АН
Т nor
пер.
р
т -
Т Ч Т Г
я Мыл ник©
1

Проф. С. А. Чаплыгинъ.
МЕХАНИКА,
I часть.
(ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СТАТИКА).
ИЗДАН1Е ПЕРВОЕ.
Въ пользу Матедоатическаго кружка слуш-цъ Московски^
Высши^ъ Женски^ъ курсовъ.
Изд-ца С. Саакова.
Типограф!я Русскаго Товарищества Печатнаго и Издательскаго Д'Ьла.
Москва, Чистые пруды, Мыльниковъ пер., с. д.
1914г.

ВВЕДЕШЕ.
Всякаго рода явлете, при которомъ происходишь перемгь-
щенге всей наблюдаемой матерги или части ел, паз. движенгемъ.
Механика занимается изученгемъ движетя, стремясь
объяснить движетя, происходящгя въ природкъ, т.-е. поставить ихъ
въ связь съ основными законами, почерпнутыми изъ опыта.
Изучается движете съ различныхъ точекъ зр^тя, въ
зависимости отъ которыхъ мы им^емъ нисколько отдЪловъ механики.
1. Движете можно разсматривать какъ нкъкоторый
существующей фактъ, не входя въ шслгъдовате причины, ею
производящей. .
Та часть механики, которая изучаетъ движете съ этой точки
^р*Ьтя, т.-е. внгь зависимости отъ причины его производящей,
называется кинематикой. Она наиболее ращональна, не требуетъ
никакихъ методовъ, кромй чисто умозрительныхъ методовъ
математики, Въ кинематике н-Ьтъ нужды въ данныхъ опыта, зд^сь
движете изучается совершенно независимо отъ физическаго мате-
р!ала.
2. Во-вторыхъ, движете можно изучать въ зависимости отъ
лричинъ, его направляющихъ
Причины эти мы называемъ силами.
Мы •им'Ьемъ здЬсь дв-Ь задачи:
1. дано движете—найти силы;
2. дано поле силъ—определить движете.
ОтдЬлъ механики, изучающш эти дв-Ь задачи называется
динамикой.
Методы кинематичесше прилагаются въ этомъ случай къ самому
опредЬленш, характеристики движетя. Является вопросъ объ отъ-
исканш тЪхъ функщй времени, которыя характеризуютъ тЬ или
друпя координаты.
Р4шетемъ частнаго случая задачъ динамики занимаются
третш отдЬлъ механики—статика.
Задача этого отдЪла следующая:
Изслгьдовать тгь случаи, когда силы взаимно-уравновгьши-
шются, и потому движетя не возникаютъ, а наблюдается покой
матер1альныхъ точекъ, подвергающихся вл1яшю силъ.
1*

Изъ всЬхъ отд'Ьловъ механики статика является простейшими
съ точки зр4шя математической обработки задачъ; элементарная
статика, въ свою очередь простйшш отд^лъ статики.
Какъ въ кинематике, такъ и въ динамик* мы не можемъ
охватить физичесшя тела со всеми ихъ особенностями, и потому
мы изучаемъ только модели, которыя более или менее подходятъ-
къ изучаемымъ нами гЬламъ.
Простейшими изъ такихъ моделей являются:
1. Матер|"альная точка, порцгя вещества, съ исчезающв-
малыми рйзмгърами, но обладающая вещественностью.
Ея можно представить себе или какъ результата д^летя.
физического т4ла на безконечно большое число частей^ или какъ
результата сжайя конечной массы. Этой моделью приходится
пользоваться всякш разъ, когда размеры т4ла не имъютъ вл1яшя на
ходъ движетя.
2. Неизменяемая система или абсолютно твердое тЪло —
совокупность матергальныхъ точекъ, разстояте между которыми-
не изменяется.
Въ физическихъ (реальныхъ) твердыхъ т4лахъ эти .измененш
настолько малы, что часто ихъ можно разсматривать какъ
абсолютно твердыя т^ла. На ряду съ этими простейшими моделями
разсматриваютъ и более сложныя, тцкъ называемый, измЪняемыя
механичесшя системы матер|"альныхъ точекъ.
Курсъ механики разделяется на два отдела, изъ которых^
первый изучаетъ лишь простейшую модель и носитъ назваше:
Механика точки.
Вторая есть.
Механика системы.
Курсъ, который будетъ изложенъ въ текущемъ семестре,,
будетъ посвященъ, съ одной стороны элементарной статикЪ—
статике абсолютно твердаго тела, и съ другой, динамикгь точки^
Элементарная статика.
Всгь причины или влгянгя, приводящгя или могущгя при^
вести тгьло въ движете, называются въ механикгь силами.
Мы йгнорируемъ въ механике происхождеше силъ; магнит-
ныя, электричесшя, силы тяжести и т. д. важны для насъ съ той
лишь точки зрешя, поскольку оне могутъ вызывать движетя.
Мы будемъ называть двгь СИЛЫ равными между собой^
если онкь, действуя на одну и ту же точку въ противоположи
ныхъ направленгяхъ, не вызываютъ перемгьщепгя ея.

Говорятъ, что эти силы между собой уравновгыиены. (Эта
статическое опред^леше равныхъ силъ).
Естественно сравнивать всЬ силы съ силой тяжести, вдкъ
<уь простМшей намъ известной; и ту основную единицу, въ
которой сила тяжести измеряется, принять за единицу нзмйрзшя силъ
вообще. За единицу силы тяжести мы будемъ принимать в^съ
равный одному килограмму.
У силъ приходится отмечать ихъ величину и направлете.
Если имйемъ совокупность матер1альныхъ точекъ (твердое гЬло),
то приходится говорить и о точкгь приложенгя силы.
Точка А называется точкой приложенгя силы, если
двинется лишь она одна, въ случать представленгя тгьла раздроб-
ленымъ на мельчайшгя части, но съ неизменной физической
обстановкой.
ВсякШ физическш образъ, характеризуемый величиною и на-
правлешемъ называется векторомъ, поэтому сила есть векторъ.
Чтобы изобразить силу Р, надо отложить изъ точки прило-
жешя прямолинейный отр4зокъ въ данномъ направлены и такой
длины, чтобы единица масштаба въ немъ заключалась бы Р разъ.
Итакъ, величина, направлете и точка приложенгя
характеризуют* силу.
Укажемъ теперь гЪ основныя начала, которыя должны быть
почерпнуты изъ опыта.
Единственными аксгомами механики являются законы
Ньютона.
Эти законы не могутъ быть введены въ элементарную
статику, такъ какъ они опираются на поняия кинематичесшя, не
подлежапця ввёденш въ статику. Мы введемъ только сл4дств!я
изъ нихъ.
Начала статики.
1. Двгь противоположно направленныя силы Р и Q, рае*
пыя меоюду собой и дгьйствующ1я на концы неизмгьняемаго
стержня по его направленгю, взаимно уравновтииваются.
Это предложеше очевидно, но гЬмъ не менЬе приходится
ставить его на видъ. Оно принимается безъ доказательства, при
томъ определенна равныхъ силъ, которое было дано раньше.
2. Двгь силы Р и Q, дчьйствующгя на одну и ту же
точку въ одномъ и томъ же направлены, эквивалентны (равно-
сильны) одной силгь В, равной ихъ суммгь, иными словами—

— 6 —
равнодгьйствующая двухь силъ, действующихъ на одну и ту же
точку, въ одномъ и томъ же направленги, равна ихъ суммгь и
направлена въ ту же сторону, какъ и данныл силы (В = Р ~\- Q).
Простымъ сл,Ьдств1емъ этого начала является способъ сложе-
шя сколькихъ угодно силъ, д'Ьйствующихъ по одной и той же
прямой.
3. День силы Р и Q, действующгя на точку А подъ нгъ-
которымь угломъ могуть быть замгьнены одной, действующей
по нгькошорому среднему направленгю (внутри угла) и лежащей
въ плоскости данныхъ силъ.
Если Р и Q равны между собой, то равнодействующая
ихъ делить уголь между направленгями силъ пополамъ.
4. Если имгьемъ какую-нибудь совокупность силъ,
дгьйствующихъ на тело, то мы не изменимь ихъ действгй прибавле-
нгемь или отнятгемь уравновешенныхъ силъ.
5. Мы можемъ налооюить на уравновешенное тело катя
угодно связи (условгя, стесняющгя движете), не нарушая его
равновесгя.
6. Действге равно противодействгю. (Это трети закона
Ньютона).
Вопросъ, который приходится разрешать въ элементарной
статикЪ, представляетъ дв'Ь задачи:
1. Эквивалентность силъ, действующихъ на твердое телоТ
или замена однехъ силъ другими.
2. Равновесге силъ.
Теорема о параллелограмме силъ.
Равнодействующая двухь силъ, действующихъ подъ угломь?
по величине и направленгю равна дгагонали параллелограмма?
построеннаго на данныхъ силахъ.
РаздЬлимъ доказательство этой теоремы на дв'Ь части:
1. Равнодействующая двухъ силъ, д'Ьйствующихъ подъ угломъг
направлена по д1агонали параллелограмма, построеннаго на нихъ.
2. Равнодействующая этихъ силъ по величине равна д1аго-
нали такого параллелограмма.
Для доказательства этой теоремы надо им^ть въ виду два по-
ложешя:
а) точку приложенгя силы Р, действующей вь какой-нибудь:
точке Л твердаго тела, можно переносить по ея направленш
вь любое место.

— 7 —
Пусть мы хотимъ перенести точку приложешя А силы Р
въ точку В. Пользуясь основнымъ началомъ 4, мы въ точки В
можемъ приложить по направлешю силы Р две уравнов'Ьшенныя
силы Р' = Р" = Р.
Получимъ три равныя силы; при чемъ силы Р и Р" взаимно
уравновешиваются, какъ действующее на концы неизменяема™
стержня АВ (аксюма первая). Остается сила Р\ равная данной
силе Р, приложенная къ точке В по направлешю силы Р.
Следовательно положете наше доказано.
Черт. 1. Черт. 2.
Ь) Совокупность двухъ силъ Р = Q, дгьйствующихъ подъ
угломг на точку А, уравновешивается совокупностью силъ Р и
Q* (гдгь JPf = Q* = Р = Q)} приложенной въ вершингь ромба,
построеннаго на данныхъ силахъ} по направленгямъ
соответственно противоположнымъ даннымъ.
Это положете является сл4дств]'емъ третьей аксюмы.
Даны две равныя силы Р и Q, приложенныя къ точке А и
действующая подъ угломъ; построимъ на нихъ ромбъ. Вообразимъ
къ точке В приложенныя две силы Q1 и Р\ Pf=zQ' = P=Q,
въ направлеши соответственно противоположномъ даннымъ. Пусть
Я есть равнодействующая силъ Р и Q, a В1 есть
равнодействующая еилъ Р' и Q. По величине В = В\ такъ какъ
равнодействующая двухъ силъ можетъ зависеть лишь отъ ихъ величинъ и
угла между ними. А эти услов!я одинаковы какъ для совокупности
силъ Риф, такъ и для Р' и Q\ Но эти силы В и Ж1
направлены противоположно другъ другу. На основанш начала ка-

— 8 —
cioMH перваго д4йств1я силъ взаимно уравновешиваются. И поло-
жеше наше доказано.
Приступимъ теперь къ доказательству первой части нашей
теоремы о параллелограммы силъ.
Зд4сь намъ могутъ представиться два случая:
a) случай соизмгьримыхъ силъ,
b) случай песоизмгьримыхъ силъ.
t
Черт. 3.
Первый случай.
Им4емъ дв* силы Р и Q; общая ихъ м4ра р. Напр. Р=
= 2 p. Q=3 p.. Построимъ параллелограммъ на данныхъ силахъ
и покажемъ, что силы Р и Q, не изменяя ихъ дМств!я, можно
перенести въ точку D въ противоположную вершину
параллелограмма, параллельно самимъ себ*.
На точку А дМствуютъ: сила Q = 3p. и Р=2р. Раз-
д'Ьлимъ АВ на дв-Ь равныя части, АС— на 3 равныя части.
Черезъ точки дЪлетя проведемъ параллели сторонамъ
параллелограмма. Въ результат* получимъ рядъ ромбовъ. Точки ихъ
вершинъ дадутъ намъ идеальную решетку, если всЬ точки дЪ-
лешя представимъ себ* неизменно соединенныя съ точкой А.

На основаши второй аксюмы къ точк4 Л можно приложить
вместо силы Q = 3p, три равныя силы р. Одну изъ этихъ силъ
оставимъ приложенной къ точки Л, вторую перенесемъ въ точку
1, а третью—въ точку 2 (положеше 1, стр. 5).
Подобнымъ же образомъ поступимъ и съ силой Р: разбива-
емъ ее на дв4 равныя силы р, одну изъ которыхъ оставимъ въ
точк4 Л, другую приложимъ въ точку 3. Воспользовавшись вто-
рымъ положешемъ (стр. 6). мы прибавимъ (на основаши начала
4) къ каждому изъ полученныхъ ромбовъ совокупность четырехъ
уравнов-Ьшенныхъ силъ (см. чертежъ). Эти новыя силы нужно
представить себ4 приложенными къ соотв-Ьтственнымъ точкамъ решетки
по сторонамъ составляющихъ ее ромбовъ; на чертежи это не такъ
(только для ясности чертежа).
Разсматривая чертежъ, мы увидимъ, что вс4 силы, кром4 силъ,
направленныхъ по BD и CD, попарно уравновешиваются, какъ
силы равныя, дМствуюпця. на одну и ту же точку въ
противоположные направлешяхъ. Итакъ, мы теперь им'Ьемъ по лиши BD
три равныя силы, равнодействующая которыхъ есть Q=3p, а по
лиши CD—дв4 силы, равнодействующая ихъ Р=2р. 064 эти
силы мы можемъ теперь перенести въ точку D.
Получимъ данныя силы Q и Р, приложенные къ точк4 D и
нйлравленныя || своимъ прежнимъ положешямъ. Если бы
равнодействующая JR силъ Р и Q не проходила бы черезъ D, то укр4-
пивъ т4ло въ этой точк4, мы увидали бы, что сила В стремится
повернуть гЬло вокругъ точки укр4плешя. Съ другой стороны,
представляя данныя силы перенесенными въ точку Д мы
убедились бы, что он4 не могутъ произвести на гЬло никакого дМ-
ств'т, ибо точка D неподвижа.
Получаемъ различное дМств1е одн4хъ и т4хъ же силъ при
одной и той же обстановки, чего не можетъ быть. Остается
признать, что равнодействующая должна пройти черезъ точку D.
Следовательно, равнодгьйствующая двухъ соизмгьримыроъ силъ, дгьй-
ствующихъ подъ угломъ, направлена по дгагонали
параллелограмма, посшроеннаго на данныхъ силахъ.
Что и требовалось доказать.
Случай несоизмгьримыхъ силъ.
Положимъ, что им4емъ дв4 силы Р и ft по величине не-
соизм4римыя. Докажемъ нашу теорему отъ противнаго положешя.
Пусть равнодействующая данныхъ силъ не проходитъ черезъ точку
D, а проходитъ черезъ Е. РаздЪлимъ отр4зокъ АВ (величина си-

— 10 —
лы Р) на части менышя по величине отрезка ЕВ. Пусть такихъ
частей будетъ т.
АВ
<ED=GG.
т
Отм'Ьчаемъ по А С, начиная отъ точки А, татя же части. Такъ
АВ
какъ <.АЕ, то, по крайней мере, одна изъ точекъ д4летя
упадетъ въ точку F между G и G (см. чертежъ EG |] АВ).
Силу Q можно представить по началу 2-му, какъ
равнодействующую двухъ силъ AF и AK=FC, приложенныхъ въ точки
А. Такимъ образомъ въ точке А приложены три силы: АВ, AF
и АК. Но изъ построешя ясно, что силы АВ и AF соизмеримы.
Черт. 4.
Следовательно, по доказанному равнодействующая ихъ Rf
пройдетъ черезъ точку Л, по д!агонали параллелограмма, построен-
наго на нихъ. А въ такомъ случае равнодействующая В силъ
В1 и АК (т.-е. равнодействующая данныхъ силъ Р и Q) по
началу третьему должна направиться внутри угла В.АС и не можетъ
совпасть съ направлешемъ по ЕА, что противоречив нашему
положенно. Это противореч1е устранится, если точка Е сольется съ
точкой JD. Следовательно первая часть нашей теоремы доказана и
для случая несоизмеримыхъ силъ.
Приступимъ теперь къ доказательству второй части этой
теоремы, а именно, докажемъ, что равнодействующая двухъ силъ,
дгьйствующихъ подъ угломъ, по величингъ равна дгагонали
параллелограмма, построеннаго на нихъ.
Приложимъ къ точке А силу В'=В, но противоположно
направленную (В равнодействующая данныхъ силъ Р и Q). Си-

— 11 —
ла Bf уравновЬшиваетъ силу В, а следовательно, она уравнове-
шиваетъ заменяемую ею совокупность силъ Р и Q. Значить мы
им4емъ три силы Р, Q и J?f взаимно уравнов^шенныл; разъ это
такъ, то каждая изъ этихъ силъ уравновйшиваетъ две остальныя.
Разсмотримъ силу Q. По только-что сказанному, она должна
уравновешивать совокупность силъ Р и В1; отсюда ясно, что
равнодействующая Р и В1 должна быть равна Q, но противоположно
ей направлена. Следовательно, намъ известны: сила Р, по
величине и направленш, сила Рг по направленно и сила фг™ Q
(равнодействующая силъ Р и В1) по величине и направленш. Съ
другой стороны мы знаемъ, что равнодействующая Q* должна быть
направлена по д!агонали параллелограмма, построеннаго на данныхъ
силахъ. Въ этомъ параллелограмме мы знаемъ одну изъ сторонъ
Черт. 5.
и направлеше другой стороны и д!агонали. Изъ этихъ данныхъ легко
построимъ параллелограммъ и затемъ докажемъ, что AF=B'=AD,
т.-е. B = AD.
AAEB = AABD, какъ половины одного и того же
параллелограмма. По той же причине AEFA = AAEB\ отсюда:
AAEF=AABJD. Следовательно AE—AD; но такъ какъ
АЕ = В\ a Bf=B, то AD = B, и теорема наша окончательно
доказана.
Сложение многихъ пересекающихся силъ.
Зная способъ слолсетя двухъ силъ, приложенныхъ къ одной
точке*), легко найти способъ сложешя сколькихъ угодно силъ,
приложенныхъ къ одной точке, последовательнымъ сложешемъ.
*) Если двй силы не приложены къ одной точке, то ихъ можно перенести
въ точку пересФчешя пхъ направлен\я, по положенш (стр 6).

— 12 —
Нужно сначала сложить две кашя-нибудь силы, загЬмъ ихъ
равнодействующую съ какой-либо третьей изъ данныхъ силъ и т. д.
Легко усмотреть геометрическую особенность въ построены
окончательной равнодействующей: мы получаемъ однообразно
направленную ломаную линш АВIII ЦПУ, звенья которой
представляюсь данныя силы по величине и направленно, а
замыкающая равнодействующую.
Ломаная АВ1IIIIIIV называется силовымъ многоуюлъникомъ.
Результатъ сложенгя силъ не зависишь Отъ порядка слага-
емыхъ силъ, такъ какъ совокупность силъ должна давать вполнгь
определенное дгьйствге.
Не трудно показать это и геометрически. Любопытнымъ част-
нымъ случаемъ является случай трехъ силъ, пересекающихся въ
Черт. 6.
одной точке. Въ этомъ случае вместо правила силового
многоугольника можно прилагать правило параллелепипеда:
равнодействующая есть дгагональ параллелепипеда, ребрами котораго бу-
дутъ составляющая силы.
Не трудно видеть, что оба правила равноценны въ этомъ
случае.
Можетъ случиться, что ломаная сама собой замкнется, тогда
It будетъ равна нулю, следовательно совокупность такихъ силъ
будетъ находиться въ равновгьст.
Напримеръ, представимъ для нашего чертежа 6 еще силу
P4=JB, но противоположно ей направленную. Ясно, что
совокупность силъ Р1? Р2, Р3, Р4 будетъ въ равновесш.

— 13 —
Разложеше силы на несколько пересекающихся
силъ.
Разложишь силу на нисколько составляющихъ силъ это—
задача вообще- неопределенная.
При разложеши данной силы поэтому необходимо им4ть еще
нйкоторыя дополнительныя св-Ьд'Ьшя. Если требуется одну силу
заменить двумя пересекающимися, то могутъ представиться
разнообразные случаи:
Черт. 7.
1. Данную силу В разложить на дет силы Р и Q, опре-
дгьляемыя по своимъ направленгямъ.
Изъ точекъ А и В (концовъ отрезка В) отложимъ линш || Р
и || Q\ получимъ параллелограммъ, стороны котораго дадутъ иско-
мыя величины. Такимъ образомъ величины силъ Р ж Q
определятся вполн-Ь.
2. Разложить данную силу В на дет силы Р и Q, дан-
ныя своими величинами, т.-е. найти направленге Р и Q.
Надо изъ концовъ В провести дуги рад!усами Р и Q\
соединяя точки пересЬчешя этихъ дугъ съ концами В, получимъ р-Ь-
шеше данной задачи. Такъ какъ точекъ пересЬчешя двЪ, то задача
имЬетъ два рйшетя.
3. Даны силы В и Р по величинт и направленгю. Найти
третью силу Q такимъ образомъ, чтобы В была равнодтйствуг
югцей для Р и Q, т.-е. разложить В на дет составляющгя,
изъ которыхъ одна равна Р.

— 14 —
Соединяемъ точку А съ точкой D и достраиваемъ
параллелограмма АС и будетъ искомой величиной.
Черт. 8. Черт 9.
4. Разложить данную силу R на дет Р и Q: изъ кото-
рыхъ одна дана по величингь, а другая по направленгю.
Изъ точки А откладывавмъ АО по найравлетю силы Q, изъ
D проводимъ дугу рад1уса Р. АС пересЬчетъ эту дугу въ двухъ
точкахъ (обшдй случай) С и Е.
Черт. Ю.
Построивъ параллелограмъ на 1С и CD, получимъ силу
Р = АВ, а построивъ □ на АЕ и ED—получимъ силу P=AF.
Следовательно мы им4емъ два решетя. Въ частномъ случай, когда
Р _[_ Q, имйемъ одно решете.
Разложсте силы на три составляются.
Если силу В надо разложишь па три силы, данныя своими
направленгями, то стоишь только построить параллелепипедь
по направленгямъ 3-хь его реберъ и по дгагонали (данной по
величине и направленш), чтобы разрешить вопросъ.

— 15 —
Практически надо построить оси координатъ по направлешямъ
3-хъ данныхъ силъ, при чемъ .В направляется изъ начала
координатъ, тогда координаты конца В будутъ выражать величины
состав ляющихъ силъ.
Аналитически формулы для опредЪлешя величины и
направлена равнод%йствующей силы.
Проекцией направленнаго отргьзка на ось (по всей безпредгьлъ-
ной длингь одинаково направленную) называется величина обычной
-*£
CL
Черт. 11.
геометрической проекцги со знакомь плюсъ или минусъ, смотря
по тому, слгьдуемъ ли мы, идя отъ начала отргьзка къ его концу,
по направлетю оси, или обратно паправленгю оси.
(Отрезки находятся въ пространстве)
np,AB= + ab\ п$хА'В' = — а'Ь'.
Известно, что пр^ АВ = ABCsa, гд4 а есть уголъ между
проектируемымъ отр^зкомъ и осью х.
у)
Черт. 12.
Сумма проекцги звеньевъ однообразно направленной ломаной
равна проекцт замыкающей прямой.
Докажемъ, что
ирхАВ + пр, В С -f пр, CD -f прх DE — щх АЕ\

— 16 —
Разсмотримъ сначала ломаную, состоящую изъ двухъ звеньевъ.
Намъ могутъ представиться четыре различныхъ случая:
1) Проекщи обоихъ отрйзковъ положительны.
2) Одна проекщя положительна, другая отрицательна и
проекщя замыкающей положительна.
3) Одна проекщя отрицательна, другая положительна. Проекщя
замыкающей отрицательна.
4) Об* проекщи отрицательны.
Изъ непосредственнаго геометрическаго усмотрешя вытекаетъ,
что во всЬхъ четырехъ случаяхъ:
щхЛВ -)- щхВС=щхАС.
Не трудно обобщить эту теорему и для случая сколькихъ
угодно силъ, разсматривая сначала сумму проекщи двухъ звеньевъ
и замыкающей, загЬмъ проекцш замыкающей и третьяго звена и т. д,
пр АВ + пр ВС= пр A С.
пр AG + пр CD = пр АВ,
пр АВ + пр DE = пр АЕ.
Сложивъ, им'Ьемъ:
пр АВ -f пр ВС + пр GB + прВЕ=щ BE.
Чтобы определить силу въ пространстве, совершенно
достаточно дать координаты точки приложешя А и три проекщи этой
силы на трехъ осяхъ координатъ. Черезъ J., заданную
координатами, проводимъ параллели тремъ осямъ координатъ.
Обозначимъ проекцш силы на ось х черезъ X, на ось у— Т,
и на ось z—Z. Отложимъ изъ точки А эти три проекцш по
величине и направленш, и построимъ параллелепипедъ на нихъ;—
д1агональ пераллелепипеда изъ точки А дастъ намъ искомую силу,
Итакъ, для опредйлетя силы достаточно задать: А(х, у, з) (т.-е.
координаты точки приложешя силы Р — А) и Р(Х, У, Z)
(проекщи искомой силы Р на оси х, у и z).
Пусть къ точке А приложено сколько угодно силъ:
р р р р р
и пусть известны:
Р(Х, У, Z), Pt(Xv Yt, ZJ...

— 17 —
Какова равнодействующая В этихъ силъ?
пр^ В = ВХ Вх—2и$хР
(Д, является замыкающей, а силы Р± — Рп—звеньями данной
ломаной, где 2 есть знакъ суммы аналогичныхъ величинъ).
Bx = 2nVxP = 2X-By = 2uVyP = 2Y\Bz=2n^P = 2Z.
Изъ геометрш известно, что квадратъ д1агонали прямоуголь-
наго параллелепипеда равенъ сумме квадратовъ трехъ его реберъ.
Следовательно, если известны для силы Р проекщи
X, Г, Z, то Р2 = Х2+.Y2-fZ2.
отсюда
Pz=v/z2+r2+Z2
(действительное число, такъ какъ подъ корнемъ положительныя
числа).
Отсюда
R = \/Rl + в; + В1=\/(2РУ-\-(2РуУ-\-(2РУ=
или
" R = \f{2X)* + (2Y)* + (2Z)\
Итакъ, мы определили величину В, равнодействующей данныхъ силъ.
Определимъ теперь направлете ея.
Известно, что
uvxB = Bx = BCs(B, X)
(Cs (В, X) означаетъ Gs угла между В и X),
отсюда
Os(R,X)= §
аналогично
Bv
Cs(R,Y)=-
Cs (Д Z) =
В
в.
в
(знакъ правой части этихъ равенствъ опред-вляетъ уголъ: —
тупой, -4- острый).
2

— 18 —
Услов1'е равновШя силъ.
Пусть заданы вс4 силы; если они находятся въ равнов4с1и,
то jR = 0, т.-е.
B = y/(2X)*+(2T)*+(2Z)* = 0.
это возможно только тогда, когда
2Х=0, 2Г=0, 2Z=0.
Эти услов!я достаточны и необходимы для равнов'Ъая силъ.
Сложеше параллельныхъ силъ.
Основной теоремой этого отдела является разсмотр^ше двухъ
силъ.
1) Случай || силъ, направленныхъ вг одну сторону.
Схема доказательства этой теоремы следующая: ИмЪемъ дв-Ь ||
силы Р, приложенная къ точк4 А9 и Q, приложенная къ точкЪ В.
(А и В точки твердаго гЬла). Нужно найти равнодействующую
этихъ силъ.
Черт. 13.
Къ точкамъ А и В прикладываемъ Т и Т\ двй равныя силы,
противоположно направленныя по линш АВ. ДЬйсте силъ Р и Q,
какъ известно, не меняется. Находимъ равнодМствующую силъ
Р и Т, и Q и Т1. Переносимъ ихъ въ точку пересЬчетя ихъ
направленш, и разложивъ опять на силы Р и Т м Q и Т.

— 19 —
Силы Т и Т взаимно уравновешиваются; остаются силы
Р и Q, приложенныя къ одной точки, и, конечно, направленныя
по одной прямой. Следовательно, ихъ равнодействующая jRi=:P-j- Q
по величине и направлешю (аксюма 2). А теперь мы можемъ
силу JB, сохраняя ея направлеше, перенести въ точку (7, лежащую
на лиши АВ. Геометрически легко усмотреть, что
AG_Q
~СВ~Р'
отсюда
Р Q В f P+Q=M
ВС=АС=АВ (а) \АС+ВС=АВ
Это правило сложешя || силъ можно формулировать такъ:
Равнодействующая двухъ || силъ, направленныхъ въ одну
сторону, равна суммгь слагаемыхъ и направлена въ сторону дан-
ныхъ силъ\ точка приложенгя равнодгьйствующей дгьлитъ раз-
стоянге между точками приложенгя слагаемыхъ силъ внутреннимъ
образомъ, въ отношенш обратно пропорцгональномъ ихъ величинамъ.
Разсмотримъ теперь случай двухъ |[ силъ, направленныхъ въ
разныя стороны. Доказательство этой теоремы вытекаетъ изъ предъ-
идущаго. Здесь
Р Q Я
R^P-Q и _=_ = _. (а)
Равнодействующая двухъ || силъ, направленныхъ въ разныя
стороны, равна ихъ разности и направлена въ сторону большей
силы; точка приложенгя равнодгьйствующей силы лежитъ за
большей силой и дгьлитъ разстоянге между точками приложенгя
слагаемыхъ силъ впкьшнимъ образомъ па части, обратно пропор-
цюналъныя слагаемымъ тламъ.
Разложеше данной силы па дв* || силы,
1. Даны: сила В по величине и направлешю, приложенная
къ точке С; какая-нибудь изъ слагаемыхъ силъ Р и одна изъ
точекъ приложетя А или В. Найти вторую слагаемую силу Q.
Эту же задачу можно решить и при данныхъ В и двухъ разстоя-
еш ВС и АС.
2**

20 —
Итакъ, мы имйемъ сл'Ьдуюпце случаи:
a) Даны В, P и А.
b) „ В, Р и В.
c) я Л, J.C7 и Б<7.
Изъ точки О откладываемъ отрЪзокъ Сд = Р. Строимъ па-
раллелограмъ АСЕН, и соединяя точку Е съ точкой G, въ пе-
ресЪчеши этой лиши HG съ лишей АС получимъ точку Б, т.-е.
точку приложения искомой силы Q; а величина отр-Ьзка GE цыть
намъ величину этой силы Q. Это видно изъ разсмотрЪшя подоб-
ныхъ треугольниковъ.
AHEG^AGCB,
отсюда
Черт. 14.
ft GG #G
» ВС~~НЁ;
но
CQ = P HE=.
и мы им4емъ
Р £0
= ЛС.
Сравнивая это соотношеше съ ранЬе выведеннымъ соотношешемъ.
(а), получимъ
EG^Q,
что и требовалось доказать.
Подобнымъ образомъ легко разобрать и остальные случаи.
2) Поставимъ теперь следующую задачу:
Заданы деть параллелъныя, но противоположно направлен-
ныя силы Р и Q; соотвттствующгя имъ точки приложенгя А
и В. Найти равнодействующую В этихъ силъ.
Положимъ сначала, что Рф<д, напр., Р>ф. Разложимъ
силу Р на двЪ слагаемыя силы: одна изъ которыхъ Q1 = Q,
приложена къ точкЪ В и противоположно направлена сшгЬ Q, и
другая, которая определяется построешемъ,
Отъ точки А откладываемъ силу Q\ Вершину Dn-ма АВВЕ
соединяемъ съ точкой G.
Точка пересЪчешя С лиши DG съ лишей АВ дастъ
точку С—приложешя силы В, по величин* равной GE. Следователь-

— 21 —
но, мы теперь имЪемъ вместо данныхъ силъ Q а Р — три силы
q] Q' и В; при чемъ Q и Q' взаимно уравновешиваются;
остается сила В, равнодействующая данныхъ силъ Р и Q. И задача
наша решена.
Изъ построены видно, что точка С для данной задачи всегда
лежитъ вне отрезка АВ. При этой второй задаче есть одно
замечательное исключеше, когда разложеше не приводить къ цели,
это исключеше происходитъ при P—Q. Пусть сила Q растетъ,
приближаясь къ Р. Геометрически тогда G будетъ приближаться
Черт. 15.
жъ точке Е. Точка С будетъ все удаляться отъ отрезка АВ и
когда Q станетъ равнымъ Р, то точка О уйдетъ въ безконечность.
Это видно и изъ следующихъ соотношешй:
B = P—Q = 0
РО~~ АВ
отсюда
при
ВС=
P=Q.
Р . АВ
P-Q
въ пределе, когда Q стремится къ Р, ВС будетъ стремиться
къ безкокечности.
Мы приходимъ къ следующему заключенш.
Если имгъемъ дет # силы, направленным въ разныя
стороны и приложенный къ разнымъ точкамъ; то равнодействующая
гаъ равна нулю, и точка приложенгя ея находится въ безконе\-
ной дали. ,
Совокупность таким силъ Р, Q считаютъ за особый сило-
Чой элементг; онъ называется парой СИЛЪ.
Поняие объ этихъ новыхъ силовыхъ элементахъ ввелъ Пуансо,
-французски ученый, жившш 1777—1859 г.

— 22 —
Пару силъ принято обозначать такъ:
(Р, Q) [хотя самъ Пуансо обозначалъ (Р,—Р)].
Пары силъ обладаютъ многими любопытными свойствами;
теор1я паръ чрезвычайно просто и естественно приводить насъ къ
законамъ равнов*Ьс1Я твердыхъ т*Ьлъ.
Слоэкеше н*сколькихъ параллелъныхъ силъ.
Им-Ья въ пространстве сколько угодно || силъ, направленныхъ
въ одну сторону, Р%ч Р2 ... легко усмотреть изъ последователь-
наго прим^нензя сложетя двухъ силъ, что равнодействующая ихъ
В = 2Р\ и направлена въ сторону данныхъ силъ.
Случай же || силъ, часть изъ которыхъ направлена въ однуг
а часть въ другую можетъ дать три различныхъ результата:
1) Въ результате сложетя получаемъ равнодействующую—
В = В'— -R" (обшдй случай), где В' — равнодействующая силъ,
направленныхъ въ одну сторону, В"—равнодействующая силъ,
направленныхъ въ другую сторону; (здесь принимается Bf >J?,r)
В направлена въ сторону большей силы.
2) Пара силъ получается, когда равнодействующая В' = В"
и направлешя силъ В1 и В!' не лежатъ на прямой, соединяющей ихъ
точки приложешя, (Частный случай).
3) PaBHOBecie, когда В' = В" отс. В = 0 и силы эти на-
правлены по лиши, соединяющей точки ихъ приложешя.
(Наиболее частный случай).
Вышеприведенное правило сложетя || силъ В = 2Р можно
распространить и на случай силъ, направленныхъ въ разныя
стороны. Достаточно условиться обозначать силы, направленныя въ
одну сторону числами одного знака, а идущая въ противополож-
номъ направленна—числами другого знака.
Для получешя равнодействующей В = 2Р, все силы Р нужно
взять съ соответствующими знаками.
Центръ параллелъныхъ силъ.
Равнодействующая || силъ, направленныхъ въ одну сторону,
при всякомъ направлети данныхъ силъ, если ихъ величины и
точки приложенгя не мгьняюшся проходишь всегда черезъ одну и
ту же точку (7, наз. центромъ || силъ.
Для двухъ || силъ это ясно. Если имеемъ две || силы Р и Q,
направленныя въ одну сторону и приложенныя соответственно къ
точкамъ Л и В, то при повороте ихъ вокругъ А я В ъъ каюя

— 23 —
угодно положешя, такъ что он$ остаются параллельными,
равнодействующая ихъ всегда будетъ проходить черезъ одну и ту же
точку С; т. к. эта точка, какъ это видно изъ соотношешя
Р Q ■ В _ .
-^=—^==1—— 5 зависитъ только отъ величинъ силъ Р и Q и
расположешя ихъ точекъ приложешя.
Легко распространить это опред4лете центра || силъ на
случай сколькихъ угодно силъ последовательно, прим^нивъ послгьднюю
теорему сначала для двухъ силъ, загЬмъ для равнодействующей
этихъ силъ и какой либо третьей, и т. д.
1
У
Черт. 16.
Найдемъ теперь аналитичестя выражешя для координатъ
центра параллельныхъ силъ, направленныхъ въ одну сторону.
Пусть даны намъ || силы P,Pt,P2, Р^Р&,—;
соответствующая ихъ точки приложешя суть A, At, A2, A9, Ag.
Точка приложешя равнодействующей силъ Р и Рх есть В,
точка приложешя равнодействующей силъ Р, Pt и Р2 есть Вх
и т. д.; центръ силъ О; его координаты принято обозначать черезъ
х, у, z.
Итакъ мы имеемъ:
А (х, у, z) В (х\ у\ г)
С (х} у, z) .
Изъ аналитической геометрш известно, что если к. н. точка
делитъ разстояше между двумя точками на две части въ отноше-
т
ши X = —, то ея .координаты (х) выразятся черезъ координаты
IV

— 24 —
данныхъ точекъ (xt и х2) такъ:
Применив?» эти формулы къ нашему случаю, мы получимъ
сл$дуюпця соотношешя:
Pz-fP^ РУ + ЛУ,. ,, P* + Pi«i
ж — P + Pt ' у — p-f-^l ' p-f Pi
Л4Я Р..
- ' обозначимъ Р -+- Р. = Р'
Р'—сила приложенная къ точки1 В
ВВ, Р2
2 2
отсюда
т. Рх' + Рл . „, ру' + р.у,. „, р^' + ^
»1— рг-|_рв ' »i — Р'-|_Р, '^i— P'-fP,
или же заменяя ж' черезъ предыдущее выражеше:
, ДгО-Р^+Р.Д, . п , Ру + Лц+Р.У, .
ж»— р+рх + р2 'у*— р+Л + Д '
, Pg + P^H-^,
Продолживъ тотъ же процессъ, мы получимъ, очевидно:
_ Рх + Ptxt+. . - + Рл _ Ру + Р^Ч-- • -РУ»
ж —р+^+рз+.-.+р,/ у~~ P+Pt+...PH
-_ Рач-Р^ч-- • -+р*«
если данныя силы: Р, Рх . . . . Р„ ,
или же короче:
-—?El 2Ру 2Р*
00 — 2Р ' У~~ 2Р ' s~~ 2P '

— 25 —
Teopia моментовъ силъ.
Если имгьемъ некоторую силу Р и точку О, то момен-
ТОМЪ СИЛЫ Р по отношенгю къ центру О, паз. произведете силы
Р на плечо силы, т.-е. на перпендикуляра, опущенный изъ точки
О (центра момента) па лингю дгьйствгя Р; при чемъ это
произведете надо взять со знакомь плюсъ, если сила Р стремится
вращать тгьло, укргьпленное вь точкгь О, по часовой струълкгъ,
и со знакомь минусъ, если вращенге направится противъ часовой
стргьлки.
Р . h = M0P.
-Pih1=M0Pi
(М0Р означаетъ: моментъ силы Р отосительно центра 0)
h—плечо силы Р относительно центра 0.
Черт. 17. Черт. 18.
Числовая величина момента силы Р— | М0Р | выражаетъ
площадь параллелограмма, основашемъ котораго служитъ сила Р,
а противоположной вершиной—центръ О.
Слтьдствгя.
1. Моментъ силы, проходящей черезъ центръ момента ра-
венъ пулю (такъ какъ въ этомъ случае плечо силы равно нулю).
2. Сумма моментовъ двухъ силь равныхъ и противоположно
направленныхъ, по отношенгю къ любому центру, равна нулю.
Пусть Р'= Р;
М0Р = + РД -М"0р,= — p'h = — ph-
Отсюда
МР-{-МР' = 0.

— 26 —
Теорема Вариньона (Varignon).
Сумма моменшовъ двухъ эквивалентныхъ между собой си-
стемъ силъ, лежагцихъ въ одной плоскости, равны, по
отношенью кг любому центру.
Разберемъ сначала частные случаи.
а) Моментъ равнодействующей двухъ пересекающихся силъ
равенъ сумме моменшовъ слагающихъ силъ, по отношетю къ лю-
бому центру моментовъ.
MR = MP + MP1.
Зд^сь мы можемъ им^ть только два положешя:
1. Моменты слагаемыхъ силъ одного знака.
2. Моменты слагаемыхъ силъ разнаго знака.
Разберемъ первое положеше.
Черт. 19.
1. Возьмемъ точку О, центръ момента, внЬ угла,
образованная данными силами Р и Р15 и построимъ параллелограмы, вы-
ражаюпце моменты силъ Р, Рг и R.
МР= пл. nOF= пл. и ВВ.
МР= пл. пОВ= пл. пАЕ.
МЛ= пл. пОС= пл. ПАВ.
Разсмотримъ пятиугольникъ АСВЕО.
пл. АСВЕО — пл. А АВС= пл. □ АЕ + пл. □ ВВ = МРХ + MP,
пл. АСВЕО —ил. A OBE=m.nAD = MR,

— 27 —
а такъ какъ пл. ААВС=пл.&ОЛЕ, то значитъ
MR = MP + MPt,
что мы и хогЬли доказать.
Мы разсмотр4ли случай, когда всЬ моменты положительны.
Доказательство по существу не изменилось бы и при отрицатель-
номъ знакЪ моментовъ.
Обратимся къ тому случаю, когда моменты им4ютъ
различные знаки. Отмйтимъ силу, моментъ которой имйегь особый знакъ.
Пусть это будетъ Р. Разсмотримъ новую систему, въ которой Р
Черт. 20.
заменено силой Рг, равной и противоположной. Теперь мы будемъ
им-Ьть вс4 моменты съ одинаковыми знаками, а потому
MP^MP'+MR, но
МР'= — MP, отсюда MR '= MP + MPt,
что и требовалось доказать.
Ь) Моментъ равнодтйствующей сколькихъ угодно силъ пере-
сгькающихся въ одной точкгъ, равенъ суммгь моментовъ ихъ со-
ставляющихъ силъ.
2MP = MR.
Это вытекаетъ изъ последовательна™
щаго правила:
MP + MP1=MRl
MRt+MP2=MR2
MR2+MPS=MRZ.
Сложивъ эти равенства, мы получаемъ MR
прим4нешя предыду-
= 2МР.

— 28 —
с) Сумма моментом двухъ [| силъ равна моменту ихъ рае-
no действующей.
Доказательство одно и то же для случая силъ направленныхъ
въ одну или въ другую сторону.
Черт. 21.
Разсмотримъ случай двухъ || силъ, направленныхъ въ одну
сторону. Въ точкахъ приложешя Л я В данныхъ силъ приложимъ
Черт. 22.
уравновйшенныя сплы Т и Т\ ДЪйеше данныхъ силъ, какъ изв-Ьст-

— 29 —
но, не изменится. Основываясь на предыдущемъ, мы получимъ:
MP + МТ= MU,
MPl + MTl^MUl
MU+MUt=MB,
отсюда
MR = MP + MPV
такъ какъ
MT+MTt=0.
d) Моментъ равнодействующей скольпихъ угодно || силг
равенъ сумме моменшовъ слагающихъ.
Рис. 23. Рис. 24.
Доказательство тождественно съ т4мъ, которое приведено для
случая многихъ пересекающихся силъ. '$-^^фщщ
При сложеши || силъ приходится обратить внимате [на
исключительный случай—пары силъ.
Въ случат приведетя системы || силъ къ паргь, сумма ихг
моменшовъ равна сумме моменшовъ силъ пары.
Пусть им-Ьемъ несколько || силъ: одни (Р) направлены
внизъ, а друпя (Q) вверхъ; и пусть въ результате получаемъ пару
силъ (Q, Т):
MR = 2МР\ МТ= 2MQ\
отсюда >
MR + МТ= 2МР + 2MQ.
Что касается суммы моменшовъ силъ пары, то она не
зависишь ошъ выбора центра моменшовъ и равна моменту пары,

— 30 —
т.-в. произведете силъ пары на ея плечо—разстоянге между ли-,
нгями дтьйствгя силъ, со знакомь ^глюсъ въ случать пары
вращающей по часовой стртьлккь и мипусъ въ прошивоположномь
случать.
Отмйтимъ какой-нибудь центръ О. Какъ известно:
ЖР = Р.й; МР = — Р.\
MP + MQ = PQt—\) = P.&,
где d — плечо пары силъ.
Следовательно: сумма мо.меншовъ силъ пары не зависишь ошг
центра и всегда равна моменту пары.
е) Намъ остается разсмотр-Ьть какую-угодно плоскую систему
силъ. Здесь возможны три случая. Сдстема силъ приводится къ
1) равнодействующей,
2) паргь силъ,
3) равновтьст.
Подобно случаю сколькихъ угодно пересекающихся силъ, бу-
демъ складывать силы последовательно. Сложимъ Р и Pv
перенося ихъ въ точку пересечешя. Получимъ равнодействующую В1У
ее мы сложимъ съ силой Р2 и т. д.
MP + MPt=MR,
MR1 + MP2=MR2
MR2 + MP,=MRZ
I = MR, если силы дадутъ равнодействующую.
= MQ -f MQ1— при паре силъ.
= О, при равновесш.
Отсюда
2МР= 1 — MQ + MQ}=±Qd,
1=0,
что и требовалось доказать.
Теперь мы можемъ доказать теорему въ наиболее общей
форме, въ которой она была высказана въ самомъ начале. Допустимъ,
что имеются две как1я-нибудь системы силъ, лежащая въ одной
плоскости и вполне эквивалентыыя. Совокупность S эквивалентна
совокупности Г. Если силы S даютъ равнодействующую, то и силы
Т даютъ ту же равнодействующую; если силы 8 приводятся къ

— 31 —
паре силъ (Q, Q'), то и силы Т даютъ ту же пару. Если же
силы S взаимно уравновешиваются, то и при силахъ Т также
им4емъ paBHOBicie (В = О).
Следовательно всегда:
2MT=2MS, т.-е.
Суммы моментовь двухъ эквивалеитныхъ системъ силъ равны.
Эта и есть общая теорема Вариньона.
Услов1е равновЪы'я плоской системы силъ.
1. Равповгьсге рычага.
Рычагъ есть твердое тгъло, способное вращаться около
неподвижной оси, нагруженные силами, лежащими въ плоскости
перпендикулярной къ оси.
Для равновгьсгя рычага вполнкъ
достаточно, чтобы В—равнодействующая
данныхъ силъ (если она есть), проходила
бы черезъ точку опоры (точка пересчъ-
ченгя оси съ плоскостью силъ). Это уело-
вге вмгьстгь съ тчъмъ и необходимо. Если
бы система силъ свелась бы къ В, не
проходящей черезъ эту точку, а
идущей мимо оси, то тгьло вращалось бы.
Можешь случиться, что соовкупность
силъ сведется къ парть силъ и тогда
равновкъегя быть не можетъ.
Для пары силъ, расположенныхъ по об4имъ сторонамъ оси,
это ясно. Пояснимъ это и для пары силъ, лежащихъ по одну
сторону оси. Приложимъ къ рычагу еще силу S, направленную
черезъ точку опоры. ДМств1е данныхъ силъ, какъ известно, отъ
этого не изменится, ибо добавленная сила уничтожается сопро-
тивлешемъ оси. Сложимъ силы Q и S. Равнодействующую ихъ Т
и силу Q1 перенесемъ въ точку переебчешя М направления силъ
Т и Q\ Складывая силы Т и Q1 получимъ равнодействующую
В # Т, и не проходящую черезъ точку опоры. Эта сила,
заменяющая действ!е данной пары будетъ вращать рычагъ, что и
требовалось доказать.
Разберемъ несколько задачъ.
Задача 1.

— 32 —
Согнутая подъ прямымъ угломъ проволока повышена на гвоздь.
Найти уголъ (а) наклонешя этой проволоки къ вертикали. Пусть
А В = 4 АО = 4 . 2а (А0 = 2а).
Сила в-Ьса части проволоки АО приложена къ середин* G. Пусть
она равна Р. То лее.самое будетъ и для АВ. Сила тяжести
Р± = 4Р приложена къ середин* JD.
Черт. 26.
Для равновесия проволоки необходимо имЬть следующее услов1е:
Ж0Р1 + Ж0Р = 0.
Составимъ моменты данныхъ силъ:
М0Р = — Р.Е0 М0Р = — PaSn а.
M0P1=Pl.OF=4P.KL
KL = (AD — АК). <7$а = (4а — 2atga). Csa = kaCsa — 2a8na.
Такимъ образомъ
М0РХ = 16PaCsa — 8aPSna.
Услов!е равновйая:
MoPt+M0P = 0,
т.-е.
16 Csa — 8Sna — Sna = 0.

— 33 —
отсюда
16 16
^a = "g" a = arctg —
приблизительно
a = 60°30f.
Задача 2.
Проволока изогнута такъ, что представляетъ три стороны
квадрата.
Определить уголъ крайней стороны съ вертикалью.
PiineHie предоставляется
слушательницами
Обратимся теперь къ более
общей задаче. Пусть им^емъ
свободное твердое тело, на которое
действуетъ плоская система силъ.
Для равновгьсгя этого тгьла
достаточно и необходимо, чтобы
сумма моментов* относительно
трехъ центровъ, не лежащшъ
на одной прямой были нулями.
2mj>=o\ твр=о-
ЖсР = 0.
(точки А, В, С не лежать на
одной прямой). Что это услов!е
ф необходимо, то это ясно, такъ какъ
сумма моментовъ составляющихъ
силъ по отношешю къ любому
центру равна моменту
равнодействующей, а при
равновесш—последняя равна нулю.
ЖР = МИ = 0,
что и имеемъ при нашихъ услов1яхъ. Достаточность этого уело-
в!я видна изъ следующаго:
При данныхъ услов1яхъ мы не можемъ иметь:
1) пары силъ, такъ какъ, тогда
2MP=Qd^0,
(по отношешю къ любому центру).

— 34 —
2) Равнодействующей отличной отъ нуля, потому что, изъ
условш:
2ШАР = О, 2МВР = О, 2МСР = О,
следуете, что равнодействующая проходитъ черезъ точки А, В, С,
чего не можетъ быть, такъ какъ J., В и С не лежатъ на одной
прямой, значитъ наше услов1е достаточное и положете такимъ
образомъ доказано.
Частные примгьры.
1. На гладкую вертикальную ст-Ьну и некоторый гладкш уголъ
опирается палочка, в^са Р и съ центромъ тяжести въ точке (7.
Найти уголъ а, который
палочка образуетъ со стеной
приравнов-Ьсш.
Обпцй пр!емъ рЬшешя за-
дачъ о равнов-Ьсш стЪсненныхъ
гЬлъ состоитъ въ томъ, что мы
освобождаемъ несвободное т4ло
отъ сгЬсненш, прилагая силы,
которыя развиваются этими сгЬ-
снешями, и зат4мъ разсматри-
ваемъ данное т4ло какъ
свободное. НапримЪръ, если стиснете
выражается въ томъ? что тЪло
опирается на гладкую
поверхность, то эта поверхность
можетъ развить некоторую
нормальную реакцш, которая должна быть присоединена къ числу
дъйствующихъ на т4ло силъ и вполне выражаетъ собою вл1яте
поверхности.
Въ данномъ примири мы им'Ьемъ два сгЪснешя: въ точкЬ А,
и въ точкЬ D. Р,еакщю въ точкЬ А назовемъ черезъ N; величина
этой силы пока неизвестна, а направлете ея перпендикулярно къ
CTforb. Реакцш въ точкЬ D назовемъ черезъ Nf; она
перпендикулярна къ поверхности палочки. Нужно изслЪдовать равнов-Ме и
определить реакцш.
Услов1е равнов'Ьая свободнаго т4ла:
Черт. 28.
2МАР = 0; ШвР=0; 2МСР=0,
при^М, В, С, не лежащихъ на одной прямой. Все д4ло въ томъ,
чтобы удобно подобрать эти центры. Естественно за одинъ изъ

— 35 —
*центровъ взять точку А, за другой — F или Т>\ такъ какъ въ
этихъ случаяхъ одинъ изъ моментовъ =0, а за третш—G, такъ
*какъ черезъ нее проходятъ и сила N и сила N\
Положимъ АС=а] BD=b.
Услов!я paBHOBicia следуюпця:
MgN + MgN1 + MGP = 0.
MAN -f MAN' + MAP = 0.
MFN+ MFN' + MFP = 0.
MGN=0 MGN' = 0
следовательно
отсюда
MGP = P . GE = 0
GH=0,
т.-е. точка G лежитъ на направлены силы Р.
GH = AH—AG = asna — —ir=0,
отсюда
ь . ■
a=\/-
V a
AD БХ>
A6? = = —r •
(6<a для возможнаго решетя задачи).
Разсматривая вторую сумму, мы видимъ, что
MAN=0, отсюда Ж"^АГ'+Ж^Р= О
или
Ъ а
PaSna — N-'-z—=0 отсюда Nf = Р -j-Sn2a,
Р ( а 1
т.-е. Nz=-^— такъ какъ т- = а з
Sua V 6 Sw a
Это услов1е выражаетъ, что палка давитъ на уголъ всегда
-больше, чймъ ея в4съ.
Разсмотримъ теперь третье равенство:1
Зд-Ьсь MFN'=0, следовательно NFP-{-MFN'=09
з*

— 36 —
или
Pa Sna —
Nb
Sna Csa~
отсюда
[M^N-N1AF-N{s^-a :Csa)]
N=P.Ctga.
Эта сила можетъ быть = вйса палки.
2. Определить услов1е равновгьсгя палочки, длина которой
равна 2а и в4съ которой Р приложенъ къ середине ея, лежащей
на двухъ наклонныхъ плоскостяхъ и найти силы реакцт, разви-
ваемыя этими плоскостями.
Черт. 29.
Даны: АВ = 2а, сила Р, приложенная къ середине АВ;\
углы наклонешя плоскостей а и /?.
Определить q> уголъ наклона палочки къ горизонтуТ^ и JW
Выберемъ за центры моментовъ точки Ау В, С.

Услов]'я равнов4с1я:
МА IV-f MAN'+ МАР = 0
MBN + MBN' -f MBP = 6
MCN + MCN'+ МсР = 0.
Здъхь MAN=0
MBN'= О
McN=McN'=0.
Изъ посл^дняго равенства получимъ:
ЖсР = 0, но McP = P.DC=P.EF=0.
Отсюда EF=CJD = 0, т.-е. вертикаль черезъ середину палочки
должна пройти и черезъ точку С:
EF=AF—AE=0,
ЛЕ =aCsq);
AF = AC.Sna;
AC
Sni^-P + y)
2a
Sn(a-\-p)
отсюда
AF= „ ,._ , n, ■ on a,
Sn(a + #
jef=
2aCs(P — y)
Sn(a -f- #
Ръшая это уравнение, найдемъ:
Sna — aGsq) = 0.
_ 1 8пф — a)
tgg) = 2Sna.Snp'
Отсюда ясно, что /? должна быть больше а. Это означаетъ
что палочка будетъ приподнята на сторону наклонной плоскости
съ большимъ угломъ.
Найдемъ теперь N и N'.
Изъ второго равенства имйемъ:
или
MsN+MBP=0
N.JBL — P.BH=0.

— 38 —
откуда
N.2aSn[- — a
Nz
q) I — PaCsg):
PCsy
Для JV^ подобнымъ же образомъ найдемъ:
PGsw
TV' — .
iV ~2Cs(p — <p)
Моментъ силы по отношешю къ оси.
Моментомъ силы (Р) по ошношенгю къ оси моментовъ (#)
называется моменшъ ея проекцги на плоскость, _[_ къ оси (z)r
по ошношенгю къ центру, въ кошоромъ ось встречается съ
плоскостью.
Черт. 30.
Знакъ определяется наблюдателемъ, смотрящимъ съ
положительная конца оси:
MzP = M0p. = ph.
Слкьдствгя.
1. Моменшъ по ошношенгю къ оси силы, лежащей въ пло-
скосши _\_-ной къ оси, равенъ ея моменту по ошношенгю къ
центру О — точкгь пересгъченгя оси съ плоскостью.
MJP = MJP.

— 39 —
2. Моментъ силы, пересгькающей ось, равенъ нулю.
3. Моментъ силы, || оси, равенъ нулю.
4. Сумма моментовъ двухъ силъ, равныхъ и прямо
противоположно направленныхь по линги соединешя ихъ точки при-
ложенгя, равна нулю.
5. Моментъ силы, при перенесены точки приложенгя по
линги дгьйствгя силы, не меняется.
Теорема Вариньона.
Суммы моментовъ двухъ эквивалентныхъ между собой си-
стемъ силъ равны.
Докажемъ эту теорему последовательно, какъ и для суммы
моментовъ относительно центра.
а) Моментъ равнодействующей двухъ пересекающихся силъ
равенъ сумме моментовъ слагающихъ силъ по отношенгю къ любой оси.
Строимъ равнодействующую данныхъ силъ; веб силы проекти-
Черт. 31.
руемъ на плоскость _[_ къ оси. Получаемъ проекцш силъ: р, q, r,
при чемъ фигура abed есть параллелограммъ.
По теореме Вариньона:
M0p + M0q=M0r,
при всякомъ расположенш силъ.

— 40 —
Но изъ опредгЬлешя момента силы по отношению къ оси слй-
дуетъ, что
М0р = М3Р; M0g[ = M,Q; M0r = M3B.
Следовательно
MJP + M,Q = MaR.
Ъ) Сумма моментовъ двухъ параллельных* силъ
^относительно к.-н. оси равна моменту ихъ равнодействующей.
Черт. 32.
(Доказательство одно и то же для случая силъ, иаправленныхъ
въ одну или въ разныя стороны).
Въ точкахъ А и В приложимъ две уравновйтенныя силы
Т и Т\ Находимъ равнодействующую TJ силъ Р и Т, и U*—
равнодействующую силъ Q и Т\
Будемъ им^ть:
MP + MT=MU
MP+MQ = MR
(МТ-\-МТ' = 0 на основаны слЬдств. 4).
с) Моментъ равнодействующей сколькихъ угодно пересгъкаю-

— 41 —
щихся или параллельныхъ силъ равет суммгь моментовъ слагаю-
щихъ силъ.
МвВ = 2МвР.
Доказательство легко усмотреть, применяя последовательное
сложеше силъ, на основанш предыдущихъ случаевъ.
При систем* || силъ, направленныхъ въ разныя стороны, мы
можемъ, получить также пару (£, S1).
Тогда
2MaP = M,S+ Мя8\
Это вытекаетъ изъ того соображешя, что 8 есть
равнодействующая || силъ, направленныхъ въ одну сторону, a S*—въ другую.
Услов1ае равновЬш любой системы силъ, действующей
на Шо съ неподвижной осью вращенш.
Условге равновгьсгя любой системы силъ, дгьйствующихъ на
твердое тгьло съ неподвижной осью вращенгя, состоитъ въ томъ,
J 9 р
Черт.^33.
чтобы сумма^моментовъ этихъ силъ по отношетю къ оси
равнялась нулю.
Прежде ч4мъ приступить къ доказательству этой теоремы вве-
демъ одно вспомогательное положеше.

— 42 —
Всякую силуj, || -ую плоскости, не измгьняя ни ея дгъй-
ствгя, ни момента, можно свести кг силгь, пересгькающей
плоскость.
Въ точке А приложимъ силу пересекающую ось z и
наклоненную къ ней подъ острымъ угломъ S, такъ какъ она проходитъ
черезъ ось, то моментъ ея равенъ нулю, а дМств!е ея
уничтожается сопротивлешемъ оси. Поэтому моментъ и дгЬйств!е
равнодействующей Р и S одинаковы съ моментомъ и дМств!емъ силы Р.
Легко видеть, что равнодействующая .й пересечетъ данную
плоскость.
Черт. 34.
Принимая это во внимаше, мы при доказательстве нашей теоремы
можемъ вести разсуждеше только для системы силъ, пересекаю-
щихъ плоскость.
На твердое тело съ неподвижной осью з дЬйствуютъ к. уг.
система силъ Р15 Р2, Р3 . . . .
Плоскость N перпендикулярна къ оси я.
Будемъ преобразовывать эти силы.
Силы, пересекаюпця плоскость JV, перенесемъ въ точку пере-
сЗгчешя ихъ съ плоскостью. Въ результате мы получимъ точки
приложешя всехъ данныхъ силъ на плоскости Ж
Разложимъ теперь каждую изъ полученныхъ такимъ образомъ.

— 43 —
силъ на дв'Ъ слагающая, одна изъ которыхъ лежитъ въ плоскости N,
а другая — проходитъ черезъ ось z. Д'Ьйств1е последней
уничтожается сопротивлешемъ оси, и, какъ известно, моментъ ея равенъ
нулю. Въ результате такого преобразовашя мы получимъ только
силы, лежапця въ плоскости N, и приходимъ къ задачи о рычаге
Еакъ известно, услов!е равнов^я рычага есть:
Ж0р = 0.
Такъ какъ по теореме Баритона:
MaP1=Map1+Maqi9 a M3qt = 0 и Mapt=M0pl9
то
М0р=М,Р.
Отсюда и получаемъ искомое условге равновтсгя.
Ж3Р = 0.
CjiiflCTBie.
Сумма моментовъ взаимно уравновгьшенныхъ силъ, дгъйствую-
щихъ на свободное твердое ттьло равна нулю относительно
любой оси:
{2М3Р = 0).
Доказательство. Пусть имЬемъ совокупность взаимно урав-
новйшенныхъ силъ Р, Pt, Р2, Р3 . . . дМствующихъ на ка-
кое-зибудь свободное гЬло. Укр'Ъпивъ въ тЬлЬ неподвижно какую-
нибудь ось, равнов4с1я т^ла мы не нарушимъ.
При такихъ обстоятельствахъ мы будемъ им^ть твердое т^ло
съ неподвижной осью, находящееся въ равновЬсш. По только что
доказанному
mzp=o.
То же разсуждеше мы можемъ повторить относительно любой
оси. Следовательно теорема наша справедлива.
Отсюда и вытекаетъ общая теорема Вариньона.
Суммы моментовъ двухъ эквивалентныхъ системъ силъ равны
между собою.
Допустимъ, что им'Ъемъ дв'Ъ системы Р, Pt, Р2 . . . . и
Qi Q1-> Q2 • • • эквивалентныхъ силъ, какъ угодно расположен-
ныхъ въ тЪкй.
Эффектъ силъ Р тотъ же, что и эффектъ силъ Q.

44
Вообразимъ совокупность силъ Q\ который порознь равны,
но противоположны соответственно Q.
Совокупность силъ Q1 должна уравновешивать и совокупность
€илъ Р, такъ какъ Qf уравновешиваютъ силы Q, а зффектъ Q
и Р одинъ и тотъ же.
На основанш предыдущаго доказательства
но съ другой стороны
2МР:
Следовательно
(следств!е 4).
:2MQ,
и мы получимъ то соотношеше, которое требовалось доказать.
Теорема Вариньона доказана въ самомъ общемъ виде.
X
1
Черт. 35..
х
Два существенный сл4дств1я изъ теоремы Вариньона
позволяют установить н4которыя аналитичесшя формулы.
1. Найти моменты силы Р по отношеигю кг тремъ осямъ
координатъ.
Пусть въ пространстве имеемъ силу Р и координатныя оси.
Чтобы найти моментъ сцлы Р относительно этихъ осей, разберемъ

— 45 —
для удобства самый простой случай, когда сила Р составляете
острые углы съ положительными направлешями веЬхъ осей и всЬ
координаты точки ея приложешя положительны.
Х=РЯ; Y=Py; Z=P3 .
Применяя теорему Вариньона, получимъ:
MP=MxPz + MxPy + MxPz
М.уР = МуРх-\-МуРу-\-МуРз
MJ>=M.Px + MJ>y + MaP. .
■yZ;
Но МхРх=0 (Рх || оси х);
МхРу =—cPy=-sY; MPZ = bPs
следов. MP—yZ—zY
MyP=zX—xZ
MsP=xY—yX .
Jlpi послЪдшя формулы выводятся просто аналогичными при-
м$нешями какъ для оси ох.
I
J
Черт. 36.
Формулы эти справедливы только при настоящемъ располо-

— 46 —
женш осей: для наблюдателя смотрящаго съ положительнаго конца
оси z при повороте оси х на 90° по часовой стрйлкЬ она
совладеть съ осью у.
Изъ геометрическихъ соображенш легко усмотреть, что эта
формула справедлива при любомъ расположены силы.
Для этого достаточно показать, что, напр., ЖРу всегда ра-
венъ (—zY).
Возможны три случая расположешя Ру:
1) не прежняя сила Ру, а Ру* расположенная по
отрицательному направленш оси у.
2) Точка приложешя силы Af находится подъ плоскостью
ху, симметрично точкЪ А, а сила направлена по * положительному
направленш оси у.
3) Имйемъ точку А* и силу Руп.
Разсматривая первый случай, мы получимъ:
MP* = -f-сР*у = — zY, такъ какъ у= — Ру1, что им-Ьли
прежде.
Тоже самое получимъ и для второго и третьяго случая.
Координаты центра [|
ИмЪемъ || силы: Р, Р± Р2 . . . Ря,
силъ.
л ^ а . . . „ , кот., какъ известно,
можемъ направить какъ угодно, сохраняя ихъ параллельность;
отъ этого центръ ихъ не изменится.
/
л
Черт. 37.
Направимъ всЬ эти силы |) оси х.
Обозначимъ координаты ихъ центра С черезъ ж, у, z.
Составимъ моменты силъ по отношенш къ осямъ координатъ
и воспользуемся теоремой Вариньона.
jR = 2P.
Х=Р, Г=0, Z=0

— 47 —
(т. к. мы направили силы || оси х),
отс. МхР = 0\ MvP = zP\ MzP= — yP.
Известно, что МВ = Ж2Р,
отс. My В = Му2Р = 2МуР = 2ZP,
отс. MyB = 2sP\
но MyB=~zB;
~ - Ър
следовательно 2zP = zB\ z = ^p
- - ~2уР
2 — уР = — уВ] У = ~2р •
Аналогично выводится и формула для х, нужно только силы
направить не || оси х.
Следовательно для координата центра [| силъ имйемъ следую-
щiя выражешя:
2хР 2уР 2zB
х= 2Р ' у—~2Р~] z~ 2P #
Этотъ выводъ применимъ и къ тому случаю, когда силы
направлены въ различныя стороны; при одномъ только условш; а
именно, если мы условимся выражать положительными числами
€илы, направленныя въ одну сторону и отрицательными въ другую.
Пусть им^емъ силы: Р, Pv Р2, Р3, Р4;
при чемъ: Рх >0, р3
Р 4
М 2
Положимъ, что | P-j-P1 -f-Pa | ф | Р8+-Р4 I ; такъ какъ
при условш будемъ иметь равнодействующую В = 2Р (знакъ В
зависитъ отъ того, сумма какихъ силъ больше: положительныхъ
или отрицательныхъ).
Формула для координатъ центра || силъ остается прежняя,
не нужно только забывать о знакахъ, которые включены въ са-
мыхъ силахъ.
- 2хР г 2уР - 2zP

— 48 —
Изъ этой формулы вытекаетъ особенность того случая, когда
Р отсутствуетъ.
Представимъ себе, что суммы силъ, направленныхъ въ разныя
стороны—сближаются по величине, т.-е. 2Р=0, тогда:
1) если, по крайней мере, одинъ изъ числителей: 2хР, 2уР,
2zP, не равенъ нулю, то им4емъ пару силъ, равнодействующая
которыхъ приложена въ со .
2) Если все три числителя равны нулю, то В = 0 и
приложена где угодно (£—неопределенность).
Въ данномъ случае будемъ иметь равновеае.
Легко убедиться, что если
2Рх = 0, 2Ру = 0, 2Р^=0,
то имеемъ paBHOBede.
При этомъ paBHOBede сохраняется при любомъ направленш силъ.
Это Астатическое равновгьсге.
Для равновес!я силъ, направленныхъ определеннымъ образомъ,.
нетъ необходимости, чтобы J£rP=0, 2уР = 0, 2зР = 0. Надо
чтобы между этими величинами существовало определенное соотно-
шеше и 2P=zQ = 0.
Теперь обратимся къ некоторымъ соображетямъ о положенш
центра || силъ въ важныхъ частныхъ случаяхъ.
Теоремы о симметрш.
Лемма. Если точки приложенгя всгьхъ || силъ остаются
расположенными въ одной и той же плоскости, то въ этой же плоскости
находится и ихъ центръ.
Возьмемъ эту плоскость за плоскость ху. Найдемъ координаты
центра: #, у, г.
- 2zP
zz=z у но # = 0 для взятой силы, следов. £ = 0.
Следств!е.
Если точки приложенгя |) силъ лежатъ на одной прямой г
то на той же прямой лежишь и центръ ихъ.
Изъ разсмотренной леммы вытекаетъ основная теорема о
симметрш, изъ котораго вытекаютъ и друпя.
*) П р и м и ч а н i е: Когда говорямъ о центре || силъ, то мы отказываемся
отъ перенесешя ихъ по лиши дМств1я. Около точекъ приложешя эти силы
могутъ вращаться какъ угодно, сохраняя только параллельность.

— 49 —
Основная теорема о симметр1и.
Если мы имгьемъ систему силъ, симметричную
относительно к.-н. плоскости, то въ этой плоскости находится ея центръ.
Пояснимъ сначала, что наз. симметричной системой.
Система силъ наз. симметричной по отношенгю къ
плоскости ху) если силы расположены относительно ея такъ:
Всякой силгь, приложенной къ нгькоторой точкгь А,
имеющей координату #>0, соотвгьтствуетъ другая сила, по
величины и направлетю равная первой, и приложенная къ точкгь А\
съ координатой £г<с0, гдгь \ z | = | #r | или иначе:
Система силъ нач. симметричной по отношенгю къ данной
плоскости, если она можетъ быть разбита на двгь группы рав-
ныхъ и одинаково направленныхъ силъ9 приложенпыхъ въ точкахъ
симметричныхъ относительно данной плоскости.
Легко теперь доказать нашу теорему.
Примемъ плоскость симметрш за
плоскость ху.
Какъ известно:
2zP
*~ 2Р *
Для даннаго случая
z— 2P +
Изъ опред4лешя сл'Ьдуетъ, что
г.
2 = Z
Р = Р']
Значитъ
0—0 2гР = 0, 2Рф0, фсо,
Черт. 38.
т.-е. центръ системы силъ, симметричной относительно данной
плоскости лежитъ въ этой последней.
Сл,Ьдств1е.
1. Если система силъ симметрична по отношенгю къ двумъ
плоскостямъ, то центръ ея лежитъ на линги ихъ пересгьченгя.
2. Если имгьемъ три плоскости симметрш, то центръ
силъ есть точка ихЬ пересгьченгя.
Центръ въ данномъ случай геометрически опред'Ьленъ.
Можно представить себ-Ь такую ситеему силъ, которая не
имгЬетъ плоскость симметрш, но обладаетъ осью симметрш. Такъ,
напр., возьмемъ совокупность (систему) четырехъ силъ, которыя
4

— 50 —
приложены къ четыремъ вершинамъ параллелограма, при чемъ, къ
противоположнымъ вершинамъ приложены равныя силы
одинаковая направлешя.
Система этихъ силъ не им-Ьетъ плоскости симметрш, а имйетъ
ось симметрш, которая перпендикулярна къ плоскости
параллелограма и проходитъ черезъ его середину. Ясно, что, центръ этихъ
илъ лежитъ въ пересЬченш д1агоналей.
Центръ тяжести.
ВсЬ частицы любого т-Ьла вблизи земной поверхности
нагружены || силами, пропорщональными массамъ, къ которымъ он-Ь
приложены
(Р = тд).
Эти силы Р называются силами тяжести, силами вЪса, а
коэффищентъ пропорцюнальности G ускорешемъ силы тяжести.
Ясно, что силы эти должны имгЬть центръ, который
называется центромъ тяжести.
Примгьчапге. Эти силы считаются параллельными, но
на самомъ д-Ьл-Ь он-Ь не точно параллельны. Силы тяжести
направлены къ центру земли.
Интересно вычислить нашу ошибку.
Вычислимъ, каково должно быть разстояше между двумя
точками т^ла, чтобы силы тяжести, приложенныя къ этимъ
точкамъ, были наклонены другъ къ другу на уголъ въ 1
секунду. Известно, что окружность земли равняется 40.000.000
метр.; съ другой стороны она же равна 360.600 секун-
дамъ. Следовательно искомое разстояше будетъ:
40.000.000 40.000
360 бСГбсГ~~Т2^96~ ^ 31 метРъ (приблизительно).
При обычныхъ изслЪдовашяхъ различныхъ механическихъ
задачъ эта ошибка ничтожна и силы тяжести различныхъ
частей тЬла принимаютъ за параллельныя.
Формулы, выражаюпця координаты центра параллельныхъ силъ
определяюсь и координаты центра тяжести
__ 2тдх 2тх
х= -v—^"v— (9—const.)
2тд 2т ч* J
2ту _ 2mz
J 2m 2m

— 51 —
Точка, въ точности определяемая этими формулами,
называется центромъ массъ (зависитъ только отъ распредйляемыхъ массъ
въ т4лЬ).
Поняйя о центре массы и центре тяжести въ механике
обыкновенно употребляются безразлично.
Обыкновенно въ механики приходится им£ть дЬло съ телами
однородными (или одинаковой плотности) и состоящими изъ
частей, допускающихъ плоскости симметрш.
Въ такихъ случаяхъ сразу можно найти центръ тяжести,
прилагая изложенныя выше теоремы.
Общи пр!емъ нахождешя центра тяжести однородныхъ тЪлъ—
это pa36ieme даннаго т£ла на татя части, центры тяжести
которыхъ известны; применяя же теоремы о центре || силъ, мы найдемъ
искомый центръ.
Разберемъ несколько примЪровъ.
1. Пусть на плоскости им^емъ некоторую фигуру (черт. 39).
71
\ /
! \
- -. -Л..--'" ■
Черт. 39.
Разобьемъ ее на 3 части At, Аг, As. Центры тяжести, которыхъ
наиъ уже известны:
Они находятся въ точкахъ Av A2, А3, въ геометрическихъ
центрахъ полученныхъ фигуръ.
Если литя А1 Аг Д, прямая, то искомый' центръ тоже ле-
житъ на этой лиши.
Если начало координатъ вообразимъ въ точки Ах и ось х
линш J.J.J или ей || , то координаты центра тяжести:
х-
■ pt+pt+p,
Qt + Qt + Q*
сдЬ QvQ2,Qb суть площади фигуръ AvA%,Aa. (P — въхъ =
площади).
4*

— 52 —
2/ = О, если А1А<1Аг прямая, у = ~Тр^^' если ЛЛЛ не ПРЯ~
мая, и центръ лежитъ въ плоскости АХА^АЪ.
2. Найти центръ тяжести фигуры АБ АО А круга, внутри
котораго вырйзанъ другой кругъ (черт. 40).
?
Черт. 40.
Разсмотримъ это тйло какъ разность двухъ т-Ьлъ круга AR
и круга АО.
Вообразимъ удаленный кругъ АО на своемъ м*Ьст4.
Paдiycъ большого круга г, рад1усъ малаго круга г^
Обозначимъ черезъ В в-Ьсъ даннаго т4ла, Р— вйсъ тйла^
если бы часть его не была удалена; Q — в4съ дополнительнаго
т^ла.
Вырезать часть т4ла равносильно тому, если бы мы къ t&jijt
приложили силу ()' = —ф, поддерживающее его, т.-е.
уничтожающую силу давлешя.
Складывая силу Р и Q', получимъ силу тяжести i?, съ
центромъ въ С.
Если положимъ начало координатъ въ точки О и ось х—
_ Q'.OO*
линда 00\ то х= р , ЛУ; но такъ какъ в-Ьса круговъ пропор-
•L-T Ч
щональны ихъ площадямъ: да*2 и да^2, то
х-
mx 2(r — rt)
JVT
■шл
тх-\-т

— 53 —
Если
Т —. TO v — — V
1 2Ч х 6
Посмотримъ теперь—каковъ долженъ быть вырйзъ, чтобы
центръ тяжести былъ бы на дуги малаго круга (на лиши 00')*
г*
ОС = —х= I — 2гх — г (геометрически),
отсюда
rx2 -\~rr — г2 = 0;
г
обозначая же ~ = S,
S2+S— 1=0;
рйшая это квадратное уравнете получимъ:
2 г
вотъ отвить нашей задачи.
Вообще для отыскашя центра тяжести тЬла мы стремимся
разбить его на ташя части, центры тяжести которыхъ намъ
известны.
Обнцй методъ.
Т4ло разбиваемъ на большое число частей тремя сер!ями па-
раллельныхъ плоскостей; получаемъ полные параллелепипеды и
части ихъ у поверхности гЬла. Если число дйлешя увеличиваемъ
неограниченно, то мы можемъ разсматривать гЬло, какъ состоящее
изъ однихъ только параллелепипедовъ, такъ какъ въ анализе
доказывается, что npncyTCTBie или отсутств1е граничныхъ частей (не
параллеледипедовъ) не мйняетъ д*ла.
Центры тяжести параллелепипедовъ лежать въ ихъ геометри-
ческомъ центре.
Ясно, что мы можемъ применить наши формулы:
lim 2my _ lim 2my _ lim 2mz
lim 2m ' ^ lim 2m ' lim 2m

— 54 —
Пред'Ьлъ берется въ томъ слысл-Ъ, что число дЬленш увели-
чивается безпредёльно; вм-ЬстЬ съ т$мъ безпредйльно уменьшается
величина параллелепипедовъ.
3. Центръ тяжести правильной ломаной.
Совокупность н'Ьсколькихъ равныхъ хордъ наз. правильной
ломаной.
Впишемъ въ такую ломаную окружность.
Центры тяжести отд'Ъльныхъ л
звеньевъ лежатъ въ ихъ середи-
нахъ, т.-е. въ точкахъ прикосно-
ветя къ окружности.
Пусть q — вйсъ единицы
длины; а — длины каждаго
отрезка. I 0к
Следовательно
х
2адх
2aQ
2ах
2а
Черт. 41.
Примгьчанге: мы приняли за очевидное, что центръ тяжести
однороднаго стержня находится въ его середине.
Подъ словомъ очевидное скрывается следующее разсуждеше:
если возьмемъ к.-н. стержень ЛВ, то мы можемъ разсматривать
его, какъ состояний изъ безконечно-малыхъ частицъ.
Каждой такой частице соответствуем другая, ей
симметричная. Н^ эти частицы дМствуютъ равныя силы. Такимъ образомъ
мы можемъ представить, что на данный стержень дМствуютъ
попарно равныя и симметричныя силы, а центръ такихъ силъ па
теоремамъ о симметрш должны находиться въ середине стержня.
Данная ломаная AF имйетъ ось симметрш Oh, которую при-
мемъ за ось х.
Начало координата—въ центре круга.
ОН=г\ ОК=х для хорды В С.
AGBCc^AKOH
отсюда
&С _ BG- a BG
~OR— Ш ИЛИ г — х
ax = rBG.

Следовательно
55 —
2ах = rig В= r A F= гЪ
2а = 1 (длина ломаной).
Отсюда
гЪ
4. Центръ тяжести дуги окружности.
Дуга окружности, какъ предЬлъ ломаной, им4етъ ось симме-
трш, которая проходитъ черезъ центръ круга и середину дуги.
Прим'Ьнимъ предыдущую формулу:
г. Ъ
X
I
Ъ = АВ = 2г8па 1 = г.2а (примгЬръ).
Значитъ
__ г. Sn a
а
Это выражеше показываетъ, что центръ тяжести лежитъ вн£
матер1ала дуги.
Черт. 42.
Черт. 43.
£. Центръ тяжести треугольника.
РаздЬлимъ высоту д-ка ЛВС на п равныхъ частей прямыми,
параллельными основашю.
Если п достаточно велико, то полученныя полосы можемъ
разсматривать, какъ однородные стержни; центры тяжести ихъ
лежать на медданЬ; на той же прямой, следовательно, долженъ прой-

— 56 —
ти центръ тяжести треугольника. Такое разсуждете мы можемъ
им4ть для всЬхъ трехъ высотъ Д-ка.
Въ результате получимъ, что центръ тяжести долженъ лежать
на вс4хъ трехъ моданахъ, т.-е. въ ихъ общей точкЬ пересгЬчешя,
а, стало-быть, на разстояши одной трети величины водцаны, считая
отъ основашя.
Силу тяжести Р = 3^ можно представить себ4, какъ
равнодействующую двухъ силъ: р, приложенной къ вершине Б, и силу
2jp, приложенной къ середине основашя. Последнюю силу можно
разложить на двЪ равныя силы 2р=р -\-р, приложенныя въ двухъ
другихъ вершинахъ. Следовательно, центръ тяжести треугольника
совпадаетъ съ центромъ тяжести трехъ равныхъ массъ, располо-
женныхъ въ вершинахъ треугольника. Благодаря такому взгляду
мы можемъ решить следующую задачу:
6. Даны координаты вершинъ А-ка:
А(х, у, z)\ B(x±, yv zx)\ C(x%, у2, *9),
найти координаты центра тяжести этого треугольника.
РЬшеше.
_ 2рх х-\-х1-\- х2
Х=~Щ> = 3 '
__ 0; + ^"+;
л
У + Уг + У.
Черт. 44.
т.-е. координаты центра тяжести треугольника суть средшя арие-
метичесшя соотв-Ьтственныхъ координатъ его вершинъ.

— 57 —
Любопытно разсмотр4ть слйдующш парадокса. Положимъ, что
им4емъ равнобедренный д-къ ABC.
Будемъ сближать точки А и С между собой. Въ пределе
получимъ стержень, центръ тяжести котораго лежитъ не на
середине его, а на одной его трети отъ конца.
Где же тутъ ошибка?
Ошибка въ томъ, что когда мы сближаемъ точки А и С, то
массы, приходяпцяся на равные безконечно-малые участки спирали
неравны, а пропорщональны разстояшямъ соотвйтственныхъ участ-
ковъ отъ точки JS, и такимъ образомъ стержень получается
неоднородный.
7. Доказать, что центръ тяжести трапещи лежитъ на ея сред-
. 2а + Ъ
ней лиши и дълитъ это разстояше въ отношенш , , •
ГДанныя: параллельныя стороны а и Ъ и высота трапещи К).
8. Центръ тяжести кругового сектора.
Данъ круговой секторъ АВ съ опред4леннымъ рад!усомъ г и
угломъ 2 а.
Разбиваемъ его на п равныхъ частей. Пред4лъ полученныхъ
такимъ образомъ секторовъ можемъ разсматривать какъ плосше
треугольники, центры тяжести которыхъ лежатъ на дуге (7D,
отстоящей отъ центра на разстояше 2/3 г-
Въ результате мы получаемъ какъ бы матер!альную и
однородную, дугу, нагруженную равными силами неравныхъ участковъ
въ длин4 А\ определеше центра тяжести последней намъ уже
известно.
Поэтому разстояше центра тяжести сектора отъ его центра:
2 rSn a
Х~Ъ .а
т
9. Центръ тяжести поверхности ^парового сегмента.
Разобьемъ стрелку сегмента АВ = Н на п равныхъ частей,
и проведемъ черезъ эти точки делешя плоскости J_ къ АВ. Если
число п будетъ неограниченно расти въ пределе то получимъ полоски,
эквивалентныя матер!альнымъ окружностямъ. Следовательно, центры
тяжести этихъ полосокъ будутъ расположены въ ихъ центрахъ по
лиши АВ. Такъ какъ веса этихъ полосокъ равны 2шЬ, где
= h, то стрелка окажется нагруженной по всей длине
равномерно. Отсюда ясно, что центръ поверхности шарового сегмента
находится въ середине стрелки.

— 58 —
10. Центръ тяжести объема тетраэдра.
Высоту даннаго тетраедра разбиваемъ на п равныхъ частей,
черезъ которыя проводимъ плоскости параллельно основанш.
Каждый изъ полученныхъ слоевъ въ предали обращается въ мате-
р1альную площадку д-ка; центръ тяжести которой мы можемъ
определить.
Ясно, что прямая DJ?7, соединяющая вершину тетраэдра съ
центромъ тяжести его основашя, есть геометрическое место цен-
тровъ тяжести этихъ слоевъ (ЕЪ=\ЕВ). Следовательно, центръ
тяжести тетраэдра лежитъ на лиши DF. Изъ такихъ же соображеши
Черт. 46. Черт. 47.
мы заключаемъ, что центръ тяжести даннаго тетраэдра, если при-
мемъ за основаше ADC, лежитъ на лиши НВ. Следовательно,
центръ тяжести лежитъ въ точке пересечешя G линш DF
и ВН.
Определимъ же эту точку:
EF\\I)B. HF=^DB./\ HGF^ AGBB,
отсюда
GF EF 1
BG~BB~'^'
Следовательно
1 1 1
GF=^DG = -rDF=-H отъ основашя.

— 59 —
Нетрудно путемъ разб!ешя многоугольной пирамиды на
треугольный доказать, что правило это применимо и къ
многоугольной пирамиде.
11. Центръ тяжести объема шарового сектора.
Черт. 48.
Делимъ сегментъ на п равныхъ поясовъ, а каждый поясъ на р
равныхъ частей. Такимъ образомъ вся поверхность сегмента
разделится на пр равныхъ площадокъ.
Построимъ четырехгранники, опирающееся на эти площадки
съ вершиной въ центре данной сферы. Въ предали, когда пир
неограниченно возрастаютъ, эти четырехгранники стремятся къ пира-
мидамъ, равновеликимъ между собой. Какъ известно, центры
тяжести такихъ пирамидъ находятся на ихъ высотахъ, на раз-
стоянш 1/4 отъ основашя; следовательно, геометрическое место
центровъ ихъ тяжести есть поверхность сегмента новой сферы,
рад1уса ! В.
Къ равнымъ безконечнымъ частямъ поверхности этого
сегмента приложены равныя силы, изображающая веса отд^льныхъ
пирамидъ.
Следовательно задача наша сводится къ опредгЪленш центра
тяжести поверхности однороднаго шарового сегмента; положеше
этой точки определено выше.

— 60 —
TeopiH паръ.
Пара — самостоятельный силовой элементъ, не
приводящаяся къ простгьйшему.
Поняйе о парахъ было введено французскимъ ученымъ Пуансо,
жившимъ въ 1777 —1859 годъ. Пуансо обозначалъ пару силъ такъ:
(Р,—Р); въ настоящее же время принято обозначеше: (Р, Q).
Teopifl паръ обладаетъ многими любопытными свойствами. Раз-
смотримъ что въ napi существеннаго.
Эквивалентность паръ.
Въ этомъ отдели мы им-Ьемъ дв-Ь существенныя теоремы.
1. Пара можешь быть, безъ измгьненгя ея дгьйствгя въ
твердое тгьло перенесена параллельно самой себгь въ любое положенге.
Дана пара (Р,Р*). Требуется доказать, что (Р19 Pt!)
эквивалентна (Р,Р*), если CD, лишя, соединяющая точки приложешя
пары (Р1? Р1Г), ф лиши АВ, лиши, соединяющая точки
приложешя пары (РуР1) и всЬ силы Р, Р\ Рх, Р\ равны и [| между
собой.
СВфАВ
вфр<ФРхФв;
Способъ доказательства состоитъ въ томъ, что мы показы-
Черт. 49.
ваемъ возможность уравновесить пару (Р,Р1), третьей парой (Р2, Р^г),
если последняя уравновйшиваетъ пару (Pt Ptf).

— 61 —
Къ данной паре (Р, Р') присоединимъ две уравновешанныя
пары силъ: (Pt, PJ) и (Р2 Р2') (см. чертежъ).
Отъ чего д'Ьйств1е данныхъ силъ, какъ известно, не меняется.
Изъ разсмотр-Ьтя чертежа ясно, что Rt (равнодействующая
силъ Р2 и Р') и jR2 (равнодействующая Р2Г и Р), приложенныя
къ одной и той же точки, равны между собой, но противоположно
направлены. (АВСВ параллелограмъ) т.-е. пара (Р2 Р2') уравно-
в-Ьшиваетъ пару (Р, Р'). Следовательно (Р15 Р/) ~ (Р, Р') и
теорема наша доказана.
2. Двгъ wapw, лежащгя въ одной и той же плоскости,
илыьющгя одинаковые моменты и вращающ(я въ одномь и томъ же
направлети эквивалентны между собой.
Чтобы убедиться въ справедливости этой теоремы достаточно
доказать, что пары съ равными моментами, вращающгя въ противо-
положныхъ направлешяхъ взаимно уравновешиваются.
Пусть пара (Р, Р') действуетъ по лишямъ АВ, ВС, а пара
(Q, Q) по лишямъ DB и АС. Выберемъ за точки приложешя
силъ пары (Р, Рг) и (Q, Q1) точки А ж В.
Масштабъ, въ которомъ мы изображаемъ единицу силъ, вполне
въ нашей власти; поэтому выберемъ его такъ, чтобы силы Р и Pf
изображались лишями АВ ж ВС. Введемъ вспомогательную пару
силъ (#, #'); уравновешивающую пару (ф, Q1)\ съ силами, прило-
Ч^ер-Б. 50.
женными къ точкамъ i и D, Если силы (Р, Р') вращаютъ по
направленш часовой стрелки, то (#, #') — въ противоположную
сторону; т.-е. S направлена по ВВ, a S1—по AG. Что касается
беличинъ этихъ силъ, то оне изобразятся длинами ВВ я АС,
вследств]'е равенства моментовъ паръ: М (P,P)—P.d = M(S,S)=
= S.l P.d = ил. a ABCB. = Sl
I есть высота □ АВСВ; отсюда ясно, что S должна быть
стороной этого П-ма; S=AC, S' = BB.

— 62 —
Равнодействующая силъ PS1 изображается д!агональю AD\
а равнодействующая силъ P'S равна той же д!агонали по вели^
чине, но направлена противоположно первой равнодействующей и
потому четыре силы Р, Pf, 81 и S взаимно уравновешиваются;
этимъ справедливость нашей теоремы доказана.
Частный случай.
Доказательство это не годится только въ одномъ случае; когда
все линш действ!я силъ обгъихъ паръ параллельны между собою.
Въ такомъ случае одну изъ паръ можно заменить
эквивалентной ей парой, притомъ такой, что ея силы составляютъ уголъ съ
лишями действш силъ первоначальной пары, тогда, по доказанной
теореме, та же пара будетъ эквивалента, последней изъ двухъ сравни-
ваемыхъ паръ.
Изъ разсмотрешя этихъ теоремъ ясно, что для пары силъ
существенно лишь направлеше ея плоскости, ея моментъ и смыслъ
вращенгя.
Линейный или геометрически моментъ пары характеризуем
перечисленные элементы пары и строится такъ:
Изъ какой-нибудь точки О опускаемъ перпендикуляръ на
плоскость пары, и откладываемъ на немъ величину момента пары
[Ж(Р, Р') =Р. d] въ такомъ направленш, чтобы наблюдателю, глазъ
котораго помещаемъ въ конце построеннаго вектора, вращеше
представлялось направленнымъ по часовой стрелке.
Этимъ векторомъ пара силъ вполне определяется.
Теперь мы можемъ сказать, что пара, какъ и сила
изображается векторомъ. Существенная разница между силой и парой та,
что пара проще силы; а именно векторъ пары—ея моментъ
определяется тремя количествами, проекщями ея на координатныя оси,
а силы пятью количествами—четырьмя коэффищентами лиши ея
действ!я и величиною. Будемъ моментъ пары изображать отрезкомъ
съ чертой на конце.
Сложеше паръ.
1. Сложенге пары и силы.
Даны: пара (Р, Рг) и сила Р, лежащая въ плоскости пары.
Воспользовавшись вышеизложенными теоремами, пару (Р, Рг)
преобразуемъ въ пару (P'-R"), где Р'=:Р"=Р, а Ж(Р, Р') =
= M(R'R").
При чемъ силу Р' направимъ по линш дeйcтвiя Р, но
противоположно ей, вследств!е этого действ1е силъ Pf и Р взаимно
уравновешиваются, остается действующая сила Р", # данной силе.

— 63 —
Слтьдствге.
Каждую силу можно перенести въ любую точку тгъла,
|| самой себкъ, прибавленгемъ соошвгьпгствующей пары.
2. Сложенге двухъ паръ.
Разберемъ два случая сложешя двухъ паръ въ одной
плоскости: а) пары съ одинаковымъ смысломъ вращешя и Ъ) съ проти-
воположнымъ смысломъ вращешя.
#
I?
?
i
л
V /
*.
У
Черт. 51.
Черт. 52.
a) Даны двЪ пары, лежапця въ одной плоскости, съ
одинаковымъ смысломъ вращешя. (Р, Р') и (Q, Q'). Нужно ихъ
сложить.
ЩР, P') = P.d = M
M(Q, Q<)=Ql = N.
Пару (Q, Q') преобразуемъ въ пару (Р15 Р/); такъ что
Pt= Р = Р1'=Р', и Pt' была бы направлена по линш дъ-йет^я
Р', противоположно ей, при чемъ М(Ру\ P1) = M(Q,Q1) = N.
Изъ разсмотрйтя чертежа видно, что Р и Pt' взаимно
уравновешиваются, остается пара (Р, Pt); моментъ которой:
М(Р. Pt) = P.(d + d') = M+N
равенъ сумм^ моментовъ слагаемыхъ паръ.
b) Даны двй пары, лежашдя въ одной плоскости съ противо-
положнымъ смысломъ вращешя.
Пусть
(Р, Р'у, (Q, Q').
ЩР1Р') = Р . d = M; M(Q, Q") = — Ql = N.

— 64 —
Поступая по предыдущей схемгЬ, преобразуемъ последнюю
въ пару (Р>, РД
гд* ЩРг, P1') = -Pld' = - Ql.
Въ результате получимъ одну пару (Р, Pt), съ плечомъ
(d— df). Отсюда:
M(P,Pl) = P(d—d')*=M-{-N.
Смыслъ вращешя одинаковъ съ вращешемъ пары съ больтимъ ли-
нейнымъ моментомъ.
Дтьлая обобщенге и для случая а) и для случая Ъ), въ
результаты получимъ, что сумма сколькихь угодно паръ, лежащихъ
въ одной плоскости, съ любымъ смысломъ вращетя эквивалентна
одной парт, моментъ которой равенъ суммгь моментовъ слагае-
мыхъ паръ. Смыслъ вращетя послгьдней таковъ, какъ и смыслъ
вращетя суммы паръ одинаковаго вращетя, но съ больтимъ ли-
нейнымъ моментомъ.
3. Сложенге двухъ паръ, лежащихъ въ пересгькающихся пло-
скостяхъ.
Допустимъ, что даны пары (Р, Рг) и (Q, Q'), лежапця въ
двухъ пересекающихся плоскостяхъ.
Черт. 53.
*
Пусть ЛОВ тйхъ изъ 4-хъ двугранныхъ угловъ, откуда вра-
щеше паръ видно по часовой стрелки Л О—слЪдъ одной плоскости;
ОВ— сл-Ьдъ другой на плоскости чертежа, перпендикулярной къ
ребру пересЬчешя, проектирующему въ точку 0.
Пусть М(Р,Р') = М; M(Q,Q') = N.

— 65 —
Изобразимъ данныя пары слйдующимъ образомъ: силу Р
первой пары приложимъ къ О и направимъ ее по ребру пересеченна;
паРУ ((?? Q1) замЬняемъ парой (Р1? Р^) и приложимъ ее такъ, что
Р и Р взаимно уравновешиваются:
Ж JV
04 = р-; OB = j.
Получаемъ одну равнодействующую пару (Р\ Р\) съ пле-
чомъ ЛВ.
Строимъ линейные моменты для данныхъ паръ М и N и
суммы ихъ S изъ точки В.
Соединяя концы этихъ моментовъ мы получимъ
параллелограмму что видно изъ след.:
АВВЕ^АВОЛ такъ какъ /_ВЕ= ^/ВО и
ВВ _ J^_ ВЕ^ 8 ВВ BE
OB — ~0В~—Р: ~АВ — ~ЛВ — F °ТСЮда ОВ — ЛВ '
На томъ же основанш Л ЕВЕ <^> А ЛОВ. Такъ какъ, далее
изъ подоб!я ^/BEF=J/mDBF и ^EBF=^/BEB, то
фигура BDEF есть параллелограммъ.
Отсюда: Моментъ равнодействующей пары двухъ данныхъ
паръ, равенъ дгагонали параллелограмма, построеннаго на мо-
ментахъ составляющихъ паръ; или, иначе, моментъ
равнодействующей пары равенъ геометрической суммгь моментовъ сла-
гающихъ паръ.
Легко теперь получить правило сложешя сколькихъ угодно
данныхъ паръ. Въ результате получаемъ равнодействующую пару,
съ моментомъ равнымъ замыкающей многоугольника, стороны ко-
торыя изображаютъ геометричесше моменты сложенныхъ паръ.
Олгьдствге.
Если многоугольникъ моментовъ данныхъ паръ самъ собой
замыкается, то эти пары взаимно уравновешиваются.
О проекцш момента пары.
Проекцгя момента пары на ось равна суммгь моментовъ
силъ составляющихъ пару относительно этой оси.
ПРвМ = МвР + МвР' 5

— 66 —
гд4 М—моментъ пары; РиР' силы пары.
Известно, что
М3Р. = — рЛ
М3 Р' = р* h1 отсюда
MzP + M3Pf = — pQi — й'),
=zz-—S (площ. D pp1)
s=S Csa. Зд-Ьсь S площадь п PPf, s — площадь п pp*, а уголъ
Mi жду плоскостями этихъ параллелограммовъ.
| i
i
Черт. 54.
Легко видеть, что а, острый уголъ между перпендикулярами
къ этимъ плоскостямъ, равенъ углу между 0^ и продолжешемъ Ж.
Тогда этотъ уголъ ^ = jt — а. Отсюда s = — S Cs (3.
MzP + MsP'= — s==SCsp==MCsP = IIP3M, т.-е.
nPzM=MsP-\-MsP\
что и требовалось доказать.

— 67 —
Теоремы о сложеши силъ,
1. Основная теорема.
Всякая система силъ, дгьйствующихъ на твердое тгьло, лео-
оюетъ быть приведена къ одной равнодействующей, приложенной
къ заранте выбранной точкгъ, и къ дополнительной паргь.
При этомъ величина и направлеше равнодействующей не
зависитъ отъ выбора точки приведешя (центръ приведешя).
Черт. 55.
Пусть выббрана точка О за центръ приведешя силъ, какъ
угодно расположенныхъ въ пространстве. Каждую изъ данныхъ
силъ, замтЬнимъ силою, перенесенной въ точку О и
дополнительною парой. Тогда въ точки О окажутся приложенными данныя
силы и дополнительныя пары; равнодействующую силъ, а также
и паръ мы ум4емъ находить. Въ результате получимъ
Я—равнодействующую данныхъ силъ, приложенную къ точке О и пару L—
равнодействующую дополнительныхъ паръ; къ чему мы и
стремились *).
Изъ этой основной теоремы непосредственно выводятся еще
две теоремы о сложенш силъ.
Всякая система силъ, дгьйствующихъ на твердое тгьло, мо-
жетъ быть приведена къ двумъ силамъ, не пересгькающимся и
ш параллельнымъ, для одной изъ которыхъ дана точка прило-
оюенгя и лингя дкьйствгя.
Пусть для одной изъ силъ, по данной теореме, дана точка
приложешя А и лишя действ1я АВ.
*) Примечай!е. В не зависитъ отъ выбора центра вриведешя, a L
зависитъ.
5*

— 68 —
Привевемъ всю данную систему силъ къ одной
равнодействующей i?, приложенной къ точки А и къ соответствующей
napi съ моментомъ й, тоже приложеннымъ къ точки А.
Пусть одна изъ силъ пары направлена по линш АС, лиши
пересЬчензя плоскости пары съ плоскостью RAB, другая по
некоторой || ей линш EF.
Черт. 56.
Строимъ параллелограммъ, одной стороной котораго служитъ-
сила JR, другая сторона направлена по i(7, а д1аговаль—по АВ.
Пусть результата сложешя R и одной изъ силъ пары J.D,
найденной изъ построешя, есть s.
Остается еще одна сила пары, величина которой уже найдена
EF=AD, и точка приложешя тоже, такъ какъ известно, плеча
L
пары изъ отношетй -ту: •
Исключительные случаи.
1. Если лиши АВ и AG совпадаютъ, то получимъ дв'Ь.
безконечно болытя силы, безконечно близко расположенныхъ другъ
къ другу. Физическаго значетя такая система силъ не имЪетъ и
потому этотъ случай приходится разсматривать какъ случай неиз-
мЪряемости доказанной теоремы.
2. Если же АВ совпадаетъ съ В, то □ обратится въ
предали въ прямую, сила пары будетъ равна нулю, а плечо ея со. .
Это второй исключительный случай.
3. Теорема Пуансо.
Всякая система силъ, дМствующихъ на твердое гЬло,
приводится къ динамическому винту т.-е. къ системе, состоящей изъ

— 69 —
силы и пары, съ моментомъ направленнымъ по сил'Ь). Моментъ
сопровождающей паръ въ такомъ случае имъеть наименьшую
возможную величину.
Пусть данная система силъ заменена силой В и
соответствующей парой L (моментъ).
Последнюю разложимъ на дв*Ь пары; изъ которыхъ моментъ N
одной направленъ по лиши дгЬйств!я Д, а другой М по лиши _]_ къ В.
Силы пары М и сила В лежатъ въ одной плоскости. Отъ сло-
жешя В и этой пары получимъ силу В", равную и параллельную Р.
Черт. 57. Черт. 58.
Моментъ N направленъ по ея направленно и можетъ быть
перенесенъ на лшпю д'Ьйств1я. При этомъ N<ch.
Теорема доказана.
Обратно, если данъ динамически винтъ, то измтненк
trumpet приведенгя увеличиваете моментъ сопровоэюдаюгцей пары.
Данъ динамически винтъ N, В, съ центромъ приведешя въ С.
Перенесемъ этотъ центръ въ точку Л.
Получимъ систему В'\ (В, В') и моментъ N.
Пусть M(R,Q') = M.
Складывай М и N получимъ некоторый другой моментъ 1г > Аг
(такъ какъ Л ABB есть прямоугольный: Ж_]_ къ площади ВВ1).
Частный случай.
Если 1г _[_ къ В, то N=0 и следовательно система
приведется только къ одной равнодействующей.
Обратно. Если система свелась къ одной равнодействую-
т,ей. то меняя центръ приведешя, получимъ силу и пару,
моментъ которой перпендикуляренъ къ силе.

— 70 —
Аналитичесшя формулы, сложешя силъ.
Задана совокупность силъ аналитически, т.-е. для каждой
силы известны координаты точки приложетя — А(х, у, я) и про-
екщя ея на 3 координатныя оси—Р(Х, Y, Z).
Макова равнодействующая и сопровооюдающая ее пара для
дапой системы?
Возьмемъ начало кординатъ 0 за центръ приведешя. Для
каждой данной силы Р, перенесенной въ точку 0 получимъ кром'Ь
нея еще дополнительную пару съ моментомъ I.
Въ суммй всЬ эти силы Р дадутъ некоторую
равнодействующую Д а пары дадутъ равнодействующую пару съ моментомъ^.
Черт. 59.
Разсмотримъ одну изъ данныхъ силъ; наприм4ръ Р. Чтобы
ее перенести въ точку 0, мы къ 0 прикладываемъ двй взаимна
уравновгЬшанныя силы Р' и Р", параллельныя Р.
Получаемъ силу Р}фР и пару (Р,Р").
Пусть моментъ (Р,Ри) есть I.
Тогда, какъ известно
1Х = МХР + МХР" = МХР
1у = МуР + МуР" = МуР
lz = MzP + MzP" = MzP
Или же
lx = yZ-
ly = zX-
L = zY-
МХР" = МуР" = MJP" = О
такъ какъ Р" пересЬкаетъ оси
-zY
- xZ
-ух.

— 71 —
Аналогичныя же выражешя будутъ и для всгЬхъ данныхъ силъ.
Отъ сложешя веЬхъ силъ, по'лучимъ В, проекщи которой будутъ :
Вх = 2Х\ Ry = 2Y; Bz = 2Z\
а отъ сложашя паръ.съ моментомъ L его проекщи суть:
^ = 2/х = 2(^Г);^
Зная эти проекщи, найдемъ и величины R и L.
R = VBl + B* + Bl;
Какъ известно:
/\ Вх /\ Bv /\ В.
L /\ L _
Cs(hx) = -r-; Cs(L,Y) = -/; GsQis)=~
Li Ju Ju
Отсюда находимъ Cs(B,L).
Слгьдствге. Если система сводится только къ равнодгЬйству*
ющей, то Cs(B,L) = Q, т.-е.
Bxhx + Byhy + BMhM = 0.
Разсмотримъ зависимость величинъ В и L отъ центра при-
ведешя.
В можно иредставить и такъ:
B=\l(2X)* + (2Yy + (2Z)\
В есть инваргаптг системы силъ (количество, независящая
отъ выбора координатныхъ осей и центра приведешя).
Не трудно доказать что и hCs(B, Ji) тоже инваргаптъ, такъ
какъ обращаясь къ теореме Пуансо, изъ чертежа увидимъ, что
• L. Cs(BL) = npRL~N.
(N—есть величина совершенно определенная для данной системы
силъ, по теореме Пуансо).

Задача.
Даны три силы: одна изъ которыхъ направлена по оси х,
другая имйетъ точку приложешя въ плоскости zx и || оси у;
третья приложена въ плоскости ху и || оси z.
Найти услов!е, при которыхъ эти силы могутъ быть сведены
къ равнодействующей и определить величину и лишю дМств1я этой
равнодействующей.
Основныя условш равновЪсш твердаго Ша.
Известно, что всякая система силъ сводится къ одной силй В
и къ napi L.
Поэтому услов!я paBHOBicia будутъ:
R=0 и L=0.
Отсюда
Вх=0, Ry=0, В2=0 Lx=0,Ly=0, vLa=0.
2X=0, 2У—0, 2Z=0
2CyZ — ,y) = 0, %aX — xZ) = 0, Ж*У—уХ)=0.
Частные случаи.
1) Плоская система силъ.
Разсмотримъ плоскую систему силъ.
Примемъ ее плоскость за плоскость ху.
Тогда Z=Zl=Z2= . . . Zn = 0 и
(кординаты точекъ приложешя) L=:L0=^. . ♦ . Ln = О; ясно, что
2Z=0 и 2(yZ— еУ) = О, 2(гХ — хУ)0 .
Поэтому ycлoвiя равновесия плоской системы силъ сводятся
къ тремъ.
2Х=0, 2У=0 и 2(хУ— уХ)=0, ибо
остальныя три—соблюдаются тождественно.
Въ качестве упражнешя покажемъ, что если эти 3 условгя
соблюдены, то сумма моментовъ по отношенгю къ любому г^ентру
равна нулю.

— 73 —
Пусть задана сила Р въ плоскости ху.— Р(%у)- Вычислимъ
ея моментъ по отношенго къ точки А, съ координатами (а, Ъ).
У
Черт. 60.
Перенесемъ начало координатъ въ эту точку у А(а,Ь).
Тогда
Ж, Р = МАР = х* Y— у'Х.
Или заменяя х1 и у* черезъ равныя величины: х* =х — а,
■.у — Ь , получимъ 2МАР = 2(хУ— уХ) — а2У + Ъ2Х
При соблюдеши трехъ условш равнов'Ыя плоской системы,
2МАР= О, что и требовалось доказать.
Обратно, если относительно трехъ центровъ сумма моментовъ
равна нулю, то существуетъ равновесие т.-е. соблюдаются три
услов!я.
Въ плоскости даны три точки; A, J5, О.
Точку О примемъ за начало координатъ.
Ось х направимъ по. ОД тогда
2МАР = 2(хУ—уХ)-
2М0Р = 2{хУ-~-уХ):
2МвР = 2(хУ—уХ)-
Отсюда ясно, что
- а2у ~\- Ъ2х = О.
--О.
-с2У=0. .
2Х=0, 2У=0 и 2(хУ—уХ):
мы убеждаемся въ справедливости теоремы.
О и

1. Параллельным силы.
Положимъ, что лиши дЬйств1я данныхъ силъ параллельны
между собой.
Пусть силы, направленныя въ одну сторону, составляютъ съ
осями координатъ углы: а, /?, Я.
Силы противоположно направленная, составляютъ углы:
(яг—a); (jv — /9); л —у.
Будемъ выражать силы, образуюнця углы а, /3, у пололш-
тельными числами, а противоположныя отрицательными. Тогда:
X=P.Csa, Y=P.Csfi, Z=P.Gsy
суть проекцш на оси координатъ для силъ положительныхъ и для
отрицательныхъ силъ будемъ им^ть:
X1=(—P1)Cs(n — a) = P1Csa,t Y1=P1Cs^ Z=Pt Gsy.
Видъ формулъ проекцш и для положительныхъ и для
отрицательныхъ силъ одинъ и тотъ же.
Обратимся теперь къ услов1ямъ равновйсш:
Csa2P = 0, Cs@2P = 0, Csy2P = 0,
эти три услов!я могутъ соблюдатся только при 2Р = 0 (I), такъ
какъ Cs2a+Cs2fi+Cs*y=l
Csyly.P— Csfi2z.P = 0
Csa2zP—Csy2xP = 0
Csfi2x.P—Csa2yP=:0
или же, соединяя послЪдшя три равенства въ одно, получимъ:
2хР 2уР 2zP
Gsa~ Csp ~~ Gsy
(2)
Въ результате эти шесть условш равнов^ая сводятся толко къ
тремъ:
2Р—° И Csa—'Csp— Gsy'

— 75 —
Этотъ прим4ръ даетъ намъ случай сделать одно любопытное
замЪчате.
Пусть имеемъ параллельную систему силъ, отличающуюся
той особенностью, что
2хР = 0, 2уР = 0, 2гР = 0.
Тогда Gsa, Csft, Csy не могутъ быть определены. Стало быть,
для любого направлешя силъ при данныхъ величинахъ и данномъ
расположены точекъ ихъ приложешя въ пространстве будетъ
существовать paBHOBicie.
Такое paBHOBicie называется астатическимъ.
Для астатическаго равновеая необходимо, чтобы точка
приложешя равнодействующей R положительныхъ силъ совпала бы
съ точкой приложешя равнодействующе В1 силъ отрицательныхъ
(В = В\ но противоположно направлена), въ противномъ случае
при вращенш тела получили бы пару силъ.
Услов!я: 2хР = 09 2у.Р = 0, 2зР=0
и суть услов!я совпадешя точекъ приложешя С я С равнодей-
ствующихъ В и Ег. Вопросъ объ астатическомъ равновЬсш пред-
ставляетъ чрезвычайно много любопытныхъ фактовъ.
Литература Darboux „L'equiliebre astatiqoe".
PaBHOBtcie стЪсненнаго твердаго Ша,
Имея стесненное твердое тело, мы, для определешя условш
равновес1я его, освобождаемъ его отъ связей, принявъ во внима-
ше, развиваемыя ими силы реакщи, и затемъ тело разсматриваемъ,
какъ свободное. Силы реакщи отличаются отъ данныхъ телъ, что
оне только частью определены: иногда известно направлеше силы
реакщи, иногда только точка приложешя.
Мы будемъ разсматривать лишь идеальныя связи, при чемъ
всяшя опорныя поверхности считать совершенно гладкими. Въ та-
кихъ случаяхъ силы реакщи перпендикулярны къ опорнымъ по-
верхностямъ.
Мы изследуемъ только три главныхъ вида препятств!я, къ
которымъ легко приводятся и все остальные.
1. Равновгьсге тгьла съ одной неподвижной точкой.
Положимъ, что тело имеетъ одну неподвижную точку,
которую и примемъ за начало координатъ.

— 76 —
Заданы силы Р, Р1 ... Рп, дМствуюпця на гЬло, т.-е.
известны ихъ проекцш на оси кординатъ и точки приложетя.
Р(Х, Y,Z); A(x, у, г)
Сведемъ данное гЬло къ свободному, а для сего приложпмъ
въ точки О силу N, выражающую сопротивлеше этой
неподвижной опоры.
Такъ какъ теперь на данное т£ло мы можемъ смотреть, какъ
на свободное, то услов!я равновйая будутъ:
2X+NX = 0; 2T+Ny = 0, 2Z+NS = 0
и
2(yZ — zY)4-MxN=0; 2{zX-~xZ) + MyN=0 ;
2(xY—yX)4-MgN=0
но моменты силы JV, какъ проходящей черезъ начало координатъ
по отношешю координатнымъ осямъ равны нулю, поэтому послЬд-
шя три равенства можно переписать такъ:
2(yZ— sY) = Q\ 2&X—xZ) = 0\ 2(xY—yX)=0.
Первыя три уравнешя опредЪляютъ только величину и на-
нравлеше силы N, поэтому услов!е равнов^с!я т^ла съ одной
неподвижной точкой выражаются тремя последними уравнешями, что
можно было предвидеть заранее: такъ какъ Bci даныыя силы мы
могли бы заменить одной силой R, проходящей черезъ
неподвижную точку 0 (начало координатъ) и парой соответствующей.
ДМств!е В уничтожается сопротивлешемъ точки опоры. Поэтому
для равнов-Ьая необходимо бы было, чтобы моментъ пары по
отношешю къ. координатнымъ осямъ равнялся бы нулю, т.-е.
2(yZ — zY) = 0] 2(zX-xZ) = 0] 2(xY—yX) = 0.
Итакъ, для равновгьсгя тгьла, съ одной неподвижной точкой,
необходимо и достаточно, чтобы сумма моментовг силъ, отио-

— 77 —
сительно каждой изъ шрехъ координатныхъ, осей имгъющихъ
началомъ эту неподвижную точку, была равна нулю.
2. РавновгъЫе тгьла съ неподвижной осью (съ двумя
неподвижными точками).
Дано т4ло съ двумя неподвижными точками, разстояше между
которыми равно а. Требуется определить услов!я его равнов^я.
Одну изъ неподвижныхъ точекъ примемъ за начало координатъ, а
ось z пусть проходитъ и черезъ вторую неподвижную точку. При-
соединимъ къ числу действующихъ силъ реакщи N и N1,
развивающаяся въ неподвижныхъ точкахъ и будемъ считать тйло
свободными Такимъ образомъ, мы можемъ написать услов!я его равно-
в^ая въ обычной форм^:
Г
О
X
о1
Щ1
Jv л*
Черт. 61.
2Х+^+ЛГ;=0; 2(yZ-zY)~aNJ=0 (MxN=0)
2Y+Ny+NJ=0 и 2(zX—xZ)+aNJ=0 (MyN=0) %
2Z+ Ng+ Ns '=0 2{x Y—yX)=0 (MsN=0 M,N*=0)
Первыя пять уравнешй опред^ляготъ проекцш силъ сопроти-
влешя Nx, Ny, Nx\ Nyf и _Д^-{-ЖЛ Последнее же уравнеше
2(xY—уХ) = 0 выражаетъ услов!е равнов^я.

— 78 —
Такимъ образомъ для равновгьсгя твердаго т)ъла съ
неподвижной осью необходимо и достаточно равенство нулю суммы
моментовъ силъ относительно этой оси.
Примгьчате. Изъ пяти первыхъ уравненш видно, что силы
Л7^, Nx\ Ny9 Ny* вполне определены, а силы Nz и NJ въ
отдельности не определены.
Известна только ихъ сумма
N.
•NJ=-2..
Неопределенность эта объясняется темъ, что силы Ne и Nj9
действующая по неподвижной оси, приложены къ точкамъ, при-
надлежащимъ къ неизменяемой системе, не сжимаемому и
нерастяжимому стержню 00'.
Неопределенности этой необходимо было ожидать.
Чтобы пояснить сказанное, разсуждаемъ такъ:
Мы можемъ, не меняя дeйcтвiя силъ
N и N* на тело приложить къ нимъ две
уравновешенныя силы 8 и 8\
действующая по лиши 00г.
Пусть равнодействующая для силъ
N и 8 есть Nt, а длясилъ N* и 8!—JV/.
Для твердаго тела системы N, Nr
и N19 Nt' эквивалентны между собой по
пр Nt = пр S + пр N;
пр ^' = пр #' + пр N',
N — N ' N == JV •
отсюда
Ж' :
1 X
N1- N' =iVr
*' ±У\У ^У
отсюда
Такимъ образомъ эти две системы отличаются только своими
проекщями на ось #, суммы которыхъ, однако, имеютъ совершенно
определенную величину.

— 79 —
3. Равновгьсге тгьла, способнаго перемещаться параллельно
неподвижной плоскости.
Положимъ, что требуется определить равновйае стола съ
тремя ножками, опирающагося на гладкш полъ.
Jf
Черт. 54.
Зная решете предыдущихъ задачъ, мы легко напишемъ усло-
Bie равновйая даннаго стола.
2Х=0- 2Y=0] 2Z-}-N+N' + N" = 0
2(yZ — z Г) + cW' = 0 ; 2{зХ — xZ) — aN' — bN" = 0;
2{xT—yX) = Q.
Уравнешя 3, 4 и 5 вполне опред'Ьляютъ величины N, N* и N".
А остальныя три суть услов!я равновйая. Задача, какъ видно,
вполн'Ь разрешима. Слгьдовательно для равновгьсгя тгьла съ
тремя неподвижными точками скользящаго по плоскости,
необходимо и достаточно равенство нулю: суммы проекцги всгьхъ силъ
относительно осей координатныхъ, лежащихъ въ плоскости
скольжетя, и суммы моментовъ всгьхъ силъ относительно оси
перпендикулярной данной плоскости.

'feH
CK AHI :
о I охова