cos [45° — (ф — ф)].
16.7(16.8). Стержень АВ длины 1 м дви-
жется, опираясь все время своими концами
на две взаимно перпендикулярные прямые Ох
динаты х и у мгновенного центра скоростей в
угол О АВ = 60°.
Ответ: х = 0,866 м, у = 0,5 м.
К задаче 16.5
К задаче 16.7
и Оу. Найти коор-
тот момент, когда
задачи, найти ско-
16.8(16.10). Доска складного стола, имеющая форму прямо-
угольника со сторонами а и Ь, поворотом вокруг оси шипа О пере-
водится из положения ABCD в положение A\BiC\D\ и, будучи
119
разложена, образует прямоугольник со сторонами b и 2а. Найти
положение оси шипа О относительно сторон АВ и AD,
Ответ: xo = -j, у0 = ~ — .
16.9(16.11). Прямая АВ движется в плоскости рисунка. В неко-
торый момент времени скорость va точки А составляет с прямой
АВ угол 30° и равна 180 см/с, направление скорости точки В в этот
К задаче 16.9
К задаче 16.10
момент совпадает с направлением прямой АВ. Определить скорость
vB точки В.
Ответ: vb = 156 см/с.
16-10(16.12). Прямая АВ движется в плоскости рисунка, при-
чем конец ее А все время находится на полуокружности CAD,
а сама прямая все время проходит через неподвижную точку С
диаметра CD. Определить скорость vc точки прямой, совпадающей
с точкой С, в тот момент, когда радиус ОА перпендикулярен CD,
если известно, что скорость точки А в
этот момент 4 м/с.
Ответ: vc — 2,83 м/с.
16.11. Стержень АВ длины 0,5 м
движется в плоскости рисунка. Ско-
рость va (va = 2 м/с) образует угол
45° с осью х, совмещенной со стержнем.
D
К задаче 16.12
£ А
К задаче 16.11
Скорость vb точки В образует угол 60° с осью х. Найти модуль
скорости точки В и угловую скорость стержня.
Ответ: vb = 2,82 м/с, о = 2,06 рад/с.
16-12. Точильный станок приводится в движение педалью
ОД =24 см, которая колеблется около оси О по закону
<р = -^ sin t рад (угол <р отсчитывается от горизонтали). Точиль-
ный камень К вращается вокруг оси О} с помощью стержня АВ.
Оси О н 01 перпендикулярны плоскости рисунка. Найти скорость
120
точки D, лежащей на ободе точильного камня К радиуса 7? = 2BOt,
при 7 = 0, если в этот момент ОА и OjB расположены горизон-
тально.
Ответ-, vd = 39,44 см/с.
16.13. На рисунке изображен суммирующий механизм. В него
входят стержни 1 и 2, движущиеся вдоль вертикальных направ-
ляющих. Эти стержни соединены с ко-
ромыслом АВ цилиндрическими шар-
нирами, скользящими в пазах коро-
мысла. Стержни движутся со скоро-
стями щ и V2- Показать, что скорость
стержня 3, соединенного с центром О
коромысла АВ и скользящего в вер-
тикальных направляющих, равна по
модулю
Я
К задаче 16.13
Ь , а
а + b °* а + Ь °2’
где а и b — размеры, указанные на рисунке. Найти также угловую
скорость коромысла АВ.
Ответ: о =» — q—cos2 а при Vi > v2.
16.14(16.14). Стержень ОВ вращается вокруг оси О с постоян-
ной угловой скоростью о = 2 с-1 и приводит в движение стержень
AD, точки А и С которого движутся по осям: А — по горизонталь-
К задаче 16.14
К задаче 16.15
ной Ох, С—по вертикальной Оу. Определить скорость точки D
стержня при ф = 45° и найти уравнение траектории этой точки,
если АВ = ОВ — ВС = CD = 12 см.
Ответ: vD = 53,66 см/с, = 1.
16.15(16.15). В кривошипном механизме длина кривошипа
ОА = 40 см, длина шатуна АВ = 2 м; кривошип вращается равно-
мерно с угловой скоростью, равной 6л рад/с. Найти угловую ско-
рость to шатуна и скорость средней его точки М при четырех поло-
жениях кривошипа, для которых угол АОВ соответственно равен О,
л/2, л, Зл/2.
121
Ответ-. I. <о==—-|л рад/с, vM^=377 см/с. II. <о = 0, vM~
= 764 см/с. Ill- <о = -|-л рад/с, vM = 377 см/с, IV. w = 0, vM —
= 754 см/с. Знак минус в выражении <о указывает, что шатун
вращается в сторону, противоположную кривошипу.
16.16(16.16). Найти скорость ползуна В нецентрального криво-
шипного механизма при двух горизонтальных и двух вертикальных
положениях кривошипа, вращающегося вокруг вала О с угловой
скоростью <0=1,5 рад/с, если ОА = 40 см, АВ = 200 см,
ОС = 20 см.
Ответ: «! = и3 = 6,03 см/с, и2 = Щ = 60 см/с.
16.17(16.17). Определить скорость точки К четырехзвенного ме-
ханизма OABOi в положении, указанном на рисунке, если звено
ОА длины 20 см имеет в данный момент угловую скорость 2 рад/с.
Точка К расположена в середине стержня BOt.
Ответ: 20 см/с.
К задаче 16.19
К задаче 16.18
16.18(16.18). Определить скорость поршня Е приводного ме-
ханизма насоса в положении, указанном на рисунке, если О А =
= 20 см, OiB = O\D. Кривошип ОА вращается равномерно с угло-
вой скоростью 2 рад/с.
Ответ: 46,2 см/с.
16.16(16.19). Стержни О1Д и О2В, соединенные со стержнем
АВ посредством шарниров А и В, могут вращаться вокруг непод-
вижных точек 01 и О2, оставаясь в одной плоскости и образуя
шарнирный четырехзвенник. Дано: длина стержня О [А = а и его
122
угловая скорость со. Определить построением ту точку М стержня
АВ, скорость которой направлена вдоль этого стержня, а также
найти величину скорости v точки М в тот момент, когда угол 0{АВ
имеет данную величину а.
Ответ', vm — асо sin а.
16.20(16.20). Угловая скорость стержня OiA шарнирного четы-
рехзвенника равна ©b
Выразить угловую скорость ©2 стержня О2В через ©t и крат-
чайшие расстояния OiD и О2Е от осей вращения стержней OiA
и О2В до шатуна АВ.
„ O,D
Ответ: ©2 = ©!-^.
16.21(16.21). В шарнирном четырехзвеннике ABCD ведущий
кривошип АВ вращается с постоянной угловой скоростью ©^ =-•
К задаче 16.21
= 6л рад/с. Определить мгновенные угловые скорости кривошипа
CD и стержня ВС в тот момент, когда кривошип АВ и стержень
ВС образуют одну прямую, если ВС = ЗАВ.
Ответ: шве = 2п рад/с, ©со = 0.
16.22(16.22). К середине D стержня АВ шарнирного паралле-
лограмма OABOi присоединен
К задаче 1622
с помощью шарнира D стержень
DE, приводящий в возвратно-по-
ступательное движение ползун К.
Определить скорость ползуна К
и угловую скорость стержня DE
в положении, указанном на
К задаче 16.23
рисунке, если ОА = О[В = 2DE = 20 см, а угловая скорость звена
ОА равна в данный момент 1 рад/с.
Ответ: vK = 40 см/с, юв£ = 3,46 рад/с.
16.23(16.23). Ползуны В и Е сдвоенного кривошипно-ползун-
ного механизма соединены стержнем BE. Ведущий кривошип ОА и
ведомый кривошип OD качаются вокруг общей неподвижной оси
О, перпендикулярной плоскости рисунка.
123
Определить мгновенные угловые скорости ведомого кривошипа
OD и шатуна DE в тот момент, когда ведущий кривошип О/
имеющий мгновенную угловую скорость <а0 = 12 рад/с, перпен-
дикулярен направляющей ползунов. Даны размеры: ОА = 10 см,
OD — 12 см, ЛВ = 26см, ЕВ — 12 см,
DE = 12 -\/3 см.
Ответ: v>OD = 10 -\/3 рад/с,
«о£ = -т-д/3 рад/с.
16.24(16.24). Поршень D гидравличе-
ского пресса приводится в движение по-
средством шарнирно-рычажного механизма
OABD. В положении, указанном на рисун-
ке, рычаг OL имеет угловую скорость ю =
= 2 рад/с. Определить скорость поршня D и угловую скорость
звена АВ, если ОА = 15 см.
Ответ: vd = 34,6 см/с, соЛВ — 2 рад/с.
16.25(16.25). Подвижное лезвие L ножниц для резки металла
приводится в движение шарнирно-рычажным механизмом AOBD.
Определить скорость шарнира D и угловую скорость звена BD,
если в положении, указанном на рисунке, угловая скорость рычага
,, АВ равна 2 рад/с, ОВ = 5 см,
OiD = \Ocm.
д![ Ответ: vd = 8,65 см/с, ыВо =
=0,87 рад/с.
' 16.26(16.27). В машине с качаю-
•7^ щимся цилиндром длина кривошипа
к задаче 16.26 о А = 12 см, расстояние между осью
вала и осью цапф цилиндра
ОО} = 60 см, длина шатуна ДВ = 60 см. Определить ско-
рость поршня при четырех положениях кривошипа, указанных на
рисунке, если угловая скорость кривошипа ы — 5 рад/с = const.
Ответ: vt — 15 см/с, vUi = 10 см/с, = uIV = 58,88 см/с.
124
16.27(16.28). В машине с качающимся цилиндром длина криво-
шипа ОА = 15 см, угловая скорость кривошипа <о0 = 15 рад/с =
= const. Найти скорость поршня и угловую скорость цилиндра
в момент, когда кривошип перпендикулярен шатуну. (См. рисунок
к задаче 16.26.)
Ответ: v = 225 см/с, со = 0.
16.28(16.29). Кривошипный механизм связан шарнирно в сере-
дине С шатуна со стержнем CD, а последний — со стержнем DE,
который может вращаться вокруг ш ,
оси Е. _____А______с
Определить угловую скорость ® /У
стержня DE в указанном на рисунке //
положении кривошипного механиз-
ма, если точки В и Е расположены
на одной вертикали; угловая ско-
рость ю кривошипа ОА равна 8 рад/с,
О А = 25 см, DE = 100 см, /LCDE =>
= 90° И Z BED = 30°. К задаче 16.28
Ответ: (£>De = 0,5 рад/с.
16.29(16.30). Катушка радиуса В катится по горизонтальной
плоскости НН без скольжения. На средней цилиндрической части
К задаче 16.30
направлению.
К задаче 16.31
катушкн радиуса г намотана нить, конец которой В обладает при
этом движении скоростью и по горизонтальному
Определить скорость и перемещения оси катушки.
Ответ: v = и ----.
Л — г
16.30(16.31). Цепная передача в велосипеде со-
стоит из цепи, охватывающей зубчатое колесо А
с 26 зубцами и шестерню В с 9 зубцами. Шестерня
В неизменно соединена с задним колесом С, диа-
метр которого равен 70 см. Определить скорость ве-
лосипеда, когда колесо А делает в секунду один
оборот, а колесо С катится при этом без скольжения по прямоли-
нейному пути.
Ответ: 22,87 км/ч.
16.31(16.32). Колесо радиуса R = 0,5 м катится без скольжения
по прямолинейному участку пути; скорость центра его постоянна
и равна vo = 10 м/с. Найти скорости концов М2, М3 и М4
125
вертикального и горизонтального диаметров колеса. Определить'
его угловую скорость.
Ответ: ui=0, t>2 = 14,14 м/с, t»3 = 20 м/с, сц = 14,14 м/с,
со = 20 рад/с.
16.32. На рисунке изображен суммирующий механизм. Две па-
раллельные рейки 1 и 2 движутся в одну сторону с постоянными
К задаче 16-32
К задаче 16.33
скоростями щ и и2. Между рейками зажат диск радиуса г, катя-
щийся по рейкам без скольжения. Показать, что скорость средней
рейки 3, присоединенной к оси С диска, равна полусумме скоростей
реек 1 и 2. Найти также угловую скорость диска.
Ответ: со = -‘ -V2
16.33. Подвижный блок 1 и неподвижный блок 2 соединены не-
растяжимой нитью. Груз К, прикрепленный к концу этой нити,
К задаче 16 34
опускается по вертикали вниз по
закону х = 2t2 м. Определить ско-
рости точек С, D, В и Е, лежащих
на ободе подвижного блока, в мо-
мент t = 1 с в положении, указан-
ном на рисунке, если радиус по-
движного блока 1 равен 0,2 м, а
CD ± BE. Найти также угловую
скорость блока 1.
Ответ: пс = 0, во = 2 м/с, vB =
= о£ = 2 д/2 м/с, о) =10 рад/с.
16.34. Груз К, связанный посред-
ством нерастяжимой нити с катуш-
кой L, опускается вертикально вниз
по закону х = В м. При этом ка-
тушка L катится без скольжения по
неподвижному горизонтальному рельсу. Определить скорости то-
чек С, А, В, О и Е катушки с момент 1=1 св положении, ука-
занном на рисунке, а также угловую скорость катушки, если
AD _L ОЕ, a OD 2ОС = 0,2 м.
Ответ: вс = 0, vA = 6 м/с, vB — 4 м/с, v0 = 2 м/с, ve =-
— 4,46 м/с, со = 20 рад/с.
126
16.35(16.34). Кривошип ОА, вращаясь с угловой скоростью
©о = 2,5 рад/с вокруг оси О неподвижного колеса радиуса г2 =
= 15 см, приводит в движение насаженную на его конец А шесте-
ренку радиуса г\ = б см. Определить величину и направление ско-
ростей точек А, В, С, D и Е подвижной шестеренки, если СЕ .LBD.
Ответ: va = 50 см/с, vb = 0, vD = 100 см/с, vc = ve = 70,7 см/с.
К задаче 16.35
К задаче 16.33
16.36(16.35). На ось О насажены зубчатое колесо К диаметра
20 см и кривошип ОА длиной 20 см, не связанные между собой.
С шатуном АВ наглухо скреплено зубчатое колесо L диаметра
20 см, длина шатуна АВ = 1 м. Колесо К вращается равномерно
с угловой скоростью равной 2л рад/с, и, захватывая зубья колеса
L, приводит в движение шатун Л В и кривошип ОА. Определить
угловую скорость Ш| кривошипа ОА в четырех его положениях:
двух горизонтальных и двух вертикальных.
Ответ: I. <в(=-^л рад/с, III. ©i = ^-л рад/с, II. ©, = л рад/с,
IV- «>! = л рад/с.
угловой скоростью
АВ оканчивается
16.37. Кривошип ОА = 20 см вращается вокруг неподвижной
оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, с
2 рад/с. На его конец А цасажена шесте-
ренка 2 радиуса 10 см, находящаяся во
внутреннем зацеплении с неподвижным ко-
лесом 1, соосным с кривошипом ОА. Опре-
делить скорости точек В, С, D и Е, лежащих
на ободе шестеренки 2, если BD Л_ ОС.
Ответ: vc = 0, vB = vD — 40 д/2 см/с,
о£ = 80 см/с.
16.38(16.36). Механизм Уатта состоит из
коромысла О1Л, которое, качаясь на оси Оь
передает при помощи шатуна АВ движение
кривошипу ОВ, свободно насаженному на
ось О. На той же оси О сидит колесо /; шатун
колесом I/, наглухо связанным с шатуном. Определить угловые
скорости кривошипа ОВ и колеса I в момент, когда а = 60°, р =
= 90°, если Г1 = г2 = 30-^3 см, Ор4 = 75 см, АВ = 150 см и угло-
вая скорость коромысла ©0 == 6 рад/с.
Ответ: в>ов — 3,75 рад/с, Ы] =6 рад/с.
127
16.39(16.37). Планетарный механизм состоит из кривошипа
СМ, приводящего в движение шатун АВ, коромысла О В и колеса 1
радиуса Г\ = 25 см; шатун АВ оканчивается шестеренкой II ра-
диуса г2 = Ю см, наглухо с ннм связанной. Определить угловую
К задаче 16.33
К задаче 16.39
скорость кривошипа <М _ и колеса I в момент, когда а = 45°,
р = 90°, если О{А = 30 ^2 см, АВ = 150 см, угловая скорость ко-
ромысла ОВ <о = 8 рад /с.
Ответ: ti>oiA = 4 рад/с, <о; = 5,12 рад/с.
16.40(16.38). В машине с качающимся цилиндром длина криво-
шипа ОА = г и расстояние OOj = а. Кривошип вращается с по-
стоянной угловой скоростью <оо. Определить угловую скорость coi
шатуна АВ в зависимости от угла поворота кривошипа <р. Опреде-
лить наибольшее и наименьшее значения <i>lf а также значение угла
Ф, при котором = 0. (См. рисунок к задаче 16.26.)
Л <00Г (fl COS <р — г) wor п
Ответ: <01 = —5-,—j—<о1тах = —s— при <р = 0;
* аг + г* — 2аг cos <р 1 х а — г г т »
<о3г г, г
<0i min = — при <р = л, <о£ = 0 при <р = arccos —.
16.41(16.39). Найти приближенное выражение для проекции на
координатные осн скорости любой точки М шатуна Л В кривошип-
К задаче 16.41
ного механизма при равномерном
вращении вала с угловой ско-
ростью <о, предполагая, что длина
кривошипа г мала по сравнению
с длиной шатуна /. Положение
точки М определяется ее расстоя-
нием MB = z.
Примечание, В формулу, получаемую при решении задачи, входит
1 — sin qQ , где <р = <о/ обозначает угол ВОД Это выражение разла-
гаем в ряд и удерживаем только два первых члена.
Ответ: ол = — <о[г sin <р -f- sin2<p], vy = — <о COS <р.
128
§17 . Неподвижная и подвижная центроиды
17.1(17.1). Найтн центроиды при движении стержня АВ, ука-
занном в задаче 16.7.
Ответ: Подвижная центроида — окружность радиуса 0,5 м с
центром в середине АВ\ неподвижная центроида — окружность ра-
диуса 1 м, с центром в точке О.
17.2(17.2). Определить подвижные и неподвижные центроиды
блоков Л и В полиспаста, радиусы которых соответственно равны
К задаче 17.2
га и г в, предполагая, что обойма С движется посту-
пательно.
Ответ: Подвижные центроиды: блока А — ок-
ружность радиуса г а, блока В — окружность ра-
1
диуса у гв, неподвижные центроиды: вертикальные
касательные к подвижным центроидам с правой
стороны их.
К задаче 17.3
17-3(17.3). Найти геометрически неподвижную и подвижную
центроиды шатуна АВ, длина которого равна длине кривошипа:
АВ = ОА = г.
Ответ: Неподвижная центроида — окружность радиуса 2г с
центром в точке О, а подвижная — окружность радиуса г с центром
в точке А пальца кривошипа.
17.4(17.5). Стержень АВ движется таким образом, что одна из
его точек А описывает окружность радиуса г с центром в точке О,
а самый стержень проходит постоянно через дан-
ную точку N, лежащую на той же окружности. . о
Найти его центроиды. /\
Ответ: Неподвижная центроида — окруж- В
ность радиуса г с центром в точке О; подвижная
центроида — окружность радиуса 2г с центром
в точке А. &
17.5(17.6). Найти неподвижную И подвижную к задаче 17.3
центроиды звена СО антипараллелограмма, по-
ставленного иа большее звено АВ, если АВ = CD = b, AD =
= ВС — а и а < Ь.
Ответ: Неподвижная центроида — гипербола с фокусами в точ-
ках Л и В, а подвижная центроида—такая же гипербола с фоку-
5—1318
129
сами в точках С и D. Действительные полуоси гипербол равны
а/2.
17.6(17.7). Найти неподвижную и подвижную центроиды звена
ВС антипараллелограмма, поставленного на меньшее звено AD,
если АВ = CD = b, AD = СВ - а н а< Ь.
Ответ: Неподвижная центроида — эллипс с фокусами в точках
А и D и с полуосями Ъ/2 и 72V^2—Подвижная центроида —
такой же эллипс, но с фокусами в точках В и С.
17.7(17.8). Два стержня АВ и DE, наглухо соединенные под
прямым углом в точке F, движутся таким образом, что стержень
АВ всегда проходит через неподвижную точку К, а другой стер-
жень DE — через неподвижную точку АГ; расстояние KN = 2а.
Найти уравнения центроид в этом движении; оси координат ука«
заны на рисунке.
Ответ: + у2с — а2, + Лс — 4а2.
17.8(17.9). Две параллельные рейки АВ и DE движутся в про-
тивоположные стороны с постоянными скоростями t?i н vi. Между
рейками находится диск радиуса а, который вследствие движений
реек и трения катится по ним без скольжения.
Найти 1) уравнения центроид диска, а также определить 2) ско-
рость во, центра О' диска и 3) угловую скорость и диска; оси ко-
ординат указаны на рисунке.
О,вег-. I) =
2) скорость центра диска направлена в сторону большей из
данных скоростей; величина vo1 равна полуразности величин дан-
ных скоростей;
17.9(17.10). Найти уравнения неподвижной и подвижной цен-
троид стержня АВ, который, опираясь на окружность радиуса а,
концом А скользит вдоль прямой Ох, проходящей через центр этой
окружности; осн координат указаны на рисунке.
130
Ответ: х-с (х-с — а2) — а'-у2, = 0, = а^с.
17.10(17.12). Найти приближенные уравнения неподвижной и
подвижной центроид шатуна АВ кривошипного механизма, пред-
полагая, что длина шатуна АВ — I настолько велика по сравнению
К задаче 17.9
с длиной кривошипа О А — г, что для угла АВО = а можно при-
нять sin а = а и cos а = 1; оси координат указаны на рисунке.
Ответ: {xc-iy{x2c + y2c) = r2x2c, Р^С[Р+ ^) = Г^..
17.11. Стержень АВ скользит точкой А по
мой и промежуточной точкой
С касается круга радиуса г.
Определить уравнение не-
подвижной и подвижной
центроид стержня.
Ответ: Неподвижная цен-
троида имеет уравнение
у2г2 = х4 — х2г2 в системе ко-
ординат хОу с началом в
центре круга.
Подвижная центроида — парабола х2 = гу{ в системе координат
горизонтальной пря-
§ 18. Ускорения точек твердого тела в плоском
движении. Мгновенный центр ускорений
18.1. Колесо катится по наклонной плоскости, образующей угол
30° с горизонтом (см. рисунок к задаче 16.2). Центр О колеса дви-
жется по закону хо— Ю/2 см, где х—ось, направленная парал-
лельно наклонной плоскости. К центру О колеса подвешен стер-
жень ОА = 36 см, качающийся вокруг горизонтальной оси О, пер-
пендикулярной плоскости рисунка, по закону <р — — sin -g-1 рад.
Найти ускорение конца А стержня ОА в момент времени t — 1 с.
Ответ: wax — 25,2 см/с2, wAy — —8,25 см/с2, wA — 26,4 см/с2.
18.2(18.3). При движении диска радиуса г = 20 см в вертикаль-
ной плоскости ху его центр С движется согласно уравнениям
хс = 10/ м, ус =(100 — 4,9/2) м. При этом диск вращается вокруг
горизонтальной оси С, перпендикулярной плоскости диска, с по-
131
стоянкой угловой скоростью со — л/2 рад/с (см. рисунок к задаче
16.3). Определить в момент времени t = 0 ускорение точки А, ле-
жащей на ободе диска. Положение точки А на диске определяется
углом <р = at, отсчитываемым от вертикали против хода часовой
стрелки.
Ответ: Ускорение направлено по вертикали вниз и равно по
модулю 9,31 м/с2.
18.3(18.4). Сохранив условие предыдущей задачи, определить
ускорение точки А в момент времени t = 1 с.
Ответ: wA х — —0,49 м/с2, wAy ——9,8 м/с2, wA = 9,81 м/с2.
18.4(18.5). Два одинаковых диска радиуса г каждый соединены
цилиндрическим шарниром А. Диск I вращается вокруг неподвиж-
ной горизонтальной оси О по закону ср = Диск II вращается
вокруг горизонтальной оси А согласно уравнению яр = я|ф). Оси О
и А перпендикулярны плоскости рисунка. Углы (риф отсчиты-
ваются от вертикали против хода часовой стрелки (см. рисунок
к задаче 16.5).
Найти ускорение центра С диска II.
Ответ: wc = д/w*Cx 4- где wCx — г(<р cos <р — ф2 sin <р -f-
4- ф cos яр — яр2 sin яр), wCy = r(<p sin <р 4- ф2 cos <р 4- ф sin ф 4- ф2 cos ф).
18.5(18.6). Сохранив условие предыдущей задачи, найти уско-
рение точки В диска II, если ZACB — л/2.
Ответ: wB = ^Jw2Bx 4- w2By, где wBx. — г [ф cos <р — ф2 sin ср 4-
4- д/2 Ф cos (45° 4- Ф) — д/^Ф2 sin (45° 4- Ф)], wBy = г [ф sin ср 4-
4- ф2 cos <р 4- л/^Ф sin (45° 4- яр) 4- д/^Ф2 cos (45° 4- Ф)]-
18.6(18.7). Линейка эллипсографа скользит концом В по оси
Ох, концом А — по оси Оу, АВ = 20 см. (См. рисунок к задаче
15.1.)
Определить скорость и ускорение точки А в момент, когда угол
<р наклона линейки к оси Ох равен 30°, а проекции скорости и уско-
рения точки В на ось х равны vBx = — 20 см/с, wBx = — 10 см/с2.
Ответ: Uau — 34,64 см/с, Ыау~— 142,68 см/с2,
18.7(18.8). Муфты А и В, скользящие вдоль прямолинейных об-
разующих, соединены стержнем АВ длины I. Муфта А движется
с постоянной скоростью vA (см. рисунок к задаче 15.6). Опреде-
лить ускорение муфты В и угловое ускорение стержня АВ в поло-
жении, при котором стержень АВ образует с прямой ОВ заданный
угол ср.
v л sin2 а Сд sin2 а
Ответ: wB= — еАВ = sin <р.
18.8(18.9). Найти ускорение ползуна В и мгновенный центр
ускорений К шатуна АВ кривошипно-ползунного механизма, изо-
браженного на рисунке к задаче 16.41, при двух горизонтальных
и одном вертикальном положениях кривошипа ОА, вращающегося
132
скорость и ускоре-
с постоянной угловой скоростью =15 рад/с вокруг вала О.
Длина кривошипа ОА = 40 см, длина шатуна АВ = 200 см.
Ответ: Мгновенный центр ускорений /С при <р=0° и <р=180°
лежит на оси направляющей ползуна.
1) <р = 0, wB =* 108 м/с2, В К = 12 м.
2) <р = 90°, wB = 18,37 м/с2, ВК = 40 см, АК = 196 см.
3) <р = 180°, wB = 72 м/с2, ВК = 8 м.
18.9(18.10). Длина шатуна АВ кривошипно-ползунного меха-
низма в два раза больше длины кривошипа ОА. Определить по-
ложение точки шатуна АВ, ускорение
которой направлено вдоль шатуна, в
момент, когда кривошип перпендику-
лярен направляющей ползуна, криво-
шип ОА вращается равномерно.
Ответ: На расстоянии четверти дли-
ны шатуна, измеренной от пол-
зуна В.
18.10(18.11). Поршень D гидравлического пресса приводится
в движение посредством шарнирно-рычажного механизма OABD.
В положении, указанном на рисунке 16.24, рычаг OL имеет угло-
вую скорость <в = 2 рад/с и угловое ускорение е=4 рад/с2,
О А = 15 см. Определить ускорение поршня
D и угловое ускорение звена АВ.
Ответ: wo 29,4 см/с2, еав = 5,2 рад/с2,
18.11(18.12). Кривошип ОА длины 20 см
вращается равномерно с угловой скоростью
соо = Ю рад/с и приводит в движение ша-
тун АВ длины 100 см; ползун В движется
по вертикали. Найти угловую скорость и
угловое ускорение шатуна, а также ускоре-
ние ползуна В в момент, когда кривошип
и шатун взаимно перпендикулярны и обра-
зуют с горизонтальной осью углы а — 45°
и р = 45°.
Ответ: ю = 2 рад/с, е = 16 рад/с2, wb =
= 565,6 см/с2.
18.12(18.13). Определить угловую ско-
рость и угловое ускорение шатуна нецен-
трального кривошипного механизма, а также
ние ползуна В при 1) горизонтальном правом и 2) вертикальном
верхнем положении кривошипа ОА, если последний вращается во-
круг конца О с постоянной угловой скоростью о0, причем даны:
ОА = г, АВ = I, расстояние оси О кривошипа от линии движения
ползуна ОС = h (см. рисунок к задаче 16.16).
hrztf Лгш0
е ~ (Z2 - Л2)’/а ’ Vb ~ ^Р - h2 '
Ответ: 1) <л =
________1
а2-л2)’л]
на = rtf
133
2) <в = 0, е
О
Vl2 — (г + h)2'’
VB — ГСВ0, ^В —
r(r + h) о>2
У/г-(г+ЛГ ‘
К задаче 18.13
18.13(18.14). Стержень ОА шарнирного четырехзвенника OABOt
вращается с постоянной угловой скоростью <д0. Определить угло-
вую скорость, угловое ускорение стержня АВ, а также ускорение
f шарнира В в положении, указанном на ри-
сунке, если АВ = 2ОА — 2а.
2 '1^3 2
Ответ: о = 0, е = -^-соэ, шв = -^-аа5-
18.14(18.15). Подвижное лезвие L нож-
„ ниц для резки металла приводится в дви-
90 жение шарнирно-рычажным механизмом
" AOBD. В положении, указанном на рисунке
к задаче 16.25, угловая скорость рычага АВ
равна 2 рад/с, его угловое ускорение равно
4 рад/с2, ОВ = 5 см, OiD = 10 см. Найти ускорение шарнира D
и угловое ускорение звена BD.
Ответ: wu = 32,4 см/с2, ево — 2,56 рад/с2.
18.15(18.17). Ползун В кривошипно-ползунного механизма ОАВ
движется по дуговой направляющей. Определить касательное и
нормальное ускорения
ползуна В в положении,
указанном на рисунке,
если О А = 10 см, АВ =
= 20 см. Кривошип ОА
вращается, имея в дан-
ный момент угловую ско-
рость о = 1 рад/с, угло-
вое ускорение е = 0.
Ответ: Wbt = 15 см/с2,
Швп~0.
et — 18.16(18.18). Опреде-
К задаче 18.15 ЛИТЬ уГЛОВОе ускорение
шатуна АВ механизма,
рассмотренного в предыдущей задаче, если в положении, ука-
занном на рисунке, угловое ускорение кривошипа ОА равно
2 рад/с2.
Ответ: 1 рад/с2.
18.17. Точильный станок приводится в движение педалью
О А = 24 см, которая колеблется около оси О по закону
<р=-£- sin -у t рад (угол <р отсчитывается от горизонтали). Точиль-
ный камень К вращается вокруг оси 01 с помощью стержня АВ.
Оси О и 01 перпендикулярны плоскости рисунка (см. рисунок к
задаче 16.12). Найти в момент времени / = 0 ускорение точки В
точильного камня К, если О\В = 12 см. В этот момент ОА и OtB
расположены горизонтально, причем Z ОАВ = 60°.
Ответ: Wb = 42,9 см/с2.
134
с
18.18(18.19). Антипараллелограмм состоит из двух кривошипов
АВ и CD одинаковой длины 40 см и шарнирно соединенного сними
стержня ВС цлины 20 см. Расстояние между неподвижными
осями А и D равно 20 см. Кривошип АВ вращается с постоянной
угловой скоростью со0. Определить угловую ско-
рость и угловое ускорение стержня ВС в момент,
когда угол ADC равен 90°.
Ответ: авс~~ вращение замедленное;
ВС 9 шо-
18.19(18.20). В машине с качающимся цилинд-
ром, лежащим на цапфах Оь длина кривошипа
ОА = 12 см, длина шатуна АВ = 60 см; расстояние к задачс 1818
между осью вала и осью цапф цилиндра
OOi = 60 см. Определить ускорение поршня В и радиус кривизны
его траектории при двух положениях цилиндра: 1) когда кривошип
и шатун взаимно перпендикулярны и 2) когда кривошип занимает
положение III; угловая скорость
кривошипа <оо = const = 5 рад/с.
(См. рисунок к задаче 16.26.)
Ответ: 1) w = 6,12 см/с2, р =
= 589 см;
2) w = 258,3 см/с2, р =
= 0,39 см.
18.20. Жесткий прямой угол
АМЕ движется так, что точка А
остается все время на неподвиж-
ной прямой Оу, тогда как другая
сторона ME проходит через вра-
щающийся шарнир В. Расстояние
AM = О В = а. Скорость va точки
А постоянна. Определить ускоре-
ние точки М как функцию
угла ф.
^2 I/
Ответ: wM --------(1 4- sin ф) ".
внутрь угла и составляет со стороной МА угол <х = 45°— ф/2.
18.21(18.21). Центр колесо, катящегося без скольжения по пря-
молинейному рельсу, движется равномерно со скоростью ц. Опре-
делить ускорение любой точки, лежащей на ободе колеса, если его
радиус равен г.
Ответ: Ускорение направлено к центру колеса и равно v2/r.
18.22(18.22). Вагон трамвая движется по прямолинейному го-
ризонтальному участку пути с замедлением w0 = 2 м/с2, имея
в данный момент скорость ц0 = 1 м/с. Колеса катятся по рельсам
без скольжения. Найти ускорения концов двух диаметров ротора,
образующих с вертикалью углы по 45°, если радиус колеса
В = 0,5 м, а ротора г = 0,25 м.
135
Ответ-, wt = 2,449 м/с2, и»2 = 3,414 м/с2, w3 — 2,449 м/с2,
= 0,586 м/с2.
18.23(18.23). Колесо катится без скольжения в вертикальной
плоскости по наклонному прямолинейному пути. Найти ускорение
концов двух взаимно перпендикулярных диаметров колеса, из ко-
торых один параллелен рельсу, если в рассматриваемый момент
леса, совпадающей с
К задаче 18.25
ном на рисунке, если
времени скорость центра колеса vo= 1 м/с, ускорение центра ко-
леса wo = 3 м/с2, радиус колеса R = 0,5 м.
Ответ: wt=2 м/с2, да2 = 3,16 м/с2, w3 = 6,32 м/с2, w4 =
= 5,83 м/с2.
18.24(18.24). Колесо радиуса В = 0,5 м катится без скольже-
ния по прямолинейному рельсу, в данный момент центр О колеса
имеет скорость по=О,5 м/с и замедление шо = О,5 м/с2. Найти:
1) мгновенный центр ускорения колеса, 2) ускорение wc точки ко-
мгновенным центром С скоростей, а также
3) Ускорение точки М и 4) радиус кривиз-
ны ее траектории, если ОМ — МС = 0,5/?.
Ответ: 1) г = 0,3536 м, 0 = —л/4;
2) wc — 0,5 м/с2; 3) wm — 0,3536 м/с2;
4) р = 0,25 м.
18.25. Подвижный блок 1 и неподвиж-
ный блок 2 соединены нерастяжимой нитью.
Груз К, прикрепленный к концу этой нити,
опускается вертикально вниз по закону
x — 2t2 м. Определить ускорение точек С, В
и D, лежащих на ободе подвижного блока 1,
в момент t — 0,5 с в положении, указан-
OB-LCD, а радиус подвижного блока 1 ра-
вен 0,2 м.
Ответ: wc = 5 м/с2, wb = 7,29 м/с2, шв = 6,4 м/с2.
18.26. Груз К, связанный посредством нерастяжимой нити с ка-
тушкой L, опускается вертикально вниз по закону х = t2 м. При
этом катушка L катится без скольжения по неподвижному гори-
зонтальному рельсу. Определить ускорения точек А, В и D, лежа-
щих на ободе катушки, ее угловую скорость и угловое ускорение
в момент времени t = 0,5 с в положении, указанном на рисунке:
AD _1_ ОВ, OD — 2 ОС ~ 0,2 м.
136
Ответ: wa=2Q,9 м/с2, wb = 22,4 м/с2, щв = 20,1 м/с2, а =
= 10 рад/с, в — 20 рад/с2.
18.27. Колесо радиуса R катится без скольжения по плоскости.
Центр О колеса движется с постоянной скоростью vo- В точке А
с ним шарнирно соединен стер-
жень АВ длины l*=3R. Другой
конец стержня скользит по пло-
скости. В положении, указанном
на рисунке, определить угловую
скорость и угловое ускорение
стержня АВ, а также линейные
скорость и ускорение его точки В.
К задаче 18.27
VO 2V3 5V3 Vzo
Ответ: соЛВ = -^~, елв = -^—^-, vB = 2vo, wB=—^-----------g .
18.28(18.26). Шестеренка радиуса R = 12 см приводится в дви-
жение кривошипом ОА, вращающимся вокруг оси О неподвижной
шестеренки с тем же радиусом; кривошип вращается с угловым
К задаче 18.28
К задаче 18.29
ускорением ео = 8 рад/с2, имея в данный момент угловую скорость
<о = 2 рад/с. Определить: 1) ускорение той точки подвижной ше-
стеренки, которая в данный момент совпадает с мгновенным цент-
ром скоростей, 2) ускорение диаметрально противоположной точ-
ки N и 3) положение мгновенного центра ускорений К.
Ответ: 1) wM = 96 см/с2, 2) w=480 см/с2, 3) М/С = 4,24 см,
Z.AMK = 45°.
18.29(18.26). Найти положение мгновенного центра ускорений
и скорость vk точки фигуры, совпадающей с ним в данный мо-
137
мент, а также ускорение wc точки фигуры, с которой в данный
момент совпадает мгновенный центр скоростей, если шестеренка I
радиуса г катится внутри неподвижного колеса II радиуса R = 2г
и кривошип 001, приводящий в движение бегающую шестеренку,
имеет постоянную угловую скорость со0-
Ответ: Мгновенный центр ускорений совпадает с Центром О не-
подвижной шестеренки: vK — 2rcoo, wc = 2гсо2.
18.30(18.27). Найти ускорения концов В, С, D, Е двух диамет-
ров шестеренки радиуса и = 5 см, катящейся снаружи неподвиж-
ной шестеренки радиуса г^=15 см. Подвижная шестеренка при-
водится в движение при помощи кривошипа ОА, вращающегося
с постоянной угловой скоростью со0 — 3 рад/с вокруг оси О непод-
вижной шестеренки; один из диаметров совпадает с линией ОА,
другой — ей перпендикулярен. (См. рисунок к задаче 16.35.)
Ответ: wb = 540 см/с2, wc = we = 742 см/с2, шд=900 см/с2.
18.31. Показать, что в момент, когда угловая скорость со = О,
проекции ускорений концов отрезка, совершающего плоское дви-
жение, на направление отрезка равны между собой.
18.32(18.28). Показать, что в момент, когда угловое ускорение
е=0, проекции ускорений концов отрезка, совершающего плоское
движение, на направление, перпендикулярное отрезку, равны ме-
жду собой.
18.33(18.29). Ускорения концов стержня АВ длины 10 см, со-
вершающего плоское движение, направлены вдоль стержня на-
встречу друг другу, причем wa = 10 см/с2, wB = 20 см/с2. Опреде-
лить угловую скорость и угловое ускорение стержня.
Ответ: со = д/3 рад/с, 8 = 0.
18.34(18.30). Ускорения концов однородного стержня АВ длины
12 см, совершающего плоское движение, перпендикулярны АВ и
направлены в одну сторону, причем им =24 см/с2, шв = 12 см/с2.
Определить угловую скорость, угловое ускорение стержня, а также
ускорение его центра тяжести С.
Ответ: со = 0, е = 1 рад/с2, ускорение точки С перпендикулярно
АВ, направлено в сторону ускорений точек А и В и равно 18 см/с2.
18.35. Стержень АВ длины 0,2 м совершает плоскопараллель-
ное движение. Ускорения его концов А и В перпендикулярны АВ,
направлены в противоположные стороны и по модулю равны 2 м/с2.
Найти угловую скорость, угловое ускорение стержня и ускорение
его середины С.
Ответ: и = 0, 8 = 20 рад/с2, wc = 0.
18.36(18.32). Ускорения вершин А и В треугольника АВС, со-
вершающего плоское движение, векторно равны: wB = wA =а.
Определить угловую скорость и угловое ускорение треугольника,
а также ускорение вершины С.
Ответ: со = 0; е = 0, = fl-
18.37(18.33). Квадрат ABCD со стороною а совершает плоское
движение в плоскости рисунка. Найтн положение мгновенного
центра ускорений и ускорения вершин его С и D, если известно, что
138
в данный момент ускорения двух вершин А и В одинаковы по ве-
личине и равны 10 см/с2. Направление ускорений точек А и В со-
впадает со сторонами квадрата, как указано на рисунке.
Ответ: wc — Wd—10 см/с2 и направлены по сторонам квад-
рата. Мгновенный центр ускорений находится в точке пересечения
диагоналей квадрата.
К задаче 18.37
К задаче 18.33
К задаче 18.39
18.38(18.34). Равносторонний треугольник АВС движется в пло-
скости рисунка. Ускорение вершин А и В в данный момент вре-
мени равны 16 см/с2 и направлены по сторонам треугольника (см.
рисунок). Определить ускорение третьей вершины С треуголь-
ника.
Ответ: wc направлено от С к В. wc = 16 см/с2.
18.39. Стержень АВ длины 0,2 м движется в плоскости рисунка.
Ускорение точки A wa(wa='2 м/с2) образует угол 45° с осью х,
совмещенной со стержнем. Ускорение точки В wb(wb =4,42 м/с4)
расположено под углом 60° к оси х. Найти угловую скорость,
угловое ускорение стержня н
ускорение его середины С.
Ответ: <о = 2 рад/с, е =
= 12,05 рад/с2, wc = 3,18 м/с2.
18.40(18.35). КвадратABCD
со стороною а = 2 см совер-
шает плоское движение. В дан-
ный момент ускорения вершин
его А и В соответственно рав-
ны по модулю wa = 2 см/с2,
К задаче 13.40 К задаче 18.41
= 4-^/2 см/с2 и направлены, как указано на рисунке. Найти
мгновенную угловую скорость и мгновенное углосое ускорение
квадрата, а также ускорение точки С.
Ответ: ю = -\/2 рад/с, 8=1 рад/с2, и»о(йуо = 6 см/о4) направ-
лено от С к D.
18.41(18.36). Найтн модуль ускорения середины стержня АВ,
если известны модули ускорений его концов: wa = 10 см/с2,
Wb — 20 см/с2 и углы, образованные ускорениями с прямой АВ\
а = 10° и р = 70°.
Ответ: w = -~- -J- w2B — 2wAwB cos (p — a) — 8,66 см/с2.
139
ГЛАВА VI
ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ИМЕЮЩЕГО НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ.
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ОРИЕНТАЦИЯ
§19 . Движение твердого тела, имеющего
одну неподвижную точку
19.1(19.1). Ось z волчка равномерно описывает вокруг верти-
кали Ot, круговой конус с углом раствора 29. Угловая скорость
вращения оси волчка вокруг осн £ равна (щ, а постоянная угловая
скорость собственного вращения волчка равна ел. Определить ве-
личину и направление абсолютной угловой скорости Й волчка.
Ответ. й = д/<о2-}-а>^-|-2<осо1 cos0,
cos(Q, z) =
___________Ц> 4- <01 cos 6_________________
-^/<о2 4- <of 4- 2<0Mj • cos 0
19.2(19.2). Артиллерийский снаряд, двигаясь в атмосфере, вра-
щается вокруг оси z с угловой скоростью <о. Одновременно ось
снаряда z вращается с угловой скоростью лц вокруг оси £, направ-
ленной по касательной к траектории центра тяжести С снаряда.
Определить скорость точки
К задаче 19.3
М снаряда в его вращательном дви-
жении, если СМ = г и отрезок СМ пер-
пендикулярен оси z; угол между осями
z и t равен у.
Ответ, vm ~ (со + <Bi cos у) г.
19.3(19.3). Конус, высота которого
ft = 4 см и радиус основания г = 3 см,
катится по плоскости без скольжения,
имея неподвижную вершину в точке О.
Определить угловую скорость конуса,
координаты точки, вычерчивающей го-
дограф угловой скорости, и угловое
скорость центра основания конуса vc =
ускорение конуса, если
= 48 см/с = const.
Ответ: со = 20 рад/с, Xi = 20 cos 15/, у} — 20 sin 15/, Zi = 0,
е == 300 рад/с2.
140
19.4(19.4). Конус, вершина О которого неподвижна, катится по
плоскости без скольжения. Высота конуса СО= 18 см, а угол при
вершине АОВ = 90°. Точка С, центр основания конуса, движется
равномерно и возвращается в первоначальное положение через
1 с. Определить скорость конца В диаметра АВ, угловое ускоре-
ние конуса и ускорение точек А и В.
Ответ: оя = 36лд/2 см/с =160 см/с, е (е = 39,5 рад/с2) на-
правлено перпендикулярно ОА и ОВ; wA (wA = 1000 см/с2) на-
правлено параллельно ОВ; wB(wB = 1000 д/2 см/с2) лежит в пло-
скости АОВ и направлено под углом 45° к ОВ.
19.5(19.5). Конус А обегает 120 раз в минуту неподвижный
конус В. Высота конуса OOi = 10 см. Определить переносную
угловую скорость <х>в конуса вокруг оси г, относительную угловую
скорость сог конуса вокруг оси OOi, абсолютную угловую скорость
ыа и абсолютное угловое ускорение ео конуса.
Ответ: = 4л рад/с, = 6,92л рад/с, й)а(ша = 8л рад/с) на-
правлена по оси ОС, еа (еа = 27,68л2 рад/с2) направлено парал-
лельно оси х.
19.6(19.6). Сохранив условия предыдущей задачи, определить
скорости и ускорения точек С и D подвижного конуса.
Ответ: vc = 0; »о(од = 80л см/с) направлена параллельно
оси х; wc(wc = 320л2 см/с2) направлено перпендикулярно ОС
в плоскости Oyz; проекции ускорения точки D: 2-
WDy = —480л2 cm/c2,wdz = —160 л2 см/с2.
19.7(19.7). Конус II с углом при вершине
а2 = 45° катится без скольжения по внутрен-
ней стороне неподвижного конуса I с углом
при вершине ai = 90°. Высота подвижного ко-
нуса OOi = 100 см. Точка Oi, центр основания /0 У
подвижного конуса, описывает окружность ачс
в 0,5 с. Определить переносную (вокруг оси г),
относительную (вокруг оси OOi) и абсолютную угловые скорости
конуса II, а также его абсолютное угловое ускорение.
Ответ: ше(ые = 4л рад/с) направлена по оси z; <or(cor =
= 7,39л рад/с) направлена по осн 010; <о0(соа=4л рад/с) на-
правлена по оси ОМ2; еа(еа = 11,3л2 рад/с2) направлено по оси х.
141
19.8(19.8). Сохранив условия предыдущей задачи, определить
скорости и ускорения точек Oi, Mi, М2 подвижного ко-
нуса.
Ответ: г»0(и0 = 153,2л см/с) направлена параллельно отрица-
тельной оси Ох, щ(щ = 306,4л см/с) направлена параллельно от-
рицательной оси Ox, v2 = 0, a>o(wo = 612,8л2 см/с2) направлено от
Oi по перпендикуляру к Oz\ проекции ускорения точки Mi: W\y =
К задаче 19-9
если ускоре-
постоянио и
= —362л2 см/с2, wiz — —865л2 см/с2; w2(ai2 =
= 1225л2 см/с2) лежит в плоскости ОС^Мг и на-
правлено перпендикулярно ОМ2.
19.9(19.9). Диск ОА радиуса R = 4д/3 см,
вращаясь вокруг неподвижной точки О, обкаты-
вает неподвижный конус с углом при вершине,
равным 60°. Найтн угловую скорость вращения
диска вокруг его оси симметрии,
ние wa точки А диска по модулю
равно 48 см/с2.
Ответ: ы = 2 рад/с.
19.10(19.10). Тело движется вокруг неподвижной
который момент угловая скорость его изображается вектором, про-
екции которого на координатные оси равны д/З- д/б- Найти
в этот момент скорость v точки тела, Определяемой координатами
V12. д/20’ V58-
Ответ: о = 0.
19.11(19.11). Коническое зубчатое колесо, ось которого пересе-
кается е геометрической-------------”--------' ------------------
последней, обегает пять
точки. В не-
осью плоской опорной шестерни в центре
раз в минуту опорную шестерню. Опре-
делить угловую скорость а>г вращения ко-
леса вокруг его оси и угловую скорость о
вращения вокруг мгновенной оси, если
радиус опорной шестерни вдвое больше
радиуса колеса: R = 2r.
Ответ: а>,= 1,047 рад/с,
<о =0,907 рад/с.
19.12(19.12). Угловая скорость тела
<о = 7 рад/с, мгновенная ось его состав-
в данный момент с неподвижными координатными
К задаче 19.11
ляет
осями острые углы а, р и у. Найти величину скорости v и
проекции ее vx, vy, vz на координатные оси для точки тела, коор-
динаты которой, выраженные в метрах, в данный момент равны
0, 2, 0, а также расстояние d этой точки от мгновенной оси, если
cos а = 2/7, cos у = 6/7.
Ответ: и, = — 12 м/с,
d = 1,82 м.
19.13(19.13). Найти уравнения мгновенной оси и величину угло-
вой скорости (о тела, если известно, что проекции скорости точки
Mi (0,0,2) на координатные оси, связанные с телом, равны
ил = 1 м/с, uyi=2 м/с, Од = 0, а направление скорости точки
vv = 0, уг = 4 м/с, v = 12,65 м/с,
142
Ms (0,1,2) определяется косинусами углов, образованных с осями
координат: —2/3, +2/3, —1/3.
Ответ: х + 2у = 0, Зх + г = 0, со = 3,2 рад/с.
19.14(19.14). Коническое зубчатое колесо, свободно насаженное
на кривошип ОА, обкатывается по неподвижному коническому зуб-
чатому основанию. Определить угловую
скорость, со и угловое ускорение е катя-
щегося колеса, если модули угловой ско-
рости и углового ускорения (их направ-
ления* указаны на рисунке) кривошипа
ОА, вращающегося вокруг неподвижной
оси 010, соответственно равны соо и ео.
Ответ: со = т°' гь е «= е. +
sin а ‘ sin а i 1
+ cO(Jctgae2, где е,—единичный вектор,
К задаче 19.11
направленный от точки О к точке С, а е2 — единичный вектор, пер-
пендикулярный плоскости ОАО и направленный на читателя.
19.15(19.15). В условиях предыдущей задачи определить уско-
рения точек С и В, если радиус основания равен /?.
/?С0(‘ ЛШд
Ответ: wc = е3, wB = 2/?е0е2 + (е4 — 2е3), где е3 и et—
лежащие в плоскости рисунка единичные векторы, перпендикуляр-
ные прямым ОС и ОВ соответственно (оба орта направлены вверх).
§ 20. Пространственная ориентация; кинематические формулы
Эйлера и их модификация; аксоиды
20.1(20.1). Искусственная горизонтальная площадка на качаю-
щемся корабле создается с помощью карданова подвеса. Ось yt
вращения внешнего кольца параллельна продольной оси корабля;
угол поворота внешнего кольца обозначается через р (угол борто-7
вой качки). Угол поворота внутренней рамки обозначается через а.
Для ориентации колец вводят три системы координат: система
связана с кораблем (ось £ направлена к правому борту, ось i] —
к носу корабля, ось £ — перпендикулярна палубе); система X\tjiZi
связана с внешним кольцом (ось yi совпадает с осью ц); система
143
xyz связана с внутренним кольцом (ось х совпадает с Xi). Поло-
жительные направления отсчета углов видны из рисунков; при
а = 0 = 0 все системы отсчета совпадают. Определить ориента-
цию (соответствующие направляющие косинусы) внутреннего
кольца подвеса относительно корабля.
Ответ:
5 с
X COS Р 0 — sin Р
У sin a sin р cos а sin а cos р
Z cos a sinP — sin а cos а cos р
20.2(20.2). Во втором способе установки карданова подвеса,
описанного в предыдущей задаче, ось вращения внешнего кольца
параллельна поперечной оси корабля. При этом способе подвеса
К задаче 20.2
ось связанная с кораблем, совпадает с осью xi вращения внеш-
него кольца, а ось у вращения внутреннего кольца совпадает
с осью у\, жестко связанной с внешним кольцом. Угол поворота
внешнего кольца обозначается теперь а (угол килевой качки), а
угол поворота внутреннего кольца — через 0. Определить ориента-
цию внутреннего кольца подвеса относительно корабля.
Ответ:
6 п С
х COS Р sin а sin р — cos а sin р
У 0 cos а sin а
г sin Р — sin а cos р cos а cos р
20.3(20.3). Положение твердого тела, имеющего одну непод-
вижную точку О, определяется тремя углами Эйлера: углом пре-
цессии ф, углом нутации 0 и углом собственного вращения <р (см.
рисунок). Определить направляющие косинусы подвижной системы
отсчета Охуг.
144
Ответ:
1 n C
X cos ф cos 6 cos <р — sin ф sincp sin ф cos 0 cos <p + cos ф sin q> — sin 0 cos ф
У — cos ф cos 6 sin ф — sin ф COS ф — sin ф cos 0 sin ф + cos ф cos ф sin 0 sin ф
Z cos ф sin 0 sin ф sin 0 cos 0
20.4(20.4). Зная скорости изменения углов Эйлера, определить
угловую скорость тела и ее проекции на оси неподвижной О|т]£
и подвижной Oxyz систем отсчета.
Ответ: а = д/ф2 4~ ё2 4~ ф2 4~ 2трф cos 6,
coj = ф sin 0 cos ф — 0 sin ф,
<£>n = ф sin 0 sin ф + 0 cos ф,
<0[ = ф cos 0 4- ф, <ox = — ф sin 0 cos <p +
4- 0 sin ф, cOj, = ф sin 0 51Пф -|- 0 cos ф,
C0z = ф COS 0 4- ф.
20.5(20.6). Для определения враща-
тельного движения самолета с ним свя-
зывают ортогональную систему коорди-
нат Cxyz, причем ось х направляется по
оси самолета от хвоста к кабине летчика,
ось у располагается в плоскости симмет-
рии самолета, а ось z — по размаху кры-
ла вправо для летчика (С — центр тя-
жести самолета). Угловые перемещения
самолета относительной осей С£т]£ (гори-
зонтальная ось £ направляется по курсу
самолета, ось т) — вертикально вверх, а
горизонтальная ось £ — перпендикуляр-
но осям £ и т]) определяются, как пока-
зано на рисунке, тремя самолетными
углами: углом рыскания ф, углом танга
Определить ориентацию самолета (системы отсчета Cxyz) отно-
сительно трехгранника С£р£.
Ответ:
n C
X cos ф cos 0 sin 0 — sin ф cos 0
У sin ф sin ф — cos ф sin 0 cos ф cos 0 COS ф cos ф sin ф + sin ф sin 0 cos ф
z sin ф cos ф + cos ф sin 0 sin ф — cos 0 sin ф cos ф cos ф — sin ф sin 0 sin ф
20.6(20.6). Зная скорости изменения самолетных углов, опреде-
лить проекции угловой скорости самолета иа оси систем коорди-
нат Cxyz и С£п£ (см, рисунок к предыдущей задаче),
145
Ответ: сох = т|) sin 0 + ф, оу — ф cos 0 cos ф 4- 0 sin ф, <а? —
= — фcos0 sin <р + 0 cos<р, cog == ф cos ф cos0 + 0 sin ф, <£>=,
= ф sin 0 -|- ф, сос = — ф sin ф cos 0 4-0 cos ф.
20.7(20.7). Для исследования качки корабля и его устойчивости
на курсе вводят три корабельных угла: ф — дифферент, 0 — крен
и <р — угол рыскания, система отсчета
Cxyz жестко связана с кораблем, С —
центр тяжести корабля, ось х направлена
от кормы к носу, ось у — к левому бор-
ту, ось z — перпендикулярно палубе; си-
стема координат ориентируется от-
носительно курса корабля: ось £ верти-
кальна, горизонтальная ось £ направлена
по курсу, горизонтальная ось т] — влево
от курса (на рисунке изображены си-
стемы осей, введенных А. Н. Крыло-
К задачам 20.7 в 20.8
вым).
Определить ориентацию корабля (координатных осей Cxyz) от-
носительно трехгранника
Ответ:
Е ч C
X cos ф cos ф + sin ф sin 6 sin ф cos 0 sin ф — sin ф cos ф + cos ф sin 0 sin ф
У — cos ф sin ф + sin ф sin 6 sin ф cos 0 COS ф sin ф sin ф + cos ф sin 0 cos ф
Z sin ф cos 6 — sin 0 cos ф cos 0
20.8(20.8). Зная скорости изменения корабельных углов, опре-
делить проекции угловой скорости корабля на оси систем отсчета
Cxyz и С£г]£; (см. рисунок к предыдущей задаче).
Ответ: = ф cos 0 sin <р 4- 0 cos <р, = 0 cos ф 4- ф sin ф cos 0,
<ор = ф cos 0 cos <p — 0 sin ф, <вч ф — ф sin 0,
<ог = — ф sin 0 4- ф, = — 0 sin ф 4- ф cos ф cos 0.
20.9(20.9). Точка М (центр тяжести самолета, корабля) дви-
жется вдоль поверхности Земли, принимаемой за шар радиуса
восточная составляющая скорости точки равна ve, а северная — vn>
Определить скорость изменения широты ф и долготы X текущего
положения точки М.
Ответ: q> = -S~, = ; при положительных ve и vn co-
ж К К cos ф
ставляющая ф направлена на запад, а составляющая X — по оси
SN вращения Земли от Южного полюса к Северному.
*) Здесь и в дальнейшем сжатием Земли пренебрегаем.
146
20.10(20.10). Для изучения движения вблизи земной поверхно-
сти тел (самолетов, ракет, кораблей) и приборов, установленных
на них, вводят подвижной координатный трехгранник — трехгран-
ник Дарбу. При географической ориентации трехгранника Дарбу
горизонтальная ось | направляется на восток, горизонтальная
ось т) — на север, ось t;— вертикально вверх. Определить проек-
ции на оси т], t; угловой скорости трехгранника О£г]£, если про-
екции скорости его начала (точки О) относительно Земли равны
= ve, v-rj = vjv, = 0; угловая скорость вращения Земли равна
V, радиус Земли R.
Ответ: = — ф = — vN/R,
= (U + К) cos <р = (l7 + ~р~^ cos ф,
“С = (U + Л) sin Ф = (и + sin ф.
20.11(20.11). Трехгранник Дарбу Оxyz на поверхности Земли
ориентирован не географически, как это было сделано в предыду-
щей задаче, а по траектории осно-
вания трехгранника относительно
Земли: ось х направляется гори-
зонтально по скорости v верши-
ны О (центр тяжести самолета,
корабля) трехгранника относи-
тельно Земли, ось у направляется
горизонтально влево от оси х, а
ось z — вертикально вверх. Опре-
делить проекции угловой скоро-
сти трехгранника Oxyz, если ско-
рость точки О равна v, а ее курс
определяется углом ф (угол между направлением на север и отно-
сительной скоростью точки О).
Ответ: в>х~и cos ф cos ф; e>y = U cos ф sin ф -}- v/R;
ог = (U -J- X) sin ф -L ф = U sin ф + и/р.
Лроениия траектории Ё (восток)
на горизонтальную
плоскость Оху
К задаче 20.11
147
Здесь R, U, <р и X имеют значения, введенные в задачах 20.9 и
20.10, а р—радиус геодезической кривизны траектории (р > 0
при ф < 0, и р < 0 при ф > 0).
20.12(20.12). Трехгранник Дарбу Охйу°гъ на поверхности Земли
ориентирован следующим образом: ось № направляется по абсо-
лютной скорости V точки О (предполагается, что она движется по
поверхности Земли), горизонталь-
ная ось у° направляется влево от
оси х°, ось г° вертикальна. Опреде-
лить проекции угловой скорости
трехгранника Ox(’y°z°, если состав-
ляющие скорости точки О относи-
тельно Земли равны ve и vn-
у
Ответ: с£>х« = 0, = -%, со2» =
= (U + X) sin ф + 6, где R, (/, ф и X
имеют значения, введенные в задачах 20.9 и 20.10,
°N
V = V(t,£ + ^cos1))2 + ^ и tg9=t)g+j?{/cosq).
20.13(20.13). Гироскоп направления установлен в кардановом
подвесе. Система координат xiyiZi связана с внешней рамкой (ось
вращения ее вертикальна), система хуг скреплена с внутренней
у (север)
рамкой (ось х вращения ее горизонтальна). Ось z внутренней рам-
ки является одновременно осью собственного вращения гироскопа.
Определить: 1) ориентацию оси z вращения гироскопа относи-
тельно географически ориентированных осей £т]£ (см. задачу 20.10),
если поворот внешней рамки (оси у\) отсчитывается по часовой
стрелке от плоскости меридиана (плоскость т]£) и определяется
углом а, а подъем оси z над горизонтом определяется углом Р;
2) проекции на оси х, у, z угловой скорости вращения трех-
гранника хуг, предполагая, что точка О подвеса гироскопа непо-
движна относительно Земли.
148
Ответ: 1)
Е С
Z sin a cos Р cos а cos р sin Р
2) сох = р — U cos <р sin а,
аи = а cos р 4 U (cos <р cos a sin р — sin <р cos Р),
<о2 =** a sin р 4 U (cos ср cos а cos р 4- sin <р sin р),
где U — угловая скорость вращения Земли, <р — широта места.
20.14(20.14). В условиях предыдущей задачи определить проек-
ции угловой скорости вращения трехгранника xyz, если северная
и восточная составляющие скорости точки подвеса соответственно
равны vn и вЕ-
Ответ: сох = Й — f U -I- — --—) cos <р sin а--- cos а,
* Г X ' Л COS ф / v /?
в>У — a cos р 4 U 4 (cos Ф cosа sin р — sin <р cos р) —
------ sin а sin р,
<oz = а sin р 4 (о 4 J (cos <р cos а cos В 4 sin Ф sin Р)>
где R — радиус Земли.
20.15(20.15). Движение тела вокруг неподвижной точки задано
углами Эйлера :<р = 4/, 'Ф = -^ 2/, 0 = у. Определить коорди-
наты точки, вычерчивающей годограф угловой скорости, угловую
скорость и угловое ускорение тела относительно неподвижных
осей х, у, z.
Ответ: х = <ох = 2 -у/3 cos 2t, у=*в>у=* — 2 д/3 sin 2t,
z = co2 = 0, <o = 2 -y/3 рад/с, е = 4
К задаче 20.16
20.16(20.16). Найти подвижный и неподвижный аксоиды внеш-
него колеса вагона, катящегося по горизонтальному пути, сред-
ний радиус кривизны которого равен 5 м, радиус колеса вагона
0,25 м, ширина колеи 0,80 м.
149
Примечание. Колесо вращается вместе с вагоном вокруг вертикальной
оси Ог, проходящей через центр закругления пути, и относительно вагона во-
круг оси АВ, т. е. вращается вокруг неподвижной точки О.
Ответ: Неподвижный аксоид — конус, ось которого совпадает
с осью Oz, с углом при вершине а = 2 arctg 21,6 = 174°42'. Под-
вижный аксоид —конус с осью АВ и углом при вершине р =
= 2 arctg 0,0463 = 5°18'.
20.17(20.17). Движение тела вокруг неподвижной точки задано
при помощи углов Эйлера следующими уравнениями: <р = nt,
if> = л/2 + ant, 0 = л/3. Определить проекции угловой скорости и
углового ускорения тела на неподвижные оси, если а и п — по-
стоянные величины. Указать также то значение параметра а, при
котором неподвижным аксоидом тела будет плоскость Оху.
г, п -у/з . п -у/з . ( । 1 \
Ответ: v>x = —— cos ant, о = —— sin ant, <л.-=п a + J,
Z * Z \ Z /
an2 -\[з „. , an2 -y/з . n 1
e, =-----гр2— sin ant, e„ =——cosant, e, = 0, a= —
* 2 y 2 г 2
20.18(20.18). Углы Эйлера, определяющие положение тела, из-
меняются по закону (регулярная прецессия) ф = 4>о + nif 6 = Go.
ср <р0 -|- n2t, где тро, 0о, <Ро — начальные значения углов, а П| и
п2 — постоянные числа, равные соответствующим угловым скоро-
стям. Определить угловую скорость со тела, неподвижный и под-
вижный аксоиды.
Ответ: = 2ntn2 cos 0oi неподвижный аксоид — кру-
2 - 2 Q
говой конус £2 + Т)2 — (да COS 6о -|_°n',)Z £2 = ° с осью Z И углом
раствора 2arcsin -Пг sl—?; подвижный аксоид — круговой конус
X2 + у2 — = ° с осью 2 и УГЛоМ раствора
п . П] sin 0О
2 a res in --—.
со
ГЛАВА VII
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
§ 21. Уравнения движений точки
21.1(21.1). Определить уравнение прямолинейного движения
точки, складывающегося из двух гармонических колебаний.’
Х[ = 2 cos (л! 4- л/2), х2 = 3 cos (nt + л).
Ответ: х =-у/13 cos (л/4-а), где а = arctg у = 33°40'.
21.2(21.2). Барабан записывающего устройства вращается рав-
номерно со скоростью <оо- Радиус барабана г. Самописец соединен
150
с деталью, движущейся по вертикали по закону
у = a sin coif.
Найти уравнение кривой, которую запишет перо на бумажной
ленте.
К задаче 21.3
21.3(21.3). При вращении поворотного крана вокруг оси О[О2
с постоянной угловой скоростью груз А поднимается вверх по-
средством каната, навернутого на барабан В. Барабан В радиуса г
вращается с постоянной угловой скоростью ®2- Определить абсо-
лютную траекторию груза, если вылет кра-
на равен d.
Ответ: Винтовая линия, уравнение кото-
рой
х = d cos — • —, у — d sin — . —,
Ь>2 Г v ©2 Г
ось х проходит через ось O1O2 и начальное
положение груза, ось z направлена вверх
по оси вращения крана.
21.4(21.4). При совмещении работы ме-
ханизмов подъема груза и перемещения
крана груз А перемещается в горизонтальном и вертикальном
направлениях. Барабан В радиуса г — 0,5 м, на который навит
канат, поддерживающий груз А, вращается при пуске в ход с угло-
вой скоростью <о = 2л рад/с. Кран перемещается в горизонтальном
направлении с постоянной скоростью v = 0,5 м/с. Определить аб-
солютную траекторию груза, если начальные координаты груза
х0 = 10 м, у0 — 6 м.
Ответ: у = * р *° аг + у0 = 6,28х — 56,8.
21.5(21.5). Стрела АВ поворотного крана вращается вокруг оси
OtO2 с постоянной угловой скоростью о. По горизонтальной стреле
151
от Л к В движется тележка с постоянной скоростью v0. Определить
абсолютную траекторию тележки, если в начальный момент те-
лежка находилась на оси OiO2.
Ответ: Траектория — архимедова спираль г=—<р, где г—рас-
стояние тележки от оси вращения, ф— угол поворота крана вокруг
оси 0\02.
21.6(21.6). Лента прибора, служащего для записи колебатель-
ных движений, движется по направлению Ох со скоростью 2 м/с.
Колеблющееся вдоль оси Оу тело вычерчивает на ленте синусоиду,
наибольшая ордината которой ДВ = 2,5 см, а длина 0{С = 8 см.
К задаче 21.Б
Найти уравнение колебательного движения тела, предполагая, что
точка О синусоиды соответствует положению тела при t = 0.
Ответ: у = 2,5sin(50nZ) см.
21.7(21.7). Трамвай движется равномерно по прямолинейному
горизонтальному участку со скоростью v = 5 м/с, причем кузов
совершает на рессорах гармонические ко-
лебания с амплитудой а — 0,008 м и пе-
риодом Т =.0,5 с. Найти уравнение тра-
ектории центра тяжести кузова, если его
среднее расстояние от полотна дороги
Л = 1,5 м. При t = 0 центр тяжести на-
ходится в среднем положении, и скорость
колебания направлена вверх. Ось Ох на-
править горизонтально по полотну в сто-
рону движения, ось Оу — вертикально
вверх через положение центра тяжести
при t — 0.
Ответ: у = 1,5 + 0,0008 sin 0,8лх.
21.8(21.8). Определить уравнения тра-
ектории сложного движения конца двой-
к задаче 21.8 ного маятника, совершающего одновре-
менно два взаимно перпендикулярных
гармонических колебания равной частоты, но разных амплитуд и
фаз, если уравнения колебаний имеют вид х = a sin(of + а),
у — 6 (sin at -)- ₽).
Ответ: Эллипс — ~~~ cos (а — ₽) = sin2 (° — ₽)•
152
21.9(21.9). Конец двойного маятника описывает фигуру Лис-
сажу, получающуюся при сложении двух взаимно перпендикуляр-
ных гармонических колебаний: x=asin2w/, y=as'miot. Найти
уравнение траектории.
Ответ-. а2х2 = 4у2(а2 — у2).
21.10(21.10). Железнодорожный поезд движется равномерно со
скоростью 36 км/ч, сигнальный фонарь, привешенный к послед-
нему вагону, срывается с кронштейна. Определить траекторию аб-
солютного движения фонаря и длину пути $, который будет прой-
ден поездом за время падения фонаря, если фонарь находится на
высоте 4,905 м от земли. Оси координат провести через начальное
положение фонаря, ось Ох — горизонтально в сторону движения
поезда, ось Оу — вертикально вниз.
Ответ: Парабола с вертикальной осью у = 0,049х2, s = 10 м
|(х,у — в метрах, t — в секундах).
21.11(21.11). Резец М совершает поперечное возвратно-поступа-
тельное движение согласно закону x = asinaZ. Найти уравнение
траектории конца резца М относительно диска, вращающегося
равномерно с угловой скоростью ю вокруг оси О, пересекающей
абсолютную траекторию резца.
К задаче 21.11
Ответ: £24~(т] — а/2)2 = а2/4— окружность радиуса а/2 с цен-
тром в точке С (см. рисунок).
21.12(21.12). В некоторых измерительных и делительных при-
борах для перемещения указателя применяется дифференциаль-
ный винт, состоящий из оси АВ, имеющей в части А винтовую
нарезку с шагом hi мм, а в части В — нарезку с шагом Л2 < Ль
Часть А вращается в неподвижной гайке С, а часть В охваты-
вается элементом D, лишенным вращательного движения и
соединенным с указателем, скользящим вдоль неподвижной
шкалы.
1) Определить перемещение указателя при повороте маховичка
оси на 1/п оборота (соответствующая шкала нанесена на диске Е),
если п — 200, Л1 = 0,5 мм и Лг = 0,4 мм. Обе нарезки правые или
обе левые.
2) Как изменится показание прибора, если в части А сделать
левую нарезку, а в части В — правую?.
153
Ответ'. 1) s — -1 (Ai — A2) — 0,0005 мм;
2) $ = ± (hi +M = 0,0045 мм.
21.13(21.13). Ускорительный механизм строгального станка со-
стоит из двух параллельных валов О и О\, кривошипа ОА и ку-
лисы О\В. Конец кривошипа ОА соединен шарнирно с ползуном,
скользящим вдоль прорези в кулисе OtB. Найти уравнение относи-
тельного движения ползуна в прорези кулисы и уравнение враще-
ния самой кулисы, если кривошип ОА
длины г вращается с постоянной угло-
вой скоростью <о, расстояние между
осями валов OOi = O’-
Ответ. £ = V°2 + + 2ar cos со/, tg<p— 0^"“^ •
21.14(21.14). В ротативном двигателе, схематически показанном
на рисунке, цилиндры, прикрепленные к картеру, вращаются
вместе с ним вокруг неподвижной оси вала О, а шатуны поршней
вращаются вокруг пальца А неподвижного кривошипа ОА. Ука-
зать: 1) траекторию абсолютного движения точек В поршней и
2) приближенное уравнение их относительного движения по отно-
шению к цилиндрам, если цилиндры вращаются с угловой ско-
ростью со. Дано: ОА = г и АВ = I. Оси Ох и Оу имеют начало
в центре вала. Принять, что 1 = г/l мало.
Ответ: 1) Окружность х2 -f- (у + г)2 = Р,
2) £ = Z (1 — % cos со/ — sin2 со/).
21.15 . Вертолет, зависший неподвижно над поляной, сбрасывает
груз и в тот же момент начинает двигаться со скоростью с/0, на-
правленной под углом а. к горизонтальной поверхности. Найти
уравнения движения и траекторию груза относительно вертолета
(оси относительной системы координат направлены из центра тя-
жести вертолета горизонтально по курсу и вертикально вниз).
154
Ответ: лг = —Ос/cosa, yr = —vct sm а. Траектория — пара*
бола yr = — xr tg a + -/-g-.
2vg cos a
§ 22. Сложение скоростей точки
22.1(22.1). Корабль движется прямолинейно со скоростью г>о-
На высоте h над морем со скоростью щ летит самолет тем же
курсом. Определить расстояние /, отсчитываемое по горизонтали,
на котором надо сбросить вымпел, чтобы он попал на корабль.
Сопротивлением воздуха движению вым- е
пела пренебречь. -а——•
Ответ: l = (vi — v0)'\/2h/g. с
22.2(22.2). Решить предыдущую зада- л ,________________
чу, если самолет летит с той же ско- | i
ростыо навстречу движущемуся кораблю, г» *
Ответ: I — (щ + о0) -V^/g.
К вадиче 22.1
22.3(22.3). Корабль, проходящий точку А, движется с постоян-
ной по модулю и направлению скоростью v0- Под каким углом р
к прямой АВ надо начать двигаться катеру из точки В, чтобы
встретиться с кораблем, если скорость катера
постоянна по модулю и направлению и равна
Dj? Линия АВ составляет угол фо с перпенди-
куляром к курсу корабля.
Ответ: sin 0 = — cos ф0.
22.4(22.4). В предыдущей задаче опреде
лить время Т, по истечении которого катер
встретится с кораблем, если и первоначальное
расстояние между ними равнялось АВ = I.
К задаче 22.3
Ответ: Т =--------------- - — =
о0 sin 4>o + V°i-^cos2,I>o
l____sin 0_____I cos -фр
~ cos(4>0-p) ~v' «’sWo-Pr
22.5(22.5). Проволочная окружность вра-
щается в своей плоскости относительно не-
подвижного шарнира О с постоянной угло-
вой скоростью сл. Как будет двигаться точка
М пересечения этой окружности с неподвижной окружностью того
же радиуса R, проходящей также через шарнир (7?
Ответ: Точка пересечения обходит- каждую из окружностей
с постоянной скоростью, равной a>R.
22.6(22.6). Корабль идет курсом ЮВ со скоростью а узлов,
при этом флюгер на мачте показывает ветер В. Корабль уменьшает
155
ход до а/2 узлов, флюгер показывает ветер СВ. Определить: 1) на-
правление и 2) скорость ветра.
Примечание. Наименование курса указывает, куда идет корабль, наиме-
нование ветра — откуда он дует.
Ответ: 1) С севера, 2) а^21‘2 узлов.
22.7(22.7). Для определения собственной скорости самолета
при ветре на Земле отмечают прямую линию известной длины /,
концы которой должны быть хорошо видны сверху. Направление
отмеченной прямой должно совпадать с направлением ветра. Вдоль
этой прямой самолет пролетел сначала по ветру за время t\ с, а за-
тем против ветра за время t2 с. Определить собственную скорость v
самолета и скорость V ветра.
Ответ: Р = ^(71- + -Ь) м/с, = м/с.
22.8(22.8). Для определения собственной скорости v самолета
при ветре размечают на земле треугольный полигон АВС со сто-
ронами ВС = li, СА == /2, = м. Для каждой стороны поли-
гона определяют время полета: Л, t2, t3 с. Определить собственную
скорость v самолета, предпо-
лагая, что она неизменна по
величине, и скорость V вет-
ра. Задачу решить графи-
чески.
Пояснение. Собственной
скоростью самолета называется
скорость самолета относительно
воздуха.
К задаче 22.8 Ответ: От ПРОИЗВОЛЬНОЙ
точки М отложить три век-
тора, соответственно равных l\/t\, l2/t2, h/t3 и параллельных сторо-
нам ВС, СА и АВ полигона. Величина скорости v самолета опре-
делится радиусом окружности, проходящей через концы этих век-
торов. Скорость ветра определяется вектором МО.
22.9(22.9). Пассажир движущегося со скоростью 72 км/ч по го-
ризонтальному шоссе автомобиля видит через боковое стекло ка-
бины траектории капель дождя наклоненными к вертикали под
углом 40°. Определить абсолютную скорость падения дождевых
капель отвесно падающего дождя, пренебрегая трением капель
о стекло.
Ответ: v — 7^55- =* 23,8 м/с.
22.10(22.10). Берега реки параллельны; лодка вышла из точки
А и, держа курс перпендикулярно берегам, достигла противопо-
ложного берега через 10 мин после отправления. При этом она
попала в точку С, лежащую на 120 м, ниже точки А по течению
реки. Чтобы, двигаясь с прежней относительной скоростью, по-
пасть из точки А в точку В, лежащую на прямой АВ. перпенди-
156
кулярной берегам, лодке надо держать курс под некоторым углом
к прямой АВ и против течения; в этом случае лодка достигает про-
тивоположного берега через 12,5 мин. Определить ширину реки /,
относительную скорость и лодки по отношению к воде и скорость v
течения реки.
Ответ: I = 200 м, и = 20 м/мин, и = 12 м/мин.
22.11(22.11). Корабль плывет на юг со скоростью 36 д/2 км/ч.
Второй корабль идет курсом на юго-восток со скоростью 36 км/ч.
Найти величину и направление скорости второго корабля, опреде-
ляемые наблюдателем, находящимся на
палубе первого корабля.
Ответ: vr(vr — 36 км/ч) направлена
на северо-восток.
22.12(22.12). Линейка АВ эллипсогра-
фа приводится в движение стержнем ОС,
вращающимся вокруг оси О с постоянной
угловой скоростью ©о- Кроме того, весь
механизм вместе с направляющими вра-
щается вокруг оси, перпендикулярной
плоскости рисунка и проходящей через точку О, с постоянной угло-
вой скоростью, равной также ©о. Найти абсолютную скорость про-
извольной точки М линейки как функцию расстояния AM = I в
предположении, что вращение стержня ОС н вращение всего ме-
ханизма происходит в противоположных направлениях.
Ответ: vm=(AB — 2/)©0.
22.13(23.13). Решить предыдущую задачу для случая, когда оба
вращения происходят в одном направлении.
Ответ: им не зависит от положения точки М и равна ДВ-©0.
22.14(22.14). Шары центробежного регулятора Уатта, вращаю-
щегося вокруг вертикальной оси с угловой скоростью © = 10 рад/с,
К задаче 22.15
благодаря изменению на-
грузки машины отходят от
этой оси, имея для своих
стержней в данном положе-
нии угловую скорость ©1=
= 1,2 рад/с. Найти абсолют-
ную скорость шаров регуля-
тора в рассматриваемый мо-
мент, если длина стержней
I = 0,5 м, расстояние ме-
жду осями нх подвеса 2е =
= 0,1 м, углы, образованные
стержнями с осью регуля-
тора, cq = аа = а = 30°.
Ответ: v = 3,06 м/с.
22.15(22.15). В гидравлической турбине вода из направляющего
аппарата попадает во вращающееся рабочее колесо, лопатки ко-
торого поставлены, во избежание входа воды с ударом, так, чтобы
относительная скорость vr касалась лопаткиЛ Найти относительную
157
скорость частицы воды на наружном ободе колеса (в момент
входа), если ее абсолютная скорость при входе v = 15 м/с, угол
между абсолютной скоростью и радиусом а = 60°, радиус входа
R = 2 м, угловая скорость колеса равна л рад/с.
Ответ: vr = 10,06 м/с, (vr, R) = 41°50'.
22.16(22.16). Частицы воды входят в турбину со скоростью и.
Угол между скоростью и и касательной к ротору, проведенной
в точке входа частицы, равен а. Внешний диаметр ротора D, его
число оборотов в минуту п.
Определить угол между лопаткой ротора и касательной в точке
входа воды, при котором вода будет входить без удара (относи-
тельная скорость частиц в этом случае должна быть направлена
Вдоль лопаток).
л. п 60н sin а
Ответ: tgP=^cosa_^n-
22.17(22.17). В кулисном механизме при качании кривошипа ОС
вокруг оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, ползун А, пе-
ремещаясь вдоль кривошипа ОС, приводит в движение стержень
АВ, движущийся в вертикальных направляющих К. Расстояние
(Ж = I. Определить скорость движения ползуна А относительно
кровошипа ОС в функции от угловой
скорости со и угла поворота <р криво-
шипа.
Ответ: ог = .
г cos <р
22.18(22.18). Найти абсолютную
скорость какой-либо точки М спарника
АВ, соединяющего кривошипы ОА и
OjB осей О и Oi, если радиусы колес одинаковы: R = 1 м; радиусы
кривошипов: ОА = О]В = 0,5 м. Скорость экипажа о0 — 20 м/с.
Скорость точки М определить для четырех моментов, когда кри-
вошипы ОА и О]В либо вертикальны, либо горизонтальны. Колеса
катятся по рельсам без скольжения.
Ответ: vi = 10 м/с, v2 = 30 м/с, г?3 = щ = 22,36 м/с.
22.19(22.19). Колеса А и В вагона, движущегося со скоростью г?
по прямолинейному рельсу, катятся по нему без скольжения. Ра-
к задаче 22.18
158
диусы колес равны г, и расстояние между осями d. Определить
скорость центра колеса А относительно системы координат, неиз-
менно связанной с колесом В.
Ответ: Скорость равна vd/r, перпендикулярна к АВ и направ-
лена вниз.
22.20(22.20). Механизм состоит из двух параллельных валов О
и Оь кривошипа ОА и кулисы 0{В; конец А кривошипа ОА сколь-
зит вдоль прорези в кулисе О]В; расстояние между осями валов
001 равно а: длина кривошипа ОА равна /, причем I > а. Вал О
вращается с постоянной угловой скоростью о. Найти: 1) угловую
К задаче 22.19
К задаче 22.21
скорость <л>! вала 01 и относительную скорость точки А по отноше-
нию к кулнсе OiB, выразив их через переменную величину
О]/1 = s; 2) наибольшие и наименьшие значения этих величин;
3) те положения кривошипа, при которых coj = и.
Ответ: 1) <0! = -^-^! +
° г = -£г VU + « + а)(/ + s — а)(а + / — s)(a + s — /);
2) ®1 max ~ ш ( _ а > Ю1 mln ~ Ш а • ° г max ~ аа» °rmln =
3) coi = ® при OiB J_ 010.
22.21(22.21). Камень А качающейся кулисы механизма стро-
гального станка приводится в движение зубчатой передачей, со-
стоящей из зубчатки D и зубчатки Е, несущей на себе ось камня А
в виде пальца. Радиусы зубчаток 7? = 0,1 м, Ei = 0,35 м, О)Л =
= 0,3 м, расстояние между осью Oi зубчатки Е и центром В ка-
чания кулисы OiB = 0,7 м. Определить угловую скорость кулисы
в моменты, когда отрезок OiA либо вертикален (верхнее и ниж-
нее положения), либо перпендикулярен кулисе АВ (левое и пра-
вое положения), если зубчатка имеет угловую скорость
со = 7 рад/с. Точки 01 и В расположены на одной вертикали.
Ответ: (Oi = 0,6 pai/с, Оц = cdiv = 0, ©ш = 1,5 рад/с.
22.22(22.22). Определить угловую скорость вращающейся ку-
лисы кривошипно-кулисного механизма при четырех положениях
159
кривошипа — двух вертикальных и двух горизонтальных, если
а = 60 см, I = 80 см и угловая скорость кривошипа равна
л рад/с. (См. рисунок к задаче 22.20.)
4
Ответ- со1 = ул рад/с, = coIV = 0,64л рад/с, <£>ш = 4л рад/с.
22.23(22.23). Определить абсолютную скорость поршня рота-
тивного двигателя при двух вертикальных и двух горизонтальных
положениях шатуна АВ, если длина кривошипа О А == л = 0,24 м,
угловая скорость цилиндра с картером равна 40л рад/с. (См. ри-
сунок к задаче 21.14.)
Ответ. ui=20,ll м/с, Щц =40,21 м/с, ил = vIV = 33,51 м/с.
22.24(22.24). Восточная, северная и вертикальная составляю-
щие скорости точки М относительно Земли соответственно равны
Ье, vn, Vh- Высота точки над поверхностью Земли в данный момент
равна h, широта места ср. Радиус Земли R, ее угловая скорость со.
Определить составляющие абсолютной скорости точки.
Ответ: V* *= ve + + Л) о> cos <р, иу = о?;, v? = vh (ось х на-
правлена на восток, ось у — на север, ось г — вертикально вверх).
22.25. В кривошипно-кулисном механизме с поступательно дви-
жущейся кулисой ВС кривошип ОА (расположенный позади ку-
лисы) длины I = 0,2 м вращается с постоянной угловой скоростью,
равной Зл рад/с. Концом А, соединенным шарнирно с камнем,
скользящим в прорези кулисы, он
сообщает кулисе ВС возвратно-
поступательное движение. Опре-
делить скорость v кулисы в мо-
мент, когда кривошип образует с
осью кулисы угол 30°.
Ответ: V} =0,942 м/с.
22.26. Стержень скользит в вертикальных направляющих, опи-
раясь нижним концом с помощью ролика на поверхность полуци-
линдра радиуса г. Полуцилиндр движется по горизонтали вправо
с постоянной скоростью ио- Радиус ролика р. Определить скорость
стержня, если в начальный момент он находился в наивысшем
положении.
Ответ: о =
$
V(r + p)2-t'o/2
160
22.27. На токарном станке обтачивается цилиндр диаметра
d = 80 мм. Шпиндель делает п = 30 об/мин. Скорость продоль-
ной подачи и = 0,2 мм/с. Определить скорость vr резца относи-
тельно обрабатываемого цилиндра.
Ответ: vr— 125,7 мм/с, tg а = 628, где а — угол между vr и
осью шпинделя.
§ 23. Сложение ускорений точки
23.1(23.1). Наклонная плоскость АВ, составляющая угол 45°
с горизонтом, движется прямолинейно параллельно оси Ох с по-
стоянным ускорением 0,1 м/с2. По этой плоскости спускается тело Р
с постоянным относительным ускорением 0,1 -у/2 м/с2; начальные
скорости плоскости и тела равны нулю, начальное положение тела
определяется координатами х = 0, у — h. Определить траекторию,
скорость и ускорение абсолютного движения тела.
Ответ: y = h — x!2, v — 0,1 -\/5t м/с, w = 0,l-\/5 м/с2.
23.2(23.2). Велосипедист на некотором участке горизонтального
прямолинейного пути движется по закону s = 0,1/2 (s— в метрах.
К задаче 23.1
К задаче 23.2
t — в секундах). Дано: /? = О,ЗБ м, I = 0,18 м, Z\ — 18 зубцов,
z2 = 48 зубцов. Определить абсолютное ускорение осей М и N ве-
лосипедных педалей (предполагая, что колеса катятся без сколь-
жения) при t == 10 с, если в этот момент кривошип MN располо-
жен вертикально.
Ответ: vM = 0,860 м/с2, wn = 0,841 м/с2.
23.3(23.3). Определить абсолютное ускорение какой-нибудь
точки М спарника АВ, соединяющего кривошипы осей О и Оь
если экипаж движется по прямолинейному участку пути равно-
мерно со скоростью Vo — 10 м/с. Радиусы колес R — 1 м, радиусы
кривошипов г = 0,75 м. (См. рисунок к задаче 22.18.)
Ответ: w = 75 м/с2.
23.4(23.4). Найти скорости и ускорения точек М2, М3 и Mt
гусеницы трактора, движущегося без скольжения по прямолиней-
ному участку пути со скоростью v0 и ускорением ву0; радиусы ко-
лес трактора равны /?; скольжением гусеницы по ободу колес пре-
небречь.
Ответ-. vx = vz = v(l'\f2, o2 = 2v0, v4 = 0,
ten — Wo -j- (too + Vo/Z?)2, w2 = 2tOj»
W3 = 'VmJ0 + (t«0— Vo/R)2, 0)4=0.
23.5(23.5). На тележке, движущейся по горизонтали вправо
с ускорением w = 0,492 м/с2, установлен электрический мотор, ро-
тор которого при пуске в ход вращается согласно уравнению
I
К задаче 23.4 К задаче 23.5
<р = t2, причем угол <р измеряется в радианах. Радиус ротора равен
0,2 м. Определить абсолютное ускорение точки А, лежащей на
ободе ротора, при t = 1 с, если в этот момент точка А находится
в положении, указанном на рисунке.
Ответ: wA (wa = 0,746 м/с2) направлено по вертикали вверх.
23.6(23.6). Определить в предыдущей задаче угловую скорость
равномерного вращения ротора, при которой точка А, находясь
в положении В, имеет абсолютное ускорение, равное нулю.
Ответ: а = 1,57 рад/с.
23.7(23.7). К валу электромотора, вращающегося согласно
уравнению гр = а/ (а = const), прикреплен под прямым углом
стержень ОА длины 1г при этом электромотор, установленный без
креплений, совершает горизонтальные гармонические колебания
на фундаменте по закону х = a sin а/. Определить абсолютное
ускорение точки А в момент времени t =
Ответ: = a2 “г ^2-
23.8(23.8). Тележка, на которой установлен мотор, движется по
горизонтали вправо с постоянным ускорением ю = 0,4 м/с2. Мо-
тор вращается по закону <р = ‘/jt2. Определить абсолютное уско-
162
рение в момент t = 1 с четырех точек Afi, Л42, Л!3, Л44 ротора, от-
стоящих от оси ротора на расстоянии I = 0,2 V2 м и занимаю-
щих в этот момент положение, указанное на рисунке.
Ответ: wi = 0,4 \/2 м/с2, w2 = 0, w3 — 0,4 д/2 м/с2, w4 = 0,8 м/с2.
23.9(23.9). Автомобиль на прямолинейном участке пути дви-
жется с ускорением w0 = 2 м/с2. На продольный вал насажен вра-
щающийся маховичок радиуса = 0,25 м,
имеющий в данный момент угловую скорость
<0 = 4 рад/с и угловое ускорение е = 4 рад/с2.
Найти абсолютное ускорение точек обода ма-
ховичка в данный момент.
Ответ: w = 4,58 м/с2.
23.10(23.10). Самолет движется прямоли-
нейно с ускорением wo = const = 4 м/с, винт
диаметра d=l,8 м вращается равномерно с угловой скоростью
равной 60л рад/с. Найти уравнения движения, скорость н уско-
рение конца винта в системе координат, неподвижной относитель-
но Земли, причем ось Ох этой системы координат совпадает с
осью винта. Начальная скорость самолета ос = 0.
Ответ: х = 2Z2
= Л/1612+2916л2
23.11(23.11). В
Маховичок
К задаче 23.9
м, у = 0,9 cos 60л/ м, z = 0,9sin60n/ м; и =
м/с; а/ = 31945 м/с2.
регуляторе, вращающемся вокруг вертикальной
оси с постоянной угловой скоростью со = 6л рад/с, тяжелые гири
А, прикрепленные к концам пружины,
совершают гармонические колебания
вдоль паза MN таким образом, что рас-
стояние их центров тяжести от оси вра-
щения изменяются по закону х = (0,1 +
+ 0,05 sin 8л1) м. Определить ускорение
центра тяжести гири в момент, когда ко-
риолисово ускорение достигает макси-
мального значения, и указать значение
кориолисова ускорения при крайних по-
ложениях гири.
Ответ: wa = 6л2 м/с2, wc = 0.
23.12(23.12). Струя воды течет по го-
ризонтальной трубе О А, равномерно
вращающейся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью, рав-
ной 2л рад/с. Определить кориолисово ускорение wc в этой точке
струи, где относительная скорость vr (vr = 21/11 м/с) направ-
лена на ОА. Принять для л приближенное значение л =
= 22/7.
Ответ: wc — 24 м/с2.
23.13(23.13). Круглая трубка радиуса R = 1 м вращается во-
круг горизонтальной оси О по часовой стрелке с постоянной угло-
вой скоростью (о=1 рад/с. В трубке около ее точки А колеблется
шарик М, причем так, что угол — sin л/. Определить абсолютные
163
ускорения шарика: касательное wx и нормальное в момент
t = 2'/6 с.
Ответ: wx — —4,93 м/с2, шл = 13,84 м/с2.
23.14(23.14). Диск вращается вокруг оси, перпендикулярной
плоскости диска, по часовой стрелке равноускоренно с угловым
ускорением 1 рад/с2; в момент t = 0 угловая скорость его равна
нулю. По одному из диаметров диска колеблется точка Л1 так,
что ее координата g = sinnt м, причем t—в секундах. Определить
в момент t — 12/3 с проекции абсолютного ускорения точки М на
оси g, ip связанные с диском.
Ответ: — 10,95 м/с2, — —4,37 м/с2
23.15(23.15). Точка движется равномерно с относительной ско-
ростью vr по хорде диска, который вращается вокруг своей оси О,
перпендикулярной плоскости диска, с постоянной угловой ско-
ростью со. Определить
абсолютные скорость и ускорение точки
в тот момент, когда она находится на
кратчайшем расстоянии h от оси, в пред-
положении, что относительное движение
точки происходит в сторону вращения
диска.
Ответ: v = vr-}- he>, w = a>2h + ‘2u>vr.
23.16(23.16). Для передачи вращения
одного вала к другому, параллельному
первому, применяется муфта, которая
является обращенным эллиптическим
циркулем с закрепленным кривошипом
00]. Кривошип АВ вращается с угловой
скоростью со] вокруг оси О] и приводит
во вращение крестовину вокруг оси О вместе со вторым валом.
Определить угловую скорость вращения крестовины, а также пе-
реносную и относительную (по отношению к крестовине) скорости
и ускорения (переносное, относительное и кориолисово) точки А
ползуна при <х>1 = const, если 00] = AOt — 0\В = а.
<0. СО. СО.
Ответ: со=—, ve = асо, sin — t, vr = aa>l cos — t, и?е = иуг =
acof co. co(
= — sin -g-1, Wc== ncoj'COS уt.
164
23.17(23.17). Велосипедист движется по горизонтальной плат-
форме, вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной угло-
вой скоростью ы = 1 /2 рад/с; расстояние велосипедиста до оси вра-
щения платформы остается постоянным и равным г = 4 м. Отно-
сительная скорость велосипедиста vr = 4 м/с и направлена в сто-
рону, противоположную переносной скорости соответствующей точ-
ки платформы. Определить абсолютное ускорение велосипедиста.
Найти также, с какой относительной скоростью он должен дви-
гаться, чтобы его абсолютное ускорение равнялось нулю.
Ответ-. 1) w(w = I м/с2) направлено по радиусу к центру диска;
2) vr = 2 м/с.
23.18(23.18). Компрессор с прямолинейными каналами равно-
мерно вращается с угловой скоростью со вокруг оси О, перпенди-
кулярной плоскости рисунка. Воздух течет по каналам с постоян-
ной относительной скоростью vr.
Найти проекции абсолютной ско-
рости и ускорения на оси коор-
динат для частицы воздуха, нахо-
дящейся в точке С канала АВ,
при следующих данных: канал
АВ наклонен к радиусу ОС под
углом 45°, ОС — 0,5 м, со =
= 4л рад/с, vr = 2 м/с.
Ответ: = 7,7 м/с, vv =
= 1,414 м/с, w\ — 35,54 м/с2.
К задаче 23.18 К задаче 23.19
Топ = — 114,5 м/с2.
23.19(23.19). Решить предыдущую задачу для случая криволи-
нейного канала, если радиус кривизны канала в точке С равен р,
а угол между нормалью к кривой АВ в точке С и радиусом ОС
равен <р. Радиус СО равен г.
Ответ: v^—vr cos <р + гы, = vr sin <р, = (2игы — о2/р) sin <р,
Го7) = — [Г(О2 + (2orco — v2r/(>) cos <p],
23.20(23.20). Выразить как функцию времени угловое ускоре-
ние е качающейся кулисы поперечно-строгального станка, если
кривошип длины г вращается равномерно с угловой скоростью ы;
расстояние между осями вращения кривошипа и кулисы а > г.
(См. рисунок к задаче 21.13.)
(г2 — а2) ага>2 sin at
Т в ST • 6 . л • 2 । J%2 •
(а2 -Ь г2 Ч- 2аг cos со/)2
23.21(23.21). Камень А совершает переносное движение вместе
с кулисой, вращающейся с угловой скоростью о и угловым уско-
рением е вокруг оси О], перпендикулярной плоскости кулисы, и от-
носительное прямолинейное движение вдоль прорези кулисы со
скоростью vr и ускорением wr. Определить проекции абсолютного
ускорения камня на подвижные оси координат, связанные с кули-
сой, выразив их через переменное расстояние О1Д=й. (См. ри-
сунок к задаче 22.20.)
165
К задаче 23.24
Ответ: w$ — wr — s(o2; wv = se + 2o,-(o, причем оси S; и т) на-
правлены соответственно вдоль прорези и перпендикулярно к ней.
23.22(23.22). Определить угловое ускорение вращающейся ку-
лисы кривошипно-кулисного механизма строгального станка при
двух вертикальных и двух горизонтальных положениях кривошипа,
если длина кривошипа I — 0,4 м, расстояние между осями криво-
шипа и кулисы а = 0,3 м, угловая скорость равномерного враще-
ния кривошипа <0 = 3 рад/с. (См. рисунок к задаче 22.20.)
Ответ: <р = 0 и <р=180°, е = 0; ф = 90°, е = 1,21 рад/с2;
<р = 270°, в = 1,21 рад/с2 (вращение замедленное).
23.23(23.23). Найти ускорение относительного движения камня
кулисы вдоль ее прорези в предыдущей
задаче при указанных четырех положе-
ниях кривошипа.
Ответ: ф = 0, wr= 1,543 м/с2; <р = 90°
и <р = 270°, ил-= 1,037 м/с2; ф = 180°,
wr —— 1,037 м/с2.
23.24(23.24). Найти уравнение движе-
ния, скорость и ускорение суппорта М
строгального станка, приводимого в дви-
жение кривошипно-кулисным механиз-
мом с качающейся кулисой О}В. Схема
указана на рисунке. Кулиса соединена с
суппортом М при помощи ползуна В,
скользящего относительно суппорта по направляющей, перпенди-
кулярной оси его движения. Дано: OiB — l, ОА—r, О}О = а,
г < с; кривошип О А вращается с постоянной угловой скоростью ш;
угол поворота кривошипа отсчитывается от вертикальной оси.
Ответ: г.-!.-,. 'sin(0< у = г/щ ±L-C-OS (а cos at + r) ,
•ya2 + Г3 4* 2ar cos <о/ (aa + r2 + 2ar cos o/) ”
W = rfo2 a - ^(д + r cos - r* + r)il sin (О/.
(a2 + r2 + 2ar cos <of)'2
Примечание. Координата отсчитывается
точку О.
от вертикали, проходящей через
23.26(23.25). Найти ускорение резца строгального станка с ка-
чающейся кулисой при двух вертикальных и двух горизонтальных
положениях кривошипа, если длина кривошипа г = 0,1 м, расстоя-
ние между центрами вращения кривошипа и кулисы а = 0,3 м,
длина кулисы I = 0,6 м, угловая скорость вращения кривошипа
(0 = 4 рад/с = const. (См. рисунок к задаче 23.24.)
Ответ: При ф = 0 и ф = 180°шх = 0, при ф = 90° и ф =
= 270° = 4=2,21 м/с2.
23.26(23.26). Лопатка АВ турбины, вращающейся против часо-
вой стрелки замедленно с угловым ускорением, равным 3 рад/с2,
имеет радиус кривизны 0,2 м и центр кривизны в точке С, причем
ОС = 0,1 д/10 м. Частица воды Р, отстоящая от оси О турбины на
расстоянии ОР = 0,2 м, движется по лопатке наружу и имеет ско-
166
рость 0,25 м/с и касательное ускорение 0,5 м/с2 по отношению
к лопатке. Определить абсолютное ускорение частицы Р в тот мо-
мент, когда угловая скорость турбины равна 2 рад/с.
Ответ. wa = 0,52 м/с2.
23-27(23.27). По радиусу диска, вращающегося вокруг оси О)О2
с угловой скоростью <0 = 2/ рад/с в направлении от центра диска
к его ободу движется точка М по закону ОМ — 4/2 см. Радиус ОМ
составляет с осью О\О2 угол 60°. Определить величину абсолютного
ускорения точки М в момент t = 1 с.
Ответ. wM — 35,56 см/с2.
К задаче 23.28
К задаче 23.26
К задаче 23.27
К задаче 23.29
23.28(23.28). Прямоугольник ABCD вращается вокруг стороны
CD с угловой скоростью со = л/2 рад/с = const. Вдоль стороны
АВ движется точка М по закону g = asin-y/ м. Даны размеры:
DA — СВ — а м. Определить величину абсолют-
ного ускорения точки в момент времени t = 1 с.
Ответ: wa = ~- д/2 м/с2.
23.29(23.29). Квадрат ABCD со стороною 2а м
вращается вокруг стороны АВ с постоянной угло-
вой скоростью ы = я-у 2 рад/с- Вдоль диагонали
АС совершает гармоническое колебание точка М
по закону £ = acos-^ i м. Определить величину аб-
солютного ускорения точки при t = 1 с и / = 2 с.
Ответ: Wa< =ал2 д/5 м/с2, що- = 0,44ал2 м/с2.
23.30(23.30). Стержень ОА вращается вокруг оси z, проходя-
щей через точку О, с угловым замедлением 10 рад/с2. Вдоль
стержня от точки О скользит шайба М. Определить абсолютное
ускорение шайбы в момент, когда она находится на расстоянии
0,6 м от точки О и имеет скорость и ускорение в движении вдоль
стержня соответственно 1,2 м/с и 0,9 м/с2, если в этот момент угло-
вая скорость стержня равна 5 рад/с
Ответ: wa = 15,33 м/с2 и составляет с направлением МО угол
в 23°.
167
К задачам 23.30 и 23.31
23.31(23.31). Шайба М движется по горизонтальному стержню
ОА, так что ОМ = 0,5t2 см. В то же время стержень вращается
вокруг вертикальной оси, проходящей через точки О, по закону
<р = В + t. Определить радиальную и трансверсальную составляю-
щие абсолютной скорости и аб-
солютного ускорения шайбы в
момент t — 2 с.
Ответ- и, = 0,02 см/с, uv =
= 0,1 см/с, wr = — 0,49 см/с2,
wv = 0,24 см/с2.
23.32(23.32). Круг радиуса г
вращается с постоянной угловой
скоростью со вокруг неподвижной
точки О, лежащей на его окруж-
ности. При вращении круг пере-
секает неподвижную горизонталь-
ную прямую — ось х, проходя-
щую через точку О. Найти ско-
рость и ускорение точки М пересечения круга с осью х в движе-
ниях этой точки по отношению к кругу и по отношению к оси х.
Выразить искомые величины через расстояние ОМ — х.
Ответ: По отношению к прямой Ох точка М движется со ско-
ростью — со д'4т2— х2 и ускорением —со2х. По отношению к кругу
точка движется в сторону, противоположную вращению круга,
с постоянной скоростью 2сог и ускорением 4<о2г.
23.33(23.33). Горизонтальная прямая АВ перемещается парал-
лельно самой себе по вертикали с постоянной скоростью и и пере-
секает при этом неподвижный круг радиуса г. Найти скорость и
ускорение точки М пересечения прямой с окружностью в движе-
ниях этой точки относительно круга и относительно прямой АВ
в функции от угла (см. рисунок).
Ответ: 1) В движении по окружности точка М имеет скорость
и и2 cos <р
и касательное ускорение-— , нормальное ускорение
sin ф---------------------------г г sin3 <р
и2
г sin2 ф
2) По отношению к прямой АВ точка М движется со скоростью
и COS <р и2
—?--- и ускорением--------=—.
sin ф } г г sin3 ф
168
по ОА со ско-
ТОЧКИ м —
полярных ко-
23.34(23.34). Полупрямая ОА вращается в плоскости рисунка
вокруг неподвижно;! точки О с постоянной угловой скоростью го.
Вдоль ОА перемещается точка М. В момент, когда полупрямая
совпадала с осью х, точка М находилась в началее координат. Оп-
ределить движение точки М относительно полупрямой ОА, если из-
вестно, что абсолютная скорость v точки М
постоянна по величине. Определить также
абсолютную траекторию и абсолютное
ускорение точки М.
Ответ: Точка М движется
ростью vr = v cos (i)t.
Абсолютная траектория
окружность, ее уравнение в
с
ординатах r = —sin<p, в декартовых коор-
V
~2а
)2=('^у)2- Абсолютное ускорение точки М
и проходящей
точки в тот МО-
30
К задаче 23.36
ди натах х2 \у
Wa = 2<1Щ.
23.35(23.35). Точка движется с постоянной скоростью v по ра-
диусу диска, вращающегося с постоянной угловой скоростью ет
вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска
через его центр. Определить абсолютное ускорение
мент, когда она будет находиться на расстоянии
г от центра диска.
Ответ-. wa = a ^г2аг -f- 4и2.
23.36(23.36). Шарик Р движется со скоро-
стью 1,2 м/с от А к В по хорде АВ диска, вра-
щающегося вокруг оси, проходящей через его
центр перпендикулярно плоскости диска. Найти
абсолютное ускорение шарика, когда он нахо-
дится на кратчайшем расстоянии от центра ди-
ска, равном 30 см. В этот момент угловая ско-
рость диска равна 3 рад/с, угловое замедление
равно 8 рад/с2.
Ответ-. wa = 10,18 м/с2.
23.37(23.37). Решить предыдущую задачу в предположении, что
диск вращается вокруг диаметра, параллельного хорде.
Ответ: wa = 3,612 м/с2.
23.38(23.38). Решить задачу 23.36 при условии, что осью вра-
щения диска является диаметр, перпендикулярный хорде.
Ответ: wa = 7,2 м/с2.
23.39(23.39). Корабль, находящийся на экваторе, идет курсом
северо-восток. Скорость движения корабля равна 20 узлам. Найти
абсолютную скорость и кориолисово ускорение корабля с учетом
вращения Земли, считая радиус Земли равным 7? = 6,378-106 м
(наименование курса указывает, куда идет судно; узел=1 мор-
ская миля/ч = 1852 м/ч = 0,5144 м/с).
Ответ: va = 470,4 м/с, wc = 1,06- 10-3 м/с2.
169
23.40(23.40). В условиях предыдущей задачи найти абсолютное
ускорение корабля, считая его скорость постоянной.
Ответ: wa = 347,766-10-4 м/с2.
23.41(23.41). По ободу диска радиуса R, вращающегося вокруг
своего диаметра с постоянной угловой скоростью со, движется с
постоянной по модулю скоростью v точка М. Найти абсолютное
ускорение точки М как функцию угла <р, составленного радиус-век-
тором точки с осью вращения диска.
Ответ: wa — aJ-4- со4/?2 sin2 <р + 2w2us (1 cos2 qp).
скоростью <0 вокруг оси, проходящей
23.42(23.42). Диск радиуса R вращается с постоянной угловой
через его центр перпендику-
лярно плоскости диска. По
одному из диаметров диска
движется точка М так, что
ее расстояние от центра дис-
ка меняется по закону
ОМ — R sin со/ Найти абсо-
лютную траекторию, абсо-
лютную скорость и абсолют-
ное ускорение точки М.
Ответ: Если начальное
положение точки М принять
за начало координат, а ось у направить по начальному положе-
нию диаметра, по которому движется точка М, то уравнение тра-
ектории будет
(окружность половинного радиуса с центром на середине радиуса).
Абсолютная скорость vo = со/?. Абсолютное ускорение w„ — 2<s>2R.
К задаче 23.43
К задаче 23.44
23.43(23.43). Диск вращается с
постоянной угловой скоростью to во-
круг оси, проходящей через его
центр перпендикулярно плоскости
диска. По хорде АВ из ее середины
D движется точка М с постоянной
относительной скоростью и. Хорда
отстоит от центра диска на расстоя-
нии с. Найти абсолютную ско-
рость и абсолютное ускорение точ-
ки М как функции расстояния
DM = х.
Ответ: va— • /а2х2 4- (и п~ сое)2, wa — со yjes2x2 + (2u -f- сое)2.
23.44(23.44). По подвижному радиусу диска от центра к ободу
движется точка М с постоянной скоростью vr. Подвижный радиус
поворачивается в плоскости диска с постоянной угловой скоростью
oi. Плоскость диска вращается вокруг своего диаметра с постоян-
но
ной угловой скоростью 6)2. Найти абсолютную скорость точки М,
считая, что при t — 0 точка М находилась в центре диска, а под-
вижный радиус был направлен по оси вращения диска.
Ответ'. — + Р (а’ + sin2 ®/)-
23.45(23.45). Точка движется со скоростью 2 м/с по окруж-
ности обода диска диаметра 4 м. Диск вращается в противополож-
ном направлении, имея в данный момент угловую скорость 2 рад/с
и угловое ускорение 4 рад/с2. Определить абсолютное ускорение
точки.
Ответ: wn(wa = 8,24 м/с2) направлено под углом 76° к радиусу.
23.46(23.46). Диск вращается вокруг оси, перпендикулярной
плоскости диска и проходящей через его центр, по закону <р = 2/3/3.
Вдоль радиуса диска начинает двигаться точка по закону s =
=4/2—10/ 4-8 (см). Расстояние s измеряется от центра диска.
Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки
в момент времени / = 1 с.
Ответ: va = 4,47 см/с, ша — 0.
23-47(23.47). Полое кольцо радиуса г жестко соединено с ва-
лом АВ, и притом так, что ось вала расположена в плоскости оси
кольца. Кольцо заполнено
жидкостью, движущейся в
нем в направлении стрелки
с постоянной относительной
скоростью и. Вал АВ вра-
щается по направлению
движения стрелки часов,
если смотреть по оси вра-
щения от А к В. Угловая
скорость вала а постоянна.
Определить величины абсо-
лютных ускорений частиц жидкости, расположенных в точках /,
К задаче 23.48
2,3 к 4.
Ответ: Wi — re?----—, w3 = Зга2 4- —, w2 = — 2ra>2 4- — -
23.48(23.48). По условиям предыдущей задачи, измененным
лишь в том отношении, что плоскость оси кольца теперь перпенди-
кулярна оси вала АВ, определить те же величины в двух слу-
чаях:
I) переносное и относительное движения одного направления;
2) составляющие движения противоположны по направлению.
Ответ: 1) u»i = га2 — и2/г — 2ua, w3 = Зга2 4- и?!г 4* 2ак,
ну-, = w< = V(u2/r + 2au 4- a2r)2 + 4a2r2;
2) = га2 — u2fr 4- 2на, ы)3 = 3га2 + u2/r — 2au,
w2 = — -\/(<n2r 4- и2/г — г2ыи)2 4- 4a4r2.
23.49(23.49). Точка М равномерно движется по образующей кру-
гового конуса с осью ОА от вершины к основанию с относительной
171
скоростью Vr',
ОМо — а. Конус
К задаче 23.46
угол МОА = а. В момент < = 0 расстояние
равномерно вращается вокруг своей оси с угло-
вой скоростью го. Найти абсолютное ускорение
точки М.
Ответ: Ускорение лежит в плоскости, перпен-
дикулярной оси вращения, и представляет со-
бой гипотенузу треугольника с катетами wen =
= ш2(о + Urf)sin а и wc = 2v,w sin а.
23.50(23.50). Определить в предыдущей зада-
че величину абсолютного ускорения точки Л1 в
момент t = 1 с в том случае, когда она движет-
ся по образующей конуса с постоянным относи-
тельным ускорением wr, направленным от вер-
шины конуса к основанию, при следующих данных: а — 30°, а =
= 15 м, wr = 10 м/с2, о = 1 рад/с; в момент t =0 относительная
скорость точки vr равна нулю.
Ответ: w = 14,14 м/с2.
23.51(23.51). Полагая в задаче 23.49, что конус вращается
вокруг своей оси равноускоренно с угловым ускорением е, опреде-
лить величину абсолютного ускорения w точки М в момент t = 2 с
при следующих данных а = 30°, а — 0,2 м, с/г = 0,3 м/с, е =
= 0,5 рад/с2; в момент ?=0 угловая скорость о равна нулю.
Ответ: w = 0,64 м/с2.
23.52(23.52). Река ширины 500 м течет с юга на север со ско-
ростью 1,5 м/с. Определить кориолисово ускорение wc частиц
воды, находящихся на 60° северной широты. Определить затем, у
какого берега вода выше и насколько, если
известно, что поверхность воды должна
быть перпендикулярна направлению векто-
ра> составленного из ускорения силы тяже-
сти g и вектора, равного и противополож-
ного кориолисову ускорению.
Ответ: Кориолисово ускорение wc(wc =
= 1,89-10“4 м/с2) направлено к западу.
Вода выше у правого берега на 0,0096 м.
23.53(23.53). Магистраль южных железных дорог к северу от
Мелитополя идет прямо по меридиану. Тепловоз движется со ско-
ростью v = 90 км/ч на север; широта места <р = 47°. Найти корио-
лисово ускорение тепловоза.
Ответ: wc — 2,66 • 1О-3 м/с2.
23.54(23.54). По железнодорожному пути, проложенному по па-
раллели северной широты, движется тепловоз со скоростью
vr = 20 м/с с запада на восток. Найти кориолисово ускорение
Л}
К задаче 23.52
wc тепловоза.
Ответ: wc = 2,91 -10-8 м/с2.
23.55(23.55). Определить кориолисово ускорение точек Мь Л12,
М3, МА колеса электровоза, движущегося по меридиану, в момент
пересечения экватора. Скорость центра колеса электровоза со =
= 40 м/с.
172
Ответ: Для точек Mi и Л13 и>г —0, для точек М- и Mt wc =
= 5,81 IO-3 м/с2.
23.56(23.56). Река Нева течет с востока на запад по параллели
60' северной широты со скоростью vr = 1,11 м/с. Определить сум-
му проекций на касательную ВС к соответствующему меридиану
К задаче 23.56
тех составляющих ускорений частиц воды, которые зависят от ско-
рости течения. Радиус Земли Д = 64-105 м.
Ответ: Wbc = 1,395-10-4 м/с2.
23.57(23.57). Река Нева течет с востока иа запад по параллели
60° северной широты со скоростью tv = 1,11 м/с. Найти состав-
ляющие абсолютного ускорения частицы воды. Радиус Земли
В — 64-106 м.
Ответ: we = 1,692-10-2 м/с2, wr = 3,86-10-7 м/с2, wc= 1,616X
X 10-4 м/с2.
23.58(23.58). Найти абсолютное ускорение шаров центробеж-
ного регулятора Уатта, если он вращается вокруг своей верти-
кальной оси, имея в данный момент угловую скорость со = л/2 рад/с
пви угловом ускорении е = 1 рад/с2; угловая скорость расхож-
дения шаров wi = л/2 рад/с при угловом ускорении ei =0,4 рад/с.2.
Длина рукояток шаров / — 0,5 м, расстояние между осями их при-
веса 2е = 0,1 м, угол раствора регулятора в рассматриваемый мо-
мент 2а = 90°. Размерами шаров пренебречь, принимая шары за
точки. (См. рисунок к задаче 22 14.)
Ответ: w =2,937 м/с2.
23.59(23.59). Найти абсолютное ускорение шаров центробеж-
ного регулятора Уатта, если после изменения нагрузки машины
регулятор начал вращаться с угловой скоростью со = л рад/с, при-
чем шары продолжают опускаться в данный момент со скоростью
vr = 1 м/с и касательным ускорением wrx = 0,1 м/с2. Угол рас-
твора регулятора 2а = 60°; длина рукояток шаров Z = 0,5 м, рас-
стоянием 2е между их осями привеса можно пренебречь. Шары
принять за точки. (См. рисунок к задаче 22.14.)
Ответ: w — 6,71 м/с2.
23.60(23.60). Воздушная трапеция ABCD совершает качания
вокруг горизонтальной оси О\О% по закону <р = <р0 sin wt. Гимнаст,
выполняющий упражнение на перекладине АВ, вращается вокруг
нее с относительной угловой скоростью = const; дано: ВС =
173
= AD = l. Определить абсолютное ускорение точки М на подошве
гимнаста, отстоящей от перекладины АВ на расстоянии а в мо-
мент t = n/to с. В начальный момент гимнаст был расположен
вертикально, головой вверх: трапеция
'’-Ч с ABCD занимала вертикальное нижнее по-
в 0 ложение.
/л Ответ: дам(йум = <»2[ф5(/ — а) — а(2ф0 +
/ m /1 -Ь 1)]) направлено вертикально вверх, если
м / m выражение в квадратных скобках положи-
/ / / тельно.
/ 23.61(23.61). Точка движется по радиу-
су диска согласно уравнению r = aeki, где
Л a,k—постоянные величины. Диск враща-
к задаче 23.60 ется вокруг оси, перпендикулярной его пло-
скости и проходящей через центр, согласно
уравнению <р = /г/. Определить абсолютную скорость, абсолютное
ускорение, касательное и нормальное ускорения точки.
Ответ: v = akekt-yj2, <n = 2ak2eki, wz = ak2ekt ^2, wn =
— ak2ekt a/2-
23.62(23.62). Точка M движется по поверхности Земли; курс
движения k (угол между направлением на север и скоростью v
точки относительно Земли), широта места в данный момент равна
ф. Определить восточную wcx, северную wcy и вертикальную wcz
составляющие кориолисова ускорения точки.
Ответ: wCx — —2с/ю cos k sin <р, wcy = 2с/ы sin k sin <p, wCz —
—— 2u<o sin &cos <p, где о — угловая скорость вращения Земли.
23.63(23.63). В условиях предыдущей задачи определить вели-
чину и направление горизонтальной составляющей кориолисова
ускорения точки М.
Ответ: wch = 2цш sin <р; горизонтальная составляющая перпен-
дикулярна скорости v точки М относительно Земли и направлена
влево от нее в северном полушарии и вправо в южном полушарии.
23.64(23.64). Высота точки М над поверхностью Земли равна h,
широта места ф. Определить восточную wex, северную wey и вер-
тикальную Wez составляющие переносного ускорения точки, обус-
ловленного вращением Земли (R— ее радиус, <о — угловая ско-
рость) .
Ответ: wex — 0, wcy = (R + h) ю2 sin ф cos ф,
wez — — (R + ft) to2 cos2 ф.
23.65(23.65). Восточная, северная и вертикальная проекции ско-
рости точки М относительно Земли соответственно равны ve, vn и
vh. Определить проекции относительного ускорения точки иа коор-
динатные оси х, у, z (ось х направлена на восток, ось у — на се-
вер, ось z — по вертикали), если высота ее над поверхностью
Земли в данный момент равна ft, а широта места ф (R и ы— ра-
диус и угловая скорость Земли).
174
VpVM vpVt. Vp
Ответ: wrx = v^--j^tg(p + 1^-. Wry== f>N + tg<p +
. vNvh VE + f W
+ R + h ’ Wrz Vh R + Л
23.66(23.66). В условиях предыдущей задачи определить со-
ставляющие абсолютного ускорения точки Af, движущейся вблизи
Земли.
VFVN VFV!
Ответ: wx = vE — tg<p + — 2 (vN sin<p—vh cosф)w;
2
wv = vN + +y tgф + h 4- (R + Л) (0- sin фcos Ф + 2u£to sin ф,
•» । °
°E "r V N
w- = йа-----n-\-h--(^ + Л) “2 cos2 V — 2u£q cos ф.
23.67. Кривошипно-кулисный механизм приводного молота со-
стоит нз прямолинейной кулисы, совершающей возвратно-поступа-
тельное движение. Кулиса приводится в движение камнем А, со-
единенным с концом кривошипа 0/1 — г = 0,4 м, который вращает-
ся равномерно с угловой скоростью, равной 4л рад/с. При t = 0
кулиса занимает нижиее положение. Найти ускорение кулисы.
Ответ: w — 63,2 cos 4л/ м/с2.
23.68. Кривошип ОА = г = 0,5 м, приводящий в движение пря-
молинейную кулису, которая совершает возвратно-поступательное
движение, в момент, когда ЛхОА — 60°, имеет угловую скорость
о = 1 рад/с и угловое ускорение е = ±1 рад/с2. Найти ускорение
кулисы в указанный момент для двух случаев: 1) когда е >0 и
2) когда в < 0.
Ответ: wi = 0,683 м/с2, и>2 = 0,183 м/с2.
23.69. Поступательно движущийся кулак имеет форму полу-
диска, скользящего по направлению своего диаметра АВ с постоян-
ной скоростью и0. Определить ускоре-
ние движения стержня, опирающегося
на кулак, перпендикулярного его диа-
метру АВ и свободно скользящего
в прорези державки. Радиус ролика
равен р. В начальный момент стер-
жень находится в верхнем положении.
z-, Оо<г + р)2
Oreer-
23.70. На токарном станке обтачи-
вается ЦИЛИНДР Диаметра 80 ММ. К задаче 23.ZI
Шпиндель делает 30 об/мин. Скорость
продольной подачи постоянна и. равна 0,2 мм/с. Определить ско-
рость и ускорение резца относительно обрабатываемого цилиндра.
Ответ: vr = 125,7 мм/с, we = 789,5 мм/с2, wr = wc =
= 394,8 мм/с3.
175
23.71. Стержень скользит в вертикальных направляющих, опи-
раясь нижним концом на гладкую наклонную поверхность тре-
угольной призмы. Призма движется по горизонтали вправо с по-
стоянным ускорением ау0. Найти ускорение стержня.
Ответ-, w = ю0 tg а.
ГЛАВА VIII
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 24. Сложение движений тела
а) Сложение плоских движений тела
24.1(24.1). Кривошип Ill соединяет оси Oi и О2 двух зубчатых
колес 1 и II, причем зацепление может быть или внешнее, или внут-
реннее, как указано на рисунке, колесо / остается неподвижным, а
кривошип III вращается вокруг оси Oi с угловой скоростью ы3.
Зная радиусы колес и и г2, вычислить для колеса II его абсолют-
ную угловую скорость а>2 и его
юга по отношению к кривошипу.
относительную угловую скорость
Ответ: Внешнее зацепление:
реннее зацепление: ct>2 =— <о3
(о2 = «з — —Г2, = ы3 —. Внут-
'2 Га
г2 .. о
----, <о2з= — со3—.Знак минус
указывает на то, что соответствующие тела вращаются в проти-
воположные стороны.
24.2(24.2). Найти относительную и абсолютную угловые ско-
рости зубчатого колеса II радиуса г, катящегося по неподвижному
зубчатому колесу / с тем же радиусом и приводящегося в движе-
ние кривошипом III, вращающимся вокруг оси неподвижного ко-
леса О с угловой скоростью <оо; движение кривошипа ОА принять
за переносное.
Ответ: ы23 — «о, «2 = 2соо.
24.3(24.3). Зацепление, приводящее в быстрое вращение точиль-
ный камень, устроено следующим образом: стержень IV посред-
ством особой ручки приводится во вращение вокруг оси Oi с угло-
176
вой скоростью со4; на конце стержня О2 находится палец, па кото-
рый свободно надето колесо II радиуса г2. При вращении ручки
палец заставляет колесо II катиться без скольжения по наруж-
ному неподвижному кругу Ill радиуса г3. При этом, благодаря
трению, колесо // вращает без скольжения колесо 1 радиуса гь сво
бодно насаженное на ось Oi и неизменно связанное с осью точила.
К задаче 24.3
К задаче 24.4
По данному радиусу г3 наружной неподвижной обоймы найти та-
кое значение п, чтобы было 01/04 = 12, т. е. чтобы точило вра-
щалось в 12 раз быстрее приводящей его в движение ручки.
Ответ: ri=7j-r3.
24.4(24.4). Найти число оборотов в минуту шестерни с числом
зубцов z3 = 25, если кривошип ОА вращается вокруг оси О непод-
вижной шестерни (с числом зубцов zo = 60) с угловой скоростью,
соответствующей п0 = 30 об/мин, и несет на себе ось двойной
шестерни с числами зубцов
Zi = 40, z2 = 50.
Ответ: п3= no ( 1—=
\ ZIZ3 J
—— 60 об/мин (в отношении
знака минус см. ответ к задаче
24.1).
24.5(24.5). В эпицикличе-
ском механизме, применяемом
в конных приводах молотилок,
водило ОА и колесо I радиу-
са Г] насажены на вал О сво-
К задаче 24.Б
бодно, ось Oi колеса 11 укреплена на водиле, а колесо III радиу-
са г3 может свободно вращаться вокруг оси О. Определить угло-
вую скорость oi колеса /, если водилу ОА сообщена угловая ско-
рость <оо, а колесу III от другого двигателя (тоже конного)
сообщена угловая скорость о3 противоположного направления.
Ответ: с£>! = (£>0 (1 + + ^-| о3|.
24.6(24.6). Редуктор скоростей состоит из трех зубчатых колес.
Первое колесо (число зубцов zi — 20) насажено на ведущий вал I,
177
делающий щ = 4500 об/мин, второе (z2=25) свободно насажено
на ось, жестко связанную с ведомым валом II, третье колесо
(z3 = 70) с внутренним зацеплением неподвижно. Найти число
оборотов в минуту ведомого вала и бегающего колеса.
Ответ-, пц = 1000 об/мин, п2 = —1800 об/мин.
24.7(24.7). Ведущий вал I редуктора делает п\ = 1200 об/мин.
Найти число оборотов в минуту ведомого вала 11, если неподвиж-
ное зубчатое колесо с внутренним зацеплением имеет zi = 180 зуб-
цов; бегающие шестеренки, спаренные между собой, имеют z2=60
К задаче 24 .Я
и z3 = 40 зубцов; шестеренка, закрепленная на ведомом валу,
имеет z< = 80 зубцов.
Ответ: пи = 3000 об/мин.
24.8(24.8). Редуктор скоростей состоит из неподвижной шесте-
ренки радиуса г\ — 40
К задаче 24.9
см, двух бегаюнг х шестеренок радиусов
гг = 20 см и г3 = ЗО см, спаренных меж-
ду собой, и шестеренки с внутренним
зацеплением радиуса = 90 см, сидя-
щей на ведомом валу. Ведущий вал и
кривошип, несущий оси бегающих ше-
стеренок, делают П\ = 1800 об/мин. Най-
ти число оборотов в минуту ведомого
вала.
Ответ: пц = 3000 об/мин.
24.9(24.9). Редуктор скоростей с пла-
нетарной передачей состоит из неподвиж-
ного солнечного колеса 1, жестко связан-
ного с валом /. рамки, свободно вращаю-
II с угловой скоростью Q, двух и'естере-
щейся вокруг осей 1 и
нок 2 и 3, жестко связанных между собой и свободно насаженных
на ось EF, вращающуюся вместе с рамкой, и ведомой шестерни 4,
жестко связанной с валом II. Определить отношение угловой ско-
178
ростп вала П к угловой скорости рамки, если шестеренки
имеют следующее число зубцов: Zi=49, z2 —50, z3 = 51,
Zt = 50.
Ответ- -
С твет. 2500
24.10(24.10). Найти угловую скорость on ведомого вала ре-
дуктора с дифференциальной передачей, если ведущий вал с кри-
вошипом, несущим на себе передаточные шестеренки, спаренные
между собой, вращается с угловой скоростью «7 = 120 рад/с.
Колесо / вращается с угловой скоростью «1= 180 рад/с и имеет
К задаче 24.10
число зубцов Zi = 80; бегающие колеса имеют числа зубцов:
г? = 20, z3 = 40, а колесо, сидящее на ведомом валу, имеет
z4 = 60 зубцов. Колесо I и ведущий вал вращаются в одном на-
правлении.
Ответ: «и = 280 рад/с.
24.11(24.11). Редуктор скоростей с дифференциальной переда-
чей состоит из четырех зубчатых колес, из которых первое —
с внутренним зацеплением — делае.т
160 об/мин и имеет z( — 70 зубцов; вто-
рое и третье спарены между собой и си-
дят на оси, вращающейся вокруг оси ве-
дущего вала 1 вместе с последним, де-
лая «1=1200 об/мин; числа зубцов: z2=
= 20, z3 = 30; четвертое — с внутренним
зацеплением — имеет z< = 80 зубцов и
заклинено иа ведомом валу. Найти число
оборотов в минуту ведомого вала, если
вал / и колесо 1 вращаются в противо-
положных направлениях.
К задаче 24.12
Ответ: Иц — 585 об/мин.
24.12(24.12). Редуктор скоростей имеет неподвижную шесте-
ренку 1, спаренные между собой подвижные шестеренки 2 и 3 с
внутренним зацеплением и шестерню 4, заклиненную на ведомом
179
валу. Найти число оборотов в минуту ведомого вала, если числа
зубцов равны Zi—3, z2 — 80, z3 — 70, z4 = 20; ведущий вал вра-
щается с угловой скоростью, соответствующей п> = 1200 об/мин.
Ответ: пи =—375 об/мин.
24.13(24.13). В блоке системы «Триплекс» на валу а — а же-
стко насажен цепной блок А; на тот же вал свободно насажена
втулка Ь с подъемной цепью и грузом, наглухо соединенная с ру-
кояткой В. На каждый палец рукоятки свободно насажены две ше-
стерни // и ///, спаренные между собой, шестерни II сцеплены с
шестерней /, заклиненной на валу а — а, шестеренки III сцеплены
с неподвижным зубчатым колесом IV. Определить отношение угло-
вых скоростей вращения вала а — ан втулки Ь, если числа зубцов
колес I, II, III и IV соответственно равны: zi — 12, z2 =28, z3 = 14,
z4 = 54.
Ответ: Ос/йь = 10.
К задаче 24.14
24.14(24.14). В цилиндрическом дифференциале зубчатое ко-
лесо радиуса R свободно насажено на вал / — /и несет на себе
шестерни радиусов г2 и г3, спаренные друг с другом. Колесо R при-
водится в движение шестеренкой радиуса г0. Шестеренки радиусов
г2 и г3 зацепляются с шестеренками радиусов г1 и г4, заклинен-
ными соответственно на валах / — / и II, из которых последний
выполнен в виде втулки. Найти угловую скорость вала II, если
известны угловые скорости вращения и п0 валов I — I и О — О,
причем эти валы вращаются по одну сторону.
Ответ: п2 = (п, + пй -£) - пэ^ .
24.15(24.15). В планетарном приводе картофелекопателя цен-
тральная шестеренка а, совершающая поступательное прямолиней-
ное равномерное движение вместе со своей осью, соединена при
помощи паразитных шестеренок Ь с подвижными шестеренками с,
к втулкам которых прикреплены крылья d; оси шестеренок Ь и с
насажены на водило S, вращающееся вокруг оси центральной ше-
стеренки а с угловой скоростью <в0. Определить абсолютную угло-
180
вую скорость шестеренок, а также характер движения крыльев,
если радиусы всех шестеренок одинаковы.
Ответ, со = 0; крылья совершают поступательное циклоидаль-
ное движение вместе с центрами шестеренок с.
24.16(24.16). Кривошип ОА с противовесом В вращается с угло-
вой скоростью со0 = const вокруг оси О неподвижной шестеренки
и несет на конце А ось другой шестеренки того же размера, соеди-
ненной с цепью. Определить угловую скорость и угловое ускоре-
ние подвижной шестеренки, а также скорость и ускорение произ-
вольной ее точки М, если длина
кривошипа ОА — L
Ответ: ы — 0, е — 0 — шесте-
ренка совершает круговое посту-
пательное движение вместе с
центром A; вм = vA = la>: wm =
= Wa = /©о .
24.17(24.17). В эпицикличе-
ской передаче ведущая шестерня
радиуса R вращается против ча-
и угловым ускорением е0,
совой стрелки с угловой скоростью ©0
кривошип длины 3/? вращается вокруг ее оси по часовой стрелке
с той же угловой скоростью и тем же угловым ускорением. Найти
скорость и ускорение точки М ведомой шестерни радиуса 7?, лежа-
щей на конце диаметра, перпендикулярного в данный момент
кривошипу.
Ответ: v = 7?©0 д/10, о> = 7? д/10 (с? +—12©оео .
б) Сложение пространственных движений тела
24.18(25.1). Даны два конических зубчатых колеса, оси кото-
рых неподвижны, а соответственные углы равны аир Первое
колесо вращается с угловой скоростью ей Определить угловую
181
скорость юг второго колеса и вычислить ее в том случае, когда
а =30°, р = 60°, О] = 10 об/мин.
Ответ: <о2 —S'n ,д/о< =5,16 об/мин
1 sin (р/2)
24.19(25.2). Карусель представляет собой круглую площадку
АВ, которая вращается вокруг оси ОС, проходящей через ее центр
D, делая 6 об/мин, а ось ОС вращается в том же направлении
вокруг вертикали ОЕ и делает 10 об/мин. Угол между осями
а = 20°, диаметр площадки АВ равен 10 м, расстояние OD равно
2 м. Определить скорость v точки В в тот момент, когда она за-
нимает самое низкое положение.
Ответ: v = 8,77 м/с.
24.20(25.3). Шаровая дробилка состоит из полого шара II (в ко-
тором находятся шары и вещество, подвергающееся дроблению),
сидящего на оси CD, на которой заклинено коническое зубчатое
колесо Е радиуса г. Ось CD сидит в подшипниках в раме I, со-
ставляющей одно целое с осью АВ и приводящейся во вращение
при помощи рукоятки G. Колесо Е сцепляется с неподвижным
колесом F радиуса R. Определить
абсолютную угловую скорость ша-
ровой дробилки, если рукоятка вра-
щается с угловой скоростью й>о;
угол между осями АВ и CD равен
а. Определить также абсолютнее
угловое ускорение шаровой дробил-
ки, если угловая скорость рукоятки
wo — const.
Ответ:
<од= Vr2 + /?2+2r/? cos а,
D
е = о2 — sin а.
о г
24.21(25.4). Для растирания руды применяются бегуны в виде
чугунных колес со стальными ободьями, катящимися по дну кони-
ческой чаши. Бегуны вращаются вокруг горизонтальной оси АОВ,
которая в свою очередь вращается вокруг вертикальной оси OOi,
составляющей с осью АОВ одно целое. Найти абсолютные ско-
182
рости точек D и Е обода бегуна, принимая, что мгновенная ось
вращения бегуна проходит через середину С линии касания обода
бегуна с дном чаши. Скорость вращения вокруг вертикальной оси
= 1 рад/с, ширина бегуна Л=0,5 м.
Средний радиус бегуна R = 1 м, сред-
ний радиус вращения г = 0,6 м,
tg а = 0,2.
Ответ: vd = ve = 0,28 м/с.
24.22(25.5). Дифференциальная пе-
редача состоит из двух дисков АВ и
DE, центры которых находятся на их
общей оси вращения; эти диски сжи-
мают колесо MN, ось которого HI
перпендикулярна оси дисков. Опреде-
лить для колеса MN скорость v цен-
тра Н и угловую скорость со, враще-
ния вокруг оси HI, если скорости то-
чек касания колеса с дисками равны:
диус колеса г — 0,05 м.
Ответ: и = 0,5 м/с, го, = 70 рад/с.
ui=3 м/с, 02 = 4 м/с, ра-
24.23(25.6). Сохранив условия предыдущей задачи и зная длину
Hl = -j^r м, определить абсолютную угловую скорость и абсолют-
ное угловое ускорение колеса
MN.
Ответ: co = V4949 рад/с,
е = 490 рад/с2.
24.24(25.7). Волчок А вра-
щается относительно своей оси
симметрии ОВ с постоянной
угловой скоростью Го] рад/с.
Ось ОВ описывает равномерно
конус. За одну минуту верши-
на волчка В делает п оборо-
тов; Z.BOS = а. Найти угло-
вую скорость го и угловое уско-
рение е волчка.
Ответ: го = д/го2 -|- J
24.25(25.8). Круглый диск вращается с угловой скоростью roi
вокруг горизонтальной оси С£>; одновременно ось CD вращается
вокруг вертикальной оси АВ, проходящей через центр О диска,
с угловой скоростью го2. Вычислить величину и направление мгно-
венной угловой скорости го и мгновенного углового ускорения в
диска, если roi = 5 рад/с, го2 = 3 рад/с.
Ответ: го (го = 5,83 рад/с) составляет углы а = 30°58z и
Р — 59°2' с положительными направлениями осей х и z; е(е =
= 15 рад/с2) направлено по оси у.
183
24.26(25.9). Диск радиуса R вращается с постоянной угловой
скоростью се- вокруг горизонтальной оси OjOo, которая в свою
очередь вращается с постоянной угловой скоростью ые вокруг вер-
тикальной оси. Найти скорости и ускорения точек А и В, лежащих
на концах вертикального диаметра диска.
Ответ: vA~vB = R(i)r, = wB = Re>r+ a2.
24.27(25.10). Квадратная рама вращается вокруг оси АВ, де-
лая 2 )б/мин. Вокруг оси ВС, совпадающей с диагональю рамы,
К задаче 24.27
вращается диск, делая 2 об/мин. Определить абсолютную угло-
вую скорость и угловое ускорение диска.
Ответ: а = 0,39 рад/с, е = 0,031 рад/с2.
24.28(25.11). Ось мельничного бегуна ОА вращается равно-
мерно вокруг вертикальной оси Oz с угловой скоростью й. Длина
оси О А = R, радиус бегуна АС = г. Считая, что в данный момент
точка С бегуна имеет скорость, равную нулю, определить угловую
скорость бегуна а, направление мгновенной оси, подвижный и не-
подвижный аксоиды.
-/о2 I г2
Ответ: а — —------й; мгновенная ось — прямая ОС; аксои-
ды— конусы с вершиной в точке О, подвижный — с углом z'OC
с при вершине, равным arctg(r/7?), непо-
т движный — с углом zOC, равным л —
||| , -arctg(/?/r).
24.29(25.12). Дифференциальная переда-
состоит из конического зубчатого коле-
III (сателлита), насаженного свободно
кривошип IV, который может вращать-
вокруг неподвижной оси CD. Сателлит
2? соединен с коническими зубчатыми колеса-
к задаче 24.29 ми / и II, вращающимися вокруг той же
оси CD с угловыми скоростями wi=5 рад/с
и (02—3 рад/с, причем вращения происходят в одну сторону.
Радиус сателлита г = 2 см, а радиусы колес / и II одинаковы и
равны R — 7 см. Определить угловую скорость а4 кривошипа IV,
угловую скорость «34 сателлита по отношению к кривошипу и
скорость точки А.
///£
А
ча
са
на
ся
184
К задаче 24.31
приводимого в движение
Ответ: vA = 0,28 м/с, ы4 = 4 рад/с, ы34 = 3,5 рад/с.
24.30(25.13). В дифференциальном механизме, рассмотренном
в предыдущей задаче, конические зубчатые колеса / и // вращают-
ся в разные стороны с угловыми скоростями ей — 7 рад/с, а>2 —
= 3 рад/с. Определить vA, км и ы34, если 7? = 5 см, г = 2,5 см.
Ответ: va = 0,1 м/с, ы4 = 2 рад/с, ы34 = 10 рад/с.
24.31(25.14). При движении автомобиля по закругленному пути
внешние колеса автомобиля, проходя больший путь, должны вра-
щаться быстрее внутренних колес,
проходящих меньший путь. Во избе-
жание поломки задней ведущей оси
автомобиля применяется зубчатая пе-
редача, называемая дифференциальной
и имеющая следующее устройство.
Задняя ось, несущая два колеса,
делается из двух отдельных частей I
и //, на концах которых наглухо наса-
жены два одинаковых зубчатых коле-
са А и В. На этих частях вала в под-
шипниках вращается коробка С с
коническим колесом О, наглухо с ней
соединенным. Коробка получает вра-
щение от главного (продольного) вала,
мотором, через посредство зубчатки Е.
Вращение коробки С передается зубчатым колесам А и В при
помощи двух конических шестеренок F (сателлитов), свободно
вращающихся вокруг осей, укрепленных в коробке перпендику-
лярно к задней оси / — II автомобиля.
Найти угловые скорости задних колес автомобиля в зависи-
мости от угловой скорости вращения коробки С и угловую скорость
со, сателлитов по отношению к ко-
робке, если автомобиль движется
со скоростью о = 36 км/ч по за-
круглению среднего радиуса р =
= 5 м; радиусы колес задней оси
7? = 0,5 м; расстояние между ними
I = 2 м. Радиусы зубчатых колес А
и В вдвое больше радиусов сател-
литов: 7?о = 2г.
Ответ: <т>1 = 24 рад/с, ы2 =
К задаче 24.32
= 16 рад/с, (ог = 8 рад/с.
24.32(25.15). При применении дифференциального зацепления
для получения назначенного отношения чисел оборотов осей АВ и
MN к коническим колесам 7 и II дифференциального зацепления
присоединяют наглухо цилиндрические зубчатые колеса I' и II",
которые сцепляются с шестеренками IV и V, насаженными на-
глухо на ось АВ. Найти соотношение между угловыми скоростями
(Оо и со валов АВ и MN, если радиусы колес I и II одинаковы, числа
зубцов колес Г, II", IV и V соответственно равны т, п, х, у.
185
Ответ-. — —'j.
«о 2 \ m 1 nJ
24.33(25.16). В дифференциальной передаче, рассмотренной
в предыдущей задаче, между зубчатыми колесами Г и IV введено
паразитное колесо с неподвижной осью вращения. Требуется найти
соотношение между угловыми скоростями м0 и о валов АВ и MN,
сохраняя все остальные условия задачи.
Ответ: — = 4 (—----— ) -
Ыэ 2km nJ
24.34(25.17). Дифференциальная передача, соединяющая обе
половины задней оси автомобиля, состоит из двух шестеренок с
К задаче 24.34
одинаковыми радиусами R — 6 см, насаженных на полуоси, вра-
щающиеся при движении автомобиля на повороте с разными, но
постоянными по
а
величине угловыми скоростями о, = 6 рад/с и
о>2 = 4 рад/с одинакового направления. Меж-
ду шестеренками зажат бегущий сателлит ра-
диуса г = 3 см, свободно насаженный на ось.
Ось сателлита жестко заделана в кожухе и
К задаче 24.35
может вращаться вместе с ним вокруг задней
оси автомобиля. Найти относительно корпуса
автомобиля ускорения четырех точек М\,
М2, М3 и М4 сателлита, лежащих на кон-
цах двух диаметров, как показано, на ри-
сунке.
Ответ: wt = 2,1 м/с2, и>2 = 0,91 м/с2. ш3 =
= w4 = 1,73 м/с2.
24.35(25.18). В дифференциале зуборезного
станка ускорительное колесо 4 сидит на ве-
дущем валу а свободно, вместе со скреплен-
ным с ним жестко колесом 1. На конце веду-
щего вала а сидит головка, несущая ось СС
сателлитов 2—2. Определить угловую скорость ведомого вала Ь
с наглухо заклиненным колесом 3 в пяти случаях:
1) Угловая скорость ведущего вала ы«, угловая скорость уско-
рительного колеса <о4 — 0.
186
2) Угловая скорость ведущего вала <оа, ускорительное колесо
вращается в ту же сторону, что и ведущий вал, с угловой ско-
ростью <1)4.
3) Ускорительное колесо и ведущий вал вращаются в одну и
ту же сторону с равными угловыми скоростями = <о0.
4) Ускорительное колесо и ведущий вал вращаются в одну и
ту же сторону, причем = 2<оа.
5) Угловая скорость ведущего вала юо, ускорительное колесо
вращается в противоположную сторону с угловой скоростью <£>4.
Ответ: 1) со* = 2<о0; 2) а>ь — 2ыи— <о4; 3) <оь = <оа; 4) соь = 0;
5) = 2<£>о + о>4-
24.36(25.19). В дифференциале зуборезного станка, описанном
в предыдущей задаче, угловая скорость ведущего вала 0)о —
= 60 об/мин. Определить, какова должна быть угловая скорость
ускорительного колеса, чтобы ведомый вал был неподвижен.
Ответ: <1)4 = 120 об/мин.
24.37(25.20). В дифференциале зуборезного станка ускоритель-
ное колесо 4 несет на себе ось сателлитов. Угловая скорость веду-
щего вала оа. Определить угловую скорость ведомого вала в сле-
дующих трех случаях:
1 ) Ускорительное колесо 4 вращается в сторону ведущего
вала с угловой скоростью <04 = со0.
2 ) То же, но вращения ведущего вала и ускорительного колеса
противоположны по направлению.
3 ) Ускорительное колесо и ось сателлитов неподвижны.
Ответ: 1) <йь = <оа; 2) «>ь = —Зюа; 3) = —<оа.
2 4.38(25.21). В станочном дифференциале коническое колесо 1
заклинено на ведущем валу а, на конце ведомого вала b сидит
головка, несущая ось СС сателлитов 2—2. На том же валу сво-
бодно сидит коническое колесо 3, составляющее одно целое с чер-
вячным колесом 4. Определить передаточное число при неподвиж-
ном червяке 5, а следовательно, и колесах 4 и 3, если все кониче-
ские колеса одного радиуса.
187
Ответ-, ыъ/юа — 0,5.
2 4.39(25.22). Двойной дифференциал состоит из кривошипа///,
который может вращаться вокруг неподвижной осн ab. На криво-
шип свободно насажен сателлит IV, состоящий из двух наглухо
скрепленных между собой конических зубчатых колес радиусов
эти соединены с двумя коническими
Г| = 5 см и г2 — 2 см. Колеса
К задаче 24 39
24.40(25.23). Решить
зубчатыми колесами / и // радиу-
сов Rt = 10 см и /?2 = 5 см, вра-
щающимися вокруг оси ab, но с
кривошипом не связанными. Угло-
вые скорости колес / и // соответ-
ственно равны: о>1 = 4,5 рад/с и
к»2 = 9 рад/с. Определить угловую
скорость кривошипа <о3 и угловую
скорость сателлита по отношению к
кривошипу Ю43, если оба колеса вра-
щаются в одну и ту же сторону.
Ответ: юз — 7 рад/с, (о43 =
= 5 рад/с.
предыдущую задачу, предполагая, что
зубчатые колеса / и // вращаются в противоположные сто-
роны.
Ответ: (0з = 3 рад/с, (043 = 15 рад/с.
2 4.41(25.24). Крестовина ABCD универсального шарнира Кар-
дана— Гука (AB±CD), употребляемого при передаче вращения
между пересекающимися осями, вращается вокруг неподвижной
точки Е. Найти отношение (oi/(o2
для валов, связанных крестови-
ной, в двух случаях:
1) когда плоскость вилки ABF
горизонтальна, а плоскость вил-
ки CDG вертикальна;
2) когда плоскость вилки ABF
К задаче 24.41 ВерТИКЭЛЬНа, Э ПЛОСКОСТЬ ВИЛКИ
CDG ей перпендикулярна.
Угол между осями валов постоянный: а = 60°.
Ответ: 1) кн/ыг = 1/cos а = 2; 2) сц/ыг = cos а = 0,5.
24.42(25.25). Шаровая дробилка состоит из полого шара диа-
метра d — 10 см, сидящего на оси АВ, на которой заклинено ко-
лесо с числом зубцов z4 — 28. Ось АВ закреплена во вращающей-
ся раме / в подшипниках а и Ь. Рама I составляет одно целое
с осью CD, приводящейся во вращение при помощи рукоятки ///.
Вращение шаровой дробилки вокруг оси АВ осуществляется при
помощи зубчатых колес с числами зубцов z\ = 80, z2 = 43, z3 = 28,
причем первое из них неподвижно. Определить абсолютную угло-
вую скорость, угловое ускорение дробилки и скорости и ускорения
двух точек Е и F, лежащих в рассматриваемый момент времени на
оси CD, если рукоятку вращают с постоянной угловой скоростью
(о = 4,3 рад/с.
51
188'
Ответ: wQ = 9,08 рад/с, е = 34,4 рад/с2, ve = uf=0,4 м/с,
п)£ = wf = 4,68 м/с2.
24.43(25.26). Поворотная часть моста поставлена па катки
в виде конических зубчатых колес К, оси которых закреплены в
кольцевой раме L наклонно, так что их продолжения пересекаются
К задаче 24.43
в геометрическом центре плоской опорной шестерни, по которой
перекатываются опорные зубчатые колеса К. Найти угловую ско-
рость и угловое ускорение конического катка, скорости и ускоре-
ния точек А, В, С (Л — центр конического зубчатого колеса ВАС),
если радиус основания катка г = 0,25 м, угол при вершине 2a, при-
чем cos a =84/85. Угловая скорость вращения кольцевой рамы
вокруг вертикальной оси w0 = const =
= 0,1 рад/с.
Ответ: си — 0,646 рад/с, е =
=0,0646 рад/с2, ил = 0,16 м/с, vB =
= 0,32 м/с, uc = 0, wA = 0,016 м/с2,
tt's = 0,ll м/с2, wc— 0,105 м/с2.
24.44(25.27). Тело" движется в про-
странстве, причем вектор угловой
скорости тела равен w и направлен в
данный момент по оси г. Скорость
точки О тела равна v0 и образует с
осями у, г одинаковые углы, равные
45°. Найти точку твердого тела, скорость которой будет наимень-
шей, и определить величину этой скорости.
Ответ: Ппип = По cos 45°. Такова скорость точек мгновенной вин-
товой оси, параллельной оси z, проходящей через точку с коорди-
натами х = — (v0 cos 45°)/w, у=0.
24.45(25.28). Тело А вращается с угловой скоростью w1 вокруг
оси у и движется поступательно со скоростью vt вдоль той же оси.
Тело В движется поступательно со скоростью v2, образующей угол
а с осью у. При каком соотношении движение тела А по
отношению к телу В будет чистым вращением? Где при этом бу-
дет лежать ось вращения?
Ответ: При vi/v2 = cos а относительное движение тела А по
отношению к телу В будет чистым вращением вокруг оси, парал-
189
- „ , t>2 sin a
дельной у и отстоящей от нее на расстоянии I — , отложен-
ном по перпендикуляру к оси у и составляющей поступательной
скорости и2 sin a.
24.46(25.29). Твердое тело, имеющее форму куба со стороной
а = 2 м участвует одновременно в четырех вращениях с угловыми
скоростями <di = <о4 = 6 рад/с, <о2 = <0з = 4 рад/с. Определить ре-
зультирующее движение тела.
Ответ: Тело движется поступательно со скоростью v, проекции
которой равны их = —12 м/с, vy = 12 м/с, уг = —8 м/с.
§ 25. Смешанные задачи на сложное движение точки
и твердого тела
25.1. Колеса паровоза соединены спарником АВ. Колеса ра-
диуса г = 80 см катятся без скольжения по рельсам налево. При
движении из состояния покоя угол поворота колес <p = ZPOM
изменяется по закону <р= ^-/* 2 * * рад. Вдоль спарника АВ, в соот-
ветствии с уравнением $ = AM =(10 -f- 40С2) см, движется ползун
К задаче 25.1 К задаче 25.2
М. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение пол-
зун? М в момент t = 1 с, если О\О2 = АВ, OiA = О2В = г/2.
Ответ: vM = 450 см/с, wM = 1170 см/с2.
25.2. Неподвижная шестерня / соединена цепью с одинаковой
по радиусу подвижной шестерней 2. Шестерня 2 приводится в дви-
жение с помощью кривошипа СМ =60 см, вращающего< я против
хода часовой стрелки по закону <р=уС рад. В момент времени
||
4
И
и
ш
1
«
4
1
Ц
>|
’j
.»
ч
III
190
t == 0 кривошип О А находился в правом горизонтальном положе-
нии Вдоль горизонтальной направляющей ВС шестерни 2, совме-
щенной с осью s, движется ползун М, совершающий колебания
около центра А по закону s = AM = 20 sin у/ см. Определить аб-
солютную скорость и абсолютное ускорение ползуна М в моменты
времени: = 0, t2 = 1 с.
Ответ: им0 = 44,1 см/с, Ом, = 31,4 см/с, цу,и0=16,5 см/с2, и>м,—
= 64,2 см/с2.
25.3. Треугольная призма, образующая угол 45° с горизонтом,
скользит направо по горизонтальной плоскости со скоростью
v(v = 2t см/с). По наклонной грани призмы скатывается без сколь-
жения круглый цилиндр. Модуль скорости его центра масс С от-
носительно призмы равен vc = At см/с. Определить модуль абсо-
лютной скорости и абсолютного ускорения точки А, лежащей на
ободе цилиндра, если в момент t = 1 с Z.ACD = 90°.
Ответ: va = 6 см/с, wa = 5,60 см/с2.
К задаче 25.3
К задаче 25.4
25.4. Коническая шестерня М приводится в движение по ше-
стерне N с помощью оси ОС, закрепленной в точке О и вращаю-
щейся вокруг вертикальной оси z с постоянной угловой скоростью
2 рад/с. Горизонтальная платформа Р, к которой прикреплена ше-
стерня ;V, движется ускоренно вертикаль-
но вниз, имея в данный момент скорость
и=80 см/с и ускорение w= 80 ^3 см/с2.
Угол ВОА =60°, диаметр АВ шестерни
М равен 20 см. Найти абсолютные ско-
рости и ускорения точек А и В шестер-
ни М.
Ответ: ил=80 см/с, ив=Ю0 см/с,
?<ул =- 0, wb = 302 см/с2.
25.5. Решить предыдущую задачу в
предположении, что ось ОС вращается
К задаче 25.6
ьокруг вертикальной оси z с угловой
скоростью, равной 2t рад/с. Найти абсолютные ускорения точек
А и В конической шестерни М для момента времени /=1с.
Ответ: а?, = 0, вув = 308 см/с2.
25.6. Поворотный кран вращается вокруг вертикальной непод-
вижной оси O1O2 с угловой скоростью <о(со = 1 рад/с). Вдоль го-
ризонтальной стрелы крана, совмещенной с осью s, катится без
191
скольжения тележка. Центр масс С ее заднего колеса радиуса
10 см движется по закону sc = ОС = 60(1 + t) см. Определить мо-
дуль абсолютной скорости точки М, лежащей на ободе колеса,
в момент 1=1 с, если Z.MCD — 30°. Найти также модули абсо-
лютных ускорений точек А и D, лежащих на ободе колеса, в мо-
мент t = 1 с, если ZACD = 90 °.
Ответ: vm = 129 см/с, wA = 278 см/с2, = 380 см/с2.
25.7. Шестерня 1 радиуса 10 см приводится в движение внутри
шестерни 2 радиуса 40 см с помощью кривошипа ОС, вращающе-
гося с постоянной угловой ско-
ростью &з = 2 рад/с. Шестерня 2
в свою очередь вращается вокруг
горизонтальной неподвижной оси
O1O2 с постоянной угловой ско-
ростью w = 2 рад/с. Определить
модули абсолютной скорости и
абсолютного ускорения точки А,
лежащей на ободе шестерни /,
если /СОСА = АО>ОС = 90°.
Ответ: va = 103,8 см/с, wA —
= 494 см/с2.
25.8. Найти модуль абсолютного ускорения точки А в преды-
дущей задаче для момента времени t = 2 с, если вращение ше-
стерни 2 вокруг неподвижной горизонтальной оси О\О2 происхо-
дит с переменной угловой скоростью <о (<о=(2— t) рад/с). Счи-
тать, что в момент времени t = 2 с точка А занимает положение,
= 2 рад/с). Определить
указанное на рисунке к предыдущей
задаче.
Ответ: wA = 455 см/с2.
25.9. Шестерня 1 радиуса 10 см
приводится в движение по шестерне 2
радиуса 20 см посредством кривошипа
ОС, вращающегося с угловой скоро-
стью ©о = t рад/с. Шестерня 2 в свою
очередь вращается вокруг неподвиж-
ной горизонтальной оси О\О? с посто-
янной угловой скоростью <0 (со =
модуль абсолютной скорости и абсолют-
ного ускорения в момент £ = 1 с точки А, лежащей на ободе ше-
стерни 1, если Z_O2OC = С. ОСА — 90°.
Ответ: va = 73,5 см/с, wA = 207 см/с2.
25.10. Кривошип ОС с помощью стержня АВ приводит в дви-
жение ползуны А и В, которые скользят вдоль взаимно перпенди-
кулярных направляющих х и у. Эти направляющие в свою очередь
вращаются против хода часовой стрелки вокруг оси О с постоян-
ной угловой скоростью со(со = л/2 рад/с). Угол поворота ф криво-
шипа ОС, отсчитываемый от оси х против хода часовой стрелки,
изменяется по закону ф = -^1 рад. Найти модули абсолютной ско-
192
рости и абсолютного ускорения точки М линейки АВ в момент
времени t = 0, если ОС = АС = СВ = 2ВМ = 16 см.
Ответ: vm = 44 см/с, wm = 93,8 см/с2.
25.11. Конус 1 с углом при вершине О равным 60° катится без
скольжения внутри конуса 2 с углом при вершине 120°. Конус 2
в свою очередь вращается вокруг
О|О2 с постоянной угловой ско-
ростью о (со = 3 рад/с). Точка В
обода основания конуса 1 лежит
на диаметре ВС, расположенном
неподвижной вертикальном оси
К задаче 25.10
К задаче 25.11
в одной вертикальной плоскости с осью OiO2. Скорость точки В по
модулю постоянна, равна 60 см/с и направлена за рисунок пер-
пендикулярно плоскости ОВС\ ОВ = ОС = 20 см, Z.COD= 30°.
Определить модули абсолютных ускорений точек В а С конуса /,
Ответ: wD — 497 см/с2, wc = 316 см/с2.
25.12. Найти в момент времени /=1 с геометрическое место
точек конуса 1, рассмотренного в предыдущей задаче, абсолютные
ускорения которых не изменятся, несмотря на то, что скорость
точки В будет переменной и равной
60/ см/с. о2
Ответ: Точки конуса 1, совмещен-
ные с образующей ОС.
25.13. Круговой конус катится без
скольжения по горизонтальному дис-
ку, к которому он прикреплен верши-
ной Q. Диск в свою очередь вращается
вокруг неподвижной вертикальной
оси OiO2 с постоянной угловой ско- ГЯ
ростью <о(<о =2 рад/с). Скорость цен- к задаче 25.13
тра А основания конуса относительно
покоящегося диска равна по модулю 15 см/с и направлена на
читателя перпендикулярно плоскости рисунка. Найти модули
абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки С касания
основания конуса е диском, если OQ — QC = QB = ВС —
— 10 см.
Ответ: vc — 40 см/с, wc = 105 см/с2.
25.14. Определить модуль абсолютного ускорения точки С, рас-
смотренной в предыдущей задаче, для момента времени t = I с
в предположении, что диск вращается ускоренно с угловым уско-
7— 1318
193
рением е(е = 2/ рад/с2)', причем в начальный момент времени мо-
дуль угловой скорости был равен 2 рад/с.
Ответ: wc= 197 см/с2.
25.15. Гироскоп установлен на горизонтальной платформе L,
Вращающейся вокруг неподвижной вертикальной оси 0,0' с по-
стоянной угловой скоростью ©I(coi = 2л рад/с). Гироскопом являет-
ся диск К радиуса г = 10 см, вращающийся вокруг горизонталь-
ной оси О202 с постоянной угловой скоростью ®2(<й2 = 8л рад/с).
Ось О2О2 в свою очередь вращается вокруг вертикальной оси
О3О3 по закону <р3 = 2nf2 рад. В момент времени t = 0 диск К
лежал в одной вертикальной плоскости с осью 0,0'. Угол <р3 от-
считывается от этой плоскости в направлении, указанном на ри-
сунке. Оси О2О2 и О3О3 пересекаются в центре диска К. Найти
модули абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки А,
К задаче 25.15
лежащей на верхнем конце вертикаль-
ного диаметра АВ диска К в момент
времени t = 1 с, если расстояние меж-
ду параллельными осями 0,0, и 030'
равно ОО3 = 30 см.
Ответ: пд=314 см/с, wa =
= 7170 см/с2.
К задаче 25.16
25.16. Вдоль шатуна АВ кривошипно-ползунного механизма
ОАВ около точки С совершает колебания муфта М по закону
s = CM = 20 sin ~t см (ось s, направленная вдоль шатуна АВ,
имеет начало в центре С шатуна). Кривошип О А вращается во-
круг горизонтальной оси О, перпендикулярной плоскости рисунка,
против хода часовой стрелки по закону <р = у/ рад. Определить
модули абсолютной скорости и абсолютного ускорения муфты М
в момент времени t — 0, если ОД = 10 см, АС = СВ — АВ/2 =
= 20 см.
Ответ: vm = 32,3 см/с, wM = 37,2 см/с2.
25.17. Стержень АВ длины 4 -/2 м скользит концом А вниз
вдоль оси у, а концом В вдоль оси х направо. Точка А движется
по закону = (5— t2) м. Одновременно вдоль стержня от Д к В
соскальзывает точка М. Определить модуль абсолютной скорости
и абсолютного ускорения точки М в момент t = 1 с, если уравне-
ние движения точки М вдоль оси $, совмещенной со стержнем,
имеет вид s = AM = 2^j2 м.
Ответ: vm = 7,05 м/с, и>м — 8,06 м/с2.
194
25.18. Круговой конус 1 с углом при вершине равным 120° при-
креплен к неподвижному конусу 2 с углом при вершине 60° шарни-
ром О и катится без скольжения. При этом ось ОД конуса 1 со-
вершает вокруг вертикальной оси О\О2 один оборот в секунду.
Вдоль диаметра ВС = 20 см основания конуса / проложена на-
правляющая, по которой скользит ползун М, совершая колебания
около центра А по закону s = /W=10 cos2nf см. В начальный
момент времени t = 0 направляющая ВС лежит в одной верти-
кальной плоскости с шарниром О. Найти модуль абсолютного
ускорения ползуна М в момент / = 0.
Ответ: Wm = 572 см/с2.
195
ОТДЕЛ ТРЕТИЙ
ДИНАМИКА
ГЛАВА IX
динамика материальной точки*)
§ 25. Определение сил по заданному движению
26.1(26.1). В шахте опускается равноускоренно лифт массы
280 кг. В первые 10 с он проходит 35 м. Найти натяжение каната,
на котором висит лифт.
Ответ. 2548 II
26.2(26.2). Горизонтальная платформа, на которой лежит груз
массы 1,02 кг, опускается вертикально вниз с ускорением 4 м/с2.
Найти силу давления, производимого грузим на платформу во вре-
мя их совместного спуска.
Ответ-. 5,92 Н.
26.3(26.3). К телу массы 3 кг, лежащему на столе, привязали
нить, другой конец которой прикреплен к точке А. Какое ускоре-
ние надо сообщить точке А, поднимая тело вверх по вертикали,
К задаче 26.4
чтобы нить оборвалась, если она
рвется при натяжении Т = 42 Н.
Ответ-. 4,2 м/с2.
26.4(26.4). При подъеме клетки
лифта график скоростей имеет вид,
изображенный на рисунке. Масса
клетки 480 кг. Определить натяже-
ния Г1, Т2, Т3 каната, к которому
привешена клетка, в течение трех
промежутков времени: 1) от / = 0 до t = 2 с; 2) от t = 2 до 1 =
= 8 с и 3) от t = 8 с до t = 10 с.
Ответ: 7'1 = 5904 Н, Т2 = 4704 Н, Т3 = 3504 Н.
26.5(26.5). Камень массы 0,3 кг, привязанный к нити длины
1 м, описывает окружность в вертикальной плоскости. Определить
наименьшую угловую скорость и камня, при которой произойдет
разрыв нити, если сопротивление ее разрыву равно 9 Н.
Ответ: comin = 4,494 рад/с.
26.6(26.6). На криволинейных участках железнодорожного пути
возвышают наружный рельс над внутренним для того, чтобы сила
*) Во всех задачах динамики, если нет специального указания, массой
пружин, упругих балок, силами сопротивления и т. п. следует пренебречь.
196
давления проходящего поезда на рельсы была направлена перпен-
дикулярно полотну дороги. Определить величину h возвышения
наружного рельса над внутренним при следующих данных: радиус
закругления 400 м, скорость поезда 10 м/с, расстояние между
рельсами 1,6 м.
Ответ: h = 4,1 см.
26.7(26.7). В вагоне поезда, идущего сначала по прямолиней-
ному пути, а затем по закругленному со скоростью 20 м/с, произ-
водится взвешивание некоторого груза иа пружинных весах; весы
в первом случае показывают 50 Н, а на закруглении 51 Н. Опре-
делить радиус закругления пути.
Ответ: 203 м.
26.8(26.8). Гиря массы 0,2 кг подвешена к концу нити длины
1 м; вследствие толчка гиря получила горизонтальную скорость
5 м/с. Найти натяжение нити непосредственно после толчка.
Ответ: 6,96 Н.
26.9(26.9). Груз М массы 0,102 кг, подвешенный на нити длины
30 см в неподвижной точке О, представляет собой конический
маятник, т. е. описывает окруж-
ность в горизонтальной плоскости,
причем нить составляет с верти-
калью угол 60°. Определить ско-
рость v груза и натяжение Т нити.
Ответ: и = 2,1 м/с, Г = 2 Н.
26.10(26.10). Автомобиль массы
1000 кг движется по выпуклому мо-
сту СО скоростью V = 10 м/с. Ра- к задаче 26.9
днус кривизны в середине моста
р = 50 м Определить силу давления автомобиля на мост в момент
прохождения его через середину моста.
Ответ: 7800 Н.
26.11(26.11). В поднимающейся кабине подъемной машины про-
изводится взвешивание тела на пружинных весах. При равномер-
ном движении кабины показание пружинных весов равно 50 Н, при
ускоренном — 51 Н. Найти ускорение кабины.
Ответ: 0,196 м/с2.
26.12(26.12). Масса кузова трамвайного вагона 10000 кг. Масса
тележки с колесами 1000 кг. Определить силу наибольшего и наи-
меньшего давления вагона на рельсы горизонтального прямолиней-
ного участка пути, если на ходу кузов совершает на рессорах вер-
тикальные гармонические колебания по закону х = 0,02 sin 10f м.
Ответ: Nmn = 12,78-104 Н, Nmin = 8,78-104 Н.
26.13 (26.13). Поршень двигателя внутреннего сгорания
совершает горизонтальные колебания согласно закону х =
= г (cos о/cos 2юГ см, где г — длина кривошипа, I — длина
шатуна, <о — постоянная по величине угловая скорость вала. Опре-
делить наибольшее значение силы, действующей на поршень, если
масса последнего М,
197
Ответ: Р = Мг(и?(\ -\-г/1),
26.14(26.14). Решето рудообогатительного грохота совершает
вертикальные гармонические колебания с амплитудой а = 5 см.
Найти наименьшую частоту k колебаний решета, при которой
куски руды, лежащие на нем, будут отделяться от него и подбра-
сываться вверх.
Ответ: k = 14 рад/с.
26.15(26.15). Тело массы 2,04 кг совершает колебательное дви-
жение по горизонтальной прямой согласно закону х — 10 sin м.
Найти зависимость силы, действующей на тело, от координаты х,
а также наибольшую величину этой силы.
Ответ: F = —5,033х Н, Ртах = 50,33 Н.
26.16(26.16). Движение материальной точки массы 0,2 кг вы-
ражается уравнениями х = 3соз2л! см, i/ = 4sinnf см (t в с).
Определить проекции силы, действующей на точку, в зависимости
от ее координат.
Ответ: X = —0,0789х Н, Y = —0,0197у Н.
26.17(26.17). Шарик, масса которого равна 100 г, падает под
действием силы тяжести и при этом испытывает сопротивление воз-
духа. Движение шарика выражается уравнением
х = 4,9f — 2,45(1 — e~2t),
где х — в метрах, t — в секундах, ось Ох направлена по вертикали
вниз. Определить силу сопротивления воздуха R и выразить ее как
функцию скорости шарика.
Ответ: R = 0,98(1 — <?~2')Н = 0,2и Н.
26.18(26.18). Масса стола строгального станка 700 кг, масса
обрабатываемой детали 300 кг, скорость хода стола v =0,5 м/с,
время разгона t = 0,5 с. Определить силу, необходимую для раз-
гона (считая движение равноускоренным) и для дальнейшего
равномерного движения стола, если коэффициент трения при раз-
гоне /1 =0,14, а при равномерном движении £; = 0,07.
Ответ: Fi — 2372 Н; F? = 686 Н.
26.19(26.19). Груженая вагонетка массы 700 кг опускается по
канатной железной дороге с уклоном а = 15°, имея скорость
t»=l,6 м/с. Определить натяжение каната при равномерном
спуске и при торможении вагонетки. Время торможения t = 4 с,
общий коэффициент сопротивления движению f — 0,015. При тор-
можении вагонетка движется равнозамедленно.
Ответ: Ti = 1676 Н, Т2 = 1956 Н.
26.20(26.20). Груз массы 1000 кг перемещается вместе с тележ-
кой вдоль горизонтальной фермы мостового крана со скоростью
v = 1 м/с. Расстояние центра тяжести груза до точки подвеса
I = 5 м. При внезапной остановке тележки груз по инерции будет
продолжать движение и начнет качаться около точки подвеса.
Определить наибольшее натяжение каната при качании груза.
Ответ: Т = 10 000 Н,
198
26.21(26.21). Определить отклонение а от вертикали и силу
давления W вагона на рельс подвесной дороги при движении ва-
гона по закруглению радиуса /? = 30 м со скоростью о = 10 м/с.
Масса вагона 1500 кг.
Ответ: а = 18° 47'; N = 15 527 Н.
26.22(26.22). Масса поезда без локомотива равна 2-105 кг.
Двигаясь по горизонтальному пути равноускоренно, поезд через
60 с после начала движения приобрел скорость 15 м/с. Сила тре-
ния равна 0,005 веса поезда. Определить натяжение стяжки
между поездом и локомотивом в период разгона.
Ответ: 59 800 Н.
26.23(26.23). Спортивный самолет массы 2000 кг летит гори-
зонтально с ускорением 5 м/с2, имея в данный момент скорость
200 м/с. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату ско-
рости и при скорости в 1 м/с равно 0,5 Н. Считая силу сопротив-
ления направленной в сторону, обратную скорости, определить
силу тяги винта, если она составляет угол в 10° с направлением
полета. Определить также величину подъемной силы в данный
момент.
Ответ: Сила тяги равна 30463 Н, подъемная сила равна
14 310 Н.
26.24(26.24). Грузовой автомобиль массы 6000 кг въезжает на
паром со скоростью 6 м/с. Заторможенный с момента въезда на
паром автомобиль остановился, пройдя 10 м. Считая движение
автомобиля равнозамедленным,
найти натяжение каждого из двух
канатов, которыми паром привя-
зан к берегу. При решении зада-
чи пренебречь массой и ускоре-
нием парома.
Ответ: Натяжение каждого
каната 5400 Н.
26.25(26.25). Грузы А и В ве-
са Ра = 20 Н и Рв = 40 Н соеди-
нены между собой пружиной,
как показано на рисунке. Груз А
совершает свободные колебания
по вертикальной прямой с ам
плитудой 1 см и периодом 0,25 с. Вычислить силу наибольшего
и наименьшего давления грузов Я и В на опорную поверх-
ность CD.
Ответ: РтйХ = 72,8 Н, /?т1п = 47,2 Н.
26.26. Груз массы Л4 = 600 кг посредством ворота поднимают
по наклонному шурфу, составляющему угол 60° с горизонтом.
Коэффициент трения груза о поверхность шурфа равен 0,2. Во-
рот радиуса 0,2 м вращается по закону ф = 0,4?3. Найти натяже-
ние троса, как функцию времени и значение этого натяжения че-
рез 2 с после начала подъема.
Ответ: Т = (5,68 + 0,288?) кН; при t = 2 с Т = 6,256 кН.
199
26.27(26.27). Самолет, пикируя отвесно, достиг скорости
300 м/с, после чего летчик стал выводить самолет из пике, опи-
сывая дугу окружности радиуса 7? = 600 м в вертикальной пло-
скости. Масса летчика 80 кг. Какая наибольшая сила прижимает
летчика к креслу?
Ответ-. 12 784 Н.
26.28(26.30). Груз М веса 10 Н подвешен к тросу длины 1=2 м
и совершает вместе с тросом колебания согласно уравнению <р =
I /У
К задаче 26.28
= -£ sin 2л/, где <р — угол отклонения троса от вер-
тикали в радианах, t—время в секундах. Опреде-
лить натяжения Т\ и Т2 троса в верхнем и нижнем
положениях груза.
Ответ-. Т} =32,1 Н, 7’2 = 8,65 Н.
26.29(26.31). Велосипедист описывает кривую
радиуса 10 м со скоростью 5 м/сек. Найти угол на-
клона срединной плоскости велосипеда к вертика-
ли, а также тот наименьший коэффициент трения
между шинами велосипеда и полотном дороги,
при котором будет обеспечена устойчивость вело-
сипеда.
Ответ: 14° 20'; 0,255.
26.30(26.32). Велосипедный трек на кривых участках пути
имеет виражи, профиль которых в поперечном сечении представ-
ляет собой прямую, наклонную к горизонту, так что на кривых
участках внешний край трека выше внутреннего. С какой наи-
меньшей и с какой наибольшей скоростью
можно ехать по виражу, имеющему радиус R
и угол наклона к горизонту а, если коэффи-
циент трения резиновых шин о грунт трека
равен f?
Ответ:
Vmax = jL/tga •
26.31(26.33). Во избежание несчастных
случаев, происходивших от разрыва махови-
ков, устраивается следующее приспособле-
ние. В ободе маховика помещается тело А,
К задаче 26.31
удерживаемое внутри его пружиной S; ко-
гда скорость маховика достигает предельной величины, тело А
концом своим задевает выступ В задвижки CD, которая и за-
крывает доступ пара в машину. Пусть масса тела А равна
1,5 кг, расстояние е выступа В от маховика равно 2,5 см,
предельная угловая скорость маховика 120 об/мин. Определить
необходимый коэффициент жесткости пружины с (т. е. величину
силы, под действием которой пружина сжимается на 1 см),
предполагая, что масса тела А сосредоточена в точке, рас-
200
стояние которой от оси вращения маховика в изображенном на
рисунке положении равно 147,5 см.
Ответ: 145,6 Н/см.
26.32(26.34). В регуляторе имеются гири А массы 30 кг, кото-
рые могут скользить вдоль горизонтальной прямой AW; эти гири
соединены пружинами с точками М и N; центры тяжести гирь
совпадают с концами пружин. Расстояние конца каждой пру-
жины от оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, в ненапря-
женном состоянии равно 5 см, изменение длины пружины на 1 см
К задаче 26.32
К задаче 26.33
вызывается силой в 200 И. Определить расстояние центров тяже-
сти гирь от оси О, когда регулятор, равномерно вращаясь вокруг
оси О, делает 120 об/мин.
Ответ: 6,55 см.
26.33(26.35). Предохранительный выключатель паровых турбин
состоит из пальца А массы m = 0,225 кг, помещенного в отверстии,
просверленном в передней части вала турбины перпендикулярно
оси, и отжимаемого внутрь пружиной; центр тяжести пальца от-
стоит от оси вращения вала на расстоянии / = 8,5 мм при нор-
мальной скорости вращения турбины и =1500 об/мин. При уве-
личении числа оборотов на 10% палец преодолевает реакцию
пружины, отходит от своего нормального положения на расстоя-
ние х = 4,5 мм, задевает конец рычага В и освобождает собачку С,
связанную системой рычагов с пружиной, закрывающей клапан
парораспределительного механизма турбины. Определить жест-
кость пружины, удерживающей тело А, т. е. силу, необходимую
для сжатия ее на 1 см, считая реакцию пружины пропорциональ-
ной ее сжатию.
Ответ: с = 89,2 Н/см.
X2 и2
26.34(26.36). Точка массы m движется по эллипсу -^г + Ь
Ускорение точки параллельно оси у. При t = 0 координаты точки
201
были х — 0, у = Ь, начальная скорость v0- Определить силу, дей-
ствующую на движущуюся точку в каждой точке ее траектории.
Ответ: Fy = -m-^.
26.35(26.37). Шарик массы гп
закреплен на конце вертикаль-
ного упругого стержня, зажатого
нижним концом в неподвижной
стойке. При небольших отклоне-
ниях стержня от его вертикаль-
ного равновесного положения
можно приближенно считать, что
центр шарика движется в гори-
зонтальной плоскости Оху, про-
ходящей через верхнее равновес-
ное положение центра шарика.
Определить закон изменения си-
лы, с которой упругий, изогнутый
стержень действует на шарик, если выведенный из своего положе-
ния равновесия, принятого за начало координат, шарик движется
согласно уравнениям х = a cos kt, y = bsinkt, где a,b,k—посто-
янные величины.
Ответ: F = mk2r, где г = д/х2 -}- у2.
§ 27. Дифференциальные уравнения движения
а) Прямолинейное движение
27.1(27.1). Камень падает в шахту без начальной скорости.
8вук от удара камня о дно шахты услышан через 6,5 с от момента
начала его падения. Скорость звука равна 330 м/с. Найти глубину
шахты.
Ответ: 17Б м.
27.2(27.2). Тяжелое тело спускается по гладкой плоскости, на-
клоненной под углом 30° к горизонту. Найти, за какое время тело
пройдет путь 9,6 м, если в начальный момент его скорость равня-
лась 2 м/с.
Ответ: 1,61 с.
27.3(27.3). При выстреле из орудия снаряд вылетает с гори-
зонтальной скоростью 570 м/с. Масса снаряда 6 кг. Как велико
среднее давление пороховых газов, если снаряд проходит внутри
орудия 2 м? Сколько времени движется снаряд в стволе орудия,
если считать давление газов постоянным?
Ответ: Р = 4,88-105 Н, t = 0,007 с.
27.4(27.4). Тело массы m вследствие полученного толчка про-
шло по негладкой горизонтальной плоскости за 5 с расстояние
s = 24,5 м и остановилось, Определить коэффициент трения f.
Ответ: f = 0,2,
202
27.5(27.5). За какое время и на каком расстоянии может быть
остановлен тормозом вагон трамвая, идущий по горизонтальному
пути со скоростью 10 м/с, если сопротивление движению, разви-
ваемое при торможении, составляет 0,3 веса вагона.
Ответ-, t = 3,4 с, $ = 17 м.
27.6(27.6). Принимая в первом приближении сопротивление
откатника постоянным, определить продолжительность отката
ствола полевой пушки, если начальная скорость отката равна
J0 м/с, а средняя длина отката равна 1 м.
Ответ. 0,2 с.
27.7(27.7). Тяжелая точка поднимается по негладкой наклон-
ной плоскости, составляющей угол а — 30° с горизонтом. В на-
чальный момент скорость точки равнялась и0=15 м/с. Коэффи-
циент трения / = 0,1. Какой путь пройдет точка до остановки?
За какое время точка пройдет этот путь?
Ответ: s = 19,57 м, t = 2,61 с.
27.8(27.8). По прямолинейному железнодорожному пути с
углом наклона а =10° вагон катится с постоянной скоростью.
Считая сопротивление трения пропорциональным нормальному
давлению, определить ускорение вагона и его скорость через 20 с
после начала движения, если он начал катиться без начальной
скорости по пути с углом наклона ₽ = 15°. Определить также,
какой путь пройдет вагон за это время.
Ответ: а = ~ g = 0,867 м/с2, и = — —gt =17,35 м/с,
cos а 6 ' ’ cos а в ’
cos а 2
27.9(27.9). Найти наибольшую скорость падения шара массы
10 кг и радиуса г = 8 см, принимая, что сопротивление воздуха
равно /? = kcv2, где и — скорость движения, о — площадь проек-
ции тела на плоскость, перпендикулярную направлению его дви-
жения, и k— численный коэффициент, зависящий от формы тела
и имеющий для шара значение 0,24 Н-с2/м4.
Ответ: итах = 142,5 м/с.
27.10(27.10). Два геометрически равных и однородных шара
сделаны из различных материалов. Плотности материала шаров
соответственно равны у, и уг. Оба шара падают в воздухе. Счи-
тая сопротивление среды пропорциональным квадрату скорости,
определить отношение максимальных скоростей шаров.
Ответ:
L’l max
V2 max
27.11(27.11). При скоростном спуске лыжник массы 90 кг
скользил по склону в 45°, не отталкиваясь палками. Коэффициент
трения лыж о снег f = 0,1. Сопротивление воздуха движению
лыжника пропорционально квадрату скорости лыжника и при
скорости в 1 м/с равно 0,635 Н. Какую наибольшую скорость
Мог развить лыжник? Насколько увеличится максимальная ско-
203
рость, если подобрав лучшую мазь, лыжник уменьшит коэффи-
циент трения до 0,05?
Ответ: V] max = 29,73 М/с; СКОрОСТЬ уВеЛИЧИТСЯ ДО U2max =
= 30,55 м/с
27.12(27.12). Корабль движется, преодолевая сопротивление
воды, пропорциональное квадрату скорости и равное 1200 Н при
скорости в 1 м/с. Сила упора винтов направлена по скорости
движения и изменяется по закону Т = 12-105(1—и/33) Н, где
v — скорость корабля, выраженная в м/с. Определить наиболь-
шую скорость, которую может развить корабль.
Ответ: vmx = 20 м/с.
27.13(27.13). Самолет летит горизонтально. Сопротивление
воздуха пропорционально квадрату скорости и равно 0,5 Н при
скорости в 1 м/с. Сила тяги постоянна, равна 30 760 Н и состав-
ляет угол в 10° с направлением полета. Определить наибольшую
скорость самолета.
Ответ: Отах = 246 м/с.
27.14(27.14). Самолет массы 104 кг приземляется на горизон-
тальное поле на лыжах. Летчик подводит самолет к поверхности
без вертикальной скорости и вертикального ускорения в момент
приземления. Сила лобового сопротивления пропорциональна
квадрату скорости и равна 10 Н при скорости в 1 м/с. Подъемная
сила пропорциональна квадрату скорости и равна 30 Н при ско-
рости в 1 м/с. Определить длину и время пробега самолета до
остановки, приняв коэффициент трения / = 0,1.
Ответ: S — 909,3 м, Т = 38,7 с.
27.15(27.15). Самолет начинает пикировать без начальной вер-
тикальной скорости. Сила сопротивления воздуха пропорцио-
нальна квадрату скорости. Найти зависимость между вертикаль-
ной скоростью в данный момент, пройденным путем и максималь-
ной скоростью пикирования.
Ответ: v = umax
27.16(27.16). На какую высоту Н и за какое время Т подни-
мется тело веса р, брошенное вертикально вверх со скоростью
и0, если сопротивление воздуха может быть выражено формулой
k2pv2, где v — величина скорости тела?
л „ >п№2+1) ~ arctgftr0
Ответ: Я =--------, Г = - feg
27.17(27.17). Тело массы 2 кг, брошенное вертикально вверх
со скоростью 20 м/с, испытывает сопротивление воздуха, которое
при скорости v м/с равно 0,4о Н. Найти, через сколько секунд
тело достигнет наивысшего положения^
Ответ: 1,71 с.
27.18(27.18). Подводная лодка, не имевшая хода, получив не-
большую отрицательную плавучесть р, погружается на глубину,
двигаясь поступательно. Сопротивление воды при небольшой от-
рицательной плавучести можно принять пропорциональным пер-
204
вой степени скорости погружения и равным kSv, где k—коэф-
фициент пропорциональности, S — площадь горизонтальной
проекции лодки, v — величина скорости погружения. Масса лодки
равна М. Определить скорость погружения v, если при t = 0 ско-
рость о0 = 0.
Ответ: v =-£$- (1 — в м ) .
27.19(27.19). При условиях предыдущей задачи определить
путь г, пройденный погружающейся лодкой за время Т.
Ответ: z = -^-[r--g-(l-е ^9].
27.20(27.21). Какова должна быть постоянная тяга винта Т
при горизонтальном полете самолета, чтобы, пролетев $ метров,
самолет увеличил свою скорость с г»о м/с до щ м/с. Тяга винта
направлена по скорости полета. Сила лобового сопротивления,
направленная в сторону, противоположную скорости, пропорцио-
нальна квадрату скорости и равна а Н при скорости в 1 м/с.
' Масса самолета М кг.
a(y2-v2e2aS'M)
Ответ: Т =-----:7 Н.
1 _ eiaSIM
27.21(27.22). Корабль массы 107 кг движется со скоростью
м/с. Сопротивление воды пропорционально квадрату скорости
116 1 .
корабля и равно 3-105 Н при скорости 1 м/с. Какое расстояние
пройдет корабль, прежде чем скорость его станет равной 4 м/с?
За какое время корабль пройдет это расстояние?
Ответ: s = 46,2 м, Т — 6,25 с.
27.22(27.23). Тело падает в воздухе без начальной скорости.
Сопротивление воздуха R = k2pv2, где v — величина скорости
тела, р — вес тела. Какова будет скорость тела по истечении вре-
мени t после начала движения? Каково предельное значение
скорости? «
1 eksf - e-W 1
Ответ:
27.23(27.24). Корабль массы 1,5-106 кг преодолевает сопротив-
ление воды, равное R = av2 Н, где v — скорость корабля в м/с,
а а — постоянный коэффициент, равный 1200. Сила упора винтов
направлена по скорости в сторону движения и изменяется по за-
кону Т = 1,2-106(1 — о/ЗЗ) Н. Найти зависимость скорости ко-
рабля от времени, если начальная скорость равна ио м/с.
Ответ: v =
7Ot>o + 20 (Рр + 50) (е0|056< - 1)
70 + (р0 + 50) (еао5М - I)
27.24(27.25). В предыдущей задаче найти зависимость прой-
денного пути от скорости.
Ответ: х = 893 In + 357 In (м)
205
27.25(27.26). В задаче 27.23 найти зависимость пути от вре-
мени при начальной скорости и0 = 10 м/с.
Ответ-. х = 12501п ("°+ --0) * ?-° ~ Р° - 50/; при и0 = Ю м/с
ge0,056f I 1
х = 1250 In - -7 + • - 50/.
27.26(27.27). Вагон массы 9216 кг приходит в движение вслед-
ствие действия ветра, дующего вдоль полотна, и движется по
горизонтальному пути. Сопротивление движению вагона равно
1/200 его веса. Сила давления ветра P = kSu2, где S — площадь
задней стенки вагона, подверженной давлению ветра, равная
6 м2, и — скорость ветра относительно вагона, a k= 1,2. Абсолют-
ная скорость ветра и = 12 м/с. Считая начальную скорость вагона
равной нулю, определить:
1) наибольшую скорость ит ах B3F0H3J
2) время Т, которое потребовалось бы для достижения этой
скорости;
3) на каком расстоянии х вагон наберет скорость 3 м/с.
Ответ: 1) Птах = 4,08 м/с, 2) 7 = со, 3) х— 175,5 м.
27.27(27.28). Найти уравнение движения точки массы т, па-
дающей без начальной скорости на Землю. Сопротивление воз-
духа пропорционально квадрату скорости. Коэффициент пропор-
циональности равен k.
Ответ: х = -тИп ch а/— /.
k V m
27.28(27.29). Буер, весящий вместе с пассажирами <2= 1962 Н,
движется прямолинейно по гладкой горизонтальной поверхности
льда вследствие давления ветра на парус,
уР плоскость которого ab образует угол 45° с на-
\\ уС правлением движения. Абсолютная скорость
______w ветра перпендикулярна направлению дви-
ZF “ жения. Величина силы давления ветра Р вы-
/•"*< ражается формулой Ньютона: Р = kSu2cos2 q>,
где <р — угол, образуемый относительной ско-
» и ростью ветра и с перпендикуляром /V к пло-
К задаче 27.28 СКОСТИ Паруса, 5 = 5 М2 — ПЛОЩЭДЬ Паруса,
k = 0,113 — опытный коэффициент. Сила дав-
ления Р направлена перпендикулярно плоскости аЬ. Пренебрегая
трением, найти: 1) какую наибольшую скорость итах может полу-
чить буер; 2) какой угол а составляет при этой скорости поме-
щенный на мачте флюгер с плоскостью паруса; 3) какой путь Xi
должен пройти буер для того, чтобы приобрести скорость u=!/gw1
если его начальная скорость равна нулю.
Ответ: 1) итах = w, 2) а = 0°, 3) Xt=88,5 м.
27.29(27.30). Вожатый трамвая, выключая постепенно реостат,
увеличивает мощность вагонного двигателя так, что сила тяги
возрастает от нуля пропорционально времени, увеличиваясь на
1200 Н в течение каждой секунды, Найти зависимость пройден-
206
ного пути от времени движения вагона при следующих данных:
масса вагона 10000 кг, сопротивление трения постоянно и состав-
ляет 0,02 веса вагона, а начальная скорость равна нулю.
Ответ: Движение начнется через 1,635 с после включения тока
по закону': s = 0,02 (/— 1.635)3 м.
27.30(27.31). Тело массы 1 кг движется под действием пере-
менной силы F — 10(1—0 Н, где время t — в секундах. Через
сколько секунд тело остановится, если начальная скорость тела
ио = 20 м/с и сила совпадает по направлению со скоростью тела?
Какой путь пройдет тело до остановки?
Ответ: t = 3,236 с, s = 60,6 м.
27.31(27.32). Материальная точка массы m совершает прямо-
линейное движение под действием силы, изменяющейся по закону
F = Fo cos at, где Fo и <о — постоянные величины. В начальный
момент точка имела скорость х0 = Vo- Найти уравнение движения
точки.
Ответ: х = (1 — cos + vot.
27.32(27.33). Частица массы т, несущая заряд электричества е,
находится в однородном электрическом поле с переменным напря-
жением Е = Asin kt (Л и k — заданные постоянные). Определить
движение частицы, если известно, что в электрическом поле на
частицу действует сила F — eE, направленная в сторону напря-
жения Е. Влиянием силы тяжести пренебречь. Начальное поло-
жение частицы принять за начало координат; начальная скорость
частицы равна нулю.
Ответ- х=-дгО--^)-
27.33(27.34). Определить движение тяжелого шарика вдоль
воображаемого прямолинейного канала, проходящего через центр
Земли, если принять, что сила притяжения внутри земного шара
пропорциональна расстоянию движущейся точки от центра Земли
и направлена к этому центру; шарик опущен в канал с поверхно-
сти Земли без начальной скорости. Указать также скорость
шарика при прохождении через центр Земли и время движения
до этого центра. Радиус Земли равен R = 6,37- 10е м, ускорение
силы притяжения па поверхности Земли принять равным g =
= 9,8 м/с2.
Ответ: Расстояние шарика от центра Земли меняется по
закону х = /? cos/\/ -5- t, v = 7,9 • 103 м/с, Т= 1266,4 с = 21,1 мин.
27.34(27.35). Тело падает на Землю с высоты Л без начальной
скорости. Сопротивлением воздуха пренебречь, а силу притяже-
ния Земли считать обратно пропорциональной квадрату расстоя-
ния тела от центра Земли. Найти время Т, по истечении которого
тело достигнет поверхности Земли. Какую скорость v оно приоб-
ретет за это время? Радиус Земли равен /?; ускорение силы тя-
жести у поверхности Земли равно g.
207
Ответ-.
Г = Т Varccos Й4) •
27.35(27.36). Материальная точка массы пг отталкивается от
центра силой, пропорциональной расстоянию (коэффициент про-
порциональности mk2). Сопротивление среды пропорционально
скорости движения (коэффициент пропорциональности 2т&().
В начальный момент точка находилась на расстоянии а от цен-
тра, и ее скорость в этот момент равнялась нулю. Найти закон
движения точки.
Ответ: х = (аа₽' + где а = + k2 + kt, ₽ =
= д/<+Х-Лг
27.36(27.37). Точка массы m начинает двигаться без началь-
ной скорости из положения х = ₽ прямолинейно (вдоль оси х)
под действием силы притяжения к началу координат, изменяю-
щейся по закону R = ос/х2. Найти момент времени, когда точка
окажется в положении Xi = р/2. Определить скорость точки в этом
положении.
Ответ: ii = А /—' 1 4- — Y vt = а/—
2 V2 V а к 27 V тр
27.37(27.38). Точка массы т начинает двигаться из состояния
покоя из положения хо = а прямолинейно под действием силы
притяжения, пропорциональной расстоянию от начала координат:
Fx = — ctmx, и силы отталкивания, пропорциональной кубу рас-
стояния: Qx — с2тх3. При каком соотношении сц с2, а точка дости-
гает начала координат и остановится?
Ответ: С\ — х/2с2а2.
27.38(27.40). При движении тела в неоднородной среде сила
сопротивления изменяется по закону F = —3 — Н, где v —
скорость тела в м/с, a s — пройденный путь в метрах. Определить
пройденный путь как функцию времени, если начальная скорость
По = 5 м/с.
Ответ: 5 = 3 + 1 — 1] м.
б) Криволинейное движение
27.39(27.41). Морское орудие выбрасывает снаряд массы 18 кг
со скоростью По = 700 м/с, действительная траектория снаряда
в воздухе изображена на рисунке в двух случаях: 1) когда угол,
составляемый осью орудия с горизонтом, равен 45° н 2) когда
этот угол равен 75°. Для каждого из указанных двух случаев
определить, на сколько километров увеличилась бы высота и даль-
ность полета, если бы снаряд не испытывал сопротивления воз-
духа.
208
Ответ: Увеличение высоты: 1) 7,5 км, 2) 12 км. Увеличение
дальности: 1) 36,5 км, 2) 16,7 км.
27.40(27.42). Самолет А летит на высоте 4000 м над землей
с горизонтальной скоростью 140 м/с. На каком расстоянии л.
измеряемом по горизонтальной прямой от данной точки В, должен
быть сброшен с самолета без
К задаче 27.39
начальной относительной скорости
какой-либо груз для того, чтобы
он упал в эту точку? СопротиВ'
лением воздуха пренебречь.
Ответ: х = 4000 м.
27.41(27.43). Самолет А летит
над землей на высоте h с гори-
К задаче 27.40
К задаче 27.41
зонтальной скоростью щ. Из орудия В произведен выстрел по
самолету в тот момент, когда самолет находится на одной вер-
тикали с орудием. Найти: 1) какому условию должна удовлетво-
рять начальная скорость v0 снаряда для того, чтобы он мог по-
пасть в самолет, и 2) под каким углом а к горизонту должен быть
сделан выстрел. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: 1) о-* t>2-|-2gA; 2) cosa = vl/v(j.
27.42(27.44). Наибольшая горизонтальная дальность снаряда
равна L. Определить его горизонтальную дальность / при угле
бросания а = 30° и высоту h траектории в этом случае. Сопротив-
лением воздуха пренебречь.
Ответ: l = ~-L, h — ~.
z О
27.43(27.46). При угле бросания а снаряд имеет горизонталь-
ную дальность 1а- Определить горизонтальную дальность при угле
бросания, равном <х/2. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ: 1ац = —.
' 2 cos а
27.44(27.47). Определить угол наклона ствола орудия к гори-
зонту, если цель обнаружена на расстоянии 32 км, а начальная
скорость снаряда цо = 6ОО м/с. Сопротивлением воздуха прене-
бречь.
Ответ: а1 = 30° 18', а2 = 59° 42'.
27.45(27.48). Решить предыдущую задачу в том случае, когда
цель будет находиться на высоте 200 м над уровнем артиллерий-
ских позиций.
Ответ: at = 30° 50z, а2 = 59° ЗГ.
209
27.46(27.49). Из орудия, находящегося в точке О, произвели
выстрел под углом а к горизонту с начальной скоростью v0.
Одновременно из точки Л, находящейся на расстоянии I по го-
ризонтали от точки О, произвели выстрел вертикально вверх.
Определить, с какой начальной скоростью щ надо выпустить вто-
рой снаряд, чтобы он столкнулся с первым снарядом, если ско-
рость v0 и точка А лежат в одной вертикальной плоскости.
Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ-. ui = uosina (независимо от расстояния /, для /<
sin 2а
< g
27.47(27.50). Найти геометрическое место положений в мо-
мент t материальных точек, одновременно брошенных в верти-
кальной плоскости из одной точки с одной и той же начальной
скоростью v0 под всевозможными углами к горизонту.
Ответ: Окружность радиуса vot с центром, лежащим на вер-
тикали точки бросания, ниже этой точки на '/zgt2.
27.48(27.51). Найти геометрическое место фокусов всех пара-
болических траекторий, соответствующих одной и той же началь-
ной скорости Vo и всевозможным углам бросания.
vo
Ответ: х2 + у2 —
27.49(27.52). Тело веса Р, брошенное с начальной скоростью
v0 под углом а к горизонту, движется под влиянием силы тяжести
и сопротивления Р воздуха. Определить наибольшую высоту h
тела над уровнем начального положения, считая сопротивление
пропорциональным первой степени скорости: Р = kPv.
Ответ: h = °°^п ° — In (1 -|- kv0 sin а).
27.50(27.53). В условиях задачи 27.49 найти уравнения дви-
жения точки.
Ответ: х= Р°*°5 ° (1 — е~***), у = ~ (у0 sin а + у) (1—
_ t_
k •
27.51(27.54). При условиях задачи 27.49 определить, на каком
расстоянии з по горизонтали точка достигнет наивысшего поло-
жения.
v2 sin 2 а
Ответ: s= 2g {kVe sjn а + 1} •.
27.52(27.55). В вертикальной трубе, помещенной в центре круг-
лого бассейна и наглухо закрытой сверху, на высоте 1 м сделаны
отверстия в боковой поверхности трубы, из которых выбрасыва-
ются наклонные струи воды под различными углами <р к гори-
зонту (<р < л/2); начальная скорость струи равна v0 =
=. У з^~ф м/с. где g— ускорение силы тяжести; высота трубы
210
1 м. Определить наименьший радиус В бассейна, при котором вся
выбрасываемая трубой вода падает в бассейн, как бы мала ни
была высота его стенки.
Ответ: R — 2,83 м.
27.53(27.56). Определить движение тяжелой материальной
точки, масса которой равна т, притягиваемой к неподвижному
центру О силой, прямо пропорциональной расстоянию. Движение
происходит в пустоте; сила притяжения на единице расстояния
равна k2m; в момент f-О: х = а, х = 0, у = 0, у —О, причем
ось Оу направлена по вертикали вниз.
Ответ: Гармоническое колебательное движение: х —a cos kt.
К задаче 27.55
у — (1 — cos kt) по отрезку прямой У х, | х | а.
27.54(27.57). Точка массы т движется под действием силы
отталкивания от неподвижного центра О, изменяющейся по за-
кону F = k2mr, где г —радиус-вектор точки. В начальный момент
точка находилась в Л1о(<з,О) и имела скорость v0,
направленную параллельно оси у. Определить тра-
екторию точки.
Ответ: — (дГ")2==1 (гипербола).
27.55(27.58). Упругая нить, закрепленная в точ-
ке А, проходит через неподвижное гладкое коль-
цо О; к свободному концу ее прикреплен шарик М,
масса которого равна ш. Длина невытянутой
нити 1 = АО-, для удлинения нити на 1 м нужно
приложить силу, равную k2m. Вытянув нить по
прямой АВ так, что длина ее увеличилась вдвое,
сообщили шарику скорость v0, перпендикулярную
прямой АВ. Определить траекторию шарика, пренебрегая дей-
ствием силы тяжести и считая натяжение
ее удлинению.
Ответ: Эллипс —=—|- = 1.
"о
27.56(27.59). Точка М, масса которой
п неподвижным центрам Сц С2, .... Сп
ными расстояниям; сила притяжения точки М к центру С,- (i —
= 1,2....... п) равна kim-MCi Н; точка М и притягивающие
центры лежат в плоскости Оху. Определить траекторию точки М,
если при t = 0: х = х0, у = уо, х = 0, у — v0. Действием силы тя-
жести пренебречь.
нити пропорциональным
равна т, притягивается
силами, пропорциональ-
К
Ответ: Эллипс (——— Y + Г(// —5)+ ———{b — ffojTA == Ь
\xo~aJ L
п п п
где а=т Е ь=т Еk^’
i-l i=l £=1
211
27.57(27.63). Точка М притягивается к двум центрам Ci и С2
силами, пропорциональными расстояниям: km-MC\ и km-MC2,
центр С! неподвижен и находится
равномерно движется по оси Ох,
траекторию точки М, полагая, что
дится в плоскости ху, координаты
проекции
х = z = Ь,
в начале координат, центр С2
так что хг = 2(а bt). Найти
в момент t = 0 точка М нахо-
ее х = у = а и скорость имеет
4 = 0.
Ответ: Винтовая линия, расположенная на эллиптическом ци-
линдре, ось которого есть Ох, а уравнение имеет вид -^-4-
. 2/гг2 . , /2-
4—= 1; шаг винта равен ло д/—.
27.58(27.61). Частица массы т, несущая заряд отрицательного
электричества е, вступает в однородное электрическое поле напря-
жения Е со скоростью v0, перпендикулярной направлению напря-
жения поля. Определить траекторию дальнейшего движения
частицы, зная, что в электрическом поле на нее действует сила
F = еЕ, направленная в сторону, противоположную напряжению
Е-, действием силы тяжести пренебречь.
Ответ: Парабола, параметр которой равен пто^ЦеЕ).
27.59(27.62). Частица массы т, несущая заряд отрицательного
электричества е, вступает в однородное магнитное поле напряже-
ния Н со скоростью t»o, перпендикулярной направ-
у лению напряжения поля. Определить траекторию
I дальнейшего движения частицы, зная, что на час-
т о—тицу действует сила F — — e(vy^H).
При решении удобно пользоваться уравнениями движе-
•'” ния точки в проекциях па касательную и на главную нор-
К задаче 27.59 маль к траектории.
Ответ: Окружность радиуса mvo/(eH).
27.60(27.63). Определить траекторию движения частицы мас«
сы т, несущей заряд е электричества, если частица вступила в
однородное электрическое поле с переменным напряжением Е =
= A cos kt (Л и k — заданные постоянные) со скоростью v0, пер-
пендикулярной направлению напряжения поля; влиянием силы
тяжести пренебречь. В электрическом поле на частицу действует
сила F = — еЕ.
сА f k \
Ответ: у =— (J — cos — xj, где ось у направлена по на-
пряжению поля, начало координат совпадает с начальным
положением точки в поле.
27.61(27.64). По негладкой наклонной плоскости движется
тяжелое тело М, постоянно оттягиваемое посредством нити в гори-
зонтальном направлении, параллельно прямой АВ. С некоторого
момента движение тела становится прямолинейным и равномер-
ным, причем из двух взаимно перпендикулярных составляющих
скорости та, которая направлена параллельно АВ, равна 12 м/с,
212
Определить вторую составляющую щ скорости, а также натяже-
ние Т нити при следующих данных: уклон плоскости tga=l/30,
коэффициент трения / = 0,1, масса тела 30 кг.
Ответ-. Vi = 4,24 см/с, Т = 27,7 Н.
27.62(27.65). Точка М массы m находится под действием двух
сил притяжения, направленных к неподвижным центрам Oi и О2
(см. рисунок). Величина этих сил пропорциональна расстоянию
от точек Oi и О2. Коэффициент пропорциональности одинаков и
равен с. Движение начинается в точке До со скоростью и0, перпен-
дикулярной линии O1O2. Определить, какую траекторию опишет
точка М. Найти моменты времени, когда она пересекает направ-
ление линии О]О2, и вычислить ее координаты в эти моменты
времени. Расстояние от точки Ло до оси у равно 2а.
Ответ: Эллипс ^+^-^-=1. где * = /===0’
х0 — — 2а, Уо — 0-, tK = nlk, хх = 2а, yt — 0; t2 = 2n/k, х2 =—2а,
у-г = 0 и т. д. Время, в течение которого
точка описывает эллипс, Т = 2n/k. У
27.63(27.66). На точку А массы т,
которая начинает движение из положе-
ния г = г0 (где г — радиус-вектор точ-
ки) со скоростью г»о, перпендикулярной *'----»-л
го, действует сила притяжения, направ-
ленная к центру О и пропорциональная к задаче 27.оз
расстоянию от него. Коэффициент про-
порциональности равен тс\. Кроме того, на точку действует по-
стоянная сила тсго. Найти уравнение движения и траекторию
точки. Каково должно быть отношение с\/с, чтобы траектория
движения проходила через центр О? С какой скоростью точка
пройдет центр О?
Ответ: 1) г = — r0 + —sin д/с1 t + »оfl-—> cos Л
ci -vet \ Ci/
2) эллипс
213
3) точка А пройдет через центр О, если с\/с = 2;
4) точка А пройдет через центр О со скоростью v0 = —v0 в
момент времени 7 = n/VcT-
27 .64(27.67). Тяжелая точка массы т падает из положения,
определяемого координатами хо = О, yo = h при / = 0, под дей-
ствием силы тяжести (параллельной оси у) и силы отталкива-
ния от оси у, пропорциональной расстоянию от этой оси (коэф-
фициент пропорциональности с). Проекции начальной скорости
точки на оси координат равны vx = v0, vy — 0. Определить траек-
торию точки, а также момент време-
ни tt пересечения оси х.
Ответ: Траектория
*=-^shA! ,
где * = Z1 =
27.65(27.68). Точка М массы m
движется под действием силы тяже-
сти по гладкой внутренней поверхности полого цилиндра радиу-
са г. В начальный момент угол <р0 = ?т/2, а скорость точки равня-
лась нулю. Определить скорость точки М и реакцию поверхности
цилиндра при угле <р — 30°.
Ответ: v=^/3 'y/gr; T = ~^-mg.
§ 28. Теорема об изменении количества движения
материальной точки. Теорема об изменении момента
количества движения материальной точки
28.1(28.1). Железнодорожный поезд движется по горизонталь-
ному и прямолинейному участку пути. При торможении развива-
ется сила сопротивления, равная 0,1 веса поезда. В момент начала
торможения скорость поезда равняется 20 м/с. Найти время тор-
можения и тормозной путь.
Ответ: 20,4 с, 204 м.
28.2(28.2). По шероховатой наклонной плоскости, составляю-
щей с горизонтом угол а — 30°, спускается тяжелое тело без на-
чальной скорости. Определить, в течение какого времени Т тело
пройдет путь длины / = 39,2 м, если коэффициент трения f = 0,2.
Ответ: Т = 5 с.
28.3(28.3). Поезд массы 4-106 кг входит на подъем i = tga —
= 0,006 (где а— угол подъема) со скоростью 15 м/с. Коэффи-
циент трения (коэффициент суммарного сопротивления) при дви-
жении поезда равен 0,005. Через 50 с после входа поезда на
подъем его скорость падает до 12,5 м/с. Найти силу тяги теп-
ловоза.
Ответ: 23 120 Н.
214
28.4(28.4), Гирька М привязана к концу нерастяжимой нити
МОА, часть которой О А пропущена через вертикальную трубку;
гирька движется вокруг оси трубки по окружности радиуса
MC*=R, делая 120 об/мин. Медленно втягивая нить ОА в трубку,
укорачивают наружную часть нити до длины OMit при которой
гирька описывает окружность радиусом
R/2. Сколько оборотов в минуту делает
гирька по этой окружности?
Ответ: 480 об/мин.
28.5(28.5). Для определения массы гру-
женого железнодорожного состава между
тепловозами и вагонами установили дина-
мометр. Среднее показание динамометра
за 2 мин оказалось 106 Н. За то же время
состав набрал скорость 16 м/с (вначале
состав стоял на месте). Найти массу со-
става, если коэффициент трения f — 0,02.
Ответ: 3036 т.
а
К задаче 23.4
28.6(28.6). Каков должен быть коэффи-
циент трения f колес заторможенного авто-
мобиля о дорогу, если при скорости езды v = 20 м/с он останав-
ливается через 6 с после начала торможения.
Ответ: f = 0,34.
28.7(28.7). Пуля массы 20 г вылетает из ствола винтовки со
скоростью v = 650 м/с, пробегая канал ствола за время t —
— 0,00095 с. Определить среднюю величину давления газов, вы-
брасывающих пулю, если площадь сечения канала о =150 мм2.
Ответ: Среднее давление 9,12-104 Н/мм2.
28.8(28.8). Точка М движется вокруг неподвижного центра под
действием силы притяжения к этому центру. Найти скорость v2
К задаче 28.8
в наиболее удаленной от центра точке траектории, если скорость
точки в наиболее близком к нему положении щ = 30 см/с, а г2
в пять раз больше
Ответ: v2 = 6 см/с.
28.9(28.9). Найти импульс равнодействующей всех сил, дей-
ствующих на снаряд за время, когда снаряд из начального поло-
жения О переходит в наивысшее положение М. Дано: v0 = 500 м/с;
ао = 6О°; щ = 200 м/с; масса снаряда 100 кг.
Ответ: Проекции импульса равнодействующей: Sx=—5000 Н-с,
<Sy = —43300 Н-с.
215
28.10(28.10). Два астероида Mt и М2 описывают один и тот же
эллипс, в фокусе которого <S находится Солнце. Расстояние между
ними настолько мало, что дугу AJiAf2 эллипса можно считать от-
резком прямой. Известно, что длина дуги МХМ2 равнялась а,
когда середина ее находилась в перигелии Р. Предполагая, что
астероиды движутся с равными
секториальными скоростями, опре-
делить длину дуги М\М2, когда се-
р редина ее будет проходить через
афелий А, если известно, что SP =
= Pi и SA — Р2.
Ответ: =
К задаче 28.10 28.11(28.11). МаЛЬЧИК МЭССЫ
40 кг стоит на полозьях спортив-
ных саней, масса которых равна 20 кг, и делает каждую секунду
толчок с импульсом 20 Н-с. Найти скорость, приобретаемую са-
нями за 15 с, если коэффициент трения / = 0,01.
Ответ: v = 3,53 м/с.
28.12(28.12). Точка совершает равномерное движение по
окружности со скоростью v — 0,2 м/с, делая полный оборот за
время 7 = 4 с. Найти импульс S сил, действующих на точку, за
время одного полупериода, если масса точки m = 5 кг. Определить
среднее значение силы F.
Ответ: S = 2 Н-с, F = 1 Н.
28.13(28.13). Два математических маятника, подвешенных на
нитях длин /] и l2 (li > 12), совершают колебания одинаковой
амплитуды. Оба маятника одновременно начали двигаться в од-
ном направлении из своих крайних отклоненных положений. Найти
условие, которому должны удовлетворять длины li и 12 для того,
чтобы маятники по истечении некоторого промежутка времени
одновременно вернулись в положение равновесия. Определить
наименьший промежуток времени Т.
Ответ: 'xjliflv = kin, где k, п — целые числа и дробь k/n несо-
кратима; Т = kT2 = nT\.
28.14(28.14). Шарик массы tn, привязанный к нерастяжимой
нити, скользит по гладкой горизонтальной плоскости; другой ко-
нец нити втягивают с постоянной скоростью а в отверстие,
сделанное на плоскости. Определить движение шарика и натя-
жение нити Т, если известно, что в начальный момент нить рас-
положена по прямой, расстояние между шариком и отверстием
равно Р, а проекция начальной скорости шарика на перпендику-
ляр к направлению нити равна ио.
Ответ: В полярных координатах (если принять отверстие за
начало координат и угол <р0 равным нулю)1
О Q
„ "о* mvnR
r — P at, <р — д ш Т .
216
28.15(28.15). Определить массу М Солнца, имея следующие
данные: радиус Земли /? = 6,37-106 м, средняя плотность 5,5 т/м3,
большая полуось земной орбиты а = 1,49-10” м, время обра-
щения Земли вокруг Солнца Т — 365,25 сут. Силу всемирного
тяготения между двумя массами, равными 1 кг, на расстоянии
1 м считаем равной ~~ Н, где m — масса Земли; из законов
Кеплера следует, что сила притяжения Земли Солнцем равна
4n2<i3m _ _
- тгг2 -• гДе г — расстояние Земли от Солнца.
Ответ-. М = 1,966-1030 кг.
28.16(28.16). Точка массы иг, подверженная действию цен-
тральной силы F, описывает лемнискату r2==acos2<p, где а —
величина постоянная, г — расстояние точки от силового центра;
в начальный момент г — г0, скорость точки равна v0 и составляет
угол а с прямой, соединяющей точку с силовым центром. Опреде-
лить величину силы F, зная, что она зависит только от расстоя-
ния г.
По формуле Бине F
на я скорость точки.
mcsfd2(l/r) . П
г3 I d<f3 + г)’
где с — удвоенная ссктор-
Ответ: Сила притяжения F =r2u2 sin2 а.
28.17(28.17). Точка М, масса которой т, движется около не-
подвижного центра О под влиянием силы F, исходящей из этого
центра и зависящей только от расстояния МО = г. Зная, что ско-
рость точки v — a/r, где а — величина постоянная, найти вели-
чину силы F и траекторию точки.
Ответ- Сила притяжения F = та2/г\ траектория — логариф-
мическая спираль.
28.18(28.18). Определить движение точки, масса которой 1 кг,
под действием центральной силы притяжения, обратно пропорцио-
нальной кубу расстояния точки от центра притяжения, при сле-
дующих данных: на расстоянии 1 м сила равна 1 Н. В начальный
момент расстояние точки от центра притяжения равно 2 м, ско-
рость ио = 0,5 м/с и составляет угол 4б° с направлением прямой,
проведенной из центра к точке.
Ответ-, г2 = 4 4-1' ^2 , г = 2е"’>.
28.19(28.19). Частица М массы I кг притягивается к непо-
движному центру О силой, обратно пропорциональной пятой
степени расстояния. Эта сила равна 8 Н на расстоянии 1 м.
В начальный момент частица находится на расстоянии ОМ0 ==
= 2 м н имеет скорость, перпендикулярную к ОМ0 и равную
0,5 м/с. Определить траекторию частицы.
Ответ: Окружность радиуса 1 м, центр которой лежит на ли-
нии ОМ0 на расстоянии 1 м от центра притяжения.
28.20(28.20). Точка массы 0,2 кг, движущаяся под влиянием
силы притяжения к неподвижному центру по закону тяготения
217
Ньютона, описывает полный эллипс с полуосями 0,1 ми 0,08 м
в течение 50 с. Определить наибольшую и наименьшую величины
силы притяжения F при этом движении.
Ответ-. Fma* = 1,97-10*3 Н, Fmln = 1,23-10~4 Н.
28.21. Математический маятник, каждый размах которого
длится одну секунду, называется секундным маятником и при-
меняется для отсчета времени. Найти длину I этого маятника,
считая ускорение силы тяжести равным 981 см/с2. Какое время
покажет этот маятник на Луне, где ускорение силы тяжести в
6 раз меньше земного? Какую длину 1\ должен иметь секундный
лунный маятник?
Ответ-. I — 99,4 см, Т\ == 2,45 с, 1\ — 16,56 см.
28.22. В некоторой точке Земли секундный маятник отсчиты-
вает время правильно. Будучи перенесен в другое место, он от-
стает на Т секунд в сутки. Определить ускорение силы тяжести
в новом положении секундного маятника.
Ответ-. gi = g0 (1 — 86400’) ’ где £о —ускорение силы тяжести
в первоначальном положении маятника.
§ 29. Работа и мощность
29.1(29.1). Бетонный блок ABCD, размеры которого
на рисунке, имеет
) указаны
массу 4000 кг. Определить работу, которую
надо затратит^ на опрокидывание его враще-
нием вокруг ребра D.
Ответ-. 39,24 кДж.
29.2(29.2). Определить наименьшую рабо-
ту, которую надо затратить для того, чтобы
поднять на 5 м тело массы 2 т, двигая его
по наклонной плоскости, составляющей с
горизонтом угол в 30°. Коэффициент тре-
ния 0,5.
Ответ-. 183 кДж.
29.3(29.3). Для того чтобы поднять 5000 м3
воды на высоту 3 м, поставлен насос с дви-
гателем в 2 л. с. Сколько времени потребу-
ется для выполнения этой работы, если коэф-
фициент полезного действия насоса 0,8?
Коэффициентом полезного действия называется отношение полезной работы,
в данном случае работы, затраченной на поднятие воды, к работе движущей
силы, которая должна быть больше полезной работы вследствие вредных сопро-
тивлений.
Ответ-. 34 ч 43 мин 20 с.
29.4(29.4). Как велика мощность машины, поднимающей
84 раза в минуту молот массы 200 кг на высоту 0,75 м, если ко-
эффициент полезного действия машины 0,7?
Ответ: 2,94 кВт.
218
29.5(29.5). Вычислить общую мощность трех водопадов, распо-
ложенных последовательно на одной реке. Высота падения воды:
у первого водопада—12 м, у второго—12,8 м, у третьего—15 м.
Средний расход воды в реке — 75,4 м3/с.
Ответ: 29,4 МВт.
29.6(29.6). Вычислить мощность турбогенераторов на станции
трамвайной сети, если число вагонов на линии 45, масса каждого
вагона 10 т, сопротивление трения равно 0,02 веса вагона, средняя
скорость вагона 3,3 м/с и потери в сети 5%.
Ответ: 309 кВт.
29.7(29.8). Вычислить работу, которая производится при подъ-
еме груза массы 20 кг по наклонной плоскости на расстоянии 6 м,
если угол образуемый плоскостью с горизонтом, равен 30°, а ко-
эффициент трения равен 0,01.
Ответ: 598 Дж.
29.8(29.9). Когда турбоход идет со скоростью 15 узлов, тур-
бина его развивает мощность 3800 кВт. Определить силу сопро-
тивления воды движению турбохода зная, что коэффициент по-
лезного действия турбины и винта равен 0,41 и 1 узел =
= 0,5144 м/с.
Ответ: 201,9 кН.
29.9(29.10). Найти мощность двигателя внутреннего сгорания,
если среднее давление на поршень в течение всего хода равно
49 Н на 1 см2, длина хода поршня 40 см, площадь поршня 300 см2,
число рабочих ходов 120 в минуту и коэффициент полезного дей-
ствия 0,9.
Ответ: 10,6 кВт.
29.10(29.11). Шлифовальный круг диаметра 0,6 м делает
120 об/мин. Потребляемая мощность 1,2 кВт. Коэффициент тре-
ния шлифовального круга о деталь равен 0,2. С какой силой круг
прижимает шлифуемую деталь?
Ответ: 1591,5 Н.
29.11(29.12). Определить мощность двигателя продольно-стро-
гального станка, если длина рабочего хода 2 м, его продолжи-
тельность 10 с, сила резания 11,76 кН, коэффициент полезного
действия станка 0,8. Движение считать равномерным.
Ответ: 2,94 кВт.
29.12(29.14). К концу упругой пружины подвешен груз массы
М. Для растяжения пружины на 1 м надо приложить силу в с Н.
Составить выражение полной механической энергии груза на пру-
жине. Движение отнести к оси х, проведенной вертикально вниз
из положения равновесия груза на пружине.
Ответ: Е = */2A4х2 -f- 'facx2 — Mgx.
29.13(29.15). При ходьбе на лыжах на дистанцию в 20 км по
горизонтальному пути центр тяжести лыжника совершал гармо-
нические колебания с амплитудой 8 см и с периодом 7 = 4 с,
масса лыжника 80 кг, а коэффициент трения лыж о снег f = 0,05.
Определить работу лыжника на марше, если всю дистанцию он
прошел за 1 час 30 мин, а также среднюю мощность лыжника.
219
Примечание. Считать, что работа торможения при опускании центра
тяжести лыжника составляет 0,4 работы при подъеме центра тяжести на ту
же высоту.
Ответ'. А = 1021 кДж, М= 188,9 Вт.
29.14(29.16). Математический маятник А веса Р и длины I
под действием горизонтальной силы Рх/l поднялся на высоту у.
Вычислить потенциальную энергию маятника двумя способами:
1) как работу силы тяжести, 2) как работу, про-
®i изведенную силой Рх/l, и указать, при каких
условиях оба способа приводят к одинаковому
i\ результату.
I 1
। \ Ответ: 1) Ру\ 2) • Оба ответа одина-
ч | у/ ковы, если можно пренебречь у2.
29.15(29.17). Для измерения мощности дви-
гателя на его шкив А надета лента с деревян-
к задаче 29.14 ными колодками. Правая ветвь ВС ленты удер-
живается пружинными весами Q, а левая ее
ветвь DE натягивается грузом. Определить мощность двигателя,
если, вращаясь равномерно, он делает 120 об/мин; при этом пру-
жинные весы показывают натяжение правой ветви ленты в
39,24 Н; масса груза равна 1 кг, диаметр шкива cf = 63,6 см.
К задаче 29.15
К задаче 29 16
Разность натяжений ветвей ВС и DE ленты равна силе, тормозя-
щей шкив. Определить работу этой силы в 1 с.
Ответ: 117,5 Вт.
29.15(29.18). Посредством ремня передается мощность
14,71 кВт. Радиус ременного шкива 0,6 м, угловая скорость шкива
соответствует 150 об/мин. Предполагая, что натяжение Т ведущей
ветви ремня вдвое больше натяжения t ведомой ветви, определить
натяжение Т и t.
Ответ: t = 1873 Н; 1 = 3746 Н.
220
§ 30. Теорема об изменении кинетической энергии
материальной точки
Ж? 1
К задаче 30.1
30.1(30.1). Тело Е, масса которого равна т, находится на глад-
кой горизонтальной плоскости. К телу4 прикреплена пружина
жесткости с, второй конец которой прикреплен к шарниру
Длина недеформированной пружины равна /0; OOi=l. В началь-
ный момент тело Е отклонено от положения
равновесия О на конечную величину ОЕ = а -------------— -
и отпущено без начальной скорости. Опреде-
лить скорость тела в момент прохождения
положения равновесия.
Ответ: о = + /0 (/ - VFF?)] -
30.2(30.2). В условиях предыдущей задачи
определить скорость тела Е в момент прохож-
дения положения равновесия О, предполагая,
что плоскость шероховата и коэффициент трения скольжения
равен f.
Ответ: vz = { с + 10 (/— ^/Р + а2)] — / [(mg -ф cl) а +
+*ta7Tvn=?]}'
30.3(30.3). Тело К находится на шероховатой наклонной пло-
скости в покое. Угол наклона плоскости к горизонту а и /0> tga,
где fo — коэффициент трения покоя. В некоторый момент телу со-
общена начальная скорость v0, направленная
вдоль плоскости вниз. Определить путь s, *-
пройденный телом до остановки, если коэф-
фициент трения при движении равен /.
Твет. S 2g (f cos а — sin а)
30.4(30.4). По наклонной ПЛОСКОСТИ, СО- к задаче 30.3
ставляющей с горизонтом угол 30°, спуска-
ется без начальной скорости тяжелое тело; коэффициент трения
равен 0,1. Какую скорость будет иметь тело, пройдя 2 м от начала
движения?
Ответ: 4,02 м/с.
30.5(30.5). Снаряд массы 24 кг вылетает из ствола орудия со
скоростью 500 м/с. Длина ствола орудия 2 м. Каково среднее зна-
чение давления газов на снаряд?
Ответ: 1500 кН.
30.6(30.6). Материальная точка массы 3 кг двигалась по гори-
зонтальной прямой влево со скоростью 5 м/с. К точке приложили
постоянную силу, направленную вправо. Действие силы прекрати-
лось через 30 с, и тогда скорость точки оказалась равной 55 м/с
и направленной вправо. Найти величину этой силы и совершен-
ную ею работу.
221
Ответ: F = 6 Н, А = 4,5 кДж.
30.7(30.7). При подходе к станции поезд идет со скоростью
10 м/с под уклон, угол которого а = 0,008 рад. В некоторый мо-
мент машинист начинает тормозить поезд. Сопротивление от тре-
ния в осях составляет 0,1 от веса поезда. Определить, на каком
расстоянии и через какое время от начала торможения поезд оста-
новится. Принять, что sin а = а.
Ответ: 55,3 м, 11,8 с.
30.8(30.8). Поезд массы 200 т идет по горизонтальному участку
пути с ускорением 0,2 м/с2. Сопротивление от трения в осях
составляет 0,01 веса поезда и считается не зависящим от ско-
рости. Определить мощность, развиваемую тепловозом в момент
£ = 10 с, если в начальный момент скорость поезда равнялась
18 м/с.
Ответ: 1192 кВт,
30.9(30.9). Брус начинает двигаться с начальной скоростью v0
по горизонтальной шероховатой плоскости и проходит до полной
остановки расстояние з. Определить коэффициент трения сколь-
жения, считая, что сила трения пропорциональна нормальному
давлению.
Ответ: f = vfi/(2gs).
30.10(30.10). Железнодорожная платформа имеет массу 6 т
и при движении испытывает сопротивление от трения в осях, рав-
ное 0,0025 ее веса. Рабочий уперся в покоящуюся платформу и
покатил ее по горизонтальному и прямолинейному участку пути,
действуя на нее с силой 250 Н. Пройдя 20 м, он предоставил плат-
форме катиться самой. Вычислить, пренебрегая сопротивлением
воздуха и трением колес о рельсы, наибольшую скорость плат-
формы во время движения, а также весь путь, пройденный ею до
остановки.
Ответ: втчг. = 0,82 м/с, з = 34 м.
30.11(30.11). Гвоздь вбивается в стену, оказывающую сопро-
тивление 700 Н. При каждом ударе молотка гвоздь углубляется
в стену на длину / = 0,15 см. Определить массу молотка, если
при ударе о шляпку гвоздя он имеет скорость v = 1,25 м/с.
Ответ: 1,344 кг.
30.12(30.12). Упавший на Землю метеорит массы 39 кг углу-
бился в почву на 1,875 м. Вычислено, что почва в месте падения
метеорита оказывает проникающему в нее телу сопротивление
5- 10Б Н. С какой скоростью метеорит достиг поверхности Земли?
С какой высоты он должен был упасть без начальной скорости,
чтобы у поверхности Земли приобрести указанную скорость?
Считаем силу тяжести постоянной и пренебрежем сопротивлением
воздуха.
Ответ: и = 219 м/с, // = 2453 м.
30.13(30.13). Незаторможенный поезд массы 500 т, двигаясь
с выключенным двигателем, испытывает сопротивление R =
= (7650 4- 500и) Н, где v — скорость в м/с. Зная начальную ско-
222
без трения
К задаче 30.14
СОСТОЯНИИ
рость поезда о0=15 м/с, определить, какое расстояние пройдет
поезд до остановки.
Ответ: 4,5 км.
30.14(30.14). Главную часть установки для испытания мате*
риалов ударом составляет тяжелая стальная отливка М, прикреп*
ленная к стержню, который может вращаться почти
вокруг неподвижной горизонтальной оси О. Прене-
брегая массой стержня, рассматриваем отливку М
как материальную точку, для которой расстояние
ОМ = 0,981 м. Определить скорость v этой точки в
нижнем положении В, если она падает из верхнего
положения А с ничтожно малой начальной ско-
ростью.
Ответ: v = 6,2 м/с.
30.15(30.15). Написать выражение потенциальной
энергии упругой рессоры, прогибающейся на 1 см от
нагрузки в 4 кН, предполагая, что прогиб х возра-
стает прямо пропорционально нагрузке.
Ответ: П = (20х2 + С) Дж, если х в см.
30.16(30.16). Пружина имеет в ненапряженном
длину 20 см. Сила, необходимая для изменения ее длины на 1 см,
равна 1,96 Н. С какой скоростью v
массы 30 г, если пружина была сжа-
та до длины 10 см? Трубка располо-
жена горизонтально.
Ответ: v = 8,08 м/с.
30.17(30.17). Статический прогиб
балки, загруженной посередине гру-
зом Q, равен 2 мм. Найти наибольший прогиб балки, пренебрегая
ее массой, в двух случаях: 1) когда груз Q положен на неизогну-
тую балку и опущен без начальной скорости; 2) когда груз Q
падает на середину неизогнутой балки с высоты 10 см без началь-
ной скорости.
вылетит из трубки шарик
ЩууууууМЭ
К задаче 30.10
К задаче 30.18
При решении задачи следует иметь в виду, что сила, действующая на груз
со стороны балки, пропорциональна ее прогибу.
Ответ: 1)4 мм; 2) 22,1 мм.
30.18(30.18). Две ненапряженные пружины АС и ВС, распо-
ложенные по горизонтальной прямой Ах, прикреплены шарнирами
к неподвижным точкам А и В, а в точке С — к гире массы 2 кг.
Пружина АС сжимается на 1 см силой 20 Н, а пружина СВ вы-
223
тягивается на 1 см силой 40 Н. Расстояние ДС = ВС=10 см.
Гире С сообщена скорость о0 = 2 м/с в таком направлении, что
при последующем движении она проходит через точку D, коорди-
наты которой xd = 8 см, у о = 2 см, если за начало координат
принять точку А и координатные оси направить, как указано на
рисунке. Определить скорость гири в момент прохождения ее че-
рез точку D, лежащую в вертикальной плоскости ху.
Ответ: v == 1,77 м/с.
30.19(30.20). Груз М веса Р, подвешенный в точке О на не-
растяжнмой нити длины I, начинает двигаться в вертикальной
плоскости без начальной скорости из точ-
ки А; при отсутствии сопротивления груз М
достигнет положения С, где его скорость
обратится в нуль. Приняв потенциальную
энергию, обусловленную силой тяжести
груза М в точке В, равной нулю, постро-
ить графики изменений кинетической и по-
тенциальной энергии, а также их суммы
в зависимости от угла <р. Массой нити пре-
небречь.
Ответ: Две синусоиды и прямая, имеющие уравнения
Т = Plsintp, V = Pl(l — sing)), T + V=Pl.
30.20(30.21). Материальная точка массы m совершает гармо-
нические колебания по прямой Ох под действием упругой вос-
станавливающей силы по следующему закону: х = a sin(fe/ + р).
Пренебрегая сопротивлениями, построить графики изменения ки-
нетической энергии Т и потенциальной энергии V движущейся
точки в зависимости от координаты х; в начале координат У = 0.
Ответ: Оба графика — параболы, имеющие уравнения
Т = (а2 - х2),
mk2x2
30.21(30.22). Какую вертикальную силу, постоянную по вели-
чине и направлению, надо приложить к материальной точке, чтобы
при падении точки на Землю с высоты, равной радиусу Земли,
эта сила сообщила точке такую же скорость, как сила притяже-
ния к Земле, обратно пропорциональная квадрату расстояния
точки до центра Земли?
Ответ: Р/2, где Р — вес точки на поверхности Земли.
30.22(30.23). Горизонтальная пружина, на конце которой при-
креплена материальная точка, сжата силой Р и находится в покое.
Внезапно сила Р меняет направление на прямо противоположное.
Определить, пренебрегая массой пружины, во сколько раз полу-
чающееся при этом наибольшее растяжение /2 больше первона-
чального сжатия 1].
Ответ: /2//1=3.
224
30.23(30.24). Тело брошено с поверхности Земли вверх по вер-
тикальной линии с начальной скоростью v0. Определить высоту И
поднятия тела, принимая во внимание, что сила тяжести изменя-
ется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра
Земли; сопротивлением воздуха пренебречь. Радиус Земли 7? =
= 6370 км, и0— 1 км/с.
п^2
Ответа И —------—г- =51,38 км.
2а>? - о2
30.24(30.25). Две частицы заряжены положительным электри-
чеством, заряд первой частицы q\ — 100 Кл, заряд второй частицы
92 = 0,191, первая частица остается неподвижной, а вторая дви-
жется вследствие силы отталкивания от первой частицы. Масса
второй частицы равна 1 кг, начальное расстояние от первой час-
тицы равно 5 м, а начальная скорость равна нулю. Определить
верхний предел для скорости движущейся частицы, принимая во
внимание действие только одной силы отталкивания F—q^qi/r2,
где г— расстояние между частицами.
Ответ-. 20 м/с.
30.25(30.26). Определить скорость v0, которую нужно сообщить
по вертикали вверх телу, находящемуся на поверхности Земли,
для того, чтобы оно поднялось на высоту, равную земному радиу-
су; при этом нужно принять во внимание только силу притяжения
Земли, которая изменяется обратно пропорционально квадрату
расстояния тела от центра Земли. Радиус Земли равен 6,37-10® м,
ускорение силы притяжения на поверхности Земли равно 9,8 м/с2.
Ответ: 7,9 км/с.
30.26(30.27). Найтн, с какой скоростью v0 нужно выбросить сна-
ряд с поверхности Земли по направлению к Луне, чтобы он достиг
точки, где силы притяжения Земли и Луны равны, и остался в
этой точке в равновесии. Движением Земли и Луны и сопротивле-
нием воздуха пренебречь. Ускорение силы тяжести у поверхности
Земли g — 9,8 м/с. Отношение массы Луны и Земли m: М = 1 :80;
расстояние между ними d = 607?, где считаем 7? = 6000 км (ра-
диус Земли).
Коэффициент f, входящий в формулу для величины силы все-
мирного тяготения, находим из уравнения
mg = mf — (£/_Л)1].
ГлГ
2gR(d-R) /\J~(d — R) — R 59 1-а
Ответ: о2 =---------------j=~----------ГДе
d ^/—(d-R) + R ° +
V fTl
а =----или и0= 10,75 км/с.
59V80
30.27. Грунт утрамбовывается ручной бабой массы 60 кг и с
поперечным сечением 12 дм2, которая падает с высоты 1 м. При
последнем ударе баба входит в грунт на глубину 1 см, причем
225
— 1318
сопротивление грунта движению бабы можно считать постоян-
ным. Какую наибольшую нагрузку выдержит грунт, не давая
осадки? Допускается, что утрамбованный грунт может выдержать
без осадки нагрузку, не превосходящую того сопротивления, ко-
торое встречает баба, углубляясь в грунт.
Отвег. 494,9 кПа.
30.28(30.28). Шахтный лифт движется вниз со скоростью v0 =
= 12 м/с. Масса лифта 6 т. Какую силу трения между лифтом
и стенками шахты должен развить предохранительный парашют,
чтобы остановить лифт на протяжении пути з = 10 м, если канат,
удерживающий лифт, оборвался? Силу трения считать постоянной.
Ответ- ~m\g = кН.
30.29. Кольцо массы 200 г скользит вниз по проволочной дуге,
имеющей форму параболы у = х2. Кольцо начало двигаться из
точки х = 3 м, у = 9 м с нулевой начальной скоростью. Опреде-
лить скорость кольца и силу, действующую на кольцо со стороны
проволоки, в момент прохождения им нижней точки параболы.
Ответ: щ = 13,3 м/с, R = 72,5 Н.
30.30. Математический маятник длины I вывели из положения
равновесия, сообщив ему начальную скорость »0, направленную
по горизонтали. Определить длину дуги, которую он опишет в те-
чение одного периода.
( ьо Л
Ответ: s = 4l arccos 11 — -х-т- j.
§31. Смешанные задачи
К задаче 31.3
31.1(31.1). Груз массы 1 кг подвешен на нити длины 0,5 м
в неподвижной точке О. В начальный момент груз отклонен от
вертикали на угол 60°, и
ему сообщена скорость v0 в
вертикальной плоскости по
перпендикуляру к нити вниз,
равная 2,1 м/с. Определить
натяжение нити в иаиниз-
шем положении и отсчиты-
ваемую по вертикали вы-
соту, на которую груз под-
нимается над этим положе-
нием.
Ответ: 28,4 Н, 47,5 см.
31.2(31.2). Сохраняя ус-
ловия предыдущей задачи,
кроме величины скорости и0> найти, при какой величине скорости и0
груз будет проходить всю окружность.
Ответ: v0 > 4,43 м/с.
31.3(31.3). По рельсам, положенным по пути АВ и образую-
щим затем петлю в виде кругового кольца ВС радиуса а, скаты-
226
вается вагонетка массы т. С какой высоты h нужно пустить ва-
гонетку без начальной скорости, чтобы она могла пройти всю
окружность кольца, не отделяясь от него? Определить давление N
вагонетки на кольцо в точке М, для которой 2_М0В — <р.
Ответ-, h 2,5а, N — mg — 2 4-3 cos <р) .
31.4(31.4). Путь, по которому движется вагонетка, скатываясь
из точки А, образует разомкнутую петлю радиуса г, как показано
на рисунке; ZJ3OC =
— Z-BOD = а. Найти, с ка-
кой высоты h должна ска-
тываться вагонетка без на-
чальной скорости, чтобы она
могла пройти всю петлю, а
также то значение угла а,
при котором эта высота h
наименьшая.
Указание. На участке DC
центр тяжести вагонетки соверша-
ет параболическое движение.
Ответ: А == г (1 4- cos а 4- при а = 45°.
31.5(31.5). Тяжелая стальная отливка массы Л1 = 20 кг при-
креплена к стержню, который может вращаться без трения
вокруг неподвижной оси О. Отливка падает из верхнего положе-
ния А с ничтожно малой начальной скоростью. Пренебрегая мас-
сой стержня, определить наибольшее давление на ось. (См. рису-
нок к задаче 30.14.)
Ответ: 980 Н.
31.6(31.6). Какой угол с вертикалью составляет вращающийся
стержень (в предыдущей задаче) в тот момент, когда давление на
ось равно нулю?
Ответ: <р = arccos(2/3).
31.7(31.7). Парашютист массы 70 кг выбросился из самолета
и, пролетев 100 м, раскрыл парашют. Найти силу натяжения стро-
пов, на которых человек был подвешен к парашюту, если в течение
первых пяти секунд с момента раскрытия парашюта, при постоян-
ной силе сопротивления движению, скорость парашютиста умень-
шилась до 4,3 м/с. Сопротивлением воздуха движению человека
пренебречь.
Ответ: 1246 Н.
31.8(31.8). За 500 м до станции, стоящей на пригорке высоты
2 м, машинист поезда, идущего со скоростью 12 м/с, закрыл пар
и начал тормозить. Как велико должно быть сопротивление от тор-
можения, считаемое постоянным, чтобы поезд остановился у стан-
ции, если масса поезда равна 1000 т, а сопротивление трения
20 кН?
Ответ: 84,8 кН,
227
31.9(31.9). Тяжелая отливка массы т прикреплена к стержню,
который может вращаться без трения вокруг неподвижной оси О
и отклонен от вертикали на угол <ро- Из этого начального положе-
ния отливке сообщают начальную скорость v0 (см. рисунок). Опре-
делить усилие в стержне как функцию угла
Ь отклонения стержня от вертикали, пренебре-
гая массой стержня. Длина стержня I.
Vo Ответ: N = 3mg cos <р — 2mg cos <р0 + moyi.
Если N > 0, стержень растянут; если N <
_ < 0, стержень сжат.
31.;0(31.10). Сферический маятник состоит
К задаче 31.9 ИЗ НИТИ ОМ ДЛИНЫ /, ПрИКреПЛеННОЙ ОДНИМ
концом к неподвижной точке О, и тяжелой
точки М веса Р, прикрепленной к другому концу нити. Точку
М отклонили из положения равновесия так, что ее координаты
стали: при t = 0 х = х0, у = 0, и сообщили ей начальную скоростьр
х0 = 0, t/о = v0, z0 = 0. Определить, при каком соотношении началь-
ных условий точка М будет описывать окружность в горизонталь-
ной плоскости и каково будет время обращения точки Л1 по этой
окружности.
Ответ: v0 = х0 и ?/z0, Т = 2 л VZolg-
31.11(31.11). Лыжник при прыжке с трамплина спускается с
эстакады АВ, наклоненной под углом а = 30° к горизонту. Перед
отрывом он проходит небольшую горизонтальную площадку ВС,
длиной которой при расчете пренебрегаем. В момент отрыва лыж-
ник толчком сообщает себе вертикальную составляющую скорости
vy == 1 м/с. Высота эстакады ft = 9 м, коэффициент трения лыж о
снег f = 0,08, линия приземления CD образует угол (3 = 45° с го-
ризонтом. Определить дальность I полета лыжника, пренебрегая
сопротивлением воздуха.
Примечание. Дальностью полета считать длину, измеряемую от точки
отрыва С до точки приземления лыжника на линии CD,
Ответ: I = 47,4 м.
228
31.12(31.12). Груз М веса Р падает без начальной скорости с
высоты Н на плиту А, лежащую на спиральной пружине В. От
действия упавшего груза М пружина сжимается на величину h.
Не учитывая веса плиты А и сопротивлений, вычислить время Tt
сжатия пружины на величину h и нмпульс S упру-
гой силы пружины за время Т.
Ответ-.
. h
где tg а =----------, -,
6 2 7Я (// + й)
k V2g (Я + h)
h
31.13(31.13). При разрыве маховика одна из
его частей, наиболее удаленная от места катастро-
фы, оказалась на расстоянии s = 280 м от перво-
начального положения. Пренебрегая сопротивле-
нием воздуха при движении указанной части из
/V
должна быть
К задаче 31.14
первоначального положения в конечное, лежащее к задаче 3| 12
в той же горизонтальной плоскости, найти наимень-
шее возможное значение угловой скорости маховика в момент
катастрофы, если радиус маховика R = 1,75 м.
Ответ: п = 286 об/мин, или со = 30 рад/с.
31.14(31.14). Груз М, подвешенный на пружине к верхней точке
А круглого кольца, расположенного в вертикальной плоскости, па-
дает, скользя по кольцу без трения. Найти, какова
жесткость пружины для того, чтобы давление
груза на кольцо в нижней точке В равнялось
нулю при следующих данных: радиус кольца у
20 см, масса груза 5 кг, в начальном положении [
груза расстояние AM равно 20 см и пружина \
имеет натуральную длину; начальная скорость
груза равна нулю; массой пружины пренебречь.
Ответ: Пружина должна удлиняться на
1 см при действии силы, равной 4,9 Н.
31.15(31.15). Определить давление груза М на кольцо в нижней
точке В (рисунок предыдущей задачи) при следующих данных: ра-
диус кольца 20 см, масса груза 7 кг; в начальном положении груза
расстояние AM равно 20 см, причем пружина растянута и длина ее
вдвое больше натуральной длины, которая равна 10 см; жесткость
пружины такова, что она удлиняется на 1 см при действии силы
в 4,9 Н; начальная скорость груза равна нулю; массой пружины
пренебрегаем.
Ответ: Давление направлено вверх и равно 68,6 Н.
31.16(31.16). Гладкое тяжелое кольцо М веса Q может сколь-
зить без трения по дуге окружности радиуса R см, расположенной
в вертикальной плоскости. К кольцу привязана упругая нить МОА,
проходящая через гладкое неподвижное кольцо О и закрепленная
в точке А. Принять, что натяжение нити равно нулю, когда кольцо
М находится в точке О, и что для вытягивания нити на 1 см нужно
приложить силу с. В начальный момент кольцо находится в точке
229
В в неустойчивом равновесии и при ничтожно малом толчке начи-
нает скользить по окружности. Определить давление N, производи-
мое кольцом на окружность.
Ответ: N = 2Q + cR + 3 (Q -f- cR)cos 2<p; давление направлено
наружу при NX), внутрь при N < 0.
31.17(31.17). Груз подвешен на нити длины 0,5 м в неподвиж-
ной точке О. В
Мо груз отклонен от вер-
тикали на угол 60°, и
ему сообщена скорость va
в вертикальной плоско-
сти по перпендикуляру
к нити вниз, равная
3,5" м/с.
1) Найти то положе-
ние М груза, в котором
натяжение нити будет
равно нулю, и скорость vt
в этом положении.
2) Определить траек-
торию последующего дви-
жения груза до того мо-
нить будет опять натянута, и время, в течение кото-
начальном положении
М
К задаче 31.16
К задаче 31.19
мента, когда
рого точка пройдет эту траекторию.
Ответ: 1) Положение М находится над горизонталью точки О
на расстоянии MD =25 см, щ = 156,5 см/с.
2) Парабола МАВС, уравнение которой, отнесенное к осям Мх
и Му, имеет вид у = х^3^— 0,08хг; груз описывает эту параболу
в течение 0,55 с.
31.18(31.18). Математический маятник установлен на самолете,
который поднимается на высоту 10 км. На какую часть надо умень-
шить длину нити маятника, чтобы период малых колебаний маят-
ника на этой высоте остался без измене-
ний? Силу тяжести считать обратно пропор-
циональной квадрату расстояния до центра
Земли.
Ответ: На 0,00313/, где / — длина нити
на поверхности Земли.
31.19(31.19). В неподвижной точке О
посредством нити ОМ длины / подвешен
груз М массы иг. В начальный момент нить
ОМ составляет с вертикалью угол а и ско-
рость груза М равна нулю. При последую-
щем движении нить встречает тонкую про-
волоку Oi, направление которой перпендикулярно плоскости дви-
жения груза, а положение определяется полярными координатами:
h = OOi и р. Определить наименьшее значение угла а, при кото-
ром нить ОМ после встречи с проволокой будет на нее навиваться,
а также изменение натяжения нити в момент ее встречи с провоз
локой. Толщиной проволоки пренебречь.
230
Ответ: а =
arccos [у (4 + cos ₽ J — -
О л ( 3 .
чивается на величину 2mg — (у + cos
31.20(31.20). Тяжелая точка М массы гп движется по внутрен-
ней поверхности круглого цилиндра радиуса г. Считая поверхность
цилиндра абсолютно гладкой и ось цилиндра вертикальной, опре-
делить давление точки на цилиндр. Началь-
ная скорость точки равна по величине о0 и
составляет угол а с горизонтом.
2 2
_ mttf cos а
Ответ: N -----------.
г
31.21(31.21). В предыдущей задаче соста-
вить уравнения движения точки, если в на-
чальный момент точка находилась на оси х.
Ответ: x = r cos [j
у = г sin , Z = VJ sina-Lg/2/2.
81.22(31.22). Камень М, находящийся на
вершине А гладкого полусферического купола
радиуса R, получает начальную горизонтальную скорость v0. В ка-
ком месте камень покинет купол? При каких значениях во камень
сойдет с купола в начальный момент? Сопротивлением движению
камня по куполу пренебречь.
/ О \
натяжение нити увели-
t)0 cos а
Ответ: <р = arccos ।
gR-
К задаче 31.23
31.23(31.23). Точка М массы m движется по гладкой поверх-
ности полусферического купола радиуса R. Считая, что на точку
действует сила тяжести, параллельная оси z, и зная, что в началь-
ный момент точка имела скорость о0 и находилась на высоте Ло от
основания купола, определить давление точки на купол, когда она
будет на высоте Л от основания купола.
Огеетт N =
231
31.24(31.24). Точка М массы т движется по цепной линии
у -- у (exla + e~xla) = a ch
под действием силы отталкивания, параллельной оси Оу, направ-
ленной от оси Ох и равной kmy. В момент / = 0 х = 1 м, х = 1 м/с.
Определить давление N точки на кривую и движение точки при
Л= 1 рад/с2 и а = 1 м (силой тяжести пренебрегаем). Радиус кри-
визны цепной линии равен у2/а.
Ответ: W = 0; х = (1-(-О м.
К задаче 31.24
К задаче 31.25
31.25(31.25). По какой плоской кривой следует изогнуть трубку,
чтобы помещенный в нее в любом месте шарик оставался по отно-
шению к трубке в равновесии, если трубка вращается с постоянной
угловой скоростью <о вокруг оси Оу?
Ответ: По параболе у = х2 + с.
31.26(31.26). Точка М массы m = 1 кг движется по гладкой
поверхности круглого конуса, угол раствора которого 2а =90°,
под влиянием силы отталкивания от вершины О, пропорциональ-
ной расстоянию: F — с-ОМ Н, где с = 1 Н/м. В начальный момент
точка М находится в точке А, расстояние ОА равно а = 2 м, на-
чальная скорость во = 2 м/с и направлена параллельно основанию
конуса.
Определить движение точки М (силой тяжести пренебречь).
Положение точки М определяем координатой г и полярными координатами г
и ср в плоскости, перпендикулярной оси Ог; уравнение поверхности конуса
г2 — гг — 0.
Ответ: г2 — e2t + e~2t, tg ।'~^=~ + — е2*.
31.27(31.27). При условиях предыдущей задачи, считая ось
конуса направленной по вертикали вверх и учитывая силу тяжести,
определить давление точки на поверхность конуса.
Го о
a of sin 2а I
g 4----5“s— •
232
31.28(31.28). Материальная точка А под действием силы тя-
жести движется по шероховатой винтовой поверхности, ось которой
Ог вертикальна; поверхность задана уравнением z = аср + f(r) ;
коэффициент трения точки о поверхность равен k. Найти условие,
при котором движение точки происходит
на постоянном расстоянии от оси АВ =
= го. т. е. происходит по винтовой линии,
а также найти скорость этого движения,
предполагая, что а — const.
Указание. Для решения задачи целесо-
образно воспользоваться системой естественных
осей, проектируя уравнение движения на каса-
тельную, главную нормаль н бинормаль винтовой
линии в точке А. На рисунке угол между нор-
мальной компонентой N реакции винтовой по-
верхности и ортом главной нормали п° обозна-
чен через р.
Ответ: Движение по винтовой ли-
нии возможно при условии tg а —
— k^/l+ f'2 (r0) cos2 a — 0, где tga =
= а/гй\ скорость движения v —
= ^/grof' (r0) -
31.29(31.29). Тело К, размерами ко-
торого можно пренебречь, установлено в
верхней точке А шероховатой поверхности неподвижного полуци-
линдра радиуса R. Какую начальную горизонтальную скорость v0,
К задаче 31.29
К задаче 31 30
направленную по касательной к цилиндру, нужно сообщить
телу К, чтобы оно, начав движение, остановилось на поверхности
цилиндра, если коэффициенты трения скольжения при движении
и покое одинаковы и равны /?
Ответ: v0< 2/2)], где <р0 = arctgf.
31.30(31.30). Тело К, размерами которого можно пренебречь,
установлено в нижней точке А внутренней части шероховатой по-
верхности неподвижного цилиндра радиуса R. Какую начальную
горизонтальную скорость о0, направленную по касательной к ци-
линдру, нужно сообщить телу К, чтобы оно достигло верхней точки
В цилиндра? Коэффициент трения скольжения равен f.
233
Ответ-. о0> д/[2 (1 -^2) + 3e2"f].
31.31. Шарик, подвешенный на нити, описывает окружность в ’
горизонтальной плоскости, образуя конический маятник. Найти
высоту конуса, если шарик совершает 20 оборотов в минуту.
Ответ: h = 2,25 м
31.32. Материальная точка единичной массы движется в го-
ризонтальной плоскости под действием силового поля с потенциа-
лом П = х2 + ху + у2. В начальный момент точка имеет коорди-
наты х = 3 см, у = 4 см и скорость 10 см/с, параллельную поло-
жительному направлению оси х. Определить движение точки.
Ответ: х = 3,5 cos Vs ~ s*n Vs * — 0,5 cos 14- 5 sin t,
у = 3,5 cos VS t + sin Vs t + 0,5 cos t — 5 sin t.
31.33. Маленькому кольцу, надетому на проволочную горизон-
тальную окружность радиуса а, сообщили начальную скорость о0.
Коэффициент трения кольца о проволоку равен f. Определить, че-
рез какое время кольцо остановится,
Vo
Ответ: t = — । dv- - —.
31.34. Материальная точка массы 2 кг притягивается к некото-
рому центру силой К ==(—8xi— 8yj— 2zft) Н. Начальное положе-
ние материальной точки определяется координатами х — 4 см, у =
= 2 см, z = 4 см. Начальная скорость равна нулю. Определить
уравнения движения точки и ее траекторию.
Ответ: x = 4cos2f, у = 2cos2i, z=4cost Траектория — линия
пересечения двух параболических цилиндров х — -------4 и у =
= ——2. Это — парабола, лежащая в плоскости х = 2у. Движение
по траектории осуществляется на участке от точки х — 4 см, у =
= 2 см, г = 4 см до точки х = 4 см, у = 2 см, г = —4 см.
31.35. Конический маятник имеет длину I и описывает в гори-
зонтальной плоскости окружность радиуса а. Определить период
обращения конического маятника.
_ 2«V/a —«2
Ответ: Т =-----.
§ 32. Колебательное движение
а) Свободные колебания
62.1(32.1). Пружина АВ, закрепленная одним концом в точке
А. такова, что для удлинения ее на 1 м необходимо приложить
в точке В при статической нагрузке силу 19,6 Н. В некоторый
234
К задаче 32.2
коэффициент
момент к нижнему концу В недеформированной пружины подве-
шивают гирю С массы 0,1 кг и отпускают ее без начальной ско-
рости. Пренебрегая массой пружины, написать уравнение даль-
нейшего движения гири и указать амплитуду и период ее колеба-
ний, отнеся движение к оси, проведен-
ной вертикально вниз из положения ста- ,,
сгического равновесия гири. ’ /ХЛ
Ответ; х = —0,05cos 14/ м, а =5 см, <
Т = 0,45 с. $
32.2(32.2). При равномерном спуске <
груза массы М = 2 т со скоростью v = >
= 5 м/с произошла неожиданная задерж- >
ка верхнего конца троса, на котором гЦ/*
опускался груз, из-за защемления троса —
в обойме блока. Пренебрегая массой к задаче згл
троса, определить его наибольшее натя-
жение при последующих колебаниях груза, если
жесткости троса 4-Ю6 Н/м.
Ответ; 466,8 кН.
32.3(32.3). Определить наибольшее натяжение троса в преды-
дущей задаче, если между грузом и тросом введена упругая пру-
жина с коэффициентом жесткости С\ = 4-10s Н/м.
Ответ; 154,4 кН.
32.4(32.4). Груз Q, падая с высоты h = 1 м без начальной ско-
рости, ударяется об упругую горизонтальную балку в ее середине;
концы балки закреплены. Написать уравнение дальнейшего дви-
жения груза на балке, отнеся движение к оси, проведенной верти-
кально вниз из положения статического равновесия груза на балке,
если статический прогиб балки в ее середине при указанной на-
грузке равен 0,5 см; массой балки пренебречь.
Ответ; х = (—0,5 cos 44,3/ 4- 10 sin 44,3/) см.
32.5(32.5). На каждую рессору вагона приходится нагрузка
Р Н; под этой нагрузкой рессора при равновесии прогибается на
5 см. Определить период Т собственных колебаний вагона на рес-
сорах. Упругое сопротивление рессоры пропорционально стреле ее
прогиба.
Ответ: Т = 0,45 с.
32.6(32.6). Определить период свободных колебаний фунда-
мента машины, поставленного на упругий грунт, если масса фун-
дамента с машиной М = 90 т, площадь подошвы фундамента S =
= 15 м2, коэффициент жесткости грунта c=lS, где Х=30 Н/см3 —
так называемая удельная жесткость грунта.
Ответ: Т = 0,089 с.
32.7(32.7). Найти период свободных вертикальных колебаний
корабля на спокойной воде, если масса корабля М т, площадь его
горизонтальной проекции S м2. Плотность воды р — 1 т/м3. Си-
лами, обусловленнымИ-Вязкостью воды, пренебречь.
Ответ: Т = 2л •
V PgS
235
32.8(32.8). В условиях предыдущей задачи найти уравнения
движения корабля, если он был спущен на воду с нулевой верти-
кальной скоростью. _____________
Ответ: у =-----cos л /t и.
27 ро V
32.3(32.9). Груз, вес которого равен Р Н, подвешен на упругой
нити к неподвижной точке. Выведенный из положения равновесия,
груз начинает совершать колебания. Выразить длину нити х в
функции времени и найти, какому условию должна удовлетворять
начальная длина ее х0, чтобы во время движения гири нить оста-
валась натянутой. Натяжение нити пропорционально удлинению;
длина ее в нерастянутом состоянии равна /; от действия статиче-
ской нагрузки, равной q Н, нить удлиняется на 1 см. Начальная
скорость груза равна нулю.
Ответ: х = / + у+(х0—Z—£-) cos(д/-^-t).
К задаче 32.10
32.10(32.10). На два вращающихся в противоположные сторо-
ны, указанные на рисунке, цилиндрических шкива одинакового
радиуса свободно положен однородный стержень; центры шкивов
Oi и О2 находятся на горизонтальной прямой OiO2; расстояние
OiO2 = 2/; стержень приво-
дится в движение силами
трения, развивающимися в
точках касания его со шки-
вами; эти силы пропорцио-
нальны давлению стержня на
шкив, причем коэффициент
пропорциональности (коэф-
фициент трения) равен f.
после того, как мы сдвинем
1) Определить движение стержня
его из положения симметрии на х0 при ц0 = 0.
2) Найти коэффициент трения f, зная, что период колебаний
Т стержня при I = 25 см равен 2 с.
Ответ: 1) x = x0cos[/\f^- 2) f = — = 0,23.
32.11(32.11). К одной и той же пружине подвесили сначала
груз веса р, а во второй раз груз веса Зр. Определить, во сколько
раз изменится период колебаний. Зная коэффициент жесткости
пружины с, а также начальные условия (грузы подвешивались
к концу нерастянутой пружины и отпускались без начальной ско-
рости), найти уравнения движения грузов.
Ответ: % = X1 = -|cos д/^/, х2 = --^ cos д/^Л
32.12(32.12). К пружине жесткости с = 2 кН/м сначала подве-
сили груз массы 6 кг, а затем заменили его грузом вдвое большей
массы. Определить частоты и периоды колебаний грузов.
Ответ: kt = 18,26 рад/с, k2 = 12,9 рад/с, Л =0,344 с, Т2 =
= 0,49 с.
236
32.13(32.13). К пружине, коэффициент жесткости которой ра-
вен с = 19,6 Н/м, были подвешены два груза с массами /т?1=0,5 кг
и т2 = 0,8 кг. Система находилась в покое в положении статиче-
ского равновесия, когда груз т2 убрали. Найти урав-
нение движения, частоту, круговую частоту и период
колебаний оставшегося груза. Ч.
Ответ: х = 0,4 cos 6,26г! м; f = l Гц, А=2л рад/с, <
Т = 1 с. <
32.14(32.14). Груз массы /«1 = 2 кг, подвешенный >
к пружине, коэффициент жесткости которой с <=
— 98 Н/м, находится в равновесии. В некоторый мо- LJ/fy
мент к грузу mi добавили груз /п2 = 0,8 кг. Опреде- Т
лить уравнение движения и период колебаний двух I
ГруЗОВ. К задаче 32.13
Ответ: х0 = —0,08 cos 5,916/ м, Т = 1,062 с.
32.15(32.15). Груз подвесили сначала к пружине с жесткостью
Ci — 2 кН/м, а затем к пружине с жесткостью с2 = 4 кН/м. Найти
отношение частот и отношение периодов колебаний груза в этих
двух случаях.
Ответ: -^- = — =0,7071, и/2 = 1,4142.
V2 т2 v
32.16(32.16). Тело массы m находится на наклонной плоскости,
составляющей угол а с вертикалью. К телу прикреплена пружина,
жесткость которой с. Пружина параллельна наклонной плоскости.
К задаче 32.16
К задаче 32.17
Найти уравнение движения тела, если в начальный момент оно
было прикреплено к концу нерастянутой пружины и ему была
сообщена начальная скорость v0, направленная вниз по наклонной
плоскости. Начало координат взять в положении статического рав-
новесия.
Со - Г. nig cos а , . , / с
Ответ: х — —г-sin kt-------------cos kt, где k= л.—.
к с \ пг
32.17(32.17). На гладкой плоскости, наклоненной к горизонту
под углом а находится прикрепленный к пружине груз веса Р.
Статическое удлинение пружины равно f. Определить колебания
груза, если в начальный момент пружина была растянута из не-
напряженного состояния на длину, равную 3/, и груз отпущен без
начальной скорости.
237
Ответ'. х =
2f cos (д/fsina.*
32.18(32.18). Тело массы М = 12 кг, прикрепленное к концу
пружины, совершает гармонические колебания. При помощи секун-
домера установлено, что тело совершило 100 полных колебаний
за 45 с. После этого к концу пружины добавочно прикрепили груз
массы Mi = 6 кг. Определить период колебаний двух грузов па
пружине.
Ответ: 7\ = Т = 0,55 с.
32.19(32.19). В условиях предыдущей задачи найти уравнение
движения одного груза М и двух грузов М -f-Ali, если в обоих слу-
чаях грузы были подвешены к концу нерас-
тянутой пружины.
Ответ: 1) х =—5,02 cos 14/ см, 2) xt —
=—7,53 cos 11,4/ см, где х и Х| отсчитыва-
ются соответственно от каждого из двух
положений статического равновесия.
32.20(32.20). Груз М, подвешенный к
неподвижной точке А на пружине, совер-
шает малые гармонические колебания в
вертикальной плоскости, скользя без трения
по дуге окружности, диаметр которой А В
равен /; натуральная длина пружины а;
жесткость пружины такова, что при дей-
весу груза М, она получает удлинение, рав-
ствии силы, равной
иое Ь. Определить период Т колебаний в том случае, когда / =
= а 4- Ь\ массой пружины пренебречь и считать, что при колеба-
ниях она остается растянутой.
Ответ: Т — 2л J7[g.
32.21(32.21). В условиях предыдущей задачи найти уравнение
движения груза М, если в начальный момент Z.BAM — <р0 и точке
М сообщили начальную скорость г»0, направ-
ленную по касательной к окружности вниз.
Ответ: ф = ф0 cos а/—/------sin а/£-/.
V / -y/lg V I
32.22(32.22). Тело Е, масса которого рав-
на т, находится на гладкой горизонтальной
плоскости. К телу прикреплена пружина
жесткости с, второй конец которой прикреп-
лен к шарниру О[. Длина недеформированиой
пружины равна /0; в положении равновесия
имеет конечный предварительный натяг, равный
где I — OOi. Учитывая в горизонтальной состав-
ляющей упругой силы пружины лишь линейные члены относи-
тела пружина
Го = с(/ —/0),
тельно отклонения тела от положения равновесия, определить пе-
риод малых колебаний тела.
238
Ответ: Т = 2л -у/ml/F0.
32.23(32.23). Материальная точка массы m подвешена к концу
нерастянутой пружины с коэффициентом жесткости с и отпущена
С начальной скоростью v0, направленной вниз. Найти уравнение
движения и период колебаний точки, если в момент времени, когда
точка находилась в крайнем нижнем положении, к ней приклады-
вают силу Q = const, направленную вниз.
Начало координат выбрать в положении статического равнове-
сия, т. е. на расстоянии Р/с от конца нерастянутой пружины.
Ответ: х = 4 + [ + (-Г)’ ~ т] cos V7Ггде * от'
считывается от момента времени, когда начала
действовать сила Q, Т = 2л yjmlc .
32.24(32.24). Определить период свободных
колебаний груза массы т, прикрепленного к
двум параллельно включенным пружинам, и
коэффициент жесткости пружины, эквивалент-
ной данной двойной пружине, если груз распо-
ложен так, что удлинения обеих пружин, обла-
дающих заданными коэффициентами жесткости
Ci и с2, одинаковы. ________
Ответ: r = 2n ™ е ; с = с( + с2; расположение груза та-
ково, что а\/а2 = Сг/С\.
32.25(32.25). В условиях предыдущей задачи найти уравнение
К задаче 32.24
движения груза, если его подвесили к нерастянутым пружинам и
сообщили ему начальную скорость v0, направленную #///////
вверх.
Ответ:
x = --^-cos J^i±£3Lt-
Cl + с2 v m
_ sin L th
V (Cl + c3) V ГП _
32.26(32.26). Определить период свободных коле-
баний груза массы т, зажатого между двумя пружи-
нами с разными коэффициентами жесткости Ci и с2.
ш К задаче 32.26
т—т—г •
(С1 + с2)
32.27(32.27). В условиях предыдущей задачи найти уравнение
движения груза, если в положении равновесия ему сообщили ско-
рость v0, направленную вниз.
Ответ: x — vQ л/-.——т- sin л/ ^С| t.
и V (Cl + с2) V m
32.28(32.28). Определить коэффициент жесткости с пружины,
эквивалентной двойной пружине, состоящей из двух последова-
тельно включенных пружин с разными коэффициентами жесткости
239
Ci и с2, и указать также период колебаний груза массы in, подве-
шенного на указанной двойной пружине.
Ответ: с= с^2 „ Т = 2п
32.29(32.29). В условиях предыдущей задачи найти уравнение
движения груза,
+ с2)
— fo
К задаче 32.28
если в начальный момент он находился ниже по-
ложения равновесия на расстоянии х0 и ему со-
общили скорость г»о> направленную вверх.
Ответ:
С1С2 t
(ct + с2) m
±^-sin A/_
C1CJ V (Cl + с2) ш
32.30(32.30). Определить коэффициент жест-
кости составной пружины, состоящей из двух
последовательно соединенных пружин с разны-
ми коэффициентами жесткости Ci = 9,8 Н/см и
с2 = 29,4 Н/см. Найти период колебаний, ампли-
туду и уравнения движения груза массы 5 кг, подвешенного
к указанной составной пружине, если в начальный момент груз
был смещен из положения статического равновесия на 5 см вниз
и ему была сообщена начальная скорость 49 см/с, направленная
также вниз.
Ответ: с = -^^- = 7,35 Н/см, Г = 0,517 с, а =6,43 см, л ==
= 5 cos 12,13/+ 4,04 sin 12,13/ дм.
32.31(32.31). Тело А, масса которого равна т, может переме-
щаться по горизонтальной прямой. К телу прикреплена пружина,
коэффициент жесткости кото-
рой с. Второй конец пружины
укреплен в неподвижной точ-
ке
В. При угле а=а0 пружина
К задаче 32.31
не деформирована. Определить частоту и период малых колеба-
ний тела.
Ответ: k = л /- -os , Т — 2л л/---------™.
V m ’ V с cos2 а0
32.32(32.32). Точка Л, масса которой равна ш, прикреплена пру-
жинами, как указано на рисунке. В исходном положении точка
находился в равновесии и все пружины не напряжены, Определить
240
I
коэффициент жесткости эквивалентной пружины при малых ко-
лебаниях точки вдоль оси х в абсолютно гладких направляющих и
частоту свободных колебаний точки.
Ответ: с —Ci cos* 2 + (с2 + сз) cos2 а2 ф- -~с—-s- cos2 а3, k = aJ~ .
32.33(32.33). Определить коэффициент жесткости пружины,
эквивалентной трем пружинам, показанным на рисунке, при коле-
баниях точки в абсолютно гладких направляющих вдоль оси х.
Решить ту же задачу, если направляющие расположены вдоль
оси у. Определить частоты этих колебаний.
Ответ: сх = с( cos2 cpj 4- с2 cos2 <р2; су — с, sin2 ф1 с2 sin2 ф2 -|- с3;
< k^ylcjm, ky=^cylm.
В исходном положении пружины не напряжены и точка М на-
ходится в равновесии.
К задаче 32.33
К задаче 32.34
L
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
32.34(32.34). Определить коэффициент жесткости эквивалентной
пружины, если груз М массы m прикреплен к стержню, массой
которого можно пренебречь. Стержень шарнирно закреплен в точке
О и прикреплен тремя вертикальными пружинами к фундаменту.
Коэффициенты жесткости пружин ci, с2, с3. Пружины прикреплены
к стержню на расстояниях аь а2, а3 от шарнира. Груз М прикреп-
лен к стержню на расстоянии b от шарнира. В положении равно-
весия стержень горизонтален. Эквивалентная пружина крепится
к стержню на расстоянии b от шарнира. Найти частоту малых ко-
лебаний груза.
erf + crf2 + с3а3 /с
Ответ: с =----------г»------, « = Л/ —.
о у m
32.35(32.36). Винтовая пружина состоит из п участков, коэффи-
циенты жесткости которых соответственно равны й, с2, ..., сл.
Определить коэффициент жесткости с однородной пружины, экви-
валентной данной, и период свободных колебаний точки, масса ко-
торой равна т.
Ответ: с = —-—, Т==-~, где А = а/—.
n k п V m
241
32.36(32.85). Груз массы 10 кг, лежащий на абсолютно гладкой
горизонтальной плоскости зажат между двумя пружинами одина-
ковой жесткости с =19,6 Н/см. В некоторый момент груз был
сдвинут на 4 см от положения равновесия вправо и отпущен без
начальной скорости. Найти уравнение движения, период колеба-
ний, а также максимальную скорость груза.
Ответ: х = 4 cos 19,8/ см, Т = 0,317 с, хтах = 79,2 см/с.
32.37(32.37). Груз Р массы m подвешен к стержню АВ, кото-
рый соединен двумя пружинами, с коэффициентами жесткости с2
и с3, со стержнем DE. По-
следний прикреплен к по-
толку в точке Н пружи-
ной, коэффициент жест-
кости которой Ci. При ко-
лебаниях стержни АВ и
К задаче 32.36
К задаче 32.37
К задаче 32.38
DE остаются горизонтальными. Определить коэффициент жест-
кости одной эквивалентной пружины, при которой груз Р будет
колебаться с той же частотой. Найти период свободных колебаний
груза. Массой стержней пренебречь.
Ответ: с =
ci (сг +, сз)
С1 + сг + Сз
Vm (С, + сг 4~ Сз)
Cl (С2 + Сз)
Т = 2п
32.38(32.38). Определить собственную частоту колебаний груза
Q массы т, подвешенного на конце упругой консоли длины /. Пру-
жина, удерживающая груз, имеет жесткость с. Жесткость на конце
консоли определяется формулой ci = 3>EJ/P (Е — модуль упру-
гости, /—момент инерции). Массой консоли пренебречь.
Ответ: k = m (3EJ + .
32.39(32.39). Колебания груза массы М = 10 кг, лежащего на
середине упругой балки жесткости с = 20 Н/см, происходят с ам-
плитудой 2 см. Определить величину
начальной скорости груза, если в мо-
мент времени t = 0 груз находился в
положении равновесия.
Ответ: оо = 28,3 см/с.
К задаче 32.40 32.40(32.40). Груз Q массы m за-
креплен горизонтально натянутым
тросом АВ — I. При малых вертикальных колебаниях груза натя-
жение троса S можно считать постоянным. Определить частоту
свободных колебаний груза, если расстояние груза от конца троса
Л равно а.
Ответ: k=^/ рад/с.
242
32.41(32.41). Груз веса 490,5 Н лежит посередине балки АВ.
Момент инерции поперечного сечения балки 7 *= 80 см4. Опреде-
лить длину балки I из условия, чтобы период свободных колебаний
груза на балке был равен Т = 1 с. р
Примечание. Статический прогиб А В
Pl3 И---------“'Т&г
балки определяется формулой f <=
где модуль упругости Е «= 2,05-10" Н/м2. к аадаче 32 я
Ответ-. I — 15,9 м.
32.42(32.42). Груз Q массы m зажат между двумя вертикаль-
ными пружинами с коэффициентами жесткости ci и с2. Верхний
конец первой пружины закреплен неподвижно, а нижний конец
второй пружины прикреплен к середине балки. Определить длину
балки I так, чтобы период колебаний груза был равен Т. Момент
инерции поперечного сечения балки 7, модуль упругости Е.
Ответ: 1 =
4л2т
4л2т X
32.43(32.43). Найти уравнение движения и период колебаний
груза Q массы т, подвешенного к пружине с коэффициентом
К задаче 32.42
жесткости clt если пружина прикреплена к середине балки длины
I. Жесткость балки на изгиб EJ. В начальный момент груз нахо-
дился в положении статического равновесия и ему была сообщена
скорость г’о, направленная вниз.
_ , /m(c1Z3 + 48E7) . / 48EJCi J
Ответ: х —под/ 48£7С1 sin д/ (C1z3 + 48£/)m
„ /(C1/3 + 48£7)m
т = 2п У—^weJ--------•
32.44(32.44). Груз веса Q зажат между двумя вертикальными
пружинами, коэффициенты жесткости которых равны ct и с2. Верх-
ний конец первой пружины закреплен неподвижно. Нижний конец
второй пружины прикреплен к свободному концу балки, заделанной
другим концом в стене. Зная, что свободный конец заделанной
243
балки под действием силы Р, приложенной к свободному концу
балки, дает прогиб
РР
3EJ
где EJ — заданная жесткость балки при изгибе, определить длину
балки /, при которой груз будет колебаться с данным периодом Т,
Найти уравнение движения груза, если в начальный момент он
был подвешен к концам нерастянутых пружин и отпущен без на-<
чальной скорости.
с2Р + 3EJ / [ciC2P + (С| + с2) 3£> J g
С1С2/3 + (Cl + с2) 3£/ C0S л/ (с2Р + 3EJ) Q
32.45(32.45). Стержень ОА длины I, на конце которого помещен
груз массы пг, может поворачиваться вокруг оси О. На расстоянии
а от оси О к стержню прикреплена пружина с коэффициентом
К задаче 32.45 К задаче 32.46
жесткости с. Определить собственную частоту колебаний груза,
если стержень ОА в положении равновесия занимает горизонталь-
ное положение. Массой стержня пренебречь.
Ответ: k —
32.46(32.46). Груз Р массы пг подвешен на пружине к концу
стержня длины I, который может поворачиваться вокруг оси О.
Коэффициент жесткости пружины Сь Пружина, поддерживающая
стержень, установлена на расстоянии b от точки О и имеет коэф-
фициент жесткости с2. Определить собственную частоту колебаний
груза Р. Массой стержня пренебречь.
Ответ: k='\Jm[C2 + (llb^Cl] Ра^с-
32.47(32.47). Для определения ускорения силы тяжести в дан-
ном месте земного шара производят два опыта. К концу пружины
подвешивают груз Р\ и измеряют статическое удлинение пружины
/ь Затем к концу этой же пружины подвешивают другой груз Pi
244
и опять измеряют статическое удлинение f2. После этого повторяют
оба опыта, заставляя оба груза по очереди совершать свободные
колебания, и измеряют при этом периоды колебаний Г) и Т2- Вто-
рой опыт делают для того, чтобы учесть влияние массы самой пру-
жины, считая, что при движении груза это влияние эквивалентно
прибавлению к колеблющейся массе некоторой добавочной массы.
Найти формулу для определения ускорения силы тяжести по этим
опытным данным.
_ 4лг (I, -12}
Ответ-, g-------------
Т-_ Т2
J I 2
32.48(32.48). По горизонтальной хорде (пазу) вертикально рас-
положенного круга движется без трения точка М массы 2 кг под
действием силы притяжения F, пропорциональной по величине рас-
стоянию до центра О, причем коэффициент пропорциональности
К задаче 32.48
К задаче 32.4S
К задаче 32.50
98 Н/м. Расстояние от центра круга до хорды равно 20 см, радиус
окружности 40 см. Определить закон движения точки, если в на-
чальный момент она находилась в правом крайнем положении Мо
и отпущена без начальной скорости. С какой скоростью точка
проходит через середину хорды?
Ответ: х = 34,6 cos It см, х = ±242 см/с.
32.49(32.49). К стержню АВ, массой которого пренебречь, при-
креплены три пружины. Две, с жесткостью Ci и с2, удерживают
стержень и расположены на его концах. Третья пружина, жест-
кость которой с3, прикреплена к середине стержня и несет груз Р
массы т. Определить собственную частоту колебаний груза.
Ответ: Рад/с-
32.50(32.50). Груз массы 10 кг, прикрепленный к пружине с
коэффициентом жесткости с = 1,96 кН/м, совершает колебания.
Определить полную механическую энергию груза и пружины, пре-
небрегая массой пружины, построить график зависимости упругой
силы от перемещения и показать на нем потенциальную энергию
пружины. Принять положение статического равновесия за начало
отсчета потенциальной энергии.
245
Ответ: Т—+ ’/2сх2 = (5х2 -{- 980х2) Дж, если х — в м,
5с — в м/с. Заштрихованная на рисунке площадь равна потенциаль-
ной энергии пружины.
32.51. Материальная точка массы m находится в поле действия
силы с потенциалом
П = *М(х2 + 4с/2+16г2).
Доказать, что при движении точки из любого (ненулевого) на-
чального положения через некоторое время точка снова придет
в это положение. Определить это время. Будет ли скорость при
возвращении равна начальной скорости?
Ответ: Т = 2л ^y/mlk. Скорость точки через промежуток времени
Т станет равной своему начальному значению.
32.52. Материальная точка массы m находится в поле действия
силы, потенциал которой
n = */2fe(x2 + 2jr2 + 5z2).
Вернется ли точка в этом случае в исходное положение по
прошествии некоторого времени?
Ответ: Нельзя указать момента времени, когда все три коорди-
наты примут исходные значения. Точка в процессе сложения трех
колебательных движений не вернется в исходное положение.
б) Влияние сопротивления иа свободные
колебания
АВ в неподвижной
К задачам 32.53 и 32.54
32.53(32.51). Пластина D массы 100 г, подвешенная на пружине
точке А, движется между полюсами магнита.
Вследствие вихревых токов движение тормо-
зится силой, пропорциональной скорости. Си-
ла сопротивления движению равна Аоф2 Н,
где k = 0,001, v — скорость в м/с, Ф — маг-
нитный поток между полюсами N и S. В на-
чальный момент скорость пластинки равна
нулю и пружина не растянута. Удлинение ее
на 1 м получается при статическом действии
силы в 19,6 Н, приложенной в точке В. Опре-
делить движение пластинки в том случае,
когда Ф= 10 у/5 Вб (вебер — единица магнит-
ного потока в СИ).
Ответ: х — —е~2-51 (0,05 cos 13,77/ +
+ 0,00907 sin 13,77/) м, где ось х направлена
вниз из положения статического равновесия
центра тяжести пластинки.
32.54(32.52). Определить движение пластинки D при условиях
предыдущей задачи в том случае, когда магнитный поток Ф =
= 100 Вб.
Ответ-, х — —0,051 е~2‘ + 0,001 е-88/.
246
К задаче 32.55
32.55(32.53). Цилиндр веса Р, радиуса г и высоты h подвешен
на пружине АВ, верхний конец которой В закреплен; цилиндр по-
гружен в воду. В положении равновесия цилиндр погружается
в воду на половину своей высоты. В начальный
момент времени цилиндр был погружен в воду
на 2/з своей высоты и затем без начальной ско-
рости пришел в движение по вертикальной пря-
мой. Считая жесткость пружины равной с и
предполагая, что действие воды сводится к доба-
вочной архимедовой силе, определить движение
цилиндра относительно положения равновесия.
Принять удельный вес воды равным -р.
Ответ: х — ^г/г cos kt, где k2 = (с луг2).
32.56(32.54). В предыдущей задаче опреде-
лить колебательное движение цилиндра, если
сопротивление воды пропорционально первой
степени скорости и равно av.
Ответ: ~
Движение цилиндра будет колебательным, если
.2
0.
Тогда
где k2
Sltl ^k2 ~ n2t +
nr2 a , „ V^3— n
,---V> n=~—, tg₽ = —------,
tn m ' 2m 6 H n
С
Р
m~ g
32.57(32.55). Тело А массы 0,5 кг лежит на негладкой горизон-
тальной плоскости и соединено с неподвижной точкой В пружиной,
ось которой ВС горизонтальна. Коэффициент трения тела о пло-
скость 0,2; пружина такова, что
для удлинения ее на 1 см требу-
ется сила 2,45 Н. Тело А отодви-
нуто от точки В так, что пружина
вытянулась на 3 см, и затем от-
пущено без начальной скорости. К задаче 32.57
(Найти! 1) число размахов, кото-
рые совершит тело А, 2) величины размахов и 3) продолжитель-
ность Т каждого из них.
Тело остановится, когда в положении, где скорость его равна
нулю, сила упругости пружины будет равна силе трения или
меньше ее.
Ответ: 1) 4 размаха; 2) 5,2 ем, 3,6 см, 2 см, 0,4 см; 3) Т =
= 0,14 с.
32.58(32.56). Груз массы М = 20 кг, лежащий на наклонной
негладкой плоскости, прикрепили к нерастянутой пружине и сооб-
щили ему начальную скорость v0 = 0,5 м/с, направленную вниз.
Коэффициент трения скольжения f = 0,08, коэффициент жесткости
_‘47
пружины с = 20 Н/см. Угол, образованный наклонной плоскостью
с горизонтом, а = 45°. Определить: 1) период колебаний, 2) число
максимальных отклонений от положения равновесия, которые со-
вершит груз, 3) величины этих отклонений.
Ответ: 1) Т = 0,628 с; 2) 7 отклонений; 3) 7,55 см; 6,45 см}
5,35 см; 4,25 см; 3,15 см; 2,05 см; 0,95 см.
32.59(32.57). Тело массы М = 0,5 кг совершает колебания на
горизонтальной плоскости под действием двух одинаковых пру-
жин, прикрепленных к телу одним концом и к неподвижной стой-
ке— другим; оси пружин лежат на одной горизонтальной прямой.
м Коэффициенты жесткости пружин Ci=
V4 с/ ----- сг ... = с2 — 1,225 Н/см, коэффициент тре-
° ния при движении тела f = 0,2, при
«WWWW" покое f0 = 0,25. В начальный момент
О тело было отодвинуто от своего сред-
к задаче 32.59 него положения О вправо в положение
хо = 3 см и отпущено без начальной
скорости. Найти: 1) область возможных равновесных положений
тела — «область застоя», 2) величину размахов тела, 3) число его
размахов, 4) продолжительность каждого из них, 5) положение
тела после колебаний.
Ответ: 1) —0,5 см < х < 0,5 см; 2) 5,2 см, 3,6 см, 2 см, 0,4 cmj
3) 4 размаха; 4) Т = 0,141 с, 5) х — —0,2 см.
32.60(32.58). Под действием силы сопротивления /?, пропорцио-
нальной первой степени скорости (/? = аи), тело массы т, подве-
шенное к пружине жесткости с, совершает затухающие колебания.
Определить, во сколько раз период затухающих колебаний Т пре-
восходит период незатухающих колебаний То, если отношение
n/k = 0,1 (А2 = с/m, п = о! (2т)).
Ответ: Т я» 1,ОО5То-
32.61(32.59). В условиях предыдущей задачи определить, через
сколько полных колебаний амплитуда уменьшится в сто раз.
Ответ: через 7,5 полных колебаний.
32.62(32.60). Для определения сопротивления воды движению
модели судна при очень малых скоростях модель М пустили пла-
вать в сосуде, привязав нос
и корму посредством двух
одинаковых пружин А и В,
силы натяжения которых
пропорциональны удлине-
ниям. Результаты наблюде-
ний показали, что отклоне-
ния модели от положения
равновесия после каждого размаха уменьшаются, составляя гео-
метрическую прогрессию, знаменатель которой равен 0,9, а про-
должительность каждого размаха Т = 0,5 с. Определить силу /?.
сопротивления воды, приходящуюся на каждый килограмм массы
модели, при скорости ее равной 1 м/с, предполагая, что сопро-^
тивлеиие воды пропорционально первой степени скорости.
К задачам 32.62 и 32.63
в
WAV,WA-<
248
Ответ: R — 0,42 Н.
32.63(32.61). В условиях предыдущей задачи найти уравнение
движения модели, если в начальный момент пружина А была рас-
тянута, а пружина В сжата на величину А/= 4 см и модель была
отпущена без начальной скорости.
Ответ: х = е-0’21/(4 cos 6,28/ 4- 0,134 sin 6,28/) см.
32.64(32.62). Для определения вязкости жидкости Кулон упо-
треблял следующий метод: подвесив на пружине тонкую пластинку
А, он заставлял ее колебаться сначала в воз-
духе, а затем в той жидкости,, вязкость которой
надлежало определить, и находил продолжи-
тельность одного размаха: 1\ — в первом случае
и Т2— во втором. Сила трения между пластин-
кой и жидкостью может быть выражена форму-
лой 2Skv, где 2S— поверхность пластинки, v —
ее скорость, k — коэффициент вязкости. Прене-
брегая трением между пластинкой и воздухом,
определить коэффициент k по найденным из
опыта величинам Т\ и Т2, если масса пластинки
равна т.
Ответ:
О J 11 2 V z 1
32.65(32.63). Тело массы 5 кг подвешено на пружине, коэффи-
циент жесткости которой равен 2 кН/м. Сопротивление среды
пропорционально скорости. Амплитуда после четырех колебаний
уменьшилась в 12 раз. Определить период и логарифмический де-
кремент колебаний.
Ответ: Г = 0,316 с, Х = л7’/2 = 0,3106.
32.66(32.64). В условиях предыдущей задачи найти уравнение
движения тела, если его подвесили к концу нерастянутой пружины
и отпустили без начальной скорости.
Ответ: х— е~1’971(—2,45 cos 19,9/ — 0,242 sin 19,9/) см.
32.67(32.65). Тело массы 6 кг, подвешенное на пружине, при
отсутствии сопротивления колеблется с периодом Т — 0,4л с, а
если действует сопротивление, пропорциональное первой степени
скорости, с периодом Л = 0,5л с. Найти коэффициент пропорцио-
нальности а в выражении силы сопротивления R = —av и опре-
делить движение тела, если в начальный момент пружина была
растянута из положения равновесия на 4 см и тело представлено
самому себе.
Ответ: а = 36-Ц^-, x — 5e~3t sin ^4/+ arctg-^) см.
32.68(32.66). Тело массы 1,96 кг, подвешенное на пружине, ко-
торая силой 4,9 Н растягивается иа 10 см, при движении встречает
сопротивление, пропорциональное первой степени скорости и при
скорости 1 м/с равное 19,6 Н. В начальный момент пружина растя-
нута из положения равновесия на 5 см и тело пришло в движение
без начальной скорости. Найти закон этого движения.
Ответ: х = бе-5* (5/4- 1) см.
249
I \м2
К задаче 32.69
32.69(32.67). Грузы массы пц = 2 кг и т2 = 3 кг подвешены
в положении статического равновесия к пружине, коэффициент
жесткости которой с = 392 Н/м. Масляный демпфер вызывает силу
сопротивления, пропорциональную первой степени скорости и рав-
ную R = — av, где а = 98 Н-с/м. Груз т2 сняли.
Найти после этого уравнение движения груза тх.
Ответ; х = 8,32е_4-4< — 0,82е-44-8/ см.
32.70(32.68). Статическое удлинение пружины под
действием .груза веса Р равно f. На колеблющийся
груз действует сила сопротивления среды, пропор-
циональная скорости. Определить наименьшее
значение коэффициента сопротивления а, при
котором процесс движения будет апериодическим.
Найти период затухающих колебаний, если коэф-
фициент сопротивления меньше найденного зна-
чения.
Ответ: a = 2P/^gf. При а < 2Р/ / gf движение будет колеба-
тельным с периодом Т — 2л/Л/у" —
32.71. Груз массы 100 г, подвешенный к концу пружины, дви-
жется в жидкости. Коэффициент жесткости пружины с = 19,6 Н/м.
Сила сопротивления движению пропорциональна первой степени
скорости груза: R = av, где а = 3,5 Н-с/м.
Найти уравнение движения груза, если в начальный момент
груз был смещен из положения равновесия на хо = 1 см и отпущен
без начальной скорости.
Ответ: х— 1,32е-7/ — О,33е-28' см.
32.72. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движе-
ния груза и построить график зависимости перемещения от вре-
мени, если в начальный момент груз смещен из положения статиче-
a3
К задаче 32.72
ского равновесия на расстояние х0= 1 см и ему сообщена началь-
ная скорость 50 см/с в направлении, противоположном смещению.
Ответ: х = —е~п + 2е-28( см.
32.73. В условиях задачи 32.71 в начальный момент груз сме-
щен из положения равновесия на расстояние х0 = 5 см и ему
250
сообщена начальная скорость Vo— 100 см/с в том же направле-
нии. Найти уравнение движения груза и построить график зависи-
мости перемещения от времени.
Ответ: х = 11,4е-7/— 6,4е~28/ см.
32.74(32.72). Составить дифференциальное уравнение малых
колебаний тяжелой точки А, находящейся на конце стержня, за-
крепленного шарнирно в точке О, считая силу сопротивления среды
пропорциональной первой степени скорости с коэффициентом про-
порциональности а, и определить частоту затухающих колебаний.
Вес точки А равен Р, коэффициент
жесткости пружины с, длина стержня
i, расстояние ОВ = Ь. Массой стерж-
ня пренебречь. В положении равнове-
сия стержень горизонтален. При ка-
ком значении коэффициента а движе-
ние будет апериодическим?
Р ь2 ь2
Ответ: —у + ч-^-у + с-рУ = 0,
32.75(32.73). При колебаниях груза массы 20 кг, подвешенного
на пружине, было замечено, что наибольшее отклонение после
10 полных колебаний уменьшилось вдвое. Груз совершил 10 пол-
ных колебаний за 9 с. Как велик коэффициент сопротивления а
(при сопротивлении среды, пропорциональном первой степени ско-
рости) и каково значение коэффициента жесткости с?
Ответ: а = 3,08 Н • с/м, с — 974,8 Н/м.
32.76(32.74). Составить дифференциальное уравнение малых
колебаний точки А и определить частоту затухающих колебаний.
Вес точки А равен Р, коэффициент жесткости пружины с, расстоя-
ние О А = Ь, ОВ — I. Сила сопротивления среды пропорциональна
первой степени скорости, коэффициент пропорциональности равен
251
а. Массой стержня ОВ, шарнирно закрепленного в точке О, пре-
небречь. В положении равновесия стержень горизонтален. При
каком значении коэффициента а двн-
& t жение будет апериодическим’
Ответ: -^у + ау + -^у = 0,
32.77. Тело массы 5 кг подвешено
к концу пружины жесткости 20 Н/м
к задаче з’.7б и помещено в вязкую среду. Период
его колебаний в этом случае равен
10 с. Найти постоянную демпфирования, логарифмический декре-
мент колебаний н период свободных колебаний.
Ответ: а=19Н-с/м, л = пТ/2 = 9,5, 7 = 3,14 с-
в) Вынужденные колебания
32.78(32.75). Найти уравнение прямолинейного движения точки
массы ш, находящейся под действием восстанавливающей силы
Q — —сх и постоянной силы Fo- В начальный момент t = 0, х0 ="= 0
и Хо = О. Найти также период колебаний.
Ответ: х = (1 — cos kt), где k — Т = 2л/А.
32.79(32.76). Определить уравнение прямолинейного движения
точки массы т, находящейся под действием восстанавливающей
силы Q = — сх и силы F — at. В начальный момент
точка находится в положении статического равнове-
сия и скорость ее равна нулю.
Ответ: х =-^гз (kt — sin kt), где Л=а/—.
тк у/ tn
32.80(32.77). Найти уравнение прямолинейного
движения точки массы т, на которую действует вос-
станавливающая сила Q = — сх и сила F = Foe^*,
если в начальный момент точка находилась в поло-
жении равновесия в состоянии покоя.
Ответ: х = —(e~at — cos kt + sin kf\ ;
m (k* + a) ' k I
К задаче 32.81 Где fa — д/ _ .
32.81(32.78). На пружине, коэффициент жесткости которой
с =19,6 Н/м, подвешен магнитный стержень массы 100 г. Нижний
конец магнита проходит через катушку, но которой идет перемен-
ный ток i = 20 sin 8л/ А. Ток идет с момента времени 1 = 0, втяги-
вая стержень в соленоид; до этого момента магнитный стержень
252
К задаче 32.84
висел на пружине неподвижно. Сила взаимодействия между маг-
нитом и катушкой определяется равенством F = 0,016га Н. Опре-
делить вынужденные колебания магнита.
Ответ: х —— 2,3 sin 8л/ см.
32.82(32.79). В условиях предыдущей задачи найти уравнение
движения магнитного стержня, если его подвесили к концу нерас-
тянутой пружины и отпустили без началь-
ной скорости.
Ответ: х — —5 cos 14/ 4- 4,13 sin 14/ —
— 2,3 sin 8л/ см.
32.83(32.80). В условиях задачи 32.81
найти уравнение движения магнитного
стержня, если ему в положении статиче-
ского равновесия сообщили начальную ско-
рость Vo = 5 см/с.
Ответ: х = 4,486sin 14/ — 2,3sin8n/ см.
32.84(32.81). Гиря М подвешена на пру-
жине АВ, верхний конец которой совер-
шает гармонические колебания по верти-
кальной прямой амплитуды а и частоты п,
так что OiC = asinn/ см. Определить вы-
нужденные колебания гири М при следую-
щих данных: масса гири равна 400 г, от
действия силы 39,2 Н пружина удлиняется
на 1 м, а = 2 см, п = 7 рад/с.
Ответ: х — 4 sin 7/ см.
32.85(32.82). Определить движение гири М
подвешенной на пружине АВ, верхний конец которой А совершает
гармонические колебания по вертикали амплитуды а и круговой
частоты k, статическое растяжение пружины под действием веса
гири равно б. В начальный момент точка А занимает свое среднее
положение, а гиря М находится в покое; начальное положение
гири принять за начало координат, а ось Ох направить по вер-
тикали вниз.
(см. задачу 32.84),
Ответ: х
ag
k26-g
t cos
при k
X =
32.86(32.83). Статический прогиб рессор груженого товарного
вагона Д/ст = 5 см. Определить критическую скорость движения
вагона, при которой начнется «галопирование» вагона, если на
стыках рельсов вагон испытывает толчки, вызывающие вынуж-
денные колебания вагона на рессорах; длина рельсов £=12 м.
Ответ: о =96 км/ч.
32.87(32.84). Индикатор машины состоит из цилиндра А, в ко-
тором ходит поршень В, упирающийся в пружину D; с поршнем
соединен стержень ВС, к которому прикреплен пишущий штифт С.
253
К задаче 32.87
Предполагая, что давление пара, выраженное в паскалях, изменя-
ется согласно формуле р = 105 (4 4-3 sin-^-) , где Т — время од-
ного оборота вала, определить амплитуду вынужденных колебаний
штифта С, если вал совершает 180 об/мин, при следующих дан-
ных; площадь поршня индикатора о = 4 см2, мас-
са подвижной части индикатора 1 кг, пружина сжи-
мается на 1 см силой 29,4 Н.
Ответ- а — 4,64 см.
32.88(32.85). В условиях предыдущей задачи
найти уравнение движения штифта С, если в на-
чальный момент система находилась в покое в по-
ложении статического равновесия.
Ответ: х = —1,61 sin 54,22t 4- 4,64 sin 6л/ см.
32.89(32.86). Груз массы т = 200 г, подвешен-
ный к пружине, коэффициент жесткости которой
9,8Н/см находится под действием силы S=H sin pt,
где Н = 20 Н, р = 50 рад/с. В начальный момент
%о = 2 см, =10 см/с. Начало координат вы-
брано в положении статического равновесия. Найти уравнение
движения груза.
Ответ: х = 2 cos 70/ — 2,83 sin 70/4-4,17 sin 50/ см.
32.90(32.87). В условиях предыдущей задачи изменилась ча-
стота возмущающей силы, получив значение р = 70 рад/с. Опре-
делить уравнение движения груза.
Ответ: x = 2cos70/4~ l,16sin70/— 71,4/cos70/ см.
32.91. Груз массы 24,5 кг висит на пружине жесткости 392 Н/м.
На груз начинает действовать сила F(t) = 156,8sin4/ Н. Опреде-
лить закон движения груза.
Ответ: х = 0,2 sin ч/ — 0,8/ cos 4/ м.
32.92. Груз массы 24,5 кг висит на пружине жесткости 392 Н/м.
Определить движение груза, если на него начинает действовать
сила F = 39,2 cos 6/ Н.
Ответ: х= 16sin /sin5/ см. Колебания носят характер
биений.
32.93. Груз на пружине колеблется так, что его движение опи-
сывается дифференциальным уравнением
тх 4- сх = 5 cos со/ 4- 2 cos Зсо/.
Найти закон движения груза, если в начальный момент его сме-
щение и скорость были равны нулю, а также определить, при ка-
ких значениях со наступит резонанс.
Л 47mcos — 7с Гс" , , 5 , ,
Ответ: х — ---------=77-—„—57- cos /\ /—/4---------cos со/ 4-
(с — mar) (с — Этот) \J m с — mar 1
2
+ с _ 9тц2 cos Зсо/. Резонанс наступит в двух случаях: со, кр =
1 /~
254
г) Влияние сопротивления
на вынужденные колебания
S Л
К задачам 32.94
и 32.95
32.94(32.88). На пружине, коэффициент жесткости которой с =
= 19,6 Н/м, подвешены магнитный стержень массы 50 г, прохо-
дящий через соленоид, и медная пластинка массы 50 г, проходя-
щая между полюсами магнита. По соленоиду течет ток i =
= 20 sin 8л/ А, который развивает силу взаимодействия с магнит-
ным стержнем 0,016л/ Н. Сила торможения мед-
ной пластинки вследствие вихревых токов равна
/гоФ2, где k ~ 0,001, Ф = 10 д/5 Вб н v— скорость
пластинки в м/с. Определить вынужденные коле-
бания пластинки.
Ответ, х — 0,022 sin (8л/— 0,91л) м.
32.95(32.89). В условиях предыдущей задачи
найти уравнение движения пластинки, если ее под-
весили вместе с магнитным стержнем к концу не-
растянутой пружины и сообщили им начальную
скорость 5 см/с, направленную вниз.
Ответ: х = е~г'51(—4,39 cos 13,77/ +
+ 3,42 sin 13,77/) +2,2 sin (8л/ —0,91л) см.
32.96(32.90). Материальная точка массы m =
= 2 кг подвешена к пружине, коэффициент жест-
кости которой 4 кН/м. На точку действуют возму-
щающая сила S = 120sin(p/+ 6) Н и сила сопро-
тивления движению, пропорциональная первой
степени скорости и равная 7? = 0,5 -yjmcv Н.Чему
равно наибольшее значение А max аМПЛИТуДЫ
нужденных колебаний? При какой частоте р
плитуда вынужденных колебаний достигает
чения?
Ответ: Атах = 6,2 см, р = 41,83 рад/с.
32.97(32.91). В условиях предыдущей задачи найти уравнение
движения точки, если в начальный момент времени ее положение
и скорость были равны: х0 = 2 см, и0 = 3 см/с. Частота возму-
щающей силы р = 30 рад/с, начальная фаза возмущающей силы
6 = 0. Начало координат выбрано в положении статического рав-
новесия.
Ответ: х = е-11>18< (4,422 cos 43,3/— 1,547 sin 43,3/) +
+ 4,66 sin (30/—0,174л) см.
ВЫ-
ам-
наибольшего зна-
32.98(32.92). Материальная точка массы 3 кг подвешена на
пружине с коэффициентом жесткости с—117,6 Н/м. На точку
действуют возмущающая сила F = Я sin (6,26/ + ₽) Н и сила вяз-
кого сопротивления среды R = — av (R в Н). Как изменится
амплитуда вынужденных колебаний точки, если вследствие изме-
нения температуры вязкость среды (коэффициент а) увеличится
в три раза?
255
Ответ: Амплитуда вынужденных колебаний уменьшится в три
раза.
32.99(32.93). Тело массы 2 кг, прикрепленное пружиной к не-
подвижной точке А, движется по гладкой наклонной плоскости,
образующей угол а с горизонтом, под действием возмущающей
силы 5 =180 sin 10/ Н и силы сопротивления, пропорциональной
д скорости /? =—29,4г» (7? в Н). Коэффициент
ча жесткости пружины с = 5 кН/м. В начальный
П момент тело находилось в покое в положении
' статического равновесия. Найти уравнение дви-
ЛоЙщ - жения тела, периоды Т свободных и 1\ вынуж-
денных колебаний, сдвиг фазы вынужденных
колебаний и возмущающей силы.
Ответ: х = е-7-35'(0,228 cos 49,46/—
к задаче 32 и — 0,72 sin 49,чб/) 4- 3,74 sin (10/—3°30') см, Т =
= 0 127 с, Ti = 0,628 с, е = 3°30'.
32.100(32.94). На тело массь»0,4 кг, прикрепленное к пружине
с коэффициентом жесткости с = 4 кН/м, действуют сила S =
= 40 sin 50/ Н и сила сопротивления среды /? =—аг», где а =
= 25 Н-с/м, г» — скорость тела (г» в м/с). В начальный момент
тело покоится в положении статического равновесия. Найти закон
движения тела и определить значение частоты возмущающей
силы, при котором амплитуда вынужденных колебаний будет мак-
симальной.
Ответ: 1) х = 0,647е-31-25' sin(95/ — 46°55')1,23 sin(50/ —.
— 22°36/) см; •
2) максимальная амплитуда вынужденных колебаний получа-
ется при р = 89,7 рад/с и равна 1,684 см.
32.101(32.95). На течо массы М кг, прикрепленное к пружине
с коэффициентом жесткости с Н/м, действуют возмущающая сила
S = Н sin pt Н и сила сопротивления /? =—аг» (R в Н), где г» —
скорость тела. В начальный момент тело находилось в положении
статического равновесия и не имело начальной скорости. Найти
уравнение движения тела, если с >► а2/(47М).
cosj^t + X
V/?2 — n2
K^2 — P2)sin Pt — %nP cos p/], где
hpe nt (п
Ответ: х = — -------—-----—— I
(fe2 — р2)2 + 4п2р2 \.
X sin -y/t? — n2 /) + (Л2 _ р2у + in2p2
h = H!M, & = clM, п — а/(2М).
32.102(32.96). На тело массы 6 кг, подвешенное к пружине
с жесткостью с =17,64 кН/м, действует возмущающая сила
Ро sin pt. Сопротивление жидкости пропорционально скорости. Ка-
ким должен быть коэффициент сопротивления а вязкой жидкости,
чтобы максимальная амплитуда вынужденных колебаний равня-
лась утроенному значению статического удлинения пружины? Чему
равняется коэффициент расстройки z (отношение круговой час-
тоты вынужденных колебаний к круговой частоте свободных коле-
баний)? Найти сдвиг фазы вынужденных колебаний и возмущаю-
щей силы.
256
El.'
a'
31
И
Ответ: a = 110 H • с/м, z = 0,97, e = 80° 7'.
32.103(32.97). На тело массы 0,1 кг, прикрепленное к пружине
с коэффициентом жесткости с = 5 кН/м, действует сила S =
= Н sin pt, где Н — 100 Н, р = 100 рад/с, и сила сопротивления
/? = 0и Н, где 0 = 50 Н-с/м. Написать уравнение вынужденных
колебаний и определить значение частоты р, при котором ампли-
туда вынужденных колебаний будет максимальной.
Ответ: л'2 — 0,98 sin 100/— 1,22cos 100/ см; максимума ампли-
туды не существует, так как п > kf'^2.
32.104(32.98). В условиях предыдущей задачи определить сдвиг
фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы.
Ответ: е = arctg 1,25 = 51° 20'.
32.105(32.99). Груз массы 0,2 кг подвешен на пружине, коэф-
фициент жесткости которой равен с = 19,6 Н/м. На груз дей-
ствуют возмущающая сила S = 0,2 sin 14/ Н и сила сопротивления
R = 49с Н. Определить сдвиг фаз вынужденных колебаний и воз-
мущающей силы.
Ответ: е = 9Г38'.
32.106(32.100). В условиях предыдущей задачи i--------’------1
найти коэффициент жесткости новой пружины, *-]-----------т—-*
которой нужно заменить данную пружину, чтобы
сдвиг фаз вынужденных колебаний и возмущаю- >
щей силы стал равным л/2. М > Ц|
Ответ: Ci = 39,2 Н/м. Eft
32.107(32.101). Для уменьшения действия на -wWWW
тело массы m возмущающей силы F = Fo sin {pt -f-
6) устанавливают пружинный амортизатор с
жидкостным демпфером. Коэффициент жесткости пружины с. Счи-
тая, что сила сопротивления пропорциональна первой степени ско-
рости (Fconp = af), найти максимальное динамическое давление
всей системы на фундамент при установившихся колебаниях.
Ответ: N = FQ . где ^ = £, Л = ^-.
К задаче 32.107
k* + 4n2p2
§ 33. Относительное движение
33.1(33.1). К концу А вертикального упругого стержня АВ
прикреплен груз С массы 2,5 кг. Груз С, будучи выведен из поло-
жения равновесия, совершает гармонические колебания под влия-
нием силы, пропорциональной расстоянию от положения равнове-
сия. Стержень АВ таков, что для отклонения конца его А на 1 см
нужно приложить силу 1 Н. Найти амплитуду вынужденных коле-
баний груза С в том случае, когда точка закрепления стержня В
совершает по горизонтальной прямой гармонические колебания
амплитуды 1 мм и периода 1,1 с.
Ответ: 5,42 мм.
33.2(33.2). Точка привеса математического маятника длины I
движется по вертикали равноускоренно. Определить период t ма-
9—1318
257
лых колебаний маятника в двух случаях: 1) когда ускорение точки
привеса направлено вверх и имеет какую угодно величину р;
2) когда это ускорение направлено вниз и величина его р < g.
О.
s = 0;
15 м/с
Масса
Ответ: 1) Т = 2п 2) Т = Ъ^-^.
33.3(33.3). Математический маятник ОМ длины I в начальный
момент отклонен от положения равновесия ОА на некоторый
угол а и имеет скорость, равную
нулю; точка привеса его в этот мо-
мент имеет также скорость, равную
нулю, но затем опускается с посто-
янным ускорением р g. Опреде-
лить длину s дуги окружности, опи-
сываемой точкой М в относитель-
ном движении вокруг точки
Ответ: 1) При p = g
2) при р> g s=2l(n. — а).
33.4(33.4). Железнодорожный поезд идет со скоростью
по рельсам, проложенным по меридиану с юга на север,
поезда 2000 т.
1) Определить боковое давление поезда на рельсы, если он
пересекает в данный момент северную широту 60°. 2) Определить
боковое давление поезда на рельсы, если он идет в этом же месте
с севера на юг.
Ответ: 1) 3778,7 Н на правый восточный рельс; 2) 3778,7 Н на
правый западный рельс.
33.5(33.5). Материальная точка свободно падает в северном
полушарии с высоты 500 м на Землю. Принимая во внимание
вращение Земли вокруг своей оси и пренебрегая сопротивлением
воздуха, определить, насколько отклонится на восток точка при
падении. Географическая широта места равна 60°.
Ответ: На 12 см.
33.6(33.6). В вагоне, движущемся по прямому горизонтальному
пути, маятник совершает малые гармонические колебания, причем
среднее его положение остается отклоненным от
вертикали на угол 6°.
1) Определить ускорение w вагона. 2) Найти
разность периодов колебаний маятника: Т—
в случае неподвижного вагона и Т1— в данном
случае.
Ответ: 1) w = 1,03 м/с2, 2) T—Ti =0,00287.
33.7(33.7). Точка О! привеса маятника длины
I совершает прямолинейные горизонтальные гар-
монические колебания около неподвижной точ-
ки О: ОО\ = a sin pt. Определить малые колебания маятника, счи-
тая, что в момент, равный нулю, <р = 0, ф = 0.
Ответ- =
О о,
К задаче 33.7
258
33.8. Точка, находящаяся на широте X, брошена в западном
направлении под углом а к горизонту с начальной скоростью о0.
Определить время и дальность полета точки.
„ . 2vn sin а 2со sin а (, 2й>и0 cos Z cos а Л
Ответ: t — —-------z----~ —н----- 1-----ч--------),
g + 2covo cos Л cos а g \ g )
t^sin2a OqO cos ?. sin a (16 sin2 a — 12)
L = i L ——зр '
где co — угловая скорость вращения Земли.
33.9(33.9). Шарик массы т, прикрепленный к концу горизон-
тальной пружины, коэффициент жесткости которой с, находится
в положении равновесия в трубке на расстоянии а от вертикаль-
ной оси. Определить относительное движение шарика, если трубка.
К задаче 33.9
образующая с осью прямой угол, начинает вращаться вокруг вер-
тикальной оси с постоянной угловой скоростью <о.
Ответ: В системе координат, начало которой совпадает с точ-
кой равновесия шарика,
n w2a . , V^2 — w2 j. / с
= ---2---' ПРИ &=л/тг>о;
X = (ch Vй2 — fe2/ — 1) при k=y!~^<(a.
33.10(33.10). Горизонтальная трубка CD равномерно вращается
вокруг вертикальной оси АВ с угловой скоростью <о. Внутри
трубки находится тело М. Определить скорость v тела относи-
тельно трубки в момент его вылета, если в начальный момент
о = 0, х~хо, длина трубки равна L. Трением пренебречь.
Ответ: v = д/ L2 —- х2 <о.
33.11(33.11). В условиях предыдущей задачи определить время
движения тела в трубке.
1 L + Д/L2 — Хд
Ответ: Т —— In----------------.
и х0
33.12(33.12). В условиях задачи 33.10 составить дифференци-
альное уравнение движения тела в трубке, если коэффициент тре-
ния скольжения между телом и трубкой равен /.
259
Ответ: х = а2х ± f ^g2 + 4<о2х2; верхнему знаку соответствует
х < 0, нижнему х > 0.
33.13(33.13). Кольцо движется по гладкому стержню АВ, кото-
рый равномерно вращается в горизонтальной плоскости вокруг
вертикальной оси, проходящей через конец А, делая один оборот
в секунду; длина стержня 1 м; в момент t = 0 кольцо находилось
на расстоянии 60 см от конца А и имело скорость, равную нулю.
Определить момент tit когда кольцо сойдет со стержня.
Ответ: In 3 = 0,175 с.
33.14(33.14). Трубка АВ вращается с постоянной угловой ско-
ростью ю вокруг вертикальной оси CD, составляя с ней неизмен-
ный угол 45°. В трубке находится тяжелый
шарик М. Определить движение этого шарика
относительно трубки, если начальная ско-
рость его равна нулю и начальное расстояние
от точки О равно а. Трением пренебречь.
-0.5ы/
Ответ:
gi = £(l ~
рение силы
места.
33.15(33.15). Определить, как меняется
ускорение силы тяжести в зависимости от ши-
роты места ф вследствие вращения Земли
вокоуг своей оси. Радиус Земли /? = 6370 км.
ввиду его малости, то
COS2 ф
289
пренебрёчь членом с со4
COS2 <р
) , или gi = 9,81 (1
), где g— уско-
К задаче 33.14
Ответ: Если
g
тяжести на полюсе, ф— географическая широта
33.16(33.16). Во сколько раз надо увеличить угловую скорость
вращения Земли вокруг своей оси, чтобы тяжелая точка, находя-
щаяся на поверхности Земли на экваторе, не имела бы веса? Ра-
диус Земли /? = 6370 км.
Ответ: В 17 раз.
33.17(33.17). Артиллерийский снаряд движется по настильной
траектории (т. е. по траектории, которую приближенно можно
считать горизонтальной прямой). Горизонтальная скорость сна-
ряда во время движения о0 = 900 м/с. Снаряд должен поразить
цель, отстоящую от места выстрела на расстоянии 18 км. Прене-
брегая сопротивлением воздуха, определить, насколько отклонится
снаряд от цели вследствие вращения Земли. Стрельба происходит
на северной широте X = 60°.
Ответ: Снаряд отклонится вправо (если смотреть на него
сверху перпендикулярно к скорости) на величину s = esv0t2 sin X =
= 22,7 м независимо от направления стрельбы
33.18(33.13). Маятник на длинной нити получает небольшую
начальную скорость в плоскости север-юг. Считая отклонения
260
маятника малыми по сравнению с длиной нити и принимая во
внимание вращение Земли вокруг оси, найти время, по истечении
которого плоскость качаний маятника совпадает с плоскостью
| запад-восток. Маятник расположен на 60° северной широты.
Ответ-. Т — 13,86(0,5 + Л) часов, где k = 0, 1,2, 3, ...
33.19. Тяжелая точка может двигаться без трения по верти-
кальному проволочному кольцу, которое вращается вокруг своего
вертикального диаметра с постоянной угловой скоростью <о. Ра-
диус кольца равен 7?. Найти положение равновесия точки и опре-
делить, как будет двигаться точка, если в положении равновесия
она получит малую скорость v0 по касательной вверх.
Ответ: Положение равновесия соответствует углу q>0 —
р
=arccos^^, отсчитываемому от нижнего положения точки на
круге. Точка, получившая малую скорость t»o, будет совершать
малые колебания около положения равновесия согласно уравне-
нию: <р = sin kt, где k ~ %-.
33.20. Пружинный вибродатчик используется для измерения
вертикального ускорения поезда, круговая частота вертикальных
колебаний которого равна 10 рад/с. База прибора составляет одно
целое с корпусом одного из вагонов поезда. К базе прибора кре-
пится пружина с коэффициентом жесткости с= 17,64 кН/м. К пру-
жине прикреплен груз массы m — 1,75 кГ. Амплитуда относитель-
ного движения груза вибродатчика равна 0,125 см по записи при-
бора Найти максимальное вертикальное ускорение поезда. Ка-
кова амплитуда вибрации поезда?
Ответ: Максимальное вертикальное ускорение поезда равно
Wmax = 1237 см/с2. Амплитуда вертикальных колебаний поезда
равна: а = 12,37 см.
33.21. Виброметр используется для определения вертикальных
колебаний одной из частей машины. В подвижной системе при-
бора демпфер отсутствует. Относительное смещение датчика виб-
рометра (массивного груза) равно 0,005 см. Собственная частота
колебаний виброметра — 6 Гц, частота колебаний вибрирующей
части машины — 2 Гц. Чему равны амплитуда колебаний, макси-
мальная скорость и максимальное ускорение вибрирующей части
машины?
Ответ: Амплитуда колебаний равна а = 0,04 см, максимальная
скорость равна vm = 0,5 см/с, максимальное ускорение равно
tfm = 6,3.16 см/с2.
33.22. Груз массы т=1,75 кг подвешен внутри коробки на
вертикальной пружине, коэффициент жесткости которой с =
= 0,88 кН/м. Коробка установлена на столе, вибрирующем в вер-
тикальном направлении. Уравнение колебаний стола х =
= 0,225 sin 3t см. Найти абсолютную амплитуду колебаний
груза.
Ответ: х = 0,2254 см.
261
ГЛАВА X
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
§ 34. Геометрия масс: центр масс материальной
системы, моменты инерции твердых тел
34.1(34.1). Коленчатый вал трехцилиндрового двигателя, изо-
браженный на рисунке, состоит из трех колен, расположенных
под углом 120° друг к другу. Определить положение центра масс
коленчатого вала, считая, что массы колен сосредоточены в точ-
ках А, В и D, причем тА = т6 = mD = т, и пренебрегая массами
остальных частей вала. Размеры указаны на рисунке.
Ответ: Центр масс совпадает с началом координат О.
34.2(34.2). Найти уравнения движения центра масс шарнир-
ного параллелограмма OABOit а также уравнение траектории
его центра масс при вращении кривошипа ОА с постоянной угло-
вой скоростью ©. Звенья параллелограмма — однородные стержни,
причем ОА = OtB -- АВ/2 = а.
3 3
Ответ: хс = а +cos со/, ус = a sin и/; уравнение траек-
тории (хс — а)2 + у2с = (-у «У — окружность радиуса с цен-
тром в точке К с координатами (о,0).
34.3(34.3). К ползуну I массы посредством тонкой невесо-
мой нити прикреплен груз // массы М2. При колебаниях груза
по закону <p = <posin<o/ ползун скользит по неподвижной горизон-
тальной гладкой поверхности. Найти уравнение движения ползуна
262
xi = f(t), считая, что в начальный момент (/ = 0) ползун нахо-
дился в начале отсчета О оси х. Длина нити равна I.
Ответ: Ху = — 1 sin (Фо sin ®0-
34.4(34.4). Определить положение центра масс центробежного
регулятора, изображенного на рисунке, если масса каждого из
шаров А и В равна Му, масса муфты D равна Л12. Шары А и В
считать точечными массами. Массой стержней пренебречь.
/л t\ Ali -4- Al? 1
Ответ: xc = 0, yc = 2 -777777^71 cos Ф-
34.5(34.5). Определить траекторию центра масс механизма эл-
липсографа, состоящего из муфт А и В массы Afj каждая, криво-
шипа ОС массы Мг и линейки АВ массы 2Л42; дано: ОС = ЛС =
= СВ — I. Считать, что линейка и кривошип представляют одно-
родные стержни, а муфты — точечные массы.
К задаче 34.4
Ответу Окружность с центром в точке О и радиусом, равным
4М, + 5M2 I
2М, 4- ЗМ2 ' 2 '
34.6. К вертикальному валу АВ прикреплены два одинаковых
груза Е и D с помощью двух перпендикулярных оси АВ и притом
взаимно перпендикулярных стержней OE=OD = r. Массами
стержней и вала пренебречь. Грузы считать точечными массами.
Найти положение центра масс С системы, а также центробежные
моменты инерции Jyz, Jxy-
Ответ: С('/2г, >/2г, 0), Jxz = ]yz = Jxy = 0.
34.7(34.8). Вычислить момент инерции стального вала радиуса
б см и массы 100 кг относительно его образующей. Вал считать
однородным сплошным цилиндром.
Ответ: 3750 кг-см2.
34.8(34.9). Вычислить момент инерции тонкого однородногр
полудиска массы М и радиуса г относительно оси, проходящей
вдоль диаметра, ограничивающего полудиск.
Ответ- Мг2/4.
263
34.9(34.10). Вычислить осевые Jx и Jy моменты инерции изо-
браженной на рисунке однородной прямоугольной пластинки мас-
сы М относительно осей х и у.
Ответ: Jx = 4/3Л4а2. Jy = 4/Mb2.
К задаче 34 11
34.10(34.11). Вычислить моменты инерции изображенного на
рисунке однородного прямоугольного параллелепипеда массы М
относительно осей х, у и z.
Ответ: Jx = ^~ (а2 + 4с2), Jy = 4 (b2 + 4с2), Jz = (а2 + Ь2).
о " «3 «3
34.11(34.12). В тонком однородном круглом диске радиуса R
высверлено концентрическое отверстие радиуса г. Вычислить мо-
мент инерции этого диска массы М относительно оси г, проходя-
щей через его центр масс перпендикулярно плоскости диска.
Ответ: Jz = ~y (R2 + г2)-
34.12(34.13). Вычислить момент инерции тонкой однородной
пластинки массы М, имеющей форму равнобедренного треуголь-
ника с высотой Л, относительно
т--------д оси, проходящей через ее центр
/ \ --уг---масс С параллельно основанию.
* / J \ Ответ: ~Mh2.
| /_________\ 34.13. Однородная металличе-
z? Л —’—*—ская пластинка выполнена в виде
К задаче 34.12 К задаче 34.13 рЭВНОСТОрОННеГО ТреугОЛЬНИКЭ.
Масса пластинки равна М, I —
длина ее стороны. Вычислить момент инерции пластинки относи-
тельно оси z, проходящей через ее вершину параллельно осно-
ванию.
Ответ: 1Х — ^МР.
34.14. Однородная равносторонняя треугольная пластина имеет
массу М и длину стороны /. Вычислить момент инерции пластины
относительно оси г, проходящей через вершину пластины перпен-
дикулярно ее плоскости,
264
Ответ: = MP.
34.15(34.16). Вычислить моменты инерции относительно трех
взаимно перпендикулярных осей х, у и г тонкой однородной
эллиптической пластинки
массы М, ограниченной кон-
X2 I/2
туром -^ + тг== ••
Ответ: Jx— ~^~b2,
^а2, /г = ^-(а2 + Ь2).
34.16(34.17). Определить
момент инерции однород-
ного полого шара массы М
его центр тяжести. Внешний
равны R и г.
относительно оси, проходящей через
и внутренний радиусы соответственно
„ 2 .. Л5 — г5
Ответ: уЛ1 _ f3
34.17(34.18). Вычислить момент инерции однородной тонкой
оболочки, выполненной в виде полусферы радиуса /?, относительно
оси, проходящей через центр полусферы перпендикулярно к огра-
ничивающей ее плоскости. Масса М оболочки равномерно распре-
делена по поверхности полусферы.
Ответ: -7 MR2.
34.18(34.19). Вычислить радиус инерции сплошного однород-
ного цилиндра относительно оси г, перпендикулярной оси цилин-
дра и отстоящей от его центра масс С на расстоянии 10 см, если
радиус цилиндра равен 4 см, а высота 40 см.
Ответ: 15,4 см.
34.19(34.21). Маятник состоит нз тонкого однородного стерж-
ня АВ массы Mi, к концу которого прикреплен однородный диск
С массы Л12. Длина стержня равна 4г, где г — радиус диска. Вы-
265
числить момент инерции маятника относительно его оси привеса О,
перпендикулярной плоскости маятника и отстоящей на расстоя-
нии г от конца стержня.
„ 4Л1, + 99Л42 5
Ответ-. ---------- г2.
О
34.20(34.23). Тонкий однородный стержень АВ длины 2/ и
массы М прикреплен в центре О к вертикальной оси, образуя с ней
угол а. Вычислить моменты инерции стержня Jx, Ц и центробеж-
ный момент инерции Jxy. Оси координат показаны на рисунке.
Л г МР , МР - , МР - п
Ответ: Jx = —3— cos2 a, Jy = —— s пг а, Jxy = —g— sm 2а.
34.21. Однородный круглый диск массы М и радиуса г при-
креплен к оси АВ, отстоящей от центра масс С на расстоянии
ОС = г/2. Вычислить осевые и центробежные моменты инерции
диска.
Ответ. Jх Mr , Jy , Jz g > JХу Jxz — Jyz — 0.
34.22. Вычислить момент инерции однородной треугольной пла-
стинки АВС массы М относительно оси х, проходящей через его
вершину А в плоскости пластинки,
если даны расстояния от точек В и С
до оси х; ВМ = hB, CN = hc.
Ответ: J=-^ (h2 + hRhc + h2).
34.23(34.24). По данным задачи
34.1 определить центробежные мо-
К задаче 34.22 МеНТЫ ННерЦИН J xz, Jyz, Jху КОлеНЧЭТОГО
вала.
Ответ: Jxz = —^ md (а + b), Jyz = — md (а + b), Jxy = 0.
34.24(34.25). Однородный круглый диск массы М эксцентрично
насажен на ось z, перпендикулярную его плоскости. Радиус диска
равен г, эксцентриситет ОС = а, где С — центр масс диска. Вычис-
лить осевые Л, Jy, Jz и центробежные Jxy, Jxz, Jyz моменты инерции
диска. Сси координат показаны на рисунке.
266
Ответ-. Jx = ^f-. + 7г = м(^ + п2), Jx₽ =
= Лг = ^г = О.
34.25(34.27). По данным задачи 34.24 вычислить момент инер-
ции диска относительно оси zb лежащей в вертикальной плоско-
сти xz и образующей с осью z угол
Ответ. Jz, — sin2 ср -|- М + я2 ) cos2 <р
34.26(34.28). Однородный круглый диск массы М насажен на
ось z, проходящую через его центр масс С. Ось симметрии диска z\
лежит в вертикальной плоскости симметрии xz н образует с осьюа
угол а. Радиус диска равен г. Вычислить центробежные моменты
инерции диска Jxz, Jyz, Jxy (оси координат показаны на рисунке).
Ответ'. J ху — JZy — О, J xz —
,. . . sin 2а Mr1 „. о
= (7г, — /х,) —— = — Sln 2а.
34.27(34.29). Решить предыду-
щую задачу в предположении, что
диск эксцентрично насажен на ось
z, причем эксцентриситет ОС = а.
Ответ: Jxy = Jyz — О,
= -у- (4 + q2) sin 2а-
К задаче 34.28
34.28(34.30). Однородный круглый диск радиуса Р насажен на
ось вращения z, проходящую через точку О и составляющую с
осью симметрии диска Czx угол а. Масса диска равна М. Опреде-
лить момент инерции /г диска относительно оси вращения z и цен-
267
тробежные моменты инерции Jxz и Jyz, если OL — проекция оси г
на плоскость диска, ОЕ = а, ОК = Ь.
Ответ: }г = М а2 4- у /?2^ cos2 а + /?2 sin2 а ,
Jxz — М (y Я2 + а2) sin а cos а, Jyz — Mab sin а.
34.29. Однородная прямоугольная пластинка OABD массы М
со сторонами а и b прикреплена стороной ОА к оси ОЕ. Вычис-
лить центробежные моменты инерции пластинки Jxz, Jyz и Jxy.
Ответ: Jxx = Jxy = 0, .
Я
К задаче 34.31
34.30(34.31). Однородная прямоугольная пластинка массы М
со сторонами длины а и b прикреплена к оси z, проходящей через
одну из ее диагоналей. Вычислить центробежный момент инер-
ции Jyz пластинки относительно осей у и г, лежащих вместе с пла-
стинкой в плоскости рисунка. Начало ко-
ординат совмещено с центром масс пла-
стинки.
„ . r М ab (а2 — Ь2)
Ответ. Jyz 12 а2+Ь2 •
34.31(34.34). Вращающаяся часть
Л г*~|—L подъемного крана состоит из стрелы CD
длины L и массы Му, противовеса Е мас-
сы Mi и груза К массы М3. Рассматри-
вая стрелу как однородную тонкую бал-
ку, а противовес Е и круг К как точеч-
ные массы, определить момент инерции
Jz крана относительно вертикальной оси
вращения г и центробежные моменты
инерции относительно осей координат х, у, г, связанных с краном.
Центр масс всей системы находится на оси z; стрела CD располо-
жена в плоскости yz.
Ответ: Jz = М2а2 + (л/3 + L2 sin2 а,
, = М* + '1зМ± Li sjn 2а _ м u sJn j = j = 0
« X " и Л
268
§ 35. Теорема о движении центра масс материальной системы
35.1(35.1). Определить главный вектор внешних сил, девствую-
щих на маховик М, вращающийся вокруг оси АВ. Ось АВ, укреп-
ленная в круговой раме, в свою очередь вращается вокруг оси DE.
Центр масс С маховика находится в точке пересечения осей АВ
и DE.
Ответ: Главный вектор внешних сил равен нулю.
К задаче 35.2
35.2(35.2). Определить главный вектор внешних сил, прило-
женных к линейке АВ эллипсографа, изображенного на рисунке.
Кривошип ОС вращается с постоянной угловой скоростью со; масса
линейки АВ равна Л4; ОС *=АС*= ВС = I.
Ответ: Главный вектор внешних сил параллелен СО и равен
ПО МОДУЛЮ Mid)2.
35.3(35.3). Определить главный вектор внешних сил, действую-
щих иа колесо массы М, скатывающееся с наклонной плоскости
вниз, если его центр масс С движется по закону хс = at2/2.
Ответ: Главный вектор внешних сил параллелен оси х, направ-
лен в сторону движения и равен по модулю Ма.
35.4(35.4). Колесо катится со скольжением по горизонтальной
прямой под действием силы F, изображенной на рисунке. Найти
закон движения центра масс С колеса, если коэффициент трения
скольжения равен f, a F — 5fP, где Р—вес колеса. В начальный
момент колесо находилось в покое.
Ответ: хс = 2fgt2.
35.5(35.5). Колесо катится со скольжением по горизонтальной
прямой под действием приложенного к нему вращающего момента.
Найти закон движения центра масс С колеса, если коэффициент
269
трения скольжения равен f. В начальный момент колесо находи-
лось в покое.
Ответ. хс = fgt2/2.
35.6(35.6). Вагон трамвая совершает вертикальные гармониче-
ские колебания на рессорах амплитуды 2,5 см и периода Т = 0,5 с.
Масса кузова с нагрузкой 10 т, масса тележки и колес 1 т. Опре-
делить силу давления вагона на рельсы.
Ответ: от 68,0 до 147,6 кН.
35.7(35.7). Определить силу давления на грунт насоса для от-
качки воды при его работе вхолостую, если масса неподвижных
частей корпуса D
ОА = а равна М2,
и фундамента Е равна Mi, масса кривошипа
масса кулисы
К задаче 35.7
К задаче 35.9
В и поршня С равна М3. Криво-
шип ОА, вращающийся равно-
мерно с угловой скоростью (О,
считать однородным стерж-
нем.
Ответ: N=(Mi+M2+M3)g-+-
+ -^-(М2 + 2М3) cosco/.
35.8(35.8). Использовав дан-
ные предыдущей задачи, счи-
тать, что насос установлен на
упругом основании, коэффи-
циент упругости которого ра-
вен с. Найти закон движения
оси О кривошипа ОА по вер-
тикали, если в начальный мо-
мент ось О находилась в положении статического равновесия и ей
была сообщена по вертикали вниз скорость v0. Взять начало от-
счета оси х, направленной вертикально вниз, в положении стати-
ческого равновесия оси О. Силами сопротивления пренебречь.
Ответ: 1) При „—гтт—г-гг ¥= 0)2 хо= — —г cos kt +
v h
4- Sin kt + -гг------------г COS CO/ ,
1 k k2 — U>2
, _ /c , Mi + 2M3 (iw2
где n — д/ Ml 4- Ml 4- Ms ’ n ~ Mt 4- Ml -I- М3 ~T~ ’
2) при ~г—= xo = — sin <0/ -|- t sin at.
7 r M1 + М2 + М3 u co ’2(0
35.9(35.9). Ножницы для резки металла состоят из кривошип-
но-ползунного механизма ОАВ, к ползуну В которого прикреп-
лен подвижный иож. Неподвижный нож укреплен на фундамен-
те С. Определить давление фундамента на грунт, если длина кри-
вошипа г, масса кривошипа Mi, длина шатуна I, масса ползуна В
с подвижным ножом М2, масса фундамента С и корпуса D равна
М3. Массой шатуна пренебречь. Кривошип ОА, равномерно вра-
щающийся с угловой скоростью со, считать однородным стержнем.
270
конец стержня насажен
К задаче 35.10
Указание. Выражение Vl— (г//)2 sin2 coi следует разложить в ряд и от-
бросить все члены ряда, содержащие отношение гЦ в степени выше второй
Ответ: N = (Aft + М2 + Л43) g + -^-[(Af, + 2Af2) cos со/ +
+ 2М2 -у cos 2at j.
35.10(35.10). Электрический мотор массы М\ установлен без
креплений на гладком горизонтальном фундаменте; на валу мо-
тора под прямым углом закреплен одним концом однородный
стержень длины 21 и массы М2, на дру
точечный груз массы А13; угловая ско-
рость вала равна со.
Определить: 1) горизонтальное
движение мотора; 2) наибольшее го-
ризонтальное усилие R, действующее
на болты, если ими будет закреплен
кожух электромотора на фундаменте.
Ответ: 1) Гармонические колеба-
„ I (М2 4- 2М3)
ния с амплитудой -гг , ,.—г-гг- и пе-
4- М2 4- М3
риодом 2л/со;
2) /? = (Л12 + 2Ж3)/со2.
35.11(35.11). По условиям преды-
дущей задачи вычислить ту угловую
скорость со вала электромотора, при которой электромотор будет
подпрыгивать над фундаментом, не будучи к нему прикреплен
болтами.
Ответ: со >
/ (Mi 4- Mi 4- Мз) g
У (Мг 4- 2Af3) I •
35.12(35.12). При сборке электромотора его ротор В был экс-
центрично насажен на ось вращения С4
где С\ — центр масс статора А, а С2—
центр масс ротора В. Ротор равномер-
но вращается с угловой скоростью со.
Электромотор установлен посередине
упругой балки, статический прогиб
которой равен Л; Mi — масса статора,
М2—масса ротора.
Найти уравнение движения точки
С> по вертикали, если в начальный
момент она находилась в покое в по-
ложении статического равновесия. Си-
на расстоянии CiC2 = a,
К задаче 35.12
лами сопротивления пренебречь. Начало отсчета оси х взять в по-
ложении статического равновесия точки Сь
Ответ: 1) При д/ д’ ° xt ~
где k = а/h = .. м- а®2;
V Л Mi 4- М2
<о Л . , Л . ,
-т- -гт-—1 sm kt + -73------------------------------т sin со/,
К «2 — CO2 Я — <£>2 ’
271
2) при = <о = 2^г sin со/ — ~-t cos at.
35.13(35.13). Электрический мотор массы Mi установлен иа
балке, жесткость которой равна с. На вал мотора насажен груз
массы М2 на расстоянии I от оси вала. Угловая скорость мотора
о = const. Определить амплитуду вынужденных колебаний мотора
и критическое число его оборотов в минуту, пренебрегая массой
балки и сопротивлением движению.
~ М21ы2 30 / с
Ответ: а с-( ,!, +М2) а2' л "V М,+М2'
35.14(35.15). На рисунке изображена крановая тележка А
массы которая заторможена
К задаче 35.13
посередине салки du. ь центре
масс Ci тележки подвешен
трос длины I с привязанным к
нему грузом С2 массы М2.
Трос с грузом совершает гар-
К задаче 35.14
моиические колебания в вертикальной плоскости. Определить:
1) суммарную вертикальную реакцию балки BD, считая ее жест-
кой; 2) закон движения точки С\ в вертикальном направлении,
считая балку упругой с коэффициентом упругости, равным с.
В начальный момент балка, будучи недеформированной, на-
ходилась в покое в горизонтальном положении. Считая колебания
троса малыми, принять: sin <р яг <р, cos ср а? 1. Начало отсчета оси у
взять в положении статического равновесия точки Ср Массой
троса и размерами тележки по сравнению с длиной балки прене-
бречь.
Ответ: 1) Rg — (Mi -f-M2)g; 2) точка Ci совершает свободные
- (Afl+Al2)g л ' с ,
колебания по закону = 1—5----—cos л
' с V ™i + Л12
35.15(35.16). Сохранив данные предыдущей задачи и считая
балку BD жесткой, определить: 1) суммарную горизонтальную J
реакцию рельсов; 2) в предположении, что тележка не затормо- 1
жена, закон движения центра масс Ci тележки А вдоль оси х.
В начальный момент точка Ci находилась в покое в начале '
отсчета оси х. Трос совершает колебания по закону ср = сро cos со/. ®
Ответ: 1) Rx = —М2/сросо2 cos со/; 2) точка Ci совершает коле-
бания с амплитудой /ср0 и круговой частотой со по закону 4
Л12 . Z, ..
х> = МГ+ЛГ, *PoU-cos со/).
272
35.16(35.17). На средней скамейке лодки, находившейся в по-
кое, сидели два человека. Один из них, массы Ah =50 кг, пере
местился вправо на нос лодки. В каком направлении и на какое
расстояние должен переместиться второй человек массы М2=70 кг
для того, чтобы лодка осталась в покое? Длина лодки 4 м. Сопро-
тивлением воды движению лодки пренебречь.
Ответ: Влево на корму лодки на расстояние 1,43 м.
35.17(35.18). На однородную призму А, лежащую на горизон-
тальной плоскости, положена однородная призма В; поперечные
сечения призм — прямоугольные треугольники, масса призмы А
втрое больше массы призмы В. Предпо-
лагая, что призмы и горизонтальная
плоскость идеально гладкие, определить
длину I, на которую передвинется приз-
ма А, когда призма В, спускаясь по А,
дойдет до горизонтальной плоскости.
Ответ: 1 — (а — Ь)/4.
35.18(35.19). По горизонтальной товарной платформе длины
6 м и массы 2700 кг, находившейся в начальный момент в покое,
двое рабочих перекатывают тяжелую отливку из левого конца
платформы в правый. В какую сторону и насколько переместится
при этом платформа, если общая масса груза и рабочих равна
1800 кг? Силами сопротивления движению платформы пренебречь.
Ответ: Налево на 2,4 м.
35.19(35.20). Два груза АД и М2, соответственно массы Му и
М2, соединенные нерастяжимой нитью, переброшенной через
блок А, скользят по гладким боковым сторонам прямоугольного
клина, опирающегося основанием ВС на гладкую горизонтальную
плоскость. Найти перемещение клина по горизонтальной плоско-
сти при опускании груза Му на высоту й = 10 см. Масса клина
М = 4М1 = 16М2; массой нити и блока пренебречь.
Ответ: Клин переместится вправо на 3,77 см.
35.20(35.21). Три груза массы Mi = 20 кг, М2=15 кг и М3 =
= 10 кг соединены нерастяжимой нитью, переброшенной через
неподвижные блоки L и N. При опускании груза Му вниз груз М2
перемещается по верхнему основанию четырехугольной усеченной
пирамиды ABCD массы М = 100 кг вправо, а груз М3 поднима-
ется по боковой грани АВ вверх. Пренебрегая трением между усе-
ченной пирамидой ABCD и полом, определить перемещение усе-
273
К задаче 35.21
200 кг. Центр масс С люльки
ченной пирамиды ABCD относительно пола, если груз М} опус-
тится вниз на 1 м Массой нити пренебречь.
Ответ: Влево на 14 см.
35.21. Подвижной поворотный кран для ремонта уличной элек-
тросети установлен на автомашине массы 1 т. Люлька К крана,
укрепленная на стержне L, мо-
жет поворачиваться вокруг гори-
зонтальной оси О, перпендику-
лярной плоскости рисунка. В на-
чальный момент кран, занимав-
ший горизонтальное положение,
и автомашина находились в по-
кое. Определить перемещение не-
заторможенной автомашины, ес-
ли кран повернулся на 60е. Мас-
са однородного стержня L длины
3 м равна 100 кг, а люльки К —
К отстоит от оси О на расстоянии
ОС = 3,5 м. Сопротивлением движению пренебречь.
Ответ: Направо на 32,7 см.
§ 36. Теорема об изменении главного вектора количеств
движения материальной системы. Приложение к сплошным средам
36.1(36.1). Определить главный вектор количеств движения
работающего редуктора скоростей, изображенного на рисунке,
если центры тяжести каждого из четырех вращающихся зубчатых
колес лежат на осях вращения.
Ответ: Главный вектор количеств движения равен нулю.
К задаче 36.1
36.2(36.2). Определить сумму импульсов внешних сил, прило-
женных к редуктору, рассмотренному в предыдущей задаче, за
произвольный конечный промежуток времени.
Ответ: Сумма импульсов внешних сил равна нулю.
36.3(36.3). Определить главный вектор количеств движения
маятника, состоящего из однородного стержня ОА массы
длины 4г и однородного диска В массы М2, радиуса г, если угло-
вая скорость маятника в данный момент равна со.
274
Ответ: Главный вектор количеств движения направлен перпен-
дикулярно стержню ОА и по модулю равен (2Mj ф- 5М2)гсо.
36.4(36.4). Определить модуль и направление главного век-
тора количеств движения механизма эллипсографа, если масса
кривошипа равна Mi, масса линейки АВ эллипсографа равна 2МЬ
масса каждой из муфт А и В равна М2, даны размеры: ОС —
= АС — СВ = I. Центры масс кривошипа и линейки расположены
в их серединах. Кривошип вращается с угловой скоростью со.
Ответ: Модуль главного вектора равен Q = — (5Mi + 4М2);
направление главного вектора перпендикулярно кривошипу.
К задаче 36.4
К задаче 36.5
К задаче 36.6
36.5(36.5). Определить главный вектор количеств движения
центробежного регулятора, ускоренно вращающегося вокруг вер-
тикальной оси. При этом углы q> изменяются по закону ф = фЦ)
и верхние стержни, поворачиваясь, поднимают шары А и В. Дли-
ны стержней: О А = ОВ = AD = BD = I. Центр масс муфты D
массы М2 лежит иа оси г. Шары А и В считать точечными массами
массы Mi каждый. Массой стержней пренебречь.
Ответ: Qx = Qtf = 0, Qz =— 2(М] ф-M2)/<j>sin ф, где Q— глав-
ный вектор количеств движения; плоскость yz совпадает с пло-
скостью расположения стержней регулятора.
36.6(36.7). В механизме, изображенном на рисунке, движу-
щееся колесо радиуса г имеет массу М, причем центр масс колеса
находится в точке Ог, центр масс прямолинейного стержня АВ
массы kM находится в его середине. Кривошип 00^ вращается
вокруг оси С с постоянной угловой скоростью со. Определить глав-
ный вектор количеств движения системы, пренебрегая массой кри-
вошипа.
Ответ: Проекции главного вектора количеств движения систе-
мы на осн координат: 1) на ось Ох: —Mracoscof, 2) на ось Оу:
Мга(1 ф- 2£)sin at.
36.7(36.8). Масса ствола орудия равна 11 т. Масса снаряда
равна 54 кг. Скорость снаряда у дульного среза ио = 90О м/с.
275
Определить скорость свободного отката ствола орудия в момент
вылета снаряда.
Ответ: Скорость отката ствола орудия равна 4,42 м/с и на-
правлена в сторону, противоположную движению снаряда.
36.8(36.9). Граната массы 12 кг, летевшая со скоростью 15 м/с,
разорвалась в воздухе на две части. Скорость осколка массы 8 кг
возросла в направлении движения до 25 м/с. Определить ско-
рость второго осколка.
Ответ: 5 м/с в направлении, противоположном движению пер-
вого осколка.
36.9(36.11). По горизонтальной платформе А, движущейся по
инерции со скоростью v0, перемещается тележка В с постоянной
относительной скоростью Ио. В некоторый момент времени тележ-
ка была заторможена. Опреде-
,ио лить общую скорость v платфор-
;--, ' I—мы с тележкой после ее останов-
ки, если М — масса платформы,
am — масса тележки.
К задаче 36.9 m
Ответ: ц = цо + 7П—Цо.
36.10(36.12). Сохранив условие предыдущей задачи, определить
путь s, который пройдет тележка В по платформе А с момента
начала торможения до полной остановки, и время торможения т,
если считать, что при торможении возникает постоянная по вели-
чине сила сопротивления F.
Указание. В дифференциальном уравнении движения тележки использо-
вать соотношение Mv -f- m(u + о) = const, где « н v— переменные скорости.
1 тМ Ug mM и0
Ответ: s = M + m т = т + м
К задаче 36.11
36.11(36.13). Из наконечника пожарного рукава с поперечным
сечением 16 см2 бьет струя воды под углом а = 30° к горизонту
со скоростью 8 м/с. Определить силу давления
струи на вертикальную стену, пренебрегая
действием силы тяжести на форму струи и
считая, что частицы жидкости после встречи
со стеною приобретут скорости, направленные
вдоль стены.
Ответ: 88,8 Н.
36.12(36.14). Определить горизонтальную составляющую N воз-
никающей при движении воды силы давления на опору колена
трубы диаметра d = 300 мм, по которой течет вода со скоростью
о=2 м/с.
Ответ: N = 284 Н.
36.13(36.15). Вода входит в неподвижный канал переменного
сечения, симметричный относительно вертикальной плоскости, со
скоростью Vo — 2 м/с под углом ао = 90° к горизонту; сечение ка-
нала при входе 0,02 м2; скорость воды у выхода из канала сц =
276
= 4 м/с и направлена под углом си = 30° к горизонту. Определить
модуль горизонтальной составляющей силы, с которой вода дей-
ствует на стенки канала.
Ответ-. 138 Н.
d
36.14(36.17). Определить модуль горизонтальной составляющей
силы давления струи воды на неподвижную лопатку турбинного
колеса, если объемный расход воды Q, плотность у, скорость по-
дачи воды на лопатку щ горизонтальна, скорость схода воды о2
образует угол а с горизонтом.
Ответ: N = 4- t»2cos а).
§ 37. Теорема об изменении главного момента количеств
движения материальной системы. Дифференциальное уравнение
вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
37.1(37.1). Однородный круглый диск массы Л! = 50 кг и ра-
диуса /? — 30 см катится без скольжения по горизонтальной пло-
скости, делая вокруг своей осн 60 об/мин. Вычислить главный мо-
мент количеств движения диска относительно осей: 1) проходящей
через центр диска перпендикулярно плоскости движения; 2) от-
носительно мгновенной оси.
Ответ: 1) 14,1 кг-м2/с; 2) 42,3 кг-м2/с.
37.2(37.2). Вычислить главный момент количеств движения ли-
нейки АВ эллипсографа в абсолютном движении относительно
оси z, совпадающей с осью вращения кривошипа ОС, а также в
относительном движении по отношению к оси, проходящей через
центр масс С линейки параллельно оси г. Кривошип вращается
с угловой скоростью, проекция которой иа ось г равна шг; масса
линейки равна т\ ОС = АС = ВС = I (см. рисунок к задаче 34.5).
Ответ: LOz = 4 ml2<s>z, LCz = — <oz.
<3 «J
37.3(37.3). Вычислить главный момент количеств движения
планетарной передачи относительно неподвижной оси г, совпадаю-
щей с осью вращения кривошипа ОС$. Неподвижное колесо / н
277
подвижное колесо 3— одинакового радиуса г. Масса колеса 3
равна т. Колесо 2 массы zn2 имеет радиус г2. Кривошип вращается
с угловой скоростью, проекция которой на ось z равна Массой
кривошипа пренебречь Колеса счи-
тать однородными дисками.
Ответ: LOz =
m2 (2г 4- 3r2) + 8m (г + г2)
=------------2----------- + г2) ь>2.
37.4(37.4). Натяжения ведущей
и ведомой ветвей ремня, приводя-
щего во вращение шкив радиуса
г = 20 см, массы М = 3,27 кг, соот-
, Т2 = 50 Н. Чему должен быть ра-
вен момент сил сопротивления для того, чтобы шкив вращался
с угловым ускорением е = 1,5 рад/с2? Шкив считать однородным
диском.
Ответ: 9,8 Н-м.
37.5(37-5). Для определения момента трения в цапфах на вал
насажен маховик массы 500 кг; радиус инерции маховика р =
= 1,5 м. Маховику сообщена угловая скорость, соответствующая
п =240 об/мин; предоставленный самому себе, он остановился
через 10 мин. Определить момент трения, считая его постоянным.
Ответ: 47,1 Н-м.
37.6(37.7). Для быстрого торможения больших маховиков при-
меняется электрический тормоз, состоящий из двух диаметрально
расположенных полюсов, несущий на себе обмотку, питаемую по-
стоянным током. Токи, индуцируемые в массе маховика при его
движении мимо полюсов, создают тормозящий момент Afj, про-
порциональный скорости v на ободе маховика: M\=kv, где k —
коэффициент, зависящий от магнитного потока и размеров махо-
вика. Момент М2 от трения в подшипниках можно считать постоян-
ным; диаметр маховика D, момент инерции его относительно оси
вращения I. Найти, через какой промежуток времени остановится
маховик, вращающийся с угловой скоростью ы0.
37.7(37.8). Твердое тело, находившееся в покое, приводится во
вращение вокруг неподвижной вертикальной оси постоянным мо-
ментом, равным М: прн этом возникает момент сил сопротивления
Л41, пропорциональный квадрату угловой скорости вращения твер-
дого тела: Л1|=аш2 Найти закон изменения угловой скорости;
момент инерции твердого тела относительно осн вращения равен J.
. где р = — -у/аМ.
37.8(37.9). Решить предыдущую задачу в предположении, что
момент сил сопротивления Mi пропорционален угловой скорости
вращения твердого тела: Mi = aw.
_ Гм — 1
Ответ: а = л /-----------
V а e₽t + 1
278
Ответ', о = — (1 — e~atlJ).
37.9(37.10). Шарик А, находящийся в сосуде с жидкостью и
прикрепленный к концу стержня АВ длины /, приводится во вра-
щение вокруг вертикальной осн O1O2 с начальной угловой ско-
ростью wo- Сила сопротивления жидкости пропорциональна угло-
вой скорости вращения: R — аты, где т — масса шарика, а —
коэффициент пропорциональности. Определить, через какой про-
межуток времени угловая скорость вращения станет в два раза
меньше начальной, а также число оборотов п, которое сделает
стержень с шариком за этот промежуток времени. Массу шарика
считать сосредоточенной в его центре, массой стержня пренебречь.
Ответ: Г = —!п2, п=4^-
а 4ла
37.10(37.11). Определить, с какой угловой скоростью со упадет
на землю спиленное дерево массы М, если его центр масс С рас-
положен на расстоянии h от основания, а силы сопротивления воз-
духа создают момент сопротивления тс, причем тсг — —<хф2, где
а = const. Момент инерции дерева относительно оси г, совпадаю-
щей с осью, вокруг которой поворачивается дерево при падении,
равен J.
п л / 2MghJ ( , о а
Ответ: со= 'у р + ао? Vе + 2Tj'
37.11(37.12). Вал радиуса г приводится во вращательное дви-
жение вокруг горизонтальной оси гирей, подвешенной посредством
троса. Для того чтобы угловая скорость вала через некоторое
время после начала движения имела величину, близкую к по-
стоянной, с валом соединены п одинаковых пластин; сопротивление
воздуха, испытываемое пластиной, приводится к силе, нормальной
к пластине, приложенной на расстоянии R от оси вала н пропор-
циональной квадрату ее угловой скорости, причем коэффициент
пропорциональности равен k. Масса гири т, момент инерции всех
вращающихся частей относительно оси вращения равен J; массой
троса и трением в опорах пренебречь.
279
Определить угловую скорость а> вала, предполагая, что в на-
чальный момент она равна нулю.
Ответ-. со = е ~ 1 , где а =-----—5- л/rngnkrR: при до-
V knR е“ + 1 1 + тг*
статочно большом значении t угловая скорость со близка к
ПО-
стоянной величине
. / mSr
*\J knR
К задаче 37.13
37-12(37.15). Упругую проволоку, на которой подвешен одно-
родный шар с радиусом г и массой т, закручивают на угол ф0,
а затем предоставляют ей свободно раскручиваться. Момент, не-
обходимый для закручивания проволоки на один радиан, равен с.
Определить движение, пренебрегая сопротивлением
воздуха и считая момент силы упругости закру-
ченной проволоки пропорциональным углу круче-
ния ф. ____
Ответ: <p = <p0cos д/2^2^
37.13(37.16). Часовой балансир А может вра-
щаться вокруг оси, перпендикулярной его плоско-
сти и проходящей через центр тяжести О, имея от-
носительно этой оси момент инерции J. Балансир приводится в дви-
жение спиральной пружиной, один конец которой с ним скреп-
лен, а другой присоединен к неподвижному корпусу часов. При
повороте балансира возникает момент сил упругости пружины,
пропорциональный углу поворота. Момент, необходимый для за-
углу поворота. Момент, необходимый для за-
кручивания пружины на один радиан, равен
с. Определить закон движения балансира,
если в начальный момент в условиях отсут-
ствия сил упругости балансиру сообщили на-
чальную угловую скорость а>о-
Ответ: ф = ы0 sin t.
37.14(37.17). Для определения момента
инерции Jz тела А относительно вертикальной
оси Oz его прикрепили к упругому вертикаль-
ному стержню OOi, закрутили этот стержень,
повернув тело А вокруг оси Oz на малый
угол фо, и отпустили; период возникших коле-
баний оказался равным Ть момент сил упру-
гости относительно оси Oz равен тг = — с<р.
Для определения коэффициента с проделали второй опыт; на стер-
жень в точке О был надет однородный круглый диск радиуса г
массы М, и тогда период колебаний оказался равным Т2. Опреде-
лить момент инерции тела Д.
„ . Mr2 с Г,
Ответ: = — .
280
37.15(37.18). Решить предыдущую задачу в предположении, что
для определения коэффициента с второй опыт проделывают иначе:
однородный круглый диск массы М и радиуса г прикрепляется
к телу, момент инерции которого требуется определить. Найти мо-
мент инерции тела Jz, если период колебаний тела ть а период
колебаний тела с прикрепленным к нему диском тг-
Mr2 т2
Ответ'. Jz —
37.16(37.19). Бифилярный подвес состоит из однородного
стержня АВ длины 2а, подвешенного горизонтально посредством
двух вертикальных нитей длины I, отстоящих друг от друга на
расстоянии 2Ь. Определить период крутильных колебаний стержня.
полагая, что стержень в течение всего времени
движения остается в горизонтальном положении
и натяжение каждой из нитей! равно половине
веса стержня.
Указание При определении горизонтальной со-
ставляющей натяжения каждой из нитей, сбитая колеба-
ния бифиляра малыми, заменить синус угла между направ-
лением инти и вертикалью самим углом.
_ — 2лс / I к задаче 37.16
Ответ: Т =
37.17(37.20). Диск, подвешенный к упругой проволоке, совер-
шает крутильные колебания в жидкости. Момент инерции диска
относительно осн проволоки равен J. Момент, необходимый для
закручивания проволоки на одни радиан, равен с. Момент сопро-
тивления движению равен aSco. где а — коэффициент вязкости
жидкости, S — сумма площадей верхнего н ннжнего оснований ди-
ска, ю — угловая скорость диска. Определить период колебаний
диска в жидкости.
Ответ: Т =—, - _=
y/icJ — a2S2
37.18(37.22). Твердое тело, подвешенное на упругой проволоке,
совершает крутильные колебания под действием внешнего момен-
та тЕ, причем mBZ = mi sin a>t + m3 sin Зсо/, где m(, m3 и co — по-
стоянные, a z—ось, направленная вдоль проволоки. Момент сил
упругости проволоки равен mynp, причем mynpz =—сф, где с —
коэффициент упругости, а ф — угол закручивания. Определить за-
кон вынужденных крутильных колебаний твердого тела, если его
момент инерции относительно оси z равен Jz. Силами сопротивле-
ния движению пренебречь. Считать, что Vc/^z =/= ® и 'JcUz 3<о.
Ответ: ф = sin со/ + sin Зсо/, где k2 = c/Jz,
h\ — mjlz, h3 — m^Jz.
37.19(37.23). Решить предыдущую задачу с учетом момента сил
сопротивления тс, пропорционального угловой скорости твердого
тела, причем тсг — — Рф, где р— постоянный коэффициент.
281
Ответ: <p = A] sin (со/ — ei) + А3 sin (Зсо/ — е3), где
-1
д,—, ____
д/(А:2 — си2)2 4п2со2
, 2псо
£i = arctg^Z7?-
Лз
A3 — . .
V (fc2 — 9cu2)2 + 36n2co2
, 6nu> 6
C3 = arctg^9^- «= 277-
37.20. Диск D, радиус которого равен R, а масса — M, подве-
шен на упругом стержне АВ, имеющем жесткость на кручение с.
Конец стержня В вращается по закону фв = со0/ + Ф sin pt, где w0,
Ф, р — постоянные величины. Пренебрегая силами
сопротивления, определить движение диска D: 1) при
отсутствии резонанса, 2) при резонансе. В начальный
момент диск был неподвижен, а стержень — неде-
формирован.
Ответ: 1) фЛ (/) = <оо/ —
_ sin kt + -k21 р2 (sin pt —sin A/) ,
, / 9c , 2сФ
где k — MR2 ,
sin kt+-Д- sin kt — t cos kt\.
к 2к \ k J
,в
А
л
К задаче 37.20
2) Фл (/) = —
37.21. Твердое тело, подвешенное к упругой про-
волоке, совершает крутильные колебания в жидкости.
Момент инерции тела относительно оси проволоки z равен /2-
Момент сил упругости проволоки zn?npz = — сф, где с—коэффи-
циент упругости, а ф — угол закручивания; момент сопротивления
движению rn.cz — — Рф, где ф— угловая скорость твердого тела,
а 0 > 0. В начальный момент твердое тело было закручено на
угол фо и отпущено без начальной скорости. Найти уравнение дви-
жения твердого тела, если
Ответ: Затухающие крутильные колебания по закону
k ~ni't + sin 0 •
где k2 = c/Jz, п = $/{2JZ).
37.22. Однородный круглый диск массы М и радиуса R, подве-
шенный к упругой проволоке, может совершать крутильные коле-
бания В ЖИДКОСТИ. Момент сил упругости проволоки тупр г — —Сф,
где ось z проведена вдоль проволоки, с — коэффициент упругости,
а ф — угол закручивания; момент сопротивления движению mcz =
= —0Ф, где ф — угловая скорость диска, а 0 > 0. В начальный
момент диск был закручен на угол ф0 и отпущен без начальной
скорости. Найти уравнение движения диска, если:
282
Ответ: Апериодическое движение по закону
О = = (>+"<)• ™" = да-.
2) тп? > Vw • »“ Ivfer е~"‘ к_ „) х
X е - 1 + (-у/п2 — k2 + п) 1 ],
где k2 = 2с/ (MR2), п = ₽/ (MR2).
37.23 . Твердое тело, подвешенное на упругой проволоке, совер-
шает крутильные колебания под действием внешнего момента
тв г = mo cos pt, где т0 и р — положительные постоянные, az—
ось, направленная вдоль проволоки. Момент сил упругости про-
волоки гпупр г = —с<р, где с — коэффициент упругости, а ф — угол
закручивания. Момент инерции твердого тела относительно оси г
равен Jz- Силами сопротивления движению пренебречь. Опреде-
лить уравнение движения твердого тела в случаях: 1) *Jc[Jz^=p,
2) -Jcllz = p, если в начальный момент при ненапряженной про-
волоке твердому телу была сообщена угловая скорость соо.
Ответ: 1) д/т~=/=р, ф=-^- sin fet + -2-^_ ?2 (cos pt — cos kt),
где k^=^Jc!Jz, h = mJJz,
2) д/-^- = р, <P = -^-sin kt + -^t sin kt, где k= j- = p,
h = tnJJz.
37.24 . Однородный круглый диск массы М и радиуса R, подве-
шенный на упругой проволоке, совершает резонансные крутильные
колебания в жидкости под действием внешнего момента пгв г =
= т0 sin pt, где то и р — положительные постоянные, az — ось,
направленная вдоль проволоки; момент сил упругости проволоки
тУпрг—— сф, где с — коэффициент упругости, а ф — угол закру-
чивания; момент сопротивления движению mcz ——Рф, где ф—
угловая скорость диска, а р >0. Найти уравнение вынужденных
резонансных колебаний диска.
Ответ: При P = \W Ф = - -^wspt, где =
п==_₽_
п MR2
37.25 (37.24). Для определения коэффициента вязкости жидко-
сти наблюдают колебания диска, подвешенного к упругой прово-
локе в жидкости. К диску приложен внешний момент, равный
Mosinp/ (Мо — const), при котором наблюдается явление резо-
нанса. Момент сопротивления движению диска в жидкости равен
aS а, где а — коэффициент вязкости жидкости, S — сумма площа-
дей верхнего и нижнего оснований диска, со — угловая скорость
диска. Определить коэффициент а вязкости жидкости, если ампли-
туда вынужденных колебаний диска при резонансе равна фо-
283
Ответ', а = М°—.
<Ро^Р
37.26 (37.26). При полете снаряда вращение его вокруг оси сим-
метрии замедляется действием момента силы сопротивления воз-
духа, равного &со, где со — угловая скорость вращения снаряда,
k — постоянный коэффициент пропорциональности. Определить за-
кон убывания угловой скорости, если начальная угловая скорость
равна соо, а момент инерции снаряда относительно оси симметрии
равен J.
t
Ответ: со = <оое 1
37.27(37.27). Для определения ускорения силы тяжести поль-
зуются
К задаче
37.27
оборотным маятником, который представляет собой стер-
жень, снабженный двумя трехгранными ножами А и В.
Один из ножей неподвижен, а второй может переме-
щаться вдоль стержня. Подвешивая стержень то на один,
то на другой нож и меняя расстояние АВ между ними,
можно добиться равенства периодов качаний маятника
вокруг каждого из ножей. Чему равно ускорение силы
тяжести, если расстояние между ножами, при котором
периоды качаний маятника равны, АВ = I, а период
качаний равен Т?
Ответ: g = ЛлЧ/Т2.
37.28(37.28). Два твердых тела могут качаться во-
круг одной и той же горизонтальной оси как отдельно
друг от друга, так и скрепленные вместе. Определить
приведенную длину сложного маятника, если массы твердых тел
Л4] и Л42. расстояния от их центров тяжести до общей оси враще-
ния а, и о2, а приведенные длины при отдельном качании каждого
/1 и /2.
Ответ: 1пр
М 1Д| A^2^2
37.29. Часть прибора представляет собой однородный стержень
длины L, свободно подвешенный одним концом на горизонтальной
оси О. Для регистрации качаний стержня к его нижнему концу
приклеивается небольшое зеркало массы т. При этом, чтобы ча-
стота колебаний стержня не изменилась, на нем в другом месте
укрепляется груз А. Рассматривая зеркало и груз как материаль-
ные точки, найти минимальную массу, которую должен иметь
груз А. На каком расстоянии от оси О его следует прикрепить?
Ответ: пгл = Зт, О А = */3L.
37.30(37.29). Для регулирования хода часов к маятнику массы
Mi, приведенной длины I с расстоянием а от его центра тяжести
до оси подвеса прикрепляют добавочный груз массы М2 на рас-
стоянии х от осн подвеса. Принимая добавочный груз за мате-
риальную точку, определить изменение Д/приведенной длины маят-
ника при данных значениях М2 и х и значение х = хь при кото-
ром заданное изменение Д/ приведенной длины маятника дости-
гается при помощи добавочного груза наименьшей массы.
284
Ответ-. Приведенную длину маятника надо уменьшить на
Л/ = х, = | (/ + Д/)
М^а 4- М2х 2 1 ’
37.31(37.30). Для определения момента инерции J данного тела
относительно некоторой оси АВ, проходящей через центр масс G
тела, его подвесили жестко скрепленными
и BE, свободно насаженными на неподвиж-
ную горизонтальную ось DE, так, что
ось АВ параллельна DE; приведя затем
тело в колебательное движение, определи-
ли продолжительность Т одного размаха.
Как велик момент инерции J, если масса
тела М и расстояние между осями АВ и
DE равно Л? Массами стержней прене-
бречь.
Ответ: J = hMg — у)
с ним стержнями AD
37-32(37.31). Решить предыдущую задачу с учетом массы тон-
ких однородных прямолинейных стержней AD и BE, если масса
каждого из них равна Mi.
Ответ:
37.33(37.32). Для определения момента инерции шатуна его за-
ставляют качаться вокруг горизонтальной осн, продев через втул-
ку цапфы крейцкопфа тонкий цилиндрический стержень. Продол-
жительность ста размахов 100Т — 100 с, где Т — половина периода.
К задаче 37.33
Затем для определения расстояния АС = h центра масс С от цент-
ра А отверстия шатуи положили горизонтально, подвесив его в
точке А к талям и оперев точкой В на платформу десятичных ве-
сов; давление на иее оказалось при этом равным Р. Определить
центральный момент инерции J шатуна относительно оси, перпен-
дикулярной плоскости рисунка, имея следующие данные: масса
шатуна М, расстояние между вертикалями, проведенными через
точки А и В (см. правый рисунок) равно I, радиус цапфы крейц-
копфа г.
285
Ответ:
g V я2 Mg J
37.34(37.33). Маятник состоит из стержня АВ с прикрепленным
к нему шаром массы m и радиуса г, центр которого С находится
на продолжении стержня. Определить, пренебрегая массой стерж-
К задаче
37.34
ня, в какой точке стержня нужно поместить ось подвеса
для того, чтобы продолжительность одного размаха при
малых качаниях имела данную величину Т.
Ответ: ОС = ^- (gT2 + -д/§2Г - 1,6nV ).
Так как должно быть ОС г, то решение возможно, если
Т2 1,4 — г' Решенне. соответствующее знаку минус перед радика-
лом, невозможно.
37.35(37.34). На каком расстоянии от центра масс
должен быть подвешен физический маятник, чтобы пе-
риод его качаний был наименьшим’
Ответ: На расстоянии, равном радиусу инерции ма-
относительно оси, проходящей через его центр масс пер-
ятника
пендикулярно плоскости качаний.
37.36(37.35). Маятник состоит из стержня с двумя закреплен-
ными на нем грузами, расстояние между которыми равно /; верх-
ний груз имеет массу гтц, нижний — массу /п2. Определить, на ка-
ком расстоянии х от нижнего груза нужно поместить ось подвеса
для того, чтобы период малых качаний маятника был наимень-
шим; массой стержня пренебречь и грузы считать материальными
К задаче 37„39
К задаче 37.38
точками. ___
Ответ: x — l^mx .
37.37(37.36). На каком расстоянии от оси подвеса должен быть
присоединен к физическому маятнику добавочный груз, чтобы пе-
риод качаний маятника не из-
менился?
Ответ: На расстоянии при-
веденной длины физического
маятника.
37.38(37.37). Круглый ци-
линдр массы М, длины 2/ и ра-
диуса г = //6 качается около
оси О, перпендикулярной пло-
скости рисунка. Как изменится
период качаний цилиндра,
если прикрепить к нему на рас-
стоянии ОК = 85/?2/ точечную
массу ш?
Ответ: Период качаний не изменится, так как точечная масса
добавлена в центре качаний цилиндра.
37.39(37.38). Найти уравнение малых колебаний однородного
диска массы М и радиуса г, совершающего колебания вокруг го-
286
ризонтальной оси Oz, перпендикулярной его плоскости и отстоя-
щей от центра масс С диска на расстоянии ОС—г/2. К диску
приложен вращающий момент гивр, причем твр г = то sin pt, где
т0 и р — постоянные. В начальный момент диску, находившемуся
в нижнем положении, была сообщена угловая скорость <о0. Силами
сопротивления пренебречь. Считая колебания малыми, принять
sin <р » tf.
Ответ: 1) При р =/= д/<р = (<оо — sin kt +
+ k2- р2 sin pt’ где * = v зт-’ Л=зм^;
/ 2n
2) при
1 ( . h \ - h
<P = -^0 + —) sinp^-—rcospf, где
,___
n ~ 3Mr2 '
37.40(37.39). В сейсмографах — приборах для регистрации зем-
летрясений— применяется физический маятник, ось подвеса кото-
рого образует угол а с вертикалью. Расстояние от оси подвеса до
центра масс маятника равно а, момент инерции маятника отно-
сительно оси, проходящей через его центр масс параллельно оси
подвеса, равен Jc, масса маятника равна М. Определить период
колебаний маятника.
V
Ответ: Т = 2л
/с + Ма2
Mag sin а
37.41(37.40). В вибрографе для записи горизонтальных колеба-
ний фундаментов машин маятник ОА, состоящий из рычага с гру-
зом на конце, может качаться вокруг своей горизонтальной оси О,
К задаче 37.41
удерживаясь в вертикально^м положении устойчивого равновесия
собственной массой и спиральной пружиной. Опре-
делить период собственных колебаний маятника
при малых углах отклонения, если максимальный
статический момент силы тяжести маятника отно-
сительно его оси вращения равен Mgh., момент
инерции относительно той же оси равен /г, коэф-
фициент жесткости пружины, сопротивление кото-
рой пропорционально углу закручивания, равен с;
при равновесном положении маятника пружина
находится в ненапряженном состоянии. Сопротив-
лениями пренебречь.
Ответ: Т — 2л л- .
V с + Mgh
37.42(37.41). Виброграф (см. предыдущую задачу) закреплен
на фундаменте, совершающем горизонтальные гармонические ко-
лебаний по закону х = a sin (об Определить амплитуду а колеба-
ний фундамента, если амплитуда вынужденных колебаний маят-
ника вибрографа оказалась равной <р0.
287
37.43(37.42). При пуске в ход электрической лебедки к бара-
бану А приложен вращающий момент твр, пропорциональный вре-
мени, причем твр = at, где а — постоянная. Груз В массы 7И] под-
нимается посредством каната, навитого на барабан А радиуса г
и массы М2. Определить угловую скорость барабана, считая его
сплошным цилиндром. В начальный момент лебедка находилась
в покое.
~ (at — 2M,gr) t
г2 (2М । + М2)
37.44(37.43). Для определения момента инерции J махового ко-
леса А радиуса R относительно оси, проходящей через центр масс,
колесо обмотали тонкой проволокой, к которой привязали гирю В
массы М\ и наблюдали продолжительность Т\ опускания гири с
высоты h. Для исключения трения в подшипниках проделали вто-
рой опыт с гирей массы М2, причем продолжительность опускания
оказалась равной Т2 при прежней высоте. Считая момент силы
трения постоянным и не зависящим от массы гири, вычислить мо-
мент инерции /.
Ответ: J — R2
£~(М, — м2) —
2h
( Мх М2\
к А Т2)
Г?
37.45(37.44). К валу / присоединен электрический мотор, вра-
щающий момент которого равен mi. Посредством редуктора ско-
ростей, состоящего .из четырех зубчатых колес 1, 2, 3 и 4, этот
вращающий момент передается на шпиндель III токарного станка,
к которому приложен момент сопротивления т2 (этот момент воз-
никает прн снятии резцом стружки с обтачиваемого изделия).
Определить угловое ускорение шпинделя III, если моменты инер-
S
*11
*1
31
-и;
7
S1
1 1
т
2
2
288
однородным цилин-
пии всех вращающихся деталей, насаженных на валы /, II и III,
соответственно равны Ц, In, /щ. Радиусы колес равны rt, г2, г3 и л.
т,.:, « • kr, . —т, г г
Ответ: СШ = 77У 4-^ W 4.J ’ rAeft>.2 = -. *3.4 = ^-
(/l«l.2+/ll)«3, ч + Лп П г3
37.46(37.46). Барабан А массы М\ и радиуса г приводится во
вращение посредством груза С массы М2, привязанного к концу
нерастяжимого троса. Трос перебро-
шен через блок В н намотан на ба-
рабан А. К барабану А приложен
момент сопротивления mQ, пропор-
циональный угловой скорости бара-
бана; коэффициент пропорциональ-
ности равен а. Определить угловую
скорость барабана, если в началь-
ный момент система находилась в
покое. Массами каната и блока В
пренебречь. Барабан считать сплошным
дром.
Ответ: = где ₽
2а
lim а
г2 (All + 2/4 J ’
= —— = cons|_
а
37.47(37.46). Определить угловое ускорение ведущего колеса
автомашины массы М и радиуса г, если к колесу приложен вра-
щающий момент щвр. Момент инерции колеса относительно оси,
проходящей через центр масс С перпендикулярно плоскости мате-
риальной симметрии, равен Jc: [к — коэффициент трения качения,
FTP — сила трения. Найти также значение вращающего момента,
при котором колесо катится с постоянной угловой скоростью.
Ответ: е. — , твр = MgfK + ЛРг.
‘с
37.48(37.47). Определить угловую скорость ведомого автомо-
бильного колеса массы М и радиуса г. Колесо, катящееся со сколь-
жением по горизонтальному шоссе, приводится в движение по-
средством горизонтально направленной силы, приложенной в его
центре масс С. Момент инерции колеса относительно оси С, пер-
пендикулярной плоскости материальной симметрии, равен Jc’, [к —
коэффициент трения качения, f— коэффициент трения при каче-
нии со скольжением. В начальный момент колесо находилось в
покое.
Ответ: = —- (fr — fK) t.
Jc
37.49(37.48). Изменится ли угловая скорость колеса, рассмот-
ренного в предыдущей задаче, если модуль силы, приложенной
в его центре масс С, увеличится в два раза?
Ответ: Не изменится.
289
10— 1318
вязан груз
К задаче 37.50
37.50(37.4&). Через блок, массой которого пренебрегаем, пере-
кинут канат; за точку А каната ухватился человек, к точке В под-
одинаковой массы с- человеком. Что произойдет с гру-
зом, если человек станет подниматься по канату со
скоростью v относительно каната?
Ответ: Груз будет подниматься с канатом со ско-
ростью v/2.
37.51(37.50). Решить предыдущую задачу, прини-
мая во внимание массу блока, которая в четыре раза
меньше массы человека. Считать, что масса блока
равномерно распределена по его ободу.
Ответ: Груз будет подниматься со скоростью v
37.52(37.51). Круглая горизонтальная платформа
может вращаться без трения вокруг неподвижной
оси Oz, проходящей через ее центр О; по платформе
на неизменном расстоянии от оси Oz, равном г, идет с по-
стоянной относительной скоростью и человек, масса которого
равна ЛГь С какой угловой скоростью <о будет при этом вра-
щаться платформа вокруг оси, если массу ее М2 можно считать
равномерно распределенной по площади круга радиуса /?, а в
начальный момент платформа и человек имели скорость, равную
нулю?
Ответ, со Л121?2 + 2ЛГ1Г2
37-53(37.52). Круглая горизонтальная платформа вращается без
трения вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр масс
с постоянной угловой скоростью а»о’> при этом на платформе стоят
четыре человека одинаковой мас-
сы: два — на краю платформы, а
два — на расстояниях от оси вра-
щения, равных половине радиуса
платформы. Как изменится угло-
вая скорость платформы, если
люди, стоящие на краю, будут
двигаться по окружности в сто-
рону вращения с относительной
линейной скоростью и, а люди,
стоящие на расстоянии половины
радиуса от оси вращения, будут двигаться по окружности в про-
тивоположную сторону с относительной линейной скоростью 2«?
Людей считать точечными массами, а платформу—круглым од-
нородным диском.
Ответ: Платформа будет вращаться с той же угловой ско-
ростью.
37.54(37.53). Решить предыдущую задачу в предположении, что
все люди двигаются в сторону вращения платформы. Радиус плат-
формы R, ее масса в четыре раза больше массы каждого из людей
и равномерно распределена по всей ее площади. Выяснить также,
29(1
чему должна быть равна относительная линейная скорость и для
того, чтобы платформа перестала вращаться.
л 8 и 9 _
Ответ: «i=w0 ——u — — Rw0.
37.55(37-54). Человеку, стоящему на скамейке Жуковского, в
то время, когда он протянул руки в стороны, сообщают начальную
угловую скорость, соответствующую 15 об/мин; при этом момент
инерции человека и скамейки относительно оси вращения равен
0,8 кг-м2. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамейка
с человеком, если, приблизив руки к туловищу, он уменьшит мо-
мент инерции системы до 0,12 кг-м2?
Ответ: 100 об/мин.
37.56(37.56). Горизонтальная трубка CD может свободно вра-
щаться вокруг вертикальной оси АВ. Внутри трубки на расстоянии
МС = а от оси находится шарик М. В некоторый момент времени
трубке сообщается начальная угло-
вая скорость <оо. Определить угло-
вую скорость со трубки в
когда шарик вылетит из
момент»
трубки.
К задаче 37.57
Момент инерции трубки относительно оси вращения равен J,
L — ее длина; трением пренебречь, шарик считать материальной
точкой массы т.
I + та1
Ответ: о = -j—.—соо.
J + mL1 и
37.57(37.57). Однородный стержень АВ длины 2L = 180 см и
массы М\ — 2 кг подвешен в устойчивом положении равновесия на
острие так, что ось его горизонтальна. Вдоль стержня могут пере-
мещаться два шара массы М2 = 5 кг каждый, прикрепленные к
концам двух одинаковых пружин. Стержню сообщается враща-
тельное движение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью,
соответствующей п\ =64 об/мин, причем шары расположены сим-
метрично относительно оси вращения и центры их с помощью нити
удерживаются на расстоянии 2/1 = 72 см друг от друга. Затем
нить пережигается, и шары, совершив некоторое число колебаний,
устанавливаются под действием пружин и сил трения в положение
равновесия на расстоянии 2/2 = 108 см друг от друга. Рассматри-
вая шары как материальные точки и пренебрегая массами пружин,
определить новое число п2 оборотов стержня в минуту.
291
6M2l?+M.L2 , ,
Ответ: tin =---X-------r Hj = 34 об/мин.
бМ^+AfjL2
37.58(37.58). Тележка поворотного подъемного крана движется
с постоянной скоростью v относительно стрелы. Мотор, вращаю-
щий кран, создает в период разгона постоянный
।_________ момент, равный ш0. Определить угловую скорость
----у вращения крана в зависимости от расстояния х
/ тележки до оси вращения АВ, если масса тележки
с грузом равна М, J — момент инерции крана (без
/ тележки) относительно оси вращения; вращение на-
/---чинается в момент, когда тележка находится на
z расстоянии Л'о от оси АВ.
Л Ответ: ш = ' ~Х° »
J 4- Мх* v
К задаче 37.53 37.59(37.59). Сохранив условие предыдущей за-
дачи, определить угловую скорость со вращения
крана, если мотор создает вращающий момент, равный т0 — асо,
где то и а — положительные постоянные.
Ответ: cot=
, х г ц arctg -г •-=-
-И arctg Г Л Ь_а/2_
v (/ + Л1х2) е }в йХ’ ГДе — V М ’
Хе
(ось х направлена вправо вдоль стрелы).
§ 38. Теорема об изменении кинетической энергии
материальной системы
38.1(38.1). Вычислить кинетическую энергию плоского механиз-
ма, состоящего из трех стержней АВ, ВС и CD, прикрепленных
цилиндрическими шарнирами А и D к потолку и соединенных ме-
жду собой шарнирами В и С. Масса каждого из стержней АВ
К задаче 38.1
К задаче 38.2
и CD длины / равна Mi, масса стержня ВС равна М2, причем
DC = AD. Стержни АВ и DC вращаются с угловой скоростью <о.
Ответ: Т = /W.
О
38.2(38.2). Однородный тонкий стержень АВ массы М опи-
рается на угол D и концом А скользит по горизонтальной направ-
ляющей. Упор Е перемещается вправо с постоянной скоростью V.
Определить кинетическую энергию стержня в зависимости от
292
рисунка, равен /0; длина кри-
К задаче 38.3
угла ф, если длина стержня равна 21, а превышение угла D над
горизонтальной направляющей равно И.
Ответ: Т = (1 — 2 э!п3ф + у 51П4ф) .
38-3(38.3). Вычислить кинетическую энергию кулисного меха-
низма, если момент инерции кривошипа ОА относительно оси вра-
щения, перпендикулярной плоскости
вошипа равна а, масса кулисы рав-
на т, массой камня А пренебречь.
Кривошип ОА вращается с угловой
скоростью со. При каких положе-
ниях механизма кинетическая энер-
гия достигает наибольшего и наи-
меньшего значений?
Ответ: Т = у (Jo + ma2 sin2 ф) to2.
Наименьшая кинетическая энер-
гия— при крайних положениях кулисы, наибольшая — при про-
хождении кулисой среднего положения.
38.4(38.4). Вычислить кинетическую энергию гусеницы трак-
тора, движущегося со скоростью v0- Расстояние между осями
К задаче 38.4
К задаче 38.5
колес равно I, радиусы колес равны г, масса одного погонного
метра гусеничной цепи равна у.
Ответ: Т = 2у (/ + лг) ц2.
38.5(38.6). Вычислить кинетическую энергию кривошипно-пол-
зунного механизма, если масса кривошипа т\, длина кривошипа г,
масса ползуна т2, длина шатуна I. Массой шатуна пренебречь.
Кривошип считать однородным стержнем. Угловая скорость вра-
щения кривошипа <а.
Ответ: Т — у ( у m, + т, Г siп ф + -д-- sl“ — Т ) ЛЛ
г L V' - (f) J)
38.6(38.6). Решить предыдущую задачу для положения, когда
кривошип ОА перпендикулярен направляющей ползуна; учесть
массу шатуна т3.
Ответ: Т = у (у- + т2 + т3) г2в>2.
38.7(38.7). Планетарный механизм, расположенный в горизон-
тальной плоскости, приводится в движение кривошипом ОА, со-
293
К задаче 38.7
единяющим оси трех одинаковых колес I, II и III. Колесо I не-
подвижно; кривошип вращается с угловой скоростью to. Масса
каждого из колес равна Mi, радиус каждого из колес равен г,
масса кривошипа равна М2. Вычислить кинетическую энергию ме-
ханизма, считая колеса однородными ди-
сками, а кривошип — однородным
нем. Чему равна работа пары сил,
женной к колесу III?
Ответ: Т = (ЗЗМ, + 8М2);
О
равна нулю.
38.8(38.8). Мельничные бегуны А и В насажены на горизон-
тальную ось CD, которая вращается вокруг вертикальной оси EF;
масса каждого бегуна 200 кг; диаметры бегунов одинаковы, каж-
дый равен 1 м; расстояние между ними
стерж-
прило-
работа
CD равно 1 м. Найти
кинетическую энергию бегунов, когда ось CD совершает 20 об/мин,
допуская, что при вычислении моментов инерции бегуны можно
рассматривать как однородные тонкие диски. Качение бегунов по
опорной плоскости происходит без скольжения.
Ответ: 383 Н-м.
38.9(38.0). В кулисном механизме при качании рычага ОС во-
круг оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, ползун Л, пере-
мещаясь вдоль рычага ОС, приводит в движение стержень АВ,
движущийся в вертикальных направляющих К. Рычаг ОС длины /?
считать однородным стержнем с мас-
сою mi, масса ползуна равна т2,
масса стержня АВ равна m3, ОК = I.
Выразить кинетическую энергию ме-
ханизма в функции от угловой скоро-
сти и угла поворота рычага ОС, Пол*
зун считать точечной массой,
[/щ#2 cos4 <р + ЗР (т2 + т3)].
K задаче 38.10
„ „ СО2
Ответ'. Т = -7—;—
Ь cos’ <р
88.10(38.10). Вычислить кинетическую энергию системы, со-
стоящей из двух колес, соединенных паровозным спарником 4В и
стержнем OiO2, если оси колес движутся со скоростью v0. Масса
каждого колеса равна Mi. Спарник АВ и соединительный стер-
294
жень 0\0z имеют одинаковую массу ЛТ2. Масса колес равномерно
распределена по их ободам; OtA = О2В = г/2, где г — радиус ко-
леса, Колеса катятся без скольжения по прямолинейному рельсу.
Ответ: Т — -&- [16Л4\ + Л42(9 -|-4 sin<p)J.
38.11(38.11). Автомобиль массы М движется прямолинейно по
горизонтальной дороге со скоростью v. Коэффициент треиия каче-
ния между колесами автомобиля и дорогой равен /к, радиус ко-
лес г, сила аэродинамического сопротивления Rc воздуха пропор-
циональна квадрату скорости: Rc = ^Mgv2, где р.— коэффициент,
зависящий от формы автомобиля. Определить мощность N двига-
теля, передаваемую на оси ведущих колес, в установившемся ре-
жиме.
Ответ: N — Mg (-у- +
К задаче 38.12
38.12. Машина массы М для шлифовки льда движется равно-
мерно и прямолинейно со скоростью v по горизонтальной плоскости
катка. Положение центра масс С указано на рисунке. Вычислить
мощность N двигателя, передаваемую на
оси колес радиуса г, если —коэффи-
циент треиия качения между колесами
автомашины и льдом, a f — коэффициент
трения скольжения между шлифующей
кромкой А и льдом. Колеса катятся без
скольжения.
Ответ: N = -1-- (2f + -у- и.
38.13(38.12). На вал диаметра 60 мм насажен маховик диамет-
ра 50 см, делающий 180 об/мин. Определить коэффициент трения
скольжения f между валом и подшипниками, если после выклю-
чения привода маховик сделал 90 оборотов до остановки. Массу
маховика считать равномерно распределенной по его ободу. Мас-
сой вала пренебречь.
Ответ: f — 0,07.
38.14(38.13). Цилиндрический вал диаметра 10 см и массы
0,5 т, на который насажено маховое колесо диаметра 2 м и массы
3 т, вращается в данный момент с угловой скоростью 60 об/мин,
а затем он предоставлен самому себе. Сколько оборотов еще сде-
лает вал до остановки, если коэффициент трения в подшипниках
равен 0,05? Массу маховика считать равномерно распределенной
по его ободу.
Ответ: 109,8 об.
38.15(38.14). Однородный стержень ОА длины I и массы М мо-
жет вращаться вокруг горизонтальной неподвижной оси О, про-
ходящей через его конец перпендикулярно плоскости рисунка. Спи-
ральная пружина, коэффициент упругости которой равен с, одним
концом скреплена с неподвижной осью О, а другим — со стерж-
нем. Стержень находится в покое в вертикальном положении, при-
295
чем пружина при этом не деформирована. Какую скорость надо
сообщить концу А стержня для того, чтобы он отклонился от вер-
тикали на угол, равный 60°?
38.16(38.16). К концам гибкой нерастяжнмой нити, переброшен-
ной через ничтожно малый блок А,
К задаче 38 15
подвешены два груза. Груз
массы М\ может скользить
вдоль гладкого вертикаль-
ного стержня CD, отстояще-
го от оси блока на расстоя-
нии а; центр тяжести этого
груза в начальный момент
находился на одном уровне
с осью блока; под действи-
ем силы тяжести этот груз
начинает опускаться без на-
чальной скорости. Найти
зависимость между ско-
ростью первого груза и вы-
сотой его опускания h.
Масса второго груза рав-
на М.
Ответ. vz og (q2 । Mlh - М - о)
лвет. V Zg{a мх {а? + h3) + Mh3 •
38.17(38.17). Груз Р массы М с наложенным на него дополни-
тельным грузом массы Mi посредством шнура, перекинутого че-
рез блок, приводит в движение из состояния покоя тело А массы
Л12, находящееся на негладкой горизонтальной плоскости ВС. Опу-
К задаче 38 17
стившись на расстояние sb
груз М проходит через кольцо
D, которое снимает дополни-
тельный груз Mi, после чего
груз Af, опустившись на рас-
стояние $2, приходит в состоя-
ние покоя. Определить коэф-
фициент трення f между те-
массой шнура и блока и трением
лом А и плоскостью, пренебрегая
в блоке; дано М2 — 0,8 кг, М = Mi = 0,1 кг, s1 = 50 см, s2 = 30 см.
Dtppt- f == s' М) (М + Мг) + S2M (М + М| + М2) __п „
1 Mt [s, (М + М2) + s2 (М + М, + М2)] — и’2-
38.18(38.18). Однородная нить длины L, часть которой лежит
гладком горизонтальном столе, движется под влиянием силы
на
тяжести другой части, которая свешивается со стола. Определить
промежуток времени Т, по истечении которого нить покинет стол,
если известно, что в начальный момент длина свешивающейся ча-
сти равна /, а начальная скорость равна нулю.
296
Oraer: 7=VAln(i+4EZ).
38.19(38.19). Однородная нить длины 2а, висевшая иа гладком
штифте и находившаяся в покое, начинает двигаться с начальной
скоростью v0. Определить скорость нити в тот момент, когда она
сойдет со штифта.
Отвег. v = /\Jag +
38.20(38-20). Транспортер приводится в движение из состояния
покоя приводом, присоединенным к нижнему шкиву В. Привод со-
общает этому шкиву постоянный вращающий момент М. Опреде-
лить скорость ленты транспортера v в зависимости от ее переме-
щения s, если масса поднимаемого груза А равна Mi, а шкивы В
и С радиуса г и массы М2 каждый
представляют собой однородные круг-
лые цилиндры. Лента транспортера, V*/
массой которой следует пренебречь,
образует с горизонтом угол а. Сколь- _____—
жение ленты по шкивам отсутствует. —af
z-> /2(М — M\gr sin a)
ОтвеГ. V = Л/-----тр— S. К задаче 38,20
38.21(38.21). Горизонтальная трубка CD может свободно вра-
щаться вокруг вертикальной оси АВ (см. рисунок к задаче 37.56).
Внутри трубки на расстоянии МС = х0 от оси лежит тело М.
В некоторый момент времени трубке сообщена начальная угловая
скорость <оО-
Определить скорость v тела М относительно трубки в момент,
когда тело вылетит цз трубки. Момент инерции трубки относи-
тельно оси вращения равен J, L — длина трубки; трением прене-
бречь. Тело считать материальной точкой массы т.
Указание. Воспользоваться ответом к задаче 37.56.
VJ + тх%
тта?(£2~хо)-
38.22(38.22). По горизонтальной платформе А, движущейся при
отсутствии треиия, перемещается тело В с постоянной относитель-
ной скоростью и0 (см. рисунок к задаче 36.9). При затормажива-
нии тела В между ним и платформой А возникают силы трения.
Определить работу внутренних сил трения между телом В и плат-
формой А от момента начала торможения до полной остановки
тела В относительно платформы А, если их массы соответственно
равны т и М.
Указание. Воспользоваться ответом задачи 369.
Ответ. А = ~ - и*
2 М. + m о
38.23(38.23). С помощью электромотора лебедки к валу бара-
бана А радиуса г н массы Mi приложен вращающий момент тВР,
297
пропорциональный углу поворота ср барабана, причем коэффициент
пропорциональности равен а (см. рисунок к задаче 37.43). Опре-
делить скорость поднимаемого груза В массы М2 в зависимости от
высоты его подъема h. Барабан А считать сплошным цилиндром^
Массой троса пренебречь. В начальный момент система находи-
лась в покое.
Ответ. v = А /2А(аЛ-2М^)
итвет. v sy ’
38.24(38.24). На рисунке изображен подъемный механизм ле-
бедки. Груз А массы Mi поднимается посредством троса, перебро-
шенного через блок С и навитого на
барабан В радиуса г и массы М2.
К барабану приложен вращающий мо-
мент, который с момента включения
пропорционален квадрату угла пово-
рота ср барабана: швр — аср2, где а —
постоянный коэффициент. Определить
скорость груза А в момент, когда он
поднимается на высоту h. Массу бара-
бана В считать равномерно распре-
деленной по его ободу. Блок С — сплошной диск массы Л43. Массой
троса пренебречь. В начальный момент система находилась в
покое.
„ / 4Л (ah2 - 3Mlfrr3)
Ответ: v 3гз(2Мх + 2м2 _|_ м3) ’
38.25(38.25). Какую начальную скорость, параллельную линии
наибольшего ската наклонной плоскости, надо сообщить оси ко-
леса радиуса г для того, чтобы оно, катясь без скольжения, под-
нялось на высоту h по наклонной плоскости, образующей угол а
с горизонтом? Коэффициент трения качения равен fK. Колесо счи-
тать однородным диском.
Ответ: v = -| л /3gh(l + -y-ctga).
38.26(38.26). Два цилиндра одинаковой массы и радиуса ска-
тываются без скольжения по наклонной плоскости Первый ци-
линдр сплошной, массу второго цилиндра можно считать равно-
мерно распределенной по его ободу. Найти зависимость между
скоростями центров масс цилиндров при опускании их на одну
и ту же высоту. В начальный момент цилиндры находились в
покое.
Ответ: v^Vi = д/з/2.
38.27(38.27). Эпициклический механизм, расположенный в го-
ризонтальной плоскости, приводится в движение из состояния по-
коя посредством постоянного вращающего момента L, приложен-
ного к кривошипу ОА. Определить угловую скорость кривошипа
в зависимости от его угла поворота, если неподвижное колесо I
имеет радиус гь подвижное колесо II— радиус г2 и массу Mi, а
298
кривошип ОА — массу Л/г. Колесо II считать однородным диском,
а кривошип — однородным стержнем,
Ответ: со = — ?— л .
Г 1 4~ ^2 V 9Л1 I 2Л12
38.28(38.28). В кулачковом механизме, расположенном в гори-
зонтальной плоскости, эксцентрик А приводит в возвратно-поступа-
тельное движение ролик В со штангой D. Пружина Е, соединенная
со штангой, обеспечивает постоянный контакт ролика с эксцентри-
ком. Масса эксцентрика равна М, эксцентриситет е равен поло-
вине его радиуса; коэффициент упругости пружины равен с. При
крайнем левом положении штанги пружина не напряжена. Какую
угловую скорость надо сообщить эксцентрику для того, чтобы он
переместил штангу D из крайнего левого в крайнее правое поло-
жение? Массой ролика, штанги и пружины пренебречь. Эксцентрик
считать однородным круглым диском.
Ответ-. <о = 2 VC/(3A/).
38.29(38.29). Какой путь проедет велосипедист не вращая пе-
далями до остановки, если в начальный момент он двигался со
скоростью 9 км/ч? Общая масса велосипеда и велосипедиста равна
80 кг. Масса каждого из колес равна 5 кг; массу каждого из колес
считать равномерно распределенной по окружности
радиуса 50 см. Коэффициент трения качения колес
о землю равен 0,5 см.
Ответ: 35,6 м.
38.30(38.31). Груз А массы Л/ь опускаясь вниз,
при помощи троса, перекинутого через неподвиж-
ный блок D, поднимает вверх груз В массы М2,
прикрепленный к оси подвижного блока С. Блоки
С и D считать однородными сплошными дисками
массы М3 каждый.-Определить скорость груза А в
момент, когда он опустится на высоту h. Массой к задаче зззо
троса, проскальзыванием по ободам блоков и си-
лами сопротивления пренебречь. В начальный момент система на-
ходилась в покое.
Ответ: v — 2 'yjigh ‘++ 7Л?Э
299
38.31(38.32). К ведущему колесу — барабану А— снегоочисти-
теля приложен постоянный вращающий момент т. Массу бараба-
на А можно считать равномерно распределенной по его ободу.
Суммарная масса снега D, щита В и всех прочих поступательно
движущихся частей постоянна и равна
Мг. Коэффициент трения скольжения
снега и щита о землю равен f, коэффи-
циент трения качения барабана о землю
равен fK. Масса барабана равна Mi, его
радиус г.
Определить зависимость между путем
s, пройденным щитом В снегоочистителя,
v, если в начальный момент система на-
X ,—
(‘ 6”~
в
к У 77 \
К задаче 38.31
2Л1, + М2
и модулем его скорости
ходилась в покое.
итвет. s 2 m-{MlfK + fMjr)g v •
38.32(38.33). Скорость автомашины, движущейся по прямой го-
ризонтальной дороге, возросла от Vi до п2 за счет увеличения мощ-
ности мотора. При этом был пройден путь з. Вычислить работу,
совершенную мотором на этом перемещении автомашины, если
Mi — масса каждого из четырех колес, Л12— масса кузова, г —
радиус колес, fK — коэффициент трения качения колес о шоссе.
Колеса, катящиеся без скольжения, считать однородными сплош-
ными дисками. Кинетической энергией всех деталей, кроме колес
и кузова, пренебречь.
Ответ: А =------2—~(v2~
38.33(38.34). Стремянка АВС с шарнир,
горизонтальном полу, длина АВ — ВС — 21,
К задаче 38.33
К задаче 38.34
b-(4M,+M2)gs.
юм В стоит на гладком
, центры масс находятся
в серединах D и Е стержней, ра-
диус инерции каждой лестницы
относительно оси, проходящей че-
рез центр масс, равен р, расстоя-
ние шарнира В от пола равно h.
В некоторый момент времени
стремянка начинает падать вслед-
ствие разрыва стержня FG. Пре-
небрегая трением в шарнире,
определить: 1) скорость точки В
ее о пол; 2) скорость точки В в тот момент, когда
в момент удара
расстояние ее от пола будет равно й/2.
Ответ-. 1) в = 2)
38.34(38.35). Стержень АВ длины 2а падает, скользя концом А
по гладкому горизонтальному полу. В начальный момент стер-
жень занимал вертикальное положение и находился в покое. Опре-
делить скорость центра масс стержня в зависимости от его вы-
соты h над полом.
300
J.
Ответ: v = (a-h)^J.
t
I
4
38.35(38.36). В дифференциальном вороте два жестко соединен-
ных вала К\ и /С2 с радиусами г1 и г2 и моментами инерции отно-
сительно оси Oi<?2 соответственно /1 и /2 приводятся во вращение
рукояткой АВ. Подвижный блок С
подвешен на невесомой нерастяжи-
мой нити, левая ветвь которой на-
вита на вал Ki, а правая ветвь —
на вал Кг- При вращении рукоятки
АВ левая ветвь нити сматывается
с вала Ki, а правая ветвь наматы-
вается на вал Кг. К рукоятке АВ
приложен постоянный вращающий
момент т. К блоку С подвешен груз
D массы М. Найти угловую ско-
рость вращения рукоятки в момент,
соответствующий концу подъема груза D на высоту s. В началь-
ный момент система находилась в покое. Массами рукоятки и
блока пренебречь.
Ответ- ш — 2 л A" 2m-Afg(r2-r,)
° 2 Л/2 (r2 - «т) [M (r2 - П)а + 4 (Л + /2)1 ’
oh
К задаче 38.35
38.36(38.37). Ворот приводится в движение посредством ремен-
ной передачи, соединяющей шкив II, сидящий на валу ворота, со
шкивом /, сидящим на валу мотора. К шкиву I массы Mi и ра-
диуса г приложен постоянный вращающий момент т. Масса шки-
ва II равна М2, радиус его К. Масса
барабана ворота Л43, радиус его г,
масса поднимаемого груза М<_ Ворот
приводится в движение из состояния
покоя. Найти скорость груза в момент,
когда он поднимается на высоту Л.
Массами ремня, каната и трением в
подшипниках пренебречь. Шкивы и
барабан считать однородными круг-
лыми цилиндрами.
Ответ:_____________________________
_ р / h (mR/r2 — Mig}
'XJ M, (R/r)2 + M2 (R/r)2 + M3 + 2/Щ •
К задаче 38.36
38.37(38.38). Решить предыдущую задачу, принимая во внима-
ние массу каната, к которому привязан груз. Длина каната I,
масса единицы длины каната М. В начальный момент с вала ба-
рабана ворота свисала часть каната длиной 2Л.
Ответ: о = 2
/_______h (mR/r2 — Mtg — */2Mgh)_________
'У/ Mi (R/r)2 + M2 (R/r)2 + M3 + 2M4 + 2MI'
38.38(38.39). Постоянный вращающий момент L приложен к
барабану ворота радиуса г и массы М\. К концу А намотанного на
301
барабан троса привязан груз массы Л42, который поднимается по
наклонной плоскости, расположенной под углом а к горизонту.
Какую угловую скорость приобретет барабан ворота, повернувшись
на угол <р?
Коэффициент трения скольжения груза о наклонную
плоскость равен f. Массой троса прене-
бречь, барабан считать однородным круг-
лым цилиндром. В начальный момент си-
стема была в покое.
Ответ:
К задаче 38.38
(0 =
К задаче 38.40
(sin а + f cos а)
i + 2Л12
38.39(38.40), Решить предыдущую за-
дачу с учетом массы троса, к которому
привязан груз. Длина троса равна
масса единицы длины троса равна М.
В начальный момент с барабана ворота свисала часть троса дли-
ной а. Изменением потенциальной энергии троса, намотанного на
барабан, пренебречь.
_ 1 /о 2L — 2M2gr (sin а-Ь f cos а) — Mgr (2а — гф) sin а
Ответ: <о = тд/2------------*-----______------------------>----ф.
38.40(38.41). К барабану ворота радиуса л и массы Mi прило-
жен постоянный вращающий момент L. К концу троса, намотан-
ного на барабан, прикреплена ось С колеса массы М2. Колесо
катится без скольжения вверх по наклонной плоскости, располо-
женной под углом а к горизонту. Ка-
кую угловую скорость приобретет ба-
рабан, сделав п оборотов? Барабан и
колесо считать однородными круглыми
цилиндрами. В начальный момент си-
стема находилась в покое. Массой
троса и трением пренебречь.
Ответ:
со^^-л/2лп L-MM^ina .
г 1 V Afj ЗЛ12
38.41(38.42). Решить предыдущую задачу с учетом массы троса
и трення качения колеса о наклонную плоскость, если I — длина
троса, М— масса его единицы длины, а — длина части троса, не
намотанной на барабан в начальный момент fK — коэффициент
трения качения, г2— радиус колеса. Изменением потенциальной
энергии троса, намотанного на барабан, пренебречь.
Ответ:
Ч- М (а — лпГ]) sin а
sin а + — cos а
2 Л/ L~r'8
со = — V 2лп------------------------------------------------.
г I -г ЗЛ12 т 2Л1/
38.42(38.43). Колесо А скатывается без скольжения по наклон-
ной плоскости ОК, поднимая посредством нерастяжимого троса
колесо В, которое катится без скольжения по наклонной плоско-
302
сти ON. Трос переброшен через блок С, вращающийся вокруг не-
подвижной горизонтальной оси О. Найти скорость оси колеса А
при ее перемещении параллельно линии ОК на расстояние $.
В начальный момент система была в покое. Оба колеса и блок
считать однородными дисками одина-
ковой массы и радиуса. Массой троса
пренебречь.
Ответ: Л
у = 2 л/4-дд (sin а — sin В) . > -
V 7 ь
38.43.(38.44). Решить предыдущую
задачу, принимая во внимание тре- к задаче зв.42
ние качения колес о наклонные пло-
скости. Коэффициент трения качения равен /к, радиусы колес
равны г.
Ответ: v = 2 д/-^-gs^sin а — sin р —(cos а + cos p)j .
38.44(38.45). К грузу А массы Mi прикреплена нерастяжимая
нить, переброшенная через блок D массы М2 и намотанная на
боковую поверхность цилиндрического катка В массы М3. При
движении груза А вниз по наклонной плоскости, расположенной
под углом а к горизонту,
вращается блок D, а каток
В катится без скольжения
вверх по наклонной плоско-
сти, образующей с горизон-
том угол р.
Определить скорость
груза А в зависимости от
пройденного им пути $, если
в начальный момент систе-
ма находилась в покое.
Блок D и каток В считать однородными круглыми цилиндрами.
Силами трения и массой нити пренебречь.
Ответ- у =2 л sin я-~ Мз НЕЕ
итвет. у 8Мх+4М1 + ЗМз -
38.45(38.46). Решить предыдущую задачу в предположении,
что коэффициенты трения скольжения и качения соответственно
равны f н fK. Радиус катка В равен г.
V2Mi (sin а — f cos а) — М3 {sin р + -у- cos р)
2gS + 4Л12 + ЗМ3 •
38.46(38.47). Груз массы М подвешен на нерастяжимом одно-
родном тросе длины /, навитом на цилиндрический барабан с го-
ризонтальной осью вращения. Момент инерции барабана относи-
тельно оси вращения I, радиус барабана R, масса единицы длины
каната tn. Определить скорость груза в момент, когда длина сви-
303
К задаче 38.4G
сающей части каната равна х, если в начальный момент скорость
груза ио = 0, а длина свисающей части каната была равна х0;
трением на оси барабана, толщиной троса и изменением потен-
циальной энергии троса, навитого на барабан, пре-
небречь. ______________________
Ответ, v— R л/ S 12М + /П (X + Хр)] (X - х0)
итвет. v к J + (M+ ml) R1
38.47(38.48). Груз А массы Mi подвешен к одно-
родному нерастяжимому канату длины L и массы
М2. Канат переброшен через блок В, вращающийся
вокруг оси О, перпендикулярной плоскости рисун-
ка. Второй конец каната прикреплен к оси катка
С, катящегося без скольжения по неподвижной
плоскости.
Блок В и каток С — однородные круглые диски
радиуса г и массы М3 каждый. Коэффициент тре-
ния качения катка С о горизонтальную плоскость равен fK. В на-
чальный момент, когда система находилась в покое, с блока В
свисала часть каната длины I. Определить скорость груза А в за-
висимости от его вертикального перемещения Л.
Ответ:
2L 4L
I ЯГ
Mt+^(2l + 2r+h)-f-Z
Мз + Мг(1-
V ~~ V Л4, + Л42 + 2Л?з
38.48(38.49). Механизм эллипсографа, расположенный в гори-
зонтальной плоскости, приводится в движение посредством
------/А
К задаче 38.47
постоянного вращающего момента т0, приложенного к кривоши-
пу ОС. В начальный момент при <р =* 0 механизм находился в
покое. Найти угловую скорость кривошипа ОС в момент, когда
ои сделал четверть оборота. Дано: М — масса стержня АВ, тА=*
= тв = гп— массы ползунов А и В, ОС = АС — ВС = 1\ массой
кривошипа ОС и силами сопротивления пренебречь.
„ 1 / Зято
Ответ: « = Д/лГ+^Г-
38.49(38.50). Решить предыдущую задачу с учетом постоянного
момента сопротивления тс в шарнире С.
Ответ; (0 =
(т0 - 2тс\
М + З/п
304
38.50(38.51). К кривошипу ОО{ эпициклического механизма,
расположенного в горизонтальной плоскости, приложен вращаю-
щий момент МвР = Мо — ato, где Мо и а — положительные постоян-
ные, а со — угловая скорость кривошипа. Масса кривошипа равна
т, М— масса сателлита (подвижного колеса). Считая кривошип
тонким однородным стержнем, а сател-
лит—однородным круглым диском ра-
диуса г, определить угловую скорость со
кривошипа как функцию времени. В на-
чальный момент система находилась в
покое. Радиус неподвижной шестерни
равен /?; силами сопротивления пре-
небречь.
Указание. Применить теорему об измене-
нии кинетической энергии в дифференциальной
форме.
К задаче 38 50
Ответ’. _ е Jap *), где 7пр == (-у + -уЛ1) (Я + г)2-
38.51(38.52). Решить предыдущую задачу с учетом постоянного
момента трения Л1тр на оси О\ сателлита.
мв--~-мтр ( -~г-Л
Ответ: со =------------U — е °р ). где /пр =
=(т+1Л0<'г+*
38.52(38.53). Кривошип ОО^ гнпоциклического механизма, рас-
положенного в горизонтальной плоскости, вращается с постоянной
угловой скоростью соО- В некоторый момент
времени двигатель был отключен и под /
действием постоянного момента МТР сил ( \
трения на оси сателлита (подвижного ко- / ( Oj\
леса) механизм остановился. I у|
Определить время т торможения и угол I
<р поворота кривошипа за это время, если /
его масса равна Afj, М2—масса сателлита, \ У
R и г — радиусы большого и малого колес.
Кривошип принять за однородный тонкий
стержень, а сателлит— за однородный к задаче зела
диск.
Указание. Применить теорему об изменении кинетической энергии в диф-
ференциальиой форме.
_ ^Лпр I г/пр n f 3 X
Ответ: т = ф== где + -2-М2) X
X(R-r)2.
38.53(38.54). Крестовина С приводится во вращение вокруг
неподвижной оси О\ посредством однородного стержня АВ, вра-
305
щающегося вокруг неподвижной оси О (оси О и OL перпендику-
лярны плоскости рисунка). При этом ползуны А и В, соединенные
при помощи шарниров со стержнем АВ, скользят вдоль взаимно
- перпендикулярных прорезей крестовины С.
\\ Вращение стержня происходит под действием
х\ / постоянного вращающего момента ;пВр. Опре-
Делить угловую скорость стержня АВ в мо-
. * мент, когда он сделает четверть оборота, если
' в начальный момент при <р = О он имел
.Z/ угловую скорость <оо- Величина момента со-
\\ противления, возникающего в каждом из
V шарниров ползунов Л и В, в два раза мень-
к задаче за 53 ше /Пар. Прочими силами сопротивления пре-
небречь. Масса стержня равна т\ момент
инерции крестовины С относительно оси О\ равен 7; OOj = ОА =
= ОВ = 1.
Ответ-, со = д/УД+Рз7 + °о•
§ 39. Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела
39.1(39.1). Тяжелое тело состоит из стержня АВ длины 80 см
и массы 1 кг и прикрепленного к нему диска радиуса 20 см и
массы 2 кг. В начальный момент при вертикальном положении
стержня телу сообщено такое движение, что скорость центра масс
стержня равна нулю, а скорость центра масс М2 диска равна
360 см/с и направлена по горизонтали вправо. Найти последую-
К задаче 39.2
щее движение тела, принимая во
внимание только действие силы тя-
жести.
Ответ: Тело равномерно враща-
ется с угловой скоростью 6 рад/с
вокруг своего центра масс, который
описывает параболу у2 = 117,5х
(начало координат — в точке В, ось
у направлена по горизонтали впра-
во, ось х— вниз).
39.2(39.2). Диск падает в верти-
кальной плоскости под действием
силы тяжести. В начальный момент диску была сообщена угловая
скорость <о0, а его центр масс С, находившийся в начале координат.
имел горизонтально направленную скорость v0. Найти уравнения
движения диска. Оси х, у изображены на рисунке. Силами сопро-
тивления пренебречь.
af1
Ответ: xc = o0i, ус = —^~, <р = <в0/, где <р —угол поворота
диска, образованный осью х и диаметром, занимавшим в началь-
ный момент горизонтальное положение.
39.3(39.3). Решить предыдущую задачу, считая, что момент пгс
сопротивления движению относительно подвижной горизонтальной
306
оси, проходящей через центр масс С диска перпендикулярно пло-
скости движения его, пропорционален первой степени угловой ско-
рости диска ф, причем коэффициент пропорциональности равен р.
Момент инерции диска относительно этой оси равен Jc.
Ответ: xc = Vff, ус = -~-, <p=Z^o_(l—е 'с J где ф_
угол поворота диска, образованный осью х и диаметром, занимав-
шим в начальный момент горизонтальное положение.
39.4(39.4). Ведущее колесо автомашины радиуса г и массы М
движется горизонтально и прямолинейно. К колесу приложен вра-
щающий момент пг. Радиус инерции колеса относительно оси,
проходящей через центр масс перпендикулярно его плоскости, ра-
вен р. Коэффициент трения скольжения колеса о землю равен /.
Какому условию должен удовлетворять вращающий момент для
того, чтобы колесо катилось беэ скольжения? Сопротивлением ка-
чения пренебречь.
г» -L ра
Ответ: m sC fMg-------.
39.5(39.5). Решить предыдущую задачу с учетом трения каче-
ния, если коэффициент трення качения равен fK.
Ответ: m fMg ' + MgfK.
39.6(39.6). Ось ведомого колеса автомашины движется гори-
зонтально и прямолинейно. К оси колеса приложена горизонтально
направленная движущая сила F. Радиус инерции колеса относи-
тельно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно его
плоскости, равен р. Коэффициент трения скольжения колеса о зем-
лю равен f. Радиус колеса равен г, масса колеса равна Af. Какому
условию должна удовлетворять величина силы
F для того, чтобы колесо катилось без скольже-
ния? Сопротивлением качения пренебречь.
Ответ: F fMg г •
39.7(39.7). Решить предыдущую задачу с уче-
том трения качения, если коэффициент трения
качения равен fK-
Ответ: +
р
К задаче 39.8
39.8. Автомобильный прицеп движется замедленно с ускоре-
нием w0 до остановки. При этом тормоз в одном из его колес не
включается. Давление колеса на дорогу равно N. Коэффициент
трения колеса с дорогой равен f. Дано: г — радиус колеса, пг —
его масса, р — радиус инерции. Определить силу горизонтального
давления S колеса на его ось.
Ответ: 1) 'i'. S = mw0( 1 +, 2)w0>^-~r,
S = mw0 + f N.
307
39.9(39.9). Колесо радиуса г катится по прямолинейному гори-
зонтальному рельсу под действием приложенного вращающего
момента tnap = s/zfMgr, где f — коэффициент трения скольжения,
М — масса колеса. Определить скорость точки колеса, соприкасаю-
щейся с рельсом (скорость проскальзывания). Масса колеса рав-
номерно распределена по его ободу. Треннем качения пренебречь.
Б начальный момент колесо находилось в покое.
Ответ:
39.10(39.10). Решить предыдущую задачу с учетом трения ка-
чения, если коэффициент трения качения fK = l/ifr.
Ответ: l/ifgt.
39.11(39.11). Однородный цилиндр с горизонтальной осью ска-
тывается под действием силы тяжести по наклонной шероховатой
плоскости с коэффициентом трения f. Определить угол наклона
плоскости к горизонту и ускорение оси цилиндра, предполагая, что
прн Движении цилиндра скольжение отсутствует. Сопротивлением
качения пренебречь.
Ответ: а arctg 3/, w = 2/sg sin a.
39.12(39.13). Однородный сплошной круглый диск катится без
скольжения по наклонной плоскости, расположенной под углом а
к горизонту. Ось диска образует угол р с линией наибольшего
ската. Определить ускорение центра масс диска, считая, что его
качение происходит в одной вертикальной плоскости.
Ответ: wc = 2/sg sin a sin р.
39.13(39.14). Однородный цилиндр с горизонтальной осью ска-
тывается под действием силы тяжести со скольжением по наклон-
ной плоскости при коэффициенте трения скольжения f. Определить
угол наклона плоскости к горизонту и ускорение оси цилиндра.
Ответ: а > arctg 3/, w = g (sin a — f cos a).
39.14(39.15). Однородное колесо радиуса г скатывается без
скольжения по наклонной плоскости, образующей угол а с гори-
зонтом. При каком значении коэффициента
трения качения fK центр масс колеса будет
двигаться равномерно, а колесо при этом бу-
дет равномерно вращаться вокруг оси, прохо-
дящей через центр масс перпендикулярно его
плоскости?
Ответ: fK = rtga.
39.15(39.16). На барабан однородного катка
массы М и радиуса г, лежащего на горизон-
тальном шероховатом полу, намотана нить, к которой приложена
сила Т под углом а к горизонту. Радиус барабана а, радиус инер-
ции катка р. Определить закон движения оси катка О. В на-
чальный момент каток находился в покое, затем катился без
скольжения.
„ Т г (г cos a — a)
Ответ: х — —2 гз^—/ , причем ось х направлена слева
направо.
[0
К задаче 39.15
308
39.16(39.17). Однородный стержень АВ массы М горизонтально
подвешен к потолку посредством двух вертикальных нитей, при-
крепленных к концам стержня. Найти натяжение одной нз нитей
в момент обрыва другой.
Указание. Составить дифференциальные уравнения движения стержня
для весьма малого промежутка времени, следующего за моментом обрыва нити,
пренебрегая измеиеиием направления
стержня и изменением расстояния центра
масс стержня от другой инти.
К задаче 39.16 К задаче 39 17
Ответ: Т = Mg/4.
39.17(39.18). Однородный стер-
жень АВ массы М подвешен в
точке О на двух нитях равной с
НИМ ДЛИНЫ.
Определить натяжение одной нз нитей в момент обрыва дру-
гой. (См. указание к задаче 39.16.)
Ответ: Т = 0,266 Mg.
39.18(39.19). Однородный тонкий стержень длины 2/ и массы М
лежит на двух опорах А и В; центр масс С стержня находится
на одинаковых расстояниях от опор, причем .
СА = СВ — а-, давление на каждую опору г~' "
равно 1/2 Р. Как изменится давление на опору
А в тот момент, когда опора В будет мгновен- к задаче зэ is
но удалена? (См. указание к задаче 39.16.)
Ответ: Давление на опору А получит приращение, равное
Z2 - За2 ,,
2 (/» + За2)
К задаче 39.19 К задаче 39.20
39.19(39.20). Тяжелый круглый цилиндр А массы пг обмотан
посредине тонкой нитью, конец которой В закреплен неподвижно.
Цилиндр падает без начальной ско-
рости, разматывая нить. Определить
скорость оси цилиндра, после того
как эта ось опустится на высоту й,
и найти натяжение Т нити.
Ответ: v = 2/з д/З^й, Т = У3 mg.
39.20(39.21). Две гибкие нити об-
мотаны вокруг однородного кругло-
го цилиндра массы М и радиуса г
так, что завитки их расположены
симметрично относительно средней
плоскости, параллельной основа-
ниям. Цилиндр помещен на наклон-
ной плоскости АВ так, что его образующие перпендикулярны линии
наибольшего ската, а концы С нитей закреплены симметрично
относительно вышеуказанной средней плоскости на расстоянии 2г
от плоскости АВ. Цилиндр начинает двигаться без начальной ско-
рости под действием силы тяжести, преодолевая трение о наклон-
ную плоскость, причем коэффициент трения равен f. Определить
309
путь 5, пройденный центром масс цилиндра за время ?, и натяже-
ние Т нитей, предполагая, что в течение рассматриваемого проме-
жутка времени ни одна из нитей не сматывается до конца.
Ответ: s = 4-g(sina —2f cosa)/2, 7’==4-Afg(sina 4-f cos a),
о D
Цилиндр остается в покое, если tga < 2/
39.21(39.22). Два цилиндрических вала массы A/j и М2 скаты-
ваются по двум наклонным плоскостям, образующим соответ-
ственно углы а и Р с горизонтом. iy
Валы соединены нерастяжимой I
К задаче 39.21
К задаче 39.22
на валы и к ним прикреплены. Определить натяжение нити и ее
ускорение при движении по наклонным плоскостям. Валы считать
однородными круглыми цилиндрами. Массой нити пренебречь.
_ — Л1|Л12 (sin a 4- sin В) Mi sin a — Л1а sin В
Ответ: T = g — , Д ,——. w = g-----------г.--, ..--—
° 3 (ЛИ + Л12) ° Afi -J- М2
39-22(39.23). Определить период малых колебаний однородного
полукруглого диска радиуса /?, находящегося на негладкой гори-
зонтальной плоскости, по которой он может катиться без сколь-
жения.
Ответ: Т = -\/2g(9it — 16) /?.
§ 40. Приближенная теория гироскопов
40.1(40.1). Волчок вращается по часовой стрелке вокруг своей
оси ОА с постоянной угловой скоростью со = 600 рад/с; ось ОА
наклонена к вертикали; нижний конец оси
О остается неподвижным; центр масс С
волчка находится на оси ОА на расстоянии
ОС — 30 см от точки О; радиус инерции
волчка относительно оси равен 10 см. Опре-
делить движение оси волчка ОА, считая, что
главный момент количеств движения волч-
ка относительно оси ОА равен /со.
Ответ: Ось ОА вращается вокруг вер-
тикали Oz по часовой стрелке, описывая
круговой конус, с ПОСТОЯННОЙ угловой скоростью С01 =
— 0,49 рад/с.
40.2(40.2). Волчок, имея форму диска диаметра 30 см, враща-
ется с угловой скоростью 80 рад/с вокруг своей оси симметрии.
310
Диск насажен на ось длины 20 см, расположенную вдоль оси сим-
метрии волчка. Определить угловую скорость регулярной прецес-
сии волчка, полагая, что его главный момент количеств движения
равен /и.
Ответ: 2,18 рад/с.
40.3(40.3). Турбина, вал которой параллелен продольной оси
судна, делает 1500 об/мин. Масса вращающихся частей 6 т, ра-
диус инерции р = 0,7 м. Определить гироскопические давления на
подшипники, если судно описывает циркуляцию вокруг вертикаль-
ной осн, поворачиваясь на 10° в секунду. Расстояние между под-
шипниками 1 = 2,7 м.
Ответ: 30,4 кН.
40.4(40.4). Определить максимальные гироскопические давле-
ния на подшипники быстроходной турбины, установленной на ко-
рабле. Корабль подвержен килевой качке с амплитудой 9° и пе-
риодом 15 с вокруг оси, перпендикулярной оси ротора. Ротор тур-
бины массы 3500 кг с радиусом инерции 0,6 м делает 3000 об/мин.
Расстояние между подшипниками 2 м.
Ответ’. 13,0 кН.
40.5(40.5). Определить время Т полного оборота оси симметрии
артиллерийского снаряда вокруг касательной к траектории центра
масс снаряда. Это движение происходит в связи с действием силы
сопротивления воздуха F = 6,72 кН, приближенно направленной
параллельно касательной и приложенной к оси снаряда на рас-
стоянии ft = 0,2 м от центра масс снаряда. Момент количества
движения снаряда относительно его осн симметрии равен
1850 кг-м2/с.
Ответ: 8,66 с.
40.6(40.6). Газотурбовоз приводится в движение турбиной, ось
которой параллельна оси колес и вращается в ту же сторону, что
и колеса, делая 1500 об/мин. Момент инерции вращающихся час-
тей турбины относительно оси вращения 7 = 200 кг-м2. Как ве-
лика добавочная сила давления на рельсы, если газотурбовоз идет
по закруглению радиуса 250 м со скоростью 15 м/с? Ширина ко-
леи 1,5 м.
Ответ: На один рельс 1256 Н вниз, на другой рельс 1256 Н
вверх.
311
40.7(40.7). В дробилке с бегунами каждый бегун имеет массу
М — 1200 кг, радиус инерции относительно его оси р = 0,4 м, рач
диус R — 0,5 м, мгновенная ось вращения бегуна проходит через
середину линии касания бегуна с дном чаши. Определить силу
давления бегуна на горизонтальное дно чаши, если переносная
угловая скорость вращения бегуна вокруг вертикальной оси соот-
ветствует п = 60 об/мин.
Ответ-. N — 26,9 кН.
К задаче 40.8
К задаче 40.7
40.8(40.8). Колесный скат массы М = 1400 кг, радиуса а =*
= 75 см и с радиусом инерции относительно своей оси р = -\М*55а
движется равномерно со скоростью v = 20 м/с по закруглению
радиуса R = 200 м, лежащему в горизонтальной плоскости. Опре-
делить силу давления ската на рельсы, если расстояние между
рельсами 1=1,5 м.
Ответ: N = (6,87 ± 0,77) кН.
40.9(40.9). На рисунке изображен узел поворотной части раз-
водного моста. Вал АВ с шарнирно прикрепленными к нему под
углом а стержнями CD и СЕ вращается с угловой скоростью <в0.
При этом конические шестерни К и L, свободно насаженные на
стержни CD и СЕ, катятся без скольжения по неподвижной пло-
ской горизонтальной ше-
стерне. Определить силу
дополнительного динами-
ческого давления шесте-
рен К и L массы М каждая
на неподвижную горизон-
тальную шестерню, если
радиусы всех шестерен
равны г. Подвижные ше-
стерни считать сплошны-
ми однородными дисками.
Л1гь>о sin а
Ответ: -----s----•
40.10(40.10). Квадратная рама со стороной а = 20 см враща-
ется вокруг вертикальной оси АВ с угловой скоростью a>i=2 рад/с.
Вокруг оси ED, совмещенной с диагональю рамы, вращается
диск М радиуса г = 10 см с угловой скоростью со = 300 рад/с.
Определить отношение дополнительных сил бокового давления на
опоры Л и В к соответствующим статическим давлениям. Массой
312
рамы пренебречь. Массу диска считать равномерно распределен'
ной по ободу.
Ответ: 4,32.
40.11(40.12). Колесо радиуса а и массы 2М вращается вокруг
горизонтальной оси АВ с постоянной угловой скоростью tor, ось АВ
вращается вокруг вертикальной оси OD, проходящей через центр
колеса, с постоянной угловой скоростью ш2; направления враще-
ний показаны стрелками. Найти силы давления Na и Nb на под-
шипники А и В, если АО = ОВ = hi масса колеса равномерно
распределена по его ободу.
Ответ: Мл = Мг(1+-^-), ^ = ^(1--^).
40.12(40.13). Простейший гиротахометр состоит из гироскопа,
рамка которого соединена двумя пружинами, прикрепленными
к корпусу прибора. Момент инерции гироскопа относительно оси
собственного вращения равен J, угловая скорость гироскопа равна
К задаче 40.11
К задаче 40.12
со. Определить угол а, иа который повернется ось гироскопа вме-
сте с его рамкой, если прибор установлен на платформе, вращаю-
щейся с угловой скоростью <01 вокруг оси х, перпендикулярной
оси у вращения рамки. Коэффициенты жесткости пружин равны с;
угол а считать малым; расстояние от оси вращения рамки до пру-
жин равно а.
Ответ: а= (Ор
2са *
§ 41. Метод кинетостатики
41.1(41.1). Определить силу тяжести, действующую на круглый
однородный диск радиуса 20 см, вращающийся вокруг оси по
закону <р = 3/2. Ось проходит через центр диска перпендикулярно
его плоскости; главный момент сил инерции диска относительно
оси вращения равен 4 Н-см<
Ответ: 3,27 Н.
41.2(41.2). Тонкий прямолинейный однородный стержень дли-
ны I и массы М вращается вокруг оси, проходящей перпендику-
313
лярно стержню через его конец, по закону <р = at2. Найти вели-
чины н направления равнодействующих Jn и Jx центробежных и
вращательных сил инерции частиц стержня.
Ответ: Равнодействующая вращательных сил инерции Jx=Mat
направлена перпендикулярно стержню на расстоянии 2/31 от оси
вращения; равнодействующая центробежных сил инерции Jn =
= 2Ma2lt2 направлена вдоль стержня от оси воащения.
41.3(41.3). Колесо массы М и радиуса г катится без скольже-
ния по прямолинейному горизонтальному рельсу. Определить
главный вектор и главный момент сил инерции относительно оси,
проходящей через центр масс колеса перпендикулярно плоскости
движения. Колесо считать сплошным однородным диском. Центр
масс С движется по закону хс — at2/2, где а — постоянная поло-
жительная величина. Ось х направлена вдоль рельса.
Ответ: Главный вектор сил инерции равен по модулю Ма и
направлен параллельно оси в отрицательном направлении; глав-
ный момент сил инерции равен по абсолютной величине 1/2Маг.
41.4(41.4). Определить главный вектор и главный момент сил
инерции подвижного колеса II планетарного механизма относи-
тельно оси, проходящей через его центр масс С перпендикулярно
плоскости движения. Кривошип ОС вращается с постоянной угло-
вой скоростью ы. Масса колеса И равна М. Радиусы колес
равны г.
Ответ: Главный вектор сил инерции параллелен кривошипу ОС
и равен 2Л/гсо2; главный момент сил инерции равен нулю.
К задаче 41.5
41.5(41.5). Конец А однородного тонкого стержня АВ длины 2/
и массы М перемещается по горизонтальной направляющей с по-
мощью упора Е с постоянной скоростью v, причем стержень все
время опирается на угол D. Определить главный вектор и главный
момент сил инерции стержня относительно оси, проходящей через
центр масс С стержня перпендикулярно плоскости движения, в за-
висимости от угла <р.
Ответ: Vx} — 3M-^pl sin4 ф cos ф, / (1 — 3 cos2 ф) X
Хз1п3ф, —-----------|-Л4/2 -^j- sin3 ф cos ф.
41.6(41.6). По данным предыдущей задачи определить динами-
ческое давление Nd стержня на угол D.
314
К задаче 41.7
8 и2/2 •
Ответ: Nd — -^--^-M sin*<pcos<p.
41.7(41.9). Для экспериментального определения замедления
троллейбуса применяется жидкостный акселерометр, состоящий из
изогнутой трубки, наполненной маслом и расположенной в верти-
кальной плоскости. Определить величину замедления троллейбуса
при торможении, если при этом уровень жидкости в конце трубки,
расположенном в направлении движе-
ния, повышается до величины Л2, а в
противоположном конце понижается до
/ii. Положение акселерометра указано на
рисунке: си = а2 = 45°, = 25 мм,
Йо = 75 мм.
« (Л2 — АЛ tga, tg at „ -
Ответ: w = g \ ' = 0,5р.
Б Л1 tg а2 + Л2 tg at s
41.8(41.10). С каким ускорением должна двигаться по гори-
зонтальной плоскости призма, боковая грань которой образует
угол а с горизонтом, чтобы груз, лежащий на боковой грани, не
перемещался относительно призмы?
Ответ: w ~ gtga.
41.9(41.11). Для исследования влияния быстро чередующихся
растягивающих и сжимающих сил на металлический брусок (испы-
тание на усталость) испытуемый брусок А прикрепляют за верх-
ний конец к ползуну В кривошипного механизма ВСО, а к ниж-
нему концу подвешивают груз массы
М. Найти силу, растягивающую бру-
сок, в том случае, когда кривошип ОС
вращается вокруг оси О с постоянной
угловой скоростью <0.
К задаче 41.9
Указание. Выражение V1 — (r/Z)2 sin2 ф следует разложить в ряд и от-
бросить все члены ряда, содержащие отношение г/l в степени выше второй.
Ответ: Mg + Mra2 (cos at + — cos 2to/) .
41.10(41.12). Определить опорные реакции подпятника А и под-
шипника В поворотного крана при поднимании груза Е массы 3 т
с ускорением ‘/3g. Масса крана равна 2 т, а его центр масс надо-
315
дится в точке С. Масса тележки D равна 0,5 т. Кран и тележка
неподвижны. Размеры указаны на рисунке.
Ответ-. Ха— — Хв = 52,1 кН; Ул = 63,9 кН.
41.11(41.13). Определить опорные реакции подпятника А и под-
шипника В поворотного крана, рассмотренного в предыдущей за-
даче, при перемещении тележки влево с ускорением 0,5g при отсут-
ствии груза Е. Центр масс тележки находится на уровне опоры В.
Ответ-. Хд = 12,8 кН, Хв = —15,2 кН, Ул = 24,5 кН.
41.12(41.14). На паром, привязанный к берегу двумя парал-
лельными канатами, въезжает грузовик массы 7 т со скоростью
12 км/ч; тормоза останавливают грузовик на протяжении 3 м.
Предполагая, что сила трения колес о настил парома постоянна,
определить натяжение канатов. Массой и ускорением парома пре-
небречь.
Ответ: Т — 6,48 кН.
41.13(41.15). Автомобиль массы Л1 движется прямолинейно с
ускорением w. Определить вертикальное давление передних и зад-
них колес автомобиля, если его центр масс С находится на вы-
соте А от поверхности грунта. Расстояния передней и задней осей
К задаче 41.14
автомобиля от вертикали, проходящей через
центр масс, соответственно равны а и Ь. Масса-
ми колес пренебречь. Как должен двигаться ав-
томобиль, чтобы давления передних и задних
колес оказались равными?
Ответ: MW’-"’» N М (ga + wh)
(a + b) 2 (a 4- fc)
при торможении автомобиля с замедлением w =
К задаче 41.15
41.14(41.16). С каким ускорением w опускается груз массы Mi,
поднимая груз массы Ms с помощью полиспаста, изображенного
на рисунке? Каково условие равномерного движения груза Mi?
Массами блоков н троса пренебречь.
Указание. Ускорение груза М2 в четыре раза меньше ускорения груза
„ . 4Af| — Mt
Ответ: w = 4g
Л41 1
Л12 — 4 ‘
41.15(41.17). Гладкий клин массы М нс углом 2a при вершине
раздвигает две пластины массы Л4] каждая, лежащие в покое на
гладком горизонтальном столе. Написать уравнения движения
клипа и пластин и определить силу давления клина на каждую
из пластин.
316
Ответ-. Уравнение движения клина!
wt2 М cte а
S— 2 , где W — g Mcfga + 2Afl tga ‘
уравнение движения пластин:
сч/2 .
si= —2~ где ЬУ1 = wtgct;
сила давления
N==Mtv,_
cos a
41.16(41.18). Груз А массы Mi, опускаясь вниз, приводит в дви-
жение посредством нерастяжимой нити, переброшенной через не-
подвижный блок С, груз В массы М2. Определить силу давления
стола D на пол, если масса стола равна Л13. Массой нити прене-
бречь.
41.17(41.19). Груз А массы М|, опускаясь вниз по наклонной
плоскости D, образующей угол а с горизонтом, приводит в движе-
ние посредством нерастяжимой нити, пёреброшенной через непо-
движный блок С, груз В массы М2. Определить
горизонтальную составляющую давления наклон- - «
ной плоскости D на выступ пола Е. Массой нити
пренебречь. т Г'
лг и Ali sin a — M3 <»
Ответ: N — Mig Mi + Mj cos а.
41.18(41.21). Однородный стержень массы М и *’ ° *
длины I вращается с постоянной угловой скоростью
со вокруг неподвижной вертикальной оси, перпен- к задаче 41,9
дикулярной стержню и проходящей через его конец.
Определить растягивающую силу в поперечном сечении стержня,
отстоящем от оси вращения на расстоянии а.
Ответ-. F = М(Р~ аг)а2/{21).
41.19(41.22). Однородная прямоугольная пластинка массы М
равномерно вращается вокруг вертикальной оси с угловой ско-
ростью а. Определить силу, разрывающую пластину в направле-
нии, перпендикулярном оси вращения, в сечении, проходящем че-
рез ось вращения.
317
Ответ: Маы2/4.
41.20(41.23). Однородный круглый диск радиуса R и массы М
вращается с постоянной угловой скоростью оз вокруг своего вер-
тикального диаметра. Определить силу, разрывающую диск по
диаметру.
Ответ: 2М/?(о2/(Зл).
41.21(41.24). Тонкий прямолинейный однородный стержень дли-
ны I и массы М вращается с постоянной угловой скоростью со
около неподвижной точки О (шаровой шарнир), описывая кони-
ческую поверхность с осью ОА и вершиной в точке О. Вычислить
К задаче 41.20
К задаче 41-21
К задаче 41.22
угол отклонения стержня от вертикального направления, а также
величину N давления стержня на шарнир О.
Ответ: <p=arccos-^jr, ЛГ = -|-ЛШ>2 1 +
41.22(41.25). В центробежном тахометре два тонких однород-
ных прямолинейных стержня длины а и b жестко соединены под
К задаче 41.23
прямым углом, вершина которого О шарнирно сое-
динена с вертикальным валом; вал вращается
с постоянной угловой скоростью со. Найти зави-
симость между со и углом отклонения <р, образо-
ванным направлением стержня длины а и верти-
калью.
Ответ: C32 = 3g
b2 cos <р — sin <р
(Ь3 — a3) sin 2<р
41.23(41.26). Топкий однородный прямолиней-
ный стержень АВ шарнирно соединен с вертикаль-
ным валом в точке О. Вал вращается с постоянной
скоростью оз. Определить угол отклонения <р стержня от вертикали,
если ОЛ — а и О В = Ь.
Ответ: cosm = -^--T—. ° .Ь.
ж 2 аг а3 — ab + о
318
§ 42. Давление вращающегося твердого тела на ось вращения
42.1(42.1). Центр масс махового колеса массы 3000 кг нахо-
дится на расстоянии 1 мм от горизонтальной оси вала; расстояния
подшипников от колеса равны между собой. Найти силы давления
на подшипники, когда вал делает 1200 об/мин. Маховик имеет
плоскость симметрии, перпендикулярную оси вращения
Ответ-. Сила давления на каждый нз подшипников есть равно-
действующая двух сил, из которых одна равна 14,7 кН и направ-
лена по вертикали, а другая равна 23,6 кН и направлена парал-
лельно прямой, соединяющей геометрический центр колеса, нахо-
дящийся на осн вала, с центром масс колеса.
42.2(42.2). Однородный круглый диск массы М равномерно
вращается с угловой скоростью к> вокруг неподвижной оси, распо-
ложенной в плоскости диска и отстоящей от его центра масс С
на расстоянии ОС = а. Определить силы динамического давления
оси на подпятник А и подшипник В, если ОВ — ОА. Оси хну
неизменно связаны с диском.
Ответ: Хл -- Хв = 0, Уд = Уд = Маса2/2.
42.3. Решить предыдущую задачу в предположении, что при
наличии сил сопротивления угловая скорость диска убывает по
закону <о = шо — е0/, где <оо и е0 — положительные постоянные.
Ответ. ХА=Хв= —Мае0/2, Ya = Ув = Маса2/2.
42.4(42.3). К вертикальной оси АВ, вращающейся равноуско-
ренно с угловым ускорением е, прикреплены два груза С и D
посредством двух перпендикулярных оси АВ и притом взаимно
Перпендикулярных стержней ОС = OD = г. Определить силы ди-
намического давления осн АВ на подпятник А и подшипник В.
Грузы С и D считать материальными точками массы М каждый.
Массами стержней пренебречь. В начальный момент система на-
ходилась в покое. Оси х и у неизменно связаны со стержнями.
Ответ-. XA = XB = -%-re (et2 + 1), YA=YB = -%-re (et2 - 1).
42.5(42.4). Стержень АВ длины 21, на концах которого нахо-
дятся грузы равной массы М, вращается равномерно с угловой
скоростью со вокруг вертикальной оси Oz, проходящей через сере-
319
дину О длины стержня. Расстояние точки О от подшипника С
равно а, от подпятника D равно Ь. Угол между стержнем АВ и
осью Oz сохраняет постоянную величину а. Пренебрегая массой
стержня и размерами грузов, определить проекции сил давления
на подшипник С и подпятник D в тот момент, когда стержень
находится в плоскости Оу г.
Ответ. XC = XD = O, YC = — YD = ZD = —2Mg.
42.6(42.5). На концы оси АВ надеты два одинаковых криво-
шипа АС и BD длины I и массы Mi каждый, заклиненные под
углом 180° относительно друг друга. Ось АВ длины 2а и массы
М2 вращается с постоянной угловой скоростью
в подшипниках Е и F, расположенных сим-
метрично на расстоянии 2Ь друг от друга.
Определить силы давления Ne и NF иа под-
шипники в тот момент, когда кривошип АС
направлен вертикально вверх. Массу каждого
кривошипа считать равномерно распределен-
ной вдоль его оси.
К задаче 42.5
К задаче 42.6
К задаче 42.7
х/
Ответ Сила давления NE — ~^-Mzg + Mtg — м'°^- при М£>0
направлена по вертикали вниз, при NE < 0 — вверх.
Сила давления NF == -у Mzg + Mig Н---„— направлена по
вертикали вниз.
42.7(42.6). К горизонтальному валу АВ, вращающемуся с по-
стоянной угловой скоростью со, прикреплены два равных, перпен-
дикулярных ему стержня длины I, лежащих во взаимно перпен-
дикулярных плоскостях (см. рисунок). На концах стержней
расположены шары D и Е массы m каждый. Определить силы
динамического давления вала на опоры А и В. Шары считать
материальными точками; массами стержней пренебречь.
Ответ: Na = Ne = mlC2.
42.8(42.7). К вертикальному валу АВ, вращающемуся с по-
стоянной угловой скоростью со, жес.тко прикреплены два стержня.
320
Стержень ОЕ образует с валом угол <р, стержень OD перпендику-
лярен плоскости, содержащей вал АВ и стержень ОЕ. Даны раз-
меры: ОЕ — OD = I, АВ = 2а. К концам стержней прикреплены
два шара Е и D массы т каждый. Определить силы динамиче-
ского давления вала на опоры А и В. Шары
D и Е считать точечными массами; массами
стержней пренебречь.
Ответ-. ХА = Хв = -~-,
,. mla2 (а — I соз qp) sin <j>
А й •
__ m/ш2 (a -f-1 cos <p) sin <p
__25------------------•
42.9(42.8). Использовав условие задачи
34.1, определить силы динамического давле-
ния коленчатого вала на подшипники К и L.
Вал вращается равномерно с угловой ско-
ростью <о. При решении можно воспользоваться ответами к зада-
чам 34.1 и 34.23.
Ответ-. X^ — -XL = ^-md в?,
к
д/З . а + Ь ,
(О2.
2 4а -f- 30
42.10(42.9). Однородный стержень KL, прикрепленный в центре
под углом а к вертикальной оси АВ, вращается равноускоренно
вокруг этой оси с угловым ускорением е. Определить силы дина-
мического давления оси АВ на подпятник А и подшипник В, если:
Л4 — масса стержня, 21 — его длина, ОА = ОВ — h/2; OK=OL—l.
В начальный момент система находилась в покое.
Ответ-. ХВ = -ХА = 8 sin 2а, YB = - YA = Л2 sin 2а.
" ОЛ ой
42.11. Однородная прямоугольная пластинка OABD массы М
со сторонами а и Ь, прикрепленная стороной ОА к валу ОЕ, вра-
щается с постоянной угловой скоростью <о. Расстояние между опо-
11—1318
321
рами ОЕ = 2а. Вычислить боковые силы динамического давления
вала на опоры О и Е.
Ответ: NOx = NEx = 0, NCy = ~Mba2, NEy = -^-Mba2.
42.12(42.10). Прямой однородный круглый цилиндр массы М,
длины 21 и радиуса г вращается с постоянной угловой скоростью со
вокруг вертикальной оси Oz, проходящей через центр масс О
цилиндра; угол между осью цилиндра Ot и осью
Oz сохраняет при этом постоянную величину
а. Расстояние Н\Н2 между подпятником и под-
шипникохм равно ft. Определить боковые силы
давления: N\ на подпятник и N2 на под-
шипник.
Ответ: Давления N\ и N2 имеют одинаковую
величину
m 2h \ 3 1 4 )
и противоположны по направлению.
42.13(42.11). Вычислить силы давления в под-
шипниках А и В при вращении вокруг оси АВ
однородного тонкого круглого диска CD паровой
турбины, предполагая, что ось АВ проходит че-
рез центр О диска, но вследствие неправильного
втулки составляет с перпендикуляром к плоскости
диска угол АОЕ — а = 0,02 рад. Дано: масса диска 3,27 кг, радиус
его 20 см, угловая скорость соответствует 30000 об/мин, расстоя-
ние ЛО = 50 см, ОВ = 30 см; ось АВ считать абсолютно твердой и
принять sin 2а = 2а.
К задаче 42.13
К задаче 42.14
Ответ: Силы давления от веса диска: 12,1 Н на подшипник А
и 20,0 Н иа подшипник В; силы давления на подшипники, вызы-
ваемые вращением диска, имеют одинаковую величину 8,06 кН
и противоположные направления.
42.14. В результате неточной сборки круглого диска паровой
турбины плоскость диска образует с осью АВ угол а, а центр
масс С диска не лежит на этой оси. Эксцентриситет ОС = а. Найти
боковые силы динамического давления на подшипники А и В, если
масса диска равна Л4, радиус его /?, а АО = ОВ — h; угловая ско-
рость вращения диска постоянна и равна w.
322
У к а з а н и с Воспользоваться ответом к задаче 31.27.
Ответ: Ул = Ув = 0. Xл = — ~[(-у- + а2) -^-2а + a cos aj со2,
v М f । оА sin 2a 1 „
Хв = — + aj ~ 2Л — a cos al со2.
42.15. Однородный круглый диск массы М и радиуса R насажен
на ось АВ, проходящую через точку О диска и составляющую с его
осью симметрии Czi угол a. OL — проекция оси г, совмещенной
с осью АВ, на плоскость диска, причем ОЕ = а, ОК = Ь. Вычис-
лить боковые силы динамического давления на подшипники А и В,
если диск вращается с постоянной угловой скоростью ы, а АО =
= OB — h.
Указание. Воспользоваться ответом к задаче 34.28.
Ответ: ХА =----|- Mao2 cos а--- (д- /?2 + а2) со2 sin 2а,
Хв =-----~ Mau? cos a -f- -^- R2 + a2) со2 sin 2а,
Ул=------2—(1 + — sin a J со2,
Ув=_ —-_slna)o2.
42.16(42.12). Однородная прямоугольная пластинка массы М
равномерно вращается вокруг своей диагонали АВ с угловой ско-
ростью <о. Определить силы динамического
давления пластинки на опоры А и В, если
длины сторон равны а и Ь.
Ответ: ХА = 0,
Ул =
— МаЬа>2 (а2 - Ь2)
12 (а2 + Ь2)'/]
Хв = 0, Ув
___ МаЬш2 (а2 — Ь2)
~ 12 (а2 + Ь2)'1'
42.17(42.13). С какой угловой скоростью
должна вращаться вокруг катета АВ = а
однородная пластинка, имеющая форму равнобедренного прямо-
угольного треугольника ABD, чтобы сила бокового давления на
нижнюю опору В равнялась нулю? Расстояние между опорами
считать равным длине катета АВ.
Ответ: ы = 2 ^gfa.
323
42.18(42.14). Вращающаяся часть подъемного крана состоит из
стрелы CD длины L и массы Л11, противовеса Е и груза К массы
М2 каждый. (См. рисунок к задаче 34.31.) При включении постоян-
ного тормозящего момента кран, вращаясь до этого с угловой ско-
ростью, соответствующей п = 1,5 об/мин, останавливается че-
рез 2 с.
Рассматривая стрелу как однородную тонкую балку, а проти-
вовес с грузом как точечные массы, определить динамические ре-
акции опор А и В крана в конце его торможения. Расстояние ме-
жду опорами крана АВ = 3 м, М2 = 5 т, =8 т, а = 45°, L =
= 30 м, I = 10 м, центр масс всей системы находится на оси вра-
щения; отклонением груза от плоскости крана пренебречь. Оси х,
у связаны с краном. Стрела CD находится в плоскости yz.
Указание. Воспользоваться ответом к задаче 3^.31 (положив М2 = Л43).
Ответ: Ул = -Ув = 0, Хе = —Хд 60,8 кН.
§ 43. Смешанные задачи
43.1(43.1). Однородная тяжелая балка АВ длины 21 при за-
крепленных концах находится в горизонтальном положении. В не-
который момент конец А освобождается, и балка начинает падать,
вращаясь вокруг горизонтальной
оси, проходящей через конец В; в
Л Lf™ - момент, когда балка становится вер-
j—-------—-----------I тикальной, освобождается и конец
!х В. Определить в последующем дви-
< залаче 431 жении балки траекторию ее центра
к 43.1 масс и угловук)ИскороНть ю
Ответ: 1) Парабола у2 — 31х— З!2; 2) = ^3g/(2l).
43.2(43.2). Тяжелый однородный стержень длины 1 подвешен
своим верхним концом на горизонтальной оси О. Стержню, нахо-
дившемуся в вертикальном положе-
нии, была сообщена угловая ско-
рость а>0=3^ог/1. Совершив пол-
оборота, он отделяется от оси О.
Определить в последующем движе-
нии стержня траекторию его цен-
тра масс и угловую скорость враще-
ния со.
Ответ: 1) Парабола £/с =
I 2 2 оч / Зд
“2 31 Хс; — Д/ Z •
43.3(43.4). Два однородных круг-
лых цилиндра А и В, массы кото-
рых соответственно равны Mt и М2, а радиусы оснований ц и г2,
обмотаны двумя гибкими нитями, завитки которых располо-
жены симметрично относительно средних плоскостей, параллель-
324
пых основаниям цилиндров; оси цилиндров горизонтальны, причем
образующие их перпендикулярны линиям наибольших скатов. Ось
цилиндра А неподвижна; цилиндр В падает из состояния покоя
под действием силы тяжести.
Определить в момент t после начала движения, предполагая,
что в этот момент нити еще остаются намотанными на оба ци-
линдра: 1) угловые скорости ©i и о2 цилиндров, 2) пройденный
центром масс цилиндра В путь s и 3) натяжение Т нитей.
Ответ: 1) ri +22Msjr2 (3Alf+2AJ2)
9\ c = & (Mi 4~ M2) ___ M, M2g
~ 3Mt + 2M3 ’ ' 1 ~ (3Mi + 2M2)
43.4(43.5). Однородный стержень AB длины
тикальной плоскости под углом <р0 к горизонту
он опирается иа гладкую вертикальную сте-
ну, а концом В — на гладкий горизонтальный
пол; затем стержню предоставлено падать без
начальной скорости. 1) Определить угловую
скорость и угловое ускорение стержня.
2) Найти, какой угол <pi будет составлять
стержень с горизонтом в тот момент, когда он
отойдет от стены.
Ответ: 1) <р=/^/-^-(sin — sin ф) ,
- Зв _. 2
Ф=-----j£-cos<p; 2) sin <pj = — sin <р0.
а поставлен в вер-
так, что концом А
К задаче 43.4
43.5(43.6). Использовав условие предыдущей задачи, опреде-
лить угловую скорость ф стержня н скорость нижнего его конца
в момент падения стержня на пол.
Ответ: ф = д/~ (1 sin2 <р0) sin <р0 ,
vB — -у sin <p0 Vga sin q>0.
,’43.6(43.7). Тонкая однородная доска ABCD
прямоугольной формы прислонена к вертикаль-
ной стене и опирается на два гвоздя Е и F
без головок; расстояние AD равно FE. В не-
который момент доска начинает падать с ни-
К задаче 43.6
чтожно малой начальной угловой скоростью,
вращаясь вокруг прямой AD. Исключая возможность скольжения
доски вдоль гвоздей, определить угол cz.i = ZBABi, при котором
горизонтальная составляющая реакции изменяет направление, и
угол <х2 в момент отрыва доски от гвоздей.
Ответ: = arccos -|- = 48°11', а2 = arccos 4* = 70° 32'.
о о
43.7 (43.8). Два диска вращаются вокруг одной и той же оси
с угловыми скоростями ©1 и ©2; моменты инерции дисков относи-
325
тельно этой оси равны Ji и /2. Определить потерю кинетической
энергии в случае, когда оба диска будут внезапно соединены фрик-
ционной муфтой. Массой ее пренебречь.
Ответ: ДГ = 4- “ “г)2-
43.8 . Тело А вращается без треиия относительно осп 00' с
угловой скоростью «од. В теле А на оси ОХО\ помещен ротор В,
вращающийся в ту же сторону с относительной скоростью сое. Осн
00' и О\О\ расположены на одной прямой. Моменты инерции
тела А и ротора В относительно этой прямой равны ]А и 1В. Пре-
небрегая потерями, определить работу, которую должен совершить
мотор, установленный в теле А, для сообщения ротору В такой
угловой скорости, при которой тело А остановится.
Ответ: А = JA о* f 1 + -р-) + 2©лыв 1.
z L \ 4 в / J
43.9 . На шкив, вращающийся без сопротивления вокруг гори-
зонтальной оси О с угловой скоростью <оо, накинули ремень с дву-
мя грузами на концах. Шкив — однородный диск массы m и ра-
диуса г, масса каждого из грузов М = 2m. Считая начальные ско-
рости грузов равными нулю, определить, с какой скоростью они
К задаче 43.8
К задаче 43.9
К задаче 43.10
будут двигаться после того, как скольжение ремня о шкив пре-
кратится. Найти также работу сил трения ремня о шкив.
Ответ: v=-^-nur, Атр = mufr2.
43.10 (43.10). Твердое тело массы М качается вокруг горизон-
тальной оси О, перпендикулярной плоскости рисунка. Расстояние
от оси подвеса до центра масс С равно а; радиус инерции тела
относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно
плоскости рисунка, равен р. В начальный момент тело было откло-
нено из положения равновесия на угол <р0 и отпущено без началь-
ной скорости. Определить две составляющие реакции оси R и N,
расположенные вдоль направления, проходящего через точку под-
веса и центр масс тела, и перпендикулярно ему. Выразить их в
зависимости от угла <р отклонения тела от вертикали.
326
2Mf>a2
Ответ: R — Mg cos <p + n2 ° , (cos <p — cos <p0),
г j и
N = Mg -2^-a— sin <p.
43.11 (43.11). Тяжелый однородный цилиндр, получив ничтожно
малую начальную скорость, скатывается без скольжения с гори-
зонтальной площадки АВ, край которой В заострен и параллелен
образующей цилиндра. Радиус основания ци-
линдра г. В момент отделения цилиндра от
площадки плоскость, проходящая через ось
цилиндра и край В, отклонена от вертикаль-
ного положения на некоторый угол СВС| = а.
Определить угловую скорость цилиндра в мо-
мент отделения его от площадки, а также
угол а. Трением качения и сопротивлением
воздуха пренебречь.
V~p~ 4 ____ К задаче 43.11
а = arccos-у-= 5э,1 .
43.12 . Автомашина для шлифовки льда движется прямолинейно
по горизонтальной плоскости катка. Положение центра масс С
указано на рисунке к задаче 38.12. В' момент выключения мотора
машина имела скорость и. Найти путь, пройденный машиной до
остановки, если fK — коэффициент трения качения между колесами
автомашины и льдом, а / — коэффициент трения скольжения ме-
жду шлифующей кромкой А и льдом. Массой колес радиуса г,
катящихся без скольжения, пренебречь.
1,2 Зг
Ответ: s— 2g 2[r + fK
43.13(43.12). На боковой поверхности круглого цилиндра с вер-
тикальной осью, вокруг которой он может вращаться без трения,
вырезан гладкий винтовой желоб с углом подъема а. В началь-
ный момент цилиндр находится в покое; в желоб опускают тяже-
лый шарик; он падает по желобу без начальной скорости и застав-
ляет цилиндр вращаться. Дано: масса цилиндра М, радиус его /?,
масса шарика /л; расстояние от шарика до оси считаем равным R
и момент инерции цилиндра равным -уЛ4/?2. Определить угловую
скорость <о. которую цилиндр будет иметь в тот момент, когда
шарик опустится на высоту ft.
2m cos a
Ответ: oi =-----g—
A
2gh
(Af + 2m) (Al + 2m sin2 a)
§ 44. Удар
44.1(44.1). Баба А ударного копра падает с высоты 4,905 м и
ударяет наковальню В, укрепленную иа пружине. Масса бабы
10 кг, и масса наковальни 5 кг. Определить, с какой скоростью
327
начнется движение наковальни после удара, если баба будет дви-
гаться вместе с ней.
Ответ- 6,54 м/с.
44.2(44.2). Груз А массы ЛА падает без начальной скорости
с высоты Л на плиту В массы Л'12, укрепленную на пружине, кото-
К задаче 44.1
рая имеет коэффициент жесткости с.
Найти величину s сжатия пружины по-
сле удара в предположении, что коэф-
фициент восстановления равен нулю.
Ответ:
Б с * с2 2gh с (М, + М2)
44.3(44.3). В приборе для опытного
определения коэффициента восстанов-
ления шарик из испытуемого материа-
ла падает без начальной скорости вну-
три вертикальной прозрачной трубки с
Заданной высоты hi == 50 см на непо-
движно закрепленную горизонгалоную пластинку из соответствую-
щего материала. Найти коэффициент восстановления, если вы-
сота, на которую подскочил шарик после удара, оказалась равной
/г2 = 45 см.
Ответ: k= /hjhf = 0,95.
44.4(44.4). Упругий шарик падает по вертикали с высоты h на
горизонтальную плиту, отскакивает от нее вверх, вновь падает иа
плиту и т. д., продолжая эти движения. Найти путь, пройденный
шариком до остановки, если коэффициент восстановления при
ударе равен k.
„ 1 + k2 .
Ответ: s== - } гг.
44.5. Два тела с массами tn\ и тг и коэффициентом восстанов-
ления k движутся поступательно по одному и тому же направле-
нию. Каковы должны быть их скорости Vi н и2, чтобы после удара
догоняющее тело т\ остановилось, а тело ш2 получило бы задан-
ную скорость ц2?
„ I 4- k т2 mi — km2
Ответ: »1 = —1V2 = - и2.
к ni2 * к (mi + m2)
44.6(44.5). Паровой молот массы 12 т падает со скоростью
5 м/с на наковальню, масса которой вместе с отковываемой де-
талью равна 250 т. Найти работу А\, поглощаемую отковываемой
деталью, н работу Д2, потерянную на сотрясение фундамента, а
также вычислить коэффициент т) полезного действия молота; удар
неупругий.
Ответ: Л। = 143 кН м, Л2 == 6,87 кН • м, г] — 0,95.
44.7. Молот массы mi = 10 кг расплющивает заготовку до нуж-
ных размеров за 70 ударов. За сколько ударов эту операцию про-
изведет молот массы т2 •= 100 кг, если приводной механизм сооб-
328
щает ему такую же скорость, что и первому молоту. Масса нако-
вальни М = 200 кг. Удар считать абсолютно пеупругим.
Ответ: 10 ударов.
44.8(44.6). Найти скорости после абсолютного упругого удара
двух одинаковых шаров, двигавшихся навстречу друг другу со
скоростями Vi и v2.
Ответ: Шары после удара обмениваются скоростями.
44.9(44.7). Два одинаковых упругих шара А и В движутся на-
встречу друг другу. При каком соотношении между скоростями до
удара шар А после удара остановится? Коэффициент восстановле-
ния при ударе равен k.
44.10. Тело А настигает тело В, имея в 3 раза большую ско-
рость. Каким должно быть соотношение масс этих тел, чтобы после
удара тело А остановилось? Удар считать прямым центральным.
Коэффициент восстановления k =0,8.
Ответ: тв/тл =5.
44.11(44.8). Определить отношение масс /ni и т2 двух шаров
в следующих двух случаях: 1) первый шар находится в покое;
происходит центральный удар, после которого второй шар остается
в покое; 2) шары встречаются с равными и противоположными
скоростями; после центрального удара второй шар остается в по-
кое. Коэффициент восстановления равен k.
Ответ: 1) -^ = ft, 2) -^ = 1 4- 2ft.
44.12(44.9). Три абсолютно упругих шара с массами пц, т2
и т3 лежат в гладком желобе на некотором расстоянии друг от
друга. Первый шар, пущенный с некоторой начальной скоростью,
ударяет во второй, покоящийся шар, .который, начав двигаться,
в свою очередь ударяет в третий, покоящийся шар. При какой ве-
личине массы т2 второго шара третий шар получит наибольшую
скорость?
Ответ: m2 = Vmim3.
44.13(44.10). Шар массы mi, движущийся поступательно со ско-
ростью Vi, встречает покоящийся шар массы т2, так что скорость
его образует при ударе угол а с линией, соединяющей центры ша-
ров. Определить: 1) скорость первого шара после удара, считая
удар абсолютно неупругим; 2) скорость каждого из шаров после
удара в предположении, что удар упругий с коэффициентом вос-
становления ft.
Ответ: I) «1 = »i д/sin2а 4- —У cos2 а;
, ... /„-о । ( nh—km-, \2 „ (1 4- k) cos а
2) Ui = t»i A / sin2 а 4-1 ——-——) COS2 a, U2 = v, - — ---.
V k mi 4- tn2 ) ’ 2 1 mt + m2
44.14(44.11). Абсолютно упругий шар, центр которого движется
прямолинейно со скоростью v, встречает под углом а гладкую
вертикальную плоскость. Определить скорость шара после удара
329
Ответ-. Угол отражения равен углу падения, скорости до и пос-
ле удара по модулю равны.
44.15(44.12). Стальной шарик падает на горизонтальную сталь-
ную плиту под углом 45° и отскакивает под углом 60° к вертикали.
I Определить коэффициент восстановления при
V-J ударе.
/ Ответ: k = 0,58.
\ ! 44.16(44.13). Шарик падает наклонно со
скоростью v на неподвижную горизонтальную
плоскость и отскакивает от плоскости со ско-
Ар ростью vl = V'\/2/2. Определить угол паде-
I Л ния а и угол отражения р, если коэффициент
К задаче 44 16 ВОССТЭНОВЛеНИЯ При уДЭре k— 'у/з/з.
Ответ: а = л/6, р = л/4.
44.17(44.14). Два одинаковых абсолютно упругих шара, дви-
гаясь поступательно, соударяются с равными по модулю скоро-
стями V. Скорость левого шара до удара направлена по линии
центров направо, а скорость правого шара до удара образует с ли-
нией центров угол а (см. рисунок). Найти скорости шаров после
удара.
Ответ: Um = —п cos ос, «1Т = О, и2п — v, u2T = nsina. Ось п
направлена по линии центров вправо, ось т — вверх.
44.18(44.15). Имеются три одинаковых шара Mi, М2, М3 радиу-
сов R, расстояние между центрами CjC2 = а. Определить, на ка-
кой прямой АВ, перпендикулярной линии CiC2, должен находиться
центр С3 третьего шара для того, чтобы, получив некоторую ско-
рость по направлению АВ, этот шар после удара о шар М2 нанес
центральный удар шару М\-, шары абсолютно упруги и движутся
поступательно.
Ответ: Расстояние прямой АВ от центра С2 равно ВС2 = 4R2/a.
44.19(44.16). Для укрепления грунта под фундаментом здания
сваи массы М —50 кг вбивались копром, боек которого массы
Mt = 450 кг падал без начальной скорости с высоты ft = 2 м; при
последних десяти ударах свая углубилась на 6 = 5 см. Определить
среднее сопротивление грунта при вбивании свай. Удар считать
неупругим.
Ответ: S = 159 kFL
330
44.20(44.17). Два шара с массами mi и т2 висят на параллель-
ных нитях длин li и /2 так, что центры их находятся на одной вы-
соте. Первый шар был отклонен от вертикали на угол oti и затем
отпущен без начальной скорости. Определить угол предельного
отклонения а2 второго шара, если коэффициент восстановления
равен k.
о2 mi У/i . cti
Ответ: sin —— =-----Ц—— л sin ——.
2 пц + m2 V <2 2
44.21(44.18). Маятник ударной машины состоит из стального
диска А радиуса 10 см и толщины 5 см и из стального круглого
стержня В диаметром 2 см и длины 90 см. На каком расстоянии /
К задаче 44.23
от горизонтальной плоскости, в которой лежит ось вращения О,
должен быть помещен разбиваемый машиной брусок С, чтобы ось
не испытывала удара? Ударный импульс лежит в плоскости рисун-
ка и направлен горизонтально.
Ответ: I = 97,5 см.
44.22(44.19). Определить положение центра удара прямоуголь-
ной мишени для стрельбы. Высота мишени равна h.
Ответ: s = 2Й/3.
44.23(44.20). Определить положение центра удара К треуголь-
ной мишени для стрельбы. Высота мишени равна й.
Ответ: s = й/2.
• 44.24(44.21). Два шкива вращаются в одной плоскости вокруг
своих осей с угловыми скоростями сою и <о2О. Определить угловые
скорости шкивов со] и со2 после того, как на них будет накинут
ремень, считая шкивы круглыми дисками одинаковой плотности
с радиусами Ri и /?2 и пренебрегая скольжением и массой ремня.
Ответ- w — Й'Ю‘° +
Ответ. + •
__ ^2Ю20
“2 /?2 (/??+/?!) ’
44.25(44.22). Баллистический маятник, употребляющийся для
определения скорости снаряда, состоит из цилиндра АВ, подвешен-
ного к горизонтальной оси О: цилиндр открыт с одного конца А
и наполнен песком; снаряд, влетающий в цилиндр, производит вра-
331
щейие маятника вокруг оси О на некоторый угол. Дапо: М
масса маятника; OC = h— расстояние от его центра масс С до
оси О; р — радиус инерции относительно оси О\ т — масса снаря-
да; OD = а—расстояние от линии действия ударного импульса
до оси; а — угол отклонения маятника. Определить скорость сна-
ряда, предполагая, что ось маятника О не испытывает удара, при-
чем ah — р2.
ОТвет-.
m V а. 2
44.26(44.23). Однородный стержень массы М и длины I, при-
крепленный своим верхним концом к цилиндрическому шарниру О,
падает без начальной скорости из горизонтального положения.
В' вертикальном положении он ударяет груз массы т, сообщая ему
движение по горизонтальной шероховатой плоскости. Коэффициент
трения скольжения f. Определить путь, пройденный грузом, считая
удар неупругнм.
гх . 31 М1
Ответ, s 2f +
44.27(44.24). Однородная прямая призма с квадратным осно-
ванием стоит на горизонтальной плоскости и может вращаться во-
круг ребра АВ, лежащего в этой плоскости. Ребро основания приз-
мы равно а, высота ее За, масса 3m. В середину С боковой грани,
противолежащей ребру АВ, ударяет шар массы m с горизонталь-
ной скоростью V.
Предполагая, что удар неупругий и что масса шара сосредото-
чена в его центре, который после удара остается в точке С, опре-
делить наименьшую величину скорости v, при которой призма
опрокинется.
Ответ', v — ’/з д/53^а.
44.28(44.25). Платформа с помещенным на ней призматическим
грузом АВ катится по горизонтальным рельсам со скоростью V.
На платформе имеется выступ, в который упирается ребро В гру-
332
за, препятствуя последнему скользить по платформе вперед, но не
препятствуя вращению его около ребра В. Дано: h — высота цен-
тра масс груза над платформой, р—радиус инерции груза относи-
тельно ребра В. Определить угло-
вую скорость со вращения груза око-
ло ребра В в момент мгновенной
остановки платформы.
Ответ: со = hv/p2.
44.29(44.26). Полагая при усло-
виях предыдущей задачи, что груз
представляет собой однородный
прямоугольный параллелепипед,
длина ребра которого вдоль платформы равна 4 м, а высота 3 м,
найти, при какой скорости произойдет опрокидывание груза.
Ответ: v = 30,7 км/ч.
§ 45. Динамика точки и системы переменной массы
(переменного состава)
45.1(45.1). Составить уравнение движения маятника перемен-
ной массы в среде, сопротивление которой пропорционально ско-
рости. Масса маятника изменяется по' заданному закону tn = m(t)
путем отделения частиц с относительной скоростью, равной нулю.
Длина нити маятника /. На маятник действует также сила сопро-
тивления, пропорциональная его угловой скорости: R = —£ф.
В е
Ответ: ip + ф + -у-’ sin Ф = 0.
45.2(45.2). Составить дифференциальное уравнение восходяще-
го движения ракеты. Эффективную скорость ve истечения газов *)
считать постоянной. Масса ракеты изменяется по закону m = що/(О
(закон сгорания). Сила сопротивления воздуха является задан-
ной функцией скорости и положения ракеты: R(x,x).
„ / (О R (х, х)
Ответ: x^-g—Jwve---------
45.3(45.3). Проинтегрировать уравнение движения предыдущей
задачи при тп = пг0(1 — «/) и R=0. Начальная скорость ракеты
у поверхности Земли равна нулю. На какой высоте будет нахо-
диться ракета в моменты Z = 10; 30; 50 с при ое = 2000 м/с и
а = 1/100 с-1?
Ответ: х(/) = -^-[(1 —а^)1п(1 —а/)-фа/] —х(10)=0,54 км,
х (30) = 5,65 км, х (50) =18,4 км.
45.4(45.4). Ракета начальной массы т0 поднимается вертикаль-
но вверх в однородном поле силы тяжести с постоянным ускоре-
нием ng (g — ускорение земного тяготения). Пренебрегая сопро-
*) Тяга реактивного двигателя определяется формулой Рд = —ve, где
Р, — эффективная скорость истечения.
333
тнвлением атмосферы и считая эффективную скорость ve истече-
ния газов постоянной, определить: 1) закон изменения массы ра-
кеты, 2) закон изменения массы ракеты при отсутствии поля тя-
готения.
Ответ'. 1) /71 = тое.\р(— " + 1 g/) ; 2) m = moexp (—
45.5(45.5), Масса ракеты, описанной в задаче 45.2, изменяется
до i = t0 по закону m = moe-at. Пренебрегая силой сопротивления,
найти движение ракеты и, считая, что к моменту времени t0 весь
заряд практически сгорел, определить максимальную высоту подъ-
ема ракеты. В начальный момент ракета имела скорость, равную
нулю, и находилась на земле.
Ответ: Н = (аие — g) /2, где ve — эффективная скорость ис-
течения газов из ракеты.
45.6(45.6). При условиях предыдущей задачи определить зна-
чение а, отвечающее максимальной возможной высоте подъема
ракеты //max, и ВЫЧИСЛИТЬ //max (величину Ц = а/о = 1п(то/«11)
необходимо считать постоянной; mi — масса ракеты в момент /0).
Ответ: а = оо (мгновенное сгорание), Hmax = p.2o2/(2g).
45.7(45.7). При условиях задач 45.5 и 45.6, задавшись коэффи-
циентом перегрузки k = a.ve/g, определить высоту подъема Н ра-
кеты В зависимости ОТ //max.
Ответ: Н = Hmax(k — l)/k.
45.8(45.8). Ракета стартует с Луны вертикально к ее поверхно-
сти. Эффективная скорость истечения щ = 2С00 м/с. Число Циол-
ковского z = 5*). Определить, какое должно быть время сгорания
топлива, чтобы ракета достигла скорости v =3000 м/с (принять,
что ускорение силы тяжести вблизи Луны постоянно и равно
1,62 м/с2).
Ответ: «2 мин 4 с.
45.9(45.9). Ракета движется в однородном поле силы тяжести
вверх с постоянным ускорением w. Пренебрегая сопротивлением
атмосферы и считая эффективную скорость ve истечения газов по-
стоянной, определить время Т, за которое масса ракеты умень-
шится в два раза.
Ответ: Т = veln 2/(w -f- g).
45.10(45.10). Эффективная скорость истечения газов из ракеты
ve = 2,4 км/с. Какой процент должен составлять вес топлива от
стартового веса ракеты, чтобы ракета, движущаяся вне поля тяго-
тения и вне атмосферы, приобрела скорость 9 км/с?
Ответ: Примерно 98%.
45.11(45.11). Ракета движется поступательно при отсутствии
тяготения и сопротивления среды. Эффективная скорость истече-
ния газов ve = 2400 м/с. Определить число Циолковского, если в
*) Числом Циолковского называется отношение стартовой массы ракеты к
массе ракеты без топлива.
334
момент полного сгорания топлива скорость ракеты будет равна
4300 м/с.
Ответ-, z ~ 6.
45.12(45.12). Тело переменной массы, имея начальную скорость,
равную нулю, движется с постоянным ускорением w по горизон-
тальным направляющим. Эффективная скорость истечения газов ve
постоянна. Определить, пренебрегая сопротивлением, путь, прой-
денный телом до того момента, когда его масса уменьшится в
k раз.
Ответ: s = ve2 (In k)2/ (2w).
45.13(45.13). Решить предыдущую задачу, предположив, что на
тело действует сила трения скольжения.
9
WU*
Ответ: s = -2 (In fe)2, где / — коэффициент трения
скольжения.
45.14(45.14). Тело переменной массы движется по специальным
направляющим, проложенным вдоль экватора. Касательное уско-
рение wx = а постоянно. Не учитывая сопротивление движению,
определить, во сколько раз уменьшится масса тела, когда оно
сделает один оборот вокруг Земли, если эффективная скорость ис-
течения газов ve = const. Каково должно быть ускорение а, чтобы
после одного оборота тело приобрело первую космическую ско-
рость? Радиус Земли 7?.
Ответ: В ехр (2 «е) раз; а — g/(4n).
45.15(45.15). Определить в предыдущей задаче массу топлива,
сгоревшую к моменту, когда давление тела на направляющие бу-
дет равно нулю.
Z -y/gR \
Ответ: mT = m0\l — e J.
45.16(45.16). Тело скользит по горизонтальным рельсам. Исте-
чение газа происходит вертикально вниз с постоянной эффектив-
ной скоростью ve. Начальная скорость тела равна п0- Найти закон
изменения скорости тела и закон его движения, если изменение
массы происходит по закону m = пг0 — at. Коэффициент трения
скольжения равен f.
Ответ: s = vJ-f{^--
— Це[/1пгП() + -^^-(1п(ш0 — at)— 1 —-^(In/no — I))]}-
45.17(45.17). Решить предыдущую задачу, если изменение топ-
лива будет происходить по закону tn = mae~at. Определить, при
каком а тело будет двигаться с постоянной скоростью о0.
Ответ: v = v0 — f(g — ave)t, s = vot — f(g-ave)^-, a = -£-.
Ле
45.18(45.18). Какой путь пройдет ракета на прямолинейном
активном участке в пустоте и при отсутствии сил тяготения за
время разгона от нулевой начальной скорости до скорости, равной
335
эффективной скорости истечения продуктов сгорания ve, если из-
вестна начальная масса ракеты то и секундный расход В?
_ vem0 е — 2
Ответ: s = —р-----—, где е — неперово число.
45.19(45.19). Ракета движется прямолинейно вне поля тяготе-
ния и при отсутствии сопротивления. Найти работу силы тяги к
моменту, когда сгорит все топливо. Начальная масса ракеты т0,
конечная — tn\. Эффективная скорость истечения ve постоянна.
Ответ: А = (z — 1 — In z), z — tnjmi
45.20(45.20). При каком отношении z начальной и конечной
гп\ масс ракеты, движущейся прямолинейно в пустоте и при от-
сутствии сил тяготения, ее механический к. п. д., определяемый как
отношение кинетической энергии ракеты после выгорания топлива
к затраченной энергии, имеет наибольшее значение?
Ответ: z — корень уравнения In z = •
45.21(45.21). Самолет, имеющий массу то, приземляется со ско-
ростью оо на полярный аэродром. Вследствие обледенения масса
самолета при движении после посадки увеличивается согласно
формуле m = то + at, где а = const. Сопротивление движению
самолета по аэродрому пропорционально его весу (коэффициент
пропорциональности f). Определить промежуток времени до оста-
новки самолета с учетом (Т) и без учета (Tt) изменения его
массы. Найти закон изменения скорости с течением времени.
Ответ: Т = 1), 7', = -^-.
а \ V 1 fgm0 J' 1 jg *
_ 2m0v0 — fg (2m0 + at) t
2 (m0 + at)
45.22(45.22). Эффективные скорости истечения первой и второй
ступени у двухступенчатой ракеты соответственно равны =
= 2400 м/с и гИ2) = 2600 м/с. Определить, считая, что движение,
происходит вне поля тяготения и атмосферы, числа Циолковского
для обеспечения конечной скорости vt =2400 м/с первой ступени
и конечной скорости v2 = 5400 м/с второй ступени.
Ответ: Zi =2,72; z2 = 3,17.
45.23(45.23). Считая, что у трехступенчатой ракеты числа Циол-
ковского и эффективные скорости ve истечения у всех трех ступе-
ней одинаковы, найти число Циолковского при ve — 2,4 км/с, если
после сгорания всего топлива скорость ракеты равна 9 км/с (влия-
нием поля тяготения и сопротивлением атмосферы пренебречь).
Ответ: z = 3,49.
45.24(45.24). Трехступенчатая ракета движгтся поступательно
при отсутствии тяготения и сопротивления атмосферы. Эффектив-
ные скорости истечения и числа Циолковского для всех ступеней
одинаковы и соответственно равны ос = 2500 м/с, z = 4. Опреде-
лить скорости ракеты после сгорания горючего в первой ступени,
во второй и в третьей.
Ответ: oi = 3465 м/с, v2 =6930 м/с, оз = 10 395 м/щ
।
I
I
и
«
и
г
!!i
’1
1)'С
h
Ш;
336
45.25(45.25). В момент, когда приближающийся к Луне косми-
ческий корабль находится на расстоянии Н от ее поверхности и
имеет скорость v0, направленную к центру Луны, включается тор-
мозной двигатель. Учитывая, что сила тяготения обратно пропор-
циональна квадрату расстояния от корабля до центра Луны и
принимая, что масса корабля изменяется по закону т = тое~“(
(т0— масса ракеты в момент включения тормозного двигателя,
а — постоянное число), найти а, при котором корабль совершит
мягкую посадку (т. е. будет иметь скорость прилунения, равную
нулю). Эффективная скорость истечения газов ve постоянна. Ра-
диус Луны R, ускорение силы тяжести на Луне £л-
„ °о , 8л$
Ответ: а = ф- Vg{R + H} •
45.26(45.26). Найти закон изменения массы ракеты, начавшей
движение вертикально вверх с нулевой начальной скоростью, если
ее ускорение w постоянно, а сопротивление среды пропорционально
квадрату скорости (Ь — коэффициент пропорциональности). Поле
силы тяжести считать однородным. Эффективная скорость истече-
ния газа ve постоянна.
Ответ:
bw1 2 2ге&ш2 2v26te)2
® + S (^ + g)a ~ (и> + g)3 '
45.27(45.27). Ракета перемещается в однородном поле силы тя-
жести по прямой с постоянным ускорением w. Эта прямая обра-
зует угол а с горизонтальной плоскостью, проведенной к поверх-
ности Земли в точке запуска ракеты.
Предполагая, что эффективная ско-
рость истечения газов ve постоянна
по величине и направлению, опреде-
лить, каково должно быть отношение
начальной массы ракеты к массе ра-
кеты без топлива (число Циолков-
ского), если к моменту сгорания топ-
лива ракета оказалась на расстоянии
Н от указанной выше касательной пло-
К задаче 45.27
СКОСТИ.
соза / 2wH
Ответ: z=eD«cos₽ * slna, где р— угол, образуемый скоростью
. „ „ , w sin а + g
ve с касательной плоскостью, равный р = arctg— —-
45.28(45.28). Тело переменной массы движется вверх с постоян-
ным ускорением w по шероховатым прямолинейным направляю-
щим, составляющим угол а с горизонтом. Считая, что поле силы
тяжести является однородным, а сопротивление атмосферы дви-
жению тела пропорционально первой степени скорости (Ь — коэф-
фициент сопротивления), найти закон изменения массы тела. Эф-
фективная скорость истечения газа ve постоянна; коэффициент
трения скольжения между телом и направляющими равен f.
337
Ответ’. m= \ /п0
®У|
е~^
Ь® Д ve \ ,
—• I t----- |, где а»! = w +
w\ к w\ J
-f- g (sin a 4- f cos a), rn0 — начальная масса тела.
45.29(45.29). Аэростат весом Q поднимается вертикально и
увлекает за собой сложенный на земле канат. На аэростат дей-
ствует подъемная сила Р, сила тяжести и сила сопротивления,
пропорциональная квадрату скорости: R = —рх2. Вес единицы
длины каната у. Составить уравнение движения аэростата.
Ответ: х = — и 4- —
Q + ух
Pg + V .-.а
<2 + ух х-
45.30(45.30). При условиях предыдущей задачи определить
скорость подъема аэростата. В' начальный момент аэростат непо-
движен и находится на высоте Но.
Ответ: х2
Pg Г. f <2 + уЯ0 \2(1 + р'у~)1 _
(₽s + y) L \ Q + vx J J
2g Г. f Q + y"° У+2Р~у](П I г-н
20g+ 3Y L1 I Q + y* J J(Q+V*)-
45.31(45.31). Шарообразная водяная капля падает вертикально
в атмосфере, насыщенной водяными парами. Вследствие конденса-
ции масса капли возрастает пропорционально площади ее поверх-
ности (коэффициент пропорциональности а). Начальный радиус
капли г0, ее начальная скорость v0, начальная высота h0. Опреде-
лить скорость капли и закон изменения ее высоты со временем
(сопротивлением движению пренебречь).
Указание. Показать, что dr — adi, и перейти к новой независимой пере-
менной г.
_ btDl'e \
Wl )
45.32(45.32). Решить предыдущую задачу в предположении, что
на каплю кроме силы тяжести действует еще и сила сопротивле-
ния, пропорциональная площади максимального поперечного сече-
ния и скорости капли R = —4рлг2о (р— постоянный коэффициент).
[-к- (4а+Э₽) 1
gr0 . —(0+а) . .
4а + 30 °ого J
v Гг~г,зр+2п)_ r-v(3P+2a>] _ g(f2~rc)
А L о J 2а (4а + 30) ’
[4-(«*+ЗР) э 1 3
sro . 4<а+С)1 —
4а + 30 Voro J г
где г = г0 4- at.
338
45.33(45.33). Свернутая в клубок тяжелая однородная цепь ле-
жит на краю горизонтального стола, причем вначале одно звено
цепи неподвижно свешивается со стола. Направляя ось х верти-
кально вниз и принимая, что в начальный момент х=0, х = 0,
определить движение цепи.
Ответ: х = gF/fx
45.34(45.34). Цепь сложена на земле и одним концом прикреп-
лена к вагонетке, стоящей на наклонном участке пути, образую-
щем угол а с горизонтом. Коэффициент трения цепи о землю f.
Вес единицы длины цепи у, вес вагонетки Р. Скорость вагонетки
в начальный момент и0. Определить скорость вагонетки в любой
момент времени и выяснить необходимое условие, при котором
вагонетка может остановиться.
х2 P2v$ Pg . Г р2 I
Ответ-. — = 2 (Р + Yx)3 -3у' sin “ L1 — (Р + ух)» J +
+ у gx sin а + -^-[1 - -(р ДТу. ] cos а - у fgx cos а.
Остановка может иметь место при выполнении неравенства f >
> tg а.
45.35(45.35). Материальная точка массы m притягивается по
закону всемирного тяготения Ньютона к неподвижному центру.
м
Масса центра со временем меняется по закону М — Опре-
делить движение точки.
Указание. Перейти к новым координатам с помощью соотношений
* = ТТаГ’ 71 = Т+77 н к пРивеДенномУ времени т = yjp—у-
Ответ: Уравнения движения в координатах I, г> имеют вид (f —
постоянная тяготения)
I t "Л ___л rf34 г f эД ______л —____. /Г2 i Z2
+ + р—V6+т.
т. е. отвечают обычным уравнениям в случае постоянных масс.
Поэтому в зависимости от начальных условий в переменных £ и т]
имеют место эллиптические, параболические или гиперболические
орбиты.
45.36(45.36). Для быстрого сообщения ротору гироскопа необ-
ходимого числа оборотов применяется реактивный запуск. В тело
ротора вделываются пороховые шашкн обшей массой то, продукты
сгорания которых выбрасываются через специальные сопла. При-
нять пороховые шашки за точки, расположенные на расстоянии г
от оси вращения ротора. Касательная составляющая эффективной
скорости истечения продуктов сгорания ve постоянна.
Считая, что общий расход массы пороха в одну секунду ра-
вен q, определить угловую скорость <о ротора к моменту сгорания
пороха, если на ротор действует постоянный момент сопротивле-
ния, равный М. Радиус ротора R. В' начальный момент ротор на-
ходится в покое.
339
Ответ: а — ^qV‘iq I п -j—, где Jo = /₽ + mur2, Jp — момент
инерции ротора относительно оси вращения.
45.37(45.37). По данным предыдущей задачи найти угловую
скорость ротора после сгорания пороха, если на ротор действует
момент сопротивления, пропорциональный его угловой скорости
(Ь — коэффициент пропорциональности).
Ответ: о =
О L х. Jo / J
45.38(45.38). Многоступенчатая ракета состоит из полезного
груза и ступеней. Каждая ступень после израсходования топлива
Вводя в рассмотрение
ракеты
отделяется от остальной конструкции.
Под субракетой понимается сочетание
работающей ступени, всех неработаю-
щих ступеней и полезного груза, при-
чем для данной субракеты все нера-
ботающие ступени и полезный груз яв-
ляются «полезным грузом», т. е. каж-
дая ракета рассматривается как одно-
ступенчатая ракета. На рисунке ука-
зана нумерация ступеней и субракеты.
Пусть q— вес полезного груза,
Pi — вес топлива в i-й ступени, Qi —
сухой (без топлива) вес i-ступенн,
Gi — полный вес i-й субракеты.
число Циолковского для каждой суб-
_ Gt
‘ Gi - Pi
и конструктивную характеристику (отношение полного веса сту-
пени к ее сухому весу) для каждой ступени
s _ Qi + Pi
s‘~ Qi ’
определить полный стартовый вес всей ракеты, вес k-й субракеты,
вес топлива k-й ступени, сухой вес k-й ступени.
Указание. При решении задачи ввести щ — «относительный вес» i-н суб-
ракеты, т. е. отношение начального веса субракеты к весу ее полезного грузаз
ai = Gi/Gz, а.1 = G2/Gj, .... а„ = Gniq.
z. — 1 Р.
Рк = ----G*; Q* = - (формулы Фертрегта).
zk sk 1
45.39(45.39). Двухступенчатая ракета предназначена сообщить
полезному грузу q — 1 кН скорость ц = 6000 м/с. Эффективные
340
скорости истечения газов у ступеней одинаковы и равны vc =
= 2400 м/с. Конструктивные характеристики первой и второй сту-
пеней соответственно равны si = 4, з2 = 5 (см. задачу 45.38). Пре-
небрегая силой тяготения Земли н сопротивлением атмосферы,
определить числа Циолковского для первой и второй субракет,
при которых стартовый вес Gi ракеты будет минимальный.
Ответ: 21 = 3,12, z2 = 3,91, Gj = 152 кН.
45.40(45.40). Используя данные предыдущей задачи, определить
для каждой ступени вес топлива и сухой вес.
Указание. Использовать формулы ответа к задаче 45.38.
Ответ: Pi = 100,4 кН, Рг — 10,5 кН, Q! =33,5 кН, Q2 = 2,6 кН-
45.41 (45.41). Четырехступенчатая ракета состоит из четырех
ракет. Конструктивная характеристика s и эффективная скорость
ve у всех ракет одинаковы и равны s=4,7, = 2,4 км/с. Каков
должен быть стартовый вес ракеты, чтобы она грузу в 10 кН со-
общила скорость о =9000 м/с? (Воспользоваться формулами от-
вета к задаче 45.38.)
Ответ: 3720 кН.
ГЛАВА XI
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
§ 46. Принцип возможных перемещений
46.1(46.1). Груз Q поднимается с помощью домкрата, который
приводится в движение рукояткой ОЛ = 0,6 м. К концу рукоятки,
перпендикулярно ей, приложена сила Р— 160 Н.
Определить величину силы тяжести груза Q, если шаг винта
Домкрата h = 12 мм.
Ответ: Q = 52,2 кН.
46.2(46.2). На маховичок коленчатого пресса действует вра-
щающий момент М\ ось маховичка имеет на концах винтовые на-
341
резки шага ft противоположного направления и проходит через
две гайки, шарнирно прикрепленные к двум вершинам стержневого
ромба со стороною а; верхняя вершина ромба закреплена непо-
движно, нижняя прикреплена к горизонтальной плите пресса.
Определить силу давления пресса на сжимаемый предмет в мо-
мент, когда угол при вершине ромба равен 2а.
Ответ: P = n-^-ctg<x.
h ь
40.3(46.3). Определить зависимость между модулями сил Р и
Q в клиновом прессе, если сила Р приложена к концу рукоятки
длины а перпендикулярно оси винта и рукоятки. Шаг винта ра-
К задаче 46.3
К задаче 46.4
46.4(46.4). Рисунок представляет схему машины для испыта-
ния образцов на растяжение. Определить зависимость между уси-
лием X в образце ft и расстоянием х от груза Р массы М до его
К задаче 46 5
нулевого положения О, если при помощи
груза Q машина уравновешена так,
что при нулевом положении груза Р и
при отсутствии усилия в К все рычаги
горизонтальны. Даны расстояния Zj,
/2 и е.
Ответ: X = Mg .
а е/2
46.5(46.5). Грузы К и L, соединенные
системой рычагов, изображенных на ри-
сунке, находятся в равновесии. Опое-
ВС 1
делить зависимость между массами грузов, если дано:
ON 1 DE 1
ОМ 3 1 DF 10 ’
_ .. ВС ON DE .. 1 .,
Отве-': ML АС ом • DF Мк 300 Мк.
46.6(46.6). Определить модуль силы Q, сжимающей образец А,
в рычажном прессе, изображенном на рисунке. Дано: F = 100 Н,
а - 60 см, ь = 10 см, с = 60 см, d = 20 см.
342
Ответ-. Q — 1800 Н.
46.7(46.7). На платформе в точке F находится груз массы М.
Длина АВ — а; ВС — b, CD = с\ IK = d; длина платформы EG =
= L. Определить соотношение между длинами b, с, d, I, при кото-
ром масса m гири, уравновешивающей груз, не зависит от поло-
жения его на платформе, и найти массу гири m в этом случае.
„ Ь + с I Ь ..
Ответ: —г— = —г, т=—М.
и а а
момент надо приложить
46.8(46.8). К ползуну А механизма эллипсографа приложена
сила Р, направленная вдоль направляющей ползуна к оси враще-
ния О кривошипа ОС. Какой враг
к кривошипу ОС для того, чтобы
механизм был в равновесии в по-
ложении, когда кривошип ОС
образует с направляющей ползу-
на угол ф? Механизм расположен
в горизонтальной плоскости, при-
чем ОС = АС = СВ — 1.
Ответ: М = 2Р1 cos ф.
46.9(46.9). Полиспаст состоит
из неподвижного блока А и из п
подвижных блоков. Определить в
случае равновесия отношение
массы М поднимаемого груза к силе Р, приложенной к концу ка-
ната, сходящего с неподвижного блока А.
Ответ: Mg/P = 2".
46.10(46-10). В кулисном механизме при качании рычага ОС
вокруг горизонтальной оси О ползун Д, перемещаясь вдоль ры-
чага ОС, приводит в движение стержень АВ, движущийся в вер-
тикальных направляющих К. Даны размеры: OC = R, ОК = 1.
Какую силу Q надо приложить перпендикулярно кривошипу ОС
в точке С для того, чтобы уравновесить силу Р, направленную
вдоль стержня АВ вверх?
Ответ: Q
Pl
C0S2 ф ’
343
46.il. Кулак /< массы Mi находится в покое на гладкой гори-
зонтальной плоскости, поддерживая стержень АВ массы М2, ко-
торый расположен в вертикальных направляющих. Система нахо-
дится в покое под действием силы F, приложенной к кулаку К по
горизонтали направо. Определить
модуль силы F, если боковая по-
верхность кулака образует с го-
ризонтом угол а. Найти также
К задаче 46.10
область значений модуля силы F в случае негладкой горизонталь-
ной плоскости, если коэффициент трения скольжения между осно-
ванием кулака К и горизонтальной плоскостью равен f.
Ответ: i) F = M2g tg а,
2) M2gtga — f(Mi +M2)g F ^M2g tg a + f(Afi 4-Af2)g.
46.12. Круговой кулак К массы Mi н радиуса R стоит на не-
гладкой горизонтальной плоскости. Он соприкасается с концом А
стержня АВ массы М2, расположенного в вертикальных направ-
ляющих. Система находится в покое под Действием силы F, при-
ложенной к кулаку по горизонтали направо. При этом ЛЛ1 = Л.
Найти область значений модуля силы F, если коэффициент тре-
ния скольжения кулака о горизонтальную плоскость равен f.
Ответ:
V/?2 ~ Л!> M2g - f (Mi + М2) g < F < ~ hi M2g + f (Mi + M2) g.
46.13. Круглый эксцентрик А массы ЛЬ насажен на неподвиж-.
ную горизонтальную ось О, перпендикулярную плоскости рисунка4
344
Эксцентрик поддерживает раму В массы М2, имеющую верти-
кальные направляющие. Трением пренебречь. Эксцентриситет
ОС = а. Найти величину момента то, приложенного к эксцентри-
ку, если при покое материальной системы ОС образует с горизон-
талью угол а.
Ответ: гпо = (Л1 > Н- M2)ga cos а.
46.14(46.11). В механизме домкрата при вращении рукоятки А
длины R начинают вращаться зубчатые колеса 1, 2, 3, 4 и 5, ко-
торые приводят в движение зубчатую рейку В домкрата. Какую
силу надо приложить перпендикулярно рукоятке в конце ее для
К задаче 46.14
К задаче 46.15
того, чтобы чашка С при равновесии домкрата развила давление
равное 4,8 кН? Радиусы зубчатых колес соответственно равны:
П=3 см, г2 = 12 см, гз = 4 см, г4=16 см, rg = 3 см, длина ру-
коятки R = 18 см.
Ответ: P^=Q-^±.==50 н.
46.15(46.12). Дифференциальный ворот состоит из двух жестко
связанных валов А и В, приводимых во вращение рукояткой С
длины R. Поднимаемый груз D массы М прикреплен к подвиж-
ному блоку Е, охваченному канатом. При вра-
щении рукоятки С левая ветвь каната сматы-
вается с вала А радиуса и, а правая ветвь
наматывается на вал В радиуса г2 (г2>г\).
Какую силу Р надо приложить перпендику-
лярно рукоятке в конце ее для того, чтобы
уравновесить груз D, если М = 720 кг, п =
.= 10 см, г2 = 12 см, R = 60 см?
Ответ: Р*= Mg = 118 Н.
46.16(46.13). В механизме антипараллело-
грамма ABCD звенья АВ, CD и ВС соединены
цилиндрическими шарнирами В и С, а цилиндрическими шарни-
рами А м D прикреплены к стойке AD. К звену CD в шарнире С
приложена горизонтальная сила Fc. Определить модуль силы FB,
приложенной в шарнире В перпендикулярно звену АВ, если ме-
ханизм находится в равновесии в положении, указанном на
345
рисунке. Дано: AD=BC, АВ —CD, Z_ABC = Z_ADC = 90°.
/EDO. В = 30°.
Ответ: FB = 2 Fc.
<6.17(46-14). Кривошипно-ползунный механизм OAB связан в
середине шатуна АВ цилиндрическим шарниром С со стержнем
CD. Стержни CD и DE соединены цилиндрическим шарниром D.
Определить зависимость между модуля-
ми сил Fa и FD, соответственно перпен-
дикулярных стержням ОА и DE, при
равновесии механизма в положении, ука-
занном на рисунке. Дано: Z.DCB=- 150°,
Z С DE = 90°.
Ответ; Fo = 4Fa.
46.18(46.15). Колодочно-бандажный
тормоз вагона трамвая состоит нз трех
тяг АВ, ВС и CD, соединенных шарни-
рами В н С. При действии горизонталь-
ной силы F тормозные колодки К и L,
соответственно прикрепленные к тягам
АВ и CD, прижимаются к колесу. Опре-
и Nl колодок на колесо. Размеры ука-
заны на рисунке. Вагон находится в покое.
Ответ: NK = F -flt—, ML = F -%- b~ .
Л b * ь ь d
46.19(46.16). На рисунке изображена схема колодочно-бандаж-
ного тормоза вагона трамвая. Определить зависимость между а,
A F
К задаче 46.18
К задаче 46.19
Ь и с, при наличии которой колодки А и В под действием силы F
прижимаются с одинаковыми по модулю силами к бандажам ко-
лес С и D. Найти также величину этой силы. Колеса считать
неподвижными.
46.20(46.17). Найти массы ЛК и М2 двух грузов, удерживаемых
в равновесии грузом массы М на плоскостях, наклоненных к го-
ризонту под углами аир, если грузы с массами и М2 прикреп-
лены к концам троса, идущего от груза с массой Mi через блок Оц
346
насаженный на горизонтальную ось, к подвижному блоку О, и за-
тем через блок ©2, насаженный на ось блока Ot, к грузу массы
Alj. Блоки Oi и ©2 — соосные. Трением, а также массами блоков
и троса пренебречь.
~ л, м м
Ответ: М, ~ , М2 = ——g-.
1 2 sin а х sin р
46.21(45.18). К концам нерастяжимой нити привязаны грузы
?! и В одинаковой массы. От груза А нить проходит параллельно
К задаче 46. 20
горизонтальной плоскости, огибает неподвижный блок С, охваты-
вает подвижный блок D, затем огибает неподвижный блок Е, где
к другому концу нити привязан груз В. К оси подвижного блока D
подвешен груз К массы М.
Определить массу Mi каждого из грузов А и В и коэффициент
трения скольжения f груза А о горизонтальную плоскость, если
система грузов находится в по-
кое. Массой нити пренебречь.
Ответ: Mi — M/2; f = 1.
46.22(46.19). Составная бал-
ка AD, лежащая иа трех опо-
рах, состоит из двух балок,
шарнирно соединенных в точ-
ке С. На балку действуют
К задаче 46.22
вертикально силы, равные
20 кН, 60 кН, 30 кН. Размеры указаны на рисунке. Определить
реакции опор А, В и D.
Ответ: RA — \0 кН, Rb = 105 кН, RD = —5 кН.
К задаче 46.24
46.23(46.20). Определить вращающий момент, который надо
приложить на участке BD к балке AD, рассмотренной в предыду-
щей задаче, для того, чтобы опорная реакция в D равнялась нулю.
Ответ: М = 20а кН • м.
46.24(46.21). Составная балка АЕ, лежащая на двух опорах А
и С, состоит из трех балок АВ, BD и DE, шарнирно соединенных
347
в В и. D. Балка DE в сечении Е защемлена в стене. Определить
вертикальную составляющую реакции в сечении Е. К балкам при-
ложены четыре равные вертикальные силы Р. Размеры указаны
на рисунке.
Ответ-. R = 0,5Р.
46.25(46.22). Определить момент Ше пары, возникающей в за-
делке балки DE, рассмотренной в предыдущей задаче.
Ответ: гпе — 0.
46.26. Балки АВ и BD соединены цилиндрическим шарниром
В. Горизонтальная балка АВ защемлена в вертикальной стене се-
чением А. Балка BD, опирающаяся о гладкий выступ Е, образует
с вертикалью угол а. Вдоль балки BD действует сила F. Опреде-
лить горизонтальную составляющую реакции в защемленном се-
чении А. Массой балок пренебречь.
Ответ: RAx = F sin а.
К задаче 46.26
К задаче 46.27
46.27. Две горизонтальные балки АВ и BD соединены цилинд-
рическим шарниром В. Опора D стоит на катках, а сечение А за-
щемлено в стейке. К балке ВО в точке приложена сосредото-
ченная сила F, образующая угол а с горизонтом. Размеры указаны
на рисунке, Определить составляющие реакции в защемленном
К задаче 46.28
сечении А и реактивный момент тр пары, возникающей в этом
сечеиии. Массой балок пренебречь.
Ответ: Rax = Г cos a, RAy = */2^ sin а, mP = Fa sin a.
46.28(46.23). Железнодорожный край опирается иа рельсы,
укрепленные иа двух горизонтальных двухпролетных балках а
348
промежуточными шарнирами. Кран несет груз Р = 30 кН, сила
тяжести крана Q = 160 кН. Определить момент реактивной пары
в заделке в положении крана, указанном на рисунке.
Ответ: A14 = -'/2(l,95Q + 3,60P)=-210 кН-м.
46.29(46.25). Каркас платформы состоит из Г-образных рам с
промежуточными шарнирами С. Верхние концы рам жестко за-
щемлены в бетонную стену, нижние — опираются иа цилиндриче-
ские подвижные опоры. Опреде-
лить вертикальную реакцию за-
щемления пои действии сил Pi
и Р>.
Ответ: YA — Pi — P2h/l.
К задаче 46.30
46.30(46.26). Две балки ВС и CD шарнирно соединены в С,
цилиндрическим шарниром В прикреплены к вертикальной стойке
АВ, защемленной в сечении А, а цилиндрическим шарниром D со-
единены с полом. К балкам приложены горизонтальные силы Pi
и Р2. Определить горизонтальную составляющую реакции в сече-
нии А. Размеры указаны на рисунке.
Ответ: Р = Pt + x/iPi-
46.31(46.27). Определить момент тА реактивной пары, возни-
кающей в заделке А стойки АВ, рассмотренной в предыдущей за-
даче.
Ответ: тА =(Р\ 4- ’/гДЛА-
46.32(46.28). Две фермы / и //, соединенные шарниром D, при-
креплены стержнями III и /V с помощью шарнира С к земле; в
точках А и В они имеют опоры
на катках. Ферма I нагружена
вертикальной силой Р на рас-
стоянии а от опоры А. Найти
реакцию катка В.
Указание. Предварительно
определить положение мгновенных
центров скоростей Ci и С2 ферм I
и II.
К задаче 46.32
Ответ: RB = P где — плечо реакции Rb относительно
мгновенного центра С2. Реакция RB направлена перпендикулярно
плоскости скольжения катка В слева направо вниз.
349
§ 47. Общее уравнение динамики
47.1(47.1). Три груза массы М каждый соединены нерастяжп-
мой нитью, переброшенной через неподвижный блок А. Два груза
лежат на гладкой горизонтальной плоскости, а третий груз подве-
шен вертикально. Определить ускорение системы и натяжение
нити в сечении ab. Л1ассой нити и блока пре-
небречь.
Ответ: vj =l/3g, Т = i/3Mg.
47.2(47.2). Решить предыдущую задачу с
учетом массы блока, считая, что при движе-
нии грузов блок А вращается вокруг непо-
движной оси. Масса блока — сплошного одно-
родного диска — равна 2М.
Ответ: w = '/tg, Т — '/,,Mg.
груза массы М\ и М2 подвешены на двух гиб-
К задаче 47.1
47.3(47.3). Два
ких нерастяжимых нитях, которые навернуты, как указано на ри-
сунке, на барабаны, имеющие радиусы гх и г2 и насаженные на
общую ось; грузы движутся под влиянием силы тяжести. Опреде-
лить угловое ускорение е барабанов, пренебрегая их массами и
массой нитей.
Ответ: e — g
МгГг — М1Г1
Mrf + Л12г2
47.4(47.4). При условии предыдущей задачи определить угло-
вое ускорение в и натяжения и Т2 нитей, принимая во внимание
К задаче 47.3
К задаче 47.5
массы барабанов, при сле-
дующих данных: Mt —
= 20 кг, М2 — 34 кг, г\ =
= 5 см, л2 = 10 см; массы
барабанов: малого 4 кг и
большого 8 кг. Массы ба-
рабанов считать равно-
мерно распределенными
по их внешним поверх-
ностям.
Ответ: в = 49 рад/с2,
71 = 246 Н, 72 = 167 Н.
47.5(47.5). К системе
к задаче 4? 6 блоков, изображенной на
рисунке, подвешены гру-
зы: Mi массы 10 кг и М2 массы 8 кг. Определить ускорение ау2
груза М2 и натяжение нити, пренебрегая массами блоков.
Ответ: w2 = 2,8 м/с2, 7 = 56,1 Н.
47.6(47.6). К нижнему шкиву С подъемника приложен вращаю-
щий момент М. Определить ускорение груза А массы А1|( подни-
маемого вверх, если масса противовеса В равна Л12, а шкивы С и D
радиуса г и массы М3 каждый представляют собой однородные
цилиндры. Массой ремня пренебречь.
350
Ответ-.
К задаче 47.7
по наклонной гладкой
47.7(47.7). Вал кабестана—механизма для передвижения гру-
зов— радиуса г приводится в движение постоянным вращающим
моментом Л/, приложенным к рукоятке АВ. Определить ускорение
груза С массы tn, если коэффициент трения скольжения груза
о горизонтальную плоскость равен f.
Массой каната и кабестана пре-
небречь.
,, М — fmgr
Ответ: w =--------— .
тг
47.8(47.8). Решить предыдущую за-
дачу с учетом массы кабестана, мо-
мент инерции которого относительно
оси вращения равен !.
Ответ: w = - ,
J + mr
47.9(47.9). Груз А массы Mi, опускаясь
плоскости, расположенной под углом а к горизонту, приводит во
вращение посредством иерастяжимой нити барабан В массы М2
и радиуса г. Определить угловое ускорение барабана, если считать
барабан однородным круг-
лым цилиндром.. Массой не-
подвижного блока С и нити
пренебречь.
„ 2M,g sin а
Ответ: е = —7-77—г -77-.- .
г (2Л1| + Л12)
47.10(47.10). Человек
толкает тележку, приложив
к ней горизонтальную силу
F. Определить ускорение
кузова тележки, если масса кузова равна Mt, М2 — масса каждого
из четырех колес, г — радиус колес, fK — коэффициент трения ка-
чения. Колеса считать сплошными круглыми дисками, катящи-
мися по рельсам без скольжения.
F---
Ответ: w =
К задаче 47.9
К задаче 47.11
(Л1, ч- 6М2)
47.11(47.11). Каток А массы Mi, скатываясь без скольжения по
наклонной плоскости вниз, поднимает посредством иерастяжимой
нити, переброшенной через блок В, груз С массы М2. При этом
блок В вращается вокруг неподвижной оси О, перпендикулярной
его плоскости. Каток А и блок В — однородные круглые диски оди-
наковой массы и радиуса. Наклонная плоскость образует угол а
с горизонтом. Определить ускорение оси катка. Массой нити пре-
небречь.
Ответ: w — g
Mi sin а — М2
2Mt + Ml
351
47.12(47.12). Груз В массы Mt приводит в движение цилиндри-
ческий каток А массы Л12 и радиуса г при помощи нити, намотан-
ной на каток. Определить ускорение груза В, если каток катится
без скольжения, а коэффициент треиия качения равен fK. Массой
блока D пренебречь.
Ответ: Ц>-8£-^1 + ЗМ2 .
47.13(47.13). Стержень DE массы Л41 лежит на трех катках А,
В и С массы М2 каждый. К стержню приложена по горизонтали
К задаче 47.12 '
К задаче 47.13
вправо сила F, приводящая в движение стержень и катки. Сколь-
жение между стержнем и катками и также между катками и го-
ризонтальной плоскостью отсутствует. Найти ускорение стержня
DE. Катки считать однородными круглыми цилиндрами.
„ 8F
Ответ: w= 0.. , .
8Л11 + 9M2
47.14(47.14). Определить ускорение груза М2, рассмотренного
в задаче 47.5, с учетом массы блоков — сплошных однородных
дисков массы 4 кг каждый.
Ответ: w2 = 0,7 м/с2.
47.15(47.15). Груз А массы Mi, опускаясь вниз, посредством
нерасгяжимой нити, переброшенной через неподвижный блок D
и намотанной на шкив В, заставляет вал С катиться без скольже-
иия по горизонтальному рельсу. Шкив В
радиуса R жестко насажен на вал С ра-
диуса г; их общая масса равна М2, а
радиус инерции относительно оси О,
перпендикулярной плоскости рисунка,
равен р. Найти ускорение груза
А. Массой нити и блока прене-
бречь.
„ М, (R - г)»
Ответ, w g М1{Л_г)1 + м2(р’ + г‘) •
К задаче 47.15
47.16(47.16). Центробежный регулятор вращается вокруг вер-
тикальной оси с постоянной угловой скоростью ш. Определить
угол отклонения ручек ОА и ОВ от вертикали, принимая во вни-
мание только массу М каждого из шарив и массу М\ муфты С,
все стержни ил;еют одинаковую длину /,
352
_ (МЦ-ЛЛ)£
Ответ-. cos(p = -v .
47.17(47.17). Центробежный регулятор вращается с постоянной
угловой скоростью о. Найти зависимость между угловой ско-
ростью регулятора и углом а, отклонения его стержней от вер-
тикали, если муфта массы отжимается вниз пружиной, находя-
щейся при а = 0 в иедеформированном состоянии и закрепленной
верхним концом на оси регулятора; массы шаров равны М2, длина
стержней равна I, оси подвеса стержней отстоят от оси регулятора
на расстоянии а\ массами стержней и пружины пренебречь. Коэф-
фициент жесткости пружины равен с.
Ответ-. (? = ^ + ^y.+ ^1-r-cos?>
Л12 (а + I sin а)
tga.
47.18(47.18). Центробежный пружинный регулятор состоит из
двух грузов А и В массы М каждый, насаженных на скрепленный
со шпинделем регулятора гладкий горизон-
тальный стержень муфты С массы Mlt тяг дли-
ны / и пружин, отжимающих грузы к оси вра-
щения; расстояние шарниров тяг от оси шпин-
деля равно в, с — коэффициент жесткости пру-
жин. Определить угловую скорость регулятора
при угле раствора а, если при угле а0, где
а0 < а, пружины находятся в ненапряжен-
ном состоянии; массой тяг и трением пре-
небречь.
Ответ- со = л /Allg.t-g° + 2£f-(?ifl.g-~.sino°) .
ш Д/ 2Л4 (е + Z sin а)
47.19(47.19). В регуляторе четыре груза
одинаковой массы Mi находятся на концах
двух равноплечих рычагов длины 21, которые
могут вращаться в плоскости регулятора вокруг
и образуют с осью шпинделя переменный угол <р. В точке А, нахо-
щейся от конца шпинделя О на расстоянии ОА = а, со шпинделем
шарнирно соединены рычаги АВ п АС длины а, которые в точках
К задаче 47.19
конца шпинделя О
12—1318
353
В и С в свою очередь сочленены со стержнями BD и CD длины а,
несущими муфту D. В точках В и С имеются ползунки, скользя-
щие вдоль рычагов, несущих грузы. Масса муфты равна М2. Регу-
лятор вращается с постоянной угловой скоростью а>. Найти связь
между углом и угловой скоростью со в равновесном положении
регулятора.
Ответ-. Равновесное положение регулятора возможно только
при со — дУ независимо от угла <р.
§ 48. Уравнения Лагранжа 2-го рода
48.1(48.1). Передача вращения между двумя валами осуще-
ствляется двумя зубчатыми колесами, имеющими соответственно
zi и аг зубцов, моменты инерции валов с насаженными на них
колесами соответственно равны Jj и /2- Составить уравнение дви-
жения первого вала, если на него действует вращающий момент
Mi, а на другой вал — момент сопротивления М2. Трением в под-
шипниках пренебречь.
Ответ: (Ji + i2/z) ф= АТ] — iM2, где i = zi/z2-
48.2. Барабан Б центрифуги приводится во вращение электро-
двигателе?/! ЭД через двухступенчатый редуктор. Заданы момент
к задаче 48.2
инерции /о электродвигателя, момент
инерции 12 барабана, момент инерции
Ji промежуточного вала редуктора,
передаточные числа ioi и il2 ступеней
К задаче 48.3
редуктора. К ротору электродвигателя приложен вращающий
момент Мо и момент сил сопротивления М'о, к валу редуктора и
к барабану—моменты сил сопротивления М' и М'2 соответ-
ственно. Составить дифференциальное уравнение вращения бара-
бана центрифуги.
Ответ: ^2) Ф = (Ч Ч>) *10*12
48.3. Привод электромобиля состоит из электродвигателя ЭД
п одноступенчатого редуктора с передаточным числом I. Составить
дифференциальное уравнение движения электромобиля, если /0 —
момент инерции ротора электродвигателя, /1 — момент инерции
каждого из четырех колес, имеющих радиус г, m— суммарная
масса электромобиля, М — вращающий момент электродвигателя,
354
М' — момент сил сопротивления на валу электродвигателя, F —
суммарная сила сопротивления движению электромобиля.
Отвел (т + х = - ~hM — F.
48.4. Электродвигатель ЭД стабилизирующего привода уста-
новлен на вращающейся раме, положение которой задается уг-
лом <р. Шестерня 1 на валу электродвигателя обкатывается вокруг
шестерни 2, связанной с неподвижным основанием. Составить
дифференциальное уравнение
движения рамы, если Д— момент
инерции рамы вместе с электро-
двигателем, /0 — момент инерции
ротора электродвигателя, ^—пе-
редаточное число пары шестерен,
Л1о — вращающий момент электродвигателя, М'о — момент сил
сопротивления на валу электродвигателя, М[ — момент сил, при-
ложенных к раме вокруг ее оси.
Ответ: ро (। + -У’ + />] » - (М„ - М'о) (1 + Д-) -
48.5(48.3). Определить движение груза массы tn, висящего на
однородном тросе массы гп\ и длины /; трос навернут на барабан
радиуса а и массы т2'> ось вращения горизонтальна; трением пре-
небречь, массу барабана считать равномерно распределенной по
его ободу. В начальный момент t = 0 система находилась в покое,
длина свисавшей части троса /0-
Указание. Пренебречь размерами барабана по сравнению с длиной све-
шивающейся части троса.
Ответ: х —----— + (l0 4- — ch л/— т-;- -
«1 к 0 1 mi ) V (т + mi + т2) I
'48.6(48.4). В эпициклическом механизме бегающая шестеренка
радиуса rt насажена на кривошип с противовесом, вращающийся
вокруг оси неподвижной шестеренки под действием приложенного
момента М. Определить угловое ускорение вращения кривошина
и окружное усилие S в точке касания шестеренок, если расстояние
355
между осями шестеренок равно I, момент инерции кривошипа
с противовесом относительно оси вращения кривошипа равен /0,
масса бегающей шестеренки тщ, момент инерции шестеренки отно-
сительно ее оси Л; трением пренебречь, центр масс шестеренки
и кривошипа с противовесом находится на оси вращения криво-
1г.1па.
„ м с J'l
Ответ: е =----------;— а. ,/, о = —т е.
/0 + mIl2 + J,l2/rf г[
48.7(48.5). В планетарном механизме колесо с осью Ot непо-
движно; к рукоятке OiO3 приложен вращающий момент Л1; меха-
низм расположен в горизонтальной плоскости. Определить угловое
К задаче 48.6
ускорение рукоятки, считая колеса од-
нородными дисками с одинаковыми
массами m и радиусами г и пренебре-
гая массой рукоятки.
Ответ' =
К задаче 48.8
48.8(48.18). Бегуны К, К приводятся в движение от вала дви-
гателя при помощи передачи, схема которой показана на рисунке»
Масса одного бегуна равна 3 т, средний радиус 7? = 1 м, радиус
вращения г =0,5 м. Считаем, что мгновен-
ная ось вращения бегуна проходит через
среднюю точку С обода. Отношение радиу-
сов колес конической передачи от двигателя
к вертикальному валу равно 2/3. Бегун счи-
таем однородным диском радиуса R и пре-
небрегаем массой всех движущихся частей
по сравнению с массой бегунов. Вычислить,
какой постоянный вращающий момент дол-
жен быть приложен на валу двигателя, что-
бы сообщить вертикальному валу угловую
скорость 120 об/мин по истечении 10 с от
момента пуска двигателя; силами сопро-
тивления пренебречь.
Ответ: 3140 Н-м.
48.9(48.7). Груз М массы 101 кг поднимает с помощью полиспа-
ста груз Л1Ь который вместе с подвижной обоймой имеет массу
320 кг. Всех блоков четыре, большие блоки имеют массу по 16 кг,
малые — по 8 кг, радиусы больших блоков равны г, радиусы ма-
лых равны п. Определить ускорение груза М. При определении
356
ввергни блоков предполагаем, что массы их равномерно распре-
делены по окружности.
Ответ. 0,1g.
48.10(48.9). В машине для статического уравновешивания ро-
торов подшипники наклонены под углом а к вертикали. Ротор,
помещенный в подшипник, имеет момент инерции J (относительно
своей оси) и несет неуравнове-
шенную массу m на расстоянии г
от оси. Написать дифференциаль-
ное уравнение движения ротора
и определить частоту малых ко-
лебаний около положения равно-
весия.
Ответ, (mr2 -j- J) ip +
4- mgr sin a sin <p = 0,
, / mgr sin a
fe=V rnri + J ’ Где <Р-УГОЛ
поворота ротора.
48.11(48.19). Однородный ко-
нус катится по шероховатой пло-
скости, наклоненной под углом a
к горизонту. Длина образующей
конуса I, угол раствора 2р. Соста-
вить уравнение движения конуса.
К задаче 48.9
К задаче 48.10
Указание. За обобщенную координату принять угол О, образованный
соприкасающейся образующей с прямой наибольшего наклона плоскости.
Greer: £ + Т(-о^1/5) sin 0 = 0.
48.12(48.10). Материальная точка массы пг движется под влия-
нием силы тяжести по циклоидальной направляющей, заданной
уравнением s — 4а sin <р, где
е — дуга, отсчитываемая о г __________ I
точки О, а <р — угол каса- |
тельной к циклоиде с гори- л ;
зонтальной осью. Опреде- | j fa
лить движение точки. r F
Ответ-. _ .—------------—
s = 4sin(-| д/f/ + <ро).
где А и <ро— постоянные ин- к 30Даче 4812
тегрирэвания.
48.13(48.11). Составить уравнение движения маятника, состоя-
щего нз материальной точки М массы пг, подвешенной на нити,
навернутой на неподвижный цилиндр радиуса а. Длина свисающей
в положении равновесия части нити равна I. Массой нити прене-
бречь.
Ответ: (Z+ а®)-& + аО2 + gsinO — 0, где О — угол отклонения
маятника от вертикали.
357
48.14(48.12). Составить уравнение движения маятника, состоя-
щего из материальной точки массы т, подвешенной на нити, длина
которой изменяется по произвольно заданному закону /=/(/).
Ответ', ф + 2 у ф 4--f- sin <р = 0, где ф— угол отклонения нити
от вертикали.
48.15(48.14). Точка подвеса маятника, состоящего из матери-
альной точки массы m на нерастяжимой нити длины /, движется
по заданному закону £= £о(О по наклонной прямой, образующей
угол а с горизонтом. Составить уравнение движения маятника.
Ответ-, ф 4- -у sin ф 4- -у- cos (ф — а) = 0.
48.16(48.15). Два вала, находящихся в одной плоскости и обра-
зующих между собой угол а, соединены шарниром Кардана. Мо-
К задаче 48. IG
менты инерции валов рав-
ны Ji и J2. Составить
уравнение движения пер-
вого вала, если на него
действует вращающий
момент Л1|, а к другому
валу приложен момент
сопротивления М2. Тре-
нием в подшипниках пре-
Ответ: Обозначая через ф
небречь.
угол поворота первого вала, имеем
[л + Л ( 1 _ sin2acos2<p ) ]*
J<> sin2 a cos2 a sin 2<p . 2 _
(1 — sin2 a cos2 <p)3
u i/ cos a
--- Л1 1 Alo ~i--------~—2-------2
z 1 — sin-* a cos2 (p
48.17(48.8). Кривошипный механизм состоит из поршня массы
mi, шатуна АВ массы m2, кривошипа ОВ, вала и махового колеса;
J2— момент инерции шатуна относительно его центра масс С; J3 —
момент инерции кривошипа ОВ, ва-
ла и махового колеса относительно
оси; й — площадь поршня, р — дав-
ление, действующее на поршень,
I — длина шатуна; s — расстояние
между точкой А и центром масс ша-
туна; г—длина кривошипа ОВ\
М — момент сопротивления, дей-
к задаче 4817 ствующий на вал. Составить урав-
нение движения механизма, считая
угол поворота шатуна ф малым, т. е. полагая sin ф — ф и cos ф = 1;
в качестве обобщенной координаты взять угол поворота криво-
шипа ф. Механизм расположен в горизонтальной плоскости.
Ответ: [(mi 4- m^ г2 sin2 ф 4- (Л 4 "zts2) (-у)2 cos2 Ф 4- /3] ф +
4- [(wzj 4- rn^ г3 — (Z2 4-^iS2) (-у) ] cos ф sin фф2 = — Л1 4- Р&г sin ф.
35а
48.18(48.20). По однородному стержню массы М и длины 2а,
концы которого скользят по гладкой, расположенной в горизон-
тальной плоскости окружности радиуса /?, движется с постоянной
относительной скоростью v материальная точка массы т. Опреде-
лить движение стержня. В начальный момент материальная точка
находится в центре масс стержня.
Ответ: О — f>0 = Carctg----------------_-т-г-г, где и
С — произвольные постоянные.
48.19(48.21). Концы однородного тяжелого стержня АВ длины
2а и массы М скользят без трения по горизонтальному и верти-
кальному стержням рамки, вращающейся с постоянной угловой
скоростью со вокруг вертикальной стороны. Составить уравнение
движения стержня и определить положение относительного рав-
новесия.
Ответ: уЛДгФ— -g-Л1ш2а2 sin • cos О— Mga sin Ф = 0, где О—•
угол, образуемый стержнем с вертикалью. В положении равнове-
сия Ф = 0 (неустойчивое равновесие).
48.20(48.22). К окружности диска радиуса R шарнирно присо-
единен рычаг, несущий на своих концах сосредоточенные массы
т\ и /и2. Расстояния масс от шарнира соответственно равны /1 и /2-
Диск вращается около вертикальной оси, перпендикулярной его
плоскости, с угловой скоростью <о. Составить уравнение движения
рычага и определить его относительное положение равновесия.
Массой рычага пренебречь. Ось вращения рычага параллельна оси
вращения диска. Решить также задачу в предположении, что диск
вращается в вертикальной плоскости (учесть действие силы тя-
жести) .
Ответ: Для вращения вокруг вертикальной оси
(mil] + ш2/2) -ф — Д©2 (mill — m2l2) cos (ф — at) = 0.
При mill = m2l2 рычаг в безразличном относительном равно-
весии. При mih =# m2l2 существуют два положения относительного
359
равновесия, при которых if> = cof±n/2, т. е. рычаг направлен по
радиусу. Для вращения вокруг горизонтальной оси
(<щ/1 + «2/2)'Ф — m2l2) cos (ф — at) -f- (т^—zn2/2)gsin ip=0.
При mih =А= т212 относительное равновесие невоз.ложно.
48.21(48.24). Тонкий диск массы М может своей плоскостью
скользить без трения по горизонтальной плоскости. По диску,
верхняя поверхность которого шероховата, движется материаль-
ная точка массы т. Уравнения относительного движения точки
в декартовых координатах х и у, связанных с диском и имеющих
начало в его центре масс, заданы в виде x = x{t), y==y(t). Мо-
мент инерции диска относительно его центра масс равен J. Опре-
делить закон изменения угловой скорости диска. В начальном
положении диск неподвижен.
Ответ- [7 + ТОТ(х2 + ф + ЗГрй ~ =
тМ , . . .
М~г m Z/o-^o)»
где Хо, Уо, хо, Уо— значения координат и проекций скорости точки
в начальный момент времени.
48.22(48.25). По диску, описанному в предыдущей задаче, вдоль
окружности радиуса R движется материальная точка с относитель-
ной скоростью v = at. Найти закон движения диска.
Отярт- m = — тМ______________Ra — Р /2
итвет. <Р 2 (m + М) тМ 1 2R 1'
т + М *
£ =____cos а-+? /2 71 =____Sin а+Р /2
£ т + М C0S 2R 1 ’ 11 т + <U 51П 2R 1 ’
где <р — угол поворота диска, а и ц — координаты центра масс
К задаче 4&23
диска в неподвижной декартовой системе, имеющей
начало в центре инерции системы.
48.23(48.26). Материальная точка М движется под
действием силы тяжести по прямолинейному стержню
АВ, вращающемуся с постоянной угловой скоростью
со вокруг неподвижной вертикальной оси. Стержень
АВ образует угол а с горизонталью. Найти закон дви-
жения точки.
Ответ: Расстояние движущейся точки от точки пе-
ресечения прямой с вертикальной осью
Г = Cxeat cos ° + С2е-“' cos а
1 2 1 со3 cos2 а ’
где Ci и С2— постоянные интегрирования.
48.24(48.27). Материальная точка массы m движется по круго-
вой рамке радиуса а, которая вращается с постоянной угловой
скоростью со вокруг вертикального диаметра АВ. Составить урав-
нение движения точки и определить момент М, необходимый для
поддержания постоянства угловой скорости,
360
Ответ', ft + — <о2 cos ft) sin ft = О, Л1 = 2tna2 sin fl cos fl cofl.
48.25(48.41). Тело массы m может вращаться вокруг горизон-
тальной оси О\Ог, которая в свою очередь вращается с постоянной
угловой скоростью со вокруг вертикальной оси ОС. Центр масс
тела G лежит на расстоянии I от точки О3 на прямой, перпенди-
кулярной OiO2. Предполагая, что оси О>О2 и O3G являются глав-
ными осями инерции тела в точке О3, составить уравнение движе-
ния. Моменты инерции тела относительно главных осей равны
А, В, С.
Ответ. ЛА -f- со2 (С—В) sin fl cos -ft =— mgl sin ft, где ft — угол
поворота вокруг OiO2.
48.26(47.20). Однородная нить, к концу которой привязан
груз А массы tn, огибает неподвижный блок В, охватывает подвиж-
ный блок С, поднимается вверх на неподвижный блок D и прохо-
дит параллельно горизонтальной плоскости, где к ее концу привя-
зан груз Е массы пг. К оси блока С прикреплен груз К. массы rm.
Коэффициент трения скольжения гру-
за Е о горизонтальную плоскость ра-
вен f. При каком условии груз К бу-
дет опускаться вниз, если начальные
скорости всех грузов равнялись нулю?
Найти ускорение груза К. Массами
блоков и нити пренебречь.
Ответ', zn, > m(l +f),
w=a
К
К задаче 48.27
48.27(47.21). Два груза D и Е массы пг каждый привязаны
к концам нерастяжимон нити. Эта нить от груза Е идет через
неподвижный блок А, затем охватывает подвижный блок В, воз-
вращается вверх на неподвижный блок С, соосный с блоком А,
проходит параллельно гладкой наклонной плоскости, где к концу
нити привязан груз Е>. Наклонная плоскость образует угол а
с горизонтом. К подвижному блоку В прикреплен груз К массы mi.
361
Коэффициент трения скольжения груза Е о горизонтальную пло-
скость равен f. Массами блоков и нити пренебречь. Выяснить
условие, при котором груз К. будет опускаться. Найти ускорение
этого груза. В начальный момент скорости всех грузов равнялись
нулю.
Ответ: ГП1> m(f 4- sin а),
Ш| — m (f + sin а)
m, 4- 2m
48.28(47.22). Призма А массы m скользит по гладкой боковой
грани призмы В массы пц, образующей угол а с горизонтом. Опре-
К задаче 48.28
К задаче 48.29
делить ускорение призмы В. Трением между призмой В и горизон-
тальной плоскостью пренебречь.
„ m sin 2а
Ответ: w = s ----------:----. . . .
6 2 (mi + m sin2 а)
48.29(47.23). Ha гладкой горизонтальной плоскости помещена
треугольная призма АВС массы т, которая может скользить без
трения по этой плоскости; по грани призмы АВ катится без сколь-
К задаче 48.30
жения однородный круглый цилиндр массы
mi. Определить ускорение призмы.
Ответ: Ускорение направлено влево и
равно
_______mt sin 2а____
' 3 (m + mt) — 2m1 cos2 а '
48.30(47.24). Через блоки Л и В с непо-
движными осями переброшен шнур, поддер-
живающий подвижный блок С; части шнура,
не лежащие па концах, вертикальны. Блок С
нагружен гирей массы т = 4 кг, к концам
шнура прикреплены грузы массы /И1=2 кг
и т2 = 3 кг. Определить ускорения всех трех
грузов, пренебрегая массами блоков и шнура
и трением на осях.
Ответ: w = ур g (вверх), = ур g (вверх), ш2 = ур£(вниз).
48.31(47.25). Грузы М\ и Л12 одинаковой массы m движутся
по двум наклонным направляющим ОА и ОВ, расположенным
в вертикальной плоскости под углами а и р к горизонту; нить, со-
единяющая эти грузы, идет от груза Mi через блок О, вращаю-
щийся около горизонтальной оси, охватывает подвижный шкив Q,
362
несущий груз М массы mi, и затем через блок Оь надетый на ту
же ось, что и блок О, идет к грузу М2. Блоки О{ и О соосные.
Определить ускорение w груза М, пренебрегая трением, а также
массами блока, шкива и нити.
„ mt — т (sin а + sin В)
Ответ: w = g—!
° mi + 2m
48.32(47.26). Решить предыдущую задачу, заменив грузы Мх
и М2 катками массы m и радиуса г каждый. Катки считать сплош-
ными однородными круглыми дисками. Коэффициент трения ка-
чения катков о наклонные плоскости равен fK. Нити закреплены
па осях катков.
mt — m Гsin а + sin Р + — (cos а + cos р) 1
Ответ: w = g------------------------------------------
° znt -f- 2m
48.33(47.27). Дана система из двух блоков, неподвижного А
и подвижного В, и трех грузов Mi, М2 и М3, подвешенных с по-
мощью нерастяжимых нитей, как указано на рисунке. Массы гру-
зов соответственно равны mi, тп2 и т3, при этом mi < mi 4- m3
и m2 == m3. Массами блоков пренебречь. Найти, при каком соот-
ношении масс mi, пг2 и m3 груз Mi будет опускаться в том случае,
когда начальные скорости грузов равны нулю.
Ответ: Должно быть т. > — Ч^тз—.
J7Z2 “Г 7П3
48.34(48.45). Найти ускорение тележки, по платформе которой
катится без скольжения круглый цилиндр, если сама тележка ска-
тывается тоже без скольжения по плоскости, наклоненной к гори-
зонту под углом а и параллельной платформе тележки; образую-
щие цилиндра перпендикулярны линиям наибольшего ската плат-
формы. Масса тележки без колес М, масса всех колес т, масса
цилиндра Mi, колеса считать однородными сплошными дисками.
6Л1 -р 6m + 2М,
Ответ: w — r .. , _—, g sin а.
6,И + 9m + 2Л1| ь
363
48.35(48.37). Составить уравнения движения эллиптического
маятника, состоящего из ползуна Mi массы mi, скользящего без
трения по горизонтальной плоскости, и шарика М2 массы т2, со-
единенного с ползуном
К задаче 48.35
стержнем АВ длины I. Стержень может
вращаться вокруг оси А, связанной с
ползуном и перпендикулярной плоскости
рисунка. Массой стержня пренебречь.
Определить период малых колебаний эл-
липтического маятника.
Ответ: [(/«! + т^ cos <р] = 0,
lif + cos qy + g sin <p — 0,
mi I
mi+m2 g
T
48.36(47.28). При наезде тележки А на упругий упор В начи-
наются колебания подвешенного на стержне груза D. Составить
дифференциальные уравнения движения материальной системы,
если mi — масса тележки, т2—масса груза, I — длина стержня,
с — коэффициент жесткости пружины упора В. Массой колес и
всеми силами сопротивления пренебречь. Начало отсчета оси х
Л I
К задаче 48.36 К задаче 48.37
взять в левом конце недсформированной пружины. Определить
период малых колебаний груза при отсутствии упора В. Массой
стержня пренебречь.
Указание. Пренебречь членом, содержащим множитель ф1, считать с=0,
sin <р» <р, cos <р ~ 1.
Ответ: (mi + m2) х + m2lfy cos ф — т2^Р2 sin ф = — сх,
хсО8ф + /ф = -^51Пф; Г =
48.37(47.32). По неподвижной призме А. расположенной под
углом а. к горизонту, скользит призма В массы т2. К призме В,
посредством цилиндрического шарнира О и спиральной пружины
с коэффициентом жесткости с, присоединен тонкий однородный
стержень OD массы mi и длины I. Стержень совершает колебания
вокруг оси О, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения
призмы В и стержня OD определены посредством координат s и ф.
Написать дифференциальные уравнения движения материальной
ЗЬ4
системы, состоящей из призмы В и стержня OD, пренебрегая си-
лами трения. Определить период малых колебаний стержня OD,
если migl cos2 a < 2с.
Указание. Считать sin <р « <р, cos(<p + a) » cos a — tpsina, затем пре-
небречь членами, содержащими множители ф2 и <р ф.
Ответ: (mt 4- m2) s 4- у mj/ф2 sin (<р 4-«) — j-milip cos (<p 4~ a) =
= (mi 4- rn2) g sin a, — 4-m^s cos (<jp 4~ a) = 4 migl sin <p — c<p,
T___2nZ Л / t^i (1 + 3 sin2a) + 4ma]
V 6 (nit + m2) (2c—migZcos2a)
48.38(47.34). Решить задачу 48.37, считая, что призма А массы
т3 движется по гладкой горизонтальной плоскости, а ее положение
определяется координатой х.
Ответ: (mi 4- m2 4- m3) х 4- (mi 4- m2) s cos a 4- mi у Ф2 sin <p —
— mt у ф cos <p = 0,
(mi 4- m2) x cos a 4- (mj 4- s 4- mi у <p2 sin (<p 4- a) —
— mi у ф cos (<p 4- a) = (mi 4- m2) g sin a,
т./2ф — mj/x cos q> — 4- mjs cos (<p + a) = 4- migl sin ip — c<p.
о X 2. 2
48.39(47.30). Материальная точка А массы
тикальной плоскости по внутренней гладкой
движного цилиндра радиуса I. Материаль-
ная точка В массы т2, присоединенная к
точке А посредством стержня АВ длины /,
может колебаться вокруг оси А, перпенди-
кулярной плоскости рисунка. Положения
точек А и В определены с помощью углов
а и <р, отсчитываемых от вертикали. Соста-
вить дифференциальные уравнения движе-
ния системы. Написать дифференциальные
уравнения малых колебаний системы. Мас-
сой стержня АВ пренебречь.
Указание. Пренебречь членами, содержащими
также считать sin (<р — а) га <р — a, cos(tp — a)
в вер-
непо-
т\ движется
поверхности
множители ф2 и а2, а
1, sin а » a, sin <р « <р.
Ответ: (mi + m2) la. + m2lip cos (<p — a) — m2lip2 sin (<p — a) =
= —(m1 4- m2)g sin a, lip 4- /acos(<p—a) 4- la2 sin (<p—a) = —g sin q>,
(mi 4- m2) la 4- m2lip = — (mi 4- m^ ga, lip-}- la = — gtp.
48.40(48.40). Шероховатый цилиндр массы m и радиуса г ка-
тится без скольжения по внутренней поверхности полого цилиндра
365
массы М и радиуса R, могущего вращаться около своей горизон-
тально расположенной оси О. Моменты инерции цилиндров отно-
сительно своих осей равны mr2j2 и MR2. Составить уравнения дви-
жения системы и найти их первые интегралы.
Ответ: MR2 ft — ~ mR[(R — г) $ — /?б] = Сь
у МR2^2 + у m [(/? — г) ф — /?О]2 + -j- (R—г)2 ф2—mg (R—г) cos <р -=С2,
где <р — угол поворота отрезка, соединяющего оси цилиндров, а
•& — угол поворота внешнего цилиндра.
48.41(48.48). Однородный диск радиуса R, имеющий массу М,
может вращаться вокруг своей горизонтальной оси О. К диску на
нити АВ длины I подвешена материальная точка массы т. Соста-
вить уравнения движения системы.
Ответ: (т + -у- ) /?2ф + mRl cos (<р — ф) ф 4- mRl sin (<р — ф) ф2 +
+ mgR sin <р = О,
R cos (ср — ф) ф 4- /ф — R sin (ф — ф) ф2 4- g sin ф = О,
где ф — угол поворота диска, а ф — угол отклонения нити от вер-
тикали.
48.42(48.49). Диск системы, описанной в предыдущей задаче,
вращается с постоянной угловой скоростью со. Составить уравне-
ние движения материальной точки.
Ответ: ф — со2 -у sin (со/ — ф) 4“ у~ sin ф = 0.
48.43(48.31). Составить уравнения движения математического
маятника массы т, подвешенного на упругой нити; длина нити
в положении равновесия /, ее жесткость равна с. Найти движение
маятника для случая малых колебаний. В качестве обобщенных
координат взять угол ф отклонений маятника от вертикали и от-
носительное удлинение нити z.
366
Ответ'. (1 -J- z) ф 4- 2гф + у sin <p — 0,
г —(1 4-г)Ф24~£ 4-y (1 — cos q>) = 0,
К задаче 48.44
z = Л sin^/yj-/4-aj, <p=B -4-где A, a, B,
p — произвольные постоянные.
48.44(48.33). Один конец нерастяжимой тонкой нити обмотан
вокруг однородного круглого цилиндра радиуса R, второй конец
прикреплен к неподвижной точке О. Цилиндр, разматывая нить,
опускается вниз, одновременно раскачиваясь вокруг горизонталь-
ной оси, проходящей через точку подвеса нити. Пре-
небрегая массой нити, оставить дифференциальные
уравнения движения цилиндра.
Ответ: р — /?ф — -т рф2 = 4- g cos <р,
О о
(Р2Ф) — #Рф2 =—gP sinф.
48.45(48.34). Пользуясь результатами, полученны-
ми при решении предыдущей задачи, составить диф-
ференциальное уравнение малых колебаний цилиндра,
если движение началось из состояния покоя и при
t = 0, р = ро, ф = <ро =И= 0.
Ответ: [F2 (/) ф] 4- gF (/) ф = 0, где F (t) = 4- р0 — /?фо.
48.46(48.35). Определить движение системы, состоящей из двух
масс mi и т2, насаженных на гладкий горизонтальный стержень
(ось Ох), массы связаны
пружиной жесткости с и
могут двигаться поступа-
тельно вдоль стержня;
расстояние между цен-
трами масс при ненапря-
женной пружине равно I;
начальное состояние си-
стемы при / = 0 определяется следующими значениями скоростей
и координат центров масс: Xj = 0, х( = и0, х2 = 1, х2 = 0.
Ответ: Xi = —------(mfUof 4~ mf-°- sin ,
* mt 4- m2 ( * u 1 k J
x2—l = —4-— sin Ztf), k — л/c (— 4——).
x m, + m2 I k j v \ mi ni2 )
48.47(48.43). Система, состоящая из двух одинаковых колес
радиуса а каждое, могущих независимо вращаться вокруг общей
нормальной к ним оси О\О2 длины /, катится по горизонтальной
плоскости. Колеса связаны пружиной жесткости с, работающей на
кручение (упругий торснон). Масса каждого колеса М; С—мо-
367
мент инерции колеса относительно оси вращения, Д — момент
инерции колеса относительно диаметра. Составить уравнения дви-
жения системы и определить движение, отвечающее начальным
условиям <pi = 0, = 0, <рч = 0, = со (<Р1 > <Рг — углы поворота
колес). Массой оси пренебречь.
Ответ: <pi=(со/ — -Д- sin kt) , Ф2 = 4 V sin ^0 ’
fe= / 2с
V .Ма2 + С + 4Л(уУ
48.48. Механизм робота-минипулятора состоит нз колонны для
% вертикального перемещения, устройства для горизонтального пе-
К задаче 48.48
ремещения, состоящего нз звеньев 1 и 2, и выдвигающейся гори-
зонтальной руки со схватом 3. Массы звеньев механизма tn\, т2
и т3- Движущие силы, создаваемые приводами в поступательных
парах, равны соответственно Foi, F12 и F23. Составить дифферен-
циальные уравнения движения механизма. Трением пренебречь.
Ответ: m3x = F23, (m2 + m3) у = FI2,
(rnj + спа + m3) z = FOi — (mi + m2 + m3) g.
48-49. Л^еханизм робота-манипулятора состоит из поворотной
колонны /, устройства для вертикального перемещения 2 и выдви-
К задаче 48.49
Трением пренебречь.
гающейся руки со схватом 3. Момент инер-
ции звена 1 относительно оси поворота Д;
масса звена 2 т2, момент инерции относи-
тельно оси поворота J2; масса двигающейся
руки со схватом т3, расстояние от оси по-
ворота до центра масс р, момент инерции
относительно центральной оси J3. К оси по-
ворота приложен момент М, движущие
силы, создаваемые приводами в поступа-
тельных парах, равны соответственно F)2 и
F28- Составить дифференциальные уравнения движения механизма.
Ответ: ~ [(Ji + J2 + /3 + «зР2) Ф] = М,
(/rij + m3) 5 = FI2 — (in2 -I- m3) g, m3(p — рф2) = F23.
368
48.50. Вертикальная колонна 1, несущая руку робота-манипуля-
тора, может поворачиваться на угол <р. Рука со схватом поворачи-
вается на угол ft и выдвигается на расстояние г. Момент инерции
вертикальной колонны относительно оси
вращения Л; звенья 2 и 3 считать тон-
кими однородными стержнями длины /2 s'.s''
и /3 и массы m2 в тъ\ масса переносимо- s'
го груза т. К вертикальной оси враще- S^
ния приложен момент Л1Ф, к оси поворо-
та второго звена — момент Л4# движу- л[х|
щая сила, создаваемая приводом в по-
ступательной паре, £23. Составить диф- / н /
ференциальные уравнения движения ме-
ханизма. Трением пренебречь. к задач* «в.»
Ответ-. ^-[(^1 + ^2 m2^ + J sin2 <₽] =
~(J (г) ft) — J (г) ф2 sin ft cos ft — Mq + pn3 (r —7 ) +mr] g s,n
(m34-m)r — [m3 (r — 4-/nr] (ft2 4-ф2 sin2 ft) = £53 — (rn34-m)gcosft,
48.51(48.50). Колесо катится без скольжения по горизонталь-
ной плоскости. Радиус колеса а, его масса М; С — момент инер-
ции колеса относительно оси, проходящей перпендикулярно пло-
скости колеса через его центр; А — момент инерции колеса отно-
сительно его диаметра. Составить уравнения движения колеса.
Указание. Использовать уравнения Лагранжа с множителями для не*
голономных систем.
Ответ-. (Лф sin2 ft) — С (ф 4- ф cos ft) ft sin ft == 0,
(C -|- ma2)-^- (<p 4- ф cos ft) — zna2ftij> sin ft — 0,
(Л 4* ma2) ft — Дф2 sin ft cos ft 4-
4- (C 4" ma2) (Ф 4* Ф cos ft) ф sin ft = — mga cos ft,
где <p — угол поворота колеса вокруг оси, перпендикулярной его
плоскости; ft — угол наклона плоскости колеса к горизонту, ф—•
азимут вертикальной плоскости, содержащей диаметр колеса и
проходящей через точку касания.
48.52(48.51). Конденсаторный микрофон состоит из последова-
тельно соединенных катушки самоиндукции L, резистора сопро-
тивления 7? и конденсатора, пластины которого связаны двумя
пружинами общей жесткости с. Цепь присоединена к источнику
питания с постоянной э.д. с. £, а на пластину конденсатора дей-
ствует переменная сила P(f). Емкость конденсатора в положении
369
равновесия системы Со, расстояние между пластинами в этом по-
ложении а, масса подвижной пластины конденсатора пг. Ввести
электрические и механические обобщенные координаты и соста-
вить уравнения движения системы в
форме Лагранжа.
Указания. 1. Потенциальная энергия
конденсатора равна 1/=д2/(2С)(С — ем-
кость конденсатора, q— заряд на его обклад-
ках); электрокинетическая энергия вычисляет-
ся по формуле Т = '/2£i2 (L — коэффициент
d<7
самоиндукции, l=~^f------сила тока в чепи).
2. За обобщенные координаты принять из-
менение заряда конденсатора q и смещение
пружин из положения равновесия. Тогда пол-
ный заряд будет + <7, а полное смещение
Хорх; здесь q0 — заряд конденсатора, а х0— смещение пружин от иейграчи-
ною положения в положение равновесия системы.
С (7^
Ответ: nix 4- сх-а — — Р (I),
и 2Сса ' п
L~q + Rq-±x^-^^.
48.53(48.52). Определить частоты малых свободных колебаний
конденсаторного микрофона, описанного в предыдущей задаче. Со-
противлением резистора пренебречь.
Ответ: ^.2 = -^a/“ + 7T±z\/ ~~Zt)2 + 4^C-
•у 2 V m C0L V \ m C0L J a2mL
48.54(43.54). Изображенная на рисунке система отвечает прин-
ципиальной схеме электромагнитного датчика акселерометра.
Масса якоря М, общая жесткость пружин
с. Самоиндукция катушки изменяется
вследствие изменения воздушного зазора в
магнитопроводе £ = £(х) (х — вертикаль-
ное смещение якоря из положения, когда
пружины не напряжены). К катушке при-
к задаче 48.54 соединена электрическая цепь, состоящая
из элемента с заданной э. д. с. Е, сопротив-
ление цепи равно R. Составить уравнения движения системы и
определить ее положение равновесия.
Указание. За обобщенные координаты принять смещение х якоря и за-
ряд <7, соответствующий току i в цепи (i = dq/dt).
Ответ: Уравнения движения:
Lq + Rq qx~^ = E\ Мх — ± ^q2 + сх = Mg.
В «положении равновесия» х = х0 и i = q = i0, где i0 = E/R-,
.. , 1 ( 3L \ -2
c*0=Afg + -2 40.
370
48.55(48.55). Составить уравнения малых движений вблизи по-
ложения равновесия электромагнитного датчика, описанного в
предыдущей задаче.
Указание. За обобщенные координаты взить изменение заряда е и вер-
тикальное перемещение якоря нз положения равновесия Функцию L(x) раз-
ложить в ряд L = £(хо 4- g) = Lo + Z-15 + ... и ограничиться в этом ряду
первыми двумя членами.
Ответ: Ьйё 4- /?ё 4~ = 0; Л1| 4- с£ — iiM = 0.
48.56(48.56). Основание датчика, описанного в задаче 48.54,
совершает малые вертикальные колебания по закону | = gosinw/.
Определить закон движения якоря и ток в электрической цепи
датчика.
Ответ: i — £(Z0 {/?(с — Л1®2)cos <о/ 4-
4- [LjIoCO (с — Л1®2)] sin to/},
х — - {_ [l2Z2Lo<o2 4- (^2 4- £2(о2 (с — Л1<о2)] siп со/ 4~ ©LfroZ? cos «/},
где А = /?2 (с — М®2)2 4- ®2 [Afro 4- Lo (с - М®2)]2.
48.57(48.57). Электромеханическая движущая система состоит
из цилиндрического постоянного магнита с концентрическими по-
люсами А, создающего радиальное поле, и якоря массы М, опи-
рающегося на пружину жесткости с. Якорь соединен с катушкой.
К задаче 48.57
состоящей из п витков, и с механическим демпфером, сопротивле-
ние которого пропорционально скорости якоря (коэффициент со-
противления р); средний радиус катушки г; ее самоиндукция L,
сопротивление R, магнитная индукция в зазоре магнита В. К за-
жимам катушки приложено переменное напряжение V(f). Соста-
вить уравнения движения системы.
Указание. Обобщенные силы, отвечающие взаимодействию катушки и
магнита, равны Qq =—2лг«Вх, = (Q, — электродвижущая сила,
индуцированная в электрической цепи, a Qx — сила взаимодействия катушки с
магнитом).
Ответ: Lq 4- Rq 4- 2лгпВх = V (t), Мх 4- 4- сх — 2itrBq — 0.
48.58(48.58). К основанию сейсмометра с индукционным преоб-
разователем прикреплена катушка из п витков радиуса г, соеди-
ненная с электрической регистрирующей системой, схематизируе-
мой цепью с самоиндукцией! L и сопротивлением R. Магнитный
371
сердечник, создающий радиальное магнитное поле, характеризуе-
мое в зазоре магнитной индукцией В, опирается на основание с
помощью пружин общей жесткости с. На сердечник действует так-
же сила сопротивления, пропорциональная его скорости, вызывае-
мая демпфером, создающим силу сопротивления рх. Составить
уравнения, определяющие перемещение сердечника и ток в цепи в
случае малых вертикальных колебаний основания сейсмометра по
закону £ = Во s>n
Указание Обобщенные силы, отвечающие взаимодействию катушки и
иагпита, даются формулами Qq — —2ягпВх и Q* = inrnBq.
Ответ'. Мх + рх + сх — 2ягпВд = М^0а>2 sin a>t,
Lq + Rq + 2nrnBx == 0.
§ 49. Интегралы движения, преобразование Рауса, канонические
уравнения Гамильтона, уравнения Якоби—Гамильтона,
принцип Гамильтона — Остроградского
49.1(49.1). Трубка АВ вращается с постоянной угловой ско-
ростью и> вокруг вертикальной оси CD, составляя с ней угол а.
В трубке находится пружина жесткости с, один конец которой
укреплен в точке А; ко
второму концу пружины прикреплено тело
М массы пг, скользящее без трения вну-
три трубки. В недеформированном со-
стоянии длина пружины равна АО = I.
Приняв за обобщенную координату;
К задаче 49.1
расстояние х от тела Л1 до точки О, определить кинетическую
энергию Т тела М и обобщенный интеграл энергии.
Отеег: T = ±m[x2 + (l + х)2со2 sin2а],
tnx2 — т (I + х)2 со2 sin2 а + сх2 + 2mg cos ах = h,
где h — постоянная интегрирования.
49.2(49.2). Найти первые интегралы движения сферического
маятника длины I, положение которого определяется углами 6 и ip.
Ответ: 1) Интеграл, соответствующий циклической координате
ф (интеграл моментов количества движения относительно оси z)i
ф sin2 9 = п\
372
2) интеграл энергии: 02 4- ф2 sin20 — 2 -у- ccs0 = h, где п и
h — постоянные интегрирования.
49.3(49.3). Гироскопический тахометр установлен иа платформе,
вращающейся с постоянной угловой скоростью и вокруг оси £.
Определить первые интегралы движения, если коэффициент жест-
кости спиральной пружины равен с, моменты инерции гироскопа
относительно главных центральных осей х, у, z соответственно
равны А, В и С, причем В = А; силы трения на оси z собственного
вращения гироскопа уравновешиваются моментом, создаваемым
статором электромотора, приводящим во вращение гироскоп; си-
лами трения на оси прецессии у .пренебречь.
Ответ: 1) Интеграл, соответствующий циклической координате
<р (интеграл моментов количества движения относительно оси г):
ср и sin 6 = п;
2) обобщенный интеграл энергии:
у [(Сф2 + Л62) - {Си2 sin2 6 + Au2 cos2 6)] + у сб2 = h.
49.4(49.4). Материальная точка М соединена а помощью
стержня ОМ длины I с плоским шарниром О, горизонтальная ось
которого вращается вокруг вертикали с постоянной угловой ско-
ростью <о. Определить условие устойчивости нижнего вертикаль-
ного положения маятника, период его малых колебаний при выве-
дении его из этого положения и обобщенный интеграл энергии.
Массой стержня пренебречь.
3) ф2 — со2 sin2 ср — 2 у- cos ср = А.
49.5(49.5). Уравновешенный гироскоп в кардановом подвесе
движется по инерции. Определить кинетическую энергию системы
и первые интегралы уравнений движения, если момент инерции
внешней рамки относительно неподвижной оси вращения g равен
373
Jb моменты инерции внутренней рамки относительно главных цен-
тральных осей х, у, z равны J'x, Jy, J'z, а соответствующие моменты
инерции гироскопа — Jx, Jy и Jz (Jx = Jy).
Ответ; 1) 7’ = 1{[4 + J' + (j; + Jx-j;)cos29]^ +
+ + -Q ё2 + Л (Ф + ф sin fl)2};
2) интеграл, соответствующий циклической координате <р (ин-
теграл моментов количества движения гироскопа относительно
оси г): ф-|- Ф sin 6 = п;
3) интеграл, соответствующий циклической координате ф (ин-
теграл моментов количества движения всей системы относительно
оси Е):
[jj -J- JZ + (/x 4- Jx — Jz) COS'б] ф -|- Jztl S1H 0 = щ’,
4) интеграл энергии:
[Л + Л + (j'x + Jx - Л) cos2б] ф2 + (jy + Jy) б2 = h.
49.6(49.8). Гироскоп установлен в кардановом подвесе. Вокруг
осей 1 и у вращения рамок подвеса действуют моменты внешних
сил и Му. Игнорируя циклическую координату ср, найти 1) диф-
ференциальные уравнения движения для координат ф и 0, 2) гиро-
скопические члены. (См. рисунок к задаче 49.5.)
Ответ: 1) [+ Л + (Jx + Jx — j'z) cos2 б] ф —
— 2 (j'x + Jx — Jz) cos 0 sin 60ф -|- Jzn cos 66 = Afj,
(jy + j'y) 6 4- (j'x + Jx — Jz) cos 6 sin 6ф2 — Jzn COS 6ф — My,
2) Jzn cos 66, — Jzn cos 6ф.
49.7(49.9). Составить функцию Гамильтона и канонические
уравнения движения для математического маятника массы m и
длины /, положение которого определяется утлом <р отклонения
его от вертикали. Проверить, что полученные уравнения эквива-
лентны обычному дифференциальному уравнению движения мате-
матического маятника.
Ответ: 1) Н = ~ — mgl cos <р; 2) ф = -^-, р = — wig/sin Ф.
49.8(49.10). Материальная точка массы пг подвешена с помо-
щью стержня длины I к плоскому шарниру, горизонтальная ось
которого вращается вокруг вертикали с постоянной угловой ско-
ростью со (см. рисунок к задаче 49.4). Составить функцию Гамиль-
тона и канонические уравнения движения. Массу стержня не учи-
тывать.
Ответ: 1) JJ — ^^jz —со2 sin2 Ф — mg/cos Ф;
2) ф = , р — mPa»2 sin Ф cos Ф — mgl sin ф.
49.9(49.11). Вертикальное положение оси симметрии волчка,
вращающегося относительно неподвижной точки О под действием
374
силы тяжести, определяется углами а и р. Исключив циклическую
координату (угол собственного вращения), составить для углов
аир функции Рауса и Гамильтона. Масса волчка равна т, рас-
стояние от его центра масс до точки О равно
I, момент инерции относительно оси симме-
трии г равен С, а относительно осей х и у ра-
вен А.
Ответ: R, = у A (cos2 pd2 -J- р2) —
— Сп sin pd -|- mgl cos a cos p,
„ 1 Г(Ра + Cn sin ₽)2 - n2 "I . , „
H = -2Д [ cos2l-------F P₽ ] + mgZ cos a cos p,
где п=ф—sinpd = const. (Здесь и в даль-
нейшем символы Ра, Рв и т. п. означают обоб-
щенные импульсы.)
49.10(49.12). Пользуясь результатами, полученными при реше-
нии предыдущей задачи, составить для канонических переменных
Гамильтона дифференциальные уравнения малых колебаний
волчка около верхнего вертикального положения.
Ответ: a = -j (Pa + С«р), Ра = mgla, р = Р₽,
Р₽ = - (Рп + Cnp) + mg/p.
49.11(49.13). Положение оси симметрии z волчка, движущегося
относительно неподвижной точки О под действием силы тяжести,
определяется углами Эйлера, углом прецессии ф и углом нутации
0. Составить функцию Гамильтона для уг-
лов ф, 0 и <р (угол собственного вращения)
п соответствующих импульсов, если tn— ЛЬ—s
масса волчка, I — расстояние от его центра /\
масс до точки О, С — момент инерции отно- ( дЦ| ;
сительно оси г, А — момент инерции от- x/pWi'
носительно любой оси, лежащей в эква- •
ториальной плоскости, проходящей через -г
точку О.
о—
. ' „2 . К задаче 49.11
+ Ру + mgl cos 9.
49.12(49.14). В условиях предыдущей задачи составить кано-
нические уравнения движения волчка.
Ответ: ф =
~ ру cos 6
A sin2 0
Рф = О,
А РП • (Ра cos 6 — Ль)(ЛьС03 6 ~ Лп)
0 = ^. р0 = —---------------------/2:--------------+ rrzgZ sin е,
ф = — А ~~ cos 6 -1-^2. Р = 0
Р A tg 0 sin 0 С ’
375
49.13(49.15). Свободная точка единичной массы движется в
вертикальной плоскости ху под действием силы тяжести. Составить
дифференциальное -уравнение в частных производных Якоби—
Гамильтона и найти его полный интеграл (ось у направлена вер-
тикально вверх).
„ av । 1 / av у 1 z av \2 . „
Ответ: —+ -(—) +- ) +^ = 0,
V = b.t + b2x ± ^-2gy-2bl-bl)3 + С,
где bi, bi и С—произвольные постоянные. Знак «+» следует брать
при подъеме, знак «—» при спуске.
49.14(49.16). Пользуясь результатами, полученными при реше-
нии предыдущей задачи, и свойствами полного интеграла уравне-
ния Якоби — Гамильтона, найти первые интегралы уравнений дви-
жения точки.
Ответ: = Z + — \/— 2gy — 2bi —bl= at,
~=x л/- 2g у — 2bi — bi = аг,
dV , dV / ---------—----75
_ = 62 = x, — = ^/—2gy-2bl-b2 = y,
где О], аг, bi и b2 — произвольные постоянные.
4 9.15(49.17). Физический маятник массы М вращается вокруг
неподвижной горизонтальной оси. Момент инерции маятника отно-
сительно этой оси равен /, расстояние от центра масс маятника до
оси равно Z. Составить дифференциальное уравнение Якоби — Га-
мильтона, найти его полный интеграл и первые интегралы движе-
ния маятника (нулевой уровень потенциальной энергии взять на
уровне оси маятника).
Отввп 1) -ar+-2TV^J -Mgl cos <р = 0;
ф ___________
2 ) V = bt ± 21 VMgl cos <p — b dtp;
Фо
_ Ф
Э)/т ±V27VMiZcos<p-b = JT,
Фо
где а и ft — произвольные постоянные интегрирования.
49.16(49.18). Движение волчка, имеющего одну неподвижную
точку О, определяется углами Эйлера ф, 6 и <р. Пользуясь резуль-
татами решения задачи 49.11, составить уравнение в частных про-
изводных Якоби — Гамильтона и найти полный интеграл его.
_ .. dV . 1 (dV dV о\2 . 1 (dV\? ,
Ответ: 1) dt + 24sin20 (3(J) d(f cos6) + 2A k de ’ +
+^-(4r)2+zn^cose=0;
376
2) V = bit + M 4- 63ф +
г / ль1 (ьо — fc,cose)2
+ J V “ 2Abl-------------с---------~ sin*e '---------ZAmgl cos б do.
49.17(49.19). Концы струны закреплены в неподвижных точках
А и В, расстояние между которыми равно Z. Считая, что натяжение
Т струны одинаково во всех точках, определить действие по Га-
мильтону для малых колебаний струны.
Предполагается, что колебания происходят ______________-.jzL?
в одной вертикальной плоскости ху и что ---------------"°
на струну действуют только силы на- (У
тяжения, линейная плотность струны рав-
„ К задаче 49.17
На р.
Ответ: S--1 $ Йр (4Н'~’ (49“]гм » = »<*•'>.
h о
49.18(49.20). Пользуясь принципом Гамильтона — Остроград-
ского и результатами решения предыдущей задачи, составить диф-
ференциальное уравнение колебаний струны.
Ответ: — гДе о2 = —! граничные условия: у(0, t)=^
= y(l, 0 = 0. Р ш
49.19(49.21). Абсолютно гибкая однородная и не- —р
растяжимая нить длины I подвешена за один конец в
точке О. Определить действие по Гамильтону для
малых колебаний нити около вертикали, происходя- д
щих под действием силы тяжести. Масса единицы [
длины нити равна р. i \
Ответ: S = f J J [(-g-)2 - Я (Z - х) (-g-)2] dx dt, J
*• ° К задаче 49.19
где y = u(x, t).
49.20(49.22). Пользуясь принципом Гамильтона — Остроград-
ского и результатами решения предыдущей задачи, составить диф-
ференциальное уравнение малых колебаний подвешенной за один
конец нити.
„ д2у д Г,, \ ду!
Ответ: = g — I(I — х) -^-1; граничные условия!
1) У(°« 0 = 0> 2)t/(Z, t), — и -g-|x=z конечны.
49.21. Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского, со-
ставить дифференциальное уравнение продольных колебаний тон-
кого стержня, заделанного на одном конце и с массой m на другом
конце, и получить граничные условия. Плотность материала
стержня р, модуль продольной упругости Е, площадь поперечного
сечения F, длина Z.
377
Ответ; -|А = д2_|^_> где и^х> ^'—перемещение в направлении
продольной осн, а — ^E/v, граничные условия:
49.22. Составить дифференциальное уравнение крутильных коле-
баний стержня, заделанного на одном конце, с диском на другом
конце. Плотность материала стержня р, модуль сдвига G, попереч-
ное сеченне — круг радиуса г, длина стержня I. Момент инерции
диска J.
Ответ:
сечения, a — V^/pJ граничные условия: OI.
= -°/р’|7[е_Г где /р = лг"/2.
49.23. Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского, со-
ставить дифференциальное уравнение поперечных колебаний шар-
нирно опертой балки, а также получить граничные условия. Плот-
ность материала балки р, модуль продольной упругости Е, пло-
щадь поперечного сечения F, момент инерции поперечного сечения
/, длина балки I.
Ответ: + с2 = 0, где v
граничные условия: v |
49.24. Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского, по-
лучить граничные условия в задаче о поперечных колебаниях кон-
~ сольной балки длины /.
j = Ответ. v = 0? dv_ = 0>
i, d2v | __р д3у |
U дх2 ’ дх3
49.25. Пользуясь принципом Гамиль-
топа— Остроградского, составить урав-
к задаче 49.25 нения малых колебаний системы, состоя-
щей из консольной балки длины I и груза
массы т, прикрепленного к балке и к основанию пружинами жест-
кости с. Плотность материала балки р, модуль продольной упру-
гости Е, площадь поперечного сечения F, момент инерции попереч-
ного сечения Л
Ответ: + с2 — 0, где с
ДрИ =0, Е/^-1
дх3 дх3 |.
~dtr==a где 'И*» 0— угол поворота поперечного
(х, 0 — прогиб балки, с — д/
„ дг° I л । л d2o I
— °’ дх3 Lo — °’ v k-' “ °’ дх31.
= 0.
= 0.
= 0, -J-l =0,
дх |r_0
= с(и|л_, — и), mu = c(v\x^t — 2u).
378
§ 50. Системы с качением. Неголономные связи
50.1. Показать, что условие качения диска без проскальзыва-
ния по заданной кривой на поверхности выражается в виде конеч-
ного соотношения между обобщенными координатами.
Ответ-, s = г<р, где s— путь, пройденный точкой контакта вдоль
кривой, г — радиус диска, «р — угол поворота вокруг осп, ортого-
нальной плоскости диска (<р = 0 при s = 0).
К задаче 50.2
50.2. Получить условие качения без скольжения тела, поверх-
ность которого является цилиндрической поверхностью, по пло-
скости.
Указание. Считать заданным уравнение направляющей — кривой, которая
получается в плоскости поперечного сечения цилиндрической поверхности в си-
стеме координат, жестко скрепленной с телом. В качестве параметров, опреде-
ляющих положение сечеиня тела на плоскости, принять х, у — координаты по-
люса А, угол 0 поворота системы координат Л|т]£, скрепленной с телом.
Ответ: х — (£дsin6-|-т)Хcos6)6 = 0, i/-|-(£kCos6 — r]Ksin0)0 =
*=0, где як — координаты точки соприкосновения.
50.3. Решить предыдущую задачу
В случае, когда направляющая ци-
линдрической поверхности является
эллипсом.
Ответ: х + {a2 sin2 0 4- b2 cos2 0)'/2 6 =
0 (а2 — Ь2) 0 sin 0 cos 9 g
(а2 sin2 0 + b2 cos2 0)'^
где х, у — координаты центра эллип-
са, а — большая, b — малая полуоси
эллипса. В частном случае b — а полу-
чаем известное условие х + а0 = 0,
у=0 качения кругового цилиндра по
плоскости.
50.4. Решить задачу 50.2 в случае, когда направляющая цилин-
дрической поверхности является параболой.
Ответ: 2х-j-р0 sin 0 tg 0 = 0, 2г/— р0(2-J-tg2 0) sin 0 = 0, где
х, у — координаты вершины параболы £2 — 2рц.
379
50.5. Решить задачу 50.2 в случае, когда направляющая цилин-
дрической поверхности является ветвью гиперболы.
Ответ, х — (a2 cos2 6 — b2 sin2 6)‘А 6 = 0,
. (а2 + Ь2) 0 sin 0 cos 0 n
У-----—!— ---------й~ = о»
(a2cos2 0 — Ь2 sin2 0)
где х, у — координаты точки пересечения асимптот гиперболы
т]2/а2 —Е2/62 = 1.
К задаче 50.6
без
скольжения тела, ограни-
50.6. Получить условие качения
ченного цилиндрической поверхностью, по цилиндрической поверх-
ности. В качестве параметров, определяющих положение сечения
уела на плоскости, принять $, 6, где s — длина дуги вдоль направ-
ляющей опорной поверхности, отсчитываемая от некоторой точки
до точки К соприкосновения двух направляющих, 0 — уюл между
осью системы координат /Цт), скреп-
ленной с сечением тела, и касательной
в точке К.
°™ +
] de,
где Лк — координаты "точки К в си-
стеме координат Д|т].
50.7. Решить предыдущую задачу в
случае, когда по круговому цилиндру ра-
диуса г катится без скольжения цилин-
дрическое тело, направляющей которого является 1) эллипс, 2) па-
рабола, 3) ветвь гиперболы.
Ответ. 1) г dty — cPb2 (с? sin2 6 + b2 cos2 6)~’/з d0,
2) г dip = р cos-3 0 dO, 3) г dip = a2b2 (a2 cos2 0 — b2 sin2 d0.
Смысл параметров такой же, как в задачах 50.3, 50.4 , 50.5.
50.8. В вариаторе угловой скорости (см. рисунок) расстояние
диска радиуса г от оси горизонтального абсолютно шероховатого
диска может изменяться по произвольному закону. Найти связь
между углами поворота <р и ip дисков,^
380
К задаче 50.9
Ответ: rdip = x dq>. Это соотношение в общем случае не инте-
грируется.
50.9. Два шероховатых круговых конуса, оси которых парал-
лельны, соприкасаются при помощи колесика. Ось колесика па-
раллельна образующим конусов. Колесико может перемещаться
вдоль своей оси по произвольному
закону. Найти связь между угло-
выми скоростями вращения конусов,
если а — угол между осью и об-
разующей конуса, /г — высота ко-
нуса.
Ответ: хф =
где
h
cos а
х—расстояние колесика от верши-
ны верхнего конуса.
50.10. Конек с полукруглым лезвием катится по льду. Написать
условие отсутствия проскальзывания конька в поперечном на-
правлении.
Ответ: xsinO— у cos 0 = 0, где х, у — координаты точки сопри-
косновения конька со льдом, 0 — угол между прямой пересечения
плоскости конька с плоскостью льда и осью Ох.
50.11. Найти уравнение кинематической связи при качении
диска радиуса а по абсолютно
качестве
ляющих
шероховатой плоскости, приняв в
параметров, опреде-
положение диска.
1) координаты хс,ус,2с центра диска и углы Эйлера 0, ф, <р, 2) коор-
динаты х, у точки контакта диска с плоскостью и углы Эйлера 0, ф, ср.
Ответ: 1) Хс — а0 cos 0 sin ф — аф sin 0 cos ф — аф cos ф = 0.
ус + а0 cos 0 cos ф — аф sin 0 sin ф — аф sin ф = 0, гс 4- аО sin 0 = 0.
Последнее уравнение сводится к конечному соотношению гс —
— a cos 0.
2) х = афсозф, у = афз!п ф.
50.12. Решить предыдущую задачу для диска с острым краем,
когда проскальзывание отсутствует лишь в поперечном направ-
лении.
Ответ: 1) хс sin ф — ус cos ф — а0 cos 0 = 0, zc = a cos 0,
2) х sin ф — у cos ф = 0.
381
50.13. Колесо радиуса а с поперечной насечкой (шестерня)
катится по плоскости так, что его ось всегда параллельна пло-
скости. Найти уравнение кинематической связи.
Указание. Поперечная насечка не препятствует скольжению колеса в на-
правлении оси собственного вращения.
Ответ\ х sin 0 — у cos 0 — аф = 0.
50.14. Шар радиуса а катается по абсолютно шероховатой по-
верхности. Найти уравнения кинематической связи в случаях,
К задаче 50.14
Когда поверхность представляет собой 1) плоскость, 2) цилиндр
радиуса /?, 3) сферическую чашку радиуса R (/?>-а), 4) конус
с углом а между осью и образующей.
Указание. В качестве обобщенных координат выбрать координаты точки
соприкосновения шара с поверхностью и углы Эйлера.
Ответ! 1) х — аб sin ф 4- «ф sin 0 cos ф = 0,
у + аб cos ф аф sin 0 sin ф = 0;
2) (/? — а) у + а (ф cos 0 4- ф) = 0,
i — ав cos (ф — у) — аф sin 0 sin (ф — у) = 0;
3) (У? — а) ф, sin 0j + а0 cos 01 sin (ф — ф^ 4- аф sin 0, 4-
4- аф [cos0 sin 0] — sin 0cos0f соэ(ф — Ф4] = 0,
(R — п) 0i + а0 cos (ф — ф,) 4- аф sin 0 sin (ф — = 0;
382
4) кд sin а + аВ cos a sin (ф — о) -'г аф sin а 4-
+ аф [cos 0 cos а — sin 0 cos а cos (ф — а)] = О,
к — аВ cos (ф — <т) + аф sin 0 sin (ф — а) = 0.
50.15. Эллипсоид вращения (а — большая полуось, Ъ — малая
полуось) катается по абсолютно шероховатой плоскости. Написать
уравнение кинематической связи, приняв за обобщенные коорди-
наты х, у, 0, ф, <р, где х, у — координаты точки соприкосновения
эллипсоида с плоскостью, 0, ф, ф — углы Эйлера.
Ответ: (х sin ф — у cos ф) (a2 cos20 + b2 sin20)7> — а2Ь2В — 0,
(х cos ф + у sin ф) (а2 cos2 0 -|- b2 sin2 0)'Л + 62ф sin 0 = 0.
50.16. Тороидальное тело катается по абсолютно шероховатой
плоскости, b — радиус кривизны меридиана тора на экваторе,
а-\-Ь— радиус экваториальной окружности тора. Найти уравне-
ния кинематической связи, приняв
х, у, 0, ф, ф, где х, у — координаты
точки соприкосновения тора с пло-
скостью, 0 — угол наклона тора,
ф — угол между следом средней
плоскости тора и осью Ох, ф — угол
собственного вращения тора.
Ответ: х + ф (а + b cos 0) cos ф +
-f-60 sin ф = 0,
у + ф (а+6 cos 0) sin ф — ЬВ cos ф = 0.
50.17. Определить число обоб-
щенных координат и число степеней
за обобщенные координаты
К задаче 50 17
свободы двухколесной тележки.
Корпус тележки движется параллельно плоскости, по которой ка-
таются без скольжения колеса, свободно вращающиеся на общей
оси, г—радиус колес, I — длина полуоси.
Ответ: Четыре обобщенных координаты х, у, фь 0, которые свя-
заны двумя нсинтегрируемыми соотношениями
х cos 0 + у sin 0 — /-ф! — 1В —0, х sin 0 — у cos 0 = 0.
Система обладает двумя степенями свободы.
383
50.18. Определить число обобщенных координат и число степе-
ней свободы гусеничного трактора, учитывая, что гусеницы обес-
печивают качение без скольжения лишь в продольном направле-
нии; г — радиус опорных колес, 21— ширина колеи.
Ответ: Четыре обобщенных координаты х, у, дц, 0, которые
связаны одним неинтегрируемым соотношением х cos 0 + У sin 0 —
— r<i>i — Z0 = 0. Система имеет три степени свободы.
50.19. Определить число обобщенных координат и число степе-
ней свободы буера.
Ответ: Четыре обобщенных координаты х, у, 0, «р, которые свя-
заны двумя неинтегрируемыми соотношениями
(xcos 0 + z/sin O)tg <р — aQ — 0, xsinO— у cos 0 = 0.
Система имеет две степени свободы.
50.20. Абсолютно шероховатый диск радиуса г катится по пря-
мой. На диск опирается стержень, конец которого скользит по той
же прямой. Определить число
обобщенных координат и число
степеней
стоящей
свободы системы, со-
из диска и стержня.
К задаче Б0.20
Ответ: Одна обобщенная координата, за которую можно при-
нять угол 0 между стержнем н прямой. Остальные параметры,
определяющие положение стержня и диска, выражаются через
угол 0 при помощи конечных соотношений £ = rctg(0/2), х =
= -2r(ctg(0/2) + 0/2)+ С1, <р + ctg(0/2)+ 0 = с2.
50.21. Определить число обобщенных координат и число степе-
ней свободы системы, состоящей из трех шероховатых цилиндров.
384
Два одинаковых цилиндра радиуса г катаются по горизонтальной
плоскости, а третий цилиндр радиуса R катается по этим двум
цилиндрам.
Ответ: Шесть обобщенных координат х, у, 0, <р, <рь <р2, которые
удовлетворяют четырем дифференциальным уравнениям;
х — Ry sin 0 — 6 (r<pj — у) = О,
у + Дф cos 0 + 6 (c<₽i — у) ctg 6 — 2гф1 = 0,
X sin (0 — а) — /?ф sin 0 sin (0 — а) -|- 2гф2 sin а sin (0 — а) —
— 6 (гфг + х sin а — у cos а) sin 0 = 0,
у sin (0 — а) + /?ф cos 0 sin (0 — а) — 2гф2 cos а sin (0 — а) +
+ 6 (cq?2 + х sin а — у cos а) cos 0 = 0.
Система имеет две степени свободы.
50.22. Составить уравнения движения гусеничного трактора,
описанного в задаче 50.18, при условии, что момент сил, переда-
ваемый от двигателя на левую гусеницу, равен ЛД (/), а на правую
гусеницу — M2(Z), т — масса трактора. Массой гусениц и колес
К задаче 50.23
пренебречь; J — момент инерции трактора относительно вертикаль-
ной оси, проходящей через центр масс.
Ответ: mrx = (Mi + М2) cos 0, гигу = (Mi + М2) sin 0,
Jr0 = /(M2 — Mt), гф1 = х cos 0 + у sinO — Z0.
50.23. Показать, что железнодорожная колесная пара (скат)
при качении по рельсам без скольжения имеет одну степень сво-
боды.
Указание. За модель колесной пары принять тело, состоящиее из двух
одинаковых конусов, склеенных основаниями, рельсы считать геометрическими
прямыми. Рассмотреть случай малых отклонений от прямолинейного движения
13—1318
385
Ввести неподвижную систему координат Оху? и две подвижных системы Ax'y'z'
и CgTjg, определяемые таблицами косинусов углов между осями
х' У' z' & n £ £ n z
X cos 0 — sin 0 0 x' cos ф 0 —sin ф X cos 0 cos ф — sin 0 —cos 0 sin ф
У sin 0 cos 0 0 y' 0 1 0 У sin 0 cos ф cos 0 —sin 0 sin ф
г 0 0 1 z' sin ф 0 cos ф z sin ф 0 cos ф.
где 6, ф— углы Крылова; за обобщенные координаты принять у, 0, ф, <р, где
у — ордината центра масс С, <р — угол поворота тела вокруг осн колесной пары.
Ответ: Условия качения без скольжения имеют вид
0 —-фф = 0, ф + фО(-р — tga)iga = 0, у = ф (R — I tg а),
они интегрируются; колесная пара имеет одну степень свободы.
50.24. Однородный диск радиуса а и массы m катится без сколь-
жения по горизонтальной плоскости. Составить уравнения движе-
ния диска 1) в координатах хс, ус, 6, ф, ф, где хс, ус — координаты
центра масс диска, 6, ф, ф— углы Эйлера, 2) в координатах х, у,
6, Ф> ф, где х, у — координаты точки контакта диска с плоскостью,
6, Ф, Ф— углы Эйлера (см. задачу 50.11); 3) в квазикоординатах
р, q, г, являющихся проекциями вектора мгновенной угловой ско-
рости вращения диска на главные оси центрального эллипсоида
инерции; А, С — главные центральные моменты инерции диска.
Ответ: 1)^-^Д- = А„ -A = a
' dt дхс ‘ di дус 2
0 dL dL гл . . . ,. .
---;-------------------- — a (Ai sin ф — Л, cos ф) cos 0,
dt 00 ае------1 2 47
— «= — a (Aj cos ф + Z2 sin ф) sin 9,
dt 0ф
= — a(A, cos ф + X2 sin ф),
xc — cos 6 sin ф — аф sin 6 cos ф — аф cos ф = 0,
yc + aO cos 0 cos ф — аф sin 0 sin ф — аф sin ф — 0,
где li, 1г — неопределенные множители, L — функция Лагранжа,
L=-L m (х2 + у2с + a202 sin2 6) + ~ А (62 + ф2соз2 0) ф-
+ -i- С (ф sin 0 ф)2 — mga cos 6;
d 8L . d dL . d dL dL „ d dL n
di) • Alj 1 Ao, ” U, - —“* Ue
dt dx dt dy dt 00 00 dt 0ф
— a (^i cos ф -f- A2 sin ф)
X — аф cos ф = 0, у — аф sin ф = 0,
386
Г
t
где Хь Х.2 — неопределенные множители, L — функция Лагранжа,
L = т [х2 + У2 + а2 (О2 4- ф2 sin20) 4-
4- 2ах (0 cos 6 sin ф 4- ф sin 0 cos ф) —
— 2ау (0 cos 0 cos ф — ф sin 0 sin ф)] 4- А (О2 4- ф2 cos2 0) 4-
4~ -j- С ($ sin 0 4- Ф)2 — mga cos 0:
3) (4 4- ига2) р 4- Aq2 tg 0 — (С 4- ига2) qr = mga sin 0,
Aq 4- Cpr — Apq tg 0 = 0 (C 4- ma2) r 4- pq = 0, 0 = p.
После того, как эти уравнения проинтегрированы, обобщенные ко-
ординаты х, у, ф, ф находятся из соотношений
4>cos0 = <7, ф = г — ?tg0, х = афсозф, t/ = aq)Sinip.
50.25. Используя решение предыдущей задачи, найти все воз-
можные стационарные движения диска.
Указание. Стационарные движения диска отображаются состояниями
равновесия в пространстве (0, £2, ы), где £2 •= ф, ш =• <р + ф sin 0.
Ответ: Состояния равновесия в пространстве (0, й, со) обра-
зуют поверхность П, уравнение которой (С4-ога2)йи— AQ2 sin 0 4-
4- mga sin 0 = 0, представляющую двумерное многообразие ста-
ционарных движений диска. На этой поверхности точки прямой
0 = й = 0 соответствуют такому качению диска по прямой, при
котором плоскость диска сохраняет вертикальное положение. Точки
прямой 0 = со = 0 соответствуют верчению диска вокруг неподвиж-
ного вертикального диаметра. Все остальные точки поверхности П
соответствуют круговым движениям.
50.26. Найти условия устойчивости движения диска 1) при ка-
чении диска по прямой, когда плоскость диска вертикальна; 2) при
верчении диска вокруг неподвижного вертикального диаметра;
3) при качении диска по окружности, когда плоскости диска вер-
тикальны.
Указание. Использовать решение задачи 50.24 (3) и задачи 50.25.
Ответ: 1) со2>ш2р= +
3) Й2 [Д (1 4~ 2 sin2 0) 4- та2 cos2 0] 4- Йы (30 4- та2) sin 0 4-
4- (С 4- та2) (л2 > mga cos 0.
Входящие в это неравенство величины связаны соотношением
(С 4- та2) йсо — Дй2 sin 0 4- mga sin 0 = 0.
387
ГЛАВА XII
ДИНАМИКА КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА
§ 51. Кеплерово движение (движение
под действием центральной силы)
51.1(50.1). Модуль силы всемирного тяготения, действующий
па материальную точку массы т, определяется равенством F —
— mp/г2, где р = fM — гравитационный параметр притягиваю-
щего центра (М— его масса, / — гравитационная постоянная) и
г — расстояние от центра притяжения до притягиваемой точки.
Зная радиус R небесного тела и ускорение g силы тяжести *) на
его поверхности, определить гравитационный параметр р небес-
ного тела и вычислить его для Земли, если ее радиус R = 6370 км,
a g = 9,81 м/с2.
Ответ: [i = gR2; для Земли ц = 3,98-105 км3/с2.
51.2(50.2). Определить гравитационный параметр р„ и ускоре-
ние силы тяжести gn па поверхности небесного тела, если известны
отношения его массы Мп и радиуса Rn к массе М и радиусу R
Земли. Вычислить эти величины для Луны, Венеры, Марса и Юпи-
тера, для которых соответствующие отношения даны в следующей
таблице:
М„:М МпМ
Луна Венера 0,0123 0,814 0,273 0,953 Марс Юпитер 0,107 317 0,535 10,95
Ответ:
р. кмЗ/сЗ е. м/с3 р. кыЗ/сЗ g. М/с2
Луна Венера 4,90- 103 326- I03 1,62 8,75 Марс Юпитер 42,8- 103 126- 103 3,69 26,0
51.3(50.3). Материальная точка равномерно движется по кру-
говой орбите на высоте Н над поверхностью небесного тела ра-
диуса R под действием силы всемирного тяготения. Определить
скорость движения щ и период обращения Т материальной
точки **).
Ответ: 1) Vi= д/ — = Ду (круговая скорость на высоте
Н для данного небесного тела);
*) Здесь и в дальнейшем предполагается, что сила притяжения небесного
тела направлена к его центру, ускорения сил тяжести g даютси без учета вра-
щения небесных тел.
’•) Во всех задачах этой главы сопротивлением атмосферы пренебрегаем,
388
Vr (/? Ч Н)'1‘
Здесь т — расстояние от мате-
риальной точки до центра небесного тела, р — его гравитационный
параметр, g — ускорение силы тяжести на его поверхности.
51.4(50.4). Пренебрегая высотой полета искусственного спут-
ника над поверхностью небесного тела, определить первую косми-
ческую скорость щ и соответствующий период Т обращения для
Земли, Луны, Венеры, Марса и Юпитера.
Ответ:
КМ/с Г» мин ©1, км/с Г» мин
Земля Луна Венера 7,91 1,68 7,30 84,3 108 87,5 Марс Юпитер 3,54 42,6 101 172
51.5(50.5). На какой высоте нужно запустить круговой спутник
Земли, обращающийся в плоскости экватора, для того, чтобы он
все время находился над одним и тем же пунктом Земли?
Ответ: Н = 35800 км.
51.6(50.0). Под каким углом р пересекается с земным эквато-
ром трасса спутника (проекция его траектории на земную поверх-
ность), если он движется по круговой орбите высоты Н, наклонен-
ной под углом а к плоскости экватора?
Ответ: tg 0 =-----,~• • где Я — угловая скорость су-
cos а + С + Н)3: р
точного вращения Земли и ц— ее гравитационный параметр.
51.7(50.7). Точка массы m притягивается к неподвижному цен-
тру по закону всемирного тяготения F = ту./г2, где р. — гравита-
ционный параметр центра притяжения. Найти интеграл энергии.
Ответ: v2 — 2у./г = h.
51.8(50.8). Определить, при какой высоте Н круговой орбиты
спутника его потенциальная энергия относительно поверхности
планеты радиуса R равна его кинетической энергии.
Ответ: Н = R/2.
51.9(50.9). Определить, с какой скоростью войдет метеорит в
земную атмосферу, если его скорость на бесконечности v<x> =
= 10 км/с.
Ответ: v ~ 15 км/с.
51.10(50.10). Какую минимальную скорость v2 нужно сообщить
космическому аппарату на поверхности планеты, чтобы он уда-
лился в бесконечность?
Ответ: v2 = ^2vl — вторая космическая скорость (щ — первая
космическая скорость).
51.11(50.11). Определить вторую космическую скорость для
Земли, Луны, Венеры, Марса и Юпитера^
389
Ответ:
V2. км/с са, км/с
Земля Лупа Венера Н.2 2,37 10,3 Марс Юпитер 5,0 60,2
51.12(50.12). Точка движется под действием центральной силы.
Считая, что модуль радиус-вектора г точки зависит от времени t
сложным образом через полярный угол <р, определить скорость и
ускорение точки *).
Ответ: у2==с2[и2 + (-^-)2]; о’Ф = 0, wr = ± с2п2 + и),
где u=l/r, с = г2ф =|rX^| =const — удвоенная секторная ско-
рость, знак плюс для силы отталкивания, знак минус — для силы
притяжения.
51.13(50.13). Точка массы m движется под действием централь-
ной силы по коническому сечению, уравнение которого в полярных
р
координатах имеет вид г — —+ , где р и е — параметр и
эксцентриситет траектории. Определить силу, под действием кото-
рой движется точка.
Ответ: Fv = 0, Fr = —mp/r2, где р. •= с2/р и с — удвоенная сек-
торная скорость.
51.14(50.14). Точка массы m притягивается к неподвижному по-
люсу по закону всемирного тяготения F = mp/r2. Найти траекто-
рию движения точки.
Ответ: Кривая второго порядка (коническое сечение), уравне-
« р
ние которой в полярных координатах имеет вид г = ~f_pec<*(y _ в) •
где р = с2/ц, а е и е — произвольные постоянные интегрирования.
Указание. Воспользоваться ответом к задаче 51.12.
51.15(50.15). Материальная точка движется под действием силы
всемирного тяготения по эллиптической траектории, эксцентриси-
тет которой е<1, а параметр р. Зная интеграл площадей с =*
= гаф=]гХ®|, определить полуоси а и b эллиптической траек-
тории и период обращения Т.
Ответ: а — —Ь = —?== ; Т =------------------2яр = 2л а/^~ •
1 - е2 С (1 - е2)11 V Ц
51.16(50.16). В условиях предыдущей задачи определить уско-
рение точки в моменты, когда она проходит апогей и перигей.
Ответ: wa=-^r(l —е)2, w„ = -р-(1 + е)2.
*) Здесь и в дальнейшем предполагается, что полюс полярной системы ко-,
ординат совпадает с центром притяжения (отталкивания).
390
51.17(50.17). Зная период обращения Т спутника вокруг Земли
по эллиптической орбите и разность его апогея и перигея И, оире-
делить эксцентриситет орбиты.
3/
Ответ-. е=-Н e\J -
51.18(50.18). Спутник движется около планеты радиуса R по
эллиптической орбите с эксцентриситетом е. Найти большую полу-
ось его орбиты, если отношение высот перигея и апогея равно у< 1.
Ответ: а — ^у^1+у} R.
51.19(50.19). Точка движется под действием силы всемирного
тяготения F=mp/r2. Выразить постоянную энергии h (см. за-
дачу 51.7) через элементы траектории точки и гравитационный па-
раметр р.
Ответ: h = —\i/a для эллиптической траектории (а — большая
полуось эллипса), Л = 0 для параболической траектории и h — ц/а
для гиперболической траектории (а — вещественная полуось гипер-
болы) .
51.20(50.20). В начальный момент материальная точка, движу-
щаяся по закону всемирного тяготения, находилась в положении
Мо на расстоянии г0 от притягиваю-
щего центра и имела скорость п0;
угол между вектором скорости v0
и линией горизонта (касательной,
проведенной в точке Мо к ок-
ружности, центр которой совпа-
дает с центром притяжения) рав-
нялся 0о, а полярный угол был ра-
вен фо- Определить эксцентриситет
е и угол е между полярной осью и
фокусной линией конического сече-
ния *).
Vo
Вершина конического
сечения
Траектория
К задаче 51.20
tgBp
Ответ: е = aJ{ + -^-Л, tg(ф0 — е)^-^;"^-, где с =
= rouocos0o— интеграл площадей, Л = и2 — 2р/г — интеграл энер-
гии.
51.21(50.21). Определить, какую скорость надо сообщить косми-
ческому аппарату, чтобы, достигнув высоты Н над поверхностью
планеты и отделившись от последней ступени ракеты, он двигался
по эллиптической, параболической или гиперболической траекто-
рии. Радиус планеты R.
Указание. Воспользоваться ответом к предыдущей задаче.
Ответ: При v0 < v2 траектория — эллипс, при ио = 02— пара-
Vp-^2 _
2 = V2 Ui —
*) За положительное направление фокальной оси конического сечения при-
нимается направление от полюса, совпадающего с одним из фокусов сечения,
к ближайшей вершине.
391
параболическая скорость на высоте Н (oi — круговая ско-
рость) .
51.22. Какую нужно сообщить начальную скорость 00=" пз ма-
териальной точке у поверхности Земли, чтобы она могла покинуть
пределы Солнечной системы.
Ответ: о0 = из = (V2 — 0* 16,7 км/с, где V
= 30 км/с— круговая скорость Земли, v2— вторая космическая
скорость.
51.23(50.22 и 50.23). В момент отделения космического аппа-
рата от последней
высоте Н = 230 км
ступени ракеты он находился в точке Af0 на
от поверхности Земли и имел начальную ско-
рость v0 = 8,0 км/с, причем вектор
скорости Do составлял с линией го-
ризонта (касательной, проведенной
в точке Мо к окружности радиуса
го) угол Оо = 0,02 рад.
Определить постоянную площа-
дей с, параметр р траектории, по-
стоянную энергии й, направление
большой оси эллиптической траек-
тории спутника, эксцентриситет е
траектории, апогей (//тах) и пери-
гей (Ятш) и период Т обращения
спутника.
р==7002 км, й =—56,6 км2/с2, е =
начальный полярный угол радиус-век-
тах = 1120 KM, Hmln = 210 км, Т = 98,5 мин.
Ответ: с — 52790 км2/с,
= Фо— 0,335 рад, где фо —
тора г0; е = 0,0649, Ht
51.24(50.24). При каком направлении начальной скорости кос-
мический аппарат упадет на поверхность планеты радиуса R вне
зависимости от величины начальной скорости?
Ответ: Если начальная скорость будет направлена внутрь ко-
нуса, описанного вокруг планеты из начальной точки.
51.25(50.25). При каких начальных условиях траектория косми-
ческого аппарата, запущенного на высоте Н от поверхности пла-
неты радиуса R, не пересечет ее поверхности?
Ответ: 1) п2 > о2 - {R- cos 00 > , где п, -
круговая скорость для данной планеты на высоте Н.
2) Начальная скорость должна быть направлена вне конуса,
описанного вокруг планеты из начальной точки.
51.26(50.26). Найти зависимость между периодами Г, обраще-
ния планет вокруг Солнца и большими полуосями at их эллипти-
ческих траекторий.
af
Ответ: = —g-для любых планет (третий закон Кеплера).
Г] т 2
51.27(50.27). Период обращения одного из спутников Юпитера,
называемого Ио, равен 1,77 суток, причем радиус его орбиты со-
ставляет 5,91 радиуса Юпитера. Среднее расстояние Юпитер —
392
Солнце равно 5,20 среднего расстояния Земля — Солнце
(5,20-23 000 земных радиусов), а период обращения Юпитера во-
круг Солнца равен 11,8 лет. Определить отношение массы Юпи-
тера к массе Солнца (радиус Юпитера равен 11,14 радиуса Земли).
Ответ: Масса Юпитера в 1000 раз меньше массы Солнца.
51.28(50.28). Под средним значением [г] радиус-вектора точки,
движущейся по эллиптической траектории, понимается величина,
т
определяемая равенством [г] = -у rdt, где Т — период обра-
о
щения.
Определить среднее значение радиус-вектора планеты, если
а — большая полуось, а е— эксцентриситет ее эллиптической
траектории.
Ответ: [г] = а (1 + ’/2 е2).
51.29(50.29). Два спутника, имеющие равные массы, движутся
в одном направлении вокруг притягивающего центра по компла-
нарным орбитам, одна из которых — круто- —-
вая радиуса г0, а другая — эллиптическая / X
с расстояниями перигея и апогея г0 и 8г0 х''
соответственно. Полагая, что спутники nv- 1
тем непосредственной стыковки соединились ~т j*' । те
друг с другом в точке соприкосновения их 1К/—
орбит и дальнейшее движение продолжали
вместе, найти апогей их новой орбиты.
49
Ответ'. Г а = — р Г о. к задаче 51.30
51.30(50.30). Определить связь между истинной <р и эксцентри-
ческой Е аномалиями точки на эллиптической орбите эксцентри-
ситета е. ____
Ответ: tg-f~ VTTTtg_T-
51.31(50.31). Выразить скорость в любой точке эллиптической
орбиты через эксцентрическую аномалию.
Ответ: v = д/— д/ ! +- -
V а V 1 — е cos £
51.32(50.32). Найти на эллиптической орбите такие точки, ско-
рость движения в которых равна среднему геометрическому ско-
ростей в перигее и апогее.
Ответ: Е = ±л/2 (точки расположены на концах малой оси
эллипса).
51.33(50.33). Зная выражения для радиус-вектора точки, со-
вершающей эллиптическое движение вокруг притягивающего
центра:
г = -- , -р--ег, г = а (1 — е cos Е) ег,
1 + е cos <р г ' ' г
где ег — орт радиус-вектора г, проведенного из центра притяжения,
<р — истинная, а Е — эксцентрическая аномалии, найти выражения
393
для вектора орбитальной скорости этой точки, записанные в орби-
тальной и инерциальной системах координат.
Ответ: v = д/у ^вгв s’n <Р + е<р U + е cos <₽)]>
t> = Г_ ei vr^7s‘n£ (l -^)cosE-l
V р L 1 1 — е cos Е 1 2 1 — в cos Е J
где ei — орт, направленный из полюса в перигей, а е2— орт пер-
пендикулярного орту ej направления.
51.34(50.34). В какой точке эллиптической орбиты угол наклона
траектории к местному горизонту (плоскость, перпендикулярная
радиус-вектору) достигает наибольшего значения?
Ответ: Е — ±л/2.
51.35(50.35). Спутник движется по круговой орбите радиуса г;
делая один оборот за время Т. В результате получения радиаль-
ного импульса скорости величины и он переходит на эллиптиче-
скую орбиту. Определить период обращения по эллиптической
орбите.
Ответ: Г,= [‘-ЙТ'
51.36(50.36). Спутник движется по круговой орбите радиуса г,
делая один оборот за время Т. В результате получения тангенци-
ального (касательного) импульса скорости величины и он перехо-
дит на эллиптическую орбиту. Определить период обращения по
эллиптической орбите Т\.
Т
Ответ: . иТ . 2 иТ -,/з .
L1 12лг ) nr J
51.37(50.37). Спутник движется по круговой околоземной ор-
бите радиуса г. Определить величину радиального импульса ско-
рости, в результате которого спутник перейдет на эллиптическую
орбиту с перигеем п.
Ответ: V7r(V77~
51.38(50.38). Космический корабль движется со скоростью
и =30 км/с по орбите Земли, имеющей радиус и = 150- 10е км.
Какой касательный импульс скорости и он должен получить, чтобы
в афелии своей новой орбиты он достиг орбиты Марса (г2 =
= 228-10® км)?
Решить такую же задачу для случая полета к орбите Венеры
(г3 = 108-106 км).
Ответ: На орбиту Марса: и = 2,95 км/с.
На орбиту Венеры: и = 2,55 км/с.
51.39(50.39). Спутник движется по эллиптической околоземной
орбите с радиусом перигея и апогея соответственно и н г2. Опре-
делить величину касательного прироста скорости и в перигее, при
котором высота апогея увеличится на Н.
394
Отвег. и— д/^Гд/ —~?++й' — \/ х ")•
V И \ V П + Га + Н V И 4- га )
51.40(50.40). Космический корабль, движущийся по круговой
спутниковой орбите, должен стартовать с нее путем получения ка-
сательного импульса скорости и выйти на гиперболическую орбиту
с заданным значением скорости на бесконечности Ооо. При каком
радиусе г0 начальной круговой орбиты величина необходимого
импульса и будет наименьшей?
Отвег. г0 = 2ц/п^.
§ 52. Разные задачи
52.1(51.1). Две свободные точки, массы которых равны mt и т-2,
движутся под действием сил взаимного притяжения. Определить
закон движения первой точки относительно второй.
Ответ-. Относительное движение происходит по тем же законам,
что и абсолютное с гравитационным параметром
р. = f(mi -J-m2).
52.2(51.2). Какой вид примет зависимость между периодами Ti
обращения планет вокруг Солнца и большими полуосями ai их
эллиптических орбит, если учесть движение Солнца, вызванное
притяжением соответствующей планеты?
а, а® Af 4- ml
Ответ: : —г = ——-----. где m,, m2, М — массы планет и
Ту М 4- т2
Солнца соответственно (сравнить с ответом к задаче 51.26).
52.3(51.3). Два однородных шара радиусов Л1 и R2 начали дви-
гаться из состояния покоя под действием сил взаимного притяже-
ния. Определить, с какой относительной скоростью о, столкнутся
шары, если первоначальное расстояние между их центрами равня-
лось L, а массы шаров равны mi и т2.
Ответ: 2р( R^ R- — -j-), где p. = f(mi+m2).
52.4(51.4). Две точки, массы которых равны mi и т2, начали
двигаться из состояния покоя под действием сил взаимного при-
тяжения. Определить время Т, через которое столкнутся точки,
если первоначальное расстояние между ними равнялось L.
Отвег. > где H = f ("ii+n^).
52.5(51.5). Две свободные точки, массы которых равны mi и т2,
движутся под действием сил взаимного притяжения. Определить
закон движения точек относительно их центра масс С.
Ответ: Движение по отношению к центру масс происходит по
тем же законам, что и абсолютное движение с гравитационными
с «2 г mi
параметрами = /и Нг == Г (mi + -
395
52.6(51.6). Проекция центральной силы на радиус-вектор равна
— + -р-) , где |1>0и v — некоторые постоянные. Определить
траекторию движущейся точки.
Ответ: 1) v < с2, г — -г-.-----------г-, где с = r2q> = const,
' 1 + е cos k (<р — е) v
С3 — V ,, , V
р ——-—, к2=1 —, ей е — произвольные постоянные.
2) v = c2, = + С1ф + С2, <?i н С2 — постоянные интег
рирования;
2 Р V — С2 , , V .
3) v > с2, г = ----г. где р -----------, k2 — —» — 1,
7 1 + е ch Л (<р — е) г р с2
е и е—произвольные постоянные.
52.7(51.7). Космический аппарат массы m приближается к пла-
нете по прямой, проходящей через ее центр. На какой высоте Н
от поверхности планеты нужно включить двигатель, чтобы созда-
ваемая им постоянная тормозящая сила, равная тТ, обеспечила
мягкую посадку (посадку с нулевой скоростью)? Скорость косми-
ческого аппарата в момент включения двигателя равна о0, грави-
тационный параметр планеты ц, ее радиус R\ притяжением других
небесных тел, сопротивлением атмосферы и изменением массы
двигателя пренебречь.
Ответ:
Н = {т + TR +-Г ± + TR +~т)2 “ 4^Г} “ R’ знак
плюс, если Т > р.//?2, и знак минус, если Т < р//?2.
52.8(51.8). Определить полезную работу, которую должен со-
вершить двигатель ракеты, чтобы поднять космический аппарат
на высоту II над поверхностью планеты и
сообщить ему на этой высоте круговую и
параболическую космические скорости. Мас-
са космического аппарата на поверхности
планеты равна М, радиус планеты R; сопро-
тивлением атмосферы пренебречь. Вычис-
лить эту работу для второй космической
скорости для Земли, если М = 5000 кг.
Ответ: Ai—MgR-^—j^-, A2 = MgR,
А2 = 31,85- 10' кН • м.
52.9(51.9). Космический аппарат вращается с угловой скоростью
Йо. Определить, какую полную работу должен совершить двига-
тель маховика М, чтобы остановить вращение космического аппа-
рата, считая, что вращение последнего происходит вокруг посту-
пательно перемещающейся оси, проходящей через его центр масс.
Ось вращения маховика совпадает с осью вращения аппарата;
I и Jo — моменты инерции маховика и аппарата (вместе с махо-
виком) относительно общей оси вращения. В начальный момент
угловая скорость маховика равна угловой скорости аппарата,
396
Ответ. Л =4 Jp(/y~- До-
52.10(51.10). Считая, что статор электромотора системы, опи-
санной в задаче 52.9, создает вращающий момент A4BP = MD— хю,
где Мо и х — некоторые положительные постоянные, а> — относи-
тельная угловая скорость маховика, найти условие, необходимое
для того, чтобы торможение вращения космического аппарата
произошло за конечное время. Предполагая, что это условие вы-
полнено, определить время Т торможения.
Ответ: M0>h^-Q0, Т = In-,.. 7Л\О .
/ х/0 1М0 — х/020
52.11(51.11). Определить угол if, на который повернется косми-
ческий аппарат за время торможения вращения, если оно осуще-
ствляется способами, описанными в задачах 52.9 и 52.10.
Ответ: if = —V-° ~-7) Q --7-^7° у7-} (MJ - £2xJ0) In
nJ0 ]20и2 w JMa—v.J0Q.0
52.12(51.12). Для поворота корпуса космического аппарата ис-
пользуется электродвигатель-маховик, уравнение движения кото-
рого на вращающемся аппарате имеет вид © + <о/7' = и, где со —
относительная угловая скорость маховика, Т — его постоянная вре-
мени, и — управляющее напряжение, принимающее значения ±и0.
Определить длительность разгона (и = и0) и торможения
1г(« =—ч0) маховика, если первоначально невращающнйся кор-
пус при неподвижном маховике требуется повернуть на заданный
угол <р и остановить. Ось вращения маховика проходит через центр
масс космического аппарата; движение считать плоским. Моменты
инерции маховика и аппарата относительно общей оси вращения
соответственно равны J и Jo-
Ответ: 6 = т + Tin(1 + V1 /2 = ТIn(1 + V1 -е^/г)>
Л>ч>
rAeT~W
ГЛАВА XIII
УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ, ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ,
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ
§ 53. Определение условий равновесия системы.
Устойчивость равновесия
53.1(52.1). Ось вращения АВ прямоугольной пластины накло-
нена под углом а к вертикали. Определить момент сил М относи-
тельно оси АВ, который нужно приложить к пластине для ее по-
ворота на угол О. Вес пластины Р, расстояние от центра масс G
пластины до оси АВ равно а.
Ответ: М — Ра sin a sin О.
53.2(52.2). Шарнирный шестиугольник, состоящий из шести рав-
ных однородных стержней веса р каждый, расположен в верти-
397
калькой плоскости. Верхняя сторона шестиугольника АВ непо-
движно закреплена в горизонтальном положении; остальные сто-
роны расположены симметрично по отношению к вертикали, про-
ходящей через середину АВ. Определить, какую вертикальную
силу Q надо приложить в середине горизонтальной стороны, про-
тивоположной АВ, для того чтобы система находилась в безраз-
личном равновесии.
Ответ: Q = Зр.
53.3(52.3). К однородному стержню АВ длины 2а и веса Q, под-
вешенному на двух нитях длины I каждая, приложена пара сил
с моментом М. Точки подвеса нитей, расположенные на одной го-
ризонтали, находятся на расстоянии 2Ь друг от друга. Найти угол
&, определяющий положение равновесия стержня.
Ответ: В положении равновесия угол О находится из уравнения
М -у/l2 —(а — bf — iab sin2 (0/2) = Qab sin О.
53.4(52.4). Прямолинейный однородный стержень АВ длины 21
упирается нижним концом А в вертикальную стену, составляя с
ней угол <р. Стержень опирается также на гвоздь С, параллельный
стене. Гвоздь отстоит от стены на расстоянии а. Определить угол
<р в положении равновесия стержня.
Ответа sin ф = -у7а/1.
53.5(52.5). На гладкий цилиндр радиуса г опираются два одно-
родных тяжелых стержня, соединенных шарниром А. Длина каж-
дого стержня равна 2а. Определить угол 2Ф раствора стержней,
соответствующий положению равновесия.
398
Ответ: Угол & определяется из уравнения algs-& — rtg7O —
- г = 0.
53.6. Система состоит из двух однородных стержней О А п АВ
длины а и массы т, расположенных в вертикальной плоскости.
В точке А стержни соединены шарниром. В точке О — неподвиж-
ный шарнир. В точке В стержень АВ соединен шарниром с телом
С массы ггц, которое может перемещаться по вер-
тикали, проходящей через точку О. Середины
стержней ОА и АВ соединены пружиной жесткости
с. Длина пружины в ненапряженном состоянии
/0 < а. Найти положения равновесия и условия их
устойчивости. Трением и массой пружины пре-
небречь.
Ответ: При 2(т + m^g > с(а —10) одно устой-
чивое состояние равновесия <pi=0, при 2(т-(-
4-< с(а — /о) два состояния равновесия —
неустойчивое <р( = 0 и устойчивое
= arccos .2(/n + m,)g + c/0
са
К задаче 53.6
53.7(52.7). Концы однородного тяжелого стержня длины /
могут скользить без трения по кривой, заданной уравнением
f(x, у) = 0. Определить положения равновесия стержня. (Ось у
направлена по вертикали вверх, ось х — по горизонтали вправо.)
Ответ: Координаты концов стержня, отвечающие положениям
равновесия, будут решениями системы
(х2 — Xt)2 + (у2 — ytf — I2 = о, f(x(, 4fi) = 0, f(x2, р2) = 0,
U2 !/l) gXl QXi ( 2 ''LSjq dy2 ' dt/i c)x2J’
53.8(52.8). Однородный тяжелый стержень длины I может
скользить своими концами без трения по параболе у = ах2. Опре-
делить возможные положения равновесия. (Ось у направлена по
вертикали вверх, ось х— по горизонтали вправо.)
Ответ: Первое положение равновесия:
Х2 = — х, = //2, yi =у2= al2/4.
Второе положение равновесия определяется из уравнения
ch£ = V<^ по формулам
Х1 = — -~е~\ У1=-т-е~2*, х2 = -^-еЕ, Уг =
1 2а 1 4а 2а 4а
53.9(52.9). Решить задачу 53.7 в предположении, что кривая
является эллипсом (/(*, у)=-£- + -р------1 = о) , а длина стержня
удовлетворяет условию I < 2а. Определить возможные положения
равновесия стержня.
Указание. Вместо декартовых координат следует ввести координату <р
(эксцентрическую аномалию) с помощью соотношений х = a cos <р, у = Ь sin q>t
399
Ответ: Положения равновесия отвечают значениям эксцентри-
чсских аномалий, определяемым из уравнений
а) ф] = л — ф2, cos <р2 = д/^7 (существует при / 2а);
б) sl„
вует при а> b и I < 2Ь).
53.10(52.10). По гладкому проволочному кольцу радиуса R,
расположенному в вертикальной плоскости, может скользить без
трения колечко А. К этому колечку на нити подвешен груз массы
гиг, другая нить, перекинутая через ничтожно малый блок В, рас-
положенный па конце горизонтального диаметра большого кольца,
имеет на конце С другой груз Q массы m2. Определить положения
равновесия колечка А и исследовать, какие из них устойчивы,
какие нет.
Указание. Положение колечка А следует характеризовать центральным
хглом <р = Z.DOA. Надо отдельно рассматривать равновесие колечка на верх-
ней и нижней полуокружностях.
Ответ: На верхней полуокружности (0 < <р < л) при любых
-Значениях m2/mi существует положение неустойчивого равновесия
sin —= —I-}-8 — — причем 0 < од < л/2. На ниж-
2 4 \ V mi mi /
ней полуокружности (л < <р < 2л) при пъ/ггц 1 существует по-
<РО I ( / т2 т2 I
ложение устойчивого равновесия sin — = — I -------+ 8 I,
. Зя
причем л < <р0 <
53.11(52.11). Однородная квадратная пластинка может вра-
щаться в вертикальной плоскости около оси, проходящей через
угол О; вес пластинки Р, длина ее стороны а. К углу А пластинки
привязана нить длины /, перекинутая через малый блок В, отстоя-
щий на расстоянии а по вертикали от точки О. На нити висит груз
400
веса Q = -y^-P- Определить положения равновесп i системы и ис-
следовать их устойчивость.
Ответ: Положения равновесия отвечают следующим значениям
угла ф: '1’1 = 0, '|’2 = л/6, T|)3 = n/2, — Зл/2. Первое и третье
положения равновесия устойчивы.
53.12(52.12). Однородный тяжелый стержень АВ длины 2а опи-
рается на криволинейную направляющую, имеющую форму полу-
окружности радиуса /?. Определить, пренебрегая трением, положе-
ние равновесия и исследо-
вать его устойчивость.
Ответ: В положении рав-
новесия стержень наклонен
к горизонтальной линии под
углом <р0, определяемым из
уравнения
cos <ро= -в^- [а + Va2 + 32/?2]
К задаче 53.12
К задаче 53.13
(предполагается, что -у/2!ъЕ < а < 2/?). Это положение равнове-
сия устойчиво.
53.13(52.13). Подъемный мост ОА схематически изображен иа
рисунке в виде однородной пластины веса Р и длины 2а. К сере-
дине края пластины прикреплен канат длины I, перекинутый через
малый блок, лежащий на вертикали па расстоянии 2а над точкой
О. Другой конец С каната соединен с противовесом, скользящим
без трения по криволинейной направляющей. Определить форму
этой направляющей и вес противовеса Q так, чтобы система нахо-
дилась в безразличном равновесии.
При горизонтальном положении моста
противовес С находится на прямой
ОВ.
Ответ: Q = Pl'\l%', уравнение на-
правляющей в полярных координа-
тах г, О: г — 2 (/ — 2 ->/2 a cos &) г 4-
4-4 V2 al — 12~8а2.
53.14(52.14). Исследовать устойчи-
вость вертикального положения равно-
весия «обращенного» двойного маят-
ника, изображенного на рисунке. Ма-
ятник может быть схематизирован в
К задаче
53.14
К задаче 53 15
виде двух материальных точек масс гп\ и т2, связанных стерж*
нями длин /1 и Z2. В вертикальном положении равновесия пружины
(жесткости их cj и с2) не напряжены.
Ответ: Условия устойчивости имеют вид > m\g,
[(ci + сг) k ~ + тг) б] [СЛ - mi£] > СМ-
53.15(52.15). Исследовать устойчивость вертикального положе-
ния равновесия системы маятников, изображенной на рисунке»
длина стержня первого маятника 4Л, второго ЗЛ и третьего 2h.
401
Массы всех маятников и жесткости пружин одинаковы и соответ-»
ствснно равны т и с. Расстояния точек прикрепления пружин от
центров масс равны h. Массой стержней пренебречь, а массы т
рассматривать как материальные точки; когда маятники находятся
в вертикальном положении, пружины не напряжены.
Ответ: Условия устойчивости имеют вид
13сЛ2 — 4mgh > 0, 49с2Л4 — SQmgch3 + 12/n2g2A2 > О,
36с3/г6 — 153mgc2/i5 + 130/n2g2c/i4 — 24m3g3/z3 > 0.
53.16(52.16). В маятнике паллографа груз М подвешен на
стержне ОМ, свободно проходящем через вращающийся цилиндрик
О и шарнирно соединенном в точке А с коромыс-
лом АО}, вращающимся около оси Оь Длина коро-
мысла г, расстояние от центра масс груза до шар-
нира А равно I, расстояние ОО\ = h. Исследовать
устойчивость вертикального положения равновесия
маятника. Размерами груза и массой стержней
пренебречь.
Ответ: При ^Jrly-h — r— положение равно-
весия устойчиво; при 'x/rKh— г — неустойчиво.
к задаче 53.16 53.17(52.17). Прямолинейный проводник, по ко-
торому течет ток силы q, притягивает параллель-
ный ему провод АВ, по которому течет ток силы q. Провод АВ
им'ет массу т\ к нему присоединена пружина жесткости с; длина
каждого из проводов I. При отсутствии в проводе АВ тока рас-
стояние между проводами равно а. Определить положения равно-
весия системы и исследовать их устойчи-
вость.
Указание Сила взаимодействия двух па-
раллельных проводников с токами it и iz дли-
ны I, отстоящих иа расстоянии d друг от друга,
, „ 2iiiz ,
определяется по формуле F = —I.
d
гт 2/1 i2l а2
Ответ: При а — —-— < —имеются
два положения равновесия: xt =
К задаче 53.17 К задаче 53.18 / а2
+ А/—4 xi отвечает устойчивому
положению равновесия, хг — неустойчивому. При а > а2/4 поло-
жений равновесия нет. При а = а2/4 имеем единственное положе-
ние равновесия, которое неустойчиво.
53.18. Стержень ОА длины а может свободно вращаться вокруг
точки О. К концу А стержня шарнирно прикреплен стержень АВ
длины а, на другом конце которого закреплен груз В массы иг.
Точка О и точка В соединены между собой пружиной жесткости с.
Масса пружины пренебрежимо мала, длина пружины в ненапря-
402
ленном состоянии равна а. Найти положения равновесия, считая,
чго система расположена в вертикальной плоскости. Массой стерж-
ней АВ и ОА пренебречь.
Ответ: Четыре состояния равновесия
<Pj = 0, »})[ = 0; <р2 = л, ф = -F Фз» 4= ± "Ч’з»
, те 4- са „
где cos фз = cos 1рз = —~' ‘*РИ mS > са устойчиво состояние
равновесия q>j == 0, ф 1 = 0. При mg < са устойчивы состояния рав-
новесия <р = Тфз, ф — — Фз- Состояние равновесия ф2 = л, фг = л
всегда неустойчиво.
§ 54. Малые колебания системы с одной степенью свободы
54.1(53.1). Жесткий стержень ОВ длины I может свободно ка-
чаться на шаровом шарнире около конца О и несет шарик веса
Q на другом конце. Стержень удерживается в горизонтальном по-
ложении посредством нерастяжимого вертикального шнура длины
h. Расстояние ОА = а. Если шарик оттянуть перпендикулярно
плоскости рисунка и затем отпустить, то система начнет коле-
баться. Пренебрегая массой стерж-
ня, определить период малых коле-
баний системы.
Ответ: Т = 2п .
К задаче 54.1
54.2(53.2). Определить период малых колебаний астатического
маятника, употребляемого в некоторых сейсмографах для записи
колебаний почвы. Маятник состоит из жесткого стержня длины /,
несущего на конце массу т, зажатую между двумя горизонталь-
ными пружинами жесткости с с закрепленными концами. Массой
стержня пренебречь, и считать пружины в положении равновесия
ненапряженными.
Ответ: Т =----—=.
54.3(53.3). Маятник состоит из жесткого стержня длины I, не-
сущего массу m на своем конце. К стержню прикреплены две пру-
жины жесткости с на расстоянии а от его верхнего конца; проти
403
воположпые концы пружин закреплены. Пренебрегая массой
стержня, найти период малых колебаний маятника.
Ответ-. Т — — 2п- -=.
/ 2са2 , g
У/ ml2 + I
64.4(53.4). Предполагая, что маятник, описанный в предыдущей
задаче, установлен так, что масса m расположена выше точки под-
веса,
определить условие, при котором вертикальное положение
К задаче 54.3
равновесия маятника устойчиво, и вычислить период малых колеба-
ний маятника.
Ответ: а2 > , Т
2л.
2са2 g
~тР Г
54.5(53.5). Цилиндр диаметра d и массы т может катиться без
скольжения по горизонтальной плоскости. Две одинаковые пру-
жины жесткости с прикреплены посреди-
не его длины на расстоянии а от оси
цилиндра; противоположные концы пру-
жин закреплены. Определить период ма-
лых колебаний цилиндра.
°ТвеТ- T==-L^&d'\/Jr-
К задаче 54.0
С
С
К задаче 54.5
54.6(53.6). Определить период малых колебаний метронома, со-
стоящего из маятника и добавочного подвижного груза G массы
tn. Момент инерции всей системы относительно горизонтальной
оси вращения изменяется путем смещения подвижного груза G,
404
Масса маятника Л1; расстояние центра масс маятника от оси вра-
щения О равно So; расстояние OG = s; момент инерции маятника
относительно оси вращения Jo.
_ -Г п /Уо +ms
Ответ: Т = 2л а/-п-.-----т—.
V (Mso — ms) g
54.7(53.7). Тело, подвешенное на двух вертикальных нитях
длины I каждая, расстояние между которыми 2а,
вокруг вертикальной оси, лежащей в плоскости ни-
тей и равноудаленной от них (бифилярный подвес).
Радиус инерции тела относительно оси вращения р.
Найти период малых колебаний.
Ответ: Т — 2п — а /—.
а V g
54.8(53.8). Круглый обруч подвешен к трем не-
подвижным точкам тремя одинаковыми нерастяжи-
мыми нитями длины /, так, что плоскость обруча
горизонтальна. Нити в положении равновесия обру-
ча вертикальны и делят окружность обруча на три
закручивается
2а
i
R задаче 54.7
равные части. Найти период малых колебаний обруча вокруг осп,
проходящей через центр обруча.
Ответ: Т = 2л -y/ljg.
54.9(53.9). Тяжелая квадратная платформа ABCD массы М
К задаче 54.9
канатах, жесткости с каждый, к
неподвижной точке О, отстоя-
щей в положении равновесия
системы на расстоянии I по
К задаче 54.10
вертикали от центра Е платформы. Длина диагонали платформы
а. Определить период вертикальных колебаний системы.
„ т / М (а3 + 4В) 1
Ответ. Г = 2л с 16/2 Mga2 .
V * + 16с/3
54.10(53.10). Уголок, составленный из тонких однородных
стержней длин / и 2/ с углом между стержнями 90°, может вра-
щаться вокруг точки О. Определить период малых колебаний
уголка около положения равновесия.
405
Ответ: Т= 2л-Д-аД=7,53 а/4--
V17 V S V S
54.11(53.11). Определить период малых свободных колебаний
маятника массы М, ось вращения которого образует угол р с го-
ризонтальной плоскостью. Момент инерции маятника относительно
оси вращения J, расстояние центра масс от оси вращения s.
Ответ: Т •= 2л 1—
V MgS cos р
54.12(53.12). В приборе для регистрации вертикальных колеба-
ний фундаментов машин груз Q массы т, закрепленный на верти-
кальной пружине, коэффициент жесткости которой и, шарнирно
соединен со статически уравновешенной стрелкой, выполненной в
виде ломаного рычага с моментом инерции I относительно оси вра-
щения О и отжимаемой к равновесному положению горизонтальной
пружиной с коэффициентом жесткости с2. Определить период сво-
бодных колебаний стрелки около ее вертикального равновесного
положения, если ОА = а и ОВ = Ъ. Размерами груза и влиянием
первоначального натяжения пружины пренебречь.
Ответ: Т— 2л
54.13(53.13). Амортизационное устройство может быть схемати-
зировано в виде материальной точки массы т, соединенной п пру-
жинами жесткости с с вершинами правильного многоугольника.
Длина каждой пружины в ненапряженном состоянии а, радиус
окружности, описанной около многоугольника Ь. Определить ча-
стоту горизонтальных свободных колебаний системы, расположен-
ной в горизонтальной плоскости.
Указание. Для вычисления потенциальной энергии с точностью до вели-
чии второго порядка малости включительно следует определить удлинение пру-
жин с той же степенью точности.
_ , / пс — а
Ответ: ----
406
54.14(53.14). В предыдущей задаче определить частоту колеба-
ний, перпендикулярных плоскости многоугольника. Массами пру-
жин пренебречь.
Ответ, k = а /--с — -а'1 .
V mb
54.15(53.15). Определить частоту малых вертикальных колеба-
ний материальной точки Е, входящей в состав системы, изобра-
женной на рисунке. Масса материальной точки т. Расстояния
К задаче 54.15 К задаче 54.16
АВ = ВС и DE = EF-, жесткости пружин Сц с2,
Бруски АС и DF считать жесткими, не имеющими
Ответ’, k —
Сз, с4 заданы,
массы.
находятся три
А
К задаче 54.17
54.16(53.16). На нерастяжимой нити длины 4а
груза, массы которых соответственно равны m, М, tn. Нить сим-
метрично подвешена за концы так, что ее начальный и конечный
участки образуют углы а с вертикалью, а средине участки —
углы р. Груз М совершает малые верти-
кальные колебания. Определить частоту
свободных вертикальных колебаний гру-
за М.
Ответ:
__ / g (cos2 р sin fl + cos2 a sin а)
V а cc>s Р cos а sin (fl — а) cos (fl — а) ’
о М sin (Р — а)
при ЭТОМ 2m =-------:---— А— .
r sin a cos р
54.17(53.17). Вертикальный сейсмо-
граф Б. Б. Голицина состоит из рамки
АО В, на которой укреплен груз веса Q.
Рамка может вращаться вокруг гори-
зонтальной оси О. В точке В рамки, отстоящей от О на расстоянии
а, прикреплена пружина жесткости с, работающая на растяжение.
В положении равновесия стержень О А горизонтален. Момент инер-
ции рамки н груза относительно О равен /, высота рамки Ь. Пре-
небрегая массой пружины и считая, что центр масс груза и рамки
находится в точке А, отстоящей от О на расстоянии I, определить
.частоту малых колебаний маятника.
407
Vca2 — FDb (i—b/L) c r\ I
----------------------—-----—, где F 0 = Q —----натяжение
пружины в положении равновесия, L — длина пружины в положе-
нии равновесия.
54.18(53.18). В вибрографе, предназначенном для записи коле-
баний фундаментов, частей машин и т. п., маятник веса Q удер-
живается под углом а к вертикали с помощью
спиральной пружины жесткости с; момент инер-
ции маятника относительно оси вращения О ра-
вен J, расстояние центра масс маятника от оси
вращения $. Определить период свободных коле-
баний вибрографа.
Ответ'. Т = 2л л 1 / .
V Qs sin а + с
54.19(53.19). В вибрографе для записи гори-
зонтальных колебаний маятник ОА, состоя-
щий из рычага и груза, может качаться во-
круг горизонтальной оси О около вертикального положения
устойчивого равновесия, удерживаясь в этом положении собствен-
ным весом и спиральной пружиной. Зная максимальный статиче-
ский момент силы тяжести маятника Qa — 45 Н-см, момент инер-
ции относительно оси О J = 0,3 кг-см2 и жесткость при кручении
К задаче 54.19
пружины с = 45 Н-см, опреде-
лить период собственных ко-
лебаний маятника при малых
углах отклонения.
Ответ: Т = 0,364 с.
54.20(53.20). Найти, при каком условии верхнее вертикальное
положение равновесия маятника является устойчивым, если сво-
бодному вращению маятника препятствует спиральная пружина
жесткости с, установленная так, что при верхнем вертикальном по-
ложении маятника она не напряжена. Вес маятника Р. Расстоя-
ние от центра масс маятника до точки подвеса равно а. Найти
также период малых колебаний маятника, если его момент инер-
ции относительно оси вращения равен /о-
Ответ: с > Ра, Т = 2л л /——
V с — га
408
54.21(53.21). Показать, что при с~< Ра маятник, рассмотренный
в предыдущей задаче, будет иметь не менее трех положений равно-
весия. Найти также период малых колебаний.
Ответ: При <р = 0 — неустойчивое положение равновесия.
Устойчивые положения равновесия будут при Ф = Фо > О, ф =
. с
= фо < 0, где фо— корень уравнения sin ф = руф-
V
Т— 2л
_________^офо__________
Ра cos ф0 (tg фо — фо)
54.22(53.22). Стержень ОА маятника при помощи шатуна АВ
соединен с маленькой стальной рессорой ЕВ жесткости с В не-
напряженном состоянии рессора занимает положение £Bi; из-
вестно, что к рессоре нужно приложить силу Fo, направленную по
ОВ, чтобы привести ее в положение ЕВ0, соответствующее равно-
весию маятника; ОА — АВ — а; массой
стержней пренебрегаем; расстояние центра
масс маятника от оси вращения ОС — I;
вес маятника Q. С целью достижения наи-
лучшего изохронизма (независимость пе-
риода колебаний от угла первоначального
отклонения) система отрегулирована так,
чтобы в уравнении движения маятника
ф = /(ф) = —₽ф+
первый ИЗ отброшенных членов был ПО- к задаче 54.22
рядка ф5. Установить, какая зависимость
должна для этого иметь место между постоянными Q, Fo, с, а, I,
и вычислить период малых колебаний маятника.
Ответ: QI - 2aF0 = 12Л, Т = 2л •
54.23(53.23). Показать, что при условии предыдущей задачи
увеличение периода колебаний при отклонениях маятника от по-
ложения равновесия иа угол ф0 = 45° не превышает 0,4 %. Каково
будет при этих условиях изменение периода простого маятника?
Ответ: Сохраняя в уравнении движения маятника член ф5, по-
,г л_ . /А~ 1 Ci । Фо
лучим / = 2л а / — - —:л II + -од-1 i для простого маят-
* к -yl—2аг0Щ1 4 ао '
ника при отклонении на угол 45° изменение периода составляет
4%.
54.24(53.24). При условиях задачи 64.22 маятник отрегулирован
так, что QI — 2aF0. Найти период малых колебаний маятника при
отклонении его от положения равновесия на угол ф0,
Ответ: — л/^- \ = 5,24 — а /
афо V eg J ^/i _ х< дф0 V eg
о ¥
54.25(53.25). В маятнике паллографа груз М маятника повешен
на стержне, свободно проходящем через вращающийся цилиндрик
409
О и шарнирно соединенном в точке А с коромыслом AOi, качаю-
щимся вокруг неподвижной оси Оь При каком условии вертикаль-
ное положение стержня ОМ маятника будет положением устойчи-
вого равновесия? Найти период малых колебаний маятника около
этого положения. Размерами груза и массой стержней пренебречь.
(Размеры стержней указаны на рисунке к задаче 53.16.)
Ответ: h — г
[r/-(A-r)2]g •
54.26(53.26). Пренебрегая массой стержней найти период ма-
лых колебаний
маятника, изображенного на рисунке. Центр масс
груза находится на продолжении шатуна шар-
нирного четырехзвенника ОАВО^ в точке С.
В положении равновесия стержни ОА и ВС
вертикальны, стержень OjB горизонтален:
ОА=АВ = а-, AC = s.
Ответ: Т = 2л —а --.
Vg (s — а)
54.27(53.27). Определить период колебания
груза Р массы т, подвешенного на пружине
с закрепленным верхним концом, если коэф-
фициент жесткости пружины равен с, масса
пружины тй. Принять, что отношение откло-
нений двух точек пружины от своих положений равновесия равно
отношению соответствующих расстояний этих точек до закреплен-
ного конца пружины.
Vm + 4-mo
----/— .
54.28(53.28). На нижнем конце вертикального цилиндрического
упругого стержня с закрепленным верхним концом прикреплен в
своем центре горизонтальный диск с моментом инерции J относи-
тельно вертикальной оси, проходящей через центр; момент инерции
стержня относительно его оси равен /0; коэффициент жесткости
стержня при закручивании, т. е. момент, необходимый для закру-
чивания иижнего конца стержня на один радиан, равен с. Опре-
делить период колебаний системы.
Ответ: Т = 2л
54.29(53.29). Груз веса Q укреплен посредине балки, свободно
опертой на концах; длина балки I, момент инерции поперечного
сечения J, модуль упругости материала Е. Определить, пренебре-
гая массой балки, число колебаний, совершаемых грузом в минуту.
VE/
ОР . причем за единицу длины принят сан-
тиметр.
54.30(54.33). Двутавровая балка с моментом инерции сечения
J = 180 см4, длины 1 = 4 м лежит на двух одинаковых упругих
410
опорных пружинах, жесткость которых с=1,5 кН/см, и несет
посредине груз веса Q = 2 кН. Пренебрегая весом балки, опре-
делить период свободных колебаний системы. Модуль упругости
материала балки Е = 2-104 кН/см2,
Ответ: Т = 0,238 с.
К задаче 64.30
К задаче 54.31
54.31(53.34). В конце В горизонтального стержня АВ длины 1,
заделанного другим концом, находится груз веса Q, совершающий
колебания с периодом Т. Момент инерции сечения стержня отно-
сительно центральной оси сечения, перпендикулярной плоскости
колебаний, равен J. Найти модуль упругости материала стержня.
Ответ: Е = -^г.
54.32(53.35). Диск массы М и радиуса г может катиться без
скольжения по горизонтальной прямой. К диску жестко прикреплен
стержень длины I, на конце которого находится точечная масса пг.
Найти период малых колебаний системы. Массой стержня пре-
небречь.
„ -го / ЗМг2 + 2ml2 '
Ответ: T = 2n^ 2mg(r + l) ‘
54.33(53.36). На шероховатый круглый полуцилиндр радиуса
R положен призматический брусок массы М с прямоугольным по-
перечным сечением. Продольная ось бруска перпендикулярна оси
цилиндра. Длина бруска 21, высота 2а. Концы бруска соединены
с полом пружинами одинаковой жесткости с. Предполагая, что
брусок не скользит по цилиндру, найти период его малых колеба-
ний. Момент инерции бруска относительно поперечной горизон-
тальной оси, проходящей через центр масс, равен Jo.
Ответ’. Г = 2л
411
54.34(53.37). Острота амплитудно-частотной характеристики си-
стемы с одной степенью свободы при действии силы треиия, про-
порциональной скорости, характеризуется «половинной шириной»
амплитудно-частотной характеристики. «Половинная ширина»
амплитудно-частотной характеристики измеряется разностью меж-
ду двумя частотами, для которых амплитуда колебаний равна
половине амплитуды, согветствующей резонансу. Выразить «поло-
винную ширину» амплитудно-частотной характеристики Д через
«коэффициент расстройки частот» z = ca/ft и через приведенный
коэффициент затухания 6 = n/k. Дать приближенную формулу
для случая (со— частота вынуждающей силы, k — частота
собственных колебаний; при резонансе z — 1).
Ответ: «Половинная ширина» амплитудно-частотной характери-
стики равна
Д = z2 — Zi = V1 - 2d2 + 26 д/3+^2 _ д/j _ 2б2 _ 26 д/3 + б2
или, если 6 1, Д ~ 26д/3.
54.35(53.38). В вибрографе, употребляемом для записи верти-
кальных колебаний, стержень ОА, соединенный с пишущим пером
прибора, может вращаться вокруг горизонтальной оси О. Стержень
ОА на конце А несет груз Q и удер-
живается в горизонтальном поло-
жении равновесия спиральной пру-
жиной. Определить относительное
движение стержня ОА, если вибро-
граф укреплен на фундаменте, со-
вершающем вертикальные колеба-
ния по закону z = 0,2sin25Z см.
Жесткость при кручении пружины
с = 1 Н-см, момент инерции стерж-
t___ __( ня ОА с грузом Q относительно О
ЙЯЙЙЯвЖ равен J =4 кг-см2, Qa = 100 Н-см.,
Собственными колебаниями стерж-
К задаче 64.35 ня пренебречь.
Ответ: ср = 0,0051 sin 25t
54.36(53.39). В вибрографе, описанном в задаче 54.35, стержень
снабжен электромагнитным тормозом в виде алюминиевой пла-
стины, колеблющейся между полюсами неподвижно закрепленных
магнитов. Возникающие в пластине вихревые токи создают тормо-
жение, пропорциональное первой степени скорости движения пла-
стины и доведенное до границы апериодичности. Определить вы-
нужденные колебания стрелки прибора, если последний закреплен
на фундаменте, совершающем вертикальные колебания по закону
z = ft sin pt.
Oh 2 “\/~~ Р
Ответ: х = сир == —-— -— sin (pt — е), tg е =-- .
4'+тЯ *->
412
54.37(53.40). Вертикальный двигатель массы закреплен на
фундаменте, имеющем площадь основания S; удельная жесткость
грунта равна к. Длина кривошипа двигателя г, длина шатуна I,
угловая скорость вала со, масса поршня и неуравновешенных ча-
стей, совершающих возвратно-поступательное движение, равна М2,
масса фундамента М3; кривошип считать
уравновешенным при помощи противо-
веса. Массой шатуна пренебречь. Опре-
делить вынужденные колебания фунда-
мента.
Указание. При расчетах пренебречь всеми
членами, содержащими малое отношение г/Z в сте-
пенях выше первой.
Ответ: Смещение центра масс фунда-
мента от положения равновесия
МцГ(£>2
£ (Mi + Мз) (k2 - a,2) C0S +
. г М2га>2
I (Mi + М3) (k2 - 4а>2) COs2“Z’
К задаче 54.37
где k ~ ''JMi + Мз ’
54.38(53.41). Рассчитать вес фунда-
мента под вертикальный двигатель
массы М = 104 кг таким образом, чтобы амплитуда вынуж-
денных вертикальных колебаний фундамента не превосходила
0,‘25 мм. Площадь основания фундамента 5 = 100 м2, удельная
жесткость грунта, находящегося под фундаментом, к = 490 кН/м3.
Длина кривошипа двигателя г = 30 см, длина шатуна /=180 см,
угловая скорость вала ь> = 8л рад/с, масса поршня и других не-
уравновешенных частей, совершающих возвратно-поступательное
движение, m = 250 кг, кривошип
считать уравновешенным при по-
мощи противовеса. Массой шату-
на пренебречь.
Указание. Воспользоваться ре-
зультатом решения предыдущей задачи
и ограничиться приближенным решением,
отбросив член, содержащий г/l. Прове-
рить законность указанного приближе-
ния.
К задаче 54.39
Ответ: G = 3592,7 кН.
54.39(53.42), Электромотор массы М = 1200 кг установлен на
свободных концах двух горизонтальных параллельных балок, за-
деланных вторыми концами в стену. Расстояние от оси электромо-
тора до стены / = 1,5 м. Якорь электромотора вращается со ско-
ростью п = 50п рад/с, масса якоря т — 200 кг, центр масс его
отстоит от оси вала на расстоянии г= 0,05 мм. Модуль упругости
413
К задаче
мягкой стали, из которой сделаны балки, Е = 19,6 107 Н/см2.
Определить момент инерции площади поперечного сечения так,
чтобы амплитуда вынужденных колебаний не превосходила 0,5 мм.
Весом балки пренебречь.
Ответ-. J — 8740 см4 или J = 8480 см4.
54.40(53.43). Кулачковый механизм для привода клапана может
быть схематизирован в виде массы т, прикрепленной с одной
стороны с помощью пружины жесткости с к неподвижной точке и
получающей с другой стороны через пружину жесткости Ct дви-
жение от поступательно движущегося кулачка, профиль которого
таков, что вертикальное смещение определяется
формулами
xt = а (I — cos ©1] при 0 1 2л/и,
х2 = 0 при t > 2л/®.
Определить движение массы т.
Ответ-. При 0 / С 2л/ь>
Х = т(£-вг)'[c0S kt ~ C0S “А т I1 — cos kil •
где k — д/~С X С'‘ " ^Ри > 2л/со груз совершает
свободные колебания
х = h~(i?-<>*) “ -S'] [C0S kt ~ COS k (f —5-)].
54.41(53.44). Для записи крутильных колебаний употребляется
торсиограф, состоящий из легкого алюминиевого шкива А, закли-
К задаче Б4.41
иенного на валу В и тяжелого махович-
ка D, который может свободно вращать-
ся относительно вала В. Вал связан с
маховичком D спиральной пружиной
жесткости с. Вал В движется по закону
<р = at 4- <p0 sin at
(равномерное вращение с наложением
гармонических колебаний). Момент инер-
ции маховичка относительно оси враще-
ния J. Исследовать вынужденные колеба-
ния маховичка торсиографа.
Ответ-. Угол относительного поворота
маховичка Ф = __ sin at.
54.42(53.45). Для гашения колебаний
коленчатого вала авиационного мотора
в противовесе коленчатого вала делается желоб в форме дуги
окружности радиуса г с центром, смещенным иа АВ = I от оси
вращения; по желобу может свободно двигаться дополнительный
противовес) схематизируемый в виде материальной точки. Угловая
414
скорость вращения вала равна со. Пренебрегая влиянием силы
тяжести, определить частоту малых колебаний дополнительного
противовеса.
Ответ: k — a -y/ljr-
54.43(53.46). К грузу веса Р, висящему на пружине жесткости
с, в начальный момент времени приложена
действие которой прекращается по проше-
ствии времени т. Определить движение
груза
Ответ: При О t т
x=4[1-cosV'K/]:
при т /
X = ~ [cos — т) — cos J -
54.44(53.47). Определить максимальное
отклонение от положения равновесия си-
стемы, описанной в предыдущей задаче, в
случае действия сил различной продолжи-
тельности: 1) т = 0, limFT = S (удар); 2)
т>0
постоянная сила F,
т = 7’/4; 3) т = Т/2,
где Т — период свободных колебаний системы.
Ответ. 1) Xmax 'cP Хтах с == -^ст> 3) ЛСщах==а
= 2 — — 2хсГ.
С сг
54.45(53.48). Найти закон движения маятника, состоящего из
материальной точки, висящей на нерастяжимой нити длины I. Точ-
ка подвеса маятника движется по заданному закону J- = £(/) по
горизонтальной прямой.
Ответ: Угол отклонения маятника от вертикали ср изменяется
по закону
ср = Д] sin kt + "2 cos kt-— -|- -у- |(т) sin k(t — т)dr,
о
где fe=Vg/(-
54.46(53.49). На материальную точку массы tn, подвешенную
на пружине жесткости с, действует возмущающая сила, заданная
условиями:
F = 0 при t < 0;
F=~F0 при 0^/^т;
F = F0
при
t > т.
415
Определить движение точки и найти амплитуду колебаний при
t >х.
Отвег. х = 4-[1 --A-cosfe(/~y)sin4-]; k = у/^-
kcx 2
64.47(53.50). На груз массы m, висящий на пружине жесткости
с, действует возмущающая сила, изменяющаяся по закону Q(t) =
= F|sinwf|. Определить колебания системы, имеющие частоту
возмущающей силы.
Ответ: При О^/^л/о
х — —I С" [ s*n kt -|- ctg cos kt\----т-.-—гаг- sin at:
mk (ы2 — k2) L Б 2м J m (w2 — k2)
k = c/m.
54.48(53.51). Определить критическую угловую скорость (отно-
сительно поперечных колебаний) легкого вала, несущего посредине
диск веса Р. Рассмотреть следующие случаи: 1) вал на обоих кон-
цах опирается на длинные подшипники (концы можно считать за-
деланными); 2) на одном конце вал опирается на длинный под-
шипник (конец заделан), а на другом —на короткий подшипник
(конец оперт). Жесткость вала на изгиб EJ, длина вала I.
Ответ: 1) икр=д/^^; 2) “«₽=
54.49(53.52). Определить критическую скорость вращения лег-
кого вала длины I, если вал лежит на двух коротких подшипниках
и на выступающем конце длиной а несет диск веса Р. Жесткость
вала на изгиб Е1.
Ответ: сокр =
54.50(53.53). Определить критическую скорость вращения тяже-
лого вала, лежащего одним концом в коротком подшипнике, а дру-
гим— в длинном; длина вала I, жесткость вала на изгиб EJ, вес
единицы длины вала q.
Ответ: сокр= 15,4 а/~тт-
§ 55. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы
55.1(54.1). Для экспериментального исследования процесса ре-
гулирования гидравлических турбин сконструирована установка, >
состоящая из турбины, ротор которой имеет момент инерции отно-
сительно оси вращения /1 = 50 кг-см2, маховика с моментом инер-
ции 1г— 1500 кг-см2 и упругого вала С, соединяющего ротор тур-
бины с маховиком; вал имеет длину (= 1552 мм, диаметр d —
= 25,4 мм, модуль сдвига материала вала G = 8800 кН/см2.
416
Пренебрегая массой вала и скручиванием его толстых участков,
наитито сечение тп вала, которое при свободных колебаниях
данной системы остается неподвижным (узловое сечение), а также
вычислить период Т свободных ,
колебаний системы.
Ответ: а — 50 мм, Т =
= 0,09 с.
55.2(54.2). Определить ча-
стоты свободных крутильных
колебаний системы, состоящей
из вала, закрепленного на од-
ном конце, с насаженными
К задаче 55.1
посредине и на другом конце однородными дисками. Момент инер-
ции каждого диска относительно оси вала /; жесткость на круче-
ние участков вала с( = с2 = с. Массой вала пренебречь.
Ответ: k{ = 0,62 д/c/J, k2 = 1,62 c/J.
55.3(54.3). Определить частоты главных крутильных колебаний
системы, состоящей из вала с насаженными на
ковыми дисками. Два диска закреплены иа
концах вала, а третий — посредине. Момент
инерции каждого диска относительно оси вала
/; жесткость на кручение участков вала ci =
= с2 = с. Массой вала пренебречь.
Ответ: kt =• -yfcjl, fej = VЗе/J.
55.4(54.4). Два одинаковых маятника дли-
ны I и массы m каждый соединены иа уровне
h упругой пружиной жесткости с, прикреп-
ленной концами к стержням маятников. Опре-
делить малые колебания системы в плоско-
него тремя одииа-
сти равновесного положения маятников,
после того как одному из маятников сообщено отклонение на
К задаче 55.5
угол а от положения равновесия; начальные скорости маятников
равны нулю. Массами стержней маятников и
массой пружины пренебречь.
— k\ -4- feo . ke — .
Ответ: д>! — a cos - t cos---------{,
Ф, — a sin „ t sin —Ц—-1,
2 2
где Ф1 н фа — углы отклонения маятников от вер-
, / g , / g । 2сЛ2
тикали и Л1=Д/—. *2= Д/Т
65.5(54.5). Диск массы М может катиться без
прямолинейному рельсу. К центру диска шарнирно прикреплен
стержень длины /, на конце которого находится точечный груз
массы т. Найти период малых колебаний маятника. Массой
стержня пренебречь.
скольжения по
14—1318
417
Ответ: Т = 2л л/
\J ЗЛ1 + 2m g
55.6(54.6). Заменяя в предыдущей задаче прямолинейный рельс
дугой окружности радиуса R, найти частоты малых колебаний
рассматриваемой системы.
Ответ: Главные частоты являются корнями уравнения
ЗМ м _ Г 2(Л1 + т)д ,2 2 (Л1 + m) g2 _ „
ЗМ + 2m L (ЗМ + 2m) (Я - г) I J (ЗМ + 2m) (/? - г) I '
К задаче Б5.7
55.7(54.7). Маятник состоит из ползуна массы М, скользящего
без трения по горизонтальной плоскости, и шарика массы tn, сое-
диненного с ползуном стержнем длины /, могущим вращаться
вокруг оси, связанной с ползуном. К ползуну присоединена пру-
жина жесткости с, другой конец которой закреплен неподвижно.
Определить частоты малых колебаний системы.
Ответ: Искомые частоты являются корнями уравнения
+4-
L М I М J 1 М I
55.8(54.8). Два одинаковых физических маятника подвешены
па параллельных горизонтальных осях, расположенных в одной
горизонтальной плоскости, и связаны упругой пружиной, длина
которой в ненапряженном состоянии равна расстоянию между ося-
ми маятников. Пренебрегая сопротивлением движению и массой
пружины, определить частоты и отношения амплитуд главных
колебаний системы при малых углах отклонения от равновесного
положения. Вес каждого маятника Р\ радиус инерции его относи-
тельно оси, проходящей через центр масс параллельно оси подвеса,
р; жесткость пружины с, расстояния от центра масс маятника и от
точки прикрепления пружины к маятникам до оси подвеса равны
соответственно I и h. (См. рисунок к задаче 55.4.)
gl (Pl + 2ch2)g 4’» л<2>
р2+,2 • P(P2+Z2) ’ А™ ’ А™
Ответ: k2
55.9(54.9). Однородный стержень АВ длины L подвешен при
помощи нити длины / = 0,5Г к неподвижной точке. Пренебрегая
массой нити, определить частоты главных колебаний системы и
418
найти отношение отклонений стержня и нити от вертикали при
первом и втором главных колебаниях.
Ответ'. А]1=10,677 Vg/l, А2 = 2,558 Jgfl: в первом главном ко-
лебании «pi = 0,847<р2, во втором <р> ==—1,180<р2, где <pi и <р2—•
амплитуды углов, составляемых нитью и
стержнем с вертикалью.
55.10(54.10). Предполагая в предыдущей
задаче, что длина нити весьма велика по срав-
нению с длиной стержня, и пренебрегая ква-
дратом отношения L/1, определить отношение
низшей частоты свободных колебаний систе-
мы к частоте колебаний математического
маятника длины I.
„ .1 * 1 £
ОтввТ» 1 4 / *
55.11(54.11). Считая в задаче 55.9, что дли-
на нити весьма мала по сравнению с длиной
стержня, и пренебрегая квадратом отношения
1/L, определить отношение низшей частоты свободных колебаний
системы к частоте колебаний физического маятника, если ось вра-
щения поместить в конце стержня.
„ 1 9 1
Ответ: 1--J6T-
55.12(54.12). Определить частоты главных колебаний двойного
математического маятника при условии, что массы грузов Л1( и М2
соответственно равны mi и /п2, ОМ, — Ц, М,М2 = /2, а к грузу Mi
присоединена пружина, массой
которой можно пренебречь. Дли-
на пружины в ненапряженном со-
стоянии равна /о, жесткость пру-
жины с.
Ответ: k2 * * * * * * 2 =
ni + n2 т V (п? ~ пг)2 +
20-Yn)
ГДе „2 — И1 + m?) g + cl,
1 (mi + m2) h
l2 1 Y'2 m, + m2 ‘
К задаче 65.12 К задаче 55.13
55.13(54.13). Двойной физический маятник состоит из однород-
ного прямолинейного стержня О,О2 длины 2а и веса Pi, вращаю-
щегося вокруг неподвижной горизонтальной оси Oit и нз однород-
ного прямолинейного стержня АВ веса Р2, шарнирно соединенного
в своем центре масс с концом Ог первого стержня. Определить
движение системы, если в начальный момент стержень OtO2 от-
клонен на угол фо от вертикали, а стержень АВ занимает верти-
кальное положение и имеет начальную угловую скорость соо.
419
Ответ-. v = <p0cos Z: где М5 ~ угол, об-
разуемый стержнем АВ с вертикальным направлением.
55.14(54.14). Стержень АВ веса Р подвешен за концы А и В
к потолку на двух одинаковых нерастяжимых нитях длины а.
К стержню АВ подвешена на двух одинаковых нерастяжимых ни-
тях длины b балка CD веса Q. Предполагая, что колебания проис-
ходят в вертикальной плоскости, найти частоты главных колеба-
ний. Массами нитей пренебречь.
п „р . ,2 "? + «|:FV(n|-n2)2+ 4П1«2У12 2 S 2 6
Ответ- k^ =----------------------------- где П*=Г’
?12= P + Q •
колебания железнодорожного вагона
плоскости, если вес подрессоренной
55.15(54.15). Исследовать
в его средней вертикальной
К задаче 55.15
части вагона Q, расстояния центра масс от вертикальных плоско-
стей, проведенных через оси, Л = = I; радиус инерции относи-
тельно центральной оси, параллельной осям вагона, р; жесткость
рессор для обеих осей одинакова: ci = с2 = с.
Ответ: х = A sin(£il + а), ф = В sin(/г21 + ₽), где х—верти-
кальное смещение центра масс вагона, гр — угол, образуемый полом
К задаче 55.16
вагона с горизонтом; А, В, а, р — по-
стоянные интегрирования; kt =
= -\/2cg/Q, k2= -\/2cgP/KQp2).
55.16(54.16). Исследовать малые
свободные колебания груженой плат-
формы веса Р, опирающейся в точ-
ках Л и В на две рессоры одинаковой
жесткости с. Центр масс С платфор-
мы с грузом находится на прямой
АВ, причем АС = а и СВ — b. Плат-
форма выведена из положения равновесия путем сообщения центру
масс начальной скорости vQ, направленной вертикально вниз без
начального отклонения. Массы рессор и силы трения не учитывать.
Момент инерции платформы относительно горизонтальной попереч-
ной оси, проходящей через центр масс платформы, равен /с =,
420
*=0,l(a2 + &)P/g. Колебания происходят в вертикальной пло-
скости. За обобщенные координаты принять: у — отклонение центра
масс от положения равновесия вниз, ф — угол поворота платформы
вокруг центра масс.
Ответ-, у — ——— sin kxt--sin fe,/) ,
’ j _ Ci k ki 1 a2k3 2 J
«2
45=yzk sin kii ~ ъsin •
02
*F(i =f V'-0’278Wf)-
2c —— k3. 2c ~k?.
Я 1 p 2
a* c (b — a) ‘ °2 c (t> — a) '
55.17(54.17). Платформа тележки опирается в точках Л и В на
две рессоры одинаковой жесткости с, расстояние между осями рес-
сор АВ = /; центр масс С платформы расположен на прямой АВ,
являющейся осью симметрии платформы, на расстоянии АС =
— а = 1/3 от точки А (см. рисунок к задаче 55.16). Радиус инер-
ции платформы относительно оси, проходящей через ее центр масс
перпендикулярно прямой АВ и лежащей в плоскости платформы,
принять равным 0,2/; вес платформы равен Q.
Найти малые колебания платформы, возникающие под дей-
ствием удара, приложенного в центре масс платформы перпенди
кулярно ее плоскости. Импульс
удара равен 5.
Ответ-. Пусть z — вертикаль-
ное смещение центра масс плат-
формы, <р — угол поворота ее во-
круг оси, указанной в условии за-
дачи (та и другая координаты отсчитываются от положения равно-
весия центра масс платформы); найдем
z = s(o,738 sin 1,330 д/-^-1 + 0,00496 sin 3,758 z /),
/<р = д/^S(о,509 sin 1,330 д/^р — 0,180 sin 3,758 д/-^-/).
55.18(54.18). Две одинаковые материальные точки Л4, и Л42
Массы m каждая прикреплены симметрично на равных расстояинях
от концов к натянутой нити, имеющей длину 2(а -)-/>); натяжение
нити равно р. Определить частоты главных колебаний и найти
главные координаты.
Ответ: = k2= д/^[^ + т]- Главные коорди-
наты: 0j = у (х,х2), 02=j(*2—*1)«
421
55.19(54.19). Определить частоты малых колебаний тяжелой ма-
териальной точки, колеблющейся около положения равновесия на
гладкой поверхности, обращенной вогнутой стороной кверху; глав-
ные радиусы кривизны поверхности в точке, отвечающей положе-
нию равновесия, равны pi и р2.
Ответ-. k^-y/g/Pi, —
55.20(54.20). Определить частоты малых колебаний тяжелой ма-
териальной точки около ее положения равновесия, совпадающего
с наиболее низкой точкой поверхности, вращающейся с постоянной
угловой скоростью со вокруг вертикальной оси, проходящей через
эту точку. Главные радиусы кривизны поверхности в ее нижней
точке pi и р2.
Ответ: Частоты малых колебаний являются корнями уравнения
* - f] * + (•*" - f) (<>’ ) - 0-
55.21(54.21). Круглый однородный диск радиуса г и массы М
связан шарниром со стержнем ОА длины I, могущим поворачи-
К задаче 55 21
ваться около неподвижной горизонтальной
оси. На окружности диска закреплена мате-
риальная точка В массы т. Определить ча-
стоты свободных колебаний системы. Массой
стержня пренебречь. Диск может вращаться
в плоскости колебаний стержня ОА.
Ответ: Частоты свободных колебаний яв-
ляются корнями уравнения
М + т Г mMJ.1^ 2
М + 3m L М г J I ’
. 2m (М + m) es п
М (М + 3m) lr = V-
55.22(54.22). На проволочную окружность радиуса R, плоскость
которой горизонтальна, надеты два одинаковых колечка, соединсн-
жесткости с, имеющей в ненапряженном состоянии
длину /о- Определить движение колечек, при-
няв их за материальные точки массы т. При-
нять, что в начальный момент <pi=0, а ко-
лечко В отклонено от своего равновесного по-
ложения на величину дуги, равную 27?р. На-
чальные скорости колечек равны нулю.
Ответ: <Pi = Р (1 — cos kt), <р2 = 2а
ные пружиной
+Р (1 + cos kt), а = arcsin
СГ\
соза.
55.23(54.23). Определить малые колебания математического
маятника длины / и веса Р-г, подвешенного к вертикально движу-
щемуся ползуну А веса Pi, прикрепленному к пружине жесткости
с. Ползун при своем движении испытывает сопротивление, пропор-
422
циональное его скорости (6 — коэффициент пропорциональности).
Найти условия, при которых в случае Ь = 0 главные частоты дан-
ной системы будут равны между собой.
Ответ. 1) x = XJe-M sin^AJ — h2t 4-е,), <р = А2 sin (kj. + е2),
где Л|, А2, еь е2 — постоянные интегрирования, h — 2 ,
2) Главные частоты будут одинаковы (при Ъ — 0), если
Р.+Рг
с — I
55.24 (54.24). Два одинаковых жестких стержня длины R имеют
общую точку подвеса О. Стержни могут вращаться в вертикальной
плоскости вокруг точки подвеса независимо друг от друга. К кон-
цам стержней прикреплены два одинаковых груза Л и В массы m
К задаче 65,24
К задаче 55.25
каждый, соединенные между собой пружиной жесткости с. Длина
пружины в состоянии устойчивого равновесия системы равна /.
Пренебрегая массой стержней, найти частоты главных колебаний
около устойчивого положения равновесия грузов.
Ответ: ki = д/'д cosa> ^2=cos2 а 4--^-cos а, где
I
а — arcsm 7-5-.
ЛК
55.25 (54.25). К движущейся по заданному закону Е = £(/) плат-
форме подвешена на пружине жесткости сг механическая система,
состоящая из массы т.\, к которой жестко присоединен в точке В
поршень демпфера. Камера демпфера, масса которого равна т2,
опирается на пружину жесткости с2, противоположный конец ко-
торой прикреплен к поршню. Вязкое трение в демпфере пропор-
ционально относительной скорости поршня и камеры; р — коэффи-
циент сопротивления. Составить уравнения движения системы.
423
Ответ-, 4- pij—0х2 -{- (c1 -J- c2) xx — c2x2 = (t), tn2x2 — Px,+
+ 0*2 — C2*l + c2*2 — 0-
55.26 . Тяжелый однородный стержень длины I и массы m\ ниж-
ним концом опирается на шарнир и удерживается в вертикальном
положении с помощью пружины жесткости с. К точке стержня,
отстоящей от шарнира на расстоянии а, подвешен на нити длины г
груз М массы т2. При вертикальном положении стержня пружина
находится в ненапряженном состоянии и расположена горизон-
тально. При какой жесткости пружины стержень и груз могут
совершать малые колебания около вертикального положения?
Найти уравнение частот этих колебаний. Массой нити пренебречь.
Ответ-, с > ^а22 _ a2j k2
55.27 . Однородная балка АВ длины I, массы mi опирается в
точке В на пружину жесткости с, а в точке А на цилиндрический
шарнир. В точке Ё балки на расстоянии а от шарнира А на
стержне длины с помощью шарнира подвешен груз М массы т2.
В положении равновесия балка АВ горизонтальна. Найти уравне-
ние малых колебаний балки и груза. Массой стержня пренебречь.
Ответ-. <р — О] sin (kit + е^, ф = sin (k2t + е2), где kx —
ы* , Гя
m, /2 + 3/П2а2 ’ = Д/ "2 ’ а С*’ °2’ С1’ «2 ~ постоянные ин-
тегрирования.
55.28(54.27). Определить частоты свободных крутильных коле-
баний системы, состоящей из двух валов, соединенных зубчатой
передачей. Моменты инерции масс, насаженных на валы, и мо-
менты инерции зубчатых колес относительно оси валов имеют ве-
личины Zi =875-103 кг-см2, J2 = 560-103 кг-см2, й = 3020 кг-см2,
«а = 105 кг-см2, передаточное число A = Zi/z2 = 5; жесткости ва-
лов при кручении С1=316ХЮ7 Н-см, с2 = 115-107 Н-см; масса-
ми валов пренебречь.
Ответ: ki— 54,8с-1, Л2 = 2,38-103с-*.
424
55.29(54.28). Определить, пренебрегая массой зубчатых колес,
частоту свободных крутильных колебаний системы, описанной в
предыдущей задаче.
Ответ: £ = 58,7 с-1.
55.30(54.29). Найти частоты и формы главных поперечных ко-
лебаний балки длины I, свободно лежащей на двух опорах и на-
1 . 2 ,
груженной в точках х—-^1 и №=-у 1 двумя равными грузами
веса Q. Момент инерции поперечного сечения балки J, модуль
упругости Е. Массой балки пренебречь.
/ EJg Л">
Q13 г V Q13 Л»>
/У
—^- = — 1; формы главных колебаний указаны на рисунке.
К задаче 55.30
К задаче 55.31
55.31(54.30). Найти частоты и формы главных поперечных
колебаний балки длины /, опертой по концам и несущей два груза
Q1 = Q и Cb = 0,5Q, равноудаленных от опор на расстояние //3.
Массой балки пренебречь.
Ответ:
Л(2)
—^= — 2,09; формы главных
Л,'
55.32(54.32). Найти частоты
ных колебаний двух одинаковых гру-
зов Q, закрепленных на концах гори-
зонтальной консольной балки на рав-
ных расстояниях I от ее опор. Балка
длины 3/ свободно лежит на двух опо-
'EJg
QI3 '
= 0,95.
колебаний указаны
на рисунке.
глав-
К задаче 55.32
рах, отстоящих друг от друга на рас-
стоянии I, момент инерции поперечного сечения балки 7; модуль
упругости Е. Массой балки пренебречь.
(3 ’
I
1
I
Ответ: k2 = .
425
55.33(54.33). Однородная прямоугольная пластинка массы т
закреплена в конце А балки длины I, другой конец которой заделан
неподвижно. Система находится в горизонтальной плоскости и со-
вершает в этой плоскости свободные колебания около положения
равновесия. Определить частоты
и формы этих колебаний, если
а =0,2/, 5 = 0,1/. Массой балки
пренебречь.
Указание. Сила Q и момент М,
которые должны быть приложены к кон-
К задаче 55.33 цу А балки, чтобы создать в этой точке
прогиб f и поворот касательной к изо-
гнутой оси балки <р, определяются формулами f = pQ + sM, <р = sQ -р qM,
причем в рассматриваемом случае однородной балки, заделанной одним концом,
р = Z3/(3£/), q = s = Z2/(2£7).
Ответ; Частоты главных колебаний равны соответственно
0,804 20,7 д/3£7/(щ/3);
первое главное колебание можно рассматривать как колебание
поворота вокруг точки Оц расположенной на оси балки слева от
точки А на расстоянии СМ = 0,612/, второе — вокруг точки О2,
расположенной на продолжении оси балки на расстоянии О2А =
= 0,106/ справа от точки А.
55.34(54.34). К первому нз двух первоначально неподвижных
дисков, соединенных упругим
валом жесткости с, внезапно прило-
жен постоянный вращающий момент
М; моменты инерции дисков J. Пре-
небрегая массой вала, определить
последующее движение системы.
Ответ;
^==-^<2+4(1 ~со3 лЛТО-
Фз = £ ? - ~ С1 - соз д/г -S /) .
55.35(54.35). Двухъярусная шар-
нирно-стержневая система удержи-
вается в вертикальном положении
тремя пружинами, как это показано
на рисунке. Стержни абсолютно
жесткие, однородные: вес на длину
I равен G. Полагая коэффициенты жесткости пружин равными
Ci = с2 — 10G/1, определить устойчивость равновесия системы, а
также частоты и формы fi и f2 главных колебаний системы. Мас-
сой пружин пренебречь: к =^l2=l.
Ответ; Равновесие устойчивое; kL = 0,412 /g//, fe2 = 1,673 д/g//,
fi = - 1,455, f2 = 3,495.
426
55.36(54.36). Груз массы М укреплен на вершине стойки, жестко
связанной с балкой АВ, свободно лежащей на двух опорах. Пола-
гая, что момент инерции поперечного сечения /, а модули упру-
гости Е балки и стойки одинаковы, определить частоты главных
изгибных колебаний системы. Массами бал-
ки и стойки пренебречь.
Ответа k\ *= 0,497 -yjEJ/(Ma3),
= 1,602
55.37(54.37). Фундамент машины массы
гП1 = 102-102 кг, установленный на упругом
грунте, совершает вертикальные вынужден-
ные колебания под действием вертикальной
возмущающей силы, меняющейся по закону
F =* 98 sin wt кН. С целью устранения ре-
зонансных колебаний, обнаруживающихся
при угловой скорости вала машины со =
== 100 рад/с, на фундаменте установлен на
упругих пружинах гаситель в виде тяжелой рамы. Подобрать
массу рамы m и суммарную жесткость пружин с2 гасителя так,
чтобы амплитуда вынужденных колебаний фундамента при выше-
указанной скорости вала обратилась в нуль, а амплитуда колеба-
ний гасителя не превосходила А = 2 мм.
Ответ- т = 4,9-103 кг, с2 = 49-103 кН/м.
55.38(54.38). Определить уравнения вынужденных колебаний
системы дисков, описанной в задаче 55.2, при действии на средний
диск возмущающего момента М *= Мо sin pt.
Ответ- f-
Мъс
sin pt,
где k\ и k2— частоты главных колебаний системы.
55.39(54.39). Электромотор веса Qi закреплен на упругом бе-
тонном фундаменте (в виде сплошного параллелепипеда) веса Q2
с коэффициентом жесткости с2, установленном на жестком грунте.
Ротор веса Р насажен на упругий горизонтальный вал с коэффи-
циентом жесткости при изгибе сг, эксцентриситет ротора относи-
тельно вала г; угловая скорость вала со. Определить вынужденные
вертикальные колебания статора электромотора. Учесть влияние
массы фундамента путем присоединения одной трети его массы
к массе статора.
_ ciPgra1 sin at
Ответ: у = CiCjg2 _ [(cj + Cii) Р + Cj (Q1 + ./3Qt)] ga2 + P (Q1 + >/3<w
где у — отклонение статора от положения равновесия.
55.40(54.40). В точке А балки АВ (см. задачу 55.14) приложена
сила F « Fo sin pt (Fo и p — постоянные), составляющая все время
с нитью ОА прямой угол н расположенная в плоскости движения
427
балки. Какова должна быть длина b нитей, на которых подвешена
балка CD, чтобы амплитуда вынужденных колебаний балки АВ
равнялась нулю?
Ответ-, b = g/p2.
56.41(54.41). Для поглощения крутильных колебаний к одной
из колеблющихся масс системы прикрепляется маятник. На ри-
сунке схематически изображена система, состоящая из двух масс
7 и II, вращающихся с постоянной угловой скоростью со. Ко второй
массе прикреплен маятник. Моменты инерции масс относительно
оси вращения 1\ и 13, момент инерции маятника относительно осн,
параллельной оси вращения системы и проходящей через центр
масс маятника, /3. Расстояние между осью вращения системы и
осью подвеса маятника ОА = /; расстояние между осью подвеса и
параллельной осью, проходящей через центр масс маятника,
АС — а\ масса маятника т. Коэффициент упругости (жесткость
при кручении) участка вала между массами сь Ко второй массе
приложен внешний момент М = Мо sin со/. Написать дифференци-
альные уравнения движения обеих масс системы и маятника. При
составлении выражения для потенциальной энергии системы пре-
небречь потенциальной энергией маятника в поле силы тяжести.
Ответ-. /!<fi + Ct (q>! — ЧРг) — 0. (Л + т?) Фз + malq>3 cos (<р2 — Фз) +
+ malq>l sin (tp2 — q>3) + с, (<p2 — ср,) = MQ sin at,
(J3 + та2) ф3 + malip2 cos (<p2 — <p3) — та1ф2 sin (<p2 ~ Ф3) = 0.
55.42(54.42). Бак, имеющий форму куба, опирается четырьмя
нижними углами на четыре одинаковые пружины; длина стороны
куба 2а. Жесткости пружин в направлении осей, параллельных
сторонам куба, равны сх, су, сг; момент инерции куба относительно
главных центральных осей 7. Составить уравнения малых колеба-
ний и определить их частоты в случае сх = си. Масса бака равна М.
Ответ: Мх + схх — cxaq>2 = 0, Му + суу + c^atpj = 0,
Mi + czz = 0, Jifi + сиау + cka2(pl + с^а2^ = 0,
•7фг + гх°2Ф2 схах -}- c/j2<p2 =- 0, /фз + сЛа2ф3 -f- cea2tp3 = 0,
428
где х, у, г — координаты центра куба, <рь <р2, фз — углы поворота
куба относительно координатных осей. Если сх = су, то
kz = -yJcJM, k<f, == ^2схс?1],
k* MJc. + c^+^J & = 0>
MJ ' * * MJ
55.43(54.43). Однородная горизонтальная прямоугольная пла-
стина со сторонами а и b опирается своими углами на четыре
К задаче 55.42
К задаче 55.43
одинаковые пружины жесткости с; масса пластины М. Определить
частоты свободных колебаний.
Ответ: kx = -у/4с/М, k2 — k3 — *J\2clM-
55.44(54.44). Три железнодорожных груженых вагона веса <?>,
Сг и <Эз сцеплены между собой. Жесткости сцепок равны с( н с2.
Найти частоты главных колебаний си-
стемы.
Ответ: ki = 0, a k2 и кз суть корни
уравнения
L 41 4г 4з J
। 2 Г I ^*2^1 I £1^2 ~| _ р
LQ1Q2 Q2Qs "Г Q3QiJ —
К задаче 55.45
К задаче 55.44
55.45(54.45). При условиях предыдущей задачи найтн уравне-
ния движения вагонов и построить формы главных колебаний для
случая вагонов равного веса Qt = Q2 = Q3 = Q, соединенных сцеп-
ками одинаковой жесткости c'i — с2 = с. В начальный момент два
вагона находятся в положении равновесия, а крайний правый вагон
отклонен на х0 от положения равновесия.
429
Ответ: Xi=-y- — -j-cos ft2/+ cos ft3/, x2 = -у- — -у- cos k3t,
X3 = ~y + y~COS ft2/-f- y-COS ft3/[ ^2=Vv’
Формы главных колебаний изображены на рисунке.
55.46(54.46). Найти частоты и формы главных колебаний си-
стемы, состоящей из трех одинаковых масс tn, закрепленных на
балке на одинаковых расстояниях друг от друга и от опор. Балку
считать свободно положенной
на опоры; длина балки I, мо-
мент инерции поперечного се-
чения J, модуль упругости Е.
Ответ: ki = 4,93
Формы главных колебаний по-
казаны на рисунке.
55.47(54.47). Система п одинаковых масс гп, соединенных пру-
жинами жесткости с, образует механический фильтр для продоль-
ных колебаний. Считая заданным закон поступательного движения
левой массы х = Xosinco/, показать, что система является фильтром
К задаче S5.47
К задаче 55.48
низких частот, т. е. что после перехода частоты со через определен-
ную границу амплитуды вынужденных колебаний отдельных масс
изменяются в зависимости от номера массы по экспоненциальному
закону, а до перехода — по гармоническому.
Ответ: Фильтр пропускает колебания с частотой О <Z со <
<2^ с/т.
55.48(54.48). Фильтр крутильных колебаний схематизируется в
виде длинного вала с насаженными на него дисками. Считая за-
данным закон движения левого диска в форме •& = О0 sin со/, опре-
делить вынужденные колебания системы и вычислить амплитуды
колебаний отдельных дисков. Моменты инерции дисков /, жест-
кости участков вала между дисками одинаковы и равны с. Иссле-
довать полученное решение н показать, что система является филь-
тром низких частот. __
Ответ: О* — (О0 cos fik + с, sin pA) sin co/, sin (p/2) = (co/2) V//c,
где &* — угол поворота ft-го диска, Ci — постоянная, определяемая
430
из граничного условия на втором конце вала; первый диск имеет
нулевой номер, частота о» должна заключаться в пределах 0 <
< со < 2 -yfcfj.
55.49(54.49). Механическая система, образующая полосовой
фильтр для продольных колебаний, состоит из звеньев, каждое из
которых образовано массой т, соединенной с массой следующего
звена пружиной жесткости с. Параллельно с этой пружиной к
массе присоединена пружина жесткости С\, связывающая массу т
с неподвижной точкой. Закон продольных колебаний левой массы
х = х0 sin со/ задан. Показать, что при значениях со, лежащих в
К задаче Б5.49
К задаче Б5.50
определенных границах, амплитуды колебаний отдельных масс из-
меняются с расстоянием по гармоническому закону. Найти соот«
ветствующие граничные частоты.
Ответ: Полоса пропускания .
55.50(54.50). Система большого числа масс гп, насаженных на
расстоянии а друг от друга на струну АВ, натянутую с усилием Т,
и поддерживаемых пружинами жесткости с, является полосовым
механическим фильтром поперечных колебаний. Вычислить часто-
ты, отвечающие границам полосы пропускания.
Ответ: Полоса пропускания определяется неравенством
47~
та
55.51(54.51). Нить длины nl подвешена вертикально за один
конец и нагружена на равных расстояниях а друг от друга п ма-
териальными точками с массами т. Составить уравнения движе-
ния. Найти для п = 3 частоты поперечных колебаний нити.
Ответ: Уравнения движения имеют вид
хк =f[(n — k)xk_i — (2n — 2fe + l)xft + (n — ft-f- l)xfc+1],
где хк — поперечное смещение k-н частицы (отсчет номеров ведется
сверху); kt = 0,646 gll, k2= 1,515 -\/g/l, k3 = 2,505 g/l-
55.52(54.52). Определить частоты свободных поперечных коле-
баний натянутой нити с закрепленными концами, несущей иа себе
п масс т, отстоящих друг от друга на расстояниях I. Натяжение
нити Р.
Ответ: k — 2 л sin ,
V ml 2п ’
1 — 1.
431
§ 56. Устойчивость движения
56.1(55.1). Двойной маятник, образованный двумя стержнями
длины I и материальными точками с массами tn, подвешен на гори-
зонтальной оси, вращающейся с постоянной угловой скоростью ю
вокруг оси z. Исследовать устойчивость вертикального положения
равновесия маятника. Массой стержней пренебречь.
Ответ: При g/(/©2) > 1 + l/-\/2 вертикальное положение равно-
весия маятника устойчиво.
56.2(55.2). Тяжелый ша^ик находится в полости гладкой труб-
ки, изогнутой по эллипсу -jr 4- -fr == 1 и вращающейся вокруг вер-
тикальной оси Oz с постоянной угловой скоростью со (ось Oz на-
правлена вниз). Определить положения относительного равновесия
шарика и исследовать их устойчивость.
Ответ: При со2 sg gc/cfi два положения равновесия: а) х == 0,
z = с (устойчивое); б) х — 0, z = —с (неустойчивое).
При со2>£с/а2 существуют три положения равновесия: а) х=0,
z=c (неустойчивое); б) х = 0, z ——с (неустойчивое), в) г =
— gc2/(a2a2) (устойчивое).
56.3(55.3). Тяжелый шарик находится в полости гладкой труб-
ки, изогнутой по параболе х2 — 2рг и вращающейся с постоянной
угловой скоростью со вокруг оси Oz. (Положительное направление
оси Oz — вверх.) Определить положение относительного равнове-
сия шарика и исследовать его устойчивость.
Ответ: Существует единственное положение равновесия z==0;
оно устойчиво при со2 < g/p ц неустойчиво при or > g/p, при со2 =
— g/p— безразличное равновесие.
56.4(55.4). Материальная точка может двигаться по гладкой
плоской кривой, вращающейся вокруг вертикальной оси с угловой
скоростью со. Потенциальная энергия П(з) точки задана и зависит
только от ее положения, определяемого дугой s, отсчитываемой
вдоль кривой, г(з) — расстояние точки от оси вращения. Найти
условие устойчивости относительного положения равновесия точки.
<РП d г
\ ds / s_Jo
56-5(55.5). Показать, что материальная точка массы пг под
действием центральной силы притяжения F = агп (а = const, г—
расстояние точки до притягивающего центра, п — целое число) мо-
жет совершать движение по окружности с постоянной скоростью.
Найти условие, при котором это движение устойчиво по отношению
к координате г.
Ответ: При п < —3 движение неустойчивое, а при п > —3
устойчивое.
56.6(55.6). Твердое тело свободно качается вокруг горизонталь-
ной оси NT, вращающейся вокруг вертикальной оси Oz с угловой
скоростью со. Точка G — центр инерции тела; плоскость NTG яв-
-^-Ico2') >0, где s0 определяется из
aS J ' S —So
(mr4
Ответ: (
уравнения
S-Sd
432
ляется плоскостью симметрии, ось OG— главной осью инерции.
Ось KL параллельна NT, ось ED проходит через точку О и пер-
пендикулярна NT и OG. Моменты инерции тела относительно
осей OG, KL и ED равны соответственно С, А и В, h — длина от-
резка OG; М— масса тела. Определить возможные положения
относительного равновесия и исследовать их устойчивость.
Ответ: Возможным положением относительного равновесия
отвечают следующие значения угла отклонения линии OG от
оси Oz:
а) <р = 0 (устойчиво, сели В < С\ при В > С оно устойчиво,
если о2 < Mgh/(B — С), и неустойчиво при <а2 > Mg/i/(B — С).
б) ф == л (неустойчиво, если В > С; при В <_С оно устойчиво,
если to2 > Mgh/(C —В), и неустойчиво при ы2 < Mgh/(C — В);
в) ср = arccos \Mgh/{(B — С)ы2)] (существует, если <в2 X
>Mhg/|S — С|; устойчиво при В > С и неустойчиво при В < С).
56.7(55.8). Определить положения относительного равновесия
маятника, подвешенного с помощью универсального шарнира О
к вертикальной оси, вращаю-
щейся с постоянной угловой
скоростью о; маятник симме-
тричен относительно своей про-
дольной оси; Л и С—его мо-
менты инерции относительно
главных центральных осей
инерции £, т) и h — расстоя-
ние центра тяжести маятника
от шарнира. Исследовать
устойчивость положений рав-
новесия маятника в определить
период колебаний около сред-
него положения равновесия.
Ответ: Положения равнове-
сия н их устойчивость опреде-
ляются формулами, данными
в ответе к задаче 56.6 (в них нужно положить В = А + Mh2). Пе-
, что / (Л + ш2) (Л + мла - С)
риод колебаний Г == 2лю д/ -(5-- _ .
56.8(55.9). Вертикальная ось симметрии тонкого однородного
круглого диска радиуса г и веса Q может свободно вращаться
вокруг точки А. В точке В она удерживается двумя пружинами.
Оси пружин горизонтальны и взаимно перпендикулярны, их жест-
кости соответственно равны Ci и Сг, причем с2 > Cj. Пружины кре-
пятся к оси диска на расстоянии L от нижней опоры; расстояние
диска от нижней опоры I. Определить угловую скорость ш, кото-
рую нужно сообщить диску для обеспечения устойчивости вра-
щения.
Ответ: При QI < ctL2 система устойчива при любой угловой
скорости; при QI < c2L2 система устойчива, если то > to*, где
К задаче 56.6 К задаче 56.7
К задаче 56.8
= Vg/(у 4,г1-{д/1 ~ ^ + д/1 При clL2<Q[<c2L2
система неустойчива при любой угловой скорости.
56.9(55.10). Материальная точка М движется под действием
силы тяжести по внутренней поверхности кругового цилиндра ра-
диуса а, ось которого наклонена под уг-
лом а к вертикали. Исследовать устой-
чивость движения по нижней (ср = 0) и
верхней (<р = л) образующим. Опреде-
лить период колебаний при движении по
нижней образующей.
Ответ: Движение по верхней обра-
зующей неустойчиво; период колебаний
при возмущении движения вдоль нижней
образующей Т = 2л -\JaKg sin а).
56.10(55.11). Материальная точка вы-
нуждена двигаться по внутренней глад-
кой поверхности тора, заданного пара-
метрическими уравнениями х = р cos -ф,
у — р sin ф, z = b sin b, р = аb cos b
(ось z направлена вертикально вверх).
Найти возможные движения точки, ха-
рактеризующиеся постоянством угла О, и
исследовать их устойчивость.
Ответ: Значения О = = const нахо-
дятся из уравнения
(1 + a cos <h) = —р etg bi,
где а = Ь/а, р = g/(аы2), ip — и = const. Это уравнение допускает
два существенно различных решения:
—л/2 < th < 0, л/2 < О2 < л.
Движение, соответствующее первому решению, устойчиво, второ-
му — неустойчиво.
К задаче 56.9
56.11(55.12). Исследовать устойчивость движения обруча, равно-
мерно катящегося с угловой скоростью со по горизонтальной пло-
скости. Плоскость обруча вертикальна; радиус обруча а.
Ответ: Движение устойчиво, если со2 > g/(Да).
434
56.12(55.13). Колесо с четырьмя симметрично расположенными
спицами катится по шероховатой плоскости. Плоскость колеса
вертикальна. Ободья колеса и спицы сделаны из тонкой тяжелой
проволоки. Радиус колеса а, скорость центра его в исходном дви-
жении v. Исследовать устойчивость движения.
Ответ: Движение устойчиво при v2 > ag.
56.13(55.14). Исследовать устойчивость движения однородного
обруча радиуса а, вращающегося вокруг вертикального диаметра
с угловой скоростью со. Нижняя точка обруча соприкасается с го-
ризонтальной плоскостью.
Ответ: Движение устойчиво при ы2 > (2/3) (g/a).
56.14(55.15). На материальную точку массы т, отклоненную от
положения равновесия, действуют
циональная отклонению ОМ =
*= г = Vх2 + у2 из этого поло-
жения и направленная к нему;
сила ГФ, перпендикулярная
первой (боковая сила), по ве-
личине тоже пропорциональная
отклонению г: |Ег|=Сцг,
||Гф|=С12г. Исследовать мето-
дом малых колебаний устойчи-
вость равновесного положения
точки.
Указание. В таких условиях
будет находиться точечная масса, за-
крепленная на свободном конце сжа-
того и скрученного стержня (с оди-
наковыми главными жесткостями на
изгиб), нижний конец которого заде-
лан. Прямолинейной форме стержня соответствует состояние равновесия. Ко-
эффициенты Сц, Сц зависят от сжимающей силы, скручивающего момента,дли-
ны стержня и от жесткостей на изгиб и кручение.
Ответ: Равновесие неустойчивое.
56.15(55.16). При исследовании устойчивости движения точки
в предыдущей задаче принять во внимание силы сопротивления,
пропорциональные первой степени скорости R* =* —₽х, Rv — —
(₽ — коэффициент сопротивления).
Ответ: Равновесие устойчиво при 02с(1 > пгс2т
56.16(55.17). Если у стержня, описанного в задаче 56.14, жест-
кости на изгиб не равны, то реакции конца стержня, действующие
на массу т, определяются выражениями
Fx = — ci ix + cl2y, Fu = C21X — c22y.
Выяснить методом малых колебаний условия устойчивости рав-
новесия.
Ответ: При (сц — с22),2 J- 4ci2C2i О равновесие устойчиво.
435
66.17(55.18). Уравнение движения муфты центробежного регу-
лятора двигателя имеет вид
тх + рх + сх = Л (и — <оо),
где х — перемещение муфты регулятора, т — инерционный коэф-
фициент системы, Р — коэффициент сопротивления, с — жесткость
пружин регулятора, со — мгновенная и ы0— средняя угловые ско-
рости машины, А — постоянная. Уравнение движения машины
имеет вид
. di» _
(В — постоянная, J — приведенный момент инерции вращающихся
частей двигателя).
Установить условия устойчивости системы, состоящей из дви-
гателя и регулятора.
Ответ-. Система устойчива при АВ < Jcfi/m (с, р, J, А, В счи-
таются положительными).
56.18(55.19). Симметричный волчок, острие которого помещено
в неподвижном гнезде, вращается вокруг своей вертикально рас-
положенной оси. На него поставлен второй симметричный волчок,
который также вращается вокруг вертикальной оси. Острие оси
второго волчка опирается иа гнездо в оси первого волчка. М и
М' — массы верхнего и нижнего волчков, С и С — их моменты
инерции относительно осей симметрии; А и А' — моменты инерции
относительно горизонтальных осей, проходящих через острия; с и
с’ — расстояния центров масс волчков от соответствующих остриев;
h — расстояние между остриями. Угловые скорости волчков О и
Вывести условия устойчивости системы.
Ответ: Система устойчива, если все корни уравнения четвертой
степени
[А А' + Mh2 (Л - Мс2)] Л4 + [А'С'О.' + CQ (А' + Mh2)] Л3 +
+ [Л (М'с' +Mh)g + (А' + МЛ2) Mcg + CC'QQ'] V +
+ [СП (М'с' + Mh)g + C'Q'Mcg] к+МС (М'с' + Mh) g2 = О
различны и вещественны.
56.19(55.20). Деталь 1 перемещается поступательно с постоян-
ной скоростью »0 и через пружину передает движение ползуну 2.
Сила трения между ползуном и направляющими 3 зависит от ско-
рости ползуна v следующим образом:
Н — Но sign v — av -J- 0и3,
где Но, а, р — положительные коэффициенты. Определить, при ка-
ких значениях v0 равномерное движение ползуна является устой-
чивым.
Ответ: v2 > а/(3р).
436
56.20(55.21). Агрегат, состоящий из двигателя 1 и машины 2,
соединенных упругой муфтой 3 с жесткостью с, рассматривается
как двухмассовая система. К ротору двигателя, имеющему момент
инерции /1, приложен момент Alj, зависящий от угловой скорости
ротора ф:
Mi = Мо— р.1 (ф — со0).
К валу машины, имеющему момент инерции 12, приложен момент
сил сопротивления, зависящий от угловой скорости вала ф:
М2 = Мо — РгСФ — ь>о) .
Коэффициенты pi и ц2 положительны. Определить условия, при
которых вращение системы с угловой скоростью <й0 является устой-
чивым.
Ответ: pi > ц2,
> Ра с > (PiA — 1)
Л Pi Р2^1
§ 57. Нелинейные колебания
57.1(56.1). При испытаниях рессор была получена «треуголь-
ная» характеристика изменения упругой силы. При отклонении
рессоры от положения статического равновесия имеет место верх-
няя ветвь (Ci) характеристики,
при возвращении — нижняя ветвь
(с2) характеристики. В началь-
ный момент рессора отклонена
от положения статического рав-
новесия на Хо и не имеет началь-
ной скорости. Масса надрессор-
ного тела пг, массой рессоры пре-
небречь; коэффициенты жестко-
К задаче S7.I
сти рессоры Ci и с2. Написать
уравнения свободных колебаний рессоры для первой половины
полного периода колебаний и найти полный период колебаний Т.
Ответ: При возвращении рессоры в положение статического
равновесия x = xocosfe2l, при отклонении от положения статиче-
ского равновесия
х==~х°^ sin (Al/ ~ттг)- т = п (у + л~)’
ki =» V cjm, k2 — V cjm.
437
57.2(56.2). Определить закон убывания амплитуд свободных
колебаний рессоры, рассмотренной в предыдущей задаче. При
записи свободных колебаний был получен следующий ряд после-
довательно убывающих амплитуд: 13,0 мм, 7,05 мм, 3,80 мм,
2,05 мм и т. д. Определить согласно данным виброграммы отно-
шение коэффициентов жесткости Ci/c2, соответ-
ствующих верхней и нижней ветвям «треугольной»
характеристики.
Ответ-. Последовательные значения амплитуд
через каждые полпериода колебаний убывают по
закону геометрической прогрессии со знаменателем
kijkx, Cxlc^ — Z^.
57.3(56.3). Масса m колеблется на пружине, ко-
эффициент жесткости которой с. На одинаковых
расстояниях Д от положения равновесия установле-
ны жесткие упоры. Считая, что удары об упоры
происходят с коэффициентом восстановления, рав-
ным единице, определить закон движения системы
при периодических колебаниях с частотой со. Найти возможные
значения со.
Ответ’, х — —~—~г sin k (t — при 0 — (k2 = —, со k.
. nk к 2<о/ г о ш}
sin -—
2<о
57.4(56.4). Решить предыдущую задачу в предположении, что
имеется только нижний упор.
Ответ: х =------^—r~cos(——приО^С/^—, k^.e>^.2k.
nk k <0 / г <0
cos---
<0
57.5(56.5). Определить зависимость амплитуды первой гармо-
ники свободных колебаний от их частоты в системе, уравнение
движения которой имеет вид
тх -}- Fо sign х 4- сх = 0.
г. 4Г0
Ответ' = п(т^-сУ
57.6(56.6). Движение системы описывается уравнением
х 4- (х2 4- k2x2 — а2)х 4- k2x = 0.
Определить амплитуду автоколебательного процесса, возникаю-
щего в системе; исследовать его устойчивость.
Ответ: а = a/fe; автоколебания устойчивы в большом.
57.7(56.7). Выявить условия, при которых в системе, рассмот-
ренной в задаче 56.19, могут возникнуть автоколебания, близкие к
гармоническим колебаниям частоты k — ^clm, где с — коэффи-
циент жесткости пружины, m— масса ползуна. Определить при-
ближенно амплитуду этих автоколебаний.
Ответ: 0»8 эд- < Од < эд-, а2 =» р- v2).
438
57.8(56.8). Предполагая, что в системе, рассмотренной в за-
даче 56.19, сила трения Н постоянна и равна Нг при v 0 и равна
/71 ПрИ 1> = 0 («трение покоя»), определить период автоколебаний.
Принять, что масса ползуна т, а коэффициент жесткости пру-
жины с.
Ответ: Г =» /1 + - ? (1 — cos kt^, где Ь =
= ti — наименьший корень уравнения a sin kt\ = cos kt\ — 1*
57.9(56.9). Масса m связана с неподвижным основанием пру-
жиной с жесткостью с и демпфером сухого трения, величина силы
сопротивления в котором не зависит от скорости и равна Н. На
одинаковых расстояниях А от положения равновесия установлены
жесткие упоры. Считая, что удары об упоры происходят с коэффи-
циентом восстановления, равным единице, определить значение
Н, при котором вынуждающая сила Feos at не может вызвать суб-
гармонических резонансных колебаний, имеющих частоту о/з
($— целое число).
Указание Определить условия существования периодического режима,
близкого к свободным колебаниям системы с частотой ю/s.
Ответ: Для четного s Н > 0; для нечетного s
и ~ г, ofe . rnsk (<о _ , \
н > F j^-^j ct« IT > k) •
57.10(56.10). Центр однородного кругового цилиндра, катяще-
гося без скольжения по горизонтальной плоскости, соединен пру-
жиной с неподвижной точкой О, находящейся на одной вертикали
с центром диска, когда диск находится в положении равновесия.
Масса цилиндра равна т, коэффициент жесткости пружины с.
В положении равновесия пружина не деформирована, длина ее
равна I.
Определить зависимость периода малых колебаний цилиндра
около положения равновесия от амплитуды а, сохранив в уравне-
нии движения члены, содержащие третью степень перемещения.
где
К—полный эллиптический интеграл первого рода.
57.11(56.11). Методом малого параметра определить амплитуду
а и период автоколебаний, возникающих в системе, движение ко-
торой определяется уравнением
X + k2x = ц {(ос2 — X2) х — ух3}.
Ответ: а = 2а, 7’ = -^-(1
57.12(56.12). Уравнения движения маятника в среде с сопро-
тивлением и постоянным моментом, действующим только в одном
439
направлении, имеют вид
Ф + 2Лф 4- /г2<р — Ма при <р > О,
Ф + 2Аф + й2ф = О при ф < О,
где h, k и Мо — постоянные величины.
Считая, что 2h/k 1, M0/k2 1, применить метод медленно
меняющихся коэффициентов для нахождения установившегося дви-
жения маятника.
Ответ. Устойчивые автоколебания. Радиус р предельного цикла
, • \ 1 гГ< Л
на плоскости (Ф, ф) равен -^у-р-, где
57.13(66.13). Применяя в предыдущей задаче метод точечных
преобразований, найти неподвижную точку преобразования.
~ Л40 1 . „
Ответ, фо 2 -дг ’ Фоt== О-
ГЛАВА XIV
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Решение приведенных в этой главе вероятностных задач статики н кинема-
тики основывается на использовании соотношений, связывающих вероятности
выполнения неравенств с параметрами, которые входят в эти неравенства. Если
и — случайная величина, для которой известны математическое ожидание (сред-
нее значение) ши и среднее квадратическое отклонение оц, то вероятность а
нахождения величины и в интервале (—оо, а), т. е вероятность выполнения не-
равенства и <_ а, определяется следующим образом:
а = р {и < а} = F (%), 1 =
где F(£)—нормированная функция распределения. Для гауссовского распреде-
ления значения F(£) приведены в табл. 1.
Таблица 1
£ —4,0 —3,6 -3,0 -2,5 —2,0 — 1.5 — 1,0 —0,5 0,0
Г(|) 3 - ю—S 2- IO"4 0,001 0,006 0,023 0,067 0,159 0,309 0,500
t 0,5 1.0 1.5 2,0 2,5 3,0 3,5 4.0
F (5) 0,691 0,841 0,933 0,977 0,994 0,999 0,9998 0,99997
Вероятность того, что выполняется неравенство и > а, определяется сле-
дующим образом:
P = p(u>a]=l-F(£).
Прн гауссовском распределении для определения значений аргумента £,
соответствующих заданным значениям вероятности а, удобно использовать
табл.
440
Таблица 2
E(g) 0,0005 0,001 0,005 0,010 0,050 0,100
5 —3,4 —3,1 -2,6 —2,3 -1,6 -1,3
Г(Е) 0,500 0,900 0,950 0,990 0,995 0,999 0,0995
Е 0,0 1,3 1,6 2,3 2,6 3,1 3,4
Вероятность нахождения величины и в интервале (а, Ь) определяется вы-
ражением
p(a<u<6) = F(E2)-F(b). g2 = --~^.
Ou Ou
Вероятность того, что величина и не попадает в интервал (а, 6), равна
р (и < а) + р (и > Ь) = 1 + F (£,) - F (g2).
Интервал (а, 6) называется симметричным, если
Р (и < а) = р (и > Ь) = —~ а- = р.
Если случайная величина и представляет собой линейную комбинацию
взаимно статистически независимых случайных величин щ с известными матема-
тическими ожиданиями mui и средними квадратическими отклонениями o«i,
Л
“= Еса-
/-1
то математическое ожидание ти и среднее квадратическое отклонение аи слу-
чайной величины и определяются следующим образом:
ши=Ге1миР °и=£Фи1-
1=1 1-1
Если зависимость и от щ нелинейная,
« = .... »п).
но отклонения величин ut от их математических ожиданий ти/ малы, то зависи-
мость следует линеаризовать. Тогда
П
m и ~ Ч> (тщ....тип),
/"1
Прн решении задач о колебаниях систем при случайных воздействиях ис-
пользуются о новные соотношения теории случайных процессов. Если на линей-
ную динамическую систему, положение которой определяется обобщенной коор-
динатой q(t), действует стационарная случайная вынуждающая сила Q(t), то
установившийся режим вынужденных колебаний характеризуется спектральной
441
плотностью 5,(со) обобщенной координаты q(t), которая определяется следую-
щим образом:
S, (<>) = И (®)]2 sQ(®).
Здесь SQ (со) спектральная плотность вынуждающей силы Q(/)’, Л(<о)—ампли-
тудно-частотная (резонансная) характеристика системы Квадрат установивше-
гося среднего квадратического отклонения обобщенной координаты определяется
как интеграл
+°о
— со
Если спектральная плотность 50(со) представляет собой
функцию
Ь2а>2 + Ь?
М<»)° 2 4\ 2 21 2»
то
02 = ^0С2 + &1С0
2CgC£^/cj "Ь 2Гд£2
дробно-рацнональную
(1)
(2)
При гауссовском распределении вынуждающей силы среднее число выбросов
процесса ?(/) за уровень b на интервале времени (О, Т) определяется следую-
щим выражением:
т.
--------ехр
2л aq
М J’
где mv — математическое ожидание (среднее значение) процесса <?(/), а а„ —
среднее квадратическое отклонение производной процесса ?(/), определяемое ин-
тегралом
4-00
— 00
При подынтегральном выражении вида (1) величина о2 находится по форму-
ле (2).
§ 58. Вероятностные задачи статики
58.1. Каток радиуса /? = 0,5 м и массы m = 800 кг упирается
в жесткое препятствие. Высота препятствия й может быть различ-
ной; предполагается, что й можно считать слу-
/^~Z\ чайной величиной с гауссовским распределением,
( fl причем ее математическое ожидание равно mt, =»
1 = 0,1 м, а среднее квадратическое отклонение
Л равно од = 0,02 м. Определить вероятность сц
к задаче Б8.1 того, что горизонтальная сила Qi = 4900 Н до-
статочна для преодоления препятствия. Опреде-
лить, при каком значении силы Q = Qi вероятность преодоления
препятствия равна а2 = 0,999.
Ответ; cq = 0,16, Qi = 8300 Н,
442
58.2. Вертикальная подпорная стенка высоты /г = 5 м постоян-
ного сечения толщины а = 1,1 м нагружена гидростатическим дав-
лением воды, уровень которой может быть различным. Плотность
материала стены составляет 2,2 т/м3. Считая высоту Н уровня
воды от основания стенки случайной величиной с гауссовским за-
коном распределения, с математическим ожиданием тн = 3,0 м и
средним квадратическим отклонением он == 0,5 м, определить ве-
роятность опрокидывания стенки. Определить также минимально
допустимую толщину стенки, исходя из требования, что вероят-
ность ее опрокидывания не должна превышать 310-5.
Ответ: 0,001; 1,5 м.
К задаче 58 2
58.3. Определить необходимую силу Q затяжки болта, соеди-
няющего две детали, находящиеся под действием растягивающей
силы Р, исходя из того, что вероятность проскальзывания должна
быть 5-10-'*. Сила Р и коэффициент трения f между деталями мо-
гут принимать различные значения; предполагается, что их можно
считать независимыми случайными величинами с гауссовским за-
коном распределения, причем их математические ожидания соот-
ветственно равны тр = 2000 Н, /л, = 0,1, а средние квадратиче-
ские отклонения ор — 200 Н, с/ = 0,02.
Ответ: Q = 63 000 Н.
58.4. Груз массы m = 200 кг находится на шероховатой на-
клонной плоскости. Наклон плоскости и коэффициент трения сколь-
жения могут быть различными. Угол у наклона плоскости относи-
тельно горизонта и коэффициент трения f считаются независимыми
случайными величинами с гауссовским распределением, их мате-
матические ожидания соответственно равны ту = 0 и гщ — 0,2, а
средние квадратические отклонения равны <т¥ = 3° и о/ = 0,04.
Определить значение горизонтальной силы Q, достаточной для
того, чтобы с вероятностью 0,999 сдвинуть груз по плоскости.
Указание. Считать сов у « 1.
Ответ: Q = 780 Н.
58.5. В однородном круглом диске радиуса Р = 1 м на расстоя-
нии I от центра вырезано круглое отверстие радиуса г. Величины
I и г могут принимать различные значения, они считаются случай-
ными, независимыми, подчиняющимися гауссовскому распределе-
нию. Их математические ожидания соответственно равны mt —
= 0,1 ми Шг = 0,05 м, а средние квадратические отклонения равны
443
Oi =0,01 и и or ==0,005 м. Определить такое значение смещения
центра масс относительно центра диска, вероятность превышения
которого составляет 0,001. В выражении для смещения центра масс
пренебречь слагаемыми с произведениями отклонений величин I
и г от их математических ожиданий.
Ответ: 4,2-10-4 м.
58.6. На уравновешенном роторе, масса которого равна 1000 кг,
симметрично относительно оси вращения закреплены две однотип-
ные детали Л] и А2. Случайные отклонения AAfj и ДЛ12 их масс
Mi и М2 от номинального значения
(математического ожидания) и слу-
чайные смещения Дхь Дуь Дх2 и Дуг их
центров масс относительно точек, ле-
жащих на одном диаметре на расстоя-
нии I — 1 м от оси ротора, приводят
к тому, что центр масс С ротора вме-
сте с деталями оказывается смещен-
ным относительно оси. Поэтому коор-
динаты хс и ус центра масс являются
случайными. Предполагается, что слу-
чайные величины Mi, М2, Д^ь Дг/Ь Дх2,
Д1/2 независимы и распределены по
гауссовскому закону, их математиче-
ские ожидания соответственно равны = 100 кг, шЛХ1 =
с=тлу,~тлх:1~,п&1/1~^’ а средние квадратические отклонения
равны <тДД11 => <тд№ = 0,5 кг, оДл = од?1 = c&Xi = = 3 мм. Опре-
делить границы симметричных интервалов для координат хс и ус
центра масс ротора вместе с деталями, вероятность нахождения в
которых равна а = 0,99.
Ответ: (—0,91; 4-0,91) мм.
58.7. Однородная прямоугольная платформа массы 1000 кг под-
вешена к опоре на четырех тросах одинаковой длины, сходящихся
в одной точке. Расстояние платформы до точки подвеса равно
h = 2 м. На платформу установлены четыре груза малых разме-
ров. Массы и расположение грузов случайны. Предполагается, что
массы грузов и их прямоугольные координаты Xi и у,, отсчитывае-
мые от центра платформы, взаимно независимы и имеют гауссов-
ское распределение. Математические ожидания масс всех четырех
грузов одинаковы и равны тм *= 100 кг, среднеквадратические от-
клонения также одинаковы и равны ом = 20 кг. Координаты гру-
зов имеют нулевые математические ожидания, средние квадрати-
ческие отклонения координат равны ах = 0,5 м и = 0,7 м. Опре-
делить границы таких симметричных интервалов для углов на-
клона и Oj, платформы, находящейся в равновесии при установ-
ленных грузах, вероятности нахождения в которых равны 0,99<
Углы считать малыми.
Ответ: (—11°, 4-11°), (-15°, 4-15°),
444
§ 59. Вероятностные задачи кинематики и динамики
59.1. Самолет летит из начального в конечный пункт, расстоя-
ние между которыми равно 1500 км. Скорость полета v постоянна
во времени для каждого полета, но для разных полетов принимает
различные значения. Предполагается, что скорость представляет
собой случайную величину с гауссовским распределением, с мате-
матическим ожиданием tnv = 250 м/с и средним квадратическим
отклонением = 10 м/с. Определить симметричный интервал для
времени полета, соответствующий вероятности 0,999.
Ответ: (5180, 6820) с.
59.2. Самолет летит по прямой линии от начального пункта.
Угол if отклонения этой прямой от заданной прямолинейной траек-
тории в разных полетах может принимать различные значения.
Предполагается, что угол гр является случайной величиной с гаус-
совским распределением, его математическое ожидание равно
нулю, а среднее квадратическое отклонение равно = 2°. Опре-
делить значения вероятности того, что на расстояниях L — 50; 100;
200 км боковое отклонение от заданной траектории не превысит
5 км.
Ответ: 0,997; 0,86; 0,52.
59.3. Поезд двигался с начальной скоростью 15 м/с. При тормо-
жении ускорение замедленного движения постоянно во времени, но
может принимать различные значения. Предполагается, что уско-
рение w является случайной величиной с гауссовским распределе-
нием, с математическим ожиданием mw = —0,2 м/с2 и средним
квадратическим отклонением cw~ 0,03 м/с2. Определить матема-
тическое ожидание и среднее квадратическое отклонение тормоз-
ного расстояния до остановки, а также верхнюю границу тормоз-
ного расстояния, вероятность превышения которой составляет 0,05.
Ответ: 540 м, 81 м, 670 м.
59.4. При расчетной оценке точности стрельбы в мишеиь при-
нимается, что скорость полета пули постоянна, учитывается слу-
чайное отклонение оси ствола и случайное отличие скорости пули
от номинального значения. Считается, что пуля попадает точно в
центр мишени, если при точном задании направления оси ствола
скорость вылета равна номинальному значению 600 м/с. Углы
отклонения <р и гр оси ствола от заданного направления и отличие
До скорости вылета от номинального значения считаются незави-
симыми случайными величинами с гауссовским распределением,
с нулевыми математическими ожиданиями и со средними квадра-
тическими отклонениями соответственно о-Р = = 0,5-10-3 рад
и ав = 75 м/с. Расстояние до мишени равно / = 50 м. Определить
симметричные интервалы для горизонтального и вертикального
смещений точек попадания в мишень относительно ее центра, соот-
ветствующие вероятности 0,99.
Ответ: (—65, +65) мм, (—69, +69) мм.
59.5. Снаряд выпущен из орудия с поверхности Земли. Угол
бросания и начальная скорость v0 могут отличаться от расчетных
445
значений; они считаются независимыми случайными величинами
с гауссовским распределением, с математическими ожиданиями,
равными расчетным значениям — 10° и mv<s = 1000 м/с, со
средними квадратическими отклонениями оф=0,Г и = 10 м/с.
Пренебрегая силой сопротивления воздуха, определить интервал
дальностей возможных точек падения снаряда на Землю, соответ-
ствующий вероятности 0,90. В выражении приращения дальности
сохранить слагаемые только первого порядка относительно откло-
нений угла и скорости от расчетных значений.
Ответ-. (31,0; 37,4) км.
59.6. Вагон, центр масс которого находится на высоте 2,5 м от
уровня полотна железной дороги с шириной колеи 1,5 м, движется
по криволинейному участку с радиусом кривизны р == 800 м.
Подъем наружного рельса над уровнем внутреннего выбран так,
чтобы при скорости вагона, равной о = 20 м/с, давление колес
на оба рельса было одинаковым. В действительности скорость ва-
гона может быть различной. Принимается, что скорость является
случайной величиной с гауссовским распределением, с математиче-
ским ожиданием mv = 15 м/с и средним квадратическим отклоне-
нием Со = 4 м/с. Определить отношение сил давления колес на
внешний и внутренний рельсы при скорости, соответствующей верх-
ней границе интервала, определенного для вероятности а = 0,99.
Ответ: 1,17.
59.7. Автомашина движется по дороге без уклона со скоростью
15 м/с. При торможении сила трения постоянна во времени, но
может принимать различные значения. Принимается, что удельная
сила трения при торможении является случайной величиной с гаус-
совским распределением, ее математическое ожидание равно
3000 Н на 1 т массы, а среднее квадратическое отклонение состав-
ляет 700 Н на 1 т массы. Определить значения вероятности того,
что тормозной путь до остановки превысит 40 м; 80 м.
Ответ: 0,45; 0,02.
59.8. Ротор массы М, представляющий собой однородный ци-
линдр радиуса R и длины /, насажен на вал с перекосом и смеще-
нием, так что его ось симметрии отклонена от оси вала на малый
случайный угол -у, а его центр, расположенный посередине между
подшипниками, смещен относительно оси вала на случайную вели-
чину h. Расстояние между подшипниками равно 2L. Предпола-
гается, что у и h представляют собой независимые случайные ве-
личины, угол у имеет нулевое математическое ожидание, расстоя-
ние h — математическое ожидание ши и средние квадратические
отклонения соответственно равны aY и ол. Угловая скорость о
вращения ротора вокруг вертикальной оси считается случайной
величиной с математическим ожиданием тш и средним квадрати-
ческим отклонением ош. Определить средние квадратические откло-
нения и <rRi реакций подшипников Ri и ₽2-
Ответ; о*, = « у { т2 [<т2 + у (/?2~/)2 а*] + 4т2а2 } -
446
69.9. На груз массы 1 кг, подвешенный на нити длины 1 м, в
начальный момент времени находившийся в состоянии покоя на
одной вертикали с точкой подвеса, кратковременно действует гори-
зонтальная сила, постоянная во времени в течение интервала дей-
ствия. Сила F и интервал времени ее действия т являются неза-
висимыми случайными величинами с гауссовским распределением,
с математическими ожиданиями, равными соответственно тр =
= 300 Н и шт = 0,01 с и средними квадратическими отклонениями,
равными of = 5 Н и сгт = 0,002 с. Определить значения вероят-
ности того, что амплитуда свободных колебаний груза на нити
после окончания удара превысит 60° и 90°.
Ответ- 0,46; 0,04.
59.10. Груз падает с высоты Н на упругую пружину, массой
которой по сравнению с массой груза можно пренебречь. Статиче-
ский прогиб пружины под грузом равен 2 мм. Высота Н считается
случайной величиной с гауссовским распределением, с математи-
ческим ожиданием, равным I м, и средним квадратическим откло-
нением, равным 0,3 м. Определить верхнюю границу интерв§ла
возможных изменений максимального значения ускорения при
ударе для вероятности нахождения в этом интервале, равной 0,95.
Ответ: 380 м/с2.
59.11. Длина I математического маятника известна неточно.
Предполагается, что I представляет собой случайную величину
с гауссовским распределением, с известным математическим ожи-
данием mi = 0,25 м и с неизвестным средним квадратическим от-
клонением ai. Определить допустимое значение щ, при котором
значения периода свободных малых колебаний различаются не
более, чем на 0,1 % с вероятностью 0,99.
Ответ: 0,19 мм.
59.12. Физический маятник представляет собой тело массы т,
вращающееся вокруг горизонтальной оси; его момент инерции J и
смещение I центра масс относительно оси считаются заданными.
Силы сопротивления, пропорциональные скорости, таковы, что при
свободных колебаниях маятника отношение предыдущего размаха
к последующему равно q. Точка подвеса маятника совершает гори-
зонтальные случайные колебания. Ускорение w точки подвеса
можно считать белым шумом постоянной интенсивности В2. Опре-
делить установившееся среднее квадратическое значение угла от-
клонения маятника при вынужденных колебаниях, а также среднее
число выбросов п угла за уровень, в 2 раза превышающий среднее
квадратическое значение в течение времени Т.
Ответ:
<f 4q v Jq3 2я V J
59.13. Точка подвеса физического маятника, частота свободных
колебаний которого равна k =15 рад/с, а отношение последую-
щего размаха к предыдущему при свободных колебаниях равно
m = 1,2, совершает горизонтальные случайные колебания. Ско-
рость точки подвеса при колебаниях можно считать белым шумом
447
интенсивности D2 = 1000 м2/с. Определить среднее квадратическое
значение угла отклонения маятника.
Ответ: 23°.
59.14. Прибор установлен на упругих линейных амортизаторах
на подвижном основании, совершающем вертикальные случайные
колебания. Силы сопротивления при колебаниях прибора относи-
тельно основания таковы, что в режиме свободных колебаний отно-
шение предыдущего размаха к последующему равно пг = 1,5. Вер-
тикальное ускорение при колебаниях основания можно считать
белым шумом интенсивности В2 — 100. Определить, каковы долж-
ны быть частота свободных колебаний прибора на амортизаторах
и статическое смещение под действием силы тяжести, чтобы сред-
нее квадратическое значение абсолютного ускорения w при вынуж-
денных колебаниях прибора было равно Ош = 50 м/с2.
Ответ: соо = 30 рад/с, Л = 1 см.
59.15. Линейный акселерометр, основным элементом которого
является инерционная масса, связанная линейной пружиной с кор-
пусом и находящаяся в вязкой жидкости, имеет амплитудно-
частотную характеристику с резонансным пиком, причем частота,
соответствующая пику, равна соо = 100 рад/с, а относительная
высота резонансного пика (по отношению к значению амплитудно-
частотной характеристики при со = 0) равна 1,4. При тарировке
акселерометра получено, что если установить его измерительную
ось вертикально, 'а затем повернуть акселерометр на 180°, его
выходной сигнал, пропорциональный смещению инерционной мас-
сы, изменится па 5 В. Акселерометр установлен на подвижном
основании, совершающем случайные колебания по одной оси, по
этой же оси направлена измерительная ось акселерометра. Пред-
полагается, что случайное ускорение колебаний основания можно
считать белым шумом. Определить интенсивность этого белого
шума, если осредненное значение квадрата переменной составляю-
щей выходного сигнала акселерометра составляет 100 В2,
Ответ: В2 — 53 м2/с3.
59.16. На одном и том же основании, совершающем горизон-
тальные случайные колебания по одной оси. горизонтально уста-
новлены три линейных акселерометра, имеющих одинаковые ста-
тические характеристики, но различные динамические свойства.
Первый из них имеет собственную частоту «о и относительную
высоту резонансного пика, равную 1,2, второй — ту же собствен-
ную частоту, но относительную высоту резонансного пика, равнчю
1,6, третий — собственную частоту 2о>о, а относительную высоту
резонансного пика, как у первого акселерометра. Предполагая, что
случайное ускорение при колебаниях основания можно считать
белым шумом, определить, насколько различаются средние ква-
дратические значения Oi, <Т2 и Оз выходных сигналов этих акселеро-
метров.
Ответ: а2: а2'. о2— 1 : 1,33: 8,
ЛАНЬ
2009
ISBN 978-5-9511-0019-
9*78595
00 91
Издательство «Лань»
победитель конкурса по качеству
«Сделано в Санкт-Петербурге»