/
Text
.+ \СТРОКИ
^1%'
Е. П. СТЕФАНИ
ОСНОВЫ РАСЧЕТА
НАСТРОЙКИ РЕГУЛЯТОРОВ
ТЕПЛОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ
(Издание второе, переработанное)
«ЭНЕРГИЯ»
Москва 1972
КОНТРОЛЬНЫЙ
ЭКЗЕМПЛЯР
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
За годы, прошедшие между первым и вторым изданием этой книги,
вышло в свет много пособий по автоматическому управлению, в том чи¬
сле фундаментальных монографий по теории автоматического регули¬
рования.
Тем не менее автор, как и при подготовке первого издания, ставил
своей целью дать в руки инженера-ирактика, работающего в области
автоматизации тепловых процессов, систематизированное изложение ин¬
женерных основ расчета систем автоматического регулирования. Поэто¬
му в книге использован лишь минимально необходимый математический
аппарат.
Второе издание подверглось существенной переработке: исключен
устаревший материал, добавлены разделы, освещающие новые способы
расчета систем, принципы моделирования, динамические характеристики
некоторых современных промышленных регуляторов. Книга дополнена
конкретными примерами и задачами; при этом перед автором стояла
задача сделать книгу 'пособием, но-прежнему доступным для рядового
инженера.
Книга, как указывалось выше, рассчитана на инженеров, создаю¬
щих системы управления теплоэнергетическими процессами, и может
быть полезна студентам вузов, специализирующимся в области автома¬
тизации тепловых электростанций.
Как и в первом издании, основным материалом для написания кни¬
ги послужили работы Центрального ордена Трудового Красного Знаме¬
ни научно-исследовательского института комплексной автоматизации,
Всесоюзного ордена Трудового Красного Знамени теплотехнического ин¬
ститута имени Дзержинского и других организаций, а также лекции, чи¬
таемые автором в Московском ордена Ленина энергетическом институте.
Автор с благодарностью учел многие замечания и пожелания своих
учеников, коллег, а также советских и зарубежных читателей, высказав¬
ших их в связи с выходом первого издания книги, и очень признателен
Н. И. Давыдову за полезные советы при рецензировании рукописи и
редакторам Е. Н. Сергиевской, А. А. Кузнецову за помощь в работе над
этой книгой.
Автор
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ко второму изданию 3
Глава первая. Основные сведения о системе автоматического регулирования и задачах
ее исследования . . 5
1-1. Понятия и терминология 5
1-2. Классификация автоматических регуляторов 6
1-3. Задачи расчета систем автоматического регулирования 14
Глава вторая. Методы исследования систем автоматического регулирования . . . 17
2-1. Основные определения 17
2-2. Дифференциальные уравнения линейных систем (элементов) автоматического регули¬
рования 20
2-3. Временные характеристики . 23
2-4. Передаточные функции . . . . . .27
2-5. Частотные характеристики . 28
Глава третья. Экспериментальные методы определения динамических характеристик ре¬
гулируемых объектов . . 31
3-1. Вводные замечания . . 31
3-2. Планирование и подготовка эксперимента 32
3-3. Примеры экспериментального определения временных характеристик регулируемых
объектов . . . : 36
3-4. Примеры экспериментального определения частотных характеристик регулируемых
объектов . : 38
3-5. Аппаратура для определения динамических характеристик объектов . . . .45
Глава четвертая. Преобразование динамических характеристик 52
4-1. Постановка задачи . . 52
4-2. Преобразования динамических характеристик, заданных в аналитической форме . 54
4-3. Построение кривой разгона по импульсной характеристике 58
4-4. Преобразование кривой разгона в графики нормальной и расширенной амплит\д;:о-
фазовых характеристик . . . 59
4-5. Определение расширенных частотных характеристик по графикам нормальных
амплитудно-фазовых характеристик 74
4-6. Определение передаточной функции объекта по его кривой разгона ... .30
Глава пятая. Элементарные звенья, их соединения и принципы математического модели¬
рования . . ; 91
5-1. Общие замечания 91
5-2. Элементарные типовые звенья 92
5-3. Понятие о детектирующих и недетектирующих звеньях 104
5-4. Соединения звеньев .105
5-5. Некоторые структурные преобразования соединений звеньев 113
5-6. Динамические характеристики теплоэнергетических объектов 116
5-7. Принципы математического моделирования систем (элементов) автоматического ре¬
гулирования 118
Глава шестая. Законы регулирования и способы их реализации 126
6-1. Линейные законы регулирования . ■ Ч®
6-2. Примеры реализации линейных законов регулирования 133
6-3, Особенности динамических характеристик промышленных регуляторов . . .140
6-4. Регулирование с постоянной скоростью сервомотора . 149
Глава седьмая. Некоторые промышленные регуляторы, реализующие распространенные
законы регулирования • 157
7-1. Электронные регуляторы . . 157
7-2. Динамические характеристики электронных регуляторов 162
7-3. Пневматические регуляторы агрегатной унифицированной системы (.4УС) . 1оУ
7-4. Динамические характеристики регуляторов АУС 171
7-5! Пневматические регуляторы системы «Старт» 174
7-6. Динамические характеристики регуляторов «Старт» . . 1Ю
Глава восьмая. Устойчивость систем автоматического регулирования 186
8-1. Основные понятия об устойчивости системы ... 1^
8-2. Критерии устойчивости 189
8-3. Построение области устойчивости в пространстве коэффициентов характеристиче¬
ского уравнения или в пространстве параметров настройки регулятора (Д-разбиение) 193
8-4. Система автоматического регулирования как замкнутая црпь звеньев . . . Ite
8-5. Аналитический метод расчета устойчивости систем регулирования . . . .198
8 6. Графо-аналитический метод расчета устойчивости систем регулирования . . .211
8-7. Задачи на расчет устойчивости систем регулирования . . ..... 213
Глава девятая. Расчет оптимальной настройки одноконтурных систем регулирования . 221
9-1. Понятие об оптимальном процессе регулирования и расширенных частотных ха¬
рактеристиках "21
9-2. Аналитический метод расчета оптимальной настройки регуляторов с помощью рас¬
ширенных амплитудно-фазовых характеристик 227
9-3. Расчетные формулы для определения параметров настройки регуляторов . . .249
9-4. Графо-аналитический метод определения параметров настройки регуляторов . . 251
9-5. Определение параметров настройки регуляторов с помощью номограмм . . . 255
9-6, Метод ВТИ для приближенного расчета оптимальной настройки регуляторов . 261
9-7. Задачи на расчет оптимальной настройки регуляторов с помощью расширенных
частотных характеристик
9-8. Расчет настройки регуляторов без использования расширенных частотных харак-
теристик ; '272
Глава десятая. Расчет оптимальной настройки двухконтурных систем регулирования 283
10-1. Расчет настройки систем регулирования с опережающим «скоростным» сигналом 283
10-2. Расчет настройки двухконтурных систем регулирования с корректирующим и ста-
билизирующим регуляторами 8^
Глава одиннадцатая. Построение переходных процессов в системе регулирования . . 3^
11-1. Вводные замечания
11-2. Метод трапецеидальных характеристик
328
330
11-3. Метод Акульшина
11-4. Метод «секущих»
11-5. Определение амплитудно-фазовой характеристики замкнутой системы регулирования
с помощью номограмм
Приложения 9
ГЛАВАПЕРВАЯ
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О СИСТЕМЕ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ И ЗАДАЧАХ ЕЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
1-Е ПОНЯТИЯ И ТЕРМИНОЛОГИЯ
В большом разнообразии промышленных производств значительное
место занимают технологические процессы, в которых для их нормаль¬
ного протекания требуется поддерживать постоянными или изменяю¬
щимися по определенному закону различные физические величины. Так
например, одной из задач управления котельным агрегатом является
поддержание постоянства давления пара, его температуры, уровня воды
в барабане котла и т. д., которые определяют качество режима. Про¬
цесс поддержания технологических параметров называют регулиро¬
ванием, а эти параметры — регулируемыми величинами. Процесс регу¬
лирования, происходящий без вмешательства человека, называют авто-
.м этическим регулированием.
Промышленные установки, в которых необходимо поддерживать
требуемые значения регулируемых величин, могут быть самыми различ¬
ными по назначению, характеру производства, по мощности, скорости
протекания процессов, по потенциалам рабочих тел и т. д. С точки зре¬
ния автоматического регулирования, физические установки, к которым
подсоединяются регулирующие устройства, ^называются регулируемыми
объектами.
Для того чтобы можно было влиять на состояние регулируемых ве¬
личин, в любом объекте имеется соответствующее количество регулирую¬
щих органов, изменение положения которых определяет регулирующее
воздействие.
Так, например при отклонениях от требуемых значений давления,
температуры пара котельного агрегата и уровня воды в барабане необ-
ходимо воздействовать на подачу топлива, охлаждающей воды в паро-
■4^^1^цдадиТел'ь и на подачу питательной воды в барабан котла.
Промышленные установки представляют собой, как правило, слож¬
ные объекты с несколькими регулируемыми параметрами. Сложный ре-
V, гулируемый объект обычно можно расчленить на несколько простых
объектов с одной регулируемой величиной и одним регулирующим ор¬
ганом. Поэтому в дальнейшем под термином «регулируемый объект»
мы будем понимать объект, характеризуемый одной регулируемой ве¬
личиной и ограниченный измерительным и регулирующим органами.
Система, осуществляющая операцию поддержания в объекте тре¬
буемого значения регулируемой величины без непосредственного уча¬
стия человека, называется системой автоматического регулирования
' в данном случае речь идет о простейшей (одноконтурной) системе регулирова¬
ния. В более общем случае система может состоять из сложного объекта с несколькими
регулируемыми величинами и соответствующим количеством регуляторов.
5
Для образования системы необходимо к регулируемому объекту доба¬
вить устройство, осуществляющее процесс регулирования, — регулятор.
Системы автоматического регулирования могут быть предназначены
для регулирования температуры, давления, уровня, расхода, концентра¬
ции, скорости вращения и т. д. Регулятор, служащий для этой цели, мо¬
жет быть электрическим, гидравлическим, пневматическим или комби¬
нированным'(электрогидравлическим, пневмоэлектрическим и т. д.).
Принципы построения системы автоматического регулирования
остаются одними и теми же, независимо от природы регулируемой вели¬
чины и конструкции регулирующей аппаратуры.
Наряду с регулирующими воздействиями (полезными) в системе
авто.мэтического регулирования имеют место различные возмущающие
воздействия (вредные), которые вызывают отклонения регулируемых
величин от их требуемых значений. Возмущающие воздействия могут
проявляться в различных местах регулируемого объекта или, как гово¬
рят, поступать по различным каналам. Так, например, изменение темпе¬
ратуры пара на выходе из паро-
%03^‘ейс^!^ /гулирумш! вого котла может происходить
Регул/щущщий
аргсШ \ к
Регулирующее'
боздейшвие
8б/ходная /
Величина
регулятора
\
\ -ч
Регулируемый
вбьент
(выходная)
величина
к овьента
Входная Величина
обьента
Регулятор
из-за изменения топочного режи¬
ма, т. е. изменения температуры
газов, омывающих пароперегре¬
ватель, вследствие изменения
расхода или температуры охла¬
ждающей воды, поступающей
в пароохладитель (т. е. со сторо¬
ны регулирующего органа), а так¬
же при изменениях нагрузки ко¬
тельного агрегата.
Регулируемую величину ча¬
сто называют выходной величи¬
ной объекта, а место ее проявле¬
ния выходом объекта. На регули¬
руемую (выходную) величину влияет не только регулирующее воздей¬
ствие, идущее от регулирующего органа, но и возмущающее воздей¬
ствие. Возмущающие и регулирующие воздействия называют входными
величинами объекта, а места их приложения— входами объекта. Не¬
сколько выходов могут геометрически находиться в одной и той же точке
(например, давление и температура перегретого пара на выходе из
«отельного агрегата).
В системе автоматического регулирования, изображенной на
рис. Ы, выходная величина объекта, к которому подключен регулятор,
является одновременно входной величиной регулятора, а его выходная
величина есть в свою очередь входная величина объекта.
Входная
величина
регулятора
Рис. 1-1. Структурная схема системы авто¬
матического регулирования.
1-2. КЛАССИФИКАЦИЯ АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРОВ
Автоматические регуляторы классифицируют по различным харак¬
терным признакам, объединяющим их в определенные классы (группы).
а) Принципы автоматического регулирования
Подавляющее больщинство регуляторов основано на принципе ре¬
гулирования по отклонению регулируемой величины от требуемого зна¬
чения— это так называемый принцип Ползунова. В данном случае регу¬
лятор сравнивает требуемое и текущее значения регулируемой величи¬
ны и на основании оценки рассогласования (сигнала ошибки) обеспе¬
чивает определенное воздействие через регулирующий орган на объект
для ликвидации этого отклонения регулируемой величины. Таким обра¬
зом, на вход регулятора поступают требуемое и текущее значения регу-
лируемой величины, а на его выходе возникает регулирующее воздей
ствие, которое подается на вход объекта. Регулируемая величина, буду
чи выходной величиной объекта, одновременно является входной вели
чиной регулятора.
Другим принципом является регулирование по возмущению; в систе
ме регулирования предусматриваются специальные органы, измеряющи'
величину возмущения, с помощью которых регулятор осуществляет ре
гулирующее воздействие на объект (не получая при этом информаци)
о состоянии регулируемой величины). Практическое осуществление это
го принципа затрудняется тем, что возмущения могут происходить о-
разных причин и проявляться в различных местах регулируемого объек
та, в связи с чем возникают трудности их измерения. Поэтому при регу
лировании по второму принципу обычно ограничиваются учетом глав
ХЦыхрег
бзд
1 бвоэм
Л- Объект
бВх.рег
ХзО
а)
в вых. об
ббх.рег
'j'
Объект
^вых.рег
' бвозм
в)
бвых -об
{*3—
Объект
д)
в Вых. об
Рис. 1-2. Принципиальные схемы регулирования по замкнутому (а, б), разомкнуто¬
му (й, г) и комбинированному (d, е) циклам.
/' — регулятор; в —водомер; 3 — заднике регулятору; — выходная величина регулятора
(регулирующее воздействие); о5 — выходная величина объекта (регулируемая величина);
Xj03„ — возмущающее воздействие; — входная величин^ регулятора; — входная
величина объекта.
ных возмущающих воздействий, вызванных основной причиной, напри¬
мер изменением нагрузки. В этом случае такое регулирование называют
регулированием по нагрузке.
Совместное применение обоих принципов оказывается весьма эф¬
фективным и позволяет получить высококачественные системы регули¬
рования, так называемые комбинированные системы.
Рассмотрим примеры систем регулирования, организованных по
указанным принципам.
На рис. 1-2, а, б приведена схема регулирования по отклонению
регулируемой величины — уровня воды в резервуаре. Регулятор, воспри¬
нимая изменение уровня, воздействует на приток Qn воды в резервуаре.
Где бы ни возникали возмущающие воздействия— со стороны потреби¬
теля (Qp) «ли вследствие изменения давления в питающем трубопрово¬
де, регулятор будет реагировать лишь на отклонения уровня от требу¬
емого (заданного) значения, удерживая его в определенных пределах.
7
/
Недостатком этой системы является то, что перестановка регулирующе¬
го органа будет происходить лищь по мере накопления отклонения
уровня, а следовательно, будет запаздывать по отнощению к возмуще¬
ниям.
На рис. 1-2, в, г приведена схема регулирования по возмущению.
Здесь регулятор измеряет с помощью водомеров расход воды, не полу¬
чая информации о состоянии уровня. Пусть возмущение поступает со
стороны расхода воды. Регулятор перемещает регулирующий орган
в соответствии с величиной этого возмущения. Достоинством этой си¬
стемы регулирования является то обстоятельство, что воздействие регу¬
лятора на регулируюпщй орган осуществляется здесь практически без
всякого запаздывания по отношению к возмущению, т. е. еще до того,
как успеет измениться уровень воды в резервуаре. Недостатком систе¬
мы является неизбежная неточность в настройке и в работе системы ре¬
гулирования, которая с течением времени приведет к накоплению ошиб¬
ки, т. е. к отклонению уровня за допустимые пределы.
На рис. 1-2, д,>е приведена комбинированная схема, в которой воз¬
действие на регулятор осуществляется как по отклонению уровня, так
и по возмущению. При возникновении возмущения со стороны расхода
регулятор немедленно начнет «снимать» его, не дожидаясь отклонения
уровня. Если же в результате неточности действия системы возникнет и
начнет накапливаться ошибка, приводящая к отклонению уровня, то сиг¬
нал от последнего скорректирует действие регулятора. Такие комбини¬
рованные системы автоматического регулирования хорошо себя заре¬
комендовали и нашли широкое применение.
б) Характер изменения задающего воздействия
Перед автоматическим регулятором могут стоять различные задачи
с точки зрения поддержания требуемого значения регулируемой вели¬
чины. Кратко рассмотрим эти задачи.
Стабилизирующие регуляторы (регуляторы стабилизации) имеют
своей задачей поддерживать постоянство требуемого значения регули¬
руемой величины во времени независимо от любых возмущающих воз¬
действий. Изменение требуемого значения регулируемой величины (за¬
дающего воздействия) производится оператором вручную с помощью
задатчика регулятора. Эта задача является наиболее распространенной
в технике регулирования.
Программные регуляторы имеют своей задачей поддержание тре¬
буемого значения регулируемой величины во времени по определенно¬
му, заранее заданному графику (программе). Закон воспроизведения
требуемого значения регулируемой величины выражается зависимостью
Хвых .об = F(t),
где F(t) — заданная функция времени (программа), т. е. задающее воз¬
действие на регулятор определяется заранее созданной программой.
На рис. 1-3 представлена система программного регулирования тем¬
пературы в термической печи. Заданное значение температуры должно
изменяться определенным образом в соответствии с задающим про-
грам.мным устройством в виде равномерно перемещающего профиля.
Ролик через тягу жестко связан с движком реостата. На вход регулято¬
ра поступает разность напряжений от термопары, измеряющей темпера¬
туру в печи, и от источника постоянного напряжения. В зависимости от
програ.ммы регулятор увеличивает или уменьшает подачу топлива
в печь. Следует заметить, что время не является единственным незави¬
симым параметром, по которому осуществляется программное регулиро¬
вание.
8
о 35 11 14 га
Рис. 1-3. С.хема
програ.ммного
тора.
регуля-
Регуляторы соотношения вос¬
производят в определенном соотно¬
шении на выходе входную величину,
изменяющуюся по произвольному,
заранее неизвестному закону, т. е.
задающее -воздействие на регулятор
изменяется внешними независимыми
условиями. Ори этом регулятор,
контролируя рассогласование меж¬
ду входной и выходной величинами,
стремится устранить это рассогласо¬
вание. Регулируемую величину часто
называют ведомой, управляемой ве¬
личиной. В свою очередь, задаваемая
величина .называется ведущей, уп¬
равляющей. Поскольку входная ве¬
личина является переменной, то в общем случае не всегда может быть
установившийся, равновесный режим, так как переходный процесс мо¬
жет продолжаться непрерывно.
В качестве примера на рис. 1-4 приведена схема следящей системы, которая в дан¬
ном случае является системой регулирования соотношения расходов газа Qi и Qa. Ре¬
гулятор имеет своей задачей поддер-
112 живать расход газа Qi через трубопро¬
вод в соответствующем соотношении
с расходом газа Qz, измеряемого дифма-
нометром 8. Расход газа, протекающего
по трубопроводу /, измеряется диафраг¬
мой 2. Перепад давления на диафрагме
воздействует на -мембрану 3. Мембрана
создает усилие, действующее через иглу
4 на струйную трубку 5. Струйная труб¬
ка вращается на шарнирах, ось которых
перпендикулярна плоскости рисунка.
В нее через канал в одном из -шарни¬
ров подается -масло под давлением.
Прот.и-в сопла струйной трубки располо¬
жены два отверстия, соединенные с по¬
лостями поршневого сервомотора 6, ко¬
торый, перемещая заслонку 7, изменяет
количество протекающего газа. При по¬
стоянстве -расхода газа Qz -(ведущей ве¬
личины) регулятор поддерживает посто¬
янную величину Qi. Расход газа Qz
изменяется по неизвестному заранее закону, определяемому ходом технологического
процесса и окружающими условиями, т. е. эту систему можно» рассматривать как сле¬
дящую, — расход Qi как бы следит за расходом Qz. Увеличение Qz означает увеличение
силы, действующей на струйную трубку слева, т. е. струйная трубка перемещается
вправо, давление масла в правой полости гидравлического исполнительного механизма
возрастает, и заслонка, приоткрываясь, увеличивает расход Qi до тех пор, пока пере¬
пад давлений на диафрагме не создаст достаточного усилия и не возвратит струйную
трубку в среднее положение.
Рис. 1-4. Схема следящей системы (соотно¬
шения) .
в) Динамические характеристики регуляторов
Уравнения движения регуляторов с точки зрения динамических
свойств разделяются на линейные и нелинейные. Если закон движения
регулятора можно описать линейным уравнением—алгебраическим, диф¬
ференциальным и др., то такой регулятор называют линейным. Соответ¬
ственно нелинейные регуляторы описываются нелинейными уравнениями
различных видов.
Законы регулирования, которым подчиняются определенные регу¬
ляторы, отражают зависимость регулирующего воздействия на объект.
Эти зависимости могут быть различными.
9
Наиболее распространенные линейные законы регулирования е
щем виде могут быть представлены так:
-'‘^вых.рег = / (А^вых.об) — пропорциональный;
/ t
'^вых.рег
\0
Лвых.об (И — интегральный;
/
•^вых.рег^^/ А-вых.об j" А-вых.
об'
dt
— пропорционально-интегральный;
-'(■вых.per — / ВЫХ.061 -'(■вых.об) \зСвых.об,tit
\ 6
НО-дифференциальный;
\
— пропорционально-интег
л:
вых. ре г
= f (х'вых.об, Х^ьгх.об) — пропорционально-дифференциальны!
Статические свойства регуляторов. С точки зрения статически/
рактеристик регуляторы делятся на астатические и статические.
Астатический регулятор поддерживает во всем диапг
нагрузок объекта постоянство регулируемой величины для всех р<
весных состояний. Статическая характеристика в этом случае имеет
представленный на рис. 1-5, а. Примером может служить регулято
прямого действия (рис. 1-6). Какое бы положение ни занимал ре:
рующий орган (какова бы ни была нагрузка объекта), состояние р;
весия возможно только при одном и том же значении уровня воды
когда поршень золотника перекрывает доступ масла в цилиндр с
мотора.
При статическом регулировании в равновесном со
НИИ возможно некоторое отклонение регулируемой величины от пос
ного значения. В качестве примера может быть приведен регулятор
мого действия (рис. 1-7). Статическая характеристика представлег
рис. 1-5, б. Здесь видно, что каждой нагрузке соответствует свое з
ние регулируемой величины. Изменение регулируемой величины — ;
ИЯ воды—^вызывает пропорцио:
II
у
о
Среднее
значение
±
Нагрузка
объекта
а)
Нагрузка
объекта
б)
Рис. 1-5. Статические характеристики.
ное ПО величине перемещение
лирующего органа в направ;
восстановления равновесия сис
регулирования. Новое сост(
равновесия (а следовательно,
вое положение регулирующет
гана, соответствующее новой на
ке объекта) может быть дости
только при новом значении ре
руемой величины. Отклонение
лируемой величины (в статик(
требуемого значения называют
тической ошибкой регулиро)
или степенью (коэффициентом
равномерности регулирования.
1=^0^
t
—
—
г) Регуляторы прямого
и непрямого действия
Рис. 1-6. Схема регулятора непрямо¬
го действия.
Система 'регулирования вс
случаях должна иметь измер!
ный орган — датчик, — которы
меряет регулируемую величи
10
Измерительлый
орган
Регули¬
рующий
орган
Рис. 1-7. Схема регулятора прямого
действия.
исполнительный орган — сервомотор,
который в сочетании с регулирующим
■органом воздействует на объект для
восстановления требуемого значе¬
ния регулируемой величины. В про¬
стейшем регуляторе отклонение ре¬
гулируемой величины (уровня в ба¬
ке) от нормы воспринимается изме¬
рительным органом (поплавком), ко¬
торый непосредственно развивает
энергию, необходимую для переме¬
щения регулирующего органа (дрос¬
сельного клапана). Регуляторы, в ко¬
торых измерительный орган непо¬
средственно воздействует на регулирующий орган, называют регу¬
ляторами прямого действия. Область их применения сравнительно огра¬
ничена, так как в больщинстве случаев измерительный орган регулято¬
ра не в состоянии развить достаточных усилий для перемещения регу¬
лирующего органа. В свою очередь обратная реакция последнего на
измерительный орган повыщает нечувствительность регулятора.
В тех случаях, когда мощность измерительного органа регулятора
недостаточна для перестановки регулирующего органа и когда надо
иметь высокую чувствительность регулятора, применяют регуляторы не¬
прямого (косвенного) действия. В этих регуляторах имеются вспомо¬
гательные устройства (усилители), которые включаются в цепь регули¬
рования между измерительным и регулирующим органом и используют
посторонний источник энергии. Введение усилителя уменьщает реакцию
сервомотора на измерительный орган, увеличивает чувствительность
регулятора и дает возможность расходовать больще мощности на пе¬
ремещение регулирующего органа. Усилителем может быть испол¬
нительный орган (исполнительный механизм — сервомотор), непосред¬
ственно сочлененный с регулирующим органом.
На рис. 1-6 представлена схема такого регулятора. Если отклонение уро>вня воды
от требуемого значения равно нулю, то регулирующий орган неподвижен; если уровень
отклоняется от нормального, то поплавок перемещает золотник, который направляет
масло в ту или другую полость цилиндра сервомотора. Нагнетаемое насосом масло
перемещает порщень сервомотора и соединенный с ним регулирующий орган. Переме¬
щение золотника требует незначительных усилий, так как силы давления при любом
положении порщня золотника уравновещены. Порщень сервомотора развивает доста¬
точно большое усилие, необходимое для перестановки клапана.
По виду вспомогательной энергии различают регуляторы электри¬
ческие, пневматические, гидравлические и комбинированные (электро-
гидравлические, электропневматические и др.).
д) Регуляторы непрерывного и дискретного действия
В рассмотренных выще случаях предполагалось, что измерительный
орган регулятора, непрерывно измеряющий регулируемую величину,
все время связан (непосредственно или через усилитель и сервомотор)
с регулирующим органом. Последний непрерывно следует за отклоне¬
ниями регулируемой величины в течение всего времени, пока фактиче¬
ское значение регулируемой величины не соответствует ее требуемому
значению. Такое регулирование называется непрерывным, а регуляторы,
характеризующиеся наличием непрерывно замкнутой цепи передачи воз¬
действий, называют регуляторами непрерывного действия.
Регуляторами дискретного (прерывистого) действия называют ре¬
гуляторы, в которых проходящий сигнал квантуется либо по уровню,
либо по времени, либо одновременно по уровню и по времени. В зави¬
11
симости от вида квантсваиия различают регуляторы релейные, им
пульсные и цифровые (релейно-импульсные).
В релейных регуляторах преобразователем непрерывных сигнале
в дискретные служит релейный элемент, осуществляющий квантовани
по уровню. Выходная величина релейного элемента принимает два ил
три фиксированных уровня. К категории релейных регуляторов относя
вибрационные, двухпозиционные, трехпозиционные, а также регулятор]
с постоянной скоростью сервомотора.
В импульсных регуляторах имеется элемент, преобразующий непрб
рывный сигнал в сигнал, квантованный по времени, а выходная велищ
на импульсного элемента представляет собой модулированную последе
вательность импульгов.
Рассмотрим в качестве примера импульсный регулятор, в котором размыканк
цепи воздействия производится периодически принудительно с постоянной частоте
(квантование по времени) специальным прерывающим устройством независимо от хол
технологического процесса (рис. 1-8,а) *.
Входная величина регулятора — температура измеряется термопарой 1. Под де1
ствием э. д. с., развиваемой термопарой, поворачивается рамка 2 милливольтметр
вместе со стрелкой 3 на соответствующий угол. Над стрелкой на щарнирах укреплег
падающая дужка 4. Синхроннь
электродвигатель 5 с помощью к;
лачка 6, ролика 7 и тяги 8 период!
чески опускает дужку 4, отжима
стрелку 3 вниз, и затем отпускает е
Зина яечубствительности ,
а) 'Шб' б)
Рис. 1-8. Схема регулятора прерывистого дей¬
ствия.
при подъеме дужки 4. Вдоль шкалы прибора на поворотных кронштейнах 9 ш 10 мож
перемещать два ртутно-стеклянных контакта 11 и 12. Перемещение стрелки милливол!
метра ограничено упорами на кронштейнах ртутно-стеклянных контактов. Если регу/
руемая температура находится вне допустимых пределов, то рамка милливольтмет
прижимает стрелку к соответствующему упору на кронштейне ртутно-стеклянного кс
такта. Когда падающая дужка опускается, каблучок 13 стрелки 3 опрокидывает ртуп
стеклянный контакт и замыкает цепь, управляющую исполнительным механизмом.
Если регулируемая температура меньше требуемого значения, то замыкается
вый контакт, если больше — правый. Угол раствора кронштейнов с контактами ограг
чивает зону нечувствительности прибора. Если ртутно-стеклянные контакты управля'
электродвигателем, имеющим два направления вращения, то возможны три состоян
регулирующего органа: перемещение в сторону открытия, перемещение в сторону закр
тия и неподвижное состояние. Регулирующий орган неподвижен в том случае, ее
температура находится в пределах зоны нечувствительности прибора, а также в инт(
валы времени, когда падающая дужка приподнята вверх.
На рис. 1-8,6 приведены графики изменения регулируемой величины — темпера-
ры Хвх.рег и регулирующего воздействия Жвых.рег, т. е. включения и выключения cepi
мотора регулятора.
Таким образом, периоды работы системы регулирования в замкнутом состоян
чередуются с периодами, в течение которых система разомкнута и регулирующее в<
действие не зависит от состояния регулируемой величины.
Импульсные регуляторы включают в себя реле (поляризованное или два спар'
ных неполяризованных реле) с зоной нечувствительности. Если регулируемая величг
J2
Релейные регуляторы будут специально рассмотрены в гл. 7.
квх.рег
Зона
нечу0ст3ителб-
ноши ,
—
Хвх.рег выйдет за пределы зоны нечувствительности (рис. 1-9) (время t/), реле срабо¬
тает и на объект поступит регулирующее воздействие Хвых.рег, стремящееся уменьщить
отклонение регулируемой величины. Когда она уменьшится и войдет в зону нечувстви¬
тельности (момент времени V), реле отключится, регулирующее воздействие прекратит¬
ся. При отклонении регулируемой величины в другую сторону процесс повторится.
Таким образом, в описанном рсжимстрсх-
позиц'нонный релейный элемент в зависимо¬
сти от величины и знака отклонения регули¬
руемого параметра может осуществлять регу¬
лирующее воздействие либо в одном, либо
в другом направлении, либо прекратить его
действие, если регулируемый параметр нахо¬
дится в зоне нечувствительности регулятора.
Регуляторы с двухпозиционным'И релей¬
ными элементами не и.меют устойчивого от¬
ключенного положения и могут занимать лищь
два положения; «включено в сторону больше»
или «включено в сторону меньше». Их режим
работы — колебательный, непрекращающийся.
Для примера на рис. 1-10 приведена схема дву.хпо-
зиционного регулятора температуры в термостате 1.
Регулирование осуществляется путем периодического включения и выключения
нагревательного элемента 2. В качестве измерительного органа применен стеклянный
ртутно-контактный термометр 5, но может быть использовано и любое другое устрой¬
ство.
При увеличении температуры в термостате столбик ртути замыкает электрическую
цепь и с помощью усилителя 4 (реле) размыкает цепь нагревательного элемента; из-за
этого температура в термостате понижает¬
ся, ртуть в тер-мометре ,раз;мыкает электри¬
ческую цепь, а нагревательный элемент
вновь включается. В последующем процесс
повторяется.
Здесь исполнительный орган (усили¬
тель 4) может занимать только два поло¬
жения: «включено», «1Выключено».
1 '
ч у
1
1 рег ^
! 1
t
Рис. 1-9. К пояснению дей¬
ствия релейной системы ре¬
гулирования.
Рис. 1-10. Схема двухпозиционного регуля¬
тора температуры.
В цифровых регуляторах для преобразования непрерывного сигнала
в дискретный, квантованный по уровню и по времени, имеются последо¬
вательно включенный импульсный элемент и кодирующее устройство.
Цифровые регуляторы являются простейшими вычислительными устрой¬
ствами.
е) Конструктивные особенности серийных регуляторов
Промышленность в настоящее время выпускает различные разно¬
видности регуляторов с точки зрения их конструктивного оформления *.
Рассмотрим некоторые из них;
Специализированные регуляторы предназначены для регулирования
конкретных параметров в различных объектах и имеют в своем составе
определенные измерительные и исполнительные органы, не подлежащие
смене. К ним, например, относятся все регуляторы прямого действия
для регулирования уровня, температуры и т.д.
Универсальные регуляторы предназначены для регулирования самых
разнообразных величин в технологических объектах. Эти регуляторы
выполнены таким образом, что они могут сочетаться с различными из¬
мерительными органами (с помощью специальных преобразователей)
Применяемые ниже термины условны, так как еще нет утвердившейся общепри¬
нятой терминологии классификации регуляторов.
13
и с разнообразными исполнительными механизмами. Универсальные ре¬
гуляторы предназначены для широкого класса объектов, имеют органы
настройки, которые могут варьироваться в широком диапазоне.
Агрегатные регуляторы — наименее специализированные системы,
состоящие из отдельных блоков, модулей и т.д., предназначенных для
выполнения конкретных операций (усиление сигнала, сложение, диф¬
ференцирование и т.д.). Практически любую систему регулирования
можно скомплектовать из указанных блоков. Наибольшее распростране¬
ние получили униве^;)сальные и агрегатные регуляторы.
1-3. ЗАДАЧИ РАСЧЕТА СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Как уже отмечалось, система автоматического регулирования пред¬
ставляет собой совокупность объекта регулирования и регулятора. Раз¬
личные возмущения, воздействующие на объект регулирования, приво¬
дят к отклонению регулируемой величи¬
ны от требуемого значения, которое в за¬
висимости от технологических условий
может быть либо постоянным, либо изме¬
няющимся по определенному, заданному
закону, и задача регулятора— устранять
эти отклонения. В системе регулирования
при этом возможны следующие виды пе¬
реходных процессов.
Процесс регулирования, изображен¬
ный на рис. 1-11,а, характерен тем, чтс
регулируемая величина (уровень) в ре¬
зультате воздействия регулятора совер¬
шает колебания относительно требуемо
го значения. Амплитуда этих колебаний
с течением времени нарастает. Такой про
цесс регулирования нельзя признап
удовлетворительным, так как регулируе
мая величина не возвращается к требуе
мому значению.
Процесс регулирования, изображен
ный на рис. 1-11,6, также не удовлетво¬
ряет требованиям, так как регулируемаг
величина не возвращается к требуемом)
значению, а совершает колебания с по
стоянной амплитудой *.
Отметим, что для систем, содержа¬
щих двухпозиционный регулятор, коле¬
бательный процесс является нормаль
ным.
Наконец, процесс регулирования, изображенный на рис. 1-11, в
можно признать удовлетворительным, так как регулируемая величинг
в результате переходного режи.ма возвращается к требуемому значению
Следовательно, в принципе возможны три формы переходного про¬
цесса:
регулируемая величина в результате возмущения стремится с тече¬
нием времени к постоянному значению. В этом случае процесс регулиро¬
вания называют затухающим или сходящимся;
регулируемая величина в результате возмущения с течением време¬
ни неограниченно растет по абсолютному значению. Такой процесс яв-
Рис. 1-11. Возможные формы пе¬
реходных процессов в системе ре¬
гулирования.
ляется неустойчивым или расходящимся;
‘ Более подробное изложение характера этих процессов будет дано ниже.
14
регулируемая величина в результате возмущения совершает неза¬
тухающие колебания. Этот процесс — промежуточный, граничный меж¬
ду рассмотренными выше сходящимся и расходящимся процессами.
Задача системы автоматического регулирования состоит в том, что¬
бы переходный процесс завершился возвращением регулируемой вели¬
чины к требуемому значению. При этом важно, чтобы процесс закон¬
чился как можно скорее, хорошо «затухал» и временные (динамические)
отклонения регулируемой величины были наименьшими.
Таковы в общем виде требования к качеству процесса регулирова¬
ния. Ниже будут специально рассмотрены конкретные критерии каче¬
ства. Сейчас лишь заметим, что приведенные выше схемы регуляторов
во многих случаях не в состоянии обеспечить требуемого качества регу¬
лирования. Поэтому большинство регуляторов имеет в своем составе
Рис. 1-12. Система автоматического регулирования как замкнутая цепь
функциональных элементов.
специальные стабилизирующие устройства (как правило, так называе¬
мые обратные связи). Назначение их состоит в стабилизации процесса ре¬
гулирования и приведении его к виду, который удовлетворял бы по своим
качественным показателям предъявляемым к нему требованиям *.
В общем случае всякая система автоматического регулирования мо¬
жет быть представлена в виде, изображенном на рис. 1-12. Регулируе¬
мая величина (выходная величина объекта) с помощью измерительного
органа (чувствительного элемента) поступает в элемент сравнения (из¬
мерительный блок) регулятора, где сопоставляется с требуемым (задан¬
ным) значением, которое иногда называют «уставкой» регулятора. Раз¬
ности между этими величинами — сигнал рассогласования (ошибка) —
подается на в.ход усилителя, который называют также управляющим
органом. Последний воздействует на исполнительный орган — сервомо¬
тор, механически соединенный с регулирующим органом объекта.
Обратная связь регулятора связывает выход исполнительного орга¬
на (сервомотора) или выход усилителя (релейного элемента) со входом
элемента сравнения регулятора.
* Эти стабилизирующие устройства оказывают определенное воздействие на про¬
цесс регулирования на основе различных закономерностей, о чем речь будет идти позже.
15
Рассматриваемая система регулирования характеризуется слел
щими особенностями:
а) система представляет собой замкнутую иепь функциональг
элементов, последовательно действующих друг на друга в одном оп
деленном направлении (объект — измерительный орган — элемент ср
нения — усилитель — сервомотор — регулирующий орган — объект);
б) воздействия элементов друг на друга распространяются тол1
в одном направлении и не могут передаваться в обратном направлег
(свойство детектирования). В самом деле, объект воздействует на нз:
рительный орган, но последний не оказывает обратного влияния
объект. Или, например, усилитель управляет сервомотором, который
может оказывать обратной реакнии на усилитель. Таким образом, ка
дый предыдущий элемент воздействует только на последующий н
влияет в обратном направлении (или обратное влияние столь незна'
тельно, что им можно пренебречь);
в) система регулирования может подвергаться внешним возмуща
щим воздействиям, число, характер и места приложения которых оп)
деляются конкретными условиями.
Конечной нелью исследования и расчета системы автоматнческо
регулирования является формирование такой системы, которая удовле
воряла бы определенным требованиям качества регулирования. П]
этом возможно решение одной из двух задач:
расчет устойчивости системы регулирования. Н
обходимо обеспечить устойчивую работу регулятора, т. е. абсолютнг
значения отклонений регулируемой величины в результате возмуща!
ших воздействий по истечении определенного промежутка вре.ме!
должны стать равными или меньше требуемого значения. При этом др;
гие требования к качеству регулирования не предъявляются;
расчет оптимального процесса регулирован и
В результате такого исследования и расчета необходимо добиться тог
чтобы система регулирования удовлетворяла определенным критерия
качества регулирования (например, чтобы процесс интенсивно и быстр
затухал, чтобы отклонения регулируемой величины не превышали дс
пустимых значений и т.д.).
Независимо от того, какая нз двух задач подлежит решению, .мож
но в общем виде сформулировать следующие основные этапы исследс
вания и расчета системы автоматического регулирования.
1. Определение статических и динамических свойств (характеристик
регулируемого объекта. В зависимости от конкретных условий мрже
быть выполнено аналитическим и зксиери.ментальным иутем.
Если объект проектируется, то в процессе его создания можно
влиять на его статические и динамические характеристики в соответст
ВИИ с результатами аналитических расчетов.
Если объект существует, то, как правило, нет возможности из.ме
нить его динамические свойства, и определение характеристик объект:
обычно производят экспериментальными методами.
2. Выбор типа автоматического регулятора. В зависимости от кон¬
кретных условий, статических и динамических свойств объекта выбира¬
ют тип автоматического регулятора.
3. Расчет системы автоматического регулирования. Расчет системы
(объект — регулятор) сводят к определению конкретных численных
значений параметров системы автоматического регулирования, обеспе¬
чивающих решение одной из двух поставленных выше задач.
Все параметры системы автоматического регулирования можно раз¬
делить на три группы.
К первой группе относят заданные параметры, которые нель¬
зя изменить, как, например, статические и динамические параметры
регулируемого объекта.
16
Ко второй группе относят параметры,'которые могут быть вы¬
браны конструктором в процессе создания регулятора, но которые мо¬
гут быть изменены при его настройке. Таковы', например, коэффициенты
усиления и постоянные времени ряда элементов регулятора (первичных
приборов, усилителей и др.). Эти параметры будем называть конструк¬
тивными.
Наконец, к третьей группе относят параметры, которые до¬
пускают возможность их изменения в процессе настройки регулятора.
Эти параметры называются настроечными, они могут, как правило,
варьироваться в достаточно широких пределах.
Итак, если решается задача на устойчивость системы регулирова¬
ния, то необходимо выбрать и установить настроечные параметры ре¬
гулятора так, чтобы обеспечить устойчивый характер процесса регули¬
рования.
Если решается задача расчета оптимального процесса регулирова¬
ния, то, располагая статическими и динамическими характеристиками
объекта и регулятора, необходимо так выбрать и установить настроеч¬
ные параметры регулятора, чтобы обеспечить оптимальный (с точки
зрения предъявляемых требований) переходный процесс в системе ав¬
томатического регулирования.
ГЛАВА ВТОРАЯ
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
2-1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Любая система автоматического регулирования является динами¬
ческой системой, так как ее действие всегда связано с изменением во
времени величин, характеризующих состояние ее элементов. Изменение
состояния элемента, как правило, происходит с изменением запаса энер¬
гии или вещества, содержащегося в данно.м элементе. .Так, например,
изменение уровня воды в резервуаре может произойти только при изме¬
нении количества содержащейся в нем воды; изменение температуры
в топке котла вызывается изменением количества тепла. Однако изме¬
нение состояния элементов системы не может происходить мгновенно,
так как на этот процесс необходимо определенное время. В соответствии
с этим в динамических системах различают следующие виды процессов
(режимов).
Равновесный режим характеризуется тем, что регулируемая
величина и все действующие в системе возмущения не изменяются во
времени. В реальной системе из-за постоянного влияния возмущающих
воздействий равновесного режима, строго говоря, быть не может. Одна¬
ко эти воздействия могут быть достаточно малыми, чтобы ими можно
было пренебречь.
Пб'реход'ный режим—шроцесс перехода динамической систе¬
мы из одного равновесного состояния в другое под влиянием возмущаю¬
щего или регулирующего воздействия.
Под периодическим режимом подразумевают состояние си¬
стемы, при котором ее параметры изменяются во времени по периоди¬
ческому закону. Периодический режим может быть устойчивым, если
он восстанавливается после небольших отклонений, и сохраняется не¬
ограниченно большое время. Такой режим называют автоколебатель¬
ным. Для двухпозиционных регуляторов такой режим является нор¬
мальным.
Рационально вьгполиенные системы автоматического регулирования
представляют собой устойчивые физические системы, так как они, бу-
2—1074 17
дучи выведенными внешними причинами из состояния равновесия, про¬
изводят компенсацию этих внешних воздействий и восстанавливают в ре¬
зультате переходного режима нарушенное равновесие.
Для решения любой задачи, связанной с анализом динамики систем
автоматического регулирования, необходимо прежде всего располагать
дифференциальным уравнением псследуемой системы.
Система автоматического регулирования (так же, как и любой ее
элемент) называется линейной или соответственно нелинейной, в зависи¬
мости от того, линейной или нелинейной является математическая за¬
висимость (дифференциальное или алгебраическое уравнение), связы¬
вающая между собой выходные и входные величины системы (эле¬
мента).
Различают два рода уравнений систем автоматического регулирова¬
ния: уравнения состояния равновесия (уравнения статики) и уравнения
переходных процессов (уравнения динамики).
Уравнения статики отражают связь между входными и выходными
величинами системы (элемента) в равновесном режиме:
Л1вых.уст=|/(.^вх.уст) •
Эта зависимость может быть линейной или нелинейной. Большинст¬
во реальных статических характеристик нелинейно. Однако относитель¬
но небольшие участки харак-
-о теристик в нелинейных эле¬
ментах можно принимать в ка¬
честве линейных, т. е. линеари¬
зовать статическую характери¬
стику.
Устойчивые элементы, в
которых в результате любого
входного воздействия спустя
достаточно большое время по¬
сле его приложения устанав¬
ливается определенное неиз¬
менное значение выходной ве¬
личины, называют статиче¬
скими.
На рис. 2-1 показаны схе¬
мы (рис. 2-1,а) и статические
характеристики устойчивых
элементов — термопары (рис.
2-1,6), входной величиной ко¬
торой является измеряемая
температура, а выходной — термо-э. д. с. Е\ мембранного сервомотора
(рис. 2-1,е и г), входной и выходной величинами которого являются
соответственно давление Р на мембрану и положение клапана ц.
Нейтральные элементы характеризуются тем, что под влиянием
постоянного входного воздействия устанавливается определенная ско¬
рость изменения выходной величины.
На рис. 2-2 приведены схемы (рис. 2-2, айв) и характеристики
(рис. 2-2, 6 и г) нейтральных элементов поршневого сервомотора и бака
с водой.
Система автоматического регулирования может состоять из эле^шн-
тов с сосредоточенными и распределенными параметрами.
Динамика элементов с сосредоточенными параметрами может быть
описана обыкновенными дифференциальными уравнениями, где пере¬
менные величины зависят только от времени. Поведение такого элемента
определяется конечным числом независимых переменных, имеющих лю¬
бую физическую природу (температура, давление, уровень и т.д.). Пе¬
18
Рис. 2-1. Статические характеристики устойчи¬
вых элементов.
ременные величины, определяющие состояние элемента, носят название
обобщенных координат, число которых определяет число степеней сво¬
боды элемента (системы) с сосредоточенными параметрами. Примером
простейшей системы с сосредоточенными параметрами является физи¬
ческий маятник, состояние которого при заданной длине определяется
одной координатой —отклонением центра тяжести маятника от положе¬
ния равновесия.
Элементы с .распределенными параметрами имеют бесконечное число
степеней свободы.
Примером может служить стенка кипятильной трубы парового котла. В состоянии
равновесия тепловой поток внутри и на граничных поверхностях стенки имеет одну
и ту же величину. При изменении температуры омывающих трубу газов тепловой поток
на внешней поверхности меняется. Возмущающее воздействие постепенно распростра¬
няется внутрь стенки, и величина теплового потока через граничные поверхности уже
не может характеризовать его значение в данный момент времени в какой-либо точке
внутри трубы.
Сложные системы автоматического регулирования, содержащие
элементы с распределенными параметрами, в практике могут быть с
достаточным приближени¬
ем замещены эквивалент- i
ными системами, состав¬
ленными из конечного чи¬
сла элементов с одной
степенью свободы. Дина¬
мика элементов с рас¬
пределенными парамет¬
рами может быть описа¬
на дифференциальными
уравнениями с частными
производными.
Простейшими дина¬
мическими системами яв¬
ляются системы с одной
степенью свободы. При
математическом исследо¬
вании система автомати¬
ческого регулирования с
сосредоточенными иара-
метрами может быть рас¬
членена на элементы с од¬
ной степенью свободы
(число таких элементов
равно числу степеней сво¬
боды расчленяемой си¬
стемы). При этом необ¬
ходимо выбрать обоб¬
щенные координаты си¬
стемы так, чтобы каждую
из этих координат можно
было рассматривать как
выходную величину не¬
которого элемента с одной степенью свободы и одновременно как вход¬
ную величину в другой элемент.
Все реальные системы автоматического регулирования являются
в той или иной степени нелинейными системами, т. е. должны описывать¬
ся нелинейными дифференциальными уравнениями, решение которых
в общем виде получить нельзя. Возникает необходимость линеаризо¬
вать (если это возможно) систему нелинейных уравнений, заменив ее
более простой, приближенной, но линейной системой.
2* 19
Рис. 2-2. Статические характеристики нейтральных
элементов.
Системы регулирования обладают рядом характерных свойств; от¬
носительно малые амплитуды колебаний многих координат системы,
непрерывность и «малая кривизна» нелинейных зависимостей, что позво¬
ляет спрямлять их на определенных участках, и т^д. Благодаря этому
можно многие реальные нелинейные системы приближенно описывать
линейными дифференциальными уравнениями, связывающими выход¬
ную и входную величины системы (элемента) во времени.
2-2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
(ЭЛЕМЕНТОВ) АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными коэф¬
фициентами, описывающее динамические свойства линейной системы,
в общем виде может быть представлено так;
апХ,
Вл Вл
где Хвых — выходная (регулируемая) величина; Хвх—входная величина
(регулирующее или возмущающее воздействие); йп, йп-i, • ■ао',
bk, bh-u 60 —'постоянные
коэффициенты.
Как известно, дифферен¬
циальное уравнение составля¬
ется на основании физических
законов, определяющих пере¬
ходный (Процесс в системе
(объекте регулирования, лю¬
бом элементе системы регули¬
рования). Математические вы-
'°<С
А
;
а)
Рис. 2-3. К примеру составления дифференциального уравнения.
ражения соответствующих законов применительно к конкретному слу¬
чаю являются исходными дифференциальными уравнениями системы.
Рассмотрим методику составления дифференциальных уравнений на примерах.
Пример 1. Составим дифференциальное уравнение термической печи, которая
является регулируемым объектом (рис. 2-3,а). а оа и
Регулируемой величиной объекта является температура внутри печи О С. Нагрев
печи осуществляется электронагревателем с сопротивлением R, по которому протекает
ток I. Пусть 0BH — температура внешнего помещения.
Введем следующие допущения:
будем полагать, что во всех точках объема печи температура одинакова;
20
^ исследование проводится при небольших отклонениях тока / от базовой постоян¬
ной (величины /о, т. е. /=/о-ЬА/ и А/</о, оде Л1 может быть положительным и отри-
ЦЭТбЛЬНЫМ. ^
Электрическая энергия RRdt, поступающая в печь за бесконечно малый промежу¬
ток времени dt, расходуется на нагрев печи и на внешнее излучение. Пусть теплоем¬
кость печи равна С дж/град. Для нагрева печи на один градус необходимо затратить
С Ож, а при нагреве на dQ затрачивается CdQ дж тепла. Потери энергии яа излучение
пропорциональны излучающей поверхности F печи и разности темпера-
ур (О 0вн), Т. е. равны Сс£(9—0вн), где Сс — коэффициент излучения, имеющий раз-
мернодть вт/(см/ • град). За время dt потери составят CqF(Q = QBji)dt
Согласно закону сохранения энергии имеем:
mdt=CdQ + CnF{Q—Qnn)dt (2-1)
ИЛИ
(/„-Д/)^£ = С^ + Св£(6-9,„). (2-2)
Так как Д/</о, то (I+А1)‘^~1й + 2АП(,\ членом (Д/)'' пренебрегаем.
Тогда уравнение (2-2) можно переписать в таком виде:
/2/? + 2Д//„£ = с4^ + С„£(9-0зн). (2-3)
Допустим, что при некоторой температуре 0о печи и токе /=/о (Д/=0) приток
энергии в печь идет целиком на излучение наружу. Тогда температура печи не меняет¬
ся, величина dd/dt=0 и из уравнения (2-3) получим уравнение равновесного режима —
уравнение статики:
/о£ = Се£ (6„ —бзн). (2-4)
Подставив значение h^R из (2-4) в левую часть уравнения (2-3), получим:
C,F (9„ — 0зн) + 2Д//„£ = C-^ + C,F (0 — 0з„). (2-5)
или после приведения подобных членов:
2Д//„£ = С-^+С+(9 —0„). (2-6)
Обозначим превышение температуры 0 над 0о через ДО:
Д0 = 6—00. (2.7\
Так как 6о=const, то ’
d (Д9) d%
dt dt ■ (2-8)
Подставив выражения (2-7) и (2-8) в уравнение (2-6), находим:
2Д//„/? = с1^ + Се£Д9
ИЛИ
^ dm ... 2/„£
С+ dt +49 = --^ А/. (2-9)
Таким образом, найдено дифференциальное уравнение, связывающее во времени
отклонения Д/ (входную величину объекта) и Д0 (выходную величину объекта) от по¬
стоянных установившихся значений h и Во.
Пример 2. Рассмотрим пример составления дифференциального уравнения объекта
изображенного на рис. 2-3,6. . с1ма,
В сосуд поступает вода в количестве Qj объемных единиц в секунду и расходует¬
ся в количестве Qz объемных единиц в секунду (см^/сек).
Введем обозначения: ДА — отклонения уровня от заданного значения, см- F — пло¬
щадь поперечного сечения сосуда, слй.
Равновесие объекта характеризуется равенством притока и расхода воды (уравне¬
ние статики)
Qi.o—Q2,o = 0* (2-10)
Индекс О при Q означает, что равенство притока и расхода жидкости имеет
место при значении ДЛ=0.
21
и отсутствием отклонения уровня от заданного значения (Ай = 0).
При изменении количества поступающей или расходуемой воды уровень ее в сосу¬
де будет изменяться.
Если принять, что
Qi = Qi,o + AQi (2-11)
и
то
Q2=Q2,0 + AQ2, (2-12)
d (Ah)
Q,-Q, = AQ,-AQ2 = F^^. (2-13)
В рассматриваемом примере расход воды из сосуда зависит от высоты уровня;
Q2=f(h). (2-14)
Если мало Ah, то в первом приближении можно считать, что
AQ2 = aAh, (2-15)
где а=А9г1АЬ — постоянный коэффициент.
Учитывая это, уравнение (2-13) можно записать так:
+ , (2-16)
Уравнение (2-16) является дифференциальным уравнением, связывающим входную
величину объекта AQi с выходной величиной АЛ во времери (уравнение динамики).
В заключение необходимо заметить, что определение динамических
свойств объектов с помощью дифференциальных уравнений может быть
пока успешно выполнено только для сравнительно простых объектов.
Как правило, в редких случаях можно при небольшой затрате времени
составить достаточно точное дифференциалиное уравнение объекта.
В настоящее время при составлении дифференциальных уравнений
элементов и систем регулирования принято пользоваться безразмерны¬
ми переменными величинами. Для этого отклонения величин относят
к каким-либо постоянным (базовым) значениям величин, например
к максимальным или средним (номинальным). Выражая входную и вы¬
ходную величины элемента (или системы) в долях от этих базовых
величин, вводят безразмерные координаты.
Так, например, A///o = Xbx в уравнении (2-9) характеризует отно¬
сительное отклонение входной величины от базового значения, а А0/0о =
= л:вых — относительное отклонение выходной величины.
Для перехода от «размерной» формы записи дифференциального
уравнения к безразмерной производят замену абсолютных координат
относительными. Так, например, уравнение (2-9) можно записать в без¬
размерной форме, заменив
А0 = 0оХвых и AI ~ IqXbX'
Тогда
Сбо бХвых I й ^
СД dt ' °о-ьых—
Разделив обе части уравнения на 9о, получим:
'■вых _1_
Л.Т»
Обозначим
C,F dt ' CeF9„
С+ СД0„
Коэффициенты при производных от выходной величины называются
постоянными времени и имеют размерность времени.
В самом деле,
С
дж
град
_ С
'дж-см?-град
* С
Ср
вт
CcF
F [см^]
град-вт-см?
~C,F
см?-град
Коэффициент К при называется коэффициентом усиления и
естественно, должен быть безразмерным:
2/qR [ом]
С
2/о+
вт
см^-град
F [смЦ 6 [град]
а^-ом-см^-град
вт-см^-град
« уравнение (2-9) с учетом введенных обозначений будет иметь
в безразмерной форме следующий вид: ^
+ АГбых = КХвх-
к без^аГер«у"™“° ™ также прнводктся
Тх’вых + -Л^вых = КХвх.,
где
а
А
dh
см^-см-сек
см^
см^ ■ сек
сек-см'^см
2-3. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
=Т[сек\,
=К [0].
ВрсхМенной называют характеристику динамической системы /игти
элемента), определяющую ее реакцию на единичное воздействие К вре¬
менным характеристикам относятся переходная функция (кривая nit
гона) и импульсная переходная функция. ФУнкция (кривая раз-
а) Переходные функции (кривые разгона)
Диф(£^иТльно^Г vn? разгона) представляет собой решение
дифференциального уравнения системы (элемента) при скачкообпя-ч
натальных Условиях (т е до
начала воздействия выходная величина и все ее производные пявн!
на ^ьныйТиЙок” =“ня ее реакции,
* Напо.мним, что 1 дж!сек=\ вт=\ а^-ом.
23
Аналитически скачкообразное возмущающее воздействие можна
записать так (рис. 2-3,б):
при /<0 Хвх=0;
при .tBx = .TBx0 = 'COnst.
Определим для примера уравнение кривой разгона термической пе¬
чи, дифференциальное уравнение которой было выведено ранее:
7'х'вых + х:вых = ^х:вх- (2-17)
Будем искать рещение этого уравнения в виде
•^ВЫХ = Cei't + kx ВХ о,
где г и С подлежат определению.
Подставляя значение Хвых и х'вых в (2-17), получим:
TCre'-t + Ce’-i = 0.
Сокращая на Се’’*, будем иметь:
Тг+1 = 0,
откуда г=—и решение принимает вид:
_i_
эСвых = ^.^вхо + Се (2-18)
При / = 0 Хвых = О, следовательно, С = —кХцхо- Тогда уравнение кри¬
вой разгона будет:
( -- ^
-^^вых — + о у* (2-19)
график кривой разгона, построенный по этому уравнению, приве¬
ден на рис. 2-3,6.
При t = oo выходная величина Хвых достигает предельного значения
•^^BblX.yCT —kX-BX о-
Коэффициент усиления k определяет отношение установившихся
значений выходной величины к входной:
k =
^ВЫХ.УГТ
Коэффициент усиления (коэффициент передачи) может быть непо¬
средственно найден из графика переходной функции; постоянная вре¬
мени Т характеризует инерционность процесса.
Таким образом, кривые разгона дают наглядное представление
о характере протекания переходных процессов в системе или объекте.
По характеру кривых разгона регулируемые объекты могут быть услов¬
но разделены на два больших класса — объемы с конечным коэффи¬
циентом усиления (объекты с самовыравниванием) (рис. 2-3,в) и объек¬
ты с бесконечно большим коэффициентом усиления (объекты без само¬
выравнивания) (рис. 2-4) *.
ПрОхМышленные объекты регулирования имеют, как правило, кри¬
вые разгона, отличающиеся от приведенных выше переходных процес¬
сов простейших объектов. Типичная кривая разгона сложного тепло¬
энергетического объекта с самовыравниванием приведена на рис. 2-3,а.
* Здесь и далее для упрощения записи будут также использоваться обозначения:
.^вых.о = 0; Xbx — F.
24
Ао
t
Для приближенной оценки динамических
свойств объекта с такой кривой разгона можно
использовать так называемые динамические па¬
раметры X, Та, Т, к, определяемые в этом случае
следующим образом.
В наиболее крутой части трафика изменения
регулируемой величины проводят касательную.
Время запаздывания т определяется как отрезок
оси абсцисс от момента нанесения скачкообраз¬
ного возмущения до момента пересечения с этой
осью касательной. Постоянную времени Та опре¬
деляют как отрезок оси абсцисс между точкой
пересечения с ней касательной и проекцией на
эту ось точки пересечения касательной с горизон¬
талью, проведенной на уровне, соответствующем
установивщемуся значению параметра.
^Наиболее общей приближенной динамиче¬
ской характеристикой служит обобщенная постоянная времени Г; ее ве¬
личина равна частному от деления площади F, заключенной между
кривой разгона и прямой с координатой о=ауст, на установивщееся
значение регулируемой величины:
Рис. 2-4. Кривая разгона
участка объекта без са¬
мовыравнивания.
j (Oyoi — 5) dt
ед. измер. per. вел.Х ед. врем,
ед. измер. per. вел.
(2-20)
Эта постоянная равна интервалу времени от момента нанесения
возмущения до ординаты, отсекающей на кривой разгона равные пло¬
щади Fu Fz (рис. 2-3,г).
Коэффициент усиления (передачи) определяется по формуле
ед. измер. per. вел.
ед. измер. возм.
(2-21)
Объекты без самовыравнивания характеризуются двумя динамиче¬
скими параметрами — запаздыванием т и скоростью разгона е. Они
также определяются по кривой разгона (рис. 2-4). Для этого к наибо¬
лее крутой части кривой изменения регулируемой величины проводят
касательную, наклон которой характеризует скорость разгона:
ед. измер. per. вел.
ХоТ [ед. измер. возм.Хед. врем..
(2-22)
Время запаздывания определяют так же, как и для объектов с са-
мовыравниванием.
Единицами измерения а могут служить кгсДмА (для давления),
°С (для температуры), мм (для уровня) и т. я. или независимо от при¬
роды регулируемой величины единицы измерения сигнала, возникающе¬
го на выходе преобразователя {мв, ма для электрического преобразо¬
вателя и т. п.), которым снабжен первичный прибор, контролирующий
регулируемую величину, или, наконец, безразмерные единицы (а отно¬
сят к некоторому фиксированному значению регулируемой величины).
Возмущение можно характеризовать величиной хода сервомотора,
регулирующего органа или изменения расхода среды через него и т. п.,
а также относительными отклонениями перечисленных величин (по
отнощению, например, к полному ходу сервомотора или клапана, к мак¬
симальному расходу и т. п.).
25
в дальнейшем будет показано, каким образом можно использовать
динамические параметры k, Та я х для приближенного расчета настрой¬
ки автоматического регулятора. Часто возмущение производят регули¬
рующим органом в течение некоторого промежутка времени, вследствие
чего возмущение нельзя считать скачкообразным; оно длится определен¬
ное время 7возм (рис. 2-3,6). Расчеты показывают, что если 7возм меньше
вре.меии запаздывания т, то динамические параметры объекта .могут
быть с достаточной для практики точностью найдены из полученной
характеристики, если отсчет времени условно начинать от середины
(по времени) возмущения.
б) Импульсные характеристики
Часто в эксплуатационных условиях невозможно осуществить сня¬
тие кривой разгона при продолжительном возмущении, обеспечиваю¬
щем достаточно большое изменение регулируемой величины. Условия
технологического процесса налагают ограничения на предельные откло¬
нения регулируемых величин. В таких случаях представление о динами¬
ческих свойствах объекта может дать кривая изменения во времени
Л. ^возм. имп
Ft,
Рис. 2-5. Импульсные характеристики.
регулируемой величины а, полученная в результате кратковременного
возмущения %. Такую кривую переходного процесса называют импульс¬
ной характеристикой *.
На рис. 2-5,а представлена кривая изменения регулируемой вели¬
чины в результате импульсного возмущения для объекта, обладающего
свойством самовыравнивания, а на рис. 2,5,6 — для объекта, лишенного
самовыравнивания.
* Описываемый метод предложен Н. И. Давыдовым и Е. Н. Сергиевской («Изве¬
стия ВТИ». 1953, № 5). ^
26
По импульсной характеристике можно определить параметры, ха¬
рактеризующие динамические свойства объекта:
к-
где Зиакс.имп — максимальное отклонение регулируемой величины;
оо
= ^Idt — площадь, описываемая кривой изменения возмущения;
о
00
f^ = f adt — площадь, описываемая кривой изменения регулируемой ве-
6 личины.
Запаздывание т определяется отрезком оси абсцисс от точки, соот¬
ветствующей началу импульсного -возмущения, до вертикали, отсекаю¬
щей на импульсной характеристике равные плащади fi и Fz (заштри¬
хованы горизонтально).
Для получения достаточно больших величин стмако.имп и следует
производить значительное импульсное возмущение. Практически при¬
ходится увеличивать продолжительность возмущения и, следовательно,
идти на определенное искажение импульсной характеристики (рис. 2-5,з
и г). Чем .меньше время возмущения /возм.имп, тем ближе снятая харак¬
теристика приближается -к истинной импульсной.
Если продолжительность возмущения меньше времени запаздыва¬
ния (/возм.пмп<т), то динамические параметры объекта могут быть опре¬
делены из графика с приемлемой точностью. Реальная импульсная
характеристика обрабатывается так же, как истинная, но запаздывание
определяется по-иному:
Т = Тнск /ср,
где /ср — время от начала до середины импульсного возмущения.
При симметричном импульсном возмущении середина возмущения
совпадает с его геометрической осью. Расчеты показывают, что при
условии /возм.имп<т погрешность не превышает 10%.
Иногда при снятии импульсных характеристик объектов, обладаю¬
щих свойством самовыравнивания, регулируемая величина после окон¬
чания опыта не возвращается к своему первоначальному значению. Это
объясняется тем, что в процессе эксперимента, кроме созданного
импульсного возмущения, имело место случайное эксплуатацисгнное не¬
исчезающее возмущение. ’Результаты опыта нельзя считать достовер¬
ными, и эксперимент следует повторить, если разность между конечным
и начальным значениями регулируемой величины превышает 20% мак¬
симального отклонения регулируемой величины. Если указанная раз¬
ность не превосходит 20% максимального отклонения регулируемой
величины, то приближенное определение параметров т, Омакс.цмп и
реко.мендуется производить так, как это показано на рис. 2-5,6.
2-4. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
Передаточной функцией системы (или элемента) называется отно¬
шение преобразованной по Лапласу выходной величины системы
к преобразованному по Лапласу изображению входной величины.
Передаточная функция системы получается из Лапласова преобра¬
зования левой и правой частей соответствующего дифференциального
27
Для характеристики динамических шойсгв системы регулирования
недостаточно знать их поведение при одной какой-либо частоте коле¬
бания 1на входе. Поведение системы должно быть известно при всех
частотах от со = 0 до ш = оо. На рис. 2-6,6 показаны соответствующие
графики для частот он, ©2 и ©з- Входная величина лгвх во всех случаях
имеет постоянную амплитуду и обозначена пунктирной линией. Ампли¬
туда выходной величины при различных частотах различна. Изменяет¬
ся также и фазовый сдвиг относительно входной величины.
Если частоту © изменять от О до оо*, то конец ;вектора W(ш)
опищет в плоскости комплексного переменного кривую, называемую
годографом амнлитудно-фазавой характеристики данной системы
(рис. 2-7,а):
W (ш) = А (ев)
Так как амплитуда выходных колебаний и сдвиг по фазе зависят
от частоты, то отношение амплитуд выходных и входных колебаний
называют амплитудно-частотной характеристикой Л(ю), а функцию.
М =оо
9i
U)=B -i-R(w)
Jr^
W(iaj)\
\/Wuj’=aj,
Ш = и>2
- if (w)
a)
W(iMj)
Рис. 2-7. Годограф амплитудно-фазовой
характеристики (а), амплитудно-частот¬
ная (б) и фазо-частотная (б) характери¬
стики.
выражающую зависимость разности фаз между выходными и входными
колебаниями от частоты этих колебаний, называют фазо-частотной ха¬
рактеристикой ф(©).
Графики Л(©) и ф(©) представлены на рис. 2-7,6 и в.
А.мплитудно-фазовая характеристика записывается также в алгеб¬
раической форме;
1Е(/©) =/?(©)+//(©),
где/?(©)—вещественная, а /(©)—мнимая составляющие вектора.
Связь между частотными характеристиками в показательной и алгеб¬
* Теплоэнергетические объекты характерны хорошими «фильтрующими» свойства¬
ми по отношению к колебаниям высоких частот. Для каждого объекта есть предельная
максимальная частота, так называемая частота «среза», при которой колебания регули¬
руемой величины настолько малы, что измерительный прибор их не может воспринять.
30
раической формах записи выражается так:
Л(со)==1/[/?(ш)ф+[/(со)Г;
T(o,) = arc1gyg^
н
/?((о) =Л(со) созф(со);
/(со) =Л(со) 51пф(со).
Амплитудно-фазовая характеристика линейной системы, как это
будет показано далее, может быть определена по дифференциальному
уравнению системы.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК РЕГУЛИРУЕМЫХ ОБЪЕКТОВ
3-1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Аналитические методы определения динамических характеристик
регулируемых объектов не получили еще широкого раапространения
в силу их сложности. Методы экшериментального определения динами¬
ческих характеристик объектов в настоящее время пока наиболее досто¬
верны и легкодоступны для эксплуатационных работников промышлен¬
ных предприятий.
Так как экспериментальные методы относительно просты и позво¬
ляют сравнительно быстро получить математическое описание объекта,
то они получили широкое распространение при исследовании свойств
объектов, подлежащих автоматизации.
Теплоэнертетические объекты характеризуются непрерывными тех¬
нологическими процессами н (представляют собой устойчивые инерцион¬
ные динамические системы. С точки зрения динамики их можно рас¬
сматривать как фильтры инфранизких частот с полосой пропускания
от со = О до (О = 0,1 -ъ 0,2 рад [сек.
Указанные объекты, как правило, достаточно стационарны в интер¬
вале времени, значительно превышающем время проведения экспери¬
мента.
Экспериментальное исследование статических и динамических
свойств теплоэнергетических объектов делят на три этапа:
планирование и подготовка эксперимента (изучение объекта, выбор
и монтаж аппаратуры, определение методов исследования и порядок
проведения опытов);
проведение эксперимента;
обработка результатов опытов (сглаживание и уореднение най¬
денных характеристик) с целью подготовки надежных данных для по¬
следующего преобразования полученных графиков (табличных данных)
к виду, удобному для дальнейшего расчета системы автоматического
регулирования.
Экспериментальное исследование дина.мических свойств объектов
может быть «активным», когда экспериментатор сам выбирает вид воз¬
мущающего воздействия и осуществляет его, и «пассивным», когда экс¬
периментатор лишь регистрирует реакции объекта на случайные (не
зависящие от экспериментатора) возмущения, а затем яа основе стати¬
стической обработки получает необходимые данные о свойствах объекта.
31
«Активное» экспериментальное исследование свойств объекта произ¬
водится с помощью апериодических воздействий (определение переход¬
ных функций) или периодических (воздействий (определение частотных
характеристик объекта).
В обоих случаях методика эксперимента имеет много общего, аппа¬
ратура за некоторым исключением одинакова, планирование и подго¬
товка объекта для эксперимента идентичны.
Ниже кратко будут рассмотрены элементарные основы экспери¬
ментального определения характеристик регулируемых объектов *.
3-2. ПЛАНИРОВАНИЕ И ПОДГОТОВКА ЭКСПЕРИМЕНТА
Подготовку к проведению экоперимента обычно начинают с изу¬
чения технологического процеоса, особенностей объекта при его эксплуа¬
тации, наблюдения за действием эксплуатационного персонала (опера¬
торов), анализа режимных карт и т. д., (выбора схемы эксперименталь¬
ной установки.
Простейшая схема экспериментальной установки при апериодиче¬
ских воздействиях на объект приведена на рис. 3-1,а.
С помощью регулирующего органа производят возмущающие воз¬
действия. Для контроля регулируемой величины устанавливают соответ¬
ствующий датчик и с по.мощью указывающего прибора отмечают откло¬
нение регулируемой величины через определенные отрезки времени.
По полученным данным строят временную характеристику.
Более совершенной является схема экспериментальной установки
для снятия переходных процессов, изображенная на рис. 3-1,6. Здесь
фиксация отклонений регулируемой величины осуществляется с по¬
мощью быстродействующего регистратора, на ленте которого записы¬
ваются также возмущающие воздействия, измеряемые специальным
прибором 2.
Схема установки для снятия частотных характеристик приведена на
рис. 3-2 *. Здесь предусмотрен опециальный генератор синусоидальных
колебаний, воздействующий через сервомотор непосредственно на регу¬
лирующий орган. На рис. 3-3,а приведена схема экспериментальной
установки для определения частотных характеристик в замкнутой си¬
стеме автоматического регулирования. Этот метод, предложенный
ВТИз, основан на генерации гармонических колебаний в систе.ме авто¬
матического регулирования, состоящей из исследуемого объекта и регу¬
лятора, и благодаря этому лищен дефектов, свойственных методам, ко¬
торые основаны на возбуждении колебаний в объекте при отключенном
регуляторе. При таком способе проведения экоперимента обеспечивает¬
ся сохранение заданного среднего значения регулируемой величины.
Сущность излагаемого метода определения амплитудно-фазовых
характеристик состоит в следующем. На вход регулятора, подключен¬
ного к исследуемому объекту, поступают синусоидальные колебания от
специального возбудителя — генератора (рис. 3-3,а). При проведении
опыта регулятор следует настроить так, чтобы затухание (переходных
процессов в системе регулирования происходило достаточно интенсивно.
' Статистические методы исследования и расчета систем регулирования в данной
работе не рассматриваются.
^ В том случае, когда исследуется объект со (многими взаимосвязанными величи¬
нами, необходимо снять характеристики для всех этих величин с учетом всех источников
возмущений.
* Методам экспериментального определения динамических свойств промыщленных
объектов посвящено большое количество литературы, например: В. С. Балакирев,
Е. Г. Дудников, А. М. Ц и р л и н. Экспериментальное определение динамических ха¬
рактеристик промышленных объектов управления. М., «Энергия», 1967.
^Давыдов Н. И., Д у д н и к о в а И. П., Дудников С. Г., Мельни¬
ков Б. Н. — «Теплоэнергетика», 1956, № 9.
32
Эта настройка подбирается опытным путем, так как к моменту начала
эксперимента нет данных о динамических свойствах объекта. Таким
образом, регулятор реагирует на отклонение регулируемой величины о
и на синусоидальный сигнал Огармот
генератора. При отсутствии сигна¬
ла от генератора регулятор стре¬
мится поддерживать регулируемую
величину около заданного постоян¬
ного значения. Функция генератора
синусоидальных колебаний, подклю¬
ченного к регулятору, по существу
Регулирующий
орган
Регулирующий
орган
—СХ1
Датуин
вхойной
величины
ПИ
Регулируембш
овъект
6
Датчик
выходной
величины
а)
Е
Уназыёающий
прибор
•емыи
чип
. .'хобпои
вёлибйны
1_С
Регистратор
Регулирующий
орган ^
Генератор^
колеваний
Ре^ули^у^ый
ДатчШЛ
Датчик 6
б)
Рис. 3-1. Простейшие схемы эксперимен¬
тальных установок для определения ха¬
рактеристик объектов.
Региауратор
Рис. 3-2. Схема экспериментальной уста¬
новки для определения динамических
свойств объекта при использовании ге¬
нератора колебаний.
сводится к периодическому изменению задания регулятору по закону
синусоидальных колебаний. Таким образом, регулируемая величина а
«следит» за гармоническим сигналом Огарм-
Здесь важно заметить, что положение оси колебаний регулируемой
величины не зависит от характеристики регулирующего органа.
а)
Рис. 3-3. Схемы экспериментальных установок для определения амплитудно-фазовых
характеристик в замкнутой системе автоматического регулирования.
3—1074
33
Возбуждение синусоидальных входных колебаний в объекте может
также производиться следующим образом. Регулятор воздействует на
регулирующий орган объекта, получая сигналы по расходу вещества
(или энергии) и от генератора синусоидальных колебаний (рис. 3-3,6).
При этом также не существенна характеристика регулирующего органа.
Требования к настройке регулятора аналогичны требованиям, предъяв¬
ляемым при снятии характеристик по схеме рис. 3-3,а.
Экспериментальное определение частотных характеристик объекта
требует дополнительной аппаратуры и больщей затраты труда, чем сня¬
тие кривых разгона. Однако сведения о динамических свойствах объек¬
та при этом получаются более достоверными.
На рис. 3-4 для иллюстрации приведена копия диаграммы регист¬
рирующего водомера котла во время цроведеиия одного из опытов.
Колебания регулируемой величины имеют гармоническую (или близ¬
кую к ней) форму. Как показал опыт определения частотных характе¬
ристик котельных агрегатов, предлагаемая методика позволяет полу¬
чать данные о динамических свойствах объектов с высокой степенью
точности.
Приборы для измерения отклонений регулируемйх величин и воз¬
мущений должны соответствовать природе измеряемых физических ве¬
личин, иметь требуемый класс точности и необходимые пределы изме¬
рения. В принципе, измерительные приборы могут обладать любыми
динамическими характеристиками, которые должны быть, строго говоря,
заранее известны, так как, регистрируя выходную величину с помощью
измерительного прибора, определяют характеристику не объекта, а си¬
стемы объект — измерительный прибор.
Это положение хорощо иллюстрируется кривыми разгона, получен¬
ными при измерении отклонения уровня воды в сосуде с помощью раз¬
личных уровнемеров,
« J3 например сильфон-
ного и ртутного. Пер¬
вый является отно¬
сительно мало'инер-
ционным, второй, на¬
оборот, — сущест¬
венно инерционным.
На рис. 3-5 пред¬
ставлены кривые от¬
клонения уровня во¬
ды, зафиксирован¬
ные непосредствен¬
но по водомерному
стеклу (/), с по¬
мощью сильфонного
(2) и ртутного (5)
уровнемеров. В каж¬
дый данный момент
показания уровнемеров отличаются друг от друга и от истинного со¬
стояния уровня. Эти различия в показаниях тем больше, чем большей
инерционностью (большей постоянной времени) обладает прибор.
Итак, с точки зрения оценки динамических свойств объекта харак¬
теристика измерительного прибора не важна, но она должна быть
известна. С точки же эрения автоматического регулирования жела¬
тельно иметь измерительный орган регулятора наименее инерционным.
При наличии на объекте установленного регулятора целесообразно
снимать характеристику с помощью измерительного органа самого ре¬
гулятора; тогда знание динамических свойств измерительного органа
Рис. 3-4. Копия диаграммы водомера при определении ча¬
стотных характеристик котла.
34
Рис. 3-5. Кривые
разгона, зареги¬
стрированные раз¬
ными измеритель¬
ными приборами.
не является необходимым для расчета настройки регулятора. В этом
случае принято измерительную систему относить не к регулятору, а к
объекту, потому что ее овойства учитываются экспериментально снятой
характеристикой объекта.
В настоящее время сведения о динамических свойствах серийных
измерительных приборов являются, к сожалению, далеко не полными.
Важное значение при снятии динамических ха¬
рактеристик приобретают так называемые преобра¬
зователи—компенсационные приставки, предназна¬
ченные для преобразования сигналов датчиков
в унифицированный сигнал, регистраторы, генера¬
торы гармонических колебаний и вспомогательная
аппаратура. Подробнее об этой аппаратуре см.
§ 3-5. В заключение необходимо обратить внимание
на характеристики регулирующих органов, с по¬
мощью которых производятся возмущающие воз¬
действия.
Регулирующие органы являются весьма ответ-
х;твенной частью системы регулирования. Среда
(жидкость, газ, пар и др.), протекающая через ре¬
гулирующий орган (клапан, вентиль, задвижка,
щибер, заслонка и др.), является тем регулирующим агентом, которым
осуществляется воздействие на объект. Обычно регулирующий орган
уже установлен на объекте и поэтому нет необходимости в его выборе
и расчете; однако перед экспериментом следует проверить расходную
характеристику регулирующего органа.
Снятие характеристики рекомендуется производить следующим
•.образом. Устанавливают регулирующий орган в положение «закрыто»
и измеряют «начальный пропуск».
Затем перемещают регулирующий
орган на 10—15% хода, отсчитывая
по шкале указателя положение што¬
ка, и фиксируют показания соот¬
ветствующего прибора, измеряюще¬
го расход среды через регулирую¬
щий орган. Таким образом, через
каждые 10—15%' хода фиксируют
расход и получают данные для рас¬
ходной характеристики регулирую¬
щего органа. Затем непрерывны.м
движением перемещают регулирую¬
щий орган обратно в положение «за¬
крыто», одиовременно замечая время
сервомотора Тс (время, в течение
которого регулирующий орган прой¬
дет полный диапазон регулирова-
Н'- Далее строят кривую изменения воздействия регулирующего орга-
Ез 5 зависимости от его положения в процентах и от времени переме¬
щу;-:::'? реп’лирующего органа (рис. 3-6).
-Характеристика регулирующего органа, как правило, должна быть
б;:-мз:кно ближе к прямолинейной. Желательно, чтобы в пределах диа-
П2з::-;а регулирования скоро'сть регулирования изменялась не более
чем 3 2 раза. Для пояснения сказанного на рис. 3-6 показано опреде-
лезне скорости регулирования в любом участке диапазона путем деле-
ЕЕЕ отоезков:
Ргс
:-6. Примерная характеристика пи¬
тательного клапана.
35
Если изменение скорости (регулирования в пределах диапазона
превышает двукратное, необходимо направить характеристику профили¬
рованием регулирующего органа или изменением его сочленения с сер¬
вомотором.
Зная характеристику регулирующего органа, можно оценивать ве¬
личины возмущения X не но показаниям измерительного прибора (если
он ранее не был установлен на объекте), а по показаниям хода регу¬
лирующего органа.
Перед возмущением объекта регулируемая величина должна быть
по возможности стабилизирована относительно номинального значения.
Снятие характеристики непосредственно после каких-либо эксплуатаци¬
онных манипуляций приводит к неверным результатам. Если это усло¬
вие не выполняется, то неизбежно искажение характеристики объекта.
В самом деле, если перед возмущением регулируемая величина имела
тенденцию к увеличению, то в результате созданного возмущения, кото¬
рое, например, также должно вызвать увеличение регулируемой вели¬
чины, последняя будет, очевидно, изменяться с большей скоростью и
отклонится на большее значение.
Величина возмущения должна быть достаточно большой, чтобы
полученная характеристика отличалась от случайных колебаний регу¬
лируемой величины в эксплуатационном режиме. Однако может ока¬
заться, что при больших значениях возмущений отклонение регулируе¬
мой величины превысит допустимые технологическими условиями пре¬
делы, что может быть опасно с эксплуатационной точки зрения.
Для получения более полных данных о динамических свойствах
объекта опыты следует производить при нескольких значениях нагруз¬
ки объекта (например, при минимальной, номинальной и максималь¬
ной).
При определении настройки регулятора возмущение объекта долж¬
но производиться тем регулирующим органом, на который будет воз¬
действовать автоматический регулятор («основное» возмущение). Если
же в дальнейшем потребуется выяснить характер переходных процес¬
сов в системе автоматического регулирования при других возмущениях,
то следует снять также характеристики, полученные в результате этих
возмущений (их называют «внешними» в отличие от «основного» возму¬
щения).
3-3. ПРИМЕРЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕННЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК РЕГУЛИРУЕМЫХ ОБЪЕКТОВ
а) Снятие кривой разгона и определение динамических
параметров регулируемого объекта
Необходимо определить экспериментальным путем кривую разгона пароохладите¬
ля поверхностного типа (рис. 3-7) и найти динамические параметры объекта; постоян¬
ную времени Та, коэффициент усиления к
и время зашаздывания т для последующего
их использования при расчете системы ре¬
гулирования.
охликдаюЛ
тя №3к jju u-
в-6 сДфЛхп
nepi
-U г
вторичный
пар
1 т
потре-
iameyifo
ЩИ'п
Рис. 3-7. Схема поверхностного
охладителя.
36
паро-
Перегретый пар поступает в охлади¬
тель 1, проходит по змеев1ику 2, частично
погруженному в воду, и подается к потре¬
бителю. Охлаждающая вода подводится
через регулирующий клапан 3 и выпарива¬
ется в о.хладителе, превращаясь во вторич¬
ный насыщенный пар.
Номинальные параметры:
паровая нагрузка £>п=:100 т/ч; температура
уходящего пара (регулируемая величина)
г'п=400°С; расход охлаждающей воды
Db = 5 т/ч.
Регулируемая температура измеряется при помощи термопары 4 и милливольт¬
метра 5. Для измерения расходов пара и воды используются соответствующие кон¬
трольно-измерительные приборы паромер 6 и водомер 7.
Снятие характеристик разгона производят при двух видах возмущений: охлаждаю¬
щей водой и паровой нагрузкой. Поскольку воздействие регулятора предполагается
осуществить на клапан, измеряющий подачу охлаждающей воды, первый вид воздей¬
ствия будет основным, а второй — внешним.
При номинальном значении температуры
пара резко изменяют подачу охлаждающей
воды (в данном случае А,=2 т/ч). Производят
запись изменения показаний милливольтметра
во времени. На основании полученных резуль¬
татов строят кривую разгона при возм)чцвнии
водой.
Аналогичный опыт производят, резко из¬
меняя паровую нагрузку охладителя при не¬
изменной подаче охлаждающей воды.
Кривые разгона приведены на рис. 3-8.
Обрабатывая их так, как это показано на
графиках, определяют динамические парамет¬
ры регулируемого объекта. Результаты сводят
в таблицу.
60 120 180 240 сек
10
15
%
50 100 150 200 250 300 350сек
F
П 1 1 г
б)
сек
Рис. 3-8. Кривые разгона.
а — при возмущении расходом охлаждаю¬
щей воды; б — при возмущении расходом
пара.
ЗООсея
Рис. 3-9. К примеру определения импульсной
характеристики.
Характер возмущения
Величина
возмуще¬
ния
т/ч
Запазды¬
вание г,
сек
Постоянная
времени Гц,
сек
Коэффициент
усиления
*=.А_.
Хо
Отношение
т
Га
Возмущение водой
Возмущение паровой нагрузкой
2
50
15
10
71
59
0,475
0,027
0,21
0,168
б) Снятие импульсной характеристики и определение
динамических параметров объекта
Определим экспериментально импульсную характеристику и динамические пара¬
метры участка регулирования температуры прямоточного котла по экспериментально
снятой импульсной характеристике (рис. 3-9). Регулируемой величиной о является
температура пара за котлом. Возмущение создается уменьшением и последующим уве¬
личением через 40 сек подачи воды в пароохладитель на 10%, т. е. А,макс=Ю% и £5, =
37
= 10-40=400 °lo ■ сек. Регулируемая величина по окончании опыта не вернулась точно
к своему первоначальному значению, поэтому определение t, Стмакс.имп и по экс¬
периментальной характеристике производят так, как это было рекомендовано во второй
главе.
В результате получают;
Тиск = 110 сек\ Омане.имп = 0,85 Мв)
= 400%-сек; f^=372 мв-сек.
Пользуясь вышеприведенными формулами, определяют:
372 (мв-сек)
k =
400 (%-се/с)
0,93 мв/Уо\
т„ = -
У. 400 (о/о-сек) ^
0,85 (мв) = 470.6 сек -ор/ме;
'^макс.имп
т=Тиск—^ср.имп=ПО—20=90 сек.
3-4. ПРИМЕРЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК РЕГУЛИРУЕМЫХ ОБЪЕКТОВ
а) Определение амплитудно-фазовой характеристики объекта ^
с помощью генератора колебаний, воздействующего
непосредственно на регулирующий орган
Пусть надо определить амплитудно-фазовую характеристику объекта, схематиче¬
ски изображенного на рис. 3-10. Измерение отклонения уровня воды в резервуаре про¬
изводится по водомерному стеклу. Источником возмущения служит дроссельный кла-'
пан, с которым связан генератор сину¬
соидальных колебаний. Электродвига¬
тель через редуктор 2 непрерывно вра¬
щает кривошип 3. Ползун 4, скользящий
вдоль прорези траверсы 5, шарнирно со¬
единен с кривошипом 3 так, что при
равномерном вращении последнего тра¬
верса 5 вместе с жестко соединенной
с ней тягой 6 будет совершать синусои¬
дальные колебания в плоскости чертежа:
а=г sin а=г sin со/,
где г —длина кривошипа; а —угол
между горизонталью и кривошипом.
Тяга 6 шарнирно связана со што¬
ком 7 дроссельного клапана. Следова¬
тельно, регулирующий орган будет изме¬
нять приток воды в резервуар также по
синусоидальному закону *. Частота коле¬
баний может быть изменена путем сме¬
ны шестерен в редукторе, а амплитуда-
изменением длины кривошипа 3.
Пусть объект находится в состоянии равновесия (а=0), когда поступление и
расход воды составляют 20 т1ч. Длина кривошипа установлена так, чтобы при верхнем
крайнем положении траверсы 5 регулирующий орган (клапан) пропускал 30 г/ч, а при
нижнем 10 т/ч воды. Тогда Хо=Ю т/ч.
Опыты проведены при значениях частот (Bi=0,001 1/сек; <В2=0,002 1/сек; Шз=
=0,004 1/сек; 0)4=0,008 1/сек.
Рис. 3-10. Схема установки к примеру опре¬
деления частотной характеристики объекта.
' При определении характеристик клапана установлена линейная зависимость рас¬
хода воды через клапан от перемещения его штока.
№
опыта
Частота ш,
1/сек
Л(о))=ао/Я„
см
т/ч
Отставание
Ы, сек
<р(®) = kt,
град
1
0,001
4,4
460
26
2
0,002
3,6
395
45
3
0,004
2,2
277
63
4
0,008
1,2
166
76
Результаты опытов представлены в виде кривых изменения во время возмущаю¬
щего воздействия Я и регулируемой величины а на рис. 3-11. Как видно из рис. 3-11,а.
при малой частоте (0,С)01 1/се/с) изме¬
нение уровня следует за изменением
по-ступления с отставанием Ati =
= 460 сек или ф1=.26°, что составля¬
ет всего 7% периода колебаний Ti =
=2я/й1 = 6 280 сек.
По мере увеличения частоты ко¬
лебаний относительное отставание
увеличивается (рис. 3-11,6, в) и при
частоте (04 =0,008 1/сек (рис. 3-11,г)
составляет 21% периода колебаний.
Иными словами, сдвиг фаз достигает
почти четверти периода (ф = 76°).
Одновременно с увеличением
сдвига фаз по мере роста частоты
уменьшаются амплитуды колебаний
уровня, несмотря на постоянство ам¬
плитуды колебаний регулирующего
органа. Если при частоте coi=0,001
1/сек амплитуда регулируемой вели¬
чины (Oo)i=;44 см, то при частоте
(04 = 0,008 1/се'к (0о)4=42 см.
Результаты опытов сведены
в таблицу.
Амплитудно-частотная характе¬
ристика Л((о) представлена на рис.
3-12,а. Ее значение при (0=0) A(coo) =
= ауст/Яо=А получено в результате
снятия кривой разгона:
Tf-S280ceK
Т2=тосеж
б Мг^бЗЗсек; у>2=46°
А(Ыз)=16^
А ((о„) =
50
10
= 5 см-т1ч.
1570сек
Мз=277сек; уз=63°
Ц=7в5сек
Щ-тсек; у>е = 78°
т)=1.2^
Рис. 3-11. Кривые изменения возмущающего
воздействия и регулируемой величины при
разных частотах колебаний.
Из характера зависимости Л (со)
на рис. 3-12,а видно, что Л (ш) пред¬
ставляет собой монотонно убываю¬
щую функцию частоты, стремящую¬
ся к нулю с ростом (О.
Фазо-частотная характеристика ф((о), изображенная на рис. 3-12,6, иллюстрирует
непрерывное увеличение угла отставания ф колебаний регулируемой величины ст от ко¬
лебаний возмущающего воздействия Я с ростом (о.
На рис. 3-12,в представлена амплитудно-фазовая характеристика W(i(i>) рассмо¬
тренного объекта. |
б) Определение амплитудно-фазовой характеристики объекта
с помощью генератора при возбуждении гармонических
колебаний в замкнутой системе регулирования
Схема экспериментальной установки для определения динамических свойств па¬
роперегревателя прямоточного котла высокого давления в замкнутой системе регули-
осзання с использованием генератора синусоидальных колебаний приведена на рис. 3-13.
Пар из котла проходит через первую и вторую ступени пароперегревателя и далее
зоступает к турбинам.
39
0,002 0,006 0,000 0,0001/сеи
в)
Рис. 3-12. Амплитудно-частотная (а), фазо¬
частотная (б) и амплитудно-фазовая (в)
характеристики объекта.
Регистратор
^ Ясф1е№ь ХжсЩЩ
_ 'ПёрЪре
П1фоперегреОаЮель кЬр ,
Рис. 3-13. Схема эксперимента при опреде¬
ления частотных характеристик паропере¬
гревателя прямоточного котла.
40
Для поддержания заданной темпе¬
ратуры пара на выходе из второй ступе¬
ни в раосечку перегревателя после пер¬
вой ступени включен впрыскивающий
пароохладитель. Изменением количества
охлаждающей воды поддерживают тре¬
буемую температуру перегретого пара,
измерение которой производится термо¬
парой 2. Термо-э. д. с. термопары 1 по¬
ступает на электронный потенциометр
для регистрации регулируемой величины.
Термопара 2 является датчиком регуля¬
тора, воздействующего через сервомотор
СМ на регулирующий клапан в линии
охлаждающей воды.
Расход охлаждающей воды изме¬
ряется дифманометром ДМ, напряжение
от которого через выпрямительную при¬
ставку также поступает на потенцио¬
метр. Генератор включен в электриче¬
скую цепь задатчика регулятора темпе¬
ратуры.
Выбор амплитуды колебаний регу¬
лируемой величины надо производить из
следующих соображений. Если в усло¬
виях нормальной эксплуатации иопытуе-
мого объекта изменения регулируемой
величины укладываются в некоторую
зону Дэкспл, а зона отклонений, допу¬
стимых по технологическим условиям,
составляет Ддоп, то амплитуду колеба¬
ний регулируемой величины следует вы¬
брать равной:
Алоп АвкСПЯ
При этом может быть гарантиро¬
ван нормальный технологический режим
при любой длительности экоперимента.
Во время проведения опыта следует
добиваться установившихся колебаний
возмущающего воздействия Я и регули¬
руемой величины а. Если на протяже¬
нии 2—3 периодов максимальные откло¬
нения Я и а, их форма и промежуток
времени между максимумами одинако¬
вы, то такие колебания можно считать
установившимися. Результаты экопери¬
мента в виде графиков амплитудно-ча¬
стотной и фазо-частотной характеристик
представлены на рис. 3-14,а, б.
При снятии амплитудно-фазовых
характеристик в некоторых случаях не
удается получить точно синусоидальных
колебаний входной или выходной вели¬
чины. Искажение может происходить,
в частности, из-за нелинейности харак¬
теристик регулирующего органа. Однако
это искажение формы колебаний не на¬
рушает повторяемости ее от периода
к периоду. Деформация колебаний мо¬
жет быть также вызвана влиянием на
регулируемую величину небольших по¬
сторонних возмущений, и тогда форма
выходных колебаний повторяется не
строго.
Во всех этих случаях следует вы¬
делить основную гармонику из выходных
колебаний. В первом случае достаточно
ограничиться обработкой одного устано¬
вившегося периода колебаний.
Ojn 0,02 0,03 0,09 0,05 Ц0в1/еек О
а.)
0.01 0,02 КОЗ ом 0,05 о.овг/сек
ю
Рис. 3-14. Амплитудно- и фазо-частотные характеристики пароперегревателя.
Во втором случае (при наличии искажений от посторонних возмущений случайного
характера) надо обработать несколько периодов колебаний данной частоты и по ним
найти усредненные значения Л(шп) и ф(о)п).
Выделение первой гармоники производят следующим образом. Период Т разби¬
вают на четное число п равных частей (обычно 12) и измеряют ординаты разбиения
хо, хи хг, хз ■.соответствую¬
щие точкам to, ti, ti ... (рис.
3-15,а). Искомая гармоника
определяется уравнением
X (О = йо +
2я 2те
+ а, cos -у / + sin у t.
где
*=11
Ху,',
*=0
1
а, = у [х,, — Xs + 0,5 (Х] +
+ Хз — Хз — X,) + 0,866 (Хо +
+ Хю — Х4 — Хв)]|
by = ~g~ [Хг — X, + 0,5 (Хо +
+ Х4 — Хв — Хю) + 0,866 (Xi +
Хз + Xi — Xo)].
Рекомендуется также сле¬
дующий простой графический
прием для выделения первой
гармоники. Ординаты разбиения
Xi, Х2, Хз рассматривают как
векторы с модулями Xi, Хг, Хз
и аргументами ai = 3607«=-a;
аг=2а\ йз=3а; ...; йп—па.
Затем ищут их векторную сум-
.му. Для этого откладывают
вначале отрезок xi рис. 3-15,6,
повернув его против часовой
стрелки на угол ct по отноще¬
нию к горизонтали. К нему
пристраивают отрезок хз, по¬
вёрнутый по отношению к пре¬
дыдущему отрезку против ча-
;>зой стрелки на тот же угол
Такое построение выполня-
:-;т зп.-оть до отрезка Хи. При
Ь)
Рис. 3-15. Графический метод выделения первой гар¬
моники.
41
перемене знака ординаты угол изменяют на 180°. Замыкающий вектор М определяет
амплитуду и фазу искомой гармоники. Амплитуда равна:
Хмакс ^ *
где М — модуль замыкающего вектора.
Сдвиг между началом отсчета времени и началом основной гармоники равен:
Р — 90
где § — угол между замыкающим вектором и горизонталью.
Если Д7’>0, то это означает, что начало основной гармоники расположено правее
начала отсчета времени, а если Д7'<0, то влево от начала отсчета времени.
в) Определение частотных характеристик объекта
при периодических возмущениях трапецеидальной формы
При экспериментальном определении частотных характеристик объекта в промыш¬
ленных условиях не всегда имеется возможность создать возмущающее воздействие
синусоидальной формы, так как для этого требуется возбудитель гармонических коле¬
баний. Можно определить частотные характеристики объекта, создавая возмущения
прямоугольной или трапе¬
цеидальной формы (рис.
3-16). Этот метод не требу¬
ет специальной профилиров¬
ки регулирующих органов,
так как характеристики по¬
следних почти не влияют «а
результаты эксперимента.
Возмущения прямо¬
угольной формы (рис.
3-16,а) могут быть созданы
достаточно быстрыми пере¬
мещениями регулирующего
органа через равные про¬
межутки времени пооче¬
редно в одну и другую
сторону от положения рав¬
новесия на величину Хо. Для
удобства рекомендуется установить на регулирующем органе специальные ограничители
амплитуды, что облегчает проведение эксперимента. Возмущения трапецеидальной
формы (рис. 3-16,6) обычно создают с помощью системы дистанционного управления.
В этом случае сервомотор перемещает регулирующий орган с заранее известной ско¬
ростью. Периодическую функцию типа равнобокой трапеции или прямоугольника можно
разложить в ряд Фурье.
Колебания в форме равнобоких трапеций развертываются в ряд
Рис. 3-16. Возмущения прямоугольной
цеидальной (6) формы.
трапе-
2Х„Г /
2п
sin -тр- ti sin a>t +
Т
1
2n
sin 3 -у- ti sin Зш/ +
■ sin 5
2n
-уг- ti sin 5<o/ + ...
a колебания в форме прямоугольника в ряд
к — ( sin ш/ Н—^ sin ЪШ + sin бю/ + ... ^ .
Обычно все гармонические составляющие этого ряда, кроме первой, интенсивно
«подавляются» регулируемым объектом, вследствие чего колебания регулируемой ве¬
личины в результате возмущений прямоугольной или трапецеидальной формы часто
имеют синусоидальный характер.
Таким образом, в приведенных разложениях можно воспользоваться только пер¬
вой гармоникой, т. е. для трапецеидальных колебаний
2ХоГ 2п
к = — sin ~j~ А sin Ы,
а для прямоугольных колебаний
А. = sin (о/.
Л
Последующие операции для определения частотных характеристик регулируемого
объекта аналогичны операциям при синусоидальном характере возмущений.
42
Охлаждающая
вода
Простейшая схема для снятия частотных характеристик регулируемого объект
при возмущении прямоугольной или трапецеидальной формы аналогична схеме, пред
ставленной на рис. 3-1. Первый опыт рекомендуется производить на частоте, соответ¬
ствующей сдвигу фаз между входными и выходными колебаниями, примерно равному
180°. Для этого объект вводят в режим двухпозиционного регулирования: регулирую¬
щий орган перемещают, когда регулируемая величина проходит через свое среднее
значение. Затем проводят опыты с частота.ми вдвое большей, вдвое меньшей и проме¬
жуточными между ними.
Рассмотрим экспериментальное определение частотных характеристик участка ре¬
гулирования температуры перегретого пара котельного агрегата высокого давления Ч
Принципиальная схема регулируемого объекта изображена на рис. 3-17. Насы¬
щенный пар из барабана котла поступает в первую ступень пароперегревателя и затем
в пароохладитель смеши¬
вающего (впрыскивающего)
типа, включенный в рассеч¬
ку двух ступеней перегрева.
Охлаждающая вода прохо¬
дит через регулирующий ор¬
ган — клапан с электропри¬
водом и подается в пароох¬
ладитель. Из пароохладите¬
ля пар поступает во вторую
ступень перегревателя и да¬
лее к турбине.
Измерение температу¬
ры пара производится ма¬
лоинерционной термопарой
и милливольтметром. Ча¬
стотная характеристика, оп¬
ределенная таким способом,
является, строго говоря, ха¬
рактеристикой не регулируе¬
мого объекта, а системы
объект — термопара — ука¬
зывающий прибор.
Возмущения произво¬
дятся дистанционным вклю¬
чением электропривода кла-
насыщен-
ный пар
Л
Пароохладитель
Перегретый пар
I ступень
П ступень
Пароперегреватель
(казывающий
прибор
Рис. 3-17. Схема эксперимента при снятии частотных ха¬
рактеристик пароперегревателя прямоточного котла ме¬
тодом трапецеидальных колебаний.
пана на линии охлаждающей воды, т. е. колебания возмущающего воздействия имеют
трапецеидальную форму. Расход воды фиксируется водомером В. Запись показаний и
дальнейшая обработка результата эксперимента производятся в следующих размерных
единицах: расход воды Я, т/ч, а температура а, мв.
Регулируемый объект воздействием на клапан «вводится & режим» двухпози¬
ционного регулирования, осуществляемого вручную. Перемещения клапана подбираются
так, чтобы колебания температуры перегретого пара были практически симметричны.
Этот опыт позволяет определить точку амплитудно-фазовой характеристики, соответ¬
ствующую сдвигу фаз между входными и выходными колебаниями, примерно равному
180°. Результаты опыта приведены на рис. 3-18. Искомой точке амплитудно-фазовой
характеристики соответствуют частота Ш2=0,0175 1/сек, сдвиг фазы ¥(ш,) = 165° и
0,67 лш
^ = 3,18т/ч
Определение этой частоты позволяет выбрать значения остальных частот, при
которых необходимо вести последующие опыты. Рекомендуются в качестве таких частот
следующие:
(0=0; (0=0,5(02; (О=0,75ш2 и со = 2со2.
Методика проведения эксперимента на других частотах несколько отличается от
опыта на частоте (02. Если при проведении опыта на частоте (02 перестановка регули¬
рующего органа определяется знаком регулируемой величины — температурой пара, то
в опытах на других частотах экспериментатор переставляет регулирующий орган из
одного положения в другое через равные промежутки времени независимо от того, чему
равна регулируемая величина в момент перестановки клапана. Опыты проводятся
следующим образом.
После стабилизации нагрузки и производительности котельного агрегата темпе¬
ратура перегретого пара достигает установившегося значения. Положение регулирую¬
щего органа, соответствующее этому состоянию равновесия, принимается за ось его
будущих колебаний. Затем регулир-ующин орган перемещается в обе стороны от оси
‘ Дудников С. Г. Методика экспериментального определения частотных харак¬
теристик регулируемых участков. — «Известия ВТИ», 1953, № 5.
43
Рис. 3-18. Кривые изменения возмущающего воздействия и регулируемой величины при
разных частотах колебаний.
колебаний на определенную величину (10—15% максимального хода клапана) и удер¬
живается в этом положении в течение некоторого времени.
После этого регулирующий орган перемещается в противоположную сторону на
такую же величину и опять удерживается в этом положении столько же времени. Такие
чередования положения регулирующего органа производят до тех пор, пока колебания
температуры пара не станут одинаковыми в течение двух-трех периодов, что свидетель¬
ствует о «вводе» регулируемого объекта в режим установившихся колебаний.
Опыты были проведены на четырех частотах: мо=0; 01=0,0087 1/сек; М2=
=0,0175 1/сек; шз=0,035 1/сек.
В результате опытов установлено, что частота шз=0,035 1/сек практически близка
к частоте «среза» при данной амплитуде возмущения. Графики изменения возмущений
и температуры изображены на рис. 3-18.
Обработка результата эксперимента проводилась в соответствии с рекомендация¬
ми, приведенными выше.
Путем сравнения первых гармоник колебаний расхода воды с колебаниями темпе¬
ратуры пара были определены сдвиг фаз <р(со) и отношение амплитуд колебаний Л (со).
44
Результаты опытов сведены в таблицу и в виде графиков представлены на
рис. 3-19.
№
опыта
Частота ш,
1/се*
Отношение ампли¬
туд Л(ш)=
мв-ч1т
Отставание
Д<, сек
'?(<")= —4t,
град
1
0
2,94
0
0,0
2
0,0087
0,50
334
117
3
0,0175
0,21
165
165
4
0,0350
0,01
114
228
3-5. АППАРАТУРА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ
ХАРАКТЕРИСТИК ОБЪЕКТОВ
Шестиканальный блок входных устройств. Сложившееся разнообра¬
зие используемых в промышленности датчиков, преобразующих различ¬
ные физические величины ,в электрические, пневматические и реже
гидравлические сигналы, выдвигает задачу нормирования их сигналов
Рис. 3-20. Внешний вид шестиканального блока
входных преобразователей (показаны два устрой¬
ства).
перед дальнейшим их использованием. Оказанное прежде всего отно¬
сится к датчикам с электрическими сигналами на выходе. Различные
типы датчиков отличаются друг от друга схемой включения и парамет¬
рами выходных сигналов.
При динамических исследованиях почти всегда необходима только
переменная составляющая сигнала и поэтому постоянная может быть
скомпенсирована. Чаще всего переменная часть сигнала мала по ампли¬
туде и поэтому требует усиления для дальнейшего использования. При
45
экспериментах на промышленных установках приходится иметь дело»
не только с разнообразными типами датчиков, но и с различными диа¬
пазонами изменения сигналов датчиков. Простое и оперативное согла¬
сование выходных параметров датчиков и их сигналов с параметрами
«входов» современных приборов и систем, использующих первичную-
информацию, возможно при наличии специальных нормирующих
устройств.
Одним из примеров такого устройства является многоканальный
блок входных преобразователей'. Внешний вид его показан на рис. 3-20.
Многоканальный блок входных преобразователей рассчитан на ра¬
боту в комплекте с любыми стандартными датчиками и предназначен
для преобразования модулированных и немодулированных сигналов,
различных уровней в нормированные. Функциональная схема устройства
изображена на рис. 3-21.
В блоке размещены шесть самостоятельных комплектов преобразования. Каждый
комплект включает в себя два «вставных» модуля: входной ВП и измерительный ИП
преобразователи. Контроль за нормированным сигналом осуществляется с помощью-
переключаемого стрелочного указателя, расположенного в модуле КП. Входной преоб¬
разователь ВП выполнен в двух модификациях: ВП-1 и ВП-П. Первый предназначен
для работы с датчиками, на выходе которых имеются немодулированные сигналы (по¬
стоянного тока), а второй — с датчиками, имеющими на выходе модулированные сиг¬
налы (на несущей частоте 50 гц).
Оба типа входных преобразователей выполнены полностью на полупроводниковых
приборах, имеют одинаковую конструкцию и могут вставляться в одни и те же гнезда-
корпуса.
Технические характеристики блока
Число независимых каналов преобразования
Типы модулей, входящих в комплект блока
Напряжение, в
Мощность, ва
Размеры, мм
Модуль ВП-1
Стабильность нуля, %
Диапазон смещения нуля, в
Модуль ВП-П
Стабильность нуля, «/о
Диапазон смещения нуля, мв
Модуль ИП-НР
Основная погрешность, »/о
Диапазон измерения, мв
Диапазон измерения тока на выходе, ма
Допустимые изменения сопротивления нагрузки,
ком
Полоса пропускания частот (на уровне 0,95), гц
Модуль ИП-Р
Основная погрешность, %
Диапазон измерения, мв
Диапазон изменения тока на выходе, ма ... .
Допустимые изменения сопротивления нагрузки
ком
Полоса пропускания частот (на уровне 0,95),гч
ВП-1; ВП-П; ИП-НР и
ИП-Р
220 (при 50 гц)
70
78X110X275
+0,5
+ 1,0
±0.2
0-35: 0-350-
0,5
10; 30; 100.
0-5
0—2,5
0-50
0,5
1; 3: 10; 30; 100
0—5
0—2,5
0—10
' Устройство разработано в ЦНИИК-А иод рукеводством В. А. Сухарева ю
Ю. П. Злобина.
46
вп
М
ип
вп
ип
вп
ип
ип
Для усиления выходного сигнала входных преобразо¬
вателей предназначены измерительные преобразователи ЯЯ
двух модификаций ИП-НР и ИП-Р, последний с кондук-
тивным разделением входных цепей.
Анализатор передаточных функций типа
АО-6. Для исследования характеристик регули¬
руемых объектов частотными методами при ис¬
кусственных возмущениях используют анализа¬
тор передаточных функций типа АО-6 *. Прибор
позволяет автоматически в процессе эксперимен¬
та получать значения действительной и мнимой
частей частотной характеристики одновременно
для нескольких каналов. Графическое иредстав-
ление результатов в виде диаграмм Найквиста
при желании может быть выполнено регистри¬
рующим прибором «Эксперимент» (см. § 3-5).
Анализатор АО-6 основан на использовании ме¬
тода Фурье-преобразования. В нем применен генератор гармонических
колебаний и вычислительное устройство', которое реализует выражения
L_
Рис. 3-21. Функциональ¬
ная схема многоканаль¬
ного блока входных пре¬
образователей.
в/7 — входной преобразова¬
тель; ИП — измерительный
преобразователь; КП — кон¬
трольный модуль.
I
7?(ш)= А ^ Y (t) cos mtdt;
О
т
У(ш) = -|-|у{/)8Шш/Л
для определения значений вещественной и мнимой частей частотной
характеристики. Функциональная схема прибора показана на рис. 3-22.
Генератор гармонических колебаний ГГК обеспечивает получение синусоидальных
возмущающих воздействий X(t), которые используются для возбуждения колебаний
iB исследуемом объекте. Реакция объекта Y(t) на возмущение вводится в анализатор
через входное устройство ВУ, выполняющее задачу нормирования сигналов. Нормиро¬
ванный сигнал поступает в два устройства умножения УУ, в одном из которых он
у.множается на cos со/), а в другом на sin шИ Каждый из результатов умножения инте¬
грируется с помощью индивидуального интегрирующего устройства ЯУ. Результаты
интегрирования выдаются на стрелочные приборы. Управление анализатором осуществ¬
ляется через панель управления ЯУ.
На рис. 3-23 приведен внешний вид анализатора АО-6. В комплект прибора вхо¬
дят: блок генератора (нижний блок) и от одного до трех идентичных блоков двух¬
канальных анализаторов (блоки над генератором). Все блоки конструктивно само¬
стоятельны; при работе они электрически объединяются с помощью кабелей с разъе¬
мами.
Техническая характеристика
Диапазон генерируемых частот, гц
Стабильность генерируемой частоты, %
Погрешность воспроизведения синусоиды генерируемых коле
баний не более, %
Диапазон изменения амплитуд сигналов:
ж
кгс/см^(чз6.)
мм
Диапазон уровней анализируемых сигналов, в
Входное сопротивление, мом
Допустимые соотношения переменной и постоянной составляю
щих сигнала не менее
Погрешность вычисления вещественной и мнимой составляю
щих на частотах до 5 гц не более, %
10-*—10
1,0
2,0
0-100
0—10
0—0,2
0—14
5-10-®—4
0,3
1—1
3
* Прибор разработан в ЦНИИКА под руководством В. Г. Атаманенко и выпу¬
скается Опытным заводом института.
47
УШ 1
0—»-j АУ [~~
Регистрирующий прибор ти¬
па «Эксперимент». Процесс экс¬
периментального исследования
динамических характеристик ре¬
гулируемых объектов, как указы¬
валось, делится на два этапа: по¬
лучение экспериментальных дан¬
ных и обработка их с целью
определения искомых характе¬
ристик.
Накопление эксперименталь¬
ных данных обычно осуществля¬
ется с помощью регистраторов
или накопителей информации.
В качестве регистраторов часто
используют шлейфовые осцилло¬
графы или электронные потен¬
циометры различных типов. Одна¬
ко не любой из серийно выпускае¬
мых приборов пригоден для
Исследовательских целей.
Практика проведения экспериментов показала, что для исследований
систем регулирования, их элементо1В и технологических процессов наи¬
более удобными являются приборы, которые отвечают следующи.м
основным требованиям: обеспечивают возможность визуального наблю¬
дения за развитием исследуемого процесса; имеют достаточные размеры
Рис. 3-22. Функциональная схема анализа¬
тора АО-6.
ВУ — входные устройства; УУ — устройство умно¬
жения; ЯУ — интегрирующее устройство; ГГК. —
генератор гармонических колебаний; ПУ — панель
управления; У(Ц) — сигнализируемый сигнал;
x(t) — возмущающее воздействие; и(а>) — стрелоч¬
ный указатель вещественной части вектора;
0(0)) — стрелочный указатель мнимой части век¬
тора.
Рис. 3-23. Внешний вид шестиканального анализатора пере¬
даточных функций.
поля записи; характеризуются малыми динамическими и статическими
погрешностями; обладают элементами оперативного и гибкого согласо¬
вания с источниками сигналов объектов исследования, удобны для
транспортировки.
48
Примером прибора такого типа может служить разработанный
в ЦНИИКА регистрирующий прибор типа «Эксперимент». Функцио¬
нальная схема прибора показана на рис. 3-24 *.
Подлежащие регистрации электрические сигналы постоянного напряжения, обозна¬
ченные Xi, Хг, Хз и 7i, У2, Уз, вводятся в индивидуальные устройства 1. Они пред¬
ставляют собой ступенчатые делители на активных сопротивлениях и позволяют уста¬
навливать требуемую чувствительность каждого из щести каналов. Изменение поло¬
жения нулевой точки оси координат индивидуально может быть выполнено с помощью
двухдекадных ступенчатых переключателей, установленных в устройствах смещения 2-
Цифрой 3 обозначен коммутатор каналов регистрации, который работает в двух ре¬
жимах. В первом он попарно подключает каналы Xis и У1_з к измерительным це¬
пям 4 и 4' автоматических компенсаторов осей х п у. В таком режиме прибор вычер¬
чивает в координатах х и у функции независимого аргумента вида y=f{x). Второй
режим работы коммутатора обеспечивает последовательное подключение каналов A'i-з
и Уг-з только к измерительной цепи 4' координаты у. В этом режиме прибор может
вычерчивать в координатах t — у функции вида y=f(t).
Вычерчивание кривых выполняется прибором на диаграммной бумаге в прямо¬
угольных координатах с помощью пишущего устройства 10. Для его перемещения
в плоскости диаграммы имеется координатная система. Она состоит из неподвижной
направляющей оси х, по которой перемещается мост 9 с направляющей осью у. На¬
правляющая у ориентирована перпендикулярно к направляющей оси х. Таким образом,,
пишущее устройство 10 может перемещаться по всему полю записи, если перемещать
мост 9 и элемент 10 вдоль своих направляющих. Перемещения пишущего элемента 10
выполняются следящими системами соответствующих осей.
Разность напряжений, поступивших в устройства 4 и 4' из коммутатора 3 и
устройств статической обратной связи 8 и 8', подается на вход полупроводниковых
усилителей 5 и 5'. Сигнал усилителей мощности управляет двигателями 6 и 6', которые
с помощью кинематических связей перемещают элемент 10 и устройства обратной свя¬
зи S и 8' вдоль соответствующих осей.
Для повышения устойчивости следящих систем используется тахогенератор 7 и 7',
а для обеспечения равномерного движения диаграммной бумаги с заданной скоростью
и управления коммутатором каналов в приборе применен синхронный электрический
Прибор разработан под руководством В. А. Сухарева.
4—1074
49'
Рис. 3-25. Внешний вид прибора «Эксперимент»
■привод. Он состоит из двигателя 14. редуктора 15 и муфт сцепления 16 и 17. Бумага
.протягивается с помощью резинового валика 12, который через электромагнитную муф¬
ту 16 связан с редуктором 15. Управление подъемом и опусканием пишущего элемен¬
та 10 осуществляется посредством электромагнитного устройства И.
Фотография внешнего прибора приведена на рис. 3-25.
Техническая характеристика
Число каналов записи:
в координатах х—у 3
в координатах t—у 6
Геометрические размеры поля бумаги, мм\
по оси X 400
по оси у 280
Основная погрешность, % +0,5
Пределы изменения чувствительности прибора, т/ям. . . . 0,025—500
Пределы сдвига начала осей координат за нулевую отметку
шкалы, мм О—800
Пределы сдвига начала осей координат, мм О—200
Максимальная скорость перемещения пишущего устройства
вдоль обеих координатных осей не менее, мм/сек .... 600
Диапазон изменения скоростей продвижения диаграммной
бумаги, мм/ч 60—11 000
Пределы изменения цикла печати печатающей головки, сек 0,28—40
Запись осуществляется на рулонной бумаге шириной, мм 305
Напряжение, в (50 гц) 220
Мощность, ва 150
Размеры, м 500X550X2-40
Масса, кг 35
Многошкальный регистратор сигналов постоянного тока. Для ре-
тистрации сигналов постоянного тока выпускаются многоканальные
приборы типа Н320-1, Е320-5 и Н320-9.
Многоканальный прибор представляет собой набор одноканальных самопишущих
устройств прямого действия, смонтированных в одном корпусе. Измерительный меха¬
низм каждого канала выполнен в виде поворотной рамки, помещенной в магнитное
поле. На рамке укреплена стрелка — капилляр, соединенный с чернильницей. Конец
капилляра соприкасается с движущейся диаграммной лентой и чертит на ней линию,
отображающую перемещение стрелки. Запись производится в криволинейных коорди¬
натах. Ширина записи для каждого канала фиксирована и в зависимости от типа
прибора может составлять 50 или 80 лглг. Диаграммная лента — общая для всех кана¬
-50
лов одного прибора. Перемещение ленты осуществляется синхронными гистерезисным
двигателем через коробку скоростей. Предусмотрены девять ступеней изменения ско¬
рости ленты от 0,02 до 50 мм/сек. Переключение скоростей—кнопочное. Прибор снабжен
отметчиком времени. Выпускаются приборы с собственной частотой измерительного
устройства 5, 10, 14 и 20 гц. Питание от сети 220 в (50 гц).
Техническая характеристика
Тип прибора
Число ка¬
налов за¬
писи
Основная
погреш¬
ность, %
Ширина
записи, мм
Скорость движе¬
ния ленты,
мм j сек
Размеры, мм
Масса, кг
Н 320-1
1
2,5
80
0,02; 0,1
320X345X175
14
Н 320-3
3
2,5
80
0,2; 0,5
510X345X175
20
Н 320-5
5
4
50
1; 2,5
510X345X175
25
Н 320-9
9
4
50
10; 50
735X345X180
45
Электронный потенциометр ЭПП-09 в качестве генератора колеба¬
ний. Во многих случаях
ЭПП-09 для получения
величины (постоянного
или переменного тока).
Ниже приводится описа¬
ние приставки к потенци¬
ометру, включающей в се¬
бя поворотный трансфор¬
матор (сельсин), который
при вращении генерирует
напряжение переменного
тока. Электрическая схе¬
ма приставки изображена
на рис. 3-26.
В качестве поворотного
трансформатора используется
бесконтактный сельсин малой
мощности с питанием от сети
с частотой (50 гц типа
БД-404А *. Электрическая схе¬
ма приставки, например, мо¬
жет быть выполнена так, что¬
бы обеопечить на выходе гене¬
ратора колебания как перемен¬
ного, так и постоянного тока
с амилитудой заданной ве¬
личины.
Приставка имеет три не¬
зависимых выхода: один из них
переменного и два постоянного
тока. Выходы постоянного то¬
ка предназначены для раздель¬
ной регистрации выходной ве¬
личины генератора и введения
ее в регулятор или объект; вы¬
ход переменного тока — для
подключения непосредственно
к электрическому регулятору.
практики МОЖНО использовать потенциометр
синусоидальных колебаний электрической
*Вместо БД-404А можно
применять любой другой сель¬
син, обеспечивающий на выхо¬
де напряжение 0,2 в-а и неис¬
каженное синусоидальное из¬
менение амплитуды переменно¬
го тока.
4*
Рис. 3-26. Схема приставки к электронному потен¬
циометру ЭПП-09 для получения синусоидальных ко¬
лебаний электрической величины.
51
Рис. 3-27. Кинематическая схема сочлене¬
ния сельсина с потенциометром.
t — сельсин; 2 — шестерня на валу сельсина; 3 —
промежуточные шестерни; 4 — шестерня на валу
барабана потенциометра; 5 — барабан; 6—ре¬
дуктор.
В Приставке используются два трансфор¬
матора Tpi и Трг.
Первичная обмотка I трансформа¬
тора Tpi питается напряжением, созда¬
ваемым обмоткой сельсина (максималь¬
ное напряжение 25 в). Вторичная об¬
мотка IV включена в схему выхода
переменного тока и нагружена потен¬
циометром Ru регулирующим амплиту¬
ду переменного тока. Сопротивления R%
и Rs составляют делитель с отношением
I : 10, а сопротивления Ri, и Яь позво¬
ляют создать точку, среднюю по потен¬
циалу между клеммами 7 и 9, что необ¬
ходимо при подключении к электронно¬
му регулятору.
Приставки постоянного тока вы¬
полнены по схеме фазочувствительного
детектора с двухполупериодным выпрям¬
лением. Обмотки II и III трансформа¬
тора Трг создают опорное напряжение
и начальный ток смещения в германие¬
вых диодах Ri—Mk и Дь~Да типа
ДГ-Ц24. Обмотки II и III трансформа¬
тора Tpi создают напряжение, под¬
лежащее выпрямлению. Одна из приставок постоянного тока дает возможность иметь
на выходных клеммах 5 и 6 регулируемое постоянное напряжение фиксированной по¬
лярности для смещения оси синусоиды выходного сигнала при регистрации. Это устрой¬
ство состоит из потенциометра Яц, регулирующего величину постоянной составляющей,
выходного сигнала и делителя на сопротивлениях R12 и Ris. Сопротивления R15—R21
служат для ограничения тока диодов и снижения их температурной погрешности. Пере¬
менные сопротивления Rs и Ди являются регуляторами амплитуды выходного сигнала
постоянного тока, а сопротивления Re, Ri и Re, Ria — делителями его с отноше¬
нием 1 : 10.
Для сглаживания пульсаций выпрямленного напряжения параллельно сопротив¬
лениям Re и Rii подключены конденсаторы Ci и Сг по 200 мкф X 20 в.
Сельсин 1 монтируется в электронном потенциометре и кинематически сочленяется
■с механизмом привода бумаги (рис. 3-27). В зависимости от требуемого перекрытия
диапазона частот ротор поворотного трансформатора или сельсина сочленяется с соот¬
ветствующей ступенью редуктора механизма подачи бумаги. В описываемой конструк¬
ции сельсин крепится с задней стороны поворотного кронштейна потенциометра и со¬
членен с подающим бумагу барабаном через промежуточные шестерни 5 и 4. Такая
кинематическая схема обеспечивает следующий ряд частот на выходе генератора:
Скорость бумаги, мм/ч 60 80 120 180 240 360 400 600
Частота, гч(ХЮ-=) . . 11,1 14,8 22,2 33.4 44,5 66,7 133.2 111,0
Скорость бумаги, мм/ч 720 800 1 200 1 440
Частота, гч (ХЮ-=) . .133.2 148 222 267
1 600 2 400 4 800 9 600
297 445 889 1 775
При выбранной кинематической схеме генератора получаемая на диаграмме при¬
бора синусоида имеет один и тот же период. Это обеспечивает одинаковые для всех
частот удобство и точность обработки результатов экоперимента.
При необходимости диапазон и количество фиксированных частот могут быть
изменены заменой передаточного отношения между подающим бумагу барабаном и
ротором сельсина.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
4-1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Динамические характеристики регулируемых объектов (элементов
систем автоматического регулирования) могут быть заданы в аналити¬
ческой или графической (табличной) форме. Так как эти характеристи¬
ки необходимы при расчете систем регулирования, то возникает необхо¬
димость преобразования их к виду, удобному для их дальнейшего
использования.
32
Таблица 4-1
В настоящее премя получили распространение следующие способы
расчета систем автоматического регулирования i;
а) аналитический способ расчета по расширенным частотным ха¬
рактеристикам 2. Исходными данными должны быть их аналитические
выражения;
б) аналитический способ расчета по нормальным частотным харак¬
теристикам. Исходными данными должны быть также их аналитические
выражения;
в) графо-аналитический способ расчета по расширенным частотным
характеристикам. Исходные данные должны быть заданы в форме
графиков (таблиц) расширенных амплитудно-фазовых (или фазо-час-
тотных и амплитудно-частотных) характеристик;
‘ Здесь речь идет о расчете систем на заданное качество регулирования, хотя ряд
излагаемых способов может быть применен для расчета устойчивости систем.
2 Понятие о расширенных амплитудно-фазовых характеристиках будет введено
в гл. 9.
53
г) расчет систем регулирования с помощью номограмм по расщи-
ренным 'частотным характеристикам. Исходные данные должны быть
заданы 1в форме графиков (таблиц);
д) расчет систем по методике ВТИ для приближенного определе¬
ния -параметров настройки регулятора. В качестве исходных данных
должны быть значения динамических параметров объекта {k, Т, х.
Та, г).
Очевидно, что если исходные данные имеются в аналитическом ви¬
де, то их преобразование в форму графика не представляет трудностей
и легко может быть осуществлено. Однако, как указывалось в третьей
главе, методы эк-спериментального ппреттеления тт-ниамических свойств-
действующих объектов пока еще превалируют в инженерной практике
наД/мётоХа^'их аналитического ' определения. Поэтому в качестве
исходнйх данных для посМдующего расчета результаты эксперимента
представляются в форме графиков (таблиц), характеризующих дина¬
мические свойства объектов (кривые разгона, импульсные и частотные
характеристики). В табл. 4-1 показаны возможные варианты преобра¬
зования экспериментальных характеристик объектов, полученных в виде
графиков (таблиц) в форму, приемлемую для расчета -системы одним из
изложенных выще способов.
Итак, рассмотрим некоторые способы преобразования динамиче¬
ских характеристик.
4-2. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК,
ЗАДАННЫХ В АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
Суть этих преобразований сводится к получению по дифферен¬
циальному урав'нению нормальной и расщиренной амплитудно-фазовых
характеристик.
Изложим последовательность действий. Как указывалось во вто¬
рой главе, обыкновенное дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами, описывающее динамические свойства линейной систе¬
мы, в общем -виде может быть представлено так:
■■■ “Н ®1-’^'»Ь1х+й^о-'Свых = +
+ ' + •••+ Ь/вк + ЬвХвх,
где Хвых — выходная величина; Хвх — входная величина; а„, a„-i, ..., аог
bk, bk-i, bo — постоянные коэффициенты.
Напомним еще раз, что з-начение передаточной функции для р = ш,
равное
W (i<o\= I’fc -1 + ••• + bii(o + &o — . / - Ilf (m)
7 д„(ш)" + а„_,((<о)'*-'+... + щгсй + ао
Представляет собой аналитическое выражение амплитудно-фазовой ха¬
рактеристики.
Так, например, дифференциальное уравнение простейшего объекта
Ta' + a=kl
может быть преобразовано в передаточную -функцию
k
^{р)~ Тр+\
54
Амплитудно-фазовая характеристика имеет вид:
k fee-*
■тде
W7 И = Тк^ = ПАдунл ■’
А{Ш): *
V(«>r)2+1 ’
<pi(co) = arctg соГ.
К этому выражению W{m) можно прийти, вообще говоря, и дру¬
гим способом. Допустим, что объект, описываемый нашим дифферен¬
циальным уравнением, подверга¬
ется гармоническому возмущаю¬
щему воздействию с частотой oi:
Я = Я„е
,1(1) ^
Тогда по истечении доста¬
точного времени после начала
возмущения регулируемая вели¬
чина будет изменяться с той же
частотой, но с иной амплитудой и
фазой
Подставив значения А и а „
в «ходное дифферв„ц„аль»ое
уравнение, получим: вой характеристики.
То,ше‘ ==
откуда и находим амплитудно-фазовую характеристику объекта
+ij(w) ^
-К(ш)
с.
w(io)i)
-iJ(<o)
Г (to) =-
к, ^ — Г;о) + 1 •
Амплитудно-фазовая характеристика может быть представлена
в виде совокупности вещественной и мнимой частотных характеристик
W{m) =Р(со) +П(ш),
:где
^ (“) ~ 1 + ((йГ)2’
, , . kwT
И — 1 + (соГ)2*
Пример вектора амплитудно-фазовой характеристики W'(t'co) и его
вещественной Д(со) и мнимой /(ю) составляющих при частоте юг пред¬
ставлен на рис. 4-1.
В качестве второго примера определения частотных характеристик по передаточ¬
ной функции рассмотрим систему, которая описывается следующим дифференциальным
уравнением:
[TiT2Tsp^+ {TiT2 + TiTs + T2T3)p^+ (Ti + Tz + Ts) р+ {\Хъык. = к1кгкзХпх.
W (ш)
Произведя замену р=ш, получим:
Хпых
к^кгкз
[ТДзГг (!«)* + {ТДз + Т,Т, + Т’зГз) (/0))2 + (Г. +7’з + Гз) /со + 1]*
Подставив сюда конкретные численные значения коэффициентов fei = 2; fe2=l;
<Аз=5; Г1=2 сек; Тг=Ъ сек\ Гз=10 сек, будем иметь:
^ 100 (1со)^ +80 (/со)2 + 17 (/со) +Г
55
Изменяя (В от О до бесконечности, получим графики амплитудно-фазово'й (о),
амплитудно-частотной и фазо-частотной (б), вещественной и мнимой (в) характери¬
стик, которые оредставлены на рис. 4-2.
Как будет показано далее, при расчете систем автоматического ре¬
гулирования на устойчивость пользуются нормальными (обычными)?
-270
\r(<o)
■R(CO
')
т
\
(
/
т
(О
О 0.1 аг ол о* 05 06 о o,i 02 ол о’т as os
б) в)
Рис. 4-2. Графики частотных характеристик (к примеру).
частотными характеристиками объекта и регулятора, а при расчете на»
заданную степень затухания часто оперируют расширенными частот¬
ными характеристиками Ч
Для зкспериментального получения нормальных частотных харак¬
теристик нужно, как уже отмечалось, подвергнуть объект (или регуля¬
тор) периодическому (например, синусоидальному) возмущению с по¬
стоянной амплитудой ?i,= + sin co/ (или в показательной форме Я=Я/'“^).
* Дудников Е. Г. Основы автоматического регулирования тепловых процессов.
М., Госэнергоиздат, 1956.
56
Для получения расширенных частотных характеристик принци-
лиально надо создавать периодическое возмущение не с постоянной,
п с затухающей амплитудой:
или в показательной форме
Амплитуда колебаний, равная с течением времени умень¬
шается, т. е. процесс носит затухающий характер. Степень затухания
47* колебаний определяется конкретно выбранным значением т в со¬
ответствии е формулой
4^ = 1 —
Предположим, что регулирующий орган под воздействием внещ-
пего источника энергии совершает затухающее колебательное движение.
Вызванные этим вынужденные колебания регулируемой величины
будут иметь ту же частоту и ту же степень затухания, но будут отли¬
чаться по амплитуде и по фазе:
Отношение выходных колебаний о к входным К определяет расши¬
ренную амплитудно-фазовую характеристику объекта:
л—(<i)t—ф)
Необходимо заметить, что в инженерной практике метод экспери¬
ментального определения расширенных частотных характеристик не
применяется, поэтому они получаются либо аналитическим путем (по
дифференциальному уравнению или передаточной функции), либо гра¬
фическим методом по заданным графикам нормальных частотных ха¬
рактеристик.
Для пояснения методов определения расширенных частотных харак¬
теристик рассмотрим примеры.
пример 1. Определить расширенную амплитудно-фазовую характеристику объекта,
описываемого дифференциальным уравнением
7'<т'+о‘=йЯ.
Допустим, что возмущающее воздействие X изменяется по закону затухающих
синусоидальных колебаний
X = “Г
Тогда по истечении достаточного времени после начала возмущения регулируемая
величина будет изменяться с теми же значениями ш и от, но с иными амплитудой
и фазой;
V
Дифференцируя это уравнение, определяем производную по времени регулируемой
©елияйны а:
0' = з„<0 (г-от)е-'”“^е‘’<б>^-ч>).
Подставляем значения X, а и а' в уравнение объекта;
Тс,а {1-т) (“7-0 +
* Степенью затухания ¥ колебательной составляющей называют отношение разно¬
сти двух соседних, направленных в одну сторону амплитуд к первой (большей) из них.
57
Отсюда определяем расширенную амплитудно-фазовую характеристику:
XV7, ■ S —‘‘Р - А
Г(т. = =Г+((-ш)соТ •
После преобразований находим расширенную амплитудно-фазовую характеристику
в показательной форме:
те (т, ш) =
ke
, “Г
Y — та>Ту + {(йТу
Если положить т = 0 (Ч*'=0), то получим как частный случай нормальную ампли¬
тудно-фазовую характеристику:
—г arctg тТ
W{i4>) = ,
^ ' К((йГ)2+1
Однако практически проще определить расширенную амплитудно-фазовую харак¬
теристику по известной передаточной функции. Для этого достаточно в выражении
передаточной функции заменить оператор на (i—-т)м.
Пример 2. Передаточная функция объекта имеет вид;
К(£) = ^.
Определить расширенную амплитудно-фазовую характеристику. Заменяем р на
(i—m)(o:
= ((■ -т) (оГ •
Освобождаемся от комплексного выражения в знаменателе и после преобразова¬
ний получаем:
W {т, ш) =
1
ix>TV т7 + \
4-3. ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЙ РАЗГОНА ПО ИМПУЛЬСНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКЕ
Построение кривой разгона по импульсной характеристике сводится
к следующему.
Разобьем ось абсцисс, начиная с момента нанесения возмущения,
на одинаковые участки %—4—4, 4—4
1»вМ.иМ1
и Т. д., равные длительности импульсно¬
го возмущения 4озм.имп (рис. 4-3). На
первом участке 4—4 импульсная харак¬
теристика совпадает с кривой разгона.
С момента 4 импульсную характеристи¬
ку можно рассматривать как разность
двух кривых разгона, одна из которых
. является следствием возмущения, нане-
у/аЛ ^ t сенного в момент 4, а другая—следстви-
— ' ем возмущения, произведенного спустя
4озм.имп, т. е. в момент 4- Исходя из это¬
го, для построения кривой разгона на
участке 4—h достаточно к ординатам
импульсной характеристики, взятым при
произвольных моментах времени t на
этом участке, добавить ординаты характеристики разгона в моменты
t 4озм.имп- Для получения последних пользуются участком 4—4 им¬
пульсной характеристики, совпадающей с кривой разгона. Так, напри-
.мер, в момент 4 ордината искомой характеристики разгона больше
ординаты импульсной характеристики на величину а.
58
Рис. 4-3. Построение кривой раз¬
гона по импульсной характери-
сч:нке.
Для построения .кривой раз¬
гона на следующем участке iz—U
надо к ординатам импульоной ха¬
рактеристики прибавить соответ¬
ствующие (т. е. взятые /возм.имл
секунд назад) ординаты получен¬
ной кривой разгона на участке
ti—tz. Так, например, в момент U
ордината кривой разгона больше
ординаты импульсной характери¬
стики на величину Ь. Аналогич¬
ными построениями можно полу¬
чить всю кривую раз'гона.
4-4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
КРИВОЙ РАЗГОНА В
ГРАФИКИ НОРМАЛЬНОЙ
И РАСШИРЕННОЙ
АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК
а) Первый графо¬
аналитический метод*
-Р(со) о
* -и(СО)
Рис. 4-4. К примеру графо-аналитического
определе.чия частотной характеристики по
кривой переходного процесса (первым ме¬
тодом) .
Сущность этого метода со¬
стоит в следующем. Кривую раз¬
гона заменяют ломаной линией,
состоящей из наклонных от¬
резков, как показано на
рис. 4-4, где кривая разгона для примера заменена ломаной ли¬
нией, -составленной из четырех отрезков. Из точек излома опускают
на ось абсцисс перпендикуляры, которые разделят ее на несколько
участков. Обозначим длину первого участка A/i, второго А/а, третьего
А4 и длину четвертого участка АД- Расстояние от начала координат до
середины первого участка обозначим через /i, расстояние от начала
координат до середины второго участка tz, до середины третьего участ¬
ка is и до середины четвертого 4- Проекции наклонных отрезков на ось
ординат обозначим соответственно Си Cz, Cs и Си
Вектор амплитудно-фазовой характеристики, соответствующий ча¬
стоте ©, определяется по следующей формуле:
W (imi) = R {mi) -)- и {т>) = -Л {а^ cos^, -f а, cos^ -4- а, со^-f а., cosjj4) —
— i^{a, sin(5( + а,sin/^ -f a,sin^ + sin^).
Здесь введены следующие обозначения:
2 (OiA/l.
а, = С,
а, = С,
= G,
а^=С^
2
2
(0(Д/з
2
(й(Д/,
Sin
sin
'sin
sin
2
oiiAt,,
2 '
(0(Д/з
2
<0(Д4.
(Oitz;
(Hits',
n^=(Hitu
* Айзерман М. А. Теория автоматического регулирования двигателей. М., Маш¬
гиз, 1952.
59
Т,а б л+ ц а 4-2
0.001
0,002
0,004
0,008
0,15
0,30
0,60
1,20
0,45
0,90
1,80
3,60
0,80
1,60
3,20
6,40
1,75
3,50
7,00
14,00
6,67
3,33
1,67
0,83
6,67
3,33
1,67
0,83
5,00
2,50
1,25
0,62
1,33
0,67
0,33
0,16
0,15
0,30
0,60
1,20
0,15
0,30
0,60
1,20
0,20
0,40
0,80
1,60
0,75
1,50
3,00
6,00
0,15
0,30
0,56
0,93
0,44
0,78
0,97
—0,44
0,72
1,00
-0,06
0,12
0,98
—0,35
—0,66
0,99
0,99
0,96
0,83
0,36
0,90
0,62
—0,23
—0,90
0,70
—0,03
—1,00
1,00
0,18
—0,94
0,75
0,13
0,15
0,30
0,56
0,93
0,15
0,30
0,56
0,93
0,20
0,39
0,72
1,00
0,68
1,00
0,14
—0,28
0,11
0,11
0,10
0,03
0,06
0,06
0,06
0,05
0,05
0,05
0,05
0,03
0,03
0,02
0,00
0,00
(33, сек~^
sin
sin
sin
sin
а,=(й/,
02=03/2
Яз=(0/з
«^=(0/4
2
йзД/,
2
(оД/а
2
(оД/з
2
(йД/4
шД/,
озД/з
~2~
йзД/з
2
(оД/ф
“2~
sin О;
sin Oj
sin оз
sin Оф
cos Oj
cos «2
cos 03
СОЗОф
(оД/,
' йзД/,
2
2
03Д/2
иД/з
2
озД/ф
~2~
о
■sin
°"i — озД/,
J = c
• sin
* йзД/з
2
(оД/i
~2“
азД/а
2
Ц>А/з
2
(оД/ф
60
Продолжение табл. 4-2
со, сек'^
0.001
0.002
0,004
0,008
aicos ccj
0,11
0,11
0,08
0,03
^aCOS аа
0,05
0,04
0,01
. —0,05
agCOS аз
0,03
0,00
—0,05
0,03
^Z4C0S
—0,00
—0,02
0,00
0,00
^(o>)— ^ aiCOs at
0,38
0,26
0,08
0,02
/•=1
/ZjSin «1
0,01
0,03
0,04
0,07
aasinaj
0,03
0,05
0,06
—0,02-
flaSin «3
0,04
0,05
0,00
0,00
«iSin 014
0,03
0,00
0,00
0,00
/ И— ^ «iSin at
0,22
0,26
0,20
0,10
/=1
Таким образом, для определения «i, аг, аз, а^ при частоте coi исполь¬
зуют параметры ломаной кривой Ci, Сг, Сз, Сц Ati, Д4, А/з, А4 и
ti, 4, 4, 4-
Если кривая переходного процесса имеет более сложную форму,
то ее заменяют большим количеством отрезков и приведенная формула
имеет соответственно большее количество слагаемых, а именно: при к
отрезках
i=k i=k
W (j<Dj) = ^ aj cos aj — *
/=1 " ;=i
или в показательной форме записи
1=1
Пример. Определим по кривой разгона рис. 4-4,а, снятой при А,о=0,5, амплитудно¬
фазовую характеристику регулируемого объекта.
Заменим кривую четырьмя отрезками прямых. Из точек излома опускаем перпен¬
дикуляры на ось абсцисс. Определяем величины, входящие в исходную формулу:
Ci=0,ll; С2=0,06; Сз=0,05; С4=0,03;
A7i=300 се/с; Л^г=300 се/с; Л(з=400 се/с; Л/4=1 500 се/с;
6=150 се/с; 6 = 450 се/с; 6 = 800 се/с; 6=1 750 сек.
Для более наглядного представления об объеме вычислительной работы приводим
табл. 4-2. '
По данным этой таблицы определяем четыре точки амплитудно-фазовой характе*
ристики, соответствующие частотам оц, Шг, <0з и (04:
W{i(i)i) =R((£>i) -bt7(coi) =0,38—-Ю,22;
W{i(i)2) =Я{а>2) -t-i7(coj) =0,26-/0,26;
W{ms) =7?(й)з) -f/7(соз) =0,08—/0,20;
¥(/0)4) =/?(a)4) +/7(0)4) =0,02-/0,10.
Пятая точка характеристики, соответствующая нулевой частоте (о)о=0), опреде¬
ляется непосредственно по кривой переходного процесса:
¥ (/соо)
°ует
0.25 „ ,
4,5
61
На рис. 4-4,6 показаны вычисленные выше векторы амплитудно-фазовой характе¬
ристики. На этом же рисунке для оценки точности графо-аналитического метода изо¬
бражена кривая W(i(£i), которая определена аналитически по дифференциальному урав¬
нению объекта.
б) Второй графо-аналитический метод*
Излагаемый метод, являющийся развитием метода А. А. Тагаев-
ской, дает возможность перестроить кривую разгона не только в гра¬
фик нормальной (обычной) амплитудно-фазовой характеристики, о ко¬
торой шла речь выше, но также и в график расширенной характери¬
стики.
Сущность метода состоит в следующем. Кривая разгона разбивает¬
ся ординатами, проведенными через равные промежутки времени At.
Если кривая имеет форму, изображенную на рис. 4-5,а (объект обла¬
дает свойством самовыравнивания), то для вычисления амплитудно-фа¬
зовой характеристики следует пользоваться формулой
2 cos кш - i S sin ктса
k=M A=0
(A)
Если кривая разгона имеет форму, изображенную на рис. 4-5,6
(объект не обладает свойством самовыравнивания), то следует исполь¬
зовать формулу
La=o
*=0
Здесь
(Б)
т — коэффициент, определяющий степень затухания
процесса регулирования; для определения нормаль¬
ной амплитудно-фазовой характеристики в форму¬
лах следует положить т = 0;
Л = 0, 1, 2, 3, 4... — номер ординаты кривой переходного процесса;
0/1 я
а = —; Ви = Аи+,—Аи\
Dk = Bu+i—Ви;
Bo=Ai—Ло; (Ло = 0).
Рис. 4-5. К определению амплитудно¬
фазовой характеристики по кривой
переходного процесса (вторым мето¬
дом).
* Метод предложен Ш. Е. Штейнбвргом.
«2
При наличии транспортного запаздывания то в объекте рис. 4-5,в, г-
формула для вычисления амплитудно-фазовой характеристики имеет
вид:
W (т, г'(о)з = W (т, гш) W (т, = W {тп, iw) е
тпк -+ +-
дг
(В>
где W{m, гм) — амплитудно-фазовая характеристика, найденная для
характеристики разгона без запаздывания (то = 0) по формулам (А) и
(Б).
В приведенных формулах амплитудно-фазовая характеристика яв¬
ляется функцией относительной частоты, изменяющейся в пределах
0^а:^1. Это сделано для упрощения расчетов.
Значения й,, у,, уг
Т а б л и ц а 4-3-
а
т
к.
9.
^2
9а
0
1
2° 48'
10
—95° 37'
0,03125
0,221
0,97
1°50'
9,336
— 107°
0,37
0,953
—2° 10'
8,664
— И4°30'
0
1.004
—5°37'
5,1
—101°15'
0,06250
0,221
1,02
—5°30'
5,177
—113°30'
0.37
1,015
—5° 10'
4,927
—120°40'
0
1,01
—11°15'
2,45
—112°30'
0,12500
0.221
1,06
—12°36'
2,789
—126°6'
0,37
1,09
—12°36'
2,831
—133°36'
0
1,012
— 17°
1,735
— 124°
0,18750
0,221
1,088
—16°40'
1,956
—135°4С'
0,37
1.12
—15°50'
1,996
—142°10'
0
1,025
—22°30'
1,336
— 135°
0,25000
0,221
1,13
—22°
1,582
—146°20'
0,37
1,18
—20° 54'
1,659
—152°44'
0
1,045
—28°07'
1,12
—146°15'
0,31250
0,221
1,156
—27° 12'
1,326
— 156° 42'
0,37
1,24
—26°25'
1,467
—163°52'
0
1,07
—33°45'
0,975
—157°30'
0,37500
0,221
1,204
—32°20'
1,200
—161°15'
0,37
1,29
—31°20'
1,344
— 174°
0
1,115
45°
0,80
— 180°
0.50000
0,221
1,312
—42°20'
1,071
— 176°
0,37
1,46
—40°30'
1,276
— 193°
0
1,157
—56° 15'
0,680
—202° 36'
0,62500
0,221
1,45
—52° 10'
1,045
— 195°
0,37
1.65
—49°
1,299
—208° 30'
0
1,275
—67°30'
0,688
—225°
0.75000
0,221
1.538
—63°
1,020
—228°30'
0,37
1,79
—58°20'
1.327
226°50'
0
1,384
—78° 45'
0,696
—247°30'
0,87500
0,221
1,86
—70°
1,225
—242° 10'
0.37
2,185
—64°
1,593
—238° 10'
0
1,57
—90°
0,785
—270°
1,0000
0,221
2,145
—77°40'
1,432
—-257°40'
0.37
2,545
—69°
1,940
—248°
63
<?>
4^
Значения
Таблица 4-4
т
а
0,03125
0,0025
0,125
0,1875
0,25 1
0,3125
0,375 1
0.5
0,625
1 L0.75
0,875
1.0
0
0
0,221
0,37
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
I
I
I
1
I
1
1
1
I ■
1
1
0
0,221
0,37
1
1,022
1,037
1
1,044
1,075
1
1,09
1,156
1
1,113
1,24
1
1,19
1,336
1
1,242
1,439
1
1,298
1,546
1
1,415
1,793
1
1,545
2,069
1
1,685
2,396
1
1,839
2,77
1
2,004
3,19
2
0
0,221
0,37
1
1,044
1,075
1
1,09
1,156
1
1,190
1,336
1
1,297
1,546
1
1,415
1,784
1
1,545
2,076
1
1,685
2,391
1
2,004
3,186
1
2,386
4,272
1
2,84
5.7
1
3,376
7,614
1
4,015
10,1
3
0
0,221
0,37
1
1,067
1,115
1
1,139
1,243
1
1,297
1,546
1
1,478
1,921
1
1,632
2,392
1
1,919
2,975
1
2,185
3,672
1
2,948
5,7
1
3,67
8,46
1
4,753
13,6
1
6,172
21,1
1
8,005
32,46
4
0
0,221
0,37
1
1,09
1.156
1
1,49
1,336
1
1,450
1,784
1
1,685
2,387
1
1,998
3,185
1
2,387
4,263
1
2,833
5,697
1
4,015
10,176
1
5,697
18,174
1
8,044
32,46
1
11,36
58
1
16,12
104,5
5
0
0,221
0,37
1
1,140
1,198
1
1,242
1,436
1
1,543
2,063
1
1,920
2,974
1
2,382
4,256
1
2,966
6,172
1
3,680
8,846
1
5,697
18,357
1
8,76
37,713
1
13,60
78,7
1
20,9
162
1
32,14
302
6
0
0,221
0,37
1
1,139
1,243
1
1,297
1,546
1
1,632
2,392
1
2,185
3,695
1
2,830
5,928
1
3,67
8,846
1
4,789
13,599
1
8,02
32,46
1
13,6
78
1
22,874
183,18
1
38,475
445,86
1
64,8
1054,87
7
0
0,221
0,37
1
1,164
1,289
1
1,354
1,662
1
1,834
2,762
1
2,514
4,595
1
3,36
7,629
1
4,572
12,68
1
6,171
21,115
1
11,359
58,85
1
22,874
183,18
1
38,475
445.86
1
70,2
1 212
1
129,18
33 638
8
0
0,221
0,37
1
1,190
1,336
1
1,415
1,784
1
1,998
3,185
1
2,829
5,697
1
4,035
10,145
1
5,697
18,174
1
8,004
32,46
1
16,119
104,75
1
32,46
330,3
1
64,8
1054,87
1
129,18
33 638
1
257,56
12 088
(Я
I
Продолжение табл. 4-4
а
к
т
0,3125
0,0325
0.125
0,1875
0,25
0,3125
0,375
0,5
0,625
0,75
0,875
1,0
0
I
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
9
0,221
1,215
1,477
2,182
3,222
4,554
7,05
10,381
22,874
49,899
109,95
237,71
—
0,37
1,385
1,920
3,684
7,099
13,571
26,18
50,4
183,18
672,15
1517,6
9426,2
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
10
0,221
1,242
1,543
2,389
3,68
5,675
8,738
13,47
32,46
77,5
183
436
1044,5
0,37
1,436
2,063
4,256
8,004
18,10
38,713
84,3
299
1 425
6 063
—
—
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
II
0,221
1,27
1,614
2,598
4,178
6,753
10,854
17,637
45,604
119,2
—
—
—
0,37
1,491
2,225
4,953
10,968
24,288
54,055
120.35
590,39
2612,2
—
—
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
12
0,221
1,297
1,683
2,829
4,758
8,004
13,6
22,874
64,8
185
—
—
0,37
1,545
2,391
5,697
13,599
32,46
77,58
183,18
1054,87
6 003
—
—
—
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
13
0,221
1,325
1,759
3,09
5,419
9,535
16,777
29,666
90,964
284,65
—
—
—
0,37
1,603
2.577
6,606
16,945
43,38
111,5
284,65
1884,1
12 592
—
—
—
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
' 1
1
14
0,221
1,355
1,825
3,37
6,171
11,359
22,874
38,475
129,18
—
—
—
—
0,37
1,662
2,782
7,614
21,115
58,85
183,18
445,86
3363,8
—
—
—
—
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
I
1
15
0,221
1,384
1,919
3,67
7,05
13,425
—
49,899
185
—
—
—
—
0,37
1.724
2,914
8,846
26,18
78
—
672,15
6 063
—
—
—
—
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
16
0,221
1,414
2,064
4,014
8,004
16,119
32,46
64,8
257,56
—
,—
—
0,37
1,786
3,189
10,176
32,40
104,75
330,3
1054,87
12 088
—
—
—
—
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
17
0,221
1,446
2,092
4,371
9, 115
19,106
—
84
—
—
—
—
0,37
1,853
3,434
11,822
40,447
138,53
—
1 636
—
—-
—
—
—
Продолжение табл. 4-4
к
т
а
0,3125
0,0325
0,125
0,1875
0,25
0,3125
0,375 1
0.5
0,625
0,75
0,875
1.0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
I
1
18
0,221
1,478
2,182
4,758
10,381
22,874
49,899
109,95
0,37
1,921
3,695
13,599
50,1
183,18
672,15
1517,6
—
—
—
—
0
1
1
1
1
1
1
1
1
I
1
1
1
19
0,221
1,505
2,277
5,207
11,882
27,113
141,35
0,37
1,993
3,079
15,8
62,9
244,69
—
3 909
—
—
—
—
0
1
I
1
1
1
1
1
I
1
1
1
1
20
0,221
1,545
2,386
5,697
13,53
32,46
77,5
185
1 042
6 002
—
0,37
2,07
4,267
18,357
77,58
330,3
1 425
6 100
—
—
—
—
__
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
I
1
21
0,221
1,567
2,514
6,171
15,333
38,475
.
237,71
—
0,37
2,142
4,595
21,115
96,56
445,86
—
9426,2
—
—
—
—
—
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
22
0,221
1,645
2,598
6,751
17,637
45,604
119,2
—
0,37
2,225
4,958
24,288
120,35
590,39
2612,2
—
—
—
__
_
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
23
0,221
1,648
2,664
7,389
20,686
54,598
—
0,37
2,304
5,312
28,219
—
789,22
—
—
—
—
—
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
I
1
1
24
0,221
1,683
2,829
8,004
22,874
64,8
185
—
0,37
2,391
5,697
32,46
183,18
1054,87
6 003
—
—
__
—
—
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
25
0,221
1,721
2,96
8,758
26,05
77,7
—
—
0,37
2,465
6,172
37,713
1 425
«_
Т а блица 4-5
Значения sin fejta и cos km
а
к
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0,03125
sin km
0
0,098
0,195
0,290
0,383
0,471
0.556
0,634
0,707
0,773
0,831
0,882
0,924
cos km
1
0,995
0,981
0,957
0,924
0,882
0,831
0,773
0,707
0,634
0,556
0,471
0,383
0,0625
sin km
0
0,195
0,383
0,556
0,707
0,831
0,924
0,981
1
0,981
0,924
0,831
0,707
cos km
1
0,981
0,924
0,831
0,707
0,556
0,383
0,195
0
—0,195
-0,383
-0,556
—0,707
0,125
sin km
0
0,383
0.707
0,924
1
0,924
0,707
0,383
0
—0,383
—0,707
—0,924
—1
cos km
1
0,924
0,707
0,383
0
—0,383
—0,707
—0,924
—1
—0,924
—0,707
—0,383
0
0,1875
sin km
0
0,556
0,924
0,981
0,707
0,195
—0,383
—0,831
—1
—0,831
—0,383
0,195
0,707
cos km
1
0,831
0,383
—0,195
—0,707
—0,981
—0,924
-0,556
0
0,556
0,924
0,981
0,707
0,25
sin km
0
0,707
1
0,707
0
—0,707
—1
—0,707
0
0,707
1
0,707
0
cos km
1
0,707
0
0,707
1
—0,707
0
0,707
1
0,707
0
—0,707
— 1
0,3125
sin km
0
0,831
0,924
0,195
—0,707
—0,981
—0,383
0,556
1
0,556
—0,383
—0,981
—0,707
cos km
1
0,556
—0.383
-0,981
—0,707
0,195
0,924
0,831
0
—0,831
—0,924
—0,195
0,707
0,375
sin km
0
0,924
0,707
—0,383
—1
-0,383
0,707
0,924
0
—0,924
—0,707
0,383
1
cos km
1
0,383
—0,707
—0,924
0
0,924
0,707
—0,383
—1
—0,383
0,707
0,924
0
0,5
sin km
0
1
0
—1
0
1
0
—1
0
1
0
—1
0
cos km
1
0
—1
0
1
0
—1
0
1
0
—1
0
1
0,625
sin km
0
0,924
-0,707
—0,383
1
—0,383
-0.707
0,924
0
—0.924
0,707
0,383
—1
cos km
1
—0,383
—0,707
0,924
0
—0,924
0,707
0,383
—1
0,383
0,707
—0,924
0
0,75
sin km
0
0,707
—1
0,707
0
-0,707
1
-0,707
0
0,707
—1
0,707
0
cos km
1
—0,707
0
0,707
—1
0,707
0
-0,707
1
—0,707
0
0,707
—1
0,875
sin km
0
0,383
—0,707
0,924
—1
0,924
—0,707
0,383
0
—0,383
0,707
—0,924
1
cos km
1
—0,924
0,707
-0,383
0
0,383
—0,707
0,924
—1
0,924
—0,707
0,383
0
1.0
sin km
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
cos km
-El
—1
+1
—1
+1
—1
+1
—1
+1
— 1
+ 1
—1
+1
С-
00
Продолжение табл. 4-5
а
к
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0,03125
sin Ыа.
0,957
0.981
0,995
1
0,995
0,981
0,957
0,924
0,882
0,831
0,773
—0,707
0,634
cos kna.
0,290
0,195
0,098
0
-0,098
—0,195
—0,290
—0,383
—0,471
—0,556
-0,634
-0,707
—o’. 773
0,0625
sin fena
0,556
0,383
0,195
0
—0,195
—0,383
—0,556
—0,707
-0,831
—0,924
—0,981
—1
—0 981
cos йяа
—0,831
—0,924
—0,981
—1
—0,981
—0,924
-0,831
-0,707
-0,556
-0,383
—0,195
0
о!195
0,125
sin Ыа
—0.924
-0,707
—0,383
0
0,383
0,707
0,924
1
0,924
0,707
0,383
0
0,383
cos ktia
0.383
0,707
0,924
1
0,924
0,707
0,383
0
—0,383
—0,707
—0,924
—1
—о!э24
0,1875
si n kna
0,981
0,924
0,556
0
—0,556
—0,924
-0,981
—0,707
—0,195
—0,383
0,831
1
0 831
cos feita
0,195
—0,383
—0,831
—1
—0,831
—0,383
0,195
0,707
0,981
0,924
0,556
0
-о! 556
0,25
sin Ыа
—0,707
—1
—0,707
0
0,707
1
0,707
0
—0,707
—1 .
—0,707
0
0,707
cos kna
—0,707
0
0,707
1
0,707
0
—0,707
—1
—0,707
0
0,707
1
o’, 707
0,3125
sin кка
0,195
0,924
0,831
0
—0,831
—0,924
—0,195
0,707
0,991
0,383
—0,556
—1
—0,556
cos Ыа
0,981
0,383
—0,556
—1
-0,556
0,383
0,981
0,707
—0,195
—0,924
—0,831
0
o!s3i
0,375
sin Ыа.
0,383
—0,707
—0,924
0
0,924
0,707
—0,383
— 1
—0,383
0,707
0,924
0
—0,924
cos кка
—0,924
—0,707
0,383
1
0,383
-0,707
—0,924
0
0,924
0,707
^0,383
—I
—о!з83
0,5
sin кт.а
1
0
— 1
0
1
0
—1
0
1
0
_1
0
1
cos kv.0.
0
— 1
0
1
0
—1
0
1
0
—1
0
1
1
0
0,625
sin kna
0,383
0,707
—0,924
0
0,924
—0,707
—0,383
1
—0,383
—0,707
0,924
0
—0,924
cos kna
0,9§4
—0,707
—0.383
1
-0.383
—0.707
0,924
0
—0,924
0,707
0,383
—1
о! 383
0,75
sin kna
—0,707
1
—0,707
0
o;t^
— 1
0,707
0
—0,707
1
—0,707
0
0,707
cos kna
0,707
0
—0,707
1
—0,707
0
0,707
—1
0.707
0
—0,707
1
—0^707
0,875
sin kna
—0,924
0,707
—0,383
0
0,383
—0,707
0,924
—1
0,924
—0,707
0,383
0
—0,383
cos kna
—0,383
0,707
—0,924
1
—0,924
0,707
—0,383
0
0,383
—0,707
0,924
—1
0,924
1.0
sin kna
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
cos kna
—1
+ 1
—1
+1
— 1
+ 1
—1
+1
—1
+ 1
—1
+1
—1
в табл. 4-3—4-5 вычислены коэффициенты ki, фт, къ ф2, ,
cos Ала и зшАяа для значений а = 0,03125—1; А = 0—25* и т = 0 (<pi=0).;
771 = 0,221 (¥ = 0,75) ит = 0,37 (¥=0,9).
Правильность выбора интервала разбиения кривой можно прове¬
рить следующим образом. Разбивают кривую переходного процесса на
к интервалов и вычисляют амплитудно-фазовую характеристику для от¬
носительной частоты а = 0,5; затем уменьшают интервал разбиения
вдвое и вычисляют амплитудно-фазовую характеристику для относи¬
тельной частоты а=0,25. Если модули и фазы, вычисленные для обоих
случаев, различаются незначительно, то интервал разбиения выбран
правильно.
Для пояснения пользования формулами и таблицами рассмотрим
примеры.
пример 1. Дана кривая разгона объекта, изображенная на рис. 4-6,а. Требуется
построить график нормальной амплитудно-фазовой характеристики (ш=0 и ¥=0). Как
видно, объект характеризуется наличием транспортного запаздывания То=ЮО сек и
отсутствием самовыравнивания, т. е. следует пользоваться формулами (Б) н (В), по¬
ложив в них т=0:
W{m, 10))з=¥(((й) W'(tco)To,
где
W (ш) =
S -Dft cos fijta — г S sin fina +
.*=0 *=0
1. Находим по кривой разгона значения Bk и Du, приняв интервал разбиения
Д7=50 сек:
Ао=0;
Во=4,8;
Во =16,45;
Ai=4,8;
Bi=21,25;
£>1 = 15,20;
42=26,05;
Вг=36,45;
£>2=6,95;
4з=62,5;
Во=43,4;
Вз=3,5;
44=105,9;
Й4=46,9;
£>4=1,6;
45=152,8;
Й5=48,5;
В5=0,8;
4б=201,3;
Во=49,3;
Вб=0,4;
4т = 250,6;
В7=49,7;
£>7=0,1.
4з=300,3;
Вз=49,8;
4о=350,1;
2. Для иллюстрации вычислим одну точку амплитудно-фазовой характеристики
при а=0,25.
Значения коэффициентов fij и фа для каждой относительной частоты даны
в табл. 4-3. Для а=0,25 находим *2 = 1.336 и фа=—^-2~+45° j.
3. Находим множитель, учитывающий транспортное запаздывание То:
* Опыт показывает, что разбивать кривую более чем на 25 интервалов нет необхо¬
димости.
69
4. Находим
= До (cos тга + i sin па) = 4,8 ^cos + i sin -у
= 4,8-0,71 + /4,8.0,71 = 3,41 + /3,41,
где Bo=Ai—Ао=4,8—0=4,8.
5. Для подсчета SDs sin kna и ЕДл cos Ыа пользуемся табл. 4-5. Интересующие
значения sin km. и cos kna лежат на пересечении граф cos и sin (для выбранного а)
и)
б)
Рис. 4-6. Кривая разгона (а) и амплитудно-фазовая характеристи¬
ка (6) (к примеру).
с вертикальными колонками, содержащими номера ординат k кривой разгона. На¬
пример, для а=0,25 и к=Ъ sin Аяа=0,707, а cos ftrta=—0,707.
Умножаем полученные значения sinftna и cos kna на /)». Для ординаты k=Z
величина Да=/)з=3,5.
Таким образом,
Du sin Аяа=3,5-0,707=2,47;
Du cos toa=3,5(—0,707) 2,47.
Аналогично находим Du sin kna и Du cos kna для других ординат и суммируем их:
sin Аяа=0+10,75+6,95+2,47+0—0,57—0,4-0,07= 19,13;
cos Аяа=16,45-Ы0,75+ 0—2,47—1,6—0,57-f 04-0,07=22,63.
6. Вычисляем все выражение, стоящее в квадратных скобках уравнения (Б):
ZDu cos kna — iTlDu sin kna + =
= 22,63-/19,3 + 3,41 +/3,41 = 26,06 —/15,89 = 30..
7. Находим модуль и фазу амплитудно-фазовой характеристики для относитель¬
ной частоты 0=0,25 {со=яа/Д/= 15,7-10~* сек-i):
-‘(■А + 45*'|
W (/(О), = W (/(0)^^ W (/(О) = 1, ЗЗбе '' 1
X З0,4е-‘^'*‘3' = 40,6е-‘ (’'+76‘13') _
X
70
Аналогично находим модули и фазы амплитудно-фазовой характеристики для
а
0,03125
0,0625
0,125
0,1875
0.25
0,3125
Л(ш)
492,5
244
103,5
64,9
40,6
28,2
—¥ (“)
-^+22*17'
Y +45°27'
-^+88°
т:+37'’50'
л+76»13'
у +22*42'
а
0,375
0,5
0,625
0,75
0,875
1.0
А (ш)
20,1
10,5
5,47
3,13
1,44
0,75
— ¥ И
Зп
у+57°2'
2п+35*22'
у+11‘’14'
5п
у +80°45'
Зп+58*49'
7
2 "
Полученные точки отмечены на рис. 4-6,6 крестиками. Сплошной линией нанесена
амплитудно-фазовая характеристика, вычисленная аналитически. Как видно из рисунка,
точность совпадения результатов вполне приемлемая.
Пример 2. Кривая разгона изображена на рис. 4-7,а. Требуется построить график
нормальной амплитудно-фазовой характеристики (т=0 и Ф=0). Объект характеризует¬
ся наличием транспортного запаздывания (То=100 сек) и самовыравнивания.
Рис. 4-7. Кривая разгона (а) и амплитудно-фазовая характеристика (б) (к примеру).
Будем пользоваться формулой
(гш), = W (гш) W (гш)
где
W (ш) = к,ё
2 cos kr.a — г ^ sin km
_ft=0 fe=0
1. Находим значения Вц, приняв интервал разбиения Д/=50 сек:
Ао=0;
Ai=0,002;
/'2 = 0.17;
Лз = 0,065;
Л4 = 0,142;
Л 5 = 0.242;
Лв=0,353;
^7 = 0,463;
Л 8 = 0,566;
Л9=0,658;
Во = 0.002
Bi=0,015
В, = 0,048
Вз=0,077
Bs=0,100
В5 = 0,111
Вб=0,110
В7=0,103
Вз=0,092
Во=0,079
Лю = 0,737; в,0 = 0,061
Ли=0,798 и т. д.
и т. д.
71
2. В качестве примера вычислим точку амллигуяно-фазовой характеристики для
0=0,25.
Значения коэффициентов Aj и <pi для каждой относительной частоты даны
в табл. 4-3. В данном случае (при а=0,25)
Ai = 1,025;
<р,=—22°30'.
3. Находим множитель, учитывающий транспортное запаздывание То:
W =e =e ^ = e-‘^° .
4. Подсчитываем ЕВ^созАла и SBs sin Ала, пользуясь табл. 4-5. Значения sin Ала
и cos Ала лежат на пересечении граф cos и sin (для выбранного а) с вертикальными
колонками, содержащими номера ординат А кривой разгона. Так, например, для а=0,25
и А=3
sin Ала=0,707 и cos Ала=—0,707.
Умножаем полученные значения sin Ала и cos Ала на В*.
Для ординаты А=ЗВа=Вз=0,077
Вл sin Ала=0,077 • 0,707 = 0,054;
В* cos Ала=0,077 • (—0,707) =—0,054.
Аналогично находим Bk sin Ала и Bk cos Ала для других ординат и суммируем их:
2В), sin Ала=—0,0376;
2Вй cos Ала=—0,0742.
5. Вычисляем все выражение, стоящее в квадратных скобках.
6. Находим модуль и фазу амплитудно-фазовой характеристики для относитель¬
ной частоты:
а = 0,25 ^Сй =-^= 1.57-10-® сек-iy
W (ш), = W (г<о)^__ W (/со) = е-‘^° 10,083е-'2“б°44' _
= 0,085е ' Л
Аналогично находим модули и фазы амплитудно-фазовой характеристики для
остальных частот. Результаты подсчетов сведены в следующую таблицу:
а
0,03125
0,0625
0,125
0,1875
0,25
0,3125
А(<о)
0,93
0,76
0,38
0,18
0,09
0,04
—
+55*33'
+ 108*20'
л+17°19'
л+87*5'
Зтс
-2+49*14'
2л+4°24'
а
А(<о)
0,375
0,03
0,5
0,007
0,625
0,014
0,75
0,008
0,875
0,008
1,00
0,008
—<р (со)
2тс+36°35'
Зл+5*
Зя+11°45'
3п+68°35'
4л+7°39'
9
2 "
По полученным точкам на рис. 4-7,6 построен график амплитудно-фазовой харак¬
теристики.
Пример. 3. Дана кривая разгона объекта, изображенная на рис. 4-8. Требуется
построить нормальную (т=0) и расширенные (т=0,221 и т=0,37) амплитудно-фазо¬
вые характеристики объекта.
Объект характеризуется наличием запаздывания (То = 20 сек) самовыравнивания,
т. е. следует пользоваться формулами (А) и (В).
Принимаем интервал разбиения кривой Д/=20 сек.
72
50 WO 150 ZOO 250 300 ceU
4(д = гОсек
Рис. 4-8. Кривая разгона объекта (к примеру).
В качестве иллюстрации ниже, в таблице, приводятся значения, входящие в фор¬
мулу (А), для (0 = 0,04 (|а='(о1Д//я=0,25) и т=0,221, найденные из кривой разгона и
табл. 4-4 и 4-5.
Из табл. 4-3 находим значения fei = l,13 и ф1=—22° для ц=0,25 и т=0,221.
Определяем
та.п ^ —tctic ^
'W (т, = e в =
ол оп
0,221-о,25-3,И_гО,25.3,И-^
=1,193«-*«*. .
На основании уравнения (В) имеем для а=0,25 и от=0,221 (+=0,75):
W {т, ш), = 1 [—0,287-/0,1261 1,193в~‘'^®° = .
73
к
gmftna
cos Alta
sin Alta
Bj^eOTfita sin Alta
0
0,035
1
1
0
0,035
0
1
0,121
1,19
0.707
0,707
0,1018
0,1018
2
0,177
1.416
0
1
0
0,2506
3
0,173
1,6854
—0,707
0.707
—0,2061
0,2061
4
0,148
2,004
— 1
0
—0,2966
0
5
0,113
2,387
—0,707
—0,707
—0,1907
—0,1907
6
0,081
2,838
0
—1
0
—0,2299
7
0.055
3,37
0,707
-0,707
0,1310
—0,1310
8
0,036
4,015
1
0
0,1465
0
9
0.023
4,76
0,707
0,707
0,0791
0,07907
10
0,015
5,697
0
1
0
0,08290
11
0,009
6,753
—0,707
0,707
—0,0430
—0,04297
12
0,005
8,0045
— 1
0
—0,0440
0
S = 0,287
S = 0,126
Аналогично подсчитываем остальные точки нормальной и расширенных амплитуд¬
но-фазовых характеристик; результаты расчета сведены в следующую таблицу:
•
m
A (m, <o)
tf(m, to)
Ш
m
A (m, to)
<p (m, со)
0,005
0
0,221
0,37
0,97
1,006
1,15
—29°30'
—31*10'
—33*
0,04
0
0,221
0,37
0,24
0,422
0,568
—194*10'
—224*20'
—233*14'
0,01
0
0,221
0,37
0,88
1,108
1,277
-64*
—62*50'
—64*10'
0,06
0
0,221
0,37
0,116
0,200
0,242
—246°
—276*10'
—284°40'
0,02
0
0,221
0,37
0,768
0,94
1,21
—118*30'
— 124*40'
—136*40'
0,098
0
0,221
0,37
0,115
0,265
0,369
—323°40'
—369*50'
—385°10'
На рис. 4-9 построены графики амплитудно-фазовых характеристик объекта. Кри¬
вые построены по точному значению передаточной функции — светлые точки; черные
точки найдены по заданной кривой разгона.
4-5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСШИРЕННЫХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПО ГРАФИКАМ НОРМАЛЬНЫХ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК
а) Первый графо-аналитический метод
Рассмотрим графо-аналитический метод определения расширенной
амплитудно-фазовой характеристики в том случае, если известна нор¬
мальная амплитудно-фазовая характеристика, заданная в виде графика
W{m) на комплексной плоскости*.
Связь между расширенной и нормальной амплитудно-фазовыми
характеристиками может быть приближенно представлена в следую¬
щем виде 2;
W {т, ш) W (гш) + W (ш) (—щсв) +
(А)
' ДудниковаИ. П. — «Теплоэнергетика», 1955, Яе 6.
2 В результате разложения расширенной амплитудно-фазовой характеристики
8 ряд Тейлора по степеням (—-ш, со) и пренебрежения последующими членами ряда.
Г4
Первое слагаемое — вектор
нормальной ам'плитудно-фазовой
характеристики, соответствую¬
щий конкретной частоте w. Сле¬
дующие слагаемые представляют
собой функции производных по (О
от вектора амплитудно-фазовой
характеристики.
Итак, задача состоит в том,
чтобы, располагая графической
зависимостью W{m), найти пер¬
вую и вторую производные и,
просуммировав их, получить гра¬
фик расширенной амплитудно¬
фазовой характеристики.
Рассмотрим один из приемов
графического дифференцирова¬
ния.
Предположим заданным гра¬
фик амплитудно-фазовой харак¬
теристики ^(/ю), представлен¬
ный на рис. 4-10,а.
Строим фазо-частотную ха¬
рактеристику объекта ф((о) (рис,
4-10,6), по которой находим ряд
углов для равных приращений
частот Ао). Чем меньше взято
приращение Аю, тем большая
точность будет при дальнейших
операциях.
Проводим из начала координат (рис. 4-10,«) до пересечения с ча¬
стотной характеристикой ряд лучей под углами, соответствующими при¬
ращениям Д(о. Эти лучи 1^(го>)1, lF(/®)2, W(m)z и т. д. разобьют ха¬
рактеристику на ряд участков О—1, 1—2, 2—3 и т. д.
Точки О, 1, 2, 3 и т. д. амплитудно-фазовой характеристики соеди¬
ним прямыми отрезками. Тогда отрезки—векторы AW{ia)i-i, Д№'(гш)2-з
и т. д. будут представлять собой приращения векторов W{m)u lV(/w)2
и т. д. при изменении частоты на Дсо.
Производную функцию комплексного переменного находим как от¬
ношение приращения функции к приращению аргумента на данном ин¬
тервале;
W {Ш) — ■ A+(/m)i-; .
~rmu! Л
в)
Рис. 4-10. Графс-аналитическое определение
расширенной амплитудно-фазовой характе¬
ристики.
i (соа — ш,)
Ао)
W
,. , + {ia), — W (/(0)а .
'“’I*-* г (to, — (Оа) Ato
И Т. Д., где До) = 0)2—®1 = Юз—юг-
Умножение векторов Д1^(гю)1_2/Дю, Д1^(гю)2-з/Дю на (—г) означает
поворот этих векторов на 90° по часовой стрелке.
Для того чтобы получить второе слагаемое выражения (А), надо
секторы W'{i(p)2-z и т. д. умножить на (—тю). Здесь ю —
- i /.4*;
и т. д.
Q>I -f-
среднее значение частоты на данном участке, о) = —
(таз)
При умножении векторов на (—тю) их модуль изменится в
раз. а направление — на угол 180°.
Построив векторы (—тю) W'{ia))i-2, (—m(o)W'{m)2-3 и т. д. от кон¬
ца вектора амплитудно-фазовой характеристики, соответствующего
75
средней частоте на данном участке, и соединив их концы плавной кри¬
вой, получим первое приближение расширенной амплитудно-фазовой
характеристики:
Третье слагаемое выражения (А) можно представить в виде:
W" (ш) W" (/со) {—тт) - i (_ тт) .
Чтобы определить третье слагаемое, надо повторить все проделан¬
ные операции. Для этого перенесены векторы {—m(H)W'{m)i-2,
(—m(H)W'(i(H)2-3 и т. д. в начало координат так, как это показано на
рис. 4-10,6.
Соединив концы векторов, получим приближенные приращения пер¬
вой производной:
{—тсо) AW (/ш),,_2, == (—щш) W' (гсп), _ 3 — {—тт) W (гш), _
(—/иш)ДИ7'(гш)2,_з, = (—щш)1Е'(гш)з_, —(—щсо)Ц7'(гш)з_з и т. д.
Разделив эти приращения на Дш и умножив на (—г), получим векторы
^W'
-г i-mm)
—i{—mw) 4—и т. д. (рис. 4-10, а).
Для получения третьего слагаемого остается умножить модуль
каждого из полученных векторов на (тм/2) и изменить направление на
угол 180°, что соответствует умножению на (—1). Здесь ю = ^ 'и
т. д.
Итак, получены векторы
1! ™ \ txW' (1т)2,_з, —та п \ (—ттУ
- < (- тт) ^ ~ (»“)2' -3> 2 ■
Их надо отложить от концов векторов первого приближения рас¬
ширенной амплитудно-фазовой характеристики, соответствующих часто-
там
(ЛЛтАл ЛЛиЛл’и т д
2 ’ 2 И Т. Д.
Соединив концы полученных векторов, найдем приближенное значе¬
ние расширенной амплитудно-фазовой характеристики:
W {т, im)(^W{im) + W (гш) (—щш) + W" (гш)
Для иллюстрации рассмотрим пример построения расширенной
амп л итуд н о -фазовой х а р а кт ер истики.
Пример. Дана нормальная амплитудно-фазовая характеристика W(iu)) объекта
рис. 4-11,а. Требуется построить расширенную амплитудно-фазовую характеристику
объекта для степени затухания Ч'=0,75 (т=0,221).
Тб
Строим фазо-частотную характеристику ф(.(о) (рис. 4-12).
Принимаем интервал частот Дсо=0,004. Значения фазовых углов ф(со) даны ниже:
<й{1/сек) О 0,004 0,008 0,012 0,016 0,020 0,024 0,028 0,032 0,036 0.040
? ((о) '(г/7а6) О 48 85 120 152 180 205 232 258 280 304
Из начала координат проводим лучи U7(tco)i, W{ia))2 и т. д. до пересечения
с амплитудно-фазовой характеристикой 1^((со). Соединяем точки пересечения и полу¬
чаем приращения векторов ДИ7([‘ш)о-1, AW(ia>)i-2, ДИ7(1ш)2_з и т. д. Измеряем длину
этих приращений и заносим полученные значения в графу 2 следующей таблицы.
Участок
ДЧ7
мм
(<т)„_(„+1)
Л(о
ММ
0,221т, 1/сек
2
1 /сек
До
Х0,221ш, JMJK
\\сек
- 1
|2
3
4
5
6
0—1
80
2-10®
0,002
44.10-5
8,8
1—2
56
1,4-10®
0,С06
133-10-5
18,6
2—3
45
. 1,1-10®
0,010
221-10-5
24,3
3—4
34
0,85-10®
0,014
309 10-5
26,3
4 5
25
0,62-10®
0,018
398-10-5
24,7
5—6
20
0,5-10®
о; 022
486-10-5
24,3
6—7
17
0,42-10®
0,026
575-10-5
24,1
7—8
14
0,35 10®
0,030
663-10-5
23,2
8—9
12
0,3-10®
0,034
751-10-5
22,5
9—10
11
0,28-10®
0,038
840-10-5
23,5
Делим численные значения приращения AW на Дш=0,004 и результат вписываем
“п+ "п-И
6 графу 3 таблицы. Определяем среднюю частоту ю= g каждого уча¬
стка и результаты записываем в графе 4. В графе 6 вписаны численные значения второго
77
слагаемого ¥'(г'ю) (—тш), полученные в результате умножения Д¥(гш)п-(п+1)/Д(0 на
величину tm, которая дана в графе 5 таблицы.
Строим на графике векторы [(—тю) ¥(ico) „_(n+i)], которые откладываем перпенди¬
кулярно приращениям Д¥{1ш)п-(п+1), как показано на рис. 4-11,а. Соединяя колцы
этих векторов плавной кривой, получаем первое приближение ¥ (да)-f ¥'(ico) (—mw)
расщиренной амплитудно-фазовой характеристики.
Для определения третьего слагаемого выражения (А) переносим векторы
[—тш¥'(дап-(п-|-1))] в начало координат так, как это показано на рис. 4-11,6.
Соединяем концы векторов прямыми, которые представляют приращения [(—/лш) X
“л' + “(Л-1-1)'
ХА¥' Разделив последние на Дш и умножив на со' = ^ ’
(—tYKSi)^
получим численные значения модулей векторов g —(л-П)"
Результаты этих операций приведены в таблице.
Участок
Д®"('“)л'-(л+1)'Х
Х(—лгш). лл
ДИ7'(г»„,^
0)' =
, ®'л-*-“(л-Ы)'
2
1/сек
0,221со'
2 '
1/С2ЯГ
Д(о
До)
_ 0,221 со'
X 2 . мм
1
2
3
4
5
6
1—2
15
0.37.10*
0,004
44.10- =
1,6
2—3
15
0.37-10*
0,008
88-10- =
3,3
3 4
16
0.4-10*
0,012
132 10- =
5,3
4 5
14
0.35-10*
0.016
177 10-=
6,2
5-6
11
0.27-10*
0,020
221.10- =
6,0
6—7
8.5
0,21-10*
0,024
265-10- =
5,6
7—8
12
0,3-10*
0,028
309-10- =
9,3
8—9
10
0,25-10*
0,032
353-10- =
8,8
9—10
9
0,22-10*
0,036
398-10- =
8,8
Откладываем векторы
(—«7(0)2
¥'
('“)„/_(,г+1)' перпендикулярно векторам
(—л7(о) Д¥ (/(o)^,_j^_^,), и соединяем концы векторов плавной кривой, которая и яв¬
ляется искомой приближенной расширенной амплитудно-фазовой характеристикой объекта
(пунктиром нанесена кривая, вычисленная по уравнению объекта).
б) Второй графо-аналитический метод
Этот способ определения расширенной амплитудно-фазовой харак¬
теристики объекта (как и любого элемента системы регулирования)
состоит в следуюшем.
град
Рис. 4-12. К примеру.
Рис. 4-13. К методу определе¬
ния расширенных частотных
характеристик по нормальным
вещественной и мнимой харак¬
теристикам.
78
(А)
Нормальные частотные характеристики представляют в виде графи¬
ка вещественной R{a) и мнимой /(ш) характеристик (рис. 4-13).
Вычисление расширенных вещественной R{m, со) и мнимой 1{т, со)
характеристик производят по формулам *
R (гаг, (в) = i? (со) — J' ((b) гага) — 0,5R" (ев) (гагсв)'';
J (гаг, т) = / ((b) -|- R' (се) та — 0,57” (св) (гаг о)%
где R'{(£>), /'(со) и /"(со) —соответственно первая и вторая про¬
изводные вещественной и мнимой характеристик.
Разбивают ось абсцисс на малые интервалы частот Д®. Определя¬
ют первые и вторые производные R'{(a), J (а), R"{(a) и /"(“) кзк при¬
ращения на участках 2Лю = Шпч-2—со„ (рис. 4-13);
П( \ _ К (“п+2)1— R (wj .
R (<0л+,) = 9Л-; ,
2Д(о
I ((0„+2) —/ (сй„) .
2Д(о
_R' (<о„+з)-А'(со„ + 0 .
2Д(о
If, \ Р (“п+з) 7 (“„+,)
4 1®п+21— 2Дш •
Результаты'расчета сводят в следующую таблицу:
О)
ш.
<»з
(Oj
“4
R (ч>)
7 (о))
А (<о)
А К)
7 К)
А (0)2) \
7 (соз)
(сйз) - R (0),)
2До)
, А (0)3)
^ Ч \ ' А
7 (0)3)
7? (0)4) — R (0)2)
2До)
7? (0)4)
7 (0)4)
(а)з) - R (Юз)
2Дю
7' И
—
7 (®з) — 7((о,)
2Д(й
7 ((О4) — 7 (соз)
2До)
7 (юз)—7(юз)
2Дю
R" (со)
—
—
7/' (0)4) — R' (шз)
2Д(о
/?' (Юз) - R' (Юз)
2Дю
—
J' (СО4) — 7' (соз)
2Д(о
7' (юз) — 7' (Юз)
2Дю
Найденные значения подставляют в расчетные формулы (А):
/ (о)„+з) — 7 (b)„+i)
7? (гаг, (в„+2) = ./?(«>п+2)
— 0,5
2Дсо
R' (й)„^.з) —А' (tOn+i)
2До)
7 (гагсв^.,,) = 7 (св„^,) -f А _
— 0,5
2Дсо
{тап+зУ--
' Формулы получены в результате разложения функции 7?(cB-|-ranco)-b(7{(o-f-imo))
а ряд Тейлора по степеням г'ясо при ограничении тремя ч.чен4ми разложения.
79
Аналогично записывают значения вещественной и мнимой расши¬
ренных частотных характеристик для других частот.
Изложенный метод определения расширенной амплитудно-фазовой
характеристики в отличие от предыдущего способа не требует никаких
специальных построений и сводится только к расчетной работе.
Пример. Вычислим значения расширенных вещественной и мнимой характеристик
для одной частоты Ж=0,75 (ш=0,221).
Пусть в результате разбиения кривых В (со) и /(со) известно:
кгс/см2 . KzcjcM?
(о„ = 0,004 1/сс/с, В(со„) = 6,2 , J (сй)„ = — 7Д
кгс1см2 кгс/см2
со„+,=0,008 1/сек, B(co„+i)=0,8 . / (<о„+,) = — 7,8
кгс1см2 кгс/сж®
со„+2 = 0,012 1/сек, В(сд„+2)= —3 / (со„+г) = — 5,7 ;
кге1см2 , кгс/см^
со„+з = 0,016 1/сек, В(со„+з) = -5,7-;^, / (со„+з) = - 1.9 •
пг/ч ’
кгс/см2 кгс1см2
«„+4 = 0,02 1/сек, В (<о„+4) = —7.5 ■ / (со„+ф) = 2,9 •
Составляем таблицу:
<0
0,004
0,008
0,012
0,016
0,020
R («)
6,2
0,8
—3
-5,7
—7,5
7 (со)
—7,0
-7,8
—5,7
— 1,9
2,9
B'(q>)
—
-1,15-10®
-0,81-10®
-0,56-10®
—
J' (CO)
—
0,16-10®
0,74-10®
1,07-10®
—
R" (CO)
—
—
7,4-10®
—
—
J" (CO)
—
—
11,4-10®
—
—■
мулы:
Найденные значения для частоты со„+2=0,012 1/сек подставляем в расчетные фор-
В(щ, (о„+2) = — 3 — 0,74-10® 0,221-0,012—
кгс/слс®
— 0,5-7.4-10® (0,221-0,012)2 = 7.48-
т/ч
J {т, co„+s) = — 5,7 —0,8Ы0®-0,221-0,012 —
— 0,5-11,4-10® (0.221-1,012)2 = - 11,73
т/ч
Аналогично находятся остальные значения расширенных вещественной и мнимой
частотных характеристик.
4-6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ОБЪЕКТА
ПО ЕГО КРИВОЙ РАЗГОНА
Ниже приводится предложенный М. П. Симою способ определения
передаточной функции объекта по графику его кривой разгона.
Предположим, что исследуемый объект может быть описан линей¬
ным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициента.ми:
d’‘s I
Щп г <7п-1
• • -+^1
+ ^т-1
dt
dt
80
где а,, а^', Ь,, — постоянные коэффициенты;
Ах \Х* 1
з = -д—” to) г°*^ ' ]—приведенное к единице отклонение ре-
Хвых (“э) IX вых1 гулируемой величины в безразмерном
виде (рис. 4-14);
приведенное к единице возмущающее
(X*
воздействие в безразмерном виде;
[х*вых] — размерность величины х^ых;
[-*с*вх] — размерность величины л:вх-
Передаточная функция объекта, описываемого этим уравнением,
может быть представлена в следующем виде:
К (п) [—1 ^ Ь„рш+ ... + Ь,р+\
J а^р^+ ...+а,р+\
Та же передаточная функция в размерном виде может быть записа¬
на так:
К{р)
= К{Р)[-]
АХвых (ро) [х* вых]
АХвх (со) [х*жх\
(А)
лн
Ахвх1х%] _ ^
4 ^
лвых Сг
Tg I )
a)
Рис. 4-14. Кривая разгона объекта без''самоьырав-
нивания.
Задача состоит в'^м, чтобы определить неизвестные коэффициен¬
ты аь й2,hi, bz,...,byn, используя для этого следующую систему
уравнений:
a, = Fi +Ai;
«2 = ^2+ 62 + 6+,;
«, = Аз + 6з + &2А. + 6Л;
= + S (^)
/=1
CLi = Fi-\-bi-\- 2 bjFi.y
Т=!
В этой системе уравнений i—m + n и для всех i>n щ = 0, а для
i>m bi = 0.
г,—1074 81
Входящие в уравнения коэффициенты Fi, Fz,..F{ вычисляются по
следующим формулам;
(l-a)
г-3
/=о
(-6)J
d6,
где 0 =
Коэффициенты Ki, Fz,...,Fi связаны с кривой разгона интеграль¬
ными соотнощениями, например для Л это видно из рис. 4-14,6.
Многие промышленные технологические объекты, как уже указыва¬
лось, имеют одну из следующих особенностей, влияющих на форму кри¬
вой разгона: объект характеризуется отсутствием транспортного запаз¬
дывания и наличием самовыравнивания; объект характеризуется отсут¬
ствием транспортного запаздывания и самовыравнивания; объект ха¬
рактеризуется наличием транспортного запаздывания и отсутствием или
наличием самовыравнивания.
Ниже будет рассмотрена методика расчета передаточной функции
применительно к этим формам кривой разгона объектаЧ
а) Последовательность расчета для объекта
с самовыравниванием без транспортного запаздывания
Рассмотрим случай, когда регулируемая величина Хвых в результа¬
те приложенного к объекту возмущения АХвх стремится при t—
к конечному установившемуся значению AXbux(oo), отличному от нуля
(рис. 4-14,а), т. е. объект обладает самовыравниванием; транспортное
запаздывание отсутствует.
1. Разбиваем ось абсцисс на отрезки с интервалом времени А/,
исходя из условия, что на протяжении всего графика функция Хвых
в пределах 2А/ мало отличается от прямой.
' Имеется целый ряд технологических объектов, которые существенно отличаются
по СБОИМ динамическим характеристикам от перечисленных выше типовых объектов. Их
кривые разгона имеют более сложную форму, например не монотонную. Данная мето¬
дика расчета неприменима для них.
82
2. Значения Д.Гвых в конце каждого интервала At делим на
АХвых(оо) и получившееся значение а = Ахвых/Ахвых(о°) заносим в гра¬
фу 2 таблицы А:
Таблица А
t
0
1 О
1
2
3
4
0
0(0)
1 - 0 (0)
0
At
0 (Д/)
1 — 0 (Д/)
"~T'
Ai
2At
0 (2Д/)
1 — 0 (2Д/)
2At
F,
nAt
0 {nAt)
0
nAt
Рг
Таким образом, функция приведена к безразмерному виду.
3. Определяем площади Ръ и т. д. Вычисление удобно вести
в такой последовательности.
а) заполняем графу 3 в табл. А и подсчитываем су.мму столбца 3
П
табл. А^ [1—о(гД/)]; определяем площадь Fi по формуле
г=0
А. ^ Д/ [1 - 3 (/ДО] -0,5 [1-0 (0)]|;
Таблица Б
О
2Д6
ЗД9
(Д0
чДб
1 — а
1 - 0(0)
: 1-0) (1-е)
1 - 0(0)
1-26+ ^
(i-o)(i -2e-T^j
-0(0)
+ !L_^
21 31
83
Таблица 4-6
Подынтегральные функции
е
1-0
1-29+
2
0^=
6
6*
24
0,05
0,96 .
0,901
0,00125
0,00003
0,00000026
0,1
0,9
0,805
0,00500
0,000167
0,00000417
0,15
0,85
0,711
0,0113
0,00056
0,00000416
0,2
0,8
0,620
0,020
0,00133
0,0000667
0,25
0,75
0,531
0,0313
0,00261
0,000163
0,3
0,7
0,445
0,0450
0,00450
0,00034
0,35
0,65
0,361
0,0613
0,0172
0,000625
0.4
0,6
0,280
0,0800
0,0107
0,00107
0,45
0,55
0,201
0,101
0,0152
0,00171
0.5
0,5
0,125
0,125
0,0208
0,00260
0,55
0,45
0,051
0,151
0,0278
0,00381
0,6
0,4
—0,020
0,180
0,0360
0,00540
0,65
0,35
—0,088
0,211
0,0458
0,00746
0,7
0,3
—0,155
0,245
0,0572
0,0100
0,75
0,25
—0,219
0,281
0,0700
0,0132
0,8
0,2
—0,280
0,320
0,0854
0,0170
0,85
0,15
—0,339
0,361
0,102
0,0218
0.9
0.1
—0,395
0,405
0,122
0,0273
0,95
*0,05
—0,449
0,451
0,143
0,0339
1,00
0
—0,500
0,500
0,167
0,0417
1,05
—0,05
—0,549
0,551
0,193
0,0507
1.1
—0,1
—0,595
0,605
0,222
0,0610
1,15
—0,15
—0,639
0,661
0,254
0,0729
1,2
—0,2
—0,680
0,720
0,288
0,0860
1,25
—0,25
—0,719
0,781
0,326
0,0102
1,3
—0,3
—0,755
0,845
0,366
0,119
1,35
-0,35
-0,789
0,911
0,411
0,138
1,4
—0,4
—0,820
0,980
0,457
0,160
1,45
—0,45
—0,849
1,051
0,509
0.184
1.5J
-0.5
—0,875
1,125
0,563
0,211
1,55
—0,55
—0,899
1,201
0,621
0,241
1,6
—0,6
—0,920
1,280
0,683
0,273
1,65
—0,65
—0,939
1,361
0,749
0,309
1,7
—0,7
—0,955
1,445
0,819
0,348
1,75
—0,75
—0,969
1,531
0,894
0,391
1,8
-0,8
—0,980
1,620
0,972
0,438
1,85
—0,85
—0,989
1,711
1,055
0,488
1,9
-0,9
—0,995
1,805
1,143
0,543
1,95
—0,95
—0,999
1,901
1,236
0,602
2,00
—1.0
— 1,000
2,000
1,334
0,667
2,05
—1,05
—0,999
2,101
1,434
0,736
2,10
—1,10
—0,995
2,205
1,544
0,810
2,15
—1,15
—0,989
2,311
1,655
0,890
2,20
— 1,20
—0,980
2,420
1,775
0,976
2,25
— 1,25
—0,969
2,531
1,900
1 ,068
2,30
— 1,30
—0,955
2,645
2,028
1,166
2,35
— 1,35
-0,938
2,761
2,165
1,271
2,40
— 1,40
—0,920
2,880
2,304
1,383
2,45
—1,45
-0,899
3,001
2,455
1 ,501
2,50
— 1,50
—0,875
3,125
2,605
1,628
2,55
— 1,55
-0,849
3,251
2,765
:,
2,60
-1,60
-0,820
3,380
2,930
1,904
84
б) перестраиваем функпию (1—а) в другом масштабе времени (за
независимую переменную примем время Q = tlFi)\ для этого предвари¬
тельно заполняем графу 4 табл. А;
в) заполняем табл. Б, графы 3 и 5 которой выписываются из
табл. 4-6 подынтегральных функпий.
Подсчитав сумму 4-го и 6-го столбпов табл. Б, определяем:
Е, = IS [1 - = (*А6)] [1 - гДб] - 0,5 [1 - а (0)]|:
F, «I Е^Дб ||] [1 - " [l - -0-5 [1 - 3 (0)1 |-
(В)
Опыт показывает, что часто можно ограничиться тремя коэффи-
пиентами передаточной функпии.
4. Выбираем тип передаточной функпии, исходя из следуюших
предпосылок.
Если значение регулируемой величины (по кривой разгона) при
/ = 0 равно нулю, но производная не равна нулю (см. строку 1 табл. 4-7),
то порядок числителя передаточной функпии на единипу меньше по¬
рядка знаменателя:
Таблица 4-7
Значения ,
функции приБО
Исходная
характеристика
Передаточная функция
6(0-h6(0-'F0
1“
7
-L1
b„.jp"-Cb„.2p'’-^+bfp4l
а„р'’*а„.,р''Л...На,рН
6(09=6(09=0
б'(0*)=0
6"(0V7‘ff
Т~
Ь„-гр'"^+Ь„.зр’’-Ч.нгЬ,рП
апр"ча„.ф'’-'ч....щрч1
Если параметр по кривой разгона и его первая производная при
/ = 0 равны нулю, то в передаточной функпии порядок числителя по
крайней мере на две единипы меньше знаменателя (см. строку 2
табл. 4-7)
Ьп-гР^-^ ±^-±hP±l
апР" -Ь ••• +«!)"+ 1
Практически в этом случае можно выбирать передаточную функ¬
цию более простого вида:
*\
йп/’"+ ■■■ + ахР+ I ‘
Тогда ai=Fr, а2=\Рг, аз = Рз.
85
Если при этом некоторые площади F окажутся отрицательными, то
необходимо выбирать передаточную функцию с более высоким поряд¬
ком числителя.
5. Определяем коэффициенты выбранной передаточной функции,
решая систему уравнений (Б).
6. Окончательное выражение передаточной функции исследуемого
объекта в размерном виде определяется по формуле (А).
б) Последовательность расчета для объекта
без самовыравнивания и транспортного запаздывания
Рассмотрим кривую разгона объекта без самовыравнивания. Ее ха¬
рактерной особенностью является то, что регулируемая величина Хвых
в результате приложенного возмущения АХвх стремится при t—
к асимптоте — прямой линии, расположен¬
ной под углом а к оси абсцисс.
1. Находим тангенс угла асимптоты
(рис. 4-15):
прямую
■■К
[X*
[ед. вр] •
КХ1=Ы (рис.
Рис. 4-15. К определе¬
нию передаточной функции
объектов без самовыравни¬
вания.
2. Строим
4-16,а).
3. Вычитая из прямой Ax:i = Ai( исход¬
ную-кривую разгона Ахвых—fit), получаем
функцию Axz—Axi—Ахвых (рис. 4-16,6), ко¬
торая при 7=00 принимает конечное значе¬
ние Ахг—Ах2(оо).
Таким образом, исходный объект услов¬
но разбит на два фиктивных объекта с соответствующими кривыми раз¬
гона AXi—kit, и Axz—fzit).
Передаточную функцию исследуемого объекта будем искать как
разность двух передаточных функций: A(p)i, соответствующей кривой
разгона Axi = k^A и k{p)z, соответствующей кривой разгона Axz=f2(t):
K{p)=K{p)i-K{p)2.
4. Перестраиваем функцию AXi=ki{t) в безразмерных координатах
(рис. 4-16,в). Следует заметить, что угол наклона прямой изменится,
так как
■'Х*,ых
ед. вр
ДХг (оо) [Х*вых]
Передаточная функция, соответствующая перестроенной кривой раз¬
гона, может быть записана так:
5. Определение передаточной функции k(p)z по кривой разгона
Axz=f2(i) производится в том же порядке, какой был рекомендован
для объектов с самовыравниванием.
6. Окончательное выражение передаточной функции исходного объ¬
екта в размерном виде записывается следующим образом:
BtaxJ
АХвых (оо) [Х*,х1
86
■ш
/ t
а) - б) ' 6)
Рис. 4-16. К примеру определения характеристики разгона.
в) Последовательность расчета для объекта с транспортным
запаздыванием
Если кривая разгона характеризуется наличием транспортного за¬
паздывания, то порядок расчета в этом случае следующий.
1. Определяем по графику заданной кривой разгона запаздывание
т как время, в течение которого функция Ахвых от t = 0 до t=x не пре-
выщает 0,001 ДХвых(о°).
2. Определяем передаточную функцию объекта как произведение
двух передаточных функций: K{p)i = e~^^, соответствующей запаздыва¬
нию, и К{р)2, соответствующей функции Лх1 = Ахвых(^—т), для которой
за начало отсчета принято ®ремя t=x. Порядок расчета /С(ц)?. известеи.
из предыдущего изложения.
1огда передатцчная"^нкцйя исследуемого объекта записывается
так:
K{p)=-K{p)iK[p)2.
Для пояснения метода рассмотрим примеры расчета.
Пример 1. В результате эксперимента определена кривая изменения давления пара
за котлом высокого давления вследствие возмущения топливом (газом). Результаты
опыта приведены на рис. 4-17. Требуется определить передаточную функцию этого ре¬
гулируемого участка котельного агрегата.
Произведем расчет в соответствии с рекомендованной последовательностью:
1. Выбираем интервал разбиения Д/=0,25 мин, замечая при этом, что на участке
2Д/ функции Хвых (давление пара) мало отличаются от прямой. Так как Ахвы%(°°) =
= 5 кгс1см^, то, разделив значения Дхвых в конце каждого интервала At на 5 кгс/смТ,
О 05 W 2М ХО 9М 5.0 ВДмин
Рис. 4-17. Кривая разгона в безразмер¬
ной форме.
Рис. 4-18. К примеру определения пере¬
даточной функции.
87
получим значения о, которые занесем в графу 2 табл. 4-8 (кривая o=f{t) приведена
на рис. 4-18). ,
2 Замечаем что транспортное запаздывание очень мало и им можно пренебречь.
З’ Определяем площади Fi, Fz и т. д. Вычисление ведем в следующем порядке:
а) заполняем графу 3 табл. 4-8, т. е. вычисляем значения (1—а); подсчитываем
сумму этого столбца по формуле
t [l-+iA0] = 12,41.
1 = 0
Таблица 4-8
t, мин
1
о
0,25
0.5
0,75
1.0
1.25
1.5
1.75
2.0
2.25
2.5
2.75
3,0
О
0,02
0,045
0,065
0,090
0,133
0,175
0,233
0,285
0,330
0,379
0,430
0,485
1 —а
1
0,98
0,955
0,935
0,910
0,867
0,825
0,767
0,715
0,670
0,621
0,570
0,515
О
0,084
0,168
0,252
0,336
0,420
0,504
0,588
0.672
0,755
0,839
0,923
1,007
t, мин
3.25
3.5
3.75
4.0
4.25
4.5
4.75
5.0
5.25
5.5
5.75
6.0
0,540
0,595
0,650
0.710
0,780
0,830
0,885
0,950
0,980
0,998
0,999
1,0
0,460
0.405
0,350
0,290
0,220
0,170
0,115
0,050
0,020
0,002
0,001
О
i
Л
1,091
1,175
1,259
1,343
1,427
1,511
1,595
1,679
1,763
1,847
1,931
2,015
Определяем площадь F, по формуле
F, S (1 - о (Ш)] -0,5 [1 - о (0)] 1 =
.1=0
= 0,25 {12,41—0,5 [1—0]} = 2,978 мин;
б) перестраиваем функцию (1—а) в другом масштабе времени 0 (где 0 = //fti
рис. 4-19); для этого предварительно заполняем графу 4 табл. 4-8;
Таблица 4-9
9
1—а
1-е
(!_,) (1_9
'1
2
3
4
0
1
1
1
0,1
0,98
0,9
0,882
0.2
0.96
0,8
0,768
0,3
0,93
0,7
0,661
0.4
0,88
0,6
0,528
0.5
0,825
0,5
0,413
0.6
0,76
0,4
0,304
0.7
0,700
0,3
0,210
0,8
0,645
0,2
0,129
0,9
0.575
0.1
0.058
1,0
0,515
0
0
1.1
0,452
-0,1
—0,045
1,2
0,385
—0,2
—0,077
1.3
0.312
—0,3
—0,094
1,4
0,241
—0.4
—0,096
1.5
0,175
-0,5
—0,088
1.6
0.110
-0,6
-0,066
1,7
0,045
-0.7
—0,032
1.8
0,005
-0.8
—0,004
1.9
0,001
—0,9
—0,0009
0
-1,0
ч “
1—29 +
9“
б
(1-) (l-29-Ь 4-)
1
0,805
0,620
0,445
0,280
0,125
-0,020
-О,155
-0,280
-0.395
-0,5.
-0,595
-0,68
-0.755
-0,82
-0,875
-0,92
-0,955
-0,98
-0,995
-1.0
1
0,7889
0,5952
0,4139
0,2464
0,1031
—0,0152
-0,1085
—0,1806
—0,2271
—0,2575
—0,2689
—0,2618
—0,2356
—0,1976
—0,1531
-0,1012
-0,043
—0,0049
—0,00099
О
в) заполняем табл. 4-9, графы 3 и 5 которой выписываем из табл. 4-6 подынте¬
гральных функций.
Подсчитываем суммы столбца 4;
S [1-с(гД9)][1-гД0] = 4,44;
1=0
затем столбца 6:
[1-а(гД9)] 1+2гД9 + ^'
»=о
= 1,0915.
W
D.5
О
7^^
0,5 1,0 1,5 2,0
Рис. 4-19. Кривая разгона
уровня воды в барабане
котла.
Определяем площади и Ез.
£2“2,9782-0,1 -{4,44—0,5(i—0)]=3,495 жик^;
£з«2,978Ь-0,111,0915—0,^(1—0)]= 1,562 жш\
4. Выбираем тип передаточной функции. Так как исходная экспериментальная
кривая и ее производная при t=0 равны нулю, то можно выбрать передаточную функ¬
цию вида
1
= + +а,р + 1
Тогда
ai=fi = 2,978 мин;
02=£2=3,495 мин^;
аз = £з= 1,562 MU+,
- 1,562д5+з,495д= + 2,978д+ 1 '
Передаточная функция в размерном виде будет равна;
AWM ! ==
^ АХвх (■■») йз£' + + 1
5 кгс/скР
~ 7 ООО (1,562/75+ 3,495/7'' +2,978р+ '
Пример 2. Рассмотрим еще один пример определения передаточной функции
объекта по кривой изменения уровня воды в технологическом объекте в результате
возмущения питательной водой (рис. 4-20) (Лхвх = 5 т/ч); транспортного запаздывания
нет. В соответствии с рекомендованной последовательностью расчета:
1. Находим тангенс угла наклона асимптоты:
tga = ki =
(Хвых)2 (Хвых))
At
30—10
-= 5 мм/ман.
2. Строим прямую Axi = kit (рис. 4-21).
3. Вычитая из прямой Axi исходную кривую разгона ДХвых, получаем функцию
Дх2 = Axi ^ДХв ЫХ"
Результаты сводим в следующую таблицу:
t, ми я
дх.=*.г
с-
AXj (00)
0
0
0
0
0
1
5
0
5,0
0,1665
2
10
0
10,0
0,332
3
15
0
15,0
0,500
4
20 ■
0,5
19,5
0,650
5
25
2,0
23,0
0,770
6
30
4,0
26,0
0,870
7
35
7,0
28,0
0,935
8
40
10,0
30,0
1,000
9
45
15,0
30,0
1,000
10
50
20,0
30,0
1,000
89
гдекур) в,703р^чу5ру
звыхг
мм
50
40
50
20
10
0 1 2 3 4 5 в 7 8 Э 10 11 12 13 14 мил
Рис. 4-20. Преобразование кривой раз¬
гона.
Рис. 4-21. Кривая разгона
в безразмерной форме.
4. Передаточная функция первого фиктивного объекта будет равна:
А, 15 мм/ман 1 I , ,
^ = Дх2(со) ~f ЪО мин р \/мин -0-167— [—].
5. Определение передаточной функции К(рг) по кривой разгона Дхг производится
в той последовательности, которая была рекомендована для объектов, обладающих
самовыравниванием.
Результаты расчета сведены в таблицы:
t, мин
(I-C7)
‘-Р
е
(1-я)
(1-в)
(1_а)(1_9)
1
2
3 I
2
3
4
0
1
0
0
1
1
1
0,5
0,915
0,155
0,1
0,947
0,9
0,8523
1,0
0,830
0,310
0.2
0,891
0,8
0,7128
0,5
0,747
0,464
0,3
0,837
0,7
0,5859
2,0
0,665
0,619
0.4
0,780
0,6
0.4680
2,5
0,580
0.774
0,5
0,727
0,5
0,3635
3.0
0,500
0,929
0,6
0,672
0,4
0,2688
3,5
0,422
1,088
0,7
0,620
0,3
0,1860
4,0
0,350
1,238
0,8
0,565
0,2
0,1124
4,5
0,280
1,393
0,9
0,515
0.1
0,0515
5,0
0,227
1,548
1,0
0,465
0,0
0,0000
5.^
0,170
1,702
1,1
0,415
—0,1
—0,0415
6,0
0,125
1,857
1,2
0,370
—0,2
—0,0740
6.5
0,080
2,012
1,3
0,321
—0,3
—0,0963
7,0
0,050
2,167
1,4
0,278
—0,4
—0,1112
7,5
0,020
2,322
1.5
0,240
—0,5
—0,12000
8.0
0,000
2,476
1,6
0,205
-0,6
—0,1230
1,7
0,171
-0,7
-0,1197
1.8
0,140
—0,8
—0,1120
1,9
0,110
—0,9
—0,0990
2,0
0,080
—1,0
—0,0800
2,1
0,060
—1,1
—0,0660
2,2
0,042
—1,2
-0,0504
2,3
0,025
—1,3
. —0,0325
2.4
0,010
— 1,4
—0,0140
2,5
0,000
—1,5
—0,000
Кривые о и 1—а представлены на рис. 4-22 и 4-23. Определяем площади Fi и Fz:
2(1—а) =6,961 и 2(1-0) (1—0) =3,4616;
Л=Д/(2(1—0)—0,5-1-0,5а(0)]=0.5(6,961—0,5) =3,2305 мин;
Fa = Д8 {2 (1 — я) (1 _ 9) — 0,5 [1 - 5 (0)]} Ff =
= 0.1 (3,4616-0,5)-10,436= 3,0907 минК
90
ьо
0,8
0.8
0,4
о,г
6
г 1
•А
п
■п! - 4^ '
"k-E.7D4[A+4n5D*1-
/
t
1,0
ат5
0,5
0,25
О 12 3 4 5 6 7 В этн
Рис. 4-22. К примеру определения
передаточной функции.
Выбираем передаточную функцию
$
Рис. 4-23, К примеру.
где
тогда получаем;
6,р+ 1
а,р'х-Ма,рН^\ ’
ai=6i-pfi;
02=61^1+^2;
^ = 0' (0) = *. =0,167,
U2
01 = 4,35 лгик;
02 = 6,70 минА
61 = 1,12 мин\
1.12Р+1
К{р)г
6.70А + 4,35)Р+ 1
Таким образом, передаточная функция в безразмерном виде исходного объекта
будет иметь вид:
1 1,12/?+1
К (р) = К [РМ - К iPh = 0.167 —--67707+4^57+1” •
На рис. 4-22 пунктиром показана кривая, построенная в соответствии с найденной
передаточной функцией. Передаточную функцию в размерном виде можно предста¬
вить так:
К(Р)
5
АХг (со)
" ДХзх (со)
0,167 4- ■
*.
1
6.Р+ 1
ДХг (со) р а,р- + aiP + 1
1.12/t+l
6,707/2 +4,35р+ 1
, мм/т/ч.
ГЛАВА ПЯТАЯ
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЗВЕНЬЯ, ИХ СОЕДИНЕНИЯ И ПРИНЦИПЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
5-1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Линейные системы с сосредоточенными параметрами, описываемые
обыкновенными дифференциальными уравнениями с постоянными коэф¬
фициентами, могут быть представлены в виде совокупности некоторы.ч
контуров, набранных из конечного числа элементарных звеньев.
С точки зрения исследования динамических свойств элементов важ¬
но различать их по характеру переходных процессов, а не по конструк¬
тивному выполнению. Элементы, принципиально различные по конст¬
рукции и принципу действия, могут, однако, обладать идентичными ди¬
намическими характеристиками.
91
при аналитическом исследовании динамики элементов системы ре¬
гулирования их целесообразно в ряде случаев представить в виде сово¬
купности стандартных простейших звеньев, динамические характери¬
стики которых известны. Заменяя реальный элемент определенной ком¬
бинацией элементарных звеньев, мы переходим к его динамической
модели, дифференциальное уравнение которой может быть легко со¬
ставлено. В результате такой замены получается структурная (эквива¬
лентная) схема, на основании анализа которой могут быть сделаны об¬
щие выводы для разнообразных элементов независимо от их конструк¬
тивного выполнения.
К замене реального элемента комбинацией элементарных звеньев
следует подходить весьма осторожно, так как неправильная замена мо¬
жет не отразить достаточно точно динамических свойств элемента,
а следовательно, не достигнет цели.
Ниже будут рассмотрены основные элементарные звенья, их свой¬
ства и показаны на примерах некоторые соединения звеньев, которые
могут служить математическими моделями типичных элементов, вклю¬
чая и регулируемые объекты.
5-2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ
Q
IXC
Л-
X
Апериодическое звено. Примерами апериодического (одноемкостно¬
го) звена могут служить сосуд со свободным сливом жидкости
(рис. 5-1,а), резервуар, подключенный через сопротивление к магист¬
ральному трубопроводу под давле¬
нием (рис. 5-1,6); электрическая
цепь, состоящая из сопротивления и
конденсатора (рис. 5-1,в); электри¬
ческая цепь из индуктивности и со¬
противления (рис. 5-1,г).
Во всех этих примерах общим
является то, что выходная величина
Хвых в результате мтновенного из.ме¬
нения входной величины Хвх начи¬
нает изменяться с некоторой ма-
'2 ксимальной скоростью, постепенно
Ф
-I-
Рис. 5-1.
в)
Примеры
звена.
апериодического
было выведено в гл. 2. В данном
изменение притока воды
уменьшающейся до нуля. Закон
изменения выходной величины опи¬
сывается экспоненциальной кривой,
показанной на рис. 5-2,а.
Дифференциальное уравнение
звена, изображенного на рис. 5-1,а,
случае входной величиной является
AQ.
Q ’
выходной величиной — отклонение уровня воды от некоторого номиналь¬
ного значения
.X
-^БЫХ •
с учетом 1В;веденных обозначений уравнение рассматриваемого зве¬
на может быть записано в следующем виде:
Тх'вых + JfBbix = АХвх,
где Т — постоянная времени звена; k — коэффициент, учитывающий
соотношение между установившимися значениями выходной и входной
92
величин после окончания переходного процесса и носящий название ко¬
эффициента усиления звена.
Входной величиной звена, изображенного на рис. 5-1,6, является
изменение давления в магистральном трубопроводе Аръ а выходной —
изменение давления в резервуаре Арг.
Звено, изображенное на рис. 5-1,в, представляет электрическую
цепь, в которой скорость нарастания выходной величины — напряжения
Рис. 5-2. Характеристики апериодического звена.
U2 на конденсаторе — прямо пропорциональна величине зарядного тока
/ и обратно пропорциональна емкости С:
dU„ i
dt
С •
Кроме того, в соответствии со вторым законом Кирхгофа можно за¬
писать:
iR -\-lJ2— Ui.
Совместное решение этих уравнений дает:
RC'
dt
уравнение апериодического звена в общем случае может быть пред¬
ставлено в следующем виде:
тх'вых + Хвых = кХвх-
Из рассмотрения этого уравнения видно, что свойства апериоди¬
ческого звена определяются двумя параметрами — постоянной времени
Т и коэффициентом усиления к.
Очевидно, для звена, изображенного на рис. 5-1,а, постоянная вре¬
мени Т будет тем больше, чем больше емкость сосуда, и наоборот. Для
звена, изображенного на рис. 5-1,6, постоянная времени Т будет тем
больше, чем больше объем резервуара. Для звена на рис. 5-1,в посто¬
янная времени Т будет тем больше, чем больше произведение сопро¬
тивления R на емкость С.
Таким образом, принципиально разные по конструкции, принципу
действия и техническим признакам элементы, изображенные на рис. 5-1,
описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями, т. е. их
динамические свойства подобны.
93
Кривая разгона апериодического звена может быть построена по
уравнению
•'^вых = о
которое является решением дифференциального уравнения для нулевых
начальных условий и возмущения Хвх = Хвхо- Эта зависимость изображе¬
на на рис. 5-2,а. Постоянная времени Т представляет собой время, через
котороб выходная величина л^вых звена достигла бы установившегося
значения (Хвых)уст, если бы ее изменение протекало с постоянной ско¬
ростью, равной скорости изменения в начальный момент времени.
Передаточная функция апериодического звена имеет вид:
Амплитудно-фазовая характеристика W{m) звена получается под¬
становкой в выражение передаточной функции произведения ш вме¬
сто р:
t г arctg 0)Г
^ ’ Асо+1 К(«Г)*+1
Модуль этой функции представляет амплитудно-частотную харак¬
теристику апериодического звена
Л(ш) = :
V{(bT)^ + \
а аргумент — фазо-частотную характеристику
<р(со) =—arctg шГ.
Амплитудно-фазовая характеристика апериодического звена изоб¬
ражена на рис. 5-2,6. Она представляет собой полуокружность диа-
%
I
I ■
Чвы>
б)
0-
а)
«А
г)
Рис. 5-3. Примеры усилительного звена.
а — усилительная лампа; б — рычажное соединение; в — механический
редуктор; г — индукционный датчик.
метр которой равен коэффициенту усиления звена k. Характеристика
начинается из точки на действительной оси R(a) при ю=0 и стремится
к началу координат при со—э-0. Модуль характеристики А (со) монотон-
’ Здесь и далее амплитудно-фазовые характеристики изображаются только для
положительных значений частот (со>0).
94
но убывает, стремясь к нулю, а фаза сдвигается до л/2, т. е. при ча¬
стоте, стремящейся к бесконечности, колебания выходной величины
отстают от колебаний входной величины на угол, равный 90°.
Усилительное (безынерционное) звено. Звено называют усилитель¬
ным или безынерционным, если связь между входной и выходной вели¬
чинами звена определяется алгебраическим уравнением вида
•^ВЫХ = АХвх,
где k — коэффициент усиления звена.
Примерами конструктивного выполнения такого звена могут слу¬
жить электронная усилительная лампа, рычажное соединение, механи¬
ческий редуктор, индукционный датчик (рис. 5-3). В последнем входной
величиной является перемещение плунжера индукционного датчика,
а выходной величиной — напряжение, снимаемое с потенциометра. Пе¬
реходным процессом
в индукционном дат¬
чике при движении
плунжера можно пре¬
небречь, так как по¬
стоянные времени это¬
го процесса ничтожно
малы.
Характер измене¬
ния во времени выход¬
ной величины при по¬
даче на вход возмуще¬
ния, равного Хвх=
=Жвхо=const, будет
определяться выще-
приведенным уравнени¬
ем, т. е.
Жвых = АХвхО.
—i
вхо
Ч-вых
+ij((o)
ш
W(i(t»)=k^
0
-iJ(co)
+R(0))
б)
а)
Рис. 5-4. Характеристики усилительного звена.
Графически эта зависимость представлена на рис. 5-4.
Передаточная функция записывается следующим образом:
К(р) = А.
Амплитудно-фазовая характеристика, изображенная на рис. 5-4,
равна:
Г (ico) = А.
Интегрирующее звено. Примеры интегрирующих звеньев представ¬
лены на рис. 5-5. В сосуд поступает вода (рис. 5-5,а), расход которой
Qz постоянен и определяется производительностью насоса. Входной ве¬
личиной в данном случае является изменение количества поступающей
воды AQi, а выходной — изменение высоты Ah уровня.
Дифференциальное уравнение этого звена может быть представлено
в следующем виде:
Тх'вых — кХвх
или
X вых= вХвх,
где Е=к/Т называют скоростью разгона.
На рис. 5-5,6 изображен другой пример — электромеханический
сервомотор. Здесь входной величиной является напряжение, подавае¬
мое к зажимам двигателя постоянного тока, ротор которого через две
червячные пары соединяется с регулирующим органом, а выходной ве^
личиной — угол ф поворота вала редуктора. Если пренебречь массой
ротора, подвижных частей редуктора, электромеханической постоянной
95
времени и принять, что скорость вращения электродвигателя пропор¬
циональна напряжению U, то такой сервомотор в первом приближении
можно считать интегрирующим звеном.
Наконец, рис. 5-5,в иллюстрирует схему гидравлического поршнево¬
го сервомотора, управляемого отсечным золотником. Здесь входной ве¬
личиной можно считать смещение s плунжера золотника в пределах
«макс, а выходной — смещение 'поршня сервомотора в пределах Цмакс-
Массой поршня и силой трения пренебрегаем.
Итак, в интегрирующем звене скорость изменения выходной ве¬
личины пропорциональна отклонению входной величины. Выходная
С/шв I—<
Ш)дВод\
масла_
Слив 3^
и
Дмсщс
б)
Нрегулирующему
органу
органу
б)
Рис. 5-5. Примеры и.чтегрирующсго звена.
величина может неограниченно возрастать или убывать при неизменном
значении входной величины. В интегрирующем звене в отличие от апе¬
риодического нет определенной зависимости между установившимися
значениями выходной и входной величин, но есть определенное соот¬
ношение между значением входной величины и скоростью изменения
выходной величины.
Интегрируя дифференциальное уравнение звена, получаем:
t
k
Xnxdt
или
Xsxdt-
Таким образом, выходная величина пропорциональна интегралу от
входного воздействия, что и дало основание называть такое звено инте¬
грирующим.
Полагая Хвх = л;вхо = const, приходим к уравнениям переходной функ¬
ции
_ kt
'-ВЫХ ■
или
96
Хвых f -'-вхо
Хвых— е/ХвхО-
Отсюда видно, что за время / = Г выходная величина звена х^ых до¬
стигнет значения kx^xo-
Кривая разгона представлена на рис. 5-6,а. Передаточная функция
интегрирующего звена
или
К(р) = у.
Заменяя в уравнениях передаточной функции оператор дифференци¬
рования р на /со, получаем амплитудно-фазовую характеристику инте¬
грирующего звена;
k k
^ О®)— — <оГ ^
или
Твх
U7(/a>) = -A==—е
^ ' ш (О
Амплитудно-частотная характеристика
и фазо-частотная характеристика*
/ \ «
9 («*)=-—•
Рассмотрение амплитудно-фазовой характеристики показывает, что
аргумент ее не зависит от частоты со и сохраняет неизменное значение
ф(и)=—л/2. Вектор амплитудно-фазовой характеристики интегрирую¬
щего звена все время совпадает с отрицательной мнимой осью комп¬
лексной плоскости (рис. 5-6,6), изменяясь
по величине от бесконечности при со==0 до
нуля 'При со = оо.
Запаздывающее звено. Примером запа¬
здывающего звена может служить ковшо¬
вый транспортер (рис. 5-7,а).
Если с помощью регулирующего орга¬
на изменить количество поступающей на
транспортер воды Q (например, мгновенно
увеличить) в момент /=4, то количество
воды фг, вытекающей из воронки после
транопортера, изменится не в момент иЖ»йхо
а в момент А+то. Запаздывание То в дан¬
ном случае определяется расстоянием I и
скоростью V движения ленты транспортера,
т. е. xo=l/v. Таким образом,
Qz{t) = Qi(t-xo).
В теплоэнергетических установках при¬
мером запаздывающего звена могут слу¬
жить ленточные транспортеры топлива,вно-
т
ig°‘=j,exo=c^ex'b
i
■ф)
+iJ(w)
+ R(W)
0
Т
’-гКш)
Рис. 5-6. Характеристики интегрирующего звена.
б)
' Напомним, что на основании формулы Эйлера
л
^2 п я
е = cos -л~ — г sin —гг = 0 — г!
Г—1074
97
Рис. 5-7. Примеры запаздывающе¬
го звена.
0
♦
а) 1
Rfi/X
i
6ggix~*8xO ^
0
А "
сящие так называемое транспортное за¬
паздывание. Учет такого запаздывания
при анализе систем автоматического ре¬
гулирования весьма существен.
Итак, пользуясь введенными обозна¬
чениями для входной и выходной вели¬
чин звеньев, можно написать для запа¬
здывающего звена:
XBNx(t)=ll при 0<|/<То;
Д'выхСО =л:вх(/—То) при /^То,
т. е. выходная величина запаздыеающего>
звена отстает от входной величины на
время То (рис. 5-7,6).
Если на входе запаздывающего зве¬
на произведено мгновенное возмущаю¬
щее воздействие (рис. 5-8,й), то на выхо¬
де звена будет «копия» входной величи¬
ны, сдвинутая по оси абсцисс на время
запаздывания То (рис. 5-8,6).
Пусть на вход запаздывающего зве¬
на поступают гармонические колебания
-Тех -Твхо^
Тогда на выходе звена, как это ясно
из предыдущего изложения, возникнут
колебания такой же амплитуды, но сдви¬
нутые по фазе на угол ©То:
'^ВЫХ *^ВХО^
Амплитудно^фазовая характеристи¬
ка запаздывающего звена будет равна;
Лш (/—То)
W (гш) =
Таким образом, модуль амплитудно¬
фазовой характеристики не зависит от
частоты и равен единице Л (©)='!, а фа¬
за ф|=—©То.
График амплитудно-фазовой харак¬
теристики изображен на рис. 5-8,е и
представляет собой кривую, навиваю¬
щуюся на окружность, радиус которой
равен единице.
Передаточную функцию запазды¬
вающего звена можно получить из вы¬
ражения амплитудно-фазовой характеристики, заменив г© операто¬
ром р:
А(/г) = й--=^^
Колебательное звено. В колебательном звене связь между входной и
выходной величинами определяется дифференциальным уравнением
^2 ®Ь1Х “Ь БЫХ “Ь -'-вых — kX-BXl
Рис. 5-8. Характеристики запазды¬
вающего звена.
* Передаточная функция запаздывающего звена может быть получена на основа¬
нии теоремы запаздывания (см., например: М. И. Конторой и ч. Операционное исчис¬
ление и нестационарные явления в электрических цепях. М., Гостехиздат, 1949).
98
а)
>IA
ивг
’дых
L
Свьп
6}
О
t
1
t
Рис. 5-9. Примеры колебательного звена.
а — центробежный маятник; б — электрический контур; в — успокоительное устройство,
где Гг И Ti — коэффициенты, имеющие размерность времени (постоянные
времени); k — коэффициент усиления звена, равный отношению устано¬
вившихся значений выходной и вход¬
ной величин.
Колебательное звено получается
при наличии двух соединенных емко¬
стей, способных запасать количество
энергии двух видов и взаимно О'бмени-
ваться этими количествами. Если в ре¬
зультате колебаний запас энергии, по¬
лученный и начале возмущения, в зве¬
не уменьшается, то колебания затуха¬
ют и звено является устойчивым.
Примером конструктивного вы¬
полнения устойчивого колебательного
звена могут служить конический цен¬
тробежный маятник, электрический
контур, содержащий емкость, индук¬
тивность и омическое сопротивление,
масса, подвешенная на пружине и
имеющая успокоительное устройство
(рис. 5-9).
Характер изменения во времени
выходной величины колебательного звена найдем, интегрируя его урав¬
нение. Будем считать, как и ранее, что Хвх=Хвхо. Характеристическое
уравнение имеет вид:
Tlf+T,p+l=nO.
Корни этого характеристического уравнения находятся по формуле
Рис. 5-10. Кривые разгона колеба¬
тельного звена.
PU2
-Ti + \Y rf —4Г|
2Г|
Если Tj <САТ1 , то корни характеристического уравнения будут комп¬
лексными:
где
р, = а-1-да; р^^а —гш.
Ti
а = —и (D = -
/I о
г2-4Г|
2Г|
99
Переходный процесс в колебательном звене при комплексных кор¬
нях в общем случае может быть выражен следующим образом:
, = kx.
ВХ О
— “Sin О)/-f arctg
Это выражение характеризует колебательный процесс с затуханием
а и частотой ш, стремящейся к установивщемуся значению kx^xo при t =
= оо.
На рис. 5-10 изображены кривые изменения Хвых-
Колебательный переходный процесс будет возникать лишь тогда,
когда соблюдается неравенство Т\ — >■ О или T^jT^ </ 2. Если же
Т\—4Г2>0 или TJT^3>2, то корни характеристического уравнения
получаются действительными. Тогда уравнение переходного j процесса мо¬
жет быть написано так:
А^вых = + kx^^^,
где Ai и Az — постоянные интегрирования.
Переходный процесс здесь не будет иметь колебательного характера
(рис. 5-10). Звено, описываемое таким уравнением, не называют колеба¬
тельным, и оно может быть представлено как два последовательно вклю¬
ченных апериодических звена.
Передаточная функция колебательного звена
К(р) =
Цр" + Т.Р+1
Амплитудно-фазовая характеристика его^равна:
—г arctg
coT’i
W{m)r=-
ke
яЯ((ю)
_ С0*Г2)В +
И изображена на рис. 5-11.
Дифференцирующее звено. Примером дифференцирующего звена мо¬
жет служить идеальный тахометрический генератор (рис. 5-12,а). При
скачкообразном изменении входной вели¬
чины переходный процесс принципиально
протекает мгновенно и имеет форму им-
~/Zq пульса теоретически с бесконечно боль¬
шой амплитудой, соответствующей беско¬
нечно большой скорости изменения вход¬
ной величины (рис. 5-12,6).
Дифференциальное уравнение диф¬
ференцирующего звена имеет вид;
Хвьтх= kT х'ВХ-
Таким образом, выходная величина
пропорциональна скорости изменения
входной величины.
Передаточная функция звена может
быть записана так:
Рис. 5-11. Амплитудно-фазовые ха¬
рактеристики колебательного
звена.
K(p)=kTp.
Амплитудно-фазовая характеристика (рис. 5-12,в) равна:
if (ш) I
W (ш) = А {in) е = кТш ^кТт /
100
Здесь
А (©) =kTti)
?и=+
2 •
Следовательно, в дифференцирующем звене выходная величина опе¬
режает входную на угол +я/2 при всех частотах, а амплитуда выходной
величины тем больше, чем больше частота.
Однако осуществить идеальное дифференцирующее звено невозмож¬
но, поэтому практически применяют звенья, обеспечивающие дифферен-
а)
1
t
\
ОО
0
с
0
6)
+ iJ (ш)
ОО
t
1
ш
П((0)
(-R(W)
0
(0=0
- и (си)
в)
Рис. 5-12. Пример и характеристики идеального дифференцирующего звена.
пирующее действие приближенно. Уравнения реальных дифференцирую-
ших звеньев имеют следующий вид:
Тх -^вых — kTX
вх-
При Г-ъО, но конечном kT это уравнение совпадает с уравнением
идеального дифференцирующего звена.
На рис. 5-13 показаны примеры реального дифференцирующего зве¬
на, характер переходного процесса в нем и амплитудно-фазовая харак¬
теристика.
Основные данные о рассмотренных звеньях сведены в табл. 5-1.
Р»с- 5-13. Примеры (а) и характеристики (б, в) реального дифференцирующего звена.
101
Таблица 5-1
8
ZIZXC
IXC
и
5-3. ПОНЯТИЕ О ДЕТЕКТИРУЮЩИХ И НЕДЕТЕКТИРУЮЩИХ ЗВЕНЬЯХ
Система автоматического регулирования, описываемая линейным
дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, может
быть представлена эквивалентной цепью, полученной путем замены ре¬
альных функциональных элементов типовыми звеньями, соединенными
между собой определенным образом при помощи соответствующих свя¬
зей. В результате такой замены получается структурная схема системы,
звенья которой различаются уже не по выполняемым ими функциям,
а лишь по математическим зависимостям между входной и выходной
величинами.
Исследование реальных систем с помощью эквивалентных структур¬
ных схем позволяет обобщать выводы для самых разнообразных систем
независимо от их конструктивного выполнения и выявлять влияние от¬
дельных элементов (звеньев) на статические и динамические свойства
системы.
Системы автоматического регулирования, как правило, представля¬
ют собой системы направленного действия, т. е. обладают детектирую¬
щими свойствами. Это обусловливается наличием в них детектирующих
элементов (звеньев), пропускающих воздействие только в одном направ¬
лении — от входа к выходу.
Рассмотрим следующий простой пример. Пусть вода поступает из трубопровода
(рис. 5-14,а) в бак 1, из которого свободно вытекает и направляется в бак 2. Из бака 2
вода удаляется с помощью насоса. Пусть су¬
ществует равновесие системы: количество
воды, поступающей в бак 1, равно коли¬
честву воды, вытекающей из него, и, следова¬
тельно, равно количеству воды, поступаю¬
щей в бак 2. Насос откачивает такое же
количество воды из бака 2, какое в него
поступает. Очевидно, что если изменить про¬
изводительность насоса, то уровень воды
в баке 2 будет изменяться. Однако это изме¬
нение уровня никак не повлияет на поступаю¬
щее из бака 1 tB бак 2 количество воды, ко¬
торое будет по-прежнему определяться уров¬
нем воды в баке I. Итак, изменение уровня
воды в баке 2 не сказывается на притоке воды
в бак 2. В то же время изменение уровня
воды в баке 1 немедленно изменит ко¬
личество воды, поступающей из бака 1
в бак 2, и уровень воды в баке 2 начнет изме¬
няться.
Достаточно удлинить выходной па-
_ трубок бака 1 так, как это показано на
рис. 0-14,0, и бак 2 перестанет быть детектирующим звеном. В самом деле, теперь уже
изменение уровня воды в баке 2 влияет на поступление воды из бака 1 в бак 2. Чем
больше будет воды в баке 2, тем меньше будет поступать воды из бака 1. Итак, изме¬
нение выходной величины — уровня воды в баке 2 —влияет на входную величину —
поступление воды в этот бак.
Примером детектирующего звена может служить измерительный
орган регулятора (термопара, манометр, тягомер и т. д.), подключенный
к объекту. Температура среды, которую измеряет термопара, влияет на
ее показания, однако термо-э. д. с. термопары влияния на температуру
среды не оказывает. Манометр, подключенный к паровому пространству
котла, непосредственно реагирует на изменение давления пара, однако
деформация манометрической пружины не может изменить давления
в барабане котла.
Динамические характеристики детектирующего звена не изменяются
при включении его в цепь регулирования. Это упрощает исследование
динамики детектирующих звеньев, позволяет размыкать систему регули¬
рования между звеньями и т. д.
Разделение звеньев на детектирующие и недетектирующие имеет
большое значение для решения задач по динамике регулирования.
104
Рис. 5-14. К пояснению понятия о де¬
тектировании.
0-4. СОЕДИНЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ
Последовательное соединение. При последовательном соединении
звеньев выходная величина каждого предыдущего звена воздействует
только на вход последующего звена и, следовательно, выходная величи¬
на каждого предшествующего звена равна входной величине последую¬
щего звена (рис. 5-15):
Хвых! = Хвх2=Хг;
Хвых2 = ХвхЗ = Хз;
Хвыхп—1 — Хвхи — Хп.
Обозначим Xbxi = Xi; Хвыхи = х„+1.
Уравнения звеньев в операторной форме имеют вид:
X2 = K{pi)XT,
Хз = К{рг)х2,
Хп-Ы — К{р)пХп-
Последовательным исключением переменных получим уравнение
системы в операторной форме:
K{p)lK{p)2 ... К(р)пХп+1 = Хи
Входной величиной этой системы будет Хь а ее выходной 'величи¬
ной Х„+1.
Отсюда получаем передаточную функцию системы:
К ip)=^= К {р\ к {ру ...к {р)п.
Таким образом, передаточная функция разомкнутой цепи последо-
внтельно соединенных де-
тектирующ'их звеньев равна
произведению передаточных
функций составляющих
звеньев.
.Амплитудно-фазовая ха¬
рактеристика последова¬
тельно соединенных детек- Рис. 5-15. Последовательное соединение звеньев,
тирующих звеньев равна
произведению амплитудно-фазовых характеристик отдельных звеньев:
W{m)^W{m)iV7{icaz) ... 1Т'(/®)„.
В качестве примера рассмотрим регулируемый объект, изображенный на рис. 5-16,а.
С>бъект представляет собой цепь из трех последовательно соединенных звеньев: запазды-
►аюшего (транспортер 1), апериодического (бак 2) и интегрирующего (бак 3\
<рис. 5-16,6).
Передаточные функции этих звеньев были определены ранее:
передаточная функция запаздывающего звена
К(р), = е-Р\
передаточная функция апериодического звена
передаточная функция интегрирующего звена
К{р)п=
ТпР’
105
Передаточная функция рассматриваемого объекта будет равна:
К(р) = К {р)г к (р)в к (р)п =
Амплитудно-фазовая характеристика объекта может быть получена, как обычно,
заменой оператора р на т:
Если амплитудно-фазовые характеристики последовательно соединенных звеньев
заданы в виде графиков, то для того, чтобы построить график амплитудно-фазовой
характеристики И'(г<в)с цепочки последовательно соединенных звеньев, надо для каж-
а)
Рис. 5-16. К примеру последовательного соединения звеньев.
дой частоты (ш1, шг, шз и т. д.) найти произведение модулей векторов составляющих
звенёев и сложить фазы:
W (1(о)„= 1Г (гсо.) W {ш,) ... = Л (co)i (о>), _ _
= Л (со), Л {со)2 ... + VM, -ь ...1 _
Каждой частоте амплитудно-фазовой характеристики соответствует вектор на
комплексной плоскости, модуль которого равен Л((Ок) и фаза — ф(сок).
Так например, пусть необходимо построить график амплитудно-фазовой характе¬
ристики разомкнутой цепи последовательно соединенных интегрирующего W'(ico),, и
апериодического W(i(o)a звеньев.
Графики амплитудно-фазовых характеристик интегрирующего и апериодического
звеньев представлены на рис. 5-17,а и б.
Для (оо=0:
106
W (/ы„)и = л (соо)и е
W (i(Oo)a == Л (со„), е
—‘V (“о)р
—г? (шо).
-R(a>) О
A(u)oo)~0 R((o)
-sr
A(u)oa)c
у(ш)к=90°
А(Шд)м = °°
A{4>i)m-0,B8
А((Чг)и=0,56
А(шз)к = 0,34
А(а>Лн =0,73
А(Шоо)н =0
у(со)„
А(шоо)=0
-R(co)
уШа
(О=(Од=0
Oi=0f
iJ(w)
(0=00 к (а,)
W(i(o)c
а>=со2
-iJ((o) As—^ g)
<У = й7д- (0=(0з
А(Шо)а=1.В; АЦ)а=Г,47; А((Ог)а=1,9; A((Oj)a=1,2; А(соЛ = 0,9; А(й)оа)=0
f(<Oo)a=0; f(o+la=12'’; (р[(Ог)а=28°; y>fd7j)a=40‘’; y((Oja=5/°;y(<Ooo)=S0°
Рис. 5-17. Построение графика амплитудно-фазовой характеристики двух последова¬
тельно соединенных звеньев.
Для to = (О,:
W (г(о,)и= А ((о,)ие
—Щ (“ill
W (г<о,)»= Д (щ)^е
—щ (т,)
И Т. Д.
Для СО = (Oft^:
1Г(/со,).= Д(со,).^-'"'“'‘>а.
Для со = сОд^:
I^(‘‘0j8=n(c0j,/^<““>a.
У интегрирующего звена фазовый угол для всех частот равен (—я/2), т. е.
¥ Ы = ¥ («,) = ¥ К) =... = ¥ (“оо) = — “i"-
107
Находим модуль и фазу векторов произведения этих звеньев для частот о)=0,
<о = со2... 0) = 0)оо:
IF (чо.)„ = 1Г (чо„)„ 1F (Шо)а = Л (щ)ж А (со„), е .
Для <0 = СО;, = 0;
А (со„)е = А (<0о)и А (co„)g = оо, Л (co„)g = оо;
¥ (“о)с = <р (й)„)и + <? (co„)s = 90° + 0° = 90°.
Для (0 = 0),:
Для со = сог:
Для со = соз:
Для со = соь;
Л (со,)е = Л (со,)и Л (co,)g = 0,68-1,47 = 1,0;
у (со,), = ^ (со.)и + <f Юз = 90° + 12° = 102°.
Л (соДе = Л (соз)и Л Юз = 0,56-1,4 = 0,78;
<f (соз)з = ¥ Юи + Т (<оДз = 90° + 28° = 118°.
Л (соз)о = Л (соз)иЛ Юа = 0.34-1,2 = 0,41;
f (соз)о = ¥ (о)з)и + ¥ (“з)а = 90° + 40° = 130°.
Л К)з = Л Ю)вЛ Ю)з = 0,13.0,9 = 0,12;
¥ Ю)е = ¥ Ю)и + ¥ Юа = 90° + 51° = 141°.
Для со = сОдд — со:
Л (сооо) с — л (сОоо)иЛ (сОоо)а=0 . 0=0;
ф(о)»)с='ф((йоо)и+‘ф(Сйоо)а = 90° + 90°=180°.
На рис. 5-17,е представлен график амплитудно-фазовой характеристики последо¬
вательно соединенных апериодического и интегрирующего звеньев.
*!x=t
бвх2 XfyJ
^5ыхГ
бвых2
^вых'-Лг^
б(р)г
и
. .
+ LLJ xj
i
4Лм-
i
■ ■ Л
1 ' *
а)
б)
Рис. 5-18.
а — параллельное соединение звеньев; 6 — пример параллельного со-
единения звеньев.
Параллельное соединение. При параллельном включении детекти¬
рующих звеньев значение входной величины для всех звеньев одно и
то же (рис. 5-18,а):
Параллельное соединение звеньев означает также, что выходы
всех звеньев соединяются и выходные величины суммируются, т. е.
Хвых = Х2 + Хз.
Уравнение первого звена:
Xz = K{p)iXu
Уравнение второго звена:
X3 = K{p)lXi.
\ Складывая эти два уравнения, получаем:
X2 + X3 = [K(p)l + K{p)-^Xi
или
X,
А(а)=^=А(р). + А(р)з.
108
Таким образом, передаточная функция разомкнутой цепи парал¬
лельно соединенных детектирующих звеньев равна сумме передаточных
функций составляющих звеньев.
Амплитудно-фазовая характеристика параллельно соединенных
звеньев равна сумме амплитудно-фазовых характеристик отдельных
звеньев;
(г©) = (ico) 1 -f W' (ш) 2.
Примером параллельного соединения звеньев может служить си¬
стема измерения температуры какой-либо среды с помощью трех тер¬
мопар (рис. 5-18,6).
Здесь входной величиной для всех термо1пар является температура
среды, которую они измеряют *, т. е.
Хвх = Хвх1 = Хвх2 = ХвхЗ = At°.
Выходы всех звеньев (термопар) соединены так, что выходная ве¬
личина— термо-э. д. с. батареи равна сумме выходных величин состав¬
ляющих звеньев, т. е. сумме термо-э. д. с. каждой термопары:
Хвых ='АД = Хвых! + Хвых2 + ХвыхЗ = A^l +Л£'2 + АЕз,
где El, Ег и Ез —термо-э. д. с. отдельных термопар.
Считая термопару апериодическим звеном, можно для рассматри¬
ваемого примера записать:
((/>) = * (Р), +кФ\+к «.= TjVr+-fJVT+TjVr-
Если принять, что коэффициенты усиления k всех термопар равны
между собой (термопары
создают одинаковую
э. д. с.) и равны между
собой постоянные време- -К(<л)
ни Г, то передаточная
функция системы упро¬
стится, а именно
К{рУ-
3k
Тр+х
Амплитудно^фазовая
характеристика этой си¬
стемы может быть полу¬
чена также заменой опе¬
ратора р на ш:
ет
нИш,
-и(ш)
'(lw}c=ma>),*w(tw)z
3k
шТ + 1
Рис. 5-19. Построение графика амплитудно-фазо¬
вой характеристики двух параллельно соединен¬
ных звеньев.
Если амплитудно-фа¬
зовые характеристики па¬
раллельно включенных
звеньев заданы графиче¬
ски, то для нахождения
суммарной характеристи¬
ки необходимо для каж¬
дой частоты (®1, ©2, • • •
..., ©й, Mft+i) найти вектор
этой характеристики
звено 1
Звенбг
к(р)г
звш 3
Н звено 9 р
ш
Рис. 5-20. Смешанное соединение звеньев.
* Предполагается, что температура среды изменяется одновременно и одинаково
во всем объеме.
109
W{i(i>h)c как геометрическую сумму двух составляющих векторов
W'(/coft)i и W{i(£>h)z так, как это показано на рис. 5-19.
Смешанное соединение. Примером смешанного соединения детекти¬
рующих звеньев может служить система, изображенная на рис. 5-20.
Здесь звенья 3 п 4 соединены между собой параллельно и включены
в цепь последовательно соединенных звеньев 1, 2 тл. 5. Передаточная
функция параллельно соединенных звеньев 3 и 4
K{p)z,9=K{p)z+K{p)i.
Теперь можно считать, что цепь состоит из четырех последователь¬
но соединенных звеньев, передаточные функции которых должны быть
перемножены для получения передаточной функции всей цепи:
K(p)='k(p)yk{p)2k{p) 3.4/fe (д) 5=
=k{p)ik{p)2k(p)b[k{p)s+1i{p)i\.
Амплитудно-фазовая характеристика системы, состоящей из сме¬
шанного соединения детектирующих звеньев, получается аналогичным
способом.
Встречно-параллельное соединение звеньев (цепи звеньев, содержа¬
щие обратные связи). Выше рассматривались разомкнутые цепи, в ко¬
торых при последовательном соединении звеньев выходная величина
Шр),
Asmi
^6x2
Kiph
X вых Z
ЧхЗ
Рис. 5-21. К пояснению прямых связей между звеньями.
каждого предшествующего звена воздействовала на вход последующе¬
го звена (рис. 5-21); при этом выходная величина каждого предыду¬
щего звена дгвыхь была равна входной величине последующего звена
2^ВХ2-
Таким обраэо-м, уравнения связей между звеньями записываются
весьма просто:
Хвых1 = Х-ВХ2',
Хвых2~ XbxZ
И Т. Д.
Уравнение, связывающее входную величину какого-либо звена
с выходной величиной одного или нескольких звеньев этой системы, на¬
зывается уравнением связи. Связь называется обратной, если она
включается параллельно какому-либо звену (или звеньям) и связывает
Рис. 5-22. К пояснению обратных связей между звеньями.
выход какого-нибудь звена со входом одного из предыдущих звеньев
или со входом своего звена. На рис. 5-22 звено К(р)о.а является обрат¬
ной связью, соединяющей выход звена K{p)z с его входом. В этом слу¬
чае говорят, что обратная связь К{р)о.с шунтирует звено K{p)z и цепь
перестает быть одноконтурной, как это было на рис. 5-21.
110
в зависимости от знака выходной величины Хвых.о.с ('рис. 5-22) об¬
ратная связь может быть положительной (знак Хвых.о.с совпадает со
знаком Хвхз) или отрицательной (знак Хвых.о.с противоположен знаку
Хвхг) •
В системах авто1матического регулирования применяются, как пра¬
вило, цепи с отрицательными обратными связями. Соединения звеньев
с обратными связями получили также название 'встречношараллельных
соединений.
Определим передаточную функцию К{р) цепи, содержащей обрат¬
ную связь (рис. 5-23,а). На вход звена K{p)i действует Xbxi и Хвых.о.с-
Следовательно,
-t^Bbixl = K{p)l (XbxI + Хвых.о.с) ,
НО
Хвых.о.с — К{р) о.сХвх.о.с-
Подставляя значение Хвых.о.® получаем:
Хвых! — К{р) i^Bxl + К (Р) iK (р) о.сА/вх.о.с-
Так как Хвх.о.с=Хвыхь то
Хвых![1 — К (р) iK(р) о.с] — К{р) !ХвхЬ
тогда
KiPh
А(р)=г^
(P)i к (Р)о.с
Следовательно, цепь, представленную на рис. 5-23,а, можно изобра¬
зить в виде одноконтурной, но имеющей иную передаточную функцию
(рис. 5-23,6).
«'fir;
X(P)l
Ч / 1
Х(р)о.с
^вых. ас
«fir.ftC"«&/jr 1
Xfir 1
п 1
Хв'ых 1 ,
>^W-i-K(pRK(p)gi.
■
£>
а)
Рис. 5-23. К определению передаточной функции цепи, содержащей обратную связь.
Для случая отрицательной обратной связи передаточная функция
цепи запишется в виде:
К(рЬ
1 + ТС (Ph к (Р)о.о ■
Аналогично можно показать, что передаточная функция цепи звень¬
ев, изображенной на рис. 5-24, равна:
к K(phK(PhK(Ph
А tP) — 1 _ „ К(Р),К (Ph. К (Ph
Таким образом, если цепь звеньев отличается от одноконтурной
.цепи наличием обратных связей, шунтирующих одно или несколько
Рис. 5-24. Охват звеном обратной связи нескольких звеньев.
111
К(р)а
Н(р)о.С
Рис. 5-25. К примеру охвата
звеном обратной связи апе¬
риодического звена.
звеньев, то ее можно рассматривать как одно¬
контурную с соответствующим изменением
передаточных функций звеньев.
Рассмотрим пример охвата апериодическо¬
го звена усилительным звеном, у которых
А:=1 (рис. 5-25):
Д- (р)= ^
\-К{р)Ж{РЖ ■
Здесь К (р)а—К (р)о.с= 1 — передаточные функции звеньев;
I
Гр+1
1
T-p+l
Тр
Таким образом, охват апериодического звена усилительным ik = \)
превращает его в интегрирующее звено.
, -Р(со)
A(w*)f=0,3
8{<т>к)о.с -0,8
А(шр)2=0,?г
А(щ)у=1,13
'' w(icoDc=—
112
У>(шф.с = -50'>
8y,(<Vk)j = -60<‘
У>(Шр)2=-80°
Рис. 5-26. Построение графика амплитудно-фазовой характеристи¬
ки двух встречно-параллельно соединенных звеньев.
Если амплитудно-фазовые характеристики звеньев, включенных встречно-парал¬
лельно, заданы графически (рис. 5-26), то суммарная характеристика цепочки, изобра¬
женной на рис. 5-25, находится следующим образом.
Так как
1-1Е(ш),1Г(г(о)о.е ’ '
то вначале находят произведение W(iQ))2=W(ia>)iW(i(i))o.c двух последовательно со¬
единенных звеньев так, как это было показано выще. Для частоты ы/,:
А {(Ok)2=А {(Oh) 1/4 ((Oft) о.с =0,9 • 0,8=0,72
и
4)((Oft)2=<P'((Oft)i+,(p((Oft)o.o = 30°—50°=—^0°.
Знаменатель выражения W{i(o)c можно записать в следующем виде:
lP’(t(Oft)3=l+[-W'(itOft)iW'(icoft)o.c].
Тогда вектор (—l?'(i(Oft)iW'(i(Oft)c] будет иметь направление, противоположное век¬
тору W(i(Ok)iW(iwk)o.c (см. рис. 5-26).
Отложив по вещественной оси единичный вектор и просуммировав его с векто¬
ром (—W'(i(Oft) H^(!(Oft)o.c], получим вектор ''
W{i(Ok)z=l—W{mh)iW{i(Oh)B.c.
Его амплитуда: /4 (со*) з= 1,14, а фаза
Ф((0ft)з=<p((l)ft)2+л;+Л'ф((0ft) 3=
=^[80°-р 180°-1-60°]=—320°.
Для того чтобы найти вектор W{imh)c, следует разделить вектор W{imh)i на
W{i(Oh)s, т. е. взять отнощение модулей этих векторов, и вычесть фазовые углы:
А ((Oft), 0,9 „
^(«Oftb—ГТТ4 = °’8
и
ф(й)(1) с =ф((0)1) 1—^[ф((0)1) 1+ф(<в») о,с+л:+Аф((0(1) з]=
=—30°-{—30°—50°— 180°—60°] = + 290°.
Проведя аналогичные операции для ряда значений частот wi, сог, (йз (o~, по¬
лучим график амплитудно-фазовой характеристики W{i(i))c-
5-5. НЕКОТОРЫЕ СТРУКТУРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
СОЕДИНЕНИИ ЗВЕНЬЕВ
При расчете систем автоматического регулирования в ряде случаев
приходится преобразовывать структурные схемы соединений звеньев
к виду, удобному для их дальнейшего анализа и расчета.
Рассмотрим некоторые характерные варианты преобразований
схем, выполняемые таким образом, чтобы передаточная функция новой
структурной схемы после ее преобразования осталась неизменной.
Перенос точек суммирования. Внешнее воздействие х требуется пе¬
ренести с выхода звена K{p)i на его вход (рис. 5-27,а).
Уравнение цепи, изображенной на рис. 5-27,а, имеет вид:
ХъхК{р) i = XsbixAr X,
откуда
К{р) = ^=К(р)-^-
Уравнение цепи на рис. Ъ-27,б записывается так:
[Хвх + х/С {р) а:]/С(р) 1 = Хвых>
8—1074 ИЗ
Хвх
Mph
вВых
а)
•Хвк
ввх
Хвх
вех
x(ph
X
ввых
в)
^(P)l
ввых
д)
K(P)l
X
eSm
ж)
вех
б)
вех
K(p)i
вв'ш
К(р)х
К(р),
egi/x
г)
вВх
К(Р)х
К(Р>1
ввых
е)
вех
К(р)х
вВых
К(р)г
ввых
3)
К(р1х
Г- P(P)i —1
-► К(р)з -t
- К(р)2 — к(р)г —
и)
ж)
/((Р)г
x(p)i
вйых ввх
л)
K(Ph Т '^(Ph — ^(Pii
^вь/х
к(р)г
вВх
Х(р)1
^8ых
к)
х(р)г
к(р)г
о)
к(Р)х
K(p)j
^8ь/х
ХЗх
Hp)1
^Вых
п)
х(р)г
р)
/<(Р)х т '^(р>1 >^(Ph
ввых
Рис. 5-27. Некоторые структурные преобразования соединений звеньев.
514
или
к (p)=J^^K (р\+уК{р.) К {р\.
Отсюда следует:
К {р)Л^=к {р\к {р)х к {р),
Л-ВХ ^вх
K{p)P{p)i=\.
Таким образом, для переноса воздействия х с выхода на вход зве¬
на K{p)i необходимо, чтобы поредаточная функция К{р)х имела сле¬
дующее значение:
Аналогично можно показать, что преобразование схемы на рис.
5-27,в в схему на рис. 5-27,г может быть произведено, если
К{р)х = К{р)и
Перенос точек разветвления. Разветвление сигнала с выхода звена
K{p)i требуется перенести на его вход (рис. 5-27,6).
Уравнения цепи на рис. 5-27,е имеют вид:
ХвхК{р) 1 = Хвых
И
ХвхК {р) X — Л^ВЫХ*
Отсюда:
К{р)х=К{р)и
Аналогично можно преобразовать схему на рис. 5-27,дас в схему на
рис. 5-27,з:
Включение звена в цепь звеньев (рис. 5-27,и).
Уравнение цепи на рис. 5-27,w имеет вид:
•^ВХ'[А (p)l+ 1] = /^ВЫХ
т. е. передаточная функция цепи будет:
K{p) = ^=K{ph + l. (а)
•^вх
Уравнение цепи на рис. 5-27,к
ХвхК(р) {р)2К{р) i + K {р):^ — Хвых,
а передаточная функция
К {р\ К ip)t (р). + 1]. (б)
•^ВХ
Сопоставляя уравнения (а) и (б), получаем:
К{р)2К{р)з^1. -
Производя аналогичные преобразования для цепей на рис. 5-27,л, м,
получаем:
/С(р)2Г(р)з=1.
Исключение звена из цепи звеньев (рис. 5-27,н, о, п, р). Опуская
преобразования, приводим результат:
8* 115
5-6. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ТЕПЛОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
а) ^ 6)
5-28. Кривые разгона нейтральных и
устойчивых объектов.
Промышленные регулируемые объекты (котельные агрегаты, до¬
менные и мартеновские печи, различные химические установки и т. д.)
представляют собой сложные системы с распределенными параметрами,
многочисленными регулируемыми величинами и многими возмущающи¬
ми воздействиями.
Эти объекты, как правило, существенно инерционны н в динамиче¬
ском отношении представляют собой фильтры с полосой пропускания
низких частот (от нуля до десятых долей герца). По динамическим
свойствам большинство из них можно разделить на две характерные
группы.
К первой группе относятся объекты, которые являются нейтраль¬
ными физическими системами. Кривая разгона * такого объекта пред¬
ставлена на рис. 5-28,а. Ко
“ второй группе относятся объ¬
екты, представляющие собой
устойчивые физические систе¬
мы (рис. 5-28,6).
Рассмотрим некоторые
особенности объектов обеих
групп.
Анализ кривых разгона
объектов первой группы
показывает, что они могут
иметь различный характер (рис. 5-29). Кривые, изображенные
на рис. 5-29,а и 6, характерны тем, что регулируемая величина начи¬
нает изменяться в тот же момент времени, в какой осуществлено
возмущение. Однако если в первом случае это изменение происходит
с постоянной скоростью (по прямой), то во втором случае регулируе¬
мая величина изменяется с нарастающей скоростью, стремящейся к ка¬
кому-то постоянному значению. Кривые, изображенные на рис.
5-29,0 и г, отличаются от предыдущих тем, что изменение регулируемой
величины начинается через некоторое время запаздывания то после воз¬
мущения. Примером такой характеристики может служить кривая из¬
менения уровня воды в барабане парового котла высокого давления,
представленная на рис. 5-30. Возмущение в данном случае осуществля¬
лось изменением подачи питательной воды, а измерение уровня произ¬
водилось поплавковым дифференциальным манометром с ртутным за¬
полнением. Объекты первой группы характеризуются различной ско¬
ростью изменения регулируемой величины, которую называют
скоростью разгона и обозначают е. Скорость разгона численно равна
отношению скорости изменения регулируемой величины в наиболее
крутой ее части к величине возмущающего воздействия.
Общей особенностью объектов в то р о й группы является стрем¬
ление их к установивше¬
муся равновесному со¬
стоянию после возмуще¬
ния (рис. 5-31). Свойство
объекта восстанавливать
за счет отклонения регу¬
лируемой величины нару¬
* Возмущение осущест-
в.зено во всех случаях в мо¬
мент времени /=0.
1!6
Рис. 5-29. Примеры кривых разгона нейтральных
объектов.
-5-
' ^180
||77^
11/5/7
6
_L
I t
0 20 90 BO 80 WO WO 190 се*
шенное равновесие называется
свойством самовыравнивания. Это
новое равновесное состояние, ха¬
рактеризуемое конечным значени¬
ем регулируемой величины, будет
тем меньше отличаться от дервона-
чальното, чем большим самовырав¬
ниванием (чем меньшим коэффици¬
ентом усиления) обладает данный
объект (при одинаковой величине
возмущения). Статические свойства
этих объектов характеризуются ста¬
тическим коэффициентом усиления
(передачи)
V *
и _ •'I'BHX.yCT
К — - ,
где Хвхо —величина возмущения;
/Свых.уст — новое значение регули¬
руемой величины после окончания
переходного процесса.
Рассмотрение кривых разгона
этих объектов показывает, что они
также имеют различный характер изменения регулируемой величины
после возмущения (рис. 5-31). Общим у кривых рис. 5-31,а и б являет¬
ся то, что регулируемая величина начинает изменяться в тот же момент
Рис. 5-30. Кривая разгона уровня воды
в барабане котельного агрегата.
Рис. 5-31. Примеры кривых разгона устойчивых объектов.
времени, в какой произведено возмущение (то = 0). Однако в первом
случае кривая имеет максимальную скорость в первый же момент
(4 = 0) и далее эта скорость непрерывно уменьшается. Во втором слу¬
чае регулируемая величина изменя¬
ется с нарастающей скоростью, до¬
стигающей наибольшего значения
в момент ti, и далее продолжает из¬
меняться с непрерывно убывающей
скоростью. Кривые, изображенные
на рис. 5-31,6 и г, отличаются от
кривых рис. 5-31,а и б тем, что из¬
менение регулируемой величины на¬
чинается через некоторое время за¬
паздывания То после возмущения.
Кривые рис. 5-31,(3 характеризуют
различные коэффициенты усиления (коэффициенты самовыравнива¬
ния). Примером объекта, обладающего самовыравниванием и запазды¬
ванием, может служить пароохладитель котла высокого давления, кри¬
0 во 120 ш 290 ж 360 920 980 сем
Ркс. 5-32. Кривая изменения температу¬
ры пара за котлом.
* Величину, обратную статическому коэффициенту передачи, называют коэффи¬
циентом самовыравнивания р=1/*.
вая изменения температуры пара которого представлена на рис. 5-32.
Возмущение производилось уменьщением подачи охлаждающей воды
в 'Пароохладитель.
В общем виде динамические свойства многих теплоэнергетических
объектов можно приближенно описать следующими передаточными
функциями
д) для устойчивого объекта
k=n
Т,,Р+1 ’
б) для нейтрального объекта
k~n
п
Р л ш. Ту,р+\'
k=\
здесь Tk и Kh — постоянные параметры объекта; to — суммз'рное время
запаздывания; п-—показатель степени дифференциального уравнения-
объекта.
5-7. ПРИНЦИПЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ
(ЭЛЕМЕНТОВ) АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ^
В ряде случаев при исследовании систем автоматического регули¬
рования целесообразно осуществить моделирование либо системы в це¬
лом, либо ее отдельных элементов. Так, например, реальная система
регулирования (рис. 5-33,а), состоящая из объекта и регулятора, мо¬
жет быть заменена замкнутой системой, состоящей из модели объекта
и модели регулятора (рис. 5-33,6). Иногда целесообразно бывает за¬
менить моделью только объект регулирования, подключив к нему ре¬
альный регулятор (рис. 5-33,е). Такая система по своим качествам бо¬
лее полно отражает реальную систему, так как здесь регулятор не за¬
меняется моделью.
Сущность моделирования заключается в замене системы (или не¬
которых ее частей) моделью, в той или иной мере воспроизводящей
а) Ю
Рис. 5-33. Моделирование систем регулирования.
в)
свойства исходной системы. Соответствующим подбором параме¬
тров модели можно достичь вполне достаточного для практических
целей приближения ее статических и динамических характери¬
стик к характеристикам реальных элементов системы. При этом
в системе, содержащей .модель, возникают процессы, аналогичные тем,.
’ Дудников Е. Г. Основы автоматического регулирования тепловых процессов..
М., Госэнергоиздат, 1956.
* Знак П означает произведение.
2 Написан В. В. Волгиным.
118
U2(P)
Рис, 5-34. Принципиальная схема опера¬
ционного усилителя.
^i(P)* С/г(р) — входное и выходное напряже¬
ния операционного усилителя; t/s(p) — входное
напряжение собственно усилителя; Ziip),
Z2ip) — входное сопротивление и сопротивле¬
ние обратной связи операционного усилителя;
2з(р) — входное сопротивление собственно уси¬
лителя.
которые имеют место в реальной системе. Эти процессы можно наблю¬
дать, регистрировать, анализировать. Возникает возможность настраи¬
вать динамические системы (в частности, системы автоматического ре¬
гулирования) в лабораторных условиях, уменьшая тем самым объем
экспериментальных работ на действующем обслрудовании. Кроме того,
моделирование применяется как эф¬
фективный метод анализа и синтеза
динамических систем, аналитиче¬
ское описание которых недостаточ
но разработано или имеет слишком
сложный характер.
Различают два метода модели¬
рования: физический и математиче¬
ский. Метод физического моделиро¬
вания основан на изучении моделей
одной физической природы с ориги¬
налом. Модель здесь воспроизводит
весь комплекс явлений, характери¬
зующих исследуемый процесс, « по¬
зволяет уточнить и облегчить ма¬
тематическое описание отдельных
явлений. Свойства системы регулирования воспроизводятся более пол¬
но, чем при математическом моделировании, опирающемся на идеали¬
зированное математическое описание объекта. Наряду с этим физиче¬
ское моделирование обладает и существенными недостатками: модели
сложных объектов (например, парогенераторов) очень дороги, измене¬
ние параметров моделируемого объекта требует переделки или замены
модели; при исследовании каждого нового объекта надо создавать но¬
вую модель.
Метод математического моделирования основан на идентичности
дифференциальных уравнений, описывающих явления в оригинале и
модели. В отличие от физическо¬
го этот метод воспроизводит ис¬
следуемые процессы лишь в рам¬
ках заданных уравнений. Однако
этот недостаток математического
моделирования с избытком оку¬
нается его достоинствами. Мате¬
матическое моделирование позво¬
ляет осуществить с помощью
одного устройства решение цело¬
го класса задач, позволяет быст¬
ро и легко переходить от реше¬
ния одной задачи к другой, вво¬
дить переменные параметры и
различные начальные условия,
просто формировать возмущаю¬
щие и управляющие воздействия,
моделировать системы автоматического регулирования по звеньям, изме¬
нять отдельные параметры исследуемой системы для анализа влияния
этих изменений на качество ее работы.
В связи с появлением современных средств математического моде¬
лирования— электронных аналоговых вычислительных машин — мате¬
матическое моделирование стало основным методом моделирования
динамики и мощным средством решения инженерных и научных задач
автоматического регулирования.
Основным элементом электронной аналоговой вычислительной ма¬
шины является операционный (решающий) усилитель, представляющий
119
0-с
Vi(p)
>
а)
Cl
2М1-Ч
Ul(p)
>
в)
8l
—0 0 1 1-
Uz(p) Ui(p)
Cz
>
7-11 ip)
if)
.0—1 h
Ziz(p)
0 0-( 1- -
Uz(p) Ciz(P)
>
Zi„(p)\
0-n=-H
Uin(p)
Uz(p)
Uz(p)
Г=ис. 5-35. Принципиальная схема опера¬
ционного усилителя в режимах.
<1 — масштабного множителя; б — интегратора;
в — дифференциатора; г — сумматора-преобразова¬
теля.
собой усилитель постоянного тока, охваченный глубокой отрицательной
обратной связью по напряжению. Принципиальная схема его приведе¬
на на рис. 5-34, а передаточная функция имеет вид:
12 — Z^{p) 1
и, {р) ZAP) , , 1 . . Z, (р) , Z, (р)
1 +
к.
' + Z, (р) + Z. (р)
(Ау—^коэффициент усиления собственно усилителя).
При достаточно большом Ау>1, что, как правило, выполняется
(например, в аналоговой вычислительной машине МН-7 Ау=40-103),
вторым членом суммы в знаменателе этого выражения можно пренеб¬
речь. Тогда
К (п\—
ZAP)'
т. е. передаточная функция операционного усилителя определяется
только сопротивлениями входной цепи и цепи обратной связи и не за¬
висит от изменения (в определенных пределах) величины Ау.
Если входное сопротивление и соцротивление обратной связи ак¬
тивные: Zi(p)=Ri, Z2{p)=R2 (рис. 5-35,й), то
^o.y(p) = -|f=- А
и операционный усилитель выполняет операцию умножения на посто¬
янное число А с одновременной переменой знака (масштабный множи¬
тель). В частном случае при R^ = R2=R Ко.у{р)= — \ и операционный
усилитель выполняет только операцию перемены знака (инвертор).
Если входное сопротивление активное, а в обратной связи включена
емкость: Zi{p) =7?i, Za(p) = (рис. 5-35,6), то
И операционный усилитель выполняет операцию интегрирования с одно¬
временной переменой знака (интегратор).
Если в качестве входного сопротивления включена емкость, а со¬
противление обратной связи активное: Zi(p) = -^, Z2{p)=Rz (рис.
5-35,в), то Ko.yip)——RzCip ——Тр = —\kp и операционный усилитель
выполняет операцию дифференцирования с одновременной переменой
знака.
Если на вход операционного усилителя подается одновременно п
напряжений (рис. 5-35,а), то напряжение на выходе будет равно:
иЛР)=-
В частности, если все входные сопротивления и сопротивление об¬
ратной связи активные, то операционный усилитель выполняет роль
сумматора с умножением каждого А-го слагаемого на постоянную ве¬
личину —Если ... =Rin=R2, то выполняется обычное
алгебраическое суммирование. Если все входные сопротивления актив¬
ные, а в обратной связи включена емкость, то операционный усилитель,
выполняет роль интегро-сумматора. В этом случае
6, (р) I (р) I
С2{Р)=~
. 120
Р\\СгР ' RiiC2P '
Для установки любых требуемых по условиям задачи коэффициен¬
тов в электронных аналоговых вычислительных -машинах предусматри¬
ваются делители напряжения, включаемые последовательно с операци¬
онным усилителем. С учетом делителя напряжения передаточная функ¬
ция операционного усилителя будет иметь вид:
где а — доля напряжения,-снимаемая с делителя на операционный уси¬
литель. Соответственно изменятся и другие формулы.
Конструктив|Ные принципы реализации входных устройств (потен¬
циометров и входных сопротивлений) в разных аналоговых вычисли¬
тельных машинах различны. Поэтому при составлении схем моделиро¬
вания удобнее пользоваться не изображениями рис. 5-34 и 5-35, а бо-
Рис. 5-36. Схемы моделирования пропорционального (а), ингегрирующего (б) и аперио¬
дического (в) звеньев. +ак интеграла обозначает операционный усилитель, работаю¬
щий в режиме интегратора (интегро-сумматора). Операционный усилитель, работающий
-в режиме масштабного множителя (инвертора, сумматора) особым знаком не отме¬
чается.
лее обобщенными и упрощенными изображениями, которые использу¬
ются ниже.
Рассмотрим схемы моделирования типовых динамических звеньев
с дробно-рациональными передаточными функциями.
Пропорциональное звено. Передаточная функция звена
К(р) =ife.
Схема моделирования приведена на рис. 5-36,а *.
Интегрирующее звено. Передаточная функция звена
Схема моделирования приведена на рис. 5-36,6.
Апериодическое звено. Передаточная функция звена
Схема моделирования приведена на рис. 5-36,в. Действительно, как
видно на рисунке:
^/вых(0 = -
UBUx(t)dt
или
Следовательно,
UoxiP)
* Строго говоря, схема, приведенная на рис. 5-36,а, имеет передаточную функцию
K(p)=—k. Перемена знака здесь и в последующих схемах учитывается в знаке выход-
«ого напряжения бвых.
121
Реальное дифференцирующее звено. Передаточная функция звенаг
кТр
Но
кТр kTpк —k ^
Тр+1
Тр+1
Тр+1 ’
Г. е. передаточная функция реального дифференцирующего звена мо¬
жет быть представлена в виде разности передаточных функций двух
Рис. 5-37. Схемы моделирования реального дифференцирующего (а) и интегро-диффе-
ренцирующего (б, в) звеньев.
б-Т,1Т2>и в-Г,/Г2<1.
звеньев: пропорционального и апериодического. Схема моделирования
припедена на рис. 5-37,а.
Интегро-дифференцирующее звено. Передаточная функция звена
Но
Tn_L, кТ,р + к + к^-к^
Тур +1 -^2 “^2
Т^р + 1
Т2Р+\
7, h
-К,
где
Т^Р +1 7г Т^р + \
Таким образом, передаточная функция интегро-дифференцирующе-
го звена может быть представлена в виде суммы передаточных функ¬
ций двух звеньев: пропорционального и апериодического. Схемы моде¬
лирования приведены на рис. 5-37,6, в.
Инерционное звено второго порядка. Передаточная функция звена
К(р)
Т\р^ + Т,р+\
(А)
При TijTz'^2 корни характеристического уравнения звена действи¬
тельные, отрицательные (апериодическое звено второго порядка). Пусть
122
значения их равны —pi и —pz- Тогда передаточную функцию звена
можно зависать в следующем виде:
где
К{р):
т1р‘ + Т,Р+1
k
т1ргР2
Гг (а + Pi) (Р + Pi)
Г 1
V А
Р+1
)(i-)
(ГзА+1)(Г4Р+1)
^ . T__L. г =_L
г|аа ’ ^ А
Таким образом, апериодическое звено второго порядка может рас¬
сматриваться как последова-
тельное соединение двух апе¬
риодических звеньев первого
порядка. Схема моделирования
его приведена на рис. 5-38,а.
При TilTz<2 корни харак- и„
теристического уравнения зве¬
на комплексные (колебатель¬
ное звено), это исключает воз¬
можность применения схемы
моделирования, показанной на
Р’ис. 5-38,а.
На рис. 5-38,6 приведена
схема моделирования простей¬
шей замкнутой системы, кото¬
рая имеет передаточную функ¬
цию инерционного звена вто¬
рого порядка.
Передаточная функция
этой системы
Рис. 5-38. Схемы моделирования инерционного
звена второго порядка.
а-Г,/Гз>2; б-Г,/Гз^2.
1
^4
к (п\ —.
Аз.с(Д)— и tpi —
ТгР Т,р+1
1 ki
‘+ Т,р Т,р+1
1
Г3Г4
*4*5
(Б)
р1 +
*4*,
■р+1
Приравняв передаточные функции (А) я (Б), можно получить фор¬
мулы для расчета постоянных времени Тз, T^ и коэффициентов ky.
Тг Г] . ур
■ Ь > ■'4
При
— k ’ г, * "-5 * •
-<4 схема моделирования рис. 5-38,6 является схемой
*4*5^4
моделирования колебательного звена.
Составление схем моделирования динамических систем при извест¬
ных правилах моделирования типовых динамических звеньев не пред-
123
Рис. 5-39. Структурная схема (а) и схема моде.тирования (б) одноконтурной системм
автоматического регулирования.
ЗХС
К
и Е Ш Ж
а)
ГА
©XI Z'
' ПТТТТТТТтТТТТТТТТ
б)
г
Рис. 5-40. Гидравлические модели некоторых устойчивых объектов без транспортного
запаздывания (а) и с транспортным запаздыванием (б).
124
ставляет затруднений. Для этого по передаточным функциям или диф¬
ференциальным уравнениям отдельных элементов системы составляется
ее структурная схема, разделенная на типовые динамические звенья.
Далее в соответствии со связями и количественными соотношениями
структурной схемы составляется схема моделирования.
На рис. 5-39 в качестве примера приведены структурная схема (а)
и схема моделирования (б) одноконтурной системы автоматического
регулирования.
Иногда моделирование осуществляют с помощью гидравлических
моделей. В большинстве случаев они используются для моделирования
Рис. 5-41. Кривые разгона (а) и амплитудно-фазовые характеристики (б) моделей
устойчивых объектов (п — число емкостей).
%
ттттттттттт
У/ ш ш ж 0>
Рис. 5-42. Гидравлические модели некоторых нейтральных объектов без транспортного
запаздывания (а) и с транспортным запаздыванием (б).
125
низкочастотных промышленных объектов. В качестве примера на рис.
5-40 приведены схемы гидравлических моделей устойчивых объектов ‘
(одно- и четырехъемкостные) без запаздывания (а) и с транспортным
запаздыванием (б), осуществляемых с помощью ковшового транспорте-
Рис. 5-43. Кривые разгона (а) и амплитудно-фазовые характеристики (6) моделей
нейтральных объектов (номера кривых соответствуют числу емкостей).
ра; на рис. 5-41,а даны их кривые разгона, а на рис. 5-41,6 —амплитуд¬
но-фазовые характеристики.
Аналогично могут моделироваться нейтральные объекты (рис.
5-42).
На рис. 5-43 приведены кривые разгона (а) и амплитудно-фазовые
характеристики (6) этих моделей.
ГЛАВА ШЕСТАЯ
ЗАКОНЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ И СПОСОБЫ ИХ РЕАЛИЗАЦИИ
6-1. ЛИНЕЙНЫЕ ЗАКОНЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Как указывалось выше, задача автоматического регулирования со¬
стоит в поддержании требуемого значения регулируемой величины пу¬
тем воздействия на объект через его регулирующий орган. При откло¬
нении регулируемой величины регулятор воздействует на объект до тех
пор, пока регулируемая величина не вернется к требуемому значению.
Это регулирующее воздействие может происходить по определенной за¬
кономерности (алгоритму), положенной в основу работы регулятора.
Зависимость регулирующего воздействия Хр * регулятора от изме¬
нения отклонения регулируемой величины дгоб объекта называют зако¬
ном регулирования. Обычно каждый регулятор реализует тот или дру¬
' Для недетектирующих звеньев.
* В литературе получили распространение обозначения регулирующего воздей¬
ствия Хр через р, возмущающего воздействия х^х через X и отклонения от требуемого
значения регулируемой величины Хоъ через о. В дальнейшем .для упрощения записи мы
также будем пользоваться этими обозначениями.
126
гой закон регулирования, который определяет его статические и дина¬
мические характеристики.
При создании регулятора стремятся сконструировать его таким
образом, чтобы закон действия регулятора можно было с достаточной
точностью описать определенным линейным дифференциальным урав¬
нением.
Рассмотрим распространенные линейные законы регулирования и
характеристики, положенные в основу работы регуляторов общепро¬
мышленного назначения.
П-регулятор. Перемещение регулирующего органа пропорционально
отклонению регулируемой величины от требуемого значения:
Xp=CiXo6, (6-1)
или скорость регулирования пропорциональна скорости отклонения ре¬
гулируемой величины:
x'p==Cix'o6, (6-2)
здесь Cl—постоянная величина, являющаяся настроечным параметром
регулятора.
Регулятор, подчиняющийся этому закону, называют статическим
с одним параметром настройки или пропорциональным — П^регулято-
ром. Знак минус в правой
(вов,уст)макс'
(*o6.gat>h
Добует) t
Ддб,уст)мии
{)9об)ср
0),%}
части уравнения указыва¬
ет на то, что возрастанию
регулируемой величины
Хоб соответствует регули¬
рующее воздействие, на¬
правленное в сторону
уменьшения Хоб-
Динамические харак¬
теристики регуляторов,
так же как любых эле¬
ментов систем автомати¬
ческого регулирования,
выражаются с помощью
дифференциальных уравнений передаточных функций или амплитудно¬
фазовых характеристик. Для регулятора входной величиной является
выходная величина объекта Хоь и выходной — его регулирующее воз¬
действие Хр.
Уравнение статического регулятора записывают так:
Хр — CiXo6‘ (6-3)
Итак, передаточная функция регулятора, подчиняющегося указан¬
ному закону, будет иметь вид:
О Xpz ''pi
Рис. 6-1. Статическая характеристика П-регулятора.
К{р)-
•^06
(6-4)
т. е. в динамическом отношении П-регулятор подобен безынерционно¬
му (усилительному) звену.
Амплитудно-фазовая характеристика описывается зависимостью
1Г (/«)) = —С, =
.i*
(6-5)
A(co)=Ci; ф(ш)=я. (6-6)
Переходная функция П-регулятора (усилительного звена) равна:
Xp{t)=CiXo6. (6-7)
127
Статическая характеристика П-регулятора приведена на рис. 6-1.
Она представляет собой зависимость регулируемой величины Хоб от
положения регулирующего органа Хр в состоянии равновесия (уравне¬
ние 6-1).
Из рассмотрения этой зависимости ясно, что каждому положению
регулирующего органа (нагрузке) соответствует определенное значе¬
ние регулируемой величины; это дало основание называть регулятор
с такой характеристикой статическим. Статическая ошибка регулятора
оценивается так (рис. 6-1);
(^об.уот)макс (Хой.ует)мин
(Хоб)ор ’
здесь (xo6)cp — среднее значение регулируемой величины; (Хоб.уст)макс,
(л'об.уст)мин —установившиеся значения регулируемой величины при ма¬
ксимальной и минимальной нагруз(ках объекта.
Величина Дл:об.уст= (л;об.уст)2—(-'^об.уст)! называется остаточной не¬
равномерностью, или нераБномерностью регулирования при переходе
объекта с нагрузки Хрг на нагрузку Xpi.
Остаточная неравномерность пропорциональна величине возму¬
щающего воздействия. Если коэффициент Ci в уравнении (6-1) сохра¬
няет постоянное значение на всем диапазоне изменения Хоб, то стати¬
ческая характеристика имеет вид прямой наклонной линии.
Тогда
ДХоб.ост
Хр2 Хр1
или
Лхоб .уст =Axptg а.
Степень неравномерности регулятора, представляющая, таким об¬
разом, отношение изменения регулируемой величины Хоб к изменению
нагрузки объекта (т. е. к перемещению регулирующего органа Хр), мо¬
жет быть на основании уравнения (6-1) записана так:
(6-8)
Отсюда следует, что чем меньше коэффициент Ci, тем больше не¬
равномерность регулирования. Величину коэффициента Ci — настроеч¬
ного параметра регулятора — определяют в результате расчета системы
регулирования (на устойчивость или на оптимум), поэтому и величина
неравномерности регулирования (статическая ошибка) является след¬
ствием -этого расчета F
И-регулятор. Перемещение регулирующего органа пропорционально
интегралу от отклонения регулируемой величины:
t
Xp = — Co^Xo6dt, (6-9)
о
или скорость регулирования цропорциональна отклонению регулируе¬
мой величины:
х'р=—СоХоб- (6-10)
В операторной форме записи закон выглядит так:
рХр = —СоХоб-
Здесь Со — настроечный параметр регулятора.
' Неравномерность регулирования, которую в литературе принято называть сте¬
пенью или коэффициентом неравномерности, часто обозначают буквой б и, как будет по¬
казано ниже, в регуляторах с жесткой обратной связью эта неравномерность выражает¬
ся через коэффициент Ci так: Ci=,l/6.
128
Передаточная функция регулятора
Хр
Хоб Р
Амплитудно-фазовая характеристика имеет вид:
Wii (6-11)
(О) О) (О ^ '
Л(ш)=^: ?(со)=^
^о6.
уст
Этот регулятор ^называют астатическим с одним параметром на-
стройки или интегральным — И-регуля-
тором.
Статическая характеристика регуля¬
тора, подчиняющегося этому закону, изо¬
бражена на рис. 6-2 и 'Представляет иря-
мл'Ю, параллельную оси абсцисс, что о
следует из уравнения (6-10): если ско- Рис. 6-2. Статическая характе-
рость регулирования х'р равна нулю (со- ристика астатического регуля-
стояние равновесия), то равно нулю от-
клонение от требуемого значения регули¬
руемой величины Хоб.
Таким образом, в данном случае остаточная неравномерность ре-
гллнрования отсутствует.
Переходная функция И-регулятора записывается в следующей
форме:
Хр(/)=Со/Хобо. (6-12)
ПИ-регулятор. Перемещение регулирующего органа пропорциональ¬
но сумме отклонения и интеграла от отклонения регулируемой вели¬
чины:
/ 7 ''
Хр = -
Сд( ХобСИ -j- С^Хоб > (6-13)
V о
или скорость регулирования пропорциональна отклонению регулируе¬
мой величины и ее производной:
х'р = — (СоХоб4-Cix'o6) • (6-14)
В операторной форме записи
pxp=: — (Co + Cip)Xo6. (6-15)
Постоянные коэффициенты Со и Ci являются настроечными пара¬
метрами регулятора, с помощью которых можно изменить «удельные»
значения каждого из слагаемых правой части уравнения (6-13).
Передаточная функция имеет вид:
K(p)=-(f + C.y (6-16)
Амплитудно-фазовая характеристика получается, как обычно, за¬
меной оператора р на ш\
r(»)=-++=-(c,-|-i+), (6-17)
В показательной форме
Ц7(гсо) = -|/(^У+С^е^ (6-18)
-1074 129
где
c„ •
По величине угла опережения этот регулятор занимает промежу¬
точное положение между двумя рассмотренными выше регуляторами,
так как
-^<ср(св)<п;
при С. = 0 9(0,)=-^: Л(ш) = С,; (6-19)
при Со = 0 ф((о) =я; А (ш) =Ci.
Регулятор, закон движения которого описывается уравнением
(6-13) или (6-14), .называют астатическим с двумя параметрами на¬
стройки (Со и Cl) или пропорционально-интегральным — ПИ-регулято-
ром. Статическая характеристика—прямая, параллельная оси абсцисс
(см. рис. 6-2), т. е. регулятор не имеет остаточной неравномерности.
Это следует уз уравнения (6-14): если скорость перемещения регули¬
рующего органа х'-р равна нулю (состояние равновесия), то равны нулю
не только скорость изменения регулируемой величины х'об, но и ее от¬
клонение Хоб от требуемого значения.
Этот регулятор можно представить как два параллельно включен¬
ных звена: пропорциональное и интегрирующее.
Уравнение переходной функции имеет вид:
(Ci +Cat) Хобо- (6-20)
П ИД-регулятор. Перемещение регулирующего органа пропорцио¬
нально интегралу, отклонению и скорости изменения регулируемой ве¬
личины:
ЛГр--
t \
Со I Xosdt-{- C,Xo6+ CgX'og j, (6-21)
V о /
скорость регулирования пропорциональна отклонению регулируемой
величины, .ее скорости изменения и ускорению:
х'р = —(CoXo6 + Cix'o6 + С2х"об), (6-22)
или в операторной форме:
рХр = (Co + Ci/7 + C2/7^)Xo6- (6-23)
Регулятор, работающий по такому закону, называют астатическим
с тремя параметрами настройки или пропорционально-интегрально¬
дифференциальным — ПИД-регулятором.
Статическая характеристика изображена на рис. 6-2. Регулятор
обеспечивает нулевую неравномерность регулирования. Это видно из
рассмотрения уравнения (6-22): в состоянии равновесия (х'р = 0) рав¬
ны нулю первая и вторая производные от регулируемой величины
(х'об и х"об), а также само отклонение Хоб от требуемого значения.
Передаточная функция регулятора имеет вид:
А(р)=-(^+С. + С,р). (6-24)
130
Т а fi л II ц а Г) 1
Ja/(p,‘/ рсертройания
н-регрлятор
р=-С,б
р'=-С,б
К(р) = -С,
И-регрлятор
p--Co/g*6<it
у'=-Со6
К(р) =
-- А
ПИ~ регулятор
у=~(Со4*бси->-С,6)
р=-(Со6+С,б')
к(Р)--(т*А)
Амплитудмо- частотная
харантеристина
А(ш)
А(со)=С,
1 А (со)
РИД -регулятор
p=-(Ci,j48dt-C,6H26’l
р=-(Сдв+С,б'+Сгб")
'£к
Р
K(p)=-(f + CjHC2p)
ПД -регулятор
1х=-(С,6+С2б')
уА-(с,а'фС2<$"}
К(р)=~(Ср1-С2р)
А(со)
'а(со=т/сД(соС2-^/
со
^ t
А(ш)
■J- A(w)='/cf+^f
С,
J-
ш
Фаза- частотная
характеристика
у>(о>)
у(со)=я
p(<o)=f
у(ш)
° у (со)= f rarefy f-
yfm)
Гу(<п)=янагф-^
je>(co)
P у(со)=я+агсСуЗЗД
(О '
Амплитудно-(разовая
характеристика
w(iw)=Cje
-Я(со) б
W(i(o)=-C,
iJ(io)
R(co)
iJ(w)
W(ico}=
WdwM^
-Жш"
U(w)
R(co)
-ir(<o)
W(iw)=-C,H^
-Ш
i(^(ardg
0
f
U(co)
(t)
X
0R(o>)
W(c<o)^k^2-^dfe
iJ(co)
m
h-^) _
W(i(oh-C,xi(&-(oC2)
R(co)
0*
'-ir((o)
iJ(ai)
■R(<o)
P(<o)
<0=0'^
/
0
0
(0
*
-iJ((o)
Статичесная
каратсристна
' 6пст=0(0'<^1'<1)
6дд„=0[0'<К'<1)
й,ст-010^Х'<1)
Временная харчитеристика
p(t)=S^
~Г
1.
У'
t
pt)=C,+Cot
t
.pW-^RpUt-O
I—P>yfi(t)=C,eCgtiiput>0
p(t> p(i)-Ho„put-0
At-'B
- p(t)=C,oput>0
—Г— -
S
Амплитудно-фазовая характеристика равна:
Г (/со) = _ с. + г f - шсЛ (6-25)
или в показательной форме
где
т. е.
W(iw) = y С^-)- (шс, — -^У е ' (6-26)
tp (да) = It arctg Со^
toC,
It ^ ^ 3
Данный регулятор имеет угол опережения больший, чем у всех рас¬
смотренных выше регуляторов.
Урав1нение переходной функции записывается так:
Xp(t)=oo 1при /=0; (6-27)
Хр(7) =i(Ci + Co0^o6 !при t>0.
Характеристики регуляторов, подчиняющихся рассмотренным за¬
конам регулирования, приведены в табл. 6-1 *.
При Со=0 уравнение ПИД-регулятора вырождается в уравнение
ПД-регулятора (см. табл. 6-1).
ПД -регулятор. Перемещение регулирующего органа пропорциональ¬
но отклонению и скорости изменения регулируемой величины:
Хр = —^(CiXo6 + C’2X'o6) ,
или скорость регулирования пропорциональна скорости изменения ре¬
гулируемой величины и ускорению:
х'р = — (CiX'o6 + С2Х"об) 1
или в операторной форме:
Хр= (Cl + Сгр) Хоб-
Регулятор, работающий по такому закону, называют статическим
)егулятором с предварением или пропорционально-дифференциальным
1Д-регулятором; имеет два параметра настройки.
Аналитическая характеристика регулятора приведена в табл. 6-1.
Регулятор является статическим.
Передаточная функция имеет вид:
^(P)=^=--(Ci + Qp).
Амплитудно-фазовая характеристика равна:
1Г(/со)= —(Ci + icoCa),
* В табл. 6-1 приняты следующие обозначения в безразмерной форме записи:
р(() — регулирующее воздействие; a(t) — регулируемая величина; k(t) — возмущающее
воздействие (по нагрузке).
132
или в показательной форме
W{m) = Yc\ +{coQV
It + arctg
где
ли = 1/с? + (шс,)»
<оС,
<р (ш) = и + arctg
Угол опережения регулятора изменяется в пределах
я<1ф(сй) <Зл/2.
6-2. ПРИМЕРЫ РЕАЛИЗАЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ЗАКОНОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Рис. 6-3. Пример статического
регулятора уровня прямого
действия.
1. Реализация закона %=—^CiXo6 или р' = —Сщ'.
Примером регулятора, приведенного на рис. 6-3, является линей
ное усилительное звено*, уравне¬
ние движения которого было рас¬
смотрено в гл. 2.
Изменение регулируемой ве¬
личины — уровня воды — вызыва¬
ет пропорциональное по величине
перемещение регулирующего ор<
гана в направлении восстановле¬
ния равновесия системы регули¬
рования. Новое состояние равно¬
весия (а следовательно, и новое
положение регулирующего орга¬
на) может быть достигнуто толь¬
ко при новом значении регули¬
руемой величины. Статическая
характеристика регулятора, вы¬
ражающая зависимость регули¬
руемой величины от положения
регулирующего органа — нагруз¬
ки объекта, приводилась на
рис. 6-1. Регуляторы подобного
типа, как уже отмечалось, назы¬
ваются статическими.
Изменяя соотношения меж¬
ду плечами а и б (рис. 6-3), на¬
пример перемещением точки опо¬
ры рычага, можно изменять коэф¬
фициент усиления Ci регулятора,
т. е. наклон статической характе¬
ристики.
Вторым примером является
регулятор прямого действия, кото-
Рис. 6-4. Пример статического регулято¬
ра давления прямого действия.
рый должен поддерживать постоянное давление в трубопроводе (рис. 6-4),
Регулируемое давление подводится с помощью импульсной трубки /
в верхнюю полость мембранного сервомотора 2 над мембраной 3, за¬
жатой между двумя дисками 4. Усилие от давления уравновешивается
* Далее везде (условно) предполагается, что приводимые примеры регуляторе»
подчиняются «идеальным» законам регулирования, хотя в действительности уравнени»
реальных регуляторов отклоняются от этих законов (см. § 6-3).
133
/л
L "
—
Рис. 6-5. Пример астатического регу¬
лятора уровня с одним параметром
настройки.
пружиной 6, натяжение которой изменяется с помощью гайки 7. При
увеличении потребления протекающей среды регулируемое давление
будет уменьшаться. Пружина растягивается до тех пор, пока разви¬
ваемое ею усилие не сравняется с уменьшившимся усилием со стороны
мембраны. Клапан 5 приоткрывается, и давление восстанавливается, но
не доходит до прежнего значения, так как клапан увеличит проходное
сечение лишь при условии уменьше¬
ния усиления со стороны мембра¬
ны, пропорционального регулируе¬
мому давлению.
2. Реализация закона х'р=
= —СоХоб или |i'=Coa.
Примером интегрального регу¬
лятора может служить линейное ин¬
тегрирующее звено (рис. 6-5).
Действие регулятора происходит
следующим образом. Если отклоне¬
ние ст уровня воды от требуемого
(заданного) значения равно нулю,
то регулирующий орган неподвижен,
т. е. |i'=0. Если же регулируемая
величина (уровень) отклоняется от
нормального, то регулирующий ор¬
ган перемещается так, чтобы устра¬
нить это отклонение. При этом ско¬
рость перемещения р.' тем больше,
чем больше отклонение регулируе¬
мой величины а, и поддерживаемое
значение ст сохраняется одинаковым
при любом ц.
Вторым примером может быть
астатический регулятор давления
(рис. 6-6). Регулируемое давление
по трубке 1 подводится в верхнюю
полость мембранного сервомотора
2, где между жесткими центрами 4
зажата мембрана 3, которая с по¬
мощью штока связана с клапаном 5.
Усилие со стороны мембраны урав¬
новешивается грузами б и 7, подве¬
шенными на рычаге. Рычаг враща¬
ется относительно шарнира 8 и пе¬
ремещает клапан, соединенный с рычагом шарнира 9. Грузы 7 служат
для грубой установки заданного значения. Груз 6 может перемещаться
вдоль рычага, что позволяет произвести более точную подрегулировку
заданного значения.
Регулятор может находиться в равновесии только при одной вели¬
чине регулируемого давления, определяемой количеством грузов 7 и
расстоянием груза 6 от точки 8 (так как равновесие мембраны 3 воз¬
можно только при равенстве усилий со стороны верхней и нижней ка¬
мер). Таким образом, для астатического регулятора сгост = 0.
/ * \
3. Реализация закона = — С„ f Xo^dt -j-
\ о ;
fb'=-(C„T-fCy).
Для осуществления этого закона нужно иметь два измерительных
органа, один из которых измеряет отклонение регулируемой величи-
134
Рис. 6-6. Пример астатического регуля
тора давления.
ИЛИ
ны а, а второй —■ скорость ее изменения о'. Их следует подключить
к регулятору так, как это показано на рис. 6-7,о.
Можно, однако, реализовать необходимый закон и иными спосо¬
бами, например с помощью обратных связей.
Первый вариант. Представим себе регулятор, состоящий из
последовательно соединенных интегрирующего К{р)сш и усилительного
К{р)у звеньев, шунтированных звеном обратной связи /С(/7) о.с— реаль¬
ным дифференцирующим звеном (рис. 6-7,6).
Выше приводилась передаточная функция цепи, содержащей зве¬
но обратной связи. На основании этого передаточную функцию рас¬
сматриваемого регулятора можно записать в следующем виде:
I ‘ —■
К(р)е,.К(р)у -К(Р)о.г
Если коэффициент усиления усилительного звена достаточно боль¬
шой (что обычно имеет место в рационально выполненных конструк¬
циях регуляторов), то
1
К (Пом А (/7) у
:0
—тпкг-
Если в качестве звена обратной связи использовано реальное диф¬
ференцирующее звено с передаточной функцией К{р)о.с= t^p’+I '
то передаточная функция регулятора может быть записана так:
Отсюда получаем уравнение регулятора
рхр^ —
или
•^'р ~ -^06+ -Y • (6-31)
Пропорционально-интегральный регулятор, реализованный указан¬
ным способом, называют регулятором с упругой обратной связью (изо-
дромным).
Полагая Со=-д^ и Ci=l/6, приходим к знакомой форме записи:
x'p^ — (CoXo6 + CiX'o6). (6-32)
Таким образом, можно реализовать закон регулирования, при ко¬
тором скорость регулирования будет пропорциональна отклонению ре¬
гулируемой величины и ее производной, путем изложенной выше ком¬
бинации линейных звеньев. Следует подчеркнуть, что при этом требует¬
ся лишь один измерительный орган, воспринимающий только отклоне¬
ние регулируемой величины.
Второй вариант. Предположим, что регулятор представляет
комбинацию из последовательно соединенных интегрирующего К{р)сн
н усилительного К(р)у звеньев, причем последнее шунтировано обрат¬
ной связью в виде апериодического звена К(р)о.с (рис. 6-7,в).
* Здесь коэффициенты T„ и б — параметры устройства обратной связи, которые
называют соответственно временем интегрирования и коэффициентом обратной связи.
135
Передаточная функция регулятора имеет вид:
К(р)2=К{р)а
\-К\р)уКШ. •
Полагая, как и прежде, что коэффициент усиления регулятора до¬
статочно велик, можно записать:
Если обратная связь выполнена в виде апериодического звена с пе-
редаточной функцией ’К. (/?)(, ^ а сервомотор в виде интегрирую-
щего звена с передаточной функцией К (р)с^=^^, то передаточная
функция регулятора может быть записана следующим образом:
_ ТпР+1
К (/7)о.с
К,
Положим тогда
А2
(6-34)
(6-35)
Уравнение регулятора можно записать в виде
рхр.
или
ЗГи
X р] -^об. (6-36)
а)
б)
в)
Рис. 6-7. Примеры реализации ПИ-зако-
на регулирования.
!36
-X р ^ 5 X об^»
ИЛИ
х'р~ — (СоХоб + Cix'o6) • (6-37)
Так же как и в первом вариан¬
те, такой закон регулирования реа¬
лизуется с помощью одного измери¬
тельного органа, воспринимающего
только отклонение регулируемой ве¬
личины.
Примером регулятора, рабо¬
тающего по указанному закону, мо¬
жет служить гидравлический регу¬
лятор уровня воды (рис. 6-8).
В качестве устройства упругой
обратной связи используется изо¬
дром— гидравлический демпфер 1.
При отклонении уровня а от сво¬
его заданного значения происходит
перемещение конца рычага 3 отно¬
сительно точки б, что вызывает пе¬
ремещение золотника и порщня сер¬
вомотора 2. При движении порщня
сервомотора 2 одновременно пере¬
мещается точка б рычага 3 обрат¬
ной связи, так как масло, запол¬
няющее демпфер, ие успевает пере¬
текать через дроссель 4. По мере
перетекания масла в демпфере (под
действием пружины 5 изодрома)
точка б всегда постепенно возвра¬
щается в исходное состояние, а так
как золотник в положении равнове¬
сия должен перекрыть окна и пре¬
кратить подвод масла в сервомо¬
тор, должна вернуться в исходное
состояние и точка в, что свидетель¬
ствует об отсутствии остаточной не¬
равномерности регулирования.
Время изодрома регулятора мо¬
жет изменяться с помощью дроссе¬
ля устройства обратной связи, а ко¬
эффициент обратной связи измене¬
нием соотношения б—а и а—в ры¬
чага. Структурная схема этого ре¬
гулятора соответствует схеме на
рис. 6-7,6.
Если дроссель полностью за¬
крыт, то цилиндр и поршень (при
условии отсутствия перетока масла
нз одной полости в другую) жестко
связаны между собой (в предполо¬
жении, что масло несжимаемо) и
время изодрома Тг — оо (Со = 0). Та¬
ким образом, регулятор превраща¬
ется в статический, с жесткой об¬
ратной связью, подчиняющийся за¬
кону ц' = —Cior', что равносильно
устранению изодрома (рис. 6-9).
Здесь, в статике, каждому положе¬
нию поршня сервомотора, т. е. точ¬
ке 6 (нагрузка объекта) соответ¬
ствует вполне определенное поло¬
жение измерительного органа — по¬
плавка (точка в). Если же устра¬
нить связь между поршнем сервомо¬
тора и золотником, то регулятор
превратится в астатический с одним
параметром настройки.
Рис. 6-8. Пример астатического регулято¬
ра с двумя параметрами настройки.
Рис. 6-9. Пример статического регулято¬
ра с обратной связью.
4. Реализация закона лгр= — Cg^Xo^dt + С,Хоб+ С^Хдб илир.'= —(С,о+
\ о у
+ C.V + C+').
Этот закон регулирования можно осуществить различными путяма
На рис. 6-10 приведены три варианта регуляторов, воздействие которыж
подчиняется указанной закономерности.
Структурная схема рис. 6-10,а предусматривает наличие у регуля¬
тора трех измерительных органов, первый из которых измеряет откло¬
нение регулируемой величины, второй— скорость ее изменения, тре¬
тий — ускорение.
Согласно второму варианту (рис. 6-10,6) регулятор имеет два из¬
мерительных органа: один для измерения отклонения и второй для «з-
137
мерения скорости изменения регулируемой величины. Закон регули¬
рования реализуется путем подачи на вход ПИ-регулятора вместо от¬
клонения регулируемой величины суммы импульсов (а+Гдо'), где Гд —
коэффициент, определяющий меру воздействия производной регулируе¬
мой величины.
Уравнение регулятора может быть записано следующим образом:
или после преобразования
Соотнощение между коэффициентами дифференциального уравне¬
ния и Со, Cl и Сг имеет следующий вид:
С„ = .
г ^-1 L
С — —
Третий вариант иллюстрирует возможность осуществления закона
регулирования с помощью звеньев с обратной связью (рис. 6-10,е).
Объект
К(р)=
Со
Регулятор
а)
йй— Объект
К(Р)
ТТ
Регулятор
Объект
б(Р)см
Серво¬
мотор
б(р)у
[!
Усили-
тль
J Оф^пная
\^^егулятор К(р)
в)
Рис. 6-10. Пример ре.элизации ПИД-закона регулирования.
Обратная связь, охватывающая усилитель (рис. 6-10,е), представ¬
ляет собой два последовательно включенных апериодических звена и
имеет иередаточную функцию
При этом, как и в предыдущем случае,
К..
Передаточная функция регулятора получается аналогично изло¬
женному выще и равна:
К{Р)=К (Д)е
К(р),
7СМ 1-К(р)уК(р)о.г ■
Полагая, как и выше, что К{р)у'/>\, получаем окончательно:
(6-39)
К(р)-
1
ЬТаР
■рУ
(6-40)
438
Тогда уравнение регулятора примет вид:
а:'-,
V- y' I on x" \
STu g об "Г g oG I
ПЛП
где Co =
[i' ~ — (CoO + Ci0^ + C20"),
C. = l/8; C, = Tp
(6-41)
(6-41 a)
/X
‘ 0Ц' O'
Таким образом, закон регулирования, при котором скорость регу¬
лирования пропорциональна отклонению регулируемой величины, ее
первой и второй производным, может быть реализован регулятором
с одним измерительным органом, воспринимающим только отклонение
регулируемой величины.
Итак, рассмотрев некоторые способы реализации линейных законов
регулирования, можно сделать следующие выводы:
1. Законы (алгоритмы) регулирования, положенные в основу ра¬
боты распространенных автомати¬
ческих регуляторов технологических
процессов, практически могут быть
реализованы с помощью элементар¬
ных линейных звеньев, соединенных
соответствующим образом.
2. Если в разом'кнутой цепи по¬
следовательно соединенных звеньев
имеется звено (звенья) с большим
коэффициентом усиления и оно
(они) охвачено звеном обратной связи, то передаточная функция та¬
кой цени не зависит от передаточной функции звена (звеньев) с боль¬
шим коэффициентом усиления. Приближенное значение передаточной
функции цепи определяется как частное от деления произведения пере¬
даточных функций всех последовательно включенных звеньв (за ис¬
ключением звеньев, охваченных звеном обратной связи) на передаточ¬
ную функцию звена обратной связи со знаком минус.
Например, для случая, представленного на рис. 6-11, и при К{р)\ =
= k передаточная функция цепи может быть записана так:
Рис. 6-1). К пояснению влияния зве¬
на обратной связи.
К (р\ — т:(р), к (р)
кК (Р)2
ИЛИ
к (р), К {ph К {р)о.й 1 - кК {ph К (р)о.с
к
К{р)
■-K(phK(p)o.c
(6-42)
Если коэффициент усиления k первого звена значительно больше
единицы (или в пределе стремится к бесконечности), то это выражение
примет вид:
К{р).
1
К (р)о.о
(6-43)
Таким образом, при большом коэффициенте усиления звена в пря-
.мой цепи воздействий динамические свойства системы по существу
определяются только передаточной функцией звена обратной связи и
не зависят от динамических свойств прямой цепи воздействий.
139
6-3. ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ПРОМЫШЛЕННЫХ РЕГУЛЯТОРОВ
При создании промышленных регуляторов, подчиняющихся линей¬
ным законам регулирования, можно выбрать различные структурные
схемы. Построив регулятор по одной из них, при расчете систем регу¬
лирования часто предполагают, что движение реального регулятора
с достаточной для практики точностью подчиняется «идеальному» зако¬
лу. В действительности создание «идеальных» регуляторов практически
иевозможно.
Если систему регулирования с реальным регулятором рассчитывать
исходя из предположения, что он является идеальным, то в некоторых
случаях это может привести не только к значительному ухудшению ка¬
чества регулирования, но и к неустойчивости всей системы. Поэтому
очень важно найти более точные уравнения регуляторов и определить.
Рис. 6-12. Структурная схема П-регулятора.
лри каких условиях регуляторы, построенные по различным структур¬
ным схемам, могут быть рассчитаны по идеальным уравнениям, а при
каких условиях такой расчет неверен. Сравнивая между собой уравне¬
ния, полученные для различных структурных схем, величины и харак¬
тер отклонений этих уравнений от идеальных, выбирают наиболее ра-
диональные структурные схемы построения регуляторов F
П-регулятор. Передаточная функция П-регулятора была приведена
выше:
^(А)п = -С. = —
(6-44)
Регуляторы пропорционального действия выполняются обычно по
структурной схеме, изображенной на рис. 6-12. Схема представляет со¬
бой следящую систему, в которой иополнительный механизм (®—'j
ЯпР/
с предвключенным усилителем {ki) охватывается обратной связью
в виде усилительного 31вена (бр).
Здесь приняты следующие обозначения:
— коэффициент усиления предвключенного усилителя;
бр — коэффициент усиления звена обратной связи;
7’им — постоянная времени интегрирующего звена;
kz — коэффициент усиления измерительного органа регулятора.
•Штейнеберг Ш. Е. и др.— «Труды ЦНИИКА», 1961, вып. 3.
140
Передаточная функция регулятора в соответствии со структурной
схемой имеет вид:
вводя • обозначения
К{р).
ТшиР
‘ ТааР “Р
8 = -^ и Т —
kt ^ 48р ’
(6-45)
(6-46)
получаем следующее выражение для передаточной функции:
1
1
(6-47)
Таким образом, реальный регулятор можно представить как после¬
довательное соединение идеального П-регулятора и некоторого балласт¬
ного инерционного звена, а передаточную функцию регулятора записать
в виде:
К(р)=К{р)пК{р)б,
где К {р)б = T,ip+i передаточная
Отличие передаточной функции
(6-44) заключается в появлении вы¬
ражения для балластного инерцион¬
ного звена, что объясняется ограни¬
чением коэффициента усиления ki.
При ki
Аб(р)—>1.
Частотные и переходные харак¬
теристики регулятора при различ¬
ных значениях Тб приведены на
рис. 6-13.
Идеальный П-ретулятор имеет
один параметр настройки. В струк¬
турной схеме (рис. 6-12) регулятор
[см. (6-45)] можно настраивать ли¬
бо изменением коэффициента бр,
либо изменением коэффициента ki,
либо одновременным изменением
ki и бр.
Для того чтобы погрешность,
вносимая балластным звеном в ди¬
намические характеристики регуля¬
тора, была минимальной, следует
стремиться поддерживать Дш [см.
(6-46)1 на минимальном значении.
ПИ-регулятор. Передаточная
функция идеального ПИ-регулятора
имеет вид:
(<«п„=-:-4(ч-4г)=
=-(О-*»)
функция балластного звена.
(6-47) от передаточной функции
А ((О).
1 2 3 9 5 6 7 8 Э рад/сеп
0 1 2 3 9 5 6 7 8 Э рад/сек
а)
Рис. 6-13. Динамические характери¬
стики реального П-регулятора.
а — частотнне; 6 — переходные.
141
где 8= 1/С, и Ги = т4 параметры настройки регулятора, соответствен-
оС о
но степень связи и время изодоома.
Существует несколько структурных схем построения ПИ-регулято-
ров. Рассмотрим две схемы.
Схема 1 (рис. 6-14). Схема состоит из усилителя с коэффициен¬
том усиления k, охваченного обратной связью. Обратная связь — апе¬
риодическое звено первого порядка с коэффициентом усиления бр и по¬
стоянной времени Тр На выходе усилителя включено интегрирующее
звено — сервомотор с постоянной времени 7„„. Передаточная функция
этого регулятора (рис. 6-14) имеет вид:
R{p) = rV- (6-49)
' Г,р+\
Предположим, что в уравнении (6-49)
8 = (6-50)
» И
где Ti = Tn. Тогда это уравнение можно записать в следующем виде;
К {р)=^ — г г- • (6-49а)
7им/' (7н/' + 1) + k,Sp7 n
Передаточную функцию (6-50) реального регулятора можно пред¬
ставить в виде последовательного соединения передаточной функции
J^(p)nvi идеального регулятора и передаточной функции К{р)б неко¬
торого балластного звена
А{//) = А(/7)пиА(/7)б. (6-51)
Отсюда передаточная функция балластного звена
К1п\ — ■^(7) Ai (7иР+ 1) (-^ТпР)
К (Р)пя [7им/' [ТпР + 1) + А,ЗГд] (Tj,p+ 1) -
_ А,Г„8
7им (ТпР+\) + кМп
Введем обозначение:
Тогда передаточная функция К{р)б балластного звена примет вид;
1
К{р)б =
(7и/>+1)^
ИЛИ
А (р)б
(S+1)
_ 'yS + 1
(6-5
Как видно из (6-53), балластное звено представляет собой аперио¬
дическое звено с постоянной времени
т —
— S+1
и коэффициентом усиления k =
142
Амплитудно-фазовые
характеристики регулято¬
ра, собранного по струк¬
турной схеме 1 (рис.
6-14), как функции отно¬
сительной частоты Q =
=wTa (о),— абсолютное
значение угловой частоты
в рад/сек) приведены на
pHc.v6-15,0. Характеристи¬
ки построены по переда¬
точной функции регуля-
Рис. 6-14. Структурная схема I ПИ-регулятора.
тора (см. уравнение 6-49) при различных значениях S.
Наличие балластного звена вызывает отклонение частотных харак¬
теристик реального регулятора от соответствующих характеристик
идеального регулятора. Если известна постоянная времени балластного
звена, можно определить частоты, на которых расхождение характери¬
стик становится существенным.
Переходная функция регулятора при единичном скачке на входе
3 преобразованном по Лапласу виде может быть записана как
= К (рУ,
с учетом выражений (6-48) и (6-53)
1 I 1
Хр) = -
(S+1) (i++
-*^вых.об-
Воспользовавшись обратным преобразованием Лапласа, найдем:
_ t (s-H)T
е
1
8(5 + 1)
1
t
1
ST„
.S + 1
5+
X
вых.об-
(6-54)
Графики Хвых(11Тш) в безразмерном времени 1/Та при 6 = 1 и различ¬
ных S приведены на рис. 6-15,6. (
На графиках видно, что увеличение параметра S вызывает увеличе¬
ние отклонения динамических характеристик регулятора, собранного
Рис. 6-1.5. Динамические характеристики ПИ-регулятора.
структурные схе-
а — амплитудно-фазовые характеристики; б — переходные характеристики;
мы / и 2; структурная схема 3.
143
в соответствии со структурной схемой 1 (см. рис. 6-14) от характери¬
стик идеального ПИ-регулятора (5 = 0).
Идеальный ПИ-регулятор имеет два параметра настройки: б — сте¬
пень связи, которая регулируется путем изменения коэффициента бр, и
Ги — время интегрирования, которое регулируется путем изменения Ти
Из формул (6-50), (6-52) и (6-53) следует, что при изменении Г„ меня¬
ется б, т. е. имеет место односторонняя связь параметров настройки. Сте¬
пень связи регулятора в этой схеме зависит также от времени сервомото¬
ра Тиш.
в реальном регуляторе наличие балластного звена приводит к по¬
явлению зависимости степени связи от коэффициента 5. Согласно урав¬
нению (6-53) степень связи реального регулятора
бр.р = ббб = 6(5 + 1),
где б — степень обратной связи идеального регулятора;
бб — условная степень обратной связи балластного звена*.
Так как обычно стремятся к тому, чтобы 5<1, то бр.рг»б и практиче¬
ски не зависит от 5.
Степень связи регулятора 6 [см. (6-50)] зависит от постоянной вре¬
мени исполнительного механизма.
Схема 2 (рис. 6-16). В этой схеме сервомотор и предвключенный
усилитель с коэффициентом усиления ki охватываются обратной связью.
В качестве обратной связи используется реальное дифференцирующее
звено с коэффициентом усиления бр и постоянной времени Тр
Передаточная функция регулятора имеет вид:
А,
^ к, ЬрТ.р ■ ^6-55)
ТжшР TlP +)
После преобразований, аналогичных предыдущим, получим;
^ (Г)б = -
(5+1)
STu
5 +
(6-56)
где 8 = 0,; 5 = Г. = 7-..
Передаточная функция К(р)б балластного звена отличается от пере¬
даточной функции балластного звена ранее рассмотренного регулятора
(см. уравнение 6-53) иным значением степени связи б (см. уравнение
6-50).
Амплитудно-фазовая и переходные характеристики этого регулято¬
ра совпадают с соответствующими характеристиками регулятора, со¬
бранного по схеме 1. Различие состоит в том, что параметры на¬
стройки идеального регулятора Ги и б соответственно определяются не
связанными между собой коэффициентами Ti и бр. В данном случае
* Так как коэффициент усиления балластного звена к = ^ ■, то условная степень
обратной связи балластного звена, равная обратной величине коэффициента усиления,
= 5 + 1.
144
также имеет место зависимость степени связи реального регулятора
6р.р= (5 + 1)бр от времени сервомотора Гим^"S = -,
Однако обычно
в схеме 2 5<С1 и степень связи регулятора практически не зависит от
параметра S, т. е. от Гим
(в отличие от схемы 1).
Отметим некоторые
особенности структурной
схемы 2 по сравнению
со схемой 1.
Обратная связь регу¬
лятора представляет со¬
бой реальное дифферен¬
цирующее звено. В элек¬
трических регуляторах та¬
кое звено обычно выпол¬
няется в виде 7?Сжонту-
ра; наличие сопротивле¬
ния утечки конденсаторов
приводит к появлению за¬
метной остаточной нерав¬
номерности. При больших
значениях времени инте¬
грирования Ги величина
сопротивления R стано¬
вится соизмеримой с со¬
противлением изоляции
конденсатора, что может
Рис. 6-16. Структурная схема 2 ПИ-регулятора.
Рис. 6-17. Структурная схема ПИД-регулятора.
привести к появлению остаточной неравномерности, значительно пре¬
вышающей допустимую. Необходимость ограничения остаточной не¬
равномерности приводит к ограничению времени интегрирования регу¬
лятора.
ПИД-регулятор. Передаточная функция идеального ПИД-регулято¬
ра имеет вид:
R (п) — (Т п \ \ \ * ^ + Т^р + 1
(6-57)
где 8 = -
Г —
Г„ = 8ш
(см. уравнение 6-41).
Структурная схема ПИД-регулятора отличается от схемы 1 ПИ-
регулятора только построением обратной связи. Здесь вместо одного
апериодического звена включаются последовательно два с постоянными
времени h и Tz (рис. 6-17).
Передаточная функция регулятора, выполненного в соответствии
с этой структурной схемой, имеет вид:
1-Ь
(Г,А+1)(ГзА-|-1)
ТцыР
(6-58)
Представим, как и ранее, передаточную функцию в виде произве¬
дения передаточных функций идеального ПИД-регулятора и балластно¬
го звена. Известными выше приемами получим:
^ (Р)б =
грктД
Т ST„ \ -1
(S-bl)
(s+ij
^ + U-H1 / ч
(6-59)
10—1074
145
Здесь балластное звено представляет собой звено второго порядка.
Условием неколебательного характера звена является отсутствие ком¬
плексных корней в знаменателе выражения для К{р). Математически
это условие может быть представлено в виде неравенства
Ч (S + 1) •
При выводе уравнения (6-59) приняты следующие обозначения:
Т1Т2 . гр , J. . J, 6р7им .
Г1+Г2 — Ч’Г-'г—'и, ° —
—-К; S— ‘
ИМ
(Ту + Т,Г ’ kySp kySTa'
(6-60)
Определим максимальное отношение То/Т^, которое можно устано¬
вить в данном регуляторе.
Из уравнений (6-60) найдем:
(6-61)
Та (Ту + Т^Г T\+2TJ2 + Tl ^ ’
Обозначим: 7'i/7’2=m.
Найдем значение т, при котором То/Т^ имеет максимальное значе¬
ние, из условия dKldrn=0:
dK тР + 2от + 1 — т {2т + 2) — /я+1
5^— (яг2 + 2от+ 1)2 (m2 + 2пг + 1)2 —
откуда т = ТЧТг=\.
Подставляя полученное значение m = TilTz в формулу (6-60), полу¬
чаем (TolTa) макс — 0,25.
Однако в реальных устройствах обратных связей, собранных на RC-
элементах, вследствие недетектирующего характера отдельных RC-звеяъ-
ев значение максимального отношения Го/Ги обычно не превышает 0,15—
0,18. На большинстве промышленных объектов регулирования увеличе¬
ние этого отношения позволило бы получить более высокое качество ре¬
гулирования.
Амплитудно-фазовая характеристика регулятора приведена на
рис. 6-18,н.
Переходная функция регулятора может быть записана в виде
1 г 1 ^ е-</2Т„ .
Хвых (О = § (S+ 1) [S+ 1 £Та
где
-^вых.об»
V
S+ 1
4К—i—
2Г„
<f = arcsin (6-62)
Т. е. переходный процесс содержит затухающие колебания, обусловлен¬
ные наличием колебательного балластного звена. Графики переходного
процесса при различных 5 приведены на рис. 6-18,6.
Таким образом, данный регулятор «отрабатывает» ПИД-закон ре¬
гулирования с колебаниями, частота которых тем больше, чем меньше
значение параметра S [см. уравнение (6-62)|.
В этих условиях настройка регулятора при небольших значениях S
(0,005—0,02) может привести в некоторых случаях к потере устойчивости
системы регулирования.
146
с другой стороны, чрезмерное увеличение значения S (более 0,1)
настолько уменьшает фазовый угол опережения фазо-частотной харак¬
теристики регулятора, что фактически полностью уничтожает эффект от
введения производной. Поэтому для обеспечения относительно высокого
качества регулирования необходимо стремиться поддерживать значение
параметра S в пределах 0,025—0,06.
Структурная схема ПИД-регулятора в значительной степени подоб¬
на структурной схеме 1 ПИ-регулятора и, следовательно, обладает всеми
достоинствами и недостатками последней. В схеме рис. 6-17 имеют ме-
Рис. 6-18. Динамические характеристики ПИД-регулятора.
а — амплитудно-фазовые; б — переходные.
сто взаимозависимость параметров настройки регулятора (см. уравнение
6-60); зависимость степени связи регулятора от скорости сервомотора,
а отсюда большое влияние нагрузки на его выходном валу.
Требование поддерживать коэффициент S в заданных узких преде¬
лах для обеспечения относительно широкого диапазона изменения пара¬
метров настройки приводит к необходимости менять ki (см. уравнение
6-60), т. е. ввести дополнительный, четвертый параметр настройки, зна¬
чение которого определяется значением основных параметров настройки.
Изменения значения S можно достигнуть также и изменением вели¬
чины Гим, однако при этом изменяется степень связи регулятора и необ¬
ходима дополнительная подстройка степени связи с помощью бр.
Рассмотрение структурных схем и особенностей динамических ха¬
рактеристик некоторых промышленных регуляторов показывает, что
уравнения реальных регуляторов, как правило, отличаются от идеальных
законов регулирования. Поэтому при расчете систем регулирования и
10* ' 147
гоотш
Рис. 6-19. Область нормальных
режимов электронного регулятора
ЭР-1-54.
настройке регулятора на объекте необходимо учитывать ограничения, ко¬
торые определяются степенью отклонения характеристик реальной кон¬
струкции регулятора от идеального закона регулирования.
Эти ограничения определяют диапазон изменения настроечных па¬
раметров регулятора, в пределах которых последний практически обеспе¬
чивает реализацию идеального закона регулирования.
Точность соответствия уравнения реального регулятора закону регу¬
лирования оценивают, сравнивая частотные характеристики реального
регулятора с частотными характеристи¬
ками идеального регулятора.
Исследование этих ограничений и
выяснение допустимого диапазона изме¬
нения настроечных параметров регулято¬
ра производят с помощью определения
области его нормальных режимов ра¬
боты.
Областью нормальных режимов ре¬
гулятора называют область таких ампли¬
туд и частот входного сигнала и настро¬
ечных параметров регулятора, в преде¬
лах которой частотные характеристики
реального регулятора отличаются от ча¬
стотных характеристик идеального регу¬
лятора не более чем на некоторую задан¬
ную величину по модулю и по фазе.
Условно приняты следующие нормы отклонений частотных характе¬
ристик: на 5% по модулю (по отношению к модулю идеального регуля¬
тора) и на 18° по фазе (по отношению к фазе идеального регулятора).
Сопоставление регуляторов с помощью областей нормальных режи¬
мов является достаточно удобным и наглядным методом сравнительной
оценки регуляторов, подчиняющихся одинаковым законам регулирова¬
ния.
Границы области нормальных режимов регулятора определяются
обычно следующими тремя факторами:
частотными характеристиками балластного звена, которое необходи¬
мо учитывать при более точной линейной аппроксимации (учет ограни¬
чения скорости сервомотора, дополнительных инерционностей в контуре
регулятора и т. д.);
нелинейностями в контуре регулятора;
конструктивными ограничениями диапазонов изменения параметров
настройки, т. е. крайними положениями органов настройки регулятора.
Итак, область нормальных режимов — условная область в плоскости
параметров настройки регулятора 6 и Г*и, которая позволяет:
сравнивать между собой регуляторы различных типов, реализующие
один и тот же закон регулирования, по диапазонам допустимого измене¬
ния параметров настройки, в пределах которых осуществляется требуе¬
мый линейный закон;
проверять, находятся ли в области нормальных режимов найденные
в результате расчета системы автоматического регулирования параме¬
тры настройки регулятора.
На рис. 6-19 в качестве примера приведена область нормальных ре¬
жимов промышленного регулятора. Область нормальных режимов для
ПИ-регулятора ограничена горизонтально 6 = 3,0, кривой /, отрезком
вертикали //и кривой III.
* При проверке ПИД-регуляторов предполагается, что 7’о/7'и = сопз1 (для каждого
типа регулятора), и поэтому Го однозначно определяется величиной Г* и может быть
исключена из числа координат области нормальных режимов.
148
Область нормальных режимов ПИД-регулятора ограничена гори¬
зонтально 6 = 3,0, кривой I, отрезком вертикали II и кривой IV. Таким
образом, для данного регулятора найденные из расчета конкретные зна¬
чения 6 и 7„ должны находиться внутри указанной области.
В заключение можно сделать следующие выводы.
1. Линейные модели П, ПИ, ПИД-регуляторов можно представить
в виде последовательного соединения идеальных линейных регуляторов
и соответствующих балластных звеньев. Причиной появления балласт¬
ных звеньев является ограничение скорости исполнительного механизма
или коэффициента усиления предвключенного усилителя (^i). В соот¬
ветствии с этим передаточная функция регулятора может быть представ¬
лена в виде
^(P)v = ^(P)4K(p)6,
где К{р)р — передаточная функция реального регулятора;
^^(р)ч — передаточная функция идеального регулятора;
/С (р) б —передаточная функция балластного эвена.
2. Определяющим для всех структурных схем ПИ и ПИД-регулято¬
ров является параметр S = ^ ”—, который характеризует отклонение
динамических характеристик реального регулятора от идеального. Чем
больще значение S, тем больще влияние балластного звена. При 5->0
К (р) 6-^1.
3. В зависимости от структурной схемы балластное звено представ¬
ляет собой колебательное звено или апериодическое звено первого или
второго порядка.
Если балластное звено является колебательным (что возможно толь¬
ко в ПИД-регуляторах), параметр S ограничен сверху и снизу, вследст¬
вие чего необходима специальная регулировка значения Т^м/Кь т. е.
в этом случае требуется введение в регулятор дополнительного параме¬
тра настройки, поддерживающего значение S при изменении б и Ги при¬
мерно постоянным.
4. В схемах с дифференцирующими звеньями в обратной связи прин¬
ципиально возможно появление остаточной неравномерности.
5. Наличие концевых ограничителей оказывает неблагоприятное воз¬
действие на закон регулирования.
6. Во всех рассмотренных структурных схемах время интегрирова¬
ния (изодрома) Ги не зависит от степени связи 6.
В структурных схемах 1, 2 ПИ и ПИД-регуляторов степень связи
реального регулятора 6p.p = 6('S+l) зависит от S, но так как обычно
S<1, то этой зависимостью можно пренебречь. В структурных схемах 1
ПИ и ПИД-регуляторов степень связи б зависит, кроме того, от Гим, т. е.
от нагрузки на валу и от выбега ИМ.
7. Отклонение динамических характеристик реальных регуляторов
от идеальных линейных законов регулирования заставляет определять
для каждого регулятора область нормальных режимов и налагать та¬
ким образом определенные ограничения на полученные расчетным пу¬
тем параметры настройки автоматического регулятора.
6-4. РЕГУЛИРОВАНИЕ С ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬЮ СЕРВОМОТОРА
Автоматические регуляторы, скорость изменения регулирующего воз¬
действия которых постоянна при любом отклонении регулируемой вели¬
чины, называются регуляторами с постоянной скоростью регулирования.
Такие регуляторы, как правило, имеют в своих выходных цепях ре¬
лейные элементы и реверсивные электродвигатели переменного тока
с постоянной скоростью вращения.
149
Использование реле и электродвигателя в автоматическом регулято¬
ре означает введение в его структуру существенно нелинейных элемен¬
тов. Так называемое релейное регулирование характерно тем, что если
регулируемая величина Хоб соответствует требуемому значению, то ско¬
рость регулирования (сервомотора) равна нулю. При отклонении регу¬
лируемой величины за пределы зоны нечувствительности регулятор пе¬
ремещает регулирующий орган с постоянной скоростью в ту или другую
сторону в зависимости от знака отклонения регулируемой величины.
В этом случае закон регулирования с постоянной скоростью записы¬
вают так (без учета зоны нечувствительности):
если Хоб = 0, то х'р=р' = 0;
если Хоб^О, то х'р = ±р',
где \х' — скорость перемещения сервомотора.
Как видно, в этом случае закон регулирования, которому подчиняется
регулятор, — нелинейный.
Для иллюстрации характера протекания переходных процессов в си¬
стемах автоматического регулирования рассмотрим примеры стабилиза¬
ции регулируемой величины посредством регулятора с постоянной
скоростью сервомотора. Эти примеры могут также дать представление
о некоторых методах построения переходных процессов в системах регу¬
лирования.
а) Регулирование без обратной связи
Схема регулирования уровня воды изображена на рис. 6-20. Р1змери-
тельным органом регулятора является поплавок 1, связанный через си¬
стему рычагов и ножевую опору 2 с помощью измерительной пружины 5
с основным балансным рычагом 4. Последний уравновешивается на но-
L
— 0-
и +0-
-0-
м
8
'км
КБ
д) а
см
Рис. 6-20. Схема регулирования уровня воды в баке регулятором без обратной связи.
жевой опоре 5 пружиной 6 задатчика, натяжение которой может изме¬
няться устройством 7. Если уровень воды соответствует заданному зна¬
чению, балансный рычаг находится в горизонтальном положении, а под¬
вижный электроконтакт 8 в среднем положении относительно неподвиж¬
ных контактов М п Б.
150
Обмотки обоих реле РМ и РБ обесточены, и их контакты КМ и КБ
в цепи питания сервомотора СМ разомкнуты. Регулирующий орган не¬
подвижен.
Предположим, что нечувствительность регулятора равна нулю и су¬
ществует линейная зависимость между положением вала сервомотора и
расходом воды через регулирующий орган.
В качестве объекта регулирования используем гидравлический мо¬
дуль интегрирующего звена.
Пусть до некоторого момента времени U система регулирования на¬
ходилась в состоянии равновесия, т. е. поступление воды в бак равнялось
потреблению воды, а уровень посщплениеА • ^
Потребление
Рис. 6-21. График переходного процесса в си¬
стеме регулирования, изображенной на
рис. 6-20.
соответствовал требуемому
значению.
В момент /о произведем
возмущение мгновенным умень¬
шением потребления воды из
бака. В результате этого уро¬
вень начнет повышаться. Пред¬
положим, что регулятор обла¬
дает нулевой нечувствитель¬
ностью, т. е. он начинает рабо¬
тать при сколь угодно малом
отклонении уровня от требуе¬
мого значения.
Построим график процес¬
са регулирования (рис. 6-21).
По оси абсцисс будем от¬
кладывать время, а по оси ор¬
динат — величины поступле¬
ния и потребления воды (рис. 6-21,а) и значения уровня (рис. 6-21,6).
С момента времени /о=0 уровень иачиет повышаться, что приведет к по¬
явлению небаланса усилий, действующих на балансный рычаг 4, и кон¬
такт 8 замкнется с контактом М (обозначения см. рис. 6-20). Включится
реле РМ, и сервомотор начнет уменьшать с постоянной скоростью по¬
ступление воды в бак. До момента 4, т. е. пока поступление воды больше
потребления, уровень в баке непрерывно повышается. Скорость повыше¬
ния уровня уменьшается по мере устранения регулятором разности меж¬
ду потреблением и поступлением воды в бак. В момент 4 поступление
воды станет равно потреблению и возрастание уровня прекратится. Так
как величина уровня в момент А не соответствует требуемому значению,
то регулятор будет продолжать уменьшать поступление воды в бак.
С момента h поступление воды меньше потребления и уровень станет
понижаться, причем скорость его движения вниз увеличивается, так как
регулятором увеличивается разность между потреблением и поступле¬
нием воды. В момент tz уровень переходит через требуемое значение и
регулятор выключается, так как балансный рычаг 4 возвращается в го¬
ризонтальное положение. Но в момент tz потребление воды больше по¬
ступления и уровень продолжает уменьшаться. Отклонение уровня в про¬
тивоположном направлении вызовет переключение контакта 8, включе¬
ние реле РБ сервомотора, который через регулирующий орган будет уве¬
личивать поступление воды.
В момент tz опять поступление воды равно потреблению, но так как
уровень ниже требуемого значения, то регулятор продолжает увеличи¬
вать поступление воды, нарушая это равенство для того, чтобы вернуть
уровень к требуемому значению. Дальнейший процесс регулирования
является повторением только что описанного. В системе регулирования
возникают колебания уровня около требуемого значения.
151
Площади ABC и CEF соответственно пропорциональны избытку и
перерасходу воды из бака за четверть периода. Для возвращения уровня
к требуемому значению необходимо израсходовать из бака такое же
количество воды, которое накопилось в нем за предыдущую четверть
периода. Следовательно, площадь ABC должна быть равна площади
CEF. Это возможно в том случае, если AB=EF.
Отсюда следует, что колебания уровня будут незатухающими, т. е.
максимальные отклонения уровня равны друг другу.
Итак, данная система автоматического регулирования (без обратной
связи) не может обеспечить затухающего процесса регулирования, т. е.
возвращения фактического значения уровня к требуемому значению.
Такой процесс почти всегда считается неприемлемым (за исключением
двухпозиционного регулирования).
б) Регулирование с жесткой обратной связью (П-регулятор)
Схема регулирования с жесткой обратной связью приведена на
рис. 6-22. График процесса регулирования приведен на рис. 6-23. После
резкого уменьщения потребления воды из бака в момент U (рис. 6-23,а)
уровень повышается, возникает небаланс усилий на рычаге 4 и сервомо¬
тор, перемещая регулирующий орган с постоянной скоростью, уменьша¬
ет поступление воды в бак. Одновременно с перемещением регулирую-
"Ж
> 6 <
И
J—‘
в
*РМ
РВ '
—0-
Т/ + 0-
км
-0-
КБ СМ
'С
Рис. 6-22. Схема регулирования уровня воды в баке регулятором
с жесткой обратной связью.
щего органа изменяется натяжение пружины 9 устройства жесткой об¬
ратной связи, которая стремится вернуть рычаг 4 в горизонтальное по¬
ложение. В момент времени ti усилие, развиваемое пружиной 9 устрой¬
ства обратной связи, становится равным по величине усилию от измери¬
тельной пружины, пропорциональному отклонению регулируемой величи¬
ны— уровню воды. Уравновешивание моментов от этих усилий приводит
к выключению сервомотора и прекращению движения регулирующего
органа. Но так как в момент ti поступление воды в бак меньше потреб¬
ления, уровень продолжает уменьшаться. Вновь возникает небаланс мо¬
ментов сил от пружин 5 и Я но противоположного знака. Это приводит
к включению сервомотора и к перемещению регулирующего органа воб-
152
ратном направлении: регулятор с момента 4 увеличивает поступление
воды в бак. Одновременно устройство обратной связи уменьшает усилие
пружины 9. В момент h опять моменты сил на рычаге 4 уравновешива¬
ются и регулятор временно выключается. Далее повторяется циклич¬
ность действия регулятора и постепенно процесс затухает, что видно из
сравнения площадей треугольников ABC и СЕР. Площадь треугольника
АВС больше площади треугольника CEF, следовательно, АВ больше ДД
Легко показать, что EF>KL>MN и т. д.
Регулированию с жесткой обратной связью свойственна следующая
особенность. Из рис. 6-23,6 видно, что в результате затухающего процес-
Поступлемие А
Потребление
А Поступл
4^
Поступление
'Ли
I/ I iW i
Потребление | |
I i I I I I ]
!Рактическое значение
^О / ^7 Ь ^4^5/
Требуемое Неравномерности
значение регулирования
Рис. 6-23. График переходного процесса в си¬
стеме регулирования, изображенной на
рис. 6-22.
са регулирования фактическое
значение уровня возвращается
не к требуемому, а к новому,
несколько отличному значе¬
нию. Выясним причину этого.
После окончания переходного
процесса поступление воды
в бак уменьшилось до нового
значения потребления воды.
Иначе говоря, объект несет но¬
вую нагрузку, в данном случае
меньшую. Но меньшему посту¬
плению воды в бак соответ¬
ствует меньшее открытие регу¬
лирующего органа. С послед-
ни.м связана пружина 9 устрой¬
ства жесткой обратной связи;
следовательно, каждому поло¬
жению регулирующе.''о органа
соответствует вполне определенное значение усилия от нее. В рассматри¬
ваемом примере меньшему открытию регулирующего органа соответству¬
ет большее усилие пружины 9. Но для того чтобы данная система автома¬
тического регулирования была в равновесии (рычаг 4—в горизонтальном
положении) необходимо, чтобы разность моментов усилий, пропорцональ-
ных отклонению регулируемой величины и положению регулирующего
органа, была равна нулю. Это возможно в том случае, если новое значе¬
ние регулируемой величины (новое усилие пружины 3) будет больше
прежнего значения на такую же величину, на какую увеличилось (по
абсолютному значению) усилие пружины 9.
Из изложенного следует, что каждому значению нагрузки объекта
будет соответствовать вполне определенное значение регулируемой ве¬
личины. На рис. 6-24 изображена статическая
характеристика при регулировании с жесткой
обратной связью, представляющая собой зависи¬
мость значения регулируемой величины от на¬
грузки объекта.
Наличие неравномерности, т. е. статическая
ошибка регулирования, является существенным
органическим недостатком регулятора с жесткой
обратной связью. Это обстоятельство приводит
к ограничению области применения указанных
регуляторов. Часто наряду с хорошим качеством
переходного процесса требуется обеспечить вы¬
сокую статическую точность регулирования. В этих случаях приходится
отказываться от использования регуляторов с жесткой связью и приме¬
нять регуляторы с более сложными обратными связями, лишенные ука¬
занного недостатка.
I
Нагрузка
Рис. 6-24. Статическая
характеристика при ре¬
гулировании с жесткой
обратной связью.
153
величины продолжается. В момент времени 4 произойдет новое включе¬
ние сервомотора, так как разность опять достигла значения А/2. В мо¬
мент 4 разность а—Оо.с снова уменьшится до значения А/2—Ав и серво¬
мотор выключится. Включения и выключения сервомотора будут перио¬
дически следовать друг за другом.
Если сравнить этот характер движения сервомотора с характером
движения, изображенным на рис. 6-27,а, то нетрудно увидеть их сущест¬
венное различие. В первом случае режим сервомотора характеризуется
длительным включением. Харак¬
терной особенностью режима серво¬
мотора во втором случае являются
частые кратковременные включения
Рис. 6-27. Характер работы регулятора.
а — в режиме постоянной скорости; б — в пульсирующем режиме.
в одном направлении при плавном изменении регулируемой величины.
Такой характер работы регулятора получил название пульсирующего
(скользящего) режима. В пульсирующем режиме выключающее воздей¬
ствие устройства обратной связи более интенсивно, чем воздействие ре¬
гулируемой величины.
Здесь важно отметить что средняя скорость движения сервомотора
в пульсирующем режиме всегда меньше конструктивной скорости серво¬
мотора. Специфичным для пульсирующего режима является особый ха¬
рактер изменения воздействия устройства обратной связи. В пульсирую¬
щем режиме изменение Оо.с как бы следует за изменением регулируемой
величины 0, отличаясь от нее по своему среднему значению на неболь¬
шую величину. Обычно для пульсирующего режима считают приближен¬
но, что 0^00.0- Чем меньше зона нечувствительности Д регулятора, тем
меньше отличается текущее значение отклонения регулируемой величи¬
ны 0 ОТ величины воздействия Оо.с обратной связи.
Опыт эксплуатации приводит к выводу, что пульсирующий режим
является основным режимом работы регуляторов технологических про¬
цессов. В пульсирующем режиме, когда имеет место равенство 0~0о.с
(с точностью до величины зоны нечувствительности), регулятор, содер¬
жащий нелинейные элементы (реле, сервомотор постоянной скорости),
начинает подчиняться линейному закону регулирования, определяемому
устройством обратной связи.
В самом деле, пусть, например, регулятор состоит из усилителя
К(р)ь содержащего нелинейные элементы, и сервомотора К(р)2, шунти¬
рованных звеном обратной связи К(р)о.с (рис. 6-11). На вход регулятора
поступают импульсы от регулируемой величины а и от обратной связи
(То.с. Передаточная функция обратной связи К(р)о.с определяется отно-
156
шением изображения выходной величины Оо.с к входной р;
Передаточная функция регулятора имеет вид:
А(Р) = Р.
Так как в пульсирующем режиме o — ffo-c. то передаточная функция
регулятора теперь может быть записана так:
К (Р)о.с •
Таким образом, закон регулирования определяется видом передаточ¬
ной функции обратной связи регулятора.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
НЕКОТОРЫЕ ПРОМЫШЛЕННЫЕ РЕГУЛЯТОРЫ, РЕАЛИЗУЮЩИЕ
РАСПРОСТРАНЕННЫЕ ЗАКОНЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ
7-1. ЭЛЕКТРОННЫЕ РЕГУЛЯТОРЫ
Наиболее широкое распространение для автоматизации различных
объектов тепловых электростанций получили регуляторы, разработан¬
ные ВТИ и выпускающиеся Московским заводом тепловой автоматики
(МЗТА) и Чебоксарским заводом исполнительных механизмов. В на¬
стоящее время они широко применяются также в ряде других отраслей
промышленности.
Электронная система автоматики предназначена в первую очередь
для автоматизации ответственного оборудования, характеризуемого зна¬
чительной мощностью, большой протяженностью, разнообразием и свя¬
занностью регулируемых параметров, широким диапазоном динамиче¬
ских свойств и трудными условиями эксплуатации (резкими различиями
температур в помещениях, запыленностью воздуха, значительной вибра¬
цией и т. п.).
Измерение регулируемых величин производится при помощи пер¬
вичных приборов, содержащих чувствительный элемент, устройства, пре¬
образующего первоначальный сигнал в переменный или постоянный
электрический ток.
Регуляторы имеют устройства обратной связи, которые придают им
необходимые динамические свойства. Так, они могут реализовать раз¬
личные законы регулирования, в том числе пропорциональный, пропор¬
ционально-интегральный, пропорционально-интегрально-дифференциаль¬
ный. Управление сервомотором—исполнительным механизмом осуще¬
ствляется через релейные элементы, поэтому регуляторы этой системы
являются регуляторами релейного действия *.
Скелетная схема электронного регулятора представлена на рис. 7-1.
С помощью первичных приборов 1 производятся измерения параметров
и преобразование их в электрический ток или напряжение, пропорцио¬
нальное измеряемой величине. Тип приборов и их количество опреде¬
ляются назначением регулятора. Суммирование электрических величин
от первичных приборов производится в измерительном блоке 2. На
измерительный блок воздействует задатчик 3, который предназначен
для установки требуемого значения регулируемой величины. В элек-
• В ряде источников такие регуляторы неправильно называют регуляторами
■хпу.тьсного действия.
157
От обьекта
т
п
J
I?7il
к регулирующему
органу обьекта
Рис. 7-1. Скелетная схема
электронного регулятора.
тронном усилителе 4 осуществляется усиление
суммарного электрического сигнала от изме¬
рительного блока до величины, достаточной
для управления релейным элементом 5, кото¬
рый через переключатель автоматики и про¬
межуточный усилитель мощности 6 управляет
электродвигателем сервомотора 7. Релейный
элемент воздействует одновременно через
устройство формирующей обратной связи 8
на усилитель 4. Измерительный блок, усили¬
тель, релейный элемент и устройство обрат¬
ной связи размещены в общем корпусе — ре¬
гулирующем приборе.
Электронные регуляторы выпускаются
промышленностью начиная с 1951 г. По мере
развития средств радиоэлектроники они систе¬
матически совершенствуются. В настоящее
время существует много модификаций элек¬
тронных регуляторов с релейно-контактным
выходом (ЭР-52, ЭР-54, ЭР-59, РПИК) и
с релейно-бесконтактным выходом (ЭРПИБ,
РП-1, РП-2, РИТМ).
Эти регуляторы отличаются друг от друга
схемами усилителей, конструкцией, а также элементной базой, но струк¬
тура у всех перечисленных регуляторов одинакова.
Многочисленные исследования электронных регуляторов показали,
что их динамические характеристики в определенных границах мало за¬
висят от динамических свойств усилителей, содержащихся в электронном
регулирующем приборе, а в основном определяются свойствами обрат¬
ной связи, а также нелинейностями, имеющимися в регуляторах, зоной
нечувствительности, ограниченной скоростью исполнительного механиз¬
ма, ограничением перемещения регулирующего органа, реле.
В зависимости от схемы устройства обратной связи электронные ре¬
гуляторы можно разделить на две группы: к первой группе относятся
приборы, у которых параметры динамической настройки — скорость свя¬
зи V, время интегрирования Ги — взаимосвязаны; изменение времени ин¬
тегрирования сопровождается изменением скорости связи (к этой группе
относятся ЭР-52, ЭР-54, ЭР-59, РПИК).
Ко второй группе относятся регуляторы, у которых параметры дина¬
мической настройки можно изменять независимо друг от дрмга (ЭРПИБ,
РИТМ, РП-1, РП-2).
Рассмотрим схему электронного контактного регулятора РПИК
(рис. 7-2).
На скелетной схеме (рис. 7-2,а) показаны датчик Д, измеритель¬
ный блок ИБ, усилитель напряжения УН, усилитель мощности УМ, ре¬
лейный элемент РЭ, отрицательная обратная связь ОС и .сервомотор СМ
(исполнительный механизм).
На электрической (упрощенной) схеме(рис. 7-2,6) показан один
индукционный датчик, который с о'бмоткой трансформатора Тр-2 обра¬
зует измерительный мост, в диагональ которого включено переменное
сопротивление Rr. С помощью этого сопротивления можно изменять ве¬
личину сигнала (7д, снимаемого с датчика, и, следовательно, изменять
интенсивность воздействия (чувствительность) первичного прибора.
Схема включения задатчика подобна схеме включения датчика.
Корректор Rk служит для сдвига шкалы задатчика и балансировки
измерительного блока. Алгебраическая сумма напряжений от датчика
и задатчика t/д—Us (сигнал ошибки) поступает на первичную обмотку
входного трансформатора Тр, являющегося входом фазочувствительного
158
усилительного каскада. Этот каскад выполнен на полупроводниковом
триоде Ti, выпрямителе В и вторичной обмотке питающего трансформа¬
тора Тр-3. Направления тока / от трансформатора Тр-3 через выпрями¬
тель В, эмиттер и коллектор транзистора показаны в зависимости от
фазы питающего напряжения U сплошными и пунктирными линиями.
Выходное напряжение снимается с сопротивления нагрузки R, фильтру¬
ется конденсатором С и поступает на состоящий из сопротивления кд
и емкости Сд электрический демпфер, иапользуемый для подавления
пульсаций регулируемой величины.
Если регулируемая величина соответствует своему требуемому зна¬
чению, то сигнал ошибки отсутствует:
//д_[/з=0 и //вх=0.
При этом токи, протекающие через переход эмиттер-коллектор
триода, в течение обоих полупериодов равны между собой; через сопро¬
тивление нагрузки протекает переменный ток и постоянная слагающая
напряжения на конденсаторе С равна нулю. При появлении сигнала
разбаланса Пс^О ток через триод в течение одного полупериода воз¬
растает, в течение другого уменьшается; в результате в напряжении,
развивающемся на сопротивлении нагрузки R, ноя^вляется постоянная
слагающая. Напряжение на конденсаторе С становится отличньгм от
нуля; знак этого напряжения зависит от фазы входного сигнала (т. е.
от знака отклонения регулируемой величины), а его величина пропор¬
циональна величине разбаланса.
Первый каскад — усилитель напряжения УН (рис. 7-2,6), являю¬
щийся усилителем постоянного тока, выполнен на двойном триоде JIi
по балансной схеме. Каскад является фазочувствительным (т. е. знак
выходного напряжения зависит от знака входного) н фазоселективным
(подавляет переменную составляющую сигнала, сдвинутую относитель¬
но питающего напряжения на 90°, а также четные гармоники перемен¬
ной составляющей).
Сигнал от измерительного блока U вых.и поступает на сетку левой
половины лампы через защитное сопротивление Ri. Питание обоих трио¬
дов лампы JIi происходит от вторичных обмоток трансформаторов Тр-4
и Тр-5 через сопротивления /?4, часть Rs — для левой половины лампы
и для правото триода соответственно через Rb и часть Rs. Источник
постоянного тока t/см задает сеточное смещение в обоих триодах. Об¬
мотки трансформаторов включены синфазно, т. е. проводящие полупе-
риоды обеих половин лампы совпадают во времени; левый триод лам¬
пы JIi работает в режиме катодного повторителя: его нагрузка
(сопротивление i/?4 и часть нуль-корректора Rs) включена в цепь като¬
да. Таким образом, напряжение t/ai совместно с входным сигналом
Нвых.и и напряжением смещения Нош создают общее напряжение между
сеткой и катодом левого триода.
Напряжение на сетке правого триода образуется суммой напряже¬
ния смещения //см, напряжения //щ и напряжения //о.о, поступающего от
устройства обратной связи. Нагрузкой правого триода является сопро¬
тивление Rs и часть сопротивления — нуль-корректора Rs, с помощью
которого балансируется усилитель напряжения (Iai = Ia2) при нулевом
в.хОдном сигнале от измерительного блока (//вых.и = 0) и нулевом сигна¬
ле от устройства обратной связи (//о.с = 0). При этом выходной сигнал
первого каскада, поступающий в усилитель мощности (на сетку левой
половины лампы JIz). равен нулю (//hi—//нг)=0.
При поступлении на сетку левой половины лампы JIi от измеритель¬
ного блока положительного сигнала (//вых.и>6) падение напряжения //hi
на сопротивлении Ri и части сопротивления Rs изменяется таким обра¬
зом, что оно увеличивает положительное смещение на катодах лампы, т. е.
159
эквивалентно увеличению запирающего сигнала на сетке правой полови¬
ны лампы, уменьшает ток /аг и падение напряжения Uai на сопротивле¬
ниях Rb и части /?з. Суммарный положительный выходной сигнал перво¬
го каскада поступает на сетку нижней (по схеме) половине лампы Лг
(,ивыт1=0в1—Usz>0). Аналогично отрицательному входному сигналу на
сетку левой половины лампы Л^, будет соответствовать отрицательный
выходной сигнал первого каскада.
Второй каскад электронного усилителя — усилитель мощности, обра¬
зованный на сдвоенном триоде лампы Лг, питается выпрямленным на¬
пряжением от вторичной обмотки трансформатора Тр-6. Каскад выпол¬
нен по схеме баланса токов. Стрелками на схеме показаны анодные токи
/аз и /а4 обсих ПОЛОВИН лампы Лг- Нагрузкой нижней половины лампы Лг
является сопротивление /?1з. С помощью переменного сопротивления Ri2
и напряжения t/см обеспечивается смещение на сетке нижней половины
лампы Лг. Падение напряжения на сопротивлении /?1з является сеточньн^!
смещением для второй половины лампы. При отсутствии входного сиг¬
нала анодные токи /аз и /а4 равны между собой и реле Ру и Рг практиче¬
ски обесточены, а их контакты KPi и КРг разомкнуты.
При поступлении на сетку нижней половины лампы положительного
сигнала t/вых! от усилителя напряжения анодный ток /аз увеличивается,
при этом возрастает отрицательное смещение на сетке верхней половины
лампы Лг, анодный ток Ia^ уменьшается и в цепи реле появляется ток
положительного направления. При соответствующем значении сигнала
t/Bbixi ток достигает достаточной величины для срабатывания реле Рг-
При поступлении на сетку лампы отрицательного сигнала Пвых1Т0к,
Задатчик Корректор
^ От объекта
{==i-9±rH==H=L
Tal j Kg laZ
Корректор ^
Om объекта
160
УИ
]-«>j УЛ/
ОС
a)
РЭ
CM
к объекту
Рис. 7-2. Упрощенная схема
протекающий в нижней половине лампы, уменьшается, в верхней — уве¬
личивается и в цепи реле появляется результирующий ток противопо¬
ложного знака, вызывающий срабатывание реле Ри
Потенциометр Ppz предназначен для изменения зоны нечувствитель¬
ности регулятора. Когда каскад сбалансирован, по потенциометру Д12не
протекает ток. Это объясняется тем, что потенциометр включен между
двумя эквипотенциальными точками. При разбалансе каскада потенциал
катода лампы изменяется, по потенциометру Piz протекает ток и доля
выделяющегося на нем напряжения (знак которого всегда противополо¬
жен полярности поступающего на этот каскад входного сигнала) подает¬
ся на нижнюю сетку лампы, таким образом осуществляется отрицатель¬
ная обратная связь, которая уменьшает крутизну каскада и увеличивает
зону нечувствительности.
Минимальная зона нечувствительности регулятора будет при край¬
нем верхнем положении движка потенциометра Piz, максимальная — при
крайнем нижнем.
При замыкании одного из контактов реле включается соответствую¬
щая обмотка магнитного пускателя МП, зажигается сигнальная лампа
JIi или Jlz и сервомотор СМ начинает перемещать регулирующий орган.
Одновременно от того же источника начинает протекать ток в соответст¬
вующем направлении через потенциометр Pv,{P^, который определяет
степень (скорость) обратной связи.
Падение напряжения t/вх.о.с на части этого сопротивления является
входным сигналом для устройства обратной связи, представляющего со¬
бой интегро-дифференцирующую цепочку, образованную из сопротивле¬
ний Р% (сопротивление Р^ для изменения времени изодрома), Рт и
конденсатора С. Такая схема, как известно, обеспечивает формирование
ПИ-закона регулирования. Величина входного напряжения Т^вх.о.с опре¬
деляет интенсивность заряда конденсатора и, следовательно, время ком¬
Устройство обратной связи
электронного регулятора РПИК.
11—1074
4—</jo—
fl—о4^>—I
/7 объект !/\
б)
161
пенсации входного сигнала 7/вых,и на сетку левой половины лампы JIi
сигналом Но.с от устройства обратной связи (длительность импульса).
Скорость заряда (и разряда) конденсатора зависит от величины уста¬
навливаемого сопротивления R^.
В момент, когда воздействие обратной связи на сетку правой поло¬
вины лампы Л\ уравновесит воздействие входного сигнала Нвых.и на сет¬
ку левой половины лампы происходит размыкание контактов реле и
конденсатор обратной связи начинает разряжаться через сопротивления
Т?9, часть сопротивления Rn, и сопротивление Ri.
В момент включения реле на сопротивлении R-j появляется напря¬
жение, частично компенсирующее входной сигнал. В момент отключе¬
ния реле это напряжение мгновенно исчезает. При этом интервалы
времени включенного и отключенного состояний реле меньше соответ¬
ствующих интерв'алов при Т?7=0. Приближенно можно считать, что
включение сопротивления R-j идентично изменению зоны возврата реле.
Одновременно при этом устраняется возможность возникновения
автоколебаний во «внутреннем» контуре регулятора.
7-2. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРОННЫХ РЕГУЛЯТОРОВ
Структурная схема электронного регулирующего прибора с взаимо¬
связанными параметрами настройки приведена на рис. 7-3. Устройство
формирующей (упругой обратной) связи, как указывалось в § 7-1, обра¬
зовано потенциометром R^(Ra), сопротивлением Rj.^ и конденсатором
С. Входным элементом устройства обратной связи является потенцио¬
метр Ry на который поступает напряжение U от источника постоянного
тока при срабатывании релейного элемента. Некоторая доля напряже¬
ния, зависящая от положения движка потенциометра R^, поступает на
контур, содержащий сопротивление Rj.^ и С. Таким образом, упругая
обратная связь в электронном регуляторе представляет собой апериоди¬
ческое звено.
Дифференциальное уравнение рассматриваемого звена записывают
так:
Обозначим Rj, С — Т^, тогда это уравнение примет вид:
dU,
От измерительного
ОС
Рис. 7-3. Структурная схема регулирующе¬
го прибора с взаимосвязанными параметра¬
ми настройки.
162
Ugx
^вх. 0 X
1
Ро.С
-*■
ас)уст ~ ^**(^ac)t=o
"t
Рис. 7-4. Переходный процесс
в устройстве упругой обратной
связи.
или в операторной форме
(7'„p + l)t/o.c = At/.
Величина Тц как указывалось выше называется временем интегри¬
рования. Она тем больше, чем больше сопротивление Rj (при посто¬
янном значении С). Изменяя это сопротивление, можно варьировать
время интегрирования.
Передаточная функция устройства обратной связи имеет следующий
вид:
A(jO)y.o.c= 2’и/7+ 1 ■
Переходный процесс в устройстве связи при подаче на вход скачко¬
образного возмущения показан на рис. 7-4.
Если обозначить через v скорость изменения входного сигнала в пер¬
вый момент времени после приложения скачкообразного сигнала, то пре¬
дыдущее выражение можно записать в иной форме:
А (jP)y.o.c = 77X' Гир+1’
где
k =
Если в соответствии с рис. 7-2,а считать, что сервомотор и устрой¬
ство обратной связи имеют общую входную величину t/вх.о.с, принимаю¬
щую в зависимости от состояния релейного элемента значения О или
Чъио, то уравнение сервомотора можно представить в виде
.. I .. с Евх.о.о
(А ^ '
t/вх о
где S — скорость сервомотора.
Этому уравнению соответствует следующая передаточная функция:
(7-2)
*^ВХ.ОС
Теперь можно получить передаточную функцию регулятора в «сколь-
зяще.м» режиме. Входной величиной регулятора будем считать регули¬
руемую величину о, а выходной — регулирующее воздействие ц, осуще¬
ствляемое сервомотором. Тогда передаточная функция регулятора при¬
мет вид:
(CWp = -t = -+-4^. (7-3)
Устройство обратной связи в регуляторах с несвязанными параме¬
трами настройки типа РПИБ и т. п. отличается от рассмотренного тем,
что цепи разряда и заряда конденсатора разделены с помощью нелиней¬
ного элемента — неоновой лампочки (рис. 7-5)*. При срабатывании ре¬
лейного элемента к устройству обратной связи приложено напряжение,
существенно превосходящее порог зажигания неоновой лампочки, и кон¬
денсатор начинает заряжаться через сопротивление включенное по¬
следовательно с неоновой лампочкой. Когда напряжение обратной связи
уравнивает входной сигнал, релейный элемент «отпустит», неоновая лам¬
почка погаснет и разорвет цепь заряда. Разряд конденсатора будет про-
нс.ходить через сопротивление R^^. Величина сопротивления R^^ опреде¬
* Стефани Е. П. Основы автоматического регулирования теплоэнергетических
объектов. Л1., изд. .МЭИ, 1970.
11- 163
ляет ток заряда конденсатора и скорость связи, величина сопротивления
кт^ — ток разряда и величину времени интегрирования.
Таким образом, рассматриваемая цепочка представляет собой нели¬
нейную систему, имеющую различные характеристики в период заряда
и разряда конденсатора.
Если, как и прежде, скорость заряда конденсатора в первый момент
времени после приложения скачкообразного входного сигнала обозна¬
чить через V, а напряжение на входе обратной связи через то, как
показывает анализ*, регулятор с такой цепочкой обратной связи
в «скользящем» режиме можно 'приближенно рассматривать как ли¬
нейный.
Е[ередаточная функция регулятора в целом получается аналогичной
полученной ранее (см. 7-3):
S \+рТ„
рТв.
(7-4)
В заключение необходимо заметить, что статические и динамические
свойства реальных электронных регуляторов с присущими им нелиней¬
ностями (релейный элемент, зона нечувствительности, выбеги сервомото¬
ра, концевые ограничители) не всегда могут описываться приведенными
выще передаточными функциями.
Так, например, статическая характеристика регулятора (зависи¬
мость установившейся скорости изменения регулирующего воздействия ц'
от входного сигнала а при отклю-
От азнерищелто'го
ОС
Рис. 7-5. Структурная схема регулирующего
прибора с несвязанными параметрами на¬
стройки.
ченном устройстве обратной свя¬
зи) определяется зоной нечув¬
ствительности А — диапазоном
изменения входной (регулируе¬
мой) величины, не вызывающим
«срабатывания» релейного эле¬
мента (рис. 7-6) *.
Поскольку электронные регу¬
ляторы представляют собой не¬
линейные системы, то при сину¬
соидальном изменении сигнала
на входе регулятора его выход¬
ной сигнал будет отличаться
от синусоидального. Модулем гар¬
монического коэффициента уси¬
ления регулятора |Ар|__ называют отнощение амплитуды первой гармо¬
нической составляющей выходного сигнала к амплитуде входного сину¬
соидального сигнала, угол сдвига фаз между этими гармониками назы¬
вается углом опережения регулятора срр. Как у 'всякой нелинейной си¬
стемы, /Ср и фр зависят не только от частоты, но и от амплитуды вход¬
ного сигнала. Поэтому динамические свойства реального регулятора
О'писываются семейством амплитудно-фазовых характеристик, которые
выражают соответственно зависимости коэффициента усиления и угла
опережения от круговой частоты и ам'плитуды входного сигнала Омакс-
Динамические характеристики реальных электронных регуляторов
ПОЗВОЛЯЮТ выяснить, как влияют на процесс регулирования присущие им
Жирнов А. А. К оценке динамических свойств современных релейных регули¬
рующих приборов.— В кн.: Теория, расчет и принципы конструирования электронной
агрегатной унифицированной системы. М., Машгиз, 1969; Давыдов Н. И. Динамиче¬
ские характеристики электронных регуляторов ВТИ. — «Теплоэнергетика», 1954, № 5.
* Напомним, что релейный элемент обладает так называемой зоной возврата Дв —
разностью между входными сигналами, вызывающими срабатывание и отпускание ре¬
лейного элемента (см. гл. 6).
164
нелинейности, как будет вести себя система регулирования при больших
возмущающих воздействиях, возможны ли автоколебания в системе ре¬
гулирования. Каковы амплитуда и частота автоколебаний и каким обра¬
зом они могут быть устранены?
Основным режимом работы регуляторов, как указывалось, является
«пульсирующий» (скользящий) режим. Его характерной особенностью
являются частые краткав!ременные включения сервомотора в одном на¬
правлении при монотонном изменении входной величины, при этом мак¬
симальная средняя скорость изменения регулирующего воздействия
меньше максимальной скорости 5. В этом режиме выходная величина
устройства обратной связи как бы следует за входной величиной регу¬
лятора, |Отличаясь от нее при движении сервомотора в одном направле¬
нии на небольшую постоянную величину (см. рис. 6-27,6).
Скользящий режим всегда возникает, по крайней мере, в конце про¬
цесса регулирования, а в большинстве случаев и в течение всего процес¬
са, поэтому знание динамических характери- aji
стик в этом режиме дает, в частности, возмож- ot
ность проанализировать «хвостовую» часть т
процесса регулирования. Для практики это ^
представляет интерес, так как часто в конце —
Лг
процесса возникают автоколебания.
При достаточно больших амплитудах и
частотах входного сигнала регуляторы пере¬
ходят в режим постоянной скорости (см.
гл. 6). Этот режим характеризуется длитель- Рис. 7-6. Статическая харак-
ными чередующимися реверсивными включе- теристика регулятора,
ниями сервомотора. В течение почти поло¬
вины периода гармонического изменения входного сигнала сервомотор
двигается в одном направлении, в течение другой половины периода —
3 противоположном. Анализ систем регулирования показывает, что пере-
.ход регулятора в режиме постоянной скорости обычно понижает устой¬
чивость системы. В некоторых случаях система регулирования устойчи¬
вая при пульсирующем режиме, может оказаться неустойчивой при
режиме постоянной скорости, возникающем при больших возмущениях.
С увеличением амплитуды или частоты гармонического сигнала ре¬
гуляторы не сразу переходят из пульсирующего в режим постоянной
скорости. Промежуточным между этими двумя режимами является так
называемый «смешанный» режим, который характеризуется длительны¬
ми включениями сервомотора наряду с повторными кратковременными
включениями.
При гармонических входных сигналах с малой амплитудой (близкой
к половине зоны нечувствительности) возникает режим одного кратко¬
временного включения, при котором сервомотор в течение одного полу-
периода кратковременно включается в одном направлении, в течение
другого — реверсируется.
Для анализа частотных характеристик электронных регуляторов
3 пульсирующем режиме, являющимся основным режимом, характери¬
стический вектор регулятора можно записать в следующем виде:
Р = =ид = Цид ' '
где 0, 0О.С, Ци» ц — комплексные векторы первых гармоник соответствен¬
но входного сигнала, выходной величины устройства обратной связи, ре¬
гулирующего воздействия идеального сервомотора и регулирующего
воздействия реального сервомотора.
В дальнейшем под «идеальным» будем понимать регулятор с «иде¬
альным» сервомотором, безынерционным усилителем и нулевой зоной
165
нечувствительности. Для такого регулятора в пульсирующе.м режиме вы¬
полняются условия
CT = i0o.cJ М'^^Ци.д
И характеристический вектор равен:
■^р.ид= ^ = I -^р.ид I б“*’р.ид. (7*6)
Идеальный регулятор в пульсирующем режиме представляет собой
линейную систему (частотные характеристики не зависят от амплитуды
входного сигнала), и его динамические свойства полностью определяют¬
ся параметрами формирующей обратной связи {v, Гц) и скоросп^ю ре¬
гулирования.
В реальном регуляторе в общем случае |т+=рид вследствие «выбега»
cepBOiviOTOpa, а а+=|ао.с из-за наличия зоны нечувствительности. Если
назвать характеристическим вектором поправки на зону нечувствитель¬
ности величину
/ _ I / I ‘■‘‘’попрд ^0^ ,
попрД I попрД 1 о ’ \‘'Ч
характеристическим вектором поправки на выбег сервомотора величину
/ \Т I „“•’попр.выв i''
•'попр.выб Мпопр.выб!^ ’7^ »
гид
то гармонический коэффициент усиления регулятора в пульсирующем
режиме .может быть представлен в таком виде:
К К II/ II/ I ' *9р.„д + 9попрД + ‘Рпопр.выб> /у 04
■‘'•р М'р.ид! Шпопрд! |-'цопр.вьи+ • V'°)
Таким образом, задача определения частотных характеристик реаль¬
ного регулятора сводится к нахождению /„„„рд и /допр.выб-
Анализ работы электронных регуляторов в пульсирующем режиме
показывает, что при включении релейного элемента в одном направлении
среднее (за время от одного включения до другого) значение разности
(а—(То.с)ср изменяется мало и при малых значениях Пмакс можно счи¬
тать *:
= (7_9)
Характеристический вектор поправки зависит только от двух без¬
размерных параметров — относительной частоты ш7и и относительной
амплитуды Омако/Аь ни скорость связи v, ни динамические свойства уси¬
лителя почти не влияют на /„опрд- 7-7 приведены зависимости
I 7опрд7 ^попрл от этих параметров. Здесь Ai —значение разности меж¬
ду о и средней величиной Оо.с при движении сервомотора в пульсирую¬
щем режиме, определяемое формулой (7-9). Величина /вкло в этих фор¬
мулах представляет собой продолжительность включения релейного эле¬
мента, обусловленную подачей на вход сбалансированного регулятора
очень медленно нарастающего сигнала. Эта величина может быть непо¬
средственно измерена.
На основании представленных на рис. 7-7 кривых можно сделать вы¬
вод о том, что в пульсирующем режиме из-за наличия зоны нечувстви¬
тельности с уменьшением амплитуды входного сигнала угол опережения
и коэффициент усиления регулятора уменьшаются.
'Давыдов Н, И. Динамические характеристики электронных регуляторов
ВТИ. — Теплоэнергетика, 1954, № 5.
166
Характеристический вектор
поправки на выбег сервомотора
при малых Омане определяется
выражением
I -.V., 1 _1_
^попр-выб*^ ^ “Т“
(7-10)
Отсюда следует, что «выбег»
влияет только на коэффициент
усиления регулятора и не изме¬
няет его фазы (фпопр.выб = 0)-
Влияние на коэффициент усиле¬
ния тем больше, чем больше от¬
ношение /выбАвкло. При фиксиро¬
ванных параметрах настройки
влияние выбега тем сильнее, чем
меньше (о и Омакс-
Специальными исследования¬
ми, проведенными ВТИ, опреде¬
лены характеристические векто¬
ры 'поправки в режиме постоян¬
ной скорости, а также на конце¬
вые ограничители. Установлено,
что в режиме постоянной скоро¬
сти с увеличением амплитуды и
частоты входного сигнала коэф¬
фициент усиления п угол опере¬
жения ПИ-регулятора уменьшаются. Концевые ограничители уменьша¬
ют коэффициент усиления и увеличивают угол опережения регулятора,
что способствует стабилизации системы регулирования.
Рис. 7-7. К определению характера ра¬
боты регулятора в пульсирующем ре¬
жиме.
7-3. ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ РЕГУЛЯТОРЫ АГРЕГАТНОЙ
УНИФИЦИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ (АУС)
Пневматические регуляторы получили большое распространение
в различных отраслях промышленности, особенно во взрывоопасных про¬
изводствах, и их начали использовать в теплоэнергетике.
Сейчас широко применяют пневматические регуляторы, построенные
по агрегатному (блочному) принципу. При таком построении системы
Регулирующий
орган
Регулируемый объенл?
Регулируемал
велииила
ИМ
Твых
Регулирующий £лон АУС
ЕН
-• эс
Ч
ОС
Ро.с
Иоманйное даНление
Ишочнин
////
питания
ВО
ЗА
Щитобой прибор
Рис. 7-8. Скелетная схема регулятора АУС.
167
Регулируемый объект
Рис. 7-9. Принципиальная схема пневматического регулятора АУС.
регулирования все ее элементы; датчики, задатчики, усилители, регули¬
рующие устройства, вторичные приборы и др. — представляют собой кон¬
структивно отдельные устройства (блоки), связанные между собой пнев¬
матическими линиями связи.
Скелетная схема одноимпульсного регулятора из блоков АУС приве¬
дена на рис. 7-8.
Регулируемая величина измеряется первичным прибором ПП и пре¬
образуется им в давление сжатого воздуха Рр.в. Задатчик ЗД через пе¬
реключатель П устанавливает давление сжатого воздуха Рзд. соответст¬
вующее требуемому значению регулируемой величины.
Давления Рр.в и Рзд подводятся к элементу сравнения ЭС регули¬
рующего блока, в котором размещен усилитель У, отключающее реле Р
и устройство обратной связи ОС. Выходное давление Рвых регулирующе¬
го блока поступает в пневматический исполнительный механизм ИМ.
Задатчик ЗД, который, как указывалось, при автоматическом регулиро¬
вании служит для дистанционного изменения задания регулятору, ис¬
пользуется также при дистанционном управлении исполнительными ме¬
ханизмами. Для этого регулирующий блок с помощью реле Р отключа¬
ется от исполнительного механизма, к которому подводится командное
давление от задатчика через переключатель П. Изменение командного
давления приводит к перемещению регулирующего органа.
Пневматическая система АУС может совмещать функции регули¬
рования и технологического контроля,.для чего она содержит вторичные
приборы ВП (указывающие и регистрирующие).
Регуляторы АУС могут реализовать П, ПИ, ПИД-законы регулиро¬
вания.
На рис. 7-9 приведена принципиальная схема пневматического ПИ-
регулятора. В качестве первичного прибора использован мембранный
дифманометр.
Прибор состоит из измерительного узла и механизма пневматической дистанцион¬
ной передачи, выполненного по схеме компенсации усилий. Измерительный узел со¬
стоит из двух мембранных металлических коробок 1 и 2, заполненных жидкостью и
являющихся чувствительным органом дифманометра. Наружные мембраны соединены
между собой стержнем 3, внутренние закреплены на массивном металлическом диске 4,
зажатом между фланцами разъемного металлического корпуса. Усилие на мембран¬
ных коробках 1 и 2, создаваемое измеряемым перепадом давлений, через стержень 3
и рычаг 5, качающийся на гибкой металлической мембране 6, передается механизму
пневматической дистанционной передачи. Мембрана 6 служит опорой и одновременно
выполняет также роль уплотнения рычага 5 при проходе его из измерительной полости,
находящейся под избыточным давлением, наружу. Таким образом, рычаг 5 является
выходным З'веном измерительного узла дифманометра.
Механизм пневматической дистанционной передачи состоит из узла управляемого
дросселя, образованного соплом 7 и дроссельной заслонкой 8; постоянного дросселя 9;
ме.мбранного усилителя мощности выходного сигнала, образованного камерами А, Б.
В, В', Г, мембранами 10, 11, 12, шариковыми клапанами 13, 14, 15 и пружинами 16,
17, 18\ узла отрицательной обратной связи, образованного сильфоном 19, промежуточ¬
ным рычагом 20 и подвижной опорой 21. При этом сопло 7 вместе с постоянным дрос¬
селем 9 образуют проточную камеру пневмопреобразователя, а камеры Б к В, мембра¬
на 10, шариковый клапан 13 и пружина 16 образуют устройство для поддержания по¬
стоянного перепада давлений на постоянном дросселе 9. Под действием измеряемого
перепада давлений на мембранных коробках 1 п 2 возникает усилие, которое через
стержень 3 и рычаг 5 вызывает перемещение дроссельной заслонки 8 относительно
сопла 7. Изменение зазора между соплом и заслонкой вызывает изменение давления
■оздуха в камерах В п В' усилителя; при этом сжатый воздух из линии питания по¬
ступает к постоянному дросселю 9, проходя предварительно через камеру Б и шари-
жйын клапан 13 устройства для поддержания постоянного перепада давления на
лросселе. Изменение давления воздуха в камере В вызывает прогиб мембран 11 и
О в изменение положения впускного 14 и выпускного 15 шариковых клапанов, а это
■ свою очередь вызывает изменение давления воздуха в выходной камере Г, а также
аа выходе прибора и в сильфоне отрицательной обратной связи 19. Изменение давле-
■н воздуха на выходе прибора будет продолжаться до тех пор, пока дроссельная
жяонка 8 под действием сильфона обратной связи 19 не займет такого положения
шаосятельно сопла 7, при каком усилие на сильфоне 19 не станет равным усилию
169
на измерительных мембранных коробках 1 к 2, умноженному на коэффициент рычаж¬
ной передачи. Путем перемещения опоры 21 вдоль рычагов 5 т 20 изменяются пределы
измерения. Установка начального значения выходного сигнала (0,2 кгс/см^ при нулевом
значении входного сигнала) производится предварительным натяжением пружины 22.
Сигнал от первичного прибора в виде давления воздуха Pp.в поступает в ре¬
гулирующий блок.
На вход блока поступает, кроме того, пневматический сигнал Рзд от задатчика.
Оба сигнала воздействуют на элемент сравнения ЭС (рис. 7-8) и далее на пневмати¬
ческое реле. В реле небаланс усиливается по мощности. Выходной сигнал реле подает¬
ся на сервомотор и, кроме того, через устройство обратной связи поступает в элемент
сравнения. Изменение выходного сигнала продолжается до тех пор, пока в результате
действия обратной связи вновь не наступит равновесие сил.
Принципиальные схемы различных блоков отличаются друг от друга, как пра¬
вило, лишь типом обратной связи, о.чватьгвающей пневмореле.
Регулирующий блок (рис. 7-9) состоит из суммирующего устройства С (камеры
£ и Ж), преобразовательно-усилительного устройства (с камерами Г, В. Б vl А), ка¬
меры отрицательной обратной связи Д, камеры основной положительной обратной
связи К, устройства дополнительной положительной обратной связи (камеры Н, М
и Д) и отключающего устройства (камеры П п О).
Сжатый воздух под давлением 1,4 кгс/см^' из линии питания поступает в камеру
А усилительного устройства и одновременно через постоянные дроссели 23 и 24 в ка¬
меру Г преобразовательного устройства и в камеру Л дополнительной положительной
обратной связи. Из камеры А через шариковый клапан 25 сжатый воздух может про¬
ходить в камеру Б усилительного устройства, в камеру отрицательной обратной связи
Д, в камеру основной положительной обратной связи (через регулируемый дроссель
диапазона дросселирования ДД) и в камеру О отключающего устройства, откуда через
клапан 26 и камеру Я —на выход блока. Часть сжатого воздуха из камеры Н может
проходить через регулируемый дроссель изодрома ДИ в камеру Л1 дополнительной
положительной обратной связи.
В измерительную камеру Е и задающую камеру Ж суммирующего устройства
поступают соответственно пневматические сигналы текущего значения регулируемой
величины (от датчика) и задания (от задатчика), изменяющиеся в пределах от 0,2
до 1 кгс/слР. В суммирующем устройстве указанные сигналы преобразуются в усилия,
которые алгебраически суммируются, в случае неравенства их друг другу возникает
сигнал рассогласования, который вызывает перемещение заслонки 27 относительно
сопла 28 и изменение давления воздуха в проточной камере Г пневмопреобразователя.
При оолностью закрытом дросселе изодрома ДИ и постоянном избыточном дав¬
лении в камере М блок работает следующим образом; при повышении давления
в камере Г полый шток 29 открывает шариковый клапан 25, что вызывает повышение
давления воздуха на выходе блока, которое будет продолжаться до тех пор, пока на
мембранном блоке 30 суммирующего устройства не возникнет усилие от действия
отрицательной и основной положительной обратных связей, пропорциональное сигналу
рассогласования и направленное в противоположном направлении (П-регулятор).
Настройка коэффициента усиления регулятора (диапазона дроссе¬
лирования) достигается изменением степени влияния основной положи¬
тельной обратной связи за счет большего или меньшего открытия дрос¬
селя ДД.
ПИ-закон регулирования осуществляется благодаря наличию допол¬
нительной положительной обратной связи, введение в действие которой
достигается путем открытия регулируемого дросселя ДИ. При полно¬
стью или частично открытом дросселе ДИ давление воздуха в камере М
постепенно становится равным давлению на выходе блока. Это давление
будет устанавливаться также и в камере Л, поскольку она вместе с ка¬
мерой М, гибкой мембраной 31, постоянным дросселем 24 и соплом 32
образуют пневматическое следящее устройство.
Как показано на рис. 7-9 камера Л дополнительной и камера К ос¬
новной положительных обратных связей сообщены между собой через
постоянный дроссель 33. Следовательно, при полностью или частично
открытом дросселе ДИ действие основной и дополнительной положитель¬
ных обратных связей суммируются в общий сигнал положительной об¬
ратной связи (давление воздуха в камере К), величина которого в со¬
стоянии равновесия равна сигналу отрицательной обратной связи и про¬
тивоположно направлена.
Таким образом, при полностью или частично открытом дросселе ДИ
действие отрицательной обратной связи постепенно снимается действием
170
положительной обратной связи. В результате при появлении сигнала
рассогласования выходной сигнал блока вначале принимает значение,
равное сигналу рассогласования, умноженному на коэффициент усиле¬
ния, а затем он постепенно увеличивается (или уменьшается) со скоро¬
стью, пропорциональной степени открытия дросселя ДИ, и достигает
установившегося значения при исчезновении сигнала рассогласования.
Время изодрома (время интегрирования) может изменяться путем
изменения степени открытия дросселя ДИ и является вторым параме¬
тром настройки регулятора. Значение времени интегрирования устанав¬
ливается вручную в пределах от 3 сек (при полностью открытом дрос¬
селе ДИ) до 100 минут (при полностью закрытом дросселе ДИ).
Отключающее устройство (реле) расположено в верхней части бло¬
ка. Одной из конструктивных особенностей блока является наличие в нем
пластинчатой пружины 34, усилие которой компенсирует усилие возврат¬
ной пружины 35 и вес мембранного блока 30. Сигнал из камеры И блока
поступает в мембранный исполнительный механизм.
7-4. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЕГУЛЯТОРОВ АУС
Рассмотрим динамические характеристики регулирующего блока,
реализующего ПИ-закон регулирования *.
На рис. 7-10 представлены принципиальная (а), скелетная (б) и
структурная (в) схемы блока.
Ррв
F
взд
ЭС
7
\
ПР
РВь
К,
'аас
Нп
Чпас Чооп^ |~7~[
6)
Рис. 7-10. Принципиальная и структурная схемы регулирующего блока.
Здесь приняты следующие обозначения:
Азд — камера, в которую поступает сигнал от задатчика
Др.в — камера, в которую поступает сигнал от датчика ре¬
гулируемой величины (Ё’р.в);
' А у 3 а н Р. А., X в и л е в и ц к и й Л. О. Структурные схемы современных пневма¬
тических регуляторов. — «Труды ЦНИИКА», 1961, № 3.
171
Ко.о.с, Ки.о.с, /Сз.п.о.с — камеры, Б которых формируются сигналы соответ¬
ственно отрицательной, положительной и запазды¬
вающей обратных связей;
ЭС — элемент сравнения; ПР — пневматическое реле;
F, / — площади мембран блока.
Остальные обозначения ясны из таблицы.
Элемент
Вход
Выход
Структура
Уравнение
•^вх“ • в Рзд
<?вх
С—У
98л
^ВХ “ f) -^вх
п Т
ЭС
^'п.О.в» ^0.0.с
Ид
9S.
Sq
'^Я = ?вх +
“Ь Яо.о.ч ^п.о.с
д
9п,о.с 9оо:С
гг D
Sq
Л и
■^вых ~ Рвых
г
—
Р*гыкО
J
ту
Хвих
Яо.о.с
’'вы*
<—
9о. ос ^
^0.0.Cj— ^^вых
^0.0.С
~ h
* j
1
Хвы*
Кя
Хвых
Хи
’вы.
7
’та
Ърл
♦ Состояние равновесия регулятора (контрольная точка) возможно лишь при отсутствии перепадов
на регулируемых дросселях, что Определяется условиями: 7’выхо~ Г’ц ^
Передаточная функция по каналу положительной обратной связи
имеет вид;
F.
Яп.о.а V * ' Ар^ J Т^р-\-\
Передаточная функция пневмореле, охваченного отрицательной об¬
ратной связью, с учетом того, что реле можно считать усилительным зве¬
ном с большим коэффициентом усиления {k-^oo), может быть представ¬
лена так:
^(А)пр<,.с =
К(р)о.,
Теперь структурную схему рис. 7-10,в можно представить в упрощен¬
ном виде (рис. 7-11), а передаточную функцию регулятора записать сле-
* Собственно пневмореле имеет характеристику с «насыщением» и узкой зоной
«линейности». Это позволяет линеаризовать систему «реле—обратная связь». Строго
говоря, такая система является достаточно сложной и требует специального рас¬
смотрения.
172
дующим образом:
^ - Хз, - ^ 1!- к (7)„р.о.с^ (/’)п.о.о
1
= -{F-f)
1 —
F-f
f \—k,\ 1
r./i+l J r,/;+l
f / 1 — yfe,
'-(^> + r,/i + i); T^p+x
F-f (T,p+X)(T2P+X)
— F plTj2P+T,+M-k,)]Ti’
Обозначим:
F-f
■ k;
Тогда
= k-
\—k, = k,.
K(n\ <- TC,p+X){T2P+^) _
— ^ p(TJ^p^T2 + k2Ti)
(Г,/>+1)(ГзР+1) __ k 7,p+ 1 T2P+X_
pi-a1 = />+t5t + ')
7,/- 7з
^+7Л +
\ к . к 1
Г Т2Р+Х
кг кгТ,р
и 11
. к2 Т,к2 +' .
Введем следующие обозначения:
к
— С -
kJi ST„
Т^Р+\
7г J\
Х^ + ЙГ+>
= А(/7)б.
Тогда
V
Здесь К(р)б — передаточная функция балластного звена, искажаю¬
щая «идеальный» закон регулирования.
Рис. 7-11. Упрощенная структурная схема регулирующего
блока.
173
си,рад/сек
1,0
Наличие в структуре регулирующего блока балластного звена при¬
водит к ограничению его области нормальных режимов ОНР (рис. 7-12).
Границы 7 и 2 ОНР определяются доступным в рег}/ляторе диапазо¬
ном изменения одного из параметров настройки — б. Семейство кривых S
ограничивает ОНР по частоте входного сигнала «сверху». Если частота
изменений входного сигнала и параме¬
тры настройки регулятора такие, что
«рабочая точка» попадает в ОНР, то
он достаточно точно реализует ПИ-за-
кон регулирования. Если же «рабочая
точка» находится вне ОНР, то пара¬
метры настройки регулятора следует
рассчитать с учетом полного выраже¬
ния передаточной функции /С(/о)р, при¬
веденной выше, и качество регулиро¬
вания в этом случае будет хуже, чем
при использовании «стандартного»
(идеального) ПИ-регулятора.
7-5. ПНЕВМАТИЧЕСКИЕ
РЕГУЛЯТОРЫ СИСТЕМЫ «СТАРТ»
Регуляторы системы «Старт» по¬
строены на универсальной системе эле¬
ментов промышленной пневмоавтома¬
тики (УСЭППА), которая состоит из
пневмосопротивлений, пневмоемкостей,
пневмореле, пневмоусилителей и дру¬
гих аналогов электрической аппарату¬
ры. Все эти элементы выполняют лишь
простейшие функции и не содержат
внутренних коммутаций. Монтаж элементов ведется на специальных
коммутационных платах, внутри которых проходят все каналы — возду¬
хопроводы, необходимые для соединения между собой всех элементов
в единую схему.
Такой «радиотехнический» печатный способ монтажа позволяет со¬
здавать компактные системы регулирования со схемами любой сложно¬
сти. Пневмоэлементы относительно просты но устройству, легко налажи¬
ваются и имеют сравнительно малые габариты.
Рис. 7-12. Область нормальных режи¬
мов ПИ-регулятора АУС.
Регулирующий
орган
Регулируемая
Se/шчина
Щи/тбой прибор
Ряс. 7-13. Скелетная схема регулятора на элементах УСЭППА.
174
Скелетная схема регулятора на элементах УСЭППА, нриведенная
на рис. 7-13, аналогична схеме регулятора АУС.
Регулируемая величина измеряется первичным прибором ПП и пре¬
образуется им в давление сжатого воздуха Рр.в- Задатчик ЗД через пере¬
ключатель П устанавливает давление сжатого воздуха Рщ, соответствую¬
щее требуемому значению регулируемой величины. Эти два давления
подводятся к регулирующему устройству, собранному на элементах
УСЭППА. Выходное давление Рвых поступает в пневматический испол¬
нительный механизм ИМ. Задатчик ЗД используется также для дистан¬
ционного управления исполнительным механизмом; с помощью переклю¬
чателя П командное давление, минуя регулирующее устройство, посту¬
пает непосредственно в исполнительный механизм, что приводит к пере¬
мещению регулирующего органа. Пневматическая система «Старт» мо¬
жет аналогично системе АУС совмещать функции регулирования и тех¬
нологического контроля, для чего она комплектуется вторичными прибо¬
рами ВП.
Регуляторы «Старт» могут реализовать П, ПИ, ПИД-законы регули¬
рования.
Рассмотрим схему регулирования и принцип действия пропорцио¬
нального регулятора, у которого измерительным органом (первичным
прибором) является манометр тина МПД (рис. 7-14).
Плдшав
Прибор состоит из узла измерительной манометрической пружины и механизма
пневматической дистанционной передачи, выполненного по схеме компенсации пере¬
мещения, с сильфонным усилителем.
Измеряемое давление или разрежение действует на измерительную пружину I,
свободный конец которой перемещается в пределах нескольких миллиметров и через
рычаг 2 и винт 3 изменяет зазор
между дроссельной заслонкой 4
и соплом 5. Изменение зазора
между соплом и заслонкой вызы¬
вает постепенное изменение давле¬
ния воздуха, поступающего в про¬
точную камеру из линии питания
через постоянный дроссель 6. Это
в свою очередь вызывает посте¬
пенное изменение давления возду¬
ха под кожухом 7 усилителя, под
кожухом 8 узла отрицательной
обратной связи и на выходе при¬
бора. Изменение давления возду¬
ха на выходе прибора будет про¬
должаться до тех пор, пока силь-
фон 9 посредством штока 10 не
передвинет сопло 5 вслед за дрос¬
сельной заслонкой 4, которое зай¬
мет новое положение опять вбли¬
зи заслонки,,но не дойдет до нее
на такой зазор, который обеспечит
необходимую величину давления
над сильфоном 9, чтобы удержать
сопло в новом равновесном поло¬
жении.
Таким образом, давление воздуха на выходе прибора будет изменяться пропор¬
ционально перемещению свободного конца манометрической пружины 1 и, следователь¬
но, пропорционально измеряемому давлению или разрежению, т. е. отклонению регу¬
лируемой величины. Выходной сигнал датчика контролируется показывающи.м мано¬
метром 7/ и по командному трубопроводу передается на вторичный измерительный
прибор или регулирующий блок.
Механизм пневматической дистанционной передачи через фильтр и редуктор пи¬
тается сжатым воздухом с постоянным давлением 1,2 кгс!см7, контролируемым мано¬
метром 12. Сильфонный усилитель уровня и мощности выходного сигнала состоит из
наружного кожуха 7, наружного и внутреннего сильфонов 13 и 14, штока 15, тарель¬
чатого клапана 16, выходной камеры 17, впускного и выпускного, сопл 18 и 19.
Принцип действия усилителя состоит в следующем.
Изменение давления воздуха под кожухом вызывает перемещение общего дна
сильфонов 13 и 14. Полость между наружным и внутренним сильфонами сообщена
175
давлелие
Рис. 7-14. Манометр типа МПД.
с атмосферой; полость внутреннего сильфона сообщена через камеру 18 с выходным
давлением датчика. Так как эффективная площадь наружного сильфона в 4 раза боль¬
ше эффективной площади внутреннего сильфона, то давление воздуха в камере над
сильфоном 13 и перед соплом 5 всегда будет в 4 раза меньше, чем давление воздуха
на выходе датчика (внутри сильфона 14) и не будет превышать 0,25 кгс/смА. При таком
давлении реакция струи выходящего из сопла воздуха практически не будет оказывать
никакого вредного влияния на работу дроссельной заслонки 4, чем существенно по¬
вышается точность работы пневмопреобразователя.
Конструктивная (а) и скелетная (б) схемы пропорционального ре¬
гулятора изображены на рис. 7-15. Он реализует П-закон, т. е.
Хвых.р = —kx^-a.-p,
где Хвых.р — регулирующее воздействие;
Хвх.р — относительное изменение регулируемой величины; (Хвых.об);
k — коэффициент усиления (неравномерности) регулятора.
Регулятор содержит (рис. 7-15,а); элемент сравнения — мембранный
сумматор ЭС-1; дроссельный сумматор ДС; мембранный сумматор ЭС-И;
усилитель мощности УМ; ручной задатчик РЗ; исполнительный меха¬
низм ИМ.
На вход сумматора ЭС-1 поступают сигналы давления воздуха:
Рр.в — пропорционального регулируемой величине (от датчика — пер¬
вичного прибора;)
Рзд —от задатчика (установленного в щитовом приборе), определяю¬
щего требуемое значение регулируемой величины;
Рр.зд — от ручного задатчика (корректора).
Давление Рр.зд (в литературе получившее название «давления кон¬
трольной точки») изменяется при воздействии на винт ручного задатчика
и определяет положение сумматора ЭС-/ при неподвижном регулирующем
органе, т. е. обеспечивает соответствие положения регулирующего органа
(исполнительного механизма) заданному значению регулируемой вели¬
чины. Иными словами, устанавливается первоначальное положение ре¬
гулирующего органа при требуемом значении регулируемой величины.
Условие равновесия мембранного сумматора ЭС-1\
Р р.в Р ЗД + Т^р.ЗД =
где Рр — сигнал рассогласования, поступающий в дроссельный сумма¬
тор. Усилия, развиваемые давлениями в крайних (верхней и нижней)
камерах, всегда взаимно компенсируются.
Обозначив
Др.В—Р зд=Двх,
где Рвх является входным сигналом регулятора, получим:
Рр = Рвк-\-Р р.зд-
В дроссельном сумматоре при равновесии сумматора ЭС-И расход
воздуха через регулируемый дроссель ДР равен расходу воздуха через
постоянный дроссель ДИ. Обозначая проводимости этих дросселей со¬
ответственно через а и р и принимая пропорциональную зависимость
расхода воздуха через дроссель от перепада давлений на нем, можем
записать:
С^ = а{Р,-Р,)
и
Gp = р (Pq — ^вых).
где Ро — давление воздуха, поступающего в сумматор ЭС-П-,
Рвых — давление воздуха, поступающего из усилителя мощности на
вход дроссельного сумматора (обратная связь регулятора).
176
Рис. 7-15. Схема пропорционального регулятора на элементах УСЭППА.
Выше было сказано, что расходы воздуха через дроссели в состоя¬
нии равновесия равны:
G -G,,
т. е.
или
о {Рр Ро) — ^(Ро Рвых).
Р — ° Р ^ р
р -1- „ р г-вых-
Обозначим:
«+ Г
k — Р
'"=-а+р-
Очевидно, что ki + h=\.
На вход мембранного сумматора ЭС-П поступают сигналы давления
воздуха Рр.зд от ручного задатчика и результирующий сигнал Ро,
являющийся 'Суммой двух сигналов, один из которых (Т’вых) — сигнал
отрицательной обратной связи с «ыхода усилителя мощности.
Равновесие мембранного сумматора ЭС-П определяется условием
Pq = P р.зд-
С учетом последнего уравнения записываем:
р — “ р _i__L р
Р-ЗД ^ а + р Т- я ..j. Р ^вых-
Подставив в это уравнение значение Рр = Рвх + ^р зд. получим:
Рр.ЗД = я + Р -^р.зд) + я + р ^ВЫХ-
После преобразований находим зависимость выходного сигнала Рвых
регулятора от входного Рвх-‘
Р — р ^ р
■'^вых •■'^р.ЗД р ■'^вх*
Обозначив a/^=k, получим уравнение регулятора:
Р ВЫХ = kP вх + Р р.зд-
Это уравнение совпадает с основным законом П-регулятора при
Хвх.р = Рвх = Рр.В Рзд
-'-вых.р = Р ВЫХ Р р.зд-
Постараемся выяснить физический смысл этих уравнений.
Согласно закону регулирования нулевое значение отклонения регу¬
лируемой величины Хвх.р от задания возможно только при нулевом зна¬
чении выходного сигнала Хвых.р регулятора, т. е. при минимальной на¬
грузке объекта.
Однако, как правило, в практике текущее значение регулируемой
величины должно соответствовать заданному при промежуточной на¬
грузке. Введя в конструкцию пневматического (регулятора ручной за¬
датчик, мы можем, как указывалось выше, скорректировать выходной
сигнал регулятора Явых до такой величины, при которой Явх будет
равно нулю на любой заданной нагрузке регулируемого объекта.
178
с учетом этого полученное уравнение можно записать так:
Рвых — kP ВХ + Р ВЫХО,
где Рвыхо —начальное значение выходного сигнала регулятора, при
котором текущее значение регулируемой величины равно ее требуемому
(заданному) значению.
Таким образом, при отклонении регулируемой величины Рр.в (на¬
пример, увеличении) изменяется давление в камере В сумматора ЭС-1,
что приводит к нарущению баланса усилий, действующих на его блок.
Последний, перемещаясь в зав)Иснмости от знака разбаланса (напри¬
мер, вниз), изменяет положение заслонок относительно сопл, что приво¬
дит к изменению (например, к увеличению) давления воздуха Рр на
выходе сумматора ЭС-1.
Это да1вление, поступая в камеру Б обратной связи, одновременно
суммируется на дроссельном сумматоре с выходным давлением Рвых
регулятора. Суммарное давление поступает в камеру Б отрицательной
обратной связи сумматора ЭС-П. Равновесие блока мембранного сум¬
матора ЭС-П, а следовательно, и регулятора в целом возможно лищь
при компенсации усилий, развиваемых давлениями Ро и Рр.зд. При
изменении сигнала рассогласования Ро (например, при увеличении)
равновесие блока нарущается, изменяется (уменьщается) выходное дав¬
ление воздуха из сумматора ЭС-П, усилитель мощности изменяет
(уменьщает) величину выходного давления Рвых-
Последнее воздействует на пневматический исполнительный меха¬
низм, перемещающий в соответствующем направлении регулирующий
орган объекта.
Одновременно выходной сигнал ■^BbiXj 'ПОСТуПЗЯ 'Б ДрОССбЛЬНЫЙ сум-
матор и далее в камеру Б отрицательной обратной связи сумматора
ЭС-П, восстанавливает равновесие его мембранного блока.
Характер и величина изменения выходного сигнала Рвых регуля¬
тора определяется степенью открытия регулируемого дросселя ДР, т. е.
велич1Иной коэффициента усиления k регулятора.
Усиление пневматического сигнала в регулирующем устройстве,
как' указывалось, достигается охватом сумматора ЭС-П отрицательной
обратной связью. Однако при этом возникают автоколебания, для по¬
давления которых применяется дополнительная демпфирующая обрат¬
ная связь, действие которой проявляется лищь в переходных режимах.
Устройство этой связи на рис. 7-15,а не показано.
После изменения нагрузми объекта новое состояние равновесия си¬
стемы регулирования будет при новом положении регулирующего орга¬
на, т. е. при новом значении выходного давления Рвых-
Пусть, например, Рвых стало меньще. Исходя из уравнения статики
мембранного сумматора ЭС-П:
— “ Р -I-
^ р-зд — а + р ^ р “ 5ДГр '
должен стать больще сигнал Рр, поступающий в сумматор ЭС-1 (вели¬
чина давления Рр.зд постоянна; она может быть изменена только
вручную).
Однако условие равновесия мембранного сумматора ЭС-1 имеет
вид:
Р р.в Р зд + Рр.зд = Р р,
откуда следует, что при постоянных значениях Рзд и Рр.зд должно увели¬
чиваться и значение регулируемой величины Рр.в. Таким образом, каж¬
дому значению нагрузки Рвых соответствует свое значение регулируемой
величины Рр.в, т. е. регулятор, как уже указывалось, имеет остаточную
неравномерность.
12* 179
Условные обозначения:
сброс в атмосферу
Рис. 7-16. Схема пропорционально-интегрального регулятора на элементах УСЭППА.
Рассмотрим принцип действия и схему ПИ-регулятора (рис. 7-16).
Как известно, ПИ-регулятор реализует закон регулирования
-’('вых.р — АлГвх.р 4";
Xnx.v>dt 1
где Хвых.р —регулирующее воздействие;
л^вх.р — относительное изменение регулируемой величины (Хвых.об);
k — коэффициент усиления (неравномерности) регулятора;
Ти — «ремя интегрирования.
Первичный прибор — манометр аналогичен описанному выше.
Собственно регулирующее устройство состоит из трех элементов
сравнения (мембранных сумматоров ЭС-/, ЭС-П, и ЭС-///), дроссельного
сумматора, регулируемого дросселя ДИ, объема V и усилителя мощ¬
ности.
Регулятор построен по схеме параллельного включения пропорцио¬
нальной и интегральной компонент. Пропорциональная часть устройства
представляет описанный выше П-регулятор без ручного задатчика.
'Хвх
тр+1
Хвык
^Вых.й
К(р)ас=^
Апериодическое
звено
г;
а)
В атмоареру
б)
Рис. 7-17. Структурная и принципиальная схемы пневматического интегрирующего звена
и его кривая разгона.
Интегральная часть реализуется с помощью охвата апериодического
звена — дросселя ДИ и объема V единичной положительной обратной
связью (камера Е) и содержит мембранный сумматор ЭС-111.
Предварительно рассмотрим отдельно интегральную часть регуля¬
тора. На рис. 7-17 приведены структурная и принципиальная схемы
интегрирующего пневматического звена. Зависимость между выходной
и входной величинами апериодического звена, охваченного обратной
связью, при /С(р)о.с=1 имеет вид;
1
К(р)п ^и7+1 _ 1
‘^^Ph—i-K(p)nK{p)a.n~~
1
7и£+ 1
ТпР
181
Реализовать эту математическую зависимость можно с помощью
регулируемого дросселя ДИ, объема V (апериодическое звено) и мем¬
бранного сумматора (усилителя с коэффициентом усиления А=1)
ЭС-П1 в качестве устройства обратной связи.
Сигнал на выходе усилителя
Рвх.а — Pp.в—Рзд является ВХОДНОЙ ВС-
личиной апериодического звена. При подаче в камеру Д усилителя вы¬
ходного давления Рц реализуется вышеприведенная структура. Объем
емкости V и сопротивление дросселя ДИ определяют постоянную вре¬
мени интегрирования Т^. Таким образом, если дроссель ДИ открыт, то
входной сигнал Рр.в—Рзд развивает на мембранном блоке ЭС-1П уси¬
лия, которые сравниваются с усилиями, развиваемыми в камерах отри¬
цательной обратной связи Б и запаздывающей положительной связи
через дроссель ДИ.
При разбалансе усилий на блоке последний переместится вверх или
вниз, что приведет к перемещению заслонок относительно сопл и вызо¬
вет изменение давления на выходе сумматора (из камеры Е). В ре¬
зультате возникает перепад давлений на дросселе ДИ; под действием
этого перепада давление в камере Д также начнет изменяться, стре¬
мясь к значению выходного давления мембранного сумматора (каме¬
ра Е). Это вновь вызовет разбаланс усилий на блоке. Скорость измене¬
ния выходного давления Ри интегральной части регулятора будет про¬
порциональна величине входного сигнала Р'р.ь—Рил и степени открытия
дросселя ДИ.
Под временем интегрирования (временем разгона) интегрирующе¬
го звена принимается время Ги, в течение которого выходная величина
звена Ри достигнет значения, численно равного ступенчатому возму¬
щению.
Если, например, в момент времени снять возмущение Рр.в—
—Г’зд=0, то на выходе интегральной части регулятора установится но¬
вое давление Ри, отличное от первоначального (до момента времени
7 = 0).
Перейдем к рассмотрению схемы ПИ-регулятора в целом. Сиг¬
налы от первичного прибора—регулируемой величины Рр.в и от за¬
датчика Рзд поступают одновременно в пропорциональную часть
(мембранный сумматор ЭС-1) и в интегральную часть (мембранный
сумматор ЭС-111). Вместо сигнала от ручного задатчика Рр.зд в сум¬
маторы ЭС-1 и ЭС-П поступает сигнал Ри из интегральной части регу¬
лятора.
Пропорциональная часть регулятора не отличается от рассмотрен¬
ного выше П-регулятора.
При Рр.в=Рзд система находится в равновесии и на выходе регу¬
лятора давление Рвых определяет положение регулирующего органа
в соответствии с данной нагрузкой объекта. При изменении производи¬
тельности или нагрузки объекта возникает небаланс Рр.в—Рзд, который,
как указывалось, воздействует одновременно на пропорциональную и
интегральную часть регулятора. Дальнейшее преобразование входного
''игнала в обеих частях регулятора происходит так, как это описыва¬
лось выше при рассмотрении П-регулятора и интегральной части
ПИ-регулятора. По окончании переходного процесса, в результате кото¬
рого установится новая производительность объекта, выходное давле¬
ние Рвых будет иметь новое значение, соответствующее новому положе¬
нию йсполнительното механизма и регулирующего органа при прежнем
значении регулируемой величины Рр.в.
В самом деле, новое значение Рвых возможно при новых значениях
Ро и Ри, уравновешивающих блок мембранного сумматора ЭС-П. Но
в состоянии равновесия отсутствует перепад давлений на дросселе ДИ
интегральной части регулятора, т. е. Ри—Рвх.а. Условие равновесия мем-
182
бранного сумматора ЭС-111 имеет вид:
Рр.в—Г*зд + Ри—Pbx.sl = о
или
Р р.в—Р ЗД = Г* вх.а Рч-
Таким образом, если Ри=Рвх.ч, то должно соблюдаться и равенство
Рр.в = Р зд,
Т. е. регулируемая -величина -возвращается к своему -прежнему значе¬
нию, в отличие ОТ П-регулятора остаточная неравномерность отсутству¬
ет. Отсюда, кстати, следует, что равновесие сумматора ЭС-1 при новой
нагрузке объекта возможно только при Рр = Ри в отличие от П-регуля¬
тора, где РрфРр.зд-
7-д. ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РЕГУЛЯТОРОВ «СТАРТ»
Структурная схема ПИ-регулятора представлена на рис. 7-18,а.
Здесь элементы сравнения ЭС-/ и ЭС-1П, охваченные отрицательной
жесткой обратной -связью (через камеры Г), замещены -в струк'Гурной
схеме сумматорами, а элемент -сравнения ЭС-//, непосредственно -неохва¬
ченный обратной связью и работающий как нуль орган (реле), замещен
усилительным звеном с коэф-фициентом усиления —>-оо и предвклю-
ченным -сумматором.
Комбинация дросселя ДЯ и объема V замещена апериодическим
звеном с передаточной функцией
К (Г)и= , •
Совокупность дросселя ДД и подключенной к нему камеры эле¬
мента сравнения ЭС-П образуют дроссельный сумматор (рис. 7-18,6).
Дроссель Дб и емкость камеры В элемента сравнения ЭС-П заме¬
щены апериодическим звеном с передаточной функцией
^ (Г)б — Т(,р+\-
Допустим, что усилитель мощности V (рис. 7-18,а) представляет
собой идеальное усилительное звено с передаточной функцией Д(р)у=1.
Определим передаточную функцию ПИ-регулятора, соответствую¬
щую этой структурной схеме.
Выше было показано, что передаточная функция интегральной
части регулятора (включая элемент сравнения ЭС-1 II) имеет вид:
^ (r)i — ТвР-{-\-
Найдем передаточную функцию выходной части регулятора — эле¬
мент сравнения ЭС-П и усилитель мощности, шунтированные двумя
(отрицательной и положительной) обратными связями:
К 1г}\ — (А) у
А VT'K—(А)уК(А)о.о’
где
К (р)о.в =^-К(р),-{-К (р)с = - 1 + - т^ТГ •
Тогда
К(п\ feaKl;/), _ Т,р + \
\F)i , Гл \ Г.р + 1
l-k,K(p)y (^- + i
183
эс-т
т
Сопло-засломпа
/Титание
-)|| Атмосдзера
@ Объём
а.)
—ki. Дроссель постоянль/й'
— Дроссель регулируемый
—I > I— Усилитель мощности
>^зд
I Xpg.
4-
SO-I
Ъ,Р*1
ДроссельДя '^(Ph
и объём У
R(pkc=l
Уерез камеру А
Ф)г-
]рд1_
I
I
I ЖЛ — I I
Д Дроссельный'
сумматор
J
эс-л
Г
Усилитель
мощности
L
Ф)у=Г
Хбмх
+
щ=1
Через /
номеруй
Через камеру Д
Через камеру ДД
Ю
Рис. 7-18. Структурная схема ПИ-регулятора «Старт».
+
>^вх
J<1
K(P)2-jp*i
-6^
г
184
Рис. 7-19. Преобразованная структурная схема ПИ-регулятора.
Так как —<■ оо, то можно зашсать:
Тогда структурная схема регулятора примет вид, представленный
на рис. 7-19. Найдем передаточные функции частей этой схемы:
а) от точки а до точки б:
'CW.=XW.-i = T^^-i=-^;
б) от точки б до точки г:
К(р), = К
К iPh К iPU
1 + К (Ph К {P),k2
fei (ТбР +1)
_ - k,(T,p+l)(Tp+\)T^
(Тр + 1) Т^р (ТТ,р^ + Т,р + к^т^р + к2) тт^р‘ + rai + Й2) р + к2 '
в) от точки в до точки г — звено K{p)^ охвачено двумя звеньями
обратной связи кг и К{р)г-
Rip),
К (Р)4,
1 +
^ +К(р)дк2К(р)2
(7бР+1)(7/>+1)
1
1
■ 7’7’вГ^+Гб (1 + йг) Р-ь йг’
7р+1 }
Таким образом, передаточная функция ПИ-регулятора может быть
записана в следующем виде:
Л{р)
+
П - Тар -
Г *1(7бР+1)
ТшР
[ ГГб/>^ + Гб(1+й,)/^ + Й2
+
(Гб/>+1)(Г/7+1)
ТвР '
ГГбГ^ + Гб(1 +k2)P + k2^
Так как к^-З^- к^ — то после пресбразсваний получим:
Z^/„4 _ (kJa + T)p + k2 Гб/^+1
T.D
ТаР 7ГбГ^ + Гб(1+А,)/7 + Й2 •
Если принять Т1к^=Т^ и k,jk^=^ljb, то после пресбразований получим:
ад.= [(1-+^)-
Здесь
Тар .
7бР+1
Г 1
Ai+?r)+т^|г] = (с. + ^) = ^< <^)»
185
■передаточная функция «идеального» регулятора
д -ГГи ’ "“Ти +
Т,Р+1
f 1
= К{р),
— передаточная функция балластного звена.
На рис. 7-20 приведены области нормальных режимов ОНР
ПИ-регуляторов (а) и П-регуляторов (б). Наличие балластного звена
их, рад/сек
1,6
UJ, рад/сек
16
1,2
0,8
О
N
Т^Зсек
S
ОНР
%
^0-2
и
КО
0.8
0,6
О.д
0.2
О
/
S
/
Чг
-J
/
л
/ ОНР
/
/
/
Л
/
/
1
2
/
/
>
т т 01 0203 W 2,03,0 w гозо
а)
0.01 0.03 0,1 0,2 0,3 1.0 2.03.0 W 2030
6)
Рис. 7-20. Области нормальных режимов ПИ- и П-репуляторов «Старт».
приводит к ограничению ОНР. Границы / и 2 определяются доступны-
мп в регуляторе пределами .изменения б. Кривые 3 ограничивают ОЯР
по частоте входного сигнала, что вызвано наличием паразитной инер¬
ционности в элементах регулятора.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
8-1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ
При нарушении равновесия системы автоматического регулирова¬
ния каким-либо воздействием (управляющим или возмущающим) в ней
возникает переходный процесс, характер которого зависит от свойств
системы и от вида воздействия.
В переходном процессе различают две составляющие: первая — это
свободные движения системы х(/)с, определяемые начальнымй усло¬
виями и свойствами системы; вторая — это вынужденные движения
x(/)b, определяемые возмущающим воздействием и свойствами системы.
x(t) =x(t)c+x{t)B,
где x{t)—-общее решение дифференциального уравнения линейной си¬
стемы регулирования.
Математически условие устойчивости системы представляет собой
требование обращения в нуль составляющей х(/)с при неограниченном
возрастанием времени с начала переходного процесса, т. е.
lim X (/)с -*■ 0.
^->•00
186
Таким образом, под устойчивостью системы понимается ее свойство
возвращаться к равновесному состоянию после устранения возмущения,
нарушившего ее равновесие.
При аналитическом исследовании системы регулирования необхо¬
димо знать ее дифференциальное уравнение, решить его и тем самым
найти закон изменения во времени регулируемой величины. Рассмотрим
общее дифференциальное уравнение линейной системы автоматического
регулирования. Так как свободное движение линейной системы описы¬
вается однородным дифференциальным уравнением, т. е. уравнением
без правой части, то, следовательно, для определения условий устойчи¬
вости системы необходимо исследовать такое уравнение.
Свободные колебания простейшей линейной замкнутой системы
автоматического регулирования могут быть описаны линейным одно¬
родным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициен¬
тами:
d”x , I I „ t/x I „ „ ^ /о i\
"I" ” ( )
ИЛИ В операторной форме
(Oop" + aip"-i+ ... +a„_ip + a„)AJ(p) =0. (8-la)
Для тото чтобы выяснить поведение системы регулирования, т. е.
определить, будет ли она устойчива, надо найти общее решение диффе¬
ренциального уравнения (8-1).
Решение такого линейного дифференциального уравнения ищут
в форме
(8-2)
где А и г —числа, которые надо о'пределить так, чтобы, подставив ре¬
шение (8-2) в уравнение (8-1), обратить его в тождество.
Подставим значения x—Ae^t, dxldt=Are^t и т. д. в уравнение (8-1):
aoAr"e’-‘ + aiAr«-‘e’-‘+ ... +a„_iAre'-<+a„Ae’‘=iO.
Сокращая это уравнение на Ае’’\ получаем алгебраическое уравне¬
ние, которое называют характеристическим:
aor« + air"-‘+ ... +й„_1Г+а„=0. (8-3)
Сравнивая уравнение (8-3) с уравнением (8-1а), можно видеть, что
оно получается заменой р на г. Поэтому в дальнейшем будем рассма¬
тривать характеристическое уравнение в форме
aoP'^ + aip^-t+ ... +ап-1р+ап=0. (8-За)
Найдем корни характеристического уравнения р=ри р=рг и т. д.,
которые обращают его левую часть в нуль.
Предположим, что все корни этого уравнения различны; тогда
общий интеграл исходного дифференциального уравнения может быть
записан так:
;с = + ... + Aj'f = 2 AJ-*, (8-4)
fe=i
где Аи Лг, ..., Л„ — постоянные интегрирования, зависящие от началь¬
ных условий.
Корни характеристического уравнения могут быть вещественными
(положительными, отрицательными или равными нулю) или комплекс-
187
ными (у которых вещественная часть положительна, отрицательна или
равна нулю).
Рассмотрим все эти рещения.
1. Пусть корень — вещественный; тогда возможны три случая;
Случай 1: pn<tO.
Слагаемое Айв при А — схэ будет стремиться к нулю.
Случай 2: /7^ = 0.
Слагаемое А^е будет иметь постоянное значение.
Случай 3: рк'>0.
Слагаемое при >-oo будет неограниченно расти.
2. Пусть корень рй— комплексное число а + г'р. Тогда должен суще¬
ствовать второй корень pk+i=a—г'р, ему сопряженный. Постоянные ин¬
тегрирования Ak и Ak+i в общем 'Случае должны быть сопряженными
комплексными числами. Отсюда пара сопряженных корней (если поло¬
жить Ak=u—bi и Ah+i = a + bi) дает в составе уравнения (8-4) член
РьС
={а — Ы)е -\-{aArbt)e
= — ibe^^^ + гбе"'^') = [а cos + а cos р/ +
+ 6 sin р/ 4- 6 sin р/) = (2а cos р/ 4* 26 sin р/) = {А cos Р^ + ^ sin р/), (8-5)
где Л = 2а и В—2Ь.
Теперь можно рещение уравнения (8-1) записать так:
ft—1
л: (/) = 2 (Ai cos р^А 4- рг sin РгО + 2 •
(8-4а)
(=1
i=ft
Функция O—Aie^*^^ может иметь (разные формы изменения во
времени (рис. 8-1,а).
Функция ^=6“®^ (Л/cos Pi/+Pi sin Pf^) определяет колебательное
движение; трафик изменения F представлен на рис. 8-1,6.
При а<0 колебания затухают; при а>0 амплитуда колебаний
с ростом 1 неограниченно растет; при а=0 имеют место незатухающие
J
Aia
1л
Ф
\
Aie -oLit
О
t
Aia
±
Ф
Xi =Aie-^P^*
а)
Рис. 8-1. К пояснению устойчивости системы.
колебания с постоянной
амплитудой.
Таким образом, зна¬
чение X в уравнении
(8-4а) при t—>-оо стре¬
мится к нулю только в
том случае, если все ве¬
щественные корни р ха¬
рактеристического урав¬
нения системы и веще¬
ственные части а всех
комплексных корней от¬
рицательны. Значение х
неограниченно растет,
если хотя бы один из кор¬
ней имеет положительную
вещественную часть.
Система автоматиче¬
ского реглирования устой¬
чива в том случае, когда
18 8
-ce+iJS
0 "
-а у
Ifi
a.ifi
0
а
« —0-'
0
о /
-0.-1^ ;
-ifi
Рис. 8-2. Пример располо¬
жения корней на комплекс¬
ной плоскости.
X С течением времени стремится к нулю, и не¬
устойчива, если х при /—>-оо неограниченно
растет или совершает незатухающие коле¬
бания.
Если отложить в прямоугольных коорди¬
натах (рис. 8-2) по оси абсцисс вещественные
части, а по оси ординат — коэффициенты при
мнимых частях корней характеристического
уравнения, то в этой плоскости каждому кор¬
ню будет соответствовать точка. Веществен¬
ные корни определяют точки на оси абсцисс,
мнимые — точки на оси ординат, а пара
ко-мплексных сопряженных корней —две точ¬
ки, расположенные симметрично относительно
оси абсцисс.
Таким образом, для того чтобы линейная
система автоматического регулирования была устойчива, необходимо
и достаточно, чтобы корни характеристического уравнения системы на¬
ходились в комплексной плоскости корней слева от мнимой оси.
Если хотя бы одна точка лежит справа от мнимой оои, то система
неустойчива. Если же точки лежат на мнимой оси, то система нахо¬
дится на границе устойчивости; следовательно, для суждения об устой¬
чивости системы регулирования нет необходимости вычислять все корни
характеристического уравнения. Достаточно лишь выяснить, все ли они
расположены слева от мнимой оси.
При исследовании устойчивости системы возможны две постановки
задачи.
Первая сводится к тому, что если известны все заданные, кон¬
структивные и настроечные параметры системы регулирования, то нуж¬
но определить — будет ли система устойчива. Решение этой задачи до¬
стигается с помощью критериев устойчивости.
Задача во второй постановке предполагает известными некоторые
параметры (например, заданные и конструктивные). Рещение этой за¬
дачи сводится к определению пределов изменения остальных параметров
(например, настроечных), обеспечивающих устойчивость данной систе¬
мы. Это достигается построением областей устойчивости (или Д-раз-
биением).
8-2. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
Для анализа системы авто.матического регулирования, все параме¬
тры которой известны, используются различные критерии устойчивости,
которые определяют условия, необходимые и достаточные для того, что¬
бы корни характеристического уравнения имели отрицательную веще¬
ственную часть. Рассмотрим без доказательства некоторые критерии,
которые позволяют проверить устойчивость системы, не находя значений
корней характеристического уравнения.
Эти критерии устойчивости были предложены Раутсом, Гурвицем,
Неймарком и др.
В 1877 г. Раутсом были найдены условия устойчивости для систем
регулирования, описываемых линейными дифференциальными уравне¬
ниями с постоянными коэффициентами любого порядка, характеристи¬
ческие уравнения которых имеют следующий вид;
а.пр'^ + ап—\р'^~^ ■+ ... -f а.2р^‘-\-а\р -Ь Со=0.
Критерии устойчивости, предложенные Раутсом и Гурвицем, по
существу не отличаются друг от друга, легко выводятся один из друго¬
го, но форма критериев различна.
189
Критерий Неймарка отличается от критериев Раутса и Гурвица
лишь формой записи.
Критерий устойчивости Раутса — это правило, определяющее по¬
следовательность операций над коэффициентами характеристического
уравнения системы, в результате которых можно вынести суждение об
устойчивости данной системы автоматического регулирования. Для
'Пользования этим критер'ием необходимо составить таблицу Раутса.
Пусть характеристическое уравнение исследуемой системы:
aop" + aiP"-*+ ... -fa„-iH + a„=0.
Таблица Раутса составляется следующим образом (см. табл.):
1) первая строка составляется из коэффициентов уравнения с чет¬
ными индексами;
2) вторая строка —из коэффициентов с нечетными индексами;
3) третью строку получают перекрестным умножением первых двух
строк и делением па первый элемент предыдущей строки;
4) все последующие строки получают аналогично из двух предыду¬
щих строк.
После составления таблицы и подсчета ее элементов используется
критерий Раутса, который гласит: для того чтобы оистема автоматиче¬
ского регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы
все элементы первого столбца таблицы, составленные из коэффициентов
характеристического уравнения системы, были отличны от нуля и име¬
ли один и тот же знак:
а,
Д] Да — Др^з
~ Д,
ДлДз — ДЩзз
41 — Tt '
Дз1
а.
апо =
Если йо отрицательно, то всегда можно сделать его положитель¬
ным, умножив обе части характеристического уравнения на —1. Состав¬
ление таблицы Раутса следует прекратить, как только первый элемент
какой-либо строки окажется отрицательным или равным нулю.
Таблица Раутса
S
Л'» столбца
1
2
3
4
1
До
а.
Д4
Дб
2
Д,
Дз
Д5
д,
3
ДЩа — ДоД-з
Д,Д4 — Д0Д5
Д,Де — Д„Д,
- Д]
-
д,
4
Д31Д3 Д]Дз2
^31^5 <3ц2зз
Д31Д7 — Д] Д34
....
~ Дз1
^31
Д43 — „
Дз1
Дз.
5
Д41Д32—Д31Д42
^41<^33 <^^31^43
Д41'Дз4—Д31Д44
Д51 — „
Д41
Д4.
Д53 — „
Д41
Д4.
6
190
Рассмотрим численный пример. Проверить устойчивость системы, имеющей харак¬
теристическое уравнение
5р‘-Ь 8р9+9р2 4р _]. 1 = 0.
Составляем таблицу Раутса:
№ столбца
Си
1
2
3
1
1
9
5
2
4
8
0
3
4-9— I-8
«3, - 4 - 7
«32
4.5— ЬО
4 -4.75
«33
4.0—10 „
- 4 -0
4
7-8-4.4,75 ^ „
«41 — у 5,3
«42 -
7.0 —4.0
= у -0
Й43 -
7.0 —4.0
- у -0
5.3.4.75 —7-0
«52 =
5.3.0 —7.0
П
0
0
5,3
5.3
Элементы первого столбца равны; 1; 4; 7; 5,3; 4,75, т. е. все они положительны
и отличны от нуля. Таким образом, система устойчива.
Критерий устойчивости Гурвица. Согласно этому критерию для
устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициен¬
ты характеристического уравнения
a„p" + a„_ip"-i+ ... +fl2P^ + aip+ao==0
имели один и тот же знак, а определитель порядка (га—^1) и все его
диагональные миноры были бы положительными:
а,1>0, й„_1>0, ... й1>0, ао>0
и
Д„_1>0, А„_2>0, ... А2>0, Ai>0.
Правило составления определителей:
Ai = a„_i>0;
Д2 =
йп - .йи - 2 й^йп - S ^ 9,
= йп- s^2
— CLn-x (йп-.й„_4—а„а„_5)>0;
«п-1
«71-3
«7.-5
ап
«71-2
«77-4
— йп_ jAj йп-1
«77-1
«7.-5
0
«77-1
«П-3
«7.
«77-4
Д4 =
«п-1 «П-3 «п-5 «п-7
«П «П-2
О Дп-3 га„_5
О Нп-2 й„_4
==й„_4Дз>0
8 Т. д.
Все коэффициенты, имеющие индекс, превышающий степень ха¬
рактеристического уравнения, заменяются нулями.
191
Определитель A„_i называется определителем Гурвица, а Ai,
Аг, ..Ап-2 представляют собой диагональные миноры определителя
Гурвица.
Итак, корни характеристического уравнения имеют отрицательную
вещественную часть, если все определители положительны.
Отсюда следует, что система заведомо неустойчива, если какой-
либо из коэффициентов ее характеристического уравнения отличается
по знаку от остальных коэффициентов или равен нулю.
Приведем в качестве примеров условия устойчивости простейших линейных си¬
стем.
1) Система aip-|-ao=0;
условие устойчивости: ai>0; ао>0;
2) система a2P^+aip+ao=0;
условие устойчивости: О2>0; ai>0; ао>0;
3) система a3p^ + a2p^ + aip+ao=0;
условие устойчивости: Оз>0; аг>0; ai>0; ао>0; а2а1>азйо.
Критерий устойчивости А. В. Михайлова. Критерий устойчивости,
предложенный А. В. Михайловым, основан на свойствах годографа
характеристического уравнения исследуемой системы регулирования.
В зависимости от характера изменения годографа судят об устойчи¬
вости системы.
На основе характеристического уравнения системы
anP” + fln-iP"-^+ ... +cip + ao='0,
в котором делается подстановка р = гсо, составляется вспомогательная
комплексная функция М(гсо).
Здесь (О — действительное число, изменяющееся в пределах
—оо-<со-<оо:
М(ш) =а„(ги)" + ап_1(/со)”-^+ ... +ai(/co)+ао=0.
Раскрывая М{ш), получаем:
М(ш) =R(a) +1/(а>).
Таким образом, M(ico) представляет собой вектор в плоскости
комплексного переменного. При изменении величины со вектор M(ico)
вращается около начала координат, меняя свою длину.
Кривая, описываемая при этом концом вектора M(i(o) в плоскости
комплексного переменного, называется годографом характеристического
уравнения.
Критерий Михайлова формулируется следующим образом.
Система автоматического регулирования будет устойчива, если
годограф вектора М(ш) в плоскости комплексного переменного при
192
Рис. 8-4. К пояснению амплитудно-фазового критерия устойчивости.
изменении со от нуля до оо обходит последовательно в положительно.м
направлении (т. е. против часовой стрелки) п квадрантов, где п—^поря¬
док характеристического уравнения. При этом длина вектора для всех
значений должна быть отлична от нуля.
На рис. 8-3,а приведен годограф устойчивой системы, а на
рис. 8-6, — неустойчивой.
Амплитудно-фазовый критерий устойчивости. Рассмотренные выше
критерии позволяют исследовать устойчивость системы автоматического
регулирования лишь в том случае, если известно ее характеристическое
уравнение.
Однако в ряде случаев исходными данными при исследовании за¬
мкнутой системы регулирования является ее амплитудно-фазовая ха¬
рактеристика, заданная в аналитическом или графическом виде. В этих
случаях целесообразно (а иногда только и возможно) пользоваться
а М П л итудн о - ф а 3 овы м кр итер не м.
Исследуемая система регулирования размыкается (обычно между
выходом регулятора и входом объекта), аналитически (или опытным
путем) определяется амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой
системы и строится ее график в плоскости комплексного переменного.
Критерий гласит;
Исследуемая система регулирования, устойчивая в разомкнутом со¬
стоянии, будет устойчива в замкнутом состоянии, если при изменении со
от —оо до +С0 амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой систе¬
мы в плоскости комплексного переменного W(iro) не охватывает точку
с координатами (1; iO). (Так как амплитудно-фазовая характеристика
для значений —ооСсо^О представляет собой зеркальное отображение
ее на участке О^охСоо, то для исследования достаточно произвести
анализ устойчивости для положительных частот.)
На рис. 8-4,а в качестве иллюстрации произведено построение ам¬
плитудно-фазовой характеристики устойчивой, а на рис. 8-4,6 неустой¬
чивой системы.
8-3. ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
КОЭФФИЦИЕНТОВ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
ИЛИ В ПРОСТРАНСТВЕ ПАРАМЕТРОВ НАСТРОЙКИ РЕГУЛЯТОРА
(Д-РАЗБИЕНИЕ)
Выше указывалось, что при исследовании системы регулирования
могут быть известны некоторые параметры и надо определить область
изменения остальных параметров, в пределах которой система остается
устойчивой. Выясним, как может быть решена эта задача.
1S—1074 193
Предположим, что в характеристическом уравнении системы регу¬
лирования а„р" + а„_1р”-‘+ ... +а1р + йо=0 все коэффициенты, за
исключением двух (например, ai и йз), заданы. Построим плоскость
с прямоугольными координатами ai и аг (рис. 8-5,а). В квадрантеai>0
и й2>0 произвольно выбираем точку и, подставив в характеристическое
уравнение значения ai=a* и й2 = а*, определим корни этого уравнения.
Если все корни раоположены слева от мнимой оси на комплексной пло¬
скости корней, то это будет означать, что система устойчива. Выбран¬
ную точку на плоокости Oi—02 с координатами а* и а* обозначим зна¬
ком минус (—). Выберем теперь произвольно вторую точку с координа¬
тами ai—a* и a^ — aj и, подставив в характеристическое уравнение
эти значения, опять определим корни. Если хотя бы один корень будет
расположен справа от мнимой оси, то обозначим эту точку знаком плюс
««« *«»
( + ), т. е. система неустойчива. И, если при ai= и — хотя
бы одна пара корней лежит «а мнимой оси, обозначим точку на пло-
ивъем
устойчивости
Область
Рис. 8-5. К выделению областей устойчивости.
СКОСТИ Й1—Й2 нулем,
что означает границу
устойчивости системы
регулирования. Повто¬
ряя последовательно
этот процесс, дадим ко¬
эффициентам Й1 и йг
все значения от О
до оо и отметим точки
на плоскости —a-i
знаком ( + ) или (—).
Проведем кривую че¬
рез точки, отмеченные
нулем. Эта кривая бу¬
дет границей области устойчивости в плоскости двух коэф¬
фициентов (й1 и йг) характеристического уравнения. Часть пло¬
скости, включающая совокупность точек со знаком (—), называют
областью устойчивости, а часть плоскости с точками, отмеченными
( + ), —областью неустойчивости. Аналогично весь процесс мог быть
проделан для любых двух других коэффициентов уравнения. Наконец,
можно такую же операцию проделать для трех коэффициентов характе¬
ристического уравнения. В этом случае мы получим не область устой¬
чивости в плоскости двух коэффициентов, а объем устойчивости в про¬
странстве коэффициентов характеристического уравнения (рис. 8-5,6).
Таким образом, выделяя область устойчивости или объем устойчи¬
вости, мы находим пределы, :в которых могут быть изменены коэффици¬
енты характеристического уравнения при coixpaHeHHH устойчивости дан¬
ной системы автоматического регулирования. Такое выделение области
или объема устойчивости может быть произведено также в плоскости
или в объеме параметров настройки регулятора. Это более удобно, так
как сразу дает возможность определить пределы изменения настроеч¬
ных параметров регулятора, при которых система регулирования будет
устойчива.
Выделение области (или объема) устойчивости называют
Д-разбиением плоскости (или пространства) параметров или выделе¬
нием границы устойчивости.
Выше указывалось, что точкам, лежащим на границе устойчивости,
соответствует характеристическое уравнение, имеющее хотя бы одну
пару корней на мнимой оси в комплексной плоскости, а остальные —
194
слева от оси. Если заменить в характеристическом уравнении системы
регулирования р на ш:
a«(tw)” + a„-i(j(B)”-'‘+ ... +ai(rco)+Оо=0,
то для каждого значения <o = co* можно найти такие значения коэффи-
Екентов, при которых левая часть этого уравнения станет равной нулю,
т. е. ICO* будет корнем уравнения.
Эти значения коэффициентов определяют в плоскости (объеме)
коэффициентов характеристического уравнения точку (линию), лежа-
ж\ю на границе устойчивости системы.
Аналогичные рассуждения справедливы при определении области
(объема) устойчивости в плоскости двух (в объеме трех) параметров
настройки регулятора.
Выделение области (объема) устойчивости, как это будет показано
н;-;же, производят более простым путем.
8-4. СИСТЕМА АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ КАК ЗАМКНУТАЯ
ЦЕПЬ ЗВЕНЬЕВ
а)
к(р)об
В гл. 5 рассматривались разомкнутые цепи звеньев, т. е. цепи,
5 которых первое звено, воздействуя на последующие звенья, не под¬
вергалось обратному воздействию последнего звена цепи. Передаточная
функция связывала входную
и выходную величины разомк¬
нутой цепи. Так, напри¬
мер, в разомкнутой цепи,
состоящей из двух слож¬
ных звеньев — объекта и регу¬
лятора, первое звено (объект)
воздействует на второе звено
(регулятор), но второе звено
не оказывает воздействия на
первое звено (рис. 8-6,а). Если
разомкнутую цепь замкнуть
(рис. 8-6,6), то получим за¬
мкнутую систему автоматиче¬
ского регулирования. На при¬
веденном рисунке: К{р)об —
передаточная функция объекта; /С(р)р— передаточная функция регуля¬
тора; Хвх.об—входная величина объекта; Хвых.об — выходная величина
объекта; Хвх.р — входная величина регулятора; Хвых.р — выходная вели¬
чина регулятора.
Среди звеньев системы обычно имеется одно звено, выходная вели¬
чина которого является регулируемой величиной. В данном случае ре¬
гулируемой величиной является выходная величина объекта Хвых.об’, она
Же является входной величиной регулятора Хвх.р, т. е.
КВкоб _
X вых. об
ии ОСпЧ!
К(р)р
Хвх.р
Х-вых.р
Регулятор
б)
Рис. 8-6. Разомкаутая (а) и замкнутая (б)
цепи.
Хвых.об — .^вх.р.
Для того чтобы в замкнутой системе поддерживать неизменным
значение регулируемой величины, необходимо, чтобы при отклонении ее
от требуемого значения на вход объекта поступало от регулятора воз¬
действие такого знака, которое вызывало бы на выходе объекта изме¬
нение регулируемой величины в противоположном направлении. При
этом неважно, в каком звене цепи изменяется направление регулирую-
13* 195
щего воздействия. Обычно изменение знака воздействия происходит
в регуляторе (см. передаточные функции регуляторов).
Отсюда следует, что система регулирования должна быть замкнута
так, чтобы увеличение или уменьшение регулируемой величины вызыва¬
ло воздействие регулятора, направленное соответственно к ее уменьше¬
нию или увеличению, т. е. к приведению регулируемой величины к тре¬
буемому значению.
Из сказанного следует, что в замкнутой системе регулятор является
отрицательной обратной связью, шунтирующей объект. Такое соедине¬
ние характеризует замкнутую цепь как систему автоматического регу¬
лирования.
Напишем уравнение замкнутой системы, состоящей из объекта и
регулятора.
Уравнение объекта (в операторной форме)
Хвы1.об=Х-вж.обК (р) об-
Уравнение регулятора
•^ЕЫХ.р = Хвх.рК (р) р.
Кроме того,
Авых.об —-^ВХ.р.
Отсюда следует:
Хвх.обК(р) обК{р)р—Хвых.р='0.
Так как в замкнутой системе выходная величина регулятора яв¬
ляется входной величиной объекта, т. е.
•^вых.р = Л^вх.об = X,
то
11-Д(р)об/<(р)р]х=0
ИЛИ
К(р)обК(р)р=1.
Если характеристическое уравнение системы содержит два сопря¬
женных корня pft.й+1=±/(о* то 1^(гсй*)об11^(ги^)р=|1, т. е. произведение
амплитудно-фазовых характеристик объекта и регулятора, соединенных
в замкнутую цепь, в этом случае равно единице. Если при этом все
остальные корни характеристического урав-
^ нения замкнутой системы лежат слева от
мнимой оси, то это уравнение является
условием нахождения замкнутой системы
на границе устойчивости.
Рассмотрим 'более подробно последнее
уравнение и постараемся выяснить его фи-
—»-с>гО
Объект
Регулятор
Рис. 8-7. Разомкнутая система зическую сущность.
регулирования. Предположим, что в рассматриваемой
системе сервомотор регулятора отключен от
регулирующего органа объекта, т. е. цепь
разомкнута в точке а (рис. 8-7). Система состоит из детектирующих
звеньев, так как отключение или подключение измерительного органа
регулятора к объекту не изменяет свойств последнего, а подключение
регулирующего органа к сервомотору не изменяет свойств регулятора.
Пусть регулирующий орган под воздействием внешнего источника
энергии совершает незатухающее колебательное движение по гармони¬
ческому закону, что символически может быть записано так:
196
где Хо — амплитуда колебаний регулирующего органа; шо —частота ко¬
лебаний.
Так как система регулирования предполагается линейной и устой¬
чивой, то колебания регулируемой величины а в установищемся режиме
будут происходить с той же частотой, но с иной амплитудой и фазой;
а = а„е''
Знак минус перед фо обусловлен тем, что в технологических объек¬
тах выходные колебания, как правило, отстают по фазе от входных.
Тогда вектор амплитудно-'фазовой характеристики объекта для ча¬
стоты соо может быть записан так:
г (.4). = +^
Так как измерительный орган подключен к объекту, то на вход
регулятора поступят колебания регулируемой величины о = 0об
Это вызовет колебания выходного вала сервомотора регулятора, отлич¬
ные от входных колебаний по амплитуде и фазе;
г (“ot-4>o6+4“p)
где ро — амплитуда колебаний вала сервомотора.
Знак плюс перед фр обусловлен тем, что в (регуляторах колебания
выходной величины опережают по фазе колебания входной величины.
Следовательно, вектор амплитудно-фазовой характеристики регуля¬
тора для частоты соо запишется в следующем виде:
~ ..е' '".'-''о»' •. ■
Допустим теперь, что на рассматриваемой частоте соо выполняется
условие
[ или с учетом вышеприведенных уравнений
Отсюда следует:
Ро—Ао;
фр=фоб-
Если теперь замкнуть цепь регулирования в точке а, т. е. соединить
вал сервомотора с регулирующим органом, то регулятор в замкнутой .
системе будет поддерживать незатухающий колебательный режим.
Иными словами, если колебания входной величины к, пройдя через,
объект, «ослабли» по модулю в Оо/Яю раз и отстали по фазе на угол фоб.
то для ТОГО, чтобы в замкнутой системе регулирования поддерживались
незатухающие колебания, необходимо, чтобы колебания входной вели¬
чины о регулятора (т. е. выходной величины объекта), пройдя через
регулятор, усилились в kojoo раз и имели опережение на угол +фр, рав¬
ный углу отставания в объекте —фоб.
197
где
8-5. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА УСТОЙЧИВОСТИ
СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Изложим последовательность расчета системы автоматического ре¬
гулирования и практические приемы построения области устойчивости,
если известны аналитические -выражения передаточных функций объек¬
та и регулятора ‘.
1. Дана передаточная функция К(р)об регулируемого объекта, вы¬
раженная -в зависимости -от оператора р и параметров объекта (коэф¬
фициентов усиления ki, kz, ..., постоянных времени Ti, Tz, ..., запазды¬
вания тит. п.):
К(р)06 = 006(Р, ki, kz, ..., Ti, Tz, ..., т). (8-6)
2. Дана передаточная функция К{р)р регулятора, выраженная в за¬
висимости от оператора р и настроечных параметров регулятора Со,
С с'
К{р)р=%{р, Со, Си Cz). (8-7)
3. Находят амплитудно-фазовую характеристику (в показательной
форме записи) объекта и регулятора, заменяя оператор р на ш -в вы¬
ражении передаточных функций ^
U7(to)„6 = Л(co„б)Г'■'''“’“^ (8-8)
Л(ш)об = Коб(со, к, k„...,T„ т„...,х)-, (8-9
?(®)об = Фоб(“. k„ Аз Д, Д, ...,т) (8-10)
Г(гш)р = Л((о)ре"‘“’д (8-11)
Л(о))р = Кр(<в, Со, Д, Сз); (8-12)
ф(со)р=Фр(со, Со, Си Cz). (8-13)
4. Так -как в замкнутой системе регулирования, находящейся на
границе устойчивости,
Г(/сй)обИ^((С0)р=1
или
Й7(ш)оД
то
Это равенство двух комплексных чисел возможно в том случае,
когда равны модули векторов, а аргументы отличаются на 2яга *, т. е.
где
‘ В основе описываемого метода лежит Д-разбиение пространства параметров, по¬
дробно изложенное в книге М. А. Айзермана «Теория автоматического регулирования
двигателей», М., Гостехиздат, 1952.
* Амплитудно-фазовые характеристики распространенных регуляторов известны и
приводились ранее.
* Практический интерес представляет лишь случай п=0.
198
Тогда с учетом уравнений (8-9), (8-10), (8-12) и (8-13) можно за¬
писать:
Гр(о), С„, С,, Q = k„ k^,..., г„ Гз, X)
пи-
регулятор
П.
t
а)
Фр(о), Со, С,, С2) = Фоб(®, Й,, ^2, ....Г,, Гг, ...,х).
5. Решают эти два уравнения с двумя неизвестными, в качестве
которых выбирают настроечные параметры Со и Cj регулятора:
Co=i/o(o>, k\, kz, ..., Ti, Tz, ..T, C2);
Ci=/i(co, ^1, kz, ..., Ti, Tz, ..., T, C2).
6. Подставляют в эти уравнения численные значения динамических
параметров объекта ku kz, ..., Ti, Tz, ..t и получают окончательно:
Со=+(со, Cz)-, (8-14)
Ci^Fz{in, Cz). (8-15)
Если расчет ведется для регулятора с двумя параметрами настрой¬
ки (например, Со и Ci), то в уравнениях (8-14) и (8-15) полагают Сг=0.
Если регулятор имеет три параметра настройки, то определяют Со и Ci
в зависимости от частоты для разных
значений Cz.
7. Подставляют в уравнения (8-14)
и (8-15) численные значения частоты
от нуля до частоты «среза» Юср * и на¬
ходят величины Со и Си
8. Строят координатную сетку, по
оси ординат которой откладывают Со,
а по оси абсцисс Си вначале полагая
С2=0. Затем, задаваясь конкретными
значениями Cz, строят аналогично за¬
висимости Co=/(Ci). Таким образом,
при наличии у регуляторов трех пара¬
метров настройки получают объем
устойчивости, а при двух параметрах—
область устойчивости в плоскости
Со—Ci при конкретных значениях ча¬
стоты (0.
Областью устойчивости может
быть вся полуплоскость Со>0 и
Ci>0 или часть плоскости, огра¬
ниченная кривой Co=/(Ci)—границей
области устойчивого регулирования
и осями координат Т Форма области
устойчивости определяется динамиче¬
скими характеристиками объекта и ре¬
гулятора.
Внутри области устойчивости, ограниченной кривой и координат¬
ными осями, каждой точке соответствуют определенные значения на¬
строечных параметров Со и Ci, при которых обеспечена устойчивость пе¬
* Область рабочих частот серийных регуляторов ограничивается приближенно зна-
яеннем ы=0,1 рад/сек.
' Для того чтобы убедиться, что рассматриваемая область является областью
устойчивости, нужно с помощью какого-нибудь из известных приемов определить это
для любой точки области. Необходимо указать, что для рассматриваемых здесь тепло¬
энергетических объектов область устойчивости обычно прилегает к осям координат и
поэтому легко определяется без дополнительной проверки.
199
Л
пи-
регулятор
б)
Рис. 8-8. К примеру расчета устойчи¬
вости.
реходных процессов в системе автоматического регулирования. При всех
значениях настроечных параметров, лежащих вне ограниченной области,
процессы регулирования имеют неустойчивый, расходящийся характер.
Таким образом, построенная кривая является границей области устой¬
чивости, и все значения настроечных параметров, лежащие на кривой,
обеспечивают незатухающие колебания в переходном режиме.
Можно вести расчет в иной форме.
Исходя из условия
К{р)обК(р)г,-1=0,
подставляют конкретные значения передаточных функций объекта и
регулятора:
ео&(р, К kz, ..., Ti, Tz, ..., т)9р(р. Со, Cl, С2) —1=0.
Заменяют р на ш\
воб(/<». А,, Аз,... ,Г,, Гз,... ,'c)0p(to. Со, С„ Cj) —1=0.
Отделяют вещественную и мнимую части:
R{m, А„ Аз,...,Г., 7з,...,т, Со, С„ Сз) +
А,, Аз, ...,7’,, Г.2, ...,т, Со, С,, Сз) = 0.
Порознь приравнивают нулю вещественную и мнимую части:
7? (и, Ai, kz, ..., Ti, Tz, ..., t, Co, Cl, C2)=0;
/(©, Ai, A2, .... Ti, Tz, ..., T, Co, Cl, C2)=0.
Решают эти два уравнения, полагая неизвестными Со и Сц
Co=/i(co, Ai, kz, ■.Ti, Tz, ..., t, C2);
Ci=fz{(ii, Ai, kz, ..., Ti, Tz, ■ ■., X, Cz).
Дальнейшие операции производят аналогично изложенным ранее.
Для уяснения практических приемов расчета устойчивости систем
автоматического регулирования рассмотрим примеры.
Пример 1. Система автоматического регулирования, изображенная на рис. 8-8,а,
состоит из бака со свободным сливом воды и ПИ-регулятора, который должен под¬
держивать уровень воды в требуемых пределах. Передаточные функции объекта —
апериодического звена и ПИ-регулятора известны. Произведем расчет устойчивости
системы регулирования.
1. Передаточная функция объекта
k
Р (Р)об = ■
Динамические параметры объекта
й=0,28; Г=15 сек.
2. Передаточная функция регулятора
, Со + С,р
А (Р)р = — р •
3. На основании условия
К(р)свК(р)р-1=0
записываем:
k / Со + С,р
тр+1 V р
или
kC,.+ kC,p + Tp^+p = Q.
4. Подставляем «ш вместо оператора р
KCg-t-icokCi-l- {ш)П-)-i(B=0
и разделяем вещественную и мнимую части:
кСо—ыП—i(fe(»Ci-l-co') =0
200
1 =0
Приравнивая вещественную и мнимую части порознь нулю, получаем два урав¬
нения;
kCo—<0^7=0;
*Ci + l=0.
5. Решаем систему уравнений относительно неизвестных настроечных параметров
регулятора Со и Ci;
г о г ‘
= “ т « ^> = —Г-
6. Подставляем численные значения динамических параметров объекта:
I
C. = -i
1.5
С„=7ГЪ5<й-=
0,28’
'0,28
7. Подставляем последовательно численные значения частоты от нуля до частоты
q>€3a: Шсреза»0,1 1/сек.
8. Определяем графическим построением область устойчивого регулирования
(рис. 8-9,0).
Из рассмотрения графика следует, что область устойчивости (для £0>0) ограниче¬
на прямой Ci=—\!k и осью абсцисс. Представляет интерес область, находящаяся
Область
устойчивости
''//////Х///////////////у.
о
к
а)
"4^0
/
У
/
Облас/рь
устойоивости
в)
область
'z устойчивости 'Х ^
-l^z,///zzzz/zzzz/A ^
л.» — /
w=0
г)
Рис. 8-9. Области устойчивости систем регулирования.
201
слева от оси ординат до прямой Ci =—1/й. Так как в ПИ-регуляторе Ci = l/6 и Со =
= 1/6Ти, то отрицательное значение С, означает, что б и 7’и также отрицательные
величины. Значит, устройство обратной связи подключено к регулятору так, что оно
не стабилизирует процесс регулирования, а «раскачивает» его. Однако за счет само¬
регулирования (самовыравнивания) объекта в области, лежащей слева от оси ординат
до прямой Ci=—1/й, еще возможен устойчивый характер переходного процесса т. е.
«внутренние стабилизирующие» свойства объекта превалируют над «раскачивающими»
свойствами регулятора.
Таким образом, любые значения настроечных параметров регулятора, лежащие
внутри области устойчивости, обеспечат нерасходящий процесс регулирования.
Значения настроек, лежащие на оси ординат, соответствуют Ci=0. Это значит,
что регулятор имеет один параметр настройки Со, т. е. его передаточная функция
имеет вид;
K(Ph = -%-
Такую передаточную функцию имеет астатический регулятор, подчиняющийся
интегральному закону регулирования
,,,, ц' = —СоСТ.
Значения настроек, лежащие на оси абсцисс, соответствуют Со=0. Регулятор
в этом случае также имеет один параметр настройки Ci, т. е. его передаточная
функция
7((р)р=_С,
соответствует пропорциональному закону регулирования
р,=—Ci0.
Этот закон может быть реализован регулятором с жесткой обратной связью.
Пример 2. Система регулирования (см. рис. 8-8,6) отличается от предыдущей
наличием транспортера, с помощью которого вода подается в бак со свободным сли¬
вом. Требуется найти область устойчивости в плоскости настроечных параметров
ПИ-регулятора.
1. Передаточная функция объекта представляет собой произведение передаточных
функций запаздывающего (транспортер) и апериодического (бак со свободным сливом)
звеньев;
К iP)oi— Тр+ I
Динамические параметры объекта
й=0,28; Г=15 сек; т=30 сек.
2. Передаточная функция регулятора
Со + С,р
3. Используя условие
записываем:
или
К(р)р- р
К(р)обК(р)р-1=0,
ke-P^
Тр + С
\ Р /
1=0
(kCo + kC,p)e-P^ +Тр^- + р = 0.
4. Подставляем г<о вместо оператора р:
(йСо + гийС,) е'®'' + Т (in,y + ico = 0.
Так как = cos шх — i sin <ох, то
(kCo+mkCA (cos (ОТ—г sin ит) +Т(Ш)^+ш =
=kCo cos m—ikCo sin m+mkCi cos mt+
+ o>kCi sin (OT—(оП -f ico=0.
Разделяем вещественную и мнимую части и приравниваем их порознь нулю;
йСо cos (ox+akCi sin сот—ш^Т’=0;
akCi cos сот—йСо sin сот-Ьсо=0.
202
5. Решая эту систему уравнений, находим;
Со — sin сох + Т cos сох;
Cj = -г- Т sin сот -
cos сот.
6. Подставляем численные значения динамических параметров объекта;
1 15
Со = Q 28 “ ЗОсо + со2 cos ЗОсо;
С.=
15
0,28
со sin ЗОсо -
1
0,28
cos ЗОсо.
7. Подставляем последовательно численные значения со и результаты вычислений
сводим в следующую таблицу:
ш
0)2
ЗОш
sin 30m
COS ЗОш
ш sin ЗОш
ш2 COS ЗОш
с.
Со
\jceK
IfceK^
11 сек
-
-
\1сек
1/С£К2
-
1/сек
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
1,0000
0,0000
0,0000
—3,4737
0,0000
0,0100
0,0001
0,3000
0,2955
0,9553
0,6030
0,0001
—3,1579
0,0158
0,0200
0,0004
0,6000
0,5646
0,8253
0,0113
0,0003
—2,2737
0,0526
0,0300
0,0009
0,9000
0,7833
0,6216
0,0235
0,0006
—0,9210
0,1158
0,0400
0,0016
1,2000
0,9320
0,3624
0,0373
0,0006
0,7053
0,1632
0,500
0,0025
1,5000
0,9975
0,0707
0,0499
0,0002
2,3789
0,1842
0,0600
0,0036
1,8000
0,9738
—0,2272
0,0584
—0,0008
3,8474
0,1526
0,07000
0,0049
2,1000
0,8632
—0,5048
0,0604
-0,0025
4,9316
0,0789
0,0800
0,0064
2,4000
0,6755
—0,7374
0,0540
—0,0048
5,4053
—0,0632
8. Строим график (рис. 8-10) зависимости Co=f(Ci).
В отличие от предыдущего примера здесь область устойчивости ограничена кри¬
вой Co=f(Ci) и осью абсцисс. Кривая начинается при (о=0 слева от оси ординат,
так же как и в первом случае, на расстоя¬
нии Ci=—llk.
Таким образом, наличие запаздывания
в объекте резко сократило область устой¬
чивости (см. рис. 8-9,6).
Пример 3. Система регулирования изо¬
бражена на рис. 8-М,а. Рассчитаем ее на
устойчивость.
Рис. 8-10. К примеру расчета устойчи-
всхгги системы регулирования одно¬
емкостного объекта с самовыравнива¬
нием.
Рис. 8-11. К примеру расчета устойчи¬
вости системы регулирования.
203
I. Передаточная функния объекта — интегрирующего звена имеет вид:
К {р)об— pj
где 8=0,01 1/сек.
2. Передаточная функния регулятора
К(р)у = -
С„ + С,Р
Приемами, аналогичными изложенным выше, находим:
Т со^
С„ = 0)2 -j-=— = 100о)2;
С, = 0.
Определяем область устойчивости (см. рис. 8-9,в), которая ограничена осью орди¬
нат (Ci=0) и осью абснисс (Со>0).
Таким образом, областью устойчивости является правая полуплоскость. Если
сравнить эту область устойчивости с областью, полученной в примере 1, то видно,
что она сократилась. Система регулирования может быть устойчива только при поло¬
жительных значениях Ci. Значения настроек, лежащие на осях ординат и абснисс,
соответствуют системам регулирования соответственно с астатическим регулятором
с одним параметром настройки (р'=—Соо) и со статическим регулятором (р=
=-С,а).
Пример 4. Система регулирования в отличие от предыдущей имеет транспортер
(рис. 8-11,6), т. е. передаточная функния объекта записывается так:
ke-P^ ге-Р^
K(pU--
где 8=0,008 1/сек;
- рТ -
т=30 сек.
Р
Передаточная функния регулятора
К {Ph = -
Со + CiP
Произведя расчет рекомендованным способом, найдем;
Т
Со = 0)2 COS сот;
Cl = со ■
■ sin WX.
Подставляя сюда численные значения е и т, находим Со и Ci для различных ча¬
стот (0. Результаты расчета сводим в таблицу.
<0
0)2
СО
0.008
Ш2
0,008
ЗОсо
sin ЗОш
cos ЗОш
С,
Со
1/сек
1/сек^
1/сек
1/сек^
\/сек
-
-
-
\/сек
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
1,0000
0,0000
0,0000
0,0100
0,0001
1,2500
0,0125
0,3000
0,2955
0,9553
0,3694
0,0119
0,0200
0,0004
2,5000
0,0500
0,6000
0,5646
0,8253
1,4115
0,0413
0,0300
0,0009
3,7500
0,1125
0,9000
0,7833
0,6216
2,9374
0,0699
0,400
0,0016
5,0000
0,20000
1,2000
0,9320
0,3624
4,6600
0,0725
0,0500
0,0025
6,2500
0,3125
1,5000
0,9975
0,0707
6,2344
0,0221
0,0600
0,0036
7,5000
0,4500
1,8000
0,9738
—0,2272
7,3035
—0,1022
8. Строим координатную сетку, по оси ординат которой откладываем найденные
значения Со, а по оси абсцисс Ci (рис. 8-12).
Часть плоскости, ограниченная кривой и осью абсцисс, является областью устой¬
чивого регулирования, т. е. все значения настроечных параметров, лежащие внутри
этой области, обеспечивают затухающие процессы регулирования. Значения параметров
настройки, лежащие на граничной кривой, обеспечивают, незатухающие колебания.
Из сравнения областей устойчивости для систем регулирования, содержащих
объекты без запаздывания (см. пример 3) и с запаздыванием, видно, как сокращается
область устойчивого регулирования в последнем случае (см. рис. 8-9,г). Регулирование
такого объекта астатическим регулятором с одним параметром настройки невозможно.
204
0,09
0,08
В рассмотренных примерах расчета
устойчивости систем регулирования мы
производили построение областей устой¬
чивого регулирования в координатах Со
и Cl, предварительно подставив в выра¬
жения для Со и Cl численные значения
динамических параметров объекта Г, А и ддд
т. В ряде случаев построение областей
устойчивости в таких координатах быва-
ет нецелесообразно. Если, например, име- дд^
гтся несколько подобных объектов, отли¬
чающихся лищь численными значениями 0,02
параметров, нет необходимости строить д^д,
соответственно несколько областей устой¬
чивости. Удобнее производить построние д
одной области устойчивого регулирова¬
ния, но в иных координатах, которые
устовимся в дальнейшем называть отно¬
сительными координатами.
В относительных координатах значе¬
ния, откладываемые на осях абсцисс и ординат, выражаются через па¬
раметры объекта Го, А или е и т. Построенная таким образом область
устойчивости справедлива для определенного типа объектов и любых
численных значений динамических параметров объекта. Для пояснения
метода построения областей устойчивости в относительных координатах
рассмотрим примеры.
Пример 5. Построить область устойчивости для рассмотренной системы регули¬
рования, изображенной на рис. 8-11,6.
Выше нами были определены Со и Ci:
Т
С„ = to= —г- cos (от; (А)
с„=
1
0 ;
T77Q
ОМ
^0,02
i
А
%02
!
\
О/Тлас.
ть
' устс
тчивост
а
0,05
101
Rco=0
/у/.
///,
/ //,
///у
(7
1
2
' J
’ 9
' 5
6
7
8
Рис. 8-12. Область устойчивости
системы регулирования, изобра¬
женной на рис. 8-11,6.
С, = со
• sin (ОХ.
(Б)
*тТ:
Умножим левую и правую части уравнения (А) на йт=/Г и уравнения (Б) на
■ Со = со=х= cos сох;
ki
~Y~ С, = сох sin сох.
fex= Ах
Построим область устойчивости в координатах -j— и -у- С, для различных
аваченни сох > О (рис. 8-13).
Областью устойчивости, как и ранее, является часть плоскости, ограниченная осью
абсщисс и кривой.
Построенная область справедлива для всех систем регулирования,
состоящих из астатического регулятора с двумя параметрами настрой¬
ки и объекта, представляющего собой последовательно соединенные
запаздывающее и интегрирующее звенья.
Пусть, например, нас интересуют настроечные параметры регуля¬
тора. соответствующие точке а области устойчивости.
Для этой точки
Со "=0,24; ^ С, = 0,92.
Отсюда определяем
Со = 0,24-^ и С. = 0,92 ^
205
о,в
I
0.5
0,^
0,3
о,г
ai
.J
^(7
1б"
Г
o=Oi,
1 1
1
Я
f
Щ
1
иоласть
истойчибости
Н
4
=0
у
0}=t57i
'//АУУ?.
или для ПИ-регулятора
8=1,1-^ и Г„ = 3,8.
Таким образом, настроечные параметры
регулятора выражены через параметры
объекта. Теперь определим значения настро¬
ечных параметров ПИ-регулятора б и Тц
для двух объектов, характеризуемых сле¬
дующими параметрами.
Первый объект:
^-—100 сек\
k
О 02 0.3 05 08 W и 1,3 1,6 W
Рис. 8-13. Область устойчиво¬
сти в относительных коорди¬
натах.
Второй объект:
Т
т=45 сек.
г:
= 66,7 сек\
т=40 сек.
Значения настроечных параметров для первого объекта:
8=1,1 -^ = 1,1.0,01-45 = 0,5[—];
Ги=3,8 t=3,8-45=171 сек.
Значения настроечных параметров для второго объекта:
8=1,1 ^ = 1,1.0,015-40 = 0,7[—1;
7'и=3,8 т=3,8-40=152 сек.
Итак, достаточно один раз построить область устойчивости для
определенного типа системы автоматического регулирования и далее
пользоваться ею при определении настроечных параметров регулятора,
подставляя численные значения динамических параметров конкретного
объекта.
Пример 6. Построить области устойчивости для системы, изображенной на
рис. 8-8,6. Значения Со и Ci были определены выше (см. пример 2):
^ (О ^ 1
Cl = Т sin (ОТ — cos (ОТ.
(А)
(Б)
Умножим обе части уравнения (А) на ki^/T:
-у— Со = -f— sin toT + cos (OX,
a обе части уравнения (Б) на Ах/Г;
Ах
С, = (ОХ sin (ОХ — -
cos (ОХ.
206
Рис. 8-14. Области устойчивости системы регулирования
одноемкостных объектов с различными отношениями вре¬
мени запаздывания к постоянной времени объекта.
Построим области устойчивости для значения х1Т—0*; 1; 2; 3; 4 и 5 и для раз¬
личных значений шт>0 (рис. 8-14). Таким образом, имеются шесть областей устойчи¬
вости. Часть плоскости, ограниченная осью
абсцисс и кривой т/7'=0, является об¬
ластью устойчивости для системы регулиро¬
вания, а объект не обладает свойством са-
мовыравнивания. Для других объектов,
обладающих свойством самовыравнивания,
области устойчивости расширяются с уве¬
личением самовыравнивания.
Пусть, например, какой-либо объект
рассматриваемого типа характеризуется сле¬
дующими конкретными значениями пара-
.четров:
Т='50 сек и х= 100 сек.
Тогда т/Г=,100/50=2.
Следовательно, все значения настроеч¬
ных параметро-в регулятора для этого объ¬
екта лежат внутри области, ограниченной
осями координат и кривой т/Г=2. Вне этой
области любые значения 71и и б не обеспе¬
чивают устойчивого процесса регулирова¬
ния. Допустим, нас интересуют значения
настроечных параметров регулятора в точ¬
ке а (рис. 8-14), лежащей на границе обла¬
сти устойчивости с координатами
кУ fix
-у-С„ = 3 и —С, = 2.
Так как Со=\1ЬТж и Ci=l/6, то отсю¬
да определяем;
3 = 0,5==fi = fi;
Ги =
fix2
Т
10Q2
ЗГЗ 3-50-1
:66,7 сек.
Рис. 8-15. Модели систем регулирования
двухъемкостного (а), трехъемкостно¬
го (б) и четырехъемкостного (в) объек¬
тов без самовыравнивания.
Найденные значения б и 7я обеспечат устойчивый процесс регулирования для
объекта с параметрами т/7>2. Однако установка таких настроечных параметров б
и Та, например, для объекта, у которого %1Т=\, приведет к расходящемуся, неустой¬
чивому процессу регулирования.
Пример 7. Сравнить области устойчивого регулирования некоторых объектов без
самовыравнивания ири использовании ПИ-регулятора.
* Одноемкостное звено.
207
Рассмотрим двух-, трех- и четырехъемкостный объекты без транспортного за¬
паздывания, системы регулирования которых представлены на рис. 8-15. Амплитудно¬
фазовые характеристики этих объектов имеют следующий вид: для двухъемкостного
объекта
ет " ‘ “■'«)
W {ш), = /■ % е
®Хе V + 1
для трехъемкостного окъекта
— 1
—/ arctg
<£>1g |/(0Ч2+ (1 -0,2соЧ2)
для четырехъемкостного объекта
1 - 0.25ш>г?
- «arctg-
г(/(о)*:=
0,02u)3Xg_ 1,02ш7
<ох. у (0.02шЧЗ — 1.02wx,)2 -f (1 — 0,25(оЧ2)2
Амплитудно-фазовая характеристика ПИ-регулятора известна:
, 1 VTHWTT
В7(,<0)р=-д ^
Произведем расчет устойчивости для системы регулирования с двухъемкостным
объектом.
Приравниваем единице произведение амплитудно-фазовых характеристик объекта
и регулятора:
_,-(^+erctg..x 1
W (««0)2 W (i«o)p = V г X
СОХе У СОЧ2 + 1
V 1 V(<S,TaY + \
S й>Ги
Отсюда следует:
^ + arctg
ех^е
—i -I- arctg <от^ j —I + arctg
шх,1/<042+1 / («0Г,)^ + 1
У <оГи
Это равенство возможно в том случае, если
х,]/<оЧ2+1 1/,+ ЫаУ +
V Ч>Та
(А)
и
arctg <0Те = arctg соГя. (Е)
Из уравнения (Б) следует:
Тя=Хе-
Подставляя найденное значение Та=Хе в уравнение (А), получаем:
«X, д
«ч I/ С042 + 1 |/1 + ^ ’
V ^ (сох,)г
208
откуда находим:
^=<04^
ex?
Tab
= to^x?
(Ь>
(Г>
Строим область устойчивости для рассматриваемой системы в координатах еТс/б
и гх^е/ТаЬ для разных значений (оТе>0 (рис. 8-16). Из формул (В) и (Г) следует, что.
в данном случае
о УдО
Таким образом, область устойчивости этой системы регулирования представляют
собой часть плоскости, ограниченной осью абсцисс и прямой 2, построенной по урав¬
нению (Д).
Рис. 8-16. Области устойчивости системы
регулирования.
I — одноемкостного; 2 — двухъемкостного; 3 —
трехъемкостного: 4 — четырехъемкостного объек¬
тов; 5 —объекта с распределенными параметрами;
С — одноемкостиого объекта с транспортным за¬
паздыванием (все объекты без самовыравни¬
вания).
Аналогичными приемами находим еТе/б и ex^jTal) для и трех- и четырехъемкост¬
ного объектов.
Для трехъемкостного объекта
ех, о
-5-=<оч^:
^ = <оч2 (1-0,2<оч2).
Для четырехъемкостного объекта
(1,02 —0,02<оЧ2);
—2
Tab
= (оч2(1 — 0.25о>ч2).
Строим соответствующие области устойчивости для рассмотренных объектов-
(рис. 8-16), где для сравнения построим также области устойчивости систем регу¬
лирования объекта в виде интегрирующего звена; объекта, представляющего совокуп¬
ность бесконечно большого числа емкостей, т. е. с распределенными постоянными
а также объекта, представляющего собой интегрирующее звено с транспортным запаз¬
дыванием То=Те.
Анализ построенных кривых показывает, что области устойчивого регулирования
объектов без самовыравнивания уменьшаются по мере увеличения числа равных емко¬
стей, из которых составлен регулируемый объект.
' Система регулирования с таким объектом подробно исследована в докт. дис.
Е. Г. Дудникова.
14—107 4 209-
1,0
0,8
0,6
0,9
о.г
1,2
1,0
0,8
0,6
0.9
0,2
ШТ~1Д7'
т'^1
1,0
05
0,8
0,9
од
P.
/
/
/<р2-
/
1 1
/
Wt^el.TS Л
^0
/
/
КСг-
т
-0,5
/
/
/
1
41=0 -
/
/
/
/
/
/
/
(ot^1,35
Рис. 8-17. Области устой¬
чивости системы регули¬
рования одноемкостного
объекта без самовырав-
нивания с запаздыва¬
нием при использовании
ПИД-регулятора.
0,9 0,8 1,2 1,8 г,0 О 0,9 0,8 1,2 1,6 2,0
Пример 8. Построить объем устойчивости для системы регулирования, состоящей из
ke~P^
объекта с передаточной функцией К (р)ав = — и астатического регулятора с тремя
параметрами настройки. Передаточная функция этого регулятора имеет вид;
К (Р)р = -
Со + с,р + CtP^
Исходя из условия
записываем:
ke-P^
рТ
Д(р)обД(р)р=1,
1 С. + С.р + Со/)^ j ^
= cos сот—i sin (ОТ, по-
Подставляем гсо вместо р и, используя зависимостью
лучаем;
fe[Co-f ((oCi-t-C2](cos (ОТ—j sin сот) + (т)~Т=0.
Раскрывая скобки, разделяя вещественную и мнимую части и приравнивая их
порознь нулю, получаем:
Т
Со cos сот + соС, sin сот — со^Сг cos сот — со^ = 0;
—Со sin (OT-b(oCi cos сот-Ьсо^Сг sin ит=0.
Определяем неизвестные Со и Ci, выражая их через Cj:
Т
С,
= со^ ^-
■ cos сот + Со);
с, = соsin сот
, Ctk.
J (С0Т)2 + -у- ,
feC,T
I сот sin сот.
210
Ах ^
Строим эти зависимости в относительных координатах-у-Со и -f~Ci для разных
АСг
значений m и (рис. 8-17).
Рассмотрение этих графиков показывает, что:
а) область устойчивости в сечении = const ограничена кривой Со = F (Cj) и
осью абсцисс:
б) области устойчивости увеличиваются с ростом Сц.
kC
Форма объема устойчивости в пределах -у- = 0-г-0,55 приведена на рис. 8-18.
8-6. ГРАФО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА УСТОЙЧИВОСТИ
СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Часто амплитудно-фазовая характеристика регулируемого объекта
бывает задана не в аналитическом виде, а в форме графика, в то время
как частотная характеристика регулятора выражена аналитически.
Выведем формулы, связывающие настроечные параметры П, ПИ,
ПИД-ретуляторов с амплитудно-фазовой характеристикой объекта.
V 02 = 0.55
-f
0,4 0,8 1,2 1,6
Рис. 8-18. К примеру построения объема устойчивости.
Исходным, как и ранее, является условие нахождения системы регу-
Ессзания на границе устойчивости
Ti^(i(o)o6t^(ico)p—1 = 0.
Представив амплитудно-фазовые характеристики регулятора и
сбдехта з алгебраической форме, можно написать:
[R{a)o+iJ (со)об][7?(со)р-Ьг7((й)р]—1=0,
гдс . I76, /?((о)р, /(й))об и /(ш)р —соответственно вещественные и
рчые части ам1плитудно-фазовых характеристик объекта и регулятора,
211
8-7. ЗАДАЧИ НА РАСЧЕТ УСТОЙЧИВОСТИ
СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
1. Дано характеристическое уравнение системы автоматического регулирования
+ Лзр*++tliP + По=0.
Коэффициенты уравнения имеют значения:
ао=10; 01 = 1,3; 02=3; Оз=2; 04=2.
Определить с помощью критерия Гурвица, будет ли устойчива система.
Ответ. Надо проверить, будут ли положительны определители из коэффициентов
характеристического уравнения:
03 Oj о О
04 О2 Oq о
О Оз о, О
О О4 О2 Оо
В результате вычисления определителей получаем:
=я, = 2>0;
Дз =
а, о,
С1^ (I2
= ОзОг — 040, = 2-3 — 2.1,3 = 3,4 > 0;
Аз =
Оз О,
C12
о
(XoCioa, -— O4O1 — о^Оо — о, (03О2 О4О1) ОдОо —
О Оз о,
= 1,3(2-3 — 2-1,3)—4.10= 1,3.3,4 — 4.10= 4,42—40 < О,
wg=0,0e
Ж
U(w)
И((й)
Рве 8-19. К примеру построения области устой¬
чивости графо-аналитическим методом.
т. е. система неустойчива.
2. Характеристическое урав¬
нение системы регулирования име¬
ет вид;
ОзР^ + 04Р‘ + ОзР^ + Озр^ -1- Oip + Оо = О,
а значения коэффициентов урав¬
нения следующие:
а) Оо = б0; Oi = 10; 02=!;
Оз=0,25; 04 = 0,03; O5=0,00il;
б) Оо=40; 01=10; 02 = 4;
Оз=0,5; 04=0,02; О5=0,001;
определить устойчивость системы,
используя критерий Гурвица.
От(Вет. а) система неустой¬
чива; б) система устойчива.
iJ(co)
20
-
1 1 >
10
Z^CtJ=0
-40-30y/-li
0 то 20
30 40
10
-
20
-
30
-
ccf = ОО
/
-iJ((o)
Рис. 8-20. Годограф Михайлова.
213
3. Определить устойчивость системы регулирования с помощью критерия Михай¬
лова, если ее характеристическое уравнение имеет вид;
где
Оар= И- + Oip Ч- Со=О,
ао = 10; 01=2; 02=0,5; Оз=0,04.
Ответ. Подставляя в левую часть характеристического уравнения р=г(В и от¬
деляя вещественную часть от мнимой, получим;
где
R(a) =0о—02(0= =10—0,5(в=;
/ (со) = (О (Oi—Оз<й=) = (О (2—0,04(В=).
По данным значениям О'^со'^оо строим кривую Михайлова (рис. 8-20).
Результирующий угол поворота при этом равен: '
я я
f = 0^ = 3
2 •
Отсюда следует, что система устойчива.
4. Характеристическое уравнение системы автоматического регулирования получе¬
но в следующем виде;
(Пр-Ы) (T2P + I) (ТзР+1) {T,+ l)+kiTiPX
X (Пр-М) (Гзр-Ь 1) +k2(T,p+l) =0,
где 7’i=0,l сек; 7г=0,3 сек; 7з=1 сек; Г4=0,17 сек, *i = 15; k2=300.
С помощью критерия Михайлова определить, устойчива ли система регулиро¬
вания.
Ответ. Система неустойчива.
Рис. 8-21. Амплитудно-фазовая характеристика устойчивой
системы.
5. Проверить с помощью амплитудно-фазового критерия устойчивость замкнутой
системы регулирования, уравнение которой в разомкнутом состоянии имеет вид:
(Тгр + 1) {Т^Р^ + 7зР + 1) 7Свы1= А,^гТСвх.
где
Г1=3 сек; 72=0,5 сек; 7з=5 сек; Й1 = 10; йг=2.
Ответ. Передаточная функция системы может быть записана так;
hb =
^ {Т,р + 1) (Г|р= + Г,р + 1)
10-2 20
~ (Зр+1) (0,25р= + 5р+1) 0,75“р+15,25р= + 8р+1 *
214
Амплитудно-фазовая характеристика после замены р на ш имеет вид:
20 20 .
= —0,75гш^ — 15,25(02 + 8ш + 1 (1 — 15,25(о2) + i (8(о — 0,75(о^) ’
освобождаясь от мнимых величин в знаменателе, получаем;
W (((О) :
20 (1 — 15,25(0=) — /20 (8(0 — 0,75(о=)
(1 — 15,25(0=)= + (8(0 —0,75(0®)=
Вещественную R(a) и мнимую /(и) характеристики можно записать в следую¬
щем виде;
20(1 — 15,25(0=)
R И = (1 — 15,25(0=)= + (8(0 — 0,75(0®)= ’
20 (8(0 — 0,75(0®)
-R(ax)
-U(w)
Т И - (1 _ 15,25(0=)= + (8(0 — 0,75(0®)= ’
Строим по точкам амплитудно-фазовую характеристику (рис. 8-21) и убеждаемся,
что она не охватывает точку i?(co)=—1, т. е. система регулирования устойчива.
6. На рис. 8-22 приведены графики амплитудно-фазовых характеристик различ¬
ных устойчивых разомкнутых систем регулирования. Определить, какие системы
в замкнутом состоянии устойчивы и какие неустойчивы.
О т в е т. а, б, I?, е — устойчивые; в, г, ж, з — неустойчивые.
7. Рассчитать устойчивость системы регулирования, объект и регулятор которой
описываются следующими передаточными функциями:
ke~P'‘
К {р)об = Тр+\’
где А=0,28; Г=15 сек; т=30 сек,
Kip)v=-Ci.
Расчет произвести для положи¬
тельных значений Ci в пределах
изменения частоты колебаний (о<
<0,08 1/сек.
Ответ. Расчет устойчивости си¬
стемы регулирования в данном слу¬
чае сводится к определению пределов
изменения настроечного параметра
Cl регулятора
Ci=0—^(Ci)kp4t,
где (Cl) Крит — критическое значение
настроечного параметра, обеспечиваю¬
щее нахождение системы регулирова¬
ния на границе устойчивости. При
этом, естественно, степень затухания
переходного процесса будет равна
нулю.
Итак, на основе соотнощения
можно записать:
ke-P^
KiP)o,K{p)p=l
(-Cl) = 1
-Н(ш)
Тр+\
нли
с.
1 Тр + \
к р—р-
1
-и (ш)
Рис. 8-22. Графики амплитудно-фазовых ха¬
рактеристик различных разомкнутых систем ре¬
гулирования.
215
Подставляя p = ia>, получаем:
Cl = — (Гш + 1) ^ + *) 1**°® + ‘ ~
^ (гЧоГ cos сох — соГ sin <ох + cos wx + i sin cox)
или
kCi—coT" sin cot+cos MT+i(i(or cosicoT+sin сот) =0.
Приравнивая вещественную и мнимую части этого выражения порознь нулю, полу¬
чаем:
kCi—(оГ sin (OT+COS (ОТ=0;
(оГ cos '0T+sin сот=0.
Отсюда находим:
соГ=tg<oT
и
Cl = (соГ sin сох — cos сох).
Подставляя в эти уравнения численные значения параметров объекта Т, k п х,
получаем:
15со=—tgSOco (а)
и
Cl = (15со sin ЗОсо — cos ЗОсо). (б)
Из уравнения (а) находим (подбором или графическими приемами) со —
«0,076 Мсек.
Подставляя это значение частоты в уравнение (б), получаем:
1 1 1.51
Cl S 0“^ (15-0.076- sin 2,28 — cos 2,28) = (1,14-0,76 + 0,64) = 5,4.
Таким образом, пределы изменения настроечного параметра регулятора будут
Ci«0-=-5,4.
8. Передаточные функции регулируемого объекта и регулятора имеют следующие
выражения:
^(Р)об=50р2^Т,р+1 ’
К(р)р=-С,.
Рассчитать устойчивость этой системы регулирования, т. е. определить (Ci)kpht-
(Ci>0 и <й^0,1 1/сек) при т=20 сек и постоянной времени 7'i=20 сек.
Ответ. (Ci)kpht = 1,95.
9. Замкнутая система регулирования описывается характеристическим уравнением
100рз+ 100р2+Гр+1 +йе-2<'Р=0.
Определить критическое значение коэффициента й(й>0 со<0,09 1/сек), при котором
система регулирования будет устойчива, если Г=20 сек.
Ответ. йкри1 = 1,68.
10. Объект представляет собой интегрирующее звено, соединенное последовательно
С-Юр
с запаздывающим звеном, его передаточная функция имеет вид: К {р)об — рр ’
регулятор — пропорциональный с передаточной функций К(р).р=—Ci. Определить за¬
висимость настроечного параметра Ci регулятора от постоянной времени объекта
Т (й)<0,16 1/сек).
Ответ. Характеристическое уравнение системы регулирования будет иметь вид:
-Cl+ 1=0.
Тр
После подстановки /со вместо оператора р получим:
+ шТ = О
или
Cl (cos lOco—г sin lOco)+ifi)7’=0.
216
Приравнивая вещественную и мнимую части этого уравнения порознь нулю, по¬
лучаем два уравнения:
С, cos 10(0 = О, т. е. 10(0 = -^; со = 0,157 Х/сек
н
Cl sin 10ш=«Г, т. е. Ci = cor,
или
Ci=0,.1577=0,1577’.
Таким образом, величина настроечного параметра Ci регулятора в данном случае
прямо пропорциональна значению постоянной времени Г регулируемого объекта.
И. Рассчитать устойчивость системы регулирования, объект и регулятор которой
имеют соответственно следующие передаточные функции:
кё~Р'‘
К (Р)об = тр+х'
где ^=0,28; 7= 15 сек; т=30 сек,
K(p)p=^-^^■
Расчет произвести для положительных значений настроечного параметра Со регу¬
лятора и частоты колебаний ю<0,04 1/сек.
Ответ. Характеристическое уравнение системы регулирования имеет вид:
Я(р)об7С(р)р-1=0.
Тогда
T-p + i V Р ) ‘
Отсюда следует:
kCo+(Tp+X)peP^=Q.
Заменяя оператор р на ш, получаем:
ЙСо+ (1<оГ+ 1) /о>е'“''= О
■или
ЙС„ + (—+ /(О) = 0:
так как = cos сох + i sin o>x, то
ЙСо—-cD^Tcos (Bt—(О sin (DT-t-i(cos iCot-sin сот) =0.
Приравнивая вещественную и мнимую части этого выражения порознь нулю,
получаем:
кСо—шП cos (ОТ—со sin сот=0; (а)
со cos (ОТ—ito^r sin мт=0. (б)
Из уравнения (б) следует:
0)
Тогда
Со = — (со^Г cos сох + со sin сох). (2)
Подставляя в (i) и (2) численные значения т=30 сек, 7=15 сек, й=0,28, полу¬
чаем из (1) <0—0,036 1/сек (графическим методом).
Значения co>0,04 1/сек по условию задачи нас не интересуют:
Со = (0,036-30) + 0,036-sin (0,036-30)} =
= Q-^ (0,009 + 0,032) ss 0,146 1/сек.
Таким образом, система регулирования будет устойчива в пределах измене¬
ния Со от О до 0,146 1/сек.
217
12. Найти области устойчивости системы автоматического регулирования
в плоскости параметров настройки ПИ-регулятора, если известны передаточные
функции регулируемого объекта и регулятора;
где
т= 20 сек.
К(ри°=
/С(р)р = -
Тр + \
Сд + Cip
Выделение областей устойчивости произвести для положительных значений
Со и Cl, частоты ш<0,11 1/сек при:
а) 7’=20 сек\ б) Т=ЭО сек-, в) Г=100 сек; г) Т=200 сек.
Ответ. Результаты расчета приведены в таблицах.
а)
т = 20 сек
Г = 20 сек
б)
т = 20 сек
Г— 50 сек
в)
X = 20 сек
Т - 100 сек
г)
X = 20 сек
Т = 200 сек
218
ш
С,
Со
0,045
0,083
0,060
0,050
0,301
0,069
0,060
0,756
0,082
0,070
1,210
0,086
0,080
1,628
0,076
0,090
1,980
0,051
0,100
2,235
0,008
ш
С.
Со
0,030
0,022
0,054
0,040
0,738
0,084
0,050
1,563
0,110
0,060
2,434
0,121
0,070
3,279
0,111
0,080
4,028
0,071
0,090
4,609
)
0,004
ш
С.
Со
0,020
0,142
0,045
0,030
0,868
0,091
0,040
2,173
0,140
0,050
3,667
0,177
0,060
5,230
0,186
0,070
6,728
0,152
0,080
8,026
0,061
0,085
8,558
0,009
О)
С.
Со
0,020
0,637
0,081
0,030
2,563
0,165
0,040
5,042
0,252
0,050
7,874
0,312
0,060
10,822
0,317
0,070
13,626
0,236
0,080
16,022
0,042
Область устойчивости представ¬
лена на рис. 8-23
Область устойчивости представ¬
лена на рис. 8-24.
Область устойчивости представ¬
лена на рис. 8-25
Область устойчивости представ¬
лена на рис. 8-26
Рис.. 8-23. Область устойчивости
к задаче 12,а.
Х=20сен
Т=20сен
О.ЮО С,
О 1 2 3 4
Рис. 8-24. Область устойчивости к задаче 12,6.
Рис. 8-25. Область устойчивости к задаче 12,в.
о,оео
б 5 10 15
Рис. 8-26. Область устойчивости к задаче 12,г.
13. Регулируемый объект описывается дифференциальным уравнением
200лг"вых.об + 7'x'bhx.o6 + /i:bx.o6 =Хвх.0б (/—Т) ,
где /Свых.об — выходная (регулируемая) величина объекта; Хвх.ов — входная вели¬
чина объекта; т=20 сек.
Амплитудно-фазовая характеристика ПИ-регулятора известна:
/ 1F (г'й>)р = — Cl + ( •
219
Найти области устойчивости для системы автоматического регулирования, состояь
щей из данного объекта и ПИ-регулятора.
Построение областей произвести для Со>0, Ci>0, (о<0,09 1/сек,
если а) Г=20 сек; б) Г=200 сек.
Сопоставить построенные области устойчивости.
Рис. 8-27. Область устой¬
чивости к задаче 13,а.
Ответ. Области устойчивости с ростом постоянной времени Т увеличиваются,,
что видно из сопоставления графиков на рис. 8-27 и 8-28. Результаты расчета приве¬
дены в таблицах.
а)
=
0; г = 20 сек
= 0; г = 200 сек
ш
С,
Со
ш
С.
Со
0,040
0,100
0,042
0,010
—0,563
0,022
0,045
0,335
0,046
0,020
0,710
0,081
0,050
0,571
0,048
0,030
2,711
0,162
0,055
0,801
0,047
0,040
5,265
0,242
0,060
1,017
0,042
0,050
8,144
0,291
0,065
1,211
0,032
0,050
8,144
0,291
0,065
1,211
0,032
0,060
11,083
0,276
0,070
1,376
0,018
0,070
13,793
0,168
0,075
1,505
—0,001
0,075
14,971
0,070
0,080
15,985
—0,070
14. Передаточные функции объекта и регулятора имеют следующий вид:
е-Р^
К (Р)об = 200//= + Тр+\'
к I л
К{р)у = — .
где а) t = 50 сек; б) Т = 20 сек.
В результате расчета системы регулирования были установлены следующие зна¬
чения параметров настройки регулятора: Со=0,01 1/сек; Ci=0,4. В течение рабочей
кампании агрегат;а — регулируемого объекта — увеличилось вре.мя запаздывания
и стало равным т=100 сек. Требуется проверить, сохранится ли устойчивость системы
регулирования.
220
0,0,s
о qe«z?
область
устойчивости
1)0,024
Ч7=о:Л
Z=100 сек
Г=20 сел
_1
С,
Ofi 0,5
\ 0.02в
Рис. 8-29. Область устой¬
чивости к задаче 14а.
Рис. 8-30. Область устойчивости к зада¬
че 146.
Ответ. В результате расчета системы регулирования построены области устой-
хщвости, приведенные на графиках рис. 8-29 и 8-30. При увеличении времени запазды-
зания с 50 до 100 сек система осталась устойчивой.
а) X = 50 сек
6) X = 100 сек
гр = 0
41 = 0
0,021
0,025
0,330
0,035
0,038
0,040
0,042
0,045
С,
-0.089
0,198
0,540
0,823
0,931
1,010
1,059
1.074
0,021
0,025
0,026
0,022
0,017
0,011
0,004
—0,005
0,013
0,014
0,016
0,018
0.020
0,022
0,024
0,026
С.
-0,008
0,113
0,348
0,563
0,746
0,887
0,977
1,010
Со
0,013
0,014
0,015
0,015
0,013
0,010
0,006
0,000
ГЛ.АВА ДЕВЯТАЯ
РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНОЙ НАСТРОЙКИ ОДНОКОНТУРНЫХ
СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
9-1. ПОНЯТИЕ ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ПРОЦЕССЕ РЕГУЛИРОВАНИЯ
И РАСШИРЕННЫХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ
Выше был изложен расчет устойчивости систем автоматического
рег.-лирования, т. е. указаны способы определения настроечных пара¬
метр зв регулятора, при установке которых исключается возникновение
расходящегося переходного процесса.
Однако этого недостаточно для оценки систем регулирования с точ¬
ки зрения их практической пригодности. Переходный процесс в про¬
мышленной системе должен иметь совершенно определенный характер,
диктуемый требованиями технологии производства.
Таким образом, условие устойчивости системы регулирования явля-
необходимым, но недостаточным для лолучения желаемого (опти-
у-.тьнэго) процесса регулирования.
Рассмотрим кривые переходных процессов в какой-либо системе
згг:матического регулирования, изображенные на рис. 9-1. Все кривые,
= с,г.чезные при различных значениях настроечных параметров ПИ-ре¬
221
Рис. 9-1. Возможные формы переход-
ных процессов в системе регулирова¬
ния.
гулятора, характеризуются устойчивой
формой переходного режима, т. е. ни
в одном случае процесс «е является
расходящимся. Однако легко видеть,
что все изображенные процессы раз¬
личны.
Процесс а затухает очень медлен¬
но и поэтому не может быть признан
удовлетворительным.
Процесс б носит апериодический
характер и с точки зрения интенсив¬
ности затухания может считаться весь¬
ма удовлетворительным. Однако, срав¬
нивая его с процессом а, следует от¬
метить существенное увеличение от¬
клонения регулируемой величины
0макс Поэтому В тех случаях, когда
предъявляются жесткие требования
к максимальным отклонениям регули¬
руемой величины, он также не может
считаться приемлемым.
Итак, возникают два противоре¬
чивых требования: отклонения регули¬
руемой величины должны -быть мини¬
мальными, а интенсивность затухания
высокой. -Очевидно, ни процесс а, ни
процесс б этим требованиям не удовлетворяют.
Процесс в характеризуется достаточной интенсивностью затухания,
а максимальное отклонение регулируемой величины хотя и больше, чем
в процессе а, но заметно меньше, чем в процессе б.
Таким образом, из первых трех процессов наиболее приемлемым
может быть признан процесс в.
Рассмотрим следующие два процесса. Процесс г отличается мень¬
шим отклонением регулируемой величины, однако возвращение ее к
требуемому значению происходит очень длительно. По этой причине
он также не может считаться удовлетворительным.
Процесс д характеризуется еще меньшим отклонением регулируе¬
мой величины, однако последняя не возвращается к требуемому значе¬
нию. Налицо статическая ошибка регулирования — остаточная неравно¬
мерность, свойственная П-регулятору. В тех случаях, когда условия
технологии производства допускают наличие такой статической ошибки,
указанный процесс является наилучшим из всех рассмотренных, так
как он характеризуется малым отклонением регулируемой величины,
хорошим затуханием и небольшой продолжительностью переходного ре¬
жима. Однако во многих случаях наличие статической ошибки недо¬
пустимо, а потому процесс д может быть неприемлем с технологической
точки зрения.
Итак, можно сформулировать следующие требования, которым дол¬
жен удовлетворять оптимальный процесс регулирования:
затухание переходного процесса должно быть интенсивным;
максимальное отклонение регулируемой величины должно быть
наименьшим;
продолжительность переходного процесса должна быть минималь¬
ной.
Таким образом, задача настройки состоит в том, чтобы в заданной
системе регулирования выбрать и установить настроечные параметры
регулятора, обеспечивающие близкий к оптимальному процесс регули¬
рования.
222
Первым требованием, которому должен удовлетворять оптималь-
ь:й процесс регулирования, как было установлено выше, является
нтенсивность затухания переходного режима. Однако это лишь каче-
гзенная характеристика затухающего процесса. Конкретизируем меру
нгенсивности затухания, введя понятие о степени устойчивости и сте-
тин колебательности (затухания) процесса регулирования.
Выше указывалось, что для устойчивости системы необходимо и
::таточно, чтобы корни характеристического уравнения имели отри-
зтельные вещественные части, т. е. на комплексной плоскости корни
: лжны располагаться только в левой полуплоскости. Система обладает
гределенной степенью устойчивости, если все корни ее характеристи-
-<г
Рг
а)
гш
Wf
а
-г'<ы
Ч+г
6
6)
/Г\ . i
\ / t
\ / (^максН-г1
гш
1(0
- N
. тшк
='1’
у= arctgm
0<ni<oo^\.
-а \
^т=0
а
0
^ у' л
/77=00 X
0
г)
- ico
3) '
-i(o
V=0(m=o)
4(/>0(mf>o)
А
; 9-2. К пояснению понятия о степени устойчивости и степени колебательности пере¬
ходного процесса.
че::-:ого уравнения находятся левее некоторой прямой, проведенной
= .гевой полуплоскости параллельно мнимой оси на расстоянии ц от
Hte !'рис. 9-2,а). Величина г|, характеризующая интенсивность затуха-
И'- процесса, численно равная абсолютному значению действительной
7з:т:-! корня характеристического уравнения с наименьшей действитель-
э;:'; частью, называется степенью устойчивости переходного процесса.
Степень колебательности т процесса характеризует затухание его
:'гбательных составляющих и численно равна абсолютному значению
:7:-::шения действительной части к коэффициенту при мнимой части
£:;нч характеристического уравнения с наименьшим абсолютным зна¬
чением этого отношения. Поясним это. Выше указывалось, что решение
т-ненного дифференциального уравнения системы имеет вид:
д:
А=1
ш: i ;тер колебаний системы зависит от корней ph характеристического
77'3;-;ения.
223
Наложим на корень pk ограничение следующего вида:
Ph = —mco + ico,
где т — положительное число.
Этому корню соответствует колебательная составляющая перехот'
ного процесса вида
Хц — cos <x>t,
где (О — частота колебаний.
Тогда в момент времени 4, когда, например, Ыг=кп (й —целое
число) (рис. 9-2,6), амплитуда колебаний величины Xk будет иметь сле¬
дующее значение:
а в момент i,+z, что соответствует wt,i+2=kn + 2n, амплитуда Лг+2 будет
равна:
Степенью затухания Y называется отнощение разности двух со¬
седних положительных амплитуд (рис. 9-2,8) наиболее слабо затухаю¬
щей составляющей nepexoHHOiro процесса * к первой из соседних амп¬
литуд:
Хр _ (°маи>)( (®Maiic)t-b2 j (°маке)с-1-2
{®MaKC:)i (®мако)(
Очевидно, степень затухания 'Ф‘ равна нулю в том случае, если
(/■ + 2)-я амплитуда (сГмакс)г+2 равна i-й амплитуде (сГмакс), т. е. когда
процесс незатухающий.
Степень затухания Л’’ равна единице в том случае, если (г + 2)-я
амплитуда (0макс)г-ь2 равна нулю, что соответствует апериодической
форме переходного процесса.
Все промежуточные значения степени затухания будут находиться
в пределах 0<Ч'‘<1.
В соответствии с этими формулами степень затухания процесса
определится так:
где 2ят — логарифмический декремент затухания колебаний.
Различным значениям степени затухания Y соответствуют следую¬
щие величины т:
1
ОО
Наложенное выще на корень ри ограничение рк = —теш + гсо геомет¬
рически интерпретируется так (рис. 9-2,г): степень затухания рассмат¬
риваемой составляющей процесса будет определяться значением
^ = tgv; если этот корень характеристического уравнения системы будет
лежать в плоскости комплексного переменного (в плоскости корней)
на линии АОВ, то степень затухания Ч*" будет одна и та же.
* В конце процесса регулируемая величина практически определяется только наи¬
более слабо затухающей составляющей.
224
0,000
0,150
0,300
0,450
0,600
0,750
0,900
т
0,000
0,026
0,057
0,095
0,145
0,221
0,366
Частные выражения передаточной функции К{р) звеньев или систе¬
мы регулирования, для которых р находится на линии АОВ, называются
расширенными амплитудно-фазовыми характеристиками и обозначают¬
ся V/ (т, ш) *.
Если т = 0, то очевидно, что расширенные амплитудно-фазовые ха¬
рактеристики W[т, /(о) совпадают с нормальными амилитудио-фазовы-
ми характеристиками U7i(i<o) и линия АОВ совместится с мнимой осью,
т. е. система находится на границе устойчивости (рис. 9-2,(5).
Выше при расчете устойчивости на корень ри накладывалось огра¬
ничение вида Рк = ш и таким образом находилась область устойчивого
регулирования системы в плоскости (объеме) настроечных параметров
регулятора.
Теперь наложением на корень ри ограничения вида ри = —ты +
+ /(о=(г—т)со поставлено условие, чтобы корни характеристического
уравнения системы регулирования лежали внутри контура АОВ
(рис. 9-2,г). Тогда совокупность настроечных параметров регулятора,
соответствующих контуру АОВ в комплексной плоскости корней, обра¬
зует в плоскости (объеме) параметров настройки автоматического регу¬
лятора внутри области устойчивости линию равного затухания (задан¬
ной степени колебательности) (рис. 9-2,е).
Таким образом, для расчета системы регулирования на заданную
степень затухания необходимо располагать расширенными амплитудно¬
фазовыми характеристиками объекта и регулятора.
Так же как и при расчете устойчивости, исходным условием явля¬
ется соотношение
W[т, ш)об^‘{т, /0)р=1,
т. е. произведение расширенных амплитудно-фазовых характеристик
объекта и регулятора равно единице *.
Расширенные частотные характеристики получают либо аналитиче¬
ским путем (по дифференциальному уравнению или передаточной функ¬
ции), либо графическим методом по заданным графикам нормальных
частотных характеристик.
Примеры определения расширенных частотных характеристик при¬
водились в гл. 4.
Аналитические выражения расширенных частотных характеристик
распространенных автоматических регуляторов имеют вид:
П-регулятоо
W (т, ш) = —С,;
ПИ-регулятор
W{m, /со) = • с, -4- / , г-п;
ПИД-регулятор
W (т, /о>) - „ — С. + -f /
со {пр + 1)
■ соС,
Графики амплитудно- и фазо-частотных характеристик (нормаль¬
ных и расширенных для Ч*' = 0,75) этих регуляторов приведены на
рис. 9-3.
Итак, с помощью расширенных частотных характеристик можно
рассчитать систему регулирования на заданную степень затухания, т. е.
построить в плоскости (или объеме) параметров настройки регуляторов
линию равной степени колебательности (Y=const, m=const).
* Дудников Е. г. Основы автоматического регулирования тепловых процессов.
М.. Госэнергоиздат, 1956.
15—1074 225
Однако остаегся задача выбора на этой линии равного затухания
конкретных значений параметров регулятора, обеспечивающих опти¬
мальный (или близкий к оптимальному) процесс регулирования.
Для приближенной оценки качества процесса регулирования могуг
быть использованы прямые или косвенные методы.
Прямой метод определения качества процесса предполагает реше¬
ние дифференциального уравнения си¬
стемы регулирования и построение
графика переходного процесса при
известном входном возмущающем воз¬
действии. Применение этого метода
связано с трудоемкими расчетными
схперациями, так как необходимо про-
а) извести многовариантные расчеты для
От
\3>«о)
у A(w) ^(Ш) 4^=0 4f=0,?5
й)
ffA(w)
v«o)
•
к\
<
>Чх=0 ,
у.
'W=B,75
у\
к
А(ш)
й)Т„
1
2
J
f 4
5
граЗ
150
100
50
S)
6)
Рис. 9-3. Нормальные и расширенные частотные характеристики П-регулятора (а),
ПИ-регулятора (б) и ПИД-регулятора (в).
выбора 01пределенной комбинации параметров регулятора, обеспечи¬
вающей оптимальный процесс регулирования.
Косвенные методы исследования качества процесса регулирования
значительно проще, не требуют решения дифференциальных уравнений
системы, которые очень часто неизвестны, так как динамические харак¬
теристики регулируемых объектов могут быть получены эксперимен¬
тальным путем. Наиболее распространенными косвенными методами
оценки качества являются так называемые интегральные критерии ка¬
чества Ч Показателем качества в практике расчетов систем регулиро¬
вания часто используется критерий наименьшей площади переходного
процесса.
Например, простейшим является линейный интегральный критерий
/ = J а (/) Л.
Этот интеграл представляет собой алгебраическую сумму площадей,
описываемых кривой регулируемой величины около ее установившегося
значения (рис. 9-4,а).
Если в процессе регулирования o(t,) не меняет знака, то процесс
тем лучше, чем меньше значение интеграла I. Но если ст(/) меняет
знак, то величина интеграла уже не может служить удовлетворитель¬
ным критерием качества. Так, например, процессу регулирования, имею¬
‘ Ф е л ь д б а у м А. А. Электрические системы автоматического регулирования.
М„ Оборонгиз. 1954.
22 6
щему незатухающий характер, т. е. с постоянными амплитудами регу¬
лируемой величины, будет соответствовать интеграл / = 0.
Часто используют интегральный критерий вида
который учитывает площадь, описываемую регулируемой величиной не¬
зависимо от ее знака (рис. 9-4,6).
Однако необходимо обратить внимание на то, что пользование кри¬
терием изолированно от других требований качества (например, без
учета степени колебательности) требует известной осторожности. Так,
если исходить из минимума интеграла, то процессы 1 и 2 (рис. 9-4,в)
Рис. 9-4. К понятию качества процесса регулирования.
эквивалентны, хотя с точки зрения технологии производства процесс 2
безусловно предпочтительнее.
Широкое распространение для оценки качества регулирования по¬
лучил так называемый интегральный квадратичный критерий
=--?Ь(ОГЛ,
который представляет собой площадь, заключенную между кривой
[а(/)]2 и осью времени.
Таким образом, использовать интегральные критерии необходимо
не изолированно, а совместно с оценками качества регулирования с уче¬
том степени затухания Ч* переходного процесса. Практически это сво¬
дится к выбору конкретных значений параметров регулятора на линии
равного затухания (т = const, т. е. 4*’=const) в плоскости (объеме)
настроечных параметров регулятора.
9-2. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ОПТИМАЛЬНОЙ НАСТРОЙКИ
РЕГУЛЯТОРОВ С ПОМОЩЬЮ РАСШИРЕННЫХ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК
Рассмотрим последовательность расчета системы автоматического
регулирования на заданную степень затухания Ч*" и приемы построения
линии равной степени затухания, если известны аналитические выра¬
жения расширенных амплитудно-фазовых характеристик объекта и ре¬
гулятора.
Последовательность расчета системы регулирования на заданную
степень затухания та же, что при расчете устойчивости. Однако ранее
определялась область, ограничивающая устойчивый характер процесса
регулирования, а в данном случае необходимо построить линии равного
затухания и на них найти конкретные значения настроечных парамет¬
ров регулятора.
15* 227
Итак, изложим порядок расчета.
1. Дана расширенная амплитудно-фазовая характеристика объек¬
та, выраженная в зависимости от выбранного значения т(Д'=1—
частоты и и параметров объекта ki, Аг ..., Tz т:
W(m,m)^ = A{m, (9-1)
где
А{т, (о)об = Роб{т, со, Ai, kz ..., Тi, Tz ..., t); (9-2)
. ср(7П, со)об = Фоб(ш, со, Ai, A2 ..., Ti, Г2 ..., т). (9-3)
2. Дана расширенная амплитудно-фазовая характеристика регуля¬
тора, выраженная в зависимости от степени затухания Д' (через т),
частоты со и параметров настройки Со, Ci и Cz:
W {т, iw)p = A(m, св)р (9-4)
где
А(т, со)р = Гр(/?г, со. Со, Ci, С2); (9-5)
ф(т, со)р = Фр(т, со. Со, Ci, Cz). (9-6)
3. Исходя из условия
W(m, ia)o6W(m, гсо)р=1, (9-7)
имеем:
л/ \ —‘>("4. “)l, 1 Щ(ГП.«>)
4(и, .)„« «. (э-8)
Это равенство двух комплексных чисел возможно в том случае,
если равны модули векторов, а аргументы отличаются на 2лп (обычно
можно ограничиться случаем тг = 0), т. е.
“)г=Г(+ч;
и
, ф(ш, со)р = ф'(/п, со) об.
Тогда с учетом уравнений (9-2), (9-3), (9-5) и (9-6) записыва,ем:
Гр (от, (О, с„ с„ c,) = j--^^^ ^ г, ... ,х) =
Фр(т, со. Со, Cl, С2)=Фоб(т, со, К kz ..., Ti, Tz ...,х). (9-10)
4. Решают систему уравнений (9-9) и (9-10) сдвумя неизвестными,
в качестве которых выбирают (настроечные параметры регулятора
Со и Ci:
Со=/о(ш, со, Ai, 1A2 ..., ТI, Tz ..., X, С2), (9-11)
Ci=/i(m, со, Ai, kz ..., Ti, Tz ..., x, Cz). (9-12)
5. Подставляют в эти уравнения численные значения параметров
объекта Ai, kz ..., Ti, Tz ..., x, выбранную величину m и получают окон¬
чательно:
Co=Fi{a,Cz); (9-13)
Ci = Fz{(£), Cz). (9-14)
Если расчет ведут для регулятора с двумя параметрами настройки,
например Со и Ci, то в уравнениях (9-13) и (9-14) полагают С2=0.
Если же регулятор с тремя параметрами настройки, то определяют Со
и Cl в зависимости сЛ» частоты для разных значений Cz.
6. Подставляют i уравнения (9-13) и (9-14) численные значения
частоты от нуля до значения, при котором Со становится отрпцатель-
228
ной величиной, или частоты «среза» о)ср = 0,1 padjceK, если при этом
значении частоты параметр Со продолжает оставаться положительной
величиной.
7. Строят в координатах Со, Ci зависимость Co=f(Ci). Если же
регулятор с тремя параметрами настройки, то строят несколько зави¬
симостей Co=/(Ci) для разных значений Сг начиная с Сг=0.
Полученная кривая (рис. 9-5,а) является линией равной степени за¬
тухания 'Е = const процесса регулирования (при выбранном значении
гп и Сг = 0). Таким образом, все значения Со и Ci, лежащие на этой
кривой, обеспечат определенную заданную степень затухания.
Значения Со и Ci, лежащие внутри области, ограниченной данной
кривой и осями координат, обеспечат процесс регулирования со^ сте¬
пенью затухания больше заданной (Ч''1>^зад), а лежащие вне этой об¬
ласти— со степенью затухания меньше заданной (Ч''2<Ч''зад) •
Значения настроечных параметров, лежащие на пересечении ука¬
занной кривой с осью абсцисс (Со=0), соответствуют П-регулятору
(с жесткой обратной связью), и процесс с заданной степенью затуха¬
ния характеризуется остаточной неравномерностью.
Значения настроечных параметров, лежащих на оси ординат (Ci =
= 0), соответствуют астатическому регулятору с одним параметром на¬
стройки (И-регулятору).
Далее остается выяснить, во-первых, какую степень затухания 'F
следует рекомендовать и, во-вторых, какие конкретные значения Со и
Cl надо выбирать на построенной
линии заданного затухания, чтобы
получить оптимальный процесс ре¬
гулирования.
В настоящее время не сущест¬
вует единого взгляда на то, какая
именно степень затухания является
оттимальной. Определенно можно
V=const>0
а)
6)
Рис. 9-5. Характер изменения качества переходных процессов, .при различных настрой¬
ках регулятора.
ЛИШЬ сказать, что в большинстве случаев оптимальная степень затуха¬
ния находится в пределах 4'' = 0,750,9, так как ¥<0,75 дает недоста¬
точную интенсивность затухания, а ¥>0,9 при хорошем затухании дает
завышенные отклонения регулируемой величины. Иллюстрацией этому
может служить рис. 9-1 (процессы а, б я в). Если динамические свой¬
ства объекта в процессе эксплуатации изменяются, то следует ориен¬
тироваться на повышенную степень затухания, чтобы избежать появле¬
ния незатухающих или слабо затухающих процессов в эксплуатацион¬
ных условиях. Более определенный выбор ¥ должен производиться
3 зависимости от конкретных требований, в частности, к максимально
допустимому отклонению регулируемой величины, к продолжительности
229
переходного процесса, а также с учетом рекомендованного выше инте¬
грального критерия вида
Опыт эксплуатации показывает, что Ф' = 0,75 может удовлетворять
многим требованиям практики.
Анализ процессов, соответствующих различным значениям Со и Си
лежащим на кривой, показывает, что качество переходного процесса
при заданной степени затухания изменяется в зависимости от выбран¬
ных значений Со и Ci. Так, если двигаться по кривой (рис. 9-5,а) от
меньших значений частот со к большим, то амплитуды колебаний регу¬
лируемой величины уменьшаются (рис. 9-5,6). Однако по мере прибли¬
жения к оси абсцисс процесс «затягивается» (кривая 3), а при значе¬
нии Со, лежащем на оси абсцисс, он характеризуется наименьшими
отклонениями регулируемой величины при наличии остаточной нерав¬
номерности (кривая 4). В результате рассмотрения этих кривых можно
признать близким к оптимальному процесс, соответствующий настрой¬
ке 2 (рис. 9-5,а); при этом отсутствует остаточная неравномерность,
длительность переходного режима минимальна, а отклонения регулиру¬
емой величины меньше, чем при настройке 1.
Многочисленные промышленные опыты настройки регуляторов тех¬
нологических процессов показывают, что следует выбирать значения
Со и Си лежащие несколько правее максимума кривой заданного зату¬
хания.
В заключение следует указать, что характер переходного процесса
зависит не только от динамических свойств объекта, регулятора и вы¬
бранной настройки, но определяется также источником возмущений.
В объекте могут возникать возмущения по различным каналам, и в об¬
щем случае проверку правильности выбранной настройки следует про¬
изводить с учетом этих источников возмущений после построения пере¬
ходных процессов.
Рассмотрим примеры определения оптимальной настройки, которые
помогут сделать некоторые обобщения для ряда характерных систем
регулирования.
а) Выбор оптимальной настройки ПИ-регулятора для объекта
с самовыравниванием
Выберем оптимальную настройку ПИ-ретулятора и определим харак¬
тер переходных процессов в системе автоматического регулирования,
изображенной на рис. 8-11,6. Эта система была рассчитана на устойчи¬
вость в гл. 8.
Определение оптимальной настройки произведем в соответствии
с рекомендованным порядком.
1. Расширенную амплитудно-фазовую характеристику объекта по¬
лучаем заменой в передаточной функции объекта оператора р на
(/■—т)со;
I arctg —=—;— сот
I т<лТ—\
W {т, №)об :
V + (т<оГ — 1)2
230
t
2. Расширенная амплитудно-фазовая характеристика ПИ-регулятора
'ззестна:
' <л\ТггР+\
+ arctg •
mC,
Со—mmCi
—arctg от)
^ 3. На основании формул (9-9) и (9-10) имеем:
Аю'"'”'' со VPp+\
К сй=Г2 + (отсоГ — 1)2 к (Со — отсоС,)2 + (0)С,)2
arctg
соГ
соС,
отсоГ
— - ^rctg
4. Решая эту систему двух уравнений относительно Со и С,, полу-
Со
Гсог (1 + от*)
сох
/ т: N
COS сот — / /Исот ^
sm сох
с,-
Ье"
^2отсвх COS сох ^сох — OT^'CDX 4- in sin с
5. Предполагая строить зависимость Co = f(Ci) в относительных
- >эрдинатах, приведем эти выражения к следующему виду:
_ (1 +ОТ)2
/ X X . 1
ft\>r <^/ЛС Шт/г - 1 01+1 «атл*
у Оо
^ОТШТ
C-Ub ШТ, fiUV'L Т J
кх
' 2iTn»x —C.OS«:.х^(ох — nv‘cBx-V-m,-^'^s.Va®x^'
6. Подставляем сюда значения шт от нуля до значения, при кото-
: м Со становится отрицательной величиной, полагая т/Г=1.
Строим зависимость Co = f(Ci) для т = 0,145 (+' = 0,6); т = 0,221
Г = 0,75) ит = 0,366 (+ = 0,9) (рис. 9-6).
Точками на кривых отмечены значения мт. Цифрами в кружках
-значены номера переходных процессов, соответствующих различным
О,г од 0,6 ON 1,0 1,г 1,4 i,s 1,ь г,о г,г
? 9-6. Области параметров настройки ПИ-регулятора для устойчивого объекта
с транспортным запаздыванием.
231
f\® г\ л Ж
^ ж ®Л А
05
"Л /\ /\ /'\
\ \ \ /т ^
fA \ \ It
0
/ \1 \ \\П г „
Vy 1 V/ г /7
1 ^ ^ W У
1 ~5 10
ID 1
б)
Рис. 9-7. Осцил.лограммы переходных процессов в системе регулирования.
а—С,=0; б —Со=0 (7„-оо).
настройкам регулятора в рассматриваемой системе регулирования при
возмущениях со стороны регулирующего органа i.
На рис. 9-7 приведены процессы 6, 14, 21 при использовании И-ре-
гулятора (Ci = 0). При уменьшении настроечного параметра Со
(рис. 9-6) степень затухания переходного процеса увеличивается, ма¬
ксимальные отклонения регулируемой величины растут незначительно,
интеграл 1 = F= \\a\dt,* также несколько уменьшается,
о
Процесс 2 получен при настройке регулятора вне области устойчи¬
вости; процесс 5 —внутри области, но близко к границе устойчивости;
процессы 13, 20, 28 соответствуют степеням затухания Ф'=0,6; Чг = 0,75
и Чг = 0,9. Анализ процессов показывает, что по мере уменьшения па¬
раметра настройки Cl (увеличение б) максимальные отклонения регу¬
лируемой величины и остаточная неравномерность (статическая ошиб¬
ка) растут. Для сравнения приведена также кривая разгона объекта.
На рис. 9-8—9-10 изображены переходные процессы при использо¬
вании ПИ-регулятора для степеней затухания ^" = 0,6 (процессы 6—13).
Д'=0,75 (процессы 14—20) и ^F = 0,9 (процессы 21—28). Рассмотрецие
этих процессов показывает, что изменение значений настроечных пара¬
метров Со и Cl регулятора при сохранении Y=const, т. е. при движении
вдоль линии равного затухания (рис. 9-6) в сторону увеличения отно¬
сительной частоты сот, приводит к уменьшению максимального отклоне-
* Переходные процессы получены Н. П. Живовым при моделировании системы ре¬
гулирования на электронной моделирующей машине.
* Переходный процесс считается законченным, если |сг|=0,04. За F=\ принят
процесс 18 (рис. 9-6).
232
@
F=2,46
0 1 5
^ fhF-г.зч ® OS
/hF=1,89 ®
0,5
/о,Вз\ ^ у.
п\ ./Л
Г Г\ /\
1
0 1
0,5
0,5
15 0 1 5 f 10 15 0 1 5 10 15
Piic. 9-8. Осциллограммы переходных процессов в системе регулирования (¥=0,6).
6 ^
\F=2,02 ^
- /
\ ®
10,73 \
t
\
^ 1
^ Г
1
\
15
fKP=b14
-А ®
10,68\
t
/ 1 \ 1
\
Г
1 10
15
05
О
^ Л\Е=1,00
6 ,
\F=1,1J
~ /
\ ®
rf\ ^
Р’РЛ t
J t \| 1 -Ч п
1 1
If 1 Г п
1
5 10
Рис. 9-9. Осциллограммы переходных процессов в системе регулирования (¥=0,75).
ния регулируемой величины, а также к уменьшению вначале площади
гереходного процесса {F= J|cr|(i/), а затем, по мере приближения
О
к оси абсцисс, к ее увеличению.
На каждой линии равного затухания (рис. 9-7) имеется сравни¬
тельно короткий участок, которому соответствуют параметоы настрой-
кл регулятора, обеспечивающие процессы регулирования ‘ с наимень-
ш.чми отклонениями регулируемой величины а и мини.мальными пло¬
щадками F. Так, например, для Ч*' = 0,6 близким к оптимальному явля¬
ется процесс 12, для 'F==0,75 процесс 18, для 47 = 0,9 процессы 25 и 26.
Сравнивая в свою очередь эти процессы в расс.матриваемой системе
регулирования, можно признать наиболее близким к оптимальному
233
!,0
6
0
/T\F=fRO
t.o
0,5
- j
as2 \
05
-
f'\ @
05
t
Q,7j\
i
0
i i \.
1
T
1- 0
л\.. ...
X
i 0
10
\F=1,69
15 1
15
5
Рис. 9-10. Осциллограммы переходных процессов в системе регулирования (Ч' = 0,9).
процесс 18, имеющий наименьшую площадь (Г=1) и относительно не¬
большое отклонение регулируемой величины (ст = 0,68).
«Нулевым» номером обозначен переходный процесс при отключен¬
ном регуляторе (Со = 0; Ci = 0) — кривая разгона объекта.
На рис. 9-7,6 изображены переходные процессы 2, 5. 13, 20, 28, 30
при использовании П-регулятора.
Представляет интерес рассмотреть самостоятельное влияние раз¬
дельно каждого параметра настройки ПИ-регулятора, если он реализо¬
ван в виде регулятора с упругой обратной связью: Со=1/бГи и Ci=l/6.
Характер изменения процессов в системе регулирования при изме¬
нении б приведен на рис. 9-11,а для (rH)i=const и на рис. 9-11,6 для
2 = const. По мере увеличения степени обратной связи б переходные
процессы из расходящихся становятся затухающими; однако при этом
увеличиваются их первые аплитуды, а площади переходных процессов
вначале уменьшаются, а затем начинают расти.
Если увеличивать время интегрирования Ги регулятора, сохраняя
при этом постоянство степени обратной связи (6i = const на рис. 9-12,а
и 62=const на рис. 9-12,6), то затухание переходных процессов увеличи¬
вается; однако при Ги= оо возникает остаточная неравномерность.
На рис. 9-13 приведена общая картина изменения переходных про¬
цессов при различных настройках ПИ-регулятора применительно к дан¬
ному объекту. С учетом изложенных выше требований к оптимальному
процессу регулирования можно принять в качестве близкого к опти¬
мальному процесс 18 как имеющий минимальную площадь регулирова¬
ния, достаточно интенсивное затухание (+’' = 0,75) и сравнительно малое
отклонение регулируемой величины. Окончательный выбор настроечных
параметров можно, однако, варьировать в некоторых пределах без су¬
щественного изменения качества переходного процесса. Если использу¬
ется П-регулятор, выбор настройки определяется однозначно в зависи¬
мости от принятой степени затухания.
В заключение заметим, что до сих пор при анализе переходных про¬
цессов в рассматриваемой системе регулирования мы ограничивались
234
0,5
<s A\F=1,14
05
шгХ
t
/oes\
t
их .
'-<1 0
1 i
J 0
F=1.21
IS
W
0,5
0
10
6 /T\F=1,41
Os¬
lo
10
6
jom /
M '/
©
\ r \
05
A t
h Y n
ДА ^
j 1 V"
0,5
^J-
^ /l\F=1,t5
■ /l\ ®
0,07\ ^
1 Ы
\ / '
15
1 s'
10
15
1 5 Ю
to
10
Рис. 9-11. Осциллограм¬
мы переходных процес¬
сов в системе регулиро¬
вания (Ги=С0П81).
;;з.менением настроечных параметров только для случая Со>0 и Ci>0;
однако на рис. 9-6 видно, что область устойчивости частично распрост¬
раняется влево от оси ординат, где Ci<0. Если речь идет о ПИ-регуля-
торе (Ci= 1/6 и Со=1/7'иб), то отрицательное значение Ci означает, что
6<0, но так как Со>0, то, следовательно, время интегрирования должно
сыть отрицательной величиной (Ги<0). Физически это можно тракто¬
вать следующим образом. Если в ПИ-регуляторе (например, электрон-
нэм, системы ВТИ) подключить устройство обратной связи так, чтобы
;:-:о не стабилизировало, а «раскачивало» систему (к примеру поменять
дз.тярность напряжения, подаваемого на /?С-цепочку), то при наличии
V объекта свойства самовыравнивания (саморегулирования) система
>егулирования может при определенных условиях оставаться устойчи-
235
•}S40D=2g —9 ;)SU0D-'9 —D
■KHHBaodHif/tjad эиэхэиэ a ao3Danodu xiamroxadau lawwadJOL-irimao 'Sr6 'эис1
0,5
6 1,69 (g)
0,5
0,5
0,7z\
t
t
1 i \ ч'
^ , r
V
Рис. 9-13. Картина из¬
менения характера
переходных процессов
в системе регулирова¬
ния при различных
настройках регуля¬
тора.
вой. в данном случае эти условия определяются на плоскости парамет¬
ров настройки регулятора (рис. 9-6) областью, ограниченной частью
отрицательной оси абсцисс, частью положительной оси ординат и кри¬
вой ¥ = 0. Изменение параметров настройки регулятора, т. е. изменение
«раскачивающих» свойств устройства обратной связи, в этих границах
не выводит еще систему из устойчивого состояния. «Внутренние стаби¬
лизирующие» свойства объекта и в этих пределах доминируют над
1 5 10
6ПХР=7,10
/ \ 1 ji
®
V '
t
I
1 5 \Ю jl5
2в\^
/ W 35
б ®
7,0\-Г\ 1,0
и
111
ОбПО J_0,5
lLi о
1 10 20
ГБ
-
к
1 \
t
11
L..J1 _L/rrfcw.
1 ^
1
ю\у20 30
90
1 10 20 30
Рис. 9-14. Осциллограммы переходных процессов при отрицательных значениях на¬
строечного параметра Ci ПИ-регулятора.
«раскачивающими» свойствами обратной связи. Конечно, качество пе¬
реходных процессов в этой области (рис. 9-14) существенно хуже рас¬
смотренных процессов при Со>0 и Ci>0.
На рис. 9-14,а в измененном масштабе приведены некоторые про¬
цессы, которые хотя и являются устойчивыми, однако характеризуются
большими отклонениями регулируемой величины и большими площадя¬
ми. Процесс 39 характерен отклонением регулируемой величины боль¬
шим, чем при отсутствии регулятора (см. кривую разгона).
На рис. 9-14,6 (в еще более измененном масштабе) видно, насколь¬
ко ухудшилось качество переходных процессов по сравнению с кривой
разгона.
Таким образом, область параметров настройки регуляторов, лежа¬
щая слева от оси ординат, хотя и осуществима физически, но практиче¬
ского интереса не представляет.
238 •
б) Выбор оптимальной настройки ПИ-регулятора для объекта
без самовыравнивания
Определим настройки ПИ-регулятора для объекта без самовыравни¬
вания, представляющего комбинацию из запаздывающего и интегри¬
рующего звеньев. Кривая разгона объекта и структурная схема системы
представлена на рис. 8-9,г. Расчет устойчивости такой системы был про¬
изведен в гл. 8.
1. Расширенная частотная характеристика объекта имеет вид:
mail _г arctg m +
W(m, ыи= ^ ^
(О у от" + 1
2. Расширенная амплитудно-фазовая характеристика регулятора из¬
вестна:
W {т, ш)
р
K(C„-otcoCi)^ + (otC+ ; (4 + ^
О)
Vm^ +
3. Исходя из условий (9-9) и (9-10), записываем:
(О Vm^ + 1
ю VrrP+ 1 “■ К(Со —OT(oCi)2 + (coCi)2
И
^ + arctg Ш 4- «,Х = ^ arctg Св-тДс: ~
•
4. Решаем совместно эти уравнения, полагая неизвестными etCi
И ет^Со (построение линий равного затухания будем производить в от¬
носительных координатах):
0)9х (1 + г • 1
^ ' [cos (ОТ — т sin (otJ ;
sxC, = —^ [2/га COS сот -f- (1 — mf sin (от].
5. Предполагая строить зависимость eit2Co=/(eTCi) для четырех
значений степени затухания Ч'‘=0; 0,6; 0,75 и 0,9, подставим последова¬
тельно в эти уравнения соответствующие значения /га = 0; 0,145; 0,221
н 0,366.
Для степени затухания *F=0
0т2Со = м^2 cos шт;
eTCi=i©t sin кот.
Для степени затухания 4'’=0,6
2,0 1 ,02(0X2 , А 1 4 гг • \
= ^0,145011 (ОТ — 0,145 sin (От),
stC, = Q (0,29 COS (ОТ -|- 0,98 sin (от).
Для степени затухания W = 0,75
1,049(О"Х" / ллх • \
= ^0,2210,4 (cos (ОТ — 0,221 sin сот);
stC, = (0>44 cos (ОТ -[- 0,95 sin шт).
239
Для степени затухания W— 0,9
SX+0 = —(cos сот — 0,366 sin сот);
етС,
^О.Зббшт
(0,73 cos сот — 0,87 sin сот).
6. Подставляем в уравнения численные величины <от от нуля до
значения, при котором ет^Со становится отрицательной величиной. Так,
для ¥ = 0 ®т = 0 4-1,75; для Д' =
ббГТ? =0,6 (о:т=04-1,42; для Чг = 0,75
сот=04-0,135 и для ¥ = 0,9 сот=
= 0,4-1,22.
7. Строим зависимости
8T2Co=/(eTCi) для ¥ = 0; ¥4-0,6;
и ¥=0,9 (рис. 9-15).
Область устойчивого регули¬
рования ограничена кривой ¥ = 0,
соответствующей незатухающим
колебаниям регулируемой величи¬
ны и осью абсцисс. Внутри этой
области на кривых равных зату¬
ханий нанесены значения частот
со в долях от 1/т. Как видно, об¬
ласть (параметров настройки ре¬
гулятора сокращается с увеличе¬
нием степени затухания.
Посмотрим, как изменяется
качество переходных процессов
при степени затухания ¥ = 0,75,
если двигаться вдоль кривой от
со = 0 до со=1,35 -®.
На рис. 9-16 приведены кри¬
вые переходных процессов, полу¬
ченные в результате эксперимен¬
тальной проверки на стенде, где
в качестве объекта использова¬
лась гидравлическая модель, а в
качестве регулятора был приме¬
нен промышленный образец элек¬
тронного регулятора системы
ВТИ. Значения настроечных па¬
раметров, соответствующих про¬
цессам, изображенным на рис.
9-16, отмечены на рис. 9-15 циф¬
рами в кружках. Рассмотрение
этих процессов показывает, что
с увеличением частоты .со откло¬
нения регулируемой величины
уменьшаются. Точки линий рав¬
ного затухания, лежащие на оси
абсцисс, соответствуют макси¬
мальным значениям частот п .ми¬
нимальным отклонениям регули¬
руемой величины. Однако при
этом 8Т+о=0, т. е. 7и=оо, и про¬
1,0 1,2 1.3 1,6
Рис. 9-15. Кривые равного затухания
ПИ-регулятара для объекта без самовырав¬
нивания.
Рис. 9-16. Экспериментальные кривые
процессов регулирования.
240
цесс характеризуется остаточной неравномерностью. Таким образом,
оптимальные значения параметров настройки ПИнрегулятора при задан¬
ной степени затухания находятся несколько правее ма!кснмумов кривых
рис. 9-15. Вблизи оптимальных значений вариация параметров в неко¬
торых пределах не оказывает существенного влияния на качество пере¬
ходного процесса.
в) Выбор оптимальной настройки П-регулятора
В том случае, когда используется П-регулятор, выбор настройки
определяется однозначно в зависимости от ^принятой степени затуха¬
ния 47. На рис. 9-15 видно, что каж¬
дой степени затухания соответствует
конкретное значение etCi (при ет^Со=
= 0). В соответствии с этими значе¬
ниями на рис. 9-17,а изображена за¬
висимость коэффициента обратной
связи б от степени затухания 47 при¬
менительно к рассматриваемому объ¬
екту. Для получения большей сте¬
пени затухания процесса необходимо
устанавливать большее значение коэф¬
фициента обратной связи. На рис. 9-17,6
ai 02 аз O'! 0,5 06 0,7 о,е оз w
а)
Рис. 9-17. К расчету настройки ПИ-регулятора для объекта
с запаздыванием.
приведены экспериментальные кривые процессов, полученные при ис¬
пользовании электронного регулятора с жесткой обратной связью. Зна¬
чения настроек, соответствуюших этим процессам, отмечены на
рис. 9-17,а цифрами в кружках.
Кривые показывают, что чем больше степень затухания процесса,
тем больше остаточная неравномерность регулирования Оост = бЯо и тем
больше максимальное отклонение регулируемой величины Омакс-
На рис. 9-18,0 приведена зависимость б/ет от т/Га для П-регулятора.
По мере уменьшения коэффициента усиления k значения коэффициента
обратной связи уменьшаются. В качестве иллюстрации характера пере¬
ходных процессов при различных значениях т/7'а на рис. 9-18,6 приве¬
дены экспериментальные кривые, которые хорошо отражают влияние
коэффициента усиления объекта k на качество переходного процесса.
Че.м меньшим усилением характеризуется объект, тем меньше отклоне¬
ния регулируемой величины Омакс и остаточная неравномерность
SXo
'^ОСТ
-f ■
16—1074
241
г) Выбор оптимальной настройки ПИД-регулятора для объекта
без самовыравнивания с запаздыванием
Улучшение качества регулирования может быть достигнуто регуля¬
тором, подчиняющимся закону регулирования
|л'’= — (Coo+CicT^-t- Czg") .
Произведем расчет настройки этого регуля¬
тора применительно к объекту в виде последова¬
тельно соединенных запаздывающего и интегри¬
рующего звеньев.
®
t
t
а)
б)
Рис. 9-18. К иллюстрации влияния самовыравнивания в объекте на качество переходно¬
го процесса б системе регулирования.
1. Расширенная амплитудно-фазовая характеристика объекта
, _i(^ + arctgm + m4
2. Расширенная амплитудно-фазовая характеристика ПИД-регулятора
Г (т, i(o)p = /(С,о)“ + С.шсв — C,tnW- СоГ + (соС. — 2т«1^С,У X
: ! , СаШ''-f Cimm — CirrfioP — Со
‘ coC.-2mm^Ca
хе ^
3. Приравниваем единице произведение расширенных амплитудно¬
фазовых характеристик объекта и регулятора
W{m, /(о)об^(т, гсо)р=1,
откуда
Wirn, mU=
4. Подставляя сюда значения расширенных амплитудно-фазовых
характеристик объекта и регулятора, определяем неизвестные величи¬
ны Со и Cl, выраженные через Cz:
_ 7 (1 — w=) (0= (cos tox — w sin (ОТ)
_ C07 [2m cos MX + (1 — m=) sin cox] ,
242
1,г
1,0
0,8
0,6
0,4
О,г
0,4 0,8 1,г 1,6 г,о о о,4 о,в i,z i6 г,о о о.ч с,8 1,г i,o г,о
—1 1 1 г I . ... 1 1 I 1
т
/
1
ч
0,5
/
/
А
/>
/Ф-о,
75
7
1
/
кз7
л
Лг
т
0,2
ArV \ .
~Г 1 ^
1 '
А С9.
'■-0,55\i
4
/1 /
7
ч
[ /
# ;
ЩУГ О :
1/
'А©
'N
/
If
/' i
/1 ^ :
1а
«к
4
лг
5
Рис. 9-19. К расчету
настройки ПИД-регу¬
лятора.
0.4 0,8 1,г 1,6 2,0 О 0,4 0,8 1.2 1,6 2,0
Здесь в отличие от рассмотренных ранее случаев в нашем распоря¬
жении два уравнения с тремя неизвестными Со, Cj и С2. Таким образом,
имеется не плоскость, а объем параметров настройки. Задаваясь раз¬
личными значениями третьего параметра Cz, будем рассекать это про-
о 0,4 08 1,2 1,6
Рис. 9-20. Форма объема параметров настройки ПИД-регулятора.
15*
243
странство плоскостями C2 = const и строить на каждой плоскости линии
равных степеней затухания (+ = 0 и + = 0,75).
Для случая + = 0 (т = 0)
: у COS (ИХ 4- С/
■ЗШшх.
5. На рис. 9-19 в относительных координатахС„ и С,
для различных значений kCijT построены линии равной степени затуха¬
ния {+ = 0 и + = 0,75).
Рис. 9-20 иллюстрирует объем параметров настройки регулятора.
Рассмотрение этих зависимостей показывает, что: 1) области устой¬
чивого регулирования ограничены кривыми, соответствующими незату¬
хающим колебаниям (+ = 0), и осью абсцисс; внутри этих областей
находятся кривые равной степени затухания (+ = 0,75); 2) области па¬
раметров настройки регулятора деформируются и увеличиваются
с ростом коэффициента Со-
Для ПИ-регулятора с дополнительным сигналом, пропорциональ¬
ным производной регулируемой величине, рабочей частью являются
правые ветви кривых в пределах от круглых скобок до оси абсцисс.
Рис. 9-21. Экспериментальные кривые процессов регулирования.
На рис. 9-21 приведены экспериментальные кривые-процессов регу¬
лирования. Значения настроек, соответствующие этим процессам, отме¬
чены на рис. 9-19 цифрами в кружках.
Из рассмотрения этих кривых следует:
1) если двигаться вдоль линий равного затухания + = 0,75
(рис. 9-19), то качество процесса регулирования изменяется;
2) процессы, соответствующие значениям настроек с меньшими ве¬
личинами (ОТ, характеризуются большими отклонениями регулируемой
величины и увеличенной продолжительностью переходного режима;
3) при движении вдоль линии равного затухания в сторону умень¬
шения значения Со (т. е. с приближением к оси абсцисс) процесс «затя¬
гивается.» во времени (настройки 7, 10, 13) и при Со = 0 соответствует
244
регулированию с жесткой обратной связью и дополнительным импуль¬
сом, пропорциональным скорости изменения регулируемой величины;
4) увеличение Сг (т. е. влияния импульса от второй производной
регулируемой величины) способствует улучшению качества регулиро¬
вания, однако дальнейший рост Со приводит к относительному сокра¬
щению рабочей части кривых, ограниченной круглой скобкой; при этом
процессы регулирования, как указывалось, «затягиваются» во времени;
5) оптимальными можно считать процессы при настройках 9, 10,12;
они характеризуются меньшими отклонениями (на 15—20%) регулируе¬
мой величины и сокращением (на 25—30%) переходного режима по
сравнению с процессом, соответствующим настройке 1, т. е. при исполь¬
зовании ПИ-регулятора без дополнительного импульса от производной.
Таким образом, из анализа переходных процессов могут быть реко¬
мендованы следующие приближенные параметры настройки ПИ-регуля¬
тора с дополнительным импульсом от скорости изменения регулируемой
величины для рассмотренного типа регулируемых объектов:
о
^ 0,9 ^2х; Тд 0,4х.
Определим теперь оптимальную настройку регулятора с инерцион¬
ной обратной связью применительно к тому же регулируемому объекту.
Дифференциальное уравнение регулятора нам известно (гл. 6):
1 , I , , 7о
иг.
Связь между параметрами настройки этого регулятора и коэффи¬
циентами Со, Ci и Сг выражается следующими зависимостями:
/-* 1 . /-» 1 . Дп
ЗГ„ ’ 8 ’ ^"2— 3 •
По конструктивным соображениям для регулятора с инерционной
обратной связью вводится ограничение
^<0,15.
3 И
На кривых рис. 9-19 это ограничение отмечено квадратными скоб-
калш. Таким образом, рабочая часть кривых в данном случае является
более сокращенной:
^ = 0,4; ^ = 0,5 и ^-=0,55.
Удовлетворительные процессы регулирования могут быть обеспече¬
ны при граничных настройках 6, 10 и 13.
Для объектов рассматриваемого типа может быть рекомендована
в качестве близкой к оптимальной настройка, соответствующая процес¬
су 10, для которой
Д, «г2,4х; Дц^0,3бх^^ = 0,15)-
д) Выбор оптимальной настройки ПД-регулятора для объекта
без самовыравнивания с запаздыванием
Определим оптимальную настройку ПД-регулятора, подчиняюще¬
гося закону р = — (Сщ+Сго') *, применительно к объекту без самовы¬
равнивания, представляющему последовательно соединенные транспорт¬
ное и интегрирующее звенья. Кривая разгона объекта представлена на
рис. 9-22,а.
См. гл. 6, табл. 6-1.
245
а)
и
я
'
i
t ШТ-О.
—1>1<н
Д
г|
6 /-
/
^макс1
^ост'^^О 1
'
f t 1
Регулируемый
ойъеит
CepSa-
|-( мотор
Усили¬
тель
Измерит\ I
1^оргалб
Шсткая
ойратеая связь
_ Измерит.. ■
орган<S’ ■]
L
Регулятор
б) '
, J
an=3j4'y
_ ■///////?)<,,
-1.0 -0.8 -0,6 -0.Н -0,2 О 0,2 0,4 0,6 0,8
в) ^
Рис. 9-22. К расчету настройки ПД-регулятора.
1. Расширенная амплитудно-фазовая характеристика рассматри¬
ваемого объекта нам уже известна:
W {т, го))об
—i + arctg т + шт|
T(S)Vmk -\- \
2. Расширенная амплитудно-фазовая характеристика регулятора имеет
следующий вид‘:
шг. \
г (/га, ш)р =-^V(1 + - 2от»Г„ -f 1 ^
TC+arctg
3. Приравниваем единице произведение расширенных амплитудно¬
фазовых характеристик объекта и регулятора:
W{m, i(a)o6W{m, f©)p=l,
* Принято Ci = l/S; С2=Тя1б.
246
откуда
W{m, Иоб = 1Гр®7Д)7
или после подстановки в это равенство расширенных амплитудно-фазо¬
вых характеристик объекта и регулятора получим:
+ arctg ш + шт I ~;f7: + arctg \
2 i я. V I
Т(й\Ут^+1 у'(\+т^)ч>п1^ — 2т(оТв. + {
Это равенство двух комплексных чисел возможно в том случае,
если будут равны их модули и аргументы, т. е.
T(i>YtrF+\ +(1+ot2)q)27'2 _2тсоГ„ + 1
и
^ + arctg m + шх = ,1 + arctg .
Решив эти два уравнения, определим параметры настройки регулятора
о и Гд:
^ Ахе'”®'' . т’ m sin сот — cos шх
+m=) (ОХ sin о)х’ Д— (1 + от=) (ОХ sin сох ‘
Р1мея в виду в дальнейшем строить линии равного затухания в от¬
носительных координатах, представим полученные выражения через па¬
раметры объекта:
Ах ^ . Ах _ (1 + m2) сох sin сох
Г —.
Т 1 ТЬ pmat
АСа АГд т sin сох — cos сот
+ W ~~ е<П'т
При использовании П-регулятора всегда желательно иметь мини¬
мальную остаточную неравномерность, т. е. наименьшее значение коэф¬
фициента обратной связи б. Оно будет минимальным, очевидно, тогда,
когда функция
Ах (i + 7п=) сох sin сох
7'3 ynrni
будет иметь наибольшее значение.
Для определения максимума этой функции продифференцируем
ее по со:
д [—]
.TS ) Иг (1 + ?га=) (ОХ sin сох
ди> да>
Приравнивая нулю производную, находим, что частота, соответст¬
вующая наибольшему значению функции, равна:
(1 — отсох) tg сох
X
Решение этого уравнения дает:
- для т = 0,221 (¥ = 0,75);
X
2
для т = 0 (¥ = 0).
247
Значения коэффициента неравномерности б и коэффициента произ¬
водной Гд для степени затухания Ч'‘ = 0,75 и частоты со= 1,85/т равны:
8 « 0,8 4- и Гд 0,3х.
Построим графики зависимости
_ f \
ST \ 5Т )
для двух значений т, соответствующих степеням затухания Ч'' = 0 и
Ч^ = 0,75 (рис. 9-22,в).
Рассмотрение этих зависимостей позволяет сделать следующие вы¬
воды :
а) область устойчивого регулирования заключена между кривой
4'' = О и осью абсцисс. Все процессы регулирования, соответствующие
Ч'+О, лежат внутри этой области;
б) если увеличивать воздействие по производной (т. е. увеличивать
коэффициент Гд, двигаясь по кривой 'F = 0,75 в сторону больших частот),
то коэффициент неравномерности вначале уменьшается, достигает ми¬
нимума (при со—1,85/т) и затем неограниченно увеличивается;
в) коэффициент неравномерности 6 при наличии воздействия по
производной (7’д>0) может быть меньше, чем в случае П-регулятора
(регулирование только с жесткой обратной связью 73 = 0), что подтвер¬
ждается сравнением двух точек на кривой 4'’ = 0,75, соответствующих
частотам ыт= 1,35 и сот= 1,9;
г) при воздействии производной обратного знака (Гд+О) система
регулирования может до некоторого предела остаться устойчивой за
счет увеличения коэффициента неравномерности б;
д) увеличение воздействия по производной (рост 7'д) при постоян¬
ном коэффициенте неравномерности б вначале увеличивает степень за¬
тухания ^F, а затем устойчивость уменьшается вплоть до полной ее по¬
тери.
На рис. 9-22,г приведены полученные в результате эксперименталь¬
ной проверки кривые переходных процессов в системе регулирования,
^состоящей из гидравлической модели рассмотренного объекта и про-
*мышленного регулятора.
Параметры объекта: Т = 55 сек; т=40 сек; k=\. Настройки, соот¬
ветствующие процессам для Ч^ = 0,75, отмечены на (рис. 9-22,в, г) циф¬
рами в кружках.
Рассмотрение этих кривых показывает следующее:
а) при усилении воздействия импульса по скорости изменения ре¬
гулируемой величины (рост 7’д) увеличивается частота со и уменьшаются
первые амплитуды стмакс регулируемой величины;
б) неравномерность регулирования бЯо с усилением воздействия по
производной вначале уменьшается, становится минимальной (настрой¬
ка 5), а затем растет. Процесс, соответствующий настройке 4, характе¬
рен тем, что неравномерность регулирования бЯо в этом случае равна
неравномерности при отсутствии воздействия по производной (настрой¬
ка 2; еГд/б = 0; ет/б=1). Максимальное отклонение регулируемой вели¬
чины Омакс при настройке 4 лишь немногим более неравномерности бАо
и значительно меньше максимального отклонения при регулировании
без дополнительного импульса по производной, т. е. при настройке 2.
Процесс, соответствующий настройке 5, характерен наименьшим откло¬
нением первой амплитуды сгмакс, однако при этом неравномерность ре¬
гулирования бЛо значительно ее превосходит;
в) сопоставление приведенных кривых, характеризующих различ¬
ные процессы регулирования, дает основание считать оптимальным про-
248
цесс, соответствующий настройке 3\
ш= = \!сек\ 8 = 0,8^ и 7’д = 0,3х,
который выгодно отличается достаточно малым отклонением первой
амплитуды регулируемой величины и минимальной неравномерностью
регулирования.
Таким образом, использование в ПД-регуляторе дополнительного
импульса по скорости изменения регулируемой величины уменьшает
отклонение регулируемой величины сгмакс в объектах рассмотренного
тина на 20—25% и сокращает неравномерность регулирования. При
наличии в объектах емкостного запаздывания можно ожидать суще¬
ственно большего улучшения качества регулирования.
9-3. РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ
НАСТРОЙКИ РЕГУЛЯТОРОВ
Исходное уравнение для расчета настройки замкнутой линейной
системы автоматического регулирования, находящейся на границе за¬
данной степени затухания, как указывалось выше, имеет вид:
W{m, ш)оь=\ (9-16)
или
(9-17)
где W{т, гсо)р — расширенная амплитудно-фазовая харак¬
теристика регулятора;
г'а>)об = цу —обратная (инверсная) расширенная ам¬
плитудно-фазовая характеристика объ¬
екта.
Уравнение (9-17) можно представить в алгебраической форме
записи:
R{m, (о)р = ./?*-(m, св)„б; 1
] (т, = «))об> 1 ’
где R*{m, со)об и J*{m, о)об— соответствующие обратные (инверсные)
расширенные вещественная и мнимая характеристики объекта (т. е. ве¬
щественная и мнимая части обратной расширенной амплитудно-фазо¬
вой характеристики), а R(m, со)р и J{т, ш)р — расширенные веществен¬
ная и мнимая характеристики регулятора.
Уравнение (9-17) может быть также записано в показательной
форме:
Л(т, о))р “'р = Л*(те, со)обе~“'''"’(9-19)
где А(т, со)р — расширенная амплитудно-частотная харак¬
теристика регулятора;
ф|(т, со)р — расширенная фазо-частотная характеристи¬
ка регулятора;
Л’-'(те, “)об = —расширенная обратная (инверсная) ампли¬
тудно-частотная характеристика объекта;
ц>{т, (о) об —расширенная фазо-частотная характеристи¬
ка объекта.
24!)
Отсюда следует;
А {т, ш)р = Л * {т, <о)об;
<Р {т, ш)р = — 9 (т, ш)об.
(9-20)
Подставляя в уравнение (9-18) и (9-20) соответственно расширен¬
ные вещественную, мнимую, амплитудно-частотную и фазо-частотную
характеристики конкретных регуляторов, можно выразить их настроеч¬
ные параметры через характеристики объектов в двух формах записи.
Ниже приводятся расчетные формулы для распространенных регу¬
ляторов.
И-регулятор
Со = (т, (о)об;
Со = CD (/П= 1) {т, cd)o5
или
Со = CD \' nf -f 1 л* {т, и>)ас;
4 arctg Щ = — <Р (со)об. I
(9-21)
(9-22)
Из этих уравнений определяются значения настроечного парамет¬
ра Со и частоты м, на которой будет «работать» система регулирования.
П-регулятор
или
с, =/?* (щ, cd)o5; \
т. = — (f /
С, = АЦт,о1и
■л — — ср (Щ, cd)o5.
(9-23)
(9-24)
Так же как и в предыдущем случае, из этих уравнений определяется
настроечный параметр Ci и «рабочая» частота.
П И-регулятор
или
Со = CD (щ® 1) {т, ш)об!
С, = rtiJ* (т, cd)o6 — {т,т\
Со = CD {т^ -f 1) Л* (т, cd)o6 sin «р
С, = Л* (щ, со)об \т sin <р (т, cd)„6 — cos <?(/«,D^)oe] •
ПД-реГулятор
С, = — [m, (щ, со)об + (щ, cd)o6];
„ _ /* (та,ср)од
2 О)
или
Cj= л* (от,со)об {т sin [<F {т, cd)„6 — г.] -f cos [tf (щ, со)„б — т;]};
С2 = -^ Л*(щ,со)оо5!п 1<р (щ,со)об —тс].
ПИД-регулятор
Со = со(т’-1-1)[/*(щ, (d)o5-|-coC21; I
С, = m3* {т, со)об — R* {т, св)ос -Ь 2т^С^ |
(9-25)
(9-26)
(9-27)
(9-28)
(9-29)
250
или
где
С„ = О) + 1 Л* (m, w)o5 {т cos у — sin у) + С У (т’ + 1); |
С, = А* (т, ш)об ]//и' + 1 cos у + С^2гт,
у=ц>{т, co)o6+arctgm—л.
9-4. ГРАФО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ
НАСТРОЙКИ РЕГУЛЯТОРОВ
В ряде случаев приходится определять оптимальную настройку ре¬
гулятора по расширенной амплитудно-фазовой характеристике объекта,
заданной не аналитически, а в виде графика. Сущность этого способа ‘
заключается в следующем.
Выше указывалось, что при рас¬
чете устойчивости системы автомати¬
ческого регулиро1вания исходным яв¬
ляется равенство
или
т. е.
r.(ico)o6U7(t(o)p=l
Ч'=0
m=OJ2t
(ЧГ=0,75)
1
-R(co)
0)Tt,=2
-1
а)
+И((о)
+ 2
+ 7
Q +R(w)
~^(ш)
-7 и>Ти = <-
\ + iJ(w)
д +R(0>)
W Tf,=0
— А (со)р
Левая часть этого равенства со¬
ответствует вектору амплитудно-фазо¬
вой характеристики объекта, а пра¬
вая— вектору обратной (инверсной)
амплитудно-фазовой характеристики
регулятора.
Эти векторы могут быть равны
в том случае, если для каждого значе¬
ния частоты угол опережения регуля¬
тора ф(а)р будет равен углу отстава¬
ния ф((о)об, а величина, обратная коэф¬
фициенту усиления регулятора
1/Л(со)р, будет равна коэффициенту
усиления объекта Л (со) об-
На рис. 9-23 для примера приведе¬
ны прямая (а) и обратная (б) ампли¬
тудно-фазовые характеристики (нор¬
мальная и расширенная) ПИ-регуля-
тора. Цифрами на кривых отмечены
значения соГи.
Наложим амплитудно-фазовую
характеристику объекта на обрат¬
ную амплитудно-фазовую характеристику регулятора (рис. 9-24). Каж¬
дой точке обратной амплитудно-фазовой характеристики регулятора
в масштабе 1/6 соответствует вектор, модуль которого равен
W=0,75(m=ff,2Zl)
-1
б)
t - iJ(co)
Рис. 9-23. Прямая (а) и обратная (б)
частотные характеристики ПИ-регу-
лятора.
6W (ш)р
1
J2 ((о,)р ’ отставания ф(со1)р, а относительная частота равна (соТи)!.
ДудниковаИ. П. — «Теплоэнергетика», 1955, № 6.
251
Каждой точке амплитудно-фазовой характеристики объекта МИ7(/со)об
соответствует вектор с модулем МА{ы2)об, углом отставания tp((02)p и
частотой (1)2. Модули векторов — размерные величины, масштаб кото¬
рых М выбирается произвольно.
Для выполнения условия (9-31) необходимо, чтобы
= (9-32)
Ф’(о))об = ф((о)р. (9-33)
Проведем изначала координат (рис. 9-24) луч О—2 под углом ф-(соз),
которому соответствуют модуль ^ вектора обратной амплитудно¬
фазовой характеристики регулятора W(ia)p и относительная частота
(со7’г)з. Лучу О—1, проведенному из начала координат под тем же углом
Ф’(соз)об = Ф'(соз)р, соответствует модуль Л1Л(соз)об вектора амплитудно¬
фазовой характеристики объекта W{i(o)o6-
Возьмем отношение отрезков О—1 и О—2:
О — 1 МА (шз)р
0 — 2 ~~ 1
Зз)4 (шз)р
■ = (Шз)обВзЛ (Шз)р.
Имея в виду убловие (9-32), т. е. Л (соз) ог>Л (соз)р= 1, получаем:
0-1
0 — 2
= Мо.
Таким образом, отношение отрезков О—1 и О—2 для конкретного
угла ф‘((оз) определяет значение первого параметра настройки регуля¬
тора — коэффициента обратной связи бз-
Вместе с тем вектору О—2 обратной амплитудно-фазовой характе¬
ристики регулятора соответствует относительная частота (юГи)з/озз,
а вектору О—1 амплитудно-фазовой характеристики объекта соответст-
Рис. 9-24. Совмещение пряд'ОЙ частотной характеристи¬
ки объекта с обратной частотной характеристикой регу¬
лятора.
вует частота соз- Следовательно, отношение (со7’и)з/мз для конкретного
угла ф(шз) определяет значение второго параметра настройки ПИ-регу¬
лятора— времени интегрирования (Т'п)з-
При этом значение коэффициента обратной связи получается в мас¬
штабе А\, выбранном для графика амплитудно-фазовой характеристики
объекта, а значение времени интегрирования — непосредственно в се¬
кундах (если со выражается в рад/сек).
252
Аналогичными приемами могут быть
определены значения параметров на¬
стройки регулятора б и Ги, соответствую¬
щие иным векторам (лучам) при других
углах ф|(со).
Определив последовательньгми опе¬
рациями значения 6i, 62. 63 и т. д. и (Ги)!,
(Т'п)2, (Т’п)з и т. д., можно построить в ко¬
ординатах Со^П^иб и Ci='l/6 линию,
ограничивающую область устойчивости
системы регулирования (рис. 9-25,а).
Определение настроек регулятора,
соответствующих заданной степени за¬
тухания переходного процеса, произво¬
дится аналогично по расширенным ам¬
плитудно-фазовым характеристикам из
условия
W{m, m)pW{m, tco)o6=l-
В этом случае строится линия задан¬
ной -степени затухания (например,
Ч'' = 0,75) и на ней выбираются значения параметров -настройки ре¬
гулятора, обеопечивающие оптимальный переходный процесс. Так же
как при аналитическом расчете, можно построить переходные процессы,
соответствующие конкретным настройкам, и из них выбрать оптималь¬
ный процесс. Однако приближенно можно рекомендовать значение на¬
стройки, лежащее несколько правее максиму.ма кривой +■ = const
(рис. 9-25,6).
Для иллюстрации графо-аналитического метода определения на¬
строек регулятора рассмотрим пример.
Пример. Даны следующие точки расширенной (Ч'=0,75) амплитудно-фазовой ха¬
рактеристики объекта:
Рис. 9-25. К расчету настройки
регулятора графо-аналитическим
методом.
(0
1/сек
0,006
0,008
0,009
0,010
0,011
0,012
0,135
А(т, ш)об
мв-ч/т
1,9
1,46
1,32
1,23
0,13
1,07
1,00
<о)об
град
137
149
154
160
166
171
180
Требуется определить оптимальную настройку ПИ-регулятора для данного
объекта.
Расширенная амплитудно-фазовая характеристика ПИ-регулятора нам известна:
„ ( /^ + arctg [шГ„ (m2 + 1) — mil
^ = Зо+и +1)
Строим по этому уравнению в комплексной плоскости обратную амплитудно-фа¬
зовую характеристику регулятора (рис. 9-26) для Ч'=0,75 (т=0,221) в соответствии
с нижеследующей таблицей:
-
0
0,8
I.O
2,0
3,0
6,0
00
1
SA(m, to)p
—
0
0,71
0,81
0,98
1,02
1,02
1,0
c(/n, Q))p
град
78°
121°
129°
152°
161°
170°
180°
253
zmiLa^T,=co JEL
' +P((o)o
^y>((p)p
у (CD) о
-U(t4a
Рис. 9-26. Пример расчета ПИ-регулятора графо-аналитическим методом.
По заданным точкам строим расширенную амплитудно-фазовую характеристику
объекта W{m, ш)оо (рис. 9-26).
Определяем параметры настройки регулятора б и Гя для следующих четырех
значений частоты:
(0=0,006 1/сек; ю=0,009 \1сек\
w=0,011 1/сек и (0=0,0135 1/сек.
При частоте (0=0,006 {/сек
А {т, (о)р= 1.9^и [т, (о)ов= 137°.
1
Углуф(/п, (о)об=ф(от, со)р=137°соответствует значение соГи = 1,2 и (/п.(о)р
=0,88.
Учитывая, что А(т. (о)рЛ(т, со)об = 1, находим:
1,9 мв
8=-тг^ = 2,17-
0,1
Определяем время интегрирования Т^\
(оГи 1,2
т/ч.
Гн =
О)
0,006 {/сек
■■ 200 сек.
мв
При частоте со=0,009 1/сек А(т, со) = 1,32 ^ ф(ги. (о)ов = 154°.
Углу ф(т, (о)об = ф(от, (о)р = 154° соответствует значение соГи=2,2 и
ЙЛ(от.(о)р
Определяем значение коэффициента обратной связи б:
, Ь32 ^
о п пп ^1.0
0,99 ^ ^ т/ч
Определяем значение времени интегрирования Т^:
<аТ
2,2
- 244 сек.
0,009
Аналогично определяем значения коэффициентов обратной связи б и времени
интегрирования Ей для других частот:
мв
при частоте ш = 0,011 1/сек, 6=1,1 ^^=364 сек;
мв
при частоте (о=0,0135 1/сек, 6=1 т/ч'' Та=оо.
254
в координатах Со = 1/Гиб и Ci = l/6 строим кривую +=0,75 как функцию частоты
_ {рис. 9-27,а).
Переходные процессы, соответствующие найденным значениям б и Ги, представ-
.-гчы на рис. 9-27,6. Процесс 2 можно считать близким к оптимальному.
Для получения такого процесса необ- 0s
г;одимо установить на регуляторе следую- - ^
щне параметры:
3 = 1,3
т/ч
Т'и = 244 сек.
r^=200cen;&-2,J7^
Т„=299сея; 5=7,3 —
Рис. 9-27. Результаты расчета настройки.
6)
9-5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ НАСТРОЙКИ РЕГУЛЯТОРОВ
С ПОМОЩЬЮ НОМОГРАММ
Заметная экономия времени и достаточно точные результаты при
определении оптимальных параметров настройки регуляторов могут
быть получены три пользовании номограммами. Имеется несколько
типов специально разработанных для этой цели номограмм.
Ниже рассматриваются номограммы для расчета настройки ПИ-
и ПИД-регуляторов*.
а) Номограммы для ПИ-регулятора
Номограммы № 1 и 2 (рис. 9-28 и 9-29, вкладки) составлены для
двух значений степени затухания Ч'’ = 0,75 и Ч'’ = 0,9. Для пользования
ими необходимо располагать соответствующими (т. е. для Ч'’ =0,75 или
для Ч'" = 0,9) расщиренными амплитудно-фазовыми характеристиками
объекта:
W {т, гТо)„в = Д (щ, (О) .
Желательно при этом, чтобы расщиренная амплитудно-фазовая
характеристика объекта W{т, /со)об была графически (или таблично)
представлена расщиренной фазо-частотной характеристикой ф|(т, со)об
в диапазоне от 80—90° до 170—180° и соответствующим участком рас¬
щиренной амплитудно-частотной характеристики А(т, со)об.
В основе рассматриваемых номограмм лежат следующие аналити¬
ческие зависимости:
т. ctg Ф (ста,(о) + m /тт.
К— -■ J^2) (IV квадрант номограммы)
и
Т’иД (т, (о)
(III И II квадранты),
cos If (от, со) + от sin If (от, to)
здесь /"и и б — параметры настройки ПИ-регулятора.
'Масленников А. С. Номограммы для расчета настройки регуляторов. —
<Труды ЦНИИКА», вып. 3, 1961.
255
объект
Регулятор '*
a)
Рис. 9-30. Схема пользования номограммой.
Рассмотрим последовательность действий при работе с номограм¬
мой. Пусть расширенные фазо-частотная ф|(т, со) и амплитудно-частот¬
ная А{т, со) характеристики объекта (рис. 9-30,а) даны в виде следу¬
ющей таблицы;
со
1 /сек
со,
(Oj
соз
А (т, со)
а*
л,
А2
^3
If (ш, со)
град
?1
?2
?3
. . .
?п
Здесь, C01<C02<C03< ••• < Юг»;
а* — размерность регулируемой величины ст;
А,* — размерность возмущающего воздействия 1.
1. Выбираем такую постоянную величину а при которой
д1мн_^0,1.
где Лмакс — наибольшее, а Лмин — наименьшее значения модуля в рас¬
сматриваемом диапазоне частот от coi до со«. Тогда приведенная выше
таблица может быть представлена в следующем виде:
СО
1 /сек
<0,
сОз
Из
. . .
“п
А(т, со)
А,
Лг
-4з
Ап
а
а
а
а
а
f(m, со)
град
?!
Ъ
¥з
• • •
?п
2. Каждому значению частоты соответствует точка в плоскости на¬
строек регулятора (I квадрант). На рис. 9-30, б показано нахождение
точки для частоты С02:
а) на шкале ф номограммы находим значение ф2 и идем 'по горизон¬
тали 1 вправо до пересечения с кривой со2 в IV квадранте, от точки
пересечения идем вверх по вертикали 2 до шкалы Тц и читаем ответ;
Ти = {Ти)2-,
256
б) от той же точки фз на шкале
Ф идем но горизонтали 3 влево до
пересечения с кривой Лз/ав III квад¬
ранте номограммы; от точки пере¬
сечения идем по вертикали 4 до пе¬
ресечения с прямой (7’и)2 во II квад¬
ранте [значение (ГиЬ было опреде¬
лено выше (см. п. «а»]. Горизон¬
таль 5 и вертикаль 2, пересекаясь
в I квадранте, дадут точку 2.
Аналогично находим остальные
точки, соответствующие частотам
©1, ..©п.
3. Соединяем найденные точки
1, 2, 3, п в I квадранте номо¬
граммы плавной кривой 6TJa =
—ЦТи).
4. Значения параметров настрой¬
ки ПИ-регулятора, обеапечивающие
близкие к оптимальному переходные
процессы в системе регулирования,
соответствуют точкам, лежащим несколько правее минимума этой кри¬
вой (точки 4, 5 на рис. 9-30,6).
Рассмотрим два примера пользования номограммами.
Пример. Даны расширенные амплитудно-частотная А(т, со) и фазо-частотная
характеристики объекта, построенные при значении степени затухания
Рис. 9-31. Расчет настройки ПИ-регуля
тора (к примеру).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
со
1/сек
0,01
0,012
0,013
0,014
0,015
0,016
0,017
0,018
0,02
А (от, со)
ж/т-к
9,6
8,8
8,3
7,8
7,3
6,8
6,4
6,0
5,1
а (от, со)
град
—94
—111
—119
— 127
— 135
— 142
— 149
—155
—169
Определить по номограмме оптимальные параметры настройки регулятора.
мв
1. Выбираем = тогда
4в_«_о,9б[_)<|;
Заменим в таблице А (т, <о) на
А (т, ш)
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
А(а, со)
а
0,96
0.88
0,83
0.78
0,73
0,68
0,64
0,60
0,51
2. а) По номограмме для Ч'=0,75 (рис. 9-28) на шкале находим значение ф1=>
=—94° и идем по горизонтали вправо до пересечения с кривой ©i=0,01 1/сек; от точки
пересечения идем по вертикали вверх до шка.лы Та, на которой читаем ответ; (7’h)i=*
= 28 сек.
17—1074
257
Рис. 9-32. Переходные процессы (к примеру).
б) Из той же точки фх=—94° на шкале ф идем по горизонтали влево до пере¬
сечения с кривой Лх/а=0,96; от точки пересечения идем по вертикали вверх до встреча
с прямой (Ги)1 = 28 сек и далее по горизонтали в I квадрант до пересечения с верти¬
калью (7’h)i=28 сек. Найденная таким образом точка 1—(7’h)i=28 сек; 6Ги/в=92 сек—
принадлежит кривой бГи/а=/(Ги). Аналогично находим остальные точки этой кривой:
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ги
сек
28
48
57
66
78
90
105
125
255
йГи
а
сек
92
74
69
66
65
66
69
75
128
По найденным точкам проводим кривую 6Тш1а=/{Тж) (рис. 9-31).
3. Точки 7 и S лежат в области оптимальных настроек регулятора. Для точки 8
имеем:
(Ти)опт = 125 сек; (37’и)оп1=[ у,
/опт
750-
т/ч
На рис. 9-32 приведены кривые переходных процессов в системе регулирования
258
Рис. 9-33. Переходные процессы (к примеру).
Пример. Даны расширенные амплитудно-частотная А(т, ш) и фазо-частотная
характеристики объекта, построенные при значении Ч'=0,9:
V-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
• -р»
*0т, —
0,005
195
-116
0,01
101
—122
0.015
70
— 127
0,02
54.5
—133
0.025
45.1
—139
0.03
39
—144
0.035
34.6
—150
0.04
31.5
—156
0.045
29
—162
0.05
27.1
-167
0.055
25,6
-г,з
:е.1нть по номограмме оптимальные параметры настроики регулятора.
Tii 1к модуль А{т, о) задан в безразмерном виде, то и величину а выбираем
пзмг: 7Й. Пусть а=,195 1[—], тогда
Лмакс
195
195 ‘ “
25,6
' 195 "
+ ,13>0,1.
259
Заменим в предыдущей таблице А(т, а) на А(т, а)/а.
N«
1
2
3
4
5
6
7
,8
9
10
11
А (т, ш)
а
—
I
0,52
0,36
0,28
0,23
0,20
0,175
0,16
0,15
0,14.
0,13
После работы с номограммой для +=0,9 (рис. 9-29) получаем кривую бГи/а=/7’и,
изображенную на рис. 9-31:
№
I
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
7„
сек
150
87
66
57
54
51
53
58
68
82
140
а
сек
196
53
26
17
13
10
9
8,7
9,5
11
17,5
Для точки 10, лежащей в области оптимальных настроек регулятора, получим:
STn
(7'и)оп1 — 82 сек, (37и)оп1 —
ЬТп\
—::— а- =
, I опт
11-195 = 2 150 сек.
На рис. 9-33 приведены кривые переходных процессов. Переходные процессы,
соответствующие точкам 1 п 2, характеризуются большими отклонениями регулируемой
величины и на рис. 9-33 не показаны.
б) Номограммы ДЛЯ ПИД-регулятора
Номограммы № 3 -и 4 (рис. 9-34 и 9-35, вкладки), составленные
Рис. 9-36. Схема пользования номограммой и линия заданного затухания.
для значений затухания Т = 0,75 и Д' = 0,9 и для диапазона значений
Та/Тц = 0,1 -н 0,5, позволяют находить приведенные (безразмерные)
значения настроек А {т, со)/б и - ^ПИД-регулятора по аргумен¬
ту ср-(т,со) расширенной амплитудно-фазовой характеристики объекта
«7(щ,со)об = Д(т,ш)е‘'^‘'"’’'>-
Порядок пользования номограммами ясен из рис. 9-36,а.
Искомые (размерные) параметры настройки 1/6 и 1/67'и определя¬
ются в дальнейшем по соотношениям
г — Д
с., — . _
С,
А (т,ы)
Sl\
8шТп
1 ,
А (т, Ой) ’
260
где
А (т,(о)
S
А (т,<й)
д(оТ„
— приведенные настройки, полученные
по номограмме;
А(т,<о) — модуль расширенной амплитудно-фа¬
зовой характеристики объекта;
О) — соответствующая угловая частота.
Весь расчет рекомендуется сводить в таблицу следующего вида:
1
2
3
4
5
6
7
ы
А(т, ы)
<f(m, и)
А(т,а>)
А (от, со)
^ 1
1
3
ЗшГи
Cl- 5
Со-
Значения, указанные в столбцах 1, 2 и 3 таблицы, заданы, в столб¬
цах 4 и 5 — находятся по номограмме, а значения столбцов 6 и 7 под¬
считываются по приведенным формулам.
Рассмотрим пример пользования номограммой.
пример. Дана расширенная амплитудно-фазовая характеристика
W(m,co)=A(m, щ)ев безразмерном виде для +=0,75.
1 . / 1 ^
объекта
Найти линию Со =
ЗГи
И
Б плоскости настроек регулятора.
Заданные, найденные по номограмме +=0,75 (рис. 9-34) и подсчитанные величины
сводим в следующую таблицу:
Ло
Ш
А (ш, ш)
ф
А (т, ш)
5
А (т, ш)
1
ъ
I
реек
град
реек
1
0,019
. 1,025
—90
0,225
1,065
0,22
0,0197
2
0,0235
0,95
—110
0,595
1,085
0,625
0,0268
3
0,028
0,85
—130
0,915
1,055
1,075
0,0348
4
0,033
0,735
—150
1,16
0,965
1,58
0,0433
5
0,0385
0,61
—170
1,29
0,820
2,12
0,0517
6
0,044
0,495
—190
1,29
0,64
2,61
0,057
7
0,0505
0,38
—210
1,16
0,44
3,05
0,0585
8
0,0585
0,270
—230
0,915
0,25
3,39
0,05412
9
0,0675
0,185
—250
0,595
0,10
3,22
0,0365
10
0,0795
0,115
—270
0,225
0,02
1,96
0,0138
Искомая линия заданного затухания +=0,75 показана на рис. 9-36,6.
9-6. МЕТОД ВТИ ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО РАСЧЕТА ОПТИМАЛЬНОЙ
НАСТРОЙКИ РЕГУЛЯТОРОВ
Излагаемая ниже методика дает возможность приближенно опреде¬
лить оптимальные настройки П, ПИ и ПИД-регуляторов применительно
объектам, кривые разгона которых имеют формы, подобные изобра-
.■кенным в табл. 9-1.
Метод основан на следующих положениях:
1. Кривые разгона многих технологических объектов в энергетиче¬
ской, химической, металлургической и других отраслях промышленности
идентичны по своему характеру кривым разгона, рассмотренным в гл. 3.
Так как передаточные функции моделей такого класса объектов извест¬
ны, то были детально исследованы и рассчитаны настройки регулято¬
ров применительно к указанным моделям для Д" = 0,75.
264
2. Большинство рекомендуемых настроек экспериментально прове¬
рено на системах регулирования, состоящих из моделей объекта
и реального регулятора (электронного регулятора системы ВТИ). По¬
следнее обстоятельство особенно существенно, так как предшествующие
эксперименту теоретические исследования базировались на динамиче¬
ских характеристиках идеальных регуляторов, т. е. регуляторов, лишен¬
ных зоны нечувствительности, выбега сервомотора, люфтов, трений
и т. п.
Теоретические исследования и экспериментальная проверка^ дали
возможность уточнить некоторые настройки и наложить определенные
ограничения на конструктивные параметры регуляторов (время серво¬
мотора Тс*, зона нечувствительности Д, отношение зоны возврата к зоне
нечувствительности Ав/А, отношение времени выбега сервомотора к про¬
должительности включения /вы б//вкл И Др.).
3. в результате расчетно-экспериментальных исследований и опре¬
деления оптимальных настроек П, ПИ и ПИД-регуляторов применитель¬
но к большому количеству моделей объектов, составленных из различ¬
ных комбинаций звеньев, были установлены закономерности изменения
настроечных параметров (б, Ги, Гоп) регуляторов в зависимости от за¬
данных параметров {k, Га, е, т) кривой разгона объекта. Таким образом,
рекомендуемые ниже настройки являются достаточно точными примени¬
тельно к исследованным моделям объектов, у которых отношение т/Га
однозначно характеризует форму кривой разгона.
4. Для приближенной оценки динамических свойств реальных
объектов их кривые разгона обрабатывают так, как это‘показано в табл.
9-1, и затем определяют произведение параметров т/Га.
5. По найденному значению т/Га определяют настройку регулятора
в соответствии с табл. 9-1 рекомендуемых настроек. Таким образом,
кривую разгона промышленного объекта как бы сравнивают с «эталон¬
ной» кривой разгона модели с тем же значением т/Га и распространяют
на данный объект настройку регулятора, рассчитанные для соответству¬
ющей модели.
Излагаемый ниже модод расчета настройки регуляторов является
в значительной мере приближенным. При помощи его можно простыми
средствами вычислить исходные ориентировочные значения оптималь¬
ных настроек, которые затем в процессе наладки регулятора должны
быть уточнены 2.
Время сервомотора Гс может быть подобрано путем изменения кон¬
струкции сочленения сервомотора с регулирующим органом, выбора
соответствующего максимального угла поворота вала сервомотора или
при помощи установки дополнительного редуктора. Как правило, воз¬
можности выбора скорости регулирования оказываются ограниченными,
вследствие чего этот параметр настройки не является достаточно свобод¬
ным. Опыт показывает, что это не имеет существенного значения, так как
к точности выбора скорости регулирования (времени сервомотора)
жестких требований не предъявляется. При ориентировочном выборе
величины скорости регулирования рекомендуется руководствоваться
следующими соображениями.
Чрезмерное снижение скорости может привести к тому, что при
больших возмущениях регулятор перейдет в режим постоянной ско¬
рости. В этих условиях (т. е. при недостаточной скорости) увеличивают-
' См. § 6-2, 6-3.
* Под временем сервомотора Тс понимают время перемещения его выходного вала
от одного крайнего положения до другого.
2 Ниже приведенные рекомендации относятся к электронным регуляторам ВТИ
типа ЭР-59, РПИК, РПИБ и др., хотя они могут быть использованы применительно и
к другим конструкциям.
262
Т :i 1i .1 II ц .'I '.) I
fir СД. per. вел
ед. возм-Хсек
'ед. per. вел
К
ед. возм
т’„=о,15Ги
*^тт
Объект
т/Г^=0-НО,2
0,2 < т/Г^ < 1,5
1.5
Регулятор
П
пи
пид
П
пи 1 ПИД
П ПИ
пид
3
ЕХ
1 , lex
0, 8ех
2 6fi
х/Г„ + 0.7
2 6k
х/Г, + 0,6
х/Г^ —0,13
х/Га+1,5
2k
2k
l.lk
Тп
—
3,3х
2,5х
_
0,8
^/То -
1
ут, "
_
0,6х
0.7х
То
(1=4)х
(1=4)х
(0,75-н2)х
(1=4)х
(1 - 4) X
(0,75= 1,5) X
(1 = 4)х
(1=4)х
(0,75-г-2) X
Сыб
Д
^ 1
<0,3
<0.3
Д
1
<0,5
<0,3
Д
1
<0,5
<0,5
Скп
^ЗСкл
^^вкл
< Ков ~ *
ся отклонения регулируемой величины и продолжительность переход¬
ного процесса.
Чрезмерное увеличение скорости регулирования приводит к необ¬
ходимости установки больших значений скорости обратной связи v,
вызывает повышение частоты включения сервомотора в пульсирующем
режиме, уменьшение продолжительности каждого включеия /вкл и,
следовательно, увеличение вредного влияния выбега сервомотора.
При ориентировочном выборе скорости регулирования ее удобно
оценивать по времени сервомотора Гс, в течение которого сервомотор
проходит полный диапазон регулирования. Если исходить из максималь¬
ной величины возмущения, равной половине диапазона действия серво¬
мотора, то оптимальное значение Тс будет равно:
для П и ПИ-регуляторов
(Ес)опт ~ 2т
с допустимым отклонением в пределах
7’с-(1='4)т;
для ПИД-регулятора
(Ес)опт ^ т
с допустимым отклонением
7’с«(0,75='2)т.
Зону нечувствительности А с точки зрения повышения статической
точности регулирования желательно выбирать минимальной. Однако
при этом увеличивается частота срабатывания регулятора, ускоряется
износ сервомотора и регулирующего органа. При весьма малой зоне не¬
чувствительности возможно возникновение автоколебаний, что практи¬
чески недопустимо. Все это ограничивает минимальную зону нечувстви¬
тельности. На практике предварительно выбирают значение А, равное
половине отклонения регулируемой величины Одоп, которое можно счи¬
тать допустимым при типичном эксплуатационном (так называемом
спокойном) режиме регулируемого объекта:
А ~ 0,5 Одоп- ’ -
Регулятор ВТИ с дополнительным воздействием по производной
принципиально имеет три параметра динамической настройки — степень
обратной связи б, время интегрирования Ги и время дифференцирования
Гд. С точки зрения качества регулирования в электронных регуляторах
всегда выгодно использовать наибольшее возможное отношение Гд/Ги=
= 0,15, вследствие чего время дифференцирования Гд однозначно связано
с временем интегрирования Гц и может не рассматриваться как само¬
стоятельный параметр настройки. Причины, которые могут исказить ре¬
зультаты расчета, можно разделить на две категории. К первой относит¬
ся непостоянство параметров регулируемого объекта, которые в не¬
которых случаях изменяют свое значение в процессе эксплуатации
объекта по самым разнообразным причинам. Ко второй категории отно¬
сятся: выбег сервомотора, люфты в сочленениях с регулирующим орга¬
ном и т. д., которые, как правило, ухудшают качество регулирования
и поэтому должны быть устранены или предельно уменьшены.
В частности, необходимо сократить выбег сервомотора, характери¬
зуемый так называемым временем выбега /выб-
Пример. Определить параметры оптимальной настройки ПИ-регулятора темпера¬
туры перегрева пара. Параметры регулируемого объекта были приведены в гл. 3.
При использовании ПИ-регулятора выбираем оптимальное время сервомотора:
(Гс) опт »2т=2 • 15=30 сек,
а допустимое значение 7'с = 15=60 сек.
264
Оптимальная настройка изодромного регулятора для т/7’а>0,2:
0,8 0,8
15 = 66 сек\
S = 2,6fe
"и ^ х/Г. 0.18
х/г. —0,08 _2,60.18 —0,08
. Х/Г. + 0.6 1.8 0,18 + 0,6
:0,19
т/ч
9-7. ЗАДАЧИ НА РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНОЙ НАСТРОЙКИ
РЕГУЛЯТОРОВ С ПОМОЩЬЮ РАСШИРЕННЫХ ЧАСТОТНЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК
1. Для обеспечения нормального технологического режима конверсии окиси угле¬
рода необходимо поддерживать постоянство температуры, при которой происходит
реакпия в конвертере. Это возможно осуществить изменением подачи пара, который
Конвертер Тепла- Порога за- П. т/ч
пбменнин смеситель
Рис. 9-37. Схема технологической установки.
предварительно проходит через парогазосмеситель, теплообменники и затем поступает
в конвертер (рис. 9-37).
В результате эксперимента получена кривая разгона конвертера по каналу пар —
температура, которая приведена на рис. 9-38.
Необходимо определить передаточную функпию объекта по каналу пар — тем¬
пература, найти расширенную частотную характеристику и рассчитать оптимальную
настройку ПИ-регулятора, построив переходный процесс в системе регулирования'
7,3
5.В
П95
990
^985
980
975
Я Расход пара, т/ч
) id is ii
1
5 A
WH
ti-1,5MUH
Mnei
lamy^
0^
t\
Ч
10
15
20
25 мин
Рис. 9-38. Кривая разгона конвертера.
Ответ. В соответствии с методикой, изложенной выше, определяем передаточ¬
ную функцию объекта. Предварительные расчеты дали следующие значения коэффи¬
циентов:
fi= 10,36; =
Гг = 34;
Гз=5,1; аз=Гз.
Так как кривая разгона и ее первая производная при .1=0 равны нулю, то выби¬
раем передаточную функцию с учетом транспортного запаздывания следующего вида;
К {р) =
ке~Р^
Методы построения переходных процессов см. в гл. 11.
265
Так как коэффициент усиления k объекта равен отношению выходной величины о
м входной X в установившемся режиме, то
_ 22°С °С
Xyci 1,5 т1ч ' т/ч
Транспортное запаздывание определяем из кривой разгона:
т=1,5 мин.
Пренебрегая коэффициентом Fs=5,l ввиду его малого влияния, получаем переда¬
точную функцию объекта более простого вида:
14.67й->.=з> °С
^(^)oe=34jp2+10,36jO+1 ’ т/ч '
Построенная по этой передаточной функции кривая разгона (отмечена точками
на рис. 9-38) достаточно хорошо совпадает с экспериментальной кривой разгона
(сплошная линия на рис. 9-38).
По передаточной функции объекта заменой р на го) определяем его амплитудно¬
фазовую характеристику по формуле
14 67 -C(arctg +86m^
Г(ш)о,= У1(со)й-»^<“>=-р= . _ ’ —й
■34ш^У + 10,362(0=
Результаты расчета приведены в таблице:
(0
Л(т)
4>(ш)
Л(ш)
ч>(“)
ЛИН’»
°С/(т/ч)
град
- ЛИН’»
°С1{т1ч)
град
0,06
0,12
0,18
0,24
На рис. 9-39 npi
н амплитудно-фазовог
таблицу:
13,65
11,02
7,80
5,52
гведены г;
1 (в) хар:
40°33'
70°59'
108°32'
131 °28'
рафики амп,
актеристик;
0,36
0,48
0,60
0,72
ЛИТуДНО-Ч£
результат!
2,91
1,61
1,14
0,81
1СТ0ТН0Й 1
л расчета
163°15'
185° 06'
202°36'
217°36'
(а), фазо-ча<
сведены в
(0
Со
с.
О)
Со
с.
ЛИН"»
{т1ч){°С-мин)
(т/ч)”С
ЛИН"»
(ш'ч)/(°С-лнн)
(ч1/>()/С”
0,1
0,13
0,17
•н. ~. Zr
0,0065
0,0097
0,0122
0,0068
0,0182
0,0514
0.20
0,25
0,30
0,0127
0,0122
0,065
0,0721
0,1190
0,1960
в; (гг от ол as as атмим-’
а)
в 0,1 02 as 04 0^ as 0,?MUU-1
f!)
Рис. 9-39. Частотные характеристики объекта.
Расширенную амплитудно-фазовую характеристику получаем заменой р на
(|—т)(о:
Ю.Збт—!5,05т=
—( arctg ■
14 67()'”“+~‘“''о
1—2,29ш — 32,3а>|‘
V 1 — 4,57(0 + 47,56(0= — 163,3(о=+1 270(0®
266
Расширенные частотные характеристики приведены на рис. 9-40; характеристики,
полученные в результате расчета для +=0,75, приведены в следующей таблице:
<0
А (т, ш)о
9 (т, ш)о
Л(т, о,)„
•С
т/ч
т/ч
“С
град
0,05
16,25
0,0615
35°06'
0,1
15,30
0,0654
71°4Р
0,13
14,30
0,0714
94°00'
0,17
12,90
0,0776
117°30'
0,20
11,85
0,0843
134° 14'
0,25
8,35
0,119
156°00'
0,30
5,18
0,193
173°48'
0,40
3,10
0,322
195°27'
0,50
2,08
0,481
213°16'
0,60
1,49
0,671
227°46'
Используя ПИ-регулятор, применим формулы (9-26) для расчета Со и Ci:
Со = ы(т^+\)А*{т, Шоб) з1пф(т, ш)об;
Ci = A*{tn, (о)об'И sin ф(ОТ, (о)о6—С08ф(Щ, СО)об].
На рис. 9-41,6 в плоскости параметров настройки регуляторов Со и Ci построены
линия равного затухания +=0,75, а на рис. 9-41,в — кривая переходного процесса в си¬
стеме автоматического регулирования (рис. 9-41,а) при возмущении расходом пара и
значениях параметров настройки регулятора:
т/ч
т!ч
Со — 0,012 - : С, = 0,12—5^; ш]=0,25 ЖИН-*.
о.г 0.J ал 0.5UUH-’ о щ цг щ о,* osmuh-
Рис. 9-40. Расширенные амплитудно- и фазо-частот-
ные характеристики конвертера.
10
т/ч г
34р‘Н0Р6р*1
'=0,25мин-1
Ч'=0,75
^^11>=Ц1иин->
I ш=0,3мин^>
90
мин
Рис. 9-41. Результаты расчета системы регулирования (к задаче 1).
267
2. Дифференциальное уравнение регулируемого объекта имеет вид:
Т\Х в ых+ Хв ы X = Хвх —Т),
где т=20 сек — время запаздывания; Г1 = 20 сек — постоянная времени объекта.
Регулятор пропорционально-интегральный, передаточная функция которого изве¬
стна:
Д+С,'
Рассчитать систему автоматического регулирования (рис. 9-42), состоящую из
данных объекта и регулятора, построив линии равного затухания для +=0, +=0,75 и
+=0,9.
На линиях +=0,75 и +=0,9 найти оптимальные настройки (Со) опт и (Ci)onT и
построить переходные процессы, имея в виду, что возмущающее воздействие в виде
единичного скачка поступило со стороны регулирующего органа.
Рис. 9-42. Структурная схема системы
регулирования (к задаче 2).
Ответ. Систему регулирования рассчитываем в соответствии с рекомендация¬
ми § 9-2. Значения со. Со, Ci и оптимальные значения настроек приведены в таблице.
чг=0
Т=0,75
4f=0,9
to
С,
Со
ш
С.
Со
со
С.
Со
0,045
0,083
0,060
0,035
0,037
0,034
0,030
0,030
0,026
0,050
0,301
0,069
0,040
0,213
0,040
0,040
0,351
0,036
0,060
0,756
0,082
0,050
0,549
0,050
0,050
0,619
0,042
0,070
1,210
0,086
0,060
0,843
0,064
0,060
0,816
0,042
0,080
1,628
0,076
0,070
1,075
0,049
0,070
0,934
0,034
0,090
1,980
0,051
0,080
1,229
0,035
0,080
0,972
0,019
0,100
2,235
0,008
0,090
1,296
0,011
0,090
0,933
—0,004
0,095
1,295
0,004
rCJonx=1.218
ГС JonT=0,932
/Со/оп1=0,037
ГСо;опт=0,034
Линии равного затухания и переходные процессы, соответствующие оптимальным
настройкам, показаны на рис. 9-43; значения Хвых(0=/(0 приведены в таблице.
47:
=0,75
=0,09
t
^«х (9
t
t
^вых
t
^вых 0)
20
0,000
80
—0,008
20
0,000
90
0,000
30
0,393
90
—0,085
30
0,393
100
—0,041
40
0,632
100
-+),041
40
0,632
110
—0,022
50
0,656
120
0,122
50
0,581
120
0,017
60
0,470
140
0,094
60
0,548
130
0,048
70
0,199
160
—0,015
70
0,328
140
0,059
180
^,019
80
0,125
150
0,048
268
Рис. 9-43. Линии равного затухания (а) и переходные
процессы (б) (к задаче 2).
3. Решить задачу 2, если Г1=50 сек.
Ответ. В результате расчета системы регулирования находим значения Со и Ci
и оптимальные параметры настройки регулятора, которые приведены в таблице.
т=о
*•=0,75
Ф=0,9
(О
С.
Со
ш
с.
Со
(0
с,
Со
0,030
0,022
0,054
0,020
—0,053
0,023
0,020
0,201
0,023
0,040
0,738
0,084
0,030
0,571
0,044
0,030
0,820
0,041
0,050
1,563
0,110
0,040
1,209
0,063
0,040
1,364
0,064
0,060
2,434
0,121
0,050
1,799
0,073
0,050
1,788
0,056
0,070
3,279
0,П1
0,060
2,289
0,068
0,060
2,060
0,044
0,080
4,028
0,071
0,070 ,
2,636
0,044
0,070
2,164
0,015
0,090
4,609
0,004
0,080
2,810
0,000
0,075
2,153
—0,005
ГС,;опг=2.564
ГС,Л„=2,035
ГС„;о„т=0,052
ГС’Лпт=0,046
Линии равного затухания и переходные процессы, соответствующие оптимальным
настройкам показаны на рис. 9-44. Значения Хшыж(() =f{t) приведены в таблице.
V :
= 0,75
<Р :
= 0,9
t
t
^ых<9
t
+ых<9
t
20
0,000
100
—0,042
20
0,000
100
0,032
30
0,181
120
0.001
30
0,181
110
—0,008
40
0.330
140
0,078
40
0,330
120
—0,017
50
0,403
160
0,061
50
0,413
130
—0,005
60
0,370
180
0,001
60
0.406
70
0.258
70
0.328
80
0,122
80
0,217
90
0.012
90
0,110
269
а)
Рис. 9-44. Линии равного затухания (а) и П0рехо1дные процессы (б) (к задаче 3).
4. Решить задачу 2, если Г1=100 сек.
Ответ. Значения Со и Сь а также оптимальные параметры настройки регулятора-
приведены в таблице.
V = 0
Чг = 0,75
Чг = 0,9
ш
Cl
Со
(0
с.
^^0
со
с,
Со
0,020
—0,142
0.045
0.015
0.154
0,024
0.010
0,090
0,014
0,030
0,868
0,091
0,020
0.659
0.040
0.015
0,525
0.024
0,040
2,173
0,140
0,030
1.756
0,073
0,020
1.075
0,038
0,050
3,667
0.177
0,040
2.868
0,101
0,030
2,136
0.066.
0,060
5,230
0,186
0,050
3,882
0,110
0,040
3,052
0,083
0,070
6,728
0,152
0.060
4,697
0.090
0,050
3,737
0,079
0,080
8,026
0,061
0,070
5,236
0,035
0.060
4,134
0,046
0,085
8,558
0.009
0,075
5.384
—0,007
0,070
4,215
-0,017
(С,)опх =
= 4,935
(6l)onT =
= 3,935
(Со)опт =
=0.074
(6о)оП1 ~
= 0,069
Линии равного затухания и переходные процессы, соответствуюшие оптимальны»
настройкам, показаны на рис. 9-45. Значения Хвых(1) =f(t) приведены в таблице.
чг
= 0,75
чг =
= 0,9
t
t
t
•*^выхО) 1
^ 1
20
0,000
110
—0,016
20
0,000
100
0,052
30
0.095
130
0,017
30
0,095
110
0.014
40
1,181
150
0,053
40
0,181
120
—0.005
50
0,235
170
0,040
50
0,240
130
—0,009
60
0,235
190
0,006
60
0,253
140
—0,002:
70
0.187
70
0,224
80
0.115
80
0,170
90
0,045
90
0,107
270
Ч^’0.3
Рис. 9-45. Линии равного затухания (а) и переходные процессы (б) к задаче 4.
5. Решить задачу 2, если Г1 = 200 сек.
Ответ. Результаты расчета системы регулирования приведены в таблице.
С.
Чг = 0.75
С,
W = 0.9
Cl
Со
0,020
0,030
0,040
0,050
0,060
0,070
0,080
0.637
2,563
5,042
7.874
10.822
13.628
16.022
0,081
0,165
0,252
0,312
0,317
0,236
0.042
0,010
0,020
0,030
0,040
0,050
0,060
0,070
0,295
2,082
4,126
6,187
8,047
9,514
10,437
0,021
0,072
0,131
0,176
0,184
0,136
0,017
0,010
0,020
0,030
0,040
0,050
0,060
0,065
0,810
2,822
4,769
6,429
7,636
8,281
8,376
0,021
0,069
0,117
0,142
0,124
0,052
-0,006
(С,)оп1 = 9,589
(C.)ont = 7,947
(С„)оп. = 0,130
(C„W = 0,104
Линии равного затухания и переходные процессы, соответствующие оптимальным
настройкам, показаны на рис. 9-46. -
Значения Хвых(0 =f(t) приведены в таблице.
ЧГ :
= 0,75
:
= 0,9
t
t
t
t
20
0,000
100
0,007
20
0,000
100
0,046
30
0,049
120
—0,009
30
0,049
по
0,025
40
0,095
140
0,014
40
0,095
120
0,012
50
0,127
160
0,029
50
0,129
130
0,007
60
0,132
180
0,012
60
0,141
70
0,112
200
0,002 '
70
0,131
80
0,076
80
0,106
90
0,037
90
0,075
8. В задачах 2, 3, 4 и 5 передаточная функция объекта имела вид:
1
К (PU - е
271
V=0,30
V=0,75
Рис. 9-46. Линии равного затухания (а) и переходные процессы (б) к задаче 5.
Сравнить, как изменяются области устойчивости и переходные процессы в системе
регулирования, если постоянная времени 7’i=20, 50, 100 и 200 сек.
Ответ. Сравнение областей устойчивости (см. рис. 9-43—9-46) показывает, что
они увеличиваются с ростом постоянной времени Г,, а максимальные отклонения регу¬
лируемой величины ХвыхО) уменьшаются. Таким образом, в данной системе регулиро¬
вания увеличение постоянной времени апериодического звена положительно сказывается
на качестве переходных процессов.
9-8. РАСЧЕТ НАСТРОЙКИ РЕГУЛЯТОРОВ БЕЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ
РАСШИРЕННЫХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК'
Изложенные выше методы определения параметров настройки регу¬
ляторов, обеспечивающих необходимое качество переходных процессов,
предполагали наличие расширенных амплитудно-фазовых характеристик
регулируемого объекта и регулятора, которые не могут быть полуйены
непосредственно из эксперимента. Поэтому, когда информация о дина¬
мических свойствах объекта получена экопериментально в виде шор-
мальных (обычных) частотных характеристик, необходимо предвари¬
тельно определять расширенные частотные характеристики объекта 2.
С этой точки зрения часто удобным оказывается метод, в котором рас¬
чет настройки регулятора осуществляется непосредственно но обычным
(а не расширенным) частотным характеристикам объекта и регу¬
лятора 3.
Если параметры настройки регулятора лежат внутри области,
ограниченной линией равного затухания, это значит, что все корни
характеристического уравнения лежат слева от мнимой оси внутри об¬
ласти, указанной на рис. 9-2,з.
' Написан В. Я. Ротачем.
2 Методы преобразования характеристик см. в гл. 4.
Р о т а ч В. Я. Расчет настройки промышленных систем регулирования. М., Гос-
энергоиздат, 1961.
272
Мы получили простое правило для построения амплитудно-частот¬
ной характеристики замкнутой системы по амплитудно-фазовой харак¬
теристике этой оистемы в разомкнутом состоянии.
Решение задачи еще более упрощается, если на плоскость ампли¬
тудно-фазовой характеристики разомкнутой системы нанести геометри¬
ческие места точек, удовлетворяющих условию.
ОС
А = = const.
Из рис. 9-47,6 следует, что
ОС2=и2+у2.
ВС2=(1—ы)2+Ц^
:и поэтому
(1 — м)= + 0= •
После некоторых преобразований получаем:
+ + ^ = (9-35)
Легко видеть, что это уравнение окружностей с центрами, располо¬
женными на вещественной оси на расстоянии
u = (9-36)
от начала координат, и с радиусами
r = j^. (9-37)
Семейство этих окружностей для нескольких значений А приведено
на рис. 9-48. Полученная круговая диаграмма позволяет легко по¬
строить амплитудно-частотную характеристику замкнутой системы, так
как очевидно, что значение этой характеристики при какой-либо часто¬
те со равно индексу А. Теперь уже не представляет труда оценить, как
влияет удаление характеристики W(ш) от точки 1, iO на вид амплитуд¬
но-частотной характеристики замкнутой системы 1Ф'(ш) [.
При малых частотах, когда длина отрезка ОВ мала по сравнению
с длинами отрезков ОС и ВС отношение ОС/ВС близко к единице, т. е.
при малых частотах значение |Ф'(г’со) | близко к единице. Если прясй =
= 0 модуль характеристики уходит в бесконечность (что имеет место
в системах регулирования с объектами, лишенными самовыравнива-
ния, или в системах, имеющих в законе регулирования интегральную со¬
ставляющую), значение |Ф(гсо)1 при со = 0 точно равно единице.
При увеличении частоты точка А на характеристике разомкнутой
системы перемещается, приближаясь к точке 1, /0. Если 1Г(/со) про¬
ходит достаточно близко к этой точке, то по мере увеличения часто¬
ты отношение векторов OCjBC возрастает, т. е. возрастает значение
частотной характеристики |Ф(ги)|. Это возрастание происходит
«плоть до некоторой частоты -шрез, где отношение отрезков OCjBC до¬
стигает максимума. Дальнейшее увеличение частоты должно повлечь
за собой уменьшение отношения OCjBC, так как в пределе при со—>-оо
274
/чршГ
R(co}
Рис. 9-48. Семейство окружностей для-
разных значений А.
длина отрез'ка ВС стремится к едини¬
це, а длина отрезка ОС стремится
к нулю.
Таким образом, амплитудно-ча¬
стотная характеристика замкнутой си¬
стемы имеет вид, указанный на
рис. 9-49, т. е. в общем случае она име¬
ет .максимум при некоторой частоте
шрез. Из приведенных рассуждений вид¬
но, что величина этого максимума
однозначно связана со степенью удале¬
ния амплитудно-фазовой характери¬
стики разомкнутой системы от точки
/, /0. Очевидно, что чем меньще это
расстояние (т. е. чем большее значение
может принять отношение ОС/ВС), тем
большую величину принимает максимум амплитудно-частотной характе¬
ристики замкнутой системы. Особенно просто определяется величина это¬
го максимума, если построена круговая диаграмма (рис. 9-8). Легко ви¬
деть, что величина максимума равна индексу А окружности, которой каса¬
ется амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы (на
рис. 9-48 индекс этой окружности равен трем и поэтому эту же величи¬
ну имеет максимум амплитудно-частотной характеристики замкнутой
системы). Частота, при которой происходит касание, равна частоте-
максимума Мрез.
В пределе, когда амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой
системы пересекает точку 1, i О, максимум амплитудно-частотной харак¬
теристики замкнутой системы уходит в бесконечность. Но в соответст¬
вии с критерием устойчивости Найквиста в этом случае система выхо¬
дит на границу устойчивости. Таким образом, величина максимума ам¬
плитудно-частотной характеристики замкнутой системы может служить
оценкой запаса устойчивости системы. Иначе говоря, требование, что¬
бы система регулирования обладала определенным запасом устойчиво¬
сти, может быть сведено к требованиям, чтобы максимум амплитудно-
частотной харажтеристики замкнутой систе¬
мы'не ,ир+восЩдцл~нбкоторой заранее за-
данной величины.
Инженерная практика расчетов—вы да.-.,
ботала определенные рекомендации относи¬
тельно допустимой величины резонансного
пика для того, чтобы колебания в такой си¬
стеме достаточно интенсивно затухали.
Обычно считается, что величина этого пика
не должна превышать значения 1,2—2,0 от
значения амплитудно-частотной характери¬
стики при нулевой частоте.
Изложенные выше соображения о свя¬
зи между амплитудно-частотной харак¬
теристикой замкнутой системы автоматического регулирования и
амплитудно-фазовой характеристикой этой системы в разомкнутом
состоянии позволяют сформулировать также ограничения, которые
следует наложить на положение последней относительно «опасной» точ¬
ки l,iO. Как уже указывалось, максимум амплитудно-частотной харак¬
теристики замкнутой системы равен индексу окружности А круговой
диаграммы, которой касается амплитудно-фазовая характеристика-
разомкнутой системы. Таким образом, для того, чтобы максимум не
превышал некоторой величины Лмакс, необходимо и достаточно, чтобы
амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не вxoдилa^
18* 275
(Орез
Рис. 9-49. Амплитудно-частот¬
ная характеристика замкнутой
системы.
внутрь области, ограниченной окружностью с центром, расположенным
на вещественной полуоси на расстоянии
(9-38)
^макс ^
ОТ начала координат, и с радиусом, равным:
-^маке
1
(9-39)
В заключение оценим связь между методом расчета границы до¬
пустимого запаса устойчивости с помощью расширенных амплитудно¬
фазовых характеристик и изложенным здесь методом.
Напомним, что при оценке степени затухания в системе автомати¬
ческого регулирования, имеющей произвольный порядок дифференци¬
ального уравнения, мы исходили из предложения, что основное влия¬
ние на качество переходного процесса оказывает лишь одна пара бли¬
же всего расположенных к мнимой оси корней характеристического
уравнения. Это обстоятельство позволило установить границы допусти¬
мого расположения корней в левой полуплоскости комплексной плос¬
кости, основываясь на рассмотрении простой взаимосвязи между рас¬
положением корней характеристического уравнения и степенью затуха¬
ния переходного процеса в системе второго порядка. Аналогичный под¬
ход может быть использован и теперь.
Для системы второго порядка (колебательного звена), имеющей
передаточную функцию
^iP)-T,p^^T,p+l
рак
А{Ш):
амплитудно-частотная характеристика определяется формулой
k
Продифференцировав ее по ю и приравняв результат нулю, можно
определить частоту, при которой эта характеристика имеет максимум
(резонансную частоту):
2Т\
а само максимальное значение определяется выражением
л k
V
(9-40)
(9-41)
4Г|
С другой стороны, для рассматриваемой системы второго порядка
величина степени колебательности связана с коэффициентами ее пере¬
даточной функции соотношением
т = -L= . (9-42)
Из формул (9-41) и (9-42) получим связь между /и и
Амако t
k 2т '
(9-43)
276
Обратим внимание, что определяющим для затухания переходного
процесса в общем случае является не сама величина пика частотной
характеристики Лмакс, а величина этого пика, взятая по отнощению
к значению k=Ao, т. е. по отношению к значению частотной характери¬
стики системы при нулевой частоте (это отношение называется показа¬
телем колебательной системы).
Таким образом, если есть уверенность, что затухание переходного
процесса в системе определяется в основном лишь двумя ближайшими
к мнимой оси С01пряженяы'ми комплексными корнями, то результат рас¬
четов, произведенных обоими методами, будет практически совпадать,
если расчетные значения т и ЛмаксМо будут связаны соотношением
(9-43). В следующей таблице приведено для примера несколько значе¬
ний и соответствующих им значений ЛмаксМо:
Ф 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95
+аксМо 3,09 2,70 2,38 2,09 1,80 1,55 1,29
Следует подчеркнуть, что если предположение о слабом влиянии
остальных корней на затухание переходного процесса не оправдывает¬
ся, то соотношение (9-43) для системы выше второго порядка уже бу¬
дет неверным. Более того, в этом случае следует вообще с остооожно-
стью подходить к применению обоих изложенных выше методов расче¬
тов, так как и тот и другой методы могут привести к ошибочным выво¬
дам. Однако это, как показывает практика расчетов, встречается весь¬
ма редко.
Перейдем теперь к изложению последовательности расчета пара¬
метров настройки распространенных регуляторов. Для расчета необхо-
ди.мо располагать обычной амплитудно-фазовой характеристикой регу¬
лируемого объекта 1Еоб(гсо), которая может быть задана в виде экспе¬
риментально полученного графика (аналитическое ее выражение мо¬
жет оставаться неизвестным).
П-регулятор. Амплитудно-фазовая характеристика П-регулятора
приводилась в гл. 6:
Гр(га>) = -С.:^-4-, (9-44)
следовательно, амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой си¬
стемы будет:
W(m)= [-Гоб(гш). (9-45)
Из этой формулы следует, что для построения амплитудно-фазовой
характеристики разомкнутой системы следует каждый вектор ампли¬
тудно-фазовой характеристики объекта умножить на 1/6 и повернуть
на угол 180°. Для упрощения расчетов в дальнейшем характеристика
регулятора будет -приниматься со знаком «плюс». Это избавит нас от
производства дополнительной операции поворота вектора. Но тогда
«опасной» точкой будет точка — 1, i 0. Соответственно центры окружно¬
стей круговой диаграммы (рис. 9-48) будут располагаться не на поло¬
жительной, а на отрицательной вещественной полуоси.
Из формулы (9-45) следует, что при таком выборе знака уравне¬
ния регулятора амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой си¬
стемы совпадает с характеристикой объекта при 6=1. При значении 6,
большем единицы, каждый вектор характеристики объекта уменьшает¬
ся в 6 раз, т. е. характеристика разомкнутой системы при увеличении
6 «сжимается». Наоборот, при уменьшении 6 характеристика «разбуха¬
ет», стремясь охватить точку—/,i(9. Таким образом, уменьшение сте¬
пени неравномерности регулятора ухудшает запас устойчивости систе-
277
4^R(io) (
и —^
/Г
и(ш)
^ А-Р(<о)
V
V
0
’
w(i<t>)
iJ(co)
Рис. 9-50. К расчету настройки П-ре¬
гулятора.
МЫ регулирования. Оптимальным зна¬
чением б будет такое, при котором ам¬
плитудно-фазовая характеристика ра¬
зомкнутой системы касается окружно¬
сти, координаты центра которой и ра¬
диус определяются формулами (9-38)
и (9-39). Определение оптимального
значения б может производиться в сле¬
дующем порядке:
1. Задавшись оптимальным значе¬
нием показателя колебательности си¬
стемы, строят окружность в плоскости
амплитудно-фазовой характеристики
объекта, координаты центра которой и
радиус определяются формулами
(9-38) и (9-39).
2. Но характеристике объекта умножением каждого из векторов на
1/6 строят семейство характеристик разомкнутой системы для несколь¬
ких выбранных значений б. Значение б, для которого характеристика
разомкнутой системы окажется касательной к окружности, и является
предельно допустимым по условиям запаса устойчивости.
Расчет можно существенно упростить, если учесть что окружность
с индексом А касается прямой ОЕ (рис. 9-50), проведенной из начала
координат под углом
Y = arcsin-^ (9-46)
к отрицательной вещественной полуоси, т. е.
sinT = -^.
Подставив еще сюда значения г я и из формул (9-36) и (9-37), при¬
дем к формуле (9-46).
Таким образом, при оптимальном значении степени иеравномер-
ности окружность равной колебательности круговой диаграммы касается
одновременно как амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой
системы, так и линии ОЕ. Используя это обстоятельство, расчет можно
произвести в такой последовательности:
1. Построить амплитудно-фазовую характеристику регулируемого
объекта и из начала координат провести прямую ОЕ под углом у для
выбранного значения А макс*
2. Начертить окружность с центром на вещественной отрицательной
полуоси, касающуюся одновременно как амплитудно-фазовой характе¬
ристики объекта, так и прямой ОЕ.
3. Определить предельное значение степени неравномерности регу¬
лятора из формулы
(9-47)
— I
^макс
'•'опт л '
-'Чмакс
где г — радиус окружности.
Последняя формула получена исходя из следующих простых рас-
суждений. Пусть построенная указанным способом окружность имеет
радиус г, отличный от его оптимального значения, определяемого фор¬
мулой (9-39). Для того чтобы радиус оказался равным этому опти¬
мальному значению, характеристику объекта следует умножить на
1/бопт, причем величина бопт определяется из очевидного соотношения
г
”5 — *"опх,
°опт
ИЗ которого И приходим к формуле (9-47).
278
Как известно, система с П-регулятором обладает остаточной нерав-
вомерностью. Это значит, что амплитудно-частотная характеристика зам¬
кнутой системы при нулевой частоте отлична от единицы и равна;
Арй
* + S
где Аоб — коэффициент передачи объекта.
Соответственно величина максимума амплитудно-частотной характе¬
ристики не равна показателю колебательности системы. Поэтому реко¬
мендуется после определения оптимального значения степени неравно¬
мерности регулятора найти соответствующий ему показатель колеба¬
тельности ЛмаксМо, где Ло определяется формулой (9-48). Если найденное
таким образом Лмакс/Ло будет мало отличаться от расчетной величины
-Лмакс (в пределах 10%), найденное значение степени неравномерности
может считаться оптимальным. В противном случае следует соответст¬
венно увеличить степень неравномерности.
П И-регулятор. Амплитудно-фазовая характеристика этого регуля¬
тора (с положительным знаком):
= <9-49)
следовательно, амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой систе¬
мы с этим регулятором имеет вид;
1Е (/со) = 4- (l + w) Н- (9-50)
Эта характеристика может быть переписана в следующем виде:
= (9-51)
где W'(/w)i — характеристика разомкнутой системы при степени неравно¬
мерности регулятора, равной единице;
1F, (/со) = (l + -J^] (/со). (9-52)
Формулы (9-45) и (9-51) совершенно одинаковы по структуре и
поэтому расчет прапорционально-интегрального регулятора может осу¬
ществляться в таком порядке;
1. По амплитудно-фазовой характеристике регулируемого объекта
строят семейство амплитудно-фазовых характеристик разомкнутой си¬
стемы для б= 1 и нескольких фиксированных значений Ги- Это построение
легко выполнить графически, если представить формулу для 1Ei(/m)
в следующем виде:
U7,(/co) = lEo6(/co) + ^lE,g(«<»)e • (9-53)
Из этой формулы следует, что для построения вектора характеристи¬
ки TEi(/©) для некоторой частоты © следует к вектору характеристики
объекта для этой же частоты добавить вектор длиной
(9-54)
где 1^'об(/®)|—длина вектора характеристики объекта, повернутого
на угол 90° (по часовой стрелке) относительно вектора ’РЕоб(гсо).
279
И(ш)
-R{w)
RjiOl
-lJ(ut)
Рис. 9-51. Амплитудно-фазовая
характеристика регулируемого
объекта.
2. Чертят окружности с центрами,
расположенными на отрицательной ве¬
щественной полуоси, одновременно каса¬
тельные к линии ОЕ, проведенной под
углом Y (9-46), и к каждой из характе¬
ристик \Fi(ico). Значения степени нерав¬
номерности б, соответствующие значени¬
ям Ги, для которых произведено построе¬
ние характеристик Wi{ia), определяют
по формуле (9-47): при этом подставляе-
.мое в формулу значение г является ра¬
диусом ‘ окружности, касательной к ха¬
рактеристике Wi{m) для соответствую¬
щего Та.
3. По полученным данньим в плоско¬
сти параметров настройки б и Ги или С»
и Cl строят линию, ограничивающую область заданного запаса устой¬
чивости системы. Выбор точки оптимальной настройки на этой линии
может производиться исходя из прежних соображений.
Практически построения рекомендуется выполнять в следующем
порядке:
1. На амплитудно-фазовой характеристике регулируемого объекта
выбирают точку М (рис. 9-51), соответствующую частоте т. Эту точку
соединяют с началом координат отрезком ОМ, к которому в точку М.
восстанавливают перпендикуляр MN.
2. Измеряют длину отрезка ОМ в мм и на логарифмической линейке
устанавливают «бегунок» на делении OAf/co.
3. Задаваясь различными значениями вычисляют величину
ОМ/соГи, откладывая после каждого вычисления отрезок ML на перпен¬
дикуляре MN.
Аналогичные построения производят для нескольких точек амплитуд¬
но-фазовой характеристики объекта (причем в последующих точках сле¬
дует брать те же значения Т^, что и на первой), после чего точки на
перпендикулярах MN, соответствующие одинаковым Ги, соединяют
плавными кривыми, которые и являются искомыми характеристиками.
При расчете пропорционально-интегрального регулятора достаточно
располагать частью амплитудно-фазовой характеристики регулируемого
объекта, расположенной в III квадранте комплексной плоскости.
ПИД-регулятор. Рассмотренный выше расчет настройки пропорцио¬
нально-интегрального регулято¬
ра наглядно показывает, что вве¬
дение интегральной составляю¬
щей в закон регулирования уве¬
личивает отставание по фазе ам¬
плитудно-фазовой характеристи¬
ки разомкнутой системы, прибли¬
жая ее к «опасной» точке — 1, iO
и ухудшая тем самым запас
устойчивости системы. Это приво¬
дит к необходимости увеличения
степени неравномерности регуля¬
тора, что отрицательно сказыва¬
ется на динамической точности
регулирования.
Указанное нежелательное от¬
ставание по фазе может быть
в определенной степени юкомпен-
сировано введением в закон ре-
280
Ш=орпсек'^
кге/см^
%У/7
Рис. 9-52. К примеру расчета системы регу¬
лирования с П-регулятором.
гулирования составляющей, пропорциональной первой производной от
отклонения регулируемой величины. Из выражения для амплитудно¬
фазовой характеристики ПИД-регулятора
'Гр(Ь) = +('Ч--7+г + “Д) =
1 — г
<оГи
— шТ,
непосредственно видно, что отрицательная мнимая составляющая
обусловленная введением интеграла в закон регулирования, здесь умень¬
шается на величину ш^д. При имеет место полная компенсация
V 7дГи
интегральной составляющей; при <и>—амплитудно-фазовая характе-
V ТдГи
ристика опережает по фазе, при m < -■, имеет место отставание по
У ТцТш
фазе, но оно все же меньшее, чем при отсутствии воздействия по производной.
Таким образом, с точки зрения получения максимального опереже- ^
ния по фазе следует стремиться к возможно большему значению воз¬
действия по производной, характеризуемому величиной постоянной вре¬
мени 7д. Однако следует иметь в виду, что при этом происходит увели¬
чение модуля этой характеристики, что может не только свести к нулю
выгоды от введения Гд, но даже ухудшить качество регулирования. Та¬
ким образом, существует некоторое оптимальное значение воздействия
по производной, при котором его эффект оказывается наибольшим.
Интенсивность воздействия по производной можно оценивать отно¬
сительной величиной
-Zjl
Тп
и тогда амплитудно-фазовая характеристика регулятора переписывает¬
ся следующим образом: *
1ГрИ = -
1 —i
(оГе
— ПтТ„
Расчет настройки этого регулятора может осуществляться как и
расчет ПИ-регулятора, если положить величину п фиксированной. От¬
личие заключается лишь в том, что при определении характеристик
Wi{i(o) на перпендикулярах MN (рис. 9-51) следует откладывать отрез¬
ки длиной
ОМ (-
1
■ пшТ,
( (оГи
Расчеты следует повто¬
рить для нескольких значений
п, в результате чего получает¬
ся поверхность в пространстве
трех параметров настройки п,
Ти и б, 'Ограничивающая об¬
ласть требуемого запаса
устойчивости. Обычно опти¬
мальное значение лежит в пре¬
делах 0,25—1,0, на 'ЧТО и сле¬
дует ориентировать расчеты.
При расчете ПИД-регулятора
необходимо располагать ам¬
плитудно-фазовой характери-
iJM
-П(ш)
■0,30 ~а25
1 -0,20 / -0,1^
0 R(0>)
( 1
I 1 1 1
'W.
о)=ао1
-0,05
- -0,10
- -0,15
- -020
кёс/см^'
%УП
Рис. 9-53. К примеру расчета системы регули¬
рования с ПИ-регулятором.
281
.кгс/с'м
"ЛУП
0,15
ОрО
ПЛ5
Область
допустимого
запаса
^устойчивости
Рис. 9-54. Граница обла¬
сти допустимого запаса
устойчивости.
стикой регулируемого объекта в пределах II и
III квадрантов «омилексной плоокости.
Часто проблема выбора оптимального п не
возникает, вследствие того что в реальных кон¬
струкциях регулятора эта величина не может
быть больше некоторого предельного значения.
Так, в электронных регуляторах температуры
т„ ВТИ1 величина п не может быть большей, чем
т т то- 4оосеи 0,15. Это предельно возможное значение следует
всегда устанавливать в регуляторе. Соответ¬
ственно расчет параметров настройки регулятора
производится лишь для одного значения п и по¬
этому практически не более трудоемок, чем рас-
счет параметров настройки пропорционально-
интегрального регулятора.
Пример. В качестве примера найдем граничные, с точки зрения запаса устойчиво¬
сти, значения параметров настройки пропорционального и пропорционально-интеграль¬
ного регуляторов для регулируемого объекта — парового котла по каналу регулирова¬
ния давления пара, экспериментальная амплитудно-фазовая характеристика которого
приведена на рис. 9-52 (входным регулирующим воздействием является перемещение
регулирующего органа подачи топлива, оцениваемое по указателю положения, ,% от
максимального открытия; выходной величиной — изменение давления пара, кгс/сл^).
Допустимое максимальное значение показателя колебательности системы примем
равным двум, что согласно формуле (9-43) соответствует (если учитывать лишь пару
ближайших к мнимой оси сопряженно-комплексных корней характеристического урав¬
нения) степени затухания переходного процесса примерно 0,83. Соответственно форму¬
лы (9-46) и (9-47) приобретают следующий вид;
*9=30° и бопт”1,5 ч.
П-регулятор. На рис. 9-52 показана прямая ОЕ, проведенная под углом 30°
к вещественной оси, и окружность, касающаяся одновременно этой прямой и ампли¬
тудно-фазовой характеристики объекта. Радиус окружности оказался равным
0,045 kzcIcm/W УП. Поэтому граничное и (одновременно оптимальное) значение степе¬
ни неравномерности регулятора равно:
§„„,= 1.5-0,045 = 0,68
кгс!см7
УоУП
Иначе говоря, чтобы система имела требуемый запас устойчивости, регулятор
должен перемещать регулирующий орган не более
чем на 14,3% по указателю положения при отклоне¬
нии давления пара на 1 кгс/сж^.
ПИ -регулятор. Семейство амплитудно-фа¬
зовых характеристик разомкнутой системы для зна¬
чения времени интегрирования ПО, 120, 150, 200 и
300 сек и единичной степени обратной связи, постро¬
енных изложенным выше апособом', приведено на
рис. 9-53. Там же показана окружность, касающаяся
линии ОЕ и характеристики Wi{ia) при 7’и=120 сек
(стальные окружности не показаны, чтобы не за¬
темнять чертежа). Значения радиусов полученных
таким образом окружностей сведены в таблицу.
В последней графе этой таблицы приведены также граничные значения степени
неравномерности для каждого из рассматриваемых значений Ги, вычисленные по фор¬
муле б=1,5г. На рис. 9-54 приведен график границы области допустимого запаса устой¬
чивости в плоскости параметров регулятора Ги и б.
* Выпускает Московский завод тепловой автоматики.
г
ь
сек
кгс/см‘
KCdCM?
% у II
ПО
0,135
0,202
120
0,080
0,120
150
0,063
0,094
200
0,055
0,083
300
0,050
0,015
оо
0,045
0,068
282
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНОЙ НАСТРОЙКИ ДВУХКОНТУРНЫХ
СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
10-1. РАСЧЕТ НАСТРОЙКИ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
С ОПЕРЕЖАЮЩИМ «СКОРОСТНЫМ» СИГНАЛОМ'
а) Структурная схема системы регулирования с опережающим
«скоростным» сигналом и возможные методы ее оптимальной
настройки
При автоматизации теплоэнергетических агрегатов нередко прихо¬
дится встречаться с объектами, обладающими неблагоприятными ди¬
намическими свойствами, — регулируемая величина интенсивно изменя¬
ется под действием возмущений, но имеет большое запаздывание по от¬
ношению к регулирующему воздействию. В таких случаях применение
одноимпульсных регуляторов, даже оптимально настроенных, обычно
не обеспечивает необходимого качества регулирования. Эффективным
способом уменьшения отклонений регулируемой величины является
введение в регулятор дополнительных, так называемых опережающих
сигналов, быстро реагирующих на возмущения.
Предметом анализа является система автоматического регулиро¬
вания (САР), в которой кроме основного сигнала — регулируемой ве-
личны — используют дополнительный опережающий скоростной сигнал:
он реагирует на возмущение быстрее, чем основной и зависит не от аб¬
солютного значения, а от скорости изменения регулируемой величины,
так как он появляется лишь в течение переходного процесса и исчезает
в установившемся режиме. Опережающий сигнал позволяет достаточно
эффективно скомпенсировать возникщее в системе возмущение и полу¬
чить при этом благоприятные переходные процессы. Скоростной сигнал
удобен тем, что в статике он не вызывает отклонений основного регу¬
лируемого параметра, т. е. регулирование осуществляется без нерав¬
номерности. Ограничимся рассмотрением случаев, когда применяется
один опережающий сигнал, который входит в замкнутый контур систе¬
мы регулирования и реагирует как на регулирующее воздействие, так
и на внешнее возмущение.
Примером может служить система регулирования температуры
перегретого пара, характерная для большинства котельных агрегатов.
На рис. 10-1,а изображена ее принципиальная схема. Объектом регу¬
лирования является часть пароперегревателя ПП, расположенная за
пароохладителем ПО. Регулятор Р воспринимает два сигнала: главный
сигнал Огл от датчика температуры пара на выходе рассматриваемого
участка пароперегревателя и скоростной сигнал Оск, формируемый с по¬
мощью дифференциатора Д, на вход которого поступает опережающий
сигнал Ооп ОТ датчика температуры пара после пароохладителя. Регу¬
лятор управляет сервомотором, воздействующим на клапан в линии
охлаждающей воды на впрыск (р). Дифференциатор по своим динами¬
ческим характеристикам эквивалентен реальному дифференцирующему
звену, а регулятор реализует пропорционально-интегральный закон ре-
гл-лнрования (ПИ-регулятор).
Участок от пароохладителя до места измерения опережающего
сигнала Ооп, включая датчик температуры, назван опережающим; от
' Написан Н. Д. Александровой.
283
пароохладителя до места измерения главного сигнала Огл, включая
датчик температуры, — главным; участок, входом которого является
о„п, а выходом 0ГЛ, назван инерционным.
Рассмотрим структурную схему системы автоматического регули¬
рования, находящейся под воздействием внутреннего возмущения ?^внутр,
пп
Впрыск
а)
^оп. вн
Рис. 10-1. Принципиальная (а) и структурная (б) схемы системы
регулирования тем-пературы пара котельного агрегата с опере¬
жающим скоростным сигналом.
которое по влиянию на объект зксвивалентно ц, и внешних возмущений
9.внеш (рис. 10-1,6). Здесь приняты следующие обозначения:
Оопо—^ изменение показаний датчика температуры,
установленного после пароохладителя, вызван¬
ное возмущением (Явнут + р);
0ОП.ВН — изменение показаний датчика температуры, уста¬
новленного после пароохладителя, вызванное
внещним возмущением Явнеш;
0оп= (аоп.вн+0опо)—полное изменение показаний датчика температу¬
ры, установленного после пароохладителя (опе¬
режающий сигнал);
0CK — изменение сигнала на выходе дифференциатора
(скоростной сигнал);
0ГЛО —изменение показаний датчика температуры,
установленного на выходе пароперегревателя,
вызванное изменением 0оп;
0ГЛ.ВН —изменение показаний датчика температуры,
установленного на выходе пароперегревателя,
вызванное внещним возмущением Явнеш при не¬
изменном 0оп‘,
284
Огл= (огло + сггл.вн)—полное изменение показаний датчика темпера¬
туры, установленного на выходе пароперегрева¬
теля (главный сигнал);
Кии{р) — передаточная функция инерционного участка,
входной величиной которого является Ооп, а вы¬
ходной Огло;
A;'i(p) — передаточная функция участка, входной величи¬
ной которого является Хвнеш, а выходной Ооп.вн;
К2{р)—передаточная функция участка, входной величи¬
ной которого является Хвнеш, а выходной (Тгл.вн;
Коп{р)—передаточная функция опережающего участка,
входной величиной которого является (>1внут +
+ (.i), а выходной Оопо;
(Р) = — передаточная функция идеального ПИ-регулято¬
ра, входной величиной которого является сумма
(оск+Огл), а выходной р;
Ги — степень связи и время интегрирования регуля¬
тора;
— передаточная функция дифференциатора, вход¬
ной величиной которого является сгоп, а выход¬
ной Оск.
Система автоматического регулирования имеет четыре изменяемых
параметра настройки; степень связи б (величина, обратная коэффици¬
енту усиления регулятора) и время интегрирования Ги (параметры на¬
стройки собственно регулятора), коэффициент усиления кд и постоян¬
ную времени Гд (параметры настройки дифференциатора).
Расчет рассматриваемой САР сводится к определению таких зна¬
чений четырех варьируемых параметров динамической настройки, кото¬
рые обеспечивают оптимальный переходный процесс при принятых воз¬
мущающих воздействиях.
Действующие на объект возмущения разделены на внутреннее и
внешнее. Внутреннее возмущение Явнут действует на регулируемую ве¬
личину так же, как регулирующее воздействие ц, а влияние внешнего
возмущения Хвнеш определяется динамическими свойствами участков
с передаточными функциями Ki{p) и /Сг(р).
Рассмотрим два граничных случая внешних возмущений.
1) Внешнее возмущение действует на температуру пара после па¬
роохладителя, не оказывая непосредственного влияния на выходную
температуру пара [/С2(р)=0]. Таким образом, температура пара на вы¬
ходе пароперегревателя изменяется только под действием отклонения
температуры пара на его входе. Очевидно, что такое внешнее возму¬
щение эквивалентно внутреннему.
2) Внешнее возмущение действует только на выходную темпера¬
туру пара, не влияя на температуру пара на входе в пароперегреватель
[A’i(p)=0]. Назовем это возмущение крайним случаем внешнего возму¬
щения.
В дальнейшем в качестве характерных видов возмущающих воз¬
действий приняты скачкообразные внутреннее и крайнее внешнее воз¬
мущения.
Графики на рис. 10-2 иллюстрируют влияние параметров настрой¬
ки на переходные процессы с опережающим скоростным сигналом при
внутреннем (а) и крайнем случае внешнего (б) возмущениях. Вверху
хтя сравнения приведены кривые разгона 1, а также оптимальные пере¬
ходные процессы при регулировании без опережающего скоростного
сигнала 2 и с опережающим скоростным сигналом 5; последние получе-
285
Рис. 10-2. Переходные процессы в системе автоматического регулирования температуры
с опережающим скоростным сигналом при внутреннем (а) и при внешнем (б) возму¬
щениях.
^ — Кривые разгона; 2 — переходные процессы без опережающего сигнала; «3 — переходные процес¬
сы с опережающим сигналом при оптимальных параметрах настройки; 4—11 — переходные процессы
при увеличении и уменьшении в 1,5 раза от оптимальных значений: — 4 и 5; Т^ — 6 я 7:
ны при оптимальных параметрах настройки соответственно для внут-
реннего и крайнего внешнего возмущений. Сравнение переходных про¬
цессов 2 я 3 показывает, что введение опережающего скоростного сиг¬
нала очень эффективно при
внутреннем возмущении и дает
значительно меньший выигрыш
при крайнем случае внешнего
возмущения.
На рис, 10-2 внизу приведе¬
ны переходные процессы с па¬
раметрами настройки опти¬
мальными для своего вида воз¬
мущения (3) и отличными от
них в 1,5 раза в сторону увели¬
чения и уменьшения для каж¬
дого из параметров настройки.
Масштаб переходных процес¬
сов по оси ординат при вну¬
треннем возмущении увели¬
чен на нижних рисунках в во¬
семь раз по сравнению с верх¬
ним.
На графиках рис. 10-2 вид¬
но, что изменение параметров
настройки kpkji (кривые 4 я 5)
или Ги (кривые 6 я 7) очень
слабо влияет на переходные
процессы при внешнем возму¬
щении и более заметно на пе¬
реходные процессы при вну¬
треннем возмущении. Степень
7д-Пгл~То„
^ск~бд„кд
Рис. 10-3. Кривые разгона при «компенсиро¬
ванной» настройке.
286
затухания низкочастотной составляющей 'практически сохраняется. Как
и Б обычной одноконтурной системе, увеличение йрйд или уменьшение Гц
■приводит к снижению степени затухания высокочастотной составляющей
переходного процесса (на рис. 10-2 не видно, так как Огл демпфирует
высокочастотные колебания). Изменение параметров настройки ско¬
ростного сигнала йд (кривые S и 5) и Гд (кривые 10 и 11), иаоборот,
мало сказывается на переходных процессах при внутреннем возмуще¬
нии и более существенно деформирует переходные процессы при внеш¬
нем возмущении. Влияние Д-.д и 7’д на переходный процесс Огл при внеш¬
нем возмущении аналогично влиянию соответственно степени связи б и
времени интегрирования 7и на переходный процесс в одноконтурной
системе регулирования.
Задача определения параметров настройки многоконтурной систе-
.мы регулирования довольно сложна. В связи с этим получили распро¬
странение приближенные методы определения параметров настройки.
Одним из них является метод так называемой «компенсированной» на¬
стройки
Сущность метода сводится к такому подбору параметров настрой¬
ки скоростного сигнала, при котором по возможности точнее выполня¬
ется равенство
Оск +0'глО~ бОоп, (10"1)
где с — коэффициент пропорциональности.
Это условие строго соблюдается лишь в том случае, если инерци¬
онный участок описывается передаточной функцией апериодическога
звена
(10-2>
где кжв. и Гин — 'Статический коэффициент усиления и 'постоянная време¬
ни инерционного участка,
кр,=кин, (10-3)
7’д = 7’ин. (10-4)
Таким образом, если удается реализовать идею компенсированной
настройки, то рассматриваемая система при возмущении (Явнут + р)
становится эквивалентной более простой системе, состоящей из опере¬
жающего участка и регулятора. Параметры настройки регулятора мо¬
гут быть выбраны любым из известных методов для одноконтурной
системы.
Практически прием пользования этим методом сводится к следую¬
щему. Экспериментально снимают кривые разгона главного 'И опережа¬
ющего участков при одинаковом по величине внутреннем возмущении
Авнут- Находят постоянные времени главного и опережающего участков-
Т'гл и 7’оп (рис. 10-3,а) и вычисляют
7’д = 7’гл-7’оп (10-5)
и
(10-6)
Точность компенсации можно проверить, если сравнить кривую раз¬
гона Ооп, умноженную на йд, с суммой кривых разгона Огл + Оск
(рнс. 10-3,6). Выходную величину дифференциатора Оск можно найти
методом Башкирова 2 по кривой разгона стоп. Для удобства построения
■■ .М и р о н о в в. д. Регулирование с опережающим импульсом. — «Известия ВТИ»,.
!<М8. А; 8.
» С.М. § 11-4.
28Г
целесообразно передаточную функцию дифференциатора записать
в виде
1+W)'
(10-7)
1 + V ^ 1+7д/1
Рассмотренный прием определения Гд и йд обеспечивает равенство
нулю площади, заключенной между сравниваемыми кривыми разгона:
”[Vou-(+» + ^ck)]^^ = 0. . (10-8)
Но это, естественно, еще не гарантирует полного совпадения кри¬
вых.
Приблизиться к вьшолнению равенства (10-1) можно при незна¬
чительном опережении, т. е. в тех случаях, когда инерция опережающе¬
го участка близка к инерции главного участка. При значительном опе¬
режении, когда опережающий участок имеет существенно меньщую
инерцию, чем главный, обычно не удается добиться компенсации с не¬
обходимой точностью.
Даже при достаточно точной реализации идеи компенсации остает¬
ся открытым вопрос, является ли компенсированная настройка опти¬
мальной. Действительно, если выбирать настройку по компенсирован-
<5ол. вн
^внут
WJiw)
боп
Wu„(iw)
Wpi(iw)
^зд
бгл
Wj(iw)
(Згя.8н
W2 (ш)
Кн(ш)
Азд
<^гло
{бгл.вн
а)
б)
Рис. 10-4. Структурная схема системы регулирования,
а — со стабилизирующим и корректирующим регуляторами, б — упрощенная.
ному методу, в предельном случае, когда совсем нет опережения и
главный сигнал равен опережающему, следовало бы взять 7’д=0 при
конечном значении Ад, т. е. фактически устранить опережающий сиг¬
нал. Но известно, что качество регулирования будет лучше, если кро¬
ме главного сигнала ввести, например, производную регулируемой ве¬
личины, которую можно рассматривать как частный случай опережаю¬
щего сигнала при 7"д = 0, но конечном значении произведения АдГд (Ад=
= оо) *.
Изложенный метод выбора параметров настройки САР с опережа¬
ющим сигналом довольно прост, но он не претендует на строгость и
универсальность.
Другой приближенный метод» расчета параметров настройки раз¬
работан для случая, когда инерционность опережающего участка зна¬
чительно меньше инерционности главного участка. Исходными данны¬
* Дудников Е. Г. Основы, автоматического регулирования тепловых процессов.
М., Госэнергоиздат, 1956.
‘ Ротач В. Я. Расчет настройки промышленных систем регулирования. М., Гос¬
энергоиздат, 1961.
288
ми для расчета служат частотные характеристики главного 1Егл(гсо) и
опережающего 1Еоп(гсо) участков, по которым определяют частотные
характеристики инерционного участка:
Структурная схема рис. 10-1,6 преобразуется в схему, изображен¬
ную на рис. 10-4,а.
Здесь lEpi(/m) и 1Ер2(гт) соответствуют передаточным функциям
Ыр)=КАрЖАр)\ (10-10)
= = (10.11)
некоторых эквивалентных регуляторов, которые названы соответственно
стабилизирующим и корректирующим. Для корректирующего регуля¬
тора Гд является временем интегрирования, а 1/^д — коэффициентом
усиления.
При относительно малой инерционности внутреннего контура быст¬
родействие стабилизирующего регулятора может быть сделано доста¬
точно высоким. Учитывая, что изменение Озд происходит, как правило,
медленно, что связано со значительной инерционностью участков с пе¬
редаточной функцией Кия{р) и Кг{р), можно предположить, что сигнал
(0оп + 0зд)на входе стабилизирующего регулятора в любой момент вре¬
мени близок к нулю. Тогда структурная схема, показанная на рис. 10-4,а,
может быть заменена более простой (рис. 10-4,6). По амплитудно¬
фазовой характеристике инерционного участка обычными методами,
разработанными для одноконтурных систем, находят оптимальные па¬
раметры настройки корректирующего регулятора, совпадающие с иско¬
мыми параметрами настройки дифференциатора и 7’д. Затем опреде¬
ляют амплитудно-фазовую характеристику эквивалентного объекта:
1Еоб.экв(/со) = 1Еоп(гю) [1Ед(гсй) + 1Ецн(г'о))] (10-12)
и по ней, пользуясь такими же приемами, определяют параметры на¬
стройки регулятора Ги и 1/6.
Рассматриваемый ме4од расчета параметров настройки сложнее
метода компенсированной настройки. Однако для объектов с больщой
разницей в инерционностях опережающего и главного участков он
должен давать более точные результаты.
Следует отметить, что в рассматриваемом методе расчета сначала
определяют параметры дифференциатора и только после этого, с учетом
нх значений, параметры настройки собственно регулятора. Такая по¬
следовательность не дает возможности экспериментально проверить
правильность первых параметров, так как упрощенную систему, приме-
чнтельно к которой находят и Гд, затруднительно реализовать на
практике.
Другой приближенный метод расчета параметров настройки рас¬
сматриваемой системы, излагаемый ниже основан на том, что сущест¬
вует больщая разница между инерционностью опережающего и глав-
■ого участков.
В такой многоконтурной системе при некоторых значениях пара¬
метров настройки возможно возникновение колебаний на двух различ-
шых частотах одновременно. Затухание высокочастотных колебаний
■ .Александрова Н. Д. Расчет параметров динамической настройки регуля-
температуры пара с опережающим скоростным импульсом.— В кн.: «Автоматиза-
шк тепловых электростанций». М., Госэнергоиздат, 1959; — «Теплоэнергетика».
,.V4.
-1Ь;4 289
зависит преимущественно от динамических свойств опережающего уча¬
стка и параметров 6/Ад и Ги. Инерционный участок вследствие его
больщой инерционности «срезает» высокие частоты и поэтому не ока¬
зывает на них существенного влияния. Дифференциатор при больщих
значениях постоянной времени Гд (а такие значения необходимы для
интенсивного затухания низкочастотных колебаний), наоборот, пропу¬
скает высокочастотные сигналы, почти не искажая их. Для высоких ча¬
стот реальное дифференцирующее звено с больщой постоянной време¬
ни близко к усилительному звену с коэффициентом усиления Ад. В це¬
лях упрощения задачи сделано допущение, что поведение системы в об¬
ласти высоких частот не зависит от динамических свойств инерционно¬
го участка и постоянной времени скоростного сигнала. Это позволяет
определить параметры настройки 6/Ад и Ги, ориентируясь на динамичес¬
кие свойства упрощенной системы, для которой 1Еин(1’ю)=0, а диффе¬
ренциатор заменен усилительным звеном с коэффициентом усиления Ад.
Рассматривая выбранные параметры б/Ад и Ги, наряду с динами¬
ческими характеристиками опережающего и инерционного участков
в качестве исходных данных на втором этапе расчета определяют Ад и
7'д.
Предлагаемая методика позволяет экспериментально проверить,
правильно ля выбраны на первом этапе расчета динамические пара¬
метры настройки б/Ад и Ги. Это оказывается возможным благодаря то¬
му, что упрощенная система, состоящая из опережающего участка и
регулятора, может быть легко осуществлена на практике.
б) Принятый критерий качества регулирования и его связь
с параметрами настройки
В основу предлагаемой методики положена совокупность следую¬
щих критериев оптимального качества регулирования: степени затуха¬
ния процессов регулирования 4*' = 0,9 для высокочастотного и низкоча¬
стотного контуров я минимальной площади под кривой изменения Огл
в течение переходного процесса, вызванного скачкообразным возмуще-
00
нием
6
Основанием для выбора интегрального критерия такого вида слу¬
жит характерная особенность рассматриваемой системы, заключаю¬
щаяся в том, что при правильной ее настройке, обеспечивающей интен¬
сивное затухание переходного процесса, внутренние и внешние возму¬
щения, вызывающие относительно медленное монотонное изменение
Огл, быстро компенсируются соответствующим изменением регулирую¬
щего воздействия. Вследствие этого сумму возмущающего Хвнут и регу¬
лирующего ц воздействий можно рассматривать по отношению к глав¬
ному сигналу, как возмущение на входе участка, близкое к импульсно¬
му. Тогда изменение Огл будет иметь постоянный знак в течение всего
переходного процесса. Качество такого процесса регулирования тем
00
лучще, чем меньще значение / = Згдс//.
о
Определим связь интегрального критерия с параметрами настрой¬
ки системы. На основании связи между изображением и оригиналом
можно записать:
5,^= [е-РН,дЛ. (10-13)
290
при р—И) получим:
(10-14)
р-^О
Следовательно, интегральный критерий равен значению изображе¬
ния главного сигнала при р==0.
Передаточная функция замкнутой системы по каналу главного сиг¬
нала при внутреннем возмущении (ряс. 10-1,6) имеет вид:
°ТЛ (р) ТСрп (р) /1 Q 1 г\
Хвнух ^ ^Р) ^ОП (Р) [Анн (р) +КАР)\ ^ ’
Изображение по Лапласу внутреннего возмущения в виде единич¬
ного скачка величиной Явнуто может быть представлено так:
Явнут = ^- (10-16)
Учитывая, что Кои {р) = Ки^ Кии {р) = рКр (р) /Сд (/?) = О, получаем:
р-^0 /7-^0 р->0
+л = Язну,„87’„. (10-17)
р-*0
Поскольку параметры б/йд и Ги выбираются на первом этапе рас¬
чета независимо от Кя, то интегральный критерий при внутреннем воз¬
мущении удобно представить в виде
СО
/= = (10-18)
0
Параметры настройки Ги j и йд слабо зависят друг от друга:
тервые из них выбираются исходя из динамических свойств упрощен-
■-ЭЙ системы вообще без учета йд; на коэффициент усиления скоростно¬
го сигнала кд в принципе влияют параметры настройки, определяемые
,-;а первом этапе, но это влияние, как будет показано ниже, невелико.
Поэтому можно считать, что минимальное значение интегрального кри¬
терия, определяемое произведением двух практически независимых ве-
-нчнн, сответствует минимуму каждой из них.
Для общего случая внешнего возмущения Явнеш передаточная функ-
тчя замкнутой системы по каналу главного сигнала (рис. 10-1,6) выра¬
жается так:
/С {
1 - ГГр (Р) {р) Коп (Р) + 1ГШ (р)
\\-Кт,{р)Коп{р) [Кпп (Р)+7С„ (р)1 •
Поскольку ТСЛуР)^^,,/^^/?) —^2, где k^ и — статические коэффициен-
ты усиления соответствующих участков, а Яздеш = '^внешо/Г при скачкооб¬
разном возмущении, то интегральный критерий равен:
00
/ =
— Я
внеш о ~й
(10-20)
Выше рассматривались два предельных случая внешнего возмуще-
нтя. Для первого случая, который сводится к возмущению, эквивалент-
н;му внутреннему (’^2=0), интегральный критерий будет иметь вид:
Гв ) к^: (10-21)
[
19- 291
т. е. минимум его, так же как и в (10-18), достигается при минималь¬
ном произведении Ги j и минимальном ^д.
Во втором крайнем случае внешнего возмущения (^i=0) инте¬
гральный критерий примет вид:
(10-22)
Как упоминалось, параметры настройки скоростного сигнала слабо
Г„ У Следовательно, минимум выражения (10-22) имеет
зависят от
место при минимуме
Таким образом, при любом из рассмот¬
ренных видов возмущений минимум интегрального критерия соответствует
минимуму произведения и в зависимости от вида возмущения
минимуму k,^ или минимуму
в) Исходные динамические характеристики объекта
регулирования
Как известно, степень затухания переходных процессов в линейной
системе определяется только характеристическим уравнением этой си¬
стемы к, следовательно, не зависит ни от вида возмущений, ни от дина¬
мических свойств объектов с передаточными функциями /Ci(p) и Kiip),
а целиком определяется динамическими свойствами участков, входя¬
щих в замкнутые контуры регулирования. Принятый интегральный
критерий качества, как ясно из предыдущего раздела, также не требу¬
ет знания передаточных функций Ki{p) и Кг(р). Таким образом, доста¬
точно иметь характеристики только опережающего и инерционного уча¬
стков, т. е. знать свойства объекта регулирования при внутреннем воз¬
мущении.
Динамические характеристики объекта можно получить экспери¬
ментально в виде кривых разгона, импульсных или частотных харак¬
теристик, а также расчетным путем.
Для рассматриваемой системы можно
снять кривые разгона опережающего и глав¬
ного участков. Экспериментальное определе¬
ние кривой разгона инерционного участка за¬
труднительно, поскольку такой эксперимент
требует изменения скачком сигнала на выходе
участка Ооп или температуры пара на входе
в пароперегреватель. Однако интересующая
нас кривая разгона инерционного участка мо¬
жет быть построена по шривым разгона опере¬
жающего и главного участков.
На рис. 10-5 представлена кривая разгона
Рис. 10-5. Определение т и при возмущении 'Тивнут- По ЭТОЙ кривой опреде-
Га по кривой разгона. лены динамические параметры:
292
1
■В
коэффициент усиления участка
^8нут
0
^внут 0
У
■ ■•Л-
гле Оуст — установившееся значение
кривой разгона;
запаздывание т (сек), время
разгона Та (сек) участка и их отно¬
шение х/Та.
Постоянная времени Гуч (сек)
представляет собой частное от де¬
ления площади, заключенной меж-
X.- кривой разгона и ее установив¬
шимся значением, на установившее¬
ся значение:
.Она равна интервалу времени
момента возмущения до ордина¬
ты. отсекающей на кривой разгона
равные площади Si и S2 (рис. 10-5).
Представление о форме кривой
_()азгона помимо отношения т/Г„
'дает также отношение т/Гуч.
Характерные динамические па¬
раметры Т, Та и х/Та широко ИШОЛЬ-
з>тотся для оценки динамических
свойств объектов при расчете пара¬
метров настройки одноконтурных
САР (см. гл. 9). Здесь наряду с ни¬
ми введены в рассмотрение другие
динамические параметры ai, Иг и
безразмерное отношение at/oAi, ко¬
торые также, хотя и несколько слож-
иее. определяются из кривой разго-
■а ipHc. 10-6,а). Параметр at совпа¬
дает с постоянной времени участка:
а1 = Гуч. (10-23)
Для определения а% графически интегрируют разность установив¬
шегося (Густ и текущего а значений. Для этого разбивают ось времени
на выбранные интервалы At и находят отрезки (оуст—о) в середине
этих интервалов. Первый отрезок (оуст—oi), соответствующий значе-
1
\0 At
^ бус/77
Л\^ , - ~ ^2
щ
бус/77 "^7
f t
Ц .-"С' ^уст й}
б)
Рис. 10-6. Определение
вой разгона.
И fl2 ПО кри
1Ю интеграла
At
I
(°уст.— °)
At
dt
в конце первого интервала At, отклады¬
вают в виде ординаты в точке t = At на нижнем графике. Для момента
времени t = 2At откладавают ординату, равную сумме отрезков (оуст—
I —(оуст—02), которая соответствует значению интеграла
2At
г
■а)
At
dt.
Аналогично определяют значения интеграла для моментов времени
iV. 4Л/ и т. д. Построение продолжается до получения установившего-
293
ся значения искомого интеграла, равного Оуст a-ilAt. Через найденные
точки проводят плавную кривую зависимости Г —— dt от вре-
мени t (рис. 10-6,6). Дальше определяют величну
а, = а\ (10-24)
®УС1
t
где — площадь, заключенная между кривой |* dt и ее устано-
0
вившимся значением.
Нетрудно видеть, что ai и являются коэффициентами при р и р2
в передаточной функции участка, числитель которой равен коэффици¬
енту усиления к, а знаменатель записан в форме степенного ряда от р:
+ ■ 00-25)
Отношение a^ja^i может изменяться для различных объектов
с S-образными кривыми разгона в пределах от О до 0,5.
Для обобщенного анализа динамики системы использовались при¬
веденные ниже передаточные функции ее участков.
Опережающий участок обычно можно достаточно хорошо аппро¬
ксимировать комбинацией последовательно включенных апериодических
звеньев. Передаточная функция участка, состоящего из п последова¬
тельно включенных апериодических звеньев с равными постоянными
времени Т, имеет вид:
ц+эд. ■■ (‘0-26)
Разложением знаменателя (10-26) в степенной ряд по формуле
Ньютона можно определить:
потоянную времени участка
7’y,j=ai = n7’; (10-27)
коэффициент .1) р (10-28)
и отношение -Ц- — ^ • (10-29)
а\
Параметры т, Та определяют следующим образом. Обозначим сиг¬
налы на входе и выходе участка Хвх и Хвых. Изображение по Лапласу
на выходе при скачкообразном сигнале на входе (хвх=Хвхо1р) можно
записать в виде
^вых = _p(i+Vp)n ■
Оригинал этого изображения представляет собой кривую разгона объ¬
екта:
t Y fj_ V f t
I + T "T Of I o| "г • • • ~r
2! ' 3! I ••• I (Л—1)! J
* -'('Bx ok,
(10-31)
где t [сек] — текущая координата времени.
294
в точке перегиба кривой разгона ее первая производная достигает
максимума, а следовательно, вторая производная равна 0. Дифферен¬
цируем (10-31):
t
dXo
dt
f \n-l V b
(10-32)
Вторично дифференцируя, находим выражение для второй производной
в точке перегиба:
/ t
(n — 1)! Г=
(n-l) —
Д-ВХ 0^-
(10-33)
Значение / = /п, соответствующее точке перегиба, определяем из
/п = 7(п_1).
(10-34)
Значение Хвых в точке перегиба будет:
-^вых (У = 11 - [1 + (я - 1)+--”^^^' +
Рг-_1)^ I (п-1)— -I) ,
3J (и_1)! ysxoR-
3! I ••• ! („.
Первая производная в точке^перегиба
/dXs
. dt ! t
\ /и
) У."
Определяем запаздывание:
{п-1)1Т
Хвых (^п)
dt t
(10-35)
(10-36)
(10-37)
или после псдстаксЕки (1С-34), (1С-35) и (10-36) получаем:
.-Т(п П I Т\ I 4-
. — lyc I) (п_ 1)п->в-(п->) Дп_1)п-1 („_1)п-2 П~
+
I (я-1)!
I _ Пгг-^4 31 “ ••• л ®
(л—1)"-=2! ' (п—\)
Выражение для времени разгона находим:
Хвх 0^
Та =
LTH после подстановки (10-36):
Та^Т
'dx.
dt t
(л-1)!
(л— l)"-'^-!"-*) ■
Выражение для безразмерного параметра записываем так:
Хвх 0^
1п
dx.
dt t
•^вых (^п)
(10-38)
(10-39)
(10-40)
(10-41)
295
или после подстановки (10-34), (10-35) и (10-36):
(я-1)-
+
Т„ — («-1)!
{n-ir
2!
3!
'4Г-- -Т (п—1)!
(10-42)
Для участка, состоящего из двух апериодических звеньев с раз¬
ными постоянными времени (7'2<7’i), передаточная функция которого
имеет вид
(1+Др) (1 + т,рУ
аналогично определяются выражения для динамических парамет¬
ров:
постоянной времени участка
Тут1=ai = T 1 + Т 2,
коэффициента
а2=Т{Тг,
отношения
h
А (
I-f
Г.
времени достижения точки перегиба
Г,
In ■
t =Т
Ац •* 1
(10-44)
(10-45)
(10-46)
(10-47)
запаздывания
/ Г X—^
J-E- У.-т-
7. )
времени разгона
отношения
/ г.
ч
То
То-То
То-Т,
Т,
То
Для участка с передаточной функцией
k
К{р)
(1+ТоР)Ц\ + Т,р) '
где Tz<Ti, аналогично находятся
7’уч=Й1 = 27’1 + Г2;
^2 = ^1 + 27'jr2;
Т^, + 2ТоТ,
д2 (2 Г, + Т,у^ ■
— 1.
(10-48)
(10-49)
(10-50)
(10-51)
(10-52)
(10-53)
(10-54)
296
Т а б л иц а 10-1
Динамические параметры участка
с передаточной функцией
k
(1 + ТрГ
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
9
10
12
15
20
оо
О
0,105
0,21
0,31
0,407
0,49
0,57
0,64
0,708
0,773
0,892
1,055
1,293
схэ
0
0,1425
0,259
0,346
0,417
0,466
0,508
0,537
0,565
0,587
0,623
0,665
0,7095
1
1
1,36
1,23
1,115
1,025
0,95
0,891
0,839
0,797
0,759
0,697
0,63
0,549
О
а»
„2
О
0,25
0,333
0,375
0,4
0,417
0,428
0,438
0,445
0,45
0,459
0,467
0,475
0,5
Таблица 10-2
Динамические параметры участка
с передаточной ф/нкпией
k
(1 +Ар)(1
№
Т,
т
А
X
т.
+ч
а.
1
0
0
0
1
0
2
0,01
0,01
0,0104
1,04
0,0098
3
0,1
0,05
0,0588
1,175
0,0827
4
0,2
0,07
0,0875
1,25
0,139
5
0,3
0,08
0,1032
1,29
0,1775
6
0,4
0,09
0,1182
1,313
0,204
7
0,5
0,0965
0,1285
1,333
0,222
8
0,6
0,1
0,1345
1,345
0,235
9
0,7
0,102
0,1378
1,352
0,242
10
0,8
0,104
0,141
1,355
0,247
11
0,9
0,104
0,1415
1,36
0.249
12
1,0
0,105
0,1425
1,36
0,25
Динамические параметры участка
с передаточной функцией
k
(\+т,р)АЖТ,р)
В табл. 10-1 и на рис. 10-8 для участков с передаточной функцией
вида (10-26) представлены зависимости т/Гуч; т/Га и Га/Гуч от
Таблица 10-3 числа апериодичеоких звеньев п
(п — целое число).
В табл. 10-2 и 10-3 и на рис. 10-9
для участков с передаточными
функциями вида (10-43) и (10-51)
даны те же параметры в зависимо¬
сти от отношения постоянных вре¬
мени апериодических звеньев Г2/Г1.
Здесь т — число апериодических
звеньев с постоянной времени Tj.
Приближенный способ опреде¬
ления кривой разгона инерционного
участка по кривой разгона главного
участка и постоянной времени опе¬
режающего участка Гуч иллюстри¬
руется рис. 10-10. Учитывая, что
инерционности главного и опере¬
жающего участков существенно отличаются, можно ограничиться гру¬
бой оценкой свойств опережающего участка, тредставив его в виде
апериодического звена с передаточной функцией:
Т,
X
X
г-а
а.
№
Т,
7'уч
^ч
1
0
0,105
0,1425
1.36
0,25
2
0,05
0,1208
0,1607
1,33
0,262
3
0,1
0,1375
0,1785
1,295
0,272
4
0,2
0,1655
0,209
1,265
0,289
5
0,5
0,2025
0,251
1,24
0,32
6
0,8
0,21
0,259
1,235
0,332
7
1,0
0,21
0,259
1,23
0,333
Kouip)
1 + ТояР '
тогда
. + Го
л.
dt
(10-58)
(10-59)
где Оин — сигнал на выход инерционного участка при скачкообразном
изменении сигнала на его входе Ооп.
Кривую разгона инерционного участка удобно находить графически
(рис. 10-10). Вычерчивается кривая разгона главного участка Огл. Ось
времени разбивается на отрезки с интервалом At (чем меньше отрезки,
тем точнее перестроение). Через границы отрезков проводятся ордина¬
ты до пересечения с кривой Огл. В каждой точке пересечения
проводится касательная и горизонтальный отрезок, равный Гоп.
296
в конце горизонтального отрезка восстанавливается перпендику¬
ляр до пересечения с касательной. Полученный отрезок перпендику¬
ляра, соответствующий
добавляется к ординате Огл-
Суммарная ордината для рассматриваемого момента времени пример¬
но равна кои Оин.
По кривой 0гл + Гоп -jf- нетрудно определить динамические па¬
раметры инерционного участка — запаздывание Тин [се/с], вре.мя разгона
Ганн [сек], их отношение Тин/Гаин, коэффициенты fliHH, Й2ИН и отно¬
шение azunlahuu. Статический параметр — коэффициент усиления инер¬
ционного участка — находится
как отношение установившихся
значений главного и опережаю¬
щего сигналов:
lO,
‘‘ин ■
t
гл.уст
'^оп.уст
(10-60)
at.
'глует
Для выбора вида передаточ¬
ной функции инерционното уча¬
стка можно использовать анали¬
тические методы определения ди¬
намических свойств пароперегре¬
вателя, которые в последние годы
получили широкое распростра¬
нение.
Нас интересуют динамиче¬
ские характеристики теплообмен¬
ника при изменении температуры
пара на входе (влияние измене¬
ния расходной составляющей в пароохладителях впрыскивающего типа
относительно невелико). Передаточная функция теплообменника в этом
случае при некоторых допущениях имеет вид:
Ки
10-10. Определение кривой разгона
инерционного участка.
Лр) = кпие
i+T,p
(10-61)
где Яин —статический коэффициент усиления инерционного участка; то,
Т и Ti — постоянные времени, которые, так же как и кин, зависят от
параметров пара, дымовых газов, конструкции и материала труб паро¬
перегревателя.
Передаточная функция (10-61) может быть представлена в виде
_ Тр
произведения двух членов и е
1+Г1Р
Первый член пред¬
ставляет собой передаточную функцию запаздывающего звена. Форма
кривой разгона, соответствующая второму члену, определяется отноше¬
нием TjTi.
Найдем связь между передаточной функцией (10-61) инерционного
участка и его динамическими параметрами, определяемыми из кривой
разгона. Для определения коэффициентов oi и аг представим эту пере¬
даточную функцию в виде
Тр
(10-62)
Лр)=киие Li+r.P=-
^ИН
f(p)
и разложим знаменатель в ряд Маклорена по степеням р:
f(r) = f(0)-b^r(0) + ^r(0)-f...-f^p)(0) + ,
(10-63)
299
Тогда
/(/;)= 1+К + Г)/7 +
(^0 + ту
■ тт.
Г(0) = ч + Т;
(^+т,рУ
Тр
f" {р) = gi +т,Р +
(1 +т,рУ
2ТТ, ].
~{1+т,рУ I ’
f" (0) = + 2zJ А-Г- 2ТТ, = (т„ + Г)^ - 2ТТ,.
Заметим, что а1ин = Г(0); a2m=f"{0)12.
Следовательно,
fliHH = Туч = То + Т;
_ Ы + ту
^2ИН •
^2ИН
ТГ.;
ГГ,
а
1ин
к + ту ■
(10-64)
(10-65)
(10-66)
Более сложно выражаются параметры Тин и Та ин через коэффици¬
енты передаточной функции.
Уравнение кривой разгона, соответствующее передаточной функции
(10-61), записывают следующим образом:
_Х { _А- '1
е "■' I„(.^) + ^j ^ '■■1о(х,)б1т|. (10-67)
Здесь t — текущая координата времени;
т — оеременная интеграции;
Io(x) и lo(xi) — функция Бесселя 1-го рода, нулевого порядка от мнимо¬
го аргумента
(10-68)
— ^Г, г — ^г,
в точке перегиба кривой разгона первая производная достигает
максимума, а вторая равна нулю.
Выражение для первой производной имеет вид:
Т t-x„
4°ИН (О
di
е т, ь g г,
(10-69)
где Ii(t)—функция Бесселя 1-го рода, первого порядка от мнимого
аргумента л;.
Выражение для второй производной записываем так:
4^®ин (О
dP
_Т_ i—xp
е кввв
2 (1 - х„)
2 (1-^0
г,
В точке перегиба (EtSaB{f)jdf = 0 и, следовательно,
I, (-^п) +YT) ~ ^0 “2^’
где
(10-70)
(10-71)
(10-72)
а /п —время, соответствующее точке перегиба.
300
Таблица 10-4
Динамические параметры участка с передаточной функцией
Тр
ke
— Тор —
№
I-
Т,
74
^2
а2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
2.5
2.5
2.5
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
10
10
10
12
12
12
15
15
15
18
18
18
20
20
20
О
0,02
0,05
О
0,02
0,05
О
0,02
0,05
О
0,02
0,05
О
0,02
0,05
О
0,02
0,05
О
0,02
0,05
О
0,02
0,05
О
0.02
0,05
О
0,02
0,05
О
0.02
0.05
-0,0787
-0,0685
-0,0532
-0,03108
-0,01958
-0,00238
0,0483
0,06095
0,0798
0,1152
0,129
0,1496
0,183
0,1982
0,2209
0,2896
0,3066
0,3321
0,397
0,4161
0,4447
0,4637
0,4836
0,5134
0,592
0,6146
0,6485
0,695
0,7196
0,7563
0,767
0,7943
0,8352
—0,154
—0,1205
—0,0995
—0,0541
—0,0333
—0,00394
0,0765
0,0945
0,12
0,1672
0,1835
0,207
0,241
0,256
0,277
0,341
0,354
0.372
0,417
0,428
0,444
0,467
0,477
0,492
0,524
0,533
0,549
0,566
0,573
0,585
0,585
0,594
0,607
1,962
0,1
1,92
0,116
1,865
0,136
1,736
0,167
1,7
0,18
1,653
0,197
1,582
0,25
1,545
0,26
1,505
0,273
1,452
0,3
1,42
0.3С8
1,383
0,3485
1,317
0,333
1,29
0,34
1,255
0,3485
1,177
0,375
1,15
0,38
1,12
0,3865
1,048
0,4
1,025
0,4658
0,997
0,409
1,005
0,4137
0,985
0,42
0,958
0,4243
0,885
0,4333
0,867
0,436
0,842
0,4394
0,813
0,4444
0,797
0,4465
0,775
0,4495
0,762
0,45
0,747
0,452
0,726
0,4545
Из уравнения (10-71) подбором можно определить время tu. Иско¬
мые динамические параметры равны:
^ИН
Л(п)
/*ин\
V dt
р ^ин.уст
^ акн — /
(10-73)
(10-74)
Отношение x^JTa
dt
выражается следующим образом:
1
( dT )
(10-75)
В табл. 10-4 даны динамические параметры инерционного участка
с передаточной функцией (10-61) при 11 различных значениях соотно¬
шений постоянных времени T/Ti и трех значениях то/Г. На рис. 10-11 и
10-12 для этих расчетных случаев представлены зависимости х1Та,а2.1а^\
и тТуч, Га/Гуч от r/Ti для разных То/Г.
301
-Г
Туч
0.1
Jk
Тич
- 1,8
0,6
- 1,6
0.5
^-1.4
0,4
-1,2
0.3
-1,0
0,2
-0.8
0.1
-0,6
-0.4
-0,1
-0,2
-0,2
0
1
-в г-д-О
\
—
-д тд=о,огт
г
Ah
-о
~^о~
O.OST
1
А
'/
т
, Ah
/
щ
в
в
10 12
П
16 1S
Рис. 10-12. Зависимости т/Гу, и IJTya от Г/Г].
20
г) Методика расчета параметров динамической настройки
по частотным характеристикам
Как уже отмечалось, расчет параметров настройки в системе регу¬
лирования состоит из двух этапов. На первом этапе определяются б/Ад
и Гц для упрощенной одноконтурной системы регулирования, состоя¬
щей из 'Опережающего участка, усилителя с коэф'фициентом усиления Ад
и регулятора с параметрами настройки б и Ги (рис. 10-13). Исходными
данными для расчета служат динамические характеристики опере¬
жающего участка. Ориентируясь на 'принятый критерий качества и на
близость динамических свойств упрощенной и полной систем регулиро¬
вания в области высоких частот, выбор параметров настройки б/Ад и Гц
производят исходя из минимального значения их 'Произведения при за¬
данной степени затухания *F = 0,9 в упрощенной системе.
На втором этапе определяют параметры Ад и Гд полной системы.
302
Исходными данными здесь являются динамические характеристи¬
ки инерционного и опережающего участков и выбранные на первом эта¬
пе 6/^д и Ги. Критерием качества служат в зависимости от вида возму-
щения минимум йд или минимум -|-
степени затухания Ч*' = 0,9.
Параметры настройки б/йд и Ги определяют по
амплитудно-фазовым характеристикам из условия
(т, iw) = ; ‘
при заданной
расширенным
где
Wp (т, /со) =
Wp (т, i(£>y
fej (1 — отГиСо + гТцш)
(10-76)
(10-77)
Коя(р)
8р(р)
knSo!
i ((ТиСО — тТа<£>)
Расширенная частотная характеристика опережающего участка мо¬
жет быть найдена аналитически, если известно выражение передаточной
функции Кои(р), или описанным выше графиче¬
ским способом по обычной характеристике, по¬
лученной, например, экспериментально.
Если известно аналитическое выражение
1Коп(щ, ш), то уравнение (10-76) может быть
представлено в виде двух уравнеиий и, зада¬
ваясь разными значениями частот со, можно най¬
ти соответствующие им параметры настройки
6/кд и Та. Значения частот выбирают так, чтобы
получить всю возможную совокупность положи¬
тельных значений параметров настройки.
Если расширенные характеристики опере¬
жающего участка представлены в виде графиков,
то удобнее решать уравнение (10-76) графиче¬
ски. В результате решения получают совокуп¬
ность искомых параметров настройки, которая в плоскости /^д/б; ^д/бГц
образует линию заданной степени затухания Ч'', замкнутой системы
(рис. 10-14). На этой линии выбирают точку с оптимальными параме¬
трами настройки, соответствующими минимальному интегральному кри¬
терию.
При принятом критерии качества можно найти оптимальные пара¬
метры настройки проще, не строя всей линии Ч", а ограничиваясь лишь
определением минимума бГиДд. Для этого в комплексной плоскости
строят расширенную обратную амплитудно-фазовую характеристику
Рис. 10-13. Структурная
схема упрощенной систе¬
мы регулирования.
Рнс. 10-15. Расширенная обратная ча¬
стотная характеристика опережающего
участка, умноженная на частоту.
303
опережающего участка, умноженную на частоту ш (рис. 10-15). Обозна¬
чим вещественную часть этой характеристики R (т, со), а мнимую
У {т, со); тогда
WnJm, ш) со). (10-78)
Из (10-76), (10-77) и (10-78) находим:
ЗГи 1
(1 + /и=) У {т‘, (о)
(10-79)
Отсюда следует, что минимальному значению -7— 7’и^ соответст-
V «д J
вует максимальное значение У (т; со).
В положительной полуплоскости к характеристике . про-
" ОП ^ (Оj
водят касательную, параллельную оси абсцисс. В точке касания опре¬
деляют максимальную ординату характеристики У (т; сор), соответ¬
ствующую ей частоту сор и абсциссу R (т; сор).
Оптимальные параметры настройки находят из формул
(10-80)
(1 + m=) ] (т\ (Ор) ’
~k^ mJ {т\ шр) — R (т\ ч)рУ (10-81)
Параметры настройки скоростного сигнала Ад и Гд, обеспечиваю¬
щие заданную степень затухания +' = 0,9, находят из комплексного
уравнения для полной системы:
Й7р(т; гсо) Wou{m\ m)[Wp{m\ ш) + 'Wym-, гм)]=1. (10-82)
Здесь И7д(щ;гсо) и И7ин(щ; гм) — расширенные частотные характе¬
ристики соответственно дифференциатора и инерционного участка.
Ниже изложен графо-аналитический метод решения. Преобразуем
уравнение (10-82):
W+H (гп; /со) I \
(1—/псоГд)+ /со/д’ (iU-»0)
где
^ ^ kpWp (т; /ю) IFon (т; ш) '
Построим в комплексной плоскости годографы векторов Л =
= Wiin{m; го))/АинИ Л с соответствующими отметками частоты (рис. 10-16).
В интервале частот 0<-ш<Мр, где сор —ра_бочая частота- регулятора
в упрощенной системе, годограф вектора А проходит в I квадранте,
причем модуль его вначале монотонно убывает с ростом частоты. При
частоте Юр Л = 0. Строим годограф правой части уравнения (10-83),
который представляет собой окружность диаметром, равным V\-\-rri\
с центром в точке (0,5; 0,5 тг). Практический интерес представляет
только часть окружности, лежащая в нижней полуплоскости, так как
ей соответствуют положительные значения Гд. Прямая, пересекающая
ось абсцисс в точке (1; г 0) под углом y = arctg является касатель-
ной в этой точке как к окружности, так и к годографу вектора А. Для
различных частот (на рис_^ 10-16 такое построение показано для часто¬
ты Ml) из конца вектора А проводят прямую, параллельную вектору В,
до пересечения этой прямой с окружностью в точке С.
304
Согласно (10-83) представляет собой отношение отрезков:
(10-85)
Для определения 7д из точки С опускают перпендикуляр на ось аб¬
сцисс 'И измеряют отрезки CF и OF. Искомое значение постоянной вре¬
мени скоростного сигнала находят в соответствии с уравнением
(10-83) по формуле
CF
Р
д— (l+ratg[
OF
( CF
)“
(10-86)
Отрезок OF считается положительным, если он лежит на положи¬
тельной части оси абсцисс, и наоборот.
По найденным значениям параметров настройки скоростного сиг¬
нала в координатах 1/йд; 1/йд Тд строят линию заданной степени зату¬
хания системы ■ф’='0,9. На
рис. 10-17 представлена одна
из таких линий.
Параметры настройки, оп¬
тимальные при внутреннем воз¬
мущении или эквивалентном
ему, соответствуют точке кри-
y=B.S
. V
/
тн(кд.
Гл*г„вкд)
минкд
i
Рис. 10-16. Графический способ определения
параметров йд и Гд.
О as W J.25
Рис. 10-17. Линия 4' =
= 0,9.
ВОЙ С минимальным значением йд. В том случае, когда соответствую¬
щая точка линии лежит на оси абсцисс или близко от нее, можно реко¬
мендовать выбирать настройки на линии Д’==0,9 исходя из максималь¬
ного, практически осуществимого значения Гд.
Параметры настройки, оптимальные при крайнем случае внешнего
возмущения, которое действует только на температуру пара на выходе
из пароперегревателя и не действует на температуру пара на его йхдде,
находят на линии Ч'’=0,9 в точке при минимальном значении выражения:
7’и
— “Ь ^ЭКВ^Д)
где
Т — _
1 экв — Ь
Тв-
(10-87)
(10-88)
Эта точка лежит на линии Ч'‘ = 0,9 между точками минимума йдГд
и минимума йд.
В общем случае внешнего возмущения (см. выражение (10-20)) оп¬
тимальные параметры настройки лежат на линии 4'" = 0,9 в точке, где
минимально выражение
^д?’д + ?’э
у (\ JL.
в«д -t-
20—1074
(10-89)
305
Как показывают расчеты для ряда систем, наибольшее различие
в оптимальных значениях Ад не превышает 20%, а в Гд—40% по срав¬
нению с параметрами настройки, оптимальными при внутреннем возму¬
щении. Это обстоятельство подтверждает возможность составления об¬
щих рекомендаций по определению параметров настройки Ад и Гд, при¬
емлемых при любом виде внешнего возмущения.
Для большинства встречающихся на практике случаев можно с ищ
вестным приближением упростить построение годографа вектора А.
В области низких частот, при которых определяют параметры настрой¬
ки Ад и 7'д, динамические свойства опережающего участка близки к свой¬
ствам апериодического звена:
Следовательно, можно записать:
зг
Д=1 +
kokn
(— т<о + it»)
1 — тТрпУз + гТрдЮ
1 — тТи<а + гТиСО
(10-91)
при относительно низких частотах
зг
1
Ад^О!
(— mw 4- to) [ 1 -4- (Toa — 7’и) (— /л» + to)].
Как показал анализ полученных ниже оптимальных значений пара¬
метров настройки б/Ад и 7’и для опережающих участков, которые с до¬
статочной точностью могут быть аппроксимированы двумя, тремя или
четырьмя последовательно соединенными одноемкостными звеньями,
приближенно с погрешностью около 20—40% выполняется равенство
(10-92)
306
На этом основании, обозначая Гэкв —
получим:
А~ 1 + ГэквСй(—m + t) +[Гэкв<й(—т + г)р.
(10-93)
Таким образом, вектор А для ряда значений Гэкв® может быть
определен графически как сумма трех векторов: 1; 7'эквСо(—m + i) и
[ГэквСо(—m + i)р. На рис. 10-18 выполнено необходимое построение. Че¬
рез точку Oi (1; I 0) проведена прямая OiC под углом к действительной
оси OOi, равным аргументу вектора Гэквм(—m + i), т. е. для т = 0,367
под углом arctg = 110° 10'.
На прямой находят точки Си Сг, Сз ... с ординатами, равными
TbkbCOi, Гэкв М2, ГдцвСОз.
Таким образом О+ь 0+2, О+з... представляют собой векторы
Гэкв ш(—0,367+ i) при различных значениях м. Затем через точки Ci,
Сз, Сз... проводят окружность с центром в точке Oi и прямую OiD
через гочку 0± под углом к горизонтали 2 arctg =220° 20', рав-
ным аргументу вектора {Гэкв м(—0,367 + i)p. Точки пересечения Du Dz,
D3... соединяют лучами с началом координат 0(0; iO), а из точек Ей
Ez, Ез... пересечения окружностей с осью абсцисс проводят прямые,
параллельные лучам OOi, ODz, OD3..., до пересечения с прямой OiO
в точках Ей Ez, F3... Из точек Си Cz, С3... откладывают отрезки CjAu
CzAz, С3А3..., параллельные OiZ) и равные O+i, OiEz, O1F3. CiAu CzAz,
C3A3... представляют собой векторы [Гэквсо (—0,367 + i)P при значени¬
ях (О. Действительно, из подобия треугольников OOiOi и EiO+i следу¬
ет, 4ToCHi = 0+i = 0+i-OiOi/OiO= (OiCi)2= 1 [Гэкв(-0,367+ i)P|. Иско¬
мые векторы Аи Az и Аз определяются каждый как сумма трех векто¬
ров:
OAi = OOi + OiCi + CHi; (10-94)
0^2= ОО1+ О1С2+ С2А1.
(10-95)
Соединяя точки Ai, Az, A3... плавной кривой, получаем годограф
вектора + с соответствующими отметками произведений Гэкв<о. Отме¬
тим, что благодаря принятым выше допущениям годограф вектора А и
отметки Гэквш на нем постоянны для всех рассматриваемых участков
регулирования. Т^им образом, го¬
дограф вектора А достаточно по-
строить только один раз. ^
д) Методика приближенного
расчета параметров
динамической настройки
по кривым разгона as
Расчет параметров динамиче¬
ской настройки системы по частот-
ным характеристикам объекта до¬
статочно сложен для широкого прак-
тического применения. Часто более
удобен простой, хотя и менее точ- цг
ный способ определения этих пара¬
метров по кривым разгона. С целью
разработки такого метода были вы- °
числены описанным выше способом р^с. Щ-Ш. Зависимости 6Г„/АдАовГон;
по частотным характеристикам па- Гя/Гоп и сорГоп от То+Гоп.
20* 307
ьт
На этом основании, обозначая 7’экв= -т / -■ получим:
А~ 1 + 7’эквСо(—m + i) +[7’экв(о(—т + /)р.
(10-93)
Таким образом, вектор А для ряда значений Гэкв<о может быть
определен графически как сумма трех векторов: 1; 7'эквм(—m + i) и
[Тэквш(—Щ + /)Р. На рис. 10-18 выполнено необходимое построение. Че¬
рез точку Oi (1; I 0) проведена прямая OiC под углом к действительной
оси OOi, равным аргументу вектора 7’эквСо(—m + i), т. е. для тп = 0,367
под углом arctg = 110° 10'.
На прямой находят точки Ci, С2, С3 ... с ординатами, равными
ТэкеЮь Тэкв С02, Тэкв СО3.
Таким образом OiCi, О1С2, О1С3... представляют собой векторы
Тэкв м(—0,367 + /) при различных значениях оз. Затем через точки Си
Cl, Сз... проводят окружность с центром в точке Oi и прямую 0^0
через гочку Oi под углом к горизонтали 2 arctg gg-y- =220° 20', рав¬
ным аргументу вектора {ГэквСо(—0,367 + /)р. Точки пересечения Hi, Н2,
Н3... соединяют лучами с началом координат 0(0'; /0), а из точек Ей
El, Es. . . пересечения окружностей с осью абсцисс проводят прямые,
параллельные лучам 00±, ODi, OD3..., до пересечения с прямой OiH
в точках Hi, El, F3... Из точек Ci, Ci, С3... откладывают отрезки СИь
CiAi, С3А3..., параллельные OiD и равные OiHi, О1Н2, О1Н3. С1Л1, С1А1,
СзАз... представляют собой векторы [Гэквсо (—0,367 + /)р при значени¬
ях со. Действительно, из подобия треугольников OOiDi и EiOiFi следу¬
ет, 4ToCi4i = OiHi = OiHi-OiHi/OiO= (OiCi)2= ][Гэкв(-0,367+ /)?|. Иско¬
мые векторы Аи Ai и Аз определяются каждый как сумма трех векто¬
ров:
0^i = 00i + 0iCi + CHi; (10-94)
OAi = OOi + OiCi + CiAi.
(10-95)
Соединяя точки Л1, Л2, Лз... плавной кривой, получаем годограф
вектора А с соответствующими отметками произведений Гэквоз. Отме¬
тим, что благодаря принятым выше допущениям годограф вектора А и
отметки Гэквоз на нем постоянны для всех рассматриваемых участков
регулирования. Тмим образом, го¬
дограф вектора А достаточно по¬
строить только один раз.
д) Методика приближенного
расчета параметров
динамической настройки
по кривым разгона
Расчет параметров динамиче¬
ской настройки системы по частот¬
ным характеристикам объекта до¬
статочно сложен для широкого Ирак- а,*
тического применения. Часто более
удобен простой, хотя и менее точ- цг
ный способ определения этих пара¬
метров по кривым разгона. С целью
разработки такого метода были вы¬
числены описанным выше способом
по частотным характеристикам па-
20*
Рис. 10-19. Зависимости бГи/Ад*ои7он:
ТжПоп и ОЗрТ'оп ОТ Ton/i'on.
307
раметры динамической настройки для различных систем регулирования.
Диапазон изменения динамических свойств опережающего и инерцион¬
ного участков систем выбирался таким образом, чтобы он охватывал
наиболее распространенные объекты регулирования температуры пара
в котельных установках.
В итоге обобщения полученных частных результатов вначале были
составлены рекомендации для определения параметров настройки б/Ад
и Ги по кривой разгона опережающего участка, а затем рекомендации
для расчета параметров настройки Ад и Гд по кривым разгона главно¬
го и опережающего участков и найденным на первом этапе параметрам
настройки б/Ад и Ги.
Материалами для составления первых рекомендаций послужили
расчеты систем регулирования с опережающими участками, передаточ¬
ная функция которых имеет вид:
{р) = (1 + Тор)А + Т,р) ' (10-96)
где т= 1, 2; при 0^TzJTi^ 1 и т>2 при Tz = Ti.
Для каждого участка по частотным характеристикам аналитичес¬
ким путем найдено максимальное значение мнимой части комплексно¬
го выражения (UpkoulWоп(Щ i сор) при частоте Ир и сответствующая ему
вещественная часть этого выражения. Далее по формулам (10-80) и
(10-81) определены оптимальные параметры настройки б/Ад и Г„.
На рис. 10-19 представлены зависимости бГц/Ад
Аоп гоп| TJT оп и
мр Гоп от безразмерного параметра участка Топ/Гоп-
Полученные кривые аппроксимированы ib диапазоне О^Топ/Гоп^
^0,15 следующими зависимостями:
ST„
-J; (10-97)
(10-98)
^Д^ОП^ОП
„рГоп=-0,5Н-4^, (10-99)
^0-т
а в диапазоне 0,15<То„/Г„„< 1
-^^=1 —(10-100)
i^on^on "^оп
-^=0,2 + ^; (10-101)
сорГо„^1,75-У (10-102)
^оп У
На рис. 10-20 построены зависимости тех же параметров от другого
безразмерного параметра • Кривые аппроксимированы зависимостями
при 0,08 < aaon/oL < 0,25
, = - 0,067 + 1,07 ^: (10-103)
«д«оп-^ ОП
^!оп
45-=0,1+2,5^ (10-104)
а'
1оп
308
раметры динамической настройки для различных систем регулирования.
Диапазон изменения динамических свойств опережающего и инерцион¬
ного участков систем выбирался таким образом, чтобы он охватывал
наиболее распространенные объекты регулирования температуры пара
в котельных установках.
В итоге обобщения полученных частных результатов вначале были
составлены рекомендации для определения параметров настройки б/Ад
и Ги по кривой разгона опережающего участка, а затем рекомендации
для расчета параметров настройки Ад и Гд по кривым разгона главно¬
го и опережающего участков и найденным на первом этапе параметрам
настройки б/Ад и Ги.
Материалами для составления первых рекомендаций послужили
расчеты систем регулирования с опережающими участками, передаточ¬
ная функция которых имеет вид:
(|+г,д++ад'
где т= 1, 2; при О^Гг/А^ 1 и т>2 при Tz = Ti.
Для каждого участка по частотным характеристикам аналитичес¬
ким путем найдено максимальное значение мнимой части комплексно¬
го выражения аркоп1^оп(т; i сор) при частоте сор и сответствующая ему
вещественная часть этого выражения. Далее по формулам (10-80) и
(10-81) определены оптимальные параметры настройки б/Ад и Г„.
На рис. 10-19 представлены зависимости бГи/Ад Аоп Гоп; TJTou и
top Гоп от безразмерного параметра участка Топ/Гоп.
Полученные кривые аппроксимированы ® диапазоне О^Топ/Гоп<
^0,15 следующими зависимостями:
оп у ■' он /
-^=5^; (10-98)
d ОН ^ оп
сорГоц=_0,5 + -^. (10-99)
Хо.
а в диапазоне 0,15 <-Со„/Го„ < 1
ЬТи J _ 0,12
Ад Аоп Дп Хрп
(10-100)
^ОП
^=0,2 + ^; (10-101)
ОрГ„„=1,75 + -^^^. (10-102)
Дп )
На рис. 10-20 построены зависимости тех же параметров от другого
безразмерного параметра aaon/^ion • Кривые аппроксимированы зависимостями
при 0,08 < < 0,25
=- 0,067 4-1,07^; (10-103)
Ад«оп-' оп i2jq„
У-=дО,1 4-2,5^ (10-104)
‘«lot.
308
и при 0,25 <a20n/af„„< 0,5
ST ж
- 0,65 + 3,4
9 >
«Топ
Тв
= 1,18—1,8
аго
«L’
(10-105)
(10-106)
На рис. 10-21 даны зависимости б//гд^оп и TJTaon от безразмерно¬
го параметра участка Топ/Гаоп. Эти кривые аппроксимированы следую-
т.. 9Т.
Рис. 10-20. Зависимости ЬТт^1к^^копТои\
Т'и/Т’оп и (ОрТоп ОТ 02оп/(3^оп *
Рис. 10-21. Зависимости 6/^д^оп и Т'и/7'аоп от
Хоп/Таоп*
щими за-висимостями для 0^Топ/7^аоп<0,1:
-^=0,68^+17,2
Д^ОП ^ аоп \ ^ ООП J
(10-107)
(10-108)
309
Для 0,1
— 0,07
'4,1
^ + 0,4
3 лОП
Дг —0,5 Та оп-
(10-109)
(10-110)
Погрешность аппроксимации во всех рассмотренных случаях не
превышает 25% при использовании формул в оговоренных пределах.
Интересно сопоставить полученные результаты с широко распрост¬
раненными рекомендациями по выбору параметров настройки одноим-
пульсных регуляторов (гл. 9).
На рис. 10-21 нанесены эти зависимости. Они значительно отлича¬
ются от построенных по формулам (10-107) — (10-110): значения б/йд ^оп
на всем диапазоне Хо^Та ОП получзются меньшими, а значения
TnlTaon—меньшими в диапазоне О'^'Топ/Т’а оп'^0,14 и большими для
других значений Хоа/Та оп. Это объясняется различиями передаточных
функций, принятых критериев и степени затухания.
Как уже указывалось выше, на критерий качества влияет произве¬
дение параметров настройки -г- Та. На рис. 10-22 представлены завц-
«д
§ т
симости -т-т— ОТ Топ/Га оп, полученные для рассматриваемых объек-
ЙдКоп ^ ОП
тов тремя различными способами: а —точным расчетом (кривая а);
6—по эмпирическим формулам (10-107)—(10-110) (кривая б); в —по
эмпирическим формулам, приведенным в гл. 9 (кривая в).
При Топ/7'а оп^0,2 расхождение между расчетными значениями
6Ta/k„
коп Топ и определенными по формулам для упрощенных систем
не превышает 20%- Поэтому в целях унификации при Топ/Т’аоп^0,2
могут быть рекомендованы эти формулы и для рассматриваемого слу¬
чая, при Топ/7'а оп^0,2 значения бГц/йд коп Топ,
полученные по форму¬
лам для упрощенных систем.
м
0.S
SS
0,2
зг.
1 '• ■
да'
у
у
/
" '?—
/ ^
/ /у
yv
А
оказываются в 3,5 раза
меньше расчетных. Поэтому
при 0<Ton/7’aons<0,2 следу¬
ет пользоваться формулами
(10-107) —(10-110).
Для составления’ реко¬
мендаций по выбору пара¬
метров настройки скорост¬
ного сигнала методом, опи-
санны'м выше, были выпол¬
нены расчеты для систем с
инерционным участком ви¬
да (10-61) при соотношени¬
ях постоянных времени
Г/Г! = 3 = 20; То/7’ = 0-ь0,05 и
Гэкв/7’=0=!0,5.
На рис. 10-23—10-28 нанесены расчетные точки Ад/йин и Гд/ащн
в зависимости от агин/й^^ин, соответствующие оптимальным параметрам
настройки при внутреннем возмущении, крайнем случае внешнего воз¬
мущения и средним между ними (по Тд) на линии Д'=0,9.
На рис. 10-29—10-34 представлены зависимости тех же параметров
от Тип/Таин. По графикам рис. 10-23—10-34 подобраны эмпирические
формулы. Для расчета по параметрам «гин/а^шн и Тэкв/ашн можно
310
0,1
0,2
аз
03
ое
Рис. 10-22. Зависимости bTJk^konTon от
Топ/Гаоп при ра.зличных способах расчета.
Для 0,1 <+Д7’оод<0,64
■ 0,07
= 4,1
+ 0.4
Ги — 0,5 Та ОП-
(10-109)
(10-110)
Погрешность аппроксимации во всех рассмотренных случаях не
превышает 25% при использовании формул в оговоренных пределах.
Интересно сопоставить полученные результаты с широко распрост¬
раненными рекомендациями по выбору параметров настройки одноим-
пульсных регуляторов (гл. 9).
На рис. 10-21 нанесены эти зависимости. Они значительно отлича¬
ются от построенных по формулам (10-107) — (10-110): значения б/АдАоп
на всем диапазоне Тоц/Гаоп получаются меньшими, а значения
Гц/Га ОП—меньшими в диапазоне О^Доп/Га оп^0,14 и большими для
других значений Тоц/Га оп. Это объясняется различиями передаточных
функций, принятых критериев и степени затухания.
Как уже указывалось выше, на критерий качества влияет произве¬
дение параметров настройки -г- Тд. На рис. 10-22 представлены завц-
йд
симости , , ■ -У- от Топ/Га оп, получснные для рассматриваемых объек-
г2д/2оп » ОП
тов тремя различными способами: а — точным расчетом (кривая а);
б—1П0 эмпирическим формулам (10-107)—(10-110) (кривая б); в—по
эмпирическим формулам, приведенным в гл. 9 (кривая в).
При Топ/Га оп^О,2 расхождение ■ между расчетными значениями
бТш1кя Аоп Топ 'И определенными по формулам для упрощенных систем
не превышает 20%. Поэтому в целях унификации при Топ/Гаоп^0,2
могут быть рекомендованы эти формулы и для рассматриваемого слу¬
чая, при Топ/Га оп^О,2 значения бГц/Ад Аоп Гоп, полученные по форму¬
лам для упрощенных систем,
оказываются в 3,5 раза
меньше расчетных. Поэтому
при О^Топ/Га оп^0,2 следу¬
ет (пользоваться формулами
(10-107) —(10-110).
Для составления- реко¬
мендаций -по выбору пара¬
метров настройки скорост¬
ного сигнала методом, -опи¬
санным выше, были выпол¬
нены расчеты для систем с
инерционным участком ви¬
да (10-61) при соотношени¬
ях постоянных времени
ТITi = 34-20; То/Г = 0 = 0,05 и
Гэкв/Г=0=Ю,5.
о,г
кдп Тд дп
/
у'
/
/ У
/
/
^у
/
J-
^0»
Гаоп
0,1
OR
as
Ц4
as
as
Рис. 10-22. Зависимости бГн/Ад^опГоп от
ТопДаоп при различных способах расчета.
На рис. 10-23—10-28 нанесены расчетные точки Ад/Аин и Гд/ащн
в зависимости от азин/и^ин, соответствующие оптимальным параметрам
настройки при внутреннем возмущении, крайнем случае внешнего воз¬
мущения и средним между ними (по Гд) на линии 9A = 0,9.
На рис. 10-29—10-34 представлены зависимости тех же параметров
от Тии/Гаин. По графикам рис. 10-23—10-34 подобраны эмпирические
формулы. Для расчета по параметрам азин/а^ин и Гэкв/«1ин можно
310
Р.ИС. 10-23. Зависимсюти Лд-/^ин от аг hh/^^jhh
внутреннем возмущении.
Рис. 10-24. Зависимости Гд/^! ин от ^2 инМГин
при внутреннем возмущении.
Рис. 10-25. Зависимости
ин от
а2ин/й1ин при крайнем случае внеш¬
него возмущения.
311
Рис. 10-26. Зависимости T^l^i иа от аг ИН /а,„н при
крайнем случае внешнего возмущения.
/л
^эк8 _
^TMff
... ^
1
/у
’92.^
/
>
<у
^awB У
~Т !
/ ^
1
Тзив^С
"^ = 0,13
7 ИН
1
С
Чг.чп
!.0
0,5
О V о,г аз o,i
Рис. 10-27. Зависимости средних значений от
«2 Ин/й^„4 •
Рис. 10-28. Зависимости средних значений
Гд/О; ИН ОТ 02 ин/й1да.
312
Рис. 10-29. Зависимости от Тин/Ра ин при
внутреннем возмущенрш.
О V аг 03 е* as os о?
Рис. 10-30. Зависимости Гд/Га ин от
Тин/Т'аин при внутреннем возмущении.
Рис. 10-31. Зависимости ^д/Аин от т:шж1Та ин
при крайнем случае внешнего возмущения.
313
Рис. 10-32. Зависимости Гд/Го ин от
Хаи1Та ин при крайнсм случас внешнего воз¬
мущения.
Рис. 10-33. Зависимости средних значений
ОТ Тин/^^аин.
Рис. 10-34. Зависимости средних значений
^дА^аин ОТ Тин/Раин.
314
использовать следующие формулы;
при внутреннем возмущении
^ин
7’д Ящн
?.3 —7Д
1,3 +
( й^гин
1+2,2-
0,6+ [5,2 —8,7
\
■ 0,406
-‘iHH
0,5 —,
\ ^1ин у
при крайнем случае внешнего возмущения
10.5-13
^ия
Гд
1,3 +
1 + 1.7-
Г»
^_0,36 \
«?ИН i
0,5+ 1^2,6 —3,9 ^
0,39
-^1ин
при определении средних параметров настройки
(10-111)
(10-112)
(10-113)
(10-114)
7,9 —7,6—^
+ = 1,37 Ц 0,41 ^
1 + 1,4
I
Й1ИН '
1ин
7’д — а,5
0,4+ ^3,6 —4,70,49
V • yv
1ин
Для расчета настройки по параметрам Тин/Т’аин и Т’экв/Т’аин
но встречающемся диапазоне изменения параметров систем
рОВанИЯ, а именно 0,1<Тин/7'аин< 0,6 и 0< 7’экв/Т’а ин< 0,3,
использовать следующие формулы:
(10-115)
(10-116)
в обыч-
регули-
можно
К = 0,2 + 2,7 ^+2,5 А - 2 ; (ЮЛ17)
[ •< аИН \ ^ аИн / ^ аИН J
т — т
д — ■* айн
0,18-
0,6+2
т.
0,61
^ г
(10-118)
е) Область применения методики и ограничения на расчетные
параметры настройки
Предложенная методика расчета настройки систем регулирования
с опережающим скоростным сигналом не является универсальной для
всех систем подобной структуры. Она предполагает, что инерционные
свойства опережающего и главного участков существенно различны. На
этом основании параметры настройки регулятора определяются по ди¬
намическим свойствам упрощенной системы, в которую помимо регуля¬
тора с коэффициентом усиления +/б входит только опережающий уча¬
сток.
315
Для выяснения области применения рекомендуемой методики были
сделаны расчеты ряда систем, в том числе и со сравнительно неболь¬
шим различием в инерционных свойствах опережающего и главного
участков. Для этих же систем при расчетных значениях Ад и Гд были
определены точные оптимальные значения б/Ад и применительно
к полной, а не к упрощенной системе регулирования,-
На рис. 10-35 представлены для одной из рассчитанных систем
в координатах АдАоп/6; Г/Гэкв линии равной степени затухания Ч''=0,9,
полученные для упрощенной (пунктиром) и полной систем (сплошными
линиями).
Расчетные параметры настройки для упрощенной системы соответ¬
ствуют на линии заданной степени затухания точке АдАоп/б=1 с ма¬
ксимальным значением Т/Тжв (минимальное значение-^Ги). Через
Кд
эту же точку проходит и кривая низкочастотного участка линии задан¬
ной степени затухания для полной системьц
так как параметры Ад и Гд определены при
условии, что степень затухания переходных
процессов в полной системе при ранее вы¬
бранных б/Ад и 7и составляет Ч^=0,9.
Линия W=0,9 для полной системы во
всех рассмотренных случаях лежит выше
линии Д"—0,9 упрощенной системы -и огра¬
ничена слева низкочастотной ветвью.
Точка, соответствующая оптимальной
настройке полной системы, расположена на
вершине высокочастотной ветви линии
гр=о,9 л лежит выше точки, соответствую¬
щей параметрам настройки, выбранным по
методике для упрощенной системы. Значе¬
ние б/Ад для упрощенной системы мало
отличается от значения бпол/Ад для полной системы. Ошибка во всех
рассмотренных случаях не превышает 17%. Значение Ги для упрощен¬
ной системы всюду больше, чем 7’и.пол для полной системы.
7и 7и,поп 7гл/7’оп^4 не превышает 20%„
Рис. 10-35. Линии Ч''=0,9 для
упрощенной (пуктиром) и пол¬
ной САР.
Величина ошибки
7’и.пол
а при 7'гл/7’оп<4 резко возрастает.
Значение вре.мени интегрирования, полученное по рассмотренной
методике, можно скорректировать по формуле *
Т' 'Г д
"■кор —■'и Уд+Ги
(10-119)
Область применения методики в этом случае расширяется по край¬
ней мере до 7’гл/7’оп>3.
Ограничением для приведенных расчетных, параметров настройки
является то, что реальные регуляторы иногда работают в режимах, от¬
личных от ПИ-закона, который был положен в основу расчета. Так, для
серийно выпускае.мых электронных регуляторов релейного типа ПИ-за-
кон приближенно выполняется в «пульсирующем» режиме. Помимо
«пульсирующего» возможны и другие режимы работы регулятора, в ко¬
торых его динамические характеристики резко отличаются от идеально¬
го ПИ-регулятора.
* Р у б а ш к и н А. С. Методы определения параметров настройки регулятороа
питания и топлива прямоточных котлов. БТИ ОРГРЭС. М., «Энергия», 1966.
316
ж) Примеры расчета систем регулирования температуры
с опережающим «скоростным» сигналом
Расчет по частотным характеристикам. На рис. 10-36 и 10-37 представлены экспе¬
риментальные частотные характеристики опережающего и инерционного участков систе¬
мы регулирования температуры перегретого пара пылеугольного прямоточного котла
типа ТП 51-СП 230/100. Здесь же нанесены найденные по нормальным характеристи-
Ркс. 10-36. Нормальные и
расширенные частотные ха¬
рактеристики опережающего
участка.
Рис. 10-37. Нормальные и
расширенные частотные ха¬
рактеристики инерционного
участка.
кам расширенные частотные характеристики. На рис. 10-38 изображена обратная рас¬
ширенная частотная характеристика опережающего участка, умноженная на частоту,
и коэффициент усиления коп, сойоп/®'оп(ш; ш). Минимум ее мнимой части
Wo„(m;iw)
0.Я5
-1,5 -1,0
Рис. 10-38. Годограф (nkonlWon{m, ш).
-0£
- кд„ /г(т;а>р)= -0.77 -
konJ(m-, Шр)=0,4 соответствует частоте сор=0,23 1/сел: и вещественной части
konR{^\ ьгр) “—0,77.
По формулам (10-80) и (10-81) определяются оптимальные параметры настройки:
(Ор
коцкп niko^I (/72, Ь7р) кдпР (/72, 0)р)
дТп 1
0.23
0,367-0,4 + 0,77
= ■
(1 + 772^) (//г; сор) 1,1345-0,4
= 2,2 сек.
Отсюда Г„=2,2/0,25 «9 сек.
На рис. 10-39 показано графическое определение параметров настройки скоростно¬
го сигнала, соответствующих степени затухания Ч''=0,9 переходных процессов в си¬
стеме.
317
ooffs
0,015
' - iJ (ш)
Рис. 10-39. Графическое определение параметров настройки скоростного сигнала.
Годографы точного и приближенного выражений вектора А практически совпадают.
На рис. 10-40 построена линия ¥=0,9. Настройки с минимальным значением йд/йин
соответствуют очень высоким значениям Гд, поэтому выбрано Гд = 200 сек (точка 2 на
кривой ¥=0,9 йд/Аин=0,215). Оптимальные параметры настройки при крайнем случае
внешнего возмущения соответствуют точке 1 (Гд=46,8 сек-, йд/Аин=0,351). Параметры
настройки, средние между ними по Гд, находятся о точке 3 (Гд=123,4 се/с; йд/^ин =
= 0,233).
Расчет по кривым разгона. На рис. 10-41 представлены усредненные эксперимен¬
тальные кривые разгона опережающего и главного участков при возмущении впрыском
Рис. 10-40. Линия заданной степени за¬
тухания ¥=0,9.
318
Тат^Щсек
Ж
кг/ст
м1
и
4i 1
г
>
)
t
1
4:
&
н
L
,-6се>
X
го W 60 90 100 120 ш
сен
Рис. 10-41. К примеру расчета на¬
стройки по кривым разгона.
на экспериментальном прямоточном котле сверхкритических параметров nponsBOAHTevTb-
ностью 3,6 кг/сек.
Произведен расчет системы по динамическим параметрам объекта. Для этого из
кривой разгона опережающего участка получены следующие значения динамических
параметров:
мв
Топ = 6 СеК\ 7'аоп='19,2 С6К\ Топ/^'ооп—0,312; 7'оп“'20,6 ^оп— 16,1 *
По кривой разгона главного участка и величине постоянной времени опережаю¬
щего участка Топ построена кривая разгона инерционного участка и определены зна¬
чения динамических параметров этого участка:
Тнн = 40 сек\ 7'аин = П1 свк'у Тин/7'аин=0)36; ^ин=22,3/15,1 ~ 1)47.
По формулам (10-109) и (10-110) найдены параметры настройки:
-0,07
-="4,1
- + 0,4
^ ,0,312-0,07_
0,312 + 0,4
ООП
Ги = 0,5Г„оп = 0,5-19,2 = 9,6 сек;
Г
^ экв — h и
1,38-9,6= 13,2 сек;
13,2
кцкопТ.
111
= 0,119.
Параметры настройки скооостного сигнала находятся по формулам (10-117) и
(10-118):
*д =
0,2 + 2,7^^+2,5 (1 — 2 :
^оин \ ^оин J
k-an —
' аИН у ^ аИн J ^аИн
= [0,2 + 2,7-0,119 + 2,5(1 — 2-0,119)-0,36] -1,47 = 1,77;
0,18-
0,6 + 2-
0,61-
= 111
0,18 — 0,119
^0,61 +0,119 (0"8 —0.36)
Параметры настройки регулирующего прибора:
= 75 сек.
т
и 7и = 9,6 сек.
На рис. 10-42 и 10-43 показано определение других исходных динамических па¬
раметров кривой разгона опережающего и главного участков для прямоточного котла.
Патучены следующие значения параметров для главного участка:
а1гл = 124,5 сек; аггл = 6 283 сек"^.
Х1Я опережающего участка:
а,оп=20,5 сек; Ягоп = 83 сек^; Й2оп/вщ* = 0,197.
По формулам (10-103) и (10-104) найдены параметры настройки:
-0,067 + 1,07-'*'“"
\
Т
— и Ь
^1оп
= (-0,067 + 1,07-0,197)-20,5 =;2.95 сек;
Ги = [ 0.1 +2,5-^
\
1оп
д,о„ = (0,1 + 2,5-0,197) 20,5= 12 сек.
/
Параметры инерционного участка найдены по формулам:
aiHB = Oirn—а1ин= 124,5—20,5= 104 сек;
319
мв s
2fi
1.5
1.0
0.5
О
р
0
Oton= .—-— ~2g^Cfi^
/ ^^вп.^ст
1 1 1 1 1 1 1
мв
30
25
2.0
t.
' ' 10
20 30 *0 50 60 70 80 50
100 сея
\ 05
п
ai^=85ce>i!
Рис. 10-42. Определение Oi on и at on
no кривой разгона опережающего
участка.
50 120 ISO т 210 2*0 270 JOO сея
“ггл 5)At
аг^^ОгеОсея*
Я/и о,„
■7*,1сея
Рис. 10-43. Определение Oirn и а%^ж
по кривой разгона главного участка.
02ин = 02гл—Огоп—Яюп(01гл—Oiou) =6 283—83—20,5(124,5—20,5) —4 070 сек^
^= 0.376.
^1ин
1. Параметры настройки, оптимальные для внутреннего вовмущения, рассчитаны
по формулам (10-111) и (10-112):
— ^ин
3,3 — 7,;
1,3 +
= 1,43
1 + 2,2
3,3 — 7,
вшн
2,95
1,3 +
+ 2,2
‘ 104
y-gg-(0,376 — 0,406)
Ж*
= 1,54;
7'д — йц.
0,6+Г5,2-8,7^^ fo.5-^
= 104
Г 2,95\
0,6+^5,2-8,7 (0,5 - 0,376)
=126 сск.
Степень связи регулятора
ЗГи ^оп^д
^оп^д
15,1-1,54 мв
= 2,95-—J2 ""5,72
KijceK
320
Оптимальным при внутреннем возмущении является переходный процесс для на¬
стройки 1 и худшим — процесс для настройки 2; оптимальным при внешнем возмуще¬
нии— переходный процесс для настройки 2, а худшим — процесс для настройки 1.
Переходные процессы, отвечающие настройке 3, можно считать приемлемыми как при
внешнем, так и при внутреннем возмущениях.
10-2. РАСЧЕТ НАСТРОЙКИ ДВУХКОНТУРНЫХ СИСТЕМ
РЕГУЛИРОВАНИЯ С КОРРЕКТИРУЮЩИМ И СТАБИЛИЗИРУЮЩИМ
РЕГУЛЯТОРАМИ ‘
Распространенной системой регулирования объектов с одной регу¬
лируемой величиной является система с дополнительной стабилизаци¬
ей промежуточной величины специальным регулятором.
Структурная схема подобной системы регулирования может быть
приведена к виду, показанному на рис. 10-45. Здесь регулирование осу-
Рис. 10-45. Структурная схема двухконтурной системы регулирова¬
ния с корректирующим и стабилизирующим регуляторами.
Регулятор
давления
L
да
Топливо
\
ществляется не одним, а двумя регуляторами Р1 и Р2, причем регуля¬
тор Р2, контролирующий основную регулируемую величину х, при ее
отклонении от заданного значения воздействует не на регулирующий
орган, а на задатчик вспомогательного регулятора Р1. Этот регулятор
поддерживает на заданном значении некоторую вспомогательную регу¬
лируемую величину XI в промежу¬
точной точке регулируемого объекта.
При этом может оказаться, что кон¬
троль этой вспомогательной регули¬
руемой величины является вовсе не
обязательным для того, чтобы вести
надлежащим образом режим ра¬
боты объекта. Однако введением
в схему системы регулирования та¬
кого дополнительного воздействия,
как правило, удается получить зна¬
чительное улучщение качества регу¬
лирования. В частности, эти схемы
оказываются весьма эффективными,
когда на регулируемый объект могут
действовать сильные возмущения,
идущие со стороны регулирующего
органа, а промежуточная регулируе¬
мая величина «откликается» на эти
возмущения (а также и на регу¬
лирующее воздействие) со значи¬
тельно меньщей инерционностью, чем
/ а)
Регу
давления
£
Регулятор
тепловыделения
1
Ж
\
Топливо ^
Рис. 10-46. Принципиальная схема си¬
стемы регулирования давления пара за
котлом.
а — одноконтурная; б — двухконтурная.
322
' Написан В. Я. Ротачем.
основная регулируемая величина. Так, например, по такому принципу
целесообразно организовать схему регулирования давления пара, выра¬
батываемого паровым котлом, если в его топку вводится топливо, ка¬
чество которого может резко меняться в процессе эксплуатации, или
если из-за несовершенства топливоподводящих устройств возможны са¬
мопроизвольные изменения его подвода. В этих условиях вместо обыч¬
ной одноконтурной схемы регулирования (рис. 10-46,а) целесообразно
применить двухконтурную с добавочным стабилизирующим регулято¬
ром, который поддерживает на некотором заданном значении тепловы¬
деление в топке котла, как это паказано на рис. 10-46,6 (вопрос о спо¬
собах измерения тепловыделения здесь, естественно, не рассматривает¬
ся). Заданное значение тепловыделения определяется в каждый момент
времени основным регулятором давления пара. В такой схеме после
возникновения возмущения, идущего со стороны подачи топлива, не¬
медленно (практически с очень малым запаздыванием) происходит от¬
клонение тепловыделения в топке, которое быстро возвращается к за¬
данному значению регулятором тепловыделения. Так как инерцион¬
ность регулируемого участка для регулятора сказывается незначитель¬
но, то быстродействие этого контура регулирования может быть сделано
относительно очень большим. В результате достигается хорошая ста¬
билизация топочного процесса, и возмущения, идущие со стороны пода¬
чи топлива, практически успевают очень мало повлиять на основную
регулируемую величину — давление пара. Кроме того, при возникнове¬
нии других возмущений, идущих по различным каналам в объект, регу¬
лятор соответствующим образом меняет тепловыделение в топке, воз¬
вращая давление пара к заданному значению. По этой причине этот
регулятор часто называют корректирующим регулятором, а регулятор,
на который он воздействует, — стабилизирующим.
Рассмотренная схема с двумя регуляторами является наиболее
простым случаем так называемых каскадных схем регулирования.
В общем случае определение оптимальной настройки каскадных
схем регулирования оказывается значительно более сложной задачей,
чем определение настройки одноконтурной схемы. Даже в простейшем
случае — в двухконтурной схеме типа, приведенного на рис. 10-45,—
при использовании в ней обычных регуляторов с ПИ-законом регули¬
рования определению подлежат четыре параметра настройки. Достаточ¬
но надежное решение этой задачи (за исключением некоторых простей¬
ших случаев) возможно только при использовании моделирующих или
вычислительных устройств, и область приближенных параметров на¬
стройки, в которой следует отыскивать их точные значения, находится
предварительным приближенным расчетом. Обычно методика таких
приближенных расчетов базируется на предположении о возможности
расчета какого-либо одного контура независимо от других. После опре¬
деления настройки регулятора этого контура переходят к определению
настройки следующего регулятора, в контур которого входит регулятор
с уже определенной настройкой. Полученных данных обычно оказыва¬
ется достаточно для того, чтобы начать поиск оптимальных настроек
на моделирующей установке прямым методом.
Имеется, однако, несколько случаев, когда указанный метод расчета
двухконтурных схем путем выделения одного контура и расчета его на¬
стройки независимо от другого регулятора оказывается практически
вполне оправданным и полученная таким путем настройка системы бу¬
дет достаточно близкой к оптимальной. Отметим два таких случая, кото¬
рые встречаются наиболее часто.
1. В процессе регулирования возможно на некоторое время отклю¬
чение корректирующего регулятора, когда в работе остается только
стабилизирующий регулятор. Так, например, при наличии нескольких
паровых котлов, работающих на общую магистраль, корректирующий
21’ 323
регулятор обычно поддерживает давление в ней путем параллельного
воздействия на задатчики индивидуальных стабилизирующих регулято¬
ров тепловыделения в топках всех котлов. В некоторых случаях по ре¬
жимным условиям оказывается целесообразным отдельные котлы пере¬
вести на базовый режим. Это достигается путем ликвидации корректиру¬
ющего воздействия на задатчики регуляторов тепловыделения соответ¬
ствующих котлов, и они начинают работать самостоятельно. В этих
условиях настройку каждого регулятора тепловыделения можно про¬
изводить независимо от других регуляторов. Настройка корректирую¬
щего регулятора после этого производится также сравнительно просто,
так как настройка остальных регуляторов уже определена.
2. Инерционность контура стабилизирующего регулятора оказывает¬
ся значительно меньшей, чем инерционность контура корректирующего
регулятора. В этом случае переходные процессы в стабилизирующем
контуре успевают практически полностью затухнуть до того, как они
возникнут во втором контуре. Поэтому и в этом случае имеется воз¬
можность произвести вначале выбор настройки одного регулятора не¬
зависимо от другого. Если вспомнить, что двухконтурные схемы рас¬
сматриваемого вида чаще всего применяются тогда, когда контур ста¬
билизирующего регулятора имеет относительно очень малую инерцион¬
ность, то станет ясным важность этого случая для практики.
Рассмотрим методику определения настройки системы для указан¬
ных двух случаев подробнее.
Случай 1.
Расчет можно производить в следующем порядке:
1. По амплитудно-фазовой характеристике регулируемого объекта
11^061 (гм), которая связывает промежуточную регулируемую величину
Xi с регулирующим воздействием Хр (см. рис. 10-45), находят обычным
порядком оптимальную настройку стабилизирующего регулятора в пред¬
положении, что корректирующий регулятор выключен.
2. Определяют о)птимальную настройку корректирующего регуля¬
тора. При этом следует учитывать, что для корректирующего регулято¬
ра регулируемым объектом является система, которая включает в себя
стабилизирующий регулятор. Поэтому, прежде чем приступить к опре¬
делению настройки корректирующего регулятора, необходимо постро¬
ить амплитудно-фазовую характеристику эквивалентного регулируе¬
мого объекта Wo6.a2 (гм) регулятора. Передаточная функция эквива¬
лентного объекта находится из системы уравнений (см. рис. 10-45)
х{р)-=Коб{р)хр{р); /.x
Xp{p)=Kpi{p)[xyi{p)—Xi{p)]-, ' ,Т
Xiip)==Ko6l{p)Xp(p)
исключением из нее Хр(р) и Xi{p):
к (гЛ {р) /Ср. (р)
Аоб.эЛ/г; \+К^АрЖрЛрУ
Если передаточную функцию регулятора PI представить в виде
K^i(p) =kpik'pi(p) (где V — коэффициент усиления этого регулятора),
то последняя формула может быть переписана в следующем виде:
К^(р)К'рАр)
Аоб.эг \Р) — f “■
~ь + Кот (Р) TC'pi (/')
«Р1
Из этой формулы следует, что для построения амплитудно-фазо¬
вой характеристики эквивалентного регулируемого объекта для регуля-
324
После определения оптимальной величины ApiAp2 находится опти¬
мальное значение коэффициента усиления k^i по известной величине
Ар2*-
Пример. Для уменьшения влияния нестабильности напряжения в электросети на
режим работы электропечи схема регулирования температуры выполнена с добавочным
воздействием от изменения тока, стабилизацию которого осуществляет дополнительный
регулятор Р1 (рис. 10-48,а). Перемещение движка автотрансформатора АТ из одного
крайнего положения ;в другое меняет величину тока в нагревателе на 10 а. Измерение
тока осущесгаляется трансформатором тока ГГ с последующим 'преобразованием в пре¬
образователе Пр, передаточная функция которого может быть принята в виде
^
где Гпр=0,04 мин-, Тпр=0,01 мин-, йпр=|100 а-У
Таким образом, передаточная функция регулируемого объекта, включенного в кон-
тур регулятора Р1, имеет вид;
100
(А)= 0.04Р+
Частотные характеристики регулируемого объекта были получены эксперимен¬
тально и приведены на рис. 10-48,6, в.
* При 'большом различии 'в инерционности основного и вопомогательного каналов
передачи воздействий в регулируемом объекте расчет настроек стабилизирующего и кор¬
ректирующего регуляторов может производиться также способом, применимым выше
для первого случая (т. е. вначале определяется настройки стабилизирующего, а затем
корректирующего регуляторов).
ие-'
в
В
4
г
Ар
Ар. oat
п
4
^ 1
/
i
/
РIf. опт
То
о 0,4 0,8 1,2 1,8 2,0 мин
б)
22*
Рис. 10-49. К примеру расчета.
327
Определим оптимальную настройку регулятора PI и Р2.
1. Построение эквивалентной характеристики регулируемого объекта для регуля¬
тора Р2. Значения частотных характеристик Лоб(со), 1фоб(со), Лобг(й)) и фоб1{ш), а так¬
же Лоб.э2=41цо(ш)//1об1(й)) и фоб.э2фоб(ш)—фоб1(со) приведены ниже.
/>05 (ш), мв
град
-Ч‘об.("Ь
град
’^06.32
град
(ш)
О
0,5
0,75
1.0
1,5
2,0
3.0
4.0
84
29
21
16
11
8,0
4,5
3,0
100
100
100
100
100
100
99,2
98,8
0,84
0,29
0,21
0,16
0,11
0,08
0,045
0,030
О
69
90
105
125
140
160
172
О
1,4
2,1
2,8
4,3
5.6
8.6
11,4
О
67,6
87,9
102.2
120,7
134.4
151.4
160,6
На рис. 10-49,а по этим данным построена амплитудно-фазовая характеристика
«;'о6.э2(<С0)=^0б.э2{ы)й''““"^''”’.
2. Построение амплитудно-фазовых характеристик, необходимых для определения
оптимальной настройки регулятора Р2, показана на рис. 10-49,а. В результате расчетов
находится область допустимого запаса устойчивости (рис. 10-49,6). Оптимальная на¬
стройка регулятора Р2\ Гц2:=1,5 мин ц fepo=7.8
3. Построение характ£рн«тЩки"№ъекта для регулятора Р1. На рис. 10-49,в построе-
100й-»,»’р
ны характеристики W'o6i(iw)=|
и Wo6(iu>) U7p2(ico). Последняя найдена по
ГО
8
7
А
0,04р+ 1
характеристике Wo6{i(i>) геометрическим умножением ее на характеристику регулятора
... при найденной его оптимальной настройке. Гео¬
метрическое суммирование характеристик по пра¬
вилу параллелограмма дает характеристику
lT'o6.3i(iw). Как видно из ее графика, в суще¬
ственном для системы диапазоне частот вблизи ее
пересечения с отрицательной вещественной полу¬
осью влияние слагаемого Wo6(i<s>)Wft(i(!>) в фор¬
муле для 1Гоб.э1(гсо) пренебрежимо мало, т. е.
в указанном диапазоне частот характеристика
объекта для регулятора Р1 совпадает с характе¬
ристикой инерционного звена первого порядка
с запаздыванием при Аоб.э1=400; 7’об.э1 = 0,04 лин;
Тоб.31=0,01 мин. Поэтому оптимальная настрой¬
ка этого регулятора может быть найдена по гра¬
фикам, приведенным на рис. 10-50. Так как отно¬
шение постоянной вре.мени объекта ко времени
запаздывания в рассматриваемом случае
7'об/Тоб = 4, то найденные из графика величины
йоб, kp и Ти/Тоб равны соответственно 2,15 и 2,1,
и, следовательно, оптимальные значения параме¬
тров настройки регулятора равны;
2,15
ъ
- 5
- J
- 2
- 1
V
ж
7
1м.
О
в 12 1S 20
Рис. 10-50. Графики для определе¬
ния оптимальной настройки ПИ-
регулятора для объекта с самовы-
равниванием.
(^р)оиг — ■
100
■=0,0215;
(Phi) опт = 2,1-0,01=0,021 мин.
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
ПОСТРОЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В СИСТЕМЕ
РЕГУЛИРОВАНИЯ
11-1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В ряде случаев после определения значений настроечных параметров
автоматического регулятора желательно получить непосредственно кар¬
тину переходного процесса. Обычно представляет интерес характер про¬
цесса, который происходит при возмущающем воздействии в форме скач¬
ка. При таком возмущении переходный процесс имеет менее благопри-
328
ятную форму, чем при медленно изменяющемся возмущении. Поэтому
мы в дальнейшем будем рассматривать только такие случаи.
Возмущающее воздействие в замкнутой системе регулирования,
приводящее -к отклонению регулируемой величины, может возникать
в различных местах объекта или, как говорят, поступать по различным
каналам. Так, например, изменение температуры пара на выходе из па¬
рового котла может происходить вследствие изменений топочного режи¬
ма (т. е. изменения температуры га¬
зов, омывающих парсиперегреватель);
расхода или температуры охлаждаю¬
щей воды, поступающей в пароохлади- Ко
тель (т. е. со стороны регулирующего
органа); нагрузки котельного агре¬
гата.
На характер изменения регулируе¬
мой величины влияют величина и фор¬
ма возмущающего воздействия и ди¬
намические свойства регулируемого
объекта по каналу, идущему от источ¬
ника возмущения до места установки
измерительного органа регулятора.
Рассмотрим систему регулирования, схематически представленную
на рис. 11-1, на которую могут действовать возмущение Яо, поступающее
со стороны регулирующего органа ’, внешнее возмущение Яв и регули¬
рующее воздействие р от регулятора. Здесь приняты следующие обозна
чения:
К{р)о.ъ = а1%ъ—передаточная функция объекта по каналу, идущему
к измерительному органу регулятора от источника внещ-
него воз.мущения;
Рис. iI-1. к пояснению источников
возмущения в системе регулирования.
К{р)о=
— передаточная функция объекта по каналу, идущему
к измерительному органу со стороны регулирующего
органа;
/С(р)р = р/о—-передаточная функция регулятора по каналу, идуще¬
му от измерительного органа регулятора к его регули¬
рующему органу.
Тогда отклонение регулируемой величины о при одновременном воз¬
действии всех возмущений может быть выражено в следующем виде:
Так как
то
или
а — К{р) о.вЯв-Т/С(р)о(Яо-1-р).
р = К(р)ра,
0 = К(р)о.в1ъ + К{р)ок, + К{р)оК{р)рО
к (д)о.в -Я -f- ^
1 - к (Р)о к (Ph ^ (р)о к (Ph “■
в общем случае источников внещних возмущений может быть не¬
сколько, и тогда последнее уравнение будет иметь соответствующее
число слагаемых в правой части.
Если же нас интересует поведение регулируемой величины в резуль¬
тате действия лищь одного возмущения, например основного, то тогда
выражение для о примет вид:
, _ К iP)o
l~K(p)oK(p)v “•
^Часто это возмущение называют основным.
329
Соответственно амплитудно-фазовая характеристика замкнутой си¬
стемы регулирования может быть записана так:
\Г(/со)з.е
1 — U7 (!(о)оИ7(ш)р
Существуют различные способы построения кривых переходного
процесса в системах автоматического регулирования. Ниже приводятся
три из них.
11-2. МЕТОД ТРАПЕЦЕИДАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Для применения этого метода необходимо располагать таблицами
специальных, так называемых /г-функций, которые в сокращенном виде
приведены в приложении
Изложим коротко сущность метода и порядок построения переход¬
ного процесса с помощью ча¬
стотных характеристик.
При иопользован'ии мето¬
да надо знать амплитудно-фа¬
зовую характеристику замкну¬
той системы автоматического
регулирования, аналитическое
выражение которой имеет сле¬
дующий вид для возмущения
со стороны регулирующего ор¬
гана:
1^7 л-(цЧ ^
Структурная схема замк¬
нутой системы изображена на
рис. 11-1. Амплитудно-фазовая
характеристика в алгербаиче-
окой форме может быть запи¬
сана так:
1Г(1со)з.с=-/?(со)+'l7((0) *.
Пусть вещественная ча¬
стотная характеристика замк¬
нутой системы регулирования
представлена в виде графика
на рис. 11-2,а.
RW]
—j/ 1^
\ ''4 -Rj
Рис. 11-2. Замена вещественной частотной
характеристики отрезками прямых линий.
' Теоретические основы метода и полные таблицы изложены в справочном посо¬
бии В. В. Солодовникова, Ю. И. Топчеева, Г. В. Крутиковой. «Частотный метод построе¬
ния переходных процессов с приложением таблиц и «омограмм». М., Гостехиздат,
1955.
* Можно показать, что искомая функция переходного процесса о(<) связана с ве¬
щественной частью амплитудно-фазовой характеристики замкнутой системы следующим
соотношением:
00
2
® (О = ТГ' R ((о) cos (x)t d(o.
Наиболее широкое распространение получил метод трапеций при вычислении дан¬
ного интегрального соотношения.
330
Заменяют кривую Р{а) мало отличающейся ломаной и через точки
сопряжения прямых проводят линии, параллельные оси абсцисс. Таким
образом, кривую Я{а>) заменяют суммой трапеций, число которых в дан¬
ном случае равно четырем (рис. 11-2,6).
Любая трапеция вполне определяется значением начальной ордина¬
ты Го (рис. 11-3), коэффициентом наклона х—ао/т и интервалом частот
0)1. Для расчета с помощью таблиц В. В. Солодовникова введены единич¬
ные трапецеидальные характеристики с началь¬
ной координатой Го=1 и частотой oi=il; при
этом коэффициент наклона может быть любым.
Каждой трапеции соответствует свой переходный
процесс, который вычисляют, пользуясь таблица¬
ми, где приведены значения как функции вре¬
мени t для разных значений х=0-т-1. При расче¬
тах по действительным трапецеидальным харак¬
теристикам Го и <0i не будут равны единице. Для
перехода к действительному процессу, соответ¬
ствующему характеристике с действительными
Го и coi, необходимо пересчитать масщтабы; для этого следует найденное
по таблицам значение для конкретных я и ^табл умножитына го (для
данной трапеции), а значение аргумента '^табл разделить на coi.
Например, предположим, что одна из получивщихся трапеций
(рис. 11-2,6) характеризуется следующими данными:
Го = 0,75; соо = 0,0645 1/сек; ктц = 0,0750 1/сек;
у, — 0.0645_q gg
ш, ~0,0750” ’
9 Цу Wf
Рис. 11-3. Трапецеидаль¬
ная частотная характе¬
ристика.
Пусть выбранный интервал А/табл равен 0,4. Интервал времени
'^^^табл выбирают, исходя из требуемой точности построения переходного
процесса. Чем точнее должен быть вычислен процесс, тем меньшим сле¬
дует выбирать интервал времени Д^табл в таблицах. Ордината Oi пере¬
ходного процесса, соответствующего первой трапеции (для данного зна¬
чения /табл=0,4 =0,2357) определяется так:
Со гоК = 0-75 • 0,2357 = 0,1768.
Истинный интервал времени Д^ист будет равен:
-^^ — -^=53 сек.
0,075
Таким образом, переходный процесс, соответствующий определен¬
ной трапеции, будет характеризоваться конкретными значениями (Ti и
А^ист, которые сводят в таблицу.
Так, для рассматриваемого примера можно составить следующую
таблицу:
Трапеция № 1
0.4
0,8
0,12
0,16
Го = 0,75
К
0,2357
0,4590
0,6645
0,8375 и т. д.
х = 0,86
0,1768
0,3442
0,4984
0,6281
<0о = 0,064
<0, = 0,075
, , А^табл
А^ИС! -
53
106
159
212
331
Заменяют кривую /?(co) мало отличающейся ломаной и через точки
сопряжения прямых проводят линии, параллельные оси абсцисс. Таким
образом, кривую 7? (со) заменяют суммой трапеций, число которых в дан¬
ном случае равно четырем (рис. 11-2,6).
Любая трапеция вполне определяется значением начальной ордина¬
ты Го (рис. 11-3), коэффициентом наклона x=coo/(Oi и интервалом частот
соь Для расчета с помощью таблиц В. В. Солодовникова введены единич¬
ные трапецеидальные хараисгеристики с началь¬
ной координатой Го=1 и частотой icoi=il; при
этом коэффициент наклона может быть любым.
Каждой трапеции соответствует свой переходный
процесс, который вычисляют, пользуясь таблица¬
ми, где приведены значения khiK функции вре¬
мени t для разных значений x=0-r-il. При расче¬
тах по действительным трапецеидальным харак¬
теристикам Го и не будут равны единице. Для
перехода к действительному процессу, соответ¬
ствующему характеристике с действительными
Го и ©1, необходимо пересчитать масштабы; для этого следует найденное
по таблицам значение для конкретных к и ^табл умножитына Го (для
данной трапеции), а значение аргумента '7табл разделить на ©i.
Например, предположим, что одна из получившихся трапеций
(рис. 11-2,6) характеризуется следующими данными:
Го = 0,75; ©о = 0,0645 1/сек; ©i = 0,0750 1/сек;
(Оо 0,0645 ^ „д
К = —=;^г-рг=^—0,86.
(О, 0,0750
т
П;
Jl
7 Wg (Of
Рис. 11-3. Трапецеидаль¬
ная частотная характе¬
ристика.
Пусть выбранный интервал А^табл равен 0,4. Интервал времени
А/табл выбирают, исходя из требуемой точности построения переходного
процесса. Чем точнее должен быть вычислен процесс, тем меньшим сле¬
дует выбирать интервал времени в таблицах. Ордината Oi пере¬
ходного процесса, соответствующего первой трапеции (для данного зна¬
чения 7табл = 0,4 =0,2357) определяется так:
00 = roh^ = 0,75 • 0,2357 = 0,1768.
Истинный интервал -времени ДГист будет равен:
А4с =
и
табл
0,4
0,075
= 53 сек.
Таким образом, переходный процесс, соответствующий определен¬
ной трапеции, будет характеризоваться конкретными значениями а\ и
А/иоъ которые сводят в таблицу.
Так, для рассматриваемого примера можно составить следующую
таблицу:
Трапеция № 1
0,4
0,8
0,12
0,16
Г(, = 0,75
к
0,2357
0,4590
0.6645
0,8375 и т. д.
7. = 0,86
= ГоК
0,1768
0,3442
0,4984
0,6281
соо = 0,064
о>, = 0,075
д.
53
106
159
212
331
Строят кривые переходных процессов для каждой трапеции
(рис. 11-4) и производят алгебраическое сложение ординат кривых, со¬
ответствующих каждой трапеции. В нашем случае
а (О = (Ti — (02 — стз + СГ4).
Полученная кривая o!(i/) и будет представлять собой искомую при¬
ближенную кривую переходного процесса.
Итак, коротко можно сформулировать следующий порядок построе¬
ния переходного процесса:
1. Определяют амплитудно-фазо¬
вую характеристику замкнутой систе¬
мы автоматического регулирования.
2. Определяют 'вещественную ча¬
стотную характеристику замкнутой си¬
стемы и представляют ее в виде гра¬
фика R{a).
3. Заменяют кривую R{(a) мало
отличающейся ломаной.
4. В результате замены кривой
R{a) получают соответствующее коли¬
чество трапеций с конкретными значе¬
ниями параметров Го, соо, «i и х.
5. Определяют координаты пере¬
ходных процессов Д/ист и а, соответствующих каждой трапеции.
6. Строят кривые переходных процессов для каждой трапеции и
производят алгебраическое суммирование ординат, соответствующих
каждой трапеции; полученная кривая а(/) и дает приближенную карти¬
ну переходного процесса.
Для уяснения практических приемов построения переходных про¬
цессов частотным методом рассмотрим два примера.
Пример 1. Требуется построить переходный процесс — кривую изменения регули¬
руемой величины а в системе автоматического регулирования, изображенной на
рис. 11-5, в результате однократного ступенчатого возмущения ^о=1-
Передаточная функция регулируе.мого
объекта имеет вид:
К(р) =
сея
Рис. 11-4. Кривые переходных
процессов для отдельных трапе¬
ций.
тр ■
Передаточная функция П-регулятора
,,А
K(Ph = -c,=
Тр
Расчет настройки такой системы регули- Рис. И-5. Система автоматического
рования для степени затухания 4^=0,75 дает регулирования.
б=ето.
Численные значения динамических параметров объекта заданы:
fe=l;
/IN
Т = 100 сек д QQ 1 /сек \;
отсюда
То =100 сек\
б=еТо=1/100- 100=1.
В соответствии с рекомендованным выше порядком построения переходного про¬
цесса:
1. Определяем амплитудно-фазовую характеристику замкнутой системы автомати¬
ческого регулирования.
332
Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:
К (PU _ ■
К {Р)з.е— ■
Тр
\-K{pUK{p)v
ке~Р'-’'
Тр
Тр ЬТреР^'> ,
л + » и ~Г
к
Отсюда находим амплитудно-фазовую характеристику, заменяя р через /м:
W'{•■со)з.с = - ^
+
Так как
gicoTo _ (-Q5 J 5}д QjT-,,,
то
^ ((0))з,о =
Т Т ^ Т '
1 + ш8 (cos tox„ + sin tox„) 1 — <oS sin o>x„ + lutd —£■ cos coto
После преобразований получим:
W (г(о)з о = R(a>) + iJ (со) = -
1 — Sto-
■ sin toX|)
T У f T \
ЙСО cos wx„ j + f 1 — “ sin (ox„ '
o^toT" cos tox„
/ T >2
i Sw -T- cos (OX
V ft
•) +
T у
1 — <0 sin <ox„ j
2. Определяем вещественную частотную характеристику замкнутой системы и
представляем ее в виде графика.
Из выражения амплитудно-фазовой характеристики находим вещественную частот¬
ную характеристику:
Р(ш) =
8^1 — 8(0 —^ sin (ОХо^
[ 8(0 -А cos (ох„ ^ + [ 1 — <1> sin (ох„
V « V
Подставляя вместо 8, х„ и Тjk их заданные численные значения, получаем:
1 — 100(0 sin 100р.
«И= (100(0 cos 100 (0)2+ {1 — 100(0 sin 100(0)2 ■
Вычисления /?(со) для различных значений (о сведены в таблицу А.
Строим график вещественной частотной характеристики R{a>) (рис, 11-6).
3. Заменяем кривую /?((о) мало отличающейся ломаной так, как это показано на
рис. 11-6.
4. В результате замены кривой ломаной получаем восемь трапеций (рис. 11-7),
параметры которых сведены в следующую таблицу:
№ трапеции
То
“о
ш,
0),
1
2,96
0,009
0,015
0,59
2
—1,56
0,015
0,021
0,71
3
—0,46
0,021
0,029
0,71
4
—0,15
0,029
0,045
0,64
5
0,35
0,045
0,077
0,58
6
—0,26
0,077
0,109
0,71
7
0,22
0,109
0,141
0,78
8
—0,10
0,141
0,157
0,90
333
OJ
со
Т а б л и ц а Л
со
100а)
sin ЮЭа)
cos ЮЭо)
ЮОО) sin ЮОш
1 —100м sin ЮОсо
ЮОш COS ЮОш
[1 —ЮОсоХ
xsin ЮОм]а
(ЮОмХ
Xcos 100 ш]«
Знаменатель
«(ш)
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0,005
0,5
0,479
0,878
0,24
0,76
0,44
0,58
0,19
0,77
0,986
0,0075
0,75
0,682
0,732
0,511
0,49
0,55
0,24
0,30
0,54
0,907
0,01
1,0
0,841
0,540
0,841
0,16
0,54
0,02
0,29
0,31
0,502
0,0125
1,25
0,949
0,35
0,185
—0,185
0,40
0,03
0,16
0,19
-0,979
0,0145
1,45
0,993
-0,121
1,440
—0,44
—0,18
0,19
0,03
0,22
—1.965
0,0175
1,75
0,984
—0,178
1,722
—0,72
—0,31
0,52
0,10
0,62
— 1,169
0,02
2,0
0,909
—0,416
1,818
—0,82
—0,83
0,67
0,69
1,36
—0,601
0,03
3,0
0,141
—0,990
0,423
0,58
—2,97
0,33
8,82
9,15
0,063
0,04
4,0
-0,757
—0,654
—3,020
4,02
—2,62
16,16
6,84
23,00
0,175
0,05
5,0
—0,959
0,284
—4,800
5,80
1,42
33,64
2,02
35,66
0.162
0,06
6,0
—0,279
0,960
-1,67
2,67
—5,76
7,13
33,18
40,31
0,066
0,07
7,0
0,657
0,754
4,60
—3,6
5,27
12,96
27,77
40,73
—0,088
0,08
8,0
0,989
—0,145
7,91
—6,91
— 1,16
47,75
1,35
49,10
—0,141
0,09
9,0
0,412
—0,911
3,71
—2,71
—8,2
7,34
67,24
74,58
—0,036
0,10
10,0
—0,544
—0,839
—5,44
6,44
—8,39
41,47
70,39
111,86
0,_057
0,11
11,0
—0,999
0,005
-11,0
12,0
0,054
144,0
0,003
144,00
0,083
0,12
12,0
—0,841
0,54
—10,1
11,1
6,47
123,2
41,93
165,13
0,067
0,13
13,0
0,42
0,907
5,46
4,46
11,8
19,89
139,24
159,13
—0,028
0,14
14,0
0,99
0,136
13,85
— 12,85
1,90
165,12
3,62
168,74
—0,076
0,15
15,0
0,76
—0,65
11,4
— 10,4
—9,75
108,16
95,06
203,22
—0.0512
Трапеция ffsi
Трапеция ЛёЗ
Трапеция N° 7
0,0k 0,05 0,06 0,07'0,08 0,0slo,10 0,11 0,/tJ 0,13 0,Ц 0,15 0,16
Трапеция 7Г° к Трапеция N° 6 Трапеция N°8
-R(u})
Трапеция NsJ
Трапеция N°2
Рис. 11-6. График вещественной частотной характеристики.
N
1 Г
ж
о, ■
ТрапеС^ия NSi
о,ооеа 0,02075
/ 0,01*75/ 0,029 Ц095
Трапеция N°5
0,07725
I '
Трапеция N° 7
0,191 0,157
ш
0,10 0,11 0,12 \0,13 0,1^ 0,15 0,16
-R(w)
0,0J\^04\0,05 0,06 0,07 0,08 0,03
Трап'еция Nsk Трапеция N°6 Трапеция NsB
Трапеция NsJ
Трапеция М2
Рис. 11-7. Замена вещественной характеристики трапециями.
335
5. Определяем координаты переходных процессов, соответствующих каждой тра¬
пеции.
Для каждой трапеции выбираем интервал А/табл и определяем по таблицам зна¬
чения Лх. Умножая Го на hx, получаем значения ординат о=Гойх, соответствующих
истинным интервалам времени Д^иcт=A^тaбл/Шl.
Ниже, в таблице, приведены значения а и Д^ист для трапеции № 1.
табл
1.0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
0,4878
0,8755
1,0960
1,1533
1,1084
1,0246
0,9304
0,9423
0,9508
0,9903
1,0108
1,44
2,59
3,24
3,42
3,27
3,03
2,84
2,78
2,84
2,93
2,99
ист ш,
60,7
П3,4
230,1
235,8
33 ,5
400,2
465,9
5)3,6
600,3
637,0
733,7
Аналогично определяются координаты переходных процессов для остальных тра¬
пеции.
Рис. 11-8. Кривая переходного процесса (к примеру).
Рис. 11-9. Структурная схема
системы регулирования.
Ц)
юа-л
sin ЮОш
COS 100<о
110<о
ЮЭшХ
Xs:n lOOto
1 —iiaa>x
Xsin lOOlo
380m
h
41 800m=
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0,005
0,5
0,479
0,878
0,55
0,263
0,737
1.9
1,40
1,04
0,0075
0,75
0,682
0,732
0,82
0,562
0,438
2,8
1,25
2,35
0,01
1.0
0,841
0,540
1,10
0.925
0,075
3,8
0,28
4,18
0,0125
1,25
0,949
0,315
1,37
1,305
—0,305
4,7
-1,45
6,52
0,015
1,50
0,997
0,071
1,65
1,645
—0,645
5.7
-3,67
9,40
0,02
2,0
0,909
-0,416
2,20
2,0
-1,0
7,6
—7.6
16,7
0,03
3.0
0,141
—0,990
3,30
0,465
0,535
11,3
6,04
37,6
0,04
4,0
—0,757
—0,654
4,40
—3,33
4,33
15,2
65,7
66,9
0,05
5,0
—0,959
0,284
5,50
—5,26
6,26
19,0
119,0
104,5
0,06
6,0
—0,279
0,960
6,60
—1,84
2,84
22,8
64,7
150,5
0.07
7,0
0,657
0,754
7,70
5,06
4,06
26.6
—108,0
204,5
0,08
8,0
0,989
—0,145
8,80
8,70
—7,7
30,4
—234,0
267,5
0,09
9,0
0,412
—0,911
9,90
4,08
—3,08
34,2
-105,2
338,5
0,10
10,0
-0,544
—0,839
11,1
—5,98
6,98
38,0
265,5
418,0
О.И
11,0
—1,0
0,005
12,1
— 12,10
13,10
41,8
547,1
506,0
0,12
12,0
—0,54
0,841
13,2
—7,12
8,12
45,6
370,0
602,0
0,13
13,0
0,42
0,907
14,3
6,0
—5,0
49,4
—247
706,0
0,14
14,0
0,99
—0,137
15,4
15,25
— 14,25
53,2
—760
820,0
0,15
335
15,0
0,76
-0,650
16,5
12,53
—13,53
57,0
-771
940,0
6. Строим кривые Oi—Og переходных процессов для каждой трапеции и произво¬
дим алгебраическое суммирование ординат, в результате которого получаем кривую
переходного процесса а(1) = (Oi-f05 + Ч7) — (О2+О3+О4 + О6 + О8), соответствующую рас¬
сматриваемой системе автоматического регулирования (рис. 11-8).
Пример 2. Построить переходный процесс в системе автоматического регулирова¬
ния, изображенной на рис. 1 -9, в результате однократного ступенчатого возмущения
Яо=1.
Передаточная функция регулируемого объекта имеет вид:
„-.'о
ke
К [р)о(, — р ~~ Тр
Передаточная функция ПИ-регулятора
/ С„ Л 1 + ГиР
K(ph = -[Ci+ pj- ^j^p ■
Расчет настройки такой системы регулирования показал, что для степени затуха¬
ния 4'-=0,75
8== l.Ux„;)^
Ги = 3,8х„. )
Численные значения динамических параметров объекта заданы следующие;
100 сек
Отсюда следует:
100
То =100 сек.
б=1,1еТо= 1,1 -0,01 • 100=1,1;
Г„ = 3,8то = 3,8- 100 = 380 сек.
1. Определяем амплитудно-фазовую характеристику замкнутой системы регулиро¬
вания. Передаточная функция системы имеет вид:
К(р)^.г- \ - К (р)оъК {p)f ■
Подставляя сюда значения передаточных функций объекта и регулятора, после
преобразований получаем:
, рЗГи
К (/lla.e— f
S-^T^p^eP'-^T^p+l
Таблица 11-l
41 800o)2cos lOOtt)
f,= I-4I SOOm^x
XCOS 100m
418m
4irrnf.
'r'2
/?(m)
0
1
0
0
0
‘ 1
1
0
0,315
0,085
2,09
2,92
1,96
0,007
1,968
1,49
1,720
—0,72
3,14
3,92
1,56
0,518
2,070
1,89
2,257
—1,26
4,18
1,19
0,08
1,580
1,667
0,726
2,050
—1,05
5,22
—7,57
2,10
1,102
3,204
—2,36
0,667
0,33
6,27
—23,0
13,47
0,111
13,581
— 1,69
-6,95
7,95
8,36
—63,5
57,76
63,2
120,96
—0,52
—37,21
38,21
12,52
75,6
36,5
1460,0
1496,5
0,05
-43,7
44,70
16,70
1097,0
4316,5
1998,0
6314,50
0,17
29,7
—28,7
20,90
2 488
14 161
823,7
14984.70
0,166
144,5
— 143,5
25,08
1 523
4 192
20 592
24 784
0,07
154,2
— 153,2
29,26
—3 160
11 694
23 470
Зц 3,34
—0,09
—38,8
39,8
33,44
—7 825
54 756
1 584
56 340
-0,14
—308,2
309,2
37,62
—3 960
11 025
95 610
106 629
—0,04
-350,2
351,5
41,80
11 100
70 490
123 552
194 042
0,06
2,5
—1,5
46,0
25 200
299 209
2,25
299 211
0,08
506
—505,0
51,5
19 050
136 900
255 025
391 925
0,05
640
—639
54,4
— 13 420
61 C09
408 321
469 330
—0,03
112,2
—111,2
58,5
44 500
577 600
12 365
589 965
-0,08
610,5
-609,5
62,7
—48 300
594 441
371 490
965 931
—0,05
337
Находим амплитудно-фазовую характеристику:
(г(о)з.е = ■
—шЧ ~Y Гие*""» + шГя + 1
Имея в виду, что = cos (ох„-f i sin toT„, получаем:
ЗГиШ
('“)з.с =
Г
k
( •* \
7и cos (охо 4- 1 -f- / ^(о7и — 0)25 7и sin coxoj
После освобождения от мнимых чисел в знаменателе и упрощений окончательна
получим:
Г{/со)з,„ = ;?((о) + ;7о(о)) =
ш5Г,, j мГи — — Ги sin (ох„
/■ / Г
1 — (о^З Г и cos (ох„ j + f соГи — иРЬ ~Y TvL sin cox„ j
ш8Г„ — со^З^Ги cos (i)x„
- +
^ 1 — Ш-3 —j^ Ги cos coxoj +4^“ —
2. Определяем вещественную частотную характеристику замкнутой системы к»,
представляем ее в виде графика.
Находим вещественную частотную характеристику R(co):
R(co) =
швГи f(oTa — (0^3-=Гн sin<OXo
/ г \ I f Т \ ^
И — шЧ Ги cos (йх„у + ((оГи — to4 Ти sin (ox,,y
где
Подставляя вместо 6, Т„, Т и То их заданные значения, получаем;
„ , , 418cof, (ш)
R (о>) = п а 1
fi (“) + /2 (“)
f, (m) = 380(0 (1—1 Юш sin 110(0);
/2 (со) = 1—41 • 800(о2 cos 100(0.
Вычисления Я((в) для различных значений сведены в табл. 11-1. Строим график,
вещественной частотной характеристики R(co) (рис. 11-10).
3. Заменяем кривую А (со) мало отличающейся ломаной так, как это показано на
рис. 11-10.
4. В результате замены кривой ломаной линией получаем девять трапеций,
(рис. 11-11), параметры которых сведены в таблицу.
№ трапеции
Со
“о
“1
ш,
1
—1.90
0,000
0,007
0,00
2
4,28
0,0085
0,0125
0,68
3
—1,98
0,0125
0,020
0,62
4
—0,46
0,020
0,029
0,69
5
-0,15
0,029
0,045
0,64
6
0,35
0,045
0,077
0,58
7
—0,26
0,077
0,109
0,71
8
0,22
0,109
0,141
0,78
9
-0,10
0,141
0,157
0,90
338
К(ш)
- ^0,007
-o,oes
трапеция/Го 1
Трапеция /TsZ
Трапеция М3 Трапеция /Геб
ТрапецияМв
ЦОЗ 0,04 005^06 0,07 0.О8 0,03 0,10 0,11 0,12 013 0,l\o,15 Ц16
^^^7 ТрапецияМ4 ^Трапециям? Трапеция/ГгЭ
Трапеция М 5
-0(ш)
О ((d)
Рис. 11-10. График вещественной частотной характеристики.
ТрапецияМг
O.W
0,077
0^09
0,157
ТрапецияМб
Трапеция JVsS ^
\ат\ \у^.пз~а^4кппя ппя п^тппя^^Р^^^Р'^^' 0,13oi7\^5 0,16
\-0((о)
Трапеция я 5
Трапеция яч
Трапеция/Го 1
Трапеция MJ
Трапеция/Яе 7
ТралецияМЗ
Рис. 11-11. Замена вещественной характеристики трапециями.
339
5. Определяем координаты переходных
процессов, соответствующих каждой тра¬
пеции.
Выбираем интервал времени А^табл и
определяем по таблицам значения Ах. Умно¬
жая Го на Ах, получаем ординаты 0=гоАх,
соответствующие истинным интервалам вре¬
мени Дгиот=Агтабл/Ш1.
6. Строим кривые переходных процес¬
сов для каждой трапеции, производим алге¬
браическое суммирование координат, в ре-
^ зультате которого получаем кривую 0+) пе-
'< Отси/^мытрапеций5,В,7,8^ реходного процесса для данной системы ав-
■ томатического регулирования (рис. 11-12).
11-3. МЕТОД АКУЛЬШИНА
Рис. 11-12. Кривая переходного процес¬
са (к примеру).
Для построения переходного
процесса методом Акульшина необ¬
ходимо знать, так же как и в преды¬
дущем случае, амплитудно-фазовую
характеристику системы автомати¬
ческого регулирования в замкнутом
состоянии по каналу, идущему от
источника возмущения, пои вы¬
бранных значениях настроечных па¬
раметров регулятора,
состоянии по каналу, идущему от источника возмущения, при выбран¬
ных значениях настроечных параметров регулятора.
Выражение для определения отклонений регулируемой величины во
время о(() при скачкообразном возмущающем воздействии с амплиту¬
дой ло имеет следующий вид‘:
3 (О ==-|- ^0 Ыз.с sin Ы + ср (со„)з.с] sin [3V + ? (Змо)з.с] +
-1—^ А (5ш(|)з о sin [5ш„( + tp (5(о„)з с] +...
гдеЛ((о)з.с — амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы;
ф(со)з.с — фазо-частотная характеристика замкнутой системы.
Частота то выбирается равной одной шестой части рабочей частоты
Шр, на которой будет «работать» система регулирования при выбранной
настройке регулятора, т. е. то = (0р/6. Рабочая частота сор известна, если
выбраны настроечные параметры регулятора.
Таким образом, для построения кривой переходного процесса мето¬
дом Акульшина амплитудно-частотная Л(т)зс и фазо-частотная ф(т)з.с
характеристики замкнутой системы должны быть заданы только для ча¬
стот то, Зто, 5то, 7то и т. д. до частоты среза тср.
Вычисление амплитудно-фазовой характеристики замкнутой систе¬
мы регулирования по каналу, идущему от внешнего источника возмуще¬
ний, может производиться по следующему уравнению:
U7(/«))з.c = ЛИз.ce"'"‘“’-^
где
А Из.с =
_ л (<о). .
У{1 — л (со)оЛ (co)pCOS [(р (ш)р— ¥ (ш)о]}2 + {А (<0о) л (0))р sin [у (со)р — у (ш)„1}2
ф (ш) — агсШ л ((0)оЛ((0)р sin [у (to)p - у (<о),1 _ / ч
? Из.с — arclg J _ ^ ^ ^ Ф (ш)з.
‘ Дудников Е. г. Основы автоматического регулирования тепловых процессов.
.М., Госэнергоиздат, 1956.
340
Если возмущение поступает со стороны регулирующего органа, то
в это выражение подставляют вместо Л(®)в и ф(со)в соответственно
Л (со) о и ф(й))о-
Рассмотрим пример определения кривой переходного процесса
в системе регулирования.
Пример. В результате расчета были определены настроечные параметры и рабочая
частота ПИ-регулятора:
Со=0,433 1/сек; Ci=0,890; о)р=0,55 1/сек.
Определяем частоту о)о:
(Он 0,55
(Оо = -g-=—g—= 0,0917 1/сск.
Определяем амплитудно-фазовую характеристику замкнутой системы регулирова¬
ния по каналу, идущему от регулирующего органа, по формуле
А ((0)з
А (со)о
V{l—A (0))оЛ (со)р cos [f (ш)р — f (co)o]}'' -f {^ИоЧ((со)р sin [<f (<o)p—у (ь>)о]}
A ((o)o A ((o)p sin [y ((o)p — у (to)o] _
f (“)з.с — arc g J _ Д ^ J ^ ^ у (co)o.
здесь Л (ю)о и Л((о)р—амплитудно-частотные характеристики соответственно объекта
и регулятора; ф)(о))о и ф(ш)р — фазо-частотные характеристики объекта и регулятора.
Результаты расчетов для четырех значений t сведены в табл. 11-2.
Для определения значения a(t) составляем табл. 11-3. Подсчет производим по
формуле
2 1
® (О = — Яо {А (со„)з.<, sin [й)„Г + у ((Оо)з.с,] + — А (Зй)„)з.о sin [Зсо„Г + у (Зо)„)з.о] +
+ (5ca„)3.(,sin [5<o„r-f у (5о)о)з,с] + ...},
где Яо = 0,42—внутреннее возмущающее воздействие.
Значениями t задаемся так, чтобы произведения Шо^; Зсоо^; 5соо^ (см. графу 3
табл. 11-2) после перевода из радианов и градусы давали бы целые числа градусов.
22. 23
% 15 16 17 18 13 гогГ~°"^се1(
Рис. 11-13. Кривая переходного процесса, построенного методом Акульщина (к при¬
меру) .
Например, при Г=0,952 сек й)оГ=0,917 • 0,952=0,0873, что соответствует 5°.
В графе 6 той же таблицы фигурирует множитель Л(соо)з.с/л. Коэффициент п
равен коэффициенту при юо- Например, если co = 3(0o, то Л (й)о)з.с/ц = Д (Зшо) з.с/3. На
основании данных граф 1 и 7 указанной таблицы строим кривую переходного процесса,
которая представлена на рис. 11-13.
11-4. МЕТОД «СЕКУЩИХ»
Метод «секущих», предложенный Л. А. Башкировым*, позволяет
строить переходные процессы в линейных и нелинейных системах с за¬
паздыванием, при возмущениях, заданных в аналитической или графи-
* Башкиров Л. А. Графо-аналитический метод анализа переходных процессов
в системах автоматического регулирования. Диссертация, 1950; Селезнев М. А. Эле¬
менты расчета систем автоматического регулирования. Под ред. В. В. Волгина. Изд.
МЭИ, 1963.
341
оо
<£)
СО
ю
о
+
— союо«мососоо —
TfOt^CSIOOOOOO
C^,-J,,*0000000
о" о* о" o' о" o' о о о о
TfCOlOt^lOOC<l'^'^t'-
oaSSooooooo^
о" о" о" о" о" о* о" о о Q
’Г
COCOOO'^CSO^CNlOO
SS2§88ooS8
о" о" о* о" о* о" о" о" о о"
II III
Ю’^О'^ЮООСОСОО
<N0><0C^=^OO^»-^O
(МОО-^ОООООО^
о" о" о о о о* о" о о о
о
со
со
со
(М
9-
+
#
ос^ог- — ос^с^осч
ОЮ-^СОООСОГ-ОО
оо)со-^оосч — о —
о о о" о со о" о" о" о" о
I I I
■ь.СЯОО'^'^®»^
со о «- со —Ю о со
— -Н со со в • о о со о
в • о о Ю’^ЮОт—''^
(МСМСОО |h-COOO 100
00 h- Ю 1 ^ ^ ^ 1-м
оооооооооо
C4COO*»S*OOC4COO'^00
-м-м — CNCMCOCOCO
+
qpqpC^C^pCOM^OO
о о О) о t-- 00
OOOh-COOOOO
о о" о* о" o' о" о о о о
I I I I I
со о *- со 00 1-н OJ ю © со
—< CN со со в о © юо
о о © оо-^оо
6^ г-со rt-о 1—о — 100
- -5 00 ^ со -н -М ^ I
1 I
юююююююююю
CNh-C^h-CNh'-C^t^Cvlt--
-м—.(NC^COCO'^^
со»—ООт-нО'ФОООСч!^
ОО^СОСОСОСООСО’ЧРГ'-
oOCMcOt^OiOOt^CO^O
о" о" со о о* о" о о о о
9-
+
с
"(Z
СООЮСМ»— ^CSIO
^^о©оооо
о о м-ОЮ-^ЮСО
СЯСМ'^СОООСОСМОО
со I м-н -н со
771
о со
CS о
LO rf
I ^
ю
I I
оооооооооо
3,
&•
+
а
1л
CqcOOh-Ю’^ЮООСОЮ
счиооо-^соо — со^
СОгРСЧОСОСОООООО
o' о о* о" р о о о о о
I I
|7'
V. Ti*cOOOOO*^e ^
cOOiOCO'^frf'-^iOupp
о © о © со«
« о о V W W (.'J «
СО-^ОООО-^-^О
О) со со ю •
'7777
со
ЮЮЮЮЮЮсЛЮЮЮ
—.СЧСО-^ЮСОГ-ООО
э-
+
с
3® 3333333 з“з
—<С0Ю1^СО»-^С0Ю1>-О
3333333333
COlOl'-O-^COlOh-O
ееоееооеое
3333333333
—HCOiCt^O-^COlOt>-<0
3333333333
»—союг^о-^союг>-о
00
§
со"
сч
ю
о
<м
со
Таблица 11-3
Шо
Зшо
5ci>o
7ш(,
IIcOq
13cOo
15u)o
17ш„
19(0 J
6)
0,0917
0,275
0,458
0,642
0,825
1,0087
0,192
1,375
1,558
1,742
Д (<о)о
1,01
0,890
0,690
0,445
0,480
0,015
0,165
0,225
0,195
0,120
¥ (“)о
20*
58*
100*
140*
180*
395*
435*
478®
518*
560*
дир
4,078
1,640
1,250
1,124
1,070
1,038,
1,020
1,010
1,000
0,994
¥ (“)р
103»50'
126*30'
140*55'
149*55'
155*43'
159*45'
162*42'
164*45'
166*33'
167*55'
Д (Шо) Д (С0)р
4,100
1,459
0,862
0,50
1,192
0,015
0,168
0,227
0,195
0,019
¥ (“)р — (“)о
83*50'
68*30'
40°55'
9*55'
—24*17'
—235*15'
—273*18'
-313*15'
—351*27'
-392*5'
sin [(f (to)p — (ш)о1
0,994
0,930
0,650
0,172
—0,411
0,819
0,998
—0,727
0,148
—0,531
cos [if (C0)p — If (o))o]
0,109
0,366
0,756
0,985
—0,911
—0,570
—0,057
0,683
0,989
0,847
A (<o)o A (<o)p cos [f (<o)p — f (to)o]
0,446
0,534
0,651
0,492
—0,179
—0,008
0,009
0,155
0,192
0,100
1—A (co)o A (w)p cos [f (<o)p — f (<o)o]
0,554
0,466
0,849
0,508
1,179
1,008
1,009
0,845
0,808
0,900
A (<o)o A (w)p sin [f ((o)p — f (co)o]
4,075
1,356
0,564
0,086
—0,079
0,012
—0,167
—0,165
0,029
—0,063
Д (co)o Д (to)p sin [f (ш)р — <f (<o)o]
7,350
2,510
1,605
0,169
—0,067
0,012
—0,165
—0,195
П П7П
2 1—Д (m)o A (<o)p cos [f (<o)p—f (to)o]
V, UOO
—U,U/U
A {Wo)s.e
0,244
0,206
0,207
0,124
0,024
0,01
0,012
0,016
0,014
0,007
¥ (®о)з.о
62*16'
12*10'
41*54'
—130*24'
—185*12'
—344*18'
—425*24'
489*24'
—520*
—564*6'
OJ
05
ческой форме. Применение этого метода рационально для систем, описы¬
ваемых дифференциальным уравнением не выше четвертого-пятого по¬
рядка; повышение порядка уравнения чрезмерно усложняет расчет.
Для пользования методом «секущих» необходимо, чтобы динамиче¬
ские характеристики системы или ее элементов были заданы в виде
дифференциальных уравнений (передаточных функций).
В основу метода положены графические построения переходных
процессов для типовых линейных звеньев — апериодического, интегриру¬
ющего и колебательного. Способы решений уравнений этих звеньев за¬
тем распространяются на более сложные звенья, а также на замкнутые
системы автоматического регулирования.
Построение переходного процесса в апериодическом звене. Рассмот¬
рим некоторые свойства и способ построения экспоненты, которая, как
известно, является решением дифференциального уравнения апериоди¬
ческого звена:
_ j_
х(0 = С-С„е
Здесь х(^)—искомая функция; С, Со — постоянные; Г —постоян¬
ная времени апериодического звена.
В свою очередь уравнение звена имеет вид:
(7’р + 1)х(/) =С.
Определим начальные условия:
x{t)t^ = x{Q) —С—Со (см. рис. 11-14).
Из первого уравнения следует:
x{t)t—.оо = х(оо) =С.
Опуская обоснования, приводим одно из свойств экспоненты
(рис. 11-14)
.р Lt
■'с —
1 — е ^
которое можно сформулировать так: если между двумя точками экспо¬
ненты 0—1, 1—2 и т. д. отстоящими друг от друга во времени на М,
Рис. 11-14. К пояснению метода построения экспо¬
ненты.
проведена секущая, то проекция Гс на асимптоту отрезка секущей, за¬
ключенного между точкой О и точкой 1' пересечения секущей с асимпто¬
той экспоненты (или между точкой 1 и точкой 2') есть величина посто¬
янная (Тс).
344
Обычно At мало и тогда с достаточной для практики точностью
принимают;
Величину At рекомендуется выбирать из условия
А/=(0,1—0,2)Г.
Итак, пользуясь сформулированным свойством экспоненты, можно
легко ее построить, т. е. решить уравнение первого порядка
г* +х = С
С ПОСТОЯННОЙ правой частью С, при заданной постоянной времени Т
и известном начальном значении л:(0).
Метод построения экспоненты состоит в следующем.
Определяют значения x{t) через произвольные, но равные интерва¬
лы времени At, т. е. в точках I, 2, 3 к т. д. (см. рис. 11-14). Для этого
проводят через lAi/ вертикали; зная начальную точку экспоненты x(0),
определяют следующую ее точку 1, т. е. x{t=At), как пересечение грани¬
цы первого интервала и секущей, проведенной из точки л:(0). Проекция
секущей на асимптоту должна быть
т. е. определяется точка 1' на асимптоте. Пересечение секущей О—1'
с первой вертикалью {t—At) дает точку 1 экспоненты. Далее, проводя
секущую из точки 1 в точку 2', отстоящую от точки 1' на расстоянии At,
находим точку 2. Аналогично определяются точки 3, 4, 5 -я т. д.
Таким образом, построение экспоненты сводится к последовательному
проведению секущих О—1—1'\ 1—2—2'\ 2—3—3' и т. д., пересечение ко¬
торых с границами соответствующих интервалов определяет искомые
точки экспоненты 1, 2, 3, 4 я т. д. Отрезки 0—1, 1—2, 2—3, 3—4 и т. д.
определяют приближенно экспоненту, т. е. кривую переходного процесса.
В рассмотренном случае предполагалось, что
-';^Bxo=const,
т. е.
кхвхй = С = X{оо),
где k — коэффициент усиления (передачи) апериодического звена. Ис¬
ходная точка переходного процесса находилась из начальных условий;
x {i) г^о=-'^вых (0) = С—Со-
В частном случае при нулевом начальном условии
X (0) вых = О
исходной точкой построения является начало координат и тогда
-^Bbix(0 = ^-^Bxo(l — е ^)*
т. 6. С=Со = ЙХвхО-
М 1 / М у , 1 f м у
После разложения в ряд 1—е —~j ^ \^т~J ”^"зГ
23-1074 345
Величину удобно выбирать так, чтобы отношение TjM было целое
число. При этом все вспомогательные точки на асимптоте являются
средними точками интервалов At (рис. 11-14).
Рассмотрим метод построения переходного процесса, если XBx=F{t),
т. е. в случае, когда входное воздействие представляет произвольную
графически заданную функцию времени (рис. 11-15). Строят кривую
kxBx = kf{t), сдвигая ее от начала координат на Т, разбивают на интер-
Рис. 11-15. Построение переходного процесса при произвольном входном воздействии.
валы At И полагают, что на каждом интервале kf{t) имеет постоянное
значение, равное ее действительному значению в середине каждого ин¬
тервала. Таким образом, функция k!{t) заменяется ступенчатой, т. е.
на каждом интервале апериодическое звено описывается уравнением
{Tp+\)x{t)^C,
в котором при переходе от одного интервала к другому изменяются на¬
чальные условия; величина С, равная в данном случае kf{Atn—At 12),
1
*-вых
+>^йых
тр^1
Рис. 11-16. Структурная схема апериодического
звена, охваченного обратной связью.
где п= 1, 2, 3 И т. д. — порядковый номер интервалов.
Определяют Tc = T+Atj2, которая проходит через середину первого
интервала At функции kx^xit).
Принимая нулевые начальные условия х(0)=0, проводят секущую
через начало координат и точку 1'. Точка пересечения секущей с грани¬
цей первого интервала является точкой 1 переходного процесса. Через
точки 1 а 2' проводят следующую секущую, которая определит точку 2.
Аналогично определяются последующие точки (3, 4, 5 и т. д.) искомого
переходного процесса.
Построение переходного процесса в интегрирующем звене. Уравне¬
ние интегрирующего звена можно записать в следующем виде;
TpXnbix(t) =XBx{t),
где Т = T'Ik.
Прибавив к обеим частям уравнения Хвых(Ч> получим:
(Т р +1) XBbix{t) =Хвх(/) +Авыж(Ч'
346
Этому уравнению соответствует структурная схема рис. 11-16, на
которой апериодическое звено шунтировано положительной обратной
связью. Таким образом, построение переходного процесса в интегриру¬
ющем звене производится так же, как и для апериодического звена,
лишь с тем отличием, что к входной величине Хвх(0 по ходу построения
добавляют Хвых(0-
На рис. 11-17 приведен пример построения переходного процесса
при Хвх(0 =const = C и нулевых начальных условиях, а на рис. 11-18 —
при Хвх(7) =f{t) И ненулевых начальных условиях*.
Рис. 11-17. Пример построения переходного про¬
цесса в интегрирующем звене.
Рис. 11-18. Пример построения переходного процес¬
са в интегрирующем звене при произвольном возму¬
щающем воздействии и ненулевых начальных усло¬
виях.
* На рис. 11-17 видно, что функция Xsj, = C сдвинута относительно начала коорди-
М В М \ At
нат на величину Т — —, а Ге = ( Г —J-p-j" = Т. Как известно, решение урав-
С
нения интегрирующего звена Хвых(0 = (0) -f -^-t, т. е. тангенс угла наклона прямой
At Т
равен С/Г. Если принять Тд=Т + то tg у = д^.
^+Т-
23*
347
Получение суммы Хвх(0 +Хвых(0 сводится к последовательному сло¬
жению значений Хвых(0 (хо, Xi и т. д.) ,в конце нредыдущего интер¬
вала и значений Хвж(0 в середине следующего за ним интервала (со
сдвигом на At/2). На рис. 11-18 показано определение точек 1, 2, 3, 7 и
8; точки 4, 5, 6 опущены, чтобы не затемнять рисунка.^
Построение переходного процесса в разомкнутой цепи последова¬
тельно соединенных апериодических звеньев. Рассмотрим построение
переходного процесса в системе, структурная схема которой приведена
на рйс. 11-19,а, а уравнение имеет вид;
(Tip-\-l) (Т'гРЧ-!) (^зР“Ь1) .^выхз (О = kikiksXBxit).
Построение процесса производится последовательно в соответствии
с системой уравнений, описывающих каждое апериодическое звено:
{Тф+ 1)Хвых1(0 =^iXbx(0 1
(РгР-Ь 1 ) Хвых2 (о =^2Л^вых1 (О'>
(7'зР+ 1)Хвыхз(0 =1^зХвых2(0-
Сначала строится (рис. 11-19,6) по изложенному ранее методу кри¬
вая Хвых1(П (в данном случае Хвх(0 =<^onst), далее по Хвых(0 строит¬
ся Хвых2(0; 'при этом ординаты Хвых1(0 в середине соответствующих
интервалов определяют вспомогательные точки для построения Хвых2(0-
х-дыт7Ч7 Твыхг Н)
1<7
ТгР*1
TzP*1
х^выхзН)
aj
Рис. 11-19. К построению переходного процес¬
са в разомкнутой цепи последовательно соеди¬
ненных апериодических звеньев.
Все вспомогательные точки смещаются от Хвых1(0 вдоль оси вре¬
мени на величину так, что Тс2—Тг+А1/2. Таким же образом строится
кривая ХвыхзСО для входного воздействия Хвых2.
В примере приняты:
ki = 'k2 — kz=\\ Ti — T2=Tz.
Построение переходного процесса в колебательном звене. Как изве¬
стно, уравнение колебательного звена имеет вид;
{Т1 + Т,р -f 1) Хвьхх {t) - кХвх (О-
Если Ti7>2Tz, то колебательное звено эквивалентно двум последо¬
вательно соединенным апериодическим звеньям и процесс строится при¬
веденным выще способом. Поэтому представляет интерес случай, когда
Т,<2П.
348
Разделим обе части исходного уравнения на к, а член Хвых(0 пере¬
несем 'В правую часть:
1 (О = -^вх (О ^ -^вых (О-
V
Обозначив Т1 jT, = T,
4№ых(0=У (0.
получим:
(Г/? -{- 1) г/ (О — 2Свх (О ^ А^вых
(О-
(А>
(Б>.
Таким образом, колебательное звено эквивалентно двум последова¬
тельно соединенным звеньям— интегрирующему (А) и апериодическо¬
му (Б), охваченным отрицательной обратной связью с коэффициентом^
усиления 1/к (рис. 11-20,а).
Рассмотрим пример * построения переходного процесса (рис. 11-^и,о>
в колебательном звене, описываемом уравнением
(Г2 -\-TtP -^вых (О — кХлх (О
при XBx=const=C.
Первый щ а г —решение уравнения (Б) при Хвых(и)=0.
На прямой Хвх=С, сдвинутой относительно начала координат н»
Рис. 11-20. Построение переходного процесса в колебательном звене.
время Т, фиксируется точка 1', отстоящая от нуля на (Г-ТД^/2), секу¬
щая 0—1' определяет точку 1 кривой y{t).
Второй шат — решение уравнения (А) при Хвых(0)=0.
Сдвигая точку r/i —значение y{i) на середине первого интервала —
вправо на величину {TJk — Atl2), получаем вспомогательную точку.
' Селезнев М. А. Элементы расчета систем автоматического регулировавиа-
Под рея. В. В. Волгина. Изд. МЭИ, 1963.
34S
при соединении которой с началом координат определяется точка Xi,
принадлежащая кривой Xbmx('0-
Третий щаг —рещение уравнения (Б) с учетом л:вых(АО =xi.
^ Отложив вниз от точки (лежащей на линии Xbx=0), отстоящей от
1' на величину М отрезок xjk, получим вспомогательную точку 2'.
Секущая 1—2 отсечет точку 2 кривой y{}t)
Четвертый щаг —рещение уравнения (А) при л:вых(А/) =лг1.
Прибавляя к г/2—•значению у (it) в середине второго интервала —
величину xi и сдвигая полученную точку на —Д//2). вправо, полу¬
чим вторую вспомогательную точку, соединив которую с Xi, найдем
значение Х2^Хвых(2М).
Далее на рис. 11-20,6 показано построение для произвольного
(/г+1) интервала. Значения y(t) и Xsbix(t) при t=(nAt), т. е. в конце
«-Г0 интервала, известны и требуется определить эти значения в конце
(п+1)-го интервала. Как видно на рисунке, определение точек кривых
по уравнениям (А) и (Б) производится для (n-f 1)-го интервала в той
же последовательности.
Построение переходного процесса в замкнутой системе регулиро¬
вания. Построенный выще переходный процесс по существу является
процессом в простейщей системе регулирования. В самом деле, струк¬
турную схему на рис. 11-20,а можно рассматривать как замкнутую си¬
стему, в которой последовательно соединенные апериодическое и инте¬
грирующее звенья — регулируемый объект, а обратная связь-П-регу¬
лятор с параметром настройки Ci=l/8—l/k. Если же в качестве вы-
At
к
g.pt
к
ТрН
Tpi-1 ^
a)
г
/
Рис. 11-21. Построение переходного пронесса в замкнутой системе регулирования.
ходной (регулируемой) величины рассматривать y(t), то апериодиче¬
ское звено — объект, а последовательно соединенные интегрирующее
и усилительное звенья — И-регулятор.
Рассмотрим построение переходного процесса в системе регулиро¬
вания, структурная схема которой представлена на рис. 11-21,а. Объект
представляет собой последовательно соединенные апериодическое и за-
350
паздывающее звенья; ПИ-регулятор с параметрами настройки Со=
= 1/Г„б и Ci= l/6.
Процесс регулирования здесь определяется уравнениями
(Тц + 1) Хвых (О —М.Хвх{1 т) “ЬХр (/—т)];
■Хр (О — ^“Ь ^1 ^ -^вых (О “ -^вых (О ~
~ ^ -^вых (О, ЬТпР
При л:вых(0 = О и л:р(/)=:0.
Таким образом, регулятор можно рассматривать как два парал¬
лельно включенных звена—^усилительное и интегрирующее (рис. 11-21,6).
Так как объект характеризуется запаздыванием, то возмущающее
воздействие Хвх(0 проявляется на выходе объекта через т сек и, сле¬
довательно, построение переходного процесса следует начинать на т сек
правее начала координат (рис. 11-21,в). Регулятор, воспринимающей
Хвых(0> начинает воздействие в момент t—%, а проявляется это регули¬
рующее воздействие на выходе объекта спустя еще один промежуток
времени т. Поэтому в течение момента т до момента t = 2x изменение
^вых(0 происходит лишь ПОД влиянием Хвх(0 (соответствующие точки:
/, 2, 2'). Кривая йхр(/), которая определяется в ходе построения,
сдвигается относительно кривой kx^xit) на величину т, кх^хЩ в свою
очередь сдвинута относительно момента начала из.менения Хвых(0
на величину Г. Кривая kx^{t) на графике определяется расстоянием пунк¬
тирной кривой к(Хвх+х-р) от линии кХвх=С (так, например, kx^i =
=—Xi—kyi). Последующие вспомогательные точки 3', 4', 5' и т. д.
определяются на суммарной кривой к[хвх{1) + x^{t)] через соответствую¬
щие промежутки времени At.
11-5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ НОМОГРАММ
Как указывалось выше, для построения переходного процесса в си¬
стеме автоматического регулирования метода.ми Солодовникова и Акуль-
шина надо располагать амплитудно-фазовой характеристикой системы
в за.мкнутом состоянии.
Получение этой характеристики расчетным путем сопряжено со зна¬
чительной затратой труда и вре.мени. Приводимая номограмма № 5
(рис. 11-22, вкладка) для нахождения амплитудно-фазовой, веществен¬
ной частотной или мнимой частотной характеристики замкнутой системы
регулирования вносит существенные облегчения.
Рассмотрим два случая применения номограммы.
Случай I. При возмущении со стороны регулирующего органа спра¬
ведливо соотношение
ш ц-щЧ — ^ (‘<Д)об
ЦШ/з.о — 1 _ г (ico)oiW (i(O)p’
где W' (1(о)в.с = А(а>)з.се " ® = /?(со)з,е-Ь/(св)з.с —амплитудно-фазовая ха-
рактеристика замкнутой системы регулирования; W (ш)об = А (ш)об е —
амплитудно-фазовая характеристика объекта регулирования; W (i(o)p =
i(p(<o)
= А (св)р е ^ — R (с»)р +1 (ш)р — амплитудно-фазовая характеристика ре¬
гулятора.'
351
Рис. 11-24. Амллитудно-фазовая характеристи¬
ка замкнутой системы регулирования (к при¬
меру).
На номограмме нанесена, кроме того, прямоугольная координата
сетки, необходимая для правильной установки в плоскости номограммы
линейки и для определения вещественной частотной или мнимой частат-
ной характеристик замкнутой системы регулирования.
Для нахождения вектора
амплитудно-фазовой характе¬
ристики замкнутой системы ре¬
гулирования (при данной ча¬
стоте) необходимо выполнить
следующие операции:
1. Найти на номограмме
точку пересечения окружности
с пометкой Л(|©)об и луча с по¬
меткой ф(и)об и установить
в эту точку острие карандаша,
2. Перенести острие по
линейке горизонтально вправо
на величину вещественной ча¬
сти вектора Ж.
3. Перенести острие по
линейке на величину мнимой
части вектора А и .вертикально
вверх при положительном
знаке мнимой части вектора А
и вертикально вниз, если знак
отрицателен.
4. Найденная точка опре¬
делит искомые значения
^(м)з.с (окружность с помет¬
кой Л(ш)з.с) и ф(ш)з.с (луч с
пометкой ф(ю)з.с).
Для нахождения веще¬
ственной (мнимой) части век¬
тора амплитудно-фазовой ха¬
рактеристики замкнутой систе¬
мы регулирования необходимо
выполнить дополнительно сле¬
дующую операцию: соединить
линейкой центр номограммы
с найденной в п. 3 точкой, со¬
вместив нуль линейки с цен¬
тром номограммы; отложить
на линейке с помощью острия
отрезок, равный найденному
в п. 4 значению Л(ш)з.о.
5. Абсцисса (ордината) найденной точки в прямоугольных коорди--
натах номограммы определит вещественную (мнимую) часть, вектора
амплитудно-фазовой характеристики замкнутой системы регулирования-.
Если искомая точка при выполнении п. 3 выходит за пределы но¬
мограммы, то необходимо прибегнуть к масштабному преобразованш®'
номограммы:
а) увеличить (уменьшить) Л((о)об в 10 раз;
б) уменьшить (увеличить) Л(ю)р и полученное значение
в 10 раз.
Если десятикратное масштабное преобразование не приводит кг це¬
ли, то величины Л(м)об, Л(©)р, Л(ю)з.с можно изменить в беетьвЕсее-
число раз (например, в 20, 30, 50 и так далее раз).
Рис. 11-25. Вещественная частотная' ха¬
рактеристика замкнутой системы регули¬
рования (к примеру).
за»
Случай П. При изменении задания регулятору имеем соотношение
W (ши (г'“)р
IE Из,
1 —W (г<й)р
или
1
1
-1,
1>(т)
W (г'(о)з, W (гсо)р.е
где lE(ico)p.c = 1Е(1сй)об1Е(гсо)р = 1Е(со)р.с ° — амплитудно-фазо¬
вая характеристика разомкнутой системы автоматического регулиро¬
вания.
При пользовании номограммой необходимо выполнить следующие
операции:
1. Найти на номограмме точку пересечения окружности с пометкой
А((о)р.с и луча с пометкой ф(со)р.с и установить в эту точку острие ка¬
рандаша.
2. Отложить единицу (т. е. 10 см) по линейке горизонтально вле¬
во и перенести туда острие карандаша. Прочитать искомые значения
Л((())з,с и ф|((о)з.с-
При необходимости можно производить аналогичное масштабное
преобразование номограммы.
Рассмотрим примеры применения номограммы. Все примеры даны
в безразмерном виде.
Пример. Дана амплитудно-фазовая характеристика объекта самовыравнивания
Л (т)ове“'’и параметр настройки П-регулятора С, = 1/3 = 0,04.
Найти по номограмме амплитудно-фазовую характеристику А(ш)з,^ ^.с замкну¬
той системы регулирования при возмущении со стороны нагрузки. Данные значения
ip (<о)ов и Л (и>)ов и найденные по номограмме значения f ((0)3, и Л (<о)з, приводятся
в следующей таблице;
№
(0
Ч>(“)об
^(“>06
—
11 сек
град
-
град
-
1
0,01
—101
100
14
25,5
2
0,02
— 113
50
—30
27
3
0,03
—124
33,3
47
29,5
4
0,04
—136
25
—68
33,5
5
0,05
—147
20
—94
36,5
6
0,06
—159
16,7
-127
37,5
7
0.07
— 170
14,3
— 157
32
8
0,08
—182
12,5
— 184
25
9
0,09
—193
11,1
—203
19
10
0,12
—227
8,3
—244
10
11
0,16
—273
6,2
—287
5.9
12
0,20
—319
5
—325
4,3
13
0,24
—365
4,2
—364
3,6
14
0,28
—411
3.6
—405
3,3
15
0,32
—457
3,1
—450
3,1
Найденная амплитудно-фазовая характеристика показана на рис. 111-24. Все точки
Этой характеристики получены при десятикратном масщтабном преобразовании номо¬
граммы. Так, например, в п. 5 вместо Л(ш)об = 20 и 1/6=0,04 были взяты величины
20 : 10=2 и 0,04-10=0,4; полученная по номограмме величина модуля была увеличена
в 10 раз;
Л (ш) 3.0=3,65-10=36,5.
Значение Л(со)з.с при ш=0 для регулятора с жесткой обратной связью находится
непосредственно по формулам:
для объекта без самовыравнивания
Л (о) 3.0 = 6;
354.
для объектов с самовыравниванием
8
^ (Ч>)з.О =]_!_§"
Для ПИ-регулятора и ПИД-регулятора соответствующие значения Л(ш)з.с рав¬
ны нулю.
Пример. Даны амплитудно-фазовая характеристика объекта (с самовыравнива¬
нием) Л(ш)об е и два параментра настройки ПИ-регулятора Ci = l/6 =
=0,177 [—] и
Со =-^=0,0077 (1/сек).
Найти по номограмме вещественную частотную характеристику Р((о)з.с замкнутой
системы регулирования при возмущении со стороны нагрузки. Данные значения ф(ш)об
и Л(о))об, подсчитанные значения /{ю)р и найденные по номограмме значения 7?(со)з.е
приводятся в следующей таблице:
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
IjceK
'об
град
0,003
0,004
0,005
0,006
0,007
0,008
0,009
0,01
0,012
0,014
0,016
0,018
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
29
—39
—48,5
—58
-67,5
—77
—86
-95,5
—114
—131
—148
—165
—181,5
-250
—315,5
—368,5
—416
0,985
0,97
0,955
0,94
0,92
0,89
0,87
0,84
0,78
0,72
0,66
0,60
0,54
0,30
0,17
0,095
0,055
с Ир
2,56
1,92
1,54
1,28
1,1
0,962
0,855
0,77
0,642
0,55
0,481
0,428
0,385
0,257
0,192
0,154
0,128
0,195
0,38
0,65
1,07
1,64
2,15
1,68
0,37
—0,88
—0,94
—0,84
—0,69
—0,56
—0,078
0,115
0,093
0,032
Начиная с № 14 ероиаведено десятикратное масштабное гареобразование номо¬
граммы.
График изменения 7? (о) а.о в зависимости от частоты показан на рис. 11-25.
Пример. Дана амплитудно-фазовая характеристика объекта с самовыравниванием
Л(ш)об е
и три параметра настройки ПИД-регулятора:
1/б='1,5{—], r„=il80 сек и 7'оп/7’„=0,17[—].
Рис. 11-26. Мнимая частотная характеристика за¬
мкнутой системы регулирования (к примеру).
856
Найти по номограмме мнимую частотную характеристику /(со)з.о замкнутой систе¬
мы регулирования при возмущении со стороны нагруЗки. ^ ^
Заданные значения ф(о))об и Л((о)об, подсчитанные значения / (ш)р=
^<оГи'] и найденные по номограмме значения /(и)з.с приводятся ниже в табли-
ч*е. Расчеты по пунктам 1 и 16—21 выполнены при десятикратном масщтабном преоб¬
разовании номограммы.
Мнимая частотная характеристика замкнутой системы показана на рис. 11-2Ь.
№
<0
Ч> (”)о6
^Моб
7 Ир
«Мз.е
—
11сек
град
-
-
-
1
0,002
—23
0,98
4,07
0,19
2
0,004
45
0,93
1.9
0,18
3
0,006
—65
0,86
1,11
0,016
4
0,008
—84,5
0,78
0.675
—0,2
5
0,01
—102
0,71
0.375
—0,41
6
0,012
—119
0,64
0,145
—0,6
7
0,014
—135
0,58
—0,045
—0,75
8
0,016
—150
0,53
—0,215
—0,85
9
0.018
—164
0,49
—0.36
—0,87
10
0,02
—178
0,45
—0,5
—0,7
11
0,022
—192
0,41
—0,631
—0,16
12
0.024
—205
0,38
—0,755
0.4
13
0,026
—218
0,36
—0,875
0,71
14
0,028
—231
0,34
—0,99
0,73
15
0,03
—243
0,32
— 1,1
0,59
16
0,035
—275
0.27
-1,37
0,27
17
0,04
—305
0.24
—1,62
0,097
18
0,05
—365
0.2
—2,12
—0,053
19
0,06
—424
0.16
—2,61
-0,096
20
0,07
—483
0.14
—3,1
—0,10
21
0,08
-541
0.125
—3,55
—0,063
КРУГОВЫЕ, ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ГППЕРВОЛЙЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (АРГУМЕНТ в ДУГОВЫХ ЕДИНИЦАХ и ГРАДУСАХ)
Приложение 1
0,00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
0,10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0,20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
ы
сл
-ч
0,00000
01000
02000
03000
03999
04998
05996
06994
07991
08988
0,09983
1С978
11971
12963
13954
14944
15932
16918
17903
18886
0,19867
20846
21823
22798
23770
24740
25708
26673
27636
28595
1,00000
99995
99980
99955
99920
99875
99820
99755
99680
99595
0,99500
99396
99281
99156
99022
98877
98723
98558
98384
98200
0,98007
97803
97590
97367
97134
96891
96639
96377
96106
95824
tgx
0,00000
01000
02000
03001
04002
05004
06007
07011
08017
09024
0,10033
11045
12058
13074
14092
15114
16138
17166
18197
19232
0,20271
21314
22362
23414
24472
25534
26602
27676
28755
29841
1,00000
01005
02020
03045
04081
05127
06184
07251
08329
09417
1,10517
11628
12750
13883
15027
16183
17351
18530
19722
20925
1,22140
23368
24608
25860
27125
28403
29693
30996
32313
33643
1,ооосо
0,99005
98020
97045
96079
95123
94176
93239
92312
91393
0,90484
89583
88692
87810
86936
86071
85214
84366
83527
82696
0,81873
81058
80252
79453
78663
77880
77105
76338
75578
74826
\
sh X
о,соооо
01000
02000
03000
04001
05002
06004
07006
08009
09012
0,10017
11022
12029
13037
14046
15056
16068
17082
18097
19115
0,20134
21155
22178
23203
24231
25261
26294
27329
28367
29408
ch X
1,00000
00С05
00020
00045
С0080
00125
00180
00245
00320
00405
1,00500
00606
00721
00846
00982
01127
01283
01448
01624
01810
1,02007
02213
02430
02657
02894
03141
03399
03667
03946
04235
th X
0,00000
01000
02000
02999
03998
04996
05993
06989
07983
08976
0,09967
10956
11943
12927
13909
14889
15865
16838
17808
18775
0,19738
20697
21652
22603
23550
24492
25430
26362
27291
28213
О
0*34'23"
1°08'45"
1°43'08"
2°17'31"
2»51'53”
3°26'16"
4°00'39"
4°35'01”
5“09'24"
5°43Ч6"
6°18'09"
6°52'32”
7'>26'54"
8°01М7"
8°35'40"
9“10'02”
9°44'25"
10°18'48"
10°53Ч0"
11 °27'33"
12°0И56"
12°36'18"
13°10'41"
13°45'04"
14°19'26"
14°53'49"
15°28'12"
16°02'34"
16*36'57"
со
Продолжение прилож. 1
X
sin X
cos X
tgx
sli X
cll X
th X
x°
0,30
0,29552
0.95534
0,30934
1,34986
0,74082
0,30452
1,04534
0.29131
17°11'19"
31
30506
95233
32033
36343
73345
31499
04844
30044
17°45'42"
32
31457
94924
33139
37713
72615
32549
05164
30951
18°20'05"
33
32404
94604
34252
39097
71892
33602
05495
31852
18*54'27"
34
33349
94275
35374
40495
71177
34659
05836
32748
19°28'50"
35
34290
93937
36503
41907
70469
35719
06188
33638
20°03'13"
36
35227
93590
37640
43333
69768
36783
06550
34521
20*73'35"
37
36162
93233
38786
44773
69073
37850
06923
35399
21°11'58"
38
37092
92866
39941
46228
68386
38921
07307
36271
21“46'21"
39
38019
92491
41105
47698
67706
39996
07702
37136
22°20M3"
0,40
0,38942
0,92106
0,42279
1,49182
0,67032
0,41075
1,08107
0,37995
22°55'06"
41
39861
91712
43463
50682
66365
42158
08523
38847
23°29'29"
42
40776
91309
44657
52196
65705
43246
08950
39693
24°03'51"
43
41687
90897
45862
53726
65051
44337
09388
40532
24°38'14"
44
42594
90475
47078
55271
64404
45434
09837
41364
25°12'37"
45
43497
90045
48306
56831
63763
46534
10297
42190
25°46'59"
46
44395
89605
49545
58407
63128
47640
10768
43008
26'21'22"
47
45289
89157
50797
59999
62500
48750
11250
43820
26°55'44"
48
46178
88699
52061
61607
61878
49865
11743
44624
27'’30'0/"
49
47063
88233
53339
63232
61263
50984
12247
45422
28°04'30"
0,50
0,47943
0,87758
0,54630
1,64872
0,60653
0,52110
1,12763
0,46212
28°38'52"
51
48818
87274
55936
66529
60050
53240
13289
46995
29° 13'15"
52
49688
86782
57256
68203
59452
54375
13827
47770
29°47'38"
53
50553
86281
58592
69893
58860
55516
14377
48538
30°22'00"
54
51414
85771
■ 59943
71601
58275
56663
14938
49299
30°22'23"
55
52269
85252
61311
73325
57095
57815
15510
50052
31°30'46"
56
53119
84726
62665
75067
57121
58973
16094
50798
32°05'08"
57
53963
84190
64097
76827
56553
60137
16690
51536
32°39'31"
58
54802
83646
65517
78604
55990
61307
17297
52267
33°13'54"
59
55636
83094
66956
80399
55433
62483
171916
52990
33°48'16"
Продолжение прилож. 1
X
sin X
cos X
igx
sli X
ch X
th X
x"
0,60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
0,56464
57287
58104
58914
59720
60519
61312
62099
62879
63654
0,82534
81965
81388
80803
80210
79608
78999
78382
77757
77125
0,68414
69892
71391
72911
74454
76020
77610
79225
80866
82534
1,82212
84043
85893
87761
89648
91554
93479
95424
97388
99372
0,54881
54335
53794
53259
52729
52205
51685
51171
50662
50158
0,63665
64854
66049
67251
68459
69675
70897
72126
73363
74607
1,18547
19189
19844
20510
21189
21879
22582
23297
24025
24765
0,53705
54413
55113
55805
56490
57167
57836
58498
59152
59798
34°22'39"
34“57'02"
35°3F24"
36°05'47"
36°40'09"
37°14'32"
37°48'55"
38°23'17"
38°57'4G''
39°32'03"
0,70
71
72
73
74
75
76
77
78
•Дтс=0,7854
79
0,64422
65183
65938
66687
6Т429
68164
68892
69614
70328
70711
71035
0,76484
75836
75181
74517
73847
73169
72484
71791
71091
0,70711
70385
0,84229
85953
87707
89492
91309
93160
95045
96967
98926
1,00000
1,00925
2,01375
03399
05443
07508
(9594
11700
13828
15977
18147
2,19328
20340
0,49659
49164
48675
48191
47711
47237
46767
46301
45841
0,45594
45384
0,75858
77117
78384
79659
80941
82232
83530
84838
86153
0,86867
87478
1,25517
26282
27059
27849
28652
29468
30297
31139
31994
1,32461
32862
0,60437
61068
61691
62307
62915
63515
64108
64693
65271
0,65579
65841
40°06'25"
40°40'48"
41°15'11"
41°49'33"
42°23'56"
42°58'19"
43°32'41"
44°07'04"
44°41'27"
45°
45°15'49"
0,80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
со
сл
со
0,71736
72429
73115
73793
74464
75128
75784
76433
77074
77707
0,69671
68950
68222
67488
66746
65998
65244
64483
63715
62941
1,02964
05046
07171
09343
11563
13833
16156
18532
20966
234G0
2,22554
24791
27050
29332
31637
33965
36316
38691
41090
43513
0,44933
44486
44043
43605
43171
42741
42316
41895
41478
41066
0,88811
90152
91503
92863
94233
95612
97000
98398
99806
1,01224
1,33743
34638
35547
36468
37404
38353
39316
40293
41284
42289
0,66404
66959
67507
68048
68581
69107
69626
70137
70642
71139
45°50'12"
46°24'34"
46°58'57"
47°33'20"
48°07'42"
48°42'05"
49°16'28"
49°50'50"
50°25'50"
50°59'36"
r
Продолжение прилож. 1
0,90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
1,00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1,10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
0,78333
78950
79560
80162
80756
81342
81919
82489
83050
83603
0,84147
84683
85211
85730
85240
86742
87236
87720
88196
88663
0,89121
89570
90010
90441
90863
91276
91680
92075
92461
92837
0,62161
61375
60582
59783
58979
58168
57352
56530
55702
54869
0,54030
53186
52337
51482
50622
49757
48887
48012
47133
46249
0,45360
44466
43568
42666
41759
40849
39934
39015
38092
37166
tsx
1,26016
28637
31326
34087
36923
39838
42836
45920
49096
52368
1,55741
59221
62813
66524
70361
74332
78442
82703
87122
91709
1,96476
2,01434
06596
11975
17588
23450
29580
35998
42727
49790
sh X
ch X
2,45960
48432
50929
53451
55998
58571
61170
63794
66446
69123
2,71828
74560
77319
80107
82922
85765
88637
91538
94468
97427
3,00417
03436
06485
09566
12677
15819
18993
22199
25437
28708
0,40657
40252
39852
39455
39063
38674
38289
37908
37531
37158
0,36788
36422
36059
35701
35345
34994
34646
34301
33960
33622
0,33287
32956
32628
23303
31982
31664
31349
31037
30728
30422
1,02652
04090
05539
06998
08468
09948
11440
12943
14457
15983
1,17520
19069
20630
22203
23788
25386
26996
28619
30254
31903
1,33565
35240
36929
38631
40347
42078
43822
45581
47355
49143
1,43309
44342
45390
46453
47530
48623
49729
50851
51988
53141
1,54308
55491
56689
57904
59134
60379
61641
62919
64214
65525
1,66852
68196
69557
70934
72329
73741
75171
76618
78083
79565
tbx
0,71630
72113
72590
73059
73522
73978
74428
74870
75307
75736
0,76159
76576
76987
77391
77789
78181
78566
78946
79320
79688
0,80050
80406
80757
81102
81441
81775
82104
82427
82745
93058
51°33'58"
52»08'21"
52°42'44"
53°17'06"
53°51'29"
54°25'52"
55°00'14"
55°34'37"
56°09'00"
56°43'22"
57'>!7'45"
57°52'07"
58°26'30"
59°00'53"
,59°35'15"
60'’09'38"
60°44'01"
61°18'23"
61‘’52'46"
62°27'09"
63°01'31"
63°35'54"
64°10'17"
64°44'39"
65°19'02"
65°53'25"
66°27'47"
67°02'10"
67°36'32"
68°10'55"
to
I
3
Продолжение прилож. I
X
sin X
cos X
tgx
e*
sh X
ch X
th X
x°
1,20
0,93204
0,36236
2,57215
3,32012
0,30119
0,50946
1,81066
0,83365
68°45'18"
21
93562
35302
65032
35348
29820
52764
82584
83668
69°19'40"
22
93910
34365
73275
38718
29523
54598
84121
83965
69°54'03"
23
94249
33424
81982
42123
29229
56447
85676
84258
70°28'26"
24
94578
32480
91193
45561
28938
58311
87250
84546
71°02'48"
25
94898
31532
3,00957
49034
28650
60192
88842
84828
71'>37'11"
26
95209
30582
11327
52542
28365
62088
90454
85106
72° 11'34"
27
95510
29628
22363
56085
28083
64001
92084
85380
72°45'56"
28
95802
28672
34135
59664
27804
65930
93734
85648
73° 20'19"
29
96084
27712
46721
63279
27527
67876
95403
85913
73°54'42"
1,30
0,96356
0,26750
3,60210
3,66930
0,27253
1,69838
1,97091
0,86172
74°29'04"
31
96618
25785
74708
70617
26982
71818
98800
86428
75°03'27"
32
96872
24818
90335
74342
26714
73814
2,00528
86678
75°37'5C"
33
97115
23848
4,07231
78104
26448
75828
02276
86925
76° 12'12"
34
97348
22875
25562
81904
26185
77860
04044
87167
76°46'35"
35
97572
21901
45522
85743
25924
79909
05833
87405
77°20'57"
36
97786
20924
67344
89619
25666
81977
07643
87639
77°55'20"
37
97991
19945
91306
93535
25411
84062
09473
87869
78°29'43"
38
98185
18964
5,17744
97490
25158
86166
11324
88095
79°04'05"
39
98370
17981
5,47069
4,01485
24908
88289
13196
88317
79°38'28"
1,40
0,98545
0,16997
5,79788
4,05520
0,24660
1,90430
2,15090
0,88535
80°12'51"
41
98710
16010
6,16536
09596
24414
92591
17005
88749
80°47'13"
42
98865 ,
15023
6,58112
13712
24171
94770
18942
88960
81°21'36"
43
99010
14033
7,05546
17870
23931
96970
20900
89167
81°55'59"
44
99146
13042
7,60183
22070
23693
99188
22881
89370
82°30'21"
45
99271
12050
8,23809
26311
23457
2,01427
24884
89569
83°04'44"
46
99387
11057
8,98861
30596
23224
03686
26910
89765
83°39'07"
47
99492
10063
9,88737
34924
22993
05965
28958
89958
84°13'29"
48
99588
09067
10,98338
39295
22764
08265
31029
90147
84°47'52"
49
99674
08071
12,34986
43710
22537
10586
33123
90332
85°22'15"
8?
to
<л
Продолженае пралож. 1
X
sin X
cos X
tg JC
e*
Sll X
cll X
til X
1,50
0,99749
0,07074
14,10142
4,48169
0,22313
2,12928
2,35241
0,90515
85°56'36"
Van = 1,5708
1,00000
0,00000
+00
4,81048
0,20788
2,30130
2,50918
0,91715
90®
60
0,99957
—0,02920
—34,23253
4,95303
0,20190
2,37557
2,57746
0,92167
91°40'24"
70
99166
—12884
—7,69660
5,47395
18268
64563
2,82832
93541
97°24'10"
80
97385
—22720
4,28626
6,04965
16530
94217
3,10747
94681
103°07'57"
90
94630
—32329
—2,92710
6,68589
14957
3,26816
3,41773
95624
108°51'43"
2,00
0,90930
—0,41615
—2,18504
7,39906
0,13534
3,62286
3,76220
0,96403
114®35'30"
10
86321
—50485
—1,70985
8,16617
12246
4,02186
4,14431
97045
120°19'16"
20
86850
—58850
—1,37382
9,02501
11080
4,45711
4,56791
97574
126°03'03"
30
74571
—66628
—1,11921
9,97418
10026
4,93696
5,03722
98010
131°46'49"
•/4" = 2,3562
0,70711
—0,70711
—1,00000
10,55072
0,09478
5,22797
5,32275
0,98219
135°
40
67546
—73739
—0,91601
11,02318
09072
5,46623
5,55695
98367
137°30'36"
50
59847
—80114
—0,74702
12,18249
08208
6,05020
6,13229
98661
143®14'22"
60
51550
—85689
—0,60160
13,46374
07427
6,69473
6,76901
98903
148°58'09"
70
42738
—90407
—0,47273
14,87973
06721
7,40626
7,47347
99101
154°41'55"
80
33499
—94222
-0,35553
16,44405
06081
8,19192
8,25273
99263
160°25'41"
90
23925
—97096
—0,24641
18,17641
05502
9,05956
9,11458
99396
166°09'28"
3,00
0,14112
—0,98999
—0,14255
20,08554
0,04979
10,01787
10,06766
0,99505
171®53'14"
10
+04158
—99914
—0,04162
22,19795
04505
11,07645
11,12150
99595
177®37'01"
п = 3,1416
0,00000
—0,00000
0.00000
23,14069
0,04321
11,54874
11,59195
0,99627
180®
20
—0,05837
—0,99829
+05847
24,53253
04076
12,24588
12,28665
99668
183°20'47"
30
—15775
—98748
15975
27,11264
03688
13,53788
13,57476
99728
189°04'34"
40
—25554
—96680
26432
29,96410
03337
14,96536
14,99874
99777
194°48'20"
50
—35078
—93646
37459
33,11545
03020
16,54263
16,57282
99818
200°32'07"
60
44252
—89676
49347
36,59823
02732
18,28546
18,31278
99851
206°15'53"
70
—52984
—84810
62473
40,44730
02472
20,21129
20,23601
99878
211°59'40"
80
—61186
—79097
77356
44,70118
02237
22,33941
22,36178
99900
217°43'26"
90
—68777
—72593
94742
49,40245
02024
24,69110
24,71135
99918
223°27'13"
»Дп = 3,9270
—0,70711
—0,70711
1,00000
50,75402
0,01970
25,36716
25,38686
0,99922
225°
Продолжение прилож. 1
X
sin X
cos X
isx
с*
e~x
sh X
ch X
ihx
ж”
4,00
—0,75680
—0,65364
1,15782
54,59815
0,01832
27,28992
27,30823
0,99933
229'’10'59"
10
—81828
—57482
42353
60,34029
01657
30,16186
30,17843
99945
234°5446"
20
—87158
—49026
77778
66,68633
01500
33,33567
33,35066
99955
240+8'32"
30
—91617
40080
2,28585
73,69979
01357
36,84311
36,85668
99963
246°22'19"
40
—95160
—30733
3,09632
81,45087
01228
40,71930
40,73157
99970
252+6'05"
50
—97753
—21080
4,63733
90,01713
01111
- 45,00301
45,01412
99975
257°49'52"
60
—99369
-11215
8,86017
99,48432
01005
49,73713
49,74718
99980
263°33'38"
70
—99992
—01239
+80,71276
109,9472
00910
54,96904
54,97813
99983
269°17'25"
>/2Я = 4,7124
—1,00000
0,00000
+ 00
111,3178
0,00898
55,65440
55,66338
0,99984
270*
80
—99616
+08750
—11.38487
121,5104
00823
60,75109
60,75932
99986
275'’01'll"
90
—98245
18651
—5,26749
134,2898
00745
67,14117
67,14861
99989
280°44'58"
5,00
—0,95892
0,28366
—3,38052
142,4132
0,00674
74,20321
74,20995
0,99991
286°28'44"
10
—92581
37798
—2,44939
164,0219
00610
82,00791
82,01400
99993
292°12'31"
20
—88345
46852
—1,88564
181,2722
00552
90,63336
90,63888
99994
297°56'17"
30
—83227
55437
—1,50127
200,3368
00499
100,1659
100,1709
99995
303°40'03"
40
—77276
63469
-1,21754
221,4064
00452
110,7009
110,7055
99996
309°23'50''
74^ = 5,4978
—0,70711
0,70711
—1,00000
244,1511
0,00410
122,0735
122,0776
0,99997
315°
50
—70554
70867
—0,99558
244,6919
00409
122,3480
122,3480
99997
315°07'36"
60
—63127
77557
—0,81394
270,4264
00370
135,2114
135,2151
99997
320°51'23"
70
—55069
83471
-0,65973
298,8674
00335
149,4320
149,4354
99998
326°35'09"
80
—46460
88552
—0,52467
330,2996
00303
165,1483
165,1513
99998
332°18'56"
90
—37388
92748
—0,40311
365,0375
00274
182.5174
182,5201
99998
338°02'42"
6,00
—2.27942
0,96017
—0,29101
403,4288
0,00248
201,7132
201,7156
0,99999
343°46'29"
10
—18216
98327
—18526
445,8578
00224
222,9278
222,9300
99999
349°30'15"
20
—08309
99654
—08338
492,7490
00203
246,3735
246,3755
99999
355°14'02"
2it = 6,2832
0,00000
1,00000
0,00000
535,4917
0,00187
267,7449
267,7468
0,99999
360°
30
+01681
99986
+01682
544,5719
00184
272,2850
272,2869
99999
360°57'48"
40
11655
99318
11735
601,8450
00166
300,9217
300,9233
99999
366°41'35"
50
21512
97659
22028
665,1416
00150
332,5701
332,5716
1,00000
372°25'21"
60
31154
95023
32786
735.0952
00136
367,5469
367,5483
00000
378°09'08"
70
40485
91438
44276
-812,4058
00123
406,2023
406,2035
00000
383°52'54"
80
49411
86940
56834
897,8473
00111
448,9231
448,9242
00000
389°36'41"
90
57844
81573
70911
992,2747
00101
496,1369
496,1379
00000
395°20'27"
со
СП
Продолженае прилож. 1
X
sin X
cos X
tgA:
sh X
ch X
th X
л®
7,00
0,65699
0,75390
0,87145
1096,633
0.000912
548,3161
548,3170
1,00000
401° 04'14"
10
72897
68455
1,06489
1211,967
0С0825
605,9831
605,9839
00000
406°48'00"
20
79367
60835
1,30462
1339,431
000747
669,7150
669,7158
00000
412°31'47"
30
85044
52608
1,61656
1480,300
000676
740,1496
740,1503
00000
418°15'33"
40
89871
43855
2,04928
1635,984
000611
817,9919
817,9925
00000
423°59'20"
50
93800
34664
2,70601
1808,042
000553
904,0209
904,0215
00000
429°43'06"
60
96792
25126
3,85227
1998,196
000500
999,0977
999,0982
00000
435°26'53"
70
98817
15337
6,44287
2208,348
000453
1104,174
1104,174
00000
441“10'39"
80
99854
05396
18,50682
2440,602
000410
1220,301
1220,301
00000
446°54'25"
= 7,8540
1,00000
0,00000
±оо
2575,9705
0,00039
1287,9851
1287,9854
1,00000
450°
90
99894
—0460С0
—21,71511
2697,282
000371
1348.641
1348,641
00000
452°38'12"
8,00
0,98936
—0,14550
—6,79971
2980,958
0,000335
1490,479
1490,479
1,00000
458°21'58"
10
96989
—24354
—3,98240
3294,468
0С0304
1647,234
1647.234
00000
464°05'45"
20
94073
—33915
—2,77375
3640,950
000275
1820,475
1820,475
ооосо
469°49'31"
30
90217
—43138
—2,09138
4023,872
000249
2011.936
2011,936
00000
475*33'18"
40
85460
—51929
— 1,64571
4447,067
000225
2223,533
2223,533
00000
481°17'04"
50
79849
—60201
— 1,32636
4914,769
000203
2457,384
2457,385
00000
487°00'51"
60
73440
—67872
—1,08203
5431,660
000184
2715,830
2715,830
00000
492°44'37"
70
66297
—74865
—0,88556
6002,912
000167
3001,456
3001,456
00000
498*28'24"
80
58492
—81109
—72115
6634,244
С00151
3317,122
3317,122
00000
504°12'10"
90
50102
—86544
—57892
7331,974
009136
3665,987
3665,987
00000
509°55'57"
9,00
0,41212
0,91112
-0,45232
8103,084
0,000123
4051,542
4051.542
1,00000
515°39'43"
20
22289
—97484
—22864
9897.129
000101
4948.564
4948,565
00000
527°07'16"
40
02478
—99969
—02478
12088,38
000083
6044,190
6044.190
00000
538°34'49"
Зя=: 9,4248
0,ОООСО
— 1,00000
0,00000
12391.6478
0.0С008
6195,8239
6195,8239
1.00000
540°
60
— 17433
—98469
+ 17704
14764,78
. 000068
7382,391
7382,391
00000
550°02'22"
80
—36648
—93043
39388
18033,74
000055
9016,872
9016,872
00000
561°29'55"
10,0
—0,54402
—0,83907
0,64836
22026,47
0,000045
11013,233
11013,233
1,00000
572°57'28"
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Приложвние 2
X*
X, рад
sin X
COS X
tgx
ctg X
-
-
0° —
20'
40'
0,00000
0,00582
0,01164
0,00000
0,00582
0,01164
1,00000
0,99998
0,99993
0,00000
0,00582
0,01164
CO
171,885
85,940
1,57080
1,56498
1,55916
90° —
40'
20'
1° —
20'
40'
0,01745
0,02327
0,02909
0,01745
0,02327
0,02908
0,99985
0,99973
0,99958
0,01746
0,02328
0,02910
57,290
42,964
34,368
1,55334
1,54753
1,54171
89° —
40'
20'
2° —
20'
40'
0,03491
0,04072
0,04654
0,03490
0,04071
0,04653
0,99939
0,99917
0,99892
0,03492
0,04075
0,04658
28,636
24,542
21,470
1,53589
1,53007
1,52425
88° —
40'
20'
3° -
20'
40'
0,05236
0,05818
0,06400
0,05234
0,05814
0,06395
0,99863
0,99831
0,99795
0,05241
0,05824
0,06408
19,081
17,169
15,605
1,51844
1,51262
1,50680
87° —
40'
20'
4° —
20'
40'
0,06981
0,07563
0,08145
0,06976
0,07556
0,08136
0,99756
0,99714
0,99668
0,06993
0,07578
0,08163
14,301
13,197
12,251
1,50098
1,49517
1,48935
86° —
40'
20'
5* —
20'
40'
0,08727
0,09308
0,09890
0,08716
0,09295
0,09874
0,99619
0,99567
0,99511
0,08749
0,09335
0,09923
11,4301
10,7119
10,0780
1,48353
1,47771
1,47189
85° —
40'
20'
6* —
20'
40'
0,10472
0,11054
0,11636
0,10453
0,11031
0,11609
0,99452
0,99390
0,99324
0,10510
0,11099
0.11688
9,5144
9,0098
8,5555
1,46608
1,46026
1,45444
84° —
40'
20'
7° —
20'
40'
8* —
20'
40'
9° —
20'
40'
0,12217
0,12799
0,13381
0,13963
0,14544
0,15126
0,15708
0,16290
0,16872
0,12187
0,12764
0.13341
0.13917
0.14493
0.15069
0.15643
0,16218
0,16792
0,99255
0,99182
0,99106
0,99027
0,98944
0,98858
0,98769
0,98676
0,98580
0,12278
0,12869
0,13461
0,14054
0,14648
0,15243
0.15838
0,16435
0,17033
8,1443
7.7704
7,4287
1,1154
6,8269
6,5606
6,3138
6,0844
5,8708
1,44862
1,44281
1,43699
1,43117
1,42535
1,41953
1 41372
1.40790
1,40208
83° —
40'
20'
82° —
40'
20'
81° —
40'
20'
10* —
20'
40'
0,17453
0,18035
0,18617
0,17365
0,17937
0,18509
0,98481
0,98378
0,98272
Т
0,17633
0,18233
0,18835
5.6713
5,4845
5,3093
1,39626
1,39045
1,38463
80° —
40'
20'
11° —
20'
40'
0,19199
0,19780
0,20362
Щ ^
0,19081
0,19652
0,20222
0,98163
0,98050
0,97934
0,19438
0,20042
0,20648
5,1446
4,9894
4,8430
1,37881
1,37299
1.36717
79° —
40'
20'
12° —
20'
40'
0,20944
0,21526
0,22108
0,20791
0.21360
0,21928
0,97815
0,97692
0,97566
0,21256
0,21864
0,22475
4,7046
4,5736
4,4494
1,36136
1,35554
1,34972
78° —
40'
20'
13° —
20'
40'
0,22689
0,23271
0,23853
0,22495
0,28062
0,23627
0,97437
0,97304
0,97169
0,23087
0,23700
0,24316
4,3315
4,2193
4,1126
1.34390
1,33809
1.33227
77° —
40'
20'
14° —
20'
40'
0,24435
0,25016
0,25598
0,24192
0,24756
0,25320
0,97030
0.96887
0,96742
0,24933
0,25552
0,26172
4,0108
3,9136
3,8208
1,32645
1,32063
1.31481
76° —
40'
20'
15° —
0,26180
0,25882
0.96593
0,26795
3,7321
1,30900
75° —
-
-
cos X
sin X
ctg X
tgx
X, pad
Перевод секунд в радианы:
Секунды . . О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50
Радианы . . 0.000 005 010 015 019 024 029 034 039 044 048 097 145 194 0.000242
365
Продолжение прилож. 2
Минуты
Радианы
366
л:*
X, рад
sin X
COS X
tex
ctg X
-
-
15° —
20'
40'
0,26180
0,26762
0,27343
0,25882
0,26443
0,27004
0,96593
0,96440
0.96285
0,26795
0,27419
0,28046
3,7321
3,6470
3,5656
1,30900
1,30318
1,29736
75° —
40'
20'
16° —
20'
40'
0,27925
0,28507
0,29089
0,27564
0,28123
0,28680
0,95126
0,95964
0,95799
0,28675
0,29305
0,29938
3,4874
3,4124
3,3402
1,29154
1,28573
1,27991
74° —
40'
20'
17° -
20'
40'
0,29671
0,30252
0,30834
0.29237
0,29793
0,30348
0,95680
0,95459
0,95284
0,30573
0,31210
0,31850
3,2709
3,2041
3,1397
1,27409
1.26827
1,26245
73° —
40'
20'
18° —
20'
40'
0,31416
0,31998
0,32579
0,30902
0,31454
0,32006
0,95106
0,94924
0,94740
0,32492
0,33136
0,33783
3,0777
3,0178
2,9600
1,25664
1,25082
1,24500
72° —
40'
20'
19° —
20'
40'
0,33161
0,33743
0,34325
0,32557
0,33106
0,33655
0,94552
0,94361
0,94167
0,34433
0,35085
0,35740
2,9042
2,8502
2,7980
1,23918
1,23337
1,22755
71° —
40'
20''
20° —
20'
40'
0,34907
0,35488
0,36070
0,34202
0,34748
0,35293
0,93969
0,93769
0,93565
0,36897
0,37057
0,37720
2,7475
2.6985
2,6511
1,22173
1,21591
1,21009
70° —
40'“
20'
21° —
20'
40'
0,26652
0,37234
0,37815
0,35837
0,36379
0,36921
0,93358
0,93148
0,92935
0,38386
0,39055
0,39726
2,6051
2,5605
2,5172
1,20428
1,19846
1,19264
69° —
40'
20'
22° —
20'
40'
0,38397
0,38979
0,39561
0,37461
0.37999
0.38537
0,92718
0,92499
0,92276
0,40403
0,41081
0,41763
2,4751
2,4342
2,3945
1,18682
1,18101
1,17519
68° —
40'-
20''
23° —
20'
40'
0,40143
0,40724
0,41306
0,39073
0,39608
0,40142
0,92050
0,91822
0,91590
0,42447
0,43136
0,43828
2,3559
2,3183
2,2817
1,16937
1,16355
1,15774
67° —
40'
20'
24° —
20'
40'
0,41883
0,42470
0,43051
0,40674
0,41204
0,41734
0,91355
0,91116
0,90875
0,44523
0,45222
0,45924
2,2460
2,2113
2,1775
1,15192
1,14610
1,14028
66° —
40'
20'
25° —
20'
40'
0,43633
0,44215
0,44797
0,42262
0,42788
0,43313
0,90631
0,90883
0,90133
0,46631
0,27341
0,48055
2,1445
2,1123
2,0809
1,13446
1,12865
1,12283
65° —
40'
20'
26° —
20'
40'
0,45379
0,45960
0,46542
0,43837
0,44359
0,44880
0,89879
0,89623
0,89363
0,48773
0,49495
0,50222
2,0503
2,0204
1,9912
1,11701
1,11119
1,10538
64° —
40'
20'
27° —
20'
40'
0,47124
0,47706
0,48287
0,45399
0,45917
0,46433
0,89101
0,88835
0,88566
0,50953
0,51688
0,52427
1,9626
1,9347
1,9074
1,09956
1,09374
1,08792
63° —
40'
20'
28° - -
20'
40'
0.48869
0,49451
0,50033
0,46947
0,47460
0,47971
0,88925
0,88020
0,87743
0,53171
0,53920
0,54673
1,8807
1,8546
1,8291
1,08210
1,07629
1,07047
62° —
40'
20'
29° —
20'
40'
0,50615
0,51196
0,51778
0,48481
0,48989
0,49495
0.87462
0,87178
0,86892
0,55431
0,56194
0,56962
1,8040
1,7796'
1,7556
1,06465
1,05883
1,05302
61° —
40'
20'
30° —
0,52360
0,50000
0,86603
0,57735
1,7321
1,04720
60° —
-
-
cos X
sin X
ctg JC
iex
X, pad
О
0,00
1
0291
Перевод минут в радианы:
2 3 4 5 6 7
0582 0373 1164 1454 1745 2036
8 9 10
2327 2618 0,002909
Продолжение табл. 2
X, рад
sin X
COS X
tgx
ctg X
-
-
30° —
20'
40'
0,52360
0,52942
0,53523
0,50000
0,50503
0,51004
0,86603
0,86310
0,86015
0,57735
0,58513
0,59297
1,73205
1,70901
1,68643
1,04720
1,04138
1,03556
60° —
40'
20'
31° —
20'
40'
0,54105
0,54687
0,55269
0,51504-
0,52002
0,52498
0,85717
0,85416
0,85112
0,60086
0,60881
0,61681
1,66428
1,64256
1,62125
1,02974
1,02393
1,01811
59° —
40'
20'
32° —
20'
40'
0,55851
0,56432
0,57014
0,52992
0,53484
0,53975
0,84805
0,84495
0,84182
0,62487
0,63299
0,64117
1,60033
1,57981
1,55966
1,01229
1,00647
1,00066
58° —
40'
20'
33° —
20'
40'
0,57596
0,58178
0,58759
0,54464
0,54951
0,55436
0,83867
0,83549
0,83228
0,64941
0,65771
0,66608
1,53986
1,52043
1,50133
0,99484
0,98902
0,98320
57° —
40'
20'
34° —
20'
40'
0,59341
0,59923
0,60505
0,55919
0,56401
0,56880
0,82904
0,82577
0,82248
0,67451
0,68301
0,69157
1,48256
1,46411
1,44598
0,97738
0,97157
0,96575
56° —
40'
20'
35° —
20'
40'
0,61087
0,61668
0,62250
0,57358
0,57833
0,58307
0,81915
0,81580
0,81242
0,70021
0,70891
0,71769
1,42815
1,41061
1,39336
0,95993
0,95411
0,94830
55° —
40'
20'
36° —
20'
40'
0,62832
0,63414
0,63995
0,58779
0,59248
0,59716
0,80902
0,80558
0,80212
0,72654
0,73547
0,74447
1,37638
1,35968
1,34323
0,94248
0,93666
0,93084
54° —
40'
20'
37° —
20'
40'
0,64577
0,65159
0,65741
0,60182
0,60645
0,61107
0,79864
0,79512
0,79158
0,75355
0,76272
0,77196
1,32704
1,31110
1,29541
0,92502
0,91921
0,91339
53° —
40'
20'
38° —
20'
40'
0,66323
0,66904
0,67486
0,61566
0,62024
0,62479
0,78801
0,78442
0,78079
0,78129
0,79070
0,80020
1,27994
1,26471
1,24969
0,90757
0,90175
0,89594
52° —
40'
20'
39° —
20'
40'
0,68068
0,68650
0,69231
0,62932
0,63383
0,63832
0,77715
0,77347
0,76977
0,80978
0,81946
0,82923
1,23490
1,22031
1,20593
0,89012
0.88430
0,87848
51° —
40'
20'
40° —
20'
40'
0,69813
0,70395
0,70977
0,64279
0,64723
0,65166
0,76604
0,76229
0,75851
0,83910
0,84906
0,85912
1,19175
1,17777
1,16398
0,87266
0,86685
0,86103
50° —
40'
20'
41° —
20'
40'
0,71559
0,72140
0,72722
0,65606
0,66044
0,66480
0,75471
0,75088
0,74703
0,86929
0,87955
0,88992
1,15037
1,13694
1,12369
0,85521
0,84939
0,84358
49° —
40'
20'
42° —
20'
40'
0,73304
0,73886
0,74467
0,66913
0,67344
0,67773
0,74314
0,73924
0,73531
0,90040
0,91099
0,92170
1,11061
1,09770
1,08496
0,83776
0,83194
0,82612
48° —
40'
20'
43° —
20'
40'
0,75049
0,75631
0,76213
0,68200
0,68624
0,69046
0,73135
0,72737
0,72337
0,93252
0,94345
0,95451
1,07237
1,05994
1,04766
0,82030
0,81449
0,80867
47° —
40'
20'
44° —
20'
40'
0,76794
0,77376
0,77958
0,69466
0,69883
0,70298
0,71934
0,71529
0,71121
0,96569
0,97700
0,98843
1,03553
1,02355
1,01170
0,80285
0,79703
0,79122
46° —
40'
20'
45° —
0,78540
0,70711
0,70711
1,00000
1,00000
0,78540
45°
-
-
cos X
sin X
ctgx
X, pad
Перевод градусов в радианы:
90* = -^ 1,570796; 180° = я = 3,141593; 270° = 3/2 я = 4,712389;
360° = 2я = 6,283185; 540° = Зя = 9,424778; 720° = 4я= 12,566371.
367
ТАБЛИЦА ft-ФУНКЦИЙ
Приложение^
h(t)
X
h it)
X
h it)
X
h it)
X
hit),
X
0,0000
0,1269
0,2502
0,3671
0,4748
0,5712
0,6548
0,7250
0,7810
0,8244
0,8561
0,8777
0,8912
0,8986
0,9019
0,9028
0,9028
0,9031
0,9044
0,9070
0,9110
0,9160
0,9218
0,9277
0,9336
0,9386
10,0
10.4
10,8
11,2
11,6
12,0
12.4
12,8
13.2
13.6
14.0
14.4
14.8
15.2
15.6
16.0
16.4
16.8
17.2
17.6
18,0
18.4
18,8
19.2
19.6
20,0
0,9386
0,9428
0,9459
0,9480
0,9493
0,9498
0,9499
0,9499
0,9501
0,9505
0,9514
0,9527
0,9545
0,9564
0,9586
0,9606
0,9624
0,9639
0,9650
0,9658
0,9662
0,9664
0,9664
0,9664
0,9665
0,9668
X
20,0
20.4
20,8
21,2
21,6
22,0
22.4
22,8
23.2
23.6
24.0
24.4
24.8
25.2
25.6
26.0
26.4
26.8
27.2
27.6
28,0
28.4
28,8
29.2
29.6
30,0
= 0,00
0,9668
0,9673
0,9680
0,9689
0,9699
0,9710
0,9720
0,9729
0,9736
0,9741
0,9745
0,9747
0,9747
0,9747
0,9747
0,9748
0,9750
0,9753
0,9757
0,9763
0,9769
0,9776
0,9782
0,9788
0,9792
0,9795
30.0
30.4
30.8
31.2
31.6
32.0
32.4
32.8
33.2
33.6
34.0
34.4
34.8
35.2
35.6
36.0
36.4
36.8
37.2
37.6
38.0
38.4
38.8
39.2
39.6
40.0
0,9795
0,9796
0,9797
0,9797
0,9797
0,9797
0,9799
0,9800
0,9802
0,9806
0,9809
0,9813
0,9817
0,9821
0,9825
0,9828
0,9830
0.9831
0,9831
0,9831
0,9831
0,9832
0,9832
0,9833
0,9835
0,9837
К = 0,05
5( = 0,10
40.0
40.4
40.8
41.2
41.6
42.0
42.4
42.8
43.2
43.6
44.0
44.4
44.8
45.2
45.6
46.0
46.4
46.8
47.2
47.6
48.0
48.4
48.8
49.2
49.6
50.0
0,0000
10,0
0,9800
20,0
1,0013
30,0
1,0074
40,0
0,1332
10,4
0,9837
20,4
1,0015
30,4
1,0073
40,4
0,2627
10,8
0,9867
20,8
1,0020
30,8
1,0071
40,8
0,3857
11.2
0,9887
21,2
1,0026
31,2
1,0069
41,2
0,4935
11,6
0,9896
21,6
1,0034
31,6
1,0036
41,6
0,5997
12,0
0,9898
22,0
1,0042
32,0
1,0064
42,0
0.6872
12,4
0,9896
22,4
1,0050
32,4
1,0061
42,4
0,7605
12,8
0,9892
22,8
1,0056
32,8
1,0060
42,8
0,8194
13,2
0,9891
23,2
1,0060
33,2
1,0060
43,2
0,8647
13,6
0,9892
23,6
1,0064
33,6
1,0061
43,6
0,8978
14,0
0,9899
24,0
1,0064
34,0
1,0062
44,0
0,9204
14,4
0,9911
24,4
1,0063
34,4
1,0064
44,4
0,9341
14,8
0,9925
24,8
1,0061
34,8
1,0066
44,8
0,9414
15,2
0,9942
25,2
1,0058
35,2
1,0063
45,2
0,9447
15.6
0,9961
25,6
1,0054
35,6
1,0069
45,6
0,9452
16,0
0,9979
26,0
1,0053
36,0
1,0069
46,0
0,9449
16,4
0,9996
26,4
1,0052
36,4
1,0069
46,4
0,9449
16,8
1,0009
26,8
1,0052
36,8
1,0067
46,8
0,9460
17,2
1,0017
27,2
1,0055
37,2
1,0065
47,2
0,9485
17,6
1,0022
27,6
1,0058
37,6
1,0063
47,6
0,9513
18,0
1,0023
28.0
1,0062
38,0
1,0060
48,0
0,9573
18,4
1,0022
28,4
1,0065
38,4
1.0057
48,4
0,9629
18,8
1,0019
28,8
1,0069
38,8
1,0056
48,8
0,9689
19,2
1,0015
29,2
•1,0071
39,2
1,0055
49,2
0,9746
19,6
1,0013
29,6
1,0073
39,6
1,0054
49,6
0,9800
20,0
1,0013
30,0
1,0074
40,0
1,0054
50,0
0,0
0,0000
10,0
1.0085
20,0
1,0107
30,0
1,0044
40,0
0,4
0,1411
10,4
1,0119
20,4
1,0102
30,4
1,0041
40,4
0,8
0,2745
10,8
1,0141
20,8
1,0100
30,8
1,0035
40,8
1.2
0,4030
11,2
1,0152
21,2
1,0100
31,2
1,0030
41,2
1,6
0,5220
11,6
1,0153
21,6
1,0103
31,6
1,0024
41,6
2,0
0,6276
12,0
1,0145
22,0
1,0105
32,0
1,0018
42,0
2,4
0,7190
12.4
1.0134
22,4
1,0107
32,4
1,0014
42,4
0,9837
0,9840
0,9843
0,9846
0,9849
0,9851
0,9853
0,9854
0,9855
0,9855
0,9855
0,9855
0,9855
0,9856
0,9857
0,9859
0,9860
0,9863
0,9865
0,9867
0,9869
0,9870
0,9872
0,9872
0,9873
0,9873
1.0054
1.0055
1.0056
1.0058
1.0058
1.0058
1.0057
1,0056
1,0055
1,0052
1,0051
1,0048
1,0046
1,0044
1.0043
1.0043
1.0043
1.0043
1.0043
1.0043
1.0043
1.0042
1.0042
1,0041
1,0040
1,0038
0,9979
0,9979
0,9980
0,9981
0,9981
0,9982
0,9981
368
Продолженае пралож. 3
Ш)
X
h(t)
X
h{t)
X
h(t)
X
h(f)
X
0,7953
0,8572
0,9032
0,9371
0,9596
0,9733
0,9798
0,9824
0,9814
0,9794
0,9784
0,9785
0,9799
0,9831
0,9878
0,9941
0,9990
1,0042
1,0085
0,0000
0,1459
0,2876
0,4218
0,5452
0,6553
0,7502
0,8291
0,8921
0,9399
0,9738
0,9959
1,0085
1,0141
1,0147
1,0126
1,0096
1.0069
1.0052
1.0053
1.0069
1,0100
1,0138
1,0179
1,0219
1,0251
12,8
13.2
13.6
14.0
14.4
14.8
15.2
15.6
16.0
16.4
16.8
17.2
17.6
18,0
18.4
18,8
19.2
19.6
20,0
10,0
10.4
10,8
11,2
11,6
12,0
12.4
12,8
13.2
13.6
14.0
14.4
14.8
15.2
15.6
16.0
16.4
16.8
17.2
17.6
18,0
18.4
18,8
19.2
19.6
20,0
1,0122
1,0111
1.0104
1,0102
1.0105
1,0113
1.0123
1,0136
1,0146
1,0154
1,0160
1,0161
1,0159
1,0152
1,0143
1,0134
1.0123
1.0115
1,0107
1,0251
1,0272
1,0282
1,0280
1,0268
1,0249
1,0224
1,0200
1,0175
1,0159
1.0146
1.0139
1.0138
1.0140
1.0143
1.0143
1.0147
1,0145
1.0139
1,0130
1,0116
1,0101
1,0085
1,0068
1,0054
1,0042
22,8
23.2
23.6
24.0
24.4
24.8
25.2
25.6
26.0
26.4
26.8
27.2
27.6
28,0
28.4
28,8
29.2
29.6
30,0
X=
1,0108
1,0108
1,0105
1,0100
1,0093
1,0085
1.0078
1,0070
1,0063
1,0057
1,0054
1,0051
1.0050
1.0049
1.0050
1.0050
1.0050
1,0048
1,0044
0,15
32.8
32.2
33.6
34.0
34.4
34.8
35.2
35.6
36.0
36.4
36.8
37.2
37.6
38.0
38.4
38.8
39.2
39.6
40.0
0,0011
1,0008
1,0006
1,0006
1.0005
1.0006
1,0006
1,0005
1,0004
1,0001
0,9998
0,9995
0,9992
0,9989
0,9985
0,9983
0,9981
0,9980
0,9979
42.8
43.2
43.6
44.0
44.4
44.8
45.2
45.6
46.0
46.4
46.8
47.2
47.6
48.0
48.4
48.8
49.2
49.6
50.0
X=0,20
0,9981
0,9979
0,9977
0,9975
0,9973
0,9971
0,9970
0,9970
0,9970
0,9971
0,9972
0,9974
0,9974
0,9975
0,9977
0,9976
0,9976
0,9976
0,9975
20,0
1,0042
30,0
0,9967
40,0
0,9980
20,4
1,0034
30,4
0,9965
40,4
0,9984
20,8
1,0027
30,8
0,9963
40,8
0,9987
21,2
1,0024
31,2
0,9959
41,2
0,9991
21,6
1,0023
31,6
0,9956
41,6
0,9993
22,0
1,0023
32,0
0,9953
42,0
0,9996
22,4
1,0023
32,4
0,9952
42,4
0,9999
22,8
1,0022
32,8
0,9952
42,8
1,0000
23,2
1,0020
33,2
0,9953
43,2
1.0001
23,6
1,0016
33,6
0,9955
43,6
1,0001
24,0
1,0009
34,0
0.9957
44,0
1,0001
24,4
1,0002
34,4
0,9960
44,4
1,0001
24,8
0,9993
34,8
0,9964
44,8
1,0000
25,2
0,9984
35,2
0,9968
45,2
1,0002
25.6
0,9976
35,6
0,9970
45,6
1.0003
26,0
0,9970
36,0
0,9972
46,0
1,0004
26,4
0,9964
36,4
0,9975
46,4
1,0006
26,8
0,9961
36,8
0,9974
46,8
1,0008
27,2
0,9960
37,2
0,9975
47,2
1,0011
27,6
0,9959
37,6
0,9974
47,6
1,0013
28,0
0,9961
38,0
0,9974
48,0
1,0016
28,4
0,9964
38,4
0.9973
48,4
1,0016
28,8
0,9967
38,8
0,9974
48,8
1,0017
29,2
0,9967
39,2
0,9976
49,2
1,0017
29,6
0,9968
39,6
0,9978
49,6
1,0017
30,0
0,9967
40,0
0.9980
50,0
1,0016
0,0
0,0000
10,0
1,0304
20,0
0,9945
30,0
0,9987
-40,0
1,0020
0,4
0,1523
10,4
1,0312
20,4
0,9938
30,4
0,9989
40,4
1,0021
0.8
0,3001
10,8
1,0309
20,8
0,9935
30,8
0,9990
40,8
1,0022
1.2
0,4399
11,2
1,0293
21,2
0,9935
31,2
0,9990
41,2
1,0023
1,6
0,5682
11,6
1,0269
21,6
0,9998
31,6
0,9990
41,6
1,0024
2,0
0,6824
12,0
1,0235
22,0
0,9942
32,0
0,9990
42,0
1,0023
2,4
0,7806
12,4
1,0199
22,4
0,9946
32,4
0,9990
42,4
1,0023
2,8
0,8618
12,8
1,0163
22,8
0,9950
32,8
0,9992
42,8
1,0022
3,2
0,9260
13,2
1,0130
23,2
0,9954
33,2
0,9996
43,2
1,0020
3,6
0,9741
13,6
1,0101
23,6
0,9954
33,6
1,0000
43,6
1,0017
4,0
1,0076
14,0
1,0081
24,0
0,9953
34,0
1,0003
44,0
1,0014
4,4
1,0285
14,4
1,0066
24,4
0,9950
34,4
1,0008
44,4
1,0011
4,8
1,0395
14,8
1,0059
24,8
0,9946
34,8
1,0013
44,8
1,0009
5,2
1,0430
15,2
1,0055
25,2
0,9943
35,2
1,0018
45,2
1,0006
5,6
1,0412
15,6
1,0055
25,6
0,9940
35,6
1,0021
45,6
1,0005
6,0
1,0366
16,0
1,0055
26,0
0,9939
36,0
1,0024
46,0
1,0004
369
Продолжение прилож. 3
6.4
6,8
7.2
7.6
8,0
8.4
8,8
9.2
9.6
10,0
0,0
0,4
0,8
1.2
1.6
2,0
2.4
2,8
3.2
3.6
4.0
4.4
4.8
5.2
5.6
6.0
6.4
6.8
7.2
7.6
8,0
8.4
8,8
9.2
9.6
10,0
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2,0
2.4
2,8
3.2
3.6
4.0
4.4
4.8
5.2
5.6
6.0
6.4
6.8
7.2
7.6
8,0
8.4
8,8
9.2
9.6
10,0
370
Ht)
X
1,0312
1,0261
1,0221
1,0203
1,200
1,0213
1,0236
1,0262
1,0287
1,0304
0,0000
0,1585
0.3123
0,4578
0,5909
0,7090
0,8099
0,8931
0,9580
1,0058
1,0382
1,0573
1,0659
1,0664
1,0616
1,0540
1,0457
1,0375
1,0310
1,0262
1.0242
1,0235
1.0242
1,0253
1,0264
1,0270
16.4
16.8
17,2
17.6
18,0
18.4
18,8
19,2
19.6
20,0
10.0
10.4
10,8
11,2
11,6
12,0
12.4
12,8
13.2
13.6
14.0
14.4
14.8
15.2
15.6
16.0
16.4
16.8
17.2
17.6
18,0
18.4
18,8
19.2
19.6
20,0
Л(0
X
1,0053
1,0049
1,0041
1,0030
1,0017
1,0000
0,9984
0,9968
0,9955
0,9945
1,0270
1,0266
1,0252
1,0224
1,0190
1,0148
1,0105
1,0062
1,0023
0.9992
0,9969
0,9955
0,9949
0,9947
0,9950
0,9954
0,9958
0,9959
0,9957
0,9952
0,9943
0,9933
0,9923
0,9915
0,9908
0,9906
26.4
26,8
27.2
27.2
28,0
28.4
28,8
29.2
29.6
30.0
г
20.0
20.4
20,8
21.2
21.6
22,0
22.4
22,8
23.2
23.6
24.0
24.4
24.8
25.2
25.6
26.0
26.4
26.8
27.2
27.6
28,0
28.4
28,8
29.2
29.6
30,0
h{t)
X
0,9939
0,9941
0,9945
0,9951
0,9957
0,9964
0,9972
0,9979
0,9983
0,9987
:0,25
0,9906
0,9907
0,9911
0,9919
0,9928
0,9941
0,9953
0,9964
0,9973
0,9980
0,9984
0,9986
0,9987
0,9987
0,9986
0,9988
0,9990
0,9994
1,0000
1,0006
1,0013
1,0020
1,0028
1,0034
1,0037
1,0039
36.4
36.8
37.2
37.6
38.0
38.4
38.8
39.2
39.6
40.0
30.0
30.4
30.8
31.2
31.6
32.0
32.4
32.8
33.2
33.6
34.0
34.4
34.8
35.2
35.6
36.0
36.4
36.8
37.2
37.6
38.0
38.4
38.8
39.2
39.6
40.0
1.0025
1.0025
1.0025
1,0023
1,0021
1,0020
1.0019
1,0018
1,0018
1.0020
1.0039
1.0039
1,0036
1,0034
1,0031
1,0027
1,0025
1,0022
1,0021
1,0021
1,0021
1,0021
1,0022
1,0023
1.0022
1,0021
1,0018
1,0015
1,0011
1,0006
1,0001
0,9997
0,9994
0,9990
0,9988
0,9987
Х=0.30
hit)
X
46.4
46.8
47.2
47.6
48.0
48.4
48.8
49.2
49.6
50.0
40.0
40.4
40.8
41.2
41.6
42.0
42.4
42.8
43.2
43.6
44.0
44.4
44.8
45.2
45.6
46.0
46.4
46.8
47.2
47.6
48.0
48.4
48.8
49.2
49.6
50.0
0,0000
10,0
1,0175
20,0
0,9943
30,0
1,0029
40,0
0,1648
10,4
1,0162
20,4
0,9948
30,4
1,0024
40,0
0,3247
10,8
1,0144
20,8
0,9958
30,8
1,0017
40,8
0,4755
11,2
1,0116
21,2
0,9971
31,2
1,0011
41,2
0,6128
11,6
1,0078
21,6
0,9986
31,6
1,0003
41,6
0,7325
12,0
1,0036
22,0
1,0001
32,0
0,9996
42,0
0,8385
12,4
0,9990
22,4
1,0014
32,4
0,9990
42,4
0,9235
12,8
0,9950
22,8
1,0026
32,8
0,9985
42,8
0,9882
13,2
0,9915
23,2
1,0036
33,2
0,9982
43,2
1,0351
13,6
0,9888
23,6
1,0043
33,6
0,9981
43,6
1,0656
14,0
0,9871
24,0
1,0045
34,0
0,9981
44,0
1,0821
14,4
0,9864
24,4
1,0045
34,4
0,9982
44,4
1.0876
14,8
0,9867
24,8
1,0042
34,8
0,9983
44,8
1,0845
15,2
0,9875
25,2
1,0039
35,2
0,9985
45,2
1,0762
15,6
0,9888
25,6
1,0035
35,6
0,9985
45,6
1,0648
16,0
0,9903
26,0
1,0031
36,0
0,9985
46,0
1,0527
16,4
0,9917
26,4
1,0028
36,4
0,9985
46,4
1,0416
16,8
0,9930
26,8
1,0027
36,8
0,9998
46,8
1,0322
17,2
0,9938
27,2
1,0027
37,2
0,9982
47,2
1,0252
17,6
0,9943
27,6
1,0029
37,6
0,9980
47,6
1,0206
18,0
0,9943
28,0
1,0030
38,0
0,9978
48,0
1,0184
18,4
0,9942
28,4
1,0032
38,4
0,9977
48,4
1,0176
18,8
0,9940
28,8
1.0034
38,8
0,9977
48,8
1,0175
19,2
0,9938
29,2
1,0035
39,2
0,9978
49,2
1,0178
19,6
0,9938
29,6
1,0033
39,6
0,9980
49,6
1,0175
20,0
0.9943
30,0
1,0029
40,0
0,9982
50,0
1.0003
1.0003
1.0003
1.0003
1,0002
1,0002
1,0001
0,9999
0,9997
0,9995
0,9987
0,9987
0,9988
0,9989
0,9990
0,9989
0,9988
0,9987
0,9986
0,9984
0,9983
0,9981
0.9980
0,9979
0.9980
0,9981
0,9983
0,9985
0,9988
0,9990
0,9993
0,9995
0,9996
0,9997
0,9997
0,9998
0,9982
0,9987
0,9991
0,9995
0,9998
1,0002
1.0005
1.0006
1.0007
1.0007
1.0007
1.0007
1,0006
1.0007
1.0007
1.0008
1.0009
1,0011
1.0013
1.0014
1,0016
1,0016
1,0016
1.0014
1,0012
1,0016
Продолжение прилож. 3
t
h{t)
X
t
h(.t)
X
t
h(t)
X
t
Ht)
X
t
X
0.0
0,0000
10,0
1,0053
)
20,0
r=0,35
1,0008
30,0
0,9987
40,0
1,0011
0,4
0,1712
10,4
1,0046
20,4
1,0013
30,4
0,9984
40,4
1,0013
0,8
0,3370
10,8
1,0030
20,8
1,0020
30,8
0,9980
40,8
1,0016
1,2
0,4931
11.2
1,0005
21,2
1,0029
31,2
0,9976
41,2
1,0017
1,6
0,6355
11,6
0,9973
21,6
1,0039
31,6
0,9972
41,6
1,0018
'2,0
0,7605
12,0
0,9938
22,0
1,0048
32,0
0,9968
42,0
1,0019
■2,4
0,8663
12,4
0,9903
22,4
1,0057
32,4
0,9968
42,4
1,0018
2,8
0,9515
12,8
0,9871
22,8
1,0063
32,8
0,9967
42,8
1,0016
В,2
1,0162
13.2
0,9846
23,2
1,0066
33,2
0,9969
43,2
1,0014
.3,6
1,0616
13,6
0,9831
23,6
1,0064
33,6
0,9973
43,6
1,0010
4.0
1,0897
14,0
0,9825
24,0
1,0059
34,0
0,9977
44,0
1,0006
4,4
1,1030
14,4
0,9832
24,4
1,0052
34,4
0,9983
44,4
1,0002
4,8
1,1044
14,8
0,9847
24,8
1,0042
34,8
0,9989
44,8
0,9999
5.2
1.0973
15,2
0,9870
25,2
• 1,0030
35,2
0,9995
45,2
0,9995
5,6
1,0847
15.6
0,9896
25,6
1,0019
35,6
1,0000,
45,6
0,9993
6,0
1,0693
16.0
0,9922
26,0
1,0009
36,0
1,0005
46,0
0,9992
6,4
1,0535
16,4
0,9948
26,4
1,0001
36,4
1,0008
46,4
0,9991
6,8
1,0390
16,8
0,9969
26,8
0,9995
36,8
1,0009
46,8
0,9992
7,2
1,0267
17,2
0,9985
27,2
0,9991
37,2
1,0009
47,2
0,9992
7,6
•1,0175
17,6
0,9997
27,6
0,9989
37,6
1,0009
47,6
0,9992
8,0
1,0113
18,0
1,0003
28,0
0,9988
38,0
1,0008
48,0
0,9992
8,4
1,0076
18,4
1,0006
28,4
0,9989
38,4
1,0008
48,4
0,9993
8,8
1,0060
18,8
1,0006
28,8
0,9990
38,8
1,0008
48,8
0,9993
«,2
1,0054
19,2
1,0005
29,2
0,9990
39,2
1,0008
49,2
0,9991
9,6
1,0055
19,6
1,0005
29,6
0,9989
39,6
1,0009
49,6
0,9991
10,0
1,0053
20,0
1,0008
30,0
0,9987
40,0
1,0011
50,0
0,9989
0,0
0,0000
10.0
0,9937
у:
20,0
=0,40
1,0039
30,0
0,9992
40,0
0,9992
0,4
0,1774
10,4
0,9941
20,4
1,0035
30,4
0,9944
40,4
0,9992
0,8
0,3493
10,8
0,9939
20,8
1,0033
30,8
0,9996
40,8
0,9991
1,2
0,5099
11,2
0,9927
21,2
1,0033
31,2
0,9997
41,2
0,9993
1,6
0,6571
11,6
0,9911
21,6
1,0035
31,6
0,9997
41,6
0,9993
2,0
0,7853
12,0
0,9888
22,0
1,0037
32,0
0,9996
42,0
0,9992
2,4
0,8923
12,4
0,9867
22,4
1,0038
32,4
0,9998
42,4
0,9992
2,8
0,9783
12,8
0,9849
22,8
1,0037
32,8
1,0000
42,8
0,9991
3,2
1,0420
13,2
0,9839
23,2
1,0033
33,2
1,0003
43,2
0,9990
3,6
1,0853
13,6
0,9836
23,6
1,0027
33,6
1,0008
43,6
0,9988
4,0
1,1102
14,0
0.9845
24,0
1,0017'
34,0
1,0013
44,0
0,9986
4,4
1,1196
14,4
0,9864
24,0
1,0007
34,4
1,0017
44,4
0,9985
4,8
1,1166
14,8
0,9890
24,8
0,9994
34,8
1,0020
44,8
0,9985
5,2
1,1048
15,2
0.9922
25,2
0,9982
35,2
I,0024
45,2
0,9985
5,6
1,0878
15,6
0,9958
25,6
0,9971
35,6
1,0027
45,6
0,9986
6,0
1,0680
16,0
0,9992
26,0
0.9962
36,0
1,0028
46,0
0,9989
6,4
1,0483
16.4
1,0022
26,4
0,9955
36,4
1,0027
46,4
0,9992
6,8
1,0306
16,8
1,0045
26,8
0,9953
36,8
1,0024
46,8
0,9995
7,2
1,0160
17,2
1,0062
27,2
0,9953
37,2
1,0020
47,2
0.9998
7.6
1,0049
17,6
1,0072
27,6
0,9957
37,6
1,0013
47,6
1,0002
8,0
0,9976
18,0
1,0074
28,0
0,9962
38,0
1,0009
48,0
1,0006
8,4
0,9934
18,4
1,0071
28,4
0,9969
38,4
1,0004
48,4
1,0008
8,8
0,9918
18,8
1,0064
28,8
0,9976
38,8
0,9999
48,8
1.0011
9.2
0,9918
19,2
1,0055
29,2
0,9983
39,2
0,9995
49,2
1,0011
9,6
0,9928
19,6
1,0047
29,6
0,9988
39,6
0,9993
49,6
1,0011
10,0
0,9937
20,0
1,0039
30,0
0,9992
40,0
0,9992
50,0
1,0009
0,0
0,0000
10,0
0,9852
%
20,0
=0,45
1,0011
30,0
1,0033
40,0
0,9981
0,4
0,1834
10,4
0,9878
20,4
0,9997
30,4
1,0033
40,4
0,9985
0,8
0,3614
10,8
0,9896
20,8
0,9989
30,8
1,0032
40,8
0,9991
1,2
0,5280
11,2
0,9905
21,2
0,9984
31,4
1,0029
41,2
0,9996
1,6
0,6786
11,6
0,9906
21,6
0,9982
31,6
1,0023
41,6
1,0000
2,0
0,8095
12,0
0,9899
22,0
0,9983
32,0
1,0018
42,0
1,0004
2,4
0,9181
12,4
0,9893
22,4
0,9984
32,4
1,0014
42,4
1,0008
371
Продолжение прилож. 3
НП
X
h{t)
X
h{t)
X
h(t)
X
bit)
X
1.0020
1,0658
1,1063
1,1273
1,1321
1,1242
1,1075
1,0855
1,0616
1,0337
1,0179
1,0013
0,9891
0,9818
0,9782
0,9777
0,9793
0,9823
0,9852
0,0000
0,1899
0,3752
0,5452
0,6997
0,8314
0,9402
1,0272
1,0837
1,1242
1,1410
1,1407
1,1275
1,1055
1,0789
1,0508
1,0235
1,0019
0,9844
0,9723
0,9658
0,9641
0,9659
0,9702
0,9760
12,8
13.2
13.6
14.0
14.4
14.8
15.2
15.2
16.0
16.4
16.8
17.2
17.6
18,0
18.4
18,8
19.2
19.6
20,0
10,0
10.4
10,8
11,2
11,6
12,0
12.4
12,8
13.2
13.6
14.0
14.4
14.8
15.2
15.6
16.0
16.4
16.8
17.2
17.6
18,0
18.4
18,8
19.2
19.6
0,9888
0,9889
0,9896
0,9913
0,9936
0.9967
1,0000
1,0035
1,0065
1,0091
1,0107
1,0115
1,0114
1,0103
1,0089
1,0069
1,0048
1,0029
1,0011
0,9819
0,9871
0,9913
0,9943
0,9961
0,9968
0,9971
0,9971
0,9973
0,9978
0,9992
1,0011
1,0034
1,0059
1,0083
1,0101
1,0113
1,0118
1,0112
1,0098
1,0076
1,0049
1,0021
0,9992
0,9950
22,8
23.2
23.6
24.0
24.4
24.8
25.2
25.6
26.0
26.4
26.8
27.2
27.6
28,0
28.4
28,8
29.2
29.6
30,0
0,9985
0,9984
0,9982
0,9978
0,9972
0,9967
0,9961
0,9956
0,9955
0,9957
0,9962
0,9970
0,9980
0,9990
1,0003
1,0013
1,0022
1,0029
1,0033
X=0,50
20,0
20.4
20,8
21,2
21,6
22,0
22.4
22,8
23.2
23.6
24.0
24.4
24.8
25.2
25.6
26.0
26.4
26.8
27.2
27.6
28,0
28.4
28,8
29.2
30,0
0,9950
0,9937
0,9931
0,9932
0,9938
0,9947
0,9958
0,9969
0,9979
0,9987
0,9991
0,9994
0,9995
0,9995
0,9995
0,9997
1,0000
1,0004
1,0010
1,0017
1,0025
1,0031
1,0036
1,0039
1,0034
32.8
33.2
33.6
34.0
34.4
34.8
35.2
35.6
36.0
36.4
36.8
37.2
37.6
38.0
38.4
38.8
39.2
39.6
40.0
30.0
30.4
30.8
31.2
31.6
32.0
32.4
32.8
33.2
33.6
34.0
34.4
34.8
35.2
35.6
36.0
36.4
36.8
37.2
37.6
38.0
38.4
38.8
39.2
40.0
1,0009
1,0008
1,0006
1,0006
1.0004
1.0004
1.0005
1,0004
1,0001
0,9999
0,9994
0,9989
0,9985
0,9981
0,9977
0,9976
0,9977
0,9979
0,9981
1,0034
1,0028
1,0020
1,0010
1,0000
0,9990
0,9982
0,9975
0.9973
0,9972
0,9973
0,9974
0,9981
0,9986
0,9990
0,9993
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
1,0000
1,0000
1,0000
1,0002
1,0007
42.8
43.2
43.6
44.0
44.4
44.8
45.2
45.6
46.0
46.4
46.8
47.2
47.6
48.0
48.4
48.8
49.2
49.6
50.0
40.0
40.4
40.8
41.2
41.6
42.0
42.4
42.8
43.2
43.6
44.0
44.4
44.8
45.2
45.6
46.0
46.4
46.8
47.2
47.6
48.0
48.4
48.8
49.2
50.0
O(=0.55
1,0010
1,0011
1,0010
1,0009
1,0008
1.0007
1,0006
1,0006
1.0007
1.0007
1.0008
1,0008
1,0008
1,0008
1,0007
1,0006
1,0003
0,9999
0,9996
1,0007
1,0011
1.0014
1.0017
1.0019
1.0019
1.0017
1.0014
1,0011
1,0005
1,0000
0,9995
0,9991
0,9988
0,9985
0,9985
0,9985
0,9987
0,9988
0,9990
0,9992
0,9996
0,9997
0,9998
0,9999
0,0
0,0000
10,0
0,9843
20,0
0,9907
30,0
0,9996
40,0
0,9994
0.4
0,1962
10,4
0,9924
20,4
0,9906
30,4
0,9990
40,4
0,9993
0.8
0,3856
10,8
0,9989
20,8
0,9913
30,8
0,9984
40,8
0,9993
1,2
0,5622
11,2
1,0034
21,2
0,9927
31,2
0,9978
41,2
0,9994
1,6
0,7203
11,6
1,0060
21,6
0,9946
31,6
0,9972
41,6
0,9994
2,0
0,8556
12,0
1,0071
22,0
0,9968
32,0
0:9968
42,0
0,9994
2,4
0,9657
12,4
1,0071
22,4
0,0990
32,4
0,9968
42,4
0,9994
2,8
1,0491
12,8
1,0063
22,8
1,0008
32,8
0,9969
42,8
0,9993
3,2
1,1066
13,2
1,0055
23,2
1,0024
33,2
0,9973
43,2
0,9992
3,6
1,1395
13,6
1,0049
23,6
1,0038
33,6
0,9979
43,6
0,9990
4,0
1,1511
14,0
1,0046
24,0
1,0042
34,0
0,9988
44,0
0,9988
4,4
1,1452
14,4
1,0050
24,4
1,0044
34,4
0,9996
44,4
0,9987
4,8
1,1266
14,8
1,0057
24,8
1,0042
34,8
1,0005
44,8
0,9988
5,2
1,0996
15,2
1,0065
25,6
1,0036
35,2
1,0014
45,2
0,9989
5,6
1,0683
15,6
1,0075
25,6
1,0029
35,6
1,0021
45,6
0.9992
6,0
1,0355
16,0
1,0081
26,0
1,0023
36,0
1,0025
46,0
0,9995
6,4
1,0068
16,4
1,0081
26,4
1,0016
36,4
1,0028
46,4
0,9999
372
Продолжение прилож. 3
h(t)
X
Ht)
X
h(t)
X
h(t)
X
h(t)
X
0,9842
0,9667
0,9559
0,9517
0,9529
0,9581
0,9660
0,9753
0,9843
0,0000
0,2027
0,3960
0,5789
0,7405
0,8776
0,9876
1,0694
1,1233
1,1534
1,1579
1,1466
1,1222
1,0889
1,0546
1,0203
0,9900
0,9660
0,9499
0,9416
0,9407
0,9459
0,9553
0,9672
0,9803
0,9925
16,8
17.2
17.6
18,0
18,4
18,8
19.2
19.6
20,0
10,0
10.4
10,8
11,2
11,6
12,0
12.4
12,8
13.2
13.6
14.0
14.4
14.8
15.2
15.6
16.0
16.4
16.8
17.2
17.6
18,0
18.4
18,8
19.2
19.6
20,0
1,0073
1,0058
1,0039
1,0013
0,9986
0,9958
0,9934
0,9917
0,9907
0,9925
1,0029
1,0107
1,0156
1,0180
1,0178
1,0161
1,0133
1,0100
1,0070
1,0046
1,0028
1,0018
1,0013
1,0012
1,0012
1,0008
1,0004
0,9995
0,9981
0,9966
0,9948
0,9934
0,9923
0,9920
0,9922
26,8
27.2
27.6
28,0
28,4
28,8
29.2
29.6
30,0
1,0012
1,0009
1.0007
1.0007
1.0007
1.0008
1,0005
1,0001
0,9996
X=0,60
20,0
20.4
20,8
21,2
21,6
22,0
22.4
22,8
23.2
23.6
24.0
24.4
24.8
25.2
25.6
26.0
26.4
26.8
27.2
27.6
28,0
28.4
28,8
29.2
29.6
30,0
0,9922
0,9933
0,9950
0,9971
0.9999
1,0023
1,0045
1,0061
1.0071
1,0076
1.0071
1,0059
1,0044
1,0026
1,0008
0,9992
0,9978
0,9969
0,9964
0,9962
0,9965
0,9970
0,9977
0,9983
0,9988
0,9992
36.8
37.2
37.6
38.0
38,4
38.8
39.2
39.6
40.0
30.0
30.4
30.8
31.2
31.6
32.0
32.4
32.8
33.2
33.6
34.0
34.4
34.8
35.2
35.6
36.6
36.4
36.8
37.2
37.6
38.0
38.4
38.8
39.2
39.6
40.0
1,0026
1,0023
1,0019
1,0014
1,0008
1,0003
0,9999
0,9996
0,9994
0,9992
0,9996
0,9997
0,9998
0,9998
0,9997
0,9999
1,0001
1,0006
1,0010
1,0014
1,0018
1,0022
1,0024
1,0023
1,0020
1,0016
1,0010
1,0001
0,9993
0,9986
0,9979
0,9973
0,9972
0,9973
0,9977
46.8
47.2
47.6
48.0
48,4
48.8
49.2
49.6
50.0
40.0
40.4
40.8
41.2
41.6
42.0
42.4
42.8
43.2
43.6
44.0
44.4
44.8
45.2
45.6
46.0
46.4
46.8
47.2
47.6
48.0
48.4
48.8
49.2
49.6
50.0
X=0,65
1,0004
1,0007
1,0011
1.0015
1,0017
1.0016
1,0015
1,0012
1,0009
0,9977
0,9982
0,9988
0,9996
1,0002
1.0007
1,0011
1.0013
1.0014
1.0014
1,0012
1,0009
1.0007
1,0005
1,0004
1,0002
1,0001
1,0000
0.9999
0,9999
0,9998
0,9999
0,9999
0,9997
0,9993
0,9990
0,0
0,0000
10,0
1,0055
20,0
0,9981
30,0
1,0036
40,0
1,0003
0,4
0,2080
10,4
1,0166
20,4
0,9992
30,4
1,0039
40,4
1,0009
0,8
0,4096
10,8
1,0244
20,8
1,0007
30,8
1,0038
40,8
1,0015
1.2
0,5960
11,2
1,0282
21,2
1,0020
31,2
1,0032
41,2
1,0019
1.6
0,7601
11,6
1,0288
21,6
1,0041
31,6
1,0025
41,6
1,0021
2,0
0,8986
12,0
1,0258
22,0
1,0054
32,0
1,0017
42,0
1,0023
2,4
1,0080
12,4
1,0210
22,4
1,0065
32,4
1,0009
42,4
1,0020
2.8
1,0875
12,8
1,0149
22,8
1,0067
32,8
1,0002
42,8
1,0016
3,2
1,1378
13,2
1,0061
23,2
1,0064
33,2
0,9996
43,2
1,0010
3,6
1,1611
13,6
1,0029
23,6
1,0055
33,6
0,9992
43,6
1,0003
4,0
1,1618
14,0
0,9983
24,0
1,0039
34,0
0,9990
44,0
0,9997
4,4
1,1444
14,4
0,9948
24,4
1,0021
34,4
0,9989
44,0
0,9990
4,8
1,1145
14,8
0,9931
24,8
0,9999
34,8
0,9990
44,8
0,9984
5,2
1,0776
15,2
0,9922
25,2
0,9976
35,2
0,9991
45,2
0,9980
5,6
1,0386
15,6
0,9926
25,6
0,9959
35,6
0,9991
45,6
0,9980
6,0
1,0007
16,0
0,9Й7
26,0
0,9945
36,0
0,9993
46,0
0,9979
6,4
0,9714
16,4
0,9951
26,4
0,9936
36,4
0,9993
46,4
0,9982
6,8
0,9500
16,8
0,9959
26,8
0,9936
36,8
0,9991
46,8
0,9986
7,2
0,9352
17,2
0,9967
27,2
0,9942
37,2
0,9989
47,2
0,9991
7,6
0,9306
17.6
0,9972
27,6
0.9951
37,6
0,9987
47,6
0.9997
8.0
0,9340
18,0
0,9973
28,0
0,9967
38,0
0,9986
48,0
1,0003
8,4
0,9438
18,4
0,9972
28,4
0,9984
38,4
0,9987
48,4
1,0007
8.8
0,9580
18,8
0,9970
28,8
1,0002
38,8
0,9990
48,8
1,0011
9,2
0,9742
19,2
0,9969
29,2
1,0017
39,2
0,9993
49,2
1,0012
9,6
0,9908
19,6
0,9974
29,6
1,0029
39,6
0,9997
49,6
1,0013
10,0
1.0055
20,0
0,9981
30,0
1,0036
40,0
1,0003
50,0
1,0012
373
Продолжение прилож. 3
t
Hi)
X
t
Hi)
X
t
Hi)
X
t
Hi)
X
t
Hi)
X
X
=0,70
0,0
0,0000
10,0
1,0202
20,0
1,0025
30,0
1,0053
40,0
0,9996
0,4
0,2165
10,4
1,0313
20,4
1,0021
30,4
1,0044
40,4
0,9995
0,8
0,4214
10,8
1,0376
20,8
1,0019
30,8
1,0030
40,8
0,9995
1,2
0,6117
11,2
1,0387
21,2
1,0019
31,2
1,0013
41,2
0,9995
1,6
0,7798
11,6
1,0354
21,6
1,0021
31,6
0,9997
41,6
0,9996
2,0
0,9187
12,0
1,0286
22,0
1,0024
32,0
0,9980
42,0
0,9996
2,4
1,0276
12,4
1,0196
22,4
1,0024
32,4
0,9968
42,4
0,9995
2,8
1,1040
12,8
1,0100
22,8
1,0018
32,8
0,9958
42,8
0,9994
3,2
1,1499
13,2
1,0005
23,2
1,0012
33,2
0,9955
43,2
0,9993
3,6
1,1678
13,6
0,9924
23,6
1,0004
33,6
0,9958
43,6
0,9991
4,0
1,1627
14,0
0,9869
24,0
0,9991
34,0
0,9964
44,0
0,9990
4,4
1,1393
14,4
0,9835
24,4
0,9977
34,4
0,9972
44,4
0,9990
4,8
1,1041
14,8
0,9826
24,8
0,9964
34,8
0,9982
44,8
0,9991
5,2
1,0629
15,2
0,9836
25,2
0,9954
35,2
0,9996
45,2
0,9994
5,6
1,0212
15,6
0,9962
25,6
0,9947
35,6
1,0008
45,6
0,9997
6,0
0,9838
16,0
0,9900
26,0
0,9947
36,0
1,0015
46,0
1,0001
6,4
0,9538
16,4
0,9938
26,4
0,9952
36,4
1,0021
46,4
1,0005
6,8
0,9337
16,8
0,9974
26,8
0,9962
36,8
1,0024
46,8
1,0009
7,2
0,9237
17,2
1,0006
27,2
0,9978
37,2
1,0023
47,2
1,0013
7,6
0,9236
17,6
1,0028
27,6
0,9995
37,6
1,0020
47,6
1,0017
8,0
0,9324
18,0
1.0043
28,0
1,0013
38,0
1,0016
48,0
1,0017
8,4
0,9473
18,4
1,0046
28,4
1,0032
38,4
1,0011
48,4
1,0017
8,8
0,9680
18,8
1,0044
28,8
1,0046
38,8
1,0006
48,8
1,0014
9,2
0,9860
19,2
1,0038
29,2
1,0054
39,2
1,0002
49,2
1,0010
9,6
1,0048
19,6
1,0031
29,6
1,0056
39,6
0,9998
49,6
1,0004
10,0
1,0202
20.0
1,0025
30,0
1,0053
40,0
0,9996
50,0
0,9998
X=0.75
0,0
0,0000
10,0
1,0356
20,0
1,0006
30,0
1,0011
40,0
0,9966
0,4
0,2218
10,4
1,0448
20,4
0,9981
30,4
0,9999
40,4
0,9973
0,8
0,4334
10,8
1,0473
20,8
0,9962
30,8
0,9988
40,8
0,9984
1,2
0,6280
11,2
1,0441
21,2
0,9951
31,2
0,9973
41,2
0,9995
1,6
0,7980
11,6
1,0360
21,6
0,9948
31,6
0,9963
41,6
1,0СЮ4
2,0
0,9383
12,0
1,0248
22,0
0,9953
32,0
0,9957
42,0
1,0073
2,4
1,0454
12,4
1,0119
22,4
0,9961
32,4
0,9956
42,4
1,0020
2,8
1,1188
12,8
0,9995
22,8
0,9970
32,8
0,9961
42,8
1,0023
3,2
1,1600
13,2
0,9882
23,2
0,9979
33,2
0,9970
43,2
1,0024
3,6
1,1720
13,6
0,9794
23,6
0,9988
33,6
0,9982
43,6
1,0021
4,0
1,1606
14,0
0,9746
24,0
0,9993
34,0
0,9995
44,0
1,0018
4,4
1,1314
14,4
0,9733
24,4
0.9993
34,4
1,0011
44,4
1,0012
4,8
1,0915
14,8
0,9755
24,8
0,9996
34,8
1,0025
44,8
1,0005
5,2
1,0466
15,2
0,9793
25,2
0,9997
35,2
1,0038
45,2
0,9999
5,6
1,0033
15,6
0,9861
25,6
0,9997
35,6
1,0042
45,6
0,9994
6,0
0,9659
16,0
0,9930
26,0
0,9999
36,0
1,0044
46,0
0,9991
6,4
0,9376
16,4
0,9999
26,4
1,0002
36,4
1,0041
46,4
0,9980
6,8
0,9211
16,8
1,0079
26,8
1,0008
36,8
1,0032
46,8
0,9988
7,2
0,9159
17,2
1.0102
27,2
1,0014
37,2
1,0020
47,2
0,9990
7,6
0,9214
17,6
1,0129
27,6
1,0020
37,6
1,0005
47,6
0,9991
8,0
0,9357
18,0
1,0136
28,0
1,0027
38,0
0,9991
48,0
0,9993
8,4
0,9555
18,4
1,0127
28,4
1,0031
38,4
0,9978
48,4
0,9996
8,8
0,9787
18.8
1,0102
28,8
1,0032
38,8
0,9970
48,8
0,9997
9,2
1,0010
19,2
1,0072
29,2
1,0029
39,2
0,9964
49,2
0,9999
9,6
1,0211
19,6
1,0037
29,6
1,0023
39,6.
0,9963
49,6
1,0000
10,0
1,0356
20,0
1,0006
30,0
1,0015
40,0
0,9966
50,0
0,9999
X
=0,80
■0,0
O', 0000
10,0
1,0490
20,0
0,9914
30,0
0,9990
40,0
0,9996
■0,4
0,2280
10,4
1,0544
20,4
0,9879
30,4
0,9993
40,4
1,0008
0,8
0,4451
10,8
1,0520
20,8
0,9862
30,8
0,9995
40,8
1,0020
1,2
0,6441
11,2
1,0435
21,2
0,9863
31,2
0,9995
41,2
1,0028
1.6
0,8165
11,6
1,0307
21,6
0,9884
31,6
0,9996
41,6
1,0034
2,0
0,9566
12,0
1,0149
22,0
0,9915
32,0
0,9997
42,0
1,0035
2,4
1,0620
12,4
0,9991
22,4
0,9951
32,4
1,0000
42,4
1,0032
374
Продолжение прилож. 3
h(t)
с
hit)
X
hit)
X
hit)
X
hit)
X
1,1318
1,1679
1,1736
1,1563
1,1214
1,0770
1,0295
0,9851
0,9491
0,9244
0,9120
0,9127
0,9240
0,9438
0,9682
0,9940
1,0177
1,0370
1,0490
0,0000
0,2413
0,4567
0,6592
0,8342
0,9742
0,1775
1,1430
1,1734
1,1732
1,1496
1,1094
1,0615
1,0118
0,9675
0,9341
0,9138
0,9072
0,9139
0,9306
0,9552
0,9836
1,0106
1,0335
1,0505
1,0586
12,8
13.2
13.6
14.0
14.4
14.8
15.2
15.6
16.0
16.4
16.8
17.2
17.6
18,0
18.4
18,8
19.2
19.6
20,0
10,0
10.4
10,8
11,2
11,6
12,0
12.4
12,8
13.2
13.6
14.0
14.4
14.8
15.2
15.6
16.0
16.4
16.8
17.2
17.6
18,0
18.4
18,8
19.2
19.6
20,0
0,9847
0,9735
0,9665
0,9650
0,9674
0,9740
0,9828
0,9931
1,0026
1,0120
1,0185
1,0221
1,0223
1,0198
1,0154
1,0096
1,0027
0,9965
0,9914
1,0586
1,0583
1,0505
1,0365
1,0194
1,0003
0,9831
0,9693
0,9608
0,9568
0,9611
0,9692
0,9805
0,9933
1,0066
1,0179
1,0253
1,0295
1,0293
1,0256
1,0185
1,0095
0,9997
0,9906
0,9839
0,9796
22,8
23.2
23.6
24.0
24.4
24.8
25.2
25.6
26.0
26.4
26.8
27.2
27.6
28,0
28.4
28,8
29.2
29.6
30,0
X=
20,0
20.4
20,8
21,2
21,6
22,0
22.4
22,8
23.2
23.6
24.0
24.4
24.8
25.2
25.6
26.0
26.4
26.8
27.2
27.6
28,0
28.4
28,8
29.2
29.6
30,0
X=
0,9990
1,0022
1,0048
1,0066
1,0073
1,0069
1,0060
1.0041
1,0022
1,0004
0,9989
0,9978
0,9972
0,9969
0,9971
0,9975
0,9981
0,9986
0,9990
0,85
0,9796
0,9782
0,9798
0,9839
0,9898
0,9969
1,0035
1.0091
1,0130
1,0158
1,0152
1,0129
1.0092
1,0050
0,9997
0,9956
0,9916
0,9897
0,9890
0,9899
0,9918
0,9947
0,9983
1,0014
1.0042
1,0062
0,90
32.8
33.2
33.6
34.0
34.4
34.8
35.2
35.6
36.0
36.4
36.8
37.2
37.6
38.0
38.4
38.8
39.2
39.6
40.0
30.0
30.4
30.8
31.2
31.6
32.0
32.4
32.8
33.2
33.6
34.0
34.4
34.8
35.2
35.6
36.0
36.4
36.8
37.2
37.6
38.0
38.4
38.8
39.2
39.6
40.0
1.0003
1,0006
1,0011
1,0014
1,0018
1,0020
1,0022
1,0017
1,0010
1.0003
0,9993
0,9984
0,9976
0,9970
0,9968
0,9971
0,9976
0,9985
0,9996
1,0062
1,0070
1,0068
1,0060
1,0044
1.0023
1,0003
0,9982
0,9967
0,9960
0,9958
0,9958
0,9966
0,9977
0,9990
1,0002
1.0015
1,0020
1.0023
1,0019
1.0016
1,0012
1,0007
1,0002
0,9998
0,9994
42.8
43.2
43.6
44.0
44.4
44.8
45.2
45.6
46.0
46.4
46.8
47.2
47.6
48.0
48.4
48.8
49.2
49.6
50.0
40.0
40.4
40.8
41.2
41.6
42.0
42.4
42.8
43.2
43.6
44.0
44.4
44.8
45.2
45.6
46.0
46.4
46.8
47.2
47.6
48.0
48.4
48.8
49.2
49.6
50.0
0,0000
10,0
1,0631
20,0
0,9718
30,0
1,0146
40,0
0,2409
10,4
1,0571
20,4
0,9752
30,4
1,0122
40,4
0,4683
10,8
1,0427
20,8
0,9819
30,8
1,0088
40,8
0,6751
11,2
1.0241
21.2
0,9908
31,2
1,0035
41,2
0,8512
11,6
1,0045
21,6
1,0007
31,6
0,9983
41,6
0,9911
12,0
0.9845
22,0
1,0100
32,0
0,9935
42,0
1,0915
12,4
0,9682
22,4
1,0171
32,4
0,9902
42,4
1,1530
12,8
0,9576
22,8
1,0213
32,8
0,9882
42,8
1,1767
13,2
0,9535
23,2
1,0229
33,2
0,9879
43,2
1,1703
13,6
0,9564
23,6
1,0208
33,6
0,9893
43,6
1,1413
14,0
0,9652
24,0
1,0158
34,0
0,9924
44,0
1,0960
14,4
0,9779
24,4
1,0090
34,4
0.9958
44,4
0.0448
14,8
0,9^30
24,8
1,0014
34,8
0,9996
44,8
0,9946
15,2
1,0085
25,2
0,9937
35,2
1,0040
45,2
0,9525
15,6
1,0224
25,6
0,9873
35,6
1,0071
45,6
0,9220
16,0
1,0314
26,0
0,9838
36,0
1,0090
46,0
0,9064
16,4
1,0353
26,4
0,9812
36,4
1,0097
46,4
1,0024
1,0014
1,0003
0,9991
0,9979
0,9970
0,9964
0,9964
0,9973
0.9979
0,9989
0,9998
1,0009
1,0018
1,0026
1,0029
1,0028
1,0023.
1,0014.
0,9994
0,9993.
0,9993
0,9995.
0,9996
0.9996
0,9995
0.9993
0,9993
0,9992
0,9992
0,9992
0,9992
0.9995
1,0000
1,0006
1,0010
1.0014
1,0016
1,0016
1.0015
1,0012
1,0007
0,9998
0,9993-
0,9982
0,9925
0,9939
0,9958
0,9983
1,0010
1.0034
1.0049
1,0060
1,0061
1.0049
1.0035
1,0015
0,9995
0,9977
0,9963
0,9954
0,9954
375
Продолженае прилож. 3
hit)
X
hit)
X
hit)
X
hit)
X
hit)
X
0,9060
0,9188
0.9415
0,9703
1,0003
1,0270
1,0479
1,0605
1,0631
0,0000
0,2465
1,4816
0,6876
0,8688
,0076
,1055
.1604
.1787
,1659
,1322
,0820
,0290
0,9794
0,9392
0,9136
0,9038
0,9100
0,9258
0,9551
0,9865
1,0178
1,0420
0,0584
1,0662
1,0616
16,8
17.2
17.6
18,0
18,4
18,8
19.2
19.6
20,0
10,0
10.4
10,8
11,2
11,6
12,0
12.4
12,8
13.2
13.6
14.0
14.4
14.8
15.2
15.6
16.0
16.4
16.8
17.2
17.6
18,0
18.4
18,8
19.2
19.6
20,0
1,0345
1,0289
1,0201
1,0082
0,9963
0,9852
0,9778
0,9726
0,9718
1,0616
1,0499
1.0306
1,0096
0,9889
0,9697
0,9569
0,9515
0,9536
0,9624
0,9758
0,9925
1,0093
1,0235
1,0342
1,0396
1,0382
1.0307
1,0205
1,0073
0,9927
0,9813
0,9775
0,9681
0,9701
0,9750
26,8
27.2
27.6
28,0
28,4
28,8
29.2
29.6
30,0
0,9822
0,9858
0,9911
0,9970
1,0036
1,0094
1,0131
1,0150
1,0146
X=0,9S
20,0
20.4
20,8
21,2
21,6
22,0
22.4
22,8
23.2
23.6
24.0
24.4
24.8
25.2
25.6
26.0
26.4
26.8
27.2
27.6
28,0
28.4
28,8
29.2
29.6
30,0
0,9750
0,9848
0,9949
1,0057
1,0162
1,0239
1,0276
1,0272
1,0228
1,0145
1,0056
0,9954
0,9866
0,9804
0,9773
0,9776
0,9811
0,9869
0,9953
1,0042
1,0113
1.0177
1.0207
1.0208
1.0177
1,0116
36.8
37.2
37.6
38.0
38,4
38.8
39.2
39.6
40.0
30.0
30.4
30.8
31.2
31.6
32.0
32.4
32.8
33.2
33.6
34.0
34.4
34.8
35.2
35.6
36.0
36.4
36.8
37.2
37.6
38.0
38.4
38.8
39.2
39.6
40.0
1,0090
1,0068
1,0041
1,0011
0,9981
0,9950
0,9926
0,9917
0,9925
1,0116
1,0052
0,9980
0,9904
0,9856
0,9828
0,9827
0,9851
0,9899
0,9961
1,0030
1,0090
1,0134
1,0162
1,0164
1,0144
1,0101
1,0048
0,9985
0,9928
0,9992
0,9866
0,9964
0,9980
0,9915
0,9960
46.8
47.2
47.6
48.0
48,4
48.8
49.2
49.6
50.0
40.0
40.4
40.8
41.2
41.6
42.0
42.4
42.8
43.2
43.6
44.0
44.4
44.8
45.2
45.6
46.0
46.4
46.8
47.2
47.6
48.0
48.4
48.8
49.2
49.6
50.0
X=1.00
0,9960
0,9968
0,9980
0,9997
1,0012
1.0025
1,0031
1,0033
1,0029
0,9960
1,0008
1,0062
1,0108
1,0130
1,0134
1,0119
1,0088
1,0040
0,9997
0,9954
0,9914
0,9894
0,9892
0,9902
0,9931
0,9964
1,0009
1,0051
1,0084
1,0105
1,0110
1,0099
1,0076
1,0042
1,0004
0,0
0,0000
10,0
1,0557
20,0
0,9856
30,0
0,9974
40,0
1,0103
0,4
0,2524
10,4
1,0384
20,4
0,9979
30,4
0,9896
40,4
1,0141
0.8
0,4915
10,8
1,0164
20,8
1,0099
30,8
0,9836
40,8
1,0156
1.2
0,7054
11,2
0,9934
21,2
1,0200
31,2
0,9803
41,2
1,0146
1.6
0,8844
11,6
0,9730
21,6
1,0266
31,6
0,9801
41,6
1,0113
2,0
1,0220
12,0
0,9581
22,0
1,0288
32,0
0,9831
42,0
1,0064
2,4
1,1157
12,4
0,9507
22,4
1,0265
32,4
0,9886
42,4
1,0005
2.8
1,1664
12,8
0,9513
22,8
1,0201
32,8
0,9958
42,8
0,9946
3,2
1,1786
13,2
0,9595
23,2
1,0108
33,2
1,0035
43,2
0,9898
3,6
1,1599
13,6
0,9734
23,6
1,0001
33,6
1,0104
43,6
0,9865
4,0
1,1193
14,0
0,9907
24,0
0,9898
34,0
1,0155
44,0
0,9856
4,4
1,0669
14,4
1,0085
24,4
0,9814
34,4
1,0182
44,4
0,9868
4.8
1,0122
14,8
1,0240
24,8
0,9762
34,8
1,0179
44,8
0,9901
5,2
0,9636
15,2
1,0350
25,2
0,9748
35,2
1,0148
45,2
0,9949
5,6
0,9274
15,6
1,0400
25,6
0,9774
35,6
1,0094
45,6
1,0004
6.0
0,9070
16,0
1,0385
26,0
0,9835
36,0
1,0028
46,0
1,0057
6,4
0,9035
16,4
1,0312
26,4
0,9919
36,4
0,9958
46.4
1,0101
6,8
0,9154
16,8
1,0193
26,8
1,0014
36,8
0,9896
46,8
1,0128
7,2
0,9391
17,2
1,0050
27,2
1,0104
37,2
0,9852
47,2
1,0135
7,6
0,9698
17,6
0,9906
27,6
1,0175
37,6
0,9832
47,6
1,0120
8,0
1,0022
18,0
0,9782
28,0
1,0216
38,0
0,9839
48,0
1,0087
8,4
1,0312
18,4
0,9698
28,4
1,0223
38,4
0,9871
48,4
1,0041
8,8
1,0528
18,8
0,9665
28,8
1,0195
38,8
0,9922
48,8
0,9989
9,2
1,0645
19,2
0,9684
29,2
1,0137
39,2
0,9985
49,2
0,9940
9,6
1,0652
19,6
0,9753
29,6
1,0059
39,6
1,0048
49,6
0,9901
10,0
1,0557
20,0
0,9856
30,0
0,9974
40,0
1,0103
50,0
0,9878
376
ОПЕЧАТКИ
Страгата
Г1)афа, строка
Напечатано
Следует
читать
ЗГ.8
десятая, 7-я сверху
20“73'35''
20°37'35"
358
десятая, 6-я снизу
30°22'23"
30°56”23"
360
вторая, 15-я сверху
0,85240
0,86240
360
девятая, 1-я снизу
0.93458
0,83058
362
вторая, 9-я сверху
0,86850
0,80850
364
шестая, 8-я снизу
0,009136
0,003136
365
третья, 10-я снизу
0,28062
0,23062
366
вторая, 19-я сверху
0,26652
0,36652
369
седьмая, 2-я сверху
32,2
33,2
369
восьмая, 1-я сверху
0,0011
1,0011
372
между 18-й II 19-й стцжамн снизу гцюнущена стржа (пс
горизонтали соответственно)
10,0
0.9819
20.0
0,9950
30.0
1,0034 _
40.0
1,0007
50.0
0,9999
374
вторая, 9-я сверху
1,0276
0,0276
375
первая, 30-я сверху
3,3
3.6
375
первая. 22-я снизу
8.6
8,8
Зак. № 1074