Высшая математика для начинающих физиков и техников - Зельдович Я.Б., Яглом И.М.

Author: Зельдович Я.Б. Яглом И.М.

Tags: анализ математика

Year: 1982

Similar

Высшая математика для начинающих физиков и техников

Высшая математика для начинающих

Высшая математика для начинающих и ее приложении к физике

Text

Я.Б.ЗЕЛЬДОВИЧ, И.М.ЯГЛОМ
;ыс - •
МАТЕМАТИ -
ДЛЯ
начинающих физиков
техников

АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ИНСТИТУТ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ИМЕНИ Л. Д. ЛАНДАУ
Я. Б. ЗЕЛЬДОВИЧ, И. М. ЯГЛОМ
ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
для
начинающих физиков
и техников
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МОСКВА
1 982

УДК 517@7)
Зельдович Я. Б., Я г лом П. М. Высшая математика для
начинающих физиков и техников. М.: Наука, 1982. 512 с.
Настоящая книга представляет'собой введение в математичес-
математический анализ. Наряду с изложением начал аналитической геоме-
геометрии и математического анализа (дифференциального и инте-
интегрального исчисления) книга содержит понятия о степенных
и тригонометрических рядах и о простейших дифференциальных
уравнениях, а также затрагивает ряд разделов и тем из физики
(механика и теория колебаний, теория электрических цепей,
радиоактивный распад, лазеры и др.).
Книга рассчитана на читателей, интересующихся естест-
естественнонаучными приложениями высшей математики, препода-
преподавателей вузов и втузов, а также будущих физиков и инженеров.
Ил. 363. Табл. 19. Библиогр. 40 назв.
1703040000-341 t T Jnoo
¦ ———— 9-81, кн. 2. © Издательство «Наука», 1982 г.
055@2)-82

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга — плод совместного труда физика и математика, поставивших
своей целью написать пособие совершенно нового типа для будущих есте-
естествоиспытателей. В связи с этим уместно сказать несколько слов о ее целях
и научной идеологии.
Известно, что многие физики недовольны тем изложением основ мате-
математического анализа, которое было внедрено математиками первой поло-
половины XX века. Причины этого понять легко. На стиль изложения даже са-
самых начальных глав учебной литературы для начинающих повлияли итоги
развития математических исследований, связанных с разработкой логиче-
логических основ нашей науки. Точные определения таких понятий, как веществен-
вещественное число, предел, непрерывность и др., явились результатом длительного
и притом весьма нетривиального логического анализа уже созданных и ин-
интуитивно ясных (на естественнонаучном уровне строгости) теорий. Эти опре-
определения, которые для начинающих вовсе не просты, впоследствии стали
использоваться нерационально: в учебниках они стали предшествовать изло-
изложению содержательной теории и ее приложений, искусственно усложняя
понимание интуитивно ясных вещей.
Следует иметь в виду, что физики-теоретики в своей научной работе ши-
широко пользуются всеми или почти всеми методами классической математики.
Часто им приходится использовать самые современные идеи, зародившиеся
в глубинах абстрактной математики, или даже самостоятельно изобретать
новые математические методы. Однако конечный результат исследований
физика всегда должен быть эффективен: он должен выражаться числом или
формулой, относящимися к наблюдаемым величинам. Вопросы обоснования
и логической структуры основ кажутся ему неважными для его работы-
хотя он, конечно, верит математике и пе сомневается, что в ее методах не
заложены никакие внутренние противоречия. Не удовлетворяясь существую-
существующей учебной и научно-популярной литературой по математике, написанной
самими математиками (в особенности теми, кто далек от физики), физики-
теоретики считают необходимым довести до начинающего свои представления
о том, как нужно естествоиспытателю пользоваться математическим аппа-
аппаратом п каким простейшим способом можно «в первом приближении» освоить
те методы, которые ему прежде всего понадобятся. Мне кажется, что их гро-
громадный опыт работы с математикой дает им на это право.
Конечно, такая точка зрения на математику является несколько одно-
односторонней. Но беды в этом, по-моему, нет. Те, кто в дальнейшем будут изу-
изучать математику более глубоко, смогут, уже имея интуитивное представле-
представление о сути дела и владея техникой решения задач, лучше понять смысл и
оснований математики. На мой взгляд, желание начать обучение еще не ос-
освоенной теории, которую учащийся познает впервые, с ознакомления с ос-
основаниями и формальным языком портит многие математические курсы.
Как математик, много лет работавший с физиками, я позволю себе выска-
высказать мнение, что не только будущим физикам и техникам, но и будущим
профессиональным математикам (и их педагогам) в процессе образования

Предисловие
было бы полезно научиться лучше представлять себе стиль математиче-
математического мышления естествоиспытателей и понимать стоящие перед ними задачи.
Настоящая книга возникла в результате большой работы над усовершен-
усовершенствованием книги «Высшая математика для начинающих и ее приложения
к физике» известного советского физика академика Я. Б. Зельдовича. Цель
книги состоит в том, чтобы дать возможность будущему физику (химику,
инженеру и др.) использовать в своей работе высшую математику, освоив
ее методы без полных логических обоснований, рассматривая ее как раздел
естествознания и решая возможно большее число конкретных задач.
Предшествующая книга была не лишена ряда технических дефектов.
При написании этой книги много было сделано для устранения недостатков
и улучшения изложения; был добавлен также значительный новый материал
и проведено тщательное редактирование текста. Вся эта работа была прове-
проведена совместно двумя авторами настоящей книги: физиком академиком
Я. Б. Зельдовичем и математиком доктором физ.-мат. наук II. М. Ягломом.
Мне кажется, что книга хорошо решает поставленную задачу; можно уве-
уверенно рекомендовать се вдумчивому юному читателю, который хочет нефор-
неформально овладеть средствами высшей математики и попробовать применять
эти средства в задачах физики тт техники.
Академик С. Л. Новиков

К ЧИТАТЕЛЮ
В нашей стране вряд ли найдется много людей, не знающих Пушкина
д Льва Толстого. Однако, вероятно, гораздо большее число взрослых лю-
людей — половина пли девять десятых — не ответят на вопрос, что такое про-
производная и интеграл. Между тем без этих понятий невозможно описывать и
исследовать переменные величины и функции, характеризующие зависимости
одних величин от других. Законы природы формулируются па языке высшей
математики, на языке производных и интегралов.
На наш небеспристрастный взгляд, высшая математика так же красива,
как стихи Пушкина, и так же глубока, как проза Достоевского или Тол-
Толстого. Многолетний спор о тон, надо ли преподавать основы математического
анализа в средней школе, ныне решен Министерством просвещения СССР.
Но стало ли общепринятым, вошло ли действительно в общественное созна-
сознание отношение к высшей математике как к культурной ценности? Сегодня,
когда современная наука далеко раздвинула рамки видимого мира, раскрыв
как тайны строения атома, так и многие загадки звездного неба, понятия
производной и интеграла стали необходимыми элементами общей культуры.
Да и в повседневной жизни представления о скорости изменения той или иной
величины (производная) и о суммарном эффекте действия какого-либо фак-
фактора (интеграл) достаточно полезны: они расширяют кругозор и применимы
в многочисленных и разнообразных ситуациях.
Старые традиции в преподавании высшей математики осложняли дело.
Казалось, что легко понять «Преступление и наказание» или «Войну и мир»,
легко освоиться с шарообразностью Земли или с атомной структурой мате-
материи, но трудно овладеть дифференцированием и интегрированием. Учащихся
первой половины XX века отпугивала теория пределов, язык «бесконечно
малых», столь непривычный после обычной арифметики и школьной алгебры.
При традиционном введении высшей математики на первом курсе высших
учебных заведений именно математика становилась главной причиной от-
отсева учащихся. Только изменив способ преподавания, можно изменить и
отношение к предмету. Высшая математика должна превратиться из сухого
и трудного предмета в комплекс ясных и естественных представлений, от-
открывающих прямой^путь к изучению физики, химии, инженерно-технических
дисциплин.
Итак, первая задача, стоявшая перед авторами при написании настоящей,
книги, — дать читателю доступное введение в высшую математику, не отя-
отягощенное ни громоздким аппаратом, ни логическими тонкостями. Мы убеж-
убеждены, что каждому, кто знаком с азами арифметики и имел по алгебре в 6-м
и 7-м классах средней школы отметки, в среднем превышающие «три», будет
нетрудно (и, мы надеемся, интересно) читать нашу книгу. Мы рассчитываем
на читателя-друга, который хочет не сомневаться, а верить и берется за
книгу для того, чтобы научиться новому, не смущаясь тем, что «высокоуче-
«высокоученую» теорию авторы иногда заменяют просто разбором примеров.
В книге рассмотрено много конкретных примеров (для кого-то, быть может,
даже и слишком много). Здесь и численные расчеты, и задачи, связанные
с теми или иными явлениями природы. Мы надеемся, что эти примеры об-
облегчат читателю изучение книги. Заметим, наконец, что, имея дело с чита-
читателем — завзятым спорщиком, мы писали бы по-другому. Такому читателю,
быть может, больше подходит стандартное изложение со всеми принятыми
в таких случаях оговорками, но мы не хотим из-за одного спорщика терять
100 возможных друзей.
Эта книга рассчитана на начинающих — на школьников-старшеклассни-
школьников-старшеклассников, учащихся ПТУ и техникумов, студентов младших курсов вузов. Думая
о ее читателях, мы видим перед собой также и тех, кто пожелает самостоя-

К читателю
тельно познакомиться с высшей математикой, скажем людей, окончивших
школу в те безвозвратно канувшие в прошлое, но так еще близкие к нам вре-
времена, когда дифференциальное и интегральное исчисление в школе не про-
проходилось.
Место математики в жизни и в науке определяется тем, что она позволяет
перевести «общежитейские», интуитивные подходы к действительности, ба-
базирующиеся на чисто качественных, а значит, приблизительных описаниях,
на язык точных определений и формул, из которых возможны количествен-
количественные выводы. И не случайно говорят, что степень научности той или иной дис-
дисциплины измеряется тем, насколько в ней применяется математика. Однако
истинным языком науки являются вовсе не элементарная алгебра и геомет-
геометрия. Гораздо большую роль играет высшая математика, изучающая пере-
переменные величины и текущие процессы, для анализа которых алгебры и гео-
геометрии недостаточно (а также другие более сложные разделы математики,
которых мы в этой книге лишь бегло коснемся). И не случайно само возник-
возникновение дифференциального и интегрального исчисления у Ньютона было
неразрывно связано с созданием тем же Ньютоном начал теоретической
(можно также сказать — математической) физики: понятия высшей мате-
математики он воспринимал как (дословный!) перевод на математический язык
основных понятий механики 1.
Первые главы книги дают представление как о существе высшей матема-
математики, так и о путях ее возможных применений. Таким образом, вполне
можно представить себе читателя, который пожелает ограничиться выбо-
выборочным знакомством с главами 1—7, — но писали мы книгу не для него.
Овладение основами высшей математики неразрывно связано с серьезным по-
пониманием путей применения этого аппарата. Знания без применений и на-
настоящими-то знаниями не являются — они с трудом усваиваются, да и за-
забываются легко. Наше пособие рассчитано на лиц, специально интересую-
интересующихся физикой и техникой; поэтому и приложения здесь в основном заим-
заимствованы из этих областей. Сегодня можно было бы составить учебник выс-
высшей математики, ориентированный и на биолога (или будущего биолога),
геолога или экономиста, однако это были бы совсем другие книги и писать
их должны другие.
Вторую часть книги составляют изложения ряда тем из физики и техники.
Вот здесь целиком проявляется сила высшей математики: весьма многие
важные физические явления удается описать с той степенью законченности,
которая недостижима без использования понятий производной и интеграла.
В качестве примера мы можем назвать теорию радиоактивности (гл. 8).
Другим примером может служить явление резонанса, выступающее в книге
в двух разных обличиях: в виде одного из эффектов, возникающих в теории
механических колебаний (гл. 10), и как одно из свойств электрических це-
цепей (гл. 13). Несмотря на то, что одни из разделов физики изложены во вто-
второй части книги с большой степенью подробности, а другие только намечены
или даже вовсе опущены, общий объем даваемых здесь сведений по физике
настолько велик, что книгу в целом можно рассматривать не только как по-
пособие по математике, но и как важное добавление к традиционным учебни-
учебникам физики.
Посвященные физическим вопросам главы 8—13 (они составляют вто-
вторую часть книги) почти независимы одна от другой; читать их можно в лю-
любом порядке. Единственное исключение здесь составляет глава 10 («Колеба-
(«Колебания»), для понимания которой нужны первые шесть параграфов предшествую-
предшествующей главы 9 («Механика»). Заметим, что хотя и первая часть книги («Эле-
(«Элементы высшей математики») богата примерами из физики и механики, озна-
* Столь же неслучайно наличие у второго творца высшей математики — Лейбница
эволюционных представлений, тесно связанных с его математическими концепциями
и значительно перегнавших свое время. (Эти представления затрагивали биологию, гео-
геологию, физику: так, от Лейбница ведет начало концепция энергии, лишь трансформи-
трансформирующейся, но не исчезающей ни при каких физических явлениях.)

К читателю
комление с какими-то разделами второй части («Приложения высшей мате-
математики») полезно, как нам кажется, для всех без исключения категорий
читателей.
Большой объем настоящей книги, казалось бы, противоречит слову «на-
«начинающие» в ее заголовке. Пусть Вас не смущает количество страниц в этом
пособии! Мы хорошо сознаем все недостатки, — но также и достоинства —
принятой нами подробной, откровенно многословной системы изложения.
Книга содержит очень много примеров и численных расчетов: одни и те же
вопросы освещаются в ней зачастую по несколько раз и притом с разных
точек зрения; много места уделено истории излагаемых теорий и т. д. Ра-
Разумеется, всю имеющуюся в книге информацию можно было бы «спрессовать»
и изложить на гораздо меньшем числе страниц, но тогда чтение книги тре-
требовало бы больших усилий и любое пропущенное или неверно понятое место
затрудняло бы (если не делало невозможным) дальнейшее продвижение.
Конечно, в жизни встречаются ситуации, когда лучшим источником инфор-
информации служит краткая телеграмма, но столь любимое XVIII и XIX столети-
столетиями и почти забытое в наши дни искусство неторопливого письма, не пренеб-
пренебрегающего многочисленными, казалось бы необязательными, подробностями,
также имеет свою прелесть. И для начинающего «телеграфный» стиль, как
нам кажется, никак не подходит: избыточная информация, которой в отдель-
отдельных случаях можно и пренебречь, на плечи не давит, а вот недостаток ин-
информации или чрезмерная ее концентрация в книге для неопытного читателя
совершенно недопустимы!
Необходимо также иметь в виду, что наша книга содержит много мате-
материала для лиц, заинтересованных в углубленном изучении основ высшей
математики; при первом чтении значительную часть этого материала можно
и пропустить. Сюда относятся, например, все разделы книги, напечатанные
мелким шрифтом (в частности, рассказ о происхождении высшей матема-
математики) или отмеченные звездочками параграфы. Подобный характер имеет
и вся третья часть книги («Дополнительные темы из высшей математики»)
и Заключение («Что же дальше?»). Наконец, мы уже подчеркивали воз-
возможность выборочного знакомства со второй (физической) частью'.: книги
(гл. 8-13).
Большая глава 1 «Функции и графики» в основном содержит материал,
известный из средних классов школы; многим читателям будет достаточно
бегло ее просмотреть. Главы 2 и 3 излагают идейную сторону высшей мате-
математики (дифференциального и интегрального исчисления), а главы 4 и 5 —
аппаратную ее сторону в том достаточно скромном объеме, который необ-
необходим для основных применений. Глава 6 посвящена некоторым более про-
продвинутым разделам математического анализа (ряды, дифференциальные
уравнения), а глава 7 касается чисто математических применений понятий
производной и интеграла (физические применения рассматриваются во второй
части книги). Элементы истории высшей математики отнесены в заключитель-
заключительные разделы глав 3 и 6, отделенные от основного текста тремя звездочками.
К математической части книги относится и Заключение «Что же дальше?»,
посвященное обсуждению некоторых более новых разделов математической
науки, ныне широко используемых в приложениях.
Укажем, что третья часть книги (и особенно ее Заключение) имеют не-
несколько иной характер, чем первая и вторая части. Последняя часть книги
посвящена двум направлениям высшей математики, существенно расширяю-
расширяющим (и обобщающим) классическое дифференциальное и интегральное ис-
исчисление Ньютона и Лейбница. Первое из них — комплексные числа и функ-
функции комплексной переменной, которые давно уже играют в физике и технике
громадную роль. Замечательно, в частности, что многие обстоятельства,
касающиеся обычных функций с вещественными аргументами и значениями,
становятся яснее при обращении к комплексным числам. Некоторые примеры
такого рода читатель найдет в главах 14, 15 и 17.

К читателю
Второе направление, рассматриваемое в третьей части книги, — так на-
называемые обобщенные функции / (х), в первую очередь дельта-функция Ди-
Дирака, равная нулю всюду, кроме значения ж=0, при котором она равна бес-
бесконечности (!). Такие функции также играют в физике (и в технике) большую
роль; само их происхождение гораздо больше связано с физикой, чем с ма-
математикой. Нам представляется очень желательным возможно более ранее
ознакомление будущих физиков и инженеров с этими замечательными функ-
функциями !
Посвященные функциям комплексной переменной и обобщенным функциям
главы 14—17 рассчитаны лишь на особо интересующихся читателей. Напи-
Написаны они несколько более конспективно, чем остальной текст книги (хотя и
они доступны достаточно настойчивому начинающему читателю); их можно
просмотреть с любой степенью подробности.
Ещв более обзорный характер имеет Заключение «Что же дальше?».
Вот здесь мы никак не рассчитываем на полное понимание материала, при-
призванного лишь пробудить любознательность читателя и побудить его к даль-
дальнейшей работе. Наивно было бы думать, что математическое образование фи-
физика или инженера может завершиться тьмами, охваченными нашей книгой.
В Заключении мы коснулись некоторых иных направлений науки, начав-
начавших широко применяться в физике и технике лишь во второй половине на-
нашего столетия 2. Заметим, что хотя Заключение (да и вся третья часть книги
тоже) свободно могут быть опущены (для понимания основной части книги
они не нужны), мы все же рассчитываем, что большинство читателей захотят
хоть бегло с ними познакомиться, поскольку отш открывают дальнейшую
перспективу и знакомят с некоторыми идеями, достаточно важными и ха-
характерными для современной пауки.
Таким образом, настоящая книга допускает ряд вариантов ее использова-
использования. Читателю, заинтересованному в первую очередь в математике, естест-
естественно уделить наибольшее внимание первой части книги; однако при этом
безусловно будет полезным и ознакомление с теми или иными разделами вто-
второй части — скажем с главой 8, или с первыми параграфами главы 9 и ча-
частью главы 10, или с главой 13. Тому, кто пожелает еще углубить свои зна-
знания по математике, можно порекомендовать обратиться к заключительным
параграфам главы 10 или (и) к третьей части книги; при этом читателю, заин-
заинтересовавшемуся функциями комплексной переменной п дельта-функциями,
никак не следует пренебрегать главой 17, посвященной приложениям со-
соответствующих теории. Дополнительные сведения по математике можно из-
извлечь из Заключения, однако для серьезного знакомства с затронутыми в За-
Заключении темами безусловно необходимо обратиться к иной литературе.
Наконец, читатель, интересующийся более физикой, чем математикой, мо-
может довольно бегло ознакомиться с первой частью, полностью игнорируя
текст, напечатанный мелким шрифтом и пропуская большинство отмеченных
звездочками параграфов (но не § 7 гл. 6, демонстрирующий пути применения
дифференциальных уравнений к анализу естественнонаучных явлений).
Такому читателю не следует особенно задерживаться на главе 7 первой
части, имеющей чисто математический характер; но вот главу 6 он должен
проштудировать достаточно внимательно, поскольку ее прикладное значение
очень велико. Вторую часть книги (а, может быть, также и третью, тоже свя-
связанную с глубокими физическими теориями) интересующийся физикой чи-
читатель, видимо, будет изучать особенно подробно; при этом порядок зна-
знакомства с главами 8—13 он вполне может выбрать сам — так, например,
в ряде отношений целесообразно не разрывать особенно во времени изуче-
изучение глав 10 и 13.
2 Здесь можно указать прэжт.9 всего на теорию групп, которая была развита
математиками в прошлом веке и в то врэмя казалась далекой о г всякой, физики .
В настоящее жз врэмя успехи физики элементарных частиц в большой степени свя-
ванн именно с теорией групп.

К читателю
В списке литературы, приведенном в конце книги, указаны некоторые
другие издания, излагающие основы высшей математики, а также более ши-
широкие по охвату материала учебники и книги, по тематике далеко вы-
выходящие за рамки изложенного здесь материала. В качестве естествен-
естественного продолжения настоящего пособия читателю можно порекомендовать
книгу [15] 3. Напротив, книги [19-—21 ] от основного содержания нашей
книги довольно далеки: они посвящены ветвям математической науки, при-
примыкающим к направлениям, упомянутым в Заключении.
Из литературы по физике хочется в первую очередь порекомендовать чи-
читателю замечательный многотомный лекционный курс [34] (его последний
девятый выпуск составляют задачи и упражнения ко всему курсу). Отметим,
кроме того, что в книгах [22—30, 37] высшая математика не используется.
В Приложениях I — IV к книге приведены краткие таблицы производных,
интегралов и числовых рядов (что это такое, Вы узнаете из первой части
книги), а также извлечения из числовых таблиц, придающие всему пособию
известную законченность: они позволят читателю при выполнении упраж-
упражнений, завершающих каждый параграф книги, не обращаться к другим
учебникам. В физических примерах мы всюду исходили из принятой в на-
настоящее время международной системы единиц СИ; читателю, недостаточно
знакомому с этой системой, может быть полезно Приложение V. Наконец,
последнее Приложение VI составляют широко используемые в книге латин-
латинский и греческий алфавиты.
В книге принята «дробная» система нумерации формул, упражнений,
рисунков: во всех случаях первая цифра (или первое число) указывает но-
номер главы, а вторая — номер параграфа (в рисунках к Заключению или От-
Ответам первые две цифры заменяются буквами 3 пли О). Таким образом,
ссылка, скажем, на формулу A0.4.3) указывает на формулу C) из § 4 главы 10,
причем такой характер может иметь ссылка лишь вне пределов главы 10.
Указание на формулу D.3) отсылает читателя к формуле C) из § 4
той же главы; наконец, просто ссылка на формулу C) означает, что
речь идет о третьей формуле того же самого параграфа. Та же система
принята и в ссылках на параграфы книги, где, например, запись § 10.4 от-
отсылает читателя к § 4 главы 10.
Разумеется, как любое пособие по математике, эта книга предполагает
активную работу читателя (по возможности с ручкой или карандашом
в руке) — решение приложенных к книге упражнений. Еще лучше, если,
кроме того, на столе перед Вами лежит микрокомпьютер: тогда Вы сможете
проверить и подкрепить общие теоремы с помощью численных расчетов,
сможете свободнее пользоваться методом «арифметического эксперименти-
экспериментирования», т. е. приближенными вычислениями, раскрывающими содержание
вводимых понятий и смысл формул. Конкретные примеры помогут Вам оце-
оценить точность рассыпанных по всей книге приближенных формул, и Вы
лучше почувствуете мудрость предков, создававших свои методы и концеп-
концепции, не обладая современной вычислительной техникой. Одновременно с этим
Вы почувствуете и новую силу, которую нам, детям XX века, придают
компьютеры.
3 Так, студентам технических вузов, проштудировавшим настоящую книгу на первом
году учебы, уместно на втором курсе обратиться к книге [15].

ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ
Настоящая книга адресована не только учащимся, но и их преподавате-
преподавателям, знакомым с излагаемым здесь материалом; для них интерес может пред-
представлять рекомендуемая нами методика преподавания высшей математики
будущим физикам и техникам. Книга не является учебником, рассчитанным
на какую-то определенную категорию учащихся: она может быть использо-
использована при преподавании математики или физики в средней школе, техникуме
или ПТУ, в высшем учебном заведении. Учителю среднего учебного заведе-
заведения наша книга поможет освежить полученные в вузе представления о связи
и взаимозависимости математики и физики. Содержание книги школьный
учитель может использовать в факультативных занятиях или в (физических
и математических) кружках; кое-что из этой книги может быть рассказано
и прямо на уроке. Преподавателю вуза книга может доставить материал для
использования в практических занятиях по курсу математического ана-
анализа (высшей математики) или общей физики. При этом наше пособие может
быть полезно преподавателю, ведущему упражнения по дифференциальному
и интегральному исчислению с начинающими студентами технического вуза
или физического факультета (отделения) даже в том случае, если на лекциях
по курсу математического анализа господствует иной дух. Проработка с уча-
учащимися тем, заимствованных из второй (а частично, возможно, и из третьей)
части книги, поможет студентам обрести сбалансированную точку зрения
на математику и облегчит им усвоение отдельных разделов физики и тех-
технических дисциплин, таких, как теория колебаний. Она также — и это,
конечно, важнее всего — поможет им не только понять, что именно изучает
дифференциальное и интегральное исчисление, но и осознать, как и зачем
была создана и зачем нужна эта важнейшая математическая дисциплина.
Список литературы в конце книги рассчитан как на учащихся, так и на
преподавателей. Он содержит ряд книг [4—6, 12—14], демонстрирующих
возможные пути слитного изложения высшей математики и ее приложений;
к сожалению, большинство из них ныне малодоступна даже преподавателю.
.^ Книга состоит из трех частей, первая из которых (главы 1—7) в основном
напоминает читателю известные ему еще из школьного курса сведения.
В этой части излагается идейная и аппаратная сторона высшей математики.
Вторая часть (главы 8—13) посвящена приложениям высшей математики
к физике и технике; она составляет органическую часть всего сочинения,
в то время как третья часть (главы 14—17) является дополнительной и
в принципе может быть опущена. Неразрывная связь первой (математиче-
(математической) и второй (физической) частей книги еще подчеркивается тем, что, ска-
скажем, раздел о рядах Фурье отнесен во вторую часть пособия (в главу о коле-
колебаниях), а изучение процесса вытекания воды составляет часть главы 6,
посвященной рядам и дифференциальным уравнениям.
При составлении книги мы не ориентировались специально на современ-
современное положение дел, когда учащиеся могут пользоваться микрокомпьютерами.
Разумеется, наличие микрокомпьютеров может еще упростить изложение.
Оно, в частности, делает гораздо более легкими и быстрыми (а значит, и бо-
более естественными) разного рода «арифметические эксперименты», вроде фи-
фигурирующего в § 4.7, и позволяет гораздо шире их использовать. Наличие
микрокомпьютеров позволяет также гораздо шире применять численное
(приближенное) дифференцирование и интегрирование; его естественно при-
принимать во внимание и при изложении приложений математики.
Настоящая книга связана с другой книгой одного из ее авторов, в перво-
первоначальном своем виде вышедшей в свет в 1060 г.1 Одним из стимулов к ее
1 Ее последнее издание: Зельдович Я. Б. Высшая математика для начинающих и ее
приложения к физике. 5-е изд. М.: Наука, 1970.

Предисловие для преподавателей 11
составлению явилось то, что в те годы в средних школах дифференциальное
и интегральное исчисления даже не упоминались: в своей аналитической
части школьный курс математики ограничивался началами алгебры и три-
тригонометрией, все еще сохранявшей положение самостоятельной дисциплины.
В вузовском же преподавании господствовала система изложения начал
анализа, весьма далекая от интересов физиков и техников. Напомним, что
все 30-е годы основным втузовским учебником высшей математики в нашей
стране являлась известная книга В. Гренвиля, переведенная на русский
язык, а впоследствии и переработанная академиком Н. Н. Лузиным; в раз-
разных своих вариантах эта простая книга переиздавалась множество раз и
была весьма популярна среди учащихся инженерных вузов. Однако ожесто-
ожесточенная критика «чистых» математиков, обвинявших этот учебник в нестро-
нестрогости, привела к тому, что он был полностью вытеснен из педагогической
практики и заменен книгами совсем другой направленности. В 50-е годы из-
изложение математического анализа традиционно начиналось с теории пре-
пределов, базировавшейся на отточенной «е—§-технике» и оперировавшей глу-
глубокими понятиями, ценность которых первоначально лишь декларирова-
декларировалась, но никак не раскрывалась. Все это создавало положение, при котором
понятия производной и интеграла, интуитивно достаточно простые и на-
наглядные, представлялись непосвященному чем-то весьма возвышенным и
вызывали у него чувства, близкие к мистическому трепету (у студентов-
первокурсников к этому еще добавлялся реальный страх получить двойку
на экзамене). При этом многие математики, к сожалению, поддерживали та-
такое отношение, всячески подчеркивая логическую тонкость понятия предела
и необходимость опереться здесь на какой-либо вариант теории веществен-
вещественного числа (хорошо известно, однако, что все такие обоснования, по необ-
необходимости достаточно сложные, возникли лишь во второй половине
XIX века, т. е. двумя столетиями позже создания высшей математики).
Логическая требовательность учащихся воспитывалась на теоремах, кото-
которые им казались ясными и без всякого доказательства. Так, например, тот
факт, что предел у переменной может быть только один 2, традиционно уста-
устанавливался без всякого обращения к интуитивному представлению о пределе,
с полной достоверностью убеждавшему нас, что если переменная мечется
между двумя «пределами», то она не стремится ни к одному.
В настоящее время положение дела, безусловно, изменилось к лучшему.
В средних школах проходится обязательный курс начал дифференциаль-
дифференциального и интегрального исчисления. Также и среди новых пособий для высшей
школы имеются стоящие на близких к нам позициях. Так, в выдержавшем
ряд изданий учебнике [9] не доказывается ни одна теорема о пределах, ибо
автор предпочитает заменять здесь строгую логику откровенной апелляцией
к здравому смыслу. Да и те пособия, которые традиционно начинают изло-
изложение с развернутой теории пределов, совсем по-другому читаются учащимся,
еще из средней школы знакомым с основными понятиями производной и ин-
интеграла!
При всем том нам кажется необходимым подробно мотивировать свои ме-
методические позиции, тем более что согласны с ними, безусловно, не все. Эле-
Элементы математического анализа твердо вошли в школьный курс математики,
но еще далеко не решен вопрос о том, как они будут там излагаться. Здесь
вполне возможен «инженерный», или «естественнонаучный», уровень строгости,
но есть и сторонники принципиально иного подхода. Нельзя считать решен-
решенным и вопрос о принципах построения курса математики в техникумах и
ПТУ, хотя нам кажется, что уж здесь никак не нужен уровень строгости,
превышающий принятый в настоящей книге.
2 Ср. с теоремой из современного американского школьного учебника геометрии
(Моиз 9. Э., Дауне Ф. Л. Геометрия. М.: Просвещение, 1972, с. 55): каждый отрезок
имеет середину, и притом только одну, — также явно обращенной к одним лишь будущим
математикам.

12 Предисловие для преподавателей
Ясно, что, прежде чем планировать систему обучения математике, не-
необходимо задуматься, зачем мы ее учим. Ведь ответ на вопрос «как?» невоз-
невозможен, если нет ответа на вопрос «зачем?». Математику можно учить для
того, чтобы:
1) успешно сдать экзамен;
2) развить способность к абстрактному мышлению п логические навыки;
3) овладеть современной вычислительной техникой;
4) применять полученные знания к изучению реальных явлений в тех-
технике, физике, биологии, к изучению микромира атомов и элементарных ча-
частиц или макромира звезд и галактик.
Все эти цели совершенно разные; они диктуют абсолютно несходные ме-
методики и системы обучения. Первая из них, при бесспорной практической
значимости, конечно, не должна приниматься во внимание: ясно, что экза-
экзаменатор должен приноравливаться к потребностям учащихся, а не уча-
учащиеся — к вкусам экзаменатора (хотя реально так бывает, к сожалению, не
всегда). Вторая цель не может и но должна полностью игнорироваться:
ведь здесь речь идет о подготовке будущих математиков, и рост значения ма-
математики заставляет отнестись к этой проблеме с достаточным вниманием.
Нелепо лишь считать, что согласованное с целью 2) преподавание должно
иметь массовый характер — ведь математики никогда не будут составлять
сколько-нибудь заметную часть всего населения. И с этой точки зрения суще-
существующий во многих странах уклон школьного курса математики в сторону
так называемой современной математики, понимаемой как начала общей тео-
теории множеств и символической логики, учение об абстрактно вводимых функ-
функциях и так называемых бинарных отношениях, кажется нам вредным.
Не может служить основным ориентиром в планировании массового мате-
математического образования и цель 3) — вопрос о подготовке будущих програм-
программистов и специалистов по ЭВМ является серьезным, по все же достаточно
частным.
Наша книга адресована будущим инженерам и естествоиспытателям,
ориентирующимся па цель 4) изучения математики. Этой безусловно очень
обширной категории учащихся надо, по нашему мнению, скорейшим путем
сообщить необходимые для приложений сведения, не загромождая их из-
излишними логическими тонкостями и не стремясь к максимальной общности
и полной строгости: ведь для учащихся этого рода математика навсегда оста-
останется аппаратом, языком описания тех пли иных фактов, а не сущностью,
которая интересует их сама по себе. При этом, как нам кажется, и сегодня,
как это было в XIX веке и будет, вероятно, в XXI веке, надо в первую оче-
очередь делать упор на элементы математического анализа, на дифференциальное
и интегральное исчисление и простейшие дифференциальные уравнения.
В подходе к основным понятиям анализа следует исходить из тезиса о том,
что природа устроена достаточно просто, что «бог не злонамерен», по извест-
известному выражению Эйнштейна. Гипертрофия теорем существования может
лишь отпугнуть учащегося, одаренного здоровым физическим чутьем. Ясно,
что движущаяся частица имеет скорость, а кривая линия имеет касательную;
доказывать существование скорости так же не нужно, как доказывать суще-
существование площади плоской фигуры: да вырежьте Вы фигуру из бумаги или
картона и взвесьте ее, поделите массу на .массу одного квадратного метра
материала — вот Вам и площадь! Другими словами, теоремы существования
производной и интеграла на первом этапе изучения анализа не нужны (и
даже вредны): оба эти понятия имеют естественный физический смысл, а зна-
значит, они существуют 3. Ведь было бы нелепо начинать изучение грамматики
не с общих правил, а с исключений или начинать изучение языка не с перво-
3 Когда студенты знаменитого Уильяма Томпсона, лорда Кельвина A824—1907),
пытались определять производную «по Кошн», то это только раздражало старого про-
профессора. «Да бросьте вы этого Тотгеитнера, — говорил он тогда, — ведь производная —
это скорость». (Тотгентпер — профессор «чистой» математики, читавший во времена
Кельвина в Кембриджском университете курс математического анализа).

Предисловие для преподавателей 13
начального запаса слов, а с грамматики. Между тем именно этому подобна,
к сожалению, достаточно распространенная система изучения «математи-
«математического языка», при которой концепция (н свойства) предела предшествует
любым содержательным применениям этого понятия.
В биологнп существует глубокий закон, утверждающий, что «онтогенез
повторяет филогенез», т. е. отдельная особь в своем развитии в той или иной
мере повторяет эволюционный путь развития всего рода, к которому эта особь
принадлежит: так, зародыш человека в течение определенного периода своего
развития имеет жаберные щели, ибо жизнь первоначально зародилась
в море и предками млекопитающих (в том числе и человека) были рыбы.
Нам кажется, что этот биологический закон следует помнить и педагогам.
Будущий физик или инженер должен предварительно изучить математику
в таком виде, в каком она создавалась великими учеными XVII и XVIII ве-
веков, а не получить ее сразу в том обличий, которое выработалось в резуль-
результате длительной эволюции ко второй половине XX столетия.
Разумеется, сказанное никак не следует понимать, как призыв к точному
воспроизведению в современных учебниках представляющихся сегодня до-
достаточно архаичными по форме рассуждений Ньютона, с его давно забытой
терминологией и символикой, или Лейбница, со свойственной последнему
«метафизикой бесконечно малых». Однако идейная сторона курса для на-
начинающих вполне может, как нам кажется, строиться на привычных класси-
классикам наглядных представлениях, а не на современных теориях веществен-
вещественного числа и не на сложившихся в течение столетий строгих определениях.
Конечно, в какой-то момент учащихся надо проинформировать о возмож-
возможных осложнениях, но не об экзотических «непрерывных функциях, нигде не
имеющих производных» 4, а просто о возможностях разрыва или излома кри-
кривой. Однако соответствующие предостережения кажутся нам уместными лишь
после интуитивного освоения основных понятий, а не до этого, подобно
тому как ознакомление с каким-либо новым механизмом нелепо начинать
с указаний на возможность его поломки. Кроме того, мы склонны считать
гораздо более поучительным (и информативным) не традиционный ниги-
нигилистический, а современный «конструктивный» подход к особенностям рас-
рассматриваемого рода, утверждающий, что каждая (хотя бы и негладкая!)
непрерывная функция имеет производную, которая, однако, может оказаться
не обычной функцией, а дельта-функцией; этому подходу мы уделяем боль-
большое внимание в главе 16 книги. Мы пользуемся также всеми случаями для
того, чтобы подчеркнуть такие важные общие идеи как линейность и прин-
принцип суперпозиции, иногда недопустимо оставляемые в тени в книгах, рассчи-
рассчитанных на (настоящих или будущих) физиков и инженеров.
Современная математика развивается весьма бурно, и при этом бурно растет
и количество знаний, необходимых ее потребителям. Учить физику или ин-
инженеру сегодня приходится больше — некоторые из новых важных для при-
приложений разделов науки.названы в Заключении «Что же дальше?». Наряду
с этим громадное значение приобретает в наши дни почти не затронутая
в этой книге вычислительная математика, базирующаяся на огромных воз-
возможностях ЭВМ. Мы считаем вполне возможным более быстрое ознакомле-
ознакомление начинающих с первыми разделами курса высшей математики, позволяю-
позволяющее раньше применять свои знания и освобождающее время для изучения
новых содержательных математических теорий.
Педагогические позиции авторов многих известных нам учебников мате-
математического анализа напоминают установки средневековых схоластов в ди-
4 Здесь мы склонны присоединиться к одному из крупнейших аналитиков второй
половины XIX века — французу Шарлю Эрмиту, который писал своему другу голланд-
голландскому математику Стильтьесу, что он «с ужасом и отвращением отворачивается от этой
разрастающейся язвы функций, не имеющих производных». Стоящая на прямо противо-
противоположных позициях книга французского математика Б. Мальденброта «Фрактали» (Man-
(Mandelbrot В. Fractals. San Francisco: VV. H. Freeman, 1977) очень интересна, но она явно
рассчитана на читателей, гораздо более изощренных по сравнению с теми, к кому обращен
наш элементарный учебник.

14 Предисловие для преподавателей
спутах и научных турнирах. Учащийся представляется таким авторам опыт-
опытным противником, выискивающим слабые места в позиции учителя; задача
же педагога сводится к опровержению всех возможных возражений.
В противоположность этому мы рассматриваем учащегося как друга и союз-
союзника, готового поверить педагогу или учебнику и заинтересованного в пер-
первую очередь в том, чтобы побыстрее получить возможность использовать
в изучении природы и в технике те новые приемы, которым его научили. По-
Понимание сути нового аппарата, так же как и интуиция, предостерегающая
нас в тех случаях, когда аппарат отказывается работать, приходит к такому
учащемуся главным образом в результате разбора многих примеров и прило-
приложений. При строго логическом подходе вопрос о происхождении, значении
и пользе изучаемых понятий и теорем остается в тени. В предлагаемой книге
основное внимание уделено «грубым» математическим идеям и связи этих
идей с явлениями природы.
Поддержку наших позиций мы находим у многих выдающихся ученых.
Знаменитый русский кораблестроитель академик А. Н. Крылов A863—
1945), ученый, техник и инженер с необычайно широким диапазоном интере-
интересов и результатов, автор первой на русском языке книги по численным
методам математики, переводчик «Математических начал натуральной фи-
философии» Ньютона и авторитет в области небесной механики, писал: «Нельзя
считать недостаточно строгим для 16-летнего гимназиста то, на чем сам Нью-
Ньютон основывал все современное учение о мироздании и что он положил в ос-
основу своих неопровержимых доказательств строения системы мира» — и
указывал, что начинающие зачастую воспринимают утонченную строгость
доказательств как «торжество науки над здравым смыслом». Хорошо из-
известна автобиография Альберта Эйнштейна — одного из величайших физи-
физиков всех времен, который писал:
«В возрасте 12—16 лет я ознакомился с элементами математики, включая основы диф-
дифференциального и интегрального исчисления. При этом, па мое счастье, мне попались
книги, в которых обращалось не слишком много внимания на логическую строгость,
зато хорошо была выделена всюду главная мысль. Вот это занятие было поистине увле-
увлекательно: в нем были взлеты, не уступавшие «чуду» элементарной геометрии, — основная
идея аналитической геометрии, бесконечные ряды, понятия дифференциала и интеграла».
Сходной была и позиция замечательного советского физика-теоретика, лау-
лауреата Ленинской и Нобелевской премий, академика Льва Давидовича Лан-
Ландау A908—1968), который наряду с выдающейся физической интуицией обла-
обладал и высокой математической техникой. Однажды Ландау попросили дать
отзыв на программу по математике одного из московских учебных институ-
институтов физического профиля. Вот что он написал в своем отзыве:
«К сожалению, Ваши программы страдают теми же недостатками, какими обычно
страдают программы по математике, превращающие изучение математики физиками на-
наполовину в утомительную трату времени. При всей важности математики для; физиков,
физики, как известно, нуждаются в считающей аналитической математике; математики же,
по непонятной мне причине, подсовывают нам в качестве принудительного ассортимента
логические упражнения. . . Мне кажется, что давно пора обучать физиков тому, что они
сами считают нужным для себя, а не спасать их души вопреки их собственному желанию.
Мне не хочется дискутировать с достойной средневековой схоластики мыслью, что путем
изучения ненужных им вещей люди будто бы научаются логически мыслить. Я категори-
категорически считаю, что из математики, изучаемой физиками, должны быть полностью изгнаны
всякие теоремы существования, слишком строгие доказательства и т. п.»
Эти расхождения между математиками и физиками привели к тому пара-
парадоксальному положению, когда трое (!) лауреатов Нобелевской премии по
физике и химии (Вальтер Нернст, Сванте Аррениус, Генрик Антон Лоренц)
сочли нужным написать элементарные пособия по высшей математике «для
естествоиспытателей и врачей», как сказано было в заголовке книги Арре-
ниуса, или «для естествоиспытателей с особым вниманием к запросам хими-
химиков», как указывал читателям Нернст. Из этих книг в нашей стране лучше
всего известен двухтомный «Курс дифференциального и интегрального ис-
исчисления с их приложениями к естествознанию» Г. А. Лоренца [4] (или

Предисловие для преподавателей 15
«Курс высшей математики», как назвал русский вариант книги ее перевод-
переводчик В. П. Шереметьевский), выдержавший с 1901 по 1926 г. пять изданий и
еще в 30-х годах весьма популярный как учебник для будущих инженеров
и пособие для самообразования. При этом с идейной стороны все названные
книги были достаточно близки к настоящей книге.
Следует указать, что и многие «чистые» математики, не специализирующи-
специализирующиеся по абстрактной алгебре или математической логике и имеющие вкус
к приложениям, мыслят аналогично тем физикам, о которых упоминалось
выше. Так, знаменитый немецкий (позже американский) математик Рихард
Курант A888—1972), основатель Курантовского математического института
в Нью-Йорке, писал в 1964 г., что очень долго математики принимали гео-
геометрию Евклида за образец строго логического подхода, строго логической
дедукции (вывода). Но вот что говорит Курант дальше 6:
«Упор на этот [аксиоматический, логический] аспект полностью дезориентирует того,
кто предположит, что созидание, воображение, сопоставление и интуиция играют только
вспомогательную роль в математическом творчестве и в настоящем понимании. В матема-
математическом образовании дедуктивный метод, начинающийся с догматически сообщаемых
аксио.м, действительно позволяет быстрее обозреть большую территорию. Но конструк-
конструктивный метод, идущий от частного к общему и избегающий догматического принуждения,
надежнее ведет к самостоятельному творческому мышлению».
Все сказанное выше достаточно полно поясняет основные установки нашей
книги. Ее принципы и исходные положения совпадают с теми, которые были
характерны для названного в сноске 1 учебника; в деталях же изложение су-
существенно отличается от старого даже и в тех разделах, которые входили
в названную выше книгу. Многие темы введены в нашу книгу заново; это
касается как ряда частных моментов (вопрос о втором дифференциале функ-
функции одной переменной или о полном дифференциале функций двух перемен-
переменных; тема об инерционных системах отсчета), так и целых больших направ-
направлений пауки (ряды Фурье, теория функций комплексной переменной или
устройство лазеров).
При пользовании этой книгой в преподавании педагог может свободно ис-
использовать те или иные моменты из физических разделов книги для иллю-
иллюстраций математических понятий и теорем или, напротив, включать отдель-
отдельные математические темы в занятия по физике. Так, например, понятие про-
производной мы иллюстрировали в тексте на связи пройденного пути и скорости
или требующегося для нагревания тела тепла и теплоемкости; но никто не
мешает использовать здесь, скажем, связь между электродвижущей силой
(ЭДС) и силой тока для катушки (или для конденсатора, где эта связь имеет
обратный характер; ср. § 13.1). Разумеется, число примеров подобного рода
можно неограниченно увеличить. Слитное преподавание математического
анализа и его приложений будущим техникам и физикам мы считаем очень
важным: ведь сама математическая техника наполняется глубоким содержа-
содержанием лишь в процессе ее использования. Польза от физических разделов
книги является двоякой: они не только доставляют учащимся важные сведе-
сведения по физике, но также и проливают дополнительный свет на математиче-
математические построения первых глав, позволяют по-новому понять их естествен-
естественность и необходимость. При преподавании часть этого материала можно,
конечно, и опустить; однако какое-то использование физических рассмотре-
рассмотрений в упражнениях (а частично, и в лекциях) по математике кажется нам
очень полезным, а серьезное согласование элементарных курсов математики
и физики —• совершенно необходимым.
Я. Б. Зельдович,
И. М. Яглом
5 С тех же позиций написана и превосходная книга Дж. Пойа «Математика и правдо-
правдоподобные рассуждения» (М.: Мир, 1977).

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Глава 1
ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
Настоящая глава книги является ввод-
вводной — в ней кратко повторяются не-
некоторые сведения, вероятно известные
большинству читателей. Эта глава по-
посвящена функциональным зависимо-
зависимостям между величинами; в ней приво-
приводятся некоторые конкретные примеры
функциональных зависимостей, часто
используемые в последующих разделах
книги. С другими важными примерами
функциональных зависимостей чита-
читатель встретится в последующих главах.
§1. Функциональная зависимость
В природе и в технике мы очень часто
встречаемся с зависимостями одних ве-
величин от других — с так называемыми
функциональными зависимостями; есте-
естественно, что и математика уделяет та-
таким зависимостям большое внимание.
Функциональная зависимость одной ве-
величины (у) от другой (х) означает, что
каждому значению х соответствует опре-
определенное значение у. Величина х при
этом называется независимой перемен-
переменной, & у — функцией этой переменной.
Иногда х называют аргументом функ-
функции у.
Приведем несколько примеров из
геометрии и физики.
1. Площадь S квадрата является
функцией длины а его стороны: S=a2.
2. Объем V шара можно выразить
через радиус R шара: V—^-tzR3.
3. Объем V конуса с данной высо-
высотой h зависит от радиуса г его основа-
основания:
V = ~Kr>h; A.1.1)
если же считать, напротив, известным
г, то та же формула A) выразит за-
зависимость объема V конуса от его вы-
высоты h.
4. Путь 2, пройденный свободно па-
падающим телом, зависит от времени t,
протекшего с момента, когда началось
падение. Эта зависимость выражается
формулой
где |f»9,8 м/с2 — ускорение свободного
падения.
5. Сила тока i зависит от сопротивле-
сопротивления R проводника: при дайной раз-
разности потенциалов и
и
if-
A.1.3)
Можно было бы привести еще мно-
множество примеров такого рода.
В математике функциональная за-
зависимость чаще всего задается форму-
формулами, например:
У-
У-
¦- Sxs — ж2 — х,
х—1
A.1.4)
или у = ¦
(здесь всюду у — функция аргумента х).
Формула дает способ вычисления зна-
значения функции при каждом заданном
значении независимой переменной.
Иногда этот способ предполагает ис-
использование таблиц или иных техниче-
технических средств. Так, в последнем из
примеров D) для вычисления значения
функции нам придется извлечь квадрат-
квадратный корень из числа, скажем, с по-
помощью таблицы квадратных корней
или с помощью специального вычисли-
вычислительного устройства.
В физике и технике функциональные
зависимости чаще всего фиксируются
на шкалах измерительных приборов;
так, движение стрелки спидометра ав-
автомобиля, наблюдаемое одновременно
со стрелками Ваших часов, фиксирует
функциональную зависимость скоро-
скорости автомобиля от времени. Но и здесь
часто функцию можно с достаточной
степенью точности записать простой

§ 1. Функциональная зависимость
17
формулой: например, если разность по-
потенциалов в электрической цепи оста-
остается постоянной, то наблюдаемая экс-
экспериментально («считываемая» со шка-
шкалы амперметра) зависимость между
силой тока i и сопротивлением цепи R
хорошо передается формулой C). На-
Наличие формулы, связывающей значения
возникающих в физике или технике
величин, означает, что получен з а-
к о н интересующего нас явления; так,
выражаемый формулой C) физический
закон называется законом Ома.
Реально в природе и в технике в боль-
большинстве случаев интересующая пас ве-
величина (функция) зависит от н е-
скольких величин. В последнем
примере (см. C)) сила тока зависит от
двух величин: от разности потенциалов
и и от сопротивления проводника R.
Объем конуса (см. A)) зависит от его
высоты h и от радиуса основания г.
Считая заданными (и постоянными) все
величины, кроме одной, мы изучаем
зависимость функции от одной перемен-
переменной; в данной книге мы в основном
ограничимся функциями одной пере-
менпой. Так, например, взяв данную
аккумуляторную батарею с определен-
определенной разностью потенциалов и, будем
• менять сопротивление проводника R
и измерять силу тока L В такой по-
постановке опыта сила тока зависит только
от сопротивления; величину и в фор-
формуле C) следует рассматривать как
постоянный коэффициент.
Иногда формула такова, что значение
у существует только для х, заключен-
заключенного в определенных пределах. Скажем,
формула y = \jx позволяет найти у
только для неотрицательных значений
х, т. е. для х ^ 0. Если i/=log2 (x—2),
то у существует только для х—2 ^> 0,
т. е. для х ^> 2. В предпоследней из
формул D) приходится считать, что
х=^=—1, а в последней — что Зх+7 ^ 0,
т. е. х > — 7/3^—2,33.
В формулах, возникающих в физиче-
физических, технических, геометрических и
других задачах, ограничения возмож-
возможных значений независимой переменной
иногда вытекают из смысла рассматри-
рассматриваемой задачи. В примерах, приведен-
приведенных в начале параграфа, при вычисле-
вычислении площади квадрата и объема конуса,
конечно, подразумевается, что сторона
квадрата, а также радиус основания
конуса и высота конуса являются по-
положительными величинами. При этом
«умные» формулы зачастую сами пре-
предупреждают нас о возможных грани-
границах значений переменной. Так, фор-
формула для объема конуса при отрица-
отрицательных h дает отрицательное значе-
значение объема, что противоестественно;
во многих формулах теории относи-
относительности скорость v движущегося тела
фигурирует в виде выражения \/с2—г;2,
где с — скорость света, откуда выте-
вытекает, что в теории относительности
всегда v <^ с, и т. д.
В первых трех формулах D) и, ко-
конечно, во многих других никаких огра-
ограничений на величину независимой пере-
переменной не накладывается: х может
быть положительным или отрицатель-
отрицательным, большим или малым. То же отно-
относится и ко многим физическим величи-
величинам: например, электрический ток
удобно считать положительной вели-
величиной, когда электроны преимуще-
преимущественно движутся по проволоке в одно.м
направлении, и отрицательной при про-
противоположном направлении движения
электронов.
Зная формулу, дающую зависимость
у от х, легко составить таблицу значе-
значений у для нескольких произвольно
заданных значений х.
Составим таблицу, отвечающую
функции г/=3я3—х2—х. В верхней
строке приведем выбранные нами зна-
значения х, в нижней строке под каждым
данным х выпишем соответствующее
значение у:
X
у=3х3—х2—х
з
-87
—2
—26
^
-3
0
0
1
1
2
18
3
69
Понятно, что по данной формуле
можно составить и более подробную
таблицу, задавая, например, значения
х=0; 0,1; 0,2; . . . Таким образом,
формула «сильнее» любой таблицы. Фор-
Формула содержит не только те сведения,
которые приведены в данной таблице,
но позволяет найти значения функции
также и при значениях независимой
переменной, не содержащихся в таб-
таблице. С другой стороны, таблица удоб-
удобнее формулы, так как с ее помощью
можно быстрее найти значение у при
данном х, если это значение х есть
в таблице. Таблица также «нагляднее»

18
Гл. 1. Функции и графики
сложной формулы, по которой зача-
зачастую трудно оценить значения, при-
принимаемые функцией; однако простая
формула, при некоторой привычке
в чтении таких формул, часто позво-
позволяет быстрее представить себе ход
функции, чем невыразительный ряд
чисел (таблица).
В естественных науках и в технике
часто встречается такое положение,
когда теории интересующего нас явле-
явления еще нет и физик (или химик, био-
биолог, техник) может указать только ре-
результаты проделанных им опытов —
зависимость исследуемой величины от
величины, задаваемой при постановке
опыта. Так обстоит дело, например,
при исследовании зависимости сопро-
сопротивления проводника от его темпера-
температуры. В этом случае функциональная
зависимость может быть задана только
в виде таблицы, суммирующей резуль-
результаты опыта.
Из опыта известно, что для данного
проводника (из данного материала, дан-
данного сечения и данной длины) электри-
электрическое сопротивление зависит от тем-
температуры проводника. При каждом
значении температуры Т проводник
имеет определенное сопротивление R,
так что можно говорить о том, что
сопротивление R есть функция темпе-
температуры Т. Проводя измерения, можно
найта значения R при различных Т
и таким образом найти зависимость
R (Т); при этом результатом опытов
является таблица, в которой даны
значения R при различных Т, напри-
например, следующая:
и составим по этой формуле следующую
таблицу:
Т (в °С)
Л (в Ом)
0
112,0
25
118,4
50
124,6
75
130,3
100
135,2
Если нас интересуют значения R
при температурах, не входящих в таб-
таблицу, то в принципе нужны дополни-
дополнительные измерения, так как точная
формула, дающая зависимость R от Т,
неизвестна. Однако практически всегда
можно подобрать приближенную фор-
формулу, хорошо согласующуюся с опытом
для тех температур, при которых про-
проведены измерения. Возьмем, например,
соотношение
Д = 112,0+ 0.272Г — 0,0004Г2 A.1.5)
Т (в °С)
R (в Ом)
0
112,0
25
118,55
50
124,6
75
130,15
100
135,2
При тех температурах, при которых
проделаны измерения, формула E) дает
значения R, очень близкие к наблю-
наблюдаемым на опыте. Поэтому законно
предположение, что и при промежуточ-
промежуточных температурах (например, при Т=
=10, 80 или 90° G) эта формула также
правильно описывает функциональную
зависимость R (Т). Математики фор-
формулируют последнее утверждение, го-
говоря, что найденная зависимость R (Т)
не дает больших ошибок при интерпо-
интерполяции, т. е. при переходе от известных
значений R к новым, промежуточным
между уже имеющимися (латинское
слово interpolare означает «подновлять»).
При этом зависимость E) сопротивле-
сопротивления R от температуры Т называют
эмпирически найденным законом, или
эмпирической формулой. (Прилагатель-
(Прилагательное «эмпирический» (от греческого слова
empeiria — опыт) означает «опытный»,
«полученный опытным путем».) Однако
эмпирическая формула нуждается, ра-
разумеется, в проверке: погрешность, по-
получаемая при ее использовании, может
оказаться и довольно значительной
(ясно, что надежность эмпирической
формулы будет тем выше, чем более
густой является сетка тех наблюдаемых
значений переменной, исходя из ко-
которых мы подбирали данную формулу).
И совсем уж нежелательно использо-
использование эмпирической формулы за пре-
пределами исследованного интервала зна-
значений независимой переменной (такое
продолжение формулы называется эк-
экстраполяцией — от латинской ча-
частицы ех, т. е. «вне»): это может при-
привести к большим ошибкам. Так, на-
например, мы не можем применять фор-
формулу E) при Т——200° С или при
Г=500° С, поскольку у нас нет ни-
никаких оснований ожидать, что при
всех Т зависимость R (Т) имеет
вид E), т. е. является квадратич-
квадратичной (выражается квадратным трехчле-
трехчленом).

§ 2. Координаты. Расстояния и углы, выраженные в координатах
19
§ 2. Координаты. Расстояния и углы,
выраженные в координатах
Для наглядного изображения функ-
функциональной зависимости с помощью
рисунка (графика) пользуются (пря-
(прямоугольными декартовыми) координа-
координатами. Проведем на плоскости две
взаимно перпепдикулярные прямые: ось
х, или ось абсцисс, которая обычно рас-
располагается горизонтально, и ось у,
или ось ординат, которую проводят
вертикально; точка О пересечения осей
называется началом координат. Обычно
представляют себе, что плоскость, на
которой проведены оси х и у, постав-
поставлена перед Вами вертикально, как
стена, против которой Вы сидите.
При этом ось х оканчивается стрелкой,
направленной слева направо, а ось
у — стрелкой, направленной снизу
вверх. Эти стрелки указывают, что
отрезок ОР оси х считается положи-
положительным, если он идет от О к Р слева
направо, и отрицательным, когда Р
лежит левее О; аналогично, отрезок OQ
оси у будет положителен, если Q лежит
выше О, и отрицателен в обратном
случае.
Каждой паре значений х ж у, скажем
х—2, г/=4, отвечает на координатной
плоскости одна точка. Для того чтобы
ее построить, достаточно отложить по
осям абсцисс и ординат отрезки ОВ=2
i/
?
Ш
/ В
+ J7
Рис. 1.2.1
Рис. 1.2.2
и ОС=4 (причем эти отрезки направ-
направлены вправо и вверх соответственно,
ибо у нас и х и у положительны (рис. 1)).
Восставив в точках В и С перпенди-
перпендикуляры к осям координат Ох и Оу,
мы получим в пересечении этих осей
точку А (х—2, г/=4), или, короче,
точку А B, 4) (рис. 1). Обратно, чтобы
найти координаты произвольной точки
А плоскости, достаточно мысленно опу-
опустить из А перпендикуляры А В я АС
на оси координат и «прочесть» значе-
значения х и у, отвечающие точкам В я С
(эти значения равны длинам отрезков
ОВ и ОС, взятым с соответствующими
знаками). При этом в четырех четвер-
четвертях (или «квадрантах») I, II, III, IV,
Рис. 1.2.3
! О
6-.—
кго.п
^
на которые оси координат делят пло-
плоскость (рис. 2), знаки координат бу-
будут таковы: (+, +) (т. е. положитель-
положительная абсцисса х и положительная орди-
ордината у), (—, + ), (—, —) и (+, —)
соответственно. Оси абсцисс Ох отве-
отвечает значение у —0, а оси ординат —
значение х=0; начало координат О
имеет координаты @, 0). На рис. 3
изображены несколько точек и выпи-
сапы их координаты.
Полезно научиться быстро опреде-
определять на глаз приближенные значения
координат заданных на рисунках то-
точек и легко находить точки, отвечаю-
отвечающие тем или иным известным нам
значениям координат. Практически
удобно находить точки и строить гра-
графики с помощью миллиметровой бумаги,
на которой уже заранее проведена
сетка взаимно перпендикулярных ли-
линий. Так, например, мы рекомендуем
читателю постараться, не прибегая ни
к каким вспомогательным построениям,
назвать координаты изображенных на
рис. 4 точек А—N.
Задание двух чисел — значений х
иг/ — определяет положение точки на
плоскости. Поэтому и все геометриче-
геометрические величины, относящиеся к этой
точке, можно выразить через коорди-
координаты точки.
Найдем, например, расстояние г
точки А с координатами х и у от на-
начала координат, т. е. длину г отрезка
О А, соединяющего начало координат О
с точкой А (рис. 5), а также угол а
между прямой ОА и осью абсцисс.
Опустим из А перпендикуляры А В
иЛСна оси координат. Длина отрезка
ОВ равна | х |, длина отрезка А В равна

20
Гл. 1. Функции и графики
длине ОС, т. е. \ у \. Из прямоуголь-
прямоугольного треугольника ОАВ по теореме
Пифагора находим
(О АJ = г2 = (ОВJ + (А ВJ = х2 + у2.
'-/
/V
•М
Рис. 1.2.4
Таким образом,
Рис. 1.2.5
г = \]х~ -f у2.
A.2.1)
Далее, по определению тангенса угла,
имеем
АВ __ у
ОВ ~~ х •
¦ У. :
A.2.2)
Так, например, пусть ж=2, г/=3
(см. рис. 5). Тогда
Заметим, что угол а отсчитывается
от положительного направ-
направления оси х в направлении, проти-
противоположном движению часовой
Д{-2 21
отсчитывать углы от положительного
направления оси х в направлении,
совпадающем с направлением
движения часовой стрелки, но считая
их при этом отрицательными;
при таком соглашении для точки В
имеем а = —45°, а для точки С полу-
получаем а =—135°. Другими словами, мы
можем считать, что угол а изменяется
либо в пределах от 0 до 360° (причем
значения 360° он не принимает, ибо
тут удобнее считать а=0°), либо от
—180 до 180°, причем значения а =
= —180° и а = 180° отвечают точкам,
принадлежащим «отрицательной полу-
полуоси» оси х (причем здесь законны оба
эти значения а).
Формула B) в этом отношении не
полна: она не позволяет установить,
расположена ли рассматриваемая точка
в I или в III четверти координатной
плоскости (или попадает ли она во II
или в IV четверть), поскольку в этих
четвертях тангенс имеет один и тот же
знак. Для того чтобы полностью опре-
определить величину а, надо еще учесть
знаки х и у, позволяющие определить
четверть, в которой находится точка,
или воспользоваться более полными,
чем B), но и более сложными форму-
формулами:
Рис. 1.2.6
стрелки. Поэтому, например, если у = 2,
ж=—2 (см. точку А на рис. 6), то угол
а — тупой, tga = —^- = —1, a = 135°.
Когда точка лежит ниже оси х, то
угол а оказывается большим 180°:
так, для точек В B, —2) и С (—3, —3)
(см. рис. 6) имеем а=315° (точка В)
и a = 225° (точка С). Так как столь
большие углы иногда оказываются не-
неудобными, то в этих случаях можно
cos a = -
где
sin a = — ,
A.2.2а)
Легко решить и обратную задачу:
пусть дано, что точка А находится на
заданном расстоянии г от начала ко-
координат О и отрезок ОА образует угол
а с осью х (подразумевается — с по-
положительной, правой частью оси х).
Требуется найти координаты точки А.
Из рис. 5 получаем:
ж = г cos ос, г/=== г sin a. A.2.3)
Эти формулы верны без всяких исклю-
исключений, для любых положительных и
отрицательных углов а: они правильно
указывают знаки х и у в любой чет-
четверти.
Ясно, что положение точки А на
плоскости можно фиксировать, указав
два числа х и у, а можно вместо этого
задать расстояние г и угол а. Числа г
и а называют полярными координатами
точки А; при этом точку О называют
полюсом полярной системы координат,
а луч Ох — полярной осью (ось Оу

§ 2. Координаты. Расстояния и углы, выраженные в координатах
21
п определении полярной системы ко-
координат не участвует). Таким образом,
формулы Bа) и C) указывают правила
перехода от декартовых прямоуголь-
прямоугольных координат точки к соответствую-
соответствующим им полярным и наоборот.
Перейдем к задачам, связанным
с двумя точками Аг и А2; координаты
первой точки обозначим хх, ух, коорди-
координаты второй точки — х2, у2 (рис. 7).
Найдем расстояние г12 между этими
точками и угол ос12 между отрезком
АгА2 и осью х х.
Удобно провести через точку Ах
прямую, параллельную оси х, а через
точку А.-, — прямую, параллельную оси
у (на рис. 7 они проведены пунктиром,
а точка их пересечения обозначена
буквой В). При этом в треугольнике
АгА2В отрезок АгВ равен | х2—х1 |,
а отрезок А2В равен | у2—уг \. По-
Построение \АгА2В подобно построению
Л ОАВ на рис. 5.
У
Рис. 1.2.7
/7
По теореме Пифагора
г12 = yj(x2 — xxf -{- (у2 — yj2. A.2.4)
Угол а12 находится из условия
*,„„ _ U". — Ух
A.2.5)
пли (ср. Bа)) из
cos a.
ми
^ — хх)- — (г/2 — УхJ '
A.2.5а)
;/2 — Ух __
'¦ г,,
//г — г/i
* Значки снизу букв называются индексами
(по-латынп «индекс» значит «указатель»). Чи-
Читается такое выражение: хх — икс-один, А2 —
а-два. Одинаковые буквы с разными индек-
индексами применяют вместо разных букв для того,
чтобы показать, что речь идет о похожих
(но в то же время разных) величинах. Так, на-
например, величины х1 и хг обе являются «ик-
«иксами» — абсциссами, но относятся к разным
точкам. Величины, обозначаемые разными
буквами, но с одинаковым индексом, отно-
относятся к одной п той же точке: Аг — обозначе-
Читатель должен убедиться, что
формулы D), E) и Eа) правильны при
любых знаках всех четырех величин
хх, у±, х2, уг и при любых соотноше-
соотношениях между координатами: может быть
Рис. 1.2.8
х1 > х2 или хх < х2,
Так, например, рис
случай Xj_ <^ 0, х2
А{
> у„ или у1 < у2.
8 иллюстрирует
случай Xj_ <^ 0, х2 > 0. Здесь Ах —
=Аг{—2, 1) и А2=А2 C, 3). В этом слу-
случае длина отрезка АгВ равна сумме
абсолютных величин | хх |=2, | х2 |=3,
но это как раз и соответствует общей
формуле
АгВ = x2-Xl = 3 - (-2) = 5.
Аналогично правильны и выражения
ДЛЯ Г12 И lg ОС.
точки A,1); (—1,1);
E, 1);
A, -5);
@, — 4);
Упражнения
1.2.1. Изобразите
(-1, -1); A,-1).
1.2.2. Изобразите точки A, 5);
(-1, 5); (-5, 1); (—1,-5); (-5,-1); A, -5);
E, -1).
1.2.3. Изобразите точки @, 4);
D, 0); (-4, 0).
1.2.4. Найдите расстояние от начала ко-
координат д угол а для точек A, 1); B, —2);
(-3, -3); (-4, 4).
1.2.5. Найдите расстояние между парами
точек: Ах A, 1) и А2 A, -1); Ах A, 1) и
А2 (-1, -1); Аг B, 4) и А2 D, 2); Ах (-2, -4)
и А2(-4, —2).
1.2.6. Выпишите координаты вершин квад-
квадрата со стороной а, если диагонали квадрата
совпадают с осями х и у.
1.2.7. Выпишите координаты вершин пра-
правильного шестиугольника со стороной а,
если одна из его диагоналей совпадает с осью
х, а центр лежит в начале координат.
1.2.8. а) Выпишите координаты вершин
равностороннего треугольника со стороной а,
ние некоторой точки, хх — ее абсцисса, у1 —
ордината. Иногда при букве ставят и два
индекса: так, например, г12 (читается: эр-один-
два, а не эр-двенадцать) — это расстояние
между первой (А^) и второй (А2) точками.

22
Гл. 1. Функции и графики
основанием, принадлежащим оси х, и верши-
вершиной противолежащего угла на оси у. б) Решите
ту же задачу для случая, когда основание при-
принадлежит оси х, а вершина одного из углов
совпадает с началом координат.
1.2.9. Дана точка А± с координатами хи у±.
Выпишите координаты точек А%, А3 и Ait
симметричных Аг относительно соответственно
осей х и у и относительно начала координат О.
§ 3. Графическое изображение функций.
Уравнение прямой
Как мы знаем из § 2, каждой паре зна-
значений величин хну соответствует
определенная точка плоскости. Если у
есть функция от х, то каждому значе-
значению х отвечает определенное значение у.
Следовательно, задаваясь многими раз-
различными значениями х, мы найдем
различные соответствующие им у, п
эти пары значений (х, у) дадут много
точек на плоскости. Если увеличивать
число отдельных значений х, беря их
все более близкими между собой, то
в конце копцов точки сливаются в сплош-
сплошную кривую. Эта кривая называется
графиком функции.
Обычно достаточно нанести на гра-
график несколько точек, после чего про-
промежуточные точки и весь график функ-
функции можно получить, соединяя плав-
плавной линией нанесенные точки. Однако
У,
Пусть, например,
О
Рис. 1.3.1
Рис. 1.3.2
для того чтобы не сделать при этом
грубых ошибок, нужно иметь общее
представление о виде кривых, изобра-
изображающих различные функции. Мы нач-
начнем с изучения нескольких типичных и
наиболее важных функций.
Рассмотрим так называемую ли-
линейную зависимость
Построим несколько точек графика ли-
линейной зависимости; соответствующие
значения х и у приведены ниже:
X
У
0
3
2
5
3
7
Изобразим эти точки на плоскости
(рис. 1). Бросается в глаза, что все
наши точки лежат на одной прямой.
В таком случае, проводя эту прямую
линию (отсюда название «линейная за-
зависимость», «линейная функция»), по-
получим полный график функции: для
любого х соответствующая точка (х, у)
принадлежит прямой, соединяющей ка-
какие-либо две точки графика.
Как доказать, что для любой функ-
функции вида y=kx-\-b (при любых А- и Ъ)
все точки ее графика принадлежат одной
прямой? Поставим следующий вопрос:
как, зная координаты трех точек Ау.
А2 ж As, выяснить (без построения,
путем вычисления), лежат ли эти точки
на одной прямой или нет? Очевидно,
что если угол <х12 отрезка АгА2 с осью
х равен углу а13 отрезка АгА3 с осью х,
то отрезки АХА2 и АгА3 принадлежат
одной прямой, а если это не так, то
не принадлежат. На рис. 2 показан
случай, когда а13 ^> а12 и точка Аг
лежит выше продолжения прямой Л,Л2;
из этого же рисунка видно, что если
бы а13 было равно а12, то точка А3 ле-
лежала бы на прямой, продолжающей
отрезок А.^А2.
Из выражения B.5) для тангенса
угла а следует, что при а12 = а]3 ко-
координаты точек Ах, А2 и А3 связаны
соотношением
A.3.2)
y=zkx-\- b.
A.3.1)
У г — Hi __ Уз — У\
Не обращаясь к тригонометрии, можно
сказать, что условие B) — это условие
подобия двух прямоугольных треуголь-
треугольников АгА2В и АгА3С (см., рис. 2).
Подобие треугольников и приводит к ра-
равенству углов при вершине Ах.
Соотношение B) применимо и в том
случае, когда точка Ах лежит между
точками А2 и А3 (рис. 3): если три
точки лежат на одной прямой, то из

§ 3. Графическое изображение функций. Уравнение прямой
23
подобия Д АгА2В и Д АХА3С следует
пропорция B). В примере, изображен-
изображенном на рис. 3, х3—хх < 0, у3—ух < О,
но отношение их положительно и равно
отношению двух положительных вели-
величин хг—хх и у2—ух.
С
Рис. 1.3.3
Теперь проверим, что условие B)
выполняется для любой тройки точек
графика линейной функции A). Рас-
Рассмотрим две точки А (хх, ух) и В (х2, у2),
координаты которых удовлетворяют
уравнению A). В этом случае ух =
=kxx + b, a у2=кх2+Ь и у2—ух=кх2+
-\-Ъ—(kx1Jrb)=k (хо—хх), откуда
Отношение оказалось не зависящим от
хх и х2. Следовательно, и для любой
другой пары точек графика, в частно-
частности для пары точек А (хх, ух) и С (х3, у3),
получим также
х3 — хг хг — хх '
Значит, для любых трех точек гра-
графика А (хх, ух), В (х2, у2) и С (х3, у3)
имеет место соотношение B), т. е.
любые три точки лежат на одной пря-
прямой, а, следовательно, одной прямой
принадлежат все точки графика ли-
линейной функции у=кх-\-Ъ. Значит, гра-
графиком функции у=кх-\-Ъ является
прямая линия; эту линию мы часто
будем кратко называть «прямой у=
=кх-\-Ы (в нашем случае ее также
можно назвать «линией (или прямой)
Уравнение у=кх-\-Ъ называют урав-
уравнением прямой. Коэффициент к опре-
определяет угол между прямой и осью х.
Подставляя в уравнение х~0, получим
у = 6. Значит, одна из точек прямой —
это точка (О, Ь); эта точка лежит на
оси у на высоте Ъ над началом коорди-
координат (если Ъ <^ 0, то точка лежит под
началом координат). Таким образом,
Ъ — это ордината точки пересечения
прямой с осью у (иногда величину Ъ
называют «начальной ординатой» пря-
прямой), | Ъ | — длина отрезка, отсекае-
отсекаемого прямой на оси ординат (в случае,
изображенном на рис. 1, Ь=1).
Для того чтобы построить прямую,
соответствующую данному уравнению,
не нужно вычислять координаты боль-
большого числа точек и наносить их на
график: ясно, что если построены две
точки, то тем самым полностью опре-
определена прямая, проходящая через эти
точки. Можно, например, всегда брать
две точки (х=0, у=Ъ) и (х = 1, у = Ъ-\-к)
и проводить прямую по этим точкам.
Можно в качестве второй точки взять
точку пересечения прямой с осью х
(т. е. точку х=х0, у=0). Из условия
у = кх0 4-6 = 0 найдем х0 = г .
Полезно так поупражняться в по-
построении графиков, чтобы сразу, с од-
одного взгляда на уравнение, примерно
представить себе общий вид соответ-
соответствующей линии, так сказать, «ход»
интересующей нас функции.
Для линейной функции, графиком
которой является прямая линия, это
совсем легко. Ведь на самом деле ход
прямой зависит только от двух вели-
величин к и Ъ, входящих в уравнение пря-
прямой. Таким образом, нужно разобрать
не так уж много вариантов: к может
быть положительно или отрицательно;
к может быть большим или малым по
абсолютной величипе (больше 1 или
меньше 1); Ъ может быть положитель-
положительным или отрицательным.
Покажем, как проводится такое ис-
исследование.
Начнем со случая Ь=0, т. е. с урав-
уравнения у—кх. Соответствующая прямая,
очевидно, проходит через начало ко-
координат, т. е. через точку х=0, у~0.
На рис. 4 показано несколько прямых
с различными значениями к, обозначен-
обозначенными на обоих концах каждой прямой.
Проверьте правильность проведения
каждой прямой, и тогда Вы убедитесь
в правильности следующих общих вы-
выводов:
1) если к > 0, то прямая лежит в I
и III четвертях; если к < 0 — во II
и IV четвертях;

24
Гл. 1. Функции и графики
2) при к = 1 прямая лежит в I и III
четвертях, причем луч, принадлежа-
принадлежащий I четверти, образует угол а =45°
с осью х, т. е. делит пополам угол
между осью х и осью у (напомним, что
под словами «угол с осью х» подразу-
подразумевается угол с положительным на-
направлением оси х, показанным стрел-
стрелкой). Продолжение прямой, лежащее
я-///
Рис. 1.3.4
Я'/
в III четверти, образует с осью х угол
а = —135° — в этом случае прямая
является биссектрисой I и III коорди-
координатных углов\
3) при к=— 1 часть прямой, лежащая
во II четверти, образует угол а = 135с
с осью х, а продолжение прямой в IV чет-
четверти — угол а = —45°; прямая явля-
является биссектрисой II и IV координат-
координатных углов;
4) если \ к | < 1, прямая идет по-
полого, т. е. ближе к оси х, чем к оси у,
и тем более полого, чем меньше \к\.
Если \к\ > 1, прямая идет круто:
ближе к оси у, чем к оси х (тем круче,
чем больше \к\).
Число к, характеризующее «крутизну»
прямой, задаваемую углом а, образо-
образованным прямой с осью х, называется
угловым коэффициентом, или наклоном,
прямой; мы чаще будем употреблять
краткий термин «наклон».
Теперь, когда это усвоено, мы можем
перейти к общему случаю: 6=^0. Пусть
имеются две прямые: прямая у = кх
(например, у=0,5х; рис. 5), в уравне-
уравнении A) которой 6 = 0, и прямая с тем же
наклоном к, но с 6=^=0 (например, пря-
прямая г/=0,5я+2). Для удобства мы
будем писать 1: уо=О,5х, у2=0,5х-\-2.
1 Здесь мы пользуемся индексами несколько
иначе, чем раньше. Величина у0 относится
к целой прямой, это не ордината определен-
определенной точки, а ордината произвольной точки
определенной прямой — той, которой отве-
отвечает значение 6=0; точно так же запись у2
При каждом данном х величина г/2
на две единицы больше у0. Значит,
точки прямой у2 получаются из точек
прямой у0 с тем же х сдвигом на две
единицы вверх. Поэтому прямая г/2
параллельна прямой у0 и лежит в ы-
ш е нее на две единицы. Очевидно,
что такое правило справедливо при
любом Ъ (если b <^ 0, то прямая лежит
Рис. 1.3.5
н и ж е начала координат, ниже со-
соответствующей прямой у=кх).
Усвоив, как идут прямые с уравне-
уравнениями у=кх при различных к, мы те-
теперь легко представим себе общий ход
прямой у=кх-\-Ъ с любыми к и Ь.
Упражнения для тренировки даны
в конце параграфа. В частном случае
к=0 получается уравнение у=Ъ (под-
(подразумевается, что у = Ъ при любых
значениях х), чему соответствует го-
горизонтальная прямая, наклон которой
равен нулю (рис. 6).
Можно представить себе пешехода,
идущего по прямой слева направо,
V
Рис. 1.3.6
в сторону возрастающих значении х.
Если к > 0, то пешеход поднимается
в гору (наклон положителен); если
к < 0, пешеход идет под гору (отри-
(отрицательный наклон); если к=0 (случай
нулевого наклона), то путь пешехода
проходит по ровной местности — он
горизонтален.
Наклон к указывает отношение из-
изменения функции к соответствующему
изменению аргумента функции. В са-
самом деле, для любых двух точек
относится к прямой с начальной ординатой
6=2. Таким образом, здесь у0 и у2 — это
не числа, а функции; уо=уо (я) и 1/2=1/2 ix)-

§ 4. Обратная пропорциональность и гипербола. Парабола
25
А (х1. Цу) и В (х2, у2) графика линейной
функции имеем
— У
Ъ —
Ъ)
Х2 — Х1
Такое отношение мы уже вычисляли
выше, когда доказывали, что линейная
функция на графике изображается пря-
прямой линией. В общем случае произволь-
Рис. 1.3.7
ной функции у (х) аналогичная вели-
I/ {Хп) — U (Хл)
чина ' ' равна тангенсу угла
между отрезком, соединяющим точки
{х1, у (xj)) и (х2, у (х2)), и осью абс-
абсцисс (рис. 7, а).
Линейная функция отличается тем,
что для нее эта величина одинакова для
любой пары точек: она не зависит пи
от .г2, ни от х1 (рис. 7, б). Поэтому и
получается, что все точки графика ли-
Рис. 1.3.8
пенной функции принадлежат одной
прямой.
Заметим еще, что прямая, парал-
параллельная оси у (такая прямая пе яв-
является графиком никакой функции),
записывается уравнением х = а (под-
(подразумевается, что х = а, а у может быть
каким угодно; см. рис. 8, где а <^ 0).
Угловой коэффициент к такой прямой
уместно считать бесконечным (к=со):
ведь в этом случае отношение к =
= ^2—yi)l{xi—x1) где {хх,уг) и (х2,у2)
— точки нашей прямой, будет иметь
вид с/0 (прямая х = а — прямая бес-
бесконечного наклона).
Теперь легко найти уравнение пря-
прямой, проходящей через данную точку
М (х0, у0) и имеющей известный наклон к.
Такое уравнение будет иметь вид A)
(где к нам известно, а Ь — пока нет),
причем ему должны удовлетворять зна-
значения х=х0, у=у0 (рис. 9). Это уже
O'J/0'
Рис. 1.3.9
подсказывает, как будет выглядеть тре-
требуемое уравнение — его вид таков:
у—уо = к(х—ха),
или
у = кх-}г(у0—кх0).
A.3.3)
A.3.3а)
В самом деле, наклон прямой (За),
или C), равен к; с другой стороны,
подстановка в обе части C) значений
х=х0 и у=у0 обращает это равенство
в тождество 0=0.
У прояснения
1.3.1. Выясните, лежат ли на одной пря-
прямой или пет тройки точек: Аг @, 0), А2 B, 3),
А3 D, 6); А1 @, 0), Аг B, 3), А3 (-2, -3);
Аг B, -3). А2 D, -6), А3 (-2, 3).
1.3.2. Постройте прямые: у=3х; г/=Зх+2;
у = 3х—1; у=2—х; у=2—0,5а:; у=х—3.
1.3.3. Найдите уравнение прямой: а) про-
проходящей через точку А A, —1) и имеющей
наклон —1; б) проходящей через точку ВB,3)
и имеющей наклон 2.
tj I.3.4. Докажите, что уравнение каждой
прямой ненулевого (и не бесконечного) на-
наклона (прямой, пе параллельной осям коорди-
х у
нат) может оыгь записано в виде — -f- -j- = 1
(уравнение прямой в отрезках на осях).
Какой геометрический смысл имеют фигури-
фигурирующие в этом уравнении величины а и 6?
§ 4. Обратная пропорциональность
и гипербола. Парабола
Напомним прежде всего понятие прямой
пропорциональности двух величин. За-
Зависимость
у = кх A.4.1)

26
Гл. 1. Функции и графики
(геометрически она, как мы знаем,
выражается прямой линией) означает,
что у изменяется пропорционально х:
во сколько раз увеличивается х, во
столько же раз увеличится и у. Дру-
Другими словами, для любых точек
А (хг, Ух) и В (х2, г/2), координаты ко-
а
0 .rt
Рис. 1.4.1
торых удовлетворяют зависимости A),
всегда
У\ ^ *г
У\ ац
(рис. 1, а). Говорят еще, что формула A)
выражает прямую пропорциональность
между у и х (с коэффициентом пропор-
пропорциональности к). Более общее урав-
уравнение
— кх-\-Ь
A.4.1а)
характеризует пропорциональность
(прямо пропорциональную зависимость)
между приращениями х2—х1
независимой переменной и отвечаю-
отвечающими им прир ащениями
Уг—2/i функции: для любых двух при-
приращений х2—хх и я4—xs аргумента
функции Aа) отвечающие им прираще-
приращения самой функции будут пропорцио-
пропорциональны приращениям аргументов
(рис. 1, б):
Уг — Vi „У4 — У» __^
ajj — Х\ х& — х$
Другой часто встречающийся вид за-
зависимости между у ж х описывается
формулой
к
A.4.2)
Такая зависимость называется об-
обратной пропорциональностью (с коэф-
коэффициентом к) между у и х: здесь если
точки A (arlt уг) и В (я2, у2) удовлетво-
удовлетворяют уравнению B), то х2 во столько
раз больше хг, во сколько уг
меньше ух:
У\
Уг
(иоо
к к
"*¦ х2 Xi
Заметим еще, что отношения прямой
и обратной пропорциональности двух
величин взаимны: если у прямо (об-
(обратно) пропорционально х, то и х
прямо (обратно) пропорционально у.
Однако в то время как коэффициент
прямой пропорциональности, связы-
связывающей х с у, обратен коэффи-
коэффициенту (прямой же) пропорциональ-
пропорциональности между у и х (если ;/ = &?, то
х = -г-У)> в случае обратной пропор-
пропорциональности величин у и х коэффи-
коэффициенты (обратной) пропорциональности,
связывающие у с х и х с у, одина-
одинаковы (е '
Линия, уравнение которой имеет вид
B), называется гиперболой х. На рис. 2
изображена «единичная гипербола»
1
У=-^ > A.4.2а)
а ниже приведены значения у при не-
некоторых значениях х:
X
У
—1
—1
-0,1
—10
—0,01
—100
-0,001
—1000
0,001
1000
0,01
100
0,1
10
1
1
1 Или равнобочной гиперболой, поскольку
«гиперболами» математики называют линии,
несколько более общие, чем кривая B). Мы,
однако, нигде не встретимся с этими «общими
гиперболами» и потому прилагательное «рав-
«равнобочная» будем отбрасывать.

§ 4. Обратная пропорциональность и гипербола. Парабола
27
Особенность гиперболы состоит в том,
что при х малом положительном у
очень велико, а при малых отрица-
отрицательных х значения у также отрица-
отрицательны и по абсолютной величине (по
модулю) очень велики.
Эту особенность кривой Bа) (или
общей кривой B)) иногда выражают,
говоря, что при х=0 мы имеем значение
г/= +со, где знак «+» или «—» зависит
от того, с какой стороны мы подходим
к значению х=0. Точный смысл за-
записи «у= +со при х=0» заключается
в том, что при достаточно малом х
величина у становится сколь угодно
большой по абсолютной величине, при-
причем в зависимости от знака х она мо-
может быть положительной или отрица-
отрицательной (символ оо читается как «бес-
«бесконечность»; разумеется, это не число).
При этом чем меньшее по абсолютной
величине значение х мы выбираем, тем
выше (или при х < 0 тем ниже) рас-
располагается соответствующая точка ги-
гиперболы: обе ветви гиперболы Bа)
«уходят в бесконечность» (положитель-
(положительную или отрицательную) в направлении
оси ординат, неограниченно прибли-
приближаясь к этой оси (ведь абсцисса х
может быть сколь угодно малой по
абсолютной величине!), но никогда ее
не достигая. Аналогично при неогра-
неограниченном росте х по абсолютной вели-
величине (когда х «стремится к +оо» или
«стремится к —оо»; еще раз напоми-
напоминаем, что символ оо не отвечает ника-
никакому числу !) величина у = — становится
сколь угодно малой по абсолютной ве-
величине: гипербола «стремится к бес-
бесконечности в направлении оси ж», не-
неограниченно приближаясь к этой оси и
никогда ее не достигая (причем две ветви
гиперболы приближаются к оси х с раз-
разных сторон). Это свойство гиперболы
выражают, говоря, что прямые х=0
(ось ординат) и у=0 (ось абсцисс)
являются асимптотами гиперболы (от
греческого слова asymptotos — не-
несовпадающий) .
Как видно из рис. 2, гипербола Bа)
состоит из двух частей, или «ветвей»,
отвечающих значениям х ^> 0 и зна-
значениям х <^ 0; эти части разъединены,
не связаны между собой.
Произвольная линия B) получается
из линии Bа) простым преобразованием.
Пусть Ао (х0, г/0) — некоторая точка
линии Bа), т. е. уо = — (см. рис. 3,
на котором линия Bа) изображена штри-
штрихами). В таком случае тому же значению
х = х0 отвечает на линии B), где мы
считаем, что к ^> О, точка А с коорди-
к , 1
натами х0 и у = — = к —, т. е. х = х0,
Хо
х0
/ /
Эта точка получается из точки Ао
«растяжением» вдоль оси у (или «растя-
«растяжением» от оси х) с коэффициентом
растяжения к (т. е. А-кратным увеличе-
увеличением всех вертикальных размеров) —
она в к раз больше удалена от оси х,
чем точка Ао.
Здесь мы считаем, что к > 1; при
к положительном, но меньшем единицы
линия B) будет получаться из линии
Bа) «сжатием» вдоль оси у (шли «сжа-
«сжатием» к оси х), ибо каждая точка будет
ближе к оси х, чем соответствующая
точка линии Bа) (ведь отношение
у :уп=АР : А0Р=к в этом случае бу-
будет меньше единицы) 2.
На рис. 3 изображены линии у = —
(штриховая) и г/ = — (сплошная). Точ-
Точками на том же чертеже изображен гра-
график функции у = ——, отвечающей
отрицательному значению к — —У2; эта
функция отрицательна при положитель-
положительном х и положительна при отрицатель-
отрицательном х.
2 По поводу связи между линиями B)
и Bа) см. также упр. 3.

28
Гл. 1. Функции и графики
Прямая и обратная пропорциональ-
пропорциональности очень часто встречаются в физи-
физических законах. Так, закон Ома A.3)
означает, что сила тока i изменяется
прямо пропорционально разности по-
потенциалов и и обратно пропорционально
сопротивлению R. При заданном R
сила тока i пропорциональна и (с коэф-
коэффициентом пропорциональности -^-1; на-
напротив, при заданном и величина i
обратно пропорционвльна R: здесь i =
=-?-, где роль коэффициента к играет
напряжение и. Аналогично этому простая
зависимость s = vt между путем s,
скоростью v равномерного движения и
временем t показывает, что время t= —
прямо пропорционально пути s и обратно
пропорционально скорости v; давление
газа в силу закона Бойля—Мариотта
обратно пропорционально его объему
и т. д. При этом формулы s = vt и t = —
указывают, что при равномерном движе-
движении путь s пропорционален времени
Рис. 1.4.4
движения t с коэффициентом пропор-
пропорциональности у, в то время как время t
пропорционально пути s с коэффициен-
коэффициентом —: если у = 20 м/с, то коэффи-
коэффициенты рассматриваемых пропорциональ-
ностей равны 20 м/с и 0,05 с/м.
Иначе обстоит дело, скажем, в случае
закона Бойля—Мариотта: PF=const.
Если температура равна 0° С, а объем V
и давление Р измеряются в единицах м3
и Па (паскаль, или ньютон на квадрат-
квадратный метр: 1 Па=1 Н/м2=0,00098 кгс/см2),
то PF=0,8737 Н-м (ньютоно-метр); та-
таким образом, Р обратно пропорцио-
пропорционально F, а V обратно пропорционально
Р, причем в обоих случаях мы имеем
один и тот же коэффициент
пропорциональности 0,8737 Н-м.
Эти примеры хорошо поясняют раз-
разницу между коэффициентами прямой
пропорциональности у—кх и обратной
пропорциональности г/ = —!-. Если ж из-
измеряется в единицах ev а у — в едини-
единицах е2, то к имеет размерность —, и
поэтому к никак не может служить
коэффициентом к' пропорциональности
ж —A'z/, ибо последний должен изме-
измеряться в единицах —. Напротив, к\
имеет размерность ехег, откуда вытекает,
что эта величина может совпадать (и
на самом деле совпадает) с коэффициен-
коэффициентом к[ пропорциональности х = —^-.
Рассмотрим теперь квадратичную
функцию у = ах2-'гЬх-\-с. Начнем с про-
простейшего случая: пусть
у = ах2, A.4.3)
где коэффициент а может быть любым.
Примем сначала для простоты, что
а = \, т. е. рассмотрим линию 3
у = х2. A.4.3а)
Каковы общие свойства этой функции?
1. Всегда у > 0, как при х > 0,
так и при х <^ 0; лишь при х=0 мы
имеем у=0. Значит, вся кривая рас-
расположена выше оси х, только в на-
начале координат она касается оси х.
2. Наименьшее значение (минимум)
у достигается при х=0; он равен 0
(на графике минимум изображается са-
самой низкой точкой кривой).
3. Двум одинаковым по абсолютной
величине и противоположным по знаку
значениям х отвечают одинаковые (как
по знаку, так и по абсолютной величине)
значепия у. Значит, кривая симмет-
симметрична относительно оси у.
Кривая (За) изображена на рис. 4
сплошной линией. Эта кривая назы-
называется параболой, — и название «па-
3 Этот случай в определенном смысле можно
считать общим (см. § 8).

§ 4. Обратная пропорциональность и гипербола. Парабола
29
рабола» сохраняется за всеми линиями
C), отвечающими любому значе-
значению а (и даже за более общим клас-
классом линий, как мы поясним ниже).
При каждом положительном а линия
C) обладает теми же свойствами 1—3,
что и линия (За). В самом деле, пере-
переход от уравнения (За) к уравнению C)
во всем аналогичен переходу от «еди-
«единичной гиперболы» Bа) к «общей ги-
¦={х-Лг
Рис. 1.4.5
перболе» B) (с положительным коэф-
коэффициентом к): линия C) получается из
(За) растяжением в а раз вдоль оси у
(см. рис. 4, на котором изображены
параболы у=х2 и у=2х2).
Как будет выглядеть парабола при
а <^ О? Рассмотрим пример а = —2, т. е.
кривую у=—2х2. Кривая изображена
точками на том же рис. 4. Свойства этой
кривой таковы:
1- У <С О ПРИ любых 2=7^=0, т. е. кри-
кривая вся лежит ниже оси х и каса-
касается оси х в начале координат.
2. Функция у достигает наиболь-
наибольшего значения — максимума — при
х=0. Этот максимум равен 0. (На гра-
графике максимум изображается верхней
точкой кривой.)
3. Так же как и в случае положи-
положительного а, кривая симметрична отно-
относительно оси у.
Рассмотрим теперь еще более общее
уравнение
у=.а{х — иJ. A.4.4)
Пусть, например, а = 1, п=3. Соот-
Соответствующая кривая изображена на
рис. 5. Это та же парабола у=х2, но
сдвинутая вправо вдоль оси х на три
единицы.
Это простое обстоятельство обычно
усваивается с трудом. Если дана функ-
функция y=f (x) и мы сравниваем с ней
функцию y—f (x—п), то график второй
функции смещен относительно первого
графика на п единиц вправо.
При этом подразумевается, что в обоих
случаях / — это одна и та же функция;
так, в нашем примере, буква / означает
операцию возведения в квадрат аргу-
аргумента функции, т. е.
f(x2) = (x2J = xi и т. д.
Почему же график смещается вправо?
Поясним это подробнее. Пусть на гра-
графике функции y=f (x) есть какая-то
характерная точка х=х0 (своего рода
«зарубка») — в этой точке график
функции может иметь излом, или функ-
функция может достигать своего максимума,
или просто принимать какое-то фикси-
фиксированное значение у0 (рис. 6). Тогда
на графике новой функции y}=f (х—п)
то же значение или тот же излом по-
появляется, когда аргумент функции /
равен тому же значению х0, что и ранее,
т. е. при х—п=х0. Но это значит, что
координаты «зарубки» теперь таковы:
х=хо-\-п, yo=f (x0). Отсюда видно, что
любая «зарубка» вместе со всем графи-
графиком перемещается вправо: точке (х0, у0)
первого графика отвечает точка
(хо-\-п, у0) второго графика (см. рис. 6,
а также сплошную и пунктирную пара-
параболы на рис. 5, где в качестве «зарубки»
удобно выбрать точку хо=О, г/,,=
=/(zo)=O2=O).
Хотя эти соображения и очень эле-
элементарны, но весьма важно твердо их
усвоить, не просто выучить, а осознать.
У I
Рис. 1.4.6
Первое побуждение, которое возникает
у многих учащихся, — ответить, что
при переходе от уравнения у=х2
к уравнению у=(х—ЗJ кривая сме-
сместится влево: ведь из величины х
мы вычли 3. Надо не пожалеть времени
на разбор примеров, демонстрирующих
ошибочность этого.
Теперь можно сформулировать об-
общие правила.

30
Гл. 1. Функции и графики
1. Кривая у=а (х—пJ имеет вер-
вертикальную ось симметрии, которой
является прямая х=п.
2. Эта кривая при а >¦ 0 лежит
выше оси х и достигает минимума г/=0
при х=п; если же а < 0, то кривая
лежит ниже оси х и достигает макси-
максимума у=0 при х=п.
Рис. 1.4.7
Наконец, есть еще одно видоизме-
видоизменение уравнения, которое не меняет
формы кривой. Рассмотрим функцию
у = а(х — nf-\-m. A.4.5)
Очевидно, что соответствующая кривая
(это тоже парабола!) отличается от
предыдущей (в уравнении которой от-
отсутствовало т) только сдвигом на т
в вертикальном направлении. Поло-
Положение же оси симметрии кривой не
меняется: при а > 0 функция дости-
достигает минимума при х=п, причем зна-
значение функции в точке минимума равно
у=т (ведь вместе со всей кривой сме-
сместился на т и минимум). При а <^ 0
точка х=п, у=т есть точка максимума
кривой.
Приведем два примера (рис. 7):
у=(х—3J+2, у=—{х~ЪУ+2. Оси сим-
симметрии парабол на рис. 7 изображены
точками; точка минимума на рис. 7, а
и точка максимума на рис. 7, б лежат
на пересечении кривой и ее оси сим-
симметрии.
Раскрывая в выражении у—
=а (х—rif+m скобки, запишем
В правой части Eа) стоит многочлен
второй степени. Многочлен второй сте-
степени в общем виде записывается так:
у = ах% -j- Ъх -f- с. A.4.6)
Последнюю формулу можно преобра-
преобразовать так:
ъ \2
)
Следовательно,
откуда и вытекает, что линия F) —
это тоже парабола с осью симметрии
х — — -у— и точкой минимума или мак-
&2
I
симума {—-2^,
С помощью графика параболы можно
разобраться и в решении квадратного
уравнения для различных случаев,
которые при этом возникают. К реше-
решению квадратного уравнения
можно подойти так: рассмотрим линию
— 2апх-\-an2-\-т.
A.4.5а)
и найдем точки пересечения этой линии
с осью х. В этих точках у=0, поэтому
значения х, соответствующие точкам
пересечения, и будут корнями квадрат-
квадратного уравнения.
Но мы знаем, что кривая у=ах2+Ьх+
+с есть парабола. Нам известно, что
у этой параболы есть ось симметрии —
вертикаль х = — ^~, что при а^>0 пара-
парабола имеет точку минимума на оси сим-
симметрии, ордината которого равна ;/:=
= с — -г- (мы смотрим на вторую часть
последней формулы, имеющую привыч-
привычный вид а(х — nf-\-m). «Рога» пара-
параболы при а]>0 обращены вверх.
Ясно, что если минимум лежит выше
оси х, то парабола не пересекает ось х
(рис. 8, кривая 1). Значит, при
а>0, с—?

i 4. Обратная пропорциональность и гипербола. Парабола
31
квадратное уравнение не имеет кор-
корней 4. Если же минимум лежит ниже
оси х, а «рога» параболы поднимаются
вверх, то парабола обязательно пере-
пересечет ось х в двух точках, которые
симметричны относительно прямой ж =
Ъ
= п= т; оси симметрии параоолы
(рис. 8, кривая 2). Значит, при
а>0, c-f <0
¦^ Аа ^
уравнение имеет два корня хх и х2,
изображенных на рис. 8.
Наконец, возможен и промежуточ-
промежуточный случай, когда парабола касается
оси х (рис. 8, кривая 3). Этот случай
достигается при
62 л
Аа
Если постепенно переходить от кривой 2
к кривой 3, поднимая параболу, то
два корня хг и х2 будут сближаться,
пока в момент касания параболы с осью
абсцисс они не сольются в одну точку.
Поэтому в случае с —-г- = 0 говорят не
об одном корне, а о двух равных
(слившихся) корнях уравнения.
Таким же способом рассматривается
и случай а <^ 0, когда кривая имеет
максимум, а «рога» ее обращены вниз.
Предлагаем читателю самому нарисо-
нарисовать кривые и проверить, что при а<^ 0,
с — -т— <^ 0 уравнение не имеет корней;
при а<0, с—j— ^> 0 оно имеет два
корня; при а<0, с — ^— = 0 мы при-
приходим к случаю касания, когда уравне-
уравнение имеет два одинаковых корня.
Обычная формула для корней квад-
квадратного уравнения такова:
т. е. когда Ь2—4ас
следнее выражение
> 0. Запишем по-
потак:
i, 2
-Ъ ± vV — Аас
Та
Уравнение имеет два вещественных
корня в том случае, когда существует
корень квадратный из числа б2—Аас,
4 Здесь под словом «корень» понимается
вещественный корень уравнения; о так называ-
называемых комплексных числах, которым посвя-
посвящены главы 14, 15 третьей части книги, мы
пока просто забываем.
— Аас = —4а (с — -г- J.
0
Отсюда видно, что условие Ь2—4ас
выполняется в двух случаях:
1) а>0, c-g<0; 2) a<0,c-g
Это и есть те два случая существования
двух корней, которые мы получили
выше из рассмотрения кривых.
К вопросу о решении квадратных уравне-
уравнений можно подойти также и несколько по-
другому. Разделим все члены уравнения
Рис. 1.4.8
ax*-\-bx-\-c=0 (где, разумеется, а Ф 0) на а;
мы придем тогда к равенству
х2 + рх -f- q = 0, или ж2 = — рх — д, A.4.7)
Ъ с
где р — — , q = —•. Изобразим на рисунке
графики двух функций:
У1 = х*
(это «единичная» парабола (За)) и
A.4.7а)
A.4.76)
(прямая линия). Ясно, что при тех значениях
х, которые удовлетворяют уравнению G),
мы имеем Уг=у^, т. е. эти значения х отвечают
точкам пересечения параболы Gа) и прямой
Gб)! Но параболу Gа) мы можем нарисовать
(скажем, на миллиметровой бумаге) с боль-
большой точностью; тогда для решения любого
квадратного уравнения достаточно будет про-
провести на том же листе бумаги прямую G6)
(скажем, найдя две какие-либо точки этой
прямой и воспользовавшись затем линейкой),
после чего мы сможем «прочитать» на чертеже
значения корней квадратного уравнения. При
этом прямая G6) может пли пересечь пара-
параболу Gа) в двух точках (как прямая 1 на
рис. 9), или коснуться ее в единственной
точке (иметь с параболой Gа) две совпадаю-
совпадающие точки пересечения (прямая 2 на рис. 9)),
или же может вовсе не иметь общих точек
с Gа) (прямая 3 на рис. 9). Этому отвечают
случаи, когда уравнение G) имеет два (различ-

32
Гл. 1. Функции и графики
ных) корня, два совпадающих корня (т. е.
один корень), ни одного корня соответственно.
Из сказанного можно сделать также сле-
следующее заключение. Мы знаем, что уравнение
ах2-\-Ъх-\-с=0 имеет единственный корень
Ь2
в том и только в том случае, когда с — -^ = 0;
поэтому уравнение x2-\-px-\-q=0 (случай в=1)
Рис. 1.4.9
имеет единственный корень тогда и только
тогда, когда
--?-= 0.
A.4.8)
Таким образом, (8) есть условие касания
прямой G6) и параболы Gа), т. е. прямая
у=кх-\-Ь касается параболы у~х% в том
и только в том случае, когда 5
А:2 + 4Ь = 0. A.4.8а)
В гл. 2 мы выведем то же условие (8а) касания
прямой и параболы другим способом.
Заметим, наконец, что в зависимости
от знака коэффициента а при ж2 пара-
парабола F) будет обращена выпуклостью
вниз (случай а ^> 0) или выпуклостью
вверх (случай а < 0). Это свойство не
зависит от значений и знаков Ъ и с
в уравнении F) параболы.
Рис. 1.4.10
Точное определение выпуклости
таково: выберем на кривой какие-либо
две точки А (хх, г/х) и В (х2, г/2) и про-
проведем через них прямую (рис. 10).
Если часть кривой, расположенная
между этими точками, лежит ниже со-
соответствующего отрезка прямой (ниже
хорды АВ кривой), то говорят, что
5 Ясно, что условие (8) переходит в (8а),
если заменить в (8) —р на & и —q на Ъ.
кривая обращена выпуклостью вниз.
Если часть кривой, расположенная
между точками, лежит выше хорды
АВ, то кривая обращена выпуклостью
вверх.
Характер выпуклости параболы
легко усмотреть из чертежа, но можно
установить и алгебраически. Для этого
выберем два (какие угодно!) значения
хх и х% абсциссы х; им отвечают точки
А (хи уг) и В (х2, у2) параболы, где
Ъ
Найдем теперь координаты середины
М хорды АВ параболы (см. рис. 10).
Можно показать геометрически, что
если АМ=МВ, то координаты точки
М (х0, у0) суть средние арифметиче-
арифметические координат А и В:
Т Х1 + ХЪ „ ,, , У\ + У2
хо — 2 ^о — 2 •
(Это следует из того, что на рис. 10
средняя линия Мх0 трапеции АВх2хг
равна полусумме оснований Ахг и Вх2
трапеции.) Вычислим далее коорди-
координаты точки N (X, Y) параболы, отве-
отвечающей тому же значению X = х0 =
х1 -f- х-г
абсциссы. Здесь
Читатель легко убедится, что
(ибо члены с коэффициентами Ъ
и с взаимно уничтожаются). Но вели-

§ 5. Параболы и гиперболы высших порядков. Полукубическая парабола
33
рис. 1 изображены парабола 3-го по-
под (б б)
чина (fl^LJ положительнаЯпри любых ?ж- i. изображены парабол
V z ) * рядка (кубическая парабола)
xlt х2. Следовательно, при а ^> 0 имеем g
Y <^ у0 — точка на параболе лежит У х
ниже соответствующей (имеющей ту же и парабола 4-го порядка
абсциссу X) точки прямой, т. е. пара- ^ ^
бола обращена выпуклостью вниз; при
а <^ 0, напротив, у0 <^ У, т. е. пара-
парабола обращена выпуклостью вверх.
A.5.2)
У = х*. A.5.3)
Мы видим, что парабола 4-го порядка
C) по виду напоминает обычную (ква-
1ипероола у=— (где мы считаем,
к ^> 0) состоит и'з двух частей, или
«ветвей». Нетрудно видеть, что часть
(«ветвь») гиперболы, отвечающая поло-
положительным значениям х, обращена
выпуклостью вниз, а вторая ветвь ги-
гиперболы обращена выпуклостью вверх
(рис. 11; см. также упр. 4).
а
Упражнения
1.4.1. Изобразите {графики функций у =
3 0,5 1
1.4.2. Изобразите графики функций у =
= х- — 2х + 2, у = 2х2 + 4я.
1.4.3. Покажите, «-что гипербола у = — >
где А1 > 0, может быть^получена из гипер-
1
боЛЫ у =—'.
X
а) растяжением от начала координат О
(гомотетией) с коэффициентом Vk (при к < 1
уместнее говорить не о растяжении, а о сжа-
сжатии); это значит, что если М' и М — соот-
к 1
ветственно точки линий у = — и г/= —,
лежащие на одной прямой с началом коор-
координат О, то ОМ' : ОМ = у/Ъш,
б) растяжением в направлении оси х (или
растяжением от оси у) с коэффициентом А
(и тут при к <^ 1 уместнее говорить не о «рас-
«растяжении», а о «сжатии»).
1.4.4. Докажите алгебраически, что при
к
к > 0 гипербола у = — при г > 0 обращена
выпуклостью вниз, а при я < 0 — выпук-
выпуклостью вверх.
§ 5. Параболы и гиперболы высших
порядков. Полукубическая пара-
парабола
Кривую, являющуюся графиком функ-
функции
у = ах"
A.5.1)
(где п — натуральное число), часто на-
называют параболой порядка п. Так, на
Рис. 1.5.1
дратичную) параболу: она имеет ось
симметрии, которой служит ось у;
в точке х=0 имеет минимум; как и пара-
парабола у=х2, она касается в начале коор-
координат оси х, не пересекая ее.
Парабола 3-го порядка у=х? обладает
другими свойствами. Эта кривая не име-
имеет ни максимума, ни минимума: здесь
увеличение ^всегда влечет за собой
и увеличение у, т. е. при движении
точки по линии слева направо она все
время поднимается. Говорят, что функ-
функция B) при всех х возрастает (здесь
имеется в виду рост функции при уве-
увеличении ее аргумента). Кривая B)
не имеет оси симметрии: значения у
в этом случае отрицательны при отри-
отрицательных х и положительны при поло-
положительных х. Зато у нее есть центр
симметрии, которым служит начало
координат О @, 0). В самом деле, в слу-
случае функции C) равным по абсолют-
абсолютной величине, но противоположным по
знаку значениям х0 и —х0 аргумента
отвечают одинаковые значения
у0=хо самой функции, т. е. каждой
точке А (х0, у0) линии C) отвечает

Гл. 1. Функции и графики
симметричная относительно оси у
точка Аг (—х0, у0) (рис. 1, б). В слу-
случае же функции B) равным по абсолют-
абсолютной величине и противоположным по
знаку значениям х0 и —х0 аргумента
отвечают противоположные
/Т\
-// -qss О
Рис. 1.5.2
Рис. 1.5.3
значения уо=хо и —уо=—хэ0 функции,
так что здесь каждой точке В (х0, у0)
параболы отвечает симметричная отно-
относительно точки О точка В1 (—х0, —у0),
такая, что О является серединой
отрезка ВВ± (рис. 1, а).
На рис. 2 изображена кривая
у = х3-}-х. A.5.4)
Эта кривая также характеризуется тем,
что на любом ее участке при увеличе-
увеличении х увеличивается и у: функция D),
подобно функции у=ж3, растет при всех
х. Кривая D) не имеет ни максимумов,
ни минимумов. Ясно, что подобная кри-
кривая пересекает ось абсцисс только один
раз, а именно при а;=0. ;
На рис. 3 показана кривая
у = х2~х. A.5.5)
Как видно из графика, на этой кривой
есть два участка, где у возрастает
с увеличением х: при отрицательных
х < —0,58 и при положительных
х ]> 0,58. Между ними — на отрезке
—0,58 < х < +0,58 — функция явля-
является убывающей: с ростом х величина у
убывает.
Функция E) имеет максимум при
жя«—0,58, z/?»0,38 1. Однако слово
1 Ниже, в § 2.6, мы научимся вычислять
точки максимума кривой, заданной явной
формулой. В частности, в случае формулы E)
окажется, что яшах=—1/\/3 я& 0,57735, ушах=
=2/C^3)^0,3849. (Индекс max при х —
сокращение латинского слова maximum —
максимум, читается: икс-максимум; индекс
min расшифровывается как minimum — ми-
минимум.)
«максимум» вовсе не означает в данной
случае, что i/?«0,38 ееть вообще наи-
наибольшее возможное значение у, задан-
заданного выражением E); ведь ясно, что
при больших положительных значениях
х величина у принимает сколь
угодно большие значения. Так
чем же выделяется точка максимума
(хж—0,58, 1/^0,38) функции E)?
Как видно из графика, в этой точке у
больше, чем в соседних точках.
Точка максимума отделяет участок, где-
функция является растущей (слева от
максимума), от участка, где функция
убывает (справа от максимума). Такой,
максимум называют локальным (мест-
(местным), потому что величина у в этой
точке больше значений у в других точ-
точках лишь для х, соседних со значением
хшах (в нашем случае — со значением
хта—0,58), не слишком далеких от
этого значения. Аналогично в точке-
х«^+0,58 функция имеет локальный
минимум ути—0,38.
На рис. 4 приведены еще два примера
кривых, изображающих многочлены
третьей степени. Кубическое уравне-
ниег полученное приравниванием нулю.
Рис. 1.5.4
многочлена, в случае верхней кривой
имеет одно (вещественное) решение-
(один корень): х яй 0,48, а в случае
нижней кривой — три корня: жа=1,
х2=2, х3=3. Легко убедиться, что куби-
кубическое уравнение всегда имеет не менее
одного (вещественного) корня; для этого
читателю предлагается подумать о ходе
кривой y = ax3JrbxiJrcx-\-d при очень
больших по абсолютной величине по-
положительных и отрицательных значе-
значениях х.

§ 5. Параболы и гиперболы высших порядков. Полукубическая парабола
35
График кубической параболы B) может
быть использован для (приближенного) реше-
решения любых уравнений 3-й степени. Запишем
общее уравнение 3-й степени (кубическое
уравнение) так:
х3 4- Заж2 + Ъх -г с = 0 A.5.6)
(нам будет удобно обозначать коэффициент
при хг через За, а не просто через о). Преобра-
Преобразуем уравнение F) следующим образом:
{х3 + Зая2 + ЗЛ + а3) 4- (Ь — За2) х +
-f (с — а3)=0,
или
{х 4- аK — (За2 — Ъ) (х 4- а) —
— [(а3 — с)—а (Зй2 — 6)] = О,
«ли, наконец,
Х* — КХ — В = 0, A.5.6а)
тде Х = сс4г а, К = 3а2 — Ь, В — аЪ — с — 2а3.
Ясно, что решить уравнение F) — это
то же самое, что решить уравнение Fа), кото-
которое можно переписать еще так:
Х3 = КХ + В. A.5.7)
Поэтому если мы имеем выполненный с хоро-
хорошей точностью (скажем, на миллиметровой
¦бумаге) график кубической параболы у=Х3,
то нам достаточно лишь построить на том же
чертеже прямую у1=КХ+В и найти точки
{или одну точку) пересечения кубической
параболы и прямой — так мы сумеем опре-
определить примерную величину корней уравне-
уравнения Fа) (а значит, и уравнения F)).
Рис. 1.5.5
X
Например, в случае уравнения х3—6я2-|-
х—4=0 (см. рис. 4) мы имеем а=—2,
6=11, с=—4, откуда
Я=3а2— 6 = 3 -4 — 11 = 1,
В = аЪ—с—2а3 = —2 . 11 4- 4 — 2 • (—8) = —2.
Таким образом, для решения нашего уравне-
уравнения достаточно найти точки пересечения па-
параболы у=Х3 и прямой уг=Х—2. Из рис. 5
мы получаем приближенное решение; X st
=t—1,5, откуда х=Х— а%—1,5+2 % 0,5.
Аналогично в случае уравнения х3— 6z2+
-|-llz— 6=0 (см. рис. 4) имеем а= —2, 6=11,
с=_6, Я=3а2— 6=1, В=аЪ—с—2as=0.
Здесь, очевидно, точки пересечения куби-
кубической параболы у=Х3 и прямой Уъ=Х отве-
отвечают значениям X, равным —1, 0 и +1,
откуда следует, что корни х=Х—а=Х-\-2
исходного уравнения равны 1, 2 и 3 (см. рис. 5).
с
Рис. 1.5.6
Кривую, являющуюся графиком
функции
У = -^ {=кх~п), A.5.8)
где п — натуральное число, иногда на-
называют гиперболой (п-\-1)-го порядка,
или гиперболой п-й степени. Так, на
рис. 6 изображены гипербола 2-й сте-
степени
и гипербола 3-й степени
A.5.9)
A.5.10)
Легко понять, что кривая A0) по ха-
характеру напоминает обыкновенную
гипероолу —: обе эти кривые состоят
из двух (симметричных относительно
начала О координат) ветвей: при ж=0
величина у здесь принимает значение
+ со (ср. со сказанным в § 4 по поводу
гиперболы). Напротив, гипербола
2-й степени (9) по виду отлична от
обыкновенной гиперболы, поскольку
здесь у положительно при всех
(положительных и отрицательных) зна-
значениях х. Эта линия также состоит из
двух ветвей, но симметричных уже не
относительно точки — начала коорди-
координат, а относительно прямой — оси у.

36
Гл. 1. Функции и графики
1
Для функции у = — можно символиче-
символически записать, что у=-\-са при ж=0
(это означает, что при достаточно малых
Рис. 1.5.7
х величина у становится сколь угодно
большой).
График функции
*= ±\J'xT,
A.5.11)
точнее, кривую с уравнением
У2 = а? A.5.11а)
называют полукубической параболой
(рис. 7). Так как отрицательным зна-
значениям х здесь не отвечают ника-
никакие значения у (при отрицательных х
правая часть A1а) отрицательна, что
невозможно, ибо у2 не отрицательно
ни при каких у), то вся линия распо-
расположена в правой полуплоскости. Так
как каждому значению х отвечают два
противоположных по знаку значения
у (а именно -j-sjx3 и —\/з?), то наша
линия симметр и чн а относи-
относительно оси х: каждой ее точке А (х0, у0)
отвечает симметричная относительно
оси абсцисс точка А1 (хо,—уо). (Ниже,
в § 2.5, мы строго докажем, что полу-
полукубическая парабола в начале коорди-
координат О касается оси х.)
Рассмотренные примеры иллюстрируют ход
всех степенных функций
у = хп, A.5.12)
где показатель степени п может быть положи-
положительным и неположительным, по абсолютной
величине большим или меньшим 1, целым
или дробным.
Если п > 1, то кривые A2) (которые мы
будем рассматривать лишь при неотрицатель-
ных х, ибо при нецелом п само определение
величины хп, где х <^ 0, вызывает известные
трудности; так, например, величина х'^"=\/х
при х < 0 не существует) ведут себя как
(квадратичная) парабола D.3а). Все они ка-
касаются оси х в начале координат О и проходят
через точку Q A,1), причем, чем больше п,
тем теснее примыкает кривая A2) к оси Ох
в окрестности начала координат и тем круче
устремляется она вверх на подходе к точке Q.
При 0 < п < 1 кривые A2), напротив, в на-
начале координат О касаются оси г/, прижи-
прижимаясь к ней тем сильнее, чем меньше п\ они
тоже проходят через точку Q A, 1), причем,
чем меньше п, тем резче поворачивают они
к этой точке, отходя от начала координат О
(см. рис. 8, а, на котором изображены кривые
A2), отвечающие различным значениям п > О,
а также прямая у=х, отвечающая значению
ге=1 и отделяющая друг от друга линии A2)
с и > 1 ис ге < 1).
Совсем по-другому ведут себя кривые A2)
при п < 0. Эти линии
1
где т > 0,
A.5.12а)
также проходят через точку Q A, 1); однако,
в противоположность случаю п > 0, они
Рис. 1.5.8
вовсе не заходят в квадрат OAQB с диаго-
диагональю OQ, располагаясь целиком вне его.
Оси хну служат асимптотами этих кривых,
причем чем больше п по абсолютной величине

§ 6. Обратная функция. Графики взаимно-обратных функций
37
(чем больше положительное число т=—п),
тем быстрее стремятся они к (так никогда и не
наступающему) слиянию с осью х и тем мед-
медленнее приближаются к оси у (см. рис. 8, б,
где изображены кривые A2), отвечающие
значениям п==—1/10; —1/3; —1/2; —1; —2;
—3; —10; т. е. значениям т=1/10; 1/3; 1/2;
1; 2; 3; 10 в уравнении A2а), а также «предель-
«предельная» линия j/=a;0=l, отвечающая значению
ге=0).
Отметим еще, что через каждую точку
М (х, у) первой четверти координатной пло-
плоскости (точку М (х, у), где х, у > 0), для
которой х Ф 1, проходит единствен-
единственная линия A2): этой линии отвечает значе-
значение п > 0, если разности х—1 и у—1 имеют
одинаковые знаки (т. ч. если х > 1 и у > 1
или х <^ 1 и у <^ 1), и значение п <Ц 0, если
разности х— 1 и у—1 имеют разные знаки
(если одно из чисел х, у больше 1, а второе —
меньше 1). Что же касается точек N A, у),
где у > 0, то через отличную от Q точку N
не проходит ни одна кривая A2), а через Q
проходит бесконечно много таких кривых
(в с е).
По поводу поведения линий A2) при боль-
больших по абсолютной величине значениях п
(по поводу «асимптотики» функций A2) при
п -> od или п -> — оо, как говорят матема-
математики 2) см. упр. 3.
Упражнения
1.5.1. Изобразите графики функций:
а) у=х*+1; б)г/ = —х*+1; в) у=х* + х*.
1.5.2. Изобразите графики функций:
1 1
a) y=—i+U б) 2/= -^г--И.
1.5.3. Какой вид имеют графики функций:
й)у = х«Ч 6J/=z2"+>; в) 0 = р»; т)у =
1
= 2в+1 при очень больших (натуральных) и?
§ 6.Обратная функция. Графики вза-
взаимно-обратных функций
Задание у как функции х означает, что
каждому х соответствует определенное
значение у. Но эту зависимость можно
и обратить: задавать у и по нему нахо-
находить соответствующее значение х. Так,
например, закон движения электро-
2 Слово «асимптотика» идет от уже знако-
знакомого нам термина «асимптота»; ведь утверж-
утверждение о том, что функция у=\1х имеет асим-
асимптоты у=0 или г=0, как раз и характеризует
вид этой функции при малых (и при больших)
по абсолютной величине х.
поезда от одного пункта до другого
устанавливается зависимостью положе-
положения поезда z от времени t, где за коор-
координату z можно принять, например,
расстояние поезда от начального пункта
движения. Этот закон имеет вид
функциональной зависимости z=/ (?);
именно этой зависимостью z от t, за-
заданной в виде расписания движения
поезда, руководствуется его водитель.
Рис. 1.E.1
I/
Но для пассажира электропоезда боль-
больший интерес может представить иная
форма зависимости между пройденным
путем z и временем t, а именно за-
зависимость времени от пути, указываю-
указывающая, в какое время tx прибудет поезд
в тот или иной пункт, определяемый
координатой zx. Эта зависимость
t—g (z) называется обратной по
отношению к зависимости z=/ (t); дру-
другими словами, g есть функция, обрат-
обратная /. Говорят также, что функции /
и g являются взаимно-обратными.
Приведем несколько примеров (слева
дана функция у (х), а справа — обрат-
обратная ей функциональная зависимость
х (у), где теперь, вопреки традициям,
буквой у обозначен аргумент функции,
а буквой х — сама функция):
у=.х-\-а, х = у — а;
3 + 2
х2,
х = +
A.6.1)
Нетрудно сообразить, как связаны
графики взаимно-обратных функций /
и g. Пусть мы имеем график функции
y=f (x) (рис. 1). Для того чтобы этот же
чертеж мог служить графиком зави-
зависимости x=g (у), надо посмотреть на
него иначе: принять ось у за ось неза-
независимых переменных (ось абсцисс),
а ось х — за ось ординат. Если желать,

38
Гл. 1. Функции и графики
чтобы" ось независимых переменных (см. рис. 4.2). И в самом деле, из у =
(абсцисс) по-прежнему была горизон-
горизонтальной, а ось значений функции вер-
вертикальной, то этого можно добиться,
повернув чертеж (наш график, а также
(
= 1—х следует, что х=1—у, а из
1 1
у = — вытекает, что х = —.
Обратимся теперь к рис. 4, изобра-
изобраф фй 2
оси координат) на 180° вокруг биссек- жающему графики функций у=х2
трисы I I и III координатных углов. (СПЛ0ШНая линия) и y = sjx (пунктир).
У
i
а
а
¦fM/,
9
ffx)
7 Si
У
е.
Рис. 1.6.2
После такого поворота ось у станет
горизонтальной, а ось х — вертикаль-
вертикальной. Результат такого поворота на рис. 1
изображен пунктиром; пунктиром же
продолжены оси Ох и Оу, чтобы ука-
указать, что они поменяются местами.
На рис. 2 две части рис. 1 — сплош-
сплошная и пунктирная — разъединены; при
этом на рис. 2, б мы по-прежнему обо-
обозначаем абсциссы через х, а ординаты —
через у. Из этих двух чертежей видно,
что если на рис. 2, а значению а—О А
независимой переменной отвечает зна-
/ 2
Рис. 1.6.3
чение Ь=ОВ функции (где b=f (a)),
то на рис. 2, б, изображающем график
функции g, имеем a=g (b). Поворот
вокруг биссектрисы I на 180° переводит
отрезки ОА=а и ОВ=Ъ рис. 2, а
в отрезки ОАг=а и ОВ1 = Ь рис. 2, б.
Таким образом, графики взаимно-об-
взаимно-обратных функций симметричны относи-
относительно биссектрисы I I и III коорди-
координатных углов. Так, на рис. 3 изобра-
изображены графики взаимно-обратных функ-
функций у = З{2 ^
{у = ~х — ^-. В част-
частности, если график функции симметри-
симметричен относительно биссектрисы Z, то функ-
функция совпадает со своей обратной. Таковы,
скажем, функции у = 1 — х или у = —
Рис. 1.6.4
Из этого рисунка видно, что функция
у=±\]х, обратная квадратичной функ-
функции у=х2, является двузначной:
каждому положительному значению х
независимой переменной здесь отве-
отвечают два значения функции, а именно
у = \]х и у = —\Jx ¦ Для всех же отри-
Рис. 1.6.5
цательных х отвечающее ему у не суще-
существует, ибо график функции у=±\]х
целиком расположен в правой полу-
полуплоскости, отвечающей положитель-
положительным х. Поэтому в рассматриваемом слу-
случае утверждение, что по заданному зна-
значению х можно сразу же указать отве-
отвечающее ему значение у обратной функ-
функции, будет неверным: для некоторых х
(для х < 0) отвечающее ему у не
существует, для других же х
(для х > 0) мы имеем, пожалуй, даже
слишком много отвечающих этому х
значений у — сразу два.
Еще сложнее обстоит дело в случае
функции / (ж), изображенной на рис. 5
(на том же рисунке пунктиром изобра-
изображена обратная функция g). В этом слу-

§ 6. Обратная функция. Графики взаимно-обратных функций
чае, скажем, значению х=а отвечают
сразу четыре значения g (ж),
а именно Ъ, bu b2 и Ь3. Впрочем, само
по себе это никак не может нас удивить:
конечно, функция, определенная как
обратная заданной / (х), вовсе не обя-
обязана быть однозначной. Так, в примере,
с которого мы начали параграф, пункты,
которые проезжает электропоезд (они
определяются расстоянием z от началь-
начального пункта О), разумеется, однозначно
определяются по времени Р. именно эта
зависимость z—z (i) дается расписа-
расписанием движения поезда. Но если дан-
данный пригородный поезд совершает в те-
течение суток ряд рейсов, то через опре-
определенный пункт своего маршрута он
в течение этих суток будет проходить
многократно. Таким образом, обрат-
обратная зависимость времени от расстоя-
расстояния t=t (z) будет многозначной: одному
и тому же расстоянию z от начального
пункта движения отвечает ряд момен-
моментов времени, когда электропоезд уда-
удален от О именно на выбранное расстоя-
расстояние z.
Так в чем же причина различия между
функциями у—Ъх-\-2 (см. рис. 3; здесь
обратная функция однозначна) и
у=х2 (см. рис. 4 — обратная функция
двузначна) или, тем более, изображен-
изображенной на рис. 5 функцией / (х) (обратная
функция многозначна)? Нетрудно по-
понять, в чем тут дело. Процесс «обра-
«обращения» функции — нахождения функ-
функции, обратной заданной, заключается
в восстановлении значений абсцисс по
отвечающим им ординатам — скажем,
времени t по проходимому электро-
электропоездом пути z. Хорошо, если при этом
каждому значению функции у отвечает
единственное значение аргу-
аргумента х, т. е. если обратная функция
однозначна; однако этот «хороший»
случай имеет место далеко не всегда.
Но обратная функция всегда одно-
однозначна, если исходная однозначная
функция y=f (x) монотонна, т. е. если
она все время растет или все время убы-
убывает. Здесь в процессе изменения аргу-
аргумента х функция будет пробегать все
новые значения у и каждому у будет
отвечать свое значение х. Именно по-
поэтому в случае функции у—Зх-\-2 опре-
определение обратной функции не вызвало
у нас никаких затруднений — ведь эта
(линейная) функция монотонно растет.
Так же обстоит дело в случае зависи-
зависимости проходимого поездом пути от вре-
времени (z=/ (t)), если поезд движется
в одном направлении (без остановок).
Но если направление изменения функ-
функции (скажем, направление движения
поезда) меняется на обратное, например
функция сначала убывает, как функция
у=х2, а затем, перейдя через точку
минимума, начинает возрастать, то,
возрастая, функция снова пробегает
уже встречавшиеся ранее значения, —
и поэтому мы не можем с полной опре-
определенностью сказать, какому именно х
отвечает данное у, ибо таких х оказы-
оказывается несколько (в случае функции
у—х2 — два). И уж совсем не подходит
для определения обратной функции
постоянная функция у=а (см. рис. 3.6);
ведь здесь у совсем не меняет своего
значения и определить по нему х не-
невозможно: функция у=а совсем не
имеет обратной.
В случае же иных функций дело
обстоит вовсе не так уж плохо. Если мы
хотим сконструировать однозначную
функцию, обратную, скажем, функции
у=х2, нам надо лишь ограничиться
монотонной частью этой функции, на-
например, рассматривать ее при одних
лишь положительных значениях аргу-
аргумента х (соответствующая часть гра-
графика функции у=х2 изображена на
рис. 4 более жирной линией). Этому
монотонному участку функции будет
отвечать однозначная обратная функ-
функция. График такой однозначной ветви
функции y=\jx изображен на рис. 4
более толстым пунктиром; именно эту
функцию обычно и обозначают через
\]х (иногда ее называют арифметиче-
арифметическим значениемх корня квадратного
из х). Аналогично этому, если только
данная точка М (х0, у0) графика функ-
функции y=f (ж) не является точкой макси-
максимума или минимума, подобно, напри-
например, точке М на рис. 5, то в окрестности
рассматриваемой точки М можно вы-
выделить участок монотонности 2 функ-
1 Следует только иметь в виду, что вели-
величина + \/аГ, где под корнем квадратным по-
понимается арифметическое его значение, все же
не является полностью обратной функции
г/=а;2: в точности обратна этой функции
двузначная функция у = + \/я.
2 В соответствии с этим говорят о локальной
монотонности функции y—f (x) в точке М,
т. е. о монотонности функции в некоторой
окрестности точки М.

40
Гл. 1. Функции и графики
ции /. Этому участку отвечает некото-
некоторая однозначная ветвь обратной функ-
функции g (см. участки графиков функции
f (х) и g (х), выделенные на рис. 5
более жирными линиями). Вообще
многозначная функция вроде изобра-
изображенной пунктиром на рис. 5 функции g
обычно естественно распадается на
однозначные ветви функции — в нашем
случае такие ветви изображаются
дугами ОВ, ВС, CD и DE (см. рис. 5).
Трудность здесь может состоять лишь
в том, какую из этих ветвей целесо-
целесообразно считать, так сказать, «главной»;
впрочем с точки зрения математика,
это, разумеется, совершенно безраз-
безразлично.
Уп ражнения
1.6.1. Какие функции обратны функциям:
а) у=2х+4; б) !/=z2-2; в) у=т>+3х*+3х;
г) у=х*+2х*.
1.6.2. Использовав рис. 5.2, 5.3 и 5.6, а, б,
нарисуйте графики функций, обратных функ-
функциям: а) у=х3-\-х; 6)y = xs — x; в) у =
2 1 ,
= х ' = ^з ; г) у
3 1
х 3 = —j
= —j t выделив, если
требуется, участки монотонности этих функ-
функций, позволяющие прийти к однозначной
обратной функции.
[1.6.3. Найдите функцию, обратную: а) про-
произвольной линейной функции у=ах-\-Ь; б) про-
произвольной квадратичной функции у=ах*-\-
ах -\- Ь
+ Ьх + с; в) функции у = сх ^_ d.
1.6.4. Пусть / (х) и g (x) — взаимно-обрат-
взаимно-обратные функции, где функция / определена на
участке а < х < Ь, а функция g — на участке
а < х < р, / (о)=а, / F)=р и при а < х sj Ъ
функция y=f (x) монотонно возрастает.
Докажите, что: а) / (g (x)) = x, g (/ (х)) = х;
б) функции F(x)=f(f(x)) и G(x) = g(g(x))
взаимно-обратны. Каковы области определе-
определения функций f(g(x)), g(t(x)); F (x), G(x)?
§ 7. Преобразования графиков функций
Выше мы уже неоднократно встречались
с «преобразованиями графиков», с пере-
переходами от графика функции к иной
линии, родственной первоначальной.
Здесь мы снова вернемся к этому во-
вопросу с тем, чтобы рассмотреть его
систематичнее.
Проще всего решить вопрос о сдвиге
(параллельном переносе) кривой. Пусть
мы имеем график функции y=f (x);
как будет выглядеть функция, график
которой получается из нашего графика
смещением на Ъ единиц вверх? Ответ
на этот вопрос почти очевиден: ясно,
что если рассмотреть две кривые
y=f{x) и y=f (x)+b,
то каждой точке А (х0, у0) первого
графика будет отвечать точка
Ах (х0, уг) второго графика, располо-
расположенная над точкой А, выше ее на Ъ
(рис. 1, число Ъ мы здесь считаем поло-
положительным). По-другому это можно
описать так: если наши две функции
имеют вид
y=f (x) и y—b=f (х),
то вторая расположена на b единиц
выше первой, т. е. замена в уравнении
линии величины у на у—Ъ равносильна
сдвигу линии на Ъ единиц вверх.
Может показаться, что мы напрасно
повторили одно и то же утверждение
двумя почти не отличающимися спо-
способами: поднять кривую —• это совер-
совершить следующее преобразование ее
уравнения: перейти от y=f (ж)
к y=f (x)+b, или от y=f (х) к у—Ъ—
=/ (х). Однако вторая формулировка
с заменой у на у—Ъ удобна для
случая, когда кривая задана «неяв-
«неявным» образом, т. е. уравнением вида
р (х, у)=0, не разрешенным относи-
относительно у. Так, например, уравнение
окружности S радиуса 1 с центром
в начале координат удобно записать
так:
x2jry2=l, или
F (х,у)=х*+у*-1=0 A.7.1)
(ср. с формулой B.1) для расстояния
О А, где А=А (х, у)). Заменив здесь у
на у—Ь, мы придем к уравнению
единичной окружности с центром
в точке Qx @, b) — окружности, полу-
полученной из S сдвигом на Ъ единиц вверх
(рис. 2).

§ 7. Преобразования графиков функций
41
Аналогично (мы подробно обсудили
это в § 4) замена в уравнении F (х, у)
кривой аргумента х на х—а равно-
равносильна сдвигу кривой на а единиц
вправо. Так, уравнение
(х-аJ+у2-1=0
определяет окружность с центром
в точке (?2 (а, 0) — окружность, полу-
получаемую из первоначальной окружности
S сдвигом вправо на а (см. рис. 2).
Рис. 1.7.2
(л+а/г+уг-7=0
v
Ясно, что величины а и b могут быть
и отрицательны; так, например, пере-
переход от уравнения y=f (x) к уравнению
y=f (х)—Ъ (где по-прежнему Ъ ]> 0)
или замена у в уравнении линии на
у-\-Ъ означает, что мы опускаем график
Рис. 1.7.3 ^.
/ от
линии на Ъ единиц вниз (см. линию,
изображенную пунктиром на рис. 1).
Аналогично этому линия F (х+а, у)=0
получается из линии F (х, у)=0 сдви-
сдвигом на а единиц влево. Так, цен-
центрами окружностей х2+(у~\-ЬJ—1=0
и (z+aJ+?/2—1=0 являются точки
Qs @, -Ъ) и <?4 (-а, 0) (см. рис. 2).
Указанные сдвиги можно и комбиниро-
комбинировать: например, линия F (х-\-1, у—2) =
=0 получается из линии F (x, i/)=0
сдвигом на 1 единицу влево и на 2 еди-
единицы вверх (рис. 3).
Пример. Рассмотрим так назы-
называемую дробно-линейную функцию
Многие экспериментально наблюдае-
наблюдаемые зависимости выражаются — точно
или приближенно — функциями такого
строения; поэтому важно знать, как
можно упростить запись этой функции
и как изобразить ее график.
Ясно, что если числитель и знамена-
знаменатель стоящей в правой части B) дроби
пропорциональны, т. е. а : с = Ъ : d,
или ad=bc, то функция B) постоянна —
она имеет вид у = к, где к = — (=-П.
Поэтому интерес представляет лишь
случай, когда ad^=bc. Мы утверждаем,
что в этом случае графиком зависи-
зависимости B) является гипербола, и,
следовательно, запись B) означает
обратную пропорциональность двух ве-
величин.
J/1
J
Z
7
-Z
-Т"
/ г
\
Рис. 1.7.4
Предоставив разбор общего случая
читателю (см. упр. 6), мы ограничимся
здесь частным случаем, когда
Выделим из стоящей в правой части
дроби целую часть:
A5 — 6а) + 4__ 15 — 6а . 4 __

У—
2х —
Последнее уравнение можно еще пере-
переписать так:
2
х — 5/2'
A.7.26)
У-
откуда видно, что линия Bа) (или B6))
есть график обратной пропорциональ-
пропорциональной зависимости (с коэффициентом 2)
величин 1/+3 и х—5/2 (рис. 4).
Выясним теперь, как надо изменить
уравнение кривой для того, чтобы рас-
растянуть ее в с раз вдоль оси у, т. е. уве-
увеличить в с раз все ее вертикальные раз-

Гл. 1. Функции и трафика
меры Ч Очевидно, для этого необхо-
необходимо заменить исходное уравнение
y=f (x) новым уравнением y—cf (x) (мы
будем писать: j/0=/ (х) и y±=cf (x),
поскольку это две разные кривые).
Тогда при том же х величина ух будет
в с раз больше величины у0, т. е. наша
кривая растянется в вертикальном на-
направлении в с раз.
В качестве примера обратимся снова
к уравнениям прямых, проходящих
через начало координат. Уравнение
¦биссектрисы I и III координатных
углов имеет вид уо=х. Уравнение же
Рис. 1.7.5
ух=10х соответствует прямой, идущей
более круто, у которой при заданном х
ордината больше в 10 раз (см. рис. 3.4).
Переход от yo=f (x) к yx=cf (x)
можно описать и так: в уравнении кри-
кривой yo = f(x) мы заменяем у0 на —,
т.е. пишем — = f(x). Тогда зависимость
уг (у «новое») от х характеризуется
тем, что кривая вытянута в с раз по
вертикали по сравнению с кривой у0 (х)
(где у0 — это у «старое»).
Снова необходимость двух формули-
формулировок, тождественность которых оче-
очевидна (ведь ясно, что уравнения
у — ef (х) и — = / (х) не отличаются одно
от другого!), вызвана тем, что правило
замены у на — оказывается более удоб-
С
ным, если требуется «растянуть в с раз
от оси х» кривую, уравнение F (ж, у)=0
которой не разрешено относительно у.
1 Рекомендуем читателю для простоты здесь
и далее пока считать, что с > 1; на случае
Достаточно подставить в новое урав-
у
нение — вместо у — и мы придем к тре-
буемому результату: Fix, — j = 0.
Обратимся, например, снова к еди-
единичной окружности S с уравнением
х2+У2—1=0. Как записать уравнение
кривой, получаемой, если вытянуть S
в 3 раза по вертикали (рис. 5; но-
новая кривая обозначена через уг (х))?
По правилу, которое мы только что
сформулировали, для этого надо в урав-
уравнении окружности заменить у на '-|-.
При этом получим
A.7.3)
(мы пишем здесь ух, а не у, чтобы отли-
отличить кривую C) от окружности A)).
Кривая, которая получается из
окружности растяжением последней от
горизонтального (или вертикального)
ее диаметра (см., впрочем, упр. 5),
называется эллипсом 2; таким образом
от окружности A) (на рис. 5 эта окруж-
окружность обозначена как у0 (х)) мы перешли
к эллипсу C).
В данном случае уравнения A) и C)
легко решаются:
и наглядно видно, что у1:=3уо при оди-
одинаковых х. Но правило, утверждающее,
у
что замена у на — приводит к вытягива-
вытягиванию кривой в с раз по вертикали, спра-
справедливо и для кривых, заданных таким
сложным уравнением F (x, i/)=0, кото-
которое никак нельзя решить алгебраически
относительно у, например уравнением
Q- A.7.4)
Линия, получающаяся из линии D)
увеличением всех вертикальных раз-
размеров втрое, описывается следующим
уравнением:
д
с < 1 (и даже с
новимся ниже.
,
0) мы еще специально оста-
оста°- A.7.4а)
Утверждение о смысле замены у на —
с
легко переносится и на координату х. При
2 Коэффициент с растяжения может быть
и равным 1 (разумеется, такое «тождественное
растяжение» кривую не меняет); в соответ-
соответствии с этим окружность обычно считают
частным случаем эллипса.

§ 7. Преобразования графиков функций
43
замене в уравнении кривой F (хй, у) = О
аргумента х0 на —, т. е при переходе
к уравнению F(—, у) —0, линия ра-
растягивается вдоль оси х в с раз: при
одинаковом у значение ж1 в с раз больше
значения х0.
Начнем не с доказательства, а с при-
примеров:
у = х0 и у = -?± = 0,1х1
(см. рис. 3.4). Первая прямая идет под
углом 45° к оси х, вторая идет более
полого.
Второй пример:
Первое уравнение описывает окруж-
окружность S радиуса 1, вторая кривая полу-
получается из первой растяжением вдоль
оси хъ 2 раза (рис. 6). Ясно, что и здесь
новая кривая представляет собой э л-
л и п с.
Доказательство нашего утверждения
почти очевидно. Если решить уравне-
уравнения первой и второй кривых
A.7.5)
относительно х, то получим
и
т. е. x1 — c<f(y)—cx0,
A.7.5а)
где <р —• функция, обратная функции
/ (см. § 6). Это соответствует исходной
формулировке: при замене х на —
кривая растягивается вдоль оси х
в с раз. При этом важно, что в E) / пред-
представляет собой одну и ту же функцию
в формулах с х0 и с хг; поэтому и в Eа)
9 в формулах с х0 и с хх — это одна и
та же функция.
Вот еще один пример: пусть
г/= 10*° и i/ = 10*l/2. A.7.6)
Но степенной функции обратна лога-
логарифмическая функция, поэтому здесь
xo = lgy и ^=zlgy,
т. е. xx = 2\gy. A.7.6а)
Таким образом, график функции
г/=Юж'2 получается из графика функ-
ции у=10х растяжением в 2 раза в на-
направлении оси абсцисс.
А что означает замена х на кх в урав-
уравнении y=f (x)? Для того чтобы восполь-
воспользоваться сформулированным выше пра-
правилом, вспомним, что умножение на
к — это то же самое, что деление на
Ilk: ведь кх = -?тТ. Значит, \\к играет
роль величины с в предыдущих форму-
формулах, и • бели, например &=1/2, то.
с=1/к=2. Значит, замена х0 на 0,5^
есть замена х0 на х1/2: она приводит
к растяжению кривой вдоль оси х
в 2 раза. Если же к=3, то с=1/&=1/3.
Рис. 1.7.6
Таким образом, замена i на Зг — это
X
то же, что и замена х на -гж-
Что означают эти подстановки гео-
геометрически? В случае, когда с > 1,
результат формулируется так: при за-
замене у —> — в уравнении кривой линия
в с раз растягивается по высоте; при
X
замене же х -» — линия растягивается
в с раз в горизонтальном направлении.
В случае, когда 0 < с <[ 1, в наших
рассуждениях, по существу, не меня-
меняется ничего, однако слова «увели-
«увеличить» и «растянуть» здесь уже не
подходят: ведь «увеличить в 2 раза»
какую-то величину — это значит за-
заменить ее на вдвое большую, а вот «уве-
«увеличить» или «растянуть» в 1/3 раза —
это значит умножить на 1/3, т. е. не
увеличить, а в 3 раза уменьшить,
в 3 раза сжать. Таким образом, здесь
у
снова при замене у-*-2- вертикальные
размеры изменяются в с раз, что в дан-
данном случае представляет собой сжа-
сжатие кривой: так, при с=0,5 переход
от линии z/=/ (x) к линии y=cf (x)=
=0,5/ (х) означает уменьшение ее вы-
высоты вдвое. То же относится и к под-
подстановке ?-> — :, при 0 < с <~ 1 эта
подстановка равносильна сжатию
кривой вдоль оси х.

Гл. 1. Функции и трафики
Выясним теперь
у-*-— (или ж->—)
с \ с /
смысл подстановок
при отрица-
с. Такую замену можно
О
тельном у у
провести в два приема. Обозначим
с=—Ь=(—1N, где уже Ъ ]> 0, и сде-
сделаем две последовательные замены:
=—?• так что у*=-
Первая операция — замена у0 на ^
где Ъ ^> 0, уже разбиралась выше, она
Рис. 1.7.7
приводит к изменению вертикальных
размеров в Ъ раз. Остается выяснить,
какой смысл имеет изменение знака z/,
т. е. замена у на —у. Но очевидно, что
соответствующие друг другу точки ли-
линий j/o=/ (х) и Vi——/ (х) симметричны
относительно оси х (рис. 7). Поэтому
линия у!=—/ (ж) получается из линии
z/0=/ (x) отражением от оси х, и то же
можно сказать о линиях F (х, уо)—О
и F (х,—i/i)=0, где второе уравнение
получается из первого изменением зна-
знака у.
Аналогично этому, поскольку точки
{х, у) и (—х, у) симметричны относи-
относительно оси у, замена х на —с в урав-
уравнении кривой (переход от линии
F (х, уо)=О к линии F (—с, у2)=0)
заменяет первоначальную пинию сим-
симметричной ей относитепьно оси у.
Наконец, переход от уравнения
F (х, уо)=О к уравнению F (—ж, — у3)=0
сводится к последовательным изме-
изменениям знака у (симметрии относи-
относительно оси ж) и к изменению знака х
^симметрия относитепьно оси у). Но по-
последовательное осуществление двух от-
отражении — от оси а; и от оси у — равно-
равносильно отражению линии от начала
координат О @, 0) (см. рис. 7). Таким
образом, одновременная замена в урав-
уравнении линии х на —х ж у на —у
равносильна симметрии относительно
точки О.
Как ни просты, «арифметичны» все
эти соображения, начинающие (кото-
(которым адресована эта книга) в них часто
ошибаются.
Рассмотрим пример:
F(x, у) = (ж_3J + A/-5J-4 = 0.
Это уравнение окружности радиуса 2
с центром в точке с координатами х=3,
Рис. 1.7.8
F(-x,-y)-0
у=5. На рис. 8 изображены также
линии
F (х, _1/) = (а;-3J+(-1/-5J-4=0,
Здесь буква F во всех случаях обозна-
обозначает одну и ту же функцию двух пере-
Рис. 1.7.9
менных. Проследите, как трансформи-
трансформируется (изменяется) кривая (окруж-
(окружность) при замене х на —х, или у
на —у, или при одновременной за-
замене х -*¦ —х, у -*¦ —у. Ясное понима-
понимание изложенных правил позволит Вам,
построив одну какую-то кривую y=f (x)
или F (ж, у)=0, представить себе, как
выглядят графики всех функций
с любыми значениями постоянных а, Ъ,
е, d.

§ 7. Преобразования графиков функций
45
Вот еще два простых, но принципи-
принципиальных примера. На рис. 9 изображены
две кривые:
у = sin х и у = sin За;, A-7.7)
где, разумеется, х — радианная мера
угла. У второй кривой все горизонталь-
горизонтальные размеры в 3 раза меньше, чем
у первой.
Зависимость y=sin x периодическая:
при а;=2тс«^6,3 (радиан, что соответ-
соответствует углу 360° в градусном измерении)
синус имеет такое же значение, как и
при х=0 (добавление 2тс к любому углу
не меняет значения синуса). Таким об-
образом, график первой из кривых G)
переходит в себя при сдвиге вдоль оси х
(в любом направлении) на величину
2тс — это и означает, что функция
sin х периодическая, с периодом 2тс.
Функция i/=sin За; тоже периодическая,
но у нее период меньше в 3 раза;
достаточно, чтобы х изменилось на
-тг?»2,1 радиана, тогда За; (тот угол,
синус которого мы откладываем по
оси ординат) меняется на 2тс и sin Зж
возвращается к прежнему значению:
sin За; = sin 3 (a; -f- — j.
Продумайте на этом • примере общее
утверждение о том, что для периодиче-
периодической функции при замене х на кх
в к раз уменьшается период и в к раз
увеличивается частота функции, т. е.
число периодов, приходящихся на еди-
единицу длины.
Второй пример связан с логарифмиче-
логарифмическими (и показательными) функциями.
Рассмотрим две кривые
y1 = logax и y2 = \ogbx, A.7.8)
или, что то же самое,
x = aWl и x = bVl, A.7.8а)
где мы считаем, что а, Ъ ^> 1. Анало-
Аналогично анализу зависимостей F), Fа)
устанавливается (см. § 4.9), что вторая
кривая (8) получается из первой кривой
растяжением вдоль оси у в с = logb a =
1
= -j г- раз, где число с называется
модулем перехода от логарифмов при
основании а к логарифмам при основа-
основании Ъ. Аналогично любые две показа-
показательные функции
п = ах и У = ЪХ
связаны между собой подобным же
образом: вторая из них получается из
первой растяжением в c=log6 а раз
в направлении оси х.
Со сказанным выше связаны еще два
простых, но важных понятия. Кривая^
уравнение F (х, у)=0 которой сохра-
сохраняет свой вид при замене х -*¦ —х
(скажем, парабола у=ах2), симме-
симметрична относительно оси у. Кривая,
уравнение которой сохраняет свой вид
при замене х -*¦ —х и у -> —у (скажем,
Рис. 1.7.10
1
гипербола у = — или кубическая пара-
парабола у=х3), симметрична относительно
начала координат. Наконец, кривая,
уравнение F (x, i/)=0 которой перехо-
переходит в себя при подстановке у —*¦ —у
(например, полукубическая парабола
у2=х3 (см. рис. 5.7 ), симметрична отно-
относительно оси х. Все эти утверждения
автоматически следуют из геометриче-
геометрического смысла подстановок х -> —х;
х -;•• — х и у -+ —у; у -* —у.
Функция y=f (x), график кото-
которой симметричен относительно оси у
(рис. 10, а), называется четной; если же
график функции симметричен относи-
относительно точки О (рис. 10, б), то функция
называется нечетной. Эти названия
связаны с тем, что параболы четного
порядка у=ах%т являются четными
функциями, а параболы нечетного по-
порядка у=хгт+1 — нечетными (ср. § 5).
Наконец, остановимся еще на одном
очень важном обстоятельстве. Необ-
Необходимо понимать (соображение, на кото-
которое обычно, к сожалению, не обращают
должного внимания), что в прикладных
задачах процедура изменения в по-
постоянном отношении всех ординат у
или всех абсцисс х связана (всего лишь!)

46
Гл. 1. Функции и графики
с изменением единиц измерения вели-
величин у или х, так что полученные один
из другого таким путем графики выра-
выражают одну и ту же зависимость
между у и х, так сказать, «с точностью
до изменения масштабов» (т. е. системы
единиц 3).
Пусть, например, по оси абсцисс Ох
откладывается время, а по оси ординат
Оу — расстояние (рис. 11); зависимость
y=f (x) (или z=f (t), как мы чаще будем
писать) задает закон движения. Однако
при этом у ж х измеряются в разных
единицах, так что никакое сравнение
Рис. 1.7.11
Ра.
их невозможно: ведь нельзя же при-
приравнять между собой 1 см и 1 с или
сказать, какая из этих величин больше,
а какая меньше. Утверждение, напри-
например, о том, что для данной точки
М=М (х, у) отрезок ОМ составляет
45° с осью абсцисс (рис. 11), является
бессодержательным: изменив, скажем,
единицы расстояний (перейдя от санти-
сантиметров к метрам), мы заменим точку М
на новую точку М', отвечающую
тому же месту на прямой и тому же
моменту времени; однако теперь ра-
равенство хОМ=А5° уже не будет иметь
места, а ведь для нас точка М'
полностью равноправна М. Таким об-
образом, в физических рассмотрениях
изображенные на рис. 5 или 6 эллипсы
ничем не отличаются от изображенной
на тех же рисунках окружности, —
и если эта линия нас особенно инте-
интересует, то единицы измерения, пожалуй,
следует выбрать так, чтобы она оказа-
оказалась именно окружностью.
Аналогично этому любую параболу
у=ах2+Ьх-\-с прежде всего можно,
как мы видели выше, сдвигом (т. е. пере-
переходом от координат х и у к новым коор-
3 Впрочем, если величины х и у измеряются
в одних единицах, то подстановка Y=cy
и физически значима: ведь здесь зависимости
!/=/ (х) и y=cf (х) имеют разный смысл.
динатам хх=х+р и ух=у+д, где р
и q подобраны подходящим образом)
свести к параболе yl—ax\. Но ведь
подобный сдвиг физически означает
не что иное, как изменение начала от-
отсчета единиц, скажем начального мо-
момента времени (момента ?=0) и начала
отсчета расстояний (начального пункта
z=0), что не затрагивает интересующий
нас физический процесс. После этого-
изменением масштаба по оси ух (выбо-
(выбором новой единицы измерения ординат)
мы можем свести параболу ух=ах\
к «единичной параболе» Y=+X2 (или
даже именно к параболе У=Х2, если
мы имеем право располагать выбором
«положительного направления» вдоль
оси у4); именно этот смысл имело сделан-
сделанное выше (см. сноску 3 в § 4) замеча-
замечание о том, что параболу у=х^ можно-
считать «общей».
Точно так же любую дробно-линей-
кх + 1
ную зависимость у= — можно из-
Упх -j- п
менением начала отсчета абсцисс х
и ординат у и изменением масштаба по-
оси у свести к единичной гиперболе-
Y = -у- (см. упр. 6)^ любую кубическую-
зависимость y=ax3Jrbx2-\-cxJrd можно-
свести к одной из трех зависимостей
у=х3+х, у=х3—х и у=х3, далее уж&
друг к другу не сводимых, и т. д.
Остановимся на доказательстве более
сложного утверждения, связанного с кубиче-
кубическими зависимостями
у = ах3 -\- bx2 -\- cx-\- d =
рхг-\-qx + г),
A.7.9>
bed
где р= — , д= — , г=— (здесь, разумеется,.
а Ф 0). В § 5 мы видели, что подстановка
р
X = х -)- "о" переводит зависимость (9) в за-
зависимость
или Y =
= a(X3-irkX),
A.7.9а)
где Y = y — aQ, В = аР и к = В1а(=Р),
р2 2 1
a P = q — -д-,(? = -2у-/>з + г_ — pq (op. фор-
формулы E.6) и E.6а)). При А = 0 (т. е. если
4 В то время как для времени ( мы имеем
«естественное» направление роста, что отве1-
чает принципиальной неравноправности прош-
прошлого и будущего, для расстояний z дело об-
обстоит вовсе не так — и тут мы свободны в вы-
выборе направления возрастания z.

§ 7. Преобразования графиков функций
В — 0) зависимость (9а) имеет вид У = аХ3,
юли
У1 = я», A.7.10а)
,где х1 = X (координата X не меняется) и
у
.у1== —. Если к > 0 (т. е. В и а одного
X
знака), положим xt = -j=-, т. е. X —
тогда (9а) обратится в
У = a (Л? + AJ = акь>* (\ О
т. е. здесь мы имеем закон
A.7.Ю6)
у
где wi= ;=-. Наконец, при /с<0 (в слу-
•чае, когда а л В разных знаков) аналогич-
аналогичная использованной выше подстановка хх =
j^
= . , т, е. X = )/\к\х1, переводит ра-
V\k\
венство (9а) в
Y = a(\k*l>\xf-{-k\k\'l'x1),
т. е.
A.7.10b)
—У
где у\ = ,— . Таким образом, для фи-
ак V| к |
зика любая естественнонаучная зависи-
зависимость (9) между (разноразмерными!) вели-
величинами у и х равносильна одному из трех
законов A0а)—(Юв) (см. рис. 5.1, о, 5.2 и
5.3; ср. упр. 8 и 9).
Поясним сказанное на конкретном
примере. Хорошо известно, что зави-
зависимость от времени t высоты h камня,
брошенного вверх с башни, высоты w
с начальной скоростью v, выражается
формулой
i = w-\-vt — 4И2,
1 7 11)
где g?»9,8 м/с2 — ускорение свободного
падения. Если, однако, принять за на-
начало отсчета высот не уровень Земли,
а самую большую достигнутую камнем
высоту h0, а за начало отсчета времени
принять момент t0 достижения камнем
этой высоты, то в новых координатах
h1=h—h0, t±=t—10 уравнение A1) дви-
движения камня заметно упростится:
К = — Щ-. A.7.11а)
Но и коэффициент —%¦ в уравне-
уравнении A1а) связан вовсе не с существом
наблюдаемого процесса, а всего лишь
с выбором системы единиц! Прежде
всего мы можем упростить A1а), отбро-
отбросив в правой части этой формулы знак
«минус»; для этого достаточно усло-
условиться измерять расстояния k от точки
k=h0 не вверх, а вниз. Далее можно
перейти к «натуральной системе еди-
единиц», в которой ускорение силы тя-
тяжести равно 2 (скажем, измерять время
по-прежнему в секундах, а за единицу
расстояния принять величину, численно
равную -|-, т. е. «4,9 м). Тогда в ио-
вых координатах Й = (h — /г0),
T = t1 = t —10 закон (И) (или A1а))
примет «канонический» вид:
Подобным образом встречающуюся
в естественнонаучных законах лога-
логарифмическую или показательную за-
зависимость мы всегда можем переписать
так, чтобы основание системы логариф-
логарифмов или основание степени было та-
таким, как нам удобно, — ведь переход
от одного основания к другому сво-
сводится лишь к замене единиц измерения
фигурирующих в нашей зависимости
величин (ср. со сказанным выше о ло-
логарифмических и показательных кри-
кривых). Поэтому каждый раз, когда мы
встречаемся с логарифмической за-
зависимостью y=logex двух величин,
мы свободно можем считать логарифмы
десятичными, или натуральными (ло-
(логарифмы по основанию е«2,272; см.
§ 4.9), или, например, двоичными Б;
при рассмотрении показательных за-
зависимостей y=dx обычно считают ос-
основание степени d равным е и т. д.
Упражнения
ж2 у2
1.7.1. Постройте кривые "х + "о" — 1=0;
3)
2 (У ~
+
-1=0;
{у + 5J
4 + 9^
—1=0 (при этом естественно воспользо-
воспользоваться тем, что линия х2 -j- у2 — 1 = 0 пред-
представляет собой единичную окружность).
5 Так, например, в теории информации,
где количество информации выражается ло-
логарифмическими функциями переменных, при-
принято считать все логарифмы двоичными, что,
однако, не имеет никакого принципиального
смысла, а связано лишь с принятой системой
измерения величин (с измерением количеств
информации в так называемых битах). См.
по этому поводу, например, книгу: Яглом
А. М., Яглом И. М. Вероятность и информа-
информация. М.: Наука, 1973.

48
Гл. 1. Функции и графики
1.7.2. Постройте график функции j/=sin х,
взяв, например, восемь значений х в интер-
интервале от —л до + я, различающихся между
собой на целые кратные величины 0,25-гс.
Воспользовавшись этим графиком, постройте
кривые: а) у=2 sin х; б) у—sin 0,5z; в) у=
=3sin3z; г) !/=cos x; д) y=cos z+sin x (=
e) y = cos*x (=1/2 +
+ »/* cos 2х); ж) i/ = sin2 ж (= 1/2 — Va cos2z).
Указание. Все эти линии можно по-
построить, сдвигая, растягивая или сжимая
синусоиду у = sin x; для решения упр. г),
е), ж) воспользуйтесь тождеством cos x =
= sin [х + уj. J
1.7.3. Постройте кривые: а) у=±}/хг— 1;
б) i/=+\
; в) г/=2+^(ж—IJ—1; г)
у—я2=0. [Указание. Кривую а) по-
постройте по точкам, выбрав в интервале от —5
до +5 двадцать значений х, различающихся
на 0,5 (и кратных 0,5). Преобразовав уравне-
уравнения а) и б) к виду у2—z2+l=0, соответственно
z2—у2+1=0, заметим, что б) получается из
а) перестановкой хну. Для решения г) за-
запишите уравнение этой кривой в виде 4 (г/+
1\2
+ "о") —х2 — 1=0 и получите ее, сдвигая
и сжимая кривую б).]
1.7.4. Выпишите уравнение кривой, по-
полученной из кривой у—х3—х (см. рие. 5.3):
а) сжатием в направлении оси Оу с коэффи-
коэффициентом 1/3 (т. е. уменьшением в 3 раза всех
вертикальных размеров); б) подстановкой
х -*¦ ~2 ; в) подстановкой у -> — -тг . Изобра-
Изобразите полученные кривые на чертеже.
1.7.5. Докажите, что растяжение (или
сжатие) единичной окружности х2-)-;/2—1=0
к любой прямой с каким угодно коэффициен-
коэффициентом растяжения (сжатия) переводит ее в эл-
эллипс. [Указание. Эту задачу можно
сформулировать так: растяжение или сжатие
любой окружности (х— аJ-\-(у— ЬJ— г2=0
к оси х, т. е. подстановка у -> ку, переводит
эту окружность в эллипс]
1.7.6. Докажите что график произвольной
- „ ах + Ъ
дробно-линеинои зависимости у = ;—-j-
сх —j— d
между переменными у их, где с Ф 0, Д =
= ad — be Ф 0, может быть получен из гра-
х к
фика обратной пропорциональности у = — ,
Д
где А = — -^ , переносом последнего графика
на
d
с
& ( Ы
гт" влево (т. е. при ~<0 переносом
\ а
вправо I и на —вверх.
1.7.7. Докажите, что каждую функцию
можно представить в виде суммы четной и не-
нечетной функций. [Указание. Восполь-
1
зуйтесь тождеством / (х) = у (/ (х) + / (—
1.7.8. Докажите, что никакие две из кри-
кривых A0а)—A0в) несводимы одна к другой
подстановками вида х' = ах-\-р, y' — bx-j-д (где,
разумеется, а ф 0, b ф 0), равносильными
изменению начала отсчета величин хну (пе-
(переносу начала координат), сопровождаемому
изменением единиц измерения х и у.
1.7.9. Укажите правило, позволяющее су-
судить по коэффициентам а, Ъ, с, d зависимости
(9) о том, сводится ли она к виду (Юа), A06)
или (Юв).
§ 8. Параметрическое задание линий
Рассмотрим процесс движения мате-
материальной точки М=М (х, у). Каждая
из координат х, у точки будет здесь ме-
меняться с течением времени t: движе-
а
Рис. 1.8.1
ние М зададут две функции х (t) и
у (t) времени, например
x = cost, y—sint. A.8.1)
Эти зависимости можно изобразить гра-
графически в виде двух кривых, отклады-
откладывая на одном чертеже по оси абсцисс t,
а по оси ординат х, а на другом чер-
чертеже — по оси абсцисс t, а по оси ор-
ординат у (рис. 1).
Зададимся теперь вопросом о тра-
траектории точки М. Каждому значе-
значению t отвечают свои значения х (t) и
у (t) координат; спрашивается, какую
кривую опишет точка М=М (х (t), у (t)) =

§ 8. Параметрическое задание линий
49-
=М (t) при изменении t. Для от-
ответа на этот вопрос можно из двух
уравнений х=х (t), у=у (t) исключить
величину t; тогда мы получим выраже-
выражение, в которое будут входить только у
и х, т. е. уравнение вида у=у (х) или
F (x, i/)=0. После этого будем строить
кривую как обычно, задаваясь раз-
различными х и находя соответствующие у.
Так, в приведенном примере найдем:
т. е.
3/=±\Д—х2, или z
так что кривая A) в плоскости х, у
представляет собой окружность
(рис. 2, а).
Однако часто даже сравнительно про-
простые выражения для х (t) и у (t) при
попытке исключения из них t приводят
к столь сложным формулам, что никто
не решится идти этим путем. Так, на-
например, если
х=х (t)=a1ti+b11?+c1t*+d1t+e1,
то для исключения t нужно решить
уравнение четвертой степени; это при-
приводит к выражениям, выписывать ко-
которые в силу их громоздкости просто
невозможно. Однако построить кри-
кривую в плоскости х, у можно и не исклю-
исключая t: достаточно задаться разными
значениями t и найти значения х и у,
отвечающие каждому из них. Вот, на-
например, как выглядит таблица значе-
значений функций х (t) и у (t), отвечающая
простому примеру A):
t
z=cos t
2/=sin t
0
1
0
W4
0,7
0,7
W2
0
1
3W4
—0,7
0,7
7C
—1
0
t
z=cos t
y=sin t
5W4
-0,7
-0,7
3W2
0
—1
7W4
0,7
-0,7
2tc
1
0
этом мы используем только значения
х и у. Те значения t, при которых эти
х ж у вычислены, при построении точек
не используются ¦— «мавр сделал свое
дело, мавр может уйти».
Такой способ задания кривой, или,
что то же самое, функциональной за-
зависимости у (х), двумя функциями
х (t) и у (t) называется параметриче-
параметрическим, а величина t называется пара-
параметром г. В физических задачах па-
параметр часто имеет вполне определен-
определенный смысл. Так, в том примере, с кото-
которого мы начали этот параграф, t мо-
может иметь смысл времени; в этом слу-
Рис. 1.8.2
чае х (t) и у (t) суть две функции вре-
времени. При этом можно интересоваться
исключительно формой той кривой,
которую опишет точка М (х, у), но
можно интересоваться и тем, с какой
скоростью движется эта точка и какое
положение будет она занимать в раз-
разные моменты времени. Для того чтобы
узнать это, нам необходимо сохранить-
значения параметра и при каждой точке
М=М (t) выписать число t (разу-
(разумеется, практически мы можем выпи-
выписать на чертеже лишь конечное число-
значений; см., например, рис. 2, б). Та-
Таким образом, рисунок «параметризо-
«параметризованной кривой» доставляет нам больше-
информации, чем одна только траек-
траектория точки М (ср. рис. 2, а и рис. 2, б).
Рассмотрим для примера следующие-
кривые:
1) x = cost, y = sint;
2)x=cost, y = —sint;
4) x = sin 3?, у = cos 3t.
Очевидно, брать t больше 2к нет на- г Слово «параметр» (по-русски его смысл
добности: далее значения хну будут м°жно передать, например, выражением «ме-
ппйтопятыя- Теттепт, г помптьтп чтпй Рило») был0 специально для этой цели при-
повторяться. 1еперь с помощью этой думан0 древнегреческими математиками; точ-
таблицы строим точки кривой. При ного перевода оно не имеет.

50
Гл. 1. Функции и графики
Во всех случаях, исключая t, полу-
получим одну и ту же кривую — окруж-
окружность единичного радиуса в плоскости
х, у, уравнение которой имеет вид
В чем же различие этих четырех слу-
случаев, как в каждом из них происходит
движение? В первых трех случаях в мо-
момент t=0 точка находится на оси абс-
абсцисс, в последнем случае — на оси
ординат. В случаях 1) и 3) точка
(можно представлять здесь себе ма-
материальную частицу) движется по кру-
кругу против часовой стрелки, а в слу-
случаях 2) и 4) — по часовой стрелке.
По абсолютной величине угловая ско-
Рис. 1.8.3
рость вращения (а значит, и линейная
скорость \v\, ибо радиус круга равен 1)
в случаях 1) и 2) равна 1 радиан/с
(т. е. |у|=1 м/с, если радиус круга 1 м);
в случаях же 3) и 4) имеем |у|=3 м/с
(угловая скорость рлвна 3 радиан/с).
Приведем еще один пример: построим
кривую, по которой движется точка
обода велосипедного колеса при движе-
движении велосипедиста в одном направле-
направлении — точка А окружности диска ра-
радиуса г при качении диска по прямой.
Эта кривая называется циклоидой 2.
Примем горизонтальную прямую,
по которой катится наш диск, за ось х;
условимся еще считать, что в момент
начала движения центр Q=Q0 диска
находится на оси у, имея координаты
@, г). Будем считать скорость каче-
качения диска постоянной; например, по-
положим, что в единицу времени диск
поворачивается на единичный угол;
в таком случае за время t диск смеща-
смещается в положительном направлении оси
х на расстояние rt (заметьте, что диск
катится без скольжения, так что, по-
повернувшись на угол t, он пройдет
путь, равный дуге В A t на рис. 3, т. е.
путь rt). В этот момент центр Qu диска
2 От греческого слова kykloeides — круго-
кругообразный, порожденный кругом.
займет положение Qt (rt, r), а точка
Ао — положение At; нам требуется
найти координаты точки А(.
Из прямоугольного треугольника
QtAtP (см. рис. 3), в котором AtQtP =
=t и QfAt=r, имеем:
AtP = r sint, QtP = r cost.
Отсюда, поскольку BO=PT=rt, QtB =
=Q0O=r, получаем:
x = TAt = TP — AtP — rt~r sin t,
Окончательно,
x = r(t—sin t), y — r(l — cos t) A.8.2)
(жирная линия на рис. 3 — это и есть
циклоида).
Упражнения
1.8.1. Постройте кривую, заданную урав-
уравнениями: a) z=cos t, y=sin 2t; 6) ?=cos t,
y=sin 3t. [Указание. Так как sin 3i
меняется быстро, то нужно брать достаточно
близкие значения t, например i=0; 0,1; 0,2,
или, если у нас нет таблицы тригонометри-
тригонометрических функций, аргумент которых измеря-
измеряется в радианах, то i=0; 5°; 10°; 15°; . . .]
1.8.2. Постройте кривую ?=cos Et+l),
y=sin EH-1).
1.8.3. Постройте кривую х = cos t, у =
= cos (* + х) •
1.8.4. Постройте кривую z=cos t, y=cos t.
1.8.5. Выразите параметрическую зависи-
зависимость B) явно — в виде функции а:=цз (у).
1.8.6. Окружность s радиуса г катится
(без скольжения) по окружности S радиуса R;
выпишите (параметрические) уравнения кри-
кривой, описываемой точкой А движущейся
окружности s, если s расположена: а) вне S;
б) внутри S или (при R < г), если S нахо-
находится внутри s.
[Линия упр. а) называется эпициклоидой,
а линия упр. б) — гипоциклоидой.]
Рассмотрите отдельно случаи: в упр. а) г =
= Д; г = "д; г = 2Д; в упр. б)г = уД;
1 1 /
= ~o'R; r = -^R. (При r=R
(
эпициклоида
называется кардиоидой (от греческого слова
1 1
cardie — сердце); при r=~q~ R и г=~т R гипо-
гипоциклоида называется соответственно кривой
Штпейнера3 и астроидой (от латинского слова
astrum — звезда). А что представляет собой
гипоциклоида при гз-к-Д?)
3 Якоб Ш т е й н е р A826—1863) — вы-
выдающийся немецкий геометр.

9*. Некоторые дополнительные сведения из аналитической геометрии
51
§ 9*. Некоторые дополнительные све-
сведения из аналитической геометрии
Выше (в § 2) мы уже рассмотрели ряд
геометрических задач, решаемых с при-
применением координат, т. е. методами
аналитической геометрии. Продолжим
здесь эти рассмотрения.
Пусть A^x^yJ, А
— три точки на координатной пло-
плоскости (рис. 1). Как найти угол
А2А1А3=а? В §2
2 (х2,у2) и А3(х3,у3)
й
мы видели, что
12
и
tg„^ = !!=
Ь W Х3 —
где а12 и а13 — углы, образуемые от-
отрезками АгАг и АХА3 с осью х (см. фор-
формулу B.5)). Но из рис. 1 с очевидностью
вытекает, что
ъ = а13 — а12.
А так как по известной формуле триго-
тригонометрии
то
— У1 У 2 —
' Х3 — Хг Х2~ Xi
или окончательно
A.9.1)
Таким образом, по координатам точек
Аг, А2 и А3 можно определить угол
ОС — .
Из формулы A) с учетом известных
соотношений sin а = \ -.—Д-^— и cos а =
Г
. , . 2 можно получить также
I о
формулы
sin v.=
(X,
—у,) — (XS— Si) (У,— У.)
A.9.2а)
V (ж2 - ж,J + (ft - у,J ^(х3 - х,J + (
cos a =
. (Хг — X,) (Жз— ж,)+ (У;— У,) (i/з — Ух)
~~ V(x2 - х,J + (у, - у,J \/(ЗСз - *iJ + (Уз - Vif
A.9.26)
Сравнительно сложная формула A)
(или тем более формулы Bа), B6))
применяются довольно редко. Все эти
формулы тоже справедливы при лю-
любых (по величине и по знаку) значениях
координат рассматриваемых точек и
разностях этих координат, если только
условиться, что угол а отсчитывается
от А±А2 к АгА3 и может быть как по-
положительным, так и отрицательным.
Так как равенство а=90° равно-
равносильно несуществованию величины tga
(которая, так сказать, «обращается
в бесконечность» — при этом знамена-
знаменатель выражения для tg a должен рав-
равняться нулю), то из формулы A) вы-
ъ,&*
Рис. 1.9.1
гЛ
текает следующее условие, необходимое
и достаточное для того, чтобы прямые
АХА2 и АХА3 были взаимно перпенди-
перпендикулярны:
(Х3 — Xj) (Х2 — Xl) -f
+ (Уз — Ух) (г/2 — Vi) = 0. A.9.3)
Из формул A) и Bа), B6) можно сде-
сделать и дальнейшие выводы. Заметим,
что выражения, стоящие в знаменате-
знаменателях правых частей формул Bа) и B6),
равны расстояниям АХА2 и АХА3 (ср.
с формулой B.4)):
А так как по известной формуле школь-
школьного курса геометрии
1
*^ Д^1^2^з ~^— ~9~ 1 2 ' 13 " Sin CC
где SaAia2a3 — площадь треугольника
AXA2AS, то
— (хз — Ху)(у2 — ух)\. A.9.4)
Но, кроме того, Saa1a2a3 = -jA1A2 ¦ h,
где h — расстояние от точки А3 до пря-

52
Гл. 1. Функции и графики
мой АгА2. Поэтому в силу D) имеем x=rcos cp, y=rsincp и х1=г
следующую формулу для расстояния1 =rcos (ф_а\ и =rsin (ср—а)
Ь. = Ь.Аг>АхАг от А3 до АгА2: VY " ^ VY ''
| {х2 —
— Уг) — (х3 — хг) (у2 —
A.9.5)
Отметим еще, что выбор системы ко-
координат на плоскости в геометрических
задачах обычно является довольно про-
произвольным: для задания координат надо
указать на плоскости точку О (начало
координат) и две проходящие через
эту точку (взаимно перпендикулярные)
оси координат Ох и Оу, которые, од-
однако, можно выбирать по-разному.
Пусть, например, хОу и х'О'у' —
две разные системы координат (рис. 2).
Для того чтобы установить связь между
«старыми» координатами (х, у) и «но-
«новыми» координатами (х\ у') одной
и той же точки М, введем в рас-
рассмотрение еще и «промежуточную» си-
систему координат хг0у!, начало которой
совпадает с началом старой системы
координат, а оси параллельны осям
новой системы. Чтобы связать коор-
координаты (х, у) и (хг, у,) какой-либо
точки, удобно рассмотреть также две
системы полярных координат с одним
и тем же полюсом О и полярными осями
Ох и Ох1 (см. рис. 2). Если хОх±=а,
то точке М (г, ср) (точке М, имеющей
в первой системе полярных координат
координаты г, ср) отвечают (полярные)
координаты гг, с^ во второй системе,
где, очевидно, rx=r, cpi = <p—а. Поэтому
(см. формулы B.3))
1 В формулах D) и E) можно опустить
вертикальные черточки, считая площадь
SaAAA и расстояние Ъ,Аа, а^а, «направлен-
«направленными», т. е. имеющими тот или иной знак в
зависимости от того, по какую сторону пря-
пряной AtA2 лежит точка А3; здесь мы на этом
останавливаться не будем.
т. е.
хл —г cos (ср—а)=г (cos cp cos а+
-j- sin ср sin а) =г coscp cosa+r sincp sina=
= x cos a+y sin a,
Уу=г sin (cp—a)=r (sincp cosa—
—cos cp sin a)=—r cos cp sin a+
-\-r sin cp cos a==—x sin ol-\-ij cos a.
С другой стороны, из того же рис. 2
следует, что
х'=х1+а, у'=у1+Ь,
где а=О'Р и Ь=РО — координаты ста-
старого начала О в новой системе коор-
координат х'О'у'.
Таким образом, окончательно полу-
получаем2
х' = х cos a -j- У sin a -f- a,
y' = —x sin a -j- у cos a -j- b.
A.9.6)
Формулы F) играют в геометрии
фундаментальную роль. Метод ко-
координат позволяет характеризовать
каждую точку плоскости парой чи-
чисел х, у — координатами этой точки;
если у нас есть две точки, то им от-
отвечают две пары чисел; множество то-
точек можно заменить множеством пар
чисел. Например, линии отвечает одно-
параметрическое множество пар х (t),
у (t) чисел, зависящее от одного пара-
параметра t (ср. § 8). При этом переход
к иной системе координат не отража-
отражается на геометрических свойствах фи-
фигур; поэтому смысл в геометрии имеют
2 Мы здесь, как это принято в аналитичес-
аналитической геометрии, ограничиваемся одними лишь
правыми системами координат, т. е. та-
такими, что поворот на 90° положительного
луча Ох оси абсцисс, переводящий его в поло-
положительный луч Оу оси ординат, происходит
в положительном направлении, т. е.
в направлении, противоположном направ-
направлению вращения часовой стрелки. Нетрудно
показать, что если хОу ¦— правая система
координат, а х'Оу' — левая, то
х' = х cos л -\- у sin а -\- а,
у' = х sin а — у cos л -\-Ь
(какой смысл имеют здесь угол а и отрезки
а, 6?).

§ 9*. Некоторые дополнительные сведения из аналитической геонетрии
53
лишь такие соотношения между ко-
координатами точек, которые сохраняют
свою форму при любом преобразовании
F) — при переходе от системы коор-
координат хОу к любой другой системе ко-
координат х'О'у'. Именно такими, ра-
разумеется, были все те соотношения,
которые рассматривались выше.
По-другому сказанное можно пояс-
пояснить так. Уравнение у={ (х) или
F (х, у) некоторой линии Г зависит,
очевидно., не только от самой линии,
но и от выбора системы координат;
оно описывает не линию Г (рис. 3, а),
а гораздо более сложный образ: линию
Рис. 1.9.3
У.
/
а
/
Г
j;
Введем теперь новые координаты х ,
у'; тогда согласно F)
х[ = хг cos a -f- j/x sin a -f- a,
y[ = —хх sin a -f- Ух cos a -\- b,
и аналогично находятся новые коорди-
координаты х\, y'2 точки Аг по ее старым ко-
координатам х2, у2. А теперь имеем
х'г —• х[ = (х2 — хх) cos a -f- (y2 — уг) sin a,
У'ч — У'\ = —(X2 — ^i)sin a -j- (y2 — уг) cos a
и соответственно
— [(z2 — Xx) cos a -f- (y2 — yx) sin a]2 -f
+ [—(X2 — xi) sin a + 0/2 — У\) cos a]2 =
— (X2 — xif (cos2 a -j- sin2 a) -f-
— У\? (sin2 a -f cos2 a) =
Г и тот «координатный крест» из оси
абсцисс и оси ординат, к которому от-
отнесена линия (даже не только «коор-
«координатный крест», но еще и единичные
точки на осях, указывающие выбор
единиц измерения величин х и у;
см. рис. 3, б). Но геометрический смысл
(а нас здесь интересует именно геоме-
геометрия, а не физика3) имеют лишь такие
связанные с уравнением кривой выра-
выражения, которые сохраняют свое значе-
значение при замене переменных по форму-
формулам F). Так, например, в уравнении
окружности с центром Q (а, Ь) и радиу-
радиусом г
или
A.9.7)
величины а и Ъ характеризуют (всего
лишь!) положение окружности на ко-
координатной плоскости, в то время как
число г связано с «геометрией» кривой
(с размерами окружности; см. ниже
упр. 6).
Чтобы продемонстрировать сказан-
сказанное, обратимся к формуле B.4) для
расстояния г1г между точками. Если
А\ (хп J/i) и А2 (xv ?/г) — Две точки, то
квадрат rf2 расстояния между ними,
в силу B.4) равен (х2—х1J+(у2~у1J.
3 В физике обстоит дело не совсем так;
см. по этому поводу § 9.8.
что и доказывает независимость ве-
величины г12 от выбора системы коорди-
координат.
Ясно, что две прямые i/=A;1x+&1
и у=к2х-\-Ъ2 (рис. 4) параллельны
в том и только том случае, если их на-
наклоны совпадают, т. е. если к1=к2.
&
Рис. 1.9.4
#= кга;+д2
'&= 1/JS
Рассмотрим теперь проходящие че-
через начало координат О прямые у=
=кгх и i/=:/c2x, параллельные нашим
(вообще говоря, не параллельным)
прямым (см. пунктирные линии на
рис. 4). Поскольку этим новым прямым
принадлежат точки ^(l,^) и А2A,к2),
то в силу A) угол а, равный углу
АгОА2 между нашими прямыми (без-
(безразлично, старыми или новыми!), опре-
определяется по формуле
__ (кг — 0) A — 0) — (kj. — 0) A — 0)
Ча'— A_0)tl_0) + (fc,-0)(ft1-0)
(ведь здесь роль точек Аг (хг, уг),
А2 (х2, у2) и А3 (х8, у3) формулы A)
играют точки О @, 0), Аг A, kj) и

54
Гл. 1. Функции и графики
А2 A, к2)). Таким образом, оконча-
окончательно получаем
A.9.8)
В частности, две прямые y=k1xJrb1
и i/=^2x+62 перпендикулярны тогда
и только тогда, когда
ktk2 -J- 1 == 0 или кгк2 = —1 A.9.9)
(почему?).
Далее, пусть у=кх-\-Ь и у=кх-\-Ъ1 —
две параллельные прямые I и 1г, имею-
имеющие один и тот же наклон к и пересе-
пересекающие ось у в точках В{0,Ъ) и Bx{0,b-,)
(рис. 5). В таком случае, очевидно,
\а
Рис. 1.9.5
ВВ1=\Ь1—Ъ\; с другой стороны, пер-
перпендикуляр ВгР, опущенный из точки
Вг на прямую I, образует с осью у та-
такой же угол а, какой образует прямая I
(и 1г) с осью х (см. рис. 5, где Z ВВгР и
Z xQl — углы со взаимно перпендику-
перпендикулярными сторонами). Но tg xOl = tg a=A
по определению наклона прямой; поэтому
и tgBB1P = k, и, значит,
cos BB*P= cos а—
1
\/1 + tg* а VI + А;2
А теперь из треугольника ВВХР (см.
рис. 5) получаем
\fi + k*
Мы нашли, что расстояние d=B1P
между параллельными прямыми I и
1г равно
d=[bl1-=±l . A.9.10)
v'l + A2
Если I — прямая с уравнением г/=
=Аж+&, а М (х0, г/0) — произвольная
точка (см. рис. 5), то параллельная I
прямая 1г, проходящая через М, имеет
уравнение
у—уо=к (х—х0), или y=kx+bt,
где Ь1=у0—кх0 (см. выше формулу
C.3)). Поэтому в силу A0) расстояние
h от точки М до прямой I равно
^U.-jbo-H AЛШ)
(заметьте, что в числителе правой части
A1) стоит абсолютная величина резуль-
результата подстановки координат точки М
в левую часть уравнения прямой у—
—кх— 6=0).
Упражнения
1.9.1. Даны точка М и прямая I: а) М=
= МA, -1), 1:у=х+1; б) М=М@, -1),.
I: у=Ь; в) М=М (—2, 0), I: у=—х—2; г) М=
3
= М@, 0) (начало координат), I: у=-гх —
1
— " • Проведите через точку М прямую р,
перпендикулярную прямой I.
1.9.2. Даны три точки Аи Аг, А3: Ах @, 0),
А2 D, 3), А3 (-6, 8); Аг D, -4), Аг D, 0),
Л3(-1, 1); ii^l, 2), Л2B, 1), Л3(-1, 1).
а) Найдите Z А2АгА3; б) вычислите-
5Д4,4243: В) ЧвМУ РаВН0 hAx, А.А.?
1.9.3. Даны две параллельные прямые I
и h: а) I: у=х+2, 1^. у=х—2; б) I: Зх—iy—
— 1=0, 1Х: — Зг+4г/=0. Чему равно расстоя-
расстояние d между этими прямыми?
1.9.4. Для той же точки М и той же прямой
I, что и в упр. 1, найдите расстояние h от М
до I.
1.9.5. Пусть А1=А1 (хъ уг), А2=А2(х2,у2),
А3 (х3, Уз) и Ai=Ai (г4, г/4) — четыре точки;
докажите, что АгАг j_ A3Ai тогда и только
тогда, когда
1.9.6. Найдите, как преобразуется урав-
уравнение G) окружности при переходе к новым
координатам х'', г/' по формулам F). Про-
Проверьте, что фигурирующие в G) величины
ашЬ меняют при этом свою величину (т. е. что
новое уравнение будет иметь ту же форму,
но с.иными а и 6), а величина г не меняется.
[Указание. Для решения этой задачи
удобно «обратить» формулы F), выразив
старые координаты х, у через новые коорди-
координаты х\ у'.]
1.9.7. Докажите, что при переходе F)
к другой системе координат сохраняют свою
форму: а) условие k^—k^ параллельности
двух прямых; б) условие (9) перпендикуляр-
перпендикулярности двух прямых; в) формула (8) для угла
между прямыми; г) формула A0) для расстоя-
расстояния между параллельными прямыми; д) фор-
формула A1) для расстояния от точки до прямой;
е) формула D) для площади треугольника;
ж) формула A) для угла треугольника; з) фор-
формула E) для расстояния от точки до прямой;
и) условие АхАг j_ A3At (см. упр. 5). [См.
указание к упр. 6.]

Глава 2
ЧТО ТАКОЕ ПРОИЗВОДНАЯ
^ 1. Движение, путь и скорость
Рассмотрим поступательное движение
тела вдоль какой-то прямой линии; рас-
расстояние некоторой точки М тела от опре-
определенной точки О на этой прямой (ко-
(координату точки М) обозначим через z,
причем в одну сторону это расстояние
будем считать положительным, а в дру-
другую — отрицательным. Пусть, напри-
например, прямая, вдоль которой движется
тело, расположена вертикально; точки
выше О соответствуют положитель-
положительным z, точки ниже О — отрицатель-
отрицательным z. Удобно представлять себе, что
наше тело маленькое, так что можно
просто говорить об одной «материаль-
«материальной точке» М и об ее расстоянии от
определенной точки О прямой — от на-
начала координат.
Задачи о движении тел с постоянной
скоростью v приводят к простым ариф-
арифметическим и алгебраическим расчетам
{основанным на том, что путь равен
произведению скорости на время, т. е.
на элементарной формуле s = vt, где
s —путь, a t — время). Однако в при-
природе мы, как правило, имеем дело
с движениями, скорость которых
меняется с течением времени. Ис-
Исследование таких движений приводит
к важным физическим понятиям пути
и скорости как функций времени; ма-
математически уже здесь возникают ос-
основные понятия высшей математики —
понятия производной и интеграла.
В настоящей и следующей главах мы
рассмотрим эту ситуацию более под-
подробно.
Процесс движения материальной
точки М заключается в том, что ко-
координата z этой точки меняется с из-
изменением времени t. Движение тела
(точки М) определяется зависимостью
координаты z от времени t, т. е. оно
характеризуется функцией z=z (?).
Зная функцию z (t), можно найти по-
положение z тела в любой момент вре-
времени t. Наглядное представление о дви-
движении дает график функции z (?), для
получения которого мы будем откла-
откладывать по оси абсцисс (ось t) время,
а по оси ординат (ось z) — расстоя-
расстояние тела от начала отсчета О.
При равномерном движении тела
(движение с постоянной скоростью v)
путь s прямо пропорционален времени
t, где коэффициент пропорциональ-
пропорциональности равен v (здесь s=vt). Обозначим
координату тела в момент t=0 через
z0, тогда пройденный за время t путь s
ггег)
Zf?,l Л .
Рис. 2.1.1
будет равен разности z (t)—z0. Таким
образом, получаем
z(t) = zQ-{-vt. B.1.1)
Мы видим, что при равномерном
движении зависимость координаты z
от времени t выражается линейной
функцией. График зависимости z (t)
при равномерном движении представ-
представляет собой прямую линию на коорди-
координатной (t, г)-плоскости (рис. 1).
При неравномерном движении за-
зависимость z (t) выражается более слож-
сложными формулами и соответствующий
график представляет собой кривую
линию. Рассмотрим теперь следующую
основную задачу: задана функция
z (t), т. е. зависимость координаты тела
от времени; требуется найти скорость
v движения тела. В общем случае не-
неравномерного движения скорость не
остается постоянной: с течением вре-
времени она меняется. Значит, скорость v
есть также функция времени t, и наша
задача заключается в том, чтобы выра-
выразить эту неизвестную функцию v (t)
через известную функцию z (t).

56
Гл. 2. Что такое производная
В частном случае равномер-
равномерного движения все совсем просто.
Скорость v определяется как путь, прой-
пройденный движущейся точкой за единицу
времени. Найдем, например, путь, прой-
пройденный за 1 с: от момента tx до момента
?] + 1 секунд. Этот путь (он численно
равен скорости) измеряется разностью
координат z (^+1) и z (?x):
— [zo+vt1]=v.
Вместо этого можно также взять про-
произвольный промежуток времени между
моментами t1 и t2 и разделить пройден-
Рис. 2.1.2
ный путь z2—zx на величину проме-
промежутка t2—?х:
ч — zi _ (zo + pf2) — (zo + fti) „ .„ . „.
t T~— 1 1 — v- (i-l-4
t2 — ti t2 — f i
Именно потому, что скорость постоянна,
мы можем выбирать для ее вычисления
любой интервал t2-—tx; при этом
получаемый ответ не будет зависеть
ни от момента tu ни от величины интер-
интервала \t2—ix|. Однако в общем случае
движения с переменной ско-
скоростью дело обстоит уже совсем не так.
Прежде чем переходить к общему
случаю, полезно изменить обозначе-
обозначения. Назовем tt=t, a t2=t-\-At, так
что разность t2—?х, т. е. рассматривае-
рассматриваемый нами промежуток времени, мы
обозначаем через At (см. рис. 1) х.
Подобно этому путь
z{t2)-z(tx) = z(t + At)-z(t) = Az.
1 Разумеется, Д — это не множитель,
а символ и Д* — не произведение Д на t,
подобно тому как sin о не есть произведение
sin на о: сокращать числитель и знаменатель
правой части Bа) или C) на Д так же недо-
недопустимо, как нельзя сократить на sin числи-
sin a
тель и знаменатель дроби g^n „ . Символ Д —
это прописная греческая буква «дельта»,
заменяющая слово «приращение»; запись Д*
(или Az) читается как «дельта тэ» («дельта зет»)
или «приращение времени» («приращение пути»).
В этих обозначениях формулу B)
можно переписать так:
^ = »- B.1.2а)
В общем случае движения с пере-
переменной скоростью правая часть
Bа) t выражает среднюю скорость дви-
движения на интервале времени от t до
t-\- At (интервал длительности ЬЛ):
At
B.1.3)
Здесь приходится говорить о средней
скорости потому, что сама скорость на
протяжении интервала длительности
Д? меняется.
Для примера положим, что путь z
задается не линейной функцией, как
на рис. 1, аквадратичной фор-
формулой
Z (t) — Zo -j- bt -f- ct2. B.1.4).
На рис. 2 приведен один из возможных
графиков, отвечающих функции вида
D). Вычислим по формуле C) среднюю
скорость vcv на интервале Д?. В нашем
случае имеем
= zo-\-bt-\-bbt-f ct2-f 2ct\t-f с (Д*J
и, значит,
Az = z (t -f At) — z (t) =
= bAt -f 2ctAt -f с
Отсюда
^ ct + cAt. B.1.5).
Сравним результаты Bа) и E) для
средней скорости при движении по
закону A) и по закону D). Второй при-
пример отличается тем, что в нем средняя
скорость зависит и от самого момента t,
и от промежутка времени Д?. Как же
найти мгновенную скорость в момент t,
зависящую единственно от этого мо-
момента?
Скорость меняется постепенно; по-
поэтому чем меньше промежуток времени,
на протяжении которого измеряется
пройденный путь, тем меньше успеет
измениться скорость, тем ближе будет
средняя скорость к мгновенному ее-
значению. Формула E) для vav содержит
два члена, не зависящих от величины
промежутка Д?, и один член, пропор-

§ 1. Движение, путь и скорость
57
циональный Д?. При очень малых Д?
и произведение сЫ будет очень мало.
Поэтому при малых Д? последним чле-
членом в правой части E) можно пренеб-
пренебречь: при этом формула для Уор обра-
обратится в формулу для мгновенной ско-
скорости:
+ 2d. B.1.6)
Так, например, пусть в формуле D)
zo=l, Ъ=2, с — —1; будем искать ско-
скорость движения при t=0. В таком слу-
случае E) дает
Можно составить следующую таблицу:
At (от 0 до Д* с)
"ср
1
1
0,5
1,5
0,1
1,9
0,05
1,95
0,01
1,99
Таким образом, чем меньше Д?, тем
ближе выражение для Уср к 2; поэтому
естественно считать, что умгн=2.
Внимательный читатель, вероятно,
уже узнал в выражениях D) и F) из-
известные из школьного учебника фи-
физики формулы для равноускоренного
движения:
at2
z(O = *o+ *# + — . <2Л-7>
только вместо коэффициента Ъ формулы
D) в G) стоит величина v0 начальной
скорости (скорости в момент ?=0);
коэффициент же с формулы D) заменен
на «полуускорение» -S- (ибо а — ус-
ускорение движения).
Мы вычислили мгновенную скорость в мо-
момент времени t исходя из средней скорости
в промежутке от t до t+ At. Попробуем теперь
вычислить ее, выбирая промежуток несколько
по-иному. Найдем среднюю скорость в про-
3 1
межутке от ?х = t—-^ at до t — t-\- — At;
длительность промежутка здесь по-прежнему
равна At. В силу D) имеем
/. 3 \ / 3 \2
z (*0 = z0 + Ь [t — т At) + с (t ~ T At) ,
(t2) = z0 + Ь (t + т At) + с (t + -j AtJ
Z(t2)=
в
z (t2)
Отсюда следует, что
Z (t->) — Z (tj)
B.1.8)
Если сравнить результаты E) и (8), то видно,
что средние скорости на интервалах от t
3 1
до t -f- At и от t — -г At до t 4- ~r At отличаются
на величину Ш\
\ 1 — ( — у) = у сД*.
Но если
мы хотим найти мгновенную скорость, то
нужно брать очень маленький интервал дг;
тогда указанное различие между двумя выра-
выражениями для средней скорости уже не будет
играть роли, и мы снова получим для мгно-
мгновенной скорости прежнюю формулу умгн=
= 64-2cf. При этом, однако, величина (8) сред-
3
ней скорости на интервале от f — -r At до
1
t + -^At ближе к мгновенной скорости F),
чем величина E) средней скорости на интер-
интервале от t до t-{-At; поэтому при желании по-
побыстрее (и поточнее) найти мгновенную ско-
скорость выбор интервала от t до t-\-At менее
удобен: здесь уср дает худшее приближение
для умгн. Еще лучше выбрать интервал так,
чтобы интересующее нас значение f было се-
серединой (центром) этого интервала; в случае
квадратичной зависимости D) между путем z
и временем t полученное значение уср будет
точно совпадать с умгн (см. упр. 2). Мы еще
остановимся впоследствии на этом обстоя-
обстоятельстве (см. § 6.1).
Мы рассмотрели понятие мгновен-
мгновенной скорости для двух конкретных при-
примеров: для равномерного и для равно-
равноускоренного движений. В § 3 мы да-
дадим более точное определение мгно-
мгновенной скорости при произвольном
законе движения.
Упражнения
2.1.1. При движении материальной точки М
по прямой наблюдалась следующая зависи-
зависимость проходимого пути z от времени t: a) z=
1
= t* + t; б) z = YJ-fi-
Чему равна средняя скорость уср движения
на интервале от момента времени t до t-{-At?
Чему равна мгновенная скорость умгя в мо-
момент г?
2.1.2. Для случая зависимости D) пути
от времени найдите величину уср по формуле
; сравните по-
по= b\t + 2ctAt —~2 с (AtJ.
лученное выражение со значением умгн в мо-
момент времени t.

58
Гл. 2. Что такое производная
§ 2*. Теплоемкость тела. Расширение
тел при нагревании
Заметим, что процедура, аналогичная
описанной в предыдущем параграфе,
встречается во многих физических за-
задачах. Здесь мы продемонстрируем это
на двух простых примерах, апеллирую-
апеллирующих лишь к тем сведениям, которые
включены в школьный курс физики.
Напомним, что теплоемкостью того
или иного вещества называется коли-
количество тепла (в джоулях), которое не-
необходимо для нагревания 1 кг рас-
рассматриваемого вещества (воды, же-
железа, золота и т. д.) на 1° С. Но1 ведь
при различных начальных температу-
температурах для нагревания 1 кг вещества на
1° С требуется разное количество тепла,
так что теплоемкость с вещества явля-
является функцией начальной температу-
температуры Т : с=с (Т). Так, например, для
нагревания 1 кг железа, взятого при
температуре 0° С, на 1° С требуется
440, 857 Дж тепла, а для нагревания на
1° С того же количества железа, взятого
при температуре 50° С, нужно уже
470, 583 Дж. Как же определить тепло-
теплоемкость тела, отвечающую данной фик-
фиксированной температуре 71?
Содержание § 1 подсказывает сле-
следующую методику определения инте-
интересующей нас величины с=с (Т) (теп-
(теплоемкости при температуре Т). Ана-
Аналогом фигурирующего в § 1 пути z
здесь, очевидно, будет количество Q
тепла (в джоулях), которое надо при-
придать 1 кг рассматриваемого вещества
для нагревания его от исходной тем-
температуры (безразлично какой!) до тем-
температуры Т; ясно, что эта величина за-
зависит от Т: Q=Q (T). При этом для на-
нагревания 1 кг вещества от температуры
Т1 до температуры 7 понадобится
Q(Tlf Tt)=Q (T2)-Q (TJ тепла; для
нагревания тела от температуры Т до
(гЧ-ДТуС понадобится <?(Г+ДГ)—
—Q (Т) = Д<? тепла. Поэтому средняя
теплоемкость сср на участке от Т до
(Г+ДТ7), естественно, определится как
AT)-Q(T)_ AQ
AT ~~ AT '
B.2.1)
а мгновенная теплоемкость смгн
(прилагательное «мгновенная» в дан-
данном случае относится не к определен-
определенному моменту времени, а к фиксирован-
фиксированной температуре Т тепла) — как зна-
значение сср, отвечающее очень ма-
маленькому приращению Д71 тем-
температуры, причем полученное таким
путем значение теплоемкости смгн будет
тем точнее, чем меньшее Д71 мы берем.
Заметим, что в подавляющем большин-
большинстве случаев уже значение &.Т—\.° С
будет достаточно мало для точного
определения величины с=с (Т). Здесь
выражение «достаточно мало» означает,
что полученное таким путем значение
теплоемкости с практически не будет от-
отличаться от значения, к которому мы
придем, выбрав меньший (даже и го-
гораздо меньший) интервал ДГ измене-
изменения температуры.
Пример. Количество Q=Q (T)
тепла, необходимое для нагревания 1 кг
железа от 0 до Т° С, дается следующей
эмпирически наблюдаемой зависи-
зависимостью (вполне удовлетворительно пе-
передающей интересующий нас физиче-
физический процесс, во всяком случае при
Т < 200° С):
Q (Г) =440,857 Г+0,29725 Т\ B.2.2>
Отсюда в полном соответствии с со-
содержанием § 1 имеем (заметьте, что
зависимость B) Q от Т, подобно за-
зависимости A.4), является квадратич-
квадратичной!):
op AT
__ 440,857 {Т + AT) + 0,29725 (Г + AT)"-
~ AT
440,8577 + 0,29725Г2 __
AT ~~
= 440,857 -f 0,5945^ -j- 0,29725Д7т B.2.3>
и, значит,
скгн = 440,857 +0,59457".
B.2.4>
Таким образом, с @) =440,857 Дж/(кгх
хград), как мы указывали вышет
а, скажем, с A00) =440,857+0,5945 X
X 100=500,307 Дж/(кг-град).
Аналогично обстоит дело и в других
задачах, где надо определить величину,
являющуюся характеристикой ско-
скорости изменения другой (меняющейся)
величины. Так, например, линейный
коэффициент к (теплового) расширения
вещества обычно определяется как
число, указывающее, насколько удли-
удлинится тонкий стержень из рассматривае-
рассматриваемого вещества длиной в 1 см при нагре-
нагревании его на 1° С. Однако и тут со-

§ 2*. Теплоемкость тела. Расширение тел при нагревании
59
ответствующее число к не является
постоянным — оно зависит от началь-
начальной температуры Т стержня; поэтому,
строго говоря, наше определение, рас-
рассматривающее процесс нагревания
стержня от Т до (Г+1)° С, является
не совсем корректным, поскольку
в процессе этого нагревания интере-
интересующая нас величина к=к (Т) все
время меняется.
Как же определить кхтш, т. е. вели-
величину к, отвечающую строго фик-
фиксированному значению Т тем-
температуры? Возьмем стержень длиной
в 1 см при температуре 0° С и начнем
его постепенно нагревать; при этом
длина L стержня в процессе нагрева-
нагревания будет меняться, являясь функцией
температуры: L=L (Т). При нагрева-
нагревании стержня от температуры Т до тем-
температуры (Г+Д71), где приращение
AT температуры уместно считать не-
небольшим, длина стержня увеличится
на величину
ЬЬ = ЦТ-{-ЬТ) — L{T),
так что на рост температуры в 1° С
приходится следующее среднее (или
удельное) удлинение стержня:
L(T -\- AT) — L(T) _ AL
If ~~~AT~'
Однако это удлинение отнесено не
к стержню длиной 1 см, а к стержню
длиной L, так что на 1 см длины
стержня приходится (опять же в сред-
среднем) удлинение
к —ii?
Л<=р— L AT •
B.2.5)
Задаваемая формулой E) величина &ср
и является приближениемг для инте-
интересующего нас (мгновенного) коэффи-
коэффициента теплового удлинения вещества
к=к (Т), причем это удлинение будет
1 Приближенный характер формулы E)
отражается и в том, что мы относим удлине-
ние AL ( точнее, удельное удлинение ту I к длине
L=L (T) стержня в начальный момент вре-
времени, хотя реально длина в рассматриваемом
процессе все время меняется (почему, соб-
AL
ственно, мы делим отношение д^г на L(T),
а не на L (Т-\-АТ)?). Однако эта неточность
в формуле E) для к является весьма несу-
несущественной (почему?).
тем более точным, чем меньшее значе-
значение Д71 мы выбираем.
Пример. Для платины в широ-
широком интервале температур фигурирую-
фигурирующая в наших рассмотрениях функция
L=L (T) хорошо приближается сле-
следующей эмпирической формулой:
L (Т) = 1+8,806-
-f-1,95-КГ9 7*
B.2.6)
(снова квадратичная зависимость L от
Т). Выразим (линейный) коэффициент
расширения к=к(Т) платины как
функцию от Г и найдем значения к @)
и к A000).
Ответ. В точности, как выше
(проделайте все расчеты самостоя-
самостоятельно!), находим, что
_ 1 AL_
~L AT
8,806 •
-3,90
1 + 8,806
+ 1,95 • 10-9Г2 '
откуда следует, что
А@)=8,806-10-6 A/°С) и к A000) =
= 12,57-10-6 A/°С).
Упражнения
2.2.1. Для алмаза количество Q (Т) тепла
(в Дж), необходимое для нагревания 1 кг ве-
вещества от 0 до Т° С, в пределах от 0 до
700—800° С хорошо передается следующей
эмпирической формулой:
Q (Г)=0,3965Г+2,081 -lO^T2—5,024-10~7Г3.
Найдите среднюю теплоемкость сср алмаза
на интервале от Т до (Т+АТ)°С, а также
(мгновенную) теплоемкость с=с (Т) как функ-
функцию Т. Чему равна для алмаза величина
с @), с A00) и с E00)?
2.2.2. Количество Q (Т) тепла, необходи-
необходимое для нагревания 1 кг воды от 0 до Т° С,
хорошо передается следующей эмпирической
формулой:
Q (Г)=4186,687Ч-8373,36-10-5Г2+
+1256 -Ю"8 Т3.
Чему равна теплоемкость с (Т) воды? Какое
значение принимает она при 7'=10°, 90°?
2.2.3. Докажите, что (для любого вещества
и при любой температуре Т) объемный коэф-
коэффициент теплового расширения (т. е. отнесен-
отнесенная к единице объема «мгновенная скорость»
увеличения объема при росте температуры)
равен утроенному линейному коэффициенту
теплового расширения.

60
Гл. 2. Что такое производная
§ 3. Производная. Простейшие при-
примеры вычисления производных
В § 1 в связи с задачей о мгновенной
скорости движения мы пришли к рас-
z(U) — z(t,)
смотрению отношении вида —i-i! -JJ-,
где t2 и tx следует считать очень
близкими между собой. Однако упо-
употребленное нами выражение «очень
близкие» является «нематематическим»,
неопределенным, нестрогим. Точная
формулировка тут такова: нас интере-
интересует предел, к которому стремится от-
отношение
B.3.1)
при t2, стремящемся к tx. Используя
обозначения Д? и Дг, это отношение
можно переписать в виде
ycp = lf; B-3.2)
условие t2 —*¦ tx принимает теперь вид
М — 0.
В формуле B) величины Д? и Дг за-
зависимы: можно выбрать любой про-
промежуток времени Д?=?2—tx, но после
того как промежуток времени Д?, стоя-
стоящий в знаменателе, выбран, запись Дг
в числителе правой части B) означает
уже не произвольный отрезок пути,
а именно тот, который соответствует
рассматриваемому промежутку вре-
времени Д?. В формуле A) это следует из
самой записи отношения, где в числи-
числителе стоит разность z (t2)—z (tx) зна-
значений функции z при значениях t2 и
tx аргумента; правая часть B) — это
просто сокращенная запись отноше-
отношения A).
Итак, интересующая нас величина
мгновенной скорости умгн = v (tx) в мо-
момент времени tt есть предел отноше-
Az . ,
ния — при Дг, стремящемся к нулю
(где Д? = ?2— tx). Записывается это так:
Здесь v (tj) есть именно мгновенная ско-
скорость; буквы Нт (начальные буквы ла-
латинского слова limes — «лимес», т. е.
предел) обозначают предел; под ним за-
записано, о каком именно пределе идет
речь — при Д?, стремящемся к нулю;
стрелка внизу заменяет слово «стре-
«стремится», а справа указана та величина
-д—, предел которой ищется. Читается
запись lim— обычно так: «предел дель-
дельта-зет по дельта-тэ при дельта-тэ, стремя-
стремящемся к нулю», где слово «по» («дельта-
зет по дельта-тэ») заменяет длинное
выражение «деленное на соответствую-
соответствующее значение».
Что значит «предел», «стремление
к пределу»? Те расчеты, которые мы
произвели в § 1, служат наглядным
пояснением этих понятий. Мы видели,
что при малых промежутках Д2 ве-
величина уор во втором примере из § 1 от-
отличалась от значения умгн на малую ве-
величину, пропорциональную М. При
малых Д? эта величина тоже будет мала:
чем меньше Д2, тем она будет меньше,
и при исчезающе малых Д? (т. е. та-
таких, которые на фоне фигурирующих
в A.5) величин Ъ и 2ct можно считать
совсем незаметными) рассматриваемая
величина тоже становится исчезающе
малой. Именно поэтому при малых зна-
значениях Д? мы всегда можем пренебречь
членом с Д( в выражении для Уср.
Итак, отношение
или, как мы преимущественно писали
в § 1, заменяя tx на t, a t2 на t-\-M,
hz z(t-\- At) — z (t)
~AT~ It '
B.3.3a)
стремится к определенному пределу
при Д?, стремящемся к нулю1. Соот-
Соответствующий предел есть мгновенная
скорость v; он сам также является функ-
функцией t:
B.3.4)
Почему при вычислении скорости
по заданному выражению для z (t) при-
приходится проводить такой длинный рас-
расчет, находить Дг для различных Д?
и только затем искать предел lim -дт- ?
1 Можно также исходить из первоначаль-
Дг
ной формы C) отношения тт- и считать, что
?2 и tx стремятся к одному и тому же значению t,
так что Д?=?2—h стремится к нулю (ср.,
в частности, текст, напечатанный мелким
шрифтом в конце § 6.1).

§ 3. Производная. Простейшие принеры вычисления производных
61
Нельзя ли сразу подставить в наше от-
отношение значение Д?=0? Нет, потому
что при этом мы получили бы Дг=0:
ведь ^z—z{t-\-b,t)—z (t), и если дг=О,
то и Дг=0. Значит, при таком механи-
механическом способе действий мы при-
- ^ Дг О
шли бы к дроои -д7 = тг, т- е- не полу-
получили бы никакого определенного значе-
значения этой дроби.
При вычислении скорости вся суть
расчета заключается в том, чтобы брать
малые Д? и соответствую-
соответствующие им малые Д2. При этом полу-
получается каждый раз вполне определен-
Дг AJ
ное отношение дт; когда ш уменьшается,
стремится к нулю, то Az уменьшается
приблизительно пропорционально вели-
., Дг
чине at, а поэтому отношение -г- остается
приблизительно постоянным: отноше-
Az
ние -г: стремится к определенному пре-
пределу при стремлении At к нулю 2. Вели-
Величина этого предела — это и есть мгно-
мгновенная скорость v (t) в случае, когда
t — время, a z — путь.
Предел, к которому стремится от-
отношение приращения функции к при-
приращению независимой переменной при
стремлении к нулю приращения неза-
независимой переменной, имеет первосте-
первостепенное значение и для самой матема-
математики, и для многих ее приложений:
выше мы видели, например, что такое
важнейшее понятие, как (мгновенная)
скорость движения, находится с по-
помощью подобного предела. (В § 2 мы,
по существу, сводили к аналогичному
пределу задачу о вычислении (удель-
(удельной) теплоемкости тела и о линейном
коэффициенте теплового расширения
вещества; продумайте самостоятельно
эти примеры.) Поэтому предел рассма-
рассматриваемого отношения имеет специаль-
специальное название: производная функция,
или, короче, просто производная.
Это название связано со следующим
обстоятельством. Если z есть функция t,
то предел D) зависит как от вида функ-
функции z (t), так и от того значения ар-
2 При некоторых «неестественных» законах
движения z=z (t) этот предел может и не су-
существовать; соответствующие оговорки будут
сделаны ниже. Рекомендуем начинающему
читателю пока не задумываться над этими
исключениями.
гумента t, при котором вычисляется
этот предел, т. е. этот предел также
есть функция t — новая функция, ко-
которая задается (или порождается, или
производится) функцией z (t).
Эту новую функцию естественно на-
назвать производной функцией,
где прилагательное «производная» под-
подчеркивает ее зависимость от исходной,
или основной, функции z (t).
Для производной имеются специаль-
специальные обозначения. Вот одно из них:
dz / ,. Az\
тт dz ,
При этом величина -тг (читается: «де-зет
по де-тэ») рассматривается не как дробь,
а просто как сокращенная запись пре-
предела, стоящего справа. Величина -^~
записана в форме дроби лишь для того,
чтобы напомнить, что она получена из
^ Дг „
дроби -д-т- путем перехода к пределу .
Другое обозначение производной —
с помощью штриха: v=z' (t) или, на-
например для функции у (х),
by
Иногда вместо знака функции под-
подставляют ее выражение: так, например,
если z = at2 -\- Ъ, то можно вместо —^-
писать прямо ——,7~ , или (at2 -\-Ъ)'.
Итак, — и это очень важно —
производная функции определяется
как предел отношения приращения
функции к приращению независимой
переменной при стремлении к нулю
приращения независимой переменной:
B.3.5)
Мгновенная скорость движения тела
равна производной координаты тела
по времени. По аналогии также и в том
случае, когда х не является временем,
а у не имеет характера расстояния, го-
dy
ворят, что производная -р- указывает
3 Ниже (см. § 4.1) мы увидим, что выра-
dz ) dy\
жение -тг (или -г— I можно также понимать
как дробь; однако пока читатель должен
воспринимать эту запись слитно, как один
символ.

62
Гл. 2. Что такое производная
скорость изменения функции у
при изменении независимой перемен-
переменной (аргумента) х. Так, например,
в обозначениях рис. 1 можно сказать,
что отношение -^- является «средней
скоростью» роста функции у на интер-
интервале АВ изменения аргумента х, а пре-
предел этого отношения при В, стремя-
стремящемся к А, выражает скорость роста у
в точке А оси х.
Рис. 2.3.1
Найдем теперь алгебраически про-
производную от функции
z = t2 B.3.6)
{по существу, мы это уже делали в § 1).
Составим отношение
~дТ
дгJ — г2
дг
Раскроем скобки в числителе:
Дг = (t -j- ДгJ — *2 = t2 + 2Ш -f
тогда получим
Дг
Поскольку первое слагаемое в правой
части G) не зависит от Д?, то при стрем-
стремлении Д? к нулю у нас, естественно,
останется одно только это неубываю-
неубывающее в нашем процессе слагаемое:
——— ' ; —-lim J2L •
dt dt д<_70 Дг ~~
= lim Bi 4- M) = 2t.
Рассмотрим еще один пример:
Здесь
B.3.6a)
B.3.8)
= f 4- Ы2ы 4-
rfz __ rf (i3) __
~Ж~ dt ~~
= lim [З^2 4- ЗШ 4- (Д*J) = 3<а. B.3.8а)
Д/-Э-0
В этих примерах предел можно было
легко найти, так как при вычислении
отношения -г^- величина Д? сокращалась.
Но вот несколько более сложный пример:
г = 4"- B-3.9)
В этом случае
1 1
Дг t + Дг ~~ Т
Можно ли, когда мы перейдем к пре-
пределу, пренебречь в числителе величи-
величиной At в выражении ? Нет, потому
что еще не проведено сокращение с ве-
величиной At в знаменателе. Заменяя
1 1 л,
. на — мы при малом Дг совер-
1 —г"* tit t
шаем малую ошибку в одном из сла-
слагаемых числителя Здроби -гг. Однако
у этой дроби при малом Д? малы и чис-
числитель и знаменатель. Поэтому малая
ошибка в числителе (в нашем случае
она обращает числитель в нуль) недо-
недопустима.
Покажем правильный способ дей-
действий:
t(t-\-At)
At
Дг __ 1
дг t (г + Дг) '
Теперь можно найти предел (произ-
(производную), опуская Д? в знаменателе:
dL=d{4tl==].m [- .11 ^ ]=-JL .
B.3.9а)
На этих примерах можно увидеть
очень важное, основное свойство пре-
предела (собственно, это свойство прини-
принимают обычно за определение
предела). При уменьшении величины Д?
разность между значением отношения
Дг /
-г— и пределом этого отношения (равным
производной) lim t7 = -jT можно еде-

§ 4. Первые свойства производной
63
лать, как говорят, «сколь угодно малой»,
т. е. меньше любого заданного числа.
При этом существенно, что далее в про-
процессе изменения рассматриваемой вели-
/ Az \
чины (отношения -г—) эта разность уже
все время остается меньше выбранного
нами числа.
Поясним это примером. Для z = —
имеем
dz __ 1_ Az __ 1
dt ~ t* ' At ~
Возьмем, скажем,
t(t + .
v. о
6,
dz
тогда -п- =
= —0,25. Можно ли выбрать такое At,
_. Az
чтобы -j- отличалось от своего предела
—0,25 меньше, чем на 0,0025? Это зна-
значит, что At нужно выбрать так, чтобы
1 1 ч
#(=¦
2 B + At) ~~~ 4 + 2At )
лежало в пределах между —0,25+
+0,0025=-0,2475 и -0,25 - 0,0025=
= 0,2525. Но легко проверить, что
это наверное будет так, если At будет
по абсолютной величине меньше 0,02
(причем при уменьшении At, начиная
со значения 0,02, мы никогда не полу-
получим разности, превышающей 0,0025).
Точно так же обстоит дело и для дру-
других функций: стремление к пределу
при At —*¦ 0 означает возможность та-
такого выбора At, при котором дости-
достигается (и далее уже никогда не теряется)
любая наперед нами выбранная сте-
степень приближения к пределу.
Особенно просто находится произ-
производная в частном случае z—t: очевидно,
при этом Az = At, -г—=1, т. е. отноше-
отношение -д— равно 1 для любых (больших
и малых) At, а значит, и в пределе.
Итак,
если z = f, то з—— , =
dt dt
Наконец, постоянную величину z=c
тоже можно рассматривать как частный
случай функции — графиком этой функ-
функции будет параллельная оси х прямая
(см. рис. 1.3.6). В этом случае, оче-
очевидно, Дг=0 при любых Д?; поэтому
имеет место правило:
§ 4. Первые свойства производной.
Приближенное вычисление значе-
значений функции с помощью произ-
производной
Укажем теперь некоторые общие
свойства производных.
Если функцию умножить на посто-
постоянный множитель, то на этот же мно-
множитель умножится и ее производная.
Так, например,
n,9 dz d Ci2)
если z — Ar, то -т-= V =
at at
В общем виде:
если z (t) = ay (t),
= a^f-. B.4.1)
Очевидно также, что производная
суммы двух функций равна сумме про-
производных этих функций:
если z(t) = x(t)-\- у (t),
dt
dt
_
dt
B.4.2)
Последнее правило без труда перено-
переносится на сумму трех, четырех и вообще
любого числа функций.
Используя теперь оба наши правила
вместе, получим, что производная суммы
нескольких функций, взятых с какими-то
(какими угодно!) постоянными коэф-
коэффициентами, равна сумме производных
этих функций, взятых с теми же коэф-
коэффициентами:
если z {t)=ax(t)+by(t)+cu(t),
то
dz
dt
dx
~dt
dy
?• B.4.3)
Каждое из названных правил легко
доказать, исходя непосредственно из
определения производной: ведь все они
верны для приращения Az=z(t-\- At)—
—z(t) функции z(t) (при любом At\);
поэтому они выполняются и для отно-
B.3.10) шения -д-, и [для предела последнего
если z = c, то -^- = -^-=
отношения, т. е. для производной —.
Так, например, если z{t)=ay(t) (где
а постоянно), то
Az=z(t+ At)—z(t) = ay(t+M)—ay(t) =
=a[y(t+bt)—y{t)]=aby,
и, значит,
Az Ay .. dz dy
a привсехДгте=а-
B.3.11) -гг = а^г
dt *

64
Гл. 2. Что такое производная
by
Если z(t)=x(t)+y(t), то
b.z=z(t-\- at)—z{t)=[x(t+
+y(t+ at) ]- [x(t)+y(t) ] =
—x(t)]+[y(t+M)—y(t)]=
и
Az __ Ax + Ay __ Ax
M At At
dz dx , dy
откуда ~i~z^~i—Г"л7">
И Т. Д.
Найдем теперь производную много-
многочлена. Мы уже знаем, что
Ау_
At
dc n dt
If— ' dt -
dt
¦ = 2t.
B.4.4)
Поэтому
d (a -f- bt + cf2
i
et3)
' di ~~
da ., dt . dt2 . Л3 __
~"dF"+"°~5F"гсЖ т"б"ЗГ —
B.4.5)
Так, в § 1 фигурировала функция
z(t)=zo+bt+ct2 (см. A.4)). В силу E)
(где теперь надо положить a=--z0, e=0
имеем
т. е. тот результат, к которому мы без
обращения к общим свойствам произ-
производных пришли в § 1.
Техника нахождения производных
(или, как чаще говорят, техника диф-
дифференцирования) будет подробно изло-
изложена в гл. 4.
Забегая вперед, можно отметить, что
дифференцирование функций, задан-
заданных теми или иными формулами, оказы-
оказывается сравнительно простым и легким
делом, более легким, например, чем
решение алгебраических уравнений.
Формулы для производных нередко ока-
оказываются даже проще (или, во всяком
случае, не сложнее), чем формулы для
°амих исходных функций. Так, напри-
например, если исходная функция является
многочленом, то ее производная тоже
многочлен, причем этот новый много-
многочлен оказывается более простым, чем
исходный, в том смысле, что он имеет
более низкую степень (ср. выше при-
пример с многочленом третьей степени,
производная которого оказывается
квадратичной функцией переменного;
так же обстоит дело и в случае много-
многочленов любых степеней). Если функ-
функция является алгебраической дробью,
то и ее производная является дробью.
Если функция содержит корни (дробные
степени), то и производная содержит их.
Производные от тригонометрических
функций также являются тригонометри-
тригонометрическими функциями. А в некоторых
случаях, например для логарифмиче-
логарифмической или обратных тригонометрических
функций, производная оказывается
функцией более простого типа, чем ис-
исходная (для логарифма и арктангенса—
алгебраической дробью).
Для нахождения производных не надо
ждать вдохновения; здесь не нужна
никакая изобретательность, выдумка,
озарение, ибо задача всегда решается
просто педантичным применением ряда
простых правил типа перечисленных
выше. Другие правила и примеры их
применения, как уже говорилось, будут
даны в гл. 4.
Все рассматривавшиеся до сих пор
функции задавались формулами.
Но не следует думать, что это обяза-
обязательно для того, чтобы существовала
производная. Например, мы можем счи-
считать зависимость пути от времени из-
известной из опыта, заданной нам в виде
очень подробных таблиц. С помощью
этих таблиц можно искать величину
мгновенной скорости (т. е. производной)
почти так же, как мы делали это выше,
Az z(t2)—z(t1)
составляя отношения -irr=———..
/if t<2, — Cl
для разных значений At и наблюдая,
как будет меняться это отношение при
уменьшении Д?. Разумеется, здесь уже
нельзя говорить о пределе отношения
Az ..
-д— при at, стремящемся к нулю, иоо
для функции, заданной таблицей своих
значений, величина Д? никак не может
быть сделана сколь угодно малой
(она не может стать меньше «шага» таб-
таблицы); поэтому здесь нельзя найти точ-
точное значение производной. Однако
в большинстве случаев из таблицы
можно получить достаточно хорошую
dz
оценку величины -гг, которая сущест-
существует для всех «хороших», или «гладких»,
функций, независимо от их происхож-
происхождения и от того, как задаются эти

§ 4. Первые свойства производной
65
dv
функции. Укажем еще, что «арифмети- здесь идет об объеме v куба с ребром х.
ческое вычисление производной» — на-
нахождение значений отношения -г—
/или — для функции y=.f(x) — отно-
шения -г—\ для ряда уменьшающихся
значений At (или Ах) и наблюдение за
поведением этих отношений очень упро-
упрощаются при пользовании любым малым
компьютером.
Производная -т— определяется как пре-
Производная -?— в этом случае, как мы
знаем, равна Зж2; таким образом, формула
G) конкретизируется здесь так:
v {х + Дж) = (х -j- ДжK ж х3 + Зх2Ьх,
т. е.
> = v (x -j- Дж) —
B.4.8)
dt
дел
At-
отношения
приращении -—- при
0. При любом отличном от нуля At
отношение приращений -?-, вообще го-
го„ dz
dt
однако
воря, не равно производной
dz г
оно приолиженно равно -тт-; и это прио-
лижение будет тем лучше, чем меньше
величина At. Таким образом, имеет место
приближенное равенство
Az ^^ dz , . .
At ~ ~d~t ^ ''
Az:
dz
~~dt
= z'(t)At.
B.4.6)
Отсюда найдем и приближенное зна-
значение функции z (t^ At):
B.4.7)
= z(t)-\-z' (t)At.
Обратите внимание на то, что в формуле
G) первое равенство является точным
(ведь это просто определение Az\),
а второе — приближенным.
Вернемся к обозначениям t2 = t-\-At,
t1 = t, которыми мы пользовались
раньше. Тогда G) перепишется так:
z (t2) ^ z (tj) -j- z' (tj) (t2 — tj. B.4.7a)
Таким образом, при малой разности
t2—ia, т. е. при ?2, близком к i1; функ-
функция z(to) может быть выражена при-
приближенной формулой, в которую вхо-
входят значения функции z (t) и ее произ-
производной z' (t) при t=tt. Отметим, что
в эту формулу t2 входит в первой сте-
степени, или, как говорят еще, линейно.
f»i Формула G) (мы еще вернемся к ней
в § 4.1) является очень важной, поэтому
обсудим ее подробнее. Рассмотрим, на-
например, функцию v=x3 — для нагляд-
наглядности можно себе представить, что речь
в то время как точное выражение для
v (аг+ \х) в силу известной формулы
имеет вид
v (x -f Дж) = (ж + ДжK — х3 -f- Зж2Дж -j-
откуда
Ду = Зж2Дж + Зж (ДжJ + (АхK. B.4.8а)
Пусть теперь сторона куба равна 1 м;
тогда его объем, разумеется, равен
1 м3. Что же можно сказать, если вы-
выяснится, что при измерении стороны
куба мы допустили ошибку, что эта
сторона несколько больше величины
1 м, скажем, на 1 или на 5 мм или даже
на 1 или 2 см?
Если наша ошибка равна 1 мм, т. е.
реально ?=1,001 м, то первоначальное
значение v = l объема надо будет уве-
увеличить на величину Ду, даваемую фор-
формулой (8а). Оценим теперь вклад в сто-
стоящую в правой части (8а) сумму
отдельных ее слагаемых:
Зх2Да:=3.12.0,001 =0,003,
Зх(Д хJ=3-1 - @,001J=0,000003,
(Да:K=@,001K=0,000000001;
при этом
v A,001) = 1,003003001,
Av = 0,003003001.
B.4.9)
Но имеет ли смысл выписывать в за-
записи числа v все эти цифры? Ведь
3-й член стоящей в правой части (8а)
суммы меньше 1-го ее члена в 3 000 000
(три миллиона!) раз; поэтому сохране-
сохранение здесь 3-го члена ничем нельзя
оправдать. Но и 2-й член той же суммы
меньше первого в 1000 раз, так что
и он обеспечивает лишь чисто иллюзор-
иллюзорную точность: ведь если ошибка в из-
измерении ребра куба окажется равной
не точно 1 мм, а, скажем, 1,1 мм (разу-
(разумеется, — абсолютно реалистическое
предположение!), то 1-й член суммы (8)

66
Гл. 2. Что такое производная
обратится в 0,0033 вместо первоначаль-
первоначального его значения 0,003, и все осталь-
остальные цифры записей (9) окажутся сма-
смазанными, совершенно недостоверными.
Так зачем же мы будем производить
бессмысленную работу и загромождать
расчеты ничего не означающими циф-
цифрами?
Аналогичная картина наблюдается
и при иных (но все еще достаточно
малых) значениях Да:. Так, при
Дя=0,005 м (=1/2 см) имеем
За:2 Да;=3-12.0,005=0,015,
Зг(Да;J=3.1. @,005J=0,000075,
(ДхK=@,005K=0,000000125.
Таким образом, окончательно полу-
получаем
v
= A,005K=1,015075125,
где тоже, конечно, вполне достаточно
(и даже более того — как правило,
необходимо) ограничиться приближе-
приближением
уя^ 1,015.
Подробнее все связанные с этим при-
примером численные расчеты просуммиро-
просуммированы в следующей таблице (из которой
видно, что еще при Дх=0,02=2 см,
а при невысоких требованиях к точно-
точности результата и при Дх=0,05=5 см
замена выражения (х-\- Да;K на а:3+3а:2 Да:
является вполне допустимой):
х=1+Да:
v=(l+AxK
1+ЗДж
1+
+0=1
1
1
1,001
1,003003
1,003
1,005
1,015075
1,015
1,01
1,0303
1,03
х=1+Да:
v=(l+AxK
1+3 Да:
1,02
1,0612
1,06
1,05
1,1576
1,15
1,1
1,3310
1,30
1,
3,
2,
5
375
50
2
8
4
Вот еще один пример: пусть у — \Jx
(скажем, у — сторона квадратной пла-
пластины площади или массы1 х). Найдем
1 Масса т однородной квадратной пла-
пластины со стороной у равна рг/2, где р — посто-
постоянное число (плотность пластины), но функ-
функция т= рг/2 несущественно отличается от функ-
значения функции у при х, близком к 4.
В этом случае г/D)= \JA = 2. Производ-
Производная у' (х) = —^г- (см. ниже упр. 2);
2 Ух
поэтому у' D)=—-=- = -т-, —и прибли-
приближенная формула G) имеет вид
у (х) = v/4 -f Ax ж 2 -f 0,25Дж.
Сравним и здесь приближенное и точ-
точное значения у(х):
ж=4+ Ах
у= V4+ Ах
2+0,25 Ах
4
2
2
4,1
2,02485
2,025
4,5
2,1213
2,125
5
2,24
2,25
я=4+ Ах
y=^i-\-Ax
2+0,25 Ах
6
2,45
2,50
7
2,65
2,75
8
2,83
3,0
9
3
3,25
Вернемся опять к нашему основному
примеру время—путь—скорость, т. е.
представим себе, что t есть время,
z (t) — проходимый за время t путь,
z'(t)=-^—мгновенная скорость, Az —
приращение пути, т. е. путь, пройден-
пройденный за малое время №. Формула
bzttz'(t)M B.4.10)
означает, что путь приближенно ра-
равен произведению мгновенной ско-
скорости на промежуток времени. Но
ведь мгновенная скорость сама меня-
меняется с течением времени; поэтому
пользоваться приближенным равенст-
равенством A0) можно лишь в том случае,
когда мгновенная скорость не успела
заметно измениться за время Д?. Зна-
Значит, чем быстрее меняется величина
z'(t), тем меньшее Д? нужно брать
в формуле A0). И наоборот, чем мед-
медленнее изменяется z'(t), тем большим
можно брать Д?, т. е. величина прира-
приращения Д?, для которого формула A0)
все еще дает малую ошибку, зависит
от скорости изменения производной на
промежутке Д?. Разумеется, все это
верно и для произвольной функции
ции х=у2 (ср. со сказанным по этому поводу
в § 1.7).

§ 4. Первые свойства производной
67
3/=/ (х) какого угодно аргумента х,
<1у
где также производная —— может рас-
сматриваться как скорость изменения
•функции у при данном значении аргу-
аргумента х (см. рис. 3.1 и относящийся
к нему текст).
Рассмотренные выше примеры (где мы
опять обозначаем аргумент через t,
а значение функции — через z и при-
принимаем t за время, a z за путь) под-
подтверждают этот вывод. В первом при-
примере, где z=?3, при изменении t от
1 до 2 (при Д? = 1) производная
z'(t)=3t2 изменяется от 3 до 12 (т. е.
в 4 раза). Во втором примере (z=\lt)
при измененип t от 4 до 9 (при Д? = 5)
производная z'(?) =—— изменяется от
0,25 до 0,167 (т. е. примерно на 30%).
Поэтому приближенная формула G)
(или A0)) во втором случае дает хоро-
хороший результат и при сравнительно
больших значениях Д?: так, при Д?=4,
что составляет 100% от первоначального
значения t, ошибка при ее применении
будет равна всего лишь 6% от истин-
истинного значения функции, а при Д? = 5,
где Д? равно 125% от исходного зна-
значения t, ошибка составляет 1/12«8%
от истинного значения. Напротив, в слу-
случае зависимости z = ?3 использование
приближения G) совершенно недопу-
недопустимо уже при Д?=0,5, когда ошибка
составляет более 25% верного резуль-
результата (при Д?=1 ошибка равна 100%
результата). Разумеется, все сказанное
в равной степени относится к случаям
положительных и отрицательных Д?
{ср. упр. 5 ниже).
Подробно вопрос об оценке ошибки
в приближенной формуле G) и об уточ-
уточнениях этой формулы будет разобран
в гл. 6.
Предваряя содержание первых пара-
параграфов гл. 6, укажем, что при малых
разностях ti—t1 функцию z (t2) можно
представить в виде
z (t2) = z (tx) + a{t2- tx) + Ь (*я - ttf +
+ c{h-txf + ..., B.4.11)
причем равенство A1) можно даже счи-
считать точным, если только допустить,
что справа стоит сумма бесконеч-
бесконечного числа слагаемых (точный смысл
этого будет разъяснен в гл. 6). Так как
мы полагаем, что t2—tx мало, то в пра-
правой части]A1) каждый следующий член
меньше предыдущего, ибо он содержит
более высокую степень малой величины
t2—tl. При этом первые два члена общей
формулы A1) в точности совпадают
с приближенной формулой Gа), ибо
а = z' (tj ~—4-^-. Отличие приближен-
приближенной формулы от точной связано лишь
с наличием в точной формуле члена,
пропорционального (t2—^J, и следу-
следующих членов, содержащих еще более
высокие степени этой малой величины.
Общепринята такая терминология: го-
говорят, что (t2—?г) и а (<2—t-y) при малой
разности (t2—ij)=Ait — суть величины
первого порядка малости (здесь и далее
имеется в виду, что t2 стремится к tx
и Д? уменьшается неограниченно). Вели-
Величины (t2—tj2, а также Ъ (t2—j^J на-
называют величинами второго порядка
малости, (t2—txK и с (t2—tjK — вели-
величинами третьего порядка малости и т. д.
Значит, формула Gа) верна с точностью
до малых первого порядка, ошибка фор-
формулы Gа) — второго порядка малости.
Если вывести из Gа) приближенное
выражение для производной, то нам
придется разделить обе части Gа) на
?2—tt; при этом порядок малости умень-
уменьшится. Равенство
является приближенным, причем
ошибка в нем будет уже не второго,
а первого порядка малости, т. е. про-
пропорциональна t2—t-y', но все равно при
t2 -> tj_, т. е. при M=t2—tj -> 0 эта
ошибка стремится к нулю. Именно это
мы утверждали и раньше, определяя
производную.
Упражнения
2.4.1. Найдите производные функций: а) у =
= х1; б) у = 4а:3 — Зх2 + 2х — 1; в) у = Bх+1J;
1 / 1\ Ъ
г) г/=^а; Д) V = а- \х + —) ; е) у=ах* + -?[.
2.4.2. Докажите, что производная функции
у = \'х равна ,- . Указание. Умножьте
2 VI l
числитель и знаменатель выражения
Ух+дх-у; на сумму ^^pii+vx.1
Дх J
2.4.3. Докажите, что производная функ-
3 _
ции у = Vx3 равна -.г ^х. [Указание. Вое-

68
Гл. 2. Что такое производная
пользуйтесь приемом, аналогичным исполь-
использованному в решении упр. 2.]
2.4.4. Найдите A,2J, A,1)*, A,05J, A,01J,
пользуясь формулой G). Сравните получен-
полученные результаты с точными.
2.4.5. Для функции z (г) = 2+20«—5г2 най-
найдите при помощи производной значения
z A,1), z (l,05),z @,98). Сравните полученные
результаты с точными значениями. [У к а-
з а н и е. В последнем случае примите i=l,
дг=_0,02.]
§ 5. Касательная к кривой
С помощью производной можно решить
важную геометрическую задачу — за-
задачу о нахождении касательной к кри-
кривой, заданной уравнением y=f (x). Ко-
Координаты точки касания А здесь счи-
считаются известными: х=х0, y=yo—f (x0).
С точки зрения аналитической (ко-
(координатной) геометрии Декарта (см.
гл. 1) найти касательную — это значит
найти ее уравнение. Очевидно, что ка-
касательная — это одна из прямых, про-
проходящих через точку касания. Но урав-
уравнение любой прямой, проходящей через
заданную точку А (х0, у0), имеет вид
y—yo=k(x—xo) (см. формулу A.3.3)).
Для того чтобы найти уравнение ка-
касательной, остается определить вели-
величину к — угловой коэффициент, или
наклон, касательной (ее «крутизну»).
Для этого сперва найдем наклон пря-
прямой, проходящей через две заданные
точки А, В рассматриваемой кривой
(рис. 1); такую прямую называют се-
Рис. 2.5.1
кущей. Когда эти две точки кривой
сближаются, секущая приближается
к касательной.
На рис. 1р показаны две секущие,
первая из которых проходит через
точки А и В, а вторая — через точки
А и С, где точка С расположена ближе
к точке А, чем точка В. Чем ближе
точка В или С к А, тем ближе секущая
А В (или А С) к касательной. Поэтому
наклон касательной равен пределу,
к которому стремится наклон секущей
при стремлении друг к другу точек
кривой, через которые проходит секу-
секущая. (Это обстоятельство даже можно
считать определением касатель-
касательной; разумеется, точнее здесь было бы
говорить, что точка В стремится
к точке А или что две точки В, С кри-
кривой стремятся к А, а секущая ВС —
к касательной в этой выбранной точке А.)
Наклон ке секущей легко выразить
через координаты точек пересечения се-
Рис. 2.5.2
кущей с кривой. Возьмем в качестве
одной из этих точек ту точку А (х0, yo)t
касательная в которой нас интересует;
координаты второй точки В пересече-
пересечения секущей с кривой обозначим через
xi> У\- Так как обе эти точки принадле-
принадлежат кривой с уравнением г/—/ (х) (при-
(принадлежат линии г/=/ (ж), как обычно
говорят), то yo=f (х0) и #!=/ (хг). Как
видно из рис. 2, наклон кс секущей
равен
к =tg*=yi-y°
(СМ. § 1.3).
Чтобы вычислить наклон касатель-
касательной в точке х=х0, нужно брать точку
В все ближе к А, т. е. нужно, чтобы
хг стремилось к х0. Следовательно, на-
наклон к касательной равен пределу ве-
величины к0 при хг, стремящемся к х0:
Обозначим разность хг—х0 через Дх;
тогда х1=х0+Ах и Д/=/ (хг)— / (хо)=:
~f{xo-\-b.x)—f(x0). В этих обозначениях
наклоны Ас секущей и к касательной
выразятся формулами:
Следовательно, угловой коэффициент
(наклон) касательной равен производной
функции } (х) в точке х0:
к = ~ = /' (ха). B.5.1)

§ 5. Касательная к кривой
69
Мы знаем, что производная /' (х)
функции / (х) сама является функцией х.
Так как мы искали наклон касательной
в фиксированной точке А (х0, у0), то при
А/
вычислении предела отношения -р- мы
считали закрепленным значение х=х0.
Поэтому в окончательной формуле
и стоит /' (х0) — значение производной
функции /' (х) при х=х0. Перемен-
Переменная же функция /' (х), очевидно, выра-
выражает наклон касательной к кривой
у =/ (х) в переменной точке (х, у)
(или (х, f (x))) этой кривой.
Рассмотрим пример. Пусть наша
кривая является параболой
г/=ха, т. е. пусть / (х)=х2. Составим
уравнение касательной к параболе
в точке х„=2, yo=f (хо)=4.
Мы знаем производную функции х2:
(ср. C.6а)). Следовательно, в интересу-
интересующей нас точке наклон касательной
k=f (х0Н2х0=4,
а уравнение касательной (рис. 3) имеет
вид
у—уп=к (х—х0), т. е. у—4=4 (х—2),
i/=4x—4.
Вообще наклон касательной к пара-
параболе i/=xa в точке (х0, х%) равен 2х0
(ибо здесь-~=2х\; следовательно, урав-
уравнение касательной имеет вид
у — х\ = 2х0 (х — х0), или у = 2х0х — х2..
B.5.2)
Тем самым мы вновь получили резуль-
результат, установленный в § 1.4 совсем дру-
другим путем: прямая у=кх-\-Ь в том
и только в том случае касается пара-
параболы у=х2, если коэффициенты к и Ъ
уравнения прямой можно представить
как выражения 2х0 и —х2, зависящие
от неопределенного числа (параметра)
х0; другими словами, условие касания
прямой у=кх-\-Ь с параболой i/=x2
имеет вид b=-{kl2f (ср. A.4.8а)).
Вот еще пример: рассмотрим п о-
лукубическую параболу
о
y = \Jxs (см. § 1.5). Здесь y' = -j\Jx (см.
упр. 4.3); поэтому к = /' (х0) = у \Jx0 •
В частности, в начале координат О на-
наклон касательной равен к = f @) =
= у \/0=0; поэтому в точке О полукуби-
полукубическая парабола касается оси х, как
и изображено на рис. 1.5.7.
Без помощи производных трудно провести
касательную к кривой, заданной уравнением
y=f (x): нужно вычислить координаты боль-
большого числа точек кривой, с помощью лекала
провести кривую по этим точкам и потом
Рис. 2.5.3
на глаз приставлять линейку к кривой в" за-
заданной точке, внимательно следя за тем,
чтобы линейка касалась, а не пересекала
кривую. С помощью производных мы находим
уравнение касательной, по этому уравнению
находим две точки, принадлежащие заданной
этим уравнением прямой, и затем с помощью
линейки проводим прямую—касательную,
проходящую через эти две точки. В качестве
одной точки естественно взять саму точку ка-
касания А (х0, у0), вторую точку С на прямой
лучше взять далеко от А, тогда с большой
точностью определится наклон и положение
касательной — прямой, проходящей через из-
известные точки А и С.
Так, например, выше мы установили, что
уравнение прямой, касающейся параболы
г/=г2 в точке хо=2, г/о~^, имеет вид г/=4х—4.
Найдем координаты двух точек этой прямой;
при х=2 мы имеем г/=4; это есть сама точка
касания А B, 4) (ее координаты можно было
и не вычислять — ведь касательная обязана
пройти через нее). В качестве второй точки (С)
выберем точку пересечения касательной
с осью у: положим rr=O, найдем у=—4, так что
С=С @, —4) (см. рис. 3).
Отметим любопытное обстоятельство: при
х—0 у=—г/0, т. е. точка С пересечения каса-
касательной с осью у лежит на столько ниже оси х,
на сколько сама точка касания лежит выше
оси х. Это не случайно: наше правило справед-
справедливо для всех касательных к параболам с урав-

70
Гл. 2. Что такое производная
нением вида у—ах2 (при любом а > 0). В са-
самом деле, если касательная проведена в точке
А.(хо, Уо=ах1), то ее уравнение имеет вид
у —уа — 2ах0 (х — х0) B.5.2а)
(ср. с равенством B)), и при х=0 мы полу-
получаем у— уо=—2ах%, у=уо~2ах1=уа—2уо—
=—Уо- Таким образом, касательная к параболе
проходит через точки А (х0, уо—ах1) и
С @, у=-Ул=-ахЪ).
При построении кривой по точкам
трудно точно провести кривую, если
вычислено мало точек. G помощью про-
производных можно заранее провести ка-
/ >
/
я л* /
. $
ч '/ /
Ч V
N. J/
\ 7
\ ^/
Л. /
О j:
Рис. 2.5.4
сательные к кривой в этих точках; после
этого можно точнее провести саму кри-
кривую.
Наглядно ясно, что в точках, в ко-
которых функция принимает наибольшее
или наименьшее значение — в точках
максимума и минимума
функции, — касательная к графику
функции горизонтальна; ниже мы еще
не раз вернемся к этому важному об-
обстоятельству. Уравнение горизонталь-
горизонтальной прямой имеет вид y=const; наклон
горизонтальной прямой к=0.
Таким образом, мы приходим к так
называемой теореме Ферма:
в точках максимума и минимума кри-
кривой, являющейся графиком функции
y=f (х), производная функции / (х)
равна нулю.
С помощью этой теоремы можно на-
находить координаты х точек минимума
и максимума кривой; соответствующие
координаты у при этом легко найти,
подставляя найденные значения х
в уравнение кривой. Ясно, что, зная
координаты точек максимума и мини-
минимума, можно точнее провести саму
кривую.
Полезно в порядке упражнения, на-
нарисовав от руки кривую у (х), хотя бы
приблизительно, но быстро провести
кривую у' (х), обращая внимание на
знак у' (х) и на точки, где у' (х) обра-
обращается в нуль. Такой пример показан
на рис. 4, а (график у (х)) и рис. 4, б
(график производной у' (х)).
Точки обращения в нуль самой функ-
функции у (х) для производной у' (х) ничем
не примечательны. Если кривую у (х)
переместить параллельно самой себе
(верхняя кривая на рис. 4, а), т. е.
сдвинуть вверх (или вниз) на любой
отрезок Ь, то кривая у' (х) от этого
никак не изменится: при параллельном
переносе (сдвиге) кривой в верти-
вертикальном направлении наклон любого
участка кривой (точнее, следовало бы
говорить о наклоне касательной к кри-
кривой в любой ее точке) останется тем же
самым (ср. верхнюю и нижнюю кривые
на рис. 4, а и, в частности, касатель-
касательные к этим кривым в точках А и В).
Это полностью соответствует тому, что
функции y=f {х) и #!=/ (х) + Ь (гра-
(графики этих функций получаются один
из другого именно таким сдвигом)
имеют в соответствующих точках оди-
одинаковые производные.
Можно заниматься и другой «мате-
«математической игрой»: нарисовав от руки
график производной, приблизительно
построить график самой функции. При
этом нужно произвольно задать одну
точку (х0, у (х0)) графика и от нее вести
кривую вверх или вниз (в соответствии
со знаком производной).
В заключение остановимся на еще
одном весьма важном обстоятельстве,
тесно связанном, как мы увидим ниже,
с обсуждаемым вопросом о связи на-
наклона касательной к графику функции
с производной (ранее мы этим обстоя-
обстоятельством намеренно пренебрегали). За-
Заметим, что в физических задачах обычно
х и y=f (x) — размерные величины
(например, х или t — это время,
a y=f (x) или z ==/ (t) — расстояние),
dy
но тогда также и производная -~ яв-
является размерной величиной. Ясно, что
когда z измеряется в см, t — в с, про-
производная -?- = v(t) — это скорость, ее
размерность — см/с. Если, скажем, у
выражено в кг, а х — в месяцах (изу-
(изучается зависимость у = / (х) массы ре-
ребенка от его возраста), производная

§ 5. Касательная к кривой
71
-j- (== lim -д^-j, выражающая скорость
увеличения массы, имеет размерность
кг/мес; если у — сила тока, х — сопротив-
сопротивление, то производная у' = -^- изме-
измеряется в А/Ом; если х — длина ребра
куба, а у — его объем, то -^— имеет раз-
мерность см3/см = см2, и т. д. Вообще,
если аргумент х измеряется в единицах
ех, а функция y = f(x) — в единицах е2,
dy
то производная -j- имеет размерность
Но величина tga, как известно, без-
безразмерна (она равна отношению двух
отрезков, например двух катетов пря-
прямоугольного треугольника с острым уг-
углом а); отсюда уже ясно, что равенство
йу . ,
—— = tg а не может иметь место (в левой
части его стоит размерная величина,
а в правой — безразмерная!). И лишь
в тех редких случаях, когда обе пере-
переменные х и у имеют одинаковую раз-
размерность (скажем, когда изучается за-
зависимость скорости парусной яхты от
скорости ветра) или обе безразмерны
(пример: функция y=sinx, где х — ра-
дианная мера угла), соотношение
-г- = tg а можно считать осмысленным.
dx 6
Как же исправить этот дефект наших
рассуждений? Заметим, что ранее мы
все время предполагали равенство мас-
масштабов по осям х и у, т. е. считали, что
«единица измерения иксов» и «единица
измерения игреков» изображаются на
чертеже одинаковыми отрезками: это
соглашение казалось нам настолько
естественным, что мы даже не оговари-
оговаривали его специально. Но в случае раз-
разной размерности переменных х и у
(а именно этот случай надо считать
общим!) сделанное предположение
не только не естественно, но даже во-
вообще не имеет смысла: нельзя же, в са-
самом деле, всерьез полагать, что
1 с=1 см! Поэтому реально здесь очень
часто пользуются разными мас-
масштабами по осям, вследствие чего соот-
dy
ношение -^- = tga нарушается.
Пусть, например, у есть путь, х —
время и строится график у (х) зависи-
зависимости положения тела от времени х.
По оси ординат будем откладывать у
в масштабе: 1 м пути равен 1 см на чер-
чертеже. По оси абсцисс (х) будем откла-
откладывать время в масштабе: 1 с времени
равна 1 см на чертеже. Тогда, действи-
действительно, значение скорости движения vt
выраженное в метрах в секунду и рав-
равное производной
¦—
совпадает со зна-
значением tg a, т. е. с тангенсом угла, об-
образованного касательной к графику
с осью х. Но если мы выберем другой
масштаб для шкалы х, например
1 c=Z см на чертеже, то получим
Idx I
частности,
2 = 5, мы имеем
В частности, если
_ 1 dy __ 1
В общем случае, если выбранные нами
масштабы таковы, что одна единица х
на чертеже изображается отрезком дли-
длины Zx см, а одна единица у — отрез-
отрезком длины Z2 см, то
tga = -j1-||. B.5.3)
Масштабные множители 1г и Z2 в фор-
формуле C) исправляют положение — они
делают это равенство правильным
с точки зрения соображений размерно-
размерности. Так, в примере с зависимостью
массы ребенка от возраста множитель
1г имеет размерность см/мес (он ука-
указывает, сколько сантиметров на гра-
графике приходится на 1 месяц возраста);
аналогично Z2 имеет размерность см/кг
(этот коэффициент указывает, сколько
сантиметров на графике приходится
на 1 кг массы). Таким образом, выра-
выражение -у- -у- безразмерно: в формуле
все размерности сокращаются, что и де-
делает эту формулу осмысленной (и пра-
правильной).
Обо всем этом следует всегда помнить
при сравнении производной функции
и наклона графика этой функции
(т. е. наклона касательной к графику
в соответствующей точке).
Упражнения
2.5.1. Постройте график функции у=хъ-\-\
в пределах —1,5 < х < 2,5; проведите каса-
касательные к графику в точках х=—1; 0; 1; 2.
2.5.2. Постройте график функции у—хг—
—3z? в пределах —1<г<3,5; проведите
касательные к графику в точках х=—1; 0; 3.
Укажите точки графика, касательная в кото-
которых горизонтальна.

72
Гл. 2. Что такое производная
2.5.3. Укажите на кривой у=х*—я+1
такие точки, касательная в которых горизон-
горизонтальна. Постройте кривую при —2 < х < 2.
[Указание. Упр. 1—3 желательно выпол-
выполнять на миллиметровой бумаге и в крупном
масштабе. ]
2.5.4. График функции у (х) изображен
на рпс. 5; постройте (па глаз) график функции
У' (*).
у
- / 2 J
-г
3 У Л7 // /2
Рис. 2.5.5
2.5.5. График функции у' (х) изображен
на рис. 6. Постройте (на глаз) график функ-
функции у (х), проходящий через точку E, 0). Под
каким углом последний график пересекает
ось ординат? Под каким углом он пересекает
в точке х=5 ось абсцисс? [Указание.
В упр. 4 и 5 следует сначала перерисовать
изображенные на рис. 5 и 6 графики на чистый
лист бумаги: требуемые графики целесооб-
целесообразно чертить на том же листе бумаги, на-
например строго под заданным в условии задачи
графиком. ]
2.5.6. Составьте уравнения касательных
к кубической параболе у=х3 в точках: а) х=
=0,5; б) х=1. Найдите точки пересечения этих
касательных с осями координат.
2.5.7. Укажите общее правило, позволяю-
позволяющее для кривых: а) у=ах2; б) г/=6г* — найти
точки пересечения касательной к кривой
в точке (х0, у (х0)) с осями координат.
§ 6. Рост и убывание функции.
Максимумы и минимумы
Наблюдая ход линии, изображающей
график некоторой функции y=f (х)
(скажем, зависимость Т (t) температуры
Т от времени t), мы без труда усмотрим
на ней точки роста функции (вроде
точки А на рис. 1) и точки ее убывания
(например, точка В), точки максимума
(наибольшего значения), где рост функ-
функции сменяется убыванием (точка С),
и точки минимума (наименьшего зна-
значения), где, напротив, убывание сме-
сменяется ростом (точка D). Как же строго
определить все эти понятия и как
установить характер функции в данной
точке х=х0, не обращаясь к графику,
вычерчивание которого зачастую вовсе
не просто и который всегда ненадежен,
ибо рисуется с неизбежными погрешно-
погрешностями (ошибками)?
Если не пользоваться производными,
то ответ на поставленные вопросы нужно
искать численно: например, найти тем-
температуру Т в какой-то момент t; затем
взять какой-то следующий момент tx
и посмотреть, выросла температура или
упала. Очевидно, что такой способ нена-
ненадежен: если Т (?х) и больше, чем Т (t),
то ведь не исключено, что в момент
t температура падала, затем (вскоре
после t, но еще до t-,) она достигла ми-
минимума, после этого стала расти, при-
причем так, что к моменту tx оказалась
выше, чем в момент t.
С помощью производных вопрос ре-
решается точно: надо найти производную
d\i -п du i / \
-г-. Ьсли величина -f- = y (х) при за-
заданном х положительна, то у (х) есть
растущая функция: при увеличении х
на малую величину Да; значение
у изменится на малую величину
кутну'{х) \х (как было выяснено
раньше, чем меньше Да;, тем точнее
это приближенное равенство). Мы рас-
рассматриваем случай А.х ~^> 0 (скажем,
увеличение времени х). Если у' (х) > 0
и Да; ^0, то, конечно, и Ау ^>0,
т. е. с течением времени величина у
(например, температура) растет.
При этом численное значение (поло-
(положительной) производной указывает,
как быстро растет температура:
если Т' (?) = 10, то вблизи от момента t
температура растет в 10 раз быстрее,
Рис. 2.6.1
чем время (например, на 10° за каждую
секунду), а при Т' @=0,1 она растет
в 10 раз медленнее времени (ср., впро-
впрочем, со сказанным в конце § 5 о раз-
размерности производной и ее связи с вы-
выбором единиц измерения аргумента

§ 6. Рост и убывание функции. Максимумы и минимумы
73
и функции). Если же у' (х) < 0, то
при Дх ]> 0 мы будем иметь Дг/ < 0:
так, если Т' (х) <С 0, то температура
Т (t-\- дг) в момент времени t-\- Д< будет
ниже температуры Т (t) в данный
момент. Таким образом, положи-
положительная производная указывает на
то, что функция является растущей,
а отрицатель Hta я — на то, что
функция является убывающей, пада-
падающей.
Выражения «растущая функция»
и «убывающая (падающая) функция»
применяются не только к зависимостям
величин от времени, но и к любой функ-
функции у (х), аргументом которой служит
произвольная (размерная или безраз-
безразмерная) величина х; при этом растущей
(убывающей) называется такая функция,
которая увеличивается (соответственно
уменьшается) с ростом независимой пе-
ременной х. Производная -г2-характери-
-г2-характеризует скорость роста: она равна отно-
отношению изменения у к отвечающему ему
(небольшому) изменению х. Отрицатель-
Отрицательная скорость роста означает падение,
уменьшение у при увеличении х, и если
ay
dx
TO
dx
dy
"dx
= — ~~ есть скорость
убывания функции.
Выражение «величина у имеет боль-
большую отрицательную производную по х»
означает, что у быстро падает с уве-
увеличением х, а положительная производ-
dy
ная ~ означает, что у с ростом х уве-
увеличивается. Таким образом, производ-
производная переменной у указывает тенденции,
характерные для изменения у, позво-
позволяет судить о том, что можно ожидать
при дальнейшем изменении аргумента —
в этом заключается значение вели-
величины у'.
Физики и математики (в особенности
будущие физики и математики, только
недавно узнавшие, что такое производ-
производная) часто применяют это понятие
и в повседневной жизни: «производная
от моего настроения по времени поло-
положительна» — вместо «мое настроение
улучшается».
Решите задачу-шутку: какой знак
имеет производная от настроения по рас-
расстоянию до кресла зубного врача? При
уменьшении расстояния до кресла —
по мере приближения к креслу — наше
настроение ухудшается, можно также
сказать «падает», становится «отрица-
«отрицательным», значит, производная здесь
положительна.
Может быть, писатели и будут сето-
сетовать на засорение языка, но на самом
деле такое вольное шуточное употреб-
употребление математических понятий — хо-
хорошая тренировка для будущих серь-
серьезных применений математики.
Существуют функции, производная
которых сохраняет один и тот же знак
при любых значениях переменной. Та-
Таким свойством обладает, например, ли-
линейная функция у=кх-\-Ъ: ведь здесь
dy — к
dx
т. е. постоянная величина.
Позже мы увидим, что также и произ-
производная показательной функции у—ах
при любых х имеет один и тот же знак
(хотя и не постоянна по величине).
Представим себе функцию у (х), про-
производная которой у' (х) положительна
при х <^ х0 и отрицательна при х ^> х0
(кратко: у' (х) >0 при х < х0;
у' (х) < 0 при х > х0).
Что можно сказать о такой функции?
Начнем со значений х <С х0. При уве-
увеличении х до х0 величина у будет расти;
однако при дальнейшем увеличении х
производная становится отрицательной
и величина у уменьшается. Отсюда вы-
вывод: при х=х0 функция у (х) имеет
максимум.
Рассмотрим противоположный случай:
у' (х) < 0 при х < х0; у' {х) > 0 при
х > х9. Рассуждая так же, как и выше,
мы придем к выводу, что в этом случав
при x=Xq функция у (х) имеет мини-
м у м.
Если функция у (х) задана формулой,
которой соответствует плавная кривая,
то и у' (х) задается формулой и плавно
изменяется при изменении х. Но в этом
случае разные знаки у' (х) при х <[ х0
и при х ]> х0 означают, что при х—х0
производная обращается в нуль:
у \хо>— dx
-.0.
B.6.1)
Таким образом, как мы уже отме-
отмечали в предыдущем параграфе, прирав-
приравнивая нулю производную, можно найти
те значения независимой переменной,,
при которых функция имеет максимум
или минимум *. Теперь мы можем уточ-
1 Точнее, конечно, значения, при которых
функция может иметь (а может и не

74
Гл. 2. Что такое производная
нить общую теорему Ферма (см. § 5):
в точках, где функция достигает макси-
максимума, производная переходит от поло-
положительных значений к отрицательным,
а в точках минимума она переходит от
отрицательных значений к положитель-
положительным.
Приведем несколько примеров.
Прежде всего обратимся к рассмотрен-
рассмотренной в § 1.1 функции у =?>з? — х2 — х
(см. таблицу в § 1.1). Судя по таблице
вначений функции, можно думать, что
функция является растущей при всех
значениях х% так как каждое увеличе-
г
/
/-'
-
ч
hi
i
У /
Рис. 2.6.2
ние х на единицу вызывает увеличе-
увеличение у.
Вычислим, однако, производную
нашей функции:
у' (х)=9х2 — 2х — 1.
Взяв а;=0, получим у'@)=—1 < 0.
Значит, при х=0 функция убываю-
убывающая; это опровергает полученное из
рассмотрения таблицы предположение,
что наша функция растет везде.
Приравняем у' (х) нулю. Уравнение
у' (х) =Qx2 - 2х - 1 =0
имеет два корня:
х1« —0,24, х2«
:0,46.
Составим подробную таблицу, вклю-
включая в число '-рассматриваемых значе-
значений х и найденные точки обращения
в нуль производной:
иметь!) максимум или минимум. Так, функция
у=з? имеет производную у'=3х2, обращаю-
обращающуюся в 0 при i=0; однако в этой точке функ-
функция (см. ее график на рис. 1.5.1, а) не имеет
ни максимума, ни минимума. (О других
исключениях из нашего правила, касающихся
случаев негладких кривых, будет сказано
в § 7.2.)
X
У
—3
—87
—2
—26
—1
—3
X
У
—0,3
0,129
—0,24
0,140
-0,18
0,131
X
У
0
0
0,40
—0,372
0,46
—0,381
X
У
0,52
—0,370
1
1
2
18
Мы видим, что на участке от ж?»
?*2 —0,24, до х ?« 0,46 функция у умень-
уменьшается от 0,14 до —0,38. Сравнение
значения у (—0,24) с «соседними»
у (—0,30) и у (—0,18) подтверждает,
что при х я» —0,24 функция у (х) дости-
достигает (локального, или «местного») макси-
максимума, ибо соседние значения у меньше.
График функции у =3я3 — х2 — х изоб-
изображен на рис. 2.
Этот пример снова показывает, что
максимум не означает наибольшего из
всех вообще возможных значений у.
Ведь у нас в точке максимума
у (—0,24) я^ 0,14, а при х=1 имеем
г/=1, при х =2 получаем у =18, а при
х =10 — даже у =2890; вообще при не-
неограниченном увеличении аргумента х
функция у также неограниченно и
быстро растет. Так что же выделяет
точку максимума хтгЛ я* —0,24, г/ШШЕ «*
«* 0,14 из множества всех значений ар-
аргумента?
Отличие этой точки от других со-
состоит в том, что при близких (так
сказать, соседних) с хтях значениях х,
как ббльших хтах, так и меньших хт&х,
величина у меньше, чем г/шах (=г/ (zmaj).
Эта особенность хш1а наглядно просмат-
просматривается в приведенной выше таблице
(ср., например, у (—0,3), у (—0,24) и
у (—0,18)). Те же соображения отно-
относятся и к точке минимума xmitL «^ 0,46,
Уты «=* —0,381: хотя у при больших
по абсолютной величине 'отрицатель-
'отрицательных х неограниченно уменьшается и
становится меньше ymin (и вообще мо-
может быть сделан меньше любого отри-
отрицательного числа!), но величина хЫ11
отличается тем, что значение у^

§ 6. Рост и убывание функции. Максимумы и минимумы
75
(=У (^miii)) меньше всех у, отвечающих
«соседним» с хтЫ значениям аргумента
(значениям х, достаточно близким
к xmin). Условие равенства нулю произ-
производной дает возможность найти именно
такие — локальные, или местные, —
максимумы и минимумы.
В качестве второго примера рассмот-
рассмотрим фигурирующую в § 1.5 функцию
у = х3 — х. Производная этой функции
у' = Зх2 — 1; поэтому у' (х) = О при
х = + \ Д/3. Проследив за изменением
знака функции /' (х) = Зж2 — 1 в окре-
окрестностях точек х = l/s/'S т^ 0,577 и х =
= —1Д/3 я»—0,577, мы без труда уста-
установим, что при х = —1Д/3 функция у
имеет (локальный) максимум, а при ж —
= 1Д/3—(локальный) минимум (см.
рис. 1.5.3).
Теперь мы можем полнее раскрыть
причины различия между изображен-
изображенными на рис. 1.5.2 и 1.5.3 графиками
функций у=х3-\-х и у—х3 — х. Рас-
Рассмотрим общее уравнение
у = ж3 -)- еж» B.6.2)
где с — произвольное число. В этом слу-
случае у' =3а;2+с. Ясно, что при с )> 0 вели-
величина у' всюду положительна, значит, у ра-
растет при всех х — ни максимумов, ни ми-
минимумов функция не имеет. При с < 0,
напротив, у' = 0 при х = + 1/ —jj- =
= ±#о> причем в интервалах значений х
от — оо до —х0 производная у' поло-
положительна (функция возрастает); при
—х0 <^ х <^ х0 производная отрицатель-
отрицательна (функция убывает); при хо<^ х <^со
производная снова положительна
(функция снова растет; здесь символы
— со и оо, как всегда, обозначают очень
большие отрицательное и положитель-
положительное числа). Таким образом, при х——х0
наша функция имеет максимум, а при
х =х0 — минимум. При уменьшении с по
абсолютной величине эти максимум и
минимум сближаются: при е=0 точки
=+ 1/
+ ?0=+ 1/ 7Т- сливаются в единствен-
единственную «критическую точку» х =0 — точку
нулевой производной функции у. В этом
случае (для кривой у =х3) соответствую-
соответствующая точка уже не является ни макси-
максимумом, ни минимумом функции: ведь
из рассмотрения «соседних» кривых,
отвечающих малым по абсолютной ве-
величине отрицательным с, вроде бы
следует, что наша точка должна яв-
являться одновременно и максимумом и
минимумом, что явно невозможно; ожи-
ожидать же здесь только максимума (не
минимума) или только минимума (не
максимума) у нас нет никаких основа-
оснований. Все эти особенности кривых B)
изображены на рис. 3 (у кривых про-
проставлены отвечающие им значения с).
Из этого рисунка видно, что существует
два принципиально разных типа кри-
кривых, отвечающих случаям с <^ 0 и
с > 0; «промежуточной» между этими
у
Рис. 2.6.3
типами является «предельная» кривая
у=х3, для которой с=0.
Возвратимся снова к упр. 2.1, посвященному
обсуждению вопроса о теплоемкости алмаза.
В этом упражнении фигурировала следующая
экспериментально полученная зависимость от
температуры Т количества Q=Q (T) тепла
(в Дж), необходимого для нагревания 1 кг
алмаза от 0 до Т° С:
Q{T) = 0,396574-2,081. Ю Г2—5,024 • 10"' Т\
откуда вытекает, что теплоемкость с — с(Т)
алмаза (в Дж/(кг-°С)) выражается формулой
с G')=0,3965+4,162-10-3 Т—15,072.10-' П
(см. решение упр. 2.1). Для того чтобы проана-
проанализировать характер изменения теплоемкости
алмаза в рассматриваемом диапазоне темпера-
температур (том, при котором может использоваться
экспериментальная формула упр. 2.1), нам
придется составить производную с' (Т) тепло-
теплоемкости с:
с' (Г)=4,162-1(Г3— 30,Ш-1(Г7 Т.
Ясно, что величина с' (Т) положительна при
Т < D,162/30,144).1О4=7'о «ъ 1380° С; равна
нулю при Т= То, отрицательна при Т > То.
Но ведь сама эмпирическая формула, как
указывалось выше, справедлива только до
700—800° С. Формально из выписанных фор-

76
Гл. 2. Что такое производная
мул следует, что при Г^;1380оС обраща-
обращается в, нуль величина с' (Г), при Гя=2850°С
обращается в нуль сама теплоемкость с (Г)
и, наконец, при Г^4320°С обращается
в нуль количество тепла Q (Т). Все эти ре-
результаты, разумеется, бессмысленны. Они
только лишний раз доказывают недопусти-
недопустимость использования эмпирических формул
за пределами области их применимости!
Определение максимумов и миниму-
минимумов арифметическим путем — вычисле-
вычислением и сравнением значений функции
при различных значениях аргумента —
является во много раз более трудоем-
трудоемким и менее точным. Правда, если
в руках у Вас есть компьютер, то
«арифметический эксперимент», позво-
позволяющий обнаружить максимум или ми-
минимум путем разумного сравнения зна-
значений функции в разных точках (ведь
компьютером тоже, конечно, надо поль-
пользоваться умело, а не как попало),
значительно облегчается, — но даже и
в этом случае использование понятия
производной много проясняет в су-
существе дела, делает выкладки и под-
подсчеты более «прозрачными» и простыми.
Высшая математика является отнюдь не
только замечательным идейным дости-
достижением. Практические, конкретные вы-
вычислительные задачи также гораздо
легче решаются лметодами высшей мате-
математики.
Упражнения
2.6.1. Найдите значения х, при которых
достигается максимум или минимум следую-
следующих функций. В каждом случае выясните,
имеем ли мы дело с минимумом или с макси-
максимумом. В функциях, в которые входят по-
постоянные, специально рассмотрите случаи
разных (в частности, разных по знаку) значе-
значе2; б) у =
) у + ; ) у х3 — Зх +
100; д) y=x3 + px2 + qx + r; е)у=х* +
+ ах2 + 6; ж) у = ах2 + — •
2.6.2. Объем у=» v (t) 1 г воды (в см3) выра-
выражается следующей (приближенной) эмпири-
эмпирической формулой: v (f) =. 1 -j-8,38 - 10~e (*—4J.
При какой температуре этот объем будет ми-
минимальным?
2.6.3. Отвесьте: на вопрос упр. 2 исходя
из следующих (предложенных разными ес-
естествоиспытателями) 'Jуточнений формулы для
v(t): a) y(i)=>l—61,045-10-e«+77,183-Ю-7*2—
—37,34.10-V; б) y(t)=l_57,577.10-«f+
+75,601 .Ю*2—85,07 -10-»«з.
ний этих постоянных: а) у
= х + — ; в) у=ах + — ; г)
§ 7. Вторая производная функции. Вы-
Выпуклость и вогнутость кривой.
Точки перегиба
Вернемся снова к рассмотрению «кри-
«критических» (подозрительных на макси-
максимум и минимум) точек х=х0 кривой
у =у (х), т. е. таких, что
у'(хо) = О. B.7.1)
Нас интересует вопрос о том, как в слу-
случае выполнения A) отличить максимум
от минимума: ведь A) выполняется и
в точках (локального) максимума и
в точках (локального) минимума.
Мы уже знаем, что разница заклю-
заключается в знаке производной у' (х) при
х <С хож при х > х0. Но как определить
знак у' (х) при х, близком к х0, не
вычисляя непосредственно у' для дру-
других значений х> Обратимся к случаю
максимума функции у (х), когда
у' (х) > 0 при х < х0 и у' (х) < 0 при
х ^> х0. Мы видим, что в этом случае
производная у' (х) сама представляет
собой убывающую функцию: по
мере роста х производная, которая сна-
сначала была положительной (при х <^ х0),
обращается в нуль (при х=х0) и затем
становится отрицательной (при х ^> х0).
Но мы уже знаем, как отличить убы-
убывающую функцию от возрастающей:
производная убывающей функции от-
отрицательна. Следовательно, при том
значении х=х0, при котором у имеет
максимум, у' (хо)—О, а производная от
производной отрицательна. Такая ве-
величина — производная от производной,
которую по общим правилам можно
записать «трехэтажной» дробью
dy'
dx~
l
dx
dx
имеет свое название — вторая произ-
производная. Ее обозначают также у" (х),
d2i/ .
или ~з (читается: «де два игрек по де
икс квадрат»).
Ясно, что если z—z(t) — зависи-
зависимость пути от времени (см. § 1 наст,
гл.), то z' (t) =v — скорость движения,
a z {t)=-Tr — «скорость изменения ско-
скорости», т. е. ускорение (см. также гл. 9).
Если у имеет размерность пути (в см),
а х — это время (в с), то ~ имеет

§ 7. Вторая производная функции. Выпуклость и вогнутость кривой
77
размерность ускорения (см/с2); если у
измеряется в каких-то единицах el7
ах — в единицах е2, то производная
-г\ имеет размерность ^/(е,J, как это
GX
и указывается самой записью
как
d2y
эту
размерность второй производной по-
полезно не забывать при рассмотрении
физических задач, в которых фигури-
фигурирует величина у" (х).
Именно тот смысл, который имеет
вторая производная (ускорение) в на-
нашем основном примере путь—время, де-
делает понятие второй производной осо-
особенно важным для физики: ведь в силу
второго закона Ньютона именно уско-
ускорение является главной характеристи-
характеристикой движения. Подробнее мы еще оста-
остановимся на этом в гл. 9.
Обратимся теперь снова к рассмот-
рассмотренным выше примерам. Если у (х) =
= 3.я3 — х2 — х, то у' (х) =9z2 — 2х — 1,
и, значит,
у"(х)=(У'(х))'=18х-2.
При х та —0,24 имеем г/'=0, а у" «
та —6,3 <^0 — и, действительно, точка
х та —0,24, у та 0,14, есть точка мак-
максимума. При х та 0,46 имеем: у' =0,
а у" та 6,3 > 0, т. е. при х та 0,46,
у та —0,38 функция имеет минимум.
Аналогично, если у =х3 — х, то у' =
=3х2 — 1 и у" =&х. Поэтому при х =
=—1/\/3 та —0,577 вторая производ-
производная у" отрицательна, а при z=-fl/\/3
она положительна: в первой точке
функция у имеет максимум, а
во второй — минимум. (Впрочем,
здесь этот результат можно предвидеть
и геометрически: так как при х =—1
и при х =0 функция у =3? — х =
=—(х — Xs) обращается в нуль, а в про-
промежуточных точках она положительна,
то при х та —0,577 мы можем иметь
только максимум, но никак не
минимум.) Точно так же и в примере
с теплоемкостью алмаза (см. § 6) вто-
вторая производная с" (Т) та —0,003
всегда отрицательна, что обеспечило бы
максимум с (Г), если бы наши формулы
были применимы в точке То, где с'(Т0)=0
(реально теплоемкость алмаза, как и дру-
других твердых тел, все время растет с ро-
ростом Т, стремясь при высокой темпера-
температуре к постоянной величине). Итак,
1) если при определенном значении х
функция у (х) такова, что
B.7.2а)
то в этой точке функция имеет мак-
максимум;
2) если при некотором х функция
удовлетворяет условиям
у'(х) = 0, у"(х)>0, B.7.26)
то в этой точке функция имеет мини-
минимум. (Рекомендуем теперь вернуться
к приведенным в конце § 6 упражне-
упражнениям и применить к ним «критерий вто-
второй производной», позволяющий отли-
отличить максимум от минимума.)
Мы видели, что знак производной
у =/ (х) имеет простой геометрический
i |\
1 1 ч
\
У
4
\
/SB
? /
1
I
1
\
1
I
1
I
1
\ч
Рис. 2.7.1
смысл: положительность про-
производной означает, что наша функция
является возрастающей, т. е.
что график ее идет вверх, если следо-
следовать по нему в направлении слева на-
направо; при у' (х) <^0 функция у б ы-
в а е т, т. е. график ее идет вниз.
Знак второй производной у" (х) также
имеет достаточно прозрачный геометри-
геометрический смысл. Факт положительности
второй производной у" (х) ^> 0 озна-
означает, что первая производная у' (х) ра-
растет, другими словами, растет угол а
(где tg a=fc=(/' (x)), образуемый каса-
касательной к графику функции с осью
абсцисс. Но в таком случае при движе-
движении слева направо по графику функции
касательная к графику поворачивается
в направлении, обратном направлению
вращения часовой стрелки (см. точку А
на рис. 1). А это, очевидно, означает,
что наша кривая расположена выпук-
выпуклостью вниз (ср. § 1.4); иногда еще
в этом случае говорят, что кривая
вогнута вверх. Аналогично неравенство
у" (х) < 0 означает, что первая произ-
производная у' (х) функции у =/ (х) убывает,
а значит, убывает и угол а. Таким об-
образом, в точиах, где у" (х) < 0, каса-

78
Гл. 2. Что такое производная
тельная к графику функции при дви-
движении (слева направо) по кривой вра-
вращается в направлении вращения часо-
часовой стрелки, т. е. кривая выпукла, об-
обращена выпуклостью вверх (см. точку С
на рис. 1). Точки, в которых у" (х)=0,
вообще говоря, можно охарактеризо-
охарактеризовать как точки изменения знака второй
производной, т. е. изменения направле-
направления выпуклости кривой *; в этих точках
Рис. 2.7.2
касательная к графику функции у пере-
переходит с одной стороны графика на
другую сторону, т. е. здесь касательная
пересекает график. Подобные точки,
в которых касательная к кривой пере-
пересекает саму кривую (см. точку В на
1 Редкие исключения типа начала коорди-
координат для кривой г/=х4 (см. рис. 1.5.1, б; здесь
i/'=4x3, у"=4-3х*=12х*, так что г/"=0 при
х=0, а между тем линия в этой точке направ-
направления выпуклости не меняет) относятся исклю-
исключительно к точкам, в которых одновременно
обращаются в нуль и вторая, и третья производ-
производные функции (или вторая производная имеет
излом либо разрыв). (Третья производная —
это производная от второй производной;
d3y
она записывается как у'", или -т-^, и имеет
размерность е1/(е2K, где е1 и ег — единицы
измерения величин у и х. Ниже нам еще пред-
предстоит встретиться с третьей и последующими
производными функции.)
рис. 1), принято называть точками пе-
перегиба 2.
В частности, когда график функци»
у =/ (х) пересекает горизонтальная ка-
касательная, проведенная в точке х=х0
(рис. 2), точка х0 не является ни макси-
максимумом, ни минимумом функции, а между
тем производная в ней равна нулю (ка-
(касательная горизонтальна!). Таким об-
образом, мы видим, что случаи, когда ра-
равенство A) «работает вхолостую» — не
указывает ни максимума, ни минимума
функции, связаны с тем, что в рас-
рассматриваемой точке выполнено не толь-
только условие A), но и условие
у" {х0) = 0, , B.7.3I
характеризующее точку перегиба. (Ср.,
впрочем, со сказанным в сноске 1 о точке-
х =0 функции у =г4, в которой выпол-
выполняются оба условия A) и C), а функ-
функция тем не менее имеет минимум.)
Ниже (см. § 7.3) мы еще встретимся
снова с понятием выпуклой функции.
Упражнения
2.7.1. Найдите вторые производные функ-
функций у = хг; у = х3; y = xi; у = ах2 -\-bx -~ с.
2.7.2. Найдите ускорение движения точкш
по прямой, задаваемого следующей зависи-
зависимостью пути от времени: z=afi+bt-{-c. Что.
можно сказать об этом ускорении?
2.7.3. Укажите участки выпуклости и во-
вогнутости графика функции: а) у=х3; б) у=
1
х
= х3 + рх2 -\- qx -\- г; в) у = х + —.
2 Заметьте, в точке перегиба касательная
пересекает кривую «плавно», с «соприкоснове-
«соприкосновением», а не «грубо», как, скажем, ось у пере-
пересекает параболу у=х2.

Глава 3
ЧТО ТАКОЕ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение пути по скорости дви-
движения и определение площади,
ограниченной кривой
Задача об определении мгновенной ско-
скорости движения v (t) по заданной зави-
зависимости z =z (t) положения z тела от
времени t привела нас к понятию произ-
производной:
Обратная задача заключается в опреде-
определении положения z =z (t) тела (т. е.
пути, пройденного телом за данный от-
отрезок t времени), если мгновенная
скорость v (t) задана как функция вре-
времени. Эта задача приводит ко второму
важнейшему понятию высшей матема-
математики — понятию интеграла.
Условимся об обозначениях, кото-
которые будут нам удобны. Мы будем рас-
рассматривать путь, пройденный за время
от момента t1 до момента t2. Чтобы не
писать индексов, обозначим начало рас-
рассматриваемого промежутка времени
буквой а, конец этого промежутка —
буквой Ъ\ такизи образом, у нас ^=а,
<2 =Ь. Пройденный (за время от а до Ъ)
путь обозначим через z (a, b). Запом-
Запомним, что запись z (a, b), где в скобках
под знаком функции z стоят две вели-
величины а и Ъ, обозначает длину пути,
пройденного между моментами t=a и
t=b, тогда как функция z (t), где
в скобках указано одно число t, задает
положение (координату) тела в задан-
заданный момент времени t. Очевидно, между
величинами z (а, Ъ) и z (t) существует
простая связь:
z(a, b) — z{b) — z(a),
т. е. z (Ь)'~ z (a)-\-z (а, Ъ) C.1.1)
(мы здесь считаем, что Ъ > а), — путь
z (а, Ъ), пройденный за время от а до Ъ,
равен разности z (Ъ) — z (а) координат
тела в начале и в конце рассматривае-
рассматриваемого интервала времени х.
1 Для простоты мы в этих наглядных рас-
рассмотрениях ограничиваемся случаем движения
тела в одном направлении (хотя, возможно,
с переменной скоростью).
Обратимся теперь к вычислению вели-
величины z (а, Ъ). В простейшем случае^
когда скорость v постоянна:
v (t) = const = v0, C.1.2)
пройденный путь равен просто произ-
произведению времени движения на скорость:
z(a, b)~(b — a)v0. C.1.3)
Воспользуемся графиком зависимости
скорости от времени, при постоянной
скорости представляющим собой гори-
горизонтальную прямую (рис. 1). Пройден-
Пройденный путь, очевидно, равен заштрихо-
заштрихованной площади, поскольку площадь
Рис. 3.1.1
3 t
прямоугольника равна произведению
основания (Ь — а) на высоту (г>0). А как
быть в общем случае, когда скорость
движения не постоянна?
Рассмотрим подробно один числен-
численный пример. Пусть скорость движения
задана формулой 2 v=t2. Найдем путь
за время от t—a=l до t=b—2.
Разобьем весь промежуток времени
от а до b на десять частей и составим
таблицу скоростей:
t
V
1,0
1,0
1,1
1,21
1,2
1,44
1,3
1,69
1,4
1,96
1,5
2,25
t
V
1,6
2,56
1,7
2,89
1,8
3,24
1,9
3,61
2,0
4,0
В чем трудность вычисления пути
при скорости v (t), заданной известной
нам формулой? Очевидно, все дело
в том, что скорость переменна (для по-
2 Бели скорость v выражена в см( с,а время
t — в с, то, чтобы соблюдались требования
размерности, надо писать v=ktz, где коэф-
коэффициент к имеет размерность см/с3. Здесь
мы считаем, что к=1 см/с3.

Гл. 3. Что такое интеграл
стоянной скорости задача элементарна).
В рассматриваемом случае скорость
в промежутке времени от t~l до t=2
меняется в 4 раза. Однако после того
как этот промежуток разбит на 10 ча-
частей, в каждом маленьком промежутке
длительностью в 0,1 с скорость меня-
меняется гораздо менее резко — всего на
10—20%. Следовательно, в каждом та-
таком промежутке времени скорость при-
приближенно можно считать постоянной,
что позволяет рассчитать проходимый
за этот малый промежуток времени
путь по простой формуле: скорость,
* I
Рис. 3.1.2
умноженная на время. В дальнейшем
малые промежутки времени, на которые
мы разбиваем большой промежуток вре-
времени от t=a до t—b, будем обозначать
символом A.t («приращение времени»);
для каждого такого промежутка вре-
времени Д? мы будем считать путь просто
пропорциональным длительности Д?
промежутка, полагая скорость на всем
его протяжении одинаковой.
Для вычисления пути в каждом про-
промежутке Д?, составляющем 0,1 с, ис-
используем скорость в начале этого
промежутка: 1 см/с в Ai от 1 до 1,1 с;
1,21 см/с в М от 1,1 до 1,2 сит. д.;
наконец, 3,61 см/с в последнем Д? от
1,9 до 2,0 с. Полный путь, пройденный
за время от t=l до t=2, при этом спо-
способе подсчета окажется равным
z(l, 2) л* ОД+ 0,121+0,144 + •••
...+0,361=2,185 см. C.1.4)
Очевидно, что при таком расчете мы
приуменьшили пройденный путь: ско-
скорость в данном примере с течением вре-
времени растет, поэтому начальная ско-
скорость для каждого промежутка меньше
средней скорости в этом промежутке.
Каждое из десяти слагаемых, на кото-
которые разбит весь путь, несколько зани-
занижено; следовательно, занижен и весь
результат.
Теперь подсчитаем путь по-другому,
а именно в каждом промежутке Д?
будем брать значение скорости
в конце промежутка. Для первого
Д< от 1 до 1,1 с эта скорость равна
1,21 см/с, для последнего М от 1,9
до 2 с скорость равна 4 см/с и т. д.
Так мы получим следующую оценку
всего пройденного пути:
z(l, 2)«0Д21+0Д44+...
...+0,400 = 2,485 см. C.1.5)
Такой расчет, очевидно, дает преувели-
преувеличенное значение z A, 2). Значит, истин-
истинное значение лежит в пределах между
2,185 и 2,485 см. Различие между 2,185
и 2,485 составляет около 15%. Округ-
Округляя границы для z, получаем
2,18 <z(l,2)< 2,49.
Проделанный расчет можно пояс-
пояснить графически. Построим график
(рис. 2), на котором по оси абсцисс
отложено время, а по оси ординат —
скорость. (Для того чтобы ступеньки
были хорошо видны, на рис. 2 рас-
рассматриваемый промежуток времени раз-
разбит на пять частей, а не на десять, как
в тексте.) Каждое слагаемое в первой
сумме D) представляет собой площадь
узкого прямоугольника, основанием ко-
которого является соответствующий ин-
интервал Ы, а высотой — скорость в на-
начале этого интервала; сумма же всех
слагаемых представляет собой (заштри-
(заштрихованную на рис. 2, а) площадь под
ломаной (ступенчатой) линией. Вторая
сумма E), в которой для каждого ин-
интервала М времени скорость полага-
полагалась такой, как в конце этого интер-
интервала, равна площади, заштрихованной
на рис. 2, б.
А как можно точнее подсчитать путь,
пройденный за данное время (в нашем
примере за время от t =а =1 с до t =b =
=2 с)? Ясно, что различие между «ниж-
«нижней» и«верхней» оценками пути (в на-
нашем случае между 2,18 и 2,49) зависит
от быстроты изменения скорости в каж-
каждом из малых интервалов Д?. Поэтому
для того чтобы это различие стало-
меныпе, надо просто позаботиться о том,
чтобы скорость в пределах рассматри-

1. Определение пути по скорости движения
81
ваемых интервалов меньше менялась;
но так как скорость от нас не зависит,
то нам остается только уменьшать сами
эти интервалы. Впрочем, этот путь нас
полностью устраивает, поскольку тре-
требуемый результат он обеспечивает: если
сделать все интервалы меньше (а общее
их количество — соответственно боль-
больше), то полученные по описанному выше
способу две оценки для пути z (a, b)
сблизятся между собой.
Так, например, если разбить тот же
интервал от 1 до 2 с не на 10, а на
стями; следовательно, при уменьшении
At уменьшается относительная ошибка
в каждом слагаемом. Именно потому,,
что речь здесь идет об относительной
ошибке, мы можем быть уверены, что
хотя число слагаемых (т. е. количество
ошибок) у нас увеличивается, все равно>
точность оценки общей суммы путей,
т. е. точность оценки величины z A, 2),
наверняка растет.
Для иллюстрации этого на рис. 3
изображены построения, связанные
с оценкой пути 2 A, 2) по заданной
Рис. 3.1.3
20 промежутков длительностью по 0,05 с
каждый, то расчет, аналогичный прове-
проведенному выше, дает при условии учета
в каждом промежутке At началь-
начальных скоростей
z(l, 2) «0,05+ 0,05-1,1025+...
... + 0,05 • 3,8025 = 2,25875. C.1.4а)
Если же мы заменим начальные ско-
скорости конечными, то получим
z A, 2)« 0,05 • 1,1025 + 0,05 • 1,21 + ...
...+0,05-4=2,40875. C.1.5а)
Различие между 2,25875 и 2,40875
составляет уже всего лишь около 7%.
Пределы, в которых заключено z A, 2),
сузились. Округленно:
2,25<z(l, 2)<2,41.
При уменьшении At результат при-
приближается к истинному значению пути,
которое будет вычислено в дальнейшем
и окажется равным
z(l, 2) = 2^ «2,333.
Ведь чем меньше At, тем меньше и раз-
различие в каждом малом промежутке At
между начальной и конечной скоро-
скорости v=t2 при Д?=0,5; 0,2 и 0,1.
Геометрически очевидно, что при уве-
увеличении числа промежутков At и умень-
уменьшении длины каждого промежутка
уменьшаются размеры каждой ступень-
ступеньки на рис. 3, поэтому ступенчатая ли-
линия становится все ближе к кривой v (t).
Суммируя все наши рассмотрения,
мы приходим к выводу, что при произ-
произвольной зависимости v =v (t) мгновен-
мгновенной скорости v от времени t путь,
пройденный за время,от t—a до t=b,
равен площади фигуры, ограниченной
линией v=v (t), вертикалями t=a и
t=b и осью абсцисс (ось t; рис. 4).
Этот вывод дает способ практического
вычисления пути: можно построить гра-
график на миллиметровке и определить
заштрихованную площадь либо под-
подсчетом клеточек, либо, например, вы-
вырезав эту площадь из картона или бу-
бумаги, взвесив вырезанный листочек и
сравнив его массу с массой вырезанного
из того же материала прямоугольника
или квадрата известной площади 3.
3 Разумеется, при наличии (микроком-
(микрокомпьютера метод, связанный с рассмотрением

82
Гл. 3. Что такое интеграл
Подобные методы уместны и вполне оправ-
оправданы, если скорость известна не точно, т. е.
задана не формулой, а таблицей или графиком,
полученными экспериментальным путем. Мы
не остановимся на этих приближенных спосо-
способах: наше внимание будет сосредоточено
на том, как выразить пройденный путь
формулой, когда и зависимость ско-
Рис. 3.1.4
г
рости от времени также задана формулой.
Укажем еще, что в отдельных случаях, на-
например когда скорость на интервале от О
до 1 с выражается формулой и (t) = \ _t и при
приближении к значению г=1 с неограни-
неограниченно растет, путь может вовсе не существо-
существовать (становиться бесконечным); такие случаи
также пока будут оставлены без внимания
(ср., впрочем, § 5.2).
Можно указать и более точный (по сравне-
сравнению с описанным выше) численный метод
определения пути по скорости. Условимся
в каждом промежутке At времени считать
скорость постоянной и равной среднему ариф-
арифметическому (т, е. полусумме) начальной и ко-
конечной скоростей в этом промежутке. При та-
таком способе при разбиении на десять проме-
промежутков скорость в первом промежутке от 1
1 + 1,21
до 1,1 с принимается равной —g = 1Д05
см/с (см. таблицу в начале этого параграфа)
и путь за этот промежуток времени считается
равным 0,1105 см; путь за второй промежуток
1,214-1,44
подсчитывается как 0,1 • = =0,1325 см
и т. д. Складывая все полученные таким спосо-
способом пути, найдем путь, пройденный за все
время от а=1 с до 6=2 с; в нашем случае он
будет равен
г A,2)=0,1105+0,1325+. . . = 2,335 см.
При разбиении на 20 промежутков получим
таким же способом, считая среднюю скорость
равной полусумме скоростей (в начале и
в конце), г A, 2) = 2,33375 см.
таблицы значений функции и составлением
сумм типа D), E) (или Dа), Eа)), удобнее
) точнее примитивного взвешивания фигуры,
вырезанной из бумаги или из картона.
Эти значения гораздо ближе к истинной ве-
величине 2,33333, чем вычисленные по началь-
начальному или конечному значению скорости при
том же числе промежутков: при десяти про-
промежутках мы получаем ошибку в 0,07%
вместо 15% ранее, а при 20 промежутках —
ошибку в 0,02% вместо 7%.
Новый способ нахождения пути можно
также наглядно пояснить на графике. Произ-
Произведение полусуммы скоростей в начале и
в конце промежутка на величину промежутка
времени есть площадь трапеции ABCD (рис. 5):
ее основания — АВ и DC, а высота — AD;
площадь трапеции равна
АВ
DC
AU —
v (h) + v (h)
2
Поэтому определение пути по полусуммам
скоростей называется методом трапеций.
При том виде, который имеет кривая v (t)
на рис. 5, площадь трапеции несколько больше
площади, ограниченной прямыми В A, AD,
DC и дугой ВС кривой v=v(t). Разность
площади трапеций и площади, ограниченной
дугой кривой, равна площади луночки (за-
(заштрихована на рис. 5), ограниченной хор-
хордой ВС и дугой ВС кривой. Сумма площадей
всех таких луночек и дает ошибку — разность
между истинным значением пути и вычислен-
вычисленным по методу трапеций. Сравнение с рис. 2
и 3 наглядно показывает, что при использо-
использовании метода трапеций ошибка, вообще говоря,
будет меньше, чем при расчете по формулам
типа D), E) (по «методу ступенек», или, как
чаще говорят математики, по методу прямо-
прямоугольников).
Разумеется, при сопоставлении пути
и площади, связанной с графиком зави-
V ,
V
А
д
t
1
'с
л
t
Рис. 3.1.5
симости v =v (t), необходимо учитывать
масштаб, в котором составлен график
(ср. со сказанным • по этому поводу
в § 1.7). Пусть на графике отрезок
в 1 см по оси абсцисс соответствует
промежутку времени в Г с, а отрезок
в 1 см по оси ординат соответствует
скорости V см/с. Тогда при движении

§ 2. Определенный интеграл
83
с постоянной скоростью г>0 в течение
времени от t=a до t=b путь будет
равен v0 (b — а), а площадь заштрихо-
заштрихованного на рис. 1 прямоугольника
равна (в см2)
с v0 b — а
Таким образом, здесь z (a, b)—SVT.
Это соотношение между пройденным
путем и отвечающей ему площадью,
ограниченной кривой v~v (t), осью абс-
абсцисс и вертикалями t =a и t —b, оче-
очевидно, сохраняет силу и в случае п е-
ременной скорости v, т. е. произ-
произвольной зависимости v—v (t).
§ 2. Определенный интеграл
В предыдущем параграфе мы рассмот-
рассмотрели две задачи — задачу определения
пройденного пути и, как оказалось,
равносильную ей задачу определения
площади под кривой; они привели
к рассмотрению сумм особого вида
с большим числом малых слагаемых.
Строгая постановка этих задач приво-
приводит к понятию интеграла.
Величина z~z (a, b) пути, найденная
по заданной скорости v (t), называется
определенным интегралом функции
v (t) (скорости) по переменной t (вре-
(времени), взятым в пределах от а до b
(иногда говорят также «интеграл от
функции v (?)»)•
Дадим математическое определение
интеграла, соответствующее тем идеям,
которые были проиллюстрированы чис-
численным примером предыдущего пара-
параграфа. Это определение останется вер-
верным и в том случае, если рассматри-
рассматриваются не скорость и путь, а какие
угодно другие физические или матема-
математические величины.
Итак, пусть дана функция v=v(t).
Для нахождения ее интеграла в проме-
промежутке от а до Ъ мы разбиваем этот
промежуток на большое число п малых
промежутков. Значения аргумента t на
границах малых промежутков обозна-
обозначим t0, tlt t%,
t где, оче-
очевидно, to=a и tn=b (рис. 1). Длины At
малых промежутков времени' равны
разностям соседних значений t. Таким
1 Бели разбить промежуток от а до Ъ на п
равных частей, то каждый промежуток Д?=
Ъ — а
= . Однако вовсе не обязательно, чтобы
образом, для какого-нибудь произ-
произвольного I (где 1=1, 2, . . ., п)
Значки снизу у величин t и At пред-
представляют собой номера, или «индексы»,
значений t и промежутков Д? (см.
сноску 1 в § 1.2).
Приближенное значение интеграла
z (а, Ъ) дается формулой
i=n
2 (о,
C.2.1)
/=я
Запись 2 означает, что стоящее
справа от этого'знака2 и зависящее от
4
4-4
а.
Ь
4, h
Ч—Ь-
Рис. 3.2.1
индекса («номера») I выражение нада
выписать при всех значениях / от 1
до п и все эти выражения надо сло-
сложить. Так, например, если п=10, то
г=ю
2 v(tl_1)M,=
1
В примере из § 1 (см. таблицу на'с. 79)
to=l; ^=1,1; <2=1,2; ... и
(=10
В приближенном выражении A)
в каждом промежутке значение функ-
функции v (t) бралось в начале проме-
промежутка — в точке tiv Другое прибли-
приближенное выражение получим, беря
в каждом промежутке значение функ-
функции в конце промежутка:
z(a,
C.2.2),
В примере из § 1 при га =10 эта сумма
равнялась 2,485.
все части, на которые разбит промежуток,
были одинаковы — нужно лишь, чтобы каж-
каждый промежуток Д* был мал. Читатель,
может убедиться в этом, продумав пример
путь—скорость из § 1; см. также упр. 3. »
2 Знак 2 есть прописная греческая буква
сигма, символизирующая сложение.

Гл. 3. Что такое интеграл
Определенным интегралом функции
v (t), взятым в интервале от а до Ь,
называется предел, к которому
стремятся суммы A) и B) при стремле-
стремлении всех промежутков Att к нулю.
Обозначается интеграл так:
z(a, Ъ) = J v (t) at
C.2.3)
(читается: «зет от а, бэ равно интегралу
от а до бэ, вэ от тэ де тэ»). Знак \
(«интеграл») происходит от латинской
буквы S (первой буквы слова «сумма»):
он получился растягиванием буквы S
в вертикальном направлении.
Запись dt (вместо At) в правой части
C) означает, что для получения точ-
точного значения интеграла необходимо
перейти к пределу, когда все проме-
промежутки At стремятся к нулю (подобно
dz
тому как производная — получается
Az .
из отношения -v-, если устремить Дг
и Д( к нулю и перейти к пределу).
Формулы A) и B), в которых вели-
величины Az малы, но конечны, дают только
приближенное значение инте-
интеграла, подобно тому как отношение
Az . .
— с конечными М и аз дает лишь при-
приближенное значение производной.
Когда малые промежутки At стано-
становятся все мельче и мельче, то уже ста-
становится безразличным, брать ли значе-
значение функции v в начале, в конце или
где-нибудь внутри промежутка, т. е.
безразлично, исходить ли из A), из B)
или из какого-либо иного выражения
«интегральной суммы», подобной тем,
которые фигурируют в правых частях
A) и B) (можно, например, суммировать
слагаемые v (tep) At, где tcv — середина
соответствующего промежутка At). По-
Поэтому в записи C) стоит просто v (t),
т. е. значение функции v в промежутке
At без конкретизации того, как именно
выбирается значение t внутри (или на
концах) рассматриваемого промежутка.
Ещо одно отличие интеграла C) от
приближающих его сумм A) и B)
заключается в том, что при уменьшении
величин At и при увеличении числа
малых промежутков мы отказываемся
от того, чтобы нумеровать их. Поэтому
у интеграла указываются только пре-
пределы изменения t от а до Ь. Величина а
ставится внизу и называется нижним
пределом интегрирования, величина Ь
стоит у верхнего конца знака интеграла
и называется верхним пределом интегри-
интегрирования 3. Промежуток изменения t от
а до 6 называется промежутком ин-
интегрирования. Функцию v (t) в выраже-
выражении интеграла называют подынтеграль-
подынтегральной функцией, t — переменной интег-
интегрирования.
Таким образом, интеграл опреде-
определяется как предел, к которому стре-
стремится сумма произведений значений
функции на разность соответствующих
значений аргумента при стремлении
к нулю всех разностей аргумента 4:
1=п 1=п
lim zl v (t,) At, =
>-0 1=1
2
= f v (t) dt.
C.2.4)
Хотя первая и вторая суммы в равен-
равенстве D) при конечном числе I малых
промежутков Att различны, пределы
их при неограниченном уменьшении
всех промежутков At совпадут, — и
эти-то пределы и дают численное зна-
значение интеграла.
При стремлении At к нулю каждое
отдельное слагаемое стремится к нулю,
но зато возрастает, стремится к беско-
бесконечности число членов суммы. Сама
сумма стремится к вполне определен-
определенному пределу, являющемуся решением
рассматриваемой нами задачи и назы-
называемому интеграл. Если функция пред-
представляет собой мгновенную скорость,
то этот предел, т. е. интеграл от рас-
рассматриваемой функции, равен пройден-
пройденному пути. Если подынтегральная функ-
3 В этом параграфе слово «предел» упо-
употребляется в двух разных смыслах. Во-первых,
интеграл есть предел суммы в том же смысле,
в котором производная есть предел отноше-
отношения: здесь слово «предел» соответствует знаку
lim. Кроме того, мы говорим о пределах из-
изменения t от а до Ь, т. е. о пределах интегри-
интегрирования а и Ъ. Здесь слово «предел» имеет
уже совсем другой смысл. Внимательный
читатель не запутается в этих двух разных
значениях одного и того же слова.
4 Пожалуй, точнее было бы писать
lim
v (t[) \tt (и аналогично для
At,, мг,..., дг„->
второй суммы), но такая запись слишком уж
громоздка!

§ 2. Определенный интеграл
85
ция указывает ординаты точек графика
ъ
y = f (х), то интеграл I / (х) dx равен
а
площади фигуры, ограниченной нашим
графиком, осью х и вертикалями х=а и
х=Ь.
Разумеется, далеко не всякая сумма
большого числа п малых слагаемых
стремится к определенному пределу
при п -> со: так, скажем, сумма п
слагаемых, каждое из которых равно
1 ,-
—, равна, очевидно, \Jn и при
п —> оо неограниченно возрастает, а ее
предел не может иметь никакого конеч-
конечного значения. Почему же в нашем
случае такой предел обязательно дол-
должен существовать?
Разобьем отрезок длины Ъ—а на п рав-
равных промежутков длины . Если
для простоты взять скорость v постоян-
постоянной, то мы получим сумму п слагаемых,
каждое из которых равно иЫ = и .
В итоге вся сумма (т. е. пройденный путь)
r nv (b —a) il \
будет равна nvkt = —* — и (о—а),
т. е. она не зависит от п. Здесь очень
важно, что каждое отдельное слагаемое
убывает как раз в таком отношении
/пропорционально —J, в каком растет
и число п слагаемых. Нетрудно понять,
что в случае переменной скорости и
разбиения всего интервала длины Ъ—а
на п равных малых отрезков имеет
место примерно то же обстоятельство —•
убывание самих слагаемых обратно про-
пропорционально росту их числа. Так, при
разбиении каждого маленького отрезка
длины Д? на две равные части ?\xt и
А.4, отвечающие этим половинкам сла-
слагаемые интегральной суммы окажутся
примерно вдвое меньше первоначаль-
первоначального, «большого» слагаемого; по и об-
общее число слагаемых тут удваивается,
так что порядок величины всей суммы
не изменится 5. Читателю, которого это
5 Заметьте, что в примере с п слагаемыми
1
по —р= удвоение оощего числа слагаемых со-
Vn '
провождается уменьшением каждого из сла-
слагаемых всего лишь в ~т=- раза. В примере
1
со слагаемыми, равными -^, та же опера-
рассуждение еще не убедило, мы реко-
рекомендуем проделать упражнения к этому
параграфу.
Это разъяснение полезно, если исхо-
исходить из математического определения
интеграла как предела суммы. В фи-
физических же задачах существование ин-
интеграла, т. е. предела рассматриваемых
«интегральных сумм», как правило, оче-
очевидно. Например, очевидно, что тело,
движущееся с конечной (постоянной
или непостоянной) скоростью за конеч-
конечное время пройдет вполне определен-
определенный (конечный) путь. Дальше мы под-
подробно расскажем, как с помощью ин-
интеграла вычислить площадь криволи-
криволинейной фигуры (выше мы бегло уже
касались этого вопроса). Здесь также,
очевидно, не вызывает никакого сомне-
сомнения само существование ответа задачи,
т. е. площади, а значит, и существова-
существование интеграла.
Поскольку переменная интегрирова-
интегрирования может принимать значения а и Ъ,
то ясно, что пределы интегрирования
являются размерными величинами: их
размерность совпадает с размерностью
переменной интегрирования (в примере
путь—скорость пределы интегрирова-
интегрирования имеют размерность времени).
(Относительно размерности всего ин-
интеграла см. конец этого параграфа.)
Ясно, что величина определенного
интеграла зависит лишь от значений
подынтегральной функции внутри
промежутка интегрирования; значения
функции вне этого промежутка на вели-
величину интеграла влиять никак не могут
и нас нисколько не интересуют. Так,
пройденный путь z (а, Ъ) зависит, ко-
конечно, лишь от значения скорости v==
=v (t) внутри промежутка интегриро-
интегрирования, но совсем не зависит от того,
какой была скорость раньше, до мо-
момента t=a, и какой она будет потом
(после момента t=b).
В § 1 отмечалось, что путь можно
определить, вычислив площадь на гра-
графике зависимости скорости от времени.
Задача нахождения площади S,
ограниченной сверху линией с задан-
заданным уравнением у =у (х), снизу — осью
абсцисс (осью х), с боков — линиями
х=а и х=Ь, т. е. площади криволиней-
ция приводит к четырехкратному уменьше-
уменьшению каждого слагаемого, так что новая сумма
составляет лишь половину первоначальной.

86
Гл. 3. Что такое интеграл
ной трапеции ABDC, основаниями ко-
которой служат параллельные отрезки А С
и BD прямых х=а и х=Ь, а боковыми
сторонами — отрезок АВ оси абсцисс
и дуга CD линии у =у (х) (рис. 2),
сводится к вычислению интеграла
S=\y(x)dx.
C.2.5)
Чтобы убедиться в этом, достаточно
снова обратиться к рис. 1.2, где мы
теперь считаем, что по оси абсцисс
откладываются значения (произволь-
(произвольной!) независимой переменной х, а по
оси ординат — значения функции у =
=у (х) этой переменной, причем вели-
тегрирования, важно только, в каких
пределах она менялась, какова была
функция этой геременной" Поэтому
ъ ь
z{a, b)—\ v{t)dt— \ v(x)dx =
v (X) d\
или даже (конечно, такая запись ни-
никогда не применяется!)
ь
z(a, Ъ) = I и(щ) diu.
Рис. 3.2.2
чины х ml у рассматриваются как рас-
расстояния переменной точки М =М (х, у)
от осей координат (см. § 1.2) вне всякой
связи с такими физическими понятиями,
как время или путь. Сумма площадей
заштрихованных на рис. 1.2, а прямо-
прямоугольников будет в этом случае равна
п
2 у (a^_i) Дж/; а такая же сумма, изобра-
l=n
женная на рис. 1.2,6,
У (xi)
В пределе при \х1 ->• 0 эти суммы,
по определению, обращаются в ин-
интеграл, а сумма площадей прямо-
прямоугольников стремится к площади, ог-
ограниченной кривой у (х), так как чем
меньше все \xt, тем ближе к кривой
ломаная (зубчатая) линия, ограничи-
ограничивающая прямоугольники (ср. рис. 1.3).
В заключение отметим, что опреде-
определенный интеграл зависит от подын-
подынтегральной функции и пределов ин-
интегрирования, но не зависит от обо-
обозначения переменной интегрирования.
В самом деле, пусть дана, скажем,
подынтегральная функция
Заменив букву t буквой х, получим
При вычислении интеграла безраз-
безразлично, как называлась переменная ин-
Переменную интегрирования можно
обозначить (назвать) как угодно — это
не влияет на результат!
Переменная, которая фигурирует
лишь в промежуточных выкладках,
а в окончательный результат не вхо-
входит, называется немой переменной. Та-
Таким образом, переменная интегрирова-
интегрирования является номой. Обычную, не не-
немую, переменную можно заменять дру-
другой лишь одновременно во всех частях
формулы; например, соотношение (х-\-
+ 1J=х2+2х+1 нельзя переписать так:
(х -|~ 1 )'2 = I2 -\- It -j- I. В интегралах же-
ъ
кео писать z (a, b) = \ v (t) dt или.
можв
z (a, b) = \ v (,r) dx.
a
Наконец,обратимся к вопросу о р а з-
мерности интеграла. По опреде-
определению,
ь
1=п
y(x)dx= lim V
C.2.6>
При этом, если величина х измеряется
в единицах ех, а величина у — в едини-
единицах е2, то каждое слагаемое стоящей
в правой части F) суммы имеет размер-
размерность e±e2 (множитель 1\хг имеет раз-
размерность ех, а множитель у (xt) — раз-
размерность е2), поэтому ту же размер-
размерность имеет и предел суммы, т. е. ин-
интеграл. Так, если скорость v (t) изме-
измеряется в см/с, а время t — в с, то путь
ъ
z(a, b)=\v(t)dt измеряется в еди-
а
ницах (см/с)-с=см; если абсцисса х и

§ 3. Связь между интегралом и производной
87
ордината у измеряются в сантиметрах,
4
то площадь 5 = I у (х) dx измеряется
а
в квадратных сантиметрах (см-см=см2),
и т. д. При этом переход к новым еди-
единицам е[ измерения а; и к новым еди-
единицам е'2 измерения у приводит к умно-
умножению интеграла E) на множитель
кхк2, где е1=к1е[ и ег—к2е'2; при этом
новый (в кхк2 раз больший) интеграл
выражает ту же величину, что и раньше,
только измеренную в новых единицах
е[е'^. Так, переход от сантиметров к мил-
миллиметрам увеличивает численное значе-
ъ
ние площади S=\y(x)dx в 10-10 =
а
= 100 раз, а переход от сантиметров
в секунду к метрам в минуту (и от се-
секунд к минутам) приводит к необходи-
необходимости умножить (ранее выраженное
в сантиметрах) значение пути z(а,Ъ)=
ь
= f v(t)dt на | 0,01 /~nV?n = 0,01 (новое
j \ / ви/ ви
а
значение пути, разумеется, будет уже
выражено в метрах).
Упражнения
3.2.1. Рассмотрите случай v=kt-\-s (равно-
(равноускоренное движение). Найдите путь за время
от а до Ъ, разбивая этот промежуток времени
на т равных интервалов; воспользуйтесь
тем, что слагаемые сумм образуют арифмети-
арифметическую прогрессию. Найдите предел суммы
при т ->• со. Сравните полученное выражение
с площадью трапеции на плоскости t, v, рав-
равной пройденному пути.
3.2.2. Рассмотрите случай v=ti и для
этого случая найдите путь за время от t=l
2
до t = 2, т. е. найдите интеграл \ t2dt. Для
1
этого можно воспользоваться разбиением ин-
интервала от 1 до 2 на т равных частей и со-
1 1
считать сумму 2';-i ~^ или zA — . Сравните
эти две суммы. [Указание. Для вычисле-
вычисления указанных сумм воспользуйтесь фор-
формулой
. 22 -)- З2 + ... + га2 = '
6
Z
3.2.3. Вычислите \ xsdx, разбив отрезок
1
от 1 до 2 на т меньших отрезков Ах, длины
которых составляют геометрическую
прогрессию, и перейдите затем к пре-
пределу при т -> оэ.
§ 3. Связь между интегралом и произ-
производной
Производная от интеграла. В преды-
предыдущих параграфах мы рассмотрели от-
отдельно понятия производной и интег-
интеграла. В настоящем параграфе мы (на
примере путь—скорость) установим
свявь между этими двумя понятиями,
которая обращает исчисление производ-
производных и исчисление интегралов в одну
содержательную и богатую приложе-
приложениями науку: дифференциальное и ин-
интегральное исчисление, или математи-
математический анализ.
Будем считать заданной (известной)
зависимость v=v (t) мгновенной ско-
скорости v от времени t. Момент t =a
начала пути мы зафиксируем раз и
навсегда (поезд отправляется в путь
в момент t —а с известного нам вокзала);
при этом проходимый за время от а до Ъ
путь будет зависеть от момента вре-
времени Ъ, будет являться функцией
Ъ. Для того чтобы подчеркнуть это
обстоятельство, мы условимся обозна-
обозначать пока «конечный» (неопределенный!)
момент времени не буквой Ъ, а, скажем,
буквой и — ведь переменные величины
мы привыкли (хоть это, разумеется,
лишь условность!) обозначать послед-
последними буквами латинского алфавита:
z(a, и) = f v (t) dt.
а
Мы знаем, что
2 (а, а) = z (a) — z (a)
C.3.1)
C.3.2)
(в примере с поездом постоянную z (a)
уместно даже считать нулем). Продиф-
Продифференцируем левую и правую части B)
(т. е. возьмем производные от обеих
частей); здесь мы считаем величину и
(независимой) переменной, а а — по-
постоянной, поэтому слагаемое —z (a)
d(—z(a))
в правой части — постоянное и —
= 0. Мы получим
dz (а, и) dz (и)
da
du
du
Но ведь производная от координаты
тела по времени есть не что иное, как

Гл. 3. Что такое интеграл
мгновенная скорость тела; поэтому
= у(и)— скорость в момент и и,
du
значит,
dz (а, и)
du
= v(u).
C.3.3)
Подставим сюда выражение A) пути
z (а, и) в виде интеграла; получим
(и \
±Л \v(t)dt\ =v{a). C.3.4)
Это равенство является важнейшим
общим свойством определенного интег-
интеграла. В таком виде оно является общей
математической теоремой; его правиль-
Рис. 3.3.1
g+Ад л
ность не зависит от того, является ли
v (t) скоростью (а интеграл — путем)
или v (t) есть какая-то другая величина.
Для любой функции, скажем у (х),
имеем:
d
7b
\y(x)dx) = y (b),
C.3.4a)
где теперь мы снова обозначаем верхний
(переменный) предел интегрирования
через Ъ.
Словесная формулировка теоремы та-
такова: производная от определенного ин-
интеграла по его верхнему пределу равна
значению подынтегральной функции от
верхнего предела интеграла.
Ввиду важности этой теоремы (ее на-
называют теоремой Ньютон а—
Лейбница1) дадим другой вывод
ее, основанный на рассмотрении пло-
площади. Производную будем вычислять
по всем правилам, как предел отноше-
отношения приращения функции к прираще-
приращению независимой переменной. Итак,
пусть
(a, b)=\y{x)dx.
1 В некоторых старых учебниках диффе-
дифференциального и интегрального исчисления
теорему Ньютона—Лейбница называли основ-
основной теоремой высшей математики; это назва-
название звучит несколько выспренно, но оно
вполне оправдано.
Этот интеграл есть площадь, ограни-
ограниченная сверху кривой у (х), снизу —
осью х, а слева и справа — вертикалями
х=а и х=Ь (см. рис. 2.2).
Как найти приращение Д/ инте-
интеграла / при малом изменении Ab
верхнего предела Ь? По определению
приращения,
Д/=/(а, Ъ+Щ—I (а, Ъ).
Но площадь, равная интегралу / (а, Ь +
+ ДЬ), отличается от площади I {a, b}
тем, что правая вертикаль сместилась
вправо еще на (малое) Дб (ср. рис. 1
и рис. 2.2). Следовательно, приращение
Д/ есть разность двух площадей: пло-
площади от а до Ъ-\- Дб и площади от а до Ъ.
Ясно, что Д/ есть площадь тонкой-
полоски, заштрихованной на рис. 1,
основанием которой на оси х (или
проекцией которой на ось х) являете»
отрезок длины Д&.
Искомая производная равна пределу
dl (а, Ъ) .. д/
—^—-= lim—г.
Но, очевидно, что при стремлении At
к нулю площадь полоски Д/ прибли-
приближается к произведению у (Ь) Дб — ее
ширины Д& на высоту, а отношение
А/ .,.
jr— к величине у (о).
Таким образом, мы снова наглядно
убедились в справедливости теоремы
Ньютона —Лейбница:
\y(x)dx\ =
Определенный интеграл известной
функции у (х) или v (t) есть функция
пределов а, Ъ интегрирования — функ-
функция двух переменных а и Ь. Формула
D) (или Dа)) указывает значение произ-
производной этой функции по верхнему пре-
пределу интегрирования — по перемен-
переменной Ъ; ниже, в § 5, мы найдем также зна-
значение ее производной по переменной а 2.
Данное в предыдущем параграфе
определение интеграла как предела-
суммы объясняет роль этого важней-
2 По существу здесь, конечно, речь идет
о частных производных функции / (а, Ъ) =
ь
— \ у (х) dx двух переменных а и Ь
а
(см. § 4.12).

§ 3. Связь между интегралом и производной
шего понятия в решении физических
или геометрических задач: в вычисле-
вычислении пройденного пути по известной
{переменной) скорости, в определении
площади криволинейной трапеции и
в других проблемах, приводящих к со-
составлению «интегральных сумм» (в даль-
дальнейшем нам встретится много примеров
таких проблем). Но это определение
не дает удобного общего способа вычис-
вычисления интеграла или способа нахожде-
нахождения интеграла в виде формулы как
функции пределов интегрирования 3.
Способ нахождения такой формулы
следует из доказанной выше теоремы
о производной от интеграла. При этом,
кроме свойства производной от интег-
интеграла, используется еще второе свойство
определенного интеграла: определен-
определенный интеграл равен нулю, когда верх-
верхний и нижний пределы его совпадают:
z{a, a)= J v(t)dt—O.
C.3.5)
Это свойство вполне очевидно — путь
равен нулю, если равно нулю время
пути.
Сама формула, дающая значение
интеграла как функцию пределов ин-
интегрирования, будет выведена таким
способом в § 4.
Интеграл от производной. В выра-
выражении
v (t) dt
C.3.6)
подынтегральная функция v (t) может
быть какой угодно, и регулярного спо-
способа, гарантирующего нахождение ин-
интеграла при любой функции v (t), просто
не существует. Пусть, однако, нам по-
повезло — мы сумели найти такую функ-
функцию F, что подынтегральная функция
v (t) является производной этой функ-
функции F:
~v{t). C.3.7)
В этом наиболее благоприятном случае
дело обстоит совсем хорошо: здесь
3 Лишь в редких случаях и с трудом уда-
удается провести суммирование произвольного
числа малых слагаемых, фигурирующих в оп-
определении интеграла (см., например, упр. 2.2
и 2.3).
легко найти точное значение интеграла.
Для того чтобы выписать его, вспомним
приближенное выражение приращения
функции F (ср. формулу B.4.6)):
или, в более обычных обозначениях,
ь
относящихся к интегралу \ / (х) dx, где
dx
C.3.8)
Величина, стоящая в правой части
равенства (8), представляет собой как
а в
?п 377 JV7 J?? 3?л J?c
Рис. 3.3.2
раз одно из тех слагаемых, сумма ко-
которых определяет интеграл. Поэтому,
положив, скажем,
=аг
г—xl_1 и, зна-
значит, \F =F (X[)—F (а:,^), можно при-
приближенно написать
&F = F (х,) - F (x,_J « / (*,) {xt - хм) =
= /(х,)Дж;. C.3.9)
Равенство (9) является приближен-
приближенным; однако чем меньше разность между
х( и xl_1, т. е. приращение Дх;, тем
оно точнее. Но при уменьшении раз-
разности Xf—xl_1=A.xl, т. е. при сближе-
сближении xt и х,_г, уменьшается и различие
между / (xt) и / (#;_!); поэтому в правой
части формулы (9) с одинаковым пра-
правом, с одинаковой степенью точности
можно написать и / (ж^), и / (xt) —
мы выбрали последний вариант.
Выпишем теперь подобные (9) фор-
формулы для всех промежутков, на
которые разбита область интегрирова-
интегрирования, т. е. интервал от а до Ъ. Пусть,
например, интервал разбит на пять про-
промежутков (рис. 2), так что хо—а,
хъ=Ъ\ тогда
F (хз) — F (а»») « / (хз) (Ъ —
C.3.10)

90
Гл. 3. Что такое интеграл
Сложим эти пять равенств. В левой
части сократятся все значения функ-
функции F при промежуточных значениях х,
останется только
В правой части получаются как раз
такие суммы, с помощью которых мы
в § 1 приближенно выражали интеграл
(там мы выражали путь z (a, b) при
данной скорости v (t)). Итак,
1=5
F(b)-F (a)« 2 / (х,) (х, - х,_г) =
,, . dF
где f(x)=-^.
Чем меньше каждое приращение Да:,
т. е. величина х{—х{_и тем точнее вы-
выражение (9) приращения Д/1. Но при
уменьшении всех разностей Да;, =xt—
—Х[_г (и при неограниченном увеличе-
увеличении числа отрезков Да;,) суммы стре-
стремятся к интегралу. Поэтому равенство
где ]{х)~,
C.3.11)
является уже совершенно точным.
Последнее утверждение представляется до-
достаточно убедительным, однако его можно
обосновать и более точным подсчетом. Дело
в том, что ошибка, допускаемая каждой по-
подобной (&) или (9) формулой, вообще говоря,
является квадратичной: она примерно про-
пропорциональна второй степени длины At интер-
интервала, т. е. имеет вид с (ДО2, гДе число с=с (t)
от t зависит достаточно слабо — с вполне
удовлетворительной степенью точности его
можно считать постоянным- (все это будет
подробно объяснено в гл. 6). Таким образом,
Ъ — а
при Дх = в каждом из выражений A0)
(число которых теперь надо считать равным
не 5, а п) допускается ошибка, пропорцио-
1
нальная At2 = —^(b — aJ. Поэтому полная
ошибка, накапливаемая при суммировании
таких приближенных равенств, будет пропор-
от-
отциональна п ^а" (Ъ — аJ = — (Ь —
куда и вытекает, что она неограниченно
уменьшается при п —> со.
Формула A1) устанавливает связь
между задачами об интеграле и о произ-
производной. Из этой формулы следует,
что если бы удалось найти такую
функцию F, производная которой равна
подынтегральной функции /, то задача
вычисления интеграла была бы ре-
решена — нам осталось бы только при-
принять за аргумент этой функции значе-
значения а и b и найти разность
F (b)-F (a).
Ввиду огромной важности формулы
A1) в следующих параграфах мы дадим
другой ее вывод на основе более под-
подробного рассмотрения свойств интег-
интеграла и функции F.
§ 4. Неопределенный интеграл
В предыдущих параграфах мы ввели
понятие определенного интеграла как
предела суммы большого числа малых
слагаемых. В § 3 было выявлено глав-
главное свойство определенного интеграла:
производная определенного интеграла
по верхнему пределу интегрирования
равна подынтегральной функции:
ь
если z(a, b)=\v(t)dt,
то
dz(a, b)
db
C.4.1)
= v(b).
Теперь мы хотим воспользоваться этим
свойством для вычисления определен-
определенного интеграла.
Итак, будем искать такую функцию
переменной Ь, производная которой
есть известная функция v (b). Обозна-
Обозначим эту функцию через F (Ь). По опре-
определению,
' ' —
db
— у (
C.4.2)
Равенство B) не определяет пол-
полностью функцию F (Ъ). Ведь прибав-
прибавление любой константы к функции
не меняет ее производную; следова-
следовательно, если F (Ъ) удовлетворяет B),
то и функция G (b)=F (b)+C при лю-
любой постоянной С удовлетворяет тому
же равенству.
Функцию F (Ь), удовлетворяющую
условию B), называют неопределенным
интегралом функции v (b); аналогично,
если
^^ =/(«). C.4.2а)

§ 4. Неопределенный интеграл
91
то говорят, что функция F (х) есть
неопределенный интеграл функции / (х).
В этом названии отражаются два свой-
свойства величины (функции) F. Во-первых,
функция F имеет такую же производную
по Ъ, как и (определенный) интеграл
z (а, Ъ), или \f(x)dx (ср. A) и B)
а
или Bа)); поэтому F также называют
«интегралом». С другой стороны, эта
функция условием B) (или Bа)) пол-
полностью не определена, ибо к ней всегда
можно прибавить произвольную по-
постоянную С; поэтому здесь представ-
представляется вполне уместным прилагатель-
прилагательное «неопределенный».
Любое решение уравнения B) (или
Bа)) может отличаться от одного ка-
какого-нибудь его решения F (Ь) (или
F (х)) только на ту или иную п о-
стоянную величину. В самом
деле, если G (Ь) есть другое решение B),
то для разности F—G получим
db
[F (Ь) — G ф)] = v (Ь) — v (Ь) = 0.
Но производная одной лишь постоян-
постоянной функции равна нулю при любых
значениях аргумента — только пол-
полностью покоящееся тело все время имеет
нулевую скорость.
Определенный интеграл z (а, Ъ) со-
согласно A) тоже является одним из
решений уравнения B). Значит, и
z (а, Ъ) можно представить в виде
_z(a, b) =
C.4.3)
где F (Ъ) — какое-то решение B), С —
(неопределенная) постоянная, которую
нам требуется определить. Для того
чтобы добиться этого, воспользуемся
вторым свойством определенного ин-
интеграла — равенством его нулю, когда
верхний и нижний пределы интегриро-
интегрирования совпадают:
z(a, a) =
C.4.4)
{см. C.5)). Подставляя в C) Ь =а и
используя D), получим
т. е. C = —
Отсюда окончательно получаем
г (a, b) = F(b) — F(a), C.4.5)
или
ь
\f(x)dx = F (Ъ) - F (а), где F' (ж) = / (х).
C.4.5а)
Отметим, что «неопределенность»
функции F (Ъ) ничуть не мешает вы-
вычислению с ее помощью определенного
интеграла по формуле E), или Eа).
В самом деле, возьмем вместо F (Ь)
какое-нибудь другое решение уравне-
уравнения B), например G (Ь), отличающееся
от F (Ъ) на постоянную величину С'.
G(b)=F(b) + C.
Будем вычислять определенный ин-
интеграл по формуле E), заменив только
F на G:
z{a, b) = G{b) — G(a) =
Мы получили тот же результат, что
и выше!
В примере путь—время неопределен-
неопределенный интеграл удобно обозначать той же
буквой z, которой мы обозначаем опре-
определенный интеграл. При данной подын-
подынтегральной функции v (t) определен-
определенный интеграл зависит от верхнего и от
нижнего пределов интегрирования, т. е.
является функцией z =z (a, b) двух
переменных а и Ь. Неопределенный
интеграл есть функция одной перемен-
переменной — обозначим ее t. Итак, неопреде-
неопределенный интеграл есть функция, удов-
удовлетворяющая условию
z'{t)---^j~-=-v {t). C.4.6)
С помощью этой функции определенный
интеграл z (a, Ъ) функции v (t) нахо-
находится по формуле
z(a, b)=\v(t)dt = z(b) — z (a). C.4.7)
a
Принята следующая краткая запись
разности значений одной и той же
функции при двух различных значе-
значениях переменной:
z @ \а = z (b) — z («)• C.4.8)
В этой записи слева стоит функция
немой переменной t, правее которой
ставится вертикальная черта и у черты
сверху то значение переменной, при
котором мы хотим взять функцию со

92
Гл. 3. Что такое интеграл
знаком плюс, а снизу — то значение,
при котором функция берется со зна-
знаком минус.
Подставляя в фигурирующий в G)
интеграл функцию v (t), выраженную
через z (t) согласно F), а в правую
часть G) — выражение (8), получим
тождество
z'(t)dt =
или, в других обозначениях,
ъ
C.4.9)
C.4.9а)
Обратите внимание на похожее распо-
расположение аи Ъ слева и справа, облегчаю-
облегчающее запоминание формулы (9) (или (9а)).
Мы достаточно подробно обсудили
само понятие неопределенного интег-
интеграла; пора перейти к примерам. Рас-
Рассмотрим задачу о пути, пройденном
за время от а до Ъ при скорости движе-
движения v (t) =г\ Искомый путь равен опре-
определенному интегралу
z(a, b)=
В этой задаче неопределенный интеграл
z (t) получается из решения уравнения
dz (t) ... ^
_L_ =„(*) = Л C.4.10)
и d (t3) о.„
Но мы знаем, что ——' = ог, значит,
at
— тг Ct2) — l2. Следовательно,
Clt
уравнению A0) удовлетворяет функция
C.4.11)
где С — произвольная постоянная, ко-
которую можно принять и равной нулю —
ведь, как мы знаем, от этого разность
значений функции z при двух значе-
значениях независимой переменной ни-
нисколько не зависит.
Подставим A0) и A1) в формулу (9):
ъ
ь ь3 а3
Т
j t4t = Jj
В частном случае а = 1, Ь = 2 имеем
Таким образом, с помощью неопреде-
неопределенного интеграла мы в нескольких
строчках получили точно резуль-
результат, к которому мы мучительно прибли-
приближались в § 1 численными расчетами.
Определенный интеграл есть предел
сумм вида
при стремлении к нулю каждого сла-
слагаемого и соответствующем увеличении
числа слагаемых; для его приближен-
приближенного вычисления нужно разбить об-
область интегрирования на несколько
интервалов, найти приближенное зна-
значение пути vt±t в каждом интервале
и сложить их. Чтобы получить хорошую
точность, нужно сделать много ариф-
арифметических операций. Но если известен
неопределенный интеграл z (t), т. е.
известна функция, производная кото-
которой равна подынтегральной функ-
функции v (t), то любой определенный ин-
*,
теграл \ v (t) dt получается немедленно
по формуле (9). Умение находить функ-
функции с заданной производной (неопреде-
(неопределенные интегралы) «неожиданно» дает
мощный способ вычисления сумм (оп-
(определенных интегралов).
Неопределенный интеграл иногда на-
называют первообразной функцией, вос-
воспринимая этот термин как обратный
к понятию «производная»: речь идет
о той функции, от которой берется (из-
(известная нам) производная. Термин
«первообразная» широко используется
учебниками, которые начинают интег-
интегральное исчисление именно с неопре-
неопределенных интегралов, а определенные
интегралы вводят позже. Мы этот тер-
термин использовать не будем.
Неопределенный интеграл всегда
можно выразить через определенный
v(x)dx.
C.4.12)
Применяя правило о производной
определенного интеграла по верхнему
пределу, легко проверить, что задан-
заданная формулой A2) функция z (t) удов-
удовлетворяет F) при любых постоянных
С и а0.
Во всех задачах в ответ всегда вхо-
входит разность значений z (b)—z (а), ко-

§ 4. Неопределенный интеграл
93
торая не зависит от С и а0. Поэтому A2)
можно записать короче:
t
z (t) = f v (x) dx.
Наконец, часто пишут еще короче:
z(t)=^v(f)dt. C.4.13)
Этот способ записи весьма употребите-
употребителен, и мы тоже будем им пользоваться;
однако надо иметь в виду, что равен-
равенство A3), в сущности, неправильно г.
Его можно сравнить с теми граммати-
грамматически или формально логически непра-
неправильными выражениями, которые ши-
широко применяются в разговорной речи,
всем (кроме детей и педантов-придир)
понятны и принимаются без возраже-
возражений, вроде выражений «съесть еще одну
тарелочку» или «плюнуть на это дело».
В математике достаточно часто приме-
применяются не совсем точные, но достаточно
понятные записи и выражения; обычно
они никаких затруднений ни у кого
не вызывают.
В записи A3) нарушено основное
правило, согласно которому (немая!)
переменная интегрирования не имеет
права использоваться в окончательном
результате. Употребляя краткую за-
запись A3), надо всегда помнить, что
это лишь условное сокращение точного
выражения A2), в котором С =z (a0).
Известные нам формулы для произ-
производных дают первую таблицу неопре-
неопределенных интегралов:
dt
Кроме того, результаты упр. 2.4.2 и
2.4.3, позволяют написать:
Для того чтобы проверить любую из
этих формул, достаточно найти произ-
1 Заметьте, что в левой части A3) стоит
какая-то функция z (f), а в правой —
неопределенный интеграл, т. е. семей-
семейство F (t)-\-C функций, отличающихся
одна от другой на константу (ибо в записи
F (t)-\-C число С произвольно).
водную от правой части. Если при
этом получится функция, стоящая под
интегралом, то формула верна.
Подробно способы нахождения не-
неопределенных интегралов от различ-
различных функций рассматриваются в гл. 5.
Благодаря связи между интегралом
и производной удается найти интегралы
большого числа функций.
Задача интегрирования является тех-
технически более сложной, чем задача
нахождения производных. Эта слож-
сложность проявляется, в частности, в том,
что при интегрировании рациональных
(не содержащих корней) алгебраиче-
алгебраических выражений в ответе иногда появ-
появляются логарифмы и обратные тригоно-
тригонометрические функции; при интегриро-
интегрировании алгебраических выражений с кор-
корнями результат может выражаться при
помощи новых, не элементарных, функ-
функций, которые нельзя выразить с по-
помощью конечного числа действий над
алгебраическими, степенными и триго-
тригонометрическими функциями (ср. § 5.5).
Однако трудности выражения интег-
интегралов не должны заслонять принци-
принципиальную простоту и ясность понятия
интеграла. Если нельзя (или трудно)
сосчитать интеграл по формуле Eа),
то его всегда можно подсчитать прибли-
приближенно при помощи хотя и трудоемких,
но в принципе весьма простых расче-
расчетов.
В последнее время, в связи с появле-
появлением карманных компьютеров вычис-
вычисление сумм 10, 20 или 50 членов стало
достаточно простым делом, требующим
10—30 мин в зависимости от сложности
подынтегрального выражения. Поэтому
во многих случаях такое прямое вы-
вычисление оказывается предпочтитель-
предпочтительным по сравнению с получением слож-
сложных формул. В дневнике замечатель-
замечательного физика Энрико Ферми приведен
расчет довольно простого определен-
определенного интеграла. Несмотря на то что
соответствующий ему неопределенный
интеграл выражался через функции
арксинус и натуральный логарифм,
Ферми предпочел найти интеграл чис-
численно, не пользуясь формулой Eа).
Наиболее быстрые и точные способы
численного интегрирования рассматри-
рассматриваются во многих книгах. Кратко об-
этом рассказано, например, в книге-
[15].

Гл. 3. Что такое интеграл
л
h Л
А г О
6 т:
Рис. 3.4.1
Рис. 3.4.2
Рис. 3.4.3
У
о
\
/Ясс
Рис. 3.4.4
/7
¦г О
Упражнения
3.4.1. Вычислите интегралы: а)
1,1 2 3
(• f Л f dt
б) J t4t; в) J -р-; г) ] ^=-.
1 11
3.4.2. а) Найдите площадь прямоугольного
треугольника с основанием Ь и высотой h при
помощи интеграла. [Указание. Совместите
начало координат с вершиной острого угла
треугольника, а вершину прямого угла рас-
расположите на оси абсцисс (рис. 1, а). Найдите
уравнение гипотенузы в этой системе коорди-
координат и вычислите площадь как интеграл.]
б) Найдите площадь того же треугольника,
совместив вершину прямого угла с началом
координат, а вершину острого угла — с точ-
точкой F, 0) (рис. 1, б). [Указание. Вос-
Воспользуйтесь очевидным свойством интеграла
суммы двух функций: I (/ -\- g) dx = \ fdx +
Рис. 3.4.5
Замечание. Не возмущайтесь тем,
что Вам приходится употреблять усилия
для получения общеизвестного результата
5Д = -^ bh, — ведь методы интегрирования
применимы и там, где элементарные способы
нахождения площадей оказываются бессиль-
бессильными!
3.4.3. а) Найдите площадь под параболой
у=ах2 (рис. 2, а), ограниченную вертикалью
х=х0 и осью абсцисс; выразите площадь через
координаты л;0, уе конца дуги ОА пара-
параболы.
б) Тот же вопрос для случая параболы,
проходящей через начало координат, гори-
горизонтальная касательная к которой проходит
через ее точку В {х„, у0) (рис. 2, б). [Указа-
[Указание. Ответ можно получить немедленно,
пользуясь результатом упр. За. Тем не менее
не поленитесь и сделайте все «по порядку,
не стремясь сократить работу с помощью остро-
остроумной находки. Уравнение параболы следует
искать в виде у=кхг-\-рх-\-д, где величины
к, р, q можно найти из условий прохождения
линии через точки (х0, у0) и начало координат
@, 0) и из условия горизонтальности касатель-
касательной к параболе в точке (а;0, у0). Площадь
выразите через хд, уа. Если Вы не можете
использовать результат упр. За, то сперва
поступите как указано выше — и полученный
результат сам подскажет связь между
упр. а и б.]
3.4.4. Запишите выражение площади полу-
полукруга радиуса г (рис. 3) в виде определенного

§ 5. Свойства интегралов
95
интеграла. [Указание. Воспользуйтесь
уравнением окружности: i2+j/8=r2. ]
3.4.5. Найдите величину интеграла
1
с dx
\ 1 _[. ж2 по Ф°РмУле трапеций (см. § 1),
о
приняв значения п—Ъ и ге=10. Вычисления
ведите с четырьмя знаками после запятой.
Замечание. Точное значение этого
интеграла равно W4=0,785398 (см. далее
упр. 5.2.4); приближенное вычисление инте-
интеграла дает возможность найти приближенное
значение числа п.
3.4.6. Постройте график функции F(x) =
X
= \ у (х) dx, где график функции у [х) изо-
а
бражен на рис. 4. Значения а примите рав-
равными 0; 4; 8.
3.4.7. Постройте график функции
F(x)=\y>
)dx.
где графики (возможные) функции у (х) изо-
изображены на рис. 5.
3.4.8. Постройте кривые
Оставим пока в силе условие b ~^> а.
В выражении суммы (переходящей в
пределе в интеграл) в каждом члене
множитель Д? положителен, множи-
множитель v (t) отрицателен, каждое слагае-
слагаемое отрицательно, сумма отрицательна,
интеграл также отрицателен. Итак,
если v (t) < 0 при а < t <[ Ъ (так что
здесь Ь ^> а), то
ь
В случае движения смысл ответа прост:
отрицательное значение v означает, что
движение происходит в сторону, про-
противоположную положительному направ-
направлению, т. е. направлению возраста-
возрастания координаты z. Путь, пройденный
в отрицательном направлении, мы
всегда считаем отрицательным. При
таком движении z уменьшается, z (b) <
< z (а). Общая формула
ь
z(b) = z (a) -\-z(a, b) — z (а) -\- \ vdt
и
F (x) = ) f (x) dx,
0
графики функции <р (х) (возможные) изобра-
изображены на рис. 0.6 и 0.7 (см. с. 484). Сравните
F (х) с функциями у (х), графики которых
изображены на рис. 2.5.5 и 2.5.6.
§ 5. Свойства интегралов
Мы рассматривали выше самый простой
случай определенного интеграла, когда
подынтегральная функция положи-
положительна и верхний предел интегриро-
интегрирования больше нижнего:
z(a,
В этом случае интеграл, очевидно,
положителен, так как он равен пределу
суммы положительных слагаемых. Ин-
Интеграл имеет простой физический смысл
пути (если v—v (t) — это скорость)
или площади (если v —v (t) —
уравнение кривой). А каким будет
знак интеграла от отрицатель-
отрицательной функции, т. е. в случае v (t) < 0?
остается при этом в силе — только
во второй ее форме обе части равенства
отрицательны.
В случае знакопеременной
скорости может случиться, в частности,
ь
что l v (t) dt = 0, хотя b > а и
а
Это произойдет, если часть времени
от а до 6 тело двигалось в одну сторону,
а другую часть времени — в противо-
противоположную сторону, в результате чего
к моменту Ъ оно вернулось в исходное
положение, т. е. в то положение, в ко-
котором находилось в момент а.
Обратимся к задаче о площади под
кривой. При 6 ]> а и v (?) ]> 0 интеграл
равен площади, ограниченной кривой
v=v(t), осью t и вертикалями t=a,
t=b (рис. 1, а). При v < 0 и Ъ > а,
ъ
как мы знаем, f vdt <C 0. В этом слу-
а
чае кривая лежит ниже оси абсцисс
(рис. 1, б); поэтому, для того чтобы
сохранить закон, по которому пло-
площадь равна интегралу, необходимо счи-
считать площадь отрицательной,

Гл. 3. Что такое интеграл
когда кривая v =v (t) лежит ниже
оси абсцисс.
Возьмем теперь знакопеременную
функцию, например синусоиду v(t) =
Рис. 3.5.1
=sin t (рис. 2). Нетрудно видеть, что
площадь, задаваемая этой кривой на
отрезке, равном периоду функции, т. е.
от t=0 до t=2r., по нашему определе-
Рис. 3.5.2
нию, равна нулю. Это значит, что пло-
площадь первой полуволны, которую мы
считаем положительной, сокращается
ч—ы-
/J ?
Рис. 3.5.3
с отрицательной площадью второй полу-
полуволны х.
Определенный интеграл обобщается
и на случай, когда верхний предел
меньше нижнего. В этом случае
мы уже не будем говорить о пути,
времени, скорости (ср. § 1), а обра-
обратимся к определению интеграла как
суммы (см.§ 2). Разбивая снова отре-
отрезок от а до 6 (рис. 3) на п частей
промежуточными значениями tx, t2, • • ¦,,
tn_1, убедимся, что все Д^ теперь от-
отрицательны. Легко проверить, что
* о
v(t)dt=—\v(t)dt, C.5.1)
так как при любом разбиении отрезка
[а, Ъ] соответствующие суммы будут
отличаться знаками всех Д? во всех
слагаемых.
Существенное свойство интеграла со-
состоит в том, что область интегрирова-
интегрирования можно разбить на части: путь,
пройденный за время от а (начало)
до Ъ (конец), можно представить как
сумму пути, пройденного за время от а
до с (промежуточного момента времени)
и от с до Ъ (рис. 4, а):
ь с ь
\v{t)dt=\v{t)dt-\-\v {t) dt. C.5.2)
а а с
При помощи соотношения A) можно
распространить формулу B) и на слу-
случай, когда с лежит не внутри проме-
промежутка [а, Ъ], а вне его. Пусть,
например, с > Ъ >• а (рис. 4, б). Тогда,
очевидно,
C.5.3)
Перенесем последнее слагаемое влево
и воспользуемся A):
¦+-
с а
/> с ?
с с с
\vdt—\vdt=\
v (t) dt =
Рис. 3.5.4
1 Если перед нами стоит вопрос о том,
сколько нужно краски, чтобы закрасить за-
заштрихованные на рис. 2 области, то такое
определение площади, разумеется, будет бес-
бесполезно. В этом случае надо разбить весь ин-
интеграл на части, в каждой из которых sin x со-
сохраняет один и тот же знак (в данном случае
на две части — от 0 до л и от л до 2 л), подсчи-
подсчитать интеграл по каждой части отдельно
и сложить абсолютные величины интегралов,
относящихся к отдельным частям.
= \ vdt.
а
C.5.4)
Таким образом, мы получили равенство,
в точности совпадающее с B).
Аналогично можно рассмотреть все
другие случаи взаимного расположения
чисел а, Ь, с — точек числовой оси
(всего имеется шесть вариантов распо-
расположения этих точек). Читатель легко
сможет рассмотреть их самостоятельно
и убедиться, что формула B) верна

§ 5. Свойства интегралов
97
во всех этих случаях, т. е. независимо
от взаимного расположения чисел (то-
(точек) а, Ъ, с.
Все эти свойства определенных ин-
интегралов мы вывели исходя из опреде-
определения интеграла как предела суммы.
Но эти свойства следуют также из
выражения определенного интеграла че-
через неопределенный. В самом деле,
пусть неопределенный интеграл
v(t)dt — z(t).
Тогда
ь
а
И
а Ь
J v (t) dt = z[(a) — z{b) = —\iv(t) dt.
b a
Аналогично
— z{a) и
откуда
Основной закон о том, что производ-
производная от интеграла равна подынтеграль-
подынтегральной функции, относится к производной
по верхнему пределу. Если определен-
определенный интеграл рассматривать как функ-
функцию его нижнего предела при закреп-
закрепленном (постоянном) верхнем пределе,
то ответ получит знак «минус»:
=-^)- <3-5-5>
Причину появления знака минус
в этой формуле легко понять, рассмат-
рассматривая интеграл как площадь: положи-
положительное приращение Да, очевидно,
уменьшает площадь (рис. 5J. Фор-
2 Площадь, ограниченная вертикальными
прямыми t=a+Aa, t=b, кривой v=v (t)
и осью t, меньше площади, ограниченной
вертикальными прямыми t=a, t=b, кривой и
осью t.
мально тот же результат можно полу-
получить, переставив пределы (при этом
нам придется изменить знак) и затем
применяя известный закон о производ-
производной по верхнему пределу:
= —v (a).
В связи с вопросом о знаке интеграла
отметим пример, часто вызывающий
недоумение у начинающих. Рассмотрим
S4
SS--4-
c/ft)
Рис. 3.5.5
Это равенство вытекает из найденного
ранее значения производной

dx ~~~ хг '
Правилен ли знак у интеграла? Мо-
Может ли быть отрицательным интеграл
от положительной функции —^ ? Не про-
противоречит ли этот знак сделанным выше
утверждениям?
Наше недоумение связано с тем, что
формулу F) мы записали неаккуратно.
Если переписать ее в полном виде
то уже нельзя будет говорить о
что знак интеграла всегда отрицателен,
так как это зависит еще от знака и
величины С.
В действительности все утверждения
о знаке относились к онределен-
н о м у интегралу. Возьмем
аЪ
При! 6 > а (и если притом и аи Ъ,
каждое в отдельности, положительны)
интеграл положителен^ как и должно
быть, т. е. формула F) правильнал

98
Гл. 3. Что такое интеграл
приводит к верному результату для
определенного интеграла. Забегая впе-
r dx
ред, отметим, что с интегралом I -^
связаны другие, уже не фиктивные,
а истинные трудности, которые будут
рассмотрены в § 5.2.
§ 6. Примеры и приложения
В гл. 2 и предыдущих параграфах гл. 3
мы рассматривали соотношение между
путем и скоростью, соотношение между
уравнением кривой и площадью под
этой кривой. Эти соотношения пред-
представляют собой те конкретные вопросы,
на почве которых исторически сложи-
сложились дифференциальное и интегральное
исчисления. Но понятия производной
и интеграла применимы, конечно, не
только к перечисленным вопросам,
а к чрезвычайно широкому кругу яв-
явлений, к самым различным областям
науки, техники, жизни. В сущности
говоря, производная, интеграл и тео-
теорема Ньютона—Лейбница, фиксирую-
фиксирующая связь между ними, представляют
собой определенный язык, наиболее
приспособленный для описания законов
природы.
Учащийся, начинающий изучение
иностранного языка, чтобы привыкнуть
к нему, повторяет однотипные простые
фразы: «на столе стоит стакан», «на
столе лежит хлеб», «на полу сидит
кошка», «на полу сидит мышь». Вот
так же в начале изучения высшей
математики надо на многих похожих
примерах повторять соотношения между
производной и интегралом. Сперва надо
научиться иностранному языку, а по-
потом уже высказывать на этом языке
определенные мысли, утверждения, же-
желания. Так и мы сначала научимся
выражать хорошо известные соотноше-
соотношениями формулировать задачи на языке
математического анализа, а уже потом
будем решать эти задачи и получать
новые результаты *.
1 Г е т е говорил: «Математики — это род
французов: стоит им что-либо сказать, как
они сразу переводят сказанное на свой язык —
и это оказывается совсем не тем, что Вы перво-
первоначально имели в виду». С этим перекликается
известное высказывание замечательного аме-
американского физика, творца современной тер-
термодинамики Джозайи Уилларда Г и б б с а
A839—1903). При обсуждении вопроса о том,
чему следует в программах оказывать иред-
Приведем несколько типичных при-
примеров, иллюстрирующих содержание-
настоящей главы; большинство этих
примеров будут продолжены и развиты
в дальнейших главах.
1. Ускорение и равно-
равноускоренное движение; ра-
работа силы. В гл. 2 и 3 мы по-
постоянно рассматривали перемещение-
тел и скорость движения как производ-
производную от координаты тела по времени.
Но после того как мы нашли мгновен-
п\ dz (t)
ную скорость v (t)=—-гг1 и определили
ее зависимость от времени, становится
уместным вопрос о «скорости изменения
скорости». Бегло этого вопроса мы уже
касались в § 2.7.
Производная скорости v (t) по вре-
времени
C.6.1).
называется ускорением и обозначается
обычно буквой a (acceleration — уско-
ускорение по-французски). Так как раз-
размерность СКОРОСТИ СМ/с ИЛИ М/С, ТО'
размерность ускорения см/с2 или м/с2.
Запишем скорость в виде производ-
dz
ной от пути по времени v = — и подста-
вим в A). Тогда получим
d / dz
C.6.2)i
почтение: языкам, особенно латыни и грече-
греческому, или математике, Гиббс сказал: «Мате-
«Математика — это тоже язык». Это было его един-
единственное — и тем более весомое — публичное
выступление по общим вопросам преподава-
преподавания. Еще много раньше почти то же утверж-
утверждал знаменитый Галилео Галилей A564—
1642), заявивший, что «законы природы за-
записаны в величайшей книге, которая всегда
открыта перед нашими глазами (я разумею-
Вселенную), но ее нельзя понять, не научив-
научившись сначала понимать язык, на котором
она написана, — а написана она на языке
математики». (Правда, далее Галилей не-
несколько неожиданно для нас с Вами заявляет,
что «ее (математики) буквы — это треуголь-
треугольники, окружности и другие геометрические
фигуры, без которых невозможно понять
ее слова», рассматривая тем самым как язык
природы геометрию, а не дифференциальное
и интегральное исчисления. Но ведь нада
иметь в виду, что во времена Галилея никакой
математики, отличной от геометрии древних
греков, еще не было — предвидеть создание-
Лейбницем и Ньютоном высшей математики!
их прямой предшественник Галилей, разу-
разумеется, не мог.)

§ 6. Примеры и приложения
99
Таким образом, ускорение равно второй
производной от пути по времени.
Заметим, как разумно поставлены
показатели (двойки) в выражении
¦тр. Размерность ускорения именно
¦ji, отбрасывая безразмерные знаки d,
получаем правильную размерность вто-
второй производной.
Если ускорение как функция вре-
времени нам известно, то значение v =
=v (t) мгновенной скорости можно за-
,,. dv
писать в виде интеграла от a(t) = — :
t
v (i) = у0 -f- J a (t) dt.
C.6.3)
(Здесь v0 —v (t0) — мгновенная скорость
в начальный момент времени t=t0;
чтобы убедиться в этом, достаточно
подставить в обе части C) значение
t=t0.) В частности, если ускорение
постоянно (a=const, случай равноуско-
равноускоренного движения), то из C) следует
t
dt = vo-{-a(t —10), C.6.4)
или
v (t) = at-\-b, где Ъ = v0 — at0,
C.6.4а)
т. е. скорость равноускоренного дви-
движения является линейной функ-
функцией времени.
Зная скорость v=v (t) движения, мы
можем вычислить и координату z =
—z (t) (т. е. выписать закон движения):
t
z (t)=zo-\-\v (t) dt, C.6.5)
'о
или в силу C)
C.6.5а)
где zQ=z (t0) — начальное положение
(координата) тела в момент t0 (под-
(подставьте в обе части E) значение t=t0).
Разумеется, в общем своем виде фор-
формула Eа) малонаглядна. Однако если
a=const, то скорость v задается неслож-
несложной формулой Dа) (или D)) и соотно-
соотношение Eа) позволяет полностью опи-
описать закон движения тела:
t
где c = — Tt* —
C.6.6)
(проверьте, что производная от правой
части F) по t совпадает с правой частью
Dа)). Таким образом, зависимость ко-
координаты z тела от времени t при равно-
равноускоренном движении является к в а д-
уш-
/¦
Рис. 3.6.1
ратичной. В частности, в случае
свободного падения тел имеем а =—g,
где g«^9,8м/с2 (знак минус связан с тем,
что положительным мы считаем направ-
направление вверх). Полагая в D), Dа) и F)
а=—g, получим известные формулы:
t
где t1=t—10 — это «новое» время, от-
отсчитываемое от момента t=t0, и
t
=zo+S к—sk) *i=
В связи с ускорением вспомним еще,
что работа силы равна произведению
силы F на путь s (мы здесь считаем
путь или перемещение совпадающим
с направлением силы; рис. 1). Однако
эта формула применима лишь в слу-
случае постоянства силы — обстоятельство,
которое реально почти никогда места
не имеет. В случае же'переменной силы
F приходится разбивать весь путь (от
z=z0 до какого-то другого (перемен-
(переменного) значения координаты z) на малые
интервалы длины Дг и суммировать
выражения Fkz, получаемые в пред-

100
Гл. 3. Что такое интеграл
положении, что на рассматриваемом
малом интервале длины Дг сила не
меняется (еще не успела ощутимо из-
измениться). Так мы приходим к «интег-
«интегральной сумме» 2F&Z, в которой для
получения выражения для проделан-
проделанной работы А надо еще затем перейти
к пределу, считая все отрезки Дг
неограниченно убывающими. Послед-
Последнее обстоятельство позволяет считать
dz
скорость 1;=г-на каждом таком от-
отрезке постоянной и потому выразить
длину Дг отрезка как произведение
скорости v на время At, в течение ко-
которого этот отрезок проходится. Тем
самым сумма выражений ^F&z заме-
заменяется на сумму ^Fv&t, что позволяет
представить работу А либо в виде ин-
интеграла, где за переменную принята
координата г, либо в виде интеграла,
где переменной служит время t:
г t
C.6.7)
А = \ Fdz = \ Fvdt.
"a U
Вспомним теперь, что сила F равна
произведению та, где т — масса тела,
а а = -п—ускорение (закон Ньютона!).
Поэтому G) можно переписать так:
t
¦jf vdt. C.6.8)
Поскольку, очевидно, функция v ^- яв-
является производной от у (ср. § 2.3), то
окончательно получаем
— о ? , (d.o.a)
где v=v (z) и vo=v (z0): проделанная
e . my2 mvk
работа А равна приращению -» ^
кинетической энергии -у- тела (ра-
(разумеется, работа А и приращение ки-
кинетической энергии могут одновременно
оказаться отрицательными).
По поводу дальнейшего обсуждения
затронутых здесь тем см. главы 9
и 10 книги.
2. Растяжение проволо-
к и. Рассмотрим подвешенный за
верхний конец прут, представляющий
собой метровый кусок медной проволоки
диаметром 0,4 см; спрашивается, до
какой длины растянется этот кусок
проволоки под влиянием собственного
веса? Растяжение проволоки связано-
с приложенной силой с помощью так
называемого закона Г у к а 2,
справедливого при сравнительно не-
небольших силах (и растяжениях) и
утверждающего, что деформация (растя-
(растяжение) I прямо пропорциональна при-
приложенной силе F и длине L проволоки
и обратно пропорциональна площади S
ее сечения:
J-EL
Е S '
C.6.10)
где Е — постоянный множитель, зави-
зависящий от материала, из которого сде-
сделана проволока, и называемый м о-
дулем Юнга.
Разумеется, мы не можем сразу под-
подставить в формулу A0) вместо L длину
1 м A00 см) куска проволоки, а вместо
F — силу тяжести, легко находимую
по объему прута и плотности меди, ибо
действующая на отдельные участки под-
подвешенной проволоки сила будет разной
для разных участков: если для точки
подвеса А эта сила действительно будет
равна весу всего куска проволоки, то
для второго (свободного) конца В она
будет равна нулю, ибо этот конец сов-
совсем не будет нагружен (рис. 2). Поэтому
нам приходится разбить всю проволоку,,
которой отвечает фиксирующая высоты
координата z, на малые участки длины
Дг: для каждого такого участка, уда-
удаленного на z от свободного конца В про-
проволоки, силу можно считать постоян-
постоянной и равной весу части прута длины zi
F =pgSz, где р — плотность меди, g —
ускорение свободного падения, V=Sz—
объем рассматриваемой части прута.
Таким образом, этому малому участку
проволоки длины Дг отвечает удлинение
Szbz
= 9fzbz,
C.6.11)
а общее удлинение всей проволоки
получается суммированием (интегриро-
(интегрированием) всех таких «элементарных
удлинений»:
юо
_ 9S [ zdz _ ?S (*\ |100_ PS
—-g- j zaz—E~\2)\o —~Е
° C.6.11а)
2 Роберт Г у к A635—1703) — выдаю-
выдающийся английский ученый, современник (и
во многих случаях научный оппонент) И. Нью-
Ньютона.

§ 6. Примеры и приложения
101
Подставляя сюда численные значе-
значения g-=980 см/с2, Р=8,9 г/см3, Е=
=9,8 • 1013 г/(см-с2), получаем
. 980-8,9 • 10*
2 • 9,8 • 1013 '
:4,5 -1СГ5 СМ
(заметьте, что множитель A00J=104
в числителе дроби имеет размерность
см2).
ная интегрирования пробегает все зна-
значения от t0 до tx.
Удобнее заменить в A3) tx на t, а пе-
переменную интегрирования переимено-
переименовать (воспользовавшись тем, что она
немая), обозначив ее, скажем, бук-
буквой т. Тогда получим
t
}AZ
Рис. 3.6.2
C.6.13a)
Рис. 3.6.3
3. Вытекание жидкости.
Представим себе сосуд произвольной
формы (рис. 3), из которого вытекает
жидкость. Масса жидкости, находя-
находящейся в данный момент в сосуде, рав-
равна М. Эта величина есть функция вре-
времени: М=М (t). Жидкость собирается
в другом сосуде; массу ее во втором
сосуде обозначим через т (t). Пусть
TF=TF (t) — масса жидкости, вытекаю-
вытекающая из первого сосуда в единицу вре-
времени; эта величина — поток жидкости—
имеет размерность г/с. Величины т, М
и W связаны между собой соотноше-
соотношениями
, ; _ \Л7 (f\ ЛЛ7 (f\ /9 О i П\
7. * ^—— у у I ?, I ^ j Г Y \Ь 1. 10,0.1^1
Те же (дифференциальные, т. е. свя-
связанные с производными) соотношения
можно записать в интегральном виде.
Пусть в некоторый начальный момент
времени t0 масса жидкости в первом
сосуде равнялась М (to) = Mo, а второй
сосуд был пуст: т (to) = Q. Тогда
т (^) = \ W (t) dt,
° tt
М (tj = М (t0) — J W (t) dt. C.6.13)
и
Таким образом, масса жидкости в оп-
определенный момент времени tx выра-
выражается интегралом, в котором перемен-
Впрочем, чаще просто пишут
m{t)= j W{t)dt,
м (t) = м (g; — j w (t) dt, C.6.136)
не обращая внимания на то, что здесь
одна буква t имеет два разных смысла:
переменной интегрирования и аргумен-
аргумента функций М (t) и т (t) (совпадаю-
(совпадающего с верхним пределом интегралов).
В этом отношении записи A3) и A3а)
точнее, чем A36).
Написанные выше формулы соответ-
соответствуют опыту, в котором в различные
моменты времени измеряются М и по-
поток жидкости W.
Но часто задача ставится так: W —¦
расход жидкости зависит известным об-
образом от ее давления, т. е. от высоты
столба жидкости h. В свою очередь,
при данной форме сосуда величина h
зависит от М. Таким образом, известен
расход W как функция от массы жид-
жидкости, находящейся в сосуде: W=W(M).
Тогда равенство A2) приобретает вид
C.6.14)
Равенства такого рода, связывающие
неизвестную функцию (в нашем слу-
случае — функцию М=М (t)) с ее произ-
производной, называются дифференциаль-
дифференциальными уравнениями; таким образом A4) —
это дифференциальное уравнение с
неизвестной (подлежащей определению)
функцией М (t). Тему о дифферен-
дифференциальных уравнениях, а также обсуж-
обсуждение поставленного здесь вопроса
мы продолжим в гл. 6.
4. Конденсатор. Накоплен-
Накопленный в конденсаторе К (рис. 4) заряд

102
Гл. 3. Что такое интеграл
(количество электричества) обозначим
через д. В системе единиц СИ q изме-
измеряется в кулонах (обозначение — Кл).
Электрический ток /, протекающий по
проводу, представляет собой количе-
количество электричества, протекающее в еди-
единицу времени; он измеряется в ампе-
амперах (обозначение — А). Один ампер
есть ток в один кулон в секунду:
1 А=1 Кл/с; напротив, количество элек-
электричества имеет размерность А-с (в си-
Рис. 3.6.4
стеме СИ единица А относится к числу
основных).
Заряд конденсатора 3 и ток связаны
между собой равенством
_
dt
C.6.15)
(положительное направление тока на
рис. 4 указано стрелкой). Если задана
или экспериментально определена за-
зависимость i=j (t) тока от времени, то
можно написать интегральное соотно-
соотношение
и
i{t)dt. C.6.15a)
Если дана емкость С конденсатора, то
падение напряжения на конденсаторе
можно выразить через д:
тогда падение напряжения на сопро-
сопротивлении R равно
Q
где Ео — напряжение батареи. По за-
закону Ома текущий через сопротивле-
сопротивление R ток равен / = -^ (Ео — -|И , и,
пользуясь A5), получаем диффе-
дифференциальное уравнение^
2-
dt
—
Я
C.6.16)
8 Зарядом конденсатора мы будем назы-
называть выраженное в кулонах количество поло-
положительного электричества на левой пластине
конденсатора К (см. рис. 4).
Подробно задачи с конденсаторами бу-
будут рассмотрены в последней главе
второй части книги.
5. Атмосферное давле-
давление. Мысленно выделим в атмосфере
вертикальный столб воздуха с постоян-
постоянным сечением S (см2). Плотность воз-
воздуха р (г/см3) зависит от высоты h над
поверхностью Земли. Объем тонкого
слоя, заключенного между h и й+Д/г
(рис. 5), равен S&h. Внутри этого тон-
тонкого слоя плотность р (К) можно счи-
считать неизменной — именно для этого
слой и брался тонким. В данном при-
примере под ДА можно понимать величину
1 или 10 м и даже (с несколько мень-
меньшей точностью) 100 м, поскольку при
изменении высоты на 1 км плотность
воздуха меняется всего на 12—14%.
Объем слоя толщины ДА равен 5Дй,
а, значит, масса воздуха в этом слое,
по определению плотности, равна Дт=
/
Р
Для того чтобы найти массу воздуха
в столбе, простирающемся от высоты
hx до h2, нам надо составить сумму вы-
выражений р5Дй, где S постоянно, а р
меняется с изменением h. Эта сумма
распространена на все части Д/г, На
которые разбит наш столб воздуха.
Неограниченно уменьшая все толщины
Рис. 3.6.5
Рис. 3.6.6
ДА отдельных слоев, мы приходим
к интегралу
т (Л1, h2) = S | р (h) dh.
А,
C.6.17)
Масса воздуха в столбе от поверхности
Земли (h=0) до высоты h равна
и» @, h) = S J p (h) dh.
C.6.17а)

§ 6. Примеры и приложения
103
Масса воздуха, находящегося выше за-
заданной высоты h, равна
m = S
C.6.176)
где символ с» в качестве верхнего пре-
предела интеграла заменяет очень боль-
большое число Н — такое большое, что при
дальнейшем его увеличении величина
интеграла практически не меняется.
Давление Р на некоторой высоте h,
умноженное на площадь S, равно силе,
с которой притягивается к Земле весь
столб воздуха, находящийся выше вы-
высоты h. Сила тяготения равна массе,
умноженной на ускорение свободного
падения 4 g, откуда
= \gP(h)dh.
C.6.18)
Пользуясь формулой E.5), получим
отсюда дифференциальное
уравнение
dP
~dh=~~8P(h)- C.6.19)
Уравнение A9) можно было бы напи-
написать и сразу, рассматривая равновесие
тонкого слоя dh, на который снизу
действует давление Р (К), сверху дав-
давление Р (h-{-dh); равнодействующая
этих двух сил уравновешивает притя-
притяжение к Земле массы, заключенной
в слое.
Далее эта тема будет продолжена
в гл. И.
6. Объем. Используем интеграль-
интегральное исчисление для вычисления объе-
объемов тел. Разобьем тело общего объема
V (рис. 6) на тонкие пластинки пло-
плоскостями z~ const; здесь мы исполь-
используем систему координат в простран-
пространстве, задаваемую осью абсцисс х, осью
ординат у на (горизонтальной) пло-
плоскости хОу, а также (вертикальной)
осью аппликат Oz (третья координат-
координатная ось в пространстве). Объем ДУ
тонкого слоя тела, ограниченного пло-
плоскостями, соответствующими значениям
4 В большинстве случаев можно считать
допустимым предположение о постоянстве для
рассматриваемых высот h над уровнем Земли
ускорения свободного падения g и поверх-
поверхность Земли предполагать плоской; впрочем,
оба эти] предположения никак не отражаются
на наших рассуждениях.
z и г+Дг аппликаты, приближенно ра-
равен произведению площади S (z) се-
сечения на толщину &z слоя. Отсюда
следует, что если площадь S = S (z)
горизонтального сечения тела нам из-
известна, то объем тела может быть вы-
вычислен по формуле
V = J 5 (г) dz,
C.6.20)
где z0 и zx ¦— наименьшее и наибольшее
значения аппликаты в пределах на-
нашего тела.
Рис. 3.6.7
Рис. 3.6.8
Применим эту формулу к правиль-
правильной четырехугольной пирамиде. По-
Поставим пирамиду на ее вершину, при-
причем совместим вершину с началом ко-
координат, а ось симметрии пирамиды
направим по оси z (рис. 7). Пусть вы-
высота пирамиды равна h, а основание
ее (оказавшееся сверху) представляет
собой квадрат со стороной а. Из гео-
геометрии известно, что сечение пирамиды
горизонтальной плоскостью на высоте z
представляет собой также квадрат, сто-
сторона Ъ которого относится к а, как z к h:
b — b(z)z=a^r • Следовательно, пло-
щадь сечения
пирамиды
S (z) = b2 = j^z1. ^Объем
о о
Воспользуемся результатом § 4:

104
Гл. 3. Что такое интеграл
Тогда получим выражение объема пи-
пирамиды
'Объем пирамиды равен одной трети
•произведения площади основания на вы-
высоту пирамиды. Выводы этой формулы
в стереометрии без применения инте-
интегралов значительно сложнее.
К вопросу о использовании инте-
интегрального исчисления для вычисления
объемов мы вернемся в гл. 7.
Вот еще один пример, гораздо более эф-
эффектный, чем разобранные выше. Поставим
задачу определения объема цилиндрического
«копыта», т. е. части (прямого кругового)
цилиндра, отсекаемого от него проходящей
через диаметр А В основания плоскостью,
образующей с основанием угол 45° (рис. 8);
радиус цилиндра для простоты примем рав-
равным 1 (ср., впрочем, упр. 3). Сечение копыта
плоскостью, перпендикулярной диаметру А В
и удаленной от центра О основания на рас-
расстояние ОМ=х, представляет собой прямо-
прямоугольный равнобедренный треугольник (пря-
(прямоугольный треугольник MPQ с острым
углом QMP = &5°), катет МР которого равен
\1ОР* — ОМ2 = V4 ~х2. Но тогда и PQ = РМ=
I
1
= "A—х-). Поэтому в силу формулы B0),
где теперь надо только писать х вместо z,
объем V копыта равен
г 1 1 Г
= J -j(i. — xz)dx=Y \ (i~
1 г1
= -п\ \ dx— хЧх =
I •) J I
-1
I здесь мы используем очевидные свойства
ъ ь
интеграла: I cfdx = с \ fdx, где с — число, и
Заметьте, что объем рассматриваемого
«круглого тела» равен рациональной дроби
и никак не связан с числом ъ\
Уп ражнения
3.6.1. Выведите формулу для объема (про-
(произвольной) пирамиды, используя свойства
параллельных сечений.
3.6.2. Найдите объем (прямого кругового)
конуса высоты h, основанием которого служит
круг радиуса R. Изменится ли результат,
если рассматриваемый (круговой) конус не
будет прямым, т. е. если его вершина не будет
расположена в точности над центром осно-
основания?
3.6.3. Найдите объем «копыта», отсекаемого
от цилиндра радиуса R плоскостью, проходя-
проходящей через диаметр основания цилиндра и со-
составляющей с основанием известный угол а,
3.6.4. Воспользовавшись формулой для
объема цилиндрического копыта, найдите ве-
1
личину интеграла 1 у Vl — у2 dy.
о
* * *
В гл. 2 и 3 рассмотрены^понятия про-
производной и интеграла, некоторые са-
самые простые их свойствами раскрыта
связь между интегралом^и производ-
производной — другими словами, здесь наме-
намечен основной костяк понятий и теорем
так называемой высшей математики.
Техника дифференцирования и интег-
интегрирования, т. е. вопросы практического
вычисления производных и интегралов
от различных функций, отнесены к
гл. 4—5 книги; в гл. 2 и 3 приве-
приведено только несколько самых простых
примеров.
Хочется посоветовать учащемуся не
измерять важность (и даже трудность)
того или иного раздела числом формул,
их сложностью и громоздкостью. В дей-
действительности самое важное и трудное —
именно математическая формулировка
задачи в виде алгебраического урав-
уравнения, или интеграла, или дифферен-
дифференциального уравнения, но не следующие
за этой стадией преобразования. Именно
на это надо обратить главное внимание.
Почти каждый физик знает, что те
работы, которые ему не удалось сде-
сделать (и которые тем временем были
сделаны другими!), не были им сде-
сделаны потому, что, ограничиваясь об-
общим размышлением, он не решался
перевести свои мысли на математический

Гл. 3. Что такое интеграл
105
язык, облечь их в форму уравне-
уравнений. Что же до вычислительных труд-
трудностей в четко поставленной задаче
с ясным физическим содержанием, то
они всегда преодолеваются — если не
точным расчетом, то приближенными
методами.
Если последние три параграфа по-
показались читателю трудными, целесо-
целесообразно перечитать гл. 2 и 3 еще раз.
Возникновение «высшей математики», т. е.
дифференциального и интегрального исчисле-
исчисления, явилось переломным моментом во всей
истории человеческой культуры: с их созда-
созданием люди получили в руки мощный аппарат,
приспособленный для анализа всевозможных
процессов, для глубокого объяснения физи-
физических явлений, для построения научной кар-
картины мира. Собственно, первые задачи,
относящиеся к дифференциальному и инте-
интегральному исчислениям, с большим искусст-
искусством решали еще древнегреческие мыслители,
в первую очередь гениальный Архимед
Сиракузский B87—212 до н. э.), успешно
применявший математику к конструированию
механизмов и машин (созданная им военная
техника привела в ужас римлян, осаждавших
его родные Сиракузы). Так, Архимед умел
проводить касательные к кривым и определять
площади, ограниченные кривыми линиями: он
успешно решил задачу проведения касатель-
касательной к так называемой архимедовой спирали,
т. е. к линии, которую описывает улитка, рав-
равномерно ползущая по спице колеса, вращаю-
вращающегося с постоянной угловой скоростью,
а также задачу квадратуры параболы, т. е.
нахождения площади сегмента параболы. Од-
Однако в то время подобные задачи, которые
ныне без всякого труда решает любой студент
или даже школьник-старшеклассник, были
доступны разве что Архимеду: общего метода,
применимого ко всем задачам такого рода, не
существовало, и каждая из них требовала
весьма значительных усилий. Да примитив-
примитивный уровень античной техники и не требовал
решения таких задач, которые лишь свиде-
свидетельствовали об изобретательности решившего
их ученого, но не применялись ни в каких вне-
математических проблемах: мыслители древ-
древности, как правило, рассматривали матема-
математику не как мощный метод решения практи-
практических задач, а лишь как теоретическую
науку, совершенство которой копирует глу-
глубокую гармонию мира, но объясняет мир лишь
в чисто философском смысле. (Чуть ли не един-
единственным исключением здесь был тот же Ар-
Архимед, в трудах которого математика орга-
органически переплеталась с механикой и физикой.
Но ведь Архимед был гений, — и здесь, как
и во многом другом, он значительно обогнал
свое время.) Статический характер жизни
в Древней Греции, почти не знавшей серьез-
серьезных механизмов, жизни, концентрирующейся
на городских площадях, вокруг дворцов и
храмов, украшенных прекрасными стату-
статуями, столь же неподвижными, как сами храмы
или городские площади, породил свойствен-
свойственную математике древних метафизику — за-
запрещение рассматривать текущие процессы
и стремление ограничиться одними лишь за-
застывшими «состояниями», отражением кото-
которых для знаменитого Е в к л и д а Алек-
Александрийского (начало 3 в. до н. э.) явились
столь частые в его рассуждениях цепочки рав-
равных (конгруэнтных) треугольников.
Метафизика древних стала немыслима в ус-
условиях расцвета итальянских городов в XV
XVI вв. и появления первых мануфактур,
предвещавших возникновение в скором буду-
будущем машинного производства, — в этот пе-
период она могла лишь тормозить необходимый
научный прогресс. Великий Галилео Г а-
л и л е й A564—1642) впервые громко про-
провозгласил, что ключом к тайнам Вселенной
является математика (см. сноску на с. 98).
Под влиянием Галилея его непосредственные
ученики — создатель барометра Эванджелиста
Торричелли A608—1647) и геометр
Бонавентура Кавальери A598—1647),
продолжая дело столь любимого их учителем
Архимеда, решили много частных задач,
которые сегодня относят к высшей математике
В частности, Кавальери принадлежит метод
вычисления объемов, очень близкий к разви-
развитым выше построениям. Галилей же впервые
заметил, что задача об определении пути по
известной скорости практически совпадает
со столь занимавшей еще Архимеда задачей
о нахождении площадей криволинейных фи-
фигур; продолжая Галилея, Торричелли уста-
установил, что обратная задача об отыскании ско-
скорости по пути родственна задаче проведения
касательной к (кривой) линии. Но общих ме-
методов решения таких задач, общего алгоритма
позволяющего «считать, не рассуждая», в та
время еще не было.
Не было подобного метода и у знаменитого
Иоганна Кеплера A571-1630) - выдаю-
выдающегося астронома и математика, открытии
которого сыграли столь большую роль в соз-
создании научной системы мира. Для своего вре-
времени Кеплер был, бесспорно, крупнейшим ма-
мастером интегрирования (которое тогда и ин-
интегрированием-то еще не называлось).
В 1614 г. он (вторично) женился; в связи со

106
Гл. 3. Что такое интеграл
ГАЛИЛЕО ГАЛИЛЕ11
' -SI
ИОГАНН КЕПЛЕР
свадебными торжествами ему пришлось за-
закупить немало вина — и при этом Кеплер
убедился в трудности определения (по радиу-
•сам оснований бочки и ее высоте) объема вин-
»ных бочек, имеющих достаточно разнообраз-
разнообразную форму. Заинтересовавшись этим вопро-
вопросом, Кеплер в следующем, 1615 г. выпускает
•сочинение «Стереометрия винных бочек,пре-
бочек,преимущественно австюийских, как имеющих са-
самую выгодную форму» («с присоединением до-
дополнения к архимедовой стереометрии», —
уведомлял еще читателя автор); здесь он со-
собрал множество задач на определение объе-
объемов тел, ограниченных кривыми поверхно-
поверхностями, — формулы для объемов таких тел,
пзыне получаемые с помощью интегрального
РЕПЕ ДЕКАРТ
исчисления (см. § 7.10), Кеплер находит
с большим искусством.
Истинным «предтечей» высшей математики
явился француз Рене Декарт A596—
1650), воин и дипломат, естествоиспытатель
и абстрактный мыслитель, создатель так на-
называемой аналитической геометрии (метода
координат в геометрии; ср. гл. 1) и глубокий
философ, провозгласивший познаваемость
мира и декларировавший основные принципы
диалектики, роль в жизни всевозможных про-
процессов, изучение которых, по Декарту, состав-
составляет основную задачу математики. При этом
Декарт глубоко усовершенствовал математи-
математическую символику и математический язык,
придав ему современный вид; это сыграло
очень большую роль в дальнейшем "прогрессе
и демократизации математических знаний.
Современником и частично соперником Де-
Декарта был еще один французский ученый —
юрист по профессии и глубокий математик-
любитель Пьер Ферма A601—1665). Ферма
независимо от Декарта и даже несколько
раньше его (хоть опубликовано это было позже)
также разработал систему использования ме-
метода координат и алгебраических выкладок
в геометрии, которая ныне называется ана-
аналитической геометрией. При этом трактовка
темы у Ферма была, пожалуй, более близкой
к современной, чем у Декарта, — и если зна-
значение сочинений Декарта в истории науки ока-
оказалось гораздо большим, то это связано в пер-
первую очередь с педагогической активностью
Декарта и с более совершенной системой его
записей (с подобным же положением мы столк-
столкнемся и говоря о создании дифференциального
и интегрального исчислений). Одновременно

Гл. 3. Что такое интеграл
107
ПЬЕР ФЕРМА
ХРИСТИАН ГЮЙГЕНС
с этим Ферма занимался и теми вопросами,
которые ныне относят к области математиче-
математического анализа: ему принадлежат понятие диф-
дифференциала (см. ниже § 4.1) и общее замечание
о том, что точкам максимума и минимума
(гладкой) функции должно отвечать равенство
нулю ее производной (это утверждение сегодня
называют теоремой Ферма), а также
остроумные вычисления величин некоторых
интегралов (например, намеченный в упр.
3.2.3 метод вывода формулы E.2.1)). Отдель-
Отдельные результаты е области анализа имел также
и Декарт.
Младшим современником Декарта и Ферма
был голландец Христиан Гюйгенс
A629—1695), создатель волновой теории света,
прославившийся своими работами по при-
применению математики к механике и физике
(ему принадлежит, например, строгая мате-
математическая теория маятниковых часов;
(см. § 7.9). Однако в своих исследованиях Гюй-
Гюйгенс пользовался архаическими приемами
древних, в частности Архимеда, считая, что
более новая методика не дает никаких пре-
преимуществ, ибо любую задачу он может решить
«по старинке» (но для того чтобы таким спо-
способом свободно решать многочисленные труд-
трудные задачи, надо было быть Гюйгенсом).
Истинными создателями высшей матема-
математики по праву считаются крупнейшие мысли-
мыслители XVII в. англичанин Исаак Ньютон
A643—1727) в немец Готфрид Вильгельм
Лейбниц A646—1716); оба' они безус-
словно принадлежат к числу самых глубоких
ученых, которых знает вся история науки.
Именно им принадлежит связное изложение
ИСААК НЬД)ТОН
нового исчисления, цепочка формул, позво-
позволяющих без труда найти^производную любой
алгебраически заданной функции, и полное
понимание связи между производной и ин-
интегралом и значения этой связи, доставляю-
доставляющей общий алгоритм вычисления интегралов
путем обращения к списку производных (см.
гл. 4 и 5).
Г. В. Лейбниц был поистине универсаль-
универсальным ученым: его научные интересы включали
философию, филологию, историю, психоло-
психологию (где он был одним из пионеров проникно-
проникновения в сферы «бессознательного»); биологию
(он является одним из предшественников
эволюционного учения), геологию а горное

108
Гл. 3. Что такое интеграл
ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ
дело; математику и механику (в механике
Лейбницу принадлежит понятие «живой
силы», т. е. кинетической энергии); наряду
с этим он был весьма активен как политик и
дипломат (он стремился к примирению не-
немецких княжеств, видя в перспективе их
объединение в единое государство, и мечтал
об объединении католической церкви с про-
протестантской) и как организатор научных ака-
академий; в частности, он явился создателем и
первым президентом Прусской академии наук
в Берлине и несколько раз беседовал с рус-
русским царем Петром I о создании Российской
академии наук (которая впоследствии была
учреждена в полном соответствии с его пред-
предложениями и пожеланиями). Математический
анализ имел у Лейбница, которому, в част-
частности, принадлежат и современные термины
«производная» (Ableitung, по-немецки) и «ин-
«интеграл» 5, форму, достаточно близкую к при-
принятой в настоящей книге. Производную функ-
dy
ции y=f (х) Лейбниц обозначал символом т— J
при этом «дифференциалы» dy и dx он понимал
как «предельные» значения приращений Дг/ и
Дя, к которым мы приходим при неограничен-
неограниченном уменьшении Дя (слова «предел» и соответ-
соответствующего понятия у Лейбница еще не было).
-Этот подход отвечал введению производной
чсак тангенса угла, образованного касатель-
s Первоначально Лейбниц говорил просто
сумма (и «сумматорное исчисление» вместо
«интегрального»); термины интеграл (от ла-
латинского integer — целый) и интегральное
исчисление были предложены его учениками,
братьями Якобом и Иоганном Бернулли,
ш с энтузиазмом приняты Лейбницем.
ной к графику функции с осью Ох: малому Да:
отвечает малый треугольник ABC (см.
ВС by
рис. 7.8.1), где tg а1—дв=^> когда Ах не-
неограниченно уменьшается, приращения Дх и
Ау заменяются дифференциалами dx и dy,
а секущая А С длины ds («дифференциал длины
дуги»; см. § 7.8) обращается в касательную
(такой треугольник Лейбниц называл харак-
характеристическим).
Лейбниц, всячески подчеркивающий ал-
алгоритмическую сторону нового исчисления,
систему правил, автоматически гарантирую-
гарантирующих правильный результат при нахождении
производных, разработал также методику об-
обращения с дифференциалами, о которой мы
еще скажем в гл. 4; использование этой ме-
методики и доставляет рецептуру вычисления
производных. Интеграл от функции y=f (х)
Лейбниц обозначал современным символом
f (х) dx.
Неустанная педагогическая деятельность
Лейбница и удачная система обозначений и
терминов привели к тому, что человечество
восприняло высшую математику в созданном
им виде. Наряду с этим Лейбниц считается
классиком философии (здесь он во многом
продолжил и углубил Декарта); ему принад-
принадлежит также ряд глубоких идей, частично реа-
реализованных лишь в XIX и XX вв., например
идея математических машин; мысль о «гео-
«геометрическом исчислении», из которой впос-
впоследствии родилось современное векторное
исчисление; попытки «алгоритмизации мыш-
мышления», при которой, как писал Лейбниц,
спорящие более не будут нуждаться в длитель-
длительных прениях, поскольку один из них всегда
сможет сказать другому: «Ну что ж, прове-
проверим, кто из нас прав, — вычислим, милостивый
государь» (наброски такого «исчисления вы-
высказываний», оставшиеся в бумагах Лейбница,
очень близки к математической логике XIX
и XX вв.).
Совершенно независимо от Лейбница и
даже несколько раньше к тем же идеям при-
пришел и И. Ньютон — и одновременность этого
великого открытия, независимо сделанного
двумя учеными, во многом различными между
собой (что сказалось и на путях, какими при-
пришли они к дифференциальному и интеграль-
интегральному исчислениям 6), лучше всего демонстри-
6 Философ Лейбниц во многом руковод-
руководствовался тем, что он называл «метафизикой
бесконечно малых» (дифференциалов); его
вели созданный им язык, развитая символика
и терминология, свойственные новому исчи-
исчислению. Физик же Ньютон исходил из содер-

Гл. 3. Что такое интеграл
109
рует своевременность и неизбежность гран-
грандиозной научной революции XVII в.! Нью-
Ньютон был, пожалуй, больше физиком и астро-
астрономом, чем математиком; его роль в создании
•физики и в становлении научного метода
в естествознании никак не может быть пре-
преувеличена. Крупнейший математик и меха-
механик XVIII—XIX вв. Жозеф Луи Л а г р а н ж
A736—1813), с которым мы еще встретимся
ниже, сказал как-то о Ньютоне: «Вот счастли-
счастливейший из всех людей: ведь система мира мо-
может быть открыта только единожды». Тот же
•смысл имеет и знаменитое двустишие современ-
современника Ньютона Александра Попа A688 —
1744), известное у нас в переводе Маршака:
«Был этот мир глубокой тьмой окутан,
Да будет свет! И вот явился Ньютон.»
Для Ньютона производная, конечно, отож-
отождествлялась со скоростью: свойства производ-
производной воспринимались им как физические свой-
свойства скоростей. При этом Ньютону не чужда
•была и формально-математическая теория про-
производных (и интегралов), основанная на неко-
некотором варианте теории пределов. Однако при
отсутствии самого определения предела она не
делала его построения более безукоризнен-
безукоризненными, чем (логически не бесспорные) манипу-
манипуляции Лейбница с бесконечно малыми, а лишь
утяжеляла их; возможно, что с этим связано
и то обстоятельство, что влияние Лейбница на
европейскую математику явно превзошло
роль Ньютона.
Производную Ньютон называл флюксией,
а исходную функцию, для которой вычисля-
вычисляется производная, — флюентой (от латинского
слова fluere — течь; этим подчеркивалось,
что рассматриваемые величины являются пе-
переменными); при этом флюксия возникала как
¦скорость изменения флюенты, а флюента вос-
восстанавливалась по флюксии как путь по ско-
скорости. И свое изложение анализа Ньютон на-
начинает с двух основных задач, к которым сво-
сводятся все остальные.
1. Длина пройденного пути дана, требуется
вайти скорость движения в предложенное
«ремя.
.жательного смысла новых понятий и их роли
в естествознании. (Заметим, что аналитичес-
аналитическую геометрию тоже создали одновременно
и независимо Декарт и Ферма, причем эти
ученые также принадлежали к разным психо-
психологическим типам: Декарта здесь можно срав-
сравнить с Лейбницем, а весьма глубоко чувству-
чувствующего физику Ферма (ему, например, при-
принадлежит замечательный принцип, утверж-
утверждающий, что траектория света всегда такова,
что она обеспечивает быстрейшее его распро-
транение) — с Ньютоном.)
2. Скорость движения дана, требуется
найти длину пройденного в предложенное
время пути.
Это, очевидно, задачи нахождения произ-
производной заданной функции и нахождения функ-
функции по ее производной, т. е. задача вычисле-
вычисления неопределенного интеграла. То, что эти
две задачи (в геометрической их постановке —
проведение касательной к данной кривой и
вычисление ограниченной этой кривой пло-
площади) являются взаимно-обратными, было,
видимо, впервые обнаружено учителем Нью-
Ньютона Исааком Барроу A630—1677), ко-
который впоследствии (редкий случай в истории
науки!) отказался от должности профессора
Кембриджского университета в пользу своего
гениального ученика, считая, что Ньютон бо-
более его достоин быть профессором. Однако
сегодня предложение о связи между произ-
производными и интегралами не случайно называют
не именем Барроу, а именами Ньютона и Лейб-
Лейбница — ведь только эти два великих ученых
поняли всю силу обнаруженного Барроу (и
открытого Лейбницем независимо) факта вза-
взаимной обратности операций дифференцирова-
дифференцирования и интегрирования, возможность положить
этот факт в основу широкого исчисления про-
производных и интегралов. И именно прозорли-
прозорливости Ньютона и Лейбница математический
анализ обязан тем бурным расцветом, который
начался сразу за первыми публикациями и
выступлениями этих двух великих ученых
и который поистине означал наступление но-
новой эры — эры великих научных открытий,
бурного штурма тайн природы на благо чело-
человека. При этом в отношении попыток приложе-
приложения дифференциального и интегрального ис-
исчисления к раскрытию законов природы прио-
приоритет, бесспорно, принадлежит великому
естествоиспытателю Ньютону, от которого
идет общая идея о том, что законы природы
должны иметь форму дифференциальных
уравнений, связывающих те функции, которые
описывают рассматриваемое явление. Ньютону
принадлежит формулировка основных уравне-
уравнений движения (об этом мы подробнее скажем
в гл. 9 и 10), которые он затем применил к вы-
выводу закона тяготения, к изучению движений
небесных тел и к довольно сложным задачам
небесной механики (ср. с процитированным
выше высказыванием Лагранжа о Ньютоне).
Именно с работ Ньютона, по существу, роди-
родилась основанная на использовании глубокого
математического аппарата теоретическая фи-
физика, ныне в своей содержательной части да-
далеко вышедшая за пределы решавшихся Нью-
Ньютоном задач, а в математической части опираю-
опирающаяся на весь массив современной науки

110
Гл. 3. Что такое интеграл
многократно превышающий созданное Ньюто-
Ньютоном и Лейбницем дифференциальное и инте-
интегральное исчисление.
Обозначал флюксию (производную) Нью-
Ньютон точкой, поставленной над буквой, симво-
символизирующей исходную функцию: так, произ-
производную функции у он записывал как у. (Се-
(Сегодня это обозначение производной сохрани-
сохранилось в механике; мы, однако, им пользоваться
не будем.) Операцию перехода от флюксии
к флюенте Ньютон предложил обозначать точ-
точкой, поставленной снизу: так, если у=х2
и ух=2х, то в этой системе обозначений у~уг
и Ух=у. Такие2обозначения подкупают сим-
симметрией; теорема о связи между производной
и интегралом здесь может быть записана^так:
у—У (где выражение у можно понимать дво-
двояко — как флюксию от функции у и как флю-
флюенту от функции у). Однако ныне эта краси-
красивая запись имеет лишь чисто историческое
значение (да и сам Ньютон не был здесь!осо-
бенно последователен). Обозначение у' для
производной функции было введеноjt фран-
французским математиком Огюстеном Коши, с име-
именем которого мы еще встретимся ниже.

Глава 4
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ
Удобные и наглядные способы записи
тех (или иных соотношений и простые
правила (алгоритмы), позволяющие ме-
механически, без размышлений, произ-
производить безошибочные вычисления, иг-
играют очень большую роль и в процессе
обучения математике, и в развитии
самой математики. Так, выдающееся
место в истории математики Декарта
или Лейбница было связано не только
с их математическими достижениями,
но и с разработанными этими учеными
новыми удобными способами записи,
в частности с созданием Лейбницем
языка (исчисления) дифференциалов.
В гл. 2 мы разобрали смысл понятия
производной и привели первые про-
простейшие примеры нахождения произ-
производных. Задачей настоящей главы
является разработка общих правил вы-
вычисления производных от различных
функций: от многочленов; рациональ-
рациональных функций Кфункций, представимых
в виде отношения многочленов); ал-
алгебраических функций, содержащих не-
неизвестное под знаком корня (содержа-
(содержащих дробные степени неизвестного);
показательных и логарифмических фун-
функций; тригонометрических функций
и др.^Мы укажем, как, зная производ-
производные тех или иных функций, найти
производные определенных их комби-
комбинаций: суммы функций, произведения
или частного функций, сложной функ-
функции. Таблица производных в конце
книги (см. Приложение I) подытожит
содержание § 1—12.
§ 1. Дифференциал
Из определения производной следует
такой способ (алгоритм) ее вычисления:
нужно задаться каким-то значением х
и приращением Да:, найти / (х) и
/ (ж+Дх), найти приращение Д/=
=f(x-\-kx) —f(x), составить отношение
-~ и перейти к пределу при Ах -»0.
Однако формула для отношения ^-, где
Ах — произвольное фиксированное число,
как правило, оказывается сложнее фор-
формулы для предела lim -r-~-J-, т. е.
Дд;->-0 ^Х ах
для производной.
Поэтому в дальнейшем мы часто бу-
будем писать такие формулы, которые
справедливы только в пределе, при
приращении, стремящемся к нулю. При
малых Да; эти формулы будут «почти
справедливы», т. е. точные равенства
в них заменятся приближенными, а при
больших Да; они могут оказаться и
вовсе неверными. Чтобы это подчерк-
подчеркнуть, вместо Д#, Да; мы будем писать
dy, dx. Нам нужно только выработать
такие правила действий с величинами
dy, dx, называемыми дифференциалами1,
которые обеспечат выполнение основ-
основного равенства
Заметим, что равенство A) фигури-
фигурировало у нас уже в гл. 2. Там, однако,
оно [не было истинным равенством,
а лишь условием об обозначениях —
оно означало, что записи у' (х) и dyjdx
имеют один и тот же смысл. Теперь
же мы хотим рассматривать A) как
настоящее (содержательное) равенство,
указывающее связь между производной
у' (х) функции и дифференциалами dy
и dx самой функции у и независимого
переменного х: производная у' (х) дол-
должна быть равна отношению dy/dx
дифференциалов.
Выше было получено приближенное
выражение для приращения
у (х -j- Дж) — у (х) = Ау т у'Ах. D.1.2)
Можно сказать, что B) «становится
точным в пределе», при Да; —> 0. Здесь
слова «точно в пределе» не сводятся,
разумеется, лишь к тому, что при Дх=
=0 левая и правая стороны B) совпа-
совпадают (равны нулю) — они подчерки-
1 От латинского слова differentia — раз-
разность, приращение; таким образом, русским
словом «приращение» мы называем величины
Д^Ги Lx, а латинским термином «дифферен-
«дифференциал» — «почти приращения» dy и dx.

112
Гл. 4. Вычисление производных
вают, что при очень малых Да: левая и
правая части B) «почти равны» в том
смысле, что их разность гораздо мень-
меньше самих этих выражений. В самом
деле, разность левой и правой частей B)
при малых Да: имеет порядок малости
(ДжJ или еще выше (см. конец § 2.4),
так что она действительно (разумеется,
при г/'=^0) гораздо меньше величин
Дг/ и у' Да:, имеющих первый порядок
малости: даже разделив обе части B)
на очень малое число Да;, мы все равно
придем к «почти точному» равенству.
^/
Рис. 4.1.1
Условимся теперь заменять B) точ-
точным, равенством
dy = y'(x)-dx. D.1.2а)
Поясним это подробнее. Мы будем
считать, что дифференциал независимой
переменной dx, по определению, не от-
отличается от приращения Да;. После
этого дифференциал dy функции у=у (х)
определим (точным!) равенством BаJ,
которое можно дополнить так:
dy = у' (х) ¦ dx.= у' (х) • Да:. D.1.26)
Таким образом, дифференциал dy функ-
функции г/=г/ (х) отличается от ее прира-
приращения Дг/ — ведь для приращения
Дг/ родственное B6) равенство B)
выполняется лишь приближенно:
Дг/«я/'(а;)Да;, в то время как точ-
точное равенство для приращения Дг/=
=/ (х-\- Да;) — / (х) имеет вид
Ау=у'(х)Ьх + о, D.1.3)
где о — величина более высокого по-
порядка малости, чем Дж. Именно это
мы и имели в виду, говоря, что равен-
равенство B), или
2 Заметьте, что в то время как приближен-
приближенное равенство B) является теоремой,
которая нуждается в доказательстве (нужда-
(нуждается в доказательстве тот факт, что величина а
в правой части C) имеет более высокий по-
появляется «точным в пределе»: само по
себе отношение —, вообще говоря, от-
отлично от у' (х), но вот lim -^- =у'(х),
поскольку при малых Дж слагаемым
о в правой части C) можно пренебречь.
Однако эти слова о пределе, о пренеб-
пренебрежении какой-то частью формулы
становятся излишними при переходе
от «языка приращений» к «языку диф-
дифференциалов»: соотношения A) и Bа),
B6), использующие дифференциалы,
являются уже обычными (точными) ра-
равенствами.
Все это подробно обсуждалось в § 2.4
в связи с вопросом о приближенном вычисле-
вычислении значений функций (с. 65 и след.). При вы-
вычислении, скажем, значений функции у=х2
или ух=х3 мы с полным основанием полагаем,
что если Да; мало, то Ауя^2хАх, соответст-
соответственно Дг^^За:2 Да;, поскольку сделанная при
этом ошибка будет неощутимо мала. Так, приб-
приближенное равенство Дг/%2а;Да; означает, что
приращение Ау площади (у=хг) квадрата
ABCD со стороной АВ=х (рис. 1) при измене-
изменении длины его стороны на Да; можно заменить
суммой площадей двух прямоугольников
и DDxc%C, пренебрегая при малом
j= Ax (гораздо меньшим их!) квадратиком
площади (Да;J. Обращаясь к функции
Ух=х3 и полагая, скажем, аг=2, ух (а:)=8,
составим следующую таблицу приращений
Ду1=у1 (х-\- Ах)—уг (х) и дифференциалов
dyi = у[ (х) Ах этой функции, а также по-
а Аух — dyt
грешностеи т— = —т приближенной
формулы B):
Ах
Ду1
dyi
о/Дг/i
1
19
12
37%
0,5
7,625
6
21%
0,2
2,648
2,4
9%
0,1
1,261
1,2
5%
Ах
Ауг
dy-i
а/Ау-у
0,05
0,615
0,6
2,5%
0,01
0,1206
0,12
0,5%
0,001
0,012006
0,012
0,05%
рядок малости, чем Да; или Ау), равенство Bа)
(и B6)) является определением — оно.
определяет величину dy.

§ 1. Дифференциал
Эта таблица весьма наглядно иллюстрирует
утверждение о том, что формула B) «точна
в пределе».
Более полные сведения об «остаточном
члене» о приближенной формулы B) будут
получены в гл. 6. Там мы докажем, что о
можно представить в виде суммы а (Д.гJ+
+6 (ДжK+..., коэффициенты а, 6,... которой
не зависят от Дл\ Но при малых приращениях
Ах все степени (ЛяJ, (Да:K и т. д. гораздо
меньше самой величины Ах; поэтому |<з| =
= \а (Дл;J+6 (ДагK+. . .| гораздо меньше
(пропорционального \Ax\\) дифференциала
\dy\=\y' (х) Ах\. Разумеется, последнее ут-
утверждение теряет силу при у' (ж)=0, когда
дифференциал dy обращается в нуль и меньше
его положительная величина |<з| быть никак
не может; однако обычно и здесь можно поль-
пользоваться приближением B), пренебрегая
крайне малой ошибкой о. Случаи же отсутст-
отсутствия у функции у=у (х) производной (и диф-
дифференциала) (ср., например, § 7.2) имеют «эк-
«экзотический характер», — и мы рекомендуем
читателю пока просто игнорировать их.
Понятие дифференциала и запись
-г- для производной были введены Лейб-
Лейбницем, который при этом не слиш-
слишком задумывался над содержанием
понятия «дифференциал»; гораздо более
интересовали его правила опериро-
оперирования с дифференциалами, составившие
лейбницевское «исчисление дифферен-
дифференциалов». Нетрудно, однако, придать
понятию дифференциала точный смысл
и даже проиллюстрировать его на чер-
чертеже.
Равенство C) можно переписать так:
Дг/ = dy -f- а; D.1.3а)
с ним связана распространенная форму-
формулировка: дифференциал функции —
это главная линейная часть ее прира-
приращения. Другими словами, дифферен-
дифференциал dy=y' (х) Да; {=у' (х) dx) явля-
является линейной функцией прира-
приращения Да:, в то время как приращение
Дг/, вообще говоря, зависит от Да; до-
довольно сложно (не линейно) 3. С дру-
другой стороны, dy представляет собой
«главную часть» приращения Дг/ функ-
3 Дифференциал dy=y'(x)b.x функции зави-
зависит от д в у х чисел (переменных) х и Ах —
он является функцией двух пере-
переменных (линейной по переменной Дж,
но довольно сложно, вообще говоря, зависящей
от переменной х).
ции в том смысле, что при малых Да;
второе слагаемое в правой части (За)
гораздо меньше первого.
Вспомним теперь, что производная
у' (х) равна тангенсу угла а наклона
касательной к графику функции г/=
=у (х) (см. § 2.5). Поэтому, если на
рис. 2 PQ— Дх, то
tg а • Дж = г/ (ж) Да; = dy,
в то время как приращение функции
Дг/=г/ (х-\-Ь.х) — у (х) изображается
отрезком М-$х- Из рис. 2 видно, что
при малых Да; дифференциал dy будет
близок к приращению Дг/ функции,.
х
Рис. 4.1.2
в то время как при больших Дж это
уже, вообще говоря, будет не так.
Однако такое графическое представле-
представление дифференциала функции нужно,
лишь для правильного понимания!
сути использования дифференциала
в приближенных вычислениях, в не-
несколько иной форме (без использования.
самого слова «дифференциал») описан-
описанного в § 2.4. В этой же главе нам нужна<
будет лишь техника работы с дифферен-
дифференциалами, символическое «исчисление
дифференциалов»; точный же смысл
понятия «дифференциал», связанный
с рис. 2, использоваться нигде не будет,
— и читатель вполне может просто
о нем забыть.
Понятию дифференциала можно
также придать прозрачный механиче-
механический смысл. Предположим, что на рис. 2
абсцисса х — это время (именно этот
смысл имеет буква t в скобках у конца
оси абсцисс), а ордината у (или z) —
путь; нас интересует процесс измене-
изменения пути со временем у=у (х), или,
в привычных нам по гл. 2 и 3 обозна-
обозначениях, z=z (t). Представление о по-
постоянно меняющейся под влиянием ка-
каких-то сил скорости не слишком про-
просто; поэтому при изучении движения,

114
Гл. 4. Вычисление производных
в окрестности какого-то момента вре-
времени (положение тела в этот момент изо-
изображается точкой М графика движе-
движения) удобно считать, что начиная с это-
этого момента скорость перестала изме-
изменяться (это предположение равносиль-
равносильно гипотезе о том, что в рассматривае-
рассматриваемый момент времени мы «отключили»
все действующие на тело силы, предо-
предоставив ему далее двигаться по инерции,
т. е. с постоянной скоростью, см. гл. 9).
Тогда начиная с этого момента х ско-
скорость все время будет оставаться равной
мгновенной скорости v(x)=-~ в мо-
/ dz .
мент х (или -тг в момент t), и прои-
денный за врзмя Дг путь будэт равен
v (x)\x—yr &.x=dy, (На рис. 2 равно-
равномерному движзнию тела отвечает пря-
прямая I, в то врзмя как графиком ис-
исходного — нзравномэрного — движзния
служит линия Г.) При малых Да; (или
At) этот гипотетический путь NQ1 (=dy
или dz) будзт отличаться от истинного
пути MLQi {~ Ay или Az) взсьма ма-
мало— на малую величину NMl~^ бо-
более высокого порядка, чзм PQ(=Ax
или At) i.
Правила пользования диффзренциа-
лами должны быть такими, чтобы вы-
выполнялось соотношение A): для этого
в формулах для дифференциалов нужно
сразу отбрасывать члены, пропорцио-
пропорциональные (dxI или болеэ высоким сте-
степеням dx.
Рассмотрим один простейший при-
пример; сравним на нэм технику работы
с приращениями и с дифференциалами.
Пусть мы имеем функцию у=х2. Рань-
Раньше мы писали
Ау = {х -f Да;J — х2 = 2а;Да; -j- (Дя)а, D.1.4)
4 ^Именно в таком (механическом) обличьи
появился дифференциал у Ньютона, который
назвал его термином «момент»; при этом
Ньютон пришел к этому понятию раньше
Лейбница, который заговорил о дифференциа-
дифференциалах лишь с 1675 г., в то время как «моменты
функций» (или «флюэнт», как предпочитал
говорить Ньютон) появились у Ньютона уже
в 1666 г. Вщэ раньшэ, начиная примерно
с конца 30-х годов XVII в., пользовался диф-
дифференциалами (бзз специального наименования
и обозначения этих величин) Ферма; именно
на этих понятиях была основана его известная
теорема о точках максимума и минимума.
Но развернутое «исчисление диффэрэнцналов»,
безусловно, является заслугой Лейбница.
откуда
и y' =
С помощью дифференциалов запишем
dy = (х -|- dxJ — x2 = 2xdx, D.1.4a)
т. е. член (dxJ в правой части D)
мы сразу отбросили!
Смысл такого оперирования с диф-
дифференциалами теперь понятен. Ра-
Разумеется, Ay—(x-\-dxJ — x2=2xdx-\-
-\~(dxJ (см. D); напоминаем, что dx и
Ах — это одно и то же). Когда же
мы переходим от Ау к dy, мы остав-
оставляем лишь «главную линейную часть»
Дг/, т. е. отбрасываем члены, пропор-
пропорциональные Ах (или dx) во второй и
высших степенях, сохраняя лишь чле-
члены, пропорциональные первой степени
dx. Эти правила «исчисления дифферен-
дифференциалов», если только привыкнуть к ним,
очень упрощают все выкладки; в по-
последующих параграфах мы будем широ-
широко ими пользоваться.
Остановимся, наконец, на одном
замечательном свойстве дифференциа-
дифференциалов, которое знал (и высоко ценил)
еще Лейбниц. Рассмотрим какую-либо
функцию, скажем у—х2; при этом
у'= 2х и dy = 2xAx. D.1.5)
Пусть теперь х — не независимая пере-
переменная, а вспомогательное неизвестное,
зависящее от независимой переменной t
(можно считать, что t является време-
временем). Сохранят ли при этом силу соот-
соотношения E)? Нетрудно понять, что
не сохранят. Так, если x=t2, то про-
производная функции г/=?2 = ?4 равна At3,
что отлично от 2а;=2?2. Во второй же
из формул E) Да; теперь равно
(t+Mf — t2=2tM+(MJ, поэтому
2х\х = 2t2 [2Ш -j- Щ2] =
что отлично от выражения <&/=
стоящего в левой части той же формулы.
Но вот основное соотношение Bа) со-
сохраняет силу и в новых условиях:
ведь здесь dx=2t\t, так что 2xdx=
() y
Является ли это обстоятельство слу-
случайным? Нет, не является: формула
Bа) сохраняет силу и в том случае,
когда х есть независимая переменная,
и в ситуации, когда х есть («промежу-
(«промежуточная») функция независимой пере-
переменной t (ср. упр. 1 и 2).

§ 1. Дифференциал
115.
В силу этого работать с дифферен-
дифференциалами зачастую проще и удобнее,
чем с производными и с приращени-
приращениями, где всегда необходимо помнить
о характере аргумента функции (не-
(независимая переменная? вспомогательная
функция?). Многочисленные примеры
этого мы будем иметь в дальнейшем.
Обосновать сформулированное свойство
дифференциалов проще всего с помощью фор-
формулы C), где о есть величина более высокого
порядка малости, чем dx (и ay=Adx). В силу
этой формулы
Ay = Bdt + a, D.1.6)
где
а а мало. С другой стороны,
D.1.6а)
где Cdt = dx, a C мало, и если производная
dy
-j- в рассматриваемой точке (при t = tg или
при х = х (t0) = хв) равна D, то
Ay = DAx + -(, D.1.66)
где т малб. Но из Fа), F6) следует, что
Ddx (=DCAt) совпадает с дифференциалом
функции у—у (t): ведь это, во-первых, линей-
линейная функция At, а, во-вторых, разность
Дг/ — Ddx = (DAx + ч) — Ddx =
= [D (dx + р) + т] - Ddx = ?>р + Т
является малой величиной (величиной более
высокого порядка малости, чем Д*), поскольку
таковыми являются величины {3 и у, a Ddx —
dy
это, конечно,
dx
dx.
Вторую производную у" (х) функции у=
=у (х) мы обозначали выше (см. § 2.7) через
у" (х) = —— • D.1.7)
Эту запись можно оправдать с помощью со-
соображений, родственных тем, которые мы раз-
развивали в связи с записью у' = -т-.
Назовем величину у" (х)(Ах)* (=у" (х) (dxf)
вторым дифференциалом функции у (х)
и обозначим ее через №у; в таком случае обо-
обозначение G) для второй производной у" (х)
можно будет трактовать как отношение d?y.
:(dxJ второго дифференциала d?y функции у
к квадрату (dxJ (первого) дифференциала (при-
(приращения) аргумента х. Второй дифференциал
d?y функции у=у (х) можно также изобразить
на чертеже, что открывает пути к использова-
использованию его для приближенного вычисления зна-
значений функции. Условимся временно писать
х0 вместо х ж х вместо^ х-\- Ах и[найдем пара-
параболу П;
Y = a(x-xoJ + b(x — zo) + c, D.1.8).
наиболее тесно примыкающую к графику Г
функции у=у (х), т. е. такую, чтобы разность
Y (х)—У (х) при малых х—х0— Ах была воз-
возможно меньше *. Задача нахождения такой
параболы (задача о «наилучшем квадратич-
квадратичном приближению (8) функции у (х)) совпа-
совпадает с рассматриваемой в гл. 6; из результатов
этой главы следует, что коэффициенты урав-
уравнения (8) параболы П таковы: а=х12 у" (х0),
Ь=у' (х0), с=у (х0). В этом случае разность
У (х)—у (х) при малых Ал; будет являться ве-
величиной третьего (или еще высшего) порядка
У
Рис. 4.1.3
малости по отношению к &х=(х—х0). Если
изобразить на одном чертеже (рис. 3) кривую
У—У (х)> параболу Y=Y (х) и касательную I
Yl = kx + s D.1.9)
к линии Г (где к=у' (хв) и s=y (xo)—kxo)t
то прямая х—const пересечет линии Г, I и^П
в таких точках Ми N и iV1, что (см. рис. 3):
У'
т. е.
(в нашем случае «Pj/ отрицательно).
Рис. 3 убедительно иллюстрирует преиму-
преимущество, которое имеет приближение Y=yo-\-
+dy+1/zdiy (=у (хп)+у'(х0) &х[+ Vt»"(ee) Дх2)
значения у (х) функции по сравнению с при-
приближением Y^yo+dy (=y(xo)+y' (хв)Ах):
во втором случае мы: заменяем точку М^
8 Эту параболу (соприкасающуюся парабвлу
П кривой Г; ср. § 7.9) можно описать так:
проведем параболу Щ через три близкие
точки (х0, ув), (xt, yt) и (х2, у2) кривой Г, т. е.
подберем а, 6 и с в (8) так, чтобы было У (;%)=
=Уо, Y (xi)=yi и У (хг)=уг); тогда при стрем-
стремлении а^ и х2 к хв найденная парабола будет
стремиться к П (так что П — это предел
проведенной параболы П2 при хи х2 -*х0).

116
Гл. 4. Вычисление производных
аа рис. 3 точкой N, а в первом случае—более
близкой к Мх точкой iV"x.
Второму дифференциалу №у функции у
можно, так же как и первому дифференциалу
Ау, придать и механическое значение. Снова
условимся считать, что ось абсцисс на рис. 3 —
это ось времени V, по оси ординат (ось z) от-
отложен путь тела. Пусть теперь тело начиная
с некоторого момента времени (изображаемого
точкой М графика Г) движется равно-
равноускоренно — это предположение рав-
равносильно гипотезе о том, что начиная с рас-
рассматриваемого момента действующие на точку
силы перестали изменяться, ибо
Рис. 4.1.4
именно под действием постоянной силы
материальная точка движется равноускоренно
{см. гл. 9). В таком случае графиком движения
точки станет парабола П, и (гипотетический)
путь, пройденный за время Дх (или At), бу-
будет равен dy+1/icPy (или dz+1/2 &z), на рис. 3
-он изобразится отрезком
Заметим, наконец, что понятие дифференци-
дифференциала может быть перенесено также и на функ-
функции двух (или большего числа) переменных.
Пусть z=F {х, у) — произвольная функция
двух переменных х и у; читатель, знакомый
с методом координат в пространстве, знает,
что ее «графиком» является поверхность в про-
пространстве, отнесенном к трем координатам х,
у и z (рис. 4).
Рассмотрим некоторые (фиксированные)
значения х0 и у0 переменных, которым отве-
отвечает точка М графика с координатами х0, у0
и zo=F (х0, у0). Если теперь координаты х и
у близки к х0 и у0, т. е. разности х—хо= Ах
и у—уо= Ау малы, то значение
z = F(x, y) = F(xo + Ах, уо + Ау)
можно найти следующим образом.
Будем искать величину zx=F (х, г/0)=
—F (жо+Ая, Уо)- Поскольку здесь по сравнению
•с (предполагаемой известной) величиной
zo=F(xo,yo) изменился лишь один аргумента:,
то в силу сказанного выше
где
= lim
о. Уо)+Р'х(хо, Уо) Дх,
dF(x, у)
у>— дх ^
F(x + Ax, y)-F(x, у)
Ах
D.1.10)
— так называемая частная производная фун-
функции F по х, получаемая в предположении,
что меняется лишь аргумент х функции, а ар-
аргумент у закреплен (см. § 12). Далее анало-
аналогично получаем, закрепляя на этот раз значе-
значение первого аргумента х функции, а меняя
один только второй аргумент у:
z = F(xo + Ax, уо + Ьу)^
% F (х0 + Д^о. У о) + р'„ (х0 + Дх, у 0) Ау.
D.1.11)
Объединяя приближенные равенства A0) и
A1), получаем
z = F(x, y) —
^хо + Дх, у о) Ау.
Учитывая близость частной производной
Р'у (*о+ дя> Уо) к F's (•*<» Уо) и заменяя Да: и Ау
на имеющие тот же смысл величины dx и dy
(ведь х и у — это независимые переменные,
а не функции!), последнее равенство можно
переписать еще и так:
z = F (х0 + dx, у0 + dy) %
(=F (x0, у0) ¦
, Уо)
dx
'v{x0, Уо) dy
'(«о. Уо)
ау
dy).
D.1.12)
Фигурирующее в правой части A2) слагае-
]dF dF
мое dz = -j^ dx -\- -j— dy и называется диф-
дифференциалом функции z = F (x, у) двух пере-
переменных. В приближенном равенстве
z D.1.12а)
(здесь zo=F (x0, Уо)) ошибка представляет со-
собой величину второго порядка малости по
сравнению с dx и dy (или Да: и Ау), которые мы
здесь полагаем малыми одного порядка. Гео-
Геометрически равенство A2) (или A2а)) означает,
что вместо точки Мх графика функции F (по-
(поверхности Г) мы берем соответствующую М^
точку Nx касательной плоскости л к поверх-
поверхности Г в точке М (см. рис. 4).
Упражнения
dy dy dx
4.1.1. Докажите, что ^F = "&FIF . если:
а) у = х2, a x = v7; б) y = *Jx, a x = t2.

§ 2. Производная суммы в провзведения функций
117
4.1.2. Пусть у—х%,
а (= и2. Докажите, что
, dy dy dy
dydx dt^d
где
= Vt-{-l,
% 2. Производная суммы и произведе-
произведения функций
В качестве следующего примера исполь-
использования языка дифференциалов рас-
рассмотрим с у м м у двух функций / (х)
и g (х), взятых с (произвольными) по-
постоянными коэффициентами А и В:
Используя дифференциалы, запишем
dy да у {х + dx) — у (х) — [Af (x -}- dx) -f
+ Bg [x -f dx)] - [Af (x) + Bg (x)} =
— g (г)]« ^d/ 4- Bdg = Afdx -f Bg'dx,
откуда
л,,
D.2.1)
Читатель легко получит эту формулу,
пользуясь не дифференциалами, а при-
приращениями и пределами.
В частности, для суммы и разности
двух функций (случаи А = В = 1 и А =
= 1, В — —1) имеем:
D.2.2)
Найдем теперь производную произ-
произведения двух функций g (х) и h (x).
Положим
f{x) = g{x)h(x).
Тогда
df (ж) я=! / (х + dec) — / (ж) =
= g (ж-{-<&)/г (ж + da:) — g(x)h(x).
Но
Л (ж -f- Лв) «^ Л (ж) -}- dA.
Поэтому
<*/ «[? (ж) + *] L^ (ж) + ^J -
= g (x) dh -f- /г (ж) dg -f" dgdh.
Заметим, что dg = g' (ж) dж, d/
•откуда
= ?'(*)/*'(я) (d;rJ.
(x) h (ж) =
= /г'(ж)dж,
Величина dAdg пропорциональна (dxJ,
поэтому, по правилам работы с диффе-
дифференциалами, произведением dhdg в вы-
выражении для df мы пренебрегаем. Окон-
Окончательно получаем
df = g(x)dh-\-h(x)dg. D.2.3)
Разделив все члены C) на йх,гполучим
df _d(gh)_ dh , , dg
dx~ dx ~ё dx "T" da: *
D.2.4)
Это выражение можно запомнить
так: производная произведения gh
равна сумме производной, взятой в пред-
предположении, что от х зависит только k,
/ dh\
a g постоянно (член gj-)> и производ-
производной, взятой в предположении, что от ж за-
зависит только g, ah постоянно (член h-^-\.
При этом, естественно, само (постоян-
ч dh -
ное) значение g в члене g j- берется
при том значении ж, при котором ищется
значение производной; то же относится
и к /г во втором слагаемом. Ниже мы
увидим, что сходная процедура приме-
применима и в некоторых других случаях1,
например в случае функции: г/ = /(ж)?1х).
Как мы действовали бы старым спо-
способом? Элементарная алгебра дает точ-
точное равенство
Разделим обе части на
Ax
Ag
(Заметим, что последнее слагаемое пра-
правой части E) мы для удобства допол-
дополнительно умножили и разделили на
Да\)
До сих пор все равенства являются
точными, справедливыми при любых
значениях Дх. Перейдем теперь к пре-
пределу при Дх -»¦ 0. При этом будем иметь
lim ~=h',
л ^^n "«B
' Ag
'доА*
и в силу E)
f' = gh' + g'h.
D.2.6)
1 Ясно, что формула для производной
суммы функций (если F=f+g, то F'=f'-\-g')
также совместима с этим правилом: ведь ^сли
считать / постоянным, то производная F' об-
обратится в g', а если постоянно g, то она станет
равна /'.

118
Гл. 4. Вычисление производных
Последний член в формуле E) при
переходе к пределу исчез, так как пер-
первые два множителя в пределе дают
произведение h'g', а Ах мы устремили
к нулю.
С помощью приращений и перехода
к пределу получен тот же результат,
что и с помощью дифференциалов, но
усилий это потребовало больше. Удив-
Удивляться тут нечему: в случае дифферен-
дифференциалов мы отбросили произведение
dhdg механически, на основании об-
общего правила, согласно которому надо
отбрасывать члены с (dxJ, (dxK и т. д.,
а значит, и любые произведения двух,
трех и большего числа дифференциалов.
При расчете с помощью приращений
мы, в сущности, по ходу дела дока-
доказали это правило еще раз для слу-
случая произведения функций.
Последовательные расчеты с помощью
приращений нужны для обоснования
правил и понимания их. Но после
того как понимание достигнуто, поль-
пользование дифференциалами быстрее ве-
ведет к цели, является более деловым —
и было бы смешно каждый раз «танце-
«танцевать от печки», т. е., решая каждую
конкретную задачу, записывать, что
производная есть предел отношения,
выписывать это отношение и т. д.
П рги м е р. Пусть f~(Bx2+5)Bx — 4);
требуется найти /' (х), и в част-
частности /' @).
Здесь
Поэтому
^-=(Зж2 + 5)
= 18ж2 — 24а;-f 10,
и в частности
— 4) • 6ж =
Правило для нахождения производ-
производной произведения легко обобщить и
на случай нескольких множи-
множителей. Например, для произведения
четырех функций / (х), g (х), h (х), к (х)
получаем
D.2.7)
Таким образом, здесь мы имеем преж-
прежнее правило, согласно которому про-
производную комбинации нескольких функ-
функций можно найти как сумму произ-
производных, вычисленных в предположе-
предположении, что каждый раз меняется только»
одна функция, а остальные сохраняют
постоянное значение.
Из полученных нами формул можно сде-
сделать дальнейшие [выводы. Ясно, что! еслв>
/ (*)=г (х)+А (х) и /' (x)^g' (x)+h' (х), то
/' (х) = (f (х)У = (е1 (х) + У (х)У =
= g"(x) + h"(x). D.2.8>
Несколько сложнее выглядит формула для-
второй производной п р о и в в е[д енв[»
функций: если / (x)=g (x) h (х), то /' (х)=
=ё {х) h' (x)+g' (х) h (х) и /" (*)=
= (g (х) h' (x)+g' (х) h (x))'=(g (x)[h" (x)+
+g' (x) h' (x))+(g' {x) h' (x)+g" (z) h (x)),
т. e.
«*(*)*(*)¦
D.2.9>
Тп ражпеппя
4.2.1. Используйте найденные Еыше пра-
правила для вычисления производных следую-
следующих функций: а) у—хА (=г2 -я2)^ б) у=ахь-\-
-\-bxi-\-cx*-irdxi-\-ex-\-f; в) у—^х, использо-
использовав тождество ^x^Jx—x. [Указание.
Воспользуйтесь равенством у'у-\~уу'=х' = 1.}
4.2.2. Выразите третью производную
/'" (•*)=(/" (х)У функции / (x)<=g (х) h (х)
через функции / и g и их производные.
4.2.3. Пусть / (x)=g (x) h (х) к {х); чему
равна функция /" (х)?
§ 3. Сложная функция. Производная
частного двух функций
Пусть z задано как функция у, напри-
например 2 = —, а у в свою очередь есть
у
функция х, например у—х*-\-Ь. Оче-
Очевидно, что каждому значению х соот-
соответствует определенное у, а так как
каждому у соответствует определен-
определенное z, то в конце концов каждому х
соответствует определенное z, т. е. z
есть функция х. Всегда можно, под-
подставляя выражение у через х, выписать
непосредственно формулы для z {:r};
так, в нашем случае z= 8 . . .
Но техника дифференцирования (т. е.
нахождения производных) облегча-
облегчается, если свести все функции к соче-

i 3. Сложная функция. Производная частного двух функции
119
таниям самых простых из них: ведь
в нашем случае каждая из зависимо-
зависимостей г=-и 1/ =
в отдельности
проще, чем z = 2 ,-. Сводя сложные
X ~\~ О
функции к комбинациям более простых,
мы сумеем обойтись правилами нахож-
нахождения производных этих простых функ-
функций.
Найдем дифференциал сложной функ-
функции ъ [у (х)]. Рассматривая z как функ-
функцию у, напишем
dz=L~?-dy D.3.1)
(ср. со сказанным в § 1 о записи диф-
дифференциала сложной функции). Но у
есть функция х; поэтому
D.3.2)
Подставляя B) в A), получим
dz = -4- -г- dx.
ay dx
D.3.3)
Поделив обе части на dx, получим
правило дифференцирования (опреде-
(определения производной) сложной функции *:
dz dz dy
¦j- = -j- -Т~- D.3.3a)
dx dy dx \ • i
Вид этой формулы вполне соответ-
соответствует тому, что было сказано о воз-
возможности обращения с дифференциалами
как с обычными алгебраическими вели-
dz dy
в произведении -^— -г— можно
чинами:
dy dx
сократить dy.
Напомним, что z задано 'как функ-
dz v
ция у; поэтому -у— также является функ-
функцией у. Но так как само у есть функ-
функция х, то, подставляя у = у(х) в выра-
dz dz
жение -у—, мы выразим -у—, а следо-
dz .
вательно, и -у— как функцию х.
Проделаем расчет для одного частного
случая, который нам понадобится в даль-
дальнейшем. Пусть
1 D.3.4)
У (*)
dz
1 Запись ъ' вместо -у— в этом случае упо-
употреблять нельзя, поскольку неясно, что
dz dz
имеется в виду: -у^ или -у-. (Можно здесь
писать ъ'х или Zy.)
Мы знаем, что если 'г = —, то -т- = з.
у ' dy у*'
Значит,
и
dz i dy
-Т~= Г -j— . D.3.5)
dx yi dx \ • • /
Так, например, если у^=х2-j-5, a z =
1 1
dz

ж3 -f- 5
1 d (x2 + 5)
2x
Вот еще один простой пример: пусть
у — ж3'г = \Jxs. Эту формулу можно пере-
переписать так: у = \Ju, где и = ж3. Согласно
(За) имеем
dy __dy'du_ 1 2_ За» 3 ,--
dx ddjda; 2/п' 2Vx* ~~ 2 V
Ранее этот же результат был получен
более сложным путем (см. упр. 2.4.3).
Правило (За) вычисления производной
сложной функции сохраняется и при
«многоступенчатой» зависимости. Так,
если z = z(y), y = y{x), x = x(t), a ? =
= t(w), то
dz __ dz dy dx dt
dw dy dx dt dw '
D.3.6)
С помощью E) легко найти произ-
производную частного (отношения) /=—
двух функций h и g. Для этого запи-
запишем / в виде произведения: f = h —.
Отсюда имеем
7- D-3-7)
—) = ~g'. Подставляя
5 / S
это выражение в G), получим требуе-
требуемый результат:
ИЛИ'
D.3.8)
Ясно, что и формула (8) отвечает сформу-
сформулированному в § 4.2 общему принципу
/AV V /IV
() + *()

120
Гл. 4. Вычисление производных
Упражнения
4.3.1. Найдите производную от z = {ax-{-
+ бJ как производную сложной функции
z = j/2, где у = ах + Ъ. Раскройте в выраже-
выражении {ах + ЬJ скобки и найдите ту же про-
производную непосредственно.
4.3.2. Найдите производные функций:
1 1
a) z= ._,,.; б) 2= /._, м2 ; в) 2 =
1
г) у =
х* + 5ж2
-1+1/*'
4.3.3. Пусть у =
и) у = -
х — 1
•2-
8(*)
выразите вторую
производную -г~2 функции у через функции
/ и g и их (первые и вторые) производные.
§ 4. Обратная функция. Параметри-
Параметрическое задание функции
Задание у как функции х означает, что
каждому х соответствует определенное
значение у. Часто при этом и обратно
каждому значению у соответствует свое
II —1— 9
х: так, если г/ = 8ж3— 9, то ж3= "Г
В этих слу-
случаях задание функции у = у(х) дает
также функциональную зависимость х (у).
Эту функциональную зависимость1, как
уже говорилось выше (см. § 1.6), назы-
называют обратной функцией для
функции у (ж); в свою очередь зависи-
зависимость у (ж) будет обратной для функ-
функции ж (у).
Во многих случаях обратная функ-
функция имеет более простой вид, чем ис-
исходная: так, функция y = tyx — 1 со-
содержит кубический корень, а обратная
ей функция х=г/3+1 является много-
многочленом и проще функции у (х). В по-
подобной ситуации легче найти производ-
производную обратной функции -j-, чем произ-
водную -т^-* исходной, «прямой», функ-
их
ции. Нельзя ли в этом случае произ-
производную прямой функции как-то выразить
через производную обратной функции?
Для функции у (х) имеем
~^dx:=y' (х)dx-
D.4.1)
1 В общем случае зависимость х=х (у),
обратная данной функции у=у (х), будет
многозначной (см. § 1.6, ср. § 11).
Соотношение A) позволяет найти и»
производную х' (у) обратной функции
х (у):
d 1
i I \ x
(Конечно, B) снова демонстрирует, что
с дифференциалами можно оперировать
dx л Idu \ -ж-^
как с числами: j-=1/j^.) В правой
части B) стоит выражение, записанное
в виде функции от х. Но если известна
зависимость х = х (у), то это выражение
можно представить и как функцию от у,
а именно как —г-,—г-тт.
У (*(</))
Поясним сказанное примерами. Пер-
Первый из известных нам примеров про-
производных (линейная функция) слишком-
прост.
Начнем со второго примера:
D.4.3>.
dx __ 1 _ 1
dy у' (х) 2х '
Подставляем в выражение C) обрат-
обратную функцию х=\/у; получим
~dy
dy
2x
D.4.4).
Раньше, в гл. 2, этот результат (про-
(производная функции y=\Jx) был полу-
получен более сложным путем (см.
2.4.2).
Вот еще один пример:
dx
dx
dy
dx
dy
1
y'b
d(y
1
1
x) Зж2 '
'y-i) 1
dy 3x2
1 .
\-'/a
(cp. § 5).
Параметрическое зада-
задание функции (см. § 1.8) можно-
рассматривать как частный случай
сложной функции. В самом деле, если
дано
x=f(t), y = g(t), D.4.5>
то первое из равенств E) можно рас-
рассматривать как уравнение, решив ко-

: 4. Обратная функция. Параметрическое задание функции
121
торое относительно неизвестного t, мы
найдем зависимость t=t (х); подстав-
подставляя это выражение t (х) во второе урав-
уравнение, получим y=g (t)=g (t (x)). Сле-
Следовательно,
dy dy dt
Их ~dT~dx'
Но для применения этой формулы
необязательно выражать t как функ-
функцию х (если бы мы это сделали, то
избавились бы от параметра, что не
всегда возможно). Достаточно знать
функцию x=f (t). Эта функция явля-
является обратной по отношению к функ-
функции t (х).
Значит,
dt
dx~
1
dx '
~dt
Таким образом,
dy _
dy
dt
D.4.6)
dt
Эта формула дает еще один пример
того, что с дифференциалами можно
обращаться как с обычными алгеб-
алгебраическими величинами: величина dt
в правой части равенства F) сокра-
сокращается.
Приведем п р и м е р. Пусть
я — t2 — t, y = t2-\-t. D.4.7)
Тогда
_Лс_2г \ аУ =2t I 1
dt ' dt ¦" '
dy 2t -f- 1
Ж ~ 2t — 1 '
При построении графика параметри-
параметрически заданной функции ж=а; (?), г/=
= г/ (г) мы составляем таблицу, где
указываем отвечающие выбранным зна-
значениям t величины х и у, задающие
точку М=М (х, у) графика. Но удоб-
удобно попутно вычислять при выбранном t
dx dy
также и производные -у- и -~ ; тогда их
dt (х t
dy Idx -.
отношение -п-/-тг будет указывать на-
ut I dt
клон касательной к графику в той же
точке М (х, у).
Из B) и C.5) также следует формула для
второй производной функции х = х(у), обрат-
обратной известной функции у = у(х):
dx
(У' И
Таким образом, окончательно
D.4.8)
Так, например если у = х2, х = ^/у, то
у' = 2х, у" = 2, и, следовательно,
x"{y) = -
Bx)
Ax3'
?к
Аналогично из F) нетрудно вывести фор-
формулу для второй производной функции у =
= у (ж), заданной параметрическими урав-
уравнениями x — x(t), у = у (t):
d*y d (dy
dy y'(t)
dx ~~ x' (t) '
следовательно,
_*_(у!Ж\ У" [t) x'{t) - у'(t) x" (t)
d2y dt \x' (t) } (x' (t))*
Ix2 ~ x' (t) = x' (t) »
т. e.
d2y y" (t) x' (Q - y' (t) x" (t)
lx~2== (x' (t))» * D-4-9)
Так, в случае той же функции G) имеем
— 1K •
dx2~ Bi — 1K — "
Упражнения
АЛЛ. Найдите первую производную функ-
функций: а) у = tf2x -J- 1," б) у = У Х~ л ;
в) у = Т7=.
Ух
4.4.2. x = acost, y = bsint; чему равна
производная -^— ?
4.4.3. Найдите вторую производную -т-%
функций: а) у = у —ц—г ; б) у =~zj=-\
в) х = a cos t, у = 6 sin t.

122
Гл. 4. Вычисление производных
§ 5. Степенная функция
Рассмотрим степенную функцию
У — хп, D.5.1)
где п — некоторое число. При п целом
положительном ж" есть произведение п
одинаковых множителей:
у~х -х
X,
я раз
и, значит (по формуле типа B.7)),
dx
откуда
dx
я слагаемых
D.5.2)
Покажем, что эта формула справедлива
и при любом п (дробном, отрицатель-
отрицательномI.
При дробном п положим п = —, где
числа mvip — целые:
у = хт1Р, D.5.3а)
или
ур — Хт. D.5.36)
Выражение ур в левой части равенства
C6) является сложной функцией от х,
так как у зависит от х. Поэтому, вычис-
вычисляя производную от обеих частей равен-
равенства C6) и учитывая C.3а), получим
РУ ~г~ —тх ¦
м dx
Отсюда
dy т х то хт~1 то ^ -1
Учитывая, что — = п, имеем окон-
окончательно
Если показатель степени отрицате-
отрицателен, т. е. п = —к, где к — положи-
положительное число, то
1
' = Хп = Х~к = -
1 Легче всего видеть, что она справедлива
при и=0, когда y=const и у'=0.
Используем снова C.3а) (или, точнее,,
C.5); здесь у=—) f=x \, найдем
dx
/2 dx
Вспоминая, что к= —п, получим и для
отрицательного п
dx
dx
¦ пх
Таким образом, формула производ-
производной от степени применима при любом
рациональном показателе п. Она рас-
распространяется и на случай ирра-
иррационального показателя сте-
степени 2.
Формула B) имеет важнейшее зна-
значение. Из нее, в частности, следует,
что при малых по абсолютной величи-
величине г
A -)- г)" tt I -f nr. D.5.4>
В самом деле, если х=1, Ах=г, у=х",
ТТ\ Л 7/ I ¦у ¦ I ¦ Л т\ — т* i 'I . ! г*Л _— 1
С другой стороны, dy=y' (x)^x —
=n-ln~1-r=nr. Теперь D) вытекает из
того, что (при малых Д;г=г) прираще-
приращение Дг/ близко к дифференциалу dy.
Формулу B) полезно записать еще
и в другом виде:
если у = схп, то-^=п-|.
D.5.5).
Этот результат надо глубоко прочувство-
прочувствовать. При положительных п степенная функ-
функция обладает тем очевидным свойством, что
при х=0 также и у—О. Кривую у=схп при дан-
данном га > 0 можно провести через любую точку
о. г/о) — достаточно выбрать с =
г/о
Пусть
кривая проходит через начало координат в
через точку (х0, ув). Найдем среднее значение
производной на участке кривой от начала ко-
координат до точки (х„, у0).
Согласно определению среднего (см. § 7.7)
]\'(x)dx 5
77-1 _* ,,,
У = Хо _ о =
у' {x)dx,
2 Функция у=хп, где п — иррацио-
иррационально, определяется условием i"=lim x'',
где \г — рационально и lim r=n; поэтому
если формула B) справедлива для всех ра-
рациональных показателей степени п, то он*
неизбежно будет выполняться и для ирра-
иррациональных показателей степени.

§ 6. Производные алгебраических функций
123
¦откуда в силу C.4.9)
,) - у @) у Ы
у' —
х0
Уо
х0
В Ъамом деле, при изменении .г от 0 до х0 ве-
величина у растет от 0 до у0. Значит, средняя
•скорость роста у (т. е. среднее значение про-
производной) равна
Уо
х0
что очевидно и без
интегралов!
Как видно из E), значение производной
в точке (х0, у0) равно гс-кратному среднему зна-
значению производной (где п — показатель сте-
степени). На рис. 1 показано несколько кривых,
Рис. 4.5.1
отвечающих различным значениям п(п=
= 1/2, 1, 2, 5) и проходящих через одну и ту же
точку N (х0, у0), а значит, имеющих одинако-
одинаковую среднюю производную на отрезке [0, х0].
Наглядно видно, что чем больше га, тем больше
производная в точке N (тем круче растет кри-
.вая).
Вернемся еще раз к формуле E).
и
.поэтому для малых приращений
Из нее вытекает, что dy = n —
Да;.
D.5.6)
Для &х=0,01х, т. е. для изменения
аргумента на 1 %, соотношение F)
можно считать достаточно точным. Из
iF) следует
¦0,01»,
Ау
или
Таким образом, при изменении аргу-
аргумента на 1% значение степенной функ-
функции A) меняется на п%.
Упражнения
4.5.1. Найдите производные функций: а) у=
= ж5 — Зж* + ж3 + 7х2 — 2х + 5; б) у = (х3 +
-fx-ИJ; в) у=.(да-х+1)*; г) у =
= (Зх2-1I(); д) у = \1х* — \; е) у = У&.
4.5.2. Получите результат B) (для целого
положительного п) с помощью формулы би-
бинома Ньютона. [Указание. Используйте
биномиальную формулу (см. § 6.4) для вы-
вычисления Ах = (х + Ах)п — хп.]
4.5.3. Найдите значения j/(9) и у(И), если
у A0) = 5 и: а) у ~ у'ж, б) у ~ —¦, в) г/~а;2,
где знак —• означает пропорционально. За-
Задачу решите в уме, без выкладок. Сравните
ответ с точным.
§ 6. Производные алгебраических
функций
Совокупность правил § 1—5 позволяет
найти производную любой алгебраи-
алгебраической функции, образованной из неза-
независимой переменной х с помощью опе-
операций сложения и вычитания, умно-
умножения и деления, а также операции
возведения в (произвольную) степень,
в том числе и операции возведения
в дробную степень, т. е. извлечения
корня.
Покажем на примере, как это удобнее
всего делать практически. Найдем про-
производную функции
1 \Х) -L \Х 1.
Ответ следует писать сразу, т. е. не
вводя каких-либо новых промежуточ-
промежуточных обозначений (вроде у'а:2 — 1 = «).
Производную берут как бы отдельно
«по каждому месту», где стоит х, приго-
приговаривая для памяти примерно следую-
следующее (буквы а, б, в. . . показывают,
к каким частям написанного ниже
выражения производной относятся сло-
слова): производная (а) по х, стоящему
перед корнем, плюс (б) производная
по ^хг — 1, умноженная на (в) про-
производную от
умноженная на
х3 — 1 по х, т.
по
-1,
производную от
(а)
df_
dx
?=1.«6ПГГ+Я:.4-
ж2 —1
D.6.1)

124
Гл. 4. Вычисление производных
Имеет смысл сразу приучаться к та-
такому деловому способу, без лишнего
чистописания, пользуясь следующими
принципами:
а) правило дифференцирования
сложной функции (§ 3, формулы C.3а),
C.6));
б) если выражение составлено из не-
нескольких функций, то его производная
равна сумме производных, вычисленных
в предположении, что каждый раз
лишь одна из функций предполагается
переменной, а остальные постоянны
(§ 2, формулы B.4), B.7); см. также
B.1), B.2) и C.8)).
Формулу для производной степени
удобно применять в виде
n dy У
(/ ^-^ Клк/ . 7 —^— III ^^ .
ах х
как это сделано выше (см. выраже-
выражение (в)).
Для того чтобы приобрести навык,
нужно проделать 10—20 упражнений
только на технику дифференцирова-
дифференцирования, безотносительно к тем физическим,
геометрическим и другим задачам, в ко-
которых возникает потребность в нахожде-
нахождении производных.
Упражнения
Найдите производные функций:
4.6.1. у = х3 (хг — IJ. 4.6.2. у = х3 \/х2-\-х.
4.6.3. !/ = :
^l(x3 — 2x)'lK 4.6.4. у =
4.6.6. у = [ухл-у=^ х. 4.6.7. у =
. + г2) Vl + **
4.6.17. у = <х3 —
(х —
* 4-6-16- 2/ ==а;^(
.-i. 4.6.18.
= xVx* — l $jx + Vx. 4.6.24. у = (х + ¦$=)' х2.
4.6.25. г/=
ж —2ж
§ 7. Показательная функция
Рассмотрим функцию
где а ]> 1. Графики функции z/ при
а=2 и а==3 изображены на рис. 1, а.
При а:=0 независимо от значения а
имеем у=1.
Функция ^ при всех х положитель-
положительна и растет с увеличением х, так что
Рис. 4.7.1
X
Vz2 -f x -f 1
.6.22. у = |/ я i 1 • 4.6.23. г/ =
и производная ее также везде положи-
положительна. При увеличении х на постоян-
постоянную величину с получим
у (х -f- с) = ах+с = асах = bax = by (x),
где Ь=ас;
таким образом, у при этом умножается
на постоянную величину. Поэтому если
х менять последовательно, одинаковы-
одинаковыми шагами {в арифметической прогрес-
прогрессии):
% х=х0, хо+с, хо+2с, . . ., хо+пс,. . .,
то у будет принимать значения
U \У1Л b^U • • • unJJn
Такой закон нарастания, как известно,
называется геометрической прогрессией.

§ 7. Показательная функция
125
Найдем производную показатель-
показательной функции * для а=10. Мы можем
написать
d A0*) _
dx
dx
:10я-
где запись dx (вместо Ах) символизи-
символизирует стремление приращения к нулю.2
Что представляет собой величина
- ? Это есть предел отношения
при Дж ~> 0. Найдем этот пре-
предел численно, «арифметически». Поль-
Пользуясь четырехзначной таблицей лога-
логарифмов (или, что еще лучше, микроком-
микрокомпьютером), получаем
Ю0'1^ 1,2589, ^Г1 ^2,589;
10»-01« 1,0233,
10°-»01«* 1,0023,
0,1
ЮО.01 _1
ОДЙ
:2,33;
«2,3.
,0,001
Таким образом, можно заключить,
что
lim
Да;
:2,3
(где, разумеется, стоящая справа по-
постоянная определена нами лишь при-
приближенно, хоть и достаточно надежно).
Следовательно,
: 10*. 2,3.
D.7.1)
Производную 10* мы нашли, так ска-
сказать, «опытным путем», при помощи
«арифметического эксперимента», при-
приближенных вычислений. Для любой
другой показательной функции задачу
теперь легко свести к предыдущей.
Пользуясь понятием логарифма, за-
запишем:
'"• D.7.2)
1 а=10 взято для облегчения вычислений
с помощью таблицы десятичных логарифмов.
Читатель, пользующийся компьютером с кноп-
кнопкой ух, может вместо этого выписать, напри-
например, 2°.\ 2°>01, . . . или 3°-\ З0-01, . . . и соот-
соответствующие этим числам отношения
B0.1—1)/ 0,1 и т. д.
2 Именно это обстоятельство позволяет нам
d A0*) 10*+** — 10я
смело писать —jz— = tz (т ° ч"
dx -
н о е равенство!) вместо
(приближенное равенство).
А* - 10*
dx
Ах
По правилу нахождения производной
сложной функции получим
i? «* 10*lg> • 2,3 lg a = а* • 2,3 lg a.
D.7.3)
Замечательная особенность показа-
показательной функции заключается в том,
что ее производная прямо пропорцио-
пропорциональна самой функции:
da* 7 х
—г- = ках,
dx '
D.7.4)
где коэффициент пропорциональности к
зависит от основания степени а. В этом
главное свойство геометрической про-
прогрессии: чем больше достигнутое зна-
значение величины, тем быстрее ее рост 3.
Если для показательной функции
у=ах имеем 0<Са<^1, то график
функции имеет вид, изображенный на
рис. 1, б. Здесь при увеличении х ъ-
арифметической прогрессии у умень-
уменьшается в геометрической прогрес-
прогрессии. Формула C) в этом случае по-
прежнему применима; однако теперь
величина lg a отрицательна (ибо а<С1)
и, следовательно, производная, будучи
пропорциональна функции, имеет про-
противоположный ей знак. Во второй части
книги мы рассмотрим ряд задач, в ко-
которых та или иная величина умень-
уменьшается с течением времени, притом
так, что скорость ее убывания пропор-
пропорциональна самой оставшейся на данный
момент величине:
— — —су, где с>0.
D.7.5>
Как видно из предыдущего, в этом слу-
случае решением задачи явится показа-
показательная функция
yz=yQax (где а<1). D.7.6>
Упражнения
Найдите производные функций:
4.7.1. у = 2*. 4.7.2. у = Ь*+К 4.7.3. у =
= (jf • 4-7-4- у =
4.7.6. у = 2
4-7-5- у = 2*2-
3 Свойство геометрической прогрессии —
необычайно быстрое ее возрастание — люби-
любимая тема многих популярных книг по матема-
математике, например «Занимательной алгебры» и
«Живой математики» Я. И. Перельмана.

426
Гл. 4. Вычисление производных
•§ 8. Число е
Найдем такое значение основания а,
для которого формула производной
показательной функции у=ах имела бы
наиболее простой вид. А именно по-
потребуем, чтобы в выражении G.4) коэф-
коэффициент пропорциональности к рав-
равнялся единице (в этом случае его мож-
можно вовсе не писать). Обозначим искомое
основание степени буквой е. Таким
образом, по определению числа е, имеем
dex
dx
¦ех.
D.8.1)
Число е легко найти с помощью фор-
формулы G.3):
откуда по таблице логарифмов
Однако такой практический подход не
соответствует историческому ходу раз-
развития науки и принципиально не удов-
удовлетворителен. Мы пользовались числа-
числами, заимствованными из таблицы ло-
логарифмов, не задумываясь над тем, как
эти числа были получены 1.
Найдем число е, основываясь только
на формуле A). В силу общих свойств
показательной функции е°=1. Рассмот-
Рассмотрим функцию у=ех. Мы имеем у @)=1
та согласно A) у' @)—1.
Возьмем малое Да;=г и подсчитаем
приращение функции у=е* при пере-
переходе от х=0 к х=г. Как мы знаем, при
этом можно писать Дг/д^г/' Дя. По-
Поэтому
1 Точность с которой можно таким образом
определить число е, также весьма невелика;
вряд ли, определяя производную 10* при
помощи четырехзначной таблицы логарифмов,
Вы сможете верно найти сотые доли в деся-
десятичном представлении числа е. В ДеЙСТВИТеЛЬ-
iO^ _ 1
ности ¦; % 2,302585, но, конечно, это
ах
значение с помощью таблицы логарифмов
получить не удается. Еще менее соответствует
возможностям школьных таблиц логарифмов
легко запоминаемое, но практически доста-
достаточно бесцельное приближенное значение
числа е с 15 десятичными знаками; е %
^ 2,718281828459045. (Заметим, что число е
не выражается периодической деся-
десятичной дробью.)
По поводу формул (и методов), позволяю-
позволяющих вычислить е с очень большой степенью
точности, см. § 6.1, 6.2.
откуда
ег да 1 -J- г. D.8.2)
Это равенство надо понимать в том
же смысле, в каком понималось выше
равенство
у(х-{-Ах)ту (х) -f- У' (х) Да:,
т. е. в равенстве B) опущены члены
второго и высших порядков, т. е. чле-
члены, пропорциональные г2, г3 и т. д.,
и сохранен лишь член первого порядка
малости, пропорциональный г. При
этом важно, что коэффициент при г
точно равен единице — это следует из
свойства числа е, записанного форму-
формулой A) и являющегося определением е.
Представим себе число г в виде дроби
с большим знаменателем: г=—; если2
г <^ 1, то п ^> 1. Тогда из B) следует
1 _)__, откуда ета(l -f —)".
ev»
Так как формула B), пренебрегаю-
пренебрегающая членами с г2 и др., тем точнее, чем
меньше г, то последнее выражение тем
точнее, чем больше п. Таким образом,
мы получаем второе строгое определе-
определение числа е:
D.8.3)
(читается: е есть предел выражения
М -j Y при п, стремящемся к беско-
бесконечности3).
""Аналогично при фиксированном к и
достаточно малом г (таком, что кг <^ 1)
имеем
2 Запись г <^ 1 означает, что число г згеа-
чительно меньше 1; аналогично запись га ^> 1
означает, что п — большое число (п значи-
значительно больше 1).
~, 3 Разумеется, с точки зрения ригориста-
1
математика, уже переход «из е1'" «
-еле-
дует e^(l -)- —) » не строг, так как обе части
приближенного равенства (верного лишь при
п ^> 1) не всегда можно возводить в большую
степень п. Таким образом, наше рассуждение
не доказывает определение C), а всего лишь
поясняет его. Тем не менее мы надеемся, что
читателю это рассуждение покажется убеди-
убедительным.

§ 8. Число е
127
откуда, положив г— — , где п очень
велико, получаем
или, точнее,
7* \ 4t
D.8.3а)
Не надо бояться слов «предел»,
«бесконечность». Практически напри-
: 2,705 уже довольно
мало отличается от точного значения е.
Советуем читателю самому найти
С+4-У-
Мы видели, что егяа1-(-г при малом г,
и это приближенное равенство4 тем
точнее, чем меньше г. Проверим ска-
сказанное на конкретных примерах.
Составим следующую таблицу 5:
г
-0,5
-0,4
-0,3
-0,2
—0,1
—0,01
0
1 + г
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,99
1
0,6065
0,6703
0,7408
0,8187
0,9048
0,9900
1
Г
0,01
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
1 + г
1,01
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,0101
1,1052
1,2214
1,3499
1,4918
1,6487
Видно, что даже при г= + 0,3 ошибка
в B) не превышает 6%. Физику (или
инженеру) полезно помнить не только
то, что е?»2,72, но и приближенные зна-
значения: е2:=а7,4, е3«20, е4^55, е5!%150.
Краткие таблицы значений функций ех
и е~х даны в Приложении IV к книге.
При помощи числа е упрощается ре-
решение задач на геометрические прогрес-
прогрессии и сложные проценты. Пусть, ска-
скажем, требуется указать, во сколько
раз вырастет производство за 50 лет
при ежегодном росте на 2%.. Нам
нужно вычислить 1,02 50. Применение
числа е заключается в том, что, поль-
пользуясь соотношением B), мы прибли-
приближенно заменяем 1,02 на е0'02, в силу
чего l,0250^e°.°2^"=e^2,72. Общая
формула имеет вид
где
4 Для функции у=ех составлены подробные
таблицы.
6 Значения ех взяты из четырехзначных
таблиц Брадиса.
Для применимости этой формулы до-
достаточно, чтобы было мало г; т и тг
могут и не быть малыми. Если тг тоже
мало, то emr^l-\-mr, так что мы полу-
получаем известную ранее формулу
A -f- r)m ж 1 -f- mr D.8.5>
(см. формулу E.4)). Однако при боль-
больших тг формулой E) пользоваться уже
нельзя, тогда как выражение D) оста-
остается справедливым и в этом случае
(если только г <^ 1). Так, для примера,
приведенного выше, точное значение
числа 1,0250 (с тремя знаками после
запятой) равно 2,693, а формула D)
дает 1,О25Оя»е1;«2,72; по формуле же E)
мы получим A+0,2M0^1+50-0,2=2.
Расчет с помощью числа е (формула
D)) дал ошибку около 1%, тогда как
расчет по формуле E) здесь дал ошибку
порядка 25%.
В общем виде оценка точности формулы D)
дана в § 6.1 (см. упр. 6.1.4). Оказывается, что
относительная погрешность этой формулы
имеет величину порядка тг2, так что формула
D) применима при тот-2 <^ 1, а формула E),
как мы знаем, — лишь при тг <Эс 1. Но так
как (увы!) условие тг <<; 1 при малых г явля-
является гораздо более сильным, чем условие
тг2 <^ 1, то существуют значения т. и г, при
которых можно пользоваться приближенным
равенством D), но не равенством E). Напри-
Например, в рассмотренном нами случае г=0,02,
тге=50 имеем: mr=i, а тг*=0,02, т. е. тг2'
мало, а величину тг малой считать нельзя.
Так же, скажем, при г=0,001, тге=10 000 имеем
тгег=10 и условие тг <3с 1 никак не выполня-
выполняется; однако тгг=0,01, так что здесь вполне
можно считать выполненным условие тг2 <<: 1
(ср. упр. 2).
В соответствии с первоначальным оп-
определением числа е (формула A)) про-
производные от показательных функций
имеют особенно простой вид, когда ос-
основанием степени является число е.
Эти производные удобно выражаются
через саму функцию. Приведем ряд
формул:
dx
D.8.4) 1/ = '
dy_
dx
= C-dx- = Ce ~У>
dx
dx

128
Гл. 4. Вычисление производных
dy __ dem t»> __
dm(x) _ dm (x)
da; У dx
^- = f (x) em (*> -f / (x) em wm' (ж) =
=,(¦?#-+»'«¦»).
Для показательной функции y=ex
{с основанием степени ё) часто исполь-
используют запись г/=ехр (х) (от латинского
/иг)
Рис. 4.8.1
слова exponent — показатель; сама
¦функция ех называется экспоненциаль-
экспоненциальной функцией, или зависимостью, а за-
лись ехр х читается как «экспонента
икс»). Запись с помощью символа ехр
особенно удобна в тех случаях, когда
аргументом функции служит сложное
выражение: ясно, что удобнее написать
' ЧеМ
Число е можно также определить
геометрически. Показательные функ-
функции у=ах и Ух^=Ъх связаны простой
зависимостью
bx — akx, где k = logab D.8.6)
(этот факт уже использовался в фор-
формуле G.2)). Из F) следует, что график
функции ух получается из графика
¦функции у сжатием в к раз в направ-
направлении оси х (рис. 1, а, ср. § 1.7).
Ясно, что все графики функций у=а*,
отвечающие различным а, проходят че-
через одну и ту же точку @,1) (ибо при
любом а имеем а°=1); в этой точке
они пересекают ось у под разными
углами. Самой простой можно счесть ту
из показательных функций, график ко-
которой (точнее, касательная к графику
которой) в точке @,1) образует с осью
у угол 45° (рис. 1, б). Из формулы
A) вытекает, что этому условию удовлет-
удовлетворяет как раз функция ех (вспом-
(вспомните геометрический смысл производ-
производной!).
Вывод. Итак, можно дать четыре
различных определения числа е:
1) условием (ех)'=ех;
2) условием егта1-\-г, выполняю-
выполняющимся при г <^ 1;
3) как предел выражения \Л -)—J
при п -> со ;
4) как основание степенной функции
у=ех, график которой пересекает ось
у под углом 45°.
У числа е есть и другие замечатель-
замечательные определения и свойства; о неко-
некоторых из них будет рассказано в гл. 6.
Для закрепления этого очень важ-
важного раздела читатель должен, отложив
книгу, сам показать, как из каждого
определения следуют три другие, рас-
рассматриваемые как свойства числа е.
Заметим, наконец, что в равенстве
у=ех величины хну — это, безусловно,
(безразмерные) числа, а не именован-
именованные величины: ведь запись ех, где х —
это 100 м или 5 ч, не имеет никакого
смысла. Соответственно этому в есте-
естественнонаучных законах экспонен-
экспоненциальная зависимость между размер-
размерными величинами у и х обязательно
имеет вид у<=12ех11*, где 1Х и Z2 — еди-
единицы измерения х и у. При этом пере-
переход к новой единице Zj=cZx измерения
величин х приводит к замене исходной
зависимости у—ех (по существу, рав-
равносильной ей) зависимостью у=еех'
(где х = та же величина х, но
измеренная в новых единицах 1[).
Аналогично этому замена l'2=-jl2 еди-
единиц измерения величин у приводит
к замене формулы у=ех на y'=dex
(где у' уже измеряется в единицах 1'2).
Соответственно этому экспоненциаль-
экспоненциальными обычно называют все зависимости
типа y=aeRx, где а ж к могут быть
какими угодно: ведь в большинстве
случаев переход к другим а ж к озна-
означает лишь изменение системы единиц,
так что физический смысл имеет лишь
сам факт степенной зависимости и знаки
чисел а и А; (в частности, условию
к > 0 отвечает растущая функция у=
—е1, а условию к < 0 — убывающая).

: 9. Логарифмы
129
Упражнения
4.8.1. Найдите производные следующих
функций:
а) у = е~х\ б) у = Ъех — езх; в) у = е*2',
г) у=е^; д) у =
4.8.2. Сумма увеличивается на 0,1% еже-
ежемесячно; во сколько раз вырастет она за
1000 лет? [Указание. Используйте фор-
формулу D).]
§ 9. Логарифмы
Как известно, логарифмом числа h по
основанию а называется та степень /,
в которую надо возвести а, чтобы по-
получить h:
f = \ogah означает, что k = a,f. D.9.1)
Таким образом, логарифмическая
функция y=\og(p: обратна (в смысле
§ 1.6) показательной функции у=ах.
График логарифмической функции
y=log^c (где а ^> 1) изображен на
рис. 1. Отметим, что при х=1 (неза-
(независимо от значения а) имеем г/=0, а
а при х > 1 величина у ^> 0 (при
х <С 1 соответственно у <С 0). Вся кри-
кривая y=logax расположена правее оси
ординат: так как результат возведения
положительного числа а в любую сте-
степень будет положительным, то отри-
отрицательные числа логарифмов не имеют *.
Из рис. 1 видно, что производная
функции y = \ogjo (при а > 1) при
всех значениях х положительна, ибо
функция у при всех х растет. Заметим
также, что скорость роста функции
г/=1о^да; с увеличением х уменьшается,
т. е. производная функции при этом
убывает (ниже мы строго докажем это).
Выведем формулу, связывающую ло-
логарифмы одного и того же числа по
разным основаниям. Пусть
/ — loga h, af = h. D.9.2)
Прологарифмируем обе части второго
из равенств B) по основанию Ь:
flogba = logbh, откуда / = 5^.
Принимая во внимание B), получаем
log h = -j-^— .
ba logja
D.9.3)
Равенство (З) можно также перепи-
переписать так:
\ogbx = k\ogax, где & = log6a. D.9.3а)
1 Ср., впрочем, § 14.3.
Число k=logba называется модулем пе-
перехода от логарифмов по основанию а
к логарифмам по основанию Ъ. Из (За)
следует, что график функции y=\ogbx
получается из графика функции у=
—\ogax растяжением в к раз вдоль
оси у.
Логарифмы по основанию е называ-
называются натуральными (т. е. природными,
естественными) логарифмами и обозна-
обозначаются In х. «Естественность» именно
этой системы логарифмов связана с тем,
что в ряде отношений они оказываются
Рис. 4.9.1
простейшими: так, например, для функ-
функции г/=1п х проще всего определить
производную (скорость роста). Эти за-
замечательные свойства натуральных ло-
логарифмов, с которыми мы неоднократ-
неоднократно встретимся ниже, привели к тому,
что оба создателя учения о логарифмах —
шотландский дворянин Джон Н е п е р
A550—1617) и швейцарский часовщик
Йобст Б ю р г и A552—1632), — поч-
почти одновременно и независимо их от-
открывшие, рассматривали именно этот
тип логарифмов (или весьма близкие
к ним). Десятичные логарифмы впер-
впервые рассмотрел по предложению Не-
Непера его друг и почитатель лондонский
профессор Генри Бриге A561 —
1630) 2.
Натуральные логарифмы можно оха-
охарактеризовать тем, что график функ-
функции г/=1п х пересекает ось абсцисс
(в точке A,0)) под углом 45° — ведь
этот график получается из графика
(обратной натуральному логарифму)
функции у=ех отражением от биссек-
биссектрисы координатного угла (см. § 1.6), —
а график экспоненты у=ех пересекает
под углом 45° ось ординат (в точке
A,0); см. рис. 8.1, б).
2 В старину десятичные логарифмы зача-
зачастую называли бригсовыми, а натуральные —
неперовыми.

130
Гл. 4. Вычисление производных
Найдем теперь производную нату-
натурального логарифма. Рассмот-
Рассмотрим величину d 1пж=1п (x+dx) — In я.
Из известной формулы In а — In b =
= In у следует
писать G) так:
il). D.9.4)
Но мы уже знаем, что при малых г
(см. формулу (8.2)). Возьмем лога-
логарифмы обеих частей последнего равен-
равенства; поскольку In ег=г, получим очень
важное соотношение
In (I -f- r) m r D.9.5)
(приближенное равенство E) имеет
смысл, аналогичный (8.2); оно верно при
г <^ 1). Из D) и E) следует
(запись dx, а не Дж, позволяет нам
считать последнее равенство точным!),
поэтому
dx
D.9.6)
Когда х меняется в геометрической
прогрессии, In х меняется в арифмети-
арифметической прогрессии:
если х=а, ab, аЪ2, аЬ3, . . ., то In x =
= In a, In a -f- с, In а -}- 2с, \na-\-3c, . ..,
где с = In Ъ.
Поэтому чем больше х, тем медленнее
растет In x и тем меньше производная
функции In х, что и отражает формула F).
Производную натурального лога-
логарифма можно найти также, пользуясь
тем, что логарифм и экспонента —
взаимно-обратные функции. Запишем:
„ , dx d (eV) „
' dy d '
1
1
dy
dy
dy__
dx еУ х'
Теперь, пользуясь (За), можно вычис-
вычислить производную логарифма и по
любому основанию а. Пусть y=log^c;
тогда (см. C) и (За))
In я dy 1 dins 1 1
In a ' dx In a dx In a x '
D.9.7)
Заменив в равенстве C) а на е, a b и h на а,
получим In a = j , что позволяет пере-
,,97
D.9./
Из формул F), G) и Gа) самой про-
простой является формула F), верная имен-
именно для натуральных логарифмов. Для
грубых расчетов в уме полезно за-
запомнить, что 1п2 ;=» 0,69; 1пЗ ?«1,1; lnl 0 ш-
?& 2,3 я=г.. .„, . Краткая таблица нату-
натуральных логарифмов дана в Прило-
Приложении IV к книге.
Если под знаком логарифма стоит
какая-нибудь функция f(x), то произ-
производную находим по правилу дифферен-
дифференцирования сложных функций (см. § 3):
d In / (z) __ 1 df (x)
dx ~f(x) dx *
D.9.8>
Производную (In/ (х))' логарифма функ-
функции / (х) часто называют логарифми-
логарифмической производной f (x); согласно (8)
она равна частному производной /' (х)
и самой исходной функции / (х). При-
Приведем один пример, демонстрирующий
пользу понятия логарифмической про-
производной.
Формула (8) дает возможность на-
находить производные функций вида
/ (x)kiX), т. е. функций, содержащих
переменную и в основании и в показа-
показателе степени. Пусть
y = f(x)h{x\ D.9.9),
Прологарифмируем (9) (логарифмы
можно брать по любому основанию;
возьмем натуральные логарифмы):
In у = h (x) In / (x). D.9.10).
Продифференцируем теперь обе ча-
части равенства A0) (т. е. найдем про-
производные обеих частей); при этом уч-
учтем, что In у есть сложная функция х
(так же как In / (х)):
y
откуда
или, учитывая (9),
y' = f(x)h™h'(x)lnf(x
Заметим, что в формуле A1) справа
стоит сумма двух членов--: первый член

§ 10. Тригонометрические функции
131
f(x)hix)h'(x)lnf(x) есть производная
выражения /*, вычисленная в предпо-
предположении, что переменной является
лишь h, а / — постоянная; второй член
h (х) / (я)*'*' f'{x) — это производная
выражения /*, вычисленная в предполо-
предположении, что / — переменная, a h — по-
постоянная. Здесь подтверждается общий
принцип, высказанный в § 2.
Заметим, наконец, что в равенстве
y=\ogax (как ив равенстве г/=ах) ве-
величины х, у и а обязательно безразмер-
безразмерны. Если х — размерная величина (на-
(например, длина), то число х задается
лишь с точностью до постоянного мно-
множителя, зависящего от выбора единицы
измерения. Соответственно этому ве-
величина loga х (при любом фиксирован-
фиксированном основании логарифмов а) опреде-
определена лишь с точностью до постоянного
слагаемого (до аддитивной постоян-
постоянной, как говорят в подобных случаях
математики); в этом отношении она
подобна неопределенному интегралу 3.
Если же обе величины жиг/ — размер-
размерные, то правильно будет писать у=
= Z2loga-7-, где множители 1г и 12 ха-
рактеризуют единицы измерения для
¦х и у: ведь взять логарифм можно
лишь от безразмерной величины, ска-
скажем от числа 100, получаемого как
отношение (расстояние АВ)/(единица
измерения 1г) (например, метр). Зна-
Значение логарифмической функции так-
также безразмерно; поэтому размерная ве-
величина у обязательно равна Z2logaf — V
т. е. loga-r- единиц 1%. Эти достаточно
простые соображения полезно иметь
в виду, ибо логарифмическая (как и
экспоненциальная) зависимость часто
встречается в естественнонаучных за-
законах.
Укажем еще, что в силу C) и (За)
переход к иному основанию системы
логарифмов Ъ сводится к умножению
всех логарифмов на постоянное число
&( = log4a), т. е. просто к изменению
¦системы единиц, измеряющих величину
3 По поводу глубокой связи между лога-
логарифмической функцией и интегралами (ча-
(частично объясняющей и эту аналогию) см. фор-
формулу E.2.2) (которую иногда даже кладут
е основу определения логарифмов) и обсуж-
обсуждение этой формулы в § 7.6.
y=logax. Именно поэтому в большин-
большинстве случаев выбор основания системы
логарифмов не играет никакой роли,
что и позволяет пользоваться именно
натуральными логарифмами как са-
самыми простыми.
Упражнения
4.9.1. Чему равен IogB 15? [Указание.
Воспользуйтесь формулой C).]
4.9.2. Выведите формулу для производной:
а) произведения двух функций, использовав
соотношение log (uv) = log и -(-logy; б) част-
частного двух функций, использовав соотношение
и
log—= log u —logy.
4.9.3. Найдите производные функций:
а) у = In (я + 3); б) у = In 2х; в) у = In (x2 +
+ 1); г) y = ln(z-f—); д) у=Ыфх*-х-\-
х — 1 \/х
+ 1); е) » = lnjqrj; ж) у = 1п
и) у = х3 In (х + i); к) у =
л) у=.
§ 10. Тригонометрические функции
В этом параграфе мы найдем производ-
производные тригонометрических функций.
Тригонометрические функции опре-
определяются как отношения отрезков —
отношения сторон прямоугольного тре-
треугольника или отношения определен-
определенных отрезков в круге («линия синуса»,
«линия конуса» и т. д.) к радиусу
круга. Поэтому тригонометрические
функции безразмерны; их аргументом
служит также безразмерная величи-
величина — угол. Естественной мерой угла,
употребляемой в высшей математике,
является радиан — центральный угол
в 1 радиан стягивает в круге дугу,
равную своему радиусу, а централь-
центральному углу в t радиан отвечает в круге
радиуса 1 дуга длины t. О значении
тригонометрических функций для опи-
описания физических процессов мы скажем
во второй части книги (см. гл. 10).
Далее мы всегда будем рассматри-
рассматривать круг с радиусом, равным 1. При
этом кратко будем говорить, что в та-
таком круге синус равен длине линии
синуса, угол равен длине дуги и т. д.
Однако читатель должен помнить, что
и тригонометрические функции, и углы
безразмерны и не измеряются едини-

132
Гл. 4. Вычисление производных
цами длины (сантиметрами, дюймами
или метрами). Синус равен длине линии
синуса (в сантиметрах), деленной на
длину радиуса (в сантиметрах); лишь
при г=1 см он численно равен длине
линии синуса. Линии синуса и коси-
косинуса показаны на рис. 1.
Напомним вид графиков синуса и
косинуса в зависимости от угла (рис. 2).
Период синуса, так же как и период
косинуса, равен 2тс та 6,28: ведь изме-
изменение угла на 2 тс означает полный обо-
оборот радиуса окружности.
О А' = cos cp, OB' = cos
А'В' = AC = cos cp — cos (cp -j- dcp) =
= -—d(cos cp).
Так как угол dtp мал, то длина d'-p
дуги .4.5 практически не отличается
от длины хорды АВ; можно также счи-
считать, что угол ABC, образованный
хордой АВ и вертикалью ВСВ', ра-
равен ср *. Из рассмотрения треуголь-
треугольника ABC найдем ВС=АВ cos cp, АС=
АВ sin ср. Таким образом,
d(sin cp)= cos tpdtp, —d (cos cp) = sin cp dcp
и, следовательно,
d (sin 9)
ли = cos Ъ
Рис. 4.10.3
Найдем производные синуса и ко-
косинуса геометрически. На рис. 3 конец
радиуса, отвечающего углу ф, обо-
обозначен А, конец радиуса, отвечаю-
отвечающего близкому углу cp+dcp, обозначен
В. Таким образом, длина дуги А В рав-
равна d<?. Опустим из А перпендикуляр А С
на линию синуса В В' угла cp+dcp.
Как видно из рис. 3,
АА' = sin cp, В В' = sin (cp -f- dtp),
ВС = sin (cp -f- dtp) — sin cp = d (sin cp)
(и здесь, конечно, последнее равен-
равенство является «точным в пределе» при
dtp ->. 0). Далее
d(cos 9)
1 rfM = -Sm cp.
D.10.1)
Такой простой и наглядный способ вычис-
вычисления производной синуса и косинуса вполне
убеждает начинающего читателя. С другой
стороны, опытный и все знающий читатель (на
которого эта книга не рассчитана) отметит
те трудности, которые встречались по ходу
вывода. При малом, но конечном (не беско-
бесконечно малом!) угле Д? длина хорды А В
меньше длины дуги: можно показать, что
(ДуK
АВ=А?--11-+...
Далее, угол СВА на самом деле равен
<р-\-~2~, а не просто у, следовательно,
ВС = А В cos (у + -g-J ==
((ДуK \ / Ду \
Ду — 12~+ ••• )( cos у — -g-smy + ... )•
Поэтому выписанные выше равенства,
строго говоря, не точны. Однако они верны
«с точностью до малых первого порядка» по
отношению к малой величине Ду, т. е. при ус-
условии пренебрежения членами второго и выс-
высшего порядков относительна Ду. Поэтому
если для приращений верны лишь приближен-
приближенные равенства Д (sin y^cos 9 Ду и Д (cos y)^;
%—sin у • Ду, то соответствующие равенства
для дифференциалов уже точны, и, значит,
равенства|A) для производных также явля-
являются точными.
Описанный вывод формул для производных
тригонометрических функций равносилен сле-
1 Касательная t к окружности в точке А
образует с вертикалью А А' угол A 'At, равный
<Р (/.A'At=ZAOA' как углы со взаимно пер-
перпендикулярными сторонами!); угол же ABC
практически не отличается от указанного, ибо
хорда А В по направлению очень близка к t.

§ 10. Тригоноиетрические функции
133
дующим соображениям, опирающимся на ис-
использование механических представлений (и,
в частности, апеллирующим к понятию век-
вектора). Представим себе точку М=М (?), дви-
движение которой по плоскости описывается па-
параметрическими уравнениями:
» = Ф(«). D.10.2)
где t — это время (см. § 1.8). В таком случае
скорости изменения координат х и у точки М
dx
dt
будут задаваться
проивводными х' = -
этом вектор
/Ах Ау\ ( Ах Ау
= UF ' 17) ^где "д7 и "^--
координаты
вектора, рис. 4
J будет
характеризовать
среднюю скорость на отрезке
пути (здесь М1 =М [t -f- At)); вектор же v =
f dx dy\
= \-jj- , -^fJ задает мгновенную ско-
скорость в точке М пути: он направлен,
очевидно, по касательной к траектории дви-
движения в точке М, и его длина равна
As ds
lim -7Т- = -тг , где Aszz;\MM1\ — прираще-
At—*-П
ние пути s за время At.
Пусть теперь траекторией движения точки
М служит окружность радиуса 1, по которой
точка движется равномерно, пробегая за еди-
единицу времени единицу пути, скажем 1 см за
1 с. Тогда формулы B) примут вид:
а; = cos i, у = sin t D.10.3)
и скорость v движения будет задаваться век-
d(cobt) d(sint)
тором с координатами —-т:— , -г. . Но
ясно, что вектор скорости v будет иметь здесь
единичную длину (ибо приращение As пути
по условию равно приращению At времени)
и будет направлен по касательной к окруж-
окружности (см. рис. 4). Координаты этого вектора
v, перпендикулярного радиусу ОМ=г окруж-
окружности, будут, очевидно, равны — sin t и cos t
(ср. прямоугольные треугольники А ОМ и
VMP со взаимно перпендикулярными сто-
сторонами на рис. 4: они имеют одинаковые ги-
гипотенузы ОМ= VM=i и равные острые углы
AOM=MVP=t; знак минус у координаты
—sin t вектора v указывает на направление
отрезка МР). Таким образом, мы снова прихо-
приходим к тем же формулам A):
d(cost) d(sinf)
= cos t.
Наконец, укажем еще совсем иной
(и более формальный) способ вычисле-
вычисления производных функций sin ер и
cos cp, не требующий обращения к чер-
чертежу. Согласно общим формулам при-
приращение синуса Asin cp=sin(cp + Acp) —
— sin ер. Вспомним формулу синуса
суммы двух углов
sin (a -f- Р) = sin а cos p -(- cos а sin C
V
Рис. 4.10.4
и применим ее к sin (cp -f- Дер). Получим
sin (cp -j- Дер) = sin cp cos Дер -j- cos cp sin Д<р,
откуда
Д sin cp = sin cp cos Дер -\- cos cp sin Д<р —
— sin cp = cos cp sin Дер — sin cp A —
— cos Дер).
Составим отношение приращений:
Д sin у , sin Аф . 1 — cos Дф
—-—Т- = cos <р —г—- — sin <р г i-.
D.10.4)
Теперь нужно перейти к пределу
при Дер ~> 0. Известно, что при очень
малых углах а синус практически
равен дуге: sin аяаа, т. е. sin Дср^Дер
при Дер -> 0. Другими словами,
,. sin Дф л
Л
Второй член в выражении D) надо
сперва преобразовать по известной фор-
формуле 1 — cos 2а = 2 sin2а, поэтому 1- —
— cos Дер = 2 sin2(-у-). В этой формуле
Дер имеем sin (-у-)
при малом
Поэтому
1 — COS Ду ^
Дф "~
-у
Дф
Дф
Следовательно, в пределе при Дер ->• О
второй член пропадает: hm
д
1 — COS Дф г
г -=^\

134
Гл. 4. Вычисление производных
Отсюда
.. A sin у d sin у
lim —т—- — —j—L= cos ср.
d (sin у)
Аналогично
Д cos <р = cos (ср -f- Д<р) — cos <p =
= cos <p cos Дер — sin <p sin Дер — cos <p =
= — cos cp A — cos Дер) — sin cp sin Дер
(здесь мы используем формулу для ко-
косинуса суммы двух углов) и, значит,
==_co 1-созДср_
' Дер
Рис. 4.10.5
А так как мы уже знаем, что
,. 1 — cos Ду А ,. sin Ду ,.
lim -. i == 0, lim —т—i- = 1,
дт+о Л? д?-*о А<?
то окончательно получаем
d cos у ¦. Д cos у
, 11 III 7 •
df д?-и> Л?
= —cos cp . 0 — sin cp • 1 = —sin ср.
Соотношения A) справедливы для
любых углов, а не только для углов
в первой четверти. Полезно также,
глядя на графики функций sin я и
cos х, проверить, что формулы A) ука-
указывают правильный знак производных
при любых х.
Проверим еще формулы A) при ма-
малых углах. При малом <р геометрически
очевидно, что sin cp^cp, cos <p?«l, где
приближенное равенство та, так же
как и во многих других случаях, оз-
означает «равно с точностью до малых
первого порядка». Первая из формул A)
di) л
1, а вторая
при малом ср дает
дает
d (cos у)
dy
—:
: —ср. Поэтому "в У — о
при ср = О; равенство нулю производной
соответствует тому, что косинус имеет
максимум при <р = 0. Равенство же
= 1 при cp =: 0 указывает, что
при малых ср величина sin cp растет при-
примерно как ср.
Зная производные функций y=sin x
и i^=cos х и используя соотношения,
связывающие тригонометрические функ-
функции, легко найти производные всех
остальных тригонометрических функ-
sm х
cos ж*
По-
ций. Так, например, tgx=
этому по формуле дифференцирования
дроби
d tg x d (sin ж/cos x)
dx dx -
cos x cos x — sin x (—sin x)
' COS2 X
Отсюда
dtg x cos2 x -\- sin2 x 1
dx
COS2 X
CObz X
D.10.5)
Из рис. 5, на котором изображен
график tg х, видно, что функция г/=
=tg х при любых х имеет положитель-
положительную производную. Вблизи точек раз-
/ те Зте \
рыва Iх = у , х = -у , ... ) производная
неограниченно возрастает — и здесь
«уходит в бесконечность» как сама
функция, так и ее производная. Оба
эти вывода вполне согласуются с фор-
формулой E).
Пользуясь совершенно аналогичным
приемом, находим
djctgx) __ 1
dx sin2 x '
D.10.6)
Производные тангенса и котангенса можно
найти и непосредственно. Заметим, что
sin a sin p
tga-tgP = -33sT~"c"osT==
sin a cos p — sin p cos a sin (a — |3)
== cos a cos р = cos a cos р *
Отсюда
sin Ду
D.10.7)
Имея ввиду, что lim sm ? = 1, получим
д<р->-о Ду
из G)
_ lim Atgy
dy д,р->.о Ду
= lim
Дер-
= 1.
sin
1
Дср->-о Ду cos (у + Ду) cos у
1 1
cos2 у cos2 у *

ill. Обратные тригонометрические функции
135
Упражнения
Найдите производные функций:
4.10.1. j/ = sinBz + 3). 4.10.2. г/=
= cos(a: —1). 4.10.3. у = cos (ж2 — х + 1).
4.10.4. г/ = sin2 х. 4.10.5. у = sin Зх cos2 a;.
4.10.6. г/= (sin 2X)*. 4.10.7. г/= х tg x.
4.10.8. у = е^2х. 4.10.9. у = ctg у.
§ 11. Обратные тригонометрические
функции
Новые очень интересные результаты
получаются при рассмотрении об-
обратных тригонометрических функций.
Напомним читателю определения этих
функций. Функция
у = Arc sin x D.11.1)
представляет собой угол у, синус кото-
которого равен х:
sin у = х. D.11.2)
Равенство A) означает в точности то же
самое, что и B). Аналогично функция
г/ —Arctgz D.11.3)
представляет собой угол у, тангенс ко-
которого равен х:
x. D.11.4)
Совершенно так же определяются функ-
функции г/=Агс cos х (условием a;=cos у) и
г/=Агс ctg х (условием #=ctg у). Заме-
Заметим, что функции г/=Агс sin x и у—
= Arc cos я имеют смысл только при
— 1 <; х <; 1 (ср. B)). Функции у=
= Arc tg ? и г/=Агс ctg x имеют смысл
при всех значениях х.
Рассмотрим подробнее функцию у =
= Arc sin x. Пусть, например, # = -=-,
у — Arc sin -к-. Мы можем считать, что
те
У— -g".
так как
. г. 1
sin тг = —: однако
6
2 ¦
можно взять и у = -д-, так как sin -д-
1
6
6
тоже равен у. Возможно считать у =
13те 17-гс Л.
— ~g~> У = ~о"~ И Т. Д. Мы ВИДИМ, ЧТО
одному значению х отвечает бесчис-
бесчисленное множество значений у:
функция Arc sin x является многознач-
многозначной (ср. с. 39) и даже бесконечнознач-
ной. Все эти свойства функции г/ =
=Arc sin х видны из ее графика (рис. 1).
Выделим участок графика функции
x=siny, на котором эта функция моно-
монотонна; обычно в качестве такого уча-
участка выбирают отрезок кривой у=
= Arc sin х, для которого—-J ^Г у ^ -^.
Эта часть кривой отвечает так назы-
называемым главным значениям функции
Arc sin я, которые обозначаются у=
= arc sin x. Если ограничиться рассмот-
рассмотрением функции y = arcsina;, то каж-
каждому х соответствует только одно
If-ArwAX
Рис. 4.11.1
Рис. 4.11.2
значение у; таким образом, функция
arc sin x уже однозначна.
Главное значение арктангенса оп-
определяется аналогично:
1С %
—2-<arctgx< —
(ибо функция х = tg у монотонна на
участке—|-<г/<у, рис. 2J.
Найдем дроизводную функции у=
=arcsina;. Воспользуемся тем, что арк-
арксинус есть функция, обратная синусу:
у = arc sin x, x= sin у,
х' (y) = -^-=
У W ~~ dx х' (у) ~
D.11.5)
dx
х' (у) ~ cos у
Однако аргументом здесь мы считаем
dy
не у, а х, поэтому -т2- следует выразить
через х, а не через у, как в E).
Из соотношения sin2 y+cos2 г/=1 вы-
вытекает, что cosy=±\Jl—sin2г/- Так
как мы рассматриваем главное значение

136
Гл. 4. Вычисление производных
арксинуса, то —j ^ У ^ т и> значит,
cos у ^ 0; поэтому перед корнем берем
знак плюс: cos у = \/1 — sin2?/- Так как
sin у = х согласно B), то cos y = \Jl —ж2-
Подставляя это значение в E), находим
DЛ1-6)
dy
dx
Vl
»rc sin
1
—
x)
или
1
dx
Формулой F) можно пользоваться
т»лько для главного значения функции;
для других участков кривой надо вни-
внимательно следить за знаком выражения
\Jl — х2 (его ведь тоже можно счи-
считать двузначным). Действительно, при
©дном и том же значении х на различ-
различных участках кривой производная име-
имеет разные знаки: так, в точках А и С
графика функции у=Arc sin х (см. рис. 1)
производная положительна, а в точках
В и D — отрицательна.
тт „ d (arc tg x)
Найдем теперь производную -г-2—-.
Если у = arc tg ж, то х = tg у. Отсюда
аналогично предыдущему находим:
/ j * dX А
* (у)=—=-..„ ..
D.11.7)
w
cos-1
Но из тригонометрии известно, что
1
cos2 у '
поэтому
1 „12
соз2 = 1 -(-ж2.
Пользуясь G), получаем окончательно
jjL=J(aretga:)= 1_^
dx [dx I -J- x1 " v '
Для любой другой ветви арктанген-
арктангенса (см. рис. 2) формула (8) остается
справедливой, так как любая другая
ветвь получается из основной парал-
параллельным переносом, что не меняет ве-
величины производной.
Уп ражнения
Найдите производные функций:
4.11.1. у = arc cos а; (эта функция опреде-
определяется условием 0 < у < те). 4.11.2. у =
= arcctga; (здесь 0<^<те). 4.11.3. у =
= arcsin2z. 4.11.4. у = arc tg {3x-\- 1).
4.11.5. ^ = arctg(a;2 — x). 4.11.6. у=еа
§ 12. Производная функции, заданной
неявно
Неявное задание функции у (х) — это
задание ее выражением вида
F(x, y) = 0. D.12.1)
Если соответствующее уравнение мож-
можно разрешить относительно х или у, то
мы снова придем к обычному (явному)
заданию функции. Однако иногда такое
решение приводит к сложным форму-
формулам, а в других случаях его и вовсе
нельзя найти. Так, например, уравне-
уравнение окружности в форме
я2+г/2—1 = 0 D.12.2)
проще, чем следующее из него явное
выражение для функции у (х):
у=±\]\—х2. D.12.3)
Если в A) левая часть — произволь-
произвольный многочлен, то в общем случае
это уравнение нельзя разрешить отно-
относительно х или относительно у. В ка-
качестве другого примера можно при-
привести простое с виду уравнение
F (ж, у) = х sin x-\-y sin у — ¦к = 0.
D.12.4)
Однако и в тех случаях, когда мы не
можем выписать формулу, дающую пря-
прямой способ вычисления у по данному
х, все равно у можно считать функ-
функцией х: при каждом х можно, решая
уравнение численно, найти соответ-
соответствующее у, можно построить кривую
A) в плоскости х, у. Возможно, что
кривая будет существовать не при всех
х (в случае окружности B), например,
лишь при —1 <^ х <С 1); функция мо-
может оказаться многозначной, т. е. дан-
данному х могут отвечать более одного
значения у (в случае окружности, на-
например, два значения, в соответствии
со знаком ± у корня квадратного).
Однако эти осложнения не отменяют
основного факта: уравнение F (х, у)=0
определяет у как функцию х.
Как найти производную -?- ? Можно
ли это сделать, не решив уравнение A),
т. е. не выразив у (х) явно?
Процедуру отыскания величины у' по
равенству A) знал еще Ньютон. Пусть
х, у удовлетворяют уравнению A).
Подставим в это уравнение «соседние»

§ 12. Производная функции, заданной неявно
137
значения х+Ах, у+ку, которые так-
также должны ему удовлетворять:
F(x-\-Ax, г/-|-Дж) = О. D.12.5)
Запишем, пользуясь A),
Итак,
F{x, y)].
, y)-
D.12.6)
Разность F (х-\-Ах, у) — F (ж, у) пред-
представляет собой приращение функции
F (х, у), рассматриваемой как функция
одной переменной х при неиз-
неизменном у. Это приращение, как
мы знаем, в пределех может быть
выражено так (см. формулу A.2)):
') — F(x, у)ж
Дя.
y=const
вычислении производной
функции F(x, у) по х
dF(x, у)
dx
При
dF(x, у)
dx
аргумент у этой функции мы закреп-
закрепляем, считаем постоянным; это и озна-
означает запись у=const после обозначе-
вия ~f' производной. Поскольку
такая запись громоздка, вместо нее упо-
употребляют более короткую: ——-^—-;
здесь круглые буквы д (вместо обыч-
обычного d) как раз и символизируют тот
факт, что производная ищется при
постоянном у, т. е. в условиях,
когда F (х, у) рассматривается как
функция одной переменной х (зави-
(зависящая, правда, от параметра у). Про-
Производная
dF (g, у) __ dF (х, у) I __
дх dx |y=const
г, y) — F(x, у)
д*-о
называется частной производной функ-
функции F (х, у) по переменной (аргументу
функции) х; аналогично
dF(x, у) __dF(x, у)
ду
= lim
dy
х-const
F(x,
у)
ьлу—ryj
— частная производная от F (х, у) по у.
1 Смысл выражения «равно в пределе»
(т. е. при малом Да; или Ау) разъяснен под-
подробно в § 2.4.
, y)-F(x,
Ax.
Аналогично для первой разности в F)
можно написать
dF(x-\-Ax, у) .
«J —^ — Дг
ду
Условие E) дает
или
Дх
dF(x, у)
дх
дF(x-\-^x, у) '
Переходя к пределу при Да; -+¦ О,
слева получим производную, а справа
при этом можно будет отбросить Да:.
Окончательно
у)
dy_
dx
дх
dF(x, у)
D.12.7)
Обратите внимание на знак минус в фор-
формуле G) и на то, что в данном случае
просто «сократить» dF (x, у) в числи-
числителе и знаменателе нельзя.
Покажем применение G) на примере
уравнения B). Имеем F (х, у)=*хг-\-
+у2 — 1; тогда
(х,_у)_„ dF(x,y)_~ ,''
2х
_
dx
дх
. У)
Легко убедиться, что этот результат
совпадает с тем, что получится, если
вычислить производную функции C).
Найдем производную в случае D):
dF(x, у) . .
——'- = sin х -J- х cos х,
= sin у -f у cos у,
- &
ду sin х -\- х cos x
дх sin у + у cos у '
Таким образом, в выражение произ-
производной неявной функции входят обе
величины х и у. Чтобы найти ее чис-
численно, нужно найти значение у, отве-
отвечающее заданному х. Но если бы мы
не имели формулы G), то для нахожде-
нахождения производной нам пришлось бы

138
Гл. 4. Вычисление производных
находить численно два значения г/2 и
ух, отвечающие двум соседним значе-
значениям х^та. хг, а затем искать отношение
¦ ¦ и предел этого отношения2.
3j — Xi
При этом чем ближе х2 к xv тем точнее
пришлось бы вычислять у2 и уг, а это
часто вовсе не так просто. Использова-
Использование же формулы G) обычно не пред-
представляет труда.
Если F (х, г/)=0 приводит к неодно-
неоднозначной функции у (х), т. е. если одному
значению х отвечают два или больше
значений у (несколько ветвей кривой),
то выражение G) при подстановке
в него данного х и разных у дает значе-
значения производной в соответствующих
точках линии F (х, у)=0. Читателю
предлагается проверить это на примере
уравнения окружности B), для кото-
которого производная выражается форму-
формулой (8).
Для нахождения производной функ-
функции, заданной неявно, нам понадоби-
понадобилось понятие частной производной.
Оно имеет большое значение, так как
необходимо для изучения функций не-
нескольких переменных (которых, впро-
впрочем, мы в этой книге почти не касаемся).
Неявно мы уже пользовались понятием
частной производной: так, определен-
? Дополнительные трудности возникают,
когда уравнение A) задает многознач-
многозначную функцию у (х), ибо тут необходимо
добиться «согласованности» значений у1 (х{)
и yt (xs) — иначе при малой разности хг—х\
разность j/2—уг может оказаться большой.
ный интеграл / = \ / (х) dx = I (a, b)
а
есть функция двух переменных; выше
мы находили частные производные
— (= —/ (а)) и -IL (= / (b)) по одному
из пределов, считая второй предел ин-
интегрирования закрепленным (постоян-
(постоянным). Даже в таких элементарных во-
вопросах, как производная произведения
нескольких функций y=h (x)g (x) или,
например, производная степени у=
=h (х)д1х) (см. § 9), по существу, у нас
«работали» частные производные. В са-
самом деле, когда мы говорили, что у
складывается из членов, получающих-
получающихся при взятии производной по перемен-
переменной х, входящей в h (x), и производ-
производной по х, входящей в выражение g (x),
то мы имели в виду частные производ-
производные. Соответствующее общее правило
можно записать так: если
y = F[g(x),h(x)],
то
dy __dP dg . dF dh
dx dg dx ' dh dx
dy
Упражнения
ay
4.12.1. Найдите производную ^-функции,
заданной уравнением D), в точках: а) х =
% т.
=т- у=т> б)х
-а.
~2
dy
ay
4.12.2. Найдите производную -^ функции,
заданной уравнением х% -J- Зх -(- у3 -\- Зу — 8
= 0, в точке х = у = 1.

Глава 5
ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ *
§ 1. Постановка задачи
В гл. 3 мы познакомились с понятием
интеграла. При этом была вы-
выяснена тесная связь между двумя раз-
различными на первый взгляд! задачами:
1) нахождение суммы большого числа
малых слагаемых вида v (t)&t (или
v (t)dt);
2) нахождение функции z (t), про-
производная v (t) которой нам известна:
# = .<«>. «M.D
Задачи физики, техники, химии, да
и математики возникают как задачи
типа 1), т. е. задачи суммирования
большого числа малых величин. Такая
постановка вопроса более наглядна;
сама его формулировка уже подска-
подсказывает простой, хотя и приближен-
приближенный, путь вычисления интересующей
нас величины — с помощью прямого
суммирования тех (малых) слагаемых,
о которых в задаче идет речь. Однако
этот «прямой» метод решения задач 1)
не позволяет выразить ответ в виде
формулы, и высшая математика воз-
возникла, когда была установлена связь
между задачами 1) и 2), что открыло
путь к общим приемам (алгоритмам)
решения задач 1).
Постановка задач типа 2) является
более искусственной. Однако у нее
есть свои преимущества. Нахождение
производных оказалось простым де-
делом, сводящимся к четырем-пяти фор-
формулам (производные функций х", ех,
In х, sin x, cos я и т. д.) и двум-трем
общим правилам. Поэтому легко можно
найти производные большого числа
функций. Каждый раз, когда найдена
производная какой-либо функции -7т =
=v, можно зарегистрировать, что для
функции v известен интеграл z (см. § 2).
Таким образом, набирается много от-
отдельных частных случаев, для которых
можно решить задачу типа 2). Кроме
того, с помощью тождественных алгеб-
алгебраических преобразований удается для
нескольких простых типов функций v
(например, когда v есть сумма функ-
функций, интегралы которых известны)
найти общие правила решения задачи 2)
(см. § 3).
Это невозможно, однако, сделать для
всех элементарных функций, так
что интегрировать труднее, чем диф-
дифференцировать (находить производные).
Тем не менее формулы, полученные для
некоторых интегралов при второй по-
постановке задачи, очень важны. Если
уже удалось для данной v (t) найти
интеграл (неопределенный интеграл,
или первообразную функцию) z (t), то
тогда все задачи в первой постановке,
все суммы, т. е. все определенные ин-
ь
тегралы \ v (t) dt, оказываются выражев-
а <
ными простыми формулами, ^включаю-
^включающими функцию z:
ь
\v(t)dt=z(b) —
Такой результат является гораздо бо-
более полным, более точным и ценным,
чем итоги каждого отдельного числен-
численного расчета суммы, т. е. определенного
интеграла I v (t) dt в каких-то преде-
пределах от а до Ь. Поэтому нашей целью
в первую очередь будет именно реше-
решение задачи 2), задачи интегрирования
во второй ее постановке.
§ 2. Простейшие интегралы
Выпишем формулы для производных,
найденные в предыдущих* параграфах,
и соответствующие им формулы для
(неопределенных) интегралов:
~dx~(x>~пх" '
1 Перед чтением этой главы полезно по-
повторить материал гл. 3.
п

f*0
Гл. 5. Техника интегрирования
J-(ekx)=kekx,
dx
к
\ — dx = In ж -J- C;
4- (sin &ж) = A; cos fcr,
ax * '
A I cos kxdx = sin /еж -f- C;
-^- (cos /еж) = —к sin /еж,
—к [ sin /сжйж = cos kx -f- C;
—
—
С 1 , | п
\ —==- dx = arc sin ж -f- С;
J Vi - x2
А
Преобразуем полученные формулы.
В первом интеграле обозначим п—1=т
(т. е. п=?ге+1) и перепишем его так:
E.2.1)
Очевидно, что формула A) справед-
справедлива при всех т, кроме т——1; при
т=—1 знаменатель обращается в нуль,
д.т+1 __ хо __ \ ^ так чт0 получается непри-
непригодное для расчетов выражение -^-\-С.
Однако как раз в случае т = —1,
— dx, имеет место
X
формулах
1 В § 7.6 мы специально обсудим неожи-
неожиданно резкое различие между формулами A)
ж B) для интегралов от степенной функции.
E.2.2)
Эта формула справедлива лишь для
положительных значений ж, так как
In х имеет смысл лишь при х ]> 0.
При ж <С 0 величина In ж не имеет
смысла, но имеет смысл In (—ж). Так как
!dx
— = In (—ж) -j- С.
Обе формулы могут быть объединены
в одну:
E.2.3)
Формула C) применима на любом про-
промежутке интегрирования, не содер-
содержащем ж=0.
Интеграл от показательной функции
запишется так:
E.2.4)
Аналогично получаем для синуса и
косинуса:
sin kxdx = —-? cos kx -j- С, E.2.5)
f cos kxdx = -r sin kx -\- C. E.2.6)
Рассмотрим в заключение пример,
показывающий необходимость внима-
внимательного рассмотрения функции и опас-
опасность формального подхода к задаче
ь
интегрирования. Пусть I = \ —j-. Неоп-
а
ределенный интеграл f —^ = \-С;
поэтому
г С dx 1 ь 1,1
¦* =— \ —г'== ::= п ==
J xz х а О ' а
Ъ —а
аЪ '
E.2.7)
Так как подынтегральная функция
положительна, результат должен быть
положителен, если b > а. Ответ дей-
действительно положителен при Ъ ^> а,
если а и b одного знака. Однако для
1
интеграла \ —^ формула G) дает явно
J X
-1

§ 3. Общие свойства интегралов
141
нелепое значение /=—2. Причина за-
заключается в том, что подынтегральная
функция обращается в бесконечность
внутри промежутка интегрирования
(при ?=0) — ив этом же месте терпит
бесконечный разрыв функция — —, яв-
являющаяся неопределенным интегралом
функции р-.
Чтобы разобраться в истинном поло-
положении дела, необходимо исключить из
всего интервала — 1 <С х <С 1 малую
область около «особой точки» х=0:
— б! <С х <С s2 (s1 и s2 — малые поло-
положительные числа) и рассмотреть
к- С dx _i_ Г Ах
К= ) 13"+З"?-
Естественно считать, что наш интеграл
/ получится из К при стремлении ех
и е2 к нулю. Но по формуле G) получаем
Ясно, что при ех и"^е2, стремящихся
к нулю, К -> оо.
В других случаях интеграл с подын-
подынтегральной функцией, обращающейся
в бесконечность на интервале интегри-
интегрирования, может давать вполне опре-
определенный конечный результат. Так, на-
например,
1
dx о
В самом деле, здесь неопределенный
интеграл равен
= TJ2x4' +
Поэтому
dx
а при е -> 0 это выражение стре-
стремится к 2.
Такого рода рассмотрение всегда не-
необходимо при обращении подынтеграль-
подынтегральной функции в бесконечность; однако
здесь мы не будем подробно обсуждать
эту важную тему (ср. § 6.3).
Упражнения
Чему равны следующие определенные ин-
интегралы:
1 2
5.2.1. \x*dx. 5.2.2. \-^dx.
О 1
* 1
Sf dx
sin xdx. 5.2.4. \ xt , i ¦
5.2.5. \ exdx. 5.2.6.
dx
COS2 X '
§ 3. Общие свойства интегралов
Выше, в § 4.1—4.3, были найдены фор-
формулы для производной суммы (и раз-
разности) функций, производной произ-
произведения (и частного) функций, произ-
производных сложной и обратной функций.
Каждому из этих свойств соответствует
определенное свойство, относящееся
к интегралам. Следующие три пара-
параграфа будут посвящены «интеграль-
«интегральным аналогам» рассматриваемых
свойств'производных.
Для интегралов имеет место равенство
E.3.1)
Для доказательства достаточно про-
продифференцировать стоящее справа вы-
выражение: если равенство верно, то мы
получим подынтегральную функцию.
И в самом деле,
Таким образом, равенство A) доказано.
Оно показывает, что интеграл суммы
нескольких слагаемых равен сумме ин-
интегралов отдельных слагаемых и что
постоянные множители можно выно-
выносить за знак интеграла.
В качестве простейшего примера най-
найдем интеграл от многочлена:
+ ... + ак_
ак)dx = а0 j xkdx +

142
Гл. 5. Техника интегрирования
d Г (ах + Ь)п+1
=T+TX
fc+i
...-}- -^- x3 -f- -^у3- ж2 + akx -j- С. E.3.2)
Отсюда, в частности, имеем
- я*) + ... +^-(m3- n3) +
+^L(m2_K2) + afc(m_n)_
Так, например,
j Bz2 — Qx -f 1) dx = -§¦ xs—Зж2+ж -f- C,
2
Bж — бж-fl)^—з (8 J)
— 3D — 1) —J— B — 1) =:—З-g-.
Под знаком интеграла можно делать
замену переменной, переходить к но-
вой, более удобной переменной. Под-
робнее мы остановимся на этом в § 5,
однако несколько простейших приме-
ров рассмотрим уже здесь.
d Г (ах
- _A (arr + d) =
.
2. Аналогично выполняется замена
переменной и в интеграле f
z = ax-\-b, dx = — ,
г dx i С dz 1
J ax 4-6 a J z а
dx
ax+ 6 '
и, следовательно,
z| + C =
= ¦-'--' -¦ +C. E.3.5)
На практике в таких очень неслож-
несложных примерах преобразования делают
менее торжественно, не вводя отдель-
отдельных обозначений для новых, промежу-
промежуточных переменных. Вместо D) пишут,
например:
1. Найти \(ax-\-b)ndx, где пф—\.
Здесь новой переменной удобно объ-
явить стоящую в скобке величину.
Назовем ее z:
При этом надо также от дифферен-
циала dx перейти к дифференциалу dz.
Но из (i) следует: dz = adx, *х = Ц-.
Таким образом,
Приведем теперь несколько более
сложный пример интеграла, который
удается привести к известным нам
интегралам посредством алгебраиче-
алгебраических преобразований.
Рассмотрим интеграл \-. г-. гт- .
F F ] (х — а)(х — Ъ)
Заметим, что справедливо тождество
_1 1 __ а — ь
~х~^а~~~х~-Ъ — (х — а) (х - Ь) ' E-3>6)
Из F) следует
1 = 1 / 1 i\
(х — а) (х — Ъ) а — Ъ \х — а х — Ь )'
Поэтому
Г dx
J (x — a)(x — b) ~~
= _L_ [(_* 1-T)dx =
а — о j \x — а х — о/
= —Цгfin \x — a\ — \n\x — bW-V-C —
a — b
E.3.7)
а . .
4~ С=.
а/ге i 1)—Ь С- E.3.4)
В правильности результата легко убе-
диться, вычисляя производную правой
части:
(формулой G) можно пользоваться в лю-
бом промежутке, не включающем
значений х — а и х = Ь). Интеграл от
любой алгебраической дроби (от отноше-
Р (х)
ния
многочленов каких-то сте-

§ 4. Интегрирование по частям
143
шеней п и т) можно выразить в виде
комбинации элементарных функций (ал-
гебраических функций, логарифмов и
арктангенсов). Некоторые простейшие
примеры такого рода имеются в упраж-
нениях.
Упражнения
Найдите (неопределенные) интегралы:
5.3.1. \ (Зх2 — 2x-\-i)dx. 5.3.2. \Dх4 —
— За;3 -\- хг — х) dx. 5.3.3. j x (x — IJ dx.
2 2 3 2 1
приходим к верному равенству A).
Перепишем B) так:
г , dg , , г df ,
) ' 1х '% \8~d~x '
чт0 т0 же са
\fdg = fg—\ gdf.
г
-3< • J
2х + 3
dx'
2х — 1
с 2х — 1
3- * J х — 1
dx-
г ах -\-Ь
5.3.6. I ——:—j dx.
-вуйтесь тем,
Указание. Восполь-
a bc-ad
T + c(cx + d)
E.4.3)
ф()рмулы C)? к сожале.
нию, не существует правила, выражаю-
щего интеграл от произведения двух
функций через интегралы от каждого
из сомножителей. Однако если для про-
изведения двух функций fw известен
интеграл от одного из сомножителей:
>3-7- J (и —2) (х — 3)" 1_У к а 3 а н и е* Вос"
шользуйтесь тождеством ix — 2) (x — 3)=
А В
^= 9" + о" I числа А и В находятся
х х—"
«методом неопределенных коэффициентов»,
т. е. приравниванием коэффициентов при оди-
одинаковых степенях х после освобождения дро-
1 t dx
«бей от знаменателей. 5.3.8. \ ix_^\ (a_2)'
5.3.9. [ 2 XT p dx. 5.3.10. f d;
ГТ da;.
x-f-x
Указание. Воспользуйтесь тождеством
х -\-2 х-\-2 А В Сх
+ +
А
= "дГ +
+
хз I х = х (Х2 i 1) = дГ + j.s j. 1 + -гг,
;Где коэффициенты А, В, С, находятся «ме-
тодом неопределенных коэффициентов» (см.
указание к упр. 7); чтобы найти \ ,..,
-, J x + i
удобно обозначить x2-|-l=z.
$ 4. Интегрирование по частям
Пусть / (х) и g (х)^ — две различные
¦функции переменной х. Формула для
лроизводной произведения дает
то интеграл I fwdx удается выразить
через интеграл, в который входит про-
изводная -j^. Учитывая D), перепишем
C) в виде
\ fwdx = f\\ wdxj—
[ ( [ wdx] — dx E 4 5)
Так как \ wdx = g, то последний ин-
теграл в E) есть \ g -~- dx; иногда он
бывает проще исходного интеграла I fwdx
или сводится к известному интегралу.
В частности, если /—степенная функ-
ция или многочлен, то ¦—- тоже сте-
пенная функция (многочлен), причем
df
степень -^— на единицу ниже сте-
dx м ",j
пени /.
Формула C), или E), называется фор-
формулой интегрирования по частям. Из
нее вытекает и аналогичное соотноше-
НИе для определенных интегралов:
-*• <5А1)
Равенство A) позволяет утверждать, что
В справедливости B) убеждаемся, на-
находя производную от левой и правой
частей этого равенства — при этом мы
= [f(b)g(b)-f(a)g(a)]-
E.4.3a)
Приведем примеры использования
метода интегрирования по частям.

144
Гл. 5. Техника интегрирования
1. Найти I xexdx.
Положим f = x; тогда
w = -^ = ex, exdx = dg,
g = [ exdx = ec, df = dx.
По формуле C) имеем
\ xexdx = хех — \ exdx —
откуда at=—2, ао==2- Окончательно полу-
получим, как и раньше,
2. Найти j
Положим / = ж2; тогда
w = ^ = 6х, exdx = dg,
g =\ exdx = ех, df = 2xdx.
Пользуясь формулой C), получаем
= х2ех — 2 | хе?йх,
откуда, учитывая результаты первого
примера, имеем
x2exdx = sV —
x2e*dx = (а;2 — 2х + 2) ех + С.
Аналогичным приемом можно находить ин-
интегралы от функций Р„ (х) cos кх и Рп (х) sin kx,
где Р„ (х) — многочлен. В обоих случаях
ответ имеет вид
<?„ (я) cos kx -j- Rn (x) sin kx,
где (?„ (х) и Л„ (ж) — многочлены, степень ко-
которых равна п (или меньше п). Примеры та-
такого рода приведены в упражнениях.
Упражнения
Найдите интегралы:
5.4.1. \xcosxdx. 5.4.2. j In x dx. 5.4.3.
\ х2 sin 2x dx. 5.4.4. \ x3e~xdx. 5.4.5. f (x2 +
+ х-\- 1) cosxdx. 5.4.6. f Ba;2 + l)cos 3x dx.
[Указание. Упр. 6 подробно рассмотрено
в «Ответах, указаниях и решениях»; упр.
3—5 аналогичны ему.] 5.4.7. I arc sin xdx,
5.4.8. ^arctgxdx. 5.4.9. \e2xsin3xdx.
5.4.10. ? e* cos 2x dx.
Для нахождения \ Рп (х)екх dx, где
Рп (х) — многочлен степени п, при-
приходится ге раз выполнять интегрирова-
интегрирование по частям. При этом в ответе полу-
получится выражение вида Qn (x) екх, где
Qn (х) — многочлен степени п. Зная
это, можно не выполнять п раз интегри-
интегрирование по частям, а прямо находить
коэффициенты многочлена Qn (x).
Рассмотрим тот же пример 2: найти
I x*exdx. Напишем равенство \ хгехйх=^
= Сг (х) ех -\-С с неизвестными пока коэффи-
коэффициентами квадратичного многочлена Qz:
§ 5. Метод подстановки
Мы уже касались выше общего метода
замены переменных, или подстановки
(нового неизвестного вместо первона-
первоначального). Если в интеграле \ F (x) dx
подынтегральная функция F (х) мо-
может быть представлена в виде
F(x) = f(9(x))9'(x),
где ср (х) — какая-то функция перемен-
переменного х, то эту функцию можно обозна-
обозначить одной буквой z и принять за новое
неизвестное. Так как ср' (х) dx=dz, то
мы придем при этом к интегралу
j x2exdx = (а2х2-\- агх-\-а0) ех-j-С. E.4.6) I f (z) dz, который может оказаться
Составим производную от обеих частей
равенства F):
х2ех =
(а2х2 + ахх + а0) ех.
или
х2ех = [х2а2 -j- х Bа2 -j- а{) -\- (aj -|- а0)] ех.
Приравняем коэффициенты при одинаковых
степенях а; в многочленах, стоящих справа и
слева. Получим: я2=1, 2а%-\-а1=0, ^+00=0,
«табличным» (т. е. совпасть с одним
из основных интегралов § 2; см. таб-
таблицу интегралов на с. 139—140) или
быть проще первоначального. Этот общий
метод используется в интегральном ис-
исчислении весьма широко.
Так, например, интегрирование мно-
многих функций, содержащих корни и
тригонометрические функции, может

§ 5. Метод подстановки
145.
быть при помощи надлежащей замены
переменной сведено к интегрированию
многочленов или алгебраических дро-
дробей с целыми степенями. Рассмотрим
несколько примеров.
Найти ( х \]х -f- 1 dx. Сделаем замену
переменной: z = \]х -f-1. x-\-\=z2. От-
Отсюда x = z2 — 1 и di = 2zdz. Переходя
теперь в нашем интеграле от х к z,
получаем
то
С dx Г a cos t dt № Г"
J v/a2 _ x2 — J a cos г = J d* = * + C =
= arcsin f- С
x\Jx-\-ldx= | (z2 — 1)z • Izdz =
= 2j(z4 — z2)dz = 2^- — 2^--\-C =
х
В интеграле у 2_^ 2 уместна замена
= a? (т. e. t = — J; при этом dx = ad?
и мы имеем
dx
[ dx f adt f adt
J a2 -+- x2 ~~ J a2 4- a2*2 ~ J a2 A 4- t2) ~~
1
= — arc tar —\-C.
a ° a ¦
td f da;
в интеграле I — уместно поло-
J >1(а2-х*)* J
жить x = acosf (т. e. f = arc cos— J;
при этом dx = —a sin t dt, a2 — x2 =
= a2 A — cos21) = a2 sin21 и мы полу-
получаем
/* da; Г —a sin <dt
J v'fa2 —a;2)» J ^(a2 sin2 tK ~~
ia sin tdt 1 Г dt
a3sinst a2 J ^sin2f
= T C*S ' ~H ^ == ~~г ctS (arc cos"~) ~\~ C'
Это выражение можно еще упростить
(см. упр. 10).
Почти та же подстановка применима
и к «почти табличному» интегралу
С dx
\ , 2 =- (который подстановкой х =
= az, dx = adz сразу сводится к извест-
Г dz
ному уже нам результату \ ^, ^ =
= arcsin z-\-C). В самом деле, если
х = a sin t, dx = a cos tdt и \]а2 — ж2 =
= a cost,
быть вычислен
» только вместо
(ибо t = arcsin — j .
Аналогично может
("' dx
и интеграл I , , , ,
J *a +x
тригонометрических функций здесь уме-
уместно использовать так называемые ги-
гиперболический синус sh t = */г (е' — е~0
и гиперболический косинус ch ^ =
= Va(е* + «"') (о них см. § 14.4). Легко
видеть, что (проверьте это!) ch2? — sh2?=
= 1, {sht)' = ch.t, (chi)' = sh^. Поэтому
если положить х =. a sh t, то dx = a ch t dt
и \Ja? -\-x2 = a ch t. Таким образом, наш
интеграл иринимает вид
Г dx Г a ch tdt С
J v/a2 + x2 — J "Chi =Jd*=*+C =
где «обратная гиперболическая» функция
arshz определяется из условия: если
? = arshz, то z=:sht.
Доведение этого примера до
конца мы предоставляем читателю
(см. упр. И).
Наконец, приведем пример интеграла,
который не может быть представлен
при помощи конечной комбинации эле-
элементарных функций:
/(«)=j
E.5.1)
Доказательство того, что функцию A)
нельзя выразить через известные нам
«элементарные» функции (степенные,
в том числе с дробными показателями,
показательную, логарифмическую, три-
тригонометрические и обратные тригоно-
тригонометрические), весьма сложно, и мы
его приводить не будем.
Интеграл A) является новой функ-
функцией, свойства которой можно изучить.
Из определения / (х) следует, что
^ = е-< E.5.2)
Так как /' (х)=е~х' > 0 при любом х,
то / (х) — возрастающая функция. Про-
Производная функции / (х) максимальна
при х=0, где она равна 1; значит,
график / (х) образует наибольший угол
с осью х при х=0 (этот угол равен 45е).

146
Гл. 5. Техника интегрирования
При больших по абсолютной величине
{положительных и отрицательных)
df
значениях х производная -т— очень мала;
поэтому здесь функция f(x) почти по-
х
стоянна. График функции Ф (х) = I er^dx
о
изображен на рис. 1 (для определенности
нижний предел выбран равным нулю).
Тот факт, что число Ф(оо)« 0,885 равно
-^—, в настоящей книге мы приводим
без доказательства.
Для функции Ф (х) составлены под-
подробные таблицы; благодаря им вычис-
вычисления, в которых фигурирует интеграл
A), не сложнее, чем, например, рас-
расчеты с применением тригонометриче-
тригонометрических функций.
O.8SS
Рис. 5.5.1
теграл или «не берется» 1. Технику ин-
интегрирования невозможно довести до
того уровня автоматизма, с каким мы
дифференцируем функции (т. е. нахо-
находим их производные). При необхо-
необходимости часто искать интегралы функ-
функций естественно пользоваться спе-
специальными справочниками, в кото-
которых имеются таблицы (неопределенных)
интегралов, классифицированные по
типам подынтегральных функций так,
чтобы требуемый интеграл было легко
найти 2, а также некоторые типы опре-
определенных интегралов (в пределах от 0
до оо, от 0 до тг, от — оо до оо и т. д.).
В случаях, когда интеграл найти не
удается, приходится прибегать к чис-
численному (приближенному) интегри-
интегрированию.
У применения
Найдите интегралы:
5.5.1. J cos (Зя — 5) dx. 5.5.2. J sin Bа: +
5.5.3. f •Зя —
J
2 dx. 5.5.4.
-а.т
[Указание. Сделайте замену переменной
С xdx
Vx = z.] 5.5.5. \ . [Указание.
J vxa — 5
Заметим еще, что, пользуясь различ-
различными приемами, иногда можно полу-
получить для одного и того же интеграла
разные выражения (ср. упр. 6). Это не
должно смущать читателя. Если вычис-
вычисления сделаны верно, то полученные
выражения должны отличаться лишь
на постоянную — и при нахождении
определенного интеграла (при любых
пределах интегрирования) результаты
окажутся одинаковыми.
Мы видим, что вычисление интегра-
интегралов заметно сложнее нахождения про-
производных: здесь приходится пользо-
пользоваться разными искусственными при-
приемами (интегрирование по частям, за-
замена переменных) — и часто сразу не
ясно, какой прием следует применить
{например, как выбрать новую пере-
переменную). Более того, в некоторых слу-
случаях (как в случае интеграла A)) во-
вообще никакой прием не позволяет до-
довести задачу до конца (т. е. выразить
интеграл через конечное число элемен-
элементарных функций); принтом мы не имеем
никакого критерия, позволяющего су-
судить о том, «берется» ли данный ин-
1 Нередки случаи, когда формула для
О
определенного интеграла \ / (х) dx в извест-
а
ных пределах от а до Ъ существует, а общую
формулу для неопределенного интеграла от
той же функции найти не удается. Так, мы уже
00 . СО
отмечали, что I e~x'dx = —tj- , где \ e~**dx=
о о
м
= lim I e~x'dx, в то время как соответствую-
tf-oo0J
щий неопределенный интеграл вычислен быть
не может. (Об одном из методов вычисления
определенных интегралов, не требующих пред-
предварительного нахождения формулы для со-
соответствующего неопределенного интеграла,
рассказывается в § 17.3.)
* См., например, книги: Бронштейн И. Н.,
Семендяев К. А. Справочник по математике
для инженеров и учащихся вузов. М.: Наука,
1967; Смолянский М. Л. Таблицы неопреде-
неопределенных интегралов. М.: Наука, 1967; Двайт Г.
Таблицы интегралов и других математичес-
математических формул. М.: Изд-во иностр. лит., 1948;
Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы
интегралов, сумм, рядов и произведений. М.;
Л.: Гостехиздат, 1951. Последняя книга яв-
является наиболее полной.

§ 6. Замена переменной в определенном интеграле
147
Сделайте замену переменной х2— 5 = 2.]
5.5.6. j sin3a;cos xdz. [Указание. Сде-
Сделайте замену переменной sin х = z или
„;-«„. dx. [Указание.
Сделайте замену переменной sina; = z.]
5.5.8. \tgxdx. 5.5.9. Г , * .
J J ^а х
С dx
5.5.10. Докажите, что \ —р==? =
J V(a2 — x2K
При нахождении интегралов удобно
поступать именно так: выполняя за-
замену переменной, одновременно нахо-
находить и новые пределы интегрирования.
Тогда в выражении неопределенного
интеграла не придется возвращаться
к старой переменной.
Рассмотрим примеры.
dx
5.5.11. Найдите интеграл
Г
dx
1. Вычислим интеграл \ -prz.
о
Заметим сразу же, что функция
idx
§ 6. Замена переменной в определен-
определенном интеграле
Рассмотрим пример. Пусть требуется
вычислить определенный интеграл
я
B-*)»
при изменении х от 0 до 1 прини-
принимает положительные значения; поэтому
^ 0; вместе с тем знамена-
_^ .3
Можно поступить следующим образом:
вычислить сначала неопределенный ин-
интеграл \(ах-f-bf dx, а затем составить
разность его значений при x=q и ж=р.
Для вычисления \{ax-\-bfdx сделаем
замену переменной по формуле z=ax-\-b.
Тогда dz = adx и
23 __(ах-\-Ъ)я
~~~3а~ За
Поэтому
За
(ад -f- Ь)* — (ар -f- ЬK
— Та '
Можно, однако, действовать иначе.
Выясним, как будет изменяться z,
когда х изменяется от р до q. Так как z
связано с х формулой z=ax-\-b, то
при изменении х от р до q величина z
будет меняться от ар-\-Ь до aq~\-b.
Следовательно,
q aq+b
lx = - [ z2dz =
a J
ap+b
(a? + bK —(op + b)s
о
тель в этом промежутке не обращается
в нуль, так что подынтегральная функ-
функция во всем промежутке конечна. Сде-
Сделаем замену переменной 2 — х = у, dx^
= —dy. Тогда у = 2 при ж = 0; г/ = 1
при х = 1, так что
f dx _ с dy
) B-х)»— ) ys • EЛО>
О 2
В правой части A) пределы интегри-
интегрирования даны уже для у. Читателя
может смутить знак минус в последнем
равенстве. Действительно, справа и
слева стоят интегралы от положитель-
положительных функций; почему же положительна
правая часть равенства A)? Все дело
в том, что в интеграле справа нижний
предел больше верхнего. Так как при
перестановке пределов интегрирования
интеграл меняет знак, то равенство A)
можно записать так:
1 2
) B-х)» —J у3 '
О 1
Теперь в интеграле справа верхний
предел больше нижнего и ясно, что
этот интеграл положителен. Вычисле-
Вычисления легко доводятся до конца:
dy 1 2J Jl
3a
ар+Ь
За
2. В § 5 мы рассматривали функцию
х
Ф (ж) = f erxXdx. Часто приходится иметь
о
а
дело с функцией ср(а)= I e~kx*dx, где

¦148
Гл. 5. Техника интегрирования
к — постоянное число. Покажем, что
между функциями ср и Ф существует
простая зависимость.
В выражении для ср (а) сделаем замену
переменной по формуле kx2 — t2. Отсюда
находим xJk=t, x~—=-, dx — —==rdt.
Vk Vk
Ясно, что 2 = 0 при х = 0; t — a\/k при
х = а. Поэтому
av/fc
О
= JL<D(
Следовательно, для любого значения
независимой переменной х
E.6.2)
Имея таблицу значений функции Ф (х),
можно найти также интеграл ср (х)
при любом значении к. И наоборот,
зная значения функции ср (х), отвечаю-
отвечающие какому-либо конкретному значе-
значению к, мы можем с помощью зависи-
зависимости B) найти и значение функции
Ф (z) для любого z (в B) нам придется
положить z=x\Jk) x.
3. В гл. 3 мы видели, что если подын-
подынтегральная функция и пределы интег-
интегрирования имеют размерность, то и
определенный интеграл не безразмерен.
Часто, однако, бывает удобно привести
интеграл к безразмерному
виду, вынося за знак интеграла все
размерные множители; при этом далее
приходится рассматривать (преобразо-
(преобразовывать) только численный (безразмер-
(безразмерный) интеграл. Покажем, как это
можно сделать.
1 Заметим, что более привычными являются
не таблицы значений Функции Ф(х) =
X
= \ е~х dx, о которых мы говорили на с. 146,
о
а таблицы значений родственного Ф (я) инте-
X
грала у (х) = -7= \ е~х*12Aх; однако функции
о
<? (х) и Ф (х) тесно связаны между собой (ср. фор-
формулу B), где в этом случае следует положить
А=1/2). Функция ? (х) играет большую роль
в одном из более продвинутых разделов высшей
математики — в теории вероятностей, о кото-
которой упоминается в Заключении к этой книге.
о
Пусть дан интеграл [ f (x) dx, где
а
функцию / (х) мы для простоты счи-
считаем неотрицательной. Обозначим че-
Рез /ти наибольшее значение функции
/ (х) на промежутке интегрирования и
вынесем число /ш„ за знак интеграла 2:
ь ь
— t [1M
/ШИ 1 4
¦I /шах
/
dx.
E.6.3)
Ясно, что в последнем интеграле подын-
у f (X) *
тегральная функция уже без-
/шах
размерна, так как f(x) и /шах имеют
одну и ту же размерность.
Перейдем теперь к безразмерному
аргументу функции и безразмерным
пределам интегрирования. Для этого
выполним замену переменной по фор-
формуле
z= ^~a t или ж = a-f-z F — a). E.6.4)
Из D) видно, что величина z безразмерна.
Так как dx=(b—a) dz и z=0 при х=а,
z=l при x=b, то интеграл в правой
части равенства C) принимает вид
/
Положим
из E) следует
/ша
E.6.5)
); тогда
/
и окончательно получаем
Ь 1
= /т»х(&—a)\f(z)dz. E.6.6)
а О
В формуле F) f ср (z) dz — безразмерная
о
величина.
2 Мы положили, что | (i) > О и /тах Ф 0;
в случае знакопеременной (или отрицатель-
отрицательной) функции роль /шах должно играть наиболь-
наибольшее значение |/|шах абсолютной величины
функции /.

i 6. Замена переменной в определенном интеграле
149
Если f(x) мало меняется на проме-
промежутке интегрирования, то яь 1
/шах
/но, разумеется, -4^-^1, ">ибо
\ /max
; в этом случае cp(z)
1
и /=
(но
(но
о о
1). А тогда безразмерный мно-
1
житель \<f(z)dz = I имеет порядок ве-
о
личины 1 и интеграл C) определяется
в первую очередь произведением
/ш,хF-а).
Рассмотрим элементарный пример: сво-
свободное падение тела в течение вре-
времени t0. Путь в данном случае равен
'о
I v(t)dt. Ускорение тела равно g, и по-
о
этому скорость тела v(t) = gt (мы счи-
считаем, что у@) = 0 и что максимальная
скорость ишах достигается к моменту t0:
ymax = i#o)- Заметим, что здесь максимум
обусловлен не тем, что после t = t0 ско-
скорость начинает уменьшаться, а просто
тем, что значения времени, которым
должна была бы отвечать большая, чем
gt0, скорость, не входят в промежуток
О ^ t ^ t0 интегрирования. Вводим обо-
значения: z = -т—, ср (z) = =-5— =
'о ' TV ' "шах gto
= — = z; тогда получаем
'. 1
s = \ v (t) dt = vmatQ \ zdz ¦
Значит, в данном случае безразмерный
множитель I = I cp (z) dz (значение ко-
о
тор ого в общем случае будет порядка 1,
но который всегда меньше 1) равен
0,5, что достаточно хорошо соответ-
соответствует нашей грубой прикидке.

Глава 6
РЯДЫ. ПРОСТЕЙШИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Представление функций в виде
рядов
Пусть функция у (х) задана какой-
либо формулой, которая, однако, ка-
кажется нам слишком сложной и неудоб-
неудобной для вычисления значений у. Поста-
Поставил! себе задачу — построить простое
и удобное приближенное выражение
функции у (х) на небольшом промежутке
изменения аргумента х, например при
значениях х, близких к фиксирован-
фиксированному числу а.
Определение производной (см. гл. 2)
можно записать так:
y'(a) = h
откуда следует, что
у(х)ту (а) -\-{х — а) у' (а),
F.1.1)
где приближенное равенство A) явля-
является «точным в пределе», т. е. будет
тем точнее, чем меньше разность | х—а |.
Формула A) указывает, что при х,
близком к а, изменению аргумента на
(малую) величину х—а отвечает изме-
изменение значения функции на у' (а) (х—а),
т. е. она согласуется со смыслом про-
производной
L
их
= у' (а) как скорости
изменения функции в точке х = а.
При больших значениях | х—а | фор-
формула A) становится неточной: чем
больше | х—а |, тем хуже она рабо-
работает. Действительно, полагая Дг/=
=у (х)—у (а)=у' (а)(х—а), мы прини-
принимаем скорость изменения функции
всюду между х и а равной скорости
у' (а) изменения функции в точке а,
в то время как на этом промежутке
изменения х сама скорость у' также
меняется. Точная формула, учи-
учитывающая это непостоянство скорости
у' (t) изменения функции, имеет вид х
1 Формула B) непосредственно вытекает ив
X
C.4.5а): ведь | у' (t) dt = у (t) \x=y (x)-y{a).
= y{a)+\y'{t)dt.
F.1.2)
Формула A) называется первым, или
линейным 2, приближением функции
Применим теперь формулу A) к про-
производной у' (х). Мы получим
— а)у"(а). F.1.3)
Прежде чем идти дальше, напомним
"/ \ dy'
читателю, что у {z)—-j- это вторая
производная функции у по х, обозначае-
d2y ,
мая также -т-|; она получается из у
так же, как у' — из у. Аналогично
. йу"
определяется у = -з третья производ-
производная функции у, ее четвертая производная
у14, пятая производная yY (или г/E)) и
т. д. Производная п-то порядка, полу-
получаемая в результате n-кратного последо-
последовательного дифференцирования функции
у (n-кратного взятия производной), обозна-
r_, dnu
чается через у1 ' или ~ (но вторая, третья
и четвертая производные всегда записы-
записываются как у", у" и у1у, а не как уB\ у(ЗУ
и yw). Скобки вверху в обозначении у(ю
ставятся для того, чтобы отличить по-
порядок производной от показателя сте-
степени.
Ясно, что если х измеряется в еди-
единицах е15 а у — в единицах е2, то раз-
размерность n-й производной -j4r есть
—Ц^. Так, если у — путь (измеряемый
в см), ах — время (в с), то вторая
производная (ускорение!) у" име-
имеет размерность см/с2; приращение
(Так же проверяется и формула E).)
2 В выражение A) для у величина х входит
только в первой степени, т.е. здесь у — много-
многочлен первой степени от х. Такая зависимость
графически изображается прямой линией (см.
§ 1.3) и потому называется линейной.

i 1. Представление функций в виде рядов
151
Ау" ускорения имеет ту же раз-
размерность см/с2, а, значит, размер-
размерность «скорости изменения ускорения»
у'" — lim -У— будет уже см/с3 и т. д.
Вернемся к задаче приближенного вы-
выражения функции. Формула C) для
производной есть не что иное, как
формула A), примененная к функции у'
{вместо у). Подставим (приближенное)
выражение C) для производной у' в точ-
точную формулу B). Мы получим
х
у{х)^у (а) + J [у' (a) + {t-a) у" (a)] dt=
= у (а) _|_ (х - а) у' (а
а).
F.1.4)
Формула D) тоже является прибли-
приближенной, но она точнее выражения A).
При выводе D) мы считались с тем, что
производная у' (х) непостоянна, но из-
изменение у' (х) учитывалось лишь при-
приближенно: формула C), которой мы
пользовались в ходе вывода D), полу-
получена в предположении постоянства
у" (#)(=г/" (а)), что приводит к л и-
н е й н о й зависимости у' от х; при
этом для у (х) получается квадра-
квадратичная зависимость от х. Прове-
Проведем еще для формулы D) «контроль
размерностей», ограничиваясь для про-
простоты эталонным примером время—
путь: если у измеряется в см, а. х — в с,
то размерности производных у' и у"
будут соответственно см/с (скорость)
и см/с2 (ускорение); величины у (х)
и у (а) будут иметь размерность см,
а множители (х — а) и -j (х — аJ — со-
соответственно размерности сие2; по-
поэтому размерности левой и правой
частей формулы D) будут одина-
одинаковы (см).
Уточним теперь формулу D), учиты-
учитывая, что и величина у" непостоянна.
Воспользуемся формулой
F.1.5)
«J
которая получается из равенства B)
заменой у на у'. Представим у" (х)
формулой типа A), только применен-
примененной уже не к исходной функции у (х),
а к функции у" (х):
у"{х)^уя{а)-{-{х — а) у" {а), F.1.6)
и подставим полученное выражение
в E). Из формул E) и F) следует
х
у' (х) « у' (а) + j [у" (a) + (t-a) у"(a)] dt,
или
+ ^T^-i///'(a). F.1.7)
(Ясно, что G) есть формула типа D),
записанная для функции у' (х).)
Выражение для у' (х) из G) подста-
подставим в B):
+ у' (а) (х - а) + ^Р- (х - of +
+ ^P-(x-af. F.1.8)
Общий закон усматривается из срав-
сравнения полученных нами выражений.
В самом грубом приближении можно
считать, что при малом | х—а \
у(х)^у{а) F.1.9)
(очевидное приближение (9) вообще не
требует знания математики). Назовем
(9) нулевым приближением |[функции
у (х), выражение A) — первым при-
приближением, D) — вторым приближе-
приближением, (8) — третьим приближением
и выпишем все эти формулы рядом:
у (#)«г/ (а) (нулевое приближение);
у (х)^у (а) + (х—а) у' (а)
(первое приближение);
у(х)^у (a) -f (x — а) у' (а) +
-f- 2 У" (а) (втоРое приближение);
у(х)^у {a) -f (x — а) у' (а
^^Ly'4a) {третье
приближение).
Теперь легко представить себе, ка-
какой вид будут иметь приближенные
формулы для у (х), получаемые, если
продолжать процесс их уточнения: так,
если учесть, что у'" непостоянна, то
в формулу войдет ylY (а); при этом
выражение для у (х) (четвертое при-
приближение) будет содержать член

152
Гл. 6. Ряды. Простейшие дифференциальные уравнения
с (х—а)*. Каждый следующий шаг по
уточнению у (х) дает дополнительный
член с более высокой степенью х—а.
При этом можно ожидать, что чем
больше степеней х—а входит в формулу,
тем она будет точнее. Конечно, сказан-
сказанное будет верно лишь при малых зна-
значениях | х—а |, а при больших | х—а \
все эти формулы могут оказаться не-
неверными (ср. § 3 ниже).
Общий вид гс-го приближения
у(х)жу (а) -f cjjf' (а) (ж — а) +
+ с2у" (а) (х - of + с3у"' (а) (х - аK + ...
• • • + спУ(т <fl) (х — «Г F.1.Ю)
вытекает и из соображений размерности.
В самом деле, если у измеряется в еди-
единицах е2, а х — в единицах ег, то
г/1к)(а) = —- имеет размерность
-^—, так что в приближенном выраже-
нии для у (х) слагаемое с уш (а) обя-
обязательно должно содержать множитель
размерности (ej*, т. е. множитель
(х—а)к. Правда, эти подсчеты не позво-
позволяют судить о численных значениях
коэффициентов сх, с2, с3, . . . в формуле
A0) (мы знаем, что с^= 1, с2=1/2, с3=
= 1/6, — но каковы с4 и последующие
коэффициенты?), однако эти величины
можно определить следующим образом.
Обозначим правую часть формулы
A0) (многочлен гс-й степени от перемен-
переменной х) через Рп (х):
+ с2у" (а) (х - af + csy" (a) (x-af+...
...+су»>(а)(х-а)п. F.1.11)
Из A1), разумеется, следует, что Рп(а)=
=г/ (а). Далее, дифференцирование ра-
равенства A1) дает
К (*) = ^У' (а) + 2с2у" (а) (х - а) +
... -f псУю (а) (х — а)". F.1.11а)
Поэтому Р'„ {a^c-d)' {а). Потребуем те-
теперь, чтобы не только значение Рп (а)
многочлена A1) в точке х—а .совпадало
со значением у (а) функции у (х)
в той же точке, но и чтобы скорость
Р'п (а) роста многочлена в точке х—а
не отличалась от скорости у' (а) роста
функции у (х). Для этого надо поло-
положить cj=l. Аналогично, дифференци-
дифференцируя далее обе части равенства A1а) и
подставляя в полученный результат
значение х=а, мы последовательно по-
получаем:
при с2 :=1/2,
= у»(а)
при с3 = 1/6,
а) = у™ (а)
при с4=1/24,
(») (о) = 2 • 3 • 4
nyw (а) и
PC") (а) = г/(П) (а) при сп = 1/B • 3
п).
Итак, если потребовать, чтобы значения
п последовательных производных много-
многочлена Рп (х) при х—а совпадали со
значениями производных того же по-
порядка функции у (х) в той же точке
(а это требование как раз и означает
большую близость функций Р„ (х) и
у (хI), то мы должны будем положить
Cl=l, c,=l/2, е,=1/B.3),
с4=1/B.3-4), . . ., с„=1/B-3.. . .-п).
Таким образом,
Мы пришли к приближенной формуле
(х)^у (a) -f- у' (а) (х — а)
—г.
F.1.13)
Произведение 1-2-3-. . .-п первых п
последовательных натуральных чисел
принято обозначать символом п\ (чи-
(читается: «эн факториал», от латинского
слова factor — сомножитель): так 3!=
= 1-2-3=6,4! = 1-2.3.4=3!-4=24,5! =
= 1.2-3.4-5 = 120, а 1! = 1 и 21 = 2.
В этих обозначениях формула A3)
запишется так:
F.1.13а)

§ 1. Представление функций в виде рядов
153
Вот более полное доказательство той же
формулы A3) (или A3а)), приводящее к более
сильным, чем ранее, результатам. Вернемся
к точному равенству B) и заменим под инте-
интегралом dt на d (t—х):
= у'
y'(t)d(t-x).
Эта замена законна, ибо здесь х (верхний пре-
предел интегрирования) рассматривается как по-
постоянная, и потому d (t—x)=dt.
Воспользуемся теперь приемом интегриро-
интегрирования по частям (см. формулу E.4.3а)):
¦{х)=у{а)+ \y'(t)d(t-x) =
/ @
(x-t)y"(t)dt.
* ' ' '
Если теперь снова заменить под интегралом dt
на d (t—х) и проинтегрировать по частям, то
получим
J [x-t)y"{t)d(t-x) =
= -J »'(*)¦
(x-ty
¦=-</"
(x-t)*
и, значит,
У [х) = У (а) + у'(а)
— аJ +
— о) +
Производя интегрирование по частям п раз,
мы получим выражение, состоящее из л+2
членов:
2!
— аJ
у'(а) (х-а)
У" (а) .
а)
аK -\- ...
г/(я) (а)
п\
х
n)dt.
F.1.15)
Формула A5) в противоположность A3а)
является точной: ведь она получена преобразо-
преобразованием точной формулы B) ! Последний член
X
1 f
г„ = ^-р \ (х — t)" yt"*1' (г) dt в ее правой части
а
называется остатком, или остаточным чле-
членом' он ^указывает разность между левой
частью у (х) формулы A3) и приближенно вы-
выражающей ее правой частью той же формулы.
Формулу A5) удобнее переписать в форме,
не содержащей интеграла3:
У" (")
2!
— аJ
У(п)П
F.1.16)
где с — какое-то число, заключенное^между
х ж а.
В общем случае произвольной функ-
ции у (х) никакое конечное число сте-
пеней (х—а), взятых с постоянными
коэффициентами, не выразит точно 4
исходную функцию: правая часть A3)
(или A3а)) лишь приближенно
совпадает с у (х), но не равна у (х).
Точную формулу можно получить,
лишь суммируя бесконечное
множество степеней (х—а):
У (х) = со + ci (х — а
(х — я)
F.1.17)
3 Относительно справедливости перехода
от A5) к A6) см. текст, напечатанный в § 7.7
мелким шрифтом, в частности формулу G.7.13),
где надо только обозначить переменную инте-
интегрирования через х—t (=z) (теперь х посто-
постоянно, так что d (x—t)=—dt), а зависящую от
новой переменной х—t—z функцию j/C+d (t)
принять за / (z). Тогда мы получим
'(с),
(х — а)я+1
где с — какое-то значение независимой пере-
переменной, промежуточное между х и а.
* Исключением здесь является случай,
когда у (х) — это многочлен (ср. с нача-
началом §2).

154
Гл. 6. Ряды. Простейшие дифференциальные уравнения
Стоящее в правой части A7) выра-
выражение называют бесконечным рядом
(впрочем, прилагательное «бесконеч-
«бесконечный» обычно опускают и говорят просто
ряд). При этом про равенство A7)
тоже можно сказать, что оно «точно
в пределе», однако здесь этот оборот
имеет несколько иной смысл, чем выше.
Дело в том, что, разумеется, нельзя
сложить сразу бесконечно много сла-
слагаемых; поэтому, выписывая стоящую
справа сумму, мы неизбежно должны
будем ограничиться тем или иным конеч-
конечным числом п первых ее членов. Утверж-
Утверждение, что при достаточно малых
| х—а | формула A7) «точна», озна-
означает, что сумму справа можно сделать
сколь угодно близкой
к у (х) (для этого только нужно взять
достаточно большое число п слагаемых).
Можно также сказать, что у (х) равно
пределу суммы п первых членов
ряда при п -> со 5.
Коэффициенты с0, сх, . . ., сп, ...
в A7) различны для разных функций;
они также зависят от значения а.
Мы уже видели, что со=у(а), сг=у' (а),
С* = У 2\ ' сз— У3\ И Т- Д"' Т- е-
у(х) = у (a) -f у' (а) (х — а) +
2!
(*_«)"+...
F.1.18)
Отметим еще частный случай фор-
формулы A8), получаемый в предположе-
предположении, что а=0:
у {х) = у @) + „' @) х + -!ф- а' +
+^+...+^> *¦+...
F.1.19)
С помощью символа суммирования фор-
формулы A8) и A9) можно сжато записать
так:
F.1.18а)
[в=1
в При этом возможно, что при разных зна-
значениях х для достижения одной и той же точ-
точности приближения суммы первых членов ряда
к значению у (х) потребуется разное
Формулы A8) и A9) (или A8а) и A9а))
дают разложение функции у (х) в ряд
по степеням х—а (или х). Стоящий
в правой части формулы A8) (или A8а))
ряд называется рядом Тейлора; ча-
частный случай этого ряда, стоящий
в правой части формулы A9) (или A9а)),
называется рядом Маклорена.
Примерам приложений формул Тей-
Тейлора и Маклорена к конкретным функ-
функциям будет посвящен следующий пара-
параграф, однако первое подобное представ-
представление функции в виде ряда мы рассмот-
рассмотрим уже здесь.
Пусть у=ех. Тогда
У —е, у — е , ..., у —е , ...
Воспользуемся формулой A9) разло-
разложения функции в ряд Маклорена.
В нашем случае
у @)=у' @)=у" @) = . . . = 1.
Подставляя эти значения в A9), полу-
получим разложение функции у=ех в ряд
Маклорена
¦••+ТГ+---
F.1.20)
Рассмотрим теперь формулу, которая
получается из формулы Тейлора A8),
если ограничиться, например, тремя
членами ряда:
у(х)^у (a) -f (x — а) у' (а)
(х — а)
У" {а).
Раскроем в правой части скобки и рас-
расположим результат по степеням х:
у (х) « [у (а) - ау' (а) + %-у" (а)]+
+ [у' (а) - ау" (а)] х+\у" (а) х\ F.1.21)
Справа в B1) стоит многочлен вто-
второй степени. Обращаем внимание чита-
читателя на то, что этот многочлен не со-
совпадает с тем, который получится,
если взять три члена ряда Маклорена:
F.1.21а)
число слагаемых. (Мы не останавливаемся
пока на общих вопросах об области примени-
применимости формул вида A7) и о функциях, для
которых разложения A8) и A9) не верны.)

§ 1. Представление функций в виде рядов
155
Это и понятно: ведь формула B1) дает
хороший результат, если х близко к а,
а формула B1а) точна при х, близком
к нулю.
В гл. 2 мы определили производную как
предел отношения приращения функции к при-
приращению независимой переменной. После того
как мы построили выражение функции в виде
ряда, можно уточнить закон приближения
Д2/ „ dy
отношения -д^- к производной -^ при умень-
уменьшении Ах.
Возьмем ряд Тейлора A8) и обозначим
х—а через Дат. Затем перенесем у (а) в левую
часть A8), разделим обе части на х—а— Ах
и обозначим у (х)—у (а) через Ду. Мы полу-
получим
^'() '()A +
+ -q у" (а) (АхJ + ... F.1.22)
При малых Да; второй член справа больше
третьего члена. Пренебрегая последним, при-
придем к выводу, что отличие отношения -д—
от значения у' (а) производной на краю про-
промежутка от х^=а до х=а-\- Да; пропорционально
величине второй производной у" (а) и длине
промежутка Да::
&у 1
-Jx-^у' (а)+ 2~г/"(а) Ах-
При этом мы сравниваем отношение прираще-
приращения функции на рассматриваемом участке
значений х к приращению х с производной
у' (а) на краю этого участка.
Производную можно вычислять и иначе,
принимая за ее приближенное значение
далее,
, f(x + Ax)-f(x)
не дробь д^ , а дробь
/ (х + As/2) ~f(x- Да/2)
д5 • Другими словами,
при вычислении производной в точке а мы
составляем приращение, которое получит
Ах
функция при изменении аргумента от а — -к-
до а -\-~2 > и делим на Ах именно это при-
приращение. Сравним теперь отношение нашего
приращения функции y=f(x) к Да; с произ-
производной у' (а), вычисленной в середине
участка изменения переменной. Мы найдем,
что
Ах
Ах
Ах
Tf'(a
/Ах V
(—)
Ах
х\3
)
==f (а)+±^~ f'"(")¦ F.1.23)
Мы видим, что новый способ оценки про-
производной /' (а) гораздо точнее старого: раз-
разность между отношением приращений и про-
производной теперь пропорциональна (Да;J, а не
(Да;), и к тому же выражение для этой разности
содержит малый коэффициент 1/24. Итак,
мы имеем приближенно
а точнее, из формулы B2)
/ («)«: д^
Или, иначе,
/' («) «: /(" + АХ/ }д~/(а~
а точнее (в силу формулы B3)),
/ (о + Дя/2) — / (о — Дх/2)
/' («) ^ д5
1
F.1.24а)
F.1.25)
F.1.25а)
При этом равенства B4а) и B5а) (как и ра-
равенства B4), B5)), разумеется, являются
приближенными: в них мы пренебрегаем ве-
величинами более высокого порядка малости
(по отношению к Да;), чем те, которые входят
в эти формулы.
Аналогично можно получить и приближен-
приближенные формулы для вычисления второй произ-
производной. По определению,
_
dx
Ax
Заменяя теперь Д/' на }'(а-\-Ах) — f (а) и
оценивая /' (а + Дх) и /' (о) с помощью
/ (а
отношении
f (а 4-
f (а)
-г-!
мы приходим к прибли-

156
Гл. 6. Ряды. Простейшие дифференциальные уравнения
женному выражению для второй производной
функции, в которой фигурирует отношение
2f(a + Ax)+f(a)
^щ^ . Для оценки
этого отношения обратимся снова к формуле
Тейлора:
/ (а + 2Ах) % / (а) + т /' (а) BД*) +
+ Г («) BЛ*J + -^ Г (а) BАх)\
/ (а + Лх)
+ Tf (а)
/(а) + у/»
Дх)* + 24/" И
Отсюда, учитывая первые три члена в правых
частях этих формул, получим
/ (а + 2Ая) - 2/ (а + Ах) + / (а) 1
Щ* *з"' (">•
или, точнее (с учетом всех четырех членов),
/ (« + 2Дх)-2/(а + Дя) + /(а)
Г (а)
(Дх)»
F.1.26)
Для получения /" (а) лучше комбини-
комбинировать не значения / (а), / (а-\- Ах), f (а+2 Ах)
t
&Z/2 йх/Z
Рис. 6.1.1
функции, вычисленные в промежутке от а до
а+2 Да;, а значения / (а—Дх), / (о), / (а+Дя).
(Здесь интересующее нас значение х=а
совпадает с серединой области изме-
изменения аргумента.) И в самом деле, легко
показать, что
„ f(a + Ax)-2f(a)+f(a-Ax)
/ («)%3 Щ1
или, точнее,
/ (в + Ах) - 2} (a) + f(a- Ax)
(Дх)*
Г («)'
F.1.27)
(см. упр. 6).
Геометрически различия между прибли-
приближениями B4) и B5) для производной сводятся
к тому, что в первом случае мы заменяем ка-
касательную t к графику функции y=f (x)
(рис. 1) в точке М (a, f (а)) (наклон этой каса-
касательной равен производной /' (о)) прямой
ММХ = I, где М1=М1 (а+ Ах, f (a+ Д*)),
а во втором случае — прямой N1N2=11, где
f Ax f Дз;\\
= Л/'2(а + -2", f\aJr~2~))- Но ясно, что прямая
1г по направлению гораздо ближе к касатель-
касательной t, чем прямая I (рис. 1). Аналогично формула
B6) получается в предположении, что екорость
изменения производной у' (скорость поворота
касательной к кривой ;/=/ (х)) оценивается по
разностям изменений производной на участ-
участках от М до Мх и от Мг до М2 (я+2Да;, / (х+
+2 Да:)), а формула B7) — что скорость из-
изменения у' оценивается по разностям изме-
изменений производной на участках от М' (х— Ах,
} (х— Дя)) до М и от М до Мх (чертеж сделайте
сами).
Упражнения
6.1.1. Разложите многочлен 3-й степени
y—ax3-\-bx2-\-cx-\-d в ряд по степеням (х—х0),
где х0 — произвольное фиксированное число;
сравните сумму первых двух, трех и четырех
членов полученного разложения с много-
многочленом.
6.1.2. Разложите в ряд Маклорена функ-
функцию у=хех; проверьте, что разложение этой
функции можно получить из разложения
функции у=ех умножением последнего на х.
6.1.3. Разложите функцию ех в ряд Тейлора
по степеням (я—1).
6.1.4. Выясните точность приближенной
формулы A+г)т =5: етг при г<;1 и тг<^1,
записав приближенно левую и правую части
равенства В виде сумм a-\-br -f- cr2, получен-
полученных в пренебрежении 3-й и высшими сте-
степенями г.
6.1.5. Используя формулы B4) и B5)
(соответственно B6) и B7)) и задаваясь интер-
интервалом Дя=1; 1/2; 1/4; 1/8, найдите прибли-
приближенные значения: а) производной функции в*
при х=0; б) второй производной функции ех
при х=0. Сравните полученные результаты
с точными значениями.
6.1.6. Докажите формулу B7).
§ 2. Вычисление значений функций
при помощи рядов
Остановимся вкратце на принципах,
положенных в основу формул § 1.
При первых подходах к понятию про-
производной (т. е. скорости изменения
функции) мы считали рассматриваемые
функции известными, т. е. исходили
из того, что можем вычислить значение

i 2. Вычисление значеннй функцнй при помощи рядов
157
функции при любом значении аргу-
аргумента. Эта установка позволяла нам
находить производные непосредственно,
так сказать опытным путем, вычисляя
значения функции при значениях аргу-
аргумента, близких к рассматриваемому
нами. Потом мы научились находить
производные по формулам, и оказалось,
что составление формул для производ-
производных — довольно простое дело. По-
Поэтому часто вычисление значений функ-
функций при помощи формул, в которые
входят производные (а именно тако-
таковыми были все приближенные фор-
формулы § 1!), оказывается более простым,
чем прямое вычисление значений функ-
функции.
Функции, отличные от многочлена,
представляются бесконечными
рядами, так как только в случае много-
многочлена ряд Тейлора обрывается, со-
содержит конечное число членов (это
утверждение мы докажем чуть позже).
Практическая ценность для вычислений
бесконечных рядов связана с возможно-
возможностью, ограничиваясь небольшим числом
(зачастую двумя или тремя) членов ряда,
получить достаточно точный результат.
Для этого необходимо, разумеется,
чтобы сумма отброшенных членов была
достаточно мала.
Рассмотрим несколько примеров раз-
разложения функций в ряды. Мы уже
упоминали (простейший) случай, когда
функция
у = Ь0 + Ъхх + Ь2ж2+ ¦¦-+КХ" F-2.1)
есть многочлен степени п. Его произ-
производная у' (х) будет многочленом сте-
степени п—1, у" (х) — многочленом сте-
степени п—2 и т. д., yw (х) есть постоянная
величина, а у1п+1> (#)=0 и все производ-
производные более высокого порядка — также
нули. Поэтому для многочлена ряд.
Тейлора A.18) обрывается, он состоит
из конечного числа членов. В качестве
ряда Тейлора мы получаем тот же мно-
многочлен, только расположенный по сте-
степеням (х—а):
у = со-{-с1(х — а) 4-с2{х — af 4- ...
. ..4-ся(я—а)я. F.2.1a).
При этом для многочленов гс-й степени
сумма первых тг+1 членов ряда Тей-
Тейлора дает точное равенство, вер-
верное при любых х, а не только при х,
близких к а; само же выражение A)-
многочлена можно понимать как фор-
формулу Маклорена A. 19) для нашей
функции у (х) (почему?).
В предыдущем параграфе мы
уже рассматривали экспоненциальную
функцию и получили формулу A. 20)
••• ^ и!
F.2.2)
В частности, подставляя сюда x=i
и х——1, получим выражения для са-
^ 1
мого числа е и для обратного е числа —
F.2.3)
F.2.3а>
Формула B) позволяет быстро и
с большой точностью вычислять ех, что-
можно видеть из табл. 1.
Если при ?=0,1 мы ограничимся
первыми двумя членами формулы, то
в
е-.
1
е
виде
= 1-
_1_
рядов:
14- 1
. 1
~~ ~т~~2
1
4-4-f
1
¦ 6~~
1
- . . ¦\-у
, 1
1
1
120
Таблица 1
X
0,10
0,25
0,50
0,75
1,00
1,25
1,50
2,00
ех
1,1052
1,2840
1,6487
2,1170
2,7183
3,4903
4,4817
7,3891
1+*
1,10
1,25
1,50
1,75
2,00
2,25
2,50
3,00
1,1050
1,2812
1,6250
2,0312
2,5000
3,0312
3,6250
5,0000
1,1052
1,2838
1,6458
2,1015
2,6667
3,3568
4,1876
6,3333
"*"~б"^~4~
1,1052
1,2840
1,6484
2,1147
2,7083
3,4585
4,3986
7,0000

158
Гл. 6. Ряды. ПростеЁшие дифференциальные уравнения
получим ошибку, не превосходящую
0,5% истинного значения функции.
При я=0,5 первые три члена формулы
дают ошибку в 1,4%. При а:=1,0 пер-
первые четыре члена формулы дают ошибку
в 1,8% значения функции у—ех.
Такая высокая точность связана
•с тем, что члены ряда B) у б ы в а ю т.
Каждый член этого ряда меньше пред-
предшествующего ему прежде всего по-
потому, что знаменатель (п-{-1)-то члена
в п раз больше знаменателя предыду-
предыдущего (гс-го) члена ряда. А если а: < 1,
Рис. 6.2.1
то к этому добавляется еще и то об-
обстоятельство, что с ростом п величина
хп быстро убывает. Но даже и при
х ^> 1 в далеких от начала участках
ряда увеличение знаменателя с ростом
п обязательно пересиливает рост чис-
числителя: ведь числитель при переходе
от п-то члена к (я+1)-му увеличивается
в х раз, а знаменатель возрастает
в п раз — и нам надо только дождаться,
пока (при движении вдоль ряда) п
не станет больше х. Как видно из
табл. 1, при х=2 сумма пяти членов
ряда дает ошибку 5%; если же доба-
1, то сумма
станет равной 7,3500 — здесь ошибка
составит всего 0,5%.
Построим формулы такого же типа
для тригонометрических функций.
Так, для у (z)=sina; имеем:
у' (x)=cos х, у" {х) = — sin х,
Закон образования последующих про-
производных очевиден.
Подставляя х—0, получим:
) = 0, у'@) = 1, г/"@) = 0,
Следовательно,
Аналогично получим формулу
COS Х=1 ^--|—S7 =^т;
в
720'
F.2.4)
(б.2.5)
у'" (х) = — cos х,
yIV (z)=sin x.
На рис. 1 показаны графики синуса,
косинуса, а также графики многочле-
многочленов, которые получаются, если брать
один, два или три члена соответствую-
соответствующего ряда. Видно, как улучшается точ-
точность по мере того, как мы берем все
большее число членов ряда.
В табл. 2 и 3 приведены численные
значения синуса и косинуса соответ-
соответственно; в этих таблицах tp, как ш х, —
угол, но выраженный не в радианах,
как х, а в градусах. Как видно из таб-
таблиц, достаточно двух-трех членов ряда,
чтобы получить в промежутке от 0
до -j- прекрасную точность.Таким обра-
образом, степенной ряд дает очень удобный
практический способ вычисления зна-
значений тригонометрических функций.
Заметим, что по абсолютной величине
не равные нулю члены ряда для синуса
и косинуса в точности равны соответ-
соответствующим членам ряда для функции ех.
Поэтому все сказанное об убывании
членов с высокими степенями х в фор-
формуле B) относится и к рядам D) и E) —
и эти ряды, подобно B), позволяют
вычислить значение соответствующей
функции при любом х.
Подчеркнем, однако, сразу же, что
убывание членов ряда при любом х,
а тем более стремление при любом х
«частичных» (конечных) сумм ряда
к определенному числу ни в коей мере
не являются общим законом: ряды A),
Aа), B), D) и E) являются в определен-
определенном смысле более благополучными, чем
«общие» ряды A. 18) и A. 19). Этому
вопросу будет посвящен следующий
параграф.
Ряды Тейлора и Маклорена находят мно-
множество приложений в высшей математике;

§ 2. Вычисление значений функций при понощи рядов
159-
Таблица 2
X
0
и/20
л/10
Зя/20
4л/20
5*/20
6я/20
7V20
8л/20
9W20
л/2
0
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
sin ж
0,0000
0,1564
0,3090
0,4540
0,5878
0,7071
0,8090
0,8910
0,9510
0,9877
1,0000
ж
0,0000
0,1571
0,3142
0,4712
0,6283
0,7854
0,9425
1,0996
1,2566
1,4137
1,5708
ж»
Х~Т
0,0000
0,1564
0,3090
0,4538
0,5869
0,7046
0,8029
0,8780
0,9258
0,9427
0,9248
ж» ж5
Х~ 6 + Ш
0,0000
0,1564
0,3090
0,4540
0,5878
0,7071
0,8091
0,8914
0,9519
0,9898
1,0045
Таблица 3
0
л/20
л/10
Зл/20
4л/20
5л/20
6л/20
7л/20
8л/20
9л/20
¦к/2
V"
0
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
1,0000
0,9877
0,9510
0,8910
0,8090
0,7071
0,5878
0,4540
0,3090
0,1564
0,0000
х'
2
1,0000
0,9877
0,9506
0,8890
0,8026
0,6916
0,5558
0,3954
0,2105
0,0007
—2,337
2 ' 24
1,0000
0,9877
0,9510
0,8911
0,8091
0,7075
0,5887
0,4563
0,3144
0,1672
0,0200
Ж> Ж« X'
2 ' 24 720
1,0000
0,9877
0,9510
0,8910
0,8090
0,7071
0,5877
0,4539
0,3089
0,1561
—0,0009
с некоторыми из них мы встретимся ниже
(см., например, § 6). Здесь же укажем на воз-
возможность использования рядов для инте-
интегрирования функций. Если функция
y=f (x) раскладывается в степенной ряд
«бесконечной формулой» (рядом) эту функцию
представить можно. Подставив в B) вместо х
выражение —г2, получим
F.2.6)
то, вообще говоря (с некоторыми оговорками,
связанными с содержанием § 3; здесь мы пока
этих ограничений не коснемся),
При этом результат G) справедлив независимо
от того, можно ли выразить неопределенный
F.2.8)
поэтому
-tdt
. .. + апх« + ...) dx = С + аох +f х" +
В частности1,
x
е-''м = х—2+2Т5-6Т7+ •••
-2Я+1
интеграл (первообразную функцию) j / (z) dx
с помощью алгебраической формулы иля
нельзя. Так, например, выше мы видели, что
функция \ е~'' dt не может быть выражена
никакой (конечной) формулой. Однако
-)-... F.2.10)
Формула A0) применима при любом конеч-
конечном х; однако ясно, что важный резуль-
00 */~
тат j e~ dt = -тг вывести из A0) нельзя —
о
вдесь нужно использовать совсем другие
приемы.

160
Гл. 6. Ряды. Простейшие дифференциальные уравнения
Упражнения
6.2.1. Выразите коэффициенты с0, сь с2, ...
«ряда» (многочлена) Aа) через коэффициенты
*о> Ь\, Ь2. • • • многочлена A).
6.2.2. Известно, что функция
isin х
dx (интегральный синус)
х
не выражается явной формулой. Представьте
функцию si а; в виде бзсконечного ряда.
¦§ 3. Случав неприменимости рядов.
^Геометрическая прогрессия
Формулы, в которых функция представ-
представляется как сумма ряда из степеней х
с постоянными коэффициентами, были
составлены в предыдущем параграфе
для четырех функций: многочлена, ех,
sin х, cos x. Во всех этих случаях ока-
оказалось, что при любом х каждый сле-
следующий член ряда, исключая, может
быть, несколько первых членов, меньше
предыдущего и чем больше номер члена,
тем ближе этот член к нулю (а в пер-
первом — самом благополучном — слу-
случае вообще все члены ряда, начиная
-с некоторого, обращаются в нуль).
В этих примерах при любом х
можно вычислить значение функции
при помощи ряда, если взять доста-
достаточное число членов ряда так, чтобы
¦отброшенные члены практически не
влияли на результат.
Напомним, что мы начинали с задачи
о приближенном выражении функции
в малой области изменения переменной
и строили все более точные формулы
с учетом первой, второй, третьей и
т. д. производных. Точность каждой
•формулы
¦у (х) « у (а),
у{х)^у (а) + (ж — а) у' (а),
у(х)^у (а) + (х — а) у' (a) -f
@)
(I)
(И)
и т. д. тем больше, чем меньше величина
\х—а\. Кроме того, при данном х—а
каждое последующее приближение точ-
точнее предыдущего: формула (I) точнее
•формулы @), формула (II) точнее фор-
формулы (I) и т. д. Поэтому увеличение
-числа членов ряда позволяет увели-
увеличить величину \х—а\, сохраняя задан-
заданную точность.
Теперь поставим вопрос, всегда ли
можно при любом значении \х—а |
достичь заданной точности путем уве-
увеличения числа членов ряда. На очень
важном примере мы убедимся сейчас,
что это не так. Степенной ряд, дающий
хорошее приближение в малой области
изменения х, т. е. при малых \х—а\,
может быть принципиально непригод-
непригодным в области больших \х—а\. Дру-
Другими словами, этот ряд может иметь
естественный предел применимости, пре-
предел допустимого увеличения \х—а\,
не зависящий от числа взятых членов
ряда. Для примеров предыдущего пара-
параграфа дело обстояло более благополучно,
но столь хорошее положение дел яв-
является исключением, а не общим пра-
правилом.
Рассмотрим следующую простую
функцию:
у = i _x = A — х)'1.
Вычисляя последовательно производ-
производные, найдем
-И2 > У
У' =
A - X)*
Для х=0 будем иметь
у@) = 1, у'@) = 1, у"@) = 2,..
...,у«->@) = л1, ...
Таким образом, получим ряд
Пример функции
1
1-х
F.3.1)
замечателен
не только необычайно простым видом
получившегося степенного ряда (все
коэффициенты равны 1). В этом слу-
случае нетрудно дать точную формулу для
суммы п первых членов ряда A):
F.з.2)
Справедливость этой формулы — фор-
формулы суммы конечной геометрической
прогрессии — должна быть известна из
курса средней школы. (Ее можно дока-
доказать, умножая обе части формулы B)

§ 3. Случаи неприменимости рядов. Геометрическая прогрессия
161
на 1— х.) Соотношение B) можно пере-
переписать так:
F-3.3)
Сравнивая C) и A), видим, что 1_а.
есть «остаточный член» приближенного
равенства
^ .. + а;к-1, F.3.4)
т. е. та величина, которой мы пренебре-
пренебрегаем, если ограничиваемся первыми
п членами стоящего в правой части A)
ряда
3 + +... F.3.1а)
Если —1 < а; < 1, то ж" тем ближе
к нулю, чем больше п, и, следова-
следовательно, взяв достаточно много членов
ряда, мы отбрасываем малую вели-
величину. Ряды, обладающие таким свой-
свойством, называются сходящимися. Сходи-
мость ряда Aа) при х—-^ иллюстри-
иллюстрирует приведенная ниже таблица;
здесь -, —2. Величина Д в таблице —
1 ~~~ X
это выраженная в процентах погреш-
погрешность приближенной формулы D) (раз-
(разность левой и правой частей D) в отно-
отношении к левой части).
1+
1+
п
х —a;2+.
Д
п
х + х*+.
Д
.. + х"-1
1
1
50%
4
1,875
6,25%
2
1,5
25%
5
1,9325
3,12%
3
1,75
12,5%
6
1,9637
1,56%
Заметим, что чем ближе ж к 1, тем
больше членов ряда приходится брать
для получения заданной точности (тем
хуже сходится ряд, как говорят мате-
математики).
Однако картина полностью изме-
изменится, если взять \х\ ^ 1. Так, если
х > 1. то каждый следующий член ряда
И Заказ JNi 1065
(la) больше предыдущего. Формула C)
остается в силе, однако при х > 1 вели-
величина хп неограниченно растет вместе
- я"
с ростом п, и поэтому дробью -.
1 —"~ X
пренебрегать никак нельзя. Формула
A) в этом случае будет уже неверна.
Нет даже никакого качественного
сходства между суммой положитель-
положительных слагаемых Aа) и отрицательной
(при х^>1) величиной-т . Так, при
1 ~™~ X
х=2 формула A) обращается в абсурд-
абсурдное «равенство»
—1=1+2+4+8+16+...
При х > 1 сумма ряда Aа) неогра-
неограниченно увеличивается при увеличе-
увеличении п (это видно и из C)). Если же
х ^ —1, то мы получаем в правой
части A) знакопеременную сумму, ни-
никак не похожую на величину -; .
1 ""^ X
Так, при х=—1 формула A) дает
Ряды, подобные тем, в которые обра-
обращается Aа) при |ж|^1, называются
расходящимися.
Мы установили, что сумма членов
бесконечной геометрической прогрес-
сии Aа) равна 1_х, если |ж|-<1;
если же \х\ ^ 1, то бесконечная гео-
геометрическая прогрессия не имеет ко-
конечной суммы (расходится), другими
словами, сумма первых п членов этого
ряда при п -*¦ со не стремится ни к ка-
какому пределу.
Отметим еще, что любая периодиче-
периодическая (десятичная) дробь представляет
собой сумму членов геометрической
прогрессии. Так, например,
1,A)=1,1111 ... = 1+0,1+0,01 +
+ 0,001 + ... = 1 + 0,1 + @,1J +
_ J2.—1JL
— 9 ~~ 9•
Таким образом, с простейшим рядом
(геометрической прогрессией) мы встре-
встречались уже и раньше, в арифметике
и алгебре.
Функция У = ^гц— (рис. 1) терпит
разрыв при х=1: если х близок к 1,
1
но больше 1, то —. большое по аб-
то —.

162
Гл. 6. Ряды. Простейшие дифференциальные уравнения
солютной величине отрицательное число;
если х близок к 1, но меньше 1, то . _ . —
большое положительное число. Следо-
Следовательно, при переходе х через значе-
значение х = 1 функция -; скачком пере-
ходит от больших положительных чи-
чисел к большим по абсолютной вели-
величине отрицательным числам. Этой осо-
особенности поведения функции ряд опи-
описать не может, поэтому он и отказы-
отказывается нам служить.
Рис. 6.3.1
Отметим еще следующее: при х=1
функция у = -7- обращается в беско-
нечность (чем!ближе х к 1, тем больше у
по абсолютной величине), и при этом же
значении х члены ряда Aа) перестают
убывать. Ряд может быть пригоден для
вычислений, лишь если его члены до-
достаточно быстро стремятся^к нулю, т. е.
убывают по абсолютной величине 1.
При х—1 формула A) неверна, так как
члены стоящего в правой части ряда
не убывают. Значит, ряд Aа) непри-
непригоден для вычисления значений функ-
функции у = -т—— и при х — —1, н при
x<i—1 (здесь тоже члены Aа) не убы-
убывают), хотя сама функция у при х~—1
разрыва не испытывает и равна
1 __ 1
1 — (—1) "*
Как бы мы!Гни [выбирали коэффи-
коэффициенты многочлена, его график всегда
будет сплошной, непрерывной линией:
график многочлена разрывов не имеет.
1 Конечно, если один-два или|несколько
первых членов ряда возрастают, это не беда —
при условии, что следующие дальше члены
ряда достаточно быстро убывают (см. пример
с е* при х=2 (табл. 1 из § 2)).
Поэтому если некоторая функция / (х)
терпит разрыв при х=х0 (в примере
с jzr^ мы имели жо=1), то при значении
х=х0 ряд, составленный для / (х), за-
заведомо непригоден для вычислений.
Поскольку каждый член спх" ряда
c0Jrc1xJrc2xitJr. . . будет тем больше
по абсолютной величине, чем больше
абсолютная величина х. то при лю-
любом х, по абсолютной величине боль-
большем, чем х0, ряд также непригоден
для вычислений.
Таким образом, при наличии разрыва
/ (х) можно заранее указать такое х0, что
при всех х, больших х0 по абсолютной
величине, ряд будет непригоден для вы-
вычислений.
Рассмотрим еще один пример. Соста-
Составим ряд Маклорена для функции
z/=tg х. По?общим правилам находим:
= tgx~
Sill X
У =
1
2 sin
COS2 X '
_|2 + 4sin2x
,,iv /~\ _ 16 sin x + 8 sin3 x
У \х) — T^
C0S4X
Y, N_ 16 + 88 sin2 x -f 16 sin4 x
Отсюда y@) = 0, y'@) = l, y"@)
jT@) = 2, y"@) = 0, ^.@) = 16,
Поэтому
16
+ 5-4-3.2. 1Ж
Таким образом,
17
•315
62
F.3.5>
(здесь коэффициенты при х и х9 могут
быть получены так же, как были полу-
получены коэффициенты при х, х3 и хъ).
Что можно сказать об области при-
применимости ряда E)? График тангенса
(см. рис. 4.10.5) подсказывает нам, что
ряд E) может быть пригоден для вы-
вычислений лишь при | х | <С у > поскольку

§ 3. Случаи неприменимости рядов. Геометрическая прогрессия
163
при х = у функция tgх ведет себя так же
плохо, как функция -т-^— при х — 1.
Однако по форме ряда E) нелегко ска-
сказать, при каком значении х этот ряд
нельзя применять, ибо закон образо-
образования коэффициентов ряда в отличие
от рассмотренного выше ряда Aа) вовсе
не прост 2.
Отметим, что наличие разрыва функ-
функции достаточно для того, чтобы
ряд перестал сходиться, но н е не-
необходимо. В качестве примера
рассмотрим функцию У=-т-т—• При-
Применяя формулу A.19) или просто за-
заменяя в равенстве A) х на (—х), най-
найдем
i+x
= 1 — х-{-х2 — х3-\-
F.3.6)
Возьмем, например, х—2. Тогда
1
1 + х
Сумма
1 — х
1
1 + 2
же членов
-.г3 4
1
з •
ряда
F.3.7)
при изменении числа п первых его чле-
членов колеблется весьма резко и ни при
каком п на 1/3 не похожа:
п
Сумма п
членов
ряда G)
1
1
2
—1
3
3
4
—5
5
11
6
—21
i
43
Ясно, что при х=2 наш ряд непри-
непригоден для вычисления значения функ-
функции у = -т—г-—. Но почему дело обстоит
таким образом? Ведь сама функция у
нигде в интервале от х=0 до х=2 ника-
никаких разрывов не имеет; в этих пределах
она — гладкая, «хорошая» функция
(рис. 2).
2 Заметим, что отношения последовательных
коэффициентов рядаEI:1/3=3; 1/3:2/15=2,5;
2/15 : 17/315 д^2,4706; 17/315 : 62/2835 %
/тс\2
я: 2,4677 быстро сходятся к величине 1-тг I %
«:2,4674. Мы, однако, никак не можем оста-
остановиться здесь |на доказательстве этого не-
неожиданного факта.
Отказ ряда G) «работать» при х=2
объясняется тем, что функция !/ = ¦,
испытывает разрыв при х=—1. По-
Поэтому при х=—1 абсолютные вели-
величины членов ряда G) не убывают с но-
номером рассматриваемого члена. Но абсо-
абсолютные величины членов ряда G) не за-
зависят от знака х. Поэтому и при х=1,
и тем более при х ^> 1 этот ряд для вы-
вычислений непригоден.
J j;
Рис. 6.3.2
Таким образом, даже если нас интере-
интересует лишь поведение ряда при положи-
положительных х, все равно надо учитывать
все значения х, в том числе и отрица-
отрицательные, при которых разлагаемая в ряд
функция претерпевает разрыв.
Для читателей, знакомых с комплексными
числами (см. главы 14 и 15), укажем, что
Рис. 6.3.3
на самом деле на сходимость ряда при вещест-
вещественных значениях х влияет даже поведение
рассматриваемой функции при комплекс-
комплексных значениях аргумента. Приведем при-
пример этого (см. также § 15.2). Заменив в фор-
формуле F) х на я2, получим
=1 - х2 + х
* -
х* +
F.3.8)
График функции У = ^ , ХЪ (рис. 3) не имеет
разрывов ни при положительных, ни при
отрицательных х, нигде не уходит в бесконеч-
бесконечность. Однако ряд (8) пригоден для вычисле-
вычислений, лишь если хг < 1, т. е. при — 1 < х < 1.
Причина этого в том, что при ж= +V—1= ±i,

164
Гл. 6. Ряды. Простейшие дифференциальные уравнения
т. е. при z2=—1, функция у—\ .—^ обраща-
обращается в бесконечность; поэтому члены ряда
не убывают по абсолютной величине при
х2= —1, а значит, и при 2^=1 (ср. гл. 15,
с. 430).
Можно привести и другие примеры
функций, которые нельзя разложить
в ряд Тейлора, например функцию
e-i/*2 ПрИ х=0 (ср. с. 169). Не разла-
разлагаются в ряд Маклорена дробные сте-
степени х и функции, содержащие дробную
степень аргумента, например функция
sin \]x.
В рамках данной книги разъяснить
достаточно подробно и понятно вопрос
о границах применимости формул Тей-
Тейлора и Маклорена невозможно; для того
чтобы разобраться в возникающих здесь
вопросах, надо обратиться к какому-
либо курсу теории функций комплекс-
комплексного переменного (ср. гл. 15). Остается
одно утешение — все встречающиеся
физику или инженеру функции не раз-
разлагаются в ряд Тейлора только в от-
отдельных (особых) точках. Как правило,
мы встречаемся с функциями, которые
можно, во всяком случае на удачно
подобранном конечном интервале, раз-
разложить в ряд Тейлора.
Упражнения
6.3.1. Выпишите ряд Маклорена для функ-
x + i
ций: a) y = jzr^> б) у = ЫЦ+х).
6.3.2. Выпишите разложение функции
у=1п х в ряд Тейлора по степеням х—1.
Каковы области применимости рядов, полу-
полученных в упр. 1, 2?
6.3.3. Пусть / (х) и g (x) — известные функ-
функции. Найдите первые три члена разложения
в ряд по степеням х произведения функций
/ (х) g (x). Постройте тот же ряд перемноже-
перемножением ряда для / (х) и ряда для g (x); сравните
полученные результаты.
§ 4. Бином Ньютона для целых и дроб-
дробных показателей
Составим разложение в ряд Маклорена
произвольной степени т двучлена
(а+х), т. е. функции у=(а+х)т.
По общему правилу сначала найдем
производные
у" = т(т — 1) ... {т — п-\-1) X
Х{а-\-х)т-", ... F.4.1)
и значения самой функции и ее про-
производных при х~0:
у@) = ат, у'@) = тат-\
y"@) = m(m— l)am, ..., F.4.2)
у«@) = т(т — 1)...(т — п-\-\)ат-'\ .. .
Отсюда получим ряд Маклорена
(а + х)т = ат+f am-iX+mf-1] X
X
m (m— 1) (то — 2) ... (то — га+1)
х
X ат "х" -{-¦¦¦ F.4.3)
Если показатель степени т — поло-
положительное целое число, то (а-\-х)'" есть
многочлен степени т, так что в этом
случае ряд C) будет конечным: произ-
производная (пг+1)-го порядка функции
{а-\-х)т равна нулю, а значит, и все
ее производные более высоких поряд-
порядков тоже равны нулю. Формулы A)—C)
отражают это обстоятельство. В са-
самом деле, при п—т-\-1 множитель
(т—п+1) обращается в нуль; при
n^>m+i где-то в последовательности
множителей т, (т—1),. . . найдется
множитель, равный нулю, и, следова-
следовательно, произведение будет равно нулю.
При целом положительном т произ-
произведение в числителе можно записать
в более удобной форме: умножив и раз-
разделив произведение т(т — 1).. . (т —
— п-{-1)яй(т—п)(т—п — 1) ... 3 -2-1,
получим
т(т — 1) ... (т — /г-f-1) =
т(т —1)...3 -2-1 _
(то — п) (т — п — 1) ... 3 • 2 • 1
(то —л)! '
Окончательно будем иметь
ml
п ! (т. — п) !
am'nxn
F.4.4)

§ 4. Бином Ньютона для целых и дробных показателей
165
В формуле D) справа и слева стоят
многочлены степени т. Таким обра-
образом, для целого положительного т мы
имеем точное равенство D), справедли-
справедливое при любых значениях х. Правая
часть D) симметрична относительно х
и а: коэффициенты при членах ат~"хп
и а"хт~" равны. Это понятно, так как
(х -\- а)т не зависит от порядка слагае-
слагаемых в скобке: ясно, что {х -J- а) —
Формулу D) не совсем справедливо
(см. ниже) называют формулой бинома
Ньютона. Ее можно получить, не поль-
пользуясь производными и рядами. Для
этого нужно взять произведение т
сомножителей (а-\-х){а-\-х)- • -(а+х),
выполнить умножение и привести подоб-
подобные члены. Однако при т, заданном
в общем виде буквой, а не числом,
приведение подобных членов стано-
становится довольно трудным, и в целом вы-
вывод бинома Ньютона при помощи выс-
высшей математики, т. е. со ссылкой на ряд
Маклорена, оказывается проще эле-
элементарного вывода той же формулы.
Отметим, что Ньютон получил об-
общую формулу C), т. е. разложение для
(х-\-а)т, в случае любых показа-
показателей т. Поэтому правильнее было бы
именно формулу C) называть форму-
формулой бинома Ньютона, а не формулу D),
которая была известна и до Ньютона г
(и которая представляет собой простой
частный случай зависимости, связы-
связывающей коэффициенты представлений
B.1) и B.1а) многочлена; см. упр. 2.1).
Вернемся к общей формуле C). Если
т не целое положительное, то, по-
поскольку степени п переменной х — це-
целые положительные, ни один из множи-
множителей т, т.—1,. . ., т—п-\-1 числителя
коэффициента при х" не обращается
в нуль. Таким образом, все эти коэффи-
коэффициенты отличны от нуля и формула C)
дает бесконечный ряд. В част-
частности, при т=—1 этот ряд принимает
вид
Заметим, что при а=1 формула E) пере-
переходит в уже знакомую нам формулу
1 В Европе формулу D) (где т — натураль-
натуральное число) впервые получил итальянский
математик Никколо Тарталья (ок. 1499—
1557); однако еще раньше она была известна
арабским математикам.
суммы членов (бесконечной) геометри-
геометрической прогрессии C.6).
Из формулы E) находим также
.. 1 -^Л-L— 4-— L — -4-
а — х а ' а2 ' а3 ' а4 ' ' ' '
Для т = у получим
5 ж* 7 хъ
28 азу/- +256 аЧ-а~
024
-Г + -'-
F.4.6)
В разложении (а-{-х)т при любом т
все члены имеют одинаковую сумму сте-
степеней при а и при х и каждый следую-
следующий член отличается от предыдущего
множителем (—) и коэффициентом. Фи-
Физик сказал бы, что а и .г в формуле C)
должны быть одинаковой размерности,
значит, отношение — безразмерно.
Можно с самого начала вынести за
скобку а
(X \т X
1 -| ) по степеням — .
Оказывается, что при всех т (дроб-
(дробных, положительных и отрицательных)
ряд C) пригоден (т. е. сходится) лишь
< 1, т. е. при | х | < ] а |. При
при
1 ряд C) — расходящийся. Иск-
ключение представляют целые поло-
положительные т, потому что в этом слу-
случае формула C) содержит конечное
число членов.
Принимая в C) а=1 и заменив букву
i на г (где должно быть |г| < 1), мы,
ограничившись лишь первыми двумя
слагаемыми правой части C), получим
приближенную формулу
которой неоднократно пользовались
выше; она справедлива лишь при ма-
малых (г| (более точная формула имеет
. , , т (т — 1) 2
А -\-тг-\ Ц -г
вид A+г)»
Формула F) дает хороший способ вы-
вычисления квадратных корней. При этом,

166
Гл. 6. Ряды. Простейшие дифференциальные уравнения
чем меньше
тем меньше членов
можно брать в F) для достижения за-
заданной точности.
Упраоитения
6.4.1. Используя разложение в ряд, най-
найдите VI,1 и V4,5 как v'l -J- х при я = 0,1 и
при z = 0,5, удерншвая в разложении два,
три и четыре члена. Сравните полученные
результаты с табличными значениями.
6.4.2. Покажите, что при |х|<[1:
. к Г~а \ л i — \ Ч г~а \ ' a i
а) /1 + 1^1 + —; о) у l + z^l-f— —
л —1
— о 2 a I причем формулы а) и б) тем точ-
точнее, чем меньше | х | (и формула б) точнее
формулы а)).
6.4.3. Найдите по формулам упр. 2 ^'1,2,
^ТД, ^1,05. Сравните полученные значения
с найденными из таблиц.
6.4.4. Найдите \lb с тремя верными зна-
знаками после запятой. [Указание. Восполь-
Воспользуйтесь тем, что 6 = 4-)-2, V4 = 2 и приме-
примените формулу F).]
6.4.5. Почему нельзя разложить у = *Jx
по формуле Маклорена? А можно ли разложить
по этой формуле функцию у = $х1000?
§ 5. Порядок возрастания и убывания
функций. Правило Бернулли—Ло-
питаля
Разложение функций в ряд дает общий
способ приведения различных функций
к однотипному виду и позволяет сравни-
сравнивать между собой различные функ-
функции. Функции надо сравнивать, на-
например, в тех случаях, когда рассмат-
i (х)
ривается отношение - ¦ при таком
значении аргумента х, при котором
как / (х), так и g (x) близки к нулю.
Такие отношения часто можно прирав-
приравнять определенному числу — не очень
малому, т. е. не близкому к нулю, но
и не очень большому; в этом нас убе-
убеждают примеры на вычисление произ-
производных. Однако иногда отношение двух
близких к нулю функций может обра-
обращаться в нуль или в (положительную
или отрицательную) бесконечность, и
эти случаи надо уметь распознавать.
«^Приведем несколько примеров. Для
простоты рассмотрим случаи, в кото-
которых интересующее нас значение х равно
нулю.
При малом х функции sin x и tg x
также малы. Функции ех и cos x близки
к 1, а, следовательно, ех—1 и 1—cos а;
малы. При этом значения функций
sin х, tg x, ex—i и 1—cosa; будут тем
ближе к нулю, чем меньше \х\.
Сравним эти функции с величиной х.
Для этого разложим функции в ряды
Маклорена:
X3
a; ъ—\~. . .,
F.5.1)
Отсюда находим
-1 +
sin х
X
Следовательно,
sin х
¦ 1 при х —»• 0, или lim
1.
Аналогично из A) находим:
.. -> 1 при х
х
1 — COS X
х-
3
1
:~2"
1 — COS X X
х 2
х*
4"
X
¦+Y при ж-i-O;
0 при х -*¦ 0;
при х ->¦ 0.
Можно найти и более сложные соот-
соотношения. Например, из того, что
следует
tgx — sin x = -
1
~й хъ-\-...,
и, значит,
tg х — sin x
1
¦у при х ¦
•О.
Можно построить шкалу порядка
убывания различных функций при
стремлении х к нулю. Если / (х) -> 0
при х -> 0, то порядком убывания (или
порядком малости) f (x) относительно х
назовем степень х, убывающую так же
быстро, как и / (х). Точнее, утвержде-

§ 5. Порядок возрастания и убывания функций
167
ние о том, что / (х) имеет порядок ма-
малости к относительно х, означает, что
эта функция убывает, как хк, т. е. что
/ (х)
отношение v ' имеет пределом при
хк
х -> 0 конечное, не равное нулю число.
Таким образом, sin x, tg x, e°—i при
х -> 0 убывают, имея первый порядок
малости, 1—cos x имеет второй порядок
малости, tg х—sin x — третий порядок
малости относительно х.
В некоторых конкретных случаях
порядок малости можно определить и
без разложения в ряд. Например, из ши-
широко известного рис. 1, где МР и
NA — линии синуса и тангенса, отве-
отвечающие /_АОМ=х, легко следует, что
tg х > х > sin x (соответствующее рас-
рассуждение, основанное на том, что
Sa ома <С SceKT. ома <С 5д ona, имеется
в школьных учебниках). А так как
sin ,r?»tg x при малых х (ибо в этом
sin х ,\
случае отношение — = cos a; s=&; 1 1 ,
у tgx 1
то sin хтах и tg хтих, когда х мало,
т. е. sin х utg х имеют первый поря-
порядок малости. Справедлива формула
1—cos z=2sin2 (ж/2), а так как sin (.r/2)
первого порядка малости, то ясно, что
функция 1—cos х должна иметь второй
порядок малости. Функцию tg х—sin x
sin х
можно записать как sin x =
COS X
= A — cos x). Так как для малых х
COS X
величина sin x первого порядка,
1—cos х — второго порядка малости,
a cosx«l, то ясно, что функция
tg х—sin x — третьего порядка ма-
малости. Однако эти конкретные приемы
требуют догадки, остроумия,—и именно
поэтому полезен простой безотказный
общий метод.
Такое соотношение между остроум-
остроумным решением отдельных задач и об-
общими методами наблюдается везде:
свойства касательных к параболе, пло-
площадь круга, объем пирамиды, объем
шара известны были древним грекам,
но только дифференциальное и интег-
интегральное исчисления дали общие про-
простые способы решения всех задач та-
такого типа, доступные каждому инже-
инженеру, физику, учащемуся, в то время
как изощренные методы античных муд-
мудрецов рассчитаны были разве что на
выдающихся ученых.
При помощи рядов можно находить
не только отношения функции к сте-
степени х, но и отношение одной функ-
функции к другой. Приведем примеры этого:
e*-l
¦? + «+••¦
х~т-
x
4 + т-
-1 при х -+ О,
1 — -тг
i + T+ ••¦
1 — cos а; ж2 xi
2~~ 24
14-4-4-..
а; ж*
If -M ~b
со при ж —>• О,
еж-1
х '-
—
1
о
при ж->- 0.
Коэффициенты рядов Маклорена вы-
выражаются через производные. Поэтому
Рис. 6.5.1
можно сформулировать результаты, по-
получаемые при помощи рядов, в виде
правил, относящихся к производным.
Если / @)=g @) = 0, то формулы
/(*) = / @) + /' @) х + V/'.@) *» + ...,
g(x) = g @) + g' @) х + \g" ф)у + . . .
упрощаются
/(ж) = /'@);
Отсюда
/(х) /'@)-
"(а:) .'(О).
1
/' (°) + у /
^ 1
и, значит,
так:
т_1_ 1/ а" ({
х Г /26 V
- + у /" @)
2
" @) ж 4- ..
г"(О)х+..
) 12-L
• _^ /'
@)
@)

f68
Гл. 6. Ряды. Простейшие дифференциальные уравнения
если / @) = g @) = 0, то -т^т-
при х -»• 0 F.5.2)
(а если также и /'@) = g'@), то предел
отношения ,, . при х -*¦ О равен пределу
отношения
при ж
0
Разумеется, правило B) полностью
сохраняет силу и в том случае, когда
/ (а) = g (а) = 0, где а — какое угодно
число, и нас интересует отношение —~г
при х, близком к а:
если /(а) = г(в) =
то
^ {х)
приж-*а F.5.2а)
(а если также и /' (а) = g' (а)=0, то преде-
пределы отношений
/(*)
g (х
наковы, в силу чего
для доказательства
и
а, А- при х -> а оди-
{^ЯЗ* ЗД6СЬ
надо вместо ряда
Маклорена использовать ряд Тейлора
(см. упр. 2).
Таким образом, если значения двух
функций близки к нулю (если обе функ-
функции обращаются в нуль при одном и
том же значении аргумента, вблизи
которого мы эти функции рассматри-
рассматриваем), то отношение самих функций
можно заменить отношением их произ-
производных. Этот результат называют пра-
правилом Бернулли—Лопиталя, или (чаще,
но менее справедливо) просто правилом
Лопиталя 2.
После изучения рядов удобнее не за-
запоминать особые правила нахождения
пределов, а при малых х пользоваться
рядами, в которых функция разложена
по степеням х. При этом всюду, где
стоит сумма различных степеней х,
при переходе к малым х мы остав-
оставляем лишь член наименьшей степени.
Аналогично изучению характера убы-
убывания функции при малых х (при усло-
1 Так как в силу той же формулы B)
вдесь lim, 'ж' = „ J , то мы приходим
x-*og (х) g @)
к равенству lim Li?l = ' W •
lim _L_
x-+og(x) g @)
@) = /' @) = f @) =, g @)
= g"@) = M qjL
если
то
аналогично,
= g' @) =
и т. д.
( g()
2 Это название сохраняют и за некоторыми
родственными сформулированному предло-
предложениями, например за тем, о котором говорится
в сноске 1 или в упр. 3 и 4.
вии, что при z=0 функция обращается
в нуль) можно рассматривать поведе-
поведение функции при больших х, т. е.
при х -> оо. Здесь уместно разлагать
функцию по степеням — (ведь — у нас
X \ X
мало!), воспользовавшись подстанов-
кой — = t. Если наша функция является
многочленом, то очевидно, что при
большом х важен только член с наи-
наивысшей степенью х, ибо остальные
члены ему уступают: ах"-\-Ьхп~1-{-- • • =
=ах"(\ -| 1- . . .); здесь выражение
в скобках стремится к 1 при х -*¦ оо.
Можно говорить о порядке роста функ-
функции/ (х), т. е. об ее возрастании «какх»,
«как А, «как хН и т. д. Говорят, что не-
неограниченно возрастающая по абсолют-
абсолютной величине при х —>¦ оо функция
/ (х) имеет порядок роста к, если отно-
f (х)
шение v при х ->¦ оо стремится к ко-
хк
нечной (отличной от нуля) величине.
При этом ясно, что любой многочлен
степени п имеет порядок роста п.
Важнейший факт заключается в том,
что при неограниченном росте х экспонен-
экспоненциальная функция ех растет быстрее
любой степени х (т. е. е° имеет, так ска-
сказать, «бесконечный порядок роста»).
Доказать это легко с помощью разло-
разложения B.2) функции ех, справедли-
справедливого, как отмечалось выше, при любом
значении х. В силу этого разложения
«•^J14 4 4
При заданном п и при достаточно боль-
ех
шом х дробь —- станет сколь угодно боль-
шой за счет членов в правой части C)
с положительными степенями х. Ясно,
что то же относится и к функции екх
с любым положительным к (или к функ-
функции ах=е1па'х, где а >1); так, обозна-
обозначая кх=у, найдем, что
,. .„' = к" —^
(кх)п уп
оо при у -»> оо,
хп () у
т. е. при х-* оо. F.5.4)
Таким образом, любая показательная
функция екх, где к > 0 (или ах, где
а > 1), растет быстрее любой степенной
функции х" (или сх", где п > 0 и с > 0):
хотя при небольших х, скажем, график

§ 5. Порядок возрастания и убывания функций
169
функции у—х1000 уходит вверх гораздо
стремительнее графика функции
у1==ео,оо1* (рис- 2), впоследствии (с ро-
ростом х) график'функции уг снова пере-
пересечет график! функции у, ибо величина
Ух обгонит величину у.
Показательная функция с отрица-
отрицательным показателем степени е~х, где
х -*¦ со, убывает с ростом х быстрее
любой отрицательной степени х: при
любому п > О
Из доказанного вытекает также, что
логарифмическая функция loga x (с лю-
любым основанием а ^> 1) растет с ро-
ростом х медленнее любой полсжительной
(хотя бы| и очень малой) степени х"
аргумента х, а, скажем, функция е~11х
при х ;> 0 и х -*. О убывает быстрее
любой положительной степени х:
1ое„ х
fi
1ое„ х ^
-fir--* 0 при х-* оо,
при ж-»-со. F.5.5) L-T-_»0 при ж>0 и х-±0.
F.5.6)
F.5.7)
Использовать для доказательства E)
разложение е~х по степеням х, считая
в нем х очень большим, рискованно,
ибо это разложение будет знакопере-
знакопеременным, так что члены разложения
в известной степени компенсируют друг
друга. Поэтому здесь удобнее рассмот-
рассмотреть обратную / величину
¦у— е-х хп •
Согласно D) при любом п величина
1 ех
-г = —?¦ —*¦ оо при х —*¦ оо, но это и озна-
означает, что / -»¦ 0 при х -»• со.
Таким образом, в пределе, при боль-
больших по абсолютной величине значе-
значениях аргумента, стоящего в показа-
показателе, показательная| функция (экспо-
(экспонента) зависит от х сильнее, чем любая
постоянная степень х: при любом п
функция ех возрастает быстрее х", функ-
функция е~х убывает быстрее х~".
Ниже это наглядно продемонстриро-
продемонстрировано на примере функций хъ и ех:
X
X6
ех
х6 е~х
ех == х~^
1
1
2,72
0,37
3
243
20
12
5
3125
150
21
10
106
2-Ю4
5
X
X*
ех
*« е~*
ех == х~ъ
20
3-10"
4-10е
0,01
50
3-Ю8
5-10й
10-13
100
10"
104S
10-38
Рис. 6.5.2
Для доказательства F) достаточно^про-
достаточно^произвести замену logax — u, x = a", х"=
= аю, обращающую интересующее нас
и . апа
отношение в -^ = 1 : —^-, а для дока-
доказательства G) — замену — = v, обращаю-
обращающую рассматриваемое отношение в —^
(ср. E), а также упр. 5).
Также и функция^=е-1'*г (которую
естественно! считать равной нулю при
х=0: ведь при малых по абсолютной
величине х, т. е. больших значениях
-г , и w = е~11х* будет сколь угодно
мало) убывает при х -> 0 быстрее лю-
бои степени х, т. е. —% -*• U при нсех
п ^> 0. А отсюда, в свою очередь, вы-
вытекает невозможность разложения'этой,
казалось бы, достаточно «хорошей»
функции (см. ее график на рис. 15.1.1)
в ряд Маклорена. В самом деле, если бы
здесь имела место формула типа A.19),
ряд первых коэффициентов правой
части которой может и обратиться
в|нуль, т.'е. формула w (x)~akxlijrak+1X
Ххк+1-\ , где ак=?0, то функция w (x)
при малых х имела бы относительно х
к-ж, а не «бесконечный» порядок ма-
малости (ср. с § 15.1).

170
Гл. 6. Ряды. Простейшие дифференциальные уравнения
Упражнения
6.5.1. Найдите следующие пределы:
а) Пт1пA+з;); б) ЦщЬ. (!+»)-» .
а;
— х
е* — 1 — tg ж
в) lim:M-^ х-; г) lim
«О X3 х+О Х-
> 1. ех — 1 ч1- sin ж — ж
д) hm- — ; е) lim
ж->-о sin х х^-о ж — tg ж
6.5.2. Докажите вариант Bа) правила
Бернулли—Лопиталя.
6.5.3. Докажите, что если / (ж) = /' (х) =
= /" (ж) = ... = f-1 (ж) = 0 при ж = 0 и анало-
аналогично g @)=g' @) =g" @) = ... =?(»-!> @) =
= 0, то lim ' v ; = ' н v ' (где мы, разу-
меется, считаем, что последнее отношение,
которое может обращаться в 0 или в оо, су-
существует).
6.5.4. Докажите, что: а) если / (х) -> 0 при
i-j>co и g (х) —>0 при х—>¦ со, то отношения
/ И /' (*)
. . и , , . при ж -*¦ оо стремятся к одному
и тому же пределу; б) если /(z)-*oo при
х—>а (где возможен также случай а=оо) и
g (ж) -> оо при х -~> а, то lim iiS == lim LJ^i
«»гМ x-mg (x)
6.5.5. Докажите, что функция е'* при
ж < 0 и х -> 0 растет по абсолютной величине
быстрее любой (целой) отрицательной сте-
степени ж.
§ 6. Дифференциальные уравнения пер-
первого порядка. Случай разделяю-
разделяющихся переменных
Выше мы уже встречались (см., на-
например, § 3.6) с понятием диффе-
дифференциального уравнения, связываю-
связывающего (неизвестную нам) функцию у=у{х)
и ее производные:
F(x,y,y',y",...)=O; F.6.1)
здесь F — некоторая известная функ-
функция, зависящая от нескольких пере-
переменных. Естественнонаучные законы и
конкретные свойства тех или иных си-
систем или механизмов весьма часто за-
записываются в виде дифференциальных
уравнений, так что во многих случаях
существенная часть изучения интере-
интересующего нас явления состоит в. ана-
анализе и решении соответствующего урав-
уравнения. В гл. 9 книги сказанное будет
проиллюстрировано на примере меха-
механики, основу которой составляет так
называемый второй закон Ньютона,
т. е. дифференциальное уравнение
(9.4.2).
Высший порядок производной, фигу-
фигурирующей в дифференциальном уравне-
уравнении, называется порядком уравнения.
Здесь мы ограничимся рассмотрением
дифференциальных уравнений пер-
первого порядка:
F{x, у, у') = 0, F.6.2)
или, если разрешить такое уравнение
относительно производной у':
y'=f(x, У). F.6.3)
Простейшим случаем уравнения C)
является тот, когда функция / не зави-
зависит от у, т. е. когда ^уравнение имеет
вид
y'—f(x). F.6.4)
Последнее уравнение указывает, что
y=f (x) есть первообразная функции
/ (х), или неопределенный интеграл:
F.6.5)
решению уравнения D) были посвя-
посвящены главы 3 и 5. Разумеется, уравне-
уравнение D) является самым простым, а ре-
решение его вытекает из самого определе-
определения интеграла; однако, говоря о (об-
(общих) дифференциальных уравнениях,
полезно иметь в виду этот первый при-
пример, проливающий свет и на общую си-
ситуацию. Так, например, уже здесь хо-
хорошо видна неопределенность постав-
поставленной задачи: наличие у данного диффе-
дифференциального уравнения множества
решений. В случае D) эти решения
имеют вид
y — G(x)-\-C, F.6.5а)
причем G' (x)=f (x). Графики всех
функциональных зависимостей у—у (х)
получаются один из другого сдвигом
(переносом) в направлении оси у (рис. 1).
Для того чтобы выделить определенное
решение задачи, надо задать значение
у=у0 при определенном «начальном»
значении х=х0 аргумента — так назы-
называемое начальное условие для дифферен-
дифференциального уравнения D); оно опреде-
определяет единственное решение
У — У о + \ t И dx
F.6.56)
уравнения D) (единственную интеграль-
интегральную кривую у=у (х), проходящую
через заданную точку М0=М0 (х0, у0)).

§ 6. Дифференциальные уравнения первого порядка
171
Теории дифференциальных уравне-
уравнений посвящено много учебников, содер-
содержание которых мы ни в коей мере не на-
намерены здесь повторять. Мы ограни-
ограничимся здесь лишь тем, что рассмотрим
случай уравнений типа C), которые ре-
решаются почти столь же просто (или
почти столь же сложно, поскольку они
также приводят к вовсе не простой
операции интегрирования!), как урав-
уравнение D) для первообразной. А именно,
если функция / (х, у) представляет со-
собой произведение g (x) h (у) функции
от а; и функции от у, то переменные
х и у в уравнении
F.6,6)
можно разделить, перенеся в одну
часть уравнения все члены, зависящие
Рис. 6.6.1
от х, а во вторую — члены, зависящие
от у. Такие уравнения называются
уравнениями с разделяющимися перемен-
переменными.
Разделим обе части F) на h (у): '
ШЪ = '(ХУ' F.6.6а)
затем умножим обе части Fа) на диффе-
дифференциал dx:
dy
h(y)
=g(x)dx.
F.6.66)
А теперь для нахождения решения
уравнения F) нам остается лишь взять
интегралы от левой и правой частей ра-
равенства F6):
F.6.7)
Если стоящие в левой и правой частях
G) интегралы можно вычислить, то мы
придем к (неявной) записи функции
У=У (я):
+ C F.6.8)
— какие-то значения этих интегралов;
С — произвольная постоянная.
Простейшим примером уравнения
с разделяющимися переменными мо-
может служить уравнение D), получае-
получаемое, если положить в F) g=f и й=1.
Подставив эти^ значения g и h в G), мы
придем к решению E) уравнения D).
Почти столь же прост случай, когда
в C) / (х, г/)=/ (у) зависит только от у,
т. е. когда C) обращается в урав-
уравнение
y'=f(y); F.6.4a>
здесь, напротив, g=l, a h=f. В част-
частности, к этому типу уравнений с раз-
разделяющимися переменными относится
уравнение
у'—ку, F.6.9)
с которым мы в дальнейшем часто бу-
будем встречаться (см., например, гл. 8).
В случае (9) решение G) уравнения
принимает вид I — = к \ dx, или|1п у =
= кх~\-С, или, наконец,
у = екх+с = Аекх, F.6.10)
где обозначено А=ес. (Поскольку С —
произвольное число, то и А — произ-
произвольное (положительное) число.) Таким
образом, мы снова приходим к выводу,
что экспоненциальная функция у=Аекх
характеризуется пропорциональностью
(9) производной функции и самой функ-
функции.
Разберем еще несколько простых при-
примеров уравнений с разделяющимися
переменными.
1. Пусть
dy
у —ху, или -?=ху
[F.6.11)
Разделяя переменные, получаем
dy
у '
откуда I — = I xdx, или'In у = %г- -\- С,
или, наконец,
г/ = ехр(у+Cj = ^4exp^y], F.6.12)
где"8' по-прежнему обозначено А^=ес.
Графики функций" у изображены на
рис. 2,а.
2. Пусть
где
G(x)=\g(x)dx
i v dii у
У =Т> или -Ш=Ь
F.6.13J

172
Гл. 6. Ряды. Простейшие дифференциальные уравнения
Sdy f dx iii
—- = \ , ИЛИ In I у I :
У j x
-J- С, или, наконец,
y = Ax
(рис. 2,6; здесь снова |Л|=<
F.6.14)
Рис. 6.6.2
З.'Если
У ~—, или ^= —
? 7 ' dx у '
F.6.15)
ydy = \ xdx, или тг = ~<г~Ь
-f- С, или, наконец,
у2 — x2 — a, F.6.16)
где через а обозначено число 2С (рис. 2,в).
Разумеется, все эти примеры «удачно
подобраны»!—[здесь не только заданное урав-
уравнение C) есть уравнение вида F), но и инте-
интегралы в решении G) благополучнейшим об-
образом берутся, так что удается довольно легко
выписать общие решения A2), A4) или A6)
уравнений. Однако реально дело обстоит
столь хорошо вовсе не всегда. В общем случае
правая часть уравнения C), разумеется,
вовсе не обязана распадаться на два множи-
множителя, зависящие соответственно лишь от х
и лишь от у; кроме того, если последнее об-
обстоятельство и имеет место, то интегралы
в формуле G) могут не выражаться элементар-
Рис. 6.6.3
ными функциями. В таком случае приходится
прибегать к тем или иным методам прибли-
приближенного (численного) решения дифферен-
дифференциальных уравнений.
Заметим, что уравнение C) указывает за-
зависимость наклона у' решения у=ц (х) этого
уравнения от точки (х, у) плоскости; другими
словами, уравнение C) задает поле направ-
направлений на плоскости, выделяя в каждой точке
М=М (х, у) направление с предписанным на-
наклоном k=y'=f (x, у) (рис. 3). Это обстоятель-
обстоятельство подсказывает достаточно естественный
метод приближенного решения уравнения C).
&
Рис. 6.6.4
I I L
¦к,'/*!
Пусть мы хотим найти кривую y=f (x),
проходящую через заданную точку Мо (х0, у0)
плоскости, и такую, что функция у (х) удовле-
удовлетворяет условию C). Сместимся из точки Мо
по заданному в ней направлению в близкую
точку Мх (х^ух), где г1=
и j^=A-0 = / (х0,2/0). Затем из точки Мг
сместимся по имеющемуся в этой точке на-
направлению в близкую к Мх точку М2 (х2, г/2),
Ау1
= fixu г/i), и т. д. Многократно повторяя эту
процедуру, получаем некоторую ломаную
(так называемая ломаная Эйлера, рис. 4), ко-
которая (при малых «шагах» Дж0, &хх и т. д.)
дает достаточное представление о поведении
интегральной кривой (т. е. решения) у=у (х)

§ 6. Дифференциальные уравнения первого порядка
173
уравнения C) (ломаные Эйлера в определен-
определенном смысле «сходятся» к интегральной кривой,
когда все их звенья стремятся к нулю). Сооч>
ветствующие расчеты при современной вы-
вычислительной технике (компьютеры) оказы-
оказываются достаточно простыми, а метод в це-
целом — убедительным и надежным.
Другой метод решения дифференциальных
уравнений основан на использовании степен-
степенных рядов (здесь, как и в случае ломаных
Эйлера, речь идет, разумеется, вовсе не об од-
одних лишь только уравнениях с разделяющи-
разделяющимися переменными). Пусть мы имеем уравне-
уравнение C), в котором зависимость f (х, у) от х
и у достаточно проста (смызл этого послед-
последнего пока довольно туманного требования
мы поясним чуть ниже), и хотим найти реше-
решение у=у (х) этого уравнения, проходящее
через фиксированную точку Мо (х0, у0) плос-
плоскости. Предположим, что функция у (х)
в окрестности точки x—xq, для которой
у (хо)=аа, разложена в ряд Тейлора:
у (х) = ао + а1(х — х0) +а2(х — ж0J +
+ „,(*-*„)• + •¦.; F.6.17)
тогда 1
у' (х) = ах + 2аг (ж — х0) + За3 (я — х0J + . . .
F.6.18)
Подставляя выражения A7) и A8) в исходное
уравнение C), мы во многих случаях прихо-
приходим к условию равенства двух степенных
рядов: ряда,A8) для у' и ряда, выражающего
функцию / {х, у), где у имеет вид A7) (вот тут-то
и желательно, чтобы функция / была «доста-
«достаточно проста», т. е. такова, что выражение
/ (х, 00+% (х—хо) + а2 (х—хоJ + . . .) можно
представить как степенной ряд Ьо-{-Ь1 (х—хо) +
+ Ь2 (х~ЯоJ+- • •)• Приравнивая коэффици-
коэффициенты этих двух рядов при одинаковых степе-
степенях х, мы часто можем из системы а1=Ь0,
2a2=&i, За3=Ь2 и т- Д- численно определить
коэффициенты аи а2, . . . ряда A7), т. е. найти
решение уравнения C) (ведь коэффициент <%
нам известен заранее) 2.
Для иллюстрации'этого метода рассмотрим
два простых примера, первый из которых
г"]* Читателю Гпуидется 3ПРИНЯТЬ на веРУ
(не доказанную нами, но как будто доста-
достаточно естественную)'возможность почленного
дифференцирования "степенных рядов, подоб-
подобных ряду в правой части A7).
ja Заметим, что ^разложение A7), как мы
знаем, обычно^справедливо лишь для некото-
некоторой окрестности точки х=х0; поэтому зачастую
приходится, дойдя до (некоторого значения
х—х\, отбросить разложение A7) и пользо-
пользоваться разложением у по степеням х—хх и т. д.
Рассматриваемые ниже примеры выбраны так,
чтобы избежать этих затруднений.
может иметь лишь чисто иллюстративное зна-
значение, поскольку соответствующее уравнение
легко решить и без рядов; второй же доста-
достаточно типичен.
1. Вернемся к уже рассмотренному выше
уравнению A1)
и положим в нем
y=ao
тогда
F.6.19)
. F.6.20)
Подставляя значения A9) и B0) в A1), полу-
получим
= аох+ 1x2+a2xs+a3xi+aixi+asxe+. . .
F.6.21)
Приравнивая теперь в B1) коэффициенты
при одинаковых степенях х слева и справа,
получаем:
. а0 аг
? О
а4=Х=1ПТ' а5 = '==0'
в4 а0
"в~ 6 —2-4- 6
где ао=уо=у @). В силу этих равенств раз-
разложение A9) в нашем случае имеет вид
х* 1 х* 1 хв
откуда следует, что у=а0е*212 (подставьте
в правую часть формулы B.2) вместо х вели-
чину — ! I.
2. Пусть
у' = ху + 1. F.6.22)
Уравнение B2) не является уравнением с раз-
разделяющимися переменными, и можно дока-
доказать, что его решение вообще нельзя записать
в виде явной функциональной зависимости у
от х. Несмотря на это, решение уравнения B2)
нетрудно выразить в виде ряда.
Воспользуемся снова разложениями A9)
и B0) и подставим их в B2). Мы получим
— lJraox+a1x2+aixi+a3x*+aixi+. . .,
откуда следует, что
- 1 „ __а0
а, =-?¦ =
4
а0
2-4-6

174
Гл. 6. Ряды. Простейшие дифференциальные уравнения
Таким путем мы получаем общее решение
уравнения B2):
(х х3 хь
"-ЧТ + ГТЗ+1.3.5 +
ГГ7
'2.4-6
2 + 2 ¦ 4 +
F.6.23)
где значение а0 определяется начальным усло-
условием: так, например, если мы знаем, что
у @)=0, то ао=0 (ср. упр. 4).
Упражнения
6.6.1. Решите дифференциальные уравне-
уравнения (с разделяющимися переменными): а) у'=
д) у' = cos х sin у.
6.6.2. Докажите, что изображенные на
рис. 2 прямые а) г/=0; б) г/= +z также явля-
являются интегральными кривыми уравнений (И)
и A5) соответственно.
6.6.3. Укажите «особое» решение уравне-
уравнения (9), сходное с рассмотренными в упр. 2
«особыми» решениями уравнений (И) jt A5).
6.6.4. Докажите, что проходящая через
начало координат интегральная кривая B3)
уравнения B2) может быть записана формулой
X
у = е*'/2Ф (х), где Ф (х) = | e'^^dt.
О
6.6.5. Решите методом разложения в ряд:
а) уравнение (9); б) уравнение A3); в) уравне-
уравнение из упр. 1а.
§ 7*. Дифференциальное уравнение
вытекания воды
В качестве еще одного примера задачи
на решение дифференциальных урав-
уравнений рассмотрим фигурировавший
в § 3.6 вопрос о вытекании воды из
сосуда. Мы будем считать, что рассмат-
рассматриваемый сосуд (ср. рис. 3.6.3) имеет
внизу отверстие (или из него ведет
тонкая трубка), в силу чего вода из
сосуда может вытекать; однако наряду
с этим теперь мы считаем, что в сосуд
также может поступать вода из внеш-
внешнего источника. Это задача очень проста
и наглядна по своей постановке.
Вместе с тем те же математические ме-
методы, которые позволяют описать рас-
рассматриваемый процесс вытекания воды,
применяются и в более сложных и
содержательных задачах.
Представим себе сосуд, в который
втекает (или из которого вытекает)
вода. Объем воды, находящейся в со-
сосуде, обозначим через V. Этот объем
со временем меняется, т. е. V есть
функция времени t. Каков смысл вели-
ЧИНЫ -тг с
at
Ясно, что dV^V (t+dt)—V (t) есть
объем воды, поступившей в сосуд (при
отрицательном dV — ушедшей из со-
dV
суда) за время dt. Поэтому — =</(?)
есть скорость изменения
количества воды в сосуде.
Величина q (t) носит специальное на-
название потока воды. Если q > О, то
вода в сосуд поступает, если же q < О,
то вода из сосуда вытекает, т. е. масса
воды в сосуде уменьшается. В частном
случае, когда поток q постоянен, не за-
зависит от времени, V (t-\-l) = V (t)-\-g.
Здесь q есть количество воды, поступив-
поступившее в сосуд за единицу времени (оно
может быть и отрицательным). В общем
случае на протяжении единицы времени
(за которую может быть принята не
только 1 с, но и 1 ч или 1 год) величина
q может меняться; поэтому-то и прихо-
приходится определять q как производную.
Для читателя, разобравшегося в соот-
соотношении между средней и мгновенной
скоростью, между производной и при-
приращением (см. гл. 2), дальнейшие разъ-
разъяснения не нужны.
Мы знаем, что
dV
F.7.1)
Если зависимость потока воды от вре-
времени известна, т. е. известна функция
q (t), то дифференциальное уравнение A)
во всем подобно уравнению F.4) и за-
задача нахождения V математически не
отличается от задачи определения пути
по заданной скорости, которая, как мы
знаем (см. гл. 3), решается с помощью
вычисления (определенного) интеграла.
Для того чтобы наша задача имела
определенное решение, нужно задать
объем Vo воды, который находился
в сосуде в определенный начальный
момент времени t0. Условие V=V0 при
t=t0 называется начальным условием,
выделяющим одно определенное реше-
решение уравнения A) (ср. с § 6).

§ 7*. Дифференциальное уравнение вытекания воды
175
Объем (количество) воды, которая рассуждений. Из A) в силу определения
втекла в сосуд (или ушла из него) неопределенного интеграла следует
за время от t0 до tx, есть I q (t) dt. По-
Поэтому количество воды в сосуде в мо-
момент tx равно
Предположим, что первообразная функ-
функции q (t) каким-либо образом найдена.
Обозначим ее через I(t). Тогда
V(t1)=V0+\q(t)dt.
F.7.2)
Это, выражение справедливо для лю-
любого момента времени t± и, следова-
следовательно, полностью определяет искомую
зависимость V от tx. При tx=t0 интеграл
в формуле B) равен нулю и V (to) = Vo.
Таким образом, решение B) действи-
действительно удовлетворяет нашему началь-
начальному условию.
Формулой B) можно пользоваться
и при tx <[ ?0. Однако при tx < t0
и при tx ^> t0 эта формула имеет раз-
разный смысл. При tx ^> t0 величина V (tj)
есть количество воды, которое бу-
будет в сосуде в момент tx, если
объем воды в сосуде в момент t0 был
равен Vo и поток воды задан функцией
q (t). При tx < t0 величина V Цх) есть
тот объем воды, который должен был
находиться в сосуде в момент tx для
того, чтобы в более позднее время.,
к моменту t0, при потоке, заданном
функцией q (?), объем воды оказался
равным Fo.
Вместо tx в B) можно писать просто tf
хотя такая запись и не вполне акку-
аккуратна, ибо t у нас — переменная ин-
интегрирования, но подобную неаккурат-
неаккуратность мы допускали часто. В таком слу-
случае B) принимает вид
F.7.3)
Надо только помнить, что q (t) здесь —
это не значение <71на верхнем пределе
интегрирования, а (переменная) функ-
функция аргумента t, пробегающего все
значения от t0 до t; никаких недоразу-
недоразумений при этом не возникает.
Формулу C), дающую решение за-
задачи о вытекании воды, когда задан
поток q (t) и количество Vo — V (t0) воды
в начальный момент i=i0, можно полу-
получить и при помощи несколько иных
[q(t)dt=I(t) + C,
интегрирования.
где С — постоянная
Отсюда
V(t)=I(t) + C. F.7.4)
Для определения постоянной интег-
интегрирования воспользуемся начальным
условием, т. е. потребуем, чтобы при
t = t0 было V = Vo. Подставляя в D)
t=t0, получим V0=I (to)+C, откуда
C=V0—/ (t0). Подставляя это значение
С в D), находим
что совпадает с'формулой C), поскольку
t
Формулу D) можно назвать общим
решением дифференциального уравне-
уравнения A). Выбирая то или иное значение
С, можно получить из формулы D)
различные частные решения, соответ-
соответствующие различным начальным усло-
условиям.
Однако поток воды как функция
времени известен отнюдь не всегда!
Чаще известен физический закон, ука-
указывающий зависимость потока от напора
воды, т. е. от высоты z уровня воды
в сосуде (рис. 1). Так, например, при
вытекании воды через тонкую длинную
трубку можно считать, что
q = —kz, F.7.5)
где коэффициент к — это некоторое
положительное постоянное число,
а знак минус означает, что вода в ы-
т е к а е т. При вытекании воды из
отверстия в тонкой стенке имеет место
совсем другой закон, установленный
впервые учеником Галилея Э. Торри-
челли; здесь
q = —a \Jz- F.7.5а)
Возможна также комбинация постоян-

176
Гл. 6. Ряды. Простейшие дифференциальные уравнения
ного поступления воды сверху (q0)
и вытекания ее по закону E) или Eа):
? = <7о — kz или Q==Qo — а Vz- F.7.6)
В каждом из этих случаев, пока инте-
интересующая нас задача не решена, зави-
зависимость z=z (t) уровня воды в сосуде
от времени неизвестна, а значит, нам
неизвестен и поток. Поэтому задачу
определения из уравнения
dV . .
~dt~ % (z) F.7.7)
функции V нельзя свести к предыдущей
задаче.
Рис. 6.7.1
Мы сформулировали здесь задачу
в общем случае для произвольной за-
зависимости q—q (z) потока q от уровня z.
В уравнение G) входят две неизвестные
величины: количество (объем) V воды
и уровень воды z. Очевидно, эти вели-
величины не независимы: каждому уровню z
соответствует вполне определенный
объем V воды, так что V есть функция
V (z) переменной z.
Ясно, что вид функции V (z) пол-
полностью определяется формой сосуда.
Так, например, для цилиндри-
цилиндрического сосуда радиуса г0, если z
есть расстояние от нижнего основания
сосуда, то V(z)=nr%z. Для изобра-
изображенного на рис. 1 конического
сосуда по формуле для объема конуса
находим V (z)=V3 S (z) z, где S (z) =
= % [r (z) ]2 — площадь сечения на высоте
z (a r (z) — радиус соответствующего
сечения). Если г0 — радиус верхнего
основания конуса, a h — высота ко-
конуса, то из подобия треугольников
, . roz
легко получается, что г (z) = -j-; таким
_ тг . . 1 ъгк о
образом, здесь V (z) = -g- -j~ z3.
Подставляя функцию V = V (z) в
уравнение G), найдем
dV (г) _ dV(z) dz __ .
dt dz dt
Производная -j- от объема по высоте
равна площади S (z) сечения сосуда на
высоте z (ср. формулу C.6.20)): ^
= S (z). Окончательно получим
S (z)-^- = q(z). F.7.8)
Ясно, что (8) есть дифференциальное
уравнение с разделяющимися перемен-
переменными. Рассмотрим теперь решения этого
уравнения для разных видов зависи-
зависимостей S (z) и q (z) г.
Перепишем уравнение (8) в виде
77— тгт и обозначим —Щ = f (z). Tor-
dt S (z) q(z) ' \ /
да (8) примет вид
dz 1
nr=7ji)' F>7-9)
а уравнения такого рода мы уже^ ре-
решали (ср. уравнение F.4а)). Перепи-
F.4а)). Перепишем теперь (9) в виде
dt ,, ,
~dl~f(z)' F.7.10)
Запись A0) означает, что в ходе реше-
решения задачи мы временно будем рассмат-
рассматривать t как функцию z, т. е. будем
искать не закон z=z (t) изменения
уровня воды, а обратную z (t) функцию
t (z), — уже найдя t (z), выразим z
через t.
Умножим левую и правую части
A0) на dz и проинтегрируем обе части
получившегося равенства:
\dt=
h
Отсюда имеем
F.7.11)
F.7.12)
Мы получили решение задачи: время t
выражено как функция переменной z
1 Разумеется, возможны и такие варианты
задачи о вытекании воды (скажем, ^резер-
^резервуаром неопределеннойдформы, не позволяю-
позволяющим выписать явно функцию S=S (z)), когда
соответствующее уравнение не допускает точ-
точного решения и его приходится'решать при-
приближенно (ср. с заключительной частью § 6,
напечатанной мелким шрифтом).

§ 7*. Дифференциальное уравнение вытекания воды
177
(напомним, что t0 — это просто число).
Равенство A2) позволяет также при
каждом значении t найти соответствую-
соответствующее ему z. Решение A2) удовлетворяет
начальному условию z=zQ при i=f0
(в начальный момент ?=?0 задан уро-
уровень z=z0 воды в сосуде).
Рассмотрим еще два конкретных при-
примера зависимостей / (z).
1. Вода вытекает из цилиндри-
цилиндрического сосуда заданного ра-
радиуса г0 по тонкой трубке.
Здесь
S (z) = const = rcrjj, q = —kz,
так что уравнение (8) принимает вид
<% = —kz' <6-7-13)
ИЛИ
dz
Интегрируя левую часть в пределах
от z0 до z, а правую — в отвечающих
этим зпачениям z пределах от t0 до t,
получим
—ттг§ (In z — In z0) = —Ttrjj In ~ =
= *r§ln-? = k(t-t0).
F.7.14)
Из A4) нетрудно выразить z через t.
Действительно,
In z = In z0 5" " — h)>
т. е.
z =zoexp zprv — *o) •
Рассмотрим два момента времени t
, л о z(i-4- ДО
и f -J- Д^ и найдем отношение ——угт—-.
АД*
Мы видим, что это отношение зависит
только от At и не зависит от t. Поэтому
за равные промежутки времени уровень
воды уменьшается в одном и том же
отношении; он все время падает, экспо-
экспоненциально убывая, но никогда не до-
достигнет значения z=0, характеризую-
характеризующего полное вытекание воды 2.
2 Некоторая парадоксальность последнего
заключения (вода из сосуда не вытечет н и-
когда) свявана с тем, что уравнение A3)
относительно точно описывает рассматривае-
Сравнительно мало меняет фкаилэшскую,
картину и предположение о постоянной
подаче воды в резервуар, когда д (z)=
=д0—kz, и наше уравнение принимает,
вид
, dz ,
тноГ==?0 — ^z- F.7.15)
Здесь удобно начать с нахождение
стационарного режима, т. е. искать
решение z=zOT=const рассматривае-
рассматриваемого уравнения. Из предположения
dz _
z = zM и -у- = 0 следует
Ясно, что если процесс начинается
со значения z—zCT уровня воды, то
эта величина z не изменится: здесь
подача воды в резервуар полностью
компенсирует ее вытекание' и уровень
воды в сосуде остается постоянным.
Пусть теперь начальное значение
zo ^> 2от> так что (пропорциональное z)\
вытекание воды превышает ее поступ-
поступление и уровень z уменьшается. Будем
искать разность zx=z—zm уровня воды
от стационарного уровня гвт. Эта раз-
разность, очевидно, удовлетворяет урав-
уравнению, получаемому из A5) подста-
подстановкой значений z=z1+zm и до~kzcr:
d (г1 + гст) Ъ7 Ь17 1-7 ^
Ъ1[ — ст — K\zii zvrh
--
Но это уравнение отличается от A3)
лишь обозначениями, так что его реше-
решение имеет вид
где z^ = z0 — z0T. Окончательно получаем
* = zct + B0 — О ехр [—щ (t — g];
здесь величина z стремится к стацио-
стационарному уровню z0T воды, никогда его
не достигая3.
2. Вода вытекает из кониче-
конического сосуда (с высотой h и
мый физический процесс лишь при z^>p,
где р — радиус трубки, черев которую выте-
вытекает вода.
8 Последнее заключение верно и при
2о <С zc* (см> УПР- 3), что свидетельствует об
устойчивости установившегося состояния
2 = 2t, воды в сосуде (ср. с § 9.3).

178
Гл. 6. Ряды. Простейшие дифференциальные уравнения
радиусом основания г0; см. рис. 1)
по тонкой трубке:
В этом случае мы имеем уравнение
dz _g(z) kzh2 _ _^.J_
It 5 (z) •¦лф2 ~~ v.r% z ' ^ '
которое можно переписать так:
Интегрируя, получаем
И в этом примере не представляет труда
выразить z как функцию t:
z2 zl kh2 . . .
или
F.7.17)
Формула A7) полностью решает за-
задачу.^Легко проверить, что
kh2
-й— ^rLz°""J^r( o)J ~
так что z действительно удовлетворяет
уравнению. Очевидно также, что z=z0
при t=t0. Выражение A7) позволяет
найти момент, когда сосуд полностью
опорожнится:
2=0 при
F.7.18)
Существенное качественное отличие
первого примера от второго состоит
в том, что во втором случае вся вода
полностью выливается из сосуда за
конечный интервал времени Т=
= ру (см. A8)), в то время как в пер-
первом случае мы имели лишь «асимпто-
«асимптотическое» (продолжающееся неограни-
неограниченно долго) приближение уровня
воды к нулевой отметке z=0.
Упражнения
6.7.1. Рассмотрите решение уравнения A5),
удовлетворяющее начальному условию z0 <
<^ zCT. Какой характер будет иметь в этом слу-
случае рассматриваемый процесс вытекания воды?
6.7.2. Рассмотрите случай вытекания воды
по тонкой трубке из конического сосуда в ус-
условиях постоянного по интенсивности притока
воды. [Указание. Дифференциальное
уравнение рассматриваемого процесса имеет
вид то-g
dz
Если в главах 2 и 3 рассказывается
об идейной стороне дифференциаль-
дифференциального и интегрального исчисления, то
главы 4—6 посвящены аппаратной сто-
стороне (так сказать, «кухне») высшей
математики — и каждому, кто хочет ов-
овладеть математическим анализом в та-
такой степени, чтобы иметь возможность
применять на практике соответствую-
соответствующие понятия и теоремы, необходимо
эту аппаратную часть освоить. Конечно,
главная задача, которая стоит перед
естествоиспытателем или инженером, —
это задача адекватного описания инте-
интересующего его процесса в математи-
математических терминах (чаще всего — в виде
некоторого дифференциального урав-
уравнения); дальнейший чисто математи-
математический анализ модели (решение диффе-
дифференциального уравнения) может быть
поручен математику или передан про-
программисту для машинной (использую-
(использующей ЭВМ) обработки всего материала.
(Но вот само построение математиче-
математической модели явления перепоручить ни-
никому нельзя: это необходимо делать
человеку, глубоко знакомому с разби-
разбираемым явлением!) Исходя из этого,
инженер может решить, что в овладе-
овладении математической техникой ему се-
сегодня нет надобности, — и глубоко
ошибется. Понимание сути высшей ма-
математики неразрывно связано с владе-
владением определенными техническими на-
навыками: без минимальной техники не
может быть и понимания принципиаль-
принципиальной стороны дела. Так, для чтения спе-
специальной литературы на незнакомом
языке, хотя бы и с помощью словаря
(играющего в данном примере роль
«программиста»), необходимо как вла-
владеть основными фактами грамматики
(«теории» языка), так и обладать не-
некоторым минимальным запасом слов
(начала «технических» знаний).
Без представления о грамматическом
строе языка мы будем беспомощны,
не зная, какие именно слова (и в какой

Гл. 6. Ряды. Простейшие дифференциальные уравнения
17»
форме) надо смотреть в словаре; но
и без минимального запаса слов сло-
словарь не сможет нам помочь, ибо мы
в растерянности остановимся перед со-
совершенно темным для нас текстом.
Однако уже небольшой запас слов и
выражений плюс азы грамматики позво-
позволяют совершенно свободно пользоваться
словарем, подобно тому как^ физику
или инженеру зачастую (но не всегда!)
может хватить знания начал высшей
математики и владения простейшими
техническими навыками.
Главы 4 и 5 книги дают общее (по не-
необходимости — довольно беглое) пред-
представление о технике дифференциро-
дифференцирования (нахождения производных) и ин-
интегрирования. Техника дифференциро-
дифференцирования весьма проста, поэтому жела-
желательно отработать ее до той степени
автоматизма, когда нахождение про-
производных несложных функций осу-
осуществляется почти «само по себе». При
этом вовсе не надо стремиться к реше-
решению большого числа сложных задач:
ведь со сложными функциями физику
или инженеру приходится встречаться
не так уж часто. Гораздо важнее уме-
умение быстро решать простые задачи,
поэтому читателю можно порекомендо-
порекомендовать прорешать все собранные в настоя-
настоящей книге упражнения на вычисление
производных, но не увлекаться диф-
дифференцированием более сложных функ-
функций. Если решения задач из книги
будет недостаточно для приобретения
необходимых навыков, то можно обра-
обратиться к любому другому задачнику
по дифференциальному исчислению или
даже выписать самому ряд функций,
так сказать, наугад и затем искать их
производные. Пытаться запомнить
сразу всю таблицу производных
(см. Приложение I в конце книги)
не следует: целесообразно на первой
стадии работы переписать все формулы
на карточку и пользоваться составлен-
составленной таблицей в процессе решения задач.
При этом формулы, к которым часто
придется обращаться, запомнятся сами
собой, и в конце концов табличка ста-
станет ненужной.
Гораздо сложнее техника интегри-
интегрирования, изложенная в гл. 5. Нам
кажется, что отработке этой техники
не следует уделять слишком много
внимания. Разумеется, полезно уметь
без труда вычислять простые интегралы;
однако, возможно, более целесообразно
научиться свободно пользоваться таб-
таблицами интегралов. Но, конечно, уме-
умение интегрировать простейшие функции
и приобретаемое в процессе работы
с интегралами знание основных свойств
интегралов (скажем, свободное поль-
пользование методом подстановки) необхо-
необходимы каждому: ведь интегралы, с ко-
которыми Вы можете встретиться в своей
работе, чаще всего не будут точно совпа-
совпадать с теми, которые есть в таблицах,
а лишь будут приводиться к табличным
путем несложных преобразований,
включающих и замену переменных.
Глава 6 начинается!с темы о рядах.
Техника замены сложных (например,
экспериментально полученных) функ-
функций более простыми является одним
из основных вкладов высшей матема-
математики в инженерную практику; пред-
представление о ней| необходимо каждому
физику и инженеру. Ключевое место
здесь занимает учение о разложении
функции в степенные ряды (см. § 6.1 —
6.4), хорошо дополняемое применяемым
в других случаях разложением функ-
функций в так называемые «тригонометри-
«тригонометрические ряды», т. е. приближенным
представлением]! их в виде простых
комбинаций тригонометрических функ-
функций (см. § 10.9).
В настоящей книге мы ограничились
лишь элементами соответствующей тео-
теории, переживающей ныне новый рас-
расцвет, связанный с целым рядом причин:
бурным развитием тех разделов чистой
(или теоретической) математики, ко-
которые широко используются в теории
приближения функций (функциональ-
(функциональный анализ, теория функций комплекс-
комплексного переменного и др.); запросами
практики, постоянно встречающейся
с необходимостью упрощения сложных
функций; созданием ЭВМ, доставляю-
доставляющих новые возможности упрощенного
представления функцией в то же время
предъявляющих новые требования
к вопросам задания функций в подхо-
подходящем для использования в ЭВМ виде,
и т. д.
Вторая тема, затронутая в главе б
книги, связана с дифференциальными
уравнениями, представляющими собой
основной аппарат естествоиспытателя
и инженера. В самом деле, математи-
математический анализ явлений природы обычно
начинается с попыток представить'те

180
Гл. 6. Ряды. Простейшие дифференциальные уравнения
или иные естественнонаучные законы
в виде дифференциальных уравнений;
эти уравнения связывают (переменные)
величины, с помощью которых описы-
описывается интересующее нас явление (та-
(таков представление зачастую является
не «абсолютным», а доставляет лишь
приближенное описание реальной кар-
картины). В § 6.7 мы демонстрируем эту
общую схему на примере изучения
вытекания воды из сосуда. Заметим
только, что как содержание § 6.7,
так и разобранные в § 6.6 примеры
дифференциальных уравнений имеют
лишь иллюстративное значение: они
свободно могут быть заменены любыми
другими, и запоминать их не следует
(хотя само понятие дифференциального
уравнения первого порядка с разделяю-
разделяющимися переменными достаточно полезно
для того, чтобы им следовало овладеть).
В этом отношении уместно подчерк-
подчеркнуть различие между гл. 4 и послед-
последними параграфами гл. 6: если мате-
материал гл. 4 должен быть полностью
усвоен каждым читателем книги, то
§ 6.6 и особенно § 6.7 достаточно бегло
просмотреть, с тем чтобы понять прин-
принципиальную сторону вопроса.
Высшая математика была создана в XVII в.
Ньютоном и Лейбницем, причем
уже в их трудах она предстала как весьма
содержательная дисциплина; однако развитие
ее этим, конечно, не окончилось. Ньютон
и Лейбниц отнюдь не ограничились основными
определениями и первыми теоремами — их
вклад был заметно большим. Ньютон пре-
прекрасно понимал значение дифференциальных
уравнений для анализа явлений природы:
ведь его знаменитые «Математические начала
натуральной философии» A687), содержащие
ньютонову механику (ньютонову систему мира),
начинаются с дифференциального уравнения
движения (см. (9.4.2)). Это уравнение прини-
принимается за аксиому, в то время как все после-
последующие предложения механики являются
теоремами, выводимыми из этой аксиомы
(и из закона тяготения, следующего из экс-
экспериментальных фактов (законы Кеплера)
и аксиомы (9.4.2)). В математических работах
Ньютона сформулированы «основные задачи
математического анализа»:
1) по данному соотношению между флюен-
флюентами (исходными функциями) определить со-
соотношение между флюксиями (производными);
2) по данному уравнению, содержащему
флюксии,найти соотношение между флюентами.
Первая из этих задач есть, очевидно, задача
дифференцирования известных комбинаций
функций: так, в обозначениях Ньютона,
если z=uv, то z—uv-\-uv, здесь и, v и z — флю-
флюенты, а й, v, & — флюксии. Вторая же за-
задача — это задача решения дифференциаль-
дифференциальных уравнений.
Много внимания уделял Ньютон и беско-
бесконечным рядам (открытие биномиального ряда
произвело на него сильнейшее впечатление *):
вся ньютонова теория флюксий и флюент
(производных и интегралов) родилась, по-ви-
по-видимому, из его исследований по теории (бес-
(бесконечных) рядов. И не случайно основополага-
основополагающие теоремы (см. A.18) и A.19)) теории
рядов связываются с именами непосредствен-
непосредственных учеников и сотрудников Ньютона: Брука
Тейлора A685—1731), который был секре-
секретарем Лондонского Королевского общества
(Британской академии наук) в те годы, когда
Ньютон был его президентом, и профессора
Эдинбургского университета Колина Мак-
л о р е н а A698—1746), который был лично
знаком с Ньютоном и являлся преданным
его поклонником. Заметим кстати, что обе
формулы A.18) и A.19) были впервые
выписаны Тейлором; заслуга же Маклорена
состояла в том, что он поставил вопрос об об-
области применимости этих формул и частично
ответил на него. Точная («конечная» — вклю-
включающая конечное число слагаемых) формула
A.16) была установлена Ж. Л. Лагранжем,
о котором мы еще скажем ниже.
Весьма серьезны и достижения Лейбница
в теории рядов и в области дифференциальных
уравнений, связанные с решением разнообраз-
разнообразных геометрических задач. Напомним, что
Лейбниц больше интересовался геометрией,
чем механикой, и понятие производной ассо-
ассоциировалось у него не со скоростью, а с ка-
касательной — недаром его основной мемуар
по «новой математике» имел довольно слож-
сложное название: «Новый метод максимумов и ми-
минимумов, а также касательных, для которого
не служат препятствием ни дробные, ни ирра-
иррациональные величины, и особый для этого
род исчисления».
Особо важное значение для дальнейшего
прогресса дифференциального и интеграль-
интегрального исчисления имела первоклассная школа
Лейбница, возглавляемая швейцарцами брать-
братьями Бернулли — Якобом A654—
1705) и Иоганном A667—1748), родо-
4 Относительно путей, какими, видимо,
было сделано это выдающееся открытие, см..
например: Лойа Д. Математическое открытие,
М.: Наука, 1976, с. 119—121.

Гл. 6. Ряды. Простейшие дифференциальные уравнения
181
начальниками знаменитого «математического
семейства» Бернулли, давшего в XVII—
XVIII вв., восемь первоклассных математиков.
(Самым значительным из последующих пред-
представителей этого семейства был работавший
в Базеле и Петербурге сын Иоганна Даниил
Бернулли A700—1782) — один из осново-
основоположников гидродинамики и кинетической
теории газов; с его именем мы в этой книге
еще встретимся.)
Якоб Бернулли получил богословское об-
образование, но тяга к математике возобладала:
он самостоятельно ознакомился с математи-
математической литературой, в том числе с оказавшими
на него глубочайшее впечатление работами
Лейбница. Испытанное при чтении этих работ
потрясение и привело его к отказу от обеспе-
обеспеченной карьеры пастора; ряд лет он занимал
мало почетное и плохо оплачиваемое положе-
положение домашнего учителя, и лишь поддержка
Лейбница помогла ему занять в 1683 г. долж-
должность профессора (сначала физики, а затем
и математики) Базельского университета. Ио-
Иоганна Бернулли отец хотел направить в об-
область коммерции, — но и здесь желания отца
пришли в противоречие с явно выраженными
научными интересами Иоганна, основу кото-
которых заложил его старший брат, занимавшийся
с ним математикой и физикой. Однако занятия
математикой в Швейцарии тех лет давали
мало возможностей для обеспеченного су-
существования; поэтому И. Бернулли вынужден
был получить медицинское образование и
много лет зарабатывал на жизнь как медик
(его докторская диссертация, посвященная
движению мускулов, замечательна как, ви-
видимо, самый первый пример применения
в физиологии методов высшей математики).
В 1695 г. Иоганн по рекомендации знамени-
знаменитого X. Гюйгенса получил профессуру по фи-
физике в Гронингене (Голландия); в 1705 г. он
вернулся в Базель, где сначала смог полу-
получать в университете лишь место профессора
греческого языка. Только после смерти Якоба
Бернулли Иоганн занял в Базельском универ-
университете место профессора математики, которое
и занимал до своих последних дней.
Братья Бернулли активно переписывались
с Лейбницем, неоднократно восхищавшимся
их успехами, — и [именно в этой переписке ма-
математический анализ получил свою настоящую
форму, основную символику и терминологию.
Так, например, Лейбниц первоначально скло-
склонен был говорить о «дифференциальном ис-
исчислении» и «сумматорном исчислении» как
о двух ветвях «новой математики», но по пред-
предложению Иоганна Бернулли остановился
ЯКОБ БЕРНУЛЛИ
ИОГАНН БЕРНУЛЛИ
в конце концов на латинизированном термине
«интегральное исчисление»^ (вместо «сумма-
торного»). Якоб и Иоганн,. Бернулли далеко
продвинули новое исчисление, получив, в част-
частности, важные результаты в области учения
о дифференциальных уравнениях (см. § 6.6)
и заложив основы так называемого вариацион-
вариационного исчисления, о котором ^мельком сказано
в § 7.2 (см. текст, напечатанный на с. 189 мел-
мелким шрифтом 5).
Первый печатный ]учебник дифференциаль-
дифференциального и интегрального исчисления «Анализ
в В самостоятельную научную дисциплину
вариационное исчисление Обратилось в XVI IT
веке благодаря трудам Л. Эйлера и Ж Л Л а

182
Гл. 6. Ряды. Простейшие дифференциальные уравнения
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
ЖАН ЛЕРОН Д'АЛАМБЕР
бесконечно малых для исследования кривых
линий» (обратите внимание на название, в ко-
котором слышны отголоски знаменитого ме-
муара Лейбница) вышел в свет в 1696 г.;
автором его был ученик Лейбница и И. Бер-
нулли французский дворянин маркиз Гийом
Франсуа Антуан де Лопиталь A661 —
1704). Этот замечательный учебник выдержал
много переизданий и переведен на ряд языков
(в том числе и на русский). С идейной стороны
книга Лопиталя целиком следует лекциям
Иоганна Бернулли, которые последний читал
Лопиталю в Париже, и рукописному учебнику
И. Бернулли «Лекции по исчислению диф-
дифференциалов», обнаруженному в библиотеке
Базельского университета уже в нашем сто-
ЖОЗЕФ ЛУИ ЛАГРАНЖ
летии и изданному лишь в 1922 г. Таким об-
образом, в свое время учебник Бернулли оста-
оставался неизвестным, однако через посредство
основанного на нем лекционного курса, кото-
который посещал всего один слушатель (маркиз
Лопиталь), книга эта оказала огромное влия-
влияние на все дальнейшее развитие высшей мате-
математики (и, в частности, способствовала широ-
широкому распространению символики и термино-
терминологии Лейбница). В учебнике Лопиталя, в ча-
частности, был впервые опубликован сообщен-
сообщенный Иоганном Бернулли своему ученику
метод вычисления пределов, ныне несправед-
несправедливо называемый просто «правилом Лопиталя»
(см. § 6.5).
Другим учеником Иоганна Бернулли был
швейцарец Леонард Эйлер A707—1783),
которого познакомил с Бернулли отец Лео-
Леонарда, пастор Пауль Эйлер, сам некогда
изучавший математику под руководством
Якоба Бернулли. Отец Эйлера хотел, чтобы и
Леонард стал пастором; однако И. Бернулли
сумел убедить Пауля Эйлера в выдающихся
математических способностях сына. По реко-
рекомендации И. Бернулли Л. Эйлер в 1727 г.
переехал в Петербург, где в недавно созданной
Академии наук уже работали два сына его
учителя (в том числе упоминавшийся выше
Даниил Бернулли). Сначала предполагалось,
что Эйлер займет имевшуюся в Петербургской
академии наук вакансию профессора физио-
физиологии, и Эйлер глубоко изучил эту науку,
готовясь по примеру своего наставника при-
применить в ней математические методы. Но
по приезде в Петербург оказалось, что сво-
свободно и место профессора математики. И далее
Эйлер не возвращался к физиологии, зани-

Гл. 6. Ряды. Простейшие дифференциальные уравнения
183
маясь лишь математикой, физикой, механи-
механикой и астрономией (в частности, движениями
Луны).
В Петербурге Эйлер и прожил вплоть
до смерти с 25-летним перерывом, во время
которого он по приглашению прусского ко-
короля Фридриха II перебрался из Петербурга
в Берлин, где он руководил физико-математи-
физико-математическим отделением Берлинской (Прусской)
академии наук; впрочем, и в эти годы Эйлер
не прерывал тесных связей с Петербургской
академией. Эйлер был самым крупным и са-
самым продуктивным математиком XVIII сто-
столетия; его работы касаются буквально всех
областей математики и современной ему мате-
математической физики. С некоторыми из резуль-
результатов Эйлера мы еще встретимся ниже (см.
§ 10.7 и гл. 14, 15). Принадлежащий Эйлеру
многотомный учебник дифференциального и
интегрального исчисления переведен и на рус-
русский язык.
Современником Эйлера был и крупный
французский математик и механик Жан Лерон
Д'Аламбер A717—1783) — ученый, ши-
широчайшая научная культура которого ярче
всего проявилась в создании знаменитой
«Энциклопедии наук, искусств и ремесел»,
которую он выпускал вместе с Дени Дидро
A713—1784) и в которой ему принадлежали
практически все статьи естественнонаучного
содержания. Свое имя Д'Аламбер получил
по названию церкви (Жан ле Рон — в пере-
переводе «Иоанн Круглый»), на ступенях которой
был обнаружен мальчик-подкидыш, впослед-
впоследствии, несмотря на все трудности, выросший
в крупнейшего ученого. В § 10.7 мы расска-
расскажем об одной весьма поучительной и плодо-
плодотворной научной дискуссии, в которой участ-
участвовали Л. Эйлер, Ж. Л. Д'Аламбер и Д. Бер-
нулли. Заметим, что и Эйлера, и Д'Аламбера
отличало стремление к получению конкретных
результатов, выдающаяся математическая и
физическая интуиция и отсутствие интереса
к схоластическому обсуждению сущности ма-
математических понятий; с этим связан и извест-
известный призыв Д'Аламбера: «Работайте, рабо-
работайте, — полное понимание придет потом».
Выше мы уже упоминали, что с 1741 по
1766 г. Эйлер руководил физико-математичес-
физико-математическим отделением («классом») Берлинской ака-
академии наук. Когда он решил снова вернуться
в Петербург, встал вопрос о его преемнике.
Эйлер рекомендовал на свое место молодого
математика, выходца из французской семьи,
некогда перебравшейся в Италию, Жозефа
Луи Лагранжа A736—1813), которому
тогда только исполнилось 30 лет; эта канди-
ОГЮСТЕН КОШИ
БЕРНХАРД РИМАН
датура была с энтузиазмом поддержана и
Д'Аламбером, переписывавшимся с прусским
королем Фридрихом И. Лагранж был в эти
годы уже широко известным ученым: в 1726 г.,
в возрасте 20 лет, он начал преподаватель-
преподавательскую работу в Туринской артиллерийской
школе, а в следующем году стал одним из ос-
основателей и членом Туринской академии
наук, в записках которой^было опубликовано
множество его статей. В 1787 г. после смерти
Фридриха II Лагранж переехал в Париж,
где сыграл выдающуюся роль в становлении
парижской Политехнической школы — выс-
высшего учебного заведения нового типа, —

184
Гл. 6. Ряды. Простейшие дифференциальные уравнения
готовящей инженеров-исследователей 6. К па-
парижскому периоду жизни Лагранжа отно-
относится составление им двухтомной «Аналити-
«Аналитической механики» A788), сыгравшей огромную
роль в дальнейшем прогрессе математики
и физики. Лагранжу принадлежит также
превосходный и во многом революционный
учебник математического анализа («Теория
аналитических функций», 1797), основанный
на читавшихся им в Политехнической школе
лекциях, а также основополагающие иссле-
исследования по алгебре. По широте и разносто-
разносторонности своих математических интересов
и яркости достижений Лагранж из всех мате-
математиков XVIII в. уступал разве что Эйлеру.
Учеником и восторженным поклонником
Лагранжа был профессор парижской Поли-
Политехнической школы Жан Батист Фурье
A768—1830), с именем которого связаны
выдающиеся достижения в области дифферен-
дифференциальных уравнений в частных производных
(называемых еще уравнениями математичес-
математической физики, ср. § 10.7), в частности в теории
распространения тепла, и в теории тригоно-
тригонометрических рядов (см. § 10.8).
Профессором Политехнической школы был
и знаменитый Огюстен Луи К о ш и A789—
1857), создатель современной теории пределов
(основные идеи которой, впрочем, были за-
заимствованы им у Д'Аламбера), способство-
способствовавший уточнению всех понятий высшей
математики. Коши также по праву считается
• Пример прославленной Политехнической
школы Гаспара М о н ж а A746—1818)
и Ж. Л. Лагранжа, безусловно, учитывался
и при создании Московского физико-техничес-
физико-технического института, а также американских Масса-
чусетского и Калифорнийского технологичес-
технологических институтов.
создателем теории функций комплексной пере-
переменной (см. гл. 14, 15 и 17); впрочем, эту
честь он делит с одним из крупнейших ученых
XIX в. — немецким математиком Георгом
Фридрихом Бернхардом Р и м а н о м A826—
1866), имевшим выдающиеся результаты бук-
буквально во всех областях математики и мате-
математической физики.
Если Коши представлял в науке париж-
парижскую Политехническую школу, то Риман
был связан с другим учебным и научным цен-
центром, сыгравшим* большую роль в развитии
в Х1Х|и^ХХ вв. математики и физики,-—
с Гёттингенским университетом в Германии,
где он слушал лекции знаменитого математика
и физика, астронома и геодезиста Карла
Фридриха Гаусса A777—1855), обычно
признаваемого первым математиком XIX в.
В Гёттингенском университете Риманом был
впервые прочитан курс теории функций комп-
комплексной переменной, а также курс теории
дифференциальных уравнений в частных про-
производных; опубликованные уже после смерти
Римана лекции по этому курсу явились пер-
первым учебником по уравнениям математической
физики.
|К совсем другому поколению гёттингенскиж
ученых относится Давид Гильберт
A862—1943), считающийся создателем функ-
функционального анализа, изучающего «функции
от функции», или функционалы (ср. с. 189);
к этой области математики [сегодня относят
и учение об «обобщенных функциях», подоб-
подобных дельта-функции Дирака (см. гл. 16 и 17)..
Интенсивная разработка идей математи-
математического анализа продолжается и в наши дни;
при этом создание ЭВМ придало новые мощ-
мощные импульсы научной работе в этом на-
направлении.

Глава 7
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ.
НЕСКОЛЬКО ЗАДАЧ ИЗ ГЕОМЕТРИИ
В гл. 1—6 мы ввели основные понятия
высшей математики — понятия производной
и интеграла — и наметили начала техники
работы с ними. Настоящая глава, завершаю-
завершающая первую часть книги, частично продол-
продолжает и развивает материал предыдущих глав;
так, например, здесь мы^подробно останавли-
останавливаемся на методике отыскания максимальных
и минимальных зн ачений функций, о чем выше
говорилось лишь достаточно ..бегло (см. § 2.6).
В этой главе^мы расскажем также об основных
геометрических приложениях дифференциаль-
дифференциального и интегрального исчисления. Некоторые
из тем этой главы являются!Факультативными
(необязательными), они рассчитаны только
на любителей (см., например, § 3, 5, 6).
Поскольку эта глава имеет характер до-
дополнений к главам 1—6, то она неизбежно
получилась достаточно пестрой; отдельным
ее «мотивам» посвящены § 1 и 2; 4, 8—10;|11;
3 и 7; 5; 6.
§ 1. Гладкие максимумы и минимумы
Задача о нахождении такого значения
х0, при котором данная функция г/=
=/ (х) достигает максимума
или минимума, неразрешима
в общем виде средствами элементарной
алгебры.
В гл. 2 мы установили, что в точках,
где функция достигает максимума или
минимума, ее производная равна нулю
(теорема Ферма). Там же было показано,
как, пользуясь производной у',
выяснить, является ли данная точка
х0, такая, что /' (жо)=О, для рассматри-
рассматриваемой функции точкой максимума,
минимума или точкой перегиба, в ко-
которой не достигается ни максимум,
ни минимум. Для этого приходилось
вычислять значения у' при значениях х,
близких к х0 и расположенных справа
и слева от х0; так, скажем, условия
у' (х) > 0 при х <[ х0; у'=0 при х=х0;
у' (х) <^ 0 при х > х0 означают, что
в точке х0 функция у=у (х) достигает
максимума. В гл. 2 указывался также
и еще один способ исследования того же
вопроса, при котором к рассмотрению
привлекалась вторая производная у
(однако требовалось знать лишь ее
значение в точке х=х0). А именно, мы
видели, что, если, например, /' (хо)=О,
f" (хо) <С 0» т0 в точке х=х0 функция
/ (х) имеет максимум.
Последнее можно усмотреть и из
соображений, связанных с понятием
выпуклости графика функции;
этого понятия мы касались в § 2.7
и еще специально займемся им в § 3.
Действительно, условие /' (хо)=О оз-
означает, что касательная к графику
функции в точке х—х0 горизон-
горизонтальна. Из неравенства /" (х0) < О
следует, что точка х=х0 является точ-
точкой выпуклости, т. е. график вблизи
х=х0 расположен под касательной
(ср. рис. 2.7.1). Но эти два факта и
означают, что функция / (х) в точке
х=х0 имеет максимум. Аналогичные же
рассуждения показывают, что если
/' (ж1)=0, /" (xi) >¦ 0, то в точке х=хх
функция / (х) имеет минимум.
Эти выводы подтверждаются также
рассмотрением ряда Тейлора
f(x) = f(xo) + f(xo)(x-x0) +
1
! f(x \(X —™ X Р | /7 1 i\
функции / (х) в точке х=х0. Если
/' (жо)=^О, то при х, близких к х0, ве-
величинами (х—х0J, (х—х0K и т. д. можно
пренебречь по сравнению с (х—х0).
Таким образом, получаем приближен-
приближенные равенства:
(х0) {x—xo)f или / (я)—
—/ (xo)^f (х0) (х—хо)ш
из которых видно, что если, скажем,
/' (х0) > О, то / (x)-f (х0) > 0 (т. е.
/(*)>/ (*Ь)) при х>х0 и /.(*)—/(аь)<0
(т. е. / (х) < / (х0)) при х < xQ. Значит,
здесь при х=х0 мы не имеем ни макси-
максимума, ни минимума. (Аналогично нет
ни максимума, ни минимума при
/' (хо) <С О, только в первом случае
функция в точке х0 растет, a boj вто-
втором — убывает.)

186
Гл. 7. Исследование функций. Несколько задач из геометрии
Если же /' (хо)=О, то член с (х—х0)
в A) выпадает и пренебречь членом
с (х—х0J уже нельзя. Пренебрегая
членами с (х—а;0K, (х—х0)* и т. д.,
малыми по сравнению с (х—х0J, полу-
получаем из A)
/ (х)« / (ag+^-f (х0) (х - х0J
G.1.2)
(приближенное равенство B) выпол-
выполняется тем точнее, чем меньше | х—х01).
Отсюда следует, что если /" (х0) > О,
то / (х) > / (х0) независимо от того,
будет х < х0 или х > х0, т. е. / (х0)
меньше всех соседних значений
/ (х) и, значит, / (х0) — минималь-
минимальное значение функции. Если же
/" (х0) < 0, то / (х) < / (х0) и / (х0) -
максимальное значение функ-
функции.
Может случиться, что /' (а;0)=0 и
одновременно /" (а;0)=0. В этом случае
нам придется учесть следующие члены
ряда Тейлора A). Если /'" (xo)j^O,
то членом с (х—а;0K уже пренебречь
нельзя; однако в этом случае можно
свободно отбросить члены с множи-
множителями (х—я0L, (х—хо)ъ и т. д., малыми
по сравнению с (х—а;0K. Поэтому здесь
G.1.2а)
и мы не имеем при х=х0 ни максимума,
ни минимума, подобно тому как не
имеет ни максимума, ни минимума
при х=0 функция у—х3 (см. рис. 1.5.1;
для этой функции у' @)=у" @)=0).
Если же, скажем, /' (?„)=/" (хо) =
=/'" (а;0)=0, но/" (хо)у^О, то в окрест-
окрестности точки х0
G.1.26)
Здесь знак выражения / (х)—/ (х0) один
и тот же при х < х0 и при х > х0:
он определяется знаком /Iv (x0). Если
/Iv (х0) > 0, то мы имеем минимум
функции (как в случае функции г/=а^;
см. рис. 1.5.1), а если f14 (х0) < О,—
максимум.
Внимательный читатель уже, веро-
вероятно, догадался, что если при х=х0
первая не равная нулю производная
есть производная нечетного по-
порядка (первая, третья, пятая и т. д.),
то в этой точке нет ни максимума,
ни минимума; если же это производная
четного порядка (вторая, четвер-
четвертая и т. д.), то мы имеем либо макси-
максимум, либо минимум, в зависимости
от знака производной (минимум, если
эта производная положительна; макси-
максимум, если она отрицательна). Здесь,
как и всюду в этом параграфе, мы огра-
ограничиваемся рассмотрением максимумов
и минимумов функций, достигаемых
в точках, в которых график функции
представляет собой гладкую кривую, т. е.
в точках, где функция дифференциру-
дифференцируема — имеет производную (или даже
несколько последовательных производ-
производных у' (х0), у" (х0) и т. д.). Такие мак-
максимумы и минимумы иногда называют
гладкими; иные случаи, связанные
с так называемыми негладкими макси-
максимумами и минимумами, будут рас-
рассмотрены в § 2.
Перейдем к примерам.
Пример 1. Пусть
а) у = А+В(х-аK;
б) у — A -f В (х — а)\ G.1.3)
где 5=^=0; найти максимумы и минимумы
функции у.
Последовательные производные функ-
функций C) таковы:
а) у' — 35 (х — аJ, у" = ЪВ(х — а)
(и у' (а) = у" (а) = 0), [Г = 65
б) y' =
" = 12B(x-a)\.
— а) (и
В случае а) первой отличной от нуля
оказалась производная нечетного
(третьего) порядка; поэтому здесь
в точке х=а нет ни максимума, ни
минимума (и функция у их вовсе не
имеет, ибо у' (х)=0 лишь при х=а),
а есть точка перегиба. В случае б) от-
отлична от нуля в точке а;=а производная
четного (четвертого) порядка и
функция у имеет минимум при В > 0
(j/IV (а) > 0) и максимум при В < 0
(j/IV<0), что, впрочем, ясно и из
формулы для функции у (почему?).
Пример 2. Из квадратного листа
жести, сторона которого равна 2а,
требуется сделать открытый сверху
ящик возможно большего объема, вы-
вырезая равные квадраты по углам, удаляя
их и затем загибая жесть, чтобы образо-

§ 1. Гладкие максимумы и минимумы
187
вать бока ящика (рис. 1). Какова
должна быть длина стороны у вырезае-
вырезаемых квадратов?
Пусть стороны вырезаемых квадра-
квадратов равны х; объем ящика (он зависит
от того, какой квадрат мы вырезаем)
обозначим через V (х). Ясно, что
V(x) = {2a — 2хJх=:Ца — xfx, G.1.4)
— ведь основанием (прямоугольного)
ящика является квадрат со стороной
2а—2х, а его высота равна х.
Найдем теперь производную функ-
функции D):
V' (х) = —8 (а — х) х -\~ 4 (а — xf.
Решим уравнение V (х) = 0:
—8 {а — х) х -J- 4 (а — xf = 0,
или (а — х)(а —¦ 'Лх) = 0,
откуда х1 = а, ж2= —
Значение жх = а нас, разумеется, не
интересует: ведь при таком способе раз-
разрезания листа никакого ящика не полу-
получится. Остается значение ж—^-. При
о
этом
•Чз/ 9 3 ~~ 27 ~и>эа^ •
Здесь F'(-!j-) —0, а поскольку
V о /
V" (х) = 8х — 8{а — х)—8(а — х) =
= 24а;—16а,
то V" (у) — —8а <[ 0. Следовательно,
функция V (х) при а; = у имеет мак-
максимум.
Л так, наибольшее значение объема
а
ящика достигается при х=-тг . т. е. если
о
вырезать квадратики, стороны которых
1
составляют -^ стороны исходного ква-
квадрата.
Подсчитаем V (х) при нескольких х,
близких к —:
X
V(x)
0,25а
0,562а3
0,30а
0,588а3
0,33а
0,592а3
0,40а
0,576а3
0,45а
0,540а3
Видно, что вблизи а; = у, т. е. вблизи
значения х, которому соответствует мак-
максимум функции, малые изменения х вы-
вызывают весьма малые изменения V: функ-
функция вблизи максимума изменяется очень
медленно.
Это же следует и из формулы Тей-
Тейлора A). Если /' (а;)=0 (максимум или
минимум функции), то ряд A) прини-
принимает вид
¦^ err I \ / \п i
~Т~ g / v^o/ v" *"o) ~~\ • • • G.1.5)
Таким образом, он не содержит члена
с (х—х0): наименьшая степень разности
х—х0 в правой части E) есть (х—х0J,
Рис. 7.1.1
п:
-2а-
и при х, близком к х0, она будет весьма
мала. В нашем примере изменение х
на 9% (от 0,33а до 0,30а) вызывает
изменение V меньше чем на 1 %, а из-
изменение х на 24% (от 0,33а до 0,25а)
вызывает изменение У на 5 %. Поэтому
если нас интересует максимальное зна-
значение функции, а при нахождении хй
из уравнения V (х)=0 мы допустили
небольшую ошибку (скажем, решили
это уравнение приближенно), то это
мало повлияет на величину найденного
максимального значения функции.
Заметим еще, что в этой задаче то
обстоятельство, что точка а; = -^- есть
именно точка максимума нашей
функции, можно усмотреть и просто
из соображений здравого смысла, без
обращения ко второй производной.
Функция, выражающая объем ящика,
очевидно, положительна при всех х,
заключенных между 0 и а; при «край-
«крайних» же значениях х=0 и х=а она
обращается в нуль (в первом случае
обращается в нуль высота ящика, а во
втором — площадь его основания). От-
Отсюда следует, что при изменении х

188
Гл. 7. Исследование функций. Несколько задач из геометрии
от 0 до а величина V (х) сначала уве-
увеличивается, а затем начинает умень-
уменьшаться. Ясно, что при этом она где-то
должна достигнуть максимума, а так
Рис. 7.1.2
Рис. 7.1.3
точкой максимума. Для того чтобы
сделать эти рассуждения более ясными,
мы изобразили на рис. 2 график функ-
функции V=V (х) (в точке х=а график
касается оси абсцисс, ибо V (а)=0).
Рис. 7.1.4
Пример 3. Пусть мы имеем
электрическую сеть, включающую тот
или иной источник тока, создающий
определенную ЭДС и (ср. с гл. 13),
а также сопротивление г (возможно,
Рис. 7.1.5
внутреннее сопротивление источника
напряжения); наряду с этим в цепь
включено еще одно (переменное) со-
сопротивление R (рис. 3). Требуется по-
подобрать сопротивление R так, чтобы
выделяемая на нем мощность W была
максимальной.
Поскольку сопротивление цепи равно
r+Д, то сила i текущего по нашей цепи
тока в силу закона Ома равна i = -=.
Мощность W=iuR, где ик — падение
напряжения на сопротивлении R, по
закону Ома равное Ш. Подставляя
это значение uR в выражение для мощ-
мощности W, находим
как «подозрительной» в этом отношении
а i г
является только точка х = -г- (иоо лишь
в этой точке производная V (х) рав-
равняется нулю), то она и является именно Jr~
G.1.6)
Нам надо найти максимум выражения
F) при переменном R. Продифференци-
Продифференцируем это выражение по R:
dW __ и2 2в2Д
dR
О'Л .7)
Из G) следует, что -^ = 0 при i? = r.
Нетрудно понять, что значение R—r
будет отвечать именно максимуму
функции W (R); это следует хотя бы
из того, что при R <^ г производная G)
этой функции положительна, а при
R > г — отрицательна. Впрочем, мак-
максимальность энергии W при R=r вы-
вытекает и из соображений здравого
смысла: ведь при малом R и энергия W
мала из-за малости сопротивления
(в этом случае почти вся энергия «си-
«сидит» на сопротивлении г, а на сопротив-
сопротивление R почти ничего не приходится;
если i?=0, то и W=0); если же R
очень велико, то в силу закона Ома
будет очень малой сила тока i, а зна-
значит, и энергия W; в промежутке между
малыми и большими R энергия W
где-то должна достигнуть максимума,
а может она достигнуть его лишь при
R=r (ср. с графиком функции W—
=W (R) на рис. 4).
Пример 4. Из имеющихся досок
можно сделать забор длиной I. Как этим
забором огородить прямоугольный двор
наибольшей площади, используя в ка-
качестве одной стороны стену прилегаю-
прилегающего здания (рис. 5)?
Пусть две стороны забора имеют
длину х; тогда третья сторона имеет
длину I—2х. Площадь двора
G.1.8)
откуда

§ 1. Гладкие максимумы и минимумы
18»
Ясно, что S' (х) = 0 лишь при х = -т-;
здесь S" (х) = —4 <[ 0, так что при
х = -тфункция S(х) имеет максимум.
(Впрочем, и здесь наличие максимума
вытекает из соображений здравого
смысла; см. конец разбора примера 2.)
Этот результат легко получить и не ис-
используя дифференциальное исчисление.
Действительно, нам нужно отыскать мак-
максимум (или минимум) квадратичной функ-
функции (8) переменной х. Но для любого много-
многочлена второй степени
у = ах2 + Ьх + с G.1.9)
имеем
Ъ \2
Ь2 б2 с Г/ Ъ \2
Ъ V 4ас — Ь2
) +
Так как
/ Ь \2
ПРИ всех х I причем
равенство нулю имеет место лишь при х =
Ъ \
= — ^)> то г/ имеет максимум, если
а < 0, и этот максимум достигается при
Ъ
х — — ~2— ; у имеет минимум, если а > О,
Ь
и этот минимум достигается при х = — -^-.
В частности, функция (8), где а = —2, Ъ = Z,
с = 0, достигает максимума при ж = -^-.
Рассмотренная нами задача является од-
одним из вариантов так называемой задачи Ди-
доны. По преданию, мифическая основатель-
основательница города Карфагена в Северной Африке
финикийская царица Дидона в ответ на обра-
обращенную к вождю прибрежного племени
просьбу о выделении ей территории для по-
постройки города получила издевательское со-
согласие уступить участок земли «в пределах
бычьей шкуры». Однако хитрая Дидона не
просто покрыла шкурой крошечную часть
побережья, как рассчитывали аборигены, а,
разрезав шкуру на тонкие ремни, отгородила
этими ремнями довольно большой участок,
который удалось сделать еще большим, вос-
воспользовавшись берегом моря. Если считать
берег прямолинейным и требовать, чтобы отго-
отгороженный участок был прямоугольным, то мы
придем к решенной нами задаче. Задача ока-
оказывается гораздо более сложной, если пред-
предположить, что граница участка, т. е. лента
из бычьей шкуры, может иметь произвольную-
форму. В этом случае площадь, максимум
которой требуется найти, зависит не от одной
переменной х, а от произвольной функции,
задающей форму линии, отгораживающей
требуемый участок. Однако и на этот случай
удается перенести методы высшей математики,
V////A
Рис. 7.1.6
в частности введя и здесь аналог понятия
дифференциала и доказав, что точкам макси-
максимума п минимума рассматриваемых «функций
от функций» (их математики называют функ-
функционалами) отвечает обращение в нуль этого
«обобщенного дифференциала». С помощью
таких рассмотрений (которых мы, разумеется,
никак не можем коснуться в этой элементар-
элементарной книге) удается доказать, что решением
общей задачи Дидоны является полуокруж-
полуокружность (рис. 6).
Пример 5. Турист должен пройти
из палатки А к костру 5, предвари-
предварительно набрав воду в реке (прямая
А^В^. Как проделать требуемый путь,
пройдя наименьшее расстояние (рис. 7)?
Рис. 7.1.7
Пусть ААг=а, ВВ1 = Ь, А1В1=с
(АА± 11 JB51_J_^1151; значения чисел а,
Ь, с нам даны). Путь пешехода изобра-
изображается ломаной АМВ. Нужно узнать,
при каком положении точки М на пря-
прямой AxBt этот путь будет наименьшим.
Положение точки М задается расстоя-
расстоянием М от точки Аи т. е. от перпенди-
перпендикуляра ААг, опущенного из А на пря-
прямую, изображающую реку; это расстоя-
расстояние АгМ мы обозначим через х. Тогда
и пройденный
будет равен
пешеходом путь S (х)
S (х) = AM -f- MB = sja2 -f- x2 -f-
G.1.10)

190
Гл. 7. Исследование функций. Несколько задач из геометрии
Отсюда находим
(с-:
Приравняем iS" (x) нулю:
X С — X
v'a2 -}- х2
+ (с — х)'1
G.1.11)
Уравнение A1) нетрудно решить.
Возведя обе части в квадрат, получим
а3 (с —яJ
или
2 + (с — хJ '
х2 {с—х*)=а? (с—хJ+
т. е. x2b2 = а2 (с — жJ,
откуда
(С -*)
С—Х - Ь
или х-, = —:—г-, х«=^ г-.
1 a -J- Ь ' 2 а — Ъ
Подставляя эти значения хг и х2
в исходное уравнение A1), видим, что
второй корень не удовлетворяет урав-
уравнению: этот посторонний корень по-
получился из-за возведения обеих частей
A1) в квадрат х. Итак,
а + Ь •
Однако можно, не решая уравнения
A1), выяснить его геометрический
смысл, позволяющий получить ответ.
Условие A1) можно переписать так:
AM
ИШ
G.1.11а)
А М
Но -jig = cosАгМА = sin а; аналогично
-~ = cosBJIB = sin p. Соотношение
(На) означает, что sina = sin[3, или,
поскольку оба угла а и [3 острые, что
а = р. G.1.12)
Таким образом, пешеход должен дви-
двигаться так, ; как движется отражаю-
отражающийся от зеркала луч света (угол па-
падения равен углу отражения).
1 Посторонний корень хг уравнения A1)
можно сразу отбросить и потому, что, оче-
х а
видно, :]>0 и, значит, не равно —-т-.
Для полного решения задачи оста-
остается показать, что при таком положе-
положении точки М путь действительно будет
минимальным (а не макси-
максимальным). Это можно сделать, вычислив
вторую производную от A0).
Можно, однако, использовать и дру-
другие соображения. Из выражения A0)
для S (х) видим, что при любом х
величина S (х) положительна. При этом
S (х) неограниченно возрастает вместе
с ростом абсолютной величины х неза-
независимо от того, будет х > 0 или х < 0.
А так как S' (х) обращается в нуль
лишь при одном значении х, то ясно,
что при этом значении х функция S (х)
имеет минимум. Вообще, если
Рис. 7.1.8
в интересующем нас промежутке пер-
первая производная имеет лишь один ко-
корень, то наглядные соображения часто
позволяют избежать формального ис-
исследования при помощи второй произ-
производной (ср. со сказанным по поводу
примера 2).
Нашу задачу можно решить и чисто гео-
геометрически, не прибегая к методам высшей
математики. На продолжении отрезка АА\
(рис. 8) отложим AiA'=AAi и точку А' соеди-
соединим с В. Тогда АМ=А'М, так как AAAiM=
=ЬАХА'М. Поэтому A'B=A'M-j-MB=AM+
-\-МВ. Для любой другой точки D на отрезке
будет AD+DB=A'D+DB и A'D+
> A'B, так как ломаная длиннее от-
отрезка прямой. Искомая точка М есть, следо-
следовательно, точка пересечения прямых А 'В
и AiBi, откуда и вытекает равенство A2)
(почему?).
Примеры 4 и 5 показывают, что задачи
на нахождение максимумов и минимумов
иногда удается решить и средствами эле-
элементарной математики, не прибегая к диф-
дифференциальному исчислению (см. решения
соответствующих задач, напечатанные мелким
шрифтом). Однако, во-первых, далеко не все
задачи можно осилить, не используя высшую
математику. Во-вторых, решение элементар-

§ 1. Гладкие максимумы и минимумы
191
ными средствами требует смекалки и остро-
остроумия; высшая же математика дает стандарт-
стандартный способ решения таких задач, не требую-
требующий никакой изобретательности.
Это конечно, вовсе не означает, что в выс-
высшей математике можно обойтись без сообра-
сообразительности! Но она теперь пригодится для
других, более трудных случаев.
Пример 6. Вот еще один, несколько
более сложный, чем предыдущие, пример
исследования функции на максимум и мини-
минимум. Хорошо известно, что связь между
объемом v, давлением р и (абсолютной — по
Кельвину) температурой Т идеального газа
задается законами Бойля — Мариотта и Гей-
Люссака, которые объединяются в одном
уравнении Клапейрона:
pv = RT, G.1.13)
где R — некоторая постоянная (универсальная
постоянная идеального газа; прилагательное
«универсальная» означает, что при отнесении
закона A3) к одной грамм-молекуле газа
величина R будет одна и та же для всех
газов; так, если v измеряется в м3, а р —
в Па, то R % 8,25 Н-м/град). Однако фор-
формула A3) для реальных газов выполняется
недостаточно точно, в связи с чем широко
используется следующее уточнение уравне-
уравнения A3):
(v — b) = RT,
G.1.14)
называемое уравнением ван дер Ваалъса 2;
здесь]|а и 6 —[некоторые (экспериментально
определяемые) положительные ^постоянные
(при указанных выше единицах измерения
имеющие размерность соответственно Н-м4
и м3), разные для различных газов. При по-
постоянной температуре Т формулы A3) и A4)
описывают некоторые кривые в плоскости,
отнесенной к координатам v и р; эти кривые
называют изотермами (линиями одинаковых
температур). Каждому значению Т отвечает
своя изотерма.
Ясно, что задаваемые формулой A3) «изо-
«изотермы Клапейрона» представляют собой просто
семейство гипербол py=const(=/fr) с асимп-
асимптотами р=0 и |р=0; ни максимумов, ни ми-
минимумов они не имеют. Гораздо сложнее
выглядят «изотермы ван дер Ваальса» A4),
к рассмотрению которых мы и перейдем.
2 Ваадьс Ян Дидерик ван дер A837—
1923) — голландский^физик.
Найдем из A4) зависимость р=р (v) давле-
давления от объема:
RT а
7ЛЛ
Из A5) вытекает
Р = w,, = —
RT
2а
dv
— (v-bJl
(v-bJ
2а (v —bJ
G.1.16)
в силу чего возможные максимумы I и мини-
минимумы давления р (при данной температуре Т)
определяются условием
2а (v~bJ
\3 -ДГ = 0, G.1.17)
равносильным условию р'=0. Однако A7)
представляет собой, к сожалению, кубическое
уравнение относительно неизвестного v, реше-
решение которого вовсе не просто.
Не имея возможности решить уравнение
A7), исследуем его качественно. Рассмотрим
2а (v — ЬJ
функцию / (v) = ^з — RT и выясним
характер ее изменения, найдем ее максимумы
и минимумы. Для этого продифференцируем
функцию /:
df „ Г 2 (у— 6) 3(v — bJ
1— = 2а — 5 — 1
dv |_ v6 у*
G.1Л8).
Из физических соображений (см. A4)) сле-
следует, что всегда v > 6 (абсолютная темпера-
температура Т не может быть отрицательной!), поэ-
поэтому A8) может обращаться в нуль лишь при
i>=36. Кроме того, при Ъ < v < 36 правая
часть A8) положительна, а при v > 36 она
отрицательна, поэтому значение у=36 отве-
отвечает максимуму функции / (v), наибольшему
8а
ее значению / (v) — -к^г — RT. Далее надо от-
отдельно рассмотреть три случая, реализую-
реализующиеся при разных значениях температуры Т.
8а Sa
а) 27& — ЯГ<0, т. е. г > 276Л ¦ В этом
случае / (у)<0 при всех v, а, значит,р'<0
при всех v; поэтому функция р=р (и) все время
убывает (см. две верхние из изображенных
на рис. 9 изотерм ван дер Ваальса для угле-
углекислоты СО2; температуры справа указаны
по шкале Цельсия). Соответствующие кривые
р=р (v) по характеру напоминают гиперболы;
асимптотами их служат прямые р=0 и v=b.
8а 8а
о) 27j — ДГ>0, т. e. T<.2jbR (CMl на РИС- 9
две нижние кривые). Поскольку при v=b

192
Гл. 7. Исследование функции. Несколько задач из геометрии
функция / (у) отрицательна (нам не важно,
что4это значение v=b не отвечает никакому
реальному состоянию вещества!), а при и=36
8а5
мы имеем / (у) = ^ff — RT > 0, то между 6
и 36 существует такое значение у0 переменной
v, что / (уо)=О, а значит, и р' (у„) = 0; это зна-
яение (ранее которого производная р' отрица-
отрицательна, а после положительна) отвечает м и-
н и м у м у функций р (у), С другой стороны,
при и -> оо в силу A5) р -> 0, а, значит,
где-то при и=У1 > 36 функция р=р (у) дол-
должна достигнуть мак симума. Асимптоты
кривой р=р (у) и здесь остаются теми же,
что и в случае а).
8а 8а
в) 27b" — ДГ = О, т. е. Г = 276Д * К КаК
наибольшее возможное значение функции / (у)
здесь равно нулю, то при всех других зна-
значениях v эта функция отрицательна, а тогда
/И
отрицательна [и производная
Таким образом, функция р =
г — (у— 6J •
¦ p(v), подобно
случаю а), все время убывает; при у = 36
она имеет перегиб (ибо р' C6) =0).
В случае а), очевидно, каждому значе-
значению р отвечает единственное значение объ-
ема|у, что соответствует возможности при
8а
Т ^> 27йд единственного физического состоя-
состояния вещества—-газообразного. Напротив,
а
у = 36(=уе) и р= 27Д2 (=Рк)> эти объем и
давление также называют критическими.
При Г = ГК, если р>ps (или у<Сук)> веще-
вещество находится в газообразном состоя-
состоянии, а если р<Срх (при у >ук), оно уже ста-
становится жидким; таким образом, ps есть
наибольшее давление, при котором ве-
вещество ,еще может существовать в виде на-
насыщенного пара. Заметим еще, что точке К
критической изотермы отвечает значение
а 3
ркук = -qT- = -g- RTK, которое jjb этом случае
составляет всего .лишь 3/8 той ^величины,
которуюЗдает уравнение Клапейрона A3).
jBojiee" полное (обсуждение уравнения ван
дер ?Ваальса, его следствий [а дальнейших
уточнений можно найти в учебниках физики.
Обратимся теперь к вопросу о максимумах
и минимумах функции двух переменных.
Определение dy=y'dx дифференциала функ-
ции'у=/ (х) (см. § 4.1) показывает, что точки
(гладкого) максимума или минимума функции
характеризуются тем, что в них дифферен-
дифференциал обращается в^нуль; это тесно связано
с геометрическим смыслом дифференциала
(см. рис. 4.1.2)^и с тем фактом, что касатель-
касательная к графику функции в точке ее максимума
или минимума должна^быть горизонтальна.
Столь же просто видеть, что также и в точке
максимума или'минимума функции z=F (x, у)
dF
двух переменных^дифференциал dz=-r^ dx-\-
dF
пРиГ<27ЙГ Да™>иу давлению р могут +^dy фуякцш]Р должен обращаться в нуль;
отвечать, как видно из рис. 9, три разных
значения объема у, так что вдесь вещество
может существовать в разных состояниях.
Состояние с наименьшим объемом у = уж
(т. е. с наибольшей плотностью) — это
жидкость. Состояние с наибольшим объемом
v = vr (при тех же давлении и температуре)
представляет собой газ. Наконец, Переднее
состояние^ вещества оказывается неустойчи-
неустойчивым. Если поместить вещество в сосуд опре-
определенного J объема v (промежуточного между
уж и уг) и нагреть до рассматриваемой
температуры Т (Т < ГЕ — см. ниже), то часть
вещества будет находиться в газообразном,
а другая — в жидком состоянии. Состояние
со средним объемом и существовать не будет.
8о
Пограничный случай ^ = 276~й" игРает
•особо важную] ;роль: температура Т назы-
называется критической температурой газа (ее
обычно j обозначают через Гк). Точкафпере-
гиба К соответствующей изотермы отвечает
следующим значениям объема и давления:
иными словами, должны иметь место равен-
dF dF n n
ства 5J"==5T = O' °то связано как с тем, что
касательная плоскость3 к поверхности z—
=F (x, у) в точке максимума или минимума
должна быть горизонтальна (рис. 10, а), так
и с тем, что в точке (я0, ув) максимума функции
z=F (x, у) достигают максимума и {функции
/ (x)=F (х, у0) и g (y)=F (x0, у) одной пере-
переменной (z или у), и, значит, /' (x)( = -^
и g' (у) (= д~) Должны равняться нулю. Од-
Однако ^надо иметь в виду, что если равенство
/' (х)=0 почти всегда означает максимум
или минимум функции/ (ибо с лучаи обращения
в нуль второй производной являются исключи-
3 Касательная плоскость в точке М =
= М(х0, у0) к поверхности П с уравнением
z—F (х, у) содержит касательные к линиям
У=Уо< z=F(x, yo)=*f (х) и х=*х0, z=F (х0, у)жш
=—? (у) (к линиям y=.const и z=const); из
всех проходящих через М плоскостей она тес-
теснее всего примыкает к поверхности П.

§ 2. Негладкие максимумы и минимумы. Изломы и разрывы
193
, у о) dF(x0, у 0)
тельными), то условия т=т=
= 0 (или tfz=0) могут означать и то, что одна
из фигурирующих выше функций / (х) и g (х)
Рис. 7.1.9
Рис. 7.1.10.
достигает в рассматриваемой точке (х0, у0) мак-
максимума, а вторая — минимума. В этом случае
точка (х0, у0) соответствует «седлу» (или
«перевалу») поверхности z—F (x, у) а в ней
функция F не достигает ни максимума, ни ми-
минимума (рис. 10, б).
Упражнения,
7.1.1. Из прямоугольного жестяного листа
со сторонами а и Ь делают ящик, вырезая
равные квадраты по углам. Какова должна
быть сторона у вырезанных квадратов, чтобы
ящик имел максимальный объем?
7.1.2. В остроугольный треугольник с ос-
основанием а и высотой h впишите прямоуголь-
прямоугольник, две вершины которого принадлежат осно-
основанию, а две другие —боковым сторонам тре-
треугольника, причем так, чтобы этот прямоуголь-
прямоугольник имел наибольшую возможную площадь.
7.1.3. Определите наибольшую возможную
площадь прямоугольника, вписанного в круг
данного радиуса R.
7.1.4. При каком радиусе основания и при
какой высоте закрытая цилиндрическая банка
данного объема V будет иметь наименьшую
площадь (полной) поверхности?
7.1.5. Два тела движутся по сторонам
прямого угла по направлению к вершине
с постоянными скоростями vi и у2 (м/с). Через
сколько секунд после начала движения рас-
расстояние между телами будет наименьшим,
если в начале движения первое находилось
на расстоянии а м от вершины угла, а второе —
на расстоянии Ъ м?
7.1.6. Докажите, что произведение двух
положительных чисел, сумма которых по-
постоянна, будет наибольшим, если эти числа
равны.
7.1.7. Прямой I плоскость разделена на две
части (среды I и II). Тело движется в среде I
со скоростью и, а в среде II — со скоростью
v%. По какому пути должно двигаться тело, для
того чтобы возможно скорее попасть из дан-
данной точки А среды I в данную точку В среды
II? (Эта задача ставит вопрос о законе
преломления света при переходе
из среды I в среду II, в которых свет распро-
распространяется с разными скоростями: ведь из-
известно, что траектория светового пучка между
точками А и В всегда такова, что свет прохо-
проходит путь от А до В в кратчайшее время (прин-
(принцип Ферма, см. с. 109).)
§ 2. Негладкие максимумы и мини-
минимумы. Изломы и разрывы. Левая
и правая производные функции
До сих пор мы говорили, что макси-
максимумы и минимумы функции достига-
достигаются при тех значениях х, при которых
первая производная обращается в нуль.
Однако иногда максимумы (и мини-
минимумы) отвечают и значениям аргумента,
не обращающим (первую) про-
производную в нуль.
Для примера вернемся снова к рас-
рассмотренной в предыдущем параграфе
задаче о последовательно включенных
с данной ЭДС сопротивлениях г

194
Гл. 7. Исследование функций. Несколько задач из геоиетрии
и R (см. рис. 1.3) и спросим себя, при
каком сопротивлении R энергия W,
выделяемая на сопротивлении г будет
максимально возможной.
В точности аналогично A.6) имеем
G-2Л)
Напомним, что в A) мы считаем и ж г
известными, а сопротивление R — пе-
w
Рис. 7.2.1
О
ременным и неизвестным. Из A) сразу
следует
dW __ 2аУ
~Ш~~ (r + RK'
^ dw n ,
таким ооразом, условие -г„ = (J оора-
щается здесь в равенство
- = 0,
не выполняющееся ни при ка-
каком R.
Значит ли это, что мощность может
расти неограниченно, что задача о мак-
максимальной мощности не имеет решения?
Ведь из физического смысла задачи
ясно, что мощность будет наибольшей
в этом случае W =—J.
Почему же из уравнения -г= = 0 мы не
получили значения /? = 0?
Для того чтобы разобраться, в этом,
рассмотрим график зависимости W=
= W (R) (рис. 1).
Из графика видно, что если бы R
могло принимать и отрицательные зна-
значения, то при i?=0 максимума бы не
было. Однако из физического содержа-
содержания задачи следует, что отрицательные
R невозможны: всегда R ^ 0. Таким
образом, величина W имеет максимум
при /?=0 из-за того, что ограничен
промежуток изменения аргумента. Этот
вывод следует запомнить: если проме-
промежуток изменения аргумента ограничен,
то при исследовании функции на мак-
максимум и минимум надо специально
рассмотреть граничные значения аргу-
аргумента.
В качестве еще одного примера обра-
обратимся к уже рассматривавшемуся в § 2.6
вопросу о возможных значениях тепло-
теплоемкости; только теперь будем решать
этот вопрос не для алмаза, а для воды.
Количество тепла (в джоулях), необ-
необходимое для нагревания 1 кг воды (при
атмосферном давлении) от 0 до Т°С, при-
приближенно равно О (Т) = 4186,68 Т+
+8373,36 •10-6Г2+1256-10-в Т\ откуда
следует, что теплоемкость воды с=с (Т)
при температуре Т равна
с G)=-^= 4186,68+16746,72-10-5Г+
+3768 • lCTT3
(см. упр. 2.2.2 и его решение). Ясно,
что при положительных Т величина
с (Т) с ростом Т растет, а при умень-
уменьшении Т падает. Означает ли это, что
теплоемкость с (Т) воды может быть
сколь угодно велика? Разумеется, нет:
ведь вода может существовать лишь
в интервале температур от 0 до 100° С
и на левом конце этого интервала теп-
теплоемкость принимает наимень-
наименьшее, а на правом — наиболь-
наибольшее возможное значение.
Рассмотрим, наконец, следующую
геометрическую задачу (рис. 2): на диа-
диаметре АС окружности выбрана точка М;
под каким углом а к диаметру следует
провести через М хорду BD, чтобы
(вписанный в окружность) четырех-
четырехугольник А В CD имел наибольшую воз-
возможную площадь?
Примем радиус окружности за еди-
единицу длины; расстояние ОМ точки М
от центра окружности обозначим через а.
Поскольку очевидно, что высоты В К
и DL треугольников ABC и ADC рав-

§ 2. Негладкие максимумы и минимумы. Изломы и разрывы
195
ны соответственно ВМsina vlDMsina, то
= у Л С (ЯД/ + /Ж) sin a =
Кроме того, расстояние ОР от центра
до хорды BD равно ОМ sin a = a sin а;
поэтому BP = PD = \]\ — а2 sin2 а (ибо
радиус OB — OD окружности мы при-
приняли _за__единицу), и, значит, BD =
= 2\/1 —aasin2a, т. е.
S = ~2 AC-BDsina = 2sina.\Jl — a2sin2a.
G.2.2)
По правилам дифференцирования от-
отсюда следует
dS __ 2 cos a (I — 2aasin2a)
d* v'i — a2 sin2a
G.2.3)
Из (З) видно, что обращение производной
в нуль равносильно либо равенству
cos a = 0, либо равенству sin a = l/(a^/2 )•
Первый случай соответствует значению
a = 90°, т. е. хорда BD ± АС; второй
возможен не при всех значениях а. Оче-
Очевидно, что лишь при a^>\J2j2 (я^ 0,71)
мы получим sin a <[ 1 и сможем найти
соответствующее значение угла а<^90°.
Здесь мы сталкиваемся с ситуацией,
когда задача, в условие которой входит
параметр, имеет решения качественно раз-
разного типа в зависимости от численного
значения параметра. Если а^у/2/2, то
функция S = S (x), при крайних значе-
значениях аргумента а = 0 и a = 180° обра-
обращающаяся, очевидно, в нуль, может иметь
максимум лишь при a = 90°, а так как
максимум она, безусловно, имеет (ср. с.
187—188), то значение a = 90° наверняка
отвечает максимальной величине площади
S (а) в силу B) равной х 2 \/1 — а2. Но при
a^>\]2j2 максимум S(а) может достига-
достигаться при трех значениях а: при а = 90°
и при двух значениях a = 90° + |3, таких,
что sin a= l/(a\j2). Здесь, напротив, мак-
образом, график зависимости
( в нашем случае изображается
(в плоскости с координатами a, S) линией,
1 Таким
ax=S (а)
_
( у/2\
— 1 ^при 0 < a =S -j I и
1 ( V2
перболы S = — I при ~2 < a =g
дуги г и-
симум функции S (а) реализуется при
двух последних значениях а, которым
отвечают две симметричные относительно
диаметра Л С хорды BD; соответствующее
значение B) площади S обращается в 1/а,
значению же а = 90° отвечает (локальный)
минимум функции S (<х). (Заметим еще,
что если искать не максимум функции
S = S (a), a максимум более простой фун-
функции F(z) = x — a*a?, где F = [S (ж)]2/4
и х == sin2 а, то значение а = 90° будет
отвечать граничному максимуму функции
F(z), где 0 г<С! ж <^ 1, а равенство sin a =
= \j{a\J2) — гладкому максимуму F-)
Чтобы разобраться полностью в задаче,
постройте .самостоятельно графики фун-
функции S = S(a) (см. B)) при трех (или
четырех) фиксированных значениях а:
а = 0,9; \]2j2 и 0,5 (или даже при а=0).
На рис. 3 изображен график функции
а = а(а), где угол а таков, что площадь
четырехугольника A BCD на рис.2 макси-
максимальна. Заметьте, что при а ^> ^2/2 за-
задача о выборе хорды BD имеет два сим-
YI/Z / а
метричных относительно АС решения,
в то время как при а ^ у/2/2 решение
будет только одно.
Вернемся к общему вопросу о гранич-
граничных и гладких максимумах и миниму-
минимумах функциий.
Если максимум (минимум) функции
y = f(x) достигается на краю х0 проме-
промежутка изменения аргумента (такие макси-
максимумы и минимумы иногда называют
граничными), то первый член ряда
может и не выпадать. Поэтому если
мы несколько отступили от (гранич-
(граничного!) значения х0, которому отвечает
максимум, то ошибка в определении у
может быть и велика: ведь она будет
пропорциональна (х—х0), а не (х — ж0J,
как ранее. Поэтому здесь даже

196
Гл. 7. Исследование функций. Несколько задач из геометрии
малая ошибка в определении значения
аргумента, отвечающего максимуму
функции, может привести к ощутимой
погрешности в значении функции.
В рассмотренных примерах функция
/ (х) существовала и при х <| х0, но
физического (или геометрического)
смысла не имела. Однако может слу-
случиться и так, что функция / (х) при
некоторых значениях аргумента вовсе
не существует. Не существует, напри-
например, корень четной степени (скажем,
квадратный) из отрицательного числа,
и здесь значения аргумента, обращаю-
обращающие подкоренное выражение в нуль,
являются граничными. При исследо-
исследовании на максимум или минимум та-
такие значения аргумента должны быть
рассмотрены отдельно. Так, если у =
= а — \Jb — х, то у' = ij2\Jb¦—х, и,
хотя у' нигде не обращается в нуль,
функция у имеет максимум. Этот мак-
максимум достигается при х=Ъ: в самом
деле, значение х=Ъ обращает подко-
подкоренное выражение в нуль, больше же
Ъ переменное х быть не может, так
как иначе подкоренное выражение ста-
станет отрицательным. При х =Ь мы имеем
у =<z; при всех же других значениях х
величина у получается вычитанием из
а положительного числа2 \1Ь — х и по-
поэтому будет меньше а.
Максимум (или минимум) может до-
достигаться и во внутренних точках,
в которых производная не обращается
в нуль, если кривая в этой точке имеет
излом, угловую точку. Такие точки встре-
встречаются, в частности, когда кривая
состоит из двух частей, описываемых
разными формулами при х <^ х0 и
при х ^> х0. Приведем пример физи-
физической задачи такого рода.
Пусть на электроплитке постоян-
постоянной мощности нагревается чайник; тре-
требуется определить тот момент, когда
количество теплоты, запасенное чай-
чайником, будет наибольшим. Для про-
простоты условимся считать, что коэффи-
коэффициент полезного действия плитки ра-
равен 100%, т. е. что все тепло она от-
отдает чайнику. Пусть мы поставили
чайник на плитку в момент времени
t =0 и пусть в этот момент чайник обла-
дал q джоулями тепла 3. По определе-
определению единицы количества тепла (джоуль)
общее количество тепла Q (в джоулях),
выделенное электроплиткой, равно i2Rt,
где i — сила тока (в амперах), R — со-
сопротивление плитки (в омах), t — время
(в секундах). Поэтому количество тепла
в чайнике в момент t равно
Q = q + i2Rt.
В некоторый момент времени t=tQ,
когда количество накопленного чай-
чайником тепла равно Q0=q-\-i2Rt0, чай-
чайник закипает. В этот момент вода
начинает превращаться в пар (вы-
(выкипать) 4. На образование 1 г пара
идет примерно 2256,7 Дж тепла. Обо-
Обозначая через dm массу воды, выки-
выкипевшей за время dt, получим
) dt^ib • 10~H2Rdt.
Следовательно, за 1 с выкипает -г- ?и
at
яа45-Ю~5Ш2 г воды; на это затра-
затрачивается
^
^^418,68^^418,68 • 45 • 10~HR2
at at
тепла, поскольку 1 г воды при темпе-
температуре кипения содержит примерно
418,68 Дж тепла. Поэтому к моменту
времени t, где t ^> t0, на превраще-
превращение выкипевшей воды в пар будет за-
затрачено
тепла (в Дж).
Мы видим, что количество тепла Q
(в Дж) в чайнике выражается двумя
разными формулами: при t <^ t0 (т. е. до
начала кипения) оно равно
2 Мы считаем, что под v'u—х понимается
положительное (арифметическое) значение
корня.
а при t > t0 (после того как чайник
закипел) — равно
Qmq + i2Rt0 — 0,1884i2R (t — to)=
= q-\-i2R A,1884?0 — 0,1884f).
3 За нуль принимается тепловая энергия
воды при 0° С.
4 Парообразование происходит и при тем-
температуре, меньшей 100° С, т. е. до начала
кипения воды, но мы им пренебрегаем.

§ 2. Негладкие максимумы в минимумы. Изломы и разрывы
197
График зависимости Q=Q (t) изобра-
изображен на рис. 4, а. Из этого рисунка
видно, что функция Q (t) достигает
максимума при t=t0, хотя производная
Q'(t) при этом значении t в нуль не
обращается, т. е. касательная к графику
в точке (t0, Q (t0)) не горизонтальна
(функция Q (t) при t=t0 вообще не
имеет производной, а график этой функ-
функции в соответствующей точке не имеет
касательной).
Производная функции Q=Q (t) при
t=t0 терпит разрыв. Действительно,
если ограничиться лишь значениями
t <C t0, то нам придется считать, что
Q' (t) = i2R; в точках же, где t > t0,
производная Q'(t)^i—0,1884i2i?. График
„ dQ _,. _
производной -т- := Q/ (t) изооражен на
рис. 4, б.
Итак, максимум функции у =/ (х) мо-
может достигаться в угловой точке,
где производная разрывна и изобра-
изображающая график линия образует угол.
Из рис. 5 также видно, что минимум
(или максимум) может быть достигнут
при тех значениях аргумента х0, где
производная терпит бесконечный раз-
разрыв. (На рис. 5 изображен график
функции у = х1* = \/х2; график обрат-
обратной ей функции у =х*12, или у2 =х3, пред-
представляет собой полукубиче-
полукубическую параболу; см. § 1.5 и, в ча-
частности, рис. 1.5.7.) Точка кривой та-
такого типа, как та, в которой дости-
достигается минимум функции у =х~'3, на-
называется острием. График производ-
производной функции у=х!* изображен на
рис. 6. Здесь, как и в случае обычного
минимума, у' <; 0 при х <; х0 (на рис. 6
х0 =0) и при приближении к х =х0
слева функция убывает. При х > х0
имеем у' >0: при увеличении х, после
того как значение х —х0 пройдено, функ-
функция возрастает. Однако при х=х0 про-
производная теряет смысл. Она положи-
положительна и сколь угодно велика при х,
близком к х0 и большем х0, и отрица-
отрицательна и сколь угодно велика по абсо-
абсолютной величине при х, близком к х0
и меньшем х0.
Максимумы и минимумы, достигае-
достигаемые при тех значениях аргумента,
когда производная терпит разрыв, иног-
иногда называют острыми максимумами и
минимумами; острые и граничные (до-
(достигаемые на границе области опреде-
определения функции) максимумы и минимумы
вместе можно назвать негладкими.
В связи с рассмотрением особых то-
точек на кривых и в первую очередь
Рис. 7.2.4
Я
4
0
точек излома (см. рис. 4, а) можно
уточнить рассуждения, которые при-
привели нас к понятию производной. В гл. 2
Рис. 7.2.5
книги, не оговаривая этого особо, мы
всюду рассматривали лишь гладкие
кривые. При этом производная у' (t).
Рис. 7.2.6
взятая в точке t, определялась как
предел отношения
ny-y(*i) Gт2А)
при стремлении t2 и tx к t (здесь раз-
разность t2 — tlt очевидно, стремится
к нулю). Специально подчеркивалось,
что этот предел не зависит от того,

198
Гл. 7. Исследование функции. Несколько задач из геометрии
как выбраны значения t2 и tt\ они
могут быть оба больше t, или оба
меньше t, или одно из них больше,
а другое меньше t, или одно из них
равно t, а другое больше или меньше t.
Так, при положительном At дробь
у It + At) — у It)
-2-5—!—yi J v ' соответствует значе-
значениям в D) t1 = t и t2 = t -f- At > t,
ч it) — у (t — te)
а дрооь ' '—j± - значениям
tx = t — At < t и t2 = t 5.
Если функция у =у (x) — гладкая,
то во всех этих случаях получается
один и тот же предел, равный произ-
производной в данной точке. Однако в слу-
случае кривой с изломом (ср. рис. 4)
положение дела меняется. Если обо-
обозначить значение t, при котором имеет
место излом, через t0, то дробь
к '—j ' стремится при и о-
ложите льном и стремящемся
к нулю At к определенному значению
(в примере на с. 196 — к значению
—0,1884i2i?), которое называют пра-
правой производной функции у (х) в точке
t = t0. Образовав дробь
у ()
v {to) ~^° ~ At)
мы получим при положитель-
положительном и стремящемся к нулю Д? дру-
другой предел, называемый левой произ-
производной функции (в упомянутом при-
примере левая производная равна i2R).
5 Для гладких кривых мы вычисляли
производную тоже как предел отношения
пржА<—»0 (см. текст, напечатанный на с. 155
мелким шрифтом); здесь tt = t — -5-< t,
М
Взяв t2 и tx с разных сторон от t0,
можно получить в пределе при tt -> t0,
h ~* to разные значения отноше-
отношения D): нетрудно видеть, что если А
есть угловая точка кривой или острие,
то хорда ВС, где В ж С лежат по раз-
разные стороны от А, может иметь разные
направления (представьте себе такую
хорду на рис. 4, а ж 5). Поэтому пре-
предел этой хорды при В, С -*¦ А тоже
может быть разным: он зависит от
того, как именно стремятся точки В ж С
к точке А. Таким образом, в самой
точке излома графика функции (в точ-
точке «излома функции», как иногда в та-
таких случаях говорят) производная не
имеет определенного значения, но здесь
можно определить производную слева
и производную справа.
В гл. 2, впервые изучая производные,
мы намеренно для упрощения изложе-
изложения не отмечали каждый раз, что опре-
определенное значение производной, не за-
зависящее от способа стремления х к х0
(например, слева или справа), суще-
существует лишь для точек, в которых
график функции — гладкая кри-
кривая. Как видно из рис. 4, б, в точке,
где кривая у (t) имеет излом, график
производной у' (t) терпит разрыв.
Если излом на кривой у (t) заменить
дугой малого радиуса, касающейся
кривой слева и справа (как говорят
чертежники, сделать сопряжение), то
полученной гладкой кривой будет от-
отвечать непрерывно меняющаяся про-
производная; однако на том участке изме-
изменения t, где кривая у (t) заменена ду-
дугой, кривая у' (t) круто меняется (ср.
рис.7 с рис. 4).
Если график функции у (t) имеет раз-
разрыв в точке t0 (рис. 8, а), то условно
можно сказать, что в точке t0 произ-
производная у' (t) бесконечна (хотя
на самом деле в этой точке, конечно,
вовсе нет производной). В самом деле,
если разрыв заменить гладким изме-
изменением у от Ух до уг на малом отрезке
от ta — е до ?0+е, то на этом отрезке
производная равна » У1 , т. е. очень
велика, и тем больше, чем меньше е
(рис. 8, б).
А как обстоит дело с интегра-
ъ
лом \ у (t) dt, если функция у (t) не
а
гладкая? Если функция имеет угловые

§ 2. Негладкие максимумы и минимумы. Изломы и разрывы
199
точки, то при вычислении площади,
ограниченной кривой, никаких новых
вопросов не возникает. В § 3.2 мы
рассматривали определенный интеграл
(площадь) как сумму площадей прямо-
прямоугольных полосок вида у {Q (tn+1 — tn)
или у (tn+1)(tn+1 - tn). В пределе,
при уменьшении величин интервалов,
т. е. разностей (tn+1 — tn), становится
безразлично, брать ли в сумме каж-
каждый раз у (tn) или у (tn+1), причем
так будет обстоять дело как в случае
гладкой кривой у (t), так и в случае
кривой у (t), имеющей излом.
Если кривая у (t) терпит разрыв
в точке t =t0, но остается ограничен-
ограниченной, то для интервала, внутри кото-
которого находится разрыв (tn < t0 < tn+1),
величины у (tn) и у (tn+1) остаются раз-
различными, как бы мы ни сближали tn
и tn+1. Таким образом, в выражении
для интегральной суммы величина
одного из слагаемых в этом случае
существенно зависит от того, как бе-
берется сумма: по формуле типа C.2.1)
или типа C.2.2). Однако при стрем-
стремлении к нулю величины интервала
tn+1 — tn само это слагаемое стремится
к нулю, поэтому предел суммы, т. е.
интеграл, имеет вполне определенное
значение (не зависящее от способа вы-
вычисления суммы) и в том случае, когда
подынтегральная функция претерпе-
претерпевает в области интегрирования разрыв.
Здесь, разумеется, мы считаем, что
значения функции слева и справа от
разрыва, а значит, и величины раз-
разрыва являются конечными, т. е. что
функция не ведет себя, скажем, как
функция у = — в окрестности значения
Сохраняется и соотношение между
интегралом и производной. Обратимся
снова к рис. 4. Если обозначить функ-
функцию Q' (t), график которой изображен
на рис. 4, б, через / (t), то исходная
функция Q(t) (см. рис. 4, а) будет пред-
представлять собой интеграл Q (t) = I / (t) dt.
На этом примере мы видим, что
разрыв подынтегральной функции
/ (t) =Q' (t) приводит к излому гра-
графика интеграла Q (t) этой функции.
Определенный интеграл функции с раз-
разрывом такого рода может быть най-
найден с помощью неопределенного ин-
интеграла по общему правилу
Можно пойти и дальше: исходя из рис. 8,
можно сказать, что для функции, стремя-
стремящейся к бесконечности на интервале, стремя-
стремящемся к нулю (рис. 8, бN, интеграл является
разрывной функцией (рис. 8, а). Од-
Однако при этом надо уточнить характер стрем-
стремления функции к бесконечности и интервала —
к нулю; здесь мы на этом останавливаться не
Рис. 7.2.8
будем. Такого рода примеры (более полное
рассмотреппе которых требует еще некоторых
уточнений) приводят к понятию 5-функции,
которому посвящена гл. 16 третьей части
книги.
Итак, окончательно мы приходим
к следующей схеме решения задач на
отыскание максимумов и минимумов
функций. Прежде всего надо найти
производную заданной функции и опре-
определить так называемые стационарные
точки функции (т. е. точки, в которых
функция изменяется медленнее всего) —
точки обращения в нуль производной.
Но наряду с этими точками в разряд
8 Выражения «интервал, стремящийся
к нулю», «функция, стремящаяся к бесконеч-
бесконечности», указывают, что по существу здесь речь
идет не о функции, а о семействе функ-
функций, характеризующемся тем, что при пере-
переходе от одной функции семейства к следующей
«интервал роста» функции становится все уже,
а «степень роста» — все больше. Подробнее
эта ситуация будет освещена в гл. 16.

200
Гл. 7. Исследование функций. Несколько задач из геометрии
«подозрительных» (т. е. тех, в которых
может достигаться максимум или ми-
минимум) попадают также граничные
точки области определения функции,
точки излома функции, точки, в кото-
которых производная обращается в беско-
бесконечность, меняя свой знак («острия»).
Далее надо проверить характер изме-
изменения функции во всех этих точках.
Если в точке, где /' (х) =0, график
функции представляет собой гладкую
кривую, то информацию о типе точки
(максимум; минимум; ни максимум, ни
минимум) можно получить, определив
вторую ^производную функции (или
старшие производные, если первая и
вторая производные в этой точке обра-
обращаются в нуль одновременно). В дру-
других же случаях представление о пове-
поведении функции в рассматриваемой
точке могут дать односторонние (т. е.
левая и правая) производные (ясно,
что в граничных точках области опре-
определения функции существуют лишь
односторонние ее производные). На-
Наконец, если нас интересует абсолют-
абсолютный максимум или минимум функции
на рассматриваемом интервале ее из-
изменения, т. е. самый большой из всех
(локальных) максимумов или самый
малый из всех минимумов, то надо
будет еще сравнить значения функ-
функции во всех точках ее локальных мак-
максимумов (или минимумов).
Упражнения
7.2.1. Найдите наименьшее значение функ-
функции у=х?—2х-j-З, определенной на интервале
2 < х < 10.
7.2.2. На берега реки сидит рыбак Р\
по реке, на расстоянии h от берега, на котором
сидит Р, плывет со скоростью v пароход П
длины I, нос которого проходит строго против
рыбака в момент времени t=t0. (Шириной па-
парохода мы пренебрегаем, путь парохода счи-
считаем точно прямолинейным.) Расстоянием
от Р до П естественно назвать расстояние от Р
до ближайшей к Р точки П. Как ме-
меняется это расстояние D с течением времени t?
Когда достигает минимума функция D=D (t)?
Нарисуйте график функции D =D (t) для слу-
случая А=300 м, г=60 м, v=5 м/с.
7.2.3. Найдите «острые» максимумы функ-
функций: а) у = (х — 5) v3'^; б) у = 1 — $х?.
§ 3*. Выпуклые функции и алгебраи-
алгебраические неравенства
В § 1.4 мы следующим образом опре-
определили выпуклость кривой у =/ (х) (или
функции y=j(x)): функция г/=/(ж) на-
называется выпуклой на интервале
а ^ х =$^ Ъ изменения х (или кривая
у =/ (х) обращена выпуклостью вверх,
выпукла), если любая хорда АВ этой
кривой {А =А (хг, f(xj}), В =В (х2, / (х2));
здесь а ^ хг < х2 ^ Ь) лежит ниже
соответствующей дуги АВ кривой г/ =
= / (х) (рис. 1, а); напротив, если
хорда АВ лежит выше дуги А В
линии y=f(x), то функция / назы-
называется вогнутой (то кривая у =/ (х) обра-
обращена выпуклостью вниз, вогнута; см.
рис. 1, б). Другими словами, функция
у =f (x) выпукла на интервале а^з;^ Ъ,
если точка N пересечения прямой
х =const (a ^ х1 <[ х <| хг <^ Ъ) с хор-
хордой АВ лежит ниже точки М пере-
пересечения той же прямой с графиком фун-
функции у =f (х); напротив, если N ле-
лежит выше М, то функция / вогнута.
Это определение уже связывает поня-
понятие выпуклости с неравенствами: ведь
если точки М и N имеют координаты
(х, у) и (х, Y), то выпуклость функ-
функции у =/ (х) равносильна неравенству
у^> Y (а ее вогнутость — неравенству
У<У).
В § 2.7 мы указали простой признак
выпуклости функции у = f (x): он со-
состоит в отрицательности ее второй
производной у" = -~. Так, например,
из этого критерия выпуклости сразу
вытекает, что выпуклы функции у =
= In х, у = —х2, у = — — (при х > 0),
поскольку их вторые производные, оче-
очевидно, равны соответственно: у" =
^ B)' 2/
/ 1 У 2
= (—г) :== -§ (рис. 2; напомним, что
функция у = In х определена лишь при
s>0).
Имеет место простая, но важная
Теорема 1. Если у =/ (х) — вы-
выпуклая на отрезке от а до Ъ функция,
хх и хг — два значения аргумента этой
функции, взятые внутри рассматри-
рассматриваемого отрезка (т. е. два произволъ-

§ 3*. Выпуклые функции и алгебраические неравенства
201
ных числа, таких, что а
то
х1
Ъ),
G.3.1)
Доказательство. Пусть на рис. 3
О А = хх, О В = х2, в таком случае А М =
= /(х1), BN = f(x2). Далее, если S есть
середина отрезка АВ, то OS = Xl "УХг
и, следовательно, 6Т = / ( Xl IT Хг \.
С другой стороны, так как средняя
линия SQ трапеции ABNM равна полу-
полусумме оснований AM и BN, то SQ =¦
/№)^ jjq согласно определе-
определению выпуклой функции середина Q
хорды МN расположена ниже точки
Р дуги MN; следовательно,
2
что и требовалось доказать *.
Примеры.
а) у =1п х. Из выпуклости этой функ-
функции следует, что
1п"Я1 -\- In X2 ^ Jn
т. е. In \Jxxx2 <
или, наконец,
In:
G.3.2)
— среднее геометрическое двух нерав-
неравных положительных чисел меньше их
среднего арифметического.
б) у — —ж2. Аналогично случаю а)
здесь получаем
или, в другой форме,
*? + *!¦
. V-
хг
1 Мы ограничиваемся при доказательстве
теоремы 1 и дальнейших теорем случаем, когда
/ (^i) и / (х2) имеют одинаковые знаки. Предо-
Предоставляем читателю самостоятельно рассмо-
рассмотреть случай разных знаков / (х^ и / (х2) (здесь
вместо свойства средней линии трапеции при-
придется применить следующую теорему: отрезок
средней линии трапеции, заключенный между
ее диагоналями, равен полуразности основа-
оснований трапеции).
Выражение 1/ —
¦«*¦
— ко-
корень квадратный из среднего ариф-
арифметического квадратов к чисел аг,
а„, . . ., ак — называется средним квад-
квадратичным этих чисел. Таким образом,
полученный результат можно сформу-

202
Гл. 7. Исследование функций. Несколько задач из геометрии
пировать так: среднее квадратичное двух
неравных положительных чисел всегда
больше их среднего арифметического.
0
/
J A
У
( i
~~
Рис. 7.3.3
в) у = . Из теоремы 1 следует
ИЛИ
или, наконец,
G.3.3)
Рис. 7.3.5
Частное 1 :
к
ним гармоническим чисел av a2,..., ak.
Таким образом, неравенство C) утверж-
утверждает, что среднее гармоническое двух не-
неравных положительных чисел меньше
их среднего арифметического.
Теорема 1 может быть обобщена сле-
следующим образом:
Теорема 2. Если функция у = /(ж)
выпукла в интервале от а до Ъ, х1 и х2 —
два произвольных числа из этого ин-
интервала (а^:х1<^х2^:Ь) и ри q — какие
угодно положительные числа, сумма
которых равна единице, то
Pt (a>i) + qf (x2) < / (рхг + qx2). G.ЗА)
(При p = q = l/2 теорема 2 переходит
в теорему 1.)
Доказательство. Отметим
прежде всего, что если М и N — две
точки, имеющие координаты (ж17 у,)
и (яг> Уд, a Q — точка отрезка MN,
делящая этот отрезок в отношении
MQ : QN = q:p, гдеp-\-q=\, то коорди-
координаты точки Q равны px1-\-qx2 и ру±-\-
-bqy2- Действительно, обозначим че-
через Хи Хг и X; Yx, 7ji7 проекции
точек М, N и Q на оси координат
(рис. 4); в таком случае точки X и Y
будут делить отрезки XtX2 и Y^Y2
в отношении q : р. Отсюда получаем 2
= (! — q) xi + qx2 =
= A — P) У г + Mi = РУг +
Рассмотрим теперь снова график на-
нашей выпуклой функции у =/ (х) (рис. 5).
Пусть О А =хъ О В =х2, AM=f(xj),
BN=f(x2). Согласно доказанному вы-
выше координаты точки Q, делящей от-
отрезок MN в отношении MQ : QN =q : р,
равны pxx-\-qx2 и pf (xj+qf (x2); та-
таким образом, на рис. 5 SQ=pf(x1)-\-
-\-qf (х2) и SP =/ (pXi+qx2). Но в силу
выпуклости функции у =f (x) точка Q
расположена ниже точки Р, значит,
Pf (xi
Ч —1/01 1
среднему арифметическому чисел —,
— ..., — обратных к положительным
числам ах, а2, ...,ак{г. е. обратное числу
— A—\ \-... -А—)) называется среб-
-j, обратное что и требовалось доказать3.
2 На рис. 4 изображен случай, когда все
четыре числа xi, x2, m и у2 положительны;
мы предоставляем читателю самостоятельно
рассмотреть иные случаи.
3 Нетрудно видеть, что координаты л го-
гобой точки отрезка MN могуть быть пред-
представлены в виде (рхх+дх2, руг+ду2), где

§ 3*. Выпуклые функции и алгебраические неравенства
203
Примеры.
а) у = In х. В этом случае неравен-
неравенство D) дает
р In xx -\- q In x2 <C In (pxx -j- qx2).
Отсюда следует, что
Х1Х\ < Pxi + №» Р.5>0, /> + g = 1-
б) г/ = —ж2. Имеем
—рх\ — qx\ <^ — (pxi -\- qx2J,
или
рх\ -\- qx\ ^> (pxt -j- gx2J,
где
в) у= . Здесь получаем
q ^ _ 1
р_
х1
, где хг, х2, р,д > 0 и
-f
Теорему 1 можно обобщить еще и
по-иному.
Теорема 3. Еслиу — /(х) — функ-
функция, выпуклая в интервале от а до Ъ,
и xv х2, . . ., хк — какие-то к значений
аргумента функции в этом интервале,
не все равные между собой, то
+
G.3.5)
(частный случай неравенства Иенсена 4).
При А; =2 теорема 3 переходит в тео-
теорему 1.
Доказательство. Начнем
с определения одного понятия, часто
встречающегося в геометрических и ана-
аналитических задачах. Пусть МХМ2М3. . .
. . . Мк — произвольный А-угольник
(рис. 6, a); Q2 — середина стороны MtM2
этого А-угольника (MtQ2 : Q2M2 =
=1/2 : 1/2); Qz — точка, делящая от-
отрезок MSQ2 в отношении 2 : 1 (Ж3<?з •'
: <?з<?2=2/3 : 1/3); <?4 — точка, деля-
(свои для каждой точки отрезка!) числа р, q
таковы, что р > 0, q > 0, p-\-q—l. Таким
образом, неравенство D) утверждает, что
вся хорда MN расположена ниже кривой
г/=/ (х), т. е. оно равносильно определению
выпуклости функции.
* И е н с е н Иоганн Людвиг A859—
1925) — датский математик.
щая отрезок MAQS в отношении 3 : ?
(^<?4 : QiQz="U ¦ V4); • • •; наконец
Qk — точка, делящая отрезок MkQk_1
в отношении (к—1):1 (т. е. такая,
что MkQk:QkQk1 = ^l:
Точка Qk называется центроидом
(или центром тяжести) ^-угольника
М1М2. . .М}.. В случае треугольника
а
41—¦—
\ ~^^- 1
\ /
ч /
\ /
t
X
Рис. 7.3.G
МгМ2М9 (рис. 6, б) центроид Q3 со-
совпадает с точкой пересече-
пересечения медиан: действительно,
в этом случае Q2 есть середина сторо-
стороны МгМ2, отрезок M3Q2 является ме-
медианой и точка Q3, делящая этот от-
отрезок в отношении M3Q3 : Q3Q2 =2 : 1
это точка пересечения медиан треуголь-
треугольника.
Докажем, что если координаты вер-
вершин Мг, М2, . . ., Мк к-уголъника суть
ixi, Z/i)> (яг, г/2)» • • •> (хк, У к), ™о коор-
координаты центроида Qk будут равны
{хх + х2+ . . .+xk)lk и (у!.+у%+. ..
¦¦¦+Ук) /к5.
5 Отсюда, в частности, следует, что цен-
центроид А-уголышка полностью определяется
этим ^-угольником и не зависит от порядка
перечисления его вершин (как можно было бы
думать исходя из определения центроида);
в случае треугольника это обстоятельство вы-
вытекает также из совпадения центроида с точ-
точкой пересечения медиан.

204
Гл. 7. Исследование функций. Несколько задач из геометрии
Действительно, в силу предложения,
приведенного в начале доказательства
теоремы 2, точки Q2, Qs, Qt, . . ., Qk
имеют следующие координаты:
ас
2 ' 2
2 1 4 О I
F 2 Гу^з. у 2"
ИЛИ
Х1
Vi
3
з
или
Хл -\- Х2 -[- Х3 -f- Xi У1+У2+УЗ
к — 1 жг -f
/с
— 1 "т" к
или
/с /с —1
"I 4- хг + ¦¦¦ 4- хк-1 + zfc
/с
г/i 4~ Уг -Ь • ¦ ¦ Л~Ук
*)¦
Вернемся теперь к нашей выпуклой
функции?/ =/(х).ПустьМ1гМ2,..., Мк—
это к последовательных точек графика
УЛ
! 1
<С аЯ, ^
S
Рис. 7.3.7
этой функции, взятых в рассматривае-
рассматриваемом интервале (рис. 7). В силу
выпуклости функции /с-угольник
МгМ2. . .Мк будет выпуклым и будет
лежать целиком под кривой у —j (x).
Если абсциссы точек Ми М2, . . ., Мк
равны хъ х2, . ¦ ., хк, то ординаты их,
очевидно, будут равны / (ях), / (х2), . . .
. . ., / (хк). Поэтому координаты цен-
центроида Q А-угольника МхМг.. .Мк будут
равны
и, следовательно,
+f(xk)
т \
—)
(см. рис. 7). Но центроид выпуклого к-
угольника лежит внутри А-уголь-
ника (это вытекает из самого опреде-
определения центроида); следовательно, точка
Q расположена ниже точки Р и,
значит,
f(Xl)+f(Xi) 4" ••• +f(xk)^-
что и требовалось доказать.
Это рассуждение сохраняет свою силу
и в том случае, когда некоторые (но не
все!) из точек Мх, М2, . . ., Мк совпа-
совпадают (некоторые из чисел хъ х2, . ..
. . ., хк равны между собой) и А-уголь-
ник МХМ2. . . Мк вырождается в много-
многоугольник с меньшим числом вершин.
Примеры.
а) у =1п х. Из теоремы 3 следует, что
111 Xi -\- In Х2 4- • • • 4~ 1П хк -^
к <-
Н ••• +**
к '
или
к ,
У X
¦Х2+ ¦¦¦ +хк
к
— среднее геометрическое к положи-
положительных чисел, которые не все равны
между собой, меньше их среднего ариф-
арифметического (теорема о сред-
среднем геометрическом и
среднем арифметическом),
б) у = —х2. В этом случае получаем
xi + х\
¦х%
к
1 + Хг+ ... +хк
к

§ 3*. Вьшуклые функции и алгебраические неравенства
205
или
к -> к
— среднее квадратичное к произволь-
произвольных положительных чисел, которые не
все равны между собой, больше их сред-
среднего арифметического.
в) у = . В этом случае теорема 3
дает
__ -Е±-
Pi + Рг ' Pi + Рг
¦_^к резка M3Q2, что
т. е.
+ Хк'
а, значит,
к
¦хк
— среднее гармоническое к положитель-
положительных чисел, которые не все равны между
собой, меньше их среднего арифмети-
арифметического.
Наконец, докажем теорему, обоб-
обобщающую теоремы 2 и 3.
Теорема 4. Пусть у =/ (х) —
функция, выпуклая в интервале от а
до Ъ, а хх, х2, . ¦ ., хк — какие-то к зна-
значений аргумента этой функции, не все
равные между собой, взятые в рассмат-
рассматриваемом интервале, и ри р2, ¦ • ., рк —
к положительных чисел, сумма кото-
которых равна единице. В таком случае
Pit (xi) + Paf (Ж2) + • • • +PJ (%) <
< / (Pixi + P&z + ¦¦¦ + PA) G.3.6)
(общее неравенство Иенсена).
При к = 2 теорема 4 переходит в тео-
теорему 2, а при Pl = p2= ... —Рк = ~
-- в теорему 3.
Доказательство. Рассмотрим снова
график выпуклой функции y — f(x) и
вписанный в этот график выпуклый
А-угольник МхМг ... Мк, вершины кото-
которого имеют координаты (хх, /(%)), (ж2,
/Ы). (*s. /(«s)). • • ••(»*, 1{хк)) (рис. 8).
Пусть теперь Q2 — такая точка стороны
Л/1Л/2 этого А-угольника, что М XQ2: Q2M2=
; Q3 — такая точка от-
Qt — такая точка отрезка MtQ3, что
Pi Pi + Рг + Рз
Pi + Рг + Рз + Pi' Pi + Рг + Рз + Р4' ' " ''
наконец, Qk = Q—такая точка отрезка
MkQk_lt что MkQ : QQk_x = pk : (А +
~\~ Р'2 "I" • • • ~Ь P^-l) (еслИ Pi =: /72 == • • •
Рис. 7.3.8
... = рк=-? , то Q — центроид А-уголь-
ника МгМ2 ... Мк). Воспользовавшись
предложением, с которого мы начали
доказательство теоремы 2, найдем коор-
координаты точек Q2, Q3, <?4, . .., Q:
' P1+P2.
Pl 4- Pi. Pl^l + Р2Я2
+Pi + Ps P1 + P2
Pi + Рг Pit (xy) + pif (x2)
I
РЗ
х
Pl + P2 + Рз
Pl + P2
ИЛИ
za) + Psf («в)]),
¦X
Pl + P2 + ••• + Pk-1 + Pk
... +Pk-iXk_1-\-pkxk),
P1 + P2+ •••
k-J (xk-i) + Pkf (x

206
Гл. 7. Исследование функций. Несколько задач из геометрия
или, иначе,
Q (Pixi + Р-Рг + • • • + РА-
Pif Ы -г pJ («я) + • • • + Ptf (ХЛ
так как pt -J- /?2 -f- ... -)- /?fc = 1. Таким
образом, на рис. 8
SQ = p1f(x1) + p2f(x2) + ... +pkf{xk),
OS — pxxr + p2z2 + ... + pkxk,
j- ... +pkxk).
1
в) у = . Здесь теорема 4 дает
Так как точка Q расположена ниже точ-
точки Р (ибо весь А-угольник МхМг ... Мк
лежит под кривой у = / (ж), а <? —
внутренняя точка этого А-угольника),
то
Pif Ы + Pif (*я) + • • • + PJ (**) <
что и требовалось доказать6.
Примеры,
а) у = In ж. В этом случае получаем
откуда, потенцируя, имеем
где р1( р2,
... -\-Ркхк,
(обобщенная теорема о сред-
среднем геометрическом и среднем
арифметическом),
б) у = —х2. Имеем
PlXl ^2^2 • • • РкХк \
или
••• +Р**!>РА +
• • • -\-Ркхк> PvPfr- • -'Рк^ 0>
Р1 + Р2+ ••• + Р* = *
(обобщенная теорема о сред-
среднем квадратичном и среднем
арифметическ ом).
? Нетрудно видеть, что координаты любой
внутренней точки fc-угольника MiM2. • -Мк
можно представить в виде (Pi?1-hp2x2+. ¦ .
—+Ркхк, Pifixj+ptf (xa)+. . .+pkf (xk)), где
Pi, Pi, ¦ ¦ ; Рк > О И Р!+Ръ+. . -+рк=1.
Таким образом, неравенство F) выражает
то обстоятельство, что вписанный в график
выпуклой функции многоугольник весь лежит
ниже этого графика.
Pi Рг
Ху хг
хк ^
1
• • • + Ркхк '
откуда легко получить
_1
Н+ ••• +Рк/хк
Pl + P2 + ••
Упражнения
7.3.1. Докажите, что следующие функции
являются выпуклыми:
а) у——хп при п > 1 и х > 0; б) у=хт,
где 0<т;<1 и г>0;в) ? = -рг, где-
к >0 и х>0;г)у=— a; log а; при х>0;
Д) У=—х log z— A-я) log A—г) при
0 < х < 1 (основание системы логарифмов
в упр. г) ид) — любое большее единиц»
число).
7.3.2. Выпишите неравенства A), D), E)
и F), где / (х) есть: а) функция упр. 1а);
б) функция упр. 16); в) функция упр. 1в);
г) функция упр. 1г).
7.3.3. а) Докажите, что среднее геометри-
геометрическое двух (положительных) чисел есть
среднее геометрическое их среднего арифме-
арифметического и среднего гармонического.
б) Выведите из результата упр. а) и нера-
неравенства B) неравенство C).
§ 4. Вычисление площадей
В гл. 3 было показано, что опреде-
ь
ленный интеграл \ / (х) dx можно по-
а
нимать как площадь криволиней-
криволинейной трапеции, ограниченной сверху ли-
линией у =/ (х), снизу — осью х, а сле-
слева и справа — вертикальными осно-
основаниями трапеции, т. е. прямыми
х=а и х =Ь (рис. 1; здесь мы для про-
простоты считаем, что /(i)>0z e<(ii).
Поэтому умение находить определен-
определенные интегралы дает возможность вы-
вычислять стандартными приемами раз-
различные площади, в то время как эле-
элементарная математика позволяет на-
находить только площади прямолиней-
прямолинейных фигур (многоугольников), а также
круга и некоторых его частей (сектор,
сегмент).
Найдем площадь, ограниченную гра-
графиком степенной функции у =
=с#" (с > 0 и п > 0), осью х и пря-

§ 4 Вычисление площадей
207
мой х=х0 (мы считаем, что х0 > 0;
на рис.2 /г =2, с =0,25):
ex»*1
*°_ caff4
G.4.1)
Формулу A) можно переписать так:
1
или, поскольку
1
=у(х0) =у0,
G.4.2)
Так как величины у ш х имеют раз-
размерность длины, то из B) следует,
что S действительно имеет размерность
площади (квадрата длины). Мы видим,
что площадь S по порядку величины
совпадает с произведением уохо: от уохо
величина S отличается только множите-
множителем ,, при не слишком больших п по
порядку величины вполне сравнимым с
единицей (ср. с E.6.6) —здесь г/0 = /ш„,
хо=Ь — а, а ——г— безразмерный множи-
множитель порядка 1).
В качестве следующего примера най-
найдем площадь, ограниченную экспо-
экспоненциальной кривой
где
G.4.3)
осью х и прямыми х=хй и х =А (здесь
¦^ > #о; Рис- 3). Эта площадь равна
А
Si
ce~xladx = —cae-xia
= са
_ е-л1"
).
G.4.4)
Если А велико по сравнению с х0,
то е~*°/0 ^> е~А1а. Увеличив значе-
значение А, мы, как видно из D), почти не
изменим значение Si. При неограни-
неограниченном увеличении А величина е~Л1"
неограниченно приближается к нулю.
Поэтому можно говорить о площади
изображенной на рис. 3 фигуры, вовсе
не ограничивая ее справа: неограни-
неограниченная фигура, получающаяся из фи-
фигуры рис. 3 при А ~* со, имеет к о-
н е ч н у ю площадь
со
Sco = \ cerxladx = cae-x<J" = ay0, G.4.5)
где y0 =y (x0) =ce-x°ia.
Показатель степени в C) должен
быть безразмерным. Поэтому размер-
размерность а совпадает с размерностью х,
Рис. 7.4.1
т. е. а имеет размерность длины. Раз-
Размерность у — также длина. Размер-
Размерность S — опять-таки размерность пло-
площади.
, г
Оказывается, очень просто выража-
выражается площадь под одной дугой с и-
н у с о и д ы (рис. 4). Действительно,
Рис. 7.4.3
ш/шж
эта площадь, снизу ограниченная от-
отрезком оси а: от 0 до я, равна
S = \ sin xdx = — cos x
G.4.6)
Рис. 7.4.4
He сложнее найти и площадь под
одной аркой циклоиды (рис. 5;
см. также § 1.8). Если линия задана
параметрическими уравнениями х =ср (t),
1/=ф(<) (см. § 1.8), то формула для

208
Гл. 7. Исследование функций. Несколько задач из геометрии
площади криволинейной трапеции при-
принимает вид
где а=х (а) и Ъ= х ф) — границы рас-
рассматриваемого промежутка. При х =
Рис. 7.4.5
2Rjr a;
al/JT
Рис. 7.4.6
Рис. 7.4.7
=R (t — sin t), y=R A — cos 0» a =0,
P =2 я получаем
S = \ R A — cos t) R A — cos t) dt =
2x
— 2cosi-f
2ч 2х
-f- cos21) dt — R2\idt— 2R2 j' cos t dt -f
l+cos2i
dt=RH
— 2R2sint
G.4.7)
— площадь под одной аркой циклоиды
равна утроенной площади порождаю-
порождающего циклоиду круга.
Результаты B) и E)—G) формулируют
также и по-иному. Площадь заштрихованного
на рис. 2 криволинейного треугольника О AM
1 / 1 \
равна п,{ОА ¦ AM = OA[—rj-AM), т. е.
совпадает с площадью прямоугольника с осно-
1
ванием О А и высотой п<^' AM. В силу этого-
иногда говорят, что эффективная высота
нашего криволинейного треугольника (или
нашей кривой у=схп в пределах от ж=0
1
до х = т0) равна -^~r~j~-й части его реальной
высоты AM. Здесь под эффективной высотой
понимается высота прямоугольника, имею-
имеющего то же основание, что и наш криволиней-
криволинейный треугольник, и ту же площадь. Анало-
Аналогично эффективные высоты изобра-
изображенных на рис. 4 и 5 криволинейных трапеций
с основаниями соответственно я и 2Я л равны
2
соответственно — (?^0,6366) и 1,5Д, в то
время как реальные высоты, т. е. значения
2/тах равны соответственно 1 и 2R. Наконец,
эффективная длина изображенной на рис. 3
бесконечной фигуры, ограниченной
экспоненциальной кривой г/=се~Ж;0!, осью х
и прямой х=х0, равна а: ведь площадь этой
фигуры равна площади прямоугольника с вы-
высотой у0 и основанием а.
Понятие эффективной длины (или эффектив-
эффективной высоты) кривой часто бывает полезно.
Так, например, можно доказать, что изобра-
изображенная на рис. 6 колоколообразная (неогра-
/ х2\
ничейная) кривая j/ = cexp( — — I ограничи-
ограничивает конечную площадь S = са vTc; другими
словами, эффективная ширина этой кривой,
высота которой равна уш^=у @)=с, равна
a v^ss: 1,77а (ср. [15, § 2, гл. III]).
Определим теперь площадь S эллипса
с полуосями а и Ъ (рис. 7). Конечно,
эту площадь легко найти из элемен-
элементарных геометрических соображений
(см. текст, напечатанный ниже мелким
шрифтом); мы, однако, предпочтем ис-
использовать стандартный (хоть в этом
случае и более громоздкий) аппарат
интегрального исчисления. Разумеется,
в силу симметрии эллипса достаточно
найти площадь S± той его части, кото-
которая лежит в первом квадранте, и резуль-

§ 4. Вычисление площадей
209
тат умножить на 4: S =ASV Для того
чтобы найти 51? выразим из уравнения
X2 у2
-j-|-^-=:l эллипса (см. § 1.7) у через х:
(здесь под корнем квадратным пони-
понимается арифметическое его значение,
ибо в первом квадранте у ^>0). Итак,
G.4.8)
Величину интеграла G) легко найти,
выполнив замену переменной по фор-
формуле х —a sin t. Получим
а х'2
\ \Ja? — x2dx = \ a\J\ — sin2 tacostdt=
= f a2 cos2 tdt =
Пользуясь (9), получаем из (8)
„ Ъ па2 г.аЪ
Площадь всего эллипса
S = izab.
Если a=b=r, то в полном соответ-
соответствии с тем, что при a—b=r эллипс
переходит в окружность, получаем S =
=w2 (площадь круга).
Эллипс с полуосями а и Ъ (где Ъ <^ а) полу-
получается из круга радиуса а сжатием к оси х
Ь
с коэффициентом сжатия к = — (см. тот же
рис. 7). Но нетрудно видеть, что такое сжатие
переводит фигуру F площади s в фигуру F'
площади s'=ks. В самом деле, сетку малень-
маленьких квадратиков со стороной Ь и площадью 82,
стороны которых параллельны осям коорди-
координат, наше сжатие переводит в сетку прямо-
прямоугольников со сторонами Ь и кЬ и площадью
кЬ2. Но сетка равных квадратиков (палетка)
используется для измерения площадей: если
фигура F покрывает N квадратиков сетки,
Tos=t Nb2. Полученная же сжатием фигура F'
покроет N прямоугольников преобразованной
сетки; поэтому s' % Nkb2, — откуда и следует,
что s' = ks (ведь S можно выбрать сколь угодно
малым, так что приближенные равенства s %
st Nb2 и s' s& Nko2 можно считать сколь
угодно точными!). А так как площадь круга
радиуса а равна па2, то площадь эллипса
с полуосями а и Ъ, получаемого из круга
Ъ
сжатием с коэффициентом ? = —, равна
а2 = — тмг = nab.
а
Отметим одно важное обстоятельство.
Еще в гл. 3 мы отметили, что площадь-
(интеграл) может быть как числом по-
положительным, так и отрицательным.
Ввиду этого при нахождении площади
нужна некоторая осторожность. Пусть,
например, нас интересует количество
краски, необходимое для того, чтобы
покрасить площадку, ограниченную
дугой синусоиды от ж=0 до ж=2тс и осью
х (ср. рис. 3.5.2), если на окраску еди-
единицы площади требуется а граммов
краски. Как указывалось выше, в этом
случае нельзя сразу вычислять всю пло-
площадь как один интеграл: здесь при-
приходится отдельно брать интегралы по
участкам от 0 до it и от тг до 2тс.
Вообще, если подынтегральная функ-
функция у =f (x2) меняет знак, то для
решения задачи о площади (так ска-
сказать, о «расходе краски») нужно проме-
промежуток интегрирования разбить на
части, в которых / (х) знака не меняет,
и вычислять интеграл по отдельным
частям, после чего взять сумму абсолют-
абсолютных величин полученных интегралов.
У п ражнен и я
ТАЛ. Найдите площадь, ограниченную
осью х и дугой линии a) y=sin2x, б) j/=cos2z,
заключенной между двумя точками сопри-
соприкосновения ее с осью х. [Указание.
Сделайте чертеж; воспользуйтесь формулой
sin2a: = 1j2 — 1/а cos 2х (и cos2x =1 — sin2x).]
7.4.2. Найдите площадь, ограниченную
сверху линией у=х A—х), а снизу — осью х.
7.4.3. Найдите площади двух частей, на
которые парабола !/=1/г х2 делит окружность
a»s-|-j,2=8.
7.4.4. Найдите количество краски, необхо-
необходимое для окраски площади, ограниченной:
а) кривой у =
д.2 • осью х и вертикаль-
вертикальными прямыми х= 1 и х— —1; б) кривой y=x3Jr
-\-2хг—х—2 п осью х. [Указание. Пред-
Предварительно постройте график функции у=
X
7.4.5. Чему равна площадь эллипса тр- -j-

210
Гл. 7. Исследование функций. Несколько задач из геометрии
§ 5*. Оценки некоторых сумм и произ-
произведений
В § 3.1 и 3.2 мы ввели (определенный)
интеграл как предел некоторых сумм.
Вычислив соответствующие суммы, мы
можем с их помощью оценить инте-
интеграл, т. е. площадь криволинейной
трапеции (см. описанные на с. 80—82
7.5.1
метод прямоугольников и метод тра-
трапеций). Однако связь между интегра-
интегралами (площадями) и (конечными) сум-
суммами может быть использована и в об-
обратном направлении — для оценок
сумм с помощью интегралов. Эту про-
простую идею (ср. также [15, § 2 гл. I]) мы
проиллюстрируем несколькими поучи-
поучительными примерами.
Начнем с суммы степеней натураль-
натуральных чисел:
Рис. 7.5.2
-= 1* _f_ 2* _f_ 3* + ... + n\ G.5.1)
где к >¦ —1. Рассмотрим функцию
у —а?; на рис. 1 изображен случай
к > 0; случай 0 > к > —1 мы предо-
предоставим, читателю- рассмотреть самостоя-
самостоятельно *. Площадь s изображенного на
рис. 1 > криволинейного треугольника
ОАПМп, очевидно, равна
.G.5.2,
С другой стороны, по правилу прямо-
прямоугольников
и о*+1*-
т. е.
1*_|_2* +
„к+1
+ п*>
ИЛИ
пк+1
Т+Т
Отсюда вытекает, что при больших п
G.5.4)
в том смысле, что при
отношение
га**1
к-\-1
мало отличается от единицы:
ведь
/
((За) получается, если разделить все
nk+1 \
части C) на
Из C) следует, что более точная, чем D),
оценка суммы SJ<fc) должна иметь вид
??*> = 1* + 2к + ... + пк к1 *
1 При к < 0 нам придется рассматривать
не криволинейный треугольник ОА„М„, а кри-
криволинейную трапецию АА„М„М, подобную
изображенной на рис. 2.

§ 5*. Оценки некоторых сумм и произведений
211
гдеО<с<1.И в самой деле, можно дока-
эать, что при к > О
1
_
k +
1+ти*
G.5.4а)
в том смысле, что при больших п отношение
— \lc4-1 пк+1 ~>г~2'п/ г п* будеточень
мало.
По иному ведет себя при больших п
сумма
G.5.5)
Графиком функции у =:—, к которому
здесь естественно обратиться, является
гипербола (рис. 2). Площадь о криво-
криволинейной трапеции AAnMJ4, ограничен-
ограниченной осью Ох, гиперболой у = — и пря-
прямыми х=1, х = п, равна
= \ = In Ж |" = In П,
G.5.6)
ибо In 1 = 0. С другой стороны, по ме-
методу прямоугольников (см. тот же рис. 2)
имеем
G.5.7)
т. е. (ср. E))
1 и
откуда
, 1
Таким образом,
где число
1 ^
G.5.9)
заключено в пределах
G.5.9а)
Поскольку, как легко видеть, вели-
величина fn представляет собой разность
между площадью квадрата АА2М'2Мх
(равной 1) и суммой заштрихованных
на рис. 2 площадей, то при росте п
она монотонно убывает. При п -*¦ со
число т„ стремится к определенному
пределу, который можно оценить, найдя
приближенно заштрихованную на рис. 2
площадь для фиксированного (и не^
слишком малого) п; этот предел
Рис. 7.5.3
называется постоянной Эйле-
р а. Таким образом, при п^> 1 имеем
следующую приближенную формулу:
,577.
G.5.10).
В качестве следующего примера мы
рассмотрим сумму
т In 2 . in 3 . . in п
Накопленный при рассмотрении сумм
A) и E) опыт подсказывает нам, что
в этом случае уместно начать с оценки
площади -с криволинейного треуголь-
треугольника, ограниченного линией г/ = ,
X
осью абсцисс и прямой х=п (рис. 3);
эту площадь -с мы сравним с суммой
Тп. Площадь t равна
G.5.8) т_
In n
$„2
л
= J In red (In а) =
¦= у (InnJ G.5.12)
(здесь мы ввели новую переменную и =
=1п х).
Далее мы используем модифициро-
модифицированный метод прямоугольников, за-
заключающийся в том, что площадь ¦:
заменяется суммой площадей п — 1
прямоугольников с основаниями АХА%,

212
Гл. 7. Исследование функции. Несколько задач из геометрии
А2А3, . . ., Ап_уАп (см. рис. 3); в ка-
качестве же высоты прямоугольника с ос-
основанием А{_ХА{ берется в одном слу-
случае наибольшее, а в другом — наи-
наименьшее из значений функции, прини-
принимаемых ею на интервале i — 1 <! х <д;
однако для этого нам понадобится под-
робнее изучить кривую у = —. Оче-
Очевидно, что г/A) = 0 и г/->0 при ?->со
(ср. § 6.5); найдем максимум функции
у(х). Поскольку равенство
1— In a;
==0
имеет единственное решение х—е (так
как 1пх=1 лишь при х=е) и у' (х) >0
при х < е, а у' (х) < 0 при х > е,
то график функции у имеет изображен-
изображенный на рис. 3 вид2: прия=е функция
у имеет единственный максимум
/ 1 1 \ ,
^здесь г/ша1 = — — 277J, отж==1 дож = е
функция возрастает, а затем монотонно
убывает. Таким образом, максимум
¦функции у (х) на интервале 2 ^ х ^ 3
равен —; на всех других интервалах
г — 1 ^ х ^ i, где i ^ 2 — целое
число, максимум у (х) совпадает с одним
•из значений функции на конце интер-
интервала. Так мы получим следующие оцен-
оценки площади т::
I In (» — I) ( . т | 1 In n
•••"I n-1 V~ " ¦" e ~
И
lnl . In 2 In 4
— 1 2 I 4~
In
In 3
т. е.
1 . In n
л
In 3
2 To, что значению х=е, для которого
у' (х)=0, отвечает именно максимум
функции у\{х), легко установить и без обра-
обращения к анализу знаков производной у' (х)
при разных значениях х из соображений
здравого смысла (ср. со сказанным на с. 187).
Окончательно имеем (ср. A2)):
¦AпдJ-1 + ^<Ги<
In 3
G.5.13)
другими словами, сумма Тп не может
особенно значительно отличаться от ве-
величины -^-(lnreJ: при всех п имеет место
равенство
где, во всяком случае, —0,368 ра—-
1пЗ
: 0,367. При этом, поскольку
разность между площадью т и ее оцен-
оценкой снизу по формуле прямоугольников
1пЗ'
In 3 s \
=-з Ч
при росте п лишь увеличивается, то вы-
1пЗ 5
ражение —^— — оя монотонно растет при
п —*¦ аэ, оставаясь все время меньше
JL / j^j 0,735. Отсюда следует,
что это выражение при п —> со стремится
к определенному пределу, а, значит, при
п —> со стремится к определенному пре-
пределу (заключенному между —0,37 и
—{—0,37) также и 5И.
Этот метод применим и к оценке ве-
величины п ! = 1 • 2 ¦ 3 ¦ ... -п. Число
ln(rc!) = ln(l • 2 • 3 • ... • п) запишем так:
In (п!) = 1п 1 -|- In 2 + In 3
• • • +ln »•
G.5.14)
Для оценки стоящей в правой части A4)
суммы рассмотрим криволинейный тре-
треугольник ААпМп, ограниченный осью
Ох, линией у = In х и прямой х = п
(п>1 — натуральное число; рис. 4).
Площадь ап этого треугольника, очевидно,
равна
п п
о„= \ inxdx = x\nx —\xd(\nx) —
= х\пх
— \ х — = х In х "— \ dx=z
1 J X 1 J
= (х In х — х) = п In п — п-\-1

§ 5*. Оценки некоторых сумм и произведений
213
(ср. § 5.4). Но, вписав в наш криволи-
криволинейный треугольник А1АпМп (прямоли-
(прямолинейный) треугольник АХА2М2 и п — 2
трапеций А2А3МдМ2, АЪА^М^М3, ...
¦ • •> ^^/А-1 (А1 = А, А2, ...,Ап —
точки оси х с абсциссами 1, 2,..., п,
а М2, • .., Мп — отвечающие им точки
линии у = 1пж), найдем, что оя больше
суммы sn площадей этого треугольника
и трапеций, равной
+ V2 In п =:Aп 1 --}- In 2 -f In 3 + • • •
... + In re) — 72 In n = In (n !) — V2 In n.
G.5.15а)
С другой стороны, площадь ая криво-
криволинейного треугольника меньше суммы
Sn площадей п — 2 трапеций со сред-
средними линиями AtMt, где i=2, 3 п — 1,
и высотами длины 1 (ими служат отрезки
с концами (I —1/2, 0) и (i -f-1/2, 0), где
i пробегает те же значения; верхней
боковой стороной трапеции служит отре-
отрезок касательной к линии у = In x в точ-
точке М(), дополненной малой трапецией
с высотой ААуг длины х/2 и средней лш-
нией Ач,М% (здесь ^5/t = E/4, 0), а М^,—
отвечающая Л»/4 точка линии у = In x), a
также прямоугольником Ап^;гАпМпМ'п^/г
(А^и=(п - ч2, о), м ;_.Л = (и — va.in »».
Ясно, что
... + 1 • In(п — 1)+у In п = In 2 -f
-j-ln3+ •• • +ln{n — l)-f Inn-f-
+Tln T—T Ь » = Ь (n 1) —
G.5.156)
Так как 5и<ай<5„, то
In (гс !) — -^ In re < n In rc — я -f~ :
^-1/14 1, ,1,5
<1п(ге!) —Т1п/г + т1пт,
или
In (п !) ^> д In n -j- у In n —
1 5
— tt-fl— "lnX
т. e.
< ln (n !)< 1 -f ln(nn\Jn e~n).
Другими словами,
i- ere" y/ra e~" < и ! < era" у/й еЛ G.5.16)
Формула A6) показывает, что при боль-
больших п величина п ! близка к С \Jn п"е~",
Рис. 7.5.4
где число С заключено в пределах между
е я» 2,72 и |/^-е?«2,43. При этом из
того, что разность ая — sre при п —»• оо
монотонно возрастает, нетрудно, как
и выше, вывести, что отношение ге !:
:{\jn ппё~п) при п -> со стремится к опреде-
определенному пределу (заключенному между
1/ -=-е и е, т. е. между 2,43 и 2,72).
Можно доказать, что этот предел равен
\J2iz та 2,507. Таким образом, мы при-
приходим к так называемой формуле Стир-
линга°
п ! c=l \/2izn n"e~n,
G.5.17)
в которой приближенное равенство оз-
означает, что при гс->оо отношение п\:
: \j2nn п"е~" стремится к единице (а при
большом п оно весьма близко к 1).
3 Джеймс Стирлинг A699—1770) —
шотландский математик.

214
Гл. 7. Исследование функций. Несколько задач из геометрии
Формулу Стирлинга A7) можно обосновать
еще и по-другому. Вычислим интеграл
Таким образом,
\ x"e~xdx,
G.5.18)
где п — целое положительное число. Инте-
Интеграл 1„ можно представить себе как площадь
неограниченной фигуры 4, заключенной между
положительным лучом оси Ох и графиком
функции у=хпе~х (см. рис. 5, отвечающий
случаю ге=4). Для вычисления интеграла 1п
применим метод интегрирования по частям,
Рис. 7.5.5 /
/
1
/ г j <
S ff 7 j:
полагая е xdx=dg, xn=f; значит, g=—e x,
df=nxn~1dx. Таким образом, получаем
со со
С со f
I x*e~xdx = (—хпе~х) -\- \ nxn~xe~xdx.
В § 6.5 было установлено, что хпе х =
х"
= —j--»0 при х—> ю. Так как х"е~х = 0 и
при х = 0, то —хпе~х
= 0; следовательно,
со
( xne~xdx =п\ xn~4-xdx.
о
т. е.
Применив интегрирование по частям к In_i,
получим точно так же /B_i = (п — 1) /в_2 и
т. д. Поэтому
1п = п {п - 1) {п — 2) ¦ ... • 3 • 2 • 1 • /0,
СО
где /0= \ e-xdx = —e~x Q =-0 + 1 = 1.
4 Заметьте, что при любом (сколь угодно
большом!) п величина у=х"е~х -> 0 при х ->• со
(см. § 6.5: этим мы еще воспользуемся ниже),
без чего, разумеется, площадь 1п никак не
могла бы существовать.
= \ x"e-xdx =
1) (и — 2)
¦ 3 • 2 ¦ 1 = п !
G.5.19>
При больших значениях п можно получить
хорошее приближенное выражение для Int
находя значение г=гшах, при котором под-
подынтегральная функция хпе~х достигает макси-
максимума. Это значение находим из условия
(хпе-х)' = пхп~1е-х -\- хп {—е~х) =
= (га — х) хп-Ч~х = О,
откуда хт&% = п. Высота этого максимума,
очевидно, равна г/тах = [хпе-х)тз,% = ппе~".
Далее удается, записав г/=е/'ж), где / (х) =
=га1пг — х, и разложив / (х) в ряд Тейлора
F.1.18) вблизи значения х = хтах ( = п),
оценить эффективную ширину нашей (не-
(неограниченной) фигуры — ширину такогс
прямоугольника с высотой г/шах, площадь
которого равна площади 1п рассматривае-
рассматриваемой фигуры. Эта ширина оказывается прибли-
приближенно равной ^2лге (см. [15,гл. III, § 2 и 3])
Так мы снова приходим к формуле Стирлинга:
при re J> 1.
§ 6*. Еще о натуральном логарифме
Остановимся на вопросе онатураль-
ном логарифме. В гл. 3 ин-
интегрирование степенных функций при-
привело нас к следующему результату:
1 '^-{-С при
x"dx =
п+1
dx , . „
— = ln x-j-C,
х '
= -1;
G.6.1>
G.0.2)
где, разумеется, величина С может
быть любой, вовсе не обязательно од-
одной и той же в формулах A) и B).
Степень п=—1 оказалась почему-то
выпадающей из общей закономерности.
Как понять этот результат? На первый
взгляд, здесь содержится противоречие.
Представим себе серию степенных кри-
кривых: у = х-°'9, г/ = аг°>99, у = х~х, у =
= хг1-01, у —х-1'1.
Все эти кривые близки одна к другой:
кривая с показателем степени п= —1
качественно ничем не выделяется по
сравнению с соседними, например по
сравнению с кривыми, для которых
ге=—0,99 при п=—1,01. Значит, и

§ 6*. Еще о натуральном логарифме
215
при п =—1 -f-s
b
S — \ x~1+edx = -(bs — as).
площадь под кривой у—хп (в каких-то
фиксированных пределах а <[ х <^ Ъ)
должна изменяться плавно, когда
показатель проходит через значение
п——1. Но эта площадь выражается
определенным интегралом, который
при п——1 имеет совсем другой вид,
чем при п=—0,99 или п=—1,01.
Чтобы устранить это кажущееся про-
противоречие, надо показать, что при п,
близком к —1, найденный по формуле
A) определенный интеграл близок к ло-
логарифмическому выражению B). Про-
Проделаем необходимые вычисления:
при тг=—1 и а, Ъ > 0
G.6.3)
G.6.4)
Если показатель п близок к —1, то
величина г мала и выражение D) для
площади S приобретает вид, неудоб-
неудобный для вычислений. Любое число
в нулевой степени равно 1; значит,
если подставить в D) значение г=0,
то будем иметь bs — as=l — 1=0. Та-
Таким образом, при г=0 и числитель,
и знаменатель в формуле D) для S
обращаются в нуль!
Здесь уже содержится ответ на во-
вопрос, который часто задают учащиеся,
сравнивая неопределенные интегралы
A) и B): правая часть A) содержит
п -f-1 в знаменателе и, на первый взгляд,
кажется, что при п —> —1 она стре-
стремится к бесконечности; логарифм же
конечен. На самом деле бесконечность
интеграла A) — фиктивная: она исче-
исчезает при переходе к определенному
интегралу, а, значит, от нее можно
избавиться выбором соответствующей
константы интегрирования С (напри-
(наприте ! i
мер, C = -.-q-1 = -
Как упростить выражение для пло-
площади, в которое входят а' и 6s? Как
вычислять степени с малыми показа-
показателями? Напишем тождества
а — е1
In a
имеем er^i -j-r (с точностью до вели-
величин второго и более высокого порядка
малости — величин порядка малости
г2, г3, . . .). Если п близко к —1,
т. е. п= —1 -j-г, где добавка г очень
мала, то можно применить написан-
написанную выше формулу. Получим
1 . t 1
е1 I г\ ) ~
Т [A + s hl Ъ) — A + г In a) ]=
In Ъ — In а = In —.
а
G.6.5)
и воспользуемся основным свойством
числа е — тем, что при малых г <^ 1
Вот парадокс и разрешился! В пре-
пределе для малого г величина в сократи-
сократилась; оказалось, что степенная фор-
формула A) для интеграла приводит
к ответу, совпадающему с логарифми-
логарифмической формулой B). Площадь S под
кривой у=х" оказывается плавно зави-
зависящей от показателя п и тогда, когда
п проходит через «особое» значение п=
=—1.
Заодно мы научились вычислять
с большой точностью малые степени
хг при г <^ 1. Из школьного курса ма-
математики мы знаем, что ж°=1; теперь
же мы узнали, насколько отличается
Xе от 1, если г близко к нулю, но все
же несколько отличается от нуля.
К рассмотрению интеграла /=
= f x~xdx можно подойти и с других
позиций.
Представим себе человека, не знаю-
знающего, что такое логарифмы. Тем не
менее он уже знаком с интегральным
исчислением и, имея интеграл, хочет
изучить его свойства. Итак, рассмот-
рассмотрим
G.6.6)
Замечательное свойство интеграла F)
состоит в том, что значение J (а, Ъ)
не меняется, если а и Ъ умножить на
какую-то (одинаковую для а и Ь) ве-
величину к. Что касается площади под
линией у = аГ1 = —, то можно сказать,
что при замене пределов а и Ъ инте-
интеграла F) на ка и кЪ в к раз увеличится
длина полоски, площадь которой мы
вычисляем, но одновременно в к раз
уменьшится и ее высота (здесь мы счи-

216
Гл. 7. Исследование функций. Несколько задач из геометрии
таем к > 1; см. рис. 1); площадь по-
полоски при этом не изменится.
Этот результат легко усмотреть и
не прибегая к геометрии. Введем пере-
переменную z = kx, ж = у, dx = -^dz. Для
новой переменной изменятся и пределы
интегрирования: ж=а перейдет в z=
=ка, соответственно х=Ъ — в z=kb.
Далее имеем
J(a, b)
Ь кЬ л
кЪ
кЬ
ка ка
В конце цепочки формул мы восполь-
воспользовались тем, что переменная интегри-
интегрирования «немая», ее можно обозначать
любой буквой.
Рис. 7.6.1
а
Если функция двух переменных
/ (а, Ь) не меняется при умножении
обеих переменных на константу к, то
эта функция зависит только от о т н о-
ш е н и я переменных:
J(a, b) = F(t), где * = -.
G.6.7)
Действительно, пусть / A, t)—F(t);
тогда, поскольку / (a, b)=J (ка, kb)
при любом к, положив к = —,
получим
J(a, Ъ) = /(±а, 1б) =
/(l, t) = F(t).
Но мы знаем, что / есть интеграл.
Пользуясь самыми общими свойствами
интеграла, мы сумеем получить важ-
важное свойство функции F (t). Положим
Ь=ас"\ где т — целое число, и разобьем
весь интервал интегрирования на т
частей. Интеграл / (а, Ъ) равен сумме
интегралов:
7 (a, b)= J (а, ас) -J- 7 (ас, ас2) -J-
+ 7 (ас2, ас3) + .. . + 7 (аст~\ Ъ). G.6.8>
Но все интегралы в правой части (8)
одинаковы! — ведь для каждого ин-
интеграла одинаковы (равны с) отноше-
отношения верхнего и нижнего пределов (на-
(напомним, что Ь=аст). Итак,
7 (a, b) = J (a, acm) = f(±) = F (cm);
7 (а, ас) = 7 (ас, ас2) = ... = F (с),
и, значит,
F(cm) = mF(c). G.6.9)
Мы видим, что функция F (t), опре-
t
(• dx
деленная как интеграл I — с нижним
J •?
1
пределом интегрирования, равным 1,.
обладает следующим замечательным
свойством: при возведении аргумента
в степень т (переход с -> ст) функция
умножается на число т. Но ведь это
есть основное свойство логарифма! Если
обозначить отношение F (d) : F (с) (где с
фиксировано, a d может меняться) через
f(d), то
т. е. если d=cm, то / (d)=m; другими
словами, число / (d) равно той степени,
в которую надо возвести постоянное
фиксированное число с, для того чтобы
получить число d. Но это означает,
что / (d) есть логарифм числа d (вспом-
(вспомните обычное определение логарифма!I:
= \ogBd.
Нужно ли так подробно рассматри-
рассматривать простую формулу 1 х~Ых = 1пх-\-С?
Для многих вычислений это не нуж-
нужно — и в большинстве учебников
1 По поводу дальнейших деталей см., на-
например: Маркушееич А. И. Площади и лога-
логарифмы. М.: Наука, 1979.

§ 7. Средние значения
217
и не делается. Конечно, полезно
знать, как быть, если показатель сте-
степени в интеграле слева близок к —1, но
не равен этой величине точно, какова
погрешность при замене показателя
— 1+s на —1; этому посвящена первая
часть настоящего параграфа. Но кроме
этого, в конце концов чисто техниче-
технического момента, здесь есть еще и идей-
идейная сторона, ради которой написана
заключительная часть параграфа:
функцию (в данном случае логарифми-
логарифмическую функцию) можно о п р е д е-
л я т ь с помощью интеграла!
В школе мы чаще всего встречаемся
с функциями, заданными алгоритмом —
правилом вычисления их значений. Что
означает запись / (х)=х*? Здесь нам
задано правило: умножь ж на а; и еще
раз на а; — получишь / (х). Исходя из
этого правила, можно изучать свойства
функции / (х); так, например, ясно, что
если х увеличить вдвое, то х3 увеличится
в 8 раз и т. п. Но функция может быть
задана интегралом 2, и ее свойства
можно изучить, даже не зная, как найти
ее прямо (не путем интегрирования,
а с помощью тех или иных алгебраи-
алгебраических преобразований или действий).
Так в теории вероятностей большую
роль играет функция
1
G.6.10)
В теории колебаний зависимость вре-
времени от положения частицы
функцией
t = cons t \ / , ,:
J Vxg _ x2
G.6.11)
К счастью, интеграл в правой части A1)
берется в конечном виде:
/ = к arc sin —,
х0
и эту зависимость можно обратить, т. е.
от зависимости t=t (x) перейти к зави-
зависимости х=х (t); при этом получаем
2 Заметим, что еще в начале нашего века
известный немецкий математик Ф. Клейн
предлагал даже в школе определять
а
логарифм формулой I — = 1па.
J X
х — x0 sin u>t (здесь co = -r-j. Но в более
сложных случаях в теории колебаний
мы приходим к интегралу
dx
v'az4 + bx3 -\- ex2 -j- fx -j-g
G.6.12)
Этот интеграл уже нельзя «взять», т. е.
нельзя выразить через простые функ-
функции, но его можно исследовать: опре-
определить его свойства, составить таблицы.
Ради этого обобщения понятия
функции и ради примера изучения
свойств функции, заданной интегралом
Г dx „
\ —, читатель должен оыл пройти длин-
ную цепь рассуждений,
выше.
приведенных
Упражнение
7.6.1. Выведите из определения F), G)
функции F (t) ее основное свойство: F (ab)=
= F (a)+F F) для любых положительных
а и Ъ.
§ 7. Средние значения
С помощью интеграла можно дать точ-
точное определение среднего для ве-
величины, являющейся функцией ка-
какой-то переменной.
Если мы имеем величину, принимаю-
принимающую ряд отдельных значений, напри-
например т значений vx, v2, v3, . . ., vm, то
среднее значение v этой величины есте-
естественно определить формулой
Но как определить среднее зна-
значение функции v (t) переменной
t, принимающей все значения в за-
заданном промежутке от а до Ъ (а <С
<t<b)?
Представим себе, что v (t) — это
мгновенная скорость. Как определить
среднее значение v (a, b), т. е. сред-
среднюю скорость за время от а до
Ь? Средняя скорость определяется как
отношение пройденного пути к затра-
затраченному времени:
G.7.1)
6 — а

Ь — а
Это определение среднего значения
функции разумно и в тех случаях, когда

218
Гл. 7. Исследование функций. Несколько задач из геометрии
функция представляет собой не скорость
движения, а какую угодно другую ве-
величину. Так, например, пусть у=у (х)
есть изображенный на плоскости х, у
график какой-нибудь функции (рис. 1).
Рис. 7.7.1
Тогда I у (х) dx есть площадь под крп-
а
вой. Формула
у (а, Ъ) = 2-
j V (я) dx
— a)g=\y{x) dx
G.7.1а)
значает, что у есть высота прямо-
гольника с основанием Ъ—а, площадь
интеграла. Следовательно, у больше
наименьшего значения у (х) и меньше
наибольшего значения у (х) на участке
усреднения а <[ х < Ъ.
Рассмотрим примеры.
Пусть у (х) есть линейная
функция:
у = кх -f- то.
Тогда интеграл / (а, Ъ) представляет
собой площадь трапеции (рис. 2) с вы-
высотой Ъ—а, основаниями у (а) и у (Ь) и
средней линией у (°—^—j. Следов
овательно,
(Ь-а) =
-а). G.7.2)
Это выражение легко получить и без
геометрических рассмотрений:
ь
I (а, Ь) = \ (кх-{-m)dx — (—^—j- mx\ -- =
а
kb2 , , / ка2 ,
kb
ka
= kb-{-m, у (a) =
Рис. 7.7.2
которого равна площади под кривой .
Это значит, что па рис. 1 заштрихован-
заштрихованная площадь над прямой у—у, которая
отмечена знаком плюс, в точности
равна отмеченной знаком минус пло-
площади на участке, где кривая лежит
ниже линии у=у. График функции
у (х), если это не параллельная оси
х прямая, обязательно проходит
частью ниже, а частью выше среднего
значения у, определенного с помощью
i мы называли (при у (х) > 0 на
а < х < &) величину г/ эффек-
эффективной высотой криволинейной тра-
пеции с площадью S
J
откуда с очевидностью следует резуль-
результат B). Таким образом, для линейной
функции
у(а) + у(Ъ) _
— 7
у —
т. е. для нее среднее значение функции
на данном участке от а до b равно сред-
среднему арифметическому значений у (а)
и у (Ь) функции на краях участка.
Вот другая формулировка: среднее зна-
значение линейной функции на некотором
интервале равно значению функции
в середине интервала.
Одним из важнейших примеров ли-
линейной зависимости являются зави-
зависимости скорости от времени при
равноускоренном или р а в-
нозамедленном движении,
т. е. при движении тела под дей-
действием постоянной силы, ска-
скажем под действием силы тяжести, когда

§ 7. Средние значения
219
v=gt-\-v0. При расчете пройденного
пути используют свойства среднего ли-
линейной функции:
z{a, Ь) = (Ь-а)
Следует иметь в виду, однако, что при
другой (не линейной) зависимости вы-
выражения Bа) для среднего уже не
верны.
Рассмотрим
ратичной
у=гх2-\-рх-\-д.
ности, г > 0;
далее пример квад-
квадфункции (параболы)
Пусть, для определен-
определенрассмотрим какую-то
дугу параболы: а <^ х < Ъ. Из рис. 3
видно
что
у (а) + у (Ь)
касатель-
Обратимся теперь к интегралу
ь
1 y(x)dx, т. е. к вычислению площади
а
под параболой. Эта площадь меньше
площади трапеции с основаниями А0А
и В0В. С другой стороны, если провести
„ /а 4- Ь [а А-Ъ\
через точку С(-~—, yl—^ ]
ную к параболе, то эта касательная
пересечет вертикали х = а и х = Ъ
в точках А' и В' и образует трапецию
А0В0В'А' со средней линией С0С =
/а + Ь\ „
= U[—k—); площадь этой трапеции,
очевидно, меньше площади под кривой.
Таким образом, в случае параболы
С Г>0
2
Соответственно этому для среднего зна-
значения у в промежутке от а до Ь имеем
У
Для квадратичной функции имеет
место точная формула Симп-
с о н а 3 (приводим ее без вывода, см.
упр. 2), справедливая при любом знаке
г:
(а)
Это выражение является хорошей приб-
приближенной формулой для расчета пло-
площади под любой плавной кривой (ср.
упр. 46).
Отметим два простых факта, отно-
относящихся к средним значениям.
1. Среднее значение постоянной ве-
величины на любом промежутке есть сама
эта постоянная. Это ясно и из физиче-
физических соображений: действительно, если
мгновенная скорость не меняется, то
средняя скорость за промежуток вре-
времени равна этому постоянному значе-
значению мгновенной скорости.
Совсем просто получить это и из фор-
формулы Aа):
\Cdx
Ъ — а
¦ = с.
2. Среднее значение суммы двух функ-
функций равно сумме средних значений сла-
слагаемых:
2 Ср. § 3. Напомним, что парабола у=гх2,
г > 0, выпукла книзу, а парабола y=rx2Jr
-\-px-\-q с любыми р и q получается из пара-
параболы у=гх% параллельным переносом (см.
§ 1.4).
3 Симпсон Томас A710—1761) — анг-
английский математик. Формула Симпсона C)
справедлива даже (см. упр. 2в) и для любой
кубической функции у=Аз?-\-Вз?.-{-
-\-Cx-\-D (при любых А, В, С и D; если А=0,
мы приходим к случаю квадратичной функции).

220
Гл. 7. Исследование функций. Несколько задач из геометрии
Действительно,
х)\ dx =
Ъ
Рассмотрим несколько примеров.
Найдем среднее значение функции
y=sin х на промежутке от ж=0 до
IT
J
Среднее значение функции y=sin x
на промежутке от ж=0 до х=Ь равно
f
sin ж
— 0
G.7.4)
А что будет, если неограниченно уве-
увеличивать число 6, т. е. неограниченно
увеличивать промежуток? При любом
Ь числитель D) не больше двух (он
равен двум, если cos b ——1, т. е. при
b=ic, Зп, 5тс, 7п, . . .). Знаменатель D)
будет неограниченно увеличиваться.
Поэтому можно сказать, что на б е-
сконечном промежутке (к кото-
которому мы приходим, неограниченно уве-
увеличивая Ь) среднее значение синуса
будет равно нулю (точно это означает,
что чем больше промежуток, тем ближе
к нулю значение среднего). Совершенно
аналогично можно показать, что сред-
среднее значение функции y=cos x на бес-
бесконечном промежутке также равно
нулю: ведь
ъ
Г cos х dx
Уф, Ь) = ±
sin 6
6-0
G.7.5)
и если неограниченно увеличивать Ъ, то
знаменатель E) неограниченно увели-
увеличивается, а числитель остается не
больше единицы. Следовательно, вся
дробь стремится к нулю: у @, оо)=0.
Буквально так же получим, что и сред-
среднее значение функции y=cos kx на бе-
бесконечном промежутке тоже равно нулю.
Найдем среднее значение функции
y=sin2 х на бесконечном промежутке от
х=0 до ж=со. По известной формуле
тригонометрии sin2
^ # Отсюда
sm2 х
1 о 1 г\
—у cos 2х=у — 0
Воспользовавшись формулой sin2 x -j-
+ cos2x=l, получаем среднее зна-
значение cos2x на том же промежутке:
cos2 х = 1 — sin2 x = 1 — г/.г =
/
/2-
Пользоваться средними практически
удобно, часто даже удобнее, чем поль-
пользоваться интегралами. По существу,
эти величины равноценны: зная интег-
ъ
рал / = \ ydx, легко находим среднее
как у -—
а вычислив среднее у,
'Ъ — а'
также просто находим и интеграл / =
= {Ь-а)д.
Удобство среднего заключается в том,
что у — это величина той же раз-
размерности, что и у, и, очевидно, того же
порядка величины, что и значения у на
исследуемом участке (ср. со сказанным
по поведу формулы E.6.6) на с. 149).
Поэтому труднее пропустить ошибку
в 10 раз в значении у, чем такую же
ошибку в значении интеграла.
Обычно предполагается, что изу-
изучающие высшую математику в совер-
совершенстве знают арифметику и алгебру и
никогда не ошибаются в 10 раз или
в знаке. Однако опыт показывает, что
это не так! Поэтому и расчеты всегда
надо вести так, чтобы уменьшить ве-
вероятность незамеченной ошибки.
Укажем еще, что определение A)
среднего v функции v (t), пожалуйт
ближе не к понятию среднего v =
— м (vi + V2 + • • • + vm) РяДа чисел, по-
понимаемого как их среднее арифметиче-
арифметическое, а к понятию «взвешенного» сред-
среднего. Пусть нам требуется определить
среднюю массу р камней в куче (или
среднюю цену z книг в магазине).
Найдем сперва общую массу камней
(общую цену книг), для чего составим
сумму p = p1ra1-f-jV*2+- • -+Ркпк (ы-
ответственно Z=z1nl-\-z2n2-\-. . .~\-zknk)r
где п( есть число «однородных» камней
(книг), имеющих одну и ту же массу pt

§ 7. Средние значения
22f
(одну и ту же цену z,); после этого полу-
полученную сумму Р (или Z) мы разделим
на общее число N камней (книг):
( _
(или z = ¦
N
4- Z2n
).
Точно так же приходится поступать во
всех случаях, когда ищется среднее ве-
величин 2/15 у2, . . ., yN и все эти величины
разбиваются на к групп однородных
объектов численностей щ, щ, ¦ . ., пк
(разумеется, п1-\-п2-\-. • .-\-nk=N).
Вернемся теперь снова к примеру,
где (непрерывно меняющаяся вели-
величина) v — это скорость; предположим,
что нам дана зависимость v—v (х),
указывающая (мгновенную!) скорость
v в каждой точке х пути. Попробуем
отыскать общее время Т движения со
скоростью v (х), требующееся, чтобы
пройти от пункта х=а до пункта х=Ь.
Время Д? прохождения малого отрезка
Ь.х пути будет, очевидно, равно част-
Ах .
ному —, где v — скорость на пути &х,
которую можно считать постоянной, ибо
на этом малом пути она не успеет
значительно измениться. (Все же более
Ах
точной здесь будет запись Д?«— ,
поскольку даже на протяжении малого
пути Ля скорость не остается одинако-
одинаковой.) Общее время пути приближенно
выразится суммой
Ахх ¦
vk
где Ах^х4—х4_г (здесь ? = 1, 2, . . ., к;
хо=а, хг, х2, . . ., хк=Ь — точки, раз-
разбивающие весь путь от а до Ъ на к малых
интервалов), а за vi можно принять как
v (ж,.), так и v (х{_г) (ср. с § 3.1). Точ-
Точное же значение времени Т выразится
интегралом
dx
v(x) '
G.7.6а)
являющимся пределом «взвешенного
среднего» F), в котором разные участки
&xt пути берутся с разными весами —;
1
при этом среднее значение — равно
частному от деления интеграла Fа) на
полный путь Ъ — а.
С фактом использования в формулах
интегрального исчисления именно взве-
взвешенных средних связан ряд обстоя-
обстоятельств, которые нельзя упускать
из виду. Пусть мы имеем некоторую х и-
мическую реакцию, скорость
F=F (Q) которой, т. е. количество
вступающего в реакцию вещества, от-
отнесенное к единице времени, зависит от
температуры 9, при которой идет реак-
реакция; сама же температура 9 меняется
с течением времени t, т. е. 9 = 9 (t).
При этом средняя температура реак-
реакции, продолжающейся от момента
а
Рис. 7.7.4
t=tx до момента t=t2, будет, очевидно,
равна
» G.7.6) О^з-
<7-7-7>
средняя же скорость реакции выража-
выражается формулой
G.7.7а)
Не надо только думать, что средняя
скорость реакции F совпадает со ско-
скоростью F F), характеризующей сред-
среднюю температуру 6! Так, пусть зави-
зависимость 9 = 9 (t) линейная (рис. 4, а);
тогда, очевидно, 0=-±-^— = 9(—i—= .
Что касается скорости F реакции, то мы
предположим, что она экспоненциально
растет с температурой 8, т. е. F (9) =
=efc6. В этом случае в силу высокой
скорости роста F (рис. 4, б; заметим, что-

222
Гл. 7. Исследование функций. Несколько задач из геометрии
вследствие равномерности увеличения
температуры 9 с течением времени t
зависимость F (t) также имеет экспо-
экспоненциальный характер) значение ин-
интеграла Gа) вообще почти целиком опре-
определяется (большими) значениями F
у правого конца интервала изменения
переменной G (или t) и мало зависит от
других значений F; поэтому равенство
F = F (б) = y[F(81) + F(ea)] никак не
возможно. Последнее обстоятельство
f(a,6)
целиком объясняется неравномерностью
«весов» F (9), приписываемых отдель-
отдельным интервалам Д6 изменения 0.
В связи с вопросом о средних значениях
отметим две теоремы, относящиеся к н е-
прерывным и гладким функциям.
1. Теорема Лагранжа. Среднее
значение функции равно значению функции
в какой-то точке внутри •рассматриваемого
интервала. В обозначениях формулы Aа)
/К Ь)=
G.7.8)
Нарисуем площадь, равную интегралу
6
\. f (x) dx, и равновеликий этой криволиней-
а
ной трапеции (равный ей по площади) прямо-
прямоугольник, основанием которого является отре-
отрезок от а до 6. Высота прямоугольника —
эффективная высота трапеции — равна сред-
среднему f (а, Ь) функции. Очевидно, что верхнее
основание прямоугольника обязательно пере-
пересекает дугу кривой y=f (х) в какой-то точке
(с, / (с)), промежуточной между концами этой
дуги (рис. 5, а). Разумеется, здесь мы счи-
считаем функцию j/=/ (x) непрерывной;
если график функции y=f (x) претерпевает
разрыв, то наше утверждение вполне может
не выполняться (рис. 5, б).
Без ссылки на чертеж здесь можно рас-
рассуждать так: если М и т. — наиболь-
наибольшее и наименьшее значения функ-
функции на отрезке а < х < 6, т. е. если
М > / (х) > т, то
ь ь
г {х) dx >
М(Ъ — а)=\ Mdx
\ mdx —m(b — а)
и, значит,
М\
b — <
Но отсюда уже вытекает равенство (8), ибо не-
непрерывная функция принимает на отрезке
от а до Ь (в некоторой точке с этого отрезка)
любое значение А, промежуточное между
ее наибольшим и наименьшим значениями (т. е.
такое, что М > А > т), в_частности значение
1 г
dx.
Совершенно аналогично устанавливается
следующее простое обобщение доказанной
теоремы: если функция / (х) на отрезке а <
< х < Ъ непрерывна, а функция g (x) сохра-
сохраняет знак (т. е. либо нигде не отрицательна
на этом отрезке, либо нигде не положительна),
то
G.7.9)
где по-прежнему а < с < 6.
В самом деле, пусть для определенности
g (х) > 0 при a «S х «S Ь. Тогда, очевидно,
М \g{x)dx=\iMg(x)dx> \ij{x)g(x)dx>
а а а
Ъ Ъ
> \ mg(x)dx = m \ g (x) dx, G.7.10)
где снова М и т — наибольшее и наименьшее
значения функции / (х) на отрезке а < х < Ь.

§ 7. Средние значения
223
Разделив обе части A0) на I g {x) dx ]> 0,
получим 4
ь
jf(x)g(x)dx
М > —i
т.
G.7.11)
Но непрерывная функция / (х) принимает на
отрезке a «S x «S 6 все значения, промежуточ-
промежуточные между самым большим и самым малым
ее значениями; поэтому каждое заключенное
между М и т число, — а значит, и стоящее
в средней части A1) выражение — равно
значению / (с) функции в какой-то (промежу-
(промежуточной между а и Ъ) точке с:
ь
$f(x)g(x)dx
—ъ = /(*)• G.7.12)
(Ясно, что A2) равносильно (9).)
Пример. Если / (х) — произвольная не-
непрерывная функция и а и Ъ одного знака
(т. е. оба неотрицательны или оба неположи-
неположительны), то
\ xnf (x) dx = f (с) \ xndx =
П+1
G.7.13)
где число с лежит между а и 6.
2. Возьмем функцию у (х) такую, что
У (а)=У (Ь). Предполагается, что функция глад-
гладкая; из нашего условия, разумеется, следует,
что эта функция не монотонна в рассматри-
рассматриваемом интервале а < х < 6. Но если функ-
функция не монотонна, то где-то внутри участка
[а, 6] она имеет минимум или максимум. Зна-
Значит, внутри участка при некотором х=с,
где а < с < 6, производная обращается в нуль:
у' (с)=0. Это утверждение называется тео-
теоремой Ролля6. Геометрический смысл
4 Ясно, что если знакопостоянная функция
g (x) (т. е. функция, сохраняющая на отрезке
а < х < Ъ постоянный знак) не является
«патологической» (вроде, скажем, описанной
на с. 425 функции /(ж)), то равенство
ъ
J g (x) dx = 0 при Ъ =? а означает, что g (x) =
а
= 0,—а в этом случае соотношение (9) яв-
является очевидным.
8 Р о л л ь Мишель A652—1719) -
цузский математик.
теоремы Ролля ясен из рис. 6, где изображены
два варианта кривых с максимумом и мини-
минимумом (вторая кривая имеет между а и Ь
и максимум, и минимум).
Теоремы Лагранжа и Ролля связаны между
собой: теорему Ролля можно получить как
следствие теоремы Лагранжа. В самом деле,
запишем следующее тождество, вытекающее
Рис. 7.7.6
0'
из связи между производной и интегралом
(см. § 3.3):
ь
у{Ъ) = у (a) +
Отсюда следует, что
]y'(x)dx

о — а
Ъ — о
Но в условиях теоремы Ролля у (Ь)=г/ [а);
поэтому здесь
7=о.
Теперь остается только применить теорему
Лагранжа к функции у'(х): если среднее
значение функции на интервале от а до Ъ
равно нулю, то в этом интервале есть точка с,
в которой у' равно нулю.
Упражнения
7.7.1. Найдите среднее значение функции
у=х* на участке от 0 до 2. Сравните это среднее
значение со средним арифметическим значе-
значений функции на краях и со значением в се-
середине промежутка.
7.7.2. Проверьте формулу Симпсона C):
а) для функции упр. 1; б) для общей квадра-
квадратичной функции y=rx*-\-px-\-q\ в) для куби-
кубической функции y=Aifl-{-Bx2-^-Cx-JrD.
7.7.3. Сила тяжести убывает с расстоянием
г от центра Земли по закону F = -pf .

224
Гл. 7. Исследование функций. Несколько задач из геометрии
Найдите среднее значение силы тяжести на
участке от поверхности Земли (радиус Я)
до точки, удаленной на расстояние R от Земли
(т. е. на расстояние 27? от центра Земли).
(В этом упражнении для нахождения среднего
используется «интеграл энергии» \ F(х) dx
(F — сила, а х — путь), имеющий важный
физический смысл.)
7.7.4. Сравните найденное в упр. 3 зна-
значение среднего: а) со средним арифметическим
значений силы на краях участка ее изменения
(совпадающим со средним для линейно изме-
изменяющейся величины); б) со средним, найден-
найденным по формуле Симпсона C) (совпадающей
с истинным значением среднего для квадра-
квадратичного закона изменения рассматриваемой
величины).
7.7.5. Найдите среднее значение функции
у=х" на промежутке от х=0 до х=х11.
7.7.6. Найдите среднее значение функции
у-=секх на промежутке, в которому меняется
от у=п до у=т; выразите это среднее значе-
значение через пит, исключая с и к из ответа.
Исследуйте полученное выражение при т.,
близком к га: m=rc+v, v <^ п.
7.7.7. Найдите средние значения функций
j/=sin2 х, y=cos2 х на промежутке: а) отх=0
до х=я; б) от х—0 до z= я/4.
7.7.8. Определите период функции у=
=sin (<Dt-\-a), где ш, а — постоянные числа.
Найдите среднее значение функции у2 за ее
период.
•§ 8. Длина кривой
Поставим задачу: найти длину
д у г и s кривой y=f (x) от точки, где
х=а, до точки, где х=Ъ (рис. 1). Длину
As малой дуги MN линии г/=/ (х) за-
заменяем длиной отрезка MN, соединяю-
соединяющего точки М и N г. (Мы рассматри-
1 Отличие длины дуги от длины соответ-
соответствующей ей|хорды (отрезка прямой) имеет
порядок величины | Дх|8 — и при переходе
к пределу (к дифференциалам) им можно
законно пренебречь. Так, например, дуга
окружности радиуса г, стягивающая
малый угол At, равна rAt (мера углов
— радианная!), а длина соответствую-
„ .. „ Д* /At
щей ей хорды равна 2r sin -у- = 2r ( -w- ~
1 /Д«\з ч 1
-~6\2) + •••] = '-<»-йг(ДгK+... (см-
§ 6.2), так что разность длин дуги и хорды
примерно равна ^/-(ЛгK, т. е. имеет порядок
величины (Д«K, где As — величина порядка
длины дуги (или длины хорды).
ваем только кривые без разрывов и из-
изломов.) По теореме Пифагора
As
Отсюда
As
¦д!я
0;
Перейдем в A) к пределу при Дх
Ау
-д— превратится при этом
отношение
Рис. 7.8.1
в производную y'=f'(x). Таким обра-
образом, получаем
Вся длина дуги равна
s(a, Ъ) = j V1 + (/' ИJ dx- G-8-2)
Если линия задана параметрическими
уравнениями х = х (t), y — y(t) (см. §1.8),
то из (приближенного) равенства As та
яй \Jkx2 -J- Дг/2, деля обе части его на At,
переходя к пределу при Д? -> 0 и учиты-
,. Ах dx Al/ J"
вая, что hm -дГ=-5Г,
ds i / / dx V
получаем -^=\/ (^-)
dy \2
или
ds = \J(x'J-{-(y'Jdt; Отсюда, интегри-
интегрируя от t = a до f = p, получаем
(a, P) = J \/(*')
где s(a, P) — длина дуги кривой, огра-
ограниченной значениями а и Р параметра t.
Из-за наличия корня под знаком ин-
интеграла в B) (и в Bа)) этот интеграл
редко удается «взять», т. е. вычислить
до конца, выразив величину s = s(a, b)
(или s = s(a, (В)) в виде явно выписан-

§ 8. Длина кривой
225
ной функции пределов интегрирования
а и Ъ (или а и р).
Заметим еще, что из того же прямоуголь-
прямоугольного треугольника2 со сторонами Дх, Дг/ и
MN(«As), с помощью которого мы
выразили Дв через Дх и Дг/, имеем
Дх« As cos ф,
Дг/яа Assin ф,
где ф — угол, образованный прямой MN
с осью Ох. При Дх-> 0, очевидно, ф -»¦ <р,
где ср — угол, образованный с осью Ох
касательной к линий г/ = /(х). Та-
Таким образом,
dx = ds cos tp, dy = ds sin <p
и ds = *Jdx2 -\- dy2, G.8.26)
где употребление дифференциалов указы-
указывает, что в этих формулах а!х(=Дх),
как и dy, ds, малы.
Приведем несколько примеров, когда
выкладки нетрудно довести до конца.
1. Длина окружности. Будем
искать длину окружности х2 -f- у2 = R2
или, точнее, длину s четверти окруж-
окружности, лежащей в первом квадранте; по-
полученный результат мы затем умножим
на 4.
Из уравнения окружности имеем:
У
У'Л2—:
По формуле B)
r я
[if. , х* , С Rdx
s= \ У 1 +-53 fdx= \ -====?.
о о
G.8.3)
Введем новую переменную t по фор-
формуле х = R sin ?; тогда dx = R cos ? <Й
и из C) следует
S =
(ср. § 5.6), откуда получаем хорошо извест-
известную формулу для длины окружности:
2 Этот треугольник играл большую роль
в рассуждениях Лейбница, который исходил
из него при введении дифференциалов.
2. Цепная линия — это кривая,
уравнение которой имеет вид
2/=у(е*/а + е-*'«), G.8.4)
где а — постоянное число 3. Название
«цепная линия» происходит от того, что
такую форму принимает гибкая и не-
нерастяжимая тяжелая нить постоянной
плотности (например, цепь), подвешен-
подвешенная за оба конца. График цепной линии
изображен на рис. 2 (для а = 2).
Найдем длину дуги цепной линии от
точки х = 0 до точки х = х0. Из D)
, е*/« _ е-*/«
следует, что у = g , поэтому
e*l«
и, значит,
? в*/« + в-4» а
3. Циклоида. Мы знаем, что (пара-
(параметрическое) уравнение циклоиды имеет
вид:
x = a(t — sin I), y = a(l — cos?),
Рис. 7.8.2
где а — радиус образующего циклоиду
круга (см. § 1.8). Поэтому в силу Bа)
ds = \Ja2 (I — cos tJ + (a sin tK dt =
= a sJ2 — 2 cos tdt =
= ay 4 sin2-^dt = 2a sin -ndt,
3 Уравнение D) можно также записать
х
в виде у = a ch —, где символом ch t обозна-
обозначен так называемый гиперболический косинус ве-
величины t (см. § 14.4, в частности рис. 14.4.1).

226
Гл. 7. Исследование функции. Несколько задач из геометрии
и дуга циклоиды, заключенная между
точками, отвечающими значениям а и
Р параметра t, равна
s = 2а \ sin у dt = 4а (— cos -Л
а
= 4а (cos 4- — cos -я-J.
Так как двум последовательным
«остриям»^ циклоиды (см. рис. 1.8.3)
0
Рис. 7.8.3
fffa)
отвечают значения 0 и 2тг параметра t, то
длина дуги одной арки циклоиды равна
8а, т. е. она в четыре раза больше диа-
диаметра порождающего циклоиду круга.
Мы уже отмечали, что чаще всего функцию
y/l+(y' (х)J проинтегрировать в элементар-
элементарных функциях трудно (или даже невозможно)
из-за наличия корня. Поэтому большой инте-
интерес представляют приближенные фор-
формулы для вычисления длины дуги.
Предположим, что величина (у' (х)J мала
по сравнению с единицей: \у' (х)\ <с 1. Тогда,
пренебрегая в B) величиной (у' (х)J, получим
I v'l dx = b — a.
G.8.5)
Разность Ь—а есть длина горизонтального
отрезка, концы которого суть х=а и х=Ь.
Формула E) показывает, что если у' мала
по абсолютной величине (кривая мало откло-
отклоняется от горизонтального отрезка), то и длина
дуги этой кривой близка к длине горизонталь-
горизонтального отрезка (рис. 3, а).
Если, напротив, (у' (х)J ^> 1, то в B)
можно пренебречь единицей по сравнению
с (у' (х)J. Таким образом, здесь мы получаем
ъ ь
vV(*)J dx = j у' (х) dx = у (Ь) - у (а).
а
G.8.6)
Формула F) показывает, что в этом случае
длина дуги кривой близка к длине вертикаль-
вертикального отрезка, концы которого суть у (Ъ)
и у (а) (рис. 3, б). Действительно, если про-
производная у' велика, то кривая круто подни-
поднимается вверх, а поэтому похожа на вертикаль-
вертикальную прямую (для вертикальной прямой прог-
изводная бесконечна).
Формулы E) и F) дают простые прибли-
приближенные выражения для длины дуги, но это
очень грубые приближения, которые можно
найти и без обращения к формуле B). Не-
Нетрудно получить и более точные формулы.
Пусть \у' (х)\ < 1. Сохраняя два первых
члена в разложении выражения v'l-}- (у' (х)J
по формуле бинома Ньютона (см. § 6.4) и от-
отбрасывая последующие члены, запишем
1
Теперь формула B) дает
= (Ь-а) + у j (у'(х)У dx.
а
Если же [ у' (х) | > 1, то
Vl + (j/'HJ =У' (*) У 1 + {у, \X)Y .
К последнему выражению также можно при-
применить формулу бинома Ньютона, поскольку
i it \\2 <*• Сохраняя и в этой формуле
(У \хI
лишь первые два члена, получим
(У'<
G.8.7>
Подставляя G) в B), находим

§ 8. Донна кривой
227
-i
dx
2 IVJxj
a
I
dx
Итак, мы пришли к следующим приближен-
приближенным формулам:
ь
G.8.8)
1 f dx
szs;(b — a) + -2
если | !/'(*) |<1;
если | j/' (z) | > 1.
Входящие сюда интегралы проще, чем инте-
интеграл в B), поэтому этими формулами гораздо
удобнее пользоваться. Однако формула B)
является точной, а формулы (8) — только
приближенными.
Какую же ошибку делаем мы, пользуясь
ими? Первая из формул (8) будет тем точнее,
чем меньше \у'\, а вторая — чем больше \у'\;
обе формулы дают наихудший результат при
|г/'| = 1. Поэтому для оценки погрешности
рассмотрим самый невыгодный случай у' (х)=
= 1. Ясно, что если у' (х)=1, то у (ж)=г+с;
график этой функции — прямая линия.
По точной формуле B)
ъ
s— j v'l + 1 dx = f2 (b — a) ^= 1,415 F — a)
G.8.9)
(впрочем, этот последний результат с очевид-
очевидностью следует и из теоремы Пифагора или
элементарной тригонометрии: ведь прямая
у=х-\-с образует с осью абсцисс угол в 45°).
По первой из формул (8):
1
G.8.10)
Вторая формула (8) дает тот же результат:
s=5: 1,5 (Ь—а). Сравнивая (9) и A0), видим,
что наибольшая погрешность прибли-
приближенной формулы близка к 6%.
При вычислении длины дуги кривую сле-
следует разбивать на участки, на которых либо
всюду \у'\ «S 1, либо \у'\ > 1. Тогда ошибка
будет, во всяком случае, не больше 6%. А так
как (у' (х))% принимает значение, равное 1,
лишь в отдельных точках кривой, то при пра-
правильном разбиении линии на участки ошибка
будет меньше 6% (обычно значительно
меньше 6%). Длины прямолинейных отрез-
отрезков (в частности, таких, где у' (х) = 1), ко-
конечно, находить по приближенной формуле
незачем.
Рассмотрим примеры (вычисления почти
всюду проведены с точностью до второго знака
после запятой).
1. Найти длину дуги параболы, у=х% между
точками с абсциссами х~0 и х=2.
Производная у'=2х равна 1 при х=0,5;
и у' < 1 при х < 0,5, у' > 1 при х > 0,5.
Поэтому длину $i дуги, где 0 «S х < 0,5,
найдем по первой из формул (8), а длину «2,
где 0,5 < х < 2, — по второй формуле:
0,5
@,5 - 0) + 0,5 j АхЧх =
= 0,5 + 2-^-^0,58,
2
s2 4=4 -0,25 + 0,5 j-|^- =
0,5
= 3,75 + 0,25 (In 2 — In 0,5) я= 4,10,
значит,
s=s!+s2 st 0,58+4,10=4,68.
С другой стороны, в силу B)
2
s = | v'l + Ax2 dx,
o;
откуда, сделав замену 2х=г и воспользовав-
воспользовавшись формулой 33 Приложения II (с. 478),
находим точное значение s:
1" In Bx
l)] + C,
G.8.11)
и, следовательно,
s = у [2 у/17 + у In D + vT7)]% 4,65. G.8.12)
(Недоверчивый читатель может убедиться
в справедливости формулы (И), продифферен-
продифференцировав правую часть этой формулы.)
Ошибка при подсчете по формулам (8)
составила около 0,7%.
2. Найти длину дуги экспоненци-
экспоненциальной кривой у=ех между точками
с абсциссами х=0 и х=1.

228
Гл. 7. Исследование функций. Несколько задач из геометрия
В этом случае у'=ех, и при изменении х
от 0 до 1 производная растет от 1 до е. Поэтому
используем вторую из формул (8):
S Я= e* — i
:2,72 —1-
:2,04.
Точная формула дает для длины дуги зна-
значение (см. упр. 16 и 2 ниже)
+ "о" 1П
1 2
— 1
:2,00.
Ошибка приближенной формулы 2%.
Иногда для приближенного вычисления
длины дуги подынтегральную функцию в B)
разлагают в р я д по степеням х. При этом,
удерживая надлежащее число членов разло-
разложения, можно получить значение длины дуги
с любой степенью точности.
Рассмотрим пример. Определим длину
окружности. При этом будем искать
длину s дуги окружности, соответствующую
центральному углу в 30°. Длина окружности
C=12s. Ясно, что мы получим такой же ин-
интеграл, как и в C), но с другим верхним пре-
пределом:
Л/2
Rdx
G.8.13)
Подставляя A5) в A3) и интегрируя, на-
находим
+ 6 • 23 ~t~ 40 ¦ 25 +
5 35 \
+ 16 • 7 - 21 + 128 • 9 - 2» Н J- G-8-16»
Члены ряда A6) убывают довольно быстро.
Поэтому для получения s достаточно взять
несколько первых членов ряда. Взяв один
1
член, получим s^z-n-R, откуда длина всей
окружности С ?5; 6Д. Взяв два члена, полу-
получим s =5: 0,521 Л, т. е. С% 6,2527?; три члена
ряда дают «%0,523Л, С % 6,2767? и т. д.
Мы знаем, что длина окружности С=2лД.
Сравнивая это с полученными нами резуль-
результатами, находим такие приближенные значе-
значения числа и:
3; 3,126; 3,138, . . .
Чем больше членов ряда A1) взять, тем точнее
получим значение я. Значение числа т. с че-
четырьмя верными десятичными знаками та-
таково: л % 3,1416.
Упражнения
7.8.1. Запишите в виде интеграла длину
дуги: а) параболы у—х2 от точки @, 0) до
точки A, 1); б) экспоненциальной кривой
г/=еж от точки а:=0 до точки х=1; в) длину
У~
(здесь мы испольгуем соотношение R sin 30°=
7? \
= -2~). Подынтегральное выражение преоб-
преобразуется следующим образом:
R R
\fRZ-x2
Выражение A4) разложим в ряд по формуле
бинома лНьютона (см. формулу F.4.3)). Для
[ х\2
этого положим l~p~) —t. Получим
16
1 / X \2
35
_5_ / х \б
16 \r)
35 /х\8
7.8.2. Доведите до конца упр. 16, выпол-
выполнив в интеграле замену переменной l-j-e2-c=z2.
7.8.3. Пользуясь приближенными форму-
формулами (8), найдите длину дуги цепной линии
между точками х=0 и х=2 (я=1). Сравните
полученный результат с точным значением
длины дуги.
7.8.4. Найдите приближенно длину дуги
гиперболы ху=—\ между точками ж=0,5
и х= 1. [Замечание. В этом случае точ-
точного решения получить нельзя, так как ин-
интеграл в B) не может быть выражен с помощью
элементарных функций. ]
7.8.5. Получите приближенные значения
числа тс исходя из подсчета длины дуги окруж-
окружности с центральным углом в 45° (удержите-
три, четыре и пять членов ряда).
§ 9. Кривизна и соприкасающаяся
окружность
С понятием длины дуги связано опреде-
определение кривизны к и радиуса кривизны
G.8.15) д кривой в некоторой ее точке. Для

§ 9. Кривизна и соприкасающаяся окружность
229
окружности радиус кривизны R совпа-
совпадает с радиусом окружности, а кривиз-
кривизной называется величина к = -й-, обрат-
обратная радиусу. Чем меньше радиус R
окружности (т. е. чем больше ее кри-
кривизна к), тем круче заворачивается
окружность, тем более она «искривлена»
(рис. 1). При очень большом R, напро-
напротив, искривленность окружности почти
не заметна, т. е. окружность обраща-
обращается в «почти прямую»: так, из-за боль-
большой величины радиуса земного шара мы
не замечаем искривленности Земли (для
того чтобы увидеть это, надо подняться
в космос, что пока еще мало кому до-
доступно).
Обратимся теперь к произвольной
кривой Г. Ясно, что на рис. 2 линия
больше искривлена на участке PQ, где
она круто заворачивает налево, чем на
участке MN, где ход ее более плавный.
Однако какой точный смысл имеет по-
последнее утверждение? Пояснить его
можно так.
Рассмотрим угол ф между касатель-
касательными к кривой в концах М и N дуги
MN: если на протяжении этой дуги
касательная поворачивалась все время
в одном направлении, то угол о указы-
указывает, на сколько именно повернулась
на участке MN касательная (или кри-
кривая, поскольку направление кривой за-
задается направлением касательной). Для
определения степени искривленности
кривой нам надо знать еще протяжен-
протяженность s участка (дуги) MN: если s ве-
велико, то даже при медленном изменении
направления касательной может полу-
получиться большое значение ср.
Таким образом, отношение
Лор s
указывает среднюю
кривизну кривой на
визна же в точке М
предел средней
G.9.1)
(или уделъную\)
дуге MN. Кри-
определяется как
кривизны при
р
стремлении дуги MN к нулю:
Да
где As — длина (малой) дуги ММХ ли-
линии Г, а Да — отвечающее этой дуге
приращение угла а, образованного ка-
касательной к кривой с осью х, т. е. угол
поворота касательной к кривой (угол
между касательными t я tx к Г в точ-
точках М и Мц рис. 3). Но в силу опреде-
определения производной (см. § 2.1) последнее
равенство можно записать так:
, da
k = ~r. G.9.2)
Рис. 7.9.1
Таким образом, кривизну R можно
определить как скорость поворота каса-
касательной к кривой Г при равномерном
е-
Рис. 7.9.2
движении точки по кривой с единичной
(линейной) скоростью, т. е. в условиях,
когда точка М проходит путь MMd
за время dt=ds.
Теперь нам остается только вспомнить,
что tg a = y', так что a—arctg у' и, зна-
значит,
da = d (arc tg у ) = jqr^Tyi = -?+{?? >
кроме того (см. § 8), ds = \Jl -\-{y')*dx.
Таким образом, окончательно получаем
G.9.3*

Гл. 7. Исследование функций. Несколько задач из геометрии
и, значат,
*=i=-
членов разложений Тейлора уравнения
j/=j/ (х) рассматриваемой кривой
G.9.3а) у = у (а) -\- у' (а) (х — а)
Если кривая Г задана параметриче-
параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t)
(см. § 1.8), то Тх--, и gjg ^тр—
(см. D.4.9)); поэтому из C) и (За) следует
, _
+ -g-у (а)(х — аK +... G.9.4)
(мы считаем, что точке М кривой отве-
отвечает значение х=а абсциссы) и урав-
уравнения y=Y (х) окружности
y=Y(a)+Y'(a){x-a)
[(*')*+
<7-9-36>
Укажем еще, что поскольку угол
а — величина безразмерная (мы ис-
используем, как всегда, радианную меру
угла), a s имеет размерность [I] длины,
то кривизна к кривой имеет размерность
[I'1] (скажем, см), а радиус кривизны,
как и полагается радиусу, — размер-
размерность длины [I] (например, см).
Понятие радиуса кривизны (а зна-
значит, и кривизны) линии можно опре-
определить и «более геометрично». Для этого
проведем в двух близких точках М и
Мх кривой Г нормали (перпендику-
(перпендикуляры к касательным) MQ и MXQ; через
Q мы обозначим точку пересечения нор-
нормалей (см. рис. 3). Согласно известной
теореме геометрии угол MQMX между
нормалями равен углу Да между каса-
касательными в точках М и Мх (углы со
взаимно перпендикулярными сторо-
сторонами). Отсюда можно найти расстояние
MQ от точки пересечения нормалей
до кривой.
Заменим приближенно малый уча-
участок кривой дугой окружности. Нор-
Нормаль к окружности направлена по ее
радиусу. Точка пересечения нормалей
есть центр окружности. Если бы кривая
была окружностью радиуса R, то мы
имели бы ds = Rda, или -j-= -s; эта ве-
величина -j- (кривизна окружности) по-
постоянна для любого участка дуги ок-
окружности. Подберем теперь дугу ок-
окружности так, чтобы она была воз-
возможно более близкой
к дуге ММг. Слова «возможно более
близкой» здесь можно понимать как
требование совпадения первых трех
-f--g- Y (о) (х — af + ... G.9.4a)
(см. формулу F.1.18)I. Другими сло-
словами, мы требуем совпадения значений
не только у (а) и Y (а), но и первых двух
производных функций у (х) и У (х)
в точке х=а:
y(a) = Y(a),
y"(a)=Y"(a).
G.9.5)
Но в силу C) равенства E) гарантируют
совпадение в точке М кривизны кривой
Г с уравнением у=у (х) и окружности
2 с уравнением y=Y (x). А это озна-
означает, что радиус MQ=R окружности
S выражается формулой (За).
Проходящая через точку М кривой
Г окружность S, наиболее близкая
к Г, называется соприкасающейся ок-
окружностью2 этой кривой; радиус Д
этой окружности и есть радиус кри-
кривизны кривой, а центр Q окружности
S называют центром кривизны кривой
(в точке М). Таким образом, радиус
кривизны кривой можно определить как
радиус ее соприкасающейся окруж-
окружности; кривизна же кривой обратна
радиусу соприкасающейся окружности
кривой.
1 Окружность на плоскости определяется
заданием трех чисел (параметров), которыми
могут служить, например, коэффициенты а,
b и г уравнения (х—af-\-(y—ЬJ—^=0 окруж-
окружности. Для нахождения этих чисел (т. е. для
определения окружности) необходимо задать
три условия, которыми могут служить,
в частности, выписанные ниже уравнения E).
2 Соприкасающуюся окружность 2 кривой
Г можно определить еще и следующим образом.
Рассмотрим окружность S, проходящую через
три точки Mi, M2 и М3 кривой Г, близкие
к точке М. Когда все эти точки стремятся
к точке М, окружность S стремится к со-
соприкасающейся в точке М окружности X.

§ 9. Кривизна и соприкасающаяся окружность
231
Заметим еще, что поскольку в силу
D), Dа) и E) разность Y (х)—у (х)=
=i- [ у'" (а) — у" (a)] dxs+ ... при пе-
переходе через точку М (т. е. при изме-
изменении знака dx) меняет знак, то сопри-
соприкасающаяся окружность Е в точке
соприкосновения с кривой Г ее п е-
ресекает3. Ото позволяет описать
соприкасающуюся окружность так.
Рассмотрим всевозможные окруж-
окружности а, касающиеся линии Г в точке
М и имеющие в М то же направление
выпуклости, другими словами, прохо-
проходящие через М, имеющие в М ту же ка-
касательную, что и Г, и такие, что центр
а расположен со стороны вогнутости
Г (рис. 4). Одни из этих окружностей
целиком расположены внутри Г (т. е.
со стороны вогнутости Г); их кривизна
будет больше кривизны Г. Другие,
напротив, охватывают Г снаружи;
кривизна таких окружностей м е н ь-
ш е кривизны Г. И лишь одна
из окружностей а переходит в М с од-
одной стороны Г на другую; эта окруж-
окружность So теснее всего примыкает к Г и
называется соприкасающейся окружно-
окружностью Е.
Если условие E) выполняется уже
для прямой (для касательной t к кривой
Г в точке М), то (вычисляемый по фор-
формуле (За)) радиус кривизны Г обра-
обращается в со, а кривизна к— в 0; такие
точки М называются точками распрям-
распрямления кривой Г. Ясно, что в точке рас-
распрямления линия Г центра кривизны
Q не имеет (он «уходит в бесконеч-
бесконечность») .
Из C) следует, что знаки кривизны к
и радиуса кривизны R (до сих пор мы
говорили лишь об абсолютной величине
к и R, игнорируя знаки этих величин)
совпадают со знаком второй производ-
производной у", т. е. характеризуют направле-
направление выпуклости кривой (ср.
§ 2.7). Если кривизна отрицательна, т. е.
в точке М имеет место неравенство
3 Исключением тут могут служить лишь
точки, для которых случайно наряду с усло-
условиями E) имеет место также и равенство
Y'" (а) = у'" (а). Примером таких точек могут
служить вершины эллипса (точки пересечения
эллипса с осями координат), в которых, как
это следует из соображений симметрии, со-
соприкасающаяся окружность не может пере-
пересечь эллипс; по аналогии с этим случаем все
такие точки кривой Г называются ее верши-
вершинами.
у"<С 0) то кривая в этой точке располо-
расположена ниже касательной в точке М, т. е.
она выпукла (или выпукла
вверх; рис. 5, а); при этом центр
кривизны Q расположен ниже точки
Рис. 7.9.4
М. Если кривизна положительна, т. е,
у" ^> 0, то кривая расположена выше
касательной, т. е. она вогнута
(выпукла вниз; рис. 5, б); в этом
случае центр кривизны Q расположен
выше М. Наконец, если кривизна об-
обращается в нуль, т. е. г/"=0, то, как
мы знаем, кривая в точке М меняет на-
направление выпуклости: по одну сторону
а
Рис. 7.9.5
от М она направлена выпуклостью
вверх, а по другую — выпуклостью
вниз (рис. 5, в). В такой точке кривая
переходит с одной стороны касатель-
касательной на другую, она меняет направле-
направление выпуклости, перегибается, поэтому
такие точки и называются точками
перегиба. В точке перегиба
у уравнения у=у (х) кривой Г и урав-
уравнения y—Y (x) касательной t совпа-
совпадают не только первые, но и вторые про-
производные: г/"=У"= 0, т. е. здесь для
касательной t выполняются условия

232
Гл. 7. Исследование функций. Несколько задач из геометрии
E); другими словами, в точке перегиба
М роль'Iсоприкасающейся окружности
Е играет \ к'аЧ; а^т е л ь н а я t, т. е.
М есть точка распрямления линии Г.
Для прямой I, которую ведь тоже
можно рассматривать как линию Г,
угол а, образованный касательной
к I (это есть сама прямая I) с осью Ох, не
меняется; последнее условие означает,
что кривизна к прямой тождественно
равна нулю (I совсем не искривлена).
Для окружности S угол а меняется, но
скорость к = -т- изменения угла а |]при
движении вдоль окружности сохраняет
свое значение; говорят поэтому, что
окружности ? (и прямые) суть линии
постоянной кривизны. Можно показать
что' это j единственные такие линии.
Пусть М1(х, у\{х)) — точка кривой Г.
Касательная t к этой кривой в точке
М имеет наклон у' (=tg а); нормаль
п перпендикулярна t, т. е. образует
е осью Ох угол р = а -)-90° (см. рис. 3);
ее наклон равен tgp = —ctga = 7,
Поэтому (направленные) проекции МР
и PQ на оси координат отрезка MQ
длины R соответственно равны р=
=i?cos p=—i?sin a и q=Rsin $=Rcos a,
т. е. координаты ?, tj центра кривизны
О таковы:
$ = x-{-p = z — R sin a,
= У + Я = У + # cos а. G.9.Щ
Учитывая же формулу (За) для R и
то, что, очевидно,
1 1
cos a = •
tea
окончательно получаем:
Если кривая задана параметриче-
параметрическими уравнениями х=х (t), y=y (t), то
(ср. C6))
(см. упр. 4).
Множество центров кривизны (? (^, tj)
кривой Г заполняет новую кривую у,
которая называется эволютой кри-
кривой Г; сама кривая Г по отношению
к своей эволюте у называется эволь-
эвольвентой 4.
Пример 1. Парабола у=х*.
Здесь у'=2х, у"=2 (=const), поэтому
кривизна к и радиус кривизны R пара-
параболы в точке М (х, у) (=М (х, х2))
равны:
_ V(l + 4x2K
2
Центр кривизны Q (?, т)) параболы в ее
точке М {х, х2) имеет координаты
,. 14- 4х2 о , .,
i=zx -^ 2х — —4ж3.
, , 1 +¦ 4х2
т. е.
или 5 =
G.9.8)
где с = — у-^
= 7) —1/2.
т. е.
Таким образом, эволютой параболы
у = х2 является полукубическая
парабола (8), острие которой совпа-
совпадает с точкой @, ^г). а осью симметрии
является ось ординат (рис. 6).
Пример 2. Циклоида x = a(t — sin t),
y = a(l — cos t). Для нее имеем х' =
= a(l — cos i), у' = asin?, :r"
G.9.7)
(Это согласуется с условием щ > у при
А; > 0, т. е. при у" > 0, и т) < г/ при
& < 0, т. е. при у" < 0.)
4 Слово эвольвента в переводе с ла-
латинского означает «развертывающая», эво-
эволюта — «развернутая», «та, которая развер-
развертывается»; эти названия связаны с теми свой-
свойствами эволют и эвольвент, о которых рас-
рассказано мелким шрифтом в конце настоящего
параграфа.

§ 9. Кривизна и соприкасающаяся окружность
233
у" = a cos t (штрихами обозначены про- точка Q принадлежит нормали л к кривой Г
изводные по параметру t). Поэтому в точке М, то касательная к у совпадает с пря-
прямой п: касательные к эволюте у кривой Г сов-
{x'f^-{y'J — a2(\ — COS iJ + a2 Sin2 ? = падают с нормалями* Г (рис. 8).
= а2 B — 2 cos t) — 4а2 sin2 -|-,
г/V — х"у' ¦=¦ a cos ? • а A — cos t) —
— (а sin ?J = а2 (cos ?— 1) = — 2а2 sin2 |.
Таким образом, в силу Gа) получаем:
g = а (^ — sin t) -j- 2a sin t = а
7) = a A — cos ?) — 2a A
= —a -f- я cos f.
cos t) =
G.9.9)
Для того чтобы понять, что это за
кривая, введем новый параметр t1 = t -j- я
(или ? = ?1 — те); так как sin?=—sin ^
и cos? = —cos tp то имеем
а (^ — sin ?j) — arc,
a A — cos tx) — 2a.
G.9.10)
Таким образом, эволюта (9) (или A0))
циклоиды — это такая же циклоида
%г=а Aг—sin t-j), %=a A—cos tj) (где
%1=%-{-а'к, %=к)-|-2a), только сдвину-
сдвинутая относительно первоначальной цик-
циклоиды на диаметр 2а образующего круга
вниз и на ширину ъа половины арки
циклоиды влево (рис. 7).
Для того чтобы разобраться в[[дальнейших
свойствах эволют и эвольвент, продифферен-
продифференцируем равенства F):
d% = dx — R cos a da — sin a dR,
dfi = dy — R sin ada-\- cos a dR.
Но так как (см. (8.26))
ds
dx = cos a ds = cos a -r- da = R cos a da,
ds
dy = sin ads= sin a -J— da = if sin a da,
di] = COS а
G.9.11)
Поделив равенства A1) одно на другое,
получим
¦J- = _ctga = tg(a + 90°). G.9.12)
Отсюда вытекает, что касательная к эволюте у
кривой Г (т. е. к множеству центров кри-
кривизны Q (?, т))) образует с осъто^Ох угол C=
= a-f-90°, т. е. ее направление совпадает
с направлением нормаликГ. А так как
С другой стороны, из A1) следует:
d$? + dr}2 = sin2 adR2 + cos2 adR2 = dR2,
т. e. da = dR, G.9.12a|
где через о обозначена^длина^дуги эволюты у
кривой Г (и do, и dR мы считаем положитель-
положительными).
Рие. 7.9.7
Последнее замечание имеет следующий
смысл. Рассмотрим такую дугу МгМ2 кри-
dR
вой Г, что на этой дуге производная R' = -j-
Рис. 7.9.8
сохраняет постоянный знак. При этом дш
условимся так выбирать направление отсчета
длины дуги s вдоль кривой Г, чтобы эта произ-
производная R была положительной; дру-
другими словами, будем считать, что дуга отста-
тывается вдоль Г в направлении роста ра-
* Это выражают, говоря, что эволюта у
кривой Г является огибающей нормалей Г.

234
Гл. 7. Исследование функций. Несколько задач из геометрии
диуса кривизны R. В таком случае прираще-
приращение M2Q2—M1Q1=R2—i?!= ДЯ радиуса кри-
кривизны вдоль дуги М\Мг равно длине Д а дуги
эволюты. А так как отрезки M\Qy (=i?i) и
^iQi (~Ri) являются касательными к эволюте
Рис. 7.9.9
Y кривой Г (см. рис. 8), то процесс образова-
образования по линии у (эволюте) ее эвольвенты Г
можно описать как процесс разматывания
иерастяжимой нити, натянутой на «катушку»
формы у: при таком разматывании конец М
Рис. 7.9.10
нити как раз и будет описывать линию Г.
Именно с этим обстоятельством и связаны наз-
названия «эвольвента» и «эволюта» кривой (см.
сноску 4 на с. 232).
В качестве примера составим (параметри-
(параметрическое) уравнение эвольвенты окруж-
Рис. 7.9.11
ности радиуса г с уравнением x2+yi=r2,
или я=г cos t, y=r sin t, где t — это угол.
Будем считать, что эвольвента проходит через
точку А (г, 0) и развертывание намотанной
на круглую катушку нити происходит в на-
иравлении против часовой стрелки (рис. 9).
Ири этом касательная МТ к окружности
s точке М (г cos t, r sin t) образует с осью Ох
угол o=90°+t и отложенный по касательной
етрезок МТ длины rt (равной длине дуги AM
окружности) имеет проекции rt cos a =
= •—rt sin t и rt sin a = rt cos t на оси коорди-
координат. Отсюда без труда получаем следующие
параметрические выражения координат X, Y
точки Т (X, Y) (т. е. уравнения эвольвенты
окружности):
X = r cos t — rt sin t,
Y = r sin t -\-rt cos t. G.9.13)
Учение о эволютах и эвольвентах плоских
кривых принадлежит X. Гюйгенсу; оно было
изложено в его книге «О маятниковых часах»
A673) в связи со следующей задачей (ср. [39,
с. 96—117]). Составим уравнение движения
маятника, т. е. материальной точки массы т,
движущейся по линии у:
d2s
т-^р-=т? sin a, G.9.14)
где s — длина дуги линии у, a t — время,
так что -TTTf—это (тангенциальное, т. е. на-
направленное по касательной к f) ускорение час-
частицы; g — ускорение свободного падения;
а — угол, образованный касательной I к ли-
линии у с горизонталью, и mg sin a — проекция
(вертикальной) силы тяжести mg на I (рис. 10;
ср. гл. 9 и 10). При этом период колеба-
колебания маятника, строго говоря, зависит от раз-
размаха, т. е. от той наивысшей точки линии у,
с которой начинается движение маятника.
Гюйгенс поставил вопрос о том, при какой
форме линии у период колебаний маятника
будет одним и тем же независимо
от размаха колебаний. Проанализировав диф-
дифференциальное уравнение A4) (что было
вовсе не просто: ведь дифференциальное
и интегральное исчисление в этот период еще
не было создано), Гюйгенс нашел, что для этого
необходимо, чтобы масса т перемещалась
по циклоиде. Но как заставить маятник дви-
двигаться по циклоиде? Вот в этой связи Гюйгенс
и разработал общую теорию «разверток»
(эвольвент) кривых; он обнаружил, что
эволютой циклоиды является снова циклоида
(ср. с. 233 и рис. 7)', и показал, что если распо-
расположить у точки подвеса гибкой нити цикло-
циклоидальные «губы» так, чтобы нить в процессе
движения наматывалась на них, то конец
нити постоянной длины будет описывать
циклоиду (рис. 11). И первые маятниковые
часы, сооруженные Гюйгенсом, имели такие
«губы»; впрочем, впоследствии Гюйгенс от-
отказался от такой конструкции, выяснив, что
практически «губы» не увеличивают точности
хода часов, ибо в силу малости углов а в урав-
уравнении A4) можно заменить sin а на а, а из
уравнения т -тг^ = mga вытекает постоянство

§ 10. Стереоиетрические приложения интегрального исчисления
235
периода колебаний маятника фиксиро-
фиксированной длины I (см. § 10.3).
Упражнения
7.9.1. Вычислите кривизну (в произвольной
точке кривой): а) эллипса я=а cos t, у=Ь sin I;
б) гиперболы у =~г ', в) параболы четвертого
порядка г/=ах4.
7.9.2. Найдите эволюты: а) эллипса х=
1
= a cos t, y = bsint; б) гиперболы у= —.
7.9.3. Докажите, что точкам максимума
или минимума кривизны линии отвечают
«острия» (точки возврата) ее эволюты (ср.
с рис. 6 и 7).
7.9.4. Докажите формулы Gа).
§ 10. Стереометрические приложения
интегрального исчисления
В § 3.6 была получена формула
V=\jS(x)dx,
где S (х) — площадь сечения тела пло-
плоскостью x=const, перпендикулярной
оси х (советуем читателю повторить
вывод этой формулы). При помощи этой
формулы там была получена формула
для объема пирамиды. Так же по-
получается и формула для объема к о-
н у с а. Примем за начало координат
центр круга, лежащего в основании пря-
прямого кругового конуса, а ось х напра-
направим по высоте конуса (рис. 1). Пусть
S (х) — площадь сечения конуса пло-
плоскостью, перпендикулярной к высоте
и отстоящей от основания конуса на
расстояние х. Это сечение есть круг не-
некоторого радиуса гх, где
г, Н — х
г ~~ Н '
как это следует из подобия треугольни-
треугольников; здесь г — радиус основания конуса
Н — его высота. Поэтому гх = ^-(Н — х)
CIS
и S(x) =
вателъно,
я
а, следо-
Для вычисления объема шара
радиуса R совместим начало координат
с центром шара (рис. 2). Сечение шара
плоскостью, перпендикулярной к оси
х и отстоящей от начала координат на
Рис. 7.10.1
расстояние х, есть круг некоторого ра-
радиуса Rx, где в силу теоремы Пифа-
Пифагора Rx — \JR2 — х2. Поэтому S (х) =
= nRx = тс (R2 — х2), и, значит,
R
—в
Из формулы A) следует принцип
Кавальери1: если два тела, рас-
расположенные между двумя параллель-
параллельными плоскостями Р и Q, таковы, что
в сечении этих тел любой плоскостью,
параллельной Р и Q, получаются равно-
равновеликие фигуры, то и объемы этих тел
(Н-х)
ЗЯ2
Рис. 7.10.2
равны. В самом деле, при вычислении
объемов этих тел по формуле A), где
ось х перпендикулярна плоскостям Р
и Q, подынтегральная функция S (х)
будет для обоих тел одинаковой.
Рассмотрим теперь тело вращения,
получающееся из криволинейной тра-
1 Этот принцип (он сыграл заметную роль
в создании концепции интеграла) был сфор-
сформулирован (по существу без доказательства)
в книге «Геометрия неделимых» A635) Б. Ка-
Кавальери, ученика Г. Галилея.

236
Гл. 7. Исследование функций. Несколько задач из геометрии
деции, изображенной на рис. 3, при
вращении ее вокруг оси х. Сечение по-
полученного тела плоскостью x=const
есть круг радиуса y=f (х); следова-
следовательно, здесь S (х) = пу2. Пользуясь
равенством A), находим известную
формулу для объема тела вращения:
7=т.\уЧх.
G.10.2)
Найдем, например, объем эллипсоида
вращения, получаемого при вращении
х2 г/2
верхней половины эллипса -^—Ь§г — 1
вокруг оси х (сделайте чертеж!). По-
Поскольку для эллипса у = — \]а2 — х2>
то из B) получаем
При а = Ь = Д мы, как и следовало
ожидать, получаем объем -я- nR3 шара
радиуса В.
Выведем теперь формулу для поверх-
поверхности тела вращения (рис. 4).
Рассмотрим тело, ограниченное сече-
сечениями, отвечающими значениям х и
Xr^-dx абсциссы. Обозначим боковую
поверхность этого тела через dF. Считая
рассматриваемое тело усеченным кону-
конусом, получим
dFttiz[y (x) -\-y(x-\- dx)] ds,
где ds — длина малого участка кривой,
вращением которой образована поверх-
поверхность тела; при этом ds=\Jl -\-{у'(х)J dx
(см. § 8). Сумму у (х)+у {x-\-dx) можно
заменить на 2у (х), пренебрегая вели-
величиной порядка у' (х) dx, малой по срав-
сравнению с у (хJ. Поэтому
Вся площадь поверхности вращения
есть
При помощи этой формулы легко на-
находим, например, площадь поверх-
поверхности шара. Действительно, шар по-
получается вращением верхней полуок-
В
Рис. 7.10.3
ружности вокруг оси х. Уравнение ок-
окружности имеет вид x2-^-y2=R2, откуда
= у/Д»-я,», у' = -
G.10.4)
Подставляя эти значения в C), полу-
получаем
к
Я»т» R Ят
Более того, из C) и D) легко найти
также поверхность шарового слоя (или
Рис. 7.10.4
шарового пояса), вырезанного из сферы
плоскостями z=<z и #=& ^> а (ср.
рис. 2; если скажем, b=R, то слой об-
обращается в шаровой сегмент или шаро-
шаровую шапочку). В самом деле, очевидно,
имеем
-f {y'(x)fdx. G.10.3) *—•
a Заметим, что в выражении для dF сумма
ц (х)-\-у (x-\-dx) умножается на ds, так что ве-
величина, которой мы пренебрегаем, имеет по-
порядок малости d dd2
Rdx
Таким образом, искомая поверхность
зависит лишь от высоты Ъ—а слоя (сег-

§ 10. Стереометрические приложения интегрального исчисления
237
мента) и от радиуса R шара — замеча-
замечательный по простоте и по красоте ре-
результат.
Формулам B) и C) можно придать и дру-
другую форму.
Пусть изображенная на рис. 3 фигура —
это материальная пластинка постоянной тол-
щппы. В таком случае масса М этой пластинки
равна
ь
G.10.5)
нгтем фигуры произвольной формы — не обя-
обязательно криволинейной трапеции.
Рассмотрим, например, тело, образованное
вращением вокруг оси Ох изображенной на
Рис. 7.10.5
М = и.^ ydx = fi
где jj. — плотность материала, из которого сде-
сделана пластинка (плотность на единицу пло-
*
щади; см. § 9.13), a S = i ydx — площадь пла-
«
«тинкп. Расстояние ус центра тяжести С пла-
¦стинки от оси Ох выражается формулой
1
{ср. с формулой (9.13.12)). Сравнивая формулы
B) и F), находим
V = 27iSyc = 2TzycS G.10.7)
— объем V тела вращения равен произведению
площади S фигуры, вращением которой полу-
получается это тело, на длину 2пу'^ окружности,
которую описывает при вращении фигуры ее
центр тяжести. (Здесь под центром тяжести
плоской фигуры понимается центр тяжести од-
однородной пластинки, имеющей форму этой
фигуры.) Эта теорема называется (первой)
теоремой Паппа3.
Формулу G) и теорему Паппа можно пере-
перенести и на случай тела, образованного враще-
3 П а п п Александрийский B-я половина
III в. н. э.) — последний из великих греческих
математиков; в его сочинениях излагались
(чаще всего без доказательства) многие ре-
результаты, как принадлежащие его предшест-
предшественникам, так и полученные им самим. В ли-
литературе (первая и вторая) теоремы Паппа
часто называются теоремами Пап-
Паппа — Гульдина или даже просто
теоремами Гульдина, что, од-
однако, совершенно неосновательно: формули-
формулировки обеих теорем имелись еще у Паппа, а их
доказательства, предложенные швейцарским
монахом и математиком-любителем Паулем
Гульдином A577—1643), были весьма
сомнительны и значительно уступали дока-
доказательствам тех же теорем, данным Б. Ка-
вальери и знаменитым И. Кеплером (послед-
(последние доказательства Гульдин ожесточенно и
несправедливо критиковал).
рис. 5 фигуры. В этом случае сечением нашего
тела I перпендикулярной Ох плоскостью бу-
будет круговое кольцо, ограниченное окруж-
окружностями радиусов у! (х) и у2 (х); поэтому здесь
S (*) = тс [уг (х)]* - тс [2/2 (*)]2 = тс (у\ - у\)
и, значит, объем тела вращения
GЛ0'6) V=
G.10.8)
С другой стороны, расстояние ус от оси Ох
центра тяжести С однородной пластины, имею-
имеющей форму фигуры F, в этом случае равно
J (J/I - Vl) dx
2 j (У1 - у2) dx
а а
G.10.9)
(ср. с формулой (9.13.11)). Поэтому и здесь
Аналогично интерпретируется и формула
C). Пусть поверхность тела вращения образо-
образована дугой А В (см. рис. 4); представим себе
эту дугу как однородную материальную нить
постоянной плотности а (а — это масса на
единицу длины; см. с. 295). В таком случае рас-
расстояние у G центра тяжести С нити от оси Ох
будет выражаться формулой
I
l
y'(x))* dx;
G.10.10)
здесь x(so)=a, z(sj) = &, ds — элемент
«I
длины дуги линии АВ, L= \ ds =

238
Гл. 7. Исследование функций. Несколько задач из геометрии
= \ Vl -)- (у' (г)J dx — длина нити, М = cL—
а
ее масса (ср. с формулами (9.13.4) и (9.13.56)).
Сравнивая выражения C) и A0), на-
находим
2%ycL G.10.11)
— поверхность тела вращения равна произ-
произведению длины L дуги, при вращении которой
получается эта поверхность, на длину 2пув
окружности, описываемой при вращении дуги
ее центром тяжести. И этот результат (в т о-
рая теорема Паппа) переносится
на случай поверхности вращения, образован-
образованной вращением линии произвольной формы
(например, той, которая ограничивает фи-
фигуру К на рис. 5), а не только линии АВ (см.
рис. 3), ограничивающей криволинейную тра-
трапецию.
Теоремы Паппа G) и A1) часто бывают по-
полезны. Определим, например, объем и
поверхность «баранки» (тора),
образованной вращением вокруг оси Ох круга
радиуса г, центр которого удален от оси вра-
вращения на расстояние d (рис. 6). Здесь, оче-
очевидно, Центр тяжести С круга (и ограничиваю-
ограничивающей круг окружности) совпадает с (геометри-
(геометрическим) центром Q нашего круга. Поэтому
объем баранки (рис. 7) равен
а ее поверхность
G.10.12)
G.10.13)
Теоремы Паппа могут быть использованы и
«в обратном направлении». Шар (см. рис. 2)
можно получить вращением полукруга во-
вокруг ограничивающего его диаметра. По-
Поэтому если радиус шара равен Л, то его объем
D2
У2
Зная, что объем Vшара равен 4/3 t:R3, находим
отсюда расстояние ус центра тяжести
полукруга от его диаметра:
4 4Д
ус = у *R»l(v*R») = -gj- % 0,47?.
Аналогично с помощью второй теоремы
Паппа может быть найден и центр тя-
тяжести полуокружности (см.
упр. 3).
Упражнения
7.10.1. Найдите объем конуса, пользуясь
тем, что конус — это тело, получаемое при
вращении прямоугольного треугольника во-
вокруг одного из катетов.
7.10.2. Найдите объем тела, полученного
при вращении вокруг оси Ох фигуры, ограни-
ограниченной сверху линией у—^/х, снизу — осью
х, справа—вертикальной прямой х=2.
7.10.3. Воспользовавшись второй теоремой
Паппа, найдите центр тяжести полуокруж-
полуокружности.
§ 11. Как строить кривые
Самый примитивный способ построить
график функции / (х) — построение «по
точкам»: оно состоит в вычислении
/ (хп) для большого числа значений х„,
которые чаще всего выбирают в виде
хп=х0-\-па; и=0; +1, +2, . . . Ясно,
что такой способ не экономичен. Для
того чтобы проследить за изменением
функции на интервале Да;, нужно выб-
выбрать шаг а гораздо меньшим, чем Дх :
а <С Дх. Но при малом шаге потре-
потребуется очень большое число значе-
значений х„ для того, чтобы охватить всю
интересующую нас область. А между
тем с задачей построения графиков мы
встречаемся весьма часто: ведь знание
графика доставляет нам ряд важных
сведений о функции, например, позво-
позволяет установить число вещественных
корней уравнения / (х)—0, найти про-
промежутки, в которых располагаются
корни, получить информацию о макси-
максимумах и минимумах функции и т. д.
Приемы, рассмотренные в § 1, 2, поз-
позволяют гораздо быстрее и надежнее по-
построить график, составить общее пред-
представление о виде кривой. Для этого
прежде всего следует найти характер-
характерные точки графика — максимумы, ми-
минимумы, точки разрыва или изломов,
точки перегиба и т. д.

§ 11. Как строить кривые
239
Проиллюстрируем это на примере по-
построения графика многочлена
третьей степени
у = аз? -f- bx* -f- ex -j- d. G.11.1)
Построим, например, график функции
у = 0,Ьх3 — 0,75х2 — Зж + 2,5. G.11.2)
Найдем прежде всего максимумы
и минимумы. Приравнивая нулю
производную функции B), получим
' — 1,Ъх2— 1,5а; — 3 = 0,
G.11.3)
откуда находим два корня уравнения C):
хг=—1, х2=2.
Исследуем каждое из этих значений
в отдельности. Для этого найдем у":
у" = За:—1,5; у" (-1) = -4,5 < 0,
у" B) =6—1,5=4,5 >0. Значит, при
х=—1 функция у имеет максимум:
#ша* = -0,5 - 0,75 + 3 + 2,5 == 4,25.
Напротив, при х—2 функция имеет
минимум:
Теперь посмотрим, как будет вести
себя многочлен у при очень боль-
больших по абсолютной величине значе-
значениях х. При больших х член, содержа-
содержащий х3, будет значительно превосходить
по абсолютной величине остальные сла-
слагаемые правой части B). Поэтому при
больших по абсолютной величине х знак
многочлена B) определяется знаком
выражения 0,5а^: при х ;§> 0 и у ^> 0,
т. е. правая ветвь графика уходит вверх;
при г<0 и j<0, т, е. левая ветвь
графика уходит вниз. (Ясно, что так же
будет обстоять дело и в случае «общего»
многочлена A), если только a j> 0;
напротив, при а <^ 0 левая ветвь гра-
графика уходит вверх, а правая — вниз.)
Найдем теперь точки пере-
г^и б а, т. е. точки, в которых /" (х)=0
(см. § 9). Из C) следует у" = Ъх—1,5,
т. е. у"=0 лишь при х=0,5. Отметим,
что график многочлена третьей степени
всегда имеет точку перегиба (и притом
единственную), в которой касательная
к графику его пересекает (рис. 1).
Действительно, если у есть многочлен
третьей степени, то уравнение у"=0
является уравнением первой степени.
Оно всегда имеет единственный корень
х0. В этой точке разность у—у, где
у — ордината касательной к графику,
имеет вид А (х—х0K, т. е. меняет знак
при переходе х через значение х0; поэ-
поэтому здесь касательная наверняка гра-
график пересекает.
Вернемся к построению нашего гра-
графика. Вычислим ординату у точки пе-
перегиба; получим г/=0,875. Определим
У i
Рис. 7.11.1
еще направление касательной к гра-
графику в точке перегиба. Из уравнения
C) получаем tg a=y' @,5) =3,375. Ис-
Используя все приведенные выше сооб-
соображения, мы приходим к форме кривой
B), изображенной на рис. 2.
Конечно, если не вычислять больше
никаких значений функции, то полу-
получим график, дающий грубую каче-
качественную картину поведения функции.
Рис. 7.11.2
Однако даже такой график дает возмож-
возможность подсчитать число корней функ-
функции (т. е. число точек пересечения гра-
графика функции с осью х) и грубо оце-
оценить их значения. В случае рис. 2 ви-
видим, что корней три: один из них лежит
где-то между 0,5 и 2, другой корень
обязательно положителен (он даже
больше 2), а третий — отрицателен (он
меньше —1).
График можно уточнить, если под-
подсчитать значения функции еще при не-
нескольких значениях х. Найдем, напри-
например, еще три значения нашей функции,
При х=0 имеем у=2,5; это позволит

240
Гл. 7. Исследование функции. Несколько задач из геометрии
нам лучше представить ход кривой
между максимумом и минимумом. При
х=3 получаем г/=0,25; это значение
дает представление о скорости подъема
правой ветви кривой. Аналогично,
чтобы как-то оценить скорость спада
левой ветви кривой, найдем у(—2)=1,5.
Используя эти значения, получаем гра-
график, изображенный на рис. 3.
По такому графику можем сделать
более точные заключения о корнях:
один из них лежит между х=0,5 и
х=1; второй — между х=2 и z=3,
ближе к г=3; третий корень меньше
х=—2 (вероятно, его значение близко
к а: =—2,5).
кает ось х в одной точке, которую можно
найти, приравняв у нулю:
Рис. 7.11.3
Может случиться, что, приравняв
производную нулю, мы не получим ве-
вещественных корней. Это означает, что
исследуемый многочлен не имеет ни
максимума, ни минимума. Так как все
сказанное о поведении многочлена тре-
третьей степени при очень больших по аб-
абсолютной величине значениях х оста-
остается в силе, то в этом случае график пе-
пересекает ось х только в одной точке
(многочлен имеет один вещественный
корень, ср. рис. 1).
Наконец, производная многочлена
может иметь лишь один (двойной) ко-
корень х0. В этом случае производная
имеет вид
У'=А(Х— *оJ,
откуда, интегрируя, получаем
G.11.4)
G.11.5)
Из E) следует что здесь многочлен
A) отличается от полного куба лишь
постоянным слагаемым. Ясно, что
в этом случае ни максимума, ни мини-
минимума функция у (х) не имеет (см. § 1,
пример 1а). График функции пересе-
т. е.
(ж — жоK= —
ЗС
G.11.6)
Нахождение максимума и минимума
многочлена третьей степени A), а зна-
значит, и исследование его графика всегда
можно довести до конца, потому что,
приравняв производную нулю, полу-
получим квадратное уравнение, корни
которого найти нетрудно. (Однако,
разумеется, в общем случае дело вовсе
не всегда будет обстоять столь благо-
благополучно.) Кроме того, многочлен (лю-
(любой степени) хорош тем, что он опре-
определен при всех значениях х и его график
не имеет ни разрывов, ни изломов; при
х, неограниченно возрастающем по аб-
абсолютной величине, абсолютная вели-
величина у также возрастает неограниченно
(причем тем быстрее, чем выше степень
многочлена). Но при произвольной
(хотя бы алгебраической) функции у си-
ситуация может оказаться иной.
В общем случае построение графика
требует изучения поведения соответ-
соответствующей функции «на бесконечности»,
т. е. изучения характера ее изменения
при х —*¦ со и при х -> — со: если, ска-
скажем, при неограниченно возрастающем
х значение функции все меньше отли-
отличается от фиксированного числа С, то
функция имеет горизонтальную асимп-
асимптоту у=С, т. е. при неограниченном
росте х ее график «прижимается» к пря-
прямой у=С. Аналогично если при х=а
функция претерпевает разрыв и, на-
например, при приближении к значению
х=а значения у неограниченно возра-
возрастают, то прямая х=а является верти-
вертикальной асимптотой [графика функ-
функции y=f (x), к которой этот график
«неограниченно прижимается» при
приближении х к значению а. Ясно
также, что построение графика функ-
функции естественно начинать с нахож-
нахождения области ее определения; кроме
того, надо выяснить, не является ли
функция четной или нечетной
(см. § 1.7), ибо в случае, скажем, четной
функции нам достаточно построить по-

§ 11. Как строить кривые
24*
ловину графика, отвечающую положи-
положительным значениям х, а затем продол-
продолжить этот график по симметрии.
Проиллюстрируем сказанное не-
несколькими простыми примерами. Пусть
У
х — 1
G.11.7)
Ясно, что эта функция определена
при всех х, кроме значения х =—1, при
котором знаменатель стоящей в пра-
правой части дроби обращается в нуль:
при х =—1 функция претерпевает раз-
разрыв. Так как при приближении значе-
значения х к величине —1 значения у по
абсолютной величине неограниченно
возрастают, то прямая I с уравнением
х=—1 является вертикальной
асимптотой графика функции.
Нетрудно также видеть, что вблизи зна-
значения х=—1 величина у будет положи-
положительна слева от прямой I и отрицательна
справа от нее (рис. 4).
Дальнейшие детали поведения функ-
функции связаны с тем, что значения
при больших по абсолютной величине
значениях х будут сколь угодно близки
к 1 (иоо дрооь . здесь становится
весьма малой); поэтому прямая г/=1 бу-
будет служить горизонтальной
асимптотой графика функции.
Наконец, в силу (8)
У =
(х + 1J
У = — :
т. е. у' ^> О при всех значениях х, при
которых функция определена; у" < О
при х > — 1 и у" > 0 при х<—1.
Таким образом, наша функция при
всех х (кроме х=—1, где она вообще не
определена) возрастает; при
х ^> —1 график функции обращен в ы-
пуклостью вверх, а при
х < —1 — выпуклостью вниз;
точек перегиба, в которых имело бы
место равенство г/"=0, график не имеет.
Кроме того, полезно еще заметить, что
г/=0 при х=1, и только при этом зна-
значении х. График функции пересекает
ось х в точке у=у @) =—1 (см. рис. 4).
Вот два несколько более сложных
примера. Если
У ~
то исследование функции упрощается
ее четностью: график функции сим-
симметричен относительно оси Оу. Далее,
наша функция определена при всех
х, кроме х=1 их=—1;точкиже1и —1
суть точки обращения функции в беско-
бесконечность. Таким образом, прямые х=\
Рис. 7.11.4
=—1 являются вертикаль-
вертикальными асимптотами графика
функции; прямая же г/=1 является его-
горизонтальной асимпто-
асимптотой (см. вторую форму записи функ-
функции (9). Ясно также, что уравнение
y(#)=0 имеет корни
х?«1,41 и z?«—1,41.
= + \j2, т. е.
Очевидно (тут удобнее вторая форма
записи функции (9)),
У =•
2 . 2х ¦ 2х
ж2 — IJ
(х2 — IK
6а;2+ 2
(х2 — IK
G.11.9)
Таким образом, производная у' обраща-
обращается в нуль лишь при х=0; так как
у"@)=2^>0, то значению х=0 отве-
отвечает (локальный) минимум функции;
при этом у @)=2. При х < 0 функция
убывает, а при х >¦ 0 — растет; точек
перегиба она не имеет, ибо равенство
у" (х)=0 невозможно; при х2 < 1, т. е.

242
Гд. 7. Исследование функций. Несколько задач из геометрии
при —1 < х < 1, вторая производная
положительна, т. е. функция обращена
выпуклостью вниз; при \х\ >1 функ-
функция обращена выпуклостью вверх.
График функции изображен на рис. 5.
Наконец, для функции
область определения совпадает с об-
областью положительности функции (9),
Рис. 7.11.6
т. е. функция определена лишь
\х | < 1 и при \x\y- \J2^ 1, 4.
при
По-
Поскольку значения этой функции полу-
получаются извлечением корня квадрат-
квадратного из соответствующих значений
функции, график которой изображен
на рис. 5, мы можем сразу начертить
требуемый график (рис. 6). Впрочем,
при желании получить более полное
представление о поведении интересую-
интересующей нас кривой можно вычислить не-
несколько значений у (х), отвечающих тем
или иным точкам кривой, или значения
у' (х), указывающие угол наклона ка-
касательной к графику в точке (х, у (х))
(так, например, для кривых рис. 5 и 6
полезно найти наклон у' (х) касатель-
касательной в точке A,41; 0)).
Разумеется, детальность, с которой
строим мы ту или иную кривую, зави-
зависит от тех причин, по которым она нас
заинтересовала; в ряде случаев вполне
достаточно получить грубое качествен-
качественное представление поведения линии,
в других требуется составить о ней
более полное представление.
Конечно, изложенное в настоящем па-
параграфе касается лишь «школьных» ме-
методов построения линий, заданных сво-
своими уравнениями. Совсем другие воз-
возможности представляет для этого сов-
современная вычислительная техника, вклю-
включающая даже машины, которые сами
вычерчивают линию на экране осцилло-
осциллографа (на дисплее машины) по введенно-
введенному в память машины уравнению (или
программе нахождения точек (х, г/)кривой).
Уп ражнения
7.11.1. Найдите максимумы и минимумы
следующих функций и постройте их гра-
графики: а) у = х3 — Зж2 + 2; б) у = х3 — За;2 +
+ 3х~ 15; в) у=х3 — 3х2 + 6х + 3.
7.11.2. Определите число вещественных
корней уравнений: а) 2х3— За;2— 12а; -}- 15 ==
= 0; б) 4ж3 + 15а;2 — 18s — 2 = 0; в) 2х3 —
— а;2 — Ах + 3 = 0; г) х3 — а;2 + 2 = 0.
7.11.3. Постройте графики функций: а) у
х — 1
Г) У3 = :
— х); в)
х);
-х)К

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ПРИЛОЖЕНИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
К НЕКОТОРЫМ ВОПРОСАМ ФИЗИКИ
И ТЕХНИКИ
Глава 8
РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР
§ 1. Основные характеристики радио-
радиоактивного распада
Установленный на опыте основной за-
закон радиоактивного распада состоит
в том, что отношение числа распавшихся
за единицу времени атомов к об-
общему числу атомов является постоян-
постоянной величиной, зависящей только от
вида атома. При этом подразумева-
подразумевается, что общее число атомов весьма
велико.
Указанное отношение называется ве-
вероятностью распада. Обозначим ко-
количество атомов, которое еще не рас-
распалось к моменту времени t, через
N (t). В момент времени t-\-dt нерас-
павшихся атомов будет N {t-\-dt). По-
Поэтому за время dt (от момента t до
момента t-\-dt) распадается N (t) —
— N (t-{-dt)^i — dN атомов. Разделив
отношение числа —dN распавшихся
за время dt атомов к общему числа N
dN
атомов
('¦
е. долю —
N
распавшихся
атомов] на время dt, мы получим вероят-
dN „
ность распада о>=—7\ы7- Отсюда сле-
Ndf
дует, что
— ==_ N
dt
Из этого соотношения, поскольку раз-
dN
мерность -т— совпадает с размерностью
N
отношения —, следует, что вероятность
Z
распада ш имеет размерность 1/с *.
1 Следовательно, вероятность здесь по-
понимается не так, как в утверждении о том, что
при бросании монеты вероятность выпадения
герба"|равна половине. Определение вероят-
вероятности распада как отношения числа распадов
в единицу времени к начальному числу ато-
Началъное условие состоит в задании
числа атомов в начальный момент вре-
времени: N=N0 при t=t0.
Решая уравнение A) способом, изло-
изложенным в § 6.6 (см. равенства F.6.9) и
F.6.10)), и пользуясь начальным усло-
условием, находим
iV(f) = iVoe-UJ' (8.1.2)
(советуем читателю проделать все вы-
выкладки). Однако в случае простейшего
уравнения A), т. е. когда производная
пропорциональна искомой функции,
можно предложить более простой спо-
способ решения уравнения.
В гл. 4 и 6 мы выяснили, что произ-
производная от показательной функции про-
пропорциональна самой функции:
!{а') _
dx
= const -ax;
в частности
d (Cekx
dx
= Ckekx,
если С и к постоянны. Исходя из этого
свойства показательной функции, пред-
предположим, что решение уравнения A)
имеет вид
(8.1Л) /v_/
и постараемся подобрать Сяк так,
чтобы удовлетворялись и уравнение,
мов справедливо только в том случае, если
число распадов в единицу времени (например,
в секунду) составляет малую долю общего
числа атомов. Точное определение вероятности
1 dN
распада дается именно формулой ш=— -^ -у- ,
т. е. вероятность распада, по определе-
определению, равна отношению числа распадов за
малый промежуток времени к общему числу
атомов и к величине промежутка времени.

Гл. 8. Радиоактивный распад и деление ядер
и начальное условие,
руя C), получим
—у— = Lice = kl\.
dt
Дифференци-
Теперь подставим это в A): kN= — <x>N,
откуда к= — со. Полагая в C) ?=0 и
пользуясь начальным условием, полу-
получаем C=N0. Итак, N=Noe~wt, где ве-
величина — u>t, стоящая в показателе
степени, как и должно быть, является
безразмерной.
Радиоактивные атомы обычно харак-
характеризуют их периодом полураспада Т,
который представляет собой время, в те-
течение которого число атомов N вслед-
вследствие распада уменьшается в д в о е по
сравнению с начальным. Определим
период полураспада Т. В силу B)
лить на общее число атомов во всех
группах.
Так как нам придется складывать
весьма большое количество очень малых
слагаемых, то вместо суммы появится
интеграл, поэтому (ср. с § 7.7)
4
UoNdt
oNdt
(8.1.5)
Подставим в E) выражение B) для N.
Знаменатель дроби в правой части E)
равен
СО СО СО
j u>Ndt = j wN^dt = o>ZV0 j e~atdt =
N (T)=Nor
c другой стороны, по _- wj\[
определению числа Т, имеем N(T) =
= -у No. Поэтому
Noe~
Г = -
Следовательно, период полураспада
обратно пропорционален вероятности
распада.
Каждый атом, прежде чем распасться,
существует некоторое время, которое
называется временем жизни атома.
Найдем среднее время жизни t атома
данного радиоактивного вещества.
Пусть в начальный момент ?=0 (мож-
(можно считать, что момент ?=0 характе-
характеризует возникновение радиоактивного
элемента) у нас имелось No атомов.
За время от t до t-\-dt распадается
примерно
—clN — wNdt
атомов. .Все атомы этой группы прожили
одинаково долго, их время жизни есть t.
Среди взятых в начальный момент ?=0
атомов имеются группы атомов, которым
предстоит прожить неодинаковое время
от общего для всех атомов момента из-
изготовления вещества до различного для
разных атомов момента распада. Чтобы
найти среднее время жизни, надо умно-
умножить время жизни каждой группы на
число атомов в этой группе, сложить
эти величины для всех групп и поде-
как и следовало ожидать, так как
интеграл в знаменателе указывает общее
число всех распавшихся атомов, рав-
равное, очевидно, числу атомов в началь-
начальный момент времени.
Интеграл, стоящий в числителе пра-
правой части E), вычисляется методом
интегрирования по частям. Полагаем
t~f, e-mtdt = dg, —±-e-wt = g. При
этом получаем
оэ
o)/V0 \ te~"Hdt —
о
- te-a" 4- [ - e-wtdi) Г .-=
= о)ЛГп — — te
~wt
Из формулы E) теперь следует
f = ^-^4 <8-LG)
— среднее время жизни атома в точ-
точности равно величине, обратной веро-
вероятности распада. Пользуясь этим, мож-
можно основное уравнение A) и его реше-
решение B) записать так:
dN
~1Г
N
I
¦ Nne-f
(8.1.7)
(8.1.8)
При этом надо помнить, что время t
есть независимая переменная, от кото-

§ 2. Измерение среднего времени жизни радиоактивных атомов
245
рой зависит число атомов N. Вели-
Величина же I есть постоянная, характери-
характеризующая данный тип радиоактивных
атомов.
Из (8) следует, что за время t=t
число атомов уменьшается от JV0 до
N^1 = —-, т. е. приблизительно
в 2,72 раза.
В силу G) начальная скорость рас-
распада такова, что если бы число атомов,
распадающихся за единицу времени,
не уменьшалось, то все атомы распались
•бы за время I. Действительно, при (=0
было No атомов и скорость распада
dN JV0 n
оыла равна -=- = =^. При такой
скорости для полного распада нужно
время, равное I. Из D) следует, что
In 2
со = -=-, поэтому
*=¦
In 2
1,45 Т.
Величиной I в расчетах пользоваться
удобнее, чем периодом полураспада Т.
Упражнения
8.1.1. Среднее время жизни радия 2400 лет.
Определите период полураспада радия.
8.1.2. Вначале имелось 200 г радия.
Сколько его останется через 300 лет?
8.1.3. За 500 лет распалось 10 г радия.
Сколько его было в начальный момент?
8.1.4. Определите, через сколько времени
распадается 1%, 10%, 90%, 99% от первона-
первоначального запаса радия.
8.1.5. Содержание радия на Земле в раз-
различных породах (отношение числа атомов ра-
радия к числу атомов породы) в среднем близко
к КГ'1'2. Каково было содержание радия
10 001) лет назад; 10е лет назад; 5 -109 лет на-
назад E К)9 лет — возраст Земли)?
§ 2. Измерение среднего времени жизни
радиоактивных атомов
Среднее время жизни I различных ра-
радиоактивных атомов весьма различно.
Так, например, известно несколько
изотопов урана. Один из них
238TJ — уран с атомной массой 238 —
имеет среднее время жизни f=7 -109
лет. Другой изотоп 235U имеет среднее
время жизни ?=109 лет (получение
атомной энергии на атомных электро-
электростанциях при делении урана происхо-
происходит в основном за счет 235U). Среднее
время жизни радия 2400 лет Ч
Однако не надо думать, что среднее
время жизни всех радиоактивных ато-
атомов исчисляется тысячелетиями. Среди
радиоактивных веществ, встречающих-
встречающихся в природе и изученных еще супру-
супругами Кюри и Эрнестом Резерфордом,
имеется полоний со средним вре-
временем жизни около 200 дней, радий
А со средним временем жизни 4 мин
и р а д и й С со средним временем
жизни 2-Ю с.
В последние десятилетия в связи с раз-
развитием ядерной физики и использовани-
использованием атомной энергии было открыто огром-
огромное количество (свыше 1000) различных
радиоактивных веществ с самым различ-
различным средним временем жизни.
Если в момент времени t имеется
N (t) нераспавшихся атомов, то в еди-
единицу времени распадается п (t) = wN(t) =
dN l
= — -^т атомов. Величина ге(Ш=геое ,
dN ,. „А
где по = -j- j ср. с A.2I есть
скорость распада атомов (см. § 1).
Предположим, что мы наблюдаем за
распадом урана 10 лет. За это время
в 1 г распадается около 4-Ю12 атомов.
Обнаружить, что вместо 2,5-1021 ато-
атомов осталось 2,5-1021—4-Ю12 атомов
было бы очень трудно. Измерение числа
распадов часто оказывается более лег-
легким делом, чем измерение количества
нераспавшихся атомов.
Проводя опыты с радиоактивными
веществами, имеющими не очень боль-
большое среднее время жизни (от несколь-
нескольких минут до нескольких дней), уда-
удается с большой точностью проверить
формулу я=/гое~"'; (вытекающую из
пропорциональности п и N), а тем
самым подтвердить и формулы A.1) и
A.2). Для этого можно поступить сле-
следующим образом. Будем подсчитывать
число распадов за небольшие проме-
промежутки времени. Поделив число распадов
на длину промежутка времени, полу-
получим скорость распада в различные
моменты времени.
Построим график зависимости ско-
скорости распада от времени. Получим
кривую линяю. Как убедиться в том,
1 В физических справочниках часто вместо
среднего времени жизни I указывают период
полураспада Г%0,69 I (см. § 1).

246
Гл. 8. Радиоактивный распад и деление ядер
что эта кривая представляет собой гра-
график показательной функции? Для этого
подсчитаем логарифмы полученных зна-
значений скорости распада и по этим дан-
данным построим график зависимости ве-
величины In n (t) от времени t. В резуль-
результате должна получиться прямая линия,
а это нетрудно проверить на глаз.
Многочисленные эксперименты действи-
действительно дают прямую.
Таким образом, In n(t) есть линейная
функция времени, т. е.
n(t) = a-\- bt.
(8.2.1)
А это значит, что п (t)=ea+bi =е"еы =
=сеы. На графике величина Ъ получается
отрицательной: Ъ= —ш, где ш — ве-
вероятность распада. Следовательно, опыт
подтверждает основной результат пре-
предыдущего параграфа и дает возможность
определить ш, подсчитав тангенс угла
наклона прямой A) к оси t.
Надо подчеркнуть, что этот резуль-
результат, по существу, весьма удивителен 2.
Представим себе No радиоактивных
атомов, приготовленных одновременно
в начальный момент ?=0. Все они при-
приготовлены одинаковым способом и од-
одновременно. Мы знаем, что радиоактив-
радиоактивные атомы неустойчивы, способны рас-
распадаться. Можно допустить, что распад
атомов требует определенного времени.
Представим себе, что после приготовле-
приготовления атомы должны как-то созреть
для распада. Но в таком случае мы
должны были бы ожидать, что все
атомы будут, не распадаясь, созре-
созревать в течение определенного времени,
а по истечении этого времени, созрев,
одновременно распадутся. Представим
себе какие-то модели пушек с натяну-
натянутыми пружинами и зубчатыми коле-
колесами (или часовыми механизмами), спо-
способные при определенном положении
зубчатых колес (или часовых механиз-
механизмов) силой пружины выбрасывать
снаряд. Выстреливание снаряда можно
назвать «распадом» модели. При оди-
одинаковом устройстве всех моделей мо-
2 Нильс Бор в докладе о радиоактивных
превращениях говорил в этой связи: «Смысл
дискуссий о средней продолжительности
жизни атомов без указания на определенный
момент времени состоит в том, что они, так
сказать, не стареют до тех пор, пока не начнут
распадаться; следовательно, одинаковая воз-
возможность распада существует в любой момент
их жизни».
дели, изготовленные в одно и то же
время, выбрасывают снаряд (т. е. рас-
распадаются) по истечении одинакового
срока.
Такая картина распада модели (вы-
(вылета снаряда) не имеет ничего общего
с поведением радиоактивного атома.
Изготовленные в одно и то же время
атомы распадаются в самые разнооб-
разнообразные моменты. Подсчитаем, напри-
например, сколько процентов распадается
за время, не превосходящее среднего
времени жизни. Из A.2) находим, что
скорость распада (количество атомов,
распавшихся в единицу времени) есть
-? = —wNoe~*'t (ясно, что d7V<0). Изме-
Изменение числа атомов за время dt равно
"-'• Л± 7 ЯГ ЛТ ~-<3it. J i
dt
а за время от t=0 до t=l распадается
М =
= — Noe-mt \[ =
о
= iV0 A — e-ml) атомов.
Так как
> = —, т0
M—NA\ — -
Значит, за время от начального мо-
момента t=0 до момента t распадается
63% атомов. Аналогично подсчиты-
подсчитываем, что за время от f До 21 распадается
23% атомов, а за остальное время,
после момента 2?, — всего 14% ато-
атомов.
На рис. 1 изображены зависимости
от времени числа распадов в единицу
времени для радиоактивных атомов
(кривая 1) и для моделей пушек, о ко-
которых шла речь выше (кривая 2).
При этом кривая 2 имеет определенную
ширину. Можно представить себе, что
модели изготовлены не совсем точно и
поэтому стреляют не совсем одновре-
одновременно. Чем точнее выполнены модели,
тем уже кривая 2 на рис. 1.
Площадь под кривой представляет
собой общее число всех распавшихся
атомов для одной кривой и общее
число всех моделей для второй кривой.
Можно взять число моделей, равное
числу атомов. Тогда обе кривые будут
ограничивать одинаковую площадь.

! 2. Измерение среднего времени жизни радиоактивных атомов
247
Абсциссы центра тяжести обеих кривых
также одинаковы3; это значит, что
наши модели пушек таковы, что их
среднее время жизни (до выстрела)
совпадает со средним временем жизни
рассматриваемых радиоактивных атомов.
Таким образом, мы сделали все, что
было в наших силах, чтобы добиться
сходства кривых: взяли столько моделей
и с таким механизмом, чтобы общее
число моделей и атомов и среднее время
жизни моделей и атомов были одина-
одинаковы. И тем не менее получились кри-
кривые, необычайно резко отличающиеся
по форме! Эксперимент с радиоактив-
радиоактивными ядрами с абсолютной неопровер-
неопровержимостью отбрасывает тот тип кривой,
который получается для моделей пушек.
Чем точнее ставятся опыты, тем
с большей точностью подтверждается
именно закон A.2).
Сравнение с моделями нам понадо-
понадобилось для того, чтобы не принимать
как должную и естественную зави-
зависимость A.2) для радиоактивного рас-
распада, чтобы вызвать чувство удивле-
удивления и любопытства, вызвать вопрос:
«А почему же, в самом деле, радиоак-
радиоактивный распад идет таким образом?».
Каков физический смысл величины
вероятности распада? В далеком прош-
прошлом, в начале века, иногда высказы-
высказывались предположения, что радиоактив-
радиоактивный распад требует еще какого-то
внешнего воздействия, например по-
паданияизвнекакой-то частицы. В этом
случае можно было бы себе предста-
представить, что один атом распался раньше,
а другой позже в зависимости от того,
в который из них раньше попала ча-
частица. Но эта гипотеза не соответствует
фактам: радиоактивный распад идет
с одинаковой скоростью в самых раз-
различных условиях, не зависит от тем-
температуры и частоты столкновений ато-
атомов между собой, не зависит от дей-
действия космических лучей; при радио-
радиоактивном распаде в точности сохраня-
сохраняется энергия, что также опровергает
представление о каком-то внешнем
воздействии при распаде.
Вторая возможная гипотеза заклю-
заключается в предположении, что в дей-
действительности в начальный момент из-
изготовления радиоактивных атомов они
уже были не совсем одинаковы и именно
поэтому распадаются в разное время.
Это предположение соответствует кар-
картине моделей, которые выпускаются
с часовыми механизмами, установлен-
установленными на разное время. Подобная гипо-
гипотеза предполагает, что точное знание
состояния каждого атома полностью
определяет всю его дальнейшую исто-
историю и, в частности, точно определяет,
когда именно распадается данный атом.
Если атомы распадаются через разное
время после их приготовления, значит,
так каждому из них на роду было
написано: разные атомы одного и того
же радиоактивного вещества были изго-
изготовлены уже неодинаковыми, что пре-
предопределило разное время их распада.
Рис. 8.2.1
0-
ч
у
2
\
л
t
Такая позиция также не выдержи-
выдерживает критики. С этой точки зрения
при каждом конкретном способе по-
получения атомов радиоактивного эле-
элемента должна получаться своя зави-
зависимость скорости распада от времени.
Опыт опровергает это предположение.
Один и тот же вид радиоактивных
атомов часто можно получить различ-
различными способами: например, атомы
"Мо (молибден с атомной массой 99)
получаются в атомных котлах при де-
делении урана. Такие же атомы раньше
были получены при действии ядер тя-
тяжелого водорода (дейтерия) на атомы
обычного, встречающегося в природе,
нерадиоактивного молибдена. В на-
настоящее время известно множество
примеров того, как один и тот же вид
радиоактивных атомов получается раз-
разными способами. Опыт показывает, что
независимо от способа получения ато-
атомов всегда скорость распада дается
формулой A.2) с постоянным значе-
значением ш, характеризующим данный вид
атома. Следовательно, опыт
3 Как будет показано в § 9.12, это следует
из формулы A.5).
вает, что во всех случаях справедливо
dN
наше основное уравнение -тг =
Ctt
где характеристика <о атомов данного

248
Гл. 8. Радиоактивный распад и деление ядер
вида от нас абсолютно не зависит.
В уравнении A.1) заключено очень
большое содержание: все радиоактив-
радиоактивные атомы в точности одинаковы. Ве-
Вероятность распада не зависит от того,
когда и как они были получены. Све-
жеполученные 100 атомов распадаются
совершенно так же, как и в том случае,
если приготовить 10е атомов, выждать
время, нужное для того, чтобы уце-
уцелели 100 атомов, и рассмотреть эти
100 оставшихся атомов 4.
-Рис. 8.2.2
/тос/re
пин
Что же необычного в том, что 100
атомов с данной атомной массой и
числом электронов всегда одинаковы?
Если бы это были нерадиоактивные
атомы, то и в самом деле удивляться
было бы нечему. Но для радиоактив-
радиоактивных атомов это удивительно. Вспом-
Вспомним, что из 100 атомов 63 распадаются
за время t, а остальные 37 —• после t,
т. е. неожиданно, хотя все атомы и оди-
одинаковы, время распада у них различно.
Это удивление плодотворно. В явле-
явлении радиоактивного распада уже про-
проявляются особенности законов пове-
поведения атомов и ядерных частиц, отли-
отличающихся от законов движения тел,
с которыми мы встречаемся в класси-
классической механике и в повседневной
4 Характерной особенностью показатель-
показательной функции является подобие части ее гра-
графика всей кривой. Действительно, начнем но-
новый отсчет времени с момента 1Л. Время, от-
отсчитанное с отого момента, обозначим х, т. е.
т = * — «,, t = ti+t. Тогда N = Noe-ml =
= Noe-«' ('--!T) --= Na<-mt'e~m = AY""", где N, =
= Noe~ml'— число атомов в момент tx. Таким
образом, закон распада оставшихся от пре-
предыдущего распада частиц (их число равно
Nl = Nop~wt') совершенно такой же, как и
закон распада свеженолучепных N\ частиц.
жизни. Эти особенности изучаются
в квантовой механике, которой мы
в этой книге коснуться не можем.
Нашей целью является более скром-
скромная задача: показать, что постановка
вопроса о необходимости выработки
новых представлений, отличающихся
от обычной механики, следует из очень
простых, известных каждому школь-
школьнику фактов о радиоактивности. Что-
Чтобы понять недостаточность старых пред-
представлений, надо только суметь заду-
задуматься, суметь удивиться.
В автобиографии Альберт Эйнштейн —
величайший физик XX века — под-
подчеркивает изумление, ощущение чуда,
которое он испытал, когда впервые
увидел компас, увидел таинственное
действие магнитной силы, проникаю-
проникающей через бумагу, дерево, землю и
воздействующей на стрелку компаса без
прямого соприкосновения с ней. Он
пишет о том, что такое удивление
является сильнейшим побудительным
мотивом для исследования. Он пишет
о любознательности, «которую совре-
современные методы обучения почти совсем
удушили». Сам Эйнштейн показал ис-
исключительную способность удивляться
и черпать вдохновение и побуждение
к созданию теорий из самых обще-
общеизвестных фактов. Так, в основе ге-
гениальной общей теории относитель-
относительности лежит удивление перед фактом
падения различных тел с одинаковым
ускорением.
Понятно, что одной постановки во-
вопроса недостаточно, и Эйнштейн соеди-
соединял способность ставить вопрос с уме-
умением решить его, с владением всей
нужной математической техникой.
И все же именно умение удивиться и
поставить новый вопрос там, где многие
другие не видели ничего замечатель-
замечательного, сделало Эйнштейна наиболее вы-
выдающимся физиком нашего столетия.
Может быть, приведенный выше раз-
разбор радиоактивного распада послу-
послужит читателю примером того, какие
глубины можно увидеть за простыми
фактами и формулами.
В заключение параграфа приведем
в качестве примера кривые радиоактив-
радиоактивного распада (рис. 2), полученные
экспериментально в 1955 г. Г. Сибор-
гом и его сотрудниками (США), кото-
которые впервые наблюдали 101-й элемент
периодической системы, названный ав-

! 2. Измерение среднего времени жизни радиоактивных, атомов
249
торами менделевием (химический сим-
символ Md) в честь великого русского
химика Д. И. Менделеева.
Сиборг со своими сотрудниками об-
облучали нейтронами 98-й элемент, к а-
лифорний, с атомной массой 252;
нейтрон захватывался ядром атома и
образовывался калифорний-253. Кали-
форний-253 испускал электрон и пре-
превращался в 99-й элемент — эйн-
эйнштейний (En) с той же атомной
массой 253.
Около 109 атомов эйнштейния (т. е.
4-10~13г) осаждали на золотую пла-
пластинку и подвергали в циклотроне бом-
бомбардировке а-частицами, т. е. ядрами
гелия. При этом образовывался эле-
элемент с порядковым номером 100 — фер-
фермий (Fm) согласно ядерной реак-
реакции
2.-,ЗТГп
199
и менделевий согласно реакции
В этой записи у каждого химиче-
химического символа внизу слева поставлен
номер в периодической системе Менде-
Менделеева, т. е. число протонов в ядре.
Число слева сверху указывает атом-
атомную массу, округленную до целого
числа, т. е. сумму числа нейтронов
и протонов в ядре. *Не — это ядро
гелия, т. е. а-частица, ]р — ядро
атома водорода (протон), Jw — нейтрон.
При ядерной реакции сумма нижних
чисел в левой и правой частях уравне-
уравнения реакции одинакова, а также оди-
одинакова и сумма верхних чисел, так
как при ядерных реакциях происхо-
происходит только обмен нейтронами и про-
протонами между ядрами.
После бомбардировки а- частицами
золотая пластинка вместе с образовав-
образовавшимися фермием и менделевием рас-
растворялась в кислоте, и фермий и мен-
менделевий выделялись химически. Именно
периодический закон Менделеева, как
пишет Сиборг, позволяет предвидеть
заранее химические свойства элемента,
никогда ранее в природе не существо-
существовавшего, никогда ранее не исследован-
исследованного. После химического разделения
производились измерения радиоактив-
радиоактивного распада. Фермий с атомной мас-
массой 256 распадается с периодом полу-
полураспада около 3,5 ч. Он распадается
на два ядра-осколка примерно равной
массы, т. е. самопроизвольно делится
(о делении см. § 3).
Верхняя кривая на рис. 2 показы-
показывает зависимость числа ядер фермия
от времени опыта. По оси абсцисс
отложено время в минутах, по оси
ординат — число атомов, имеющихся
в данный момент 5. Ось ординат имеет
неравномерную шкалу: расстояние от
оси абсцисс пропорционально лога-
логарифму числа атомов. В частности,
ось абсцисс (г/=0) соответствует од-
одному уцелевшему атому (In 1=0), а чи-
числу атомов, равному нулю, соответ-
соответствует — оо на оси ординат. Распад
каждого отдельного атома меняет чи-
число атомов на 1; в промежутке между
двумя распадами число атомов по-
постоянно. Поэтому при такой экспери-
экспериментальной технике, когда регистри-
регистрируется каждый отдельный распад,
вместо плавной кривой получается сту-
ступенчатая ломаная линия, на которой
каждому распаду соответствует верти-
вертикальная линия, соединяющая две сту-
ступени. Верхняя прямая линия на рис. 2
соответствует закону распада
Т
где t = j—н ^ ^ ч> Т^З,Ь ч. Как видно
из рис. 2, всего в опыте зарегистриро-
зарегистрировано 40 распадов фермия. Чем больше
атомов, тем ближе ломаная к прямой;
когда же остается меньше пяти атомов,
то естественно, что вероятностный ха-
характер радиоактивного распада при-
приводит к значительным отклонениям от
показательного закона, справедливого
для большого числа атомов.
Ядра менделевия после химического
разделения быстро (за полчаса) за-
захватывают атомный электрон и пре-
превращаются при этом в ядра фермия.
Поэтому тот осадок, в котором ока-
оказался менделевий, при измерении его
радиоактивности также дает распад ато-
атомов на два осколка с периодом полу-
полураспада 3,5 ч. Кривая распада фер-
фермия, получившегося из менделевия, рас-
6 Число атомов, имеющихся в данный'мо-
мент, непосредственно ~в-~этот момент подсчи-
подсчитать не удается. На опьшгрегистрируются
распады атомов. Число атомов N в момент I
подсчитывается по окончании опыта, когда все
N атомов уже распались.

250
Гл. 8. Радиоактивный распад и деление ядер
положена в левом нижнем углу рис. 2.
В опыте наблюдено шесть распадов.
Специальными опытами доказано, что
эти шесть атомов не могли попасть
в изменяемый осадок в качестве за-
загрязнения фермием, а именно образо-
образовались из менделевия.
Всего в нескольких опытах Сиборг
и его сотрудники наблюдали 17 атомов
менделевия.
Приведенный выше пример не очень
хорош для иллюстрации того, насколь-
насколько точно выполняется при радиоактив-
радиоактивном распаде экспоненциальный закон
A.2) (ср. также A)). Опыты, доказы-
доказывающие этот закон, успешно ставились
с более распространенными радиоактив-
радиоактивными веществами. Зато пример менде-
менделевия и фермия показывает замеча-
замечательное экспериментальное искусство
современных физиков, синтезирующих
новые элементы и регистрирующих
распад каждого отдельного атома.
В опытах Сиборга счетчик распадов
менделевия был включен через уси-
усилитель в радиотрансляционную сеть
института, и при каждом распаде все
сотрудники института, работающие
в разных лабораториях, на разных
этажах, оповещались об успехе —
о рождении (точнее, о зарегистриро-
зарегистрированной смерти) каждого атома нового
элемента, созданного человеком (впро-
(впрочем, еще раньше, чем была закончена
работа, вмешалась пожарная охрана,
и оповещение было прекращено).
В нашей стране синтезом и исследо-
исследованием самых тяжелых элементов ус-
успешно занимается академик Г. Н. Фле-
Флеров и его сотрудники в Объеди ^нном
институте ядерных исследований
в г. Дубне под Москвой.
§ 3. Последовательный распад (радио-
(радиоактивное семейство)
В ряде случаев радиоактивный рас-
распад приводит к образованию атомов,
которые также радиоактивны, так что
осуществляется цепочка распадов: атом
вещества А превращается в атом веще-
вещества В, атом вещества В в свою очередь
превращается в атом вещества С и
т. д. Рассмотрим математическую за-
задачу об определении зависимости от
времени количеств веществ А, В, С
и способы ее решения. Количество
атомов веществ А, В, С, не распавшихся
к моменту времени t, будем обозначать
теми же буквами А, В, С; таким об-
образом, Л и т. д. у нас — функции
переменной t, т. е. А=А (t) и т. д.
Пусть вероятности распа-
д а веществ А, В, С равны соответ-
соответственно ш, v, и. Тогда
dA
dt
(8.3.1)
(А называют материнским веществом).
Напишем уравнение для вещества В
(дочернее вещество). За единицу вре-
времени распадается vB атомов вещества В.
Кроме того, за то же время происходит
(оА распадов вещества А; а так как
при каждом распаде атома вещества
А образуется атом вещества В, то за
единицу времени образуется и>А ато-
атомов вещества В. Поэтому
(8.3.2)
Аналогичные рассуждения дают
(8.3.3)
Уравнения A)—C) образуют систе-
систему дифференциальных уравнений. В дан-
данном случае эти уравнения можно ре-
решать одно за другим, имея каждый
раз дело только с одним уравнением
и одним неизвестным. Действительно,
в уравнение A) В и С не входят.
Поэтому из него определяем А {?) —
=Aoe'mt; здесь Ао — количество ато-
атомов вещества А в начальный момент
t = Q. (Мы полагаем, что 5 = С=0 при
t=0.)
Подставляя выражение для A (t)
в уравнение B), получим уравнение,
содержащее только одну неизвестную
функцию В:
йВ
-4T = ~V'
(8.3.4)
Как решить такое уравнение? Его
решение можно найти, если рассмотреть
сперва судьбу группы атомов веще-
вещества В, образовавшихся в один и тот
же промежуток времени — от i до
-c-fAt. Будем рассматривать число
атомов этой группы Д.5, оставшихся
«в живых», т. е. не распавшихся к мо-
моменту t, в зависимости от времени t.
Для того чтобы различать между собой
момент t, когда мы измеряем число
атомов, и момент образования группы,

§ 3. Последовательный распад (радиоактивное семейство)
251
•обозначаем эти моменты разными бук-
буквами: t и т соответственно. В момент т
скорость образования атомов вещества В
была wA(z). За малый промежуток
времени Дт образовалось Aj50=
= соЛ(т)Дт атомов вещества В.
Как зависит число атомов в интере-
интересующей нас группе от времени ?? При
t <^ т оно равно нулю: интересующие
нас атомы еще не образовались, так
как не образовалась еще сама группа,
AZ?=0. Пусть t > т. Заметим, что
с момента образования группы прошло
время t — т. Вероятность распада ве-
вещества В есть v. Поэтому ^по истече-
истечении времени t — т с момента образо-
образования группы число нераспавшихся
атомов будет равно
Л? (т) = \Bl)e-"a"t) = шА (т) е-"
Дт.
Для того чтобы найти полное число
атомов вещества В в момент времени t,
надо сложить число атомов во всех
группах, образовавшихся до момента t.
Если брать Дт (а значит, и ДЛ) весьма
малым, то сумма превратится в инте-
интеграл:
В
t
= j шА (т)
dx.
Отметим, что переменная интегриро-
интегрирования обозначена здесь через т. Аргу-
Аргумент t, от которого зависит В, входит
в интеграл в двух местах: как верхний
предел интеграла и в выражение подын-
подынтегральной функции. При интегри-
интегрировании по т величину t следует рас-
рассматривать как постоянную. Поэтому
можно записать
дифференцирования произведения по-
получим
dt
= —wve- J А (т) ev4i -f
Так как по свойству производной от
интеграла (см. § 3.3)
то
dB
~dT
-f шА (t) = — vB -f wA.
Если же мы положим A (i)=Aoe
то получим конкретное решение:
(8.3.6)
Решение можно было найти и не при-
прибегая к рассмотрению отдельных групп
атомов. Теперь, когда решение най-
найдено, уже легко угадать математиче-
математический прием, ведущий к цели. Решение
E) имеет вид
B(t)=e-°lI(t),
(8.3.7)
где / (?) обозначает интеграл, завися-
зависящий от t. Итак, будем искать решение
в виде произведения e~vt на неизве-
неизвестную функцию / и составим уравне-
уравнение для /:
и вынести сое""' из-под интеграла как
множитель, не зависящий от т. Сде-
Сделав это, получим
В (t) = we-*1 j А (т) ё'Чх.
(8.3.5)
dt "
(8.3.8)
Подставляя выражения (8) и G) в урав-
уравнение D), получим , •"""" х
Легко проверить, не вычисляя инте- или
грала, что решение E) удовлетворяет dl vt . . .
исходному уравнению D) при любой ~!Г ше ^ '* (8.3.9)
зависимости Л(т). Действительно, най-
dB (г) „ По условию, в начальный момент
дем производную -?±. По правилу f=Q шшш B=Q^ а значиТ) д /==0>

252
Гл. 8. Радиоактивный распад и деление ядер
Решение уравнения (9) с этим началь-
начальным условием имеет вид
t
I (t)= f ше"хА (х) dx.
вещества, количество А обращается в
нуль. После этого медленно, длительно
происходит распад В:
Таким образом, окончательно получаем
В (t) — e~ctI (t) = e-vt j соЛ (т) е"Чх. (8.3.10)
Покажем, как эти качественные со-
соображения вытекают из точной формулы.
Для случая двух радиоактивных ве-
веществ А и В мы в предыдущем пара-
параграфе получили формулу
B(t) = An (е —е ).
В нашем случае ?А <С ?в, ш ^> v, по-
поэтому удобнее переменить знаки, чтобы
иметь дело с положительными вели-
величинами в скобках и в знаменателе дроби.
Тогда получим
Д @ =4,-^-(«Г*'-О- (8.4.1)
В этой формуле существенно во избе-
избежание ошибок сохранять более стро-
строгие обозначения и не обозначать пере-
переменную интегрирования т той же бук-
буквой, которой обозначен предел инте-
интегрирования t.
§ 4. Исследование решения для радио-
радиоактивного семейства
В предыдущем параграфе мы довели
до конца решение задачи в случае
двух радиоактивных веществ. Ис-
Исследуем это решение для двух частных
случаев:
1) короткоживущее материнское ве-
вещество А, долгоживущее дочернее ве-
вещество В;
2) долгоживущее материнское ве-
вещество А, короткоживущее дочернее
вещество В.
Ниже мы будем наряду с вероятно-
вероятностями распада со и v пользоваться сред-
средними временами жизни ?А = —, Iв = —.
В первом случае, когда 1А <^.1в, харак-
характер решения легко усмотреть без вся-
всяких расчетов и точных формул. Здесь
весь процесс распадается на две стадии.
Сперва, при t порядка ?А (а так как
по условию га <€ ^в, то в первой
стадии t <^j ?в), происходит превраще-
превращение А в В; вещество В за это время
практически не распадается. В этой
стадии количество В равно разности
количеств А — начального и уцелевшего
к моменту t:
B(t) = A0-A (t) = A0- Aoe-mt =
Рассмотрим стадию, когда со времени
В конце этого периода практически начала процесса прошло время t, зна-
1 ак как и <с со, то «^ — = 1.
^ О) U (О
Выражение e'vl — e~mi рассмотрим для
двух последовательных стадий. Сначала.
при t <^ tв = — , будет vt <^ 1. При этом
е~г/«^1. Так как t может быть вели-
величиной порядка Ia, a urf, следовательно,
порядка единицы, то величину e~wt надо
вычислять точно. Из формулы A)
следует
В (t) я« Ло A — е~ю'). (8.4.2)
Во второй стадии, при (^>(А= —,
будет со?^>1. В этой стадии можно
пренебречь малой величиной e~wi: ведь
е"' мало не только по сравнению с еди-
единицей, но и по сравнению с e~vt, так
как у<^со. Мы получим
= Айё~'*
В (t) = Айё
(8.4.3)
Таким образом, действительно, точ-
точная формула дает те результаты, кото-
которые были получены из простых каче-
качественных соображений.
Обратимся к случаю долгоживущего
материнского вещества А и коротко-
живущего дочернего вещества В:
все вещество А превратилось в В, чительно превышающее
В таком
количество В становится равным на- случае то вещество В, которое образо-
чальному количеству Ао материнского валось в начале процесса, к моменту

§ 4. Исследование решения для радиоактивного семейства
253
t уже полностью распалось. Так как В
распадается быстро за малое время, то
в каждый момент в наличии находится
лишь вещество В, образовавшееся не-
недавно. В рассматриваемом случае имеет
место установившееся, или, как его
иначе называют, стационарное состоя-
состояние: вещество В образуется из А и тут
же распадается, вещество В при этом
не накапливается (потому что оно бы-
быстро распадается), но и не исчезает сов-
совсем (потому что из вещества А все время
получается новое вещество В). Устано-
Установившееся состояние характеризуется
тем, что в единицу времени распада-
распадается примерно столько же атомов В,
сколько новых атомов В образуется из
А, так что здесь В мало меняется. Ма-
Математически это условие совпадения
числа распадающихся и возникающих
атомов В записывается так:
v В ?а шА.
Отсюда
(8.4.4)
В установившемся состоянии мгновен-
мгновенное количество В пропорционально ко-
количеству А и составляет всегда одну и
ту же малую долю А. Эта доля мала
потому, что в рассматриваемом слу-
случае ?в
и, значит, =-<^ 1, а иначе не
было бы и самого установившегося
состояния.
Как получить уравнение для уста-
установившегося состояния из точного диф-
х. dB г> ,
ференциального уравнения -уг = —vB ~\-
-)-шЛ? Очевидно, если считать, что -т—
мало по сравнению с каждым из двух
членов, стоящих в правой части, то
л dB л
приближенно, заменяя -г-на U, как раз
и получим
0=—vB-
г
т. е. vB =
Рассмотрим теперь начало процесса.
При f=0 имеем А=А0, В=0. Значит,
в начальный момент мы имеем дело не
с установившимся состоянием, так как
по формулам установившегося состоя-
состояния вначале было бы
ст v о
(значок «ст» у буквы В означает уста-
установившееся, стационарное состояние).
В момент t—О вещество В образуется
dB . „
со скоростью -7т = иш0, а распада в
в начальный момент вовсе не происхо-
происходит, так как В = 0.
Можно определить, за какое время t±,
при постоянной скорости нарастания
вещества В, равной начальной скорости,
будет достигнуто количество Ват. Дей-
Действительно, если скорость образования
вещества остается постоянной, равной
dB\
fL' T0
B = t(§-) .
V dt Jt-o
Полагая здесь Вст = ~ Ао, (jf){ Q = и>А0У
получим искомое время:
иыА0 v
Таким образом, установившееся состоя-
состояние достигается за время, приблизи-
приблизительно равное среднему времени рас-
распада вещества В (напомним, что наше
предположение о постоянстве скорости
образования вещества В выполняется
лишь приблизительно). Из условия
^а ^ ?в видно, что количество веще-
вещества А за это время изменится мало.
В целом приближенное рассмотрение
в случае короткоживущего дочернего
вещества дает следующие результаты:
В (t) = (lp)t J =
при f>?B-
при t < tв,
(8.4.5)
Мы получаем зависимость В—B{t) в виде
двух линий: сначала прямой.7 (т. е.
линейной функции), а затем эксповенты
(графика показательной функции; см.
рис. 1, составленный в предположении,
что ?а=10 (в\ вместо экспоненциальной
кривой здесь изображена близкая к ней
прямая 2). Нетрудно проверить, что
при t=tB две формулы E) дают близкие
значения.
Посмотрим, что дает точное реше-
решение A) уравнения C.4) в рассматривае-
рассматриваемом случае, когда v ;§> со, Iв <С i\-
Пренебрежем со по сравнению с у в зна-

254
Гл. 8. Радиоактивный распад и деление ядер
менателе. При vt ^> 1 пренебрежем
также и e~vt в скобках. Мы получим
В
0 V
(8.4.6)
т. е. как раз установившееся решение.
Приближение решения к установив-
установившемуся определяем тем, насколько бы-
быстро убывает e~vt. При совсем малом t
(когда vt <^ 1, так что со? и подавно
мало), разлагая в ряд e~pt и e~mt и огра-
ограничиваясь двумя первыми членами, по-
получим
13
— <•>* — ! + vt) = Aowt,
(8.4.7)
что тоже совпадает с приближенным
результатом. Однако в действитель-
Рис. 8.4.1
ности точная формула дает на графике
одну плавную кривую 3 без изломов и
разрывов (она изображена пунктиром
на рис. 1). Приближение этой кривой
к установившемуся решению зависит
от того, насколько быстро уменьшается
e~vi. Так, для того чтобы e~vt давало
поправку порядка 10%, нужно, чтобы
было vt^;2
t:
2,3-l=2,3fB. При
этом из-за малости wt считаем, что
е~ш'яг;1. Таким образом, действительно,
переход от стадии начального нараста-
нарастания к стадии, когда решение с доста-
достаточной точностью совпадает с устано-
установившимся, происходит за время, по
порядку величины совпадающее с вре-
временем распада 1В-
Пример радиоактивного семейства
очень поучителен в том отношении, что
получение общего точного решения ни-
никоим образом нельзя считать концом
работы над задачей. Построение при-
приближенных теорий для различных пре-
предельных случаев есть совершенно не-
необходимая часть всего исследования, и
наличие точной формулы вовсе не за-
заменяет приближенной теории. Прибли-
Приближенные, но ясные и наглядные пред-
представления служат для проверки точной
формулы.
Приближенные теории дают нам такие
важные новые качественные понятия,
как понятие установившегося состоя-
состояния. Такие понятия и лучше запоми-
запоминаются, и обладают более широкой,
чем точные формулы, областью при-
применимости. Так, например, в случае
радиоактивного семейства, состоящего
из нескольких поколений А ->
-> В-> С-> D, точная формула весьма
громоздка. Однако если tA больше
всех других времен жизни ?в, lG и fD,
то результаты, относящиеся к устано-
установившемуся состоянию, получаются
так же просто, как и в случае двух
веществ А и В.
Иногда наиболее легкий путь состоит
в том, чтобы получить точное решение,
справедливое, скажем в нашем при-
примере, для любых v ж со, а затем,
положив v <^ со или v ^> со, вывести из
этого общего решения путем математи-
математических преобразований результата бо-
более простые приближенные формулы
для двух крайних случаев. Но на этом
нельзя успокаиваться! Если простая
приближенная формула получилась хо-
хотя и легким, но длинным путем, исполь-
использующим общее решение, то должен
существовать и другой, простой способ
получения приближенной формулы.
Нужно обязательно тренироваться в на-
нахождении простых методов, потому что
будут встречаться задачи, в которых
нахождение точного общего решения
непреодолимо сложно, и только про-
простой приближенный метод позволит про-
продвинуть вперед решение вопроса.
В практической работе точные фор-
формулы встречаются так же редко, как
алгебраические, тригонометрические
или любые иные уравнения, решения
которых выражаются целыми числами,
—и это несмотря на то, что в учебниках
математики и физики большинство за-
задач приводят к точным формулам, по-
подобно тому как в задачниках для млад-
младших классов школы фигурируют лишь
уравнения, которые решаются в целых
числах.
Отметим, что представления о радио-
радиоактивных семействах объясняют стран-
странный результат, получившийся в упр.

§ 5. Цепная реакция деления урана
255^
1.5, относительно количества радия
в прошлом: радий является потомком
(правда, не прямым, а через несколько
промежуточных веществ) урана-238. По-
Поэтому нельзя считать имеющееся в на-
настоящее время количество радия ре-
результатом распада первоначального ра-
радия. В действительности радий нахо-
находится в установившемся состоянии
с ураном. Из уравнения
найдем, что содержание радия Z?=10~12
соответствует содержанию урана
А=-
= 3 • 1СГ6.
Мы нашли приближенно современное
количество урана-238 в горных поро-
породах. Начальное содержание его 5 -10е
лет назад было вдвое больше, порядка
6-Ю"8. Такие величины вполне правдо-
правдоподобны в отличие от результатов уп-
упражнений к § 1.
§ 5. Цепная реакция деления урана
В 1938 г. Хан и Штрассман в Германии
и супруги Жолио-Кюри во Франции
показали, что при попадании нейтрона
в ядро урана происходит деление ядра,
при котором оно распадается на два
больших осколка и, кроме того, испус-
испускает два-три новых нейтрона. Особенно
активно делится уран с атомной массой
235. В природном уране содержится
около 0,7°/о атомов урана-235 и 99,3%
атомов урана-238 1. «Осколки» деления
Вслед а результатами Хана—Штрас-
смана и Жолио-Кюри в 1939 г. в лаборатории
И. В. Курчатова в Ленинграде советские уче-
ученые Г. Н. Флеров и К. А. Петржак показали,
что уран-238 способен делиться самопроиз-
самопроизвольно, без попадания в него нейтрона, хотя
вероятность этого весьма мала. Вероятность
радиоактивного распада (с испусканием а-
частицы) урана-238, соответствующая периоду
полураспада 4,5-10е лет, примерно равна со=
=5-10~18 с, а вероятность самопроизволь-
самопроизвольного деления урана-238 в 106 раз меньше, т. е.
ее можно оценить величиной 5-Ю* с. Та-
Таким образом, в 1 кг урана, содержащем при-
примерно 2,5-1025 атомов, в 1 с происходит около
10' актов радиоактивного распада и всего
10 самопроизвольных делений. Однако в са-
самых тяжелых элементах самопроизвольные
деления становятся уже главным, наиболее
вероятным процессом распада (см. конец § 2,
в частности рис. 2.2, где приведена кривая
урана-235 представляют собой ядра
средней атомной массы — от 75 до 160;
заряд этих ядер лежит в пределах от
35 до 57, при этом сумма зарядов двух
осколков всегда равна заряду ядра
урана, т. е. 92 элементарным зарядам;
сумма атомных масс двух осколков
равна 235-J-1—v, где 235 — атомная
масса урана, 1 — атомная масса ней-
нейтрона, вызвавшего деление, v — масса
нейтронов, образовавшихся при деле-
делении. При делении выделяется большая
энергия — порядка 6-Ю10 Дж/г (на 1 г
разделившегося урана). Сразу после
деления осколки летят в противопо-
противоположные стороны со скоростью около
109 см/с; затем они тормозятся и их
кинетическая энергия превращается
в тепло.
Источником этой энергии является
электрическое отталкивание двух одно-
одноименно заряженных осколков. Пока
ядро не разделилось на две части, ядер-
ядерные силы притяжения частиц, из ко-
которых состоит ядро, уравновешивают
электрическое отталкивание. Как толь-
только ядро разделилось на два отдельных
осколка, отталкивание этих двух оскол-
осколков уже ничем не уравновешивается и
приводит к тому, что они разлетаются
с большой скоростью. В плотном ве-
веществе осколки очень быстро останав-
останавливаются. Время их движения состав-
составляет от 10~13 до 10~12 с. При этом они
проходят от 10~4 до 10~3 см. Нейтроны,
образующиеся при делении, имеют ско-
скорости того же порядка, что и осколки
(около 2-Ю9 см/с).
Для практического использования
энергии деления ядер решающее значе-
значение имеет тот факт, что при делении,
вызванном одним нейтроном, полу-
получается больше одного нейтрона.
Ясно, что если нейтроны не будут
уходить из системы, то число их будет
нарастать в геометрической прогрессии
с течением времени, т. е. по закону
показательной функции. По такому же
закону пропорционально числу ней-
нейтронов будет нарастать и скорость вы-
выделения энергии. При этом если даже-
в начале процесса было мало нейтро-
нейтронов, то очень скоро число их возрастет
настолько, что энергия будет выде-
распада менделевия). В рассматриваемом пиже
вопросе о цепной реакции самопроизвольное
деление роли не играет.

256
Гл. 8. Радиоактивный распад и деление ядер
ляться со скоростью, удобной для прак-
практического использования (например,
в качестве источника энергии атомных
электростанций или в двигателях ледо-
ледокола); спустя еще совсем небольшое
время выделение энергии возрастет на-
настолько, что произойдет атомный взрыв.
В действительности часть нейтронов
выходит из системы, а часть нейтронов
может захватываться другими ядрами,
не вызывая деления; пользуясь этим,
можно регулировать число нейтронов,
в частности можно добиться уста-
установившегося состояния
•системы, при котором число образую-
образующихся в единицу времени нейтронов
равно числу исчезающих нейтронов, так
что число нейтронов, находящихся в си-
системе, с течением времени не изменяется
и выделение энергии происходит с по-
постоянной скоростью. Для использова-
использования атомной энергии в мирных целях
нужен именно такой режим работы.
Наша ближайшая задача — составить
и исследовать уравнение, описывающее
зависимость числа нейтронов в системе
от времени, это и будет сделано в сле-
следующих параграфах.
§ 6. Размножение нейтронов в большой
массе
Получим сперва уравнение для изме-
изменения числа нейтронов со временем
в очень большой системе (например,
в большом слитке урана-235), когда вы-
выход нейтронов наружу можно не учиты-
учитывать 1. Скорости всех нейтронов при-
приближенно можно считать одинаковыми;
обозначим эту скорость через v.
Деление ядра происходит примерно
в половине всех случаев, когда нейтрон
попадает в ядро урана-235. Во второй
половине случаев нейтрон вылетает об-
обратно, оставляя ядро в прежнем состоя-
состоянии, и при этом число нейтронов не ме-
меняется. Ядро урана представляет собой
шарик радиуса R порядка 10~12 см.
Как часто нейтрон, летящий внутри
металла, попадает в ядро урана?
За малое время dt нейтрон проходит
путь vdt. Представим себе цилиндр,
осью которого является путь, пройден-
пройденный нейтроном; радиус цилиндра ра-
1 Мы будем рассматривать самый простой
случай металлического урана-235 без графито-
графитового замедлителя и т. п.
вен радиусу ядра урана R. Нейтрон
сталкивается с теми ядрами, центры
которых находятся внутри цилиндра,
при этом путь нейтрона удален от центра
ядра на расстояние меньше R; поэтому
этот нейтрон задевает ядро — попадает
в него. Объем цилиндра равен nR2vdt.
На рис. 1 приведена схема, поясняю-
поясняющая эти соображения. Путь нейтрона
показан пунктирной линией, проходя-
проходящей по оси цилиндра. В случае А центр
ядра находится внутри цилиндра и нейт-
нейтрон задевает ядро. В случае Б центр
ядра расположен вне цилиндра и нейт-
нейтрон пролетает, не задевая ядро.
Рис. 8.6.1
В металлическом уране в единице
объема содержатся N атомов и, следо-
следовательно, N ядер (размерность N есть
1/см3). Поэтому в интересующем нас
объеме ™R2vdt имеется N^R2vdt ядер.
Столько же будет попаданий нейтрона
в ядро за малый промежуток времени dt.
Не всякое попадание нейтрона вы-
вызывает деление ядра. Пусть а — доля
тех случаев попадания нейтрона в ядро,
когда это попадание вызвало деление
(в случае урана-235 а«^/2). Тогда число
делений за время dt равно Na,nR2vdt.
Величина a^R2 имеет размерность
площади, так как аил безразмерны.
Она называется сечением деления; мы
будем обозначать ее символом о
Если внутри массы металлического
урана находятся п нейтронов, то число
делений за время dt равно
nNaAvdt.
(8.6.1)
При каждом делении образуется v нейт-
нейтронов, но за счет поглощения одного
нейтрона. Таким образом, число нейтро-
нейтронов при каждом делении увеличивается
на v—1. Числу делений A) соответст-
соответствует следующее изменение числа нейт-
нейтронов:
dn = nN(v — 1) ajjdt. (8.6.2)

§ 7. Вылет нейтронов
257
Из B) следует
_
Положим
(8.6.3)
тогда
dn
Как мы уже знаем, решение этого диф-
дифференциального уравнения имеет вид
n{t) = noeat, (8.6.4)
где щ — число нейтронов в системе
при ?=0.
Таким образом, если число нейтро-
нейтронов в системе меняется только вследствие
деления, то это число растет в гео-
геометрической прогрессии,
если время растет в арифметиче-
арифметической прогрессии. Действи-
Действительно, если взять несколько равноот-
равноотстоящих моментов времени
tv
ЗД*. ..., (8.6.5)
то соответствующие числа нейтронов
равны
\ fnv fnx, f3nv ...,
где / = eai
At
(8.6.5a)
Отметим, что такой способ описания
интересующего нас процесса — рост чис-
числа нейтронов в геометрической прогрес-
прогрессии — часто встречается в популярной
литературе (ср. сноску 3 на с. 125). Спе-
Специалисты (физики и техники) пользуются
подобными E), Eа) записями редко; они
чаще и охотнее говорят об экспоненци-
экспоненциальном законе возрастания. Экспоненци-
Экспоненциальный рост D) характеризуется скорос-
скоростью роста а.
Какова размерность а? В формуле D)
at стоит в показателе степени. Поэтому
at — безразмерная величина и, следо-
следовательно, размерность а есть с*1. Этот
же результат можно получить, припом-
припомнив, что
a = N (v — 1)оду,
где N выражено в 1/см3, од— в см2,
v — в см/с.
Найдем приближенное значение по-
постоянной величины а. Плотность урана
приблизительно равна 18 г/см3. Число
N ядер в 1 см3 подсчитаем, используя
число Авогардо: 1 грамм-атом любого
вещества содержит 6-Ю23 атомов, сле-
следовательно, 235 г урана-235 содержат
6-Ю23 атомов, т. е. 6-Ю23 ядер. В 1 см3
18
содержится 2оЕ • 6 • 1023я« 4 • 1022 ядер,
т. е. N «4 • 1022 1/см3. Подставим в вы-
выражение для а среднее значение v я«
«2,5, v&2- 109см/с, ад = 1теA(Г12J«*
«1,6 -Ю4 см2.
Получим
а «* 4 • 1022 • 1,5 • 1,6 • КГ» • 2 • 10»»
«2 -10» с,
-«5-10-» с.
а
Таким образом* если нейтроны не
вылетают из системы, то количество
нейтронов возрастает в е раз примерно
за 5-Ю"9 с.
При такой скорости возрастания за
1 мкс, т. е. за 10 с, количество нейт-
нейтронов возрастает в е2-ю8ю-«==е2оо ра3)
т. е. примерно в Юо>43'аоо=1О8E раз.
Одна тонна урана-235 содержит около
2,5-Ю27 ядер. Поэтому если нейтроны
не выходят из системы, то это количе-
количество урана разделится меньше чем за
1 мкс после попадания первого нейтрона.
Такой процесс представляет собой взрыв
огромной силы.
Для использования деления с целью
получения (и использования) энергии
такая скорость процесса недопустима.
Необходимо путем искусственного вы-
выведения нейтронов из системы умень-
уменьшить скорость нарастания их числа.
§ 7. Вылет нейтронов
Представим себе массу урана-235 в виде
шара радиуса г. Мы должны составить
уравнение, описывающее изменение
числа п нейтронов, находящихся внутри
этого шара. Предположим для про-
простоты, что шар закреплен на какой-то
тонкой подставке, так что вокруг него
полная пустота; нейтрон, покинувший
шар, уже никогда не возвращается
обратно.
Как определить поток нейтронов, т. е.
число нейтронов, выходящих за пределы
шара в единицу времени? Сделаем гру-
грубый подсчет. Рассмотрим малый проме-

258
Гл. 8. Радиоактивный распад и деление ядер
жуток времени dt. За это время каждый
нейтрон проходит путь длиной vdt.
Где в этом шаре находятся те нейтроны,
которые покинут его за время dt? Оче-
Очевидно, что они должны находиться
внутри шара в тонком слое, прилегаю-
прилегающем к поверхности шара, но на расстоя-
расстоянии не более vdt от поверхности, иначе
за время dt они не успеют дойти до по-
поверхности, пересечь ее и выйти наружу.
Но и те нейтроны, которые находятся
внутри слоя толщиной vdt, тоже не все
успеют выйти за пределы шара за
время dt, так как не у всех нейтронов
внутри слоя скорость направлена по
радиусу наружу; при первоначальном,
грубом подсчете мы не будем учитывать
последнее обстоятельство.
Найдем число нейтронов в слое. Во
всем шаре имеется п нейтронов. Объем
шара F=*/3rcr3; объем интересующего
нас тонкого слоя у поверхности при-
приближенно равен Svdt, если vdt мало.
Здесь S—Anr2 (поверхность шара).
Средняя плотность нейтронов, т. е.
число нейтронов в единице объема,
равна С=уг. Предположим, что в тон-
тонком слое у поверхности плотность не
отличается от средней. Тогда число нейт-
нейтронов в этом слое равно
С Svdt =~ vdt.
Поэтому для потока (числа нейтронов,
выходящих в единицу времени) мы по-
получим
nS
п ¦ 4та-2 Зь>
4,^,3 V ~
В действительности у поверхности
плотность нейтронов меньше средней
плотности; к тому же, как отметалось
выше, скорости нейтронов имеют раз-
различные направления и не все нейтроны
выходят из шара. Поэтому в действи-
действительности поток нейтронов меньше, чем
мы получили:
_ 3kv
(8.7.1)
где к — численный коэффициент, к <^ 1.
В § 10 путем сопоставления с опытом
будет показано, что для шара из ура-
на-235 в условиях, когда становится
возможен самоподдерживающийся про-
процесс, к близко к 0,3. Если внутри шара
не происходит деления ядер и не рож-
рождаются новые нейтроны, то для числа
нейтронов внутри шара получается урав-
уравнение -г-. = —q, или в силу A)
нение
dn
ИГ
3!w
= п.
Обозначая
3/су ,
— = ь,
получим
dn
(8.7.2)
dt
= —Ьп.
Решение такого уравнения нам хорошо
известно:
-ппе
-ы
(8.7.3)
Среднее время пребывания нейтронов
внутри шара согласно C) равно
f—1-S-
b ~~'ikvm
(8.7.4)
Если величина к = 0,3, то D) дает I яа —.
Поэтому среднее время приблизительно
равно времени, за которое нейтрон,
движущийся со скоростью v, проходит
путь, равный радиусу шара г.
Точное рассмотрение вылета нейтро-
нейтронов требует весьма трудоемких расче-
расчетов. Очень важно с первых шагов обу-
чепия привыкнуть приближенно опреде-
определять все интересующие нас величины.
Точный расчет часто бывает действитель-
действительно очень громоздким и требует совсем
другого объема знаний; иногда здесь
необходим коллективный труд несколь-
нескольких человек с использованием ЭВМ
и т. д. Значит ли это, что учащийся,
занимающийся самостоятельно, не мо-
может и помышлять о рассмотрении воп-
вопроса? Всегда есть простые, хотя и гру-
грубые (вроде приведенного выше), способы
приближенного, «прикид очно го» под-
подхода к задаче. Не произвести прибли-
приближенного расчета и ссылаться на то, что
точный расчет труден, — значит просто
прикрывать такой ссылкой свою нереши-
нерешительность и робость. А чаще всего именно
робость мешает начинающим (иногда
даже — не только начинающим) ученым
и изобретателям!

§ 8. Критическая масса
259
§ 8. Критическая масса
До сих пор мы рассматривали отдельно
два процесса: размножение нейтронов
без учета их вылета и вылет нейтронов
без учета их размножения.
Рассмотрим теперь систему, в которой
нейтроны и размножаются, и могут по-
покидать ее. В единицу времени в системе,
как мы знаем, образуются an нейтро-
нейтронов и Ъп нейтронов вылетают из нее.
Так как изменение числа нейтронов
dn
в единицу времени есть -=-, то
dn ,
= ап — on,
dt
или
an
~dt
— сп.
(8.8.1)
где с=а—I
При данном начальном
количестве нейтронов п0 уравнение A)
имеет решение
n — noeei. (8.8.2)
Это решение приводит к совершенно
различным результатам при положи-
положительных и отрицательных значениях с.
Действительно, из B) видно, что при
с •< О число нейтронов п тем меньше,
тем больше t; в этом случае п стре-
стремится к нулю при неограничен-
неограниченном росте t. Если же с ^> 0, то п растет
с ростом t; в этом случае число п стано-
становится неограниченно боль-
большим, если только t достаточно велико.
Только вмешательство новых физиче-
физических факторов, не учтенных в уравне-
уравнении A), может приостановить рост п.
Таким образом, значение с=0 есть
«критическое значение»: оно разделяет
решения разного типа —¦ с растущим и
с уменьшающимся количеством нейтро-
нейтронов. Так как с=а—Ъ, то при данном а
можно говорить о критическом значе-
значении Ъ: Ькр—а, так как при Ъ <С 6кр ве-
величина с=а—-Ъ ^> 0, а при Ь ^> Ькр ве-
величина с—а—Ъ <С 0. Величина а опре-
определяется свойствами делящегося веще-
вещества: согласно формуле F.2) a=NvoRX
X(v—1). Величина Ъ зависит от коли-
количества взятого делящегося вещества:
, _ 3kv
г
Поэтому вводят понятие критического
значения радиуса гкр, при котором Ъ =
= Ькр=а. Из формул F.2) и G.2) сле-
дует, что — — NvaA(v — 1), откуда
Зк
Масса шара, радиус которого равен гкр,
называется критической массой и обо-
обозначается через ткг Ясно, что
ml;p = ~w;;pp, (8.8.3)
где о — плотность делящегося веще-
вещества 1.
При г > гкр (или, что то же, т ^> ткр)
будет с ^> 0, т. е. имеет место размноже-
размножение нейтронов. При г <^ гкр (т. е. при
т <С mxv) будет с < 0 — первоначально
взятое количество нейтронов (экспонен-
(экспоненциально) уменьшается. Пусть взят шар
радиуса г. Его поверхность S и объем V
равны
С "т /9 т г т: о
и, значит,
3 ""
Если г мало, то отношение -у- велико;
если же г велико, то это отношение мало.
Неудивительно, что при малом радиусе,
когда отношение поверхности к объему
велико, вылет нейтронов усиливается,
условия для размножения нейтронов
хуже. Удивительна та резкость, с кото-
которой меняется количество нейтронов при
изменении Ъ: если Ъ ^> 6кр, то через
некоторое время количество нейтронов
обращается практически в нуль неза-
независимо от того, имеем ли мы 6=1,01Ькр
или 6=26кр. Если Ъ <С Ькр, то число
нейтронов неограниченно возрастает и
при 6=0,996кр, и при Ь=0,56кр, хоть
и с разной скоростью. Именно поэтому
говорят о «критическом» значении Ъ%
«критическом» значении г или «крити-
«критическом» значении массы. Масса, боль-
большая критической, называется надкрити-
надкритической, а масса, меньшая критической,—
подкритической.
1 Мы по-прежнему считаем, что рассматри-
рассматривается шарообразная масса делящегося ве-
вещества (например, урана).

260
Гл. 8. Радиоактивный распад и деление ядер
На рис. 1 представлены кривые п=
=щ ехр [(а—b) t] при нескольких зна-
значениях Ъ. Построим кривые зависимо-
зависимости п от Ъ для нескольких выбранных
значений времени t. При расчете принято
Рис. 8.8.1
а=2-108 1/с. На рис. 2 показаны кри-
кривые п=п F), отвечающие значениям
f=5-10-9, *=15.10-9 и г=3(М(Г9 с.
Кривые, отвечающие значениям t—
=15-10~9 и t—ЗОЛО'9 с, пересекаются
Рис. 8.8.2
с осью ординат (линией 6=0) при зна-
значениях п=20тг0 и ?г=400тг0 соответ-
соответственно.
Как видно из рис. 1 и 2, чем больше
время t, тем сильнее расходятся кривые
п (t) (см. рис. 1), тем круче кривые п (Ь)
(см. рис. 2), тем резче проявляется
критичность значения 6=2-108(в дан-
данном примере).
Если взять t > 10~6 с, то кривую п (Ь)
нельзя будет отличить от вертикальной
прямой Ь=Ькр—2 -108; ?г=0 при Ъ > 6кр,
п— со при Ъ <С Кг
§ 9. Подкритическая и надкритическая
массы при непрерывном источнике
нейтронов
В предыдущем параграфе была рассмот-
рассмотрена задача об изменении со временем
числа нейтронов при данном начальном
числе щ нейтронов. Поставим теперь
несколько иную задачу. Пусть в началь-
начальный момент t=0 число нейтронов равно
нулю и в этот момент включен источник
нейтронов, испускающий д0 нейтронов
в единицу времени. Эта задача приводит
к уравнению
dn
—
(8.9.1)
где с=а—Ъ. Мы ищем решение этого
уравнения с начальным условием: 7?.=0
при f=0.
Способ решения подобной задачи был
изложен в § 3. Вкратце повторим ход
рассуждений.
Ищем количество нейтронов в момент t.
Весь промежуток времени от 0 до t раз-
разбиваем на отдельные промежутки Дт.
Рассмотрим один такой промежуток вре-
времени от т до т+Дт. Источник выдал за
это время количество нейтронов, равное
УоДт. Если бы источник действовал
только в течение одного промежутка
времени Дт, то мы имели бы дело с за-
задачей предыдущего параграфа с на-
начальным количеством нейтронов щ=
=д0Дт;; единственное отличие состоит
в том, что эти нейтроны выделились
в момент ?=т, а не в момент ?=0. По-
Поэтому вместо решения n=noeci мы по-
получили бы решение
п = rcoec('~T) = д0Дхев1'~"
(это решение относится к моменту t ^> т;
при t <С х имеем тг=О), так как ясно,
что изменение количества нейтронов
зависит именно от времени, которое
прошло после того момента, когда было
задано их начальное число, т. е. в дан-
данном случае от величины t—x.
На самом деле источник действует
непрерывно в течение всего времени
от 0 до t. Значит, надо суммировать
вклады всех нейтронов, испущенных ис-
источником в различные промежутки вре-
времени Дт, причем все эти промежутки
вместе составляют весь интервал вре-
времени от 0 до t. Такая сумма при малых
Дт обращается в интеграл; поэтому
Этот интеграл легко вычислить:

§ 10. Значение критической массы
261
у) (f\ ft pCt \ p~CT(lT n pCi 1 p~
J с
0
Нетрудно убедиться в том, что это
решение удовлетворяет уравнению
и условию ?г=0 при t==0.
Одна и та же формула B) дает реше-
решение при положительном и отрицатель-
отрицательном значениях с. Однако вид кривой
п=п (t) при этом существенно меняется.
При с ]> 0 (т. е. при а > Ъ) показатель
ct положителен, так что с ростом t ве-
величина ect быстро становится гораздо
больше единицы. При большом t и с > О
мени достигает постоянного значения
—, или, что то же самое, -^-.. Чем
с \ с \
меньше \с\ (чем мы ближе к критиче-
критическому состоянию), тем больше это по-
постоянное значение. Таким образом,
даже при очень слабом источнике (ма-
(малом д0) масса, близкая к критической,
может давать любое большое число ней-
нейтронов, большое число делений, большое
выделение энергии. В принципе режим
работы атомных котлов именно такой.
Рис. 8.9.1
При с < 0 величина ct < 0; поэтому ect
с ростом t становится гораздо меньше
единицы и значения п приближаются
к числу ——, которое положительно,
так как с <^0. Вид кривых n = n(t)
показан на рис. 1.
Отметим любопытный частный слу-
случай с=0. Если с=0, то формулой B)
непосредственно пользоваться нельзя.
Разложим ect в ряд:
Подставляя это значение в B), получим
= qo[t+jct*+...].
Последней формулой можно пользова-
пользоваться и при с=0; мы получаем
п (t) = qot.
(8.9.3)
Результат C) нетрудно вывести и из
уравнения A). Действительно, при с=0
уравнение A) имеет вид ^7 —?о- От-
Отсюда п (t)=qot+A, где А — постоянная
интегрирования. При t=0 должно быть
/г=0, поэтому А=0, и мы получаем C).
Как было показано выше, при с <С 0
концентрация нейтронов с течением вре-
Поддержание такого режима является
нелегкой задачей, так как малые измене-
изменения Ъ и с очень резко меняют величину
—, когда с близко к нулю, а работа при с,
близких к нулю, необходима, если надо
получать большую мощность при ма-
малом q0. Однако при помощи автоматиче-
автоматического регулирования эту техническую
задачу удается решить: когда п выходит
из данных пределов, система регулиро-
регулирования меняет величины а или Ь. К тому
же есть природные факторы, облегчаю-
облегчающие регулирование. Так, например, при
увеличении п повышается температура
активного вещества, и при этом оказы-
оказывается, что с уменьшается, так что в из-
известных пределах система как бы само-
саморегулируется.
§ 10. Значение критической массы
Мы знаем теперь, насколько сильно
меняются свойства системы в зависи-
зависимости от того, имеем ли мы дело с над-
надкритической или с подкритической мас-
массой. Рассмотрим подробнее само условие
критичности
3/с
Подставим значения входящих в послед-
последнюю формулу величин для урана-235:

262
Гл. 8. Радиоактивный распад и деление ядер
од«1,6• Ю'24 см2,
Получим (в см)
_
4 . KJ22 . 1,6 . 10~24 • 1,5
i-1022l/cM:t.
=« 30/f.
Коэффициент к мы не умеем опреде-
определять, нам известно только, что он
меньше единицы. Найдем этот коэффи-
коэффициент, сопоставляя формулу с опытом.
Опыт показывает, что критическая
масса урана-235 около 50 кг. Урановый
шар массой 50 кг имеет радиус около
8,5 см. Следовательно, в данном случае
к:
8,5
0"
Остановимся па физическом смысле
формулы для критического радиуса.
В выражении для гкр скорость нейтро-
нейтронов сократилась. Значит, формулу для
гвр можно получить, не рассматривая
хода процесса во времени, не рассмат
ривая скорости размножения нейтро-
нейтронов и скорости ухода нейтронов из
системы.
Если пренебречь безразмерным мно-
множителем Ък (он порядка единицы), то
формула для критического радиуса при-
принимает вид
' — 1
(8.10.1)
Что за величина стоит в левой части
формулы A)? Объем цилиндра с высо-
высотой, равной радиусу, и с площадью ос-
основания, равной сд, есть гкр<зд. Напом-
Напомним, что если нейтрон Х1вижется по оси
такого цилиндра, то он вызывает деле-
деление тех ядер урана-235, центры которых
находятся внутри цилиндра. N — число
ядер в единице объема, следовательно,
Лггкрад — среднее число ядер в объеме
цилиндра.
Теперь мы можем дать другую форму-
формулировку условию критичности. Мы вы-
выяснили, что средний путь, который про-
проходит внутри делящегося вещества нейт-
нейтрон, родившийся внутри вещества (в ре-
результате деления), порядка радиуса г.
После того как нейтрон прошел путь
около г, он выходит за пределы деляще-
делящегося вещества и для процесса потерян.
Условие критичности заключается
в том, что в среднем на этом пути нейт-
нейтрон должен до ухода из системы поро-
породить один нейтрон. При делении обра-
образуется v — 1 новых нейтронов. Значит,
нужно, чтобы до вылета нейтрон вызвал
примерно делений, т. е. чтобы
в объеме цилиндра гзж было примерно
г ядер. Это условие и приводит
к формуле A).
Понятно, что такие рассуждения не-
нестроги, но они нужны для понимания
сути дела, и здесь их нельзя заменить
никакими расчетами, даже самыми точ-
точными вычислениями на современных эле-
электронных машинах. Такие расчеты на
машинах не заменяют, а дополняют
ясное понимание качественной стороны,
понимание физического смысла процесса.
В частности, читатель должен обратить
внимание на принцип, который был вы-
высказан в начале параграфа: если какая-
то величина v участвовала в выводе
формулы, но в окончательном резуль-
результате сократилась, значит, есть такой
вывод формулы, в котором данная ве-
величина вообще не фигурирует. Нужно
всегда стараться найти такой, более
простой вывод формулы, потому что дру-
другой вывод формулы — это и другой,
новый взгляд на исследуемое явление.

Глава 9
МЕХАНИКА
§ 1. Сила, работа, мощность
Соотношения между главнейшими меха-
механическими величинами можно точно вы-
выразить только при помощи интегралов
и производных. В гл. 2 мы уже рассмат-
рассматривали связь между пройденным путем
(или положением) тела z и его скоро-
скоростью v, а также между скоростью v и
dz dv r*^
ускорением a: у==тп> a== ~rt- иоратимся
теперь к соотношениям, связывающим
между собой такие величины, как сила,
работа, энергия, мощность.
Рассмотрим прямолинейное движение
тела вдоль оси х. Пусть сила F, дейст-
действующая на тело, также направлена
вдоль оси х. В элементарных курсах
физики работа А, совершенная силой,
определяется как произведение силы F
на пройденный телом путь 1=Ъ—а,
где а — начальное положение тела,
а 6 — его конечное положение:
Очевидно, здесь повторяется положе-
положение, с которым мы встретились в случае
соотношения между скоростью и путем:
простая формула — работа равна про-
произведению силы на путь — имеет место
лишь в том случае, когда сила п о-
с т о я н н а. Если же сила на протяже-
протяжении процесса перемещения тела м е-
н я е т с я, то весь процесс перемещения
приходится разбивать па ряд отдельных
этапов так, чтобы на протяжении каж-
каждого отдельного этапа силу можно было
считать постоянной (это будет выпол-
выполняться, если каждому этапу отвечает
малое приращение времени или пути).
Тогда для малого промежутка h.xt
пути, отвечающего г-му этапу (от поло-
положения х( до xi+1 тела), работа раина
Отсюда следует, что в общем случае пе-
переменной силы F=F (x) работа выража-
выражается не произведением, а и н т е г р а-
л о м:
ь
A=\Fdx.
а
Мы считаем известным движение
тела, задаваемое функцией х=х (t). Пе-
Перемещение их тела за малое время равно
произведению! (мгновенной) скорости v
на время dt:
v "¦_! dx 7,
dx = vat = —- dt.
dt
Поэтому выражение для работы можно
переписать так:
(9.1.1)
где моменты времени t=a и ?=[3 отве-
отвечают началу и концу движения тела.
Произведение Fv, которое входит
в эту формулу, есть работа, отнесенная
к единице времени; оно называется
мощностью. Действительно, в случае
постоянных скорости и силы путь равен
x—vt, работа равна A=Fx=Fvt и от-
отношение работы к протекшему времени
(т. е. работа, произведенная в единицу
времени, или мощность) есть —=Fv.
Обозначая мопдпость — через W, можно
написать
А = j" Wdt.
(9.1.1а)
Напомним, что в системе единиц СИ
единица скорости есть м/с, единица ус-
ускорения — м/с2. Единица силы имеет
специальное название — ньютон (обо-
(обозначение: Н): это есть сила, придающая
массе 1 кг ускорение, равное 1 м/с2.
Ясно, что единица энергии, или работы,
есть 1 Н-м=1 кг-м2/с2; она называется
джоуль (обозначение: Дж); единица мощ-

264
Гл. 9. Механика
ности — 1 Ы-м/с=1 кг-м2/с3 — называ-
называется ватт (обозначение: Вт).
На тело могут действовать одновре-
одновременно несколько сил, например
Fx и F2. В этом случае можно говорить
о работе Ах, которую совершила первая
сила, и о работе Аг второй силы за то
время, когда тело переместилось из па-
чального положения а в конечное поло-
Рис. 9.1.1
F>ff
жение Ь. Считая силы Fx и F2 постоян-
постоянными, получим:
A1 = (b — a)F1, A2 = (b-a)F2.
Обратим внимание на знаки величин,
входящих в эти выражения. Сила счи-
считается положительной, если она дей-
действует в сторону возрастания х (рис. 1).
Сила, действующая в противоположную
сторону ¦— влево, считается отрица-
отрицательной. Если тело перемещается в ту
же сторону, в которую действует сила,
то работа силы положительна. Если же
тело движется в направлении, проти-
противоположном направлению силы, так
что F1 и (Ь—а) имеют разные знаки, то
Рис. 9.1.2
работа силы А оказывается отрицатель-
отрицательной. Представим себе, например, что
на тело действуют две силы (рис. 2, а):
сила растянутой пружины Fx и сила
натяжения веревки F2, которую Вы,
читатель, натягиваете рукой. Сила пру-
пружины тянет тело влево, т. е. Fx <C 0;
Вы тянете вправо, т. е. F2 ^> 0. Если
Вы тянете сильнее пружины (т. е. если
абсолютная величина силы, с которой
Вы тянете вправо, больше абсолютной
величины силы, с которой пружина тя-
тянет тело влево: |Fa| > |^i|), то тело,
первоначально находившееся в покое,
будет перемещаться слева направо. На
рис. 2, а показано начальное положе-
положение тела, а на рис. 2, б — его конечное
положение; (Ь—а) ]> О, F1<C 0. Ра-
Работа Ах, совершенная силой натяжения
пружины, или, короче, работа пружины
при этом перемещении отрицательна,
а работа, которую Вы произвели, поло-
положительна: Л2>0. Полная работа А —
=А2-\-Ах также положительна; однако
А <С А2, так как Ах <^ 0. Это значит,
что только часть А произведенной Вами
работы (А2) воспринята телом: другая
часть (Hi|) пошла на растяжение пру-
пружины. Отметим, что сила трения о не-
неподвижную поверхность направлена
всегда в сторону, противополож-
противоположную скорости движения тела; поэтому
работа силы трения о неподвижную по-
поверхность всегда отрицательна неза-
независимо от направления движения тела.
Сила Fx действия на тело пружины,
один конец которой закреплен, отлича-
отличается весьма важным свойством: эта сила
зависит исключительно от положения
тела. Вовсе не все силы обладают по-
подобным свойством. Например, сила тре-
трения о неподвижную поверхность всегда
тормозит движение тела: она направлена
влево, если тело движется вправо, и на-
направление вправо, если тело движется
влево. Поэтому направление силы тре-
трения зависит от направления движения
тела. Кроме того, сила трения может
зависеть от скорости тела. Следователь-
Следовательно, сила трения зависит от величины и
направления скорости тела, а не только
от его положения (она может даже вовсе
не зависеть от положения тела).
Сила F2, с которой Вы тянете веревку,
в примере, проиллюстрированном рис. 2,
может меняться любым образом, по Ва-
Вашему произволу. В частности, тело мо-
может двигаться сначала направо, а потом
налево. При этом тело дважды пройдет
одно и то же положение: первый раз на
пути вперед в момент tx, второй раз на
обратном пути в момент t2.
Возможный график движения тела,
т. е. зависимость координаты х от вре-
времени t, показан для этого случая на
рис. 3. В нашей воле в момент tx тянуть
тело вправо, F2 (tx) >0, а в момент t2
отпустить трос, так что F2 (t2)=0 или
даже толкать тело влево, так что
^2 (h) < 0- Но х (tx)=x (t%)=x1; значит^
произвольную силу F2 нельзя,; вообще

§ 1. Сила, работа, мощность
265
говоря, рассматривать как функцию
координаты х.
Приведенные примеры силы трения
и силы, приложенной человеком, дей-
действующим по своей воле, служат для
того, чтобы показать, что зависимость
силы только от положения тела F1=
=FX (x), характерная для силы Ft,
с которой пружина действует на тело,
не есть общее свойство любых сил, а есть
частное свойство, связанное с упруго-
упругостью пружины.
Для того чтобы найти работу А{ дан-
данной силы Ff (где индекс i показывает,
что речь идет об одной из действующих
на тело сил Flt F2, . . .), надо воспользо-
ь
ваться формулой Ai=z\Fidx или фор-
«
э
мулой Ai-=\.Fivdt. При этом нужно
а
знать: 1) как двигалось тело, т. е. зави-
зависимость х (t) координаты тела от вре-
времени; 2) силу Ff=F{ (х, t, v) (в общем
случае сила зависит от i, t и v).
Зная зависимости х (t) и v (t) и под-
подставляя их в выражение F. (x, t, v), мы
получим выражение для F{ в виде функ-
функции времени и сможем записать работу
как интеграл по времени. Напомним,
что на тело могут действовать и другие
силы, поэтому каждую отдельную силу
Fi нельзя выразить через ускорение и
массу тела.
Пример. Пусть сила F (х) = —кх,
а движение тела задано уравнением
х=В sin wt, т. е. F(x, ?) = — кВ sin wt,
и v = -тг = Bw cos wt; при этом здесь мы
не требуем, чтобы сила F равнялась мас-
массе, умноженной на ускорение: предпола-
предполагается, что на тело действуют еще и
другие силы G, которые вместе с F обес-
обеспечивают движение по заданному закону
х = x(t). Для работы одной только си-
силы F легко найдем
h
А = —B2kw I sin coi cos wtdt =
л
•2
[ sin 2wtdt —
ВЧ
cos
вч , о .
= —j— (cos Zwt2-
(проверьте это).
cos
(9.1.2)
В случае, когда сила зависит только
от координаты, гораздо проще и удобнее
пользоваться выражением работы как
интеграла по х:
ь ь
А = \ F (ж) dx = —к \ xdx = -| ^-.
Подставляя сюда х=В sin wt, легко по-
получить и выражение работы в течение
заданного промежутка времени от tx
до Ц:
. _ кВ* Sin2 cot! кВ* Sin2 cot2
л— 2 ^ • (УЛ.й)
Это выражение в точности совпадает
с предыдущим: ведь
cos 2со? = cos2 wt — sin2 wt = 1 — 2 sin2 wt,
и, значит,
cos 2wt2 — cos 2wt1 = 1 — 2 sin2 wt2 —
— A — 2 sin2 wtj) = 2 (sin2cu^ — sm2wt2).
Подставляя последнее тождество в B),,
получим C).
Рис. 9.1.3
ff
?7
При использовании выражения ра-
работы как интеграла по координате х
силы F (x, v, t), в общем случае завися-
зависящей от х, v, tf нужна большая осто-
осторожность. В самом деле, в принципе
если задан закон движения х=х (t),
то уравнение х—х (t) можно решить
относительно t и определить t (x). Од-
Однако надо иметь в виду, что t может
бытьнеоднозначной функциейх: одно
и то же положение х может отвечать,
например, двум различным моментам
времени, т. е. для одного и того же зна-
значения х мы можем иметь два разных
значения t (см. рис. 3). Тогда все движе-
движение надо разбить на отдельные периоды,
в течение каждого из которых скорость
не меняет своего знака и t является о д-
нозначной функцией х. Однако
для разных участков времени t может
выражаться разными функциями х.
Пусть, например, тело движется по
закону х=В sin wt, как и в предыдущем

266
Гл. 9. Механика
примере, но сила задана как функция
времени: F=f cos u>t. При этом сила
не является однозначной функцией по-
положения х: ведь, если t=0, то х=0,
F = f, но если положить t=—, то мы
снова получим а:=0, но на этот раз
F=—/, так что в различные моменты
времени и = 0 и ? = — } тело находится
в одном и том же положении ж=0,
а сила при этом различна. При интегри-
интегрировании по времени этой трудности
нет: каждому моменту t отвечает одно
определенное значение координаты х,
силы F и всех других величин.
В данном случае легко найти работу,
интегрируя по времени:
А = \ Fvdt = \ / <*os ЫВ<л cos uitdt -—
t, i,
t\
= fBw [ COS2 mtdt.
tt
Воспользуемся формулой cos 2cp =
=2cos2 ep—1, пли, что то же самое,
о 1 , cos 2з г|-
cos <р = -5--1 г,—'-. 1огда
A=fBJ\(Y-\-^^-)di =
t.
f 7?
-j—г— (sin 2vdt2-
¦ sin 2cd?j).
(9.1.4)
Движение по закону х = Bsinwk пред-
представляет собой колебание тела (см. гл. 10).
Как видно из формулы D), в нашем слу-
случае с течением времени, т. е. с увеличе-
увеличением t2, работа неограниченно возра-
возрастает. Это объясняется тем, что сила и
скорость колебаний находятся в резо-
резонансе (подробно явление резонанса бу-
будет рассмотрено в следующей главе).
Рассмотрим работу силы за один по-
полупериод, выбран начальный момент
^ = 0, х1 = 0 и молочный момент t2 =
нулю м имеет вполне определенную ве-
величину. Как понять этот результат
хг
с точки зрения формулы А = I Fdx?
Если подставить хх := х2 = 0, то мы
получим
о
" 1 п П1* " ( )
I * U/JU \J,
== —, sin ш/., =
в D) sin 2<o/
равна
iu^=:0, x, = 0. Тогда
sin 2(oZ1 = 0, и работа
A=~fB
--^1В-
(9.1.3)
Тело вернул ост. к исходное состояние,
а работа, произведенная силой, не равна
Но в действительности мы должны рас-
рассмотреть отдельно процесс нараста-
нарастания ж от 0 до xmsx—B и процесс убыва-
убывания х от хтах=В до 0. В процессе нара-
нарастания каждому значению х соответст-
соответствует определенное значение силы F,
которое обозначим Fx:
F1 = f cos iot = / \Jl — sin3 <ot =
Во время убывания х тем же положи-
положительным значениям х соответствует
(отрицательно е) значение си-
силы г. Эту отрицательную силу мы обо-
обозначим через F2:
Таким образом, интеграл с координа-
координатой х в качестве переменной интегриро-
интегрирования распадается на два интеграла:
ч о
A=\jF1 (x) dx -j- f F2 (x) dx, (9.1.6)
о в
которые нельзя сложить по формуле
« <•¦ с
J J '
aba
так как подынтегральная функция
в двух интегралах правой части F),
хотя и имеет один и тот же смысл (сила),
но выражается разными формулами.
1 Равенство cos2«H-sin2ci>?=l выполня-
выполняется при любых значениях a>t. Из него
следует cos ojf ==+ \/\ — sin2 wi, а вот знак
перед корней зависит от того, какова вели-
величина oit. Легко убедиться, что при — -к- <^
<ш<~ гтаДО орать знак плюс, а при
г. " Зл
У<Сшг<~ — знак минус, как мы и по-
поступали.

§ 1. Сила, работа, мощность
267
Это связано с тем, что F задана как
функция t, a t при возрастании а: от О
до В и при убывании х от В до 0 выра-
выражается через х различными формулами.
В данном случае F2 (х) =—Рг (х). Под-
Подставляя выражения для F1 (х) и jF2 (х)
в F), получим
Во втором интеграле можно переставить
пределы интегрирования; при этом ме-
меняется знак, — и мы получим
— l-g-l dx.
(9.1.7)
о
Если обозначить z —-^ то dx = Bdz и
i
Но интеграл
(этот интеграл выражает площадь чет-
четверти круга радиуса 1). Поэтому из G)
следует
что совпадает с формулой E), получен-
полученной интегрированием по времени.
Таким образом, в случае силы, зави-
зависящей от времени и могущей принимать
разные значения при одинаковом зна-
значении х, работа А также не* является
однозначной функцией х. В разобранном
случае зависимости силы от времени (F—
=/ cos ш?, х=В sin at) с течением вре-
времени х снова и снова проходит одни и
те же значения, а работа, произведенная
силой при положительном /, все увели-
увеличивается и увеличивается.
Если сила зависит от скорости, как
это имеет место для силы трения, поло-
положение дела будет похожим на разобран-
разобранное нами: тело может вернуться в ис-
исходную позицию, но работа силы не
будет равна нулю. В случае силы тре-
трения работа будет отрицательна (см. уп-
упражнения).
Упражнения
9.1.1. Найдите выражение в виде интеграла
для работы силы трения, пропорциональной
скорости движения тела и направленной в про-
противоположную ей сторону: F=—hv, где h > 0.
Покажите, что эта работа отрицательна.
9.1.2. Сила трения постоянна по величине
и направлена в сторону, противоположную
скорости, т. о. F=—h при v > 0 и F=h при
v <^ 0. Тело движется по закону x=Bsmwt.
Найдите работу силы трения за время от
¦к,
*=0 до t = — .
" со
9.1.3. Сила, действующая на тело, задана
формулой F=fasinb)Ot, где /0=const. Ввиду
того что па тело действуют также и другие
силы, оно движется по закону x=Bsmalt.
Определите работу силы F за время от ?=0
до t= Т. Рассмотрите отдельно случай шв=
= 0I.
9.1.4. Тело падает по закону х^-^ (ось х
направлена вниз). Найдите формулу для работы
силы сопротивления воздуха F = —aSp -к- >
где а — коэффициент пропорциональности,
зависящий от формы тела (ср. ниже § 9.14,
9.15), iS — площадь поперечного сечения те-
тела (в см2), р — плотность воздуха (»:1,3*
• 10":j г/см3), и — скорость падения тела
(в см/с). Найдите также формулу для работы
силы тяжести F~mg, где т — масса тела.
Произведите вычисления и сравните ре-
результаты для деревянного шарика диаметром
1 см, где а=0,8, и для стальной пули длиной
3 см, диаметром 0,7 см, где а=0,2, полагая ?=
= 1 с, 10 с, 100 с.
[Замечание. Смысл расчета состоит
в том, что мы полагаем силу сопротивления
воздуха малой по сравнению с силой тяжести
и заметно не меняющей закон свободного, па-
падения тела. Подсчитывая работу силы со-
сопротивления воздуха и сравнивая ее с работой
силы тяжести, мы проверяем правильность
исходного предположения о малой роли силы
сопротивления воздуха. Точное решение за-
задачи о падении тела с учетом сопротивления
воздуха дано в § 14. J
9.1.5. Ветер, дующий со скоростью v0,
действует на парус с силой F, равной
(и0 — vf
н
ПРИ v
(v0 — v)*
и — оор 75 при
и > и0; здесь v — скорость движения судна,
S — площадь паруса, р — плотность воз-

268
Гл. 9. Механика
духа, а — безразмерный коэффициент (для
паруса, поставленного перпендикулярно к на-
направлению ветра, a=tl). Найдите работу силы
ветра при перемещении судна на Ь метров.
Найдите мощность силы ветра. (Движение
судна можно считать равномерным, т. е. ско-
скорость и постоянной.) Выясните зависимость
работы и мощности от величины и. Найдите
максимальную мощность при уо=ЗО м/с, а=
= 1, 5=100 м2 и выразите ее в ваттах.
9.1.6. Тело движется по закону х=
=В cos (ш?+ а) под действием нескольких сил,
в том числе зависящей от времени силы F=
=/cos coi. Найдите работу силы за время от
t=h до t=t2, в частности за один период ее
I 2~\
действия (от t = () до г = —). Найдите сред-
среднюю мощность силы.
§ 2. Энергия
Рассмотрим случай силы F=F (х), ко-
которая зависит только от положения
(координаты) тела. Как отмечалось
выше, примером силы такого рода яв-
является сила, с которой на тело действует
пружина, второй конец которой закреп-
закреплен *. В таком случае выражение
А = I Fdx можно применять без ка-
ких-либо осложнений (ср. с § 1). В част-
частности, в этом случае, если тело двига-
двигалось сначала в одну сторону от хх до
zm!aL=X, а потом в противоположную и
вернулось в начальное положение, то
x2z=x1 и полная работа силы действи-
действительно равна нулю:
А= j F(x)dx=0.
Ж,
Разбиение пути на участки только под-
подтверждает этот вывод:
X х2 'X X
А = j Fdx-\- J Fdxr= ^Fdx — J Fdx,\
%x X xl x2
и j4=0 при х1=х2.
В механике потенциальная энергия
определяется как способность произ-
произвести работу. Пружина обладает опре-
1 Если второй конец пружины может пе-
перемещаться, то сила, действующая на тело,
будет зависеть не только от положения тела,
но и от положения второго конца пружины,
а следовательно, не будет удовлетворять
сформулированному условию.
деленным запасом потенциальной энер-
энергии, зависящим от того, насколько она
растянута или сжата. При неподвижном
положении одного закрепленного конца
потенциальная энергия пружины зави-
зависит от положения тела, к которому при-
прикреплен подвижный конец пружины.
Таким образом, потенциальная энергия
и=и (х) есть функция координаты х.
Если в начальном положении х=х^
потенциальная энергия равна и (хг)%
то после перемещения тела в положе-
положение х2, когда пружина совершила ра-
работу А, равную
х2
А=\ Fix)dx,
оставшаяся потенциальная энергия рав-
равна и (хг)—А. Таким образом,
X,
и(ж2) = и{xt) —A=u(Xj) — [ F(ж)dx.
(9.2.1)
Надо полностью прочувствовать знак
при А в этом выражении: если пружина
совершает (положительную) работу, то
запас способности пружины совершать
работу уменьшается! Произведенная
пружиной работа черпается из запаса
потенциальной энергии. Поэтому произ-
произведенная работа (то, что отдала пру-
пружина) равна разности начальной и ко-
конечной энергии пружины:
А=а (хг) — и (жа).
Во все формулы входит разность
величин потенциальной энергии в двух
положениях тела. Поэтому если заме-
заменить и (х) на и (х)-\-С, где С — любая
постоянная величина, то это ничего не
изменит в физических результатах. Дей-
Действительно,
[а К) + С\ - [и (х2) + С] =: и (xj - и (za).
Значение и (х)=и0 в какой-то данной
точке (обозначим ее х0) можно выбрать
произвольно. После этого в любой дру-
другой точке х значение функции и (х) оп-
определяется по формуле A), если в ней
положить xi=x0, x2=x:
х
и (х) = и0 — \ F (ж) dx.
(9.2.2)
Так решается задача об определении
потенциальной энергии по заданной силе.

§ 2. Энергия
269
Можно поставить обратную задачу:
зная потенциальную энергию и{х) как
функцию х, найти силу F (х). Для реше-
решения этой задачи возьмем производную
от обеих частей равенства B). Произ-
Производная интеграла по верхнему пределу
равна подынтегральной функции, так
что
da (x)
(9.2.3)
Знак минус здесь весьма существен.
Сила положительна, направлена в сто-
сторону увеличения х в том случае, если
da
-j- отрицательна, т. е. если при увели-
увеличении х потенциальная энергия и умень-
уменьшается. Сила отрицательна (направлена
в сторону уменьшения х), если -т- j> I),
т. е. если при увеличении х энергия и
увеличивается; в этом случае, очевидно,
при уменьшении х энергия и также
уменьшается. Значит, сила направлена
всегда в сторону уменьшения по-
потенциальной энергии!
Рассмотрим подробнее пример пру-
пружины. Пусть в ненатянутом состоянии
пружины тело находится в начале коор-
координат (рис. 1). При оттягивании тела
вправо сила упругости пружины растет
пропорционально тому расстоянию, на
которое оттянуто тело, и направлена
влево:
F=—kx, где
(9.2.4)
Положим гго=О при х=0, т. е. примем
потенциальную энергию ненатянутой
пружины за нуль. Получим
Легко убедиться, что этому и (х) по об-
общей формуле C) соответствует сила D).
Рассмотрим второй пример: силу
тяжести. Направим ось z вверх.
Сила тяжести, действующая вниз, рав-
равна —mg, где g — ускорение свободного
падения. Она не зависит от высоты z,
но ведь постоянную величину тоже
можно рассматривать как функцию, зна-
значения которой не меняются. Важно то,
что сила тяжести не зависит от времени
и скорости. Поэтому можно применить
полученные выше формулы. Примем за
нуль потенциальную энергию тела на
уровне Земли (т. е. при z=0). Тогда
z z
и (z) = — [ Fdz = — ( (—mg) dz = mgz.
о о
(9.2.6)
Потенциальная энергия линейно растет
с увеличением высоты тела над поверх-
поверхностью Земли.
В последнем примере мы предпола-
предполагали, что расстояние z мало по сравне-
сравнению с радиусом Земли. Будем теперь
рассматривать снова силу притяжения,
считая, что расстояния могут быть сколь
угодно большими. По закону тяготения
V/////
У/////.
u(x) = — \Fdx = k\xdx = k^-. (9.2.5) =mg =
Рис. 9.2.1
Ньютона сила притяжения обратно про-
пропорциональна квадрату расстояния от
притягивающей массы. Известно, что
для тела, находящегося над поверхно-
поверхностью Земли, сила притяжения ко всему
земному шару может быть заменена
силой притяжения к массе, равной
массе Земли и сосредоточенной в центре
Земли2. Удобно поэтому расстояние
отсчитывать от центра Земли. Обозна-
Обозначим его г. Итак, сила, действующая на
тело, направлена к центру Земли и по
абсолютной величине равна —j-, где кон-
константа С положительна.
Константу С легко определить из того
условия, что сила, действующая на по-
поверхности Земли (r=r0 «* 6400 км=
=6,4-106 м), хорошо известна: F (го)=
Q
-j-, т. е. C = mgrl, rneg — ус-
корение свободного падения (на поверх-
поверхности Земли gf^9,8l м/с2). Оконча-
Окончательно
(9.2.7)
Примем снова за нуль потенциальную
энергию тела на уровне Земли. Учиты-
Учитывая, что при увеличении расстояния г
2 Для тела, находящегося внутри Земли,
дело обстоит уже не так: здесь при расчете
силы надо учитывать только ту часть массы,
которая ближе к центру Земли, чем рас-
рассматриваемое тело.

270
Гл. 9. Механика
от центра Земли работа силы F будет
отрицательной, имеем
dr
в = — J Fdr — mgr l^ ~=
— mg — {r — r0). (9.2.8)
При малой высоте z = (r — г0) <^ г0 ве-
г0
личина — мало отличается от единицы,
и поэтому
(9.2.9)
что совпадает с полученной раньше фор-
формулой F). Однако с ростом г, как видно
из (8), потенциальная энергия не растет
неограниченно, как это было бы, если бы
была верна приближенная формула F),
а стремится к определенному пределу
и (со) = mgr0.
(9.2.10)
Таким образом, с учетом ослабления
притяжения с ростом расстояния от
центра Земли энергия тола на бесконеч-
бесконечном расстоянии будет такой же, как
вычисленная по приближенной формуле
энергия на расстоянии г0 от поверхности
Земли, т. е. на расстоянии 2г0 от центра
Земли.
В этой задаче мы встречаемся с физи-
физическим вопросом, в котором речь идет
о бесконечном расстоянии г.
Здесь, конечно, уместно вспомнить, что
в физической задаче нас могут интере-
интересовать лишь конечные величины,
конечные расстояния. Так, например,
если рассматриваются движение тела
и энергия тела, зависящие от притяже-
притяжения Земли, то непосредственно нас мо-
может интересовать процесс достижения
Луны, Марса или других планет либо
даже других звезд, т. о. достижение рас-
расстояний больших или очень больших
по сравнению с радиусом Земли, но все
же конечных! И запись г=со, разуме-
разумеется, для физика может иметь лишь
смысл г ^ г0.
Пусть рассматривается вопрос о за-
запуске ракеты на большую высоту, на
большое расстояние от Земли. Мы хотим
знать необходимую энергию и время
полета. Рассмотрим два случая:
1) ракета должна пролететь расстоя-
расстояние R = 10г0, где г0 — радиус Земли;
2) ракета должна пролететь расстоя-
расстояние i?=100r0.
Работа, необходимая для того, чтобы,
оторвавшись от Земли, ракета могла
удалиться на расстояние R от центра
Земли, равна
(9.2.11)
Вспоминая, что го«^6,4-1О6 м, получим
в первом случае A1p^mg- 5,76- 10е, а во
втором случае A ^^amg-Q,ЗА-10е.
Изменение расстояния в 10 раз незна-
незначительно повлияло на величину необхо-
необходимой энергии. Если бы мы подставили
«значение» R — cq (напоминаем, что
со — это не число!), то получили бы
А ~mo-.R4-.106
XIqq /-<Z/ lite; * v)j^fc • X\J t
Работа At отличается от A m на 10%,
Аг от Л о, — на 1%, т. о. при подсчете
работы А2 (и даже работы А]) величину
R можно свободно заменить бесконеч-
бесконечностью. Однако изменение R сущест-
существенно скажется на в р е м е н и полета,
поэтому при рассмотрении времени за-
заменять R бесконечностью никак нельзя.
Таким образом, одна и та же вели-
величина R в одной и той же задаче при рас-
рассмотрении разных сторон вопроса иногда
может заменяться на бесконечность,
иногда же такая замена не является за-
законной. Возможность подобной замены
зависит не только от самой величины R
(и ее сравнения с другими входящими
в формулу величинами той же размер-
размерности, в данном случае с г0), но и от стро-
строения той формулы, в которой произво-
производится замена.
Возвращаясь к вопросу о потенциаль-
потенциальной энергии тела, притягиваемого
к Земле, найдем численное значение
и (со) на единицу массы: оно равно
gr0 яа 9,81.6,4.10е «* 6,28.10*Дж/г. Эта
величина в 30 раз больше теплоты испа-
испарения воды и в 10 раз больше химиче-
химической энергии взрывчатых веществ.
В задачах небесной механики и в фи-
физике целесообразно выбирать за нуль
потенциальную энергию тела, находя-
находящегося на бесконечном расстоя-
расстоянии от притягивающей его массы. Тогда
для потенциальной энергии тела, нахо-
находящегося на расстоянии г от центра
Земли, получим
= — -^-, (9.2.12)

§ 3. Равновесие и устойчивость
271
где. как и ранее, С — константа в выра-
г. С
женин силы t = j-; она определяется
по формуле C—mgrl, если известно ус-
ускорение g на поверхности Земли и ра-
радиус г0 Земли.
Можно получить другое выражение
для С. Действительно, по закону тяготе-
„ „ тМ
ния Ньютона г = —х —^-, где т — масса
тела, притягиваемого к Земле, М —
масса Земли, г — расстояние до центра
Земли, х — гравитационная постоянная,
х=6,7-1О-иН-ма/ета=6,7-1О-им3/(кг.с2).
Поэтому С=у.тМ. Пользуясь этой
формулой, легко определить С, зная
х И 'М.
В действительности с помощью лабо-
лабораторных опытов, измеряя притяжение
друг к другу тяжелых шаров известной
массы, находят величину х. Только
после этого, измеряя притяжепие тела
к Земле, удается найти массу Земли.
Вид функции, выражающей закон Нью-
Ньютона, т. е. тот факт, что сила убывает
обратно пропорционально квадрату рас-
расстояния, доказывается сравнением при-
притяжения к Земле тела, находящегося на
поверхности Земли, и притяжения да-
далекого тела — Луны, а также сравне-
сравнением притяжения к Солнцу планет, на-
находящихся на различных расстояниях
от Солнца: от Меркурия до Плутона.
Задача о потенциальной энергии
двух электрических заря-
зарядовой е2 совершенно аналогична пре-
предыдущей. Сила взаимодействия между
ними равна
F=lc-^p-. (9.2.13)
При этом коэффициент к в A3) равен
единице, если заряды выражены в элект-
электростатической системе единиц (единица
заряда у—птз К-т (кулона)), а сила —
в динах (обозначение: дин; 1 дина =
= 10~Г) Я); в системе СИ, где заряды вы-
выражаются в Кл, а сила — в Н, в фор-
муле A3) к = -ц- • i 0~13. В формуле нет
знака минус, который стоит в выраже-
выражении для силы тяготения. Действительно,
если заряды ех п е2 одноименные (оба
положительны или оба отрицательны),
то произведение е,ей положительно. Но
в этом случае заряды отталкиваются,
т. е. сила F положительна.
Определяя снова и (г) так, чтобы
было и (оо)=0, получим
и{г) = к^-. (9.2.14)
Потенциальная энергия двух одноимен-
одноименных зарядов на конечном расстоянии
положительна: они отталкиваются и,
расходясь с расстояния г до со, могут
совершить работу, равную
и (г) — и (со) = и (г).
Потенциальная энергия двух разно-
разноименных зарядов отрицательна. Дейст-
Действительно, ехег <С 0, если ех > 0, е2 <С 0.
Это ясно и из физических соображений:
так как разноименные заряды притяги-
притягиваются, то нужно затратить энергию
для того, чтобы растащить их на беско-
бесконечное расстояние.
Отметим, что благодаря закону сохра-
сохранения энергии потенциальную энергию
моншо определить не только как способ-
способность производить работу, но и как ра-
работу, которую нужно было затратить
для приведения системы в данное со-
состояние. Растянутая пружина способна
произвести определенную работу, воз-
возвращаясь в нерастянутое состояние.
Очевидно, что именно такую же работу
надо было затратить для того, чтобы рас-
тяпуть пружину. Аналогичные утверж-
утверждения можно высказать в случае тела,
поднятого на определенную высоту над
Землей, или для системы двух зарядов.
§ 3. Равновесие и устойчивость
Рассмотрим тело, которое может дви-
двигаться без трения вдоль какой-то пря-
прямой, принимаемой нами за ось х. Пусть
на тело действует сила, направленная
вдоль этой оси и зависящая от коорди-
координаты х (здесь можно снова представить
себе, например, пружину; ниже мы
разберем и другие примеры).
Положение равновесия характеризу-
характеризуется равенством пулю действующей на
тело силы, т. е. тем, что тело в этом по-
положении может оставаться в покое.
Точку, в которой имеет место равнове-
равновесие, обозначим через х0, так что F (х0) —
=0. Разлагая функцию F (х) в ряд Тей-
Тейлора и пренебрегая всеми степенями
(х—ха), кроме первой, видим, что воз-
возможны два варианта зависимости F—
=F (x) в окрестности точки х0 равнове-
равновесия, где F (хо)=О : F (x)^ikt (х—х0) и

272
Гл. 9. Механика
F (x)tt—kz (x—x0) (здесь мы считаем,
что &! и кг — положительные величины).
Первый случай показан на рис. 1, а,
а второй — на рис. 1, б.
Рис. 9.3.1
Этим случаям соответствует совер-
совершенно различный характер равновесия.
В самом деле, в случае рис. 1, а, если
тело находится несколько правее точки
х=х0, то на него действует положитель-
положительная сила, т. е. сила, которая тянет его
дальше вправо. Таким образом, в слу-
случае рис. 1, а равновесие в точке х—ха
неустойчивое: достаточно малого откло-
отклонения тела (безразлично вправо или
влево), чтобы на тело начала действо-
действовать сила, увеличивающая это
отклонение. Напротив, в случае рис. 1, б
при отклонении тела вправо сила отри-
uf-ro>
Рис. 9.3.2
цательна, т. е. тянет влево. Отклонение
тела от положения равновесия вызывает
силу, стремящуюся возвратить
тело в положение равновесия. В этом
случае имеем дело с устойчивым равнове-
равновесием. Легко убедиться, что для тела,
закрепленного на пружине, осуществ-
осуществляется второй случай.
В соответствии с выписанными выше
выражениями силы находим выражения
потенциальной энергии, пользуясь B.2).
В случае неустойчивого равновесия
U (Х) Til U (Жо) — tj-Aj (Х — Ж„J.
В случае устойчивого равновесия
и (х) да и (х0) -\--укг(х — ж0J.
Графики функции и=и (х) для этих
двух случаев изображены на рис. 2.
Таким образом, в случае неустойчи-
неустойчивого равновесия потенциальная энергия
имеет максимум, в случае устой-
устойчивого равновесия — м и н и м зг м.
В обоих случаях в самой точке макси-
п dn „
мума или минимума г = — -з— =0,
т. е. сила равна нулю.
Этот результат является вполне ес-
естественным. Если тело находится в со-
состоянии максимума потенциальной энер-
энергии, то при перемещении в обоих напра-
направлениях выделяется энергия, кото-
которая, превращаясь в кинетическую энер-
энергию, может пойти на преодоление инер-
инерции. Если же тело находится в состоя-
состоянии минимума энергии, то для переме-
перемещения его в любое другое положение
нужно затратить энергию извне; эта
энергия пойдет на увеличение потенци-
потенциальной энергии; затратив малую энер-
энергию, можно будет лишь незначительно
сместить тело. Такие свойства тела, на-
находящегося в положении минимума по-
потенциальной энергии, полностью соот-
соответствуют понятию устойчивого равно-
равновесия.
При действии силы тяжести вблизи
поверхности Земли потенциальная энер-
энергия равна mgz, где z — высота над по-
поверхностью Земли. Линии, изображаю-
изображающие зависимость и (х), здесь совпадают
с графиком зависимости высоты z тела
от горизонтальной координаты х. Надо
представить себе тело, которое движется
вдоль кривой линии как бусина, нани-
нанизанная на жесткую проволоку. Кри-
Кривая и (х) соответствует форме проволоки,
если плоскость чертежа расположить
вертикально. Тогда очевидно, что мак-
максимум и (х) (см. рис. 2, а) отвечает точке
проволоки, с которой бусины при ма-
малейшем толчке скатываются вниз, уходя
вправо и влево от максимума, минимум
же и (х) (см. рис. 2, б) — нижней точке,
в которой бусины находятся в устойчи-
устойчивом положении и куда они сами скаты-
скатываются с соседних участков.
Таким образом, по графику и (х)
можно наглядно представить себе на-
направление сил и характер равновесия.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Пусть заряженное
тело движется по прямой (примем ее за
ось х), на которой закреплены непод-
неподвижно два одинаковых заряда еъ сим-

§ 3. Равновесие и устойчивость
273
метричных относительно начала коорди-
координат и удаленных на расстояние 2а
один от другого (рис. 3).
Ясно, что в этом случае начало коор-
координат является положением равновесия
тела. Действительно, здесь силы, дей-
действующие на тело со стороны неподвиж-
неподвижных зарядов, равны по величине и про-
противоположны по направлению, так что
они уравновешиваются, т. е. их равно-
равнодействующая равна нулю.
Потенциальная энергия и (х) тела с за-
зарядом е равна
где гиг — соответственно расстояния
от тела до левого и правого зарядов,
т. е. г'—х-\-а, г"=а—х. Поэтому
и
(х)=е1е(—~ 1 —). (9.3.1)
Соответствующие кривые изображены
на рис. 4. Верхняя кривая соответст-
соответствует случаю ехе ^> О, т. е. случаю одно-
одноименных зарядов тела и неподвижных
зарядов, нижняя — случаю ехе <С 0, т.е.
случаю, когда тело имеет заряд, проти-
противоположный по знаку неподвижным за-
зарядам.
В случае еге <С О равновесие в начале
координат неустойчиво. Дейст-
Действительно, тело притягивается и к ле-
левому, и к правому заряду; в начале
координат силы притяжения к двум
зарядам уравновешивают друг друга.
Однако если тело немного сдвинется,
например, вправо, то притяжение к пра-
правому заряду окажется сильнее и тело
будет продолжать двигаться в ту же
сторону. Аналогичные соображения
убеждают нас и в том, что при ехе ^> О
равновесие устойчиво: здесь при
малом сдвиге тела вправо (большее)
отталкивание правого заряда будет стре-
стремиться вернуть его в исходное поло-
положение.
Пользуясь A), по-
Найдем
лучаем
-+¦
(а -х)
(9.3.2)
Полагая в формуле B) х=0, находим
d2u
d2u
Следовательно, если ехе ^> 0, то -j-j ^
при ж = 0. В этом случае и(х) имеет
минимум при х = 0, равновесие
устойчиво. Если же ехе <С 0, то
Рис. 9.3.3
d2u
dx1
<Г U, т. е. и(х) имеет макси-
м у м при х = 0, равновесие неустой-
неустойчиво.
Пример 2. Рассмотрим случай^
когда заряды расположены на том же
ее,>0
Рис. 9.3.4
расстоянии от начала координат, но на
прямой, перпендикулярной к линии
(оси абсцисс), по которой движется за-
заff
Рис. 9.3.5
dx2
ряженное тело (рис. 5). В этом случае
потенциальная энергия равна
ц(!с) = 27-^-г.
График функции и (х) приа=1, |e1ej=l
изображен на рис. 6. При еге ^> 0 рав-
равновесие в начале координат неустой-
неустойчиво. При заряде е тела, отличаю-
отличающемся по знаку от неподвижных заря-
зарядов elf т. е. при ехе <^ 0, равновесие
устойчиво.

274
Гл. 9. Механика
Это нетрудно установить, рассматри-
рассматривая силу, действующую на подвижный
заряд (рис. 7). Пусть еге > 0. Сместим
тело вправо от положения равновесия.
Тогда равнодействующая сил отталки-
отталкивания направлена тоже вправо, в сто-
сторону дальнейшего у в е л и ч е н и я от-
отклонения. Равновесие неустойчи-
Рис. 9.3.6
в о е. В случае ехе <^ 0 равнодействую-
равнодействующая направлена в сторону умень-
уменьшения отклонения; равновесие у с-
тойчивое.
К этим результатам также нетрудно
прийти, рассматривая вторую произво-
произвола I , ,. ,
дную -r-j | (сделайте это сами).
Обратим внимание, что при ехе ^>0,
когда в примере 1 (см. рис. 3) была ус-
У,
Рис. 9.3.7
тойчивость, в примере 2 (см. рис. 5)
равновесие неустойчиво. При ехе < 0
(разноименные заряды) положение об-
обратное: равновесие неустойчиво при рас-
расположении зарядов в соответствии
с рис. 3 и устойчиво при расположении
их, как на рис. 5.
Повернув рис. 5 на 90°, мы заметим,
что он, в сущности, относится к тому же
начальному распределению зарядов в по-
положении равновесия, что и рис. 3.
Можно сказать, что рис. 3 и 5 относятся
к одинаковому начальному распределе-
распределению зарядов, но рассматриваются раз-
разные направления движения. При этом
всегда (при любых знаках зарядов)
в каком-либо из направлений движения
равновесие оказывается неустой-
неустойчивым.
В электростатике доказывается, что
этот результат является совершенно
общим: в пространстве между внешними
закрепленными зарядами нигде нет та-
такой точки равновесия, чтобы равновесие
было устойчивым относительно переме-
перемещений в любом направлении.
Приведенное ниже общее доказательство
этого факта может показаться читателю до-
довольно сложным; его можно пропустить без
ущерба для понимания дальнейшего мате-
материала.
Заметим, что зависимость потенциальной
энергии заряда е, находящегося в точке
(х, у, -), от его расстояния г от неподвижного
заряди pi, помещенного в точку (х\, j/i, zi),
дается формулой
Рассмотрим движение по осп х и найдем
cl2u
-у7"? 1'ри постоянных у и z; эта величина на-
называется (второй) частной производной от и
д2и
по х и обозначается через -т-j. Затем ана-
д2а д2и
логично найдем ^—j и yY> относящиеся
соответственно к движению по осям у и z.
Оказывается \ что в нашем случае при лю-
любых х, у, z, хи (/ь Zj сумма- вторых произ-
производных по трем переменным х, у, z (им от-
отвечают три взаимно перпендикулярные оси
координат) равна нулю2:
^i + i!ii + i^- = 0. (9.3.3)
ОХ* Оу 02.
Очевидно, это свойство сохранится п для
еке
суммы любого числа членов вида —• , где ск —
неподвижный заряд в точке (хк, ук, zk), а гк —
расстояние заряда е от этой точки. Следова-
Следовательно, при любом распределении неподвиж-
неподвижных зарядов в пространстве имеет место фор-
формула C).
1 Читателю следует самому в этом убе-
убедиться. Заметим, что точка (%, уг, zx), в кото-
которой находятся неподвижный заряд, отлича-
отличается тем, что в пей функция и ее производные
бесконечны;' эту точку мы исключаем пз рас-
рассмотрения. Относительно путей, позволяющих
рассматривать такие точки, см. гл. 16.
2 Функции и (х, у, z), для которых выпол-
выполняется это условие, называют гармоническими',
онн играют большую роль во многих разде-
разделах физики (ср. гл. 15 и 17).

§ 4. Второй закон Ньютона
275
В частности, соотношение C) справедливо
и для той точки, где имеет место положение
равновесия заряда е. Но для равнове-
равновесия необходимо, чтобы в этой точке сумма
проекции сил на каждую из осей была равна
нулю. Для этого нужно, чтобы
дх
— ведь если проекции силы на три перпендику-
перпендикулярные оси равны нулю, то равна нулю и сама
сила (векторная величина!), т. е. равна нулю
проекция силы на любое направление я.
Для того чтобы равновесие было устойчи-
устойчивым относительно движения по всем трем вза-
взаимно перпендикулярным направлениям,
нужно, чтобы выполнялись неравенства:
ИЛИ
(Рх
m
(9.4.2)
дги
(9.3.4)
Однако D) противоречит C), так как сумма
трех положительных величин не может рав-
равняться нулю.
Упражнения
9.3.1. Заряд е движется по прямой, на ко-
которой закреплены неподвижно два положи-
положительных заряда «1 и e.2=ie± на расстоянии 2а
один от другого. Найдите ту точку на прямой,
в которой возможно равновесие заряда е, и
установите характер равновесия. Рассмотрите
отдельно два случая: е > 0 и е < 0.
9.3.2. Решите упр. 1, изменив знак за-
заряда е2.
§ 4. Второй закон Ньютона
Сформулированный Ньютоном вто-
второй закон движения тела за-
заключается в том, что произведение массы
на ускорение равно действующей силе 1.
Ускорение а есть производная скоро-
скорости v по времени; в свою очередь ско-
скорость есть производная от координаты
тела по времени. Таким образом,
dv „
ma~m-f=F,
(9.4.1)
3 Если имеется отличная от нуля сила F
(вектор!), действующая с каком-либо направ-
направлении, то вдоль каждой оси будет»действовать
сила, равная проекции силы F на ату ось.
1 Первн и закон Ньютона — закон
инерции — утверждает, что тело, на кото-
которое не действуют никакие силы, движется
прямолинейно и равномерно. Это значит, что
при равной нулю силе ускорение тела также
равно нулю. Следовательно, первый закон
Ньютона содержится во втором законе, явля-
является его частным случаем.
Начнем со случая, когда сила задана
как функция времени: F=F (t). Это
d2x
означает, что производная -г^ задана
как функция времени. В таком случае
из закона Ньютона A) легко найти
скорость в любой заданный момент;
кроме действующей силы при этом надо
задать также скорость в какой-то мо-
момент t0. Тогда
t
(9.4.3)
Зная скорость в зависимости от вре-
времени v (t) и начальное положение тела
х (t0), найдем положение тела в любой
момент времени:
t
x{t) = x (t0) -f- \ v (t) dt, (9.4.4)
где v (t) дано предыдущей формулой.
Соотношение между скоростью и пу-
путем подробно рассматривалось в гл. 2.
В целом формулы C) и D) решают
задачу нахождения х (t) из уравне-
уравнения B). Соотношение B) — это диффе-
дифференциальное уравнение второго порядка:
в него входит вторая производная неиз-
неизвестной функции х (?). В ответ входит
не только заданная функция х (t), но
и две постоянные величины, определяе-
определяемые из начальных условий, которыми
служат положение тела и скорость тела
в начальный момент времени t0.
Если задан или экспериментально
найден закон движения тела, т. е. за-
задана функция х (t), то нахождение силы,
действующей на тело, не представляет
никакого труда: надо найти вторую про-
производную функции х (t) и умножить ее
на т (формула B)).
Упражнения
9.4.1. Найдите закон движения тела под
действием постоянной силы F, если в момент
времени f=0 тело покоилось в начале коор-
координат (ж=0).
9.4.2. То же, при условии: а) х=0, v=vB
при t—Q; б) х=х0, v=v0 при t=0.
9.4.3. Тело массой 20 кг начинает дви-
двигаться под действием силы 1 Н из начала ко-
координат без начальной скорости. Какой путь
пройдет оно за 10 с?

276
Гл. 9. Механика
9.4.4. Шарик свободно, т. е. с начальной
скоростью, равдой нулю, падает с высоты
100 м. Через сколько времени он достигает
Земли (сопротивлением воздуха пренебречь)?
9.4.5. В условиях предыдущей задачи ша-
шарик начинает падение со скоростью i>o=lO м/с.
Разберите два случая: а) начальная скорость
шарика v0 направлена вниз; б) начальная
скорость шарика va направлена вверх. Опре-
Определите, через сколько времени шарик достиг-
достигнет Земли. Какова его скорость в момент при-
приземления? Проверьте, что скорость приземле-
приземления одинакова в случаях а) и б).
9.4.6. На тело действует сила, пропорцио-
пропорциональная времеии, протекшему с начала дви-
движения (коэффициент пропорциональности
равен к). Найдите закон движения тела, если
известно, что тело начинает движение из
точки z=0 с начальной скоростью v0.
9.4.7. На тело действует сила, периодиче-
периодически меняющаяся со временем: F=f coscof,
где / и о) — постоянные числа.
а) Найдите закон движения тела при ус-
условии, что х=0, у=0 при t=0. Установите,
что такое движение является колеба-
колебательным. Определите период колебания,
наибольшее значение х (t), наибольшее зна-
значение скорости.
б) Тот ню вопрос для силы F~f sino)«,
причем снова х=0, v—О при t=0.
9.4.8. Тело движется под действием по-
постоянной силы F. В момент времени t=t0
тело находилось в точке х=х0. Найдите, ка-
какую скорость должно иметь тело при t=t0,
чтобы в момент времени l=t\ попасть в точку
x—xi.
§ 5. Импульс силы
Задача нахождения закона движения
тела при заданной зависимости силы от
времени в принципе решена в предыду-
предыдущем параграфе. Проанализируем полу-
Рис. 9.5.1
tP ? t
ченное решение и введем некоторые
связанные с ним новые понятия.
Произведение P=mv (массы на ско-
скорость) называется количеством движе-
движения. Величина
называется импульсом силы за время
от t0 до t.
Формула D.3) может быть записана
так:
t
P(t)-P (t0) = J Fdt {= I {t0, t)) (9.5.2)
— изменение количества движения рав-
равно импульсу силы.
Часто встречается случай силы, дей-
действующей только в течение крат-
краткого промежутка времени; примером
является удар молотком, отскакиваю-
отскакивающим после удара от тела. И до, и после
удара сила равна нулю. Если отсут-
отсутствуют другие силы, кроме краткой
силы удара, то очевидно, что до удара
тело движется с постоянной скоростью
и после удара оно движется с другой,
но также постоянной скоростью.
Пусть F (t) отлично от нуля только
в промежутке от tx до t2 (рис. 1). Рас-
Рассмотрим интеграл
F (t) dt.
(9.5.3)
Эту величину можно назвать пол-
полным импульсом силы — полным в том
смысле, что интеграл берется по всему
промежутку времени, когда сила фак-
фактически действует.
В выражение A) входит интеграл
от t0 до t. Если t0 < tx, a t > t2, то
I(t0, t)=
(9.5.1)
Действительно, запишем
t tt t, t
J Fdt = j Fdt -f J Fdt + J Fdt.
'o 'o h it
В правой части первый и третий ин-
интегралы равны нулю, так как в соот-
соответствующих промежутках F—0, а вто-
второй (средний) интеграл есть /. Таким
образом, из формул B) и C) получаем
Р (t)=P (to)+I, если to<t1, t>t8.
Из формулы D.3) следует, что ско-
скорость после удара зависит только от
импульса силы, т. е. от интеграла
силы; конкретный вид функции F (t)
на ней не сказывается. Например,
несколько различных кривых F (t), на-
нарисованных на рис. 2, а, дают одинако-
одинаковый импульс силы, т. е. одинаково

§ 5. Импульс силы
277
меняют скорость тела. Для каждой
из линий F (t) нетрудно нарисовать
соответствующий график скорости v (t).
На рис. 2, б изображены такие графики
в общем предположении, что начальная
скорость равна нулю. Общим для всех
кривых рис. 2, б является конечное
значение скорости: все кривые пере-
переходят справа в горизонтальную прямую
/
на высоте v = —.
т
Каждую пз кривых F (t) рис. 2
можно сжимать по оси времени и про-
пропорционально растягивать по оси силы.
Площадь под кривой F, т. е. J Fdt —
долный импульс силы, при этом не из-
изменяется. Именно так получена, на-
например, линия 2 на рис. 2, а из ли-
линии 1.
Чем короче время действия силы,
тем меньше время, в течение которого
скорость тела меняется от начального
значения vo-=O до конечного значения
и =— (см. рис. 2,6). Таким образом,
в пределе при очень большой силе,
действующей в течение очень малого
времени, график скорости приобретает
вид ступеньки (ср. рис. 3, а с кривой 2
на рис. 2, б). При этом становится
несущественным, какую из кривых
рис. 2, а мы сжимали: ступенька ха-
характеризуется только одной величиной
/
v = —, а она для всех кривых оди-
одинакова.
Если до действия силы тело покои-
покоилось в точке хп, то после кратковре-
кратковременного действия большой силы тело
начинает двигаться с постоянной ско-
скоростью, равной —. Если сила действо-
действовала в момент ?j (промежуток времени
от tx до t2 мы считаем малым и не раз-
различаем t2 ц tx), то положение тела
в зависимости от времени дается фор-
формулами:
х = хй при t
= х0 -j- — (t — tj при
(9.5.4)
Соответствующий график показан на
рис. 3, б. Отметим, что х (t) удовлет-
удовлетворяет уравнению
Напомним, что на графике (х, t)
dx
первая производная — связана с на-
наклоном касательной к кривой. Вто-
Вторая производная характеризует ско-
скорость изменения первой производной^
т. е. вторая производная связана с
/¦,
а
/7
а
ГЛ
—
2
д
/лгл
/[¦)¦/¦
i
Рис. 9.5.2
к р и в и з н^о й линии х (t) (см. § 7.9).
На рис. 3, б линия х (t) имеет и з-
л о м в точке ?=?х, х=х0. Излом можно
представить себе как точку, в которой
кривизна бесконечна, так что
наличие ^излома соответствует рассмо-
т
¦ = F{t)-
Рис. 9.5.3
трению очень большой (в пределе —
бесконечной) силы. Однако до и после
dx
излома производная -j- конечна: значит,
Clt
очень большая сила действовала очень
малое время, так что импульс силы
конеченх. Импульс легко определить
по графику (см. рис. 3, б), вычисляя
скорость после действия силы и исполь-
используя формулу B).
Найденный нами закон движения
тела, которое покоилось до момента
t—zt а в этот момент получило импульс
1 Подробнее о связанных с этим примером
математических конструкциях (S-функции Ди-
Дирака) говорится в гл. 16.

278
Гл. 9. Механика
силы /, поможет нам усовершенство-
усовершенствовать формулы D.3) и D.4) предыду-
предыдущего параграфа. Для этого нам пона-
понадобится специальный случай формулы
D), когда при t=z тело находилось
в начале координат (жо=О). Введем
специальное обозначение:
О
при t <^ т,
1V ' —it — i) при
(9.5.5)
Если подставить v (t) из D.3) в фор-
формулу D.4) и использовать более ак-
аккуратные обозначения (так, чтобы верх-
верхнему пределу и переменной интегри-
интегрирования отвечали разные буквы), то
получится выражение, на первый взгляд
довольно громоздкое:
(9.5.6)
Стоящий здесь интеграл можно пре-
преобразовать по формальным правилам
обращения с повторными интегралами.
Однако мы нигде не упоминали об этих
правилах, и поэтому интересующее нас
преобразованное выражение в виде
однократного интеграла мы получим,
пользуясь законом E) движения тела
под действием одиночного импульса
силы.
Действие силы F (t) за интервал
времени Д^ от некоторого момента -с
до t -j- Д т можно приближенно заме-
заменить (мгновенным) действием импульса
силы: hI=F (т) Дт. Движение тела
под действием такого импульса нам
уже известно (см. формулу E), в ко-
которой лишь нужно заменить / на Д/ (х)).
Дальше остается только сложить
вклады всех интервалов Д?4 в коорди-
координату х (?); в результате мы получим
(9.5.7)
4 5 *¦(•=) с-о*.
Здесь, как обычно, мы заменили сумму
большого числа членов, отвечающих
достаточно малым интервалам Д-:, на
интеграл (причем левую и правую
части G), отбросив промежуточные
части, можно соединить знаком строгого
равенства). Формула G) но учитывает
начальной координаты х (t0), а также
движения (t—10) v (t0) под действием
начальной скорости, ибо мы в G)
считали, что такое движение отсут-
отсутствует (v(to)=O, как и х (?0)=0). Бо-
Более общее выражение получим, если
прибавим эти члены к левой части G):
(9.5.8)
Формула (8) выгодно отличается от
F) тем, что в (8) интегрировать нужно
только один раз. Мы не сказали, почему
можно просто складывать слагаемые,
отвечающие отдельным импульсам, на-
начальной скорости и начальной коорди-
координате. Подробнее об этом говорится
в § 17.4. Здесь же нам достаточно того,
что можно непосредственно проверить,
чему равны х (?0), -- и ~, исходя
at t0 at"
из формулы (8). Для этого нужно про-
продифференцировать даваемое формулой
(8) х (t) аналогично тому, как это де-
делалось при проверке формулы (8.3.5).
Напомним читателю, что по треть-
третьему закону Ньютона при взаимодейст-
взаимодействии двух тел сила Рг, с которой второе
тело действует на первое, равна по
величине и противоположна по на-
направлению силе F2, с которой первое
тело действует на второе2:
Формула B) в применении к первому
толу и силе F1 дает
i
Рг (t) — Рх (t0) = \ Fxdt. (9.5.9)
Эта же формула в применении ко вто-
второму телу и силе F2 дает
t
P.z{l)-P2{l0)=\jF2dt. (9.5.10)
Так как по третьему закону Ньютона
F2 = —Fx, то
2 Здесь индекс у силы F указывает,
па какое тело действует эта сила; индекс у
буквы Р также указывает номер тела, к ко-
которому относится это количество движения-

7. Пнерциальные и неинерциальные системы отсчета
279
Поэтому A0) принимает вид
t
P2(t)-P2(t0)=-\F1dt. (9.5.11)
h
Сопоставляя (9) и (И), находим
Pl(*)- *\ Со) = ^2 Со) -ЗД.
отсюда
Последняя формула показывает, что
действие тел друг на друга не меняет
суммы, количества движения этих тел.
j 6. Кинетическая энергия
Рассмотрим тело, движущееся под дей-
действием известной силы F (t), и найдем
связь между работой, произведенной
этой силой, и скоростью движения тела.
Умножая обе части основного урав-
уравнения (второй закон Ньютона) m~^t==
= F(t) на скорость v, получим
mv — — F (l)v. (9.6.1)
Но согласно правилу вычисления произ-
производных от сложных функций (см. § 4.3)
dv d i v'1 \ _. „
v—r- — —г-(-о-) при люоои зависимости
dt dt \ 2 j ^
u = v(t). Поэтому A) можно переписать
так:
d I v
или, поскольку т — постоянная вели-
ч ина,
Вводя обозначение
-у-— /I,
подучим окончательно:
dt ч -
(9.6.2)
(9.6.3)
Вспомнив выражение A.1) для рабо-
работы, запишем
откуда
A = K(t1)-K(t0).
Величина К есть кинетическая энергия
тела; формула D) выражает закон
сохранения энергии: изме-
изменение кинетической энергии тела равно
работе, произведенной силой. Формула
C) выражает закон: скорость изменения
кинетической энергии равна мощности,
которую развивает сила.
Когда сила задана определенной
функцией времени, то импульс силы и,
следовательно, вызванное данной силой
изменение количества движения тела
не зависят ни от массы тела, ни от его
начальной скорости, так как импульс
силы и изменение количества движения
есть
\ Fdt. Напротив, работа силы
(9.6.4)
и изменение кинетической энергии тела
под действием силы, как видно из
формул B)—D), существенно зависят
не только от самой силы, но и от массы
тела и его начальной скорости. В са-
самом деле, действуя заданной силой
в течение определенного времени на
тяжелое тело, покоившееся в начале
движения, мы придадим ему лишь
малую скорость: перемещение тела бу-
будет мало и работа силы также будет
мала. Легкое тело заберет на себя боль-
большую работу, приобретет большую энер-
энергию. Если до начала действия силы
тело двигалось в сторону, противопо-
противоположную направлению действия силы,
то сила может уменьшить его энергию.
§ 7. Инерциальные и неинерциальные
системы отсчета
Представим себе тело, участвующее
одновременно в двух движениях. На-
Например, человек ходит по каюте паро-
парохода, или в каюте падает брошенный мяч,
а пароход движется. Предположим,
что одпо из этих движений (в нашем
примере — движение парохода) равно-
равномерное. Возникает вопрос: можно ли,
наблюдая падение мяча в каюте либо
движение в ней какого-нибудь тела
под действием приложенной силы, уста-
установить, движется пароход или нет?
Иначе говоря, влияет ли равномерное
движение парохода на характер дви-
движения предметов иа самом пароходе?
Оказывается, что нет, никак не влияет.
Опыты показали, что отсутствие влия-
влияния равномерного движения на физи-
физические явления относится не только

280
Гл. 9. Механика
к механике, но и к процессу распростра-
распространения света, к электрическим и маг-
магнитным явлениям. Из этого факта Эйн-
Эйнштейн сумел сделать выводы огромной
важности, развив специальную, а за-
затем и общую теорию относи-
относительности (в нашей книге тео-
теория относительности не излагается).
Ньютон, формулируя законы движения,
предполагал, что существует абсолют-
абсолютное время, общее для всего мира, и что
также существует абсолютное прост-
пространство, в котором развертываются все
мировые процессы. В предыдущем из-
изложении мы молчаливо принимали эту
гипотезу Ньютона. Можно представить
себе, что где-то помещено начало ко-
координат О, задающееся, скажем, исхо-
исходящими из точки О тремя взаимно
перпендикулярными металлическими
прутами с делениями (тремя осями
координат); в этой же точке располо-
расположены и часы. Тогда все просто и одно-
однозначно: координаты материального
тела определяются как проекции его
положения на прутья (на оси коорди-
координат) 1; тело покоится, если его коорди-
координаты постоянны. В общем случае, зная
зависимость х (t), у (t), z (t) коорди-
координат от времени, можно найти скорость
тела и его ускорение (точнее, три CO-
rf z du dz
ставляющих скорости -г-, -i-, -г н три
d2x dhj d2z
составляющих ускорения -^, -^, ^
Опыт (в данном случае астрономиче-
астрономические наблюдения) показывает, что за-
законы Ньютона справедливы в системе
координат, начало которой совмещено
с центром тяжести солнечной системы,
одна ось направлена на Полярную
звезду, вторая — на какую-нибудь
подходящую звезду на экваторе и
третья — также на звезду, находящу-
находящуюся на оси, перпендикулярной первым
двум осям. Масса Солнца равна
2-1030 кг, масса Юпитера — 1,9-1027 кг,
а его расстояние от Солнца — 777,8X
Х109 м; масса других планет гораздо
1 Для простоты мы везде рассматриваем
тело малого размера (иногда в этом случае
говорят о «материальной точке»). Теория дви-
движения твердых тел конечного размера, которые
могут еще вращаться и деформироваться,
слишком сложна для данной книги. Если|име-
ются в виду тела конечных размеров, то в даль-
дальнейшем, говоря о положении и движении тела,
мы всегда имеем в виду положение и перемеще-
перемещение его центра тяжести.
меньше массы Юпитера. Поэтому центр
тяжести солнечной системы находится
на расстоянии около 0,78-109 м от
центра Солнца со стороны, обращенной
к Юпитеру. Радиус Солнца равен
7-Ю8 м, так что центр тяжести солнеч-
солнечной системы, а следовательно, и «на-
«начало» координат, которым пользуются
в астрономических расчетах, лежат вне
поверхности Солнца.
Можно в качестве системы коорди-
координат воспользоваться земными ориен-
ориентирами. Например, поместим начало
координат на Красной площади в Мо-
Москве, одну ось направим вертикально
вверх, вторую — в горизонтальной
плоскости на север, третью — по ши-
широте, по направлению запад—восток.
В такой системе законы Ньютона вы-
выполняются с меньшей точностью; о при-
причинах этого будет сказано ниже.
Даже без специальных опытов, из
самих законов Ньютона следует, что
система координат, в которой эти за-
законы справедливы, не единственная.
В самом деле, второй закон Нью-
Ньютона имеет вид
™ &¦ = ?*¦ (9.7.1)
Если добавить к х линейную функцию
от времени, то ускорение не изменится:
ведь если хх (t)=x (t)-\-a-\-bt, то
dxx dx , , д?хх d^x „
~dT 5F~T~ ' dt2 ~~~dir~ x'
Но при каком изменении системы коор-
координат положение тела, которое раньше
характеризовалось функцией х (t), бу-
будет задано функцией хх (t)=x (t)-ra+
+bf? Если в момент ?=0 перенести
начало координат в точку Ои причем
х (О1, t=0)=—а, то в новой системе
координат в момент t—О будем иметь
хх—х-\-а. Если к тому же новое начало
координат движется влево со ско-
скоростью —Ъ, то в момент t положение
нового начала Ох имеет координату
х {О-у) = —а—Ы. Отсчитанное от этого
начала положение тела
хг = х it) -f- a -f- bt,
(9.7.2)
т. е. как раз такое, какое нам нужно,
чтобы закон Ньютона остался справед-
справедливым (см. выше). Новая система дви-
движется относительно старой системы
с постоянной скоростью —Ъ,
т. е. так же, как движется по инерции

§ 7. Инерциальные я неинерциальные системы отсчета
281
тело, на которое не действуют ника-
никакие силы. Поэтому говорят, что за-
законы Ньютона справедливы в инерци-
алъных системах координат — в си-
системах координат, движущихся одна
относительно другой по закону инер-
инерции, без участия сил.
Еще до Ньютона принцип равно-
равноправия инерциальных систем отсчета
сформулировал Галилей. Он писал, что
в каюте корабля, скользящего с по-
постоянной скоростью по спокойной воде,
все явления происходят в точности
так же, как и в каюте покоящегося
корабля. Таким образом, среди всего
огромного разнообразия систем коор-
координат, которые можно связать, напри-
например, с любой звездой, планетой или
кометой, выделяется один более узкий
класс инерциальных систем,
в которых выполняются законы Нью-
Ньютона.
В системе координат, вращаю-
вращающейся относительно инерциальной
системы, появляются дополнительные
члены в уравнениях движения (центро-
(центробежная и кориолисова сила, но в дан-
данной книге нет возможности подробно
говорить о них). Вращение Земли вно-
вносит поправки в уравнения, записанные
в земных координатах. К счастью,
ориентируя оси по далеким звездам,
мы с большой точностью осуществляем
практически невращающуюся инерци-
альную систему (т. е. одну из инер-
инерциальных систем). В течение какого-то
времени существовали ученые, делав-
делавшие из этого факта вывод о том, что
само свойство инерции зависит от реаль-
реального наличия далеких звезд; однако
сейчас эта точка зрения сдана в архив.
Обсуждать можно не (безусловное)
свойство инерции, а лишь свойства
(точнее, расположение) звезд. Ближай-
Ближайшие звезды удалены от Солнца на рас-
расстояния порядка 1016—1017 м и дви-
движутся относительно Солнца со скоро-
скоростями порядка 10—50 км/с. Хотя эти
скорости и не малы, но угловые пере-
перемещения звезд ничтожны; поэтому-то
связанную с далекими звездами (ориен-
(ориентированную по ним) систему координат
и можно считать инерциальной систе-
системой, в которой Солнце покоится.
Можно ли отказаться от инерциаль-
инерциальных систем? Интересна, например, си-
ситуация в системе координат, где ориен-
ориентация осей не изменяется, оси с тече-
течением времени не поворачиваются, но
начало координат движется уско-
ускоренно вдоль одной из осей относи-
относительно начала координат какой-то инер-
инерциальной системы отсчета.
Итак, пусть исходная система коор-
координат — инерциальная и нам задан закон
движения начала координат новой си-
системы О1 (х):
Тогда х1 (t)=x (?)+/ (t) и, значит,
* ~dfi~T~dfi~ m *~T~ dt2'
dt
dt2'
Измеряя хх (t) и применяя закон Нью-
Ньютона к этой величине, наблюдатель
придет к выводу, что на тело, кроме
известной ему силы, действует еще
одна сила, равная т -ф. Сравнивая
разные тела, наблюдатель убедится,;
что эту дополнительную силу нужно
считать пропорциональной массе тела;
лишь в этом случае дополнительное
(появившееся в новой системе коорди-
нат) ускорение -щ не оудет зависеть от
массы тела.
Но свойство пропорциональности
силы массе тела характерно для силы
тяготения! Таким образом, явления,
происходящие в неинерциальной си-
системе координат, движущейся с неко-
некоторым ускорением, подобны тем, кото-
которые происходят под действием сил
тяготения. Эти очень простые сообра-
соображения послужили для Эйнштейна ис-
исходным пунктом при создании совре-
современной теории тяготения — так назы-
называемой общей теории относительности.
Приведем один замечательный при-
пример ускоренно движущейся системы.
Рассмотрим наблюдателя, находящегося
в кабине лифта. Пока лифт покоится,
наблюдатель ощущает силу земного
тяготения. В частности, наблюдатель,
спокойно стоящий в кабине, опирается
на пол кабины с силой, равной его
весу Mg, где М — масса наблюдателя,
g — ускорение свободного падения.
Теперь представим себе, что в мо-
момент t=0 оборвались тросы, удержи-
удерживающие кабину, и она начала падать
по закону свободного падения:

282
Гл. 9. Механика
здесь Z — высота кабины над уровнем
Земли. Рассмотрим наблюдателя внутри
кабины, отсчитывающего свою высоту
% от пола лифта. С высотой над уров-
уровнем Земли z координата г, связана
уравнением
Напишем уравнение для координат zx
тела (материальной точки), на которое
действуют какие-то силы F (натяжение
пружины и т. п.) и сила тяготения,
равная —gm. В земной системе коор-
координат уравнение движения точки будет
таково:
Используя это уравнение, можно
найти уравнение движения точки в си-
системе координат z1? связанной с лифтом:
J .O " IIV \ , ,?)
сила тяготения уменьшилась всего на
несколько процентов:
В этой системе координат исчезла сила
тяжести! В свободно падающем лифте
имеет место невесомость. В частности,
для тела, на которое никакие внешние
силы пе действуют, имеем
dt2
¦0;
этому уравнению удовлетворяет реше-
решение Zj=const — состояние покоя от-
относительно лифта. (Напомним, что
с точки зрения земного наблюдателя
кабина и тело в ней падают с одинако-
одинаковой скоростью и одинаковым ускоре-
ускорением g.)
Состояние невесомости закончится
лишь тогда, когда кабина, достигнув
дна шахты, по необходимости остано-
остановится (может быть, разбившись при
этом на куски). До этого момента во
время падения невозможно опытами
внутри кабины установить существо-
существование поля тяготения Земли.
Работа над настоящей книгой (в од-
одном из предыдущих ее вариантов) была
начата еще до первых полетов человека
в космос. В настоящее время большин-
большинство из Вас уже смотрели телевизион-
телевизионные передачи с бортов космических
кораблей. Вы убедились воочию, что
на борту корабля имеет место явление
невесомости. Но ведь космический ко-
корабль удалился от Земли всего на 200—
300 км, когда в силу закона Ньютона
Значит, та полная невесомость, которая
царит на борту корабля, получена
в основном не за счет ослабления силы
тяжести вследствие удаления от Земли,
а за счет того, что космический корабль
при выключении двигателей сам нахо-
находится в режиме свободного падения,
подобен падающему лифту.
Теперь можно снова и по-другому
взглянуть на инерциальную систему
отсчета, связанную с Солнцем. Мы не
утверждаем, что пренебрежимо малы
и гравитационный потенциал, и сила
тяготения, влияющая на Солнце и на
все тела в солнечной системе вследствие
притяжения других звезд нашей галак-
галактики и других галактик. При равно-
равномерной (в среднем) плотности вещества
и потенциал, и сила выражаются ин-
интегралами, имеющими бесконечное зна-
значение (этот факт носит название «грави-
«гравитационный парадокс»). Но абсолютное
значение гравитационного потенциала
нигде в теории не фигурирует; произ-
производная потенциала — сила притяжения
со стороны внешних тел — также
полностью компенсируется свободным
«падением» солнечной системы независи-
независимо от того, конечна ли эта сила или бес-
бесконечна. Так обосновывается возмож-
возможность изучения солнечной системы не-
независимо от всей остальной Вселенной,
устраняется гравитационный парадокс.
§ 8*. Преобразования Галилея. Энер-
Энергия в движущейся системе отсчета
Вернемся теперь к инерциа ль-
н ы м системам отсчета и рассмотрим
подробнее соотношения между описа-
описанием одного и того же явления в раз-
различных инерциальных системах. Пусть
тело как-то движется в поезде, который
в свою очередь идет с постоянной
скоростью v0 в определенном (указы-
(указываемом рельсами) направлении, кото-
которое мы примем за направление оси х.
Будем еще считать, что поезд едет в сто-
сторону возрастания абсцисс х. В таком
случае координата хг тела по отноше-
отношению к неподвижному относительно же-
железнодорожных путей наблюдателю —
скажем, стоящему на железнодорож-

§ 8*. Преобразования Галилея. Энергия в движущейся системе отсчета
283
ной станции, от которой отъехал по-
поезд, — будет связана с координатой х
тела относительно выбранной внутри
поезда системы отсчета (начало кото-
которой может совпасть, скажем, с'задней
стенкой вагона) соотношением
= х
а>
где величина а зависит от выбора на-
начала отсчета координат х1: так, если
начало координат хг совпадает с пунк-
пунктом, откуда выехал поезд, то а есть
^-координата задней стенки вагона
в момент t—О (ср. с формулой G.2)).
Если, кроме того, считать начало от-
отсчета «поездного» времени t (за такой
«начальный момент» можно принять,
скажем, начало движения поезда) от-
отличным от начала отсчета «абсолют-
«абсолютного» (не связанного с поездом) вре-
времени tx (например, можно положить,
что момент tx=0 совпадает с «нулевыми
показаниями» часов в пункте, от кото-
которого мы отъезжаем х), то формулу для
хх придется еще дополнить следующей:
где Ъ — «абсолютное» время tx в мо-
момент t=0 (в момент отхода поезда).
Преобразования
x1 = x-\-vQt-\- a,
(9.8.1)
определяют связь менаду координа-
координатами (хъ 1г) и (х, t) одного и того же
тела в двух инерциальных системах
отсчета, одна из которых (поезд) равно-
равномерно движется относительно другой
(станция) со скоростью v0; они назы-
называются преобразованиями Галилея.
Предположим теперь, что тело дви-
движется в поезде (в сторону возрастания
абсцисс х) с некоторой скоростью v;
тогда
x = xQ + vt. ' (9-8-2)
При этом, очевидно, имеем
а = (хо
(9.8.3)
1 Разумеется, при далекой поездке в но-
новом положении поезда время 00 ч 00 мин мо-
может измениться в результате переезда в дру-
другую часовую зону, что делает особенно умест-
уместным различия «поездного времени» t и «вре-
«времени пункта отправления» Ц.
(Можно также, заменив t на tx—b,
переписать последнюю формулу так:
x1=[(x0+a)—(v+v0) b]+(v+v0) ti, мы,
однако, для простоты не будем разли-
различать tx и t.) Из C) следует, что но отно-
отношению к наблюдателю, стоящему на
станции, тело движется со скоростью
v1=vJrv0. При этом она, разумеется,
будет разной для наблюдателя, стоя-
стоящего на станции, и для наблюдателя,
едущего в поезде. Но вот ускорение
тела для этих двух наблюдателей будет
уже одинаковым:
dv-± d dv dv0 dv
dt dt ^ dt dt dt
— ведь постоянное слагаемое y0=const
в выражении для скорости не изменит
ускорения. Поэтому и сила, действую-
действующая на тело, не меняется:
F = та1 = та.
Разность скоростей тела до и после
действия силы тоже одинакова для
наблюдателя, находящегося на стан-
станции, и для наблюдателя, едущего в по-
поезде. Действительно, пусть скорость
тела по отношению к наблюдателю, сто-
стоящему в поезде, до действия силы есть
v', а после действия силы v"; для на-
наблюдателя, находящегося вне поезда,
соответствующие скорости будут v[ и v"v
Тогда v[ = v' -f- v0 и v'[ = v" -f- v0, по-
поэтому
y'l — v[=: v" -\-V0 — V' — Vo = v" — V'.
Сложнее обстоит дело с кинетиче-
кинетической энергией: не только сама кине-
кинетическая энергия, но даже и разности кине-
кинетических энергий различны для различ-
различных наблюдателей. Для наблюдателя, стоя-
стоящего на станции,
т (v" +
(у' +
m(v"? m(v'Y ,
= —2— ~2~— ~1~ mvov — mvov =
В этой формуле К'[, К[ — конечная и началь-
начальная кинетическая энергия, вычисленная на-
находящимся вне поезда наблюдателем, а К"
ж К' — соответствующая кинетическая энер-
энергия, вычисленная пассажиром поезда.
Работа силы и мощность для различных
наблюдателей также будут различны, так как
хотя сила одна и та же, но и пройденные пути,

284
Гл. 9. Механика
и скорости будут различны для наблюдателя,
стоящего на станции, и для наблюдателя
в поезде. Однако, хотя изменение кипетической
энергии и работа силы будут неодинаковы
для разных наблюдателей, равенство этих
двух величин будет пметь место для каж-
каждого наблюдателя! (Примеры, подтверждаю-
подтверждающие этот закон, имеются в упражнениях.)
Рис. 9.8.1
о
?
Отметим замечательную формулу, которая
справедлива, если тело движется под дейст-
действием одной только данной силы F (t):
Л
F (t) у (г) di = -гг= — -^ =
[mvi — mvo)
Таким образом, в этом случае скорость v (t)
можно вынести из-под интеграла, заменяя ее
средним арифметическим начальной и конеч-
конечной скоростей движения.
Этот вывод справедлив только в том слу-
случае, если v (t) есть скорость, полученная те-
телом в результате действия лишь одной
силы F (?)• Если же на тело действует н е-
сколько сил: Fi, F2, F3, то работа, про-
произведенная всеми силами, равна произведению
средней скорости на сумму импульсов всех
сил:
t,
А =-
'"о
2
V\
Vo
'1 *1
J FxAt + I>1 j "a jj F2di
(9.8.4)
Однако работа каждой из сил в отдельности
(например, силы F2) не равна соответствую-
t,
щему слагаемому о~— \ F?At в формуле D),
так как сила F2, действуя отдельно, сообщила
бы телу скорость, отличную от скорости
v (t) (см. упр. 6).
Выше мы видели, что выбранные на прямой
(ось х) две инерциальные системы отсчета
(х, t) и (х', ?') связапы одна с другой формулами
х' =x + vt + a, t'—t-\-b, (9.8.5)
где v — скорость системы отсчета (х, t) от-
относительно системы отсчета (х , t') (так что
скорость системы отсчета (х', t') относительно
начала координат (х) равна — у). Преобразо-
Преобразования Галилея E) (или A)) играют в механике
роль, сходную с той ролью, которую играют
в геометрии движения (ср. с § 1.9). Переход от
одной системы отсчета событий к другой пнер-
циальной системе не сказывается ни на каких
физических эффектах, поэтому физически зна-
значимыми являются лишь те факты и величины,
запись которых в координатах {х, t) не меняет
своей формы при преобразованиях E). Так,
например, линейное уравнение
x = vt-\-a (9.8.6)
выражает равпомерпое движение
точки вдоль оси Ох (вдоль той самой прямой,
движения по которой мы единственно и рас-
рассматриваем), однако при этом конкретное
значение скорости движения v зависит от вы-
выбора системы отсчета и физического смысла не
имеет. (Именно поэтому в законах Ньютона
участвуют лишь ускорения материаль-
материальных частиц, но не скорости.) Напро-
Напротив, если мы имеем два равномерных движе-
движения, выражаемых формулой F), и формулой
x=vit-\-ai, то разность vi—v имеет физический
смысл: это есть относительная ско-
скорость одного движения относительно дру-
другого, не зависящая от выбора (ииерциальной)
системы отсчета. Физический смысл имеет ин-
интервал т~г2—h времени между двумя собы-
событиями (ri, h) и {х2, t2); если же эти события од-
одновременны, т. е. h=t2, то можно говорить и
о пространственном расстоянии d=x2—x\
между этими событиями (при этом «расстояние»
т между событиями измеряется в единицах
времени, например в секундах, а «второе рас-
расстояние» d, имеющее смысл лишь при г=0,—
совсем в других единицах, например в метрах).
Произвольная линия х=х (t) плоскости
x,t (рис. 1) задает закон движения (материаль-
(материальной) точки вдоль прямой; при этом наклон
dx\
= ~jt) касательной к кривой в точке
(х, t) (его, пожалуй, было бы удобнее обозна-
обозначать буковой у) указывает скорость
движения. Замена самой кривой Г с уравне-
уравнением х=х (t) ее касательной I, приближающей

§ 8*. Преобразования Галилея. Энергия в движущейся системе отсчета
285
Г в окрестности рассматриваемой точки, оз-
означает переход от произвольного движения
к «приближающему его» равномерному
движению со скоростью, равной мгновенной
скорости в рассматриваемый момент времени.
/ d*x\
Вторая производная x"[==jpj играет роль
кривизны кривой; физически она выра-
выражает ускорение движения. Постоянство
ускорения
сРх
j^ = а (= const)
приводит к закону движения
(9.8.7)
где Ъ и с произвольны: таким равноуско-
равноускоренным движениям геометрически отве-
отвечают линии G) — параболы плоскости
х, t. Замена произвольной линии х=х (t)
приближающей ее параболой П с уравнением
G), характеризующейся теми же производ-
производными х' (=v) и х" (=а), означает замену про-
произвольного движения равноускорен-
равноускоренны м с теми же (мгновенными) скоростью и
ускорением; геометрически эта процедура сво-
сводится к замене кривой х=х {t) плоскости
(х, t) соприкасающейся парабо-
параболой (ср. с § 7.9). Физически переход от про-
произвольной кривой к ее касательной означает
«отключение сил», ибо прямой отвечает рав-
равномерное движение, которое происходит без
участия сил (движение по инерции); замена
же кривой параболой G) равносильна пред-
предположению о постоянстве силы 2.
Упраоюнения
9.8.1. Найдите формулу для кинетической
энергии тела, движущегося под действием по-
постоянной силы F (в начальный момент времени
скорость была равна нулю), в зависимости от
времени, а также в зависимости от пройден-
пройденного пути.
9.8.2. Тело движется под действием силы
p=f cosa>?, причем v=0 при г=0. Найдите вы-
выражение для кинетической энергии тела. Опре-
Определите максимум кинетической энергии.
9.8.3. Тело движется по закону х (t)=
=v4cos (a)t+<x); А, со, а — постоянные числа.
Определите среднюю кинетическую энергию
при условии, что t неограниченно растет от
значения ?=0.
9.8.4. Шарик падает с высоты Н из состоя-
состояния покоя. Покажите, что кинетическая энер-
2 См.: Яглом И. М. Принцип относитель-
относительности Галилея и неевклидова геометрия. М.:
Наука, 1969, с. 97.
гия шарика K=mg (H—h), где h — высота
шарика над Землей в данный момент времени.
9.8.5. Поезд массой 500 т вышел со станции
и, пройдя за 3 мин 1,5 км, развил скорость
45 км/ч. Определите работу и среднюю мощ-
мощность паровоза, предполагая, что: а) трения
о рельсы нет; б) имеет место трение о рельсы
и коэффициент трения fc=0,004. [Сила трения
равна силе притяжения поезда к Земле (т. е.
его весу), умноженной на к.]
9.8.6. На тело действуют две силы: F\=
=at и F2=a@—t). Импульсы этих сил за
время от 0 до 0 одинаковы. В момент времени
i=0 тело имело скорость v0. Найдите ра-
работу каждой силы за время от 0 до в и срав-
сравните ее с произведением импульса на среднюю
скорость.
9.8.7. Человек, стоя неподвижно на Земле,
действует на данную массу т силой F в тече-
течение времени t. В результате этого масса, на-
находившаяся раньше в покое, приобрела ско-
Ft mv\
рость vy = — и кинетическую энергию -о—»
равную работе, произведенной человеком.
Рассмотрите такой же опыт, проделанный
в поезде, движущемся со скоростью vB. Масса
т имела до опыта скорость v0, а после опыта —
скорость yo+yi. Найдите изменение кинети-
кинетической энергии массы т. Какую работу произ-
произвел человек? Считая, что человек твердо опи-
опирается о стенки вагона и скорость vv не меня-
меняется, найдите работу силы, произведенной
поездом (паровозом) во время опыта.
9.8.8. Человек массы М, стоя на коньках
на льду (трением о лед пренебрегаем), дейст-
действует силой F на массу т в течение времени t.
Какую кинетическую энергию приобретает
масса /тар Какую кинетическую энергию при-
приобретает человек? Чему равна полная ра-
работа, произведенная силой над массой т и
над человеком? Почему она больше, чем
в упр. 7?
9.8.9. Тот же опыт, что и в предыдущей
задаче, производит человек, который в на-
начальный момент катился со скоростью i>0
вместе с массой т. Скорость массы т после
Ft
действия силы равна v0 -f- —, скорость чело-
человека v0 — -^. Найдите изменение кинетической
энергии массы т и человека в результате дей-
действия силы. Найдите работу силы, равную из-
изменению суммарной кинетической энергии, в
сравните ее с результатом предыдущего уп-
упражнения.
9.8.10. Докажите, что при преобразова-
преобразованиях Галилея E) сохраняет свое значение:
а) (временной) интервал х между двумя собы-

286
Гл. 9. Механика
тиями; б) (пространственное) расстояние d
между двумя одновременными событиями;
в) относительная скорость vi—v одного рав-
равномерного движения относительно другого.
9.8.11. Проверьте, что переход к новой
(инерционной) системе отсчета с помощью пре-
преобразований Галилея E) не меняет ускорения
а (равноускоренного) движения G).
§ 9*. Траектория снаряда. Парабола
безопасности
Рассмотрим задачу о полете снаряда,
выброшенного из орудия с начальной
скоростью и0. Примем точку вылета
снаряда из ствола за начало координат,
ось у направим вертикально вверх,
а ось х будем считать горизонтальной
(движение снаряда происходит в одной
плоскости (х, у)). Для простоты силу
сопротивления воздуха пе будем при-
принимать во внимание (учет этой силы
значительно усложняет задачу).
Рис. 9.9.1
По второму закону Ньютона
dv „
F
(9.9.1)
Этот закон мы применяли раньше только
для прямолинейного движения. Однако
в задаче о траектории направление v
меняется с течением времени (скорость
всегда направлена по касательной
к траектории полета снаряда). Поэтому
нам приходится считать, что величины
v и F в формуле A) являются векторами:
Всякое движение в плоскости х, у
можно рассматривать как результат
сложения двух движений: одного, про-
происходящего вдоль оси х под действием
силы Fx со скоростью vx, и другого
вдоль оси у под действием силы Fy
со скоростью vy. Применив к каждому
из этих движений в отдельности второй
закон Ньютона, получим:
dv „ dvu
т-тг — Рх, m —с , (9.9.ia)
где (vxl y,)=v и (Fx, Fy)=? — векторы
скорости и силы (рис. 1). В каждом
из уравнений Aа) сила и скорость
направлены вдоль одной прямой (вдоль
оси х в первом уравнении и вдоль оси у
во втором).
Обозначим через с? угол, образуемый
стволом орудия с горизонтальным на-
направлением; ср называют углом броса-
бросания. Так как мы считаем, что в
процессе полета на снаряд действует толь-
только сила тяжести, направленная к Земле,
т0 -^ж=0, Fy =—mg. Поэтому уравнения
Aа) в этом случае имеют вид:
dv^ dvy __
Замечательно (и важно), что наши урав-
уравнения «разделились»: в первом из них
фигурирует единственная неизвестная
функция vx, а во втором — функция vy.
Найдем начальные условия для
функций vx (t) и vy (t). В момент f=0
вылета снаряда из орудия
^@) = у0 cos ср, vy @) = v0 sin cp>
где у0 (=| v01) — начальная скорость сна-
снаряда. Первое из уравнений B) дает
dvx n
— = и, откуда следует, что скорость
vx постоянна, а поэтому
vx (t) — vx @) — vo cos ?• (9.9.3)
Второе уравнение B) утверждает, что
dv«
-щ = —g', интегрируя обе его части
в пределах от 0 до t, находим
или
vy @ = —$ ~\- vo Sln ?¦ (9.9.4)
Для определения перемещений х и у
вдоль координатных осей воспользу-
воспользуемся тем, что v =:-=-, где г = (х, у) —
радиус-вектор снаряда. Это векторное
уравнение расщепляется на два ска-
скалярных:
dx
df~V*'
dy_
dt
(9.9.5)
или в силу C) и D)
dx
dy_
dt
'- -f v0 sin <p.
(9.9.6)

§ 9*. Траектория снаряда. Парабола безопасности
287
Уравнения F) снова разделились: пер-
первое из них связывает неизвестную функ-
функцию х (t), а второе — функцию у (?).
В начальный момент времени снаряд
был в начале координат, поэтому
= 0, у =
при
0.
(9.9.7)
Интегрируя уравнения F) от 0 до t
и пользуясь начальными условиями G),
находим:
gt2
х = vot cos ср, y = vQt since—^-. (9.9.8)
Формулы (8) дают возможность опре-
определить положение снаряда в любой
момент времени t.
Беря различные значения t, можно
найти по формулам (8) положение сна-
снаряда в различные моменты времени и
построить график полета снаряда (тра-
(траекторию снаряда). Таким образом, урав-
уравнения (8) дают кривую на плоскости
х, у. Эти уравнения определяют пара-
параметрическое задание траектории полета
снаряда, где роль параметра играет
время t (см. § 1.8).
Из уравнений (8) нетрудно исклю-
исключить t и получить уравнение трактории
в виде зависимости у от х. Действи-
Действительно, первое уравнение (8) дает
t =
V0 COS cp
нения (8) находим
¦ после этого из второго урав-
у = х tg
2vl cos2
(9.9.9)
Из (9) видно, что у есть многочлен
второй степени от х; график такого
многочлена — парабола. Поэтому
траектория снаряда (если не учитывать
сопротивление воздуха) есть парабола.
На рис. 2 изображена траектория (9)
для случая уо=8О м/с, ср=45°.
Из (9) видно, что при одном и том же
v0 форма траектории зависит от угла
бросания ср. Найдем наивысшую
точку траектории снаряда при дан-
данных ср и v0. Для определения коор-
координаты хх точки, в которой снаряд
достигает наибольшей высоты подъема
i/max, составим уравнение - = 0. По-
Получаем
tg cp — х, , ё , — 0,
откуда
При этом значении х—хг высота у
имеет максимум (физически ясно,
что это именно максимум; разумеется,
это легко проверить и по знаку -г-|).
Подставляя найденное х в (9), по-
получаем
, . vfi sin2 cp
#max У \х\) — J- •
Для определения дальности х2
полета нужно определить то значение
х=хг, при котором у (х2)=0 (см. рис. 2):
г^ cos2
Отбрасывая не интересующее нас ре-
решение х2=х0=0, находим
v% sin 2<f
*2=JLJ—?- (9.9.10)
Дальность стрельбы зависит от на-
начальной скорости и от угла бросания.
При каком же угле бросания (при
фиксированной начальной скорости v0.
снаряда) дальность стрельбы будет наи-
наибольшей? Из формулы A0) видно, что
это будет тогда, когда sin 2cp=l, т. е.
при ср=45°; наибольшая дальность по-
лета снаряда равна —. Кроме того,
о
так как sin 2cp=sin 2 (90°—ср), то в силу
A0) при углах наклона ср0 и 90—tpo
(например, при углах наклона ср=30°
и ср=60°) снаряд попадает в одну и ту же
Рис. 9.9.2
точку; артиллеристы называют траек-
траекторию снаряда, отвечающую углу на-
наклона ср ^ 45°, настильной, а отве-
отвечающую углу наклона ср ^> 45° —
навесной.
Определим время tlt в течение кото-
которого снаряд поднимается вверх. Для
этого достаточно решить уравнение
—~~- = 0, потому что в тот момент t = tv
когда у достигает своего наибольшего
значения, снаряд перестает подниматься
и начинает падать. Условие -j = О дает
v0 sin cp — gt = 0, откуда
vg sin cp cos cp
, sm ,
vp sin у
~7
(9.9.11)

288
Гл. 9. Механика
Полное время полета t% определим
исходя из того, что полет прекраща-
прекращается в тот момент, когда х=х2.
Пользуясь (8) и A0), находим
, v% sin 2cp
откуда
. 2v0 sin у
2 g
(9.9.12)
Сравнивая A2) и A1), видим, что при
любом угле наклона орудия полное
Рис. 9.9.3
время t2 полета снаряда в 2 раза больше
времени tt подъема: время подъема
снаряда равно времени его падения.
Перейдем теперь от стрельбы по на-
наземным целям к зенитной стрельбе.
Если при заданном значении начальной
скорости v0 снаряда (эта скорость зави-
зависит от орудия) менять угол наклона
орудия ср, то мы получим множество
разных траекторий снаряда (рис. 3).
При этом все навесные траектории,
т. е. все параболы, отвечающие зна-
значениям ср, заключенным в интервале
45° ^ ср ^ 90°, как нетрудно видеть,
касаются одной и той же линии
2 т
it _Л 7*^ /Q Q 4 Q\
(а настильные траектории находятся
внутри «колпака», ограниченного ли-
линией A3), и самой этой линии не каса-
касаются). В самом деле, решая совместно
уравнения (9) и A3), находим, что
соответствующие линии (параболы)
имеют единственную общую
точку:
.f/ = l|A—Ctg2cp) (9.9.14)
(эта точка расположена в верхней полу-
полуплоскости лишь при ср ^ 45°, в силу
чего лишь навесные трактории (9) ка-
касаются линии A3)). (То, что параболы
(9) и A3) в точке A4) касаются,
следует уже из того, что общая точка
(9) и A3) единственна; это можно под-
подтвердить и прямым вычислением угла
наклона касательной к обеим линиям
в точке A4); ср. с. 69.) Парабола A3)
называется параболой безопасности:
если цель А (скажем, самолет) распо-
расположена вне ограниченной A3) и осью х
области, то (зенитный) снаряд не может
поразить А ни при каком угле наклона
орудия.
Отметим в заключение, что реальные
траектории снарядов не являются в точ-
точности параболами: в действительности
снаряд испытывает сопротивление воз-
воздуха, которым мы пренебрегли; к тому
же ускорение свободного падения g
зависит от высоты над поверхностью
Земли; определенные поправки в про-
процесс падения снаряда вносит вращение
Земли, да и ньютоновы уравнения дви-
движения материальной точки (хотя этот
фактор и является менее важным) в при-
применении к снаряду не являются абсо-
абсолютно точными. Но ведь с подобным
положением дела мы встречаемся
при любом применении математики
к явлениям реальной жизни: мы всегда
пренебрегаем при этом теми или иными
факторами, ограничиваясь «огрублен-
«огрубленной» картиной, позволяющей использо-
использовать математический аппарат, которым
мы располагаем. При этом реальная
дальность полета снаряда, высота его
подъема, полетное время и т. д. зависят
от массы снаряда, его формы и плот-
плотности воздуха. Так, если при неболь-
небольшой начальной скорости снаряда (см.
отвечающий значению уо=8О м/с рис. 2)
роль сопротивления воздуха действи-
действительно невелика, то при больших v0 им
пренебрегать никак нельзя; например,
при уо=8ОО м/с для снаряда калибра
(диаметра) 305 мм при угле бросания ср=
=55° сопротивление воздуха уменьшает
дальность полета снаряда от получаю-
получающегося по формуле A0) значения 61 км
до 22,2 км.
У применения
9.9.1. Снаряд вылетает из орудия со ско-
скоростью 80 м/с. Определить дальность стрельбы
и максимальную высоту подъема снаряда,
если угол бросания у=30°, 45°, 60°.
9.9.2. Определить наибольшую высоту,
на которой снаряд с начальной скоростью
t-'o=80 м/с может поразить цель, расположен-
расположенную на расстояпии 500 м от местонахождения
орудия.

§ 10. Движение тел в космическом пространстве
289
§ 10. Движение тел в космическом про-
пространстве
Обратимся теперь к проблемам движе-
движения тел (искусственных спутников
Земли, космических кораблей) в косми-
космическом пространстве. Для того чтобы
запущенное с Земли тело стало спут-
спутником Земли, т. е. начало вращаться
вокруг нее, нужно, чтобы центробеж-
центробежная сила этого тела уравновешивала
силу притяжения Земли. Соответствую-
Соответствующая скорость их называется первой
космической скоростью 1. Для определе-
определения величины их служит уравнение
и?
m-^ — mg, (9.10.1)
где g — ускорение свободного падения,
т — масса рассматриваемого тела,
а Л — радиус орбиты (левая часть A)
указывает центробежную силу тела,
а правая — силу, с которой тело при-
притягивается к Земле). В случае тела,
вращающегося по близкой к Земле
орбите, радиус R орбиты близок к ра-
радиусу г0 Земли, поэтому в правой части
A) в качестве силы притяжения может
быть взята сила тяжести на поверхности
Земли. Из формулы A) следует
КМ/С.
(9.10.2)
поэтому
значит,
7;r> откуда Т = ТГ и
Для спутника, летящего на расстоя-
расстоянии R от центра Земли, значительно
отличающемся от радиуса Земли г0,
надо учесть, что с изменением высоты
меняется величина g ускорения свобод-
свободного падения, которую на поверхности
Земли можно обозначить через g0
(именно это значение g=g0 мы подстав-
подставляли в формулы A) и B)). Действи-
Действительно, по закону тяготения Ньютона
тело, отстоящее от центра Земли на
расстояние R, притягивается к Земле
„ „ тМ
« силой /< = у -тт?-, где т — масса тела,
М — масса Земли. Кроме того, по вто-
второму закону Ньютона F = mg, где g =
= g (R) — ускорение свободного паде-
падения на расстоянии R от центра Земли.
Сравнивая два выражения для F, п&хо-
ДИМ g=z-
ТО
1 Мы сразу рассматриваем установив-
установившийся процесс движения со скоростью щ
(а далее — со скоростью и2 и и3), игнорируя
переходную стадию запуска тела с Земли.
Условие A) равенства центробежной
силы и силы тяжести теперь принимает
вид
и, значит, скорость щ спутника на ор-
орбите должна быть равна
Чем больше расстояние R, тем меньше
скорость ии необходимая для того,
чтобы спутник оставался на соответ-
соответствующей орбите. Однако это вовсе
не означает, что легче запустить спут-
спутник на орбиту с весьма большим R,
чем на орбиту с R, близким к г0: ведь
для вывода спутника на орбиту боль-
большого радиуса R надо затратить боль-
большую энергию на преодоление силы тя-
тяжести на пути от земной поверхности
до орбиты. Практическое значение имеет
движение по круговой орбите, распо-
расположенной над земным экватором на
высоте примерно 36 000 км: запущен-
запущенный на такую высоту спутник будет
«висеть» над одной точкой экватора
(см. упр. 1).
Рассмотрим теперь следующую по
трудности осуществления задачу. Для
того чтобы тело могло уйти из области
действия земного притяжения, нужно,
чтобы его начальная кинетическая
энергия была больше разности потен-
потенциальной энергии удаленного тела и
тела на поверхности Земли. Эту вели-
величину мы нашли в § 2 (формула B.8)).
При этом предполагается, что приобре-
приобретение скорости происходит быстро на
участке пути, малом по сравнению
с радиусом Земли, так что изменением
потенциальной энергии на этом участке
пути можно пренебречь. Другими сло-
словами, мы считаем, что забрасывающая
наше тело реактивная сила, действую-
действующая в период горения реактивного
топлива (см. § 11), весьма велика и
действием силы тяжести за это время
можно пренебречь 2.
2 Доказано, что'быстро сжигать топливо
выгоднее (меньше потребуется топлива), не-

290
Гл. 9. Механика
Начальная скорость и2, которую
должно иметь тело для того, чтобы
уйти из области земного притяжения,
называется второй космической ско-
скоростью. Найдем ее. По формуле B.8)
начальная энергия, необходимая для
достижения расстояния R от центра
Земли телом, первоначально находя-
находящимся на поверхности Земли на рас-
расстоянии г0 от ее центра, равна Ко=
= mg^jr(R — г0). В нашем случае JR
значительно больше г0, поэтому JR—го«
?»i?, что дает K0^mgr0. Приравняем
этой величине кинетическую энергию
ракеты:
щ
m-rr =
отсюда
m 11,2 км/с.
Из B) и C) следует:
(9.10.3)
Наконец, начальная скорость и3, ко-
которой должно обладать тело для того,
чтобы уйти из поля тяготения Солнца,
т. е. за пределы солнечной планетной
системы, называется третьей косми-
космической скоростью. Найдем и ее, поль-
пользуясь тем, что скорость их вращения
Земли вокруг Солнца известна: vx-z&
«гЗО км/с.
По закону тяготения Ньютона сила
притяжения тела массы т к Солнцу
г, —кМлт т..
есть b = г~, где М1 — масса
Солнца (Л/^2-1030 кг), г — расстоя-
расстояние от центра Солнца до тела, А: —
постоянный коэффициент. Потенциаль-
Потенциальная энергия тела, удаленного на рас-
расстояние г от центра Солнца, равна
в(г) = -т.
(9.10.4)
При этом за нуль принято значение
потенциальной энергии на бесконеч-
бесконечности (ср. § 2).
Величину потенциальной энергии
тела, находящегося на радиусе земной
жели растягивать процесс горения на все
время, необходимое для прохождения пути
порядка радиуса Земли. Лишь на том участке
пути, где еще велики плотность атмосферы и
сопротивление воздуха, невыгодно двигаться
с большой скоростью. Однако толщина ат-
атмосферы мала по сравнению с радиусом Земли
см. гл. 11), и мы ее учитывать не будем.
орбиты, легко выразить через скорость
движения Земли по орбите. В самом
деле, на орбите Земли сила притяже-
притяжения Земли к Солнцу уравновешивается
центробежной силой, т. е.
—•
(9.10.5)
где vr — скорость вращения Земли
вокр уг Солнца, гг — радиус земной
орбиты (Г]»150-106 км=1,5.10й м) и
М2 — масса Земли (она, впрочем, вы-
выгадает из уравнения E)). Отсюда
и D) принимает вид
и (гх) = —v\m.
Для того чтобы тело, находившееся
на расстоянии гг от Солнца, ушло из
поля тяготения Солнца, нужно, чтобы
при таком удалении от Солнца сумма
его кинетической и потенциальной энер-
энергий была неотрицательна. Последнее
условие приводит к неравенству
mT+a(ri) = m^—rnvj^O. (9.10.6>
Здесь v2 — искомая скорость, необхо-
необходимая для ухода из солнечной системы,
уг — известная скорость движения
Земли.
С подобным положением мы уже
встречались при рассмотрении движе-
движения тела в поле тяготения Земли:
скорости, необходимой для ухода тела
из поля земного тяготения, соответ-
соответствует кинетическая энергия, равная
удвоенной кинетической энер-
энергии, отвечающей скорости, обеспечи-
обеспечивающей вращение запущенного тела
вокруг Земли в качестве (искусствен-
(искусственного) ее спутника.
Из соотношения F) находим мини-
минимальную скорость v2, необходимую для
ухода из солнечной системы:
v2 — у/2 vx 7^ 1,
42 км/с.
Итак, для того чтобы уйти из сол-
солнечной системы, необходимо на орбите
Земли иметь начальную скорость (отно-
(относительно Солнца) 42 км/с. При этом
оказывается, что если скорость тела
больше 42 км/с, то тело уйдет из сол-
солнечной системы независимо от направ-
направления скорости — независимо от того,
движется ли тело прямо по радиусу от

§ 11. Реактивное движение и формула К. Э. Циолковского
291
Солнца (см, траекторию 1 на рис. 1),
или по касательной к орбите Земли
(траектории 2, 3), или даже в сторону
Солнца (но под некоторым углом к на-
направлению на Солнце, чтобы не попасть
на его поверхность, — траектория 4).
От направления начальной скорости
зависит только форма траектории (см.
рис. 1).
Ясно, что для запуска ракеты
с Земли наиболее выгодна траекто-
траектория 2: сама Земля движется со ско-
скоростью 30 км /с, поэтому для получения
скорости 42 км/с в этом же направле-
направлении достаточно, чтобы относительно
Земли ракета двигалась со скоростью
^=12 км/с. Эту скорость v2 ракета
должна иметь после того, как она вый-
выйдет из поля тяготения Земли, т. е. уда-
удалится от Земли на расстояние, большое
по сравнению с радиусом Земли, но
малое по сравнению с радиусом земной
орбиты.
Какую же начальную скорость и3
для этого надо иметь на поверхности
Земли (именно эта скорость и назы-
называется третьей космической скоростью)?
Определим и3 из соотношения
т ¦
(9.10.7)
Здесь первый член справа есть энергия,
необходимая для преодоления притяже-
притяжения Земли, второй член — энергия, ко-
которая должна остаться после преодо-
преодоления притяжения Земли для того,
чтобы ракета (или космический корабль
массы т) имела (в сумме со скоростью
движения Земли) скорость v2, необхо-
необходимую для ухода из солнечной системы.
Формула G) дает
и% = "Sro + (и'д2 = ul + (u'zJ' (9.10.8)
откуда
— \]и\ -f (y'2f
16,4 км/с.
>2а -f
(9.10.9)
Заметим, что, для того чтобы при-
приблизиться к Солнцу или попасть, на-
например, на Меркурий или Венеру, вто-
второй космической скорости недостаточно.
Действительно, при наличии этой ско-
скорости ракета отделится от Земли и будет
двигаться по орбите со скоростью, рав-
равной скорости Земли, т. е. 30 км/с.
Хотя потенциальная энергия и
уменьшается при приближении к Солн-
Солнцу, но ракете трудно приблизиться
к Солнцу, так как этому мешает цен-
центробежная сила ее движения по орбите.
Для того чтобы проникнуть в глубь
солнечной системы, необходимо умень-
уменьшить скорость ракеты относительно
Солнца, а это так же сложно, как и
Рис. 9.10.1
увеличение ее. В частности, для попа-
попадания в Солнце нужно ракету остано-
остановить, т. е. нужно, чтобы она имела
скорость 30 км/с относительно Земли
(после выхода из поля силы тяжести).
Для этого нужно, чтобы на поверх-
поверхности Земли ракета имела начальную
скорость
fll,22^32 км/с. (9.10.10)
Попасть в Солнце труднее, чем уйти
от него! Более выгодные варианты
можно получить, используя изменение
скорости ракеты под влиянием других
планет. На этом вопросе мы здесь не
остановимся.
Упражнение
9.10.1. Найдите радиус орбиты такой, что
время, требующееся для одного оборота во-
вокруг Земли запущенного на эту орбиту спут-
спутника, равно 24 ч. (Спутник, запущенный на
такую орбиту, в плоскости экватора непод-
неподвижно висит над одним пунктом Земли.)
§ 11. Реактивное движение и формула
К. Э. Циолковского
Широко применяемый (и достаточно
эффективный) способ управления поле-
полетом в безвоздушном пространстве, т. е.
способ, позволяющий изменять скорость
и направление движения, заключается
в отбрасывании части массы самого ле-
летящего тела, т. е. в применении прин-
принципа -реактивного движения.
Основные закономерности реактив-
реактивного движения впервые исследовал
выдающийся русский ученый и глубо-
глубокий мыслитель Константин Эдуардович
Циолковский A857—1935), который

292
Гл. 9. Механика
указал на возможность использования
ракет для освоения космического про-
пространства. От него, через его учеников
и последователей — советских ученых
и конструкторов идет научная тради-
традиция, воплощением которой явились со-
советские искусственные спутники Земли,
искусственные планеты и космические
корабли с космонавтами на борту.
Выведем основное уравнение прямо-
прямолинейного движения ракеты. Топливо
ракеты — будь то порох или смесь го-
горючего (спирта, бензина) и окислителя
(кислорода, азотной кислоты) — обла-
обладает определенным запасом Q химиче-
химической энергии на единицу массы (Q по-
порядка 5-Ю6 Дж/кг для бездымного по-
пороха и 10-Ю6 Дж/кг для бензина с кис-
кислородом х). При сгорании эта химиче-
химическая энергия превращается в тепловую
энергию продуктов горения. Затем про-
продукты горения вытекают через сопло,
при этом их тепловая энергия превра-
превращается в кинетическую энергию дви-
движения.
Когда реактивный двигатель закреп-
закреплен на испытательном стенде, продукты
горения вытекают с определенной ско-
скоростью и0. При этом кинетическая их
энергия на единицу массы составляет
определенную долю химической энер-
энергии топлива:
f--<x<?, (9.11.1)
где а — безразмерное число (коэффи-
(коэффициент полезного действия (КПД) про-
процессов горения и истечения газов) 2.
В дальнейшем будем считать скорость
истечения и0 известной, заданной вели-
величиной. Она составляет около 2 км/с для
пороха и около 3 км/с для жидкого
топлива. Легко убедиться, что этим
величинам соответствуют КПД поряд-
порядка 50% (т. е. значения а т^ 0,5).
До горения топливо покоилось.
Пусть сгорела и вытекла из сопла
масса dm топлива. При этом она приоб-
приобрела количество движения uodm. Оче-
Очевидно, что импульс силы dl, с которой
1 Теплотворная способность бензина около
50-10' Дж/кг, однако для сжигания 1 кг бен-
бензина нужно израсходовать еще 3,4 кг кисло-
кислорода. В ракете, летящей в' безвоздушном про-
пространстве, кислород надо везти с собой и энер-
энергию относить^к» сумме массы топлива и окис-
окислителя.
2 Если в формуле"A) Q выражено в Дж/кг,
то щ будет выражено в м/с»
ракета действует на эту массу, равен
количеству движения, приобретенному
массой 3:
dl = Fdt — uodm.
По третьему закону Ньютона — закону
равенства действия и противодействия —
импульс силы, с которой масса dm про-
продукта горения действует на ракету, ра-
равен (но противоположен по знаку) им-
импульсу силы, действующей на сами
продукты горения. Пусть, например,
скорость истечения продуктов горе-
горения и0 направлена в сторону убыва-
убывания х. Тогда и0 отрицательно, ио=
= — | и0 |. Для импульса силы, дейст-
действующей на ракету, имеем
dlv = Ffdt = —uudm = | щ | dm. (9.11.2>
Величина
~dHi— Ц()|
(9.11.3)
есть импульс силы, приходящейся на
единицу массы, так называемый еди-
единичный импульс. Эта величина равна
скорости истечения газов из покоя-
покоящейся ракеты.
Проверим размерности в формуле
C). Сила F имеет размерность кг-м/с*
(ньютон), импульс силы / — это произ-
произведение силы на время, поэтому его
размерность Н- с (или кг-м/с). Размер-
dl
пость -г— есть (кг • м/с)/кг = м;с, т. е.
совпадает с размерностью скорости.
Для пороховых газов ыо=2-1О3 м/с =
= 2 км/с, для жидкого топлива ио =
= 3 км/с.
Сила, действующая на ракету, по
формуле B) равна
F =
р
I dm
Она пропорциональна количеству про-
продуктов горения, вытекающему из ра-
ракеты в единицу времени.
Обратимся теперь к выводу формулы
для скорости движения ракеты. Если
ракета сама движется с какой-то ско-
скоростью и, то скорость истечения газов
отлична от и0 и равна и-\-ио—и — I "о I
(напомним, что в покоящейся ракете
скорость истечения газов равнялась
— \и0 |). Очевидно, что такие величины ,
как разность скоростей по-
3 Обозначение dl связано с тем, что рас-
рассматривается малая масса dm.

§ 11. Реактивное движение и формула К. Э. Циолковского
293
роха до горения и вытекших пороховых
газов и сила, с которой на ракету
действуют пороховые газы, не зависят
от того, движется ракета или покоится
(мы далее для определенности говорим
о горючем как о порохе).
Обозначим начальную массу ракеты
(вместе с порохом) через Мо, а массу
вытекших пороховых газов — т. Вели-
Величина т есть функция времени: т=т (t).
Масса ракеты с порохом в момент t
равна
М = М (t) = M0 — m(t). (9.11.4)
Уравнение движения (второй закон
Ньютона) имеет вид
Если нас интересует конечная ско-
скорость ик к моменту окончания горения
всего топлива, то надо в формулу F)
подставить вместо М величину Мя —
конечную массу ракеты после сгорания
всего топлива: МК=МО — ти, где тп —
полная масса всего топлива. Получим
ик = | а01 In j?. (9.11.7)
При помощи этой формулы легко
решается и обратная задача: какой
должна быть начальная масса Мо ра-
ракеты для того, чтобы данной конечной
массе Мк придать определенную ско-
скорость ик:
du.
, dm
его можно переписать так:
Mdu == | и01 dm,
или, используя D),
(9.И.5)
.Возможность сократить dt физически
означает, что (при отсутствии других
действующих на ракету сил) скорость
ракеты зависит только от количества
вытекших пороховых газов (при фикси-
фиксированной величине щ). К моменту,
когда из сопла вытекло данное коли-
количество т пороховых газов, ракета при-
приобретает определенную скорость и, не
зависящую от того, за какое время
произошло это вытекание.
Нетрудно решить дифференциальное
уравнение E). В начальный момент при
т=0 скорость и=0. Поэтому, разделяя
н E) переменные и интегрируя, полу-
получаем
dm
Sdm
= —|н„|]ц(Л/0—тга)|оя'.=
= | щ | [_1и(Л/0-/«,) + In Mo
= uo|ln-
где ту — общая масса вытекших к из-
известному моменту пороховых газов,
M=ill0 — rrii ¦— масса ракеты в этот
момент. Таким образом, мы приходим
к формуле К. Э. Циолков-
Циолковского
и ¦
ип
м
(9.11.6)
откуда
Л/0=Д/веК1. (9.11.8)
При этом в нашем анализе мы всюду
игнорировали (переходный) процесс
«медленного горения», когда |". на тело
действуют и сила тяжести, и реактив-
реактивные силы. Реально, разумеется, такое
положение дела всегда необходимо
имеет место; мы же искусственно разде-
разделяли эти две силы, надеясь, что сделан-
сделанная ошибка не слишком скажется на
результатах; при этом учету сил тяго-
тяготения был посвящен § 10, а изучению
реактивных сил — настоящий пара-
параграф 4. Сейчас же мы попытаемся объ-
объединить результаты обоих параграфов,
использовав формулы F)—(8) для оценки
величины отношения -^, позволяющей
достигнуть 1, 2 и 3-ю космические
скорости: их, щ, щ. В качестве реактив-
реактивного топлива у нас по-прежнему будет
фигурировать порох, обеспечивающий
значение |ыо| = 2 км/с. Формула (8)
приводит к следующим результатам:
для иг = 8 км/с должно быть -~- =
= е4^54; для и,2 = 11,2 км/с должн0
4 Заметим, что^с подобным огрублением ре-
реального процесса мы встретились также и
в § 10, где были искусственно разделены два
этапа подъема запущенного в космос тела:
на первом этапе мы считали, что ускорение
свободного падения g=g0=const,> где g0 —
ускорение свободного падения на поверхности
Земли; после этого мы перешли к рассмотре-
рассмотрению иного режима движения тела в космосе,
характеризующегося уменьшением g при уве-
увеличении расстояния от центра Земли.

294
Гл. 9. Механика
М,
быть -п- = е5'6 «* 270; для щ = 16,4 км/с
Л/
должно быть -Tj^- = e8-2 ^» 3640. В слу-
чае жидкого топлива, когда | «01 = 3 км/с,
аналогичные подсчеты дают: -^-«^14,5,
~- ?«42, -д^Д- я« 245. Из подсчетов видно,
К» к3
что величина -^ сильно зависит от ско-
скорости истечения газов щ. Для того
чтобы оценить трудности задачи по
запуску ракеты, следует также иметь
в виду, что Мк включает в себя массу
баков для топлива и т. п.
Рис. 9.11.1
Найдем КПД ракеты как целого.
Определим эту величину как отношение
кинетической энергии ракеты после его-
TUf 2
рания топлива —^ к химической энер-
гии сгоревшего топлива mQ=(M0—^Q
Коэффициент полезного действия (КПД)
Подставив в (9) выражение для ик
из G) и выразив иг0 из A), окончательно
получим
мк
' м0 — л/, v MJ
КПД оказывается произведением «вну-
«внутреннего» КПД а, характеризующего
полноту сгорания топлива и преобра-
преобразования тепловой энергии в кинетиче-
кинетическую энергию газов, и второго множи-
множителя, зависящего только от выбора соот-
соотношения между массой горючего т и
массой полезного груза Мх. Обозначим
(9.11.10)
На первый взгляд может показаться,
что при малых z КПД очень велик за
счет дроби —. В действительности при
малых z, как мы знаем, имеет место
приближенное равенство In A+z)
(см. § 4.9), и потому
'
КПД пропорционален z, и, следова-
следовательно, он мал при малом z: при ма-
малом z ракета движется медленно, почти
всю энергию уносят газы. При очень
больших z КПД падает из-за уменьше-
уменьшения полезной массы 5. Так как окон-
окончательная скорость ракеты также зави-
зависит тэлько от z, то можно сказать, что
КПД ракеты определяется требуемой
скоростью. При малой скорости КПД
ракеты мал, поэтому невыгодно приме-
применение ракет в автомобилях и в других
случаях сравнительно медленного дви-
движения. При большой скорости энерге-
энергетический КПД ракеты снова умень-
уменьшается, но применение ракет тем не
менее оправданно, так как мы не рас-
располагаем другими практически удоб-
удобными способами ускорения тел до боль-
больших скоростей.
В заключение определим еще, при
какой величине z — jj- КПД т\ достигает
наибольшего возможного значения и
чему равно это наибольшее значение
т)тах КПД ракеты. В силу A0) задача
сводится к отысканию максимума функ-
„ , N |In(l + )]2
ции b \z)=-—i—
, т. е. к решению
уравнения
2 In
ИЛИ
-\- z) z
2z
;r+v
(9.11.11)
Это уравнение проще всего решить гра-
графически, найдя на координатной пло-
плоскости точки пересечения графиков Гх
и Г2 функций
Этим путем (рис. 1) мы получаем гя^4,
откуда F (z) я^ 0,65 и rjmax «j 0,65 а (не-
(нетрудно проверить, что значению z ?« 4
отвечает именно максимум функ-
функции F (z)).
6 При большом z величина [In A+z)]2
растет медленнее, чем z. Действительно, обо-
обозначая г/=1п A+z), получим z=eV—1, а функ-
функция еУ растет быстрее любой степени у
(см. § 6.5).

§ 12. Масса, центр тяжести и момент инерции стержня
295
J 'щмжипше
9.11.!. Докажите, что значению z*4 от-
нечает максимум ф\ш;ции F (z) = ; .
§ 12. Масса, центр тяжести и момент
инерции стержня
Рассмотрим тонкий стержень. Напра-
Направим ось х вдоль стержня и обозначим
через а массу, приходящуюся на еди-
единицу длины стержня. Таким образом,
отрезку длины dx между значениями х
и x-\-dx абсциссы отвечает масса
dm = odx.
(9.12.1)
Величина о (в г/см) есть произведение
объемной плотности материала d
(в г/см3) и площади S сечения стержня
(в см2): a — Sd. Так как стержень может
иметь переменные по длине, т. е. зави-
зависящие от х сечение и плотность мате-
материала, из которого сделан стержень,
то а является функцией координаты:
з--з(а;). Величину а естественно на-
назвать линейной плотностью, или плот-
плотностью на единицу длины. Однако так
как объемная плотность d нигде дальше
в рассмотрение не входит, то сокра-
сокращенно будем называть а просто плот-
плотностью; толщину стержня мы считаем
малой и изображаем его просто ли-
линией — отрезком оси х. Общая масса
стержня, очевидно, равна
т
= \ о (х) dx,
где аи Ь ¦— координаты концов стержня.
Пусть наш стержень жестко скреп-
скреплен с осью х, которую мы здесь пред-
представляем себе как жесткий стержень
столь малого сечения и массы, что его
можно считать не имеющей массы ли-
линией; ось х расположена горизонтально,
ось у направлена вертикально вверх;
сила тяжести действует на стержень,
как показано стрелкой, стремясь опус-
опустить его (рис. 1).
Представим себе, что ось х — это ко-
коромысло весов. На рисунке схемати-
схематически показана призма, на которую
в начале координат опирается ось х.
Таким образом, ось х может повора-
поворачиваться вокруг оси, перпендикуляр-
перпендикулярной к плоскости чертежа. Найдем, какой
груз М, расположенный на оси х слева
от начала координат на расстоянии R
от него, нужен для того, чтобы уравно-
уравновесить находящийся справа стержень.
По законам рычага элемент массы dm,
находящийся на расстоянии х справа
от точки опоры, в том случае уравнове-
уравновешивается элементом массы dM, находя-
находящимся слева, если отношение масс об-
М
v dm
////X////.
\////У\Х////
Рис. Гг. 12.1
ратно пропорционально отношению рас-
расстояний, т. е. если
г1М х т, ,,, ,
¦у——-д". или RdM — xdm. (9.12.3)
Элемент массы dm равен, как было
выяснено раньше, adx. Для того чтобы
V
Рис. 9.12.2
уравновесить весь стержень, нужна та-
такая масса М, что
(9.12.2) цм=
(9.12.4)
Это равенство получено интегрирова-
интегрированием левой и правой частей C). При
этом на правой стороне оси различные
элементы массы dm находятся на раз-
разных расстояниях х от опоры, поэтому
под знак интеграла вошла величина
xdm=xadx. (Таким образом, интеграл,
от которого зависит уравновешивающая
стержень масса М, отличается от ин-
интеграла, выражающего массу стержня.)
Слева на оси все элементы массы dM
(уравновешивающие различные эле-
элементы dm стержня) собраны на одном
и том же расстоянии R от опоры.
R есть постоянная величина, и поэтому
^RdM = R \ dM=RM.
Поставим вопрос: если всю массу т
стержня сосредоточить в одной точке Сх

296
Гл. 9. Механика
то на какое расстояние хс надо уда-
удалить эту точку от точки опоры (от на-
начала координат), чтобы уравновесить
ту массу М слева, удаленную от точки
Рис. 9.12.3
опоры на расстояние R, которую урав-
уравновешивает стержень (рис. 2)?
Найдем
ъ
RM — хстп = ( xadx, (9.12.5)
а
откуда
ь f xzdx
1 г i
хс=—\ xadx — -h . (9.12.6)
a, \ <zdx
a
Величина хс есть координата центра
тяжести, или, как его иначе называют,
Рис. 9.12.4
Рис. 9.12.5
Рассмотрим стержень, смещенный на
расстояние I вправо по сравнению с пер-
первоначальным положением (рис. 3, б);
центр тяжести нового (смещенного)
стержня обозначим через Сх. Тогда
ь
J" xa (x) dx
I dx
(9.12.7)
центра масс С стержня. Очень важно,
что точка С есть действительно вполне
определенная точка стержня: если весь
стержень как целое переместить вдоль
оси х, например, вправо на расстоя-
расстояние I (рис. 3), то и хс увеличится на
ту же величину I, так что для данного
стержня точка С с координатой x=xG
находится на определенных расстоя-
расстояниях от концов стержня.
Докажем это.
f (x -\- I) adx
а
\«dx
а
ь ъ
f xadx I \ adx
ь
[ ъйх
f zdx
что, конечно, полностью совпадает с на-
нашими ожиданиями.
Удобнее всего выбрать систему коор-
координат с началом координат, помещен-
помещенным в центре тяжести стержня (рис. 4).
Величины в этой системе координат от-
отметим индексом 0. Разумеется,
[ а0 (х) dx = т.
а„
Так как координата центра тяжести хс^
в такой системе координат равна нулю,
то
\ хо0 (ж) dx -¦
0.
(9.12.8)
Другими словами, пожелав уравнове-
уравновесить стержень с точкой опоры в центре
тяжести грузом М, расположенным на
фиксированном расстоянии R от точки
опоры, мы найдем, что уравновешивает
наш стержень груз массы М=0 (ср. D)
и (8)): если точка опоры совпадает
с центром тяжести стержня, то стер-
стержень находится в равновесии без вся-
всякого дополнительного груза.
Покажем, что при любом положении
стержня его потенциальная
энергия в поле силы тяжести равна по-
потенциальной энергии всей точечной
массы, равной массе стержня и сосре-
сосредоточенной в центре тяжести стержня.

¦ 12. Масса, центр тяжести и момент инерции стержня
297
Потенциальная энергия du элемента
стержня массы dm на рис. 5 равна
gzdm, где z — высота этого элемента
стержня, g — ускорение свободного па-
падения. Потенциальная энергия и всего
стержня находится интегрированием.
В качестве переменной интегрирования
выберем длину, отсчитываемую вдоль
стержня от его центра тяжести; плот-
плотность в точке х обозначаем через о0 (х).
Выразим высоту z через х. Как видно
из рис. 5, z {x)=zo-\-x cos а, где zc есть
высота центра тяжести стержня. По-
Поэтому
вольно выбранная точка с абсциссой х,
равна
dl = xd<f = xwdt;
следовательно, линейная скорость дви-
движения точки стержня, имеющей абс-
абсциссу х, равна
Найдем кинетическую энер-
энергию вращающегося стержня. Элемент
массы dm, удаленный на расстояние х
от центра вращения (т. е. от начала
% «о
(x)dx = g \ [zc + х cos а) ао (х) dx=
о,,
= ezc \ao(x)dx +
«о
-f- g cos а I xo0 (х) dx = gzcm,
так как второй интеграл равен нулю
в силу (8). Итак, потенциальная энер-
энергия зависит только от массы стержня
и высоты его центра тяжести, но не
зависит от угла, образуемого стерж-
стержнем с горизонтальным направлением:
поворот стержня вокруг его центра
тяжести не требует затраты энергии;
закрепленный на шарнире в центре тя-
тяжести стержень способен свободно (без
выделения или затраты энергии) вра-
вращаться вокруг точки подвеса.
Перейдем теперь к так называемому
моменту инерции стержня. Это понятие
возникает при рассмотрении вращатель-
вращательного движения стержня. Пусть распо-
расположенный в плоскости чертежа стер-
стержень вращается вокруг оси, перпенди-
перпендикулярной плоскости чертежа; точку,
в которой ось вращенрш пересечет эту
плоскость, мы примем за начало коор-
координат. Каждая точка стержня при вра-
вращении описывает окружность с центром
в начале координат, радиус которой
равен абсциссе х данной точки в на-
начальном (горизонтальном) положении
стержня (рис. 6). Угловую скорость
вращения (в радианах в секунду) обо-
обозначим через ш; тогда за время dt
стержень повернется на угол dw= wdt.
Длина дуги, которую проходит произ-
Рис. 9.12.6
координат; здесь речь идет об отрезке
стержня длиной dx с координатами кон-
концов х и x-\-dx), имеет кинетическую
энергию
V2 , Ш2Х." 7 ОJ!2 . . 7
~2 dm =--¦ —2~ dm^-j-о(х)dx.
Следовательно, кинетическая энергия
всего стержня
ь
Интеграл в последней формуле
/ — I ж2а (ж) dx
(9.12.9)
носит название момента инерции
стержня относительно оси, проходящей
через начало. Таким образом,
т. е. кинетическая энергия вращения
выражается через момент инерции и
угловую скорость совершенно так же,
как кинетическая энергия Е = —^- по-
ступательного движения выражается че-
через массу и линейную скорость. Заме-
Заметим еще, что момент инерции (9) (как
и масса т) всегда положителен.
Если мы имеем систему точечных масс mi,
то2, . . ¦, пгк, расположенных в пунктах Ми

298
Гл. 9. Механика
М2, . . ., Мк плоскости, то м о ы с н т о м
инерции этой системы масс относительно
прямой I называется сумма
2m<d? = m,rfj + nizd'l 4 ... + mkdl (9.12.10)
произведении массы т( на квадрат d| расстоя-
расстояния от М{ до I (здесь t=l, 2, . . ., А:). Если
же роль системы точечных масс играет тело
(пластинка или, как в нашем случае — стер-
стержень) с непрерывным распределением
масс, то момент инерции приближенно равен мо-
моменту инерции системы точечных масс, полу-
получаемой при разбиении тела на малые части и
замене каждой такой части точечной массой,
равной массе этой части тела. Ясно, что это
определение, где подразумевается, что число
частей тела устремляется к бесконечности,
а размеры каждой из частей — к нулю, при-
приводит к выражению момента инерции в виде
интеграла (ср. с формулой (9)) 1. Ана-
Аналогично этому подобная A0) сумма, где только
квадраты df расстояний от М{ до I заме-
заменены самими этими расстояниями dt, назы-
называется статическим моментом системы масс
относительно I:
Ymidi = m1d1 -j- m2d2 + • • • + mkdk. (9.12.10a)
(Здесь, однако, расстояниям d{ приходится
приписывать определенный знак в соответ-
соответствии с тем, по какую сторону от прямой I
расположена точка М(.) Ясно, что переход
от системы точечных масс к телу и в этом слу-
случае приводит к необходимости замены суммы
ь
интегралом; так, статический момент I xa(x)dx
а
стержня относительно точки О фигурирует
в формуле F) для центра тяжести стержня.
Обратимся к вычислению интеграла /.
Момент инерции стержня, центр тя-
тяжести которого совпадает с центром
вращения (с началом координат) О,
обозначим через /0:
Io=\ x\(х)dx.
(9.12.11)
Определим теперь момент инерции
стержня, центр тяжести Сг которого
1 В случае плоской пластинки или про-
пространственного тела мы при этом приходим
к понятию так называемого кратного (двойного
или тройного) интеграла, распространенного
по площади пластинки или но объему тела
(в настоящей книге кратные интегралы не рас-
рассматриваются) .
удален на расстояние I от начала коор-
координат (мы будем считать, что точка Сх
расположена справа от О, так что
х(, =1). В этом случае а=ао-{-1, Ь =
='bo+l, о (х)=а0 (х — I),
ь
I = \ х2а (х) dx.
Положим z=x — I; тогда x=z-}-l, dx=
—dz. При изменении х от а до Ъ вели-
величина z изменяется от а0 до Ьо. Поэтому
о 0
+ 2l \ Go (z) zdz + \ Go (z) z2dz. (9.12.12)
К
Заметим, что \ a0 (z) dz = m, а второй
«о
интеграл справа в A2) согласно (8)
равен нулю; наконец, третий интеграл
согласно A1) есть 10.
Таким образом, формула A2) прини-
принимает вид
1 = т12-{-10. (9.12.13)
Величина ml2 есть, очевидно, момент
инерции точечной массы т, находя-
находящейся на расстоянии I от оси вращения
(от начала координат). Таким образом,
момент инерции стержня относительно
произвольной оси, перпендикулярной
к стержню, равен сумме момента инер-
инерции стержня относительно оси, прохо-
проходящей через центр тяжести, и момента
инерции точечной массы, равной массе
стержня, относительно оси, удаленной
от этой массы на расстояние, равное
расстоянию центра тяжести стержня
от оси вращения.
Наглядно можно представить себе
стержень, закрепленный в центре тя-
тяжести на шарнире. Тогда вращение оси
и шарнира может не сопровождаться
вращением самого стержня, т. е. воз-
возможно движение, последовательные ста-
стадии которого показаны на рис. 7. Ки-
Кинетическая энергия Е' такого движения
mv^,
равна —y~ , где vc — скорость центра
тяжести стержня. Но vn =zwl так что

§ 12. Масса, центр тяжести и момент инерции стержня
299
Движение, которое мы рассматри-
рассматривали раньше (см. рис. 6), отличается
от изображенного на рис. 7 тем, что
сам стержень также вращается с угло-
угловой скоростью ш вокруг своего центра
тяжести. Поэтому кинетическая энер-
энергия вращения, показанного на рис. 6,
оказывается равной сумме энергии изоб-
изображенного на рис. 7 вращения и энер-
энергии вращения вокруг центра тяжести,
равной /0 -г-.
Из вывода формулы видно, что по-
подобное простое сложение энергий при
сложении двух движений получается
только тогда, когда рассматривается
движение центра тяжести, ибо только
в этом случае равен нулю иптеграл (8).
К понятию центра тяжести стержня можно
прийти также и uo-иному. Из школьного курса
физики хорошо известно, что равнодействую-
равнодействующей двух параллельных (и одинаково направ-
направленных) сил Д п /2, приложенных в точках Mi
л М2, является сила /i+/2, приложенная
в точке С, делящей отрезок MiM2 в отношении
Mi С : CM2=f2 : Д (рис. 8, а). Если Д и /2 —
силы тяжести масс пц и т2, то точка С (такая,
что MiC : CM2=h ¦ h=m2 : mi) называется
центром тяжести рассматриваемых масс;
при этом если принять прямую MiM2 за ось
абсцисс и считать абсциссы точек Mi и М2
равными xi и хг, то абсцисса хс точки С бу-
дет равна
iC : СМг =
хх — ¦
: в самом деле, при этом
4- тгх2
-\- т2х2
-j- m2
— хг)
"H
= m.2 '.
Аналогично, если мы имеем три (расположен-
(расположенные на одной прямой) массы mi, m% и m3,
приложенные в точках Mi (xi), M2 (x2) и
М3 fa) (рис. 8, б), то равнодействующей сил
тяжести, приложенных к первым двум массам,
будет сила, отвечающая массе т\-\-тг и при-
ложенная в точке
). Равно-
действующая же всех трех масс будет прило-
приложена в центре тяжести масс тх-\-тг и т3,
т. е. в точке С с абсциссой
ro3] =
тгхг -)- m3x3)l(mi + тг -\- m3).
Совершенно так же доказывается и то, что рав-
ноде11ствующая сил тяжести масс mi, m2,.. .
. . ., тк, приложенных в точках Mi {хг),
М2 (х2), . . ., М]с {хк), приложена в точке
4- тгх2 + ¦ • ¦ + ткхк \
)
(9.12.14)
(см. упр. 4а).
Аналогично этому устанавливается также,
что если к масс mi, то2, . . ., тк в пространстве
Рис. 9.12.7
приложены в точках Mi (xi, yi, zi),
M2 (x2, y2, z2), . . ., Mk (xk, yk, zk), то
совокупность всех отвечающих этим массам
сил тяжести может быть заменена одной силой,
соответствующей массе j] mi4-m24-. . .-\-тк
и приложенной в центре тяжести всех этих
масс — в точке С (хс, ус, zc) с координатами
(9.12.15)
2'
У.т
т(
(см. упр. 46).
Обратимся теперь к стержню линейной
плотности а= з (х). Если мы разобьем стер-
Рис. 9.12.8
жень точками хо=а,
х2,
., х„=Ъ на п
малых частей масс т<= з (х^) hx^, где Дх<=
=х(—ж<_1 и i=l, 2, . . ., п, а затем рассмотрим
и точечных масс т<, отвечающих п частям
стержня (предполагаемым однородными, ибо
плотность в пределах каждого отрезка ^x{
стержня меняется мало) и сосредоточенных

300
Гл. 9. Механика
в конце х—Х( каждой из этих частой, то рав-
равнодействующая этих (точечных) масс будет
приложена в их центре тяжести С\(хсу где
Устремляя п к бес-
2
конечности, а все Ах{ — к нулю и заменяя
сумму интегралом, мы и придем к фор-
формуле F) для центра тяжести стержня.
Уп ражнеиия
9.12.1. Найдите момент инерции относи-
относительно центра тяжести стержня длины I
о равномерно распределенной массой.
9.12.2. Стержень составлеп из двух кусков:
первый кусок длины Zi имеет постоянную плот-
плотность ot, второй кусок длины 12 имеет также
постоянную, но другую плотность о2. Най-
Найдите положение центра тяжести стержня.
9.12.3. Найдите положение центра тяжести
и величину момента инерции относительно
центра тяжести для однородного стержня,
имеющего форму тонкого треугольника длины
L. Выразите эти величины через длину L и
массу стержня т. [Указание. Если нап-
направить ось х по медиане, а за начало координат
принять вершину треугольника, то о (х)= хс
=ах, где а — постоянная.]
9.12.4. Докажите:
б) формулы A5).
а) формулу A4);
§ 13*. Центр тяжести нити и пластинки
Выше (см. § 7.10) мы встречались с по-
понятием центра тяжести пло-
екой пластинки или как угодно
искривленной струны (нити). Пусть
АВ, где А=А {av Ьг), В=В (a2f b2),
— (плоская) материальная нить про-
Рис. 9Л3.1
извольной формы и линейной плот-
ности о= о (х, у) (рис. 1); другими сло-
словами, мы считаем, что малый участок
нити длины &=\/(ж'J+A/'J ей, где
х=х (t), y=y (t) — параметрические
уравнения линии АВ, имеет массу dm—
= о (х, у) ds, где (х, у) — какая-то
точка рассматриваемого участка нити,
например его конец. Заменив непрерыв-
непрерывное распределение масс, т. е. нашу
материальную нить, на систему п точеч-
точечных масс с1т(—а (х{, у{) ds( (i=i, 2, ...
. . .,п), отвечающих отрезкам ds{ нити
с концами А._х (х<_г, у{_г) и А. (х:, у{)
(А0=А, Аъ А2, . . ., Ап=В — какие-
то точки нити, разбивающие ее на п
малых частей), мы придем к выводу,
что центр тяжести Сх этих п точечных
масс имеет координаты
2 У^
i
(9.13.1)
(ср. A2.14), A2.15)). Переходя теперь
к пределу при п-»¦ оо, ds{ ->0, мы при-
придем к следующему выражению для ко-
координат хс, ус центра тяжести С нити:
в
j xa (ж, у) ds
j"o(a;, у) ds
(9.13.2)
Jj/o (x, у) ds
Ус в
j a(x, xj)ds
в
здесь запись I означает, что соответст-
А
вующий интеграл распространен по ду-
дуге А В. Так, если x=x(t), y=y (t) — пара-
параметрические уравнения линии А В и кон-
концам А, В отвечают значения tx, t2 пара-
параметра, то вдоль нити а = о(х (t), ;/(<)) =
=а(?), общая масса т нити равна
и координаты центра тяжести таковы:
(9.13.3а)

§ 13*. Центр тяжести нити и пластинки
301
Если линия АВ задается явным урав-
уравнением х у = у(х) при а ^ х ^ Ъ, то
.з = а (х, у (х)) = а (х), масса т =
х
с =
(9.13.36)
В частном случае однородной
нити постоянной плотности o=const,
очевидно, т = <¦
где
=1 is —
длина
нити; поэтому формулы B), (За), C6)
здесь можно переписать так:
в в
= Т \ xds' Ус = Т
(9.13.4)
или
(9.13.5а)
и
(9.13.56)
(Заметьте, что во всех формулах для
центров тяжести фигурируют стати-
статические моменты нити относи-
относительно осей Ох и Оу; ср. с. 298.)
Несколько сложнее обстоит дело
в случае пластинки D (рис. 2; толщину
пластинки мы считаем столь малой, что
этой толщиной можно пренебречь).
Фактически задача определения центра
тяжести пластинки сводится к вычис-
вычислению некоторых двойных интегралов,
распространенных по площади пла-
пластинки, которых мы в этой книге не
касаемся (и даже не определяем); од-
однако эту трудность можно обойти с по-
помощью следующего приема.
Обозначим через р= р (х, у) плот-
плотность пластинки, отнесенную к единице
площади; другими словами, будем счи-
считать, что массу малого прямоугольника
со сторонами dx и dy, где dxudy весьма
малы (см. рис. 2; стороны прямоуголь-
прямоугольника мы считаем параллельными осям
координат),, можно приравнять р (х0, у0) X
Xdxdy, где dxdy, разумеется, — пло-
площадь прямоугольника, а р=р (х0, у0) —
плотность в какой-то точке (х0, у0) пря-
Рис. 9.13.2
моугольника, например в его вершине
(так как размеры прямоугольника малы,
то плотность мало меняется в его пре-
пределах). Рассечем теперь нашу пластинку
вертикальными прямыми х=хо=а, х==
=xv x=x2i ¦ . ., х=хп—Ь на п верти-
вертикальных полос (стержней) толщины
&х(=х{ — х{_г (i = l, 2, . . ., п); здесь а
и Ъ — наименьшее и наибольшее зна-
значения абсцисс в пределах пластины D
(см. рис. 2). При этом можно считать,
что г-я полоска (i-й стержень) имеет
переменную (зависящую от у) линейную
плотность
°,- (У) = Р К-, у)Ьх{ (9.13.6)
и соответственно этому общую массу
/(*<)
9(i)
S pfo, y)dy Шо
Lot*/) J
(9.13.7)
1 Здесь мы считаем, что каждому значению где y=g (х<) и y=f (xf) — наименьшее
х отвечает е д и не т в е н н а я точка нити; и наибольшее значения ординаты у
били бы всю нить на несколько участков, для У точек i-то стержня, точнее, \х0 g (х<))
каждого из которых выполнено это условие, и (xt, f (xt)) — точки пересечения пря-

302
Гл. 9. Механика
мой x=xi с границей2 пластины D. (За-
(Заметьте, что под интегралом в правой
части G) стоит функция одной пе-
переменной у, поскольку значение х{
здесь закреплено!) Эту «распределен-
«распределенную по стержню» массу Ami можно
заменить точечной массой Дт,:, сосре-
сосредоточенной в центре тяжести
стержня — в точке С{ (х(,., ус.) с ко-
координатами
У)йУ
(9.13.8)
(cp. F) и A2.6) 3; заметьте, что множи-
множитель Да;,, плотности F) сократится
в дроби, выражающей ординату ус_
центра тяжести С,.).
Таким образом, мы приходим к за-
замене действующих на пластинку сил
тяжести п силами, отвечающими массам
Artiu Д7те2, . . ., Дтя (ср. G)) и сосре-
сосредоточенными в точках С1; С2, . . ., Сп
(см. (8)). Далее нам остается только
заменить эти п сил тяжести одной си-
силой, приложенной в центре тяжести
рассмотренной системы масс, и затем
(как обычно!) перейти от сумм к ин-
интегралам, условившись, что га -> со,
а все Ах( —> 0.
Вывод соответствующих формул не
представляет затруднения (см. упр. 2),
однако он все же выходит за рамки
тем настоящей книги, поскольку здесь
приходится встретиться с повтор-
повторным интегрированием (интегрирова-
(интегрированием функций, которые сами выра-
выражаются интегралами). Поэтому мы не
станем загромождать изложение этими
формулами, ограничившись случаем
однородной пластинки постоян-
постоянной плотности p=const, которую, ра-
2 Для простоты мы принимаем, что пла-
пластинка D имеет изображенную на рис. 2
«овальную» форму, т. е. ограничена двумя про-
простыми, кривыми y=g (х) и y=f (х), взятыми
в пределах от х=а до х=Ь.
3 Формула A2.6) относится к случаю г о-
ризонтального стержня; однако уже
из определения центра тяжести стержня как
такой его точки С, что закрепленный в С стер-
стержень находится в равновесии (см. с. 297), выте-
вытекает равноправие осей х и у (переходящих
одна в другую при повороте стержня вокруг
С на 90°); поэтому вторая из формул (8) явля-
является следствием формулы A2.6).
зумеется, можно принять за единицу:
р (х, у) = 1. В таком случае стержень
толщины Axt имеет массу
= J
(9.13.9)
совпадающую с площадью стержня
(произведение его длины / (х{) ¦— g (х.)
на толщину Да^), а центр тяжести С,.
стержня расположен, естественно, в его
середине, т. е.
(9-13.10)
Общая сумма всех масс (9) равна
т = 2 Ьп, = 2 [/ {х() — ? (я;,)] Дж,.
Переходя к пределу при га—>оо, Джг -*
-> 0, мы получаем выражение
ь
M=\[f(x)-g(x)]dx,
а
совпадающее, очевидно, с площадью S
пластинки D (ср. § 7.4). Координаты же
центра тяжести С масс (9), сосредото-
сосредоточенных в точках A0), имеют вид
(ср. A2.14), A2.15)), или
хс, = 2 xt [/ (а:,) — g (xt)} bxJS,
i
Ус =Y 2 {[/ {x<)f ~[g {x<)f} *XilS-
Тот же предельный переход при п -> со,
Дж —»-0 приводит к следующим (точным!)
формулам для координат хс, ус центра
тяжести С однородной пластинки D пло-
площади S:
ь
(9.13.11)
которые мы еще перепишем отдельно
для специального случая криволинейной
трапеции D = ABDC, ограниченной
осью абсцисс, прямыми х = а и х = Ъ

§ 14. Движение тела в среде, противодействующей движению
303
и линией у = f (x), т. е. для случая
S (х) е= 0;
1
1 (
хс = -д- ^ ж/ (rc) da;,
(9.13.12)
yc=js\ [f(x)fdx,
a
где, как мы знаем,
ь
S=[f(x) dx.
a
Упражнения
9.13.1. Найдите центр тяжести однородной
пластинки, имеющей форму: а) треугольника;
б) трапеции; в) полукруга.
9.13.2. Как найти координаты хс, yG
центра тяжести С пластинки D плотности
р= р (х, у), ограниченной линиями y=g (х)
и y=f (х) (в пределах а < х < Ь)?
§ 14. Движение тела в среде, противо-
противодействующей движению, под дей-
действием силы, зависящей только
от скорости
Всякое тело испытывает при движении
противодействие со стороны той среды,
в которой происходит движение. Если
сопротивление среды невелико — ска-
скажем, при движении с небольшой ско-
скоростью в воздухе, — то его можно не
принимать во внимание. Однако в ряде
случаев такое упрощение недопустимо и
с сопротивлением среды приходится
считаться.
Экспериментально установлено, что
если тело движется в жидкости или
газе, скорость движения невелика и
размеры тела малы, то сила сопротив-
сопротивления пропорциональна скорости движе-
движения:
= —kv(t).
(9.14.1)
Здесь коэффициент пропорционально-
пропорциональности к ^> 0, а знак минус в формуле A)
показывает, что сила сопротивления
среды по направлению противоположна
скорости движения тела. Число к зави-
зависит от свойств среды, оно пропорцио-
пропорционально вязкости х среды. Кроме того,
1 Вязкость т) может быть определена сле-
следующим образом. Пусть жидкость (или газ)
движется в направлении оси х, причем так,
к зависит от формы и размеров тела.
Например, для случая шара радиуса R
формула A) принимает вид закона
С т о к с а 2:
F=—&ъЯтр(Ь), (9.14.2)
где ч\ — вязкость среды. Для воздуха
т,=1,8-10-4, для воды (при 20° С) т|=
=0,01 г/(см-с).
Рассмотрим задачу о торможении
тела. Пусть некоторая сила сообщила
телу скорость, а затем (в момент вре-
времени t=t0) перестала действовать. Тело
продолжает двигаться в вязкой среде,
и далее на него действует только сила
сопротивления.
В силу второго закона Ньютона
dv ,
dt
Разделив обе части на т и обозначив
— г=а (а^>0), получим
т
dv
di
— O.V.
(9.14.3)
Уравнение C), как мы знаем (см., на-
например, гл. 4 и 8), имеет решение
иA) = иое-«(*-'°\ (9.14.4)
где v0 (=v (t0)) — значение скорости
в момент t=t0. Так как а > 0, то при
t > t0 показатель степени в D) отри-
отрицателен, е~а(*-'<-) <1 и, следовательно,
v (t) <^ v0, т. е. скорость с течением
времени убывает: среда тормозит
что скорости разных частиц различны и за-
зависят от координаты у. (Ясно, что твердое
тело так двигаться не может — оно разруши-
разрушилось бы.) При этом между соседними слоями
жидкости или газа возникает сила трения,
пропорциональная разности скоростей co-
dp
седних слоев, т. е. производной -г-. Коэф-
Коэффициент пропорциональности в выражении
для силы /, приходящейся на 1 см2 гори-
горизонтальной поверхности, и называется вяз-
dv
костью: f = t\ з~ (здесь сила / выражена не
в Н, а в Н/см2, откуда легко вывести, что
размерность коэффициента т] есть г/(см ¦ с)).
2 Стоке Джордж Габриель A819—
1903) — английский математик и физик. Фор-
vRo
мула B) справедлива при <!5, где р —
плотность среды. Читатель легко убедится,
что величина —— безразмерна. Она
называется числом Репнолъдса (Re) по имени
английского физика и инженера Осборна
Рейнольдса A842—1912).

304
Гл. 9. Механика
движение тела, как и следовало ожи-
ожидать.
Найдем выражение для пути, прой-
пройденного телом. Из D) следует
или dx =
(9.14.5)
Пусть в начальный момент времени
(при t=t0) тело находилось в начале
координат: х (to)=O. Интегрируя E),
получим
t
т. е.
(9.14.6)
Пользуясь формулой F), можно найти
весь путь, который тело пройдет после
момента t0 (т. е. после того, как сила
перестала действовать) и до момента
полной остановки. Для этого заметим,
что при очень больших t величина
е-а(*-г„) весьма мала (е~аС-'»)) <^ 1)
и ею вполне можно пренебречь. По-
Поэтому путь, который пройдет тело, ра-
вен —.
а
Рассмотрим теперь падение тела
в воздухе (с учетом сопротивления воз-
воздуха). Направим ось х вниз к Земле,
начало координат поместим на вы-
высоте Н от Земли (т. е. на Земле х=Н).
Предположим, что движение началось
в момент t=0 с начальной скоростью
v0. Тогда х @)=0, v @)=у0. Тело на-
находится под действием двух сил: силы
тяжести (она способствует падению
тела, т. е. движению его вниз) и силы
сопротивления воздуха (она препят-
препятствует движению).
Второй закон Ньютона дает
do
¦ kv.
(9.14.7)
Разделив все члешл G) на т, получим
(так как ~ =
dv__
dt~~
ИЛИ
~di~~
Установим размерность величины — „
rp k , F
1ак как а = —, а к = , то а имеет
размерность 1/с. Размерность — есть
см • с/с2 = см/с, т. е. — имеет размер-
размерность скорости3.
Обозначим — = vv Тогда (8) прини-
принимает вид
dv ,
(9.14.9)
Допустим, что v0 <C v±. Тогда правая
часть (9) в начале движения положи-
положительна, а значит, и левая часть поло-
положительна: -г ^> 0; поэтому скорость v (t)
растет. При этом чем ближе зна-
значение v к vx, тем ближе -j- к нулю,
тем, следовательно, медленнее растет v.
Если бы в некоторый момент времени tx
оказалось v (t1)=vlt то v было бы по-
постоянным, так как v=v1 является ре-
решением уравнения (9) в начальным ус-
условием v (ti)=v1. Аналогично, если в на-
начале движения у0 ]> ух, то v прибли-
приближается к vf но в этом случае у убы-
убывает. Поэтому через некоторое время
после начала движения тело начинает
падать с практически постоянной ско-
скоростью их = — независимо от того, ка-
какую скорость оно имело в начале паде-
падения. График скорости для случая vo—O
имеет вид, показанный на рис. 1: пря-
мая v== является горизонтальной
асимптотой этого графика.
Проведенные рассуждения показы-
показывают, что ряд свойств v (t) можно обна-
обнаружить, даже не решая уравнение (9).
Теперь решим его. Положим vt—v=z.
а, dz dv ,n.
I огда -т- -—-т; и (У) перепишется так:
@.14.8)
3 Этот подсчет размерности — шжен
лишь для проверки правильности наших
g
формул. Размерность— видна из формулы (8):
так как вычитать можно только величины
иметь ту же размерность, что и v.

§ 14. Движение тела в среде, противодействующей движению
305
При t=0 должно быть z = v1 — v0. Иско-
Искомое решение есть z {t)={vx — v0) е~щ'.
Возвращаясь снова к функции v (t), по-
получаем
v 1 — v (t) = [vt — v0) e~at, или и (t) =
= yi + K — vi)e~at- (9.14.10)
Из формулы A0) можно сделать те же
выводы, которые мы уже сделали, ана-
анализируя «на глазок» исходное уравне-
уравнение (9). Если v0 > vx, то v (t) > vx, так
как (v0 — иг) е~а' "> 0; если же va <~ v,,,
то (v0 — Vj) e"°" <^ 0, и поэтому v (t) <C
<^ v-l. При этом каково бы ни было v0,
все равно при достаточно больших t
величина е мала и практически
у (t)=v1.
Из |A0) получаем (напомним, что р =
Решим задачу о торможении для
силы сопротивления A4). Соответствую-
Соответствующее уравнение имеет вид
dv
Разделив обе части на т и положив
— = Р, где Р>0, получим
dy п ,
Отсюда -j- = —pdt. Проинтегрировав, по-
1 '
лучим = —pt \'(, где v0 — скорость
gja
dx\
"dij
Рис. 9.14.1
dt
<xt
(9.14.11)
откуда, учитывая, что х @)=0, имеем
0 Vlb4 „-*t\
тела в момент времени t = tu. Поэтому
— Т+^ = "~~Р(*~ *о)> 0ТКУДа
(9.14.12) v~
1 -f $v0 (t - t0) •
Если скорость тела и его размеры
велики, то сила сопротивления пропор-
пропорциональна квадрату скорости. Из опы-
опытов установлено, что в этом случае 4
= — kS?T,
(9.14.13)
где 5 — площадь сечения тела, р —
плотность среды. От вязкости среды
при этом сила сопротивления практи-
практически не зависит. Коэффициент к в этой
формуле есть безразмерное число: его
величина зависит от формы тела (для
хорошо обтекаемых тел величина к мо-
может иметь значение порядка 0,03—
0,05, а для плохо обтекаемых тел она
возрастает до 1,0—1>5). Обозначая
—!- = х, получим
F=-—w2{t). (9.14.14)
Ясно,, что х имеет размерность г/см.
Поскольку р = — t то р имеет размер-
размерность 1/см. (Заметьте, что при t — to^>
1
^> Q— скорость практически не зависит
от начальной: v та ^-~——г-. )
р С — 'о) /
Найдем формулу для пути. Из A5)
следует
dt,
I (t - *о)
откуда
dt.
4 Эта формула справедлива прп числах
Рейнольдса > 100. Смыслр:форм5лы,^при-
Смыслр:форм5лы,^приведенной в тексте, заключается в том, что
при движении большого тела энергия, затра-
затрачиваемая в связи с сопротивлением среды,
расходуется не на взаимное трение друг
о друга разных слоев жидкости, а на приобре-
I + ру0 (i — i
(9.14.10)
Если тело начинает движение из начала
координат (т. е. если х (to)=O), то A6)
принимает вид
1
х (t) = -д- in [1 -[- ри0 (f — fo)j. (9.14.17)
Р
Легко убедиться, что формуле A7)
соответствует экспоненциал ь-
тение кинетической энергии жидкостью, вы-
вынужденной двигаться, для того чтобы' рас-
расступиться и пропустить тело. Получите от-
отсюда сами формулу для силы (ср. § 15).

306
Гл. 9. Механика
н а я зависимость скорости от прой-
пройденного пути: v=voe'fx. Если теперь
мы захотим найти весь путь, кото-
который пройдет тело после того, как сила,
сообщившая ему скорость, перестала
действовать, то обнаружим, что этот
путь (формула A7)) тем больше, чем
больше время. (Заметьте, что в силу A7)
х —> со при t —*¦ со.) На самом деле это
не так. Дело в том, что, когда скорость
тела станет малой, соотношение A4)
перестанет быть верным. В этом слу-
случае надо перейти к формуле A) и соот-
соответственно для подсчета пути — к фор-
формуле F).
Рассмотрим задачу о падении тела
в воздухе в случае, когда сопротивле-
сопротивление воздуха пропорционально ква-
квадрату скорости. Пусть тело падает
из начала координат, имея начальную
скорость v0. Совершенно аналогично
случаю, когда сопротивление пропор-
пропорционально первой степени скорости, по-
получаем уравнение
dv р л т dv
dt ° 'J' ' " dt
(9.14.18)
Нетрудно установить, что 1/ -|- имеет
размерность скорости; обозначим 1/ -f- =
= vv ~ = v\. Тогда A8) принимает вид
~dT
(9.14.19)
Точное решение A9) дано в ответах
к упр. 1. Рассмотрим общие свойства
решения. Рассуждениями, совершенно
аналогичными тем, которые были про-
проведены для уравнения (9), показываем,
что в этом случае должна установиться
скорость движепия fi=|/ -т. Пока-
Покажем, что через достаточно большое
время после начала падения можно будет
утверждать
v — v1 = Се3'-', (9.14.20)
где С — постоянная величина. Уравне-
Уравнение A9) перепишем так:
dv „ . , w ч
— р [Vi -f- и) {иг и).
(9.14.21)
При больших t имеем v «=: vlf поэтому
в B1) заменим v^v на 2v1. Если заме-
заменить v на vt в разности v± — v, получим
— = 0, откуда v = const = ь\. Так как
нас интересует именно малое различие
между v и v1 (закон приближения v
к иг), то пренебречь разностью v — yt
нельзя. Заменяем B1) на
dt
ПОЛОЖИМ V±—-V~Z, -Tj~
перь B2) примет вид
Решение B3) таково:
(9.14.22)
dv rp
-Тг Те"
(9.14.23)
(9.14.24)
что совпадает с B0).
Значение С в формуле B4) нельзя
определять из начального условия
v @) = у0 (т. е. z @) = v1 — у0), потому
что уравнение B2) справедливо только
при достаточно больших t (вблизи ?=0
заменять v~\-v1 на 2v1 нельзя).
Заметим еще, что формула F (?) =
=—ху2 (t) справедлива лишь для слу-
случая, когда v > 0. Действительно, если
v <^ 0, то должно быть F (t)=xv2{t),
так как направление силы сопротивле-
сопротивления противоположно направлению ско-
скорости и, следовательно, эта сила поло-
положительна, если скорость отрицательна.
Оба случая (v ^> 0 и v <^ 0) охватывает
формула
У 71 рлжпешщ
9.14.1. Найдите выражение для скорости
в зависимости от времени из уравнения
-?-1= fi (yj — v2) при начальном условии
v @) = 0. Выведите из полученной формулы
для v, что происходит установление скорости,
равной vi=y -Q- . Покажите, что для фор-
мулы B4) (или B0)) c = 2M^~Ji) ^
9.14.2. В задаче о падении тела (сила со-
сопротивления пропорциональна скорости)
учтите, что на тело действует выталкивающая
сила по закону Архимеда.
9.14.3. Применив результат предыдущей
задачи к шару и учитывая, что для шара к=
= 6-ni?7i, где R — радиус шара, г, — вязкость
среды, покажите, что при больших t устанав-
устанавливается скорость падения шара и =

§ 15*. Движение тел в жидкостях и газах
307
9т)
(здесь р — плотность мате-
материала, из которого сделан шар, р'— плот-
плотность среды).
§ 15*. Движение тел в жидкостях
и газах
Остановимся немного подробнее на во-
вопросе о физической природе и законо-
закономерностях сил, действующих на тело,
движущееся в сплошной среде — в воз-
воздухе или в воде. Б связи с огромной
технической важностью вопроса, в осо-
особенности для авиации, он изучен чрез-
чрезвычайно подробно и составляет глав-
главный предмет самостоятельной науки —
гидроаэродинамики. Частные случаи,
которые были рассмотрены в § 14, соот-
соответствуют крайнему упрощению и схе-
схематизации истинных закономерностей.
Более точным, чем предположения
§ 14, является утверждение, что силу
сопротивления среды, действующую на
данное тело, можно записать в виде
F=_kSw_^ (9.15.1)
где S — сечение тела (в см2), р — плот-
плотность (в г/см3) и к — безразмерная ве-
величина (ср. формулу A4.14)). При этом
в общем случае, если не ограничиваться
медленным движением, коэффициент со-
сопротивления к есть функция двух без-
безразмерных величин: числа Рейнольдса
Re (см. сноску 2 в § 14) и так называе-
называемого числа, Маха г — отношения ско-
скорости I? тела относительно среды к ско-
скорости с звука в среде: Ма = —. Итак,
k = k(Re, Ma). (9.15.2)
В частном случае движения тела со ско-
скоростью, малой по сравнению со ско-
скоростью звука, т. е. при Ма <^ 1, коэф-
коэффициент сопротивления зависит только
от числа Рейнольдса:
/с (Re, Ma = 0) =/с (Re). (9.15.3)
Вид функции C) зависит от формы тела,
от его ориентации относительно направ-
направления скорости и, наконец, от того,
какая именно величина выбрана в ка-
качестве характерного размера в опреде-
определении числа Рейнольдса. Только в са-
самом простом случае — в случае шара —
все эти вопросы отпадают.
При малых числах Re, т. е. при Re <
<С 1, асимптотика функции C) такова:
, const .
к=:~Ki~ + " •' (9.15.4)
где опущены слагаемые, малые по
сравнению с выписанным.
Подставляя в A) выражение для
коэффициента к, получаемое при игно-
игнорировании невыписанных членов D), и
учитывая, что, по определению, Re =
и Up
= —-, получим
г =
const • -n pv2
1 М а х Эрнст A838—1916) — известный
австрийский физик, педагог и философ (как
с философом с Махом полемизировал Ленин).
дy i> = const • i\Rv,
(9.15.5)
где, разумеется, запись const в правой
и средней частях E) означает раз-
разные числа.
Таким образом, мы снова приходим
к закону Стокса (ср. A4.2); характерно,
что в этом приближении плотность
жидкости не влияет на силу). При этом
последнее преобразование в E) осно-
основано на том, что площадь S сечения
тела пропорциональна квадрату его ли-
линейного размера R (мы рассматриваем
геометрически подобные тела); именно
поэтому в выражении силы остается
первая степень R. Однако надо пом-
помнить, что при любом конечном значе-
значении числа Re формула D) является
лишь приближенной: она содержит по-
поправки, исчезающе малые по сравне-
сравнению с выписанным членом лишь при
очень малых Re.
Во втором предельном случае при
Re -> со ситуация оказывается не-
несколько более сложной. Здесь можно
считать к постоянным, как это было
сделано выше; хотя предположение о по-
постоянстве к и является довольно гру-
грубым, но в книге для начинающих оно,
по нашему мнению, допустимо. Во мно-
многих учебниках механики и внешней
баллистики уравнения движения интег-
интегрируются именно в предположении к=
=const, i?=const-y2. Однако специа-
специалист по аэродинамике подчеркнет, что к
хоть и слабо, но все же зависит от
числа Re даже при больших Re. Так,
например, для шара при Re=100 к л;
«И,2-, а при Re=2-105 к «* 0,4. Затем
в сравнительно узкой области 2•105 <[
<С Re <С 5•105 сопротивление падает
почти втрое, а далее вплоть почти до

308
Гл. 9. Механика
Re = 108 можно считать, что /с=0,12.
В целом при изменении Re на шесть
порядков A08 : 102=106) к изменилось
на один порядок (от 1,2 до 0,12), т. е.
в среднем по большому интервалу зна-
значений Re получается интерполяция:
к ~ Re'». При рассмотрении элемен-
элементарных («прикидочных») расчетов
вполне допустима замена слабоменяю-
щейся функции Re~T'« на константу (при
условии, что скорость меняется в не
слишком широком интервале).
Остановимся теперь на физической
картине движения жидкости, обтекаю-
обтекающей тело, и на происхождении сил,
действующих на него. Нам удобнее
перейти в систему координат, связан-
связанную с телом, т. е. 'представить себе
покоящееся тело в потоке жидкости.
До встречи с телом, т. е. далеко от
него, в направлении, противополож-
противоположном скорости жидкости, вся жидкость
движется с одинаковой скоростью (как
по величине, так и по направлению).
Вблизи тела движение жидкости ме-
меняется. Ясно, что составляющая ско-
скорости, перпендикулярная поверхности
тела, равна нулю: жидкость не втекает
в сплошную стенку тела и не вытекает
из тела. Но при наличии вязкости
можно утверждать, что на поверхности
тела обращается в нуль и составляющая
скорости, касательная к поверхности
тела: в этом случае скорость жидкости
на поверхности тела будет нулевой.
На поверхность тела действует давле-
давление, направленное нормально к поверх-
поверхности, а также сила вязкости, касатель-
касательная к поверхности и направленная
в сторону, в которую движется жид-
жидкость вблизи поверхности на малом
расстоянии от нее. Сила вязкости равна
¦п ~ , где vf — касательная составляю-
оп s *
щая скорости, а -т символ производной
в направлении, перпендикулярном к по-
поверхности (в направлении нормали
к поверхности; на поверхности S тела
vt = 0, но производная -р отлична от
нуля).
Если известно, как движется жид-
жидкость в каждой точке вблизи тела, то
рассчитать давление и силу вязкости
нетрудно. Но именно расчет движения
очень труден и в общем случае нам
пока недоступен: до настоящего вре-
времени он проведен до конца лишь для
малого числа особо простых случаев.
При медленном движении главную
роль играют силы вязкости. Распреде-
Распределение скоростей в различных жидкостях
и газах, обладающих разной вязкостью,
будет подобно при обтекании геометри-
геометрически подобных тел разных размеров;
поэтому производная -г1- в данной
точке тела пропорциональна полной
скорости v, деленной на размер R тела.
Значит, вязкая сила на единицу поверх-
поверхности имеет порядок F1 = t\-s. Пол-
Полная же сила F=SFX, но площадь S
поверхности геометрически подобных
тел пропорциональна квадрату харак-
характерного линейного размера: S=const-i?2.
Таким образом,
F = const • i\vR. (9.15.G)
Можно показать, что в случае медлен-
медленных движений тел учет распределения
давления по поверхности меняет только
константу. Закон Стокса A4.2) для
шара радиуса R, где коэффициент
const=6rc (в качестве характерного раз-
размера R здесь принят радиус шара), яв-
является частным случаем общей фор-
формулы F). Величина бтс в формуле A4.2)
найдена расчетом; она хорошо согла-
согласуется^ с опытом. Однако для произволь-
произвольного несимметричного тела расчет ста-
становится весьма трудным даже в пре-
предельном случае Re -> 0.
Сложнее обстоит дело при обтекании
большого тела потоком большой ско-
скорости, т. е. при больших числах Рей-
нольдса. Естественно в этом случае
искать движение жидкости с учетом ее
инерции; изменение величины и направ-
направления движения при этом зависит от
неравномерности давления.
При торможении струи возникает
давление порядка ри2. Так как силы
вязкости пропорциональны первой сте-
степени скорости, то естественно пренебречь
ими при быстром движении, при боль-
больших числах Рейнольдса. Казалось бы,
цель достигнута, получена формула
вида Fl=pvi, i^const- pv2S с посто-
постоянным коэффициентом сопротивления.
Однако действительность оказалась
сложнее! Еще в ХУ1Щв. французский
математик и механик Ж. Л. Д' Ал а м-
б е р показал, что для жидкости, но л-

§ 15*. Движение тел в жидкостях и газах
309
ностью лишенной вязкости, существует
такое решение уравнений движения,
при котором давление в разных точках
поверхности тела различно, но равно-
равнодействующая сила давления тождест-
тождественно равна нулю. В действи-
действительности такое течение не осущест-
осуществляется: даже очень малая вязкость
существенно перестраивает поток! Воз-
Возникает турбулентность: несмотря на
то что набегающий поток не зависит от
времени, вблизи и позади тела возни-
возникает хаотически меняющееся (как языки
пламени у костра) движение жидкости.
Повышенное давление на передней
поверхности тела (на которую набегает
поток) не компенсируется давлением
позади. Перестройка потока, вызванная
влиянием вязкости, оказывается су-
ществеппой, приводит к определенному
не равному нулю сопротивлению. Как
уже отмечалось, численное значение
этого сопротивления очень слабо за-
зависит от числа Рейнольдса, т. е. слабо
зависит от вязкости.
В системе координат, в которой дви-
движется тело, а жидкость первоначально
(до прихода тела в данную область) по-
покоится, можно грубо считать, что столб
жидкости, находящийся на пути, кото-
который тело проходит за время t (его
масса равна M1=pSvt), при прохожде-
прохождении тела расступается и приобретает при
этом скорость порядка v. Следовательно,
его энергия равна Е — ' -—-^——. Но
она заимствована у тела: такую работу
должно было произвести тело. Работа,
производимая телом за время t, равна
силе, умноженной на путь: A=Fvt.
Приравняв затем А и Е, мы из равен-
равенства Fvt = —^— и получим формулу
(9.15.7)
для силы, которая верно передает по-
порядок этой величины. Через большое
время после прохождения тела жид-
жидкость успокаивается, но ее энергия
превращается в тепло, а не возвра-
возвращается телу,
Обтекание тела жидкостью сущест-
существенно зависит от его формы. Найдены
формы, обладающие минимальным со-
сопротивлением, с коэффициентом сопро-
сопротивления, в десятки раз меньшим, чем
у шара или диска, поставленного попе-
поперек движения.
Общая идея заключается в том, что
жидкость, расступившаяся при вхожде-
вхождении в нее тела, плавно смыкается сзади
тела. В этом случае вклад разности
давления уменьшается до 10—15% от
всей силы сопротивления. Даже при
больших числах Рейнольдса большую
часть силы, непосредственно действую-
действующей на поверхность тела (85—90%),
составляет сила вязкости. Однако от-
отсюда вовсе не следует, что общая сила
сопротивления и коэффициент к про-
пропорциональны вязкости для хорошо об-
обтекаемых тел при большом значении
числа Рейнольдса!
Казалось бы, вязкость входит в фор-
формулы для к (и F) в первой степени.
Однако вязкая сила пропорциональна
^~дп' и оказывается! что при прочих
равных условиях (данный размер тела,
данная скорость жидкости на бесконеч-
бесконечности) при уменьшении ц уменьшается
переходный слой, в котором меняется
скорость, т. е. увеличивается ~. Ко-
011
эффициент сопротивления и для хорошо
обтекаемых тел при большом числе
Рейнольдса пропорционален вязкости
в очень малой степени: он меняется
примерно как ?]''«. (Некоторые авторы
предпочитают формулы вида /с=(а+
+Ъ In Re).)
Такова ситуация и в самом край-
крайнем случае, при обтекании тонкой пла-
пластинки, расположенной вдоль потока.
Казалось бы, в пределе при малой вяз-
вязкости жидкость может скользить вдоль
пластинки — давление никакой состав-
составляющей силы не дает, а сила трения
пропорциональна вязкости и мала.
В действительности же возникает тур-
турбулентное движение (при Re>106J и
сопротивление увеличивается. Если
форма тела или его расположение от-
относительно потока несимметрично, на-
например пластинка наклонена, то кроме
силы, направленной параллельно скорости
движения жидкости, появляется пер-
перпендикулярная составляющая — подъем-
подъемная сила, которая может более чем в 20
раз превосходить силу сопротивления. На
этом основан полет планера и самолета.
2 При подсчете числа Рейнольдса здесь
вместо радиуса R шара принято подставлять
длину L пластинки: Re=—.

Глава 10
КОЛЕБАНИЯ
:'1. Движение под действием упругой
силы
Рассмотрим случай, когда сила, дейст-
действующая на тело, зависит только от его
положения: F=F (х). Выше (см. § 9.2)
мы подробно рассматривали работу та-
такой силы и выяснили, что в этом случае
система имеет определенную потен-
потенциальную энергию и (х),
с которой сила связана соотношением
Обратимся к задаче о движении тела
под действием такой силы. Основное
уравнение движения имеет вид
dv
A0.1.1)
Так как в уравнение входит произ-
производная по времени, а сила задана как
функция координаты х, то непосред-
непосредственно это уравнение решить нельзя.
Естественно для решения задачи искать
интересующие нас величины как функ-
функции координаты х. Будем искать, в част-
частности, зависимость скорости от коорди-
координаты, т. е. функцию v (х). Производную
dv
по времени -=- мы представим как про-
изводную сложной функции, так как
сама координата х зависит от времени:
dv[x(t)] _ dv\x(t)] dx(t)
dt •
dt
dx
или
dx
Ho -r есть не что иное, как скорость
/ ч гг - dv dv
v\x). 1аким ооразом, ^- = f^-, откуда
dv
dv
Интегрируя, находим
Физический смысл последнего равенства
совершенно ясен: изменение кинети-
кинетической энергии равно работе силы.
Используя потенциальную энергию
и — и(х), запишем B) так:
Подставляя (la) в уравнение движения
A), получим
d I mv2 \
~dx~ \~2~) = '
du
~dx
ИЛИ
d
dx
Если производная какого-нибудь вы-
выражения тождественно равна нулю, то
само это выражение не меняется. Поэтому
mv2 I / \ ,
—2 \- и (х) = const. A0.1.3)
В таком виде формула C) выражает
закон сохранения энер-
энергии: при движении тела под дейст-
действием силы, зависящей от координаты,
остается постоянной сумма кинетиче-
mvz
скои энергии тела —~- и его потен-
потенциальной энергии и (х).
Эта сумма называется полной энер-
энергией тела.
Здесь (как и в § 9.14) мы привели
довольно длинные преобразования для
того, чтобы показать, что закон сохра-
сохранения энергии (применительно к меха-
механике) есть следствие закона Ньютона.
Также следствием закона Ньютона яв-
является тот факт, что кинетическая
mv2
энергия тела есть именно —=-, а не
какая-нибудь другая функция скорости
тела. При этом значение закона сохра-
сохранения энергии, разумеется, не ограни-
ограничивается рассмотренными в этой книге
простейшими примерами: этот закон
сохраняет силу (и значение) в широком
классе явлений — даже тех, физическая
сущность которых до сих пор остается
неясной.

§ 1. Движение под действием упругой силы
311
Как решать дальше задачу о движе-
движении тела? По значениям скорости v0
и координаты тела х0 в начальный мо-
момент времени находим полную энергию
тела Е — величину, остающуюся по-
постоянной на протяжении всего движе-
движении: Е — -
- и (х0). При помощи фор-
фор2
мулы C), зная Е, находим скорость
тела в зависимости от х:
V [X =
A0.1.4)
Остается найти связь между х и t.
Из D) получаем
<1Х 1 / ^ i n / \ i
-— ^. I/ —[Е — и(х)] ;
dt г т \ /I >
отсюда
dx
1/ — [Е — и (х)\
= dt,
dx
¦ — \E — и (х)]
т. ' v "
A0.1.5)
Таким образом, время t выражено как
функция координаты х: t—t (х), при-
причем функция эта задана интегралом.
Решая уравнение E) относительно х,
можно найти зависимость х=х (t). Од-
Однако так как зависимость D) с и i
выражается посредством корня квадрат-
квадратного, то даже простое выражение и (х)
часто приводит к весьма сложным вы-
выражениям для t (х).
Для того чтобы получить общее пред-
представление о характере движения, очень
полезно нарисовать кривую и —и (х).
Пусть, например, график функции и (х)
имеет вид, изображенный на рис. 1.
Если провести на этом же рисунке го-
горизонтальную прямую на высоте Е
(прямую и = Е), то получится весьма
наглядная картина. Здесь интуитивно
ясно, что тело будет перемещаться
между двумя крайними своими положе-
положениями, движение будет иметь характер
колебаний; скорость будет про-
пропорциональна корню квадратному из
разности Е — и (х). Так, например, при
х=хА скорость пропорциональна корню
квадратному из длины отрезка АВ (см.
рис. 1). Правее точки С и левее точки D
находится область, где Е <С и (х), т. е.
область, в которую тело в полном соот-
соответствии со сказанным выше при задан-
заданной полной его энергии Е проникнуть
не может — не хватит энергии (это от-
отражается в появлении в формуле E)
корня квадратного из отрицательного
числа). В области же, где Е^>и{х),
для v (х) мы получаем два возможных
значения в соответствии с двумя зна-
знаками корня:
В начальный момент как величина,
так и знак скорости v=v0 определяются
начальными условиями. Дальше дви-
движение происходит в направлении, за-
заданном знаком начальной скорости v0.
Очевидно, что при v =^= 0 знак скорости
не может внезапно измениться. Так,
если в начальный момент тело нахо-
находится в точке х=ж0 (расположенной где-то
между хв и
и v0
то тело дойдет
до крайней допустимой точки хс.
В точке х,;, где скорость тела обра-
обращается в нуль, произойдет переход от
формулы v = у — \Е — и(х)\ к формуле
v = — У — [Е — и (х)]. Так как в этой
точке v =. 0, то изменение знака совер-
совершается бел скачка (разрыва) скорости. Ана-
Аналогичная картина будет в точке а: =-Сл.
Таким образом, в случае, изображенном
на рис. 1, движение тела, как мы и
ожидаем, будет представлять собой
колебания между двумя крайними по-
положениями Х„ И -Сп.
Рассмотрим другой пример. Пусть по-
потенциальная энергия тела дается функ-
функцией и=ах, где а > 0. Найдем закон
движения тела.
Обозначим значения координаты х и
скорости v в начальный момент вре-
времени t0 через х=х0 и v=v0. Тогда пол-
ная энергия Ь =—— ~\-ах0. Пользуясь
D), получаем

312
Гл. 10. Колебания
. . 1 / 2
где т = —. Зная v (ж), находим время
Поскольку под интегралом стоит вы-
выражение u~4*du, где и = р^ -|~Т (хо —
— х), то
o — а)— «о]
Отсюда находим х:
¦*¦(* —Q = — \/i>S+ T («<> — *) +«V
Перенося у0 влево, возводя в квадрат
и сокращая на у, найдем
A0.1.6)
Вычислив -3TJ-, убеждаемся, что дви-
движение по закону F) — равнозамед-
равнозамедленное движение. Этого и следовало
/7
Рис. Ю.1.2
ожидать, так как F—
= —а> т- е-
сила постоянна и отрицательна, значит,
движение равнозамедленное. В этом про-
простейшем случае, когда сила в действи-
действительности от х не зависит, конечно,
не было надобности применять такой
сложный способ расчета.
В следующем примере (по поводу которого
см. также гл. 16) рассмотрим потенциальную
энергию, график которой имеет вид сту-
ступеньки (рие. 2, а). Такой зависимости
и (х) соответствует график силы, приведен-
приведенный на рис. 2, б (чтобы убедиться в этом, чита-
тель должен вспомнить, что F = — -^-\\ сила
весьма велика и отрицательна, т. е. направ-
направлена в сторону уменьшения х. Чем круче кри-
кривая и (х) на рис. 2, а, т. е. чем на меньшем
протяжении Д=Ж1—х0 происходит подъем
и (х), тем больше по абсолютной величине
сила. Там, где и (х) постоянна (слева от точки
х0 и справа от точки xi), сила равна нулю.
Пусть тело начало движение от точки х0
(см. рис. 2, а) со скоростью v0; полная энергия
тела пусть равна Е. При каких значениях
Е тело может попасть в точку х{? Так как
в(жо) = О, то Е = -2~. С другой стороны,
Ь, = —2~ + «1, где г>1 — скорость тела в точке
xi, а «! — потенциальная энергия при х = хх.
Поэтому
-~- = Е-а1. A0.1.7)
Из формулы G) видно, что если Е < щ,
то тело не может попасть в точку х%, так как
в этом случае получаем v\ < 0, чего быть не
может. Поэтому тело может попасть в точку
x=xi, только если Е > и%.
Определим для этого случая работу силы F
при перемещении тела из точки х0 в xi:
mv\ mvl mv\
Пользуясь G), находим
A=E—ui—E=—ui.
При дальнейшем движении тела вправо от
точки xi сила F работы не совершает, так как
F=0 при х > п.
Упражнения
10.1.1. Потенциальная энергия дана фор-
кх*
мулой u=—2~, где й>0. Построив график,
покажите, что соответствующее движение —
колебательное.
10.1.2. Потенциальная энергия и (х)=0
при а^0; и (х)~2х при 0 ^ х ^ 1; и (х)~2
при х > 1. В аачальный момент тело с массой
1 г выходит ив начала координат и движется
вправо со скоростью va (см/с), где: а) уо=1;
б) t>0=l;9; в) уо=2,1. Для каждого случая
укажите, сможет ли тело неограниченно дви-
двигаться вправо. Если пе может, то найдите
точку остановки.
10.1.3. и (х)=— ж3+4ж2. В начальный
момент времени тело массой 2 г выходит из
точки х0 и движется со скоростью г>0 (см/с)„

§ 2. Случай силы, пропорциональной отклонению
313
где: a) xn=l, i?0=l; б) хо=—2, ио=1; в) хо=
= —2, 1>0=—1. В каждом случае исследуйте
характер движения (точки остановки, области,
в которые тело не может попасть). В случаях,
когда есть точки остановки, укажите, хотя
бы грубо, их координаты.
10.1.4. Ответьте па те же вопросы, что и
в упр. 3, для и (х) =
= 2, где:
, х2,
1 1
а) хо = 0, vo = 2; б) a:0=-j, ио=у. Выра-
Выразите время t в зависимости от х через ин-
интеграл.
§ 2. Случай силы, пропорциональной
отклонению. Гармонические коле-
колебания
Рассмотрим тело, на которое действует
сила
F = —kx.
Как мы знаем, такой силе соответствует
потенциальная энергия
kx2
и=-2".
Начало коордипат является положением
устойчивого равновесия. Кривая потен-
потенциальной энергии (парабола) имеет вид,
показанный на рис. 1.1.
Движение тела под действием такой
силы представляет собой колеба-
колебания влево и вправо от положения
равновесия. Можно представить себе
шарпк, который скатывается с одной
ветки параболы, набирая скорость, по
инерции забирается на вторую ветвь,
скатывается с нее и т. д.1 Согласно
второму закону Ньютона уравнение
этих колебаний имеет вид
d-,r 7
т —-- = —кх.
di1
A0.2.1)
1 Разумеется, эта картина не^является точ-
точным описанием интересующего нас процесса:
ведь скорость скатывающейся с ветви нара-
болн: частицы'направлена по касательной к па-
параболе и может быть разбита на две компо-
лепты: vx (горизонтальная составляющая ско-
скорости) и vz (вертикальная составляющая).
В законе сохранения энергии, естественно,
фигурируют обе величины vx и рг, в силу чего
действующая на частицу сила (точнее, гори-
горизонтальная составляющая этой силы) не бу-
будет строго равна —кх (подумайте сами, по-
почему?). Однако в случае достаточно пологой
параболы, когда составляющая vz скорости
невелика, «скатывание с параболы» можно
представить себе как колебательное движение
по закону A).
Мы не будем решать его общим (и до-
довольно сложным) способом (см. § 1),
а вместо этого попытаемся угадать вид
решения, а затем обратимся к исследо-
исследованию его свойств.
Итак, предположим, что
х = а cos urt. A0.2.2)
Такой вид решения выбран потому, что
интересующий нас физический процесс
(«колебания»), бесспорно, имеет периоди-
периодический характер, а косинус является
одной из простейших периодических
функций. Подставим B) в основное
уравнение A); так как
dx
v = —j— = —аш sin wt,
at
= —аи? cos wt,
Л2
то получаем
—maw2 cos wt = —ka cos wt.
A0.2.3)
Если тш2=к, то соотношение C) будет
выполняться при всех t. Поэтому функ-
функция B) действительно удовлетворяет
уравнению A), если только тш2=к,
т. е.
(Ю.2.4)
A0.2.5)
Таким образом, имеем
x = a cos \ty — .
V У ml
Отметим, что квадратный корень в вы-
выражении для со не приводит к двум ре-
решениям, так как cos coi=cos (—Ы).
Мы искали решение уравнения A)
в виде B). Но ясно, что синус ничем
не хуже косинуса 2, — и уравнение A)
имеет и другое решение
x(t) = b sin cot. A0.2.2a)
d2 (sin iot) о . .
В самом деде, —~z—- = — ш* sin urf;
подставляя значение х (t) и его вто-
второй производной в A) и сокращая на
2 Обе функции xi=aainwt и х2=Ь cos<ot
характеризуются пропорциональностью вто-
второй производной функции самой функции
самой функции
коэффициентом
2 ?
харатеру ррц
рой производной функции
(с отрицательным
пропорциональности: х'{= — ш2^; ж?=
=—<а2х2); различаются же они начальными ус-
условиями (при f=0): <в то время как хх @)=0,
для функции х2 равна нулю начальная ско-
скорость ее изменения (х'2 @)=0), а не сама функ-
функция.

314
Гл. 10. Колебания
sinurf, получим co = j/—, т.е. тоже
самое значение, что и раньше.3 Поэтому
х (t) = о sin I ? I/ — I. A0.2.5a)
Легко убедиться, что также и сумма
ж = a cos urf -[-6 sin wt A0.2.6)
решений B) и Bа) уравнения A) яв-
является решением того же самого урав-
уравнения A). (Читатель сам проверит это,
находя вторую производную от суммы
F) и подставляя ее в A); а и Ъ здесь
совершенно произвольны.) Таким обра-
образом, мы располагаем решением F) урав-
уравнения A) с двумя произвольными по-
постоянными а и Ъ.
Решение F) уравнения A) можно
переписать и несколько по-другому.
Рассмотрим «сдвинутое на угол ср» ре-
решение B) уравнения A):
Ж = С cos (tof-J-cp), A0.2.7)
где числовой множитель перед тригоно-
тригонометрической функцией мы теперь обо-
обозначаем буквой С. Так как и здесь 4
х' = —соС sin (u)t+ср) и, значит, х" =
= —со2С cos(coi+cp) = —со2ж, то при вы-
выполнении D) и функция G) является
решением A). Но так как cos(a-f-|3) =
= cos a cos p — sin a sin |3, то G) мож-
можно переписать так:
х = С cos ср cos wt — С sin ср sin wt,
т. е. G) и F) — это одно и то же реше-
решение, если только
a = Ccoscp, &=:—С sin ср, A0.2.8)
где С и ср выражаются через а и Ъ 5:
3 Здесь также со = — I/ ¦—
решения: Ъ sin \~~ у — tj = —b sin I I/ — tj
T
не дает нового
и значение со = — I/ — отвечает тому же
решению Eа), но только с иным коэффи-
коэффициентом Ъ.
4 Ясно, что сдвиг аргумента тригонометри-
тригонометрической функции не влияет на ее дифференци-
дифференциальные свойства: если a;=cos (H-a)=cosx, где
dx dx dz
то ~r.
at
ос
T = D-a и a== const,
йж dx (
= ^ •1 = ^. (Переход от B) к G) —это то же,
A0.2.8a)
Найдем период Т колебаний, т. е.
время, через которое тело возвращается
в исходное положение (причем даже,
как нетрудно видеть (см. формулы A0)
и A1)), с исходной скоростью). Функ-
Функция cos а (или sin а, или cos (а+ср))
принимает первоначальное значение,
когда угол а меняется на 2я. Значит,
в выражении a cos cui величина cui за
один период Т должна измениться на
2тг. Поэтому Т находим из условия
откуда
-^-. A0.2.9)
Величина v = y дает число колеба-
колебаний в единицу времени и называется
частотой колебаний. Размерность ее
с = 1/с (обратная секунда). Единица
частоты — одно колебание в секунду —
имеет специальное название герц (обо-
(обозначение: Гц) в честь великого немец-
немецкого физика Генриха Герца A857—
1894). Из формулы (9) видно, что v=
= f-. Однако во всех формулах удоб-
удобнее иметь дело именно с со, а не с v,
иначе повсюду появятся коэффициенты
О чг
2л и 4л2. Величина со = у называется
круговой частотойв, а ср в формуле G)—
начальной фазой.
а
что сдвиг по времени: t->t -\- tu, где to
8 Разумеется, для полного определения
/ ь\
угла <f простой формулы ij>=arc tg I — — ) недо-
статочно — здесь надо еще учесть знаки функ-
функций cos ср и sin ср, указываемые формулой (8).
6 Чтобы понять происхождение этого на-
названия, рассмотрим отрезок длины а, вращаю-
вращающийся против часовой стрелки. (Сходство
между вращением и колебанием бросается
в глаза: вращающаяся стрелка после каж-
каждого оборота возвращается в исходное поло-
положение точно так же, как колеблющееся тело
по истечении одного периода возвращается
в свое исходное положение.) При этом коор-
координата х конца вращающейся стрелки меня-
меняется по закону х=а cos (of, если стрелка враща-
вращается с угловой скоростью (о. Если Т есть время
одного оборота (период вращения), то v=-y,
есть число оборотов в единицу времени, и>=
=2nv есть угловая скорость вращения, вы-
выраженная в радианах в секунду. Так как ра-
радиан есть величина безразмерная, то со имеет
размерность 1/с. В связи с таким простым
смыслом ш при движении по кругу величина <«

§ 2. Случай силы, пропорциональной отклонению
315
Коэффициент а решения B) из урав-
уравнения A) определить нельзя, потому
что уравнение удовлетворяется при л ю-
б о м а (в обеих частях C) а можно
сократить). Аналогично совершенно
произвольны константа Ъ в решении
Bа) и обе константы аи & в решении F);
также произвольны величины С и ср
в формуле G) (проверьте!).
Если движение тела описывается фор-
формулой B), то скорость тела
= -~- = —ало sin
A0.2.10)
Из соотношения cos2o)i+sm2coi=l сле-
следует, что при cos Ы= +1 будет sin со?=
=0. Следовательно, в те моменты вре-
времени, когда отклонение тела в ту или
иную сторону достигает наибольшего
значения (х=а или х=—а), скорость v
равна нулю. Представим себе, что при
t <^ 0 тело помещено в точку х=а и
удерживается в этой точке в покое при
помощи посторонней силы (например,
каким-нибудь крючком) до момента t=
=0, когда крючок отпускает тело. В этот
момент тело было в покое, а затем под
действием силы F=—кх начались ко-
колебания. Зависимость координаты х
тела от времени t дается формулой
х=а coscof. Так как абсолютная вели-
величина coscof не превосходит 1, то а есть
наибольшее значение величины х, т. е.
наибольшее отклонение тела от положе-
положения равновесия. Тот же смысл имеет ве-
величина Ъ в формуле Bа) и С в фор-
формуле G). Число а (соответственно Ъ
или С) называется амплитудой коле-
колебаний. Из B) и A0) следует, что ампли-
амплитуда колебаний равна начальному от-
отклонению тела, если в момент начала
колебаний тело покоилось 7.
Отметим попутно, что вообще если
A (t)=L cos <ot (или A (t)—L sin at), то
L есть наибольшее значение величины
A (t); оно называется амплитудой ве-
величины A (t). Укажем еще, что частота
колебаний си не зависит от их ампли-
амплитуды а.
Пусть х=хг (t) есть решение урав-
уравнения A), т. е. справедливо равенство
в задачах о колебаниях и получила название
круговой частоты.
7 Мы определили амплитуду как поло-
половину полного размаха колебаний. На пути
от кранной левой точки х=—а до крайней
правой точки х=а тело проходит расстояние
2а, равное удвоенной амплитуде.
d2x
m -^~ = —kxv Рассмотрим функцию
x2 (t) = схг (t), где с — постоянная вели-
величина. Подставляя в уравнение A) зна-
значения х2 и -т-~, получим тс-т-1 =
= —kcx1(t), или, сокращая на с,
т -?%- = —кхг.
Итак, если ж=ж1 (t) удовлетворяет урав-
уравнению A), то и х2 (t)=cx1 (t) также
удовлетворяет этому уравнению. Ана-
Аналогично проверяется тот факт, что если
хг (t) и х2 (t) — два решения уравне-
уравнения A), то х (t)=x1 (t)-\-x2 (t) тоже яв-
является решением. Именно так из реше-
решений B) и Bа) образуется более общее
решение F). Соответствующая F) ско-
скорость движения равна
i> = —— =—аш sin wt -f- 6ш cos ш?. A0.2.11)
Допустим, что мы взяли решение
a;=:acos cof уравнения A). Полагая t=0,
получим хо—а, где хо=х @) — началь-
начальное положение тела и, значит, х=
= х0 cos tot. Но тогда v = -г = —a;0a)sincoi,
так что и = 0 при t = 0. Поэтому
решение х = a cos coi годится лишь для
задачи о колебании с нулевой началь-
начальной скоростью.
Попробуем взять решение х=Ь sin wt.
В этом случае v = -т- = bw cos u>t, и при
t = 0 получаем v0 = 6ш, где и0 = v(fl) —
начальная скорость и
6 = — , A0.2.12)
откуда ж = —sinotf. Однако при t = 0
мы имеем здесь обязательно х=0, и при
помощи этого решения мы также не
можем решить общую задачу — неиз-
неизбежно приходится считать, что колеба-
колебание началось с точки равновесия х=0.
Соотношение A2) дает практически
удобный способ измерения импульса
силы и скорости, широко применяемый
в механике под названием баллистиче-
баллистического маятника: если тело подвешено
в виде маятника или удерживается
в положении равновесия пружинами и
частота его колебаний известна, то на-
начальную скорость после удара можно
определить по амплитуде колебаний,
вызванных ударом.

316
Гл. 10. Колебания
Покажем, что приближенно формулу A2)
можно получить из элементарных соображений
общего порядка. Размерность амплитуды —
см, размерность скорости — см/с, а размер-
размерность периода колебаний — с. Поэтому со-
соображения размерности подсказывают совпа-
совпадение амнлптуды с произведением начальной
скорости на некоторую долю периода. Так как
движение от момента удара до максимального
отклонения продолжается четверть периода и
и <[ (/•„, потому что движение замедленно, то
&<—^—. Если бы движение было равноза-
медлеппым, то средняя скорость равпялась бы
половине начальной; следовательно,
v0T
С. Следовательно, если решение имеет
вид F), то амплитуда С равна \ja2-^-b'K
Пусть х = х0, v ~ v0 при t = 0; тогда
--—, и поэтому амплитуда
колебаний
A0.2.14)
d2x
можно рассчитывать, что
тт
. 13 дей-
действительности же, как следует из формул
(9) и A2),
"~~ ш ~ 2тс "~ 6,28 '
что достаточно близко к полученному «при-
«прикидкой» результату. Важно, что вследствие
независимости периода колебаний от ампли-
амплитуды последняя прямо пропорциональна на-
начальной скорости.
Мы проверили, что две различпые
функции B) и Bа) удовлетворяют урав-
уравУпражнение
10.2.1. Тело колеблется по закону -^ =
= —х. Найдите зависимость х (t) и определите
период колебаний для следующих случаен:
а) х=-(), и—2 см/с при t=0; б) я=1, и- О
ири t=^0; в) x=l, v—'l см/с при ?=0. В слу-
случае в) запишите решение как в виде F), так
и в виде G).
§ 3. Маятник
Эталонной задачей, с которой в значи-
значительной степени связано учение о гар-
гармонических колебаниях, является за-
задача о маятнике. Если представить
себе (точечную) массу т, сосредоточен-
сосредоточенную на конце невесомой нити длины /.
подвешенной за второй конец (рис. 1).
то в случае отклонения нити (матема-
"ению тШ = -кх- ПУСТЬ мы хотим тического маятника) на угол
решить задачу о движении тела с за-
заданными начальным положением и на-
начальной скоростью: х=х0, v=va при
?=0 (значения х0 и v0 — любые). Такую
задачу назовем общей. До сих пор в от-
отличие от общей задачи мы рассматри-
рассматривали лишь частные задачи. Б одной из
них при (=0 было х = х0, a v=0; а в дру-
другой — при ?=0 было v=u0, но а:=0.
При помощи F) уже можно решить
общую задачу о движении тела с произ-
произвольным положением и произвольной
скоростью в начальный момент: х=х0,
v=v0 при ?=0. Пользуясь начальными
условиями, находим из F) и A1): а=х0,
b = —. Поэтому
х — з cos wt -|—— sin urf.
на
массу т действует сила тяжести, на-
направленная вертикально вниз и рав-
равная mg, где g — ускорение свободного
падения. Нормальная (т. е. на-
направленная по нормали к траектории
массы т) составляющая этой
силы уравновешивается натяжением
нити; тангенциальная п;е
составляющая, направленная
по касательной к траектории, равна
—mg sin cp; она-то и является причиной
движения маятника. (Знак минус у таи
генциальной составляющей силы объяс-
объясняется тем, что ее направление совпа-
совпадает с направлением убывания
угла ср). Так как проходимый от поло
жения равновесия 0 путь s равен Щ, то
A0.2.13) СКОрость массы т равна 1~ а ускоре-
Решение F) называется общим реше-
решением уравнения A), в то время как B)
и Bа) — это частные его решения.
Задаваемое формулой F) (или G)) дви-
движение называется гармоническим коле-
колебанием.
Если решение записано в форме G),
то ясно, что амплитуда колебаний равна
ние равно I ^|; поэтому второй закон
Ньютона записывается так:
! —J- = ¦—mg sin », пли
dt2-
= _f sm ср.
I T
A0.3.1)

§ 3. Маятник
317
Точное решение уравнения A) вовсе
не просто (ср. с. 234). Однако, когда
угол ср мал, величина sin ср может быть
заменена первым членом ср разложения
sin ср в ряд Тейлора (см. § 6.2); при
этом уравнение A) заменится следую-
следующим приближенным уравнением:
d2v> S
или
Теперь воспользуемся тем, что х
(колебания малые), т. е. ~
Благо-
Благодаря этому \Jl2 — х2 можно предста-
представить так:
Ясно, что (la) — это уравнение B.1)
гармонических колебаний, где роль ко-
к
эффициента — правой части (если поде-
поделить обе части B.1) на т) играет отно-
отношение -у. Поэтому решение Aа) имеет
вид B.7), где ш = 1/у-. Период Т коле-
колебаний маятника задается формулой
Т = — =2it|/ —. A0.3.2)
В частности, если потребовать, чтобы
было Т=2 с, т. е. чтобы качание в одну
сторону маятник совершал за 1 с, то,
положив ?=9,8 м/с2, получим /=
(здесь мы оставляем всего два первых
члена в разложении 1/1 — (-^ j =
У///Щ7/Ш
- 0,993 м, т. е.
м
Вот иной подход к той же задаче
о математическом маятнике; он будет
нам удобен при рассмотрении более об-
общей задачи о физическом маятнике.
Пусть маятник при х=0 (положение
равновесия) имеет потенциальную энер-
энергию и0; кинетическая его энергия в этот 2
момент равна нулю. Отклоним маятник (¦—') =—g — „
на некоторый угол ср; в результате этого ^ а Ki - -
по горизонтали он отклонится на вели-
величину х (см. рис. 1). В этом положении
потенциальная энергия маятника иг=
=-ua-\-mgz, где z = l—\JP — х2; кине-
Г. /.хЛП'А х ,
= 1 ¦—( — ) по степеням —г по фор-
формуле Маклорена; см. гл. 6), после чего
уравнение колебаний маятника прини-
принимает вид
Продифференцировав обе части послед-
последнего равенства по t, получим
г, dx d}x
= _2ff- —
его
J
m /dx\2
равна -yl)
тическая энергия
(ср. § 9.6). В процессе колебаний сумма
кинетической и потенциальной энергий
не изменяется, поэтому
откуда
[A0.3.16)
1 При установлении во Франции в период
Великой французской революции метрической
системы мер в качестве основной единицы
длины конкурировали длина одной сорока-
сорокамиллионной части парижского меридиана
(именно она и была названа метром и
положена в основу новой системы мер) и длпна
подобного «секундного» маятника (зависящая,
очевидно, от выбора точки земного шара, по-
поскольку от этого зависит величина g); обе эти
длины имеют одип порядок пеличипы, хорошо
согласованный с характерными размерами че-
человеческого тела.
Это — иная форма уравнения малых
колебаний (математического) маятника;
сходство ее с Aа) объясняется тем, что
при' малых х и ср имеет место прибли-
приближенное равенство sm<p=-
;ср, т. е.
Развитые соображения могут быть
применены и к изучению колебатель-
колебательного движения твердого тела,
закрепленного в определенной «точке

318
Гл. 10. Колебания
подвеса». Для простоты мы будем гово-
говорить о стержне, подвешенном в некото-
некоторой точке А, удаленной от центра тя-
тяжести стержня на расстояние I (рис. 2).
Определим период колебаний стержня
(физического маятника).
Если маятник отклонен от положения
равновесия на малый угол ср, то вы-
высота z центра тяжести над самым низ-
низким его положением, отвечающим рав-
равновесию стержня, равна I — I cos cp (ср.
выше); поэтому потенциальная энер-
энергия и стержня может быть
записана так:
и = mgz=mg(l — I cos cp) =
= mgl(l— coscp). (Ю.3.3)
Разложим cos cp в ряд по
степеням ср и, так как ср
мало, ограничимся, как и
ранее, первыми двумя чле-
членами ряда: cos ср ?« 1 — ~.
Поэтому приближенно
имеем
откуда
Рис. 10.3.2
Ясно, что это соотношение указывает
на увеличение потенциальной энергии
лри отклонении маятника на угол ср
от положения равновесия, когда ср=О,
z=0 и и=0.
Кинетическая энергия вращения
стержня вокруг А равна
2 \dt J
A0.3.4)
где / — момент инерции стержня (от-
(относительно точки его подвеса). Но со-
соl2I
* 2 + /о)а:
2„>2
т. e.
ml* + /„ '
Период колебаний равен
Т = —.
A0.3.5)
A0.3.5а)
Из формул E) и Eа) следует, что чем
больше момент инерции /0 стержня,
тем меньше частота колебаний физиче-
физического маятника, соответственно тем
больше период Т.
Если вся масса стержня сосредото-
сосредоточена в его центре тяжести, то /0=0.
В этом случае получаем выписанные
выше хорошо известные формулы B) для
периода колебаний (и для частоты)
математического маятника.
В случае, когда 10 =^= 0, имеется
определенное положение точки подвеса,
при котором частота колебаний мак-
максимальна. Так как положение
точки подвеса характеризуется величи-
величиной I, то для отыскания интересующего
нас положения приравняем нулю про-
производную -г, После простых алгебраиче-
алгебраических преобразований мы придем к сле-
следующему уравнению для /:
mg (ml2 -j- /0) — mgl ¦ 2ml = 0,
откуда получаем
A0.3.6)
Для стержня длины L с равно-
равногласно формуле (9.12.13) I=ml2+I0, мерно распределенной массой /0
/0 =
поэтому
где /0 — момент инерции маятника от-
относительно центра тяжести.
Предположим, что стержень совер-
совершает гармонические колебания, т. е.
ср=а Cos u>t. По закону сохранения
энергии u+K=const и мшах=Ктах; зна-
значение Ктхх достигается в положении
равновесия, когда и=0, а значение
ит&х — в положении, где К=0. Так как
-г =
at
-г = —асо sin urf, то
at
mL2
= -^2~ (см. упр. 9.12.1), поэтому /ша1 =
Заметим, что минимальное
значение частоты со=О достигается,
очевидно, при 1=0, т. е. при закрепле-
закреплении маятника в его центре тяжести,
когда колебательное движение не имеет
места 2. Однако значение 1=0 не яв-
является корнем уравнения F), т. е. не
_ du>
ооращает производную -ту в
2 Это значение <о=0, конечно, условно: оно
означает, что при I -> 0 и ш -> 0 (чем ближе
точка подвеса к центру тяжести стержня,
тем больше период Т колебаний).

§4. Энергия колебаний. Затухающие колебания
319
здесь мы имеем место с «негладким»
минимумом, достигаемым на границе
области изменения переменной I (ср.
§ 7.2).
Упражнение
10,3.1. Маятник имеет вид тонкой тре-
треугольной полоски из листового материала
(жесть, картон) (рис. 3). Определите период
Рис. 10.3.3
колебаний, если маятник подвешен: а) за
острый конец А, б) за середину основания В.
В обоих случаях определите, как надо сме-
сместить точку подвеса, чтобы получить мини-
минимальный период колебаний.
§ 4. Энергия колебаний. Затухающие
колебания
Запишем общее решение уравнения B.1)
(общее гармоническое колебание) в виде
х = С cos
ос).
Потенциальная энергия тела в каждый
момент равна
и (х (*)) =
- = ^- cos2 (wt + a),
а кинетическая энергия
K(t):
Ill/ lib . /-T , I v -,o
-p— = -g- L—Lw sin (urf -|- a) f =
- sin2 (wt -j- a).
Частота колебаний, как мы уже знаем,
определяется формулой си2 = —. Под-
Подставляя это значение со2 в выражение
для кинетической энергии, получим
Таким образом, множитель перед три-
тригонометрической функцией в выраже-
выражениях потенциальной и кинетической
энергий одинаков. Сами функции
cos2 (a)f+ a) и sin2 (wt-\- a) также очень
похожи одна на другую: каждая из них
может быть получена из другой смеще-
смещением по оси времени на величину Д?=
— ¦х- (рис. 1). Каждая из величин и я К
колеблется от максимального значе-
значения до нуля, причем когда одна ве-
величина максимальна, другая равна
нулю. Отметим, что функции cos2 (cof+a)
и sin2 (cui+ a) описывают колебания
вокруг среднего значения, равного
половине максимального. Это обстоя-
обстоятельство легко усмотреть как из рис. 1,
так и из известных формул
cos2 p = V2 (I + cos 2p) = Va + V2 cos 2p,
A0.4.1)
sin2
= V2 A — cos 2{i) — V2 — V2 cos
Здесь ясно, что величина 1/2cos 2C ко-
колеблется, принимая то положительные,
то отрицательные значения, а 1/2 пред-
представляет собой среднее значение вели-
величины cos2p. Сумма потенциальной и ки-
кинетической энергий, т. е. полная энер-
энергия системы,
= У?- [cos2 {wt + a) -f- sin2 (wt + a)] =
= -2~» A0.4.2)
как и следовало ожидать, постоянна.
Отметим, что если бы мы задались
движением с частотой, не удовлетво-
удовлетворяющей формуле @=1/ —, то при та-
ком движении сумма потенциальной и
кинетической энергий не была бы по-
постоянна, максимальная кинетическая
энергия не равнялась бы максимальной
потенциальной энергии. Это неудиви-
неудивительно, так как колебания с частотой,
отличающейся от
л/ к
О) = I/ — ,
не удов-
Рис. 10.4.1
летворяют основному уравнению дви-
движения; следовательно, для того чтобы,
такие колебания осуществлялись, необ-
необходимо, чтобы, кроме силы F=—кх
I кх^\
(ей соответствует потенциал и(х) = -^-J,
на тело действовали еще какие-то дру-
другие, внешние силы; за счет работы,
ти2 . кх2
внешних сил полная энергия -^——^-
уже не будет сохранять свое значение.-

320
Гл. 10. Колебания
Обратимся к вопросу о затухании
колебаний. Пусть, кроме силы упру-
упругости пружины F=—кх, на тело дей-
действует единственная сила — сила тре-
трения. Предполояаш, что сила трения
настолько невелика, что на протяжении
одного периода колебаний работа этой
силы мала по сравнению с энергией
колебаний; тогда приближенно можно
•считать, что колебания происходят так
Рис. 10.4.2
же, как и в условиях отсутствия тре-
трения:
х it) ~ С COS (at -f <p)
(см. B.7)). Энергия колебаний равна
АС2
-1г-. Но наличие силы трения приведет
к тому, что энергия колебаний с тече-
течением времени будет уменьшаться. Сле-
Следовательно, действие трения скажется
на том, что амплитуда С колебания B.7)
будет не постоянной, а медленно убы-
убывающей величиной. Закон убывания
амплитуды С определится условием ра-
равенства уменьшения полной энергии Е
и работы силы трения Fy.
Относя обе величины к единице вре-
времени, получим
dE
dt
кС2
dt
_
dC
dl
: FlV — Wv
A0.4.3)
где Fy — сила трения, v — скорость
тела, Wy — мощность силы трения. Ско-
Скорость v, так же как и сила Fy, в про-
процессе колебаний периодически меняется.
Для силы трения FL характерна зави-
зависимость ее от скорости v, причем Fx по
направлению всегда противопо-
противоположна v, так что произведение F^v
все время остается отрицательным.
В интересующем нас случае малого
трения, т. е. медленного затухания ко-
лебаний, можем считать, что изменение
амплитуды С (t) за время нескольких
колебаний мало.
Под произведением Fyv надо пони-
понимать среднее значение этого произведе-
произведения за период. Формула C) справедлива
только для промежутков времени, пре-
превышающих период колебаний.
Рассмотрим в качестве примера'силу
трения, пропорциональную скорости
тела:
Fy = —hv, Fyv = — hu2. (ЮЛА)
Если здесь >> = -?——C\osin(orf-}-<x),
то
Fxv~ — AC2aJsin2(a)(-)-a). A0.4.5)
Заметим, что среднее значение sin3 (u>t+
+ а) за период равно 1/2 (см. A),
а также § 7.7). Используя C) и D),
получим окончательно
dt
откуда
AC /гю2 -
di ' 2/c °'
т. е. (ср. F.6.10))
где
/гол2
~2/T*
. , к
А поскольку or = —
упростить:
/г
A0.4.6)
A0.4.6а)
то Fа) можно
A0.4.66)
В формуле F) Со определяется из
начальных условий. Умножая обе части
F) на cos (coi+ф) и используя B.7),
получим
х (t)
cos (Ы -f cp),
A0.4.7)
где «>= j/ — (ом. характерный график
затухающих колебаний на рис. 2).
Это — приближенная формула, полу-
полученная в предположении, что сила тре-
трения невелика и пропорциональна ско-
скорости.
Во всех случаях, когда сила трзния
пропорциональна скорости, задача до-
допускает точное решение. Мы считаем,
что на тело действуют две силы: упру-

§ 4. Энергия колебаний. Затухающие колебания
321
dec
гая сила —кх и сила трения ¦—h -т-. В сил у
второго закона Ньютона
dx
т
dt-
—кх — h
1Г'
A0.4.8)
Решение x(t) будем искать в таком же
виде, как оно было получено для малой
силы тредия, т. е. в виде
х (t) = Сое"" cos (со/ -j- a). A0.4.9)
Решение (9) зависит от четырех па-
параметров: Со, у, ш1 и а. При этом зна-
значения у и ш1 определяются из уравнения
(8), а Со и а остаются произвольными:
заиоиом (8) они не определяются, а на-
находятся из начальных условий. В самом
деле, из (9) получим:
~Г — —lCoe~V cos К* + а) —
— C()uIe~'tt sin (со/ -f- а)>
¦-f-"[C{pxe~it sin (со/-f- а)-\-
-j- C^ye"^ sin (ш/ -(-а) —
— C0cofe~T' cos (со/ -(- а).
Подставляя эти выражения гдля х,
dx d-x .,,. „ _т,
--Tj- и —r-j- в (8) и сокращая на Сое ' ,
найдем
my2 cos (со/ -(- a) -J- т-(ш1 sin (coji -j- а) -j-
-j- mycoj^ sin (ш/ -f- а) — mxoj cos (to/ -(- a) =
= —/c cos (со/ -j— a) -j— /гу cos (со/ -j~ a) -]-
-j- hu\ sin (ш/ -f- a),
или
(ш'B — пгсо'^) cos (со/ -[¦ - a) -f-
-j- 2myco1 sin (со/ -j- a) =
= (—к -j- /гу) cos (со/ -(-«)-{-
-J- Acoj^ sin (со/ -j- a). A0.4.10)
Равенство A0) выполняется при любом
t, если
m.-f3 — m-cof = —к -f- /гу,
= Acoj^. A0.4.11)
Из второго уравнения A1), сократив на
со1; получим
_ h
Т т"*
Теперь из первого уравнения A1) можно
найти со/
к h-
со- — .
1 т 4т2
Следовательно,
A0.4.12)
A0.4.13)
В случае, когда трение мало, т. е.
когда h мало по сравнению с к, в A3)
можно под корнем пренебречь членом
j— по сравнению с —. При этом A3)
переходит в G). Следовательно, в при-
приближенном рассмотрении мы верно
получили закон уменьшения амплитуды
колебаний, но не заметили, что сила
трения вызывает также и малое изме-
изменение их частоты. Укажем еще, что из
двух законов F), Fа) и F), F6)
уменьшения амплитуды верным при
всех силах трения (не слишком боль-
больших, т. е. таких, что h? <^ 4кт и корень
в A3) существует) оказывается именно
второй; первый из них совпадает со
вторым при малых к, но в общем случае
непригоден, поскольку в нем фигури-
фигурирует (вообще говоря, не постоянная!)
величина со.
Если трение очень велико, т. е.
h2 ^> Акт, то подкоренное выражение
в A3) становится отрицательным и фор-
формула A3) теряет смысл. Это означает,
что при сильном трении движение уже
не имеет колебательного характера.
В этом случае решение уравнения (8)
надо искать в виде х—Сё~^ь. Подста-
Подставив такое значение х в (8), мы получим
квадратное уравнение для у, имеющее
два решения: y=*[i и 7=у2- Сумма
C1e-'^t-\-C2e-'i''t двух решений, соот-
соответствующих этим у, даст нам общее
решение (8) и позволит решить задачу
с любыми начальными условиями. Под-
Подробно этот случай большого h будет
рассмотрен в § 13.10 в связи с электри-
электрическими колебаниями.
Упражнения
10.4.1. Найдите закон затухания колеба-
колебаний при силе трения, пропорциональной
квадрату скорости (такое трение характерно
для быстрого движения тела в жидкости с ма-
малой вязкостью). Покажите, что по истечении
большого промежутка времени амплитуда

322
V*. 10, Колебания
1
C{t) = -ri, где b — постоянное число, не за-
зависящее от Со — значения амплитуды в на-
начальный момент времени.
10.4.2. Найдите закон затухания для силы
трения, не зависящей от скорости (такая сила
трения характерна для трения сухих твердых
поверхностей одна о другую). Определите
время, по истечепии которого колебания пре-
прекратятся.
§ 5. Вынужденные колебания и резо-
резонанс
Рассмотрим тело, на которое действует
упругая сила F——кх. Мы установили,
что под действием этой силы тело ко-
колеблется с определенной частотой и>=
называемой частотой сво-
сво= |/-, так
бодных колебаний, или собственной ча-
частотой. В дальнейшем мы будем обо-
обозначать сооствепиую частоту I/ — коле-
баний через to0.
Пусть на тело, кроме упругой силы,
действует еще и периодическая внеш-
внешняя сила с частотой ш, вообще говоря
не равной ш0. Тогда оказывается, что
амплитуда колебаний, вызванных внеш-
внешней силой, весьма сильно зависит от
того, насколько частота внешней силы
близка к собственной частоте (т. е.
к частоте свободных колебаний, проис-
происходящих в отсутствие внешних сил).
Явление возрастания амплитуды при
приближении со к ш0 носит название
резонанса и имеет очень большое прак-
практическое значение; оно относится к лю-
любым системам, в которых возможны ко-
колебания. В механических системах
(станках, моторах) такие колебания мо-
могут приводить к опасным деформациям
и разрушению механизмов. Впрочем,
явление резонанса может быть и полез-
полезным: иногда его сознательно исполь-
используют для того, чтобы малой силой вы-
вызвать сильные колебания рабочего ин-
инструмента (колебания с большой ампли-
амплитудой).
В электрических системах резонанс
дает возможность при действии несколь-
нескольких периодических сил разной частоты
(например, нескольких передающих ра-
радиостанций) добиться того, чтобы коле-
колебания в нашей системе практически за-
зависели только от одной из этих
сил, а именно от той, частота которой
близка к собственной частоте системы.
Благодаря этому можно настраивать
радиоприемник на определенную стан-
станцию.
Составим уравнение колебаний:
d-x . , ах , ,
т -jp = —кх — h — -)- / cos <»f, (io.5.1)
где члены —кх и —h
dx
It
отвечают уп-
упругой силе и трению (ср. D.8)), а член
/ cos iat отражает действие внешней
силы. Разделим обе части уравнения A)
к
нати ооо.шачим——-wi в соответствии
т °
с тем, что соо есть частота собственных
колебаний тела (в отсутствие трения);
h " •>
отношение — ооозяачим через zy (ер.
D.66)). Тогда A) примет "вид
Естественно ожидать, что под дейст-
действием силы с частотой ш тело будет
совершать колебания с той же часто-
частотой. Поэтому решение уравнения A)
или Aа) мы будем искать в следующем
виде:
х = a ros (of -j- /Xsin ml. A0.5.2)
Подставляя это выражение для х и вы-
выражения для производных х в уравне-
уравнение Aа), получим
-—а'о2 соя >¦ F — 2
.sin oi r=
= —a:ufteos(»i —
sin io/ —
— 'l~rbw ens -ft -!- -— <•<;* t /.
Для того чтобы последнее равенство
выполнялось при всех t, надо, чтобы
были в отдельности равны члены с
cos Ы и с sin wt в его левой и правой
частях. Таким образом, мы приходим
к следующей системе уравнс-шш:
-bur — —bw'f, -
A0.Л.Л)
(ср. D.11)). Из второго уравнения C)
следует, что
о= —г-1—т- а.
Подставляя это выражение для Ъ в пер-
первое уравнение C), находим
а =
т (cog — ш2J -)- B7а>
з>2 I (•;>¦.,,,Л1 >
A0.5.4а)

§ 6.0 точных и приближенных решениях физических задач
323
а, значит,
f
т (/л,
A0.5.46)
Переходя теперь к записи колебаний
1---С cos (mt-\- я) и вспоминая, что
С-v«2-j-fc2 (см. B.8а)), мы найдем ам-
амплитуду С колебаний, вызванных
внешней силой:
'- (^-'"Г
A0.5.5)
Мы влД'.|-;г, что С тем больше, чем
ближе ю к (о„. Кривая зависимости С
от 01 при данном «H изображена на
рис i (для двух значений у), где при-
принято — - I, с0 — ]. Чем меньше трение /г,
h
т. о, чем мен;.те т -;;,— , том резче вы-
р;к,;ен ачд'ьем амплитуды колебаний при
равенстве члетсты внешней силы и соб-
стлогено!! частоты.
Нетрудно убедиться, что сумма реше-
решения D.9) уравнения D.8) и общего
решения B) уравнения A)
h sin wt -j-
х = а со.ч j
-f- Cue~';t cos {wxt -j- o),
A0.5.6)
где а и b даются формулами Dа) и
D6). a tox и у — формулами D.12) и
D.66), также является решением урав-
пения A). Формула F) позволяет найти
решение, удовлетворяющее любым
начальным условиям, для чего надо
только подобрать соответствующие Со
и ¦?. Действительно, пусть при t=0
имеем z—x0, v=v0. Подставляя эти
значения в F), находим
:с0 =¦ a -j- CQ cos cp,
v0 = bw — Co (у cos cp -J- cuj^ sin 'f).
A0.5.7)
Из системы уравнений G) можно опре-
определить Со и ср (см. упр. 1).
Таким образом, F) есть общее реше-
решение задачи о колебаниях тела под дейст-
действием упругой силы и периодической
внешней силы. Это общее решение под-
подтверждает сделанное выше предполо-
предположение о том, что при длительном воз-
воздействии внешней силы с частотой ш
тело будет колебаться с той же часто-
частотой со. В самом деле, каковы бы ни были
начальные условия, они влияют только
на значения Со и ср, т. е. только на
последнее слагаемое решения F). Од-
Однако с течением времени это слагаемое,
отвечающее частоте м0, затухает, ста-
становится сколь угодно малым по ампли-
амплитуде (за счет стремящегося к нулю
множителя е~т') — и при больших t
Рис. 10.5.1
им вполне можно пренебречь. Остав-
Оставшиеся слагаемые описывают колебания
с частотой ш, не затухающие с течением
времени, поскольку они поддержи-
поддерживаются действием внешней силы, о ко-
которой предположено, что она имеет
постоянную амплитуду.
.5 "п ражи они я
10.5.1. Определите из системы G) Со и f.
10.5.2. Благодаря наличию трения мак-
максимальная амплитуда С получается при ш^,а1,
несколько отклоняющемся от ц$. Определите,
насколько при разных у отношение
клоняотся от 1. [Указание. Исследуйте
па минимум подкоренное выражение в E),
обозначив ш2=г.]
§ 6. О точных и приближенных реше-
решениях физических задач
В предыдущем параграфе нам посчаст-
посчастливилось сравнительно просто найти
точное решение задачи о колеба-
колебаниях тела под действием периодической
внешней силы при наличии упругой
силы, стремящейся вернуть тело в со-
состояние равновесия (—кх), и силы тре-
трения (—h-jr)- Располагая этим точным
решением, можно легко найти ряд его
важных предельных случаев.
1) Пусть частота о> внешней силы
весьма мала по сравнению с собственной
частотой со0 (где и%=—J. Пренебрегая
в E.5) си по сравнению с ш0, мы получим
C--I—L
^ • 2 ' 1. •
A0.6.1)
2) Если, напротив, частота внешней
силы се весьма велика по сравнению с щ,

324
Гл. 10, Колебания
то можно отбросить в E.5) ш0 и считать,
что
/ 1
С = -
A0.6.2)
Но у2 со2 <^: си4 (трение не очень велико,
так как иначе нет колебаний); пренеб-
пренебрегая в B) членом 4у2 '
со2, получаем
A0.6.2а)
3) Если сила трения h мала, то
в E.5) можно пренебречь членом, со-
содержащим у; тогда мы получим
/ 1
? = —-7—5- гг. A0.6.3)
т | cog — шг | * '
(Появление абсолютной величины в C)
связано с тем, что в E.5) подразуме-
подразумевается положительное значение корня:
ведь ясно, что С и /, т. е. амплитуда
колебания и амплитуда внешней силы,
могут быть только положительны.)
4) Пусть имеет место явление точ-
точного резонанса: частота со внешней силы
в точности равна собственной ча-
частоте соо. Тогда E.5) обращается в
f
кь.
A0.6.4)
Совокупность этих четырех предель-
предельных случаев, в сущности, составляет
больше 90% содержания всех получен-
полученных результатов. Получив общий ре-
результат, всегда необходимо стараться
его упростить, рассматривая различные
предельные случаи общей ситуации.
Простые формулы, относящиеся к пре-
предельным случаям, легче запоминаются
и чаще используются на практике, в то
время как к общим формулам прихо-
приходится прибегать лишь изредка. Хотя
предельные случаи и не охватывают
полностью более сложную точную фор-
формулу, но практически они обычно дают
о ней почти полную информа-
информацию.
Естественно возникает вопрос о том,
нельзя ли было эти предельные фор-
формулы получить прямо, упрощая само
уравнение, а не его решение. Ведь
ясно, что решать точно сложное урав-
уравнение и лишь затем упрощать решение
столь же неразумно, как с затратой
большого труда аккуратно упаковать
вместе несколько предметов, а затем
разорвать упаковку, поскольку все
равно этими предметами приходится
пользоваться в отдельности. Поэтому
очень важно научиться извлекать из
общего уравнения задачи его частные
(и предельные) случаи, не решая самого
уравнения.
Прямое получение предельных (при-
(приближенных) выражений особенно важно
еще и потому, что точное решение очень
чувствительно к малейшим изменениям
постановки задачи. Достаточно немного
усложнить задачу — и точное решение
уже не удается найти. Приближенное
решение более грубо, но и более устой-
устойчиво относительно изменений условий
задачи.
Особенно важны для учащегося те
случаи, когда представляется возмож-
возможным получить и сравнить между собой
оба решения — точное и приближенное.
Именно в таких случаях можно приоб-
приобрести опыт правильного выбора прибли-
приближений и уверенность в получаемых ре-
результатах: ведь правильность получае-
получаемых из общих формул предельных слу-
случаев может служить глобальной про-
проверкой всего процесса решения общей
задачи — и составления описывающего
интересующий нас процесс уравнения
и решения этого уравнения.
Вернемся к предельному случаю 1),
когда частота си внешней силы очень
мала. Очевидно, что в этом случае мы
имеем дело с весьма медленным
движением. Поэтому в исходном урав-
уравнении E.1)
т
d-x
dt-
= —кх — h
dx
~~dt
- / COR Vdt
d'-x , dx
in -7-3- II ll-r- , :sa-
dt1 dl
можно опустить члены
висящие от скорости и ускорения дви-
движения: ведь если х-^С cos (urf --|~ р), то
-т- пропорционально со, а -^ пропорцио-
пропорционально ш2 — и при малом ш эти величины
будут малы. В таком случае мы получим
0 л* —kx-\-f cos coi,
откуда
/ COS
X
к
¦ = С cos iot, где
A0.6.5)
Таким образом, при малой частоте
внешней силы в каждый момент вре-
времени приложенная внешняя сила / cos wt
уравновешивается упругой силой кх.
Ясно, что этот результат является
весьма общим: он относится к л ю-
б о м у движению с малой частотой.

§ 6. О точных и приближенных решениях физических задач
325
Такой предельный случай называется
статическим. В частности, сила упру-
упругости G {;>•) может быть любой функцией
координаты, а не только линейной
функцией (G— — kx): внешняя сила /' (t)
может быть любой функцией времени.
Уравнение колебаний принимает тогда
вид
, с. .•¦
¦II — . -
ai
Fit).
A0.6.6)
Точное решение этого уравнения можно
получить далеко не всегда, но прибли-
приближенный подход сохраняет силу во всех
случаях. Действительно, пренебрегая
в случае медлепного движения членами
... Ах
(о), пропорциональными скорости ~г- и уско-
рению
A-х
получаем
т. е.
— F(t).
Отсюда находим приближенную зави-
зависимость х та х {t) между х ж t. Подстав-
Подставляя это х (t) в точное уравнение F),
можно найти, какого порядка ошибку
мы допустили, пренебрегая членами
dx
т
Л*
и и -г-.
Далее обратимся к предельному слу-
случаю 2), когда частота со очень велика.
При большой частоте время действия
внешней силы, а следовательно, и им-
импульс силы за каждый полупериод (пока
сила действует в одном направлении)
малы, потому что мала длительность
полупериода. Значит, при данной ам-
амплитуде / внешней силы чем больше со,
тем меньше скорость, которую может
набрать тело, и тем меньше перемеще-
перемещение тела. Пренебрегая в уравнении E.1)
h-r-,
di
членами к.т и h-r-, получим уравнение
движения свободного тела, на которое
не действуют никакие силы, кроме
внешней:
тп -у4- «/ «os at.
A0.6.7)
Будем искать решение уравнения G)
в виде x = Bcosiot. Тогда -ттг =
= —Bur cos id, и потому G) принимает
вид
—Втч? cos о)/ та / cos со/,
откуда
и, значит,
X «i r~v COS U)t.
mm-
A0.6.8)
Решение (8) можно записать в стан-
стандартном виде хтаС cos (tot -j- tp), где
С положительно:
х я
COS {wt -\-lz).
A0.6.8»)
При этом упругая сила есть
—кх та —-— cos cot = —~- / cos cot, A0.6.9)
ты2 шл v '
а сила трения
, dx ^ hf _.
При сравнении сил, периодически за-
зависящих от времени, нужно сравнивать
не мгновенные их значения, а ампли-
амплитуды. Отношение внешней силы" /coscot
к упругой силе (9) — отношение ампли-
амплитуд этих сил — здесь равно
Это отношение тем больше, чем
больше со. Аналогично и^отношение
внешней силы к силе трения (9а)
г
hf
h
неограниченно растет с ростом] т. По-
Поэтому при больших со внешняя сила
значительно превосходит как упругую
силу, так и силу трения. Этим под-
подтверждается возможность приближен-
приближенного рассмотрения движения под дейст-
действием одной только внешней силы х.
Предельный случай 3), когда трение
пренебрежимо мало, является совсем
простым. Здесь E.1) принимает вид
т, -^-у- --' —кх -j- / cos coif =
— —mwfa -f- / cos mt,
A0.6.10)
ибо co,^:---.— и, значит, k = rm&. Решение
уравнения A0) ищем в виде х =
=С cos (cot -j- <p). Подставляя в A0) вы-
с12х
ражения для х и -г^ , получаем
= 0, гг та |
о21 С cos cot яа / cos cot,
L Существенно, что рассмотренная выше
сила трения тем ближе к нулю, чем ближе
скорость к нулю. При сухом трении
(сила трения не зависит от скорости) внепшяя
сила, меньшая, чем сила трения, 'не вызовет
колебаний ни при какой частоте.

326
Гл. 10. Колебания
откуда
f
A0.(>.ll) ченпе
Сравнение (И) с точной формулой
E.5) позволяет оценить условия приме-
применимости этого приближения.
Ясно, что при ш¦¦¦¦¦ <о0 приближение
{11) неприменимо и предельный слу-
случай 4), когда частота впешнеи силы
в точности равна собственно/ 'К'-.'тогр
колебаний (резонанс), следует рассма-
рассматривать особо. (Однако T;)riiii.-4M хы
теперь не пренебрегаем.) Мудем искать
Рис. 10.6.1
решение уравнения E.!) я стандартном
виде ж=С cos (oHf-|-^). Тогда
."та
d2x
dt2
Y = —тСи% cos (ш0!,
а ли, поскольку со2 — — ,
mi -j-?- — —k,L cos (»)(/ -j- cp) = —lex.
Подставляя в E.1) выражения для х
и его производных, получим
ftCto0 sin (wot -j- cp) --[- / cos <j)ot =- 0.
Последнее равенство справедливо при
/
любом ?, если С
если
f
и ф= -
и.ш, точнее,
АоH
Следовательно, решение нашего уравне-
уравнения таково:
A0.6.12)
cos <V — — .
Амплитуда колебаний при резонансе
&~тг-- Ясно, что прелгеорехать тре-
трением h при резонансе никак нельзя!
Изобразим на чертеже зависимость С
от ш, даваемую приближенными форму-
формулами C) и D) (рис. 1). Формула C)
да«т две ветви кривой С=С (со), ухо-
уходящие в бесконечность при ш=соо; фор-
формула D) при cu= cu0 дает конечное зна-
= С0(—т—). Построив кри-
вую C) и изобразив на том же чертеже
точку А=А (ш0, Со), отвечающую фор-
формуле D), уже нетрудно от руки про-
провести гладкую кривую (пунктир на
рис. 1), которая вдали от резонанса
совпадает с кривыми C) и имеет мак-
максимум Со в точке со= ш0.
Амплптуду С в случае резонанса
можно определить при помощи энерге-
энергетических соображений, ценность кото-
которых заключается в том, что они позво-
позволяют приближенно решить также и не-
некоторые задачи, не имеющие точного
решения. М о щ н о с т ь, развиваемая
внешней силой / cos mt, при движении,
заданном формулой х^=С cos (co?—f-cp),
равна
= —/Со> cos wt sin (:ni -\- cp).
Определим среднюю мощность
внешней силы за большой (точнее го-
говоря, за бесконечный) промежуток вре-
времени :
Wmi = —1С со cos wl sin (<j>t -\- cp),
где черта сверху является знаком осред-
пелня (см. § 7.7). Заметим, что
cos oit sin (cuf -)- cp) = Y, siu 2wl cos cp -|-
-}- cos2of sin cp;
поэтому
.¦os c»? sin (wi -(- cp) == х/2 sin 2cot cos cp -(-
f- cos3 wt sin cp ^= а/г sin cp,
Сле-
Слетак как sin 2Ы =0 и cos2erf =
довательно,
что можно также записать как
п7вн=4^cos (?+!)• A0-6ЛЗ)
Теперь определим среднюю мощность
силы трения. Так как Frf=—hv, то
Но
-Ц / <*х\2
-^У = С2со2 sin2 И + 9) =-Чг
A0.6.14)
С2О>2

} Т. Сложение колебаний. Биения
(ср. D.1)). Поэтому A4) дает
Так как работа внешней силы идет
на преодоление трения, то средние мощ-
мощности внешней силы и силы трения
должны быть равны:
w _ цг
A0.6.15)
т. е.
1!ЛП
откуда
/
A0.6.16)
Максимальная возможная амплитуда
(л плох; не резонанса) получается, как
иидно из A6), при cos (cp -j-yj=l, т. е.
при ср-..— — 4г, чем определяется началь-
начальная фаза ср колебания. При этом u> = ci>0
иС= -=—-. Следовательно, в случае
резонанса решение уравнения движепия
имеет вид
х =-
прежнему считаем, что движение в основном
порождается периодической внешней силой
F=/coswf, т. е. имеет характер колебания
z=Ccos (u>i+<p) частоты ш, то выражение A3)
для средней мощности внешней силы справед-
справедливо п для этого случая.
Определим Йгтр. Мгновенное значение-
WTg=--FTVv=—hv2\v\"~1; так как v*=\v\a, to.
Wlp=—h\v\n+1. Подставляя сюда значение у*
находим
WIp = —AC+^g+i | sin (шог + a) |»+i. A0.6.18J..
т. е. мы опять получили формулу A2).
Вернемся к формуле A3). Из нее
видно, что при резонансе TFBII имеет
наибольшее значение, так как при резо-
резонансе cos (<p-j-уJ = 1. Поэтому в слу-
случае резонанса внешняя сила развивает
наибольшую сродшо.'о мощность и, сле-
следовательно, производит т, лпболыл ую
работу.
Пплведоикыо энергетические со1;5ра;1;спня
позволяю!' онроделтъ амплитуду при ро.;о-
иазтео и и vji\:1.i>e оо.чсо сложной завцепмосчп
силы троичл (ч скорпст;;. Пусть сила ч рения
прокорпи^!!;;';ьна фнкснроианноГ! cic-niiiii ао-
солтотно|"| cc,'Tiil(i:i")i.[ скорости:
b\v = -h»\v\»-\ A0.6.17)
где h > 0, и потому кервьш иполлпель гарил-
тирует разные знаки и ч /\,,. При и > 0 A7)
дает l<\^——hvH, а при i; < 0 получим /<п,р=
= fe|i;|", т. е. во всех случаях v и 7('тр направ-
направлены в разные стороны. Поскольку мы по-
Из A8) следует2:
где
А = | sin (ujoi 4- a) |
Условие A5) дает
1
hC№+1<a%+1A = — fC
откуда
/ / I / 7Г
С = ~l/ .TiTV~T ¦ СОР ( a + -тт
Максимальная амплитуда, достигаемая при.
резонаiico, раина
Частным случаем формулы A9), отвечаю-
отвечающим значению п-=1 (сила трения пропорцио-
пропорциональна скорости), является найденная раньше
формула С =—т.
Отметим, что при пф\ уравнение движения
становится и е л и войн ы м, и мы не можем
выписать аналогичное найденному в § 5 общее
ре!че;пч.> y-ioro уравнения: здесь точное реше-
решение элементарными методами найдено быть не
§ 7. Сложение колебаний. Биения
Довольно обычной является ситуация,
когдч одно и то же тело участвует в н е-
с к о л ь к и х колебаниях. Так, види-
видимый спет представляет собой суммарный
эффект множеств колебательных про-
процессов, связанных с перестройками от-
отдельных атомов излучающего тела (ср.
ниже, гл. \2). Аналогично звуковые ко-
колебания, воспринимаемые нами при
слушании симфонического оркестра,
представляют собой сумму колебаний
воздуха, вызываемых каждым из музы-
2 Приведем для справки значения А для
нескольких показателей степени п: п -> О,
А ->. 2/ixs:0,04; п=1, /1=0,5; п=2, Л=4/З
^0,42; л=3, ^-=3/8=0,37

328
Гл. 10. Колебания
кальных инструментов в отдельности, —
и обязанности дирижера состоят в сог-
согласовании всей этой массы колебаний,
Воя того чтобы эти колебания вместе
ввучали красиво. (Эффект чисто слу-
случайного наложения многих звуковых
колебаний наблюдал каждый, кто слы-
слышал, как музыканты перед концертом
Рис. 10.7.1
настраивают свои инструменты, не об-
обращая внимания один на другого.) Су-
Существует и множество (иногда очень
важных) случаев, когда приходится
иметь дело с накладывающимися одно
на другое гармоническими колеба-
колебаниями; более того, почти любое движе-
движение можно представлять себе как воз-
возникающее в результате сложения мно-
с о
Рис. 10.7.2
жества гармонических колебаний (см.
§9).
Мы начнем со сложения двух гар-
гармонических колебаний. Наиболее про-
простым здесь является случай, когда эти
колебания имеют одну и ту же
частоту (например, когда речь идет
о совместном звучании двух играющих
в унисон скрипок). В этом случае в ре-
результате мы получаем гармоническое
колебание той же самой частоты. В са-
самом деле4 если два колебательных про-
процесса описываются формулами
хх = A cos cot -\- В sin wt,
хг = С cos toi -f- D sin erf,
A0.7.1)
то сумма х = хг-\-х2 имеет вид
z — (A -{- C)cos<»t -\- (В -{- D)sinwt. A0.7.2)
Связь колебания B) с колебаниями
A) удобнее всего описать так: если
колебаниям A) сопоставить точки М и
N с координатами {А, В) и (С, D) (или
два вектора ОМ н ON), то колебанию B)
будет отвечать вершина Р параллело-
параллелограмма OMPN (или вектор ОР — ОМ -j-
-\~ON; см. рис. 1). При этом энер-
энергия колебаний A) задается величинами
(ОМJ=42+?2 и (ONf=C2+D2 (ср.
D.2) и B.8а)); энергия «составного»
колебания B) пропорциональна (ОРJ.
Если начальные фазы колебаний A)
одинаковы, то отрезки ОМ и ON имеют
одно и то же направление и длина от-
отрезка ОР равна сумме длин от-
отрезков ОМ и ON; при этом энергия
колебания B) оказывается значительно
больше суммарной энергии колебаний
A), ибо энергия задается квадра-
квадратом амплитуды колебаний, т. е. от-
отрезка ОМ, соответственно ON и ОР:
так, если колебания A) одинаковы, то
энергия их суммы в четыре раза больше
энергии каждого колебания. Если на-
начальные фазы колебания A) противо-
противоположны (т. е. отличаются на тс), то
отрезки ОМ и ON направлены в про-
противоположные стороны — здесь ампли-
амплитуда ОР составного колебания равна
разности амплитуд ОМ и ON со-
составляющих колебаний. При этом коле-
колебания могут и полностью погасить друг
друга, если их амплитуды (или энер-
энергии) одинаковы; в случае же несовпа-
несовпадающих и близких энергий колебаний
х1 и х%, фазы которых расходятся на л,
результирующее колебание будет иметь
весьма малую энергию (см. упр. 1).
Сложнее обстоит дело в случае сло-
сложения колебаний различной ча-
частоты, когда составляющее колебание
уже не является гармоническим. Для
примера рассмотрим так называемый
кривошипно-шатунный механизм, пре-
преобразующий поступательное движение
во вращательное и наоборот; этот меха-
механизм составляет часть паровой машины.
На рис. 2 кривошип О А связан с пол-
ползуном В (с поршнем, двигающимся взад
и вперед внутри замкнутого цилиндра)
с помощью шатуна А В; длину криво-
кривошипа О А мы обозначим через В., а длину
шатуна АВ — через L. Предположим,
что кривошип ОА равномерно вра-
вращается вокруг оси О с частотой си, так
что проекция С точки А на направле-

§ 7. Сложение колебаний. Биения
329
ние ОВ оси цилиндра, в котором ходит х = ж1 -(- х2 = 4 cos w^t -\- A cos co2i =
ползун /?, совершает гармонические л , . , ,ч
i л тт = A (cos им-4-cos юоп =
колебания вокруг точки О. При этом
ползун В также будет совершать коле- —
бания вокруг какой-то «средней»
точки — но эти колебания уже не бу-
будут гармоническими.
В самом деле, если AOB = wt, то
ОС — i? cos orf, AC = R sin wt и, значит,
A0.7.5)
этом, очевидно, множитель
1А cos —5—=—-? меняется весьма мед-
При
ВС = sjL2 —R2 sin2 at =
sm2<«?.
= b\/ 1—\~f~j s
Таким образом, получаем
x = OB = R cos wt -j-
A0.7.3)
Но в реальных механизмах обычно бы- Рис. 10.7.3
вает R-^L, так что отношение -г- неве-
лико (часто оно имеет величину порядка
ленно, а множитель cos
и
соответ-
соответствует колебаниям с частотой "' "I" -
¦ R \2 \ \ 2
1/5, так что (-J-) ~2oj>' ПРИ неболь- Колебания E) называют биениями (ср.
.- рис. 4, а); их часто несколько неточно
шом же z величину yjl — z можно за- 0ПИСЬ1Вают как гармонические колебания
менить на 1—у (см. § 6.4). Поэтому
сравнительно сложное выражение C)
можно упростить так:
xf^R cos
(р2 \
1 тррь sin2co/J =
= R cos orf -f- L 1 — -
R1 (l —
j->2
-f-^-cos2<ui. A0.7.4)
Первое слагаемое L — j-г указывает
среднее положение ползуна 5, вокруг
которого он колеблется, участвуя сразу
в двух гармонических колебаниях: в ко-
колебании с частотой ш и амплитудой R,
задаваемом движением точки С, и в ко-
колебании с вдвое большей частотой 2о)
„ fl-
flit амплитудой -ту , связанном с нзмеис-
нием В1Iсоты СА точки А (рис. 3).
Своеобразная картина получается при
сложении колебаний с близкими час-
частотами coj и со2. Если, например, хх=
=А cos wit, x2=A cos uJi (случай сло-
сложения колебаний одной амплитуды А),
то
Рис. 10.7.4
с частотой to
меняющейся
X cos'
2)
2 ) медленно
амплитудой A(t)=:2AX
2
-1 (= С cos !
Аналогичная
картина получается и в том случае, если
фазы колебаний хх и г2 различаются
между собой — только в этом случав
также и фаза суммарного колебания х
испытывает медленные колебания (см.
упр. 2а).
Напротив, если частоты со и Q со-
составляющих колебаний сильно раз-
разнятся между собой, скажем если

Гл. 10. Колебания
х1=А cos of и х2=В cos Qt, где 2 ^> со,
то суммарное колебание x=x1Jrx2
можно представлять себе как гармони-
гармоническое колебание амплитуды В с ча-
частотой Q вокруг медленно меняющегося
здадожения равновесия а=а (t)=A cosmt
(см. рис. 4, б, где еще A js> В).
С -биениями мы встречаемся в явле-
явлении океанских приливов и отливов:
здесь уровень воды в океане меняется
под действием притяжения Луны и
притяжения Солнца, причем в связи
с вращением Земли вокруг оси уровень
¦ воды меняет свое значение с периодом
i в 12 ч. Однако в связи с вращением
•Луны вокруг Земли период колебаний
^уровня воды, вызванных притяжением
«Луны, несколько отличается от периода
^колебаний, вызванного притяжением
'Солнца: если период «солнечных» при-
приливов и отливов равен в точности 12 ч,
то (более значительное) колебание
уровня, вызванное притяжением Луны,
имеет период, близкий к 12 3/4 ч. Так
как амплитуды этих двух колебаний
неодинаковы, то амплитуда сложного
колебания никогда не равна нулю, т. е.
-оно не совпадает в точности с биениями,
'изображенными на рис. 4, а; однако
-здесь также можно говорить о медлен-
;яом изменении амплитуды колебаний
уровня воды, причем наибольшая вы-
высота прилива почти в 3 раза превос-
превосходит наименьшую (ср. упр. 26). В ра-
радиотехнике также используются коле-
колебания с переменной амплитудой: так
называемые «короткие» радиоволны
с длиной волны порядка 20 м имеют
частоту 1,5 • 107 Гц (или 15 МГц),
'в то время как амплитуда этих
«колебаний меняется со звуковой часто-
частотой, т. е. имеет порядок сотен или не-
'скольких тысяч колебаний в секунду
iu лишь эти колебания воспринимает
«наше ухо).
10.7.1. Чему равны: а) эпергия; б) амплп-
' гуда колебания, полученного сложением двух
колебаний хг и х2 с одинаковой частотой:
¦ <хг~Ах cos (b)f+9i) и х2=Л2 cos (й)*+92)?
20.2.2. а) Что представляет собой сумма
гармонических колебаний ж1=а cos («lH-fi)
ж Sj= а cos (ш2Н- %). гДе <°i и Ш2 близки
одна другой? б) Ответьте на тот же вопрос,
ногда колебания хх и х2 имеют разные ампли-
амплитуды в! и а,.
§ 8. Задача о колеблющейся струне
В предыдущем параграфе мы рассма-
рассматривали вопрос о функциях x=f (t),
представимых в виде суммы (суперпо-
(суперпозиции) двух гармонических колебаний
(с одинаковыми или разными часто-
частотами). Далее мы коснемся очень важ-
важной темы о представлении в виде суммы
гармонических колебаний любых (не-
(непрерывных или даже не непрерывных)
функций. К задаче о таком представле-
представлении функций математики и естествоис-
естествоиспытатели пришли, разбирая целый ряд
естественно возникающих задач. Одной
из первых подобных задач была извест-
известная задача о колеблющейся струне.
Рассмотрим расположенную в пло-
плоскости х, у струну, закрепленную в точ-
точках х=0 и х~1; здесь под струной по-
понимается тонкая нить, которая может
свободно изгибаться и вдоль которой
действует постоянная сила натяжения.
Выведем струну из состояния равнове-
равновесия, при котором она совпадает с осью х,
т. е. придадим ей произвольную форму
г/=/ (х) (рис. 1). Затем отпустим струну;
нас интересует вопрос: как будет ме-
меняться ее форма под действием сил
натяжения. При этом мы ограничимся
случаем небольших деформаций
струны, т. е. будем считать, что неве-
невелики как у (струна мало отклоняется
от оси х), так и ¦—- (деформированная
струна по направлению все еще близка
к оси х, т. е. является пологой, так что
углы а = arc tg '-у, образованные каса-
касательной к струне с осью х, достаточно
малы). Мы пишем '-^-, ане ^-, потому
что отклонение у струны меняется с те-
течением времени, т. е. у — у (х, t) прод-
стапляет собой функцию двух пере-
переменных: абсциссы х и времени t. Выве-
Выведем теперь дифференциальное уравпение,
которому удовлетворяет величина у (х, I).
Рассмотрим малый участок MN стру-
струны, ограниченный точками М(х, у) и
N (х -\-dx, у -\-dy). Длина ds этого уча-
участка струны, очевидно, равна
ds =

§ 8. Задача о колеблющейся струне
331
(ср. § 7.8 и 6.4): ведь мы считаем про-
изводную -j- малой и пренеорегаем ве-
д2у
д~у
личинами порядка
[ут) ¦ *
ак как мы
рассматриваем колебания струны лишь
в перпендикулярном осп х направлении,
,, ду
то скорость v точки М равна -г-, а ее
ускорение а совпадает со второй (част-
ной) производной у~; масса же участка
MN струны равна ads i^odx, где а =
=: const — (линейная) плотность струны
(струну мы считаем однородной). Урав-
Уравнение движения участка MN струны
мы получим, приравняв произведение
та=.оах—j-действующе!! на этот уча-
участок силе.
Единственные рассматриваемые нами
силы — это силы натяжения струны
(другими словами, мы изучаем сво-
свободные колебания струны без воз-
воздействия каких бы то ни было внешних
сил). На копцы М и N участка MN
струны действуют ведущие в сторону от
MN силы R натяжения струны, на-
направленные по касательным к струне.
Составляющие этих сил, перпендику-
перпендикулярные оси х и вызывающие поперечное
колебание струны, соответственно
равны .fisina и i?sin(cc + <ia), где а и
a-{-da — углы, образованные с осью х
касательными к струне в точках М (х, у)
и N (x^rdx, y-\-dy) (см. рис. 1). Равно-
Равнодействующая рассматриваемых сил
равна
В sin (a -j- da) — R sin a я^ Bd (sin a)
(cp. § 4.1). Но мы знаем, что tga =
= — и что если угол а. мал, то sin i. =t-. a
fix
и tg a ^=; a, так' что можно написать
sma«tga«i —
с
личинами порядка а2, или (-р) )• Поэтому
здесь мы по-прежнему пренеорегаем ве-
¦ьл-
<¦></
rU
d sin a «i d (—- 1 -——'— c!x:
V Ox ) Ox-
ведь время t в наших рассмотрениях
пока считается закрепленным.
Таким образом, сила, вызывающая ко-
колебания участка MN струны, близка
к В—\dx — и уравнение колебаний
струны можно записать так:
или
01"-
A0.8.1)
где с2 — — ^ясно, что — ^> 0 j. При этом
решение уравнения A) должно удовле-
удовлетворять двум граничным условиям
у @, t) — 0 при всех t, у (I, t) = 0 при всех^-
1»82
(копцы струны закреплены) и двум на-
начальным условиям
y(x,0) = i (х), <1у {*; 0) = 0 при всех аг-
A0.8.2б)>
(последнее условие означает, что в на-
чальныц момент времени ?=0 Струве
М N Л
I л
Рис. 10.8.1
никак не движется: мы оттянули струну^.
придав ей форму линии у={ (х), и за-
затем опустили ее х).
Уравнение A) задачи о колеблющейся^
струне было впервые выписано и ре-
решено и 1747 г. Ж. Л. Д'Аламбером (см„,
упр. 3). Но большее значение имело
несколько более позднее решение той же-
задачи, найденное Даниилом Бернулли.
A753 г.). Бернулли рассуждал следую-
следующим образом. Будем искать частное-
решение уравнения A), удовлетворяю-
удовлетворяющее тем же граничным условиям Bа)/
(а также п второму начальному уело-
вию -j =U) и имеющее форму произ-
произведения у (х, t) = X (х) Т (t) функции Хш
зависящей только от х, на функцию Тв
зависящую только от t. Подставля®
в A) значение у = ХТ, получим
ХТ"=с2Х"Т,
или
1 Т"
1 Вместо B6) можно было бы потребовать,,
ду
чтоби скорость v (х, 0)^-
t=o
струны прж
всех х в начальный момент времени ?=
заданные значения: v (x, 0)=g (ж), где g (x),
известно (общая задача о закрепленной
см. упр. 2).

332
Гл. 10. Колебания
х"=^-А и г=--
где, разумеется,
(ведь и X, и Т — функции одной перемен-
\ Т"
ной!). Но так как -у -=- зависит только
X"
от t, а -у—только от х, то равенство
этих величин означает независимость
Т" X"
отношений -=- и -у- и от t, и от ж:
у* 4 "Г"
~iT~~~f~z= const. A0.8.4)
Яснож что если отношения D) р а в н ы
"нулю, то X" = 0, т. е. Х=ах-\~Ь —
линейная функция переменного х.
Но так как в силу Bа) должно быть
X @)=Х (Z)=0 (ведь у=Х (х) Т (t), где,
конечно, Т (t) ^ 0, ибо иначе наше ре-
решение ни малейшего интереса не пред-
представляло бы!), то равенство X (х) =
~ах-\-Ь означает, что 6=0 (так как
X @)=0) и al=0, т. е. а=0 (поскольку
X (Z)=0). Таким образом, никакого со-
содержательного (т. е. не равного тож-
тождественно нулю) решения уравнения A)
мы здесь не получим.
Если отношения D) поло ж и-
т е л ь н ы, то их можно обозначить
через А2:
= к2, т. е. Х" =
A0.8.5)
Уравнение E) во многом аналогично
уравнению гармонических колебаний
B.1). Так же как и в случае уравнения
B.1), частные его решения легко могут
быть угаданы — таковыми являются
функции Х1=екх и Хг=е
=е~кх:
Л, —
а-кх у" ( /Л2
о положительности стоящих в левой
части D) отношений не приводит ни
к какому решению уравнения A), от-
отличному от нулевого решения: X (х) ?нн
zs?- 0, а значит, и у (х, t) ~ 0.
Наконец, пусть рассматриваемые от-
отношения отрицательны: — —
л
1 Т"
гг=-5-т = — /г<0, т. е.
I Т"
44
X" =
= — k\ г^—(?и"
(Ю.8.%)
В противоположность предшествующим
двум случаям здесь уже возникают ин-
интересные решения уравнения A).
Ясно, что Fа) и F6) суть уравнения
B.1) гармонических колебаний для
функций Х = Х (х) и Т=Т (t) (от B.1)
они отличаются только обозначениями!).
Из Fа) вытекает, что
X = A cos кх -)- В sin кх A0.8.7)
(ср. § 2). А так как в силу первого из
граничных условий Bа) X @)=0, то
коэффициент А в правой части G) равен
нулю: Х = В sin Ы. Подставив теперь
это значение X во второе граничное
условие X (Z)=0, найдем, что должно
иметь место равенство В sin Ш)=0,
что при В ^= 0 (а случай Л =5=0, ко-
конечно же, совершенно неинтересен!)
возможно, лишь если
/d = пк, к = — п, п — целое число.
A0.8.8)
Таким образом, окончательно решение
G) уравнения Fа) принимает вид
|ср. § 13.10). Произвольная комбинация А" = В sin (~
аек
двух найденных решений также яв-
является (общим!) решением уравнения
E), позволяющим удовлетворить любым
начальным условиям: хо—Х @)=А.
Х;=Х' @)=В (почему?). Однако и
здесь желание удовлетворить условиям
!Bа) приводит к равенствам
A0..S.9)
где В произвольно, ал — какое угодно
целое число.
Аналогично второе уравнение гармо-
гармонических колебаний F6) (где теперь
надо требовать выполнения условии (8)!)
допускает решение
Т -- С cos (cf:t) -f D sin (eld) —
---- С cos I-
/ CUT. Д , , / СНГ. \
I--— tj -f- D sin ( -j~ i J. A0.8.
1. е.
а и а (екг — еГы) = 0,
.\ поскольку
rpr c'T enz n . /' cur.
1 = vr -¦= ~ ~ c 3in ("T~
удовлетворяющимся липгь при а=-Ъ~0,
Таким образом, также и предположение

§ 8. Задача о колеблющейся струне
333
то (предположенное выполняющимся)
второе из начальных условий B6)
— —U, т. е. 7"@) = 0, влечет за собой
at 1 п у '
равенство 0 = 0. Таким образом,
и, значит,
,,„, 7 . / ran \ / сгел \
у ~ А 1 -- Ь„ Sin I -г- Ж I COS I —т— t),
A0.8.11)
где h,,=BC — произвольное число, а
(выбранное заранее) п — какое-то на-
натуральное число 2.
Итак, мы нашли целое семейство A1)
решений уравнения A): ведь натураль-
натуральное число п в A1) может быть каким
угодно. Все эти решения имеют харак-
характер гармонических колебаний: каждая
фиксированная точка струны, которой
отвечает закрепленное значение х=х0,
колеблется по простому закону
у (х0) =. dn cos КО A0.8.12)
с произвольной амплитудой dn = dn(x(l)=^
— bn sin (у-¦¦?<)) > но со строго фиксиро-
фиксированной частотой о)я= (-t-Jtc. Это значе-
значение шн частоты зависит не только от фи-
физических характеристик струны (длины I,
силы натяжения R и линейной плот-
R о\
ности о, отношения — — <г), но также
а !
и от (произвольно фиксированного) нату-
натурального числа п: различные допусти-
допустимые частоты
ст. 2етс о
со = о>, =; —— , ш2
можно сказать, согласованными) ампли-
тудами dn ¦= dn (x) = Ь„ sin ^— х).
Итак, мы нашли решение A1) (точ-
(точнее, много решений A1)) уравнения A),
удовлетворяющее как граничным усло-
условиям Bа), так и второму из начальных
условий B6). Ну, а как обстоят дела
с первым начальным условием? Ясно,
что этому условию нам, вообще говоря,
удовлетворить не удастся: хотя мы и
располагаем еще постоянной Ьп, кото-
которую можем выбрать как угодно, все
I
оK = :'м, . . . A0.8.13)
образуют арифметическую прогрес-
прогрессию — все они кратны минимальной
частоте ш. При этом закон A1) колеба-
колебания струны утверждает, что все ее
участки колеблются «в унисон»: ча-
частоты «)„ для всех х одинаковы; а раз-
различаются колебания отдельных участ-
участков струны лишь (плавно меняющимися,
2 Ран^е мм считали число п целым, а не
только натуральным (целым положительным).
Однако яспо, что замена впака п в A1) приво-
приводит лишь к изменению знака Ь„ и пе даст нам
новых ренн'пнп A), а значение п=0 отвечает
(неинтересному) нулевому решению ;/^0
уравпення.
Рис. 10.8.2
равно очевидно, что начальная форма
струны
у {х, G) = bnsm(^
никак не является произвольной— она
имеет синусоидальный характер (с та-
таким полунериодом, что I является его
целым кратным; см. рис. 2, где га=3).
Как же нам поступить, если исход-
исходная функция у (х, 0)=/ (х), задающая
первоначальную форму струны, не сво-
сводится к синусоиде? Гениальная идея
Д. Бернулли (которую в XIX в.
Ж. Б. Фурье развил в общий мощный
метод решения разнообразных задач ма-
математической физики; см. § 9) состояла
в сведении произвольного (ка-
(казалось бы, достаточно сложно завися-
зависящего и от х, и от 0 колебания струны
к системе отдельных гармонических ко-
колебаний («маятников») A1). А именно,
он предложил использовать принцип
суперпозиции, т. е. тот факт, что лю-
любая сумма решений уравнения A) также
удовлетворяет этому уравнению.
Образуем теперь сумму
, . / т.х \ г ста \ .
у .--= 01 sin (^—j f os [-]-) +
, , . / 2та \ / 2crJ \ ,
+ Ь2 аш {—) cos ^—j -f • • • (Ю.8.14)
частных решений A1) уравнения A).
Ясно, что эта сумма также удовлетво-
удовлетворяет уравнению A), обоим граничным
условиям Bа) и второму из начальных
условии B6), поскольку этому уравне-

334
Гл. 10. Колебания
нию и условиям удовлетворяет каждое
слагаемое суммы.
Подставляя в A4) значение t=0 и
учитывая первое начальное условие
B6), получаем
у(х, 0) = f{x)=b1s
+ К sin {—) -f b3 sin {—) + • • •
A0.8.15)
— и наша задача сводится к тому, чтобы
определить из A5) коэффициенты Ъг, Ь2,
Ь3, ... представления A4) решения
уравнения A). Достижение этой цели
вполне можно расценить как выдаю-
выдающийся успех — это означало бы, что
I з;
Рис. 10.8.3
«непрерывное» колебание у=у (х, I)
струны нам удалось сконструировать
из дискретного (разъединенного) набора
A1) отдельных «маятников» (гармониче-
(гармонических колебаний), а общее уравнение A)
с помощью своеобразного «метода раз-
разделения переменных» (аргументов) х и t
удалось свести к обыкновенным (не со-
содержащим частных производных) и про-
простым (решающимся в элементарных
функциях) уравнениям Fа) и F6). (Ра-
(Разумеется, представление A4) решения
уравнения A) может быть полезно
только в том случае, если оно позво-
позволяет, ограничившись суммой некото-
некоторого (желательно — небольшого) числа
первых членов стоящей в правой части
A4) суммы, получить достаточно полное
представление об искомой функции
У=У (х, *)•)
Бернулли много занимался теорией
колебаний и был хорошо знаком с про-
процессом разложения произвольного коле-
колебания на отдельные гармоники (т. е. на
простые гармонические колебания):
/ (t) = 2 ск cos (<V + Ук)- Исходя из
своего опыта, он полагал, что вся-
всякую функцию / (х) можно представить
в виде суммы гармоник A5), т. е. что
формула A4) дает общее решение урав-
уравнения колебания струны A) (коэффи-
(коэффициенты bx, b2, b3, ... разложения A4)
определяются из условия A5)). Это
заключение вызвало ожесточенную кри-
критику знаменитого Л. Эйлера (см. с. 182).
Эйлер исходил из того, что в случае
простейшей начальной функции / (х),
изображенной на рис. 3, когда мы
просто отводим струну в ее середине
х — ~2 на фиксированную (небольшую)
высоту h, а затем отпускаем струну,
функция / (х) на разных участках своего
определения задается разными уравне-
уравнениями:
2hx .- I
—г- при ж^^-,
/(*)=
2hx , ...
(i0.8.16)
в то время как формула A5) задает
единое выражение для / (х) на всем
протяжении 0 ^ х ^ I. Эйлера под-
поддержал и Д'Аламбер, который также
считал невозможным представление лю-
любой функции в виде A5) (якобы опро-
опровергающий Бернулли пример A6) впер-
впервые был указан именно Д'Аламбером).
Однако Бернулли не сдавался: исходя
из опыта механических явлений, он
твердо стоял на возможности представ-
представления A5) для любой функции у (х, 0),—
и этот спор сыграл очень большую роль
как в прояснении точного смысла са-
самого понятия «функция», так и в тео-
теории представлений функций так назы-
называемыми тригонометрическими рядами,
т. е. суммами A5) гармоник (графиков
гармонических колебаний; см. § 9).
У tipa ою н е и и и
10.8.1. Пусть /=-, с^1
и / (;r) = sin3
Найдите решение A4) уравнения A), удовлет-
удовлетворяющее условиям Bа) и B6).
10.8.2. Как видоизменяется решение
Д. Бернуллп уравнения A) в тол случае,
когда начальные условия решения уравнения
ду (.г,
A) имеют вид: у (х, 0)=/(ж),
ilt
I/-0
= g (х) (мы придали струне начальное поло-
положение у (х, O)~f(x) и начальные скорости-
ду (х, t)
v (х, 0) = 77 = g (х) и затем отпу-
отпустили ее)?
10.8.3 (решение Д'Аламбера уравнения A)).
Докажите, что любая функция у (х, 1)~
= 9 (x-\-ct)-\-'\i (х—ct), где 9 и ^ — произ-
произвольные функции одной переменной, удовлет-
удовлетворяет уравнению A). Как надо подобрать ш
и ф для того, чтобы решение у (х, J) удовлетво-
удовлетворяло граничным условиям Bа) и начальным

§ 9. Гармонический анализ функций. Ряды Фурье
335
условиям B6)? Граничным условиям Bа)
и начальным условиям: у (х, 0)=/ (ж), v (х, 0) =
= #(*) (ср. упр. 2)?
§ 9. Гармонический анализ функций.
Ряды Фурье
Пусть мы имеем произвольную функ-
функцию y~f (х), заданную на каком-то
конечном интервале; нам будет удобно
считать, что этот интервал определяется
неравенством — к ^_ х ^ t (см., впро-
впрочем, с. 337 и упр. 2). Задача состоит
в том, чтобы найти коэффициенты раз-
разложения функции / (х) в тригоно-
тригонометрический р я д, т. е. пред-
представление ее в виде суммы гармоник 1,
cos х, sin x, cos 2x, sin 2x, cos Зж,
sin Зх, ... и т. д., взятых с какими-то
численными коэффициентами. Для этого
напишем
/ (х) =г- 4°- -j- a± cos х -j- Ъх sin x -\-
-f- а2 vos 2tf -j- b2 sin 2x -\- a3 cos Зж -f-
-t-b3sin:ix-j-. . ., A0.9.1)
где числа -^, a^, Ьх, а2, 62, ... мы пока
считаем неизвестными (не зависящее
от х слагаемое суммы A) нам будет
\
а0).
- Па
удоопо написать как -~, а не как
Отметпм теперь свойство ортого-
ортогональности тригонометрических
функций:
" те
\ cos mx cos nxdx = \ sin mx sinnxdx-=0
— 71 —ТС
при любых натуральных т и п,
где т -f-- n;
\ cos iii.x sin nxdx = 0
при ..нобмх (натуральных) m и п;
sin mx sin rax = х/а tcos (w — n)x —
— cos (m -\- n) x], A0.9.3)
cos mx sin nx = 11г [sin (m-\-n)x —
— sin (m — n) x\;
частными случаями первых двух соот-
соотношений C), отвечающими равенству
т—п, являются известные зависимости
cos2 mx = 1/а A -f- cos 2mx),
sin2 mx = V2 A — cos 2mx) A0.9.3a)
(ибо cos 0—1). Далее, чтобы убедиться
в справедливости B), остается только
проинтегрировать в пределах от —я
до 71 правые части всех формул C) и
(За), воспользовавшись изложенными
в гл. 5 правилами.
Пусть теперь мы имеем представле-
представление A) функции y=f (x). При этом
функция / (х) нам задана; требуется
определить коэффициенты а0, аг, Ъъ аг,
Ь2, а3, Ь3, . . . тригонометрического ряда.
Для того чтобы найти коэффициент ат
ряда, умножим левую и правую части
равенства A) на cos mx и проинтегри-
проинтегрируем обе части в пределах от —к до я.
Слева мы тогда получим величину
\ f (x) cos m,xdx; справа же в силу B)
у нас выпадут все слагаемые, кроме
слагаемого
S
а,„ cos2 mxdx =
= ат \ cos2 mxdx = аттг,
A0.9.4)
A0.9.2)
поскольку остальные члены стоящей
в правой части A) суммы после
интегрирования обратятся в
а„ cos nx cos mx dx =
\ cos'1 tnxdx = \ sin2 mxdx = i
¦J J
при всех (натуральных) т.
Эти формулы вытекают из того, что,
как известно,
cos mx cos nx = 1/2 [cos (m — n)x-\-
-j- cos (m-\-n)x],
= an \ cos nx cos mx dx = 0,
Ъ„ sin nx cos mx dx =
= bn \ sin nx cos /гаж da; = 0
A0.9.;.)

336 Гл. 10. Колебания
п у ,м , является четной или нечетной. Если
при п = 0 первая из формул E) обра- функция / (х) — ч е т н а я, т. е. / (—ж) =
= f(x), то
щается в равенство \ -у- cos mx dx = * о
-« J / (ж) sin mxdx= f / (x) sin mx dx -j-
= -y- \ cos mx dx — 0 J. Окончательно
—It /
мы приходим к соотношению
о
-j- I / (x) sin mx dx =
о
I / (x) cos mx dx = an, r , . . . .
J v ' m — J / (—x) sin (—mx) d (—ж) -j-
1 г
или am = — \ f (x) cos тж dx; * °
Л _x + J / (ж) din ma; ^ = \ f (x) sin mx dx~\-
m = l, 2, 3, ... (Ю.9.6) \
Совершенно аналогично, умножая обе _|_ f j м sin тж dx — 0
части A) на sin тех и интегрируя затем ^
в пределах от —тс до -к, получаем
к ибо / (—х) = / (ж) и sin (—mx) ¦=. —sin ж,
Sr, ч . i , d(—х) = —dx. Поэтому в нашем случае-
/ (ж) sin mx dx = 6ютс, v '
-K / (x) = y- -f- «j cos x-\-a2 cos 2x -j-
или bm = ^ \ f (x) sin mx dx; -f a3 cos Зж-|-. . ., A0.9.8)
"~* где
m=l, 2, 3, ... A0.9.6a) a ? 2 r
A % = ~ \f{x)dx=- /(x)dx;
Наконец, просто интегрируя обе части A) тс _^ г- J
в пределах от —л до тс и воспользо-
воспользовавшись тем, что 1 г-
ж я аш = — J / (х) cos тех dx =
I cos rax dx = \ sin их dx = 0 и / о "
~"тс ^^ = — W (x) cos mx dx -|-
_« -f- \ / (х) cos mx dx I =
получаем °
J/(x)dx= Slfc = f -^ =4j/(-)-^dx. (I0.9.9>
я Точно так же, если ф\ икция / (ж) —
или Й0 = А /(x)dx A0.9.7) нечетная, т. е. /(-i) = _/(*), то
„ а,в = 0 и Ь,„ = - f /(x) sin mxdx A0.9.10)
— частный случаи формулы (о), отве- u J
чающий значению m = 0.1
Формулы для коэффициентов тригоно- (докажите это сами !), т. е.
метрического ряда упрощаются в том j /^ __ ^ gjn x i ^ sin 2X i
случае, когда рассматриваемая функция ' \ 2
J -f b3sui Лх-f . . . A0.9.11)
1 Именно для того, чтобы прийти к формуле гр ,- »
G), являющейся частным случаем F), мы пи- Таким ооразом, четные функции раскла-
а0 дываются в ряд A) по одним лишь коси-
сали в правой части A) у» а не а0. нусам, а нечетные — только по синусам..

§ 9. Гарионический анализ функций. Ряды Фурье
337
Пример 1. Пусть
| тс -j- ж при •—тс ^ ж ^ О,
1 тс — ж при О ^ ж <; тс
(рис. 1, а; ср. с рис. 8.3). Эта функция
четная, поэтому она раскладывается
в ряд по одним только косинусам. При этом
It ft
2 с 2 г
а0 = — I / (ж) dx = — \ (тс — ж) dx =
2 г-
ат = — \ (тс — ж) cos mx dx =
2 I <¦ /. \
= — I тс \ cos mx dx — \ х cos mx dx =
\ о о /
[я тс "I
тс 1 cos mxdx \xd(sinmx) =
о o-l
Г л
= — тс f cos mx dx (x sin mx) -4-
тс I J те ч ' о '
L о
71 1
-| \ sin mx dx = — (— sin m
о J
>
0/
sm mx
m
- cos mx
0 ГО"
0 при те четном,
-j- при m нечетном.
Окончательно мы получаем
/ (ж) = |. -{-— cos ж _|_ _- „o
Зж 4-
^5^ A0.9.12)
На рис. 1, а последовательно изобра-
изображены функции ср0 (.-г) = -rj- (мелкий пунк-
пунктир); срх (ж) = —--| cos х (пунктир);
/ \ тс . 4 ,4 о /
<р2 (ж) = -у -| cos ж -j- -q— cos ox (тонкая
сплошная линия).
Пример 2. Пусть
1 при 0 < х ^ тс,
(а-) = J
bm=: — V sin mx dxz=— (—cos mx)
0
при т нечетном,
т-к
0 при т четном,
так что
¦ sin 3x . sin 5x
nz-f-з 1 g—
A0.9.13)
На рис. 1, б последовательно изобра-
изображены функции <]>1 (ж) = — sin х (мелкий
//
^ J
г
JT ^
Рис. 10.9.1
sin "ix
\
пунктир); ф2 (х) = - (^sin х -]^
(пунктир); ф3 (х) = — (sin x + Sm3 * +
. sin 5ж\ . .
-) f—) (тонкая сплошная линия).
До сих пор мы говорили лишь о функ-
функциях, заданных на интервале —тг^ж^тг.
Но почти ничем практически не отли-
отличается и случай функции /(ж), заданной
на произвольном интервале —I ^ ж ^ I:
ведь ясно, что область задания подобной
функции мы всегда можем «подобно
раздуть», сведя ее к интервалу от —тс
до тс (ср. с § 1.7).
Введем новую переменную х1=(^- )ж,
_тс ^ х ^ 0
(рис. 1, б). Эта функция нечетная,
поэтому она разлагается в ряд по одним
синусам. При этом
или х — (— W; тогда /(ж) можно будет
также записать как /(—a;1) = /i(a;1), где
функция /х аргумента хх = (у) х уже
определена при —тс^жх^тс. При этом
разложение A), в котором только аргу-

338
Гл. 10. Колебания
мент х и функция / заменены на хг и
/х, порождает следующее разложение
исходной функции y — f (x):
У = -у- + «! fos (у х) + &! sin (~ я;) +
-j- «2 C0S ( — Х) + ^2 ЙШ \— Х)~Г
A0.9.14)
кт.х
-j- a3 cos I —— a
причем здесь
i
-г
- i
sm
(т
dx
A0.9.15)
(см. упр. 1).
Укажем еще, что функцию y—f (х),
заданную, скажем, в интервале 0 ^
УК
Af
~Zjt -JT
Pr.e. 10.9.2
^C x С l, всегда можно продолжить на
отрицательные значения х «по четности»,
положив / (—x)=f (x), что приводит
к следующему представлению / (х):
f () ( ) К (
I" a
C()S (т з:
cos (~ a) 4-
(!¦;). 9. ifi)
где, очекпдс >,
7
(почему? см. упр. 1). Можно также за-
задать значения / (.г) при отрицатель-
отрицательных х так, чтобы функция стала нечет-
нечетной, т. е. положить / (—х) = — /(х);
это приводит к разложению / (х) по си-
синусам:
f (ж) := b1 sin (- ¦ х ) -f- о2 s in (— - ж j 4-
A0.9.18)
где
/v = l, 2, 3, ... A0.9.19)
В задаче о колебании струны мы встре-
встретились именно с последним выражением
для функции у (х, 0)=/ (х).
Заметим еще, что правую часть ра-
равенства A) можно, разумеется, пони-
понимать как функцию, определенную не
только в интервале —л г^ х <^ тс, но
на всей числовой оси. Ведь все
стоящие в правой части A) тригономе-
тригонометрические функции cos х, sin x, cos 2x,
sin 2x, cos За;, sin Зх, . . . являются пе-
периодическими с наименьшим общим пе-
периодом 2^: если ср (х) — какая угодно из
рассматриваемых функций, то ср (ж+
—f-2/стг) == ср (х) при любом целом к. По-
Поэтому и сумма стоящего в правой части
A) ряда (мы будем записывать эту
сумму по-прежнему как / (х)) является
периодической с периодом 2тс:
/ (,х+2А:я) — / (х) при всех целых к,
ибо все слагаемые правой части A) при
замене х на х-\-2кп сохраняют свое
значение. Аналогично этому правая
часть более общей формулы A4) задает
периодическую функцию с периодом 21.
Соответственно этому про формулы A)
и A4) иногда говорят, что они достав-
доставляют разложение в тригонометрический
ряд периодических функций
с периодом 2тс (соответственно 21). Так,
на рис. 2 изображены («полные») функ-
функции / (х) и g (х), определяемые разло-
разложениями A2) и A3).
Ясно, что все фигурирующие в этом
параграфе представления A), (8), A1),
A4), AG), A8) функций в виде беско-
бесконечных сумм тригонометрических функ-
функций (в виде тригонометриче-
тригонометрических рядов, как мы неоднократно
говорили выше) представляют ценность
и интерес лишь в том случае, когда
соответствующие ряды сходятся,
если употреблять здесь терминологию
§ G.3, т. е. когда сумма конечного (же-
(желательно даже — небольшого) числа
первых членов, скажем, ряда A)
C0S
V
-j- a2 cos 2x -|- b2 sin 2х-\- . ..
... -{-а п cos nx-\-bn sin пх A0.9.20)

§ 9. Гармонический анализ функций. Ряды Фурье
339
дает достаточно хорошее представление
о правой части A), а при п ->со сумма sn
стремится к / (х), так что при-
приближенное равенство
f(x)^sn(x) A0.9.21)
является тем более точным, чем больше
историческом споре Д. Бер-
п. Но
в
нулли со знаменитым Л. Эйлером и
Ж. Л. Д'Аламбером прав был именно
Бернулли: оказалось, что практически
любую 2 (периодическую или заданную
на конечном интервале) функцию можно
разложить в тригонометрический ряд!
Это утверждение означает, что, скажем,
каждая заданная на интервале —т: <^
-"С х ^ it функция / (х) (или, что то же
самое, каждая периодическая функция
/ (х) с периодом 2к) может быть пред-
представлена в виде A), т. е. для нее имеет
место приближенное равенство B1), где
правая часть B1) имеет вид B0). При
этом в точках, где функция / (х) непре-
непрерывна, сумма sn (а) будет близка к / (х)
(причем, разумеется, тем ближе к / (х),
чем больше п), а в точках разрыва / (х),
где эта функция совершает скачок, так
что ее значение слева / (х — 0) отлично
от значения справа / (а;+0), сумма
sH (x) с ростом п приближается перед-
переднему арифметическому
V2 [/ (х — 0)+/ (ж+0I этих значений 3.
При этом скорость сходимости сумм
sn (x) к функции / (х) существенно зави-
зависит от характера функции: она является
наибольшей в случае гладких функций;
наличие разрывов у производной функ-
функции (см. выше пример 1) эту скорость
существенно снижает, а наличие разры-
разрывов у самой функции (как в случае при-
примера 2) снижает ее еще значительнее,
что вынуждает в этом случае для пред-
представления функции с заданной точ-
точностью использовать больше членов
тригонометрического ряда.
Поясним, не претендуя при этом ни на
какую строгость, причины, обусловливаю-
2 Для того чтобы представление функции
/ (х) в виде тригонометрического ряда было
невозможно, надо, чтобы / (х) имела на ин-
интервале, на котором она задана (или на протя-
протяжении одпого своего периода), бесконечно
много разрывов («скачков») или бесконечно
много максимумов и минимумов!
3 Так, для рассмотренной в примере 2
функции надо считать, что g@—0)=—1,
8 @+0) = 1; суммы sn (x) при х=0 сходятся
здесь к значению -я- [(—1) + 1]=0.
щие влияние «степени гладкости» функции
/ (х) на скорость сходимости представляющего
ее тригонометрического ряда. Ясно, что, для
того чтобы, скажем, в представлении A)
можно было отбросить все члены стоящей
в правой части A) бесконечной суммы, кроме
известного числа начальных ее членов, надо,
чтобы отброшенные члены быстро убывали,
чтобы влияние даже бесконечного их числа
оказалось сравнительно небольшим. А так
как сами по себе тригонометрические функции
ограничены (ни одна из них не превосходит
по абсолютной величине единицу!), то надо,
чтобы при движении вдоль ряда быстро убы-
убывали задаваемые формулами F) и Fа) коэф-
коэффициенты ряда. Но для гладких функций убы-
ванпе этих коэффициентов убедительно сле-
следует из колебательного (знакопеременного!)
характера стоящих под интегралом в форму-
формулах для ат ц Ът функций cos mx и sin mx.
В самом деле, при большом т период,,
скажем, функции sin (mx) оказывается до-
достаточно малым, так что (гладкая!) функция
/ (ж) на протяжении этого периода почти не
успевает измениться. А отсюда следует, что
отвечающая одному периоду функции sin mx
часть выражающего коэффициент Ьт инте-
интеграла I / (х) sin mxdx будет весьма близка
к нулю, поскольку / (х) здесь можно считать
постоянной и значения рассматриваемого ин-
интеграла, отвечающие двум полупериодам
функции sin mx, на которых она имеет раз-
разные знаки, почти полностью сократятся.
Более точный расчет показывает, что также
и сумма всех тех частей стоящих в правых
частях (G) и Fа) интегралов, которые отве-
отвечают отдельным волнам косинусоиды у=
=cos mx и синусоиды i/=sin mx, при больших
т оказывается весьма малой, что и обеспе-
обеспечивает малость коэффициентов ряда A), — а тем
самым и сходимость этого ряда. При этом
в случае пегладкости функции / (ж), когда
в какой-то точке она резко меняет свое направ-
направление (см. рис. 2, а), убывание коэффициен-
коэффициентов ряда оказывается не столь быстрым,
как в тех случаях, когда функция всюду
является гладкой; еще хуже обстоит дело,
если сама функция претерпевает разрыв
(ср. рис. 2, б), в сколь угодно малой окре-
окрестности которого / (х) никак нельзя считать
постоянной величиной! И в самом деле, мы
видим, что коэффициенты Ьт отвечающего
разрывной функции g (ж) ряда A3) с ростом т
1
убывают (всего лишь) как —-, в то время как
в случае непрерывной функции / (ж) примера 1
коэффициенты ат ряда A2) убывают, грубо
22*

340
Гл. 10. Колебания
1
roisopn, как —^ , а для гладкой ф_> нкции убы-
убывание коэффициентов отвечающего eii триго-
тригонометрического ряда оказываете» еще более
быстрым.
Вернемся теперь к знаменитой дис-
дискуссии между Д'Аламбером, Эйлером
и Д. Бернулли по вопросу о характере
колебания ли крепленной в двух концах
струны. Частные решения fH.11) рас-
рассматриваемой задачи были иолучены
еще в 1713—1715 гг. упоминавшимся
уже в этой книге Тейлором, который,
впрочем, неосновательно полагал, что
никакие другие решения адесь невоз-
невозможны. Достижение Д. Бернулли со-
состояло в тон, что он считал возможным
смешение (или, как говорят сегодня,
наложение) отдельных колебаний
(8.11), — полагал, что струна может
звучать, издавая одновременно тоны
различной частоты. При этом: условной
тон струны задается главной (или пер-
первой) ее частотой а>; дополнительные же
частоты 2 о), 3(о и т. д. (см. (8.13)) от-
отвечают так называемым обертонам'1.
Именно богатство физического содержа-
содержания решения задач о колебании струны,
даваемого представлением (8.1 i) функ-
функции у (х, I), а также полное совпадение
получаемых таким путем результатов
с физическими экспериментами застав-
заставляло Бернулли так настойчиво дер-
держаться за это решение и отвергать кри-
критику глубоко им уважаемых Эйлера
(являвшегося его другом) и Д'Алам-
бера.
Дальнейшее усовершенствование ме-
методики Бернулли связано в первую
очередь с исследованиями Ж. В. Фурье.
Фурье впервые изложил в снял ном
виде общую теорию разложения функ-
функций в тригонометрические ряды, основан-
основанную на полученных выше простых фор-
формулах для определения коэффициентов
ряда; ии д,\.) также множество приме-
4 Соотношения между основном топом и
обертонамч ииуча.'цей струя;.!, сводящиеся
к простим отношениям длин периодов отве-
отвечающих им синусоидальных волн, и связь
этих це.ч о --и [м.чшых отношений ¦¦' благозву-
благозвучием лздпн.-ильыл. струнами звуко;;'.!\- колеба-
колебаний рассматривались еще дрсдапчмечес.кики
учеными пифагорейской школы (V п. до а. э.).
Полученные кде.-еь ипфагорекцамь уелультаты
сыграл:, <,тк:п. лажную ролъ н <..¦; ¦•;евшемся
у нил y6t.'.>;rteur:ii в простоте is no. i л:.ас.\юсти
мира, причем ключом и позваги:¦¦ i рпроды
пифагоройцы считали мателгатпк1;.
ров разложения конкретных функций.
Но еще важнее были глубокие приме-
применения подобных разложений к конкрет-
конкретным задачам математической физики,
например к задаче о распространении
тепла. Эти приложения базировались
на той же идее, что и у Бернулли:
пачальные условия соответствующей за-
задачи, задающиеся произвольной функ-
функцией / (х), Фурье первоначально считал
«синусоидальными», т. е. ограничивался
функциями тппа sin mx пли cos mx.
Для этих простых начальных условий
задачу решить оказывалось сравни-
сравнительно несложно, а общее решение по-
получалось отсюда с помощью принципа
суперпозиции и возможности разложе-
разложения произвольной функции / (х) в три-
тригонометрический ряд. И не случайно,
несмотря на то, что отдельные примеры
разложений функций в тригонометри-
тригонометрические ряды до Фурье рассматривались
многими учеными (скажем, JI. Эйле-
Эйлером, Д. Бернулли, К. Ф. Гауссом
и др.), все такие ряды сегодня принято
называть рядами Фурье.
Процедура разложения функции fix)
в ряд Фурье (или в тригонометрический
ряд) носит название спектрального ана-
анализа функции. Так, спектральное разло-
разложение A2) фигурирующей в примере 1
функции /(.х) показывает, что эта функция
состоит из постоянной -^ и гармоник, при-
причем эти гармоники cos a:, cosB.r, cos5x, .. .
,, 4 4 4
оерутся с коэффициентами —, тг , т^- ,.. •,
7. УТС ZOTC
а функция g[x) примера 2 раскладыва-
4 . 4 . „
етсян сумму гармоник — sin x, ту- sinoa;,
Д sin 5а:, . .. (см. A.3)).
Спектральное разложение (периодических)
функции играет очень большую роль в самой
матсмаччке и ее приложениях (в частности,
в изучении вечного рода колебательных про-
цесечли; око зачастую производится автома-
автоматически, при помощи специальных механиз-
механизмов — {г;'рл(,ническах) анализаторов. Само
выраж(;(¦!(! «сшчхгралыго» разложение» (пли
«слога рольный ;iLii!;;:i3/>) функций связано
с том, что собственно такой характер имеет
ргюло.йолпо слета .: совокупность ноли (гар-
мопг.чс1 к-.х колеПа.иип) разной длины волны
(пли ;;.ьшого периода), причем для световых
волн к;;;кдой дл;и>с bojiiij.1 (или периоду)
отве~ш-:т tii'iii \\;:.\:i- \) общем случае спек-
траль;.;)'1 paj,;ii- ; ,ii!j произвольно!! (непе-
риодп'и.'ско;!!) ^(ищип содержит «гармо-

§ 9. Гармонический анализ функций. Ряды Фурье
341
ники» 'I (t)) cos (tut-\-'f (со)), отвечающие
а с е в о з м о w. n ы м частотам со, так
что суммы Фурье приходится заменять
интеграла.чч Ф'/рье, распространопяьшн по
широкому «спектру» частот со (случай «не-
«непрерывного ci;t'KTpa-> функции). Ми, однако,
не kochcmui ндееь этой более сложной по-
постановки ночроаа ".
Упражнсн!.',).
10.9.1. /Докажите формулы A0), A5), A7),
A9).
6 По ртому i'iMiOTy см., например, книгу [15].
10.9.2. Разложите в тригонометрический
ряд функцию у =/ (ж), заданную в каком
угодно интернале s < a; =s: 6. [Указание.
Подстановка ж —-
^— переводит
хг), заданную
функцию /(х) в функцию
на интервале —% < хг < т..]
10.9.3. Разложите в тригонометрические
ряды функции: а) у = ж2, —тс < х < тс;
х при —I «с х sj 0,
ж при 0 < х < Z;
( sin х при 0 < ж s
б) У =
0
при —ти
< 0.

Глава 11
ТЕПЛОВОЕ ДВИЖЕНИЕ МОЛЕКУЛ.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ВОЗДУХА
В АТМОСФЕРЕ
§ 1. Условие равновесия в атмосфере
Рассмотрим вопрос о законе распреде-
распределения плотности воздуха в атмосфере
по высоте. Хорошо известно, что на
большой высоте воздух менее плотен,
давление воздуха меньше, чем на уровне
моря. Причина зависимости давления
от высоты очевидна. Выделим мысленно
цилиндрический объем высоты Ah; если
площадь его основания равна S, то
^ ^ объем будет равен S Ah.
Воздух, находящийся в этом
объеме (средняя плот-
плотит ность о, масса m=pSAh),
л// притягивается к Земле,
,—| т. е. испытывает силу тя-
тяготения, направленную
вниз и равную mg=[>SgAh.
Однако этот воздух не
опускается вниз, а нахо-
находится в покое, ибо на него
снизу (на высоте h от по-
поверхности Земли) дейст-
Рис. 11.1.1 вует давление р (А), боль-
большее, чем давление р (h-\- Ah)
сверху, на высоте А+ Ah (рис. 1). Сила
давления на нижнее основание ци-
цилиндра равна Sp (А); она уравновеши-
уравновешивает сумму силы давления на верхнее
основание и силы тяжести:
Sp {h) = Sp {h -f- ДА) + pSgAh. A1.1.1)
Формулу A) можно переписать так:
p(h) — р (А -)- ДА) = pg'A/г. A1.1.2)
Будем считать, что Ah весьма мало.
Тогда вместо средней плотности р можно
просто говорить о плотности р, так
как высоты h и A--f- Ah весьма близки и
средняя плотность р весьма мало от-
отличается от плотности р (h) на высоте h.
Поэтому, считая, что в левой части B)
стоит величина —dp, и заменяя Ah на
dh, получим
Тем самым мы получили диффе-
дифференциальное уравнение
для зависимости р = р (А) давления от
высоты, в которое вошла также и плот-
плотность воздуха р.
Мы будем предполагать, что тем-
температура атмосферы одинакова на всех
высотах. На самом деле температура
воздуха зависит от притока тепла от
солнца и отвода тепла в основном за
счет излучения его в мировое простран-
пространство воздухом или, точнее, содержащи-
содержащимися в воздухе водяными парами и
углекислотой. Небольшая часть лучей
солнечного спектра поглощается верх-
верхними, очень разреженными слоями воз-
воздуха. Большая часть энергии солнеч-
солнечного света доходит до поверхности
Земли, поглощается почвой, а уже от
почвы нагревается воздух. Поэтому
в действительности в атмосфере полу-
получается довольно сложное распределение
температуры: на уровне земли темпера-
температура, как мы хорошо знаем, колеблется
примерно от —40 до 40° С в зависи-
зависимости от географического положения и
времени года; на высоте около 15 км
температура минимальна (около
—80° С) и примерно одинакова зимой
и летом на всем земном шаре; на боль-
больших высотах температура возрастает,
достигая GO—75° С на высоте 50—
60 км.
Измерения, проделанные в последнее
время при помощи искусственных спут-
спутников Земли, показывают, что на вы-
высоте 300—1000 км плотность воздуха
хотя и мала, но все же значительно-
больше, чем предполагалось раньше. Как
мы увидим ниже, сравнительно боль-
большая плотность воздуха указывает на
то, что в этих слоях температура воз-
воздуха весьма высока. К тому же значи-
значительная часть молекул кислорода и
азота распадается на этой высоте на
атомы, ионы и электроны.
Если бы не было притока и отвода
тепла, т. е. если рассматривать тепло-

§ 2. Связь между плотностью и давлением
343
изолированный столб воздуха, то с те-
течением времени температура во всем
-столбе должна была бы выровняться.
Ниже мы будем рассматривать именно
такой идеализированный случай пол-
полного равновесия, теплового и механи-
механического. Тепловое равновесие заклю-
заключается в том, что температура везде
одинакова, следовательно, нет потоков
тепла (если бы в различных точках
воздушного столба температура была
различна, то от более нагретых точек
тепло текло бы к менее нагретым, т. е.
возникли бы потоки тепла). Механи-
Механическое равновесие заключается в том,
что равнодействующая всех сил на лю-
любой объем воздуха, выделенный в атмо-
атмосфере, равна нулю; при этом надо рас-
рассматривать силу тяжести воздуха в объ-
объеме и силу давления на всю поверх-
поверхность, ограничивающую данный объем.
При том распределении давления,
которое удовлетворяет уравнению C),
атмосфера может находиться в состоя-
состоянии покоя.
Так как мы рассматриваем высоты h,
малые по сравнению с радиусом Земли,
то ускорение свободного падения g
можно считать постоянной величиной.
§ 2. Связь между плотностью и давле-
давлением
В уравнении A.3) фигурируют две не-
неизвестные нам величины: давление р и
плотность воздуха р; поэтому прежде
всего надо установить связь между
ними.
По закону Бойля — Мари-
о т т а при постоянной температуре t
произведение давления газа р на зани-
занимаемый им объем V постоянно: для
данной массы ти газа и при данной
температуре рУ==а, где а — постоян-
постоянная величина. Если плотность газа
равна р, то mo==Fp. Следовательно,
V — —, а так как р--;г-> т0
р=Ьр, A1.2.1)
где Ь.— — . Гаким образом, давление газа
прямо пропорционально его плотности.
Коэффициент пропорциональности
для воздуха комнатной температуры
легко найти. Известно, что атмосферное
давление на уровне моря р0 приблизи-
приблизительно равно 106 Н/м2 (=105 Па). Плот-
Плотность воздуха р0 при давлении р0
равна 1 примерно 1,3 кг/м3. Подстав-
Подставляя эти значения р0 и р0 в A), получим
/H=&р0, откуда 2
Для дальнейшего нам нужно не
только численное значение Ъ для воз-
воздуха комнатной температуры, но и об-
общее выражение постоянной Ъ для лю-
любого газа и при любой температуре.
Для этого воспользуемся законом
Клапейрона:
pV = RT, A1.2.2)
где V — объем, занимаемый одним мо-
молем (одной грамм-молекулой) газа; Т —
абсолютная температура (отсчитывае-
(отсчитываемая от абсолютного нуля, соответст-
соответствующего —273° С 3); R — так назы-
называемая универсальная газовая постоян-
постоянная. Известно, что при температуре
0° С (=273 К) при атмосферном давле-
давлении, т. е. при ;0О=1О5 Па, один моль
газа занимает объем, примерно рав-
равный 22,4 л = 2,24-Ю м3 (закон
А в о г а д р о). Отсюда 105-2,24-10~2 =
=273 R, т. е.
#«8,3 [(Н/м2)-м3/(моль-град) =
=Дж/(моль • град) ].
Обозначим относительную молеку-
молекулярную массу газа через М. Для водо-
водорода М=2, для гелия М=А, для азота
М=28, для воздуха среднее значение
Af=29,4. По определению, 1 моль газа
объемом V содержит М г, или МЛ0~3 кг
вещества. Значит, плотность р связана
с V соотношением
р = 103^-. или F=l(r3—.
1 Эту величину легко найти эксперимен-
экспериментально при помощи взвешивания. Берут со-
сосуд известного объема с краном и сначала
взвешивают его с воздухом, а затем без возду-
воздуха,-откачав его из сосуда вакуумным насосом.
2 Величина b имеет размерность ква-
квадрата скорости. В действительности
Э1а величина тесно связана со скоростью мо-
молекул и со скоростью звука: квадрат скорости
звука примерно равен 1,4 Ъ (выводить это
соотношение мы не будем).
3 Абсолютную температуру обозначают
буквой К по имени английского ученого
Кельвина; например, 20° С=293 К читается:
20 градусов Цельсия равны 293 градусам
Кельвина (принято не употреблять значок
градуса, когда речь идет об абсолютной тем-
температуре, оставляя только букву К).

344
Гл. 11. Тепловое движение молекул
Здесь плотность р выражена в кг/м3,
V — в м3. Подставляя это выражение
для V в B), получим
P=1OSP^-. A1.2.3)
Сравнивая формулы C) и A), находим
, .„„ RT
Ь=Ю3^-. A1.2.4)
Наконец, выразим давление через
число молекул п, содержащихся в еди-
единице объема газа. Известно, что 1 моль
любого вещества содержит около 6-Ю23
молекул. Величина 6-Ю23 назы-
называется числом Авогадро и обозначается
А. Таким образом, масса одной моле-
молекулы (в кг)
т^—.Ю^^-^М. (ц.2.5)
Если 1 моль газа занимает объем V, то
число молекул в единице объема п есть
А ]
п = -у-. Плотность газа| р = пт. Закон
Клапейрона B) дает
RT j m
Р= П —д- = ПК1 ,
где к — так называемая постоянная
Больцмана:
8,3
:1,38-1(Г23
град
Величина R относится к условно
выбранному количеству вещества — од-
одному молю, поэтому в размерность R
входит «моль». Величина к относится
к одной молекуле, поэтому к имеет раз-
размерность Дж/град. Величина кТ имеет
размерность энергии (Дж). В § 4 будет
показано, что в атмосфере величина кТ
равна средней потенциальной энергии
одной молекулы в поле тяжести при
температуре Т. Средняя кинетическая
энергия поступательного движения одной
молекулы равна -^к!.
§ 3. Распределение плотности
Из формулы B.1) находим р =г -^-.
Подставляя это значение в дифферен-
дифференциальное уравнение A.3) для давления,
получим1
dp g „
Решение этого уравнения имеет вид
р = Се ь , где С должно быть опре-
определено из начального условия. Пусть
р=Ро при /t=0; тогда
р = рое ь . A1.3.1)
Разделив обе части A) на Ь, получим
где р0 — плотность воздуха при h=0
(т. е. на уровне моря). Из формулы A)
видно, что на «характерной высоте»
тт ь
II — — над уровнем моря давление воз-
Ь
духа уменьшается в е раз. Используя
величину Н, формулы A) и B) можно
переписать так:
p = poe-hlH, p = Poe-'"ff. (Н. з.З)
Подсчитаем величину И, пользуясь фор-
формулой Н~ —:
X Ю3 [(сма/с2): (м/с2) = м]« 7,7 км
(это значение Я отвечает средней темпера-
температуре около 20° С).
С увеличением высоты в арифмети-
арифметической прогрессии давление и плотность
уменьшаются в геометрической прогрес-
прогрессии: если h = 0, то р = р0, р = р0; если
h = H, то /> = ^«=:0,368р0, pPrfO,368po;
если /г = 2/7, то /? — -??« 0,135/>0, р^
я^0,135р0; если h='.\H, то р-^=Щ-т
яа0,0ор0> рл^0,05р0 и т. д.
Получим теперь формулу, связываю-
связывающую величину Н с величиной кТ. Мы
знаем, что Н = —; пользуясь форму-
лами B.4) и B.5), находим
„ ,ns RT RT kT
И =z. 10" -rr— — -; , или Н = —.
Mg Amg mg
A1.3.4)
Зная зависимость плотности от вы-
высоты, можно выразить через р0 и Н
полную массу воздуха шл в столбе
с площадью основания 1 м2. Действи-
Действительно,
00 СО
тпл = [ р dh = \ poe-hlHdh.

§ 4. Молекулярно-кинетическая теория распределения плотности
345
Введем новую переменную z^=-jj; тогда
dz-=jjdh,
со
При помощи соотношения т,л= р0Н
подсчитаем (для контроля) еще раз ве-
величину Н. Так как атмосферное давле-
давление равно яаЮ5 Па ( = 105 Н/м2), то
масса воздуха в столбе с основанием 1 м2
давит на землю с силой 105 И, т. е. она
105
примерно равна — яа 10* кг. Таким обра-
ном, /геа = 10* кг/м2. Зная, что ро«=;
^ \ ,'i кг/м3, получим отсюда
Н — ^-- ~ « 7,7 ¦ 103 м = 7,7 км
Ро 1,о
в полном соответствии с прежним рас-
расчетом.
Найдем, наконец, среднюю вы-
высоту h, на которой находится воз-
воздух, т. е. высоту центра тя-
тяжести вертикального цилиндриче-
цилиндрического столба воздуха. Чтобы не вводить
лишних величин, рассматриваем столб
воздуха с основанием 1 м2; однако
ясно, что высота центра тяжести от
площади основания цилиндра не зави-
зависит. Приходящаяся на слой между зна-
значениями h и h-\-dh высоты масса воз-
воздуха равна dm=pdh. Поэтому средняя
высота равна
f hdm j ha (h) dh
j" p (h) dh
о
Вычислим интеграл, стоящий в чис-
числителе. Пользуясь второй из формул C)
и делая затем замену -jj~z, т. е. dh =
= IIdz, получаем .
h?{h)dh =
со
= р/Я j ze-dz =
= (—ze'* — е~г) |» = 1; ср. G.5.19). Окон-
Окончательно находим
П=1Г7Г = Н- (И-3.5)
(ибо в силу формулы интегрирования по
частям
=— ze~
e~*dz =
Таким образом, та высота Н, на кото-
которой плотность и давление воздуха убы-
убывают в е раз, одновременно является и
средней высотой, на которой находится
воздух.
Аналогичный результат получился
раньше, при рассмотрении радиоактив-
радиоактивного распада (§ 8.1): если вероятность
dn _o,i
распада равна со, — _——wn, n = noe ,
1
то за время х = — количество радиоак-
ш
тивного вещества убывает в е раз; при
этом среднее время жизни i радиоак-
радиоактивного атома оказалось равным той же
в еличи не: I = х = —.
ш
Напомним, что простая зависимость
C) плотности и давления от высоты
относится к случаю постоянной темпе-
температуры. В действительности распреде-
распределение плотности и давления несколько
отличается от формулы C) и зависит
от времени года и т. п.
Уп раакнен ия
11.3.1. Найдите давление воздуха в шахте
на глубине 1 км; 3 км; 10 км.
11.3.2. Найдите зависимость давления воз-
воздуха от высоты при температуре воздуха
-40° С; 40° С.
11.3.3. Пусть температура воздуха меня-
йТ
ется при изменении высоты по закону -^ =
— —аТ0, где То —¦ температура воздуха на
поверхности Земли, а — постоянный коэф-
коэффициент. Найдите зависимость давления воз-
воздуха от высоты.
11.3.4. Известно, что в условиях упр. 3
величина «^0,037 -10 см. Определите,
пользуясь результатом упр. 3, давление воз-
воздуха в шахте на глубине 1 км; 3 км; 10 км,
считая, что на поверхности Земли темпера-
температура равна 0° С. Сравните результаты с ре-
результатами упр. 1.
§ 4. Молекулярно-кинетическая теория
распределения плотности
В предыдущих параграфах было най-
найдено распределение плотности воздуха
по высоте при действии силы тяжести
в состоянии равновесия. При этом мы
рассматривали воздух как сплошную

346
Гл. 11. Тепловое движение молекул
среду с данной зависимостью давления
от плотности.
Подойдем теперь к полученному ре-
результату с иной точки зрения, а именно
с точки зрения молекулярной теории.
Будем рассматривать отдельные моле-
молекулы и их движение. Представление
о том, что вещество состоит из отдель-
отдельных атомов, было высказано еще в Древ-
Древней Греции. Однако движение молекул
и связь его с теплотой впервые стал
рассматривать великий русский ученый
М. В. Ломоносов, который является,
таким образом, основателем молеку-
лярно-кинетической теории.
Газообразное состояние отличается
от жидкого и твердого тем, что в газе
молекулы можно рассматривать как не-
независимые, не взаимодействующие
между собой. Движение молекул газа
представляет собой свободный полет по
инерции. Время от времени молекулы
газа сталкиваются между собой. В обыч-
обычных условиях столкновения молекул
между собой происходят чрезвычайно
часто, участки пути, которые молекулы
пролетают от одного столкновения до
другого, весьма малы.
При атмосферном давлении и темпе-
температуре 0° С в 22,4 л газа содержится
1 моль вещества, т. е. 6-Ю23 молекул;
О • 1023
п « —
,24 • 10"-
1 м:! содержится
;2,7 • КJ3 молекул.
Грубо будем рассматривать молекулы
10
м.
как шарики х радиусом около 2-10
Тогда, для того чтобы произошло столк-
столкновение двух молекул, надо, чтобы
траектория центра одной молекулы по-
попала в мишень радиусом 4-Ю0 м во-
воП
круг центра другой молекулы.
5 1
Пло-
Площадь такой мишени о =
5 • 10
Й
\г.
Значит, на пути в 1 м данная молекула
сталкивается со всеми томи молеку-
молекулами, центры которых находятся в ци-
цилиндре с площадью основания5-10 'м2
и длиной 1 м. Объем такого цилиндра
(в м3) равен о и число молекул в нем
равно па, где п ¦— число молекул в 1 м3.
Таким образом, на пути в 1 м моле-
молекула испытывает п а столкновений. По-
Поэтому среднее расстояние свободного
1 В действительности двухатомные моле-
молекулы, например молекулы кислорода или
азота, уместнее представлять себо но как ша-
шарики, а как пары слепленных шаров вроде
арахиса с двумя ядрами в одной скорлупе.
полета от одного столкновения до дру-
другого
Z=— «*7,5 • 1(Г8м.
«а
Эта величина называется длиной свобод-
свободного пробега.
Вследствие столкновений молекула
летит не но прямой, а по ломаной ли-
линии. Однако объем цилиндра, образо-
образованного ломаными, практически не от-
отличается от объема прямого цилиндра,
так что нага расчет сохраняет силу и
здесь.
На самом деле надо еще учесть, что
движется не только рассматриваемая
молекула, но и те молекулы, с которыми
она сталкивается. Можно доказать, что
это обстоятельство мало меняет длину
свободного пробега, а именно умень-
уменьшает ее всего в 1,5 раза, так что далее
мы будем считать, что I « 5-Ю"8 м.
Скорости молекул v в диапазоне обыч-
обычных жизненных температур имеют
порядок величины 300—500 м/с. Сле-
дователько, время свободного про-
пробега, т. е. среднее время от одного стол-
столкновения до другого, будет порядка
с.
На первый взгляд величины I «
лз 5-10"8 ми i кз 10~10 с очень малы.
Однако их надо сравнить с размером
молекулы радиуса г я» 2 • 10~10 м,
и с длительностью самого столкно-
вения, которая
меньше —,
10-1з
т. е. имеет
величину порядка W 1О с. Из этого
сравнения видно, что молекулы газа
редко сталкиваются одна с другой:
при атмосферном давлении молекулы
99,9% времени проводят в полете и
лигаъ 0.1 % времени находятся в состоя-
состоянии столкновений.
Столкновения молекул между собой
в газе не влияют па давление газа и не
влияют на закон распределения плот-
плотности газа в атмосфере. Подтверждение
этого заключается в законах Бойля—
Мармотта и Клапейрона. В § 2 эти
законы были записаны в виде р = пкТ.
Давление газа зависит от числа моле-
молекул в единице объема, но радиус моле-
молекул г и нх сечение з не входят в фор-
формулу. Значит, величины г и о не могут
войти и в формулу распределения плот-
плотности по высоте.

§ 4. Молекулярно-киветичесвая теория распределения плотности
347
Перепишем формулу распределения
плотности C.2), выразив Ъ через моле-
ЦТ
кулярные величины. Так как Ъ-= 103-дт- =
М-Т кТ
- -.— -=— , то
Лт т
fjh и gh
? --^„'ГТ=?/ "**" (Н.4.1)
fi-p. C.3), C.4)).
Разделим обе части формулы A) на т,
где m обозначает массу одной молекулы.
"Ла:,:(чч).м, что ~ -п — число молекул
I! i';i!ii!ii:;n об'Ы'ма па высоте /.', — ~г-п0 —
'inr.Ki мо.'екч .'I в однлнце о5'ь>;*мл на
\ ;)<ж1ге моря. Формула A) принимает
ТОПО])Ь ВИД
п---пое~'сТ . A1.4.2)
Величина mgh есть потенциальная
энергия молекулы "массы т, находя-
находящейся па высоте h, если за нуль принять
потенциальную энергию молекулы на
уровне моря: ведь потенциальную энер-
энергию молекулы и @) на уровне моря
можно выбрать произвольно (см. § 9.2).
Тогда
откуда
mgh = и (h) — и @).
Формулу B) можно теперь записать
так:
Найдем среднее значение
потенциальной энергии молекулы:
п = mgh = mgh = mgH
(см. формулу C.5)). Пользуясь форму-
формулой C.4), получим
а = mgH = mg — =kT.
Итак, средняя потенциальная энергия
одной молекулы равна кТ.
Мы установили, что распределение
молекул воздуха в атмосфере зависит
от температуры и потенциальной энер-
энергии молекул. Однако при данной сред-
средней потенциальной энергии п, равной
кТ, разные молекулы имеют разную
потенциальную энергию: данному зна-
значению й отвечает определенное распре-
распределение молекул по потенциальной энер-
энергии. Часть молекул, а именно те из
них, которые находятся на высоте,
меньшей Н, имеет потенциальную энер-
энергию, меньшую, чем кТ. Найдем отно-
отношение числа таких молекул к общему
числу молекул. Это отношение равно
mgh
_
а (к) = п @) е кТ .
Это — закон распределения числа моле-
молекул по высоте. Ему можно придать сле-
следующий вид:
п (Л) = Be kT ,
где В есть константа, определяемая по
значению плотности на уровне моря
(h=0):
«@)
n@)=--Be~~w.
Замечательно то обстоятельство, что
плотность молекул на той или иной вы-
высоте зависит только от потенциальной
энергии молекул в данном месте: масса
молекулы пг, ускорение свободного па-
падения g и высота h вошли в формулу B)
как раз в том сочетании (mgh), в кото-
котором они входят в выражение для потен-
потенциальной энергии и.
Подсчитаем входящие сюда инте-
интегралы:
1 — — кТ ~
mgh
кТ
кТ
те
mgh
кТ
mg
A
mgh
kT
mg
kT
mg
-
—е
кТ
mg
Таким образом, 63% всех молекул
имеют потенциальную энергию меньше
средней, а 37 % имеют потенциальную
энергию больше средней. При этом не-
нетрудно подсчитать, что потенциальную
энергию больше 2кТ имеют 14% моле-

348
Гл. 11. Тепловое движение молекул
кул, а больше 3/сГ — только 5% всех
молекул и т. д. Вообще доля молекул,
имеющих потенциальную энергию,
большую данной величины и, равна
е~и'1:Г. Этот вывод является очень об-
общим — он относится и к кинетической
энергии молекул, чему будет посвящен
следующий параграф.
§ 5. Броуновское движение и распре-
распределение молекул по кинетической
энергии
Более ста лет назад английский бота-
ботаник Браун (или Броун, как у нас при-
принято писать эту фамилию) заметил, что
взвешенные в воде или в иной жидкости
мельчайшие видимые в микроскоп пы-
пылинки находятся в непрерывном дви-
движении. Эйнштейн высказал предполо-
предположение, что это движение пылинок пред-
представляет собой их тепловое движение.
Отсюда, в частности, следовал вывод,
что пылинки не будут все лежать на
а б
2
8 ,.
г
Рис. 11.5.1
дне сосуда, а будут распределены по
высоте по такому же закону, по кото-
которому распределены молекулы.
Если пылинка имеет форму шара диа-
диаметром d=5-10 м, то ее объем равен
-^-г-«6,5 - 1СГ20 м3, и при плотности
р=2 • 103 кг/м3 масса пылинки близка
к 1,3«10~1в кг. Необходимо, однако,
учесть еще и закон Архимеда! Масса
вытесненной пылинкой воды (плотность
103 кг/м3) равна половине массы самой
пылинки —• и с учетох1 этого обстоя-
обстоятельства действующая на частицу сила
тяжести отвечает половине ее массы,
т. е. примерно 6,5 • 10~17 кг. При ком-
комнатной температуре Jr==17° C=290 К.
такие пылинки распределены по высоте
(согласно формуле D.2)) по закону
п
6,5 • 10-17 • 9,8 \
или га=гаое-1'° ¦105/i. Таким образом,
число пылинок в единице объема умень-
уменьшается в е раз при увеличении высоты
на величину -г-т.—г^м?«0,62 • 10~5м.
Наблюдая распределение по высоте
пылинок известного размера и плот-
плотности, можно получить значение по-
постоянно ! Больцмана к. С другой сто-
ропы, .чакон Клапейрона дает величину
Д = /сЛ, что позволяет найти число
V; !::д; .1. Эта работа, проведенная Эйн-
штештом и Перреном в 1903—1907 гг.,
яит1лго!> важнейшим эксперименталь-
экспериментальным подтверждением всей атомно-моле-
кулярной теории и сыграла огромную
роль в развитии физики.
При движении молекул иод действием
силы тяжести все время происходит
превращение энергии: если молекула
в данный момент движется вниз, то
потенциальная энергия переходит в ки-
кинетическую; если же молекула дви-
движется вверх, то кинетическая энергия
переходит в потенциальную. Когда газ
находится в состоянии равновесия, т. е.
давление газа уравновешивает силу тя-
тяжести, то в действительности молекулы
газа движутся хаотически с большими
скоростями. Однако, если мысленно вы-
выделить в газе какую-нибудь горизон-
горизонтальную плоскость, то число молекул,
проходящих за единицу времени через
эту плоскость снизу вверх, будет равно
числу молекул, проходящих за то же
время сверху вниз, так что в среднем
газ покоится. В состоянии равновесия
переходы кинетической энергии в по-
потенциальную и потенциальной энергии
в кинетическую взаимно уравновешены,
так как число молекул, двигающихся
вверх, примерно равно числу молекул,
двигающихся вниз.
Отметим, что при хаотическом движе-
движении отдельные (одинаковые) молекулы
имеют различные скорости, т. е. различ-
различные кинетические энергии. Действи-
Действительно, если сталкиваются между собой
два шарика, скорости которых равны
по величине, но направлены под углом
одна к другой, то после столкновения
скорости шариков могут стать различ-
различными. На рис. 1 показан пример столк-
столкновения, после которого один шарик,
летящий слева, останавливается, а дру-
другой, двигающийся снизу, движется
с удвоенной энергией (а — шарики до
столкновения, б — в момент столкно-
столкновения, в — после столкновения). Обра-
Обратите внимание на то, как расположены
шарики в момент столкновения: если бы
второй шарик во время столкновения
был расположен ниже первого, то он

§ 6. Скорости химических реакции
349
остановился бы, отдав всю энергию
первому шарику.
Так как при движения молекул про-
происходит взаимное превращение кинети-
кинетической и потенциальной энергий, то
естественно предположить что распре-
распределение молекул по кинетической энер-
энергии похоже на их распределение по по-
потенциальной энергии.
Приведем без доказательства резуль-
результат расчетов, проделанных в конце
XIX в. Максвеллом и Больцманом.
Число молекул, имеющих составляю-
составляющие скорости вдоль оси х между vx и
vx-\-dvx, вдоль оси у между vy и vy-{-
-\-dvy и вдоль оси z между г;, и vz~\-dv2,
равно
j «о
B-пкТ/т
X dvxdvydvz,
-охр —
т г г, - - г--
2кТ
X
A1.5.1)
где щ — полное число молекул, m —
масса одной молекулы. Отметим, что
vxJrv2-\-vlz=vi, где v — скорость моле-
молекулы. Поэтому A) в показателе степени
mv~ . _
содержит величину —т— : к! , т. е.
отношение кинетической энергии к по-
потенциальной. Средняя кинетическая
энергия, подсчитанная согласно за-
закону A), оказалась равной —^- кТ.
Для числа молекул п, кинетическая
энергия которых больше заданной ве-
величины Е, получилась довольно слож-
сложная зависимость. Однако эта сложная
зависимость приближенно может быть
описана простой формулой
п ^ пое-Е1кТ. A1.5.2)
Из закона B) получается неверное
значение средней кинетической энергии
молекул
jndE
Е =
вместо -х- кТ. Этот закон дает заметные
отклонения от истинного, если Е есть
величина порядка кТ. Однако при Е ^>
^> кТ расхождение между точным и
приближенным законами становится не-
несущественным.
Отметим, что при одинаковой темпе-
температуре молекулы с различными массами
имеют равные средние кинетические
энергии и одинаково распределены
по величине кинетической энергии, так
как средняя скорость молекулы про-
1
порцпошичьна -—, где гп — масса мо-
V 1:1
л е культ.
Рассматривая столкновения молекул
со стенками сосуда, можно найти дав-
давление газа; оно оказывается равным
¦>
Р-- у «О^'ккн-
Полагая здесь Ёкт-=— кТ, получим за-
закон Клапейрона
р = покТ.
При столкновении молекул между
собой происходит не только обмен ки-
кинетическими анергиями между молеку-
молекулами, но и превращение кинетической
энергии движения молекул в энергию
вращения молекулы, а также в энер-
энергию колебаний атомов в молекуле, т. е.
во внутреннюю энергию молекулы. Воз-
Возможен и обратный процесс, когда при
столкновении часть внутренней энергии
молекул переходит в кинетическую
энергию. Поэтому естественно, что и
распределение молекул по величине их
внутренней энергии W также подчи-
подчиняется закону пропорциональности
числа молекул с энергией W величине
е-1Г/7.-'/. экспоненциальная зависимость
числа частиц, обладающих той или
иной энергией, от величины энергии
является универсальным законом при-
природы.
§ 6. Скорости химических реакций
Для чего нужен закон распределения
молекул по кинетической энергии? Та-
Такие важные характеристики газа, как
его давление на стенки сосуда, тепло-
теплоемкость, общий запас энергии в объеме
газа, являются средними величинами.
Поэтому они определяются той наиболь-
наибольшей частью молекул, энергия которых
близка к среднему значению энергии.
Для чего же нам нужно знать, напри-
например, что есть ничтожная доля (порядка
0,00001%) молекул, кинетическая энер-
энергия которых больше 17 кТ? Ведь эти
отдельные молекулы с очень большой
энергией на величину давления и на
общий запас энергии газа практически
не влияют.

35A
Гл. 11. Тепловое движение иолекул
Картина, однако, меняется, если рас-
рассматривать химические реакции. Ока-
Оказывается, что именно эти редкие моле-
молекулы с большой энергией полностью
определяют ход химических реакция.
Загадка химических реакций заклю-
заключается в toms что молекулы, вступаю-
вступающие в реакцию, сталкиваются, между
собой каждые 10~10 с, а между тем реак-
реакция часто требует нескольких минут
(а иногда и часов) для своего заверше-
завершения. Значит, только редчайшая часть
всех столкновений приводит к химиче-
химической реакции.
Высказывались предположения, что
у молекул есть какое-то очень малень-
маленькое «чувствительное место», в которое
нужно попасть, чтобы произошла реак-
реакция. Эта точка зрения похожа на ле-
легенду о греческом герое Ахиллесе,
единственным уязвимым местом кото-
которого была пятка.
Однако правильное объяснение, ко-
которое дал в конце XIX в. шведский
ученый Сванте Аррениус, заклю-
заключается в том, что к реакции приводят
только столкновения молекул, энергия
которых превышает определенное зна-
значение, так называемую энергию акти-
активации Ел.
Когда, например, сталкиваются мо-
молекулы водорода и иода и образуются
две молекулы йодистого водорода, то
нужно, чтобы энергия сталкивающихся
молекул была больше 3 • 10~19 Дж.
Для сравнения отметим, что при 0° С
величина /с7'=1,38-10-33-273 «3,8Х
'' 10~21 Дж. Таким образом, при ком-
комнатной температуре (или при темпера-
температуре 0° С, имеющей тот же порядок ве-
величины) нужной энергией обладает
лишь ничтожная часть молекул a=e~v,
где v=3-10-10/3,8-10-21 ?^80, откуда
получим а як: 1/1035.
Время релаксации получим, умно-
умножая время между двумя столкнове-
столкновениями (величина порядка 10~10 с) на то
среднее число столкновений, среди ко-
которых встретится одно столкновение
с нужной энергией. Это среднее число
столкновений имеет порядок величины
—, т. е. близко к 1035. Получим время
реакции при 0° С порядка 1025 с «=:
«йЗ-1017 лет. Этот результат согла-
согласуется с тем фактом, что при 0° С
реакция H2-f-I2=2HI практически не-
наблюдаема.
Из приведенных соображений сле-
следует, что в зависимости от температуры
время реакции выражается формулой
где т — время между двумя столкнове-
столкновениями, Е% — энергия активации. Эта
формула правильно описывает зависи-
зависимость скорости химических реакций от
температуры. Характерная особенность
формулы — крайне резкое уменьшение
времени реакции я увеличение скорости
реакции при небольшом изменении тем-
температуры.
Часто, однако, в химических реак-
реакциях дело обстоит гораздо сложнее,
потому что реакция может иметь раз-
различные промежуточные стадии.
В качестве примера рассмотрим реак-
реакцию
Эта реакция идет не путем столкнове-
столкновений молекул водорода с молекулой
хлора, а по схеме
H3-f GI2=H2-fCJ 4-Cl,
Cl-f IJ2 = HCI -f- H,
H-f-Gla=HCI+Gl.
В результате для фактически наблю-
наблюдаемой скорости реакции получаются
сложные зависимости. Однако для каж-
каждой отдельной реакции, например для
С1 -f- Н2 — HCI -f H (в реакции Н24-
имеет место закон Аррениуса — ско-
скорость реакции пропорциональна
е-Еф;т^ причем величина энергии ак-
активации Ел имеет различное значение
для каждой реакции.
Советскому ученому академику Н. Н.
Семенову принадлежит заслуга всесто-
всестороннего исследования сложных (цеп-
(цепных) химических реакций, выяснения
законов протекания таких реакций и
общих причин, приводящих к протека-
протеканию реакции по сложной схеме.
§ 7. Испарение. Ток эмиссии катода
Идея Сванте Аррениуса о роли относи-
относительно малого числа молекул, энергия
которых намного превосходит среднее
значение энергии, помогает разобраться
не только в химических реакциях, но и

§ 7. Испарение. Ток эмвееии катода
351
в ряде других явлений. К таким явле-
явлениям относится испарение жидкости.
Для испарения жидкости нужно за-
затратить значительную энергию. Так,
например, для испарения 1 г воды
при 100° С нужно затратить 1 около
2260 Дж. На одну молекулу это
18 • 2260
составляет2 Q~~ —-,—туй—~ 7 • 10~2оДж.
Но при Т = 0° С = 273 К кТ^ 3,8 X
О
X 10"
поэтому
20. Оторваться
от поверхности жидкости и испариться
могут лишь те молекулы, энергия кото-
которых превышает теплоту испарения Q;
доля таких молекул равна e~'^liT. По-
Поэтому и скорость испарения пропор-
пропорциональна е-1''11-7. Заметим, что для
удобства расчетов принято умножать
числитель и знаменатель выражения
тт- на число Лвогадро
/1:
Q
17F
QA
Тат
о л
Величина ОА есть теплота испарения
6-Ю23 молекул, т. е. теплота испарения
1 моля вещества. Величина kA~R
есть универсальная газовая постоян-
постоянная: R «s 8,3 Дж/(град-моль) (см. § 2).
Теплота испарения \ моля воды равна
Qx г-ъ 18 ¦ 2260 л.- 40 000 Дж/моль.
Таким образом, скорость испарения
воды пропорциональна
¦•A ()!)(.' ,",00A
е ь-"т та е ''" .
Рассмотрим насыщенный пар над по-
поверхностью воды. Поскольку пар яв-
является насыщенным, число молекул
воды, испаряющихся в единицу вре-
времени, равно числу молекул, находя-
находящихся в паре и прилипающих к поверх-
поверхности воды (конденсирующихся) в еди-
единицу времени. Скорость пепаренпя
равна Ci.'-^-'!"T, где С — постоянная ве-
величина, пропорциональная площади по-
поверхности воды. Скорость конденсации
пропорциональна давлению паров воды
и также пропорциональна площади по-
поверхности воды. Следовательно, в слу-
1 Теплота испарения мало зависит от тем-
температуры: для воды (^ = 2260 Дж/г при 100° С
и 2500 Дж/г при 0° С. В дальнейшем мы отой
зависимостью пренебрегаем.
2 Относительная молекулярная масса воды
равна 18; число Авогадро равно 6-1023.
чае насыщенного пара, когда скорости
испарения и конденсации равны:
Dp = Се-1к1ит,
где D и С — величины, пропорциональ-
пропорциональные площади поверхности, слабо зави-
зависящие от температуры и совсем не зави-
зависящие от давления, откуда
р = Fe-^I!T,
где постоянная F не зависит от площади
поверхности воды. Таким образом уста-
устанавливается связь между давлением на-
насыщенного пара и теплотой испарения.
Рассмотрим еще один процесс, похо-
похожий на испарение, — испускание элек-
электронов нагретой поверхностью. Этот
процесс осуществляется на катоде ра-
радиоламп. Холодный катод в пустоте
не испускает электронов 3. Однако при
высокой температуре катод испускает
электроны. При этом если на анод
подан достаточно высокий положитель-
положительный потенциал, то анод притягивает
электроны, и каждый электрон, отор-
оторвавшийся от поверхности катода, по-
попадает па анод. Электрический ток,
протекающий в цепи через радиолампу,
равен произведению числа электронов,
испускаемых катодом в единицу вре-
времени, на величину заряда электрона.
Опыт показывает, что в этих усло-
условиях имеет место следующая зависи-
зависимость силы тока j от температуры:
Величина Q для различных катодов
различна. Например, для катода из
чистого вольфрама -7-=-55 000°, для
катода ii;s окиси бария —г- -30 000°, и,
следовательно, такой катод может ра-
работать при более низкой температуре.
По зависимости / от Т можно опреде-
определить отношение —г~. При этом вели-
величина Q, которая входит в последнюю
формулу, совпадает с энергией, необ-
3 Мы здесь не рассматриваем случай очень
сильного электрического ноля A0е В/см и
больше), способного вырвать электроны даже
из холодного катода. Не рассматривается
также выбивание электронов из катода дей-
действием спета или бомбардировкой катода элек-
электронами, ионами или другими частицами.

352
Гл. 11. Тепловое движение молекул
ходимой для того, чтобы вырвать элек-
электрон из катода 4.
Радиолампа дает замечательный спо-
способ измерения распределения по ско-
скоростям электронов, вылетающих с по-
поверхности катода при данной темпера-
температуре. Для этого при нагретом катоде
дадим на анод небольшой отрицатель-
отрицательный потенциал ср. При таком потен-
потенциале анод отталкивает электроны, ис-
испускаемые катодом. Поэтому большая
часть электронов, не долетев до анода,
повернет назад и упадет обратно на ка-
катод. Однако будут и такие электроны,
которые все-таки попадут на анод, пре-
преодолев его отталкивание. Для этого
нужно, чтобы кинетическая энергия
электрона, вылетевшего с катода, пре-
превосходила разность потенциальной
энергии у анода и у катода, т. е. вели-
величину еср, где под е понимается заряд
электрона (ведь буква е у нас, к сожа-
сожалению, занята!). Доля этих электронов
равна е"е^1'сТ. Таким образом, при от-
отрицательном потенциале анода у ток
равен 7=/об~Е'р№ЗГ? гДе /о есть ток при
положительном потенциале. При осу-
осуществлении опыта необходимо, чтобы
расстояние между катодом и анодом
4 Энергия, необходимая для вырывания
электрона, может быть определена другими
способами.
было мало, для того чтобы количество
электронов между ними не было ве-
велико и взаимное отталкивание элек-
электронов не повлияло на результат опыта.
Советский ученый академик А. Ф.
Иоффе предложил использовать это яв-
явление для прямого превращения тепло-
тепловой энергии в электрическую. Если
электроны идут с катода на отрица-
отрицательно заряженный анод, то в целом
такая система является источником на-
напряжения: во внешней цепи между от-
отрицательно заряженным анодом и поло-
положительным катодом ток имеет такое
направление, что он совершает работу.
Такой способ получения электрического
тока замечателен отсутствием каких бы
то ни было движущихся частей,
принципиальной простотой схемы:
в этом отношении он похож на получе-
получение электроэнергии при помощи термо-
термоэлементов, также осуществленное А. Ф.
Иоффе. В настоящее время полупровод-
полупроводники, в которых свободные электроны
имеются уже при комнатной темпера-
тУРе> успешно заменили радиолампы
в приемниках и вычислительных маши-
машинах. Однако накаленный катод, испу-
испускающий электроны по описанному
выше закону, до сих пор остается су-
существенной частью телевизионной
трубки.

Глава 12
ПОГЛОЩЕНИЕ И ИЗЛУЧЕНИЕ СВЕТА.
ЛАЗЕРЫ
§ 1. Поглощение света (постановка за-
задачи и грубая оценка)
Рассмотрим поглощение света в воз-
воздухе, содержащем черные пылинки сажи.
Пусть в единице объема содержится N
пылинок. Площадь сечения одной пылин-
пылинки плоскостью, перпендикулярной к лу-
лучу света, обозначим через а; кратко <з
будем называть просто сечением. Так,
например, для пылинки, представляющей
собой шар радиуса г, сечение о есть
площадь фигуры, по которой пере-
пересекает шар плоскость, проходящая че-
через его центр, т. е. о = тсг2 1.
Будем считать, что свет, попадающий
на поверхность пылинки, полностью
поглощается. Задача заключается в оп-
определении зависимости доли поглощен-
поглощенного света и доли прошедшего света от
величин N, а и длины пути х, которую
луч света прошел через воздух, содер-
содержащий пыль.
Начнем с самой грубой оценки того
пути, на котором происходит поглоще-
поглощение значительной доли света. Эту длину
обозначим через L. Что именно озна-
означает многозначительное выражение
«значительная доля света» мы разбе-
разберем в следующих параграфах. Не бу-
будем смущаться нечеткой постановкой
вопроса, достаточно обычной в физиче-
физических задачах, где сплошь и рядом уточ-
уточнение задачи происходит позднее, в про-
процессе ее решения.
Рассмотрим цилиндр с площадью ос-
основания S и образующей длины L.
Потребуем, чтобы сумма сечений всех
заключенных в цилиндре пылинок рав-
равнялась S.
1 Для пылинок сложной формы точное оп-
определение сечения о таково: о есть средняя
площадь тени, отбрасываемой пылинкой на
поверхность, перпендикулярную к лучу света.
При этом среднюю величину площади опре-
определяют, производя измерения площади тени
при различных ориентациях пылинок отно-
относительно направления луча света, причем
плоскость, на которую падает тень пылинки,
при всех измерениях считается перпендикуляр-
перпендикулярной лучу.
Каков физический смысл поставлен-
поставленного условия? Если бы можно было
разместить пылинки так, чтобы закры-
закрытые разными пылинками площади не
перекрывались, то при помощи пыли-
пылинок, находящихся в цилиндре длины L
с площадью основания S, можно было
бы закрыть все основание цилиндра
и достичь полного поглощения всего
света. При х <^ L полное поглощение
света будет заведомо невозможно: как
ни располагай пылинки, все равно их
окажется недостаточно для того, чтобы
обеспечить полное поглощение света.
Ясно, что на самом деле при x=L и
даже при х ^> L полного поглощения не
будет: при случайном расположении
пылинок при любом х могут оста-
оставаться такие направления, вдоль кото-
которых не окажется ни одной пылинки, и
лучи света свободно пройдут по этим
направлениям.
В объеме V=SL цилиндра содержится
NSL пылинок, сумма их сечений равна
aNSL; значит, мы требуем, чтобы было
cNSL = S,
откуда
L/
1
A2.1.1)
Проверим размерность в A): о есть
площадь, ее размерность см2; N есть
число пылинок в единице объема, раз-
мерность —з~ • Следовательно, [L ] ¦=
СМ
= —5 5 = см, как и должно быть.
см2 • см~а '
Энергия, которую свет переносит че-
через какую-нибудь площадку за 1 с,
называется потоком энергии света.
Пусть / есть поток энергии света, пе-
переносимой через площадку в 1 м2. Эта
величина называется плотностью по-
потока энергии, ее размерность Дж/м2>с.
Ниже мы будем рассматривать плот-
плотность потока световой энергии / (х)
в зависимости от толщины слоя х.
Ясно, что
I(x) = Iof(x), A2.1.2)

354
Гл. 12. Поглощение и излучение света. Лазеры
где 10 есть энергия падающего света,
/ (х) — искомая функция, характери-
характеризующая ослабление света.
Что можно сказать о свойствах функ-
функции / (х)? Если х=0, то ослабления
света еще не произошло, / @)=/0; по-
поэтому / @) = 1. Если х > 0, то происхо-
происходит ослабление света, т. е. / (х) <^ 10;
поэтому / (х) <С 1. При этом ясно, что
с увеличением х функция / (х) умень-
уменьшается, стремясь к нулю, т. е. / (х) —
убывающая функция. Значит, ее
производная отрицательна: -т—<^0.
Мы говорили, что полного поглоще-
поглощения не будет ни при x=L, ни при
х 2> L; поэтому мы не ждем, чтобы / (х)
обратилась в нуль при x=L. Однако
можно предполагать, что величина x=L
является характерной длиной. Это зна-
значит, что при прохождении светом пути
х <^ L доля поглощенного света весьма
мала по сравнению с долей прошедшего
света; при прохождении пути х« L
поглощается заметная часть света, а при
прохождении пути x°S>> L большая часть
света поглощается, проходит только
весьма малая часть света.
Функция / (х), как видно из фор-
формулы B), безразмерна. Можно на-
надеяться, что если ввести безразмерную
переменную -у-, то функция /(у
дет всегда одинакова для любых пыли-
пылинок, любых N и о. Эти предположения
будут подтверждены п уточнены в сле-
следующих параграфах.
§ 2. Уравнение поглощения и его ре-
решение
Все расчеты мы по-прежнему ведем
для столба воздуха в виде цилиндра
с площадью основания 1 м2 (в преды-
предыдущем параграфе рассматривался ци-
цилиндр с площадью основания S м2, но
в формуле A.1) величина S все равно
сократилась). Рассмотрим тонкий слой
воздуха, отвечающий участку цилиндра
между значениями х и x-\-dx его длины.
Пучок света состоит из параллельных
лучей и характеризуется плотностью
потока энергии /. Если бы не было
поглощения света пылинками, вели-
величина / была бы постоянной.
В рассматриваемом слое содержится
Ndx пылинок, которые, если их тени
не перекрываются, что при малом dx
бу-
бувполне правдоподоош), покрывают
часть oNdx полной площади 1 м2 осно-
основания слоя. Следовательно, в слое по-
поглощается доля aNdx энергии, падаю-
падающей на слой: dQ-=INodx. При про-
прохождении светом слоя dx поток энергии
света уменьшается на величину, равную
количеству dQ поглощенной энергии.
До входа в слой плотность потока энер-
энергии была I (х), а после выхода из слоя
она стала / (x-\-dx); поэтому
A2.2.1)
Но / (x-\-dx) — / (х) «^ dl; поэтому из
A) следует
dl
A2.2.2)
= —INg.
Решение этого дифференциального урав-
уравнения, как мы знаем, имеет вид
1 = 10е-аХс A2.2.3)
(ср. с формулами F.6.10) и F.6.9); см.
также гл. 8). Здесь /0=^ @) есть зна-
значение плотности потока энергии при
х=0.
При увеличении толщины слоя
в арифметической прогрессии х1 = а,
х2=2а, х3=3а и т. д. сила света умень-
уменьшается в геометрической прогрессии.
В самом деле, обозначая е-'Л'"=а (где,
конечно, а <С 1), найдем, пользуясь C):
/ (,т3) =
и т. Д.
§ 3. Соотношение между точным п гру-
грубым расчетами поглощения
Весьма поучительно теперь, располагая
и точным решением (§ 2) и грубой оцен-
оценкой (§ 1), сравнить их. Такое сравнение
помогает пользоваться грубыми оцен-
оценками в сложных задачах, где точное ре-
решение найти трудно: сравнение помо-
помогает попять границы применимости гру-
грубого решения (ср. с § 10.6).
При грубом решении мы нашли
длину, на которой происходит значи-
, 1
тельное поглощение: ь = -^т~.
При помощи «характерной длины» L
точное решение B.3) можно выразить
так:
X
1=^1йе~ь. A2.3.1)
Значит, полностью подтверждается
предположение, что найденная грубым

§ 3. Соотношение между точным и грубым расчетами поглощения
355
рассуждением величина L входит в точ-
точное решение.
Действительно, точное решение имеет
вид
где (ср. A)) /(?)-е-"'<.
Рассмотрим длину x=L. Грубое рас-
рассуждение давало на этой длине полное
поглощение света. На самом деле из
точного решения A), полагая в нем
x = L, находим 1=10е'1 т 0,37/0, т. е.
при длине L цилиндра проходит 37%
света, а поглощается, следовательно,
63 % . При малых -^- выразим e~XIL по
приближенной формуле е~и та \ — и
(см. § 4.8), сохраняющей лишь первые
два члена разложения е~~" в ряд (ср.
§ 6.1); мы получим
; 1
X
Т'
A2.3.2)
Геометрически это соответствует замене
кривой y = e~x'L на касательную к этой
кривой в точке х=0 (рис. 1). Как
видно из B), касательная пересекает
ось х при x = L. Поэтому если бы погло-
поглощение происходило с одинаковой ско-
скоростью, т. е. так, что на каждой единице
длины поглащалось бы одинаковое ко-
количество света, а именно столько же,
сколько в начале пути, то весь свет
был бы поглощен на длине x=L.
Таким образом, величина L, полу-
полученная грубым рассуждением, действи-
действительно имеет важнейшее значение и
в точном решении.
Подчеркнем еще раз, что умение на-
находить (и применять) неточные, «при-
кидочные» решения очень важно в прак-
практической работе любого физика или ин-
инженера, — и надо всячески развивать
умение быстро (так сказать, «прикид-
«прикидкой») находить приближенное решение
задачи, тренироваться в нахождении и
понимании таких решений: это гораздо
важнее и плодотворнее выпячивания
недостатков грубых решений. Будем ра-
радоваться тому, что совсем простая при-
прикидка дает 100% поглощения там, где
точное решение указывает, что погло-
поглощение равно 63%, т. е. что наша при-
прикидка дает ошибку всего в 1,5 раза.
(Конечно, такой же приближенный под-
подход при x^=L дает 0% прохождения
«вета вместо точного значения 37 %,
т. е. уменьшает прохождение света
в бесконечное число раз, но и это не
беда, так как здесь заранее было по-
понятно, что от грубого решения нельзя
ждать хорошей точности и «0% про-
прохождения света» надо воспринимать
лишь как указание на значительное его
поглощение.)
Если установлено, что задача не
имеет точного решения в виде явной
формулы, то на этом никак нельзя
останавливаться. Надо стараться оты-
отыскать хотя бы очень грубое решение
задачи (не забывая, конечно, при
пользовании им, что это не точное^
Рис. 12.3.1
а только приближенное, «прикидочное»
решение).
Остановимся еще на вопросе о раз-
размерностях. Размерность величины
L = -jrf- мы проверили и установили,
что это длина. Часто оказывается
возможным найти приближенное выра-
выражение интересующей нас величины, зная
только ее размерность и размерность
исходных величин, входящих в условие
задачи х. Однако в данном случае это
невозможно. Действительно, величину,
имеющую размерность длины, можно
построить исходя из одной только кон-
/ 1 \ 1
центрации N (—з"): l\ = гр=- • (Величина
Zx представляет собой среднее расстоя-
расстояние между частицами.) Величину, имею-
имеющую размерность длины, можно по-
построить также исходя из сечения о (м2) :
12=\J<3 (величина /2 характеризует
средний размер частицы). Очевидно,
что величина la — ljll~a при любом
значении показателя степени а также
имеет размерность длины. В частности,
интересующая нас величина / полу-
получается при а=3.
1 В этом заключается так называемый ме-
метод размерностей (или теория размерности);
такой подход имеет широкие применения в фи-
физике, механике и технике.

356
Гл. 12. Поглощение и излучение света. Лазеры
Таким образом, в рассмотренной за-
задаче соображения размерности не при-
приводят к определенному ответу. Для
того чтобы найти L, т. е. величину раз-
размерности длины, входящую в точное
решение, оказывается необходимым
найти именно грубое решение задачи.
Но даже в тех случаях, когда сообра-
соображения размерности дают единст-
единственный ответ на вопрос, жела-
желательно также найти грубое решение за-
задачи, чтобы яснее представить картину
явления.
Отметим, наконец, что расчеты § 2
основывались на предположении о слу-
случайном распределении пылинок при за-
заданной средней их концентрации. Мы
предполагаем, что на входе (при х=0)
поток энергии q0 строго одинаков по
всему сечению. Однако после того как
свет прошел определенную длину х,
в воздухе, содержащем пылинки, строго
говоря, появились участки сечения (об-
(общей площадью S^, на которые упала
тень от пылинок (и там д=0); остались
также незатененные участки общей пло-
площадью S2, где q=q0 (при этом 51Н-52 =
= S, ибо общая площадь постоянна).
Величина, которую мы вычисляем, есть
поток, усредненный по всей поверх-
поверхности:
air\— giA _ go ^2
При расчете изменения q по длине су-
существенно предположение, что пы-
пылинки, находящиеся в слое между х и
x^dx, распределены в этом слое слу-
случайно, т. е. не предпочитают специально
освещенные или затемненные участки.
Продумайте сами вопрос о том, как
изменится функция q (x), если пылинки
размещены в воздухе стройными ря-
рядами, как атомы в кристалле.
§ 4. Эффективное сечение
В задаче об ослаблении света, проходя-
проходящего через воздух с пылью, величина а
имеет простой геометрический смысл
площади тени одной пылинки. Закон
ослабления света B.2) одинаков для
света различной длины волны (т. е.
разного цвета), так как величина о
от длины волны не зависит.
При поглощении света отдельными
молекулами и атомами, напротив, наб-
наблюдается сильная зависимость закона
ослабления света от длины волны света.
Так, например, в чистом воздухе при
атмосферном давлении видимый свет
практически совершенно не ослабляется
(ослабление составляет меньше 1 % на
пути 1 км, соответственно ослабление
в е раз происходит на пути около
100 км). Ультрафиолетовые лучи с дли-
длиной волны 1,8-10~7м = 1800 А1 ослаб-
ослабляются в е раз на пути L=0,001 м =
= 0,1 см. Еще более короткие ультра-
ультрафиолетовые лучи, с длиной волны
1,1- 10~б см=1100 А, ослабляются в е
раз на пути //=0,01 см.
Следовательно, поглощение света воз-
воздухом не похоже на поглощение света
черной пылинкой, одинаково погло-
поглощающей свет с любой длиной волны.
Количество световой энергии q, по-
поглощаемое одним атомом в единицу вре-
времени, пропорционально плотности по-
потока световой энергии / в том месте,
где находится атом:
д = а/. A2.4.1)
Здесь о есть коэффициент пропорцио-
пропорциональности. Определим размерность а.
Размерность q есть Дж/с. Размерность
потока энергии / есть Дж/(м2-с). Сле-
Следовательно, размерность о есть м2. Ве-
Величина о называется эффективным се-
сечением. Для черной пылинки коэффи-
коэффициент а совпадает с геометрической
величиной — площадью тени. Для мо-
молекул и атомов а сильно зависит от
длины волны света.
Грубо можно так представить себе
причину этой зависимости. Количество
поглощаемой атомом энергии при воз-
воздействии на него света оказывается
особенно большим, когда частота све-
световых колебаний совпадает с частотой
движения электронов в атоме. При этом
имеет место явление резонанса, элек-
электрон колеблется особенно сильно и по-
поглощает особенно много световой энер-
энергии.
Такой резонанс достигается, напри-
например, при поглощении атомами натрия (в
парообразном состоянии) желтого света
с длиной волны 5890 А = 5,89-10~7 м.
Точно такой же желтый свет
испускают атомы натрия при более вы-
высокой температуре, когда колебание
1 А — ангстрем, 1 А=10 10 м.

§ 5. Ослабление потока заряженных частиц а- и р-лучей
357
электронов вызывается сильными столк-
столкновениями атомов между собой.
При резонансе величина о достигает
10~14 м2, т. е. имеет порядок квадрата
длины световой волны. Размеры ато-
атомов и молекул порядка 10~10—10~9 м,
что соответствует сечениям порядка
10~20—10~18 м2. Таким образом, макси-
максимальные эффективные сечения во много
раз больше истинных площадей сечений
атомов и молекул. С другой стороны,
для света, частота которого не соответ-
соответствует собственной частоте атома, эф-
эффективное сечение мало, гораздо меньше
площади сечения атома.
Отметим, наконец, что в очень разре-
разреженном газе, как правило, атом, воз-
возбужденный светом, «переизлучает» свет
и притом в произвольном направлении.
В плотном газе возбужденный атом от-
отдает свою энергию другим атомам при
столкновении.
Таким образом, в разреженном газе
имеет место рассеяние света, а в плот-
плотном газе — истинное поглощение. Од-
Однако для расчета уменьшения интенсив-
интенсивности направленного светового луча
дальнейшая судьба отнятой энергии
безразлична.
§ 5. Ослабление потока заряженных ча-
частиц а- и р-лучей
Экспоненциальный закон убывания по-
потока частиц в зависимости от пройден-
пройденного пути
основан на очень общем предположе-
предположении о том, что ослабление потока на
малом пути dx пропорционально самой
интенсивности потока:
1Ш^1~Т1' A2.5.2)
где коэффициент пропорциональности
-j- есть постоянное число, зависящее
только от вида частиц. Так как A)
есть решение дифференциального урав-
уравнения B), то очевидно, что формулы A)
и B) равносильны.
Опыты показывают, что в некоторых
случаях экспоненциальный (показатель-
(показательный) закон A) является вполне точным,
а иногда от него наблюдаются те пли
иные отклонения. Рассмотрим внима-
внимательно те причины, которые могут
вызвать отклонения от формулы A)
или (что то же самое) от закона B).
Легко ответить на вопрос о смысле
отклонений от формулы B). Соотноше-
Соотношение B) подразумевает, что при изме-
изменении х ж I рассматриваемый свет
(или какое-либо другое излучение) ка-
качественно не меняется, иначе изменя-
изменялось бы число L. Перепишем B) в виде
1 dl__ 1
T~dl~ Г*
1 dl
Отсюда видно, что величина -у -з— по-
постоянна. Если окажется, что в различ-
1 dl
ных точках пространства величина jj-
различна, значит, в этих точках раз-
различна не только интенсивность излуче-
излучения, но и его физическое содержание:
например, мы имеем свет разного цвета,
т. е. с неодинаковой средней длиной
волны.
При рассмотрении вопросов защиты
от радиоактивных излучений и вопро-
вопросов прохождения а, |3, у-лучей и ней-
нейтронов через различные вещества мы
встречаемся с другой причиной откло-
отклонений от простого закона B).
В применении к процессу поглоще-
поглощения света закон B) означает следую-
следующее: если свет встретил на своем пути
пылинку, то часть его проходит мимо
этой пылинки, совсем не изменяясь,
а другая часть света целиком погло-
поглощается пылинкой. В случае радиоак-
радиоактивных излучений дело обстоит слож-
сложнее: а-частица представляет собой ядро
атома гелия, вылетающее из радиоак-
радиоактивного «родительского» ядра с боль-
большой скоростью порядка 0,07 с {с — ско-
скорость света), т. е. со скоростью около
2-10' м/с. Пролетая через атом, а-ча-
а-частица отдает электронам малую часть
своей энергии. Примерно после 50 000
столкновений с атомами а-частица поте-
потеряет половину своей энергии. При этом
она не перестанет существовать, не ис-
исчезнет, но энергия и скорость ее изме-
изменятся. После 100 000 столкновений
а-частица останавливается, перестает
сталкиваться с атомами и выбивать из
них электроны. Остановившаяся ча-
частица отбирает от окружающих атомов
два электрона и превращается в ней-
нейтральный покоящийся (за исключением
общего теплового движения) атом гелия.
Когда Резерфорд установил, что попа-
попадание а-частиц в сосуд с газом сопро-

358
Гл. 12. Поглощение и излучение света. Лазеры
вождается накоплением гелия в этом
сосуде, то этим завершился важнейший
этап исследования радиоактивности.
Число столкновений, необходимое для
остановки, а-частица испытывает в воз-
воздухе на пути в несколько сантиметров.
В действительности на этом пути раз-
различные а-частицы (с одинаковой на-
начальной энергией), разумеется, испы-
испытывают разное число столкнове-
столкновений, не обязательно точно 100 000. Од-
Рис. 12.5.1
нако, так как 100 000 — это очень
большое число, то при данной длине
пути отклонения числа столкновений
от среднего значения этого числа (при-
(примерно равного как раз 100 000) весьма
невелики — порядка 300, т. е. состав-
составляют всего лишь около 0,3% от общего
числа столкновенийх. Поэтому а-ча-
а-частицы одинаковой энергии всегда те-
теряют свою энергию на приблизительно
одинаковом пути, который зависит от
начальной энергии а-частицы. Если
поток а-частиц одинаковой энергии ле-
летит вдоль оси х, то зависимость между
интенсивностью потока и величиной
пройденного пути х изображается кри-
кривой рис. 1. Кривая эта совершенно не
похожа на график показательной функ-
функции. На протяжении значительной части
пути интенсивность потока а-частиц не
меняется: за одинаковые промежутки
времени через площадку в 1 см2 про-
пролетает одинаковое число а-частиц. За-
Затем интенсивность резко падает. Это
резкое падение было подготовлено на
участке, где интенсивность оставалась
постоянной, потому что на этом участке
энергия а-частиц уменьшалась с уве-
увеличением пути х. Резкое падение потока
1 Здесь работает так называемый закон
больших чисел, относящийся к много-
многократному повторению однотипных слу-
случайных событий, исход каждого из которых
непредсказуем. Этот закон утверждает, что
при большом числе повторений доля случаев,
когда будет иметь место определенный исход
события, весьма мало отличается от ожидае-
ожидаемого (среднего) числа таких исходов (эта доля
неизбежно стремится к среднему при неогра-
неограниченном возрастании числа V повторений
события).
происходит там, где энергия а-частиц
становится весьма малой.
Аналогичная картина имеет место и
для быстрых электронов ([3-частиц, ис-
испускаемых, когда в ядре нейтрон пре-
превращается v, протон). В этом случае
картина осложняется тем, что при ра-
радиоактивном распаде испускаются элек-
электроны с различными скоростями и
к тому же электроны, пролетая около
атома, не только отдают ему часть
своей энергии, но часто испытывают и
значительное боковое отклонение.
Кривая зависимости интенсивности
потока C-частиц от расстояния имеет
вид, показанный на рис. 2, — она су-
существенно отлична от кривой на рис. 1.
Уже при небольших х часть электронов
выбывает из пучка; это в основном те
электроны, которые имели малую на-
начальную скорость. Поэтому вблизи х==
=0 поведение кривой похоже на пове-
поведение показательной функции. Однако
дальше кривая достигает оси абсцисс,
интенсивность становится равной нулю
при вполне определенной величине х,
соответствующей максимальной энер-
энергии электронов, получающихся при
данном радиоактивном распаде.
Наиболее важными для практики (и
вместе с тем наиболее трудными) яв-
являются вопросы, связанные с защитой
от у-лучей, испускаемых радиоактив-
радиоактивными веществами, и от нейтронов, обра-
образующихся при делении ядер в атомных
реакторах (котлах) и при ядерных взры-
взрывах. В этом случае положение наиболее
запутанное и сложное, так как у-лучи
Рис. 12.5.2
а:
и нейтроны отдают энергию большими
порциями и при этом сильно откло-
отклоняются от первоначального направле-
направления. Даже в толстом слое воздуха A00 —
200 м) есть значительная вероятность
(порядка 37%) прохождения неизменен-
неизмененных у-лучей и нейтронов. Поэтому они
требуют толстых защитных слоев. По-
Поток у-лучей и нейтронов не обращается
в нуль при определенной толщине слоя,
как это имеет место для а- и C-лучей:
при большой толщине защитного слоя,

§ 6*. Поглощение и испускание света горячим газом
359
как показывают опыт и сложные рас-
расчеты, поток у-лучей и нейтронов убы-
убывает приблизительно по экспоненциаль-
экспоненциальному закону, причем показатель сте-
степени здесь часто отличается от того,
который соответствует начальному
участку кривой.
§ 6*. Поглощение и испускание света
горячим газом
Представим себе горячий газ, через
который проходит пучок света. При
этом мы рассмотрим более подробно,
что происходит с атомами, например
атомами натрия, при поглощении и
испускании света и при столкновениях
с другими атомами и молекулами, учи-
учитывая высокую температуру газа.
Прежде всего следует отметить, что
уподобление атома шарику на пружине,
т. е. «осциллятору» — системе с опреде-
определенной частотой собственных колеба-
колебаний, во многих случаях является недо-
недостаточно точным. Атом — это система,
состоящая из ядра и электронов и под-
подчиняющаяся законам квантовой
механики. Этих законов мы здесь
не можем коснуться; для нас сущест-
существенно лишь то, что такая система может
находиться только в определенных со-
состояниях и может иметь только строго
определенные, раздельные (или, как
выражаются математики, дискретные)
значения энергии. Назовем нижнее со-
состояние, характеризующееся найме пь-
ш и м возможным значением энергии,
«нулевым», «основным», или «невозбуж-
«невозбужденным»; для обозначения относящихся
к нему величин мы будем пользоваться
индексом нуль: энергия атома в этом
состоянии есть Ео, число атомов в ну-
нулевом состоянии в единице объема
(плотность этих атомов) равно п0 и т. д.
Точно так же можно говорить о первом
(после нижнего) состоянии с энергией
атома Ег, плотностью атомов nu о сле-
следующем — втором состоянии (энергия
Е2, плотность и2) и т. д. При этом мы
считаем, что
При низкой температуре все атомы
имеют наименьшую возможную энер-
энергию, т. е. находятся в низшем состоя-
состоянии: их энергия равна Ео (каждого!),
а плотность п0 не отличается от суммар-
суммарной плотности п всех атомов (во всех
возможных состояниях х).
Атом в низшем состоянии может по-
поглощать свет, переходя при этом в дру-
другое состояние, например в первое воз-
возбужденное состояние. Прибегнем снова
к квантовой теории. Можно сказать,
что свет состоит из отдельных частиц,
фотонов, и энергия каждого фотона
равна hv, где h — постоянная Планка,
равная 6,63 • 10~34 Дж-с, a v — частота
света (число колебаний в 1 с). Особен-
Особенность квантовой теории заключается
в том, что, говоря о частицах света, мы
не отказываемся и от таких понятий,
как частота v, длина волны и т. д., т. е.
от понятий, связанных с представле-
представлением о световых волнах.
Но не будем останавливаться на фи-
философской стороне квантовой механики!
Из закона сохранения
энергии следует, что если при
поглощении света (одного фотона) атом
переходит из нижнего в первое возбуж-
возбужденное состояние, то
Е0-{-Ь = Е1. A2.6.1)
Это же равенство имеет место и при
испускании света возбужденным ато-
атомом, переходящим из первого состоя-
состояния в нулевое. Значит, резонансная
частота v поглощенного пли испускае-
испускаемого света зависит от разности энергий
двух состояний атома: эта частота (ко-
(которую можно определить с помощью
спектроскопа) характеризует пере-
переход из одного состояния в другое.
Величина v — точнее было бы обозна-
обозначить ее через vx 0 —-не есть частота
колебаний электронов в атоме в ка-
каком-то одном (нулевом или первом)
состоянии: она зависит от обоих
состояний. Экспериментаторы, занимав-
занимавшиеся спектроскопией, заметили эту
закономерность давно, ибо она легко
усматривается из таблицы частот мно-
многих отдельных линий спектра опреде-
определенного атома. В самом деле, имеют
место (почему? докажите это сами) ра-
равенства типа
У1,о-
,3
v3,0
и т. д., которые можно проверить, ни-
ничего не зная об атомах.
1 Говоря более строго, n=no-\-n1-\-ni-\-.
Но при низкой температуре их <¦=: ге0, п„
<¦=: п0, ... и сумма п1-\-п%-\-... <<. щ, так что /i

360
Гл. 12. Поглощение и излучение света. Лазеры
Нильс Бор первым понял истинный
смысл и причину возникновения этих
равенств. Он сформулировал свои «кван-
«квантовые постулаты»:
1) существует набор состояний @, 1,
2,. . .), находясь в которых, атом света
не излучает;
2) излучение происходит при пере-
переходе атома из одного состояния
в другое, причем частота излучаемого
света равна разности энергий исходного
и конечного состояний, деленной на по-
постоянную Планка.
Аналогичное положение характерно
и для поглощения света.
Вернемся теперь к основной томе
параграфа — к вопросу о поглощении
и излучении света горячим газом.
Напомним, что при низкой темпе-
температуре газа все его атомы находятся
в низшем состоянии, и свет резонансной
частоты (мы теперь снова пишем кратко
Vj 0) поглощается, так что
v вместо v,
dl
A2.6.2)
где / — световой поток, а а — так на-
называемое сечение (см. B.2)). Что же
изменится в случае горячего газа?
При высокой температуре в резуль-
результате теплового движения атомов и их
столкновений между собой или с ато-
атомами и молекулами других газов (если
мы имеем дело со смесью газов) часть
атомов перейдет в состояние с более
высокой энергией. Другими словами,
теперь будут иметься и возбужденные
атомы, т. е. величинами щ, ге2, ...
уже нельзя будет пренебрегать. Со-
Согласно общему закону теплового дви-
движения (см. § 11.4) при данной темпера-
температуре Т
п ¦ п ¦ п • „-Е01кТ . „-Ej
. e-E2jkT ¦
A2.6.3)
Если задано общее число п атомов
в единице объема, то из C) и равенства
ге=гео+ге1+ге2Н следует
„-EJkT
Значит, с повышением температуры при
данном п поглощение уменьшается, ибо
щ <^ п. По, кроме того, — и это самое
главное — появляются возбужденные
атомы, способные излучать свет. При
этом они излучают свет той же самой
частоты, что и поглощаемый свет.
Можно предположить, что уравнение
для интенсивности света при наличии
возбужденных атомов будет иметь вид
¦> dI — - т л ¦ ?
' dx '° ' Л i"
A2.6.5)
A2.6.4)
Здесь коэффициент к должен иметь
смысл произведения вероятности w того,
что возбужденный атом в единицу вре-
времени перейдет в невозбужденное (нуле-
(нулевое) состояние, испуская фотон света,
на вероятность а того, что испущенный
фотон присоединится к рассматривае-
рассматриваемому потоку светового излучения. По-
Поскольку поток / выражается в энерге-
энергетических единицах Дж/(м2-с), то надо
еще умножить юана энергию fev одного
фотона. Можно рассуждать так: в слое
dx сечением в 1 см2 находится n^dx
возбужденных атомов — и ограни-
ограничиться проверкой размерностей: w имеет
размерность 1/с^с, а безразмерно;
пх имеет размерность м~3, так что если
x = wahv, то у.щ имеет размерность
Дж/(м3-с), т. е. такую же размерность,
dl v
как и —j—. Контроль сравнением раз-
размерностей как будто убеждает, что фор-
формула E) правильна. И все же эта фор-
формула неверна!
Вопросительные знаки в начале и
конце E) как раз и поставлены для
того, чтобы рассеянный читатель не
счел бы эту формулу правильной. В том,
что ее нужно изменить, мы убедимся
далее, рассматривая термодинамическое
равновесие световых потоков.
§ 7*. Термодинамическое равновесие
излучения
Предположим, что сосуд, в котором на-
находится газ, имеет идеально отражаю-
отражающие зеркальные стенки. Температура
газа задана и поддерживается постоян-
постоянной.
Естественно предположить, что если
в сосуде первоначально не было света,
то в результате излучения возбужден-
возбужденными атомами он затем появится. Если
в сосуде в начальный момент времени

§ 7*. Термодинамическое равновесие излучения
3151
интенсивность света слишком велика,
то лишний свет будет поглощен ато-
атомами, находящимися в нижнем невоз-
невозбужденном состоянии.
Можно ожидать, что каким бы ни
было начальное состояние, в результате
испускания и поглощения света газом
заданной температуры установится
вполне определенная интенсивность
света. Более тонкие рассуждения по-
показывают, что интенсивность света дан-
данной частоты зависит только от тем-
температуры. В самом деле, представим
себе два разных сосуда, наполненных
разными газами, имеющими одну и
ту же температуру. Соединим наши
сосуды световодом со спектральным
фильтром, пропускающим туда и об-
обратно только свет одной определенной
частоты. Если бы интенсивности света
были различны, то, несмотря на оди-
одинаковую температуру сосудов, один со-
сосуд отдавал бы энергии больше, чем
получал, и охлаждался бы, а другой
сосуд нагревался бы, что явно невоз-
невозможно.
Итак, существует определенная рав-
равновесная интенсивность света — та, при
которой устанавливается равновесие
между испусканием и поглощением.
Эта равновесная интенсивность при дан-
данной частоте зависит только от темпера-
температуры, а не от свойств газа. Естественно
поэтому пытаться найти равновесную
интенсивность излучения исходя непо-
непосредственно из общих принципов теп-
теплового движения.
Рассмотрим излучение определенной
частоты и определенного направления
в сосуде. Энергия этого излучения не
может принимать любые значения: со-
согласно квантовой теории (т. е. в данном
случае —¦ согласно теории фотонов)
энергия может равняться нулю (ни од-
одного фотона, отвечающего данной длине
волны), или равняться /iv (один фотон),
или равняться 2h-> (два фотона) и т. д.
По общим принципам отношения ве-
вероятностей р0, Рх, р2, • • • соответствую-
соответствующих состояний таковы:
_- I ¦ е-кч1кТ ¦ g-2kilkT ¦
A2.7.1)
Po-Pi- Р-2 '¦
в соответствии с тем, что энергии Е
здесь равны 0, Нч, 2hv, . . ., а вероят-
вероятности пропорциональны е~Е>кТ; e° = l,
поэтому последовательность в правой
части A) и начинается с единицы. Но
сумма всех вероятностей равна единице,
потому что мы исчерпали все возмож-
возможности — ведь данный луч должен ха-
характеризоваться либо одним, либо
двумя и т. д. фотонами, либо отсутст-
отсутствием фотонов. Значит, мы можем, как
говорят, «нормировать» распределение
A), добавить к этим равенствам, задаю-
задающим отношения вероятностей, еще ра-
равенство
Р2
• =1>
A2.7.2)
указывающее, чему равна сумма всех
вероятностей. Равенства A), очевидно,
дают:
pn=ae-nh"ikT; n = 0, 1, 2, ... A2.7.3)
(т. е. р0 = а, рг = ae~Av/)fcr и т. д.), где мно-
множитель а пока остается неопределен-
неопределенным. Найти его можно из B):
= а A -f
e-
2hijkT _]_ \
A2.7.4)
и, значит,
а — 1 — е-1г'1кТ A2.7.4а)
(заметьте, что в D) в скобках стоит
сумма членов геометрической
прогрессии).
Теперь мы уже можем найти среднее
число фотонов ср и среднюю энергию
(точнее, плотность энергии) г данного
сорта лучей:
? = 1-Л + 2'ДН ' A2.7.5)
e = cp/jv A2.7.5а)
(так как ср — это среднее число фотонов
в единичном объеме, то размерность
этого числа — м~3; размерность е —
Дж/м3). Подставляя C) и Dа) в E)
(а затем E) в Eа)), получаем:
\ _
— 1
A2.7.6)
A2.7.6а)
(здесь опущены несложные выкладки и
сразу приведен окончательный резуль-
результат *). Данной частоте v соответствует
1 Для того чтобы вывести из C), Dа)
и E) результат F), достаточно заметить,
что 9-e-h"lkT<r = Pl+p2+P3+ ¦ • ¦ =1-Ро
(=1 — а; почему?).

362
Гл. 12. Поглощение и излучение света. Лазеры
1
определенный период — колеоашш и
с ,,
определешгая длина А -- — световой
волны.
Можно найти число различных волн
в объеме V, частота которых заклю-
заключена между v и v-)-dv. Нам надо учесть,
что электромагнитные волны имеют оп-
определенную поляризацию: электриче-
электрическое поле перпендикулярно направле-
направлению распространения волны (но в трех-
трехмерном пространстве можно указать
много взаимно перпендикулярных па-
правлений, перпендикулярных дан-
данному!). Учитываются и условия отра-
отражения света от стенок, по оказывается,
что число независимых видов колеба-
колебаний, частота которых заключена в дан-
данном интервале, в первом приближении
зависит только от объема V и пропор-
пропорционально этому объему. Таким обра-
образом, можно говорить о числе колебаний
dK в интервале частот dv, приходя-
приходящихся на единицу объема; это число
оказывается равно
•Sr.v-rfv
<2А=-—г-, A2.7.7)
где с есть скорость света. При этом так
как частота v (а значит, и сЩ имеет
размерность с", а с — размерность
м/с, то размерность dK есть м.
Полный вывод формулы G) слишком
громоздок для того, чтобы его можно
было включить в пособие для начинаю-
начинающих. Однако приближенно понять ре-
результат G) ц убедиться в его разум-
'> V 1
ности нетрудно, .заметим,
что — —-^-
откуда v —— и ] dv ] ---т-g dX. .'Значит, по G)
число колебаний с длиной волны, заклю-
заключенной между X и X-f-dX, равно
dK = -^dl. A2.7.7а)
Число же колебаний с длиной волны,
заключенной, скажем, между Хо и 2Х0,
равно
К\а,2\
7л 1
d'K _ 8т: / 1
т7 "Т1тг[
A2.7.8)
ницы, то можно сказать, что на единицу
объема приходится столько же колеба-
колебаний с длиной волны, близкой к Хо,
сколько можно уместить в этом объеме
кубиков с ребром Хо. Каждое колебание
в среднем «занимает объем порядка
)>;;» —результат, не только легко запо-
запоминающийся, но и вполне естественный.
Теперь можно легко написать выра-
выражение Q полной энергии излучения в еди-
единице объема. Для этого возьмем энер-
энергию каждого колебания с определенной
частотой, умножим, на число колебаний
данного сорта и сложим (т. е. проин-
проинтегрируем) все эти энергии:
со
Q = j edK = \
A2.7.9)
(Q имеет размерность плотности энер-
энергии— Дж'м3). Удобно обозначить -^—х
п выделить безразмерный интеграл:
A2.7.9а)
Фигурирующий в (9а) неопределен-
неопределенный интеграл не выражается через
элементарные функции. Приближенно
интеграл
A2.7.10)
можно вычислить, замечая, что
= е
1
и, значит,
j'd:
Г 'Т ??;'-' f Ч -Г 7 I Г Ч
J е¦'• - 1 -}Хе пХ Г } ¦L
Но (см. G.5.19))
х\-*&х = 3 ! = 6,
з 2rdx
A2.7.11)
Таким образом, если отвлечься от чис-
численного множителя, по порядку вели-
величины не сильно отличающегося от еди- 0
СО
= ^ J ife-Чу = ^- ¦ 6 и т. д.,

! 8*. Вероятность излучения и условия термодинамического равновесия
363
так что
A2.7.11а)
Стоящий в правой части A1а) ряд схо-
сходится; ограничиваясь пятью членами
этого ряда, мы получим для интеграла
A0) приближенное значение 6,482.
С помощью теории функций комплекс-
комплексной переменной (см. § 17.2) можно по-
получить точное значение определен-
определенного интеграла A0). Оно
равно
-к*
15"
т. е. примерно 6,494; таким образом,
допущенная при ограничении пятью
членами ряда A1) ошибка меньше 0,2%.
Итак, точное выражение равновесной
плотности излучения (в Дж/м3) при дан-
данной абсолютной температуре Т (по
шкале Кельвина) есть
<12-7Л2>
Представим себе, что сосуд, в кото-
котором установилась такая плотность из-
излучения, имеет плоское отверстие в од-
одной из стенок площадью S квадратных
сантиметров. Тогда через это отверстие
будет вытекать энергия. Поток энергии
будет равен RS, где R измеряется
в Дж/(м2-с) и равно
= ?() = 5,75-Ю"8 Г1.
A2.7.13)
Электромагнитная энергия «течет»,
распространяется со скоростью света;
но в каждый данный момент в единице
объема внутри сосуда только половина
фотонов движется в сторону отверстия,
а другая половина движется в противо-
противоположную сторону. Да и те фотоны,
которые движутся в сторону отверстия,
летят под разными углами — и это еще
уменьшает поток вдвое. При точном
учете этих обстоятельств в формуле A3)
и возникает коэффициент 1/4.
Заткнем отверстие в нашем ящике
с зеркальными стенками каким-нибудь
черным материалом, притом нагретым
до такой же температуры, которую
имеют газ и излучение в ящике.
Когда мы говорим, что материал
черный (или «абсолютно черный»), то
это значит, что поглощается любой фо-
фотон, с любой частотой, упавший на по-
поверхность из нашего материала. Наша
пробка должна была бы нагреваться,
поглощая излучение. Но если пробка
нагрета сама до той же температуры,
что и излучение, то она, очевидно, не
будет нагреваться дальше, до более вы-
высокой температуры. Значит, пробка бу-
будет излучать ровно столько же, сколько
поглощает. Таким образом, мы прихо-
приходим к выводу, что черная поверхность
с температурой Т излучает с единицы
поверхности i? = 5,67-10"8 Т4 Дж/(м2-с).
Эта величина выражает то, что назы-
называют «излучением абсолютно черного
тела».
Избранный нами порядок изложения
является обратным по отношению
к тому, как исторически развивалось
исследование излучения. Сперва был
экспериментально найден закон излу-
излучения A2), т. е. установлен тот факт,
что излучение пропорционально четвер-
четвертой степени температуры, причем ко-
коэффициент пропорциональности равен
5,67-Ю"8 Дж-м-2-с-1 • град (за-
(закон Стефан а— Больцмана,
1888 г.).
Затем было найдено спектральное
распределение излучения — формула
Планка Fа) A899 г.). В этой фор-
формуле впервые появилась величина h—
= 6,63-Ю4 Дж-с — так называемая
постоянная Планка.
Для света с данной частотой харак-
характерна определенная энергия hv. Планк
считал, что поглощение и излучение
происходят определенными порциями,
а к распространению света «порцион-
«порционная», или «квантовая», теория отноше-
отношения не имеет. Позже A905 г.) Эйн-
Эйнштейн показал, что свет состоит из ча-
частиц с определенной энергией, равной
hv, и импульсом, равным . Наконец,
в 1924 г. индийский ученый Бозе дал
тот вывод формулы Планка, исходящий
из расчета вероятностей р0, рг, . . .„
с которого мы и начали изложение.
§ 8*. Вероятность излучения и условия
термодинамического равновесия
Вернемся к выражению для интенсив-
интенсивности луча света, пропускаемого горя-
горячим газом.
Из уравнения F.5) (напомним, что
это уравнение неправильно!)
*, dl , , „

364
Гл. 12. Поглощение и излучение света. Лазеры
dl
из условия — = 0 получим равновесную
интенсивность /рв:
A2.8.1)
Отношение концентраций гех возбуж-
возбужденных атомов и гс0 атомов в основном
состоянии равно — = е *у (см. F.3)
или F.4)). Согласно квантовому усло-
условию F.1) E1
4'0 = ftv, значит, — =г
п0
= е""л ' , так что
р/ —— JLg-hijkT p
A2.8.1а)
Формула Aа) для /ря похожа на пра-
правильную формулу G.6а), которая была
получена Планком, но не совпадает
с ней.
Отметим сперва именно черты сход-
сходства: равновесная плотность излуче-
излучения /рв не зависит от концентрации
газа, атомы которого поглощают (в ос-
основном состоянии) и излучают (в воз-
возбужденном), а зависит лишь от ча-
частоты v света и от температуры Т. Вид
зависимости в пределе, т. е. при отно-
шении т^т ^> 1, совпадает с тем, который
был у Планка. В самом деле, если -п~ ^> 1,
т0 ehiikT =^1 — и в формуле Планка G.6а)
можно пренебречь единицей в знамена-
знаменателе по сравнению с (большим!) сла-
слагаемым eh^kT : при /iv > кТ
ehijkT '
откуда вытекает, что
A2.8.2)
ведь / — это энергия в единицу вре-
времени, ас — скорость света. (Заметим,
что поскольку плотность энергии s
имеет размерность Дж/м3, ас — размер-
размерность м/с, то произведение се имеет
размерность Дж/(м2 • с) потока энер-
энергии /.)
Итак, полученная из наивных пред-
предположений формула Aа) по характеру
функциональной зависимости /рв от ча-
частоты v и температуры Т не отличается
от точной формулы B). Для того чтобы
совпадение было полным, нужно, чтобы
отдача энергии возбужденным атомом
в одиночную волну, характеризуемая
коэффициентом х, находилась с а-сече-
нием поглощения света атомом в нор-
нормальном состоянии в соотношении, оп-
определяемом равенством
•—= eh*.
а
A2.8.3)
С точки зрения учения о резонансе (да
и с точки зрения квантовой механики)
такое соотношение представляется
вполне естественным. Если мало сече-
сечение поглощения света (например, по-
потому, что мал заряд колеблющегося
шарика), то мала и вероятность излу-
излучения, также зависящая от заряда ша-
шарика.
Перейдем от вероятности излучения
единичной волны к полной вероятности
излучения энергии возбужденным ато-
атомом. А именно, разделив количество
энергии, излучаемой в единицу времени
в одну волну, на энергию Av фотона,
мы получим вероятность излучения
в одну волну. Затем полученные вели-
величины складываем, т. е. интегрируем по
всем значениям длины (или частоты)
волны х:
w
С у. 8TCV2dv Г
~ ] Т7 с3 ~\
A2.8.4)
(размерность w есть 1/с=с). Здесь
w есть вероятность излучения, так что
для концентрации возбужденных ато-
атомов в отсутствие внешнего излучения
имеет место равенство
dn-,
— = —wnx. A2.8.5)
Решение уравнения E) очевидно:
RiW = niWr"('"y' A2.8.6)
Соответственно ^==w~1 есть среднее
время жизни возбужденного атома (ср.
§ 8.2).
Мы рассматривали лишь первое
возбужденное состояние, которое мо-
может распадаться только одним спосо-
способом, переходя в основное (невозбуж-
(невозбужденное) состояние. Как правило, при
1 Не бойтесь того, что в интеграл фор-
формально входят частоты, которые данный воз-
возбужденный атом не может испускать. Для
этих частот %=0; множитель x(v) в подын-
подынтегральной функции отсечет их.

§ 8*. Вероятность излучения и условия термодинамического равновесия
365
данном основном состоянии и данном
строго определенном возбужденном со-
состоянии (с определенной пространст-
пространственной ориентацией атома) сечение по-
поглощения а зависит от направления и
поляризации падающей волны. В этом
случае точная формула имеет вид
A2.8.7)
где ах и а2 относятся к двум поляриза-
поляризациям волны, сШ есть элемент телесного
угла. При ъг=з2=о, не зависящих от
направления, получим а1+а2 = 2а и
I сШ=
что и даст множитель «тс
в упрощенной формуле D).
Обратите внимание на размерность:
з имеет размерность м2, а— = Х— длина
полны — размерность м, так что в ин-
интеграле
?-dv
A2.8.8)
величина т-j безразмерна. Существенно dx —
то, что о сильно зависит от частоты:
поглощение света является резонанс-
резонансным процессом. Вспомним теорию коле-
колебаний: поглощение энергии осциллято-
осциллятором при учете трения зависит от ча-
частоты по формуле
А
A2.8.9)
Оказывается, что в случае покоящегося
атома поглощение света подчиняется
аналогичной формуле 2:
Максимальное сечение поглощения
света имеет величину порядка квадрата
длины световой волны! Для видимого
света эта величина во много раз больше
размеров самого атома: желтая линия
натрия имеет длину волны Х=5400х
Х1О~10 м, а радиус орбиты электрона
порядка 10~10 м, сечение резонансного
поглощения фотона в миллионы раз
больше площади, ограниченной орби-
орбитой электрона. Здесь проявляется тот
факт, что фотон нельзя рассматривать
как точечную частицу, которая летит
по прямой и либо попадает в мишень,
либо пролетает мимо, не задевая ми-
2 Подставляя (9а) в интеграл, стоящий
в правой части (8), получим ш=4тсу.
шени. Согласно квантовой механике
движение фотона определяется волно-
волновыми уравнениями электромагнитного
поля, — и с этим связана возможность за-
захвата фотона атомом с расстояния по-
порядка длины световой волны.
До сих пор мы подчеркивали и углуб-
углубляли сходство нашей приближенной
формулы Aа) для равновесной плот-
плотности излучения с подтвержденной опы-
опытом точной формулой Планка B). Те-
Теперь обратимся к отличию формулы
Планка от приближенного выражения.
Как надо видоизменить выражение
jj для того, чтооы равновесная плот-
плотность соответствовала формуле Планка?
Ответ на этот вопрос дал Эйнштейн
в 1917 г. Как это часто бывает в физике,
дать ответ оказалось легче, чем пра-
правильно поставить вопрос.
Ответ Эйнштейна заключался в сле-
следующем. Заменим уравнение F.5)
dl
dl
следующим:
dl _
~dx ° °
A2.8.10)
где согласно предыдущему x=c/jva.
Если ср есть среднее число фотонов
в данном луче (см. § 7), то
Подставляя A1) в A0), получим
AL— ь-^- —
dx dx
= cAva[—/госр -\- rax(l -j- <p)]. A2.8.12)
Прежде всего убедимся, что постав-
поставленная цель достигнута. В самом деле,;
условие / = /рв, т. е. -р —0, приводит
к следующему результату для равно-
равновесного количества фотонов:
1
" трв
— —.(,-hvlkT
т. е. —«„?,„
или
+?„,) = 0,
Грв '
1 __
Лч/кТ
1
A2.8.13)
тем самым мы пришли к выражению
для вероятности поглощения и излуче-
излучения, приводящему к формуле Планка.

366
Гл. 12. Поглощение и излучение света. Лазеры
Теперь оглянемся и подумаем, какой
ценой получен этот результат.
Мы добавили к вероятности изуче-
изучения у.пг еще один член *пху, равный
о??]/. Таким образом, мы (вслед за Эйн-
Эйнштейном) утверждаем, что существует
процесс испускания фотонов, вызван-
вызванный наличием пучка фотонов и пропор-
пропорциональный числу фотонов, или интен-
интенсивности излучения уже существую-
существующего пучка. Процесс этот называют
индуцированным излучением. Слово «ин-
«индуцированное» переводится как «выз-
«вызванное» — речь идет об излучении,
вызванном наличием света.
Индуцированное излучение возникает
наряду со спонтанным, т. е. самопроиз-
самопроизвольным излучением; в выражении для
излучения в скобках стоят два слагае-
слагаемых A + ф), или, если раскрыты скобки,
xrex+ on-J., которые и отвечают этим
двум видам излучения. Соответственно
и уравнение для изменения числа воз-
возбужденных атомов имеет вид
^L = —wni — ^-]-^-. A2.8.14)
При отсутствии излучения у нас
остается только член —wnx, как мы п
писали раньше. Но при наличии излу-
излучения происходит не только перескок
атомов из основного состояния в воз-
возбужденное — так сказать, снизу вверх
/ оп0/
(этому отвечает член -т™ в правой части
A4)),
ной дополнительное индуцирован-
индуцированное излучение с «переходом атомов вниз»
(член т^— а том же равенстве A
Подчеркнем особо, что сечение а
в членах, описывающих поглощение
J
1/
индуцированное излучение
одинаково. К ели интенсив-
интенсивность пучка / велика и членом пг, опи-
описывающим спонтанное испускание,
можно пренебречь по сравнению со
слагаемыми, выражающими поглоще-
поглощение и индуцированное испускание, то
уравнение для / упрощается:
dl
¦'4I.
A2.8.15)
Очевидно, что условием для этого яв-
является «сильное» неравенство / %•> /рв,
где 11Ъ — равновесная интенсивность
излучения при температуре газа.
Подставим в A5) равновесную концен-
концентрацию возбужденных атомов »1 =
= noe~'"ikr; тогда мы получим формулу
для эффективного поглощения:
dI
nol.
A2.8.16)
При нагреве газа эффективное поглоще-
поглощение, т. е. коэффициент при /, умень-
уменьшается не только вследствие уменьше-
уменьшения п0, но еще и вследствие противо-
противодействующего влияния индуцирован-
индуцированного излучения, что дает дополнитель-
дополнительный множитель в скобках в правой
части A6). Если hv<^kT, то прибли-
приближенно
-hi'1-Т А ^' Л -In IT ^V
е •- я^ — -^г и 1 — е я» —^ <% 1 ;
уменьшение поглощения здесь очень
значительно. Между тем, если есть
только два уровня: Он 1, так что пол-
полное число атомов п--=щ-~пъ то вели-
величина щ может уменьшиться не более
чем в 2 раза при повышении Т от О
до со 3.
Так, например, в радиоастрономии
имеют дело с переходом атома водорода
из основного состояния в слабовозбуж-
слабовозбужденное с испусканием радиоволн с Х=
--21 см. Энергия соответствующих фо-
hv — - -у—
тонов равна hv — - -у— яа 6,5 • 1CT:il X
Х.3.108/0,21 яа Ю-24 Дж. Если темпера-
температура водородного облака равна 100 К, то
кТ ^ 1,37 -Ю3-100 «1021 Дж —ч мно-
множитель в скобках (в формуле A6)) та-
таков: A— е-'"/*"/1) ;~^-~iir3 (ср. § -i.8).
Существенны качественные особен-
особенности индуцированного излучения. При
этом процессе возбужденный атом из-
излучает, усиливая проходящую (инду-
(индуцирующую) волну, — иначе не могло
бы компенсироваться поглощение этой
волны атомами в нижнем (невозбуж-
(невозбужденном) состоянии. В этом отношении
индуцированное излучение резко отли-
отличается от спонтанного, при котором
возбужденный атом излучает во все
стороны и только частично— в направле-
направлении проходящей волны.
3 Правильнее здесь, конечно, было бы го-
говорить о повышении температуры от 0 до Т jg>
к
¦ , гак как предельныи переход
Г^>со физически бессмыслен: атомы при
ото!! распад\ тел.

§ 9*. Лазеры
367
На языке классической механики
можно было бы сказать, что поглощение
излучения подобно резонансной рас-
раскачке осциллятора (ср. § 10.5). Инду-
Индуцированное излучение подобно тормо-
торможению осциллятора: ведь и для того,
чтобы затормозить колебания, нужна
сила, находящаяся в резонансе с коле-
колебаниями, т. е. имеющая ту же частоту.
Разница между силой раскачивающей
и силой тормозящей осциллятор заклю-
заключается в том, что отношения фаз коле-
колебаний сил к фазе осциллятора будут
различными.
Однако никакая классическая анало-
аналогия не может полностью объяснить яв-
явление индуцированного излучения. Точ-
Точная и полная теория индуцированного
излучения возможна лишь на основа-
основании квантовой механики и квантовой
теории электромагнитного излучения
(квантовой теории поля). Теория инду-
индуцированного излучения органически
входит в квантовую теорию излучения,
основы которой заложены П. Дираком
в 1927 г.
Тем большее восхищение вызывает
интуиция Эйнштейна, который в 1917 г.
сумел выявить все основные черты ин-
индуцированного излучения исходя из
чисто термодинамических соображений,
т. е. примерно так, как это было изло-
изложено выше. Напомним, что и само по-
пятие о частицах света — фотонах —
было впервые введено Эйнштейном
в 1905 г.; именно за это он получил
Нобелевскую премию.
§ 9*. Лазеры
Индуцированное излучение открывает
замечательную возможность получения
электромагнитных колебаний (в част-
частности, света).
Представим себе среду, в которой
концентрация пг возбужденных атомов
больше концентрации п0 атомов
в основном состоянии. В обычных усло-
условиях теплового равновесия, при —=
«о
= е-'п!кТ, такая ситуация невозможна,
щ ^ < Но
ибо здесь
— </1.
существует не- dx
примем, что п1 ^> п0, так что точному
уравнению (8.10) можно придать вид
dl 1T .
— = Ы + хпх, A2.9.1)
где 6= а (ге-L — п0) > 0. Изменение
знака коэффициента при / в выраже-
dl r
пии для -г- самым радикальным обра-
образом влияет на характер решения. Соот-
Соответствующее изменение свойств решения
можно сравнить с изменением решения
для концентрации нейтронов в процессе
деления при переходе от подкритиче-
ской массы делящегося вещества (урана
235, плутония) к надкритической массе
(см. конец гл. 8).
В самом деле, если 6>0 в уравне-
dl
нии для — , то световой поток по мере
распространения увеличивается экспо-
экспоненциально. Пренебрегая в A) вторым
членом, найдем
где 10 — интенсивность света в начале
координат, т. е. при ж=0 (интенсив-
(интенсивность света на входе в среду). Опреде-
Определенный объем газа (вещества) с Ъ ^> 0,
например трубка длины L, работает
как усилитель: впуская поток /0,
получим на выходе поток lL=IoebL ^>/0,
более сильный по сравнению с вхо-
входящим потоком.
Подставим теперь с двух концов
трубки зеркала с коэффициентами отра-
отражения |3, 8. Если с левого конца (х—0)
поступает поток /0 и на правом конце
выходит поток Ii=IoebL, то этот поток
отразится в правом зеркале и на пра-
правый конец снаружи попадает поток
I'l | = $Il = 1$еЪЬ> A2.9.3)
поэтому поток надо считать отрица-
отрицательным (энергия переносится
в сторону, противоположную направле-
направлению возрастания координаты). Для того
чтобы не следить за знаком, будем от-
отмечать такой поток штрихом сверху
(будем писать /') и рассматривать его
абсолютную величину.
Уравнение для /' имеет вид
—Ъх. A2.9.4)
сколько искусственных приемов, с по-
помощью которых можно этого добиться.
Об этих приемах мы расскажем позже;
пока же, не вдаваясь в подробности,
Это уравнение интегрируем «справа
налево», задав в качестве «начального
условия» величину | I'L \=I0$ebL, отве-
отвечающую значению x=L (см. C)), и на-

368
Гл. 12. Поглощение и излучение света. Лазеры
ходя отсюда величину Го, отвечающую
значению х=0:
о
-*j dx
= /0Pe2bi.
A2.9.5)
После отражения от левого зеркала
(коэффициент отражения §) получается
поток (рис. 1), равный
7- = p8e"i/0. A2.9.6)
Теперь учтем, что полный поток,
идущий слева направо, равен
где 10 — интенсивность падающего
света, а Г'а — дважды отраженного.
Рис. 12.9.1
При этом в правой части выражения F)
для 1 надо подставить именно /„„.,„,
а не 10 (мы не отличали 10 падающего
света от /иолн выше, пока не учитывали
двукратное отражение). При этом по-
получим
откуда
— ЬЪе*
A2.9.7)
Физический вывод из всего сказанного
заключается в том, что при $oell>L = l
система, состоящая из трубки с ак-
активным газом и двух зеркал (с коэффи-
коэффициентами отражения В, §), находится
в «критическом» состоянии: здесь воз-
возможно стационарное состояние с любым
значением 10. Если величина $Ъёш' <^ 1,
то система «подкритическая» (ср. с
§ 8.9). Без учета спонтанного излуче-
излучения есть только одно решение /0=0;
с учетом спонтанного излучения (т. е.
члена у-пх уравнения A)) в системе
устанавливается излучение, пропорцио-
пропорциональное хпгЬ. Наконец, при учете ин-
индуцированного излучения усиление бу-
будет более сильным; это усиление про-
1
порционально отношению ,>м-.
Такая ситуация технически мало ин-
интересна. Замечательная ситуация воз-
возникает, если, напротив, |3§е'-"- >* 1. По
аналогии с цепной ядерной реакцией
здесь можно говорить о «надкритиче-
«надкритическом» состоянии системы. В этом случае
при любой малой начальной интенсив-
интенсивности и малом спонтанном излучении
произойдет экспоненциальный рост ин-
интенсивности излучения в зависимости
от времени, примерно пропорциональ-
пропорциональный е'1, где f ^ тг -- ->i,f • Интенсив-
Интенсивность излучения будет расти, но одно-
одновременно будут расходоваться и воз-
возбужденные атомы; п1 и Ъ будут умень-
уменьшаться до тех пор, пока система не
станет критической, но это произойдет
лишь при большом значении интенсив-
интенсивности /.
Итак, в системе с Ъ ^> О возможно
получение большой интенсивности из-
излучения. Это излучение строго моно-
хроматично, представляет собой одно
определенное колебание, поэтому такое
излучение можно сфокусировать
в точку. Полученное таким путем ла-
лазерное излучение обладает свойствами
луча из пророческого научно-фантасти-
научно-фантастического романа Алексея Толстого «Ги-
«Гиперболоид инженера Гарина»!
Применения лазерного луча описаны
в огромном числе популярных и непо-
непопулярных статей, брошюр и книг. Здесь,
в учебнике математики, мы лишь бегло
укажем два способа создания инверс-
инверсной заселенности, или активной среды—
так физики называют ситуацию, когда
ni ^* noi т- е- когда b ]> 0; эта ситуа-
ситуация позволяет получить излучение
весьма большой интенсивности (при-
(приборы, основанные па использовании
этого эффекта, называют лазерами или
мазерами).
Один способ — исторически первый,
которым воспользовались лауреаты Но-
Нобелевской премии: академики И. Г. Ба-
Басов и А. М. Прохоров и американский
физик Ч. Таунс, — заключается в том,
что молекулы, находящиеся в состоя-
состояниях 1 и 0, поступают в конденсатор,
помещенный в вакуум; здесь они дви-
движутся без столкновений, только под
влиянием электрического поля. Элек-
Электрические свойства, а именно поляри-

§ 9*. Лазеры
369
зуемость молекул в состояниях 0 и 1,
различны; пользуясь этим, создатели ла-
лазера сумели обеспечить условия, при
которых молекулы, находящиеся в ос-
основном состоянии, отклоняются и не
попадают в сосуд, а молекулы в состоя-
состоянии 1 в сосуд попадают. Таким путем
в сосуде создается нужная нам ситуа-
ситуация, при которой п1 ^> п0.
Другой прием — более удобный и не
требующий высокого вакуума, но исто-
исторически более поздний — заключается
в том, что используется система с не-
несколькими уровнями: 0, 1, 2, 3. Система
«работает», т. е. создает излучение, свя-
связанное с переходом на один из проме-
промежуточных уровней, например с перехо-
переходом 3 —> 2, частоты v3 2 = (Е3 — Е2) h.
Для этого возбуждают состояние 3,
т. е. создают большую концентрацию п3.
При этом остается п3 <^ щ; возбудить
молекулы более сильно (достичь того,
чтобы было п3 ^> п0) путем облучения
газа частотой v3 0 нельзя из-за того же
индуцированного излучения (продумайте
сами, почему это так).
Однако если молекулы с уровня 2
очень быстро переходят на нижние
уровни: 2 -> 1 или 2 -> 0, то вполне
возможна ситуация, когда будет ге2 <^
«^ щ, щ < Щ, т. е. когда система будет
надкритической по излучению частоты
V3.2-
Есть и другие способы получения
активной среды. Общим для всех ла-
лазерных устройств является превраще-
превращение энергии в форму монохроматиче-
монохроматической плоской электромагнитной волны.,
В этой форме энергия может быть сфо-
сфокусирована, т. е. собрана в весьма
малый объем. При высокой концентра-
концентрации энергии можно достичь сверхвысо-
сверхвысоких температур и давлений, появляется
надежда осуществить термоядерный
синтез. Уже сейчас с помощью лазер.-
ного излучения удается осуществлять,
хирургические операции,, технологиче-
технологические процессы, химические реакции —
но вес это, как уже было сказано, тема
совсем других книг..

Глава 13
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
И КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В НИХ
§ 1. Основные понятия и единицы из-
измерения
В этой главе рассматриваются явления,
происходящие в электрических цепях.
Основными элементами электрической
цепи являются сопротивления, емкости,
индуктивности, источники тока (нап-
(напряжения). Не претендуя па замену
учебника физики, а лишь стремясь не-
несколько дополнить, развить и уточнить
знания, которые дает школьный учеб-
учебник, напомним вкратце определения
сопротивления, емкости и т. п. и еди-
единицы измерения этих величии; при
этом мы считаем, что в объеме школь-
школьного курса физики все эти основные
понятия читателю уже известны.
Количество электричества q опреде-
определяется как разность количеств поло-
положительных и отрицательных зарядов.
Единицей количества электричества яв-
является кулон (сокращенно Кл). Элемен-
Элементарный заряд — заряд протона — ра-
равен е^ = 1,6-109 Кл; заряд электрона
е„ = —1,6-10Э Кл.
Сила тока (или, кратко, ток) опре-
определяется как количество электричества,
протекающее в единицу времени череа
поперечное сечение проводника. Силу
тока будем обозначать через /. За еди-
единицу силы тока принимается ампер
(обозначение — А): ток в 1 А соот-
соответствует тому, что через поперечное
сечение проводника за секунду проте-
протекает 1 Кл. Таким образом, 1 Л —1 Кл/с;
удобнее, впрочем, говорить, что 1 Кл--
= 1 А-с, поскольку в системе СИ основ-
основной единицей является ампер, а кулон
определяется, как А-с.
За (положительное) направление тока
принимается направление, в котором
должны были бы двигаться п о л о ж и-
тельные заряды для того, чтобы
создать данный ток. В действительности
в металлических проводниках положи-
положительные заряды неподвижны, а ток те-
течет благодаря движению электронов,
несущих отрицательные заряды. Тело,
заряженное положительно, — это, как
правило, тело, которое потеряло часть
своих электронов (только в редких
случаях положительный заряд есть ре-
результат того, что тело приобрело поло-
положительные заряды). Отрицательно заря-
заряженное тело — это тело, которое приоб-
приобрело избыточные электроны. Направле-
Направление тока есть направление, проти-
противоположное тому направлению,
в котором в проводнике движутся элек-
электроны.
Электрическим потенциалом данной
точки называется потенциальная энер-
энергия, которой обладает положительный
заряд в 1 Кл, помещенный в данную
точку. При этом считается, что электри-
электрический потенциал земли равен нулю.
Следовательно, равен нулю потенциал
той точки схемы, которая соединена
с землей металлическим проводом («за-
(«заземлена»). Единицей потенциала слу-
служит вольт (обозначение —• В). Потен-
Потенциал точки равен 1 В, если заряд в 1 Кл,
помещенный в эту точку, обладает по-
потенциальной энергией в 1 Дж. (Напом-
(Напомним, что единица энергии или работы
джоуль может быть определена как
работа силы 1 II на пути в 1 м: 1 Дж =
= 1 Н-м = 1 кг-м2/с2.) Потенциальная
энергия и заряда q, помещенного
в точку, где потенциал равен ср, есть
и(Дж) = д(Кл)-э(В). A3.1.1)
При этом надо представить себе, что q
мало, так как если поместить в данную
точку большой заряд (например, 1 Кл),
то изменится сам потенциал ср. Поэтому
лучше сказать, что потенциал ср — это
коэффициент при q в формуле A) —
коэффициент пропорциональности по-
потенциальной энергии заряда и коли-
количества электричества.
Работа А, которую совершит поле,
переводя заряд из точки, где потенциал
равен срх, в точку, в которой потенциал
равен ср2, есть
А =и1 — щ — q (ъ— у2).

§ 1. Основные понятия и единицы измерения
371
Подобно тому как во все физически
значимые утверждения механики входит
только разность потенциальных
энергий, но никогда — сама энергия,
так и в учении об электричестве в фор-
формулы входит всегда разность по-
потенциалов. Ко всем потенциалам
во всех точках можно прибавить одина-
одинаковое слагаемое — разность потенциа-
потенциалов от этого не изменится. Поэтому
потенциал в какой-нибудь одной точке
схемы или аппарата всегда можно вы-
выбрать произвольно, например положить
равным нулю, — и лишь после этого по-
потенциалы всех других точек становятся
вполне определенными. Именно это об-
обстоятельство позволяет принять за нуль
потенциал Земли.
Рассмотрим конденсатор (рис. 1), со-
состоящий из двух параллельных пластин
А и В. Одна из пластин (А) может быть
1»ис. 13.1.1
соединена с каким-либо источником
напряжения. Количество электричества
на ней прямо пропорционально раз-
разности потенциалов срг пластин конден-
конденсатора:
Ял = 6>с,
где разность потенциалов срс — это по-
потенциал пластины А минус потенциал
пластины В. Так как на рис. 1 пла-
пластина В заземлена, то здесь ср(, равно
потенциалу пластины А.
Коэффициент пропорциональности С
называется емкостью конденсатора. За
единицу емкости принимается фарада
(сокращено Ф) — емкость конденса-
конденсатора с разностью потенциалов пластин
1 В при заряде 1 Кл (К) Ф = 1 мкФ
(микрофарада), 10~9 Ф = 1 нФ (нано-
фарада), 10~12 Ф = 1 пФ (пикофарада)).
На пластине В конденсатора скапли-
скапливается равное по величине и противо-
противоположное по знаку количество электри-
электричества:
Электрический заряд замкнутой си-
системы есть сохраняющаяся величина:
ни при каких процессах электрические
заряды одного знака не возникают и
не исчезают1. Изменение заряда пла-
пластины А конденсатора связано с тем,
что заряд с пластины уходит куда-то
в другое место, например в точку D
(рис. 2).
Т
Рис. 13.1.2
Если в направлении от D к А (слева
направо) течет ток у, то за время dt
через поперечное сечение проводника
пройдет количество электричества jdt;
поэтому
л -л dgA
dqA = jdt, или -^- = ].
Рассмотрим теперь, от чего зависит
сила тока, текущего по проводнику.
По закону Ома сила тока пропорцио-
пропорциональна разности потенциалов на концах
проводника, причем ток течет от боль-
большего потенциала к меньшему. Таким
образом,
Положительная величина к назы-
называется проводимостью.
Обратная к величина -г называется
сопротивлением проводника и обозна-
обозначается буквой В. Единица сопротивле-
сопротивления называется ом (обозначение —
Ом) — это есть сопротивление провод-
проводника, по которому течет ток в 1 Л при
разности потенциалов на концах про-
проводника в 1 В, так что 1 Ом = 1 В/А.
Величину срл — ср4 в формуле B)
уместно обозначить через срй — это
есть разность потенциалов на сопротив-
сопротивлении В, причем величина срй (как
вытпе CEC) определяется как разность
значений потенциала слева и справа
(при этом ток течет слева направо).
В этих обозначениях закон Ома B)
можно записать так:
7Г
плгг
Bj.
A3.1.3)
Источником напряжения в цепи мо-
может быть, например, гальванический
1 При возникновении или исчезновении
двух противоположно заряженных частиц
с равным по абсолютной величине зарядом
полный электрический заряд системы не ме-
меняется.

372
Гл. 13. Электрические цепи и колебательные явления в них
элемент. На полюсах элемента имеется
определенная разность потенциалов.
Приближенно можно считать, что эта
разность потенциалов не зависит от
тока, протекающего через элемент.
В частности, в элементе ток может
течь в сторону от более низкого потен-
потенциала к более высокому. Через сопро-
сопротивление ток всегда течет от более вы-
ского потенциала к более низкому, по-
подобно тому как по трубе, соединяющей
два сосуда, вода течет из сосуда, в ко-
котором уровень воды выше, в сосуд,
в котором уровень воды ниже.
Элемент подобен насосу, который мо-
может забирать воду в нижнем сосуде и
поднимать ее в верхний сосуд, т. с.
заставлять воду передвигаться снизу
вверх. Для работы насоса необходим
какой-то внешний источник энергии,
приводящий насос в движение. Анало-
Аналогичной является и ситуация в гальва-
гальваническом элементе. Когда через элемент
проходит ток от более низкого к более
высокому потенциалу, в нем происхо-
происходят химические реакции. Энергия этих
химических реакций в элементе превра-
превращается в электрическую энергию.
Разность потенциалов, которую дает
элемент, называется электродвижущей
силой, или, сокращенно, ЭДС.
Рис. 13.1.3
Разность значений потенциалов на
элементе слева и справа (рис. 3) равна
ЭДС элемента со знаком минус:
В действительности ЭДС несколько за-
зависит от силы тока, протекающего через
элемент. Когда ток течет (на рис. 3
слева направо) в направлении от более
низкого потенциала к более высокому
(т. е. в нормальном режиме работы эле-
элемента, когда он производит электриче-
электрическую энергию), ЭДС Е уменьшается
с увеличением силы тока. Приближенно
можно считать ЭДС постоянной, по бо-
более точной является линейная зависи-
зависимость Е от силы тока:
= а — bj,
A3.1/1)
Элемент, ЭДС Е которого не зави-
зависит от силы тока / (т. е. элемент, для
которого Ь=0 в формуле D)), будем
называть идеальным.
Рассмотрим последовательное соеди-
соединение идеального элемента с ЭДС, рав-
равной а, и сопротивления Ъ (см. рис. 3).
Тогда
— ?2 — <Рз =
поэтому
= —а
Ъ] = —(а — bj) =—E.
Таким образом, мы вновь пришли к фор-
формуле D) для ЭДС Е. Поэтому величину Ъ
в формуле D) часто называют внутрен-
внутренним сопротивлением элемента; реаль-
реальный элемент, с которым мы обычно
имеем дело, дает такую же зависимость
D) Е от /, как соединенные последова-
последовательно идеальный элемент и сопротив-
сопротивление Ъ. За величиной а сохраняют
название ЭДС элемента и в случае
реального (а не идеального) элемента
(здесь имеется в виду, что Е=а при
7=0 2; величина b характеризует паде-
падение ЭДС при у =f= 0).
В дальнейшем при рассмотрении
электрических цепей, в которые входят
источник тока, например гальваниче-
гальванический элемент, и различные сопротивле-
сопротивления, можно представить себе, что мы
имеем дело с идеальным элементом с по-
постоянной, не зависящей от тока ЭДС,
а внутреннее сопротивление Ъ источ-
источника объединить с внешним сопротив-
сопротивлением R. Таким образом, реальный
элемент с внутренним сопротивлением Ь,
включенный последовательно с сопротив-
сопротивлением R, эквивалентен идеальному эле-
элементу, включенному последовательно с
сопротивлением R1 = R-\-b. Ток в цепи
в этом случае определяется формулой
Е
Следует еще раз обратить особое вни-
внимание на различие между сопротивле-
сопротивлением и источником напряжения. Если
в какой-то цепи на сопротивлении име-
имеется разность потенциалов такая, что
ср2 ~^> срх (рис. 4), то, по нашему опреде-
определению, =рк=ср1 — cf2 < 0, т. е. сря от-
где (положительные) коэффициенты а и
Ъ являются характеристиками элемента.
2 Так как при разомкнутой цепи ток равен
нулю, то ЭДС можно определить как разность
потенциалов разомкнутого элемента.

§ 1. Основные понятия и единицы измерения
373
рицательно; следовательно, по формуле
C) и ток отрицателен. Значит, ток течет
справа налево, от точки 2 к точке 1.
Теперь пусть разность потенциалов та-
такого же знака имеется на концах источ-
источника напряжения, причем зависимость
Рис. 13.1.4
Е от j дается формулой D) (см. рис. 3).
Пусть при этом ср3 ^> tfi, но срз — 9i <С а-
Тогда Ь/=ф! — ср3+а=а — (фз — Ti) >
^> 0, т. е. j ^> 0. Поэтому ток течет
слева направо, несмотря на то что по-
потенциал срх слева меньше, чем потен-
потенциал срз справа. Таким образом, источ-
источник напряжения способен преодолевать
разность напряжений и давать положи-
положительный ток (слева направо) при отри-
отрицательной разности потенциалов (^ —
— срз <С 0)' если только эта отрица-
отрицательная разность потенциалов по абсо-
абсолютной величине не превышает ЭДС
источника. Между тем сопротивление
при отрицательной разности потенциа-
потенциалов всегда дает отрицательный ток.
В любой схеме, состоящей только из
сопротивлений (без ЭДС), мы будем
иметь лишь тождественно равное нулю
решение задачи об определении тока;
при наличии же элементов (ЭДС; рис. 5)
возможно и ненулевое решение.
Рассмотрим теперь явление индук-
индуктивности. Оно связано с магнитным
полем, возникающим в окружающем
проводник пространстве, когда по про-
проводнику течет ток. Это магнитное поле
особенно велико, если проводник имеет
вид катушки с большим числом витков.
Поле еще больше увеличивается, если ка-
катушка намотана на железный сердечник.
В свою очередь магнитное поле (пе-
(переменное поле!) вызывает электриче-
электрические явления. Известно, что каждый
Г
-о
Рис. 13.1.5
виток (и даже каждая часть витка)
катушки при наличии переменного маг-
магнитного поля становится источником
напряжения, подобным гальваниче-
гальваническому элементу. В катушке, в которой
витки намотаны так, что ток обходит
сердечник катушки в одном и том же
направлении на всем протяжении ка-
катушки, все эти источники напряжения
соединены последовательно, так что
напряжения складываются.
В целом катушка эквивалентна источ-
источнику напряжения с разностью потен-
потенциалов, пропорциональной скорости из-
изменения магнитного поля. Но магнитное
поле в катушке пропорционально силе
тока в катушке 3. Поэтому скорость из-
изменения магнитного поля пропорцио-
пропорциональна скорости изменения тока,
т. е. производной -г. Окончательно
в катушке (рис. 6)
— ?*=?
At
A3.1.5)
причем за положительное направление
тока принято направление внутри ка-
катушки от точки 1 к точке 2, а величина
У-
г
Рис. 13.1.6
срй есть разность потенциалов на ка-
катушке: потенциал срх слева минус потен-
потенциал ср2 справа. Рассматривая подробно
направление магнитного поля и ЭДС,
индуцируемую при его изменении,
можно доказать, что коэффициент L
в этой формуле (так называемая индук-
индуктивность) всегда положителен.
Из формулы E) следует, что если
4
4г' то ?i —СР2<°. т. е. ср2>ср1.
Таким образом, если ток положителен
(течет от 1 к 2) и по величине умень-
уменьшается, то катушка играет роль эле-
элемента, поддерживающего в цепи поло-
положительный ток, несмотря на то что
срь <С 0. Если же ток положителен и
di
увеличивается, то —г- ^> 0; поэтому
ср? > 0. В этом случае катушка играет
роль добавочного сопротивления, так
как здесь разность потенциалов на ка-
катушке положительна при положитель-
положительном токе (ср. с C)).
3 Мы не будем рассматривать случай,
когда на одном сердечнике намотаны две ка-
тушкп, т. о. трансформатор, связывающий
между собой две электрические цепи, в кото-
которых текут разные токи. Не рассматриваются
также случаи более сложной зависимости маг-
магнитного ноля от тока, когда в катушку встав-
вставлен железный сердечник и сила тока так ве-
велика, что железо «насыщается».

374
Гл. 13. Электрические цепи и колебательные явления в них
Существенное отличие катушки от
источника напряжения и от сопротив-
сопротивления заключается в том, что вели-
величина ср? зависит не от величины тока ;,
dj
а от скорости — его изменения.
Единица индуктивности (коэффициент
L в уравнении E); ранее вместо выраже-
выражения «индуктивность катушки»4 употреб-
употреблялся термин «самоиндукция») назы-
называется гепри (обозначение —¦ Г). Ут-
Утверждение, что индуктивность катушки
Рис. 13.1.7
равна 1 Г, означает, что при скорости
изменения тока, равной 1 А/с, в ка-
катушке возникает разность потенциалов
в 1 В. Размерность индуктивности по-
получаем из формулы E):
1 Г = 1 В-с/А.
Из сказанного видно, что индуктив-
индуктивность влияет на ток в цепи так же, как
инертная масса (маховик) влияет на
скорость движения: индуктивность пре-
препятствует изменению тока, масса (по
второму закону Ньютона) препятствует
изменению скорости. Подробнее эта
аналогия будет рассмотрена в § 4.
С точки зрения дальнейших расчетов
емкость, сопротивление, ЭДС и индук-
индуктивность имеют между собой нечто об-
общее: в схеме все они присоединяются
двумя проводами (в отличие, напри-
например, от трансформатора, имеющего че-
четыре вывода, или радиолампы, имею-
имеющей три вывода — анод, катод, управ-
управляющая сетка). Приборы, которые
включены в схему при помощи двух
проводов, носят название двухполюсни-
двухполюсников; приборы, включаемые при помощи
четырех проводов, называются четырех-
четырехполюсниками и т. д. В схеме каж-
каждый элемент — емкость, сопротивление,
ЭДС, индуктивность — в каждый мо-
4 Часто вместо того, чтобы сказать «ка-
«катушка, индуктивность которой равна L»,
для краткости говорят просто «индуктив-
«индуктивность L». Говорят также «емкость С» вместо
«конденсатор, емкость которого равна С».
Точно так же говорят об ЭДС К вместо того,
чтобы говорить о гальваническом элементе,
или источнике напряжения.
мент времени характеризуется опреде-
определенным током, который проходит через
этот элемент, и определенной разностью
потенциалов на входе и выходе.
Можно представить себе закрытый
ящик Я (рис. 7) с двумя торчащими из
пего проводами А ж В. Внутри ящика
может быть что угодно: R, E, L, С.
Подключим к ящику амперметр А и
вольтметр V. При включении, пока-
показанном на рис. 7 (знаки «+» и «—»
соответствуют надписям на клеммах ам-
амперметра и вольтметра), амперметр по-
показывает ток /, идущий в направлении
от А кВ. Вольтметр показывает разность
потенциалов
<Р* — ?л — SV
От того, что находится внутри ящика,
зависит связь между сся и ;':
т? случае сопротивления R сря = /?/,
A3.1.6)
в случае ЭДС5 Ео сря=— Ео, A3.1.7)
л случае индуктивности L сря = Ь-т—,
A3.1.8)
в случае емкости 6 С ?я = (сОп +
+-И**.
или
dt
-г!-
A3.1.9)
A3.1.9а)
В некоторых случаях осуществляются
ы более сложные зависимости. Так, на-
например, выпрямитель тока (двухэлек-
(двухэлектродная лампа или полупроводниковый
Рис. 13.1.8
диод) не подходит пи под одну из фор-
формул F) — (9). Однако в большом числе
важных вопросов можно ограничиться
рассмотрением элементов схем, для ко-
¦'• Внутреннее сопротивление ЭДС мы пе
учитываем.
d
9-4 ="=
- '¦
= 'С'- Кс;ш
I! начальный момент времени t = t0, ся =
t
= (тл)о. то «„=(?„),, -т- -q \ jdt.

§ 2. Разряд емкости через сопротивление
375
торых с хорошей точностью выпол-
выполняются формулы (G)—(9). Ниже мы бу-
будем рассматривать именно такие схемы,
за исключением § 17, где специально
рассматриваются свойства контура,
в который включено устройство со
сложной зависимостью тока от раз-
разности потенциалов.
Рассмотрим схему, изображенную на
рис. 8. Выпишем падения напряжений
на отдельных элементах схемы:
S. =СР, — С2 , С5„ —» — ©,, . (J3.1.10)
Заметим еще, что срд(,= ®.i/>, cs?/? = csj/.
;рЛ/ =; cpjf; поэтому, сложив почленно все
равенства A0), получим
Если цепь рис. 8 замкнута, то wA t =
—'-рд - В этом случае, следовательно,
?г+?,,. + Т/.4-'^ = °- A3.1.11)
Ото общее равенство вместе с выра-
выражениями F)—(9) полностью определяет
все процессы в цепи. Ниже мы, поль-
пользуясь этим равенством, будем рассма-
рассматривать различные цепи, начиная с са-
самых простых, состоящих только из
д в у х элементов.
§ 2. Разряд емкости через сопротив-
сопротивление
Рассмотрим процесс, происходящий
в цепи, состоящей из емкости С и со-
сопротивления В (рис. 1). Потенциал
точки А обозначим ср (пластину В будем
считать заземленной). Вначале пусть
с —ср0. Соответствующее количество
электричества на пластине А будет
Можно ли говорить о токе, идущем
через емкость? В конденсаторе две пла-
пластины разделены изолятором (например,
воздухом), так что в действительности
электрон не может пройти через ем-
емкость, т. е. попасть из А в В. Однако
если на пластину А попадает положи-
положительный заряд, то пластина В заря-
заряжается отрицательно, так что с пла-
пластины В по проводу уходит положитель-
положительный заряд (ток также идет слева на-
направо). Два амперметра Ах и А2, один
из которых измеряет силу тока в про-
проводе, присоединенном к пластине А,
другой — в проводе, присоединенном
к пластине В, дают одинаковые показа-
показания. Что именно (положительные за-
заряды или электроны) проходит в раз-
различных частях электрической цепи, нас
не интересует, так же как не интере-
интересует — те же электроны пройдут
через А2, которые ранее прошли через
Alf или другие. Поэтому везде в даль-
дальнейшем будем говорить о токе, иду-
идущем через конденсатор,
имея при этом в виду ток, проходящий
по проводам, присоединенным к пла-
пластинам конденсатора. В электрической
цепи о токе, идущем через конденсатор,
// /7
Рис. 13.2.1
можно говорить так же, как о токе,
идущем через сопротивление или индук-
индуктивность; отличие заключается в другом
виде связи между током и разностью
потенциалов, что выражено формулами
A.9) и A.9а).
При замыкании рубильника Р (см.
рис. 1) по сопротивлению R пойдет ток
1
1 — "Л ?Д-
По формуле A.11) иН-срл=О, откуда
ад= — ср; поэтому
1
Я
со.
A3.2.1)
Так как положительным здесь мы назы-
называем ток, текущий слева направо, то
при ср ^> 0, как видно из формулы A),
ток отрицателен, течет справа налево,
конденсатор разряжается1. Вспоминая,
dq . .
что ]=:-—- (ток через конденсатор), a q =
= Со, находим
i — Г d'f
1 dt ¦
Сравнивая A) и B), находим
<Ь __ 1
~Ж RC У'
A3.2.2)
A3.2.3)
1 Заметим, что во всех схемах (см. рис. 1.8
и далее), изображаемых в виде контура пря-
прямоугольника, мы говорим о направлении тока
в верхней стороне прямоугольника;
в нижней стороне, замыкающей цепь, ток
имеет, очевидно, противоположное
направленно.

376
Гл. 13. Электрические цепи и колебательные явления в них
С подобным дифференциальным уравне-
уравнением мы встречались в связи с задачей
11±1V^1-L ХЧЛ-ЛЛ9. -U\_/ J. IJ V л.*Л*>А*-1- \J Л-* Л-* V^ Л-Г J-LtJ JLA. V t-ил^^*^ J.W.KJ. JILT If
о радиоактивном распаде (см. гл. 8) и Так
рд рд ( )
во многих других разделах этой книги.
Если ср=ср0 при t=0, то решение урав-
уравнения C) таково:
to (t) = cpoe-"z;fcr. A3.2.4)
Отсюда
»
/У
Рис. 13.2.2
Из формулы C) видно, что величина
RC имеет размерность времени. Прове-
Проверим это:
откуда
К л
Li
За время t=RC заряд конденсатора
д, а также сила тока j уменьшаются
в е раз.
Процесс разрядки конденсатора легко
проследить на опыте. В магазинах ра-
Рис. 13.2.3
Ж JfiC t
диодеталей продаются конденсаторы ем-
емкостью С=20 мкФ=20-10~6 Ф и сопро-
сопротивления i?=20 МОм=20-10в Ом. Для
схемы с такими R и С получим RC=
=400 с — очень удобное для наблюде-
наблюдения время.
Величина RC называется постоянной
времени контура, состоящего из емкости
и сопротивления (напомним, что в слу-
случае радиоактивного распада аналогич-
аналогичная величина называлась средним вре-
временем жизни).
Рассмотрим задачу зарядки ем-
емкости через сопротивление. Соответст-
Соответствующая схема изображена на рис. 2.
Если рубильник Р замкнут, то согласно
A.11) zK \-'ci: ,'-cp—0, где ср — потенциал1
незаземленной пластины конденсатора.
Т Е
как
днсаора.
= —Е0, срл=Д/, то — Ео+
+ДН-ср=-О. Ток через конденсатор /=
_ d9 __ dtp _
или
—— : (CD Г ] i\ 4 9 tY
Для того чтобы найти, как меняется ср
с течением времени, удобно ввести но-
новую переменную z=cp — Ео; тогда dz=
= dcp. При этом уравнение E) примет
следующий вид:
dz _ z
Ж ~~ НС •
Его решение таково:
A3.2.6)
где z0 — значение z в начальный момент
времени.
Найдем решение для случая, когда
в начальный момент времени конденса-
конденсатор не заряжен: ср=О при t=0. Тогда
zo = —Ео. Из F) получаем z=—Еое~тс,
т. е.
<Р = z + Ео = -
W + Ео =
A3.2.7)
График зависимости ср от t изображен
на рис. 3. Кривая соответствует фор-
формуле G), пунктирная горизонтальная
прямая представляет собой то значение
cp = i?0, к которому с течением времени
приближается решение. Величина z
имеет геометрический смысл расстоя-
расстояния по вертикали от кривой до пунк-
пунктирной линии. Это расстояние с тече-
течением времени убывает по экспонен-
экспоненциальному закону.
За время, равное RC, заряд конден-
конденсатора достигает 63% своего конечного
значения, за время 2RC — 86% и за
время 3RC — 95% конечного значения.
Из формул D) и G) видно, что раз-
разрядка и зарядка конденсатора происхо-
происходят тем быстрее, чем меньше сопротив-
сопротивление R и чем меньше емкость С.
Упражнении
13.2.1. В схеме рис. 1 С=10"в Ф и Л =
= 107 Ом; Л = 108 Ом; Л = 109 Ом. Для каж-
каждого нз атих случаев определите, через сколько

§ 3. Колебания в цепи емкости с искровым промежутком
377
времени ток, текший и начальный момент
через конденсатор, уменьшится на 10%;
уменьшится вдвое.
13.2.2. Рассмотрите процесс выравнива-
выравнивания потенциала через сопротивление Н при
последовательном: соединении д в у \ коп-
Рис. 13.2.4
денсаторов Сл и С2, один из которых в началь-
начальный момент ?=0 заряжен до разности потен-
потенциала эг @) — а, а другой не заряжен новее,
т. е. г,^ @)=0 (рис. 4).
13.2.3. Определить изменение постоянной
времени контура в схеме рис. 1, если псе ли-
линейные размеры схемы увеличить л п раз
(конденсатор считать плоским). (Условия за-
задачи надо ношшать так: увеличиваются как
размеры конденсатора, так и размеры сопро-
сопротивления, но материалы, из которых изго-
изготовлены конденсатор н сопротивление, но
меняются.) [Указание. Из физики из-
известна формула для емкости плоского
S
конденсатора: С = е 4-пГ' где ^ ~ |1Л0|иадь
пластины конденсатора, d — расстояние между
пластинами, е — постоянная величина, за-
зависящая от материала между пластинами
(диэлектрическая постоянная). Величина
проволочного сопротивления находится по
формуле Л = о — , где г —длина, о — пло-
площадь поперечного сечения, р — постоянная,
зависящая от материала проволоки.]
§ 3. Колебания в цепи емкости с искро-
искровым промежутком
Типичная схема использования конден-
конденсатора показана на рис. 1. В цепь
включен источник напряжения с ЭДС
Е и сопротивлением R (роль R может
играть внутреннее сопротивление источ-
источника напряжения). Ниже находится
искровой промежуток; при разности
потенциалов меньше определенного зна-
значения epi искровой промежуток явля-
является изолятором; при ср=ср1 проскаки-
проскакивает искра, воздух между проводами
накаляется до высокой температуры и
становится хорошим проводником. Сум-
Суммарное сопротивление подводящих про-
проводов и накаленного воздуха обозначим
через г. Величина г мала и остается
малой до тех пор, пока идет ток, под-
дер живающий высокую температуру
воздуха. При определенном малом зна-
значении тока /2 воздух остывает и искро-
искровой промежуток снова становится изо-
изолятором. Этому значению тока соот-
соответствует разность потенциалов ср.2 =
--=hr- При этом cfj > ср2: нужно боль-
большее напряжение для того, чтобы за-
зажечь искру, чем для того, чтобы под-
поддержать ее горение.
На рис. 2 показана зависимость ср
от t для такой схемы. На участке ОА
происходит зарядка емкости, ток не
идет через искровой промежуток. В этом
случае справедлива формула B. 6):
да —?A — е-'/с™)). A3.3.1)
В точке А в момент времени t—tA
разность потенциалов достигает значе-
17
ния cpl5 искровой промежуток начинает
проводить ток, идет разрядка конденса-
конденсатора. Так как при этом R ^> г, то то-
током, идущим от источника напряже-
напряжения, по сравнению с током, идущим че-
через искровой промежуток, можно пре-
Г
Рис. 13.3.2
О
В М
небречь. Поэтому для ср получаем урав-
уравнение
dt
_
rC
причем cp=cf>! при t=tA. Отсюда на-
находим
ср = срхе rt . A3.3.2)
В момент времени t=tB (в точке В)
ср=ср2; при этом искровой промежуток
опять становится изолятором, снова на-
начинается зарядка (участок ВС) и т. д.
Определим время tB — tA, в течение
которого происходила разрядка ем-
емкости. Для этого воспользуемся тем,

378
Гл. 13. Электрические цепи и колебательные явления в них
что ср=ср2 при t = ln- Из уравнения B),
полагая в нем ср--^2, t—t/;, получим
'в-'л
откуда
На участке ВС (зарядка) справедлива
зависимость A), сдвинутая по времени
Рис. 13.3.3
на величину х (на рис. 2 величина т.
изображается отрезком Л0В). Поэтому
Полагая здесь t — tn, получим
tj-T. N
Аналогично, полагая L--=tr, находим
Из последних двух формул следует
Е — <
Е - ?1
= е hb , или
Е — ср2
Полный период процесса (зарядка
разрядка) есть
Т = Ic — tA = (t(: — tB) + (tn — ^) =
Обычно сопротивление в цепи источ-
источника напряжения R во много раз
больше сопротивления искрового про-
промежутка, поэтому время зарядки го-
гораздо больше времени разрядки. Зато
ток разрядки оказывается во много раз
больше, чем ток зарядки, больше, чем
тот максимальный ток, который можно
было бы получить от источника напря-
напряжения (при наличии внутреннего со-
сопротивления 11 i источник напряжения
но дает ток больше, чем -iy-). Схема на
рис. 1 преобразует длительный малый
ток, вызываемый источником напряже-
напряжения, в сильный ток, который, однако,
течет не все время, а в течение кратких
промежутков времени (как принято го-
говорить, наблюдаются «короткие им-
импульсы» тока).
Действие схемы подобно системе, в ко-
которой маленькая струйка воды посте-
постепенно наполняет сосуд (рис. 3). Сосуд
закреплен так, что, когда накопится
достаточное количество воды, он опро-
опрокидывается, вода выливается, после
чего сосуд снова принимает вертикаль-
вертикальное положение, и процесс начинается
сначала. Па рисунке сосуд закреплен
на горизонтальной оси 00', располо-
расположенной ниже середины сосуда. Внизу
к сосуду прикреплен груз, так что
центр тяжести пустого сосуда лежит
ниже оси. Однако когда сосуд запол-
заполняется водой, то центр тяжести полного
сосуда оказывается выше оси и сосуд
опрокидывается.
Вернемся к схемам рис. 2.1 и 2.2.
В таких схемах, состоящих из емкостей,
сопротивлений и ЭДС, по истечении не-
некоторого времени потенциалы практи-
практически становятся постоянными. Дейст-
Действительно, в схеме рис. 2.1 устанавли-
устанавливается ср=О, в схеме рис. 2.2 z = E0
(см. формулы B.4) и B.7)) х. Совер-
Совершенно другую картину наблюдаем в слу-
случае схемы с искровым промежутком.
Здесь происходят незатухающие коле-
колебания величины ср (правда, они очень
непохожи на те колебания, которые мы
изучали раньше). Эти колебания свя-
связаны с особыми свойствами искрового
промежутка, в частности с тем фактом,
что до достижения определенного по-
потенциала (так называемого потенциала
пробоя cfi) ток через искровой промежу-
промежуток совсем не идет.
О свойствах разряда через воздух
в искровом промежутке написано много
книг; мы привели только минимум све-
сведений, необходимых для понимания
1 Ниже мы увидим, что это стремление по-
потенциала к постоянному значению при i -* со
сохраняется и при наличии в схеме индуктпв-
ностеи.

§ 4. Энергия конденсатора
379
действия схемы рис. 1. Сказанного выше
недостаточно, например, для ответа на
простой вопрос: что произойдет, если
соединить искровой промежуток с ис-
источником напряжения без конденса-
конденсатора?
Действительно, если ток не идет, то
на искровом промежутке будет напря-
напряжение Ео. Так как Ео ]> сра, то должен
произойти пробой. Но если бы произо-
произошел пробой, то сопротивление искро-
искрового промежутка стало бы малым, рав-
равным г. Тогда на искровом промежутке
возникла бы разность потенциалов, рав-
равная Ец „ , и ток /-——г~5 ¦ Если R
велико, то ток / мал — меньше ;2, раз-
разность потенциалов па искровом проме-
промежутке мала —• меньше ср2. Но в таком
случае воздух не нагревается, и сопро-
сопротивление искрового промежутка не ста-
станет малой величиной г, а, значит, раз-
разность потенциалов будет велика, равна
Е. Мы получаем противоречие.
Па самом деле в этих условиях полу-
получается электрический разряд другого
типа, так называемый тлеющий разряд
(малый ток без нагрева воздуха), а не
искра с накаленным воздухом.
§ 4. Энергия конденсатора
Заряженный конденсатор обладает оп-
определенным запасом энергии; этот запас
энергии может быть отдан очень быстро,
если конденсатор разряжается на ма-
малое сопротивление.
Найдем запас энергии конденсатора
емкости С, одна пластина которого за-
заземлена, а другая имеет потенциал ср0.
Тогда количество электричества до=
= Сср0.
На первый взгляд энергия равна про-
произведению gy-fo ( = Сср^). В действитель-
действительности это выражение хоть и правильно
передает порядок величины q0, но все же
не точно: оно вдвое отличается от
истинного.
Рассмотрим процесс зарядки конден-
конденсатора. В момент, когда его потенциал
равен ср, а заряд q, добавка малого
количества электричества dq увеличи-
увеличивает энергию на
d\V = -.odq. A3.4.1)
Существенно то, что по мере зарядки
сам потенциал ср меняется, так как
<p~-p-q- Подставляя это значение ср в A),
получим
1
IT
dW = 4r qdq.
A3.4.2)
Проинтегрируем B) от q=Q (незаряжен-
(незаряженный конденсатор) до q=q0; получим
±?-
1
A3.4.3)
Таким образом, точный расчет застав-
заставляет нас приписать к произведению
gV-po коэффициент 1/2.
Пусть теперь зарядка конденсатора
производится от источника напряже-
напряжения через сопротивление (см. рис. 2.2).
Источник напряжения имеет постоян-
постоянную ЭДС Ео. Поэтому, когда протекает
количество электричества dq, источник
напряжения совершает работу Eodq (эта
работа совершается за счет соответст-
соответствующего уменьшения химической энер-
энергии источника напряжения). Следова-
Следовательно, полная работа, совершаемая
источником напряжения, равна Eoqo,
где q0 — полное протекшее количество
электричества. При зарядке конденса-
конденсатора процесс закончится, когда потен-
потенциал ср станет равным Ео. При этом
источник напряжения произведет работу
Eoqo ¦=- Е0СЕй = С Е\.
Каким запасом энергии будет обла-
обладать конденсатор? Это легко подсчи-
подсчитать по формуле C):
Куда же делась половина работы,
совершенной источником напряжения?
Она пошла на нагревание сопротивле-
сопротивления R. Вспомним, что если через со-
сопротивление протекало количество
электричества dq, то при этом выде-
выделилась энергия
dA=yRdq, A3.4.4)
где срл — разность потенциалов на кон-
концах сопротивления. Пользуясь тем, что
dq = jdt, ) = -5 , мы можем преобразо-
преобразовать D) к хорошо известному виду:

380
Гл. 13. Электрические цепи и колебательные явления в них
Величина ]2Л = —-~- представляет собой
количество энергии, выделяющейся на
сопротивлении в единицу времени, т. е.
тепловую мощность; ее размерность,
как и следовало ожидать, Вт:
[72i?]=A2-OM=A2 • (В/А)=А-В =
=А-(Вт/А)=Вт.
Зависимость / (t) в случае зарядки
конденсатора через сопротивление была
найдена в § 2:
; (t\ _fi5. p-tlBV
1 \Ч — R е
Поэтому dA = Щ- e-2ti"(!dt.
Энергия, выделившаяся за время Т,
есть
т
Отсюда
Л(Г) = --2-
1
C-21IRC
A3.4.5)
Мы знаем, что при неограниченном
возрастании промежутка времени Т по-
Рис. 13.4.1
тенциал ср неограниченно приближа-
приближается к значению Ео. При этом, как
видно из E), величина А неограни-
неограниченно приближается к 112СЕ20. Поэтому
полная энергия, выделившаяся на со-
сопротивлении,
¦ — Г F2
¦ 2 <>•
A3.4.6)
Таким образом, расчет подтверждает,
что при зарядке конденсатора половина
энергии теряется на сопротивлении:
КПД зарядки равен всего лишь 50%.
Заметим, что если прямо присоединить
провод от источника напряжения к кон-
конденсатору, то ничего не изменится: все
равно КПД будет 50%, роль сопротив-
сопротивления R возьмет на себя внутреннее
сопротивление источника напряжения,
который будет при этом нагреваться.
Из формулы F) видно, что энергия,
бесполезно теряемая на сопротивлении
при зарядке конденсатора, не зависит
от величины сопротивления Л, а сле-
следовательно, не зависит от того, на-
насколько быстро происходит зарядка.
Поскольку величина Л не вошла
в F), то эту формулу можно получить,
не вводя Л в промежуточные преобра-
преобразования. Действительно, для схемы
рис. 2.2 срд-Ьсрй-Ьср6,=О, откуда срд=
— _cpg — срс = Еп—^-. Поэтому dA =
= (Е0—7^)dq- Интегрируя это выраже-
выражение от q = 0 до q~qo = EoC, получим
снова
Последний вывод справедлив и для
случая, когда сопротивление Л ме-
меняется со временем; предыдущий же
был справедлив лишь для i?=const,
так как только в этом случае можно
применять формулы § 2.
Для того чтобы уменьшить потери
при зарядке емкости, нужно было бы
поступать так: сначала взять источник
напряжения с малой ЭДС Ех и заря-
зарядить конденсатор до потенциала Еи
затем первый источник напряжения от-
отключить и присоединить второй источ-
источник с большей ЭДС Е2. Зарядив ем-
емкость до потенциала 2?2, отключить
второй источник и подключить третий
с ЭДС Е3 и т. д. Получаемый при этом
выигрыш легко представить графи-
графически: будем по оси абсцисс отклады-
откладывать заряд конденсатора q, по оси ор-
ординат — его потенциал ср. Они связаны
\
зависимостью <р~-~-д, которая ниоора-
жается прямой линией (рис. 1).
Энергия конденсатора равна площади
треугольника ОАБ. Работа, произве-
произведенная источником напряжения, равна
площади прямоугольника OABD. Энер-
Энергия, потерянная на сопротивлении,
равна площади треугольника ODB.
В случае зарядки конденсатора в не-
несколько приемов сумма работ всех ис-
источников напряжения равна площади,
заштрихованной на рис. 2. Предлагаем

§ 4. Энергия конденсатора
381
читателю найти КПД для случая, когда
процесс зарядки разбит на п этапов:
конденсатор,
была зазем-
заземВыше рассматривался
одна пластина которого
лена, находилась при потенциале ср1 = О.
При этом энергия конденсатора зависит
от потенциала ср2 второй пластины:
Если ни одна из пластин не заземлена,
то энергия конденсатора зависит от
разности
нах:
потенциалов cpt, на пласти-
Действительно, мы знаем, что заряд q
на каждой пластине конденсатора за-
зависит от разности потенциалов; при
этом заряды на пластинах равны по ве-
величине и противоположны по знаку:
9л =
dqA
Яв = ~
—Ял
dqB
При расчете изменения энергии в про-
процессе зарядки надо учесть изменение
заряда обеих пластин. Пусть потен-
потенциал пластины А равен срь потенциал
пластины В равен ср2, где tpi — ср2 = с?(-
Тогда
dW = ®^дл -f f,zdqB = ®xdqA — <?2dqA =
— (•¦?!
Та
= %,dqA.
J ак как f,,-- jr , то
dWt = -? q {dqA. A3.4.7)
Интегрируя G) от 0 до qv получим
д'л 1 , ,
Зная выражение энергии заряжон-
ного конденсатора в зависимости от ем-
емкости, можно найти механические силы,
действующие между пластинами кон-
конденсатора. Представим себе, что пла-
пластины конденсатора соединены меха-
механически с каким-то рычагом и емкость С
зависит от положения рычага. Если по-
положение рычага характеризуется значе-
значением координаты х, то емкость можно
записать как С (х). При определенном
положении рычага х0 емкость конден-
конденсатора С (хо) = Со. Если в этом положе-
положении конденсатор заряжен до потен-
потенциала ср0, то заряд на пластинах до =
= Сосро, энергия конденсатора
Отсоединим конденсатор от источ-
источника напряжения и будем передвигать
рычаг. Тогда заряд сохраняется по-
постоянным (потенциал меняется обратно
Рис. 13.4.2
пропорционально емкости), энергия ме-
меняется:
(х) —
1С (х) •
Электрическая энергия заряженного
конденсатора подобна упругой энергии
пружины. Увеличение W (х) происхо-
происходит в том случае, если внешняя сила,
приложенная к рычагу, совершает ра-
работу. При этом внешняя сила преодоле-
преодолевает силы, действующие на рычаг со
стороны пластины конденсатора. На-
Напротив, при уменьшении W (х) рычаг
передвигается, совершая работу против
внешних приложенных сил. Можно сде-
сделать вывод, что сила, действующая на
рычаг со стороны пластин конденсатора,,
равна
aw а г gg -|
dx [_2С (х) \
dx
dC(x)
dC
dx
dx
A3.4.8)
Сила направлена в сторону увеличе-
увеличения емкости. Так, например, если кон-
конденсатор состоит из двух равных парал-
параллельных пластин, то емкость обратно
пропорциональна расстоянию между
пластинами. Значит, емкость увеличи-
увеличивается при сближении пластин. Дейст-
Действительно, при заряженном конденса-
конденсаторе на пластинах находятся заряды
противоположных знаков и пластины

382
Гл. 13. Электрические цепи и колебательные явления в них
притягивают друг друга тем сильнее,
чем меньше расстояние между ними.
Формула (8) позволяет найти силу и
в более сложных случаях, например
в случае переменного конденсатора,
в котором одна пластина может пере-
перемещаться в зазоре между двумя непо-
неподвижными.
Важно обратить внимание на то, что
d\V
производную -j- М1Д орали при задан-
заданном постоянном заряде q. Однако нельзя
при нахождении силы по формуле F=
dW ,, ,,,
:— -г- орать производную от И< =
С (t)S-
---—- ' , считая <о постоянным и учи-
учитывая, что С зависит от х. При атом мы
получили бы неправильный знак силы.
Действительно, если конденсатор отсо-
отсоединен от источника напряжения, то ср
непостоянно: <p~jr, где С = С(х). Если
конденсатор присоединен к источнику
напряжения, то при изменении емкости
се остается постоянным. Однако при
этом меняется заряд д; значит, через
источник напряжения течет ток, т. е.
источник напряжения совершает (при
увеличении С) работу, равную vdq. Сле-
Следовательно, при постоянном ср при изме-
изменении емкости, применяя закон сохра-
сохранения энергии, надо учитывать не
только изменение энергии конденсатора
и работу силы, но и работу, совершае-
совершаемую источником напряжения.
§ 5. Цепь с индуктивностью
Рассмотрим цепь, состоящую из сопро-
сопротивления R и индуктивности L
(рис. 1). По формуле A.11)
сРй + ?/. = °- A3.5.1)
Рис. 13.5.1
dj
Так как <рл = Rj, a cpL = L —г- , то, поль-
пользуясь A), находим
Решение этого уравнения имеет вид
-т'
/ @ = к? ' ¦ • A3.5.3)
Мы видим, что is цепи рис. 1 сила тока
уменьшается но экспоненциальному за-
закону. Уменьшение силы тока в е раз
происходит за время
Проверим размерность величины -^ .
Величина L измеряется в Г, т. о. вВ-с/А,
R — в Ом, т. е. в В/А. Поэтому
I?-,
-г- —с,
-jj имеет раз-
r. L
Величину -тг
1Н\ А А
так что действительно
мерность в р е м о н и.
будем называть временем затухания.
В схеме рис. 1, где нет источника на-
напряжения, ток с течением времени стре-
стремится к нулю. Вопрос о том, как в та-
такой схеме создать начальное значение
тока /0, мы рассмотрим немного ниже.
1'ис. 13.5.2 -ф
Обратимся теперь к схеме, состоящей
из источника с ЭДС, равной Ео, сопро-
сопротивления R и индуктивности L (рис. 2).
Из условия
вспоминая, что уЕ = —Ей, находим
-Еп
A3.5.4)
Перепишем это уравнение так:
/ R ( Ей
at
Это уравнение аналогично уравнению
B.5) и решается точно таким же при-
приемом. Получаем
Т
A3.5.5)
Таким образом, ток в цепи рис. 1 удо-
удовлетворяет уравнению
dj ___ Я .
~dt~ Th
A3.5.2)
где значение А определяется из началь-
начального условия. Пусть в начальный мо-
момент времени t = 0 мы замкнули рубиль-
рубильник, до этого момента размыкающий
цепь. При этом j @)=0, потому что при

§ 5. Цепь с индуктивностью
383
разомкнутом рубильнике ток по цепи
пе шел. При таком условии находим
А--- —-— и (Г)) принимает вид
я
A3.5.6)
С течением времени ток приближается
к значению
/« = -§-. A3.5.7)
Это значение тока не зависит от индук-
индуктивности L и просто получается из за-
закона Ома в цепи с ЭДС Ео и сопротив-
сопротивлением R. Однако такое значение тока
устанавливается не сразу, а постепенно
(рис. 3), и от индуктивности L зависит
время установления тока: через время
L „ г.о . 2L
-jT- ток равен 0,Ы /т; через время —
•ль
ток равен 0,86 /т; через время '—^
Я
ток
равен 0,95 /го и т. д; отношение LjR можно
назвать временем нарастания тока.
Согласно основному уравнению D)
сумма разности потенциалов Rj на со-
bdi
на индуктивности
противлении
равна ЭДС Ео. Интересно проследить
за каждым членом в отдельности. Они
показаны па рис. 4. В начальный мо-
момент / = ();///:— О, E0^L~; как гово-
говорят, «напряжение целиком садится па
индуктивности». С точением времени
ток приближается к постоянному зца-
d)
чоишо, -тт стремится
к пу.ио, «напряже-
«напряжение садится на сопротивлении».
Интересно сопоставить решения, да-
даваемые формулой F) для одинакового
Ео и разных R и L. Пусть R1 мало,
a R2 велико, Lt мало, L2 велико. При
разных комбинациях R и L получим
четыре зависимости тока от времени,
изображенные на рис. 5. Конечный
ток ;го зависит только от R, он одинаков
для R1: Lx и для Rt, L2; ток /„ одина-
одинаков также для пары кривых R2, Lx и
R2i L2. Начальная скорость нарастания
тока зависит только от индуктивности L
и не зависит от сопротивления: кривые
(Ru Lx) и (Д2, LJ; (i?j, L2) и (R2, L2)
касаются в точке О @, 0).
Из соображений размерности оче-
очевидно, что установившийся ток пропор-
пропорционален начальной скорости нараста-
нарастания тока и времени нарастания. При на-
нашем определении времени нарастания
отсюда уже получается совершенно пра-
правильная формула, без каких-либо доба-
добавочных коэффициентов. Действительно,
Я
Рис. 13.5.3
начальная скорость нарастания тока
dl /-II
равна—, время нарастания Т =¦
Рис. 13.5.4
L
~~п, откуда и получается установив-
установившийся ток:
/ — Т d]
li L ~ Я •
f
//
и
.
м

Рис. 13.5.5
Как осуществить начальный ток /„
в схеме (см. рис. 1), с рассмотрения
Рис. 13.5.G
которой мы начали? Для этого можно
взять схему, приведенную на рис. 6.
Сначала замкнем рубильник А при ра-
разомкнутом рубильнике R. Тогда в цепи

384
Гл. 13. Электрические цепи и колебательные явления в них
пойдет ток, который согласно формуле
¦G) вскоре достигнет значения " „ .
Ныборсм Ео так, что „ '° „ ~—/0- Дож-
Дождемся установившегося состояния, когда
в схеме с замкнутым А и разомкнутым В
ток равен /0. В этом состоянии замкнем
рубильник В и разомкнем А. Получим
схему рис. 1, причем в начальный мо-
момент времени (в момент замыкания В)
в ней идет ток /0. Потенциал в точке 1
до замыкания срг=О, так как в устано-
установившемся состоянии при постоянном /0
падение напряжения на индуктивности
L равно нулю. Потенциал в точке 2 до
замыкания равен ср2=/?/0. При замы-
замыкании рубильника В точка 2 оказы-
оказывается соединенной с «землей», потен-
потенциал в точке 2 ср2 = 0. Соответственно
перестраивается и потенциал в других
точках цепи. В частности, в точке 1 по-
потенциал теперь равен срх=—Rj.
§ 6. Размыкание цепи с индуктив-
индуктивностью
Выше был рассмотрен процесс установ-
установления тока в цепи рис. 5.2, состоящей
из источника напряжения, сопротивле-
сопротивления R, индуктивности L и рубильника.
Па рис. 5.3 показана кривая нараста-
Рис. 13.6.1
ния тока, получающаяся при замыка-
замыкании рубильника в момент ?=0. С тече-
течением времени ток достигает значения
]\>~-^-- Что произойдет, если теперь
внезапно выключить рубильник В? Если
ток прекратится за очень малое время х,
то производная тока по времени
dt
т. е. по абсолютной величине производ-
производная будет очень большой, поскольку мы
считаем, что т очень мало. При этом
возникает очень большой по абсолют-
абсолютной величине отрицательный потенциал
в точке А:
Разность потенциалов на сопротивле-
сопротивлении R, равная Rj, и ЭДС источника
при размыкании меняются мало. По-
Поэтому большая разность потенциалов,
которая получается на индуктивности
L, при размыкании почти целиком «са-
«садится» на рубильнике, т. е. разность
потенциалов разомкнутых пластин ру-
рубильника оказывается очень большой,
порядка L-, и может во много раз
превосходить ЭДС источника тока Ео.
При большой разности потенциалов
происходит электрический пробой воз-
воздушного промежутка между разомкну-
разомкнутыми пластинами рубильника и между
ними проскакивает искра.
Задача об изменении тока в цепи при
размыкании рубильника оказывается
очень сложной, так как сложны законы
электрического разряда в воздухе
между пластинами. В самом деле, до
пробоя при ср < ср„ ток не идет; однако,
когда пробой произошел, сопротивле-
сопротивление искры резко падает, идет большой
ток при разности потенциалов, значи-
значительно меньшей срп. Отметим здесь
только основной факт: в цепи с индук-
индуктивностью при размыкании возникают
большие разности потенциалов; при за-
замыкании такой цепи разность потенциа-
потенциалов нигде не превышает Ео (ЭДС источ-
источника).
Проследить количественно явление
кратковременного повышения разности
потенциалов можно на примере двух
схем рис. 1. Отличие этих схем от
схемы рис. 5.2 заключается в том, что
ток по индуктивности L может идти и
при разомкнутом рубильнике В, так что
размыкание происходит без искры. Од-
Однако если сопротивление R гораздо
больше сопротивления г, то при размы-
размыкании возникает большая разность по-
потенциалов на индуктивности.
Рассмотрим, например, схему
рис. 1, а. Будем считать, что R ^> г.
Если рубильник замкнут, то в произ-
произвольный момент времени ток в левой
части цепи (г, Е) равен сумме токов

6. Размыкание цепи с индуктивностью
385
в параллельно соединенных сопротив-
сопротивлении R и индуктивности L:
При этом всегда ср? = срд.
Пусть рубильник включен в момент
t = 0. В этот момент весь ток идет
через сопротивление R, так что / =
Е
= jR = „ ° по закону Ома. При этом
= 'Ео
R
¦ до
R
следовательно,
Ео
L
R
dt
По истечении достаточного времени
после замыкания в цепи установится
постоянная сила тока. В установив-
установившемся состоянии весь ток идет через
индуктивность. Действительно, если ток
dj A
] со временем не изменяется, то З7==и;
поэтому <р? = 0, а следовательно, <рд = О,
откуда jR = 0.
В установившемся состоянии <рг га =
= Ео, /г ео = /? со = - • Отсюда нетрудно
оценить порядок времени установления
тока т,:
' ha^ dt MXv
или
Eq R
откуда
rR
L
IT*
Рассмотрим теперь размыкание цепи,
произведенное через время t ^> тх после
замыкания, т. е. после того, как в цепи
установилось постоянное значение тока
/„,=—. Когда цепь разомкнута, jr =
= JE = 0 и /к + jL = 0, откуда /в = —/?,
т. е. весь ток, проходящий через L,
должен пройти через R в обратном на-
направлении. По-прежнему, конечно, ср? =
= сря. Поэтому срд = /?/д = —RjL, или
Так как ?й = Ь-^
то
dh
Мы получили уравнение E.2), что
вполне естественно, так как правая
часть схемы рис. 1, а (после размыкания
рубильника) не отличается от схемы
рис. 5.1.
Ток уменьшится в е раз за время
= -н-. При этом
н
так как
р
=— * После того как размы-
размы^>r. В момент размыкания ток имеет
значение /?С0
кание произошло, но раньше, чем ток
успел заметно уменьшиться, т. е. при
t размыкания меньше та, получим
t R ¦ L ^^ ' Leo Q г '
Таким образом, при размыкании
можно получить разность потенциалов^
Рис. 13.6.2
во много раз превышающую ЭДС источ-
источника напряжения. Этот принцип ши-
широко используется в технике, в част-
частности в системе зажигания двигателей
внутреннего сгорания. Отметим, что
эта большая разность потенциалов имеет
место в течение весьма малого проме-
промежутка времени.
Мы привели приближенное рассмотре-
рассмотрение задачи — фактически без^использо-
вания производных и всего аппарата
высшей математики. Точное рассмотре-
рассмотрение задачи о замыкании рубильника
в схеме рис. 1, а таково. Исходя из со-
соотношений
получим дифференциальное уравнение
dh , rR . E0R
dt
r)L
(fl-J-r)i'
В начальный момент времени t—0 ток
через индуктивность равен нулю, т. е.
jL=0 при t=0. Поэтому
rR
(R + r)L
']}=
A3.6.1)

386
Гл. 13. Электрические цепи и колебательные явления в них
Ток в цепи
_L Q = J Rp0e-21til4t = Rjl J
e-№tiLdt -.
A3.6.2) = ^r = -f-
A3.7.2)-
На рис. 2 приближенное решение соот-
соответствует ломаной, точное решение B)—
плавной кривой.
Рекомендуем читателю рассмотреть
процесс изменения тока и разности по-
потенциалов при замыкании и размыка-
размыкании рубильника в схеме рис. 1, б. По-
Полезно решить задачу дважды: один раз,
составляя дифференциальное уравнение
и отыскивая его решение в виде пока-
показательной функции, другой раз прибли-
приближенно, подобно тому как была рас-
рассмотрена схема рис. 1, а.
§ 7. Энергия индуктивности
Выше мы видели, что в схеме, состоя-
состоящей только из индуктивности L и со-
сопротивления R, уже после того как эта
схема отсоединена от источника напря-
напряжения, продолжает идти ток, посте-
постепенно затухающий с течением времени.
При этом на сопротивлении в единицу
времени выделяется тепло Q=Rf.
Откуда берется та электрическая
энергия, которая в сопротивлении пре-
превращается в тепловую? Ее отдает ин-
индуктивность, обладающая определен-
определенным запасом энергии.
Найдем этот запас энергии, рассма-
рассматривая простейшую схему рис. 5.1 и
подсчитывая всю тепловую энергию,
которая выделяется на сопротивлении
R. В этой схеме пусть в начальный мо-
момент ?=0 ток равен /„. С течением вре-
времени ток убывает по закону
Количество энергии, выделяющееся на
сопротивлении R в единицу времени,
т. е. скорость выделения энергии (ее
размерность — Вт/с), есть мгновенная
тепловая мощность h. Используя зави-
зависимость / (t), приведенную выше, на-
находим
A3.7.1)
Зная h, нетрудно найти полное коли-
количество тепла, выделившееся за время от
начального момента ?=0 до t=co (до
полного затухания тока). Для этого
достаточно проинтегрировать A) в ин-
интервале от ?=0 до t=co. Мы получим
Это тепло равно запасу энергии ин-
индуктивности, по которой идет ток /0.
Запас энергии не зависит от величины
сопротивления R. Индуктивность L
с током /0 имеет определенный запас
энергии, который в конце концов весь
превращается в тепло независимо от
величины сопротивления R. От R зави-
зависит только скорость превращения энер-
энергии в тепло, но не общее количество-
энергии.
Формулу B) можно также получить,
рассматривая процесс нарастания тока
в индуктивности. Действительно, м о щ-
н о с т ь тока (работа в единицу вре-
времени) равна ср/. Эта работа, совершае-
совершаемая внешними источниками тока, тра-
тратится на увеличение энергии индуктив-
индуктивности W:
, dW
h = -^-=<?J. A3.7.3)
Пользуясь тем, что ср = L j-, получим
из C)
dt
dt
A3.7.4)
Будем считать, что /=0, W=0 при
t=0 и /=/о, W=W0 при t=t0. Тогда,
интегрируя D) от t=0 до t=t0, получим
Для конкретности можно представить
себе схему рис. 5.2 (ср=срд) и для нее-
произвести подробный расчет нараста-
нарастания энергии индуктивности. В устано-
установившемся режиме, когда ток достиг
постоянного значения /0, срА=О, энер-
энергия индуктивности не меняется, однако
источник ЭДС для поддержания по-
постоянного тока 70 должен продолжать
расходовать энергию, которая выде-
выделяется в виде тепла на сопротивле-
сопротивлении R.
Энергия индуктивности W пропор-
пропорциональна квадрату силы тока, т. е.
пропорциональна квадрату скорости
движения электронов. Поэтому по внеш-
внешнему виду W напоминает кинетическую
энергию. Но есть ли W кинетическая
энергия электронов?

§ 7. Энергия индуктивности
387
Сравним порядок величины W и
энергии электронов. Располагая медной
проволокой длиной 100 м и диаметром
0,35 мм (так что сечение имеет порядок
10~7 м2), можно намотать катушку, ин-
индуктивность которой составит 0,02 Г.
При токе в 1 А в такой катушке W=
=0,02.12-0,5=10 Дж. Найдем кине-
кинетическую энергию электронов.
Будем считать, что на каждый атом
меди приходится один электрон, участ-
участвующий в прохождении тока (электрон
проводимости). Относительная атомная
масса меди равна примерно 63, так что
на 63 г меди приходится 6-Ю23 электро-
электронов проводимости, или примерно
1022 электрон/г, или 1025 электрон/кг.
Плотность меди около 8 г/см3=8х
Х1О3 кг/м3; поэтому в 1 м3 содержится
примерно тг=8-1028 электронов прово-
проводимости. Можно представить себе кусок
проволоки длиной vdt и сечением S
слева от сечения О (рис. 1). Если ско-
скорость электронов х равна v, то через
площадь S за время dt проходит Snvdt
электронов. За время dt электроны,
находившиеся в сечении А, перейдут
в сечение О; значит, за это время че-
-udt-
Рис. 13.7.1
V = ¦
8 ¦ 10
1-4
рез О пройдут все электроны, которые
находились в объеме между О и А,
т. е. в объеме цилиндра с длиной обра-
образующей vdt и с основанием площади S.
Обозначим через е заряд одного элек-
электрона в кулонах, е= —1,6 - 10~1э Кл.
Количество электричества, которое пе-
переносят за время dt эти Snvdt электро-
электронов, равно току в амперах, умножен-
умноженному на время dt. Поэтому Snvedt=jdt,
откуда j=zSnve, или у = -^-.
Подставим в это соотношение /=1 А,
?=10 м2, и=8-1028 м, е=—1,6-
•10~19 Кл, получим
1
¦•9- 101 - 64 - 10"8;
10~7 • 8 • 1028 . 1,6 • 10-19
При этом размерность
[v] = А/(м2 • м~3 • Кл) = А • м/(А • с)=м/с
— размерность скорости.
1 Имеется в виду средняя скорость их дви-
движения в направлении тока, а не
скорость хаотического теплового движения.
Найдем теперь кинетическую
энергию электронов. Масса элек-
электрона т=9-10~31 кг. Общее число элек-
электронов, движущихся в данной прово-
проволоке (?=10~7 м2, Z=102 м), равно
XV/ ¦ l.\J ' О " i-\J /-*Zj L\J .
Кинетическая энергия одного электрона
равна
1 2^ 1
-jmv ~y
я* 3 • Ю-37 Дж,
а общая кинетическая энергия всех
электронов
= 3-10-" Дж.
Таким образом, кинетическая энергия
электронов составляет ничтожную долю
энергии индуктивности, хотя она и за-
зависит от силы тока по тому же закону
(пропорциональна р), что и энергия
индуктивности. Физическая энергия ин-
индуктивности есть энергия того маг-
магнитного поля, которое имеется
в катушке, когда по ней течет ток.
Отметим сходство и различие между
емкостью и индуктив-
индуктивностью. Как емкость, так и индук-
индуктивность могут служить резервуарами,
хранилищами энергии. При помощи ин-
индуктивности, так же как и при помощи
емкости, можно накопить электриче-
электрическую энергию от слабого, маломощного
первичного источника тока и затем
быстро ее выделить в нужном месте
в нужный момент.
Конденсатор можно заряжать малым
током /х в течение большого времени ?х;
быстро разряжая его через малое со-
сопротивление, за малое время t2 можно
получить большой ток /2 я^ -j-^. Раз-
ность потенциалов конденсатора не пре-
превышает при этом ЭДС первичного ис-
источника. Конденсатор позволяет увели-
увеличить ток, но не напряжение.
Через индуктивность можно пропу-
пропускать большой ток при малом напряже-
напряжении (малой ЭДС) Ео первичного источ-
источника. Для этого нужно только, чтобы
сопротивление индуктивности и первич-
первичного источника тока было бы доста-
достаточно мало. При этом большой ток
в индуктивности устанавливается не
сразу, а за сравнительно большое время

388
Гл. 13. Электрические цепи и колебательные явления в них
f3- При замыкании индуктивности на
большое сопротивление удается полу-
получить большую разность потенциалов ср
на малое время ?4, причем от^Е^-
Индуктивность позволяет увеличить
напряжение, но не ток.
Существенное практическое отличие
емкости от индуктивности заключается
в том, что конденсатор, отсоединенный
от источника тока, может очень долго
(часами и даже сутками) сохранять за-
запасенную в нем энергию. Время раз-
разрядки конденсатора равно RC, где С —
емкость конденсатора, R — так назы-
называемое сопротивление утечки. Приме-
Применяя хорошие изоляторы, удается полу-
получить огромные значения R, т. е. очень
большое время разрядки. Индуктив-
Индуктивность, выполненная в виде катушки и
замкнутая накоротко, т. е. с минималь-
минимальным возможным сопротивлением, при
наличии в ней электрического тока со-
сохраняет энергию лишь на протяжении
долей секунды.
Время затухания тока имеет поря-
L
док -д-, но, даже применяя наилучшие
проводники (медь, серебро), нельзя сде-
сделать -= больше нескольких секунд для
катушки лабораторных размеров. За-
Заметим, что при увеличении числа вит-
витков катушки в данном объеме за счет
применения более тонкой проволоки
увеличивается L — но увеличивается и
R, и их отношение по порядку вели-
величины не изменяется. Поэтому в лабо-
лабораторных условиях индуктивность
удобно применять для повышения на-
напряжения, но не для длительного хра-
хранения энергии.
В схемах, использующих емкости и
индуктивности, удается накапливать
энергию от батареи карманного фонаря.
Такая батарея дает напряжение в не-
несколько вольт при внутреннем сопро-
сопротивлении в несколько ом, так что мак-
максимальная мощность ее порядка 1—
2 Вт. При помощи упомянутых выше
схем удается получить мощность в сотни
киловатт. Однако такая мощность дейст-
действует в течение времени порядка 10~6 с.
Выше было отмечено, что в индуктив-
индуктивности электрическая энергия быстро
превращается в тепло за счет сопротив-
сопротивления. Это утверждение справедливо
для катушек обычного «комнатного»,
лабораторного, масштаба и в случае-
обычных, нормальных, температур. Од-
Однако в двух крайних случаях это ут-
утверждение оказывается неверным.
1. При очень низкой темпе-
температуре — от —260° С и ниже до
абсолютного нуля (—273° С) — многие
металлы (например, свинец, ртуть, но
не медь) переходят в так называемое
сверхпроводящее состояние. Их удель-
удельное сопротивление становится равным
нулю.
Голландский ученый Каммерлинг-
Оннес, открывший это явление в 1911 г.,
наблюдал в кольце из сверхпроводя-
сверхпроводящего материала постоянный ток, кото-
который не ослабевал в течение многих су-
суток. Наличие тока в таком кольце об-
обнаруживается по магнитному полю-
этого тока.
Возможности практического приме-
применения сверхпроводников ограничива-
ограничиваются не только трудностью получения
низкой температуры. Сильное магнит-
магнитное поле переводит сверхпроводник
в нормальное состояние (с конеч-
конечным сопротивлением). Поэтому через
сверхпроводник нельзя пропускать
большие токи 2.
2. Соотношение между индуктив-
индуктивностью и сопротивлением и условия
затухания тока очень сильно изме-
изменяются при увеличении всех
размеров катушки и осо-
особенно при переходе к астрономическим
явлениям (и астрономическим масшта-
масштабам) 3.
Представим себе две геометрически
подобные катушки, одна из которых
в п раз больше другой. При этом число
витков в обеих катушках одинаково.
В большой катушке в п раз больше диа-
диаметр катушки, но во столько же раз
больше и высота катушки и диаметр
проволоки, из которой сделана ка-
2 В 1961 г. открыт сплав редкого элемента
ниобия с оловом, в котором ток до
100 000 А/см2 и магнитное поле до 25 Тл (т. е.
до 250 000 Гс) еще не разрушают сверхпро-
сверхпроводимости. В настоящее время сверхпроводя-
сверхпроводящие магниты широко применяются в науке и
технике, в частности при конструировании
ускорителей элементарных частиц. Сейчас
уже можно также с определенностью утвер-
утверждать, что мы близки и к осуществлению
применения сверхпроводимости для передачи
электроэнергии.
\Ср. с упр. 2.3: для контура, состоящего из
емкости с сопротивлением, время разрядки не
изменяется при изменении всех размеров.

§ 8. Колебательный контур
389
тушка. Пусть катушкп изготовлены из
одинакового материала. Будем обозна-
обозначать величины, относящиеся к мень-
меньшей катушке, индексом 1, а величины,
относящиеся к большей катушке, ин-
индексом 2. Подсчитаем отношение сопро-
сопротивлений катушек:
где р — удельное сопротивление мате-
материала катушки, I — длина проволоки,
S — площадь ее поперечного сечения.
Геометрически ясно, что
Z2 = nl^ S2 = n2Sx;
следовательно,
2 n *
— сопротивление обратно пропорцио-
пропорционально n, т. е. обратно пропорционально
размеру.
Можно доказать, что индуктивность
большой катушки ровно в п раз больше
индуктивности малой катушки:
т. е. при увеличении линейных разме-
размеров катушки в п раз ее индуктивность
увеличивается также в п раз. Время за-
L
тухания тока т имеет порядок -„-; следо-
следовательно,
Таким образом, время затухания тока
пропорционально квадрату раз-
размера катушки. Если бы земной шар
состоял из меди, то время затухания
тока в нем было бы порядка 1015—
1016 с, т. е. порядка 108 лет.
Проводимость ионизированных газов
того же порядка, что и проводимость
меди; поэтому в астрономических явле-
явлениях время затухания тока оказывается
огромным. Это значит, что сопротивле-
сопротивление, закон Ома не играют практически
никакой роли в этих явлениях (напом-
(напомним рис. 5.5: ток на начальном участке
кривой зависит только от L, но не
от й; в астрономии же мы всегда на-
находимся на «начальном участке»).
Земной магнетизм представляет со-
собой магнитное поле токов, протекаю-
протекающих в вязкой расплавленной массе цен-
центрального ядра Земли. Медленные дви-
жения расплавленной массы в этом
магнитном поле поддерживают токи, по-
подобно тому как движение якоря динамо-
машины в магнитном поле поддерживает
ток в обмотке якоря и в обмотке элек-
электромагнита. То же относится и к маг-
магнитному полю Солнца. Теория успешно
объясняет периодическое (полупериод
^«11 лет) изменение направления
поля Солнца.
§ 8. Колебательный контур
Рассмотрим контур, состоящий из eivt-
кости^С и индуктивности L (рис. 1).
Пусть точка В контура заземлена. По
формуле A.11)
Падение напряженияJ на емкости
будем обозначать просто ср. Тогда
A3.8.1)
Рис. 13.8.1 -4=-
Заметим, что
гр d2q
1ак как jT? =
ходим
do т-r dj diq
'=Ж- ПоэтомУ di=d&'
?7т, то в силу A) на-
или
A3.8.2)
С аналогичным уравнением мы встре-
встречались в гл. 10 при изучении механиче-
механических колебаний. Там было установлено,
что решением B) являются функции
ср=Л sinwi и <?—В cos(ot при любых А
ж В ж надлежащим образом подобран-
подобранном со. Проверим это, например, для
функции (f=A sin u>t; попутно мы оп-
определим частоту со колебания. Подста-
Подставим в B) выбранное
чим
d\ „
и ^jf. Мы полу-
sin coi := —A sin erf,
или после сокращения на —A sin wt
/XV = 1.

390
Гл. 13. Электрические цепи и колебательные явления в них
Отсюда находим
A3.8.3)
Следовательно, решением уравнения
B) являются функции, описывающие
колебания с круговой частотой —==¦
V LL
период таких колебаний равен
2J'LC A3.8.4)
Проверим размерность D):
[С]=Ф=Кл/В=А-с/В; Ur]=r=
=В/(А/с)=В-с/А,
так что [LC]=c2 и Г ~ \jLC действи-
действительно имеет размерность с.
Обратимся к подробному рассмотре-
рассмотрению решения уравнения B). Решения
ср=Л sin tot и cp=J5 cos wt no существу
не отличаются одно от другого, так как
кривая синуса получается из кривой
косинуса сдвигом по оси t; их можно
объединить в одном решении
cj> = J5cos(crf + a) A3.8.5)
(ср. § 10.2). Амплитуда В колебаний и
начальная фаза а (в § 10.2 мы ее
обозначили буквой ср) могут быть лю-
любыми. При заданном ср (t) найдем зави-
зависимость тока от времени:
Найдем энергию емкости и энергию
индуктивности:
Wc = Ц- = -^ cos2 (arf -f a),
2^2
L?
wL=-|-=—2~^sin2 И+а) •
Подставляя сюда выражение C) для ш,
получим
уподобить упругой энергии пружины,
которая максимальна в момент, когда
масса находится в крайнем положении,
на максимальном расстоянии от поло-
положения равновесия. Энергию индуктив-
индуктивности можно уподобить кинетической
энергии движущейся массы. В момент,
когда заряд емкости равен нулю, ток
достигает максимального значения (по
абсолютной величине); в этот момент
энергия емкости равна нулю, а энер-
энергия индуктивности — полной энергии
(cos2 (<ot+a) = 0, sin2 (со?+а) = 1). Точно
так же при колебаниях массы на пру-
пружине в момент, когда масса проходит
через положение равновесия, потен-
потенциальная энергия равна нулю, а кине-
кинетическая энергия — полной энергии ко-
колебаний.
Назовем общей задачей задачу
о нахождении потенциала в контуре
при условии, что в начальный момент
времени ?=0 мы имеем /=/0> ср=ср0.
Частные решения ср=4 sin cot или ср=
= J5 cos cot здесь нам не подойдут —
нам понадобится общее решение E)
с двумя (неопределенными) параметрами
В и а, которыми мы можем распоря-
распоряжаться.
Полагая в формулах E) и F) t=0,
получим
ср @) = В cos а = ср0,
откуда найдем решение с заданными ср0
и /0:
Полная энергия, как и следовало ожи-
ожидать, от времени не зависит; действи-
действительно,
Р = We + WL = ^- [cos2 (arf + a) +
С В2
-f- sin2 (u>t -f- a)] = ——.
Таким образом, движение зарядов
контура, составленного из емкости и
индуктивности, похоже на движение
массы, закрепленной на пружине. Энер-
Энергию заряженного конденсатора можно
tga=-
/о
A3.8.7)
Мы уже знаем, что при этом энергия
постоянна и, следовательно, равна на-
начальной энергии
2 ' 2 '
Выражение для энергии можно также
В2
записать как С -у, что позволяет пере-
переписать первое из равенств G):
<13-8-8)
откуда (и из F)) также получаем
«=К П-г-г'
A3.8.9)

§ 9. Затухающие колебания
391
I заметьте
, что в силу D) о>=1/ j-^ ,
Схема для осуществления колебаний
показана на рис. 2. В схеме имеется
источник напряжения Еа. Если замк-
замкнуть А при разомкнутом В, то по исте-
истечении промежутка времени т ^> RC
я I
после замыкания емкость будет заря-
заряжена до потенциала Ео. Разомкнем А и
после этого в момент ?=0 замкнем В.
Тогда в цепи, состоящей из L и С,
начнутся колебания с ср=сро=?'о; здесь
/=0 в момент t=0. Отметим, что при
этих колебаниях разность потенциалов
на пластинах разомкнутого рубиль-
рубильника А будет периодически меняться
от 0 до 2Е0.
Возможен другой вариант возбуж-
возбуждений колебаний в схеме рис. 2. Сперва
замыкаются оба рубильника А и В.
Тогда в цепи устанавливается ток j0—
— ¦^5-. Затем в момент t = 0 размыкается
рубильник А. При этом в контуре, со-
состоящем из L и С, начинаются колеба-
колебания, причем в начальный момент
тр
сро=Ои/'о = -^. При этих колебаниях
максимальная амплитуда потенциала до-
достигает
/о |/ Q
Напомним, что в схеме без емкости
при размыкании цепи, содержащей ин-
индуктивность L, на рубильнике разви-
развивается тем большая разность потенциа-
потенциалов, чем больше сопротивление воздуш-
воздушного промежутка между пластинами ру-
рубильника. При размыкании такой цепи
(без емкости) между пластинами рубиль-
рубильника обязательно возникает разряд
в воздушном промежутке. При нали-
наличии емкости максимальная разность по-
потенциалов между пластинами рубиль-
рубильника А не превышает определенного
значения (-Ео+фтах)- Если это значение
меньше того, которое необходимо для
зажигания разряда в воздушном про-
промежутке рубильника, то разряда не
будет: говорят, что включение емкости С
«гасит» разряд при размыкании цепи
с индуктивностью. Отметим, что вели-
величина д р ?- может быть больше еди-
единицы. Тогда, размыкая рубильник В
через четверть периода после размыка-
размыкания А, получим на емкости С потенциал
более высокий, чем потенциал источ-
источника тока Ео.
^Упражнения)
13.8.1. Рассмотрите изменение потенциала
со временем в цепи рис. 3. Определите наиболь^
шее^ значение у и время, когда достигается
это наибольшее значение. (Будем считать,
что рубильник А в схеме замыкают в момент
t=0.)
Рис. 13.8.3
13.8.2. В условиях упр. 1 найдите энер-
энергию емкости и энергию, отданную источником
тока в момент, когда <р максимально.
§ 9. Затухающие колебания
Рассмотрим контур, в котором после-
последовательно с индуктивностью включено
сопротивление R (рис. 1). Будем счи-
считать, что R мало. Если R совсем не
принимать во внимание, то мы полу-
получим схему рис. 8.1, рассмотренную
Рис. 13.9.1
в предыдущем параграфе. Если при
?=0 было ср==ср0, /=0, то согласно (8.7)
Ср = Ср0 COS Wt,
j = jm sin (wt + *) = —jm sin <
где
A3.9.1)
При этом полная энергия Р = -|2, что,
пользуясь B), можно записать еще и
так:
Р=#Ч A3.9.3)

392
Гл. 13. Электрические цепи и колебательные явления в них
При наличии сопротивления проис-
происходит превращение электрической энер-
энергии в тепловую. Тепловая мощ-
мощность h равна
A3.9.4)
Тепловая мощность при электрических
колебаниях не остается постоянной: на
протяжении каждого периода она
дважды достигает максимума и дважды
обращается в нуль (знак ее, конечно, не
меняется — она всегда остается поло-
положительной). Найдем среднее зна-
значение h за период. Из D) следует
Вспоминая, что среднее значение коси-
косинуса за период равно нулю, получаем
Выделение тепла на сопротивлении R
может происходить только за счет
уменьшения электрической энергии Р.
Поэтому
dP
==— h.
A3.9.5)
Мы предположили, что R мало, зна-
значит, и h мало. Энергия колебаний убы-
убывает медленно, значительное изменение
энергии заметно лишь по истечении не-
нескольких периодов. Рассматривая про-
промежутки времени, большие по сравне-
сравнению с периодом колебаний Т, заменим
в правой части E) h на h:
dt ~
A3.9.6)
Поскольку энергия Р медленно ме-
меняется, то из C) следует, что и jm есть
медленно меняющаяся величина. Вы-
Выразив im из C), получим
A3.9.7)
Пользуясь G), получаем из F)
dt L
(знак та мы заменили на=).
этого уравнения имеет вид
Решение
где Ро — это значение Р при ?=0. По-
Поэтому согласно G)
е
Тогда
= Y^?- e~RtiiL sin (erf -f я). A3.9.8)
, что ср = cp0 cos u>i, a cpo =
— -р2, получаем
-i- Л/Щ^- e-w'2t cos orf.
См Г Ь ? К?Я!
A3.9.9)
Формулы (8) и (9) показывают, что при
наличии небольшого сопротивления
электрические колебания затухают
по экспоненциальному закону.
Выписанное выше решение получено
при помощи приближенного расчета.
Заметим, что в этом приближенном реше-
решении но удовлетворяется соотношение
) = С
~
хотя оно выполняется тем точ-
точнее, чем меньше R. Постараемся теперь
решить задачу точно. Для схемы рис. 1
имеем ср-)-ср;г-)-срЛ=О, откуда
A3.9.10)
причем /==С-т-. Подставляя в A0) вы-
dt
ражеапя для / и
d_i
dt'
находим
A3.9.11)
Будем искать решение уравнения A1)
в том же виде, который мы получили
в приближенном рассмотрении вопроса,;
т. е. в виде
со = Ае ll cos iot,
A3.9.12)
где X, о), А — некоторые числа, кото-
которые нам еще требуется определить. Со-
Соответствующая процедура в точности
совпадает с той, какая уже встречалась
нам в теории колебаний (см. § 10.4;
ср. решение A2) уравнения A1) с фор-
формулой A0.4.7)), так что мы могли бы
здесь просто сослаться на результаты
§ 10.4. Но чтобы не затруднять чита-
читателя обращением к старому материалу
и не заставлять его сопоставлять совер-
совершенно разные обозначения, повторим
вкратце требуемый вывод.

§ 10 *. Случай большого сопротивления
393
Подставим в A1) выражение A2)
для ср и следующие из A2) выражения
для производных ср и сократим все
члены на общий множитель Ae~lt.
Мы получим
LCk2 cos wt -j- 2LC\w sin wt — LCw2 cos urf=
= —cos wt -j- RC~k cos u>t -\- RCw sin wt.
Для того чтобы это равенство имело
место при любом t, нужно, чтобы
справа и слева совпадали коэффициенты
при cosatf и при sinu>i:
LCI2 — LCa? = RC\ — 1; A3.9.13)
2LCkw — RCw.
A3.9.14)
Величину X определяем из A4), после
чего из A3) находим ш:
R
л2
A3.9.15)
Постоянная А из A1) не определи-
определилась; для того чтобы ее найти, надо
использовать начальное условие (ска-
(скажем, ср = ср0 при t = 0). Наконец, зная
<f(t), легко найдем /=С~:
/ = —C4e~w (о> sin wt -j-X cos wt). A3.9.1С)
Сравнивая точное решение с прибли-
приближенным, отметим, во-первых, что в при-
приближенном рассмотрении задачи мы
правильно определили число X, харак-
характеризующее скорость затухания колеба-
колебаний, однако не нашли зависимости ча-
частоты ш от сопротивления R; во-вто-
во-вторых, точная формула для тока не-
несколько отличается от полученной
в приближенном рассмотрении.
Точно таким же способом можно по-
показать, что уравнение A1) допускает
также решение
ср = Ве~и sin wt A3.9.17)
с теми же ш и X, что и ранее (см. 15));
этому решению отвечает сила тока
j = CBe~Xl (со cos at — X sin wt). A3.9.18)
Сумма cp=e~>i! (A cos <o? -f- В sin wt) ре-
решений A2) и A7) также является реше-
решением уравнения A1). Только при по-
помощи этой суммы можно решить о б-
щ у ю задачу: найти решение уравне-
уравнения A1) с начальными условиями: ср=
— феи ]'—]о ПРИ t=0. Действительно,
тогда для коэффициентов А и В полу-
получаем уравнения:
откуда
CXcpn
Упражнения
13.9.1. Найдпто j (t) для схемы рис. 1,
если C=l, L=l, Л = 0,1; 0,5; 1 (мы считаем,
что 9=1, /=0 при г=0).
С
Рис. 13.9.2
I
13.9.2. Ответьте на тот же вопрос, если
9=0, /=1 при i=0.
13.9.3. Приближенным методом найдите
скорость затухания колебаний X в случае
схемы рис. 2, считая, что R весьма велико.
§ 10*. Случай большого сопротивления
Рассматриваемый здесь случай боль-
большого сопротивления интересен глав-
главным образом с точки зрения матема-
математики и не связан с дальнейшим мате-
материалом. Поэтому в первом чтении этот
параграф может быть пропущен.
Полученное в предыдущем параграфе
решение уравнения (9.11) справедливо
лить для не слитком больших R.
Действительно, из (9.15) видно, что
если R ^> 2 1/ jr , то полученная иамн
формула для со теряет смысл, так как
в ней под корнем стоит отрицательное
число. В этом случае уравнение (9.11)
имеет решение совсем другого вида.
Будем искать решение (9.11) в виде
c?=yle~1' (соответственно / = —АС$е~?/).
Подставляя в (9.11) это выражение
для а и выражения для производных а
и сокращая все члены'на Ае~?/, получим
Это — квадратное уравнение относи-
относительно S. Решая его, найдем
ч — __ 1/JlL l
• 2L - \ -Ш ТС'
A3.10.1)
Подкоренное выражение в A) отли-
отличается знаком от подкоренного выра-
выражения в (9.15) для си. Следовательно,
как раз в тех случаях, когда нельзя

394
Гл. 13. Электрические цепи и колебательные явления в них
найти си, можно найти |3, и наоборот.
Формула A) дает два различных значе-
значения р, поэтому можно составить два
решения уравнения (9.11):
A3.10.2)
A3.10.3)
Если ср=сро> 7=/о ПРИ t=0, то, полагая
в B) и C) ?=0, получим:
Решением будет и их сумма
Соответственно
Из этой системы уравнений можно найти
А и В.
Рассмотрим более подробно выраже-
выражение для C. Пусть
-тт. Тогда
У т~тх=ж Уi -ш можно разл°-
жить по формуле бинома Ньютона (см.
§ 6.4). Ограничимся двумя членами раз-
разложения
2L
__
2L
R
~2L'
1
'~RC
Поэтому
R
В ~JL i .J? L-A_
"~ ?/, "Г ?/. p.c. /,
RC
R_
T
так как R велико; аналогично
fi R _R . i_ i_
Г2^2Г ~2L~i~ ~R~C~~liC~-
Эти значения рх и C2 знакомы нам из
§ 1—5. Действительно, рх соответствует
эатуханию тока по закону e~RfiL, т. е.
как в цепи, составленной только из
индуктивности и сопро-
сопротивления (см. § 5). Второй корень
Р2 соответствует затуханию тока по за-
закону e~tlIiC, т. е. в цепи, состоящей
только из емкости и сопротивле-
сопротивления (см. § 2).
С точки зрения математики интересен
частный случай, когда подкоренное выражение
в A) точно равно нулю:
~Ш =Тс" •
так что оба корня Cj и |32 совпадают. Мы по-
получаем только одно решение уравнения (9.11).
Однако для того чтобы решить задачу с на-
чальными условиями f=f0, j=j0 при t=0,
нам падо иметь два решения.
Как пайти второе решение? Предположим,
что р! i= 32, но Зх — S2 — малая величина.
Тогда мы имеем два решения: е '' и е 2 ¦
Их разность также является решением. Запи-
Запишем эту разность так:
Так как C2 — Pi мало, то е^*^1 % 1 + (р2 —
— Pi) ' (R ряде Тейлора мы оставляем только
два члена), откуда
Последнее выражение наводит на мысль, что
в случае C2=C!=C надо второе решенле брать
в виде <?=Bte~Pt. Подставляя это ср в уравне-
R
ние (9.11) и учитывая, что p=;j2~, уг.идим,
что уравнение действительно удовлетворя-
удовлетворяется. Итак, в случае p2=Pi=p надо брать <р
в виде
Такое <р (и соответствующее ему ;') позволяет
решить задачу с любыми начальными
У применения
13.10.1. Найдите у (<), если L=l, C=l,
Л = 2; 6; 10 и юо = 1, уо=О при t=0.
13.10.2. Найдите f (t) для L=l, C=l,
R = 2; 4 при условии, что =ро=1, /0=1 при i=0.
§ 11. Переменный ток
Перейдем теперь к рассмотрению схем,
в которых источник напряжения имеет
ЭДС, периодически меняющуюся со вре-
временем с определенной (заданной) часто-
частотой ш. Эти задачи имеют большое зна-
значение для радиосхем. Частота перемен-
переменного тока совершенно по-разному
влияет на прохождение тока через ин-
индуктивность и емкость. Чем больше
частота, тем быстрее меняется ток, тем
«труднее» он проходит через индуктив-
индуктивность, тем больше разность потенциа-
потенциалов, создаваемая током данной силы.
Напротив, на пластинах конденсатора
при заданном токе разность потен-
потенциалов будет тем меньше, чем больше
частота. При увеличении частоты умень-
уменьшается период, а следовательно, и
время, в течение которого ток, сохраняя
свое направление, заряжает конденса-
конденсатор. Поэтому с увеличением частоты
уменьшаются заряд конденсатора и раз-
разность потенциалов на его пластинах.

§ 11. Переменный ток
395
Мы уже отмечали в § 8, что движение
зарядов в контуре, состоящем из ин-
индуктивности и емкости (контур L, С),
можно уподобить обсуждавшемуся
в гл. 10 колебанию тела, подвешенного
на пружине: если при колебании тела
периодически меняются его расстояние
от начала координат и скорость, то
в контуре периодически изменяются по-
потенциал и сила тока.
Частота, с которой колеблется тело
под действием упругой силы пружины
(при отсутствии всяких других сил),
называется собственной частотой коле-
колебаний. Подобно этому частота колеба-
колебаний потенциала в контуре L, С назы-
называется собственной частотой этого кон-
контура.
Развивая эту аналогию дальше,
можно предположить, что если контур
включен в цепь переменного тока, т. е.
периодически меняется подаваемый на
контур потенциал, то будет иметь место
явление резонанса. Оно состоит в том,
что амплитуда колебаний максимальна
при частоте тока со, равной собственной
частоте контура ш0. Амплитуда очень
резко возрастает при приближении раз-
разности ш — ш0 к нулю. Явление резо-
резонанса на самом деле имеет место; оно
будет рассмотрено в § 13.
Для каждого двухполюсника
(см. рис. 1.7), включенного в цепь пере-
переменного тока, существует определенное
соотношение между разностью потен-
потенциалов и силой тока. Найдем это соот-
соотношение сперва для наиболее простого
случая отдельных элементов, с тем
чтобы потом (в § 13 и 14) выяснить, как
находить это соотношение для более
сложных схем.
Будем рассматривать переменный ток
определенной частоты со (как и раньше,
частота ш связана с периодом соотноше-
соотношением <o=jr). Так. например, в СССР
широко применяется 50-периодный ток:
— 0 с>
> = 2«- 50^314 с.
Представим себе схему, изображен-
изображенную на рис. 1. В цепь включены ампер-
амперметр А, показывающий силу тока /, и
вольметр V, измеряющий напряжение
(разность потенциалов). Допустим, что
амперметр и вольтметр настолько без-
безынерционные, быстродействующие, что
они позволяют измерять мгновен-
мгновенное значение тока в каждый момент
и, следовательно, показания их изме-
изменяются с периодом, равным периоду
тока. Практически такой опыт прово-
проводится с помощью осциллографа: так
называемого шлейфового осциллографа
с двумя шлейфами или с помощью ка-
катодного осциллографа с двумя лучами.
Рис. 13.11.1
Положительное направление тока по-
показано стрелкой. Вольтметр V изме-
измеряет величину ф=ф4 — срв. Включая
тот или иной рубильник, исследуем
прохождение тока через сопротивле-
сопротивление, индуктивность или емкость.
Рис. 13.11.2
Пусть ток меняется со временем по
закону
. A3.11.1)
Если этот ток идет по сопротивлению |Д,
то по закону Ома
tpR = Rj =Rj0 cos (<d-}-а). A3.11.2)
Для общности запишем это равенстве
так:
где ср1=/?70, аг==а.
Пусть ток A) идет через индуктив-
индуктивность L. Тогда
<РЬ = L -jr = —?<о/о s^n ("^ ~\~ *)•
Положим
A3.11.3)

396
Гл. 13. Электрические цепи и колебательные явления в них
Тогда cpa = ZrU)/0, aa = a-l-y. Действи-
Действительно, известно, что cos(C-f-y) =
= —sin p при любой р; поэтому
cos
или
= t1
Таким образом, в случае переменного
тока соотношение между амплитудой
тока ] и амплитудой напряжения ср2
в индуктивности такое же, как в со-
сопротивлении, равном R2=L ш. При этом
если L выражено в Г, ш — в обратных
секундах (в с), то i?2 выражено в Ом.
Рис. 13.11.3
Отличие индуктивности от сопротив-
сопротивления проявляется в том, что кривая
напряжения на ней сдвинута относи-
относительно кривой тока на четверть периода
(рис. 2). В этом можно убедиться и не-
непосредственно по формуле
—sin (<»t -f- a) = cos (wt Jra-\--j)T=
Пусть функция cos (<of+a), которой
пропорционален ток, достигает какого-
то определенного значения а в момент tx:
cos (crfj -\- a) = а.
Функция cos(wt-\-a.-\-~\, которой про-
пропорционально напряжение на индук-
индуктивности, достигает того же значения а
¦в некоторый другой момент времени t2,
так что
cos
(a>t2 -\-a-\- -к-j = а = cos {иЛг -f- a).
Поэтому
—y = @^, откуда t2 = t1 —
4*
В формуле найден
наименьший (по абсоютной величине)
сдвиг по времени, который переводит
кривую тока в кривую напряжения.
Рассмотрим случай емкости. Здесь
d'fc
j = С —, поэтому
?с = ~с \ idtz=-(r \ /о
= -?-sim
A3.11.4)
(постоянная интегрирования равна ср^,
но для переменного тока всегда фс = 0).
Записав <ос в виде сре = ср3 cos (<ui -(- a3),
получим:
Следовательно, в цепи переменного
тока соотношение между амплитудой
тока и амплитудой напряжения на'ем-
на'емкости такое же, как на сопротивлении,
равном Rs -¦= -рт-. Выражая емкость в Ф
С (о
и частоту в с, получим R в Ом.
Кривая напряжения в емкости сдви-
сдвинута относительно кривой тока впе-
вперед на четверть периода (рис. 3). Та-
Таким образом, кривая напряжения ц>с
на емкости сдвинута в сторону, проти-
противоположную кривой cpL.
При данном одинаковом токе срЛ и cpff
имеют противоположные знаки. Если же
совместить кривые cpL и срс, то ока-
окажется, что ток, идущий через емкость,
и ток, идущий через индуктивность,
имеют противоположные знаки. Дейст-
Действительно, все формулы, выражающие
изменение со в зависимости от времени,
легко преобразовать в формулы, выра-
выражающие процесс изменения ;:
—^-z=tx——, т. е. напряжение опере-
опережает ток на четверть периода.
Разумеется, можно прибавить к ?х
любое целое число периодов, так что ° С
"' "*¦ ' гр т™ о il
' мШнб писать tz = tj--^—r—\~Т =tx-\--r;T =-^г
cos
sin
a + у)
sin

§ 12. Средние величины. Мощность и сдвиг фазы
397
и
откуда
=-7Г
= -0- sin (cut -J- a),
¦jc = <?QCu> cos (wt -j- <* 4" -я ) =
= —tp0Cu> sin (u>? -f- a).
Противоположный сдвиг фазы и про-
противоположные знаки в формулах, от-
относящихся к индуктивности и емкости,
имеют решающее значение при рас-
рассмотрении L и С, включенных вместе.
В опытах с переменным током часто
пользуются однолучевым катодным ос-
осциллографом. При этом на одну пару
отклоняющихся пластин (отклонение по
оси х) подают напряжение, пропорцио-
пропорциональное силе тока. На другую пару
пластин (отклонение по оси у) подают
напряжение, пропорциональное ср. Луч
движется по линии, уравнение которой
имеет вид x=aj, g/=fccp; коэффициенты а
и b зависят от чувствительности осцил-
осциллографа. Так как / и ср суть периоди-
периодические функции времени, то луч про-
прочерчивает на экране все время одну и
ту же линию. При частоте 50 периодов
в секунду глаз не замечает движения
луча, а видит сплошную светящуюся
линию.
"р Если на пластинки вертикального
отклонения осциллографа подается раз-
разность потенциалов срд с сопротив-
сопротивления, то луч вычерчивает пря-
прямую. В самом деле,
x = aj = ajQ cos (arf -(- a),
у = 6=рд = bR}0 cos ((ot -f- a),
и, исключая отсюда t, найдем
_ bR
" a
Если на эти пластинки подается раз-
разность потенциалов срр с емкости, то
получается эллипс:
х = ajQ cos (urf -}- a),
Точно так же эллипс получается и
при включении cpL. При включении
срй4-ср? или срд+срр оси симметрии эл-
эллипса уже не совпадают с осями х и у.
Таким образом, по форме осцилло-
осциллограммы можно судить, что включено
в цепь (С, L или R), т. е. чем «начинен
ящик», изображенный на рис. 1.7.
§ 12. Средние величины. Мощность
и сдвиг фазы
В предыдущем параграфе ток и напря-
напряжение считались переменными величи-
величинами, меняющимися с течением времени
(функции времени). Однако во многих
вопросах достаточно знать (постоянные)
средние значения этих вели-
величин (ср. § 7.7).
Как простейший пример рассмотрим
нагревательный прибор с сопротивле-
сопротивлением R. Мы знаем, что в цепи постоян-
постоянного тока мощность (т. е. количество
энергии, выделяющейся в единицу вре-
времени) равна A = cp;=i?/2=:^-. В цепи
переменного тока мощность тока ме-
меняется: (мгновенная) мощность в мо-
момент t равна
Поэтому (см. A1.1))
= Rft cos2
«)•
A3.12.1)
На протяжении одного периода h (t)
дважды обращается в нуль и дважды
достигает максимального значения Rffi.
Но при рассмотрении нагревательных
приборов нас обычно интересует коли-
количество тепла, выделившееся за время tt
намного превышающее период Т пере-
переменного тока (в СССР обычно равный
0,02 с). Поэтому нам достаточно знать
среднее значение мощности h за боль-
большой промежуток времени t. В силу A)
К = Rjl cos2 (art + a) =
= Rfi COS2 (arf + a) R*^,
A3.12.2)
~C^ io sin (
a),
ибо, как мы уже неоднократно указы-
вали в этой книге, cos2 (<ot -rj- a) — -j

398
Гл. 13. Электрические цепи и колебательные явления в них
(ср. § 7.7 или 10.4); при этом равенст-
равенство B) является приближенным, и
оно тем точнее, чем больше t.
Среднее значение силы переменного
тока ] принято определять как силу
постоянного тока, выделяющего на со-
сопротивлении R такую же мощность,
как наш переменный ток
1.
Отсюда
A3.12.4)
Точно так же среднее значение напря-
напряжения f определяется из условия
2R
откуда
A3.12.5)
Приборы, измеряющие переменный
ток, — амперметры, вольтметры — гра-
градуированы так, что стрелки показы-
показывают на шкале именно средние
значения /и ср.
Из D) и E) следует, что максималь-
максимальные значения силы тока и напряжения,
достигаемые в цепи переменного тока,
в \J2 ?« 1,41 раз больше средних. Так,
например, в цепи со средним напряже-
напряжением 220 В максимальное мгновенное
напряжение достигает +310 В.
Из соотношений B), D), E) и фор-
формулы сро=#/о следует, что f=i?/ и
й=ф/, так что закон Ома и связь между
мощностью, током и напряжением на
сопротивлении остаются справедливыми
и для средних значений.
При прохождении переменного тока
через емкость и индуктивность мы
встретились с тем, что сила тока и
1 Ясно, что если величина j задается фор-
формулой A1.1), то вводимое по формулам § 7.7
среднее значение /=0; поэтому целесообразно
именно сформулированное определение сред-
среднего значения/ = у/2 (этаЦвеличина в матема-
математике называется средним квадратичным); ко-
корень квадратный необходим здесь для того,
чтобы / имело размерность силы тока, а опера-
операция возведения в'квадрат позволяет избежать
взаимной компенсации положительных и от-
отрицательных значений тока; знак = в запи-
записи / = V./'2 означает «равно по определе-
определению» (определяется здесь по-новому вели-
величина 7. число /2 имеет обычный смысл).
напряжение на них меняются по зако-
законам, графики которых сдвинуты один
относительно другого, хотя частоты из-
изменения этих величин одинаковы. Рас-
Рассмотрим мощность в общем случае
произвольных начальных фаз величин /
и ф (произвольного сдвига одного гра~
фика относительно другого). Пусть
A3.12.3) / =/0 cos (urf-f В),
<Р = То
а);
тогда
h @ = /о?о cos К + I3) cos (cot -f Р + ос).
Но
cos (cot -f- [3 -}- а) = cos (cot -f- P) cos a —
— sin (cot -f- P) sin a,
так что
cos (tot -\~ P) cos (cot -j- p -j- a) =
= cos a cos2 (cot -\~ P) —
— sin a cos (cot -f- P) sin (cot -)- p) =
= cos a cos2 (cot ~j- P) —
— sina-1/2sinBcot-f 2P).
А так как
cos2 (cot + pj = V2> sin Bcot -f- 2P) = 0,
TO
^ = hfo cos a ¦ V2 = /? cos a-
Таким образом, среднее значение мощ-
мощности в общем случае, при наличии
сдвига фаз на а, пропорциональна
cos а. В частном случае сопротивления
a=0, cos a=l, —и мы снова приходим
к формуле B).
В случае емкости a =—=-, cosa=0;
в случае индуктивности a= -J- у,
cos a=0. Таким образом, в обоих слу-
случаях средняя мощность
равна нулю. Этот результат
вполне понятен физически. В емкости
и индуктивности электрическая энер-
энергия не превращается в тепло, а только1
может запасаться. В цепи переменного
тока на протяжении одной части пе-
периода емкость забирает из цепи элек-
электрическую энергию и запасает ее; во
время другой части периода емкость
отдает обратно свою энергию, работает
на цепь. То же самое относится и

§ 13. Колебательный контур в цепи переменного тока
399
к индуктивности, включенной в цепь
переменного тока.
Обычный трансформатор, к которому
не подключено никакой нагрузки, пред-
представляет собой чистую индуктивность
(если пренебречь небольшими потерями
в проводах). Через такой трансформатор
течет ток с амплитудой / — cp/Z,u>.
Однако мощность из сети, как уже
было сказано, не отбирается благодаря
тому, что фаза а-^у, cosa = 0. Инте-
Интересно отметить, что счетчики израсхо-
израсходованной электроэнергии устроены так,
чтобы измерять именно величину
_/ср cos a. По этой причине трансформа-
трансформатор, включенный без нагрузки, прак-
практически ничего не прибавляет к Вашему
счету за электроэнергию, а только уве-
увеличивает полный ток, текущий по про-
проводам.
Если в сеть параллельно включено
много индуктивностей (трансформа-
(трансформаторы, электромоторы без нагрузки
и т. д.), то полный ток может стать до-
довольно большим, и тогда станут замет-
заметными потери в электропроводке. Этот
эффект становится важным для элек-
электросетей в масштабе города. Законы
протекания тока по схемам с индуктив-
ностями и емкостями показывают, как
можно бороться с этими потерями.
§ 13. Колебательный контур в цепи
переменного тока. Резонанс на-
напряжений
Рассмотрим теперь включенные после-
последовательно в цепь переменного тока
сопротивление, индуктивность и ем-
емкость (рис. 1). Очевидно, что в этой
системе ток, идущий через L, R, С,
одинаков. Запишем его в виде
/ = j0 cos (wt + <*)• A3.13.1)
Разность потенциалов в цепи ср=
Припоминая формулы A1.2)—A1.4),
получим
ср = Rj0 cos (wt -\- a) — Lwj0 sin (wt -\- a) -j-
-f- -^ sin (wt -f a) = Rj0 cos (wt + a) +
n (Wi + a)' A3.13.2)
Из B) видно, что разности потенциа-
потенциалов на индуктивности и на емкости
имеют разные знаки, благодаря чему
коэффициент при sin(o)if+a) пред-
представляется в виде разности двух чисел.
Запишем ср в виде
ср = Ъ cos (wt -j- a -f P), A3.13.3)
где Ъ есть амплитуда разности потенциа-
потенциалов, т. е. наибольшее значение разности
потенциалов (напряжения). Для того
чтобы найти Ъ, перепишем C) так:
ср = Ь cos C cos (wt -\-a) —
— Ъ sin p sin (wt -f a). A3.13.3а)
Рис. 13.13.1
Из сравнения (За) с B) вытекает:
Ъ cos C = Rj0,
Ь sin p = /„A*0-
A3.13.4)
Возводя равенства D) в квадрат, скла-
складывая результаты и извлекая из суммы
квадратный корень, найдем
A3.13.5)
Из E) видно, что при данном значе-
значении амплитуды тока амплитуда напря-
напряжения минимальна при
ZytO =
?,A3.13.6)
Так как в силу E)
то F) есть также условие максималь-
максимальности амплитуды тока /0 при данном
значении амплитуды напряжения Ъ. Это
условие можно записать еще в виде
1
о> =: ¦, доказывающем совпадение <о
V LjKj
с собственной частотой контура с дан-
данными L и С. Поэтому F) есть условие
резонанса, условие совпадения соб-
собственной частоты контура с частотой
того переменного тока, который мы по-
подаем. Отметим, что при резонансе на-
напряжение в цепи равно
ср = Rj0 cos (wt -|- a).
A3.13.7)

400
Гл. 13. Электрические цепи и колебательные явления в них
Пользуясь A), находим, что в этом
случае
cp = i?/. A3.13.8)
Перейдем к средним значениям.
Средние значения величин тока и раз-
разности потенциалов определяются в со-
соответствии с формулами A2.4) и A2.5).
Из формулы yL=Lu>j0 sin ((fii+a) сле-
следует (см. сноску 1 в § 12)
= ^а. A3.13.9)
Рис. 13.13.2
1
Аналогично из формулы «с, = ~ /о X
X sin (wt -\- а) имеем
фЛ = 7^/ = 7^в' A3.13.10)
Формулы G)—A0) имеют место только
в случае резонанса, т. е. при «0 =
=z . Подставляя это значение со
в (9) и A0), получим
Поэтому в случае резонанса напряже-
напряжение на индуктивности и емкости тем
больше, чем меньше сопротивление R,
а величины <pt и фс могут во много
раз превышать напряжение б источника
переменного тока.
При последовательном соединении
складываются сопротивления. Но «со-
«сопротивления» емкости и индуктивности
имеют противоположные знаки и по-
разному зависят от частоты. При резо-
резонансной частоте они равны по абсолют-
абсолютной величине и, следовательно, взаимно
уничтожаются.
Таким образом, система из последо-
последовательно включенных L, R, С имеет
при резонансе (со=шо) минимальное со-
сопротивление, пропускает наибольший
ток при данной амплитуде переменного
напряжения (по сравнению с током при
той же амплитуде напряжений, но при
частоте ш ~^= св0).
Интересно исследовать подробно,
как меняются амплитуды напряжения
и силы тока, если мы отходим от точ-
. 1
ного резонанса, т. е. если ш=(=--^.
У L/C*
Для этого поступим следующим обра-
образом. Пользуясь формулой C), найдем,.
что ф = —=, откуда b=sj2<p. Подстав-
Подставляя это значение в E), получим
Но ~z=
^ поэтому
Выражая отсюда / и подставляя это /
в (9) и A0), найдем:
3,
Обозначим через w0 собственную частоту
контура. Тогда ш% = f-r и последние
формулы можно записать так:
-j/ R4fi
У и- ¦
б?
К'
A3.13.11)
В таком виде ясна зависимость ампли-
амплитуды от того, насколько близка соб-
собственная частота <о0 контура к частоте и>
переменного тока.
Зависимость отношения — от о) вблизи
точки <ц = ш0 показана на рис. 2. Гра-
фик построен для случая 7— = 0,05.
На графике виден типичный так назы-
называемый резонансный ход кривой.
R
Если у—
1, то зависимости — и —
от to определяются главным образом
вторым членом подкоренного выражения,
т. е. величиной (w^ — и2J. При ш = и>(>
этот член обращается в нуль, при сде-
сделанном предположении (у- <^ 1J знаме-

§ 14. Параллельное включение индуктивности и емкости
401
натель имеет минимум, а величина
амплитуды максимальна. Амплитуда
составляет 70% максимальной при
К —UJJ = -pL> T- е- ПРИ ">? —">2 =
, Ro>
— + -J-, откуда
Отсюда, полагая <и0 = —=, имеем
0
+ -у
— L
— 2L
То изменение частоты, при котором
квадрат амплитуды падает вдвое по
сравнению со своим максимальным зна-
значением, называется шириной резонанс-
резонансной кривой (или шириной резонанса).
Если амплитуда составляет 70%, т. е.
0,7 от максимальной, то квадрат ампли-
амплитуды составляет 0,72 я=! 0,5 от макси-
максимального. Поэтому ширина резонанс-
R
ной кривой о) — uH есть 2Т, т. е. ши-
ширина равна величине, характеризую-
характеризующей скорость затухания колебаний в та-
таком контуре (см. § 9).
Следовательно, чем меньше сопротив-
сопротивление R, тем меньше ширина резонанса,
тем круче идет кривая вблизи и>= ш0.
Из формул A1) видно, что величина
максимума — тем больше, чем меньше
R. Поэтому явление резонанса особенно
сильно проявляет себя в том случае,
когда R мало.
§ 14. Параллельное включение индук-
индуктивности и емкости. Резонанс то-
токов
Рассмотрим схему рис. 1, отличаю-
отличающуюся от схемы рис. 13.1 тем, что L
и С включены параллельно; сопротив-
сопротивление цепи мы теперь считаем весьма
малым и пренебрегаем им. В этом слу-
случае срс и cpL одинаковы и равны напря-
напряжению в цепи (т. е. в источнике пере-
переменного тока) ср, а ток / складывается
из тока jG, текущего через С, и тока jL,
текущего через L. Пусть
?ь = fc — <? — <?о cos К + «)•
Пользуясь формулами § 11, найдем:
]с = —Cu)cp0 sin (orf -\- a),
Поэтому
/ = U + h
<? = ¦¦
l/Lt» — Сш С (w^ — aJ) "
В этом случае также проявляется ти-
типичная резонансная зависимость: при
данной силе тока / напряжение ср тем
больше, чем ближе ш к оH. Легко убе-
убедиться, что при ш, близком к ш0, ]ь
и fG гораздо больше, чем / цепи, т. е.
в контуре, состоящем из L и С, проис-
происходят сильные колебания. При этом
достаточно малого внешнего тока для
того, чтобы поддерживать гораздо более
сильные токи в контуре.
При параллельном соединении, как
известно, складываются проводи-
Рис. 13
—Г'
.14.2
мости, т. е. величины, обратные со-
сопротивлениям:
--4il +
R "
х^ — С(о) sin (wt + а)-
Проводимости (т. е. отношения тока
к разности потенциалов) у емкости и
индуктивности имеют противополож-
противоположные знаки и по-разному зависят от ча-
частоты. При резонансе (о)=ш0) они вза-
взаимно уничтожаются и общая проводи-
проводимость будет наименьшей, т. е. ток будет
наименьший при данной разности по-
потенциалов, а, следовательно, разность
потенциалов уАВ наибольшая при дан-
данном токе во внешней цепи.
В упрощенной схеме без сопротив-
сопротивления амплитуда колебаний неограни-
неограниченно растет при приближении ш к ш0.
В действительности включенное в схему
сопротивление приводит к тому, что
амплитуда конечна и при ш= о>0.
Если включить R параллельно L и С,
то все расчеты становятся очень похо-
похожими на расчеты предыдущего пара-
параграфа. Но этот случай редко встре-
встречается в практике. В действительности

402
Гл. 13. Электрические цепи и колебательные явления в них
индуктивность обычно имеет заметное
сопротивление, поэтому типичной яв-
является схема рис. 2. В этом случае рас-
расчеты несколько более длинны, чем
в предыдущем параграфе, и мы не бу-
будем приводить их в подробностях. В ре-
результате расчетов (при <ц, близком к а>0,
Л\
и при малом у— получим
7
h: __
7
Таким образом, оказывается, что уси-
усиление тока при резонансе в цепи с па-
параллельным включением подчиняется
тому же закону, что и усиление напря-
напряжения при последовательном включе-
включении, рассмотренное в предыдущем па-
параграфе.
§ 15. Общие свойства резонанса линей-
линейной системы
Подчеркнем, что в наших рассужде-
рассуждениях, складывая колебания, вызванные
воздействием силы в различные мо-
моменты времени, мы все время исполь-
использовали тот факт, что сама система без
внешнего воздействия является л и-
н е й н о й. Ее поведение описывается
линейным дифференциальным уравне-
уравнением, искомая величина во все члены
уравнения входит в первой степени.
Поэтому имеет место принцип суперпо-
суперпозиции — сумма двух или нескольких
частных решений уравнения также яв-
является решением.
В § 13 мы получили формулу для
ширины резонансной кривой ш— <во=
В
= ттт, которая показывает, что чем
медленнее затухают колебания, тем
меньше ширина резонанса. Этот факт
имеет место не только для электриче-
электрических колебаний. Рассмотрим любую си-
систему, в которой могут происходить
колебания. Пусть некоторая внешняя
сила вызвала колебания в такой си-
системе, а затем перестала действовать.
Система оказалась предоставленной са-
самой себе. После этого колебания начи-
начинают затухать. При этом если ампли-
амплитуда колебаний убывает как е~1(, то
величина у характеризует скорость за-
затухания колебаний. Эта величина имеет
-1 О 1
размерность с . оа время т = — ампли-
амплитуда убывает в е раз, т. е. на 63%.
Теперь рассмотрим раскачку такой
системы периодической внешней силой.
Амплитуда колебаний в данный момент
есть сумма амплитуд, приобретенных за
все время раскачки. При наличии зату-
затухания амплитуда, приобретенная давно,
слишком рано успевает затухнуть, не
играет роли, не вносит заметного вклада
в амплитуду колебаний в данный мо-
момент.
Время затухания, очевидно, равно —,
7
за это время амплитуда свободных ко-
колебаний успевает уменьшиться в е раз,
т. е. на 63%. Следовательно, даже в том
случае, когда раскачивающая сила дей-
действует непрерывно, от?= — со, все равно
амплитуда колебаний определяется
лишь интервалом времени от t до
t, где t — момент наблюдения; действие
силы в более ранний период успевает
заглохнуть.
Для того чтобы сильно проявилось
различие между двумя периодическими
силами с несколько различными перио-
периодами, Fo sin co0i и Fo sin lot, нужно та-
такое время наблюдения Т, за которое
их фазы разойдутся приблизительно
на п единиц: юТ = ш0Т ± п, так что
| со — (оо | = у-. Следовательно, если ко-
колебания системы «помнят» только дей-
действие силы за время Т=—, то v такой
т *
системы различие в частотах возбу-
возбуждающей силы, меньшее, чем п/Т (слу-
— % I <С "V" ~^Т) > мало повлияет
на амплитуду. Отсюда видно, что ши-
ширина резонансной кривой пропорцио-
пропорциональна затуханию у.
С другой стороны, так как система
«помнит» и собирает воздействие силы
1
за время —, то сама амплитуда в резо-
нансе, а значит, и высота резонансной
кривой обратно пропорциональны у.
Расчеты подтверждают эти соображе-
соображения.
Еще раз напомним, что мы все время
используем то обстоятельство, что сама
система без внешнего воздействия яв-
является линейной. Поведение та-
такой системы описывается линейным
дифференциальным уравнением, в силу
чего здесь и применим сформулирован-
сформулированный выше принцип суперпо-
чаи

§ 16*. Ток смещения и электромагнитная теория света
40»
з и ц и и. Для нелинейных си-
систем принцип суперпозиции не имеет
места, и их теория является гораздо
более сложной. Укажем еще, что линей-
линейная система не генерирует колебаний
даже при наличии в схеме ЭДС —
(идеальных) источников постоянного (во
времени) напряжения.
§ 16*. Ток смещения и электромагнит-
электромагнитная теория света
Выше везде мы почти без оговорок
рассматривали ток, идущий через кон-
конденсатор. Действительно, если вклю-
включить конденсатор в цепь переменного
тока последовательно с амперметром,
то амперметр покажет вполне опреде-
определенную силу тока /=Си>ф. С другой
стороны, через конденсатор ток не идет:
пластины конденсатора разделены изо-
изолятором (например, между ними пус-
пустота), поэтому те индивидуальные носи-
носители электричества — электроны, кото-
которые находятся в левом проводе и на
левой пластине, никогда не попадут на
правую пластину и правый провод.
Следовательно, в пространстве между
пластинами не движутся заряженные
частицы, т. е. нет электрического тока
в том смысле, как мы это понимали до
сих пор. В этом пространстве есть
только электрическое поле, кото-
которое меняется, когда меняется заряд пла-
пластин, т. е. когда в левом и правом про-
проводниках течет ток. Теперь возникают
две возможности:
1) либо надо извиниться перед чита-
читателем, сказав, что везде, где говорилось
о токе через емкость, мы выражались
не точно — на самом деле тока нет,
ток течет только в проводах слева и
справа;
2) либо надо рассматривать перемен-
переменное электрическое поле, возникающее
в пространстве между пластинами, на-
наравне с обычным током — движением
заряженных частиц.
Максвелл, ставший на эту последнюю
точку зрения, сумел получить из нее
грандиозные следствия.
Давно было известно, что электриче-
электрический ток, т. е. движение заряженных
частиц, вызывает появление магнит-
магнитного поля. Но если переменное электри-
электрическое поле подобно электрическому
току, то переменное электрическое поле
в пустоте тоже должно создавать маг-
магнитное поле. Эта гипотеза Максвелла
привела к замечательной симметрии
между электрическим и магнитным по-
полями. Фарадей экспериментально от-
открыл индукцию, т. е. тот факт, что-
изменение магнитного поля вызывает
появление электрического поля. Макс-
Максвелл умозрительно пришел к предполо-
предположению о существовании аналогичного
явления, при котором изменение элек-
электрического поля вызывает появление
магнитного поля. Только после этого
предположения теория электрических
и магнитных полей приобрела совре-
современный вид.
Математическая теория Максвелла
записывается в виде дифференциальных
уравнений, которые слишком сложны
для нашей книги, и поэтому мы их
приводить не будем 1. Решения этих
уравнений описывают распространение
в пустоте электрических и магнитных
полей. При этом обязательно должны
существовать оба поля: изменение элек-
электрического поля вызывает магнитное
поле, изменение магнитного поля по-
порождает электрическое поле.
Ко времени, когда работал Максвелл,,
уже были сделаны опыты Фарадея, из-
известна была связь между переменным
магнитым полем и индуцируемой им:
ЭДС. Известно было магнитное поле
тока. Наконец, известна была связь
между зарядом конденсатора и элек-
электрическим полем между его пласти-
пластинами. Этих данных достаточно для того,
чтобы написать уравнения для полей,
в пустоте.
Максвелл нашел скорость распростра-
распространения полей в пустоте. Эта скорость
оказалась равной скорости света! От-
Отсюда, естественно, следовало предпо-
предположение, что свет есть не что иное,,
как электромагнитные колебания. Да-
Далее теория предсказывала возможность.
1 Характеристики электрического и маг-
магнитного полей в пространстве являются функ-
функциями нескольких переменных — онв
зависят от трех координат точки в простран-
пространстве и от времени. Соответственно этому фи-
фигурирующие в уравнениях Максвелла произ-
производные суть частные производные-
функций нескольких переменных, а сами эти
уравнения являются так называемыми диф-
дифференциальными уравнениями в частных про-
производных (ср. со сказанным по этому поводу
в Заключении). К тому же эти характеристики
полей являются векторными величинами.
Укажем еще, что изящные применения
в теории электромагнетизма получают ком-
комплексные числа и аналитические функции
комплексной переменной (см. гл. 17).

404
Гл. 13. Электрические цепи и колебательные явления в них
существования электромагнитных ко-
колебаний любой длины волны, в том
числе и рентгеновских лучей (длина ко-
которых в тысячи раз меньше длины све-
световой волны), и радиоволн с большой
длиной волны. Так, работы Фарадея и
Максвелла начали тот путь, который
завершился открытием радиоволн Гер-
Герцем и изобретением радио как средства
связи нашим соотечественником А. С.
Поповым и итальянцем Маркони,
а также открытием Рентгена и созда-
созданием полной теории электромагнитного
поля и его взаимодействия с веществом.
I 17*. Нелинейное сопротивление
и туннельный диод
Рассмотрим двухполюсник — «ящик»,
похожий на сопротивление в том отно-
отношении, что сила проходящего через
него тока зависит только от мгновен-
мгновенного значения разности потенциалов.
В этом смысле «ящик» не похож ни на
индуктивность, где ср зависит от произ-
„ di
водной -77, ни на емкость, где ср за-
Рис. 13.17.1
висит от 'интеграла I jdt. Однако и от
обычного сопротивления «ящик» отли-
отличается тем, что зависимость / (ср) не сов-
совпадает с элементарным законом Ома
/ = ~г '• у «ящика» зависимость / (ср)
является более сложной. Эта функция
/ (tp) называется характеристикой
«ящика».
Единственное общее утверждение, ко-
которое можно сделать о характеристике
У (ср), это то, что ср и j не могут быть
противоположны по знаку, если внутри
«ящика» нет батарей или других источ-
источников энергии. Если ср и / одного знака,
то при прохождении тока энергия
внутри «ящика» поглощается,
«ящик» отбирает электрическую энер-
энергию от той цепи, в которую он включен;
в «ящике» эта энергия превращается
в тепловую и рассеивается. Так как ср
непрерывно и ср <^ 0 при / <С 0, ср > 0
при />0, то ср=О при /=±0. В остальном
зависимость / (ср) может быть любой. На-
Например, в качестве выпрямителей тока
применяются «ящики», характеристика
которых изображена на рис. 1: в одну
Рис. 13.17.2
сторону ток течет легко при малой раз-
разности потенциалов; в другую сторону
ток почти не идет — как видно из гра-
графика, даже при большой отрицатель-
отрицательной разности потенциалов ток мал. Та-
Рис. 13.17.3
ними свойствами обладают так назы-
называемые диоды, изготовляемые из двух
полупроводников. В 1958 г. в Японии
удалось сделать из специально подоб-
подобранных полупроводников «ящик», так
,/
Рис. 13.17.4
называемый туннельный диод (в дейст-
действительности этот «ящик» представляет
собой миниатюрный цилиндрик диа-
диаметром и высотой всего в несколько
миллиметров х), с необычной кривой
1 В конце 70-х годов и физики, и конструк-
конструкторы очень успешно продвинулись в направ-
направлении миниатюризации всех|частей электрон-
электронной аппаратуры. Современный диод (или ем-
емкость, или сопротивление) может быть изго-
изготовлен в'виде пятнышка диаметром в доли мил-
лиметра.'состоящего из слоев вещества с нуж-
нужными свойствами, толщиной, равной сотым
или тысячным долям миллиметра.

§ 17*. Нелинейное сопротивление и туннельный диод
405
j (ср), имеющей минимум (см. рис. 2,
на котором даны типичные значения ср,
/). Такая кривая не противоречит вы-
высказанному принципу, знак ср везде
тот же, что и знак /, так что «ящик»
только поглощает энергию. Мы не бу-
будем входить в рассмотрение физических
причин такой странной кривой, но зато
рассмотрим следствия для цепи, в ко-
которую включен туннельный диод. Для
краткости будем называть его и дальше
просто «ящик».
Начнем с наиболее простой цепи,
состоящей из трех звеньев: батарея
с ЭДС Е—сопротивление R (обычное,
подчиняющееся закону Ома)—«ящик» Я
(рис. 3).
Внутреннее сопротивление батареи
включим в R.
Уравнение, определяющее ток и рас-
распределение потенциала в цепи, имеет
вид
где ср — разность потенциалов на
«ящике», / (ср) есть функция, опреде-
определяемая свойствами «ящика» (см. рис. 2).
Ток через R равен току через «ящик»,
поэтому cpB=i?/=i?7 (ср).
Это уравнение удобно решить гра-
графически. Запишем его так:
ю=Е — R] (<?) A3.17.1)
и построим в плоскости ср, / прямую
ср=? — Rj. Эту прямую можно на-
назвать «нагрузочной линией» системы ба-
батарея—сопротивление. Решение задачи
дается пересечением прямой A) (т. е.
Е — о\
прямой 7 ~ ') на плоскости с коор-
координатами ср, / с линией / (ср) — харак-
характеристикой «ящика». На рис. 4 пока-
показано такое графическое решение задачи,
притом для одной батареи и трех раз-
разных сопротивлений: малого Ru сред-
среднего i?2 и большого R3.
Из графика видно, что при доста-
достаточно большом Е можно подобрать та-
такое [i? — не слишком малое и не слиш-
слишком большое, — при котором есть три
точки пересечения А, Б, С, т. е. три
решения уравнения A).
Необходимое условие для существо-
существования трех решений — наличие падаю-
падающего участка кривой /—/ (ср). Ясно, что
dj .. А
линия, вдоль которой всюду -з- .> U,
может только один раз пересечься с на-
нагрузочной прямой, каковы бы ни были
Е и R >0.
Рассмотрим теперь несколько услож-
усложненную схему с емкостью, включенной
параллельно «ящику» (рис. 5). Для та-
такой схемы получим, что ток через
«ящик» /(ср) и ток через емкость С¦—
в сумме равны току через сопротив-
сопротивление:
R
Отсюда
Точки пересечения характеристики
/ = / (ср) «ящика» с нагрузочной линией
Е
7=
р
Е —
соответствуют решениям ср =
= const, -jj- = O. Выясним, каков знак
ср ср ср
Рис. 13.17.6 -*-?¦*- "*- ?-*- -*-,*-
¦— в окрестности этих точек. Глядя на
рис. 4, легко убедиться, что -т?>0 при
?<?4;§>0 при <р0 ^
при срл<ср<ср?; ^<0 при <р><рс.
На рис. 6 стрелками схематически
показано направление изменения ср при
его изменении в окрестности стацио-
стационарных значений срА, cpfi и срс. Из него
видно, что среднее решение В не-
неустойчиво: стоит от него немного
отойти влево или вправо и появляется
-~ такого знака, что отклонение ср от
срл будет увеличиваться! Напротив,
точки А и С рис. 4 характеризуют два
устойчивых решения, которым
соответствуют устойчивые состояния си-
системы.
Наличие двух устойчивых состояний
позволяет применять такие «ящики»
в математических машинах как ячейки
памяти: сделав много таких цепей и
переводя внешним воздействием одни

406
Гл. 13. Электрические цепи и колебательные явления в них
ячейки в состояние А, другие — в со-
состояние С, мы можем «записать», «за-
«запомнить» какое угодно число или дру-
другую информацию. С помощью таких си-
систем любую информацию мы записываем
шифром вида А АСАСАССС. . ., где каж-
каждая буква А или С обозначает состоя-
состояние, в котором находится соответствую-
соответствующая система A-я и 2-я — в Л, 3-я —
в С, 4-я — в А и т. д.).
Рассмотрим теперь систему (рис. 7),
состоящую из индуктивности и емкости,
включенных параллельно «ящику».
Снова обозначаем ср разность потенциа-
потенциалов на «ящике», /=/ (ср) — его характе-
Рис. 13.17.7
ристику; ток, текущий через L и С,
обозначим через ]г:
A3.17.2)
Рассмотрим процесс в контуре, когда
ток и потенциал в «ящике» близки
к средней точке пересечения В. Пусть
где к — обозначение производной -J-
при ср=срв. Силу тока мы представили
первыми двумя членами ряда Тейлора,
средний потенциал емкости равен срв,
причем срв и / (срв) удовлетворяют уело-
вию i (ув\ = —о—. Подставляя эти вы-
выражения в уравнения B), получим после
сокращений:
R
Из C) следует
j
Jt
A3.17.3)
1/Д + *'1" /1>
1 1 . , i , dj „
где -^-=-^4-^ = -^+^ = . Из урав-
уравнений C) и D) найдем также
dA_
и окончательно
^+1 +
A3.17.5)
Уравнение E) представляет собой
обычное уравнение колебательного кон-
контура с емкостью С, индуктивностью L и
сопротивлением г. Сопротивление г со-
соответствует тому, что емкость и индук-
индуктивность замкнуты параллельно двумя
цепями: цепью батареи с сопротивле-
сопротивлением R и «ящиком» с сопротивлением
— г=-р. 1ак как эти две цепи вклю-
чены параллельно, то складываются
проводимости, т. е. величины, обратные
сопротивлениям, откуда и следует вы-
выражение для г.
Токи и потенциалы в системе распа-
распадаются на сумму двух слагаемых: по-
постоянного (<рв, j (<pB)) и колебательного
(h @> / @> ё (*))• При этом для колеба-
колебательного слагаемого роль сопротивле-
df
ния «ящика» играет производная -р,
взятая по характеристике «ящика». Будь
в «ящике» обычное омическое сопротив-
сопротивление, то мы имели бы соотношение
y—Rj, т. е. производная и равнялась бы
величине сопротивления:
dj
К чему приводит необычная характе-
характеристика j (ср) «ящика» туннельного диода
(см. рис. 4)? В точке В производная
^¦<Г0, т. е. по отношению к колеба-
ниям «ящик» имеет отрицательное со-
сопротивление! Более того, из рис. 4
видно, что в точке пересечения | к j =
dj
. 1 1
_> -р , так как -= — это как раа
угловой коэффициент нагрузочной пря-
прямой у' = —^2, пересекающей характе-
характеристику в точке В. Следовательно, сум-
суммарное сопротивление колебательного-
контура
A3.17.4) r = _L
Уравнение для колебательного кон-
контура с L, С, г при г >• 0 давало зату-
затухающие колебания. При г <^0 это урав-
уравнение даст раскачивающиеся, усиливаю-
усиливающиеся с течением времени колебания.

§ 17*. Нелинейное сопротивление я туннельный диод
407
Таким образом, с помощью туннельного
диода можно генерировать (возбуж-
(возбуждать) в контуре колебания.
Способность к возбуждению колеба-
колебаний является следствием неустойчи-
неустойчивости точки В. Энергия колебапий чер-
черпается от батареи. Амплитуда колеба-
колебаний растет со временем по экспонен-
экспоненциальному закону лишь до тех пор,
пока можно считать ее малой и поль-
пользоваться разложением в ряд Тейлора
характеристики j (cp) около точки В.
Максимальная амплитуда, грубо го-
говоря, ограничивается точками А и С
на рис. 4.
Уже к 1961 г. были испытаны генера-
генераторы с КПД до 25% при мощности
0,5 МВт при частоте 7500 МГц (длина
волны 4 см). Для нас цепи с туннель-
туннельным диодом интересны с точки зрения
математического рассмотрения нелиней-
нелинейной задачи, вопросов мощности и пред-
представления токов в системе как наложе-
наложения постоянного решения и колеба-
колебаний.

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ
ИЗ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Глава 14
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Основные свойства комплексных
чисел
Дополнительный свет на ряд из затро-
затронутых в этой книге вопросов проливает
использование так называемых ком-
комплексных чисел. Первоначально число
(натуральное) характеризовало коли-
количество предметов в каком-либо (конеч-
(конечном) их наборе: количество детей
в семье, лодок на реке, пальцев на
руке. Числа можно складывать: если
объединить две группы лиц из а и из Ъ
человек, то всего мы получим а-\-Ъ че-
человек; их можно также перемножать:
а кучек по Ъ плодов в каждой дадут аЪ
плодов. Но вот вычитать и делить на-
натуральные числа можно не всегда —
ограничиваясь одними лишь натураль-
натуральными числами, нельзя из 5 вычесть 8
или 3 разделить на 2. Стремление сде-
сделать операции вычитания и деления
всегда выполнимыми привело к появле-
нию# отрицательных и дробных (рацио-
(рациональных) чисел: условились обозначать
разность 5 — 8 через —3 и частное 3 : 2
через -тт. Новые «числа» имели уже
совсем другой смысл, чем раньше, ибо
ни в одной группе людей количество их
не может равняться ни —о, ни -j (не-
(недаром С. Маршак с шуточным ужасом
писал о школьнике, у которого в задаче
«получилося в ответе два землекопа и
две трети»). Также и действия над этими
числами определяются уже по-новому:
в самом деле, ведь бессмысленно гово-
говорить, скажем, просто об объединении
о 3
в одну флотилию —а лодок и у лодок.
Так, например, приходится считать, что
с ad -{-be
а произведение (—а) на (—Ь) равно
-fab1.
Возможность неограниченного умно-
умножения чисел влечет за собой выполни-
выполнимость операции возведения числа в (це-
(целую положительную) степень: а?=а-а,
as ==а ¦ а ¦ а, и вообще aM — a • а ¦ а ... а.
я раз
Но вот обратная операция извлечения
корня в области «обычных» чисел вы-
выполнима не всегда: ведь не существует
никакого (положительного или отрица-
отрицательного!) числа х, квадрат которого-
был бы равен, скажем, —7, т. е. не
существует числа x = yj—7- В даль-
дальнейшем «обычные» числа, т. е. положи-
положительные, отрицательные и нуль, мы бу-
будем называть вещественными 2. Стрем-
Стремление сделать выполнимой также и опе-
операцию извлечения (квадратного) корня
1 Эти соглашения диктуются тем, что
только при принятии их действия пад «новыми»
числами целиком охватывают ранее изве-
известные действия над «старыми» числами (при
расширении понятия числа паы приходится
доучиваться, но не переучиваться — так, по
a b
нашим правилам, a -j- Ъ = -г -j- -г~ =
а ¦ 1 + 1 • 6 а +Ь
1-1
а
также
сумма дробей -г и -т равна
bd
сохраняют силу все общие правила дей-
действий . (вроде законов а-\-Ъ=Ь-\-а или
(a-f-6) c=ac-\-bc). Те же соображения
играют основную роль и при определение
правил действий с комплексными числами,
о которых говорится в настоящей главе.
2 Для того чтобы сделать возможным из-
извлечение корня квадратного из любого поло-
положительного числа, приходится включать в мно-
множество вещественных чисел не только* все
(положительные и неположительные) дроби
(рациональные числа), по также и так назы-
называемые иррациональные числа, вроде числа
^2=1,41. . . (По атому поводу см., напри-
например, рассчитанную на широкий круг чита-
читателей книгу: Ниеен А. Числа рациональные
и иррациональные. М.: Мир, 1966.)

§ 1. Основные свойства комплексных чисел
409
из любого вещественного числа приво-
приводит к понятию комплексных чисел.
Введем в рассмотрение новое «число»
V—1, определяемое тем условием, что
его квадрат равен числу —1. Ясно, что
ни одно вещественное число — ни по-
положительное, ни отрицательное — та-
такого квадрата не имеет; поэтому \J—-1
мы назовем мнимой единицей; в мате-
математике ее обычно обозначают буквой i 3.
Выражения вида c = a-\-ib или z=x+i;/,
где а и Ъ (или х и у) — вещественны, и
называют комплексными числами; числа
вида ib (=0+?&) или iy иногда называют
чисто мнимыми (или просто мнимыми).
Четыре арифметические действия
с комплексными числами а=а1+ш2 и
b = b1Jrib.2 непосредственно вытекают из
определения мнимой единицы. Они вво-
вводятся как естественное обобщение обыч-
обычных действий с вещественными чис-
числами: если а+6=/, а — b=g и a6=fe, то
f = /i + if 2 = К + iaJ + (&i + ibi) =
= (a1Jrb1)-{-i{a2-Jrb2);
S = Si + igz = К + ia3) — (\ -f- ib2) =
h = h1-t-ib2 = (a, -f- ia2) (bx -f- iba) =
— аД -f- ш163 -f- ш26х -f- iaa*2 =
= (аД — a2fr2) -f i (a,b2 + a^)
(при вычислении h мы учитываем, что
i2 = —1); поэтому
Аналогично, если k = -r- =
a — bk, т. е.
ik2, то
i {bjc2 -j- Ь2кх) = ах -[- ia2.
Теперь для определения кг и к2 мы
имеем два линейных уравнения:
Ь^ — Ъ2к2 = аг, Ь2кг -j- bxk2 = а.2,
которые можно решить во всех слу-
случаях, когда Ьу^О (т. е. когда \ и Ъ2
не равны нулю одновременно):
3 От французского слова imaginairo —
мнимый, воображаемый, несуществующий.
При нахождении частного k = -j-
можно также воспользоваться тем, что
при любом (комплексном) числе Ь =
= Ьх -{— г62 произведение Ъ и числа Ь* =
= b1 — ib2 (число Ъ* часто обозначают
через 5; его называют сопряженным с Ъ)
всегда вещественно:
A4.1.1)
(Если b* = b, то число Ъ вещественно;
корень квадратный из произведения
\jbb* = \Jb\ -j- b\ обозначается через | b | и
называется абсолютной величиной, или
модулем, комплексного числа Ъ.) По-
Поэтому
, а «! + ia<i (аг -\- ia2) (Ьг — ib2)
Т~~ b + ib (b + ib) (Ь ib)
«2^2)
f
Наши правила позволяют предста-
представить любую рациональную функцию
комплексной переменной z=x-\-iy, на-
например /= . ^ и т. п., в виде суммы
/ = и -\- iv, где и и v — две веществен-
вещественные функции двух вещественных пере-
переменных х и у (см. упр. 1).
Аналогично решается задача и об из-
извлечении корня квадратного из ком-
комплексного числа. В самом деле,
если г — т*! -j- ?r2 = \/а = ^ах -f- ia2,
то (/-! + ir2J = {r\ - r«) + »2гЛ = a =
что приводит к следующей системе
уравнений для определения неизвест-
неизвестных rv г2.
Эта система легко решается: поскольку
r2_j_( r2)__ai и Г2^—г|) = — -у", ТОГ?
и —г| являются корнями квадратного
уравнения X2 — ахХ j- = 0, откуда
где, как всегда, | а \ == \ja\ -f- а|. (За-
(Заметьте, что оба подкоренных выраже-
выражения положительны!) Итак,

410
Гл. 14. Комплексные числа
Таким образом, вводя новое, «мни-
«мнимое» число i с тем, чтобы задача извле-
извлечения корня квадратного из —1 ока-
оказалась разрешимой, мы неожиданно по-
получили возможность извлекать квадрат-
квадратные корни сразу из всех чисел —
«старых», вещественных, и «новых»,
комплексных.
Прежде чем идти дальше, укажем
геометрическое представ-
V
Рис. 14.1.1
у-*»
\
\
\
л е н и е комплексных чисел. Комплекс-
Комплексное число z=x-\-iy принято рассматри-
рассматривать как точку так называемой ком-
комплексной плоскости (или плоскости ком-
комплексной переменной) с (декартовыми
прямоугольными) координатами х и
у (рис. 1); ось х при этом называют
вещественной осью (ее точки отвечают
вещественным числам x-\-iQ—x), а ось
у — мнимой осью. Каждому комплекс-
комплексному числу отвечает единственная точка
плоскости и наоборот; сопряженным ком-
комплексным числам отвечают точки, сим-
симметричные относительно вещественной
оси. Модуль \Jzz*= \z\ = \Jx2+y2 ком-
комплексного числа z=x-\-iy равен рас-
расстоянию Oz точки z от начала коорди-
координат (отвечающего числу 0).
Прямую Ь1х-\-Ь2у-\-с=0 плоскости ком-
комплексной переменной z=x-\-iy можно задать
«комплексным уравнением»
6z + 6*z*+c = 0, A4.1.2)
где с — вещественно, т. е.
с*=с, a 6 = i/2F1-ib2).
В самом деле, если z=x+iy, то левая часть B),
как нетрудно видеть, равна bxx-\-b2y-\-c.
Уравнение (x2+y2)-Jrblx+b2y-{-c=Q окруж-
окружности плоскости комплексной переменной
можно переписать в форме, аналогичной B):
zz* + bz + b*z* -f с = 0,
где с* = с, & = i/2 (&! — ib2). A4.1.2а)
— ведь 2z* = x2+!/2, а Ы-\-Ъ*г* = Ъхх+Ъгу.
Уравнения B) и Bа) можно объединить
в одной записи:
azz* + bz + 6*2* -f с = 0, A4.1.26)
где а и с — вещественны (а* = а, с* —с); ра-
равенство B6) описывает окружность, если
афО, и прямую, если а=0.
Положение точки z на комплексной
плоскости можно также охарактеризо-
охарактеризовать ее полярными координатами —
расстоянием р от точки z до начала
координат О (это есть модуль \z\ числа z)
и углом ср, который луч Oz образует
с положительным лучом вещественной
оси (угол ср называется аргументом
числа z; иногда его обозначают симво-
символом Arg z). При этом (см. рис. 1)
x=:pcoscp, г/ = р sin ср, р = \Jx2 -\- у2 —
= — , COS cp — г—¦ sin cp :
Таким образом,
z = p (cos cp -}- i sin cp)
A4.1.3)
{тригонометрическая форма комплекс-
комплексного числа).
Форма C) особенно удобна при умно-
умножении и делении комплексных чисел
z1 = p1(coscp1-|_tsincp1)
и za = p2(cos cp2 —[— i sin cp2).
В самом деле, очевидно,
ziz2 = Pi (cos Ti + i sin ?i) P2 (cos Ъ +
4- i sin cp2) = Plp2 [(cos cpx 4- i sin ?1)x
X (cos cp2 -(- i sin cp2)] = PiPa [(cos cpx cos cp2 —
— sin cpx sin cp2) -)-1 (cos cp-L sin cp2 -\-
-f sin cpx cos cp2)] = р^а [cos (cpx + cp2) -j-
-f i sin (cpx -f cpa)], A4.1.4)
или словами: при умножении комплекс-
комплексных чисел их модули (абсолютные вели-
величины) перемножаются, а аргументы
складываются. А отсюда в свою очередь
вытекает следующее. Если — = z3 =
Z2
= Рз (cos <Ps +': sin ср3), то Zj. = zazg,

§ 1. Основные свойства комплексных чисел
411
т. е. р1=р2р3, <?х = ср2 -+- срз, откуда р3 =
= —, о>з = Ф, — ср2. Таким образом,
~ = ^ I cos (cpi — ср2) + i sin (cpx — <р2)]
A4.1.4а)
— при делении комплексных чисел их
модули делятся, а аргументы вычи-
вычитаются.
Заметим, что правила
'|*2|
A4.1.5)
в точности совпадают с теми, которые
имеют место для вещественных чисел.
А вот правила, относящиеся к аргумен-
аргументам комплексных чисел:
Arg (z^a) = Arg zx + Arg z2,
л (Ч\ л л A4.1.5а)
g \i)= g Zi ~~ g Za'
являются для нас новыми. По форме
равенства Eа) напоминают правила дей-
действий с логарифмами, но пока совсем не
ясно, какое отношение может иметь
угол Argz=cp к логарифмам (разве
у комплексных чисел существуют ло-
логарифмы? — ответ на этот вопрос будет
дан ниже).
Умножая по формуле D) число z—
=р (cos cp+i sin cp) само на себя га раз,
получим так называемую формулу
М у а в р а:
z" = p"(cos щ -j- i sin racp). A4.1.6)
Эта формула справедлива также для
отрицательных и для дробных га: так,
например, учитывая, что 1=1 (cos 0+
+ i sin 0), получим
z = — = - [cos (—cp) -f i sin (—<p)l =
Р
—— (cos cp-
i sin cp)
и
= $Jr (cos a --)- I sin a) =
y-j- i sin
A4.1.6a)
A4.1.66)
(см. упр. 2). Заметим, что формула F6)
дает три значения корня кубиче-
кубического из числа z: так как вместо a
аргумент z можно также записать в виде
2тс или а-}-4гс, то имеем
= ^r(cos p -[- i sin P),
где Р = -^- (рис. 2).
Таким образом, использование ком-
комплексных чисел позволяет найти три
корня zx, z2 и z3 кубического уравнения
z3 — с=0, где с = г (cosa-fi sina) —
произвольное комплексное число. Более
того, можно показать, что каждое ал-
алгебраическое уравнение п-й степени
Р (z) = aoz" -f a^" + a2zn~2 + ...
Рис. 14.1.2
где а0 =^= 0, ах, а2, . . ., ап — произволь-
произвольные комплексные числа, имеет п (и
только п), вообще говоря, комплексных
корней zx, z2, . . •, zn, которые, однако,
не обязаны быть все различны (некогда
это весьма важное предложение назы-
называли основной теоремой ал-
алгебры). При этом многочлен Р (z) пред-
представляет собой произведение п линей-
линейных множителей:
Р (z) = ao\(z — zx) (z — га) ... (z — zK).
Так, например, квадратное уравнение
<2(z) = z2-f pz-j-q = O A4.1.7)
имеет два корня:
zi,2= — у + У ^ — Ч, A4.1.7а)
причем
Q (z) = (z — zx) (z — z2).
Корни Gа) уравнения G) при веще-
вещественных р, q будут вещественными и
различными при \ — q ^> 0 (напоминаем,
что вещественное число х — х -j- Ю
является частным случаем комплекс-
ного); одинаковыми (равными ^-) при
р2
^- — q = 0; комплексно-сопряженными
|) + i sin
I равными —j + i у q — %-' гДе тепеРь

412
Гл. 14. Комплексные числа
подкоренное выражение положительно
р2
при -г — 9<С0- (Когда говорят, что при
вещественных р, q и при -г <^q ква-
квадратное уравнение G) не имеет ре-
решений, то это не ошибка, а точка зре-
зрения: если ограничиться одними лишь
вещественными числами, то придется
считатьг что в этом случае уравнение G)
корней не имеет.) Уравнение
zs _ 3Z* -f 7z3 — 13z2 -f 12z — 4 =
= (z — lK(z2 + 4) = 0 A4.1.8)
имеет пять корней, из которых, однако,
только три различны:
z1 = z2 = z3=l, zi=2i и z5 =—2г.
Если все коэффициенты уравнения (лю-
(любой степени) аогп-\-а^п~г+. . . + aM_1z+aM=0
вещественны, то каждому «существенно ком-
комплексному» (т. е. не вещественному) корню
z=x-\-iy уравнения отвечает второй корень
z*=x—iy, комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженный с первым. Это вытекает из правил
действий над комплексными числами, в силу
которых
Bi+z2)* = z* + zJ, (Zj,— ztf=z\ — z*,
A4.1.9)
(проверьте!). А в силу (9), если, например,
zo=xo-Jriyo — корень уравнения Q (х) =
= aaxi-\-a1xz-\-aix2-\-a3x-\-ai=Q с веществен-
вещественными коэффициентами, т. е.
Q Ы = чА + aizo + аг4 + aszo + я4 = О,
4 D) +«; = о*.
..., «4 = а4 и Уж>
«2 DJ + «з (*5) +
Но ведь aj = ao, a* = oi
конечно, 0* = 0; поэтому
Q (*о) = «о (ZSL + «1 D? +
т. е. го=хо—ij/o также является корнем того же
самого уравнения (отличным от z0 при j/o?=O).
Из сказанного в свою очередь следует,
что каждый вещественный многочлен (т. е. та-
такой, все коэффициенты которого вещественны)
можно разложить на [вещественные) линей-
линейные и квадратичные множители (см., например,
разложение (8)). В самом деле, многочлен
Р (г) = ао2и+а12"~1+ . . . + aM_iZ+aM имеет п
(вещественных или комплексных) корней zb
г2, . . ., zM, обращающих его в нуль: Р (zj)=
= Р (z2) = . . . = Р (zK) = 0. При этом Р (z) мо-
может быть разложен в произведение
Р (z) = a0 {z—zJiz—Zz). . .(z—zn).
Но если z0=2-0+ij/0, где ^^=0, — какой-то
комплексный корень многочлена Р (z), а zj=
= х0—iyQ — корепь, комплексно-сопряженный
с z0, то
(z — z0) (z — zj) = (z — x0 — iij0) (z — 2-0 + j//0) =
= [(z — r0) — ij/o] [(z — t0) + ij/o] = (' — ^o)'2 —
Таким образом, каждой паре комплексно-
сопряженных корней z0, Zg многочлена Р (z)
отвечает квадратичный множитель
z2—2aroz-|- (a;g-j-г/g) его разложения на мно-
множители, а вещественному корню z1=x1-{-j0=x1,
если только такой корень существует, отве-
отвечает линейный множитель z—z1==z—хг
разложения Р (г). Это рассуждение и доказы-
доказывает требуемое утверждение. Так, например,
разложение на множители
а4 = ее4 + 2а-х2 + а4 — 2а2х2 — (
а2J —
— (/2 ахJ == [(ж2 + a2) + \l2 ax] [(x2 -f a2) —
— ^2 ах] = (х2 + V^ ат + а2) (х2 — ^2 а.? + а2)
неопытному человеку может показаться слу-
случайным и искусственным (откуда мы знали,
что к выражению xi-\-ai надо было прибавить
2а2х2 и отнять 2а2х2?). Однако искушенный
читатель поймет, что это - разложение с не-
необходимостью вытекает из сформулирован-
сформулированного выше общего факта о разложимости ве-
вещественных многочленов и из формулы
для корней многочлена xiJrai (см. упр. 4).
Тот факт, что в области комплексных
чисел корень квадратный извлекается
из любого (положительного или
отрицательного вещественного или ком-
комплексного) числа и что каждое квадрат-
квадратное уравнение имеет здесь два корня,
безусловно, радует нас — он доказы-
доказывает, что множество комплексных чисел
в определенном смысле «проще уст-
устроено», чем множество вещественных
чисел. Однако на этот результат мы
хотя бы могли надеяться — ведь мни-
мнимая единица i специально вводилась
для того, чтобы из числа —1 можно
было извлечь корень (или чтобы ква-
квадратное уравнение ж2+1=0 можно было
решить). Конечно, уже здесь мы полу-
получили больше того, на что мы имели
основания рассчитывать (сущест воеэ-

§ 2. Возведение в мнимую степень и число е
413
ние не одного лишь ранее несуществую-
несуществующего квадратного корня \J—1, а все-
всевозможных квадратных корней из
всех комплексных чисел; разреши-
разрешимость не только специально выбранного
уравнения ж2+1=0, а в с е х квадрат-
квадратных уравнений), — но это лишь пока-
показывало, насколько удачно было согла-
соглашение \J—l = i. Однако то, что введе-
введение комплексных чисел z=x-\-iy позво-
позволяет из всех (и «старых» и «новых»!)
чисел извлекать корни любой сте-
степени (ср. упр. 3), и то, что оно позво-
позволяет решать алгебраические уравнения
3, 4, 5-й и к а к и х угодно дру-
других степеней, так что, для того чтобы
сделать все уравнения разрешимыми,
не приходится вводить никаких новых
чисел, а можно обойтись теми же ком-
комплексными числами, с помощью кото-
которых решаются квадратные уравнения,—
это, конечно, сюрприз, и притом весьма
приятный. Такое положение дела за-
заставляет думать, что в комплексных
числах «что-то есть», что в них зало-
заложено больше, чем только лишь учение
о «корнях из отрицательных чисел»,
что эти числа вовсе не случайны и мо-
могут принести пользу во многих разде-
разделах математики и математизированного
естествознания.
И эти надежды полностью сбываются.
Упражнения
14.1.1. Пусть г=а;+?(/, а / {z) = u-\-iv\ най-
найдите и и v как функции от х и у, если функция
/(г) имеет вид: а) / = г3 — 3z + l; б) / =
•= 1 + 22; в) /=гя.
ИЛ.2. Докажите формулы Fа), F6),
а также справедливость формулы Муавра F)
для любого (вещественного)^я.
14.1.3. Докажите, что п значений корня
степени п из произвольного комплексного
числа с (га корней уравнения я-й степени
2я — с=0) геометрически изображаются п
точками комплексной плоскости, являющи-
являющимися вершинами правильного и-угольника.
14.1.4. Выпишите все значения у—1! с по-
помощью полученных формул разложите f на
(вещественные) множители многочлен zi-\-al.
§ 2. Возведение в мнимую степень
и число е
Поставим задачу определения мнимой
степени. Как найти число 10'? Можно
ли умножить 10 само на себя i раз, т. е.
\J—1 раз? На первый взгляд сам этот
вопрос кажется бессмысленным. Од-
Однако ведь и вопрос о том, что полу-
получится, если умножить 10 само на себя
—3 раза или 1/2 раза, сначала тоже
кажется бессмысленным, ибо буквальное
выполнение правила возведения числа
в целую положительную степень (ап =
= аа ... а) здесь невозможно, а между
я раз
тем числа 10(=0,001) и 10l!'(=\Ji0яз
«3,16) безусловно существуют.
Вспомним логическую последователь-
последовательность определения отрицательных и
дробных степеней чисел — этот пример
является вдохновляющим! Первона-
Первоначально мы определяем лишь возведе-
возведение в целую положительную степень п:
а" = ааа . .. а.
п раз
Из этого определения — по-прежнему
для целых положительных показате-
показателей — следуют два правила:
A4.2.1).
= ап
ап+т =
п
= а .
(аТ--
= аа
раз
.. а
п
m раз
. . . а =
m раз
¦а ...
раз п
а =
раз
а"ап\
г ... с
п раз
i ... а
т раз
A4.2.1а)
(ср. со сказанным на с. 408 об определе-
определениях сложения и умножения натураль-
натуральных чисел). Обобщение заключается
в том, что мы требуем выполнения пра-
правил A) и Aа) также для отрицательных
и дробных показателей степени.
Тогда из правила A) получаем
и, значит,
_з а. 1
п =^ = ^~>
и аналогично для любого натураль-
натурального т
Таким же образом в силу Aа)
-1.3
(о1/.)8 = а 3 = а1 = а,
и поэтому
al^=\ja и вообще allq—y a-

414
Гл. 14. Комплексные числа
Теперь для любой дроби n—p/q имеем
= i/~ai'. A4.2.2)
Поскольку для любого вещественного
(иррационального) числа можно найти
как угодно близкую рациональную
дробь, задача о возведении в л ю б у ю
вещественную степень полностью ре-
решена. Однако те приемы, с помощью
которых выше удалось определить от-
отрицательную и дробную степени, сами
по себе недостаточны для того, чтобы
определить мнимую степень atk (а и
к — вещественные числа), — для этого
подвига нам придется использовать те
Рис. 14.2.1
ff
z = /+
.-¦?
! к/п
77'
сведения, которые мы накопили при
изучении производной степенной функ-
функции.
Воспользуемся тем, что в силу опре-
определения числа е
ег^1-\-г при |г|<1 A4.2.3)
(см. § 4.8, формула D.8.2)), причем
приближенное равенство C) тем точ-
точнее, чем меньше \r | х. Условимся те-
теперь считать, что C) сохраняет силу
также и для комплексных г, малых по
абсолютной величине, в частности и
для чисто мнимых чисел ri малого мо-
модуля \п \=г. Если мы хотим опреде-
определить число ек\ где к — какое угодно
(не малое!) вещественное число, то вос-
лользуемся тем, что в силу C)
1 -j i при п
1,
A4.2.3а)
ш о е число (его мы будем считать н а-
туральным), так что к/п <§; 1.
к
Точка 2 = 1 -|— i (=p (cos cp -\- i sin <р))
комплексной плоскости имеет декартовы
координаты П. —) и полярные коорди-
координаты (р, ср) (модуль и аргумент ком-
комплексного числа z), где
P =
kin
A4.2.4)
т. е. при —
(рис. 1). При п^
(точные) равенства D) можно заменить
(приближенными) соотношениями
р?«1, ср«— , A4.2.5)
где слова о приближенном характере E)
указывают на пренебрежение слагае-
где под п, как это следует из записи
п ^> 1, понимается очень б о л ь-
1 Разность а=ег — A+г) является малой
2-го порядка по отношению к г. при малых
а
| г | отношение — остается «конечным»,
т. е. не очень малым и не очень большим.
(Вместо ссылки на равенство D.8.2) мы
могли бы, что равносильно, исходить из опре-
определения D.8.3а) экспоненциальной функции:
I кУ
ек = lim I 1 -\- — ) , принимая, что последняя
и->со \ п '
формула сохраняет силу и для комплексных
(в частности, чисто мнимых) показателей сте-
ыени к.)
мыми порядка малости (— J и более
высокого (ср. с текстом, напечатанным
ниже мелким шрифтом). А так как
в силу формулы Муавра A.6)
еы ^(i -j-^-iJ— [p (cos cp -f i sin у)]" =
= p" (cos щ-\-1 sin ny),
TO
A4.2.36)
A4.2.6)
= cos к -\- i sin к
и, следовательно,
еы == cos к -j-1 sin к.
Это соотношение можно принять за
определение экспоненциальной
функции мнимого аргумента; оно выте-
вытекает из предположения (За). Формула
F) называется формулой Эй-
Эйлера.
Формула Эйлера F) позволяет отве-
ответить на вопрос о том, чему равно
число 10*:
10> __ (gin 10\» _— gin Ю • » ^ е2,3» _
= cos 2,3 -f i sin 2,3 «s —0,67 + 0,77t.

§ 3. Тригонометрические функции и логарифмы
415
Другой способ вывода формулы Эй-
Эйлера связан с разложением функций
в ряды. Как мы знаем (см. гл. 6),
'У1 /у* ?• '~у*Ш$ *yi4 '?»&
ехт^1 +тт + 2Т+~зТ+ТГ+~5Т + ' ' "
A4.2.7)
причем ряд G) сходится при всех х,
что дает нам смелость считать в G)
число х, если угодно, и комплексным.
Положим, по определению,
е =
t
(ixf _J
-5T+
4Т
Но поскольку (см. гл. 6)
4 !
sin ж = ж
-х-.—I—r-j—
о ! 0 1
A4.2.8)
A4.2.9)
A4.2.9а)
(ряды (9) и (9а) также сходятся при
всех х), то мы приходим снова
к той же формуле Эйлера:
е?х = cos x-\-i sin x.
Далее естественно положить:
если z = x-\- iy, то е" = ex+iy =
= exeiy = ех (cos y-j-isin у)
A4.2.10)
(ср. упр. 1).
Разумеется, формулу A0) можно
сразу принять за определение
показательной функции ег комплекс-
комплексного аргумента z=x-\-iy (ср. со ска-
сказанным о формуле Эйлера F)). Это
определение оправдано тем, что при
z=ar-f-iO=a: величина ег обращается
в экспоненциальную функцию ех в е-
щественной переменной х,
а также тем, что для функции A0) со-
сохраняется основное свойство A) пока-
показательной функции:
если z = z1-j- z2, где
z2 — x2 -f iy2, то e* = exp [(X
+ * (У1 + J/a)J = ^^ [cos (У1 -f y2) -f
+ ifsin (У1 + ya)] = (e*-e*.) [(cos ^ -f |
+ i sin уг) (cos г/2 + i sin y2)] =
= [еж' (cos г/х + i sin yx)] [ex* (cos г/2 -f
-)- i sin г/2)] = e^ez>.
= x1-j- iyv
В силу формул D) и F.4.6)
, 1 к*
1 + +
= 1 + 2^ + ....
где точками обозначены члены более высо-
высокого порядка малости, чем выписанный член
к2
2~ъ ; в силу же (более общей) формулы F.4.3)'
к2 \» к2
откуда в силу малости при п <^ 1 второго
слагаемого я— следует, что модуль числа
Л kiY
II + —) (%eAt) вполне допустимо считать
(приближенно) равным 1. Аналогично можно
проверить, что мы не делаем заметной ошибки
и приравняв аргумент числа ( 1 + — ) вели-
к
чине — (ср. упр. 2).
Упражнения
14.2.1. Докажите, что соотношение ex+iv %
(х 4- iv \n I
14- п ) при /г^>1 (т.е. еж+<У =
= lim A +Ж ty ) ) равносильно фор-
муле (Ю).
14.2.2. Докажите, что в формуле 14- — =
= р (cos <р 4-' sin f) пРи
1 имеем <р =
ft
= — + ..., где точками обозначены члены
ft
1
порядка малости -^ и выше.
14.2.3. Докажите, что при любом ком-
комплексном (а не только ири чисто мнимом)-
числе Дг, малом по абсолютной величине,
е4г = 1 4- Дг +..., где точками обозначены
члены, модуль которых имеет порядок ма-
малости | Дг |2 и выше.
§ 3. Тригонометрические функции и ло-
логарифмы
Формула Эйлера B.6) вскрывает глу-
глубокую внутреннюю связь периодиче-
периодических функций cos х и sin х с показа-
показательной функцией. На первый взгляд
показательная функция ах не имеет
ничего общего с периодичностью: при
а >¦ 1 величина ах монотонно растет
с ростом х, а при а <^1 она все время
убывает; никакой периодичности тут

416
Гл. 14. Комплексные числа
нет. Но если а——1, то степени а"
числа а принимают значения:
-1, +1, —1, +1, -1, +1, . . ., A4.3.1)
т. е. они меняются периодически г. Если
записать, что
—1 = cos ft-j-i sin Tz = e'*,
то мы сможем считать показатель сте-
степени п в записи (—1)" любым веще-
вещественным числом:
{_1)« — (е*У = еш= cos (ran) -f- i sin (гея).
Здесь (вообще говоря, комплексная) ве-
величина (—1)" принимает всевоз-
всевозможные значения, модуль которых
равен 1, по-прежнему меняясь периоди-
периодически с изменением п. Точно так же
периодически меняется величина ах, где
а = cos cp+i sin cp=e1!p — произвольное
комплексное число с единичным моду-
модулем: в этом случае
ах = (е*?)* — eit?x = cos (срж) -f i sin (?x).
Если же a— p (cos cp-j-i sin cp) = pettp —>
комплексное число, модуль которого р
отличен от 1 (р>0 и р ^ 1), то вели-
величина
A4.3.2)
— f [cos (срж) -\- i sin (еря)]
разложится в произведение двух сомно-
сомножителей: первый из них (он определяет
модуль числа ах) будет монотонно воз-
возрастать или монотонно убывать с ро-
ростом х, а второй, равный е*4* (он отве-
отвечает за аргумент числа ах), будет ме-
меняться периодически. Если р <^ 1, то
вещественная часть и коэффициент при
мнимой части числа ах, т. е. выражения
рх cos (срж) и рж sin (cpz), будут модели-
моделировать затухающие колебания (см.
§ 10.4, в частности рис. 10.4.2). Ниже
(см. § 17.1) мы увидим, что эта связь
функции ах с затухающими колеба-
колебаниями отнюдь не случайна.
Формула Эйлера B.6) позволяет
строить многие другие важные функ-
функции вещественной, мнимой или ком-
комплексной переменной. Начнем с того,
1 Мы ограничились одними лишь нату-
натуральными (целыми положительными)
значениями показателя степени; позволив п
принимать также целые отрица-
отрицательные значения и нуль, мы неограни-
неограниченно продолжим периодическую последова-
последовательность A) _чисел (—1)" влево.
что перепишем эту формулу по-дру-
по-другому, выразив не показательную функ-
функцию через тригонометрические, а, на-
напротив, тригонометрические функции
через показательную. Из того, что
е*'? = cos ср -)- i sin cp, A4.3.3)
следует также, что
e~t<? = cos (—ср) -f- i sin (—ср) =
= cos ср — i sin ср. A4.3.3а)
Сложив почленно C) и (За), а затем
вычитая (За) из C), мы без труда по-
получим
cos ср:
sin <р = .
2i
A4.3.4)
Следствия D) формулы C) часто также
называют формулами Эйлера.
Заметим, что при вещественном ер
стоящие в правой части D) выражения,
разумеется, вещественны (это ведь суть
косинус и синус некоторого угла!): в са-
самом деле, подставив в эти выражения
вместо е1? и e~!f разложение B.8) и
аналогичное, мы придем к знакомым
уже нам формулам B.9) и B.9а)! Можно
и по-другому с одного взгляда убедиться
в вещественности полученных выраже-
выражений. Заменим в выражении z=P-\-iQ
для комплексного числа z (P и Q ве-
вещественны) i на —I; мы придем к ком-
комплексно-сопряженному числу z* =
=Р — iQ. Если же при этом z не из-
изменилось, т. е. z*—z, то Q=0 и z ве-
вещественно. Но легко видеть, что (при
вещественном ср) правые части D) не
меняются при замене i на —i; поэтому
они вещественны.
Далее с помощью выражений D) для
cos ср и sin ср через экспоненты можно
определить и тригонометрические функ-
функции мнимого аргумента. Подставим в D)
ср=гф, полагая ф вещественным, так что
ср —¦ чисто мнимое. Получим
е-ф _L- еФ
cos (Щ = ^ , sin (Щ =
е-Ф - еФ
еФ — е~Ф
2
A4.3.5)
Таким образом, мы вернулись к экспо-
экспоненциальным функциям вещественного
аргумента ф, точнее — к некоторым
комбинациям экспонент, о которых под-
подробнее скажем в следующем параграфе
этой главы.

§ 3. Тригонометрические функции и логарифмы
417
Рассмотрение функций cos (?ф) и
sin (?ф) решает и еще одну задачу.
Возьмем, к примеру, ф = 1. Простой
расчет дает
е 2,72 + 0,36
COS i =¦
(я sini;
2
.2,72 — 0,36
= 1,18/).
= 1,54
A4.3.6)
Поставим
вопрос: каков тот угол, косинус кото-
которого равен 1,5? Раньше мы ответили бы,
что такого угла нет, ибо косинус лю-
любого угла не превосходит единицу.
При этом молчаливо подразумевается,
что угол, от которого зависит коси-
косинус, — это «настоящий» угол, тот, ко-
который можно нарисовать на чертеже и
измерить транспортиром. Но теперь,
после введения мнимых углов, можно
дать определенный численный ответ:
уравнение
COS ер = 1,5 A4.3.7)
имеет (приближенное) решение ср «г.
Очевидно, что значение ср яа —i также
является решением уравнения G); на-
наряду с этим здесь имеется еще беско-
бесконечное число решений, отличающихся
одно от другого на числа, кратные 2«.
Таким образом, если ранее мы не имели
ни одного решения уравнения G), то
теперь можем считать, что их сущест-
существует бесконечно много:
=р= ±1-\-2къ, где й = 0, +1, ±2,...
A4.3.8)
Здесь положение вполне аналогично
тому, с каким мы столкнулись в слу-
случае алгебраических уравнений. При ис-
использовании одних только веществен-
вещественных чисел квадратное уравнение
х2 — /г=0, где п >¦ 0, имело два ре-
решения (корня) х= +\]п, а уравнение
х2-{-п=0 — ни одного решения; при пе-
переходе же к комплексным числам вто-
второе уравнение также получало два ре-
решения: х— +i \jn. Аналогично урав-
уравнение cos w = n при п ^ 1 имело беско-
бесконечно много решений (так, значению
п = 1 /2 отвечают углы ср = + ^ -\- 2кп, где
к — любое целое число), а при п ]> 1
оно не имело ни одного решения; при
переходе же к комплексным значениям
ср и это уравнение приобретает беско-
бесконечное множество решений.
Задачу о решении уравнений можно
сформулировать как вопрос об опреде-
определении обратной функции.
Рассмотрим («прямую») функцию t=x2;
задача нахождения обратной функции
сводится к решению уравнения x^—t,
где t задано, а х надо найти. При этом
в области вещественных переменных
исходная функция существует при всех
значениях аргумента х, а обратная —
лишь при значениях аргумента t ^ 0;
в комплексной же плоскости обратная
функция также определена при всех
t. Аналогично и функция cp=arccos s,
обратная функции s=cos ср, в области
вещественных переменных существует
лишь при —l^s^l (ср. с §4.11);
в области же комплексных переменных
она определена при всех s.
Оказывается, что так же обстоит дело
и с логарифмической функ-
функцией z=ln w, которая определяется как
обратная показательной функции w=ez.
Мы знаем, что в области вещественных
чисел логарифмы существуют не всегда:
так, например, не имеют логарифмов
отрицательные числа. В комплекс-
комплексной же области, как мы убедимся чуть
ниже, логарифмы определены всегда.
Наконец, заметим, что все три обрат-
обратные функции: x=\jt, cp=arccos s и
z=ln w — являются неоднозначными,
хотя характер этой неоднозначности
здесь неодинаков; на причинах, обус-
обусловливающих это различие, мы еще
остановимся ниже.
Перепишем формулу B.10) так:
ex+iy = р (cos у-{-i sin у) = ре{1/,
где р — ех, т. е. ж = 1пр. A4.3.9)
Поскольку равенство w=e* равносильно
записи z=\nw, то из (9) вытекает:
если w= p (cos cp+i sin ср), то
z = In w ¦=. In p -f- гср = In | w | -f- i Arg w.
A4.3.10)
Разумеется, соотношение A0) надо
считать определением (ранее
нам неизвестного) числа In w: ведь «вы-
«вывод» равенства A0) из (9) мы мотиви-
мотивировали равносильностью записей e*=w
и z=ln«;, справедливой для веществен-
вещественных г и iff, но не для комплексных
(или хотя бы отрицательных веществен-
вещественных) w, для которых величина In iv
ранее не имела смысла. Целесообраз-
Целесообразность определения A0) связана с тем,
что при cp=Argz=O, т. е. в том случае,
когда z — вещественное поло-

418
Гл. 14. Комплексные числа
жительное число, формула A0)
приводит к обычному понятию лога-
логарифма (при введении логарифмов комп-
комплексных чисел надо доучиваться —
не переучиваться); кроме того, в силу
(9) здесь всегда (для любого w) elUK=w.
Выражая числа р (т. е. |«;|) и ср
(т. е. Argu;) через вещественную часть
и коэффициент при мнимой части комп-
плексного числа w = u-\-iv: р = | w | =
пе-
= \/и2 -j- и2, ср = Arg w =
репишем A0) еще так:
In (и -j- iv) — In s/u2 -\- v2 -j- i arc tg (—j.
A4.3.11)
Окончательно мы пришли к новому
понятию логарифма числа — более ши-
широкому, чем известное нам из средней
школы. Формула A0) (или A1)) позво-
позволяет найти, например, логарифм отри-
отрицательного числа. В самом деле,
можно написать, скажем,
5 = 5 • ( 1) =!
откуда следует, что
ТО
А так как (ср. § 4.9) lg10a; =
In х
A4.3.12)
In х
''U
teio(—5)>» A/2,3) In (—5)«*0,7j+ 1,37*.
Если модуль р комплексного числа z
равен единице, т. е. если z=cos cp+
+i sin ср, то lnz=cp?=? Argz. Именно эта
связь между логарифмами комплексных
чисел и их аргументами и обусловли-
обусловливает близость свойств аргументов чисел
к свойствам логарифмов, заключающу-
заключающуюся в том, что для любых двух (комп-
(комплексных) чисел и и v
log {uv) = log и -j- log v,
log (•?-) = log и — log v,
Arg (uv) = Arg u -f- Arg v,
Arg (^j = Arg и — Arg v,
т. е. при перемножении комплексных
чисел их аргументы (как и логарифмы)
складываются, а при делении вычита-
вычитаются. (Под символом log и и здесь можно,
разумеется^ понимать логарифм по л ю-
б о м у основанию — ведь все лога-
логарифмы пропорциональны друг другу.)
Заметим, что во всех формулах, в ко-
которые входит угол со — аргумент комп-
комплексного числа, его можно заменить на
угол ф+2&тг, где к — любое целое
число. Поэтому логарифм каждого числа
имеет не одно, а бесконечно
много значений. Так, в формуле A2)
полный ответ имеет вид
* = 0, ±1, ±2, ...
Но то же самое относится и к лога-
логарифму любого положительного числа.
Например,
In5 = l,6 + i-2ftjt, k = Q, ±1, +2, ...
или In I = i ¦ 2кп, й = 0, ±1, ±2,...,
так как
l = cos 0 —j— t sin O=cos 2тс—f—г sin 2n=...
. = е° = е2** = е4** =
Ниже мы еще вернемся к вопросу о том,
почему логарифм не однозначен, каковы
глубокие причины того, что каждое
число имеет не один, а бесконечно
много логарифмов.
Укажем, наконец, что понятие лога-
логарифма позволяет говорить о возведении
в любую (комплексную) степень какого
угодно (комплексного) числа. Так, на-
например, попробуем определить число V
(что получится, если число i умножить
само на себя i раз?). Очевидно, имеем
Я ... 1С 2
I = COS -g- -j- I Sin " = в
и, значит^
i 2,7-1.57 = ;
(это число оказалось даже веществен-
вещественным!).
Упражнения
14.3.1. Пусть в= р (cos f-\-i sin у), a z=
=x-\-ty. Выпишите все значения величины^и'.
14.3.2 (задача-шутка). Что больше: е'
или i<? е* или Р?
§ 4*. Тригонометрические функции'
мнимого аргумента. Гиперболиче-
Гиперболические функции
Вернемся снова |к формулам^ C.5) для
тригонометрических функций мни-
мнимого аргумента:

§ 4*. Тригонометрические функции мнимого аргумента
419
COS Цф) = -
Из разложений в ряд
sin (гф) = f
A4.4.1)
Входящие в эти формулы комбинации
экспонент еф и е"ф имеют специальные
названия и обозначения. Первая из них
называется гиперболическим косинусом,
а вторая — гиперболическим синусом ар-
аргумента ф; обозначаются они так:
A4.4.2)
(Буква h в написании этих функций
напоминает нам о гиперболе (hyperbola
по-латыни).) Таким образом,
cos (гф) = ch ф, sin Aф) = г sh ф. A4.4.3)
Многие свойства гиперболических
функций как бы копируют свойства
(обыкновенных, или круговых) триго-
тригонометрических функций, иногда, впро-
впрочем, воспроизводя их в несколько иска-
искаженном виде. Так, из формул B) сле-
следует, что ch ф есть функция четная:
ch(—у) = i = ch ф, в то время
как sh ф — функция нечетная: sh (—ф) =
е-Ф — еФ , , п
= т?— = — эЬф. L, другой стороны,
очевидно, ch @) = l, a sh @)=0 (ср.
изображенные на рис. 1 графики гипер-
гиперболических синуса и косинуса). На
рис. 1 представлен также график ги-
гиперболического тангенса:
* Ch ф
ясно, что функция Шф нечетная
(th (—ф)=—Шф) и th @)=0 1. Укажем
еще, что известной формуле cos2cp+
+sin2cp=l отвечает следующая формула
«гиперболической тригонометрии»:
сп2ф — зЬ2ф = 1-
A4.4.4)
В самом деле,
-ФгЗ
2 ^_
_ 2 -f-
1 Мы знаем, что (обычные) косинус и
синус (вещественного переменного) ограни-
ограничены: | cos у | < 1, | sin ф I < 1< в то время
как тангенс может принимать сколь угодно
большие значения. Гиперболические же ко-
ко—Ф л Ф i ф2 Ф3 I Ф4 I
е ==1""Т+ТГ~"зТ+ТГ +
и формул B) следует, что
Рис. 14.4.1
(ср. с разложениями B.9) и B.9а) в ряд
тригонометрических функций), откуда,
в частности, вытекает, что при малых ф
A4.4.6)
(во всех формулах F) мы пренебрегли
членами третьего и более высоких по-
порядков малости относительно ф). Далеев
очевидно,
A4.4.7)
откуда в свою очередь с учетом D) вы-
вытекает, что
(. г) \с
с1г2ф
ch2 ф — sh2 ф __
: сЬаф
(ср. с формулами производных для три-
тригонометрических, функций § 4.10).
синус и синус не ограничены, ибо, как легко
видеть, ch ф -> оо при ф -> оо, sh ф -> оо при
Ф -> оо; напротив, th ф ограничен: | th ф | < 1
(и, как нетрудно понять, НтШф = 1).
ф

420
Гл. 14. Комплексные числа
Еще более удивляет сходство между
известными («школьными») формулами
сложения для тригонометрических функ-
функций
sin (a-)-P)=sin а cos j3-}-cos asin [3,
cos (a-f-[3) = cos a cos |3—sin asin [3,
1 — tg a tg 3
и аналогичными формулами для гипер-
гиперболических функций
sh (и 4- v) = sh и ch v 4- ch и sh u,
ch (u 4- y) = ch и ch и -J- sh и sh i>,
,, . , . sh (u + v)
th в4-!) = ; , =
A4.4.8)
sh и ch v -f- ch в sh и
ch u ch у -f- sh в sh у
sh u/ch в -f- sh y/ch i;
1 -(- (sh к sh y)/(ch в ch г>)
th u -[- th у
1 -f- th и th у
(последнюю из формул (8) мы получили,
разделив числитель и знаменатель
Рис. 14.4.2
,» sh (в + v) , ,
дроои -г-7—— на chuchu; по поводу
СП. {И —{- V)
первых двух формул см. упр. 1). Из (8)
в свою очередь вытекает:
sh Ъх = 2 sh и ch и,
ch2ii=ch2tt-fsh2u, A4.4.9)
2 th и
" 1 -j- th2 и
(к формулам (9) мы приходим, положив
в (8) u=v; не правда ли, все формулы
D)—(9) очень похожи на знакомые
Вам?).
Названия гиперболических функций ch ф
и sh ф связаны со следующим обстоятельством.
Обыкновенные (круговые) | косинус^ и синус
можно определить как абсциссу и ординату
точки М единичной окружности х2+
+j/2=l (рис. 2, а); при этом аргументом здесь
является угол АОМ=у, который можно по-
понимать как удвоенную площадь сектора SA0V
круга (ведь наш круг имеет радиус 1). Ана-
Аналогично гиперболические косинус и синус
можно также описать как абсцису и ординату
переменной точки М единичной гипер-
гиперболы х1-— у2=1 (рис. 2, б), где в качестве
аргумента выступает гиперболический угол
ф — удвоенная площадь сектора АОМ ги-
гиперболы (см. упр. 5). Рис. 2 позволяет также
геометрически представить круговой и пшер-
болический тангенсы:
sin а МР AT
1^=Ш^ = ОР=ОА=АТ (см. рис.2,«),
зЬф МР AT
№* = с?^= OF = OT=-4r icm. рис.2,6)
(напомним, что в обоих случаях 0.4 = 1);
отрезок AT называется линией тангенса,
подобпо тому как отрезки МР и ОР — это
линии синуса и косинуса. Из этого описания
гиперболических функций сразу вытекают
многие их свойства: и формула D) (соотноше-
(соотношения cos2 tp+sm2<p=l и ch2 ф—зп2ф=1 — это
не что иное, как уравнения x2-\-y2=i и х2—
— г/2=1 окружности и равносторонней гипер-
гиперболы), и четность функции ch ф, и нечетность
функций sh ф и th ф (из рис, 2, б сразу видно,
что ch (—t?)=ch ф, a sh (— ф)=— sh ф и
th (—ф) = —th ф), и равенства ch(O)=l, sh @)=-
=th @) = 0 и др.2
Теперь мы можем по-новому взгля-
взглянуть на связь C) между круговыми
и гиперболическими функциями. Пер-
Первоначально синус и косинус угла ср
определялись как отрезки в круге еди-
единичного радиуса (см. рис. 2,а) или
как отношения сторон прямоугольного
треугольника с острым углом ср. Но эти
определения ничего не говорят, скажем,
о том, что такое sin i или cos i. Что это
за странный угол величины i? Как
можно произвести поворот на такой
угол? Построить прямоугольный тре-
треугольник с таким углом? Эти последние
вопросы остаются, понятно, без от-
ответа — но с помощью формул Эйлера
найти величину выражений sin i и cos i
вполне возможно. Заметьте, что ряд B.9)
для косинуса
COS <р = 1 — Л__4_Х__
2 Заметим, что также и формулы сложе-
сложения (8) или определения B ) гиперболических
функций могут быть выведены из указанного
на рис. 2, б геометрического1введения гипер-
гиперболических функций (см., например: Шереа-
тов В. Г. Гиперболические функции. М.:
Физматгиз, 1958).

§ 4*. Тригонометрические функции мнимого аргумента
421
состоит из одних лишь четных сте-
степеней угла ср; поэтому при подстановке
ср=г (или, общее, ср=ф?, где ф — ве-
вещественное число) все члены ряда оста-
останутся вещественными: косинус чисто
мнимого угла является вещественным
числом. Ряд B.9а) для синуса (sin cp =
= ср — — -J-...J
при подстановке ср =
дает чисто мнимое выражение, откуда
и возникает коэффициент i в формуле C),
связывающей sin (Ц) с вещественной
функцией shty.
Аналогия между тригонометриче-
тригонометрическими и гиперболическими функциями
находит дальнейшее продолжение в важ-
важной теме о дифференциальных уравне-
уравнениях. Мы знаем, что дифференциальное
уравнение
d2x
dt2
г = —кх
A4.4.10)
при к ^> 0 допускает общее решение
х = A cos wt -j- В sin urf, w = \Jk A4.4.11)
(см. § 10.2). С другой стороны, уравне-
уравнение
A4.4.10а)
где тоже к ^> 0, как мы уже видели
выше (ср. § 13.10), имеет частные ре-
решения х = е^** и е~^г, так что общее
его решение можно записать в виде
где постоянные С и D произвольны.
Переписав это решение в виде
и обозначив C-\-D=A, С—D—B, мы
в силу определений B) придем к записи
общего решения уравнения A0а), во
всем аналогичной виду A1) общего ре-
решения уравнения A0):
х = A chcui-j- Bshwt, где
= \1к-
A4.4.11а)
Связь между тригонометрическими
п показательной (или гиперболическими)
функциями проливает новый свет на
возникновение в сходных условиях|пе-
риодических движений (колебаний) и
апериодических движений. Рассмотрим
шарик, находящийся в состоянии не-
неустойчивого равновесия на круглой вер-
вершине холма (рис. 3,а). На самой вер-
вершине холма сила тяжести полностью
уравновешивается сопротивлением опо-
опоры (холма), т. е. составляющая силы
тяжести, направленная по касательной
к поверхности холма и стремящаяся
сдвинуть шарик с места, равна точно
нулю. Однако стоит шарику немного
сдвинуться, скажем вправо, — и на
него начинает действовать сила F в на-
направлении, увеличивающем этот сдвиг,
причем эта сила растет с увеличением
Рис. 14.4.3
сдвига х (можно, например, считать
силу пропорциональной сдвигу: F=kx,
где к^> 0). По второму закону Ньютона
(см. § 9.4) уравнение движения шарика
будет таково:
т-^=Р=>
A4.4.12)
Решение этого уравнения (ср. с уравне-
уравнением A0а)) имеет вид
х = ае
1 A
A4.4.13)
или, что то же самое,;
х = A ch wt -4- В sh uit, где ш=1/—.
г т
A4.4.14)
Наличие экспоненциально растущего
y
решения3 Ух = е т означает неустой-
неустойчивость состояния равновесия шарика
на вершине холма. Можно ожидать, что
в общем случае начальные условия та-
3 Или (также экспоненциально растущих!)
решений y1=ch(ot, y2=sh(ot. Легко понять,
что с ростом ф функции и = сЬф и и = sh ф
спф впф
растут как экспонента: Пт —— = lim —— =

422
Гл. 14. Комплексные числа
ковы, что в A3) а^=0 и 6^=0 (было бы
весьма маловероятно, чтобы начальные
условия гарантировали строгое соблю-
соблюдение равенства а=0). Следовательно,
через некоторое время первое слагаемое
правой части A3) обязательно станет
достаточно большим — шарик упадет.
Теперь обратимся к другой, в опре-
определенном смысле противоположной си-
ситуации — пусть шарик находится в яме
с покатыми краями (рис. 3, б). Когда
шарик сдвигается на расстояние х из
положения равновесия, возникает сила
F, направленная в сторону нижней
точки ямы, — «возвращающая» сила.
(Такое направление силы согласуется
с тем, что равновесие в случае ямы
устойчиво в отличие от равновесия ша-
шарика на горе.) Предположим, что сила F
по величине пропорциональна откло-
отклонению х, так что F = —кх, где к — по-
положительная величина, а знак минус
з формуле как раз и говорит о том, что F
стремится вернуть шарик в исходное
положение. Тогда уравнение движения
шарика будет таково:
¦ -= —кх.
A4.4.12а)
Формально это уравнение похоже на
предыдущее. Поэтому можно взять ре-
решение уравнения A2), заменив в нем
к на —к, — ведь именно эта подста-
подстановка переводит уравнение A2) в урав-
уравнение A2а)! При этом мы получим ре-
решение новой задачи:
-ае
V
-1/
+ Ъе~ш,
к
A4.4.13а)
или, при другом выборе произвольных
постоянных,
у = A cos чЛ 4- В sin ш?, ш = 1/ —
г ТП
A4.4.14а)
(ср. (И); выражения A3а) и A4а)
совпадают, если положить А = Т" ,
В = 9 ). При этом (вещественное!)
решение A4а) уравнения A2а) явля-
является уже ограниченным при всех t, что
тесно связано с устойчивостью состоя-
состояния равновесия «в яме».
Мнимые «числа» (как корни квадратные
из отрицательных чисел) впервые (причем
довольно формально) ввел видный итальян-
ский математик эпохи Возрождения Джи-
роламо К ар дан о A501—1576). Появле-
Появление комплексных чисел именно в этот период
бурного развития алгебры (в то время как
в античный период из всех разделов матема-
математики наибольшее внимание привлекала гео-
геометрия; интерес к алгебре в эпоху Возрожде-
Возрождения подготовил создание в XVII в. математи-
математического анализа) и именно у Дж. Кардано
никак не было случайностью. В истории мате-
математики имя Кардано осталось в первую оче-
очередь в связи с впервые им опубликованной *
формулой для решения (произвольного 5) ку-
кубического уравнения: если
х3 -{- px + q = 0, A4.4.15)
то
-*-К (*•)'+(*)"¦
A4.4.16)
Но кажущаяся достаточно простой формула
Кардано A6) является коварной: так, если
уравнение A5) имеет вид х3—Зя=0 (т. е.
если р=—3, 9=0; ясно, что наше уравнение
имеет простые корни а;1=0, 22 = ^:^1,73,
х3 = — ^3 ^ —1,73), то A6) неожиданно] дает
т. е. здесь вдруг появляются корни квадрат-
квадратные из числа —1.
Процедура извлечения (квадратных и ку-
кубических) корней из комплексных чисел была
разработана последователем Кардано Раф-
фаэлем Во м белли (ок. 1530—1572), су-
сумевшим объяснить, каким образом формула
A6) во всех случаях гарантирует правильное
определение (трех, хотя и не обязательно раз-
различных) корней уравнения A5) (ср. упр. 4).
Крупнейший алгебраист XVI в. француз
Франсуа В и е т A540—1603) показал, что
в том случае, когда ( y) +("з") <^^1 т- е*
когда корни~третьей степени в формуле Кар-
Кардано A6) приходится извлекать из комплексных
чисел, стоящее в правой части A6) выражение
удается свести к несложной комбинации триго-
тригонометрических функций. Этим самым были
проложены первые пути к использованию
4 Но не впервые им найденной: формулу
A6) Кардано заимствовал у Никколо Т а р-
т а л ь я (ср., например: Шереметьевский
В. П. Очерки по истории математики. М.:
Учпедгиз, 1940, с. 89—94).
6 Относительно сведения любого кубиче-
кубического уравнения ax?-\-bz2-{-cx-\-d=0 к виду
A5) см. с. 35.

§ 4*. Тригонометрические функции мнимого аргумента
423
тригонометрических функций в учении о воз-
возведении комплексных чисел в степени (в том
числе — в отрицательные и дробные степени),
т. е. к общей формуле A.6). Однако в полном
виде A.6) впервые выписал лишь математик
XVII в. Абрахам де М у а в р A667—1754);
современный же вид этой формуле придал
Л. Эйлер. (Француз по национальности де
Муавр вынужден был покинуть Францию
из-за гонений на протестантов (гугенотов);
он переселился в Англию и сыграл большую
роль в развитии математики в этой стране.)
Весьма широко использовал комплексные
числа знаменитый Леонард Эйлер. Ему
принадлежит само обозначение i для «числа»
V—1; от него же идут почти все результаты
настоящей главы. Эйлер был уверен в спра-
справедливости основной теоремы алгебры, ут-
утверждающей существование у каждого алгеб-
алгебраического уравнения п-й степени (с веще-
вещественными или комплексными коэффициен-
коэффициентами) п (вообще говоря, комплексных) корней,
и многократно пытался доказать ее, что,
однако, требовало полного понимания алгеб-
алгебраического и геометрического (см. рис. 1.1)
смысла комплексных чисел, которого в тот
период у математиков еще не было. Ближе
подошел к доказательству основной теоремы
алгебры второй крупнейший математик
XVIII столетия Жан Лерон Д'Аламбер —
однако и он не довел ее доказательство до
конца.
Первым доказательством (или, точнее, пер-
первыми доказательствами — их было несколько)
теоремы о существовании у любого уравнения
ге-й степени ровно п (вещественных или ком-
комплексных) корней мы обязаны Карлу Фрид-
Фридриху Гауссу. От Гаусса же идет совре-
современное представление плоскости комплексной
переменной z=x-\-iy, снявшее с комплексных
чисел последний налет загадочности и даже
мистикив; ему принадлежат также многие
6 Но ведь и гораздо более простые о т-
рицательные числа были впервые вве-
введены в науку лишь Дж. Кардано и Ф. Виетом,
причем еще даже и во времена Виета мате-
математики относились к ним весьма недовер-
недоверчиво!
другие глубокие результаты в области «ком-
«комплексной алгебры и анализа». В частности,
Гаусс является создателем нетривиально!
«арифметики целых комплексных чисел», т. е.
чисел вида a-\-ib, где а и Ь — целые; в этой"
необыкновенной арифметике число 3 по-
прежнему считается простым, но число 5 уж«
является составным, поскольку 5=(l-j-2i)X
ХA—2i). Можно сказать, что теория комплекс-
комплексных чисел стала полноправным раздело»
математики только начиная с Гаусса. (Геомет-
(Геометрическое истолкование комплексных чисел:
(см. рис. 1.1) было до Гаусса дано датские
землемером и математиком-любителем Кас-
пером Весселем A745—1818) и швей-
швейцарским ученым Жаном Робертом А р г а-
н о м A768—1822) — но публикации мала
известных Весселя и Аргана не были своевре-
своевременно замечены, и Гаусс пришел к этжм идеям:
самостоятельно.)
Упразюнепия
14.4.1. Докажите формулы (8) сложения:
для гиперболических функций.
2 th (t/2)
14.4.2. Докажите, что sh t = ^ ^
cht =
1 + th» (f/2)
1 —th2(t/2) '
th t =
2 th (t/2)
1 + th2 (f/2) °
14.4.3. Какие линии задаются параметри-
параметрическими уравнениями:
1 _ t-
а) х =
It
ys= 1+f2
2t
Какой геометрический смысл имеет параметр
t в этих формулах?
14.4.4. Поясните, как из_ формулы A6)
возникают значения 0 и +V3 корней рассмот-
рассмотренного в тексте кубического уравнения.
14.4.5. Докажите, что в обозначениям
рис. 2, б действительно ch ф=ОР и sh i/=MP,
где ф — удвоенная площадь заштрихованном
на этом рисунке гиперболического сектора.

Глава 15
КАКИЕ ФУНКЦИИ НУЖНЫ ФИЗИКУ?
§ 1. Аналитические функции вещест-
вещественной переменной
Понятие функции и функциональной
зависимости претерпело большие изме-
изменения в ходе развития математики. Раз-
Различный подход к функции в разные
эпохи и со стороны разных ученых,
в иные эпохи приводивший к бурным
дискуссиям \ отражается еще и сегодня
в том, что функцию можно определять
по-разному.
Самое широкое определение состоит
в том, что любое соотношение элементов
двух множеств можно назвать «функ-
«функцией». Если Маша носит белое платье,
Даша — красное, Наташа — черное, то
можно сказать, что цвет платья явля-
является функцией имени девушки (или
платье является функцией определен-
определенного лица); здесь область определения
функции («область отправления» со-
соотнесения, или соответствия, как стали
говорить математики в XX в.) состоит
из трех имен (или трех девушек):
Маша, Даша, Наташа, — а область ее
значений («область прибытия») — из
трех цветов: белый, красный, черный
(или из трех платьев). Функцией яв-
является и экспериментально установлен-
установленная зависимость одних физических вели-
величин от других, например электриче-
электрического сопротивления проволоки от тем-
температуры. Наконец, функцией, несом-
несомненно, является зависимость, заданная
формулой, например у=ах2-{-Ьх-{-с или
у=е~х*1г, — и подобных формул можно
написать очень много!
Полезно ли объединять в одну кате-
категорию и называть одним словом все
эти очень разнородные понятия?
В некоторых отношениях это полезно,
так как подчеркивает огромную общ-
1 Наиболее известен здесь упоминавшийся
выше (см. § 10.8) спор па эту тему между
тремя выдающимися математиками XVIII в. —
Л. Эйлером, Ж. Л. Д'Аламбером и Д. Бер-
нулли (каждый из участников которого так
и остался при своем первоначальном мнении):
речь шла о том, можно ли считать единой функ-
функцией зависимость, график которой претер-
претерпевает разрыв или имеет излом.
ность понятия функции. Но общность
эта дается отнюдь не даром!
Функцию, заданную чисто словесно
(цвет платья как функция имени де-
девушки), нельзя выразить формулой,
нельзя найти производную или инте-
интеграл такой функции — весь разработан-
разработанный в течение столетий аппарат высшей
математики оказывается ^бесполезным,
ибо к таким функциям он неприменим.
Функция, полученная на опыте и за-
заданная в виде таблицы чисел, всегда
оказывается заданной лишь для опре-
определенного набора значений аргумента
и определена с некоторой погреш-
погрешностью 2. Можно ли вычислить произ-
производную или интеграл такой функции?
По смыслу производной (и интеграла)
вычисление связано с определением зна-
значений функции в сколь угодно близких
точках, при сколь угодно близких зна-
значениях (независимой переменной. Непо-
Непосредственно из опыта или из таблицы
такие значения функции получить
нельзя, особенно если учесть еще
ошибки измерения. Надо предположить,
что существует плавная функциональ-
функциональная зависимость между Измеряемыми
величинами — только тогда можно ис-
использовать аппарат высшей математики;
данные же таблицы или опыта нам
нужны для того, чтобы эту зависи-
зависимость найти.
Огромное значение имеет тот факт,
что фундаме ггальная теория всегда при-
приводит к достаточно естественным мате-
математическим, формулам. Это справедливо
и тогда, когда нам приходится обращать
те или иные зависимости (например.
решать алгебраические уравнения) и
при этом получаются решения с разры-
разрывами, переходами от одного корня урав-
уравнения к другому. Физическая теория
всегда строится так, чтобы сохранить
возможность применения столь бесцен-
бесценного аппарата исследования явлений,
2 С неизбежными погрешностями мы встре-
встречаемся и в том случае, когда функция с са-
самого начала "задается своим графиком (на-
(например, вычерчивается|самопшпущим устрой-
устройством измерительного прибора).

§ 1. Аналитические функции вещественной переменной
425
как дифференциальное и интегральное
исчисления.
Итак, функции, заданные форму-
формулами, обладают огромными преиму-
преимуществами. Прежде всего ясно, что за-
задание формулы позволяет в принципе
вычислить функцию с любой точностью
при любом значении независимой пере-
переменной. В отличие от определения на
опыте вычисление по формуле при по-
повторении всегда дает одно и то же зна-
значение; точность вычисления можно за-
заранее обусловить. Очень удобно также
то, что вычисление значений аналити-
аналитически заданной функции при разных
значениях аргумента сводится к после-
последовательности о д'н о т и п н ы х опе-
операций; особенно важно последнее об-
обстоятельство при пользовании компью-
компьютерами. Задание формулы позволяет
также вычислить с любой точностью
разность значений функции при разных
(но близких) значениях независимой
переменной и таким образом численно
найти производную. Суммируя значе-
значения функции в разных точках, мы мо-
можем вычислить ее интеграл; при этом
и производная, и интеграл могут быть
определены с любой степенью
точности. В современных условиях
широкого распространения компьюте-
компьютеров подобное прямое вычисление про-
производной или интеграла является делом
достаточно простым.
Однако и среди тех функций, для
которых указан точный метод вычисле-
вычисления величины / (х) по заданному зна-
значению х, имеются функции разной при-
природы. Пусть, например, / (х)=1 или О,
причем / (х) — 1 для всех х, выража-
выражаемых несократимыми дробями с чет-
четными знаменателями, и только для
з.
таких х '
1, еслиж=—, где тип —
взаимно просты и п — четно;
О во всех остальных случаях.
Попробуйте построить график такой
функции — Вам никогда не удастся это
сделать, ибо здесь надо будет соорудить
частокол из вертикальных отрезков
3 Даже и столь «экзотическую» (но «ма-
«математически», т. е. точно, заданную) функ-
функцию можно выразить (достаточно, впрочем,
сложной) формулой.
длины 1, восстановленных в точках
оси х вида х — — = ~ (где т и щ —
взаимно простые целые положительные
числа и пъ — нечетно) — а таких точек
на любом отрезке оси х будет беско-
бесконечно много. Разумеется, к этой функ-
функции развитый в настоящей книге ап-
аппарат тоже неприложим.
С другой стороны, мы имеем, скажем,
функцию г/=1—х — «идеальную» функ-
функцию, изображаемую гладкой линией
(даже прямой), в каждой точке име-
имеющей касательную (она совпадает с са-
самой линией), т. е. всюду имеющей про-
производную; легко вычислить здесь и об-
обратную функцию (в этом случае она
совпадает с исходной) или, скажем,
функцию / (/ (х)) (это есть функция
F (х)=х); ничего не стоит найти и ин-
интеграл от нашей функции:
и т. д.
Но возможны и «промежуточные»
функции — не столь «плохие» (или, как
говорят математики, не столь «патоло-
«патологические»), как первая из рассмотрен-
рассмотренных, но и не столь уж «хорошие», как
вторая. Как же классифицировать «хо-
«хорошие» и «плохие» функции; какие
функции следует считать на самом деле
«хорошими»? Существенно облегчает от-
ответ на этот вопрос переход к комплекс-
комплексным числам и функциям комплексной
переменной — однако сначала мы по-
попробуем ответить на него, оставаясь
в области вещественных функций.
Одним из основных результатов
гл. 6 этой книги явилась возможность
представления функций в виде ряда
A5.1.1)
(рЯд Маклорена) или
/" (а)
И
A5.1.2)
(ряд Тейлора, обобщающий ряд Макло-
Маклорена). Эти ряды дают возможность, зная
значение функции в одной точке и ее
производные в этой же точке, сколь

426
Гл. 15. Какие функции нуяшы физику?
угодно точно реконструировать функ-
функцию в окрестности этой точки — и затем
продолжить ее далее. Если имеет место,
скажем, формула A), то, дифференци-
дифференцируя ее почленно, мы найдем разложение
в ряд и для производной функции:
A5.1.3)
а если понадобится — то и для после-
последующих производных; аналогично пз A)
следует
W^rW
A5.1.4)
К подобным функциям с наибольшей
полнотой применим развитый в на-
Рис. 15.1.1
стоящей книге аппарат. Представимые
в виде A) (или B)) функции называются
аналитическими 4,
Ясно, что каждая целая рациональ-
рациональная функция (многочлен)
/ И = «0 + <hX + <*&* + • • • + апХ"
A3.1.5)
является аналитической: здесь / @)=а0,
f @)=в1, /"@)=2!оа, /'" @)=3!а3, . . .
„..,/» @)=гс!а„ и fm> @)=0 при т >тг
(таким образом, представление A) такой
функции совпадает с ее записью E)).
Можно сказать, что аналитические фуик-
4 Разумеется, формулы A) и B) могут
быть применены ишь в некоторой ограпичен-
ной области измгшешш х (в ограниченной
окрестности значения х=0 или х~а), о чем
мы подробное говорили в § 6.3. В соответ-
соответствии с этим строгий смисл имеет попятив
функции, аналитической в точке (такой, что
:в окрестности рассматриваемой точки имеют
жето формулы A) или B)); функция ж о,
аналитическая на отрезке, — это функция,
аналитическая в к а ж д о и точке рассмат-
рассматриваемого отрезка. (Мы не останавливаемся
здесь также на условиях возможности по-
почленного дифференцирозаштя иди почдонпого
тштегрирования фор.ъул A) и B), вьшолпяю-
зщхся, впрочем, практически но всех интере-
интересующих естествоиспытателя или инженера
f зучаях.)
ции (подобные, например, функциям
х'1 .х3
ех = 1 -j-ar-f-p-j—r""ol4~- • •> или cosa; —
= 1—yf+TT —" ' ¦' или In a: = 1 —f- ж —J—
x- x3
-j—o"~bV"f" • • • (см- ГЛ- ^)) ЯВЛЯЮТСЯ
наиболее естественным обобщением
многочленов: общая аналитическая функ-
функция A) (или B)) — это, так сказать,
«многочлен бесконечно большой степени».
Конечно, любая аналитическая в точке
х=а функция является в этой точке «беспре-
«беспредельно гладкой», т. е. имеет здесь производ-
производные всех порядков —• ведь эти производ-
производные фигурируют в представлении B), суще-
существование которого равносильно аналитич-
аналитичности функции. Однако в принципе из суще-
существования производных всех порядков анали-
аналитичность еще не вытекает: требование
аналитичности функции является более
сильны м, чем требование ее неограничен-
неограниченной диффоренцируемости. В самом деле, су-
существование всех производпых равносильно
возможности выписать стоящий в правой части
B) ряд, но надо еще, чтобы существовала
(при всех х, близких к а) сумма этого ряда и
чтобы она была равна исходной функции
/ (а). Проиллюстрировать сказанное можно
на примере функции у = е~11х* (рис. 1). При
2 = 0 выражение е~1!х' смысла не имеет;
однако поскольку при малых по абсолютной
1
величине х число —з~ очень велико и соот-
соответственно е'* очень мало, то естественно
положить, что г/@)=0. Нетрудно видеть,
что здесь существуют все производные
(/>"> (х) = ~j^r > где п = 1, 2, 3, ...; их легко
найти по формулам гл. 4 (так, например,
dx dx x3
они при х = 0 оказываются равными 0 (см.
упр. 1) — п, значит, правая часть ряда Мак-
лорена A) пашей функции тождественно
равна 0, в то время как сама функция, ра-
разумеется, при if 0 в нуль не обращается.
Однако, к счастью, подобные е~х'х функ-
функции являются весьма редкими исключе-
исключениями и в физических или технических
задачах почти не встречаются 6.
5 Причины, вызывающие столь странные
свойства рассматриваемой функции, прояс-
проясняются при ее «ко.милексификации» (как го-
говорит иногда математики), т. е. при расшире-
расширении ее с помощью предположения о том,
что аргумент х функции может принимать
любые комплексные значепия; по
этому цокоду см. § 2.
х'). Однако
все

§ 2. Производные функций комплексной переменной
427
Требование аналитичности функции
является весьма сильным. Так, здесь
вся функция (в пределах действия фор-
формул A) или B)) может быть восстанов-
восстановлена по своим значениям на сколь
угодно малом участке (по сколь угодно
малой дуге графика функции): ведь
знания / (а) и значений / (х) при х,
сколь угодно близких к а, вполне до-
достаточно для вычисления всех произ-
производных функции в одной точке а.
Поэтому от общего определения функ-
функции как произвольного соответствия
между значениями х и / (х) аналитиче-
аналитические функции достаточно далеки. Од-
Однако почти все функции, задаваемые
простыми формулами, являются ана-
аналитическими; функции, для которых
в отдельных точках нарушается анали-
аналитичность (вроде функции е-1'*', которую
мы рассмотрели выше), можно считать
патологическими.
Разумеется, в физических задачах
иногда могут возникать и неаналити-
неаналитические в отдельных точках функции
(например, изменяющиеся скачком или
имеющие излом); еще более удивитель-
удивительным «функциям» (настолько удивитель-
удивительным, что само слово «функция» здесь,
пожалуй, уместно заключить в ка-
кавычки) будет посвящена гл. 16. Однако
в подавляющем большинстве случаев
те функции, с которыми встречается
естествоиспытатель, являются «хоро-
«хорошими», т. е. аналитическими; особенно
выпукло выступает это положение тогда,
когда речь идет о функциях комплекс-
комплексной переменной, к которым мы далее
и перейдем.
Упражнение
15.1.1. Пусть / (х) = е~11х* при х ф 0 и
/ @) «= 0. Чему равна производная /' @) этой
функции в нуле? Вторая производная /" @)?
га-я производная /(в) @)?
§ 2. Производные функций комплекс-
комплексной переменной
Возьмем функцию и; комплексной пере-
переменной z, которая сама является, естест-
естественно, комплексной величиной: w=f (z),
где w—u-\-iv, a z—x-\-iy; здесь числа
х, у и и=и (х, у), v—v (х, у) — ве-
вещественные.
Если функция / (х) выражается фор-
df
мулой, то ее производную ^ =
можно найти по
общим правилам, совпадающим с пра-
правилами, установленными в гл. 4 для
функций вещественной переменной. Вот
примеры этого:
dw
41
w=e
kz
dw
-j— = Jce7" (здесь к может быть и ком-
\ 1 dw 1
плексным); w = \nz, -3—=—
и т. д. Количество таких примеров неис-
неисчерпаемо: можно образовывать всяче-
всяческие комбинации функций — суммы
(скажем, 22+ег), произведения (напри-
(например, zV), функции от функций (напри-
(например, е*2) и т. д.; при этом, скажем,
d(z* + e*) „ . г de'1 „ , D
v dz—- = Iz -j- e\ a -r^ = 2ze*. Вполне
естественно, что все правила, относя-
относящиеся к функциям вещественной пере-
переменной, остаются справедливыми и в
случае перехода к комплексной пере-
переменной: ведь эти правила основаны
на общих законах алгебры, скажем на
дистрибутивном законе (a+fc) с=ас-\-Ъс,
указывающем, как надо раскрывать
скобки при вычислениях, и на некото-
некоторых родственных ему. Законы же эти
не зависят от характера величин z,,
Дг; w, Aw. Так, например, правила
дифференцирования функции / (z)=z*
или произведения w^w2 двух функций
основаны на равенствах
(z + ДгJ = z2 -f 2z\z -f (ДгJ,
Д (z2) = (z + ^zf — z2 = 2zkz + (ДгJ,
соответственно
(w1 -\- bwj) (w2 -f- Дн;а) = WjW2 + w^w2 -f
-}- w^w1 -J- Дг^Ди^,
Д (WjW2) — К -f (\w^j (w2 + bw2) —
— W^Wz = WX^W2 -\- W^Wt -j- ^W^W2.
Возведение в мнимую или комплекс-
комплексную степень было нами определено
именно таким образом, чтобы было
верно (приближенное) равенство
еЛг«й1+Дг, где отброшены члены более
высокого порядка малости, чем Дг
(см. § 14.2), т. е. по формуле, лежащей
в основе вычисления производной от
экспоненциальной функции ех вещест-
вещественной переменной. Поэтому мы можем
не сомневаться в применимости всех
формул для производных к функциям:

428
Гл. 15. Какие функции нужны физику?
комплексной переменной: после того,
как мы определили еЛг так, что еЛг«^
?«1+Az, все дальнейшее уже строится
на вполне прочном фундаменте.
Заметим, что изменение аргумента z
функции w=f (z) можно произвести раз-
разными способами: можно изменить только
вещественную часть z: d^—d^, d1y=O,
или только мнимую часть: dzz=id2y,
й2ж=0, или и вещественную, и мнимую
части одновременно (рис. 1). При этом
по-разному изменится и функция и>;
, dw
но если dz мало, то отношение -=—, т. е.
производная, во всех случаях останется
одним и тем же.
Z+d-,2
Рис. 15.2.1
Проверим это на примере функции
= z2, т. е.
— u-\-VV, A5.2.1)
где и = х2 — у2, v = 2xy; здесь
du г, ди г, . dv r.
Пусть dy=O, т. е. dz=dx. Тогда изме-
изменение w равно
dw ж w (z -f dx) — w (z) = [и (х -f- dx, y) -f-
+ ш (ж + do;, y)] — [u (x, y) -f ш (х, г/)] ^
я« —— oa; 4- г -г— dx.
ox ' ox
Поэтому производная в этом случае
равна
dw
dw ди
.dv
l
A5.2.3)
Другой способ изменения z: примем
dx=0, dz=idy; в этом случае w-\-dw=
=w[xJf(yJ\-dy) l\ и, значит,
7 ди , . . dv ,
ddy + idy
dw^dy + i^dy,
dw dw . dw idu . dv
d~z idy dy dy ~^~ dy
При преобразованиях (З) и D) мы
лишь на самом последнем этапе учли
формулы A), B). Все же остальные
рассуждения сохраняют силу для всех
функций: если производная функции
w=w (z) = u (x, y)+iv (x, у) не зависит
от выбора приращения dz независимой
переменной, то имеет место тождество
dw ди , . dv . du dv
dz дх ' дх ду ~* ду ' \ ' ' " '
Так как и и v вещественны, это тожде-
тождество дает два соотношения — знамени-
знаменитые формулы Коши — Ри-
Римана:
ди
ди
ди
ди
Соотношения Коши—-Римана F) вы-
выполняются автоматически, если w за-
задано формулой. Приведем примеры:
1) если w=:z2 — (x-\-iyJ, то и =
9 0 о ди dv „
= х~ — у\ v=2xy и _= =2z,
ди
—
дх
ди
—
—
dy
2) если w — B-)-3i)z2 = B
X [(^2 - г/2) + i ¦ 2ху] = [2 (х2 -
X
то ^ =
dv / п ди dv p. 1
ду ^' ду д~х Х ^'
3) если w = ег == ех cos у -\- iex sin г/,
т. е. и = ех cos у, v = ex sin у, то -А =
dv
du
dv
A5.2.2) =^=e'COByt ^.= _?=_^sinj/.
Ну
dy
Отметим, что условия Коши—Римана
не только связывают между собой
функции и (х, у) и v (х, у), но и накла-
накладывают определенные условия на к а ж-
д у ю из них. В самом деле, в силу F)
д (да \ д (до \ д2и d2v
дх \дх } дх \ду / ' " дх2 дхОу '
ди\ I 52у д2а
дхду ду2'
д2и д2и
Отсюда
~ г-;, аналогично ^^ =
г= —;; другими словами,
Лг + ^- = 0' ^-+^"=0- A5-2-7)
Любая функция =р==р (х, у) двух (ве-
(вещественных) переменных х и у, такая,
что
~л\
называется гармони-
гармониA5.2.4) ческой (ср. § 9.3). Таким образом,

§ 2. Производные функций комплексной переменной
429
если w=f (z)=u (х, y)+iu (х, у) — диф-
дифференцируемая функция комплексной
переменной z=x-\-iy, то вещественная
и мнимая части функции w (т. е. функ-
функции и (х, у) и v (ж, у)) — гармонические
функции.
Здесь уместно снова вернуться к во-
вопросу о том, как определяется функ-
функция или как классифицируются функ-
функции, т. е. к тому вопросу, с обсуждения
которого мы начали эту главу. Если
речь идет о функциях комплексной
переменной, то наиболее общий подход
заключался бы в следующем: комплекс-
комплексная величина z характеризуется двумя
вещественными числами х, у, или, что
то же, соответствует точке на плоскости.
Функция w также состоит из веществен-
вещественной и и мнимой iv частей, поэтому ей
тоже отвечает точка плоскости комплекс-
комплексной переменной (с координатами ы, v).
Поставим в соответствие каждому z,
т. е. каждой паре х, у, или каждой
точке плоскости, свои определенные и
и и, которые вместе задают w (w тоже
можно понимать как точку плоскости;
лучше при этом говорить о двух
плоскостях: плоскости z и плоскости w).
Если задать и (х, у) и v (x, у) в виде
гладких функций, то можно будет даже
, . ди dv
найти (частные) производные -г-, -г-,
ди dv dw dw r\
— , — • -г-, —-. Однако и при этом мы,
О у ' 0 у ' дх' ду • rt г >
вообще говоря, не получим определен-
„ dw du -Х- idv
иого значения производной -т-= '
— эта величина будет зависеть от
выбора dx и dy. Таким образом, об-
общее соответствие, при котором в каж-
каждой точке z — x-\-iy задается свое
w = u(x, y)-\- iv (x, у), не позволяет опре-
dw
делить величину -г-.
Если мы пишем формулу, выражаю-
выражающую w как функцию z, такую, как z2,
или е% или zV", и т. д., то веществен-
вещественная и мнимая части w, т. е. функции
и (х, у) ж v (х, у), оказываются не неза-
независимыми: они связаны между собой
условиями Коши—Римана F) и каж-
каждая из них подчинена условиям гармо-
гармоничности G). Итак, аналитическая фор-
формула, связывающая w и z, существенно
ограничивает выбор функций и (х, у)
и v (х, у), но зато она позволяет найти
dw ,
производную -77; помимо этого, факт
именно аналитической зависимости w
от z влечет и другие важные и красивые
следствия. В этом случае говорят, что
w (z) есть аналитическая функция комп-
комплексной переменной z. Все простые
функции, такие, как z2, е" и т. п., —
это аналитические функции.
Надо хорошо понимать, что аналитические
функции комплексной переменной возникают
при задании формулой зависимости w=f (z);
однако вовсе не все функции (не все ото-
бражения?плоскости г в плоскость w) обяза-
обязательно являются аналитическими. Так, ясно,
что|функция и>=— г, переводящая каждую
точку z плоскости комплексной переменной
а
У
of
¦Ut=. -Z
Рис. 15.2.2
в симметричную z относительно начала ко-
координат точку w (z) (рис. 2, о), является
аналитической: при этом в=—х, и——у
и наряду с тем, что, разумеется,
д^и д^и d^v d
+ +
= 0
д2и
в этом случае даже 5x2 = ^P = "^a =
ди
1b
dv
~ду'
да dv
Га? ~te'
Но, скажем, функция w=f (z)=z*, переводя-
переводящая точку z плоскости комплексной перемен-
переменной в точку w (z), симметричную z относи-
относительно вещественной оси (рис. 2, б), аналити-
аналитической уже не является. В самом деле, здесь
и=х, и=~у, и хотя, конечно, по-прежнему
д^и д2и д2и d^v
(^ж11 ' Ог/^ ox* ' oy
но
ди
= — 1, ХОТЯ -д- = —-5- = (
(а для того чтобы функция не была аналитиче-
аналитической, достаточно, чтобы нарушалось хотя
бы одно из условий Коши—Римана).
Аналогично не является аналитической функ-

430
Гл. 15. Какие функции нужны физику?
ция ш= | z |2=zz* (а какой алгебраической
формулой, не использующей величины г*,
можно выразить зависимость | г |2 от г?
Да никакой!) или функция w=f (г)= \ z |=
=V2z* и т. д. Так, для функции и>= | 2 |2 =
е=х2-{-у2, очевидно, и = х2-\-у2, у==0, т. е.
ди ди „ ди ди
Ш = 2х- 1у-=2У ядх-ду-=0' откУда и
видно, что условия Коши—Римана здесь не
выполняются. Вообще никакие функции ком-
комплексной переменной, записываемые с помощью
величины г*, аналитическими не являются —
ни одну из них нельзя записать с помощью
алгебраической (или аналитической) фор-
формулы *; не аналитичны также функции пере-
переменной г, в записи которых фигурирует
| г | или (тем более) Arg z.
Свойства аналитических функций комплекс-
комплексной переменной иногда проливают новый
свет на свойства обычных (вещественнознач-
ных) функций вещественной переменной, пред-
представляющиеся зачастую загадочными без пере-
перехода к комплексной переменной. В качестве
примера можно указать, скажем, фигуриро-
фигурировавшую в § 6.3 функцию у = ^ . х2 (см. ее гра-
график на рис. 6.3.3). Эта функция может быть
разложена в ряд Маклорена (см. формулу
F.3.8)), который, однако, неожиданным обра-
образом сходится лишь при | х | <С 11 хотя ни-
никаких особенностей эта функция не имеет.
Связано это с тем, что (аналитическая) функ-
1
ция комплексной переменной w=^ . z2 обра-
обращается в бесконечность в точках z=+i,
расположенных на окружности | z | = 1 —
эти-то особенности и не позволяют продол-
продолжить ряд Маклорена за пределы круга
\ z | < 1. Аналогичное происхождение имеет
и неаналитичность в точке z=0 рассмотрен-
рассмотренной в § 1 функции у=е~11х (ее график изобра-
изображен на рве. 1.1). Для функции w=e~llz ком-
комплексной переменной значение 2=0 является,
как говорят, существенно особой точкой'.
в этой точке функции нельзя приписать н и-
какого значения. В самом деле, когда
z -> 0 вдоль вещественной оси, т. е. z=x,
где (вещественное) число х мало по абсолют-
1 1
ной величине, то — Т = — т является очень
большим по
числом и е~1(
модулю
отрицательным
•~11х' очень мало. Но если
z -» 0 вдоль мнимой оси плоскости комплекс-
комплексной переменной, т. е- z=iy, где у очень мало
1 Ясно, что это не относится к искусственно
образованным выражениям, в запись которых
звездочка (*) входит лишь формально (про-
(простейший пример: ц;=2**, т. е. =(z*)*=z).
по абсолютной величине, то — — = — р~р =
= "^2" будет очень большим положитель-
положительным числом и, значит, е'** = ellv' -> со при
у-+0. При стремлении 2->0 в другом направ-
направлении величина е'* может неограниченно
приближаться к любому значению. По-
Поэтому наша функция в точке г=0 никак
не может быть аналитической (ей даже нельзя
приписать никакого значения в этой точке!) —
и ясно, что в окрестности этой точки она
неразложима в степенной ряд (однако в ок-
окрестности любой другой точки она в сте-
степенной ряд разлагается).
Заметим, что, например, функция
w =/ (z), где ц;=0 при 1<0и w=l
при х >¦ 0, не будет аналитической,
причем дело здесь заключается не
столько в том, что w имеет скачок,
сколько в том, что в описании w вели-
величины х и у, т. е. вещественная п мни-
мнимая части комплексной переменной z,
в некотором смысле неравноправны.
По аналогичной причине не является
аналитической и функция w—z*—x—и/:
ведь при составлении z* мы по-разному
поступаем с вещественной частью z
(оставляем ее неизменной) и с мнимой
ее частью (ее знак мы изменяем).
С другой стороны — и это обстоя-
обстоятельство является весьма принципи-
принципиальным, — если в определение функции
входит именно z, а не х и у в отдельно-
отдельности, не z* и не |z|, то функция анали-
тична даже если ее нельзя выразить
в виде конечной комбинации элемен-
элементарных функций. Так, например, ана-
аналитической является функция, задан-
заданная рядом, скажем,
<15-2-8>
или определенным интегралом,
как, например,
A5.2.9)
(о смысле записи (9), где z и р — комп-
комплексные числа, мы еще скажем ниже),
или решением дифференциального урав-
уравнения, например
dw . - .
-fa= z8— ws, где w — 0 при z = 0,
— хотя во всех этих примерах w не выра-
выражается через z с помощью элементарных

§ 2. Производные функций комплексной переменной
431
функций. Но пример формул Копти—
Римана (или условий гармоничности
функций и (х, у) и v (х, у)) показывает,
что об аналитической функции можно
высказать важные утвер?кдения, не зная
ее конкретного вида, а зная только что
она является аналитической.
Более того, в общей теории функций
комплексной переменной доказывается,
что каждая аналитическая функция
может быть выражена в виде ряда
или в виде интеграла. Если для
произвольной (вещественной) функции
из наличия у нее первой производной
вовсе еще не следует также и существо-
существование производных более высоких по-
порядков, то для аналитических функций
комплексной переменной (а в области
комплексной переменной иные функции
вообще не заслуживают внимания) дело
обстоит совсем не так. Здесь из наличия
у функции ш=/ (z) первой производной
w'—f (z) автоматически следует сущест-
существование второй производной /" (z) =
dw' (z) -
= — -т-1-- и воооще производных всех
порядков (см. упр. 2). При этом в окрест-
окрестности точки z—z0, в которой функция
u?=f (z) имеет производную, можно
записать
A5.2.10)
А отсюда следует, что, зная функцию
в сколь угодно малой окрест-
окрестности точки 20 (этого достаточно для
нахождения всех производных функции
в точке z0, т. е. для нахождения всех
коэффициентов разложения A0)), мы
можем «продолжить» функцию w=f (z)
за пределы этой окрестности, определив
ее рядом A0). Далее, найдя таким обра-
образом значение функции w=f (z) в точке
z=Zj и в соседних с zx точках, можно
выписать аналогичное A0) разложение
для точки z'=*z1 и с помощью его найти
значения w в новых точках комплексной
плоскости и т. д. Возможность разло-
разложения аналитических функций комп-
комплексной переменной в ряд Тейлора A0)
п оправдывает употребление одного
п того же термина «аналитический» для
функций вещественной и комплексной
перемепных. Опа же указывает на то,
что понятие «разумной», т. е. аналити-
аналитической, функции комплексной перемен-
переменной достаточно далеко от общего поня-
понятия «произвольной» функции, для пол-
полного задания которой необходимо ука-
указать все ее значения — значения во
всех точках области определения
функции.
Свойства аналитических функций ком-
комплексной переменной широко используются
в теоретической физике. Законченной теории
элементарных частиц в настоящее время еще
нет. Однако достаточно предположить, что
такая теория существует, что в принципе
существуют какие-то неизвестные нам фор-
формулы, выражающие основные соотношения
этой теории, чтобы отсюда уже можно было
сделать содержательные выводы. Естественно
полагать, что эти формулы, функциональные
зависимости аполитичны. Тогда, даже не
зная формул, можно кое-что высказать об
элементарных частицах. В частности, можно
утверждать, что масса частиц и античастиц
одинакова. О нестабильных частицах можно
утверждать, что их время жизни и время
жизни их античастиц одинаково, хотя состав
продуктов распада может быть разным. Объяс-
Объяснить здесь, как получаются такие далеко
идущие выводы, совершенно невозможно.
Однако хочется подчеркнуть, что предложе-
предложение об аналитичности неизвестных нам фор-
формул играет здесь основную роль.
Первые попытки применения операций
дифференцирования и интегрирования к ком-
комплексным величинам принадлежат создате-
создателям дифференциального и интегрального ис-
исчисления Готфриду Вильгельму Л е й б-
н и ц у и Иоганну Бернулли. В ча-
. Г adx
СТНОСТИ, ПрОСТуЮ формулу \ 7J-, » =
а х
=у arctg у Бернулли нашел в 1712 г. с по-
помощью (совершенно правильных, но в то время
еще недостаточно обоснованных) манипуля-
манипуляций, связанных с дифференцированием и ин-
интегрированием комплекснозначных выраже-
выражений. В той же работе Бернулли получил
в процессе своих преобразований красивую
/tg q — ty tgna — i
формулу (j^T+lj = ign«+r Родственную
(тогда еще неизвестной) формуле Муавра
A4.1.6). Однако полной ясности в этих вопро-
вопросах ни у Лейбница, ни у Бернулли не было,
о чем свидетельствует связанная с темой
о комплексных функциях и их анализе дискус-
дискуссия между ними о смысле логарифмов отри-
отрицательных чисел: Лейбниц считал эти лога-
логарифмы мнимыми, а Бернулли — веществен-
вещественными. Публикация в 1745 г. переписки Лейб-

432
Гл. 15. Какие функции нужны физику?
ница и И. Бернуллн сразу же привлекла
внимание крупнейших математиков'того вре-
времени — Л. Эйлера и Ж. Л. Д'Аламбера (при-
(причем Эйлер стал здесь на сторону Лейбница,
а Д'Аламбер — на сторону Бернулли). В ча-
частности, статья Эйлера «О споре между Бер-
Бернулли и Лейбницем по поводу логарифмов
отрицательных и мнимых чисел» A749 г.)
содержала современную теорию логарифмов
комплексных чисел, изложенную в § 14.3,
причем Эйлер особенно подчеркивал много-
многозначность логарифмической функции, о чем
Лейбниц и Бернулли не подозревали. Для Эй-
Эйлера характерно было также специальное
внимание к аналитическим функциям веще-
вещественной переменной, которые он называл
«непрерывными»2; Эйлер даже склонен был
считать, что это — единственные функции,
заслуживающие внимания математиков. Ра-
Работы Эйлера изобиловали конкретными ре-
результатами, сегодня относящимися к учению
об аналитических функциях комплексной пере-
переменной, включая многочисленные образцы
разложений таких функций в ряды и примеры
использования подобных рядов. Впрочем,
особенно глубоко в изучении свойств анали-
аналитических функций — как вещественных, так
и комплексных — Эйлер не продвинулся.
Так, например, он считал, что, вная значения
вещественной аналитической функции у=
=/ (х), отвечающие любому (сколь угодно
малому!) интервалу изменения независимой
переменной х, можно восстановить значения
функции на всей числовой прямой, а это,
разумеется, неверно.
Д'Аламбер сделал принципиальный шаг
вперед в области теории функций, четко ого-
оговорив, что и аргумент п значения функции
могут быть как вещественными, так и ком-
нлексными — в этом пункте Эйлер в своих
исследованиях следовал за Д'Аламбером. Ана-
Аналитическую (записанную формулой) функ-
функцию «;=/ (z), где z=x-\-iy, Д'Аламбер запи-
записывал как и (х, y)-\-iv (х, у); в частности,
путем дифференцирования функции г*, где и
г, и к — комплексные числа, причем к —
постоянно, а z — переменно, он находит
правильное выражение (в виде u-~iv) для
комплексной степени комплексного числа.
Им же были впервые получены уравнения
Коптя—Римана F): они содержатся в работе
Д'Аламбера от 1752 г., посвященной пло-
плоскому движению идеальной (несжимаемой)
жидкости. (О связи этой темы из механики
2 В настоящее время этот термин имеет
совершенно другой смысл (ср. с употребле-
употреблением его Риманом (с. 433)).
с теорией аналитических функций комплекс-
комплексной переменной мы еще скажем ниже
(см. § 17.3).) В 1761 г. Д'Аламбер вывел из
уравнений F) и равенства G). Все эти работы
по механике жидкостей и по теории аналити-
аналитических функций комплексной переменной
особенно активно продолжал Жозеф Луи
Лагранж.
Подхватив исследования Д'Аламбера по
гидромеханике, Эйлер в 1755 г. также (при-
(причем независимо от Д'Аламбера) пришел к урав-
уравнениям F), которым он придавал большое
значение и из которых получал целый ряд
следствий (включая следствия геометриче-
геометрического характера, связанные с так называе-
называемыми конформными преобразованиями 3).
В 1776—1777 гг. Эйлер (ему было в тот пе-
период около 70 лет) начал пионерские работы
по изучению (и приложению) интегралов от
функций комплексной переменной (см. § 17.2).
Однако отчетливое определение интеграла от
(аналитической) функции комплексной пере-
переменной и представление об основных свой-
свойствах таких интегралов было впервые дано
только Карлом Фридрихом Гауссом
в 1811 г. в письме к известному немецкому
математику и астроному Ф. В. Бесселю.
Впрочем, опубликовано это письмо Гаусса
было лишь в 1880 г., когда все содержавшиеся
в нем результаты были уже известны из ис-
исследований Огюстена К о ш и, занимавше-
занимавшегося соответствующей темой начиная с 1813 г.
В некоторых учебниках теории функций
комплексной переменной уравнения F) ^'на-
^'называют «уравнениями Д'Аламбера—Эйлера».
Нам, однако, кажется более справедливым
традиционное наименование: «уравнения
Коши—Римана». Дело в том, что ни Д'Алам-
Д'Аламбер, ни Эйлер теории функций комплексной
переменной не создали: так, у них отсутство-
отсутствовали даже полноценные определения понятий
производной и интеграла от аналитической
функции и не была выяснена связь условий F)
3 Так называются преобразования (пло-
(плоскости или пространства), сохраняющие углы
между линиями и в окрестности каждой точки
имеющие характер преобразования подобия.
Нетрудно видеть, что отображение z -> w (z)
плоскости комплексной переменной на себя,
задаваемое аналитической функцией w=f (z)
с производной /' (г), имеет именно такой ха-
характер: из того, что в окрестности точки z=z0
выполняется приближенное равенство ш—и?^
=&/' (zo){z—z0) (где u?0=/ (z0)), и из правил
действий над комплексными числами
(см. гл. 14) следует, что вблизи г0 это ото-
отображение складывается из сдвига плоскости
в точку w0 (переноса на вектор zowo), растяже-
растяжения в р раз, где р= | /' (z0) |, и поворота на
угол <р> где tp=Arg/' (z0).

§ 2. Производные функций комплексной переменной
433
с самим фактом существования производной
dw w (z -}- Дг) — w (z)
¦^"¦Йи, Е
функции комплексной переменной, не зави-
зависящей от направления смещения Дг. После-
Последовательное изложение учения о (дифферен-
(дифференцируемых, т. е. аналитических) функциях
комплексной переменной дал впервые Коши
в целом ряде обширных статей, важнейшей из
которых была большая статья от 1825 г.,
посвященнаяЧкомплексному интегрированию».
Может быть, еще большее значение в разви-
развитии теории аналитических функций (ком-
(комплексной переменной) сыграла замечательная
докторская диссертация Бернхарда Римана
A851 г.) «Основы общей теория функций одной
комплексной переменной», явившаяся пер-
первым в истории науки связным изложением
всей новой теории (из этой диссертации вырос
поразительный по богатству материала и
глубине идей курс лекций, прочитанный Ри-
маном в Гёттингене зимой 1855/56 г. и летом
1856 г.4) и заложившая основы того, что
сегодня называют «геометрической теорией
аналитических функций». И настоящую
главу мы закончим обширной^Цитатой^из
этой диссертации Римана,5 которая охватывает
основные моменты всего сказанного нами
выше и выразительно демонстрирует, «как же
все это началось»:
«Пусть через г обозначена переменная ве-
величина, которая, изменяясь неограниченно,
может принимать всевозможные действитель-
действительные значения; если каждому ее значению
соответствует единственное значение некото-
некоторой величины и>, то w называют функцией г;
если, кроме того, в то время как переменная
z, изменяясь непрерывно, пробегает все зна-
значения, заключенные между двумя постоян-
постоянными пределами, величина w также изме-
изменяется непрерывно, то внутри указанного
промежутка эта функция называется непрерыв-
непрерывной. Ясно, что такое определение никоим об-
образом не устанавливает связи между отдель-
отдельными значениями функции: если поведение
функции указано лишь в некотором определен-
определенном промежутке, то за пределы этого проме-
промежутка ее можно продолжить совершенно
произвольно.
4 Этот курс лекций,} сыгравший огромную
роль в истории науки, слушали всего три
человека (впрочем, на с. 182 мы упоминали
об оказавшемся весьма важным лекционном
курсе И. Вернул ли, имевшем всего одного
слушателя).
5 См.: Риман Б. Сочинение. М.; Л.: Гос-
техиздат, 1948, с. 49—87.
Зависимость величины w от величины z
может быть задана посредством математиче-
математической формулы так, что значение w, соответ-
соответствующее каждому значению г, получается
в результате определенных математических
операций, производимых над числовым зна-
значением г. . .
Пусть область изменения величины z
не ограничивается действительными значе-
значениями, а распространяется также и на ком-
комплексные значения вида x-\-yi, где г=^—1.
Пусть x-j-yi и (x-\-dx)-\-(y-\-dy)i — два бес-
бесконечно мало различающихся между собой
значения переменной z, которым соответ-
соответствуют значения u-\-vi и (u-i-du)-\-(v-^-dv) i
переменной w. В таком случае, если зависи-
зависимость переменной w от переменной z считать
совершенно произвольной, то отношение
dxi + dvi
¦j—| j ¦ i вообще говоря, изменяется вместе
с изменением dx и dy; если положить
-\-dyi=zefr, то ясно видно, что
du -f- dvi
dvi 1 /du dv \ 1 / dv du\ .
dyi = 1\dx + 1y~) + T \~dx ~ dy) '
1 [(du dv \
+ \\bT~~~dy~)
dv
du\
d~y')i
dx— dyi
dx + dyi
1 /du dv
= T \(Гх + ду~
1 [ /du
dv \
ду~)
dv
/dv du\
\Ь~х — dy/ l ~
( dv du \ 1
Ы+w)' J
Однако всякий раз, когда функция ш перемен-
переменной z определена посредством формулы, со-
содержащей простые математические операции,
„ dw
оказывается, что значение производной -гр- не
зависит от выбора значения дифференциала ?
dz. Таким образом, становится ясным, что
указанным способом можно выразить не вся-
всякую зависимость комплексной переменной w
от комплексной переменной г.
Отмеченное нами характерное свойство
всех тех функций, которые могут быть опре-
определены с помощью элементарных математиче-
математических операций, мы положим в основу нашего
дальнейшего исследования . . . именно, мы
будем исходить из следующего определения
некоторая комплексная переменная w на-
называется функцией другой комплексной пере-
переменной г, если она меняется вместе с ней та-
6 Это утверждение, очевидно, выполнено
dw
во всех тех случаях, когда выражение -т—
можно получить из выражения w через г
путем обычных правил дифференцирования. . .
(Примеч. Римана. — Я. 3., И. Я.).

434
Гл. 15. Какие функции нужны физику?
ким образом, что значение производной -^
не зависит от значения дифференциала dz.
du 4- dvi
Если отношение Дд, i ^»; мы предста-
предстаdw д2и' д2и
вим в виде
(ди dv
dv
ди
dx + dyi »
то становится ясным, что оно в том и только
в том случав имеет одно и то же значение для
двух любых значений dx и dy, если имеют
место равенства
ди dv dv ди
~дх===1у~ и ~д1 = ~1^-
Итак, эти условия являются достаточными
и необходимыми для того, чтобы w=u-\-vi
являлось функцией z=x-{-yi. Отсюда для
отдельных членов этой функции вытекают
условия
i 1 Л
дх2>, "г ду* — '
2>,
"*" ду* —
которые служат основой при изучении свойств,
принадлежащих каждому члену таких функ-
функций, рассматриваемому вне зависимости от
другого члена»,
Упражтения
15.2.1. Проверьте выполнимость условий
Коши—Римана для функций комплексной
переменной, фигурирующих в упр. 14.1.1, и
для функции u>=ln z.
15.2.2. Пусть w=f (г)=и (х, y)+iv [x, у) —
аналитическая функция комплексной пере-
dw
менной, а /' (z) =^т = ^i (я, у) + iv\ (x, у) —
ее производная; докажите, что из выполни-
выполнимости условий Коши—Римана для функции
/ (г) \ автоматически вытекает и выполнимость
их для функции /' (z).

Глава 16
ЗАМЕЧАТЕЛЬНАЯ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА
§ 1. Различные способы определения
функции
Те функции, которые мы изучали до сих
пор, обычно задавались с помощью
формул. Это значит, что задавался спо-
способ вычисления значений функции при
любом значении независимой перемен-
переменной. Такое задание можно назвать ал-
алгоритмическим (алгоритм — способ вы-
вычисления). Ведь формула y—f (х)=
=2х+3а;2 означает следующее: чтобы
найти значение у при данном х, возьми
х, умножь на 2; возведи х в квадрат,
умножь на 3; затем сложи два получен-
полученных числа. Иначе определялись три-
тригонометрические функции — с помощью
геометрических понятий, измерения дуг
и отрезков в круге; однако и здесь
можно говорить об алгоритме вычисле-
вычисления их значений,, состоящем в обраще-
обращении к тригонометрическим таблицам
(или к микрокомпьютеру с соответ-
соответствующими кнопками).
Нашей задачей раньше было изуче-
изучение свойств функций, заданных таким
образом: исследование закона их воз-
возрастания и убывания, нахождение мак-
максимумов и минимумов и т. д. Изучение
этих свойств приводит к новым спосо-
способам определения функций. Так, напри-
например, функцию f~ex можно определить
как такую функцию, производная кото-
которой равна самой функции: j^ = / при
дополнительном условии / @)=1. Си-
Синус, т. е. функция cp=sin х, и косинус,
т. е. (Jj=cosx, можно определить как
функции, удовлетворяющие одному и
тому же уравнению
d2f d4 __ .
но различным начальным условиям:
„(()) = О, •?-
ями показательной и тригонометриче-
тригонометрических функций ко многим задачам фи-
физики, например к задачам колебаний,
по сравнению с определениями
или
ex = lim (l -4- —)
Эти определения оказываются во мно-
многих отношениях более «по существу»,
более тесно связанными с применени-
и определениями синуса и косинуса как
некоторых отрезков в круге или как
отношений сторон прямоугольного тре-
треугольника.
Любопытно, что определения ех%
sin х, cos x с помощью дифференциаль-
дифференциальных уравнений оказываются удобными
для электронных вычислительных ма-
машин. Если по ходу расчета необходимо
подставлять в формулу значения ех
при различных х, то нужно взять таб-
таблицу и выписывать из нее нужные зна-
значения ех. При работе на машине оказы-
оказывается легче и быстрее не обращаться
к таблице, а вычислять на машине зна-
значения функции ех шаг за шагом по при-
приближенной формуле е*+Аж?»е* A+Дх),
вытекающей из дифференциального
уравнения -^- = у для функции ех (или
по более точным формулам, основанным
на том же уравнении). То же относится
и к функциям sin х и cos x; их удобно
вычислять одновременно *:
sin (x -f- Да;) яа sin х -f- Дх cos x,
cos (x -f- Дх) я^ cos х — Дх sin x.
Итак, один общий подход к понятию
функции заключается в задании фор-
формулы как способа ее вычисления и по-
последующем исследовании такой функ-
функции. Возможен и другой подход: можно
искать функцию с определенными об-
общими свойствами, с тем чтобы потом на
основании этих свойств попытаться
найти ту формулу, которая описывает
интересующую нас функцию. Такая про-
1 Продумайте, откуда получаются эти
формулы, и проверьте, согласуются пи они
с уравнением для второй производной синуса
и косинуса.

436
Гл. 16. Замечательная дельта-функция Дирака
ПОЛЬ ДИРАК
цедура всегда применяется при обра-
обработке экспериментальных данных и при
подборе эмпирических (т. е. основан-
основанных на опыте) формул для описания
того или иного явления. Здесь же наша
цель — построить таким способом одну
замечательную и весьма необычную
функцию, полезную и важную как для
самой математики, так и для ее при-
применений.
§ 2. Дирак и его функция
Поль Адриан Морис Дирак — круп-
крупнейший английский физик-теоретик —
прославился в 1929 г. Он строил такую
теорию, которая описывала бы движе-
движение электронов в электрических и маг-
магнитных полях с любой скоростью,
вплоть до скорости, близкой к скорости
света. Речь идет о квантовой теории,
которая объясняет также тот факт,
что в атоме электроны могут двигаться
только по определенным орбитам, с опре-
определенными значениями энергии. Дирак
знал, что электрон обладает некоторым
моментом вращения, т. е. подобен вра-
вращающемуся волчку, и учитывал это
при создании своей теории. Когда же
теория была им создана, оказалось, что
из нее следует еще и вывод, не пре-
предусмотренный Дираком: возможно су-
существование частиц с такой же массой,
как электроны, но с противоположным
(положительным) знаком заряда. В те-
течение двух лет считали, что теория
Дирака хороша для описания движе-
движения электрона, а вывод о частицах с по-
положительным зарядом ошибочен —
и когда от него удастся избавиться, тео-
теория станет совсем отличной.
Но в 1932 г. частицы с положитель-
положительным зарядом — позитроны, или, как
их еще называют, «античастицы элект-
электрона», были открыты. Их появление
в теории из недостатка превратилось
в триумф, в главное достижение теории:
открытие Дирака было первым приме-
примером появления новых частиц «на острие
пера теоретика». Этот пример поучите-
поучителен с точки зрения взаимоотношений
опыта и теории: теория основывается
на определенных данных опыта, но по-
последовательное логическое и математи-
математическое развитие теории выводит за пре-
пределы того материала, который был
положен в ее основу, приводит к новым
предсказаниям.
Дирак является не только одним из
лучших физиков-теоретиков нашей пла-
планеты, но и замечательным математиком.
В своем классическом труде «Принципы
квантовой механики» Дирак ввел и ши-
широко использовал новую функцию, ко-
которой он дал обозначение Ь (х) (чита-
(читается: дельта-функция или дельта-функ-
дельта-функция Дирака).
Дельта-функцию можно описать сле-
следующим образом: § (х)=0 при любом
x=j?=§ (т. е. при х < 0, и при х > 0)
и § @)==оо. Кроме того, функция 8 (х)
должна удовлетворять условию
+OD
A6.2.1)
Наглядно можно представить себе гра-
график функции, похожей на § (х); он изо-
изображен на рис. 1. Чем более узкой мы
сделаем полоску между левой и правой
ветвями, тем выше должна быть эта
полоска, для того чтобы площадь по-
полоски (т. е. интеграл) сохраняла за-
заданное значение, равное 1. При суже-
сужении полоски (и одновременном росте
графика) мы приближаемся к выполне-
выполнению условия § (ж)=0 при х=?0, т. е.
изображенная на графике функция при-
приближается к дельта-функции. В одном
из следующих параграфов эти сообра-
соображения будут использованы для по-
построения формул, задающих дельта-
функцию. Здесь же мы продолжим ис-
исследования ее общих свойств.

§ 2. Дирал и его функция
437
Следует, конечно, сразу же подчерк-
подчеркнуть, что определяющие дельта-функ-
дельта-функцию «равенства»
(
= \
b{x)dx=l
О при х=?0,
к ' со при х=.О,
I —со
A6.2.2)
не следует понимать слишком уж бук-
буквально: ведь с точки зрения классиче-
классической (привычной нам) математики эти
условия не имеют смысла, противоре-
противоречивы. Разумеется, описанный выше про-
процесс постепенного вытягивания (и сжа-
сжатия) «полосок» поясняет смысл дельта-
функции; наивное ее «определение» B)
призвано лишь стимулировать наше во-
воображение, напоминая об этом процессе.
Ясно, что, определяя дельта-функцию,
мы вводим в рассмотрение совсем новый
объект, не похожий ни на один из тех, с ко-
которыми нам ранее приходилось встречаться
(вот уж когда нашу функцию никак нельзя
назвать «аналитической» (см. гл. 15)!). Однако
описание этого нового объекта не выглядит
сложно и оно не должно нас смущать. Ведь,
скажем, и число V2, с которым математикам
столь часто приходится иметь дело, с точки
зрения арифметики настоящим числом не
является: оно задается не точным своим зна-
значением, а лишь совокупностью приближений
1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142;. . . к этому числу
(которые, впрочем, характеризуют \/2 до-
достаточно полно для того, чтобы мы могли
свободно этим числом пользоваться). Анало-
Аналогично и функция S (х) задается не точными
своими значениями, а лишь приближениями
к ней — высокими и узкими «ступеньками» х;
эти приближения полностью нашу функцию
характеризуют.
Дирак и другие физики многие годы сво-
свободно и продуктивно пользовались дельта-
функциями, не заботясь о строгом определе-
определении этих удивительных объектов, подобно
тому как математики много веков использо-
использовали иррациональные числа до того, как
в конце XIX в. были созданы первые теории
вещественного числа. Математическое обосно-
обоснование удивительных функций, подобных функ-
1 Для желающпх мы готовы выписать
тут «десятичные приближения» 8-фуикции:
у=0 при | х | > 1, г/=0,5 при | х | < 1;
у =0 при | х | > 0,1, у=Ъ при | х | < 0,1;
у=0 при \х\> 0,01, г/=50 при г< 0,01; . . .
(удобнее еще «сгладить» эти ступеньки, чтобы
все функции были непрерывными); ниже мы
укажем другие еще более удобные прибли-
приближения о-функции.
ции 8 (х) («обобщенных функций», как их
обычно в настоящее время называют), дали
академик С. Л. Соболев, член-корреспондент
Академии наук И. М. Гельфанд, француз
Л. Шварц и другие ученые; ему посвящены
многие книги.а
Возможно, лучше, чем B), объясняет
смысл функции Дирака следующее важ-
важнейшее равенство:
f(z)b(x)dx =
A6.2.3)
В самом деле, так как 8 (х)=0 при
х=^0, то значение стоящего в левой
части C) интеграла не может зависеть
Рис. 16.2.1
от значений / (х) ни при каком х=?0.
Существенно только значение / (х) там,
где 8 (х)у^0, т. е. при х=0. В той узкой
области, где 8 (х)=^0 (в пределе ши-
ширина этой области стремится к 0 (см.
рис. 1)), 8 (х) умножается на / @).
Следовательно, из условий B) выте-
вытекает формула C).
Все эти рассуждения можно про-
провести и в обратном порядке, т. е. можно
сказать, что 8 (х) есть такая функция,
для которой при любом виде вспомога-
вспомогательной функции / (х) имеет место фор-
формула C). Это одно условие приводит
ко всем заключениям о виде 8 (х),
которые были раньше использованы
для ее определения. Из формулы C)
2 Пожалуй, простейшими из них являются
две небольшие брошюры польских математи-
математиков: Минусинский Я., Сикорский Р. Элемен-
Элементарная теория обобщенных функций. М.:
Изд-во иностр. лит., 1959, вып. 1; 1963,
вып. 2. В частности, в вып. 1 этой книги ав-
авторы вводят обобщенные функции как пре-
пределы последовательностей обыкновенных функ-
функций, скажем функций ?„(ж), где уп(х) = 0
1 10я 1
при ] х | > -^; ?я (х) = — при | х |< -jqj ."
см. сноску 1. (Разумеется, понятие «предел
функции» нуждается в строгом определе-
определении.)

438
Гл. 16. Замечательная дельта-функция Дирака
следует, что 8 (х) — 0 при х =^= О, что3
\l(x)dx = \ и что 8@) = со.
Укажем в заключение, что, конечно,
и понимание соотношения C), подобно
определению B) дельта-функции, также
требует известного усилия мысли, по-
поскольку под знаком интеграла в пра-
правой части C) стоит нечто, что лишь
с натяжкой можно назвать «функцией».
Однако при «грубой» работе с дельта-
функцией как сомнительное ее опре-
определение B), так и равенство C) ока-
оказываются достаточными для применений
этого нового понятия; их следует всегда
иметь в виду.
Приведем еще несколько очевидных
следствий из определения 8 (х). По об-
общему правилу замены переменных (осо-
(особенно подробно оно было изложено
в § 1.7) функция 8 (х—а) смещена на
а единиц вправо по сравнению к 8 (х),
т. е. 8 (х—а) = со при х=а и 8 (х—а)=0
при Ху^а. Соответственно этому
+О0
A6.2.3a)
Далее, легко убедиться, рассматри-
рассматривая кривую того вида, который изобра-
изображен на рис. 1, что график функции
ЪЬ (х) в Ъ раз выше, чем график 8 (х),
а график 8 (сх) в \с\ раз уже, чем
график 8 (х), так что площадь под
кривой 8 (сх) в |с| раз меньше, чем
площадь под графиком 8 (х) (разуме-
(разумеется, о всех этих «графиках» можно
говорить лишь условно). Поэтому
f(x
A6.2.4)
A6.2.5)
Сравнение формул D) и E) позволяет
сказать, что 8 (еж) = -—: 8 (х).
Формула D) совершенно очевидна,
но можно надеяться, что для читателя,
прошедшего через испытания всеми пре-
предыдущими главами книги, будет сразу
понятна и формула E). Ее легко полу-
получить формально заменой переменных:
8 Интеграл без обозначения пределов ин-
интегрирования здесь будет всегда пониматься
распространенным по полному интервалу из-
изменения переменной интегрирования: от —со
ДО +00.
I 1
и = \с\х, dx = -—-.da. Здесь мы исполь-
используем еще тот факт, что определяемую со-
согласно B) функцию 8 (х) можно счи-
считать четной: 8 (—х)—Ъ (х).
Упражнения
16.2.1. Покажите, что если функция ? (х)
имеет единственный нуль х0, так что <р (х0) —
= 0 и ср (х) Ф О при хфхй, то5(ср(х)) =
= . / , , | 3 (х — х0). Что представляет собой
функция 8 (ф (а;)), если функция ф (х) обра-
обращается в 0 при нескольких значениях .-г?
16.2.2. Чему равен \ ф (я) Ь (sin x) dx?
—00
§ 3. Разрывные функции и их произ-
производные
Исследуем интеграл от функции 8 (х),
рассматриваемый как функция верх-
верхнего предела интегрирования, т. е.
функцию
A6.3.1)
= j o(z)dz.
Легко убедиться, что график этой функ-
функции имеет вид «ступеньки» (рис. 1).
В самом деле, пока х <^ 0, область
интегрирования в формуле A) такова,
что в ее пределах всюду Ъ(х)—О; по-
поэтому при К^О и в (х)=0. Если же
х ^> 0, то в область интегрирования
включается окрестность начала коор-
координат, где 8 @) = со. С другой стороны,
так как при х ^> 0 также § (х)—О,
то значение интеграла не изменяется,
когда верхний предел меняется от 0,1
или даже от 0,000001 до 1, или до 10,
или до со. Следовательно, при л ю-
б о м х > О
0 (х) = | 8(г) dz = | 8 (г)dz =
как и показано на рис. 1.
Таким образом, с помощью дельта-
функции сконструирована простейшая
разрывная функция 0 (ж), такая, что
9 (я)=0 при х <^ 0 и 6 (х) = 1 в обла-
области х }> 0 1. Эти простые соображения
1 В самой точке х=0 функция 0 (х) «со-
«совершает прыжок»; конкретизировать ее зна-
значение в этой точке не следует, достаточно
сказать, что здесь значение функции пере-
ходпт от 0=0 к 0=1.

§ 3. Разрывные функции и их производные
439
позволяют более последовательно, без
кажущихся исключений и многослов-
многословных оговорок, подойти к вопросу о про-
производной от функции, имеющей раз-
разрывы.
Не зная дельта-функции, приходится
говорить, что производные нельзя на-
находить там, где функция разрывна.
Но вот- мы построили разрывную функ-
функцию 0 (х). Общее правило о связи
U,
Рис. 1ь. 3.1
между интегралом и производной (см.
§ 3.3) имеет вид:
OCJ
y{z)dz, то у(х) = — .
Применяя его к A), получим
..'10 (х) , , .
A6.3.2)
Значит, для производной разрывной
функции не надо делать исключений:
просто производная такой функции
равна «особой» функции — дельта-функ-
дельта-функции.
Научившись справляться с производ-
производной простейшей разрывной функции,
можно легко находить производные
и в более сложных случаях. Приведем
несколько примеров. Пусть
у = х при ж < 1, у = х — 2 при х > 1.
A6.3.3)
График функции у (х) изображен па
рис. 2. Разрыв имеет место при #=1.
Величина разрыва у A+0)—у A—0) =
= — 2. (Мы пользуемся здесь записью
у A+0), понимая под этим предельное
значение у при приближении а; к 1
справа (со стороны х ^> 1); запись
у A—0) означает то же, но здесь речь
идет о приближении а; к 1 слева (см.
рис. 2).) В силу этого можно фор-
формально записать
^.,М-2Цх-\).
A6.3.4)
Такая запись лшого содержательней и
информативней утверждения о том, что
¦¦hi
~ = 1 всюду, кроме точки х = 1, где
функция терпит разрыв и не имеет
производной.
Дельта-функция — это типичное дитя
XX в. Прошлому XIX в. свойственно
было пристрастие облекать многие свои
суждения — и правильные, и не совсем
правильные, и совсем неправильные —
в форму «невозможностей». Невозможно
изобрести вечный двигатель, невоз-
невозможны превращения химических эле-
элементов, невозможно изменение общей
массы вещества, невозможно доказать
реальное существование атомов, невоз-
невозможно определить состав звезд, невоз-
невозможно найти производную разрывной
функции. Наш XX в. находит много
конструктивных решений для того, что
казалось невозможным в XIX столе-
столетии, скажем для превращений хими-
химических элементов или для уменьшения
массы путем превращения ее в энергию;
в частности, и дельта-функция решает
вопрос о производной функции в точке
ее разрыва (во всяком случае» в точке
разрыва, имеющего вид конечного
скачка). В самом деле, ведь запись D)
в одной строчке указывает и на сам
факт разрыва функции у (х) (раз в выра-
выражение для -j- вошла дельта-функция),
и характер разрыва (скачок), и место
разрыва х=1, и величину разрыва (ее
характеризует коэффициент —2 при
дельта-функции).
Интегрируя D) при начальном усло-
условии: г/=0 при х—0, возможно полностью
восстановить график у (х). Правда,
в случае функции C) нам «повезло»;
другими словами, был специально выб-
выбран простой случай, когда слева и
Рис. 16.3.2
J л
справа производная выражается одной
и той же формулой. Это, конечно, не обя-
обязательно — с чего бы производной быть
непрерывной, если сама функция тер-
терпит разрыв!
Рассмотрим более сложный пример:
У=— af при х < 1; у =х% при х > 1
(рис. 3). Ясно, что у'=—2х при х<^ 1
и у'—2х при х > 1. Разрыву соответ-
соответствует значение г/'=4§ (х—1) произ-
производной. Теперь мы можем произвольно

440
Гл. 16. Замечательная дельта-функция Дирака
присоединить точку х=1 к левой об-
области определения функции и записать
у'=—2я+48 (х—1) при а;<1; у'=2х
при а; > 1, либо — другой вполне рав-
равноправный с первым вариант — можно
присоединить х=1 к правой части об-
области определения у (х) и считать, что
у'=—2х при х<1; у'=2х+4Ъ(х—1)
при х ^ 1. (Обратите внимание на то,
как расставлены знаки < (меньше)
и ^ (меньше или равно), j> (больше)
и ^ (больше или равно) в формулах, —
нужно внимательно следить за тем,
„ чтобы не записать дель-
дельта-функцию дважды 2.)
Можно писать также
у
где
—2х при х
2а; при х ^
1,
i.
Рис. 16.3.3
определяется g (
i<0 и sgn (x)=l при х
Чтобы проверить за-
запись, проинтегрируйте
выражение производной
и получите снова исход-
исходную (разрывную!) функ-
функцию.
Иногда в математике
и ее приложениях ока-
оказывается полезной так
называемая знаковая
функция 3 sgn (x). Она
так: sgn (х)=—1 при
0. Можно
записать sgn (х) = -.—:, где | х I — модуль,
I x I
или абсолютное значение, х. График
sgn (x) показан на рис. 4, а. Легко
убедиться, что
sgn(s)=— 1 + 26(ж) = —1+2
A6.3.5)
2 Таким образом, производная разрывной
функции / (х) в точке разрыва х=ха имеет
вполне определенное «значение» 8 (х—х0),
в то время как для самой функции / (х) нет
смысла спрашивать, чему она равна в точке
x=xt (во всяком случае, этот вопрос является
бессмысленным почти во всех прикладных
задачах).
3 sgn — сокращенное обозначение латин-
латинского слова signum — «знак» (запись sgn (x)
часто читают как «сигнум икс»). (Иногда
также условно считают, что sgn @)=0 — нам
это физически мало осмысленное предположе-
предположение не будет нужно.)
Рассмотрим далее саму функцию \х\;
ее график изображен на рис. 4, б.
Найдем производные этой функции:
d\x\
dx
= 1 при
а
Рис. 16.3.4
0
или, кратко, с помощью новой функции,
которую мы только что узнали:
d\x\
-у-- ~- sgn х.
dx ь
A6.3.6)
Продифференцируем F) еще раз, вос-
воспользовавшись соотношением E):
АЦХ{ "*" N A6.3.7)
Л'
\ч /
-г -/
J'
-7 -/
О
\
A
у
/ д=
/
/
'/
г. г
о
Рис. 16.3.5
Это очень важная формула, которую
надо прочувствовать. Ведь мы знаем,
что вторая производная функции свя-
связана с кривизной ее графика (см. § 7.9);
для прямой линии кривизна равна нулю,
ибо равна нулю вторая производная
линейной функции. Казалось бы, что
поскольку график \х\ состоит из двух
прямых, на каждой из которых
- = 0, то можно так же просто ска-
dxr
зать, что
равно нулю везде.

§ 4. Представление дельта-функции формулами
441
Но так сказать нельзя — ясно, что дело
тут заключается в изломе в точке ж=0,
где сходятся две прямые. Но как убе-
убедиться в том, что в точке излома вторая
производная равна именно 2§ (х)? Для
этого давайте скруглим излом: возьмем
функцию
у1 = \Jx* -\- a2. A6.3.8)
Эта функция тем ближе к ломаной
у=\х\, чем меньше а (рис. 5, а); ясно,
что при а=0 формула (8) дает у1=\х\.
Функпия (8) — гладкая, всюду диф-
дифференцируемая; по правилам гл. 4
легко найдем:
A6.3.9)
dyi
dx
dhj,
V
X2
X
a2
dx2
x- -f- a-) :2
На рис. 5, б представлен график функ-
функции-^ (на рис. 5 принято а = 0,5).
Легко убедиться, что этот график ста-
становится все выше и уже при уменьше-
уменьшении а, и при всех а интеграл I -^ ах = А
J ОуХ
(см. упр. 3), откуда в пределе при а -> 0
и получается формула —J-^J-=: 2S (х).
Упражнен ия
16.ЗЛ. Нарисуйте графики (разрывных)
функций и выпишите их (первые) производ-
производные: а I у = х при гс ¦< 1, у — х — 1 при х > 1;
+
16.3.2. Найдите кривизну линии (8) i/i =
= j/i (xi; рассмотрите, как меняется кривизна
при а —* 0.
16.3.3. Докажите, что для функции [(8)
у'[ (х :[dx = 2.
§ 4. Представление дельта-функции
формулами^ i
В конце предыдущего параграфа невзна-
невзначай было получено выражение для
функции
;/= „. /, .м—, A6.4.1)
которая в пределе при а —> 0 прибли-
приближается к о (х) х. Остановимся на во-
1 Отметьте коэффициент 2 в знаменателе
правой части формулы A): без этой двойки
у нас получалось бы 2S (х).
просе об аналитическом выражении
дельта-функции подробнее.
Пусть ср (х) — произвольная функ-
функция; мы потребуем только обращения
ее в нуль при х=+со (т. е. потребуем,
чтобы lim ср (х)=0 при х -> +со) и от-
отличия от нуля интеграла I=\f(x)dx.
Умножая ср на соответствующую кон-
константу, всегда можно сделать интеграл
/ равным 1. Предположим, что мы так
уже и поступили, т. е. что I <p(x)dx = l.
Ясно, что ср имеет максимум где-то
между —со и +оо. Простейшие при-
примеры представляют собой функции везде
-./ -2
Рис. 16.4.1
положительные и четные, т. е. сим-
симметричные относительно оси у (см.
§ 1.7). Вот несколько конкретных при-
примеров:
1 1 1
1
Графики этих функций имеют колоко-
лообразный вид (рис. 1); если их при-
привести к одинаковой высоте (см. ниже),
то на глаз их даже не легко отличить.
(Впрочем, последняя (экспоненциаль-
(экспоненциальная) функция при больших х (т. е. вдали
от максимума) гораздо теснее прибли-
приближается к оси абсцисс, чем остальные 2.)
Теперь вспоминаем, как нужно посту-
поступать для того, чтобы увеличить в п раз
высоту колокола и уменьшить в т раз
его ширину: для этого образуем функ-
функцию пер (тх). Если мы хотим сохранить
площадь под колоколом, то придется
считать, что п=т. Итак, функция
тгср (пх) -> 8 (х) при п -> со, или, иначе,
2 Пересечение на рис. 1 всех трех кривых
fii <t2i 9з приблизительно в одних и тех же
двух точках является, конечно, случайностью.

442
Гл. 16. Замечательная дельта-функция Дирака
§(a;)== lim яср (пх). Легко проверить и
формально, путем подстановки z = пх, что
\ щ (пх) dx= I ср (z) dz = f ср (х) dr = 1.
Таким образом, трем вариантам ср (х)
соответствуют следующие три варианта
представления дельта-функции:
8 (а:) = lim " -,
8 (х) = lim
w
8 (х) = lim л_ п*х*
п*со ^
A6.4.2)
Проверим, что тот рецепт, который
был предложен раньше:
о (х) = hm
о 2 (
а2) /!
подходит под это определение; для
этого перепишем
аа аЬ 1
и обозначим п = — ; получим первый
вариант представления B).
Итак, нет одной определенной про-
простой формулы, которая давала бы 8 (х):
ясно, что одних слов 8 @)=со мало;
чтобы определить 8, надо еще суметь
показать, что это как раз та беско-
бесконечность, которая нужна. Однако 8 (х)
может быть получена как результат
предельного перехода (п —> со) из
вполне «добропорядочных», хорошо
определенных функций х, в которые
вспомогательная величина п входит как
параметр. При этом особенно нужно под-
подчеркнуть, что 8 можно получить таким
предельным переходом из разных
функций ср. Пока число ?i остается ко-
конечным, отвечающие разным ср (х)
функции пер (пх), разумеется, отлича-
отличаются одна от другой, в частности,
A6.4.3)
— и только при п -> со все функции
пер (пх) стремятся к одному и тому же
пределу 8 (х) и все интегралы 3 C) —
к / @):
lim/ = /@). A6.4.4)
8 Строго говоря, если при каких-то значе-
значениях х функция / (х) разрывна и / (х) -> оо
Произвол, имеющий место в выборе
первоначальной ср (х), из которой полу-
получается 8 (х), полностью соответствует
сути дела. В § 17.4 будут рассмотрены
примеры применения о (х) к физике.
Описание какого-либо воздействия, т. е.
какой-то конечной функции ty (х), с по-
помощью дельта-функции возможно и це-
целесообразно именно тогда, когда де-
детальная форма воздействия, т. е. истин-
истинная зависимость его от х, несущественна,
а важен лишь интеграл.
Приведенные выше примеры, конечно,
вовсе не исчерпывают разнообразные
функции ср (х), из которых можно «из-
«изготовить» 8 (х). Можно отказаться от
симметрии ср (х): при переходе к
геср (пх) и увеличении п сокращается
и расстояние максимума от я—0, т. е.
даже асимметрическая функция при-
приближается к 8 (х). Вот пример этого:
функция e-^-^/sJr. при нашей подста-
подстановке переходит в функцию пе-1-"*-1? /\/гс,
с максимумом в точке х=1/п.
Можно также отказаться от записи
ср (х) простой единой формулой, обеспе-
обеспечивающей гладкость ср (х). Так, можно
взять саму функцию ср (х) разрывной,
скажем положить
A/2 при —1<ж<1,
a,lx\— ' V \ \ . мб.4.5)
п ;~~1 0 при z<—I ni>l.
Предельный переход заключается в том,
что мы полагаем
т. е. при
A6.4.6)
?n(x) = Y ПРИ —1<и
— 11п<С х<С 1/га,
<рп(х) = 0 при ?< —1/71
и устремляем п -» со. (Нарисуйте гра-
график функции ср (х), задаваемый со-
согласно E), а также графики функций
срв (х) (см. F)) при 7г=3 и га=10.)
Наконец, можно отказаться и от условия
положительности ?(х). Очень любопытный
и важный пример представляет собой
+
1 Г
=2^ J
1 sin u>x
A6.4.7)
(или / (х) -> оо при х ->• оэ или при х ->• —со),
то не всякие ср (х) годятся для получения D).
Функция / (х) не должна быть разрыв-
разрывной или по крайней мере ее разрывы не должны
приходиться на ту точку (х=0), где S (х)=
= аз, — иначе как раз и возникнут бессмыс-
бессмысленные вопросы о значении функции в точке
разрыва!

§ 4. Представление дельта-функции формулами
443
При заданном со график R {х) показан на
рис. 2. Значение R @) равно — (неопреде-
(неопределенность, связанная с одновременным обра-
обращением числителя и знаменателя в нуль при
ж = 0, раскрывается элементарно). Функция
R (х) принимает нулевое значение и меняет
те 2л Зте
знак при х = н , н -| ... Коле-
со — со — со
бания R{x) затухают с удалением от х = 0
за счет знаменателя. Кривая не выходит за
1
пределы линии у = + т .- (пунктир на
со
рис. 2). Можно проверить, что \ R{x)dx=i
— со
ири любом со.
Оказывается, что при со-» со можно рас-
рассматривать R (х) как дельта-функцию! Это
правдоподобно потому, что с увеличением со
со
растет высота — главного максимума, при-
приходящегося на ось R, и уменьшается ширина
тс тс
этой иолуволпы ¦—— < х < —. Но как быть
о тем фактом, что при увеличении со не умень-
уменьшается амплитуда колебаний, по-прежнему
Р(х)=-
A6.4.8а)
I
Рис. 16.4.2
1
R достигает Н , пунктирные линии не
сужаются? Рассмотрим \ / (х) R (x) dx. Чем
больше о>, тем чаще колебания, тем точнее
компенсируют одна другую положительные и
отрицательные полуволны, между тем вклад
первой полуволны и ближайших к ней все
время одинаков. Поэтому оказывается (дока-
(доказательства здесь мы не приводим), что
lim \ f (x) R (x) dx = f@) — а это и означает,
м-* со J
что lim R (х) имеет свойства дельта-функции.
ш->со
Интересна аналогичная функция
A6.4.8)
k=l
sm -о"
(см. упр. 1). График Р (х) при 5=10 показан
на рис. 3. При q -> со функция Р (х) ведет
Рис. 16.4.3
себя вблизи г=0 совершенно так же, как
R (х) при со ->. со. Отличие Р (г) от R (х)
заключается в том, что у Р (х) высокие мак-
максимумы повторяются периодически при х=0,
х=±2п, х=±4л и т. д., т. е. Р (х) при
q ->• со представляет собой сумму 5-функ-
цпй:
Р (х) = Ь (х)+Ь (х-2 4)
С помощью формул элементарной тригономет-
тригонометрии можно получить выражение
Функции R а Р ц связь пх с дельта-функ-
дельта-функцией — это не математические курьезы.
Вспомним, как построены R п Р: R — это
интеграл косинуса, Р — это сумма косинусов.
Если из косинусов можно сложением построить
5 (х) (напомнпм, что интегрирование — это
разновидность сложения!), то S (х—а) можно
построить из cos <о (х—a)=cos wx cos <oa —
— sin ч>х sin coa, т. е. из косинусов и синусов
с постоянными коэффициентами. Но в таком
случае и любую функцию / (х) можно пред-
представить в виде суммы косинусов и синусов.
Любую функцию можно заменить серией
ступенек / (xt) Axt, а каждая такая ступенька —
это, в сущности, 8 (х—х() f (x^ &xt. Таким
образом, с помощью R и Р, т. е. по существу
через посредство дельта-функции, доказы-
доказывается возможность разложения функций
в ряд Фуръе (еслп функция периодична;
ср. § 10.9) и в так называемый интеграл
Фурье (если функция непериодична).
Перечитайте после этого параграфа снова
§ 10.8 и 10.9. Обычно в учебниках математики
дельта-функция не упоминается — многие пе-
педагоги предпочитают возможно дольше не
знакомить учащихся с такой «физической
ересью». Однако понимание того, что в дока-
доказательствах в действительности используется
дельта-функция, поможет Вам глубже про-
проникнуть в смысл этих доказательств.
Упражнение
16.4.1. Докажите совпадение правых ча-
частей формул?(8) иХ(8а).

Глава 17
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ
§ 1. Комплексные числа и механиче-
механические колебания
Настоящая, третья, часть книги не пре-
претендует на большее, чем лишь на то,
чтобы заинтересовать читателя такими,
казалось бы не похожими на «обыкно-
«обыкновенные» функциями, как функции комп-
комплексной переменной и дельта-функции,
указать на принципиальную возмож-
возможность распространения аппарата выс-
высшей математики и на эти необычные
объекты. И в этой последней главе
книги мы лишь весьма бегло наметим
некоторые из возможных путей прило-
приложения описанных в главах 14—16 функ-
функций к физическим и техническим зада-
задачам.
Как упрощаются вычисления при ис-
использовании комплексных переменных,
мы покажем на примере вынужден-
вынужденных колебаний тяжелого тела
(см. гл. 10, особенно § 10.5). Начнем
с уравнения таких колебаний. Положим,
что на тело массы т (на «материальную
точку» массы т — размерами тела мы
пренебрегаем) действует упругая (воз-
(возвращающая) сила —кх, пропорцио-
пропорциональная отклонению х (для наглядно-
наглядности можно представлять здесь пру-
пружину, стремящуюся вернуть тело в со-
состояние равновесия), сила трения
, dx dx
—п-гг, пропорциональная скорости -г-
(и направленная противоположно ско-
скорости), а также некоторая внешняя
сила F=F (t). В таком случае уравне-
уравнение (9.4.2) движения тела (уравнение
Ньютона; см. § 9.4) примет вид
dt*
d2x
dx
It
или
dx
(ПАЛ)
Мы в основном ограничимся случаем
периодической внешней силы F=fcosmt
(ср., впрочем, со сказанным ниже,
в конце этого параграфа). Для перио-
периодической силы (с частотой (о и ампли-
амплитудой /) уравнение A) примет вид
d-x . , dx . , ,
(см. A0.5.1)); здесь т, к, h, f и с» —
некоторые постоянные величины г.
До сих пор мы считали все величины
в A) и B) вещественными. Условимся
теперь временно (ибо в окончательном
ответе это предложение придется снова
исключить!) допускать комплексные ре-
решения х нашего уравнения; все же
остальные величины, являющиеся коэф-
коэффициентами B), пусть по-прежнему яв-
являются вещественными. Выражение
/ cos a>t внешней силы нам теперь будет
удобнее заменить на
fe'mt (=/ cos orf -f- if sin i»t), A7.1.3)
дополнив последний член уравнения B)
мнимым слагаемым if sin cot
Решение уравнения
d-x ,,&,,, _с i^f
117.1.2а)
мы будем искать в виде
х = аеш. A7.1/1)
Такой вид решения подсказывается тем,
что все производные экспоненциальной
функции, как нам известно, пропорцио-
пропорциональны самой этой функции; поэтому
после подстановки такого выражения
для х в левую и правую части уравне-
уравнения Bа) в обеих его частях будет фигу-
фигурировать один и тот же множитель
е%"'\ который мы сможем просто сокра-
сократить. Действительно, так как согласно
D) ~r^iaweimi и — = — аш2еш, то урав-
нение Bа)-дает
—атш2еш -f i
-f akem = feilM,
1 Поскольку т имеет размерность кг, а
dx d2x
х, —г и -tjj — соответственно размерности м,
м/с и м/с2 (cos (oi, конечно, безразмерен), то
ясно, что коэффициенты k, h и / уравнения B)
имеют размерности кг/с2, кг/с и кг -м/с2
(т. е. Н: ведь / — это сила).

§ 1. Комплексные числа и механические колебания
445
или
а (—moJ -(- к -f- iAco) = /,
/
т. е.
1
к
A7.1.5)
Итак, (комплексная!) амплитуда а ко-
колебаний x=aeiwt ( = a (coswt+i sin ш?))
оказалась пропорциональной приложен-
приложенной силе /, что совершенно естественно
для линейной системы (для решения
линейного уравнения Bа)). При неболь-
небольшой силе трения (т. е. небольшой вели-
величине К) максимум амплитуды (точнее,
модуля амплитуды) достигается при
такой частоте ш, что тир т к, т. е. при
частоте ш внешней силы, близкой к соб-
собственной частоте %=(/ —системы (ср.
§ 10.2); таким образом, здесь имеет
место явление резонанса (§ 10.5).
Выражение E) комплексной ампли-
амплитуды а можно переписать так:
a = frei<f, A7.1.5а)
1
где rei<f~ „..,., ,
1
т. е.
там2 + ftJ
9 = arctff ( г—г
Тогда
х = aeimt = fre* i<Dt'
¦)•
A7.1.56)
A7.1.6)
где г и ср задаются формулами E6).
Таким образом, компактная комплекс-
комплексная запись D) вещественного решения
уравнения B) указывает как амплитуду
\x\=fr, так и частоту ш и фазу ср ре-
решения, точнее — сдвиг фазы колебания
по отношению к фазе силы, принятой
за нуль (см. E6)).
Вернемся, наконец, к вещественным
переменным. Так как наше исходное
уравнение A) — линейное, то для опи-
описываемой этим уравнением механической
системы выполняется принцип суперпо-
суперпозиции: движение, вызываемое сложной
силой Рг-\~Р2, может быть получено сло-
сложением движений, вызываемых в от-
отдельности силами Fy и F2 (этим мы уже
неоднократно пользовались выше).
В нашем случае сила C) распадается
на вещественную компоненту / cos wt
и мнимую компоненту if sin tot. Но все
коэффициенты уравнения A), за исклю-
исключением «свободного члена» F (члена,
не содержащего неизвестной функции а;),
вещественны; поэтому вещественной
силе F может отвечать лишь веществен-
вещественное значение х, а (чисто) мнимой силе
F — мнимое х. Другими словами, наша
линейная система рождает веществен-
вещественный отклик на вещественную внешнюю
силу и мнимый отклик — на мнимую
силу. Поэтому можно быть уверенным,
что внешней силе F=f cos mt отвечает
решение
= fr cos
-f- <
A7.1.7)
уравнения B), где г и ср даются форму-
формулами E6), а силе F=if sin ш? — реше-
решение x=ifr sin (ш?+ф) (т. е. силе
F=f sin ш? уравнения A) — решение
x=fr sin ((o?+cp), что, впрочем, не до-
доставляет нам новой информации, ибо
это решение получается из G) подста-
подстановкой t ¦
¦>+?)¦
Тот же результат можно получить
и несколько по-иному. В силу формул
Эйлера A4.3.4) вещественная сила
F=f cos iot есть сумма (комплексно-со-
(комплексно-сопряженных) сил F1—1/2je"*t и F2=
=1/2fe~"at; при этом в силу линейности
A) (в силу принципа суперпозиции)
движение, вызванное суммой Fy-^F^,
сил, представляет собой сумму движе-
движений, порожденных каждой из них в от-
отдельности. Но мы уже видели, что внеш-
внешняя сила Ft порождает движение
x=1/2frel сшг:+?), где г и ср задаются ра-
равенствами E6). Аналогично находится
и решение, отвечающее значению F2
силы, после чего легко найти и сумму
двух решений (см. упр. 1).
Отметим в заключение некоторые свой-
свойства полученного решения, которые сохра-
сохраняются даже в более общих случаях, когда
рассматриваемая колебательная система со-
состоит из многих масс, пружин («возвращаю-
(«возвращающих» сил) и трущихся поверхностей (многих
сил трения).
1. Мнимая часть «комплексной амплитуды»
Eа) отрицательна — она равна —
(М) I
(по-
(почему?). Это соответствует отрицательному
углу <р (или углу ср, заключающемуся в пре-
пределах та < ср < 2та).
Отрицательность мнимой части а связана
с работой, которую производит сила F в сред-
среднем за время многих колебаний или точно за
один цикл. Если (внешняя) сила задается
равенством F=f cos u>t, а решение имеет
вид G), то работа силы равна

446 Гл. 17. Некоторые приложения функций комплексной переменной и б-функции
sin <j>] di =
= \ / COS (at) [—ш/г sin I
= —/2гш \ sin (ш< 4- y)cos (ш() df = A7.1.8)
1 r •
= — ~2 f rM I Ism
= у /Vco — I sin fdt — \ sin Bwf 4- <p) Л .
Ясно, что второй интеграл в правой
части (8), распространенный на время т,
отвечающее одному циклу колебаний (т=
= Г =—1, обратится в нуль, так что работа
будет равна —1/2/2гш (sintp) t. Но эта ра-
работа должна быть положительной,
поскольку за рассмотренное время система
вернется в прежнее положение, отвечающее
тем же значениям и кинетической и потен-
потенциальной энергии; поэтому на смещение си-
системы работа силы F затрачена не будет и вся
она уйдет на нейтрализацию работы трения,
которая всегда является отрицательной: ведь
сила трения по направлению противоположна
dx
скорости -~jj , а значит, и смещению dx.
Заметим, что за время, не равное полному
циклу колебаний, например за короткое
время, много меньшее, чем Т, работа силы F
может быть и положительной, и отрицатель-
отрицательной, ибо на этот краткий период времени мо-
может приходиться уменьшение энергии тела
(суммы его потенциальной и кинетической
энергий). Определенное заключение о знаке
работы можно сделать, лишь если речь идет
об очень длительном промежутке времени
функционирования системы (или о времени
одного цикла — большой промежуток вре-
времени складывается из многих однотипных
периодов (циклов)).
2. Величину о (см. E)—E6)) можно рас-
рассматривать как функцию комплексной
частоты о). При этом о обращается в беско-
бесконечность при значении <о= <i>_ (ш — резонанс-
резонансная частота), где (i>p=X4~*f-1 обязательно имеет
положительную мнимую часть (т. е. обяза-
обязательно fi > 0). Бесконечность о, т. е., точнее,
бесконечность отношения —?, означает, что
— =0, т. е. что на частоте шр возможны
о в^о б о д н ы е колебания, не требующие
никакой внешней силы F. Но в таком случае
решение х (*)=ае*шр' удовлетворяет уравне-
уравнению
йгх dx
¦ --jj-4-te-O, A7.1.26)
получаемому из A) подстановкой F — 0, от-
откуда вытекает, что
_тш| 4- »Лшр 4- к = 0 A7.1.9)
(ср. со знаменателем в формуле E) для а).
Но ясно, что подобные свободные колебания
(в условиях наличия трения!) могут быть
только затухающими. Поэтому в реше-
решении e*'V = e''tx+*>)' = e("ll+A)' величина —р.
должна быть отрицательной, т. е. должно
быть jx ^> 0.
В нашем случае квадратное уравнение (9)
дает
шр— 2т —У \2т) ¦" т
л[~к / h \2 ih
±У т~\2^) +Ш-
то
I
к Л2
Если здесь — ~^а = * >0, то мы прихо-
ih
дим к двум решениям ШР1 = * + 2^" и мр2 =
ih „ „
= —х -f- 2^~ с одной и той же (положитель-
h
ной!) мнимой частью «^ i. (Эти решения
являются «почти комплексно-сопряженными»,
точнее, шр1 = —«*8 и mP2 = —"pi-) Если же
к Л2 Л2 к
— — 7—5^0, т. е. -,—; — — = щ~>
/ Л \
наши решения имеют вид шрХ = I ^— + *] )
I h \
и шр2 = ( g— -till — это два чисто мнимых
числа, имеющих положительные коэффи-
h
циенты при i, так как xi<C2^"'
Те же методы, базирующиеся на ис-
использовании комплексной переменной
х, применимы и в более общем случае
произвольной, а не только синусоидаль-
синусоидальной силы F. В случае произвольной
периодической силы F нам достаточно
разложить эту силу в ряд Фурье
(см. § 10.9) и затем воспользоваться
принципом суперпозиции, рассматри-
рассматривая в отдельности действие, которое
производит каждая из составляющих
синусоидальных сил C); при этом
удобна комплексная форма ряда Фурье,
т. е. представление произвольной перио-
периодической функции F (t) с периодом Т
в виде линейной комбинации функций
enimt, где (о = 2тс/Г (основная частота;
ср. A0.2.5)), а п=. . ., -2, -1,; 0, 1,
2, ... — целое, т. е. в виде суммы
функций einmt, взятых с какими-то коэф-

§ 1. Комплексные числа и механические колебания
447
фициентами /и. В случае неперио-
непериодической силы F разложение ее
в ряд Фурье приходится заменять раз-
разложением в так называемый интег-
интеграл Фурье, распространенный по
всевозможным значениям частоты со
(а не только по частотам шп—пш, крат-
кратным основной частоте со, как в случае
ряда Фурье); при этом и для интеграла
Фурье наиболее удобной будет комп-
комплексная его форма.
Не останавливаясь здесь на деталях
соответствующих построений (см.,
впрочем, упр. 2), укажем, что возмо-
возможен и иной подход к задаче о колебании,
возбужденном произвольной силой
F—F (t), а именно с помощью разбиения
силы F на отдельные дельта-образные
слагаемые, отвечающие узкой полоске
графика функции F, — замены этой
функции на сумму функций F^ (t), где
F {t) =
О
при всех других t,
A7.1.10)
— и последующему использованию
принципа суперпозиции. (Решение, от-
отвечающее дельта-образной силе F4 (t),
называется функцией Грина соответ-
соответствующего дифференциального уравне-
уравнения; см. по этому поводу § 4.) При
этом мы приходим к решению уравне-
уравнения A), имеющему в более простом слу-
случае отсутствия сил трения (в случае
h=0) вид
t
x{t)=A
A7.1.11)
где А и со определяются коэффициен-
коэффициентами т и к уравнения A), или, в «ве-
«вещественной» форме,
t
x(t) = A ^ sin[u)(i — x)]F(z)d-z, A7.1.11a)
— (ср. § 10.2) и А — \]кт-
По поводу вывода формул A1) или A1а)
см. § 4; в частности ср. (На) и D.5а). Нетрудно
также, не вдаваясь в [соображения, с по-
помощью которых формула (На) была получена,
непосредственно проверить, что она правильно
указывает решение уравнения A) для случая
Л=0. В самом деле, функция, стоящая в пра-
правой части равенства (На), двояким образом
зависит от t: во-первых, t есть верхний пре-
предел интеграла; во-вторых, от t (в комбинации
sin [u>(t— х)]) зависит подынтегральная^функ-
dx
ция. Поэтому производная -гг должна состоять
из двух членов: первый получается при циф-
ференцировании интеграла по верхнему его
пределу, а второй — при дифференцировании
по t подынтегральной функции 2. Но произ-
производная интеграла по верхнему его пределу
в силу теоремы Ньютона—Лейбница равна
подынтегральной функции от верхнего^пре-
дела (см. § 3.3); таким образом,
t
их Г
4f=A sin 0- F(t) + A j со cos [ш (t — т)]Х
—го
t
X F (x) dz = Аш \ cos [со (t — t)] F (t) dx
A7.1.12)
2 Это следует из того, что если y = F{x) =
X
j / (ж, х) <2х, то
\
[Х+Л.Х
j Hx
Ax ,J \\
- j / [x, x) dz .
Таким образом, отношение т— [распадается
на сумму двух дробей, предел первой и» ко-
которых представляет собой проивводную от
X
интеграла \ / (х -f- Ax, x) dx по верхнему его
а
пределу, равный функции / [х + Ах, х) прж
х = х (которая при Дж-»0 переходит в / (х, х));
вторая же дробь равна
Да:
S
г, х)— f (x, x)]dx =
(х + Ах, x)-/(s, x)j
[Ах dT
— и при естественных условиях ее предел
Равен i^&^i*'

448 Гл. 17. Некоторые приложения функций комплексной переменной и б-функции
и, следовательно,
-^Г= Аи cos 0 -F(t)
I — ш sin f«) [t — t)]
= Au>F{t) ~шгх{г). A7.1.13)
Поэтому если, ш- = — , т. е. со = |/ — , и
4ш = —, т. е. Л= — = ,— , то
d2x к 1
d<2 m ^' ~~ m ' '
— а это и есть уравнение A) с /г = 0.
Наконец, укажем, что эти же методы
«комплексного анализа» применимы
и в более сложных задачах, скажем от-
относящихся к процессу установления ко-
колебаний, где х=0 при t < t0 и х^=0
лишь при t ^> ?0, или к случаю несколь-
нескольких колеблющихся тел, когда в системе
действует ряд «возвращающих сил»
(«пружин») и имеется много трущихся
поверхностей (много сил трения, про-
пропорциональных производным ¦—)• В те0~
рии электрических цепей (см. гл. 13)
мы также постоянно встречаемся
с колебательными процессами — в род-
родственных A) уравнениях роль ко-
коэффициентов т, h и к здесь играют ин-
индуктивность L, сопротивление R и ве-
величина -?-, обратная емкости С, а роль
«внешней силы» F играет подаваемое
в сеть напряжение (ЭДС). И здесь ме-
методы, аналогичные намеченным выше
(рассмотрение комплексных решений
вещественных дифференциальных урав-
уравнений), используются весьма широко —
настолько широко, что с понятием
«мнимого тока» знаком буквально каж-
каждый, кто когда-либо изучал электро-
электротехнику.
Мы здесь не будем останавливаться
подробнее на всех этих вопросах.
Упражнения
17.1.1. Получите решение G) уравнения
B) как сумму двух решений уравнения A),
отвечающих значениям Fx=xl4.1eia>t и F2=
=i/2 fe~iml силы ! F.
17.1.2. Докажите, что заданная на ин-
интервале от — т. до я (вещественная!) функция
/ (х) может быть представлена в виде суммы
(комплексная форма ряда Фурье):
го
/ (х) = 2 okeikx {= |- с_ге-™х +
— 00
+ c_ie-<* + с0 + с1е** + сге^ +...),
ТС
где cft = -2^ \ i{t)e-*ktdt (здесь к =...-2,
— 1, О, 1, 2, ...) и с_к = с%; если же значе-
значения / (х) — комплексные числа (но х по-преж-
по-прежнему вещественно), то имеют место все те же
формулы, где только теперь уже не обяза-
обязательно с_к = с%.
§ 2. Интегралы в комплексной области
Рассмотрим определенный интеграл
w
(z)=\f(z)dz,
A7.2.1)
где нижним пределом служит фиксиро-
фиксированное комплексное число а, а верх-
верхний предел z — переменный. Интеграл
здесь понимается так же, как и в об-
области вещественной переменной (см.
гл. 3), т. е. правая часть A) прибли-
приближенно равна сумме
где zo—a, Zi, za, . . ., zB_l5 zn=z —
точки, разбивающие (соединяющий а
и z) путь С интегрирования на доста-
достаточно малые части, a Az(—zi+1—z,.;
i—0, 1, . . ., re—1.
По какому пути С следует проводить
интегрирование? На рис. 1 показаны
для примера три таких пути. Однако
можно доказать, что если в области, огра-
ограниченной двумя путями С и С1? функ-
функция не имеет «особенностей», т. е. она
всюду имеет смысл и нигде не обра-
обращается в бесконечность, то интеграл A),
взятый по этим путям, имеет одно
и то же значение. Разумеется, само
упоминание о производной /' (z) функ-
функции / (z) комплексной переменной под-
подразумевает, что эту функцию мы здесь,
как и всегда, считаем, аналити-
аналитической.
Сформулированное свойство интегра-
интегралов A) допускает еще одну формули-
формулировку, эквивалентную первоначальной.

§ 2. Интегралы в комплексной области
449
Обозначим символом ф / (z) dz интеграл,
распространенный по замкнутому кон-
контуру, скажем по контуру, получающе-
получающемуся, если мы пройдем от точки а
к точке z по пути С, а затем вернемся
из z в точку а по пути —С1 (путь Сг
соединяет пег, мы же идем по той же
дороге в обратном направлении; см.
рис. 1). Так как (ср. § 3.2) J f(z)dz =
- — J f(z)dz, то
cj) / (z) dz ^ [\u (x0, y0) -f iv {x0, y0)] —
{[и (,r0 -j- А,
, у0)] —
§f(z)dz=\f(z)dz + \ f(z)dz =
= \f(z)dz- \f(z)dz,
/ (z)dz == | / (z) dz,
то
г = О: интеграл
— v{x0, г/0-|-Д)]}Д —
-f A) — v (x0,
/ (z) dz оте
аналитической функции по замкнутому = —A -A —¦ В ¦ г'Д,
контуру всегда равен нулю, если внутри . „ ,.
этого контура функция не имеет осо- где чеРез А и 5 обозначены выражения,
бенностей. Обратно, разумеется, из ра- заключенные в фигурные скооки. Но
венства нулю интеграла по любому у ^
замкнутому контуру следует независи-
независимость его от пути интегрирования.
Чтобы доказать сформулированное ут-
утверждение, рассмотрим вначале малень-
маленький квадратик с вершинами 1 (х0, у0);
2 (хо+ А, у0); 3 (хо+ А, уо+ Д); 4 (х0, z/0-f А)
(рис. 2). Символом ®f(x)dz мы обозна-
обозначим интеграл по замкнутому контуру,
ыедущему из точки 1 последовательно
через точки 2, 3 ж 4 снова в ту же
точку 1; вычислим этот интеграл.
Пусть / (z) = / (х -f- iy) = и (х, у) -f-
-f- iv (x, у); величину А мы положим
настолько малой, что можно считать
Рис. 17.2.2
и {х0 -f А, у0 + А) — и(х0, у0) =
и (
i ди (до. УоI
z4) Дг4,
где под Zj понимается точка /, а Дг,
= zJ+1 — Zj] здесь / = 1,2, 3, 4 и zi+1
= гг — снова точка 1. Так как Дгг
= za — Zj = Д = —Az3 = z3 — z4 и Дz2
--= z3 — z2 = iA = —Дг4 = z4 — zlf то
+д) — v
у о)
at; (х0, у0 + ДП .
где мы по-прежнему пользуемся прибли-
приближенной формулой: / (х -{-д) — / (ж) «^
?« /' (я) А. Таким образом,

450 Гл. 17. Некоторые приложения функций комплексной переменяой п б-функции
ди(х0,
, у о)
. Г
дх
ди {х0, у0) ,dv (x0, ;
оу
ду
дх
—
дх
в силу соотношений Коши—Римана.
(В последних выражениях аргументы
. ,, On dv du dv
всех функции —, г-, -^-, -г можно
TJ дх ' ду ' dy dx
приравнять х0, у0, т. е. считать, что
частные производные вычисляются
в вершине изображенного на рис. 2
квадратика — при этом мы совершаем
ошибку порядка Д.) Аналогично уста-
устанавливается и равенство нулю выра-
выражения В.
Разумеется, на самом деле мы установили
лишь, что наш интеграл почти равен
нулю, что А и В отличаются от нуля на вели-
величину порядка малости выше Д, а сам инте-
интеграл — на величину порядка малости выше
площади Д2 квадратика (порядка Д3 или Д4,
или еще меньшую). Отсюда, однако, уже сле-
следует, что наш интеграл равен нулю.
В самом деле, разобьем исходный квадрат
со стороной Д на п2 меньших квадратов со
Д
стороной— . Интеграл, распространенный по
контуру исходного квадрата, равен, как легко
понять, сумме п2 аналогичных интегралов,
распространенных по контурам всех мень-
меньших квадратов (где все контуры мы обходим
в одном и том же направлении, скажем против
часовой стрелки): ведь при суммировании всех
интегралов каждый внутренний отрезок ока-
окажется пройденным 2 раза в двух противополож-
противоположных направлениях и сумма этих слагаемых
сократится. Но если большой интеграл имеет
величину порядка Д3, то маленькие квадраты
имеют величину порядка (Д/яK каждый,
а сумма таких интегралов — величину по-
/ д \ з дз
рядка п2[—) = — . Так как эта оценка
справедлива при любом п, то наш инте-
интеграл неизбежно должен равняться нулю.
Таким же способом, т. с. разбивая область
внутри любого замкнутого контура на малые
квадратики, можно доказать равенство нулю
интеграла по контуру этой области и тем
самым — независимость интеграла A) от пути
интегрирования.
Пример. Рассмотрим интеграл
Пусть путь А ведет из точки zo=O
до точки z=l-f-i сначала по веществен-
вещественной оси (от zo=O до Zj = l), а затем
по прямой, параллельной мнимой оси
(от zx = l до z=l-H). При этом имеем
1
I =з \ z dz ^^ \ \х^ —¦ у~ -^- Zixjjj \ цAх —j—
А О
2 2
о ' <)
О
Тот же численный результат получится,
если мы выберем другой путь В — сна-
сначала по мнимой оси от точки zo=O
до точки za=i, а затем по прямой, па-
параллельной вещественной оси (от точки
z2=j до конечной точки z=l + i; про-
проверьте!). Наконец, можно интегриро-
интегрировать и по диагонали С натянутого на
точки zQr zx, z, z2 прямоугольника
(здесь — квадрата): положим z=(l-H) tr
где 0 ^ t <J 1; тогда dz—(l-\-i) dt и
i-H i
/=
= j Ц1
Значение интеграла B) можно полу-
получить и без всех этих немудрящих ариф-
арифметических упражнений. Для этого, как
и в случае интегрирования веществен-
вещественных функций, достаточно найти пер-
первообразную функцию F (z) функ-
функции z2. Пусть F (z) — такая (разуме-
(разумеется, аналитическая!) функция комп-
комплексной переменной, что
~~-f(z). A7.2.3)
Тогда в силу теоремы Ньютона—Лейб-
Ньютона—Лейбница
A7.2.4)
где а, Ъ, С, F (a), F (Ь) — комплексные
числа. Равенства D) доказываются со-
совершенно так же, как для функций ве-
вещественной переменной — находим из-
из1М
/= f z2dz.
A7.2.2) менение интеграла I (at z)=\f(z)dz

§ 2. Интегралы в комплексной области
451
при малом изменение верхнего предела
интегрирования:
Поэтому интеграл G) по нашему замк-
замкнутому контуру оказывается равным
I(a, z4-\z)—I{a, z) = \ f{z)dz =
= /(з)Лз+... A7.2.5)
(здесь опущены слагаемые, имеющие
(по модулю) величину порядка |Дг|2
или еще меньшую), откуда в пределе
при малом (по абсолютной величине)
Дг (причем независимо от «направле-
«направления» приращения Дг, т. е. от отноше-
отношения вещественной его части Ди к коэф-
коэффициенту А.и при мнимой части) полу-
получаем
A7.2.6)
А;
Из F) вытекает, что значение интеграла
/ (a, z) может отличаться от функции
F (z) только на константу. Значение
этой константы находим из условия
/ (a, z)=0 при z=a, откуда / (a, z) =
—F (z)—F (а) в соответствии с D).
Но так как (ср. с. 427) и в комплексной
z2dz— -7Т- -\-С,
— откуда и вытекает полученное выше
значение интеграла B).
Мы здесь изложили все эти сообра-
соображения столь бегло потому, что в этом
пункте отсутствуют какие бы то ни было
различия между (гладкими) функциями
вещественной переменной и (аналити-
(аналитическими) функциями комплексной пере-
переменной — все результаты гл. 3 дословно
переносятся на случай функций комп-
комплексной переменной.
Перейдем теперь к специфическим
•свойствам интегралов от функций комп-
комплексной переменной, не имеющим ана-
аналогов в вещественной области. Обра-
Обратимся к интегралу
A7.2.7)
В качестве пути интегрирования в G)
выберем окружность фиксированного
радиуса р с центром в точке z=0,
т. е. положим z= pelf, где р=const и
и—= i
Z
О^ср^2я; тогда dz — ipe
{равенство d (eiv) = ie'9dy вытекает из
того, что по определению величины е'?
при малом Дф имеем еа? я^ 1 )
¦ dz = \ id® — 2та,
A7.2.8)
т. е. он отнюдь не равен нулю. При
этом значение (8) интеграла не зависит
от радиуса р круга; более того, оно
не зависит и от формы охватывающего
точку 0 контура — тот же результат
2тсг мы получим и при интегрировании
по любому другому замкнутому кон-
ТУРУ> содержащему 0 внутри себя,
скажем по границе квадрата с верши-
вершинами ±l+i (см. упр. 1).
Почему же основной результат о ра-
равенстве нулю интеграла ф / (z) dz здесь
оказывается неверным? Дело в том,
что в данном случае подынтегральная
функция /(z)—— внутри контура ин-
интегрирования имеет особенность: в точ-
точке z=0 она обращается в бесконеч-
бесконечность. При этом как бы мы ни дро-
дробили область внутри контура на отдель-
отдельные малые подобласти, значение
/ (z) = со неминуемо попадает внутрь
одной из областей — и оно даст свой
вклад: шила в мешке и бесконечность
внутри контура интегрирования не ута-
утаишь!
Рассмотрим подробнее наш интеграл
G). Этот интеграл, взятый по контуру,
окружающему точку 0, равен 2тс?.
Но и при интегрировании функции
— по любому другому пути мы не можем
игнорировать наличие у подынте-
подынтегральной функции особой точки.
Пусть
A7.2.9)
Интеграл (9), если взять кратчайший
путь интегрирования А, ведущий из
точки z=l в точку z==2 вдоль вещест-
вещественной оси (рис. 3), равен In 2«0,69.
Но из точки z=l в точку z=2 можно
попасть и другим путем. Обойдем, на-
например, исходя из точки z=l, окруж-
окружность С радиуса 1 с центром в точке О
и лишь затем пройдем по отрезку А
вещественной оси от точки 1 к точке 2.

452 Гл. 17. Некоторые приложения функций комплексной переменной и б-функции
При этом мы получим другое значение
интеграла (9):
+ 6,28i.
Можно сделать не один, а п оборотов
вдоль окружности С и лишь затем
пройти отрезок А вещественной оси;
Рис. 17.2.3
при этом значение интеграла (9) ока-
окажется равным
пС
где под пС мы понимаем контур, полу-
получаемый при га-кратном обходе окружно-
окружности С в одном и том же направлении
(против часовой стрелки). С другой
стороны, ту же окружность С можно
проходить и в обратном направлении —
по часовой стрелке; если пройти этот
путь т раз, то мы получим значение
In 2—ZnvKi интеграла (9). При этом
к значению In 2^0,69 интеграла (9)
приводят множество путей интегриро-
интегрирования, а именно все пути, не обходя-
обходящие точку z=0, вроде изображенного
2
на рис. 3 пути В; результат /= I — =
1
= In 2 — 4эт? также дают многие (дру-
(другие) пути и т. д.
Итак, полный ответ:
/= jii =
где й; = 0, ±1, +2, ...
Можно сказать, что это и есть наиболее
общее определение натурального лога-
логарифма 2, тогда как число 0,69 есть
только одно из многих значений вели-
величины In 2 — простейшее ее значение.
В самом деле
__ 2.
Таким образом, мы выполнили обеща-
обещание, данное раньше, в § 14.3, по-новому
объяснив причину неоднозначности ло-
логарифма w—lnz. Эта неоднозначность
связана, с одной стороны, с перио-
периодичностью функции et?, т. е. с тем, что
эта функция при ср=2л& обращается
в 1. С другой стороны, логарифм можно
Г dz
определить как интеграл \ —, — и при
таком подходе неоднозначность лога-
логарифма связана с поведением функции —
при z=0 и с возможностью обхода при
интегрировании этой точки z=0, в ко-
которой функция /(z) = — обращается
в бесконечность (такая точка называется
полюсом функции комплексной пере-
переменной). .
Заметим, что именно функция — дает
при интегрировании по обходящему
точку 2=0 контуру отличный от нуля
результат 2та (а функция —, где с есть
фиксированное, вообще говоря, комплек-
комплексное число, дает при подобном интегриро-
интегрировании результат с- 2?ч). Ясно, что инте-
интеграл по любому замкнутому контуру от
функции / (z)=a, где а — постоянное
число, или от функции/ (z)=azn, где сте-
степень п >0 (например, от функций 2z2 или
— iz4), равен нулю — ведь эти функции
вовсе не имеют никаких особенностей
(полюсов). Но неожиданным образом
также и отрицательные сте-
степени z, большие единицы по абсолют-
1 1
ной величине, такие, как -^ или ^",
тоже ничего не дают при интегрирова-
интегрировании по замкнутому контуру, охваты-
охватывающему полюс функции — точку z=0,
в которой функция обращается в беско-
бесконечность: для таких функций / (z) мы
снова имеем ш / (z) <iz = 0. В самом деле,
г dz
подставим в интеграл \ -$¦ значения z =
= ре*9, dz = ipe'^dtp, где р = const и
0 <^ <р ^ 2л; мы получим
= —;—т,е
р(-0
= 0.
Так же просто доказывается равенство
ф-^=0, где целое число п ]>1.
Итак, значение интеграла по замкну-
замкнутому контуру зависит не просто от того^.

§ 2. Интегралы в комплексной области
453
обращается ли функция в бесконечность
внутри этого контура, а именно от на-
наличия или отсутствия в выражении для
функции / (z) (в разложении ее в ряд,
распространенный как по положитель-
положительным, так и по отрицательным степеням
z—а, где а — особая точка функции,
в которой /(z) = oo) члена, пропорцио-
пропорционального , и от коэффициента при
этом члене х. В соответствии с особой
важностью коэффициента при (z—а)'1
в разложении / (z) по степеням (z—а)
этому коэффициенту дали специальное
название — он называется вычетом
функции / (z) в точке z=a. Ясно, что
в точке аналитичности функции, в ко-
которой она принимает конечное значе-
значение и в окрестности которой разлагается
в ряд Тейлора, вычет функции равен
i
нулю; но также и функция /(z)=;-j-,
обращающаяся в нуле в бесконечность,
имеет в этой точке вычет 0. В противо-
противоположность этому функция
2i z — i
2i z-\- i
A7.2.10)
имеет две особые точки: z=i и z=—i;
при этом вычет функции в точке z=?
1 i
равен — = к-, а вычет в точке z =
1 i „
= —г равен —'27==У' самом деле,
1 1
ведь, скажем, разложение —-тр
, ¦
по
степеням z — i отрицательных степеней
не имеет, так что «общий» коэффициент
при (z — г) здесь равен jr.
Интегралы от функций комплексной
переменной имеют замечательные при-
приложения к вычислению вещественных
интегралов. Вот достаточно типичный
(и достаточно важный) пример:
'=!
COS wx
11+а2
dx.
A7.2.11)
I есть интеграл от произведения
быстро меняющейся функции cos ш
(где мы будем полагать, что ш ^> 1)
на плавную функцию ух-=-, , ;. Гра-
1 Мы не рассматриваем более сложные
случаи, когда сама подынтегральная функция
является неоднозначной (наподобие, скажем,
функции / (z)=ln z).
фик подынтегральной функции приведен
на рис. 4, а, где пунктиром изображены
графики функций У\—. _i_ 2 и Уг~
__ 1
Согласно формулам Эйлера A4.3.4),
cos сож = у elU)iC-j-y е~>ад- A7.2.12)
Подставив A2) в правую часть A1),,
мы разобьем / на два интеграла /+
и /_, где
A7.2.13)
Рис. 17.2.4
Второй интеграл /_ записывается ана-
аналогично, только ewz заменено на е~Ыг.
При этом (немую!) переменную интегри-
интегрирования в A1) мы обозначим теперь
не через х, а через z, символизируя
этим, что она может принимать и ком-
комплексные значения (это — центральный
пункт всего рассуждения!).
Пусть z пробегает расположенную
в верхней полушюскости (z—x-\-
-\riyr где у > 0) полуокружность у:
| z \=R, где R очень велико. Так как
1/BI=4
|
ИВД0ЛЬ
Ш ix+iy) I __ | e-co
= | е ^ | • 1 < 1
(ведь в верхней полуплоскости у ^> О
и е~юУ < 1), а
1
1
1
в
то вдоль y модуль функции /(z)=
будет всюду весьма мал; поэтому мал

454 Гл. 17. Некоторые приложения функций комплексной переменной и б-функции
будет и распространенный по у инте'
грал2 I f(z)dz. А отсюда следует, что
при большом R интеграл
1-f
A7.2.14) i?^
распространенный по замкнутому кон-
контуру Г, образованному отрезком —R ^
^a:^i? оси х, где R очень велико,
и расположенной в верхней полупло-
полуплоскости полуокружностью у (рис. 5),
будет очень близок к интегралу /+,
распространенному по вещественной
оси. Но интеграл от аналитической
функции / (z) по замкнутому контуру
зависит, как мы знаем, лишь от особых
точек функции / (z), расположенных
внутри этого контура. А есть ли внутри
Рис. 17.2.5
нашего контура у функции / (z) =
aiwZ
=т—:—5- = е*шгф(г) особые точки?
1 -\- Z2 т \ ;
Ясно, что е*шг внутри Г в бесконеч-
бесконечность не обращается и особых точек
не имеет; функция ?B)=;п—г". как
уже указывалось выше, имеет здесь
единственную особую точку z = г и вы-
вычет ^ (z) в этой точке равен —^ • От-
Отсюда вытекает, что функция f(z) =
= 1/aeiU)^cp(z) в своей особой точке z = i
имеет вычет —т6*""^—Т6™
СИЛУ
общих свойств аналитических функций
интеграл A4), распространенный по всему
2 Мы видим, что вдоль ч можно считать,
1
что | / (z) | <С ¦5F," отсюда и из вытекающего
из самого смысла интеграла неравенства
| j / (*) dz < [ | / (г) 11 dz | (см. упр. 2) с уче-
том того, что длина полуокружности 7 рас-
растет как первая степень R, следует, что
\ j[z)dz с ростом R убывает, во всяком слу-
случае, не медленнее, чем величина -д-.
огромному контуру Г, равен \ -^-—jdz,
где а — малая окружность с центром
в точке z = i\ последний же интеграл
равен
dz i _ш„ . J_ _ш
A7.2.15)
Это же значение имеет и интеграл A4),
который, таким образом, оказывается
не зависящим от величины R. Поэтому
и интеграл A3) равен той же величине
Аналогично получается и значение
/_==1/атт:е'ш для второго слагаемого ин-
интеграла /; таким образом, окончательно
1 = -ке~т. A7.2.16)
Получить формулу A6) без использо-
использования функций комплексной перемен-
переменной трудно. Так же трудно получить
результат A6) численным интегриро-
интегрированием, ибо при w 5g> 1 стоящее в пра-
правой части A6) (или A5)) выражение
очень мало. Отдельные положительные
и отрицательные полуволны периоди-
периодической функции cos шх не будут осо-
особенно малы: их амплитуда, если гово-
говорить о волнах, отвечающих не слишком
большим значениям х, имеет величину
порядка 1, откуда вытекает, что вклад
рассматриваемой полуволны в общее
значение интеграла / имеет порядок
величины + — (почему?). Между тем
общее значение A5) интеграла / при
со ^> 1 гораздо меньше, чем —. Сле-
Следовательно, положительные и отрица-
отрицательные полуволны с очень большой
степенью точности взаимно компенси-
компенсируются, что связано с аналитичностью,
т. е. с гладкостью,; «функции амплитуд»
1
У1 1 + X2 '
Подобные A1) интегралы играют
большую роль в теории колебаний и
вообще в теоретической физике (ср.
с интегралом в формуле A.11а)). Мед-
Медленно меняющийся плавный импульс
(форма которого задается функцией вре-
времени f(t)~ j не возбуждает высо-
высокочастотную колебательную систему
потому, что при больших частотах

§ 3. Аналитические функции комплексной переменной и течение жидкости
455
/ -^ л ч Г cos oji ,, _.
(св^>1) интеграл 1 2 at оудет мал.
— 00
При этом лишь теория функций ком-
комплексной переменной позволяет уста-
установить, что этот интеграл с ростом
частоты (о затухает экспоненциально.
Упражнения
17.2.1. Докажите прямым вычислением,
г dz
что ф—=2тхг, где контур интегрирования К
совпадает с гранидеи кнадрата с вершинами
в точках + 1 + г.
17.2.2. Докажите неравенство
| / (z) | | dz |, где Л — любая дуга в ком-
плексной плоскости.
00
17.2.3. Докажите, что \ е~Р1''2cos atdt =
—оэ
= т^тхе~шт". (Этот результат также физи-
физически значим: так называемый гаусовый
профиль е~х 'т медленного импульса (см.
рис. 4, б) меньше всего возбуждает высоко-
высокочастотные колебательные системы, отвечаю-
отвечающие большим значениям ш.)
§ 3. Аналитические фупкции комплекс-
комплексной переменной и течение жидкости
В настоящем параграфе мы расстанемся
с большой темой о комплексных числах
и о функциях комплексной переменной.
Можно лишь удивляться и восхищать-
восхищаться (мы об этом уже говорили выше)
тем, что введение «мнимой единицы»
i=\J—1 не только разрешило вса- труд-
трудности, возникающие при решении всевоз-
всевозможных квадратных уравнений, но и
придало стройность всей теории алге-
алгебраических уравнений, т. е. всей ал-
алгебре, а также теории функций и мате-
математическому анализу. Естественно об-
обобщаются на случай комплексной пере-
переменной все функции: не только много-
многочлены и алгебраические функции (при-
(причем только здесь приобретает необхо-
необходимую законченность и полноту вопрос
о нулях многочленов и вопрос о степен-
степенных функциях с дробными показате-
показателями), но и экспонента, тригонометри-
тригонометрические функции, логарифмы. Отказы-
Отказываясь от максимальной общности в опре-
определении функции как соответствия двух
рядов величин (но ведь и в области
вещественного анализа эту общность
никак не удается сохранить без по-
потерь!), мы обращаемся к понятию ана-
аналитической функции. Путем та-
такого самоограничения удается колос-
колоссально повысить информативность тео-
теории — на аналитические функции ком-
комплексной переменной полностью пере-
переносится весь аппарат высшей матема-
математики (т. е. понятия производной, инте-
интеграла, дифференциального уравнения,
степенного ряда); для них можно так-
также высказать много утверждений, не-
несправедливых, не имеющих места для
функций вообще. В частности, выявля-
выявляется определяющая роль точек (значе-
пий переменных), в которых функция
уходит в бесконечность, устанавлива-
устанавливается, что ноъеденио функции в этих
точках онределяет широкий круг
свойств функции, например позволяет
без вычислений указать значения инте-
интегралов от функции по любым контурам.
Доказывается, что в принципе можно
задать функцию комплексной перемен-
переменной на сколь угодно малом отрезке —
и это ее полностью определит на всей
плоскости, во всей области изменения
переменной. Выясняется, что анали-
аналитичность определяется не тем, есть ли
простая удобная формула, выражаю-
выражающая искомую функцию через неремен-
неременную z: аналитической функцией может
быть, скажем, и интеграл, не
берущийся в элементарных функциях
/ г \
типа интеграла \ er'^^dz 1, и реше-
ние дифференциального
уравнения, даже если это урав-
уравнение в традиционном смысле «нераз-
«неразрешимо», т. е. не позволяет выписать
зависимость неизвестной функции от
аргумента в виде явной формулы, и
зависимость, задаваемая в виде беско-
бесконечного ряда. Важно лишь,
чтобы значение w=f (z) функции зави-
зависело именно от z=x-\~iy, а не от х и у
в отдельности, чтобы величина w не раз-
разрушала простую связь между х и у
в их комбинации x-\-iy.
Функции комплексной переменной
оказываются мощным рычагом для ре-
решения математических, физических и
технических задач. В этих задачах
исходные данные, естественно, зада-
задаются с помощью вещественных величин.

456 Гл. 17. Некоторые приложения функций комплексной переменной и б-функции
Ответ тоже по смыслу задачи должен
быть вещественным, •— и если С. Мар-
Маршака испугали «два землекопа и две
трети», то мнимый землекоп — это, по-
пожалуй, еще ужасное. И тем не менее
часто оказывается полезным вводить на
промежуточной стадии решения задачи,
между ее формулировкой и нахождением
ответа, комплексные величины, рас-
рассматривая (правда, только временно!)
Рис. 17.3.1
именно «комплексного землекопа» вместо
вещественного (ср. с § 1).
Так, например, мы видели (см. § 2),
что для вычисления
(чисто
вещественный интеграл!) уместно запи-
записать cos шх как 1/2е>аис-\-1/2е~'юх, введя
тем самым в задачу, казалось бы, со-
совершенно неуместные здесь «мнимости».
При этом если нам даже и неизвестны
конкретные формулы, выражающие ка-
какой-то закон природы, то часто одно
предположение о существовании выра-
выражающей этот закон аналитической
функции комплексной переменной (ка-
(какой угодно, хотя бы не выражающейся
формулой) уже оказывается информа-
информативным и плодотворным. Из самого
факта существования такой функции
сразу же возникают определенные со-
соотношения, порожденные аналитич-
аналитичностью этой (неизвестной нам!) функ-
функции. Такой прием широко использу-
используется на переднем крае современной
теоретической физики; с ним связаны,
в частности, так называемые диспер-
дисперсионные соотношения, подробно гово-
говорить о которых здесь, к сожалению,
неуместно. Самое большое чудо — это
тот факт, что мнимая единица и ком-
комплексные величины необходимым обра-
образом фигурируют в квантовой теории —
в физической теории микромира. При
этом место «мнимостей» в квантовой
теории настолько значительно, что се-
сегодня, подчас, при изложении элемен-
элементарной аналитической геометрии буду-
будущим физикам и химикам считают нуж-
нужным чуть ли не с самого начала гово-
говорить о «комплексных» плоскости и про-
пространстве, где точки имеют комплекс-
комплексные координаты, хотя наглядно пред-
представить себе такое пространство, по-
понятно, невозможно г.
Видимо, исторически первыми серьез-
серьезными приложениями теории аналити-
аналитических функций комплексной перемен-
переменной, с которыми частично было свя-
связано даже зарождение самой этой тео-
теории (см. с. 432), явились приложения
ее к гидро- и аэромеханике, к учению
о движении жидкостей и газов. Пусть
мы имеем плоское (плоскопараллелъное)
течение (несжимаемой) жидкости по-
постоянной плотности, при котором вектор
скорости v любой частицы жидкости
в любой момент времени параллелен
(горизонтальной) (х, г/)-плоскости и
весь столб жидкости, отвечающий дан-
данным координатам х и*у и разным высо-
высотам , z, движется одинаково; в таком
случае лгы можем забыть о (трехмерном)
пространстве и ограничиться рассмо-
рассмотрением движения в плоскости х, у.
Пусть скорость v (вектор!) течения
в точке М=М (х, у) имеет компоненты
vx и Vy (рис. 1); ясно, что vx—vx (x, у) и
Vy=vy (x, у) зависят от точки М% т. е.
являются функциями этой точки —
функциями координат2 х и у.
Во многих случаях допустимым явля-
является предположение о существовании
двух \ таких функций точки ср (х, у) и
ф (х,°у), что 3
„ '*?(Д. У) „ __ д<?(х> У) ,,,,,,
U . —~~ . U — . II/ .О» 1 I
х дх * У ду 7 х '
ду
1 См., например, элементарный учебник:
Головина Д. И. Линейная алгебра и некото-
некоторые ее приложения. 3-е изд. М.: Наука, 1979.
2 Мы здесь для простоты ограничиваемся
так называемым стационарным течением жид-
жидкости, при котором скорость не меняется с те-
течением времени п функции vx {x, у) и vy (x, у)
от времени t не зависят.
3 Так как функции у п ф определяются
лишь значениями A), Aа) своих производных,
то обе они имеют характер потенциалов, т. с.
определены лишь с точностью до произволь-
произвольных слагаемых С\ и С2, позволяющих про-
произвольно выбрать точку нулевых значений у
и^ф; при этом физический смысл имеют лишь
разности значений ср (или ф) в двух
точках, но но сами эти значения. (Заметим
еще, что поскольку величины vx и vy, разу-

§ 3. Аналитические функции комплексной переменной и течение жидкости
457
Функцию ср называют потенциалом ско-
скоростей, а движение жидкости, харак-
характеризующееся наличием потенциала
скоростей, — потенциальным движе-
движением. Можно сказать, что движение
жидкости в окрестности данной точки
М=М (х, у) тогда и только тогда по-
потенциально, когда оно сводится к пере-
переносу массы жидкости в направлении v
и (допустимой в силу текучести жид-
жидкости) перестройке (деформации) ма-
маленького ее объема, но не включает
вращения всей жидкости вокруг М,
представление о котором могут дать
наблюдающиеся иногда на реках водо-
водовороты или маленькие «искусственные
водовороты» (воронки), создаваемые
веслами при гребле. В соответствии
с этим потенциальное движение жид-
жидкости называется также безвихревым,
а (вообще говоря, изолированные) точ-
точки, в которых нарушается условие по-
потенциальности движения, именуются
вихревыми точками (или просто вих-
вихрями). Разность
dv
у
дх
ду '
A7.3.2)
равная нулю в случае потенциального
движения жидкости (почему?) и, сле-
следовательно, отличная от нуля только
в вихревых точках, характеризует ин-
интенсивность вихря.
Функцию ф=ф (х, у) называют функ-
функцией тока жидкости. Можно доказать,
что наличие в точке М (х, у) функции
тока ф равносильно предположению
о том, что в единицу времени внутрь
любого маленького контура, окружаю-
окружающего точку М, втекает ровно столько
же (несжимаемой) жидкости, сколько
и вытекает из этого контура. Таким
образом, наличие функции тока ф в
данной точке М—М (х, у) обеспечивает
отсутствие в точке М источника или
стока жидкости. При этом сумма
дх
ду
A7.3.2а)
(обязательно равная нулю в случае
наличия в точке М=М (х, у) функции
тока ф) характеризует интенсивность
источника или стока, а знак этой сум-
суммы — характер «особой точки» М: если
меется, имеют размерности скорости (м/с),
а координаты х и у — размерности длины (м),
то определяемые по A) и Aа) функции у п Ф
имеют размерность м2/с.)
сумма Bа) положительна, то в точке М
мы имеем источник (в окружающий М
контур втекает меньше жидкости, чем
вытекает из него), а если она отрица-
отрицательна — сток. (Знак разности B) ха-
характеризует направление вращения жид-
жидкости в вихревой точке.)
Нетрудно видеть (см. упр. 1), что
линии ф=const представляют собой не
что иное, как линии тока, по которым
движутся частицы жидкости: вдоль ли-
линии тока (характеризуемой тем, что ка-
касательная к такой линии в каждой
ее точке М имеет направление вектора
скорости v) величина функции тока ф
остается постоянной. Эквипотенциаль-
Эквипотенциальные линии, характеризуемые условием
Ф (х, j/)=const, напротив, перпендику-
перпендикулярны в каждой своей точке вектору
скорости (см. упр. 2): это суть условные
поверхности, через которые движется
жидкость (причем в сторону убывания
потенциала). (На рис. 1 эквипотен-
эквипотенциальные линии изображены пункти-
пунктиром.) Таким образом, сеть линий ф=
=const и ф=сопэ1 дает достаточно пол-
полное представление о движении жид-
жидкости в целом.
Предположим теперь, что в окрест-
окрестности данной точки М (х, у) в жид-
жидкости отсутствуют как вихревые точки,
так и источники и стоки, другими
словами, что здесь имеются обе функ-
функции ф и ф. Очевидно, что из A) и Aа)
следует:
ду <?ф i d<f d'b
х дх ду ' У ду дх '
A7.3.3)
Но уравнения C) близки по форме
уравнениям Коши—Римана A5.2.6),
связывающим вещественную часть и
коэффициент при мнимой части анали-
аналитической функции w=w (z) = u (х, i/) +
-\-iv (x, у) комплексной переменной z==
=x-\~iy. Таким образом, если отожде-
отождествить плоскость х, у с плоскостью
комплексной переменной z~x-\-iy, то
мы, естественно, придем к^аналитиче-
ской функции
переменной z, теснейшим образом свя-
связанной с течением жидкости.
Функция комплексной переменной
D) называется комплексным потенциа-
потенциалом течения жидкости. Комплексный
потенциал полностью характеризует те-

458 Гл. 17. Некоторые приложения функций комплексной переменной и б-функции
чение, так что изучение всевозможных
(плоских) течений сводится к изучению
аналитических функций w (z). Произ-
Производная комплексного потенциала
dw
dz
дх
дх
A7.3.5)
(ср. A5.2.3)) также является аналитиче-
аналитической функцией комплексной перемен-
переменной z. Эта функция называется ком-
комплексной скоростью течения. Послед-
Последнее название подчеркивает связь ком-
комплексного числа г; и вектора v; оче-
очевидно,
= ("О2 + (Pyf = V% + Vl = I V |2,
т. е. модуль (абсолютная величина)
числа v равен численной величине ско-
скорости v, с другой стороны, Arg v ха-
характеризует направление вектора v
(см. упр. 3). Течения, задаваемые ком-
комплексными потенциалами и;=ср+?ф и
iw=—ф+icp, можно назвать сопряжен-
сопряженными; они характеризуются тем, что
линии тока одного из них совпадают
с эквипотенциальными линиями второго,
и наоборот.
Весьма близко к намеченной схеме
и использование аналитических функ-
функций в теории электромагнитного поля 4.
Рассмотрим плоское электрическое по-
поле, причем будем считать, что в рас-
рассматриваемой (плоской) области от-
отсутствуют свободные электрические за-
заряды и переменные магнитные поля
(в силу принципа индукции равносиль-
равносильные наличию зарядов). Пусть Ф=
=ф (х, у) — потенциал электрического
поля в точке М=М (х, у); тогда напря-
напряженность поля в этой точке задается
вектором напряженности Е=(ЕХ, Еу)
с координатами
Наряду с потенциалом Ф можно ввести
в рассмотрение и функцию тока поля
ЧГ=ч7 (х, у) такую, что 5
4 Точнее, здесь речь идет лишь об элек-
электро- И магнитостатических явлениях, по-
поскольку в общих задачах электромагне-
электромагнетизма не удается обойтись всего двумя коор-
координатами х, у (вместо четырех: х, у, z и t,
где t — это время).
6 Поскольку потенциал Ф (а значит, и
функция тока ЧГ) имеет размерность В, а ко-
При этом линии 47=const суть силовые
линии нашего электрического поля, а
линии Ф=const — его эквипотенциаль-
эквипотенциальные линии. В силу F) и Fа) функция
A7.3.7)
является аналитической функцией ком-
комплексной переменной z=x-\-iy; она на-
называется комплексным потенциалом по-
поля. Производную
дх
A7.3.8)
комплексного потенциала можно на-
назвать комплексной напряженностью по-
поля, поскольку это комплексное число
очень близко к вектору напряженности
Е; в частности, очевидно, \ Е |= | Е |.
Электрические поля с комплексными
потенциалами W=<?>JriW и iW=—№+
+ ?ф иногда называют сопряженными;
линии тока одного из них совпадают
с эквипотенциальными линиями вто-
второго, и наоборот.
Мы не остановимся здесь подробнее
на дальнейших положениях математи-
математической теории течения жидкости и тео-
теории электрического поля, имеющей де-
дело с функциями двух переменных х
пуп соответственно этому с дифферен-
дифференциальными уравнениями, в которых
фигурируют частные производные этих
функций, — с так называемыми диф-
дифференциальными уравнениями в частных
производных (ср. с § 10.8). Укажем
лишь, что теория аналитических функ-
функций комплексной переменной играет
в этих чисто прикладных вопросах
очень большую роль.
Упражнения
17.3.1. Докажите, что: а) линия ф=сопз1
является линией тока жидкости; другими
словами, касательная к этой линии в каждой
ее точке М {х, у) имеет направление вектора
v (х, у); б) если kj А В — произвольная дуга
(в плоскости течения жидкости) с концами
А—А {хг, у±), В=В {х%, у2), то поток жид-
жидкости через эту дугу в единицу времени равен
разности ф (#2i Уг)—Ф (Ж1> Ух) (приращению
функции тока вдоль дуги А В).
ординаты х а у имеют размерность м (размер-
(размерность длины), то ясно, что компоненты Ех
и Еу вектора напряженности электрического
поля имеют размерность В/м (можно гово-
говорить, что В/м — размерность вектора Е).

§ h. Применения дельта-функции
459
17.3.2. Докажите, что эквипотенциальные
линии cp=consl и линии тока <\>- const вза-
взаимно перпендикулярны в каждой точке по-
потока жидкости (точнее, касательные в точке
М (х, у) к проходящим через эту точку лппии
тока и эквипотенциальной линии взаимно
перпендикулярны).
17.3.3. Пусть V=V (х, у) — такое ком-
комплексное число, что OV—v (где OV—это
вектор с началом О @) и концом V, a v —
вектор скорости в точке М (х, у))- Докажите,
что точки v и V комплексной плоскости, где
и — комплексная скорость течения, симмет-
симметричны относительно мнимой оси (и, следо-
следовательно, Arg u=7i—Arg V).
17.3.4. Опишите (плоское) движение (не-
(несжимаемой) жидкости, задаваемое следую-
следующими выражениями комплексного потенциала
w—<pJri<]>: a) w=az, где а — вещественное
или чисто мнимое число; б) w=az2 (а — ве-
щественпое или чисто мшгмое число); в) w=
а
= — (то же условия для а); г) w = hi z и
w = i In z.
§ 4. Применения дельта-фуикции
Если § 1—3 настоящей главы примы-
примыкали к главам 14 и 15, т. е. в них мы
имели дело с комплексными числами и
аналитическими функциями комплекс-
комплексной переменной, то настоящий пара-
параграф продолжает тему гл. 16, которую
необходимо перед его чтением снова
просмотреть. Укажем еще, что первый
пример, с разбора которого мы начи-
начинаем этот параграф, тесно связан с со-
содержанием § 9.12, а второй пример,
касающийся уравнения Ньютона A),
продолжает изложенные в § 9.5 рас-
рассуждения об импульсе силы и о движе-
движении частицы под действием кратковре-
кратковременного импульса, например под влия-
влиянием удара; поэтому целесообразно
перед разбором этих примеров вспом-
вспомнить соответствующие места гл. 9.
Покажем прежде всего, как дельта-
функция позволяет сократить и сделать
более удобной запись условий во мно-
многих задачах.
Рассмотрим стержень переменного се-
сечения, к которому прикреплено не-
несколько отдельных точечных грузов /п1(
тг и т. д. (рис. 1). Пусть масса, при-
приходящаяся на единицу длины стержня,
выражается функцией о (х). Масса все-
ь
го стержня без грузов равна \a(x)dx,
а
а вместе с грузами она равна
ъ
где суммирование распространяется по
всем приложенным к стержню грузам.
Координата центра тяжести задается
следующим выражением:
Х — Ж ( 5 ха (*)dx + 2 ay», I.
Рие. 17.4.1
Момент инерции относительно начала
координат будет таков:
С помощью дельта-функции можно
включить отдельные массы в обобщен-
обобщенную функцию плотности. Обозначим
новую функцию -ц (х). Она выражается
формулой
yi(x) — a (х) + 2 mfi (х — х{).
В самом деле, рассматривая общее
распределение массы по стержню, мож-
можно сказать, что в тех точках, где на-
находятся грузы, плотность имеет беско-
бесконечные подскоки. С помощью функции
?! (х) все величины записываются еди-
единообразно и более кратко:
—^-q (x) dx, ^ — -j^
ж) dx,
Понятие дельта-функции позволяет
объединить непрерывно распределен-
распределенные и точечные массы в одном общем
выражении.
Другой пример применения дельта-
функции относится к движению мате-

460
Гл. 17. Некоторые приложения функций комплексной переменной и 5-функцни
риальной точки. Основное уравнение
Ньютона (второй закон Ньютона) имеет
вид
m~ = F{t) A7.4.1)
(см. § 9.4). Бспомпито изложенные в
§ 9.5 соображения о том, что действие
импульса силы не зависит от закона
изменения силы, если только сила
достаточно кратковременна. Эти сооб-
соображения аналогичны рассуждениям
§ 16.4 о том, что дельта-функцию можно
построить из различных функ-
функций ср (х), и об условиях, когда можно
Рис. 17.4.2
обычную функцию ф (х) заменить об-
обобщенной, особенной функцией 8 (х).
Если конкретная форма функции си-
силы несущественна в задаче об ударе,
это значит, что F (I) можно заменить
на дельта-функцию, F (t) -> /§ (t— t),
F (L)dt —
импульс силы. Проведем формально по
всем правилам интегрирование урав-
уравнения движения под действием единич-
единичной дельта-силы. Пусть до удара ча-
частица покоилась в начале координат:
х = и, v = -p- --U при t = —со. Примем,
что (разумеется, малосущественный)
множитель / в выражении для «обоб-
«обобщенной силы» равен 1; тогда уравнение
A) примет вид
<12т. dr
(t—-с). A7.4.2)
ж
at2
m
dt
Интегрируя B) и учитывая,
ЧТО -T7V —
— ^. гДе v{f) — это скорость, получим
i
I
1'Й
A7.4.3)
где функция 0 (х) выражается форму-
формулой A6.3.1) (см. ее график на
рис. 16.3.1). Таким образом, скорость
выражается ступенчатой функцией вре-
времени (рис. 2, а): о=0 при t <^ i n
-V=z Щ)Ц t "> Т.
m -^
Следующий шаг заключается в опре-
гп dx
делении пути. 1ак как у = зт> то нам
достаточно проинтегрировать обе части
C); мы получим
X—
0
при
— и — т) при
III v / г
A7.4.4)
(почему?). График пути изображен на
рис. 2, б.
Для графика пути х=х (t) характе-
характерен излом в точке ?= т. Здесь еще раз
мы убеждаемся в том, что вторая про-
производная функции, имеющей излом,
содержит дельта-функцию: функция
х (t) имеет излом; согласно уравнению
d-x
движения сила пропорциональна -г-^ ;
выражение для х (t) в виде «функции
с изломом» как раз и получено при
силе, пропорциональной Ъ (t—х), так
что при наличии излома формула для
d'2x ^ Y
~j-? содержит о-фулкцню.
Теперь сделаем следующий шаг. За-
Задача о движении тела под действием
заданной силы линейна. Это зна-
значит, что если есть два решения хх (t)
и х.2 (t), отвечающие действиям двух
разных сил /\ (t) и F2 (t), то сумма
решений х (t)^x1 (t)-\-x2 (t) является
решением, соответствующим действию
суммы сил F (t)=Fx (t)+F2 (t). Это
свойство (принцип суперпозиции) есть
следствие того простого факта, что вто-
вторая производная суммы функций есть
сумма вторых производных каждой
функции:
d2x d2 (.r, -^ .72) d-.c, . <f-,r,
~~dW
dt-
dt-
ТТ ""xl 11
Принимая m> внимание, что -р—-= ——
1 dt2 n,
/72 у р I f \
di-
получим
Fi(t) F(t)
di'1 m ' m m '
что и требовалось — сумма решений
х1-'-х2 описывает движение под дей-
действием суммы сил.
Нужно сделать только одну оговор-
оговорку: решение уравнения движения зави-
зависит не только от закона изменения си-
силы, но п от начальных условий, т. е.
от начального положения и начальной
скорости рассматриваемой массы. Если
мы выберем эти условия так, что хх=0,

§ 4. Применения дельта-функции
461
-р = 0 при t — — со, а также х2 = О,
-р — О при ? = — оо, то и сумма реше-
решений х будет удовлетворять тому же
условию: з: = 0, -т- =0 при t =—со.
Теперь объединим соображения ли-
линейности и известное решение для дель-
дельта-функции, с тем чтобы получить об-
общее решение уравнения для силы,
произвольно зависящей от вре-
времени. Разобьем график силы F (t) на
полоски шириной Дх (рис. 3). Что со-
собой представляет отдельная полоска,
расположенная между значениями х и
х+ Д х времени ?? Мы изменим здесь
обозначения, чтобы оставить букву t
для «текущего» времени, меняющегося
от —оо до оо, тогда как х относится
к данной избранной полоске. Итак,
высота полоски F (х), ширина Дх; по-
поэтому площадь (т. е. импульс силы)
равна F (х) Дх. Так как полоска отве-
отвечает значению t=x, то, очевидно, ее
можно заменить дельта-функцией с
коэффициентом, равным импульсу:
F (-) Дх8 (t—х). Решение уравнения
движения для дельта-функции мы уже
знаем. Обозначим его xt (t, x). Решение
как функция времени t зависит от мо-
момента приложения силы х. Напомина-
Напоминаем, что
О при t<^t,
Z2 при ?>т. A7А4а)
Одна из полосок, на которые разложена
сила, простирающаяся от х до т+Дх,
представляет собой функцию 8 (t—х),
взятую с коэффициентом F (х) Дх. Бла-
Благодаря линейности уравнения решение
для силы в виде такой полоски по-
получится умножением xt на тот же коэф-
коэффициент: F (х) д 1-хг (t, x). Это есть
решение, относящееся к действию од-
одной полоски.
Теперь используем линейность и вы-
выпишем решение для функции F (t),
которую мы рассматриваем как сумму
полосок. Ясно, что суммирование здесь
следует заменить интегрированием.
Итак,
x(t)=
A7.4.5)
мент t выражена интегралом по т от
— со до оо, т. е. в выражение входит
сила во в с е моменты времени. Между
тем ясно, что вид силы после момента t
не влияет на предыдущее движение.
Однако в выражении E) для х (t) нет
никакой ошибки. Свойства функции
хг (t, x) обеспечивают разумные свой-
свойства решения. В самом деле, хг (t, x)=0
при t <^ х. Следовательно, при инте-
интегрировании по х в действительности
не нужно брать х ]> t, так как там
тождественно равна нулю подын-
подынтегральная функция за счет обращения
Рис. 17.4.3
На первый взгляд написанная формула
имеет странный вид: координата х в мо-
в нуль множителя хх (t, x). Вспоминая
формулу Dа) для хг (t, x), получим
A7.4.5а)
Такой способ получения решения
имеет очень большое общее значение.
Вывод: если для линейной системы из-
известно решение, относящееся *к воз-
воздействию дельта-функции, то решение,
относящееся к воздействию произволь-
произвольной функции (F (t) в нашем примере),
получается простым суммированием
(точнее, интегрированием).
Идеи линейности и сложения {супер-
{суперпозиции) решений относятся не только
к таким простым задачам, как движе-
движение точки; эти идеи справедливы для
огромных областей математики, фи-
физики, естествознания. Бывает^и так,
что система сложна и решить уравне-
уравнения нельзя даже для самого простого
воздействия дельта-функцией. Решение,,
соответствующее дельта-функции, иног-
иногда можно получить опытным путем.
В других случаях такое решение можно
получить из физических соображений
(см. упр. 1). Дальше вступают в силу
соображения линейности — и мы по-
получаем ответ для любой воздей-
воздействующей функции. Решение, соответ-
соответствующее дельта-функции (т. е. x^t,, %)
в примере выше), столь важно,, что оно
имеет специальное название — функ-
функция Грина. Забавно то, что анг-

462 Гл. 17. Некоторые приложения функций комплексной переменной и б-функции
лийский математик Грин г, именем ко-
которого названа функция, жил в XIX в.
и, естественно, не знал о дельта-функ-
дельта-функции. Но только введение дельта-функ-
Рис. 17.4.4
ции позволило ясно и кратко объяснить
суть функции Грина.
Таких примеров в математике нема-
немало: ведь и до изобретения производных
и интегралов было известно много ре-
результатов, относящихся к касатель-
1 Автор замечательных работ по матема-
математике и математической физике Джордж
Грин A793—1841) происходил из очень
бедной семьи; он не получил никакого обра-
образования и сравнительно поздно самостоя-
самостоятельно познакомился с математикой и физи-
физикой. Впрочем, в копце жизни, главным: обра-
образом благодаря поддержке влиятельного
У. Томпсона (лорда Кельвина), Грин был
приглашен профессором математики в Кем-
Кембриджский университет.
ным, площадям и объемам. Движение-
науки заключается не только в завое-
завоевании новых высот, новых результатов,
но и в популяризации и упрощении
выводов, полученных ранее. Задачей
книги, чтение которой Вы сейчас закан-
заканчиваете, как раз и было облегчение по-
понимания классического наследия — ос-
основ высшей математики.
Упражнения
17.4.1. Рассмотрим струпу, натянутую си-
силой к, с концами, закрепленпылш в точках
х=0, х=1. Считая отклонение малым, опре-
определите по закопу параллелограмма сил форму
струны при действии единичной нагрузки
в точке х=х1 (рис. 4, а). Получите формулу
отклонения струны под действием силы, рас-
распределенной по со длине по произвольному
закону / (х) (рис. 4, б).
17.4.2. Найдите движение маятника под
действием силы, выражающейся дельта-фуик-
d''x ,
циеи, т. е. решите jравнение т ~37Т——кх-\-
dx
В (I — с) при начальных условиях: .г~0,
=0 при I =- —оо. С помощью этого решения
найдите движение маятника под действием
силы, зависящей от времени но п р о и з-
вольному закону.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ЧТО ЖЕ ДАЛЬШЕ?
Высшая математика, а точнее, матема-
математический анализ, или дифференциаль-
дифференциальное и интегральное исчисление, дает
возможность решить многие задачи, не
поддающиеся решению методами эле-
элементарной математики: арифметики, ал-
алгебры, геометрии. Огромное значение
имеет формирование новых понятий,
таких, как мгновенная скорость, уско-
ускорение, импульс силы; эти понятия (и
многие другие, из других областей зна-
знания) определяются точно только на
языке производных и интегралов.
То, что Вы узнали из настоящей
книги, — это только малая часть всей
математической науки, малая часть из
тех разделов математики, которые при-
применяются в технике, физике, естество-
естествознании. В предисловии мы говорили
о том, что культурный человек незави-
независимо от специальности должен иметь
общие представления о математике.
Первые три части нашей книги дают
именно такие общие сведения. Но если
Вы будете специализироваться в тех-
технике, химии и особенно в физике, то
этих общих сведений будет Вам недо-
недостаточно. Здесь мы хотим коротко оха-
охарактеризовать те области физики и свя-
связанные с ними разделы математики, ко-
которые Вам предстоит изучать в даль-
дальнейшем. Необходимо, однако, предва-
предварительно предупредить о следующем.
Части 1—3 книги были написаны
как учебник, так что, приложив до-
достаточно внимания и труда, можно было
полностью, во всех деталях понять на-
написанное. Имейте в виду, что ниже,
рассказывая о трудных вопросах, мы
вынуждены будем отступить от стиля
учебника. На небольшом числе стра-
страниц нельзя, разумеется, изложить со-
содержание сложных математических тео-
теорий; можно только попытаться дать
общее представление о них, с тем чтобы
заинтересовать читателя. Некоторые из
названных в списке литературы книг
помогут Вам расширить представление
о математике и математической физике.
Попробуем охарактеризовать вкрат-
вкратце то общее, что объединяло все задачи,
которыми мы занимались выше. Это
были задачи о движении одной частицы
в механике или о токе в цепи. Мы име-
имели дело с функциями одной пере-
переменной — времени; число рассматри-
рассматриваемых функций могло равняться еди-
единице (сила тока как функция времени)
или двум (скажем, положение тела
х (t) и скорость v (?)).
Напрашивается естественное чисто
количественное обобщение: дальше мож-
можно рассмотреть задачи о движении двух,
трех тел и т. д. За этим «и т. д.» в да-
далекой перспективе видна и задача о дви-
движении газа или жидкости, о движении
молекул газа. Но ведь 1 г водорода —
это примерно 3-Ю23 молекул, т. е.
3-Ю23 отдельных тел. Ясно, что на-
надежды обойтись здесь старыми мето-
методами не остается — тут необходимы ка-
какие-то совершенно новые подходы. Ведь
не только решить эти 3-Ю23 уравнений
нельзя, но и просто выписать их все
не хватит ни времени, ни бумаги. Да
мы и не можем выписать все эти урав-
уравнения: ведь ни точное число молекул,
ни их начальное расположение, опре-
определяющее начальные условия рассма-
рассматриваемых уравнений, никогда не бу-
будут нам известны.
Здесь помогают новые науки, воз-
возникшие гораздо позже дифференциаль-
дифференциального и интегрального исчисления (по
существу — лишь в XIX в.), — гидро-
гидродинамика и газодинамика (аэродина-
(аэродинамика). Эти науки существенно отлича-
отличаются от механики точки и постановкой
задач, и способами их решения (ср.
§ 9.14, 9.15 и 17.3). Мы совсем и не ин-
интересуемся точным числом молекул га-
газа, заключенным в том или ином фикси-
фиксированном его объеме. Вместо этого в
рассмотрение вводится плотность
распределения газа в пространстве
р (х, у, z) (т. е. масса газа, приходящая-
приходящаяся на единицу объема *), давление
1 Собственно, само введение плотности
в точке р (х, у, z) требует операции, подобной
дифференцированию. Эта величина опреде-
определяется как продел средней плотности
в малом объеме (частное массы газа и объема)
при стремлении рассматриваемого объема
к нулю. Изменения плотности, зависящие от
того, что одна или несколько молекул слу-
случайно войдут в какой-то объем или вылетят
из пего, пас не интересуют.

464
Заключение. Что же дальше?
газа р (х, у, z), скорость газа в
различных точках пространства. Надо
добавить, что все эти величины зави-
зависят и от времени t, так что уместно
например, писать р=р {х, у, z, t).
Таким образом, от задачи о несколь-
нескольких функциях одной переменной
мы переходим к задаче о нескольких
функциях нескольких независи-
независимых переменных.
Соответственно при составлении урав-
уравнений, описывающих движение газа п
другие его характеристики, появляются
частные производные по времени по про-
пространственным координатам, например
до до до до
-~ ж ~ , ~, — , где, скажем,
dt дх ' ду ' дг ' rt
dp i ,. р (х, у -j- Ay, г, t) — о (х. у, z, t)
Важнейший раздел математической
физики составляет именно исследова-
исследование уравнений в частных производных,
о которых мы лишь весьма бегло упо-
упомянули в § 10.8. Уравнения в частных
производных описывают движение жид-
жидкостей, газов и твердых тел, распро-
распространение тепла в этих средах, явления
диффузии атомов и молекул. При этом
значение уравнений в частных произ-
производных для физики настолько велико,
что эти уравнения зачастую называют
уравнениями математической физики.
Заметим еще, что скорость газа
v=v (x, у, z) (или v (х, у, z, t)) есть
векторная величина, т. е. в каж-
каждой точке заданы значение н направле-
направление скорости. Иными словами, можно
сказать, что заданы три составляющие
vx, vy, vz вектора v, зависящие от точки
в пространстве и от времени; это об-
обстоятельство приносит новые усложне-
усложнения (или упрощения) в стоящие в гндро-
и аэромеханике задачи, которых мы здесь
не коснемся.
В перечисленных выше теориях хотя
бы в принципе можно было бы по-преж-
по-прежнему рассматривать отдельные части-
частицы и набор большого числа «обыкновен-
«обыкновенных» функций, т. е. функций одной
переменной — времени. Но существу-
существуют физические теории, где такой подход
никак невозможен. К их числу прежде
всего принадлежит теория электромаг-
электромагнетизма.
Пусть рассматриваются два покоя-
покоящихся точечных заряда. Сила, дей-
действующая между ними, зависит от их
положения (от расстояния г между ни-
ними); казалось бы, это задача о шести
функциях (координатах хх, уи zx пер-
первого заряда и координатах хг, уг, z2
второго заряда), зависящих от одной
переменной — времени. Движение за-
зарядов в первом приближении мало ме-
меняет дело: надо только учитывать, что
возникает еще магнитное взаимодей-
взаимодействие между зарядами, зависящее от
их скоростей.
Важнейший факт, требующий прин-
принципиально нового подхода, заключа-
заключается в том, что существует запаз-
запаздывание взаимодействия, переда-
передача взаимодействия со скоростью света.
Действие одного заряда на другой в
момент t зависит от положения (и ско-
скорости) первого заряда в некий пре-
предыдущий момент времени t— т, от-
отстоящий от рассматриваемого момента t
на конечное время запаздывания ^=
= —, где с — скорость света. Что же
С
происходит в течение этого промежутка
времени?
В пространстве между зарядами, в
пустоте, существуют электрическое и
магнитное поля. В каждой точке про-
пространства имеются два вектора Е и Н.
Величина и направление этих векторов
зависят от наличия зарядов и от их
движения. Малые «пробные» заряды,
помещенные в ту или иную точку про-
пространства, дают возможность измерить
поля Е и Н в данной точке. Но теория
электромагнетизма этим не исчерпыва-
исчерпывается! В пустом пространстве, в кото-
котором нет никаких зарядов, электриче-
электрическое и магнитное поля действуют друг
на друга: изменение (в зависимости
от времени) одного поля связано урав-
уравнениями Максвелла с производными
другого поля по координатам. Произ-
Производная магнитного поля по времени:
создает кольцевое электрическое поле,
производная электрического поля игра-
играет ту же роль, что и электрический ток,
и создает магнитное поле. Получается
стройная картина: заряды создают по-
поля в той точке, где они находятся, а
взаимодействие полей между собой пе-
переносит информацию о расположении,
и движении зарядов по всему простран-
пространству.
Решающую роль в развитии теории,
имеет рассмотрение двух векторов Е т
Н или, другими словами, шести вели-

Заключение. Что же дальше?
465
чин Ех, Еу, Ez, Нх, Ну, Нг как функ-
функций четырех величин: трех координат
х, у, z и времени t. Но задание таких
функций в определенный момент вре-
времени — это задание бесчисленного ко-
количества их значений во всех точках
пространства. Теория труднее, но и
богаче результатами по сравнению с
теорией движения одной или несколь-
нескольких частиц.
Математическая теория электромаг-
электромагнитного поля — это теория уравнений
в частных производных, похожая на
теорию упругости, акустику или газо-
газодинамику. Разница лишь в том, что
в последнем случае уравнения получа-
получаются путем идеализации: о плотности
газа мы говорим, отвлекаясь от отдель-
отдельных молекул, — и только в этом при-
приближенном смысле газ можно рассма-
рассматривать как непрерывную среду, ха-
характеризуемую непрерывной функцией
р (х, у, z, t) (плотностью газа). Электри-
Электрическое (точнее, электромагнитное) поле
фактически является непрерывной
функцией пространственных перемен-
переменных и времени.
Гидродинамика, начала которой были
заложены еще в XVIII в. Д. Бернулли,
Д'Аламбером и Эйлером, подготовила
математический аппарат для теории
электромагнетизма (разработанной во
второй половине XIX в. Джеймсом
Клерком Максвеллом A831—
1879)). Не удивительно поэтому, что
вначале пытались перенести в электро-
электромагнитную теорию идеи механики —
думали, что есть особое вещество, эфир,
заполняющий всю среду, и что движе-
движение этого вещества ответственно за элек-
электрические и магнитные явления. Мы
знаем, что математическая аналогия
между гидродинамикой и электромаг-
электромагнетизмом, близость соответствующих
уравнений остались, а физический
смысл электромагнитной теории ока-
оказался другим, не сводящимся к меха-
механике, — после длительных и напряжен-
напряженных дискуссий ученым пришлось пол-
полностью отказаться от представлений
об эфире.
Говоря о математической теории, обя-
обязательно нужно сказать не только о по-
постановке задачи и исходных уравне-
уравнениях, но и о характере результатов.
Для уравнений в частных производ-
производных можно выделить два типа решений.
Один тип, характерный для явлений,
развивающихся в ограничен-
ограниченном объеме, — это собственные коле-
колебания с определенными частотами. Тело
данной формы имеет некий набор ча-
частот.
Вспомните маятник: у него есть опре-
определенная частота колебаний. При воз-
воздействии (периодической) внешней си-
силы F на маятник, когда частота F
близка к (собственной) частоте коле-
колебаний маятника, возникает характерное
явление резонанса. Все эти фи-
физические выводы полностью соответ-
соответствуют теории обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений: тт-^ = —кх-\-
-j-F (t). В теории уравнений в частных
производных оказывается, что тело име-
имеет много частот и ведет себя как
набор, как совокупность многих маят-
маятников с разными частотами, имеет мно-
много резонансов 2. Если у Вас дома есть
рояль или пианино — проверьте ска-
сказанное. Медленно, беззвучно опустите
клавишу, чтобы только освободить стру-
струну, не ударяя ее молоточком. Теперь
резко ударьте по другой клавише —
и слушайте, как откликается свободная
струна. . .
Для вещества или поля, заполняю-
заполняющего все пространство, характерен
другой тип решения уравнений в част-
частных производных — распространение
волн. В частности, такими волнами в
электромагнитной теории являются ра-
радио и свет, в упругих средах — звук.
Замечательна способность волн пере-
переносить информацию: давление или элек-
электрическое поле в одной точке (вблизи
приемника) как функция времени ока-
оказывается подобным зависимости от вре-
времени той же величины вблизи источ-
источника-передатчика .
Можно построить решения уравне-
уравнений, описывающие направленный луч
прожектора или лазера. Бросается в
глаза сходство между лучом прожек-
прожектора и струей из брандспойта. Знание
свойств решений задач разных типов
и аналогии между явлениями, описы-
описываемыми однотипными уравнениями,
имели и имеют важнейшее значение для
развития физики.
Метод математического моделирова-
моделирования, состоит в отыскании математиче-
2 Если Вы хотите понять сказанное глубже,,
просмотрите снова § 10.8.

466
Заключение. Что же дальше?
ской схемы, настолько близкой к рас-
рассматриваемому явлению, что изучение
явления можно заменить рассмотре-
рассмотрением этой схемы. Такой математической
схемой может быть обыкновенное диф-
дифференциальное уравнение или система
таких уравнений. Иногда это — диф-
дифференциальное уравнение в частных
производных с теми или иными началь-
начальными и граничными условиями (ср.
§ 10.8). В иных, более сложных мате-
математических конструкциях приходится
иметь дело с понятием вероятности,
о котором мы еще скажем ниже. Суще-
Существенно, чтобы модель достаточно точно
описывала данное явление реальной
жизни3. Если мы придем при этом
к уже изученной ранее математической
схеме, то можем сразу же перенести
все относящиеся к ней результаты на
новый случай. Так, например, из того,
что механические (см. гл. 10) и элек-
электрические колебания (гл. 13) описыва-
описываются однотипными дифференциальными
уравнениями, вытекает наличие в теории
электрических цепей ряда характерных
для механических колебаний фактов,
например явления резонанса.
Сила математики в значительной сте-
степени связана с повторяемостью одних
и тех же математических схем, прило-
жимых к большому числу разнородных
явлений: математика представляет со-
собой, так сказать, достаточно ограничен-
ограниченный набор «ключей», каждый из кото-
которых неожиданным образом отпирает
множество, казалось бы, вовсе не по-
похожих друг на друга дверей (ср., на-
например, § 2.1, 2.2 и 2.5). Это обстоя-
обстоятельство связано с тем, что природа
устроена просто, без специальных ухищ-
ухищрений, — а простых математических
конструкций существует не так уж
много. Огромная общность математи-
математических методов давно уже вызывает
благодарное изумление естествоиспы-
естествоиспытателей 4.
3 Слова «достаточно точно» в последней
фразе подчеркивают неизбежность идеализа-
идеализации, (т. е. огрубления рассматриваемого явле-
явления, отбрасывания второстепенных и в данный
момент не интересующих нас деталей), с ко-
которой мы всегда встречаемся при переходе от
физической реальности к описывающей ее
математической схеме.
4 См., например, статьи известных физи-
физиков, лауреатов Нобелевской премии: Виг-
нер Е. Непостижимая эффективность матема-
математики в естественных науках. — В кн.: Этюды
Спектры атомов долго составляли за-
загадку для физиков: загадкой был преж-
прежде всего сам факт, что один и тот же
атом испускает или резонансно погло-
поглощает колебания нескольких различных,
но вполне определенных частот. Сход-
Сходство с колебаниями упругих тел позво-
позволило подойти к формулировке уравне-
уравнений квантовой механики. Сходство меж-
между потоком частиц и реше-
решениями уравнений, характерных для
волновых явлений, также нашло
свое применение в квантовой механике,
породив своеобразный корпускулярно-
волновой дуализм. Так, свет можно
рассматривать как волну (точка зрения
X. Гюйгенса) и одновременно как по-
поток частиц (или корпускул) света —
фотонов (концепция И. Ньютона,
ср. § 12.6 и след.). До начала нашего
века казалось, что эти два подхода
противоречат один другому и что нуж-
нужно выбрать какой-го один из них. Совре-
Современная квантовая механика показывает,
как и в каком смысле верны (и допол-
дополняют одна другую) обе точки зрения.
Выше мы привели несколько приме-
примеров, относящихся к теории уравнений
того или иного типа.
Иной пример доставляют нам ком-
комплексные числа и функ-
функции комплексной пере-
переменной (см. гл. 14, 15 и 17). Перво-
Первоначально возникшие из задач решения
алгебраических уравнений, комплекс-
комплексные числа долго вызывали большое
недоверие. Однако прогресс гидро- и
аэромеханики оказался тесно связанным
с этими необычными «числами». При
этом теория функций комплексной пере-
переменной была создана О. Коши и
Б. Риманом и далее развита Карлом
Вейерштрассом A815—1897)
как раз тогда, когда этот аппарат стал
необходим для дальнейшего развития
науки и техники. Создание воздухопла-
воздухоплавания в начале нашего века существенно
опиралось на расчет потоков жидкости
или газа методами «комплексного ана-
анализа». Пионером этого направления
явился замечательный русский механик
Николай Егорович Жуковский
A847-1921).
о симметрии. М.: Мир, 1970, с. 182—197;
Янг Ч. Эйнштейн и физика второй поло-
половины XX века. — Успехи фпз. наук, 1980,
т. 132, вып. 1, с. 169—175.

Заключение. Что же дальше?
467
Другой замечательный пример раз-
развития математики дает геометрия.
Весь повседневный опыт учит нас,
что в пространстве удобно ввести три
координаты х, у, z. Кажется, что даль-
дальнейшие хитросплетения не нужны, они
«от лукавого». Между тем можно ведь
и иначе ввести координаты ?, к], С, так,
чтобы условие ? = const соответствовало
какой-то кривой поверхно-
с т п. Так, можно, например, ввести
в пространстве три координаты р, ср
и ¦&, где р=ОМ — расстояние перемен-
переменной точки М от начала координат О,
а ср и % — географические координаты
(долгота и широта) на сфере р=
= const. (При этом поверхности ср =
= const являются полуплоско-
полуплоскостями, а поверхности %=const —
конусами (почему?).) Но можно вво-
вводить координаты и бесчисленными дру-
другими методами.
Итак, можно ввести криволинейные
координаты ?, ч\, С и затем с трудом
и мучениями научиться вычислять рас-
расстояния между точками и другие вели-
величины с помощью новых координат.
На первый взгляд — это скучное,
малополезное занятие. Нужно обла-
обладать очень специфическим складом ума,
чтобы увидеть красоту в преодолении
трудностей и развивать громоздкую тео-
теорию, использующую любые, самые об-
общие координаты в.
Разработка теории криволинейных
координат в евклидовом пространстве
кажется чисто методическим достиже-
достижением. Однако при этом обобщенные ко-
координаты ?, Т|, С одинаково удобны
(или одинаково неудобны) как для
описания обычного пространства, в ко-
котором верна геометрия Евклида, так и
для описания «искривленного» прост-
пространства. Прямоугольные координаты х,
у, z очень удобны для обычного про-
пространства, но абсолютно непригодны
для описания кривого пространства:
6 Имсшго таким умом обладал великий
Гаусс, разработавший «геометрию в крпво-
линейпых координатах»: с глубоким понима-
пониманием прикладного значения математики: (так,
к криволинейным координатам Гаусс пришел
от своих занятий геодезии!) он соединял не-
неистребимое любопытство к тайнам матема-
математического мира, побуя;давшес его отдавать
многие часы и дни трудоемким вычислениям
в надегкде проникнуть в эти тайны (скажем,
переводу простых дробей в десятичные с сот-
сотнями цифр в периоде дроби).
эти координаты не дают даже намека
на саму возможность существования
каких-то других пространств.
Переход к криволинейным коорди-
координатам, казавшийся ненужным ослож-
осложнением, подготавливает нас к выходу
в область изучения таких пространств,
о самом существовании которых мы
ранее не подозревали. Потом оказыва-
оказывается, что сила всемирного тяготения
связана с тем, что пространство немно-
немного искривлено. Впрочем, здесь слово
«немного» относится к условиям на
Земле, в солнечной системе. В явле-
явлениях большого масштаба (катастрофи-
(катастрофических взрывах звезд, в эволюции Все-
Вселенной) искривленность пространства
может ощущаться очень сильно — и
здесь уже неизбежен переход от обыч-
обычной евклидовой геометрии к неевклидо-
неевклидовой. Поэтически можно сказать, что
создание неевклидовой геометрии —
чисто математическое достижение 6 —
было той вспышкой молнии, за которой
последовал громовой удар — создание
общей теории относительности, т. е.
геометрической теории тяготения. А в
настоящее время в физику бурно втор-
вторгаются и совсем новые разделы геоме-
геометрии, на первый взгляд кажущиеся еще
более далекими от всякой реальности.
Еще в XVIII в. Д'Аламбер в статье
«Размерность» (в прославленной «Эн-
«Энциклопедии» Дидро и Д'Аламбера) об-
обращал внимание на то, что наш мир,
по существу, является четырехмерным:
наряду с тремя пространственными ко-
координатами х, у, z точки для различе-
различения происходящих в мире событий
важно знать еще и время I. При этом
связь между координатами х, у, z, t
четырехмерного физического «мира со-
событий» впоследствии оказалась более
сложпой, чем первоначально представ-
представляли себе Ньютон и Д'Аламбер, в част-
частности такой, что в этом «мире» нельзя
однозначно различать пространствен-
пространственные координаты х, у, z и временную
координату t (в этом заключается сущ-
6 Здесь снова можно удивляться тому,
как уместно появились у математиков (в тру-
трудах Николая Ивановича Лобачевского
из Казани A792—1856), венгра Яноша
Б о й а и A802—1860), К. Ф. Гаусса, не-
несколько позднее — Б. Римана, еще позднее —
немца Феликсп Клейна A849—1925) и
француза Анри Пуанкаре A854—1912))
необходимые для прогресса физики неевкли-
неевклидовы пространства!

468
Заключение. Что же дальше?
ность частной теории относительности
Эйнштейна). Позже в теоретическую
физику (по существу, начиная с тру-
трудов Лагранжа, младшего современни-
современника Д'Аламбера) вошли многомерные
пространства, например так называе-
называемое фазовое пространство: для про-
простейшего случая движущейся в про-
пространстве точки фазовое пространство
будет шест и мерным с коорди-
dx
У =
натами х, у, z, х, у , z (
= зт, z'^=~—это проекции скорости
etc dt
точки 7). И сейчас в теоретической фи-
физике нам сплошь и рядом приходится
иметь дело с многомерным миром, кото-
который и вообразить себе невозможно,
или даже — страшно сказать — с «бес-
«бесконечномерным» миром, каждая точка
которого задается указанием бесконеч-
бесконечного множества ее координат (чисел —
и еще хорошо, если мы числа считаем
вещественными, а не комплексными).
В частности, с такими «бесконечномер-
«бесконечномерными пространствами» мы встречаемся
в квантовой механике — и весьма удач-
удачно, что теория бесконечномерных про-
пространств была подготовлена знамени-
знаменитым математиком Д. Гильбер-
Гильбертом A862—1943), к радости физиков,
очень своевременно: совсем незадолго
до создания квантовой механики.
В последние годы неожиданные при-
приложения в физике нашла и идущая
от А. Пуанкаре топология — один из
новых и притом весьма абстрактных
разделов геометрии. Топология имеет
дело исключительно с самыми «грубы-
«грубыми» свойствами фигур. Так, например,
шар и куб в топологии ничем не раз-
различаются, а баранка (тор) отлична от
них, поскольку в баранке есть дыра.
Однако эти «грубые» геометрические
свойства топология анализирует весь-
7 Изображение физического процесса в фа-
фазовом пространстве рассматриваемой (меха-
(механической) системы носит назвапие «фазового
портрета» процесса. Так, фазовый портрет
равномерного 4 движения z=at-\-b точки на
прямой — ocn'z — представляет собой пря-
прямую z' = a в фазовой плоскости (з, z') дви-
( , dz \
жущеися точки I z = -^ — скорость точки I.
Фазовый портрет гармонического колебания,
характеризующегося постоянством (полной)
кхг т (х1J
энергии Е = -7г--\- —g—, описывает точка
в фазовой плоскости (х, х'), движущаяся по
эллипсу Е = const.
ма тщательно и глубоко — и этот не-
нетривиальный анализ вдруг тоже заин-
заинтересовал физиков 8. И никто не может
сказать, какие еще новые подходы
к пространству возьмут на вооружение
физики будущих времен 9.
На скрещении (многомерного) мате-
математического анализа и топологии лежит
недавно созданная (в первую очередь
французским математиком Рене Томом
(р. в 1923 г.)) теория катастроф, сразу
получившая широкую (может быть, да-
даже чересчур широкую) известность в
связи с возможностями многообразных
ее применений в естественных, гумани-
гуманитарных и социальных науках 10. В тео-
теории катастроф ставится вопрос о том,
в каких условиях плавные зависимости
и хорошие аналитические функции мо-
могут приводить к описанию явлений,
подобных взрыву, т. е. к разрывной
зависимости в ответе. Простейшие при-
примеры такого рода были известны давно,
еще до того, как появилось само назва-
название «теория катастроф».
Пусть величина а задана как глад-
гладкая функция Ъ, a=f (b), и пусть на
практике можно задавать определен-
определенное значение а и наблюдать или изме-
измерять соответствующее Ъ. Гладкость
функции / (Ь) отнюдь не гарантирует
гладкости обратной функции Ь=ф(а).
В частности, если / (Ь) имеет при Ъ=Ът
максимум а=ашах, то при а <^ аша1 есть
два значения Ъ вблизи Ът, при а ]>
^> ашах — ни одного. При плавном из-
изменении а величина Ъ терпит разрыв.
С явлениями такого рода мы часто
встречаемся в теории горения и взры-
взрывов, когда условия химической реак-
реакции определяются решениями алгебраи-
алгебраических уравнений. Внешние условия
8 Хочется указать читателю па превосход-
превосходный (по отнюдь не легкий!) учебник: Дубро-
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.
Совремеппая геометрия (М.: Наука, 1979),
в значительной степени ориентированный
именно на физиков-теоретиков.
ь Общий вопрос о взаимоотношении фи-
физики и математики с позиций сегодняшнего
дня рассматривается в увлекательной, но не
простой брошюре: Манин 10. И. Математика
и физика. М.: Знание, 1979. Этому же вопросу
посвящены и названные в сноске 4 статьи
Е. Вигпера и Ч. Янга.
10 См., например, брошюру В. И. Арнольда
«Теория катастроф» (М.: Знание, 1981) или
обстоятельную (и богатую выразительными
примерами) книгу Т. Постона и И. Стюарта
«Теория катастроф и ее приложения» (М.: Мир,
1980).

Заключение. Что же дальше?
469
входят как параметры, но решение
уравнений может быть разрывной функ-
функцией параметров. Разрывы — это осо-
особенности решений. В теории катастроф
выясняется, что эти особенности можно
классифицировать, разбив их на не-
несколько «грубых» (топологических) ти-
типов, отвечающих характерным явле-
явлениям тех жизненных феноменов, кото-
которые описываются рассматриваемым
уравнением u=f (z).
В исследованиях природы необхо-
необходимо все: владение математическим ап-
аппаратом и преодоление математических
трудностей, идейная смелость и физи-
физическая интуиция, умело поставленный
эксперимент и математическое модели-
моделирование — все эти очень разные под-
подходы равно необходимы, только сплав
их ведет к продвижению вперед.
Абсолютно немыслима современная
физика без понятия вероятности, прин-
принципиально отличного от всех понятий,
рассматривавшихся в настоящей книге.
Все физические законы, о которых
мы упоминали выше: второй закон
Ньютона mx"=F или его частный слу-
случай — закон инерции (см. § 9.4), за-
закон Бойля—Мариотта j9F=const или
его обобщение — закон ван дер Вааль-
са (см. § 7.1), имели так называемый
динамический характер, т. е. позволяли
точно предсказать то илп иное явление:
при уменьшении объема газа вдвое
его давление увеличивается вдвое (за-
(закон Бойля—Мариотта); ири движении
тела в отсутствие действия сил ско-
скорость его в дальнейшем останется точно
такой же, какой она была в начальный
момент. Совсем иной характер имеют,
скажем, законы падения подброшенной
случайным образом монеты: здесь зара-
заранее можно только утверждать, что при
многократном бросании монеты п р и-
мерно в п о лови н о с л у паев
она будет падать гербом кверху, т. е.
что вероятность выпадения герба рав-
равна 0,5 (этот результат гарантяруется
условием «правильности» монеты, ут-
утверждающим полную равноправность
обеих ее сторон). Физические законы,,
позволяющие предсказать не точный
исход того или иного эксперимента,
а лишь вероятность того или иного ис-
исхода, т. е. частоту, повторяемость этого
исхода при многократном воспроизве-
воспроизведении опыта в одних и тех же условиях,
называют статистическими законами;
раздел математики, занимающийся та-
такими законами, носит название теории
вероятностей п.
Рассмотренный выше пример с много-
многократным бросанием монеты представляет со-
собой простейший почти тривиальный пример
вероятностного процесса, характеризующе-
характеризующегося случайным характером исходов его от-
отдельных стадий (в данном случае — отдель-
отдельных бросаний). Вот более типичный пример
того же рода, использовавшийся физиками
в качестве простой модели процесса диффузии
газов (модель П. п Т. Эренфестов 13).
Пусть мы имеем сосуд, разделенный на
две части А и В пористой мембраной. В со-
сосуде имеются N частиц (скажем, молекул
газа), как-то распределенных по частям А
и В; в каждый [момент времени выбирается
наугад одна из частиц N и перемещается из
топ части сосуда, в которой она находится,
в другую "часть. Можно ставить вопрос о том,
за сколько актов в среднем начальное рас-
распределение — 100 частиц в А и 0 частиц в В —
перейдет в состояние: 50 частиц в А и 50 в В.
Оказывается, что надо около 140 актов.
В принципе возможен и обратный процесс:
при начальном ~ состоянии 50 частиц в А и
50 в В случайные перемещения могут дать и
100 частиц в А, 0 в В, — но для этого потре-
потребуется 21ООг5:1О30 актов. Этот пример иллю-
иллюстрирует понятия термодинамической необра-
необратимости и флюктуации 13.
Но случай двух сосудов есть идеализация.
Типпчны'задачи движения частиц в простран-
пространстве — поиски закона изменения распределе-
распределения частиц в зависимости от координат и вре-
времени. Когда речь идет о крупных частицах,
видимых в микроскоп, мы говорим о броунов-
11 Простейшие понятия теории вероятно-
вероятностей излагаются в рассчитанных на начинаю-
начинающих книгах: Гнеденко Б. В., Хинчин А. Я.
Элементарное введение в теорию вероятностей.
М.: Наука, 1976; Мостеллер Ф., Рурке Р.,
Томас Дж. Вероятность. М.: Мир, 1969.
Отметим также учебники: Феллер В. Вве-
Введение в теорию вероятностей и ее приложе-
приложения. М.: Мир, 1967. Ч. 1; Нейман Ю. Ввод-
Вводный курс теории вероятностей и математиче-
математической статистики. М.: Наука, 1968; Вент-
цель Е. С. Теория вероятностей. М.: Наука,
1964.
12 Пауль (Павел Сигизмундович) Э р е н-
ф е с т A880—1933) и Татьяна Алексеевна
Афанасьева-Эренфест A876—
1964) — крупные физики XX века; работали
в России (в СССР) и в Голландии.
13 По поводу дальнейших деталей, а также
доказательств сформулированных результа-
результатов см., например: Кемени Дж., Снелл Дж.
Конечпые цепи Маркова. М.: Наука, 1970,
§ 7.3.

470
Заключение. Что же дальше?
ском движении. Характерно, что изучавшие
броуновское движение или диффузию газов
физики (А. Эйнштейн, М. Сыолуховскпй,
A. Д. Фоккср и М. Планк) обратились к учс-
ншо о вероятностных процессах до того, как
эта проблематика привлекла внимание мате-
математиков (А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин,
B. Феллер, П. Лсви и др.). В связи с этим
основное уравнение (непрерывных) процессов,
родственных рассмотренному нами «игрушеч-
«игрушечному» процессу перекладывания шаров, на-
называют и уравнением Эйнштейна—Смолухов-
ского, и уравнением Фоккера—Планка, и
уравнением Колмогорова.
Рис. 3.1
Физике наших дней присуще обо-
обостренное внимание именно к статисти-
ческим законам природы, а следова-
следовательно, и широкое использование ма-
математического аппарата теории вероят-
вероятностей. В частности, переход от клас-
классической механики Галилея и Ньютона
к квантовой механике одним из своих
аспектов имеет замену «динамического»
мира рационалистов XVII—XIX вв.
вероятностным, случайным миром со-
современной физики микромира, где вооб-
вообще принциииалыю нельзя говорить о
точной траектории той или иной части-
частицы, например электрона, но только —
о вероятностях нахождения электрона
в данный момент времени в той или
иной точке пространства.
Наконец, самое первостепенное зна-
значение приобрел сегодня для современ-
современной физики еще один сравнительно
молодой раздел математики, а именно
теория групп. Эта теория изучает «сте-
«степень симметрии» тех или иных (физиче-
(физических или других) объектов. Так. на-
например, ясно, что квадрат (рис. 1, а)
«симметричнее» равнобочной трапеции
(рис. 1, б), а последняя — «более сим-
симметрична», чем произвольный четырех-
четырехугольник (рис. 1, в). Точный смысл
этих утверждений таков. Ясно, что
группа симметрии квадрата, состоящая
из всех его самосовмещений, более об-
обширна, чем группа симметрии трапе-
трапеции или произвольного четырехуголь-
четырехугольника. Группа симметрии квадрата со-
содержит симметрии относительно всех
его диагоналей и средних линий, а
также повороты вокруг центра квад-
квадрата на 90, 180 и 270°, в то время как
группа симметрии трапеции сводится
к одной лишь симметрии относительно
прямой MN (см. рис. 1, б), а группа
симметрии четырехугольника (см.
рис. 1, в) даже и еще беднее — она со-
состоит из одного лишь «тождественного
самосовмещения», оставляющего все
точки па месте, и не содержит ни одного
настоящего движения!
Создателем теории групп был ге-
гениальный юноша, француз-революцио-
француз-революционер Эварист Г а л у а A811—1832),
убитый на дуэли в возрасте 20 лет
(эта дуэль была, видимо, подстроена
полицией). Развивая в начале 30-х го-
годов XIX в. идеи этой теории в приме-
применении к учению об алгебраических
уравнениях (Галуа предлагал класси-
классифицировать уравнения в соответствии
со свойственными им «группами сим-
симметрии»), он и не помышлял о прило-
приложении созданных им понятий к физике.
Еще п начале нашего столетия пзмест-
пзместный английский астрофизик Дж. Д;:шнс
активно протестовал против вклю-
включения элементов теории групп в
курс математики для студентов-физи-
студентов-физиков, утверждая, что «уж эта-то теория
никогда физикам не понадобится».
JS паши дни, когда теория групп приоб-
приобрела в физике такое огромное 'значение,
высказывание Джинса часто цитируют
как пример полностью провалившегося
предсказания.
Когда сегодня говорят о роли в фи-
физике теории групп, то в основном имеют
в виду те применения, которые имеет
эта теория в фундаментальных вопро-
вопросах строения материн, в первую оче-
очередь — в теории элементарных частиц.
Но первые приложения идей симметрии
к практике возникли не в теории элемен-
элементарных частиц, а в кристаллографии —
ведь кристаллы представляют собой
весьма симметричные тела. При этом
оказалось, что кристаллы можно клас-
классифицировать с полиций присущей им
симметрии и что эта классификация
проливает существенный свет на все
свойства кристаллов. Огромным собы-
тием явилось перечисление в конце
XIX в. всех возможных систем сим-
симметрии кристаллов — их всего оказа-

Заключение. Что же дальше?
471
лось 230. Это федоровские группы, на-
называемые так по имени замечательного
русского кристаллографа Евграфа Сте-
Степановича Федорова A853—1919),
которому наряду с немцем А. Шенфли-
сом и англичанином В. Барлоу при-
принадлежит открытие кристаллографиче-
кристаллографических групп.
Физикам оказались нужны и так на-
называемые шубниковские группы, нося-
носящие имя советского кристаллографа
А. В. Шубникова A887—1970), изу-
изучавшего симметрию цветных (например,
черно-белых) орнаментов, которая учи-
учитывает и цвет отдельных участков: ведь
ясно, что роль (черного или белого)
цвета могут играть и другие физические
характеристики рассматриваемых объек-
объектов, например, заряд.
Перечисление федоровских (или шуб-
нпковских) групп потребовало глубокого
анализа самого понятия «системы сим-
симметрии», понимания смысла операции
композиции поворотов, заменяющей не-
несколько поворотов кристалла одним им
равносильным.
Ясно, что каждое самосовмещение
кристалла или иной фигуры — это опре-
определенное преобразование (движение) в
пространстве; при этом композицию,
т. е. последовательное выполнение двух
преобразований а и р — сначала р,
а затем а — мы можем назвать их
произведением: т=ар. Так, компози-
композиция двух симметрии а относительно
прямой Ох или четырех поворотов п
на 90° представляет собой «тождествен-
«тождественное движение» е, возвращающее каж-
каждую точку на место: оа = е и тс4=е
(рис. 2). Таким путем мы приходим
к «арифметике» (или «алгебре») сим-
симметрии, получаем возможность исполь-
использовать в «исчислении симметрии» раз-
развитой аппарат математики; вот это-то
«исчисление преобразований» (симме-
(симметрии) и составляет предмет теории
групп. Своеобразие ситуации здесь за-
заключается в том, что в исчислении сим-
симметрии возможно неравенство ap =f= |3а:
рассматриваемые нами операции могут
быть некоммутативны, т. е. непереста-
вимы14'. Так, например, произведение о-
14 Первой системой некоммутативных чи-
чисел явились так называемые кватернионы,
открытые знаменитым ирландским матема-
математиком и механиком Уильямом Роуаном Г а-
мидьтоном A805—1865). От комплекс-
комплексных чисел x-j-iy=z кватернионы Гамильтона
поворота на 90° и симметрии относи-
относительно оси х (сначала поворот, а затем
симметрия) равносильно одной сим-
симметрии относительно прямой х+у=0
(рис. 3, а), а произведение тс о (сначала
симметрия, а затем поворот) представ-
представляет уже иную операцию — симметрию
относительно прямой х—у=0 (рис. 3, б).
Все эти соображения сыграли су-
существенную роль в изучении симметрии
кристаллов. Вспомните сказанное в
§ 14.1 о происхождении комплексных
О
9 Я-6'й
ДуяД
а
Д,*я'А
6Д, = <ЗД
РЯ:Л"Й
V
Рис. 3.2
Рис. 3.3
чисел! Человек начал считать с на-
натуральных чисел 1, 2, 3. . . Впо-
Впоследствии оказалось целесообразным
рассмотреть также и отрицатель-
отрицательные числа —1, —2, —3 и др., а так-
также нуль; с другой стороны, пона-
понадобились дроби или даже ирра-
иррациональные числа, такие, как
\J2. Дальнейшее обобщение понятия
числа привело к комплексным
числам; лишь после введения этих не-
необычных чисел получила полное завер-
отличаются наличием трех комплексных
единиц i, j, k (так что общий кватернион за-
записывается как w=u-\-xi-{-yi-{-zk, где и, х,
у, z — вещественные числа), квадрат каждой
из которых равен —1, но которые не комму-
коммутируют между собой (так, ij=k, а ji=—k).
Исчисление кватернионов Гамильтона яви-
явилось первым вариантом векторного исчисления
(кватернион wo=u бег комплексных единиц
Гамильтон назвал скаляром, а чисто комплекс-
комплексный кватернион wx=xi-{-yi-{-zk с тремя ком-
компонентами х, у и z — вектором) — и прослав-
прославленный «Трактат об электричестве и магне-
магнетизме» Дж. К. Максвелла A873) был еще
изложен не на привычном нам языке векто-
векторов, а на родственном ему языке кватерни-
кватернионов.

472
Заключение. Что же дальше?
шение теория уравнений (в частности,
элементарная теория квадратных урав-
уравнений). В гл. 14, 15, 17 было показано
сколь плодотворным оказалось это об-
обобщение понятия числа — особенно,
когда удалось сочетать его с понятия-
понятиями производной и интеграла.
Однако на коммутативность операций
над числами ученые покушаться не ре-
решались — для всех вновь вводимых
типов чисел всегда было а+Ь=Ь-|-а и
аЪ=Ъа\ Поэтому шаг, который сде-
сделал Э. Галуа, надо счесть весьма прин-
принципиальным: ведь он впервые рассмот-
рассмотрел группы, элементы которых не-
некоммутативны — в «арифметике Галуа»
уже, вообще говоря, аЪ =^= Ъа. Во всем
остальном теория кристаллографиче-
кристаллографических групп близка к обычной арифме-
арифметике: в ней существует единица, умно-
умножение на которую не меняет числа (в
«исчислении симметрии» роль единицы
играет «тождественная симметрия» е);
операция деления вводится как обрат-
обратная умножению (а : Ъ=аЪ~1=с, если
a=cb) и т. д. Однако то обстоятельство,
что в группе умножение некоммутатив-
некоммутативно сыграло впоследствии для физики
весьма важную роль.
В учении о кристаллах теория групп
активно использовалась еще в XIX в.;
однако от глубоких проблем, связанных
с основными «строительными камнями
мироздания» — элементарными части-
частицами, возникающие здесь задачи ка-
казались весьма далекими. Но в 1932 г.
знаменитый немецкий физик Вернер
Гейзенберг установил, что замена по-
положительно заряженного протона в
ядре на аналогичную же электрически
нейтральную частицу нейтрон матема-
математически подобна именно повороту. Это
открытие явилось блестящей страницей
истории физики! Собственно, с этого
момента в теоретическую физику вошли
группы и некоммутативные операции,
вошел широко понимаемый принцип
симметрии. И по мере того как физики
открывали все новые и новые частицы,
идея симметрии частиц и применения
теории групп становились все более
существенными. Постепенно используе-
используемая теория осложнялась: приходилось
рассматривать повороты в воображае-
воображаемом многомерном пространстве, учиты-
учитывать заряд частиц и ее вращательный
момент (спин). Подход к физическим
объектам с позиции свойственной им
симметрии сегодня является чуть ли
не самым первым среди тех методов,
с помощью которых физики пытаются
разобраться во всем многообразии эле-
элементарных частиц, возникшем в ре-
результате многочисленных эксперимен-
экспериментов и теоретических работ ученых вто-
второй половины XX в.
В современной физике широко ис-
используется не только теория дискрет-
дискретных (кристаллографических) групп, свое-
своеобразно копирующая элементарную
арифметику (некоммутативная арифме-
арифметика!), но и теория непрерывных групп,
истоками которой служат алгебра и
математический анализ. Наряду с груп-
группой самосовмещений квадрата (см.
рис. 1, а) или кристалла можно также
ставить вопрос о группе симметрии
(группе самосовмещений) всей плоско-
плоскости или (трех- или многомерного) про-
пространства. Так, например, группа сим-
симметрии евклидовой плоскости состоит
из всех ее движений:
х' = х cos <f-\- у cos^cp -|- a,
у' = —х sin <р -\- у cos ср -\- Ъ,
(*>
где угол ср и числа а, Ь произвольны
(ср. формулы A.9.6)). То, что угол ср
поворота и величины а и Ъ переноса
фигуры в плоскости могут быть лю-
любыми, позволяет говорить о беско-
бесконечно малом повороте (на беско-
бесконечно малый угол Дер или dep, где
dep —> 0) или переносе, что позволяет
ввести понятие касательной к «груп-
«групповой траектории» (определяемой, ска-
скажем, постоянством а и Ъ и произволь-
произвольным изменением ср), а также понятия
дифференциала, производной и инте-
интеграла в групповом пространстве. Здесь
можно также определить основные
функции, вроде, например, экспоненты
ех (задаваемой, скажем, формулой
F.2.2), где х — «групповая перемен-
переменная»). При этом некоммутативность ве-
величин, с которыми мы встречаемся в;
этой теории, создает совершенно новые
проблемы, подобных которым нет ни
в теории функций вещественной пере-
переменной (или нескольких вещественных
переменных), ни в теории комплексных
величин. Непрерывные группы, подоб-
подобные группе (*) движений плоскости,,
впервые были подробно изучены нор-
норвежским математиком Софусом Мариу-
сом Л и A842—1899), по имени кото-

Заключение. Что же дальше?
473
рого они сегодня называются группами
Ли. В последние 10—20 лет теория
групп Ли приобрела огромное значе-
значение для классификации элементарных
частиц современной физики и для по-
понимания взаимодействия этих частиц
между собой.
Выдающееся значение теории групп и,
в частности, групп Лп для современной фи-
физики побуждает нас кратко остановиться на
истории происхождения этих разделов ма-
математики 15. Об основополагающих, пионер-
пионерских работах гениального Э. Галуа в области
теории уравнении (предшественниками кото-
которого здесь явились знаменитый Ж. Л. Лаг-
ранж, итальянец Паоло Р у ф ф и н и
A765—1822) и замечательный норвежский
математик Нильс Хенрик Л б е л ь A802—
1829) 16) мы уже говорили выше. Работы
Галуа не были своевремепно оценены и даже
просто замечены: не помогли л письма, на-
написанные им знаменитым французским мате-
математикам, академикам О. Коши и Симеону
Денп Пуассону A781—18-10). Пуассоп
оказался не в состоянии оценить идеи Галуа,
значительно обогнавшие свое время, а Коши,
видимо, даже и не прочел направленное ему
безвестным юношей письмо. ~"~
.--i Коши умер в 1857 г., и в 60-е годы прош-
прошлого века Французская академия наук при-
приняла решение о публикации полного собра-
собрания его сочинений. Руководство этой работой
было возложено на видного математика Ка-
миля Мари Эдмона Ж о р д а н а A838—
1922). В связи с этим поручением Жордан
внимательно изучил bj оставшиеся после
Коши бумаги; cpj it них он обнаружил письмо
Галуа, которое теперь (через 30 лет после
написания!) произвело на Жордана огромное
впечатление. Он тщательно изучил все при-
принадлежащие Галуа работы, как опубликован-
опубликованные, так и оставшиеся в рукописях. Посте-
Постепенно Жордан пришел к мысли о необходи-
необходимости посвятить идеям Галуа специальную
книгу, и эта монография: «Трактат о подста-
подстановках и алгебраических уравнениях», вы-
15 Подробнее см., например: Яглом И. М.
Феликс Клейн и Софус Ли. М.: Знание, 1977.
16 Различие между работами Галуа и его
предшественников заключалось не только
(и не столько) в том, что Галуа'впервые ввел
сам термин «группа» и строго определил это
понятие, но и в том, что Лагранж, Руффини
и Абель работали {исключительно с так назы-
называемыми коммутативными, или '%абелевыми,
группами, для любых двух элементов > а,
Ь которых аЪ=Ъа, в то время как у Галуа
появились группы общего вида (некоммута-
(некоммутативные).
шедшая в свет в 1870 г., явилась первым
в мировой математической литературе учеб-
учебником теории групп.
В период работы К. Жордана над «Трак-
«Трактатом о подстановках» у него учились двое
друзей: молодые способные математики
Ф. Клейн из Германии и С. Ли из Норвегии.
Увлечеппе Жордана идеями Галуа и теорией
групп полностью передалось его ученикам.
Жордап впервые указал на существование
двух различных типов групп: дискретных
(кристаллографических) групп и непрерывных
групп. Его ученики в известной мере поде-
поделили между собой эти две области матема-
математики. Основные достижения Ф. Клейна отно-
относятся к области учения о дискретных группах:
выделенный им специальный тип таких групп
(сегодня называемый клейновыми группами)
вызывает в последнее время очень большой
интерес. Наряду с этим Ф. Клейн в своей
диссертационной работе, выполненной для
вступления на профессорскую кафедру уни-
университета г. Эрлангена и впоследствии полу-
получившей наименование «Эрлангенской про-
программы», указал на систему симметрии (группу
симметрии) того или иного геометрического
многообразия как на классификационный
принцип, выделяющий отдельные ветви мате-
математической науки. Так, пространство Лоба-
Лобачевского, по Клейну, отличается от обычного
пространства Евклида не только иными свой-
свойствами параллельных линий (второстепенный
и мало что объясняющий признак!), но и
совсем другой группой симметрии. Впослед-
Впоследствии этот принцип был распространен и на
физику — и сегодня мы склонны считать, что,
скажем, специальная теория относительности
Эйнштейна отличается от классической ме-
механики Ньютона иным строением группы
симметрии четырехмерного пространства—
времени, причем в «мире Эйнштейна» эта
группа устроена таким образом, что здесь
ослаблено различие между пространствен-
пространственными и временнбй координатами (ср. § 9.8;
см. книгу, названную в сноске 1 в § 9.8).
Огромную роль играет этот клейновский прин-
принцип симметрии и для всей современной фи-
физики.
С. Ли представляет собой достаточно ред-
редкий в истории науки пример ученого-одно-
ученого-однолюба: вся его жизнь и вся колоссальная
научная продукция F очень больших книг
и множество статей, впоследствии собранных
в многотомном «Собрании сочинений») была
посвящена теории непрерывных групп (групп
Ли). Учение о таких группах было разработано
Ли с большой полнотой. В частности, Ли
принадлежит перенесение на дифференциаль-

474
Заключение. Что же дальше?
ные уравнения результатов Гапуа, относя-
относящихся к алгебраическим уравнениям: основ-
основным различием здесь явилось то, что группа
симметрии алгебраического уравнения
(группа Галуа) является конечной, в то время
как группа симметрии дифференциального
уравнения (группа Ли) является уже непре-
непрерывной. Созданная Ли теория групп симмет-
симметрии дифференциальных уравнений (в частно-
частности, вопрос о классификации дифференциаль-
дифференциальных уравнений по их группам симметрии)
в последние десятилетия привлекает большое
внимание математиков и физиков.
Скончавшийся еще в прошлом веке Ли,
к сожалению, не увидел бурного расцвета
созданной им теории; в частности, полностью
неизвестными ему остались физические при-
приложения теории непрерывных групп. Теоре-
Теоретико-групповой период развития теоретиче-
теоретической физики начался с глубоких работ лауре-
лауреатов Нобелевской премии немецкого физика
М. Борна, его ученика В. Гейзенберга и
англичанина П. А. М. Дирака; у истоков
этого периода стоят один из крупнейших
математиков XX в. Г. Вейль 17, ученик не-
неоднократно упоминавшегося выше Д. Гиль-
Гильберта18, и физик Э. Вигнер.
Теория симметрии и теория групп
играют огромную роль в самой глубо-
глубокой и самой трудной части физики —
в теории элементарных частиц.
Долгое время теория развивалась в
одном направлении; более сложные
объекты физики «раскалывали», обнару-
обнаруживая составляющие их более простые
«части». Так, оказалось, что молекулы
состоят из атомов, атомы — из ядер и
электронов, ядра — из протонов и ней-
нейтронов. Сегодня мы добавили бы сюда
утверждение о том, что протоны и
нейтроны состоят из кварков. Развитие
физики напоминало изучение младен-
младенцем деревянной куклы-матрешки: под
каждым новым слоем обнаруживался
следующий. При этом каждый новый
слой оказывался проще предшествую-
предшествующего: все бесчисленные типы молекул
сводились к комбинации из примерно
100 типов атомов, которым отвечают около
1000 разных ядер. Затем все это мно-
множество ядер атомов было сведено к двум
всего типам элементарных частиц —
протонам и нейтронам. Однако начиная
17 См.: Яглом И. М. Герман Вейль. М.:
Знание, 1967.
18 См. обстоятельную книгу: Рид К. Гиль-
Гильберт. М.: Наука, 1977.
примерно с середины нашего века в
развитии теоретической физики обнару-
обнаружилась и противоположная тенденция—
не к упрощению, а к усложению кар-
картины Вселенной. В космических лучах,
а также с помощью ускорителей уда-
удалось обнаружить очень большое — пре-
превышающее 100 — число элементарных
частиц. Все эти частицы столь же
«элементарны», как протон или ней-
нейтрон. Правда, здесь еще один раз сра-
сработала модель куклы-матрешки: боль-
большое число частиц удалось описать как
составные, складывающиеся из про-
простейших, пока не наблюдавшихся ча-
частиц — кварков. Но в настоящее вре-
время физики занимаются не только и не
столько вопросом о том, есть ли «еще
более элементарные» частицы. Установ-
Установление симметрии, т. е. сходства между
различными частицами, приводит к
важнейшим выводам об их свойствах.
С симметрией самым тесным образом
связано взаимодействие частиц между
собой, возможность превращения одних
частиц в другие и остальные их свой-
свойства. Кварки, электроны, нейтрино —
может быть, для раскрытия их тайн
надо еще глубже войти в вопросы сим-
симметрии этих частиц. И сегодня эта
теория играет во всех современных
исследованиях самую первостепенную
роль. С этим и связан огромный интерес
современных физиков ко всем аспектам
теории симметрии и в первую очередь
к теории (дискретных и непрерывных)
групп.
Недавно в одной серьезной статье
мы встретили следующее примечание:
«Теорию групп ныне преподают в сред-
средней школе; поэтому лица, окончившие
школу недавно, могут пропустить сле-
следующий параграф. Однако более по-
пожилым физикам его необходимо про-
проработать, чтобы иметь возможность бе-
беседовать со своими детьми и учить сту-
студентов». Мы еще не решаемся — пока
не решаемся — включить элементы тео-
теории групп в свой учебник математики
для начинающих физиков, но в даль-
дальнейшем, может быть, и придется это
сделать.
Совершенно новое положение сложи-
сложилось в математике и математической
физике с появлением компьютеров —
карманных вычислительных приборов,,
настольных считающих устройств и
больших ЭВМ (электронных вычисли-

Заключение. Что же дальше?
475
тельных машин) или даже целых ком-
комплексов ЭВМ, соединяющих несколько
.механизмов, отвечающих за отдельные
этапы работы: работу таких комплексов
можно несколько условно сравнить с
высшей нервной деятельностью чело-
человека, где разные функции выполняют
левое полушарие головного мозга (от-
(отвечающее, например, за речь) и правое
(управляющее зрительными впечатле-
впечатлениями). Создание ЭВМ во многом из-
изменило подход к задачам высшей ма-
математики, сделав иногда приближен-
приближенный «лобовой» счет более простым, чем
использование более сложных математи-
математических методов. Оно же породило воз-
возникновение совершенно новых разделов
математики.
Иногда говорят, что математика —
это мельница, которая перемалывает
только то, что в нее заложено. Так
оправдывают плохие результаты при-
применения математики к неправильным
исходным предположениям. В действи-
действительности эта мельница часто выдает
больше того, что было заложено, вы-
выдает то, что не ожидалось!
В принципе математику можно рас-
рассматривать как разновидность уточнен-
уточненной, усовершенствованной логики. За-
Замечательно, что, построив правила этой
логики и выучив их, человек получил
орудие гораздо более мощное, чем обык-
обыкновенный «здравый смысл», основаный
на традиционной, «домашней» логике.
Человек руками создает простые ору-
орудия, применяя их, строит станки, с по-
помощью которых создает еще более со-
совершенные и сложные механизмы —
и с помощью этих механизмов он спо-
способен сделать то, что недоступно голым
рукам. Вот так же точно и математика,
развивая все более сложные теории
и создавая новые понятия, дает воз-
возможность овладеть самыми необычными
явлениями природы.
В конце курса математической фи-
физики можно будет снова написать главу
под названием «А что еще дальше?» —
но не надо отчаиваться, потому что
здесь уже близок тот рубеж, за кото-
которым продвижение вперед представляет
собой не только учебу, но и творчество,
развитие новых теорий.
Мы пытаемся представить себе чита-
читателя, который через несколько минут
со вздохом облегчения закроет эту кни-
книгу. Наверно, большинство из Вас —
школьники-старшеклассники или сту-
студенты-первокурсники. Пусть матема-
математика для Вас навсегда останется точ-
точным и прекрасным языком, способом
выражения мыслей и способом мышле-
мышления; пусть математика не будет пред-
предметом, который нужно на экзамене
«весь сдать и ничего себе не оставить».
Любите математику — и любовь будет
взаимной, математика всегда поможет
Вам в Вашей работе.

ЛИТЕРАТУРА
Пособия по высшей математике
для начинающих
1. Колмогоров А. II., Абрамов А. М.,
Вейц Б. Е. и др. Алгебра н начала ана-
анализа: Учебное пособие для 9—10 кл.
средней школы. М.: Просвещение, 1980.
335 с.
2. Поптрягип Л. С. Математический анализ
для школьников. М.: Наука, 1980. 86 с.
3. Никольский С. М. Элементы математиче-
математического анализа. М.: Наука, 1981. 159 с.
4. Лоренц Г. А. Элементы высшей матема-
математики. М.; Л.: ГИЗ, 1926. Т. 1. 558 с;
Т. 2. 528 с. (на титульном листе последнего
издания книги указаны авторы: Г. Ло-
Лоренц, В. Шеремотевский).
5. Фихтенголъц Г. М. Математика для тех-
техников. М; Л.: ГИЗ, 1926. 343 с.
6. Выгодский М. Я. Высшая математика для
техникумов. М.: Высшая школа, 1969.
446 с.
7. Выгодский М. Я. Справочник по высшей
математике. М.: Наука, 1977. 871 с.
8. Курант Р., Роббинс Г. Что такое мате-
математика? М.: Просвещение, 1967, гл. VIII
(с. 431—525).
Более сложные учебники
по высшей математике
9. Мышкис А. Д. Лекции по высшей мате-
математике. М.: Наука, 1973. 640 с.
10. Натансон И. П. Краткий курс высшей
математики. М.: Наука, 1968. 727 с.
11. Смирнов В. И. Курс высшей математики.
М.: Наука, 1974. Т. 1. 474 с.
12. Вере Л. Математический анализ. М.:
Высшая школа, 1975. Т. 1. 519 с; Т. 2.
544 с.
13. Фихтенголъц Г. М. Математика для ин-
инженеров. Л.; М.: Гостехиздат, 1933,
Т. 1. 488 с; Т. 2. 330 с.
14. Выгодский М. Я. Основы исчисления
бесконечно малых. М.; Л.: Гостехиздат,
1933. 464 с.
Дополнительная литература по математике
15. Зельдович Я. Б., Мышкис А. Д. Элементы
прикладной математики. М.: Наука, 1972.
592 с.
16. Курант Р. Курс дифференциального и
интегрального исчисления. М.: Наука,
1967. Т. 1. 704 с; 1970, Т. 2. 671 с.
17. Мышкис А. Д. Математика для ВТУЗов:
Специальные курсы. М.: Наука, 1971. 632 с.
18. Смирнов В. И. Курс высшей математики.
М.: Наука, 1974. Т. 2. 655 с; Т. 3. Ч. 1.
323 с; Ч. 2. 672 с; 1958. Т. 4. 812 с;
1959, Т. 5. 655 с.
19. Математика в современном мире. М.:
Мир, 1967. 205 с.
20. Стюарт Я. Концепция современной ма-
математики. Минск: Вышэйшая школа, 1980.
382 с.
21. Курант Р., Роббинс Г. Что такое мате-
математика? М.: Просвещение, 1967, гл. I—
VII (с. 19—430).
Пособия по физике для начинающих
22. Элементарный учебник физики/ Под ред.
акад. Г. С. Ландсберга. М.: Наука,
1975. Т. 1. 654 с; Т. 2. 526 с; Т. 3. 638 с.
23. Марион Дж. Б. Физика и физический
мир. М.: Мир, 1975. 623 с.
24. Ландау Л. Д., Китайгородский А. И.
Физика для всех. М.: Наука, 1978. Т. 1.
205 с; Т. 2. 207 с; 1979. Т. 3. 207 с;
Т. 4. 207 с.
25. Орир Дж. Популярная физика. М.: Мир,
1969. 556 с.
26. Эллиот Л., Уилкокс У. Физика. М.:
Наука, 1975. 736 с.
27. Кемпфер Ф. Путь в современную физику.
М.: Мир, 1972. 375 с.
28. Линднер Г. Картины современной фи-
физики. М.: Мир, 1977. 272 с.
29. Пайерлс Р. Законы природы. М.: Фпзмат-
гиз, 1962. 340 с.
30. Купер Л. Н. Физика для всех. М.: Мир,
1973. Т. 1. 479 с; 1974. Т. 2. 383 с.
31. Роджерс Э. М. Физика для любознатель-
любознательных М.: Мир, 1972. Т. 1. 468 с; Т. 2.
652 с; 1973, Т. 3. 644 с.
32. Акоста В., Кован К., Грэм Б. Основы
современной физики. М.: Просвещение,
1981. 495 с.
33. Поль Р. В. Механика, акустика и учение
о теплоте. М.: Наука, 1971. 479 с; Уче-
Учение об электричестве. М.: Физматгиз,
1962. 516 с.
Более сложная литература по физике 1
34. Феймановские лекции по физике. М.: Мир,
1977, вып. 1—2. 438 с; вып. 3—4. 495 с;
вып. 5. 299 с; вып. 6. 346 с; вып. 7.
287 с; 1978, вып. 8. 523 с; вып. 9. 541 с.
35. Фейман Р. Характер физических законов.
М.: Мир, 1968. 232 с.
36. Берклеевский курс физики. В 5-ти томах.
М.: Наука. Т. 1. Киттель Ч., Найт У.,
Рудерман М. Механика. 1975. 479 с;
Т. 2. Парселл Э. Электричество и магне-
магнетизм. 1975. 439 с; Т. 3. Крауфорд Ф.
Волны. 1976. 527 с; Т. 4. Вихман Э.
Квантовая физика. 1977. 415 с; Т. 5.
Рейф Ф. Статистическая физика. 1977.
351 с.
37. Копылов Г. И. Всего лишь кинематика.
М.: Наука, 1981. 175 с.
Литература по истории науки
38. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории
математики. М.: Наука, 1978. 335 с.
39. Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и
математиках. М.: Наука, 1981. 191 с.
40. Белл Э. Т. Творцы математики. М.: Про-
Просвещение, 1979. 255 с.
1 «Продолжением» книг [34, 361 может
служить знаменитый многотомный курс
«Теоретической физики» академиков Л. Д.
Ландау и Е. М. Лифшица.

ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Таблица производных
ay
x
4..=
.= е-, |W
i dii i
= In ж, -?- = —.
dx x
л dy
= юцх =
\
у = sin x,
dx xIn a
dy
0,434 1
Ig a x
y.y=
dx
dy
= COS X.
Lll/ .
y= cos x, —— =—sin
COS2.? '
Iz.
Id.
= агс sin x.
4=.V
dx sm!i
dii 1
?- = —-
dx
г/ = arc cos x, —^- — .
dx vl — ж2
II. Интегралы от некоторых функций
1.
6.
7.
xnekxdx = 1
-J- j
dx
9. I ekx sin axdx =
= ^2 , д2 (A sin ax — a cos аж) -j- С
10. \ efc;c cos axdx =
~ ^2 i 2 (^ cos ax-\-a sin аж) -(- С
11. sinA:xdx=:—x-coste-f-C
cos fcrdx = -г- sin kx -j- С
13. f /f, = —4-ctgfec + C.
14< J
15. 1 sin2 kxdx =
16.
17. 1 a;'!sin kxdx —
= -r- cos to -j- — I xn~x cos
18. i* cos kxdx —
= 4- sin to — -^ I x" sin toda;.
19. \ sin to sin Zxda: =
sin (u — I) x sin (ft -f-1) я
T0»
~~~ 2 (k — ,
если ) к | Ф 1Z1 (если | к \ = 11 \, см. № 15).
20. \ cos to cos Zxda; =
sin (ft — I) x . sin (ft -f-1) x >p
~~ 2(ft — 1) 1 2(k + l) >~ '
если | к | t^= | ZI (если | A | = 111, см. №16).
21. I sin to cos Ixdx =
cos (ft-\-l) x cos(k-l) . „
2{k-\-l) 2(k — l) r" L>
если \к\у

«78
Приложения
22. f tg kx dx = —^ In | cos kx\-\-C.
23. f ctg/cxd33 = y In \smkx\-\-C.
.24.
.25.
Г dx
26 Г ^ =
J Va2 — x2
27. J x si,
arc sin
lax
__ 2 (Зад — 26) (дд + ЬK/г j г
~~ 15a2
15a2
28. \ sja2 — x4x--
= y \x \JaZ — x* -\-a2 arc sin— -f~ С
-29. J
= \/аг — x'1 — a In
¦C.
30. J г v/ж2 + m dx = -i (x3 -f m)''« + С
si. j^
32.
= \/a2 -f ж2 — a In
я + v'a2 + ж2
33. ^ \b
+ пг In |x + v/xa
= -»-[_x v'x2 -f- m -j-
С
о , (• V x - — aL ,
¦34. \ dx =
J x
= Jx2 — a2 — a arc cos 1- C.
v x i
35. J _^__ = J_i
oe f dx 1 .x
36- J^H? = Tarctg^
:37. J^-da;
¦ 4- 6ж 4- с
2
•arc tg
если 4ac — 62 ]> 0;
r dx 1
— b-
¦X
x in
2ax-\-b — V<V _
если 4ac — &2 <^ 0;
I
ax2 4- bx 4- с
2ax 4- 6
с,
i!
если аде — o^^U, т.е. с = -т—.
38. (т-^
3 ax- -f- i
с)"
(re — 1)Dяс — Ь2
Bге — 3) . 2я f
' (» — 1)Dас — б2) J
. с)"
dx
(» — l)Dac — 62) J (ax2 + bx -
при n ~^ 2 и 4ac —•
39. J
— -7)-\п \ах2 -4~ bx 4- с\ —
40.
ax2 4- bx 4- с
—о— \ —г—т—:— (cm. № 37).
2a J ax2 4- bx -{- с v '
dx
x (яж2 4- bx 4- c)
1 ~2
^— In 5 ; i
2с ] яхг 4- Ьх 4- с |
6_f
2c 1
ai2 4- bx 4- i
dx
(см. № 37).
(ях2 4- &ж 4"c)"
1
(m — 1) ci'«"
B» 4- m — 3) я
(m — 1) с
(n + in - 2) 6 f
\x^
>x 4- c)»-i
dx
dx
-f- Cj
(т — 1)с
(при т^> 1).
42
¦s*
43.
dx
ax -)- 6
ге(ях4-Ь) 1 I p
~ (n-l)a уЫ+Ъ ~Т~
44. \ In x dx = x In ж — ж-)-С
45. J (In xf dx=.x (In ж)я — n J(Ln x)"^.
arc sin — dx =
a
= x arc sin 1- \]dz — x2 -\-C.
arc cos —dx —
a
= a; arc cos
V^2 — a;2 -j- С

Приложения
479»
arc tg — dx =
= x arc tg |— ~ In (a2 4- a?) -f С
SX
arc ctg — dx =
= x arc ctg — -\~^-U\(a2-\-x2)JrC.
III. Некоторые разложения функций
в ряды
.... .,„ . , . т (т — 1) , ,
1. A 4- х)т— 1 -\-тх-\ ^—- .г- +
l*
62
любое).
т (го —1)(т —2) 3
I • • •
7. arc sin ж —
¦ 3
(—1<Га;<'1, если т — но патураль- i д3 , 1 ¦
ное) ^ 2.3+ 2.4-5 * i
Xs . х5 х1 , | 1-3-5 7 . ^
2. Sin ? = Ж зТ ' *5! 7! Г" • * * ~'~2-4-6-7 ' ' ' ' ^
(х — любое).
а;2 д.4 -j.6
3. cosx = l W~\~~a\ ~иГ^~ ' *'
(х — любое).
IV. Некоторые числовые таблицы
Таблица 1
.arctg.x=:a; —^-4--^ ~
X
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,000
1,105
1,221
1,350
0,492
1,649
1,822
2,014
2,226
2,460
2,718
3,004
3,320
3,669
4,055
е-х
1,000
0,905
0,819
0,741
0,670
0,607
0,549
0,497
0,449
0,407
0,368
0,333
0,301
0,273
0,247
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
ех
4,482
4,953
5,474
6,050
6,686
7,389
9,025
11,023
13,464
16,445
20,086
24,533
29,964
36,598
,,-х
0,223
0,202
0,183
0,165
0,150
0,135
0,1108
0,0907
0,0743
0,0608
0,0498
0,0408
0,0334
0,0273
X
3,8
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
ех
44,701
54,598
90,017
148,41
244,69
403,43
665,14
1 096,6
1 808,0
2 981,0
4 914,8
8 103,1
13 360
22 026
0,0224
0,0183
0,0111
0,00674
0,00409
0,00248
0.00150
0,000912
0,000553
0,000335
0,000203
0,000123
0,000075
0,000045
Таблица 2
X
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
In х
0
0,0953
0,182
0,262
0,336
X
1,5
1,6
1,7
1,8
2,0
In х
0,405
0,470
0,531
0,588
0,693
X
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
In х
0,788
0,875
0,956
1,030
1,099
X
3,2
3,4
3,6
3,8
4,5
In x
1,163
1,224
1,281
1,335
1,504
X
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
In x
1,609
1,705
1,792
1,872
1,946
X
7,5
8,0
8,5
9,0
10,0
In x
2,015
2,079
2,140
2,197
2,303

480
Приложения
Таблица 3
X
0
од
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7-
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2 7
2,8
2,9
.4,0
3,1
sin х
0,000
0,0998
0,199
0,296
0,389
0,479
0,565
0,644
0,717
0,783
0,841
0,891
0,932
0,964
0,985
0,997
0,9996
0,992
0,974
0,946
0,909
0,863
0,808
0,746
0,675
0,598
0,516
0,427
0,335
0,239
0,141
0,0416
COS X
1,000
0,995
0,980
0,955
0,921
0,878
0,825
0,765
0,697
0,622
0,540
0,454
0,362
0,268
0,170
0,0707
—0,0292
—0,129
—0,227
—0,323
—0,416
—0,505
—0,589
—0,668
—0,737
—0,801
—0,857
—0,904
—0,942
—0,971
—0,990
—0,999
tgx
0,000
0,100
0,203
0,309
0,423
0,546
0,684
0,842
1,030
1,260
1,557
1,965
2,572
3,602
5,798
14,101
—34,233
—7,097
—4,286
—2,927
—2,185
—1,710
—1,374
—1,119
—0,916
—0,747
—0,602
-0,473
—0,356
—0,246
-0,143
—0,0416
X
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
6,1
6,2
6,3
sin ж
—0,0584
—0,158
—0,256
-0,361
—0,443
—0,530
—0,612
—0,688
-0,757
—0,818
—0,872
—0,916
—0,952
—0,978
—0,994
—1,000
-0,996
—0,982
—0,969
—0,926
—0,883
—0,832
—0,773
—0,706
-0,631
—0,551
—0,465
—0,374
—0,279
-0,182
—0,0831
—0,0168
COS X
—0,998
-0,987
-0,967
—0,936
-0,897
-0,848
-0,791
—0,726
—0,654
—0,575
—0,490
-0,401
—0,307
-0,211
-0,112
—0,0124
0,0875
0,187
0,284
0,378
0,469
0,554
0,635
0,709
0,776
0,835
0,886
0,927
0,960
0,983
0,997
1,000
tg*
0,0585
0,160
0,264
0,375
0,493
0,625
0,774
0,947
1,158
1,424'
1,778
2,286
3,096
4,637
8,860
80,713
—11,385
—5,267
—3,881
—2,449
—1,886
—1,501
—1,218
-0,996
-0,814
-0,660
—0,525
—0,403
—0,291
-0,185
—0,0834
0,0168
V. Международная система физических единиц СИ
Величина
наименование
Длина
Масса
Время
Сила электрического тока
Температура
Количество вещества
Сила света
Плоский угол
Телесный угол
Скорость
Ускорение
Угловая скорость
Угловое ускорение
А
Сила
Давление
Работа, энергия, количество
теплоты
размерность
Основные единицы
м
кг
с
А
К
моль
КД
Дополнительные единицы
рад
ср
Производные единицы
м/с
м/с2
рад/с
рад/с3
кг-м/с2
Н/м2(=кг/(м-с2)
Н-м(=кг-м2/с2)
Единица СИ
наименование
метр
килограмм
секунда
ампер
градус Кельвина
(кельвин)
моль
кандела
радиан
стерадиан
метр в секунду
метр на секунду
в квадрате
радиан в секунду
радиан на секунду
в квадрате
ньютон
Паскаль
джоуль
обозна-
обозначение
М
КГ
С
А
К
моль
кд
рад
ср
м/с
м/с»
рад/с
рад/са
Н
Па
Дж

Приложения
481
Окончание
Величина
наименование
Мощность
Теплоемкость удельная
Импульс (количество движе-
движения)
Импульс силы
Частота
Количество электричества,
электрический заряд
Электрическое напряжение,
разность потенциалов, ЭДС
Напряшенность электрического
поля
Электрическое сопротивление
Электрическая емкость
Индуктивность
Магнитный поток, магнитная
индукция
Напряшенность магнитного
поля
Плотность магнитного потока,
магнитной индукции
Магнитодвишущая сила
размерность
Дж/с(=кг-м2/с3)
Дж/(кг-К)(=м2/(с2-К))
кг -м/с
Н-с(=кг-м/с)
1 /с(=с~1)
А-с
Вт/А(=кг-м2/(А-с3))
В/м(=кг-м/(А-с3))
В/А(=Вт/А2=кг-м2/(А4-с3))
Кл/В(=А2-с4/(кг-м2))
В -с/А(=кг -м2/(А2 -с2)=Вб/А)
/ КГ-М2\
^ ° \ А-с2 /
А/м
Кл/м(=Вб/м2=А-с/м)
А
Единица СИ
наименование
ватт
джоуль на килограмм-
кельвин
килограмм-метр
в секунду
ньютон-секунда
герц
кулон
вольт
вольт на метр
ом
фарада
генри
вебер
ампер на метр
тесла
ампер
обовна-
чение
Вт
Дж/(кг-
• К)
кг -м/с
Н-с
Гц
Кл
В
В/м
Ом
Ф
Гн
Вб
А/м
Тл
А
Буква
А а
В Ь
С с
D d
Е е
Ff
Л а
вр
г т
д в
К е
ZC
Название
а
бе
це
де
в
эф
ге
альфа
бета
гамма
[ дельта
эпсилон
дзета
VI. Латинский и греческий
By кв а
Hh
I i
Jj
Kk
L I
M m
H 7J
в 8&
I i
K*
A X
Название
Буква
Латинский алфавит
аш
и
йот
ка
элъ
эм
Греческий
эта
тэта
йота
каппа
ламбда
мю
N п
Оо
Рр
Qq
Rr
Ss
Tt
алфавит
Sv
S 5
Oo
П я
p p
2 a
алфавиты
Название
эн
О
пэ
ку
эр
[эс
тэ';
ню
кси
омикрон
пи
ро
сигма
Буква
U и
Vv
W w
X х
Yy
Zz
Т х
X и
Ф у
XX
Q ш
Название
У
ве
дубль-ве
икс
игрек
зет
тау
ипсилон
фи
хи
пси
омега

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Часть первая
Глава 1
1.2.4. г=уТ, а = 45°; г = 2\/2, а = -45°; г = 3*/2, а = —135°; г = 4у/2, а = 135°.
1.2.5. 2; 2 у/2; 2^2; 2^2. 1.2.6. (О, e/v'Z); («/•S, О); (О, -я//2); (-a/VZ, 0) (сделайте
чертеж). 1.2.7. (я, 0); (a/2, W3/2); (-а/2, оу/Щ; (-а, О); (-a/2, -as/Щ; (я/2?
—о \/3/2) (сделайте чертеж). 1.2.8. а) Два случая: (—я/2,0), (а/2,0), (О, +W3/2).
б) Четыре случая: (О, 0), (а, 0), (а/2, ±0^3/2) и @, 0) (—я, 0) (—а/2, ±а*/3/2) (сде-
(сделайте чертеж). 1.2.9. Аг(х1, — у1), А3(—хъ У1), At(—xu —У1) (сделайте чертеж).
1.3.3. а) у ——х; б) у = 2i — 1. 1.3.4. Если прямая пересекает оси координат в точ-
точках М и N, то а и 6, взятые с подходящими знаками, — длины отрезков ОМ и ON.
1.4.2. Воспользуйтесь тем, что х2 — 2х + 2 = (ж — IJ + 1; 2ж2 + 4х = 2 (х + IJ — 2.
1.4.3. а) Растяжение от начала координат (гомотетия) с коэффициентом '/к переводит
точку [М (х, у) в точку М'(х', у'), где х'— \fk~x, у' = >Jky. Отсюда х'у' = кху = к.
б) Растяжение в направлении оси х с [коэффициентом к переводит точку М (х, у),
У О & g J/ 6
Рис. 0.1
/ х
I -г
в точку М1 (хи уг), где х1 = кх, уг
у ^
откуда х =
доказать, что при к,
2
1 / к к \
имеет место неравенство "9~1"^" + —у
1.4.4. Требуется
к
или
1.5.1. в) График функции у = х*-\-х2 получается «сложением» известных нам гра-
графиков функций у\ = х4 и 1/2 = я2; по форме он похож на эти графики. 1.5.3. См.
рис. 0.1, а—г, отвечающие предельным случаям п—> со; при больших п графики будут
близки к изображенным на рис. 0.1.
В) У = \
1.6.1. а) г/= "-2; б) у = :
х Ь |/*-(с-*»/4в)
1.6.3. а) у-
г) у = ±>
da; — Ъ
¦1—1.
а 2а ' ' J —сх -\- а
1.7.8. Здесь не сложно и чисто формальное доказательство того, что фигурирую-
фигурирующие в условии преобразования переменных хну сохраняют знак величины аВ (см.
решение упр. 9), откуда уже следует несводимость кривых (Юа), A06) и (Юв) одна
к другой. Однако возможно и более содержательное («геометрическое») рассуждение.
Нетрудно понять, что ни сдвиги начала координат, ни изменения масштабов но осям
х и у, равносильные равномерным растяжениям кривой а направлениях осей, не ска-
сказываются на наличии или отсутствии у кривой y=f(x) (локальных) максимумов и
минимумов, а также на наличии или отсутствии у нее точек перегиба, касательная
в которых горизонтальна. Отсюда и из того, что кривая (Юв) имеет два максимума
(отсутствующие у монотонно возрастающих кривых (Юа) и A06)), а кривая (Юа)
имеет точку перегиба (касательная в которой горизонтальна) — начало координат, от-
отсутствующую у двух других кривых, уже следует требуемое утверждение. 1.7.9. При
б2
В= с — -п— = 0 зависимость (9) сводится к виду (Юа); если же В ф 0, то эта аави-
62 Ь2
симость сводится к виду A06) при аВ=ас — у>0и к виду (Юв) при ас — -д- < 0.

Ответы, указания, решения
483
1.8.1. а) Кривая изображена на рис. 0.2. 1.8.2. Окружность ж2 + ?2 = 1- 1.8.3.
Эллипс (рис. 0.3). 1.8.4. Отрезок прямой у = х между точками (—1, —1) и A, 1).
1.8.5. х = rare cos — \/2ry — у2. 1.8.6. а) Уравнения эпициклоиды: х = (Л -\- г) X
R + r
X cos г — rcos-
¦ t, у = (Л -f- r) sin t — г sin ¦
t. б) Уравнения гипоциклоиды:
Рис. 0.2
Рис. 0.3
x = (Л — г) cos t -f- r cos
R—r
t, у = (Л— r) sin i — r sin
R — r
f. На рис. 0.4, a—г
изображены соответственно: эпициклоида при R = r (кардиода); гипоциклоида при
r = 1'3R (кривая Штейнера); гипоциклоида при г = 1/4Л (астроида); гипоциклоида
при г = 1/2Л (диаметр окружности радиуса Л).
Рис. 0.4
1.9.1. а) у ——х; б) ж = 0; в) у = х -j- 2; г) г/ = — 4/3ж. 1.9.2. Для первой тройки
точек: Л2"?>8 = 90°; ДдАМз = 25; А^ л^ = 2 •S. 1.9.3. а) 2^2. 1.9.4. а) 3 ^2/2.
1.9.7. Если г/ = кх -\- s — уравнение прямой, то в «новых» координатах х', у', связан-
связанных со «старыми» координатами х, у формулами F), уравнение той же прямой будет
иметь вид у' = к'х' -\- s', где
к cos a' + sin a' s + ка' — Ъ'
cos а' — к sin а' ' s ' cos а' — к sin а' •
здесь а' — —о = Z-x'Ox — угол между осями О'х' и Ox, a о' и Ь' — координаты нового
начала О' в старой системе координат хОу.
Глава 2
2.1.1. a)
2.2.1. с
= 0,3965-|-4,162 • 10-3Г — 15,072 •
2.1.2. увр=
B,081
— 15,072 . 10~7Т) X
р
ХАГ —5,024 • 10-'(ДГ)а; емгн = 0,3965 + 4,162 • Ю/1 — 15,072 . Ю-'f2; в @) = 0,3965;
с A00) =0,7977; с E00) = 2,1007. 2.2.2. снгн = 4186,68 + 16746,72 . 10-*У + 3768 • 10~АТ2.
2.4.1. а) у'=Ах3; б) у' = 12х3 — 6х + 2; в) ^'=8ж + 4; г) у'= — 2/х3; д) у' =
= аA — 1/ж2); е) у' = 2ах — 2Ь/х3. 2.4.4. A, 2J = 1,44; если у (х) = ж2, х = 1, Дх = 0,2,
то г/ (ж) -j- у' (х) Дг = I2 -|- 2 • 0,2= 1,4; ошибка составляет около 3%. Аналогично
A,1J = 1,21 и A,1J %12+ 2 .0,1 = 1,2 (ошибка около 1%) и т. д.
2.5.2. Касательная горизонтальна в точках ж = 0 и х = 2. 2.5.3. См. рис. 0.5;
горизонтальная касательная при г = +l/V3. 2.5.4. См. рис. 0.6. 2.5.5. См. рис. 0.7.
2.5.6. а) г/ = 3/4 х-74. (Vs. 0), @, -i/4); б) </=Зх-2, (»/„ 0), @, -2). 2.5.7.
Касательная к параболе а) в точке (х0, у0) пересекает оси координат в точках
(жо/2, 0) и @, —^о); касательная к кубической параболе б) пересекает оси координат
в точках B/3 х0, 0), @, — 2у0).
2.6.1. а) ж = 0; минимум при а>0, максимум при а<0; б) х= — 1 — максимум;
х = 1 —минимум; в) х = —\lbja F/я>0), максимум при о>0, минимум при а < 0;
x = ^bia (bja^>0), максимум при а <^ 0, минимум при о > 0. При bja^O нет ни мак-

Ответы, указания, решения
симума, ни минимума; г) х = —1 — максимум; х = 1 — минимум; е) о>0, х = 0 —
минимум; о=0, х = 0 — минимум; а<^0, х = 0 — максимум, х==—у'—а/2—минимум,
^ = ^^0/2—минимум. 2.6.2. t = 4°. 2.6.3. а) <я=4,08°, б) г ^3,92°.
Рис. 0.5 Рис. 0.6 Рис. 0.7
2.7.1. 2; 6ж; 12х2; 2а. 2.7.2. Ускорение равно 2а; оно постоянно. 2.7.3. а, в) Кри-
Кривая выпукла при z<0, вогнута при я>0; б) выпукла при х<—/>/3, вогнута при
х>-р/3.
Глава 3
3.2.2. Ниже приведены значения сумм при разбиении отрезка на та частей (го = 10,
20, 50, оо):
m
Л(
10
0,1
2,18
2,49
20
0,05
2,26
2,41
50
0,02
2,30
2,37
со
0
2,33
2,33
Видно, что уже при го = 50 обе суммы незначительно отличаются от предельного
значения при т = со.
>
Рис. О.8
Рис. О.9
Для точного вычисления интеграла (предельной суммы, отвечающей «значению»
/п= со) запишем:
y + 2
J=i
2тге2 + Зго + 1 1_ J_J_ 1 1
6т2 = 3 + 2 m + 6 m2 '
1
г m ' тге» —
2
откуда сразу следует, что I t2d? = -g-(%0,33). 3.2.3. Пусть
= 2. Далее составим
ту—
= у 2; обозначим .
I
2
1=1

Ответы, указания, решения 485
д4т+з_дз gs [(?•")* —1] 9s B4 — 1)
X 94_i =9s + g2 + g + 1 =?8 + 92 + g+1 ; устремляя /те-»¦ со (и q-*i), получим
15 3
= — = 3^ = 3,75.
1
3.4.1. а) 1/3; б) у A,1s — 1) =ьО,11ОЗЗ; в) 1/2; г) 2 (у^З - l)=» 1,464. 3.4.2. а) 5:
= j у (х) dx, где у = у (х)= yi- уравнение гипотенузы. Отсюда S = \ -г xdx ¦
о о
ъ
Ах2
1
=У6Л- 3.4.3. а) 5 = 1[3х0у0; б) S = 2j3x0y0. ЗЛА. 5
= j •г2 — z2*r. 3.4.5. 0,7837 для ге = 5; 0,7850 для и = 10. 3.4.6. См. рис. 0.8.
—г
3.4.7. См. рис. 0.9, а—в.
1
3.6.2. Не изменится. 3.6.3. z/3R3tga. 3.6.4. \у v'l — y2dy = 1/3; заметьте, что пло-
о
щадь сечения «копыта» (рис. 3.6.8) плоскостью, перпендикулярной плоскости АВР,
параллельной АВ и удаленной от АВ на расстояние у, равна 2^1 — у2.
Глава 4
4.2.1. а) у' = (г2)' г2 + х2 (ж2)' = 2 • 2я -а;2=4х'; б) ^' =5ог* + 46х» + Зсж2 + 2dx + e;
г) Eж + 3/2) l/i. 4.2.2. /"(а:)=?(а:)А»(а:) + 3?'A)А''(х) + 3^(а;) А'(г)+?w (ж) А (х).
4.2.3. /" (i) = gAft» + gh"k + ?"АА; + 2gh'k' + 2^'А/с' + 2^'A'ft.
4.3.1. -^ = -^-^ = 2уа=2а(ах-}-Ь); z' = (ах2 + 2аЪх-\- б2)' = 2а2х + 2о6. 4.3.2.
а „ , 2о
а> 2' = -(а* + Ь)«: б) z =~ (а
5 1 d*y Ь 1
; в)
^ = Tctgf. 4.4.3.6)^ = ^^; в)= _
4.5.1. (П ^'=5х4 —12ж»+3ж2 + 14I — 2; б) у' = 2 (х3 + х+ 1) (Зж2 + 1); в) у'=,
= A(x2-x + iKBx-l); г) ^' = 10(Зж2_1)».6х; д) у'= J_ ; e) </=жЧ
V iC ~ 1
2 1
у/ = —. 5-— . 4.5.3. а) Если х изменяется на 1%, то Ау = п ¦ 0,01г/; поэтому при
изменении х на & % Ау = п • 0,01ук. В данном случае х изменяется на 10%, Ау =
= ге-0,1г/. Так как га =1/2, то Ау = у • 0,1у=0,05у. Поэтому у (И)sty A0)+0,05 ¦ 5=
= 5,25; у (9) =& у A0) — 0,05 • 5 = 4,75.
Получим теперь точное решение. Обозначим коэффициент пропорциональности
через к; тогда у = к Vx. Так как при х = 10 должно быть у = 5, то 5 = & v'lO, откуда
к я: 1,58 (вычисления ведем с двумя знаками после запятой). Поэтому !'у = 1,58 v^xi;
у A1) = 1,58^11^:5,24; у (9)^4,74. б) Приближенные значения: у A1)^4,50; у (9)^5,50.
Точные значения: у A1) яг 4,54; у (9) =5; 5,56. в) Приближенные значения: у A1)^6,00;
у (9)% 4,00. Точные значения: у A1)^6,05; у (9)^4,05.
4.6.1. y'^{x^i){^-3, Ш^=3.^
4.6.3. у'= 5х^х^—[ (х* _2z)I'- + 4^=T:' 2^(^3- 2x)'/5+i^Mi!C^_2) X

486 Ответы, указания, решения
X х*$хг — 1 (упростите!). 4.6.4. y' = (i ——r=r) \/х3 — 2 + (х + -=^— Z 4 6.5.
V 2\Jxs J \ vx/2vx3—2
2\Jxs
+х2 , _ (упростите!). 4.6.6. у' = 5 Ux -A- —)Y-^-=— —^=
2^/х + х \ ' W \3\3я2 3\1а:*
-4-6-7- ^'=
-jr. 4.6.13. j/'= — ' 4.6.14. г/' = v ' 4.6.15. j,' =
(8х — х*)\/{ + хг 4
46Л6 ' № + 3? +4.6.17. у' =
^—_
• 4-^ • У -
4.6.22. у' = 1.^г^ у^фф, 4.6.23. г,' = ^^=Г1^_,_
, A + 2 v'a) z v'a;2 - 1 , „ _ , 1/ 1 \-«/, / 1
/1 VI,
( x + 4- )
- 7
У( + ) V \ 2 V'a
4R.25 1-6^-4.^
3(a;+l)^/x2(x+l) *
4.7.1. ?'%2,31g2.2^. 4.7.2. y'^2,3 ]g 5 . 5*+i. 4.7.3. !/'^-2,31g 2 • (-^T ¦ 4-7-4-
'23 lO^ 2Ж". 4.7.6. у' ^1 - ^-V 2,3 Ig 2 . 2X+1'X.
4.8.1. a) j/' = — e~x\ 6) (/' = 5еж — Зезх; в) г/'=2хея>; r) y'=—-^ev'*; д) j/' =
= 3(ж2 — 1)е*3-3*а. 4.8.2. Больше чем в 150000 раз.
lg 15
4.9.1. logt 15^ . g ^1,6825. 4.9.2. а) Дифференцируя обе части указанного
(uv)' и' v'
равенства (логарифмы — натуральные!), находим ———:= — _)- — , откуда (uv)'=
= u'v-\-uv'. б) Продифференцируйте почленно равенство In (ujv) = Jn гг — In v. 4.9.3.
1 1 1
a) У'= ж + з : б) ^' = -2^-Bх)' = — , или? = 1п2х=1ц2 + 1п^, поэтому ?' = (ln2)' +
^ 2.^ д;2 1 бд; 1 2
+ (in »)' = -; в) v'=zr+T-> r) ?' = ж(а;2 + 1); д) v' = 3X*-x+v e) г/' = ^^г:
ж) У' = ба:(д + 1)'; 3' 1''=1пж+1; и) У' = 3ж21п (я + 1)+ ^ + t ; к) Так как In у =
1
= ж1пх, то, дифференцируя, находим — у' — In х -)- 1, откуда г/' = г/ (In a; + 1), или
1 , .-.j-Trr ( х In x v'a:2 — 1 \
у' =г*Aп:г+ 1); л) у'= у (Vzf 1^===+ j (см. указание к упр. к).
4.10.1. у'= 2 cos Bх + 3). 4.10.2. у'= — sin (ж — 1). 4.10.3. у' = — Bх — 1) sin (x* —
— x-j-1). 4.10.4. г/' = 2 sin a; cos x. 4.10.5. у' = 3 cos За; cos2 х— 2 cos a; sin г sin За;.
Bа; cos 2a:\ x
ln sin 2х + sin 2а; j <СР' С 93> 4Л07 ' 1 +

Ответы, указания, решения 487
Т^. 4.11.3. y' = ^L=. 4.11.4. у'=
4.12.1. -1; 1. 4.12.2. —1.
Глава 5
.2.1. 1/6. 5.2.2. 1/2. 5.2.3. 2. 5.2.4.-^Y=arctgl — arc tgO = -|- — o) . 5.2.5. e — у.
6 1
5
5.2.6. 1.
5.3.1. x3-x2-\-x+C. 5.3.2. ^-у^ + у-у + С. 5.3.3. \х* — ^хг+^хг + С.
Л » ,
5.3.4. -2-ж2 + 2ж + 31п|я| + С. 5.3.5. 2х +In |x — 11 + С. 5.3.6. у х + ~ "
- 5.3.7. Если (х _ 2)Д(а. _ з) = Т^2"+7'=ГЗ ' т0 ^ (ж - 3) + В (* - 2) = ж,
т. е. (Л + В)х — {ЗА + 25)=х и 4+5 = 1, ЗЛ + 2В=0; поэтому А = — 2, Я=3.
Ответ. — 21п|г — 2 | + 3 In | ж — 3 | + С. 5.3.8. — In | х — 1 | + In | х — 2 | + С. 5.3.9,
х+1 х+1 А В
Если x,_3x + 2={s-l){x-2)=T=ri + T=2- To ^(*-2) + 5(х_1)=»+1.
откуда Л = —2, 5 = 3 (положите в предыдущем равенстве сначала х — 1, а затеи
х = 2). Ответ. — 2 In | х— 1 | + 3 In \х — 2\ + С. 5.3.10. Если , 2 , ,. =—4-
В Сх
+ ^fl+^qn. ™ Л (х2 + 1) + 5х + Ся2 = х + 2, т. е. А = 2, 5 = 1, С =-2.
Ответ. 2 In | а; | + arc tg x — In (ж2 + 1) + С.
5.4.1. cos ж -)- х sin х + С. 5.4.2. х (In | х | — 1) + С. [Указание. Положите в фор-
1 /1 1\
муле E.4.3) / = lnx, d^ = dx.] 5.4.3. -j х sin 2х -lyi2 —") cos 2x + С" 5-4-4' (~ж> —
— Зх2 — 6ж — 6)е-* + С. 5.4.5. Bж + 1) cos х + (х2 + х — 1) sin x + С. 5.4.6. Пусть
Bж2 + 1) cos 3xdx = (аххг + &ix + Cj) cos Зж -j- (o2i2 -f- 62z + c2) sin Зх. Дифференцируя обе
части равенства, получаем Bж2 + 1) cos Зх = Bахх + b\) cos Зх — (Захх2 -(- 36iX -j- 3c{) X
X sin Зх -j- Bа2ж + Ь2) sin Зж + (За2х2 + ЗЬгх + Зс2) cos Зх, т. е. Bx2+l)cos3x= (—3OJX2 -^
— ЗЬ\х — Зс] -j- 2агх -\- Ь«) sin Зж -\- (За2ж2 -j- ЗЬ2ж -j- Зс2 + 2axx -(- Ъ\) cos Зж. Таким образом.,
имеем 2х2 -)- 1 = За2ж2 -]- 362ж -\- Зс2 + 2яхж -\- Ь±, 0 = —За]Ж2 — 3bYx — 3ci + 2а2ж -\- 62, от^
куда 3a2 = 2, 362 + 2a1 = 0, Зсг + Ь1 = 1, —За1=О, —Зб! + 2а2 = 0, —Зс! + 62 = 0.
2 4 5
Из этой системы уравнений находим: а1 = 0, Ь2 = 0, е1^0, а2 = -у-, Ь1:=-д-, с2 = 2у .
Ответ, -ц- х cos Зх + ("Т х2 + 07 j sin ^х -\- С. ЪЛЛ. х arc sin x -f- v'l — х2 -j- С. 5.4.8,
1
xarctgx — " In (x2 -j- 1) + C. 5.4.9. Положим / = sin Зж, dg = e2xdx; тогда интегрирсь-
f 1 3 Г
ванне по частям даст \ e2x sin Зж dx =~2 e2x sin 3x — -g- \ е2г cos Зж йж. В последнем
интеграле полошим / = совЗж, dg=eixdx и снова выполним интегрирование
Г 1 3 (^ 3 Г \
по частям; мы получим \е2х sin Зх йж = у е2х sin Зх — -tj-( уе^совЗж + у I eaisin 3xdx J.
Рассматривая последнее равенство как уравнение с неизвестным I e2;csm Зж dx, нахо-
f егх B sin Зх — 3 cos Зж) , ех (cos 2ж + 2 sin 2ж)
дим y2xsm3xdx= jg -+С. 5.4.10. у- ^ —+С.
1 / dt\ 1
5.5.1. -g- sin (Зг — 5) -j- С (положите Зж — 5 = t, dx = -g-l. 5.5.2. — у cosBz -f-1) -j- C..
!
2
VCx — 2K +C. b.b.'
z2dz Г z2 — 1 + 1
5.5.3. -7rVCx — 2K +C. 5.5.4. Так как при vx=z имеем x = z2 и dx = 2zdz, то
— 2z + 2In A + z) + С = x — 2 v'x + 21n(l + •ar)+C.5.5.5Va;2 — 5 + С 5.5.6.
sm* x

488
Ответы, указания, решения
ИЛИ — -?
1
•4- cos4x+C 5.5.7. —
(положите cosx = i). 5.5.9. arc sin f —j-f-С. 5.5.11. In | x -f- vV -f- x2 | -j- С (Помимо
намеченного на с. 145 приема, здесь возможна также искусственная подстановка
x=a tg ? (т. е. ? •= arctg (х/а)), dx = adt/cos*t и я2-)-!2 = a2/cos2i или подстановка
Va2 -f x2 =z — x, откуда, возводя обе части последнего равенства в квадрат, полу-
получаем a2 — z2 — 2zx (член с ж2 в обеих частях равенства сокращается!) и, значит,-
dz =
=J—•) 5.5.12. Полошим
Глава 6
6.1.1. у = (ах% -j- bxl + сяо + й) + (Зох§ + 26х0 + с) (х — х0) 4- (Зах0 -f- Ь) (х — х0J +
-)- а (х — х0K. Последующие члены все равны нулю; сумма выписанных четырех чле-
членов равна многочлену. 6.1.2. Так как у @) = 0, у' @) = 1, у" @) = 2, ..., у1п) @) = ге,...,
т (т — 1)
тг + ^ г
1
"ЗГ {х — 1)* + ... . 6.1.4. Легко проверить, что A
(ср. § 4), етТ^ 1 -\-mr-\-—ц—• Таким образом, при малом г величина emr отличается
от (l-f-r)m слагаемым 1/imr2. Так, если от = 50, г = 0,02 (см. пример на с. 127), то
1/2mr2 = 0,01, т.е. ошибка менееО,5%. (При малом гог2 величина m может быть и боль-
большой; при этом, конечно, и величины mr3, mr*, . . . будут малыми.) 6.1.5. а) По фор-
формуле B4), где у @) = 1 и Аг/ = у (Дж) — 1, имеем
4х
</Dх)
*У
hx
1
2,7183
1,718
1/2
1,6487
1,297
1/4
1,2840
1,136
1/8
1,1331
1,065
Дх->0
1
1
/Дх\ / Дх\
По формуле B5), полагая Ду = у I —^-l — у I — ~~2~) < получаем
Дх
"("?)
( Ах\
Ду
А у
Дх
1
1,6487
0,6065
1,0422
1,042
1/2
1,2840
0,7788
0,5052
1,010
1/4
1,1331
0,8825
0,2506
1,002
1/8
1,0645
0,9394
0,1251
1,006
Дх-»0
1
1
Дх
1

Ответы, указания, решения 489
6.1.6. Подставьте в числитель дробив правой части B7) выражэние A3а) для / (о+4х)
и / (а — Ах) (в A3а) надо положить соответствендо x = a-f-4i и х = о — Ах).
6.2.1. Примените формулу Тейлора A.18) к функции A) (или формулу Маклорена
A.19) к функции Aа). 6.2.2. si х = С + х — -jg- + ggg — . . ., где С = 0, если усло-
условиться, что si 0 = 0.
6.3.1. а) у = Т=4 = 1 + 2* + 2*1 + 2*» + 2** + . . .; б) г/= In A + s) = z --^
+ ?-?+... 6.3.2. , = in* = (*-i)-
В упр. 1 ряды пригодны для вычислений при | х \ < 1; в упр. 2 — при 0 < х < 2.
6.3.3. / (х) g (x) =f(O)g @) + [/' @) у @)+ff' @) / @)] х + у [/' @) ff @) + 2/' @) g' @) +
*» +
*» + ...
6.4.2. Это суть формулы C) для a = 1 и /те = — , в которых оставлены соответ-
соответственно первые два (а) и первые три (б) члена. 6.4.3. tfi,2 =«1,067 и =«1,062 (таблич-
(табличное значение 1,063); ^1,1 =«1,033 и =5:1,032 (табличное значение с четырьмя знача-
значащими цифрами: 1,032). 6.4.5. Уже {'/х)' при х = 0 не существуэт (обращается в оо) .
6.5.1. а) 1; б) —1/2; в) 1/3; г) оо; д) 1; е) 1/2. 6.5.4. а) Сделайте подстановку t = —
рассмотрите отношение f\t~):&\~J~)'t воспользуйтесь правилом B). б) Докажите,
и рассмотрите отношение f\t~):&\~J~)'t воспользуйтесь правилом B). б) Докажите, что
f{x)—f (х0) /' (с)
. , —,—г-= г , \ , где с—некоторое число, промежуточное между х и х0 (почему?);
В (х) 6 \хо) 5 \с)
далее, считая, что х и ж0 близки к о (и расположены по одну сторону от а), устре-
/ f(x)—f(x0) f (х)
мите сначала х—>а, оставляя постоянным ха (при этом гт~~\ ?—Г—*—Г~Г > гДе>
V S \х) s^o) б\х)
по условию, х-*а), а затем устремите и ж0->о.
6.6.1. а) у =-- —^; б) j,*_ftx» = e; в) у = 4х*; г) у - ^JL-^:; д)
= Aesinx. 6.6.3. y=0. 6.6.4. Разложите е*'/2Ф (х) в ряд по степеням х (для чего
надо разложить в ряд е~*''2 по степеням t и почленно проинтегрировать полученное
равенство); докажите, что при подходящем х0 произведение ех'2Ф(г) представляется
рядом B3) (где а0 = 0).
6.7.1. z = z0T — (zCT — z0) exp ——j (f — «о) ; уровень воды возрастает, асимптоти-
L о -J
чески стремясь к значению z = zCT. 6.7.2. Найдите удовлетворяющее дифференциаль-
дифференциальному уравнению стационарное значение z = zOI = const (=qojk); далее обозначьте
z = zel -|- zx и составьте дифференциальное уравнение для функции z1 = z1(f).
Глава 7
7.1.1. х= g . 7.1.2. Если принять за х сторону прямоуголь-
прямоугольника, принадлежащую основанию треугольника (равному о), то площадь прямоуголь-
(х\ h a
1——)=hx— — х2. Решая уравнение S' (х) = 0, находим х = -~ I
тогда вторая сторона прямоугольника равна у и его площадь S(x) = —r-. 7.1.3.
S = 2R2 (искомым прямоугольником является квадрат). 7.1.4. Радиус основания
-r—, ее высота h = 2r. 7.1.5. t = —2~T!—г—• 7.1.7. Время движения
'2 \ г \ 'б2
Т = — v'a2 -\- хг -\- — у'б2 + (с — жJ, где с — величина проекции отрезка АВ на ли-
dT
нию I раздела сред, а и Ь — расстояния от точек А и В до Z. Условие -;—==0 дает

490 Ответы, указания, решения
—. ¦= , или, так как . =¦ = sin о, , = sin В,
iiiVaH1 vi »Ь- 4" (с 4- я)* Va2 4" ж Vb2 + (с — а;J
где « и р — углы, образуемые линиями движения тела в I и во II средах с перпен-
перпендикуляром к линии раздела сред, sin g ~ ~ ' (Это —аякок Снеллиуса, т. е. точка
должна двигаться так, как движется световой луч, пересекая границу двух сред
е равными скоростями движения в этих средах.) Для доказательства того, что мы дей-
действительно получаем минимум Т, достаточно выписать ^ 2 ; легко убедиться, что
— >0 при всех х.
7.2.1. j/mjn =3. 7.2.2. В момент времени t переход Я представлен отрезком длины I,
концы которого проектируются на прямую, отвечающую берегу, на котором сидит Р
(мы ее принимаем за ось ж), в точках с абсциссами xi—v(t — tu), x2 = v(t — ta) — I
(»а начало координат принята точка Р). Расстояние от Р до точки М парохода Я
равно Д {х) =^х2 4- hz , где хг < х < х2; нам надо найти D = min Д (х). При t0 < * <
< <о 4- — этот минимум равен Л; он достигается в точке х = 0, отвечающей усло-
йД /
вию -г- =0; при t <^t0 и f>to-(-— имеют место граничные минимумы, равные
V
соответственно v'y2 (t — t0J 4- h? и V[u (t — ta) — l\2 -j-h2. (Эту задачу можно решить
в чисто геометрически, беа дифференциального исчисления.) 7.2.3. а) #Ша»—0 при
z = 0; б) 1/тах=* ЧРИ Я«=0.
/i? + a;S\i/n х-,-4-хо
7.3.1. Докажите, что ?"<0. 7.3.2. а) ( 2 ) >~Ы—^nPHre>!. xi Ф Хг\
\i/»> ж, + х2
При fc>0 И Ii^Ij (Н Ji, l!> 0); Г) 1/iXi log Xj + 1/2Z2 log X2 > V2 (-^1 + X2) X
X log [(zj -)- жг)/2] (во всех случаях приведено лишь неравенство, являющееся част-
частным случаем неравенства A)).
37
7.4.1. тс/2. 7.4.2. 1/6. 7.4.3. 2тс + 4/3 и бтс — 4^3. 7.4.4. a) a In 2; б) -^ а (здесь
о —количество краски, идущее на окраску единицы площади). 7.4.5. Юл.
a b a ab ab
Jdx Г Ах С dx С dx f dx
1 1 1 а 1
2
7.7.1. у = х^ = у j ж2йа; = у . При этом у A) = 1 < у Я: 1,33 <У ^ ^ > = 2-
о
7.7.2. a) y=Ij@)+{i/(l)+-6i'B) = -3-'l + -6-* = {; б) j ydx = (j rx* +
a
+ JPX* + дж) ? = у r (Ь3 - «3) + уР (б2 - «*) + 3 F - а) = (Ь - а) [у г (б2 4- аЬ + а*) +
ь
+ ур(Ь 4"а) + 9 • По формуле Симпсона C) должно быть \ydx=(b — а) у =
а
Г1 2/а4-Ь\1 /о +
*=(о — а) I -g- у (а) 4г у у I—2—) + у?(*) • Подставляя сюда значения г/(а), г/I—^
и у (Ь) и сравнивая с полученным выше выражением, убеждаемся в том, что они
2В
«ождеетвеняы. 7.7.3. F = 2R_R ) ^ dr ^ (
в
А
«в=0,5"-5г". Среднее значение силы на этом участке вдвое меньше силы на поверх-
поверхности Земли, F = 0,5F0. 7.7 A. a) F(R) = F0, F BЛ)==у Fo; _LL

Ответы, указания, решения 491
= 0,625F0>0,5/'0 (ошибка имеет порядок 10%); б) f(—i \ = F (-j R) = -5- Fo;
1 2 4 1 109 x
поэтому -g-^o + y ' "9" ^o + eTl^o3^^0^0'505^0 (ошибка !%)• 7-7-5- ^4П •
7.7.6. ln m _ [ц я • При m = n + -v, где -v<^n. In m = ln (» + -v) = lnn + ln(i + —J =
v v2 111
= Inn + — — 2^2 + • • • 7.7.7. а) Оба средних значения равны -^ • б) -^—— и
~2 ¦+" ~ ¦ 7.7.8. Если Т — период функции у, то должно быть sin [со (t -\-Т) -\-а] ==
= sin (cot -\- а), откуда шГ = 2л, Т = —^-. Период же функции у2 равен -у =—; еле»
довательно, надо найти среднее значение функции у = sin2 (cot -\- а) на промежутке
от t = 0 до t =—. Получаем
у -
— ]
0
1
0
sin2
1 -j-4.
(cot -f
It/ft)
ж2 da;
¦a) dt
; 6)
ТС/Ш
со г Г
0
1
0
¦1
2
+ e
1
2
2Ж d
cos 2 (со
x; в)
» + «)'
4
a
a
J Г °2 + а Д а'
0
~a J" ^z. He
1/2 1/2 \ 1 z— 1
)d +^(+C). Поэтому
— 1 1 <J2 — 1
1
Т
Разбивая дугу цепной линии на участки от х — 0 до а; = 0,9 и от а; = 0,9 до х = 2,
2
е2_|_е-2 ео,в_(_е-о,» 1 г 2
находим s, % 1,043, s2 == —2^ ~~ 2 +2" ) ех — е~х dx' B последнем ин-
0,9
Г 2dx Г 2exdx r 2dt p/ 1
теграле можно положить ех = t, тогда j ^ __ g_g = j . д.а _i=jf2_<==lG 1 —
— —-j—jjdt. Окончательно получаем s2^:2,624 и s = sx -(- s2% 3,667. По точной фор-
формуле находим « = Зч,627. Ошибка равна примерно 1%. 7.8.4. s% 1,146. 7.8.5.
/ /
Г д^ж С г 1 / х \2 3 /жч*
рассматриваемой цуги окружности 5= J -^====- = j ^i_|_—^—j _|_ _/ j ц_
о^о
5 /а;\6 35 /_ж_\8 1 в _L Л J_ JL _Ё_ 35 \
+ Тб,Д; +128 V^/ +• ¦¦\dx — н у/2 {!+ 12 +160 + 896+1^32 + - ••) ¦ Соот-
Соответственно этому получаем следующие оценки числа гс: 1) л ^& 7F ( ' + То" + Теп) =%
V2 V ^^ 1Ь0/
^3,117; 2) ^^(l + TV + llo + ^b3-133; 3) ^A(t+_L + _|_ + _5_ +
аЪ 2х3 12ахг
: 6)^; В) А
V(a3sm2t + 62cos2t)s V(l + x')°l ' v/(l + 16a2x')» "*
7.10.2. F=2n. 7.10.3. xc = — Д.
7.11.1. а) г/Шах = 2 при ж = 0; ymin==— 2 при х = 2; б) максимумов и минимумов
нет; кривая пересекает ось х в точке х = 1 4-^14 ^ 3,4, а ось г/— в точке jr = —15-

492 Ответы, указания, решения
в) максимумов и минимумов нет; кривая пересекает ось х между точками х = 0 а
х = — 1, а ось у — в точке у = 3. 7.11.2. а) Три корня; б) три корня; в) два корня;
г) один корень.
Часть вторая
Глава 8
8.1.1. Т ^1600 лет. 8.1.2. 176,5 г. 8.1.3. 53,3 г. 8.1.4. Мы знаем, что TV (t) = Noe~~itl,
где No— количество вещества в начальный момент 4=0. Нас интересует момент вре-
99
меви tu к которому осталось A00 — 1)% = 99% вещества: N (tj) = -щ^ ЛГ0. Поэтому
99 , „ 100 100
jqq iV0 = iV0e~Il't, откуда ?i = fln -щ-. Для радия f = 2400 лет, поэтому i1 = 24001n-gg-=
= 24 (года). Аналогично в трех других случаях находим i2^250 лет; ?3^5500 лет;
*4яг11000 лет. 8.1.5. Пусть [в начальный момент времени t=0 количество атомов
в Ю12 атомов породы равно No; в момент i = 10 000 это количество равно 1. Поэтому
юооо
l = iVoe 240° , откуда Лг0^;е1я=65. Аналогично находим, что 10е лет назад iV0^;e417s;
я: 10181. Получился явно нелепый результат: в 1012 атомов породы содержалось 10Х81
атомов радия! Еще более нелепый результат получается, если подсчитывать содер-
содержание радия 5 • 10е лет {назад. Нелепость результата доказывает неправильность
исходного предположения о том, что имеющееся в настоящее время количество радия
можно рассматривать как остаток от распада радия, входящего в состав Земли в мо-
момент ее образования (ср. с § 8.4).
Глава 9
t t
9.1.1. A (t) =— h \ v2dt; А отрицательно, так как \ v2dt > 0 при *>?„. 9.1.2. Дви-
2%
жеяие тела периодическое с периодом Т = —; требуется определить работу за пол-
полпериода. В течение первой четверти периода скорость положительна, а потому F =—h;
во второй четверти периода скорость отрицательна и F — h. В каждом из этих про-
промежутков времени сила постоянна, а работа равна произведению силы на путь, прой-
пройденный телом; для 1-й и 2-й четвертей периода A-l = —hB и 42 = Л (—В) = — hB;
т
работа за полпериода А = Ах -\- Аг = — 2hB. 9.1.3. А = S/Ocox \ sin ш0* cos m^tdt. Этот
о
1
интеграл легко взять, воспользовавшись тем, что sin wot cos uiit = -^- [sm (coo+coi) t -\-
1
-\- sin (ш0 — (O!) (]. Поэтому A = —2— J [sin (шо + щ) t.+ sin (<o0 — Wl) t] dt = —^— X
о
ч , Г 1 , 1 COS (юр 4- щ) T COS (ш0 —ш,)Г '1
X ,„ i ,, +7; 77 — ,, I , — ; . В случае ш, =ш0 пользо-
L "о т Bi *• — Ш1 шо ~г wi шо — wi J
ваться последней формулой нельзя. Однако в этом случае sin u>ot cos wji = -j- sin2co0t,
т
S/Owo r S/o
откуда A — —2—J sin 2aotdt=—^-(l — cos ш0Т). 9.1.4. Работа силы сопротивления
о
aSfg3 mg2
воздуха Ai(t) = — —g—г4. Работа силы тяжести A2(t) = —^— t2. Для шарика:
Aj (!)«=_0.С0965, Аг A0) = — 66,5, Аг A00) = — 965 • 103; 4,A) = 0,177, 42A0) = i77
Az A00) = 177. Для пули: Ах A) = —1,18 • 10'3, А1 A0) = -11,8, Аг A00) = —И8 . 10»'
А2 A) = 0,435, Лг A0) = 43,5, yl2 A00) = 4350 (значения А везде в Дж). 9.1.5. А =
aSf(v — vaJb
= 2 • Мощность W определяем, пользуясь формулой W = Fv, W =
aSf (f0 — vJv
"=~ 2 • НаиДем> ПРИ какой скорости v (при данном v0) мощность будет

Ответы, указания, решения 493
dW
максимальной, т. е. когда —з— = 0; находим v1 = v0 и i?2 = i>o/3. Ясно, что значение
v = ий нас не интересует, так как оно обращает мощность в нуль. Интересующее
нас значение есть v = i?0/3 (читатель может произвести полное исследование, осно-
основанное на учете знака d2W/di?2). При i»0 = 30 [м/с, v = 10 м/с, Wma =& 25,75 • 10Б Вт.
9.1.6. Работа силы за период А = Вя/ sin а; мощность W=—75—sine.
9.3.1. Прямую, на которой расположены заряды, примем за ось х; пусть заряд е\
совпадает с началом координат, а заряд ez расположен в точке х = 2а. Равновесие
da e\e iete
заряда в точке х возможно, лишь если F = — -т- = 0. Но F = -gj- — 775———г^", если
<2а, т. е. если заряд е расположен между зарядами ег и е2; F =— -—?- —
— <2U _ дЛ2 1 если х<0, и " = ~^г~ + 72^ТГ^J ¦ если х>2а. В первом случае усло-
условие F = 0 дает x1 = 2aj3, x2 = —2o (вгорой корень хг отбрасываем, так как должно
быть ж>0); в случаях же я<0 и ж>2а уравнение F = 0 вообще не имеет решения.
Следовательно, имеется одно положение равновесия xj = 2a/3. Далее подсчитываем
d% d2u
-???¦ в точке х = х1 = 2а/3; мы убедимся, что если е>0, то ¦^т>0, т. е. равнове-
равновесие устойчиво; если же е<^0, то равновесие неустойчиво. 9.3.2. Имеется
одно положение равновесия хг вне зарядов. Если система координат выбрана так же,
как в решении упр. 1, то хг = —2а. Если е^^О, то равновесие устойчивое,
если ее!<^0, то равновесие неустойчивое.
du
9.4.1. Уравнение движения т~^==^\ пользуясь тем, что 1? = 0при* = 0, находим
х t
F dx F F Г F г
у = —t. Поэтому -rr =—t, dx =— tdt, откуда \ dx = -— I tdt, так как а; = 0
m J at m m J J m J
о о
F F F
при i=0. Окончательно x = —,—t2. 9.4.2. a) x = vot-{--n—t2; 6) x = x0-\-vot-\--к—t2.
¦c-771 idTTl ZiiH,
dv gt2
9.4.3. 2,5 м. 9.4.4. Уравнение движения есть m-jj- = mg; отсюда находим х = —^-,
t = 1/ —^5:4,5 с при х = 100 м. 9.4.5. a) i = 3,6 с. б) i = 5,6 с. Далее, в случае а)
v =gt -{- v0. Пусть va — скорость в момент приземления; тогда vn=gtu-\- v0, где tn —
gt2
время приземления. Из уравнения v =gt -\-vQ находим x—vat-\--iy~. Пусть шарик
падает с высоты Н; тогда х = Н при t = tu; поэтому 2Н = 2v0tn + gt*, откуда tn =
% + 2gH
и vu=gtn-]- vo = 'Jv%-\- 2gH. В случае б) v=gt — v0, остальное
о
аналогично; конечная скорость получается такая же, как и в случае а). 9.4.6. х =
k f 2ъ f f
= —t — —- sin (at. 9.4.8. Пусть искомая скорость есть v0. Тогда закон движения
771СО 771Ш- ¦> г "
F
тела х = хй -\- v0 (t — t0) -f- 7^ (t — t0J- Так как х = хх при t = t1, то ж1 =
F ii — х0 F
—<о)+2т" (<1 —*оJ. откуда va = ~~j—~i~ ~~2т ^ ~ *0^
9.8.1. K = -^-t*=F(x-x0). 9.8.2. ^ =
w.Aco
2sin2 (и« + а) = ^ . 9.8.5. а) 4 г&4 • 10' Дж, И'^2,2-106 Вт; б) Azz
ss:7 • 10' Дж, W%38 • 10* Вт. 9.8.6. Определим работу каждой из сил в отдельности.
dv
Для этого предварительно определим скорость тела. Из уравнения m-jr--=at-\-

494 Ответы, указания, решения
ав (• / йб \
4- а (в — t) = ав находим v = v0 -\- —— t. Работа силы F1 есть At = I at ( у0 + — t) dt =
Tit J у ??ь у
о
= —^— + "o—• Аналогично находим работу А2. силы Fz: A2 = —»—-\-~5—• Co-
в
f a№
ставим проиаведение импульва на среднюю скорость: 1г = I atdt = —х- , /2 =
о
р аб2 _ о а ав2 /
= I a (в — «) dt =~2~ • * = g ==и° "^~2лГ "*' и' значит- ^ = ~Т~ \и
о
+ 2^-в2), /2е = -2-^о + 2^-еа]. Видно, что (/, + h)v = Al + A2, хотя /^ ^=
1гЪфАг (ср. с. 284). 9.8.7. В начале опыта масса т имела скорость v0 (она дви-
галась вместе с поездом) и кинетическую энергию лх = —х— .
После действия человека скорость массы стала v9 -J- уь АГ2 = о »
Л „ л Т. „ _
где Ui=~r~« Изменение кинетической энергии Дл =/sf2 — K1=m
fit ?1 ?
Это есть работа, произведенная над массой поездом и человеком вместе. Для того
чтобы определить работу, произведенную над массой m человеком, заметим, что ско-
скорость массы по отношению к человеку, едущему в том же поезде, была равна нулю
дс опыта и стала равной vx после опыта. Поэтому работа человека ^ =-^— — 0 =
mv\ FV
= —к—==—2—. Теперь легко определить работу Л2 двигателя, толкающего поезд:
A2 — hK — Ai = mvovi = v0Ft. I Последний результат легко получить и из других со-
t
обращений. Действительно, работа двигателя А2= \ vFdt; так как скорость v = v0,
о
' \
постоянна, то A2 — v0 \ Fdt = v0Ft. I 9.8.8. До начала опыта скорость массы m и ско-
о /
рость человека равны н\'лю. После опыта масса m приобрела скорость vu человек
dvi di'i
приобрел скорость i?2. Определим эти скорости из уравнений m-^-=F и М -jj- = —F,
поскольку если человек действует на массу m силой F, то масса m действует на
_ Ft Ft
человека силой —F (третий закон Ньютона!). Находим vi~-—,. t>2 = — ~кг • Работа,
произведенная силой F над массой тп и над человеком, есть А = Ki-\- Кг, где К^ =
mv\ FH2 Mv\ F4*
= -р— ="о изменение кинетической энергии массы т, К2==~2—==~2М изме-
FH2 (М + тп)
нение кинетической энергии человека. Отсюда А 2Мт * ^•^•^- Изменение
mv\ F
кинетической энергии массы т равно AKm=:mvov1 -j-—9—• где v> = —1'< изменение
л*- Mv%- 1 м F * * F*t* {M Л-т)
кинетической энергии человека ьКы = —j- -\- Mvov2, где i>2 = — ~W ' ~ 2Ж
9.8.10. а) Если t\ = t, -f Ъ и t!, = t2-\-b, то т' = t'2 — t[ = t2 — ^ = -:. б) Если х[ = х^ +
-\-vti-\- а и х'г = х2 + vt2 + а, где tj = t2, то d' = х'г — х{ =хг — xt= d.
9.9.1. Для 9=30° имеем ж2=565 м, ут^ = 81,5 м; для у = 45° получаем з-2 =
= 650 м, уШах = 163 м; для у = 60° получаем х2 — 565 м, г/шах = 244 м. 9.9.2. Уравне-
g
ние траектории таково: у, = х tg у — а2 2V2 C0S2 9 • При заданном ж = 500 м ищем у, прш

Ответы, указания, решения 495
котором у = ушах, т. е. решаем уравнение -^" = 0. Оно дает tg<f. = —, т. е.
vb + S*x*' v% x2g
= з^2—• Пользуясь этим, из уравнения траектории находим утел = -^~ — ут•
Полагая у„ = 80 м'с, х^500 м, находим !/maxStl35 м.
9.10.1. г ^30000 км.
d2y
9.11.1. Найдите вторую производную зр- функции y=F(z) (ср., вирочем, со ска-
сказанным на с. 294 и 187—188; заметьте, что F(z)->0 при z->0 и при z->co).
9.12.1. Совместив начало координат с центром тяжести стержня, получим /о —
г/2 г/г
Г Г 1*
— \ x2adz = а I г^ж^аттр» так как m = al, то последний результат можно
-г/2 -i/г
г2
записать так: I0 — mj2' 9.12.2. Совместим начало координат с точкой сты-
стыковки кусков различной плотности, так что для первого куска плотность
равна а! при х <^ 0, а для второго она равна аа при х > 0. Тогда
х. =-тг ," 2 ,—;—~. 9.12.3. Выбрав систему координат согласно указанию, получаем
L
,xe —~t 1->\ момент инерции относительно начала / = \ хга (х) dx = -т- . Так как m =
о
a/,s 2m , mL2 2
= —, roii = -^-; поэтому /=—tj—¦. Но в силу A3) 10 = 1 — mif, где^1 = -д-^;
•отсюда /0 = [8
9.13.1. а) Ср. с указанием к упр. 12.3. Ответ. Центр тяжести принадлежит ме-
медиане треугольника и удален от его вершины на расстояние, равное 2/3 медианы
(совпадает с точкой пересечения медиан), б) Пусть основания трапеции равны а и Ь,
где а>Ь; центр тяжести расположен на прямой, соединяющей середины оснований,
1 а\2Ъ
на расстоянии -j h a , b' от нижнего основания, где h — высота трапеции, в) Центр
4
тяжести расположен на оси симметрии полукруга на расстоянии -г— R от ограничи-
ограничивающего полукруг диаметра, где Я—радиус полукруга.
dt 1
9.14.1. Запишем уравнение так: "gj — о iv2 V2\ » откуда, учитывая начальное
е
1 Г dv I
условие v (О)=уО1 находим t = -g-\ у2 V2 • (Для того чтобы выполнить интегриро-
вание, достаточно записать подынтегральную функцию в виде -о з~ = ~ ГГ +
-\- —j-— и определить числа а и Ь методом неопределенных коэффициентов; см.
)V\ -\- V Vi -г- 1>о
Таким путем получаем In v = In A -f- 2py1t, где Л =
i; + v Ae2Pv<{ — 1
или ' _ = ^е213"^, т. е. f = fi . 23е,г . • При очень больших f величина е2^'1'^-!,
поэтому для таких г будет у^;^]. Перепишем решение уравнения в виде v —
А _ 2^ ^<
А е е
= ui ~2&v t' или у ~~ fi = — 2^i— -2pvvt • ДРИ весьма больших ( в знаменателе
можно пренебречь величиной е^', малой по сравнению с А; поэтому в этом случае
¦имеем f — и. S5; —2^! —-л— , или v — vx «= —;— е ^ , сравнивая это с B4), на-
входим С = —-—т" ~- 9.14.2. Для случая сопротивления, пропорционального ско-
v\ "Г V0

496 Ответы, указания, решения
dv к А
рости, уравнение движения примет вид jf~ = §— — v — —> гДе "¦ — выталкивающая
g A
сила. В этом случае происходит установление скорости vx = — — -^. По закону
Архимеда A = V^'g, где V — объем тела, р'= рж— плотность жидкости. Так как
mg?' Si ?' \
m = Vp (p = pT — плотность тела), то А=—-— и у1=—II —— ). При р'>р тело
всплывает (г>1<0), а при р'<р— погружается (i>i>0).
Глава 10
10.1.2. а) Точка остановки х0 = 1/4. б) Точка остановки zos&0,9. в) Точек оста-
остановки нет. 10.1.3. Положение максимума и (х) таково: ишах«;9,5 при х0 = 8/3. За-
Замечая, что левая ветвь графика уходит вверх, а правая — вниз, можем построить
очень грубый набросок графика и{х), которого, однако, вполне достаточно для реше-
решения упражнения, а) Из постоянства суммы кинетической и потенциальной энергий
тела следует, что две точки остановки (в них кинетическая энергия равна нулю)—
значения наименьших корней уравнения —х3 -J- 4а:2 = 6. Это уравнение можно решить
либо графически, либо при помощи какого-либо численного метода. Получим хх %
«:—1,09, #2^:1,57. Тело совершает колебания между точками хх и х2. б) Одна точка
остановки 2:%—2,04. Однако эта точка остановки расположена левее точки, из кото-
которой выходит тело в начальный момент времени. Так как начальная скорость направ-
направлена вправо, то тело уйдет вправо, не побывав в точке остановки, в) Одна точка
остановки xzz;—2,04. В этом случае тело пройдет влево до точки остановки, а затем
уйдет вправо. 10.1.4. а) Точек остановки нет. Тело уйдет вправо, б) Две точки оста-
остановки хг = -(- V9/11, Жг = —v'9/11. Движение тела — колебание между точками хх и х2.
f-i/1 + а;2 Г -|/20-f20a:2
В случае a) t = t0 -f I у 4 _|_ 3x2 dx. В случае 6) t = t0 + I J/ 9_ ilx2 dx при x < ц
0 0,5
f l/ 20-f-20a;2
и t = tx— I J/ 9 _ <}дЛ dx при xY<^x <^хг, где ij — время достижения хх. (Следует
л,
заметить, что интегралы остаются конечными, хотя в точках остановки подынтеграль-
подынтегральная функция обращается в бесконечность.)
10.2.1. a) x = 2sini, б) а: = cos г, в) х = cos t -j- 2 sin t. Это решение можно записать
в виде х = С cos (t -\- а), где С = VE, а = агс tg (—2)% —1,11, т. е. ж = 1/5 cos (t — 1,11).
Во всех трех случаях Т = 2и.
/mgl
—г— > причем в нашем
2 mL2 1 r kg 1 ^ 8s 2л
случае l = -g-L, I = —j- (см. упр. 9.12.3). Поэтому ш = I/ ir^=y ~cjT < ^'==~==
-г— %5,43 1/ —- . Значение I, которому соответствует максимальная частота,
определяется по формуле lm№ = у -^ . Так как в нашем случае /0 = ^g , то 1шгл =
L l/gVIe 2jc i
= -т=-; поэтому шШах=Г 2L ' я шта»> нах°Дим ^min=^ ¦ б) Здесь '=у.
ml? mV- ml? -,f~2g~
I = /0 -}- /reZ2 = ,g -)- —q— = —g— , w= I/ -j- . Минимальный период здесь совпадает
с полученным в случае а), но точка подвеса иная (однако lma,x — то же, что и раньше).
10.4.1. Пусть колебания задаются формулой х = С cos (ш? + а), тогда и =
dC
= — Сш sin (oit -j- а). Воспользуемся соотношением kC—?r- = F1v, где /\ = —Ау|у|.
/^у = —hv2 \v \ = —hC3u>s | sin3 (tat -\- а) \, и поэтому закон изменения амплитуды С
dC
можно записать так: кС-у^- = —hC3w3A, где А = | siny (u>i -f- a) |. Заметим, что

Ответы, указания, решения 49?
а тс — а
sin (cot -j- а) сохраняет знак при изменении t от t2 =м= — — до t2 = , причем
+ %—а
*2
f sin3 (tot -\- a) dt
Т ?, «
*i —*i=~2". Поэтому Л = 1 _ ^ ==~ I sin3 (шг+а) ^*- Заменяя в по-
1 г 4
следнем интеграле переменную cos (cot + a) = ж, получим 4 = — — I A — ж2) da; = -g^-,
i
dC AC V ¦ 4 4Асо3 dC
откуда -j^- = ——д^—. Обозначим ддд. = Ь; тогда -^- = — 6С2 и, следовательно,
tit 1 1 С —Со Со
Jq~= — ^D» Решением этого уравнения является t = —-г--^—,откуда ?=
здесь Со — значение амплитуды в начальный момент времени t = О, которое опреде-
определяется из начальных условий. (Отметим, что такой же закон мы получили для ско-
скорости прямолинейного движения в случае сопротивления, пропорционального ква-
квадрату скорости (см. (9.14.15)).) 10.4.2. В этом случае работа за четверть периода
4 2со
равна —/С; поэтому средняя мощность есть —fC-jr = —/С—. Получаем уравнение
dC 2/Ссо dC 2/со 2/со
кС -j— = — —-—, откуда -^- = — —j^- и, значит, С = С0—-^-t. Колебания пре-
кратятся в момент tx, когда станет с=1), т. е. когда t1 = —-^-,— (предполагается,
что
10.5.1. Из первого уравнения системы получаем C0costp = a;o — а. Пользуясь этим,
из в торого уравнения нетрудно найти Со sin чр = 6— — — — ¦у —-—, Возведя послед-
/ со и0 х0 — <А2
ние два равенства в квадрат и складывая их, получим Cg = lfe — — — — f I +
-f- [x0 — аJ', извлекая из обеих частей равенства [квадратный корень, находим Со;
со v о хо — а
Ь — — — — 1
COj СО! ' СО!
далее tg? = ^^ .
10.7.2. Биения (ср. с равенством E)).
,„„, _ „ . , . . , sin х A — cos 2x) sins
10.8.1. Воспользуйтесь тем, что sin3 x = sin x sin2 х = 2 =—о— —
sin х cos 2x sin x sin 3x — sin a; 3 1
— 2 = —2 А == 4~ s^n х ~ Т s™ ^ж (представление / (я)
3 II
в виде A5)). Ответ, у (х, t) = -^ cos t sin a; — -^ cos 3t sin Зж. 10.8.2. Здесь при-
приходится отказаться от условия D = 0 в A0), так что вместо A4) получаем у (х, t) =
2ккх kcnt къх I А:стс4
Ък sin —j— cos —j— +dfcj;sin —j- sin'—— . 10.8.3. Условия B6) дают: <р (ж) -f
+ i, (x) = j (x)\ <f' (x) — ф' (x) = 0, откуда у (я, i) = у [/(ж + cf) + / (я — ct)]. где еще
надо доопределить функцию / (х) вне интервала @, l)t объявив ее нечетной и перио-
периодической с периодом 21.
и2 / cos 2x cos За; \ / С, — С»
10.9.3. а) у =-д- — 4 (^cos а; - —2г— + р + •••)', б) у = {
2 (Ci - Сг) -у cos [Bк - 1) ¦kx/I] V sin(nita;/f)

•498 Ответы, указания, решения
Глава 11
11.3.1. р = 1,13/>0; р = 1,48р0; р = 3,67р0, где р0 — давление воздуха на поверхности
Земли. 11.3.2. Зависимость давления от высоты имеет вид р = рое""'"', где Ь =
RT 8,3 • 103 . 233
= 103 -jj-. Для температуры —40° С имеем Т = 273 — 40 = 233К, Ь = 29~4 ^
Ъ
^6,6 ¦ 104 см2/с2; в этом случае #= — = 6,6 км. Для температуры 40° С имеем Г =
dT
= 313 К, й = 8,8 • 10* см2,'с2, Я = 8,8 км. 11.3.3. Из уравнения -^ = —аТ0 следует,
что Т =—аГ0/г-)-С, где постоянная С определяется из условия: Т = Т0 при А = 0.
•откуда С=Г0; поэтому Г = Та A — аЛ). Основное, уравнение для определения плот-
dP RT
ности таково: -^ =—gp. Воспользуемся уравнением Клапейрона: Р = 103р-у; под-
RT0 A _ «ft) RT0
ставляя сюда выражение для Т, находим р=103р -г; . Положим 103 ~д7~ = Ь(ъ
р
тогда р = рЬ0 A — tft.), откуда р = ^ Н — aft.) • Дифференциальное уравнение для р при-
dp p dp —gdh
нимает вид -^ =-g-b()A_.ft) . или — = 6()A_еА) ; интегрируя, получаем
In р =?-^-1п A — яА) + С, откуда р= А (I — »h)gll>''", где ^4 = ec. Так как р = р0 при
^ = 0, то -4=р0; поэтому р = р0 A — оЛ)"*«". 11.3.4. р = р0 A — 0.037 ¦ 10-«А)»-«.
_р=1,13р0; р=1,44р0; ? = 2,9
Глава 13
13.2.1. Ток в схеме убывает по закону ; = joe~ ' . В интересующий нас момент
9 9 9
времени ix имеем /=jjj/0; поэтому Jq ]o —joe~'llRC, откуда jq = e~'llRC. Логарифми-
9 «! ¦ 9
руя, находим 1П Т7)= ~ ¦дТГ > 0ТКУДа *i = —ЛС In ^«st 0.105ЛС. В силу последней
формулы *! я= 1 с для Я = 107 Ом; «i я= 10,5 с для R = 108 Ом; «! % 105 с для Л =
= 10е Ом. Момент f2, когда ток упадет вдвое, определяем аналогично: 0,5/о = /ое~'2'ЙС!
откуда ?2=&0,693ДС. Здесь *2я=6,93с при Л = 107 Ом; г2я=69,3спри Л = Ю« Ом!
^2=^693 0 при Л = 10е Ом. 13.2.2. Воспользовавшись формулой A.11), получим <fc +
+ ?ff + ?cj = 0, откуда <рд= — (?с, + 9са). Ток в цени всюду одинаков; поэтому /==
d'-fg d'-fQ tfft <fg -\- уд dfg 1
= Ci^r = C2-^f = lT = - 'л ¦ ПолУчаем уравнения -jf- = - -щ- ('^ + 4>Cj),
•d'-fc I ^ ('fс +¦ Ус,) 1 ?е, ~Ь 9G
"gf = - дс (Те, + ?е2); сложив их- найДем !^ ~ = — ~rc ~L~dt~J • где пол°-
С]С2
жено С = т;—. г (величина С есть суммарная емкость двух последовательно соеди-
1/1T''2
ненных конденсаторов с емкостями С1 и С2). Так как <рс -\-<рс =о при f = 0, то из
последнего уравнения находим ус< + ?е3 = ae~tlRC. Ясно, Сх -^- — Сг -^- = 0, или
d
~dt (^l^t'i ~~ ^afoj == ^- Поэтому Cj?^ — ^а^сг == ^« ГД8 ^ ~~ постоянная. Пользуясь
начальным условием: ус =а, ipc =0 при f = 0, находим ^4 = С1а. Итак, <р0 -\-у0 =
= ае-г/йG, C1?Gi — С2срСг = С1Й. Отсюда находим ус% = a Cj _j_' ^ ^ + cf e~'/Wj» ?e, =
Q
= ая—г^~ (—1 -)-e~*'R<?). 13.2.3. Величины, относящиеся к контуру до увеличения
C-j -f- L/2
всех линейных размеров, отметим индексом 1, после увеличения размеров—¦ индек-
«ом 2. Тогда Г, = Я^, Г2 = Л2С2; С2 = ^-= -^ = пСх; Л4=Р-^-=р^- =
= —- . Поэтому Т2 = —- пСх = R\C\ = Тг. Постоянная времени не изменилась.

Ответы, указания, решенжя 499
13.8.1. Пусть разность потенциалов на пластинах конденсатора равна <р. Для схемы
dj <*р
рис. 3 9я + Tl + Vc = °> или ^~dT + f = До (иб° <Рв = — Ео)- Так как/=С-^-, то
d^ip d2z
= ?0, т. e. LC —JJ2 = — (<p— Eo), или LC—гт^ =—z, где z = <p-—Eo. Реше-
Решение последнего уравнения имеет вид z = В cos (tot -\-«), где co = l/\/?C; поэтому tp =
== В cos (cot -)- a) -j- Яо. Но tp = 0, / = 0 при t = 0; пользуясь этим, находим В s=—?о>
а = 0. Окончательно имеем ср = .?„ A — cos cot). Значение ушах = 2?0 отвечает равенству
cos cot = —1, т. е. t = тс/со = Г/2; оно достигается через половину периода колебаний.
13.8.2. Энергия емкости W = Сср2/2 = 4C?g/2 = 2C?g; энергия, отданная источником
напряжения, Р = qE0 = СуЕ0 — 2СЕ\.
ср0 В. 1
13.9.1. / (t) = — -j— e~xt sin cot, где \ = -^ , со2 = -j-g — X2. Для заданных трех слу-
случаев получим: /(f) = —1.0025e-e.e*' sin <; / (t) = — 1,031е-°>26' sin 0,97t; / (t) =
= —l,15e~0-5'sin 0,87t. 13.9.2. j (t) = j0 (cos cot — — sin cotj e~li; формулы для А. и со см.
в упр. 1. Для заданных случаев / (t) = е-0,051! (_COs f -\- 0,05 sin t); 7" (t) = e'°>28'X
X(—cos O,97t + 0,26 sin 0,97t); / (t) = e-».5' (—cos 0,86t + 0,58 sin 0,86t). 13.9.3. Если В
велико, то ток через сопротивление мал, т. е. в основном ток идет через индуктив-
индуктивность. Поэтому, чем больше В, тем ближе эта схема к схеме рис. 13.8.1, где ср =
= <Ро cos (cot -j- а). Если В велико, то можно считать, что в схеме рис. 13.9.2 -f имеет
такой же вид, но tp0 есть медленно меняющаяся со временем величина. При этом
dP <?
-37- = —К; но h = Rj\, где /j — ток, текущий через сопротивление В, /[ = -^ ; поэтому
<р2 cpg cos2 (cot -\-а) г cpg dP 95 г, п СЧо
h—-w = — ^ ¦ и Л = 2д-. Итак, ~Jf=~ 2R~- Замечая, что Р — ~2~ '
находим —тг = Серо ~тг = — То" • Отсюда -ут = — от>г 'fo- Поэтому ш0 = ^е ;
1
13.10.1. 9(t)=e-< -irte-t; ? (t) = — О.ОЗе.83' + l,03e-»."^ -f (t) = _0,
l,01e-°>1'. 13.10.2. <f (t)=e-* + 2te-*; <f (t) = — 0,37<r3.'3' J- l,37e-°.2".
Часть третья
Глава 14
14.1.1. a) u = x*- 3xy*-3x+l, v = 3x*i,-y* ~3y, 6) u= A+ a;, _
„ ¦ т>\ ,7 __ ~n G27.я-2,,2 I ГЧ.г.п-4,,4 I „ ^'1„П-1,,
^ M _j_ 2-2 _ y2J ^4x2^2 . B> U=X L- „X у -f- О „X J/ -|-. . ., l> ^„2 {/ —
— С^хп~3у3 -|- С§жи~5!/5 — ..., где С^ — д. | , _ ^. | — число сочетаний из ге элементов
по Л. 14.1.2. Fа) и F6) проверяются исходя из равенств z~'z = 1 и (z'/sK = z; общая
формула F) вытекает из справедливости ее для любого рационального п=^р/д =
= (l/q)p, где отдельно надо рассмотреть случаи положительного и отрицательного р.
14.1.3. Воспользуйтесь тем, что если с = г (cos а -(- i sin а), то улс = р (cos p -\- i sin p),
п 2Атс а
где р = У г . и В = р0 -j- -^- , где ро = —. А==0, 1, 2 ге — 1. 14.1.4. В соответ-
соответствии с результатами упр.З ¦/— 1 = cos 3 -\- i sin !3, где р=п/4, Зт:/4, 5л/4 (= — Зл/4),
7тс/4 (=—п/4); заметьте еще, что во всех случаях величины cos p и sinp = + v'2/2.
14.3.1. Если 1пи = ш, то и = ею и и" = еаг; воспользуйтесь этим. 14.3.2. Ясно, что
е' % B,7J.' > 1 > /'; числа же е* (= cos I -j- i sin 1, где углы измеряются в радианах)
и i' (=е'1п * = е(*х'2)') несравнимы (по величине можно сравнивать лишь вещественные
числа, но не произвольные комплексные числа).

500 Ответы, указания, решения
14.4.3. а) Окружность; б) гипербола. Соответственно для а) и для б) ? = tg -тг и t=
Ф
th ~2 » если те же линии одновременно заданы и «стандартными» параметрическими
уравнениями: а) х = cos <р, г/ = sin ip; б) а; = спф, у =
Глава 15
15.1.1. Все рассматриваемые производные имеют вид р(—) е'**» где Р (z)— мно-
многочлен (от переменной г); при z = 0 они равны нулю в силу большой скорости убыва-
убывания функции у=е~11х при х-+0 (ср. § 6.5). Так, например, /' (х) =2jx3e~llx^; но е*,
где t = — 1/х", убывает при i->-— со гораздо быстрее, чем растет при t-* — со функ-
функция 2|tf'(=|2/x3|).
. у ди. dv x
15.2Л. Ecляw=]пz,тou=lпVx2-i-y2 ж v = arctg—, откуда-т- = -~- = -s-. j,
X ** ОХ О у X —Г" у
ди ди у
п ди dv
15.2.2. Воспользуйтесь тем, что щ=-^, их=-^;.
Глава 16
16.2.1. Вблизи точки х = х0 разлагаем функцию <р (х) в ряд, сохраняя в нем только
¦первые два члена: <р (х) ^у (х0) -f-y' (х0) (х — х0) = <р' (ас0) [х — х0). Таким образом, обов-
1 1
начив 'f (io)=c,i-io = },mh получим В (у (х)) = 3 (сг/) = -щ- Ъ (у) = . , , , . 8 (х —ж0).
В более общем случае функция 5 (ф {х)) представляет собой сумму подобных выра-
выражений, распространенных по всем нулям функции ф. 16.2.2. Функция <p(a:) = sinx
обращается в нуль при х0 = kit, к = 0, +1, +2, ..., |<р' (ж0) | = | cos х0 | = | cos Ал | = 1;
4-оэ
поэтому 8(sinx)^ 2j В (х — Ал) и \ ф (ж) 8 (sin г) da; = ^ Ф (^л)«
*=— со _„, к=— со
16.3.1. а) у'(г) = 1 — 8 (ж - i). б) Так каку(+0) = 1, у(—0)=0, то скачок Дг/пере-
е1/ж
менной у при ж = 0 таков: Ду = 1. Далее, при х ^= 0 имеем у'(х)= — —; ., ,2 »*
ж2 A -|- е ' )
поэтому окончательно у' (х) = Б (ж) — -— j^—2.
.х A -j- e )
а; х
16.4.1. Умножьте правую часть (8) на sin it- и воспользуйтесь тем, что cos kx sin ~2~ =
= -7J- sin (А -)- ") я — sin (к — у ) ^ .
Глава 17
17.3.1. а) Если Г — линия тока, то в силу определения функции ф касательный
/ db di> \
вектор t=( — "T~> "Ji—I K линии Г (т. е. к линяй ф == const) совпадает с вектором v
скорости потока, откуда уже и следует, что вдоль линии движения жидкости, имею-
имеющей в каждой точке направление v = v(a;, у), приращение йф функции тока равно
нулю, б) Пусть Г — малая дуга с концами Р = Р(х, у), Q ==О-'? -J- dx, у -J- dy), а Л =
= Л (ж -)- dx, y)\ рассмотрите поток жидкости через ломаную PQR, принимая вектор
скорости жидкости равным v (x, у), и докажите, что (с точностью до бесконечно
малых 1-го порядка) этот поток равен йф == ф (х -j- dx, у -f- dy) — ф (ж, у). 17.3.2. Вос-
Воспользуйтесь тем, что векторы касательных к линиям <р = const и ф = const в точке
р р Ф Ф
М(ж, у) таковы: v<p = ^- -^, -^) и уф = (- ^-, ^, т. е. v<p = (v -^ и уф =
= (^ая y^)' Далее воспользуйтесь условием перпендикулярности двух векторов. 17.3.4.
а) При а вещественном линии тока суть прямые, параллельные оси Ох; эквипотен-
эквипотенциальные линии параллельны оси Оу; случай чисто мнимого а дает сопряженное

Ответы, указания, решения 501
описанному движение жидкости, б) При а вещественном линии тока—гиперболы
ху = const; эквипотенциальные линии — гиперболы я2 — у% = const; величина скорости
в точке М пропорциональна расстоянию ОМ. в) При а вещественном линии тока —
окружности, касающиеся в точке О оси Ох; эквипотенциальные линии — окружности,
касающиеся в точке О оси Оу. г) Для w = In z линии тока — исходящие из О прямые;
эквипотенциальные линии — окружности с центром О.
НАЛ. Приравнивая нулю (равновесие!) сумму проекций сил на направление оси
у, получим для случая малых отклонений (у <^1): 1 — к— — к-. =0. Отсюда
к , к \ A~хг)
у (х, хл) =
Ы '
X (I — :
к к
Эта функция у (х, х±) и называется функцией Грина задачи о струне. При произ-
произвольно распределенной силе / (х) отклонение струны дается формулой у [х) =
i
= \ f (xi) у {х, xi) dxi. Отметим, что с помощью функции Грина мы нашли решение
о
для функции у (х), даже не зная, какому уравнению она подчиняется (это уравнение
имеет вид ¦ , 2 = — —г—. !/@)=0, </(Z)=0). 17.4.2. Общее решение уравнения
без вынуждающей силы есть х (t) = Су sin wt -j- C2 cos u>t, u, = Vkjm, Cx и С2 — произ-
произвольные константы. Так как S-функция отлична от нуля только при i=t, то реше-
решение уравнения с о-образной силой и состоянием покоя при ?=—со имеет вид
I 0 при —со <" t <Г г,
х (t) = { ¦ (*)
\ Сх sin cot 4- С2 cos Ы при t < J<-)-oo;
S-образная сила сообщает телу единичный импульс, поэтому покоящееся тело после
й Др 1
действия В-силы приобретает начальную скорость t>0 = -^- = -^-, начальное поло-
положение остается равным нулю. Решение уравнения колебаний с такими начальными
условиями в момент t = т имеет вид
( 0 при —со < г <т,
х It, *) = { 1
sin со It — t) при т < ? < + га •
I ягсо v if ^ \ i
соь сот sin cot
Иначе говоря, в формуле (*) Сх = —^— , С2 = — —тш .
Решение задачи с произвольной силой / (t) дается формулой
+со t
*(*)= J /Ы* С t)^= J / (t) "^7 sin [ш (t --с)] d-c.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсцисса 19
Амплитуда колебаний 315
Анализ гармонический 335
— математический 87
— спектральный 340
— функциональный 184
Анализатор гармонический 340
Аргумент комплексного числа 410
— функции 16
Асимптота вертикальная 241
— гиперболы 27
— горизонтальная 241
Астроида 50
Аэромеханика 456
Биения 329
Бином Ньютона 162
Бит 47
Вектор 246
Вероятность 469
— распада 243
Вершина кривой 231
Вихрь 457
Вогнутость кривой 32, 77, 200
Время абсолютное 280
— жизни атома 244
— затухания 382
Выпрямитель тока 374
Выпуклость кривой 32, 77, 200
Высота эффективная 208
Вычет 453
Вязкость 303
Геометрия аналитическая 106
Гидромеханика 456
Гипербола 26
— (п-\-1)-то порядка (или п-й степени) 35
— равнобочная 26
Гипотеза Максвелла 403
Гипоциклоида 50
Гомотетия 33
График функции 22
Группа Галуа 472
— дискретная 472
— клейнова 472
— Ли 472
— непрерывная 472
— симметрии 470
— федоровская 471
Давление атмосферное 102
— газа 343
Движение безвихревое (потенциальное) 457"
— броуновское 348
— неравномерное 55
— равномерное 55
— равноускоренное 57, 99
— реактивное 291
Двухполюсник 374
Дейтерий 247
Дельта-функция Дирака 436
Деформация 100
Диод 404
Дифференциал 111
— второй 115
— функции двух переменных 116
Дифференцирование, правила 117—125, 129-
138
— сложной функции 119
Длина дуги кривой 224
— — параболы 227
— — цепной линии 225
— — циклоиды 225
— — эквипотенциальной кривой 22Т
— окружности 225, 228
— свободного пробега 346
— эффективная 208
Единица мнимая 409
Емкость конденсатора 102, 371
Зависимость квадратичная 18
— линейная 22
— периодическая 45
— функциональная 16
Задача Дидоны 189
— о колеблющейся струне 330
Закон Авогадро 343
— больших чисел 358
— Бойля—Мариотта 343
— Гука 100
— движения 99
— Клапейрона 343
— Ньютона первый 275
— — второй 275
— — третий 278
— Ома 17, 28
— радиоактивного распада 243
— сохранения энергии 310
— статистический 469
— Стефана—Больцмана 363
— Стокса 303
— Торричелли 175
Значение аргумента граничное 194

Предметный указатель
503
— арксинуса главное 135
— функции среднее 217
Излом функции 196
Излучение индуцированное 366
— света 360
— спонтанное 366
Изотерма 191
— Ван-дер-Ваальса 191
— Клапейрона 191
Импульс силы 276
— — единичный 292
Индекс 21
Индуктивность 373
Индукция 403
Интеграл неопределенный 90
— определенный 83
— табличный 144
— Фурье 341
Интегрирование по частям 143
Интенсивность вихря 457
— света равновесная 361
Интерполяция 18
Испарение жидкости 351
Испускание электронов 351
Источник (жидкости) 457
— напряжения 371
Исчисление дифференциальное и интеграль-
интегральное 87, 105
Кардиоида 50
Касательная 68
Квадратура параболы 105
Кватернионы 471
Колебания вынужденные 322
— гармонические 316
— затухающие 391, 416
— струны 276
Количество движения 276
— электричества 101, 370
Контур колебательный 389
Координаты декартовы 19
— криволинейные 467
— полярные 20, 410
Косинус гиперболический 145, 225, 419
Коэффициент пропорциональности 26
— расширения линейный 58
— — объемный 59
¦— угловой 24
Кривая гладкая 186
— интегральная 172
— Штейнера 50
Кривизна в точке 229
— средняя (удельная) 229
Лазер 368
Линия косинуса 420
— постоянной кривизны 232
— синуса 420
— тангенса 420
— тока 457
— эквипотенциальная 457
Логарифм 129
— бригсов 129
— двоичный 47
— десятичный 129
— натуральный 129
— неперов 129
Ломаная Эйлера 172
Мазер 368
Максимум функции 29, 70
— — абсолютный 200
— — гладкий 186
— — граничный 195
— — локальный 34, 75
— — негладкий 197
— — острый 197
Масса критическая 259
— надкритическая 259
— подкритическая 259
Маятник баллистический 315
— математический 316
— физический 318
Метод подстановки 144
— прямоугольников 82
— трапеций 82
Механизм кривошицно-шатунный 328
Механика квантовая 359, 466
Минимум абсолютный 200
— гладкий 186
— граничный 195
— локальный 75
— негладкий 197
— острый 197
Моделирование математическое 465
Модуль комплексного числа 409
— перехода (логарифмов) 45, 129
— Юнга 100
Момент инерции 297
Монотонность локальная 39
— функции 39
Мощность 263
— тепловая 380
Наклон бесконечный 25
— касательной 66
— прямой 24
Направление тока 370
Напряженность поля комплексная 458
Начало координат 19
Нейтрон 472
Неравенство Иенсена, общее 205
— — частный случай 203
Объем 103
— конуса 235
— пирамиды 104

504
Предметный указатель
— тела вращения 236
— тора 238
— шара 235
— эллипсоида вращения 236
Окружность соприкасающаяся 230
Ордината 19
— начальная (прямой) 23
Остаток (остаточный член) 153
Острие 197
Осциллограф однолучевой 397
— шлейфовый 395
Ось абсцисс 19
— аппликат 103
— вещественная 410
— мнимая 410
— ординат 19
— полярная 20
— симметрии 28, 34
Парабола 28
— безопасности 288
— полукубическая 36
— порядка п 33
— соприкасающаяся 115
Параллельность прямых 53
Параметр 49
Параметрическое задание кривой 49, 120
Первообразная 170
Переменная интегрирования 84
— независимая 16
— немая 86
Перенос параллельный 40
Период колебаний 314
— полураспада 244
— функции 45
Перпендикулярность 51
Плоскость комплексной переменной 410
Плотность линейная 295
— потока энергии 353
— энергии 361
Площадь криволинейной трапеции 86
— треугольника 51
— фигуры 81
Поверхность тела вращения 236
— тора 238
— шарового сегмента 236
слоя 236
Поглощение света 360
Подстановка (в интеграле) 145
Позитрон 436
Поле магнитное 403
— направлений 172
Полюс полярной системы координат 20
— функции комплексной переменной 452
Поля электрические сопряженные 458
Порядок дифференциального уравнения 170
— малости (убывания) 67
— роста функции 168
Постоянная Больцмана 344
— времени контура 376
— диэлектрическая 377
— Планка 359, 363
— универсальная (идеального газа) 191
— Эйлера 211
Потенциал комплексный 457
— пробоя 378
— скоростей 457
— электрический 370
— электрического поля 458
Поток воды 174
— нейтронов 258
— энергии света 353
Пояс шаровой 236
Правило Бернулли—Лопиталя 160
Предел 60
Пределы интегрирования 84
Преобразование конформное 432.
Преобразования Галилея 283
— графиков функций 40
Приближение линейное 150
— функции 151
Принцип Кавальери 235
— суперпозиции 233, 402
— Ферма 109, 193
Проводимость 371
Прогрессия арифметическая 124
— геометрическая 124, 16Q
Производная 61
— вторая 76, 150
— левая 198
— логарифмическая 130
— гс-го порядка 150
— неявной функции 136
— обратной функции 120
— правая 198
— сложной функции 119
— частная 116
Промежуток интегрирования 84
— искровой 377
Пропорциональность обратная 26
— прямая 25
Пространство абсолютное 280
— фазовое 468
Процесс вероятностный 469
Пружина 269
Путь 55
Работа силы 99
Равновесие 271
— неустойчивое 272
— термодинамическое^ЗбО
— устойчивое 272
Радиан 131
Радий 245
Радиус кривизны 228, 230
Разложение спектральное 340

Предметный указатель
505
Разность потенциалов 371
Разряд тлеющий 379
Распад радиоактивный 245
Расстояние 19—21
— точки от прямой 52
Растяжение вдоль оси х 43
— от осп х 42
— проволоки 100
Реакция цепная 225
Режим стационарный 177
Резонанс 266, 322, 395, 399, 402
Решение дифференциального уравнения об-
общее 175
— — — частное 175
Рост функции 72
Ряд 154
— Маклорена 154
— расходящийся 161
— сходящийся 161
¦— Тейлора 154
— тригонометрический 335
— Фурье 340
Сверхпроводимость 388
Сдвпг (параллельный перенос) 40
Сегмент шаровой 236
Секущая 68
Семейство радиоактивное 250
Сечение эффективное 356
Сжатие вдоль оси х 43
— к оси х 43
Сила тока 370
— трения 324
— тяжести 269
— электродвижущая 372
Симметрия относительно оси 34
Синус гиперболический 145, 419
— интегральный 160
Система отсчета инерционная 281
Скорость 55
— изменения функции 150
— космическая первая 289
— — вторая 290
— — третья 290
— мгновенная 56
— начальная 57
— роста функции 73
— средняя 56
— течения комплексная 458
Событие случайное 358
Сопротивление 371
— внутреннее 372
— утечки 388
Сопряжение (кривых) 198
Состояние сверхпроводящее 388
Спектр непрерывный 341
— частот 341
Спираль Архимеда 105
Среднее арифметическое 82, 201
— гармоническое 202
— геометрическое 201
— значение функции 217
— квадратичное 201
Степень мнимая 413
Сток (жидкости) 457
Струна 330
Сумма степеней натуральных чисел 210
Тангенс гиперболический 419
Температура газа критическая 192
Теорема алгебры основная 411
— высшей математики основная 88
— Лагранжа 222
— Ньютона—Лейбница 88
— Паппа первая 237
— — вторая 238
— Ролля 223
— Ферма 70, 74
Теория вероятностей 469
— групп 470
— информации 47
— катастроф 468
— относительности общая 281
— света электромагнитная 403
— функций комплексной переменной 184
— электромагнитного поля 458
Теплоемкость 58
Течение плоское (плоскопараллельное) 456
Течения сопряженные 458
Ток переменный 394
— смещения 403
— эмиссии катода 350
Топология 468
Тор 238
Точка вихревая 457
— выпуклости 185
— критическая 75
— перегиба 78, 231
— существенно особая 430
— угловая 196
Траектория навесная 287
— настильная 287
— точки 48
Турбулентность 309
Убывание функции 72
Угол 20, 21, 51
¦— бросания 286
— гиперболический 420
Удлинение удельное 59
Уравнение алгебраическое 411
— Ван-дер-Ваальса 191
— дифференциальное 101
— — в частных производных 403
— — с разделяющимися переменными 171
— квадратное 30—32

506
Предметный указатель
— Клапейрона 191
— кубическое 35
— математической физики 184
— прямой 23
Ускорение 57, 76, 98
Условие граничное для дифференциального
уравнения 331
— — для радиоактивного распада 243
— начальное для дифференциального уравне-
уравнения 170, 331
Фигура неограниченная 207
Флюента 129
Флюксия 129
Формула Кардано 422
¦— Муавра 411
— Ньютона—Лейбница 88
— Планка 363
— Симпсона 219
— Стирлинга 213
— Циолковского 293
— Эйлера 414, 416
— эмпирическая 18
Формулы Коши—Римана 428
Фотон 359
Функционал 189
Функция 16
— алгебраическая 123
— аналитическая 426
— — комплексной переменной 429
— бесконечнозначная 135
— гармоническая 274, 428
— гиперболическая 419
— Грина 447, 461
— двузначная 39
— двух переменных 116
— дробно-линейная 41, 46
— знаковая 440
— квадратичная 18, 28
— кубическая 46
— линейная 22
— логарифмическая 129, 417
— многозначная 39, 135
— монотонная 39
— нечетная 45
— неявно заданная 136
— обратная 37
— — тригонометрическая 135, 415
— первообразная 92
— периодическая 45
— подынтегральная 81
— показательная 124
— растущая 73
— степенная 36, 122
— тока 457
— тригонометрическая 131, 416, 418
— убывающая 73
— четная 45
— экспоненциальная 128
— элементарная 145
— эмпирическая 18
Характеристика двухполюсника 404
Центр кривизны 230
— симметрии 33
— тяжести 237, 300
Центроид многоугольника 203
Цепная линия 225
Цепь электрическая 370
Циклоида 50
Частота 45
— колебаний 45, 314
— круговая 314
— собственная 322, 395
Числа вещественные 408
— дробные (рациональные) 408
— иррациональные 408
— комплексные 409
— отрицательные 408
— чисто мнимые 409
Число Авогадро 344
— е 126
— Маха 307
— % 228
— распадов 245
— Рейнольдса 303
— сопряженное к данному 409
Ширина резонанса 401
— эффективная 208
Эвольвента 232
— окружности 234
Эволюта 232
— параболы 232
— циклоиды 233
Экстраполяция 18
Эллипс 42
Энергия активации 350
— излучения 362
— индуктивности 386
— кинетическая 100, 279
— полная 310
— потенциальная 268
Эпициклоида 50
Эфир 465

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
К читателю 5
Предисловие для преподавателей 10
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Глава 1. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ 16
1 1. Функциональная зависимость 16
§ 2. Координаты. Расстояния и углы, выраженные в координатах 19
§ 3. Графическое изображение функций. Уравнение прямой 22
§ 4. Обратная пропорциональность и гипербола. Парабола 25
§ 5. Параболы и гиперболы высших порядков. Полукубическая парабола ... 33
§ 6. Обратная функция. Графики взаимно-обратных функций 37
§ 7. Преобразования графиков функций 40
§ 8. Параметрическое задание линий 48
§ 9*. Некоторые дополнительные сведения из аналитической геометрии ... 51
Глава 2. ЧТО ТАКОЕ ПРОИЗВОДНАЯ 55
§ 1. Движение, путь и скорость 55
§ 2*. Теплоемкость тела. Расширение тел при нагревании 58
§ 3. Производная. Простейшие примеры вычисления производных 60
§ 4. Первые свойства производной. Приближенное вычисление значений
функции с помощью производной 63
§ 5. Касательная к кривой 68
§ 6. Рост и убывание функции. Максимумы и минимумы 72
§ 7. Вторая производная функции. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки
перегиба 76
Глава 3. ЧТО ТАКОЕ ИНТЕГРАЛ 79
§ 1. Определение пути по скорости движения и определение площади, ограни-
ограниченной кривой 79
§ 2. Определенный интеграл 83
§ 3. Связь между интегралом и производной 87
§ 4. Неопределенный интеграл 90
§ 5. Свойства интегралов 95
§ 6. Примеры и приложения 98
Глава 4. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ 111
§ 1. Дифференциал 111
§ 2. Производная суммы и произведения функций 117
§ 3. Сложная функция. Производная частного двух функций . 118
§ 4. Обратная функция. Параметрическое задание функции 120
§ 5. Степенная функция 122
§ 6. Производные алгебраических функций 123
§ 7. Показательная функция 124
§ 8. Число е 126
§ 9. Логарифмы 129
§ 10. Тригонометрические функции 131
§ 11. Обратные тригонометрические функции 135
\\ 12. Производная функции, заданной неявно 136

508 Оглавление
Глава 5. ТЕХНИКА ИНТЕГРИРОВАНИЯ 139
§ 1. Постановка задачи 139
§ 2. Простейшие интегралы 139
§ 3. Общие свойства интегралов 141
§ 4. Интегрирование по частям 143
§ 5. Метод подстановки 144
§ 6. Замена переменной в определенном интеграле 147
Глава 6. РЯДЫ. ПРОСТЕЙШИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 150
§ 1. Представление функций в виде рядов 150
§ 2. Вычисление значений функций при помощи рядов 156
§ 3. Случаи неприменимости рядов. Геометрическая прогрессия 160
§ 4. Бином Ньютона для целых и дробных показателей 164
§ 5. Порядок возрастания и убывания функций. Правило Бернулли—Лопи-
таля 166
§ 6. Дифференциальные уравнения первого порядка. Случай разделяющихся
переменных 170
§ 7*. Дифференциальное уравнение вытекания воды 174
Глава 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. НЕСКОЛЬКО ЗАДАЧ ИЗ ГЕО-
ГЕОМЕТРИИ 185
§ 1. Гладкие максимумы и минимумы 185
§ 2. Негладкие максимумы и минимумы. Изломы и разрывы. Левая и правая
производные функции 193
§ 3*. Выпуклые функции и алгебраические неравенства 200
§ 4. Вычисление площадей 206
§ 5*. Оценки некоторых сумм и произведений 210
§ 6*. Еще о натуральном логарифме 214
§ 7. Средние значения 217
§ 8. Длина кривой 224
§ 9. Кривизна и соприкасающаяся окружность 228
§ 10. Стереометрические приложения интегрального исчисления 235
§ 11. Как строить кривые 238
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ПРИЛОЖЕНИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
К НЕКОТОРЫМ ВОПРОСАМ ФИЗИКИ И ТЕХНИКИ
Глава 8. РАДИОАКТИВНЫЙ РАСПАД И ДЕЛЕНИЕ ЯДЕР 243
§ 1. Основные характеристики радиоактивного распада 243
§ 2. Измерение среднего времени жизни радиоактивных атомов 245
§ 3. Последовательный распад (радиоактивное семейство) 250
§ 4. Исследование решения для радиоактивного семейства 252
§ 5. Цепная реакция деления урана 255
§ 6. Размножение нейтронов в большой массе 256
§ 7. Вылет нейтронов 257
§ 8. Критическая масса 259
§ 9. Подкритическая и надкритическая массы при непрерывном источнике
нейтронов , 260'
§ 10. Значение критической массы 261
Глава 9. МЕХАНИКА 263
§ 1. Сила, работа, мощность 263-
§ 2. Энергия 26&
§ 3. Равновесие и устойчивость 271
§ 4. Второй закон Ньютона 275
§ 5. Импульс силы 276
§ 6. Кинетическая энергия 279

Оглавление
§ 7. Инерциальные и неинерциальные системы отсчета 279
§ 8*. Преобразования Галилея. Энергия в движущейся системе отсчета . . . 282
§ 9*. Траектория снаряда. Парабола безопасности 286
§ 10. Движение тел в космическом пространстве 289
§ 11. Реактивное движение и формула К. Э. Циолковского . 291
§ 12. Масса, центр тяжести и момент инерции стержня 295
§ 13*. Центр тяжести нити и пластинки 300
§ 14. Движение тела в среде, противодействующей движению, под действием
силы, зависящей только от скорости 303
§ 15*. Движение тел в жидкостях и газах 307
Глава 10. КОЛЕБАНИЯ 310
§ 1. Движение под действием упругой силы 310
§ 2. Случай силы, пропорциональной отклонению. Гармонические колебания 313
§ 3. Маятник 316
§ 4. Энергия колебаний. Затухающие колебания 319
§ 5. Вынужденные колебания и резонанс 322
§ 6. О точных и приближенных решениях физических задач 323
§ 7. Сложение колебаний. Биения 327
§ 8. Задача о колеблющейся струне 330
§ 9. Гармонический анализ функций. Ряды Фурье 335
Глава И. ТЕПЛОВОЕ ДВИЖЕНИЕ МОЛЕКУЛ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТ-
ПЛОТНОСТИ ВОЗДУХА В АТМОСФЕРЕ 342
§ 1. Условие равновесия в атмосфере 342
§ 2. Связь между плотностью и давлением 343
§ 3. Распределение плотности 344
§ 4. Молекулярно-кинетическая теория распределения плотности 345
§ 5. Броуновское движение и распределение молекул по кинетической энергии 348
§ 6. Скорости химических реакций 349
§ 7. Испарение. Ток эмиссии катода 350
Глава 12. ПОГЛОЩЕНИЕ И ИЗЛУЧЕНИЕ СВЕТА. ЛАЗЕРЫ 353
§ 1. Поглощение света (постановка задачи и грубая оценка) 353
§ 2. Уравнение поглощения и его решение 354
§ 3. Соотношение между точным и грубым расчетами поглощения 354
§ 4. Эффективное сечение 356
§ 5. Ослабление потока заряженных частиц а- и р-лучей 357
§ 6*. Поглощение и испускание света горячим газом 359
§ 7*. Термодинамическое равновесие излучения 360
§ 8*. Вероятность излз/чения и условия термодинамического равновесия . . . 363
§ 9*. Лазеры 367
Глава 13. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ И КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
В НИХ 370
§ 1. Основные понятия и единицы измерения 370
§ 2. Разряд емкости через сопротивление 375
§ 3. Колебания в цепи емкости с искровым промежутком 377
§ 4. Энергия конденсатора 379
§ 5. Цепь с индуктивностью 382:
§ 6. Размыкание цепи с индуктивностью 384
§ 7. Энергия индуктивности 38&
§ 8. Колебательный контур 389>
§ 9. Затухающие колебания 391
§ 10*. Случай большого сопротивления 393
§ 11. Переменный ток 394
§ 12. Средние величины. Мощность и сдвиг фазы 397
§ 13. Колебательный контур в цепи переменного тока. Резонанс напряжений 399

510 Оглавление
§ 14. Параллельное включение индуктивности и ^емкости. Резонанс токов 401
§ 15. Общие свойства резонанса линейной системы 402
§ 16*. Ток смещения и электромагнитная теория света 403
§ 17*. Нелинейное сопротивление и туннельный диод 404
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕМЫ ИЗ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Глава 14. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 408
§ 1. Основные свойства комплексных чисел 408
§ 2. Возведение в мнимую степень и число е 413
§ 3. Тригонометрические функции и логарифмы 415
§ 4*. Тригонометрические функции мнимого аргумента. Гиперболические функ-
функции 418
Глава 15. КАКИЕ ФУНКЦИИ НУЖНЫ ФИЗИКУ? 424
§ 1. Аналитические функции вещественной переменной 424
§ 2. Производные функций комплексной переменной 427
Глава 16. ЗАМЕЧАТЕЛЬНАЯ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ ДИРАКА 435
§ 1. Различные способы определения функции 435
§ 2. Дирак и его^функция 436
§ 3. Разрывные функции и их производные 438
§ 4. Представление дельта-функции формулами 441
Глава 17. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ И ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ 444
§ 1. Комплексные числа и механические колебания 444
§ 2. Интегралы в комплексной области 448
§ 3. Аналитические функции комплексной переменной и течение жидкости 455
§ 4. Применения дельта-функции 459
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ЧТО ЖЕ ДАЛЬШЕ? 463
ЛИТЕРАТУРА 476
ПРИЛОЖЕНИЯ 477
I. Таблица производных 477
П. Интегралы от некоторых функций 477
III. Некоторые разложения функций в ряды 479
IV. Некоторые числовые таблицы 479
V. Международная система физических единиц СИ 480
VI. Латинский и греческий алфавиты 481
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ 482
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 502

Яков Борисович
ЗЕЛЬДОВИЧ,
Исаак Моисеевич
ЯГЛОМ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
ДЛЯ НАЧИНАЮЩИХ
ФИЗИКОВ И ТЕХНИКОВ
Утверждено к печати
Институтом теоретической физики
им. Л. Д. Ландау АН СССР
Редактор Л. И. Головина
Редактор издательства Л. Е. Кононенко
Художник В. Н. Типунов
Художественный редактор Т. П. Поленова
Технические редакторы
Т. Д, Панасюк, Л. Н. Золотухина
Корректоры
Н. Б. Габасова, Г. Н. Лащ, Л. В. Лукичева
ИБ № 21107
Сдано в набор 28.12.81
Подписано к печати 08.07.82. Т-08882
Формат 70 х 1087м
Бумага книжно-журнальная
Гарнитура обыкновенная
Печать высокая
Усл. печ. л. 44,i. Усл. кр. отт. 44,8. Уч.-изд. л. 47,6
Тираж 30000 экз. Тип. вак. 1065
Цена 3 р. 20 к.
Издательство «Наука»
117864 ГСП-7, Москва, В-485, Профсоюзная ул., 90
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая типография издательства «Наука»
199034, Ленинград, В-34, 9 линия, 12

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
Готовятся к печати:
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ, ГРУППЫ ЛИ И МЕХАНИКА.
12 л. 1 р. 80 к.
В сборнике представлены как статьи, в которых методы, развитые
в связи с физическими приложениями, используются в чисто математи-
математических вопросах, так и работы, в которых математические средства
применяются для исследования проблем теорэтической физики.
Сборник представляет интерес для научных работников, интересую-
интересующихся современными проблемами математической и теоретической фи-
физики.
ИСТОРИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ, вып. 26. 20 л.
2 р. 50 к.
Сборник содержит статьи о математических рукописях К. Маркса,
а также работы по различным вопросам истории анализа, главным обра-
образом XIX в., о развитии теории чисел в трудах Диофанта и Ферма, о
формировании основных понятий векторного исчисления и генезиса
тензорно-геометрической концепции гравитации. Публикуются отзывы
академиков В. Я. Вуняковского, И. И. Сомова, П. Л. Чебышева
и В. А. Стеклова о трудах ряда немецких математиков XIX—XX вв.
Сборник рассчитан на математиков и историков науки.
Адреса магазинов «Академкнига»:
480091 Алма-Ата, ул. Фурманова, 91/97; 370005 Баку, ул. Джапаридзе, 18; 320093
Днепропетровск, проспект Гагарина, 24; 734001 Душанбе, проспект Ленина, 95;
375002 Ереван, ул. Туманяна, 31; 664033 Иркутск, ул. Лермонтова, 289; 252030
Киев, ул. Ленива, 42; 277012 Кишинев, проспект Ленина, 148; 443002 Куйбы-
Куйбышев, проспект Ленина, 2; 191104 Ленинград, Литейный проспект, 57; 199164
Ленинград, Таможенный пер., 2; 199004 Ленинград, 9 линия 16; 103009 Москва,
ул.Горького, 19а; 117312 Москва, ул. Вавилова, 55/7; 630076 Новосибирск, Крас-
Красный проспект, 51; 630090 Новосибирск, Академгородок, Морской проспект, 22;
700029 Ташкент, ул. Ленина, 73; 700100 Ташкент, ул. Шота Руставели, 43; 634050
Томск, наб. реки У шайки, 18; 450025 Уфа, Коммунистическая ул., 49; 450059 Уфа,
ул. Р. Зорге, 10; 720001 Фрунзе, бульвар Дзержинского, 42; 310078 Харьков,
¦ул. Чернышевского, 87.