/
Text
i >> t i C\ 4. ЕЗтянов
II •
свлзБиздято
1948
С. И. ЕВТЯНОВ
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В
ПРИЁМНО -УСИЛИТЕЛЬНЫХ
СХЕМАХ
Scanned & DJVUed
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ЛИТЕРАТУРЫ
ПО ВОПРОСАМ СВЯЗИ И РАДИО
МОСКВА
1948
ПРЕДИСЛОВИЕ
Переходные процессы играют в радиотехнике весьма важ-
ную роль. При таких видах радиосвязи, как телеграфия и те-
левидение, правильный расчёт аппаратуры не возможен без
рассмотрения переходных процессов. Правда, среди радио-
специалистов большое распространение при решении вопроса
о необходимой полосе пропускания приобрёл так называемый
спектральный подход. Однако, рассмотрение спектров никог-
да не может дать столь полных результатов, как непосредст-
венное рассмотрение переходных процессов. В лучшем случае
из спектров можно правильно выбрать нужную полосу про-
пускания. При этом вопрос об искажениях формы передавае-
мого сигнала остаётся открытым.
Интерес к изучению переходных процессов в радиотехни-
ке особенно возрос в связи с развитием импульсных методов,
которые применяются в радиолокации и в многоканальных
ретрансляционных радиолиниях с временной модуляцией.
Большое значение имеет изучение переходных процессов в
радиоприёмниках в связи с проблемой борьбы с импульсными
помехами.
Переходные процессы в электрических цепях были пред-
метом изучения ещё в конце прошлого столетия и в настоя-
щее время имеется математический аппарат операционного
исчисления, детально разработанный многими авторами.
Однако, непосредственное применение методов операционно-
го исчисления для решения конкретных задач о переходных
процессах в радиотехнических схемах обычно не позволяет
сразу получить искомые решения из-за сложности исходных
уравнений. Для нахождения решения в процессе вычислений
приходится делать ряд пренебрежений и получающийся ре-
зультат является приближённым.
Радиоаппаратура характеризуется избирательностью, т. е.
имеет полосу прозрачности малую, сравнительно с несущей
частотой. Эта особенность радиоаппаратуры позволяет создать
специальный аппарат для решения задач о переходных про-
цессах. Для избирательных устройств практический интерес
представляет непосредственное вычисление огибающей высо-
кочастотного напряжения на выходе. При решении таких за-
дач особенно подходящим оказывается метод медленно ме-
няющихся амплитуд, применённый впервые ван-дер Полем
для исследования процессов установления в нелинейных
3
автоколебательных системах. Этот метод был в дальнейшем
теоретически обоснован и углублён советскими физиками
школы Мандельштама и Папалекси.
В настоящей книге описывается специальный аппарат,
разработанный та основе методов ван-дер-Поля и операцион-
ного исчисления и позволяющий вычислять непосредственно
медленно изменяющиеся огибающие на выходе линейных из-
бирательных четырёхполюсников.
Благодаря упрощениям из исходных уравнений получаются
так называемые укороченные символические уравнения отно-
сительно медленно меняющихся огибающих. Для решения та-
ких уравнений применяется аппарат операционного исчисле-
ния. Указанные уравнения получаются простыми и поэтому ре-
шаются быстро.
Материал в книге расположен в следующем порядке.
Сначала излагаются краткие сведения из операционного ис-
числения. Затем подробно рассматривается методика состав-
ления укороченных символических уравнений и выводится
теорема Дюамеля для огибающих.
В следующей главе на примере переходных процессов в
идеализированных избирательных четырёхполюсниках уста-
навливаются принципиальные стороны переходных процессов
в таких системах.
Все последующие главы посвящены приложению общей
теории к рассмотрению переходных процессов в четырёх раз-
личных схемах усилителей высокой частоты при включении
постоянного и переменного напряжений, при выключении их
и т. л. На протяжении всей книги дано сопоставление кри-
вых, характеризующих переходные процессы, с частотными и
фазовыми характеристиками. В общем виде рассмотрены пе-
реходные процессы при скачках фазы и частоты.
В заключение для сопоставления переходных процессов в
усилителях высокой и низкой частоты кратко рассмотрены
переходные процессы в резистивном усилителе низкой
частоты.
Вычисления, относящиеся к практическим схемам, иллю-
стрированы большим количеством графиков.
Автор надеется, чго книга явится пособием для работни-
ков научно-исследовательских институтов, а также для сту-
дентов и дипломантов.
В заключение автор считает своим долгом выразить бла-
годарность члену-корреспонденту Академии наук СССР
А. Н. Щукину за предложение написать эту работу п за важные
указания при рецензировании, а также проф. И. Г. Кляцкину,
проф. Л. А. Жекулину и проф. В. А. Котельникову за просмотр
работы и ценные замечания.
Москва, сентябрь 1946 г.
4
С. Евтянов
ГЛАВА 1
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ОПЕРАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
1.1. Символический коэффициент передачи
Задача исследования переходных процессов в каком-либо
линейном четырёхполюснике состоит в том, что требуется
вычислить напряжение на выходе четырёхполюсника w(t),
возникающее при включении на вход его в момент времени
t~0 некоторого напряжения e(t). Кроме того, должно
быть задано электрическое состояние четырёхполюсника в
момент включения, определяемое так называемыми началь-
ными условиям!!. Чаще всего встречаются задачи, в которых в
момент включения четырёхполюсник является «пустым», т. е.
в полях катушек и конденсаторов запаса энергии нет.
В качестве величины, характеризующей свойства четырёх-
полюсника, обычно задаётся символический коэффициент пе-
редачи напряжения A(i«). Выражение для коэффициента
передачи составляется по известным правилам, излагаемым в
курсах переменного тока, и обычно используется для расчётов,
относящихся к стационарному режиму. Для стационарного
режима значение £(i«) сводится к тому, что если напряже-
ние на входе задано в показательной форме
e(t) = Ee'v>t,
то напряжение на выходе будет
«(О = ВДДе1’ +
Здесь k («) и ф (w) означают соответственно модуль
и фазу коэффициента передачи
k (i w) = k (<o) e'W l.
Таким образом, коэффициент передачи даёт возможность
определить амплитуду и фазу на выходе через амплитуду и
фазу входного напряжения, или иначе — коэффициент пере-
о
дачи связывает комплексные амплитуды напряжения на вхо-
де и выходе.
Однако, значение коэффициента передачи состоит не
только в этом. Через него можно также получить дифферен-
циальное уравнение, которым связаны напряжения на входе и
выходе. В таком случае величину i w следует рассматри-
жж - • d
вать как символ дифференциального оператора
Поэтому в символической форме через коэффициент передачи
могут быть связаны и мгновенные напряжения на входе и
выходе
ц (/) =/г (i w) е (Z1). (1. 1. 1)
Символическое ур-ние (1.1.1) равноценно некоторому диф-
ференциальному. Чтобы перейти от символической записи к
дифференциальному уравнению, нужно представить /e(iw) в
виде частного двух полиномов от оператора i<°
*(“»>= (ЬЬ”
а затем, подставив (1.1.2.) в (1.1.1), переписать символичес-
кое ур-ние (1.1.1) в виде
^(i<o)«(O = P(iw)e(O. (1.1.3)
Теперь достаточно в (1.1.3) сделать замену = чтобы
получить дифференциальное уравнение
= <IL4)
Решение ур-ния (1.1.4) соответствует физическим условиям
задачи, если оно удовлетворяет начальным условиям, кото-
рые обычно задаются значениями «(О , и\0), w"(0 и т. д. Число
начальных данных определяется порядком дифференциально-
го уравнения.
Хотя решение дифференциального уравнения и даёт прин-
ципиальную возможность исследовать переходные процессы,
однако, на практике этот путь приводит к быстрым результа-
там только для наиболее простых схем четырёхполюсников.
Вычислительные трудности возрастают с увеличением порядка
дифференциального уравнения и практически этот классичес-
кий метод исследования оказывается уже мало пригодным,
если порядок дифференциального уравнения выше второго.
Значительно лучшим методом исследования переходных
процессов является метод интеграла Фурье и основанное на
нём операционное исчисление.
6 . .
1.2. Интеграл Фурье
Интеграл Фурье является предельным случаем рядов Фурье
для непериодической функции. С точки зрения рядов Фурье к
случаю непериодической функции можно подойти от периоди-
ческой при неограниченном увеличении периода. В результате
частоты гармоник сближаются и в пределе дискретный спектр
превращается в сплошной.
Представление некоторого напряжения е(/), которое при
t < 0 равно нулю, интегралом Фурье будет законным, если
оно удовлетворяет следующим условиямГ1):
1) условию абсолютной интегрируемости в промежутке
(О, Н-оо).
Это значит, что интеграл
оо
dt
О
должен иметь конечное значение;
2) условиям Дирихле. Это значит, что функция е (t) в про-
межутке (0, + оо) ограничена и этот промежуток можно
разбить на конечное число таких отрезков, внутри каждого из
которых функция е( t ) непрерывна и монотонна.
Интеграл Фурье имеет несколько форм записи; употребим
наиболее удобную — через показательные функции в виде
двух интегралов
= 2^ f F (iш) eltt)Zrf(o, (1.2.1)
F(i«) = /e(/)e~itt)^. (1-2.2)
о
Формула (1.2.1) представляет напряжение е (/) в виде
суммы бесконечно большого числа гармонических слагаемых
вида е1<0^ с комплексной амплитудой F (ко) d<a. Вели-
чина F(i<o) называется спектральной плотностью или частот-
ным спектром функции е(/).
Напряжение на выходе четырёхполюсника можно пред-
ставить аналогичными формулами-.
1 00
11 = 2 п J S (1.2.3)
5(iw)=/«(0e~ltt)Zrfr. (1.2.4)
7
Комплексные амплитуды подынтегральных выражений
(1.2.1) и (1.2.3) пропорциональны спектральной плотности. По-
этому спектральные плотности напряжения на входе и выхо-
де можно связать через коэффициент передачи
*S’(i«) = k (i о>) F(i«). (1.2.5)
После подстановки выражения (1.2.5) в (1.2.3) и (1.2.4) для
напряжения на выходе получим следующие выражения:
1 00 •
zz (/) = 2 — j k (iw) F (i co) ewtd co, (1.2.6)
k (i co) F (i co) =f и (t) e” lwtdt.
о
(1. 2. 7)
Согласно методу интеграла Фурье для определения напря-
жения «(/) нужно определить частотный спектр напряжения
на входе по ф-ле (1.2.2), а затем вычислить n(t] по ф-ле (1.2.6).
Поскольку в выражениях интеграла Фурье предполагается,
что при t<0 е(/)=0, то найденное описанным методом ре-
шение будет являться решением символического ур-ния (1.1.1)
при начальных условиях, соответствующих «пустому» четырёх-
полюснику.
1.3. Интеграл Дюамеля
Пусть требуется найти напряжение на выходе данного
четырёхполюсника при различных формах напряжения на
входе. По методу интеграла Фурье при каждой повой форме
напряжения мы имеем особую задачу, решение которой сво-
дится каждый раз к вычислению двух интегралов. Методом
интеграла Дюамеля напряжение па выходе можно найти про-
ще, вычисляя лишь один интеграл; но прежде нужно найти
решение при единичном толчке
Рис. 1. Единичный толчок напряжения.
входе.
График для напряже-
ния в форме единичного
толчка показан на рис.1.
Это напряжение, равное
нулю при /<0 и еди-
нице при t>G. Особое
значение единичного толч-
ка напряжения среди дру-
гих форм объясняется тем,
что всякую иную форму
можно представить как
8
сумму бесконечно большого количества единичных толч-
ков. В силу допущения о линейности четырёхполюсника
можно найти напряжение на выходе, как суперпозицию бес-
конечно большого числа напряжений, получившихся от всех
единичных толчков.
Рис, 2. К. доказательству теоремы Дюамеля.
Сформулируем этот
принцип математичес-
ки. Пусть напряжение
на входе имеет форму,
показанную на рис. 2.
Оно равно нулю при
£<0, претерпевает ска-
чок от нуля до зна-
чения е(0) при и
затем меняется по не-
которой кривой. Напря-
жение е (?) можно
представить суммой
единичных толчков следующим образом
eW = e(0) + A'(-)rf-
О
Если единичный толчок вызывает на выходе напряжение
a(t), то напряжение e(t) вызовет напряжение
и (Z) = е (0) a (t) +/а (/—т)е'(т)йт. (ЕЗ. 1)
V О
Формула (1.3. 1) и составляет содержание теоремы Дюа-
меля. Путём замены переменных и интегрирования по частям
можно показать, что интеграл Дюамеля можно записать ещё в
одной из следующих форм:
и (t) = е (0) а (0 + fа (т) е' (t — z)dz
О
zz (/) = а (0) е (/) +fa’ (т) е (I — т) d z
О
zz (0 = а (0) е (?) +/d (t— т) e(z)dz
О
(ЕЗ.Г)
Преимущество метода интеграла Дюамеля перед .методом
интеграла Фурье состоит не только в том, что вместо вычисле-
ния двух интегралов (1.2.2) и (1.2.6) здесь требуется вы-
числить только один (1.3. 1). Важно также, что функция a(t)
отображает свободные колебания на выходе четырёхполюсни-
9
ка под действием единичного толчка на входе. Решения при
всякой иной форме входного напряжения проще всего
выражаются через функции, описывающие свободные коле-
бания.
Из сказанного становится ясна важность отыскания реше-
ния при единичном толчке a(t). Напряжение a(t) можно найти
путём непосредственного применения метода интеграла Фурье.
Однако, вычисления получаются проще и приводят быстрее к
цели, если воспользоваться методами операционного исчисле-
ния, основанного на интеграле Фурье.
Ниже будут кратко изложены основные приёмы операцион-
ного исчисления, которые потребуются нам в дальнейшем.
I. 4. Интегралы Бромвича и Карсона
При решении задач методом интеграла Фурье часто препят-
ствием является то обстоятельство, что функция, которую
желательно представить в виде интеграла Фурье, не обладает
свойством абсолютной интегрируемости. Чтобы обойти это
затруднение, подставим в ф-лы (1.2. 1) и (1.2.2) вместо e(t)
функцию e(t)e~at. Величину а (а > 0) будем выбирать так,
чтобы произведение е (t) е-ot удовлетворяло условию абсолют-
ной интегрируемости.
После указанной подстановки получим,-
е (/) = j F (с + i«) rfw, (1. 4. 1)
F(a + i«) = /e(/)e_(o+1W dt. (1.4.2)
О
Сделаем замену переменной по формуле
р — i(o а;
тогда выражения (1.4.1) и (1.4.2) превращаются в сле-
дующие:
—1 оо G
?(t) = ^fF(p)eptdp, (1.4.3)
— i oo-J- о
оо
F(p) = fe(t)e-pldt. (1-4.4)
10
Аналогично преобразовав выражения для выходного напря-
жения (1.2.6), (1.2. 7), получим:
-М ОС + о
k(p)F(p)^dp, (1.4.5)
— Ioo + g
k{p)F{p) — ptdt.
О
(1.4. 6)
Выражение (1.4.5) так же, как и выражение (1.2.6),
даёт решение символического ур-ния (1.1.1) при определён-
ных начальных условиях. Смысл символического ур-ния (1.1.1)
не изменяется, если переписать его, заменив iw на р
u(t) = k(p)e{f). (1-4.7)
Законность такой замены следует из того, что k(iw) полу-
чается при задании напряжения в форме e'wZ. Очевидно, что
мы получим &(р), если напряжение задано в форме ер‘-
Применим теперь ф-лы (1.4.4), (1.4.5), (1.4.6) к слу-
чаю подачи на вход напряжения в форме единичного толчка.
На языке символической записи это значит, что нужно найти
решение символического уравнения, которое получается из
(1.4.7) при замене e(t)=l
a(t)=k(p)l. (1.4.8)
С этой целью найдём по ф-ле (1.4.4) плотность частотного
спектра для единичного толчка
СО
00 1 1
F(p) = fl.e~ptdf=—-t'pt =0. (1.4.9)
о Р Р
о
При вычислении (1.4.9) мы воспользовались тем, что р
является комплексной величиной с положительной веществен-
ной частью, т. е. Rep>0.
После подстановки (1. 4. 9) в (1. 4. 5) и (1. 4. 6) получим
формулы, дающие решение символического ур-ния (1.4.8):
i со о
a(/) = -L f^P)eptdp,
v ’ 2-1J p
— i oo + о
(1.4. 10)
11
^Pl = J a(t)e~pldl. (1.4.11)
P о
В курсах операционного исчисления обычно доказывается,
что из (1.4. 11) следует (1.4. 10) при условии, что па плоско-
сти комплексного переменного р прямая р = вдоль которой
ведётся интегрирование, выбрана так, что все особые точки
функции расположены слева от этой прямой. Формула
(1. 4. 10) в операционном исчислении носит название интегра-
ла Бромвича, а ф-ла (1. 4. 11) — интеграла Карсона.
Интеграл Бромвича даёт возможность вычислить a(t} непо-
средственно через плотность частотного спектра. Из интеграла
Карсона a(t) можно получить как решение интегрального урав-
нения. Этот интеграл ценен, главным образом, тем, что позво-
ляет вычислить соответствующий различным функциям a(t) ко-
эффициент передачи k(p) и составить таблицы с готовыми ре-
шениями символических уравнений. Эти таблицы оказываются
полезными при рассмотрении новых задач, которые могут сво-
диться к уже известным решениям. В конце книги приложена,
таблица с решениями наиболее важных символических урав-
нений.
При помощи ф-л (1. 4. 10) и (1. 4. 11) можно обосновать
различные приёмы операционного исчисления; некоторые из
них приведены ниже.
1. 5. Некоторые теоремы операционного исчисления
Из ф-л (1. 4. 10), (1. 4. 11) можно доказать ряд теорем,
значительно облегчающих решение конкретных задач и поль-
зование операционными таблицами. Здесь будут кратко
изложены лишь те из них, которые используются нами в даль-
нейшем. Теоремы будут приводиться без доказательств, так
как они содержатся в любом руководстве по операционному
исчислению (см., например, И-Й). Исключение сделано
только для доказательства обобщённой формулы включения,
так как в курсах операционного исчисления она приводится
далеко не всегда.
1. Теорема умножения
Эта теорема устанавливает следующую связь-между симво-
лическим уравнением для функции a(t) и её производной a(t):
12
a{f) = k (p) 1
a' (f) = [pk(p) — pa(O)] 1
(1.5.1)
Отсюда вытекает, что для производной m-го порядка
символическое уравнение будет
a(m\t)= pwk(p)— рт ^а^\0) 1.
(1.5. Г)
В частном случае при «нулевых» начальных условиях, т. е.
когда
а (0) = а (0) = . . . = ат^> (0) = 0,
символическое ур-ние (1. 5.Г) приобретает вид
ctm\t)=pmk(p)\.
Из теоремы следует, что при «нулевых» начальных условиях
умножение символического уравнения на оператор р равно-
сильно операции дифференцирования над искомой функ-
цией a(t).
2. Теорема деления
Эта теорема устанавливает следующую связь между симво-
лическими уравнениями для функции a(t) и определённого
интеграла от неё:
a (t)=k(p) 1
J a(t)dt = kW-\
(1.5.2)
Из теоремы следует, что операция интегрирования равно-
сильна делению на оператор.
3. Теорема смещения
Теорема смещения устанавливает следующую связь между
символическими уравнениями для функции a(t) и для произве-
дения этой функции на экспоненциальный множитель а(Т)е—
a (t) = k (р) 1
(1.5.3)
13
Теорема смещения даёт возможность установить в решении
наличие экспоненциального множителя и благодаря этому
упростить подлежащее решению символическое уравнение.
4. Теорема подобия
Эта теорема устанавливает следующую связь между симво-
лическими уравнениями для функции a(t) и для той же функ-
ции с изменённым масштабом времени a(Xt):
a (t) = k (р) 1
a(Xt)= 1
\ Л /
(1-5.4) .
Теоремой подобия мы будем пользоваться особенно часто
в связи с переходом от времени t к безразмерному времени.
5. Метод степенных рядов
Если символическое уравнение задано в виде ряда по отри-
цательным степеням оператора р, то его решение получается
в виде степенного ряда по t путём замены отрицательных степе-
ней оператора по формуле
Таким образом, символическое уравнение
я» = (с.+^ + н; + ...+^ + .. )1 (1.5.5)
имеет решение
it2 tm
a(Z) = Со+ у] + ^2 2f + • • • ‘ (1-5-5)
Метод степенных рядов представляет практическую цен-
ность, во-первых, потому, что даёт решение, которое можно
использовать для расчётов при малом t, когда можно ограни-
читься первыми членами ряда. Во-вторых, в некоторых случаях
решение, полученное в форме бесконечного степенного ряда,
удаётся свести к известным функциям.
Заметим, что для приведения символических уравнений к
форме (1.5.5) их обычно нужно специально преобразовывать.
6. Теорема разложения
Пусть коэффициент передачи задан в виде рациональной
дроби
14
{P)~Q(P)
где Р и Q — полиномы от оператора р.
Пусть далее характеристическое уравнение
<2(р)=о
имеет следующие корни: р± кратности nlt р2 кратности п2!
...рч кратности n.t. Это значит, что полином Q (р) можно,
представить следующим образом
Q(p) = (p — Pi)n'(P ~Рэ)”' • (Р-Р^-
Для отыскания в этом случае решения символического урав-
нения
a(i) = k(p)l, (1.4.8)
воспользовавшись интегралом Бромвича (1.4. 10), получим
fl(/)=2Ki
1 k (р) ^pt Др __
..ij р
- ioc + o
_ 1
— 2 Ki
Р ( ер/
----------- ~------------------ dp. (1.5.6)
Р (P-Pi) \Р~Р^ 2 - • • (Р —
-iTC+a
д. Н/?) xtz
Бели функция —— удовлетворяет условиям леммы Жор-
дана, т. е.
г k(P) Л
lim < = 0,
|р|->00 Р
то интеграл (1. 5. 6) можно рассматривать как контурный на
плоскости комплексного переменного ‘6). Путь интегрирования
должен проходить по прямой Р = е, расположенной вправо от
Л д. k (Р)
всех особых точек функции ’ а затем п0 полукружности
бесконечно большого радиуса, лежащей слева от прямой
р = а. Из теории функций комплексного переменного известно,
что интеграл (1. 5. 6) равен сумме вычетов функции в
15
полюсах_р = 0, pi, p2- -P'i- Таким образом, получим
а(/) = /?(О) + /?(/71) + /?(/7.2)+ ... +7?(Л). (1.5.7)
Вычет относительно полюса -ой
находится по следующей формуле
кратности в точке ру
К (р>,) =
1
(«V — 1)!
1 I , ,« £(р) pt 1 ,, г
- - J (Р-Р,) (1.5.7')
Применяя к выражению (1. 5. 7 ) формулу Лейбница для
производной произведения двух функций [7) вместо (1.5.7),
получим
ni 1 п2 1 £т
a{t) = k^ + ^ £ +е^ £ +
/и=0 ‘ т—О
«v—1
। PS У
+ е v L
m—Q
(1.5. 8)
Коэффициенты h.,m определяются формулой
. _ 1 v Z_.L «'^(р) I
(/7V — 1 —/д)! 1"(/7 Р'^ Р~ \=р^
(1.5.8')
В частном случае, когда характеристические корни простые
некратные, т. е. п2 = п,2 —... пч — 1, получим формулу вклю-
чения, данную Хевисайдом в несколько иной записи
a(t) = k(W) + &Plth, + &Pith2 + ... + ep> (hv, (1. 5. 9)
*v=| (P-P,)~^ |
/ p -p
(1.5.9')
Теорема Хевисайда представляет разложение решения для
a(t) на сумму собственных колебаний. У всякой реальной
электрической системы характеристические показатели pv име-
ют отрицательную вещественную часть, поэтому в пределе при
16
t-+a> собственные колебания затухнут и останется стационар-
ное решение /ДО). Физически это ясно, так как стационарное
состояние сводится к передаче постоянного напряжения, т. е.
напряжения нулевой частоты.
7. Предельные соотношения
В качестве последней теоремы укажем ещё на важные пре-
дельные соотношения, определяющие значения функции a(t)
при / = 0 и / = оо непосредственно из символического урав-
нения:
a(f) = k(p) 1
• lim а (/) = lim k (р)
tр-->0
lim а (/) = lim k (p)
t —>0 p—> oo
В символическом уравнении всегда можно заменить р на iw,
поэтому соотношения (1.5. 10) можно сформулировать следую-
щим образом. Переходный процесс в начале включения опре-
деляется поведением коэффициента передачи в области высо-
ких частот; характер окончания процесса установления
определяется поведением коэффициента передачи в области
низких частот.
(1.5.10)
2 — 9219.
17
ГЛАВА 2
РАСЧЁТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ИЗБИРАТЕЛЬ-
НЫХ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКАХ
2. 1. Вычисление огибающих по методу ван-дер-Поля
Усилители высокой или промежуточной частоты являются
примером линейных избирательных четырёхполюсников. Под
этим термином разумеются четырёхполюсники, обладающие
достаточно острой частотной характеристикой. Мерой избира-
тельности служит отношение р =----где 2.A.L2 — полоса про-
(1)0
пускания, а шо — частота резонанса. Избирательность данно-
го четырёхполюсника будет тем совершеннее, чем меньше р
по сравнению с единицей. Очевидно, что малость р будет
характеризовать степень близости данного четырёхполюсника к
консервативному. В дальнейшем будем считать величину р
малым параметром задачи.
Непосредственное применение методов операционного ис-
числения к решению задач о переходных процессах в избира-
тельных системах обычно приводит к значительным вычисли-
тельным трудностям. Точные вычисления довести до конца не
удаётся и в процессе вычислений приходится делать ряд пре-
небрежений.
В связи с этим целесообразно сразу отказаться от учёта
всех деталей при решении таких задач и построить приближён-
ный метод вычисления переходных процессов для избиратель-
ных систем.
Для избирательных систем на практике главный интерес
представляет определение огибающей и фазы напряжения на
выходе. Что же касается высокочастотного заполнения, впи-
санного в эту огибающую, то его всегда можно представить гар-
монической функцией с частотой, равной или близкой к частоте
резонанса. При малом ц изменение огибающей за период
резонансной частоты будет мало, .поэтому начальная фаза вы-
сокочастотного заполнения не представляет практического ин-
18
тереса. Иными словами, огибающая и фаза будут медленно
меняющимися функциями времени.
При такой постановке вопроса к расчёту огибающих на вы-
ходе избирательных систем с успехом может быть применён
предложенный ван-дер-Полем t8) метод медленно меняющих-
ся амплитуд. По методу вап-дер-Поля из исходного дифферен-
циального уравнения задачи составляется приближённое
дифференциальное уравнение для медленно меняющихся ампли-
туд. Согласно терминологии Л. И. Мандельштама и Н. Д. Па-
палекси ,yJ, давших строгое обоснование этого метода для
процессов установления, дифференциальные уравнения для
медленно меняющихся амплитуд называются укороченными.
Порядок укороченного уравнения оказывается ниже порядка
исходного уравнения. Поэтому найти его решение проще.
Для решения задач, относящихся к нелинейным автоколе-
бательным системам, метод ван-дер-Поля применялся в ряде
работ, принадлежащих школе Л. И. Мандельштама и Н. Д. Па-
палекси [|0). Обстоятельное изложение этого вопроса дано в
книге А. А. Андронова и С. Э. Хайкипа [|1).
Приложение метода ван-дер-Поля к решению задачи о
процессах установления в линейной системе, а именно для ре-
зонансного усилителя, впервые было сделано в работе
А. Агеева и Ю. Б. Кобзарева ,12). Следует указать также
на работу А. Н. Щукина 1 "К который, пользуясь своеобразным
приближённым методом, нашёл решение для резонансного и
полосового усилителей. Можно показать, что сделанные в этой
работе упрощения вытекают из метода ван-дер-Поля.
В настоящей работе благодаря последовательному приме-
нению метода ван-дер-Поля удалось построить специальный
математический аппарат для вычисления процессов установле-
ния в избирательных четырёхполюсниках. Главные черты этого
аппарата сводятся к следующему:
1. Введены комплексные медленно меняющиеся амплитуды.
Благодаря этому упрощаются вычисления, потому что опреде-
ление комплексной амплитуды сразу решает вопрос о законе
изменения и амплитуды и фазы. Употребляя в дальнейшем
термин «огибающая», будем подразумевать, что в общем слу-
чае речь идёт о комплексной амплитуде.
2. Укороченные уравнения для огибающих составляются
непосредственно в символической форме из исходных символи-
ческих уравнений. Записывать исходные уравнения в диффе-
рециальной форме не требуется.
3. Сформулирована теорема Дюамеля для огибающих.
4. Для отыскания решений символических укороченных
уравнений употребляется аппарат операционного исчисления.
S’
19
В следующем параграфе будет дан метод получения симво-
лических укороченных уравнений непосредственно из исходных
символических уравнений задачи.
2. 2. Укороченные символические уравнения
В качестве исходного возьмём символическое ур-ние
(1. 1. 1), связывающее напряжение на входе и выходе четырёх-
полюсника
и (Л =£(iw) <?(/). (1.1.1)
Для избирательного четырёхполюсника, содержащего не-
сколько колебательных контуров с малым затуханием, коэф-
фициент передачи можно представить в виде частного двух
полиномов Р и Q от оператора iw в следующей форме
(2-2Л>
В этом выражении 8 есть малый параметр и физически
является затуханием одного из контуров. Между введённым
выше малым параметром |» и 8 существует прямая пропор-
циональность. Здесь 8 введена потому, что для большинства
встречающихся на практике схем именно затухание будет фи-
гурировать в выражении для коэффициента передачи. Следует,
однако, отметить, что для многоконтурных схем порядок мало-
сти ближе определяется величиной а не
Подставив выражение для ^(i&>), перепишем символическое
уравнение
<?(iw,8)M(/) = 8P(iw,8)e(/). (2 2.2)
Положив 8 = 0, получим линейное однородное дифференци-
альное уравнение с постоянными коэффициентами, описываю-
щее свободные колебания консервативной системы
Q (iu>, 0) и (/) = 0. (2.2.3)
Допустим, что решением этого уравнения является единст-
венное гармоническое колебание с частотой ы0
а (/) = I) cos (w0 14- Ф),
где О и ф — произвольные постоянные, зависящие от началь-
ных условий. Частота свободных колебаний wo определяется
как корень характеристического уравнения
()(iw0, 0) = 0. (2.2.4)
20
Допущение о том, что в нулевом приближении относительно
5 четырёхполюсник обладает только одной частотой свобод-
ных колебаний, диктуется чисто практическими соображениями.
Дело в том, что обычно употребляются усилители, которые
пропускают лишь некоторую полосу частот вокруг единствен-
ной частоты резонанса. На практике усилители, имеющие не-
сколько далеко разнесённых пиков на частотной характеристи-
ке, не нужны. Эту оговорку, разумеется, не следует понимать
в том смысле, что из рассмотрения исключаются случаи дву-
горбых или многогорбых кривых резонанса. В таких случаях
расстройки, соответствующие горбам, оказываются порядка 5
относительно частоты резонанса. Поэтому в нулевом прибли-
жении такие системы будут обладать также одной частотой
резонанса, определяемой из ур-пия (2.2.4). Положим теперь,
что на вход подано напряжение
е (/) = Е (/) е* [<°1+0(0] = Ег (/)е’Оо* (2.2.5)
где Еj (/) — комплексная амплитуда, равная
£1(/) = £(/)eiA<oZ = £(/)eie(0 eii<oZ’ (2.2.5')
Дш =. ш — to0 — расстройка между частотой внешнего воздей-
ствия и частотой резонанса ио.
Положим, что комплексная амплитуда Ег (/) является мед-
ленно меняющейся функцией времени в том смысле, как это
принято в методе вап-дер-Поля. Это значит, что производная
амплитуды является величиной первого порядка малости отно-
сительно самой амплитуды, т. е.
dE-L -g
di
точно так же вторая производная должна быть величиной вто-
рого порядка малости
Ei ~ 2
-^-2 О ^to0
п так далее.
Это условие будет выполнено, если, во-первых, модуль комп-
лексной амплитуды £//) является медленно меняющейся функ-
цией времени и, во-вторых, если производная фазы и рас-
21
стройка являются величинами первого порядка малости
относительно частоты резонанса, т. е.
0' (t) + Aw ~ 8w0.
Решение символического уравнения ищем в форме, анало-
гичной (2. 2. 5)
n(/) = D(/)ei[“'+'H')1 = Z)](/)ei'u< (2.2.6)
где D(t) и ф (t) —медленно меняющиеся амплитуда и фаза
выходного напряжения. Для сокращения введено обозначение
Dy(f) =D eiXwt. (2 2.6')
Подставив (2. 2. 5) и (2. 2. 6) в исходное символическое
ур-ние (2.2.2), получим
<2(iw,8)D1ei(°0^= 8Р (iw^^Eie' . (2.2.7)
Для преобразования этого уравнения используем теорему
смещения, которая применительно к операционным полиномам
Q и Р сводится к равенству [11
<?(iw)/(/)eZf=e2f(?(iw 4-Х)/(/). (2.2.8)
В результате применения теоремы смещения вместо
ур-ния (2.2.7) получим
Q (iw0 + -iw,8) Dy (/) = 8 Р (iw0 -f- iw, 8) Ey (/). (2.2.9)
Разложив символические полиномы Q и P в ряды Тейлора
по степеням оператора iw вокруг iw0, получим
Q (iw0 + iw, 8) = (? (iw0,8) + хЯ iw 4- (i w)2 +
I/ lUz • Iz I lUz I
dP
P(iw0 + iw,8) = P(iw0, 8) + v— iw -f- .. .
О i w
(2.2.10)
В силу допущения о медленном изменении комплексных
амплитуд символические выражения вида
-* d -> ^2 ->
i w/Л = Dy ; (i w)2 Pj = Dy
22
являются соответственно величинами первого и второго поряд-
ков малости. Если мы пожелаем удержать в уравнении члены
до второго порядка малости включительно, то, учитывая, что в
первой части ур-ния (2. 2. 9) содержится в качестве множителя
8, мы должны будем удержать в ряде для три члена, а в
ряде для Р два члена.
Чтобы рассортировать члены уравнения по порядку малости,
представим каждый из коэффициентов рядов (2.2. 10) рядами
Маклорена по степеням малого параметра S с таким расчётом,
чтобы наивысший порядок малости был не выше второго.
Для первого члена рядов (2. 2. 10) напишем
Q 0“о . 8) = Ю + |Д| s + JI [т? | 5“ + • • (2-2.11)
Квадратные скобки означают, что заключённые в них выра-
жения следует относить к частоте резонанса ш0 и затуханию
3 = 0, например,
8=0
Поскольку в выражении (2.2.11) частота резонанса удов-
летворяет характеристическому ур-нию (2. 2. 4), т. е. [(-*] — 0,
вместо ур-ния (2.2. 11) будем иметь
= I2.2.H-)
Аналогично для следующего коэффициента рядов (2. 2.10)
получим
dQ(i^, 5) _ ' dQ_ ~ Г I
д i to _д i ш_ I d i w d 8 J *” • • •
и так далее.
Подставив эти ряды в ур-ние (2. 2. 9) и сгруппировав члены
по порядку малости, найдём
IIXI-+[>}».-LXXX-XXX--
+ILwJ8,}®‘=8[Pi?‘+s{L^J'"+L“£Is 1^' (2-2л2>
Если удержать члены только первого порядка малости, то
получим
23
{LSi“+KrHK-=si/’ii-
(2.2.13)
Заменив дифференциальный оператор iw = ^, получаем
укороченное уравнение первого порядка в дифференциальной
форме относительно медленно меняющихся комплексных ам-
плитуд и Pj.
В том случае, когда коэффициенты ур-ния (2.2. 13) тож-
дественно равны нулю, т. е.
I W |_| |_|D|_
I diw II дЬ I 1 J —
О,
для составления укороченного уравнения приходится прини-
мать во внимание .члены второго порядка малости. Это обычно
имеет место для систем, содержащих два слабо связанных ко-
лебательных контура.
Из ур-ния (2. 2. 12) для этого случая получается символи-
ческое уравнение, составленное из членов второго порядка
малости
=ЧГО”+1аП8}£- <2-2л4>
Переход от символической к обычной записи даёт укорочен-
ное дифференциальное уравнение второго порядка.
В некоторых случаях может представиться необходимость
удерживать члены третьего порядка малости и т. д. Поскольку
общий метод ясен, то выписывать эти выражения дальше не
будем.
Для получения укороченных уравнений ещё более простым
путём нужно исходить непосредственно из выражения для ком-
плексного коэффициента передачи. Обратимся опять к ур-нию
(2. 2. 1)
и рассмотрим его как комплексный коэффициент, соответ-
ствующий частоте w. Из ур-ния (2.2.1) составим приближён-
ное выражение для коэффициента передачи при малой рас-
стройке Й = w — Wo вокруг частоты резонанса. Понятие
24
малой расстройки употребляется в том смысле, что относитель-
ная расстройка является величиной первого порядка малости,
т. е.
У ~ 8 to0.
Исходное выражение для коэффициента передачи в зави-
симости от расстройки получим, положив в (2.2. 1) to=to0+S2,.
k (iw0 4- i&)
___8 Z3'! top 4- i&, 8)
Q (i (>)0 4- i У, 8)
(2.2.15)
Это выражение можно упростить, разложив полиномы Р и
Q в ряды Тейлора по степеням >У вокруг iw . Эти ряды ока-
жутся аналогичными рядам (2.2.10), только вместо io
будет iQ
Поскольку члены, содержащие в качестве множителя i У,
будут первого порядка малости, а содержащие (i У)2— второго
порядка малости и т. д., то останутся также в силе и все
дальнейшие рассуждения, связанные с группировкой членов
по порядку малости.
При учёте в числителе и знаменателе выражения (2.2. 15;
только членов первого порядка малости, получим1)
...--------------
Если это выражение даёт неопределённость вида
укороченное уравнение нужно составить из членов
порядка малости и тогда
(2.2.16)
О
О’ ТО
второго
8
4(iQ) =-----------u ----------------— - --------------• (2.2.17)
1| ^I(i94 4-sr |iQ4-1^|^ l
2Ld(ito)2JU } + LditodS I + 2 I. d32J
Уравнение (2. 2. 16) соответствует укороченному уравнению
для коэффициента передачи одиночного колебательного кон-
тура. Уравнение (2. 2. 17) соответствует системе из двух сла-
бо связанных колебательных контуров, частотная характери-
стика которой в зависимости от связи может быть с одним,
либо с двумя горбами.
Если написать выражение, связывающее медленно меняю-
щиеся комплексные амплитуды через укороченный коэффи-
циент передачи
4 Здесь и ниже вместо ^(fa>0-f-iU) употребляется обозначение А(1’Й).
25
D^t) = ^(iQ)f1(/) (2 2.18)
и рассматривать iQ как дифференциальный оператор, т. е.
заменить i £2 = , то после подстановки в (2. 2. 18) выражения
(2.2. 16) получим укороченное символическое ур-ние (2.2.13),
а подстановка (2.2. 17) даёт ур-ние (2.2.14).
Таким образом, можно считать доказанным, что если
ур-ние (2.2. 18), содержащее укороченный коэффициент пере-
дачи, толковать как символическое, то оно эквивалентно уко-
роченному уравнению ван-дер-Поля.
Укороченные выражения для коэффициента усиления ши-
роко применяются в радиотехнике при анализе частотных и
фазовых характеристик, хотя точные правила упрощения этих
уравнений не были чётко сформулированы. Также было неиз-
вестно, что из этих уравнений можно получить укороченные
дифференциальные уравнения.
В заключение отметим, что, положив внешнее напряжение
.и решение сопряжёнными относительно (2.2.5) и (2.2.6), т. е.
e(0 = £'(/)e_1I<of+e(f)1, (2.2.19)
«(/) = Z)(/)e-1I<of+<l’(^1> (2.2.20)
получим то же укороченное символическое ур-ние (2.2.18),
связывающее комплексные амплитуды.
Поскольку по формуле Эйлера
, . 1 1(<о#+в) . 1 -i(wf + 0)
cos(w/ + 0) = 2e т +2е
то из принципа суперпозиции следует, что при напряжении на
входе, заданном в виде косинусоидальной функции времени
e(t) = E (/) cos [w/ 4-07)], (2.2.21)
напряжение на выходе будет
u(t) = D (/) cos [w/+ ф (/)], (2 2.22)
где D (t) и ф (?) определяются решением символического
ур-ния (2.2.18).
В символическом ур-нии (2. 2. 18) расстройка скрыта в выра-
жениях комплексных амплитуд Ег и Dr Чтобы ввести рас-
26
стройку в символическое уравнение явно, подставим (2.2.5')
и (2.2.6') в (2.2.18)
D(t) е’Лю/ =k(iQ)E'f) eU“Z. (2 2.23)
Применение к (2.2.23) теоремы смещения для символи-
ческих полиномов (2.2.8) даёт укороченное символическое
уравнение, связывающее искомую комплексную амплитуду на
выходе с заданной комплексной амплитудой на входе
~D (t) = k (i Q + i Д w) E{t). (2.2.24)
Необходимо иметь в виду, что текущая расстройка iQ в
(2.2.24) играет роль дифференциального оператора, в то
время, как постоянная расстройка i Д w является просто мни-
мым числом.
В дальнейшем нам часто придётся вычислять огибающие на
выходе при огибающих на входе в форме единичного толчка,
т. е. E(t)=[. Обозначим огибающую на выходе в этом случае
через ВЦ\ Из (2.2.24) следует, что В (t) должна удовлет-
ворять символическому уравнению
В(0 = £йЙ + 1Дю)1. (2.2.25)
При отсутствии расстройки вместо (2.2.25) будем иметь
£(/) = £(iQ4. (2.2.26)
Для решения символических ур-ний (2. 2. 25) и (2. 2. 24)
можно использовать аппарат операционного исчисления, изло-
женный кратко в предыдущей главе. Мы, однако, не сделаем
этого по следующим соображениям.
Полученные укороченные уравнения оставляют нерешённой
основную задачу о расчёте огибающей при включении на вход
единичного толчка. Решение при единичном толчке представ-
ляет интерес, во-первых, потому, что к этой задаче сводится
вопрос о воздействии на радиоприёмник импульсных помех.
Во-вторых, располагая решением при единичном толчке, мож-
но найти решение при гармоническом внешнем воздействии,
используя теорему Дюамеля. Наконец, решение при единич-
ном толчке характеризует свойства всякого четырёхполюсника
так же, как с другой стороны его характеризуют частотная и
фазовая характеристики коэффициента передачи напряжения.
Сопоставляя в дальнейшем укороченное ур-ние (2. 2.26) с
интегралом Дюамеля, найдём символическое уравнение для
огибающей при единичном толчке.
27
2- 3. Укороченные выражения для коэффициентов усиления
некоторых схем
Рассмотрим примеры составления укороченных выражений
коэффициента усиления схем усилителей высокой частоты.
Рис. 3. Схема ступени резонансного
усилителя.
I. Резонансный
усилитель (рис. 3)
Пренебрегая для про-
стоты вычислений реак-
цией анода, получаем ко-
эффициент усиления одной
ступени в виде
k (iw; = £Z'iw),
где Л? — крутизна стати-
ческой характеристики
анодного тока. Z(iw) — символический пмпеданц колеба-
тельного контура, определяемый по правилам теории
ных токов следующим образом
перемен-
Преобразовав выражение для символического
циента усиления, получаем
lw + 8
k (i w) = SWo L ------------
(iwV2 iw
I--I T °
\w0/ w0
коэффи-
(2.3.1>
здесь
1 . г
(Dq " ~~_* d " Wq
Положив в выражении (2.3. l)w = w0, получим
k(iw0) = Sw0L~~-
Id
Отбросим 5 в числителе этого выражения и обозначим
коэффициент усиления при резонансе через
, Sw0L
ъ
О
(2.3.2)
28
Подставив (2.3.2) в (2.3.1), будем иметь
k (i to) = k0
(2. 3. 3)
Формула (2.3. 3) является полным выражением для сим-
волического коэффициента усиления одной ступени по схеме
рис. 3. Чтобы получить укороченное уравнение, проще всего
подставить
ш Q
- - = 1 + --
Wq to о
о
и, учитывая, что относительная расстройка — есть величина
to 0
первого порядка малости, отбросить в числителе и знаменателе
(2.3.3) величины, порядок малости которых выше первого.
В результате получим укороченное выражение для символиче-
ского коэффициента усиления в виде
£(iQ)= >о-. (2-3.4)
1 4-i“
too -3
Условившись в дальнейшем коэффициент усиления на час-
тоте резонанса для краткости считать равным единице, т. е.
k0 - I,
и, введя обозначение для обобщённой расстройки
2Q
а = —;
ш06
получим коэффициент усиления одной ступени резонансного
усилителя в виде
k (i ос) = i~7 — • (2- 3- 5)
. Коэффициент усиления п идентичных ступеней будет
£(ia)= . (2.3.6)
(1 + ia)
2. Полосовой усилитель (рис. 4)
Общее выражение для коэффициента усиления одной сту-
пени (рис. 4) имеет вид
29
1W [f ito)2Z1C14-iwQ''i4~1 ] [(io42Z.2C24-iwC2r24-1 ]— iw, 47И2С1Сг
При вычислениях считаем, что контуры настроены на оди-
наковую частоту, имеют равные затухания и ^коэффициент
связи имеет порядок затухания, т. е.
_J____
|/z1c;_|/z2c'2_Wo’
w0 Сх - w0 C 2r2 - 3,
= 38.
V 44
Величина 0 порядка единицы и называется степенью связи.
Рис. 4. Схема ступени полосового усилителя.
С учётом этих замечаний после несложных преобразований
получим
i w
Положив <1) = ы,, и отбросив множитель— i, найдём модуль
коэффициента усиления при частоте резонанса
<2-38>
и, подставив затем (2. 3. 8) в (2. 3. 7), получим
30
Из структуры выражения (2.3. 9) ясно, что при составлении
укороченного уравнения в числителе и знаменателе нужно
удержать величины не ниже второго порядка малости.
Положив в (2. 3. 9) = 1 + и удерживая величины
второго порядка малости, получим укороченное выражение для
символического коэффициента усиления
= (2.3.10>
Здесь, как и ранее, положено kQ = 1.
Для усилителя, состоящего из п идентичных ступеней,,
будем иметь
‘ (2311)
К уравнению типа (2.3. II) сводится также задача о резо-
нансном усилителе с расстроенными контурами, имеющем
чётное число ступеней 2 п. Одна половина контуров настроена
на частоту а вторая — на частоту w,. За частоту резо-
нанса принимается средняя арифметическая между ними, т. е.
w0 — ~ (<±>i —|- ы.у) и предполагается, что расстройка контуров,
относительно w0 является величиной первого порядка малости
относительно 5.
Обозначив обобщённую расстройку контуров через а0
2(w1 — w0) -2 (w0 — (i>.2)
GCq - — ...... J
WOS
а текущую расстройку, как обычно, через а, получим выра-
жение символического коэффициента .усиления и пар сту-
пеней
(TTit^X Г <23-12>
Это выражение за исключением множителя (— i)” совпа-
дает с (2.3. И), если в последнем степень связи ₽ заменить-
расстройкой а0, а под п понимать число пар ступеней.
3. Полосовой усилитель (рис. 5)
Эта схема отличается от предыдущей тем, что напряжение
на сетку следующей ступени снимается не со второго, а с пер-
ЗГ
еого контура. Она не равноценна резонансному усилителю,
так как за счёт реакции второго контура здесь могут быть по-
лучены двугорбые кривые резонанса, как в схеме рис. 4, и при-
том при меньшей величине связи.
Преимущество данной схемы перед схемами рис. 3 и 4
заключается в большем усилении при заданной полосе, что
важно для широкополосных усилителей.
Рис. 5. Схема ступени полосового усилителя.
Общее выражение для символического коэффициента пере-
дачи этой схемы имеет вид
(+ гг' [ io) i<oC>r2-|-1 ] — 'но SM'2C2
[Jw/2A1C1-|-iwC1r1-|-l] [(i« 2A2C2-|-iwC2ra-|_i] -:iw iM2C1C2'
Полагая, как и ранее, что частоты резонанса контуров и
их затухания совпадают и заменяя М = ^J/A1Z.2 после про-
стых преобразований будем иметь
(2.3.13)
На частоте резонанса fw = w0) из (2.3.13) получаем
k (ito0) = ЬыоЦ ~ Zt >-
3 (1 5 2
Отбросив в числителе величину, пропорциональную 3, вве-
дём обозначение для коэффициента усиления на частоте
резонанса
, ___ 5’woZ.j
(2.3.14)
.32
Подставив ур-ние (2.3. 14) в (2.3. 13), получаем
(2.3.15)
Учитывая в этом выражении только величины первого
порядка малости получаем неопределённость вида q. Зна-
чит, нужно учитывать величины второго порядка малости.
Полагая = 1 4- — и отбрасывая в числителе и знамена-
w0 w0
теле величины, порядок малости которых выше второго, а
также считая ka= 1, получим укороченное выражение для
коэффициента усиления
Z>(ia) =
(l+^)(l+ia)
(1 + iaj2 +
(2.3.16)
Коэффициент усиления п идентичных ступеней по схеме
рис. 5 будет
k (ia) =
(l+P2)(l + ia)
(1 +iaj2.+ ^ .1 '
(2.3. 17)
В частном случае, при р=0 ур-ние (2.3. 17) даёт выраже-
ние, совпадающее с коэффициентом усиления резонансного
усилителя, что и следовало ожидать из физических сообра-
жений.
В заключение отметим, что полученные укороченные выра-
жения для коэффициентов усиления схем рис. 3, 4, 5 в силу
упрощений, характерных для метода ван-дер-Поля, останутся
справедливыми и для различных модификаций этих схем.
Например, в схеме рис. 3 может быть неполное включение
контура со стороны анода предыдущей или сетки последующей
ступени. Вместо схем полосовых фильтров на рис. 4, 5 можно
применить и другие, например, с ёмкостной связью и т. д.
2. 4. Теорема Дюамеля для огибающих
1. Пользуясь методом ван-дер-Поля, мы составили укоро-
ченное символическое ур-ние (2.2.24), связывающее огибаю-
щие на входе и выходе избирательного четырёхполюсника.
г - 'wis.
33
Пользуясь тем же методом, преобразуем теперь формулу Дюа-
меля (1.3. 1) так, чтобы непосредственно выразить огибающую
на выходе через огибающую при единичном толчке и
огибающую на входе.
При включении на вход избирательного четырёхполюс-
ника единичного толчка, на выходе, благодаря возникновению
свободных колебаний, появится гармоническое напряжение
с частотой, равной частоте резонанса, и медленно меняющимися
амплитудой и фазой. Представим это напряжение выражением
а (/) = А (/) sin w0/ + Ас (/) cos <aot. (2.4.1)
Малым параметром задачи будем считать для общности не
затухание, а введённую выше величину р, т. е. относитель-
ную полосу пропускания. Таким образом, медленное изменение '
огибающей означает, что
~ М.<,с(Ф<й0.
Положим теперь, что вместо единичного толчка на вход
включено напряжение
e(t) = E(t)ei(at. (2.2.5)
Для огибающей E(t) и расстройки = w— <д, имеют
место те же оговорки, вытекающие из требования медленного
изменения комплексной амплитуды (2.2.5), которые уже
делались при выводе укороченного символического уравнения.
Под влиянием входного напряжения e(t) появится напря-
жение на выходе u(t), которое подобно (2.2.5) можно запи-
сать в виде
= . (2.2.6)
Для нахождения связи между огибающими D (/), As с (/),
Е(Х) и расстройкой Дм обратимся к интегралу Дюамеля
и (/) = а(0)е (/) +/а'(т) е (/ — т) </т. (1.3.1)
О
Подставив в эту формулу выражения для a(t), e(t) и
u(t) и пользуясь медленным изменением огибающих, отбро-
сим величины первого и более высоких порядков малости от-
носительно р.
34
С нужной для данного случая степенью точности вместо
производной a' (t) подставим
а' (/) = w0 As (/) cos w0/— w0 Ac (7) sin w01
и после простых преобразований получим
W) = / [ЛДт) + Wc (т)] dz + /U-s(T)-i7;(T)]e-i2“- <л +
" ° (2.4.2)
+ Л* (0) Е (/).
Здесь для краткости через Fsc (т) временно обозначена
медленно меняющаяся комплексная подинтегральная функция
Fs^) = --2°- Дл<?(т)£(/-т)е-ии,х. (2.4.2^
Второе и третье слагаемые в выражении (2.4.2) можно
отбросить, так как они оказываются величинами не ниже пер-
вого порядка малости. Чтобы доказать это, заметим, что из
медленного изменения функции F^fx)
следует, что сама она будет величиной первого порядка мало-
сти относительно интеграла от неё, т. е.
Fg<c(r)
(2.4.3)
Второй интеграл в выражении (2.4. 2) проинтегрируем по
частям
/Я,Д^е' i2O0T^=^,e(-)
— i 2 о>о т
е
— i2 w0
Первое слагаемое рассматриваемого интеграла согласно
(2.4.3) является величиной первого порядка малости относи-
тельно первого интеграла в выражении (2.4.2). Второе же,
очевидно, является величиной не ниже второго порядка
малости. Таким образом, можно отбросить второе и третье сла-
гаемые в выражении (2.4. 2). Подставив вместо F. с (т) развёр-
з-
35
нутое выражение (2.4.2'), получим основную формулу для
определения комплексной амплитуды выходного напряжения
t
Д(/)=^-/д(т)?((-т)е"’1(’,х^. (2.4.4)
О *
Здесь обозначено
.7(/) = А?(/)4-1Дс (/). (2.4.4')
Из проделанных вычислений следует, что если напряжение
на входе задано не ур-нием (2.2.5), а
e(t) = Е (/) cos [ы/ + Н (/)], (2.2.21)
то и напряжение на выходе получится в виде
и (/) =D (t) cos [to/+ ф (/)]. (2.2.22)
Поэтому, если нужно найти решение, при напряжении на
входе, заданном (2.2.21), то напряжение на выходе в форме
(2.2. 22) можно найти как действительную часть решения в
виде (2. 2. 6), т. о.
zz(Z) = Re/)(/)ei”’/. (2.4.5)
Таким образом, выражение (2.4.4), являющееся наиболее
общей формой интеграла Дюамеля для огибающих, даёт воз-
можность определить огибающую и фазу на выходе через
огибающую на входе п расстройку, а также огибающую
при единичном толчке. Рассмотрим применение этой формулы
для некоторых важных частных случаев.
2. При отсутствии расстройки (Д<о = 0) из (2.4.4) полу-
чаем
I) (t) = -£ fJ4(z)E\t — r)d-. (2.4.6)
Согласно (2.4.6), если Н 'z? -const, то фаза у D А)
зависит от времени тогда, когда А (/) — комплексная. Отсюда
следует, что для четырёхполюсников, у которых А (?) — дей-
ствительная или мнимая (см. ниже стр. 39) при отсутствии
расстройки и 0 (Z) = const медленно устанавливается только
амплитуда, а фаза устанавливается мгновенно.
Особо важным является случай огибающей входного напря-
жения в форме единичного толчка, т. е.
Z?(t)^l.
36
Комплексная амплитуда на выходе, которую мы условились
в п. 2.2 обозначать через В (t), для этого случая из (2.4.4)
имеет вид
В^= f^(T)e-iJwTrfT. (2.4.7)
О
Для упрощения вычислений удобно выразить огибающую
на выходе D при любой форме огибающей входного напряже-
ния Е через В. Интегрируя (2. 4. 4) по частям с использова-
нием (2.4.7), получаем выражение, решающее поставленную
задачу
D (/) = Е (0) B(f> -ф I В(т) ~Е' (t — т) dx. (2.4.8)
О
Это выражение полностью совпадает с одной из форм
записи интеграла Дюамеля (1. 3. Г) и отличается от него тем,
что последний устанавливает связь между мгновенными
величинами, в то время как (2.4. 8) даёт связь между огибаю-
щими. При этом вместо напряжения при единичном толчке
здесь фигурирует огибающая на выходе B(t), когда огибаю-
щая на входе имеет форму единичного толчка. При практиче-
ских вычислениях наиболее удобно пользоваться сначала
(2.4.7), а потом (2.4.8).
Для случая единичной амплитуды на входе при отсутствии
расстройки из (2.4.7) получаем
B(/) = -^-/X(T)dT. (2.4.9)
О
Простота этой формулы подчёркивает удобство, которое
даёт развиваемый здесь метод непосредственного вычисления
медленно меняющихся огибающих. В данном случае переход
от A(t) к B(t) сводится к простой квадратуре. Из (2.4.9)
следует также обратная формула, выражающая A (t) через
B(t)
(2л-10)
Эта формула будет использована нами в дальнейшем при
37
выводе выражения для вычисления ^(t). Поскольку B(t) есть
медленно меняющаяся функция времени, то из (2. 4. 10) сле-
дует, что A (t) является величиной первого порядка малости,
т. е. пропорциональна р. Таким образом, из (2,4.10) можно
сделать общий вывод, что A (t) пропорциональна полосе про-
пускания и обратно пропорциональна частоте резонанса.
2. 5. Расчёт огибающей при единичном толчке
1. Чтобы вывести символическое уравнение для вычисления
огибающей на выходе при единичном толчке, т. е. A(t), доста-
точно сопоставить укороченное символическое уравнение для
B(t) с интегралом Дюамеля для огибающих. В частном случае,
когда расстройка отсутствует и амплитуда на входе имеет
форму единичного толчка, В (t) удовлетворяет символическому
уравнению
£(/) =£(1й; 1. (2.2.26)
С другой стороны, из интеграла Дюамеля для этого же слу-
чая получено выражение, в котором A(t) определяется через
B(t)
<2'4J0>
Поскольку из (2.4.9) следует, что огибающая B(t) удовлет-
воряет условию В(0)=0, можно применить теорему умножения
>(1.5.1), согласно которой символическое уравнение для
производной получается умножением на оператор. Таким об-
разом, из (2.2.26) получим для производной от огибающей
B(t) символическое уравнение
^ = iQ£(iQ)l.
Подставив это выражение в (2.4.10), получим искомое
символическое уравнение для ?l(t)
—> 2
Л (/) =—iQ£(iQ)l. ' (2.5.1)
со0
38
2. Согласно изложенной в гл. 1 общей теории огибающую
A(t) можно найти, применяя формулу Бромвича (1.4,10) к
решению символического ур-ния (2. 5. 1). Тогда
+ ioo + a
= k{p)^ptdp.
— ioo+;a
(2.5.2)
Кроме того, A (t) можно найти как решение интегрального
уравнения, которое получается из формулы Карсона (1.4. 11)
-- k(p) = f A(f)e~ptdt. (2.5.3)
(1)0 J
о
При практических решениях символического ур-ния (2. 5. 1),
помимо общих ф-л (2.5.2) и (2.5.3), следует широко исполь-
зовать методы операционного исчисления, изложенные в п. 1.5.
В заключение заметим, что согласно (2.5.3) A(t) будет
комплексной, если в к(р) — комплексные коэффициенты. Если
же они действительные, то и Л(/) будет действительной, если
иритом k(p) содержит в качестве множителя 1, то Л(/)
будет мнимой.
Назовём частотную и фазовую характеристики симметрич-
ными, если они удовлетворяют условию
17Z - । р 71 ।
<р(—2)±Л-„- i — ?(S2)±« 9
а>(—wje ~ 2 = £(Q)e k , (2.5.4)
где п — целое число или нуль. Тогда можно сказать, что для
симметричных характеристик A (t) будет действительной или
мнимой, а для несимметричных — комплексной.
2. 6. Сравнение расчётов по точным и укороченным уравнениям
Чтобы получить представление о степени упрощений, полу-
чаемых при применении укороченных уравнений, а также
«ценить величину допускаемых при этом ошибок, нужно срав-
нить решение какой-либо задачи по точным и укороченным
уравнениям. Ввиду большой громоздкости выкладок по пол-
ным формулам, ради их максимального упрощения проделаем
39
вычисления применительно к одной ступени резонансного уси-
лителя (рис. 3). Для этой схемы произведём вычисления для
наиболее важных случаев:
1) включение постоянного напряжения,
2) включение гармонического напряжения.
1. Включение постоянного напряжения
Сначала рассмотрим решение по полному уравнению. Сим-
волическое уравнение для выходного напряжения при вклю-
чении на вход единичного толчка имеет вид
a(/) = £(io>) 1. (2.6.1)
Полное выражение символического коэффициента усиления
даётся ф-лой (2.3.3), которую мы перепишем, положив £о= 1
~ / iw \
о I---|— SI
Z’(iw)= --------------• (2.3.3)
/ i to \2 , „ iw , ,
Введя обозначение — = р, получаем
со0
8_(£±8)
k Р 2 + + 1
Это выражение можно переписать ещё иначе
. . . 6 (р 8 ) о
k (р) = -----. > (2.6.2)
где Pi и р., — корни характеристического уравнения:
^р2 + 8р + 1=0
8 1:1/; 82 (2'6'3'
А,2=-2±1|/1- 4
Символическое ур-ние (2.6. 1) проще всего решить, приме-
нив теорему разложения. В данном случае, когда име-
ются два простых некратных характеристических корня,
решение даётся ф-лой (1. 5. 9). При употреблении этой форму-
лы следует ещё иметь в виду, что вместо i ю у нас оператор
р = -1W , поэтому на основании теоремы подобия (1.5.4) вме-
40
сто времени I следует писать безразмерное время /. Для
рассматриваемого случая из ф-лы (1. 5. 9) получим
a(/) = ^(0) + A1ePl'”o^+^e-P2a,°-, (2.6.4V
где
Р 1Р=Р1.2
Выполняя соответствующие вычисления, найдём:
6(0) = 8‘2, (2.6.5''
• (2.6.6}
Подставив в выражение (2.6.6) значения характеристиче-
ских корней (2.6.3), после преобразования получим
(2.6.7'
Подставив в ф-лу (2.6.4) выражения (2.6.5) и (2.6.7).
получим решение в следующем виде
а (/) =
г , / 8 t
2 sin w1t -)-8ll—е cosn^/
(2.6.8)
где через w ] обозначена частота свободных колебаний
/---р
<0!=<0о 1/1—1 •
г 4
Для удобства дальнейшей дискуссии перепишем решенш
(2. 6. 8) в следующей форме
— Q О 1
а (/) = 8 5 + R е 2 siniwj/—?) р
(2.6.9)
41
где
~i/7 _ 8 2
°V1 4
tgT= _
1 2
Решим теперь ту же задачу, пользуясь укороченным симво-
лическим уравнением
—> 9
А (/) = - -iQ£(iQ) 1. (2.5.1)
<оо
Укороченное выражение для коэффициента усиления одной
ступени резонансного усилителя даётся формулой
Z>(ia) = .-^- (2.3.5)
' 1 4- ia
Поскольку в ур-нии (2.3.5) употребляется обобщённая
расстройка, целесообразно ввести её также в символическое
ур-ние (2. 5. 1). При этом вместо времени t следует подставлять
. 5 . • 22
безразмерное время х = так как 1а —1 •
Проделав указанную замену вместо (2. 5. 1), получим
А (х) = 8ia£ (ia) 1. (2.6.10)
Подставив (2.3.5) в (2.6. 10) и заменив ia на р, получим
символическое уравнение
решение которого содержится в таблице в виде
4(х) = 5е ' (2.6.12)
Выражение для мгновенного напряжения на выходе по
ф-лам (2.4.1) и (2. 4.4') будет
a(l) = /ls(/)sinw0/ = 5e 2 sin w0/- (2.6.13)
42
Теперь можно сравнить решение по укороченному
ур-нию (2.6.13) с точным (2.6.9).
Первое слагаемое в выражении (2. 6. 9) обусловлено посто-
янным падением напряжения от анодного тока на сопротив-
лении г, находящемся в индуктивной ветви (рис. 3). Это
напряжение мало, последующими ступенями не усиливается
и не представляет для нас интереса. Поэтому нужно сопоста-
влять укороченное решение (2.6.13) со вторым слагаемым
выражения (2.6.9). Сравнение показывает, что если в
укороченном решении огибающую принять за единицу, то в
точном решении она равна К и отличается от единицы на
величины второго и более высоких порядков малости относи-
тельно 5. Если ограничиться учётом величин пропорциональ-
ных о2, то приблизительное выражение для //
показывает, что поправка на огибающую при точном решении
получается небольшой даже в случае большого затухания
(например, при 5 = 0,2 /> = 1,005).
Следовательно, поправка на величину огибающей на-
столько мала, что в технических расчётах она вообще не мо-
жет -быть заметна.
Кроме расхождения в величине огибающей, имеет ещё
место расхождение в законе изменения текущей фазы. В уко-
роченном решении текущая фаза даётся выражением «V, а
в точном — у. Различие между обоими решениями сво-
дится, во-первых, к поправке на частоту свободных колебаний
52 Л s2^
(0х = w0 У 1 — 4 ~ (1 - - ,
которая оказывается того же порядка, что и поправка на
амплитуду. Во-вторых, имеет место поправка в виде постоян-
ного сдвига фазы ср. Эта поправка, как видно из (2.6.9),
является величиной первого порядка малости.
2. Включение гармонического напряжения
Задача сводится к решению символического уравнения
u(t) = Z?(iw) e(t), (2.6.14)
в котором k (iw) даётся ф-лой (2. 3. 3), а напряжение на вхо-
де дано выражением, в котором 0 — постоянная
£>(/) = cos (w/-H Н). (2.6.14')
43
Найти решение для u(t) проще всего классическим мето-
дом составления решения дифференциального уравнения
второго порядка, которому эквивалентно символическое
ур-ние (2. 6. 14).
Начальное значение и(0) можно найти, пользуясь предель-
ным соотношением (1.5. 10)
//(0) = е(0) lim Х?(1о>). (2.6.15)
i <о —»о
Подставив в (2.6.15) выражения (2.3.3) и (2.6. 14').
найдём
ц(0)=0. (2,6,15)
Поскольку а (0) => 0, то согласно теореме умножения
(1.5.1) символическое уравнение для производной «'(/) будет
и' (/) = iw£ (iw) e(f).
Отсюда начальное значение для производной найдём из
выражения
и' (0) = ₽(0) lim iw£(iw), (2.6.16)
i <0 —> с
которое после вычисления даёт
и' (0) — 5 wo cos <-•.
(2.6.16')
по общему
Общее решение ур-ния (2. 6. 14) составляем
правилу из вынужденного и свободного решений в виде
«(0 =
— O>ot
= £(w) cos (w/-)-<-* — '(4"Т) + е ” ( I/ cos Wj/ф- Л sin W|Z).
(2.6.17)
методом.
c>. Из
Вынужденное решение определено комплексным
k (w) — модуль коэффициента усиления на частоте
ф-лы (2. 3. 3) имеем
( § <0° I
!•» w /
w wo
w0 w
СОЗ
СОЗ у
(2.6. 18)
44
где у и г определяются выражениями:
tgY = 8-^, (2.6.19)
to too
tgy=- 0)0 s <0 • (2.6.20)
Определив произвольные постоянные M и N из начальных
условий (2.6.15') и (2.6.16), преобразуем выражение
(2. 6. 17) к виду
й i
— «’о
м(7) = &(ш). cos(to/4~6—- -/-f- у)--е 2 cos (to]—7 + 7)4
. <5 Г 2(to — to,) . , м0
4- r - V Sin H—7 4- 7 — cos (W - 7 4- 7) -4
2 I to] о to]
8 t
too cos 7 I —• 2 ">0
----------‘ cosH e 2 sin to]/.
tot cos 7 I
(2.6.21)
Это точное выражение слишком громоздко и неудобно для
дискуссии. Упростим его, отбросив величины, порядок малости
которых 52 н выше. При этом будем считать, что относитель-
ная расстройка
А со___ ы — соо
СО о СОо
является величиной первого порядка малости. С указанной
степенью точности выражения (2.6.18), (2.6.19) и(2.6.20)
могут быть переписаны следующим образом:
k (to) = - - -1— , (2.6.22)
1/1 +7~W)2
v 1 \ to08 /
tg7 =
2 Дм
to0 5
(2.6,23)
(2.6.24)
Кроме того, поправка на частоту сказывается только при
учёте величин не ниже второго порядка малости, поэтому мож-
мо считать
toG = to] .
45
В результате упрощений решение для u(t) (2.6.21) с точ-
ностью до величин второго порядка малости относительно 8
оказывается следующим:
—
а(/) = ^(©) соз(«о/4~0— S+<p) — е . cos(too/4~e — 5+ф) +
8 4.
8 cos 0 — 2 ,J,o1 с ОСЛ
_l -------е 2 sinwo/}- (2.6.25)
2 cos <р v '
Найдём теперь решение при помощи укороченных уравне-
ний. Комплексная огибающая на выходе при включении на
вход гармонического напряжения единичной амплитуды будет
B(i) = ~ [ A (T)e-iA<0TrfT. (2.4.7)
2 о
Для удобства вычислений преобразуем ф-лу (2.4.7), заме-
5
нив время t и расстройку безразмерным временем х=
и обобщённой расстройкой р=-—Тогда ф-ла (2.4.7)
(Оо о
примет вид
(2.6.26)
О
Подставив в (2. 6. 26) решение для А (х) (2. 6. 12), получим
£(x) = /e-(1 + ip^?
О
и после вычисления интеграла найдем выражение
Д(л) = £(ip){ 1 — e~(1 + fp)x|, (2.6.27)
где k (ip) — коэффициент усиления при расстройке
46
Для сравнения указанного решения с точным нужно пе-
рейти от комплексной огибающей (2.6.27) к мгновенному
напряжению на выходе по формуле, вытекающей из выражения
(2. 4.5),
-=• i (<о 14 0)
u(/) = Re£(/)e .
После простых преобразований найдём укороченное выра-
жение для мгновенного напряжения на выходе
«(/) —
а
=£(Д<о) cos (ш t + 0 + <р) — е 2
'-'V
COS (w0/ + 0 + <р) • (2.6.28)
Выражения для k (Дм) и ? совпадают с ф-лами (2. 6. 22)
и (2.6.24).
Укороченное решение получилось того же вида, что и точ-
ное. При сравнении (2.6.25) с (2.6. 28) оказывается, что
точное решение отличается от укороченного на величины
порядка Я, т. е. первого порядка малости. Поправки сводятся,
во-первых, к поправке на фазу, не зависящей от времени, — 5,
и, во-вторых, к поправке, зависящей от времени, которая
определяется третьим членом в выражении (2.6.25). Величи-
на этого члена зависит от фазы напряжения на входе 0,
когда 0 = +~~, он обращается в нуль. При представлении
точного и приближённого решений в виде гармонического ко-
лебания с частотой внешнего напряжения и некоторой
огибающей и фазой выясняется, что расхождение в величине
огибающей и текущей фазы между обоими решениями оказы-
вается порядка 3- В худшем случае ошибка может доходить,
повидимому, до 10—20%, что для технических расчётов допу-
стимо. Вместе с тем укороченные решения выгодно отличают-
ся от точных своей простотой.
ГЛАВА 3
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ИДЕАЛИЗИРОВАННЫХ
ИЗБИРАТЕЛЬНЫХ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКАХ
3. 1. Постановка вопроса
Прежде чем переходить к рассмотрению переходных про-
цессов в конкретных схемах усилителей высокой частоты,
остановимся на переходных процессах в некоторых идеализи-
рованных системах с заданным коэффициентом передачи
напряжения. Уравнение коэффициента передачи будет выби-
раться так, чтобы, во-первых, подчеркнуть наиболее характер-
ные свойства реальных четырёхполюсников, во-вторых, чтобы
не получалось сложных формул.
Переходные процессы в идеализированных четырёхполюс-
никах представляют интерес по следующим причинам. Идеа-
лизация уравнения коэффициента передачи позволяет упро-
стить задачу, отвлечься от некоторых частностей, но зато
рельефнее выявить принципиальные положения. На основе
сделанных здесь выводов, можно анализировать протекание
переходных процессов в реальных схемах, дЛя которых полу-
чаются более сложные уравнения.
Кроме того, переходные процессы в идеализированных
четырёхполюсниках представляют и некоторый практический
интерес. Во многих случаях теоретических исследований и
практических расчётов желательно быстро учесть переходные
процессы в избирательном устройстве, задаваясь только одной
конкретной величиной — полосой пропускания. В этом случае
можно воспользоваться уравнениями для идеализированных
четырёхполюсников, выбрав такое уравнение для коэффициен-
та передачи, которое обеспечивает наиболее близкое совпаде-
ние с результатами для реальных схем.
Наплучшее совпадение с реальными схемами дадут урав-
нения для коэффициента передачи, полученные в результате
предельного перехода от уравнения для реальных схем. На-
пример, для резонансного усилителя с бесконечным числом
ступеней решение получается значительно проще, чем для
48
конечного числа ступеней, в то же время оно близко совпадает
с решением для конкретных схем. Ниже рассматриваются
следующие примеры идеализированных четырёхполюсников:
1) Неискажающий четырёхполюсник.
2) Резонансный усилитель с бесконечным числом ступеней.
3) Полосовой фильтр, содержащий п звеньев.
4) Идеальный полосовой фильтр.
Переходные процессы для каждого четырёхполюсника, за
исключением первого, рассматриваются при включении на вход
трёх видов напряжения:
1) постоянного,
2) гармонического,
3) гармонического, с амплитудой, медленно возрастающей
по линейному -закону.
Причины выбора первых двух задач ясны, а последняя
выбрана для того, чтобы, во-первых, на этом примере пока-
зать запаздывание огибающей на выходе относительно
огибающей на входе и, во-вторых, чтобы, решив эту задачу,
в дальнейшем строить форму огибающей на выходе, при оги-
бающей на входе в форме треугольника.
3. 2. Неискажающий четырёхполюсник
Пусть на вход некоторого четырёхполюсника, коэффициент
передачи которого задан в показательной форме
£(iw) = £(w)eicp-(<0), (3.2.1)
в момент времени t=0 включается гармоническое напряжение
с амплитудой, изменяющейся по некоторому произвольному
закону
е(/) = E(t) cos w01. (3.2.2)
Представим огибающую E(t) интегралов Фурье согласно
ф-ле (1. 2. 1)
Е />(1й)е’2^0. (3.2.3)
— со
Здесь F(i^) — частотный спектр огибающей
F (iQ) = (/) е ~f 2 (3-2.4)
О
Подставив (3.2.3) в (3.2.2), предварительно заменив
гармоническую функцию через показательные по формуле
Эйлера, получим
4 — 9219.
49
Выражение (3. 2. 5) показывает, что частотный спектр гар-
монического напряжения (3. 2.2) образуется из частотного
спектра огибающей (3.2.4) путём переноса его симметрично
относительно несущей частоты wo с половинной амплитудой.
Таким образом, спектр' гармонического колебания, амплитуда
которого не является периодической функцией времени,
образуется по тому же закону, что и спектр колебания,
амплитуда которого модулирована несколькими гармонически-
ми тонами. Разница состоит лишь в том, что вместо дискретных
боковых частот получается сплошной спектр.
Напряжение на выходе четырёхполюсника мы найдём из
(3.2.5), используя уравнение для коэффициента пере-
дачи (3. 2. 1)
Й(/)= А f £<^-Ь({о0^(2)е1!((0о+к>)'+:р((0о+а)] +
£ i • V £
+ ^(w0-2)e-i[ (3.2.6)
Применив написанные выше выражения для случая, когда
основные частоты спектра огибающей заключены в интервале
частот 0<: AQ, можем вместо (3. 2. 3) написать
Л(/)^^ J/’(iQ)ei£U dQ.
“-ДО
(3.2.7)
Предположим, далее, что коэффициент передачи в пределах
спёктра, занимаемого входным- напряжением е (/), т. е. в
интервале частот
w0 — AQ w < Wo + А--,
можно представить следующими уравнениями:
k (w0 + й) = k (w0)
ср (Wo + Q) = Ср (wo) — /ой
(3. 2. 8)
50
где
Иначе говоря, полагаем, что модуль коэффициента пере-
дачи остаётся постоянным в пределах высокочастотного спект-
ра, а фазовую характеристику можно заменить уравнением
прямой линии.
Из выражения (3.2.6) при k и <р,заданных ур-ниями 3. 2.8),
получаем
+Д2
гг ,Z) = /&(<do)cos [и)о/Ч-ср(шо)] 21- f F(iQ)ei2^"^rfQ. (3.2.10)
-Д2
Сравнивая выражения (3.2.10) и (3.2.7), замечаем, что
выражения под интегралом совпадают, только вместо t в
(3. 2. 7) в (3. 2. 9) стоит t — t{>. Следовательно, напряжение
на выходе, которое можно записать окончательно в виде
и (/) = k (ю0) Е (t — /0) cos [(1>0/ + («о; ], (3.2.11)
отличается от входного (3.2.2) масштабом [/Hw0) вместо 1]
и фазовым сдвигом — фаза несущей изменилась на ? (<о0)-
Величина определяет время, называемое обычно
«о
временем запаздывания фазы. Кроме того, имеет ещё место
запаздывание огибающей па время t., определяемое по
ф-ле (3.2.6). Поскольку наличие огибающей связано с появ-
лением вместо одной несущей группы волн, время С называется
временем группового запаздывания пли временем группового
пробега. Время группового пробега при частоте w0 геометри-
чески определяется угловым коэффициентом касательной
к фазовой характеристике в точке, соответствующей частоте
[ф-ла (3.2.9)].
Запаздывание огибающей не меняет её формы, поэтому
можно сделать общий вывод, что неискажающий четырёхпо-
люсник должен иметь в пределах передаваемого спектра
равномерную частотную и линейную фазовую характеристики.
Для выяснения зависимости ширины спектра от формы
огибающей вычислим плотность частотного спектра для оги-
бающей в форме прямоугольника с длительностью Т и с высо-
той, равной единице. Подставляя в ф-лу (3.2.4) £(t)—1 и
интегрируя в пределах от 0 до Т, получаем
КПЙ) = f e“'1£V^=1“en—• (3.2.12)
' J , 4 1 9
О
4*
51
Представив F (iS) в показательной форме
после простых преобразований из (3. 2. 12) найдём выражения
для модуля и фазы спектральной плотности:
(3. 2. 13)
На рис. 6 по ф-ле (3. 2. 13) построен график частотноге
спектра. Из графика видно, что вообще частотный спектр про-
стирается на всю область частот от 0 до со. Однако, главную
роль, очевидно, играет та область частот, где модуль частот-
Рис. 6. Частотный спектр прямоугольного импульса.
ного спектра относительно велик. В этом смысле иногда
говорят, что ширина спектра, занимаемого прямоугольным
импульсом, обратно пропорциональна его длительности.
Резюмируя, можно сказать, что абсолютно неискажающим
будет лишь такой четырёхполюсник, у которого полоса
пропускания бесконечно широка, а фазовая характеристика
совершенно линейна. Реальный четырёхполюсник будет вно-
сить тем меньше искажений, чем больше полоса его прозрач-
ности и линейности фазовой характеристики по сравнению с
шириной передаваемого спектра частот. Таким образом,
один и тот же четырёхполюсник может быть «неискажающим»
52
мри передаче узкого спектра, т. е. широких импульсов и «иска-
жающим» при передаче широкого спектра, т. е. коротких
импульсов.
3. 3. Резонансный усилитель при п = <»
В п. 4. 1 будет показано, что если в резонансном усилителе
(рис. 3) при увеличении числа ступеней (п ) так увеличивать
затухание контуров, чтобы полоса пропускания (2 Л 42), отне-
сённая к заданной неравномерности коэффициента усиления
), оставалась постоянной, то в пределе при п -> для
коэффициента усиления получается выражение
— —-1 —
£(iQ) = e °. (3.3.1)
Коэффициент усиления на резонансной частоте здесь взят
равным единице и введены обозначения:
ДЙ' =
_ДЙ
I ' ln Л'д
(3.3. 2)
Из выражения (3.3.1) видно, что при п °° частотная
характеристика (рис. 7) имеет форму кривой нормального
распределения вероятностей Гаусса; фазовая же характеристи-
ка в пределе при п -* <•- превращается в прямую линию, опи-
сываемую уравнением <р = — Й/о-
Время группового запаздывания t0, как видно из
ф-лы (3.3.2), растёт пропорционально Vn и оказывается беско-
нечно бОЛЬШИМ При tl ~ со.
1. Включение постоянного напряжения
Для вычисления огибающей A(t) при включении на вход
единичного толчка нужно воспользоваться ф-лой (2.5.2),
выражающей A (t) в интегральной форме, •днако, в тех слу-
чаях, когда непосредственно заданы частотная и фазовая
характеристики четырёхполюсника, более удобной является
запись не в форме, принятой в операционном исчислении, т. е.
через р, а непосредственно через iQ, в форме, характерной
53
для записи интеграла Фурье. Перепишем ф-лу (2. 5. 2), взяв
а = 0 и заменив р через i Q.
Д(/) = -J -f £(iQ)eia^Q. (3.3.3)
После подстановки (3.3. 1) выражение (3.3.3) можно при-
вести к виду
Рис. 7. Частотная характеристика резонансного усилителя
со—ix
АО' — х2 С -Е2
Л(%) = - — е / е 5 d', (3.3.4)
TCWo J
— ОО —ix
где х — безразмерное время, для которого начало отсчёта соот-
ветствует истечению времени to
х= ~ МГ(/-/0).
Значение интеграла (3. 3. 4) равно ]/П1.
Таким образом, получим
Я(л) = -^е~*2. (3.3.5)
w0 ]/т.
54
График огибающей, построенный по ур-нпю (3.3.5), пока-
зан на рис. 8. Полоса пропускания отнесена к неравномерности
£д — У 2. Из ур-ния (3. 3. 5) и графика можно сделать следую-
щие выводы. Максимальная высота огибающей на вьщоде
получается по истечении времени группового запаздывания, т. е.
Рис. 8. Огибающая на выходе резонансного усилителя )
при включении постоянного напряжения.
через бесконечно большой отрезок времени; она пропорцио-
нальна полосе и обратно пропорциональна частоте резонанса,
т. е. 2Д///0. Ширина импульса огибающей, которую можно
определить, например, на уровне 0,1 от максимальной высоты,
обратно пропорциональна полосе. Наконец, если начало коорди-
нат помещено в точку t=t , то кривая симметрична относи-
тельно оси ординат и так же, как и частотная характеристика,
соответствует кривой Гаусса.
2. Включение гармонического напряжения
Для вычисления огибающей на выходе В (t) при включении
па вход гармонического напряжения единичной амплитуды
воспользуемся интегралом Дюамеля для огибающих в форме
55
= J A(x)e-‘^dx,
О
(2.4.7)
где Д io = to — ю„ — расстройка между частотой напряжения
на входе и частотой резонанса. Подставив в (2. 4. 7) решение
для A(t) в форме (3.3,5) и введя обозначения: относитель-
Д w
ная расстройка —р = д,7-,; безразмерное время запаздывания
х0 = g ДЙ70,
получим
x+ip
В(х) = -(’7Л^ f e'^t,
у л J
-xo+ip
(3.3.6)
где k (i Д w) — коэффициент передачи четырёхполюсника при
расстройке.
Интеграл (3.3.6) можно свести к функции Крампа, или
интегралу ошибок Гаусса 16). Функция Крампа, определяемая
формулой
Z
е dl,
(3.3.7)
обладает свойствами
Ф( — z) = ~ Ф(г); ф(оо)=1.
Выразив (3.3.6) через функцию Ф и выполнив пре-
дельный переход при х0 оо, получим
В(х) = £
(3.3.8)
Из (3. 3. 8) видно, что в общем случае огибающая на вы-
ходе выражается через функцию Крампа от комплексного
аргумента. Лишь в частном случае, при отсутствии расстройки
(р =. 0), огибающая будет определяться через ту же функцию
от действительного аргумента
В(л)=-2 + ^Ф(х). (3.3.9)
36
Расчёты по ф-ле (3. 3. 9) не представляют труда, поскольку
функция Ф от действительного аргумента табулирована.
Производить расчёты по ф-ле (3. 3. 8) сложнее потому, что
нет таблиц для функции Ф от комплексного аргумента.,
В случае небольшой расстройки (р < 1), огибающую по
ф-ле (3.3.8) можно вычислить путём разложения функции
Крампа в ряд Тейлора по степеням мнимой части аргумента
ip следующим образом
0(x + ip)=X (3.3.10)
т=0 П •
Для определения модуля и фазы огибающей -В(х) функцию
Ф надо представить в виде суммы вещественной и мнимой
частей
Ф(л -|- ip) = Re Ф-|- iIm Ф, (3.3.11)
Из сравнения (3.3.10) с (3.3.11) следует, что действи-
тельная часть будет выражаться через чётные, а мнимая через
жечётные степени расстройки;
ОО 2т
^Ф=^'Ф”{Х^
ОО 2т + 1
(3.3. 12)
Еслир<1 (например, р = 0,6), то ряды (3.3.12) хорошо
сходятся, и при вычислении оказывается практически доста-
точным принять во внимание по три члена ряда. Подобное
вычисление облегчается тем, что в справочнике по специальным
функциям1161 содержатся таблицы для первых ^щести произ-
водных функции Ф.
Для исследования переходных процессов ф-лу (3.3.8)
целесообразно представить в виде произведения комплексного
коэффициента усиления на некоторую комплексную функцию,
которую- назовём функцией установления
В (x) = Z’(i Ды)В0.
(3.3.13)
Если вещественная и мнимая части функции установления
жзвестны, то без труда можно вычислить установление и
амплитуды и фазы. Сопоставляя (3.3.13) с (3.3.8). и
(3. 3.11), найдём:
57
ReB0= |+^Re0
(3.3.14)
ImZ?o = xlm Ф
A
Модуль огибающей на выходе определяется из выражения
Рис. 9. Огибающие на выходе резонансного усилителя (п = )
при включении гармонического напряжения.
На рис. 9 показаны графики установления амплитуды,
рассчитанные по ф-ле (3.3.9) для включения настроенного
напряжения и по ф-ле (3.3. 15) при включении расстроенного
напряжения1). Полоса пропускания отнесена к неравномерно-
сти = J'z2. На рис. 10 отдельно показаны относящиеся к
рис. 9 графики для действительной и мнимой частей функции
установления.
х) Под ’«расстроенным напряжением» понимается напряжение, частота
которого не совпадает с резонансной.
58
Из рассмотрения графиков на рис. 9 можно сделать сле-
дующие выводы. Через время группового запаздывания (4)
огибающая при настройке достигает половины стационарного
значения. Если определять время установления (/у) по раст-
вору кривой установления, соответствующему значениям оги-
бающей 0,05 и 0,95 от стационарного, то из графика получает-
ся 2Д//у = 0,9. Следовательно, при настройке время установ-
ления определяется через полосу пропускания формулой
Рис. 10. Действительная н мнимая части функции установления для
резонансного усилителя (п =.• .).
Можно указать на следующие особенности переходных
процессов при расстройке: во-первых, для установления ста-
ционарного значения требуется меньшее время, нежели опре-
деляемое по ф-ле (3.3.16), во-вторых, наблюдается осцнллиро-
вание огибающей вокруг стационарного значения за счёт
интерференции между свободными и вынужденными колеба-
ниями. При расстройках порядка ширины полосы, как на
ри(?. 9, эта интерференция практически незаметна.
59
3. Включение напряжения с амплитудой,
возрастающей по линейному закону
Будем считать, что в момент времени t=0 на вход вклю-
чается гармоническое напряжение с амплитудой, медленно
возрастающей по линейному закону согласно выражению
Л(/)=|ы0/. (3.3.17)
Коэффициент s — угловой коэффициент огибающей на
входе. Для того, чтобы нарастание амплитуды можно было
считать медленным, коэффициент е должен быть малой вели-
чиной порядка относительной полосы пропускания, т. е.
2Д/
£~ /о ”
Для вычисления огибающей на выходе воспользуемся фор-
мулой
t
Щ/) = Я(/)£(0) + у'/У(т)Л'(/-т)Л. (2.4.8)
О
В том случае, когда огибающая на входе задана
ур-нием (3.3.17), из (2.4.8) получим
t
= J B(x)dx. (3.3.18)
О
Подставив в ф-лу (3.3.18) вместо B(t)
(3.3.8), после несложных преобразований найдём
выражение
3(x) = -2^^(iAW)
X-J-fp
-Хо+’Р
(3.3.19)
Интеграл от функции Ф вычисляется путём интегри-
рования по частям, при чём вместо производной от функции
Ф согласно определению её ур-нием (3.3.7) следует под-
ставлять
Ф’ (г) — -- е **•
Ук
Вычислив интеграл в (3. 3. 19) и перейдя к пределу прй
-> оо, получим
•о
Д(%) =
= -^A(iAto)|(x + ip)[l + 0(x+ip)] + ^e-(x+ip)3 }. (3.3.20)
В частном случае, когда расстройка отсутствует (р = 0),
из (3. 3. 20) следует
£w=S3S>{*U+ «») +Jje
Для больших значений времени из (3.3.21) получаем
асимптотическое выражение для огибающей
(3. 3.21)
Рис. 11. Огибающая на выходе резонансного
линейно возрастающей амплитуде
усилителя (п = «,) при
на входе.
Отсюда следует, что по истечении процесса установления
огибающая на выходе будет нарастать по тому же закону,
что и огибающая на входе, но с запаздыванием на время te.
График установления огибающей, построенный по
ур-нию (3.3.21), показан на рис. 11. Полоса пропускания на
этом графике так же, как и на всех предыдущих, отнесена к
неравномерности = |/ 2.
61
3 4. Полосовой фильтр
Рассмотрим полосовой фильтр, составленный из п простых
звеньев (рис. 12) и допустим, что он нагружен на характери-
стическое сопротивление. В этом допущении и состоит
идеализация четырёхполюсника. Коэффициент передачи в этом
случае определяется выражением
/г (i со) = е~~”(3.4.1)
где у — постоянная передачи, определяемая из следующего
уравнения 1171
(3.4.2)
Здесь р = —', 2 Д Q —
Рис. 12. Схема звена полосового
фильтра полоса прозрачности фильтра,
<о0—частота, равная средней
геометрической из частот среза. Для краткости назовём её
частотой резонанса.
Для получения из ур-ния (3. 4. 2) укороченного уравнения
для постоянной передачи нужно воспользоваться правилами,
изложенными в п. 2.2. Чтобы установить аналогию между
ур-нием (3. 4. 2) и уравнением для коэффициента передачи
(2.2. 1), придадим (3.4.2) следующий вид
=h Y
2 — pA(iw)
(3. 4.2')
где Р и Q — полиномы от оператора i w. Для составления
со Q
укороченного уравнения заменим в ур-нии (3.4.2')— = 1-)-- >
(О о (О о
где Wo — корень уравнения
^(iw0) = 0,
Q
и, считая р и относительную расстройку — величинами
• ' Wo
первого порядка малости, отбросим в числителе и знаменателе
(3. 4. 2) величины, порядок малости которых больше первого.
Тогда искомое укороченное уравнение для постоянной переда-
чи получается в виде
62
sh
Y __
2 W
(3.4.3)
На рис. 13 показаны частотные и фазовые характеристики
полосового фильтра при числе звеньев /г=1 и п—Ь, построен
ные по укороченному урав-
нению (3.4.3). Из этих кри-
вых видно, что с увеличением
п частотная характеристика
быстро приближается к иде-
альному прямоугольнику —
при и =5 отступление от
прямоугольника уже очень
мало. Из фазовой характе-
ристики, в полосе прозрач-
ности, описываемой уравне-
нием
у
ср = —2n arc sin (3.4.4)
можно определить время
группового запаздания для
частоты резонанса по ф-ле
(3.2.9)
_ _ Гdс?] _ _2д
(3.4.5)-
Из ур-ния (3. 4. 4) видно,
что фазовая характеристика
полосового фильтра нелиней-
на, при чём отклонение от
прямой, угловой коэффициент которой определяет /0. увеличи-
вается с возрастанием п. Ниже будет показано влияние воз-
растания нелинейности фазовой характеристики с увеличени-
ем п на протекание процессов установления. Необходимое
для расчёта переходных процессов укороченное символическое
выражение для коэффициента передачи можно получить, пре-
образовав (3. 4. 1) согласно формуле
е2 = sh *' + J/1 +sh^,
а затем подставив в полученное выражение (3.4.3). В резуль-
тате получим
63
Располагая ур-нием (3. 4. 6), можно приступить к рассмот-
рению переходных процессов в полосовом фильтре.
1. Включение постоянного напряжения
Вычислим огибающую на выходе A (t) при единичном
толчке на входе, при помощи символического уравнения
— 9
Л(/) =—i2£(iQ)l. (2.5.1)
(Dq
Подставив (3.4.6) в (2.5.1) и введя новый оператор
i У .
р= и вместо времени t безразмерное время х = ДУ г,
получим для А (х) символическое уравнение
А (х) = рр(р + j/1 +/’2) 2" 1 • (3.4.7)
Здесь, как и ранее, относительная полоса прозрач-
ности
2 ДУ
Уравнение (3. 4. 7) проще всего решается методом степен-
ных рядов (1.5.5). Для этого ур-ние (3.4.7) нужно разло-
жить в ряд по отрицательным степеням оператора р
Г, Г 1 2и 2п(2п-|-3) т
А (х) — р2л-1 । !22n+2p2n+i 2! 22n+4pin+^ "J1
и затем, заменив отрицательные степени оператора пв
формуле
х”= 1 ]
т! рт ’
получим решение в виде степенного ряда
А (х) =
Г х2""1__________2пх2я+1 ___2пл2п+3 ,1 (3 48)
" И 1-22п(2п-1)! 1! 22"+2(2л+1) ! + 2 !22,1+4(2п+2)!
64
Это решение можно свести к функции Бесселя. Чтобы убе-
диться в этом, достаточно сопоставить ряд (3. 4. 8) с представ-
лением в виде ряда функции Бесселя порядка 2п [18]
2,г 2п+2 2л+4
J / у) —___-_____________-____________I---------------- — ...
2"{ 224(2«)! 1!22"+2(2п + 1)! 2!22п+4(2п + 2)!
Отсюда найдём решение для А (х) в виде
> О tj
A(x) = |i (3-4.9)
Рис. 14. Огибающая на выходе полосового фильтра при включении
постоянного напряжения.
На рис. 14 и 15 показаны графики огибающих, построенные
по ур-пию (3.4.9) для различных п. После возникновения
первого импульса огибающая осцилляторно затухает, колеблясь
вокруг состояния покоя. С увеличением п высота первого
максимума становится меньше, а последующие максимумы,
наоборот, по сравнению со случаем п= 1 возрастают. Частота
осциллирования огибающей при большом t приближённо рав-
до
на половине полосы прозрачности . Из общей теории
функций Бесселя 1231 известно, что при больших х их
— 1/2
максимумы затухают как х , поэтому из ур-ния (3.4.9) сле-
дует, что максимумы огибающей А(х) при больших х умень-
- 3/3
вдаются как х
5 — 9219.
65
2. Включение, гармонического напряжения
Подставив выражение (3.4.9) в (2.4.7), получим ин-
теграл, к вычислению которого сводится задача
В(х) = 2п (
о
(3.4.10)
Рис. 15. Огибающая па выходе полосового фильтра при включении
постоянного напряжения.
При отсутствии расстройки огибающая определяется через
интегральную функцию Бесселя
X
/ \ О /* /г
В{х)=2п J —।—я;.
О
(3.4.11)
Ввиду отсутствия таблиц для интегралов типа (3. 4. 10) и
(3.4.11) приходится вычислять их методами приближённого
интегрирования. Мы ограничились вычислением огибающей
при отсутствии расстройки по ф-ле (3.4.11) путём.планимет-
рирования кривых на рис. 14 и 15. Результаты вычислений
показаны в виде графиков на рис. 16 и 17 [точками отмечено
время группового запаздывания /0, определённое по ф-ле
(3.4.5)]. По истечении времени t0 огибающая достигает 0,4—
66
0,35 стационарного значения. Вокруг стационарного значения
огибающая совершает постепенно затухающие колебания,
«амплитуда» которых возрастает с увеличением п. Определив
время установления огибающей так же, как это делалось выше
(т. е. на уровнях 0,05 и 0,95 от стационарного), получим:
при п = 1 2 &fty = 0,95,
при п = 5 2 Д fty =1,6.
Рис. 16. Огибающая на выходе полосового фильтра при включении
гармонического напряжения.
Полученные цифры показывают, что время установления
увеличивается с увеличением числа звеньев, хотя полоса про-
зрачности остаётся при этом неизменной. Увеличение это
происходит с ростом п линейно; поэтому для любого п
время установления можно определить формулой
2 Д/4 = 0,95 +0,163 (n — 1). (3.4.12)
Причина зависимости времени установления от числа
звеньев состоит, очевидно, в нелинейности фазовой характери-
стики. В то время как с увеличением п частотная характерн-
ее
»
67
стика стремится к идеальному прямоугольнику, отклонение
фазовой характеристики от прямой с увеличением п воз-
растает.
Из ф-лы (3.4.12) видно,, что не имеет смысла искать
кривые установленйя в пределе при поскольку при
Рис. 17. Огибающая иа выходе полосового фильтра при включении
гармонического напряжения.
этом врёмя установления не остаётся конечным. Разумеется,
можно принять частотную характеристику такой, какая полу-
чается в пределе при п -> оо( и, игнорируя истинное уравне-
ние для фазовой характеристики, заменить его уравнением
прямой и рассмотреть переходные процессы в четырёхполюс-
нике с такими характеристиками. Именно так поступил
Купфмюллер 1'51, рассмотревший впервые задачу для так на-
зываемого идеального фильтра. Однако, решение такой задачи
не может претендовать на близкое совпадение с переходными
процессами в реальной схеме полосового фильтра.
68
3. Включение напряжения с линейно воз-
растающей амплитудой
Из-за вычислительных трудностей огибающая D (/) была
определена только при отсутствии расстройки. Для данного
случая согласно (3.3.18) огибающая определяется интегра-
лом от огибающей B(t)
D(x) = lf (3.4.13)
Г* •/
о
Интеграл (3.4. 13) так же, как и (3.4. И) через известные
функции не выражается, его пришлось вычислять путём пла-
ниметрирования кривых на рис. 16 и 17. Однако, из выражения
(3. 4. 13) можно получить асимптотическое выражение огибаю-
щей для больших х, преобразовав его путём интегрирования
по частям с учётом (3.4. И)
Z)(x) = - Гх#(х) —2/г/ Л2,Д)^]
Р- u о J
и так как
2?(оо) = 1 и f J2n(!j)d!j = 1,
О
то получаем
lim Z>(x) = - (х—2п) = е w0 (/— t0).
Таким образом, после окончания процесса установления
огибающая на выходе повторяет огибающую на входе, но с
запаздыванием на время группового запаздывания t0- Графики
для огибающей /)(/) при п = 1 и 5 показаны на рис. 18 и 19.
3. 5. Идеальный полосовой фильтр
Полагаем, что коэффициент передачи задан уравнением
£(1Й) =
е iS2/° при | Q | Д Q
О при | Q | > AQ
(3.5.1)
Будем считать в этом выражении время группового запаз-
дывания /0 °° •
Коэффициенту передачи по ур-нию (3.5.1) соответствует
69
частотная характеристика в форме прямоугольника и фазовая
в виде прямой. В предыдущем параграфе было показано, что
такое уравнение не соответствует реальному полосовому фильт-
ру из-за нелинейности у последнего фазовой характеристики.
Нижеследующее рассмотрение переходных процессов в идеаль-
ном фильтре представляет интерес, главным образом, потому,
что позволяет сравнить, в какой мере меняется характер
переходных процессов при замене нелинейной фазовой харак-
теристики уравнением прямой.
Рис. 18. Огибающая иа выходе полосового фильтра при лииейио воз-
растающей амплитуде иа входе.
70
1. Включение постоянного напряжения
После подстановки (3.5.1) в (3.3.3) получим выражение
для огибающей при единичном толчке на входе
Д2
Л(х) = — fe’2(‘~/o)dQ = v. (3.5.2)
J tzx ’
—да
2Aft
Рис. 19. Огибающая иа выходе полосового фильтра при лииейио воз-
растающей амплитуде иа входе.
График огибающей согласно ур-нию (3.5.2) построен на
рис. 20. При сравнении графиков на рис. 20 и 15 видно, что
71
для идеального фильтра график огибающей A (t) симметричен
относительно оси t — /0 = О и огибающая не только осцилля-
торно затухает, но и осцилляторно нарастает. Для полосового
Рис. 20. Огибающая на выходе идеального фильтра при включении
постоянного напряжения.
фильтра огибающая вообще не имеет оси симметрии. Следова-
тельно, линеаризация фазовой характеристики (при 4 -»00) при-
водит к симметрии огибающей Л (t).
2. Включение гармонического напряжения
Подставив (3. 5. 2) в (2. 4. 7) и преобразовав, получим для
B(t) следующее выражение
В(л)=*(±-4“>
ТС
в котором Дю Р“ ДЙ ’ Хо = Д й to
Решение для В(х) выражается через интегральные синус и
косинус 1161. Переходя к пределу при х0 -» °о, окончательно
получаем
В (х) = k (i Дю) | 2 + ~ [Si (1 + р) х + Si (1 — р)х] +
+ i^-[Ci(l+р)х —Ci(l—р)х]1. (3.5.3)
ZTC I
72
Из выражения (3,5.3) согласно (3.3. 13) определяем
составляющие функции установления для идеального фильтра:
Retf0= 1 + ^[Si (1 + р) х + Si (1 - р) х]
Im Яо = ^-[Ci (1 + р) х - Ci (1 - р) х]
(3.5.4)
При отсутствии расстройки (р = 0) из общего выражения
(3. 5. 3) следует формула Купфмюллера 1151
В (%) = 4 + ~ Six
к
(3, 5. 5)
График огибающей, построенной по ф-ле (3.5.5), показан
на рис. 21. При сравнении кривых рис, 21 с огибающими
для полосового фильтра на рис. 16, 17 видно расхож-
Рис, 21. Огибающая на выходе идеального фильтра при включении
гармонического напряжения,
дение в характере установления, сводящееся к следующему.
Осциллирование огибающей вокруг стационарного значения на
рис. 16, 17 происходит только в конце процесса установления,
в то время, как для идеального фильтра такое осциллирование
получается также и в начале процесса установления. «Ампли-
туда» осциллирования вокруг стационарного значения у
' * 73
реального полосового фильтра получается больше, чем на гра-
фике рис, 21.
Время установления для идеального фильтра (рис. 21)
определяется формулой
^ = 2^’ (3’5Л)
из которой следует, что время установления для идеального
фильтра при данной полосе, примерно, такое же, как для по-
лосового фильтра при одном звене (3.4.12) и резонансного
усилителя (3.3. 16).
3. Включение напряжения с линейно-воз-
растающей амплитудой
Согласно выражению (3.3. 18) определение В(х) сводится
к вычислению интеграла от огибающей В(х), описываемой
ур-нием (3.5.3)
X
-хо
Подставив вместо В(х) выражение (3.5.3), преобразовав
и затем перейдя к пределу при х0 -» со, получаем
£>(%) = £(i Д ш)-х
И
соз(1 + р)х . cos(l — p)xi . .1 О-/1 I х /-/1 X
~(Г+7)—+ (1_р)л J+ С.(1-р)х-
sin (1 -|- р) х sin (1 — р) X 1 )
~(i + p)3T +”7f—p)% jf
(3.5.7)
При отсутствии расстройки (р = 0) из этого выражения
получим
. е (1 1 / cos%\) _ о.
D (х) — — х -|— I Si х -|-----I > • (3.5.8)
|Л I ~ \ / I
74
При х -+ оо из (3.5.8) находим асимптотическое выраже-
ние
lim D(x) = -x = -| w0 (/ — /о).
Рис. 22. Огибающая на выходе идеального фильтра при линейно воз-
растающей амплитуде на входе.
Асимптотой для огибающей является огибающая на входе
фильтра, но сдвинутая на время запаздывания /0- На рис. 22
показан график огибающей, построенный по ур-нию (3.5.8).
ГЛАВА 4
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В РЕЗОНАНСНОМ
УСИЛИТЕЛЕ
4. 1. Краткие сведения о частотных и фазовых характеристиках
Переходные процессы во всяком четырёхполюснике опре-
деляются его символическим коэффициентом передачи, а следо-
вательно, частотной и фазовой характеристиками. Чтобы
подчеркнуть эту связь и иметь возможность всегда сопоставить
протекание переходных процессов с частотными и фазовыми
характеристиками, мы перед началом исследования каждой
схемы будем предпосылать краткие сведения о её частотных
и фазовых характеристиках и времени группового запаздыва-
ния для частоты резонанса. Из анализа частотных характери-
стик будем также выбирать те критические значения парамет-
ров схемы, для которых будут более подробно анализироваться
переходные процессы.
Для резонансного усилителя, содержащего п ступеней,
укороченное выражение для коэффициента усиления было
дано ф-лой (2. 3. 6)
£(ja) = ^-l—(2.3.6)
v ’ (14- ia)n ' '
Представив ^(ia) в показательной форме
£(ia) — £(a) ,
из (2. 3. 6) найдём выражения для частотной и фазовой харак-
теристик
ср (а) = — п arctg а. (4.1-2)
76
Из уравнения фазовой характеристики определим время
группового запаздывания для частоты резонанса, т. е. а = 0.
При вычислениях для краткости вместо расстройки Й будем
, . 2Й
пользоваться безразмерной расстройкой а= — -, и поэтому
5
вместо времени t получим безразмерное время х =
Таким образом, выражение для безразмерного времени запаз-
дывания имеет вид
(4.1.3)
Эта формула показывает, что с увеличением числа ступеней
при неизменных параметрах контуров время группового запаз-
дывания будет увеличиваться пропорционально числу ступеней;
это естественно, поскольку фазовые характеристики отдель-
ных ступеней суммируются. Графики частотных и фазовых
характеристик, рассчитанные по ф-лам (4,1.1), (4.1.2),
показаны на рис. 23 и 24. Эти графики следует рассматривать
как частотные и фазовые характеристики различного числа сту-
пеней одного усилителя.
Уменьшение полосы пропускания с увеличением номера
ступени (рис. 23) будем характеризовать обобщённой расстрой-
кой ад , соответствующей расстройке Д й при заданной нера-
вномерности коэффициента усиления 5Д = . •
#(ад)
Из ф-лы (4. 1, 1) для ад получается выражение
(4.1.4)
Значения «д для разных п при неравномерности 5Д — ~\р2
(что соответствует завалу частотной характеристики на 3 db)
приведены в табл. 1,
Таблица 1
п 1 2 3 4 5 6
ад 1 0,644 0,51 0,435 0,386 0,336
77
Рис. 23. Частотные характеристики резонансного усилителя.
78
Когда п достаточно велико, выражение (4.1.4) можно
упростить, заменив S^n двумя членами ряда
Тогда
(4.1.5)
(4.1.6)
Главным параметром, характеризующим усилитель, яв-
ляется полоса пропускания; поэтому, наряду с рис. 23 и 24
представляют интерес рис. 25 и 26, на которых показаны час-
стотные и фазовые характеристики усилителей, имеющих одина-
ковую полосу пропускания при различном числе ступеней.
Графики на рис. 25 и 26 легко получить из графиков на рис. 23
и 24. Для этого достаточно только пересчитать абсциссы по
формуле
Й ___ а
A й ад
д
(4.1.7)
Физически этот пересчёт объясняется тем, что при заданной
полосе усилителя затухание контуров должно быть тем боль-
ше, чем больше число ступеней, согласно формуле
2А/
/о а/
(4.1.8)
Из ф-л (4. 1.4) и (4. 1. 7) легко убедиться, что при неогра-
ниченном увеличении п уравнение частотной характеристики
стремится к некоторой предельной кривой.
Подставив в (4.1.7) вместо ад выражение (4.1.4) и
вместо а /с2|л IX7* с 1 а —(S 1) , где 5-ад.
будем иметь Й __ / s'2”1—! \’/2 АЙ “ \ о2"1 1 ) ’ ^д —1
Заменив далее и S** рядами типа (4. 1.5), перейдя к
пределу при л -» оо, получим
79
Рис. 25. Частотные характеристики резонансных усилителей с разным
числом ступеней при одинаковой полосе.
Рис. 26. Фазовые характеристики резонансных усилителей с разным
числом ступеней при одинаковой полосе.
80
У _ /Jn^1/2.
Дй \ 1п5д /
Отсюда следует уравнение частотной характеристики
при п —> оо
У in ‘
Чтобы найти предельное выражение для фазовой характе-
ристики, представим ур-ние (4. 1. 2) в виде ряда
/ а3 а5 \
-? = «(»-з+ 5“-)-
Подставив вместо а из (4. 1.6) и (4. 1.7) выражение
_ Й / 2\1/2
а~ Дй \л/
получим
_ Й 1/2 / Й I / Й )5 25/3 _
С?- AQ'(^ (дй / 3/г^ + (дй7 5/?2
При неограниченном возрастании п первый член ряда также
будет возрастать, в то время как остальные нелинейные члены
будут неограниченно уменьшаться.
Асимптотически для очень больших п получим
<р = — Qt0, (4. 1. 10)
где to — время группового запаздывания
. _ У2 л
г° — ДУ'
Из ф-л (4. 1.9) и (4. 1. 10) следует, что при п со коэффи-
циент усиления определяется выражением (3.3.1), которое и
было использовано в п. 3. 3.
Время группового запаздывания при заданной полосе
удобно выражать безразмерной величиной 2 Aft0 . Легко прове-
g
рить, что безразмерное время х==~2 <£>otn2kft связаны
соотношением
6 — 9219.
81
2A//=X-> (4.1.11;
7t
из которого определяем время группового запаздывания
2А//о = хо~- • (4.1.12)
ТС
Для резонансного усилителя согласно ф-ле (4.1.3) х0 — п,
поэтому
Рис. 27. Время запаздывания для реюнанс-
ных усилителей с разным числом ступеней
при одинаковой полосе.
На рис. 27 по ф-ле (4. 1. 13) построен график, показываю-
щий характер возрастания времени запаздывания при данной
полосе с увеличением числа ступеней. Пунктиром нанесена
кривая, рассчитанная по асимптотической формуле, получаю-
щейся из ур-ния (4. 1. 13) для больших п, если заменить ад
согласно (4.1.6)
2 Д ft0 — ]/2«1п$д= 0,265 /л. (4.1.14)
На всех графиках полоса отнесена к нёравномерности
-»д = ]/2Г
82
4. 2. Включение постоянного напряжения
Огибающая на выходе при единичном толчке на входе
удовлетворяет укороченному символическому уравнению
А (X) = 8ia£ (ia)'l, (2.6.10)
в котором роль дифференциального оператора играет величи-
на i а и соответственно в качестве времени взято безразмерное
8
время х= п wo/. Выражение для х можно еще записать в
А
t 2L
видел;= —, где т= ~ — постоянная времени контура.
После подстановки в (2.6.10) выражения для коэффи-
циента усиления резонансного усилителя, состоящего из п
ступеней (2.3.6), получаем символическое уравнение для
огибающей
Уравнение (4.2.1) относится к числу табличных; его ре-
шение имеет вид
= ,4'2'2’
На рис. 28 показаны графики огибающих, построенные по
ф-ле (4.2.2). Эти графики можно рассматривать как осцил-
лограммы огибающих на выходе различных ступеней одного
усилителя; им соответствуют частотные и фазовые характери-
стики на рис. 23 и 24. Характер графиков позволяет сделать
следующие выводы.
Во всех ступенях, за исключением первой, наблюдается
постепенное возрастание огибающей со временем, при х=г—1
она проходит через максимум, а затем постепенно затухает.
Максимум огибающей получается при х—п—1, а по
ф-ле (4. 1.3) время группового запаздывания х =П Это объяс-
няется тем, что о групповом запаздывании вообще можно
говорить применительно ко всем ступеням, исключая первую.
На вход первой ступени подаётся не гармоническое напряже-
ние, а единичный толчок, поэтому невозможно и говорить о
запаздывании огибающей в ней. Под влиянием единичного
толчка в контуре первой ступени возникает гармоническое на-
s'
83
пряжение за счёт свободных колебаний. Это напряжение
является входным для второй ступени. Поэтому можно гово-
Рис. 28. Огибающие на выходе ступеней
резонансного усилителя при включении
постоянного напряжения.
рить о запаздывании
огибающей на выходе
/г-й ступени относитель-
но огибающей на вы-
ходе первой ступени.
Наряду с явлением
группового запаздыва-
ния на рис. 28 замечаем
также уменьшение мак-
симального значения
огибающей с одновре
менным расширением
её формы при увеличе-
нии номера ступени.
На основании резуль-
татов, полученных при
рассмотрении переход-
ных процессов в идеа-
лизированных четырёх-
интерес представляют, главным
полюсниках, можно
ожидать, что эти явле-
ния объясняются умень-
шением полосы про-
пускания с увеличе-
нием п. На практике
образом, переходные про-
цессы на выходе всего усилителя, результирующая полоса
пропускания которого известна. Число ступеней таких усили-
телей может быть различным. Поэтому интересно исследовать
влияние числа ступеней резонансного усилителя на характер
установления при заданной относительной полосе пропускания
2 \f „ „
—— . Такой постановке вопроса соответствуют частотные
и фазовые характеристики, приведённые на рис. 25 и 26.
Чтобы получить соответствующие этйм характеристика,м
графики огибающих (рис. 29), необходимо пересчитать графики
рис. 28, изменив масштаб по ординате согласно ф-ле (4. 1.8)
и по абсциссе по ф-ле (4.1.11). Форма и максимальное
значение огибающей на этих графиках заметно меняются при
переходе от п=\ к п — 2; 3. При дальнейшем увеличении п
форма всплеска огибающей изменяется мало. Эти небольшие
изменения связаны с увеличением крутизны скатов частотных
характеристик на рис. 25 с увеличением п. Наблюдается
84
также смещение максимумов огибающей вправо в связи
с возрастанием времени запаздывания.
Рис. 29. Огибающие на выходе резонансных усилителей с разным числом
ступеней при одинаковой полосе.
Рис. 30. Огибающие с рис. 29 при исключении
времени запаздывания.
На рис. 30 пока-
зано, насколько сов-
падают огибающие
рис. 29 при разном п,
если время запаз-
дывания исключить.
Для данного случая
исключение времени
запаздывания све-
лось просто к пере-
носу огибающих с
рис. 29 на рис. 30
таким образом, что-
бы абсциссы, соот-
ветствующие макси-
муму огибающих,
совпадали. Огибаю-
щая для п=оо пе-
ренесена на этот
график с рис. 8.
85
Как уже отмечалось выше, огибающие при единичном
толчке дают представление о процессах, возникающих в радио-
приёмнике, при воздействии импульсных помех. Интенсив-
ность этого воздействия можно характеризовать максималь-
ным значением огибающей. Согласно рис. 30 изменение вели-
чины максимума огибающей показано в табл. 2.
Таблица 2
п 1 2 3 4 5 ОО
А 2 Л/ тах 1 0,57 0,53 0,515 0,508 0,48
Из табл. 2 видно, что при /г>3 максимум огибающей прак-
тически от п не зависит. Отсюда следует также, что
ф-ла (3.3.5), выведенная для расчёта огибающей A(t), в пре-
дельном случае при п = оо пригодна, по крайней мере, для
всех п>3.
4. 3. Включение гармонического напряжения резонансной
частоты
1. Вычислим огибающую на выходе при включении на вход
гармонического напряжения единичной амплитуды по формуле
В(х) = j e-iP^. (2.6.26)
о
Подставив сюда вместо А(х) выражение (4.2.2), получим
подлежащий вычислению интеграл
(4-3.1)
о
Вычисляя этот интеграл путём интегрирования по частям,
получаем
B(x) = £(ip) . п—1 . -ГХ у-| (г х)т 1 — е >, -—- ZJ т\ , (4-3.2)
т—0
где £(ip) — коэффициент усиления расстроенного усилителя
£(ip) =
_ 1
(l+ip)"
86
и для сокращения введено обозначение
r= 1 + ip-
Для случая отсутствия расстройки (р = 0, г=1) из (4.3.2)
следует
В(х) = 1 — е~х
(4.3.3)
Формулы (4. 2. 2) и (4. 3. 3) были получены А. Агеевым и
Ю. Кобзаревым (121 из решения системы дифференциальных
уравнений для резонансного усилителя методом ван-дер-Поля.
Чтобы представить, насколько велики упрощения в вычи-
слениях по излагаемому здесь методу расчёта огибающих по
укороченным уравнениям по сравнению с непосредственным
применением операционного исчисления, достаточно сказать, что
выкла'дки, которые требовались, чтобы получить ф-лы (4.2.2) и
Рис. 31. Огибающие на выходе ступеней резонансного усилителя при
включении гармонического напряжения.
87
2, Переходные процессы при включении гармонического
напряжения резонансной частоты представляют наибольший
интерес. Поэтому разберём этот случай наиболее подробно.
Рассчитанные по ф-ле (4.3.3) графики огибающих на рис. 31
показывают постепенное накапливание времени запаздыва-
ния и искажение фронта огибающей при переходе от данной
ступени к следующей.
Рис. 32. Огибающие на выходе резонансных усилителей с разным
числом ступеней при одинаковой полосе. Включение гармонического
напряжения.
Время группового запаздывания по ф-ле (4. 1.3) отмечено
на кривых рис. 31 точками. Ко времени запаздывания ампли-
туда достигает немного более половины стационарного
значения. Время установления огибающей, определяемое, как
было условлено, раствором кривой на уровнях 0,05 и 0,95 от
стационарного значения, увеличивается с ростом числа ступе-
ней. Это уменьшение крутизны фронта-огибающей объясняется
уменьшением полосы пропускания с увеличением п (рис. 23).
Для исследования зависимости характера установления от
числа ступеней при заданной полосе пропускания графики на
рис. 31 были соответствующим образом пересчитаны. В
получившихся графиках (рис. 32) вместо х по оси абсцисс
88
отложена величина 2 &ft. Эти графики подобно графикам на
рис, 29 соответствуют частотным и фазовым характеристикам
рис, 25 и 26,
На рис, 32 огибающие при разных п в средней части ста-
новятся параллельны друг другу, их сдвиг вправо с возраста-
нием п опять объясняется увеличением времени запаздывания.
Рис. 33. Огибающие с рис. 32 при исключении времени запаздания.
На графиках огибающих время запаздывания отмечено точкой.
Значение времени запаздывания взято из рис. 27.
Для удобства сравнения формы огибающей при разном
числе ступеней кривые рис. 32 перенесены на рис. 33 с исклю-
чением времени запаздывания. Показанная на этом рисунке
кривая для п = со перенесена с рис. 9.
При заданной полосе форма огибающей с изменением
числа ступеней меняется незначительно (рис. 33). Имеющее
место расхождение настолько мало, что при технических рас-
чётах им можно пренебречь. Время установления, определён-
ное по графикам на рис. 33, для всех значений п от 1 до 00
удовлетворяет формуле
О 9
^=чкг <3-3-16>
89
4. 4. Включение напряжения, расстроенного относительно
резонансной частоты.
Для случая, когда частота напряжения на входе отличается
от частоты резонанса на \ , комплексная огибающая на
выходе даётся выражением (4.3.2). Для исследования этого
выражения целесообразно ввести функцию установления Вэ
К (t) = /?(i Ды) /;0(i Ды /). (4.4.1)
Поскольку поведение коэффициента усиления при рас-
стройке 1 Д <о известно, задача исследования переходных
процессов при расстройке сводится к исследованию функции
установления.
Из сравнения (4.4. 1) с (4.3.2) для функции установления
получается выражение
Л-1 ->
-* — ГХ ’П ( Г х\т
Д,(1Д<о,/)=1-е (4-4-2)
т=о
Функция В является величиной комплексной: поэтому её
можно представить в виде суммы вещественной и мнимой
частей, т. е.
5j(i Ды,/) = КевГ4-Пш5-. (4. 4.3)
Прежде чем выводить значения для Ре В и Im В для
конкретного случая резонансного усилителя установим некото-
рые общие свойства функции установления, справедливые для
избирательных четырёхполюсников с симметричными характе-
ристиками (2. 5. 4). •
Из сопоставления выражений (4.4.1) и (2.4.7) получаем
общую формулу для Вэ в виде
До(1 Лы,;) = -?-/ ^-д^е dr. (4.4.4)
О
Действительную и мнимую части этого выражения легко
разделить. Для четырёхполюсников с симметричными характе-
ристиками можно подставить
А (т) __ А (т) —i<p(Aw)
k (i Дш) — £(Ды) е ’
а затем воспользоваться формулой Эйлера.
90
В результате получим:
Re50(iAW,n = -^- Г ^^cos[AWr + ?(AW)]dT, (4.4.5)
Z J R 1л )
t
Im Во ОДш, /) = — -у- Г т^Х\-\ sin [Д ш т + <р (Д ш)] dr. (4.4.6)
Z J R /А 03 )
По окончании процесса установления выражение для комп-
лексной амплитуды на выходе будет иметь вид
В(°о) = £(1 Д о).
По ф-ле (4.4.1) отсюда следует, что переходная функция
в конце процесса установления должна быть равна единице
_Z?o (i Д <л> °°) = 1.
Следовательно, действительная и мнимая составляющие
этой функции в конце процесса установления будут:
Re.Z?o (i Д 05, °°) = 1
Im2?0 (i Д о, оо) = 0
(4.4.7)
Кроме того, из (4.4.4) непосредственно следует, что в
момент включения (z = 0):
ReB0(i Д ы,0) = 0| 4
lmB0(i Д 05,0) = 0'
Наконец, примем во внимание, что для избирательных
четырёхполюсников с симметричными характеристиками час-
тотная характеристика является чётной, а фазовая характери-
стика нечётной функциями частоты.
Следовательно,
k (- Д(д) = £(Д<д) I
л / л ч } (4.4.9
(-- Д о>) —-( Д 05 ) J
Отсюда, на основании ф-л (4.4.5) и (4.4.6) устанавливаем
ещё одно свойство составляющих функции установления:
ReB0(— i Д оз, /) = ReВо(i Д », /)
Im Во (— i Д о5, /) = — Im Во (I Д со, /)
(4.4.10)
91
Составим теперь выражения Re 7?., и Im Во для резонанс-
ного усилителя из ф-лы (4.4.2). Разделение в выражении
(4.4. 2) действительной и мнимой частей производим при по-
мощи бинома Ньютона
V- V ( о)
Г =(14-ip) = I
7=0
(4.4.11)
где Ст — биномиальные коэффициенты, определяемые по
формуле
гv — т'
т~ v!(m—v)!'
С другой стороны, положим
—>т —>т ~^fn
г = Rer . (4.4.12)
Сравнивая (4.4.12) с (4.4.11), находим выражения:
1т) 2,
Re7"= S
V=O
га
Im7M= £ ,(-l)vdv+1
__p2v+1
(2v-H)l
(4.4.13)
[lTl\ Г /72 11
"2 J и L 2—J означают
целые части, заключаю-
m m—1
щиеся в числах -г и ——.
£ Lt
Представив экспоненциальный множитель в выражении
(4. 4. 2) в виде
—>
—гх —х
е =е (cospx — isinpx) (4.4.14)
и, подставив (4.4. 12) и (4.4. 14) в (4.4.2), будем иметь
2?0=1—е (cosрх — isinрх) £ ^-(Rer -|-ilmr ). (4.4.15)
Отсюда получаем формулы для действительной и мнимой
частей функции установления:
92
ReB0 = 1—e X X ^(Rermcos px-|-Imr'” sin px)
(4.4.16)
lmB0 = e x X (Rer m sin px — Imrm cos px,
Из ф-л (4.4. 15) и (4.4. 16) видно, что исследование пере-
ходных процессов при расстройке много сложнее, чем в случае
совпадения частоты напряжения на входе с резонансной.
Поэтому для подсчётов выбраны только два наиболее простых
случая, когда п= 1 и п=2. Для п=1 по общим ф-лам (4. 4. 15)
и (4.4.16) получаем:
Во = 1—e-JC(cospx — i sin px)
ReB0 = 1—e-Jccospx
Im Bo = e-JC sin px
для n = 2:
Bo — 1—e-JC(cospx—i sin px) [l+(l+ip)x]
ReB0 = 1—e-JC[(l+x)cospx+pxsinpx]
Im Bo = e-* [(1+x) sinpx—pxcos px]
(4.4.17)
(4.4.18)
В выражениях (4.4. 15)(4. 4. 18) появляются осциллирую-
щие множители sinpx и cospx Если выразить р через рас-
стройку А ы, ах через t, то получим, что рх = Д wf. Эти
множители характеризуют явление интерференции или биений
между частотой внешнего напряжения ы и частотой свобод-
ных колебаний ы0. Частота биений равна, как известно, раз-
ности частот, т. е. Д<о = ы — ы .
Для практических целей особый интерес представляет про-
текание переходных процессов при заданной полосе пропуска-
ния и расстройке, заданной в долях полосы пропускания.
Кривые, показывающие характер изменения составляющих
функции установления Re В, и Im Во во времени, рассчи-
танные по ф-лам (4.4. 17) и (4.4. 18), показаны на рис. 34 и
35. Из этих рисунков видно, что главное влияние на характер
установления оказывают полоса пропускания 2 А/ и относи-
» A w
тельная расстройка д-q. Число ступеней при этих условиях
сказывается только на времени группового запаздывания,
которое определяется как угловой коэффициент касательной к
93
2 Aft
Рис. 34. Действительная и мнимая части функции установления для ре-
зонансного усилителя.
Рис. 35. Действительная и мнимая части функции установления для р<-
зонансного усилителя.
94
фазовой характеристике в точке, соответствующей расстройке
До. Из уравнения фазовой характеристики (4.1.2) на-
ходим время группового запаздывания
^о=-[?| = (4.4.19)
На рис. 34 и 35 время группового запаздывания по
ф-ле (4. 4. 19) отмечено точкой.
Рис. 36. Огибающие на выходе резонансного усилителя при расстройке.
Если время запаздывания исключить, то для случая равен-
ства расстройки полосе (рис. 34) кривые для разных п доволь-
но хорошо совпадают. Для случая больших расстроек, напри-
Д w
мер, ду = 2 (рис. 35) между кривыми для п—1 и п=2
получается уже заметное расхождение, объясняющееся тем,
что при расстройках больше полосы, частотные характеристики
для разных п расходятся тем больше, чем больше расстройка
(рис. 25). Графики на рис. 34, 35 позволяют решать основные
вопросы переходных процессов при расстройке — установле-
ние амплитуды, фазы и частоты. Установление фазы и
95
частоты мы рассмотрим в гл. 8 в связи с переходными процес-
сами при скачках фазы и частоты, сейчас же рассмотрим
только установление амплитуды.
Амплитуда выходного напряжения определяется из
ф-лы (4. 4. 1) в виде
Д «) К(КеД0)2+)1т Бур.
(4.4.20)
Рис. 37. Огибающие на выходе резонансного усилителя при расстройке.
Из графиков установления амплитуды для п—1 и п = 2
(рис. 36 и 37), построенных по кривым на рис. 34, 35, можно
сделать следующие выводы.
При малых значениях t, т. е. вскоре после включения,
характер нарастания амплитуды не зависит от величины
расстройки. Далее амплитуда устанавливается, колеблясь во-
круг стационарного значения. Эти колебания, как уже отмеча-
лось, связаны с биениями между свободными и вынужденными
колебаниями и «амплитуда» их получается, естественно, тем
больше, чем больше расстройка. Время установления при рас-
стройке уменьшается с увеличением расстройки.
96
4. 5. Включение напряжения с линейно возрастающей
амплитудой
1. В этой задаче амплитуда напряжения на входе, начиная
с момента включения, линейно возрастает со временем,
согласно выражению
E(f)/= | «о t. (3.3.17)
Заменив t через х, представим огибающую на входе через
безразмерное время
Е (дг) = х.
(4.5.1)
Для вычисления огибающей на выходе D (х) применим
ф-лу (3.3.18), заменив в ней время t безразмерным х. В
результате получим
1)(х) = \ [в&Л
О
и
(4.5.2)
После подстановки ур-ния (4. 3. 2) в (4. 5.2) вычисление
последнего сведётся опять к решению интегралов типа (4. 3. 1),
дающих решение типа (4.3.2). Используя это обстоятельство,
получим
Д, ч £ £(>?)
г
п-1 \т
। — rx V / \ I ГХ!
гх—л+е Д (п— т) - -- •
т—о " 111 ’
(4.5.3)
В частном случае, когда частота входного напряжения сов-
падает с резонансной (р = 0, г=1,, из (4.5.3) находим
л—1. т
х—n+е х —т) —j
т— о '
(4.5.4)
2. Рассмотрим процессы установления на системе графиков
только для случая отсутствия расстройки [амплитуда на
выходе определяется ф-лой (4.5.4)].
Для больших значений времени из ф-лы (4.5.4) получаем
асимптотическое значение для огибающей
lim D 'х, — -I- {х—п). (4.5.5)
X—» со
7 — 92!9.
97
2 3 . 4 5 6
Рис. 38. Огибающие на выходе ступеней резонансного усилителя при
линейно возрастающей амплитуде на входе.
2л ft—-
Рис. 39. Огибающие на выходе резонансных усилители! с разным чис-
лом ступеней при одинаковой полосе. На входе линейно возрастающая
амплитуда.
98
Это выражение показывает, что по окончании процесса
установления огибающая на выходе запаздывает относительно
огибающей на входе (4.5. 1) на время группового запаздыва-
ния, определяемое по ф-ле (4. 1.3).
На рис. 38 показаны кривые огибающих па выходе различ-
Рис. 40. Огибающие с рис. 39 при исключении времени
запаздывания.
нанесены их асимптоты. По мере увеличения п огибающая всё
дальше отклоняется от своей асимптоты, что равносильно
увеличению времени установления п связано, очевидно, с
уменьшением полосы пропускания соответственно частотным
характеристикам на рис. 23.
Этот вывод подтверждается графиками на рис. 39, получен-
ными путём пересчёта ординат и абсцисс графиков рис. 38.
Они показывают установление огибающей на выходе усилите-
лей с разным числом ступеней, но одинаковой полосой
пропускания, соответственно частотным характеристикам на
рис. 25.
При заданной полосе пропускания огибающие идут парал-
лельно, что практически означает одинаковое время уста-
новления. Если исключить время группового запаздывания
г 99
(рис. 40) кривые рис. 39 прекрасно совмещаются для всех зна-
чений п от 1 до <». Огибающая для ti=m перенесена на
рис. 40 с рис. 11.
4. 6. Выключение постоянного напряжения
При рассмотрении переходных процессов в линейных четьи
рёхполюсниках можно применять принцип суперпозиции; по-
этому задачу о выключении
напряжения на входе всегда
можно свести к задаче о
включении. Применение это-
го принципа удобнее всего
рассмотреть на конкретных
примерах.
Положим, что на вход бы
ло включено единичное на
пряжение на время, равное
Т, а затем оно было выклю-
чено. Процесс выключения
можно заменить процессом
включения второго единично-
го толчка, по знаку противо-
положного первому. В сумме
это будет равносильно отсут-
ствию напряжения на вхо-
де. Изложенное поясняется
рис. 41. Выключение постоян-
ного напряжения через вре-
мя Т после включения равно-
сильно подаче па вход
прямоугольного импульса
напряжения, длительность
которого равна Т.
Вычислим напряжение на выходе, условившись отсчитывать
время от момента выключения. Напряжение на выходе, воз-
никшее под влиянием включения единичного толчка в момент
t = —Т, будет согласно (2.4.1), (4.2.2) и (2.4.4)
а(?-|-Т) = Л (Z+Tjsin ы0(/4-Г). (4.6.1)
Если единичный толчок включить в момент времени /=0
с обратным знаком, то напряжение на выходе будет
a(t) = — A <t) sin ы0/. (4.6.2)
Отсюда, на основании принципа суперпозиции, напряжение
на выходе после выключения определится выражением
100
Рис. 41. Образование прямоугольного
импульса из двух единичных толчков.
u = a(t+T)+a(t) = A(t-{-T) sin Wo(N-T)-A(t) sin Ыо1 (4.6.3)
После простых тригонометрических преобразований это
выражение можно записать в виде
u = M(t) sin [ <ос74-ф(£)], (4.6.4)
где
М (t) = у А2(Н-Т) + A2(t)~- 2А (t-Г?)A(t) cos7o0'7' (4 6.5)
н
, . .,, А (t-\~ Т) sin ЫоТ /Л R R\
Ы'>=лтт..Т-ЛЦУ <4Л6)
Наибольший интерес представляет ф-ла (4.6.5), дающая
выражение для огибающей на выходе после выключения. Это
выражение показывает, что огибающая после выключения
зависит не только от огибающих A(t + Т) и (t), но и от
соотношения фаз между свободными колебаниями, возникаю-
щими при включении и выключении. Эго влияние учитывается
третьим членом в ф-ле (4.6.5) и зависит от величины <<> 0Т =
-=2-/0Т, т. е. от соотношения между периодом свободных
колебаний - и продолжительностью импульса на входе Т.
/о
В частных случаях может быть cos со0 Т= ± 1. Верхний знак
соответствует случаю, когда за продолжительность импульса
уложится чётное число полупериодов высокой частоты, ниж-
ний знак — когда укладывается нечётное число полупериодов.
Для этих частных случаев ф-ла (4. 6. 5) даёт
M{t) = A(t-\-T) + A(t). (4.6.7)
Таким образом, огибающая на выходе в этих случаях по-
лучится путём вычитания или сложения огибающих от единич-
ных толчков, включаемых со сдвигом во времени, равным Т.
Поскольку для резонансного усилителя всегда A(t)^> 0, то
ф-ла (4.6.7) даёт наименьшее и наибольшее значения оги-
бающей на выходе. При всех других значениях cos w Т мы
будем получать величину огибающей, не выходящую за эти
пределы.
Значительно более простая картина получится в том слу-
чае, когда продолжительность импульса Т настолько велика,
что за это время свободные колебания успеют затухнуть.
Тогда при t > 0 можно считать, что
A(t + Т) =0,
и независимо от длительности импульса из ф-лы (4.6.5)
имеем
M(t) = A(t).
101
zaftt-t')—
Pue. 42. Огибающие на выходе резонансного усилителя (п = со) нри
прямоугольном импульсе на входе.
Рис. 43. Огибающие на выходе резонансного усилителя (п=ос) при
прямоугольном импульсе на входе.
102
Этот результат соответствует возникновению в контурах
усилителя свободны^ колебаний дважды,- при включении и
выключении единичного толчка.
На рис. 42, 43, 44 построены огибающие на выходе для
усилителя (при п = ) при разной длительности импульса на
входе Т. При расчёте использовалась ф-ла (4. 6. 5) и рис. 8. На
2Af(t-te)
Рис. 44. Огибающая на выходе резонансного усилителя (п == при
прямоугольном импульсе на входе.
рис. 42 длительность импульса выбрана такой, что 2 Д/Т=0,5,
а на рис. 43 2Д/7 = 1. При такой длительности свободные
колебания, возникшие при включении напряжения не успевают
затухнуть к моменту выключения, в результате чего
огибающая на выходе может принять различные формы
в зависимости от величины cos ы .Т. На рис. 42 и 43 огибающие
построены для двух крайних значений созы,7’— +1 На рис 44
длительность импульса такова, что '2&fT=c2,: при этом свобод-
ные колебания успевают затухать к моменту выключения и
форма огибающей не зависит от величины cos ы0Т.
4. 7. Выключение гармонического напряжения
Сначала рассмотрим случай равенства частоты входного
напряжения резонансной. Выключение напряжения на входе
эквивалентно включению второго напряжения, равного пер-
вому по величине, но с противоположной фазой. Поэтому на-
пряжение на выходе после выключения можно определить, как
результат сложения двух напряжений; первого, вызванного
включённым ранее напряжением, и второго, вызванного
103
включением напряжения, равного первому по величине, но с
противоположной фазой.
Выключение гармонического напряжения через время Т
после включения равносильно подаче на вход прямоугольного
импульса с высокочастотным заполнением. Примем за начало
отсчёта времени момент выключения. Напряжение на выходе
за счёт включения напряжения с единичной амплитудой в
момент времени t—— Т будет1)
и(^+Т)=^(^+Ле![Шо(^+Г)+Н1. (4.7.1)
Напряжение на выходе за счёт включения на входе напря
жения с единичной амплитудой в момент времени t=0 в про-
тивофазе относительно первого
M(Z) = -b’(Z)ei[“o(*+r)+01. (4.7.2)
Следовательно, напряжение после выключения
и (/+ Т) + и (f) = { В (Н-Т) — В (/)}е11ш° ^+Г) + 6>1. (4.7.3)
Обозначив огибающую на выходе после выключения через
G (t). из ф-лы (4. 7. 3) получаем выражение
G(t) = B(t+T) — B(f), (4.7.4)
из которого следует, что огибающая на выходе после выклю-
чения равна разности сдвинутых на время, равное длительно-
сти импульса на входе, огибающих B(t), полученных при
решении задачи о включении. Если промежуток времени
между включением и выключением Т больше времени установ-
ления, то при t > 0 можно считать, что B(t + T) — \ и
вместо (4. 7. 4) будем иметь
(4.7.5)
Для иллюстрации переходных процессов при выключении на
рис. 45 и 46 показаны огибающие на выходе для резонансного
усилителя при п = I и /г=«. Построения сделаны для трёх
значений длительности импульса 2Д/Т=0,5; 1,0; 1,5. Момент
выключения напряжения на входе и огибающая на выходе после
выключения показаны на этих рисунках пунктиром. Эти гра-
фики помогут сделать выбор соотношения между шириной
полосы и длительностью импульса лишь тогда, когда известны
дополнительные требования к форме импульса. В качестве
Здесь предполагается, что в = const.
104
примера можно указать, что в системах с временной модуля-
цией флюктуационные шумы тем меньше, чем круче фронт
огибающей.
‘ Огибающая на входе
I 0.S-
0.6
0,4
0.2
О -
6(1) Юг
0,8-
0,6-
0.4 -
0.2 -
0-
Рис. 45. Огибающие на выходе ’ резонансного усилителя (п=1) при
прямоугольной огибающей на входе.
Огибающим ни lavue
to-
0,6
2Af(t-t0)------
Рис. 46. Огибающие на выходе резонансного усилителя (п=оо) при
прямоугольной огибающей на входе.
В некоторых случаях может представлять интерес выбор
ширины полосы из условия достижения наибольшего отноше-
105
ния между максимальным значением импульса на выходе и
напряжением помех, которое при флюктуационных шумах
возрастает пропорционально |/2Д /, а при импульсных помехах —
нропорционально 2Д/ В такой постановке вопрос о выборе
полосы при заданной длительности импульса был рассмотрен
В. И. Сифоровым[19)
Задача о выключении расстроенного напряжения в прин-
ципе решается аналогично, однако, результат получается более
сложным потому, что при включении расстроенного напряже-
ния медленно устанавливается нс только амплитуда, но и фаза.
Это обстоятельство учитывается введением комплексных оги-
бающих. Таким образом, мы получим уравнение, аналогичное
(4. 7. 4), но для комплексных амплитуд
G(t) = B(t+T)—B(t). (4.7.6)
Для дальнейших вычислений будет удобно выразить
комплексные амплитуды через функции установления:
В (t) = k (i Д О>) Во (t)
И ,
Cl(t) = k (i Д ы) Go (О
Из (4. 7. 6) следует
(4-7.7)
Go(t} = Bo{t+T}-Bo{t}.
(4.7.8)
Разделив в (4. 7. 8) действительную и мнимую части, най-
дём выражения для составляющих функции установления
после выключения:
Re Gy(/) = Re Д,((+ Т) — Re ~B0(t)
Im G0(f) = Im — Im Bo(t)
(4.7.9)
Выражения (4. 7. 9) показывают, что составляющие функ-
ции установления после выключения расстроенного напряжения
определяются как разность составляющих функции установле-
ния при включении, сдвинутых па время длительности
импульса.
Если за время длительности импульса переходные процессы
успели закончиться, то при t>0 можно считать, что
ReBo(t+T)= 1,
1тВо(/+Г) = 0
и вместо (4.7.9) тогда получим:
106
ReGo(0 = l
ImG0(/) =— Im B0(t)
(4.7.9')
Модуль огибающей на выходе согласно (4. 7. 7) будет
G (f) = k ( Д и) |/(Re Go)2 + (Im Go)2.
(4.7.10)
Переходные процессы при выключении иллюстрированы
графиками на рис. 47, построенными при помощи ф-л (4.7.9),
Огибающая -на Вхоое
2 Aft---►
Рис. 47. Огибающие иа выводе резонансного усилителя (п=2) при рас-
стройке для прямоугольной огибающей иа входе.
(4. 7. 10) и рис. 35 и 37. На графиках показаны огибающие
для резонансного усилителя, срдержащего две ступени при
„ „ До „
относительной расстройке = 2. Построения сделаны для
трёх значений длительности импульса на входе: 2 Д fT = 0,5;
1,0; 1,5. Момент выключения напряжения на входе и изменение
огибающей на выходе после выключения показаны пунктиром.
Характер изменения огибающей на выходе при включении
и выключении расстроенного напряжения, как видно из рис. 47,
различен. Нарастание огибающей при включении происходит
значительно быстрее, чем спадание при выключении.
Осциллирование огибающей, наблюдающееся при включе-
нии напряжения, при выключении отсутствует. С физической
стороны так и должно быть, потому что осциллирование
107
огибающей происходит за счёт биений между частотой внеш-
него напряжения и частотой свободных колебаний контуров.
При выключении внешнего напряжения в контурах происходят
только свободные колебания, и так как резонансный усилитель
обладает лишь одной частотой свободных колебаний, то воз-
никновение биений невозможно.
4. 8. Прохождение импульса с огибающей в форме треуголь-
ника
Принцип суперпозиции можно также применить для пост-
роения огибающей на выходе, если огибающая на входе имеет
форму треугольника. Из предыдущего параграфа следует, что
при равенстве частоты внешнего напряжения резонансной
принцип суперпозиции просто переносится на огибающие.
Пусть огибающая на входе имеет форму равнобедренного
треугольника. Основание его, определяющее длительность .им-
пульса огибающей, обозначим буквой Т. Время будем отсчи-
тывать с момента включения импульса. Уравнение прямой,
образующей восходящую сторону треугольника, будет
£"(/) = 2 wo/. (3.3.17)
Легко видеть, что огибающую на входе в форме треуголь-
ника №(/) можно построить из трёх прямых (3. 3. 17) согласно
уравнению
/ 7'1
W(t) = E(t) — 2E (/- gj + f (/-Г). (4.8.1)
Когда огибающая на входе задана ур-нием (3.3. 17), оги-
бающая на выходе D (t) известна. Следовательно, применяя
принцип суперпозиции в случае огибающей на входе, заданной
ур-нием (4.8.1), получим уравнение для огибающей на
выходе из огибающих !>(/,, по форме аналогичное
(4.8.1)
F(/) = Z>(/)-2Z)(/— 0+Z>(/-f). (4.8.2)
На рис. 48 описанным здесь способом построены огибаю-
щие на выходе усилителя при п = х>. Построения сделаны для
трёх значений длительности импульсов: 2&fT~ 1; 2; 3) а вы-
сота их для всех трёх случаев взята равной единице. При
построении использовался график для £>(/) на рис. 11, при чём
учитывалось, что угловой коэффициент г в выражении (3.3.17)
для импульсов различной продолжительности различен, по-
скольку высота импульса неизменна.
108
Величина е определяется по формуле
нЛ = 2 _
2Д/ -2Д/77’
(4.8.3)
Огибающие на рис. 48, построенные для п = мало изме-
нились бы для любого конечного п, поскольку на рис. 40 было
Рис. 48. Огибающие на выходе резонансного усилителя (п = <-_) при
огибающей па входе в форме треугольника.
показано, что огибающие L>(t) хорошо совпадают для всех
значений п.
Из графиков на рис. 48 можно сделать следующие выводы.
После прохождения через усилитель форма импульса иска-
жается — он становится шире, острые углы заменяются
плавными закруглениями. Появление максимума огибающей
на выходе запаздывает относительно максимума огибающей
на входе на время группового запаздывания. Импульс иска-
жается тем больше, чем меньше его длительность. При отсут-
ствии переходных процессов максимум огибающей на выходе
был бы равен единице. За счёт процессов установления высота
импульса оказывается тем меньше, чем он короче.
109
Из анализа выражения для огибающей (4.8. 2) с учётом
ф-лы (4.8.3) и графика на рис. 11 следует, что если 2Д/Т 1,
то максимум огибающей на выходе можно выразить формулой
Ттах=1-2°^- (4-8.4)
В табл. 3 показано изменение /-'max с увеличением длитель-
ности импульса.
Таблица 3
2 Д/Т 1 2 3 4 5 6
F max 0,58 0,79 0,86 0,9 0,915 0,93
После того, как длительность импульса достигла значения,
соответствующего 2 Д/1 =3, дальнейшее её увеличение влияет
па величину Fmax очень мало.
Как и для случая анализа прохождения прямоугольных
импульсов, какие-либо рекомендации о выборе величины 2 Д/Т
могут быть сделаны лишь после того, как поставлены дополни-
тельные условия, которые следует достигнуть при передаче
импульсов (отношение сигнал/помеха, крутизна фронта и т. д.).
В заключение отметим, что графики на рис. 48 пригодны также
и при другой постановке задачи, когда задана длительность
импульса, а изменяется ширина полосы.
ГЛАВА 5
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЛОСОВОМ УСИЛИТЕЛЕ
ПО СХЕМЕ рис. 4
5. 1- Краткие сведения о частотных и фазовых характеристиках
Укороченное выражение для коэффициента усиления п
ступеней даётся формулой
k^-(2-зл1)
Отсюда для выражения’): частотной и фазовой характеристик получаем ,, , (1+PV k (а) = - „ „ . (о. 1.1) [(Ш2-айЛМ*2] ?(«) = narctg 2- 2. (5.1.2) 1 “Г р а
Из последней формулы определим время группового запаз-
дывания для частоты резонанса, т, е. для расстройки а = О
I о! I ____ 2 и
I ^aJa=O 1 + ,32
(5.1.3)
Исследование ур-ния (5. 1. 1) показывает, что частотная
характеристика имеет один горб при р <Z 1 и два горба — при
Поэтому степень связи ? =1 называется критической.
На рис. 49 и 50 показаны частотные и фазовые характери-
стики одной ступени усиления при значениях р = 0; 1; 2,41,
выбранных из следующих соображений.
Значение ,3=0 физически соответствует столь слабой
связи между контурами, что обратной реакцией второго кон-
тура на первый можно пренебречь. Это значит, что частотная
и фазовая характеристики при этом будут такими же, как у
*) Постоянный фазовый сдвиг —я*- в выражении (5. 1. 2) опущен.
111
Рис. 49. Частотные характеристики усилителя по схеме рис. 4 (п— 1)
при разной степени связи.
Рис. 50. Фазовые характеристики усилителя по схеме рис. 4 («= 1)
при разной степени связи.
112
резонансного усилителя, содержащего две ступени. Критиче-
ская связь £ =1 — наибольшая, при которой кривая резонанса
ещё остаётся одногорбой, чаще всего применяетсяша практике.
Наконец, случай связи больше критической представлен
на графиках значением £ = 2,41. При этом значении £ полу-
чается неравномерность усиления на горбе . Полосу
пропускания для этого случая будем определять по расстройке,
при которой коэффициент усиления равен резонансному.
Согласно рис. 49 зависимость полосы пропускания от сте-
пени связи характеризуется табл. 4, из которой видно, как с
увеличением £ увеличивается полоса пропускания.
Таблица 4
18 0 1 2,41
а А 0,644 1,414 3,11
Для связанных контуров крутизна фазовой характеристики
не спадает монотонно, как в резонансном усилителе (£ = 0);
она возрастает при малых расстройках, проходит через мак-
симум и лишь затем убывает (рис. 50).
На рис. 51 и 52 показаны частотные и фазовые характери-
- стики для тех же значений £, но затухание контуров подо-
брано таким образом, что независимо от величины р полоса
пропускания остаётся неизменной. Характеристики на рис. 51
и 52 получены из характеристик на рис. 49 и 50 путём пере-
счёта абсцисс по ф-ле (4. 1.7).
Рассмотрим более подробно частотные и фазовые характе-
ристики многоступенчатого полосового усилителя при критиче-
ской связи между контурами.
Для £=1 выражения (5.1.1) и (5.1.2) принимают сле-
дующий ВИД:
* (5л-4>
L'+yi
<р(а) = —narctgy-?“_5, (5.1.5)
х0 = п. (5.1.6)
8-9219. ЦЗ
1.5
0 АЛ 1,0 1,5 _2 2,0 25
332
Рис. 51. Частотные характеристики усилителя по схеме рис. 4 (л —1)
Рис. 52. Фазовые характеристики усилителя по схеме рис. 4 (п— 1)
при разной степени связи, но одинаковой полосе.
Частотные и фазовые характеристики, рассчитанные по
ф-лам (5. 1.4) и (5. 1. 5), приведены на рис. 53 и 54. Они по-
казывают постепен-
ное изменение харак-
теристик усилителя с
увеличением числа
ступеней.
Уменьшение поло-1
сы пропускания с
увеличением п харак-
теризуется величи-
ной расстройки яд
при заданной нерав-
номерности >SA. Из
(5. 1.4) для полу-
чается следующая
формула
(5-1.7)
Значения яд для
разных «при /?д=1/2
приведены в табл. 5.
Рис. 53. Частотные характеристики усилителя
по схеме рис. 4 при критической связи.
Таблица 5
п 1 2 3 4 5 6
а Д 1.41 1,13 1.01 0,933 0,880 0,836
Когда п достаточно велико я д с небольшой ошибкой можно
определить по приближённой формуле
„ /2
я. »Y2 -InS. .
д \п 4/
(5.1.8)
Рассмотрим теперь частотные и фазовые характеристики
усилителей с разным числом ступеней при Р = 1 и одинаковой
8*
115
полосе пропускания
лучены из графиков
ф-ле (4. 1.7).
(рис. 55 и 56).
на рис. 53 и
----
Эти характеристики по-
54 путём пересчёта по
Пользуясь тем же
лке. 54. Фазовые характеристики усилителя
по схеме рис. 4 при критической связи.
по степеням а
методом, что и при
анализе частотных
характеристик резо-
нансного усилителя,
легко доказать, что
при неограниченном
увеличении п частот-
ные характеристики
на рис. 55 стремятся
к предельной кривой,
уравнение которой
k(Q)— е~1да7 1п5д.
Фазовая характе-
ристика для полосо-
вого усилителя в от-
личие от резонансно-
го при беспредельном
увеличении п не стре-
мится к уравнению
прямой. Чтобы убв'
диться в этом, пред-
ставим уравнение фазовой характеристики (5. 1. 5) в виде ряда
— == л ^а+ б а3 4- а5 4- .. .
При большом п согласно ф-лам (4. 1.7) и (5. 1. 8) а можно
заменить выражением
Й 1
а~
где
AQ' =-------—г
У2(21п5д) *
После подстановки получим уравнение фазовой характери-
стики в виде ряда
_ Й =< . / й \85 >1< . / й V19 1 .
<₽~ АЙ' " +\АЙ7 б" + \АЙ7 20л1|<+
116
показывающего, что в пределе при п -> - из уравнения фа
зовой характеристики исчезают все нелинейные члены, за ис
ключением кубического (т. е.
следний так же, как и ли-
нейный, неограниченно
возрастает с ростом п.
Это обстоятельство име-
ет принципиальное значе-
ние и, как увидим далее,
оказывает влияние на ха-
рактер переходных про-
цессов.
Чтобы понять получен-
ные результаты и показать
го место, которое зани-
мает схема полосового
усилителя с двумя конту-
рами среди других много-
контурных схем, отметим,
что, как показано в п. 7. 1,
для полосового усилителя,
содержащего трёхконтур-
ные полосовые филь-
тры, при определённых ус-
ловиях может быть полу-
чена одногорбая кривая,
которая в пределе при
я описывается урав-
нением
Рис. 55. Частотные характеристики
усилителей по схеме рис. 4 с разным
числом ступеней при одинаковой
полосе.
/г(й) = е
( a v „
да ) 1п 5д •
В трёхконтурном фильтре при п -» -<> у фазовой характе-
ристики будут неограниченно возрастать уже не два, а три
члена. Очевидно, что если одна ячейка полосового фильтра
состоит из q контуров, то в пределе при л асимптотиче-
ское уравнение частотной характеристики будет
( а
= п5Д'
Уравнение фазовой характеристики при этом будет иметь
следующий характер
где х5 и т. д. — некоторые коэффициенты.
117
В уравнении фазовой характеристики при п -» будут
неограниченно возрастать q членов. В пределе при д
по схеме рис. 4 с разным числом ступеней
при одинаковой полосе.
мы получим уравне-
ние частотной харак-
теристики в форме
прямоугольника, т. е.
придём к тому же ре-
зультату, который
даёт при /г поло-
совой фильтр, рас-
смотренный в п. 3.4.
В самом деле, при
7 -> оо и п дол-
жны неограниченно
возрастать вместе с
п все члены фазовой
характеристики. То
же самое получим и
для полосового филь-
тра. Его фазовая ха-
рактеристика описы-
вается уравнением
. У
ср — — и arc sin .
т ДУ
(3.4.4)
Разложив в ряд arc sin и подставив его в выражение
41 Ьа
(3.4.4), убедимся, что все члены ряда будут пропорциональны
п и, следовательно, все будут неограниченно возрастать
При П -» оо.
На основании изложенного можно ожидать, что переход-
ные процессы в полосовом усилителе по схеме рис. 4 будут
схожи с переходными процессами в полосовом фильтре, опи-
санными в п. 3.4?
В заключение рассмотрим изменение времени запаздывания
в зависимости от числа ступеней при заданной полосе.
На основании ф-л (4. 1. 12) и (5. 1.6) время запаздывания
будет определяться из выражения
а.
2 A ft0 = п-------.
ТС
(5.1.9)
118
Построенный по этой формуле график показан на рис. 57.
Пунктиром показана кривая, рассчитанная по приближённой
формуле [а определяется из (5. 1.8)].
Приближённая формула для времени запаздывания имеет
следующий вид
2 Д /70 = ~ (2 In 5Д)'!< п' = 0,411 и U. (5.1.10)
Расхождение меж-
ду точной ф-лой
(5.1.9) и асимптоти-
ческой (5. 1.10) полу-
чается настолько не-
значительное, что им
можно пренебречь.
Сравнивая полу-
ченную для времени
запаздывания в поло-
совом усилителе
ф-лу (5. 1. 10) и гра-
фик на рис. 57 с ана-
логичной ф-лой
(4. 1. 14) и графиком
на рис. 27 для резо-
нансного усилителя,
можем сделать сле-
дующие выводы.
Во-пер.вых, у поло;
еового усилителя,
время запаздывания
С увеличением числа рис Время запаздывания для усилителей
ступеней при задан: ПО схеме рис. 4 с разным числом ступеней
ной полосе растёт ПРИ. одинаковой полосе,
быстрее, чем у ре- '
зонансного. Согласно асимптотическим формулам у резонан-
сного усилителя оно растёт пропорционально л’|а в то время,
з. *
как для полосового оно растет как п .
Во-вторых, по абсолютной величине время запаздывания
при одинаковом числе ступеней у полосового усилителя больше..
Например, при и=4 для резонансного усилителя по графику
на рис. 27 имеем 2 Д/~/о = 0,55. а для полосового по графику
на рис. 57 2/ДЛ, = 1,2. В этом примёре время запаздывания
для полосового усилителя превышает таковое для резонанс-
ного более, чем вдвое.
119
5. 2. Включение постоянного напряжения
1. Для вычисления огибающей на выходе при включении
на входе единичного толчка подставим в укороченное сим-
волическое ур-ние (2.6. 10) выражение для коэффициента
усиления (2.3.11) и получим, что А(х) является решением
символического уравнения
А (г) = (-1)" 8 (1 + ру / « 1. (5,2.1)
[(l-4-ias)4-₽2]
Преобразовав это выражение путём применения теоремы
смещения (1.5.3), решение для А(х) можем представить в
следующем виде
лЪ)=(-if s -^42/«п е~Л> (5-2-2>
где новая функция фх) является решением более простого,
чем (5.2. 1), операционного уравнения
15-2-3>
Через р обозначен новый оператор, которым мы заменили
„ . ia „
старый по формуле р = Поэтому вместо безразмерного
времени х в (5. 2. 1) в ур-нии (5.2.3) будем иметь безразмер-
ное время рх. Для операционного ур-ния (5.2.3) в таблицах
операционного исчисления даётся решение
. ,__ , „ . л—Г,
1 / тс (₽ *)
<5'2-4*
где фх) — функция Бесселя порядка целого числа с по-
ловиной !).
Подставив (5.2.4) в (5.2.2), найдём решение для огибаю-
щей на выходе
= <-i)"8 |/^ Me-. *5.2.5)
Г
. 1 Здесь и далее употребляется двойной факториал чётного числа
2/г)!!*=2.4.6...2/г = 2лл!
120
Функции Бесселя, индекс которых равен целому числу с
половиной, выражаются через элементарные функции синус и
косинус [18). Для функции Бесселя (Z) справедлива
формула
, , ч "1/2 . / пп\ (—(»4-2v)l ,
J ... (г) = /— sin (г--тг > ---------------+
л+ ,а |/ тег \ 2 / /j (2v)l(n — 2у)!(2г)
м v=o
ВД -I
/ _ пп\ /Н ( —l)v (п 4~ 2у 4~ 1)! /к о в,
+ cos \ 2 / /, '(2у+1)!(л—2v —1)!
Стоящие в качестве верхнего предела сумм символы | Iй
I п—1 I п
I -—g— I означают целую часть, заключающуюся в числах
п —Г
И - 2-
Для практических расчётов ф-лой (5. 2. 6) пользоваться не
приходится, так как во всех справочниках по специальным
функциям для функций Бесселя даны таблицы (см. на-
пример [16);.
При малых значениях п(п=Л, 2) формулы с тригонометри-
ческими функциями оказываются весьма простыми и имеют
вид:
п = 1
л = 2
А(х).= — iS
sin р х е
(5.2.71
А {х) — ~Ъ
(sin р%— р xcos р%) е
С возрастанием п структура этих формул всё более услож-
няется.
Присутствие в выражении для огибающей гармонических
функций от аргумента $х вместе с экспоненциальным множи-
телем обусловливает осцилляторно затухающий характер изме-
нения огибающей во времени. В этом явлении состоит
принципиальное отличие картины установления в полосовом
усилителе по сравнению с резонансным, где огибающая А (х)
имела только один максимум. С физической стороны осцилли-
рование огибающей объясняется интерференцией между двумя
121
нормальными частотами, которые присущи системе из двух свя-
k 5
занных контуров. Заменив р — у и убеждаемся, что
□ k
аргумент pr = -..w t и, следовательно, частота осциллирования
k
огибающей равна -у сво, где k — коэффициент связи
контуров. С другой стороны, из общей теории связанных конту-
ров известно, что нормальные частоты w12j Для двух иден-
тичных контуров определяются по формуле
Считая k~Z, можем с точностью до 5а написать выраже-
ние для разности нормальных частот
wi — w2 = С1)о.
Таким образом, мы убедились, что циклическая частота
осциллирования огибающих равна полуразности нормальных
частот двух связанных контуров и, следовательно, осциллиро-
вание огибающей обусловлено биениями между ними.
Рис. 58. Огибающие на выходе усилителя по схеме рис. 4 (п=1) при
разной степени связи. Включение постоянного напряжения.
122
2. Дискуссию переходных процессов, описываемых
ф-лой (5.2.5), проведём в том же порядке, в каком были рас-
смотрены частотные и фазовые характеристики в предыдущем
параграфе.
Огибающие на рис. 58 показывают влияние степени связи
на характер установления. Они построены для трёх значений
Рис. 59. Огибающие на выходе усилителя по схеме рис. 4 (п=1) при
разной степени снязи, по одинаковой полосе. Включение
постоянного напряжения.
степени связи ₽ —0; 1; 2,41 при п=1 соответственно частотным
и фазовым характеристикам на рис. 49 и 50. С увеличением
связи между контурами увеличивается «амплитуда» и «частота»
осциллирования огибающей. Это явление с физической точки
зрения объясняется увеличением частоты биений между часто-
тами связи. С формальной же стороны это можно объяснить
различием в величине полосы пропускания при разных ?. На
вопрос, как зависит характер установления огибающей от ве-
личины р, если во всех случаях полоса остаётся неизменной,
дают ответ графики на рис. 59, полученные в результате пере-
счёта абсцисс и ординат графиков на рис. 58 по ф-лам (4.1.11)
и (4.1.8). Они соответствуют частотным и фазовым характери-
стикам на рис. 51, 52.
Из рис. 59 следует, что при заданной полосе и разных Р
огибающие отличаются не очень резко. Во всяком случае глав-
ные свойства огибающей — высота и ширина первого всплеска—
определяются в основном полосой пропускания. Полного сов-
падения всё же нет и его нельзя было ожидать, поскольку
123
частотные и фазовые характеристики на рис. 51, 52 при разных
Р различаются весьма заметно.
Рассмотрим более подробно переходные процессы в много-
ступенчатом полосовом усилителе при критической связи
Соответственно частотным и фазовым характеристикам на
рис. 53, 54 на рис. 60 построено семейство кривых, показываю-
щие. 60. Огибающие на выходе ступеней усилителя по схеме рис. 4 нри
включении постоянного напряжения.
щих постепенное изменение формы огибающей в разных сту-
пенях усилителя, при критической связи. С увеличением
номера ступени изменение формы огибающей на выходе сво-
дится к уменьшению высоты первого всплеска и расширению
его основания. Кроме того, максимум с увеличением п переме-
щается вправо, что связано, очевидно, с увеличением времени
группового запаздывания, которое для |3 = 1 даётся формулой
х0=п. (5.1.6)
Говорить о времени группового запаздывания, вносимом
первой ступенью, нельзя, поскольку на вход её подаётся не гар-
моническое напряжение с некоторой огибающей, а единичный
толчок. Поэтому можно говорить о запаздывании огибающей,
полученной на выходе первой ступени при прохождении через
последующие. Следовательно, расстояние между максимумами
124
огибающих на рис. 60 в соответствии с ф-лой (5. 1.6) должно
быть равным единице. Однако, если внимательно проследить
за смещением максимумов во времени относительно максимума
огибающей на выходе первой ступени, то оказывается, что
полного совпадения с ф-лой (5.1.6) нет. Объяснение этого
явления нужно искать в особенностях уравнения фазовой
характеристики.
Рис. 61. Огибающие на выходе усилителей по схеме рис. 4 с разным
числом ступеней при одинаковой полосе. Включение постоянного напряжения.
На рис. 61 показаны,графики огибающих на выходе поло-
совых усилителей с разным числом ступеней при заданной
полосе (те же условия, что и для частотных и фазовых харак-
теристик на рис. 55 и 56). При заданной полосе пропускания
влияние числа ступеней на форму огибающей сказывается,
главным образом, на смещении огибающей вправо за счёт за-
паздывания.
Форма огибающих для приведённых на рис. 61 значений п
изменяется мало.
5. 3. Включение гармонического напряжения резонансной
частоты
1. Найдём выражение для комплексной амплитуды на.
выходе при включении на вход гармонического напряжения с
125
амплитудой, равной единице, установив сначала некоторые
свойства функции ип(&г)
Из символического ур-ния (5.2.3) следует, что функция
ип удовлетворяет следующей рекуррентной системе диффе-
ренциальных уравнений:
Й1 М 4- = 0,
йт+1фх)4- «т+1(₽х) = «т(М, . (5.3.1)
т = 1,2,... п— 1.
Начальные условия для (5. 3. 1) также вытекают из (5. 2. 3).
Чтобы найти их, применим к ур-нию (5. 2. 3) одно из предель-
ных соотношений (1.5. 10), согласно которому
“m+l (0) (1 4- р2}т+1
Отсюда найдём
«т+1 (0) = 0; т = 0, 1, 2 ... и — 1. (5.3.2)
Поскольку для всех значений тит+л (0)=0, то на основании
теоремы умножения (1.5.1) следует, что начальные значения
производной йт+1^0, найдутся из выражения
п2
йт ,, (0) = lim------——
. Л./Я-4-х
p_oo(l _J_p2)
Отсюда получаем
й .,(0) = P m = ° (5.3.2')
m+1V (0 /n = l, 2, ... n-1 V
Вычислим теперь B(x) по формуле
~i₽£
dl (2.6.26)
Подставив (5.2.2) в (2.6.26), напишем выражение
для В(х)
W)=(-i)n {sn (х) - 5 (0)}-
(5.3.3)
126
Через Sn обозначен неопределённый интеграл
Sn^=fun№)e~rS d%.
(5.3.4)
Путём двукратного интегрирования по частям Sn можно
выразить через другой интеграл, в подинтегральной функции
которого вместо ип ( <=) будет йп ; далее, на основании ре-
куррентных ур-ний (5.3.1) йп заменяем через ип и un-i, в ре-
зультате чего получаем рекурсионную формулу
8„ (t)=~ е ~ип Ш + Ип ф?) +
Г2+₽2 - Г2+₽2
Из ур-ний (5.3. 1) видно, что формально можно считать
Ис, (^1=0. и, следовательно, <5 (с)=0. Поэтому, применяя рекур-
сионную формулу для 8п последовательно, т. е. выражая Sn
через Sn_2, Sn_3 и т. д. до So, после простых преобразований
получим следующее решение-:
—» - ---> Hl >
— Гд П /г2 -4- R2 \ y
\ Р / Р Wl-f-I /П-f-l
/п=о ' __
(5.3.5)
Вычисление Snfty не представляет труда, поскольку известны
начальные условия (5. 3. 2) и (5.3.2).
Таким образом, подставив (5.3.5) в (5.3.3), получим ре-
шение для В (х) в виде
5(x) = A(ip)
-а- « ,, (М
р m-f-1 /п-f-l
(5.3.6)
где ЛЧр) — комплексный коэффициент усиления при рас-
стройке, т. е. согласно (2.3. 11)
, . ~-i(14-p2)~"
A(jp)= —LJ-2
_ 72+^2 _
Решение (5. 3.6) можно записать окончательно, выразив
функции нт+ и йт+1 через функции Бесселя согласно
127
ф-ле (5.2.4), освободившись при этом от производной
функции Бесселя. Для этого пользуемся известной из общей
теории функций Бесселя|I8J формулой
В результате получаем
( т=о ' Р
(М_ _
(2/nj!!
(5.3.7)
2. Дискуссию ф-лы (5.3.7) начнём со случая отсутствия
расстройки (р=0 г=1), для которого огибающая согласно
ф-ле (5. 3. 7) имеет вид
(2/и)!!
(5.3.8)
предста-
следует
При малых п ф-лу (5. 3. 8) можно более наглядно
вить через тригонометрические функции. Для этого
функции Бесселя с положительным индексом заменить через
тригонометрические по ф-ле (5.2.6), добавив к ней ещё фор-
мулу для
функции Бесселя с индексом — Уг
cos г.
(5.3.9)
Таким
получаем
образом, для п=1; 2 из общей ф-лы (5.3.8)
п= 1
. sinfiz
(5.3.10)
л=2
В(х) = — 11—е
i 1 — е
;2 1 + Ра р sin I
2₽ р / ₽
(5 3.11)
128
При дальнейшем увеличении п структура формул всё более
усложняется. Присутствие в формулах тригонометрических
функций от аргумента fix указывает, что в процессе установ-
ления имеет место интерференция между частотой внешнего
напряжения и нормальными частотами.
Рис. 62. Огибающие на выходе усилителя по схеме рис. 4 (п=1) при
разной степени связи. Включение гармонического напряжения.
По примеру предыдущего раздела рассмотрим прежде
всего изменение процесса установления при трёх значениях
степени связи [} = 0; 1; 2,41 для п=\.
Рассчитанные по ф-ле (5.3.10) графики показаны на
рис. 62. Напомним, что им соответствуют частотные и фазовые
характеристики на рис. 49 и 50. С увеличением fi увеличи-
вается крутизна фронта огибающей и вместе с тем возрастают
«частота» и «амплитуда» колебаний огибающей вокруг стацио-
нарного значения. При fi = 2,41 первый выброс огибающей
оказывается большим, он на 27% превышает стационарное
значение. При 3= 1 первый выброс очень мал, он превосходит
стационарное значение всего на 4%.
На рис. 63 показаны аналогичные кривые, но в предположе-
нии, что при разных значениях 3 затухание контуров подо-
брано так, что полоса пропускания остаётся постоянной.
Соответствующие этому условию частотные и фазовые харак-
теристики показаны на рис. 51 и 52. Различие в форме частот-
ных и фазовых характеристик на этом рисунке при заданной
полосе сказывается на крутизне фронта огибающей незначи-
в — 9219.
129
тельно. Заметное различие имеет место только при [В = 2,41
из-за сильной осцилляции огибающей вокруг стационарного
значения.
Время установления, определяемое на рис. 63 раствором
кривой на уровне 0,05 и 0,95 от стационарного, приведено в
табл. 6.
Таблица 6
0 0 1 2,41
0,88 0,85 0,68
Рис. 63. Огибающие на выходе усилителя по схеме рис. 4 (и || 1) при
разной степени связи, но одинаковой полосе. Включение
гармонического напряжения.
Рассмотрим теперь переходные процессы в полосовом уси-
лителе с большим - числом ступеней при критической связи.
На рис. 64 приведены рассчитанные по ф-ле (5. 3. 8) гра-
фики, показывающие изменение огибающей по мере увеличе-
ния числа ступеней усилителя (графикам соответствуют
частотные и фазовые характеристики рис. 53 и 54).
На этих графиках чётко видно увеличение времени группо-
вого запаздывания с увеличением п. Время запаздывания сог-
ласно ф-ле (5.1.6) отмечено на этих графиках точкой. За
время группового запаздывания огибающая в зависимости от п
успевает достигнуть 0,5-^0,43 стационарного значения. Умены
130
шение крутизны фронта огибающей с увеличением п прежде
всего связано с уменьшением полосы пропускания.
Изменение формы огибающей на выходе усилителей с раз-
ным числом ступеней, но при заданной полосе, соответственно
частотным и фазовым характеристикам на рис. 55 и 56,
Рис. 64. Огибающие на выходе ступеней усилителя по схеме рис. 4 при
критической связи. Включение гармонического напряжения.
мечен момент, соответствующий истечению времени группового
запаздывания. При разном п огибающие отличаются, главным
образом, временем запаздывания, форма их изменяется незна-
чительно. Этот вывод подтверждается графиками на рис. 66,
где повторены графики рис. 65, но с исключением времени
запаздывания. На рис. 66 видно, что для п=1^6 графики оги-
бающих совмещаются довольно хорошо. Тем не менее различия
всё же имеются, и, поскольку они имеют принципиальный ха-
рактер, проанализируем их подробнее.
Из внимательного рассмотрения графиков на рис. 65 видно,
что время установления, определяемое, как всегда, раствором
131
огибающей на уровнях 0,05 и 0,95, медленно увеличивается с
увеличением п. Время установления растёт по закону прямой
линии (рис. 67), уравнение которой
2 A/fj, = 0,84 + 0,03 (га — 1). (5.3.12)
(з увеличением га увеличивается также выброс огибающей
против стационарного значения (рис. 65). При га=1 этот вы-
брос равен 4%, при п—6 он достигает 9%.
2Aft
Рис. 65. Огибающие на выходе усилителей по схеме рис. 4 при разном
числе ступеней, но одинаковой полосе. Включение гармонического
напряжения.
Таким образом, картина изменения характера установления
огибающей с изменением га качественно сходна с той, которую
мы наблюдали в п. 3. 4 для полосового фильтра с согласованной
нагрузкой. Правда, количественно здесь эти явления выражены
менее резко.
Практически с зависимостью времени установления от
числа ступеней можно не считаться, если иметь в виду, что
редко бывает га>5. Для га<6 в среднем можно считать, что
2Д/4«0,9.
132
Зависимость времени установления при заданной полосе от
числа ступеней имеет принципиальное значение. Во-первых,
отсюда следует, что в пределе при п оо время установления
-10-08 -0,6 -0.4 -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1.0 1,2 1,4 1,6 1,8
2Af(t-Q
Рис. 66. Огибающие с рие. 65 с исключением времени запаздывания.
будет неограниченно возрастать, и поэтому в отличие от задачи
для резонансного усилителя
ную кривую установления
при п->со. Это объясняется
тем, что в отличие от случая
резонансного усилителя для
полосового усилителя при за-
данной полосе в пределе при
zi —> со фазовая характерис-
тика не стремится к уравне-
нию прямой.
На основании изложен-
ного в п. 5.1 сравнительного
анализа частотных и фазо-
вых характеристик много-
контурных полосовых филь-
тров можно сделать заклю-
здесь нельзя отыскать предель-
0,2 -
)- __1-1_L I_1_I-L.
0/234 5 6789Ю
п
Рис. 67. Зависимость времени
установления от числа ступеней при
заданной полосе.
133
чение, что с увеличением числа контуров в фильтре (?) зависи-
мость времени установления от числа ступеней и увеличение
выброса огибающей с ростом п будет усиливаться, и в пре-
деле при а —»оо мы получим ту же картину, которую наблю-
дали в п. 3. 4 для полосового фильтра.
5. 4. Включение напряжения, расстроенного относительно
резонансной частоты
Изучение процессов установления при включении расстро-
енного напряжения прежде всего сводится к исследованию
функции установления, через которую огибающая на выходе
определяется по формуле
B(/) = A(i Д <о)Во(0- (4.4.1)
Из ф-лы (5. 3. 7) следует, что в общем случае Во опреде-
ляется выражением
В0(х) —
- 1 1Л с~™? (г2+РТ (Е*)'”+ ТJ (Вх) + Ь (вх)1-
~ У 2 Р2 / (2 от)!! ₽ т+‘,'а(Р J
(5.4.1)
Исследование этого выражения для больших п приводит к
громоздким вычислениям. Поскольку выше было показано, что
при заданной полосе переходные процессы при различных п
отличаются в основном только временем группового запазды-
вания, ограничимся рассмотрением одной ступени, когда вычи-
сления оказываются сравнительно простыми.
Для п=\ после замены функций Бесселя через тригономет-
рические из общей ф-лы (5.4. 1) имеем
_В0(х)=1—е гДсоз ₽х + ^-sin ₽xj. (5.4.2)
Отсюда, заменив r= 1 -f- i р, получаем, следующие выраже-
ния для вещественной и мнимой частей:
Re 50=1 — е
Im Во = е
|sin рх) — cos р х sin рх]
(5.4.3)
134
Для физического толкования этих формул следует прежде
всего рассмотреть содержащиеся в них произведения тригоно-
метрических функций двух аргументов ?х и рх Произведение
двух тригонометрических функций всегда можно предста-
вить в виде суммы или разности тригонометрических функций
от аргументов вида рх±₽х После замены безразмерных
/параметров обычными, получим выражение
/ k \
(р±₽)х=
разъяснение которого J
можно найти на рис. 68.
На этом рисунке на оси
частот показано вза-
имное расположение
частоты резонанса ю0,
нормальных частот Wj,
w2 и, наконец, часто-
------4G; ---------
(t)t (iJo
Рис. 68. К объяснению частот биений в
полосовом усилителе при расстройке.
ты входного напряже-
ния со. Из рисунка наглядно видна справедливость тождества
Д wi 2W°) —
Следовательно, тригонометрическими функциями от аргу-
мента рх±?х передаются биения между частотой внешнего
воздействия и нормальными частотами в процессе установле-
ния. Наличие биений с двумя различными частотами обуслов-
ливает сложный характер процессов установления в полосовом
усилителе при расстройке.
В качестве примера для построения графиков выбран слу-
чай связи больше критической (р = 2,41). Такой выбор объ-
ясняется тем, что при связи больше критической рельефно
проявляются особенности процесса установления, свойственные
системе связанных контуров.
Графики, иллюстрирующие процессы установления при рас-
стройке, показаны на рис. 69, 70, 71. На двух первых показан
характер изменения действительной и мнимой частей функции
установления, на третьем — установление огибающей. Для
Д со
расстроек выбраны значения =0,707; 1; 1,5. Первое
значение соответствует расстройке, при которой получается пик
частотной характеристики (рис. 51); при второй расстройке
коэффициент усиления равен резонансному.
Графики на рис. 71 показывают, что при малых значениях
времени огибающая при расстройке нарастает так же, как и
135
при настройке. Однако, для расстроек дд= 0,707; 1 скорость
роста огибающей, примерно, при 2Д//=0,8, значительно замед-
ляется, наблюдается осциллирование огибающей вместе с
медленным приближением к стационарному значению. При
Рис. 69. Действительная и мнимая части функции установления для
усилителя по схеме рис. 4.
Рис. 70. Действительная и мнимая части функции установления для
усилителя по схеме рис. 4.
136
характер установления огибающей оказывается, примерно,
таким же, как и у резонансного'усилителя (п. 4.4).
Рис. 71. Огибающие на выходе усилителя по схеме рис. 4 при расстройке.
5. 5. Включение напряжения с линейно-возрастающей
амплитудой
1. Для вычисления огибающей на выходе воспользуемся
формулой
J 5(х) = | J B®dt. t (4.5.2)
О
После подстановки решения для В(х) по ф-ле (5.3.6)
получим
D(a:) = -p(ip)
л-1 /_2 . Д ~*=Гг ~
s (44 fе «
т=о г " *-_>
(5,5.1)
Содержащиеся в этом выражении интегралы можно свести
к уже вычисленным выше интегралам типа $п (5. 3. 4), реше-
нием которых является ф-ла (5.3.5). Неопределённый инте-
грал от первого слагаемого в квадратных скобках выражения
(5.5.1) равен согласно (5.3.4)
137
е'г' «„+,(₽?>«= р.+Ж (5-5.2)
Интеграл от второго слагаемого после однократного инте-
грирования по частям приобретает вид
—> __________________> —>
f «~'Ч+1(»<й=у«.+1(К)'!-'г+(5-5-3)
Таким образом, после подстановки
(5.5.1) получим
п—1 —♦ т
D(x) = у k (ip) I x — \ (—52—)
/и—о
(5.5.2) и (5.5.3) в
2 г *
-'-S (х) +
р т-Н 1
+ у“«+1ФЛ«""-2р.+1(О)-у“„+1(О) }• (5.5.4)
Подставив в (5. 5. 4) выражения по ф-ле (5. 3. 5) и преобра-
зовав, получаем следующий окончательный результат
ад = ~
О -*
г2 + Г-
2 г2 (га—гаг)
г2 + ₽2
— мт+1(₽х) + йт+1(₽х)
,Р
Um+1 (РХ)
(5.5.5)
После замены функций и йот+1 функциями Бесселя по
ф-ле (5. 2. 4) пблучим
fa = i AM
S г
2 г2 га
гх — ------
г2+ р2
(Мт+1;‘
(2гаг)!!
272(-^-от) / J (М +
Г2_^2 т *
138
(5.5.6)
2. Для дискуссии процессов установления, описываемых
ф-лон (5.5.6), выберем случай отсутствия расстройки (р=0,
г—1). Из (5.5.6) для этого случая имеем
-> „ е ( 2п .
(рх)"1^2 Г2 (п— т)
(2/га)!! [_ 1~Ьр2
р /я-Н|а ] р /п-Н|2 I
(5.5.7)
При больших значениях х, когда свободные колебания
можно считать затухнувшими, из (5. 5. 7) получаем асимптоти-
ческое выражение
линейно возрастающей амплитуде на входе.
139
Это выражение подтверждает, что после времени установ-
ления огибающая на выходе повторяет огибающую на входе,
но со сдвигом на время группового запаздывания, определяе-
мое ф-лой (5. 1. 3).
Рис. 73. Огибающие на выходе усилителей с разным числом ступеней
при одинаковой полосе. На входе линейно возрастающая амплитуда.
На рис. 72 показаны огибающие, рассчитанные по
ф-ле (5. 5. 7) при критической связи для п=1; 2; 3; в зависимо-
сти от х (т. е. при заданном затухании контуров). Те же кривые,
будучи пересчитаны, на рис. 73 показывают установление оги’-
бающей на выходе усилителей с разным числом ступеней при
заданной полосе пропускания. На графиках рис. 73 заметно,
что и при неизменной полосе «амплитуда» осциллпрования
140
вокруг асимптоты возрастает с возрастанием п. Здесь опять
подтверждается, что при заданной полосе искажение огибаю-
щей тем больше, чем больше п.
5. 6. Выключение гармонического напряжения
Общие методы вычисления огибающих на выходе при выклю-
чении как постоянного, так и гармонического напряжения были
подробно изложены выше в п. 4.6 и 4. 7 при рассмотрении
процессов установления в резонансном усилителе. Для полосо-
вого усилителя нет оснований ожидать каких-либо принципи-
ально отличных результатов. Поэтому рассмотрим только слу-
чай выключения гармонического напряжения для п=1 при
Р = 2,41.
Этот случай интересен тем, что при связи, значительно пре-
вышающей критическую, наблюдается сильное осциллирование
огибающей за счёт биений между нормальными частотами
(рис. 63), и поэтому искажение прямоугольной огибающей
приобретает характер, отличный от того, который имеет место
в резонансном усилителе или полосово^м при критической
связи.
Па рис. 74 показаны огибающие на выходе при выключе-
нии на входе гармонического напряжения через различные
промежутки времени после включения. Момент выключения
напряжения па входе отмечен пунктиром. Пунктиром показаны
также те части огибающей на выходе, которые следуют за
моментом выключения. Искажение импульса на выходе сказы-
вается не только в сглаживании переднего и заднего фронтов
и расширении его длительности, но ещё и в осциллировании
огибающей на выходе вокруг состояния покоя. Для удобства
построения сделано так, что огибающая принимает и
отрицательные значения. Фактически же огибающая всегда
положительна, и поэтому осциллирование её приведёт к появ-
лению вслед за главным импульсом, согласно рис. 74, ещё
двух ложных импульсов меньшей высоты. Из принципа
построения' огибающей при выключении, состоящем в вычита-
нии двух огибающих с рис. 63 (3 = 2,41), сдвинутых на время,
равное продолжительности импульса, следует, что наибольшая
амплитуда ложного импульса будет при длительности
импульса, равной расстоянию между первыми максимумом и
минимумом огибающей на рис. 63 (,3=2,41). Этому условию
удовлетворяет импульс с длительностью, соответствующей
2Д/‘7Т=1,3—1,5. Наибольшая высота ложного импульса, рав-
ная разности соседних экстремальных значений огибающей,
согласно рис. 63 равна 0,34, т. е. высота ложного импульса
141
может достигнуть 34 % от стационарного значения. Положение,
близкое к этому, мы имеем на рис. 74, когда 2Д/71=1; 1,5.
Ложные импульсы в радиолокационных системах или
системах связи с временной модуляцией могут явиться причи-
ной искажений в работе. На выходе радиоприёмников их
можно устранить путём применения ограничения по мини-
<7гибак>щие на Вгойе
ОЛ
9.6
0.4
1>.2
2Aft
Рис. 74. Огибающие на выходе усилителя по схеме рис. 4 при
прямоугольной огибающей на входе.
муму. Однако, ограничение по минимуму эффективно только
тогда, когда высота ложного импульса невелика. Таким обра-
зом, осциллирование огибающей в процессе установления
является вредным и его следует избегать.
142
ГЛАВА 6
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЛОСОВОМ УСИЛИТЕЛЕ
ПО СХЕМЕ рис. 5
6. 1. Краткие сведения о частотных и фазовых характеристиках
Из укороченного выражения для символического коэффици-
ента усиления
k (ia):
"(l+₽2)(l+ia)
получаются следующие формулы для частотной
характеристик:
(1+Р2)2 (1 + <%2)
£(“) —L(l-|_p2_a2)2_|-4a2 J ’
/ \ , 2a
ф(а) =«|arctg a — arctg
(2.3.17)
и фазовой
(6.1.1)
(6.1.2)
Из выражения для фазовой характеристики следует фор-
мула для времени группового запаздывания
~ dq~
Хо = —
a a
В зависимости от величины степени связи частотная харак-
теристика может быть одногорбой либо двугорбой. Выясним,
какая связь в этом смысле является критической. Обозначив,
как всегда, неравномерность частотной характеристики через
из Ф-лы (6- 1. 1) получим уравнение для обобщённой
расстройки при заданной неравномерности
a4 — [(1 + р2)2 S21" + 2 (1 + ,32) - 4] а2 — (1 + р2)2 (Д2'" — 1) = 0.
(6.1.4)
Частотная характеристика будет одногорбой, если при >5=1
ур-ние (6. 1.4) имеет один вещественный корень а—0. Отсюда
14Я
следует, что критическая степень связи удовлетворяет
уравнению
(14КР)2 + 2(1+?%)-4 = 0, (6.1.5)
Рис. 75. Частотные характеристики усилителя по схеме рис. 5 (zi = 1)
при разной степени связи.
Таким образом, в усилителе по схеме рис. 5 горбы на час-
тотной характеристике появляются при связи почти в два раза
более слабой, чем в усилителе по схеме рис. 4.
При р > $ высота горба зависит от величины р. При
[3 = 1,15 коэффициент усиления на пике в ]/2 раз больше ре-
144
зонансного и полоса пропускания определяется расстройкой,
при которой коэффициент усиления равен резонансному.
Рис. 76. Фазовые характеристики усилителя по схеме рис. 5 (п=1)
при разной степени связи.
На рис. 75 и 76 построены частотные и фазовые характери-
стики для одной ступени при ? = •: 0,486 и 1,15. Они показы-
вают изменение формы частотных и фазовых характеристик,
если при изменении степени связи затухание контуров остаётся
неизменным. Зависимость полосы от степени связи приведена
в табл. 7.
Таблица 7
0 0 0,486 1,15
а Д 1 1,5 2,46
Ю — 9219.
145
Из ф-лы (6.1.3) видно, что время группового запаздывания
с увеличением £ уменьшается, а при Р = 1 становится равным
разной степени связи, ио одинаковой
полосе.
нулю. Вообще с увели-
чением 8 нелинейность
фазовой характеристи-
ки становится всё за-
метнее. При р > 1 из-
менение фазы с часто-
той теряет монотонный
характер. При малых
расстройках она поло-
жительна, затем про-
ходит через экстремум
и, наконец, меняет знак.
На рис. 77, 78 харак-
теристики с рис. 75, 76
пересчитаны так, что
при разных р путём:
изменения затухания
сохраняется постоян-
ная полоса.
Рассмотрим частот-
ные и фазовые характе-
ристики многоступен-
чатого усилителя при
критической связи, т. е.
при р = 0,486 (рис. 79,
80, 81 и 82).
Уравнение (6.1.4)
после подстановки в не-
го условия критической
связи (6.1.5) приобре-
тает вид
a4-(’ + ₽%^21n-l)a2-(l+p%p)2^!1"-l) = 0. (6.1.6)
Решая это уравнение, найдём формулу для расстройки,
соответствующей полосе при неравномерности
= I (I Ж, -1)+_______
+ 1/4<1+P„)‘(^i’-1)2+(1 + P„«s’"- 1). (6.1.7)
Уменьшение полосы с увеличением числа ступеней (для
частотных характеристик рис. 79) характеризуется табл. 8.
146
Таблица 8
Для больших значений п из (6.1.7) получаем приближён-
ную формулу
Г 2 ~i‘14 , 1 Г 9 —i®l<
“д ~ I (! + V й 1П J + 4 L(1 + V 4 111 J (6 L8)
Подставив Ркр =0,486 и = V2, получим
~ 1,015 0,261
ад ~ дЧ< ' n*t
(6.1.8')
Из ф-лы (6. 1. 8) следует, что для частотной характеристики
на рис. 81 асимптотическое выражение при п--> будет таким
же, как и для полосового усилителя по схеме рис. 4
-(A)4in s.
Vaq/ а •
£(Q) = e U (6.1.9)
В заключение вычислим время группового запаздывания
при критической связи. Подставив в ф-лу (6. 1.3) Ржр = 0,48б,
определяем
х0 = 0,548 п. (6.1.10)
Время запаздывания при заданной полосе находим по
ф-ле (4. 1. 12)
ад
2Д//О = 0,548п — , (6.1.11)
w 147
Рис. 79. Частотные характеристики усилителя по схеме рис. 5 при
критической связи.
148
При больших п, подставляя в (6.1.11) асимптотическую
ф-лу (6. 1.8'л получаем приближённое выражение
2ДД> ж 0,177 + 0,С45п|4.
(6.6.12)
Зависимость времени группового запаздывания от числа
ступеней представлена на рис. 83 двумя кривыми: сплошной
по точной ф-ле (6.1.11) и пунктирной по приближённой
ф-ле (6.1.12). Приближённая формула даёт удовлетворительное
совпадение с точной формулой при всех значениях п, а не
только при больших.
Рис. 81. Частотные характеристики уси-
лителей по схеме рис. 5 с разным числом
ступеней при одинаковой полосе.
Рис. 82. Фазовые характеристики усили*
телей по схеме рис. 5 с разным числом
ступеней при одинаковой полосе.
Сравнивая график для времени запаздывания на рис. 83 и
ф-лу (6. 1. 12) с графиками на рис. 27 и 57 и ф-лами (4. 1. 14)
и (5. 1. 10) соответственно для резонансного и полосового уси-
лителей, замечаем, что время группового запаздывания в
рассматриваемой схеме меньше, чем в полосовом усилителе
по схеме рис. 4 приблизительно в два раза. При п < 3 время
запаздывания в данной схеме меньше, чем в резонансном
149
усилителе, при п =*3 оно оказывается равным ему, а при
п > 3 — несколько больше.
Рис. 83. Время запаздывания для усилителей по схеме рис. 5 в
зависимости от числа ступеней при одинаковой полосе.
6. 2. Включение постоянного напряжения
1. Огибающая при единичном толчке А(х) после подста-
новки в общую ф-лу (2.6.10) выражения для коэффициента
усиления (2. 3. 17) описывается символическим уравнением
А^х) = 8 (1+ р2/ —1а-1 + 1а) w- 1. (6.2.1)
[(l + ia)2 + p2]
Применив теоремы смещения (1.5.3) и подобия (1.5.4),
представляем решение ур-ния (6.2. 1) в виде
-» (l-4-Ba)”
=8'4-^® фх)е , (6.2.2)
Q П 1 П
где vn (fix) — собственная функция задачи, которую нужно
найти из решения символического уравнения
»n+1
Vn^ = ---~---— L
(P2+D
(6.2.3)
150
Ради краткости через z обозначена независимая перемен-
ная искомой функции. Решение символического ур-ния (6.2.3)
в таблицах операционного исчисления отсутствует. Для
отыскания его применим обобщённую формулу включения
(1.5.8).
Перепишем символическое ур-ние (6. 2. 3) в несколько ином
виде
*>„(*) =
я-Н
Р_________
(Р-Р!)" (Р~Р2)П
(6.2.3')
где pli2 = ± i — характеристические корни n-й кратности.
Согласно обобщённой ф-ле (1.5.8) решение символического
ур-ния (6.2.3') следует написать в виде
я—1 т я—1 т
= X А1т<г+" 2 (6-2‘4)
т—о т~о t/t,‘
где коэффициенты h и определяются по формуле
_ 1 dn~'l-m Г р И"
1.2m — (д _ 1 _ т) I р -р
г — 2,1—р=рм
После вычисления входящей в ф-лу (6.2.4') производной
но формуле Лейбница1’1 и упрощений найдём
я-1-m (n_|_0_nt р т+1+9
h —fl у (— IV___________и-_______________ ‘1,2________
1,2т Д k } ?!(n-l-m-?)!(m+H-?)! (р1>2 — P2,i)"+?
Подставив в полученное выражение plj2 = ±i и выполнив
несложные преобразования, получим
2 2’ (6 2.5)
где
S т
2«-1
Е
q=o
(-if
--------<ZL±_?--Ш---------(6.2.6)
2?y!(n —1-m-9)l(m + l + д)!
Подставив найденное выражение для коэффициентов hi т
и h2m (6.2.5) в ф-лу (6.2.4) и заменив показательные
функции тригонометрическими, получаем
151
л—i %т ^-j
v(z) = V gw—7 cos \ z — (n— 1 — tri] 77
п' ' мд v 21
m=o - —
(6.2.7),
Применив к выражению (6. 2. 7) тригонометрическую фор-
мулу для косинуса суммы и заменив п на «4-1, придадим
окончательному решению для искомой функции vn^{Z) следую-
щую форму.
”]
, . / п~\ , ,.v Z
(г) = cos [z---., | ) (—1) s -7?—
«4-1 ' > 1 2 / " ' °2v (2v
' ' V~O x
Г--1
v z nV. ^+1
31ПГ 2/ s < ^^274-1(27+1)!'
P—0 x
(6.2.8)
Входящие в это выражение коэффициенты g определяются
по ф-ле (6. 2. 6).
Поскольку функции vn (z) не табулированы, приведём
здесь готовые выражения для n= 1 -ь 6.
(2) = cos г,
, . 1 z . , 1 .
(г) = 2 п cos г + 2 sin z>
v3 (*) = 7 f-j cos z + I p sin z> (6-2.9)
. . / 1 z8 1 z \ ,/1г2 1 \ .
\8 3! 16 11/ С03г + \4 21 + 1б) 31П*’
. . /1г4 5z2\ /5 г3. 5 г \ .
v6 («) — ( [б 4! “ 64 2! ) C°S Z + \ 82 3 I + 128 Tl ) Sm Z>
I 1 гБ
t'e(z) = (32 5!
9 г8____3 г \
128 3! 256 1!/С03г
. , / 3 г4 1 г2 3 \ .
+ (32 4 I + 64 2 I + 256 / Б1П Z'
Кроме того, согласно выражению (6. 2. 2) напишем полные
формулы для расчёта огибающей для двух значений п
152
п — 1
А(х} — Ъ (1 + р) cos рже .
п — 2
-> (1 R2\2 /1 J
А (.г) = 8 ( 2 ₽ х cos + 2
(6.2.10)
(6.2.11)
Эти формулы показывают, что, как и для полосового усили-
теля по схеме рис. 4, огибающая имеет осцилляторно затухаю-
щий характер. Осциллирование объясняется интерференцией
между двумя нормальными частотами.
Put. 84. Огибающие иа выходе усилителя по схеме рис. 5 (п=1) при
разной степени связи. Включение постоянного напряжения.
2. Обсуждение переходных процессов проведём в том же
порядке и для тех же значений параметров, для которых были
построены частотные и фазовые характеристики.
На рис. 84 показаны графики огибающей, рассчитанные по
ф-ле (6.2.10) для тех же значений параметров, что и
частотные и фазовые характеристики на рис. 75 и 76. Из гра-
153
фиков видно, что с увеличением р увеличивается высота
первого пика огибающей, а также «частота» и «амплитуда»
последующих всплесков. Причиной этого в первую очередь яв-
ляется различие в ширине полосы пропускания.
Рис. 85. Огибающие иа выходе усилителя
по схеме рис. 5 (п. = 1) при разной
степени связи ио одинаковой полосе.
Включение постоянного напряжения.
Рис. 86. Огибающие иа выходе
ступеней усилителя по схеме
рис. 5 при включении
постоянного напряжения.
Влияние степени связи на процесс установления огибающей
при неизменной полосе пропускания соответственно частотным
и фазовым характеристикам на рис. 77 и 78 показывают гра-
фики на рис. 85. При одинаковой полосе различие в величине
р сказывается здесь на величине и форме огибающей значи-
тельно слабее, чем на рис. 84. При р = 0 и [3=0,486 огибаю-
щие совпадают очень хорошо. При ₽ = 1,15 различие
остаётся довольно заметным.
На рис. 86 и 87 построены огибающие соответственно час-
тотным и фазовым характеристикам на рис. 79, 80, 81 и 82
при критической связи.
154
6. 3. Включение гармонического напряжения
1. Вычисление огибающей на выходе при включении на
вход гармонического напряжения единичной амплитуды будем
производить теми же методами, что и в п. 5. 3 при решении
аналогичной задачи для полосового усилителя по схеме рис. 4.
. Л«,9
A2Af
н °'8
0,7
о,е
0,5
о.з
0,2
0,1
Рис. 87. Огибающие иа выходе усилителей
по схеме рис. 5 с разным числом ступеней
при одинаковой полосе. Включение
постоянного Спряжения.
Из символического ур-ния (6.2.3) следует, что функция
Vn (z) удовлетворяет следующей цепочке рекурсионных уравне-
ний:
= °-
Vm+i "Ь vm+1 Vm<
Ш = 1,2 . . . П — 1.
(6.3.1)
Начальные условия следуют из того же ур-ния (6.2.3),
если применить к нему предельное соотношение (1.5.10) и
теорему умножения (1.5.1):
m-f-2
г'т4-1(°)= Нт -----------т-М'
( pm+i
(0) = lim - pv (0)
Р~»°°ЦР +1)
155
После вычислений получим:
— I 1 т = 0
y'"+1 (0 т = 1, 2, 3.. . п — 1
/ОХ _ ( 1 т = 1
2'm+1 (0 тп = О, 2, 3...Рп—1
(6.3.2)
Подставляя в ф-лу (2.6.26) для огибающей В(х)
— Г Alt) ~i₽g
В(х) = j е dt (2.6.26)
О
выражение (6. 2. 2)'для А(х), можно записать искомое реше-
ние в форме
В(х) = (х) - S„(0)}, (6.3.3)
где Sn — неопределённый интеграл
Sn® = (6.3.4)
Вычисление Sn производится в два приёма: сначала нахо-
дится для Sn реккурентное уравнение, а затем уже из него
определяется решение. Для поучения реккурентного уравнения
для Sn интеграл (6.3.4) преобразуем путём двукратного
интегрирования по частям, в результате чего под интегралом
оказывается vn- Эту величину заменяем через vn и vn-i из
(6.3. 1). Затем интеграл, содержащий vn-i, вновь преобразуем
аналогично (5. 5. 3).
В результате оказывается, что Sn удовлетворяет рекку-
рентному уравнению
(?) = - —Г— Ь„(₽ ?) + 1 ((₽?)- (₽?)) I е~ +
+ г' —
(6.3.5)
Согласно (6. 3. 1) можно положить vn = О' и, следовательно,
«о (Л) = 0 и из реккурентной ф-лы (6. 3. 5) составить решение
156
+- ^(₽?)) I. (6.3-6)
г ' —
Подставив теперь (6.3.6) в (6.3.3) и учитывая начальные
условия (6.3.2), получаем
B(z) = £(ip)
Г ' ' J
(6.3.7)
Здесь k (i р) — комплексный коэффициент усиления при
расстройке, равный
_ п
_ г2+₽а _
При отсутствии расстройки (р=0, г=1) выражение (6.3.7)
упрощается и принимает вид
В>) = 1 —е~х
” (М+₽ (у +1 (₽*})
/и-f-i \ w-f-i т /
(6.3.8)
В развёрнутом виде структура ф-лы (6.3. 8) усложняется
с увеличением п. Но для малых п формулы получаются доста-
точно простыми и в развёрнутом виде; напишем их для п— 1 и
п = 2
п=1 Б(г) = 1 —е г(соз(3х—fJsinfJr), (6.3.9)
п—2 В(т) — 1 — е х I (1+ созрг+
I \ z р /
+ (У" ~ Sin I • (6-3J0>
\ р / I
157
2. Полученные формулы мы применим для расчёта огибаю-
щей только в случае совпадения частоты входного напряжения
с резонансной.
Сначала рассмотрим влияние изменения степени связи
между контурами на процессы установления для одной сту-
пени. Такой постановке задачи соответствуют частотные и
фазовые характеристики на рис. 75 и 76. Рассчитанные для
Рис. 88. Огибающие на выходе усилителя по схеме рис. 5 (п. = 1) при
разной степени связи. Включение гармонического напряжения.
этих данных по ф-ле (6.3.9) графики огибающих показаны
на рис. 88. На рис. 89 графики с рис. 88 пересчитаны, чтобы
показать изменение характера установления, если при измене-
нии Р ширина полосы пропускания остаётся постоянной. Гра-
фики на рис. 89 соответствуют частотным и фазовым характе-
ристикам, построенным на рис. 77 и 78.
Из рассмотрения огибающих на рис. 88 можно сделать
вывод, что время установления уменьшается с увеличением [3
при постоянном затухании. Из рис. 89 следует, что характер
установления при критической связи практически остаётся
таким же, как и при отсутствии связи. При ₽ — 0,4й6 время
установления определяется из формулы
2 Д/^ =0,84,
в то время, как при р=0, имеем
2ДД, = 0,9.
158
При этом осциллирование огибающей вокруг стационар-
ного значения незаметно. Зато при связи больше критической
(Р= 1,15) установление носит своеобразный характер. Во-пер-
ных, огибающая нарастает значительно быстрее, чем при
других значениях ₽• — она достигает 95% от стационарного
значения за время, определяемое из равенства
2Д/7 =0,46.
Рис. 89. Огибающие на выходе усилителя по схеме рис. 5 (п = 1) при
различной степени связи, но одинаковой полосе. Включение
гармонического напряжения.
Во-вторых, за счёт осциллирования огибающей наблю-
дается значительный выброс, достигающий 29% от стационар-
ного значения. Поскольку при передаче импульсов выброс
огибающей приводит к появлению ложных импульсов, то целе-
сообразнее всего выбирать критическую связь, когда осцилли-
рование огибающей практически незаметно.
Рассмотрим переходные процессы в многоступенчатом
усилителе при критической связи (частотные и фазовые харак-
теристики на рис. 79, 80, 81 и 82, результаты расчёта огибаю-
159
щих представлены на рис. 90 и 91). Время группового
запаздывания отмечено на графиках точками. По истечении
времени группового запаздывания огибающая достигает в за-
висимости от п 50—40% стационарной величины.
Рис. 91. Огибающие на выходе усилителей по схеме рис. 5 с разным
числом ступеней при одинаковой полосе. Включение гармонического
напряжения.
160
С увеличением номера ступени крутизна огибающей умень-
шается, время установления возрастает (рис. 90), что объяс-
няется, главным образом., уменьшением полосы пропускания
(рис. 91). Время установления на рис. 91 всё же несколько
возрастает с увеличением п и может быть определено из
формулы
2ДД, = 0,84 + 0,01 (п-1). (63Л1)
Из этой формулы следует, что поправка на зависимость
времени установления от числа ступеней в анализируемой
схеме ещё меньше, чем в полосовом усилителе по схеме рис. 4.
При практических расчётах эту поправку можно игнорировать.
На этом закончим рассмотрение переходных процессов в поло-
совом усилителе по схеме рис. 5. Рассматривать переходные
процессы при включении ' расстроенного напряжения, при
выключении и т. д. мы не будем, поскольку нет оснований
ожидать, что решение этих задач может добавить что-либо
новое к выводам, сформулированным выше при более подроб-
ном рассмотрении других схем усилителей.
И — 9219.
ГЛАВА 7
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЛОСОВОМ УСИЛИТЕЛЕ
С ТРЁХКОНТУРНЫМ ФИЛЬТРОМ
7. 1. Краткие сведения о частотных и фазовых характеристиках
В качестве последнего примера рассмотрим переходные про-
цессы в трёхконтурном усилителе (рис. 92), состоящем из двух
Рис, 92. Схема полосового усилителя с тремя контурами.
ступеней; первая ступень — полосовой усилитель со связан-
ными контурами, а вторая — резонансный усилитель. Считаем
собственную частоту всех контуров одинаковой, а затухания
первой и второй ступеней различными. Можно рассмотреть уси-
литель, представляющий собой цепочку ячеек, каждая из
которых включает пару ступеней по схеме рис. 92. Формулы
для этого случая были получены, но они оказались настолько
громоздкими, что приводить их нецелесообразно. Поэтому огра-
ничимся рассмотрением только одной ячейки по схеме рис.92.
Составим укороченное символическое уравнение для коэф-
фициента усиления. Определим его через произведение
коэффициентов усиления обеих ступеней^, выражения для кото-
рых были получены в п. 2. 3. Условившись обобщённую рас-
2Й
стройку относить к затуханию первой ступени, т. е. а = —-
WqOj
л « ^2
и введя обозначение для отношения затухании у = получим
162
для коэффициентов усиления первой и второй ступеней соглас-
но ф-лам (2.3.10) и (2.3.5) выражения:
k ни- -id + P2)
— (jj -j2’
&2(ia) =----—
1+ —
Y
Выражение для коэффициента усиления обеих ступеней
получим в виде
/ /• > — iYUH-Р2) /71 п
k (1 a) = f—-О-2Г-—рт-г- - (7.1.1)
v [(1 Ha) +₽ J (Y + ia)
Из ф-лы (7. 1. 1) найдём выражения для частотной и фазо-
вой характеристик1):
А /и -1 / Y2(l+W
— Г [(1 + ₽2 — а2)2 + 4a2] (г2 4- а2)
. 2а а
? = -arc "агс tg Y •
Из выражения для фазовой характеристики
время группового запаздывания
= “ LdM aj" I+₽2 + Y ’
Определим
(7.1.4)
Уравнение для частотной характеристики (7.1.2) удобно
переписать в форме
с
. (7.1.5)
где коэффициенты а, b и с выражаются через параметры р и у
следующим образом:
a = 2(₽2 —1) — у2
£> = (1 4- р2)2 Н- 2у2 (1 — ,32)
с=т2(1-н2)2
(7.1.5')
Исследование уравнения частотной характеристики (7. 1.5)
показывает, что в зависимости от значений параметров Р и у
она может быть либо одногорбой, либо иметь два или три
горба. Наибольший интерес представляет случай, когда зату-
*) В выражении (7. 1. 3) опущен постоянный фазовый сдвиг — -
и*
163
хания контуров выбраны так, что у=2. При этих условиях
все три горба располагаются на одном уровне, В дальнейшем
будем иметь в виду именно это значение у. При критическом
значении степени связи ₽ = ]/ 3 горбы исчезают.
При у = 2 и р = коэффициенты, входящие в уравнение
частотной характеристики (7. 1.5'), будут:
а = 0,
Ь = 0,
с = 64.
Уравнение частотной характеристики сильно упрощается,
принимая вид
£(*)= ,—L-f6- (7.1.6)
1П2)
Соответственно для фазовой характеристики и времени за-
паздывания имеем выражения
. 2а а
? = — arc tg - — arc tg . (7.1.7)
2-0=1. (7.1.8)
Если вместо одной ячейки взять усилитель из п ячеек по
схеме рис. 92, то из (7. 1.6) следует, что уравнение частотной
характеристики будет иметь вид
k («) = г----Лугрв’ (7.1.9)
НЬ) I
и время запаздывания, соответственно,
х0 = п. (7.1.10)
Из ур-ния (7. 1. 9) легко показать, что если п неограниченно
увеличивается, а затухание контуров при этом подбирается
так, что ширина полосы пропускания на уровне <8д остаётся
неизменной, то в пределе при л-»оо частотная характеристика
будет выражаться уравнением
k(Q) = e lnS< (7.1.11)
164
Рис. 93. Частотные характеристики для усилителя по схеме рис. 92 при
различной степени связи.
Рис. 94. Фазовые характеристики для усилителя по схеме рис. 92 при
различной степени связи.
165
Для времени запаздывания при больших п получается
асимптотическая формула
2Д/7О = ~ (21п5д)1ип‘ = 0,6п‘. (7.1.12)
На примере трёхконтурного фильтра можно убедиться в
существовании общей закономерности для предельных уравне-
ний частотных и фазовых характеристик при п -> оо. Общие
выводы из этой закономерности уже были рассмотрены в п. 5. I.
Кроме случая критической связи (,3 = УЗ) представляет
ещё интерес значение связи больше критической, именно ₽ = 6,
когда неравномерность усиления во впадине равна = lf2.
Рассмотрим частотные и фазовые характеристики, а также
переходные процессы для трёх значений степени связи ₽ = 0;
УЗ; 6 при у = 2. При ,3 = 0 мы имеем собственно случай резо-
нансного усилителя, у которого два контура имеют затухание,
отличное от третьего.
На рис. 93 и 94 показаны частотные и фазовые характери-
стики, рассчитанные для выбранных выше значений парамет-
ров. Значения обобщённой расстройки, соответствующей полосе
при неравномерности = 1'2, для трёх значений |3 сведены
в табл. 9.
Таблица 9
£ | 0 , )/3 ! 6
"д I 0,596 | 2 | 6,64
х При рассмотрении фазовых характеристик замечаем, что с
увеличением ₽ усиливается нелинейность фазовой характери-
стики. При = 6 эта нелинейность становится особенно
заметна. Если при различных значениях /3 так отрегулировать
затухания контуров, чтобы ширина полосы пропускания оста-
лась одинаковой, получаются частотные и фазовые характери-
стики, показанные на рис. 95 и 96. Из этих характеристик
видно, что с увеличением увеличивается крутизна спада
частотной характеристики за пределами полосы пропускания.
В то же время с увеличением искривление участка фа-
зовой характеристики, попадающего в полосу пропускания,
усиливается. Крутизна касательной к фазовой характеристике
увеличивается с увеличением ,3, следовательно, возрастает и
время группового запаздывания.
166
1,1
Рис. 95. Частотные характеристики для усилителя по схеме рис, 92
при различной степени связи, но одинаковой полосе.
Рис. 96. Фазовые характеристики для усилителя по схеме рис. 92 при
различной степени связи, по одинаковой полосе.
167
7. 2. Включение постоянного и гармонического напряжений
1. Из ур-ний (2,6.10) и (7.1.1) найдём символическое
уравнение для огибающей А(х) при включении на вход еди-
ничного толчка
4W=-l5n(l+W[(1^j2^|CTia. 1. (7.2.1)
Так как обобщённую расстройку мы относим к затуханию
первой ступени, то и безразмерное время также должно быть
отнесено к затуханию первой ступени, т. е. в ур-нии (7.2. 1)
81
.г = woA
Символическое ур-ние (7.2.1) проще всего решить при
помощи формулы включения.
Обозначив оператор ia через р, перепишем ур-ние (7.2. 1)
в виде
А(;г) = -1М(1 + ₽2) ,---ГТ Р Г,--------) h <7-2-2)
(P~Pi)(p — Pi)(P~ Рз)
где Pi, р2, р3 — корни характеристического уравнения
[(1+?)2+?2](y+?)=o.
Значения этих корней:
Р^=~ I (7.2.3)
Рз = -Y J
В рассматриваемом случае характеристическое уравнение
имеет три простых корня, поэтому для решения пригодна фор-
мула включения (1.5.9). Решение будет иметь вид
А (х) = -isn (1 + £2) (Ai _|_ h2 _|_ hs ер^; (7.2.4)
где коэффициенты h находим по формулам:
h __________J_______
1 (А-А)(А— Рз)
h2 = -------- 1 (7.2.4')
(?2-Л)(?2— Рз)
, =_________1_______
3 (Рз— Р1)(Рз-Р‘>)
168
После подстановок и простых преобразований получаем
выражение для огибающей
-> -/('1-I-6'2') ( ~УХ — X! Y —1
= _е Jcos^-b—-sin^jj.
(7.2.5)
2. Для расчёта комплексной огибающей при включении на
вход гармонического напряжения, при Д to ф О пользуемся
формулой
В{х} = f e~’₽g d%, (2.6.26)
о
2Дю ..
где p = —s-----обобщенная расстройка.
Ю0°1
Подставив (7. 2. 5) в (2. 6. 26) и произведя вычисления,
получим
I I ' * 1 / ' г
+ (1+'₽)X((r-2 — ip)cos?x+
+ (₽ + + ) sin ₽ х) |}. (7.2.6)
Здесь k (i p) определяется по ф-ле (7. 1. 1).
В дальнейшем применим выражение (7. 2.6) для расчёта
Огибающей при отсутствии расстройки (р = 0). Для этого слу-
чая после упрощений формула принимает вид
д/ Ji __ I __1+₽2_____е — Т*_|_
|(Y_j)2-+₽2e +
+ (V=J)2+^ е~Х ((т- 2) cos 8^+ (₽4- ^1) sin ) 11 (7.2.7)
3. Соответственно частотным и фазовым характеристикам
на рис. 93 и 94 на рис. 97 и 98 приведены огибающие на вы-
ходе для двух случаев при включении на вход единичного
толчка и единичной амплитуды. Огибающие рассчитаны по
ф-лам (7.2.5) и (7.2.7), которые при у =2 принимают вид:
169
Л (х) = — i3j2 |
—2х —х / 1 , \
е —е (cospx--------— sin
В{х>
(—2х 2 ~х
е + -Q- е sin ,3л-1 I.
Р / I
(7.2.8)
(7.2.9)
Из сопоставления рис. 97 и 98 с рис. 93 и 94 видно, что
большое различие в полосе пропускания и в форме частотных
степени связи. Включение постоянного напряжения.
и фазовых характеристик при разных значениях Р приводит
также к различной форме огибающих. С увеличением
р (рис. 97) усиливается осцилляторно затухающий харак-
тер изменения огибающей, увеличивается «амплитуда» и
«частота» её колебаний. На рис. 98 отмечается своеобразный
характер установления амплитуды при р=6. Сильное осцил-
лирование огибающей начинается раньше, чем достигается
стационарное значение. После включения амплитуда как бы
делает первый прыжок и достигает 95% стационарного значе-
ния, затем спадает до 83%, потом делает второй прыжок,
достигая при этом 103% от стационарной величины.
На рис. 99 и 100 приведены огибающие соответственно
рис. 95 и 96, т. е. при постоянной полосе.
170
При одинаковой полосе кривые на рис. 99 всё же сущест-
венно отличаются друг от друга. Заметно «размазывание»
огибающей с ростом т. е. уменьшение первого всплеска с
одновременным увеличением «амплитуды» последующих. Это
явление объясняется увеличением отклонения фазовой харак-
теристики от прямой при больших ₽•
Рис. 98. Огибающие на выходе усилителя по схеме рис. 92 при
различной степени связи. Включение гармонического напряжения.
Рассмотрим более подробно установление амплитуды при
включении гармонического напряжения (рис. 100) (точками
отмечен момент, соответствующий времени группового запаз-
дывания).
При критической связи (P = j/~3~) процесс установления
очень напоминает установление амплитуды в полосовом уси-
лителе при критической связи (рис. 65). Первый выброс оги-
бающей над стационарным значением невелик и достигает
всего 4%. На рис. 100 заметно (это также следует и из рис. 99,
d В
поскольку А = что крутизна огибающей при Р=6
меньше, чем при ^=)/3. Время установления, определённое
по раствору огибающей на уровнях 0,05 и 0,95 от стационар-
ного значения, приведено в табл. 10.
171
Таблица 10
Рис. 99. Огибающие на выходе усилителя по схеме рис. 92 при
различной степени связи, но одинаковой полосе. Включение
постоянного напряжения.
Рис. 100. Огибающие на выходе усилителя по схеме рис. 92 при
различной степени связи, по одинаковой полосе. Включение
гармонического напряжения.
Увеличение времени установления и длительное осциллиро-
вание огибающей при большом р связано с повышением час-
тоты интерференции между нормальными частотами и частотой
внешнего напряжения. Тот же результат с формальной сто-
роны можно объяснить нелинейностью фазовой характе-
ристики.
ГЛАВА 8
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ СКАЧКАХ ФАЗЫ И
ЧАСТОТЫ
Рис. 101. График текущей фазы,
претерпевающей скачок в момент t=0.
8. 1. Переходные процессы при скачке фазы
1. Переходные процессы при скачках фазы и частоты пред-
ставляют интерес, во-первых, потому, что на практике приме-
няются системы с частотной манипуляцией и проводились
эксперименты с системами фазовой манипуляции и, во-вторых,
теория переходных процессов при скачке фазы и частоты
заслуживает не меньшего внимания, чем при скачке
амплитуды.
Изложенный здесь метод расчёта комплексных огибающих
на выходе избирательных четырёхполюсников даёт возмож-
ность быстро, просто и в общей форме найти решения задач о
переходных процессах при манипуляции фазы и частоты.
2. Постановка задачи при скачке фазы па входе сводится к
следующему. Положим, что на входе избирательного четырёх-
полюсника достаточно
долгое время действо-
вало гармоническое на-
пряжение с единичной
амплитудой, уравнение
которого е ’ ~ &>•
При этом считаем,
что частота напряжения
на входе совпадает с
резонансной частотой
четырёхполюсника. По-
ложим теперь, что в
момент времени t = о
фаза входного напря-
жения претерпевает
173
скачок на 2 0, так что напряжение становится равным
i (шо t -Н 0)
Такой постановке задачи соответствует график изменения
текущей фазы входного напряжения во времени, показанный
на рис. 101. Требуется определить амплитуду и фазу напряже-
ния на выходе избирательного четырёхполюсника.
При решении задачи применяем принцип суперпозиции
потому, что избирательный четырёхполюсник мы считаем ли-
нейным. Скачок фазы (согласно рис. 101) можно заменить
i (сМ—О)
дополнительным включением к напряжению е еще двух
i(ci>0£—0) . i(ci>o£ + 0)
напряжении — е ' и -f- е 1 1 .
На основании принципа суперпозиции напряжение на выходе
определится как алгебраическая сумма напряжений, получив-
шихся от действия каждого из входных напряжений в отдель-
ности. Для вычисления выходного напряжения воспользуемся
полученными ранее результатами. Огибающую на выходе при
включении на вход единичной амплитуды, как и ранее, будем
обозначать через B(t). При этом полагаем коэффициент уси-
ления на частоте резонанса £(0) равным единице1).
Напряжение на выходе при наличии давно включённого
i(coot—0)
напряжения е и двух дополнительных в момент t=u
— е>(шо^ —0) и е i (о>оt + 0), обозначим через •
Оно будет равно
H{t) е5,йо'=е1(о>о(-в)-Д/)еИ:о‘“в) + ^(«е5(о>о'+в) (8.1.1)
Отсюда для комплексной амплитуды получаем выражение
H(f)= + (8.1.2)
Заменив по формуле Эйлера
e16 = cos0-}-isin0,
после простых преобразований найдём
Я(#) = соз8 — i[ \—2В (/)] sin 0. (8.1.3)
*) Здесь B(t) и Л(0) предполагаются величинами вещественными.
Окончательные ф-лы (8.1.5) и (8.1.6) не изменятся, если В(т) и k (0) будут
величинами мнимыми. Таким образом, нижеследующее рассмотрение спра-
ведливо для четырехполюсников с симметричными характеристиками.
174
Представив комплексную амплитуду в показательной форме
W) = W)eiW), (8.1.4)
найдём выражения для модуля и фазы выходного напряжения.-
ff(f} = ]Лсозг0 + [Г— 2B(?)J2sin:20, (8.1.5)
tg<P(f) = -[l— 2B(f)]tg0, (8.1.6)
являющиеся решением поставленной задачи.
3. Формулы (8. 1.5) и (8. 1.6) показывают, что при скачке
фазы на входе па выходе претерпевают изменение и ампли-
туда и фаза. Чтобы разобраться в характере этих изменений,
вспомним, что функция, описывающая установление огибаю-
щей B(t), удовлетворяет условиям
В(0) = 0 и В(оо) = 1.
Отсюда по ф-ле (8. 1. 5) получаем
> -Н(0)=1, Я(оо) = 1.
Следовательно, амплитуда на выходе в момент скачка фазы
и после того как процесс установления закончится, равна ста-
ционарному значению. Из ф-лы (8.1.5) следует также, что
амплитуда проходит через минимум в момент времени
при выполнении условия
= (8.1.7)
Этот момент времени для большинства рассмотренных выше
схем усилителей, примерно, соответствует времени группового
запаздывания. При этом минимальное значение амплитуды
на выходе равно
^«n,n) = cos0-
(8.1.7)
Отсюда следует, что когда 0 = ^, т. е. когда скачок фазы
20 = к амплитуда в процессе установления спадает до нуля.
В качестве примера на рис. 102 показаны графики установ-
ления огибающей для различных значений 0 от 0 до Гра-
фики относятся к одной ступени резонансного усилителя.
175
Рассмотрим теперь выражение (8.1.6), описывающее
установление фазы. Из него непосредственно следует, что
ф (0) = — 0 и ф (оо) = -|- 0 т. е. за промежуток времени с мо-
мента скачка фазы на входе и до окончания процесса установ-
ления фаза на выходе меняется в тех же пределах, что и фаза
входного напряжения.
Далее, из выражения (8.1.6) следует, что если скачок
фазы настолько мал, что можно положить tg 0 « 0, то
ф(/) « — [1 — 2В(/)]0. (8.L9)
Эта формула очень интересна с принципиальной точки зре-
ния. Она показывает, что как бы ни был мал скачок фазы, на
её установление требуется то же время, что и на установление
амплитуды, когда последняя меняется на входе скачком.
2 Л ft у
Рис. 102. Изменение огибающей на выходе резонансного усилителя
(п= 1) при скачке фазы на входе.
Из формулы (8. 1. 6) следует, что время, потребное на уста-
новление фазы, уменьшается при увеличении 0, и при 0 =
фаза устанавливается скачком. Однако, как видно из рис. 102,
при увеличении 0 усиливается влияние скачка фазы на ам-
Те
плитуду и скачок фазы при & = происходит в момент
прохождения амплитуды через нуль.
176
На рис. 103 приведены рассчитанные по ф-ле (8. 1.6) гра-
фики, показывающие установление фазы для тех же условий,
что и на рис. 102. Эти графики подтверждают выводы, сделан-
ные из анализа ф-лы (8. 1.6).
Рис. 103. Установление фазы на выходе резонансного усилителя (п=1)
при скачке фазы на входе.
8. 2. Переходные процессы при скачке частоты
Пусть на входе некоторого избирательного четырёхполюс-
ника неопределённо долгое время действовало гармоническое
напряжение единичной амплитуды с частотой wo— Д«, т. е. с
частотой, меньше резонансной па Ды. В момент времени t = 0
частота этого напряжения меняется скачком и становится рав-
ной wo-|-Aw, т. е. частота претерпевает скачок на 2Ды.
Значения частоты до и после скачка симметричны относительно
частоты резонанса. Уравнение входного напряжения до скачка
„ i(co0—Л<о)/ i (С1>О4-ДС1>) Г т.
частоты было е , а после стало е . Из гра-
фиков рис. 104, на которых показано изменение частоты и те-
кущей фазы соответственно условиям задачи, видно, что хотя
частота изменяется скачком, текущая фаза изменяется непре-
рывно. В момент скачка частоты изменяется только наклон
прямой, описывающей изменение текущей фазы во времени.
12 — 9219.
177
При этих условиях требуется найти уравнения, описывающие
изменение амплитуды и мгновенной частоты на выходе четы-
рёхполюсника.
Заметим, что более общей была бы такая постановка
задачи, когда одновременно со скачком частоты имеет место и
скачок текущей фазы. Однако, такую задачу мы решать не
частота
Рис, 104. Скачок частоты и соответствующее ему изменение
текущей фазы.
будем, во-первых, потому, что она приводит к сложным вычи-
слениям, а, во-вторых, потому, что задачу о переходных про-
цессах при скачке фазы мы рассмотрели отдельно.
2. При решении задачи опять будем пользоваться принци-
пом суперпозиции, применимым к линейным четырёхполюсни-
кам.
Скачок частоты входного напряжения можно рассматривал.
„ i (too—ДшЦ
как включение к ранее действовавшему напряжению е
„ i(co0 — Дсо) t . i । coo + Дш) t тт
еще двух — е и -|- е . Напряжение на вы-
178
-♦ i wot
ходе, которое мы обозначим через Н'1)е , найдём как
сумму напряжений, вызываемых каждым из трёх напряжений
в отдельности. Применим употреблявшиеся ранее обозначения,
)(со0-1-Дсо)Т
согласно которым включение напряжения е вызы-
вает напряжение на выходе
i(«>o+W ....
Д(/)е = k (1Ды) Bo (iAw, t) e
Таким образом, для рассматриваемой задачи напряжение
на выходе будет
-♦ , i(“o—Дс«У
JT(/)e = £(—iAw)e —
—» i (<о0—bw)t
— k(— i Д w) Во (— i Д w, /) e -|-
+ ^(1'Ды)Во(1'Ды,/)е . (8.2.1)
Из (8.2.1) находим выражение для комплексной ампли-
туды выходного напряжения
Я(/) = £(-1Дсо)(1 — Д0(-1Дсо, /)] e”liW4-
-♦ , i Дсо^
-|-£(1'Ды) jB0(i Ды,/)е . (8.2.2)
Укороченные уравнения для коэффициента передачи всех
рассмотренных четырёхполюсников были таковы, что частотная
характеристика являлась чётной, а фазовая характеристика —
нечётной функцией расстройки (4.4.9). Воспользуемся этим
обстоятельством для упрощения ур-ния (8.2.2). Имея в виду
именно такие четырёхполюсники, можно заменить1):
Х>(1Ды) = /?(Ды)е1т(А }
(0.2. о)
— 1 qp (Дсо)
k(—1Ды) = £(Ды)е
Кроме того, в п. 4. 4 было установлено, что для таких четы-
рёхполюсников функция установления Во (i Дю, t) также обла-
дает аналогичным свойством. На основании ф-л (4.4.10)
можно подставить в (8. 2. 2);
ДДДы,/) = йеД0(1Ды,/)-|-ИтД0(1Ды,/)
(0.2.4)
Д>(—1Дю ,f) = Re До О Д«, 0 — i Im Д0(1Дю, f)
!) Возможный ПОСТОЯННЫЙ фазовый СДВИГ ± И 2 можно опустить,
не нарушая общности.
179
В результате указанных подстановок и простых преобразо-
ваний из выражения (8. 2. 2) получим
Щ1) = А(Ды)|соз ft + i [ (2ReB0— 1) sin ft-|-2ImBocosft]
(8.2.5)
где
9- = Ды/ -|- ср(Дш) u B() = Ba (i Дм, t).
Представив комплексную амплитуду в показательной форме
(8.2.6)
из (8. 2. 5) найдём выражения для амплитуды и фазы напря-
жения на выходе
Яо(/) = ДА = |/cos2ft + [ 2ReB0 — l)sin ft + 21mB0 cosft]2,
R (Д W) ]/
(8.2.7)
(2ReB0—1) sinft + 2ImB0cosft zo 2 m
tgVv) =----------------д------------
b T ' cos ft
Мгновенная частота определяется как производная текущей
фазы выходного напряжения по времени. Текущая фаза напря-
жения на выходе будет <о0£-|- ф мгновенная частота
о» — (i)0 -|-
с?ф
dt
(8.2.9)
Нас будет интересовать только поправка к частоте резо-
нанса за счёт процесса установления, поэтому дальше будем
с!Ф
вычислять производную из (8. 2. 8) согласно формуле
с/ф _ 1 . с?1еф
dt ~ 1 + 1§2ф dt '
(8.2.10)
Опустив промежуточные выкладки как не представляющие
интереса, укажем только, что при вычислениях приходится
пользоваться тождеством
sin ft ReB0 + cos ft Im Bo = 0.
Clb UI
(8.2.11)
180
Чтобы убедиться в справедливости этого тождества, доста-
точно найти производные от выражений (4. 4. 5) и (4. 4. 6) и
подставить их в (8.2. 11).
После подстановки (8.2.8) в (8.2. 10) и вычислений с
учётом (8.2.11) получим
d'\> Л 2ReB0 —1
1Л (О Q "
dt
(8.2.12)
Здесь Я (/) выражается ф-лой (8.2.7). Выражения
(8.2.7) и (8.2.12), описывающие установление амплитуды и
частоты на выходе при скачке частоты на входе, решают
поставлег?ную выше задачу.
Рис. 105. Установление частоты на выходе резонансного усилителя
(п—1) при скачке частоты на входе.
Для идеализированных четырёхполюсников, обладающих
линейной фазовой характеристикой (резонансный усилитель
при п=<х> или идеальный фильтр), составляющие функции
установления В., имеют следующую структуру:
181
ReBo = y+yRe0
Im Bo = Im Ф
(3.3.14)
Если заменить в ф-лах (8.2.7) и (8.2. 12) функцию Во на
Ф, то они становятся проще и симметричнее
Но (/) = ]/ соз2 & + (Re Ф sin 4- Im Ф соз О-)2, (8.2.7')
^Ф_____ д Re Ф /о л 19'\
3. Для иллюстрации полученных формул на рис. 105, 106
приведены графики, показывающие установление частоты и
амплитуды на выходе одноступенчатого резонансного усилителя
Рис. 106. Изменение огибающей на выходе резонансного усилителя
(и=1) при скачке частоты на входе.
Рассмотрение графиков и формул позволяет сделать неко-
торые общие выводы. Скачок частоты на входе сопровождается
изменениями амплитуды на выходе, которые тем больше,
чем больше величина относительной расстройки (-т-^1.
\ IX Яйт
182
При Т7)=1 выброс амплитуды на рис. 106 и 108 дости-
Д w
гает около 25% от стационарного значения, а при ЛО =
«Л аа
— 2 он равен 57 %.
Рис. 167. Установление частоты на выходе резонансного усилителя
(п = <х) при скачке частоты иа входе.
Рис. 108. Изменение огибающей на выходе резонансного усилителя
(7г = со) при скачке частоты на входе.
183
При достаточно малой расстройке можно считать:
cosO-^l, sin 0- х 0, Im Во х 0, Re/J0~7?W-
Тогда из ф-л (8.2.7) и (8.2. 12) следует:
Но(/)«1
ды[2ад-ц
(8.2.12")
Разумеется, эти равенства тем точнее, чем меньше рас-
стройка, и становятся совершенно точными в пределе при
А со —> 0 Формулы для малой расстройки (8. 2. 12") позволяют
сделать следующий вывод: при малом скачке частота устанав-
ливается так же, как устанавливается амплитуда на выходе
при скачке амплитуды на входе.
Д со
При значительной расстройке, когда yq — 1; 2 (рис. 105),
закон установления частоты не сильно отличается от того, кото-
рый соответствует малой расстройке, особенно это заметно на
рис. 107. Практически можно считать, что на этом рисунке гра-
До До
фики для дд = 0 и yg = 1 полностью совпали.
В качестве общего вывода можно сказать, что частота на
выходе избирательного четырёхполюсника при скачке частоты
на входе устанавливается за то же время, что и амплитуда при
манипуляции амплитуды на входе.
8. 3. Переходные процессы в дискриминаторе
1. Рассмотренная в предыдущем параграфе задача о пере-
ходных процессах при скачке частоты может быть практически
приложена только к идеализированному приёмному устрой-
ству, в котором вслед за избирательным четырёхполюсником
установлены такие ограничитель и дискриминатор, что процес-
сами установления в них можно пренебречь. В реальных усло-
виях нужно принимать во внимание процессы установления
во всех трёх элементах: избирательном четырёхполюснике,
ограничителе и дискриминаторе. Однако, решение такой за-
дачи наталкивается на значительные математические трудно-
сти. Поэтому рассмотрим отдельно переходные процессы,
возникающие в дискриминаторе, если частота на его входе ме-
няется скачком.
В качестве объекта исследования выберем дискриминатор
по схеме рис. 109. Эта схема состоит из двух линей-
184
Рис. 109. Схема дискриминатора
ных диодных детекторов, нагрузочные сопротивления которых
соединены так, что получающееся полезное напряжение (и)
равно разности напряжений на нагрузке каждого плеча. На-
пряжение высокой ча-
стоты на каждое плечо
снимается с расстроен-
ных контуров. В даль-
нейшем будем прини-
мать за несущую ча-
стоту сигнала среднюю
между частотами ре-
зонанса контуров и бу-
дем отсчитывать обоб-
щённую расстройку от-
носительно этой часто-
ты. Важнейшим пара-
метром, определяющим
работу дискриминатора,
является обобщённая
расстройка между кон-
турами, которую будем
обозначать через
Рис, 1J0, Частотные .характеристики
контуров в схеме дискриминатора.
оо
а0 —_ У(рис. 110).
(1>о О
Для упрощения задачи будем считать нагрузку детекторов
безинерционной, т. е. не будем учитывать переходные про-
цессы, обусловленные постоянной времени нагрузок детектора.
Для описания работы схемы в стационарном режиме обычно
пользуются характеристикой дискриминатора, которая выра-
жает графически зависимость напряжения на выходе (и) от
частоты входного напряжения. В наших обозначениях это
будет
и — и (а).
Для краткости положим, что коэффициент передачи детек-
торов, т. е. отношение напряжения на нагрузке каждого плеча
к амплитуде напряжения на входе, равен единице на частоте
резонанса каждого контура.
Тогда, считая амплитуду напряжения на входе равной
единице, получим выражение для характеристики дискри-
минатора
и («) = 1-----------1----------• (8.3.1)
/1+(а0_а)а /1+(*0 + *)9
185
Рис. 111. Характеристика дискриминатора при малой расстройке
между контурами.
Рис. 112. Характеристика дискриминатора при сильной расстройке
между контурами.
186
Крутизна характеристики в начале координат
2а0
(8.3.2)
' а=О
= 0,77, при
принимает максимальное значение, равное
а0 = 0,707.
На рис. 111 и 112 построены характеристики дискримина-
тора при расстройках а0 = 1 и 5. При большой расстройке
между контурами (а0 = 5) характеристика дискриминатора
вырождается в две изолированные частотные характеристики
контуров (рис. 112).
2. Решение поставленной задачи сводится к отысканию
уравнения, описывающего изменение амплитуды напряжения
на контурах, при изменении частоты скачком от м — Д<Ь до
м 4- Дм. Здесь м есть несущая частота (соответствующая
расстройке а = 0).
Настоящая задача отличается от рассмотренной в п. 8. 2
только тем, что там частота изменялась симметрично относи-
тельно частоты резонанса четырёхполюсника, здесь эта сим-
метрия не имеет места. Поэтому решим её тем же методом.
Заметим ещё, что достаточно найти уравнение для амплитуды
какого-либо одного контура, тогда решение для другого
можно будет написать по аналогии.
Составим уравнение для контура, резонансная кривая кото-
рого на рис. 110 отмечена цифрой 1. При изменении частоты
от м Дм до м4-Дм расстройка относительно резонансной
частоты контура будет изменяться от й,— Дм до й0 + Дм
Принимая это во внимание, напишем выражение для напря-
жения на контуре аналогично ур-нию (8.2. 1)
i и t i (и — А <о) t
7/(£)е = >& [1 (£2о — Дм)]е —
— k [i (й0 — Дм)] Во[i (Йо — Дм), £] е1^
+ k [i (Йо 4- Д м) ] Ж [ i (Йо + Дм), ?] е‘ (“ + ЛМ) (8.3.3)
Отсюда для комплексной амплитуды получим
В (/) = £[! (Йо— Дм)]{1 — Во[1(йо— Дм),/]}е +
-f- k [ i (й0 -f- Д м) ] Во [ i (й0 Д м), /] е . (8.3.4)
187
Для -дальнейших выкладок удобнее перейти к безразмер-
ным расстройкам и безразмерному времени. Заменив рас-
стройки Йо и Д w соответственно обобщёнными расстройками
2Й0 2 Aw S
а0 = —и р = —— и введя безразмерное время г = -х-ч>0/.
О COq и
перепишем выражение для комплексной амплитуды в виде
H(x) = k[\(a.o — р)]{1 — B0[i(a0— ?),*]} е ? +
+ ^[i(ao-|-p)]eo[i(ao-|-p), х]е'Р . . (8.3.4')
Теперь подставим укороченные выражения коэффициентов
передачи для одиночного контура согласно ф-ле (2.3.5) и
функцию установления согласно ф-ле (4.4. 17)
* р = 1+1 (Ь-я •k 11 (“”+р))=т+nb+iF:
-» —х — i(a0 —р)х
Во [i (а0 — р), х] = 1 — е е ;
-» —х —i(aox4-p)
ВоП(ао + р), т] = 1 — е е . (8.3.5)
После простых преобразований получим
вд = тг-Хгг 11 + }
1 -f-1 (a0 -f- р) ( 1-)-(ао—р) *
(8.3.6)
Из этого выражения определим модуль и после преобразо-
ваний найдём решение для амплитуды на.первом контуре
/Ш =
; 1Vz4:^V1 + l + iJf-0Tae 1{(ao-p)cos(ao+p)x+sin(ao+p)x+pe *}
|/l-j-|a0+p)2r ' + lao PI
(8.3.7)
Из рассмотрения рис. 110 видно, что для получения решения
для амплитуды на втором контуре достаточно в выражении
для Н^х) заменить расстройку + а0 на.— а;,, тогда
//2(х) =
1/г,Л~ J/1 ' е~Г' Оо+р)cos(а°~Р)*+sin («о-р)х-ре 3
Р+(а0—Р)2’ 1+(ао+Р1
(8.3.8)
188
Напряжение на выходе дискриминатора определится как
разность напряжений от каждого детектора в отдель-
ности, т. е.
п(х) = Н^х)-Н^\
В развёрнутом виде искомое решение получается сле-
дующим.-
и (х) =
Х {(ao+P)cos(ao—₽)x+sin(ao—р)х—ре *}-
даЬ^]/1+Гн^-Рре-1 {(^-^^(«o+P^+sinCao+rtx+pe-* 1} ’
(8.3.9)
3. Проанализируем найденное решение. Из ф-лы (8. 3. 9)
следует:
И (0) — — I _____Х ; - г------X___________I
1_У1-Н(«о—Р)а yi + (ao+p)2J
1 I (o.o.l UJ
й(оо) —=-7:---Т---------г -• — _zz-3^Z-=.
У1-Ь(«о —р)а П + (*о + р)2
Это значит, что в начале и в конце процесса установления
напряжение на выходе дискриминатора имеет значения, опре-
деляемые по характеристике дискриминатора для расстроек
а= —р и а = -|-р. В дальнейшем на графиках, дающих кар- .
л , ч U (*)
тину установления, будем откладывать не и{х), а т. е.
выходное напряжение, отнесённое к стационарному значению.
Формула (8.3.9) получилась сложной и сделать из неё
какие-либо общие выводы затруднительно, поэтому рассмотрим
процесс установления для некоторых предельных случаев.
Преобразуем ф-лу (8. 3. 9) для случая, когда скачок частоты,
определяемый расстройкой р, настолько мал, что можно удер-
жать лишь члены, пропорциональные р, а члены, пропорцио-
нальные р-, р3 и т. д., отбросить. После несложных преобразо-
ваний получаем
lim = 1 — 2е *1 cos aox-|- — sin aoxV (8.3.11)
P->0 «И \ «о j v
Это выражение имеет тот же вид, что и ф-ла (5. 3.10) для
огибающей на выходе первой ступени полосового усилителя по
схеме рис. 4 с той лишь разницей, что вместо степени связи £)
189
в ф-ле (5.3. 10) в (8.3. 11) появляется расстройка а0. Кроме
того, известно, что вообще в усилителе с расстроенными кон-
турами переходные процессы происходят так же, как и в
усилителе со связанными контурами по схеме рис. 4.
Из всего сказанного можно сделать вывод, что при малых
расстройках р процесс установления напряжения на выходе
дискриминатора происходит так же, как и установление оги-
бающей на выходе усилителя, содержащего две ступени, в
каждой из которых находится один из контуров дискримина-
тора. Например, при а0=1 можно пользоваться ф-лой (5. 3. 12)
для времени установления огибающей для полосового усили-
теля при р = 1 и п=1. Таким образом, при а;> = 1 время
установления переходных процессов в дискриминаторе при
малых скачках частоты определится выражением
2Д/4 = 0,84, (8.3,12)
где полоса 2Д/ согласно ф-ле (5. 1. 7) должна соответствовать
ад =j/2 т. е. определяться из выражения
Рис. 113. Установление напряжения на выходе дискриминатора при
скачке частоты на входе.
Для определения минимальной расстройки, при которой
можно пользоваться результатами, вытекающими из
190
ф-лы (8.3.11), на рис. 113 приведены графики для случая а<> 1,
р = 0 и р- 1. При р= 1 кривая установления настолько мало
отличается от кривой при р= 0, что практически сделанные
здесь на основании ф-лы (8. 3. 11) выводы пригодны по край-
ней мере для всех значений р^ 1.
Чтобы подойти к рассмотрению второго предельного случая,
положим р = а0. Это означает, что частота на входе дискри-
минатора совпадает сначала с частотой резонанса первого
контура, а затем с частотой резонанса второго контура. Для
этого случая ф-лу (8.3.9) можно преобразовать следующим
образом:
«(лг)— |/1 1+4°ао2е (2 е )
4 а0‘2 —х / sin аох
1 + 4 а02 е Д а0
(8.3.13)
В этом выражении осциллирующий член sin2aozr обуслов-
лен биениями между частотой свободных колебаний первого
Рис. 114. Установление напряжения на выходе дискриминатора при
скачке частоты на входе.
контура и частотой внешней силы. В этом легко убедиться из
рис. ПО. «Амплитуда» этих биений уменьшается при увели-
чении расстройки а0, что физически вполне понятно.
191
Предельное значение и(х) для случая очень большой рас-
стройки между контурами (а0-> <^) из ф-лы (8.3.13) полу-
чается в виде
Нт«(г) = 1 — 2е~х. (8.3.14)
О&о —> оо
Полученный результат означает , что при большой рас-
стройке между контурами столь же большие скачки частоты
сопровождаются затуханием свободных колебаний в первом
контуре и постепенным нарастанием амплитуды колебаний во
втором. Для выяснения случаев законности такой идеализа-
ции переходных процессов в дискриминаторе на рис. 114, 115,
116 показаны графики установления для трёх значений рас-
стройки: а =2; 3; 5. Там же для сравнения пунктиром
нанесена кривая по ф-ле (8.3.14). С увеличением = р
увеличивается частота осцилляции выходного напряжения и
уменьшается её «амплитуда». Для расстроек а0 — 2; 3 про-
цесс установления носит весьма своеобразный характер и
идеализация, даваемая ф-лой (8.3. 14), не пригодна. При
Рис. 115. Установление напряжения на выходе дискриминатора при
скачке частоты на входе.
а0 = 5 кривая установления уже весьма близка к предельной
и ф-лу (8.3.14) можно считать пригодной. Таким образом,
при больших расстройках процесс установления напряжения
192
на выходе дискриминатора будет таким же, как и для огибаю-
щей на выходе одной ступени резонансного усилителя, содер-
Рис. 116. Установление напряжения на выходе дискриминатора при
скачке частоты на входе.
жащего один из контуров дискриминатора. Поэтому для вре-
мени установления можно применить ф-лу (3.3.16)
2Д/7у-=0,9, (8.3.15)
в которой 2Д/ должно согласно (4.1.4) соответствовать
ад= 1, т. е. определяется из выражения
Аз ~
13 - • '2! 9.
ГЛАВА 9
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В РЕЗИСТИВНОМ УСИЛИ-
ТЕЛЕ
9. 1. Обсуждение исходных уравнений
Для установления порядка расчёта времени установления
в тракте, содержащем ступени усиления и по высокой и по
низкой частоте, рассмотрим кратко переходные процессы в
резистивном усилителе (рис. 117).
Рис. 117. Схема, резистивного усилителя.
Символический коэффициент усиления одной ступени рези-
стивного усилителя выражается формулой
^(iQ) =-------------- (9.1.1)
где
k0 = SR0,
= C0R0\ т2 = Cg (Rg Rai),
Hai ha Hi
Ro Rai Rg
S — крутизна лампы,
Ri — внутреннее сопротивление лампы,
194
и т2 — постоянные времени, присущие соответственно
входной ёмкости последующей ступени Со (на рис. 117 пока-
зана пунктиром) и разделительной ёмкости С,. Характер
переходных процессов в этой схеме будет определяться вели-
чиной постоянных времени и соотношением между ними. Для
выяснения роли каждой из этих постоянных времени решим
сначала задачу о переходных процессах для одной ступени
при включении на вход её единичного толчка напряжения.
Символическим уравнением для напряжения на выходе
при единичном толчке на входе будет
и (z) — п 02) 1.
Подставив сюда ур-ние (9. 1.1) и заменив для
12 = р, получим
Р
(9.1.2)
краткости
«(/) =
1.
(9.1.3)
Здесь и далее считаем
£0=1. '
Это уравнение можно написать иначе
и(/) = —-----Р--------- 1
Ъ(Р~Pi)(p~ Ра)
(9.1.3)
где pt и р2 — корни характеристического уравнения
Р2 + -р + — = 0.
xi xixa
Выражение для корней имеет вид
— 1 1/ 1 1 ’
Pi,a 4" I/ л _ а _ _ '
2 ^1 [/ 4T.J Tj т2
Упростим это выражение для случая, обычно
место на практике, когда постоянные времени несоизмеримы,
а именно т2»т1. В этом случае можно положить:
2
(9.14)
имеющего
13-
Pi
Р2
ха
(9.1.5)
195
Для решения символического ур-ния (9.1.3) следует при-
менить формулу включения (1.5.9), согласно которой
/А 1 Р,‘ I 1. p'!t
u(t) = h1e + л2е
Когда характеристические показатели определяются по
ф-ле (9. 1.5), коэффициенты /г2 и h2 оказываются равными:
1 1
"1 = —1--------; ~ — К
Ь(Л — PJ
h2 = ----с ~ + 1.
~1(А —А)
Таким образом, в качестве окончательного результата
найдём
_ t _ t_
«(/) = е Х2 —е X1. (9.1.6)
Формулу (9. 1.6), содержащую разность двух экспонент с
постоянными времени т и -с.,, легко объяснить физически.
Первая экспонента описывает процесс заряда разделительной
ёмкости С'г, а вторая относится к заряду ёмкости Со. На рис. 118
показана для иллюстрации рассчитанная по ф-ле (9.1.6)
кривая изменения напряжения на выходе первой ступени при
т
соотношении постоянных времени ~50.
Э
Благодаря большому различию между постоянными вре-
мени при малых t, т. е. в начале процесса установления,
ёмкость С заряжается почти так же, как было бы, если вместо
С поставить короткое замыкание. Поэтому напряжение на
выходе u't} сначала возрастает. Затем через более или менее
продолжительное время (в зависимости от величины т:2) ста-
новится заметным спадание напряжения за счёт заряда разде-
лительной ёмкости Cg.
Этим примером подтверждается общее правило операцион-
ного исчисления (1.5.10), согласно которому значение напря-
жения в начале включения определяется поведением коэффи-
циента передачи в области высоких частот, а в конце процесса
установления — в области низких частот. Это обстоятельство
позволит упростить решение задачи о переходных процессах в
многоступенчатом резистивном усилителе. Разобьём задачу на
две части, рассмотрев сначала переходные процессы при "2 = 0°>
196
иначе говоря, пренебрежем спаданием напряжения после мо-
мента включения и будем интересоваться только нарастанием
напряжения за счёт постоянной времени
В качестве второй задачи рассмотрим отдельно процесс
спадания напряжения за счёт постоянной времени т., при ^=0.
Рис. 118. Изменение напряжения на выходе первой ступени резистивного
усилителя при единичном толчке на входе.
9- 2. Переходные процессы за счёт входной ёмкости
Для расчёта нарастания напряжения выражение для коэф-
фициента усиления получим из общей ф-лы (9. 1. 1), считая в
ней т:2 = со
<921>
Обозначим р — i и введём безразмерное время по фор-
t
муле х = — . Символическое уравнение для напряжения на
выходе n-й ступени будет
«|(дг) = -—— 1.
(1+рГ
(9.2.2)
Выражение для коэффициента усиления (9. 2. 1) совпадает
с укороченным уравнением для коэффициента усиления резо-
нансного усилителя (2.3.4) с той лишь разницей, что вместо
постоянной времени там содержится постоянная времени
контура
2
ЫоЗ
2L
— = т.
г
Если постоянные времени т и равны,
то совпадение будет не только качественное, но и коли-
чественное.
197
Из сказанного следует, что символическое ур-ние (9.2.2)
идентично с символическим уравнением для огибающей на вы-
ходе резонансного усилителя, когда на входе включается
напряжение с резонансной частотой и амплитудой, равной еди-
нице. Поэтому в качестве решения символического
ур-ния (9. 2. 2)можно сразу написать ф-лу (4.3.3), получен-
ную при анализе резонансного усилителя
п—1 т
ц(х) = 1-е-г £ (9.2.3)
т~о
Благодаря совпадению исходных уравнений к переходным
процессам в резистивном усилителе можно также отнести все
графики установления, полученные для огибающей на выходе
резонансного усилителя при единичной амплитуде на входе.
Графики на рис. 31, 32 и 33 будут описывать также и процесс
нарастания напряжения на выходе резистивного усилителя, а
график на рис. 27 даёт вр^мя запаздывания.
К этим графикам нужно сделать только одну, впрочем само
собой разумеющуюся оговорку, что вместо полосы пропускания
2Д/ в формулах и графиках для резонансного усилителя
нужно подставить 2/g, где /g — высокая звуковая ча-
стота, при которой получается неравномерность усиления 8д
(аналогично «!?д для резонансного усилителя).
Из уравнения для коэффициента усиления видно, что эту
частоту можно определить из выражения, аналогичного выра-
жению для резонансного усилителя (4. 1.4)
Q^i = (Sg2ln-\У1г, (9.2.4)
где Q =2k/
о о Ч
При достаточно большом п можно считать
/2 \'2
2т.= — InS , (9.2.5)
в 1 \п в/ ’
т. е. при заданной частоте постоянную времени следует
уменьшать обратно пропорционально п i2.
Время нарастания напряжения будет определяться только
величиной f, независимо от числа ступеней, по формуле, ана-
логичной (3. 3. 16) для резонансного усилителя
24 = °>9‘ (9.2.6)
198
9. 3. Переходные процессы за счёт разделительной ёмкости
1. Рассчитаем спадание напряжения за счёт разделительной
ёмкости Cg, положив = О.
Выражение для коэффициента усиления согласно
ф-ле (9. 1. 1) будет иметь вид
6(iQ) =-----. (9.3.1)
Обозначим р = 1Йт2 и вместо времени t введём безразмер-
t 77
ное время х = —. Для напряжения на выходе п идентичных
Х2
ступеней получим тогда символическое уравнение
“М = (гЬ)’1'
(9.3.2)
Для нахождения решения
уравнение
этого уравнения решим
сначала
V (х) =
(9.3.3)
Решение ур-ния (9.3.3),
таблице и имеет вид
встречавшегося выше,
дано в
п-1
»« = ГЛ:-1)!е
(9.3.4)
Для решения символического ур-ния (9. 3. 2) воспользуемся
теоремой умножения (1.5.1), согласно которой умножение
на оператор равносильно операции дифференцирования при
«нулевых» начальных значениях функции и(х), т. е. если
v (0) = v (0) = .. . v "-1 (0) = 0. (9.3.5)
Условие (9. 3. 5) выполняется для всех п, начиная с п=2,
поэтому в качестве решения ур-ния (9. 3. 2) можно написать
= (9.3.6)
ах
Подставив (9.3.4) в (9.3.6), будем иметь
,«-1 - П-1 “I
<9А7>
199
Окончательное решение выразим через полином Лягерра
ц(х) = Ьп_г (х)<Г\ (9.3.8)
Полином Ляггера Ln (х) определяется ф-лой16]
1 п f П \
= • (9.3.9)
ах ' п- '
По выполнении указанных в этой формуле действий для
полинома Ляггера получаем выражение
" хт
Ln(x)= 2 (-i)m^ (э.з.э')
m=o
где
pm__ ____
п т \ (п — т)\
Рис. 119. Спад напряжения на выходе ступеней резистивного усилителя
за счёт разделительной ёмкости.
2. При помощи ф-л (9.3.8) и (9.3.9) напишем решение
для напряжения на выходе 1, 2 и 3 ступени:
200
п = 1
п — 2
п — 3
и(г) = е л
и(г) = (1 — х)е
(9.3.10)
Из графиков на рис. 119, построенных по ф-лам (9.3. 10),
видно, что кривая спада напряжения тем круче, чем больше п.
При этом спад напряжения для всех п за исключением п = 1
происходит не монотонно — напряжение проходит через нуль
п — 1 раз.
Сложность ф-л (9. 3. 10) возрастает с увеличением п. Пред-
ставляет интерес найти унифицированную кривую для спада
напряжения, которая была бы верна при любом п. Оказы-
вается, что такая унификация в значительной степени дости-
гается, если строить графики для и ('•) не в зависимости от х,
а в зависимости от пх, как это сделано на рис. 120. При nxzz 0,4
Рис. 120. Унификация графиков с рис. 119.
кривые при всех и от 1 до совпадают очень хорошо, при
п^>и,4 наблюдается уже заметное расхождение между ними.
201
Расхождения, однако, велики при малых.п. Так для п~1 и 2
кривые расходятся в той же мерс, как для я = 2и
По поводу кривых на рис. 120 мы ещё не объяснили, как
была найдена кривая при л =°°. Чтобы найти уравнение этой
кривой, прежде всего нужно представить решение для и(х) в
виде бесконечного степенного ряда. Наиболее простой путь для
этого — применить непосредственно к исходному символиче-
скому ур-нию (9.3.2) метод степенных рядов (1.5.5).
Перепишем ур-ние (9. 3. 2)
/ 1
= \ 1 4- 1.
Теперь, применив формулу бинома Ньютона, развернём его
в виде ряда по отрицательным степеням оператора р
и W = Г, _ „ 1 + 1,_ »"+!)(»+ 2) 1 . |
v ’ I р ' 2! рА 3! рА J
(9.3.11)
Заменив отрицательные степени оператора согласно фор-
муле
т\ рт ’
получим решение операционного уравнения в виде бесконеч-
ного степенного ряда
. . , п х , л(л4-1)х2 п (п 4- 1) (л 4- 2) х9
“W = i-nTj + —2-Г^21----------------31------3i+"’
(9.3.12)
Введём новую переменную z по формуле z — пх, тогда
вместо (9. 3. 12) будем иметь
, . z । /1 । 1 \ & / 1 I 1 \ / 1 I 2 \ I
«(^) —1 Ц2 + ( 1 + 2!2 . (1 + п) (1 + л) З!2 + “
(9.3.13)
Переходя к пределу при п -> оо, мы получим уравнение
искомой кривой
z z*
linnLZL^ = 1 — fl2 + 212 — З!2 •
(9.3.14)
202
Это выражение можно свести к функции Бесселя нулевого
порядка, которая представляется в виде следующего бесконеч-
ного ряда1181
J0(x) = l - -|-2р(1) -3Я2) (9-3‘15)
Сравнивая ряды (9.3.14) и (9.3.15), найдём окончатель-
ное выражение
lim«(z) = J0(2 ГД (9.3.16)
П —> СО
по которому и построена кривая для п = оо на рис. 120.
В заключение рассмотрим применение графиков на рис. 120
для технических расчётов. Положим, что усилитель предна-
значен для передачи прямоугольных импульсов длительностью
Т и мы хотим, чтобы в конце импульса напряжение за счёт
разделительной ёмкости спадало не более чем на 5%.
Рис. 121, К определению времени прекращения импульса.
На рис. 121 показано, что время, соответствующее концу
импульса tk можно считать равным сумме времени запазды-
вания и длительности импульса, т. е. /^ = /0 -ф Т.
Тогда из графиков на рис. 120 следует, что постоянная вре-
мени т2 независимо от числа ступеней должна удовлетворять
условию
— о,О5
%
203
’откуда получаем выражение для расчёта постоянной времени
т:2 — 20п(/о + 7’). (9.3.17)
Если постоянная времени тх определена, то время запаз-
дывания может быть найдено из ф-лы (4.1.3)
х0 = п. (4.1.3)
Q ^0
Здесь х0 == — и, следовательно,
51
(9.3.18)
Приложение
Таблица символических уравнений и их решений
№ пп. | Символическое уравнение i Решение
1 a(t} = — 1 Рп tn
2 a(t) = e~*
3 (p+V+1 1 tn — It
4 a(t) = sin t
5 n2 ^Дт1 a(t) — cos t
6 ^2—f1 a(t) — sh t
7 a (t) = ch t
8 aW"(p+A)3+«2 1 -At a(t) = e sinof
9 «<«=5^- —M a(t)=e cos co t
10 ~|/2 (2n)!!' Jn+,le</>
11 \/i+p2 a(t) = JoW
.12 а^= -/~^ДР^^+р2) " 1 «(0 = Jn(0
13 «W=p(p+\/1+p2)”'‘ 1 ]-<4 t
14 a (t) ~ Vp 1 a(.t) — ~^=r V T^t
15 a(/) = -Ll Vp 'll N3
ЛИТЕРАТУРА
1. В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. II. ГТТИ, 1932.
2. Д. Р. Карсон. Электрические нестационарные явления и операци-
онное исчисление. ГНТИУ, 1934.
3. А. М. Эфрос и А. М. Данилевский. Операционное исчисление
и контурные интегралы. ГНТИУ, 1937.
4. А. И. Лурье. Операционное исчисление в приложениях к задачам
механики. ОНТИ, 1938.
5. М. Ю. Юрьев. Устанавливающийся режим в четырёхполюсниках.
ОНТИ, 1936.
6. В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. III. ГТТИ, 1934.
7. В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. I. ГТТИ, 1932.
8. Б а л т. в а н-д е р-П о л ь. Нелинейная теория электрических колеба-
ний. Связьтехиздат, 1935.
9. Л. И. Мандельштам и Н. Д. Папалекси. Об обосновании од-
ного метода приближённого решения дифференциальных уравнений.
Журнал экспериментальной и теоретической физики, т. 4, в. 2, 1934.
10. Л. И. Мандельштам и Н. Д. Папалекси и другие. Новые
исследования нелинейных колебаний. Радиоиздат, 1936.
11. А. А. Андронов и С. Э. Хайкин. Теория колебаний. ОНТИ, 1937.
12. А. Агеев и Ю. Кобзарев. О переходных процессах в резонанс-
ном усилителе. Журнал технической физики, т. 5, в. 8, 1935.
13. А. Н. Щукин. Нестационарные процессы в резонансных и полосо-
вых усилителях. Известия Академии наук СССР, серия физичес-
кая, т. X, As 1, 1946.
14. А. 12. Щукин. Об одном методе борьбы с импульсными помехами
радиоприёму. Известия Академии наук СССР, серия физичес-
кая, т. X, № 1, 1946.
15. К. К u р f m u 11 е г. Uber Einschwingvorg'ange in Wellenfiltern. Elec-
trische Nachrichten Technick. November 1924..
16. E. J a n k e und F. Em de. Funktionentafcln, 1909.
17. Г. M. С у м ц о в и М. О. Т р а х т е н б е р г. Электрические филь-
тры. Связьтехиздат, Москва, 1935.
18. Р. О. Кузьмин. Бесселевы функции. ОНТИ, 1935.
19. В. И. С и ф о р о в. О наивыгоднейшей полосе при приёме импульсных
радиосигналов. Труды ЛК ВВАКА, в. 7. Декабрь 1945.
20. О. Б. Лурье. Искажения, вносимые усилителями на низкой частоте
в телевидении. Журнал технической физики, т. VIII, в. 17, 1938.
21. В. Г. Вольпян. Нестационарные процессы в усилителях. Элек-
тросвязь As 1, 1939.
206
22. В. Г. Вольпян. Прохождение импульсов различной формы через
многокаскадный усилитель на сопротивлениях. Электросвязь
№ 4, 1939.
23. И. С. Гоноровский. Нестационарные процессы в линейных сис-
темах при частотной модуляции. Радиотехника № 1, 1946.
24. И, С. Гоноровский. К теории искажений сигналов в цепях высо-
кой частоты радиотехнических устройств, ИЭСТ № 2, 1910.
25. И. С. Гоноровский. К теории искажений телеграфных сигналов
в высокочастотных трактах радиоустройств, ИЭСТ Кв 6. 1910.
26. С. И. Е в т я н о в. О связи между символическими и укороченными
уравнениями. Радиотехника Кв 1, 1946.
27. С. И. Е в т я н о в. Переходные процессы в селективных системах.
Радиотехника № 5, 1946.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр,
Предисловие............................................ ..... 3
ГЛАВА I
Краткие сведения из теории операционного исчисления
1. 1. Символический коэффициент передачи ...................... 5
1. 2. Интеграл Фурье ......................................... 7
1. 3. Интеграл Дюамеля . . .... 8
1. 4. Интегралы Бромвича и Карсона.............................10
1. 5. Некоторые теоремы операционного исчисления.............. 12
ГЛАВА 2
Расчёт переходных процессов в избирательных четырёхполюсниках
‘2. 1. Вычисление огибающих по методу ван-дер-Поля .... 18
2. 2. Укороченные символические уравнения ....................20
2. 3. Укороченные выражения для коэффициентов усиления некоторых
схем........................... . ................ . . 28
2. 4. Теорема Дюамеля для огибающих . . 33
2. 5. Расчёт огибающей при единичном толчке ...... 38
2. 6. Сравнение расчётов по точным и укороченным уравнениям . 39
ГЛАВА 3
Переходные процессы в идеализированных избирательных четырёх-
полюсниках
3. 1. Постановка вопроса..................................... 48
3. 2. Неискажающин четырёхполюсник ... ..........49
3. 3. Резонансный усилитель при п со......................... 53
208
Стр.
3. 4. Полосовой фильтр ........................ . .... 62
3. 5. Идеальный полосовой фильтр . . ...... 69
ГЛАВА 4
Переходные процессы в резонансном усилителе
4. 1. Краткие сведения о частотных и фазовых характеристиках ? 76
4. 2. Включение постоянного напряжения ........ 83
4. 3. Включение гармонического напряжения резонансной частоты 86
4, 4. Включение напряжения, расстроенного относительно резонанс-
ной частоты.......................................................... 90
4. о. Включение напряжения с линенно-возрастающей амплитудой 97
4. 6. Выключение постоянного напряжения ....... 100
4. 7. Выключение гармонического напряжения ...... 103
4. 8. Прохождение импульса с огибающей в форме треугольника . . 108
ГЛАВА 5
Переходные процессы в полосовом усилителе по схеме рис. 4
5. 1. Краткие сведения о частотных и фазовых характеристиках . . 111
5. 2. Включение постоянного напряжения . . 120
о. 3. Включение гармонического напряжения резонансной частоты . . 125
5. 4. Включение напряжения, расстроенного относительно резонансной
частоты........................................................ 134
5. 5. Включение напряжения с линенно-возрастающей амплитудой . 137
5. 6. Выключение гармонического напряжения ....... 144
ГЛАВА 6
Переходные процессы в полосовом усилителе по схеме рис. 5
6. 1. Краткие сведения о частотных и фазовых характеристиках . - 143
6. 2. Включение постоянного'напряжения............................ . 150
6. 3. Включение гармонического напряжения.............................155
ГЛАВА 7
Переходные процессы в полосовом усилителе с трёхконтурным фильтром
7. 1. Краткие сведения о частотных и фазовых характеристиках . . 162
7. 2. Включение постоянного и гармонического напряжений . . . 168
ГЛАВА 8
Переходные процессы при скачках фазы и частоты
8. 1. Переходные процессы при скачке фазы.............................173
8. 2. Переходные процессы при скачке частоты..........................177
8. 3. Переходные процессы в дискриминаторе............................184
209
ГЛАВА 9
Переходные процессы в резистивном усилителе
Стр.
9. 1. Обсуждение исходных уравнений...................... , . 194
9. 2. Переходные процессы за счёт входной ёмкости...............197
9. 3. Переходные процессы за счёт разделительной ёмкости . . . 199
Приложение
Таблица символических уравнений и их решений....................205
Литература .......... . - . 206
Список опечаток, замеченных в книге С. И. ЕВТЯНОВА
„Переходные процессы в приёмно-усилительных схемах"
2d 4-я св.
Напечатано
Должно быть
первой части
правой части
Автора
32 10 я „
,, г, ia,£i + ri [i<i>2L2C2 (iuiLj J- т2) [iuaL2Ca-|-...
K(la)) = .S---------- -------------Л(1о>)=5-----------------------------Типогр.
188 13-я .
191 ф-ла
(8.3 13)
...=l-e-xc“i(a»x+p)
/sin
\ ao -I
...==l-e~ze ‘ <ao+P)*
Типогр.
Коррек.
Редактор P. Д. Мельнниовская.
Техн, редаитор В. В. Бутазон.
ЯТ 186893. Сдано в набор 21 VI 1947 г. Подписано к печати 17 II 1948 г. Издат. № 3104.
Тираж 10 (300 экз. Бумага 60X92 см. Vie доля. Печ. лист. 131/*. Зн« в 1 печ. листе 27.000.
Уч.-изд. лист. 9,4. Авт. л. 9,2. Зак. 9219. Отпечатано в типогр. № 2 „Советская Латвии”, Рига.
Цена в переплёте 7 руб.