/
Text
Многоугольники
СУММА УГЛОВ
сумма внешних 360°
4-угольники
Параллело-
грамм
ФАЛЕС (VI
в. до н. э.)
СВОЙСТВА
1. Сумма соседних углов 180°
2. Диагональ делит на два равных тр-ка.
3. Противоположные стороны равны.
4. Противоположные углы равны.
5. Диагонали делятся пополам.
МЕДИАНЫ 2 : 1
ПРИЗНАКИ
1. Если две стороны 4-ка равны и параллельны...
2. Если противоположные стороны 4-ка равны...
3. Если диагонали 4-ка делятся пополам...
ПРЯМОУГОЛЬНИК
РОМБ
диагонали
1)-Ь
2) бис.
1. Выпуклые мн-ки. Диагональ. Периметр.
2. Сумма углов выпуклого многоугольника.
3*. Сумма внешних углов выпуклого мн-ка.
4. Параллелограмм.
5. Свойства параллелограмма.
6. Признаки параллелограмма.
7. Прямоугольник. Свойство диагоналей.
8*. Признак прямоугольника.
9. Ромб. Свойство диагоналей ромба. Признаки ромба.
10. Квадрат. Свойства квадрата.
11. Теорема Фалеса. Деление отрезка на равные части.
12. Свойство медиан треугольника.
13. Свойство средней линии треугольника.
14. Трапеция. Свойство средней линии.
15. Свойство углов и диагоналей равнобедренной трапеции.
16*. Признаки равнобедренной трапеции.
Площади
а
Ъ
Общая высота
диагональ квадрата
аг а2
площади относятся
как основания
медиана делит
на два равновеликих
ПИФАГОР
а2+ Ъ2= с2
Обратная
Пифагоровы тройки:
(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17)
1. Площадь квадрата.
2. Площадь прямоугольника.
3. Площадь параллелограмма.
4. Площадь треугольника.
5. Площадь трапеции.
6. Площадь ромба.
7. Площадь прямоугольного треугольника.
8. Высота, проведенная к гипотенузе.
9. Треугольники с общей высотой.
10. Свойства медианы для площадей.
11. Теорема Пифагора.
12. 5 и Л равностороннего треугольника.
13. Диагональ квадрата.
14. Обратная теорема Пифагора.
15. Пифагоровы тройки.
Подобные треугольники
Теорема Фалеса (обобщ.)
1. Углы — равны.
2. Стороны — пропорциональны.
Признаки подобия
ПО ДВУМ УГЛАМ
Прямая, параллельная стороне
треугольника,
отсекает треугольник,
подобный данному
Прямоугольные
подобны
по острому углу
ПО ДВУМ СТОРОНАМ
И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ
ПО ТРЕМ СТОРОНАМ
Свойство биссектрисы треугольника
Биссектриса делит...
х__ а
У Ь
...пропорциональные
прилежащим сторонам
Площади подобных треугольников
1. Теорема Фалеса (обобщенная).
2. Деление отрезка в отношении т : п.
3. Определение подобных треугольников
4. Свойство прямой, параллельной стороне тр-ка.
5- 1 -й признак подобия. Следствие.
6. 2-й признак подобия.
7. 3-й признак подобия.
8. Свойство биссектрисы треугольника.
9. Отношение площадей подобных
треугольни ков.
Окружности
Вписанный - половине центрального угла!
1. Касательная. Признак касательной.
2. Свойство касательной.
3. Свойство касательных, проведенных из одной точки.
4. Построение касательной.
5. Свойство окружностей, вписанных в угол.
6. Взаимное расположение окружностей.
7. Длина отрезка общей внешней касательной.
8. Центральный угол. Градусная мера дуги.
Вписанный угол.
9. Свойство вписанного угла.
10. Вписанные углы, опирающиеся
на одну и ту же дугу.
11 Вп. угол, опирающийся на диаметр.
12. Угол между касательной и хордой.
13. Угол между хордами.
14. Угол между секущими.
15. Свойство пересекающихся хорд.
16. Свойство касательной и секущей.
В. В. Казаков
ГЕОМЕТРИЯ
Учебное пособие для 8 класса
учреждений общего среднего образования
с русским языком обучения
Допущено
Министерством образования
Республики Беларусь
Минск «Народная асвета» 2018
УДК 514(075.3=161.1)
ББК 22.151я721
К14
В оформлении обложки использован фрагмент фрески
Рафаэля Санти «Афинская школа»
Рецензенты:
кафедра геометрии, топологии и методики преподавания математики
механико-математического факультета Белорусского государственного университета
(кандидат физико-математических наук, старший преподаватель Г. О Кукрак);
учитель математики высшей квалификационной категории
государственного учреждения образования «Несвижская гимназия»
П. М. Романчук
Казаков. В. В.
К14 Геометрия : учебное пособие для 8-го класса учреждений
общего среднего образования с русским языком обучения /
В. В. Казаков. — Минск : Народная асвета, 2018. — 199 с. : ил.
18ВД 978-985-03-2939-4.
УДК 514(075.3=161.1)
ББК 22.151я721
18ВЛ 978-985-03-2939-4
© Казаков В. В., 2018
© Оформление. УП «Народная асвета», 2018
ПРЕДИСЛОВИЕ
Ребята! В 8-м классе вы продолжите изучение геометрии. Вы уже зна-
ете, что геометрия рассматривает геометрические фигуры и их свойства.
Ниже мы вспомним, какие фигуры вы изучили в 7-м классе. Л пока по-
смотрите вокруг себя. Окна, двери, стены зданий — все они имеют пря-
моугольную форму. Прямоугольник — самая распространенная рукотвор-
ная геометрическая форма. Солнце, Луна, планеты, в том числе и наша
Земля, срез ствола дерева, форма яблока или апельсина — все это говорит
о том, что для природы характерны округлите формы.
В 8-м классе мвт изучим и прямоуголвники, и окружности.
Панорама геометрии 8-го класса
Вам предстоит познакомитвся с двумя важнвтми видами четырех-
уголвников: параллелограммом и трапецией.
Посмотрите на параллелограмм, изображенный на рисунке, и поду-
майте, почему эта фигура тате называется.
Упомянутвтй нами прямоугольник является частным видом паралле-
лограмма. Прямоуголвник — это параллелограмм с ирямвтми углами.
Л квадрат — частнвтй случай прямоугольника. Это прямоугольник с рав-
ными сторонами.
Еще одним частнвтм случаем параллелограмма является ромб — па-
раллелограмм с равнвтми сторонами. Трапеция, в отличие от параллело-
грамма, имеет толвко две параллельные стороны.
Во второй главе будут выведена! формулы пло-
щадей некоторвтх плоских фигур: параллелограм-
ма, треуголвника, трапеции. В частности, вы узнаете,
что площадь прямоугольного треугольника равна по-
ловине произведения катетов, т. е. 8 = Это легко
объясняется, например, тем, что прямоуголвник со
сторонами а и Ь, площадь которого 8 = аЬ, разбивается диагональю на
два равных прямоугольных треугольника с катетами а и Ь.
подобные
Далее вы узнаете, какие треугольники называ-
ют подобными. Это треугольник и его увеличенная
или уменьшенная копия
У равных треугольников соответствующие сто-
роны и углы равны. У подобных же треугольников
соответствующие углы равны, а стороны пропор-
циональны.
Например, каждая сторона одного из подоб-
них треугольников может быть в 2 раза больше соответствующей стороны
другого треугольника.
Завершит курс геометрии 8-го класса глава «Окружность». Древние
греки считали окружность самой совершенной фигурой, душой геометрии.
Вы узнаете о касательной к окружности, о касающихся окружностях, о
вписанных и центральных углах окружности, познакомитесь с некоторы-
ми другими свойствами окружностей.
касающиеся окружности
а2+ Ь2 = с2
а) теоретический
Без сомнения, главным событием в геометрии
8-го класса будет ваше знакомство со знаменитой
ТЕОРЕМОЙ ПИФАГОРА о свойстве сторон пря-
моугольного треугольника, которая звучит так:
«Сумма квадратов катетов равна квадрату ги-
потенузы».
Итак, в учебном пособии «Геометрия, 8 класс»
четыре главы. В каждой главе несколько парагра-
фов, каждый из которых содержит:
материал: определения, теоремы и следствия из них;
б) ключевые задачи;
в) задачи для самостоятельного решения.
Ключевые задачи являются образцами, где показаны приемы решения
п варианты оформления задач. Поэтому они разбираются учителем вместе
с классом. Кроме того, в ключевых задачах рассмотрены дополнительные
свойства геометрических фигур,
Все свойства, доказанные в ключевых задачах, относятся к теорети-
ческой части. При решении задач можно ссылаться на эти свойства- как
на известные геометрические факты.
В начале каждой главы приводится карта главы, где изображены
фигуры, изучаемые в данной главе. Все главы содержат дополнительный
материал под рубриками: «Реальная геометрия», «Моделирование», «Гео-
метрия ЗБ», с которыми вы уже знакомы из курса геометрии 7-го класса.
Внимание!
Задачи для самостоятельного решения в разделе «Решаем само-
стоятельно», которые не имеют знака (*), представлены во всех пяти
уровнях усвоения учебного материала. Они достаточны для опенки
результатов учебной деятельности учащихся при осуществлении
поурочного контроля с использованием десятибалльной шкалы.
Задачи, отмеченные знаком (*), являются задачами повышенной
сложности, многие из них носят олимпиадный и исследовательский
характер. Они могут предлагаться учащимся, проявляющим интерес к
математике. Сказанное относится и к материалу § 12*, 16*, 24*.
Три секрета успеха в геометрии
Секрет 1. Знание ВСЕХ теорем (в 8-м классе их 39).
Секрет 2. Знание ДОКАЗАТЕЛЬСТВ теорем, указанных в программе по
математике (список в конце учебного пособия).
Секрет 3. Умение решить любую КЛЮЧЕВУЮ задачу пособия.
На обложке учебного пособия изображен фрагмент фрески ве-
ликого итальянского художника эпохи Возрождения Рафаэ-
ля Санти «Афинская школа». При помощи Интернета выяс-
ните, кто изображен на этом фрагменте, как звали стоящую на
картине девушку и чем она знаменита.
Желаем вам успехов в освоении геометрии в 8-м классе.
Повторение курса геометрии 7-го класса
В 7-м классе мы познакомились с простейшими геометрическими фи-
гурами и их свойствами. Вспомним некоторые из нкх.
1) Свойство смежных и свойство вертикальных углов.
2) Признаки равенства треугольников.
3) Свойства и признаки равнобедренного треугольника.
4) Теорема о сумме углов треугольника.
5) Свойства и признаки параллельных прямых.
6) Окружность, радиус, хорда, диаметр, круг.
7) Свойство катета прямоугольного треугольника с углом, равным 30°.
Право!
ве1
Признаки равенства треугольников
Свойства и признаки параллельных прямых
Л теперь вы можете проверить уровень своих геометрических знаний,
полученных в 7-м классе, решив за 30 минут тест из 10 задач. Выпишите
номера выбранных вами ответов, сравните их с ответами одноклассников.
Посчитайте набранное вами число баллов- каждая задача оценивается в
10 баллов. Если вы набрали 60 баллов, то ваша отметка «6» баллов, если
100 баллов, то — «10» баллов. Успешного выполнения теста!
Тест по геометрии за 7-й класс
№ Условия задач Ответы на выбор
1 Один из смежных углов равен 30°. Найдите градусную меру другого угла. 1) 30°; 2) 130°; 3) 150°: 4) 170=.
2 Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найдите величину одного из этих углов. 1) 80°; 2) 50°; 3) 40°; 4) 100°.
3 Основание равнобедренного треугольника равно 12 см. а боковая сторона — 8 см. Най- дите периметр треугольника. 1) 28 см; 2) 20 см; 3) 30 см, 4) 32 см.
4 Два угла треугольника равны 30° и 50°. Най- дите третий угол. 1) 90°; 2) 130°; 3) 80°; 4) 100°.
5 Угол при вершине равнобедренного треуголь- ника равен 40°. Найдите угол при основании. 1) 55°; 2) 85°; 3) 70=; 4) 140°.
6 Углы 1 и 2 — накрест лежащие при парал- лельных прямых а и Ь и секущей с. Известно, что А\ + ^2 = 130°. Найдите величину АХ 1) 65°; 2) 70°; 3) 50°; 4) 25°.
7 Внешние углы при двух вершинах треуголь- ника равны 100° и 125°. Найдите внешний угол при третьей вершине. 1) 225°; 2) 45°; 3) 145°; 4) 135°.
8 Из вершины развернутого угла АОВ в одну полуплоскость относительно прямой АВ про- ведены лучи ОС и ОВ, луч ОС проходит внутри угла АОВ, АСОВ - 70°. Найдите угол между биссектрисами углов АОС и ВОВ. 1) 60°; 2) 55°; 3) 110°; 4) 125°.
9 Из вершины прямого угла С прямоугольно- го треугольника АВС, у которого АВ = 30°, АВ = 36 см, проведена высота СИ. Найдите длину отрезка НВ. 1) 27 см; 2) 24 см; 3) 18 см, 4) 30 см.
10 На отрезке АВ отмечена точка С, где АС > ВС. Расстояние между серединой отрезка -АВ и серединой отрезка ВС равно 24 см. Найдите длину отрезка АС. 1) 42 см; 2) 36 см; 3) 48 см; 4) нель- зя найти.
Сейчас ответим на вопрос: КАК РЕШАТЬ СЛОЖНУЮ ГЕОМЕТРИЧЕ-
СКУЮ ЗАДАЧУ? Для примера рассмотрим задачу 229* из учебного по-
собия «Геометрия, 7 класс» и проанализируем, как может происходить
поиск решения такой задачи.
Задача 229* (7-й класс). В остроугольном треугольнике АВС высоты ВЛ'
и СК пересекаются в точке Н. Найдите угол АСВ треугольника АВС, если
СН - АВ.
Дано: ААВС, ВН и СК — высоты, СН = АВ.
Найти: А АСЕ.
Анализ поиска решения задачи.
При решении геометрической задачи полезно найти величины всех
возможных углов и всех возможных отрезков, а также установить равен-
ство каких-то углов и каких-то отрезков, которое не дано непосредственно
в условии задачи. Обратимся к нашей задаче.
1) Самое простое, что можно отметить, так это равенство вертикальных
углов 1 и 2. Из прямоугольных треугольников БКН и СИН следует, что
АЗ = А4 (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°).
2) Снова вернемся к условию задачи и подумаем, кате объединить усло-
вия: АВ = СН и АЗ = А4, Можно прийти к идее рассмотрения прямоуголь-
ных треугольников АН В и НИС. У них равны острые углы 3 и 4 и равны
гипотенузы АВ и СН. Значит, ААНВ = АНИС по гипотенузе и острому
углу (признак равенства прямоугольных треугольников).
3) После доказательства равенства треугольников обычно записывают,
что следует из этого равенства. В нашем случае: АН = НИ и ВН = СН.
4) Обратимся к тому, что следует найти: А АС В. Как этот угол свя-
зан со сторонами ВН и ЛТС? Очевидно, следует рассмотреть АВИС. Он
равнобедренный (ВН = СУ) и прямоугольный (ВН — высота). Тогда
АУСВ = ЛИ ВС - 45° (углы при основании равнобедренного треугольника
равны).
Ответ. ААСВ = 45°.
Глава I
Четырехугольники
В этой главе вы узнаете:
Виды многоугольников
Свойства параллелограмма и трапеции
О чем говорит теорема Фалеса
Многоугольники
Четырехугольники
противоположные стороны । । । параллелограмм / / \ : 1 ромб [ , \ / 1 1 ОС \ / । К < прямоугольник 1 X X \ 1 квадрат । с противоположные __— углы трапеция
§ 1. Многоугольник
Определение. Многоугольником называется простая замкнутая лома-
ная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает.
Вершины этой ломаной называются вершинами многоугольника, ее
звенья — сторонами многоугольника. Периметром многоугольника назы-
вается сумма длин его сторон. По свойству ломаной длина любой стороны
многоугольника меньше суммы длин оставшихся сторон.
Определение. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит
в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его
сторону. В противном случае он называется невыпуклым.
На рисунке 1, а) изображен выпуклый пятиугольник АВСВЕ, на ри-
сунке 1,6) — невыпуклый четырехугольник АВСВ (вершины А и В ле-
жат в разных полуплоскостях относительно прямой СВ). Фигура, изобра-
женная на рисунке 1, в), не является многоугольником, так как ломаная
АВСВЕ непростая.
Рис 1
Стороны многоугольника, имеющие общую вершину, называются со-
седними сторонами; вершины, являющиеся концами одной стороны, — со-
седними вершинами, а углы при этих вершинах — соседними углами мно-
гоугольника. При этом углом выпуклого многоугольника (иногда говорят
внутренним углом) называется угол между соседними сторонами, содер-
жащий этот многоугольник.
Например, на рисунке 1, а) стороны АВ и ВС — соседние, вершины А
и В — соседние, АА и АВ — соседние углы.
Каждый угол выпуклого многоугольника меньше 180°. Невыпуклый
многоугольник имеет, по крайней мере, один угол, больший 180е.
Определение. Диагональю многоугольника называется отрезок, ко-
торый соединяет две несоседние вершины многоугольника.
У любого четырехугольника четыре стороны, четыре вершины, четы-
ре внутренних угла, две диагонали. Две несоседние стороны называются
противоположными (или противолежащими) сторонами, две несоседние
вершины — противоположными вершинами, а углы при этих верши-
нах — противоположными углами четырехугольника.
У четырехугольника АВСВ (рис. 2, а) стороны АВ и СВ, АВ и ВС —
противоположные, вершины А и С, В и В, а также углы при этих вер-
шинах — противоположные. Отрезки АС и ВВ — диагонали четырех-
угольника АВСВ. Диагональ АС разбивает четырехугольник АВСВ на два
треугольника АВС и АВС (рис. 2, б).
Сумма углов четырехугольника АВСВ равна сумме углов этих тре-
угольников, Так как сумма углов треугольника равна 180°, то сумма
углов четырехугольника равна 180° • 2, то есть 360°.
Многоугольник, у которого п сторон, имеет п вершин, п углов и
называется п-угольником. Выведем формулу, позволяющую находить сум-
му углов любого выпуклого п-угольника.
Теорема (о сумме углов п-угольника).
Сумма углов выпуклого п-угольника равна 180°(п - 2).
Рис. 3
Дано: А1А2...Ап — выпуклый п-угольник.
Доказать: ААГ + ЛА2 + ... + ЛА,, = 180°(и - 2).
Доказательство. Проведем из вершины А} диаго-
нали АГА3, АХА^ ..., АгА„ _ ! (рис. 3). Наш и-угольник
разобьется на п - 2 треугольника (без учета сторон
А1Ае и А1АЯ останется п - 2 стороны, и на каждую
придется по одному треугольнику). В каждом тре-
угольнике сумма углов равна 180°. Сумма всех углов
полученных треугольников равна сумме углов данного /г-угольника, т. е.
/_АХ + /_Аг + ... + ААп = 180°(« - 2). Теорема доказана.
Замечание. Теорема справедлива и для невыпуклого многоугольника.
А теперь выполните Тест 1 и Тест 2.
Тест 1
Тест 2
Найдите сумму углов 12-угольни-
ка при помощи формулы суммы
углов «-угольника.
Найдите сумму углов 5-угольника,
используя разбиение его на тре-
угольники.
Рис 4
Задания к § 1
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
ключевые задачи
Задача 1. Сумма углов выпуклого п-уголъника рав-
на 3600°. Найти число сторон этого многоугольни-
ка (рис. 4).
Решение. Сумма углов выпуклого /г-угольника рав-
на 180°(« - 2), где « — число его сторон. По условию
180э(« - 2) = 3600°, откуда « - 2 = , « - 2 = 20,
« = 22.
Ответ: 22.
Задача 2. Найти число диагоналей шестиугольника.
Решение. Пусть АВСВЕГ — некоторый шестиуголь-
ник. Из вершины А можно провести 3 диагонали
(рис. 5). Из вершины В также можно провести 3 диа-
гонали. Так как из каждой из шести вершин можно
провести по 3 диагонали, то получим 6 • 3 = 18 «вы-
ходящих» диагоналей. При этом каждая диагональ
шестиугольника учитывается дважды: вначале для
одной, а затем для другой вершины. Поэтому всего
диагоналей в 2 раза меньше, то есть 18 : 2 = 9.
Ответ: 9.
Замечание. Рассуждая аналогично, можно вывести формулу числа диагоналей
и-угольника. Из каждой вершины и-угольника будет выходить (и - 3) диагонали
(из данной вершины в нее саму и в две соседние вершины диагонали провести
нельзя). Поскольку всего вершин п, то число диагоналей .
Задача 3. Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол,
смежный с его внутренним углом. Доказать свойство: «Сумма внешних
углов выпуклого многоугольника, взятых по одно-
му при каждой вершине, равна 360°».
Доказательство. Чтобы найти сумму внешних (за-
крашенных) углов выпуклого п-угольника (рис. 6),
нужно от суммы развернутых углов, взятых по одно-
му при каждой вершине, отнять сумму его внутрен-
них углов. Получим:
180° • п - 180° • (п - 2) = 180° • п - 180° • п + 360° =
= 360°.
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
1. Найдите сумму углов выпуклого:
а) шестиугольника: б) десятиугольника; в) семпадцатиугольника.
2. Решите следующие задачи:
а) Найдите четырехугольника АВСВ (рис. 7, а);
б) Найдите АС пятиугольника АВСВЕ (рис. 7, б);
в) Найдите сумму А\ + А2 + АЗ, если у шестиугольника АВСВЕР все
3. Нарисуйте выпуклый пятиугольник АВСВЕ и проведите все его диа-
гопали. При помощи формулы Гха =---------- найдите число диагоналей
пятиугольника и сравните его с числом диагоналей, проведенных вами.
4. Сумма углов п-угольника равна 900°. Все его стороны равны по 6 см.
Найдите периметр этого п-угольпика.
5. Определите количество сторон выпуклого многоугольника, если у
него все углы равны и каждый угол содержит;
а) 60°; б) 108°; в) 120°.
6. Найдите углы четырехугольника М1ЯРК, если известно, что
АМ ' АР ЛК = 2 : 7 3 : 8 Используя транспортир, изобрази-
те такой четырехугольник.
7. а) У четырехугольника два противоположных угла прямые, третий
угол на 20° меньше четвертого угла. Найдите больший угол четырех-
угольника .
б) У четырехугольника три угла равны, а четвертый в 2 раза больше
каждого из этих углов Найдите углы четырехугольника.
8. а) Периметр четырехугольника равен 6 м. Одна из сторон равна 120 см,
а три оставшиеся стороны равны между собой. Найдите неизвестные
стороны четырехугольника в сантиметрах.
б) Периметр четырехугольника равен 78 см, две
пы относятся как 1 : 3, третья сторона равна 24
ставляет 75 % третьей стороны. Найдите мень-
шую сторону четырехугольника.
9.
10.
11.
Вершипы А, В и С некоторого четырехуголь-
ника находятся в узлах тетрадной сетки (рис, 8).
Найдите двумя способами величину угла при
четвертой вершине четырехугольника, которая
недоступна.
Докажите, что сумма длин диагоналей вы-
пуклого четырехугольника больше:
а) суммы длин двух его противоположных
сторон;
б) его полупериметра.
Дан невыпуклый четырехугольник (рис. 9). До-
кажите, что У4 = АХ + А2 + АЗ.
12. У некоторого выпуклого многоугольника чис-
ло диагоналей равно числу его сторон. Найдите
сумму углов этого многоугольника.
13* АВСВ — выпуклый четырехугольник, АА =
= 80°, АВ = 70°. Найдите угол между биссек-
трисами углов В и С, обращенный к стороне ВС.
14*, В точках А, В, С и В расположены магази-
ны (рис. 10). Найдите положение точки М, в
соседние его сторо-
см, а четвертая со-
Рис. 8
С
В .
? м
а“ ’в
Рис. 10
которой следует разместить склад, чтобы сумма расстояний от склада
до магазинов была наименьшей.
15*. Длины сторон пятиугольника АВСВЕ выражены целыми числами.
Известно, что АВ = 1 см, ВС = 3 см, СВ = 5 см, ВЕ - 10 см. Какую
наибольшую и какую наименьшую длину может иметь сторона АЕ1
16*. Определите, какое наибольшее число острых углов может иметь вы-
пуклый многоугольник.
Реальная геометрия
На рисунке 11 изображена карта с ули-
цами. Улицы Тенистая и Виноградная пере-
секаются под прямым углом, улица Абри-
косовая пересекается с улицей Виноградной
под углом 74°, а с улицей Вишневой — под
углом 80°.
Задача. Определите, какой угол составля-
ют улицы:
а) Вишневая и Тенистая;
б) Тенистая и Абрикосовая;
в) Виноградная и Вишневая.
Рис. 11
Три совета:
Как научиться решать задачи по геометрии
Совет 1. Приступая к решению задачи, желательно прочесть ее условие несколь-
ко раз, чтобы ясно понимать, что в задаче дано, а что требуется найти (доказать).
Далее следует сделать чертеж (если оп не прилагается), как можно более точно соот-
ветствующий условию задачи. При этом, если сказано, что дан четырехугольник, не
стоит чертить прямоугольник, а если дан произвольный треугольник, то построен-
ные вами равнобедренный или равносторонний треугольники могут привести к не-
правильным рассуждениям. Следует быть готовым к тому, что придется построить
несколько чертежей, чтобы выбрать наиболее подходящий.
Совет 2. Если сразу не удается составить план решения задачи, нужно получить
все дополнительные данные, вытекающие из условия. Первым делом необходимо
найти величины всех углов и всех отрезков, которые только можно. Затем следует
еще раз прочитать, что требуется найти или доказать.
Сс нет 3. Древние греки говорили: «Чтобы научиться плавать, нужно лезть в
воду». Аналогично можно сказать: «Чтобы научиться решать задачи по геометрии,
нужно их решать». В учебном пособии число простых задач ограничено объемом по-
собия. Дополнительные задачи, а также развивающие вопросы размещены в посо-
бии «Наглядная геометрия. 8 кл.» (автор В. В. Казаков). Решение большого количе-
ства простых и средних по сложности задач на готовых чертежах — лучший способ
научиться решать более сложные задачи.
§ 2. Параллелограмм и его свойства
Определение. Параллелограммом называется четырехугольник, у ко-
торого противоположные стороны параллельны.
____7С На рисунке 12 изображен параллелограмм АВСВ,
/ у него АВ || СВ, АВ || ВС.
/ По свойству односторонних углов при парал-
/ дельных прямых и секущей АА + АВ = 180°,
(г, АВ + АС = 180°. Справедливо свойство: «Сумма
Рис. 12 соседних углов параллелограмма равна 180».
Определение. Высотой параллелограмма называется перпендикуляр,
проведенный из точки прямой, содержащей одну из сторон параллело-
грамма, к прямой, содержащей противоположную сторону (основание
параллелограмма).
Рис. 13
Высотой параллелограмма также называется
длина указанного перпендикуляра. Все высоты па-
раллелограмма, проведенные к данному основанию,
равны между собой как расстояния между парал-
лельными прямыми.
На рисунке 13 высота параллелограмма АВСВ
проведена к основанию АВ, высота И2 — к основа-
нию ВС. Из свойств параллельных прямых следует,
что Н1 ± ВС, И2 _1 АВ.
Теорема (свойство сторон и углов параллелограмма).
У параллелограмма противоположные стороны равны и противопо
ложные углы равны.
Рис. 14
Дано: АВСВ — параллелограмм (рис. 14).
Доказать: АВ = СВ, ВС = АВ; АА = АС, АВ = лВ.
Доказательство. Так как АВСВ — параллело-
грамм, то АВ || СВ, ВС || АЛ. Проведем диагональ ВЛ.
Получим два треугольника ^1ВЛ и СВВ, которые рав-
ны по 2-му признаку равенства треугольников (сто-
рона ВЛ — общая, А1 = А2 как накрест лежащие
при параллельных прямых АВ и СВ и секущей ВЛ,
АЗ = А4 как накрест лежащие при параллельных
прямых АЛ и ВС и секущей ВЛ), Из равенства
этих треугольников следует, что АВ = ВС, АВ = СВ, АА = АС. Углы В
и О параллелограмма равны как суммы равных углов: /АВ = А\ + АЗ,
АВ = А2 + А\. Теорема доказана-
Следствие.
Периметр параллелограмма со сторонами а и Ъ находится по форму-
ле Р = 2(а + Ь).
При доказательстве теоремы получено еще одно свойство парал-
лелограмма: «Диагональ параллелограмма делит его на два равных
треугольника».
Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
параллельных прямых
Дано: АВС В — параллелограмм (рис. 15).
Доказать: АО = ОС, ВО = ОВ.
Доказательство. Так как АВСВ — паралле-
лограмм, то АВ || СВ, ВС , АВ. Треугольники
АОВ и СОВ равны по 2-му признаку равенства
треугольников (А1 = А2 как накрест лежащие
при параллельных прямых АВ и ВС и секу-
щей АС, АЗ = ^4 как накрест лежащие при
АВ и ВС и секущей ВВ, АВ - ВС как противо-
положные стороны параллелограмма). Из равенства этих треугольников
следует, что АО - ОС, ВО = ОВ. Теорема доказана.
Замечание. Точка пересечения диагоналей параллелограмма называется цен-
тром параллелограмма.
Л теперь выполните Тест 1 и Тест 2.
Тест 1
Найдите периметр четырехуголь-
ника МАРК.
Тест 2
Найдите углы А, В и С параллело-
грамма АВСВ.
Внимание!
Если на рисунке к задаче и в ее условии не указана размерность
(например, как в Тесте 1), то подразумевается, что длины отрезков вы-
ражены в одних и тех же единицах. Ответ для этой задачи приводится
без размерности.
Задания к § 2
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
ключевые задачи
Задача 1.ЛВСВ — параллелограмм, ВК и ВМ — его высоты, АКВМ = 60°,
АК = 3 см, КВ = 7 см. Найти: А АВК, А А, сторону АВ, периметр парал-
лелограмма АВСВ (рис. 16).
Решение. Так как ВМ 1 АВ, то лАВМ - 90°,
А АВК = 90° - 60° = 30°. В прямоугольном треуголь-
нике АВК АА = 90° - 30° = 60°. Поскольку в тре-
угольнике АВК катет АК лежит против угла в 30°,
то он равен половине гипотенузы. Отсюда гипотенуза
АВ = 2АК - 6 см Так как АВ = АК + КВ = 10 см, то
Равсв = 2(АВ + АО) = 2(6 + 10) = 32 (см).
Ответ: 30°; 60°; 6 см: 32 см.
Замечание. Так как А А и АКВМ дополняют А АВК до 90°, то АА = АКВМ.
Полезно запомнить свойство: «Угол между высотами параллелограмма, прове-
денными из его вершины,равен углу при соседней вершине».
Задача 2, Биссектриса угла А параллелограмма АВСВ пересекает сторону
ВС в точке К, АВ - 12 см, АВ = 10 см. Найти длину отрезка КС (рис. 17).
5) ВС = АВ = 12 см
Решение.
1) А\ = А2 (АК — биссектриса);
2) А2 = АЗ (как накрест лежащие углы при АВ || ВС
и секущей АК);
3) АХ = АЗ, А АВК — равнобедренный (по признаку
равнобедренного треугольника);
4) АВ = ВК = 10 см (как боковые стороны равнобед-
ренного треугольника);
(как противоположные стороны параллелограмма);
6) КС =ВС - ВК = 12 - 10 =' 2 (см).
Ответ: 2 см.
Замечание. По ходу решения задачи доказано свойство: «Биссектриса угла
параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник».
Задача 3. Доказать, что любой отрезок с концами на сторонах парал-
лелограмма и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится
этой точкой пополам.
Рис. 18
Доказательство. Пусть АВСВ — параллело-
грамм, КМ — указанный отрезок (рис, 18). Дока-
жем, что ОК = ОМ. Рассмотрим ААОМ и АСОК.
У них АО = ОС (диагонали параллелограмма точ-
кой пересечения делятся пополам), ЛОАМ = ЛОСК
(как накрест лежащие углы при параллельных
прямых АВ и ВС и секущей АС), ЛАОМ = АСОК
(как вертикальные). Значит, ААОМ = АСОК (по
2-му признаку равенства треугольников). Из равенства треугольников сле-
дует, что ОМ = ОК. Утверждение доказано.
Следствие.
Так как точки К и М симметричны относительно точки пересе-
чения диагоналей, то можно сделать вывод, что параллелограмм —
центрально-симметричная фигура и центр
его центром симметрии (см. § 12*).
Гимнастика ума
Параллелограмм АВСВ разрезали по ломаной
линии, соединяющей вершины В и В (рис. 19).
Определите, периметр какой части параллелограм-
ма больше: желтой или красной.
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
17. Перенесите рисунок 20 в тетрадь. По-
стройте параллелограмм АВСВ. Чему
равна длина стороны ВС? Чем являет-
ся отрезок ВН для параллелограмма
АВСВ? Проведите высоту СМ к сторо-
не АВ. Почему из равенства ААВН и
АВСМ следует, что АВ || СВ?
параллелограмма является
Рис. 20
18. По данным на рисунках 21, а)—г) докажите, что АВСВ — паралле-
Рис. 21
19. Найдите неизвестные углы параллелограмма АВСВ, если:
а) ЛВ = 130°; г) ЛС : ЛВ = 2 : 7;
б) ЛА + ЛС = 140°; д) ЛВАС = 35°, ЛВАС = 25°.
в) угол А на 20° меньше угла В;
20. Периметр параллелограмма АВСВ равен 48 см. Найдите его стороны,
если:
а) СВ = 10 см;
б) сторона АВ на 2 см больше стороны АВ,
в) АВ : АВ = 3 : 5;
г) АВ + ВС + СВ = 32 см;
д) ЛВАС = М)АС.
21. Диагонали параллелограмма АВСВ пересекаются в точке О (рис. 22).
Найдите:
а) периметр треугольника ЛОБ, если АС = 20 см, ВВ = 16 см, СВ - 10 см;
б) периметр параллелограмма АВСВ, если АС = 14 см, ВВ = 12 см,
?аов = 21 см, = 33 см.
22. В параллелограмме АВСВ АК - 16 см, ВР = 7 см, КВ = 6 см, АМ =
= 18 см (рис. 23). Найдите периметр параллелограмма.
23. В параллелограмме АВСВ проведена высота СК, ЛА = 120°, ВС =
= 11 см, АК = 7 см (рис. 24). Найдите периметр параллелограмма.
24 а) Периметр параллелограмма АВСВ равен 36 см, периметр треуголь-
ника АВС равен 28 см, ЛАСВ - 30°. Найдите: 1) сторону АС; 2) высо-
ту СК, опущенную на сторону АВ.
б) Диагональ ВВ параллелограмма АВСВ перпендикулярна стороне
АВ, Равсп = 30 см, ЛАВС = 120°. Найдите стороны параллелограмма.
25. а) Докажите, что биссектрисы противоположных углов параллело-
грамма АВСВ (АВ АВ) параллельны между собой.
б) Докажите, что биссектрисы соседних углов параллелограмма вза-
имно перпендикулярны.
26. Биссектриса угла А параллелограмма АВСВ делит сторону ВС на от-
резки В К = 6 см, КС = 4 см. Найдите периметр параллелограмма.
27. Биссектрисы углов В и С параллелограмма АВСВ пересекаются в
точке К, которая принадлежит стороне АО. Найдите периметр па-
раллелограмма, если КВ = 8 см.
25 Треугольник АВС — равнобедренный, АВ =
= ВС = 12 см (рис. 25). Найдите периметр
параллелограмма МВИК
29 Точка М — середина стороны ВС парал-
лелограмма АВСВ, ААВС = 104°, АВАМ =
= 38°. Найдите величину угла СВМ.
30 . Дан параллелограмм АВСВ с острым
углом А, АН и АК — высоты, проведенные
к сторонам ВС и СВ соответственно. Дока-
жите, что АНАК = АВ.
31*. В треугольнике АВС проведена биссектри-
са АК, КЕ Ц АС, ЕН || ВС (рис. 26). По
размерам на рисунке найдите длину отрез-
ка НС. Рис. 26
32*. Найдите алгоритм построения с помощью циркуля и линейки парал-
лелограмма:
а) по двум соседним сторонам и углу между ними;
б) по двум соседним сторонам и высоте, проведенной к одной из сторон.
33* Сформулируйте какой-нибудь признак равенства параллелограммов и
докажите его. (Фигуры равны, если их можно совместить наложением.)
34* Дан угол А и точка М внутри него. Постройте при помощи циркуля
и линейки отрезок с концами на сторонах угла А, проходящий через
точку М, который делится точкой М пополам.
§ 3. Признаки параллелограмма
Рассмотрим три признака параллелограмма.
Теоремы (признак параллелограмма).
Если у четырехугольника две стороны равны и параллельны, то этот
четырехугольник — параллелограмм.
Рис. 27
Дано: четырехугольник АВСВ,
ВС = АВ, ВС || АВ.
Доказать: АВСВ — параллелограмм (рис. 27).
Доказательство. Проведем в четырехуголь-
нике АВСВ диагональ ВВ. Треугольники АВВ и
СВВ равны по 1-му признаку равенства треуголь-
ников (АВ - ВС по условию, А\ = А2 как накрест
лежащие углы при параллельных прямых ВС и
АВ и секущей ВВ, сторона ВВ — общая). Из равенства треугольников
следует, что АЗ = /А. Л так как АЗ и А± по своему расположению — на-
крест лежащие углы при прямых АВ и СВ и секущей ВВ, то АВ || СВ (по
признаку параллельности прямых). Таким образом, у четырехугольника
АВСВ противоположные стороны параллельны. Поэтому АВСВ — парал-
лелограмм (по определению параллелограмма). Теорема доказана.
Теорема (признак параллелограмма).
Если у четырехугольника противоположные стороны равны, то этот
четырехугольник — параллелограмм.
Дано: четырехугольник АВСВ,
ВС = АВ, АВ = СВ.
Доказать: АВСВ — параллелограмм (рис, 28).
Доказательство. Проведем диагональ ВВ.
Треугольники АВВ и СВВ равны по трем сто-
ронам (АВ = ВС, АВ = СВ по условию, сторона
ВВ — общая). Из равенства треугольников сле-
дует, что /1 = А2 и АЗ = А4:, А так как АЗ и
АЗ — накрест лежащие углы при прямых ВС и АВ и секущей ВВ, то
ВС АВ (по признаку параллельности прямых). Аналогично, так как А\
и А2 — накрест лежащие углы при прямых АВ и СВ и секущей ВВ, то
АВ || СВ. Поскольку у четырехугольника АВСВ противоположные сторо-
ны параллельны, то АВСВ — параллелограмм (по определению паралле-
лограмма). Теорема доказана.
Теорема (признак параллелограмма).
Если у четырехугольника диагонали точкой пересечения делятся по-
полам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Дано: четырехугольник АВСВ,
АО = ОС, ВО = ОВ.
Доказать: АВСВ — параллелограмм (рис. 29).
Доказательство. Треугольники АОВ и СОВ
равны по 1-му признаку равенства треугольни-
ков (ААОВ — АСОВ как вертикальные, АО = ОС,
ВО = ОВ по условию). Из равенства треуголь-
ников следует, что А\ - А2. Но углы 1 и 2 —
накрест лежащие при прямых АВ и ВС и се-
кущей АС. По признаку параллельности прямых АВ || ВС. Аналогично,
треугольники АОВ и СОВ равны по 1-му признаку равенства треуголь-
ников, откуда АЗ - АЗ, АВ || СВ. Так как у четырехугольника АВСВ
противоположные стороны параллельны, то он — параллелограмм (по
определению параллелограмма) Теорема доказана.
Л теперь выполните Тест 1 и Тест 2.
Тест 1
Объясните, почему каждый из изображенных на рисунках четырехугольни-
ков является параллелограммом
4,1
4,1
Тест 2
Верно ли утверждение: «Если у четырехугольника две противоположные сто-
роны равны, а две другие параллельны, то это параллелограмм»? Если ваш
ответ «нет», то приведите контрпример (пример, опровергающий это утверж
дение).
Задания к § 3
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
ключевые задачи
Задача 1. Дан параллелограмм АВСВ. На его сторонах ВС и АВ отложе-
ны равные отрезки
ВК и ВМ. Доказать, что АКСМ — параллелограмм.
Доказательство. У любого параллелограмма
противоположные стороны равны и параллель-
ны. Поэтому АВ = ВС и АВ || ВС (рис. 30). Так
как КС = ВС - ВК, АМ = АВ - ВМ и по условию
В К = ВМ, то КС = АМ. Поскольку у четырехуголь-
ника АКСМ стороны КС и АМ равны и параллель-
ны, то он является параллелограммом по признаку
параллелограмма.
Задача 2. Построить при помощи циркуля и линейки параллелограмм по
двум диагоналям и углу между ними.
Решение. Пусть Д и с12 — данные диагонали, [) — угол между ними
(рис. 31, а).
Построение. Делим каждую из диагоналей Д и пополам (вспомни-
те, как это делается при помощи циркуля и линейки). Строим угол О,
равный углу р (вспомните алгоритм построения). На сторонах угла О и
на их продолжениях откладываем отрезки ОС = ОА = и 01) = ОВ =
(рис. 31, б). Проводим отрезки АВ, ВС, СВ и АВ. Четырехугольник
АВСВ — искомый параллелограмм.
Доказательство. У четырехугольника АВСВ диагонали точкой пересе-
чения делятся пополам (по построению), поэтому он параллелограмм (по
признаку параллелограмма). Диагонали АС и ВВ равны с1, и д2, и угол
АО В между диагоналями равен Р (по построению).
Задача 3. Доказать, что высоты треугольника (или их продолжения)
пересекаются в одной точке.
Доказательство. Пусть АМ, ВК и СК —
высоты треугольника АВС (рис. 32). Через
вершины треугольника АВС проведем пря-
мые, параллельные противолежащим сторо-
нам. В их пересечении получим треуголь-
ник АДЗДД. Так как А1В1 || АВ, А1С1 || АС, то
АВАД — параллелограмм, откуда ВА] = АС.
Аналогично АСгВС — параллелограмм и
СДЗ = АС. Тогда СД> - ВАГ. Значит, точка В —
середина отрезка А1С1. Так как АС || АгСг и
ВК ± АС, то В2У ± АХСХ (прямая, перпендику-
лярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой
прямой). Прямая ВЛТ — серединный перпендикуляр к стороне А1С1 тре-
угольника А1В1С1. Аналогично доказывается, что прямые АМ и СК — се-
рединные перпендикуляры к сторонам В1С1 и А1В1 соответственно. А мы
знаем, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересе-
каются в одной точке (7-й кл , с. 81, задача 2). Следовательно, высоты
АМ, ВК и СК (или их продолжения в случае тупоугольного треугольника)
пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.
При помощи Интернета выясните, как в математике называет-
ся точка пересечения высот.
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
35. Перенесите рисунок 33 в тетрадь. Прове-
дите (вправо) отрезок ВС, равный и па-
раллельный отрезку АВ. Объясните, по-
чему четырехугольник АВСВ — паралле-
лограмм. Найдите приближенно периметр
параллелограмма АВСВ в сантиметрах.
О
36 Докажите, что на рисунках 34, а)—г) АВСВ — параллелограмм
37. Используя данные на рисунках 35, а)—в), ответьте на следующие
вопросы:
а) Почему на рисунке 35, а) АВ || ВС?
б) Почему на рисунке 35, б) А А = АС?
в) Почему на рисунке 35, в) лАВС + АВСВ -
Рис 35
180°?
38 По данным на рисунке 36 найдите периметр четырехугольника АВСВ.
39 . Отрезки АС и ВВ (рис. 37) пересекаются в их серединах. Известно,
что АВАВ = 126°. Найдите ААВС.
40 Дан параллелограмм АВСВ (рис. 38). На его диагонали ВВ отложены
равные отрезки ВС и ВВ. Докажите, что четырехугольник АССВ —
параллелограмм.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
АВСВ — параллелограмм, К — середина стороны АВ, М — середина
стороны БС. Докажите, что:
а) АКМБ — параллелограмм: б) КВМБ — параллелограмм.
МАРК — четырехугольник, МА = РК, АР-МК, АМ-72е. Найдите:
а) градусные меры углов МКР и АРК’,
б) угол между биссектрисой угла К и прямой АР
У выпуклого четырехугольника АВСБ АВ = СБ = 52 см, ААВБ =
= АСБВ, диагонали пересекаются в точке О, Раво = 138 см,
РВос = 138 см. Найдите периметр этого четырехугольника.
Докажите, что если у четырехугольника противоположные углы рав-
ны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Медиану ВМ треугольника АВС продолжили за точку М на отрезок
МБ, равный отрезку ВМ. Докажите, что АВСБ — параллелограмм.
Четырехугольник АВСБ — параллелограмм
СС1 = ВС, ББХ = СБ, ААг = БА. Докажите,
А1В1С1Б1 — параллелограмм.
(рис. 39), ВВ2 -АВ,
что четырехугольник
47. Точки М, А, Р, К — середины сторон параллелограмма АВСБ
(рис. 40). Докажите, что .закрашенный четырехугольник — парал-
лелограмм.
48. Точки Р(-1; 1), Е(-3; 5), ЛГ(4; 5) — вершины параллелограмма. Най-
дите координаты четвертой вершины С. Рассмотрите все варианты.
49*. Дан параллелограмм АВСБ, АВ = 10 см, АБ = 16 см. Биссектрисы
углов А и В пересекаются в точке К, а биссектрисы углов С и Б —
в точке М. Точки К и М лежат внутри параллелограмма. Найдпте
длину отрезка МК.
50*. Найдите алгоритм построения циркулем и линейкой параллелограм-
ма АВСБ:
а) по двум диагоналям и стороне;
б) по двум диагоналям и высоте параллелограмма.
51*. В треугольнике ЛВС высоты ВН и АР пересекаются в точке О. Из
точки С к прямой АС в одну полуплоскость с точкой В восстановлен
перпендикуляр СК, равный отрезку ВО. Докажите, что ВК .1. АВ.
Моделирование
Известно, что если выпуклый четырехугольник разрезать по средним линиям
(отрезкам, соединяющим середины противоположных сторон четырехугольника),
то из полученных частей всегда можно сложить параллелограмм.
Рис. 41
Задание.
1. Вырежьте из листа бумаги произвольный выпуклый четырехугольник. От-
метьте при помощи линейки середины его сторон. Соедините середины противопо-
ложных сторон отрезками (рис. 41, А).
2. Разрежьте четырехугольник при помощи ножниц по полученным средним
линиям (рис. 41, Б).
3. Из полученных четырех частей четырехугольника сложите параллелограмм
(рис. 41, В).
4*. Докажите, что из указанных частей любого выпуклого четырехугольника
всегда можно сложить параллелограмм.
ПОДВОДИМ
итоги
Знаем
1. Определение параллелограмма.
2. Определение высоты параллелограмма.
3. Свойства параллелограмма.
4. Признаки параллелограмма.
Умеем
1. Доказывать свойства параллелограмма.
2. Доказывать признаки параллелограмма.
§ 4.. Прямоугольник
Определение. Прямоугольником называется параллелограмм, у кото-
рого все углы прямые.
Заметим, что если у некоторого параллелограмма один угол прямой,
то и остальные три угла будут прямыми, поскольку сумма соседних углов
параллелограмма равна 180°. Таким образом, параллелограмм, у которого
есть прямой угол, является прямоугольником.
Так как прямоугольник — частный случай параллелограмма, то он об-
ладает всеми свойствами параллелограмма. Однако у прямоугольника есть
и отличительное для него свойство. Сформулируем это свойство в виде
теоремы.
Теорема (свойство диагоналей прямоугольника).
Диагонали прямоугольника равны.
Дано: АВСВ — прямоугольник (рис. 42).
Доказать: АС = ВВ.
Доказательство. Прямоугольные треугольники
АВВ и ВС А равны по двум катетам: катеты АВ и
СВ равны как противоположные стороны парал-
лелограмма, катет АВ — общий. Отсюда АС - ВВ
Теорема доказана.
Теорема (признак прямоугольника).
Если у параллелограмма диагонали равны, то это прямоугольник.
Дано: АВСВ — параллелограмм, АС = ВВ.
Доказать: АВСВ — прямоугольник (рис. 43).
Доказательство. Треугольники АВВ и ВСА рав-
ны по трем сторонам' АВ - СВ по свойству па-
раллелограмма, АС - ВВ по условию, сторона
АВ — общая. Отсюда АВАВ = АСВА. Так как сум-
ма соседних углов параллелограмма равна 180°, то
АВАВ = АСВА = 90°, аАВС = АВСВ = 90°. У парал-
лелограмма АВСВ все углы прямые, поэтому он — прямоугольник. Тео-
рема доказана.
Замечание. Прямоугольники, в частности, равны, если равны их стороны, так
как в этом случае прямоугольники можно совместить наложением.
Л теперь выполните Тест 1, Тест 2 и Тест 3.
Тест 1
Тест 2
Если АВСВ — прямоугольник и
АО + ВО + СО = 24 см, то ВВ = ...
Если АВСВ — параллелограмм и
АС = ВВ, то а = ...
Тест 3
Верно ли утверждение: «Если у четырехугольника диагонали равны, то это
прямоугольник»? Если нет, то приведите контрпример.
Гимнастика ума
1. В прямоугольнике провели два отрезка, перпендикулярные его сторонам
(рис 44). Какое максимальное число прямоугольников можно насчитать на ри-
сунке?
2. В прямоугольнике АВСВ провели два отрезка (рис. 45), параллельные его
сторонам. По указанной длине малых отрезков найдите периметр прямоугольника
АВСВ.
3. Из четырех равных прямоугольников с периметром 24 см каждый сложили
квадрат АВСВ (рис. 46). Найдите периметр квадрата АВСВ.
Рис. 44
В_______
Рис. 45
Задания к § 4
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
ключевые задачи
Задача 1. Доказать, что если у четырехугольника все углы прямые, то
он является прямоугольником.
_ Доказательство. Пусть у четырехугольника
АВСВ А А = АВ = АВ = АС = 90° (рис, 47). Так как
АА + АВ = 180° и АА + АВ = 180°, то ВС || АВ и
АВ || СВ по признаку параллельности прямых. Тог-
да АВСВ — параллелограмм по определению. Л па-
раллелограмм, у которого все углы прямые, — это
прямоугольник.
Замечание. Итак, многоугольник является прямоугольником, если это;
1) параллелограмм, у которого все углы прямые;
2) параллелограмм, у которого есть прямой угол;
3) четырехугольник, у которого все углы прямые;
4) параллелограмм, у которого диагонали равны.
Задача 2. Доказать теорему: «Медиана прямоугольного треугольника,
проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы».
Доказательство. Пусть СМ — медиана ЛАСВ,
где АС = 90° (рис. 48), Продлим медиану СМ за
точку М на ее длину. Получим СМ = ^СВ. Так как
у четырехугольника САВВ диагонали точкой пере-
сечения делятся пополам, то это параллелограмм
по признаку параллелограмма. Параллелограмм, у
которого есть прямой угол, является прямоугольни-
ком. Поэтому САВВ — прямоугольник Так как диагонали прямоугольни-
ка равны, то СВ = АВ и СМ = ' АВ. Что и требовалось доказать.
Докажите аналогичным способом обратную теорему: «Если в треуголь-
нике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то тре-
угольник прямоугольный».
Задача 3. Доказать, что отрезок, соединяющий середины противополож-
ных сторон прямоугольника, разбивает этот прямоугольник на два рав-
ных прямоугольника.
Доказательство. Пусть АВСВ — прямоугольник,
М и К — середины сторон АВ и СВ (рис. 49). Отрез-
ки МВ и СК равны как половины равных сторон АВ
и СВ и параллельны, так как АВ || СВ. Поэтому че-
тырехугольник МВСК является параллелограммом
по признаку параллелограмма. А так как лВ = 90°,
то МВСК — прямоугольник. Аналогично доказываем, что АМКВ — пря-
моугольник. Поскольку у этих прямоугольников стороны равны, то они
равны между собой.
Следствие.
Если прямоугольник АВСВ мысленно перегнуть по прямой МК, то в
силу того, что АВ ± МК, СВ ± МК. МВ = МА, КС = КВ, точка В совпа-
дет с точкой А, точка С — с точкой В, прямоугольник МВСК совпадет
с прямоугольником АМКВ. Прямая МК
будет являться осью симметрии прямо-
угольника АВСВ (см. § 12*).
Таким образом, у прямоугольника есть
центр симметрии, как у любого паралле-
лограмма (он находится в точке пересече-
ния диагоналей), и имеются две оси сим-
метрии, которые проходят через середины
его противоположных сторон (рис. 50).
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
центр симметрии
Рис. 50
52 . Дан прямоугольник АВСВ, О — точка пересечения его диагоналей.
Найдите длину отрезка ВО, если АС - 8 см.
53 .АВСВ — прямоугольник, его диагонали пересекаются в точке О.
Найдите периметр треугольника АОИ, если ВС = 10 см, ВВ = 24 см.
54.
55
56.
Найдите периметр прямоугольника АВСВ, если периметр треуголь-
ника АВВ равен 30 см и АС = 12 см.
На рисунке 51 изображен параллелограмм АВСВ, ААВС = 90°,
ОВ = 6 см. Найдите длину диагонали АС.
По данным на рисунке 52 найдите периметр прямоугольника АВСВ.
57. Докажите следующие признаки прямоугольника:
а) «Если у четырехугольника три угла прямые, то это прямоугольник».
б) «Если у четырехугольника все углы равны, то это прямоугольник».
58. Дам прямоугольник АВСВ (рис. 53), ВН 1 АС, ЛА = 28°. Най-
дите ^2.
59. У параллелограмма АВСВ АС = ВВ, ЛАСВ = 32° (рис. 54). Найдите
углы 1, 2 и 3 и в ответе запишите их сумму.
60. Дан прямоугольник АВСВ (рис. 55), АВ - 8 см, разность периметра
треугольника ВОС и периметра треугольника СОВ равна 4 см. Най-
дите периметр прямоугольника АВСВ.
61. В прямоугольнике АЕСВ АС = 12 см, ЛАВВ = 15°. Найдите расстоя-
ние от вершины А до прямой ВВ.
62. Докажите, что концы двух диаметров окружности являются верши-
нами прямоугольника.
63. Серединный перпендикуляр к диагонали прямоугольника делит сто-
рону прямоугольника в отношении 2 1. Найдите углы, которые
диагональ прямоугольника образует с его сторонами.
64. На рисунке 56 МЕ = ЕР, ЛЕ = ЕК, ЛЛРМ = ЛМКЛ. Найдите
ЛМЛР.
65*. Прямоугольник разбили прямыми, параллельными его сторонам, на
четыре прямоугольника (рис. 57).
а) Зная периметры трех прямоугольников- Р} - 8 см, Р2 - 14 см,
_Р3 = 24 см, найдите периметр Р4 четвертого прямоугольника.
б) Докажите, что при любых значениях Рх, Р2, Р3, Р± верно равенство
Равсл = Р1 + -Рз = Р 2 + Р\-
66*. В параллелограмме АВСВ (АВ -а АВ) провели биссектрисы его углов.
Какую фигуру ограничивают четыре построенные биссектрисы? До-
кажите вашу гипотезу.
67 Найдите алгоритм построения при помощи циркуля и линейки пря-
моугольника по следующим элементам:
а) по двум соседним сторонам а и Ь;
б) по стороне а и диагонали <7;
в) по диагонали с/ и углу между диагоналями.
68*. На координатной плоскости изобразите четырехугольник МЫРК,
где М(-1; -2), М-3; 4), Р(6; 7), 1)- Докажите, что МЫРК:
а) параллелограмм; б) прямоугольник.
69\ Невозмутимая кошка сидит на середине лестницы (рис. 58). Лест-
ница начинает падать, скользя концами по полу и стене. По какой
траектории будет двигаться кошка: а), б), в) или г)?
Г7) б)
прямая прямая гипербола окружность
Моделирование
Отец и сын хотят сделать прямоугольную деревянную
раму шириной 1 м и длиной 1 м 80 см. У них имеются до-
ски длиной 2 м 20 см, шириной 12 см и толщиной 2 см
каждая.
1 Составьте план изготовления такой рамы.
2. Как проверить, имеет ли сделанная по вашему пла-
ну рама форму прямоугольника, при помощи:
а) угольника; \\
б)рулетки?
3. Подсчитайте, сколько погонных метров доски пойдет на изготов
ление двух таких рам.
§ 5. Ромб
Определение. Ромбом называется параллелограмм, у которого все
стороны равны,
На рисунке 59 изображен ромб АВСВ. У него
АВ || СВ, ВС || АВ и АВ - ВС = СВ = АВ. Как част-
ный случай параллелограмма ромб обладает всеми
свойствами параллелограмма. Кроме этого, у него
есть свойства, присущие именно ромбу. Сформули-
руем их в виде теоремы.
Теорема (свойство ромба).
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и лежат на биссектрисах
его углов.
Рас. 60
Рис 61
Дано: АВСВ — ромб (рис. 60).
Доказать: ВВ _1_ АС; ВВ — биссектриса угла АВС.
Доказательство. Так как у ромба все стороны
равны, то АВ - ВС и △ АВС — равнобедренный. Диа-
гонали любого параллелограмма точкой пересечения
делятся пополам. Поэтому АО - ОС и ВО — медиа-
на ААВС. Л медиана равнобедренного треугольни-
ка, проведенная к основанию, является высотой и
биссектрисой. Отсюда ВВ 1 АС и ВВ — биссектриса
ААВС. Теорема доказана.
Для ромба также справедливо свойство: «Вы-
соты ромба, проведенные к соседним сторонам,
равны между собой». Доказательство следует из ра-
венства прямоугольных треугольников АВН и СВК
(рис. 61) по гипотенузе (АВ = ВС) и острому углу
(АА = АС).
Сформулируйте и докажите утверждение, обрат-
ное данному.
Теорема (признаки ромба).
Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это ромб.
Если одна из диагоналей параллелограмма лежит па биссектрисе его
угла, то это ромб.
301
Вв1
Дано: АВСВ — параллело-
грамм, АС 1 ВТ? (рис. 62, а)
или АС — биссектриса А В АВ
(рис. 62, б).
Доказать: АВСВ — ромб.
Доказательство. Рассмотрим
ЛАВВ. Так как диагонали лю-
бого параллелограмма точкой
пересечения делятся пополам,
то ВО = ОВ. Отсюда следует, что отрезок АО — медиана ЛАВВ. Если
АС X ВВ, то в ЛАВВ медиана АО является высотой. Если АС — биссек-
триса аВАВ, то в ЛАВВ медиана АО является биссектрисой. В обоих слу-
чаях следует, что ЛАВВ — равнобедренный по признаку равнобедренного
треугольника. Значит, АВ = АВ. Тогда у параллелограмма АВСВ все сто-
роны равны. Следовательно, он — ромб. Теорема доказана.
Замечание. Если перегнуть ромб по диагонали АС, то вершина В совместится
с вершиной В (ВО -АС, ВО = ОВ), а значит, Л ЛВС совместится с Л АВС. Ромб
имеет две оси симметрии, которые содержат его диагонали.
Л теперь выполните Тест 1 и Тест 2
Тест 1
АВСВ — ромб. Найдите углы 1, 2,
3, 4 и 5-
Тест 2
1. Является ли любой ромб парал-
лелограммом?
2. Является ли любой параллело-
грамм ромбом?
3. Каким условием должен обла-
дать параллелограмм, чтобы быть
ромбом? Перечислите все извест-
ные вам наборы условий.
При помощи Интернета:
а) выясните версию происхождения слова «ромб»;
б) найдите, где в технике используются параллелограммы.
Задания к § 5
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
ключевые задачи
Задача 1. Найдите периметр четырехугольника АВСВ (рис. 63), у кото-
рого АО = ОС, ВО = ОВ, А1 = 35°, 22 = 55°, СВ = 6 см.
Решение. Так как диагонали четырехугольника
АВСВ точкой О делятся пополам, то это — парал-
лелограмм (по признаку параллелограмма). Тог-
да АВ || ВС и ААВВ - А2 = 55° (как накрест ле-
жащие углы при АО || ВС и секущей ВВ). В ДАО Л
ААОВ = 180° - (XI + ДАЛО) = 180е - (35° + 55°) =
= 90°. Значит, АС ± ВВ. Так как диагонали па-
Рис. 63
раллелограмма АВСВ перпендикулярны, то это ромб (по признаку
ромба). Поскольку у ромба все стороны равны, то искомый периметр
Равсв = 4 • СО = 4 • 6 = 24 (см).
Ответ: 24 см,
Задача 2. Дан параллелограмм АВСВ с периметром 128 см, АВ = 150°,
ААСВ = ААСВ. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС.
Решение.
1) Проведем АК ± ВС. Длина перпендику-
ляра АК — искомое расстояние (рис. 64).
2) Так как ААСВ = ААСВ, то СА — биссек-
триса угла ВСВ и поэтому параллелограмм
АВСВ — ромб (по признаку ромба).
3) ААВС = АВ = 150° (у параллелограмма про-
тивоположные углы равны).
4) В прямоугольном треугольнике АКВ лАВК = 180° - 160° = 30° (по
свойству смежных углов).
5) АВ = 128 • 4 = 32 (см) (у ромба все стороны равны).
6) АК = АВ - = 16 (см) (катет, лежащий против угла в 30°, равен
половине гипотенузы).
Ответ: 16 см
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
70. Используя транспортир, постройте равносторонний треугольник.
Достройте его до ромба. Проведите другую диагональ этого ромба.
Убедитесь, что диагонали ромба перпендикулярны. Найдите величи-
ну угла, образованного болвшей диагональю ромба и его стороной.
71. По данным на рисунках 65, а)—в) решите следующие задачи:
а) Найдите периметр ромба АВСВ (рис. 65, а), если АВ 1- ВС +
+ АВ = 36 см;
б) АВСВ — ромб, ААСВ = 55° (рис. 65, б). Найдите ААСВ и ААВС.
в) Найдите диагональ ВВ ромба АВСВ (рис, 65, в) с перимет-
ром 64 см, если АА - 60°.
72. Дан ромб АВСВ, АВВС = 64°, Найдите:
а) ААВС; б) АСВВ; в) АВАВ, г) ААСВ.
73 На рисунке 66 АВСВ — ромб с периметром 80 см, АС = 24 см,
ВВ - 32 см. Найдите:
а) периметр треугольника АОВ;
б) периметр треугольника ВСВ;
в) периметр треугольника АВС.
74. АВСВ — параллелограмм (рис, 67), АВ - ВС, ОМ X ВС, АСОМ =
= 58°. Найдите ААВВ.
Рис. 66
Рис. 67
Рис. 68
75. АВСВ — параллелограмм (рис. 68), АВАС = АВАС = 15°. Расстояние
от точки С до прямой АВ равно 12 см, Найдите периметр параллело-
грамма АВСВ.
76. Один из углов ромба равен 120°, меньшая диагональ равна 8 см.
Найдите периметр ромба.
77. ВК и ВМ — высоты ромба. Найдите углы треугольника КВМ, если:
а) высота ВК в 2 раза меньше стороны АВ;
б) высота ВМ делит сторону СВ пополам.
78 Докажите, что если у четырехугольника все стороны равны, то это —
ромб.
79* Найдите алгоритм построения ромба с помощью циркуля и линейки:
а) по двум диагоналям с1} и с12;
б) по отрезку т, равному периметру ромба, и острому углу а ромба.
80*. При помощи двусторонней линейки (обычной линейки с парал-
лельными краями) разделите данный угол а пополам. Обоснуйте по-
строение.
81*. На координатной плоскости изобразите четырехугольник АВСВ, у
которого А(-2; 2), В(4; 4), С(2, -2), В( -4; -4). Докажите, что АВСВ —
ромб.
Гимнастика ума
Из шести равных ромбов (рис. 69, а) сложили многоугольник (рис. 69, б).
1. Сколько всего ромбов можно насчитать на рисунке 69, б)?
2. Если периметр одного маленького ромба равен 48 см, то чему равен пери-
метр сложенного многоугольника?
§ 6. Квадрат
Определение. Квадратом называется прямоугольник, у которого все
стороны равны.
На рисунке 70, а) изображен квадрат АВСВ- Так как любой прямо-
угольник — это параллелограмм, то квадрат является параллелограммом
с равными сторонами, у которого все углы прямые. Поэтому квадрат об-
ладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. В частности, диагона-
ли квадрата равны, взаимно перпендикулярны и лежат на биссектрисах
его углов.
Диагональ квадрата делит его на два равных равнобедренных прямо-
угольных треугольника (рис. 70, б). Л две диагонали делят квадрат на
4 равных равнобедренных прямоугольных треугольника (рис. 70, в).
У квадрата, как у любого параллелограмма, имеется один центр сим-
метрии (в точке пересечения диагоналей) и четыре оси симметрии (две из
Рис. 72
них содержат диагонали, две проходят через середины
противоположных сторон) (рис. 71).
Для квадрата можно сформулировать признаки
квадрата. Например, «Если у ромба есть прямой угол,
то это квадрат», «Если у параллелограмма диагонали
равны и перпендикулярны, то это квадрат». Докажем
следующий признак квадрата: «Если у четырехуголь-
ника диагонали равны, перпендикулярны и точкой пе-
ресечения делятся пополам, то это квадрат».
Доказательство (рис. 72). Из того, что диаго-
нали данного четырехугольника точкой пересечения
делятся пополам, следует, что он — параллелограмм
(по признаку параллелограмма). Из того, что у этого
параллелограмма диагонали равны, следует, что это
прямоугольник (по признаку прямоугольника). Л из
того, что диагонали параллелограмма перпендикуляр-
ны, следует, что это ромб (по признаку ромба). А так
как у ромба стороны равны, то данный четырехуголь-
ник является прямоугольником с равными сторонами, то есть квадратом
(по определению квадрата).
Л теперь выполните Тест 1 и Тест 2.
Тест 1
Докажите, что изображенные четырехугольники — квадраты.
Тест 2
1. Является ли квадрат ромбом? Аргументируйте ваш ответ.
2, Может ли ромб быть прямоугольником? Если да, то при каком условии?
Задания к § 6
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
ключевые задачи
Задача 1. На рисунке 73 АВСВ — квадрат, АКВ — равносторонний тре-
угольник. Найти /ВМС.
Решение. У равностороннего треугольника все
углы равны по 60°, поэтому аАЛК = 60е, Так как
/АЛС = 90°, то /КЛС = 90° - 60° = 30°. Поскольку
КВ = АВ и АВ - СВ, то КВ = СВ. Следовательно,
ЛКВС — равнобедренный с основанием КС. Углы
при основании равнобедренного треугольника рав-
ны, поэтому /КСЛ = /СКВ - 180 30 = 75°. Тог-
да /ВМС = /ВСМ как накрест лежащие углы при
АВ || СВ и секущей МС, /ВМС = 75®,
Ответ: 75°.
Задача 2 На сторонах квадрата АВСВ отмечены точки Н, Р, К, М так,
что АН = ВР = СК - ВМ (рис. 74). Доказать, что НК 1 РМ и НК = РМ.
Рис. 74
Доказательство. Так как стороны квадрата
равны и по условию АН = ВР = СК = ВМ, то НВ =
= РС = КВ = АМ. Тогда прямоугольные треугольни-
ки МАН, НВР, РСК и КВМ равны по двум кате-
там. Следовательно, МН = НР = РК = КМ. Так как
у четырехугольника МНРК стороны равны, то это
ромб. У прямоугольного треугольника сумма острых
углов равна 90°. Поэтому /АНМ + /АМН = 90° Но
/КМВ = /АНМ, откуда /КМВ + /АМН = 90е и
/НМК = 90°. Поскольку ромб с прямым углом яв-
ляется квадратом, то МНРК — квадрат. Мы знаем,
что у квадрата диагонали равны и взаимно перпендикулярны. Значит,
НК ± РМ и НК = РМ. Что и требовалось доказать.
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
82. На рисунке 75 АВСВ — квадрат. Найдите сумму
углов 1, 2 и 3.
83. На рисунке 76 (см. с. 42) АВСВ — квадрат, его
периметр равен 36 см. Найдите сумму периметров
прямоугольников АВ КВ и ВКСВ, если ВК - 3,5 см.
Рис. 76
Рис. 78
84. На рисунке 77 АВСВ и АКМК — квадраты, периметр квадрата
АВС.0 равен 72 см, АК = —КВ. Найдите периметр многоугольни-
ка КВСВКМ. 2
85. На рисунке 78 АВСВ — квадрат, его сторона равна 12 см. Найдите
периметр прямоугольника АКМК.
86 Докажите, что если в окружности провести два взаимно перпенди-
кулярных диаметра, то концы этих диаметров будут вершинами
квадрата.
87. Периметр квадрата равен 48 см. Найдите расстояние от центра квад-
рата до его сторон.
88 Докажите, что если бумажный квадрат АВСВ сложить по диагона-
ли АС, то вершины В и В совпадут.
89. В равнобедренный прямоугольный треугольник помещен квадрат
так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие на
катетах (рис. 79). Найдите гипотенузу треугольника, если периметр
квадрата равен 112 см.
90 Два отрезка МК и РЕ с концами на противоположных сторонах
квадрата АВСВ взаимно перпендикулярны (рис. 80). Докажите, что
МК = РЕ.
91. Докажите, что если у четырехугольника все стороны и все углы рав-
ны, то это квадрат.
92*. Найдите алгоритм построения с помощью циркуля и линейки квад-
рата по его диагонали <1.
93 На сторонах параллелограмма построены квадраты (сторона каждо-
го квадрата равна соответствующей стороне параллелограмма). До-
кажите, что центры построенных квадратов являются вершинами
квадрата.
94*. На стороне АВ квадрата АВСВ взята точка К, а на стороне С1)
взята точка М так, что ААКВ - АВКМ = 60°. Докажите, что
АМВК = 45°.
Моделирование
Иногда множества каких-то элементов (чисел, фигур, ...) изображают в виде ова-
лов (кругов Эйлера). На рисунке 81 изображены соотношения между множествами
параллелограммов, прямоугольников, ромбов. Множество каких фигур находится в
области, обозначенной знаком вопроса? Аргументируйте ваш ответ.
ПОДВОДИМ
итоги
Знаем.
1. Определение прямоугольника, ромба, квадрата
2. Свойство диагоналей прямоугольника.
3. Признак прямоугольника.
4. Свойство диагоналей ромба.
5. Признаки ромба.
6. Свойства квадрата.
Умеем
1. Доказывать теорему о свойстве диагоналей прямоугольника.
2. Доказывать теорему о свойстве диагоналей ромба.
Реальная геометрия
Девочки Маша, Лера и Нас-
тя хотят устроить квадратную
клумбу.
Маша предлагает натянуть на
четырех колышках по перимет-
ру клумбы четыре куска веревки
одинаковой длины (рис. 82, а).
Лера предлагает натянуть на четырех колышках параллельно два куска верев
ки одинаковой длины, расстояние между которыми будет равно длине натянутых
кускоз (рис. 82, б).
Настя предлагает взять два куска веревки одинаковой длины, отметить узелком
их середины и натянуть веревки так, чтобы они пересекались в серединах и были
перпендикулярны (рис 82, в),
У какой из девочек обязательно получится квадрат с вершинами в местах рас-
положения колышков? Объясните ваш ответ.
Геометрия 30
С понятием призмы мы познакомились в 7-м классе. У призмы две грани
(основания) — это равные многоугольники, лежащие в параллельных плоско-
стях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы. Если призма прямая,
то боковые грани — прямоугольники На рисунках 83, а)—в) изображены тре-
угольная, четырехугольная, шестиугольная призмы
Отрезок, который соединяет соответствующие вершины верхнего и нижнего
оснований, называется боковым.ребром. Так как боковые грани призмы — парал-
лелограммы, а у параллелограмма противоположные стороны равны, то все боко-
вые ребра призмы равны между собой.
Задания
1. Сколько у шестиугольной призмы: а) граней; б) ребер (включая боковые
ребра и стороны оснований)?
Поверхность любой призмы состоит из двух оснований и боковой поверх-
ности, которая состоит из боковых граней. На чертеже невидимые ребра изоб-
ражаются штриховыми линиями. У треугольной и четырехугольной изобра-
женных призм одна сторона основания невидима и невидима одна («задняя»)
грань.
2. На рисунке 84 изображена прямая треугольная призма и ее развертка.
С каким ребром совпадет ребро ЕВ, если развертку сложить в призму?
Призма, у которой основания являются параллелограммами, называется па-
раллелепипедом (рис. 85, а), его боковые грани — параллелограммы. Противопо-
ложные грани любого параллелепипеда равны между собой.
Если боковые грани параллелепипеда — прямоугольники, — это прямой па-
раллелепипед. Его боковые ребра перпендикулярны основаниям (рис. 85, б).
Если в основании прямого параллелепипеда лежит прямоугольник, то это
прямоугольный параллелепипед. Все его грани — прямоугольники (рис. 85, в).
Если у прямоугольного параллелепипеда все ребра равны, то это куб. Все его
грани — равные квадраты (рис. 85, г).
Любой параллелограмм (включая прямоугольник и квадрат), располо-
женный в пространстве, на чертеже изображается параллелограммом. Изоб-
разите прямоугольный параллелепипед АВС7М1Д1С1Д1, используя схему на
рисунке 86.
Рис. 8Ь
3. Три каких-то ребра параллелепипеда равны 3 см, 5 см, 8 см. Найдите сум-
му длин всех ребер данного параллелепипеда.
§ 7. Теорема Фалеса
Теорема (теорема Фалеса).
Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их кон-
цы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону
ут ла, то па другой стороне угла отложатся равные отрезки.
А1 вх С, Дано: АВ = ВС, АА, || ВВ, || ССХ (рис. 87).
Доказать: А1В1 = В1С1.
А~г, 'К Доказательство. Проведем АК || А1С1, ВМ || А1С1.
' ----/м Так как две прямые, параллельные третьей, парал-
лельны между собой, то АК || ВМ. Треугольники
АВК и ВСМ равны по 2-му признаку равенства тре-
Р угольников (АВ = ВС по условию, лВАК = АСВМ как
соответственные углы при параллельных прямых АК
и ВМ и секущей АС, лАВК = АВСМ как соответственные углы при парал-
лельных прямых ВВ, и ССХ и секущей АС). Из равенства треугольников
следует, что ЛК = ВМ. Так как четырехугольники АА В,К и ВВ,С,М —
параллелограммы (их противоположные стороны параллельны), то
А,В, = АК, ВС, = ВМ (как противоположные стороны параллелограмма).
Значит, А,В, = В,С,. Теорема доказана.
Замечания.
1. Отложенных равных отрезков может быть два, три и более.
2. Теорема Фалеса справедлива не только для сторон угла, но и для произволь-
ных прямых.
Теорема, обратная теореме Фалеса, справедлива только для
отрезков, отложенных от вершины угла, и звучит так: «Если на сто-
ронах угла от его вершины отложить равные отрезки (АВ = ВС,
АВ. = В^С}), то прямые, проходящие через их концы, будут параллельны
Рис. 88
Докажите эту теорему самосто-
ятельно, используя рисунок 88, а)
и метод от противного.
Требование обратной теоремы
Фалеса о том, чтобы равные от-
резки были отложены от вершины
угла, обязательно. Иначе утвержде-
ние о параллельности прямых будет
неверным (рис. 88, б).
Фалес — философ и математик, который жил в
Древней Греции в г. Милете. Он сформулировал и дока-
зал многие из теорем, которые в наше время изучают в
школе. Фалес Милетский (VI век до н. э.) входил первым
в список семи мудрецов того времени.
Именно Фалес выдвинул требование доказывать тео-
ремы.
При помощи Интернета выясните, чем еще
знаменит Фалес. Установите при помощи
Википедии, кто был старше — Евклид или
Фалес.
Задания к § 7
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
ключевые задачи
В
Рис. 89
Задача 1. Точка К — середина стороны АС треугольника АВС,
МВКК — параллелограмм. Найти периметр треугольника АВС,
если периметр параллелограмма равен 34 см, сторона АС = 16 см
(рис. 89).
Решение. У параллелограмма противоположные
стороны параллельны. Поэтому А’А 1| АВ и КМ || ВС,.
По теореме Фалеса, так как КК || АВ и АК - КС,
то ВК = КС. Отсюда ВС = 2ВК. Аналогично, так
как КМ || СВ и АК = КС, то АМ = МВ, АВ = 2МВ.
Рмвик - 2МВ -I- 2ВК - 34 см, откуда АВ -I- ВС =
= 34 см. Р^с - АВ + ВС + АС = 34 + 16 = 50 (см).
Ответ: 50 см.
Задача 2- При помощи циркуля и линейки разделить данный отрезок на
3 равные части.
Рис. 90
Решение. Пусть дан отрезок АВ (рис. 90).
Проведем произвольный луч АС и отложим
на нем три произвольных, но равных отрез-
ка: АС} = СгС2 = С2С8. Проведем отрезок С8В.
Через точки С2 и С1 проведем прямые, па-
раллельные прямой С8В (вспомните, как вы
это делали в 7-м классе). По теореме Фалеса
ААг = АгА2 = А2В.
Замечание. Указанный способ является алгоритмом деления отрезка па п рав-
ных частей.
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
95. На рисунке 91 ВС = 9 см. Найдите длину отрезка АС.
96. На рисунке 92 а || Ь || с. По данным длинам отрезков найдите вели-
чину X + у.
97. На рисунке 93 МЕ = 32 см, РЕ = 16 см, КК = 19,5 см. Используя
значения углов на рисунке, найдите длину отрезка КО.
98.
Дан ААВС (рис. 94), АМ - МВ = 6 см, АМЕБ = КАКМ = ЕС,
МК = 7 см, КС = 5 см. Найдите периметр ААВС.
99. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, МК || ВС и КК || АС
(рис. 95). Найдите периметр четырехугольника АККС, если КВ =
= 7 см, ВК = 6 см, МС = 8 см.
100*. На рисунке 96 точка К — середина отрезка СБ, АС || КМ | ВВ,
АО = 21 см, отрезок ОМ в 3 раза меньше отрезка МВ. Найдите дли-
ну отрезка АВ.
в
101*. При помощи циркуля и линейки разделите данный отрезок:
а) на 5 равных частей;
б) в отношении 2 = 1.
§ 8. Средняя линия треугольника
Определение. Средней линией треугольника называется отрезок, ко-
торый соединяет середины двух сторон треугольника.
На рисунке 97 точки М и К — середины сторон
АВ и ВС треугольника АВС. Отрезок МК — средняя
линия треугольника. Третью сторону АС будем на-
зывать основанием относительно средней линии МК.
Так как у треугольника три стороны, то у него три
средних линии.
Теорема (свойство средней линии треугольника).
Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его по-
ловине.
Рас. 98
Дано; ААВС, МК — средняя линия (рис. 98).
Доказать: МК | АС; МК = ±АС.
Доказательство. 1) Проведем через точку М
прямую, параллельную АС. По теореме Фале-
са опа пройдет через середину отрезка ВС — точ-
ку К и будет содержать среднюю линию МК. Тогда
МК || АС.
2) Через точку К проведем прямую КА (см. рис. 98), параллельную сторо-
не АВ (К е АС). По теореме Фалеса АУ = УС. Четырехугольник АМКК —
параллелограмм, так как у него противоположные стороны параллель-
ны. Но у параллелограмма противоположные стороны равны. Поэтому
МК = АК - - АС. Теорема доказана.
Л теперь выполните Тест 1 и Тест 2.
1ест 1
Если ЕР — средняя линия ЛАВС,
то чему равен периметр ЫЕРС‘!
В
Задания к § 8
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
ключевые задачи
Тест 2
АВ = 8 см, ВС = 10 см, АС = 12 см.
Найдите РМкя-
В
Задача. Доказать, что середины сторон четырехугольника являются
вершинами параллелограмма.
Доказательство. Пусть точки М, Ы, К,
Р — середины сторон четырехугольника
АВСВ (рис. 99). Отрезок МЫ — средняя ли-
ния треугольника АВС. По свойству сред-
ней линии МЫ || АС и МЫ = -^АС. Отрезок
РК — средняя линия треугольника АЛС.
Поэтому РК || АС и РК - — АС. Так как у
четырехугольника МЫКР стороны МЫ и
РК равны и параллельны, то он параллело-
грамм (по признаку параллелограмма). Что и требовалось доказать.
Докажите указанные следствия самостоятельно.
Диагонали АС и ВВ четырехугольника
АВСВ и отрезки МК и РЫ (они называются
средними линиями четырехугольника) связаны
определенными соотношениями. Сформулируем
их в виде следствий из доказанного в исходной
задаче утверждения (рис. 100).
1. Если диагонали АС и ВВ равны, то МККР — ромб и отрезки
МК и РК взаимно перпендикулярны.
2. Если отрезки МК и РК взаимно перпендикулярны, то МККР —
ромб и диагонали АС и ВВ равны.
3. Если диагонали АС и ВВ взаимно перпендикулярны, то МККР —
прямоугольник, и отрезки МК и РК равны.
4. Если отрезки МК и РК равны, то МККР — прямоугольник и
диагонали АС и ВВ взаимно перпендикулярны.
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
102. На рисунке 101 КМ — средняя линия треугольника АВС. По раз-
мерам, указанным на рисунке в см. найдите периметр треугольни-
ка АВС.
103, На рисунке 102 точки М и К — середины сторон ВС и АС треуголь-
ника АВС. По данным на рисунке, найдите величину угла С.
Рис. 101 Рис. 102 Рис. 103
104. На рисунке 103 точки М, К, К — середины сторон ЛАБС. Пери-
метр ААВС равен 44 см, ВК = 6 см, АМ = 7 см. Найдите длину
отрезка МК и периметр четырехугольника АМКК.
105. а) Средние линии треугольника равны 3 м, 4 м и 5 м. Найдите пе-
риметр треугольника.
б) Периметр треугольника равен 210 м, его средние линии относятся
как 3:5:7. Найдите наибольшую сторону данного треугольника.
106.
107.
108.
Вершины треугольника А1В1С1 являются серединами сторон тре-
угольникаАВС. Докажите, что РАВС = 2РА1В1С1 •
Докажите, что три средние линии треуголь-
ника разбивают его на четыре равных тре-
угольника.
а) Докажите, что в треугольнике АВС сред-
няя линия КМ и медиана ВК точкой пере-
сечения О делятся пополам (рис. 104).
Рис. 104
б) Докажите, что средняя линия КМ (К е АВ, М е ВС) треугольни-
ка АВС делит пополам любой отрезок ВВ, где точка В е АС.
109.
110.
В ААВС средняя линия КМ (К е АВ, М е ВС) и медиана .ВУ пере-
секаются в точке О, Раксж = $0 см, Ркво =
= 48 см. Найдите длину стороны АС.
На рисунке 105 точки Р, М, К и К — се-
редины сторон четырехугольника АВСВ.
Найдите:
а) периметр четырехугольника РМКК,
если АС = 12 см, ВВ = 10 см;
б) угол между прямыми АС и ВВ, если
АС = ВВ и АКРК = 32°.
111. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами пря-
моугольника.
112*. В выпуклом четырехугольнике АВСВ точки М, К, К и Р — сере-
дины сторон АВ, ВС, СВ, АВ соответственно. Периметр треуголь-
ника МКР равен периметру треугольника МКР, Докажите, что
АС ± ВВ.
113* Сторона АС треугольника АВС равна 24 см Найдите длину отрезка,
соединяющего середины медиан АК и СМ.
114*. В треугольнике АВС проведен отрезок ВВ так, что точка В лежит
на стороне АС и СВ = АВ. Точка М — середина отрезка АВ, точ-
ка К — середина отрезка ВС. Найдите величину угла КМС, если
КВАС = 72°.
§ 9. Свойство медиан треугольника
Вы уже знаете, что три медианы треугольника пересекаются в одной
точке. Эта точка является одной из замечательных точек треугольника.
Теорема (свойство медиан треугольника).
Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой
точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Рас. 106
Доказательство. 1) Вначале докажем, что любая медиана треугольни-
ка делится другой медианой в отношении 2 : 1. Пусть АМ и СК — ме-
дианы ЛАВС, которые пересекаются в точке М (рис. 106, а). Проведем
КВ' || АМ. Так как АК = КВ, то по теореме Фалеса ВВ - ВМ. Из середи-
ны Р отрезка МС проведем РТ |1 АМ. Так как СР = РМ = МВ, то по тео-
реме Фалеса СТ = ТМ = МК. Отсюда СМ • МК =2 1. Аналогично,
АМ : ММ = 2:1.
2) Теперь докажем, что все три медианы пересекаются в одной точке.
Из п. 1 следует, что любая медиана делит другую медиану в отношении
2 1. Тогда третья медиана ВЕ (рис. 106, б) должна разделить медиану СК
в отношении 2 : 1, то есть пройти через точку М. Следовательно, все три
медианы пересекаются в одной точке. Теорема доказана.
В 7-м классе доказано, что серединные перпендикуляры к сторонам
треугольника пересекаются в одной точке и что биссектрисы треуголь-
ника пересекаются в одной точке. В § 3 данной главы (ключевая зада-
ча 3) доказано, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
В данном параграфе мы доказали, что медианы треугольника пересека-
ются в одной точке. Таким образом, нами доказаны все утверждения о
четырех замечательных точках треугольника.
При помощи Интернета выясните, почему точку пересечения
медиан треугольника называют его центром тяжести.
Задания к § 9
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
ключевые задачи
Задача. Точки М и К — середины сторон АВ и СВ параллелограмма
АВСВ. Доказать, что отрезки ВМ и ВК делят диагональ АС на три рав-
ные части.
Рис. 107
Решение. Проведем в параллелограмме АВСВ
диагональ ВВ (рис. 107). Так как диагонали
параллелограмма делятся точкой пересечения
пополам, то ВО = ОВ и тогда АО и ВМ — ме-
дианы треугольника АВВ. Поскольку медианы
треугольника точкой пересечения делятся в от-
ношении 2 1, то АС : СО = 2'1. Аналогично
в треугольнике ВСВ СО и ВК — медианы, от-
куда СЕ : ЕО = 2 1. Поскольку АО = ОС, то
АС = СЕ = ЕС. Что и требовалось доказать.
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
115. На рисунке 108 ЛК и СР — медианы треугольника АВС, ЛК =
= 12 см, РМ - 3,5 см. Найдите длины отрезков МК, АМ, СМ и СР.
116. На рисунке 109 ВК и ЛА7 — медианы треугольника АВС, АВ = 30 см,
ВК = 15 см, АК = 36 см. Найдите периметр треугольника КМ^.
117. На рисунке 110 точки и К — середины отрезков АС и АВ, В К =
= 18 см, СК = 21 см, АС = 24 см. Найдите периметр ЛКМС.
118. Медианы ЛК и СВ ЛАВС пересекаются в точке М. Докажите, что
периметры ВКМВ и ЛАМС относятся как 1 2.
119 В треугольнике АВС (рис. 111) проведены медианы АК, ВК и СВ,
М — точка их пересечения и ТУТ || АК, Найдите периметр ВхКМР,
если АК = 102 см, СВ = 81 см. ВК = 96 см.
120. Докажите, что если у треугольника две медианы равны, то он рав-
нобедренный.
121*. В параллелограмгче АВСВ (рис. 112), точка М — середина стороны
СВ. Отрезок АМ пересекает диагональ ВВ в точке К, АК = 32 см.
Найдите длину отрезка КМ.
122*. Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Медиану ВК
продлили за точку К на треть ее длины. Получили отрезок КВ, где
КВ = —ВК. Периметр треугольника ВМС равен 42 см. Найдите не-
3
риметр треугольника, составленного из медиан треугольника АВС,
123* Медианы АК и СМ треугольника АВС взаимно перпендикулярны,
АС = 10 см. Найдите длину третьей медианы ВК.
Моделирование
Возьмите треугольник, сделанный из фанеры
или толстого картона. Пусть девочки, используя
метровую линейку, проведут в треугольнике две
медианы. Затем пусть мальчики закрепят веревку
в точке пересечения медиан (для картона можно
использовать скотч).
Поднимите треугольник, лежащий на сто-
ле, за веревку. Если все сделано правильно, то
треугольник останется в равновесии и его плоскость будет параллельна плоскости
стола. Объясните при помощи знаний из курса физики данный эффект.
Центр тяжести тела — это точка приложения силы тяжести тела. Например,
центр тяжести тонкого однородного стержня находится в его середине, центр тяже-
сти тонкого однородного квадратного листа — в точке пересечения его диагоналей,
центр тяжести тонкой однородной треугольной пластины — в точке пересечения
медиан треугольника. При расчетах треугольник можно заменить грузом, который
находится в точке пересечения медиан, масса которого равна массе треугольника.
Поэтому точка пересечения медиан называется «центром тяжести треугольника».
ПОДВОДИМ
итоги
Знаем
1. Теорему Фалеса.
2. Определение средней линии треугольника.
3. Свойство средней линии треугольника.
4. Свойство медиан треугольника.
Умеем
1. Доказывать теорему Фалеса.
2. Делить отрезок на п равных частей при помощи циркуля и линейки.
3. Доказывать теорему о свойстве средней линии треугольника.
4. Доказывать теорему о свойстве медиан треугольника.
§ 10. Трапеция. Средняя линия трапеции
Определение. Трапецией называется четырехугольник, у которого
две стороны параллельны (основания трапеции), а две другие — не
параллельны (боковые стороны трапеции).
Определение. Высотой трапеции называется перпендикуляр, прове-
денный из точки, взятой на прямой, содержащей одно основание тра-
пеции, к прямой, содержащей другое основание.
Определение. Средней линией трапеции называется отрезок, соеди
няющий середины боковых сторон трапеции.
На рисунке 113 изображена трапеция
АВСВ, где АВ и ВС — основания трапеции,
АВ и СВ — ее боковые стороны, АВ || ВС,
АВ СВ.
Перпендикуляр КН (или его длина) —
это высота трапеции, Все высоты трапеции
равны, кате расстояния между параллельны-
ми прямыми.
Углы трапеции, прилежащие к боковой
стороне, в сумме равны 180°, как внутрен-
ние односторонние углы при параллельных
прямых: ЛА + ЛВ = 180°, ЛС + ЛВ = 180°.
Рис. ИЗ
Точки М и К — середины боковых сторон АВ и СВ, отрезок МК —
средняя линия трапеции. Обычно основания трапеции обозначают буква-
ми а и Ь, боковые стороны — с и й, среднюю линию — буквой т.
Теорема (о средней линии трапеции).
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полу-
а + Ь
сумме, т. е. т =
линии трапеции, ЛС — /ГВ как
Дано: АВСВ — трапеция, АВ = а, ВС =
= Ъ — ее основания, МК = т — средняя
линия (рис. 114).
Доказать: т || а, т II Ъ, т = % •
Доказательство. Проведем прямую
ВК до пересечения с прямой АВ в точ-
ке Е Треугольники В КС и ЕКВ равны
по 2-му признаку равенства треугольни-
ков (СК = КВ по определению средней
накрест лежащие при параллельных пря-
мых ВС и АВ и секущей СВ), АВ КС = ЛЕ К В как вертикальные). Из ра-
венства треугольников следует, что ВК = КЕ, ВЕ = ВС = Ъ Значит, сред-
няя линия МК трапеции АВСВ является средней линией треугольни-
ка АВЕ. По свойству средней линии треугольника МК = ^АЕ и МК || АЕ.
Так как АЕ = и - Ь, то т - а+^Ь и т || а. Так как а || Ь и а || т, то т || Ь
(две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой). Теорема
доказана.
Задача
Задания к § 10
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
ключевые задачи
1. Большее основание АБ трапеции АВСВ равно 18 см, средняя
линия МЫ — 12 см. Найти меньшее основание ВС трапеции.
Решение. Если МЫ — средняя линия трапеции,
то МЫ = (рис, 115). Тогда 2МЫ = АБ н ВС,
ВС = 2МЫ - АО = 2 • 12 - 18 = 6 (см).
Ответ: 6 см.
Замечание. Возможны и другие способы оформления
решения задачи.
Например:
Пусть АБ = 18 см, МЫ - 12 см, ВС = х см. Тогда МЫ - %ВС
12 = 18±± х + 18 = 24, х = 6, ВС = 6 см.
2
Задача 2. Точки А и В находятся по одну сторону от прямой а. Расстоя-
ние от точки А до прямой а равно 7 см, а от точки В — 11 см. Найти
расстояние от середины отрезка АВ до прямой а.
Рис 116
Задача 3. Доказать,
трапеции, параллелен
Рис. 117
Решение. Пусть М — середина отрезка АВ
(рис. 116). Так как расстояние от точки до прямой
измеряется длиной перпендикуляра, опущенного
из точки на прямую, то перпендикуляры ААг и ВВ.
равны соответственно 7 см и 11 см. Нужно найти
длину перпендикуляра ММГ к прямой а. Посколь-
ку два перпендикуляра к одной прямой параллель-
ны, то А4, || ВВГ, ММХ || А4Х. По теореме Фалеса
АгМг = МуВ^ Тогда АХАВВ} — трапеция, ММХ —
ее средняя линия. По теореме о средней линии тра-
, г д г АА^ + В 7 + 11 п / \
пении МЛ/1 =---—----- = —-— = 9 (см).
Ответ: 9 см.
что отрезок, соединяющий середины диагоналей
основаниям и равен полуразности оснований.
Решение. Пусть АВ - а, ВС = Ъ — основания тра-
пеции АВСВ, точки Е и К — середины диагоналей
АС и ВВ (рис. 117), Обозначим ЕК = п.
Нужно доказать, что п || а, п || Ь и п = а 6.
Так как средняя линия МЫ трапеции параллельна
основаниям а и Ъ, АМ = МВ, то по теореме Фалеса
МУ пройдет через середины диагоналей АС и ВВ, то есть через точки
Е и К. Поэтому отрезок ЕК принадлежит средней линии ММ. Значит,
п || а и п || Ь. Так как ЕМ — средняя линия /УАСВ, а КМ — средняя
линия ЛВВС, то по свойству средней линии треугольника ЕМ = — ЛВ,
КМ = -ВС. Тогда ЕК = ЕМ - КМ = = Что и требовалось
доказать.
Замечание. Полезно запомнить: «Средняя линия трапеции с основаниями а и Ь
(Ъ < а) проходит через середины диагоналей и делится ими на отрезки:
МЕ - КК ЕМ = МК = ЕК = ^-=^» (см. рис. 117).
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
124. Изобразите трапецию АВСВ с основаниями ЛВ - 9 см и ВС = 3 сгл,
у которой ЛА = 45°, высота равна 4 см. Найдите величину угла В
трапеции. Проведите среднюю линию трапеции и измерьте ее дли-
ну. Найдите длину средней линии по формуле т = а Сравните
результаты.
125. В трапеции АВСВ основания АВ = 24 см, ВС = 14 см, ЛА = 70°,
ЛС = 130°. Найдите кВ, ЛВ к среднюю линию ММ трапеции.
126. На рисунке 118 АВСВ — трапеция, ЛА + ЛВ + ЛС = 300°. Най-
дите ЛС.
127. На рисунке 119 АВ || ВС, М и К — середины отрезков АВ и СВ.
Найдите:
а) ЛМЕВ, если ЛС = 125°, ЛВВС = 15°;
б) МЕ ЕК, если АВ = 24 см, ВС = 18 см.
128. На рисунке 120 отрезок МК — средняя линия трапеции АВСВ.
Найдите:
а) основание ЛВ, если ВС = 24 см, МК = 30 см;
б) сумму периметров четырехугольников МВСК и АМКВ, если
АВ = 20 см, АВ - 16 см, ВС = 14 см, СВ = 18 см.
129. а) Основания трапеции относятся как 3 : 2, средняя линия трапе-
ции равна 10 см. Найдите основания трапеции.
б) Одно из оснований трапеции на 4 см больше другого, средняя
линия трапеции равна 5 см. Найдите основания трапеции.
131 МЛ — средняя линия трапеции АВСВ с основаниями ЛВ и ВС,
(М е АВ), МВ = 9 см. ЛВ = 8 см, МЛ = 20 см. Найдите периметр
трапеции АВСВ.
131. В трапеции АВСВ (ВС || АВ) диагональ АС пересекает среднюю ли-
нию МЛ в точке К (М е АВ), а диагональ ВВ — в точке Е, АВ =
= 38 см, ВС = 30 см Найдите:
а) МЕ; б) МК; в) КЕ.
132. а) АВСВ — трапеция (рис. 121, а), СК || АВ, АВ = 10 см, ВС = 6 см,
СВ = 12 см, АВ = 20 см. Найдите РКСЛ
б) АВСВ — трапеция (рис. 121, б), СК || ВВ. АВ =17 см, ВС = 7 см,
АС = 16 см, ВВ = 12 см. Найдите РЛсК.
Рас. 121
133. МЛ — средняя линия трапеции АВСВ (М е АВ), периметр четырех-
угольника МВСЛ равен 30 см, периметр четырехугольника АМЛВ
равен 40 см, периметр трапеции АВСВ равен 50 см. Найдите МЛ.
134. Диагональ ВВ трапеции АВСВ с основаниями АВ и ВС, где ВС < АВ,
пересекает ее среднюю линию МК в точке Л, МЛ ЛК = 3 = 1,
АВ = 24 см. Найдите ВС.
135.
136.
Докажите, что биссектрисы углов трапеции,
вой стороне, взаимно перпендикулярны.
Точки А и В лежат по разные стороны от пря-
мой I и удалены от нее на расстояния 5 см и
9 см соответственно (рис. 122). Найдите рас-
стояние от середины М отрезка АВ до пря-
мой I.
прилежащих к боко-
137. АВСВ — трапеция, ВС || АВ, СК и ВК — биссектрисы ее углов С и
В. Расстояние от точки К р.о прямой СВ равно 4 см. Найдите высо-
ту трапеции.
138м Основания трапеции равны 16 см и 10 см. Углы при большем осно-
вании равны 40° и 50°. Найдите длину отрезка, соединяющего се-
редины оснований.
139*. Дана трапеция АВСВ с основаниями АВ и ВС, АВ = ВС = СВ,
ААСВ = 90°. Найдите углы трапеции.
140*. Докажите, что:
а) разность оснований трапеции меньше суммы ее боковых сторон;
б) сумма оснований трапеции меньше суммы ее диагоналей.
141* В трапеции АВСВ основание ВС равно боковой стороне АВ и в 2 раза
меньше основания АВ. Найдите градусную меру угла АСВ.
142*. Составьте алгоритм построения трапеции при помощи циркуля и
линейки: а) по основаниям и боковым сторонам; б) по основаниям
и диагоналям. Определите, при каких соотношениях заданных эле-
ментов решение существует.
§ 11. Равнобедренная и прямоугольная
трапеции
Определение. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называ-
ется равнобедренной.
Теорема (свойство равнобедренной трапеции).
1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.
2) У равнобедренной трапеции диагонали равны.
Рас 123
Дано: АВСВ — трапеция, АВ - СВ.
Доказать: 1) АА = АВ, АВ = АС-, 2) АС = ВВ.
Доказательство.
1) Проведем СК || АВ, К е АВ (рис. 123). Четы-
рехугольник АВСК — параллелограмм (у него
противоположные стороны параллельны). Так
как у параллелограмма противоположные сто-
роны равны, то СК - АВ. Отсюда следует, что
ЛКСВ — равнобедренный. Тогда АК = АВ как углы при основании равно-
бедренного треугольника. Но АА = АК как соответственные углы при
параллельных прямых АВ и СК и секущей АВ. Поэтому АА = АВ, По-
скольку сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна
180°, то и АВ = АС.
Следствие.
2) Рассмотрим ААСВ и АВВА (рис. 124).
У них сторона АВ — общая, АВ = СВ по условию,
АСВА = АВАВ как углы при основании равнобе-
дренной трапеции. ААСВ = АВВА по 1-му при-
знаку равенства треугольников. Отсюда АС = ВВ,
то есть диагонали равнобедренной трапеции рав-
ны. Теорема доказана.
В равнобедренной трапеции АЛВВ = АВАС, АО - ВО и ВО = СО
(см. рис, 124).
Используя рисунок 123, докажите признак равнобедренной
трапеции: «Если углы при основании трапеции равны, то она — равно-
бедренная».
Определение. Трапеция, у которой есть прямой угол, называется
прямоугольной трапецией.
На рисунке 125 изображена прямоугольная
трапеция АВСВ, у которой АА = 90°. Так как
АА + /_В = 180°, то АВ = 90°. Высота СВ трапеции
равна меньшей боковой стороне АВ. В прямоуголь-
ном треугольнике СНВ катет СН меньше гипоте-
нузы СВ. Поэтому боковая сторона АВ — мень-
шая, а СВ — большая. Следовательно, высота пря-
моугольной трапеции равна ее меньшей боковой
стороне.
Задания к § 11
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
ключевые задачи
Задача 1. Доказать признак равнобедренной трапеции: «Если у трапе
ции диагонали равны, то она — равнобедренная».
Рис. 126
Доказательство. Рассмотрим трапецию АВСВ
с основаниями АВ и ВС (рис. 126). Пусть у нее
АС = ВВ. Опустим в трапеции высоты ВН и СМ.
ВН = СМ как расстояние между параллельными
прямыми. Прямоугольные треугольники АМ С и
ВНВ равны по катету и гипотенузе. Из равенства
треугольников следует равенство углов СаВ и ВВА.
Тогда треугольники АСВ и ВВА равны по двум
Правое
ве1
сторонам (АС = ВВ, сторона АВ — общая) и углу между ними, АВ = ВС
как соответствующие стороны в равных треугольниках. Трапеция АВСВ
равнобедренная. Теорема доказана.
Рис. 127
да НМ = ВС = Ь. Отсюда
Задача 2. Доказать, что высота равнобедренной трапеции, проведенная
из вершины, принадлежащей меньшему основанию, делит большее основа-
ния на отрезки, равные полусумме и полуразности оснований.
Доказательство. Рассмотрим равнобе-
дренную трапецию АВСВ, у которой АВ = а,
ВС = Ь — основания, ВН — высота (рис. 127).
а + Ь . ТТ а-Ь „
Докажем, что НВ - —-—, АН - —-—. Про-
ведем вторую высоту СМ трапеции. Прямо-
угольные треугольника: АНВ и ВМС рав-
ны по катету и гипотенузе. Поэтому
АН = МВ.
Четырехугольник НВСМ — прямоуголь-
ник, так как у него все углы прямые. Тог-
АН = МВ = АО~НМ = АА6, НВ - АВ АН =
, , 2 2
а - Ь а - п _
= а ---= —-—. Ато и требовалось доказать.
Задача 3. АВСВ — прямоугольная трапеция с основаниями ВС и АВ.
Меныиая боковая сторона трапеции равна ее меньшему основанию, боль-
шая боковая сторона равна 42 см и составляет с одной из диагоналей
угол, равный 105°. Найти высоту трапеции.
Рис. 128
Решение. Пусть АВ — меньшая боковая сто-
рона. Тогда АВ - 90°, АВ = ВС, СВ = 42 см,
ААСВ = 105° (рис. 128). Треугольник АВС —
прямоугольный равнобедренный. Поэтому
ААСВ = 45°. Тогда АВСВ = 45° + 105° = 150°,
АВ = 180° - 150° = 30е. Проведем высоту СН
трапеции. В прямоугольном треугольни-
ке СНВ катет СН, лежащий против угла в
30°, равен половине гипотенузы СВ, то есть
СН = 21 см.
Ответ: 21 см.
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
143. На рисунках 129, а)—в) дана равнобедренная трапеция МИКР. По
данным на рисунках найдите углы, отмеченные знаком вопроса.
144. а) ВН и СМ — высоты равнобедренной трапеции АВСВ, меньшее
основание ВС равно 13 м, МВ = 5 м. Найдите длину средней линии
трапеции.
б) ВН — высота равнобедренной трапеции АВСВ, меньшее основа-
ние ВС равно 8 см, НВ = 12 см. Найдите большее основание тра-
пеции.
145. В трапеции АВСВ с основаниями АВ и ВС углы А и В равны,
АВ = 12,4 см, средняя линия равна 15 см. Найдите периметр тра-
пеции.
146. Докажите, что сумма противоположных углов равнобедренной
трапеции равна 180°. &
147. Диагонали трапеции АЕСВ (АВ и ВС — осно-
вания трапеции) пересекаются в точке О,
АО = ВО. Докажите, что трапеция равнобе-
дренная. /
148. АВСВ — равнобедренная трапеция (рис. 130). А ~
1-Г ” /ПЛГ РиС-
Но данным на рисунке найдите АСВВ.
149. Отрезок ВН — высота равнобедренной трапеции АВСВ (ВС || АО),
ВВ — биссектриса ее угла В, АВ 4 ВС = 48, АН - 8. Найдите СВ
150. АВСВ — прямоугольная трапеция с основаниями АВ и ВС. Найдите
среднюю линию трапеции, если:
а) АА = 90°, ВС = 7 см, СВ = 8 см, АС = 120°;
б) АВ = 90°, ИВАО = 45°, АВ = 12 см, СВ = 5 см;
ь) АВ - 6 см — меньшая боковая сторона, ВС : АВ - 2 3, АВСВ = 135°.
151* Диагональ равнобедренной трапеции равна 6 см и образует с осно-
ванием угол 60°. Найдите среднюю линию трапеции.
152*. В трапеции АВСВ лАВВ = АВАС, АС ± ВВ, АВ + ВС = 16 см. Най-
дите высоту ВН.
153* Постройте равнобедренную трапецию:
а) по двум основаниям и боковой стороне;
б) по диагонали и двум основаниям.
ПОДВОДИМ
итоги
Знаем
1. Определения; трапеции, высоты трапеции, средней линии трапеции.
2. Свойство средней линии трапеции.
3. Определение прямоугольной и равнобедренной трапеций.
4. Свойства равнобедренной трапеции.
5. Признаки равнобедренной трапеции.
Умеем
1. Доказывать теорему о средней линии трапеции.
2. Доказывать свойства равнобедренной трапеции.
3. Доказывать признаки равнобедренной трапеции
§ 12*. Центральная и осевая симметрия
1. Центральная симметрия (симметрия относительно точки)
Точки А и Аг называются симметричными относительно точки О
(центра симметрии), если точка О является серединой отрезка Ай-!
(рис. 131, а).
Центр симметрии считается симметричным сам себе.
Две фигуры Г и Д называются симметричными относительно не-
которой точки О, если каждой точке одной фигуры соответствует сим-
метричная ей точка другой фигуры относительно точки О (рис. 131, б).
Фигура имеет центр симметрии (является центрально-симметричной
фигурой), если каждой точке данной фигуры соответствует симметрич-
ная ей точка этой же фигуры относительно некоторой точки — центра
симметрии (рис. 131, в).
симметричные
Примером центрально-симметричных фигур являются: отрезок (центр
симметрии в середине отрезка); окружность (центр симметрии б центре
окружности: концы любого диаметра симметричны относительно центра
окружности).
Всякую фигуру Р можно совместить с симметричной ей относительно
некоторого центра О фигурой Рг путем поворота ее на 180° вокруг точ-
ки О. И обратно, если фигуру Р можно совместить с другой фигурой Р}
путем поворота на 180° вокруг некоторого центра О, то эти фигуры (или
части одной фигуры) симметричны относительно центра. Фигуры, симме-
тричные относительно точки, равны между собой.
Объекты на рисунке 132 имеют центр симметрии.
Задача 1. Построить фигуру, симметричную прямой ВС относительно
точки О.
Решение. Построив точки П к А, симметричные
точкам В и С относительно некоторой точки О,
получим прямую АЛ (рис. 133). Из равенства тре-
угольников ВОС и ЛОА следует, что АОСВ = АО АЛ,
откуда ВС || АЛ. Любая точка К прямой ВС имеет
симметричную ей относительно точки О точку М
на прямой АЛ и наоборот, что следует из равен-
ства треугольников СОК и АОМ.
Следовательно, фигура, симметричная данной прямой относительно не
лежащей на ней точки, — это, во-первых, прямая, а во-вторых, это пря-
мая, параллельная данной.
Из решенной задачи вытекают следующие свойства центральной
симметрии:
1) прямые, симметричные относительно точки, параллельны между собой;
2) отрезки, симметричные относительно точки, равны и параллельны;
3) треугольники, симметричные относительно точки, равны между собой.
Для построения прямой, симметричной данной относительно данного
центра симметрии, достаточно взять две точки на данной прямой, постро-
ить две симметричные им точки относительно центра симметрии и про-
вести прямую через построенные точки.
Для построения отрезка, симметричного данному относительно данно-
го центра симметрии, достаточно построить точки, симметричные концам
данного отрезка относительно данного центра симметрии и соединить от-
резком построенные точки.
Для построения треугольника (многоугольника), симметричного дан-
ному относительно данного центра симметрии, достаточно построить точ-
ки, симметричные его вершинам относительно этого центра симметрии,
и соединить их соответствующими отрезками.
Упражнения
1) Какие из следующих фигур являются центрально-симметричными
фигурами и где находится их центр симметрии: а) квадрат; б) параллело-
грамм; в) угол; г) прямая; в) равносторонний треугольник?
2) Изобразите отрезок АБ и точку М вне прямой АВ. Постройте отре-
зок А1В1, симметричный отрезку АВ относительно точки М.
3) Изобразите треугольник АВС. Постройте треугольник, симметрич-
ный треугольнику АВС: а) относительно вершины С; б) относительно точ-
ки пересечения медиан.
4) На координатной плоскости изобразите график функции у = 2х + 4.
Постройте прямую, симметричную этому графику относительно начала
координат. Найдите функцию вида у = кх + Ъ, которая соответствует по-
строенной прямой.
5) На координатной плоскости изобразите параллелограмм АВСВ,
где А(3; 2), В(2; 7), С(6; 7), .0(6; 2). Постройте параллелограмм А}В1С-гБ1,
симметричный параллелограмму АВСВ относительно начала координат
0(0; 0).
6) На доске изображена часть треуголь-
ника АВС (рис. 134), где вершина С недо-
ступна. На стороне АВ отмечена середи-
на М. При помощи чертежного треуголь-
ника нужно построить часть медианы СМ,
которая помещается на доске.
Выполните это задание, используя
свойство центральной симметрии паралле-
лограмма.
2. Осевая симметрия (симметрия относительно прямой)
Точки А и Аг называются симметричными относительно некоторой
прямой I (оси симметрии), если прямая I является серединным пер-
пендикуляром к отрезку ААХ (рис. 135, а). Точки, принадлежащие оси
симметрии, считаются симметричными сами себе.
Две фигуры В и В1 называются симметричными относительно
некоторой прямой I, если каждой точке одной фигуры соответству-
ет симметричная ей точка другой фигуры относительно прямой I
(рис. 135, б).
Фигура имеет ось симметрии (является осесимметричной фигу-
рой), если каждой точке данной фигуры соответствует симметричная
ей точка этой же фигуры относительно некоторой прямой — оси сим-
метрии (рис. 135, в).
ось
симметриям ые
осесимметричная
Рис. 135
Примером фигур, имеющих ось симметрии, являются: отрезок (осью
симметрии является серединный перпендикуляр к нему); окружность
(осью симметрии является любая прямая, проходящая через центр окруж-
ности), прямоугольник (оси симметрии проходят через середины противо-
положных сторон).
Слово «ось» симметрии употребляется потому, что если часть плоско-
сти с фигурой Е повернуть в пространстве вокруг этой прямой на 180° как
вокруг оси, то фигура Е совпадет с симметричной ей относительно прямой
I фигурой Ег. Обратно, если какую-то фигуру Е путем вращения вокруг
некоторой прямой на 180° можно совместить с фигурой Ех, то фигуры Е
и Е, симметричны относительно оси вращения (рис. 136).
Следовательно, на плоскости фигуры, симметричные относительно не-
которой оси, равны между собой. То же касается симметричных частей
фигуры, которая имеет ось симметрии. Например, если тетрадный лист
сложить пополам, а затем развернуть, то получим две симметричные ча-
сти листа относительно оси — линии перегиба.
Рис. 137
Изображения на рисунке 137 имеют ось симметрии.
Рис. 138
Задача 2. Доказать, что равнобедренный треугольник имеет ось симме-
трии, которая содержит его биссектрису, проведенную к основанию.
Доказательство. Пусть ВК — биссектриса ДАВС с
основанием АС (рис. 138). Так как биссектриса ВК будет
высотой и медианой, то АС _1_ ВК и АК = КС. Точки А и
С симметричны относительно прямой ВК, точка В симме-
трична самой себе. Возьмем точку М на стороне АВ и про-
ведем прямую ММ\, перпендикулярную прямой ВК, где
точка Мх лежит па стороне ВС. Так как з /\МВМ1 бис-
сектриса В К будет и высотой, то он — равнобедренный
по признаку равнобедренного треугольника, и его биссек-
триса ВК будет и медианой. Отсюда МК = КМг и, значит,
точки М и симметричны относительно прямой ВК. Следовательно,
прямая ВК — ось симметрии равнобедренного треугольника АВС.
Задача 3. Доказать, что прямая, проходящая через середины противопо-
ложных сторон прямоугольника, является его осью симметрии.
Рис. 139
Доказательство. Пусть АВСВ — прямо-
угольник (рис. 139), тип — прямые, прохо-
дящие через середины его противоположных
сторон. Докажем, что для любой точки М,
взятой на стороне прямоугольника, найдется
точка Мг, симметричная относительно прямой
т и принадлежащая стороне прямоугольника.
Проведем ММ1 ± т. Докажем, что МК = ЕМ±.
Выше (ключевая задача 3 § 4) мы доказали, что
КВСК и АККВ — равные прямоугольники. Отсюда следует, что расстоя-
ние между параллельными прямыми ВС и КК равно расстоянию между
параллельными прямыми АВ и КК. Значит, МЕ = ЕМг, и т — ось сим-
метрии для отрезков ЛВ и СВ. Следовательно, прямая т — ось симметрии
прямоугольника АВСВ. В силу доказанного прямая п, проходящая через
середины сторон АВ и ВС прямоугольника, является второй его осью сим-
метрии.
Выделим некоторые свойства осевой симметрии.
1) прямые, симметричные относительно оси, пересекаются в точке,
лежащей на оси симметрии, либо параллельны между собой;
2) отрезки, симметричные относительно оси, равны;
3) треугольники, симметричные относительно оси, равны.
Упражнения
1) Какие из фигур, изображенных на рисунках 140, а)—г), имеют ось
симметрии? Перерисуйте эти фигуры в тетрадь и проведите их оси сим-
метрии.
Рис. 140
2) Сколько осей симметрии у прямоугольника, квадрата, ромба, равно-
бедренной трапеции, равностороннего треугольника?
3) Изобразите отрезок АВ и ось I, не пересекающую отрезок АВ.
Постройте отрезок А1В1, симметричный отрезку АВ относительно пря-
мой I.
4) Изобразите треугольник АВС. Постройте треугольник, симме-
тричный треугольнику АВС относительно оси, проходящей через вер-
шину С.
5) На координатной плоскости изобразите параллелограмм АВСВ, где
-4(3; 2), В(2; 7), 0(6; 7), В>(7; 2). Постройте параллелограмм А1В1С1В1, сим-
метричный параллелограмму АВСВ относительно оси Оу.
6) На координатной плоскости изобразите график функции у = х + 3.
Постройте прямую, симметричную этому графику относительно оси Ох.
Найдите формулу, задающую функцию, которая соответствует построен-
ной прямой.
7) Какие из следующих слов-полиндромов имеют ось симметрии:
КАЗАК МАДАМ КОК ШАЛАШ ТОПОТ РАДАР
3. Зеркальная симметрия.
Помимо центральной и осевой симметрии существует еще симметрия
относительно плоскости. Она называется зеркальной симметрией. Точки
А и Аг симметричны относительно плоскости, если плоскость проходит
через середину отрезка АА± и перпендикулярна этому отрезку (рис. 141).
То есть, АА± ± а и АМ - МА±.
В пространстве плоскостью симметрии обладает шар: любая плоскость,
проходящая через его центр, делит шар па две части, симметричные от-
носительно этой плоскости (рис. 142).
У прямоугольного параллелепипеда три плоскости симметрии
(рис. 143).
(рис. 144). Можно указать плоскость, относительно которой симметрично
тело человека. Правда, это только з идеале. У человека есть особенности,
которые делают его внешний облик асимметричным: прическа, одна более
развитая рука, родинки и т. д.
Название «зеркальная» симметрия объясняется тем, что предмет и его
изображение в зеркале симметричны относительно плоскости зеркала. От-
ражения в воде деревьев, зданий являются примером зеркальной симме-
трии.
ЗАПОМИНАЕМ
1. Сумма углов п-угольника равна 180°(и. - 2).
2. Пять свойств параллелограмма: «У параллелограмма ...
1) сумма соседних углов равна 180°;
2) диагональ делит его на два равных треугольника;
3) противоположные стороны равны;
4) противоположные углы равны;
5) диагонали точкой пересечения делятся пополам».
3. Три признака параллелограмма. «Если у четырехугольника
1) две стороны равны и параллельны, или
2) противоположные стороны равны, или
3) диагонали точкой пересечения делятся пополам, то данный четырех-
угольник — параллелограмм».
4. Свойство диагоналей прямоугольника: «Диагонали прямоугольника равны».
5. Свойство диагоналей ромба: «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны
и лежат на биссектрисах его углов».
6. Свойство средней линии треугольника: «Средняя линия треугольника па-
раллельна основанию и равна его половине».
7. Свойство средней линии трапеции: «Средняя линия трапеции параллельна
основаниям и равна их полусумме».
8. Теорема Фалеса: «Если па одной стороне угла отложить равные отрезки и
через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сто-
рону, то на другой стороне угла отложатся равные между собой отрезки».
ПРОВЕРЯЕМ СЕБЯ
Тесты 1-3
1. АВСЛ — параллелограмм, М и К — сере-
дины его сторон. Докажите, что 1>КВМ — па-
раллелограмм
2. М и К — середины сторон АС и АВ.
Найдите А А.
3. Найдите основание АЛ трапеции АВСЛ,
если М и К — середины ее диагоналей.
ПОДГОТОВКА К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 1
1. АВСВ — параллелограмм. Найдите угол, обозначенный знаком «?».
2. АВСВ — прямоугольник. Найдите:
а) .Рсов; б) РАОО, если ВВ = 15; в) АВ, если РАОВ = 25, РАС1) = 40.
4. Найдите среднюю линию трапеции АВСВ.
5. МК — средняя линия треугольника АВС. Найдите:
а) -Равс! б) Равс') если Равкм = 28; в) Рквсм^ если Ракм ~ 18.
Глава II
Площади
многоугольников
В этой главе вы узнаете:
Какие фигуры называют равновеликими
Как найти площадь треугольника
Что утверждает теорема Пифагора
Площади
1 см
Квадрат
Прямоугольник
5 = 6 х 3 = 18(см2)
5 = 42= 16 (см2)
Параллелограмм
5 см
,9 = 5 х 4 = 20(см2)
3 = ^ х4 = 18(см2)
8 = 2х5Х4 = 10 (см2)
§ 13. Площадь квадрата, прямоугольника
Под площадью многоугольника или другой ограниченной плоской
фигуры понимают величину части плоскости, которую она занимает. За
единицу измерения площади принимают площадь квадрата со стороной,
равной единице измерения длины. Единица измерения площади называет-
ся квадратной единицей: 1 см2 (квадратный сантиметр), 1 дм2 (квадратный
дециметр), 1 м2 (квадратный метр) и т. д.
Для нахождения площади квадрата со стороной 5 см его можно разбить
на квадраты со стороной 1 см (рис. 145). В одном горизонтальном ряду
будет 5 таких квадратов, а рядов будет тоже 5. Получим 5 • 5 = 5’ = 25
малых квадратов. Тогда площадь большого квадрата равна 25 см2. Можно
доказать, что если сторона квадрата равна дробному или иррационально-
му числу а, то площадь квадрата также равна а2. То есть 8ЛВ = а2.
8 = 25 см2
8 = а2
2
О
8 = 1см2 ю
Рис. 145 1см 5 см а
Свойства (аксиомы) площади:
1. Каждый многоугольник имеет площадь, которая выражается по-
ложительным числом.
Это число показывает, сколько раз единица измерения площади, т. е.
единичный квадрат и его части, укладывается в данном многоугольнике.
2. Равные многоугольники имеют равные площади.
Отметим, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно. То есть
если два многоугольника имеют равные площади, то они не обязательно
равны между собой как фигуры.
3. Если многоугольник разбить на несколько многоугольников, то сум-
ма площадей полученных многоугольников будет равна площади данного.
Так, если прямоугольник с площадью 5 раз-
бить на два прямоугольника с площадями 5, и 82
(рис. 146), то 5 = + 6'2.
Заметим, что для периметров указанных
прямоугольников аналогичное свойство неверно:
Р * Рх + Р2.
Рис. 14Ь
Определение.
Фигуры, площади которых равны,
называются равно-
великими.
4 см
5 = 36 см2
5 = 36 см2
6 см
9 см
6 см
Рис. 147
Вы уже знаете, что площадь
прямоугольника равна произведе-
нию его длины и ширины, т. е.
произведению его измерений.
Прямоугольник со сторонами 4 см
и 9 см равновелик квадрату со сто-
роной 6 см (рис. 147).
Докажем справедливость фор-
мулы площади прямоугольника.
Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению его соседних
сторон, то есть 8пр - аЬ.
а Ь
ь &пр Ь2
а а2 8 пр
Рис. 148
Доказательство. Достроим прямоугольник со
сторонами а и Ъ до квадрата со стороной а + Ъ, как
показано на рисунке 148. Площадь этого квадра-
та равна (а + 6)2. Построенный квадрат состоит из
двух равных прямоугольников с площадью 8,,., и
двух меньших квадратов: одного со стороной а и
площадью а2, другого со стороной Ь и площадью
Ь2. Тате как площадь многоугольника равна сумме
площадей его частей, то 28п;, + а2 + Ь2 = (а + 6)2,
28,1р + а2 + Ь2 = а2 + 2аЬ + Ь2, 8пр = аЬ. Теорема до-
казана.
Замечание. Так как каждая сторона прямоугольника является его высотой от-
носительно соседней стороны как основания, то можно говорить, что площадь пря-
моугольника равна произведению основания на высоту.
Л теперь выполните Тест 1 и Тест 2.
Тест 1
Тест 2
Площадь квадрата равна 81 см2.
Найдите периметр квадрата.
В ------------С
5 = 81 см2
Р-- ?
А'------------О
Периметр прямоугольника равен
24 см, одна из его сторон — 8 см.
Найдите площадь прямоуголь-
ника.
____________С
Р = 24 см
5 = ?
8
Задания к § 13
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
ключевые задачи
Задача 1. Найти периметр квадрата равновеликого прямоугольнику со
сторонами 9 см и 16 см (рис. 149).
Решение. Площадь прямоугольника рав-
на произведению его соседних сторон, т е.
р ? 8пр = 9 • 16 = 144 (см2). Так как квадрат
9 равновелик данному прямоугольнику, то
_____________ 8кв = 144 (см2). Но площадь квадрата равна
16___________а_________квадрату длины его стороны, т. е, 5кв = а2.
Рис. 149 Отсюда а2 - 144, а = 7144 = 12 (см) —
сторона квадрата. Периметр квадрата Ркв =
= 4а = 4 • 12 = 48 (см).
Ответ: 48 см.
Замечание. Уравнение а2 = 144, вообще говоря, имеет два корня: -12 и 12. Счи-
тая, что длина стороны квадрата — величина положительная, мы сразу записали
а = 7144, а корень а = -7144 отбросили как посторонний.
Задача 2. Из квадрата АВСВ вырезали треугольник ВОС. где О — точка
пересечения диагоналей. Площадь многоугольника АВОСВ равна 54 см2.
Найти длину стороны квадрата.
Решение. Диагонали АС и ВВ делят квадрат на
4 равных треугольника (рис. 150). Многоугольник
АВОСВ состоит из трех равных треугольников:
АЛОВ, А АО В и ПСОВ. Площадь каждого тре-
угольника равна 54 3 = 18 (см2), а площадь квадра-
та АВСВ равна 18 • 4 = 72 (см2). Так как площадь
квадрата находится по формуле 8 = а2, где а — сто-
рона квадрата, то а2 = 72, а = 772 = 6^2 (см).
Ответ: 6 2 см.
Рис. 150
Задача 3. Периметр прямоугольника равен 16 см, а его площадь равна
15 см2. Найти стороны прямоугольника (рис. 151).
Решение. Способ 1. Полупериметр прямоугольника (сумма длин двух со-
седних сторон) равен 8 см. Если одна его сторона равна х см, то другая
сторона равна (8 - х) см. Площадь прямоугольника
находится по формуле >8 = аЪ, где а и Ь — соседние
стороны. По условию х • (8 - х) = 15. Решим полу-
ченное уравнение:
—х2 + 8х = 15, х2 - 8х + 15 = 0,
8 ± ,'64 - 4 • 1 • 15 „
х. 2 — ------------ — 4 г 1: Ху — 3, х% — 5.
в С
X Р= 16 см 5=15 см* 2 * 4 * * * 8
А 8-х В
Рис. 151
Если х = 3, то 8 - х = 5; если х = 5, то 8 - х - 3. Стороны прямо-
угольника равны 3 см и 5 см.
Способ 2. Пусть п и 6 — стороны прямоугольника. Так как пло-
щадь прямоугольника 5 = аб, то Ь = —. По условию 5 = 15 см2. Поэтому
а
Ь = —. Периметр прямоугольника Р = 2(а + Ь) - 2( а 4- —). Из условия
а \ а /
2! а + —) = 16. Отсюда а2 - 8а + 15 = 0 (где а ? 0). По теореме Виета (об-
\ а /
ратной) аг - 3, а2 = 5. Тогда Ь} = — = 5, Ь2 = — = 3. Получили а = 3 (см),
3 5
6 = 5 (см) или а = 5 (см), 6 = 3 (см). Стороны прямоугольника равны 3 см
и 5 см.
Ответ: 3 см и 5 см.
Замечание. Часто при решении геометрических задач с помощью уравнений
при обозначении длин неизвестных отрезков размерность не ставится: вместо х дм,
а см, К м пишут х, а, Я. В этом случае размерность указывают в скобках после на-
хождения корня уравнения: х - 4 (дм), а = 5 (см), Л - 6 (м).
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
154. Измерьте большой линейкой размеры классной доски. Найдите ее
площадь в квадратных метрах, округлив ответ до десятых.
155. Найдите площадь квадрата, если его сторона равна:
а) 25 мм; б) 1,2 дм: в) 3\/2 м.
156. На рисунках 152, а)—в) изображены фигуры, которые получены
из квадратов, у которых вырезали какую-то часть. По указанным
размерам найдите площадь оставшейся части каждого квадрата
(все размеры даны в см).
а)
157. Площадь прямоугольника равна 24 см2. Стороны прямоугольника
относятся как 2 -3. Найдите стороны прямоугольника.
158. Дан прямоугольник АВСБ. Сторону АБ продлили за точку I) на от-
резок БК, равный стороне АБ. Объясните, почему:
а) ЛАСК равновелик прямоугольнику АВСБ;
б) ААВК равновелик прямоугольнику АВСБ.
159. а) Одна из сторон прямоугольника равна 18 дм, а его площадь равна
90 дмЛ. Найдите периметр прямоугольника.
б) Периметр прямоугольника равен 36 м, а одна из его сторон равна
12 м. Найдите площадь прямоугольника.
160. В прямоугольнике АВСБ на стороне АБ взята точка К (рис. 153),
АВКБ = 135°, КБ = 4 см, СБ = 5 см. Найдите площадь прямоуголь-
ника.
161. В прямоугольнике АВСБ проведены отрезки МК || АБ, КР || АВ
(рис. 154). Докажите, что площадь четырехугольника МБКР рав-
на площади прямоугольника АВСБ.
Рис. 154
162. а) Периметр прямоугольника равен 22 см. Одна из сторон на 3 см
больше другой. Найдите площадь прямоугольника.
б) Площадь прямоугольника равна 80 см2 Одна из сторон на 11 см
меньше другой. Найдите периметр прямоугольника.
163. Площадь прямоугольника равна 48 см2. Найдите площадь четы-
рехугольника с вершинами в серединах сторон этого прямоуголь-
ника.
164. На координатной плоскости дап прямоугольник АВСБ, где
А(-3; -2), С(4; 3), Б(4; -2). Найдите площадь этого прямоугольника,
если единичный отрезок равен 1 см.
165. а) Каждую сторону квадрата увеличили в 3 раза. Определите, во
сколько раз увеличилась площадь квадрата.
б) Определите, во сколько раз нужно уменьшить каждую сторону
квадрата, чтобы его площадь уменьшилась в 16 раз.
166. Каждую сторону квадрата увеличили на 10 %. На сколько процен-
тов увеличилась площадь квадрата?
8 12
10 9
А------------------О
Рис. 155
167* Прямоугольник разбит прямыми, перпендикулярными его сторо-
нам, на четыре части (рис. 155), Площади трех частей равны 8,
10 и 12. Найдите площадь четвертой (незакрашенной) части прямо-
угольника.
168*. Два равновеликих четырехугольника АВСВ и МАРК совместили,
как показано ня рисунке 156. Докажите, что сумма площадей зе-
леных треугольников равна сумме площадей красных треуголь-
ников.
169* Точки М, А, Р, К — середины сторон квадрата АВСВ (рис. 157).
а) Какую форму имеет желтый четырехугольник?
Обоснуйте ваш ответ.
б) Какую часть составляет его площадь от площади квадрата АВСВ:
а> Р б> г в> Р г> Р 1?
Докажите, что ваше утверждение верно.
Гимнастика ума
На рисунке 158 изображены квадраты со сторонами 10 см, 9 см, 7 см и 4 см.
Известно, что сумма площадей двух красных частей равна 112 см2. Найдите сумму
площадей двух синих частей.
Рис. 158
§ 14. Площадь параллелограмма
Теорема. Плотцадь параллелограмма равна произведению его основа-
ния на высоту, т. е. 8Лир = ак.
Доказательство. Пусть АВСВ — парал-
лелограмм (рис. 159, а), АЛ = а — основание,
ВК = к — высота. Проведем в параллелограмме
высоту СМ = к. Четырехугольник КВСМ явля-
ется прямоугольником, так как у него все углы
прямые. Прямоугольные треугольники АВК и
ВСМ равны по катету и гипотенузе (ВК = СМ
как высоты, проведенные к одному основанию,
АВ — СВ как противоположные стороны паралле-
лограмма). Значит, равны и их площади.
Рассмотрим трапецию АВСМ.
Площадь трапеции АВСМ, с одной стороны,
равна сумме площадей параллелограмма АВСВ и
прямоугольного треугольника ВСМ (рис. 159, б).
С другой стороны, она равна сумме площадей
прямоугольника КВСМ и прямоугольного тре-
угольника АВК (рис. 159, в).
В силу равенства площадей треугольников
АЛК и ВСМ площадь параллелограмма АЛСВ
равна площади прямоугольника КВСМ. Пло-
Рас. 159
щадь прямоугольника 8КВСМ = ВС • ВК, площадь параллелограмма 5д;-;С0 =
= ВС • ВК - АВ • ВК. То есть 8пар = ак. Теорема доказана.
Замечание. Иногда высоту параллелограмма, проведенную к стороне а, обозна-
чают ка, а высоту, проведенную к стороне Ь, обозначают кь. Тогда справедливо равен-
ство 8 = ака = Ькь, откуда а : Ь = : -Ц
ка кь
А теперь выполните Тест 1 и Тест 2.
Тест 1
Тест 2
Найдите площадь параллелограм-
ма, если размеры одной клетки
см
Найдите площадь параллелограм-
ма, если размеры одной клетки
1 см У 1 см.
1 см
см.
см
Задания к § 14
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
ключевые задачи
Задача 1. Стороны параллелограмма равны 12 см и 8 см. Высота, про-
веденная к большей стороне, равна 10 см. Найти высоту, проведенную к
меньшей стороне параллелограмма.
Решение. Пусть а = 12 см и Ь = 8 см — стороны
параллелограмма АВСВ, ка и К, — его высоты и
Ъа = 10 см (рис. 160). Так как 5 = ака и 5 = Ъкь —
это площадь одного и того же параллелограмма,
то аки = ЪЬь, то есть 12 • 10 = 8 • йь. Отсюда йь =
12’10 1 К / \
= —— = 15 (см).
Ответ: 15 см.
Замечание. Из равенства акя = Ыгь следует, что у
Ль
Жл 1о есть стороны парал-
лелограмма обратно пропорциональны его высотам. К большей стороне паралле-
лограмма проведена меньшая высота, а к меньшей стороне — большая.
Задача 2. Площадь параллелограмма АВСВ равна 24 см2, ВС = 6 см,
ААСВ = 30°. Найти длину диагонали АС.
Решение. Опустим высоту СН на продолжение
основания АВ (рис. 161). Так как ВАВСО = АВ • СН и
АВ = ВС = 6 см, то 24 = 6 • СН, СН = =4 (см).
Рассмотрим прямоугольный /ААСН. Заметим, что
АСАН = ААСВ = 30° как накрест лежащие углы
при параллельных прямых АВ и ВС и секущей
АС. Так как катет, лежащий против угла в 30°,
равен половине гипотенузы, то АС - 2СН = 8 см.
Ответ: 8 см.
Задача 3*. На рисунке 162 АВ || ВМ,АВ I! ВС, АВС || ВМ. Доказать, что
площадь красного четырехугольника равна площади синего.
Рис. 162
Доказательство. Параллелограммы АВСВ и
АКМВ равновелики, так как у них сторона АВ —
общая, а высоты, проведенные к этой стороне, рав-
ны как расстояния между параллельными прямы-
ми ВМ и АВ. Параллелограмм АВСВ состоит из
красного четырехугольника ВАОС и треугольника
АОВ. Параллелограмм АКМВ состоит из синего
четырехугольника ОК МВ и треугольника АОВ.
Следовательно, площади синего и красного четы-
рехугольников равны, Что и требовалось доказать.
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
170. По данным на рисунках 163, а)—в) найдите площадь параллело-
грамма АВСВ (длины отрезков даны в см).
Рис. 163
171. а) Площадь параллелограмма АВСВ равна 100 м2. Сторона АП рав-
на 20 м, Найдите высоту параллелограмма, проведенную к сто-
роне АВ.
б) Высота ВН параллелограмма АВСВ проведена к стороне АВ и
равна 8 см, АН = 3 см, НВ = 2АН. Найдите площадь параллело-
грамма.
172. а) Площадь параллелограмма АВСВ равна 60 см2. Высота ВК, про-
веденная к стороне СВ, равна 10 см, ЛВ = 12 см. Найдите периметр
параллелограмма.
б) Из вершины В параллелограмма АВСВ к стороне СВ проведена
высота ВК, к стороне АВ — высота ВН. Найдите периметр парал-
лелограмма, если ВН = 5 см, В К = 7 см., АВ = 14 см.
173. АВСВ — параллелограмм (рис. 164), ВС = 10 см, СК ± АВ, СК =
= 7 см. Найдите площадь треугольника АВВ.
174. На рисунке 165 АВ = СВ, АВ = ВС. Найдите расстояние от точки В
до прямой АВ, если 8АВС1) = 54 см2, АВ = 6 см.
175. На рисунке 166 а || Ь, с || (I, МК = 16, ИК = 24. Расстояние меж-
ду прямыми а и Ь равно 18. Найдите расстояние между пря-
мыми С И (1.
176.
177.
178.
179.
180.
181.
182.
183*
184*
а) Большая сторона параллелограмма равна 18 см, высоты относят-
ся как 1 : 2. Найдите периметр параллелограмма.
б) Периметр параллелограмма равен 48 см,
одна из его сторон в 2 раза больше другой.
Высота, опущенная на большую сторону,
равна 4,5 см. Найдите площадь паралле-
лограмма
Определите, сколько квадратных единиц
составляет площадь параллелограмма, изо-
браженного на координатной плоскости
(рис. 167).
Рис. 167
Дан параллелограмм АВСВ, ВК — биссектриса угла В (К е АВ),
СВ = 12 см, КВ = 5 см, расстояние от точки К до прямой ВС равно
9 см. Найдите площадь параллелограмма.
Расстояние от вершины В параллелограмма АВСВ до прямой АВ
равно 6 см, а до прямой АС — 4 см, ЛСАВ - 30° Найдите площадь
параллелограмма.
Площадь параллелограмма равна 112 см-. Найдите площадь четы-
рехугольника, вершины которого являются серединами сторон дан-
ного параллелограмма.
Дан параллелограмм АВСВ, ВК — биссектриса угла В (точка К ле-
жит на стороне ВС), лВКВ = 105°, ВК - 4 см, КС = 12 см. Найдите
площадь параллелограмма.
Периметр параллелограмма АВСВ равен 48 см, его высоты равны
10 см и 6 см. Найдите площадь параллелограмма.
Угол между высотами ВК и ВМ параллело-
грамма АВСВ равен 45°. Высота ВК делит
сторону АВ в отношении 1 : 2, считая от точ-
ки А. Средняя линия трапеции КВСВ равна
7,5 см. Найдите площадь параллелограмма.
Точки М, К, Р, К — середины сторон че-
тырехугольника ЛВСВ (рис. 168). Площадь
четырехугольника МАРК равна 144 см2. Из-
вестно, что ВВ = 24 см, ЛТН ± МК. Докажи-
те, что ЛКТНР = ААРН.
§15. Площадь треугольника,
прямоугольного треугольника, ромба
Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения осно-
вания на высоту, то есть Ь'д = ( ак.
Доказательство. Пусть в ДАВС сторона ВС = а,
АН = к — высота. Достроим ААВС до параллело-
грамма ВАВС (рис. 169). Основание а и высота А у
параллелограмма те же, что у треугольника АВС.
Треугольники АВС и СВА равны, а значит, равны
их площади. Тогда площадь треугольника АВС
равна половине площади параллелограмма ВАВС,
т. е. 8авс = ^8ВАВС = ^ак. Теорема доказана.
Замечание. Принято высоты треугольника, проведенные к сторонам а, Ь и с,
обозначать соответственно ка, кь, кс. Тогда = ^скс, откуда а Ъ : с =
= Д-:Х: Д 2 2 2
Ла 1гс ’
Следствие.
Треугольники, имеющее равные основания и равные высоты, проведен-
ные к этим основаниям, равновелики.
На рисунке 170 все треугольники, имеющие с
треугольником АВС общее основание АС, верши-
ны которых лежат на прямой, проходящей через
вершину В параллельно прямой АС, будут равно- А а С
велики. рис. тур
Теорема. Площадь прямоугольного треугольника равна половине про-
изведения катетов, то есть В ~
Доказательство. Катет Ь прямоугольного тре-
угольника АВС является высотой, а катет а — со-
ответствующим этой высоте основанием (рис. 171).
Поэтому площадь прямоугольного треугольника
8 = • Ь - Теорема доказана.
Площадь ромба можно найти как площадь параллелограмма, то есть
как произведение основания на высоту. Однако, учитывая, что диагона-
ли ромба взаимно перпендикулярны, можно вывести отдельную формулу
площади ромба.
Теорема. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей,
г, =
' ' ромба о *
В
о
Рис. 172
Доказательство. Пусть у ромба АВСВ диагонали
АС = с!х, ВВ = с/2 (рис. 172). Так как диагонали ромба
взаимно перпендикулярны и точкой пересечения де-
лятся пополам, то прямоугольные треугольники АОВ,
ВОС, СОВ, АОВ равны по двум катетам. Л значит,
равны их площади. Поскольку площадь прямоуголь-
ного треугольника равна
о АО во
тетов, то 8АОВ = -----
Ч — 44 — л . 1
&АВСВ — Ч^АОВ — ~
Теорема доказана.
половине проиоведения ка-
= • у- • Следовательно,
2 _ ^1^2 р е _ ^1^2
у 9 ’ • & ромба р *
Л теперь выполните Тест 1 и Тест 2.
Тест 2
Тест 1
Найдите площадь треугольни-
ка, если размеры одной клетки
1 смХ 1 см.
Найдите площадь треугольни-
ка, если размеры одной клетки
1 смУ 1 см.
Задача. Доказать свойство: «Площади треугольников с общей высотой
(или равными высотами) относятся как соответствующие этим высотам
основания».
В
Рис. 173
Доказательство, У треугольников АВМ и СВМ на
рисунке 173 общая высота А, которая проведена из
вершины В. Обозначим соответствующие основания
АМ = а, и МС = а2. Найдем отношение площадей
5АВМ 2 1 а1 т т
этих треугольников: = — = -=-= —. Что и
8СВМ 82 -а2к а2
требовалось доказать. -
301
ве1
Замечание. Согласно доказанному свойству ^АВМ = ДМ. = —Д—.
8 АВС а1 + а2
Следствия.
1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника
2. Диагонали
угольника.
Докажите эти
делят параллелограмм на четыре равновеликих тре-
следствия самостоятельно.
Задания к § 15
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
ключевые задачи
Задача 1. Доказать, что три медианы треугольника делят его на шесть
равновеликих треугольников
В Решение. Пусть АР, ВК и СК — медианы тре-
Д < угольника АВС, площадь которого равна В (рис. 174).
/ \ \ Так как медиана делит треугольник на два равно-
му \Р великих треугольника, то В^у = - В. По свойству
* ,\ медиан ВМ ' МК = 2 : 1. Поскольку треугольники
/ 1 АВМ и АМК имеют общую высоту, опущенную из
--- Ь- вершины А, их площади относятся как ВМ : МК,
р.,г 774------т. е. 2 : 1. Тогда 8^= |В^ = | • |В = |В. Дна-
логично, 8{шс — 8МРС — 8ВМР - 8КМВ = 3АМК = —В.
Следствие.
Площадь треугольника, ограниченного двумя медианами и сторо-
ной, составляет — площади В данного треугольника, т. е. 8ШС = 8ЛМВ =
-в - 1 ч 3
Задача 2. Найти высоту Нс прямоугольного треугольника с катетами а
и Ъ и гипотенузой с.
Решение. С одной стороны, площадь прямоуголь-
ь ного треугольника В - -сИ (рис. 175). С другой
1 й 2
стороны, В - ДаЪ. Отсюда сНс = аЬ, кс = —.
с Пример. Если катеты прямоугольного треуголы
Рис 175 пика равны 6 см и 8 см, а гипотенуза 10 см, то
высота, проведенная к гипотенузе, Л. = — =
с с
6-8
= = 4,8 (см).
аЬ Формула высоты прямоугольного треугольника,
с с проведенной к гипотенузе.
Задача 3*. Площадь треугольника АВС равна 120 см2, ВМ — медиана
треугольника, точка О — середина медианы. Прямая АО пересекает сто-
рону ВС в точке К. Найти площадь четырехугольника МОКС (рис. 176).
В
Рис 176
то КЕ = ЕС.
У ЛАКВ и
_ 2 с, е
— &МОКС
Ответ: 50 см"
Решение. Так как медиана делит треугольник па два
равновеликих треугольника, то ВАВМ=^ВАБС, 8АОМ =
= —Завм = ^<5авС. Проведем МЕ || АК. По теореме
Фалеса, т, к. ВО = ОМ, то ВК - КЕ,
Отсюда ВК = КЕ = ЕС,
вершины А.
— &АКС &АОМ
ЛАКС общая
тт А КЯ
Поэтому
А КС
2 а _ 1 а
‘-’лвс аАВС
высота,
ВК
КС
т. к. АМ = МС,
ВК КС1 = 1 : 2.
проведенная из
Тогда В^с =
• 120 = 50 (см2).
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
185. Найдите площади треугольников,
изображенных на рисун-
ках 177, а)—в).
1 см
186. Площадь треугольника МИК равна 80 см2. Высота МП равна 10 см
Найдите длину стороны АК.
187. Найдите площадь ААВС, если:
а) его высота ВН делит основание АС на отрезки АН - 3,4 см,
НС = 6,6 см, АА = 45°.
б) АВ - 4 см, АС = 6 см, АА = 30°.
188. а) В треугольнике АВС высота АК равна 9 см, высота СН равна
6 см, ВС = 8 см. Найдите длину стороны АВ.
б) Две стороны треугольника равны 4,5 м и 6 м. Высота, проведен-
ная к меньшей из них, равна 4 м. Найдите высоту, проведенную к
большей из этих сторон.
189. Докажите, что средняя линия треугольника отсекает от него
треугольник, площадь которого равна площади данного.
В
Рис 178
190. Дан треугольник АВС (рис. 178), МК —
средняя линия треугольника. Площадь че-
тырехугольника АМКС равна 48 см Най-
дите площадь треугольника АВС.
191. а) Найдите площадь прямоугольного тре-
угольника с катетами, равными 8 см и 15 см.
б) В ЛАБС ЛС = 90°, АС на 7 см меньше ВС,
^авс = 30 см2. Найдите ВС.
192. В параллелограмме АВСВ О — точка пересечения диагоналей,
К — середина стороны АВ. Найдите отношение площади четырех-
угольника КОСВ к площади параллелограмма.
193. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе,
равна 24 см. Стороны треугольника относятся как 3 : 4 ' 5. Найдите
периметр треугольника.
194. Медианы ВК и СК треугольника АВС пересекаются в точке М,
$авс = см2 Найдите: а) 8ЛКС‘, б) 8КВМ; в) 8ВМС; г) 8Лкм^г. Докажи-
те, что при любом значении 8ЛВС верно, что 8ВМС = 8^^.
195. Найдите площадь треугольника (в квадратных единицах), вершины
которого имеют координаты (2; 3), (4; 7), (10; 4).
196. а) Площадь ромба равна 450 см2. Одна из диагоналей ромба равна
60 см. Найдите другую диагональ.
б) Диагонали ромба с площадью 360 см- относятся как 4 5. Най-
дите меньшую диагональ ромба.
а2
197. Докажите, что площадь квадрата можно найти по формуле 5 = —,
где (1 — диагональ квадрата.
198. В окружности, радиус которой 8 см, проведены два взаимно пер-
пендикулярных диаметра. Найдите площадь четырехугольника,
вершины которого совпадают с коппами диаметров.
199. Докажите, что если диагонали и с/2 выпуклого четырехугольника
о ^1 ^2
взаимно перпендикулярны, то его площадь 5 = .
200. Периметр ромба равен 32 см, произведение длин диагоналей ромба
равно 96 см2. Найдите высоту ромба.
201* Высоты треугольника относятся как
На : К : К = 2 ' 3 4, периметр равен 260 см.
Найдите стороны а, Ь, с треугольника.
202*. Точка М — середина стороны АВ парал-
лелограмма АВСВ (рис. 179). Площадь па- ,
раллелограмма равна 120 см2. Найдите пло-
щадь четырехугольника МЕСВ.
203* На рисунке 180 треугольник АВС равно-
сторонний, площади красного четырех-
угольника и синего треугольника равны.
Докажите, что ВЬ - СК. Найдите величину
угла КЕС.
204*. Найдите геометрическое место вершин тре-
угольников, имеющих общее основание а и
равные площади 5, если эти вершины про-
Рис. 180
тивоположны данному основанию.
Гимнастика ума
Как в треугольнике АВС следует провести ло-
маную ВКМКР, чтобы он разбился на пять рав-
ных по площади треугольников (рис. 181)?
ПОДВОДИМ
итоги
Знаем
1 . Формулы площади: квадрата, прямоугольника, параллелограмма, тре-
угольника, прямоугольного треугольника, ромба.
2 Формулу высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе.
3 . Свойство площадей треугольников с общей высотой.
4 Свойство медианы относительно площади треугольника.
Умеем
1. Выводить формулы площади: прямоугольника, параллелограмма, треуголь
ника, ромба.
2 Выводить формулу высоты прямоугольного треугольника, проведенной к
гипотенузе.
3. Доказывать, что медиана делит треугольник на два равновеликих треуголь-
ника.
Реальная геометрия
Необходимо покрасить дом, изображенный на рисунке. Фундамент дома
представляет собой квадрат со стороной 6 м. В доме имеется: 5 малых окон
с размерами 1 м 50 см X 80 см, два больших окна с размерами 2 м 50 см х 80 см
и дверь с размерами 2 м X 0,8 м.
Но размерам, данным на чертеже (рис. 182), определите:
а) общую площадь той части стен дома, которые нужно покрасить;
б) сколько килограммов краски потребуется, чтобы покрасить стены дома
в 2 слоя, если на покраску 1 м3в один слой уходит 250 г краски;
в) какое оптимальное число пластиковых ведер краски необходимо ку-
пить, если в строительном магазине имеется нужная краска для фасадов по
5 л и 11 л.
§ 16. Теорема Пифагора
Теорема Пифагора говорит о связи длин ка-
тетов с длиной гипотенузы прямоугольного тре-
угольника. Тате, если А АВС прямоугольный и
АС = 90° (рис. 183), то АС2 + ВС2 = АВ2. Она
позволяет, зная катеты, найти гипотенузу или,
зная один из катетов и гипотенузу, найти другой
катет. Например, если АС = 3 см, ВС = 4 см, то
АВ2 - 3“ + 42 = 25 (см2), откуда ЛВ = 5 см.
Катеты, лежащие против углов А и В, будем
соответственно обозначать а и Ъ, гипотенузу — с.
Рис. 183
Теорема Пифаг >ра. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов
катетов равна квадрату гипотенузы, т. е. а2 -г Ь = с~.
Доказательство. Достроим прямо-
угольный треугольник с катетами а и Ь
и гипотенузой с до квадрата со стороной
а з Ь (рис. 184). Разобьем этот квадрат,
как показано на рисунке, на четыре пря-
моугольных треугольника и четырех-
угольник. Прямоугольные треугольники
равны по двум катетам, 'Гак как сумма
острых углов прямоугольного треуголь-
ника равна 90°, то а + Р = 90°. Тогда у
внутреннего четырехугольника все стороны равны с и все углы прямые.
Поэтому это квадрат, и его площадь равна с2.
Площадь большого квадрата, с одной стороны, равна квадрату его
стороны, т. е. 8 = (а + Ь)2. С другой стороны, она равна сумме площадей
четырех равных прямоугольных треугольников и площади внутреннего
квадрата: 5 = 4 • + с?. Тогда (а + Ь)2 = 2аЪ + с2, а2 + 2аЬ + Ь2 = 2аЪ + с2,
а2 + Ь2 = с2. Теорема доказана.
Следствие.
Из равенства а2 + Ъ2 = с2 следует а2 = с2 - Ъ2. С учетом а > 0 полу-
чаем а = 4с2 - I2 Аналогично, Ь = х)с2 - а2 . Говорят, что катет равен
квадратному корню из разности квадрата гипотенузы и квадрата дру-
гого катета.
Пример. Если а и Ь — катеты, с — гипотенуза и а = 8 см, с = 10 см,
то Ъ = 4с2 - а2 = л/102 - 82 = л/36 = 6 (см).
Если дан равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом а
и гипотенузой с, то по теореме Пифагора с2 = а2 + а2, с2 = 2а2, откуда
с = а42 или а =
ч/2
Полезно запомнить!
Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника с кате-
том а равна а\'2. Катет равнобедренного прямоугольного треугольника
с гипотенузой с равен с (рис. 185). Диагональ д квадрата со стороной
х/2 а
а равна ау2, сторона квадрата с диагональю д равна — (рис. 186).
ц/2
а е а д
Рис. 185 рис. 186 >/г
Задача. Найти высоту и площадь равносторон-
него треугольника АВС со стороной а (рис. 187).
Решение. Пусть ВН = к — высота треугольника.
Так как в равнобедренном треугольнике высота,
проведенная к основанию, является и медианой, то
АН - —. Из прямоугольного треугольника АВН по
теореме Пифагора находим:
В Рис 187
2
к - ВН = \АВг - АН2 = ^а2 -(-^2 = ^а2 - = —. Тогда пло-
щадь равностороннего треугольника 8 = —п • к = = а .
Таким образом, для равностороннего треугольника со стороной а и вы-
сотой к справедливы следующие формулы:
— высота равностороннего треугольника;
— площадь равностороннего треугольника.
Для теоремы Пифагора существует и обратная теорема, которая по-
зволяет по трем данным сторонам треугольника определить, является ли
он прямоугольным.
Теорема Пифагора обратная.
Если в треугольнике сумма квадратов двух сторон равна квадрату тре-
тьей стороны, то это треугольник прямоугольный, т. е. если для сторон
треугольника А ВС справедливо равенство а2 + Ь2 = с2, то АС = 90°.
Рис. 188
Доказательство. Пусть дан тре-
угольник АВС (рис. 188, а) со сто-
ронами ВС = а, АС = Ь, АВ = с и
а2 + Ъ2 = с2. Нужно доказать, что
АС = 90°. Рассмотрим заведомо пря-
моугольный треугольник А1В1С1
с катетами В1С1 = а и АТСг = Ь
(рис. 188, б). По теореме Пифагора А11‘; = а2 + Ь2. Но по условию
а + Ь2 = с‘ Откуда АД?! = с. Тогда ААВС = АА1В<С1 по трем сторонам и,
следовательно, АС = АСХ - 90°. Теорема доказана.
Пифагор Самосский (IV—V в. цо н. э.) — известный древ
негреческий философ и математик. Он создал пифагорей-
скую научную школу, куда входили многие математики того
времени.
Задания к § 16
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
ключевые задачи
Задача 1. В прямоугольном треугольнике катеты, относятся как 3 : 4,
гипотенуза равна 30 см. Найти площадь треугольника.
Решение. Пусть в треугольнике АВС (рис. 189)
гипотенуза АВ - 30 см, ВС ' АС = 3:4.
Обозначим ВС = Зх см, АС = 4х см. По теореме Пи-
фагора АС2 + ВС2 = АВ2, откуда (4х)2 + (Зх)2 = 302,
16х2 + 9х2 = 900, 25х2 = 900, х2 = 36, х = 6.
Тогда ВС = 3 • 6 = 18 (см), АС = 4 • 6 = 24 (см),
„ АС-ВС 18-24 в1Я . 2.
8АВС = =216 (см2).
Ответ: 216 см“.
Задача 2. Стороны треугольника равны 7 см, 24 см и 25 см. Найти:
а) медиану треугольника, проведенную к большей стороне; б) высо
ту треугольника, проведенную из вершины большего угла треуголь-
ника.
Решение. Так как 72 + 242 = 252 (49 + 5 76 = 62 5),
то по теореме, обратной теореме Пифагора, данный
треугольник прямоугольный с катетами а = 7 см,
Ь = 24 см и гипотенузой с = 25 см (рис. 190).
а) Гипотенуза — большая сторона треугольника.
А медиана прямоугольного треугольника, прове-
денная к гипотенузе, равна половине гипотенузы,
т. е. тс = | = 12,5 (см).
б) Высоту прямоугольного треугольника, проведенную из вершины
, 7 • 24
прямого угла, найдем по известной формуле: /г = — = ---- =6,72 (см),
с 25
Ответ: а) 12,5 см; б) 6,72 см.
Замечание. Прямоугольный треугольник со сторонами, равными
3, 4 и 5 единиц, был известен еще древним египтянам. Он называет-
ся египетским треугольником. Сделанный из веревки треугольник со
сторонами, равными 3, 4 и 5, натягивали закрепленными в вершинах
колышками. Так египтяне строили на местности прямой угол.
Тройки целых чисел, которые являются сторонами прямоугольного
треугольника, называются Пифагоровыми тройками. Полезно запом-
нить следующие тройки: а) 3, 4, 5; б) 5, 12, 13: в) 7, 24, 25; г) 8, 15,
17; д) 20, 21, 29.
Умножая каждую их этих троек на натуральное число, можно по-
лучить бесконечно много Пифагоровых троек. Например, для первой
тройки можно получить следующие: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20)
и т. д.
Задача 3. Найти площадь равнобедренного треугольника со сторонами
10 см, 10 см, 12 см.
Рис. 191
Решение. Пусть в ААВС АВ = ВС =
- 10 см, АС = 12 см (рис. 191). Проведем
высоту ВН. Так как высота равнобедренно-
го треугольника, проведенная к основанию,
является медианой, то АН = НС = 6 см.
По теореме Пифагора для ААВН-
АН2 н ВН2 = АВ2, 62 + ВН2 = 102,
ВН = Тб4 = 8 (см).
Вавс = ±АС -ВН = | • 12 • 8 = 48 (см2).
Ответ: 48 см2.
Задача 4*. Найти высоту треугольника со сторонами, равными 7 см,
15 см, 20 см, которая проведена к большей стороне.
Решение. В ААВС АВ = 7 см, ВС = 15 см,
/г- _ АС = 20 см (рис. 192). Опустим высоту ВН.
уА Обозначим АН = х см, НС = (20 - х) см.
______□___________По теореме Пифагора из прямоуголь-
х н 20-х__________пых треугольников АВН и СВН получим:
Рис. 192 ВН2 -- АВ2 - АН2 = 72 - х2, ВН2 = ВС2 -
-НС2 = 152 - (20 - х)2. Отсюда 72 - х2= 152 -
- (20 - х)2, (20 - х)2 - х2 = 152 - 72. Решив уравнение, найдем х = 5,6.
Итак, АН = 5,6 см, ВН = САВ2 - АН2 = ^72 - 5,62 = 4,2 (см).
Ответ: 4,2 см.
205. Зная катеты
нузу с:
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
а и Ь прямоугольного треугольника, найдите гипоте-
а) а = 9 см, Ь = 12 см;
б) а = 1 см, Ь = 2 см;
в) а = л/12 дм, Ъ = \/13 дм;
г) а = ( 7 - I1 м, Ь = (ч/7 + 1) м,
206. У прямоугольного треугольника катеты а и Ъ, гипотенуза с. Найди-
те катет Ь, если:
а) а = 6 см, с = 10 см; в) а = 3 см, с = 6 см;
б) а = 24 м, с = 25 м; г) а = 3^2 дм, с = 2\7 дм.
207. Сторона прямоугольника равна 12 см, а диаго-
наль 13 см (рис. 193). Найдите площадь прямо-
угольника.
Рис. 193
12
208.
209.
210.
211.
212.
213.
214
215.
7117
Рис 194
Рис 195
Диагональ параллелограмма равна 9 см и перпендикулярна стороне
параллелограмма. Другая сторона параллелограмма равна 7117 см
(рис. 194). Найдите площадь параллелограмма.
Найдите площадь ромба, если:
а) его периметр равен 100 см, а одна из диагоналей — 48 см (рис. 195);
б) его сторона 13 см, а одна из диагоналей — 10 см.
На сторонах прямоугольного треугольника
построены квадраты (рис. 196). Площадь
квадрата, построенного па одном катете,
равна 64 см2, площадь квадрата, построен-
ного на гипотенузе, равна 289 см2. Найдите
площадь квадрата, построенного на другом
катете.
Определите, является ли треугольник
прямоугольным, если его стороны:
а) 20 мм, 21 мм, 29 мм;
б) 5 м, 6 м, 7 м;
в) \ 2 см, 73 см, 75 см.
Найдите площадь треугольника со сторонами:
а) 6 см, 8 см, 10 см;
б) 1,6 дм, 3 дм, 3,4 дм;
в) 72 м, 78 м, 710 м.
Рис. 196
Дан равносторонний треугольник. Найдите:
а) высоту и площадь треугольника, если его сторона равна 4 см;
б) периметр и высоту треугольника, если его площадь 16 \3 см2.
Найдите площадь равнобедренного треугольника, у которого:
а) основание 100 м, боковая сторона 130 м;
б) высота 24 дм, боковая сторона 25 дм;
в) основание а, боковая сторона Ь.
а) Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 21м, гипоте-
нуза — 15 м. Найдите катеты.
б) Один из катетов прямоугольного треугольника на 2 см больше
другого катета и 2 см меньше гипотенузы. Найдите площадь тре-
угольника.
216. АВСВ — трапеция (рис. 197). Найдите:
а) высоту трапеции; б) диагональ АС.
217. АВСВ — параллелограмм (рис. 198), КВ = 12, Найдите:
а) площадь параллелограмма;
б) высоту, проведенную к стороне СВ).
218. При помощи теоремы Пифагора, используя рисунок 199, дока-
жите, что если из одной точки к прямой проведены две наклон-
ные СА и СВ, то равным наклонным соответствуют разные про-
екции АН и НВ, большей наклонной соответствует большая
проекция.
219. а) Найдите площадь квадрата с диагональю, равной 4 см.
б) Найдите диагональ квадрата, площадь которого равна 50 см2.
22С Дан треугольник со сторонами 13 см, 14 см, 15 см. Найдите мень-
шую высоту этого треугольника.
221. Медианы треугольника АВС, проведенные к сторонам АВ и ВС, вза-
имно перпендикулярны и равны 9 см и 12 см. Найдите длину тре-
тьей медианы.
222. Дан отрезок а. Используя циркуль и линейку, постройте отрезок х,
равный о.л/2.
223*. Найдите площадь треугольника АВС, у которого АВ - 6 см, ВС =
= 8 см, медиана ВМ = 5 см.
224*. Найдите площадь треугольника, медианы которого равны 3 см, 4 см
и 5 см
225*. По гипотенузе прямоугольного треугольника со сторонами 12 см,
16 см, 20 см перемещается точка. Найдите, при каком положении
точки сумма квадратов расстояний от этой точки до катетов будет
наименьшей. Определите расстояние от этого положения точки до
вершины прямого угла.
226*. Найдите длину отрезка АВ, изображенного на
координатной плоскости (рис. 200), где А(2; 4),
В(6; 7).
227* Даны отрезки т и п, где т > п. При помощи
циркуля и линейки постройте отрезок х, если:
Рис 200
а) х = \]т2 + пг ;
б) х = \1пг2 -п2 .
Геометрия 30
На рисунке 201 изображена прямая треугольная призма, основанием кото-
рой является равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами, равными
по 4 см, и развертка этой призмы. Большая по площади боковая грань призмы
является квадратом.
Изготовьте из плотной бумаги указанную развертку и сложите из нее данную
призму. Скрепите соединяемые края полосками бумаги.
Найдите площадь боковой поверхности призмы (она равна сумме площадей
боковых граней). Найдите площадь основания призмы. Чему равна площадь всей
поверхности призмы (полная поверхность призмы)?
Реальная геометрия
Определите примерную длину лестницы, которая
идет к окну второго этажа дома, изображенного на рисун-
ке, если расстояние от этого окна до земли 6 м, а расстоя-
ние от фундамента дома до основания лестницы равно 3 м.
Подсчитайте, сколько примерно погонных метров
бруска пойдет на изготовление такой лестницы, если у
нее 18 ступенек и ширина лестницы равна 50 см.
Моделирование
Большой теннис является в Беларуси популярным видом спорта. Наши спорт-
смены Виктория Азаренко и Максим Мирный являются теннисистами мирового
уровня, олимпийскими чемпионами.
Задача. Во время подачи теннисный мяч
может достигать скорости 180 км/ч. По разме-
рам, указанным на рисунке 202, определите в
секундах время, за которое мяч из точки А по-
падет в точку Б, двигаясь по прямой с указанной
скоростью. При расчетах используйте кальку-
лятор.
При помощи Интернета выясните: 1) на каком острове жил Пи-
фагор; 2) какое отношение Пифагор имел к музыке; 3) сколь
ко доказательств теоремы Пифагора известно на сегодняшний
день.
Приведем еще одно доказательство
теоремы Пифагора.
На рисунке 203, а) незанятая закра-
шенными прямоугольными треугольни-
ками часть большого квадрата по пло
щади равна с2. Совместив треугольники
3 и 1, 4 и 2 гипотенузами (рис. 203, б),
получим, что теперь незанятая ими пло-
щадь равна а2 + Ь2. Отсюда следует, что
с2 = а2 + Ь2.
§17. Площадь трапеции
Теорема Площадь трапеции равна произведению полусуммы основа-
„ а + Ь ,
нии на высоту, т. е. 8тр - —— к.
Рис. 204
Доказательство. Диагональ ВВ разби-
вает трапецию АВСВ на два треугольника:
А. АВ В и АВСВ (рис. 204). Высоты ВН и ВК
этих треугольников равны высоте /г трапеции.
Тогда 8тр = «авл + 8ВСО = ^ак + • к.
Теорема доказана.
Следствие. а + ь
Так как средняя линия трапеции т = ——, то площадь трапеции
может быть найдена по формуле 8тр = тк.
Задача Доказать, что площади треугольников, ограниченных двумя диа-
гоналями и боковой стороной трапеции, равны.
Доказательство. Нужно доказать, что ААОВ
и АСОВ равновелики (рис, 205). Заметим, что
ААВВ и ААСВ равновелики, так как у них осно-
вание АВ — общее, а высоты ВН и СК равны кате
расстояния между параллельными прямыми АВ и
ВС. Отняв от площади каждого из этих треуголь-
ников площадь ААОВ, получим, что 8ЛОВ = 8СОГ1.
Что и требовалось доказать.
Л теперь выполните Тест 1 и Тест 2.
Тест 1
Найдите площадь трапеции,
изображенной на рисунке
Тест 2
Найдите площадь трапеции,
изображенной на рисунке.
Задания к § 17
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
ключевые задачи
Задача 1. Дана равнобедренная трапеция АВСВ (рис. 206), ВН = 7 см —
высота трапеции, НВ = 10 см. Найти площадь трапеции.
Решение. Способ 1. Перенесем прямоугольный
треугольник АВН на место треугольника СКВ
(см. рис. 206). У четырехугольника НВКВ все
углы прямые, поэтому это прямоугольник. Пло-
щадь прямоугольника НВКВ равна площади
трапеции АВСВ, так как прямоугольник и тра-
пеция состоят из равных фигур. Тогда 5^^ =
= $нвко = НВ • ВН = 10 • 7 = 70 (см2).
Замечание. Подумайте, откуда следует, что АКСЛ + ЛЛСВ = 180°.
Способ 2. Согласно ключевой задаче 2 § 10 для равнобедренной трапе-
ции НВ = а То есть отрезок НВ равен средней линии трапеции. Тогда
^авсп = НЛ • ВН = 10 • 7 = 70 (см2).
Ответ: 70 см2.
Задача 2. В равнобедренной трапеции АВСВ с основаниями АЛ и ВС
АЛ = 18
см, ВС - 8 см, АВ = 13 см. Найти площадь трапеции.
Решение. Способ 1. Проведем высоты ВН и СК
(рис. 207). Треугольники АВН и ЛСК равны по
катету (ВН - СК) и гипотенузе (АВ = СЛ). От-
куда АН - КЛ. У четырехугольника НВСК все
углы прямые, поэтому это — прямоугольник.
Тогда НК = ВС = 8 см, АН = 1 (АЛ НК) =
= — (18 - 8) = 5 (см). Из треугольника АВН
по теореме Пифагора ВН = . АВ2 - АН2 =
= \132 - 52 = л/144 = 12 (см). Площадь трапе-
о АВ + ВС ШТ 18 + 8 1 , 2\
ции 3ЛВСЙ =--------• ВН = —— • 12 = 156 (см2).
Способ 2. Проведем СМ || АВ (рис. 208). Так
как ВС || АМ, тъАВСМ — параллелограмм. У па-
раллелограмма противоположные стороны рав-
ны, откуда АМ - ВС = 8 см, СМ = АВ = 13 см.
Тогда МЛ = АЛ - АМ = 10 см. Треуголь-
ник МСЛ — равнобедренный. Его высота СК
будет и высотой трапеции. Так как высота
равнобедренного треугольника, проведенная к
основанию, является и медианой, то КЛ = МК =
= 5 см. Из прямоугольного треугольника СКВ по теореме Пифагора
СК = 4СВ2 - КВ2 = ^132 - 52 = 12 (см). Получаем 8^ = АГ,^ВС - СК =
= 18±8-12 = 156 (см2).
Ответ: 156 см2.
Задача 3. Диагонали ВЛ и АС трапеции АВСВ (рис. 209, а) перпендику-
лярны и равны 8 см и 10 см. Найти площадь трапеции.
Решение. Способ 1. Проведем СК || ВВ (рис. 209, б). Так как ВС || ВК,
то ВВСК — параллелограмм. Поэтому ВК - ВС, СК - ВВ = 8 см. Кроме
того, ЛАСК = ЛАОВ = 90е как соответственные углы при параллельных
прямых и секущей. Заметим, что площадь трапеции АВСВ равна площади
Рис. 209 А
треугольника АСК Действительно, треугольник АСВ для этих фигур
является общим, а треугольники АВС и СВК равновелики, так как у них
равны основания ВС и ВК и высоты, проведенные к ним.
_ _ АС-СК 8-10
&АВСВ — &АСК — -2-- “ --2- — 4^ (СМ
СпОСОб 2. &АВСВ — ^АВС + &АВС
• ВО + }-АС • ОВ = ±АС(ВО + ОВ) =
= — АСВВ = • 8 • 10 =40 (см2). То есть площадь
выпуклого четырех-
угольника, у которого диагонали перпендикулярны, равна половине про-
изведения диагоналей. Ответ: 40 см-
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
228.
а) Найдите площадь трапеции с основаниями 14 см и 9 см и высо-
той 6 см.
б) Найдите высоту трапеции с площадью 96 см2 и основаниями, рав-
ными 5 см и 11 см.
в) Меньшее основание трапеции равно 6 см, высота 8 см, площадь
80 см2 Найдите большее основание трапеции.
229. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой;
а) основания 32 см и 18 см, меньшая боковая сторона равна 14 см;
б) основания 2 см и 6 см, болвшая боковая сторона 5 см.
230 Найдите площадв равнобедренной трапеции АВСВ с боковой сторо-
ной, равной 17 см, и основаниями 10 см и 26 см.
231. Высота трапеции к, средняя линия т, пло-
щадь 8.
а) к = 12 см, 5 = 72 см2. Найдите т.
б) т = 9 см, 5 = 36 см‘ Найдите к.
232. У трапеции АВСВ (рис. 210) ЛА = 90°,
АВ = 14,5 см, ВС = 7,5 см и ЛС = 135°.
Найдите площадь трапеции.
А О
Рис. 212
233. Боковая сторона равнобедренной трапеции АВСВ равна 5 см
(рис. 211), ее высота ВН делит основание АР на отрезки АН - 3 см,
НВ = 7 см. Найдите площадв трапеции.
234. Дана трапеция АВСВ, МН — ее средняя линия (рис. 212). Сумма
площадей треуголвников АМК и СКН равна 32 см2. Найдите пло-
щади трапеции АВСВ.
235. Найдите площадв прямоугольной трапеции с углом 60°, если:
а) основания трапеции равны 4 см и 10 см;
б) болвшее основание равно 8 см, высота трапеции равна 4\/3 см.
236. Основания трапеции а и Ъ, боковые сторонв! сид. Найдите пло-
щадь трапеции, если:
а) а = 6 см, Ъ = 3 см, с = 4 см, д = 5 см;
б) а = 8 см, Ь = 3 см, с = 3 см, д - 4 см.
237. Найдите площадь трапеции с основаниями а и & и диагоналями дг
и д2, если:
а) дг = д2 = 15 см, а - 8 см, 5 = 12 см;
б) д1 - 12 см, д2 = 5 см, а = 9 см, 6 = 4 см.
238. Вершины равнобедренной трапеции АВСВ с основаниями ВС и АВ
лежат на окружности, АВ — диаметр (рис. 213) Найдите высоту и
площадь трапеции, если ВС = 12 см и АВ = 20 см.
239. Найдите площадь трапеции, изображенной на координатной плос-
кости (рис. 214).
Рис 213
240*. Диагонали АС и ВВ трапеции АВСВ пересекаются в точке О,
8ВОС = 4 см2, 8аов - 8 см2 (рис. 215). Найдите площадь трапеции.
241*. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 4 см, угол при
основании равен 60э, диагональ трапеции перпендикулярна боковой
стороне. Найдите отношение площадей треугольников, на которые
диагональ делит трапецию (в ответе укажите отношение меньшей
площади к большей).
242* В трапеции АВСВ боковая сторона АВ - 8 см, расстояние от середи-
ны боковой стороны СВ до прямой АВ равно 10 см. Найдите пло-
щади трапеции.
243*. В четырехугольнике АВСВ АВ = ВС, углы В и Л — прямые
(рис. 216). Перпендикуляр ВК к прямой равен 4 см, Найдите
площадь четырехугольника АВСВ.
ПОДВОДИМ
итоги
Знаем
1. Теорему Пифагора.
2. Теорему, обратную теореме Пифагора.
3. Как найти диагональ квадрата по его стороне. Как найти сторону квадрата
по его диагонали.
4. Формулу площади трапеции.
Умеем
1 . Доказывать теорему Пифагора.
2 Выводить формулу площади трапеции.
§ 18*. Решения задач по теме
«Площади многоугольников»
Задача 1. Найти площадь параллелограмма АВСВ, если площадь тре-
угольника АМВ, где М е ВС, равна 16 см2.
Рис 217
Рис. 218
Решение. Рассмотрим три принципиально раз-
личных способа решения этой задачи.
Способ 1. (Алгебраический — работа с формулами
и уравнениями.)
В А АМ В из вершины М к основанию АВ = а про-
ведем высоту й, которая будет и высотой паралле-
лограмма АВСВ (рис. 217). Тогда
8аМВ = ^АВСВ = = ’^^АМВ = 2 • 16 = 32 (см2).
Способ 2. (Геометрический — разбиение фи-
гуры.)
Проведем МК || АВ (рис. 218). Получим два па-
раллелограмма: АВМК и КМСВ. Диагонали АМ
и МВ делят эти параллелограммы на два соот-
ветственно равных треугольника: желтые тре-
угольники равны и красные треугольники равны.
Параллелограмм состоит из двух желтых и двух красных треугольников,
а треугольник АМВ — из одного желтого и одного красного треугольни-
ков. Следовательно, площадь треугольника АМВ равна половине площади
параллелограмма. Отсюда Вавсл - ^^амв = 32 (см2).
Способ 3. (Геометрический — движение точки.)
При движении точки М по прямой ВС (рис. 219)
будем получать равновеликие треугольники:
8амв = Яамщ = = - = 8асв- У всех этих тре-
угольников будет общее основание а и высоты,
равные й (как расстояния между параллельными
прямыми АВ и ВС). Тогда 8АС1) = ВАМП = 16 (см2).
Рис 219 Так как диагональ АС делит параллелограмм на
два равных треугольника, то 8АСВ = ^8АВСВ, поэ-
тому Завсд = 28ЛСВ = 32 (см2).
Ответ: 32 см2.
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
244. Найдите площадь параллелограмма АВСВ
(рис. 220), если сумма площадей треугольни-
ков АОВ и СОВ равна 24 см2.
Рис. 220
245. Дан квадрат АВСВ. Точки М и К — середины сторон АО и СВ со-
ответственно. Диагональ АС пересекает отрезки ВМ и ВК в точках
С и Г соответственно. Найдите, какую часть площади квадрата со-
ставляет площадь /\СВР.
246. На рисунке 221 точки М, К, К и Р — середины сторон прямоуголь-
ника. Найдите, сколько процентов составляет площадь треуголь-
ника РЕК от площади 5 прямоугольника АВСВ.
247*. У шестиугольника АВСВЕЕ противоположные стороны равны и
параллельны (рис. 222): АВ = ВЕ, АВ || ВЕ, ВС = ЕЕ, ВС || ЕЕ,
ЛЕ = СВ, АЕ || СВ, Площадь шестиугольника равна 60 см2. Найди-
те площадь треугольника ВВЕ.
248* Докажите, что если АВСВ параллелограмм (рис. 223), то сумма
площадей красных частей равна сумме площадей синих частей.
249* Докажите, что площадь четырехугольника, вершины которого яв-
ляются серединами сторон данного выпуклого четырехугольника,
равна половине площади данного.
Задача 2. Выпуклый четырехугольник АВСВ
разделен диагоналями на четыре треугольника
(рис. 224). Доказать, что произведения площа-
дей противоположных треугольников равны, т. е.
В. 53 = В2 84.
Доказательство. Треугольники АВО и С ВО име-
ют общую высоту, проведенную из вершины В.
Поэтому их площади относятся как основания,
т. е. 8аво = — = . Аналогично ?АРО = — =
&СВО СС &СОО $3
= Отсюда у- = у-, <81 ' $з = $2'84. Что и тре-
бовалось доказать.
Пример. Если 8. = 15 см2, В2 = 12 см2, 83 = 8 см2
(рис. 225), то, используя формулу 5, • 83 = 82 • $4,
получим 54 • 12 = 15 • 8, откуда 84 = 15 8 = 10 (см2).
Задача 3. Выпуклый четырехугольник разделен средними линиями (от-
резками, соединяющими середины его противоположных сторон) на че-
тыре четырехугольника (рис. 226, а). Доказать, что суммы площадей
противоположных четырехугольников равны, т е 81 + 83 = 82 + 54.
Доказательство. Соединим точку О пересечения средних линий МИ
и РК с вершинами А, В, С, В (рис. 226, б). В треугольнике АОВ отрезок
ОМ — медиана. Медиана делит треугольник на два равновеликих треуголь-
ника. Поэтому 3АОМ = 8ВОМ = х. Аналогично, 8ВОК = 8СОК = у, 8СОЫ = 8ОШ = г.
8РОа = 8роп= С Так как 8, + 83 = х + I -I- у + г, 82 + 84 = х + у + г + I, то
8Х + 83 - 82 + 84. Что и требовалось доказать.
Пример. Если 8Х = 11 см2, 82 = 16 см2, 83 = 19 см2
(рис. 227), то, используя формулу 5Х + 53 = 82 + 54,
получим 11 + 19 = 16 + 54, откуда = 11 + 19 - 16 =
= 14 (см2).
Рис. 227
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
250. Дана трапеция АВСВ. у которой ВС || АВ, О —
точка пересечения диагоналей, 8АОО = 27 см2,
Я вое = 3 см2. Найдите
251. Дана трапеция АВСВ с основаниями АВ и ВС.
Диагонали трапеции пересекаются в точке О.
Известно, что 8ВОС - 8Х, 8АО1) = 82. Выразите
площадь трапеции через 8Х и 82.
252. Дан параллелограмм АВСВ (рис. 228), 8КМС =
- 9 см7 8КС1) = 15 см2. Найдите площадь па-
раллелограмма.
253*. В выпуклом четырехугольнике АВСВ про-
ведены средние линии МИ и РК (рис. 229).
Докажите, что сумма площадей красных тре-
угольников равна сумме площадей желтых
треугольников.
Рис. 229
Задача 4. В трапеции АВСВ точка М — середина боковой стороны СВ
Доказать, что площадь треугольника АВМ равна половине площади
трапеции АВСБ
Рис. 230
Рис. 231
Доказательство. Способ 1. Проведем в трапе-
ции среднюю линию КМ и высоту ВН (рис. 230).
Средняя линия трапеции параллельна основани-
ям, значит, КМ |1 АВ. По свойству параллельных
прямых ВЕ 1 КМ, откуда ВЕ — высота /\КВМ.
По теореме Фалеса ВЕ = ЕН = -ВН. Отсюда
8КВМ = ту ' ВЕ. Но КМ — медиана треугольни-
ка АВМ. А медиана делит треугольник на два рав-
новеликих треугольника. Поэтому Вавм = 28квм =
= 2 • -КМ • ВЕ = КМ • ±ВН = -8ДВГ})
2 2 2 А80с
Способ 2. Проведем через точку М прямую
РИ, параллельную АВ (рис. 231). В силу равен-
ства треугольников СМИ и ЛМР (по 2-му призна-
ку равенства треугольников). Площадь трапеции
АВС Л равна площади параллелограмма АВКР, а
площадь треугольника АВМ равна половине пло-
щади параллелограмма АВАР (см. задачу 1 данно-
го параграфа).
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
254. АВСВ — трапеция (АЛ || ВС), М — середина стороны АВ, И — се-
редина стороны СВ, 8МВС = 8г, 8~ув = 82, 8^^ = 83. Докажите, что
53 = «1 + 52.
255. В трапеции АВСЛ точка К принадлежит основанию АВ, точ-
ка М — основанию ВС, 8АМВ + 8ВКС = 36 см2. Найдите площадь тра-
пеции.
256. Основания ВС и АВ трапеции АВСВ от-
носятся как 2 : 5, 8ЛВС = 18 см2. Найдите
площадь трапепии.
257*. В трапеции АВСВ точки К и М — середи-
ны боковых сторон АВ и СВ соответствен-
но (рис. 232). Докажите, что площадь си-
него четв:рехуголвника равна сумме пло-
щадей краснв!х треуголвников.
Метод площадей
При решении некоторых геометрических задач, условие которых не
связано с площадью непосредственно, используют свойства площадей.
Такой метод решения называется методом площадей.
Задача 5. Доказать, что сумма расстояний от любой точки, взятой вну-
три равностороннего треугольника, до его сторон есть величина посто-
янная, т. е. х + у + 2 = сопзТ,* *.
в Доказательство. Пусть АВ = ВС = АС = а;
х, у, г — перпендикуляры, опущенные из точки М
I на стороны треугольника (рис. 233). Соединим точ-
! ку М с вершинами треугольника отрезками. Тре-
« у 1м г а угольник разобьется на три треугольника: ААМС,
л ‘ ДАМБ, АВМС, сумма площадей которых равна
х ^->2? площади ААВС. Площадь ААВС, с одной стороны,
а С равна — аН (где Ь. — высота), а с другой стороны,
Рис. 233 она равна ^ах + ^ау + ^аг. Тогда ^ах + —ау +
+ -!_а2 = —аЪ. Разделив обе части уравнения на ^а, получим х + у + г = К.
То есть сумма указанных расстояний равна длине высоты равностороннего
треугольника, которая для данного треугольника есть величина постоян-
ная. Что и требовалось доказать.
* Постоянная величина (константа) в общем виде обозначается бук-
вой «с» или латинским словом «соп81». В частности, имя Константин
с древнегреческого означает «постоянный»
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
258. Дан равнобедренный треугольник АВС. На его основании АС взята
точка М. Докажите, что сумма длин перпендикуляров, опущенных
из точки М на боковые стороны треугольника, есть величина по-
стоянная для данного треугольника.
259. Докажите методом площадей свойство биссек-
трисы треугольника: «Биссектриса треуголь-
ника делит противолежащую сторону на части,
пропорциональные прилежащим сторонам».
26С.' Треугольник АВС — равносторонний (рис. 234).
Из точки В, взятой внутри треугольника АВС,
на его стороны опущены перпендикуляры ВМ,
ВК, ВК. Докажите, что сумма площадей крас-
ных треугольников равна сумме площадей
желтых треугольников.
В
Рис. 234
Гимнастика ума
Существует ли треугольник, все три высоты которого меньше 1 см, а площадь
больше площади Беларуси, которая составляет 207 595 км2?
Моделирование
Супермаркет имеет вращающуюся стеклянную дверь, в основании которой
находится круг. В центре этого круга расположен равносторонний треугольник
со стороной 1,2 м. Из вершин треугольника выходят перемычки длиной 1,5 м
вдоль радиусов, как показано па рисунке 235
Задача. Найдите примерный диаметр основания этой двери с точностью до
0,01 м.
Реальная геометрия
Трактору «Беларус» необходимо вспахать поле
в форме четырехугольника с размерами, указан-
ными на рисунке 236. Две стороны поля парал-
лельны между собой и перпендикулярны третьей
стороне.
Известно, что за 1 ч трактор может вспахать
1,2 гектара (га). При этом ему понадобится около
18 л дизельного топлива.
600 м
400 м
Рис. 236
Задача. Определите:
1) площадь данного поля в гектарах;
2) сколько времени потратит трактор на вспашку поля;
3) сколько топлива потребуется на это.
Интересно знать. Минский тракторный завод (МТЗ)
был основан 29 мая 1946 г. Сегодня это один из крупней-
ших производителей сельскохозяйственной техники в
мире. На протяжении многих лет завод сохраняет за собой
долю в 10 % мирового рынка колесных тракторов и постав-
ляет тракторы с маркой «Беларус» более чем в 60 стран.
На заводе работает 17 000 человек. Каждую минуту в мире
становится на 4 трактора «Беларус» больше.
Геометрия 30
Площадь поверхности любого многогранника (иногда
говорят площадь полной поверхности) равна сумме площа-
дей всех его граней.
Задача. На рисунке 237 изображена прямая четырех-
угольная призма, в основании которой лежит равнобе-
дренная трапеция с основаниями, равными 12 см и 6 см, и
острым углом при основании,равным 60°. Большая по пло-
щади боковая грань призмы является квадратом. Найди-
те площадь поверхности этой призмы.
1.
2
3,
4.
5.
6.
7.
ЗАПОМИНАЕМ
Площадь квадрата: 8 = а2, прямоугольника: 8 = аЬ,
о , с- 1 , с< а +0 ,
8 = ап, треугольника: 8 - —ак, трапеции- 8 =--- к.
Площадь прямоугольного треугольника: 8 = ромба:
параллелограмма:
й
2
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе: к =
Теорема Пифагора: а2 + Ь2 = с2.
Площадь равностороннего треугольника: 8 = —8-—, высота: к = .
Медиана делит треугольник па два равновеликих треугольника.
Площади треугольников с общей высотой относятся как соответствующие
этой высоте основания.
ПРОВЕРЯЕМ СЕБЯ
Тест 1
По данным на рисунке найдите
площадь треугольника АВС.
Тест 2
Площадь ромба АВСВ равна 120 см2,
диагональ ВВ = 10 см. Найдите пе-
риметр ромба.
Тест 3
Диагонали трапеции равны 6 см и
8 см, основания 3 см и 7 см. Най-
дите 8Л11(:,,
ПОДГОТОВКА К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 2
1. Найдите площадь прямоугольника АВСВ.
4. Найдите периметр параллелограмма АЕСЛ.
Повторение главы [ и главы II
1. Назовите два различных типа многоугольников. В чем их различие?
2. Перечислите три вида (частных случая) параллелограмма:
1) ...
2) ...
3) ...
Дайте определение каждому виду параллелограмма.
3. Назовите пять свойств параллелограмма, свойства прямоугольника,
ромба и квадрата.
4. Как звучит теорема Фалеса и каким свойством обладает средняя линия
треугольника?
5. Сколько видов трапеций вы знаете? Дайте определение каждому виду
трапеции. Укажите свойство средней линии трапеции.
6. Запишите 8 формул площадей плоских фигур и теорему Пифагора.
Задание
На рисунке квадрат со стороной 12 разбит на отдельные фигуры от-
резками, составляющими со сторонами квадрата 90° или 45*.
6
Найдите площадь каждой фигуры, используя размеры на рисунке.
Проверьте, будет ли сумма найденных вами площадей равна площади все-
го квадрата.
Дополнительные материалы к учебному пособию «Геометрия. 8 кл.»
можно найти на сайте: М1р://е-уес1у.ас1и.Ъу, раздел «Математика», курс
«Математика. 8 кл.».
Глава III
Подобие
треугольников
В этой главе вы узнаете:
Какие треугольники называются подобными
Признаки подобия треугольнике^
Свойство биссектрисы треугольника
Право!
Подобие
к- 2
9
/\АВС ~ АА2В2С2, к = —
О
§ 19. Обобщенная теорема Фалеса
Под отношением отрезков а и Ь понимают отношение их длин, то есть
число Пусть имеются две пары отрезков: а и Ь, с и с1. Говорят, что от-
резки а та Ь пропорциональны отрезкам с и <1, если их отношения равны,
то есть — = —.
Ь Л
Например,
отрезки АВ = 5 см и СВ = 10 см пропорциональны от-
резкам А1В1 = 4 см и С-О, = 8 см, так как
АВ _ А -61
СП сго- '
АВ
СО
А = 1 АА = 1 = 1
10 2 ’ С1О1 Ь 2
Если для отрезков а, Ъ, с и с1 справедливо ра-
венство — = —, то по свойству пропорции: — = —;
Ь <1 с с!
± = - (рис. 238).
а с
Прибавив единицу к обеим частям последней
Ъ ч (1 ч а Ъ с + (1
пропорции, получим: — + 1 = — + 1, -=----
ас ас
Понятие пропорпиональности рассматривается и для большего числа
отрезков. Так, отрезки а, Ъ и с пропорциональны отрезкам т, п и 1г, если
— = — = или по-другому — а Ъ ' с = т п к.
т п /г
А теперь выполните Тест 1 и Тест 2.
Тест 2
Т-, АВ МК
г^сли — = то чему равна дли-
на отрезка РЕ2
В
В Главе I нами доказана теорема Фалеса «Если на одной стороне угла
отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные пря-
мые, пересекающие другую сторону угла, то на другой стороне угла от-
ложатся равные между собой отрезки». Эту теорему можно обобщить на
случай произвольных отрезков.
Теорема Фалеса обобщенная (теорема о пропорциональ-
ных отрезках).
Если на одной стороне угла отложить несколько отрезков и через их
концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону
угла, го на другой стороне угла отложатся отрезки, пропорциональные
данным.
Можно использовать сокращенную формулировку теоремы: «Пирал-
лелъные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки».
Дано: ААг || ВВг || ССг (рис. 239).
АВ ЛВ1
Доказать: —= .
вс в1с1
Доказательство. Проведем отрезки АВг,
СВ±, А,В и СХВ. Так как ААВ^В и ДСВХВ име-
ют общую высоту, проведенную из вершины
Вг, то их площади относятся как основания:
а
А^В
с
СВ. В
---. Так как ДА.ВВ, и ДСХВВХ имеют
ВС-1111
общую высоту, проведенную из вершины В, то
8а1ВВ1 = А]В' . Но ДАВХВ
8С1ВВ1
и ЛА1БВ1 равновелики: у них общее основание ВВ. и равные высоты, про-
веденные из вершин А и Ах (в силу А4Х || ВВХ). Также равновелики /\СВгВ
и ДСХВВХ: у них общее основание ВВХ и равные высоты, проведенные из
вершин С и Сх (в силу ССХ || ВВХ). Поэтому = Л1. Теорема доказана.
ВС
Замечание. Теорема Фалеса обобщенная также справедлива для трех и более от-
ложенных отрезков, и не только для сторон угла, но и для произвольных прямых.
Теорема (обратная обобщенной теореме Фалеса).
Если на сторонах угла от его вершины последовательно отложить
пропорциональные отрезки, то прямые, проходящие через их соответ-
ствующие концы, будут параллельны, т. е. если то ®®1 II СС±
(рис. 240).
Докажите данную теорему самостоятельно,
используя метод от противного и доказанную
выше прямую теорему Фалеса.
Следует иметь в виду, что обратная теорема
Фалеса справедлива только для отрезков, отло-
женных от вершины угла.
Л теперь выполните Тест 3 и Тест 4.
Тест 3
Стороны угла пересечены парал-
лельными прямыми. Найдите дли-
ну отрезка х.
3 х
Тест 4
По размерам, данным на рисунке,
найдите величину угла а.
Задания к § 19
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
ключевые задачи
Задача 1. В трапеции проведены отрезки р и к, параллельные основани-
ям а и Ъ трапеции (рис. 241). Найти х и у по размерам, указанным на
рисунке. В ответе указать значение ху.
Решение По обобщенной теореме Фалеса
х _ 5 У _ 5
-----и------.
6 8 8 6
т б'5 о3 8-5 » 2
Тогда х - —— = 34, у = —— = 04,
ь 4*6 3
6-5 8-5
ху -----•---= 25.
у 8 6
Ответ: 25.
Задача 2. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ = ВС) проведена, вы-
сота ВН. Точка К делит высоту ВН в отношении 1 3, считая от осно-
вания АС. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке М. Найти отно-
шение
вм
мс'
Рис. 242
Решение. В равнобедренном треугольни-
ке АВС высота ВН будет и медианой, поэто-
му АН = НС. Проведем НН || АМ (рис. 242).
По теореме Фалеса (для угла С)
Л'С НС
откуда МН = НС = х. Так как -ТА- = — (по
НК 3
условию) и НН || КМ, то по обобщенной тео-
реме Фалеса (для угла НВС) ТАТ = ТТТ = 1.
И1у1 о
Тогда ВМ = ЗМН = Зх, АТТ = ТА
м МС 2х 2
Ответ: 3 : 2.
в
Задача 3. При помощи циркуля и линейки: а) разделить данный отре-
зок а в отношении т п; б) по данным отрезкам а, Ь и с построить
отрезок х, который является четвертым членом пропорции — = — (по-
Ъ х
строение четвертого пропорционального отрезка).
Решение, а) Пусть дан отрезок АВ = а и отрезки т и п (рис. 243). Из точ-
ки А проведем произвольный луч АК и отложим на нем отрезки АС = т и
СВ = п. Проведем отрезок ВВ. Строим СМ 1 ВВ. По обобщенной теореме
Фалеса АМ ' МВ = АС : СВ - т : п.
Замечание. Если отношение отрезков дано в виде отношения натуральных
чисел т и п, на луче АК откладывают последовательно т произвольных равных
отрезков, а затем п таких же отрезков. Дальнейшее построение совпадает.
б) Строим произвольный угол А (рис. 244). На одной его стороне от-
кладываем отрезки АВ = а, ВС = Ъ. На другой стороне — отрезок АВ = с.
Проводим отрезок ВВ, Строим СК || ВВ. К е АВ. Отрезок ВК = х — ис-
комый, так как из обобщенной теоремы Фалеса следует — =
Рис. 244
Задача 4*. Площадь треугольника АВС равна 36 см2, ВМ-—АВ,
3
МК || АС. Найти площади 8Л, 8г и 83 треугольников МВК, АМК и АКС
(рис. 245).
Решение. Из условия следует ВМ АВ =1-3.
у- Так как ВЛ/ содержит 1 часть, АБ — 3 части,
/в\ то Л/А — 2 части. Отсюда ВМ МА =1:2.
м По теореме о пропорциональных отрезках
/ БК КС = ВМ МА =1:2. Так как ЛАКС
// X. и ЛАБК имеют общую высоту, проведен-
А с ную из вершины А, то их площади относятся
Рис 245 как основания ВК и КС, то есть 1 : 2. Тогда
‘%= 4’36 = 24 (см2), 8^ = = |-Зб =12 (см2). Так как
ГлМВК и ЛАМК имеют общую высоту, опущенную из вершины К, то
их площади относятся как основания ВМ и МА, то есть, 1 : 2. Тогда =
= ^авк = 4 •12 = 4 (см2), 82 = 1-8^ =|-12 = 8 (см2).
Ответ: 4 см2, 8 см2, 24 см2.
Замечание. Решение можно сократить:
1) = “8АВС ’ 8МВК = ^АВК = 4 ’ 4'^АВС = = 4 = 4 (См )’
2) 8ЛШ< = 28мвк = 2-4 = 8 (см2), 5ак? = 36 — 4 — 8 = 24 (см2).
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
261. Даны два отрезка: а = 3 см, Ь = 4 см. Какие из следующих пар от-
резков пропорциональны отрезкам а и Ь:
а) т = 6 мм, п = 8 мм;
б) с = 1^ км, р - 2 км;
в) к = 9 см, р - 16 см;
г) I = 3,6 м, § = 180 см?
262. На рисунках 246, а)—в) т || п || к. Найдите длину отрезка х (все
размеры даны в см).
263. На рисунке 247 отрезки МК и РК параллельны отрезку ВС.
Найдите:
а) отрезки АА и КС;
б) периметр ДАВС (все размеры даны в см).
264.
265.
На рисунке 248 АСРЕ — параллелограмм,
СВ = 4 см, ВЕ = 5 см, ЕС = 10 см. Пери-
метр треугольника АВС равен 45 см. Най-
дите:
а) отрезки АС, АС, АЕ;
б) периметр параллелограмма АСЕЕ.
В ААВС проведена биссектриса АК и от-
резок КМ, параллельный стороне АС, где
точка М принадлежит стороне АВ; МВ =
= 6 см, ВК КС = 2 3. Найдите:
Рас. 248
266.
а) отрезок АМ;
б) отрезок МК.
На рисунке 249 МК || АС. Найдите:
а) МВ, если АВ = 32 см, ВК : КС = 5 : 3;
б) АВ, если АМ = 18 см, ВС : ВК = 3 : 2;
в) ВК, если ВМ = 12 см, АМ КС - 4 5;
г) ВС, если АМ : АВ = 2 : 7, ВК - КС = 6 см.
267. При помощи циркуля и линейки разделите данный отрезок в от-
ношении: а) 2 : 3; б) 3 : 5 (для проведения параллельных прямых
можно использовать чертежный треугольник).
268. В трапеции АВСВ (рис. 250) проведены отрезки ЕР и НТ, парал-
лельные основаниям, МК — средняя линия трапеции, СВ = 60 см.
Если МЕ ' ЕВ = 2'3, МН : НА = 1 2, то чему равна длина отрез-
ка РТ?
269*. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, точка Е — ее середи-
на. Прямая СЕ пересекает сторону АВ в точке К. Площадь четырех-
угольника АКЕМ равна 50 см2. Найдите площадь треугольника АВС.
270*. Точки М, И, К и Р — середины сторон параллелограмма АВСВ
(рис. 251). Площадь параллелограмма АВСВ равна 120 см2. Найди-
те площадь четырехугольника А1В1С1П1.
271*. Даны отрезки а и Ь. Найдите алгоритм построения при помощи
§20. Подобие треугольников
Подобными являются фигуры одинаковой формы, но разнв!х разме-
ров. Например, подобны две окружности (252, а) разного радиуса, два
квадрата с разной длиной стороны (рис. 252, б) и вообще две фигуры
и У2, каждая из которых представляет собой уменвшенную или увеличен-
ную копию другой, например как на рисунке 252, в).
Для указания подобия фигур и В2 исполвзуется знак «со». Пишут
Л ™ е2.
Рис. 252
Определение. Два треугольника называются подобными, если у них
соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорцио-
нальны.
Соответствующими сторонами подоб-
ных треуголвников называются стороны, ле-
жащие против соответственно равных углов
этих треугольников.
Если для ААВС и ДАХВХСХ (рис. 253)
ВВ1ПОЛНЯЮТСЯ два условия:
1) АА = ААХ, АВ = ДВХ, АС = АСр,
2) АВ = —— = АС , то треуголвники по-
’ А1В1 ВСг АС) * 1
добны.
Рис. 253
Для удобства подобные треугольники обычно записывают и называют в
порядке следования соответствующих вершин. Так, если ААВС ~ АМ1ЛК,
то вершинвт АнМ, Вк^, С и К — соответствующие.
Отношение соответствующих сторон подобных треугольников называ-
ется коэффициентом подобия треугольников. Если ААВС ААХВХСХ, то
—— = /г — коэффициент подобия. Для определения коэффициента подо-
АА
бия находят отношение стороны первого из записанных или названных
подобных треугольников к соответствующей стороне второго треуголь-
ника. Например, если ААВС °° ЛА1В1С1 и =2, то к - 2. При этом
А1 А
ДАХВХСХ со А АВС с коэффициентом подобия к = А1В1 = —.
Можно выделить следующие свойства подобных треуголь-
ников:
1. Если Л АВС ~ △А1В1С1, а ДА1В1С1 " АА2В2С2, то ААВС ~ АА2В2С2.
2. Если ААВС ~ АМАК к к = 1, то ААВС = АМА К.
Теорема (о параллельной прямой).
Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него тре-
угольник, подобный данному.
В теореме речь идет о прямой, которая пересе-
кает стороны треугольника.
Дано: ААВС, МК || АС (рис. 254).
Доказать: АМВК °° ААВС.
Доказательство. У треугольников МВК и
АВС углы равны; ЛВМК = кВАС, ЛВКМ =
= ЛВС А как соответственные при параллель-
ных прямых МК и АС, ЛВ — общий.
Докажем, что у треугольников МВК и АВС
соответствующие стороны пропорциональны.
По обобщенной теореме Фалеса откуда Проведем
к МА КС 3 АВ ВС
КА || АВ. По обобщенной теореме Фалеса откуда
Но АМКА — параллелограмм (МК || АС, КА || АВ). Поэтому МК - АА и
АА = ДД. Тогда — = — = АА. Так как у треугольников МВК и АВС
АС ВС АВ ВС АС * Л
углы равны, а стороны пропорциональны, то треугольники подобны. Тео-
рема доказана.
Л теперь выполните Тест 1 и Тест 2.
Тест 1
Если желтый и зеленый тре-
угольники подобны, то периметр
желтого треугольника равен ...
а) 20; б) 18; в) 24; г) 23
Тест 2
Если ЕР |' ЛВ, то АР = ..
а) 6; б) 7; в) 8; г) 6,5.
В
Задания к § 20
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
ключевые задачи
Задача 1. Доказать, что периметры подобных треугольников относятся
как их соответствующие стороны.
Доказательство. Пусть стороны одного
из подобных треугольников равны а, Ь и с.
Тогда стороны подобного ему треугольни-
ка — /га, кЪ и кс, где /г — коэффициент по-
добия (рис, 255). Отношение периметров
Р2 1га + кЬ + кс к(а + Ь + с)
Р1 а + Ь + с а + Ь + с
Получили, что отношение периметров рав-
но коэффициенту подобия. Л коэффициент подобия равен отношению со-
ответствующих сторон подобных треугольников.
Замечание. У подобных треугольников отношение любых соответствующих ли-
нейных элементов (высот, биссектрис, медиан и т. д.) равно коэффициенту подобия.
Задача 2. Треугольники на рисунке 256 подобны. Причем АА = АС,
АВ - АР, АВ = 18 см, АС = 21 см, ЕР =10 см, ЕС = 14 см. Найти длины
сторон ВС и РС.
Решение. Так как А А - АС, хВ = АР, то
АС = АЕ. Стороны АС и ЕС, АВ и РС, ВС
и РЕ — соответствующие, так как лежат
против равных углов. Пусть ВС = х см,
РС = у см. Поскольку у подобных треуголь-
ников соответствующие стороны пропорцио-
АС х 21
нальны, то — = —, или = —, откуда
РЕ СЕ 10 14
_ 10 21 _ 1$ _ 1$ Аналогично, = ДА
14 ВА АС
У = 14 18 14
18 21’ У 21
РС = 12 см.
Ответ: ВС = 15 см, РС = 12 см.
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
272. Треугольники АВС и А1В1С1 на рисунках 257, а), б) (см. с. 126)
подобны. По указанным размерам найдите неизвестные стороны
треугольников, обозначенные знаком вопроса (все размеры да-
ны в см).
273. Треугольники АВС и МКК на рисунках 258, а), б) подобны,
АА = АМ, АС = АК Найдите:
а) сумму АС + МК;
б) периметр треугольника МКК (все размеры даны в см).
274. Известно, что ААВС ~ АМКК. Найдите:
а) величину угла В, если АМ = 80°, АК = 40°;
б) величину угла К, если АК = 75°, АА = АВ;
в) длину стороны АВ, если ВС = 15 см, МК = 21 см, КК = 45 см;
г) площадь треугольника МКК, если А А = 90°, ВС =15 см, АВ =
= 12 см, КК - 5 см.
275. На рисунке 259 МК || АС, МК = 6 м, МВ = 4 м, АМ = 2 м. Найдите
АС.
276. На рисунке 260 АВАС = 90°, НК ± АС, АК = 4 см, КС = 12 см,
АВ = 8 см. Найдите НК.
< АВ
\мк
АС =
278. Равнобедренные треугольники на
рисунке 262 подобны, КС = 71°.
Найдите величину угла К.
279. Треугольники АВС и А1В1С1 подоб-
ны. Периметр ААВС равен 24 см.
периметр А1В1С1 равен 36 см.
Сторона АВ равна 8 см Найди-
те соответствующую ей сторо-
ну АХВХ.
280. Известно, что ААВС 00 АМКК с коэффициентом подобия к - 3
= /Найдите периметр АМН К, если АВ = 4 см, ВС = 5-у см,
2— см.
3
281. Докажите, что средняя линия треугольника отсекает от него тре-
угольник, подобный данному. Найдите коэффициент подобия этих
треугольников.
282 Изобразите треугольник АВС. Через его вершины проведите пря-
мые, параллельные противоположным сторонам. Докажите, что об-
разованный ими треугольник А1В1С1 подобен треугольнику АВС.
283 Дана трапеция АВСВ, АВ = 15 см, ВС = 6 см — основания трапе-
ции, АВ - 6 см, СВ = 12 см. Боковые стороны трапеции продолже-
ны до пересечения в точке К. Найдите длины отрезков ВК и СК.
284. Дана трапеция АВСВ. Точка К принадлежит боковой стороне АВ,
точка Р — боковой стороне СВ, КР || АВ; ВС = 4 см, АВ - 11 см,
КР = 6 см. Найдите отношение СР : РВ.
285. На рисунке 263 МВСК — трапеция со сторонами, равными 10 м,
15 м, 4 м и 6 м. Найдите отношение периметра треугольника АВС
к периметру трапеции.
286*. В треугольнике ЛВС АВ = 4 см, АС = 12 см (рис. 264). Найдите пе-
риметр ромба АМИК.
Рис 264
287*. ЛАВС подобен 2ХД1В1С1 с коэффициентом подобия к = Известно,
что АВ + ВС = 24 см, - В1С1 = 6 см. Найдите АВ.
288*. Стороны одного из двух подобных треугольников равны 6 см и
12 см, другого — 12 см и 18 см. Найдите неизвестные стороны каж-
дого из треугольников, если коэффициент подобия 2-го треугольни-
ка 1-му: а) целое число; б) дробное число.
289* На координатной плоскости дан треугольник О АВ, где 0(0; 0),
А(3; 5), В(3; 0). Постройте какой-либо треугольник ОА1В1, подоб-
ный данному, стороны которого в 2 раза больше сторон треуголь-
ника ОАВ. Укажите координаты точек А} и В1.
§ 21. Признаки подобия треугольников
Теорема (1-й признак подобия треугольников).
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам
другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Дано: АЛВС,
АА = ААХ, АС = АСХ.
Доказать: А АВС ~ АА1В1С1.
Доказательство. Отложим на сто-
роне АС треугольника АВС отрезок
АС2, равный стороне А1С1, и проведем
С2В2 || СВ (рис. 265). Получим АаВ2С2.
Так как прямая, параллельная сторо-
не треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному, то
ААВ2С2 ~ ААВС. Поскольку АС2 = АС как соответственные при парал-
лельных прямых ВС и В2С2 и секущей АС, а АС = АСХ по условию, то
АС2 = АСХ и АА1В1С1 = ААВ2С2 по 2-му признаку равенства треугольни-
ков. Следовательно, ААВС °° АА В1С1. Теорема доказана.
Следствие.
Если острый угол одного прямоугольного
треугольника равен острому углу другого прямо-
угольного треугольника, то такие треугольники
подобны. В данном случае говорят, что прямо-
угольные треугольники подобны по острому углу.
На рисунке 266 прямоугольные треугольники
МКС и ВАС подобны, так как V них АС — общий.
Причем = К' = МС.
ЛО Л Г' ТУГ'
Рис. 266
Теорема (2-й признак подобия треугольников).
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторо-
нам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторо-
нами равны, то такие треугольники подобны.
А^!, и проведем С2В2 II СВ (рис, 267).
Дано: ААВС, АА.ВС^
-АА = _^С_, АА = ААГ.
ал АСХ
Доказать: ААВС АА1ВГС1.
Доказательство. Отложим на
стороне АС треугольника АВС
отрезок АС2, равный стороне
Получим ААВ2С2. Так как пря-
мая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник,
подобный данному, то ААВ2С2 ~ ААВС. Тогда (1). По усло-
вию - АС . С учетом А1С1 = АС2 получаем (2). Срав-
^4-| ^'1 "^1 "^1 ^^2
нивая пропорции (1) и (2), приходим к выводу, что АВ2 = А1В1. Тогда
АА151С1 = ААВ2С2 по 1-му признаку равенства треугольников. Следова-
тельно, ААВС 00 ДА1Т»1С1. Теорема доказана.
Теорема (3-й признак подобия треугольников).
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторо-
нам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Дано: ААВС, АА^С^
АВ _ АС = ВС
А1В: АхС . " В1С1 '
Доказать: ААВС АА-^В-^С^.
Доказательство. Отложим ла
стороне АС треугольника АБС от-
резок АС2, равный стороне АгСг,
и проведем С2В2 || СВ (рис. 268).
Получим ААВ2С2. Так как пря-
мая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, по-
добный данному, то ААВ2С2 со ААВС. Тогда = — = В< (1). По усло-
вию = АС = ВС . С учетом АС2 = А1С1 получаем = ААА = вс (2).
Сравнивая равенства (1) и (2), приходим к выводу, что АВ2 - А1В1,
В2С2 - В1С1. Тогда ДАрВхС] = ААВ2С2 по 3-му признаку равенства тре-
угольников. Следовательно, ААВС ~ ДАхИхСр Теорема доказана.
Л теперь выполните Тест 1 и Тест 2.
Тест 1
Тест 2
Подобны ли ДАОС и ЛВОВ? Если
да, то по какому признаку?
АВСВ — трапеция. По какому
признаку ЕВОС т АВОА?
А В
Гимнастика ума
В треугольнике провели три высоты (рис. 269).
Сколько пар подобных треугольников образовалось
при этом?
Задания к § 21
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
ключевые задачи
Задача 1. По размерам, указанным на рисунке 270, найти длины отрез-
ков АБ и ВЕ.
Решение. Прямоугольные треугольни-
ки АБС и АБЕ подобны но острому углу
(АА — общий). Поэтому их соответствую-
щие стороны пропорциональны.
Найдем отрезок АБ. или — = —,
АВ АС 4 3,2
х = = 2,5 (см).
3,2 к ’
Найдем отрезок БЕ‘. или
Ответ: АБ = 2,5 см, БЕ = 1,5 см.
Замечание. Условие задачи содержит избыточное данное. Так, для задания пря-
моугольного треугольника АВС достаточно знать длины только двух его сторон, а
третью сторону можно найти по теореме Пифагора.
Задача 2. АВСВ — трапеция, АВ = 30 см и ВС = 15 см — ее основания,
АС = 27 см, ВВ = 33 см — диагонали трапеции, которые пересекаются в
точке О. Найти периметр треугольника АОВ (рис. 271).
30
Рис. 271
Решение. Треугольники ВОС и ВОА по-
добны по 1-му признаку подобия треуголь-
ников: АСВО = аАВО как накрест лежащие
углы при параллельных прямых АВ и ВС и
секущей ВВ, АСОВ = ААОВ как вертикаль-
ные. Из подобия треугольников следует:
ьс = ов = вс = 15 = 1То есть ОС = 1 и
ОА ОБ АО 30 2 ОА 2
= —. Если ОС = х см, то ОА = 2х см. Отсю-
ОО 2
да 2х + х = 27, х = 9, ОС = 9 см, ОА = 18 см.
Если ОВ = у см, то ОВ = 2у. Отсюда у + 2у = 33, у = 11, ОВ = 11 см,
ОВ = 22 см. РАО1) - АО + ОВ + АВ = 18 + 22 + 30 = 70 (см).
Ответ: 70 см.
Задача 3. В треугольнике АВС проведен отрезок ВК так, что
ААВК = ААСВ, АК = 9 см, КС = 7 см. Найти сторону АВ (рис. 272).
В
Рис. 272
Решение, У треугольников АВС и АКЕ угол
А — общий, аАВК = А АС В по условию. Поэ-
тому ААВС 00 ЛАКЕ по двум углам. Из подо-
бия треугольников следует, что а АВС = а АКБ
и Если АВ = х см, то — = —,
АС АВ 16 х
х2 = 9 • 16, х = /9 <16 = 3 • 4 = 12, АВ = 12 см.
Ответ; 12 см.
Замечание. Когда речь идет о дзух парах соответствующих сторон подобных тре-
угольников, удобно составлять отношение двух сторон одного треугольника и при-
равнивать его к отношению двух соответствующих сторон другого треугольника.
Задача 4. Дана трапеция АВСВ. ее основания АВ = 18 и ВС = 4,5, диа-
гональ АС = 9. Если а + [3 - 64°. то чему равен угол а (рис. 273)?
Решение. Рассмотрим ААВС и АЕ
ААСВ = АСАВ (как накрест лежащие
при параллельных прямых АВ и ВС и
секущей АС). Тогда ААВС °° АВСА по
двум сторонам и углу между ними (по
2-му признаку подобия треугольников).
Тогда АВАС = ААВС как соответствен-
ные углы в подобных треугольниках,
т. е. а = р. Отсюда а - - 32°.
Ответ: 32°.
Рис. 273
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
290. Изобразите произвольный ААВС. На луче АВ. за точку В отложите
отрезок ВВ1, в 2 раза больший отрезка АВ, на луче АС за точку С
отложите отрезок ССХ, в 2 раза больший отрезка АС. Объясните, по-
чему ААВ1С1 подобен ААВС. Чему равен коэффициент подобия?
291. Найдите, при какой длине стороны А1С1 треугольники АВС и А1В1С1
будут подобны (рис. 274)? Укажите признак подобия.
293. По данным па рисунках 276, а), б) докажите подобие треугольни-
ков. Найдите длину стороны, обозначенной знаком вопроса (все раз-
меры даны в см).
294 Докажите, что если у равнобе-
дренных треугольников равны
углы при вершине, то такие
треугольники подобны.
295. Докажите, что равнобедрен-
ные треугольники на рисун-
ке 277 подобны. Найдите от-
ношение периметров этих тре-
угольников; Р,ж : Ркым.
296. Известно, что треугольники АВС и А1В1С1 подобны.
а) Если АВ - 21 см, ВС - 27 см, В1С1 = 9 см, А1С1 = 10 см, то чему
равен периметр треугольника АВС?
б) Если А1В1 = 4 см, В1С1 = 6 см, А1С1 = 8 см, периметр ААВС равен
27 см, то чему равна длина наибольшей стороны ААВС?
297. В прямоугольном треугольнике АВС (рис. 278)
АА - 90°, АВ - 6 см, АС = 8 см. Из середи-
ны гипотенузы ВС восстановлен перпендику-
ляр МК. Найдите длину отрезка МК.
298. В треугольнике АВС провели средние линии
МК, КК и МК, М е АВ, К 6 ВС, К е АС.
Докажите, что ААВС 00 АККМ.
Рис. 278
299. Точки М, К и К — соответственно середины сторон АВ, ВС и АС
треугольника АВС, МК : КК : МК = б : 3 : 4, РЛВс = 48 см. Найди-
те площадь треугольника АВС.
300. а) В трапеции АВСВ (рис. 279, а) ВС = 9 см, АВ = 18 см, ОВ = 8 см.
Найдите ВО.
б) В прямоугольнике АВСВ (рис. 279, б) ВС = 18 см, АК = 5 см,
КС = 15 см. Найдите МВ.
в) В параллелограмме АВСВ (рис. 279, в) АВ = 12 см, МС = 4 см,
КМ = 6 см. Найдите АК.
Рис 279
301. Докажите, что если катет а и гипотенуза с одного прямоугольного
треугольника соответственно пропорциональны катету ах и гипоте-
нузе с л другого прямоугольного треугольника —=—), то такие
\ О] С| /
треугольники подобны.
302. Докажите, что у подобных треугольников:
а) соответствующие высоты;
б) соответствующие биссектрисы;
в) соответствующие медианы
относятся как соответствующие стороны этих треугольников.
303. Даны ААВС и АМКК (рис. 280). По размерам на рисунке найдите
площадь АМКК (все размеры даны в см).
304. Дана трапеция АВСВ с основаниями АВ = 21 см, ВС = 7 см. Диа-
гонали трапеции равны АС = 20 см, ВВ = 16 см, О — точка пере-
сечения диагоналей. Найдите периметр ААОВ.
305. На рисунке 281 ЛКМС = ЛАВС, АМ = 4 см, МС = 6 см, КС - 5 см.
Найдите длину отрезка ЕК.
306. На рисунке 282 АМ и СК — высоты треугольника АВС, СМ = 9 см.
ВМ - 3 см, ВК - 4 см. Найдите длину отрезка АК.
Рис. 283
307. На рисунке 283 АВСВ — трапеция, АК — биссектриса угла ВАВ,
АВ - 12 см, ВС - 8 см, СК ' КВ = 1 = 5. Найдите длину основа-
ния АВ.
308. На рисунках 284, а)—в) изображены параллелограмм, трапеция и
прямоугольник. По данным на рисунках найдите длину отрезка х.
Рис. 284
309. Изобразите прямоугольный треугольник АВС (ЛС - 90°), проведи-
те высоту СН. Укажите все пары полученных подобных треуголь-
ников и для каждой пары запишите отношение соответствующих
сторон.
Рис. 285
Рис. 286
310. По размерам, данным на рисунках 285, а), б), найдите:
а) высоту СН;
б) отрезок АК (проекцию катета АС на гипотенузу АВ).
311. В равнобедренном треугольнике АВС, у которого АВ - ВС и
АВ = 36°, провели биссектрису АК. Определите, какие из получен-
ных треугольников подобны.
312. Периметр трапеции АМАС равен 22 см (рис. 286), периметр тре-
угольника АВС равен 24 см, периметр треугольника МВИ равен
8 см. Найдите: а) МИ; б) АС.
313. а) В треугольнике АВС провели отрезок ВМ (М лежит на стороне
АС), АВМС = ААВС, АМ = 7 м, МС = 9 м. Найдите сторону ВС.
б) В треугольнике АВС провели отрезок ВМ (М лежит на сторо-
не АС), ААВМ = ААСВ, АВ - 2 см, АС = 4 см. Найдите отрез-
ки АМ и МС.
в) В треугольнике АВС провели отрезок ВМ (М лежит на сторо-
не АС), ААВМ = ААСВ, АВ = 4 см, ВС = 6 см, ВМ = 3 см. Найдите
сторону АС.
314. а) В параллелограмме АВСВ на стороне ВС взята точка М так, что
ВМ ' МС = 5 : 7. Луч ВМ пересекает луч АВ в точке К Найдите
ВК, если АВ = 42 см.
б) В параллелограмме АВСВ па продолжении стороны АВ за точ-
ку В взята точка М. Прямая ВМ пересекает диагональ АС в точ-
ке К так, что АК ' КС = 11 4 Найдите длину отрезка ВМ, если
АВ = 640 м,
315*. Квадрат вписан в треугольник, как показано на рисунке 287. Если
АС = 70 см, ВН = 30 см — высота, то чему равна длина стороны
квадрата?
316*. Дан прямоугольник АВСВ с площа-
дью 210 см2. На стороне АВ взята точ-
ка К, на стороне СВ — точка М так, что
АК : КВ = 2 : 1, СМ : МВ = 2:3. Отрез-
ки АМ и ВК пересекаются в точке Р. Най-
дите площадь треугольника АРК.
317* Основания трапеции АВСВ равны АВ = а см и ВС = Ь см. Отре-
зок КМ проходит через точку О пересечения диагоналей трапеции
параллельно основаниям, его концы лежат на боковых сторонах
трапеции. Докажите, что КМ = 2аЬ .
При помощи Интернета выясните, как Фалес Милетский
определил высоту египетской пирамиды, поразив своими
знаниями фараона Амасиса.
Объясните решение Фалеса по
нахождению высоты пирамиды. Подумайте, как Фалес
нашел длину той части тени, которая находится в основа-
нии пирамиды и недоступна для непосредственного изме-
рения.
ПОДВОДИМ
итоги
Знаем
1. Определение подобных треугольников.
2. Теорему о пропорциональных отрезках (обобщенную теорему Фалеса).
3. Теорему о прямой, параллельной стороне треугольника.
4. Три признака подобия треугольников.
5. Признак подобия прямоугольных треугольников.
Умеем
1. Определять соответствующие стороны подобных треугольников и записы-
вать отношения их длин в виде пропорций.
2. Определять, по какому признаку подобны треугольники.
3. Доказывать три признака подобия треугольников.
§ 22. Свойство биссектрисы треугольника
Теорема. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону
на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
Дано: ААВС, СК — биссектриса.
Пока зять-
КА АС
Доказательство. Из точки А проведем луч, параллельный биссектрисе
СК до пересечения его в точке В с продолжением стороны ВС (рис. 288,
см. с. 137). АВСК = АВВА как соответственные при параллельных пря-
мых СК и ДА и секущей БД; АКСА = КОАС как
накрест лежащие при параллельных прямых СК и
ОА и секущей АС. В силу того, что лВСК и АКСА
(СК — биссектриса), получим, что АСОА = АСАО.
Тогда ДАСД — равнобедренный (по признаку рав-
нобедренного треугольника), СД = СА. По обобщен-
ной теореме Фалеса -Д- = —, откуда
КА С1) КА АС
Теорема доказана.
Теорему также называют «свойством биссек-
трисы угла треугольника».
А теперь выполните Тест 1 и Тест 2,
Рис. 288
Тест 2
Тест 1
Если ВК — биссектриса угла АВС,
то 8, : 8, = ... .
Задания к § 22
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
ключевые за дачи
Задача 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найти
отрезки, на которые биссектриса прямого угла треугольника делит
Решение. Пусть в ААВС АС = 90° , ВС = 6,
АС = 8, СК — биссектриса (рис. 289). По теоре-
ме Пифагора АВ = С ВС2 + АС2 = А2 4 82 =10.
Обозначим АК = х, КВ = 10 - х. По свойству
д/г дс
биссектрисы треугольника = —, то есть
КВ ВС
—-— = I или Тогда Зх = 4(10 - х),
10-х 6 10-х 3
7х = 40, х = Отсюда 10 - х = 10 - = 4Я-
г. о ~ ?
Получили: АК =5—, КВ = 4—.
' 7 7
Ответ: 5—; 4—.
7 7
Задача 2. Биссектриса угла А параллелограмма АВСВ пересекает диаго-
наль ВВ в точке К, а сторону ВС — в точке М. Известно, что МС = 4,
ВК КВ = 1:2. Найти периметр параллелограмма (рис. 290).
Решение. Рассмотрим ААВВ, АК — его
биссектриса. Л биссектриса делит проти-
волежащую сторону на части, пропорцио-
нальные прилежащим сторонам, то есть
= —, АВ = х, АВ - 2х. Так как
АО КБ 2
АВАМ = АВ АМ (АМ — биссектриса), а
АВАМ = А АМ В как накрест лежащие
углы при параллельных прямых АН и ВС и секущей АМ, то АБАМ = АВМА.
Тогда ААМВ — равнобедренный, АВ = ВМ = х, ВС = х + 4. С другой
стороны, ВС - АВ = 2х. Тогда 2х = х + 4, х = 4, АВ = 4, АВ - 8, Равсв =
= 2(АВ + АВ) = 2(4 4- 8) = 24.
Ответ: 24
Замечание. Для решения задачи можно было воспользоваться подобием тре-
угольников ВКМ и РКА.
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
318 На рисунках 291, а)—в) в каждом треугольнике проведена биссек-
триса, Найдите длину отрезка х (все размеры даны в см).
Рис. 291
319 В ААВС АС = 8 см. На стороне ВС взята точка Р так, что
АВАР = АСАР, ВР = 3 см, РС = 4 см. Найдите периметр ААВС.
32С В равнобедренном ААВС, где АС = БС = 16 см, проведена биссек-
триса ВК, АК : КС = 1:4. Найдите основание АВ.
321. Стороны треугольника равны 6 см, 7 см и 8 см. Найдите длины
отрезков, на которые биссектриса среднего по величине угла
треугольника делит противолежащую сторону.
322. Найдите длину биссектрисы АК прямоугольного треугольника АВС,
если катет АС = 6 см, гипотенуза АВ = 10 см.
323. В треугольнике АВС АС = 48 см, ВС = 36 см. На стороне АВ отмече-
на точка Л, такая, что АВ ' ВВ = 4:3, АВВС + ААСВ = 104°. Най-
дите ААСВ.
324*. Дан прямоугольник АВСВ, у которого АВ = 15 см, АВ = 30 см. Точ-
ка М лежит на диагонали ВВ и равноудалена от сторон ВС и СВ.
Найдите площадь треугольника СМВ.
325* Биссектриса внешнего угла треугольника АВС при вершине В пере-
секает прямую АС в точке К. Докажите, что АК ' СК = АВ ВС.
§ 23. Свойство площадей подобных
треугольников
Часто школьникам задают «провокационный» вопрос: «Если стороны
квадрата увеличить в 2 раза, то во сколько раз увеличится площадь квад-
рата?» При этом часто получают ответ: «В 2 раза!», который является
неправильным.
Убедимся в этом. На рисунке 292 сторона малого квадрата равна 2 см,
а площадь 4 см2. Увеличив все стороны квадрата в 2 раза, получим боль-
шой квадрат со стороной 4 см и площадью 16 см". Как видим, площадь
квадрата увеличилась в 4 раза!
Легко понять, что если стороны квадрата увеличить в 3 раза, то его
площадь увеличится в 3 раз, то есть в 9 раз.
Аналогичное утверждение справедливо и для треугольников. Сформу-
лируем его в виде следующей теоремы.
Теорема (о площадях подобных треугольников).
Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответ-
ствующих сторон.
Дано: ААДЗ^ 00 ААВС (рис. 293).
Доказательство. Пусть к — коэф-
фициент подобия ДА1В1С1 и ААВС,
где АА — острый. Тогда А,В, = к • АВ,
А1С1 = к • АС.
Проведем высоты ВН и В дан-
ных треугольников. Так как ДА1В1С1 ~ ААВС, то ААГ = АА, Прямо-
угольные треугольники А1В1Н1 и АВН подобны по острому углу. Отсюда
В| Л| = А& = к = .вп
ВН АВ 1 1
$АВС
• в1н,
—АСВН
2
(Л • АС) (к ВН)
—АСВН
2
АС1
АС2
Теорема доказана.
Существует и другая формулировка этой теоремы.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэф-
фициента подобия.
Задания к § 23
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
ключевые задачи
Задача 1. Доказать, что средняя линия треугольника отсекает от него
треугольник, площадь которого составляет площади данного.
Рис. 294
Доказательство. Пусть в треугольнике АВС (рис. 294)
МК — средняя линия. Средняя линия параллельна
основанию и равна его половине, то есть МК || АС и
МК = АС. Прямая, параллельная стороне треуголь-
ника, отсекает от него треугольник, подобный данно-
му. Тогда АМВК ~ ААВС. Так как площади подобных
треугольников относятся
щих сторон, то
&МВК
&АВС
то есть В
’мвк ~ сд^авс- Что и требовалось доказать.
как квадраты соответствую-
мк2 = / мк \2 = т2 = 1^
АС2 \ АС / \ 2 / 4 ’
Задача 2. Дана трапеция АВСВ с основаниями АВ и ВС (рис. 295). Диаго-
нали трапеции пересекаются в точке О, Ввос = 4 см2, ВАОВ = 12 см2. Най-
ти площадь трапеции.
Решение. Способ 1. Диагонали трапеции де-
лят ее на 4 треугольника. Ранее нами дока-
зано, что треугольники, прилежащие к боко-
вым сторонам, равновелики, а прилежащие к
основаниям — подобны. То есть, 3АОВ = 8иос,
АВОС АВОА. Отсюда $пос = 12 см2.
Далее заметим, что АВОС и ААОВ име-
ют общую высоту, опущенную из вершины Е. Потому их площади от-
носятся как соответствующие этой высоте основания: 8вос - ^22., То
8лов '
есть —— - — = —. Стороны СО и АО являются соответствующими сто-
АО 12 3
ронами подобных треугольников ВОС и
них углов ОВС и ОВА). По теореме о
ников
Я пос
А>ОЛ
ВОА (они лежат против рав-
площадях подобных треуголь-
Отсюда 8!А)Л = 98ВОС = 9 • 4 =
= 36 (см2). Искомая площадь трапеции: 8^ =12 1- 12 + 4 + 36 = 64 (см2).
Способ 2. Треугольники СОВ и АОВ имеют общую высоту, проведен-
ную из вершины В, Тогда их площади относятся как основания СО и АО,
то есть 1 3- Значит, 8АОВ = 35СОЛ = 3 • 12 = 36 (см2), 8АВС1) = 64 см2.
Ответ: 64 см2.
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
326. Как изменится площадь треугольника, если все его стороны:
а) увеличить в 2 раза;
б) увеличить в 3 раза;
в) увеличить в 2,5 раза;
г) уменьшить в 10 раз?
327. Для ААВС и АА1В1С1 выполняется —
8лвс = 90 см2. Найдите <8А1ад- А1В1
328. а) Периметры двух подобных треугольни-
ков относятся как 2 3. Найдите отноше-
ние площадей данных треугольников.
б) Площади двух подобных треугольников
относятся как 64 : 25. Найдите отношение
периметров этих треугольников.
ВС
329. Найдите отношение площади АКМК к
площади АЕРС (рис. 296), если АК = АЕ.
АС =1,5 см,
А1С1
М
Рас. 296 (3
330. На рисунке 297 ЛА = ЛЕ, ВС = 4 см, СВ = 8 см, 8аГ1(: = 10 см2. Най-
дите 8ЕОС.
331. На рисунке 298 ЛС = 90°, АС = 6 м, ВС = 8 м, АМ = МВ, КМ ± АВ.
Найдите площадь треугольника КМВ.
332. На рисунке 299 МК || АС, КК || АВ, МВ : АМ = 1:2, 8^ =
- 360 см2. Найдите
333. Площадь трапеции АМ КС (рис. 300) равна 80 м2, АМ МВ = 4:3.
Найдите площадь треугольника МВК.
334. На рисунке 301 АМКЕ — параллелограмм, 8МВК = = 16 см2,
^екс = = 9 см .
а) Найдите площадь параллелограмма АМКЕ.
б) Выразите площадь параллелограмма через 5Х и 82.
в) Выразите площадь треугольника АВС через 5>; и 82.
Рис 299 Рис 300 Рис 301
335. а) В трапеции АВСВ (рис. 302) ВС = —АВ, 8г + 82 = 60 см-, Найди-
3
те площадь .8 трапеции АВСВ.
б)* Выведите формулу зависимости площади 5 трапеции АВСВ от
площадей 5>х и 82.
336. На рисунке 303 ААВС — равносторонний, МВ = 2АМ, Л/С = 2ВК,
АК = 2КС. Если площадь треугольника АВС равна 72 см2, то чему
равна площадь треугольника МКК?
337. Через центр равностороннего треугольника (точку пересечения
медиан) провели прямые, параллельные его сторонам (рис, 304).
Какую часть площади треугольника АВС занимает часть, занятая
красными треугольниками?
338*. АК и СН — высоты треугольника АВС (рис. 305), ВК • АВ = 2:5,
8АВС = 50 см2. Найдите площадь треугольника НВК.
339" В параллелограмме АВСВ проведен отрезок ЛМ (рис. 306), кото-
рый пересекает диагональ АС в точке К. Известно, что 8МСК = 4 см2,
8ВКА = см2. Найдите площадь параллелограмма АВСЛ.
340*. В прямоугольном треугольнике АВС к гипотенузе проведена вы-
сота ВН. Известно, что 8лпи = 4 см2, 8СВН = 16 см2. Найдите гипо-
тенузу АС.
341* Дана трапеция АВСЛ с основаниями ВС = 4 см и АЛ - 8 см и вы-
сотой, равной 3 см. Боковые стороны трапеции продлили до пере-
сечения в точке К. Найдите площадь треугольника ВКС.
342 Основания трапеции равны а и Ъ. Найдите длину отрезка с конца-
ми на боковых сторонах трапеции, параллельного основаниям, ко-
торый делит трапецию на две равновеликие части.
343*. Разделите при помощи циркуля и линейки данный треугольник на
две равновеликие части прямой, параллельной его стороне,
Правообладатель Народная асвета
ПОДВОДИМ
итоги
Знаем
1. Свойство биссектрисы треугольника.
2. Теорему об отношении площадей подобных треугольников.
3. Во сколько раз увеличится площадь треугольника, если его стороны увели
чить в 2 раза, в 3 раза, в к раз.
Умеем
1. Находить площадь одного из двух подобных треугольников, если известна
площадь другого и отношение соответствующих сторон.
2. Доказывать теорему о свойстве биссектрисы треугольника
3. Доказывать теорему об отношении площадей подобных треугольников.
Геометрия 30
Как уже говорилось, любые два круга являются подобными (рис. 307, а). По-
добными также являются любые два квадрата (рис. 307, б). Коэффициент подобия
в первом случае может быть определен как отношение радиусов кругов, а во вто-
, , а1
ром — как отношение сторон квадратов, то есть к = —- или к = —-.
Л2 а2
Два многоугольника называются подобными, если у них соответствующие
углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны (рис. 308, а).
Фигуры Р и называются подобными, если между их точками можно уста-
новить такое соответствие, что для любых пар точек Л/ и ./V и соответственных им
точек Му и (рис. 308, б) выполняется условие = к. Число к — коэффици-
ент подобия. Можно доказать, что отношение периметров подобных фигур рав-
но к, а отношение их площадей — к2.
Подобие также определяется и для пространственных фигур. Так, подобны-
ми являются любые два шара или любые два куба (рис. 309).
«1
Увеличив длину всех ребер любого многогранника в одно и то же число раз
и сохранив величины всех углов, получим многогранник, подобный данному
(рис. 310).
Мы знаем, что прямая, параллельная основанию треугольника, отсекает от
него треугольник, подобный данному. Аналогично, в пространстве плоскость,
параллельная основанию пирамиды, отсекает от нее пирамиду, подобную данной
(рис. 311, а, б). То есть отсеченная пирамида будет иметь такую же форму, но от-
личаться размерами. Если отбросить отсеченную пирамиду, то получится усечен-
ная пирамида (рис. 311, в).
Рис. 311
Усеченная пирамида имеет два основания: верхнее и нижнее, которые явля-
ются подобными многоугольниками, а боковые грани являются трапециями.
В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, и все
ее боковые ребра равны. Если от нее отсечь плоскостью, параллельной основа-
нию, пирамиду, то получим правильную усеченную пирамиду. Основания ее —
квадраты, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции.
Задача. Найдите площадь полной поверхности
правильной усеченной четырехугольной пирамиды
(рис. 312), у которой стороны оснований равны 20 см и
10 см, а боковое ребро равно 13 см.
Рис. 312
Моделирование
На рисунке 313 изображен план участ-
ка под Несвижским замком з масштабе
1: 1500. При помощи линейки определите
размеры внутреннего двора (отмечен ко-
ричневым цветом) и найдите его площадь,
используя формулы площади прямоуголь-
ника и трапеции. Найдите периметр и
площадь реального участка при помощи
свойств подобных многоугольников.
Интересно знать. Несвижский замок — дворцово парковый комплекс, на-
ходящийся в севере восточной части города Несвижа в Минской области Бела-
руси. В XVI—XIX веках — центр резиденции ее владельцев из рода Радзивиллов.
Архитектурный ансамбль Несвижского замка в настоя-
щее время представляет собой историко-культурный
музей-заповедник. С 2005 года внесен во Всемирное на-
следие ЮНЕСКО. Несвижский замок изображен на на-
шей 100-рублевой купюре.
100
с
Реальная геометрия
Задача для девочек. Глядя на рисунок, составьте план, как при по-
мощи зеркала, зная собственный рост, можно определить примерную
высоту стелы «Минск — город герой» — главного символа столицы Бе-
ларуси.
Найдите высоту стелы, используя данные на рисунке.
При решении задачи учтите закон отражения солнечного света, кото-
рый звучит так: «Угол падения равен углу отражения».
Вместо зеркала можно использовать экран телефона или планшета.
Задача для мальчиков. В армии учат определять расстояние до пели
при помощи вытянутой руки и линейки (патрона или даже пальца). Опре-
делите расстояние от наблюдателя до танка, если длина части линейки,
перекрывающей танк, равна 5 см, длина руки от плеча до линейки —
50 см и известно, что длина данного танка равна 6,86 м.
§ 24*. Решение задач по теме
«Подобие треугольников»
Задача 1. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и
СК, которые пересекаются в точке II (рис. 314). Доказать, что:
а) АП • КН = СП КН; б) АКВК ~ ААВС; в) АККВ = АСАВ.
Рис. 314
Доказательство, а) А АНК " АС. ПК по острому
углу ( л АН К = АСНК как вертикальные). Отсюда
АН • КН = СН • КН;
АН ОН
б) ААВК ~ АСВК по острому углу (АВ — общий).
Поэтому гзА = . Тогда АКВК ААВС по двум
сторонам и углу между ними;
в) так как — - — = —, то АККВ = АСАВ.
' ЛО ЛЛ 7
Следствие.
Треугольник ККМ (рис. 315) с вершинами в
основаниях высот данного остроугольного тре-
угольника АВС имеет углы, равные 180° - 2АА,
180° - 2АВ, 180° - 2АС. Его биссектрисы лежат
на высотах треугольника АВС.
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
344. На рисунке 316 КП = 2, ПС = 10, АП = 5. Найдите ИМ.
345. На рисунке 317 СН = 12, ВН • НК = 108. Найдите СК.
346. На рисунке 318 ВР = 4, ВС = 10, РЕ = 6. Найдите АС.
Задача 2. а) Доказать, что точка пересечения продолжений боковых
сторон трапеции и середины оснований лежат на. одной прямой, б) Дока-
зать, что точка пересечения диагоналей трапеции и середины оснований
лежат на одной прямой.
Доказательство.
а) Пусть К — середина основания АВ трапеции АВСВ, Р — точка пе-
ресечения продолжений боковых сторон трапеции, и прямая РК пересека-
ет отрезок ВС в точке М. Докажем, что М — середина ВС (рис. 319, а).
Так как АВРМ <*> ААРК (ВС || АВ), то - Аналогично, так
' ' АК РК
как АСРМ ~ АВРК, то СМ _ РМ Отсюда = СМ ВМ = АК Но
РК РК м АК РК СМ РК
= 1, откуда = 1, ВМ = МС, точка М — середина ВС.
б) Пусть К — середина основания АВ трапеции АВСВ, О — точка
пересечения диагоналей, и прямая КО пересекает отрезок ВС в точке Л/.
Докажем, что АР — середина ВС (рис. 319, б).
Так как АВОМ 00 АВОК (по двум углам), то — = Аналогично,
так как АСОМ ААОК, то =----------. Отсюда —— =
АК КО РК
СМ Т1ТТТ, ВМ РК
----- или -----------=---------
АК
СМ АК
Но = 1, откуда 0^ = 1, ВМ = МС, точка М — середина ВС.
Следствия.
1. Точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, точка
пересечения диагоналей и середины оснований трапеции лежат на одной
прямой.
2. В треугольнике медиана делит пополам любой отрезок с концами
на сторонах треугольника, паралельный стороне, к которой проведена
медиана.
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
347 В трапеции АВСВ основания ЛИ = 20, ВС = 12, АА - 65°, кВ = 25°.
Найдите длину отрезка, соединящего середины оснований.
348. Диагонали трапеции взаимно перпендикулярны и равны 6 и 8. Най-
дите длину отрезка, соединяющего середины оснований.
Метод подобия
Если при решении геометрической задачи, которая может быть ре-
шена разными способами, используют подобия треугольников, то гово-
рят, что задача решена методом подобия.
Задача 3. Дан равнобедренный треугольник АВС (АВ - ВС), высоты
ВК и АМ пересекаются в точке Н (рис. 320). Найти высоту ВК, если
АН = 5. НМ = 3.
Рис. 320
Решение. Так как высота ВК будет и биссек-
трисой, то ВН — биссектриса треугольника АВМ.
По свойству биссектрисы треугольника получим:
Пусть АВ = 5х, ВМ = Зх.
вм нм з Л
По теореме Пифагора для треугольника АМВ‘.
АВ2 = АМ2 + ВМ2, (5х)2 = (Зх)2 + 82, х2 = 4, х - 2.
Тогда АВ = 5 • 2 = 10, ВМ = 3 • 2 = 6.
По теореме Пифагора для треугольника НМВ:
ВН = х.ВМ2 + НМ2 = ч/б2 + З2 = ч/45 = зЛ.
Треугольники ВКС и ВМН подобны по острому углу
(лКВС — общий). Из подобия следует, что
Отсюда В К = 10 ® = 4 ч/б.
зуз 75
ВК _ вм_
ВС ВН ’
тп ретт ВЛ' - 6
1 ку к> к> 1 ХЭ — ,— •
ю Зч/5
Ответ: 4^/5.
Замечание. Найти ВК можно и не используя подобие. Способ 2: МС = 4,
АС = ^АМ2 + МС2 = 4 Д>, КС = 2^5? ВК = у)вс2 - КС2 = 4 ч/б. Способ 3 (метод пло-
щадей)-. МС = 4, АС = 4ч/б, 28ЛЖ = АС • ВК = ВС-АМ, 4ч/б • ВК = 10 • 8, ВК=чД).
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
349. Дан равнобедренный треугольник АВС, АВ = ВС = 20. Площадь
треугольника равна 160. Высоты ВК и АМ пересекаются в точ-
ке Н. Найдите площадь треугольника АВН.
350. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ - ВС) высоты ВЕ и АК
пересекаются в точке М, ВМ = 4, МЕ = 2. Найдите площадь тре-
угольника АВС.
ЗАПОМИНАЕМ
1. У подобных треугольников соответствующие углы равны, а стороны про-
порциональны.
2. Параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные от-
резки.
3. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от пего треуголь-
ник, подобный данному.
4. Признаки подобия треугольников:
1) по двум углам;
2) по двум сторонам и углу между ними;
3) по трем сторонам.
5. Прямоугольные треугольники подобны по острому углу.
6. Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на части, про-
порциональные прилежащим сторонам.
7. Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствую-
щих сторон.
ПРОВЕРЯЕМ СЕБЯ
Тест 1
По данным на рисунке докажите,
что АВ || СВ.
О
Тест 2
По данным на рисунке найдите
длину отрезка КМ.
Тест 3
= 16 см2. Найдите площадь трапе-
ции АВСВ.
Дополнительные материалы к учебному пособию «Геометрия 8 кл.»
можно найти на сайте: йНр://е-уе<1у.ас1и.Ьу, раздел «Математика», курс
«Математика. 8 кл.».
ПОДГОТОВКА К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 3
1. Найдите значение х + у, если а || Ь || с || <1.
2. ААВС ~ ЕМРК, МЖК ~ ЛРЕК. Найдите:
3. Найдите длину отрезка х.
Глава IV
Окружность
В этой главе вы узнаете:
Какая прямая называется касательной
к окружности
Какой угол называют вписанным в окружность
Свойство пересекающихся хорд окружности
Углы в окружности
Вписанный = Центрального
§ 25. Касательная к окружности
Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, нахо-
дящихся на одинаковом расстоянии от ее центра, которое равно радиусу
окружности. Если расстояние от центра до точки больше радиуса окруж-
ности, то говорят, что точка находится вне окружности, а если меньше
радиуса, то — внутри окружности. Все точки плоскости, находящие-
ся от центра окружности на расстоянии, меньшем или равном радиусу,
образуют круг.
На рисунке 321 точки А, Е, В принадлежат окружности с радиусом В
и центром О, точка В находится внутри окружности (внутри круга), точ-
ка С — вне окружности (вне круга), ОА = ОЕ = ОВ - В, ОЕ < В, ОС > В.
Можно установить, что прямая и окружность могут иметь только три
различных взаимных положения (рис. 322): прямая и окружность не име-
ют общих точек (прямая а), имеют одну общую точку (прямая &), имеют
дзе общие точки (прямая с).
В первом случае расстояние от центра до прямой больше радиуса
(ОМ > В), во втором — равно радиусу (ОК = В), в третьем — меньше
радиуса (О А < В). Говорят, что прямая Ъ касается окружности в точ-
ке К, где К — точка касания прямой и окружности, а прямая с пересекает
окружность в точках А и В.
Определение. Прямая, проходящая через две точки окружности, на-
зывается секущей к окружности.
Определение. Прямая, которая имеет с окружностью только одну об-
щую точку, называется касательной к окружности.
Теорема (признак касательной).
Если прямая проходит через точку окружности и перпендикулярна
радиусу, прове де иному в эту точку, то опа является касательной к
окружности.
Рис. 323
Доказательство. Пусть ОК — радиус окружности,
прямая I проходит через точку К и перпендикулярна
ОК (рис. 323). Нужно доказать, что I — касательная.
Тате как наклонная длиннее перпендикуляра, то
расстояние от точки О до всех остальных точек пря-
мой I больше радиуса ОК. Поэтому все точки прямой,
кроме точки К, лежат вне окружности. Следователь-
но, прямая I и окружность имеют единственную об-
щую точку К, и прямая I по определению является
касательной. Теорема доказана.
Доказанная теорема гарантирует, что касательная к окружности суще-
ствует в каждой ее точке, и дает способ построения касательной.
Теорема (свойство касательной).
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному
в точку касания.
Доказательство. Пусть I — касательная к окруж-
ности с центром в точке О, где К — точка касания,
ОК — радиус (рис. 324). Нужно доказать, что ОК 1 I.
Пусть радиус ОК не перпендикулярен I, а пер-
пендикуляром является отрезок ОМ. На прямой I от-
ложим МК - КМ. Получим равные прямоугольные
треугольники ОМК и ОМК (по двум катетам), отку-
да О.У = ОК. Так как отрезок ОК равен радиусу, то
точка К принадлежит окружности. Тогда прямая I и
окружность имеют, по крайней мере, две общие точки, что противоречит
определению касательной. Следовательно, ОК ± I. Теорема доказана.
Заметим, что из точки вне окружности к одной окружности можно
провести ровно две касательные, которые обладают следующим свойством.
.еорема (о касательных, проведенных из одной точки).
Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности
(соединяющих данную точку и точку касания), равны между собой.
Доказательство. ПустьАВ иАС — касательные к
окружности, где В и С — точки касания. Нужно до-
казать, что АВ = АС (рис. 325). Проведем отрезок ЛО
и радиусы ОВ и ОС. Так как радиус окружности,
проведенный в точку касания, перпендикулярен ка-
сательной, то ОВ 1 АВ, ОС ± АС. Прямоугольные
треугольники АВО к АСО равны по катету (ОВ = ОС
как радиусы) и гипотенузе (гипотенуза АО — общая).
Из равенства треугольников следует, что АВ = АС.
Теорема доказана.
Говорят, что окружность касается луча (отрезка), если она касается
прямой, содержащей этот луч (отрезок) в точке, принадлежащей лучу
(отрезку).
Определение. Если окружность касается сторон угла, то она называ-
ется вписанной в угол.
Теорема (об окружности, вписанной в угол).
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла.
Докажите эту теорему самостоятельно, ис-
пользуя рисунок 325,
Из теоремы вытекает, что центры всех
окружностей, вписанных в угол, лежат на бис-
сектрисе угла (рис. 326).
А теперь выполните Тест 1 и Тест 2.
Тест 2
Тест 1
Найдите угол А, если ЛВ — каса-
тельная.
Задания к § 25
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
ключевые задачи
А и В — точки касания.
Найдите ЛВАО.
м В
Рис. 327
Задача 1. Из точки А к окружности с центром О
проведены две касательные ЛВ и АС, где В и С —
точки касания, ОВ = 6 см, АС — 8 см. Найти дли-
ну отрезка АК (рис. 327).
Решение. Воспользуемся тем, что касательная
перпендикулярна радиусу, проведенному в точку
касания, и тем, что отрезки касательных, прове-
денных из одной точки к окружности, равны между
собой Тогда АВ - АС = 8 см, ОВ ± АВ и ЛАВО — прямоугольный. По тео-
реме Пифагора АО = \АВ2 + ОВ‘ = + 62 =10 (см). Так как ОК = О В =
= 6 см как радиусы одной окружности, то АК = АО - ОК = 10 - 6 = 4 (см).
Ответ: 4 см.
Задача 2. В угол А вписана окружность, прямая МК — касательная
(рис. 328). Найти периметр треугольника АМК, если АВ = 12 см.
Решение. Пусть В, С и Г) — точки касания. Так
как отрезки касательных, проведенных из одной
точки к окружности, равны между собой, то
АС = АВ = 12 см, МВ = МВ и КС = КВ.
Тогда АМ +- МВ = АМ + Л/В = АВ = 12 см,
АК + КВ = АК + КС = АС = 12 см,
РАММ = (АМ + МВ) + (АК I- КВ) = АВ + АС = 12 +
+ 12 = 24 (см).
Ответ: 24 см.
Замечание. Полезно запомнить. РАМк =- 2АВ.
Задача 3. Построить при помощи циркуля и линейки касательную к
данной окружности, проведенную через точку, взятую вне окружности.
Решение. Пусть дана окружность с заданным центром О и точка М
вне окружности (рис. 329, а).
Построение.
1-й шаг. Проводим отрезок МО и на нем как на диаметре строим
окружность (рис. 329, б). Для чего отрезок МО делим пополам, находим
его середину О, и радиусом О.Л1 строим окружность.
2-й шаг. Отмечаем точку К пересечения построенной окружности и
данной. Проводим прямую МК, которая и будет искомой касательной к
данной окружности (рис. 329, в).
Доказательство. Угол МКО — прямой, так как его вершина лежит
на окружности и он опирается на диаметр (доказано в 7-м классе). Поэто-
му ОК А МК, и тогда по признаку касательной прямая МК является ка-
сательной к окружности.
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
351. Изобразите окружность с центром в точке О и радиусом 3 см. Вне
окружности отметьте точку А, где ОА — 5 см. Проведите из точ-
ки А касательную к данной окружности. Обозначьте точку каса-
ния буквой В. Объясните., почему А.АОВ — прямоугольный. Про-
ведите другую касательную АС, где С — точка касания. Объясните,
откуда следует, что АВ - АС. Найдите при помощи теоремы Пи-
фагора длину отрезка АВ. Проверьте полученный результат изме-
рением.
352. На рисунках 330, а)—е) из точки А проведены касательные к
окружности с центром в точке О. Найдите величину угла, отмечен-
ного знаком вопроса.
353. На рисунках 331, а)—в) точка О — центр окружности, прямые МА
и МВ — касательные, А и В — точки касания. Найдите:
а) величину угла а (рис. 331, а);
б) сумму углов а + [3, если МК = ОА = 5 см (рис. 331, б);
в) длину отрезка ВМ, если ОА = 6 см, КМ = 4 см (рис. 331, в).
Рис. 331
354. На рисунках 332. а), б) АВ — касательная к окружности, В — точ-
ка касания, О — центр окружности. Найдите:
а) х_ВОС, если ОС = 3\/3 см, АВ = 3 см (рис. 332, а);
б) АС, если АВ = 12 см, ОС = 9 см (рис. 332, б).
355. К окружности проведены касательная АВ (В — точка касания) и
секущая АС, проходящая через центр О окружности, АА - 60°,
АВ = 4х/3 см. Найдите диаметр окружности (рис. 333).
356. Окружность с центром в точке О касается сторон АВ и АС треуголь-
ника АВС, лВ = 56°, АС - 74° (рис. 334). Найдите ЛАВВ.
357. Окружность с центром в точке О касается стороны АВ треугольни-
ка АОВ в точке К и пересекает сторону ОВ в точке С (рис. 335);
ВС = 2 см, АК = 2 см, КВ = 4 см. Найдите:
а) ОВ- б) 8аов.
358. Окружность с центром О вписана в угол ВАС, В и С — точки
касания. Отрезки АО и ВС пересекаются в точке К, ОК = 2 см,
ОВ = 4 см, Найдите длину отрезка АК.
359. Точка М лежит вне окружности с центром в точке О. Точка К при-
надлежит окружности. Докажите, что если АКМО +- АМОК = 90°,
то прямая МК — касательная к окружности.
360. Из точки А к окружности с центром О проведены секущая и каса-
тельная АБ (где В — точка касания). Расстояние от центра окруж-
ности до секущей равно 6 см, длина отрезка секущей внутри окруж-
ности равна 16 см, АО = 26 см. Найдите длину отрезка АВ.
361. Дан треугольник со сторонами 12, 15 и 18. Окружность касается
двух меньших сторон треугольника, а ее центр лежит на большей
стороне. Найдите длины отрезков, на которые центр окружности
делит большую сторону.
362* На координатной плоскости задана окружность с центром Р(3; 2) и
радиусом, равным 2. Из точки А(-2; 0) к окружности проведена ка-
сательная, отличная от оси абсцисс, которая касается окружности в
точке В. Найдите площадь треугольника АРВ.
363 |е. Постройте при помощи циркуля и линейки окружность заданного
радиуса тп, которая касается данной прямой I в отмеченной на ней
точке К.
364*. При помощи циркуля и линейки впишите в данный угол А окруж-
ность данного радиуса В.
365*. Найдите геометрическое место центров окружностей, если все
окружности проходят через две данные точки А и В.
§ 26. Взаимное расположение окружностей
Если дзе окружности имеют только одну общую точку, то они называ-
ются касающимися друг друга в этой точке. А если они имеют две общие
точки, то — пересекающимися. Прямая, которая проходит через центры
двух окружностей, называется линией центров этих окружностей.
Справедливо свойство: «Точка касания двух касающихся окружно-
стей принадлежит линии центров этих окружностей».
Действительно. Пусть две окружности с цен-
трами в точках О; и О2и радиусами Виг касают-
ся в точке А, которая является их единственной
общей точкой.
Предположим, что точка А не принадлежит
прямой О1О2 (рис. 336). Построим симметричную
ей точку Аг относительно прямой О,О2. Так как
ОгО2 — серединный перпендикуляр к отрезку
А4 ], то О А = ОА1 = В, О А = ОА1 = г- Значит, точ-
ка А1 принадлежит каждой из данных окружно-
стей, то есть является их второй общей точкой.
Но по условию общая точка одна. Следовательно,
точка А принадлежит линии центров.
Две касающиеся окружности имеют об-
щую касательную, которая проходит через
их общую точку (рис. 337). Пусть К — точка
касания окружностей с центрами О, и О2, она
принадлежит прямой ОХО2. Проведем через точку К прямую I X ОХО2.
По признаку касательной прямая I является касательной к каждой из
окружностей, т е. / — общая касательная двух окружностей. Касающие-
ся окружности могут располагаться как по разные стороны от их общей
касательной, так и по одну сторону от нее (см. рис. 338, г). В первом слу-
чае говорят, что они касаются внешним образом, во втором, — что они
касаются внутренним образом.
Для двух окружностей с радиусами В и г (В > г) и расстоянием
с/ - ОХО2 между их центрами можно выделить шесть случаев их различ-
ного взаимного расположения на плоскости (рис. 338. а)—е):
а) окружности расположены внешним образом и не касаются: с/ > В + г;
б) окружности касаются внешним образом: д. - В + г;
в) окружности пересекаются (в 2 точках): В-г<с1<В + г (неравен-
ство треугольника);
г) окружности касаются внутренним образом: с/ = В' - г;
д) окружности расположены внутренним образом, не касаются, и их
центры не совпадают: <1 < В - г;
е) окружности расположены внутренним образом, их центры совпада-
ют (концентрические окружности): с/ = О,
Из сказанного следует, что из трех отрезков можно построить тре-
угольник, если каждый из них меньше суммы двух оставшихся.
Л теперь выполните Тест 1.
Тест 1
Радиусы двух окружностей равны 12 см и 16 см. Расстояние между их цент-
рами 24 см. Сколько общих точек имеют эти окружности:
а) одну; б) две; в) три; г) ни одной?
Если две окружности расположены внешним образом или пересекают-
ся, то можно построить их общую касательную, такую, что окружности
будут лежать по одну сторону от этой касательной. Такая касательная на-
зывается общей внешней касательной по отношению к данным окружно-
стям. На рисунке 339, а) это касательные АВ и А1В1.
Для окружностей, расположенных внешним образом, можно постро-
ить такую общую касательную, что окружности будут лежать по разные
стороны от нее. Такая касательная называется общей внутренней каса-
тельной по отношению к двум данным окружностям. На рисунке 339, б)
это касательные СВ и С1В1.
Существуют две внешние и две внутренние касательные к двум ука-
занным окружностям. Эти касательные симметричны относительно линии
центров 0^2. Отрезки этих касательных, заключенные между точками
касания, равны между собой (АВ = АД^, СВ = С1В1), а точки пересечения
двух внешних касательных (в случае неравных окружностей) и двух внут-
ренних касательных лежат на линии центров.
А теперь выполните Тест 2.
Тест 2
Три окружности с диаметрами 6 см, 8 см и 10 см
попарно касаются друг друга. Найдите периметр
треугольника О1О2О3, где О1, ОД О3 — центры
окружностей.
Задания к § 26
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
ключевые задачи
Задача 1. Доказать, что общая хорда двух пересекающихся окружностей
перпендикулярна линии их центров и делится ею пополам.
Рис. 340
Доказательство. Пусть две окружности с
радиусами В и г соответственно с центрами в
точках Ох и О2 пересекаются в точках А и В
(рис. 340). Так как точка Ох равноудалена от
точек А и В ((ДА - (ДВ = В), то она лежит на
серединном перпендикуляре к отрезку АВ. Точ-
ка О2 также равноудалена от концов отрез-
ка АВ (ОзА = О2В - г), следовательно, она так-
же лежит на серединном перпендикуляре к
отрезку АВ. Поскольку
через две точки проходит единственная прямая,
то ОХО2 — серединный перпендикуляр к отрезку АВ, то есть ОХО2 А.В,
АГ - ВВ. Что и требовалось доказать.
Задача 2. Две окружности с радиусами Виг касаются внешним образом.
Найти длину отрезка общей внешней касательной этих окружностей,
заключенного между точками касания.
О2К = О2В - ВК = В - г,
Решение. Пусть АВ — общая внешняя ка-
сательная двух касающихся внешним образом
окружностей с центрами Ох и О2 (рис. 341),
АВ — искомый отрезок. Проведем радиусы
ОХА = г и О2В = В в точки касания. По свойству
касательной ОХА ± АВ, О2В 1 АВ. Из точки Ох
проведем перпендикуляр О2К к прямой О2В.
Четырехугольник А(ДКВ — прямоугольник,
так как все его углы прямые. Отсюда (ДК = АВ,
ВК = АО1 = г. 3 прямоугольном ДСДСДК
ОО2 = В I- г. По теореме Пифагора: ОХЛ =
= \/о|О2-О2К2 = \(В + г)2 - (В - г)2 = 2ДВг. Значит, АВ = 2^Вг.
Ответ: 2.В.г.
Задача 3. В угол вписаны две касающиеся внешним образом окружности.
Радиус большей из них равен 6, расстояние от ее центра до вершины.
угла равно 30. Найти радиус меньшей
Решение. Пусть Ох и О2 — центры
данных окружностей, вписанных
в угол А, М и К — точки касания
окружностей со стороной угла, ОХЛ4,
(ДК — радиусы. Тогда (ДК ± АК,
(ДМ ± АК, (ДК = 6, (ДМ = х, АО2 =
= 30. Из подобия прямоуголь-
ных треугольников АСДМ и А(ДК
(по общему острому углу О2АК)
окружности (рис. 342).
м к
Рис. 342
ОхАГ Оо К Ь х 1 ,, л у-» я-
следует, что —-— = —— = —, то есть ------------ = —. Отсюда АОЛ = 5х,
АОг АО2 30 АОг 5 1
ОХО2 - х + 6, АО2 - АО{ + ОгО2, 5х + (х + 6) = 30, 6х = 24, х = 4. Иско-
мый радиус ОХМ = 4.
Ответ: 4.
' РЕШАЕМ
Ж САМОСТОЯТЕЛЬНО
366. Даны две окружности с радиусами В и г и расстоянием с/ между их
центрами. Определите, как расположены окружности относительно
друг друга, если:
а) В = 12 см, г = 5 см, в. = 10 см;
б) В = 36 см, г = 12 см, с! = 48 см;
в) В = 45 см, г = 15 см, д, = 70 см.
367. Две окружности с диаметрами 16 м и 6 м касаются внешним обра-
зом. Найдите расстояние между центрами окружностей.
368. Две окружности касаются внутренним образом. Расстояние между
центрами окружностей 224 см. Радиус меньшей окружности равен
56 см. Найдите радиус большей окружности.
369. Три окружности с центрами Ох, О2, О3 и радиусами, равными 2 см,
4 см и 6 см, попарно касаются друг друга внешним образом. Най-
дите площадь треугольника ОО,ОЯ.
370. Три равных окружности с центрами в точках А, В и С попарно ка-
саются друг друга. Периметр треугольника АВС равен 24 см. Най-
дите радиус этих окружностей.
371. Даны две равные пересекающиеся окружности с
радиусом 5 м. Длина их общей хорды АВ равна 4 • • • В
8 м. Найдите расстояние между центрами окруж-
ностей.
372. Диаметры двух концентрических окружностей
равны 6 м и 10 м. Хорда АВ большей окружности
касается меньшей окружности (рис. 343). Найди- р,,,
те длину хорды АВ.
373. Даны две касающиеся внешним образом окружности (рис. 344,
с. 166). Радиус меньшей окружности равен 4 см. Длина отрезка АН
внешней касательной, где А и В — точки касания, равна 12 см.
Найдите радиус большей окружности.
374 Две окружности касаются внешним образом в точке К (рис. 345).
Прямая АВ — их общая внешняя касательная, где А и В — точ-
ки касания. Прямая КМ — общая внутренняя касательная этих
окружностей. Докажите, что:
а) КМ = ±АВ; б) ЛАКВ = 90°.
375. Прямая АВ — общая внешняя касательная двух окружностей с
центрами О, и О?, которые касаются внешним образом (рис. 346),
А и В — точки касания прямой АВ и окружностей, точка В — се-
редина отрезка АВ, КО1О2В = 37°. Найдите ЛВОГО2.
376ч Даны две окружности с радиусами 9 см и 4 см, Третья окружность
касается двух данных окружностей и их общей внешней касатель-
ной а. Найдите радиус этой окружности Рассмотрите все варианты.
377*. Прямая МК — общая внутренняя касательная двух окружностей,
радиусы которых равны 3 см и 5 см, М и К — точки касания
(рис. 347). Расстояние между центрами окружностей равно 10 см
Найдите длину отрезка МК.
378*. Даны радиусы В и г двух окружностей. При помощи циркуля и
линейки постройте:
а) две окружности с радиусами В и г, касающиеся друг друга внеш-
ним образом;
б) две окружности с радиусами В и г, касающиеся друг друга вну-
тренним образом.
379*. Даны две окружности, расположенные внешним образом (д > К + г).
При помощи циркуля и линейки постройте:
а) их общую внешнюю касательную;
б) их общую внутреннюю касательную.
Гимнастика ума
Диаметр большой окружности с центром в точке О ра-
вен 24 см (рис. 348). Вторая окружность с центром в точ-
ке А касается большой окружности внутренним образом.
Третья окружность с центром в точке В касается первой
окружности внутренним, а второй — внешним образом.
Найдите периметр треугольника АВО.
ПОДВОДИМ
итоги
Знаем
1. Определение касательной к окружности.
2. Свойство касательной и признак касательной.
3. Свойство касательных, проведенных из одной точки к окружности.
4. Свойство окружности, вписанной в угол.
5. Все случаи взаимного расположения двух окружностей.
Умеем
1. Доказывать признак касательной.
2. Доказывать теорему о свойстве касательной.
3. Доказывать теорему о равенстве отрезков касательных, проведенных из
одной точки к окружности.
4. Строить при помощи циркуля и линейки касательную к данной окружно-
сти, проходящую через точку, данную вне окружности.
§ 27. Центральный и вписанный углы
Определение. Центральным углом окружности называется угол, вер-
шина которого находится в центре окружности.
Дуга окружности, заключенная внутри центрального угла, и этот цен-
тральный угол называются соответствующими друг другу.
Определение. Градусной мерой дуги окружности называется градус-
ная мера соответствующего ей центрального угла.
а)
б)
80° 210° 360°
Рис. 349
На рисунке 349, а) изображен центральный угол АОВ, равный 80°.
Ему соответствует дуга АВ. заключенная внутри угла. Поэтому -ЛВ = 80°.
На рисунке 349, б) центральный угол СОЛ равен 210°, соответствующая
ему дуга СВ также равна 210°. Полному центральному углу (рис. 349, е)
соответствует вся окружность. Поэтому окружность содержит 360°.
Центральный угол
и соответствующая ему дуга могут изменяться
от 0° до 360е.
На рисунке 350, а) дуги АКВ и
АМВ являются дополнительными
(дополняют друг друга до окруж-
ности), поэтому сумма их градус-
ных мер 360°. Говорят, что хор-
да АВ стягивает дугу АМВ и ду-
гу АКВ.
На рисунке 350, б) диаметр АВ
стягивает полуокружность АКВ, ко-
торая равна 180°, т. к. ей соответ-
ствует центральный л АОВ, который
является развернутым.
Дуги одной окружности или
равных окружностей называются
равными, если равны их градусные меры. Большей считается та дуга,
которая имеет большую градусную меру. Если ААОВ = а и аВОС = а
(рис. 350, в), то '-АВ = ^ВС.
Отметим, что окружность и любая ее дуга характеризуются и длиной,
и градусной мерой. Говорят «дуга окружности равна 6 см», также говорят
«дуга окружности равна 30°». Длина дуги прямо пропорциональна ее гра-
дусной мере. Дуги одной окружности, имеющие равные градусные меры,
равны по длине и наоборот,
А теперь выполните Тест 1
Тест 1
Определение. Вписанным углом называется угол, вершина которого
принадлежит окружности, а стороны пересекают окружность.
В определении вписанного угла имеется в виду угол, меньший 180°.
На рисунке 351, а) Е.МКЫ — вписанный. Ему соответствует дуга МЫ,
заключенная внутри этого вписанного угла, и центральный ЕМОЫ Гово-
рят, что ЫМКЫ и ЕМОЫ опираются на дугу МЫ.
На рисунке 351, б) ХРЬЕ — вписанный. Ему соответствует дуга РСЕ и
содержащий эту дугу центральный угол РОЕ, который больше 180°.
Любой вписанный угол в 2 раза меньше соответствующего цен-
трального угла и дуги, на которую он опирается. Если /.МКЫ = 40°, то
ЕМОЫ = ММЫ = 80°, если ЕРЕЕ = 120°, то ЕРОЕ = МОЕ = 240°.
То есть РАВС = ^ЕАОС = (рис. 351, в). Докажем это утверж-
дение.
Теорема (о вписанном угле).
Вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального
угла, а также половине дуги, на которую он опирается.
Рис. 352
Доказательство. Рассмотрим три случая,
а) Пусть центр О окружности лежит на стороне ВС вписанно-
го угла АВС (рис. 352, а). Тогда ВС — диаметр, ОА = ОВ как радиу-
сы, ААОВ — равнобедренный, А\ = А2 как углы при его основании;
ААОС — внешний для ААОВ. По свойству внешнего угла треугольника
ААОС = /1 + А2 = 2лАВС, откуда ААВС = \аАОС = ^АС.
б) Пусть центр окружности лежит внутри вписанного угла АВС
(рис. 352. б). Проведем диаметр ВК. По доказанному в и. а) АЛ - ±^АК,
А2 = [ ^КС, тогда ААВС = А1 + А2 = ^('-'АК + ^КС) = ^АС = ±ААОС.
в) Пусть центр окружности лежит вне вписанного угла АВС
(рис. 352, в). Проведем диаметр ВК. По доказанному в п. а) АХ = — АК,
А2 = -^СК, тогда ЛАВС =А\ - А2 = -С-АК - ^СК) = '-^АС = -ААОС.
Теорема доказана.
Следствия.
1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между
собой.
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой. И обратно,
если вписанный угол — прямой, то он опирается на диаметр.
На рисунке 353, а) л АВ С = ААВ2С = ААВ3С - ААВ4С, поскольку все
эти вписанные углы опираются на общую дугу АС, а, следовательно, их
градусные меры равны половине градусной меры дуги АС.
На рисунке 353, б) вписанный угол АВС опирается на диаметр АС.
Так как соответствующий углу АВС центральный угол АОС — разверну-
тый, а соответствующая дуга АС является полуокружностью, то ААВС =
= —'180° = 90°.
2
А теперь выполните Тест 2.
Тест 2
Если АВ — диаметр,\ААВС - 60е, то
а) А АС В = ...
б) АСАВ = ...
в) АСВВ = ...
Задания к § 27
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
ключевые задачи
Задача 1 Доказать, что равные хорды одной окружности стягивают
равные дуги (речь идет о дугах одновременно меньших (больших) полу-
окружности ).
Рис. 354
Доказательство. Пусть хорды ЛВ и СВ рав-
ны (рис. 354). Эти хорды стягивают соответствен-
но дуги АВ и СВ. Так как АЛОВ = АСОВ по трем
сторонам (ОА = ОВ = ОС = ОВ как радиусы одной
окружности), то АЛОВ = АСОВ. Отсюда следует, что
-АВ - -СВ. Что и требовалось доказать.
Замечание. Сформулируйте и докажите обратное
утверждение.
Задача 2. Доказать, что дуги, заключенные между параллельными се-
кущими к окружности, равны между собой.
Доказательство.
Пусть АВ || СВ (рис. 355). Проведем хорду АВ. Углы
1 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных
прямых.
Из равенства вписанных углов следует равенство
дуг, на которые они опираются, то есть '-АС - ВВ
Задача 3. Доказать теорему: «Угол между касательной и хордой, выхо-
дящей из точки касания, измеряется половиной дуги, заключенной вну-
Рис. 356
Доказательство. Пусть ВВ — касательная к окруж-
ности с центром в точке О, где А — точка касания,
АС — хорда. Докажем, что АСАВ = (рис. 356).
Проведем диаметр АК. По свойству касательной
АКАВ = 90° и АСаВ дополняет /I до 90°. С другой
стороны, АС — 90° как вписанный угол, опирающий-
ся на диаметр, поэтому ААКС также дополняет А\
до 90°. Поэтому АСАВ = ААКС. Но ААКС = -^АС.
Откуда АСАВ = —^АС. Что и требовалосв доказать.
Случай, когда угол между хордой и касателвной прямой (АВАК) или
тупой (АСАВ), рассмотрите самостоятелвно.
Замечание. Полезно запомнить свойство: «Угол между касательной и хордой,
выходящей из точки касания, равен вписанному углу, опирающемуся па дугу, за-
ключенную между касательной и хордой » (рис. 357).
Задача 4. Доказать следующие утверждения: а) Диаметр, перпендику-
лярный к хорде, делит хорду и стягиваемые ею дуги пополам; б) Диа-
метр, проведенный через середину хорды, не являющейся диаметром,
перпендикулярен этой хорде и делит стягиваемые ею дуги пополам;
в) Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности
и делит стягиваемые хордой дуги пополам (рис. 358, а—в).
Доказательство, а) ААОВ — равнобедренный (ОА = ОВ как радиусы),
а его высота ОН, проведенная к основанию АВ, является медианой и бис-
сектрисой (рис. 358, а). Поэтому АН - НВ, ААОМ = АВОМ, '-АМ - \>ВМ.
Утверждения б) и в) докажите самостоятельно (рис. 358, б, в).
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
380. Нарисуйте окружность, изобразите центральный угол АОВ и впи-
санный угол АКВ, опирающиеся на ту же дугу, если нейтральный
угол равен: а) 60°; б) 90е; в) 120е; г) 270е. Запишите, сколько гра-
дусов содержит в каждом случае вписанный угол и соответствую-
щая дуга.
381. По данным на рисунках 359, а)—в) найдите градусную меру угла
или дуги, которые обозначены знаком вопроса (О — центр окруж-
ности).
Рис. 359
382. Радиус окружности равен 24 см. Найдите длину хорды, которая
стягивает дугу, содержащую:
а) 60°; б) 90°; в) 180°; г) 300е.
383.
На рисунках 360, а)—в) О — центр окружности. Найдите угол А,
если:
а) ЕМ ± КС; б) АВОС — равносторонний; в) А1 + А2 = 126°.
384. Точки А, Б и С лежат на окружности и являются вершинами
равнобедренного треугольника АВС с основанием АС и углом при
вершине, равным 78°, Найдите градусные меры дуг АВ, ВС и АС,
которые заключены внутри углов треугольника АВС.
385. а) Вписанный угол АВС на 32° меньше соответствующего цент-
рального угла АОС. Найдите центральный угол АОС.
б) Центральный и соотвествующий ему вписанный угол вместе
составляют 63’12', Найдите эти углы.
в) Вписанный угол, соответствующий ему центральный угол и дуга,
на которую эти углы опираются, вместе составляют 200°. Найдите
градусные меры этих углов и дуги.
386. Точка О — пентр окружности (рис. 361), АВ = 110°. Найди-
те ААОС.
388. Окружность вписана в угол ВАС, В и С — точки касания прямых
АВ и АС и окружности (рис. 363). Угол ВВС равен 40°. Найдите
величину угла А.
389. а) В окружности, радиус которой равен 10 см, проведена хорда дли-
ной 16 см. Найдите расстояние от центра окружности до прямой,
содержащей эту хорду.
б) Хорда окружности равна 24 см, расстояние от центра окружности
до прямой, содержащей хорду, равно 5 см. Найдите диаметр окруж-
ности.
в) В окружности, радиус которой 5 см, проведены две параллельные
хорды длиной 6 см и 8 см по разные стороны от центра. Найдите
расстояние между хордами.
39С а) Докажите, что дуга окружности, равная 60°, стягивается хордой,
равной радиусу окружности.
б) Докажите, что вписанный угол, равный 30°, опирается па хорду,
равную радиусу окружности.
391. Дана окружность с центром О и радиусом В и вписанный в нее
лАВС. Найдите площадь треугольника АОС, если:
а) ААВС = 30°, В = 4 см; б) ААВС = 45°, АС = 8у 2 см.
392. Точка О является центром окружности (рис. 364), /ЛВС = 116°.
Найдите АСАВ.
393. Прямая МК касается окружности в точке А, лАВАМ = 76е, АС —
биссектриса угла ВАК (рис. 365). Найдите величину угла АВС.
394. Окружность касается стороны АС треугольника АВС в точке К, про-
ходит через его вершину Б и пересекает стороны АВ и ВС соот-
ветственно в точках М и Л7, АСКА = 40°, лАКМ = 60°, АА = 50°.
Найдите АС.
395. а) Докажите, что прямой вписанный угол опирается на диаметр.
б) На окружности с радиусом 9 см отмечены точки А, В и С такие,
что АВАС = 52°, ААСВ = 38°. Найдите длину хорды АС.
в) Вершины треугольника АВС принадлежат окружности, радиус
которой равен 8,5 см, АА + АВ - 90°, АС - 8 см. Найдите площадь
треугольника АВС.
396. Хорда АС окружности равна 6 см и стягивает дугу АС, равную 60°.
Хорда АВ проходит через центр окружности. Найдите площадь
△АВС.
397. Докажите, что окружность, построенная на боковой стороне равно-
бедренного треугольника как на диаметре, проходит через середину
основания.
398* По данным на рисунке 366 найдите АВСО,
где О — центр окружности.
399*. В окружности проведены три произвольные
хорды АВ, ВС и СВ (рис. 367). Точки М, В и
К — соответственно середины данных хорд.
Докажите, что АЕКА = АСМА.
400*. Найдите геометрическое место середин хорд
окружности, проведенных из одной точки
окружности.
Гимнастика ума
На плоскости изображена окружность, ее диаметр
АВ и точка М вне окружности (рис. 368). При помощи
односторонней линейки опустите перпендикуляр из
точки М на диаметр. (Односторонняя линейка без де-
лений позволяет проводить только прямые линии.)
Рис 368
ПОДВОДИМ
итоги
Знаем
1 . Определение вписанного и центрального углов.
2 Как определяется градусная мера дуги окружности и сколько градусов со-
держит вся окружность.
3 Теорему о величине вписанного и центрального углов окружности.
4 . Свойство вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу.
5 . Свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр.
6 Чему равен угол между хордой и касательной, имеющими общую точку на
окружности.
Умеем
1. Доказывать теорему о том, что вписанный угол равен половине централь-
ного угла.
2. Доказывать теорему об угле между хордой и касательной.
§ 28. Углы, образованные хордами,
секущими и касательными
Теорема. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме
дуг, заключенных внутри данного угла и угла, вертикального данному,
то есть а = Х(Р + у) (рис. 369).
2
Рис. 369
Доказательство. Нужно доказать, что угол АМ В
равен полусумме -АЕ = р и -СВ = у (см. рис. 369).
Проведем хорду АС. Для ЛАМС угол АМВ — внеш-
ний, поэтому аАМВ = ЕА + Х2. Но углы 1 и 2 —
вписанные. По свойству вписанного угла А\ = АВ,
/2 = -1- о СВ. Тогда ЛАМВ = | -ЛВ + -у СВ = -(Р + у).
Теорема доказана.
Теорема. Угол между секущими, проходящими через одну точку
вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных внутри угла,
то есть а = - (Р - у) (рис, 370).
2
Доказательство. Нужно доказать, что угол
АМВ равен полуразности --АВ - р и ^СВ = у
(см. рис. 370). Проведем хорду ВС Для ВМВС
/А — внешний, поэтому И1 = а + И2, откуда
а = /А — Л2. Но углы 1 и 2 — вписанные.
По свойству вписанного угла И1 = ^'-АВ,
А2 = ±^СВ.
2
Тогда ААМВ = ^АВ - ±~СВ = |(р - у).
Теорема доказана.
Свойство 1. Угол между секущей и касательной, проходящими
через одну точку вне окружности, равен полуразности дуг, заключен-
ных внутри угла и ограниченных точками пересечения и точкой ка-
сания.
Свойство 2. Угол хмежду двумя касательными, проходящими че-
рез одну точку вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных
внутри угла и ограниченных точками касания.
На рисунке 371, а) угол М, равный а, является углом между касатель-
ной и секущей, на рисунке 371, б) — углом между касательными. В обоих
случаях а = -|-(Р - у). Докажите указанные свойства самостоятельно.
Л теперь выполните Тест 1 и Тест 2.
Тест 2
Тест 1
Если ^ВМВ = 195°^АС = 35°_а то
АВКВ =...
Задания к § 28
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
Ключевые задачи
Рис. 373
Задача 1. Найти угол ВМВ между хордой СВ и
диаметром АВ, если известно, что дуга АС рав-
на 30°, а дуга АВ равна 110° (рис. 372).
Решение. Так как АВ — диаметр, то дуга АОВ
равна 180°. Тогда дуга ВВ равна 180е - 110° = 70°.
Искомый угол ВМВ равен полусумме дуг ВВ и АС,
т. е. АВМВ = Н^ВВ ^АС) = |(70° + 30°) = 50°.
Ответ: 50°.
Задача 2. Найти угол А, если -КМ = 45°,
-МЕ = 90°, <-КС = 100° (рис. 373).
Решение. Зся окружность содержит 360°. Най-
дем градусную меру дуги ВС. Получим -ВС =
= 360° - '-КС - -МК - ^МВ - 360° - 100° - 45° -
- 90° = 125°.
Искомый угол А равен полуразности градус-
ных мер дуг ВС и МК, т. е.
/А = ^ВС-*МК) = 1(125° - 45е) = 40е.
Ответ: 40°.
Задача 3. Вершины четырехугольника АВСВ принадлежат окружности,
диагонали АС и ВВ пересекаются в точке М. Известно, что лВВС = 26°,
В АМ В = 80°. Найти угол между прямыми АВ и ВС (рис. 374).
Решение.
с 1) Продлим отрезки АВ и ВС до
26 ’гтг-/>•-&' пересечения в точке К. Вписанный
М угол ВВС опирается па дугу СВ. По-
80°(р<1 этому -СВ = 2хВВС = 2 • 26° = 52°.
2) Пусть '-АВ = х. Так как /.АМВ —
это угол между хордами АС и ВВ,
то /АМВ = — (АВ + -СВ), то есть
А Рис 374 , 2
80° = — (х + 52°). Откуда х = 108°,
-ЛВ = 108°.
3) Так как /АКВ — это угол между секущими КА и КВ, то аАКВ =
= .(-АВ - ^>СВ) = ^(108° - 52°) = 28°. Поскольку этот угол острый, то
он является углом между прямыми АВ и ВС.
Ответ: 28°.
Замечание. Второй способ решения заключается в нахождении углов треуголь-
ника МВС, а затем углов треугольника АСА.
При помощи Интернета выясните
историю происхождения эмблемы
Олимпийских игр. Определите,
сколько пар пересекающихся ко-
лец и сколько пар иепересекающихся колец па рисунке.
Вспомните, какие еще эмблемы содержат окружности.
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
401. По данным на рисунках 375 а)—в) найдите градусную меру угла
или дуги, которые обозначены знаком вопроса.
402.
На рисунках 376,
а)—в) АВ и АС — секущие, О — центр окруж-
п. а) и б) /А\ в п. в) градусную меру дуги МК.
Найдите: в
ности.
403.
Из точки М, лежащей вне окружности, к этой окружности проведе-
ны касательные МА и МВ. Точки касания А и В делят окружность
на две дуги, градусные меры которых относятся как 3 7, Найди-
те ХАМВ.
404
Прямая АК — касательная к окружности.
К — точка касания (рис. 377). Дуга СВ рав-
на 130°, дуга СК равна 75°. Найдите /А.
405.
Хорды АВ и СВ пересекаются в точке К,
/ВКВ = 60°, ^БВ на 20° больше -АС. Найди-
те -АС.
М, /ВАС = 36°,
406.
Вершины четырехугольника АВСВ лежат
на окружности, диагонали пересекаются в точке
/САВ ь /АВС = 138°. Найдите /ВМС.
407.
По данным на рисунке 378 найдите а - р.
408.
Если а + Р + у = 130° (рис. 379), то чему равна величина угла Р?
409.
Дано, что ^АВ =
прямыми:
а) АС и ВВ;
120°, /ВАС = 32° (рис. 380). Найдите угол между
б) АВ и ВС.
Рис. 378
Рис. 380
Право!
ве1
410*. На рисунке 381, а)—б) АБ — диаметр окружности. Докажите:
а) /.АМВ — тупой;
б) х^АМВ — острый.
411*. На рисунке 382 точка О — центр окружности, АВАС - 20°, АБ =
= ОС. Найдите АС.
412*. Из точки А проведены касатель-
ная АВ, где В — точка касания, и
секущая АС, проходящая через центр
О данной окружности (рис. 383). Луч
АМ — биссектриса угла ВАС. Дока-
жите, что:
а) ^МК + ^ВА = ^КВ + ^АС;
б) ААБВ = 45°.
413 \ Найдите геометрическое место вершин прямых углов, стороны ко-
торых проходят через две данные точки.
Реальная геометрия
Напомним, как определяются географи-
ческие координаты на поверхности Земли
(рис. 384):
1 — нулевой (Гринвичский) меридиан;
2 — меридианы, которые находятся спра-
ва (восточнее) от нулевого меридиана;
3 — параллели, которые находятся снизу
(южнее) от экватора;
4 — экватор.
Пересечение нулевого меридиана (1) и эк-
ватора (4) — начало отсчета географических
координат
К северу от экватора вдоль меридиана
дуга окружности (четверть окружности) со-
держит 90° северной широты (с. ш.), к югу от
экватора — 90° южной широты (ю. ш.).
Рис. 384
К востоку от нулевого меридиана дуга окружности (полуокружность) содержит
180° восточной долготы (в. д,), а к западу от нулевого меридиана — 180° западной
долготы (з. д).
Задача.
Штаб-квартира ООН (Организации Объединенных Наций) находится в Нью-
Йорке (США). Географические координаты Нью-Йорка: 39° с. ш., 77° з. д , а коорди-
наты Минска: 54° с. ш., 27,5° в, д.
а) Определите расстояние, которое нужно преодолеть по поверхности Земли,
чтобы попасть из параллели, где расположен Минск, на параллель, где расположен
Нью-Йорк, двигаясь вдоль меридиана, на котором находится Минск.
Подсказка: расстояние между двумя параллелями, различающимися на 1°, рав-
но 111 км.
б) Определите кратчайшее расстояние, которое нужно преодолеть, двигаясь по
54-й параллели, чтобы попасть из меридиана, на которой расположен Минск, на ме-
ридиан, на котором расположен Нью-Йорк.
Подсказка: длина 54-й параллели 23 500 км и длина дуги окружности прямо
пропорциональна ее градусной мере.
Интересно знать. ООН — самая авторитет-
ная международная организация, которая решает
вопросы безопасности и сотрудничества на плане-
те Земля.
Беларусь является одной из стран учредите-
лей Организации Объединенных Наций (октябрь
1945 г). Участие Беларуси в создании ООН стало
признанием международным сообществом огром
ной роли, которую сыграл белорусский народ в
деле победы над фашизмом,
§ 29. Свойство отрезков хорд и касательных
Теорема (о пересекающихся хордах).
Произведения отрезков пересекающихся хорд равны между собой,
т. е. аЪ = ей (рис. 385).
Доказательство. Пусть хорды АВ и СП пересе-
каются в точке К, АК = а, КВ = Ь, СК = с, КВ - й.
Нужно доказать, что АК • КВ = СК • КЛ, или аЬ = ей
(см рис. 385). Проведем хорды АС и ВВ Так как
лАКС = АВКВ как вертикальные, а ААСВ = АВВА
как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу
АВ, то ААКС ~ АВК В по двум углам. Из подобия
треугольников следует, что или — = —, от-
СК ВК с ъ
куда аЬ = ей.
Теорема доказана.
Теорема (о касательной и секущей).
Если из одной точки к окружности проведены касательная и секушая,
то квадрат отрезка касательной, соединяющего данную точку и точку
касания, равен произведению отрезков секущей, соединяющих данную
точку и точки ее пересечения с окружностью, т. е. а = Ьс (рис. 386).
Иногда эту теорему формулируют так: «Квадрат касательной равен
произведению секущей на ее внешнюю часть», имея в виду указанные
отрезки.
Ри:. 386
Доказательство. Пусть АВ — касатель-
ная, где В — точка касания и АВ - а, АС — се-
кущая, АС = Ь — отрезок секущей, АВ -с — его
внешняя часть (см. рис. 386). Нужно доказать,
что ЛВ2 = АС • АВ, или а2 = Ьс. Проведем хорду
ВВ. У треугольников АВВ и АСВ АА — общий,
ЛАВВ = ЛАСВ = ^ВВ. Тогда ААВС ~ ЛАВВ по
двум углам. Из подобия треугольников следует,
что или — = —, откуда а ‘ = Ьс. Теорема
доказана.
Следствие.
Если из точки, взятой вне окружности,
к окружности проведено несколько секущих,
то произведения больших отрезков секущих
на их внешние части равны между собой:
АС АВ = АС1 АВг (рис. 387).
Докажите это следствие самостоятельно, ис-
пользуя рисунок и теорему о касательной и се-
кущей.
Задания к § 29
РЕШАЕМ ВМЕСТЕ
Ключедые задачи
Задача 1.
Хорды АВ и СВ пересекаются в точке М. Извест-
но, что АВ = 15 см. СМ = 9 см, МВ = 4 см. Найти
АМ - МВ, если АМ < МВ (рис. 388).
Решение.
Пусть АМ = х см, тогда МВ = (15 - х) см. По теореме
о пересекающихся хордах АМ • МВ = СМ • МВ, то
есть х(15 - х) = 9 • 4. Решим полученное уравнение:
15х - х2 = 36, х2 - 15х + 36 = 0. По теореме Виета (обратной) хг = 3,
х2 = 12 Если АМ = 3 см, то МВ - АВ АМ = 12 см. Так как 3 < 12, то
АМ МВ = 3 : 12 = 1 : 4.
Ответ: 1 : 4.
о
Рис. 389
Задача 2. Точка К делит хорду АВ на отрезки
АК = 7, КВ = 8. Расстояние от центра О окружно-
сти до точки К равно 5. Найти радиус окружности
(рис. 389).
Решение. Проведем диаметр СВ, содержащий от-
резок ОК. Обозначим радиус окружности г. Тогда
КВ = ОК + ОВ = г + 5, СК = ОС - ОК - г - 5. По тео-
реме о пересекающихся хордах СК • КВ = АК • КВ,
то есть (г - 5)(г + 5) = 7 • 8, г2 - 25 = 56, г2 = 81,
г = ±9. По смыслу задачи г > 0. Поэтому г = 9
Ответ: 9.
Задача 3. Из точки А к окружности проведены две секущие АВ и АС
(рис. 390). Найти длину отрезка АВ, если КВ = 14 см, АМ = 8 см,
МС - 7 см.
Рис. 390
Решение. Воспользуемся свойством секущих к
окружности, проведенных из одной точки (след-
ствие из теоремы о касательной и секущей). По-
лучим АВ • АК = АС • АМ. Обозначим АК = х см.
Тогда (х + 14) • х = (8 4 7) • 8, х2 4- 14х - 120 = 0,
хх = -20, х2 = 6. Так как по смыслу задачи х > 0,
то х = 6. Итак, АК = 6 см, АВ = 20 см.
Ответ: 20 см.
РЕШАЕМ
САМОСТОЯТЕЛЬНО
414. На рисунке 391 СМ = 8 см, МВ = 6 см,
МВ - 12 см. Найдите длину отрезка АМ.
415 На рисунке 392 АМ = МВ, СМ = 4 см, МВ =
- 9 см. Найдите длину отрезка .МВ. 12
С' 3 ,,
416. На рисунке 393 АМ = 20 см, СМ - 2МБ, от- * 6
резок МВ на 2 см меньше отрезка СМ. Най- д в
дите длину отрезка СВ. рис
417. Точка О — центр окружности, КВ = 7 см, АК = 12 см, СВ = 20 см
(рис. 394). Найдите длину отрезка КВ
418. АВ — диаметр окружности (рис. 395), АВ ± СВ, КВ = 4 см,
КВ - 6 см. Найдите радиус окружности.
419. Из точки М к окружности проведена касательная МА, где А —
точка касания, и секущая, которая пересекает окружность ь двух
точках С и Л. Точка В лежит на отрезке МС, МВ = 4 см. ВС =
= 12 см. Найдите отрезок АМ.
420. На рисунке 396 АС — касательная, С — точка касания, АС = 3 см,
ВВ = 8 см. Найдите длину отрезка АВ.
421*. На рисунке 397 окружность касается сто-
роны АС треугольника АВС в точке К и
проходит через его вершину В. Найдите
периметр треугольника АВС, если АК =
= 3 см, АК = 6 см, КС = 8 см, СМ = 4 см.
422*. На рисунке 398 АС — касательная к ма-
лой окружности, С — точка касания,
АВ = 2 см, В В = 16 см. Найдите длину
отрезка АС.
ПОДВОДИМ
итоги
Знаем
1. Чему равна величина угла между пересекающимися хордами.
2. Чему равна величина угла между секущими, проведенными из одной точ
ки, взятой вне окружности.
3. Свойство отрезков пересекающихся хорд.
4. Свойство отрезка касательной и отрезков секущей, проведенных из одной
точки, взятой вне окружности.
Умеем
1. Доказывать теорему об угле между пересекающимися хордами.
2 Доказывать теорему об угле между секущими к окружности.
3. Доказывать теорему об отрезках пересекающихся хорд окружности.
4. Доказывать теорему о касательной и секущей.
Об одном геометрическом месте точек*
Вначале рассмотрим задачу.
Задача. Построить дугу окружности, из каждой точки которой дан-
ный отрезок а виден под данным углом а (рис. 399).
Анализ. Центр искомой окруж-
ности лежит на серединном перпенди-
куляре к хорде а. Серединный перпен-
дикуляр к хорде мы построить можем.
Угол между касательной и хордой, вы-
ходящей из точки касания, равен впи-
санному углу, опирающемуся па ту же
дугу. Касательную под углом а к хор-
де а мы построить можем. Радиус, про-
веденный в точку касания, перпендику-
лярен касательной. Восстановить перпендикуляр к касательной в точке
касания мы можем. Пересечение этого перпендикуляра и серединного пер-
пендикуляра к данному отрезку даст центр искомой окружности.
Построение. Строим серединный перпендикуляр МО к отрез-
ку ЛВ = а. Откладываем ЛВАС = а. Из точки А восстанавливаем перпенди-
куляр к прямой АС. Точка О — центр окружности, дуга АКВ — искомая.
Доказательство. ОА 1 АС, следовательно, АС — касательная к
окружности с радиусом ОА; ЛВАС = а = ^АВ как угол между каса-
тельной и хордой; ЛАКВ = '-АВ как вписанный угол, опирающийся на
дугу АВ. Тогда ЛАКВ = а, где К — произвольная точка дуги АКВ.
Из решенной задачи следует, что геометрическим ме-
стом точек плоскости, из которых данный отрезок виден
под углом а, является объединение двух дуг окружностей: о. .К.
дуги АКВ и ей симметричной относительно прямой АВ, за
исключением концов этих дуг, т. е. точек А и В. А В
Данное свойство позволяет построить при помощи цир-
куля и линейки треугольник по стороне, углу напротив и
какому-либо еще элементу треугольника (рис. 400).
Рис. 400 ---'
Упражнения
1. Построить треугольник по основанию а, углу при вершине а и вы-
соте /г, опущенной на это основание.
2. Построить треугольник по основанию а, углу при вершине а и ме-
диане, проведенной к стороне а.
Геометрия 30
Из курса 7-го класса мы знаем, что, если вращать круг или полукруг вокруг
своего диаметра, получим шар (рис. 401). Поверхность шара называется сферой.
Если вращать прямоугольник
около одной из его сторон, полу-
чим цилиндр (рис. 402). Это геоме
трическое тело имеет поверхность
и объем. Поверхность цилиндра
состоит из двух кругов и боковой цилиндр
поверхности (рис. 403, см. с. 188).
Круги называются основания-
ми цилиндра, их радиус В равен
одной из сторон прямоугольника.
Если боковую поверхность цилин-
дра развернуть на плоскость, по-
лучим прямоугольник. Одна из
Шар
Сфера
Рис. 402
его сторон равна стороне прямоугольны
ка, а другая — длине окружности осно-
вания, то есть 2пП. Высота Н цилиндра
равна одной из сторон прямоугольника.
Если вращать прямоугольный тре-
угольник около одного из катетов, полу-
чим конус (рис. 404). Как шар и цилиндр,
конус — это геометрическое тело, которое
имеет поверхность и обладает объемом. По-
верхность конуса состоит из одного круга,
который называется основанием конуса и
боковой поверхности Радиус Н основания
равен одному из катетов треугольника вра-
щения. Если боковую поверхность конуса
развернуть на плоскость, то она будет
представлять собой сектор круга
(рис. 405). Другой катет является высотой конуса. Высота Н конуса выходит
из вершины и перпендикулярна основанию конуса.
Рассмотренные нами тела: шар, цилиндр и конус — называют телами вра-
щения. В жизни, производстве, технике эти тела встречаются довольно часто.
Приведите примеры.
Вершина
конуса
Моделирование
Задание 1
а) Возьмите прямоугольную полоску бумаги 10 см К
X 20 см и сверните ее в цилиндр. Скрепите края бума-
ги. Определите примерный радиус основания этого
цилиндра. Вырежьте два круга найденного радиуса и
закрепите их в местах оснований цилиндра.
б) Найдите в квадратных сантиметрах приближен-
ную площадь полной поверхности цилиндра. Используй-
те формулу площади круга 8 = ~Н2 и значение п « 3,14.
Задание 2.
Л'.
а) На бумаге изобразите круг, радиус которого 10 см. Вырежьте из круга сектор
с центральным углом, равным 120°. Сверните этот сектор в конус. Скрепите края бу-
маги скотчем. Определите примерный радиус Н основания этого конуса и его высоту
Н при помощи линейки. Для более точного определения высоты можно использо-
вать теорему Пифагора.
б) Найдите приближенную площадь боковой поверхности конуса, используя
формулу площади круга и тот факт, что площадь сектора с углом 120° составляет
одну третью часть от площади круга.
в) Найдите приближенный объем этого конуса в см3, используя формулу объ-
ема конуса V = — 5 • Н - —лЛ2 • II.
* 3 осн
Переверните конус вершиной вниз и насыпьте доверху в полученную воронку
сахар. Пересыпьте сахар в цилиндрический стакан с делениями. Определите по де-
лениям, сколько миллилитров составил объем сахара. Учитывая, что 1 мл = 1 см3,
сравните объем конуса, полученный двумя разными способами.
г) Вырежьте круг нужного радиуса и закрепите его в месте основания конуса.
Перед этим внутрь конуса можно положить записку с пожеланиями будущему по-
колению учеников.
Дополнительные материалы к учебному пособию «Геометрия. 8 кл.»
можно найти на сайте: йНр://е-уейу.айи.Ьу, раздел «Математика», курс
«Математика. 8 кл.».
ЗАПОМИНАЕМ
1.
2
3.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точ-
ку касания.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла
Вписанный угол равен соответствующего центрального угла или дуги,
на которую он опирается.
4. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер
дуг, заключенных внутри данного угла и внутри угла, ему вертикального.
5. Угол между секущими к окружности, проведенными из точки вне окруж-
ности, равен полуразпости градусных мер дуг, заключенных внутри угла.
6. Произведения отрезков пересекающихся хорд равны между собой.
7*.Если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то
квадрат отрезка касательной равен произведению большего отрезка секу-
щей на его внешнюю часть.
ПРОВЕРЯЕМ СЕБЯ
Тест 2
Тест 1
АО — диаметр окружности. Най-
дите /.С.
Тест 3
АС — касательная. Найдите ра-
диус ОС.
В
15 С
ПОДГОТОВКА К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 4
1. Найдите ЛС + ЛО, если: а) '-АВ = 60°; б) -АВ = 62°; в) -АВ = 58°.
5. В = 36, г = 25, Найдите: а) ОгО2; 6) О±К; в) ВАО1о2в
Сумма углов многоугольника 180° (п - 2)
Параллелограмм
Теорема Фалеса
СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ
МЕДИАНЫ 2 ; 1
Площади
подобных треугольников
А_А*_ь2
<<
аЬ
а
Медиана
на два равновеликих
Подобие
I признак
II признак
111 признак
Свойство биссектрисы угла треугольника
Касательная
База знаний по геометрии. 8 класс
Знать и уметь доказывать
1. Сумма внутренних углов многоугольника равна 180°(п - 2).
2. Свойства параллелограмма: 1) сумма соседних углов равна 180°;
2) диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника; 3) — 4)
у параллелограмма противоположные стороны равны, противоположные
углы равны; 5) диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся
пополам.
3. Признаки параллелограмма. Четырехугольник является параллело-
граммом, если у него: 1) две стороны равны и параллельны; 2) противо-
положные стороны попарно равны; 3) диагонали точкой пересечения де-
лятся пополам.
4. Диагонали прямоугольника равны.
5. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и лежат на биссектри-
сах его углов.
6. Теорема Фалеса: «Если на одной стороне угла отложить равные от-
резки и через их концы провести параллельные прямые, то на другой сто-
роне угла отложатся равные между собой отрезки».
7. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой
точкой в отношении 2:1, считая от вершины.
8. Средняя линия т треугольника параллельна основанию и равна его
половине, то есть если М и К — середины сторон АВ и ВС треугольника
АВС, то МК || АС и МК = -АС.
2
9. Средняя линия т трапеции параллельна основаниям и равна их полу-
сумме, то есть тп || а, т || Ь и т = —у—, где а н Ь — основания трапеции.
10. Площади: квадрата — 8 = а2; прямоугольника — 8 = аЬ; паралле-
лограмма — 8 = а/г; треугольника — 8 = трапеции — 8 = —
прямоугольного треугольника — 8 = ромба — 8 = ^1.
11. Теорема Пифагора: «Сумма квадратов катетов равна квадрату ги-
потенузы, то есть а2 + Ь2 = с2».
12. Признаки подобия треугольников. Треугольники подобны, если:
1) два угла одного треугольника соответственно равны двум углам друго-
го треугольника; 2) две стороны одного треугольника пропорциональны
двум сторонам другого треугольника, а углы между ними равны; 3) три
стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого
треугольника.
13. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая его
стороны, отсекает от него треугольник, подобный данному,
14. Прямоугольные треугольники подобны по острому углу.
15. Площади подобных треугольников относятся как квадраты соот-
ветствующих сторон, т. е. если ААВС" △А1В]Сх, то 3авс - АВ = /г2.
А1В^
10. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на
части, пропорциональные прилежащим сторонам, то есть если ВК — бис-
сектриса угла В треугольника АВС, то
КС ВС
17. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку ка-
сания.
18. Вписанный угол равен половине соответствующего центрального
угла.
19. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между
собой.
20. Вписанный угол, опирающийся па диаметр, — прямой.
21. Произведения отрезков пересекающихся хорд равны между собой.
22. Площадь равностороннего треугольника 8 = .
23. Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату
третьей стороны, то треугольник прямоугольный (обратная теорема Пи-
фагора).
24. Площади треугольников с общей высотой относятся как соответ-
ствующие основания.
25. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме дуг, одна
из которых заключена внутри данного угла, а другая — внутри ему вер-
тикального.
26. Угол между секущими, выходящими из точки вне окружности,
равен полу разности дуг, заключенных внутри угла.
27. Угол между хордой и касательной, имеющими общую точку на
окружности, равен половине дуги, заключенной внутри угла.
28. Для касательной и секущей, проведенных из одной точки к окруж-
ности. квадрат отрезка касательной равен произведению большего отрезка
секущей на его внешнюю часть.
ОТВЕТЫ
Глава '
1. а) 720°; б) 1440°; в) 2700°. 2. а) 110°; б) 140°; в) 180°. 4. 42 см, 5. а) 3;
б) 5; в) б. 6. 36°; 126°; 54°; 144°. 7, а) 100°: б) 72е; 72е; 72°; 144°. 8. а) По
160 см; б) 9 см. 9. 45е. 10. Указание; используйте неравенство треуголь-
ника. 12. 540°. 13*. 75°. 14* Точка пересечения диагоналей. Указание:
используйте неравенство треугольника. 15*. 18 см, 2 см. Указание: ис-
пользуйте свойство ломаной. 16*. Три, 19. а) АА = АС = 50е, АВ = 130°;
б) АА = АС = 70°, АВ = АВ = 110°; в) АА - АС = 80°, АВ = АВ = 100°;
г) А А = АС = 40°, АВ = АВ = 140е; д) А А = АС = 60°, АВ = АВ = 120°.
20. а) АВ = СВ = 10 см, АВ = ВС = 14 см; б) АВ = СВ = 11 см, АВ =
= ВС = 13 см: в) АВ = СВ = 9 см, АВ = ВС = 15 см; г) АВ = СВ = 8 см,
АВ = ВС = 16 см; д) АВ = ВС = СВ = АВ = 12 см, 21. а) 28 см; б) 42 см.
22. 94 см. 23. 38 см. 24. а) 1) 10 см; 2) 5 см; б) 5 см и 10 см. 26. 32 см.
27. 48 см, 28. 24 см. 29. 52е. 31*. 4. 38. 80. 39. 54°. 42. а) 108°; 72°;
б) 54°. 43. 308 см. 48. (6; 1), ( 8; 1), (2; 9). 49*. 6 см. 51*. Указание.
Воспользуйтесь теоремой о пересечении высот треугольника. 52. 4 см.
53. 34 см. 54. 36 см. 55. 12 см. 56. 28. 58. 56°. 59. 154°. 60. 40 см, 61. 3 см.
63. 30е, 60°. 64. 90°. 65*. а) 18 см. 68*. Указание. Рассмотрите прямо-
угольник АВСВ, А(-3; -2), В(-3; 7), С(8; 7), 0(8; -2). 69. г). 71 а) 48 см;
б) 55° и 70е; в) 16 см. 72. а) 128е; б) 64°; в) 52°; г) 26е. 73. а) 48 см; б) 72 см;
в) 64 см. 74. 58°. 75. 96 см. 76. 32 см. 77. а) 30е; 75°; 75°; б) 60е; 60°; 60°.
82. 180°. 83. 54 см. 84. 72 см. 85. 24 см. 87. 6 см. 89. 84 см. 94*. Ука-
зание. Е ЛКВМ проведите высоту ВН. 95. 18 см. 96. 7. 97. 39 см.
98. 36 см. 99. 37 см. 100*. 63 см. 102. 40 см. 103. 45°. 104. 9 см; 32 см.
105. а) 24 м; б) 98 м. 109. 64 см. 110. а) 22 см; б) 64е. 113*. 6 см.
114*. 36е. 115. МК = 4 см, АМ = 8 см, СМ = 7 см, СР = 10,5 см.
116. 32 см. 117. 32 см. 119. 93 см. 121*. 16 см. 122*. 63 см 125. АВ = 110е,
АВ = 50°, МН = 19 см. 3. 120е. 127. а) 140е; б) 4:3. 128. а) 36 см;
б) 102 см. 129. а) 12 см, 8 см; б) 7 см, 3 см. 130. 74 см. 131. а) 19 см;
б) 15 см; в) 4 см. 132. а) 36 см; б) 52 см. 133. 10 см. 134. 8 см. 136. 2 см.
137. 8 см. 138*. 3 см. 139*. АА = АВ = 60°; АВ = С = 120°. 141*. 90°.
144. а) 18 см; б) 16 см. 145. 54,8 см. 148. 29°. 149. 16 см. 150. а) 9 см;
б) 9,5 см; в) 15 см. 151*. 3 см. 152*. 8 см.
Глава II
156. а) 82 см2; б) 396 см2; в) 21 см2. 157. 4 см и 6 см. 159. а) 46 дм;
б) 72 м2. 160. 45 см2. 162. а) 28 см2; б) 42 см. 163. 24 см2. 164. 35 см2.
165. а) В 9 раз; б) в 4 раза. 166. На 21 %. 167*. 15. 170. а) 60 см2; б) 28 см2;
в) 48 см2. 171. а) 5 см; б) 72 см2. 172. а) 36 см; б) 88 см. 173. 35 см2.
174. 9 см. 175. 12. 176. а) 54 см; б) 72 см2 177. 48. 178. 153 см2. 179. 48 см2.
180. 56 см2. 181. 96 см2. 182. 90 см2. 183*. 27 см2. 185. а) 12 см2;
б) 17,5 см2; в) 12,5 см2. 186. 16 см. 187. а) 17 см2; б) 6 см2. 188. а) 12 см;
б) 3 м. 190. 64 см2. 191. а) 60 см2; б) 12 см 192. 3 : 8. 193. 120 см
194. а) 30 см2; б) 10 см2; в) 20 см2; г) 20 см2. 195. 15 кв. единиц. 196. а) 15 см;
б) 24 см. 198. 128 см2. 200. 6 см, 201*. 120 см, 60 см, 80 см. 202*. 50 см2.
203*. 60°. 205. а) 15 см; б) 5 см: в) 5 дм; г) 4 м. 206. а) 8 см; б) 7 м;
в) Зл/З см; г) 710 см. 207. 60 см2. 208. 54 см2. 209. а) 336 см2; б) 120 см2.
210. 225 см2. 211. а) Да; б) нет; в) да. 212. а) 24 см2; б) 2,4 дм2; в) 2 м2
213. а) 2’/3 см, 4<3 см2; б) 24 см, 4- 3 см. 214. а) 6000 м2; б) 168 дм2;
в) и ~д2 . 215. а) 9 м, 12 м; б) 24 см2. 216. а) 12; б) 20. 217. а) 144;
б) 14,4. 219. а) 8 см2; б) 10 см. 220. 11,2 см. Указание: смотрите ключе-
вую задачу 4. 221. 15 см. 223*. 24 см'2 224*. 8 см2. Указание: из основа-
ния любой медианы (середины стороны) проведите прямую, параллельную
одной из оставшихся медиан. Рассмотрите треугольник, ограниченный этой
прямой и двумя медианами. 225*. 9,6 см. 226*. 5 единиц. 228. а) 69 см2;
б) 12 см; в) 14 см. 229. а) 350 см2; б) 12 см2. 230. 270 см2. 231. а) 6 см;
б) 4 см. 232. 77 см2. 233. 28 см2, 234. 128 см2. 235. а) 42>/3 см2; б) 24уЗ см2.
236. а) 18 см2; б) 13,2 см2. 237. а) 50ч/5 см2; б) 30 см2. 238. 8 см и 128 см2.
239. 42 см2. 240*. 36 см2. 241*, 1 : 2. 242*. 80 см2. 243*. 16 см2. 244. 48 см2.
245. |. 246. 25 %. 247*. 30 см2. 249*. Указание: воспользуйтесь тем,
что средняя линия отсекает от данного треугольник, площадь которого
равна площади данного- 250. 48 см2. 251. (./8^ + \82 . 252. 80 см2.
253*. Указание: составьте из 8 полученных треугольников параллело-
грамм: см. задания Главы I с. 28. 255. 36 см2. 256. 63 см2. 257*. Указа-
ние: см. ключевую задачу 4. 259. Указание. Проведите через точку Р
прямые, параллельные сторонам треугольника. Рассмотрите полученные
параллелограммы и равносторонние треугольники.
Глава III
261. а); б). 262. а) 20 см; б) 2,4 см; в) 32 см. 263. а) 6 см, 4,5 см;
б) 44 см. 264. а) 8 см, 18 см, 6 см; б) 28 см. 265. а) 9 см; б) 9 см.
266. а) 20 см; б) 54 см; в) 15 см; г) 14 см. 268. 22 см. 269*. 120 см2.
270*. 24 см2. Указан ие: найдите отношение БВ1 : В}Аг : АрР, В^р,
8дм > > ^амв,а • 272. а) ВС = 12 см, А1С1 = 8 см; б) АС = 19,6 см,
АВ = 15 см. 273. а) 44 см; б) 31 см. 274. а) 60°; б) 30°; в) 7 см; г) 6 см2.
275. 9 м. 276. 6 см. 277. 28 см. 278. 38е. 279. 12 см. 280. 4 см.
283. 4 см; 8 см. 284. 2 : 5. 285. 9 : 7. 286*. 12 см. 287*. 14 см.
288*. а) 9 см и 24 см; б) 8 см и 9 см. 291 При А1С1 = 5 треугольники
подобны по двум сторонам и углу между ними (2-й признак подобия).
292. АВСЕ °° АКМИ по трем сторонам (3-й признак подобия).
293. а) 10,5 см; б) 45 см. 295. Р^вс ' Рккм = 3:2. 296. а) 78 см; б) 12 см.
297. 3,75 см. 299. 96 см2. 300. а) 4 см; б) 12 см; в) 9 см. 303. 96 см2.
304. 48 см. 305. 7 см. 306. 5 см. 307. 20 см. 308. а) 4; б) 6; в) 12.
310- а) 6; б) 9. 312. а) 3 см; б) 9 см. 313. а) 12 м; б) 1 см и 3 см; в) 8 см.
314. а) 30 см; б) 1120 м. 315*. 21 см. Указание: воспользуйтесь тем,
что соответствующие высоты в подобных треугольниках относятся как
их соответствующие стороны. Обозначьте ЛГУ = КН = х, БК = 30 - х и
составьте пропорцию. 316*. 20 см2. Указание. Продлите отрезок АМ до
пересечения с прямой ВС в точке У и рассмотрите две пары подобных
треугольников: Л АМ В и АИМС, АВРЫ и АКРА. 318. а) 4 см; б) 10 см;
в) 32 см. 319. 21 см. 320. 4 см. 321.. 3 см; 4 см. 322. 3x5 см. 323. 76°.
324*. 75 см2. 326. а) Увеличится в 4 раза; б) увеличится в 9 раз; в) уве-
личится в 6,25 раза; г) уменьшится в 100 раз. 327. 40 см2. 328. а) 4 9;
б) 8 : 5. 329. 1 : 9. 330. 40 см2. 331. 9^ м2. 332. 160 см2. 333. 18 м2.
334. а) 24 см2; б) 2%/$182 (см. «Наглядная геометрия, 8 класс» Гл. 3.
Ключевая задача 10); в) ( 8Х + - 4>2 . 335. а) 96 см2; б*) । |
(см. «Наглядная геометрия, 8 класс» Гл. 3. Ключевая задача 5.) 336. 24 см2.
337. >. 338*. 8 см2 (см. «Наглядная геометрия, 8 класс» Гл. 3. Ключевая
3
задача 3). 339*. 30 см2. 340*. 10 см Указание. Воспользуйтесь подобием
треугольников АВН и ВСН и теоремой о площадях подобных треугольни-
ков. 341*. 6 см2. 342*. . Г 4 Ь~ . 344. 4. 345. 21. 346. 15. 347.. 4. 348. 5.
V 2
349. 60 см2. 350. 12л/3.
Глава IV
352. а) 50=; б) 55°; в) 31°. 353. а) 62°; б) 150°; в) 8 см. 354. а) 150°;
б) 6 см. 355. 24 см. 356. 99°. 357. а) 5 см; б) 9 см2. 358. 6 см. 360. 24 см.
361. 8, 10. 362*. 5 кв. единиц. 365. Серединный перпендикуляр к отрез-
ку АВ. 366. а) Пересекаются; б) касаются внешним образом; в) располо-
жены внешним образом. 367. 11 м. 368. 280 см 369. 24 см2. 370. 4 см.
371. 6 м. 372. 8 м. 373. 9 см. 375. 53°. 376*. 1,44 см и 36 см. 377*. 6 см.
381. а) -АС = 80°, ААВС = 40°; б) -АС = 100°, -ВС = 80°; в) -АВ = 116°.
382. а) 24 см; б) 24^2 см; в) 48 см; г) 24 см. 383. а) 45°; б) 30°; в) 42°.
384. 102°, 102°, 156°. 385. а) 64°; б) 42°8'; 21°4'; в) 40°; 80°; 80°. 386^ 140°.
387. 84°. 388. 100°. 389. а) 6 см; б) 26 см; в) 7 см. 391. а) 4л/3 см2;
б) 32 см2. 392. 26е. 393. 52°. 394. 30°. 395. б) 18 см; в) 60 см2.
396. 18\/з см2. 398*. 40°. 399. Указание. Проведите отрезки АС и ВЛ.
400. Проведите из центра окружности перпендикуляры к указанным
хордам. 401. а) 70°; б) 130°; в) 110°. 402. а) 40°; б) 37=30'; в) 80°. 403. 72°.
404. 40°. 405. 50°. 406. 78°. 407. 52°. 408. 65°. 409. а) 88°; б) 28=.
411*. 60=. 414. 4 см. 415. 12 см. 416. 22 см. 417. 6 см. 418. 6,5 см.
Указание, а) Выразите градусные меры углов ВАА и САА через гра-
дусные меры дуг, заключенных внутри этих углов. 419. 8 см. 420. 1 см.
421*. 42 см. 422*. 6 см.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ................................................. 3
Глава I. Четырехугольники
§ 1. Многоугольник................................. 11
§ 2. Параллелограмм и его свойства ................ 17
§ 3. Признаки параллелограмма ..................... 22
§ 4. Прямоугольник................................. 29
§ 5. Ромб ......................................... 35
§ б. Квадрат . . . . . ......................... 39
§ 7. Теорема Фалеса ............................ . . 46
§ 8. Средняя линия треугольника.................... . 49
§ 9. Свойство медиан треугольника.................. 52
§ 10. Трапеция. Средняя линия трапеции ............ 55
§ 11. Равнобедренная и прямоугольная трапеции . ... 60
§ 12* . Центральная и осевая симметрия............. 64
Глава II. Площади многоугольников
§ 13. Площадь квадрата, прямоугольника ............ 75
§ 14. Площадь параллелограмма...................... 81
§ 15. Площадь треугольника, прямоугольного треугольника,
ромба . ................................... 85
§ 16. Теорема Пифагора ............................ 91
§ 17. Площадь трапеции............................. 99
§ 18* . Решение задач по теме «Площади многоугольников» 105
Глава III. Подобие треугольников
§ 19. Обобщенная теорема Фалеса................... 117
§ 20 Подобие треугольников.........................123
§ 21. Признаки подобия треугольников ..............128
§ 22. Свойство биссектрисы угла треугольника.......136
§ 23. Свойство площадей подобных треугольников.....139
§ 24* . Решение задач по теме «Подобие треугольников» . . 148
Глава IV. Окружность
§ 25, Касательная к окружности.....................155
§ 26. Взаимное расположение окружностей............161
§ 27. Центральный и вписанный углы ................167
§ 28, Углы, образованные хордами, секущими и касатель-
ными ..............................................176
§ 29. Свойство отрезков хорд и касательных ........182
База знаний по геометрии. 8 класс............ . . . 193
Ответы .......................................... 195
(Название и номер учреждения образования)
Учебный год Имя и фамилия учащегося Состояние учебного пособия при получении Оценка учащемуся за пользование учебным пособием
20 /
20 /
20 /
20 /
20 /
20 /
Учебное издание
Казаков Валерий Владимирович
ГЕОМЕТРИЯ
Учебное пособие для 8 класса
учреждений общего среднего образования
с русским языком обучения
Зав. редакцией Г. А. Бабаева. Редактор Л. Н. Ясницкая. Художник Е. А. Ждановская. Ху-
дожественные редакторы Н. В. Кузьменкова, О. Н. Карпович. Техническое редактирование
и компьютерная верстка Г. А. Дудко. Корректоры В. С. Бабеня, О. С. Козицкая, Е. П. Тхир,
А. В. Алешко.
Подписано в печать 08.06.2018. Формат ТО/ЮО'Дд. Бумага офсетная. Гарнитура школь-
ная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 16,25 + 0,33 форз. Уч.-изд. л. 11,01 + 0,49 форз.
Тираж 116 000 экз. Заказ
Издательское республиканское унитарное предприятие «Народная асвета»
Министерства информации Республики Беларусь.
Свидетельство о государственной регистрации издателя,
изготовителя, распространителя печатных изданий № 1/2 от 08.07.2013.
Пр. Победителей, 11, 220004, Минск, Республика Беларусь.
ОАО «Полиграфкомбинат им. Я. Коласа».
Свидетельство о государственной регистрации издателя,
изготовителя, распространителя печатных изданий № 2/3 от 04.10.2013.
Ул. Корженевского, 20. 220024, Минск, Республика Беларусь.