Ю.И.Тм,жев
для проектирования систем
автоматического
регулирования
Ю.ИТотеев
Атлас для проектирования систем автоматического регулирования
Допущено Государственным комитетом СССР по народному образованию в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений
Scanned by LinCAD
МОСКВА «МАШИНОСТРОЕНИЕ» 1989
ББК 32.965я73
Т58
УДК 681.51.001.63(075.8)
Рецензенты: 1. Кафедра МВТУ соответствующего профиля, зав. кафедрой член-корр. АН СССР Е. П. Попов
2. Академик АН СССР А. А. Воронов
Топчеев Ю. И.
Т58 Атлас для проектирования систем автоматического регулирования: Учеб, пособие для втузов. — М.: Машиностроение, 1989.— 752 с.: ил.
ISBN 5-217-00151-8
Приведены алгоритмы, номограммы, графики и таблицы для исследования устойчивости, показателей качества и точности различных классов систем, позволяющие решать задачи анализа и синтеза. Разработаны вычислительные процедуры и рабочие программы иа языке ПЛ/1 для проектирования автоматических систем регулирования (САР) с помощью ЕС ЭВМ в пакетном и интерактивном режимах работы. Все теоретические положения иллюстрированы многочисленными примерами выбора структур и параметров реальных систем.
Может быть полезен инженерно-техническим работникам, занимающимся расчетом и проектированием САР и управления в различных отраслях науки и техники.
Т	КБ 53-83—89	ББК 32.965я73
038(01оУ
ISBN 5-217-00151-8	© Издательство «Машиностроение»,
1989
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .....................  .	7
Введение...........................  10
РАЗДЕЛ I. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ОБЪЕКТОВ, УСТРОЙСТВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ . . . 20
Глава 1. Математические модели линейных элементов (объектов) .	.....	21
1.	Векторная и покоординатная формы описания непрерывных и дискретных элементов 21
2.	Методы линеаризации уравнений...............30
3.	Типы уравнений состояния ...... 41
4.	Передаточные функции типовых звеньев . . 46
5.	Структурные схемы и графы элементов (объектов) .................70
6.	Преобразования структурных схем н графов 79
7.	Частотные характеристики типовых звеньев 85
8.	Применение регрессионного анализа для составления математических моделей объектов 116
9.	Импульсные переходные функции . . .128
10.	Обобщенная форма представления математических моделей непрерывных и дискретных линейных элементов (объектов) на основе применения вычислительных процедур, реализуемых на ЭВМ 137
Глава 2. Математические модели не линейных элементов . . 145
1.	Общий метод описания эквивалентных передаточных функций нелинейных элементов . .145
2.	Гармоническая линеаризация типичных нелинейных элементов . . 155
3.	Статистическая линеаризация существенных нелинейных элементов . 248
4.	Совместная гармоническая и статистическая линеаризация .... 254
5.	Логарифмические эквивалентные амплитудные и фазовые характеристики сложных нелиней-
ных элементов .... 263
6.	Статистическая линеаризация существенных дискретных нелинейных элементов . ................275
7.	Вычислительные процедуры для определения коэффициентов гармонической и статистической линеаризации нелинейных элементов . . . 282
Глава 3~ Математические модели систем автоматического регулирования	. ... 291
1. Структурные схемы и графы САР .... 293 2. Структурные преобразования непрерывных линейных и нелинейных систем пли их графов ....... 294 3. Структурные схемы дискретно-непрерывных линейных и нелинейных систем .... 298 4. Структурные схемы замкнутых непрерывных и дискретно-непрерывных систем в векторно-матричной форме ..................306
5. Спектральное разложение произвольных действительных и комплексных матриц . .311 6. Алгоритмы вычисления функций от матриц . 322 7. Дискретные модели
САР ..................326
3
8.	Управляемость и наблюдаемость .... 328
9.	Номограммы и вычислительные процедуры для построения логарифмических частотных характеристик замкнутых систем .... 333
10.	Соединение САР в динамические комплексы 337
11.	Вычислительные процедуры для определения передаточных функций разомкнутых и замкнутых САР ..... 340
РАЗДЕЛ II. АНАЛИЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕ-
ГУЛИРОВАНИЯ . . . 343
Глава 4. Исследование устойчивости Линейных непрерывных и дискретно-непрерывных систем автоматического регулирования ........................344
1.	Устойчивость линейных систем по первому методу Ляпунова . . . 344
•2. Алгебраические критерии5 устойчивости Гурвица, Рауса, Льеиара — ШипЯра и Шур—Кона 353
3.	Частотные	критерии
' устойчивости	однокон-
турных САР по Михайлову Найквисту .359
4.	Частотные критерии устойчивости миогокон-туриых САР по Михайлову— Найквисту . . 366
5.	Частотные	критерии
• устойчивости	САР с
трансцендентными звеньями по Михайлову —
Найквисту ............372
6.	Выделение областей устойчивых и неустойчивых состояний и исследование устойчивости систем со слабодемпфи-роваииыми элементами 374
7.	Вычислительные процедуры для анализа устойчивости непрерывных и дискретно-непрерывных систем частотными методами..............  382
8.	Выделение областей устойчивых и неустойчивых состояний с помощью D-разбиеиия . 386
9.	Анализ устойчивости нестационарных линейных систем, основанный на рядах Неймаиа и интегральных уравнениях Вольтерра 1 -го рода -. 397
Глава 5. Исследование качества непрерывных и дискретно-непрерывных систем автоматического регулирования 403
1.	Интегральные оценки качества ...... 405
2.	Метод корневого годографа ..................416
3.	Построение переходных процессов с помощью вещественных или мнимых частотных характеристик замкнутых систем с помощью Лх-фуик-ций......................429
4.	Построение переходных процессов с помощью импульсных переходных функций ...... 453
5.	Исследование качества дискретных и дискретно-непрерывных систем 461
6.	Определение переходных процессов нестационарных линейных САР 465
7.	Построение переходных процессов в системах с помощью вычислительной процедуры, реали-
, . зоваииой иа ЭВМ . . 466
8.	Сравнение . запасов устойчивости САР с основными ' показателями Качества .	’ . . . . 470
Глава 6. Исследование Динамической точности непрерывных и дискретио-иепрерывиых линейных систем автоматического регулирования . . 474
1.	Характеристики точности непрерывных систем при действии регулярных сигналов .... 474
2.	Графоаналитические ме-. тоды определения ха-- рактеристик точности непрерывных систем при действии регулярных сигналов.................484
3.	Повышение точности систем иа основе применения принципа комбинированного управления 491
4.	Определение характе-- ристик точности систем при действии стационарных случайных сигналов 496
5.	Определение характеристик .точности дискретных и дискретно-непрерывных сиетем при действии регулярных и случайных сигналов  503
6.	Повышение точности систем при действии случайных сигналов путем "Выбора типа и парамет-
4
ров корректирующих устройств . . . . . 509
Глава 7. Нелинейные системы автоматического регулирования 513 1. Исследование устойчивости нелинейных систем по второму методу Ляпунова .... 513 2. Применение метода гармонической линеаризации для анализа устойчивости непрерывных нелинейных систем с учетом влияния 1-й гармоники . ...........................524
3.	Применение метода гар-. ионической линеаризации при учёте высших гармонических составляющих ..................529
4.	Способы подавления ав-
токолебаний .... 534
5.	Возникновение медленно меняющихся колебаний в автоколебательных системах ....... 537
6.	Вынужденные колебания в нелинейных системах 540 7. критерий абсолютной устойчивости нелиией-
 иых систем . . . . . 543 8. Устойчивость иелиией-г иых дискретных и дискретно-непрерывных систем	551
9. Влияние случайных процессов иа нелинейные -САР .....................554
Глава 8. Проектирование систем автоматического регулирования с заданной структурой 553 1. Непрерывные линейные и нелинейные системы 558 2. Дискретно-непрерывные линейные. и нелинейные системы ............................569
3. Экстремальные системы автоматического регулирования ...... 585 4. Расчет и исследование самонастраивающейся системы управления с эталонной моделью и сигнальной компеиса-. . 600
АВ-РЕ-. . 609
Глава 9. Синтез линейных непрерывных систем автоматического регулирования при регулярных и случайных воздействия^ ......... 609 1. Постановка задачи синтеза систем регулиррва-
РАЗДЕЛ III. СИНТЕЗ СИСТЕМ
А ТОМАТИЧЕСКОГО ГУЛ И РОВАН ИЯ
иия, основанная иа частотных методах . . . 610 2. Выбор параметров неизменяемой части системы 613 3. Построение желаемых амплитудной и фазовой частотных ' характеристик разомкнутых систем ....... 622 4. Синтез последовательных и параллельных корректирующих устройств . ................627
5. Синтез последовательно-параллельных корректирующих устройств . 632
6. Таблицы пассивных корректирующих устройств 659
Глава 10. Синтез линейных дискретно-непрерывных систем автоматического регулирования ..............................659
1. Методика синтеза дис-кретио-иепрерывиых систем и а основе билинейного преобразования 660 2. Синтез систем автоматического регулирования , по, методу корневого го-
i , ... дографа	. . 665
3. Синтез систем автоматического регулирования по заданному расположению иудей и полюсов с помощью введения обратной связи по состоянию и выходу . . 674
4. Реализация обратной связи по состоянию с помощью дополнительно введенных динамических звеньев .... 677
Глава И. Синтез оптимальных систем автоматического регулирования	... 681
1. Принцип максимума . 682 2. Синтез систем с помощью метода динамического программирования .....................694
Глава 12. Автоматизированные методы моделирования и проектирования систем регулирования ..........................702
1. Системы автоматизированного моделирования и проектирования . 703 2. Автоматизация модели-
рования систем регулирования ..............706
3. Диалоговая система оптимизации в проектировании ................711
4. Автоматизация проектирования систем регулирования ...... 716
5
Приложения Приложение П-1.1. Основные сведения по векторно-матричному исчислению . . .721
Приложение П-1.2. Таблица прямых и обратных s- и г-преобразоваиий дли сигналов возмущений . . . 728
Приложение П-1.3. Таблица z-преоб-разований для передаточных функций .............................730
Приложение П-1.4. Значения функций
Лапласа . . 734
Приложение П-11.1. Таблица Лх (/)-функций .... 736
Приложение П-11.2. Назначение и состав информационно-программного обеспечения для автоматизации проектирования систем автоматического регулирования .... 738
Приложение П-11:3. Формулы для вычисления интегралов от дроб-ио-рациональиых функций . . . 740
Список литературы................  744
Предметный указатель...............746
Светлой памяти талантливого организатора высшего образования Виктора Михайловича Колобашкина посвящается эта книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория автоматического регулирования изучается во всех высших технических учебных заведениях в качестве одной из базовых дисциплин. На ее основе в дальнейшем читаются такие курсы, как теория автоматического управления, автоматизированные системы переработки информации, управление технологическими и организационно-экономическими процессами, теория автоматизированного проектирования систем и их математическое обеспечение, теория принятия инженерных решений, а также целый ряд дисциплин специального назначения. Объекты и устройства систем регулирования отличаются по своей физической природе и принципам построения, поэтому проектировщику необходимо не только иметь хорошую подготовку в области механики, электротехники, электроники и вычислительной техйики, ио и уметь учитывать специфические особенности объекта. С целью овладения практическими навыками использования методов теории автоматического регулирования будущие специалисты в процессе обучения выполняют домашние задания, курсовые и дипломные работы по проектированию систем управления конкретными объектами.
Трудность выполнения проектных работ в значительной степени определяется сложностью математического аппарата, используемого при описании объектов и систем автоматического регулирования (САР). Для непрерывных объектов с сосредоточенными и распределенными
параметрами — это обыкновенные дифференциальные и интегральные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных соответственно; а для объектов, информация с которых снимается в дискретные моменты времени,— разностные уравнения. В такой форме описываются, в частности, и процессы в управляющих вычислительных машинах, получивших к настоящему времени весьма широкое распространение в САР.
Проектирование САР обычно выполняют либо в частотной области с применением специальных таблиц и номограмм, либо во временной области с помощью алгоритмов, реализуемых на универсальных ЭВМ. Основу математического аппарата в первом случае составляют: непрерывное и дискретное преобразования Лапласа; амплитудно-фазовые характеристики, полученные с помощью s-, z- и «-преобразований.
Случайные процессы описываются методами гармонической и статистической линеаризаций. Во временной области используется векторно-матричное описание объекта в пространстве состояний, что позволяет при применении вычислительных методов линейной алгебры создать единый математический аппарат для исследования непрерывных и дискретных систем. Оба подхода к проектированию долгое время развивались независимо друг от друга. Однако с помощью современного математического аппарата их можно объединить. Именно
7
такой обобщенный подход положен в основу рассматриваемых в данной книге методов. Это привело к разработке ряда алгоритмов проектирования систем и соответствующих программ на языке ЙЛ/1. Они позволяют формировать обобщенные модели элементов в дискретной форме; вычислять коэффициенты, полюсы и нули передаточных функций; строить амплитудно-фазовые частотные характеристики (в обычном и логарифмическом масштабах), корневые годографы и переходные процессы.
Кроме того, были составлены процедуры для определения характеристик точности при действии регулярных и случайных сигналов; вычисления коэффициентов гармонической, статистической и совместной линеаризаций; выделения областей автоколебаний (по амплитуде или частоте) и устойчивых состояний.
Значительное внимание уделено составлению математических зависимостей и номограмм для построения частотных характеристик разомкнутых и замкнутых систем и определения показателей качества переходных процессов и характеристик точности. Рассмотрены процедуры анализа устойчивости нелинейных систем по Ляпунову или с применением методов гармонической, статистической и совместной линеаризаций.
Каждая глава снабжена конкретными примерами получения амплитудно-фазовых частотных характеристик систем с отрицательными и положительными обратными связями; построения корневых годографов, вещественных и мнимых частотных характеристик замкнутых систем и нахождения по ним приближенных значений показателей качества; вычисления по трапецеидальным характеристикам и hM-функциям кривых протекания переходных процессов; определения характеристик точности систем и уменьшения в них ошибок путем
применения условий инвариантности.
Задачи синтеза САР решают двумя способами: на основе построения амплитудных частотных характеристик неизменяемых частей с последующим выбором типа и параметров последовательных, параллельных и параллельно-последбва-тельных корректирующих устройств или с применением принципа максимума Понтрягина и метода динамического программирования. Оба способа позволяют решать задачи синтеза в классе систем с заданной структурой. Однако в первом случае удается получить линейные корректирующие устройства, реализуемые в непрерывных системах в виде RC-фильтров, а в дискретных и дискретно-непрерыйных — линейных корректирующих программ для управляющих ЭВМ. Применяя второй способ синтеза, получим нелинейные корректирующие устройства, которые в непрерывных системах реализуются уже на базе активных устройств с операционными усилителями и преобразователями на диодах, а в дискретных и дискретно-непрерывных системах —в виде нелинейных корректирующих программ.
При проектировании систем могут использоваться различные методы: расчетно-теоретические, основанные на номограммах, таблицах и графиках, а также с помощью реализации вычислительных процедур На ЕС ЭВМ в пакетном или интерактивном режимах работы. Все модули прикладных программ составлены на языке ПЛ/1. Если в систему включена управляющая ЭВМ, то программы для нее пишутся на языке ассемблер, как наиболее близком к кодам команд вычислительных машин.
В конце книги приведено несколько примеров сквозного проектирования наиболее распространенных типов САР, позволяющих йе только определять структуру системы, но и строить кривые, облегчаю
8
щие нахождение наиболее рациональных значений параметров устройства управления и объекта. Все примеры относятся к конкретным промышленным системам, и их проектирование ведется на инженерном уровне. Оформление схем и графиков, полученных в процессе проектирования а также рабочих программ выполнено в соответствии с требованиями ЕСКД и ЕСПД.
При составлении Атласа для проектирования САР автор руководствовался рядом монографий и учебных пособий, список которых приведен в конце книги. Порядок изложения материала в Атласе и его содержание главным образом основаны на учебнике Н. Н. Иващенко «Автоматическое регулирование*, 4-издание, Машиностроение, 1978 г. и учебном пособии Ю. И. Топчеева и А. П. Цыплякова «Задачник по теории автоматического регулирования», Машиностроение, 1977 г.
Существенный вклад в учебное пособие внесли сотрудники кафедры «Управления комплексами» Московского инженерно-физического института С. К. Коваленко, М. А. Колывагин, А. И. Титков и Ю. Ю. Шумилов, которые предложили несколько оригинальных подходов решения ряда задач. В подготовке рукописи книги к печати приняли участие Р. С.. Кондратьева, А. И. Логинов, С. В. Осипов, Е. И. Попов, А. Г. Синевич и А. В. Чукашев, без помощи которых книга не получила бы надлежащей наглядности и доступности изложения. Улучшить содержание книги помогли ценные замечания и советы, высказанные рецензентами академиком А. А. Вороновым и членом-корреспондентом АН СССР Е. П. Поповым, за что я выражаю им самую глубокую признательность. Автор будет благодарен всем читателям за замечания по данной книге.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время в промышленности и сельском хозяйстве применяются десятки тысяч различных типов систем автоматического регулирования (САР), которые обеспечивают высокую эффективность производственных процессов.
Современные САР представляют собой сложные динамические системы, обеспечивающие высокую точность отработки сигналов управления в условиях действия различных возмущений и помех. При больших величинах возмущений и уровней помех нарушаются нормальные эксплуатационные режимы, снижается точность и ухудшаются показатели качества переходных процессов в системах по сравнению с заданными техническими условиями. Проектирование таких САР представляет достаточно сложную проблему, так как в них входят устройства и объекты управления различной физической природы.
Для получения надлежащих характеристик САР проектировщику приходится находить компромиссные решения, так как требования к точности и показателям качества переходных процессов взаимоисключающие. Основной путь преодоления такого противоречия — применение в САР элементов с большими коэффициентами усиления и корректирующих устройств с перестраиваемыми во время работы параметрами. Однако с ростом коэффициентов усиления возрастает влияние нелинейностей в элементах, что приводит к нарушению принципа суперпозиции и необходимости учета при проектировании уп
равляющих и возмущающих воздействий. С их изменением в системах появляются чередующиеся режимы устойчивого, неустойчивого движений и автоколебаний.
В нелинейных системах наряду с высшими гармониками могут также возникать субгармоники, приводящие в большинстве случаев к поломке устройств управления или объектов. В области, близкой к резонансу, в слабодемпфирован-ных системах за счет нелинейностей возможно появление скачкообразных изменений алй1литуд и фаз. Существует еще целый ряд особенностей поведения нелинейных систем регулирования, которые также будут рассмотрены в книге.
Перестройка параметров корректирующих устройств может производиться непрерывно или скачкообразно. В результате нарушается стационарность процессов в элементах, динамика которых в этом случае описывается дифференциальными, интегральными или разностными уравнениями с переменными параметрами. Существует целый ряд систем с параметрами, изменяющимися случайным образом. Скачкообразный характер измене-' ния параметров по своему действию эквивалентен введению дополнительных возмущений в системе в строго определенные моменты времени. Все эти явления -крайне нежелательны, так как они приводят к снижению точности и ухудшению показателей качества. Необходимость учета влияния нелинейностей и непостоянства параметров устройств и объектов вынуждает
10
проектировщиков отказаться от традиционных методов описания динамики процессов. Приходится прибегать к таким способам линеаризации уравнений, при которых сохраняется зависимость поведения системы от амплитуды сигнала, или использовать ряды Воль-терра и Неймана [15, 21, 39].
С целью уменьшения влияния нелинейностей на поведение системы в них вводятся дополнительные нелинейные элементы компенсирующего типа или корректирующие устройства, подавляющие режимы автоколебаний. Эти способы являются наиболее эффективными и в тех случаях, когда входные сигналы изменяются в достаточно широком, диапазоне. Следует отметить, что в подобных системах введение дополнительных нелинейностей позволяет обеспечить существенное повышение коэффициентов усиления элементов при сохранении хороших показателей качества. Однако отказы средств нелинейной компенсации и коррекции в таких системах недопустимы, так как они приводят к возникновению автоколебаний с большой амплитудой и малой частотой и, как следствие, к выходу из строя автоматических регуляторов. Поэтому необходимо предусматривать . резервирование технических средств компенсации и коррекции.
Для уменьшения влияния нестационарности часто используют методы компенсации изменений параметров или создают системы, в которых обеспечиваются условия неполной инвариантности к собственным параметрам объекта и возмущениям [13]. Это может быть получено путем создания самонастраивающихся систем или введения двух-, трехканальиых корректирующих устройств псевдолиней-ного типа.
В самонастраивающихся системах определение параметров объекта может выполняться различными методами — прямыми или
косвенными. Наибольшее жё распространение получили следующие два: с подачей на вход объекта поискового сигнала и беспоисковые. Как известно, поисковый сигнал нарушает нормальный режим работы системы и вносит дополнительные возмущения, снижающие точность процесса регулирования [30], и его применение не всегда возможно. Кроме того, подача поискового сигнала ведет к уменьшению быстродействия системы из-за дополнительных затрат времени на выполнение измерительных и вычислительных операций. Этих недостатков лишены беспоисковые самонастраивающиеся системы, в которых в качестве эталонной модели используют управляющие ЭВМ. В таких системах по результатам сравнения сигналов с эталонной модели и объекта либо производят подстройку модели, либо перестраивают структуру и параметры корректирующего устройства [13, 35]. Такой способ формирования сигналов называют сигнальной компенсацией. Он нашел широкое применение в тех системах регулирования, параметры которых меняются во времени достаточно медленно. К ним относятся системы стабилизации, ориентации и управления летательных аппаратов в относительно узком диапазоне изменения высот и скоростей полета [13, 24].
В системах автоматической посадки самолетов, параметры которых обладают еще большей степенью нестационарности, аналитические методы расчета представляют значительные трудности. Поэтому проектирование систем этого класса обычно осуществляют методами математического и полунатур-иого моделирования [13, 28].
При относительно невысокой степени нестационарности объектов применяют системы регулирования с двух- или трехканальными корректирующими устройствами псев-долинейного типа, обеспечивающи
11
ми уменьшение чувствительности к изменениям собственных параметров объекта и к сигналам возмущения. Реализацию корректирующих устройств осуществляют на основе фильтров с активными элементами или в виде рабочих программ микропроцессоров. Меняя программы, удается существеиио снизить чувствительность характеристик системы к изменениям параметров и возмущениям. Такой способ уменьшения влияния нестационарности достаточно прост в аппаратном исполнении. Следует также отметить, что методика расчета систем с корректирующими устройствами псев-долииейного типа не представляет больших трудностей и может производиться во временной и частотной - областях.
Для описания современных сложных САР наиболее удобен векторно-матричный аппарат, позволяющий создать единую компактную форму математического представления широкого класса объектов. К ним относятся непрерывные, дискретные и дискретно-непрерывные стационарные н нестационарные системы линейного типа и такие нелинейные системы, в которых нелинейная часть отделена от линейной. В системах такого рода с помощью методов теории пространства состояний и спектрального разложения матриц удается получить ее дискретную модель в форме, удобной для реализации иа ЭВМ. В этом случае исследуемые процессы зависят от времени и могут быть легко сравнимы с экспериментальными данными [11, 21, 26, 27, 32].
При проектировании САР довольно часто необходимо располагать амплитудно-фазовыми частотными характеристиками, по которым находят запасы устойчивости всей разомкнутой системы. Пользуясь нми, можно оценивать влияние изменений параметров элементов системы и объектов на ее устойчивость в замкнутом состоянии. Методы исследования систем в частот
ной области позволяют находить также показателя качества и характеристики точности. Такой частотный подход к анализу систем достаточно удобен при использовании номограмм и таблиц /^-функций [33, 35].
При высоких порядках дифференциальных и разностных уравнений, описывающих динамические процессы в системах, удобно применять дискретные модели, которые позволяют с помощью спектрального разложения действительных и комплексных матриц создавать алгоритмы вычисления коэффициентов передаточных функций и частотных характеристик [27, 28]. Введение специальных вычислительных процедур обеспечивает получение амплитудных н фазовых частотных характеристик на графических построителях в обычном или логарифмическом масштабе. В последнем случае проектировщики, располагая семейством логарифмических характеристик, могут достаточно быстро выбирать наиболее рациональные, для обеспечения устойчивости, параметры системы.
Устойчивость является необходимым, но не достаточным условием нормального функционирования САР. Наличие устойчивости свидетельствует лишь о том, что переходный процесс, вызванный действием внешнего воздействия или существованием ненулевых начальных условий, является затухающим. Но прн этом не определяются ни время затухания, ии максимальное отклонение регулируемой величины, ни число колебаний. А именно эти показатели и характеризуют качество протекания процессов регулирования [1, 6, 13, 16].
При реализации вычислительных процедур определения передаточных функций находят числовые значения их нулей и полюсов. Располагая ими, можно построить корневой : годограф замкнутой системы при различном расположении нулей и полюсов разомкнутой систе
12
мы или путем вычисления интегральных оценок качества [13, 14].
Весьма важной характеристикой САР является их динамическая точность (ошибка отработки системой управляющих нлн возмущающих регулярных и случайных воздействий). В практике проектирования динамическую точность часто определяют значениями коэффициентов добротностей по скорости и ускорению, а также полосой пропускания замкнутой системой управляющего сигнала [31]. Все эти вычислительные процедуры в данной книге реализованы в виде пакета прикладных программ [20] на алгоритмическом языке ПЛ/1 [29].
Применяя терминальные устройства для ввода и отображения символьной и графической информации, можно организовать взаимодействие пользователя с ЭВМ в диалоговом режиме [23]. В этом случае проектировщик в процессе работы будет получать текущую информацию о ходе выполнения той или иной процедуры. Такой подход позволяет анализировать большое число различных вариантов системы и выбирать из них наилучший. Организация диалогового взаимодействия пользователя с пакетами прикладных программ под управлением универсальной операционной системы ограниченных возможностей может осуществляться при наличии специализированной операционной системы интерпретирующего нли интерпрети-рующе-компилирующего типа.
Функциональные возможности специализированной операционной системы предоставляют пользователю: язык диалогового взаимодействия; средства написания, редактирования, отладки и хранения программ на языке диалога в системной библиотеке; решение задач анализа н синтеза САР в интерактивном режиме; вызов модулей пакета прикладных программ и их дальнейшее наращивание;
выдачу протоколов сеанса работы с ЭВМ [23]. Специализированные операционные системы представляют собой комплекс программных средств больших возможностей, предназначенный для одновременной работы группы инженеров в режиме автоматизированного проектирования и моделирования. При этом каждый пользователь может выполнять различные виды работ по анализу и синтезу систем независимо друг от друга. В настоящее время на автоматизированных комплексах выполняют не только расчетно-проектные, но н чертеЖ-но-графнческие работы [20, 27]. В данной книге приведены лишь два пакета прикладных программ для решения задач соответственно анализа и синтеза. Они могут быть использованы в режиме автоматизированного проектирования со специализированными операционными системами ДИАЛ [26], ДИАКОМ [23], ДИФОР, ПРАСАК и др.
Независимо от способа выполнения работ— традиционным ручным методом илн автоматизированным путем — весь процесс проектирования делится на несколько характерных этапов.
Первый этап проектирования — построение математической модели объекта регулирования. Зная физические процессы, происходящие в объекте, можно при определенных допущениях описать его поведение аналитически, обычно с помощью дифференциальных,' интегродиффе-ренциальных или разностных уравнений. Так как математическую модель составляют на основании графических или табличных экспериментальных данных, то коэффициенты уравнений (или матрицы) представляют в виде чисел. При этом проектировщик знает диапазоны изменения входных и выходных переменных. В результате он может составить структурную схему объекта регулирования с помощью матриц, передаточных функций и графов [12, 32,
13
38, 39]. Каждый из этих методов имеет свои особенности. Так, например, векторно-матричные структурные схемы не позволяют проектировщику изучать особенности внутренних связей в объектах, но их представление через переменные состояния удобно при моделировании на ЭВМ. Структурные схемы с передаточными функциями элементов являются достаточно громоздкими, но по иим можно не только выявить все внутренние связи, но и определить возможные места включения различных устройств компенсации. Данный способ представления объектов особенно часто применяют при частотных методах исследования систем регулирования. Использование графов позволяет найтн пути прохождения сигналов через элементы объектов, определить сильные и слабые связи и упростить структуры объектов за счет исключения слабых связей, что приводит к уменьшению порядка уравнений динамики и, следовательно, сокращению объема вычислительных работ. Все эти методы являются эквивалентными, и, располагая матрицами, можно получать структурные схемы или графы объектов, и наоборот.
Исходные данные об объектах часто задают в виде графиков, числовых таблиц, логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик. Так как графики практически всегда являются нелинейными, то для получения линейных моделей объектов необходимо использовать линеаризацию в приращениях относительно опорной траектории движения или метод наименьших квадратов. Оба способа дают удовлетворительные результаты в том случае, если функции, описывающие нелинейные зависимости, дифференцируемы по крайней мере один раз илн достаточно хорошо аппроксимируемы в заданной области рабочих режимов касательными к
ним. При наличии ступенчатых и разрывных функций приходится применять методы гармонической, статистической или комбинированной— гармонической и статистической— линеаризаций [13, 14, 32, 33, 39].
По снятым в процессе экспериментов амплитудным н фазовым частотным характеристикам реальных объектов при различных частотах и амплитудах входных сигналов можно построить упрощенную передаточную функцию объекта. Данный способ дает хорошие результаты лишь для объектов простой структуры, состоящих из набора последовательно соединенных элементов, когда возможно получение промежуточных значений амплитудных и ф'азовых характеристик после каждого из элементов.
В некоторых случаях экспериментально определяется семейство переходных процессов ria выходе объекта при подаче на его вход случайных сигналов, сформированных в виде набора псевдослучайных чисел на ЭВМ. Как известно, такие переходные процессы описываются интегральным уравнением с импульсной переходной функцией, которая характеризует динамику объекта. Зная импульсную переходную функцию, можно построить вещественную и мнимую частотные характеристики и по ним определять логарифмические (амплитудную и фазовую) характеристики, после чего нетрудно найти математическую модель объекта [13, 31].
Полученные модели являются математической формализацией процессов в реальных объектах, причем один и тот же объект в зависимости от принятых допущений может быть описан в различной форме. В связи с этим возникло направление, в рамках которого разрабатываются методы определения математической модели, наилучшей в отношении приближения
14
ее частотных или временных характеристик к аналогичным характеристикам реального объекта, по данным наблюдения за входными и выходными переменными нормально функционирующего объекта. Это направление было названо идентификацией. В настоящее время достаточно полно разработаны лишь методы идентификации линейных объектов.
Второй этап проектирования — выбор устройств неизменяемой и изменяемой частей системы. К неизменяемой части принято относить исполнительные органы, усилители мощности и измерительные средства. Их обычно выбирают не только с учетом требований к точности и качеству процессов регулирования, ио в основном по надежности действия, массогабаритным характеристикам, стоимости, стойкости к влиянию агрессивной среды, взрывобезопасности и т. п. Существенное влияние оказывают и традиции конструкторского бюро, ведущего проектирование, а также оснащенность завода, на котором планируется серийный выпуск САР (автоматических регуляторов, следящих систем и т. д.). К изменяемой части системы относят электронные усилители, преобразователи, микропроцессоры и различные дополнительные средства компенсации сигналов, а также устройства коррекции динамических характеристик.
На втором этапе проектировщик составляет математические модели устройств управления, входящих в неизменяемую часть системы. Это обеспечивает основу для построения структуры всей САР. Если принято решение о месте включения устройств изменяемой части (т. е. полностью определена структура всей системы), дальнейшее проектирование сводится к решению задачи анализа, в противном случае — задачи синтеза. По принятой сейчас терминологии оба этапа относятся к классу задач,
решаемых для систем с заданной структурой. Но, по существу, это справедливо лишь для первого варианта, когда действительно структура системы полностью установлена и в процессе проектирования выбирают лишь типы и параметры устройств изменяемой части. Во втором случае структуру изменяемой части находят в процессе решения задачи синтеза и одновременно с ее определением выбирают наиболее рациональные параметры исследуемых устройств управления.
Третий этап проектирования — решение задачи анализа или синтеза. Рассмотрим методику решения первой из них. Как уже указывалось выше, в данном случае инженер располагает полной структурой системы, что намного упрощает проектирование. При этом процесс проектирования сводится к расчетно-теоретической работе, которую выполняют вручную с помощью номограмм и таблиц или автоматически — иа ЭВМ. Для применения этих методов проектировщик должен найти математические модели замкнутых и разомкнутых систем регулирования. Последние обычно являются сложными и представляют собой последовательно и параллельно соединенные группы элементов с внутренними и внешними обратными связями, для них-то и необходимо научиться находить передаточные функции. Решение подобной задачи при ручных методах наиболее просто осуществляется с помощью номограммы Никольса. Если проектирование ведется на ЭВМ, то по структурным схемам составляются уравнения состояния в жордано-вой канонической или нормальной формах [12, 27, 28, 32]. Количественно структура исследуемых систем оценивается спектральным числом обусловленности матриц.
Для упрощения указанных выше ручных и машинных операций ши
15
роко используют методы структурных преобразований, позволяющие представить многоконтурные системы в виде одноконтурных. Следует отметить, что такие преобразования существенно отличаются для линейных и нелинейных систем. Это связано с невозможностью применения принципа суперпозиции и необходимостью сохранения амплитуды сигнала на входе нелинейной части неизменной, независимо от выполняемых преобразований. Поэтому нельзя перемещать линейные передаточные функции (матрицы) за нелинейный элемент. Преобразование линейных передаточных функций (матриц), расположенных до нелинейного элемента нли за ним, выполняют обычными способами. В результате таких преобразований в большинстве случаев удается отделить нелинейную и линейную части системы друг от друга, что упрощает выполнение расчетов. Преобразование структурных схем дискретно-непрерывных систем и получение по ним соответствующих передаточных функций возможно путем введения фиктивных ключей. В дальнейшем будет показано, что существуют такие дискретно-непрерывные системы регулирования, для которых, не удается найтн передаточные функции в замкнутой форме.
Принятый порядок анализа САР состоит в последовательном выполнении следующих действий: исследование устойчивости, качества и точности. Анализ устойчивости при ручных методах проектирования определяется тнпом системы: линейная нлн нелинейная, дискретная нли непрерывная.
Устойчивость непрерывных линейных систем может исследоваться с помощью первого метода Ляпунова, а также алгебраических критериев (Гурвица, Рауса н Льенара — Ши-пара). Для дискретных систем используется критерий Шур—Кона. Основным недостатком применения
данных критериев следует считать невозможность получения при этом оценок качества и точности. Пользуясь ими для систем высокой размерности, проектировщик не может дать рекомендаций по выбору параметров,- не только обеспечивающих запасы устойчивости,/ но и удовлетворяющих требованиям к качеству и точности процессов регулирования.
Анализ устойчивости непрерывных н дискретных нелинейных систем обычно выполняют с помощью второго метода Ляпунова, гармонического баланса Крылова— Боголюбова и критерия абсолютной устойчивости Попова. Следует отметить, что на устойчивость дискретных нелинейных систем большое влияние оказывает выбор такта квантования, поэтому последнему в . книге уделено достаточно большое внимание. При использовании автоматизированных методов проектирования непрерывные, дискретно-непрерывные :	линей-
ные и нелинейные системы представляют в виде дискретной мо-делн.
Частотные критерии устойчивости предполагают использование передаточных функций для описания системы регулирования и справедливы прн ее полной управляемости и наблюдаемости. Тогда критерий устойчивости по Ляпунову аналогичен критериям Михайлова, Михайлова — Найквиста и D-разбиения Неймарка. Эти критерии применимы к анализу как непрерывных, так и дискретных систем. Однако в первом случае они базируются на методах «-преобразований, во втором — z-преобразоваиий. Положив s = ja>, строятся частотные характеристики, по которым определяют запасы устойчивости систем регулирования по фазам и модулям н с помощью специальных номограмм оценивают показатели качества и характеристики точности. В дискретных системах вместо z-преобразования часто прибегают
16
к преобразованию s*, которое не является взаимно однозначным из-за периодичности 2л/Г0 (Т'о— такт квантования). Поэтому на плоскости s выделяют основную полосу —	< Im s < уг-, для ' которой
обеспечивается взаимно однозначное соответствие и с погрешностью до 10% считается s = s, т. е. все полюсы отображаются сами в себя. Большим преимуществом частотных критериев устойчивости является возможность их распространения н на многие типы нелинейных систем [30].
Исследовать качество непрерывных и дискретных линейных систем можно, анализируя расположение нулей и полюсов передаточной функции замкнутой системы, а также по корневому годографу, интегральным оценкам, вещественным и мнимым частотным характеристикам замкнутой системы. Последний метод обладает значительными преимуществами, так как позволяет по свойствам вещественной частотной характеристики не только находить основные показатели качества, но и строить переходные процессы. При этом используют набор графиков, номограмм н рабочих программ. Построение переходных процессов в нелинейных непрерывных системах ведут с помощью методов припа-совывания или численных процедур интегрирования уравнений. Оба эти способа реализуются в виде рабочих программ для ЭВМ. В дискретных нелинейных системах применяют расширенные переходные матрицы, определенные в различные интервалы времени (которые сводятся к рекуррентным процедурам или многомерному z-преобра-зованию) [24].
* Преобразование s аналогично били-,	_	2 z — 1
нейному, т. е. s = -=——г-г- Однако здесь То 2+1
вместо s подставляют /б, где <5 —псевдочастота.
Нелинейности в замкнутых системах часто приводят к режимам автоколебаний, которые большей частью недопустимы на выходе системы регулирования. Однако во внутренних контурах иногда преднамеренно вводят автоколебания таким образом, что они уменьшают влияние залипания плунжеров в гидравлических устройствах, но не проходят на выход системы. Поэтому проектировщик должен владеть приемами, обеспечивающими возбуждение автоколебаний с требуемой амплитудой и частотой илн их подавление путем введения дополнительных корректирующих устройств. Следует отметить, что при подаче на вход нелинейных систем, находящихся в автоколебательном режиме, случайных сигналов с большим уровнем спектральной плотности может происходить срыв автоколебаний. Все эти вопросы рассматриваются в данной книге в связи с проектированием нелинейных САР.
Проблема повышения динамической точности является основной, так как без ее решения невозможно обеспечить выполнение возложенных на систему регулирования задач. Иначе говоря, системы автоматической стабилизации не смогут поддерживать режимы регулирования с заданной техническими условиями точностью, системы программного управления выведут объект на недопустимые рабочие режимы, следящие системы будут воспроизводить входные сигналы с крайне большими искажениями.
На характеристики точности значительное влияние оказывают не только сигналы управления и возмущения, но и помехи, поступающие извне или образующиеся внутри системы. Поэтому при анализе точности САР учитывают два типа ошибок: регулярные и случайные. Для уменьшения регулярных ошибок необходимо увеличивать коэффициенты усиления устройств управления. Но при этом
17
следует всегда помнить, что одновременно возрастает нежелательное влияние нелинейностей на поведение системы. С ростом коэффициентов усиления увеличивается полоса пропускания системы, что приводит к возрастанию ошибкй от действия шумов. Проектировщик может, например, выбрать параметры системы таким образом, чтобы обеспечивалась минимальная сумма квадратов динамической и случайной ошибок. Возможно применение и других критериев оптимальности [31].
Предложенный Щипановым способ построения комбинированных САР позволяет путем подбора дополнительных корректирующих устройств повышать порядок астатиз-ма исходной системы [13]. Используя данный способ, можно создавать системы регулирования с астатизмом 2-го н 3-го порядков. Дальнейшее повышение порядка принципиально возможно, но оно приводит к значительному возрастанию влияния помех на точность систем. Ввиду этого на практике не применяются системы с порядком астатизма выше третьего.
Обратимся теперь к более сложным задачам синтеза. В самом простом случае они сводятся к выбору типа и параметров последовательных, параллельных н последовательно-параллельных корректирующих устройств, обеспечивающих наиболее точное воспроизведение регулярных сигналов управления. Возможна и более сложная постановка задачи, когда требуется определить тип и параметры корректирующего устройства, обеспечивающего минимальную среднюю квадратическую ошибку помех при заданных динамической ошибке н времени протекания переходного процесса. В результате решения задачи синтеза в обоих случаях в систему вводятся линейные корректирующие устройства. Они реализуются в виде RC-фильтров илн рабочих
программ для микропроцессоров на языке ассемблер-
При рассмотренных постановках задачи синтеза не учитывались ограничения, накладываемые на управляющие воздействия или фазовые координаты. С учетом таких ограничений задачи синтеза систем регулирования решают с использованием принципа максимума Понтрягина [5, 18, 39] или метода динамического программирования Веллмана [3, 32]. Корректирующие устройства, обеспечивающие оптимальное управление, зависят от времени, если они определяются по принципу максимума, и от фазовых координат при определении по методу динамического программирования. Вычислительные процедуры обоих методов являются сложными для задач высокой размерности и требуют больших затрат времени при расчетах на ЭВМ. Эти процедуры наиболее эффективно реализуются в рамках автоматизированных систем проектирования.
Корректирующие устройства, синтезированные по принципу максимума или методу динамического программирования, являются существенно нелинейными. В простейших задачах они реализуются в виде фильтров с операционными усилителями и набором диодных линеек, а в более сложных — в виде программ микропроцессоров. При реализации программ используют численные методы дифференцирования и интегрирования в реальном масштабе времени. Обычно применяют четыре способа программирования: прямое, последовательное, параллельное и последовательно-параллельное. Пользуясь этимн программами, можно выбрать наиболее рациональные параметры микропроцессора или мнкроЭВМ. (по длине разрядной сетки, объему памяти и быстродействию), которые входят в систему регулирования в качестве одного нз элементов.
18
Четвертый этап проектирования —математическое моделирование системы, разработанной на универсальных ЭВМ серий СМ или ЕС. Если результаты моделирования соответствуют техническим условиям, то на этом процесс проектирования заканчивается и составляется эскизный проект САР. Затем на его основании выполняют техническое проектирование и проводят испытания (полунатурные и натурные).
В книге рассмотрены все четыре этапа на примере сквозного проектирования ряда распространенных САР как традиционными способами (ручное проектирование), так и на ЭВМ в диалоговом режиме
(автоматизированное проектирование). Справочный материал, упрощающий работу инженер а -проекти-. ровщика, помещен в приложениях.
Настоящей книгой могут пользоваться студенты, прослушавшие курсы лекций по теории автоматического регулирования (управления), вычислительной технике и владеющие методами программирования на языках ПЛ/1 н ассемблер. Книга представляет собой и справочное пособие для инженеров-проектировщиков систем автоматического регулирования и управления. Программы, написанные на языке ПЛ/1, могут быть использованы при автоматизированных методах проектирования.
РАЗДЕЛ I
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ОБЪЕКТОВ, УСТРОЙСТВ И СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Для проектирования САР инженер должен располагать общей структурой всей системы, каждый элемент которой представляется с помощью основных характеристик, определяющих его функционирование. Обычно к элементам принято относить объект регулирования и устройства управления. Происходящие в них процессы можно описывать в различной форме. Наиболее часто для этих целей применяют дифференциальные, ннтегродифференциальные и разностные уравнения, записанные в покоординатной илн в векторноматричной форме через переменные состояния. Эти переменные могут быть однородны по своей физической природе. В механических элементах это линейные иди угловые перемещения, скорости нли ускорения; в гидравлических н пневматических устройствах давления, секундные расходы жидкости или газа; в электрических-— изменения величины тока и напряжения; в химических — концентрации взаимодействующих продуктов; в физико-энергетических установках — плотности нейтронного потока, изменения реактивности и т. п.
Однако большую часть элементов не удается описать с помощью переменных, имеющих единую физическую природу. В этих случаях пользуются различными типами переменных. Например, в электродвигателях — угловой скоростью вала, величиной тока нли напря
жением на клеммах якоря; у летательных аппаратов — значением перегрузки н углом отклонения рулевых органов; в нагревательных печах — температурой и расходом горячего газд; в смесителях для производства цемента — содержанием мела и угловой скоростью крестовины.
Дифференциальные, интегроднф-ференцнальные н разностные уравнения записывают с помбщью различных упрощающих предположений. : К ннм в первую. очередь можно отиестн линеаризацию уравнений относительно программной траектории или рабочей точки, позволяющую применять непрерывное или дискретное преобразование Лапласа. Тогда при нулевых начальных условиях получают передаточные функций объектов, устройств управления и САР в s-, z- и s-формах. Пользуясь ими, создают структурные схемы нли графы, по которым находят характеристики разомкнутых и замкнутых систем в частотной области. Наряду с этим используют математический аппарат спектральной теории матриц при составлении непрерывных и дискретных моделей САР во временной области. Это дает возможность разрабатывать единые алгоритмы, а по ним н рабочие программы для проектирования систем на ЭВМ.
Многие из элементов не удается описать в виде линейных дифференциальных, интегродифференци-альных и разностных уравнений
20
из-за присутствия в них существенных нелинейностей. Тогда математические модели таких элементов составляют на основе методов гармонической, статистической или совместной линеаризаций. Эти модели позволяют учесть влияние нелинейностей на характер поведения САР, так как их коэффициенты изменяются в зависимости от величин сигналов управления (возмущения) или начальных условий. С целью повышения точности исследования нелинейных САР при
составлении коэффициентов гармонической линеаризации элементов используют высШиё /^афмЫй-ческие составляющие,; Определение коэффициентов гармонической' и статистической линеаризации ‘ елЬзк-ных нелинейностей производят с помощью рабочих программ на ЭВМ.
Пользуясь материалами раздела I, проектировщик формирует модели различного рода устройств и систем автоматического регулирования.
Г л а в а 1
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (ОБЪЕКТОВ)
Математические модели элементов составляют в виде алгебраических, дифференциальных; интегро-дифференциальных и конечно-разностных нелинейных уравнений. Описание динамических процессов в элементах с сосредоточенными параметрами производят; с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений, а с распределенными параметрами — уравнений в частных производных. При проектировании систем автоматического управления нелинейные уравнения обычно линеаризуют, что приводит к векторно-матричной форме их представления или к частотным функциям.
В тех случаях, когда рассматриваемые процессы в элементах не удается описать указанными выше способами, используют таблицы с числовыми значениями, характеризующими входные и выходные переменные. Применяя к ним методы регрессионного анализа, также можно получить нелинейные алгебраические Или дифференциальные уравнения.	,
1. ВЕКТОРНАЯ И ПОКООРДИНАТНАЯ ФОРМЫ ОПИСАНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ И ДИСКРЕТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Динамические элементы относятся к непрерывным, если рассматриваемые в них процессы и сигналы изменяются непрерывно. В дискретных же элементах процессы и сигналы имеют конечное число значений по величине и времени. Математическое описание элементов удобно выполнять через переменные состояния, и тогда их динамику можно представить в виде системы уравнений 1-го порядка относительно этих переменных. При такой форме описания элементов переменные состояния аналогичны обобщенным координатам, а пространство их изменения является фазовым. Состояние элемента в любой текущий момент времени характеризуется совокупностью фазовых координат, которые можно объединить в вектор состояния и представить их описание в векторной форме (математической модели).
21
в)
Рис. 1.1. Обобщенные схемы представления нелинейных нестационарных динамических элементов:
а, б — разомкнутого типа; в, г — замкнутого типа
уравнений (1.1) в виде схемы, воспользуемся соотношением
у (0 = (-1 )ly(t).	(1.2)
Обычно при описании элементов непрерывного действия используют переменные состояния y(t), связанные с выходными x(t) и входными «(О с^гцала^ц с помощью следующих уравнений:
=	u(t), 0; j
*(0==?(ff(0. «(0, 0, J
где
у (0 =
/(У(О, «(<), ') =
Г А -1
А
q (у (/). «(0. 0 =
~fn~ - <71 -<?2
•~qr
Уравнения (1.1) справедливы на интервале времени (/0, (] при заданных начальных условиях У (to), it (to). Для того чтобы представить систему векторных нелинейных
Здесь р = d/dt — символ дифференцирования; I — единичная матрица.
Обобщенные схемы нелинейных нестационарных динамических элементов могут быть представлены в виде многомерных систем, изображенных на рис. 1.1, а, б— разомкнутых типов, а на рис. 1.1, в, г— замкнутых типов.
Будем считать систему уравнений (1.1) нелинейной, если в ней переменные состояния присутствуют не только в линейной форме, но и в виде произведений, целой (дробной) степени координат и трансцендентных функций от них. Во многих элементах нелинейную зависимость часто не удается выразить в аналитической форме, тогда ее представляют графиками или в виде таблиц.
Перейдем к рассмотрению некоторых типов нелинейных непрерывных систем уравнений, описывающих поведение стационарных и нестационарных устройств и объектов регулирования.
Пример 1.1. Уравнение устройства для замера угловых скоростей выходного вала двигателя внутреннего сгорания или турбин можно записать в виде
m-^-+fe0-^-+M3 = fe<o. (1.3) гДе I — перемещение массы m устройства для замера угловых скоростей; kv — коэффициент скоростного трения; kc — коэффициент жесткости пружины; k — коэффициент пропорциональности при угловой
22
скорости выходного вала двигателя или турбины со.
В этом уравнении сила сопротивления пропорциональна третьей степени перемещения массы. На практике часто нелинейный член уравнения (1.3) представляют в виде al + 0Z3, н выражение (1.3) становится аналогичным левой Части уравнения Дуффинга. Уравнение (1.3) является стационарным, так как его параметры не зависят от времени.
Запишем уравнение (1.3) в виде системы (1.1). Для этого введем следующие обозначения: Z = Zt; /i=Zj; тогда
Л-z»;
2 т 1 т 1 т
(1.4)
Пример 1.2. Уравнение ракеты, вертикально стартующей под действием силы тяги двигателя, будет
... dtfl । ь ( dh V I и\ + feo ("тг) +тЮе =
Пример 1.4. Перемещение связанных между собой тросом тележек поточной линии можно описать следующим упрощенным уравнением:
-g-=V-fee'r(<-₽) ,	(1.8)
где г — расстояние между тележками; V — скорость ведущей тележки; fe, а и 0 — постоянные коэффициенты,
В уравнении (1.8) нелинейность определяется трансцендентной функцией, а его форма записи соответствует уравнению (1.1) в скалярном виде.
Пример 1.5. Рассмотрим в качестве объекта регулирования электродвигатель переменного тока. Уравнение вращения вала можно представить в виде
J + Аош + Ад®3 + Ат sgn ш = kyu, (1.9)
dm (Z) di
(1.5)
где Л —высота полета ракеты; m(t) — переменная масса ракеты; kv, k — постоянные коэффициенты; g — ускорение свободного падения.
Уравнение (1.5) является нелинейным нестационарным, так как аэродинамическое, сопротивление пропорционально квадрату скорости движения (второе слагаемое), а значение массы зависит от времени полета m(Z). При Л = Л| и Й1 — ha из уравнения (1.5) получим систему нелинейных уравнений hi = ha", Aq ,2	 h
---77Г A; — g H--77TU m (Z) 2	“ m (Z)
где ® — угловая скорость вала электродвигателя; J — момент инерции якоря; А„ — коэффициент скоростного трения; Ая — ко-1 эффициеит, учитывающий нелинейность механической характеристики; момент треиия без смазки AfT имеет значения: —Ат < < МТ < Ат; ky—r передаточный коэффициент электродвигателя; и — управляющее напряжение иа клеммах якоря электродвигателя. В уравнении (1.9) нелинейность определяется механической характеристикой электродвигателя и трением без смазки. В соответствии с формулой (1.1) уравнение (1.9) можно переписать в следующем виде:
dm dt
kn	k„ a
-j- Ш----j- m3 —
Ат*	Ay
— — sgn ш + — и.
(1.Ю)
Пример 1.3. Уравнения углового движения искусственного спутника Земли при действии иа него моментов силы тяги e(Z) относительно его главных осей инерции можно записать в форме Эйлера
do>i	Ja — J a
dt	J i
data	J i “ J з
~dT =	Ta
dm3	J a — J \
dt	J a
 “i (Z) ш2а>з 4-----
,	(Z)
а>з<01 -I---p2- ;
•<s тат, +	,
(1.7)
где Ji, ш/, ui (Z = 1, 2, 3) — соответственно составляющие момента инерции, угловой скорости и управляющего момента относительно одной из главных осей искусственного спутника Земли.
Система уравнений (1.7) нелинейна из-за наличия'в выражениях правых частей произведений угловых скоростей.
Пример 1.8. Составим в упрощенной форме уравнения движения летательного аппарата (ЛА) в вертикальной плоскости при относительно небольшом диапазоне изменения высоты полета [36].
Спроектируем все силы, действующие иа ЛА, иа прямую, касательную к траектории его полета; тогда найдем
dV	oV2S
т -^у- = Р cos а —— Сх — mg sin 0,
(I-И)
где т — практически мало меняющаяся масса ЛА; V — скорость полета; Р — сила тяги двигателя; р — плотносА воздуха; S — площадь крыльев; Ся — коэффициент лобового сопротивления; g — ускорение свободного падения; 0 и а —углы наклона траектории и атаки (0 = О — а; здесь О — угол тангажа).
23
Рис. 1.2. Аэродинамические параметры ЛА и характеристики тяги двигателей: ») С =Су(М, а); б) СХ=СХ(М, а); в) =тг (М, а) и г) Р=Р (М, Н)
Будем считать, что параметры ЛА можно представить в Следующем виде:
СХ = СЯ(У. а);
Cy = Cy(V, а. бв);
Спроектируем все действующие на ЛА
силы на нормаль к траектории полета,	тг = тг(У, а, Ь, ба).
т. е.
mV = Р sin а + - ъ $ Су — mg cos 0, и»	л
(1.12)
где Су — коэффициент подъемной силы.
Уравнение моментов относительно поперечной оси будет
а-1з)
где Уж — момент инерции ЛА относительно оси г; тг — коэффициент момента сил, действующих на ЛА; Ьа — средняя аэродинамическая хорда крыла.
Здесь бв — угол отклонения рулей высоты.
Сила Р тяги двигателя изменяется от высоты Н и скорости V полета. Так как характеристики Сх, Су, т? и Р определяются режимом полета ЛА, который меняется в зависимости от времени, то система уравнений (1.11) —(1.13) является не только нелинейной, но и нестационарной. Это видно из характеристик Су(М, а), Cx(Af,a), тг = 7пг(М,а) и Р *= Р(М,Н), изображенных на рис. 1.2, а—г. Характеристики Су, Сх, тг и Р задаются обычно в зависимости от числа М = Via (здесь о —скорость звука на высоте полета ЛА); Я—высота полета.
24
Запишем уравнения (1.11) —(1.13) в виде системы
• Р	pV2S _
V = —cos а —— Сх — т	2т
— g sin (О — а); ,
Р , pV’S „ , а = — -л— sin а —	---Су +
Vm	2т •
+ -у- cos (О — а) + <0z> . SftApVs шг-------2Ц~т*'
Ь = в>г.
(1.14)
В системе уравнений (1.15) применены следующие обозначения:
X-QCx; Y=QCy- Z = QCz; Мх = mxQl; Му = myQl;
Л = -рс =
— РеЙММ-
Q=qS, q^pV42,
(1.16)
где бет — значение углового положения рукоятки управления двигателем.
Безразмерные аэродинамические коэффициенты Сх, Су, Сх, тх, ту, mz являются нелинейными функциями параметров траектории полета самолета и величины отклонений органов управления:
Пример 1.7. Составим уравнения пространственного движения ЛА (самолета) [4:
Ь = <ог cos у + ш9 sin у;
у = шх — tg О (в>у cos у — <ог sin у);
Ф ” 'cosT COS V ~ “г sin Y):
V = X {Р cos (а + фр) cos 0 — — X cos 0 + Z sin 0 — mg sin 0);
® = "mV lsin (<X + <₽p) C0S Y + + cos (а + фр) sin 0 sin y] —
— X sin 0 sin у + Y cos у — — Z cos 0 sin у — mg cos 0);
H — V sin 0; g a = шг —у- cos у;
0 = Шр + to* sin a + -p- cos 0 sin y;
®x = -ц [Mx - (Jг — Jy) Шр<ог];
[Afp — (Jx — Jг) ®x®zl;
®z= [Afz —	— Jx) ®x®y]>
(1.15)
Су	Су (Af, бв, а, Оз);
Сх = Сх(Су, му, СХ = СХ(М, бн, 0);
тх = тх (М, бн, б9, шх, (Ор, 0);
Шр = ту (М, бд, бэ, (Од., Шр, 0); тх тх (М, Су, бв, ©аз Р, Дхцс).
(1.17)
Здесь Р — величина тяги силовой двигательной установки; Дхцс— нелинейное измерение центровки самолета в зависимости от его массы т; б,, б,, б,— угловые положения рулей высоты, направления и Крена; as — угол установки крыла.
Из систем уравнений (1.15) —(1.17) видно, что пространственное движение самолета описывается довольно сложными нелинейными уравнениями, параметры которых зависят от многих переменных, что затрудняет их применение при проектирований систем демпфирования, стабилизации и управления. Для проектирования этих систем обычно прибегают к методам линеаризации, позволяющим разделить пространственное движение самолета на три независи- . мых: Продольное (в вертикальной плоскости), боковое (в горизонтальной плоскости) и вращение (вокруг продольной оси).
При описании элементов дискретного действия в общем виде пользуются разностными уравнениями
у(^к+i) — 7(у(^к)»	^к)>
“('к)> и. Г 
где О, у. ф — соответственно углы тангажа, крена и рыскания; 0 — угол наклона траектории и курса; а, 0, у —соответственно углы атаки, скольжения, крена; ®*. ш«, Шг — проекции Вектора угловой скорости <в на связанные оси координат; /х, Jy, Л — моменты инерции самолета относительно связанных осей; ф₽ —угол установки двигателя.
где
~У\
У2 (t*)


25
Щ (tK) ~
U2 (^к)
u(tK) =
-Um(tK)_
~Xi (tK)~ x2 (/K)

_ xr (t^)_
u(tK), tK) =
q(y(tK), u(tK),
l ПК — <71K ?2k
_ ?гк _
Наиболее распространенным случаем является, когда такт квантования — постоянная величина То. При этом вместо системы (1.18) будем иметь
»К«+1)7’о] = /(у(к7’о),ч
и(кТ0), кТ0);
<119>
а(кТо), кТ0).
В дискретных элементах наряду с типовыми нелинейностями могут содержаться" нелинейные модуляторы. Если квантование осуществляется в них по уровню, то модулятор (элемент) представляет собой цифровое вычислительное устройство. При квантовании по времени элементы с широтно-импульсной и время-импульсной модуляциями, а также комбинированной модуляцией являются нелинейными. Обычно модуляторы представляют собой преобразователи, на выходе которых образуются последовательности импульсов определенной формы. Эти импульсы мож-
Рис. 1.3. Упрощенная схема дискретного элемента с широтно-нмпульсной модуляцией:
«Гу — преобразователь длительности импульсов; «Гт—устройства сиихроииой работы ключей; Нх— выходное устройство; тк—ширина импульса
но заменять эквивалентными прямоугольными (экстраполяция нулевого порядка), трапецеидальными (экстраполяция 1-го порядка) и параболами (экстраполяция 2-го порядка). С целью упрощения математического аппарата такую последовательность часто принято представлять в виде дельта-функций.
Рассмотрим несколько примеров описания дискретных элементов.
Пример 1.8. Составим обобщенное уравнение дискретного элемента, обеспечивающего широтно-импульсную модуляцию, в форме (1.18) {67]. Упрощенная схема такого устройства показана на рис. 1.3.
Если считать, что тк = У у [е (fK)l, тогда имеем
Г «max Sgn 8 (/к) при /к <
« (^к) = । f + тк; (1-20) < 0 при <к + тк С / </к+1.
Подобного рода устройство преобразует непрерывный сигнал в дискретный. Такое устройство называют преобразователем «аналог — код» (АК.).
Пример 1.9. Опишем процессы, происходящие в дискретном преобразователе «вал — цифра» (ВЦ), с помощью уравнения оо
«1(хГо)=»£ е(кТ0)а(1-кТ0), (1.21) к-о
где ’ е — входной сигнал; «1 — выходной сигнал; То — такт квантования; и — дедьта-фуикция.
Если данный преобразователь является нелинейным и имеет коэффициент гармонической или статистической линеаризации kn, то уравнение (1.19) примет вид
и1(кТ’0) = *и£ е (кТ0) и (t — кТ0). (1.22) к-о
26
Рис. 1.4. Преобразователь код—аналог1: а — принципиальная схема; б — формы входного и выходного сигналов
I
Klj (к*/)Гр
КТ0 (a*/)Tq
<9
Пример 1.10. Составим уравнение преобразователя «код — аналог» (КА), пользуясь рис. 1.4, а. При этом видно, что в схему входит ключ, операционный усилитель (ОУ), два резистора R\, Ri и конденсатор С. В таком преобразователе в момент замыкания ключа конденсатор С заряжается и «запоминает» поступившее из него напряжение, которое с течением времени уменьшается по экспоненциальной кривой. Формы входного и выходного сигналов показаны на рис. 1.4,6. Пользуясь принятыми обозначениями, запишем уравнения для напряжения в межтактовые моменты времени на выходе преобразователя в форме (1.19), т. е.
	t_ «н(П = Кое Гп [«(/)-«(<-Го)]; «нЮ-Kie Гп [«(1-Го)-— «(/ —2Г0)];	(1.23)
f—кГц		
«1к(/) = Кке Тп {и (t-кТо)-	
-«[/-(к+1)Г0]}.	
Пример 1.11. Реализовать иа бортовой цифровой вычислительной машине (БЦВМ) нелинейный закон стабилизации искусственного спутника Земли при его движении в вертикальной плоскости. Если закон стабилизации должен обеспечить быстродействие при отработке угла тангажа, то его можно описать как
„ in- ЗИ1Г4НП-1- «<01«(011
“1 опт 1*1--Sgn I V 1'1 Ч----2J------ г
(1.24)
где Ui — сигнал на выходе управляющей БЦВМ; © — угол отклонения оси спутника в вертикальной плоскости; J, — Момент инерции спутника относительно осн Ог.
Для составления рабочей программы БЦВМ выражение (1.24) следует пред
ставить в виде разностной зависимости
ОПТ (кГ0) = — sgn { О (кГ0) +
{0(кТ0)-*[(кТо)-То])Х )
4. X I»(кГр) - О[(кТр) - Гр] | | {1 25) 2/гТ*	> ’
Наличие символа sgn указывает на нелинейность разностного уравнения.
Пример 1.12. Рассмотрим реализацию на БЦВМ системы уравнений в отклонениях от заданной траектории полета космического ЛА [21], представленной в виде
^. + ky(t) = a, (1.26)
где у — вектор отклонений от заданной траектории; k — постоянный параметр; а — ускорение, измеряемое акселерометрами, устрановлеиными на гидроплатформе космического ЛА.
Уравнение (1.26) является линейным, н его решение на БЦВМ реализуется с помощью метода Руиге — Кутта 4-го порядка. Для этого перепишем уравнение (1.26) в виде
где
у = «*;
w = —ky а, „
(1.27)
W =	у)\
w — g(w, у).
(1.28
Тогда формулу Рунге — Кутта 4-го по-
рядка можно записать в виде
Ук+i = Ук + -g- (*i + 2А» + + 2Лз + *<);
а»к+1 = в*к Ч—o' (ti + 21s Ч"
Ч- 21з + !<)•
(1.29)
27
В соотношении (1.29) принято
*1 = t Кк, Ук, »к) = Ук, U=g (<к. У к, »к) = — fey к + ак; fes = f ^к +	Ук + ~^~,
wK4--y)=wK-A^-X
X Ук + -у- «к!
Ь=<(*к4--у-> Ук + -£-> WK+
Ч—== — кУк — А ®к + Як!
Аз — f ^к Ч—Ук Ч-
Wk ч- -у) = Wk — kToyK —
— fe “У Wk Ч- 2 “к’
к — g (Jk +	Ук Ч- ~2~<
WK + -у) = — fewK —
То	Тп
, -fe-y WK4-fe’ -yyK-
j.2 А — ®к 4“ лк;
А4 = f (к Ч- То, УкЧ-fes, Wk-Ms) — г2 = Wk — /гТоук — -у WK +
у»з	2»з
+ Ь* у Ук fe -у Лк + Толк;
(1.30)
^4 — g (^к 4“ То, ук + Аз, Wa Ч- *з) = ” т 4 ” * ' г " Г2
= ~ Аук — feTowK Ч- fe2 ~уУк Ч-
Т2
+ А2у WK —
Т2
А у Лк Ч* вк.
Подставим значения из соотношений (1-30) в уравнения (1.29); тогда в форме (1.18) получим
Ак+1 = Ук1
+ wKl 1
AT2 fe2T4 2 + 24 АТ2\
(1-31)
1

(	Т20 fe2T4\ +
“’к+1==юД1-*-Т +~24~J ~ ' ( то\ - УкА (у-1 Ч- A	То Ч-
( АТоА
+Лк I1 —б2/ г°-
Соотношения (1.31) могут быть применены для составления рабочих программ, реализуемых иа БЦВМ, или определения их передаточных функций (см. п. 8).
Пример 1.13. Составим разностные уравнения в форме (1.18)'для численных процедур интегрирования и их реализации иа управляющей ЭВМ. Для этого воспользуемся уравнением
= « (О-	(1-32)
at
При нулевых начальных условиях и(1о) = = 0,	«1(1о)=б из уравнения (1-32)
имеем:
для метода Эйлера
И1 ,(к+1)= и1к Ч" ^оик’	(1 ’33)
для метода Адамса — Башфорта
“1(к+1) = “1(к-1)Ч-2Гоик;	(1.34)
для метода Адамса — Мультвна
“1 (к+1) “ «1 (к-1) + -у (“к + 4“к-1+“к-2).
(1.35)
Рекуррентные соотношения (1.33) — (1.35) нетрудно реализрвать в виде рабочих программ на управляющей ЭВМ (cut. гл. 10).
Пример 1.14. Составим разностные уравнения в форме (1.18) численных процедур дифференцирования для их реализации на управляющей ЭВМ. Для этого воспользуемся уравнением 
= «.(/)•	(1-36)
at
При нулевых начальных условиях имеем: для метода первой центральной разности
“к+1-“к-1=2го“1к:	(L37>
для метода второй центральной разности То
“к+1	“к-1 = 3 X
X («1 (к+1) Ч-4«1к Ч-«1 (к-1))- (1-38)
Рекуррентные соотношения (1:37) и (1.38) также реализуются в виде рабочих программ на управляющей ЭВМ (см. гл. 10). j
Пример 1.15.' Составим уравнение динамики асинхронного электродвигатели пере-
28
Рис. 1.5. Характеристики вращающего момента и момента сопротивления трехфазного асинхронного электродвигателя: а — графические зависимости; б — кривые ш — =(&(и) в точке Л; в —кривые (а—(й(и) в точке А
менного тока с помощью характеристик моментов движущих сил Мд(Г) и сопротивления Afc(O, заданных в графической форме (рис. 1.5,а—в). Тогда уравнение вращения якоря электродвигателя можно записать в виде
J -^- = Л4д(/)-Л4с(/),	(1.39)
где J — момент инерции якоря электродвигателя.
Из рис 1.5, а—в видно, что зависимости Л4д(0 и Me(t) являются нелинейными. Момент движущих сил
Мд = Мд(ш, и),	(1.40)
где и — напряжение питания статора электродвигателя.
Момент сопротивления
Мс = Мс(ш).	(1.41)
Подставив функции (1.40) и (1.41) в выражение (1.39), получим нелинейное уравнение
/-^- «Мд(®, «)-Мс(<о). (1.42)
Пример* 1.16. Составим соотношение для электронного усилителя, который может работать в различных режимах работы, в виде формулы
у^хп.	(1.43)
Отметим, что в зависимости от режима, п может изменяться от 1 до 5. Формула (1.43) описывает стационарный процесс, если значение п постоянно для данного режима. При п = n(t) По формуле (1.43) можно получить семейство нестационарных характеристик.
Пример 1.17. Составим уравнение динамики сложного элемента, входящего в систему управления искусственного спутника Земли (ИСЗ), упрощенная схема которого показана иа рис. 1.6 (см. пример 1.3). Как видно из схемы, сложный элемент представляет собой систему стабилизации углового положения ИСЗ. Угловые скорости колебания спутника измеряются тремя датчиками угловых скоростей (ДУС); сигналы от них через главную обратную связь поступают на сравнивающее устройство (СУ),
Рис. 1.6. Упрощенная схема сложного динамического элемента, входящего в систему управления искусственного спутника Земли
29
где и формируется ошибка системы стабилизации е. Сигнал ошибки усиливается электронным усилителем (УС) н поступает иа струйные органы управления (СОУ), уменьшая угловые колебания ИСЗ.
Обозначим через k,, k3 и k3 коэффициенты усиления электронного усилителя совместно со струйными органами управления. Тогда получим следующие соотношения:
Ui=fei(o>3i—а>д1); )
и3 = kt (ш3а — Шдз); f	(1.44)
Из = k3 (Ш33 — <Одз).
Будем считать, что ДУС идеальны, но установлены с перекосом; тогда каждый гироскоп будет реагировать иа угловые скорости вокруг других осей, т. е.
ее можно разложить в ряд Тейлора. Линеаризуем первое уравнение системы (1.1) по этому методу при условии малости приращений Ду (О, Ду (О, Д«(0 относительно положения равновесия f (уе, ао)=О,т. е.
=	+	(1.47)
является линейным уравнением, для которого справедливы частные производные
“ JL JL df> ~ ду, ду3 ' ’ • дуп
(Од: = ka 1 со 1 + £дз<Оз + бдзШз;
<0д2 = йщШ1 4- йд»<о» + ЛдзЮз! У (1.45)
<ОдЗ = 4д 1 to I + £д2®2 + Лдз<Оз, )
где km, km, km’, km, km, km’, km, km, km— постоянные коэффициенты.
Подставим соотношение (1.44), (1 45) в (1.7); тогда получим
• /з — J?	ki
<01 --------у-----Шз<0з —у- X
X (^Д1®1 + £д2®2 + ^Д3®з) + , k, + 7ГШз,:
•	/1 — /3	fej .
<02 ==------т—- <0з<0! — -т- X
J2
df__ ду
dfп dfn dfn
_ ду, ду3 '‘’ <Эул_
~ df, df, ди, ди3
df, -дип

ди
dfn'
(1.48)
(1.49)
dfn dfn ___________
du, du3 ‘ ‘ dun _
X (АЁд!©! + Йд2©2 + £дЗ®з) +  &2 + -у— <о32;
•	^2 — А	. .
(Оз «а--------------©2©1 — X
'Э	-»з
X (*Д1©1 4“ &Д2©2 + £дЗ©з) +
' + -у" <*>33.
’ -	Зз
(1.46)
Здесь (1.48) и (1.49) — матрицы Якоби, а уе — положение равновесия в достаточно малой окрестности при фиксированном управлении «о и малых Да.
Из второго уравнения системы (1.1) получим также линейное уравнение
Дх = ^-Ду + -||-Ди со следующими значениями ных производных:
(1.50)
част-
Итак, сложный динамический объект описывается системами
уравнений (1.45) и (1.46).
дд, дд,
ду, ду3 '" дуп
dg,
2. МЕТОДЫ ЛИНЕАРИЗАЦИИ УРАВНЕНИИ
Существует ряд методов линеаризации уравнений. Рассмотрим четыре из них, которые наиболее часто применяют на практике.
Первый метод линеаризации. Нелинейная функция является аналитической в рабочей области, и
d<7 _ _ ду
ач_—. ди
ддп ддп
~ дд, ди.
(1.51)
___ dgn ду3 ‘ ’ дуп.
dg, dqi ~ ди3 ‘ ' дип
ддп ддп ддп _ ди, диг ’ ' ’ ди
п_
У-Уе
(1.52)
У-Уе
U-Ua
30
Уравнение равновесия q(ye,u0) = ==0.
Если провести линеаризацию относительно опорной траектории программного движения с параметрами у(/) = уп(/); *(0 = *п(0; «(0 = — «п(0, то система (1.1) примет ВИД
,	, У (1.53)
Линеаризованные уравнения динамических элементов (1.47), (1.50) можно записать в векторно-матричной форме
y(t) = Ay(t) + Bu(ty 1
x(t) = Cy(t) + Du(f), J
где A = [a/Z], B = [&iz], C = [ciZ],> -О = Hi/] — постоянные матрицы соответственно типа (n X пУ (п X т)> (гХп), (гХт).
Линеаризованная система (1.53) даст
у(/) = А(0у(0 + В(/)«(0;| (1 55) x(t) = C(t)y(t) + D(t)u(t), J
где А(0 = [ао(0]; В(/) = [6г/(/)]; С (0 = к, (0]; D (/) = [d4 (/)] - переменные во времени матрицы тех же порядков, что для системы (1.54).
Если элемент имеет один входной «(/) и выходной x(t) сигналы, то уравнения (1.54) и (1.55) могут быть записаны в виде
У (0 = АУ (0 + Ьи (/); | J 56) x(t) = c'y(t) J
и
y(t) = A(t)y(t) + b(t)u(ty, j x(t) = cx (t)y(t), i
где b — столбец; ст — транспонированный по отношению к вектору с вектор.
Пример 1.18. Линеаризуем систему уравнений (1.7) из примера 1.3 с помощью
первого метода. Введем обозначения
। «1 (0 “ й>2Шз +	, —
- /з о о X “» &
G)2<di
—(Й10 , W10 fa>20, U2C (*>30. изо
Составим матрицы
п Л — Ц— h'
О-------j—ш3-----у-—а>2
0
'2
(*>20 (*>30
(1.58)
	~ 1 Ji	0	0	
ди	0	1 Ji	0	(1.59)
	0	0	1 Ji-	
Пользуясь уравнением. _(Ц47), запишем уравнения (1.7) в линеаризованном виде с учетом выражений (1.58) и (1.59):
Ау =
<*>30
Г А*0! 1
X I I +
Lag)3J
31
1 Л
о о
о
Au, -1
Ли2 I (1.60)
Лиз -•
Пример 1.19. Линеаризация уравнений (1.7) дана в примере 1.18. Выполним теперь лввеаризацию системы (1.46), поль
зуясь обозначениями »а «= и, = у и <0* = X, или
[©1 *1	Г ©31 *1	Г	©Д1	"1
©2 I >	U	« I ©з2 I»	X «	I	©д2 I *
ш3 J	L Шзз J	L	Шд3 J	i
(1.61)
Имея в виду вектор (1.61), по формулам (1.48), (1.49) и (1.51) найдем матрицы

©3 “* k j А?д2
^j-A®2— ktkai
df
ду
/. - /» „ и z г - ©3 — К2Кд)
Ji
г ©2 ~ А?3Лд1 *3
— kikjn
— ©j — k3ka2
Л “ /3 „ t, z ----------- Qji — «2ЙДЗ
(1.62)
—©10
©20
©80
[kt 0	0	-|
О ki О I;
I
О 0 k3 J
(1.63)
кзкщъ
dy
" ^Д1	1!д2	ЙдЗ ‘
вд1	Йд2	ЙдЗ
- Лд1	Лд2	ЛдЗ -
(1.64)
Пользуясь матрицами (1.62) —(1.64), по формулам (1.47) и (1.50) запишем систему линеаризованных уравнений в виде
klkjll
©3 — kikjtf
®2 — 1®1^ДЗ
Д© =
©3 — &2&Д1
— ^2^Д2
©1 ^З^ДЗ
®3 —
•“ ^эЛдз
' ^Д1
Д<0д = Йд1
- *Д1
^Д2
Йд2
Лд»
^дз ‘ БдЗ ЛдЗ -
[А о>1 А®2 Д®3
A ®i
А®2 I (1.66)
А®з J
[kt О О
Полученные системы уравнений (1.65) и (1.66) являются линейными.
Второй метод линеаризации. Нелинейные характеристики ие могут быть описаны математически, а задаются в графической форме соответствующими зависимостями у = Af(x) (рис. 1.7). В этом случае производят графическую линеаризацию характеристики 2 в рабочей точке То с координатами (хо, уо), т. е. кривая заменяется касательной. Тогда вместо частных производных находят частные разности Ахо, Дуо и можно записать следующее соотношение:
* ЛМо I . Ди = ——— Дх.
Ахо |т,
(1.67)
©1 ““ А?зЛд2
©10
<1>20 Oho
характеристик элемента при режимах работы, заданных кривыми 1—3
32
Пользуясь соотношением (1.67), коэффициент усиления можно представить в виде
АМо I
Ахо |То
(1.68)
Таким образом, получим линеаризованное уравнение
Ау = ^2 Ах.	(1.69)
Пример 1.20. Выполним графическую линеаризацию характеристик трехфазного асинхронного электродвигателя, пользуясь кривыми, изображенными иа рис. 1.5, а—в. При этом найдем коэффициенты усиления в точках Т] и Тг путем замены кривых касательными. На рис. 1.5, а показано также графическое определение разностей Дшо1, АЛ1д01, АЛ4Со1, АШо2| АЛ1д02, АЛТс02. Пользуясь ими, для точки Tt имеем
ЛЛГ„ д ..	Дб1
Л©1 = —Г------
AcOqi
Aw,
ЛМ-Aw-----
т, Ли0,
АМСм I
= —-£«1- д<о. Ашей I?,
(1.70)
Коэффициенты уснлеиня в точке Г, обо
значим через
k ЛМд" I • ь -*,=^Г|Т1’ ka-
I
Д<о01 |Т1
ЛЛ4.
До1
Аи01
(1.71)
Учитывая соотношения (1.71), перепишем систему (1.70) в виде
Aw, = kt Aw — kt Ьи;
Aw, = k3 Aw.
(1.72)
Для точки Tt получим			
AAf„ Ь(йг	•£ Aw02	• Аш + 1т,	АМ„ Д02- AU02	Au; т2
Дй)2	ДАС ___ Си AWq2	т2	(1.73)
Коэффициенты	усиления	В 7*2	будут
ь — Ди 1 AwoS	2	^2 "“ т3	АЛ4„ Дм Д«02	1т2
Аз	ДМ. 1 —	CQ2 1 AWo2 Г]		(1.74)
Подставив соотношения (1.74) в (1.73), получим линейные уравнения
Aw, = k, Aw — kt Au,;1
,	J	(1.75)
Aw2 = k3 Aw.	)
Третий вид линеаризации. Вместо непосредственного определения частных про
изводных вводим переменные в исходные нелинейные уравнения. Эти переменные имеют вид
у = Уо + Ду; ч
х = х0 + Ах; I (1.76)' и = и0 + Au. J
Следует помнить, что приращения переменных всегда зависят от времени t. Все слагаемые, стоящие в правых частях полученных выше выражений, разобьем на. три группы: не содержащие прнращення Ду и Au; содержащие приращения Ду и Au в виде простых множителей; содержащие произведения или степени приращений. Полагая приращения Ду и Au малыми по сравнению с соответствующими координатами опорной траектории (у0, и0), можно считать слагаемые третьей группы практически равными нулю. Слагаемые первой группы будут определять опорное движение, а слагаемые второй — движение в отклонениях (Ду, Ди) от опорной траектории (i/о, “о)-
Пример 1.21. Линеаризуем с помощью третьего способа уравнение (1.3), подставив в него I = 1о + Л1(О и ш = wo+Aw(O. где lt> и шо — постоянные. В результате получим
d2	d
m (Z° + Д/) + kv {l° + AZ) +
+ kc (l0 + AZ)3 = k (wo + Aw). (1.77)
Из уравнения (1.77) можно получить две зависимости: для опорного движения
>1с10 = Аш0
и в приращениях
m bl + kv AZ + 3kcl3 M = k Aw. (1.78)
Уравнение (1.78) является линейным.
Пример 1.22. Линеаризуем уравнение (1.5) относительно опорной траектории вертикального взлета ЛА, т. е. m(Z) = = m0(Z)+Am(Z) и Zi(Z)—Zio(Z)+Aft(l). Подставив эти соотношения в уравнение (1.5), запишем
d2
[m0 (Z) + Am] [h0 (Z) + ДЛ] +
( d	12
+ M -£-[Ao(<)+ ДЛ] > + I at	)
+ [mo (Z) + Am] g = k [m0 (Z) + Am],
(1.79)
Из уравнения (1.79) можно получить две зависимости: относительно опорной траектории
m0 (Z) Но (t) + k0 [/i0(Z)]2 +
+ т0 (Z) g = £А0 0)
2 ГО. И. Топчеев
33
и в приращениях
Ло (0 Am + т0 (t) l\h + 2й0Л0 (/) АЛ +
+ gAm = £Am. (1.80)
Уравнение (1.80) является линейным.
Пример 1.23. Перепишем уравнения (1.12), (1.13) при относительно небольшом изменении высоты полета в виде
dV n pV*S „ ... .
m — = Р cos а - Сх (V, а)-
— mg sin (О — а);
.. d (Ъ — а)
mV —-г-.—- = Р sm а + at
+ ^-Cy(V, а, бв)-
— mg cos (О — а);
(1.81)
Будем считать, что р н Р постоянны.
Для линеаризации системы нелинейных уравнений (1.81) примем
d = до + Ад;
а = а0 + Да;
У = У04-АУ;
<Oz — <*>го 4" Ао)2; бв = бво + Дбв.
(1.82)
Получим системы уравнений для координат опорного движения и приращений относительно опорной траектории.
Относительно координат опорной траектории для движения центра масс ЛА имеем
1 ГР	pV0 4Z
— = -[Pcosa0-^-X
X SCX (Vo, a0) — mg sin (du — a9)J;
d (d0 — a0)	1
dt	mVa
[P sin a0 +
(1.83)
Pio
4---2~ SCy(Vv, ap, 6Bp) —
— mg cos (dp — a0)].
В общем случае при определении параметров опорного движения необходимо учитывать также и вращение ЛА вокруг центра масс:
A) S64pi/g
^2 —	mz (Уо. ctp, др, бвв). (1.84)
Решение задачи формирования опорной траектории движения сводится к решению системы трех приведенных выше нелинейных дифференциальных уравнений. При этом следует учитывать ограничения, которые выбирают из условий, характери
зующих режимы полета ЛА: прямолинейное горизонтальное движение, набор высоты прн неизменной скорости, разгоне или торможение на заданной высоте и т. д.
Рассмотрим пример, когда ЛА набирает высоту при постоянной скорости движения центра масс (Уо). Предположим также, что набор высоты производится с постоянной вертикальной скоростью (Vy = const). Тогда угол наклона траектории полета
Vu
Go = arctg yf- = d0 — g0.	(1.85)
* 0
В этом случае уравнения (1.83) можно записать в виде
рУо Р cos a0-------— SCX (Уо, a0) —
— mg sin (d0 — a0) = 0; рУ?
P sin a0 4-----j- SCy (Уо, a0, 6B0) —
— mg cos (d0 — a0) = 0.
(1.86)
Из уравнения (1.84) при условии отсутствия вращения ЛА вокруг центра масс получим уравнения связи между координатами полета и угловым положением рулей высоты бво
тг(Уо. «о. бв0) = 0.	(1.87)
Таким образом, можно записать систему нелинейных уравнений
рУ*
Р cos a0----g— scx (Уо. a0) =
= mg sin Go; рУп
P sin a0 4--SCy (Уо. a0> 6Bo)=
= mg cos Go;
mx (Vq* «о. 6Bo) = 0; d0 — a0 = 0.
Решение уравнений (1.88) при заданных значениях скорости полета Уо н наклоне траектории 60 относительно величины тяги Р, угловых координатах d0, ao и положении руля высоты бво определит систему программ изменения этих параметров, обеспечивающих набор высоты ЛА:
Р = Рпр (0;
d0 = dnp (0. go — anp (O'. бво бв пр (О-
С учетом выражений (1.89) система уравнений для приращений, записанных относительно координат опорного движения,
(1.88)
(1.89)
34
будет иметь вид pVoSCx + ^-Cy ~|ои(0 :------------------
Г	Vos п
-[Р sin <хо + р —С“+ 1----------1 а.» (0 -
+ mg cos (б0 — a0)J Да — ______________[ — [mg cos (d0 — a0)] Ad;
'	013 (0.
d (Ad - Да) _ ' dt
==^k{[pV°SCHVo-°o.6Bo) +
I____________________
pv|s „1 Г pv2s n
CH AV + [/ c°s«o+-2-c£-
— 021 (Q -’	*---- 022 (0 |---
— mg sin (d0 — a0) j Aa + I
+ [mg sin (d0 — a0)J Ad +
1----- Oj3 (/) |—I
pV2S в I
+ —^-C®»A6Bj;	(1.90)
— bu (0 —1
d* Ad 1 Г	...
dt2 ~	L₽^0S64mz	a0' d0> 6bo) +
1-------1 031 (0 I---------------
pV2 vl pV?S6. „
+ ~ SbAmvz\ AV +	да +
| o32 (0| “
IO35 (t) I I I 634 (t)	*
Перепишем полученную систему уравнений в виде
AV = — Оц AV — 012 Ла — Ad;
Д<х == — G21 AV — O22 Ла — — O23 Ad — Ьц Абв + A<oz;
A d>z = a3i AV + а3з Ла + + а35 Лсо2 + 634 А6В.
(1.91)
С помощью системы уравнений (1.91) можно составлять структурные схемы в пространстве состояний (для моделирования систем во времени) или путем «замораживания» коэффициентов и применения преобразования Лапласа находить передаточные функции (для анализа систем в частотной области).
Пример 1.24. Для модели пространственного движения самолета, рассмотренного в примере 1.7 [см. выражения (1.15) — (1.17)], систему линеаризованных уравнений можно записать в виде
Oio (0
Ду = tg d0 (aya sin уо + шго cos Yo) Ay + (wzo sin y0 — cos y0) Ad +	1 Am» —
J------1 g.i (О I------------1	—IQ13 (<) I----------'	—I a.» (0 |~
— tg d0 cos Yo Awy + tg d0 sin y0 А<ог;
“| Oi 10 (0 I" “ ai и (0 I"
Дф = cosec d0 (Oyo sin y0 + <ozo cos y0) Ay + (tg d0 cosec d0 (ayB cos y0 — sin y0)) Ad + '	021 (О I	‘	’ I 023 (01'
+ (cos Yo cosec d0) Affly — (sin y0 cosec d0) Awz;
 I 0210 (0	 I j 02 11 (0 |~
Ad = (Wyo cos yo — <0» sin Yo) Ay + sin Yo Ao>y + cos Yo A“z; ’	O31 (()		~ a310 (1)|_	“ Озн (t) ~
AV = m~l [CxpV0S cos £0 -|- 2pV0SCz sin 0O] AV — g cos % Л0 +
---------------- 044 (0 ------------1	" 04S (Op
2
35
+ т 1 [Р (—sin(a0 + фр))со5р0—O,5C“pV0ScosPo] Да +
| Я47 (0 |	'
+ m-1 [P (— cos (a0 + <pp)) sin Po + O,5CxpV0S sin 0O + 0,5p V0SCf sin 0O +
IД43 (0
+ 0,5pV2oscz cos Po] др + (o,5m-lpVoSC*H sin Ро)лйн;
Д0 = P (mVt) * [— sin (a0 + <pp) sin y0 + cos (a0 + <pp) sin Po cos y0] — I_________________________________________________________
— O,5m-1pVoSCx sin po cos y0 — O,5m-IpVoSC“ao sin y0 —
------------1 Psi (0 I-------------------------
- 0&n~'pVQSCzcos p0 cos у0 Ду - {p (mV^)-’ [sin (a0 + <pp) cos y0 + ________________________I I_______________________________
+ cos (a0 + qpp) sin Po sin yol — 0,5m~lpSCx sin p0 sin y0 +
+ O,5m-IpSC“a0 cos y0 — 0,5m~ipSCz cos Po sin y0 + gV0 cos 00J Д V +
-------------:--------------------1 a54 (0-----------1
+ gV0 1 sin 0O Д0 + {P (mV0) 1 cos (a0 + фр) cos y0 - P (mV0) 1 sin (a0 + фр) sin p0 sin y0 —
— 0,5m *pV0SC“ sin P0 sin y0 + 0,5m 'pV0SC“ cos y0J Да +
'	Д57 (0
+ {P (mV0)-1 cos (a0 + ФР) cos p0 sin y0 — 0,5m“lpV0SCx cos p0 sin y0 —
I_____________________________________________________________
— O,5m-1pV0SC^ cos Po sin y0 + О.бт-'рУдЗСг sin P0 sin y0) ДР —
| ess (01
— 0,5m-1pV0SC2H cos Po sin у0 Д6Н;
ДЯ = sin 0o AV + Vo cos 0o Д0;
L|a84(O|-	~|fl65 (Op
Да = g (V0)-1 sin Y0 Ду + {o.Sm-'CjpSao — 0,5m-1C*BpS6B0 + gV~2 cos y0 —
—I Д7. (0 |—	1-------------------------------------------
— (mV0)-1 sin a0 {CxpV0S cos p0 + 2pV0SCz sin p0) — (mV0)-2 X
X sin a0 {P cos (Oq + фр) cos p0 — mg sin 0O — 0,5p V0SCX cos Pq + 0,5p V2SCZ sin Po}} Д V +
............ 	Д74 (0 I” ~~~ ~~~~~ r~~~
36
+ gV^2 sin a0 cos 0O Л0 — {o,5m ’C“pV0S + (mV0) 1 sin a0 [P (— sin (a0 + <pp) cos Po) —
1---1 075 (О I-----1	1-------------------------------------------------------
— O,5C“pVoS cos Po] + (ffiV0)-1 cos a0 [p cos (a0 + <pp) cos 0O — O,5pVoSCx cos Po +
+ 0,5p VqSCz sin Po — mg sin 0O]} Да — {ой cos Po + ----------- a?? (0 |	' , '
+ (mV0)-1 sin a0[P (— cos (a0 + <pp) sin Pg) + O,5pFoSCx sin Po +
+ O.SpVgSC^ sin Po + 0,5pV^SCz cos Po] } ДР — sin Po Д<*>ж +	1	Д«2 —
---1 078 (0 |	“|07»(0|“ ~| fl7 11 (0 |~
— 0,5m-'pVgSCy8 Д6В — 0,5 (тУ0)-1 sin aopVoSCzH sin Po л6н;
*—| г>7. (0 H	J------1 г>78 (О I-----------1
др = cos O0 cos Yo Ду — sin O0 sin Vo ДО + I----------[ fl8i (0 |-*	----1 Oss (01---*
+ { O,5m“lpSC|po + 0,5m”'pSC*“6^ *- V^2gcos O0 sin y0 + (mVo)-1 X 1_____________;___________________________________------------------
X Sin Po [CxpV0S cos Po + 2pV0SCz sin p0] —
— (mVo)1 sin Po [P cos (a0 + <pp) cos p0 — O,5pFoscx cos p0 + O,5pVoSCz sin Po —
------------------;---------------------------------------------1 034 V)-
— mgsin0o] } Д7 — V^1 sin Pgg cos 90 Л0 + {Oxocos a0 + (m^o)-' sinPo X
X [P sin (a0 + <pp) cos Pg - O,5pVoSC“ cos Po] } Да + {o,5/n-1c!*pVos +
+ (mV0)-‘ sin Pg [P cos (a0 + q>p) sin p0 + 0,5CxPVgS sin Po + 0,5pVjjCgS sin Po + + 0,5pV|SCz cos Po] - 0,5pVgSCx cos Po (тГ0)-1 cos p0 + (mV0)~1 cos Po X
X [P cos (a0 + <pp) cos Pg + O,5pVos sin POCZ — mg sin 0O] } ДР + a88 (0
+ sin a0 Дшх +	1 Дшу — {o,5m_1pVos^zH (1 +sin2 Po) }д6н’
~|аз»(0|“	~| 08 10 (0 |~	'	| ba (/) |
Л“х = {№₽^os/ [Фо +	+ 0,5VQllm&xifaVt + in*^ + фбэо] +
+ 0,25У7‘рф<[- ^o~2'«x^®x, “ Vllm^a J } ДК +	ДР +
-----1 084 (0 |---:------------------- *----1 098(0 |-
37
+ 0,25 (JxV0)^pV^l2mxx Д<ож + {0,25 (ZJCV0)-|pVgS/W> - (Zz - Jy) Jx *a>4	+
--------) «99 (0 |	'	| a9 10 (0 |
+	- Jy) ^>z + 0,5/-*р723/т$н Дбн + 0,5Z£*pV|SZmJ9 Дбэ;
-----1 Й9 11(0 | '	' | 6 92 (0 | "	<>93 (0 |
Ашу = {Zy’pVoSifm^ +	+
I____________________________
+ О,5и0-Чт^Шж0 + mJ?690 + tn»^] + 0,5 V1 pVjjS/ [- O,5Vo'2<«^“,o “
| ^19 4(0 |	"
- О,5Ко~2ХХо] } ЛV + 0,5 (Jy)~l pV§SZm* Ap + [o,25 (JyV0)~l pV2SZ2m“* -
'	| «10 8 (0 |	a19 9 (0 |
- {Jx - 'z) '7Ч0] A“x + 0,25 (Vo)-1 рф/2«;у M>y + Z;1(Zx-Zz) Awz + —————————	!	| 019 19 (0 |	| 019 11(0 |
+ 0,5Z^lpV2SZm®H A5H + 0,5Z“lpV^SZm®9 Д6Э;
1----1 fri02(0 |—1	L—| &i9s(0 |---1
A6Z = {Z^’pVoS^ [mz (Cy) + A7C“a0 + m*» (6в0 - dM) + ОЛ^Хх]-l_____________________________________________________________________
- 0,25 (ZzV20)~‘ pVjfoXX} A V +
| 011 4 (0	“
+ ^J~lpV2SbA [т“(Су) + AxC“] Да - J,1 (Jy-Jx) <*y Дш, + Гг'(}у-1Х)	Д®, +
 I 011 7 (0 ------------------ '-------1 ан 9 (О I-1	1  «11 io (0 I--
+ 0,25 (ZzV0)-‘ (>V2Sb2Amzx Дшг + 0fiJ~lpV2SbAtn‘ Д6В.
--------Д.и1(0--------1	1-----1 <>i и (0 |J	(1.92a)
Приведенной системе уравнений дадим порядковый номер (1.92а).
Коэффициенты системы уравнений (1.92а) зависят от текущих параметров опорного движения
(Yfl’ %- ^0’ V0> ®0’ Н(У %’ 00* “«О’ “(/О’
“го- 6во)	(U926)
и в самом общем случае являются функциями времени (at/(t), bti(t)). Рассмотрим способ определения значений координат (1.926), когда в качестве опорного движения выбран прямолинейный горизонтальный полет ЛА без вращения его вокруг центра масс и без скольжения. В этом случае часть координат должны быть приняты равными нулю, т. е. у0 = Фо = 0о = Ро = = Шхв = <о»9 = <0x9 = 0. Кроме того, скорость Ко и высота Яо полета ЛА, а также масса т, как режимные характеристики,
должны быть заданы. Таким образом, задача отыскания параметров опорной траектории сводится к вычислению Фо = «о, 6>д и величины потребной тяги Р = Ро- Как видно из выражений правых частей нелинейных уравнений (1.15), для обеспечения прямолинейной горизонтальной траектории необходимо выполнение следующих условий:
V == -L {р0 cos (а0 + <рр) — X) = 0;
0 = —V {Ро sin (а0 + Фр) + Y + mg] = 0; tnv
<az — -j~ Мг = 0. ~
(1.93)
Заменив в системе уравнений (1.93) X, Y, Мг их выражениями, получим систему
38
уравнения относительно искомых параметров
Л (Ль а0, бво) == Po cos (Оо + Фр) —
Р(^о)Ф
-------2----Сх ^СУ' = °’
ft (Ро, Ио, 6во) = Po 5>п (ао + Фр) +
Р (*о) VoS
4- П_^_о_ Cs/ (Д1_ 6в01 ао_ аз) + mg = 0.
(з (Ро, Ио, 6в9) —
— тг(М, Су, бв0, Ро, Дх(т)) = 0.
(1.94)
Решение системы (1.94) может быть получено любым нз существующих методов определения корней нелинейных уравнений, а также путем минимизации функции вида з
Р = £ dfi (Ро, ао, б*,), где d{^0. (1.95) i-i
Найденные значения Ро, а0, 6в0 известны как балансировочные параметры полета ЛА и являются нелинейными функциями режимных характеристик Но, Ро, т.
Подставив значения параметров опорной траектории в выражения для коэффициентов at/ и bi/ из достаточно громоздкой системы уравнений (1.92а), получим
Ду = 019 А(Дх ~~ П1 ю Д<в^;
Дф === Од ю Асо^;
Af> = а3 11 A<oz;
ДР = а44 ДР — а45 ДО + а31 Да;
ДО = а54 ДР + а57 Да;
АЯ = ав5 ДО;
Да = O74 ДР + П75 ДО + O77 Да 4-
+ а7в ЛР + о? и Аи2 — 671 А6В;
Д^ == O31 Ду + Оз4*гДР + Пет Да +
4- Пзз ДР + Пвэ Аоож 4* Пз ю А<в^ — — 632 Дбн»
Дшх = а98 др 4- а» Дсож 4- а9 ю &®у 4-
4- 692 А6Н 4- 693 А6Э;
Дйу = ею з ДР 4" пю 9 Лфх 4" Пю ю А<о^ 4-4" Пю 11 Д<*>г 4- 610 г Л6Н 4-610 3 А6Э;
ДсЬг== П] 14 АР 4* О] 17 Да 4- Oi 1 i j Дсо2 4-4" 6i и Д6В.
(1.96)
Система дифференциальных уравнений (1.96) является линейной относительно приращений соответствующих переменных.
Четвертый метод линеаризации.
Он основан на определении коэффициентов по методу наименьших квадратов. Рассмотрим два случая.
Первый случай. Функция у = = f(x) задается таблицами. Тогда коэффициент линеаризации
Е Ау, Ах, а = -^------- прип>1 (1.97)
Е (*xi)2 i-l
и линеаризованное уравнение можно записать в виде
Ду = а Ах.	' (1.98)
Второй случай. Функция зависит от двух переменных y = f(xi,x2). Тогда коэффициенты линеаризации
z п	\2
~I Е ЛХИ ЛХ2< ) \i-l	/
(1.99)
В этом случае линеаризованное уравнение представим как
Ду = а Ах! + b Лх2. (1.100)
Когда нелинейная зависимость выражается аналитически, то соответствующие суммы следует заменить интегралами. Для одной переменной вместо выражения (1.97) запишем
Дхо Д/ (Лх) Дх«/ (Дх)
=	------------• (ШОП
Ax2d (Дх) — Дхо
39
Таблица 1.1
Линеаризация функции у = хп по методу наименьших квадратов
Коэффициент усиления	Разложение функции в ряд Тейлора в точке хо	Погрешность данного метода линеаризации
1	Ду = Дх	0
2х0	Ду = 2х0 Дх + Дх2	Дх2
3х0 + У (Дхо)2	Ду = Зхц Дх + Зх0 Дх2 + Дх3	3(х°“4) Дх2 + Дх3
4хо + -у- <Лх°)2	Ду = 4Xq Дх + бХц Дх2 + + 4х0 Дх3 + Дх4	6(х«_т) Дх2+ + 4х0 Дх3 + Дх4
5*о + 4 хо д*2 + + у(дх0)4	Ду = 5хд Дх + Юхд Дх2 + 10х2 Дх3 4-+ 5Хц Дх4 + Дх5	х2(10х0--|-) Дх2 + + lOxjj Дх3 + + (бх0 — у) Дх4 + Дх5
где Дх0 и —Дхо — предельные отклонения от рабочей точки, для которых с заданной точностью выполняется линеаризация; Дх — переменная интегрирования. Для двух переменных имеем [39]
ДХо1 Дх02
J Д[ (Дх,) Дх, х
— Дхо1 — Дхи
X Axfd (Дх,) d (Дх2) -Дхо1 ДХ02
- J j Д[ (Дх2) Дх, X — Дх«1 — Дх»2
__________X Ax|d (Ах,) d (Дх2) Дхо2	*
j Дх, Ьх22 X
— Дхы — Дхо2
X d (Дх,) d (Дх2) — [Дх01 ДХ02
j Дх, Дх2 х -Дхм — ДХ02
X d (Дхг) d (Дх2)12
Axoi Дхоз
j Д[ (Дх2) Дх2Дх2Х
- Дхо1 — ДХ02
X d (Дх,) d (Дх2) —
ДХ01 ДХоз
- j J Д((Дх,)Дх,Х
— ДХ01 ”“ДХ(>2
X Дх2 d (Дх,) d (Дх2)
Дх«1 Дхо2
j Дх2 Дх| X
— Дхо1 — Дхоз
X d (Дх,) d (Дх2) —
[Дх» Дхм
5 ' ДХ1 д*г х
— ДХ01 — ДХ«2
]2.
Пример 1.25. Линеаризуем функцию у = = х" [39] для я > 0 (см. пример 1.16) вблизи точки хь; тогда получим
Ду = лх" 1 Дх. (1.104)
По методу наименьших квадратов определим
(1.102)
40
ДУ = (х0 + дх)п - х" (1-105)
Подставив соотношения (1.104) и (1.105) в (1.101), найдем
Дх0
j [(х0 + Дх)" — х"] Axd (Дх)
— ДХо
ДХо
j (Дх)2 d (Дх)
—Дхо
(1.106)
Рассмотрим систему уравнений вида
У\ =^111/1 + Уъ
У 2 — 0211/1 + 0221/2 + Уз + О24«/4;
Уз — Оз11/1 + а321/2 + О33У3 +
1/4 = 0441/4 + 640;
х =?= Clyi + c^t.
(1.108)
После интегрирования (1.106) получим
Перепишем систему (1.108) в обычной векторно-матричной фор-
ме
а =
[^]
_ к-1
(Д*о)3
(1.107)
Пользуясь формулой (1.107), составим табл. 1.1 коэффициентов усиления при изменении п от 1 до 5, из которой видно, что по мере роста степени погрешность линеаризации по методу наименьших квадратов возрастает.
3. ТИПЫ УРАВНЕНИИ СОСТОЯНИЯ
Уравнения (1.54) —(1.57) являются уравнениями состояния динамического элемента системы автоматического регулирования, записанные в принятых проектировщиком переменных. Эти уравнения можно записать и через другие переменные; тогда при удачном их выборе получим наиболее простую форму представления элемента. Следует иметь в виду, что описания динамики системы с помощью различных наборов переменных состояния всегда однозначно связаны между собой.
Уравнения состояния применяют при математическом и аналоговом моделировании динамических элементов, результатом которого являются соответствующие переходные процессы.
у *= Ау + Ьи;
х = с*у,
(1.109)
где
~alt	1	0	0“
а21	022 ч	1	О24
O31	а32	Озз	1
_ 0	0	0	а44 _
О
О
cT = [ci 0 0 с4].
Располагая математическими зависимостями (1.108) или (1.109), нетрудно составить структурную схему системы для аналогового или цифрового моделирования динамических процессов (рис. 1.8). При этом видно, что в систему, описываемую уравнением 4-го порядка, входят переменные состояния: yi — Уа. Причем выходом каждого интегратора является одна из указанных переменных, а их нумерация возрастает справа налево. При таком представлении можно определить различные пути передачи сигналов непосредственно в матрице А, что упрощает получение обобщенной формы представления математических моделей элементов.
41
Рис. 1.8. Структурная схема динамического элемента системы без перекрещивающихся связей для моделирования переходных процессов
Рассмотрим систему уравнений вида
У	1 = апУ1 + у2 + ai3y3 + аыу4 +
#	2 = ^21 У\ + О-22.У1 4“ Уз +	4“ ^2«;
*	/з = Оз1У 1 4“ йззУз 4“ а33*/з 4- «/4 4- Ъ3и\ У 4 = ацУ1 4- а42у2+а^у3+аиу4+Ь4и;
х = С1У1 4- С2у2 + С3у3 + C4Z/4.
(1.110)
Соответствующие системе уравнений (1.110) матрицу А и векторы Ь, ст можно записать в форме
Оц 1	013 а14
ч \ ч
<*21	<*22	1	^24
<*31	<*32	<*33 1
ч
х х _<*41	<*42	а43 ^44 _
ст = [сх с2 с3 с4].
(1.111)
Пользуясь формами записи (1.110) и (1.111), составим структурную схему (рис. 1.9). При этом видно, что в схеме присутствуют перекрестные обратные связи, которые вносят определенные трудности в процесс проведения математическо
го моделирования на аналоговых и цифровых машинах.
Для проверки правильности составления структурных схем следует пользоваться правилами:
наддиагональные элементы матрицы А характеризуют передачу сигналов по прямой цепи связи;
диагональные — по цепям обратных связей;
поддиагональные элементы матрицы — по всем остальным цепям обратных связей;
элементы векторов Ь определяют воздействия входа на переменные состояния;
элементы строки ст указывают долю вклада сигналов состояния в сигнал выхода системы.
Структурные схемы систем без перекрещивающихся связей можно представить в виде последовательного соединения подсистем. Так, например, схема, изображенная на рис. 1.8, является последовательным соединением двух подсистем Si и S2 (рис. 1.10).
При исследовании динамических элементов (или систем автоматического регулирования) методами моделирования принято пользоваться двумя типами уравнений состояния— каноническими и нормальными.
Канонические уравнения состояния’ получают путем составления жордановой канонической формы
42
Рис. 1.9. Структурная схема динамического элемента системы с перекрещивающимися связями для моделирования переходных процессов
матриц *. В этом случае систему (1.109) можно записать в виде
Укя — Лжукн 6khU;
X = Ст О , кн кн»ки’
(1.112)
* См. прил. П-1.1.
Рис. 1.10. Структурная схема динамического элемента системы, состоящая из двух последовательно соединенных подсистем Si и S2 (получена из рис. 1.8)
43
где матрица и вектор имеют следующий вид:
Xj	(Oj	О	О
\ п гМ
Л = а2	л2	о	0
Ж 0	0 \ (03 ’ 6кн== ь3 ;
_ 0	0	<т4	Л4_	4
Скя ~ [С1 С2 С3 CJ-
Откуда нетрудно получить систему
#кн, = а-Х^кн, + МКН2 + blU>
Укн2 = C2f/KHl + ЧУкъ + Ь2и> ^киэ^^кНз.+ ^З^ + М; ^к4=стлн, + МКН1 + й4и; , ’
хкк = сЛн1 + с2г/КН2 +
+ СзУ*ъ + С^кк4-
Пользуясь системой уравнений (1.113), представим структурную схему в жордановой канонической форме (рис. 1.11). Ее можно изобразить в виде двух параллельно соединенных систем Si и S2 (рис. 1.12).
Произвольная система уравнений (1.109) приводится к канонической форме (1.112) с помощью линейных преобразований вида
Рис. 1.11. Структурная схема динамического элемента, описываемого матрицей в жордановой канонической форме
Л.ж -— 1>жАКж>
Ькя == ^„ = 0^,
(1.Н4)
где /?ж и £ж — матрицы преобразования к жордановой канонической форме.
Очевидно, что жорданона действительная матрица Лж эквивалентна диагональной комплексной матрице Л, так как они связаны следующим унитарным преобразованием:
Н1ЛЖН = Л,	(1.115)
где Н.— матрица преобразования (см. приложение П-1.1).
Нормальные уравнения состоя-
ния запишем в виде
х = сти .	I	'
и и» и	/
Исходная система уравнений (1.108) в нормальной форме (1.116) может быть записана с помощью следующих матриц и векторов:
	г°	1	0	0 -		гМ
	0	0	1	0		£>2
Л =	0	0	0	1	: &и =	*>3
	-Hi	Н2	Нз	М-4 -		Ld4J
		ЙТ = сн	= [1 0 0 0].			
44
Рис. 1.12. Структурная схема динамического элемента системы, состоящая из двух параллельно соединенных подсистем Si и S2
Из уравнений (1.116) получим систему уравнений в нормальной форме:
г/На=уНз + М;
К — ^н< + М>	(1 117)
^=1‘Л + М« + |‘зУн,+
+ Мщ +
хн = УЯ1-
На рис. 1.13, а показана структурная схема в нормальной форме, описываемая системой уравнений (1.117).
Систему уравнений (1.109) можно привести к нормальной форме (1.116) с помощью линейных преобразований
AH==GAG-1. (1.118) где G — матрица преобразования (см. прил. П-1.1).
Векторы преобразуют с помощью соотношений
&н = Gb;
Т__ тг-1 f
Сн = С О . )
(1.119)
Если в качестве матрицы преобразования G выбрать матрицу управляемости G — [б ; АЬ • ... ... • Ап-1&], то матрица Ан и векторы Ь№ и ся в уравнениях (1.116) будут иметь следующую структуру:
ГН1 1 0 О-. |х2 0 10 Из ° 0 1 -	0	0 0 -
Тогда система дифференциальных уравнений в нормальной форме
примет вид
Мн, + ^,5 ^=Мн,+^
^н.= Мн,+«'> ХИ = С1УИ1 + С2УИ1 +
+	+ сЛг
(1.120)
Структурная схема системы в нормальной форме, соответствующая уравнениям (1.120), показана на рис. 1.13,6.
Системы уравнений (1.109), (1.112) и (1.116) соответственно, с матрицами А, Аж и Ан являются эквивалентными, т. е. описывают один и тот же динамический элемент. Из сравнения этих матриц следует, что наиболее удобной си-
45
Рис. 1.13. Структурные схемы динамического элемента, описываемого матрицей в нормальной форме:
а—после линейного преобразования ЛН=«ОЛО—I. б—при О=[а • ЛЬ : — • Лп~
стемой уравнений для исследований является система с матрицей жорданового вида, так как она содержит больше всего нулей. При ее использовании значительно упрощаются вычислительные процедуры на ЭВМ для анализа элементов, описываемых дифференциальными уравнениями высокой размерности.
4. ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ
При проектировании САР наряду с методами, основанными на использовании уравнений состояния, часто применяют способы, базирую
щиеся на представлении элементов (объектов) в виде передаточных функций. Такой подход обладает значительной наглядностью и приводит проектировщика к структурным схемам или графам, с помощью которых можно сложные элементы привести к совокупности простых методами декомпозиции. Естественно, что анализ и синтез простых элементов не требуют значительных затрат времени и упрощают выбор их параметров. Такой подход часто применяют даже при проектировании многомерных систем регулирования.
Для получения передаточных функций линейные дифференциальные уравнения динамических элементов записывают не через оригиналы функций у (t), x(t). при
t > 0, а с помощью прямого преоб
46
разования Лапласа (1.121) приводят к изображениям функций У(з), X(s), которые записывают прописными буквами в виде
О©
У(«)= J e^(Od(0 = ^{y(O}, О
(1.121) или Y (з) -е- у (t), где 3? — символ прямого преобразования Лапласа-, s — оператор * *.
Наряду с прямым преобразованием Лапласа в теории автоматического регулирования применяют и обратное преобразование Лапласа **.
Разностные уравнения записывают в виде последовательности дискретных сигналов y(tK), x(tK), ..(к = 0,1, ...) или с помощью такта квантования То в видеу(кТ’о), x(kTq),... Если применить к этим переменным прямое дискретное преобразование Лапласа, тогда для у(кТ0) имеем
со
Y*(s)=Zyme-SKT‘. (1.122) к-0
Иногда дискретные сигналы записывают в виде *** y*(t),	...
Здесь у* (/) — модулированная последовательность б-фуикций, т. е.
со
/(0 = У(0Еб(/-кГо), (1.123) к-0
и соотношение (1.122) с учетом выражения (1.123) будет
СО
Y* ($) = j у* (0 e~st dt, (1.124)**** о
или
 Y* (s)^-y*(t).
* При исследовании элементов и САР оператор s заменяют комплексной переменной, записываемой относительно круговой частоты <о.
** Применение обратного преобразования Лапласа описано в гл. 5, п. 3.
*** Дискретные значения оригинала н изображений обозначают звездочкой.
**** Если подставить в соотиошеиие (1.124) выражение (1.123), то получим
оа	со
Г(8)«^у(кТ0)	д(/-/сГо)е-*кГ<|Л,
к—0	0
откуда найдем соотношение (1.122).
При практическом применении преобразований Лапласа операции ведут не над заданными функциями, а над их изображениями. Для получения изображений необходимо пользоваться некоторыми правилами отображения (свойствами s-преобразования), наиболее важные из которых приведены в табл. 1.2.
Y(s)^-y(t)-
Y'(s)^-ty{t)\
У"($)«*-/2у(0;
(1.125)
y<»)(s)45-(-l)n tny(t),
и для интегрирования изображений
^У(а)б/а^^-.	(1.126)
С помощью преобразования Лапласа можно получать передаточные функции по линейным дифференциальным уравнениям, описывающим динамические процессы в стационарных и нестационарных элементах (объектах). В стационарных элементах коэффициенты являются постоянными, поэтому передаточная функция постоянна и ее параметры не зависят от времени *. В нестационарных элементах коэффициенты меняются от времени и передаточная функция представляет собой сумму членов ряда, каждый из которых определяется характером изменения как самого параметра от времени, так и его производных. Чем выше степень нестационарности элемента (объекта), тем больше приходится брать членов ряда. Если параметры изменяются на некотором интервале времени не более чем на 20 % [12], то можно пользоваться
* В прил. П-1.2 приведены таблицы s-преобразований простейших функций.
47
Таблица 1.2
Основные свойства «-преобразования
Наименование свойства	Форма представления в виде		
	оригинала	«-преобразования	
Линейность	S’ {Л1У1 (t) ± а2у2 (t)}	aiYt (s) ± a2Y (s)	
Изменение масштаба	S?{y(at)}, а>0	»|-ft 1*1 I	
Дифференцирование оригинала	3?{y(n>(t)}.	rty(n-l)(s)	
Интегрирование оригинала	3? | У (т) dr |	Y(s) s	-
Сдвиг аргумента от оригинала при t^O	35 (у (t — а)}, а > 0	e~asY (s)	
Свертка оригиналов	35 {yi (t) ® у2 (t)}	Yt (s) Y2 (s)	
Дифференцирование изображения	35 {(-l)n t*y (t)}	Y(n>(s)	
Интегрирование изображения	У (t) 1 If J	oo $ Y(s)ds 0	
Сдвиг аргумента у изображения	e“fy (t)	Y(s-a)	
Предельное соотношение	^(lim y(t, a)\ <а->а	>	lim Y (s, a) a + a	
Так как изображение всегда является аналитической функцией, то можно записать соотношения для производных изображений.
методом «замороженных» коэффициентов. Иногда для каждого интервала времени получается своя передаточная функция с постоянными параметрами.
Стационарные элементы (объекты)
Применение преобразования Лапласа к линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям. С помощью табл. 1.2 и соотношений (1.125) применим прямое преобразование Лапласа к некоторым ти
пам линейных дифференциальных уравнений с сосредоточенными постоянными.
Пример 1.26. Допустим, что объект САР выражен в виде однородного дифференциального уравнения
а0У(П> + “У"-0 +•••
••• +%_,«/' + %'/= °-	(1-127)
Зададим произвольные начальные условия
У (to), У' (to).у(п”1) (t0);
48
тогда запишем
иием вида
аа [snr (s) — у (/о) sn-1 — у' (/0) sn 2 — ...
• - J/(n-2> (А>) s - У(п-1)(<о)1 +
+ aI[sn-1r(s)-y(/0)sn-2 -
— y' (t0) sn~3 — ... — y(n-2) (fo)l + • •  ... +an-i [sK (s) — у (f0)] + anY (s)—O.
(1.128)
Если данный объект описывается в виде неоднородного дифференциального уравнения, то
аоу{п) + aty<n~l} + ... + an_ty' + апу = «= M(m> +	+... + &«_!«' +
+ bmu.	(1.129)
Зададим следующие начальные условия:
У (io), у'(io)..у(п-1) (М;
и (to), и'(to)..«(т-1)(<о);
тогда получим
а0 [snr (s) — у (to) sn~l — у' (to) sn~2 — ...
• •• — У(п~2) (to) s — y(n-1) (f0>] +
+ ai [s'*-* Y (s) — у (to) sn~2 —
- У' (to) sn~3 — ... - y(n~2) (to)] + • • • ... + an_t [sF (s) — у (to) + anY (s)] =
= b0 [smC7 (s)—и (t0)sm~l — u' (t0) sm~2—...
... -u'm~2>(to)s-	(/„)] +
+ &. [sm-‘£/ (s) - и (to) s'”-2 -
- u' (to) sm~3 - ... - u<m-2> (t„)] + ... ... + (st/ (s) - и (to)] + bmU (s).
(1.130)
Из приведенных зависимостей примера 1.26 следует, что с помощью прямого преобразования Лапласа дифференциальные уравнения вида (1.127) н (1.128) можно привести к алгебраическим уравнениям, что значительно упрощает методы исследования объектов. В работе [17] приведены таблицы для прямого и обратного «-преобразований различных функций.
Применение преобразования Лапласа -к Интегродифференциамным уравнениям.
Пример 1.27. Допустим, что САР описывается иитегродифференциальиым уравие-
аоу(п) + ail/'* ° + ... +an-iy' + t
+ апу + a„+! j у (r) dr = bou{m} 4-c>
+ &1и*т *> + ... + bm-iy' + bmu + t
+ 6m+i и (r) dr. (1.131) о
Тогда, применив к уравнению (1.131) прямое преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях, получим
aosnY (s) + alSn~lY (s) + ...
... + an-isY (s) + anY (s) + an+x = = basmU (s) + blSm~'V (s) + ...
.. • + bm_\sU (s) + bmU (s) + frm+1-
(1.132)
Применение преобразования Лапласа к интегральнным уравнениям. Обычно в практических задачах встречаются интегральные уравнения типа свертки: 1-го рода t
g(t)=\k(t-x)f(x)dx-, (1.133) о
2-го рода *
f (О = S (0 + $ k (t — T)f (т) dx, о
(1.134) где f(t)—искомая функция; k(t) и g(t) — заданные функции. .
Интегральные уравнения 1-го рода приводятся к «-преобразованию только в тех случаях, когда их можно преобразовать в интегральные уравнения 2-го рода.
Рассмотрим преобразование Лапласа для интегральных уравнений 2-го рода, когда интеграл абсолютно сходится. Тогда оригинал уравнения (1.134) после «-преобразования примет следующий вид:
F(s) = G(s) + K(s)F(«), (1.135) решение которого даст
49
В выражении (1.136) функция F(s) не допускает непосредственного применения обратного преобразования Лапласа. Для выполнения данной процедуры выражение (1.136) следует переписать в виде
F (s) = G (s) + G (s). (1.137)
Тогда функция
«В-гаЬ- (1138)
имеет оригинал q(t).
Решение (1.137) можно привести к оригиналу, т. е.
=	+	(1.139)
Имея в виду свертку q®g, из выражения (1.139) найдем
g(t) = f(t) + (~q)®g. (1-140)
Как следует из соотношения (1.140), в исходном интегральном уравнении (1.134) ядро k(t) заменено взаимным ядром —q (t), а функции fug поменялись местами.
Пример 1.28. Найдем изображение Q(s), если ядро интегрального уравнения (1.134) имеет вид
k (0 = а0 + в) (О + • • • + яп/п,
Пример 1.29. Найти изображение G(s) для интегрального уравнения
.• t
g (t) = (1 — т)~“ f (т) dx = g (/), о
0 < а < 1.
Положив f ® 1 = <р (/) и ’имея в виду, что
=	(1J44)
получим следующее уравнение:
_7g) <D(s) = G(s).	(1.145)
S
В формулах (1.144) и (1.145) символом Г обозначена гамма-функция.
Решением уравнения (1.145) будет
ф (S) ------!---- g (S).	(U46)
Г(1—a)s“
Соотношение (1.146) представляет собой изображение функций интегрального уравнения 1-го рода.
Применение преобразования Лапласа к дифференциальным уравнениям в частных производных. Если исследуемая САР представляет собой систему с распределенными параметрами, то ее следует описывать уравнениями в частных производных.
откуда
К(«) = -7- + -^Г-+ ... +-^г- (1-141)
Пример 1.30. Допустим, что объект системы описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных
вида
Подставив соотношение (1.141) в формулу (1.138), получим
О (si = — a°s" + Hflis"-1 + ... + д!ап sn+1— aosn — llais"-1 —... —-nl an
(1.142)
Выражение (1.142) и представляет собой изображение для интегрального уравнения £го рода.
Рассмотрим интегральное уравнение 1-го рода (1.133) при условии, что функции £(/) и g(t) дифференцируемы и k (0)^0; тогда после дифференцирования уравнения (1.133) найдем
t
k (0) f (t) + J k'(t — x)f(x) dx = g' (/), о
(1.143)
dv ду
a2
+> + ^ = 0;
ди ду
dv
dt
(1-147)
где v(f), u(t) — переменные, а g, и и а — параметры объекта.
Применим к системе уравнений (1.147) преобразование Лапласа; тогда получим
dV dy
dU dy
— sU — kU; g
g a2
sV.
(1.148)
которое можно привести к изображению вида (1.137).
Продифференцируем уравнения no t/, т. e.
d2V	Г -y/s js + k) ]2
dy2 =L	a	J '
d2U Г Vs(s + fe) I2 dy2 “ L	a	J
(1.148)
. (1.149)
g
50
Решение системы уравнений (1.149) можно записать в виде
Vs(s+fc) f	_ Vs(s+*> t
V(s) = C,e	a	+Cte	a	;
Vs(s-t-ft) *	_ Vs(s+fc)
£J(s) = C3e	a	+C4e	a
(1.150)
где Ci—C< — произвольные постоянные.
Для их определения воспользуемся следующими краевыми условиями:
о=О; у = Z;
тогда из первого уравнения системы (1.150) получим
Vs(s+fe) _ Vs(s+fe)
С.е »	= -С,е а .	(1.151)
Имея в виду соотношение (1.151) и используя уравнения (1.148) —(1.150), найдем
С3 =--------. g :.-sCf,
a^s (s + k)
C4 . g — sCi. a^/s (s + k)
(1.152)
Подставляя значения C3 и C< во второе уравнение (1.150) и учитывая соотношение (1.151), получим
[Vs (s+*> у е “
— е “ J;
[Vs(s+*> и е °	+
j£S±E gs
a Vs (s + k) / (1.153) При у = 0 и т = l/а из системы (1.153) получим
[_ Vs(s+A) t Vs(s+*) 1 е “	- е “ J;
[Vs(s+ft) ______ е~	°	+
Vs(s+fc) _1
+ е---~ J-	gs
ai/s(s + k)
(1.154)
Составим передаточные функции для непрерывных элементов (объектов). Под передаточной функцией стационарных элементов понимают отношение изображения вы
ходной величины к изображению функции входной величины, полученные при нулевых начальных условиях. Если в примере 1.26 в формуле (1.130) примем нулевые начальные условия, то получим передаточную функцию вида
пт, /а _ Z-Ш. и-£/(s)
V'n + M'n“l + M'n"2+ •••
••• +6m-ls + 6m Oqs" + ajs"-1 + a<^~2 + ... ... +a„_is + a„
(1.155)
Для примера 1.27 имеем
bgSm + blsm-1 + b2sm~2+...
+bm-ls + bm + ^-
-----n------------zzr2----- (1.156)
Oqs" + n^s + a^n 2 + ...
•••+*„-!* +*n + -^±L
и для примера 1.30 найдем
П7^_^)» ал/sd + k)
W - 7Г&-------------X
Vs (s+k) Vs (s+k) t e~ a - e a У	... -__ . .	_ s=
Vs (s-t-fe) x Vs (s+k} e" a	+e	a
__ a*Js (s-\-k) .. f Vs (s + k) gs \ a J'
(1.157)
Из выражения (1.157) видим, что передаточная функция рассматриваемого элемента является трансцендентной.
Нестационарные элементы (объекты)
Для простоты изложения примем, что нестационарный элемент описывается дифференциальным уравнением
г(0^-+^(0=М(0. (1-158)
51
где’ Т(t)— постоянная нестационарного элемента, зависящая от времени; Лу — коэффициент усиления, не зависящий от времени.
Определим передаточную функцию данного элемента в форме Заде [12], введя для этого следующее обозначение: D(p,t) = = T(f)p-\-\, Здесь p=d/dt— символ дифференцирования. Имея это в виду, уравнение (1.58) перепишем в виде
D(p, t) у (t) = kyii (t). (1.159)
Введя импульсную переходную функцию в уравнение (1.159), получим
D(p, t)k(t, x) = kyd(t — x), (1.160) где k(t, т) — импульсная переходная функция элемента; б(/—т)— дельта-функция, приложенная в момент t = х.
Выполним преобразование Фурье для уравнения (1.160); тогда найдем
D{p,t)W0(s, f)es< = £yesf, О-161) где H5q(s, t) — передаточная функция, зависящая от времени, которая имеет вид
4-00
1Г0 (5> 0 = j k (t, х) е~s (<~тМт.
(1.162)
Разложим D(p, t)u(t)v(t) по степеням р и запишем в виде суммы двух членов, т. е.
£>(р, t)u(t)v(t) = u(t)D(p, +
(1-163)
Полагая в выражении (1.163) u(t) — W0(s, t) и v = es<, найдем
D(s, t) W0(s, i)est = W0(s, t)X
XD(p, +
(1.164)
Если в выражении (1.164) ко-жж	dD(s, t)
эффициенты —относительно медленно меняются от времени, что
соответствует медленному изменению T(t) в уравнении (1.158), то решение уравнения (1.164) можно получить, пользуясь методом итераций. В этом случае, пренебрегая производными передаточной функции H70(s, t), найдем решение в виде ряда
ir0(s, 0 = ^(5, t) + W2(s, 0+ ...
...+U7„(s, П- (1-165)
Очевидно, что первое приближение Wi (s, t) даст передаточную функцию с медленно меняющимися параметрами T(t) уравнения (1.158), т. е. для «замороженного» коэффициента T(ti) в момент времени ti.
Пользуясь выражением (1.164), оценим точность метода «замороженных» коэффициентов применительно к уравнению (1.158). Для этого последнее перепихнем в виде
d[7-(/)s+l] dWe(s,t) , ds	dt '
+ [T(t)s+\]W0(s,t) = ky, (1.166)
откуда найдем
Лу
(S>	= Г (/) s + 1 ~
Т (t) dlT, (s, t) ]fi7.
T (/) s + 1 dt ' (l-l67)
При первом приближении из выражения (1.167) имеем
Wi (s, t) — U?! (s, t) — T s + j ,
(1.168)
где T является постоянным параметром для каждого момента времени ti.
Второй член ряда
1F2(s, /) =
-Т (о kyr (t) T(t)s+1 (Г(/)5-ЫР •
(1.169)
Тогда из выражений (1.168) и
(1.169) получим передаточную функцию второго приближения в
52
Таблица 1.3
Передаточные функции элементов! объектов) систем автоматическою регулирования
№ п/п	Наименование элемента или объекта системы	Схема элемента или объекта					Передаточная функция элемента или объекта	Параметры передаточной Функции
1	Механическая передача (редуктор)	*’\ Г\г1 U-4-PJ	>	»«!- Z	2, углы поворо- н ) J > й—4 та валов 7\j					Wfs)-*Z<!’.L  *, <s>	19еГГ~переда' Zf точное число редуктора
2	Рычаг	«1	г				w(s)-	. 2 x, (s) Kp	К - г2 ' г,
3	Транзисторный усилитель переменного тока		р i		у I 'С glffi}2  —о		' 1	U,(s) K3	“г-\ где к-коэффициент усиления каскада
	Силыронный датчик давления	ТД			ГД—.		W(S)-I^>.K3 1	P(s) ,a	“г-*аР> где Kj-передаточный коэффициент сильфона
5	Сельсинная пара в трансформатор -нот режиме	0 S						^2“яс	0. где ^-коэффициент трансформа ции сельсинов
б	Термо-сопротивление	|^аз		VYVVYVYVY4 ^*4 У7777777Л Х777) ' “«ых 1			 tSr-",.	^•кгс чв, где кТ-коэффициент усиления термосопротивления
7	Электрический анализатор газов	Газ		XL ц f t	воздух		W(sj^ -Ut<Si - Kr ^0^	^8акг фсо2. где ^СОГ шичество увлеки слово гада, кГ-козффициент пропорциональности.
63
Продолжение та Ил. 1.3
в	Угольный, ватник давления	С “в с		£ НН
				
				
				
				
				
				
				rT2gjJ ТГ


л с-
пвродаточный
коэффициент угольного столбика.
Магнитный усилитель
W(s) -
Ut(s)
U,(s)
Ту-постаянная Времени обмотки управления магнитного усилителя;
к ^-коэффициент усиления
Wfs)
Ut(s) кг
Ut(s) ~TtS.1
T9 - постоянная Времени обмотки возбуждения
^кГ~козффициенгл усиления генератора по напряжению
Резервуар с жидкостью
Дизель
Win} - —rsi .
!> U,(s) ТпЛ.1
W(s>-

Hts)
Sts)
Ts + 1
А -
Z(s) Tas+1
Тт(1-постоянная термопары;
Ктп -позририциент усиления термопары
2!p,-rnjm-pj i T' r<p,-P,i ?
*---------------
где У- удельный дес жидкости;
Ь0-максимальная Высота подъем а жидкости
Тв - постоянная времени дизеля
к д — передаточный коэффициент дизеля
54
ПроВолжсиие mal/itJ
/*	Ресивер	1								т-|- AW _ Jff	 Wl' i,(s} Trs+t	Тр-постоянная времени ресивера к^-передоточный козрнрициент ресивера
15	Тиратронный усилитель	1	И-						\г =£]	W(s) - ls^ - *™	Т^-оостоянная времени тиратронного усилители к-тц-коэффициент усиления тиратронного усилителя
			г -8ч "•>'0' ч ГТ71							1 U,(s) rTas*l	
t6	Тиристорный преобразователь мощности на постоянном токе	°""ж *н, 1ц,1н ""Лгт-1—п—						j)4		W(s) -	• K 11 a(s) T„3<-1	det еде 1н-ток нагрузки, ос.-угол открытия тиристора; Тн -постоянная времени нагрузки
n	Настовой тиристорный преобразователь яастояяною тока								]лн.£н	w(s)-h^-		 lP/ Л(3) TTfs+1	кТр-козффициент . усиления тиристорного преобразователя по току-, ^‘Постоянная времени нагрузки тиристорного преобразователя
		£			j)w, (i						
			IE				j)V-5.				
											
IB	Тиристорный преобразователь мощности с питанием на переменном токе									Vfls)-	- &- ff. is) 7Tp s*1	к*г-козф(рициеит усиления тиристорного преобразователя по току-, Trf -постоянная времени нагрузки тиристорного преобразователь
		< U		/ОТ		\сл					
			1	Y5, A		«3 Ю,					
				c 'C’V							
IB	Однокаскадный гидравлический усилитель со струйной трубкой	1 ) ± j /ъ up ♦ Рг Т Pi								pts) Tn s*t	кгу - передаточный коэффициент гидравлического усилителя-, Тп- постоянная времени гидравлического усилителя-, г —постоянная запаздывания в пневмопроводах
55
Продолжение табл. 1.3
20	Механотрон	4~~|г~~Т^а'					H J.		W(si - V* W _wm L(s) TMs4	кп-козффициент усиления межанотрона-, Тм~постоянная времени межанотрона
2/	Мембранные преобразователи, с жидкостным наполнителем					4,			wisl- Xl,IS'	-  11 PIS)	T'S-rl	кк-передатйчный коэффициент мембранного преобразователя-, Т„ -постоянная времени мембранного преобразователя
22	Турборасходомер с улругосвязаннын ротором	t f'					——В?ц*		WIS)--^^- --,<"|, V(6> T,fl4	к „^коэффициент преобразования-, Тк« постоянная времени . крыльчатки
										
гз	Интегрирующий операционный усилитель	с Я П-—J Lp_1	ц2							W(S)_£1M._L E,(s) TKs	
										
24	Пневматический интеератор								ws! , —^1	J_ P, IS)-Pits) T,s	Р- Y кр,->№- Л уяи Т„~ V
		а Pl at		— -			d_	У p		
		Pl а	:с	Г-I—						
25	Тахогенератор	х 1	о N	S “тг 	“°							wts!-^r-^	к гг- крутизна характеристики. тахогенератора
26	Дифференциальный гироскоп	c(xJy кЖ 1)9 П vgpp				zF>Tz^ q+ 1				кг-^.  К9 где JQ-кинема-тический момент ротора гироскопа-, к ^-коэффициент восстанавливающего момента
66
Продолжение табл, t.3
27	Мост НС	и<	1			W(s)-	. IhL U Ef(Sj Ts + f	T-Я, с,-яг сг
23	Дифференцирующий трансформатор	к, М 0 Л		: я«. "г Ui—о	W(shh™.£L Ef\S)	i\S*i	v*, • Tl"T3T *lt+ ^o
23	Двухфазный* асинхронный электродвигатель	Псе, ст О и,			, , fits) K„ Uyts) S(T„S<-1)	Tu "	; Л j, Ku к»-пг~ Kv
30	Корректирующее устройство переменного тока. фазоопережающего типа.	1 С			Ws)-^- E,(s) T,s<-t	К -	; Я/ +^2 T ~ ' Я,
						
31	Корректирующее устройство переменного тока фазозапаздывающего типа	Я, Л		Яг “г 1	W,S) E,(s) Tts4	K- —	 к, *яг; T< R, Тг = KT,
						
32	Синхронно-коммутирующее устройство переменного тока интенгродиф-фвренцирую-щего типа		“l 	о? AC rv, —!— i4s >К“г t'W/r, 1 w P-^ Г~Г~^£|		U,(s) Ts	u 0„- опорное напряжение-, к - передаточный коэффициент; Т-постоянная времени
33	Двигатель -маховик постоянного тока с возбуждением от постоянных магнитов ГПМ)	Qi 	»			Wf<). *(sl - *>" W(s> U,(s) slT^t)	t к’"' г	TL " вн	Ъ'„ t гве ке-постоАная kv-скоростная постоянная-, депонент инерции маховика
57
Продолжение табл. 1.3
34	Асинхронный тремразный усилитель	<		—~я—					wts) - #,5> - к" If, (S)	0(Т„0*1)	Кя~ HttcdamoHHuu. мз^фициенш твз~ постоянная Времени
35	Электро-каминный усилитель								W(s). -'--У.		 11,(3) (Т,Р*1)(ТЛ10*1)	K:.Kt-4i9ipuaueHin усиления tu i-te каскадов ЗИН; Т. -постоянная однотка Воебук делил-, Т,,-пктмнная * Времени порея-козамкнутой цепи
36	Тепло -обменник	ОС Лв^^-у.		пТ ’W’ ns' ’Чйг*’ 					W(s]. М	S.	 11	&(0) (Т.,0*1)(ТгЗ*1}	*то~	Л передаточный козерфииаент теплообменника-, Ttlrt-постолнные Времени теплообменника
37	Корректирующая КС-цепь	К, a, cz’ о				д • я; П ut LjdL			„„ , и,(0)	7,3-)		Т,-Л,С,: т1~^г Сг
Зв	Корректирующая КС-цепь	я* Й3 и,	ЯЛ иг 0	Тс» С'Т .О							awL (t,s4) (Tts*i) ’u,(01 T,7,^(1^)^	Т,-К, С, ;  7i-d,Ct
										
33	Мет а дин		Шл\ ЭД		/ Ц ^кр Ъ\\]дв J.. 8^9—			“п	wts) - ^lsf - Wl! Ijs) s’	К 1 *" еде J- момент инерции якоря пето дина, Кн-коеффициеит яроперциональнос-ти между моментом злектродВи-еателл а током обмотки Возбуждения
58
Продолжение табл 1.3
w	Соленоид			я. °				Wfs 1 ж *с e	*е	 0,(1) Tlsl+2tcTcs^l	ке- передаточный козффициент соленоида-, Te - постоянная времени соленоида; - козрмрициент с демпфирования соленоида
	Поплавковый уровномер		Ив		h		!г	W(s)-№ - К-H/S) - T2s‘*2iTs^t	T~hc-i-r^‘ > к  Ч	’  где т-масса поплавка б-козффициен жидкостного трения-, в-диаметр поплавка к-перемещенив поплавка; h-изменение уровня жидкости; в—удельная плотность жидкости-, к6-козифицивнт жесткости прижимы
9Z	Центробежный такометр	ш 7*'						Wfsl “ -Xj - —r-	 '' wlsj T’s+TtS.f V	= sis № slri ~5> “з°з° к э	Е Э J-	. е >« ч >£ s-** *ЧЭ	Ж
w	г Сияыронный датчик давления жидкости	й=					4 /Г] Ц|	W(t). U'<S> _ *, ''	Pts) Thi^KTs.l'	к,-лл„ 7-/^ ; ' “с 2/^mjK кс к п- коэффициент пропорциональности между перемещением и давлением
	Электродвигатель постоянного така с независимым возбуждением	г§и						ufi.i„ _£w_ _ хи	 unls> 1(Т‘г^г(Пч)	Т.Г	; Мелм * **»к
									*- к 2 М * «е
	Гидропривод	до м	дввд	0 ома.	_	£*“{_ —»• и...  масла -ДтТ~					, XW	*П1 Ws) X,(S) s(T‘s^.2iTs4)	кгп-перодаточный козафициент гидрепривода; Т - постоянная времени гидропривода; % -кезффициент двмпфирввания гидропривода
			"к			шпщ	__г— 		
59
Продолжение табл. 13
Пневмопривод се струйной трубкой
х
W(s)- —_____________________
а($)	$(Т*5*+гЪТз*1)
к „н-передаточный коэффициент пневмопровода.;
Т- постоянная Времени пневмопривода -
^-коэффициент демпфирования пневмопривода
Гидравлический лопастной двигатель с золотниковым управлением
fi(s) К________________
XKtS) ~ S(TlS2+ZtTS*t)
к гл-лередаточный. коэффициент гидравлического лотастного двигателя-,
Т- постоянная времени гидравлического лопастного двигателя-,
5 - коэффициент демпфирования гидравлического лотастного двигателя
lEtfywJ
, К гя
Гидропривод с помпой 48 объемного регулирования
W(s)- Р11>__________________
7 a (s) sfMsi+ZZTs-.t)
?"г/у£7Гл4>«„«а/ где J-момент инерции ротора гидропривода-, V-объем рабочей жидкости в цилиндре, Е-модуль гидравлической упругости-, кГЛ-постоянная гидропривода-, к^-коэффициент ха роктеризующид умечки-, Кр коэффициент жидкостного трения-, кп-постоянная помпы
St агйагт^н*ап1^гИ
W(sl. _ K*’(Tcs.ti
t,(si scrW+ztrs+n
где йщв^-пара. метры самолета.
у B1U_____________
С «77 Д7Г/*«/,7Л7//

•т
60
П/чйолжение табл. 1. з
50	Пропорциональ -ный регулятор на пнеВмо-злементах							IWrl_ W . K(Tts+l) (Tts + l) т'’ P,(S)	T1S1^2^TS + 1	Т-постоянная времени, регулятора-, ^-коэ/рсрициент демпфирования регулятора; 7^ и Tf постоянные времени, задающего устройства; к - ппередаточный козффициент регулирования
		Рз			L	li 11 & Ь —✓ 1 1 IP J Г	&	р		
51	Корректирующий RC-контур (двойной Т- образный)							и‘<‘> . ТЛгТ^Т^Т^Т,)^	Тг * Я г с1’ Tj-SjCj'-г„-я,^ Ти'Зг Cj
		U	Я1 1 |i?'		«3 —jpu. Ю			1	Ц(1) T,TtT,a^[T,(TtJ^). __±!2i^IiiLLLL		
			г я’ о=		-Сг	“1			Тг (T^T,^T,)]al4T^T,}*Tt.Tai- + Тг)5*1 ’	
									
5Z	Баллистическая ракета	Л/V аХ/л JI/S-цгол наклона л ! / вектора // / /[ скорости. У I Б^-угол поворота вХТФГ^	WeP •'V,	двигателя							Т^.Тг-.Т^.Т,; параметры валлистичёской
53	Корректирующая RLC -цепь		сг cf					Wfcl U‘,sl УУтЛ*1НЪ!Ч)зг . U,(S) T,Tt1jTt>t.T,Tl(Ti.Ttlf3 * •CT,lrt*T^r,)^TtT,]3‘-ff.5^3,1 ^Tt]s.l	T,-R,C, ; Г2-К2С, ; Т.Ь-- T.h. '3 3, ' Г’ я2
			«гП *>0 “> X X “г £*г Е'г						
									
54	Я верный внере етический реактор на тепловых нейтронах.			l” in		j		WI.I.	_P,(T,»4IIT,S*I)	_ llsl s{TjS*i/{TgS*fJ lie K„- X'n‘ " I*	п-плотность ней-треннвго потока в активной зоне реактора-, 1-перемещение управляющих стержней р1~!Гвактивность 1*-среднее время жизни нейтронов Тз-постояняап времени реехторосутюн групп
				П1					
				п					
55	Сушильная башня вяя производство серной кислоты	sot / , £ анализатор			_1	Hl L_ 3<нЗ( Яд <  э		, Мз1-йе1- 111	 WW US) (T.S*t) (Tts*l) '	х- относительная концентрация газа 30.8 смесителе-, Ta,Tg- постоянная времени сушильной башни; ъ - рремп прохождения воздуха через воздуховод; время прохождения газа через газоход и газо-подводпщую трубку
61
Продолжение табл. 1.3
S3
Электродвигатель с упругим механическим редуктором
wtsi . й'31 - >-1А*"<гз1
I,,131 IT,s^t)[l^,thtr4] 
аУ, №, ;
г-расстоянив до управляющего органа ^перемещение управляющего орьана-, угловая скорость вращения вала турбины-, а-скорость
распространения гидравлического
удара;
Уо -скорость движения воды, у9-гидродинами-чоское давление-, г] - коэффициент трония;
7^ -постоянная времени, турбины
т.г . ЙЯ км к, U,is)' s(Tf‘sl.lftTrs.ll
кя1-передаточный Шффициет электродвигателя кв-передоточный коэффициент редуктора;
7J - постоянная времени механической передачи ; Ти- постоянная времени двигателя-, элентрокоэффи-ционт демпфирования механической передачи-, коэффициент демпфирования злектрдвигатеря
o,-—3-
„ Ti^t,TrT„. ' *r «и
a
Привод намоточноео устройства прокатного стана
К, кг Кос
e„(s) W<s)=-^—	a
U,1s) (a,s,*a,stta,s‘.als.al
(Tts*D (T^s-U
“3'М» где квс -козффициею обратной соязи; Тг - постоянная tperiOHu зенератора-, кг -коэффициент усиления генератора по напряжению-, пеоедаточный коэффициент ряектроодигатекя-, К), Kt-козффициенты усиления ЗМУ по напряжению-, 7м - постоянная евенени электро-овиеателя-, Ки~степень демпфирования злшфеництея»-, Tf-постоянноя вренеж ни обнотяи упвавренояПФ Тч-постаяккол времени
ПриЗод барабана с Нумн. алектра-Ниеатеяяни.
0,(s)' s(Trs.1)(T^s'.^„T„s.ri
"и, • 'и,-перебатанные коэффициенты элактраббисате-hsu
(r,s.i)(T^i)
62
ънаиэйд
оннниошзои
• mHantjntbtbcoa
pnnt>ou/agadoo - а
зпнзидор aain -oifidnuiwfiead - *d
'хконапоз g
UftHaagog^d'^d 'vgwuaw goxsod -iiiuioirod ошопи чшзойоиз-л
VdosfidKbnt заяви он кпнзжоновш
ЧШЗО0ОЯЗ -
• avaujotngp озаньаиюииан —оншзной rtduauaiou
- leueaod 0U18V0U
vuModoaa - g 'eeamoangg огмш - ‘у
• nuuga онзш огончгойшнаь anHainauodau -q
odotfit6Ang 3DH3iO3U303ti~l1
И0ШО2 -ngpodujaavc gnn -agntHgteg мошоыдв пнзнзЦ b . апннавшзан - nj_ - nj^  ftavauiDtnggaituaave iiwnantinOOtox апнлошовзЗаи .
_Мвх_‘мм ' odouwfigat шизпОпЛЛеоа niwitouiogadau >d> 'ogee ndи шнапОпаЛеоз TiNxtiOwtigadau -*1» ‘oeng  ovDg oaoNpoxrtg annatnoei чшао0е»з aogoean -m 'nagaumnegadtiinave апмэхшавон antnoiaegaiuh ^-n^n
€9
//чУЗг-уДГ to*
f/-»i‘3z*ls/a;» “ ton ‘
>'Л
to*l
irfi'Ziv/z
QI i/Q-DUl 911H2)KI/QQQdU
adouo poafidufi он ohtvga рохшззж pogos figatau аюннцеидэ тшэондпж
опн Dg nmauadau trap ouvg vgy
29
Zig 40
H0UU03 HNuofidnvfaadaH з agnt/uouj ыонрпж он potnotomogod чизшшпдд VI4HUI9UD0
U0UU03 HieuaUdnvUaad з
адпииош uopdaguj on ptiditHOtuogod ' ’ыашогпдд pieHhQioouadu
-ОНШЗЮ0
finaad ом ошзпа оаоаэаь'пииошаи TlhOgQU wg gogndy
Продолжен и. е та 5л. 1.3
бу
Одновальный ТРД с регулируемым соплом а
у Т—расход топлива', +е -площадь проходного сечения сопла-, Tf-Ts - постоянные времени;
к(, Kt-nepedamov-ныв козунрициеяти г- -тяга давления
д(в)
Двухдольный. ТРД с регулируемым соплом
F(s)
у -paoxoi топлива-, /с - площадь проходного сечения сопла; Tf-Tg-лостопнныв времени;
$9-коз1р1рицивнт затихания', к,, Ht -пЪродатоиныв коэффициенты r-тяеа двигателя
GT(sJ
K(T,S^HTi5^ZTi^t8*l) (TgS+fl (Т951+2Т,ЪеЧ)
б - расход топлива-, Т^Тц-поетоянные времени-, fgf fo-козффацаел-ты затухания; к -передаточный нооффициент;
г-тяга двиеа— теля
и,-управление углом поборота, соппа двигателя { к.-передаточный коеф/рииивнт устройства управлонил поворотом ооппа-, г^-ооотавлпхыхие тяги . двигателя я-, ♦ - угол рыскания-, д-угол тангажа -, ы- угол поворота сопла-, Т9-главный момент инерции МА относительно aCU 0g;
- главный момент инерции МА относительна -оси 0g.
64
Продолжение тайл. гз
К/М с двумя парами двигапклей тс ст но связанными, с керпуаом космического летательного аппарата
й- угол тангажа: </>- угол рыскания-, р- угол ярена-, и9,иг~ управления тягами
соответствующих двигателей;
к.-к{- передаточные коэффициенты устройств
управления тягой, Тя - главный момент инерции K/IA относительно оси 01}
Т.- главный момент инерции К/1А относительно оси Оу,
Тг - главный момент инерции КЛА относительно оси Ог
63	Передаточная функция программы интегрирования на управмющейЗвм, реализованная по методу трапеций	r^lg~57g|"'— 1 'I 1	*					хгы1	^S^sr Т„ (3-e'ST‘)e'STl’ 1	1-е-гт°	To -такт квантования
10	Передаточная Функция программы интегрирования ЗВМ,реализованная по методу Рунге-Кутта У -га порядка	чи-		 Л/Н7 У 'i	*—| g	* г5Га|—'					/с!	%п*1 Y„(S) ' e-sli-ye'^l в	1-е	T„ -такт квантования
11	Передаточная Функция программы дифференцирования на управляющей ЭМ реализованная по методу второй централь -ной разности	—				ХП-1		М/ ! с) YnlsC 3	1-е'15Т° 70 1*уе',т<>-е'г‘т'’	Та - такт квантования
7Z	Передаточная Функция программы дифференцирования на управляющей ЭВМ, реализованная по методу третьей центральной разности	у I »	1 q, гл			+} —	—	 Ч^ г 	И|- —РЯ~		*1	М/ fcl WnplS/~ Yn(s)' fW <-e'2sT° . “ У, -Mke T1 -ИЧе'^-З^-е'2^	То - такт квантования
3 Ю. И. Толчеев
65
Продолжение main. 1 J
Передаточная функция программы на управляющей ЭВМ реализации корректирующего устройства
Т,- постоянная Времени дифференцирования;
То - такт кбантоВания
Передаточная функция программы на управляющей  ЭВМреализации корректирующего устройства
{k(Tt !>!)] [Tzs^ I
Передаточная Функция программы коррекции навигационного алгоритма, реализуемого на управляющей ЭВМ
Т, ^'Постоянные времени;
Та- такт квантования
X„*t(s) То (9M9e-iTa*Be'!sT,-'-e'!ST°)e-ST° лр (5>= УпвГ и
То - такт квантования
виде
им$, o=ir,(s, 0 +	0 =
Й у
= 7 (0 s + 1 X
. f 72(/)s2 + 7(f) [2 4- Г (Qs+ 1] )
•t	[Г(/)5+1]2	f
(1.170)
Третий член ряда вычислим с помощью выражения
W^s’ ') = -Т(7)7+1-Х
, ( d[T(t)s + l] dW2 (s, t) | _
< ds	dt )
kyT (t){T(t)[T (t)
—2T'2 (Q] S + [Г2 (0 + T (t) T" (/)]} [7(Z)s4-l]5
—kyT(t)[T'2 (0 + T (t) T" (01 x
v(rm T(t} T"(t)-2T'4t} c . ) I U [7'2 (t) + T (t) T" (QJ 5+1 J
[7(0 «4-if
В этом случае третье приближение будет
rni(s, Z) = r1(s, /) +
+ r2(s, /)+ lT3(s, /) =
T4s<+[2P (t)+T3 (/) (2+Г (0)] s3+ + 2 [72 (0+Г2 (Z) (24-7' (f))l s2 +
+ [Г (О (24-Г (0)4-27(0-
- T2 (0 (7 (/) T" (0 - 27'2 (0)1 s 4-_	+ T2 (0 [7 (Z) T" (t) - 2T'2 (01 + 1
“ y	[7 (Os 4-. I]5
(1-171)
Из выражений (1.170) и (1.171) следует, что чем меньше значения первой и второй производных Т' (t) и T"(t), тем меньше погрешность метода «замороженных» коэффициентов. С ростом значений Т' (/) и T''(t) приходится пользоваться третьим, а иногда и четвертым приближением. Таким же способом находят приближенные передаточные функции для других типов не-
66
Передаточные функции основных типовых звеньев
Таблица 1.4
Vе п]п	Наименование звена	Передаточная функция Wfs)	Л? п/п	Наименование звена	Передаточная Функция Wfs)
7	Усилительное	к	13	Вырожденное колебательное	— Г*3х *7
2	Устойчивое апериодическое	Гз*7	14	Дифференцирующие 2-го порядка	ТЧг*21Ть + 1
3	Неустойчивые апериодические	7 Гз-7	15		Т*зг-2£Тз<-1
4		7 1 -Тз	16		Тгзг+2£Тз-1
5	Интегрирующ ее i-eo порядка	>гдв^-1,2... s*	17		Т*е*-21Т»-1
6	Дифференцирующие 1-го порядка	Тз *7	18	Вырожденное дифференцирующее ^-0	Тгз* *1
7		7-3-7	13	Вырожденное дифференцирующее ^-го порядка	8^,где >)-1,2...
8		7-7-3			
S	Устойчивое колебательное § <7	7	 7zS/*2g7s*7	’	20	Чистого запаздывания	е ~т*
10	Неустойчивые колебательные	1 Г»з‘-2^Теч-1	27	Трансцендентные	в-/Гз
11		7 r*S«*^§7-3-7	.	22		
12		,7	 Ггзг-2ёГз-7	23		1 + thlT3)
стационарных элементов (объектов) [35].
Все многообразие динамических элементов (объектов) можно представить в виде передаточных функций с постоянными или переменными параметрами. В табл. 1.3 приведены схемы и передаточные функции некоторых наиболее часто встречающихся элементов САР. Из табл. 1.3 видно, что все элементы состоят из ряда одинаковых сомножителей, каждый из которых является типовым звеном. Так как число типовых звеньев ограниченно (основные из них приведены в табл. 1.4), то, располагая их частотными характеристиками и схемой соединения (последовательное, параллельное и с обратными связями), нетрудно определить частот-
ные характеристики всего элемента любой степени сложности. Или, наоборот, по его частотной характеристике можно находить виды типовых звеньев, образующих передаточную функцию. Данная процедура осуществляется достаточно просто лишь при последовательном соединении типовых звеньев.
Дискретные и цифровые элементы
Рассмотрим применение дискретного преобразования Лапласа к ' линейным импульсным и цифровым элементам. Дискретный сигнал получается из непрерывного путем его выборок в определенные моменты времени с тактом квантования То. В этом случае применяют математический аппарат г-преобра-
з*
67
Таблица 1.5
Основные свойства «-преобразования
Наименование свойства	Форма представления	
	во временной области	г-преобразоваиие
Линейность	3 {Я1У1 (0 ± а2у2 (0)	Oi/i (z) ± a2Y2 (z)
Изменение масштаба	'	5{е±аГл!/«}	У[еТаГ»г]
Вычитание	3 ( Z У («То) - Z У «т° - т0)) (. i-О	»-0	)	
Суммирование	У У (*го) } 1 (“0	)	z~lY^
Сдвиг во времен-ной области	3{у (t — кТ0)}	z~KY (z)
Свертка оригиналов	3 1 У, Vi («То) Уг (к.Та — »Г0) | 1 i=0	)	У,(г) Y2 (z)
Дифференцирование изображения	3 {ку (кТ0)}	dF(z) — Z	j“~* dz
Определение конечного значения	lim [у (/)] t->oo	lim (z — 1) Y (z) z->14-0
Определение начального значения	lim (У (01 t->0	lim (Г (z)] z->oo
Дифференцирование изображения по параметру		a> da
зования*; тогда обозначим
z = e’r»,	(1.172)
откуда
s = -4-lnz.	(1.173)
1 о
Подставив соотношения (1.172) и (1.173) в формулу (1.158), по
* В прил. П-1.2 приведена таблица «-преобразований простейших функций.
лучим
00
Г(^1п z) = £i/(kT0)z-k, (1.174) к=0
где У* (~ln z) = У (z).
В табл. 1.5 приведены основные свойства z-преобразования.
Передаточные функции типовых дискретных звеньев имеют форму записи, зависящую от вида приме-
68
Таблица 1.6
Таблица соответствия структурны)! схем графам
№	Наименование					Структурная			cxena			Граф	
л/л					исходная				приведенная			исходный	приведенный
Г	Типовое звено		Kr(s)			W(s)	w						
2	Последовательное соединение звеньев		l{Sj	wt(s)		X?W -	w2(s)	Xjfs)	*ils)	w,(s)w2(s)	*3ls)	W;fS) W2(Sl	
3	Параллельное соединение звеньев		Xt(S)		—L	Wt(s)			X;(S)	w,m(s)	ХгИ	^(S) (x^	
4	контур с жесткой обратной связью					•j Ms)		t(s)	x,(s)	was) HlVfSl	x^/s)	w(s)	ад
													
5	контур с гибкой обратной связью		Xr(S)		—	- w2(i	—1 Li j—J	Ws)	XjW		ад J	w,(sj	w,(s)
6	контур с переда точной функцией в цепи обратной связи	ад				W(s)	J	z(S)	W	1 IH-W(S)	ад	Z~S 1 (ад——*yy -ад	
1	Соединения звеньев в сложные	М)				- W2(S)			ад	Ws)	адед i*w2{s)	ад	-ад	w,(s)w3is)
	контуры	Х|	S)r	(S>	r*v L- —	X/fs) адр ад|-	W|4-	Xjfs) 1	X,(s)	мм'®	X/s)	-Wz(S)	MW^4(S) ©^L^)
69
Продолжение тад/i. 16
ненной вычислительной процедуры. Для интегрирующих звеньев применяют методы численного интегрирования (методы Эйлера, трапеций, Адамса — Башфорта, Рунге— Кутта и т. д.), а для звеньев дифференцирования — методы различных порядков центральной разности.
Типовые звенья
В табл. 1.4 приведены передаточные функции типовых дискретных звеньев, полученные с помощью применения различных вычислительных процедур. Вычислительные процедуры, обеспечивающие малые амплитудные и фазовые искажения, как правило, приводят к довольно громоздкому виду передаточной функции (см. табл. 1.4), а соответственно с этим и к сложной форме амплитудных и фазовых частотных характеристик.
5. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ И ГРАФЫ ЭЛЕМЕНТОВ (ОБЪЕКТОВ)
Внутреннее строение элементов (объектов) САР наиболее просто определяется с помощью структур
ных схем и графов. Последние могут составляться по дифференциальным и разностным уравнениям, записанным с использованием изображения функций или с помощью передаточных функций типовых звеньев, записанных в s-или z-формах. При этом удается оценить влияние параметров уравнений или типовых звеньев и связей между ними на динамические характеристики элементов. В результате проектировщик может упрощать структуру исследуемого элемента и находить в нем сильные и слабые связи. Исключая из структурных схем и графов слабые связи, нетрудно выполнить операции- декомпозиции.
На структурных схемах, полученных с помощью дифференциальных и разностных уравнений, динамические элементы выделяют прямоугольниками, а взаимные связи между ними — прямыми линиями (см. гл. 3). Каждая взаимная связь представляет собой переменную уравнений. При составлении структурных схем с помощью передаточных функций типовые звенья изображают на схемах также прямоугольниками, а связи — прямыми
70
S-Опя
Рис. 1.14. Граф, характеризующий пространственное движение самолета в горизонтальной плоскости
линиями. В графах переменные указывают в виде вершин, а дуги обозначают или параметры, или передаточные функции типовых звеньев. На дугах ставят стрелки, указывающие направление передачи сигнала.
Следует отметить, что между структурными схемами и графами существует однозначное соответствие, которое хорошо можно проследить с помощью таблицы соответствий структурных схем графам (табл. 1.6).
Пример 1,31. Построить граф, пользуясь системой уравнений (1.96), приведенных в примере 1.24. Для этого применим к системе дифференциальных уравнений * прямое преобразование Лапласа; тогда полу
* В системе уравнений (1.175), как и обычир, знаком тильда обозначены изображения функций для греческих строчных и латинских прописных букв, т. е.
Да = Да (s); Др = др (s); Ду = Ду (s), AV= = ДГ (s) и т. д.
чим
s Ду = а>9 Дйх — 01 ,о Дйу;
s Дф = Я2 ю Дйу;
s ДФ = а311 Дй2;
(s — а44) AV = — а45 Д0 + а47 Да;
s ДО = а54 ДУ + а57 Да;
s Д/7 = а85 ДО;
($ — O77)	= 074 ДУ + о78 ДО +
4- а78 ДР 4- о7 п Д<6г — 671 Ддв;
(s — а88) ДР = 081 Ду + а84 ДУ 4-
4-	а87 Да + а8э Дйх + а8 ю Дйу — 682 Ддн;
($ — O99) Д(йх “ О98 ДР +
4" 09 10 ДЙу + 692 Ддн 4" 693 Ддэ>
(s — О10 10)	— О10 8 Др +
+ О10 9 Дйх + О10 11 Дйг -(-
-f-6io2 Ддн 4-дюз Ддэ;
(s — а п и)Дйг = Оц4ДК 4-
4- 0117 Да 4- 6ц 1 Ддв.
(1.175)
По системе уравнений (1.175) составим матрицу М.
71
Параметры	Y	ф	0	У	ё	н	а	р	1 |	0>х		бг
V	S	0	0	0	0	0	0	0	019	— 01 10	0
Ф	0	S	0	0	0	0	0	0	0	02 10	0
0	0	0	S	0	0	0	0	0	0	0	Оз 11
Г	0	0	0	3 — о44	— а45	0	а4т	0	0	0	0
ё	0	0	0	0s 4	S	0	O57	0	0	0	0
н	0	0	0	0	Об5	S	0	0	0	0	0
д,	0	0	0	о74	075	0	з — а77	078	0	0	а? и
р	Obi	0	0	Ов4	0	0	087	3 — Овв	089	08 10	0
бх	0	0	0	0	0	0	0	098	S — Я99	' 09 ю	0
йу	0	0	0	0	0	0	0	010 8	0)0 9	3 — О10 ю	Ою 11
ё>г	0	0	0	«и 4	0	0	011 7	0	0	0	3 — Оц 11
бв	0	0	0	0	0	0	— 671	0	0	0	6ц 1
бн	0	0	0	0	0	0	0	— 6в2	6 92	610 2	0
бэ	0	0	0	0	0	0	0	0	Ъэз	6|0 3	0
С помощью матрицы М на рис. 1.14 изображен граф, характеризующий динамику движения ЛА. В этом случае в качестве опорной траектории иыбран горизонтальный полет без учета его вращения вокруг центра масс н без скольжения. Вначале разложим рассматриваемый граф на два подграфа:
для продольного движения, с вершинами ДО, ДУ, Д9, ДЯ, Да, Дшг и Дбв;
для бокового движения, с вершинами Ду, Дф, Др, Дшх, Дш^, Дбэ и Дбн- В результате получим два подграфа (рис. 1.15 и 1.16). Подграф, изображенный на рнс. 1.16, характеризующий боковое движение ЛА, можно также разделить иа два [по каналу рыскания (рис. 1.16, а) и креиа
(рис. 1.16,6)]. Для этого выделим вершины Дф,' Др, Дю», Дбн и Ду, Д<0х, Дбэ- По графам (рис. 1.15 и 1.16, а, б) можно составить три независимые системы уравнений:
для канала тангажа
. зДО = азпДйг;
(з — а44) ДУ = —а45 Д0 + а47 Да;
s Дё = а64+ аз? Да;
ДзЯ = ав6Дё; _ q 176) (s — aJ7) Да == а74 Д^ + о76 ДО +
+ о7 п Дбг — 67i Дбв;
(s — Оц п) ДЗг = он 4 ДУ +
+ ci 1 ? Да + би1 Дбв;
72
1.15. Подграф, характеризующий про-
Рнс. дольное движение самолета
для канала рыскания
S Дф 02 ю А(Вр»
(s — ass) Ар = 08 ю Айу — бег Д6н’> ’ (1.177)
(а — Дю ю) Айр = 010 s АР+ 6ю абн!. для канала крена
s Ду == дю Д<ох;
(а — 099) АсОд; b 9з Дб9.
Решить задачу
динамики движения ЛА можно и другим способом.
(1.178)
декомпозиции
Выделив для
где
характеризующий
бо-
Рис. 1.16. Подграф, ковое движение самолета: а — по каналу рыскания; б — по каналу крена
принятой траектории полета ЛА (рис. 1.14) слабые связи, обозначенные дугами, снова получим три подграфа, по которым нетрудно составить независимые системы уравнений вида (1.176) — (1.178).
Исключив из системы уравнений (1.176) переменные, характеризующие длииноперио-дические колебания, получим
s ДФ = а311 Дйг;
(s — а77) Ай = а711 Дйг — b7ii>B;
(s — ац и) Дйг — ац 7 Да + Ь\ ц Дбв.,
(1.179)*
Из систем уравнений (1.177) —(1.179) можно определить передаточные функции для короткопериодических движений, записав их через типовые звенья. С учетом знаков у коэффициентов уравнений найдем:
для канала тангажа б 4b(7.s+1)
s(^ + 2^+I)' <1Л8°)
где
Л =
03 11 (077^11 И ~Г 0Ц 767 п) . 0770Ц И — 011 707 11	’
6ц И
7С =
0776ц и + cii j 767 и ’
i ► 1 ,
£ — ~g~ (a7? +
V ^77^11 —	7а7 П
+ Ди и) Va77au л *- 0ц 7а7 и;
для канала рыскания
в 4H(rcs+i) 
В7*“ (s) “ s(7'2s2 (-2g'7,'s+ 1)”’	1 ‘181)
где
02 10 (08в61О 2 + 088^82) П —..................   •
*	088010 10 — 010 808 10
_________610 2_____.
С 08в6ю 2 + 010 в6в2 ’
088010 10 — вю 8а8 10
— ~2~ (088 + 010 ю) V088010 10 — 010 808 10
и для канала крена
л	k&3 
О
(L,82)
,6a	019&9S
== —-------
V 099
1 a9s
* Система уравнений (1.179) описывает короткопериодические колебания ЛА а вертикальной плоскости.
73
«	в)
Рис. 1.17. Структурные схемы последовательного соединения типовых звеньев для независимых каналов самолета: а — тангажа; б — рыскания; в — крена
замкнутый контур с отрицатель-ной обратной связью. Передаточная функция такого объекта имеет вид
На рис. 1.17 изображены структурные схемы для каналов тангажа, рыскания и крена (соответственно рнс. 1.17,а—в).
При этом видно, что каждый из каналов ЛА представляет собой последовательное соединение типовых звеньев.
Существуют динамические элементы с параллельным соединением типовых звеньев. На рис. 1.18, а показана структурная схема корректирующего устройства, состоящая из двух параллельных ветвей с результирующей передаточной функцией
<1Л83>
На рис. 1.18,6 показана структурная схема ядерного энергетического реактора на тепловых нейтронах [13], полученная путем усреднения постоянных времени. Как видно, данная схема состоит из типовых звеньев, образующих
Рнс. 1.18. Структурные схемы динамических элементов: а —с параллельным соединением; б —с соединением в виде контура, имеющего отрицательную обратную связь
-nrr-U's+l) Wnp(s) = -^----7- (1.184)
47+^ + ’)
Пример 1.32. Составить структурную схему объекта, описываемого системой линейных дифференциальных уравнений (1.65) н (1.66). Применив к этой системе уравнений прямое преобразование Лапласа, получим
зДй>1 (s)---Дй>1 (з) — (~~"7—" “зо 4“
+ Мда) Д®2 ($) — (	j—- соао +
+ Мдз) Д®3 (s) + *1 Д(031 («);
s Да>2 (s) = — (——j—— <£>зо + йгм) X
X (s) “ &2&д2	(s) — (-------- ®10 4"
\ J2
+ /гайдз ($) 4“ &2	(5);
( /2 — Ji	- \
s Дш3 ($) — —	изо + ^з^д1 J X
X Д<01 (s) —	“10 + Мда) Д“а (s) —
— Мдз Д®з (s) + *з Д“зз (s)
(1.185)
74
и
ДшД1 (s) » йд1 Дш! (s) + ka2 Дш2 (s) +
+ йдз Д(о3 (s);
Д®д2 (s) = kai Да>1 (s) + йд2 Дш2 (s) +
+ Лдз Д(Оз ($);
Д(одз (s) = £Д1 Дй>1 (s) + /гД2 Дй>2 (s) +
+ /гдз Д(0з (s).
(1.186)
Систему уравнений (1.185) можно переписать в виде
(s + МД1) Да>। (s) = —	“so +
+	Д®2 (s) —	3 j—— Иго +
+ kik^) Да>з (s) + k\ Дш31 (з);
. (s + Лгйдг) Дй>2 ($) = — ( -у^—~ ®зо +
+ k2kai) ДСО] (з) —	1 у-—- (010 +
+ *2*лз) Д(Оз (s) + k2 Д(оз2 (s);
(s + Йз^дз) Д(Оз (s) = — ( 2	-* Изо +
+ £з^д1) Д<д>1 (s) —	(010 +
+ йз6Д2^ Д(о2 (s) -f- k3 Д(0зз (s).
(1.187)
Пользуясь уравнениями (1.1'86) и (1.187), составим структурную схему объекта (рис. 1.19), из которой видно, что данный объект является трехмерным.
В заключение приведем общую форму записи линейных стационарных и нестационарных элементов (объектов), имеющих высокую размерность в векторно-матричной форме. Пользуясь этими уравнениями, составим их структурные схемы [32].
Из выражения (1.155) имеем
Y(s) =
bQsm + blsm-l + b2Sm-2+ ...
• • • 4- \S 4" bm
=----------- , m~l  m-------U (s).
а^+а^ *+ ... + an_!s+an
(1.188)
Принимая n — tn и формируя полином знаменателя, выражение
(1.188) можно переписать в виде
Г(5) =
Asn + 2Lsn-l + ^.sn-2+-->
а0 а0	а0
b . Ь
... + -2^-s + -*-
______________________________ TttcX
Будем считать, что ао=#О и выражение (1.189) составлено для стационарного объекта. Введем в него следующие обозначения:
а1/а0 = а1> • • • ’ ап!а0 = ап> ^о!ао = •••: bnlaQ = b'n,
• в результате получим
п
Z &/п-/
Y(s) = -^------U(s), (1.190)
Е a'n~is‘ i-i
где а'= 1.
Запишем уравнения состояния в нормальной форме без использования производных u(t), что достигается путем замены переменных
у = ц1-ЬМ;
— = v2 + kiu;
dv
-dr=-a^„-a'2vn_I- ...'
Уравнение (1.190) имеет вид
г/W -f- a[y(n-1) -f- ... + а'пу = = b'ou.™ 4- b[u{n~ *> + ... + b'nu.
(1.192)
75
Рис. 1.19. Структурная схема трехмерного объекта
Из выражений (1.191) получим
dy _________ dVj , , du
~dt~ dt dt
ИЛИ
= V2 +	+ k0 .
Затем, продифференцировав последнее выражение, найдем
d2y _ dv । , du । , d2u
dt2 ~ dt Rl~dT + dt2
и, учитывая уравнения (1.191), запишем
d2y . .	. , du । . d2u
== t>3 "I"	4“ k\ ”77 4“ kQ .
at2 ° ’ z 1 at , J at2
Продолжая аналогичные выкладки, получим dny	/	/	/I
—; ° = — a,v — a„v , —... — a v, + dtn	In	2vn-l	nt 1
it it du ,	, dnu
+ «пи + ftn-l -37- + • • • -Г «0 -jpr 
(1.193)
В уравнение (1.193) вместо vn, un-i,...,Vi подставим выражения их
76
через производные у, полученные из уравнений (1.191), т. е.
Уравнения состояния в нормальной форме примут вид
vx = y — kt)u;
dvt , du , du , ®2~ ~dT ~ klU== ~dF ~ k<>Tt—k'U’
dv2 , d2y . d2u
V3 ~ ~di - ~~ ~dt2 Hi2 ~
-ki~ — k2U\

°n-l = -jt h d^n~^u , d^n~^u
° ~di^~ ~ R1 ~di^	’
... — kn_2u-,
_ d(n-1^ d^n~l^u
Vn~~~dFr~ ° itn~l
(1.194)
«1
б2
(1.197)
приходим к уравнению
dny_______ Л Г d<n 1^у _
dtn ~’	°’ L dtn~l
. d{n~'}u	,	1
*0 dtn-l • • • “ «n-iMj
, Г d(n"^y и d(n~^u
й2 [ dtn-2	dtn-2
• • • — — • • •
• ••	+ M +
+ кп_^+ ...+k0-^-. (1.195)
Сравнивая уравнения (1.192) и (1.195), получим выражения для неизвестных коэффициентов:
^0 = ^0’
2>i = axk0 + kx; kx = bx
— a,lkl + a'2kQ -f- k2, ^2~ ^2	^1^1	^2^0
(1.196)
и T. Д.
и выходной сигнал
y = Uj-|-^ou,	(1.198)
где согласно выражениям (1.196) имеем
feo ~ ^0’
i-i	(1.199)
kt = b'-^ a't_mkm.
Структурная схема стационарного элемента (объекта), описываемого уравнениями (1.197) и (1.198), построена на рис. 1.20, а.
Рассмотрим теперь нестационарную систему, описываемую уравнением вида (1.192) с переменными от времени коэффициентами
ИО-т--------------«(О- (1-200)
i-0
В этом случае также может быть использован метод приведения уравнения (1.200) к системе уравнений в нормальной форме вида (1.197). При этом коэффи-
77
i-1 i—m
S S	(/) P
m=*0 fe=0
Рис. 1.20. Структурная схема динамического элемента (объекта) высокой размерности:
а — стационарного; б — нестационарного циенты а[, а'2, а'п, а также ko, kt, kn являются функциями времени. Считая, что а' = 1, имеем
M)=W;
(1.201)
Cn—i n+k — i
(rti -f- k — Z)! (n —
Структурная схема нестационарного элемента, описываемого уравнениями (1.197) и (1.198), построена на рис. 1.20,6.
78
Рис. 1.21. Структурная схема сложного одномерного динамического объекта с перекрещивающимися связями: а — исходная; б — преобразованная
6. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ И ГРАФОВ
Пользуясь табл. 1.6 соответствия структурных схем графам, можно составить более подробные таблицы преобразований структурных схем элементов (объектов) с типовыми звеньями (табл. 1.7) или графами (табл. 1.8). С помощью табл. 1.7 или 1.8 можно структурную схему (граф) сложного элемента или объекта привести к более простому виду. Это позволит в дальнейшем перейти к определению передаточных функций линейных САР (см. гл. 3).
Пример 1.33. Преобразовать структурную схему сложного линейного динамического объекта (рис. 1.21, а), имеющей несколько пересекающихся обратных связей. Последнее ие позволяет сразу же написать результирующую передаточную функцию. Поэтому воспользуемся структурными преобразованиями, указанными в табл. 1.8. В результате получим структурную схему (рис. 1.21,6), где нет перекрещивающихся обратных связей. Для каждого ее контура можно записать передаточные функции в виде
W (s) = —. (1.202) \ + W7(s)Wi0(s)Wll(s)’y ’
б)
_	(s)
l + uZj (S> IT12 (s) ri5(s) :
(1.203)
Уз (s) У4 (s) У5 ($) У» (s)
1 + У a (s) У3 (s) У4 (s) У 5 (s) У6 (s) У13 (s) ’
(1.204)
IV ' ' . , УпИ^in(s) W ’ + Уз (s) У 4 (s) У io (s)
(1.205)
У1у U)
--------yJ(S)y9(S) : (L206> 1 + yI0 (S)
w (:)_	Уу(з)У12(з)_______.
VI^ 1 + UZV(S)F12(S)F16(S)’
(1.207)
r (s) = W1 (s)Wvl (s) yH(s) V" ‘ 1+FJs) F2(s) У у, (s) yi4(s)-
(1.208)
Результирующую передаточную функцию yvn(s) определяют из соотношения (1-208), в которое должны быть последовательно подставлены передаточные функции для контуров yVi(s), Fv(s), yIV(s), Fjn(s). У„ (s) и У, (s), записанные в виде выражений (1.202) —(1.207).
Пример 1.34. Преобразовать структурную схему двухмерного линейного объекта с перекрестными связями. Исходная структурная схема с двумя замкнутыми контурами
79
Hi njn
l
J
4
5
6
7
в
9
Преобразования в структурных схемах	Таблица П
линейных элементов (объектов) и систем автоматического регулирования
Наименование структурного преобразования
Исходная структурная схема
Преобразованная структурная схема
Формула для преобразованной передаточной функции или выходного сигнала
Перестановка звеньев
Объединение последовательно соединенных звеньев в одно звено
Перенос линии связи до звена
Перенос пинии связи за звено
Перемена мест пинии связи
Перестановка сравнивающих устройств
Перестройка схемы сравнивающих устройств
перенос пинии связи за сравнивающее устройство
х2
------ X,
w,(s)w2(s)
w(s}-w,(s)w2(e)
X^(S)-W(S)X,(S)
X4(S)‘X,(S)-X2(S>+X3(S)
x4(s)-x,(s)-x2(s)-x3(s)
Xj(S)-X,(S)-X3(S)
x2(s)*w,(s)x,(s) fa(VW2(S)X2(S)
x3(s)-Xi(si-x2(s)
xt(s)-x3(s)-x2(s)
*1(51
x2(s)~w(s)x,(s).
X-
~Ч *(s) I		
i.	

^-1
 ИОД	
	
*г ПТ7П	
-Ч w(°) Х1
-Ч ИОД|-р-	rLWt
Х2	ь—	
Перепое пинии связи до сравнивающего устройства
	
л, Ъ	
	—1 ' н
	1 wts) П
	
W/.'S) И	Л* Hr ^s>r
80
Продолжение табл. 1.7
81
Продолжение табл. 1.7
показана на рис. 1.22, а. Для определения по ней передаточной функции первого канала ф (0 примем, что фз (0 = 0,. т. е. Ч>е(О = —Ф(0 и Uf"(s) = <pe(s)/$(s) = —1.
Введем данную передаточную функцию в исходную схему; тогда получим схему, изображенную иа рис. 1.22,6. Эту схему можно привести к двум схемам, приведенным иа рис. 1.22, в, г. Выделим на них штриховыми прямоугольниками разомкнутые передаточные функции IFi(s) и Ц7ц(з). Результирующую передаточную функцию W'o(s) найдем из условия ее линейности, а следовательно, справедливости принципа суперпозиции, т. е.
Го (s) = W, (s) +	(s) =	(s) +
. т	(s) W3 (s) W, (s) UZ4 (s)
+ nMs)—Г+1Г6)-------------l + UMs) •
(1.209)
Пользуясь передаточной функцией (1.209), анализируют устойчивость рассматриваемого линейного объекта *.
* См. гл. 4, п. 7.
Пример 1,35. Преобразовать граф объекта (рис. 1,23, а) к более простому виду. Воспользуемся для этого схемами табл. 1.8. На рис. 1.23,6 показан первый этап преобразования графа, а на рис. 1.23, в — второй. В результате выполнения второго этапа преобразования получен граф с меньшим числом вершин и ребер, что упрощает исследование объекта и позволяет получить результирующую передаточную функцию объекта в виде -
_______________(*)
°V 1 l + [W'I(s) + W,3 (s) + Г4 (s)+ • + U76 (s) + U7e (S) + UZ7 (S)]
Применение структурных преобразований обеспечивает получение таких результирующих схем и графов, пользуясь которыми можно достаточно просто без каких-либо вспомогательных вычислений находить передаточные функции слож-
82
Таблица 1.8
Преобразования графов линейных элементов (объектов) и систел автолитического регулирования
о/л	Наиненование структурного преобразования	Исходная структурная схена	Преобразованная структурная схена	Форпула для преобразования графа
7	Последовательное соединение звеньев	^,^2^3	^п-Ьг-^ • • "-Qy .	-w,(s)w2(s)...w^a-^ (x,j	—— ivfsj	W(s)-W,(S)W2(3)...M^ (S)
2	Параллельное соединение звеньев 1	w,(s) wn(s)		
3	Объединение двух звеньев в одно звено	w’(s) -W2(sl	ЛЛ w,(s)-w2(s) 'o W(s) ’ О	W(s)-w,(s)-w2(s)
4	Перестройка двух звеньев в одно звено	W,(s) -^ед	i s-Ш	(S)^. \Х^/—wVjV ^\XV -1	Xt(s)-[W,(S)-W2(S^X,(S)
5	Перестройка одного параллельно соединенного звена	wt(s) -1	t	X4(S)-[W,(S)-1]X,(S)
6	Объединение контура с жесткой обратной связью.	'w’<sl	iv, ед	w(sl. W’(SI W(' /»iv,ед
1	Перестройка схены контура сжесткой обратной связью	w,(s) -1	-W2(S)	X4<s)_ Wt(s) X,(s) ^Wf(s)
В	Объединение контура с гибкой обратной связью в одно звено	w'<s> 22^ -w2(s)	W,(s) W(S)	4—'	W(sl	w.l!s).,. ",SI i+w,(s)w2(s)
83
Продолжение табл 1.8
ff	Перестройка схены контура с гибкой обратной связью	№i(S)	7	X<(s)_	W,(s) X,(S) HW,(s)W2(si
ю	Объединение контура с передаточной функцией в цепи обратной связи	7 -ВД		W&-
77	Перестройка контура с передаточной функцией в цепи обратной связи	7 -w,(s)	l	 -7	Xt(S) 7	 X,(S) ° 1-W(3)
12	занена одного зве- на контурон с передаточной функцией в цепи пряной связи	<\ W(S) z-X	W(S) _ О x//2	^X*2j -1	XZ(S>-W(s)xt(s)
13	Занена одного эвена контурон с передаточной функцией в цепи обратной связи	w<s> /T\ Qy	- —	7 wiscT’	X2(S)- W(S)X,(S)
74	Соединение двух звеньев в скену занкнуто-разонкнутого (конбинирова иного) вида	*l!s)*W2(S)	Hj(V Wi(s> Wl(SL	w^-X3(S)_^,(S)-W2(S)
		V-i' w(s) V	-7	W(s)-x,(3) l^7(S)
г)
Рис. 1.22. Структурная схема сложного двухмерного динамического объекта с пересекающимися связями:
д)
а — исходная: б и в — преобразованные путем введения передаточной функции равной —1; г — для передаточной функции Wj (з); д — для передаточной ФУНКЦИИ ITjj (s)
84
W4(S)* Wsis)< wf(s) ★ w7(s)]
»)
-L «4 W” *, (s) <-w<(s)*ws (s) +we(s)tw7(s)]
6)
Рис. 1.23. Преобразование графа объекта к расчетному виду: а — исходная схема; б — первый этап; а — второй этап
ных динамических элементов (объектов), используемых для построения частотных характеристик.
7. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ
Линейные типовые звенья можно разделить на два типа — непрерывные и дискретные. Частотные характеристики линейных непрерывных типовых звеньев находятся из передаточных функций после подстановки в них s = /со и выделения действительной и мнимой частей, т. е.
Wro(J®) = I/o(<o) + /VoM> (1.210) где 17о(со) и Vo(w) — соответственно действительная и мнимая частотные характеристики.
Пользуясь выражением (1.210), в декартовой системе координат строят амплитудно-фазовые частотные характеристики Wo(j<&). Для основных типов непрерывных звеньев они приведены в табл. 1.9. Если перейти к полярной системе координат, то выражение (1.210) можно переписать в виде
Wo (fo) == Н' (со) е/0“ <®>, (1.211) где Н'й (со) и 0О (со) — соответственно амплитудная и фазовая частотные характеристики.
Из выражений (1.210) и (1.211) можно найти формулы для вычисления амплитудной и фазовой ча
стотных характеристик:
(1-212)
0о(со) = arctg^gj-. (1.213)
Эти характеристики также приведены в табл. 1.9.
Частотные характеристики линейных дискретных типовых звеньев находятся путем приведения передаточных функций к комплексной переменной s—ja, которая связана с переменными s и г следующими соотношениями:
s = ^th^ (1.214)
Из соотношения (1.214) следует, что связь между переменными s и s не является взаимно однозначной из-за периодичности функции. Период ее равен 2л/7"о. Для определения соответствия переменных s и s на половине основной полосы 0 Im{s} л/Г0 воспользуемся отображением точек на плоскостях S и 5, приняв s = ст + /со и s = ст 4- /со. Сперва на плоскости S проведем линии постоянных значений л/4Г0, п12Тй, Зл/47о и л/То и нанесем на них вычисленные значения точек (рис. 1.24, а) [24].
Линии постоянных значений на плоскости S отображаются в окружности с центрами на действитель-
85
Частотные характеристики типовых звеньев
Таблица 1.9
№ п/п	Переваточная функция	частотная характеристика				Апплитудно-фазовая	
		Апплитудная		Фазовая			
1	к	Н К		в		JV	К
							
						0	° У
		0			(а)		
2	S					JV 1 (iJ-oo 1^-0	
		п	/	JT/2			
							
		U	(jj		0	(а)	0	и	
J	TS+1	н 1		е хр хЦ 0		JV	6U-CO 1/
						0	Ы°ои
		и	(jj			(а)		
4	TS-1	If 1		в л хр	Y	""7 jv к (а)-0	°	й
		"	Cd			1/Т	а>		
5	1-TS	н’ 1 0	си	0	1/Т	JV	ы-0
				-Л/4 -хр	(J	0	| и й>“°°
В	1 S	If				JV\ 1 (J ®оо	
				-ХЦ -яр е	(а)		
						0.	>	и <11=0
		0	а)				
7	1 TS-1	И' 1			Нт		
				хЦ		 ш	J' 0	^*0 Ji я
		0	CJ	"’в			
8	'1 TS-1				1/Т	J4	(tjKOQ
		п 1		k с	1			
							0	и
		0	(а)	в			
9	1 1-TS	н' 1		е хр лц		JV	f ^\ы=0
			(а)		1/Т	ы	0	1 и
Ю	s2	If		в Л х/2 0			
						ZV*oo	1	ш=0
							0 и
		и	(а)				
86
Продолжение табл. I. 9
II	T2S2+1	H' 1	/Г	т X Х/2 0					
					-		Шаол *	\o	U	
		U	1)T	Ы			1/Т	ы				
12	T2S2~1			т л Ж/2 0					
		1			-				
							* -’ й|		и
		o'	Ы			и				
13	1~T2S2	H' I		в					
		1/	hJ		и	ы			fl	1 и	
14	Т25г+2№ + 1	H’ 1	b ^2 г	в X Х/2					' U	
		Q	(jj		V	ы			0	7 и	
15	T2S2+2tJS-1	H' 1 0	УЛ ty^3	 и*	в X Х/2 0	1	'>?1>4г>Ь &>ЖОО t>1 ^2 й)		. t’>ii		>^2>^3 и
№	Т25г-2^1	H1 I 0	1>^1>Кг>2,3 —	S			Jv 1 1 w”0		
				Л/2 -л	^^2^3	Ш		u		
11	T2S2~2^TS~1	H’ 1.	il Ъ Ь}	в X Х/2			J* 6Moo Ы~(Г1.		
							<$>4.-/ 6 .f}\		и
		и	bj	0)			b 1.243		
И	1 S2 I	O’		в			(tJ**O 4^«o		
				Х/2	0)				
							0	и	
									
		и	0)						
В	1 T2SZ+1	н‘ 1	У1\ —1\ 	1	в 0 Х/2	1/т		JV	.		
						(л)	о V*	\^T)u	
		и	1/Т	ы						
20		1 T2s2-1			6			«“?		
		1		а У 1	GJ				
							-z 0	и	
		0	. (а)						
21	1 1- T2S2	н' 1 0		в 0			JV йГ"ОО . 0	Ш-0 1 и	
			GJ		(л)				
.37
Продолжение табл. 1.9
22	1 T2S2*2t,TS+1	у 1	t 1>*.,>Кг>К3		,/r	I>il>i2>is JVTX>L ^*Г\ 4? ii		
		0	id					
23	1 T2S2^2iJS-l	uf	*.		8 fl X/2		i2 (з		й/*оо
		1	1 V t дцХ- /	4		(, b is “			& и
		0	(d					
24	1 T2S2-28,TS+1	F	-^2	8 X Л/2		jv_^	^i^i2>i3 Iw-0	
			(d		ЦТ	Ы	W*oe T	3 Г	и	
25	1 T2S2-22,75-1	H 1	4^.	0 Л ~ 2 -Л	7>i,>2,2>ts i, is is	Jf	’>i,>i2>i3 й/еОО	
						~l	О	и	
		0	id					
2В	e~JS	У 1		8 fl		JV		
					(d			
						f	OJ и	
		0	id					
27	ers .	If 1		8		JK_.		
								
		1)	(J	0	(d		0J1	и	
28	1-esr° 5	If r,	\/x>	e 0		Jf (tfssoa	Та и	
					'Х^ЧЧччХч		!) /ш-о	
		0	(d					
23	(i-e-T»s)2(HTeS) W2	H 1		Q				
						й|жоо _	0 Ъ и	
							!/"	f(d*0	
		0	(d					
30	(TlS2^jTllS^l)(l-tT«s)}	H		8 0		 jy	(if a tn	U	
	7$S3				(d		ы-0	
		0	id					
31	~(i-e-sr«)e~sr° f0	У		8 0		(ш-0		
					’X.	(d	1{^жос	fl)	и	
		и	(d					
88
продолжение табл. 1.9
52	1 l-.-2ST° 2Т0 eST”	H1		8 Л 2 0 X “ 2		—			w	0
		If	w			(jj	-i		и
33	6	1-в~25Т° То l+4e~STo+e~2ST°	H‘		8 X 2	—		i-	JV	
		и	0/	Л '2				1 -i r»1	0	и
34	JBL. '0 h6-2ST0		Ы	8 ЗЯ 2 X 21		S7		jV й>*0 5 w	
33	loe-sn l-e~ST’	H‘ 0	0)	В 1 "2 зл ~2		(aJ	2 (u-0	:		0 и
	To 3esro-e-2ST° 2 1-eST°	H1						JV	
36		0	(0	__'	 J 	,		0>		0	и
		If	\	1	8 0 Л 2				JV 0	
31	e-ST„ 2T° l-e2ST°	0	M	 0)			(a)	’r’l	(i)-	и 0
		H'	1	<s q>				jv 0	
36	To 1+4e'ST4-t2Sr' 3	l-'isT°	-o	V 0>			(л)	y,T‘>	(i)-	и 0
		H1		8 0 X 2				JV 0	
ЗЯ	To h4e^e~ST° 6 l-e~ST<>	0	(j)			It)	-J7’»'	и ы-о	
48	'8	я 0	(t)	8 8 -Л -2X		(t)	( 0	w-d	/ U
89
Продолжение тадл. 1.3
90
Рис. 1.24. Номограммы соответствия переменных s н s на плоскостях S н 5:
а — Пл. S; б — Пл. S
ной оси с координатами —2/То и О (рис. 1.24,6). Действительная ось на плоскости S: —oo<Re{$)<0 переходит в отрезок на плоскости S: —2/То < Re{s) < 0 (рис. 1.24,6). Причем граница основной полосы левой полуплоскости [im {д} =	;
Re {д} <о] отобразится в полуин-тервал (Re {д| < — -=г-; 1т{д} = 0 .
* О	J
Линии постоянных значений Re{s} (—0,28/Го; — О,69/Го; — 1,38/Го;
2,76/Tq) отобразятся на плоскости S в окружности с центрами иа действительной оси. В результате пересечения этих линий находятся' значения соответствующих точек (рис. 1.24,6). Из сравнения рис. 1.24, а, б можно установить, что полосы для непрерывного элемента при их отображении на плоскость S изменяются.
Теперь ограничимся рассмотрением полюсов в окружности |дТо]== — 1, часть которой на плоскости S выделена штриховкой (рис. 1.24,а). Соответствующее ей отображение
на плоскости S также выделено штриховкой (рис. 1.24,6). В заштрихованных областях полюсы дискретного элемента (объекта) отличаются от полюсов непрерывного примерно на 10 % вблизи окружности. Внутри окружности они различаются с меньшей погрешностью. Поэтому можно считать, что s ~ д и го ~ й (где ® называется псевдочастотой), и максимальное значение мнимой части полюса X, будет удовлетворять условию
maxim {ХД < п/Т0. (1.216)
Условием (1.216) будем пользоваться при построении частотных характеристик графоаналитическими методами. Для этого случая амплитудные, фазовые и амплитудно-фазовые частотные, характеристики некоторых типов дискретных элементов также приведены в табл. 1.9..
Если для вычисления численных значений частотных характеристик применять ЭВМ то следует пользоваться формулой (1.214). Тогда можно получить более точные значения характеристик дискретных элементов *
* См. гл. 1, п. 10.
91
црО1 0,00г нот opoeofit 0,02 0.04 цовщ иг из 0,4 це op i
Рис. 1.25. Номограмма для определения числовых значений амплитуд (в дБ)
Рис. 1.26. НомограМма для построения точных значений логарифмических частотных характеристик типовых звеньев 1-го порядка с передаточными функциями (Ts + +1)-1; (Ts- 1)~';(1 - Ts)-1;Ts+l; 1-Ts; Ts-1:
а, б-!-поправки соответственно для амплитуд и фаз
На практике часто амплитудные и фазовые частотные характеристики строят на полулогарифмической бумаге. Тогда ось <о или 6 размечают в логарифмическом масштабе, где изменение частоты в 10 раз называется декадой (дек.), амплитуду	201g Н'о —
откладывают в децибеллах (дБ) и фазу 0 в градусах. Для определения числовых значений амплитуд удобно пользоваться номограммой (рис. 1.25), где по оси ординат отложены Но, а по. оси абсцисс круговые частоты <о (с~*). Логарифмические амплитудные и фазовые характеристики для некоторых непрерывных и дискретных элементов приведены в табл. 1.10. При этом видно, что у большинства непрерывных элементов аппроксимированные логарифмические амплитудные характеристики приближенно изображаются в виде кусочно-линейных отрезков с на-
7S *7 ГППТП1ТТГИ I Illi 111II III ГГI 1ТТП 11 IT III11ГПII I 1Г11	IIII	IT II11	I 11 11	1НТТ	I III11II II	I II'I 11)
О 5	10 15	20	25	50 55 40	45 50	55	60	65	70	75 80	85	-SO
7S-1 ш.шт ujiiiiititij	I	run11 tn.il 1111.1 IIIIIIIт11 III	11III	itthi	ittti	ri птт! н nil 11	u>	1111
180 175170 165160	155150 145 140	155 150	125	120	115110105 100	35	30
1-TS IJI ГГ1ИI Г1111IIITT III11 Illi 1ГП-ПТП m-14 ПГТТТ H 1ТГГИ1 ГН ПН ITU II1П Г1III niLH 1IIIIT11
0 -5 -10 -15 -70 -25 -50 -55 -40 -45 -50 -55 -60 -65' -70 -75 SO -85 SO
s'
(Ts л)1 IT ITTI1111111111 IT II11111111111TI1111 п 111111111111114 TIT ГПТ111 Tim 1 ittti i i 1ттт i гтпт 1 т ,0 -5 -10 -15 -20 -25 -50 -55 -40 -45 -50 -55 -60 -65 -70 -75 -80 -85 -90
Ts-i)'’ 11111111111111111 i.i 1 ч|1птпнгпт111тт1 inn1! urn uh mi 11 uni in mniiuin 1 гш 11 >8'
-180 -175 -170 -165 -160 -155 -150 -145 -140 -155 -150 -125 -120 -115 -110 -105 -100 - 35 - 90
1- TS}’’ П1 ГГП'Г 11 ГТ 111111 f III Г| И111 I'll Г11111ГППТ ITTTI IIITFH H ГТПТНПТ1 Г11ТП 111 IT 1111 I 11"1! IIJ
0 5	10 15 20 25 50 55 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 30
92
Таблица 1Ю
Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики типовых звеньев npus-juj
NS п/п	Передаточная функция	Частотные характеристики			
		Амплитудная		Фазовая	
1	К	1m, дБ. к			 Жд 	 0	ui		0	01
2	S	1т,дБ 0			в Л/2 Л/А	(л)
J	TS + 1	1т,дБ 0	9д.Ь/дек	 7/7	9 л/2 Л/А 0		 1/Т	<11
4	TS-1	1Л1,ДБ 0	ОдЪ/дек		 Т/Т	ы 1	е Л Л/2 0		1	Г=вш- I	1 1 1 		 1/Т	и
5	1-TS	1т,дБ 0	m&lssK^^ ЦТ	ы	е 0 -Я/А -л/2	Ш 01
6	1 S	1т,дБ 0		 VT\	е 0 -я/ч -л/2	. —
1	1 TS + f	1Л1,ДБ 0	Цт		в 0 -Л/А -л/2	1 ЦТ
8	1 TS-1	1т,дБ 0	ОдБ/цек	в 0 -Л/2 -ЗЯ/А -л	ЦТ	 г	- 1 1 	
9	1 1~TS-	1т,дБ 0	ОдЪ/дек	е Л/2 Я/А	<й
10	S2	1т,дБ 0		 ш	9 Л Л/2 0	0J
93
Продолжение табл. 1. Ю
11	t2s2<-i	1Л1ДБ 0	/ЬОдБ/дек ОдБ/дек >/Т/	 « V/ \ч и	л	- 1/T	W
12	t2s2-i	1т,дБ 0	/ ОдБ/де/г/	Л ЛД fl	
			1/Т	<о		(J
13	1~T2S2	1т,дБ 0	ОдБ/декх	fl X/l ЛЦ c	
			ЧТ	01		U)
Н	T2S2+2^TS+1	|_т,дБ 0	м40ДЪ/дек	fl Л Л/2 fl	l/T	и
15	T2S2+2^TS-1	Im,дБ 0	(j	0 Л Л/2 0	* '>4,>е2>«д
16	T2S2~2tJS+1	1т,дБ 0		1	' 4 ^ 4 g, CD	
17	TzSz-2tJS-l	ЦП,дБ 0	<d	fl Л 2 0	1>ki> ^2>^3 --
16	1 s2	1т,дБ 0	/X	<J	0 0 -X/2 -Л	
19	J J2S2+1	1Ш,ДБ 0ДБ/ О		 4	0 fl -Л/2 -Л	l/r 0)
94
Продолжение табл. 1. 10
20	/ T2s2-1	1т,дБ 0	ОлЪ/дек		в 0 д' ’I -л	(i)
21	1 1-T2S2	1Л1.Д6 0	ОдЪ/дек 1/Т	8 0 Л/2	
			\te,	ы		(i)
22	1 T2S2->2t,TS-ft	1т,дБ 0	Z]\	,>£>>5z>^j t. tz. ХхС™	8 0 Л Л	»К,>К2>1.3 in	 	 tj
23	I T2S!+2^TS~1	1П1,ДБ	? 	 oin&l, и	8 0 •Л ‘2 -л	
24	1	1т,дБ 0	1}Ь>Ъ>1}	8 Л Л/2 0	> ^2 > 1/Т	ш
	T2S2-21,15+1		Ы		
25	1	. T2S2-2t,TS-l	1т,дБ	0	. . у. '	0> vxX	8 0 -Л/2 -Л	1 t, «2
26	e'TS	1П?,Дб 0	ДдБ/дея (i)	8 0 -Л/2 -Л	1 — \
27	ers	1т,дБ 0	ОдБ/дек		8 Л Л/2 0	—
25	i-e-^ s	1т,дб 0		9 9	
29	(l-e-Jl>s)2(l-T0S) T0S2	йп.дБ 9			 — 0Дб|Д^^^д	9 9	Ы
95
Продолжение табл. t. 10
30	(Т^^Тоб^-е-7"1)3 Т20 83	Lmj6 0	'"'"\^6011.б/дек			8 Х/2
						0 U)
31	4('-®’5Г(’)е’5Г‘’ 'о	1т,дБ 0 -20				0 Х/2
			• и			0 ы
32	1	l-e~2S7° 2Т0	e"S7°	1т,д6 0		8 Х/2 0		
					й)	
33	1 '~e~2ST° То i+4e'sr<’+e'2ST«	1т,д6 0	1 и	0 х/2 0		
34	г» he'257"	 -l+34e“ST^2*n4eSTo+34e~3S7^2~e'2S7o	1т,дБ 0		8 х/2 0	—	
35	Toe~ST° j-e-Sl0	1т,д5 20 0	)	01	0 0 -Х/2	(i)	
36	Is 3e~s7°-e~2s70 2	l-e17"	1т,дБ 20 0 -20	^SSPf	/	0 0 -Xl2		Ц)
						
33	gSTg 2T° l-e-2St°	1т,дБ 40 0	гчУ ы	0 0 -Х/2	й)	
38	T„ 1+4e'ST°+eST° T 1-e-^o	1т,дб 20 0	1	8 0 -Х/2		
96
продолжение табл. I. 10
39	То 1*4e~ST°l2+o's7° 6	1-e~ST°	1т,д6 20 0	7 '\ч / ы	8 0 -Л/2	(J
40	[l+^(l-e-ST°}]e-ST° 0	1т,д6 20 0	ОДб/ДЛЦ^^^Х i	ы	В л/2 0	
41	^k(,-e-^Je-sr0 к L IQ	j	1т,дб 20 0	0дС/ДВЦ^^\/\ J	ы	В Л/2 0	' \л
42	ГОТ, j-[~2STo	7 / T„ 1+4e~ST,,+ e~2ST°j	1т,дб 20 0	ОДБ/ДВ!<^^\ 7	OJ	в Л/2 0	X и)
43	Jo 	 T, i-(l-fye~sr°	Ьп.Дб 0 -20	7 ОдБ/деТг^^^у	<д	8 0 -л/2	1
44	To 27, T-(l-jrlfr~ST°-$ie'2Sf°	1т, дБ 0 -20	J (J	0 0 ~л -2К	Т
45	To (h4e~ST°/2+eST:’)eST° 6 ,JkkJ-lL.JL}e-STo (7, 27, 87/ 24Т</	1т,дБ 0 -20	J ОдБ/дез^.	1 W	fl 0 -JC	
46	К ch T0S	1т, дБ 20 0	0 дБ/дек		 1	ш	fl 0	и
47	Ke~T°s 7„S+I	1т,дБ 0 -20	ОдБ/ден	fl 0 -Л/2	'—(J
48	*th 10S	1т,дБ 20 0	0 дБ/ ден	U	о л/2 0	__
48	2/CtnTpS I^Kth TaS	Бт.дб 10 0 -5	Одб/дек / \ I \ П ей	fl 0 -л -2Л	
4 Ю. И. Топчеев
97
Рис. 1.27. Номограммы поправок для построения точных значений логарифмических амплитудных характеристик типовых звеньев 2-го порядка, имеющих передаточные функции (Г2.?2 + 2gTs + I)-1; (72s2 — — 2gTs 4- 1)'	72s2 + 2g7’.s + 1;	72,s2 -
- 2gTs + 1
частотных характеристик для сложных элементов, представляющих собой последовательное, параллельное, последовательно-параллельное соединение типовых звеньев или образующих замкнутые контуры (см. примеры 1.36—1.39).
Для некоторых часто встречающихся типовых звеньев удобно пользоваться номограммами поправок для амплитуд и фаз. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики звеньев 1-го порядка строились по формулам, приведенным в табл. 1.10, в зависимости от ш/ш01 где о)о=1/Бо-
На рис. 1.26, а изображена номограмма поправок ALm, полученная путем нахождения разности между приближенной и точной логарифмическими амплитудными характеристиками. Для типовых звеньев
клонами 0; ±20; ±40 дБ/дек. Благодаря этому упрощается построение логарифмических амплитудных
Рис. 1.28. Номограммы для определения значений фазовых углов типовых звеньев 2-го порядка, имеющих передаточные функции (r2s2-2grs + i)"‘; (Ps2 + 2grs + i)-1;
T2s2 + 2gTs i и f2s2 — 2%Ts + 1
98
Лт.дЬ
Л I.ih ,л 6
0,t 02 03 0,4 Of Of 10If 1,6 if .10 0,0Sf 10SO v/w.
Рис. 1.29. Номограммы поправок для построения точных значений логарифмических амплитудных характеристик типовых звеньев 2-го порядка, имеющих передаточные функции (T2s2 + 2*Ts — I)-1; (7'2s2 — —Ч^Тз — I)-1; T2s2 + 2£7's~-1; T2s2-2tTs-l
с передаточными функциями (Ts4-+ 1)_|, (1 — Ts)~l и (Ts—1) ’ поправки имеют отрицательные значе-
Рис. 1.30. Номограммы для определения значений фазовых углов типовых звеньев 2-го порядка, имеющих передаточные функции (T2s2 + 2§rs — I)-1; {T2S2 —	—
- 1)“'; T2s2 + 2&Zs - 1 и T2s2 - 2g7’s - 1
ния —ALin, а для звеньев Ts 4- 1, 1 — Ts и Ts — 1 — положительные значения ДЬт. На рис. 1.26,6 даны значения фазовых углов ±0° в виде номограмм для типовых звеньев (Ts 4-I)""1; (1 —Ts)-1; (Ts — - 1)-*; Ts+ 1; 1 —Ts и Ts—1. Из построенных номограмм видно, что типовые звенья с передаточными функциями (Ts 4-1)"', (Ts—I)-1, 1 — Ts являются фазозапаздывающими, а звенья (1 — Ts)-1, Ts 4~ 1, Ts — 1 — фазоопёрежаю-щими.
Составим формулы для вычисления точных значений логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик типовых звеньев 2-го порядка, которые также приведены в табл. 1.10. На рис. 1.27 построены номограммы поправок для логарифмических амплитудных характеристик, а на рис. 1.28 значения фазовых углов для типовых звеньев с передаточными функциями
(T2s2 + 2^Ts4-1)-1;
(T2s2-2gTs4- l)-1;
T2s2 + 2gTs + 1; T2s2 - 2STs 4- 1 •
Для типовых звеньев с передаточными функциями (Т2$2 4-
4? о,а 0,7 о/ 45 (?4 45 0,2 0,1
О
		зох^л4	•^,0^3,33	\,4,0Х			'0,0	\	fj/Mo--2O,0
								
1,11 , 125-						0,2	\0,1	
								
		0,8' /						
		0.1/						
								
								
								
								
W(s)-(T2s2t2^Ts-1f1 135	140	145	150	155	160	165	H(s)=T2s2*2tTs-1	
					no	175	180
9JLL1..U I.	Ll_m -225	-220	-215 W(S)=(T2S2-2ZTs-1)'1	-210	III -205	Illi T" I -200	I I I I I ^-195	J-LLJ -190	IJ I I I I I I I 1 -185	-180 Ms)*T252-2?TS-1
g°r:i i. l i 11.1 i г i i .i—i 255	200	215	ДДДДД 210	LU—L 205	LULLU 200	_LU_LL 195	±J_LJ 190	L-LLLL1. LLIJ 185	180
4*
99
+ 21TS-1)-'-,	(T2s2 — 2ZTs —	;
T2s2 2lTs — 1; T2s2 — 2lTs — 1 на рис. 1.29 приведены номограммы поправок для логарифмических амплитудных характеристик с максимальной погрешностью А 4 дБ, а на рис. 1.30 номограммы значений фазовых углов.
Пользуясь данными табл. 1.10 и номограммами, изображенными на рис. 1.27— 1.30, можно построить приближенные логарифмические частотные характеристики динамических элементов САР.
Пример 1.36. Построить точную логарифмическую амплитудную и фазовую частотные характеристики для непрерывного динамического элемента, описываемого передаточной функцией вида ™	__________fe(T2s+l)3e-TS
°	s2(r1s-l)(7’2S2 + 2g37’3s4-l)X ’
X(7-/-2g4r4s+l)
(1.217) где
k = 100 c~2; Ti = 10 c; T2 = 5 c; T3 = 0,5 c; Tt = 0,02 с; т = 0,2 с; Ь = 0,01; ^4 = 0,80.
Сравнить точное и приближенное построение логарифмических характеристик.
Подставив в выражение (1.217) s = /со и соответствующие числовые значения, получим
«%(/“) = IMUTi+'),,'4U'“
<«•(-£-/- 1)[(4 /)!+20.»1Х
(1.218)
Из формулы (1.218) найдем математические зависимости для построения логарифмических характеристик:
амплйтудной
На (со) = 20 1g 100 — 40 1g и —
- 201g д/(тг)2 + 1 +
+ 60 lg aJ(-§-)2 + 1 -
-20 1g д/[1 - (у)2]2+ 4-0,0001 (f )2-
-20 1gV[T-g)T + 4.0,64(|)2
(1.219) и фазовой
е0 (со) = -180° + 3 arctg 5<о - 180° +
+ arctg 10а» — <р 1 — ф2 — О,2со; (1.220)
Lm, дб
Рис. 1.31. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики, построенные по передаточной функции (1.217)
(	,	0,01со
= ] arctgT-0:25o2 при w<2:
V 180° + ф,	при со > 2;
(	,	0,032со	.
ф2=J-arctgT^raw при м<50;
(—180° + <р2	при со > 50.
Для различных со — 0,005; 0,01; 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 2,0; 5,0; 10,0; 20,0; 50,0; 100; 200; 500; 1000 с~‘ по формулам (1.219)— (1.220) составлены табл. 1.11 и 1.12 соответственно для амплитуд и для фаз.
По числовым данным табл. 1.11 и 1.12 на рис. 1.31 построены сплошной линией кривые точного значения логарифмической амплитудной Но (со), а штриховой линией — фазовой 0о((о) частотных характеристик динамического элемента, описываемого передаточной функцией (1.217).
Аппроксимируем полученную логарифмическую амплитудную частотную характеристику типовыми наклонами ±20п дБ/дек, п — 0, 1, 2, ... (штрихпунктирная линия на рис. 1.31). В этом случае точные и приближенные значения логарифмических амплитудных характеристик отличаются не более чем на 3 дБ, что мало влияет на правильность построения характеристик. Поэтому на практике логарифмическую амплитудную характеристику строят с помощью типовых наклонов, учитывая при этом поправ-
100
Таблица 1.11
Значения логарифмических амплитудных характеристик типовых звеньев и всего дянамнческого элемента для примера 1.36
Выражение для амплитуды типового звеиа	Амплитуды Но (со), дБ						
	0.005	0,01	0,05	0,1	0,2	0,5	1,0
20 1g 100	40	40	40	40	40	40	40
—40 1g 10	92,04	80,0	52,04	40,0	27,96	12,04	0
- 201g 7(ш/0,1)2 + 1	-1,08-Ю-2	—4,32- 10"2	-9,69- 10"1	-3,01 .	-6,99	-14,15	—20,04
60 1g V(co/0,2)2 + 1	8,14  10“3	3,25- 10“ 2	7,90-10“'	2,91	9,03	25,81	42,45
-20 1g V[1 - (co/2)2]2 + 4 • 0,0001 (ш/2)2	5,39- 10“5	2,17- 10“4	5,43 • 10"3	2,17- 10“2	8,73- 10“2	5,60- 10“‘	2,50
—201g V [ 1 - (o/50)2]2 + 4  0,64 (0/50)2	0	—4,34- 10"7	—2,17 • 10“6	-9,55- 10“6	—3,87- 10“5	-2,43- 10“4	-9,73- 10"4
Результирующая амплитудная характеристика Ho (о) 1—4 О	-	132,04	119,99	91,87	79,92	70,09	64,26	64,91
Продолжение табл. 1.11
Выражение для амплитуды типового звена	Амплитуды Hq (©), дБ								
	2.0	5,0	10,0	20,0	50,0	|	100,0	200.0	500,0	1000,0
20 1g 100	40	40	40	40	40	40	40	40	40
—40 1g 10	— 12,04	—27,96	—40,0	—52,04	—67,96	-80,0	-92,04	-107,96	-120,0
-20 1g V(o)/O.l)2+ 1	-26,03	—33,98	-40,0	-46,02	-53,98	—60,0	—66,02	—73,98	—80,0
60 1g V(co/0,2)2 + 1	60,13	83,90	101,94	120,00	143,88	161,94	180,0	203,88	221,94
-20 1g V[ 1 - (w/2)2]2 + 4 • 0,0001 (ш/2)2	33,98	-14,40	—27,60	-39,91	-55,90	-67,96	—80,0	—95,92	-107,96
-20 1g V[1 - (0/50)2)2 -|- 4 . o,64 (o/50)2	—3,9- 10“3	—2,47 • 10“2	-1,03- 10“1	-4,74- 10"1	-4,08	— 12,84	—24,25	—40,02	—52,08
Результирующая амплитудная характеристика Но (о)	96,04	47,54	32,24	21,56	1,96	-18,86	-42,31	-74,0	—98,07
Таблица 1.12
Значении логарифмических фазовых характеристик типовых звеньев и всего динамического элемента для примера 1.36
Выражения для вычисления фаз типовых звеньев	Фазы 6о («)» 0							
	0,005	0,01	'	0,05	0,1	0.?	0.5	1.0	'-’.0
-180°	-180	-180	-180	— 180	-180	-180	-180	-180
— 180° + arctg 10а	-177,1	-174,3	-153,4	— 135,0	-И 6,5	-101,3	-95,67	-92,80
3 arctg <£>/0,2.	4,43	8.59	42,13	79,73	135,0	204,7	236,2	252,9
, 2-0,01(<о/2) arctg 1-«0/2)*	—0,00286	-0,00573	—0,0286	—0,0575	-0,116	—0,306	-0,764	-90,0
_зю.+.ге1г^^	0,0092	0,0183	0,0917	0,183	0,367	0,917	1,835	3,69
— 0,2 • 57,3а	-5,73. 10~2	-0,1146	-0,573	— 1,146	—2.29	—5,73	- 11.46	-22,9
Результирующая фазовая характе-5 ристнка 60(а)	 S3	-352.9	—345,8	—291,8	-236,1	— 163,5	—81,69	-49,87	— 129,1
Продолжение табл. 1.12
Выражения для вычисления фаз типовых звеньев	Фазы 6о (<о). °							
	5,0	10,0	20,0	50,0	100.0	200,0	500 0	1009,0
— 180°	— 180	— 180	— 180	— 180	-180	-180	-180	— 180
— 180° + arctg 10ш	-91,1	-90,53	—90,24	-90,1	-90	-90	-90	-90
3 arctg ш/0,2	263,2	266,7	268,4	269,3	269,80	270,0	270	270
. 2 • 0,01 (W/2) arctg 1 -(ш/2)» '	-179,5	-179,8	— 179,9	— 180,0	— 180	— 180	-180	-180
„	2 • 0,8 (ш/50) -360“ + arctg	9,185	18,44	37,32	90,0	133,1	156,8	170,3	175,4
—0,2 -57,3а	—57.3	— 114,6	—229,3	-573	-1146	-2293	—5730	-11460
Результирующая фазовая характеристика 0о (а)	—235,4	-279,8	-373,7	—663,7	— 1194	—2316	—5742	— 11470
ки на звенья 2-го порядка (номограммы на рис. 1.27 и 1.29).
Фазовую характеристику строят по данным номограмм рис. 1.25, а, б и 1.28. Соответствующая штрих-пунктирная кривая приведена на рис. 1.31. Как видно из этого построения, точные и приближенные значения фазовых характеристик отличаются не более чем на 5°. Такую малую погрешность также можно не учитывать при приближенных способах построения логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик. Поэтому, как правило, логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики динамических элементов и звеньев строят приближенным способом, что значительно сокращает время на их построение.
Пример 1.37. Найти логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики для непрерывного динамического элемента, описываемого передаточной функцией
ь г 1
(S) “	2|2Г28 +7 +
+ ~ту + 2^т37+ Г ] ’	(1,221}
Перепишем соотношение (1.221) в виде Го (s) = Wt (s) [Г2 (s) + Г3 (s)]. (1.222)
Г, (8)
Примем следующие обозначения: fe
4^8-пу 
1
^2(s) = --^----------------
Т 2s + 2^2Г 2s + 1
1
(s)---------------------,
+ 2§3Г38 + 1
где fe = 10 c_|; T} = 1 c; Tz — 0,1 с; Г} = = 0,05 c; £2 — 0,15; g3 = 0,05.
Соотношение (1.222) преобразуем следующим образом:
Го (8) =	(8) Г2 (s)[l +
откуда
Г2(з) W3(s) । Г2 (s)
Го (s) = Г, (s) Г2(в)
Г3 (s)
(1.223)
Рис. 1.32. Логарифмические амплитудная Н (со) и фазовая 0(со) частотные характеристики
Подставив в выражение (1.223) s — /со, получим
Го (/СО) == Г, (/Ш) Г2 (/со)
Г Г2 (/со) -|~1 (/со)
, , 4^2 (/30)
L -|"гэ(/а>) J
(1.224)
Соотношение (1.222) для выполнения операции логарифмирования с помощью номограммы замыкания приведем к виду (1.224). Выражения в квадратных скобках из соотношения (1.224) можно представить в следующей форме:
<L22S’
Из теории автоматического регулирования известно [13], что можно находить логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики, пользуясь выражением (1.225), т. е.
20 1g | Г (/со) | = 20lg|(1.226) arg [г (/со)] = arg	-г-1. (1.227)
I 1 •“t” W	J
Для соотношения (1.224) с учетом выражений (1.226) и (1.227) имеем
20 1g | Го (/со) | = 20 1g | Г, (/со) | +
+ 20 1g | Г2 (/со) 1-20 1g |
(1.228)
arg [Го (/со)] = arg [Г1 (/со)] + + arg [Г2 (/со)] - arg
(1.229)
103
Рис. 1.33. Номограмма замыкания с нанесенными на ней логарифмическими ам-плитудно - фазовыми частотными характеристиками: кривая / — для примера 1.37; кривая 2 — для примера 1.38; кривая 3 — для примера 1.39
Рис. 1.34. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики
Н (со); 0 (со) и Н (со); 0 (со)
На рис. 1.32 сплошными кривыми показаны логарифмические амплитудные
Н (со) = 20 lg [Г, (/со) | + 20 1g |Г2 (/со)’|
и фазовые (3(со) = arg [Г, (/со) ] +arg [IP's (/со)] характеристики. Здесь же даны логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики '20 lg| W(/со) | и arg[lP"(/co)]. Нанесем на номограмму замыкания (рнс. 1.33) числовые значения * этих характеристик при различных частотах со и проведем через них кривую 1. Тогда в точках их пересечения со сплошными кривыми линиями номограммы получим значения И (со), а со штриховыми 0(со). Перенесем полученные кривые на рис. 1.34 и, вычитая их из построенных характеристик Н (со) и 0 (со) (рис. 1.32), найдем результирующие амплитудную //о(со) и фазовую 0о(со) частотные характеристики рассматриваемого динамического звена. Они построены жирными линиями на рис. 1.34.
Пример 1.38. Построить логарифмические амплитудную и фазовую частотные харак
* Формулы для построения номограммы замыкания приведены в гл. 3, п. 9. Там же показано, что данная номограмма представляет собой многолистную поверхность. Поэтому для удобства ее применения в ряде задач следует пользоваться номограммой замыкания, построенной в полярной системе координат.
теристики для динамического звена, включенного в контур с отрицательной обратной связью (рис. 1.35, а). Примем 6=10 и Т = 1 с. Имея это в виду, на рис. 1.36, а построены соответствующие частотные характеристики: логарифмическая амплитудная Я(со) тонкой сплошной линией и логарифмическая фазовая 0(со) тонкой штриховой линией. Для определения результирующих характеристик данного элемента составим передаточную функцию в виде
Го (s) = Г (s)/[l + r(s)], (1.230)
где s = /со.
Пользуясь соотношением (1.230), можно числовые значения полученных характеристик перенести с рис. 1.36, а на номограмму (рис. 1.33) и, соединив их кривой 2, найти функции Н (со) и 0 (со). Нанесем их на рис. 1.36, а и, соединив точки линиями, получим результирующие характеристики //0(со) —жирная сплошная линия и 0о(со)— жирная штриховая линия.
Пример 1.39. Построить логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики для динамического звена, включенного в контур с положительной обратной связью (рис. 1.35,6). В этом случае имеем
Го (s) = Г («)/[Г—Г (s)], (1.231)
где х = /со.
ВозьМем параметры динамического элемента такими же, как и в примере 1.38. Тогда /7(со) и 0(со) аналогичны соответствующим характеристикам, показанным на рис. 1.36, а. Однако для получения результирующих частотных характеристик с помощью номограммы (рис. 1.33) необходимо из формулы (1.230) определить
Г (s) = Го (s)/[ 1 - Го (s)] при s = /со.
(1.232)
Из сравнения формул (1.231) и (1.232) следует, что по своему написанию оии тождественны; только в формуле (1.231) в левой части имеем функцию замкнутого контура Го(/со), а в правой__части — функции разомкнутого контура Г(/со). В формуле (1.232), наоборот, в левой части имеем функцию разомкнутого контура Г(/со), а в правой части — функцию замкнутого контура Г0(/‘со). Поэтому можно сформулировать следующее правило построения частотных характеристик контуров с
Рис. 1.35. Структурные схемы с типовыми звеньями, включенными в замкнутый контур: а — с отрицательной обратной связью; б — с положительной обратной связью
а)
б)
105
Рис, 1.36. Логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики динамического элемента в виде контура: а и б — соответственно с отрицательной и положительной обратными связями
положительной обратной связью: значения амплитуд и фаз разомкнутого контура следует брать из кривых номограммы, а значения амплитуд и фаз замкнутого контура считывать с осей их ординат и абсцисс. С учетом этого правила, на номограмме, показанной на рис. 1.33 кривой 3, нанесена логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика, построенная по функции IF (/со) — 10/(/<i> + 1), а иа рис. 1.36, б — по точкам, снятым с номограммы (значения амплитуд и фаз контура с положительной обратной связью). Соединив их жирными сплошной и штриховой линиями, получим соответственно результирующие значения логарифмической и фазовой частотных характеристик динамического звена (контур с положительной обратной связью).
Для исследования динамики сложного объекта САР следует строить логарифмическую амплитудно-фазовую частотную характеристику в полярной системе координат. В этом случае в более наглядной форме выявляется влияние слабодемпфированных элементов, представляющих собой произведение дифференцирующих звеньев 2-го рода, на колебательные при малых g и близких значениях постоянных времени. При анализе устойчивости замкнутых систем с такими объектами можно находить запасы устойчивости по амплитудам и фазам на собственных частотах колебаний слабодемпфированных элементов (см. гл. 4, п. 6).
Рассмотрим два примера построения логарифмических ампли
тудно-фазовых частотных характеристик с неминимально фазовыми звеньями и слабодемпфированными элементами. В сложных объектах таких элементов может быть несколько. Как правило, они образуют замкнутые кривые с ярко выраженными собственными частотами колебаний.
Пример 1.40. Построить логарифмическую амплитудно-фазовую частотную характеристику 20 1g Фо(/ы) в полярной системе координат для объекта, описываемого передаточной функцией
lF0(s) =
(т1? + 1) (т3з+1) (7-|з2+2|2Т6з+1)Х ___________><(т|г + 2£478з +1)__________
- 1 fl~T4s + 1) (Г- 7 5s) (ту + +2^rzs + 1) (ТУ + 2g'3T9s + 1)
(1.233)
где Г, = 999,9 с; Г6 = 0,176 с; g, = 0,0032;
Т2==499,9 с; Т7 = 0,156с; g2 = 0,61;
Т3 = 111,12 с; Т8=0,106с; g3 = 0,0016;
= 1,006 с; Т9 = 0,089 с; g4 = 0,24.
Т5 = 0,986 с.
Подставим н выражение (1.233) s = /со и вычислим числовые значения амплитудной Но (дБ) и фазовой 0S частотных характеристик. Откладывая их в полярной системе координат на плоскости W, получим логарифмическую амплитудно-фазовую частотную характеристику сложного динамического объекта 201g W(jw) (рис. 1.37). При этом видно, что объект обладает двумя замкнутыми кривыми 1 и 2. На кривой 1 указана собственная частота колебаний а>Р1 = 6,43 с-1, а на кривой 2 — <ор2 = = 11,23 с”'.
На рис. 1.38, а построены логарифмические амплитудная Н0(ы) и фазовая 00(<о) частотные характеристики в декартовой системе координат, числовые значения кото-
106
Рис. 1.37. Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика сложного объекта с двумя слабодемпфированными элементами, построенная в полярной системе координат (пример 1.40)
рых перенесены с рис. 1 37. Из рис. 1.38, а видно, что значения нулей <ун будут: <а6 = = 1/Г6 = 5,67 с-1, «в = 1/7’в = 10,47 с-', а значения полюсов <оп равны: <о7 = 1/Г7 = = 6,41 с~!, <09=1/7’9=11,28 с-i. Пользуясь рис. 1.38, а, нетрудно найтн коэффициенты демпфирования звеньев 2-го порядка, которые входят в передаточную функцию (1.233). Они имеют следующиг значения: !•) — -—50,10 дБ; -• - 14,38 дБ, Ь = —56,27 дБ, ^4 = -12,54 дБ. Сравнивая рис. 1.37 и 1.38, а, можно установить, что логарифмическая частотная характери-
Рис. 1.38. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики сложного объекта с двумя слабодемпфированными элементами, построенные в декартовой системе координат:
а —для примера 1.40; б —для примера 1.41
стика, построенная в полярной системе координат по амплитуде, мало зависит от принятого проектировщиком рабочего диапазона частот. Эго и позволяет на малых форматах получать логарифмические частотные характеристики в крупном масштабе. В результате построенный на рис. 1.37 годограф обеспечивает такую разрешающую способность, при которой можно достаточно точно анализировать динамические свойства исследуемого объекта. С помощью логарифмических амплитудной н фазовой частотных характеристик, построенных в декартовой системе координат (рис. 1.38, я), нетрудно найти частоты нулей и полюсов звеньев 2-го порядка и коэффициенты их демпфирования. Поэтому проектировщик строит логарифмическую амплитудно-фазовую характеристику для всего диапазона частот в полярной системе координат, 'а участки, где проявляется влияние слабодемпфироваиных элементов, он изображает в декартовой системе координат в увеличенном масштабе по частоте.
Пример 1.41. Построить логарифмическую амплитудно-фазовую частотную характеристику 20 lg lV'o(/w) в полярной системе координат для объекта, описываемого передаточной функцией
Го (s) =
(TjS + 1) (j2/ + 2^Т 4s + 1) X Х(Г*? + 2^7>-+1)(4<2 +
. .. 4	+ 2ъз?'1Л + 9
(т.^- 1 )2 (ту -мУ(’
+2£27у +1) (T2s2 + 214T7s + 1) X X(r252 + 2g6T9s+l)X
X (7\os2 + 2^7 10s + 1)
(1.234)
где Ту = 25 с; Тц — 0,0988 с; =0,035;
Т2 = 2,5 с; Т7 = 0,098 с; |2 = 0,042;
107
r2 30"
Рис. 1.39. Логарифмическая амплитуднофазовая частотная характеристика сложного объекта с четырьмя слабодемпфирован-ными элементами, построенная в полярной системе координат (пример 1.41)
Т3 = 1,03 с; Т8 = 0,049 с; g3 = 0,094;
Т4 = 0,131 с; Гд = 0,046 с; g4 = 0,063;
Т5 = 0,121 с; Г.о = 0,024 с; g5 = 0,56;
Т„ =0,0205 с; g6= 0,63;
& = 0,31;
g8 = 0,53.
Логарифмическая амплитудно-фазовая характеристика построена на рис. 1.39, где кривые соответствуют слабодемпфирован-ным элементам: замкнутая 1-я кривая строится по
T2s2 + 2|,T4s + 1 передаточной функции
/ 5$ -|-	5$ “Г 1
T2s2 + 2g3T6s + 1 2-я кривая — по функции—, r27s2 + 2g4T7s + 1
ж Tls2 + 2^57’8s+ 1 3-я кривая — по функции —------------
T2s2 + 2g6r9s + 1
и 4-ая кривая* — по ~Ь Is ~Ь I функции	Т*082 + 2£7Т108+1 ’
На рис. 1.39 приведены значения <о₽1 = = 8,2 с-', со = 10,3 с-1, <о_ = 26,3 с"'1 и
<ор( = 42,5с~1 —собственные частоты слабо-
* 4-ая кривая не является полностью замкнутой из-за большой разницы значений g7 и gs, а также существенного отличия постоянных времени Ti0 и Ttl.
демпфированных колебаний. Для сравнения иа рис. 1.38,6 также построены характеристики Ло(со) и 0о(со), на котором видно, что наиболее ярко выражены значения (Оп1, <1Эц | И <ОП2.
При исследовании динамических объектов со слабодемпфированными элементами, входящими в многоконтурные САР, часто строят логарифмические амплитудно-фазовые частотные характеристики в декартовой системе координат, когда по оси ординат откладывают значенйя Н0(ы) (дБ), а по оси абсцисс 0о(со). Пользуясь такими характеристиками, достаточно просто находить все запасы устойчивости по амплитудам и фазам в замкнутых САР (см. подробнее гл. 3). Для упрощения построения таких характеристик будем пользоваться обобщенной номограммой слабодемпфиро-ванных элементов, описываемых зависимостью
(¥ + 2g + 1
I со , ) ' ®иг о
Wi (8) =	<--------, (1.235)
(-^—1 + 2g ,	+ 1
I 6),. |	"‘ <!) .
\ ni /	п>
где <о„/ — значение собственной частоты для нулей i-ro звена; соп< — значение собственной частоты для полюса i-ro звена; gHi, gni — коэффициенты Демпфирования i-x звеньев, стоящих в числителе и знаменателе зависимости (1.235).
Запишем передаточную функцию для системы, состоящей из трех слабодемпфиро-ванных элементов:
1Гз (s) =
[s2 (1 — О[) + BjS + cof] [s2 (1 — а2) +
+ e2s + со2] [s2 (1 — а3) + е38 + со2]
[s2 (1—0, — Pj) + 8|S + со2] X
X [s2 (1 - а2 - р2) + e2s + со|] X
X [s2 (1 - а3 - р3) + e3s + со2]
(1.236)
Здесь аь а2, а3, рь Рг, Рз, еь е2, е3, соь со2, со3 зависят от конструктивных параметров слабодемпфированных элементов.
Нули и полюсы для передаточной функции (1.236) найдем при малом ес и й: « 1; р( < 1 с помощью следующих выражений [34]:
81	.СО!
SHi =------------± 1 —.
2(1—0!) V1 — Oi
82 J .	<0
8н2...... "	— J , — — ,
2 (1 — а2) V1 — а2
„	8з	®з . .’
$НЗ “ —	1 ± J   ' —-,
2 (1 — а3) VI — а3 j
108
е, ,	+
2(1 - а, -р.У* '
±/ .М|
V1 — <Х1 — р,
62 s"2-- 2(1 — а2 —р2) *
±/ .....
V1 — 02 — ₽2
о_________83	,
пз 2(1—а3 —р3) “
±/-7=^=.
V1 — а3 — Рз
 (1.237)
Коэффициенты демпфирования определим по формулам
формулам
|sHi «П1 I —
1 1
Vl — a, V1 — И1 — р, | «н2 — «п2 | —
1 1
V1 — «2 V1 — а2 — р2 I «из «пз I —
1 1
V1 — «3 V1 — «3 — Рз
(1.240)
Разложив соотношения (1.240) в ряд Тейлора и взяв его первые члены, получим
I Shi — Sni I = -Цр-L= До);;
? 61
SH1 — „ Г.-----
2 -у 1 — а, <о,
?Н2 = —7==—;
2 V1 — а2 <о2 е3
2 V1 — «з 0)3
_______81_______
2 V1 — а, — Pi <01 е2
?нз
&П1 --
?пз
2 V1 — а2 — р2 <о2
__________8з___________
2 у/1 — а3 — Рз <о3
(1.238)
Значения частот для нулей и полюсов будут
<01 «н1=-з==-;
VI — Oi
<01
V1 — а,— Pi
<ОП2
_____ <02______
V1 — а2 — р2
I 5Н2 — $П2 | — —2 — ^^2’
I «нз — «пз I = -Цр- «3 = Ло)3.
(1.241)
В соотношениях (1.241) использованы обозначения
Д<01 — <оН] <0пь*
Д<02 = <ОН2 — <0п2!
Д<о3 = <он3 — <Опз,
(1.242)
которые характеризуют близости частот нуля и полюса. Последними следует пользоваться, если собствеииая частота нуля больше собственной частоты полюса и наоборот, т. е.
Д<01 = <0п 1 — <оН1 > х
Дю2 = <оп2 — юн2; >	(1.243)
Д<03 = <ОП3 — ®НЗ. '
Выражения (1.238), (1.239), (1.242) или (1.243) полностью определяют передаточную функцию (1.235).
Для составления обобщенной номограммы выражение (1.235) запишем в виде передаточной функции
(1.239)
<0НЗ
<03
V1 — а3 ’
<опз = ——.
VI — а3 — Рз
Разница в расположении нулей и полюсов для каждого из звеньев находим по
Близость частот <он< и <оп< позволяет приближенно считать равными коэффициенты демпфирования звеньев, стоящих в числителе и знаменателе.
По дайной передаточной функции невозможно построить обобщенную номограмму, так как входящие в нее значения зависят от абсолютных величин частот <вн< и шп<. Устраним этот недостаток, представив
109
передаточную функцию (1.244) в виде
Wi (s)
(1.245)
Следует отметить, что передаточные функции (1.244) и (1.245) имеют одинаковые фазочастотные характеристики и при их минимальной фазовости совпадающие с амплитудно-частными характеристиками.
Обобщенная номограмма должна описывать предельную ситуацию, когда Ди;-* О, и ini-’-O; поэтому функцию (1.235) можно представить в виде
Положим, что
Wt (s) = lim
7—(1.247)
Здесь Ci — постоянный параметр, т. е.
Доз.
с. =-г—— = const.	(1.248)
i Е.о> .	'	’
Ъ1 hZ
Из выражения (1.249) найдем
(1.251)
Подставив в формулу (1.246) выражение (1.248), что справедливо для малых значений и положив s = /и, получим
(1.249)
По формулам (1.250) и (1.251) на рис. 1.40 построена обобщенная номограмма при различных значениях а. При расчетах собственные частоты со„/ и ып1- выбирались таким образом, чтобы отношение Д(0;/юИ!- было близко к нулю. На номограмме по оси ординат отложены значения амплитуд, по оси абсцисс — значения фаз. С помощью этой номограммы нетрудно построить приближенную результирующую логарифмическую амплитудно-фазовую частотную характеристику объекта со слабо-демпфированными элементами при малом е,. При этом соблюдают следующий порядок действий:
1)	строят на миллиметровой бумаге логарифмическую амплитудно-фазовую частотную характеристику объекта без учета звеньев, входящих в слабодемпфированные элементы (в декартовой системе координат; амплитуда--в дБ, фаза — в градусах);
2)	определяют собственные частоты колебаний слабодемпфированных элементов и наносят их на логарифмическую амплитудно-фазовую характеристику;
3)	по выражениям (1.238),	(1.239),
(1.242) или (1.243) и (1.248) вычисляют числовые значения шн>, Д<В; и с,-;
110
Рис. 1.40. Обобщенная номограмма для построения логарифмических амплитуднофазовых частотных характеристик слабо-демпфированных элементов
4)	накладывают номограмму, вычерченную на прозрачной бумаге, на логарифмическую амплитудио-фазовую частотную характеристику таким образом, чтобы ее начало' координат каждый раз совпадало с собственными частотами колебаний мр.. и переносят замкнутые кривые номограммы с параметрами с,- на миллиметровую бумагу. В результате будет получена результирующая амплитудно-фазовая частотная характеристика объекта.
Следует отметить, что правые кривые номограммы соответствуют случаю, когда частота нуля меньше частоты полюса, а левые кривые — когда частота нуля больше частоты полюса.
Пример 1.42. Построить логарифмическую амплитудио-фазовую частотную характеристику объекта в декартовой системе координат (амплитуда — фаза) для объекта, имеющего передаточную функцию
212,+ "[Сйг)г+ + 2-0.02^-+1) ° W (40s - 1) (0,7s + 1) (0,4s + 1) X '
X (0,01s + 1)
;,[(тгп-)г+г-М05тата + 1] [(тлтУ + 2-(,02^т + |]
x [(’36.12 ) +2'°-0()4 36,12 + ']
iL < i ?	 d
x[(’s5Ts~) +s - о.«и-j.jfj-+ 1]
(1.252)
Нанесем сплошной линией на рис. 1.41 логарифмическую амплитудно-фазовую характеристику, пользуясь функцией, полученной из выражения (1.252), т. е.
IV'о ()<о)
_________2(2/ш+ 1)______________ (40/cu — 1) (0,7/<в + 1) X
X (0,4/<в + 1) (0,01/со + 1)
(1.253)
и разметим на ней частоты, выделив светлыми кружками собственные частоты слабодемпфированных колебаний * copi — =4,130 с”‘; со. =20,368 с ’1 и со, =80,953 с По формулам (1.242) и (1.243) вычислим Дсо, = 0,4096 с” ’; Дсо2 = 0,8576 с-1; Асоэ = = 3,9446 с-1 и по формуле (1.248) определим Ci = 4,0; с2 = 8,0; Сз — 12,0.
Наложим номограммы, как это показано на рис. 1.41, и проведем по ней три замкнутые кривые для найденных параметров С), сг и с3. Таким образом, получим приближенно построенную результирующую логарифмическую амплитудио-фазовую частотную характеристику слабодемпфироваи-ного объекта.
* Частоты заданы техническими усло-
пнями.
111
Рис. 1.41. Логарифмические амплитудио-фазовые частотные характеристики, построенные в декартовой системе координат (амплитуда — фаза) с наложенными номограммами, представленными в виде шаблонов (пример 1.42)
амплитудно-фазовой частотной характеристики на рис. 1.41 жирными точками обозначены частоты, полученные путем построения характеристики по полной передаточной функции (1.252). Из сравнения этих характеристик видно, что приближенный способ построения практически мало отличается от точного.
Пример 1.43. Рассмотрим способы построения логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик динамических элементов (объектов) днскретно-ие-прерывного типа. На рис. 1.42, а показана структурная схема дискретно-непрерывного элемента, состоящая из аналого-цифрового преобразователя (АЦ) /, управляющей микроЭВМ 2, цифроаналогового преобразователя (ЦА) 3 и непрерывной части (НЧ) 4. Используя г-преобразоваиие [см. соотношение (1.172)], можно при Го = 0,2 с найти
го(г)= 0-12~'(3~^~2/1-г~1) х
Х 5 [s2 (0,1s + 1) (0,05s+1) ]' (1 '254)
Выражение, стоящее в квадратных скобках, представим в виде суммы рациональных дробей, т. е.
Го (г) = 0,1г-' (3 - г-1) X
В
s
_£_ + _£_
S+ 10 S + 20
Для определения коэффициентов А, В, С, D в выражении (1.255) коэффициенты при одинаковых степенях s можно приравнять, т. е.
400	А В
s2 (s + 10) (s + 20) — s2 + s +
С	В
+-T+iy+'TW’	(L256)
откуда получим систему алгебраических уравнений
s°: 400 = 2004;
s1: 0 = 304 + 200В;
s2:	0 = 4 + ЗОВ + 20С + 10D;
s3:	0 = В + С + D.
Для проверки правильности приближенного способа построения логарифмической
Рис. 1.42. Структурные схемы САР дискретно-непрерывного типа:
а —исходная; б — приведенная с ^помощью ^-преобразования; в ~ приведенная к 5-преобра-зованию
6)	8)
112
Из решения системы уравнений находим
4 = 2; В = -0,3; С = 0,4; О = — 0,1.
В результате этого выражение (1.256) можно переписать в следующем виде:
Го(г) =
0,3 s
0,4	0,1 1
s + 10 s + 20-Г
(1.257)
Пользуясь таблицей г-преобразоваиий (см. прнл. П-1.3), выражение (1.257) представим в виде
_ . .	0,1 (3z — 1)Г 0,4г	0,3г .
(2) = — ---------- —Г+
и фазовая частотные характеристики дискретно-непрерывного элемента, построенные относительно псевдочастоты по передаточной функции (1.263)
Из выражения (1.258) получим
tr , (Зг-1) (г+1,135) (г+ 0,045) 0,0152 №б{г> г (г - I)2 (г-0,135) (г-0,0185) ‘
(1.259)
Соответствующая передаточная функция в форме (1.259) изображена на рис. Ь42, б.
Теперь воспользуемся преобразованием
(1.215), из которого найдем
г = (1+s^-)/(l-s-^),	(1.260)
ИЛИ
Нтт + Ш-О
Подставив соотношение (1.260) в выра-
жение (1.259), получим
0,668 (1 - 0,006s) (0,091s + 1) X
Г (а) =	X(0.2s+1)(1-0,ls)2
°'' s2 (0,1s + 1) (0,104s + 1)Х ‘
X (0,131s + 1)
(1.262)
При s = /6 из выражения (1.262) определим формулу для вычисления частотных характеристик в виде
Го (/<>)
= 0,668 (1 - 0,006/6) (0,091 /6+ 1)
= (/6)2 (0,1/6 + 1) (0,104/6 + 1) Х
(0,2/6 + 1) (1 — 0,1/6)2
24	0,131/6+1
(1.263)
Передаточная функция в форме (1.263) изображена на рис. 1.42, в.
Таким образом, из формулы (1.263) можно найти зависимости для определения: амплитуды
Яо (ш) = 20 1g 0,668 — 40 1g 6 +
+ 20 lg V0,006262 + 1 +
+ 20 lg V0,091262 + 1 + 20 lgV0,l262+ 1 —
-201gV0,104262 +1 -
- 20 lg V0,131262 + 1 +
+ 20 1g д/0,2262 + 1	(1.264)
и фазы
0O (6) = — 180° — arctg 0,0066 +
+ arctg 0,0916 — 3 arctg 0,16 —
— arctg 0,1046 — arctg 0,131 6 + arctg 0,26.
(1.265)
Характеристики //o(“) и 0o(6) построены иа рис. 1.43 относительно псевдочастоты 6. При построении логарифмических характеристик можно пользоваться приближенным способом, когда иа полулогарифмическую бумагу наносят частотные характеристики для каждого звена, входящего в передаточную функцию (1.263). Прн этом следует пользоваться значениями амплитуд и фаз из табл. 1.10, построенными также относительно 6.
Пример 1.44. Построить логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики для динамического объекта, в состав которого входит управляющая ЭВМ, реализующая рабочую программу с тактом квантования То = 0,01 с. При этом передаточную функцию такого объекта в г-форме можно записать в виде
0,0 048z4 + 0,0259г3 — 0,0129г2 —
,	-0,0157г- 7,4186 • 10~4
'Г°	— г5 — 3,1904г4 + 4,0020г3 —
- 2,4219г2 + 0,6563г - 0,0447
(1.266)
Из соотношения (1.261) при То = 0,01 с имеем
г = (1 + 0,005s)/(l - 0,005s). (1.267)
113
Подставив соотношение (1.267) в выражение (1.266), найдем
1,6807 • 10~3s5 + 0,7441s4 — — 392,2904s3 — 390,81 • 102s2 + + 146,81 • 105s + 369,35-105
V’l — js + 246,73s4 + 187,09 • 102s3 + ' + 936,80 • 103s2 + 151,70 • 105s+ + 369,39 • 105
(1.268)
Разложив числитель и знаменатель выражения (1.268) на сомножители, получим
„	0,0017 (s + 2,4996) (s - 200,0)
0 (S) (s + 2,9380) (s + 20.7143) X X X (s + 164,1390)
(s + 221,3930) (s - 280,9731) X
X_________X(£+701;3354J___________
24	(s2 + 58,9666s + 3699,441) u ?
Рис. 1.45. Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика объекта, полученная экспериментальным путем (пример 1.45)
Прн s = /<й выражение (1.269) примет вид
....	0,0017 (/й +2.4996) (/й-200,0).
ж о (/со) —-------------------------------'
(j<i> + 2,9380) (/й + 20,7143) (/й + 221,3930) (/й — 280,9731) X
X (/<0-4- 701,3354)
(/й + 164,1390) (/Й58,9666 + + 3699,441 — й2)
(1.270)
Приведем выражение (1.270) к обычной форме, т. е.
Го (/й)
(0,4/й + 1) (0,005/й - 1) X X (0,0045/й + 1)
(0,34/й + 1) (0,048/й + 1) X X (0,0061/й + 1)
(0,0036/й — 1) (0,0014/й + 1) Х	[(0,0164/й)2 + 2 • 0,0164 X
(1.271)
Х0.49/Й+ 1]
Пользуясь передаточной функцией
(1.271), нетрудно определить логарифмиче-
Рис. 1.44. Логарифмические амплитудная и фазовая частотные характеристики динамического объекта, в состав которого входит управляющая ЭВМ (пример 1.44)
характеристики объекта САР с управляющей ЭВМ (рис. 1.44).
В процессе расчета САР проектировщик не всегда располагает передаточными функциями устройств управления и объектов. Иногда ему приходится иметь дело с экспериментально снятой амплитудно-фазовой характеристикой, построенной в полярной системе координат [13, 35]. Тогда для определения приближенных значений параметров передаточных функций необходимо перестроить амплитудно-фазовые характеристики в логарифмические амплитудную и фазовую в декартовой системе координат. Затем, аппроксимируя амплитудную характеристику прямыми с типовыми наклонами и пользуясь номограммами (рис. 1.25— 1.30), можно получить упрощенное выражение для искомой передаточной функции. Наличие неминимально-цифровых звеньев требует проверки соответствия логарифмической амплитудной характеристики фазовой или наоборот. Рассмотрим два примера нахождения передаточных функций и параметров объектов регулирования.
114
Пример 1.45. Определить приближенное значение передаточной функции непрерывного объекта и его параметры, если логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика имеет вид, показанный иа рис. 1.45. Перестроим годограф (рис. 1.45) в виде раздельных логарифмических амплитудной (жирная сплошная линия) и фазовой (жирная штриховая линия) частотных характеристик (рис. 1.46). Откуда видно, что при начальном наклоне логарифмической амплитудной характеристики, равном —20 дБ/дек, фазовая характеристика стремится к —270°. Это указывает на наличие неустойчивого апериодического и интегрирующего звеньев в передаточной функции объекта. Далее аппроксимируем логариф-
1т,д6
Рис. 1.46. Определение передаточной функции объекта для примера 1.45 по логарифмическим амплитудной и фазовой частотным характеристикам
мическую амплитудную характеристику прямыми тонкими сплошными линиями и по точкам их пересечения определим значения постоянных времени типовых звеньев. В результате этого получим следующее выражение:
IF I ,7,1 —	—i0 (5/m + U	/19791
* /со (25jco — 1) [(0,05/со)2 +'	''^
+ 2-0,02.0,05/® + И
На основании выражения (1.272) можно написать формулу для вычисления фазовой характеристики
60 = —270° + arctg + arctg ~ -
2-0,02^-
-arctg-------Tvrr- О'273)
Построим ее тонкой штриховой линией (рис. 1.46). При этом видно, что экспериментальная фазовая характеристика практически совпадает с расчетной. Таким образом, по выражению (1.272) определим
Рис. 1.47. Логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика объекта со звеном чистого запаздывания, полученная экспериментальным путем (пример 1.46)
передаточную функцию объекта k(T2s+\) и' (И5) -	7--9~9	Г»
s(T1S -l)(T^2 + 2|T3s+l)
(1.274)
где Г, = 25 с; Г2 = 5с;Т3 = 0,05 с; g = 0,02; k = 10 с-1.
Пример 1.46. Определить приближенное значение передаточной функции непрерывного объекта и его параметры, пользуясь логарифмической амплитудно-фазовой частотной характеристикой (рис. 1.47).
Перенесем эту характеристику в декар-товую систему координат. Тогда получим логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики, показанные жир-
Рис. 1.48. Определение передаточной функции объекта для примера 1.46 по^логариф-мическим амплитудной и фазовой частотным характеристикам
115
иыми линиями на рис. 1.48. Аппроксимируя логарифмическую амплитудную характеристику тонкими сплошными линиями, соот-
ветствующими типовым наклонам звеньев, и пользуясь номограммой (рис. 1.27), полу-
чим
Wo (До) =
__________20 (1,25/<о + 1)_____________ /со [(5/<о)2 + 2 • 0,05 • /со + 1] X
X (0,05/со + 1)
(1.275)
На основании выражения (1.275) запишем
е0 (со) = -90° - arctg-7—+
‘-Ы
+ arctg — arctg~	(1.276)
и по этой формуле построим логарифмическую фазовую частотную характеристику (тонкая штриховая линия). Из сравнения экспериментальной н расчетной фазовых частотных характеристик видно, что они существенно различаются в области высоких частот. Это указывает на наличие звена, имеющего трапецеидальную передаточную функцию. Для ее определения на рис. 1.48 проведем жирную штриховую линию, представляющую собой разность между расчетной и экспериментальной фазовыми характеристиками. Сравнивая форму этой характеристики с кривыми табл. 1.10, пользуясь формулами табл. 1.4, можно найти искомую передаточную функцию трапецеидального звена. Для рассматриваемого примера примем, что эта функция соответствует звену чистого запаздывания, т. е.
W'(s) — e~Ts;	(1.277)
фазовую характеристику звена вычислим по формуле
0' (ш) = - 57,ЗТш.	(1.278)
Для нахождения числового значения Т возьмем три частоты <О] = 8 с-1, <02 = Ю с~1 и со3 = 20с-1 (рис. 1.48) и определим для них, соответственно, фазовые углы 61 (8) = = -90°, 0'(10) = -110° и 0'(20) = - 220°. Подставив значения фазовых углов и круговых частот, найдем Ti=0,196c, Г2 = = 0,192 с и Т3 =0,194 с. Значение Т в формуле (1.277) будет представлять собой среднее арифметическое, т. е.
г= 0,196 + 0,192 + 0,194  Q194 О
Таким образом, искомую передаточную функцию объекта можно записать в виде Го(з) = .-7.2/^+1>^-----------------------,
s (ту + 2lTlS + 1) (T3S + 1)
(1.279)
где k = 20 с-1,	— 5 с; Т2 = 1,25 с; Г3 =
= 0,05 с; Т = 0,194 с.
Подставив в выражение (1.279) s = /со, построим логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики объекта. Они нанесены иа рис. 1.48 жирными линиями (амплитудная — сплошной, фазовая — штриховой). Их близкие совпадения с экспериментальными частотными характеристиками обеспечивают достоверность выполненных расчетов.
Если соответствие между фазовыми экспериментальной и расчетной характеристиками не соблюдается как в области высоких, так и низких частот, то в передаточной функции объекта наряду с неминимальными звеньями имеется трансцендентное звено.
При экспериментальном определении частотных характеристик с помощью аналоговых или цифровых вычислительных машин проектировщик получает графическое изображение амплитудно-фазовой частотной характеристики объекта в декартовой системе координат в линейном масштабе. При этом для определения передатЬчных функций и параметров полученные характеристики необходимо пересчитать в логарифмические и получить амплитуду (в дБ) и фазу (в градусах), а затем построить их на полулогарифмической бумаге. После этого по методике, приведенной в примерах 1.45 и 1.46. находят соответствующие передаточные функции и параметры объектов.
Изложенный способ определения передаточных функций объектов по экспериментальным данным требует умения быстро анализировать логарифмические частотные характеристики и правильно подбирать последовательные наборы типовых передаточных функций звеньев [35].
8. ПРИМЕНЕНИЕ
РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА
ДЛЯ СОСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОБЪЕКТОВ
Данный метод используют в двух основных случаях:
когда после проведения экспериментов имеются кривые или таблицы с числовыми значениями, ха-
116
растеризующими изменение регистрируемых признаков (полученные таким образом массивы информации обрабатываются на универсальной ЭВМ);
когда непосредственно в ходе эксплуатации САР снимаемые с элемента (объекта) сигналы поступают с определенным тактом квантования на управляющую микро-ЭВМ, где тйкже производится их переработка.
Для обработки информации применяют метод наименьших квадратов, позволяющий построить математическую модель элемента, описываемую с высокой достоверностью его реальное поведение. В результате этого получают линейные и нелинейные регрессионные модели [13].
Линейные регрессионные модели. Допустим, что случайная величина у с последовательностью ее значений у\, у2, ..., уп зависит от некоторых физико-химических параметров, характеризуемых признаками Xi, х2, ..., хт. Для исследования зависимости у от хь х2, ..., хт регистрацию производят с помощью системы датчиков. Все признаки х регистрируются одновременно, а у — спустя некоторый интервал времени т.
В результате этого можно получить следующие уравнения регрессии:
У^щхц-^- a2xl2+ ...
• • • + amxlm +
f/2 = fliX21 + а2х22... (j 280) ... 4“ amX2m -j- t>2>
Уп>— alxnl + a2xn2 + . . .
... -|- amxnm -}-
где ai, a2, ..., am — параметры, которые необходимо определить; |i, I2, tn — случайные составляющие (помехи).
Будем считать, что число параметров не больше числа наблюдений, т. е. т п, а зависимые пе
ременные не коррелированы; тогда среднее квадратическое отклонение помехи а2(|.) = о2 = const и математическое ожидание М{|,} — 0. Из выражения (1.280) следует, что из-за ряда неучтенных факторов и случайных помех измерения у будут отличаться от линейной зависимости.
Для удобства составления вычислительных процедур * выражения (1.280) запишем в матричном виде
y = Xa + t, (1.281)
где у — вектор размерности (и X X 1); X—матрица размерности (и X т); вектор параметров а размерности (mXl); вектор помех | размерности (n X 1). Тогда в формуле (1.281) имеем
Рассмотрим три способа определения математической модели элемента (объекта) САР на основе применения метода линейной регрессии.
Первый способ. Модель линейной регрессии на основании выражения (1.281) представим в виде
у=Ха,
(1.283)
где у — оценки значения у, а — вектор оценок параметров.
Функцию ошибки представим как
F(a) = e2 + ^ + ••• +еп’ U-284)
* См. Е. 3. Демиденко. Линейная и‘нелинейная регрессия. М.: Финансы и статистика, 1981. 302 с.
117
тогда получим
п
F (а) = Z [у, — apci{ — «2.г;2 — ... j=l
... — amxim)\ (1.285)
где и—число замеров.
Из соотношения (1.285) найдем
F (а) — (у — Ха? (у — Ха). (1.286)
Для определения значений а, при которых функция F(a) будет мини
мальной, воспользуемся обычным методом минимизации функции.
В этом случае можно записать
= - 2Хту + 2ХтХа = 0.
(1.287)
При rankX = m имеем
а~(ХтХ)~1 Хту. (1.288)
Матрицу ХТХ вычисляют следующим образом:
ХТХ =
/ = 1
тг
X x[2x(i
1 = 1
п
1=1
п
п
Z, xi3xi2 1 = 1
im
(1.289)
i=i
XimXi2
i = 1
тг	тг
S XimXi3 ’ ' ’ S X'im
1=1	i=l
Полученная матрица (1.289) яв-		Однако в	большинстве задач это	
ляется симметрической.		условие не	обеспечивается и X\m —	
Приведенные	соотношения	== Х(2т • 	:— Хит — 1 j	тогда по-
(1.280) — (1.289) даны для случая,		следний столбец матрицы X со-		
когда в линейной регрессионной мо-		стоит из единиц (1 —		= 1, 1, 1)
дели отсутствует	свободный член.	с размерностью п. Пр		и этом
	п	п	п	п	
	см Ц* н" Ml OJ ц Ml	S XilXi3	IM	
	п	тг	тг	п	
			... ^Xi2	
ХТХ =	i—i	i=l	1 = I	i = l	(1.290)
	п	п _ t = l	i = l	n 2 S Xim%i3 i = l	... И	
Погрешности линейной регрессионной модели можно определить по обычным статистическим характеристикам: среднему арифметическому значению и среднему квадратическому отклонению. Так как оценки, полученные по методу наименьших квадратов, несмещенные, то среднее арифметическое значение равно истинному значению па
раметра, а среднее квадратическое отклонение
(1.291)
Второй способ. Основан на приведении линейной регрессионной модели к средним значениям из
118
меряемых координат, при использовании которых значительно упрощаются вычисления.
При наличии в линейной регрессии свободного члена можно рекомендовать следующую процедуру:
1)	вычисляют средние арифметические значения
(1.292)
2)	находят новые векторы, привязанные к срединной точке координат, т. е.
х' — X,, — XT,
li и I’
y't = Уi -
(1.293)
где /=1, 2, ..., к (в ранее принятых обозначениях к — т—1), i — 1, 2, ..., п;
3)	определяют а — (а}, а2, ... ..., «к)т по формуле
a=-(X/TXj~' Х'ху'. (1.294)
Как видно из выражения (1.289), нахождение вектора а сводится к обращению матрицы меньшего порядка т — 1 (х)т  - 1;
4)	вычисляют свободный член
ат'~и~" Г «Л-	(1-295)
/ = !
После выполнения данной вычислительной процедуры получают
(1.296) /«1
Третий способ. На интервале времени (/, in) с помощью датчика с выходного объекта снимают показания yi, i/2,   , уп с частотой V. Этн данные можно представить в виде
+	(1-297)
где y(at)-— истинные значения измеряемых величин; а>— параметры объекта; £,— случайные составляющие (помехи).
Как и прежде, параметры а, являются неизвестными. Для их оцен
ки будем считать — функция yi представляет собой полином 1-го порядка, что соответствует линейной регрессии, т. е.
yt = а.а + П: (tt — t0), (1.298)
где ti — время поступления i-ro замера; to — середина интервала наблюдения.
Введем обозначение
где
(1.299)
Для определения значений а0 и Ц] воспользуемся методом наименьших квадратов, по которому для измеряемой координаты минимизируем разность
п
min V (yi — у)2 —~. (1.300) °yi
Здесь ayi — среднее квадратическое значение отклонений замеров. На основании соотношения (1.300) запишем
п
V —р (yi — а0 — ауЦ)2 — 0.
да> & ayi
(1.301)
Решая систему уравнений (1.301), получим значения искомых коэффициентов, отнесенных к середине интервала наблюдения t0, т. е.
Е 12v2 Z Vz
I as 1	I» 1
a° n ’ a‘ ~~ п(пг - 1) ’
(1.302)
и их средние квадратические отклонения
119
Формулы (1.302) и (1.303) являются рекуррентными, и их можно использовать по мере поступления замеров.
Регрессионную модель объекта опишем в виде
у = ао + atr. (1.304)
В соответствии с ранее рассмотрен, ной методикой
(1.308)
Для упрощения вычислений иногда считают, что средние квадратические значения отклонений единичных замеров постоянны от замера к замеру, a v= 1; тогда °yt = д/„ (rt/_ 1) П2т- + и- — 1].
(1.305)
Из выражения (1.305) следует, что по мере возрастания числа п замеров величина <ту1- уменьшается. Подобного рода процедуру можно выполнять и для объекта регулирования, с выхода которого снимают несколько независимых переменных у, и, v, w и т. д. В этом случае можно пользоваться формулами (1.303) —(1.305).
Как уже говорилось, на практике встречаются такие задачи, когда имеется несколько различных величин, зависящих от физико-химических признаков. Например, у, и, v, w зависят от хь х2, *з, Х4, Х5, т. е.
у — OjXt -f- а2Х2 + а3х3 +
4" aix4 + О5Х5 4” SJ
и = Ь[ХГ + &2Х2 4” Ьзх3 4~
+ 6л + /.л + «;
V = С,Х1 + С2Х2 4- С3Х3 4-
4- с4х4 с5х5 + £;
w =	+ d2x2 4- d3x3 4-
+ d4x4 -f- d3x3 4- т].
Систему соотношений (1.306) можно переписать в виде
у= Хи 4~ и = ХЬ 4~ в;
х	~	(1-307)
v = Хс 4- w = Xd 4- Ц.
При n-замерах матрицы X, X, X и X имеют размерность (лХ5).
где
Хи Х)2 Х13 Х14 Х[5
Х21 Х22 *23 х24 Х25
-Уп—	—Хп\ ХП2 Хп3 ХП4 Хп3_
Хц х12 х13 х14 х15
х2| Х22 х23 Х24 Х25
L-'-nl Хп2 Хп3 ХП4 хп3_
Ь =
; (1.309)
Хц Х12 Х13 Х14 Х]5
Х2[ х22 Х23 Х24 Х25
_Xni Хп<2 Хп3 Хп4 Хп5_
120
Имея это в виду, можно получить следующие модели регрессии:
у —Ха- и = ХЪ-, )
"	~ f (1.310)
v — Хс, w = Xd, )
где у, и, v, w— оценки значений у, и, v, w; еь е2, е3, е4 — соответствующие векторы ошибок, полученные при оценке.
Отметим основную особенность регриссионного анализа, заключающуюся в том, что независимые переменные являются детерминированными, а зависимые — случай-Таблица 1.13
Экспериментальные значении замеров
Рис. 1.49. Изменение массы выходного продукта у в реакторе в зависимости от времени и его линейная регрессионная модель у
ными. Рассмотрим несколько конкретных примеров для получения математических моделей объектов.
Пример 1.47. В химическом процессе, протекающем в реакторе, масса выходного продукта уц, измеряемого в моменты времени t, с интервалом т, будет Ви, а масса сырья хц, поступающего в реактор,—Вс. Технологический процесс должен протекать при температуре Xi2<0 °C) в присутствии катализатора Вк с массой х,3.
Результаты замеров, полученных в процессе работы реактора в различные моменты времени, приведены в табл. 1.13.
Номер замера и время отсчета	Масса выходного продукта У	Масса сырья XI	Температура Х2	Масса катализатора хз	Оценка массы выходного продукта	Ошибка в оценке
и	ви. кг	Вс, кг	е «с	Вк. г	У. кг	<?, кг
1	140,28	252,36	96,67	8,37	136,01	4,27
2	142,00	262,54	100,07	9,07	143,42	-1,42
3	149,90	285,70	96,78	9,35	153,90	—4,00
4	147,12	277,52	101,30	9,67	147,09	0,03
5	163,20	307,95	100,35	9,45	162,83	0,79
6	173,40	322,44	104,80	10,12	172,08	1,32
7	178,86	334,88	106,17	10,35	180,41	-1,55
8	186,26	350,11	109,20	11,03	187,42	-1,16
9	183,53	346,10	104,48	10,38	182,32	1,21
10	198,76	374,91	106,88	12,15	200,87	-2,11
11	205,30	378,49	113,14	12,98	206,83	— 1,53
12	206.77	397,48	112,38	11,34	208,00	— 1,23
13	198,42	378,39	109,07	10,95	198,25	0,18
14	216,48	393,33	114,45	12,89	212,69	3,79
15	222,45	403,84	115,23	13,71	220,04	1,41
Средние значения	180,85	337,74	106,06	10,79	—	0
121
Требуется построить математическую модель реактора, в котором протекает технологический процесс получения химического продукта. На рис. 1.49 изображены штриховыми линиями отрезки, характеризующие изменение массы выходного продукта во времени y(t). По этим данным составим двумя способами модели реактора.
Первый способ. По данным табл. 1.13 запишем вектор у и матрицу X при хн — 1 в виде
Е 1~1
	n E yixt2 Z = 1		"935 358,3" 289 935,3
xrr =	rt	=	29 782,1
	E Wa i=l		_ 2 712,2.
	" 140,28 "		"252,36	96,67	8,37 1 "
	142,01		262,54	100,07	9,07 1
	149,90		285,70	96,78	9,35 1
	147,12		277,52	101,30	9,67 1
	163,20		307,95	100,35	9,45 1
	173,40		322,44	104,80	10,12 1
	178,86		334,88	106,17	10,35 1
«/ =	186,26		350,11	109,20	11,03 1
	183,53		346,10	104,48	10,38 1
	198,76		374,91	106,88	12,15 1
	205,30		378,49	113,14	12,98 1
	206,77		397,48	112,38	11,34 1
	198,43		378,39	109,07	10,95 1
	216,48		393,44	114,45	12,89 1
	_ 222,45 _		.403,84	115,23	13,71 1 _
Тогда формулу (1.290) можно представить дли четырех параметров как					
ХТХ =
Располагая этими матрицами, по формуле (1.287) получим
а = (ХТХ) ‘ XrY =
0,3947 "
0,2290
3,7460
17,0830 _
В результате линейная регрессия будет у = 0,3947X1 + 0,229*2 + З,746х3 — 17,083
(1.311)
при среднем квадратическом отклонении о = 2,213.
Таким образом, выражение (1.311) представляет собой математическую модель химического реактора, в котором применяют заданный технологический процесс.
Второй способ. Приведем результаты замеров в реакторе к средним значениям, тогда получим табл. 1.14.
По данным табл. 1.14 получим
" п Е Z=1	п		п ,Е i = l	xilxi3	п E x = I	xn	
	1М	*i(*					
п Е	п xi2xil Е	„2 Х/2	п Е	xi2xi3	n E	Xi2	
Z=1 п Е	7 сИ СО	*/3*	1=1 п <2е	*2 xi3	Z=1 n E	xi3	=
1 = 1 п Е	/=1	х 12	1 = 1 п Е Z = 1	xi3	Z=1	T	
"1 747 425,6 541 505,3 55 592,1 5066,2" 541 505,2 169,276 17 254,3 1590,9
55 592,1 17 254,3 1 774,7 161,4
5066,2	1590,9	161,4	15,0 _
откуда
[№ =
0,0002735 - 0.001654 - 0,001926	0,1033 -
-0,00165	0,02814	- 0,05288	-1,1852
-0,001926 - 0,05288	0,2696	3,3584	’
0,1033	-1,1852	3,3584	125,4
Х'хХ' =
п
Е ХгЗх12
1 = 1
[ 36 367,18 4132, Ц 1018,45
4132,11	534,59	126,69
1018,45	126,69	34,72
Применение второго способа привело к математической модели
у = 0,3933*! + 0,4675*2 + 3,1228*3 — 35,240)
(1.312) при о = 2,4736.
Из выражений (1.311) н (1.312) следует, что оба способа приводит практически к одной и той же математической модели химического реактора. Однако второй способ из-за меньших величин элементов матрицы Х'~Х' упрощает процесс вычислений
122
Таблица 1.14
Приведенные значения параметров реактора
Номер замера и время отсчета	Масса выходного продукта У'	Масса сырья Х'1	Температура /2	Масса катализатора / хз	Оценка массы выходного продукта 0	Ошибка в оценке е'
*1	Ви, кг	Вс, кг	0', «с	вк. г	у'. КГ	е', кг
1	—40,57	—85,38	-9,39	—2,42	135,34	4,94
2	-38,85	-75,20	-5,99	— 1,72	143,11	— 1,01
3	-30,95	-52,04	-9,28	— 1,44	151,56	— 1,66
4	-33,73	—60,22	—4,76	— 1,12	151,45	—4,33
5	— 17,65	—29,79	-5,71	-1,34	162,29	0,91
6	—7,45	-15,30	— 1,26	—0,67	172,16	1,24
7	-1,99	—2,86	0,11	0,44	178,41	0,45
8	5,41	12,37	3,14	0,24	187,94	— 1,68
9	2,68	8,36	-1.58	0,41	182,13	1,40
10	17,91	37,17	0,82	1,36	200,11	-1,35
И	24,45	40,75	7.08	2,19	207,03	— 1,73
12	25,92	59,74	6,52	0.55	209,02	—2,25
13	17,58	40,65	3,01	0,16	198,75	-0,32
14	35,63	55,70	8,39	2,10	213,24	3,24
15	41,60	66,10	9,1,7	2,92	220,28	2,17
и позволяет получать лучшую точность определения математической модели.
Пример 1,48. На поточной линии цементного завода происходит размол сырья и по отборам проб, иа основании подсчета числа импульсов в единицу времени, снимаемых с рентгеновских эмиссионных датчиков (xSj, xai, Xfi, Xd) *, определяют состав компонент: оксида кремния SiO2, оксида алюминия А12О3, оксида железа Fe2O3 и оксида кальция СаО (рнс. 1.50). В зависимости от процентного содержания компонентов хь х2, х3, х4 изменяется технологический процесс изготовления цемента. Для выбора параметров САР необходимо получить четыре регрессионные модели, характеризующие содержание SiO2, А12О3, Fe2O3 и СаО. Экспериментальные данные, полученные с помощью рентгеновских эмиссионных датчиков, приведены в табл. 1.15.
Построим математические модели компонентов SiO2, А12О3, Fe2O3 и СаО сырья, поступающего на поточную линию для производства цемента. При этом будем считать, что линейные регрессии обладают свободным членом; тогда можно пользоваться соотношением (1.306), положив х3 = = 1. Результаты измерений приведем к средним значениям отсчетов.
Регрессионные линейные модели объекта будут:
* Здесь принято, что х, соответствует SiO2, х2 — А12О3, х3 — Fe2O3, х4 — СаО.
для оксида кремния
у = 0,030080х1 — 0,014797х2 + 0,0034275х3 — — 0,00054983х4 + 2,718 при Оу = 1,2926;
Рис. 1.50. Схема измерительной системы размолотого в мелкий порошок материала с четырьмя датчиками для определеиня SiO2, А12,О3, Fe2O3 и СаО:
У —подача сырья от транспортера; 2 — ленточный конвейер; 3 — барабан; 4 —устройство для подачи проб; 5 — канал подачи проб; 6—9 — рентгеновские эмиссионные датчики; 10 — регистрирующий прибор S1O2; // — регистрирующий прибор А120з; 12 — регистрирующий прибор Ре«Оэ; 13— регистрирующий прибор СаО; 14 — выход сырья
123
Таблица 1.15
Экспериментальные данные проб при производстве цемента
Номер пробы i	SiC>2		A12O3		ИеаОз		CaO	
	xr %	X$j, нмп/с	x2, %	xflp имп/с	x3'	Хц. имп/с	Х4, %	*ci, имп/с
1	16,59	598,96	1,45	37,45	0,53	335,65	44,09	7185,3
2	32,13	1051,10	1,00	15,20	0,38	211,20	34,41	5739,8
3	1,88	115,50	0,19	8,68	0,18	105,50	50,54	8547,0
4	0,73	28,40	0,30	8,50	0,23	155,60	43,28	7598,5
5	28,39	910,60	6,19	183,70	1,05	738,45	32,97	5205,5
6	33,84	1102,50	6,53	205,58	1,31	999,90	30,31	4680,3
7	19,23	577,80	1,80	41,15	0,45	301,35	43,08	7317,8
8	17,36	611,50	5,11	149,85	0,95	644,85	35,97	5830,3
9	9,59	366,25	3,05	82,90	0,52	358,35	47,21	7729,5
10	15,70	605,40	3,65	96,75	0,63	472,35	41,26	6576,8
11	16,00	617,75	1,31	20,55	0,32	204,35	42,54	6965,8
12	14,17	519,20	2,28	100,02	0,68	457,45	41,42	6750,5
13	16,55	589,80	3,82	112,00	0,69	496,70	41,87	6626,0
для оксида алюминия
й = 0,00084749*1 + 0,034335х2 —
— 0,0013345хэ + 0,000046546X4 — 0,23380 при ои = 0,38376;	(1.314)
для оксида железа
v = 0,000049136X1 + 0,00092204X2 + + 0,00097079хз — 0,000012890х4 + 0,18147, при аи = 0,029155;	(1.315)
для оксида кальция
w = 0,0042536X1 + 0,025902х2 —
— 0,0021844Хз + 0,0071504X1 — 10,741 при 0^ = 0,69273.	(1.316)
Вычисления для линейных регрессионных моделей у, й, v н ш производились с помощью программы № 1 REGR.
ПРОГРАММА №1 REGR
Программа предназначена для вычисления коэффициентов регрессионной модели.
Обращение к программе
CALL REGR (NI.NA.X, Y, AT).
Входные параметры
NI — количество проведенных экспериментов;
NA — количество аргументов регрессии;
X — матрица аргументов размерности [NI X NA];
Y—: вектор измерений размерности NL
Выходные параметры
АТ — вектор коэффициентов регрессии размерности NA.
REGR: PROC (NI, NA, X, Y, AT);
/» ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ »/ DCL (X (.,•), Y(»), АТ(»), XT(NA, NI), PR (NA, NA)) DEC FLOAT (12), NI, NA, XC(NA) DEC FLOAT (12); CALL TRANS (X, XT); CALL MULM (XT, X, PR); PUT DATA (PR); CALL INV (NA, PR, KS); PUT DATA (PR); IF KS=0 THEN DO; PUT EDIT (’МАТРИЦА ВЫРОЖДЕНА’) (A): GO TO FIN; END; CALL MULV (XT, Y, XC); PUT DATA (XC); CALL MULV (PR, XC, AT);
TRANS: PROC (TN, TR); /«ТРАНСПОНИРОВАНИЕ»/ DCL (TN (», »), TR(»,»)) DEC FLOAT (12); DO 1=1 TO HBOUND (TN, 1); DO J = 1 TO HBOUND (TN, 2); TR (J, I) = TN (I, J); END; END; END;	,	,
MULM: PROC (GX, HX, PX); / .УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ»/ DCL (GX(«, »), HX (», »), PX (», »)) DEC FLOAT (12); DO 1=1 TO HBOUND (GX, 1);
124
иаидем
DO J = 1 TO HBOUND (HX, 2); PX (I, J) = SUM (GX (I, ») . HX (., J)); END; END; END;
MULV: PROC (XB, YB, AB); /» УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ВЕКТОР ./ DCL (ХВ(., .), YB (.), АВ (.)) DEC FLOAT (12); DO I = 1 TO HBOUND (XB, 1); AB (I) = SUM (XB (I, .). YB (.)); END; END;
INV: PROC (N, A, KS); /.ОБРАЩЕНИЕ МАТРИЦЫ*/ DCL (A(., .), EPS, Y, W. DET, (В, C) (N)) DEC FLOAT	(12),	(I, J, K, R, P,	Z (N)) BIN	FIXED;
EPS = IE - 15; DET = 1.0; DO J = 1	TON;	Z(J) = J; END;	DO 1 = 1 TO	N; К = Б
Y = A (I, I); R = I — 1; P = I+1; DO J = P TO N; W = A (I, J); IF ABS (W) > ABS (Y) THEN DO; К = J; Y = W;END; END; DET = Y — DET; lFKn=I THEN DET =-DET; IF	ABS (Y) < EPS THEN GOTOS;	Y=l/Y;
DO J=1 TO N; C (J) = A (J, K);	A (J,	K) = A (J, I):	A (J, I) = -C(J)*Y;
В (J), A (I, J)= A (I, J) ♦ Y; END; J = Z (I); Z (I) = Z (K); Z (K) = J; A (I, I) = Y; DO К = 1 TO R, P TO N; DO J = 1 TO R, P TO N; A (K, J) = A (K, J) - В (J). С (K); END; END; END; DOR = 1TON: K = Z(R): DO J = R BY 0 WHILE (K-, =J); DO 1 = 1 TO N; W = A (J, I); A (J, I) = A (К, I); A (K, I) = W; END; I=Z(K); Z (K) = Z (J); к, Z (J) = I; END; END; KS = 1; GO TO S02; S: KS=0; S02: END;
FIN: END;
Пример 1.49. Определить дифференциальное уравнение, описывающее процесс относительного изменения содержания СаО в смесителе при производстве цемента. Обозначим через y(t) измеряемое содержание СаО в выходном потоке, а через x(t) —во входном потоке. Результаты измерений приведены на рис. 1.51 в виде кривых, снятых через равные интервалы времени т.
Дифференциальное -уравнение, связывающее переменные y(t) и x(t), можно представить в виде
= 77 {k*x ~
Решение данного уравнения при начальных условиях х((0) и у будет
У (t) = feo (1 — е т° ) х (to) + i-lo + y(to)^ Г° 	(L317)
Положив t — to + т, из выражения (1.317) получим следующее разностное уравнение:
У{+1 = аУ(+ bxr (.1-318)
По уравнению (1.318), описывающему ди--намику исследуемого объекта САР, определим оценку у1+1 как
$1 + 1=аУ1 + Ьхг (1.320)
Параметры а и Ь будем подбирать таким образом, чтобы ^;+i как можно меньше отличались от измеренных значений у1+1. Для этого воспользуемся методом наименьших квадратов.
Запишем функцию ошибки в виде
п
е== Е (^-^)2= i = l
п
= Z(yi-ayl-l-bxi-^ (L321> i=l
где переменные Xi и yt соответствуют моменту времени t = t0 + it, a yi+i — моменту времени t = t0 +(! + 1)т- Из сравнения выражения (1.317) с уравнением (1.318)
Рис. 1.51. Экспериментальные кривые изменения содержания СаО в смесителе цементного завода:
— входной поток; у (О — выходной поток
где п — число измерений.
Ошибки е будут иметь минимальное зна-
<?е
ченне прн следующих условиях: ~да' = ™’ де
-jj- = O. Применив эти соотношения к выражению (1.321), получим систему уравнений
П	-W
Е (2у1-ау{_1~Ьх{_1)у1_1 = 0', > = 1
п
Е (2»< - ау{-1 - bxi-i) xi-i==°-
<-i	у
(1.322)
125
Перепишем систему уравнений (1.322) в матричном виде
Таблица 1.16
Содержание СаО в смесителе при производстве цемента
п
Е xi-\yi~\
U Z=»l
Е Мм
n
E ¥<-,
u z=t
откуда
t, с	Масса выходного продукга у^	Масса сырья х(-	I Оценка массы выходного про-дукта		Ошибка в оцен* ке
	кг				
0 60 120 180 240 300 360 420 480	446 452 466 471 475 478 469 462 455	491 501 499 501 496 460 452 449 451	446 455 462 472 476 477 470 462 454	0 -3 4 — 1 -1 1 — 1 0 1	
Средние значения	464	481	—	0	
табл. 1.16 на 1000 н составим табл. 1.17 для нахождения коэффициентов а и Ь.
Пользуясь выражениями (1.323) и
(1.324), определим
0,0069739
0,0097167
0,0026729
0,0097167
= 0,717723;
0,275083.
Значения оценок у найдем с помощью соотношения (1.320) и запишем их в табл. 1.16. Затем вычислим ошибки е и также внесем их в ту же таблицу. По формуле (1.291) вычислим 0= 1,903943.
Полученное значение гарантирует достаточную точность определения искомых па-
раметров: feo
0,275083
1 — 0,717723
0,974514;
Имея в виду выражения (1.318), (1.319) и (1.323), определим параметры k0 и То исходного дифференциального уравнения,
,80-92|5с-
т. е.
kt> —
Ь
1 — а ’
То = -
т
1п а
(1.324)
Имея это в виду, можно записать дифференциальное уравнение смесителя
180,9215	+ у = 0,974514х. (1.325)
По приведенным экспериментальным кривым (рис. 1.51) примера 1.49 составим табл. 1.16.
Рассмотрим два способа определения дифференциального уравнения смесителя.
Первый способ. С целью упрощения вычислений разделим все цифровые данные
Рассмотрим способ определения уравнения смесителя, когда линейную регрессию выполняют с помощью приведения измеряемых координат к средним значениям
х, у, т. е.
x'i = xi ~ х> y'l = yi~y-
(1.326)
126
Таблица 1.17
Данные промежуточных вычислений параметров объекта (табл. 1.16) по первому способу
i	Vi	У1 — \	ViUi—l	xi-l	9	yi-ixi~i	У1х1-\	2 У1-1
1	0,452	0,446	0,201592	0,491	0,241081	0,218989	0,221932	0,198916
2	0,466	0,452	0,210632	0,501	0,251001	0,226452	0,233466	0,204304
3	0,471	0,466	0,219486	0,499	0,249001	0,232534	0,235029	0,217156
4	0,475	0,471	0,223725	0,501	0,251001	0,235971	0,237975	0,221841
5	0,478	0,475	0,227050	0.496	0,246016	0,235600	0,237088	0,225625
6	0,469	0,478	0,224182	0,460	0,211600	0,219880	0,215740	0,228484
7	0,462	0,469	0,216678	0,452	0,204304	0,211988	0,208824	0,219961
8	0,455	0,462	0,210210	0,449	0,201601	0,207438	0,204295	0,213444
Вычисление			п			п	n	n	n
значений		для	S У1У1-^ =			ll_ 7 7	E yixi~i =	£ y‘i-t =
определения					t = l	1 = 1		1 = 1
параметров по формулам (1.323)			= 1,733555		= 1,855605	= 1,788849	= 1,794349	= 1,729730
Тогда принятая модель объекта (1.318) в новых координатах будет
рг+1 =	+ ^xi- (1-327)
Коэффициенты а и 5 вычислим по формулам, аналогичным (1.323). Подставляя (1.326) в уравнение (1.327), получим
Si+1 = ayi + bxt + с, (1.328) где
с = у — ау — Ьх. (1.329)
Если с =£ 0, то значения х и у заменяются на х' и у', и для них имеем
&i+l =&'yt + b'xi + с'.	(1.330)
Здесь
с' = у' — а'у' — Ь'х',	(1.331)
Из выражений (1.328), (1.330) и (1.318) найдем
а, д йс'-^с . bl =	(1.332)
с — с	с — с
Располагая значениями а\ и blt определим новую оценку
£>•+1 =	+ Мг (1-333)
В этом случае при вычислениях приходится иметь дело с существенно меньшим числом значащих цифр при сохранении высокой точности определения и Го.
Таблица 1.18
Данные промежуточных вычислений параметров объекта (табл. 1.16) по второму способу
i	*1	<1	vLi	<-1		У1-1х1-1	!/№-1	, 2
1	-12	— 18	216	10	100	— 180	-120	324
2	2	— 12	—24	20	400	—240	40	144
3	7	2	14	18	324	36	126	4
4	И	7	77	20	400	140	220	49
5	14	И	154	. 15	225	165	210	121
6	5	14	70	—21	441	—294	— 105	196
7	—2	5	-10	-29	841	— 145	58	25
8	—9	—2	18	-32	1024	64	288	3
Вычисление			п			п	п	п	« А
значений		для	^y'ly'i-^		Е^-1 =	У. У:-1х1-1 ~	Е /<<-! =	Е У1-\ =
определения			1=1		1=1	i=l	= 717	= 867
параметров по			= 505		= 3755	= -454		
формулам								
(1.332)								
127
Заметим, что если с уа и с <С it, то можно считать а — а и Ь = б.
Второй способ (продолжение примера 1.49). Составим табл. 1.18, пользуясь данными, приведенными в табл. 1.16.
По данным табл. 1.18 найдем
6—зда®-”'279035' ,1334>
Подставляя полученные значения в формулу (1.327), получим математическую модель объекта.
9. ИМПУЛЬСНЫЕ ПЕРЕХОДНЫЕ ФУНКЦИИ
Нестационарные объекты удобно представлять в виде импульсной переходной функции k(t, т), где т — момент времени приложения входного импульса; t — момент времени наблюдения динамического процесса. Функцию k(t, т) линейного нестационарного элемента с переменными параметрами определяют как решение уравнения
D (р, t) k (t, т) = М (р, l)b(t — т) (1.335) при нулевых начальных условиях, входном сигнале «(/) в виде 6-функции и k(t, т) = 0, если t < т.
Передаточную функцию нестационарного объекта находят с помощью преобразования Фурье [105]
t
t)= ^k(t, т)е_/а<<-х)йт
(1.336) или
00
JF0 (/®> t) — j k(t, t — x) e~lm dt. о
(1.337)
В общем случае сложный динамический объект с переменными параметрами можно описать уравнением
' dny . , dn~ly . a^dt+a^—dt+ •••
••• + =
dmu . dm~lu
=W^r + i>',mi-SrL+
• • <L338>
где n tn,
Уравнение (1.338) составлено с помощью выражения (1.200).
Если в уравнение (1.338) ввести обозначения
(1.339)
то получаем
D (р, t) у (t) = М (р, t) и (0. (1.340)
Найдем дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет передаточная функция (1.337). Для этого применим к 'правой и левой частям выражения (1.335) преобразование Фурье по переменной т; тогда
D (р, /) Ц70 (/©, t) ela>t = М (р, t) е/и/.
(1.341)
После преобразований будем иметь дифференциальное уравнение вида
1 дпР (ja, t) dnW (ja, t) nl d	dtn +
^(/1-1)1	(d/w)"-1	24
V (M 0 i । dD (ja.t)
A dtn-i +•••+ d{ja} X
X	+ D t) Wo (jv, t) =
=	(1.342)
Введем в уравнение (1.342) обозначение
_ 1 д‘Р (ja, t) .
Ct f	9	|
nl д
4 = 0, 1, 2, .... n.
128
В этом случае имеем
+ «,(() + -
... +<-!«) +
+«,(0V.u», I) —M(j», I). (1.343)
Дифференциальные уравнения (1.342) и (1.343) описывают динамику процессов в одном и том же динамическом объекте и имеют одинаковый порядок. Однако решать уравнение в форме (1.343) удобнее, так как оно позволяет находить реакцию объекта на любое входное воздействие с помощью однократного решения. При использовании уравнения (1.338) это приходится выполнять отдельно для каждого вида воздействия.
Выше был показан способ приближенного аналитического решения уравнения с помощью метода последовательных приближений. Сущность его сводилась к применению рекуррентной формулы вида
x[«b(O^j^ +
1=1,2.......п, (1.344)
Из выражения (1.344) можно получить ряд
Wo (j®, t) =	(/©, /) + Г2 (/©, /) +
+ 1Гз(/Ч о+ ... +^п(/Ч о.
(1.345)
Число членов ряда (1.345) зависит от степени нестационарности коэффициентов исходного дифференциального уравнения (1.338).
На практике [31] часто пользуются приближенным методом решения дифференциального уравне
ния (1.343). В этом случае вместо a,(f) берут постоянные коэффициенты at, равные средним значениям в рассматриваемом промежутке времени; тогда уравнение (1.343) можно представить в виде
dnIFo(/<o, t)
“°-------57я----
dn-lw0(ja>,t) , df"-1	*"
+ «1
। - dlF0 (/co, 0 । - то? /.
• • • + an-i----jt------h an^o(/®, /) =
= M (/®, /) + D' [IFo (/a>, /)],	(1.346)
где
D' [l^o (/«>, /)] = [a0 — ao (/)] X
Х--УЮ) +[«i-a1(01X
dn-‘Ц70 (jo) , X dfn-‘ "l" "
• • • + L«n-i — «п-i u)J-at-----г
+ [an-an(/)]ITo(/®,/). (1.347)
Пользуясь методом последовательных приближений, найдем решение уравнения (1.347) в виде ряда (1.345), т. е.
d"r,(/<M) , а° dtn +
+ «i----------+ •••
, = dwai^t) .
+“»->—di— +
+ a„IFo (/®, 0 = М (j®, /); dnwt (ja, t) , “о dtn +
, = dn-1lFi (/<о, f) , + a,----------+ .. .
... + an_j dt +
+ anW\ (/co, t) =
(1.348)
где i = 1, 2....n.
Как показано в работах [12, 31], данный метод приводит к быстро-сходящемуся ряду лишь при от-
& Ю. И. Толчеев
129
Рис. 1.52. Импульсная переходная функция динамического объекта
носительно небольшом диапазоне изменения коэффициентов на рассматриваемом промежутке времени. Если коэффициенты значительно меняются во времени, то прн использовании метода численные результаты проверяют, прибегая к процедурам численного интегрирования исходного дифференциального уравнения на ЭВМ.
Рассмотрим несколько примеров определения передаточной функции как дифференциального уравнения линейной системы с постоянными и переменными параметрами по ее импульсной переходной функции.
Пример 1.50. На рис. 1.52 построена импульсная переходная функция стационарного динамического элемента k(t). Пользуясь рис. 1.52, определим передаточную функцию. Для этого соотношение (1.337) перепишем в виде
00
1К0 (/w) = k (О е-/ш* dt, (1.349)
О
откуда найдем действительную £7(а>) и мнимую jV(a) частотные характеристики, так как функция
где
IFo (/со) = Uo (w) + /Vo (со),
00
Uo (сй) = j k (/) cos ш (/) dt; о
00
Ко (со) = — j k (t) sin at dt. о
(1.350)
(1.351)
Рис. 1.53. Элементарная трапецеидальная импульсная переходная функция
Для вычисления выражений (1.351) разобьем характеристику на сумму элементарных трапецеидальных функций
4(') = Ё‘о,(0.	(1.352)
/ж 1
где
fkQi при t < t. — t. + A. — t
*z(/)=| k0i 2^ np“
<t<ti + ^,
О при t > tt + A*..
(1.353)
Одна из элементарных' трапеций с соответствующими обозначениями изображена иа рис. 1.53.
Пользуясь соотиошеииямн (1.353) и выражениями (1.351), получим
sin at, Sin <вД
=	at,/
Vz«o) = -^- +
(1.354)
cos at, sin <oA, + M at, a^T
При вычислениях по формуле (1.354) следует пользоваться таблицами функций sin х/х и cos х/х. Соответствующие числовые значения параметров функции (1.354) для шести трапеций приведены в табл. 1.19.
По данным табл. 1.19 найдем действительную и мнимую части частотной функции динамического элемента, используя
формулы
1/ (<в) -fcu, (<о); '“1
Ко (®)-Е^ (ш), i-1	'
(1.355)
и построим их шесть составляющих (рис. 1.54, а и б). Характеристики UQ и Ко приведены иа рис. 1.54, в. По формулам
130
Рис. 1.54. Определение логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик динамического объекта по вещественной и мнимой характеристикам:
а—для составляющих U; б—для составляющих Vр в — суммарные частотные характеристики U и V; г — логарифмические амплитудные и фазовые частотные характеристики
(1.212) и (1.213) и кривым (рис. 1.54, в) при различных значениях <о можно вычислить функции Я0(<о) и 0о(<о). Числовые значения этих функций приведены в табл. 1.20.
По данным табл. 1.20 на рис. 1.54, г нанесены точками соответствующие значения функций Н0(в>) и е0(щ). Проведя через них жирные сплошные линии, получим значения амплитудной и фазовой характеристик (соответственно кривые . 1 и 2). Аппроксимируем логарифмическую амплитудную характеристику (штриховая кривая 3) прямыми с типовыми наклонами 0 и —20 дБ/дек. Из рнс. 1.54, г видно, что оии пересекаются при <о = 9,7 с-1 = l/TY Тогда можно предположить, что рассматриваемый динамический элемент описывается передаточной функцией
«7o(s) = (r1s+I)-1,	(1.356)
характерной для типового апериодического звена.
Для проверки правильности сделанного предположения в выражение (1.356) подставим s =/<о и по формуле 0о(со) = = —arctgwT вычислим значения фаз. Нанесем их иа рис. 1.54, г и проведем через
эти точки штриховую кривую 4. Из сравнения точных и аппроксимированных частотных характеристик следует, что погрешность определения передаточной функции не превышает 8 %.
Пример. 1.51. Определить дифференциальное уравнение, описывающее динамические процессы в нестационарном объекте регу-
лироваиия, имеющем импульсную переходную функцию вида
k(t, т) = т//2, />т.	(1.357)
На рис. 1.55 она построена на плоскости k(t, т)=0, где t = т; тогда на этой плоскости получим два участка: при t > т
Aft г)
4 -
t-T
Рис. 1.55. Импульсная переходная функция k(t, т) для примера 1.51
5»
131
Таблица 1.19
Значения функций Ui (и) и Vi (<о) для примера 1.50
Параметры	Трапеция 1						
	koi “0.393		h=	0,25	A)=0,25		
<0	0,2	0,5	1,0	2,0	5,0	10,0	
&ti	0,0500	0,1250	0,2500	0,5000	1,2500	2,5000	
	0,0500	0,1250	0,2500	0,5000	1,2500	2,5000	
Sin atj toti	0,9996	0,9974	0,9896	0,9589	0,7592	0,2394	
sin a>Af	0,9996	0,9974	0,9896	0,9596	0,7592	0,2394	
	0,09817	0,09774	0,09622	0,09034	0,05663	0,00563	
koi <>	1,9650	0,7860	0,3930	0,1965	0,0786	0,0393	
COS <S>tj tilt I	19,975	7,9376	3,8756	1,7552	0,2523	-0,3205	
Vi (<o)	-0,00324	-0,00816	-0,01618	—0,03114	-0,05978	—0,04684	
Продолжение табл. 1.19
Параметры	Тоапеция 3			
	koa=O,145	«3 = 1.25	As =0,25	
<0	0,2	0,5	1,0	, 2,0	5,0	10,0	
<>//	0,2500	0,6250	1,2500	2,5000	6,2500	12,5000	
	0,1250	0,1250	0,2500	0,5000	1,3500	2,5000	
sin iatj ail	0,9896	0,9362	0,7592	0,2394	—0,0053	-0,0053	
sinoiA/	0,9996	0,9974	0,9896	0,9589	0,7592	0,2394	
Ut (<a)	0,17929	0,16295	0,13617	0,04161	—0,00073	—0,00023	
koi (0	0,7250	0,2900	0,1450	0,0725	0,0290	0,0145	
COS (Otj toti	3,8756	1,2975	0,2523	—0,3205	0,1599	0,0798	
Vi (<o)	-0,02283	-0,05544	—0,09975	-0,12820	-0,00700	—0,01104	
Продолжение табл. 1.19				
	Трапеция 5			
Параметры				
	Л05=0,08	«6=2.50	As=0.50	
(О	0,2	0,5	1,0	2,0	5,0	10,0	
ati	0,5000	1,2500	2,5000	5,0000	12,5000	25,0000	
®Д/	0,1000	0,2500	0,5000	1,0000	2,5000	5,0000	
sin toil inti	0,9589	0,7592	0,2394	—0,1918	—0,0053	—0,0053	
sin tohj <оД<	0,9983	0,9896	0,9589	0,8415	0,2394	-0,1918	
(<o)	0,4000	0,1600	0,0800	0,0400	0,0160	0,0080	
koi <0	0,19145	0,15026	0,04591	—0,03280	-0,00025	-0,00020	
COS <otj a>ti	1,7552	0,2523	—0,3205	0,0567	0,0798	0,0396	
Vi (co)	—0,04956	—0,11006	—0,14147	—0,03046	-0,01218	-0,00952	
132
Трапеция 2
	&02 ==0,237		<а=0,75		Д2=0,25	
	0,2	0,5	1,0	2,0	5,0	10,0
	0,1500	0,3750	0,7500	1,500	3,750	7,5000
	0,0500	0,1250	0,2500	0,5000	1,2500	0,0500
	0,9963	0,9767	0,9089	0,6650	—0,1524	0,1251
	0,9996	0,9974	0,9896	0,9589	0,7592	0,2394
	0,17702	0,17316	0,15988	0,11335	-0,02057	0,00532
	1,1850	0,4740	0,2370	0,1185	0,0474	0,0237
	6,5918	2,4814	0,9759	0,0472	-0,2188	0,0462
	—0,01378	-0,03408	-0,06534	-0,11046	—0,07693	—0,02173
Трапеция 4
	«04=0,095		«4=	= 1,75 ,	Дч—0,25	
	0,2	0,5	1,0	2,0	5,0	10,0
	* 0,3500	0,8750	1,7500	3,5000	8,7500	17,5000
	0,0500	0,1250	0,2500	0,5000	1,2500	2,5000
	0,9797	0,8772	0,5623	-0,1002	0,0714	-0,0558
	0,9986	0,9974	0,9896	0,9589	0,7592	0,2394
	0,4750	0,1900	0,0950	0,0475	0,0190	0,0095
	0,16281	0,14546	0,09251	-0,01597	0,00901	—0,00222
	2,6839	0,7326	—0,1019	—0,2676	—0,0892	0,0125
	—0,4)2898	-0,06852	-0,11.176	—0,09016	—0,03026	-0,00900
Трапеция 6
	«04 “	0,05		3,50	д,-	=0,50
	0,2	0,5	1,0	2,0	5,0	10,0
	0,7000	1,7500	3,5000	7,0000	17,5000	35,0000
	0,1000	0,2500	0,5000	1,0000	2,5000	5,0000
	0,9203	0,5623	-0,1002	0,0939	-0,0558	-0,0122
	0,9983	0,9589	0,9589	0,8415	0,2394	-0,1918
	0,2500	0,1000	0,0500	0,0250	0,0100	0,050
	0,16078	0,09738	-0,01681	0,013828	—0,00234	0,00041
	1,0926	-0,1019	-0,2676	0,1077	0,0125	-0,0258
	-0,05912	—0,11765	-0.09405	-0,00914	. —0,00948	-0,00413
133
Таблица 1.20
Значения функций для построения логарифмических амплитудной и фазовой частотных характеристик примера 1.50
Функции	— 1 й), С								
	0,1	0,2	0,5	0,8	1.0	2,0	5,0	8,0	. 10-°
/70 (<•>)	0,9984	0,9695	0,8333	0,6452	0,5139	0,2104	0,0418	0,0152	0,0091
Vo (®)	—0,1081	-0,1775	-0,3939	-0,4907	—0,5286	-0,3996	-0,1956	-0,1131	0,1023
#о(®)	1,0042	0,9856	0,9217	0,8106	0,7372	0,4516	0,2000	0,1141	0,1027
Но (со), дБ	0,037	-0,126	—0,708	-1,824	-2,658	-6,905	-13,980	-18,859	-19,769
6о(®)	-6,180	-10,375	-25,300	-37,254	-45,808	—62,232	-77,937	-82,346	-84,917
столбца иа столбец начальных условий
и t < т. На этой плоскости изобразим пространственную фигуру. Выделим иа ней штриховкой поверхность, где обеспечивается условие t > т, т. е. справедливо уравнение (1.357) [35].
Для любой нестационарной системы имеем
k (*> »)“ £ Ф( (0 Фг (*)> t > т. (1.358) i-1
В этом случае дифференциальное уравнение объекта можно записать в виде (1.340). Для определения левой части уравнения (1.340) воспользуемся определителем
D (р, t)y(t)*=
У i (0 Уг (?) ... Уп (t) У (?) yi(?) уг(?)   Уп (0 у (0
... у™(?)у1п>(?)
(1.359)
Правую часть уравнения (1.340) можно представить
Ядп~11п А (т) ... " {Р' Т)И(Т)~
- Ф (Т) и (т)1 dr +	о, (1.360)
J а
1=1,2......п.
В выражении (1.360) через A(t) обозначен определитель Вронского для системы функций ф1(0, <р2(1).....<р*	(/):
Ч>1 (0	Ч>2 (0	...	Фп(0
Ф1 (0 фа (0	...	фп (О
Ф<"~1)(П Ф^-1)(0 ... Ф*,"-1)(0
определитель At (to) получается из предыдущего прн t = t0 путем замены »-го
У (?)	= 0; у (?)	= k (t0, t0) и (to);
У(0Ц«2	«(/o) +
01	1<=т = «о
+ дЦ?х) [ т / +k ый и T. Д.
Для рассматриваемого примера имеем ф| (т) = 1; ф> (t) = l/tB; ф, (t) « —2/ts.
(1.361)
Подставляя последние выражения в уравнение (1.340) н приравнивая его нулю,
получим
D (р, ?) у (/) =
&(?)
откуда
D(p, ?)у(?) = -^-у(?) + -^у(?)=О.
(1.362)
Определители будут А(1) = Ф(1);	A,(t) = O.
Введем их в выражение (1.360); тогда найдем
t
$	~ ф Юи w] dx=°-
о
(1.363)
Подставляя в соотношение (1.363)' значения ф(т) и Ф1(1), получим
t
[таЛ4 (р, т) — т] и (т) dr = 0.
о
При М(р, г) = 1/т это уравнение справедливо для любых и (г). Таким образом.
134
порядок т полинома
т
м (р, т) = У ьт_( (/) р{
следует принять циеит 60=1//.
Итак, правая имеет -вид
i—o равным нулю, а часть уравнения
М (р, t)u(t) =
Тогда из уравнения (1.362) и соотношения (1.364) получим искомое линейное нестационарное уравнение в виде
+	(1.365)
Для определения импульсной переходной функции можно пользоваться таблицами Лх-фуикций*. В этом случае применяют формулу
оо 2 Г k(t) =--------\ Vo (со) sin и/ d<o; (1.366)
Л J о
умножив и разделив ее подынтегральное выражение иа со, получим
k (t) = _ — ( [<aFo (t0)1 sin at da. (1.367) л J <o
0
Рнс. 1.56. Функция [<oVo(<o)J, представленная в виде четырех трапеций
Построив на рис. 1.56 функцию (wVo(<i>)], разобьем ее на четыре трапеции. Для каждой трапеции определим п(0), ©о; и а<и и выберем Д/Табл i-
Результаты промежуточных расчетов трапеций 1—4 сведем в табл. 1.21. По этим данным построим (тонкими линиями) иа рис.( 1.57 составляющие импульсных переходных функций ki(t). Суммируя эти кривые, получим результирующую импульсную переходную функцию (жирная сплошная линия). Штрихпунктирной линией показана точная характеристика k(t), которая перенесена с рис. 1.52. Из сравнения этих кривых видно, что погрешность построения даже по малому числу трапеций ие превышает 10 %.
Разбивая функцию [<oVo(co)] на трапецеидальные характеристики и выбирая для каждой из трапеций интервал времени Д^тавл I, определим значения Лх-фуикций (см. прил. П-П. 1). Далее вычислим истинный масштаб времени
Д<Ист/ = Чабл//“о/ И
трапеции. По выбранному х; и интервалу времени (sit, находим значения Лх<-функции, которые умножим иа высоту трапеции п(0). Затем, отложив по осн абсцисс Д<Яст, а по оси ординат соответствующие величины г. (0) и h , определим для каждой из трапеции составляющие импульсной переходной функции — кривые ki(t). В результате суммирования этих кривых получим результирующую характеристику k(t).
Пример 1.52. По мнимой частотной характеристике Vo(w) стационарного динамического элемента (рис. 1.54, в) определить импульсную переходную характеристику.
Рис. 1.57. Составляющие импульсных переходных функций и результирующая k(t)
* См. гл. 5 и прил. П-П. 1.
135
Таблица 1.21
Значения составляющих нмнульсной переходной функции для каждой из трапеций
Трапеция 1	г, = —0,78; X, =0,00; Д/ИСТ| =0,6/1,60=0.375 с										
^табл	0,6	1,2	1,8	2,4	3,0	3,6	4,2	4,8	5,4	6,0	6,6
	0,1890	0,3671	0,5246	0,6548	0,7546	0,8244	0,8681	0,8912	0,9006	0,9028	0,9029
^ИСТ1	0,375	0,750	1,125	1,500	1,875	2,250	2,625	3,000	3,375	3,750	4,125
Г, <0)^(0	-0,147	-0,286	-0,409	-0,511	-0,589	-0,643	-0,677	-0,703	-0,703	-0,703	-0,704
Трапеция 2				г,=-0.15; х2=0,37; Д/ИСТ1=1			,4/4,33 =0,323 с				
^табл	1,4	2,8	4,2	5,6	7	8,4	9,8	11,2	12,6	14	15,4
	0,5742	0,9624	1,1060	1,0293	1,0293	1,0022	1,0005	0,9969	0,9867	0,9827	0,9900
^нст.	0,323	0,646	0,969	1,292	1,615	1,938	2,261	2,584	2,907	3,230	3,553
г 2(0) h^t)	-0,086	—0,144	-0,166	-0,163	-0,154	-0,150	-0,150	-0,150	-0,148	-0,147	-0,149
Трапеция 3				гз	=-0,03; х3=	0,40; 4^,=	4/11,00=0,364 с				
^табя	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44
4(0	0,1774	0,9976	0,9888	0,9992	1,0039	1,0017	0,9962	0,9996	1,0028	0,9992	0,9986
SCT*	0,364	0,728	1,092	1,456	1,820	2,184	2,548	2,912	3,276	3,640	4,004
г3 (0)4(0	—0,005	—0,030	-0,030	-0,030	-0,030	-0,030	-0,030	-0,030	-0,030	-0,030	-0,030
Трапеция 4				г4=0,96; х4 =		1; Д/Вст<=4/11,00=0,364 с					
Оабл	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44
4<о	1,1193	1,0022	0,9581	1,0317	0,9856	0,9898	1,0216	0,9831	1,0028	1,0103	0,9856
^ист»	0,364	0,728	1,092	1,456	1,820	2,184	2,548	2,912	3,276	3,640	4,004
г4 (0)4(0	1,075	0,962	0,920	0,990	0,946	0,950	0,981	0,944	0,963	0,970	0,946
10. ОБОБЩЕННАЯ ФОРМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕПРЕРЫВНЫХ
И ДИСКРЕТНЫХ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (ОБЪЕКТОВ) НА ОСНОВЕ ПРИМЕНЕНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕДУР, РЕАЛИЗУЕМЫХ НА ЭВМ
При проектировании непрерывных, дискретно-непрерывных и дискретных САР необходимо располагать математической моделью элемента (объекта). Все ранее рассмотренные способы построения таких моделей были основаны на системах линейных дифференциальных уравнений, записанных в формах передаточных функций, структурных схемах (графах), частотных характеристиках и импульсных переходных функциях. Несмотря на большую наглядность данных способов представления, ими удобно пользоваться лишь при относитель
Рис. 1.58. Структурные схемы стационарных и нестационарных многомерных линейных объектов, представленных в векторно-матричной форме:
а, б — типовые; в. г — с параллельным подключением внутренних контуров с матрицами
но невысоких порядках математических моделей.
При высоких порядках моделей такие процедуры требуют значительных затрат времени проектировщика и не обеспечивают необходимую точность решения задач анализа и синтеза систем. Поэтому стали пользоваться уравнениями, составленными во временнбй области и записанными в векторноматричной форме.
Рассмотрим две наиболее часто встречающиеся формы представления многоконтурных стационарных н нестационарных линейных элементов (объектов). При этом будем считать, что в линейный объект регулирования после ряда структурных преобразований входят лишь две матрицы: А и В. Тогда первую форму представления стационарного 'объекта можно записать в виде векторно-матричного уравнения
у(0 = Лу(0 + Ви(0, (1-368) где у и а—-векторы размерностей (n XI) и (т X 1); Л и В — матрицы размерностей (n X ») и (n X я»).
В соответствии с векторно-матричным уравнением (1.368) на
137
Рис. 1.59. Структурные схемы многомерных линейных нестационарных объектов, представленных в векторно-матричной форме:
а — типовые; б — с параллельным подключением элементов, описываемых матрицами D и D (О
рис. 1.58, а построена структурная схема многомерного объекта, которую в дальнейшем будем называть типовой. t
Для нестационарного объекта уравнение (1.368) перепишем в виде
y(t) = A(t)y(t) + B(t)u(t). (1.369) Здесь векторы у, и и матрицы A(t) и B(t) имеют те же размерности, как и в уравнении (1.368). Отличие уравнения (1.369) от (1.368) заключается в том, что матрицы А и В зависят от времени. Структурная схема, соответствующая уравнению (1.369), приведена на рис. 1.58,6.
Во второй форме представления в объект входит контур с отрицательной обратной связью. В этом случае для стационарного объекта имеем уравнения
у (!) = Ау (!) 4- Ви' (/); j	3
и' (!) = u(i)- Ку (i), J
где К—матрица, имеющая размерность (т X п).
Исключив из системы уравнений (1.370) u'(i), получим
у(!) = [А —BK]y(t) +Bu(i). (1.371)
Размерности векторов у, и и матриц А и В соответствуют уравнению (1.368). На рис. 1.58, в построена структурная схема по уравнениям (1.370) или (1.371). Если
разность матриц А — ВК обозначить через А, то уравнение (1.371) можно привести к виду (1.368), т. е.
у(П = Ау(0 + Вв(П-
По аналогии можно записать уравнения и для нестационарного объекта
у(0 = [А(0-В(0К(0]у(/) +
+ В (/)«(/).	(1.372)
Размерности векторов и матриц в уравнении (1.372) полностью совпадают с размерностями векторов и матриц уравнения (1.371). Структурные схемы, обставленные по уравнениям (1.371) и (1.372), приведены соответственно на рис. 1.58, в и г.
Существуют и другие формы построения структурных схем элементов (объектов), отличающиеся способом введения дополнительных отрицательных и положительных обратных связей. Эти структурные схемы здесь не рассматриваются. Следует отметить, что большинство из них может быть приведено к типовым схемам, изображенным на рис. 1.58, а и б.
Если в многомерных стационарных и нестационарных объектах имеются параллельно включенные динамические устройства, задаваемые матрицами D или D(i), то структурные схемы можно изобразить, как показано на рис. 1.59, а и б. По этим структурным схемам составим системы уравнений:
для стационарных объектов y(0=yi(04-y2(0; 1
у{(!) = Ayx(i)Bu(i)‘, > (1.373) у2 (0 = Du (t);	J
138
a)
Рис. 1.60. Структурные схемы многомерных линейных стационарных и нестационарных объектов, представленных в векторно-матричной форме:
а, б — типовые; в, г—с параллельным подключе-нием контура со строкой k
г)
щие уравнениям (1.375) и (1.376). При наличии внутреннего контура уравнения (1.371) и (1.372) можно переписать в виде
У (0 = U -&ЛТ] у (t) + bu(t), (1.377)
для нестационарных объектов
у (*) = У1 (0 + Уг (0; '
у, (/) = А(0У1(0+В (/)«(/);	(1-374)
у2 (0 = D (t) и (0.
В уравнениях (1.373) и (1.374) матрицы D и D(t) имеют размерность (n X т).
Наиболее часто встречаются САР с одним входным и одним выходным сигналом. В таких системах векторно-матричное уравнение (1.368) для стационарного объекта примет вид
у (t) = Ay +	(1.375)
где у—вектор размерности (пХ1); и — скаляр; А — матрица размерности (n X п); b — вектор размерности (n X 1); для нестационарного объекта уравнение (1.369) имеет вид
у (П = A (t)y (t) + b(1.376) Размерности векторов и матриц, входящих в уравнения (1.375) и (1.376), одинаковы.
На рис. 1.60, а и б изображены структурные схемы, соответствую-
где kT — строка размерности (IX X п),
й)=[л(о-*(о*т(оЬ(п+ + b(t)u(t).	(1.378)
По уравнениям (1.377) и (1.378) на рис. 1.60, в, г построены структурные схемы объектов.
На рис. 1.61, а и б приведены соответствующие схемы объектов, полученные по уравнениям (1.378) и (1.380)
y(t) = y2 (t) + y3 (0;
У! (о = Ау1 (/) 4- Ви (/);
y2(t)~ du(t);
Уз (0 = lTVi (0
и
У(*) = У2(!) + Уз(*У> у, (t) = A(t)yi(t) + + B(t)u(t)-, y2(t) = d(t)u(f); у3а}=1чоуло,
(1.379)
(1.380)
где у2(0> Уз(0. ^(0—скалярные функции; ZT — строка размерности (1 X п), состоящая из единиц.
139
Рис. 1.61. Структурные схемр одномерных линейных стационарных и нестационарных объектов, представленных в векторно-матричной форме:
а — типовая; б — с параллельным подключением коэффициентов d и </(О
С целью использования одинаковой формы описания объектов непрерывных, дискретно-непрерывных и дискретных САР воспользуемся теорией спектрального разложения матриц, которая с помощью специально созданных алгоритмов [26] позволяет получать единые математические модели в дискретной форме, а по ним и рабочие программы, реализуемые на ЭВМ [20, 37]. К основному преимуществу такого подхода следует отнести возможность представления моделей с использованием матриц до 50—80-го порядков, без существенного понижения точности спектрального разложения матриц [26]. Кроме того, с помощью теории спектрального разложения матриц удается создавать алгоритмы для вычисления коэффициентов, полюсов и нулей передаточных функций построения частотных характеристик, корневых годографов и переходных процессов не только полного объекта, но и всей системы в целом (см. гл. 4 и 5). Можно также отметить, что по данным алгоритмам нетрудно сформировать пакет прикладных программ, пользуясь которым можно обеспечить диалоговый режим проектирования систем на ЭВМ. При этом намного упрощается процеса анализа и синтеза сложных САР (см. гл. 8 и 12).
Рассмотрим алгоритмы, с помощью которых составляются диск-
ретные модели многомерных объектов, описываемых типовым векторно-матричным уравнением (1.368). Аналитическое решение этого уравнения при начальных условиях у (to) имеет вид
у(О = ел<<-<«>уо(О4-t
+ \еА«-*>Ви(т)с1т. (1.381) to
В моменты времени t = кТ0 и / = («+' 1) То состояние объекта Ук+i связало с предыдущим состоянием ук соотношением
Ук+1=ФУк4-То
+ J ел(т)4т, ,(1.382) о
где Ф = еЛГо — переходная матрица системы уравнений (1.381). Способы вычисления переходной матрицы приведены в прил. П-1.1.
Соётавйм математические зависимости для алгоритмов дискретных моделей с тремя типами экстра-поляторов.
Самая простая дискретная модель может быть получена, если положить, что внутри интервала квантования сигнала а(т) экстраполируется по одной точке ступеньками со значениями ик, т. е. перед объектом включен экстраполятор нулевого порядка Эо. В этом случае соотношение (1.382) можно представить в виде
Ук+1 = ФУк + ^«к-	(1.383)
Здесь F = (Ф — I) А-1 В — матрица коэффициентов, обеспечивающих
140
Рнс. 1.62. Структурные схемы дискретных стационарных объектов с различными типами экстраполяторов:
а и г — с экстраполятором нулевого порядка; б и д — с экстраполятором 1-го порядка; в и е — с экстраполятором 2-го порядка
передачу сигналов по входам дискретной модели.
С помощью выражения (1.19) можно построить структурную схему дискретной модели в форме z-преобразования, которая приведена на рис. 1.62, а.
При предположении о линейном изменении и(г), когда через две точки проходит прямая, т. е. в дискретную модель входит экстра-полятор 1-го порядка, обозначаемый как Э\, имеем
«K+1(t) = «K + -5^£=J-t, (1.384) 1 о
а дискретную модель записать в виде
Ук+1 = ФУк +
Го
4- J (Ик	dx
О	°
Полученную формулу перепишем следующим образом:
Го
Ук+1 = Фук + J w°-x>BuK dr + о
Го
+ ( е^-^В Ик~Ик-'-т^т, J	la
о
откуда находим рекуррентное выражение
Ук+1=ФУк + ^«к +
+ [(o-/M_,-n№Bx
X	(1.385)
* о
Обозначая матрицу [(Ф—I) Л-1— —/Г0]Л~*В через R, дискретную модель можем записать в виде
Ук+1 = фук + ^«к +
+ в Uk~tUk-^.. (1.386)
I о
На рис. 1.62,6 изображена структурная схема дискретной модели, полученная с помощью выражения
141
(1.386). Блок задержки сигнала ик на один такт на рнс. 1.62,6 имеет обозначение z~l.
Если вместо линейного закона изменения и(%) считать, что через три точки проходит кривая высокого порядка, т. е. в модель входит экстраполятор 2-го порядка Э2, тогда
Ц(т)^Нк+	+
1 о
4- цк-.2У*-2!	т2. (1.387)
то
В этом случае дискретная модель объекта описывается выражением
То
ук+1 = ФУк + $ е^-^В X о
+ и-*.у-к^т + 1 о
**к ~~ 2ик-14«к-2
л J
Учитывая предыдущие обозначения матриц, получим
Ук+i = ФУк + *Х+ R	+
1 о
То
+ ( ел<г»~т>В. ц^~ 2-|С^1 + ц*-а т2 dx
(1.388)
В выражении (1.388) интеграл дважды берется по частям, в результате этого рекуррентная формула (1.388) примет окончательный вид
Ук+. = ФУк + Рик +	+
1 о
+ н «K.-2UK-14-UK-2 ,	(1 389)
где Н — {2 [(Ф - Z) А"1 - ZT0] X
X A-1 — 1То}А~1В.
Соответствующая этому случаю структурная схема изображена на рис. 1.62, в, где введены два блока задержки сигнала ик на два такта z-'-z-'.
Для объектов со структурой на рис. 1.61, а рекуррентные соотношения (1.383), (1.386) и (1.389) следует переписать в виде
Ук+1==ФУк+К; (1.390)
Ук+1 = ФУк + /«к + г “к-у~' ;
° (1.391)
Ук+1 = ФУк + fик + г ^5Як-1 4-1 о
+ Л «к- 2^ 4-«к-2	(j 392)
Здесь
/ = (O-Z)A-B;	(1.393)
r = [(O-Z)A-I-ZT0]A-IB; (1.394) Л = {2 [(Ф—Z) A-’-ZTo]Л"1-Til} X
ХА->В. (1.395)
С целью упрощения математических выкладок будем рассматривать [26] скалярный входной сигнал, который постуйает на объекты систем регулирования в виде
у (0 = Ay(t) + &«(/). (1.396)
Тогда дискретную математическую модель можно представить
То
Ук+1==Ф(Го)Ук-|- $ Ф^о—т)6м(т)е/т.
(1.397)
Аппроксимируем входной сигнал ц(т) степенной функцией порядка I
“Но"
Ц1
«(т) = £ Ц/? = [1тт2. . .-?] ^2 .
/-0
_Hz_ (1.398)
Для оценки коэффициентов функции (1.398) возьмем Л^-измерений В МОМеНТЫ «к-1 «к—1—1 «к-У и проведем через них кривую /-го порядка, обеспечивающего нанлуч-шее среднее квадратическое приближение. В компактной форме
142
записи получим [26]
• «уXi — Stfxu+i).uo + i)xь (1-399)
Здесь векторы
«к-1
«к-2
UNXI =
L «к-tf J
Но MiT'o
Ц(/+1)Х1 =
а матрица
Syxtz+l) =
"1	0.............О
= 1	1.............(-1)'
.1 -(N- 1) .	. [-(ЛГ-1)]1
Соотношение для оценки неизвестного вектора у, вытекающее из метода наименьших квадратов, будет иметь вид
£ = s*u,	(1.400)
где s* — матрица, псевдообратная матрице измерений sxX(»+i|, а miniV = п.
Соотношение (1.400) можно переписать в виде
ц = (sTs)~1sTu. (1.401)
Подставив соотношение (1.398) в выражение (1.397), получим искомую дискретную модель
Ук+1 — Фук + [-Еоб : Еф1Тй • ...
... • ВД7'о]в*и = Фхк +
+ /о«к + Л«к-1 +<•••+ fNUK-N>
(1.402) где
Го
Ef — ^(То-т)?^,/ = 0, 1, о
Для вычисления матрицы Е/ воспользуемся соотношением
=	О-403)
где
£0 = [елг° — Z] Л-1.
Определим дискретную модель UUtJCKiU ХЮ IpOpMJrVXC	при*
меняя три вычислительные процедуры *. Первая — для спектрального разложения произвольных действительных матриц с помощью QR-алгоритма [37], с предварительным приведением матрицы к верхней форме Хессенберга в виде программы № 7, именуемой OWN, включающей восемь подпрограмм OWN1—OWN8, написанных на языке ПЛ/1 **.
Используется программа № 8 MFUNC и получение дискретной модели в виде (134)—программа № 9 DISCR. Действительно, во всех вычислительных процедурах и рабочих программах матрицы А для элементов объектов и Л3 для замкнутых систем будут также обозначаться как А, что позволит пользоваться единым программным обеспечением.
Процедура DISCR обеспечивает вычисление массивов Ф и F с по
* Для унификации всех вычислительных процедур, используемых в этой книге, применена одна н та же форма записи векторно-матричных уравнений:
у (t) = Ay (t) + Bg (t), нли
где А, В — матрицы, а Ь — векторы, соответствующие замкнутым или разомкнутым системам.
** Представление уравнений элементов объектов и САР в одной форме позволяет пользонаться одинаковыми вычислительными процедурами для спектрального разложения матриц (программа № 7, гл. 3), вычисления функций от матриц (программа № 8, гл. 3) и получения дискретной модели (программа № 9, гл. 3). Все эти программы приведены в гл. 3, п. 4—8, как для объектов, так и для САР.
143
мощью следующих выражений [26]:
ф(М + # JV- 1, АГ + М АГ — 1) = Ф(Т'о)! А	1/21	•••	i/aw-i
=	"о"’!	~О"	'""б”	;
I а	I
_	|/(N, N-2)X(N.JV-2)I	_
(1.404)
F(N + NN- l) = [f0:1 iO]T. (1.405)
Векторы fi, i=l, 2, ..., NN—1 и вектор f0 находятся из массивов
размерности (W X NN) в виде > [Fq : Fl: F2 •... ]=[/о ! f 1: fi: • • • : Avv-1]=
=» [£0£; EiB/T0: ... : ElB/tR X A
(1.406)
где s* = (INV (sT X «)) X sT, a sT — матрица транспонированная s; £0, £b El — матрицы, определяемые по формулам (1.403).
Пример 1.53. Составить дискретную, математическую модель непрерывного объекта с экстраполятором нулевого порядка, когда То — 0,01 с, пользуясь для этого следующими матрицами:
		‘ 0,4	0	0	0	0	0	—0,4		
		0,06	0,05	0	0	0	0	-0,01		
		0,0015 0,05125		0,05	0	0	0	-0,00025		
	А =	0,015 0,5125		100,5 -	100	0	0	-0,0025		
		0	0	0	100 —100	0	0		
		0	0	0	0	400	-400	0		
		.0	0	0	0 0	2500000	0		
			» = [0,4	0,01 0,00025 0,0025		0 0 О]1			
С помощью программ OWN, MFUNC и					DISCR получим				
	‘ 1,0040		0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	о.оооо-	
	6,01 •	Ю“4	1,0005	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	
	1,52-	10~5	5,13  10-4	1,0005	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	
Ф=	1,02-	ю-4	0,0034	0,6355	0,3679	0,0000	0,0000	0,0000	»
	4,16-	ю~5	0,0014	0,2656	0,3679	0,3679	0,0000	0,0000	
	2,82-	ю-5	9,55-10-4	0,1814	0,3351	0,4661	0,0183	0,0000	
	_ 0,2260		7,6777	1,47.. 103	4,51 • 10»	1,29 • 103	6,14.10»	1,0000.	
1 == [5,25 • 10		“6 8,04 • 10”7 3,70.10-8 -7,27 • 10~6 7				,82 • 10~6	-2,27 • 10-4	1,4350]	т
Пример 1.54. Составить дискретную ма-					То = 0,2	с, пользуясь для этого матрицами			
тематическую модель			непрерывного объек-		А, Ь из	примера	1.53. Тогда	по аналогии	
та с экстраполятором			1-го порядка, когда		с примером 1.53 получим				
	" 1,4908	0,4006	0(6410	0,0028	0,0028	7,12-10”»	1,1410”»	1,10-10»
	0,0691	0,9483	-1.6360	-0,0025	-0,0023	-5,65-10”» -9,04-10”» -8.76-10»
	0,0076	-0,0080	0,7712	-4,22*10”»	-4,22-10”»	-1,05-10”» -1,69-10”» -1,63.10»
ф =	0,0081	—0,0036	0,7672	-4,33-10“»	— 4,33*10”»	— 1,08*10”» -1,73-10”» -1,68-10»
	0,0081	-0,0041	0,7676	-4,32-10”»	-4,32-10”»	— 1,08*10”» —1,73*10”» —1,67*10»
	0,0081	-0,0042	0,7677	-4,32*10”»	-4,32-10”»	— 1.08*10”» -1,73*10”» -1,67-10»
	2,23-10»	—7,04-10""»	-5,81-10»	2,24-10»	2,24-10»	5,59* 103	0,8944	-1.02-1013
	_ 0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,000 1 _
f«=[—1,10.10» 8,76- 10е 1,63.10е 1,68.10» 1,67-10» 1,67-10» 1,02-1013 1,0000]т.
По данным примера 1.53 в гл. 3, п. 7 ее обобщенная математическая мо-рассмотрена замкнутая САР н приведена дель
144
Г л а в a 2
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Рассмотренные в гл. 1 методы линеаризации применимы, когда нелинейность, входящая в объект или устройство САР, хотя бы один раз дифференцируема или аппроксимируется касательной с малой погрешностью в некоторой окрестности, близкой к рабочей точке. Существует целый класс нелинейностей, для которых оба эти условия ‘не выполняются. Обычно их называют существенными нелинейностями. К ним относятся: ступенчатые, кусочно-линейные и многозначные функции с точками разрыва 1-го рода, а также степенные и трансцендентные функции. Использование цифровых вычислительных устройств, обеспечивающих выполнение логико-алгебраических операций в системах, привело к новым типам нелинейностей, которые представляют через непрерывные переменные с помощью специальной логики. Для математического описания таких нелинейностей применяют эквивалентные передаточные функции, зависящие от коэффициентов линеаризаций, которые получают путем минимизации среднего квадрата ошибки воспроизведения заданного входного сигнала. Форма входных сигналов, поступающих на вход нелинейности, может быть произвольной. На практике наибольшее распространение получили гармонические и случайные виды входных сигналов, а также их взаимные комбинации. Если на вход нелинейности поступает синусоидальный сигнал, то метод линеаризации называют гармоническим. Можно отметить, что входной сигнал может быть представлен не только в виде первой гармоники, но и суммой нескольких гармоник. Если действует случайный входной сигнал, то метод линеаризации называют статистическим [12, 32, 33]. При входном сигнале, представляю
щем собой сумму гармонических и случайных сигналов, имеет место совместная гармонико-статистическая линеаризация [33, 39].
1. ОБЩИН МЕТОД ОПИСАНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ. ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Весь класс существенных нелинейных элементов разделим на две группы. К первой группе относят однозначные нелинейности, у которых связь между входным х и выходным у векторными сигналами зависит только от формы статической характеристики нелинейности F, т. е.
y = F(x).	(2.1)
В этом случае при определенной форме входных сигналов x(t) = = xi(t) с помощью матрицы коэффициентов линеаризации a(«i) можно найти приближенное значение выходных сигналов
y1(O = a(*i)*i.	(2.2)
Из выражения (2.2) следует, что матрицы коэффициентов линеаризации однозначных нелинейностей являются действительными величинами и их эквивалентные передаточные функции J (*1) = а(*1).
Ко второй группе относят двухзначные (многозначные) нелинейности, у которых связь между входными и выходными сигналами зависит не только от формы статической характеристики, ио также определяется предысторией входного сигнала. В этом случае соотношение (2.1) следует записывать в виде
у(0=^[*(0].	(2-3)
Для учета влияния предыстории входного периодического сигнала
145
Рис. 2.1. Структурная схема определения многомерных периодических коэффициентов линеаризации в векторной форме, обеспечивающих условие минимального значения квадрата разности ошибки между точным и приближенным средними значениями выходных сигналов:
а — для однозначных нелинейностей; б —- для дву« значных нелинейностей
будем учитывать не только сам сигнал х,, но и скорость его изме-
нения X,-
При входных сигналах x(t) = = Xi(t) приближенное значение выходного сигнала будет
у,(/) = а(х,)х, +	*i. (2.4)
где a(xt) и Ь (х,) — коэффициенты гармонической линеаризации двузначных нелинейностей; Т — период колебаний по первой гармонике, когда *1(0—периодическая функция.
Эквивалентная передаточная функция
Z(x1) = a(x,) + ^(x,).	(2.5)
Существуют нелинейности более общего вида
jr(O = ^(*i, *1)>	(2.6)
т. е.
у, (t) = a(xIt х,) х, + -Ь~2^')Г *i, (2.7)
где a(xh Xi) и б(х1( xi)—коэффициенты гармонической линеаризации.
Здесь к — номер гармоники.
Матрицы коэффициентов линеаризации являются периодическими с периодом Т. Имея это в виду, передаточную функцию для двузначной нелинейности (2.6) мо.жно представить по аналогии с передаточной функцией (2.5):
7(xi, xi) = a(xb xi) + jb(xi, xi).
(2.8)
Пользуясь выражениями (2.2), (2.4) и (2.7), определим обобщенные формулы для вычисления передаточных функций однозначных и двузначных нелинейностей.
В случае однозначной нелинейности матрицу коэффициентов линеаризации а, зависящую от параметров вектора х,(/), выберем таким образом, чтобы минимизировать среднее значение квадрата разности между точным у и приближенным y\(t) сигналами на вы
ходе, т. е.
||e(0|2=lim4r
1 —>оо
г
$|(8<Л, (2.9)* -т
где
' е(0 = Г(х1)-а(х1)х1. (2.10)
В общей4 форме для различных типов векторных входных и выходных сигналов выражение (2.9) можно записать в виде
| ё [I2 = (F - ах,)т (F - ах,) = ’
= F F - (Fox, + x,aTF) + 'хТатхь
(2.П)
* Во всех формулах гл. 2 черта сверху — символ усреднения.
146
Представим выражение (2.11) в виде суммы квадратов разностей соответствующих координат
в виде системы матриц от i=l; j = 1, 2, ..., п:
Iе I2 = Е (*i) - Е an (*i) *i/]2-tel	/»1
(2.12)
Будем считать, что в выражении (2.12) X\(t) является периодической функцией хп(С; тогда структурную схему, иллюстрирующую линеаризацию в векторной форме, изобразим, как показано на рис. 2.1, а.
Для определения а1у- воспользуемся соотношением
Подставив в соотношение (2.13) выражение (2.12), найдем
— 2Р{Хц + 2хц £ а1кх1к = О, (2.14) к«=1
откуда
Е анЛЛ/ = FiXu; i, j= 1,2, ...,n. X“1
(2.15)
х12хн .. .х1пхн
Fixn
до i = n; j — 1, 2, ..., п
ап1
ап2
..апп_
Хц Х12Х1Г. . .ХщХц
х11х12 Х12	. . -х1пх12
-х11х1п х12х1п‘ • -х1п
Fnxll
РпХ12
F
(2.17)
Из выражений (2.15) можно получить систему уравнений
—2 ,	,
ОцХц + 012X12X11 + ...
•	• • + а1пх1пх11 = ^1Х11 ’•
О11ХЦХ12 + 012X12 -р • • •
•	• • + а1пх1пх12 — F 1Х12<
allXllXln + а12х12х1п + • • • • • • + OlnXln = FiXin,
(2.16)
Onlxllxln~^~On2x}2xln~^~ • • •
. . . -f- OnnXln — Fnxlti‘
Эквивалентные передаточные функции определим из уравнений (2.16)
Перейдем к рассмотрению нескольких примеров использования общего метода нахождения коэффициентов линеаризации для однозначных нелинейностей.
Пример 2.1. Определить коэффициент линеаризации для однозначной нелинейности, когда на ее вход поступает первая гармоника синусоидального сигнала
Xi (!) = A sin a>t = A sin ф, (2.18) где со/ = ф.
Из системы матриц (2.17) имеем
. (xi)lxi
х
(2.19)
Тогда прн периоде Т, изменяющемся от О до 2л, усредненные значения функций определяют в виде
2Л
[F (х,)1Х1	( F (A sin ф) sin ф 4ф,
2Л J
О
( 2.20)
147
Рнс. 2.2. Структурная схема определения коэффициентов линеаризации однозначных нелинейностей при нескольких периодических сигналах, обеспечивающих условие минимального значения квадрата разности ошибки между точным и приближенным средними значениями выходных сигналов: а — двух входных н одного выходного сигналов; б — Двух входных и двух выходных сигналов
а
2л
*1=-^-$ sin2^«h|> *=-у-. (2.21) о
Подставив в выражение (2.19) зависимости (2.20) и (2.21), найдем
2Л
а(Л) = —F (Л sin ф) sin ф б/ф. (2.22) ЛЯ J
о
Формула (2.22) представляет собой коэффициент линеаризации по первой гармонике для однозначной нелинейности; она определяет эквивалентную передаточную функцию /(Л).
Пример 2.2. Определить эквивалентные передаточные функции ап н а)2 для одно
значной нелинейности при двух входных' сигналах Хц и Xi2 и одном выходе [32].
Воспользовавшись системой (2.16), запишем
«11*11 + al2xl2xn = Fxn; а11х11х12 + а12х12 = Р*12-
(2.23)
Систему уравнений (2.23) можно представить с помощью рис. 2.2, а, полученного нз рис. 2.1, а. Из рнс. 2.2, а видно, как формируется среднеквадратнческая ошибка воспронзведення выходного сигнала.
Будем считать, как и в примере 2.1, что входные сигналы изменяются по синусоидальному сигналу со сдвигами фаз <р2 и ф2, т. е.
х11=Л1 sin (ф + <р1); |
Xi2 = Л2 sin (ф + <р2). J
Усредненные значения функций
И (*||, Х12)] Хн =
2Л
= “5л' § Sin + о
Л2 sin (ф + <р2)]} sin (ф + ф,) cf ф;
[F (хи, х12)] х12 =
2Л
“"ST sin <Ч> -ь Ф1).
X7i> J о
Л2 sin (ф + ф2))} sin (ф + ф2) б/ф;
2 Л1 Г Л1
*11 “ЪГ} sin2’H'i’ = —; о
Л2 г”	Л?
-2 Л2 С . , . , .	л2.
Х12 = ‘2}Г J зш2фг/ф = —;
О
2Л
Х.2хн = J sin (Ф + ф.) х о
X sin (ф + ф2) б/ф =
Л;Л2	---
= —2 COS (ф1 — ф2) = ХцХ12.
Введем следующие обозначения: 2Л
h = {F [Л sin (ф+ ФО, о
Л2 sin (ф + ф2)] } sin (ф + ф1) б/ф; 2я
{г [Л. sin (ф + Ф1), о
Л2 sin (ф + ф2)]} sin (ф + ф2) б*ф
(2.25)
(2.26)
148
ц дерепишем систему уравнений виде
At , Л1Л2соз(ф1-ф2)
~2~ Oi14-------g--------Д12 =
Л142с°5(ф1-ф2) а\ --- ---2~------Л11 4—j" а‘2 ~
(2.23) в
'2.27)
Л2 , 2л 2 ’
Решая систему уравнений (2.27), получим два коэффициента линеаризаций раздельно для каждого входа:
<2ц (Ль Л2; фь ф2) =
1 rZ1 ~ z2C0S^i —Фа) xAi L sin2 (Ф1 — ф2)	.
<212 (Ль Л2; фь ф2) =
1 Г/2 — /1 cos (ф! — ф2) лЛ2 L 81П*(ф1— ф2)
(2.28)
Пример 2.3. Определить коэффициенты линеаризации Дц, д!2 н Д]3 при одном выходе н трех входных сигналах
Хи == Л1 sin (ф4- Ф1); -j
Х12 = Аг sin (ф 4- фа); > ' ’ (2.29)
Х1э = Л3 sin (ф4-фз). *
Из системы уравнений (2.16) найдем а11х11 + а12х12х11 + а13Х13Х11 = f 1Х1Р 1
а 11Х11Х12 + а12х12 + а13Х13Х12 =	Х12> I
а11х11х13 + а12х12х13 + а13Х13 = f 1Х13’ |
(2.30)
Запишем формулы для усредненных значений функций в виде
[Г (Хц, Х12, Х1з)КХц =  2л
= $ {Л1Л sin (* + ф,)> о
Аг sin (ф 4- Фа).
А3 sin (ф 4- Фз)]} sin (ф 4- Ф1) </ф;
[F (Хц, Х12, х13)] х12 =
2Я sin о
Аг sin (ф 4- ф2), А3 sin (ф 4-Фз)1} X
X sin (ф 4- ф2) г/ф;
(Хц, Х|2, Х1з)] Х13 = 2я
= ^5 sin <м> 4- фо. ;
0	.i
Аг sin (ф 4- ф2), А3 sin (ф 4- Фз)]} X ф X sin (ф 4- фз) </ф;
А2 г"	А2
*п = 257 J sin2 ф<*ф----
о
А2 г"	А2
*‘2”“йИ 5!п2фйф = —; о
А2 г*	А2
X13 = lFj s,n м>^=—; о
2л
хахц = А'Аг-1 sin (ф 4-Ф1)Х £Л J
О
X Sin (Ф 4" фа) </ф =
Л|Л2 .	,	-----
= —— cos (ф| — ф2) = ХцХ12;
2Я
х[2Хц = А^А'-	8Ш(ф+ф1)Х
о
X sin (ф4-фз) </ф =
Д1^4з	/	к	
= —g—cos (ф1 — фз) =ХиХ13;
2Л
Х13Х12 =	sin (ф 4- фа) X
О
X sin (ф 4- Фз) <*Ф =
Л2Л3 .	.	
=	%- COS (ф2 —фз) = Х|2Х13.
Введем следующие обозначения:
2Я
/1 = (F [Л sin (ф4- Ф1).
О
Аг sin (ф 4- ф2), А3 sin (ф 4- фз)1 }Х
X sin (Ф4- Ф1) <^Ф;
2я
1г — {F Mi sin (ф 4- Ф1). o’
A2 sin (ф 4- Фа)> 43 sin (ф 4- Фз)] }Х
X sin (ф 4- Фа) </ф!
2Я
/з = J {Г Hi sin (ф 4- Ф1). о
Аг sin (ф 4- фа). А3 sin (ф 4- <р3)] }Х
X sin (ф + фз) <<ф.
(2.31)
(2.32)
149
Перепишем систему уравнений (2.31) в виде
А? Л,Л2со5 (<р. — <р2)
~	+-----------2------а'2 +
,	Л1Л3 cos (ф,	— ф3)	_	Л,	, .
+---------j--------а'3	=	2л	1 ’
Л]Л2 СО8(Ф1 — Ф2)	А22
-------2-----------Я11	+	~2~ ai2	+
,	Л2Л3 cos (ф2	— ф3)	_	Л2	, .
+---------2--------“13 “ ~2л /2>
Л1Л3сов(ф1 — Фз) „	,
---------2------ 11 +
Л2Л3со8(ф2-ф3) +---------j--------а>2 +
, Аз п Аз + ~2"fll3= 2Г/з’
Из решения системы уравнений
(2.33)
получим
описания коэффициентов линеаризации однозначной нелинейности относительно трех входов в виде
flu (ЛI, Л2, Л3; фь ф2, ф3);
Д12 (Лj, Л2, Л3; фь ф2, ф3);
д1з (Ai, Л2, Л3; фь ф2, ф3).
Пример 2.4. Определить коэффициенты линеаризации вц, а12, a2i, а22 при двух сигналах Хц н х12 на входе и двух выходах. В этом случае систему уравнений (2.16) можно записать в виде
а11х11 + а12х12хп =s,^lxll>
а12х11х12 + a22^ = flx121 _2	----- ------- (2.35)
а21х11 +а22х12х11 Х1Р
а21х11х12 + а22х12 ” ? х12
и представить с помощью рис. 2.2, б, где показано формирование ошибок воспроизведения выходного сигнала.
Пи
Л]Л2 cos (ф1 — ф2) Л1Л3 cos (ф] — ф3)
Л|	AtA3 cos (ф2 - ф3) -
Л2Л3 cos (ф2 - ф3)	Л^
1 «12= д-
А1
А1А2 cos (ф! — фг)
Л1Л3сов(ф1 — ф3)
Л^зсов (Ф1 — Ф3)
Л2Л3 cos (ф2 — ф3)
А2з
(2.34)
П13
А
А
Л1Л2соз(ф1-ф2)
Л,Л3 cos (ф1 — ф2)
А{А2 cos (ф[ — ф2)
Л2Л3 cos (ф2 — ф3) —/3
где
Д =
Л21
Л1Л2со8(ф1 — ф2)
Л1Л3СО8(Ф1 —ф3)
AtA2 cos (ф, — ф2) Л |Л3 cos (ф, — ф3)
Л|	Л2Л3соз(ф2 ф3)
Л2Л3 cos (ф2	ф3)	Л3
Раскрыв определители (2.34), найдем формулы для вычисления общих форм для
Входные сигналы задаются соотношениями (2.24), а усредненные значения фуик-
150
ций в системе уравнений (2.35) будут
[Fi (Хл, Хц)]Хи = 2л
=	{f. Hi sin (ф+ <₽,),
о ;
Аг sin (ф + <р2)]} Sin (ф + <Р1) <7ф;
[fl (Хп, Х12)] Х]2 =
2Л
= {fi Mi sin (ф4-ф;), о
Аг sin (ф + <р2)1} sin (ф + <р2) d^;
[fj (Хп, Х12)] Xll =
2Л
{f» Mi sm (n>+<₽!),
ZJv J
0
At sin (ф 4- <p2)] } sin (Ф 4- Ф1) «7ф;
[f 2 (Хи, X12)] X12 =
2л
“-ЙЛ {fs Mi Sin (ф + Ф,),
*Jv J
0
At sin (ф1 + ф2)[} sin (ф + ф2) rf-ф-
Введем следующие обозначения:
2л
Л = {fl Ml sin (ф + Ф1), о
А2 sin (ф + ф2)] } sin (ф + ф,) <7ф; 2л
It = {fi М. sin (ф + фО, о
Лг sin (ф + ф2)]} sin (ф 4- ф2) </ф; 2Л
h = {Ft Mi sin (ф 4- фО, о
Ах sin (ф 4- ф2)]} sin (ф 4- фа) <*ф; 2Л
It = {fa [Л1 sin (ф 4- ф|), о
Аг sin (ф 4- ф2)] } sin (ф 4- ф8) </ф;
д2	А2
=2 _ Л1 . -2 _ Л2
*и==—. *12—2~;
----- AjAt .	,
*12*11 = —2— cos VP> ~ Ф») -
(2.36)
(2.37)
Подставив выражения (2.36) и (2.37) в систему уравнений (2.35), получим
Л? , Л1Л2соз(ф1 — ф2) __ 01, _(-------------- 012 =
Л1Л2соз(ф1-ф2) Л| -------2--------а,! ' ~2~ а>2 =
Л^ 2л '2’
Л? , Л1Л2соз(ф1 — ф2) ~2~ <hi 4-------2-------“22 =
2
Л]Л2 cos (ф( — Ф2)	, Л2
~— a2i 4" ~2~	=
— 7
2л
откуда найдем
_ 1 Г 71 — /2 cos (ф] — фг)1. а” лЛ] L sin2 (ф! — ф2) J’
_ 1 Г /2 — 7i cos (ф! — ф8) ~|.
а>г лЛ2 I sin2 (ф1 — ф2) J’
_ 1 [73 — 7« cos (ф1 — ф8)1.
°13	лА> 1	81п2(ф!—ф2)	.Г
1 Г 74 — 73 cos (ф1 — <ра) "I 014	лЛ2 L	sin2 (ф| — ф2)	J
(2.38)
(2.39)
В общей форме коэффициенты линеаризации (2.39) можно записать в виде
Оц (Ль At, фь фг)> 012 (Ль At, фь Ф2)» 01з (Ль At, фь ф2)>	014 (Ль At, фь фа).
В дальнейшем сравним формулы для определения коэффициентов линеаризации простейших нелинейностей при подаче на их вход периодических сигналов: синусоидального, треугольного, меандрового и покажем целесообразность применения получаемых эквивалентных передаточных функций в решении ряда задач, с которыми встречаются проектировщики в своей практической деятельности.
Теперь перейдем к распространению обобщенного метода описания коэффициентов линеаризации на двузначные нелинейности. В этом
151
случае, учитывая соотношение (2.8), выражение (2.10) можно записать
8(0 = ^(*i, ii) — [а(*ь *i)*i +
+	(2-40>
н формула (2.12) примет вид
I'.f -	i,)-
(-1

Структурную схему, иллюстрирующую определение многомерных периодических коэффициентов гармонической «линеаризации в векторной форме для двузначных нелинейностей, составим по условию минимального значения квадрата разности между точками и приближенными средними значениями выходных сигналов и приведем ее изображение на рис. 2.1,6.
Для определения a(/(xb *i) и bi{(xlt *i) воспользуемся соотношениями daij	dbu
и формулой (2.41), откуда найдем систему уравнений
О] 1*11*1» 4- 012*12*1» 4- ••• ... 4-0inxu = ^"ixln;
О»1*Ц*1» 4- О„2*12*1» 4- • • •
• • • 4" 0nnXln =
И _	. 
6ц*11 4" 612*12*11 4- • • •
•	• 4- btnxlnxn = (Хц; 611*11*12 4-612^2 4- •••
•	• 4- blnxlnxI2 =	^’1*I2;
6ц*11*1п 4" 61пХ12*1п 4" • • • ... 4" 6щ*1» = у 1*1п>
6п1*н*1л 4- 6П2*12*1л 4~ • • •
4-Ь ?? — 2lt*
•	• • 7" vnnxln — т п*1п‘
Коэффициенты линеаризации определим из уравнений (2.41) в виде системы матриц от i = 1; /= 1, 2, .. „л
Г Оц
I 012
Г 7.2
Х~ц Х12ХИ . . . Х1пХц
*п*12 *12	... *1,1*12
LoinJ
I------------- —2
L*ll*ln *12*1» • • • *1'i
1*12
п ______ _____
22 OitcXhcXfi = к —1
п ______
bMi=^-Ptxu. к-1
(2.42)
_2 l_g~ i*i„ J_________
*11	*12*11- • •*!»*!!
Х12
Перепишем ее в следующем виде:
ОцХ11 4" 012*12*11 4" • • •
• • • 4-ain*in*ii=^’ Ли ОцХпХ12 4" 0^X12 4" • • • ... 4-ain*ln*12 = ^'l*12;
......................... 4-
2лк /я-~|.
у 1*12
ХцХ1п Xj2^1 п * • •
152
до i = n', j= 1, 2.....................п	I
На интервале от 0 до 2л усредненные значения функций будут
&П1
ап2
Хц ХцХц. . .Х1пХц
ХцХ12 Хц ... ХщХ12
а.
пп-
-ХцХщХцХщ.
~2 Xln
^ПХц
пхц
~bni
Ьп2
_&~nxi
П—
2л
У (Xi) Xi = У (4 sin ф) sin ф йф;
о 2л
У (-*1) Xi = -g— j У (4 sin ф) cos ф йф; о
2л х>=-й5 8!п2фйф=4:
• о 2л 42<о2 С 2 >. j .	42<о2
_С08ф</ф =--------—.
О
72
-Ьпп_
Хц ХцХц . . . XinXn
ХцХц Хц . х1пХц
-ХцХ1п ХцХ1п . . ~^-^1
~^ц
2jt* Д- Z. ~ У ~ ПХ1п
-Т2 Xln
(2.47)
При первой гармонике входного сигнала x(/)=4sina/ по формуле (2.45) можно найти для двузначной нелинейности первые два коэффициента гармонической линеаризации а(А)ги,Ь(А) в виде
а (А) =	(Х')] Х| ;
*1 •
МЛ)=Ддг<хД].х^,
*1
(2.48)
где
(2.44)
Рассмотрим несколько примеров нахождения коэффициентов линеаризации для двузначных нелинейностей при к= 1.
Пример 2.5. Определить коэффициенты линеаризации двузначной нелинейности, когда иа ее иход поступает первая гармоника синусоидального сигнала и имеется одни выход. Тогда из системы матриц (2.44) получим
а(х1)=-^'(Х|)]Х| ;
*1
„ ,---------- (2.45)
h (г \	2Л	(*1)] *1
0(Х1)	Т	р-------•
В данном примере входной сигнал запишем и виде
Xi (0 = 4 sin <о/ = 4 sin ф,
откуда
*1 (0  4ш cos <о< = 4а cos ф. (2.46)
2л
о
У (4 sin ф) sin ф г/ф;
(2.49)
2л
5 (4) = У (4 sin ф) cos ф йф. (2.50) о
Тогда для двузначной нелинейности общую эквивалентную передаточную функцию представим как
7(4) = а (4) + /5(4).	(2.51)
В соотношении (2.51), так же как и в выражении (2.5), имеются действительная и мнимая составляющие эквивалентной передаточной функции двузначной нелинейности.
Пример 2.6. Определить коэффициенты линеаризации ан, <212, 5ц и Ьц для двузначной нелинейности при двух входных сигналах Хц(0 = 41 81п(ф -|- <₽i), xtJ(0 = = Аг sin (ф + <ра) н одном выходе.
Из системы уравнений (2.43) имеем
“11*11 + “12Х12*11 “ ^1Х11>
“11*11х12 +“12*12 = ^1*12:	(252)
*11*11 + *12*12*11 °* ®&~1ХЦ.
*11*11*12 + *12*12“®^ 1*12-
153
Рис. 2.3. Структурная схема определения периодических коэффициентов линеаризации двузначных нелинейностей при нескольких периодических сигналах, обеспечивающих условие минимального значения квадрата разности ошибки между точным и приближенным' среднийи' зйачёниями* выходных сигналов
Формулу (2.39), по которой формировалась система уравнений (2.52), можно проиллюстрировать рис. 2.3. Как следует из уравнений (2.52), в них приведены зависимости для усредненных значений функций
2л
(х1Ь х12)] хи =-^{#'(/l1sin(A|)4-qp1), О
Л2<о cos (ф -|- фг)]} sin (ф + «рО с?ф;
2л
(^(Хн, *12)]Х>2—М {ЗГ[Л, SinW-Hh), хЛ J О
Л2ш cos (ф + <р2) ]} sin (ф + q>2) йф;
2л
5 Э1п(ф + ф!>,  О
Л2а> cos (ф + ф2)]} cos (ф + ф,) </ф; 2л
У1(хц, xi2)xi2 =	sin (ф -1-ф,),
2Л J О
Л2<о cos (ф + ф2)]} cos (ф + ф2) </ф;
Л? г"	Л2
J Sin2*rf*’=“2i-: о
Л2 с"	Л2
х12 = ^- $ зш2ф<*ф = -^-;	;
о	|
Л2<о2 2
72
2л	|
Х12*п = А^2	8т(ф+ф1)зт(ф-|-ф2)</ф= •
о	’
Л(Л2 /	.
= —2—cos (<Pi — Фа);
2 2 2я Л)со с • " 2 - \ cos2 ф йф = о
2 2 2я Л2Ш С 2	,
ХЬ = _27~ Jcos
о 2л
—г-	Л|Л2<В2 f ,
Х12Х“ =—2л—J C0S
О
. .	/ l ,	\ j l Л^гШ2 .	.
X cos (ф + ф2) 4ф =-------cos (ф1 — ф2).
Л2<о2 2
(2.53)
Введем в систему уравнений (2.53) следующие обозначения:
2л
7, — J {^1 [41 sin (ф + ф!). о
Л2<о cos (ф +ф2)]) sin (ф + фО йф;
2л
Л = [Л sin (ф + Ф1), oJ
Л2<о cos (ф + ф2)]} sin (ф + ф2) cfф;
2л	(2-54)
Л = {F1 [^41 sin (ф + ф(), о
Л2со cos (ф + ф2)]} cos (ф + ф|) йф;
2л
Л = {^"1 [л1 sin (ф + фО, о
Л2Ш COS (Ф + ф2)]} cos (ф 4- ф2) йф
и, подставив (2.53) и (2.54) в систему уравнений (2.52), найдем
У
. 4j42 cos (Ф] — ф2)
— «11 +-----------2----------а'г =	1"
Л[Л2со5(ф| ф2)	, Л2	42
---------2--------““ + ~“‘2 = 17 '2'
j, ( 41Л2соз(ф1 — ф2)	Л1
—	Т----------6>2= йГ7”
Л1Л2со8-(ф1 — ф2)	4|	42 7
---------2--------*и + —
(2.55)
154
Решая систему уравнений (2.55), определим составляющие эквивалентной передаточной функции
_ 1 ГЛ — /2 cos (<Р1 — фа)!. а“ nAi L sin2 (ф!—ф2) J’
= 1 Г /а —Л cos (ф, —фг) I. 012 = лЛ2 L sin2 (ф1 — ф2) J’ b = 1 Г Гз — Л cos (ф1 — фа)~|
11 лЛ! L sin2 (ф! — ф2) J’
Ь — 1 Г Л — Л cos (ф1 — ф2) 1
12 лЛ2 L sin2 (Ф1 — фа)
(2.56)
Общие формы эквивалентных передаточных функций, полученные с помощью системы соотношений (2.56), будут
/(Л1, л2; Ф1, ф2; и) =
= пи (Л 1, Л2; фь фа) + jbu (Ль Л2; фь Фа)> 7 (Ль л2; фь фа; (О) =
= aia (Ль Л2; фь фа) + /6ia (Ль Л2; Фь фа).
(2.57)
Пользуясь приведенными математическими зависимостями в примерах 2.1, 2.2, 2.4—2.6, можно найти коэффициенты гармонической линеаризации для существенных нелинейностей.
Для нелинейностей вида^х^хО с учетом соотношения (2.6) выражение (2.40) перепишем в виде
8 (0 = ST (xb xi) — [a (xj, Xi) х, +
+ >(,Ul)r *]’ <268>
откуда формула (2.41) при «=1 примет вид
i.)-1 — 1
+
+ ~bil (х"2*‘);е‘/Г])}2 • (2.59)
Для определения	Xi) и
6//(хь xi) воспользуемся соотношениями
аЦ7Ц2_п. а||7||2__0
<4/	’ Ыц
и формулой (2.42); тогда найдем систему уравнений
п _________
к=1
п
У,	(Хц.
К = 1
1(2.60)
2. ГАРМОНИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ТИПИЧНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ элементов
Классическая теория гармонической линеаризации типичных нелинейностей предполагает, что сигнал, снимаемый с выхода нелинейности, является периодическим и имеет основную частоту, совпадающую с частотой синусоидального входного сигнала. В' результате такого допущения при нахождении эквивалентных передаточных функций нли коэффициентов гармонической линеаризации учитывают только первую гармонику, а влиянием высших гармоник пренебрегают. Это справедливо лишь для таких САР, линейная часть которых является низкочастотной и подавляет колебания высоких частот. Однако данное положение иногда нарушается, н в входных и выходных сигналах наряду с первой гармоникой содержатся высшие гармоники. От их действия в некоторых САР возникают автоколебания, недопустимые по требованиям эксплуатации.
Рассмотрим аналитическое определение коэффициентов гармонической линеаризации по первой гармонике входного сигнала и приведем их графическую интерпретацию. Для этого примем, что на вход однозначной нелинейности поступает сигнал
Х[ (/) — A sin at. (2.61)
Выходной сигнал можно представить
y(t) = F (Л sin at). (2.62)
Приближенное значение выходного сигнала, как было показано в
155
Рис. 2.4. Геометрическая интерпретация гармонической линеаризации:
а — однозначной нелинейности; б — двузначной нелинейности
п. 1 гл. 2, имеет вид
ух (t) = Л] sin со/, (2.63)
где Ai — первая гармоника сигнала на выходе нелинейности.
Выражение (2.63) запишем через коэффициент гармонической линеаризации
yi (/) = Аа (Л) sin со/. (2.64)
Имея в виду выражения (2.61) и (2.64), получим
У1(/) = а(Л)х1(/),	(2.65)
откуда
a(A) = yi(t)/xi(t). (2.66)
Подставив в выражение (2.66) выражения (2.61) и (2.63), найдем
а(Л) = Л1/Л.	(2.67)
Из формул (2.66) и, (2.6.7) следует, что коэффициент гармонической линеаризации однозначной нелинейности представляет собой коэффициент усиления, определяемый отношением амплитуды 1-й гармоники выходного сигнала yi (/) К ВХОДНОМУ
Проиллюстрируем это положение с, помощью рис. 2.4, а, из которого видно, что при подаче на вход нелинейности типа насыщения синусоидальных сигналов с амплитудами Л и Л на выходе образуются сигналы только первых гармоник с
амплитудами Л1 и Л'. Тогда нелинейная функция F (xi) может быть аппроксимирована прямыми линиями 1 и 2 с коэффициентами наклона а (Л) и а (Л'). На рис. 2.4, а также показан графический способ определения коэффициентов гармонической линеаризации однозначных нелинейностей в соответствии с соотношением (2.64).'Зависимость коэффициентов гармонической линеаризации от амплитуды входного сигнала указывает иа то, что основное свойство нелинейной характеристики F(xl) полностью сохраняется.
Перейдем к аналитическому и графическому определению коэффициентов гармонической линеаризации для двузначных нелинейностей (рис. 2.4,6). В этом случае при действии ,на входе нелинейности сигнала, записанного в виде, аналогичном (2.63), на выходе имеем приближенное значение сигнала
yi (/) = С[ sin (со/ + <₽[), (2.68) где q>i — сдвиг фазы, зависящий от величины амплитуды входного сигнала. Как видно из рис. 2.4, б, с ростом амплитуды входного сигнала происходит уменьшение фазового сдвига.
Выражение (2.68) можно переписать
yi (/) = Л1 sin со/ 4- Bi cos со/, (2.69)
где _____________
С\ = Л1 -|- Bi; sin Ф1 = Ai/Ci', cos ф! = BilCi.
156
Таблица. 2.1
Вычисление коэффициентов гармонической, линеаризации типовых однозначных нечетных нелинейностей
Nt л/л
Вид нелинейности
g(t)
а. (А) =<^(А)
^rfarc sin -b-nrcsin + Я	А	А
2

157
Продолжение табл г.1
158
Продолжение табл. 2/
y-8stn[x-£( l*+cl-l*-cl)J
Ун
г1е
J,(A). J,(A)uJ2n(A) функции Бесселл
у =8 соз к «sjnx
IBS.,, (А)
ХА
S.,,,(A)-
-функция Лонмелл
•/fJAkstn С~ т
-2S.t1(A) COS С]; lie Jt '(A)-
-	функция Бесселя ;
S.t1(A)-
-	функция Лопмеля
Г с х arc sm — +—
А А
159
Продолжение табл. 2.1
160
Продолжение табл Z. 1
23
у=! 8 + £xz)sgnx
11
6	К). И. Толчеев
161
Продолжение main. 2.1
Пользуясь значениями коэффициентов гармонической линеаризации а(Л) и Ь(А), из выражения (2.69) получим
г/1 (0 = Аа (Л) sin <о/ + АЬ (Л) cos a>t,
(2.70)
где а(Л) и Ь(А)—коэффициенты гармонической линеаризации по 1-й гармонике.
Формулу для определения выходного сигнала в соответствии с (2.70) найдем
5,1(0 = а(Л)х1(0 + -^х1(0, (2.71) или
w- <2-72>
Ранее было показано (2.51), что эквивалентная передаточная функция имеет вид
/ = а(Л) + /й(Л),	(2.73)
или
/ = 9(Л)е^<л>,	(2.74)
где q(A) и ц(Л)—соответственно эквивалентные амплитудная и фазовая характеристики двузначной нелинейности по 1-й гармонике.
Эквивалентные амплитудная
q (Л) = Va2 (Л) + Ь2 (Л) (2.75) и фазовая
pM) = arctg-|^- (2.76) характеристики можно представить в виде рис. 2.4, б. При этом видно, что нелинейность аппрокси-
мируется прямыми линиями 1 и 2, проходящими через точки 7\ и Т2 с коэффициентами наклона q(A) и q(A'). Здесь же показаны значения фазовых углов ц(Л) и ц(Л').
Пример 2.7. Определить формулы для вычисления коэффициентов гармонической линеаризации однозначной (рис. 2.4, а) и
двузначной нелинейностей (рис. 2.4, б) и
построить шаблоны 20 1g
____1_
<7 (-4)
и -180°-
— ц (Л) иа полулогарифмической бумаге. Для однозначной нелинейности было по-
казано (см. п. 1 гл. 1), что
2л
а(Л) = -М ЛА J 0
F (Л sin ф) sin ф йф. (2.77)
Из рис. 2.4, а видно, что выходной сигнал является симметричным на интервале от 0 до л; тогда его можно описать
f A sin ф при 0 sj ф sC фь yi (/) = < В при ф1СФ<л—фь (2.78) Л sin ф при л — ф1=С ф^л.
Подставив (2.78) в (2.77), получим
Чь
9 Г
а (Л) = —-г- \ Л sin2 ф ф +
JlA j
0
n-tpi
2 С
+ -v \ В sin ф dty +
ЛА J
Чь
л
-|—( Л sin2 ф йф = лЛ J
л-Ч>1
|>i — sin 2ф1 + -^-.cos Ф1)- I2-79)
Так как
51пф1=-^- и cos ф1 — /у 1 — -jp , (2.80)
162
О	5	Who	5	10 А
6)	г)
Рис. 2.5. Коэффициенты гармонической линеаризации для однозначных нечетных нелинейностей типа:
а — насыщения с i - 1, В - 1; б-ограничения сигнала в виде треугольника с ii - 4>« 1, В = Г, в— ограничения сигнала в виде трапеции с Л, = Ла = 1, В-1; г — переключения по уровням Ви —В (В = 1)

в}	г)
Рис. 2.6. Коэффициенты гармонической линеаризации для однозначных нечетных нелинейностей типа:
а —насыщения с зоной нечувствительности при Ci - В — 1, Ла - Г, б — переключения с зоной нечувствительности С — В — 1; в — ограничения сигнала в виде треугольника с зоной нечувствительности при Л| — kt — 1, В — 1; г — ограничения сигнала в виде трапеции с зоной нечувствительности прн kt — Л2 = 1, В — 1
6*
163
а— синусоиды с одним периодом при В = в — синусоиды с зоной нечувствительности уровням В и —В (В « 1)
1; б — косинусоиды с одним периодом при В - 1;
С — В «= 1; г — косинусоиды с ограничениями по
6)	г)
Рис. 2.8. Коэффициенты гармоническор линеаризации для однозначных нечетных нелинейностей типа:
а — синусоиды с .зоной нечувствительности ha полупериоде при 2С — 1; б — кусочно-линейной с двумя наклонами kt = I, k2 = 1,5; в — нечувствительности с С = 1, k = 1; г — переключения с постоянным наклоном к - I при ограничениях по уровням В и —В (В = 1)
6)
6)
г;
Рис. 2.9. Коэффициенты гармонической линеаризации для однозначных нечетных нелинейностей типа:
а — кусочно-линейной с зоной нечувствительности 2С, = 1 и двумя наклонами kt = 1, fe — 0,5; б — с ограничениями по уровням В и —В (В = 1), с последующей кусочно-линейной частью
5)	г)
Рис. 2.10. Коэффициенты гармонической линеаризации для однозначных нечетных нелинейностей типа:
в —функции Вх + гх3, В = 1, е-1; б —параболы четвертой степени с В — 1: в —с ограничениями по уровням В н —В (В = I), с последующим участком в виде квадратической параболы; а — с ограничениями по уровням В и —В (В — 1), с последующим участком в виде кубической параболы е — 1
Рис. 2.11. Коэффициенты гармонической линеаризации для однозначных нечетных нелинейностей типа:
а—функции тангенса от -у до - -у; б—квадратической параболы, начинающейся с зоны не-чувствительности С«1; в — кубической параболы, начинающейся с зоны нечувствительности 0=1; г — функции Вх—ех2, £=1, 8=1; д—цифрового преобразования прн 2^ = С^=»1
то из выражения (2.79) можно определить формулу для вычисления коэффициента гармонической линеаризации нелинейности типа насыщения в виде
а(Я)=1(аГс51п-£+4д/1-^.).
(2.81)
В табл. 2.1 эта формула записана для случая В = С = 1.
Формулы для вычисления коэффициентов гармонической линеаризации других наиболее часто встречающихся типов однозначных нечетных нелинейностей также приведены в табл. 2.1. По этим формулам на рис. 2.5 2.11 построены кривые, характеризующие изменение коэффициентов гармонической линеаризации в зависимости от амплитуды входного сигнала. У всех типов однозначных нелинейностей Ь(А) = 0 а следовательно, а(Л) = <?(Л). Тогда по данным табл. 2.1 нетрудно получить формулы для построения шаблонов, с помощью которых находят амплитуды автоколебаний в нелинейных САР (см. гл. 7). Для нелинейности типа насыщения эта формула
будет 1	9
20 1g—Агг = —201g--Я (A) s л -201е(агсз1п4 + ~д/1-£1).
(2.82)
Шаблон показан иа рис. 2.12, а. Для других нелинейностей эти шаблоны изображены на рис. 2.12—2.18.
Для вычисления коэффициентов гармонической линеаризации двузначных нелинейностей используем формулы вида
2л
а ="лЛ J s*n s'n
о *,
2л	(2.83)
b (А) = —( F (Л sin ф) соз ф </ф.
ЛЛ J о Пользуясь рис. 2.4, б, опишем выходной сигнал как
/ —В при 0<ф<фи
(0 = < В при ф1 < ф С л + ф,; (2.84)
*• —В при я + ф1 С Ф < 2л.
166
Рис. 2.12. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с однозначными нечетными иелииейиостями, с параметрами, указанными иа рис. 2.5, а—г, типа:
а — насыщения; б — ограничения сигнала в виде треугольника; в — ограничения сигнала в виде трапеции; г — переключения
Рис. 2.13. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с однозначными нечетными нелинейностями, с параметрами, указанными на рис. 2.6, а—г, типа: а — насыщения с зоной нечувствительности; б — переключения с зоной нечувствительности; в — ограничения сигнала в виде треугольника с зоной нечувствительности; а — ограничения сигнала в виде трапеции с зоной нечувствительности
167
ных системах с нечетными нелинейностями, с параметрами, указанными на рнс. 2.7, а—г.
типа:
а — синусоиды с одним периодом; б — косинусоиды с одним периодом; в — синусоиды с зоной нечувствительности; г — косинусоиды с ограничениями по уровням В и —В (В — 1)
Рис. 2.15. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетными нелинейностями, с параметрами, указанными иа рис. 2.8, а—г, типа:
а — синусоиды с зоной нечувствительности на полуперноде и ограничением по уровню В  1; б — кусочно-линейной с двумя наклонами; в — нечувствительности; г — переключения с постоянным наклоном к — 1 при ограничениях по уровням В и —В (В - I)
168
Рис. 2.16. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетными нелинейностями, с параметрами, указанными на рис. 2.9, а—г, типа:
а _ кусочио-лииейиой с зоной нечувствительности; б —с переключением по уровням В и —В (В = 1), с последующей кусочно-лииейиой частью при ki — 1, k2 = 0,5; в — квадратичной параболы; г — кубической параболы
степени; в — с ограничениями по уровням В и
—В {В = 1), с последующим участком в виде квадратической параболы; г — с ограничениями по уровням В и —В (В — О, с последующим участком в виде кубической параболы
169
Рис. 2.18. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетными нелинейностями, с параметрами, указанными на рис. 2.11, а—д, типа:
а — функция тангенса; б — квадратической параболы, начинающейся с зоны нечувствнтельностн; в — кубической параболы, начинающейся с зоны нечувствнтельностн; г — функции Вх — ех3; д — цифрового преобразователя
Подставив формулы (2.83) в (2.84), получим
1 Г Г
а (А) = -^д-1 — \ В sin ф </ф 4-L о
я+ф,	2Л
j В8шф<7ф— В sin ф г2ф Ф>	л+ф,
4В = —j- cos ф(;
nA т
Ф>
В cos ф с/ф +
о
Я+ф1	2я	_
+ Всовфйф — Всовфйф
Ф>	Л+Ф1	J
4В . . ------j- Sin ф|.
яА т
Имея в виду соотношение (2.84), из. выражения (2.85) определим формулы для коэффициентов гармонической линеаризации в виде
а(А) =
С2
А2
Ь (А) = -
4ВС яА2
6(A)
(2.85)
при А>С; (2.86)
при А>С. (2.87)
Пусть В — С = 1; тогда по формулам (2.86) и (2.87) можно получить зависимости а (А) и 6(A), которые приведены в табл. 2.2. Кривые, характеризующие изменение коэффициентов гармонической линеаризации в зависимости от амплитуды входного сигнала, построены иа рис. 2.19— 2.26.
По выражениям (2.86) и (2.87) можно найти формулы для вычисления эквивалентных амплитудной
дя с q(A)=^£± при А>С (2.88) /1
170
Таблица 2.2
Вычисление козцнрициентов гармонической линеаризации типовых нечетных двузначных нелинейностей
№ П/П	вид нелинейности				у,<и					а (А)	в(А)
/	-с	У	В	с	У 0		—	x^v, IX		ЧВ i/ с1' ЯА<1 Аг А*С	ЧВС ЛА 2 AiC
		0 -в		/			3i Ti 2	4» !v			
2	-с	У	л	 тС _		У> 0	V,		э-ы « , гх		* F41 м |Ъ| +	2ВС f. । 1) А г-С
	чпС 0 -в			С X				11LJ"			
3			В		У 0			_		2Я	а.(А)=О А = С	ЧВ ЯА А = С
	-С	0 -В	—	С X		—	я я _ 2		4х		
ч	У В -с Г '				У 0	ГТ^гН*				ХА У Аг А>^С	ЧВС КАг А^С
	ч		J с % W-*			ичя Я I •"2	<_			IV		
5	У в -с /		t/fi _		У 0		"™к Г fc* | |\ 7*^2Я			АЪС	ЯА I А) А»С
	/а		/	X -в цр-к			f Я ¥Я\ 2	\					
6	У К \ 8 а*лс к -с7		W		У 0	/I LL	1 4- чг-. 5£*			^(arcsin ,arcsin^+^ (В*КС)1 В-КС 4-^	ЧВС ЯА1 А^^-К
	1/» I/ 7		/с д**с х к -в tgP=K			Ж •ж		L			
171
Продолжение табл г.1
7	У В -с/		/р ,		У я	/Г~\ /; (Хп1 ~2ji			s[l' A*C	ХА \ А! АЪС
	/о.		fc	X -в tgJ3=K			/ Я FJT\ I 1V 1	\	/				
в	у в -тС-С				У 0		 й-“ t Jr.L n, i-ч Ffe гх			К zb !J, cl 1 йГлг + + Г A1 / АЪС	МО .. . ~^-т} АЪС
		0	/77 С С Л -в			v я	v 1 2						
9	У в ~С-тС		п		У 0	П .			ZB J, m2Cz ПА Г Az A = C	_ZB [ mC \ я А к А / А-С
	и.		тС С 'х -В			чrt U г				
10	У В*кС в А \-C-mC j 0		ТЬ-тС С\ X _я 8*кС 8 ~к~		У 0	/ГК A W\.\\jz*V			l{ftapcs£n - УУ~т^]-ат1п-У A J	A mC -arcsin ~ + A	2вС Л С\, \ 	Г 1л7 Vm яА \ А/' '
11	У В+кС в  Л \ -С-тС		ж		У 0	/ТХ J\\			К Г , в*ХС . S,n>K х^Тл-^^Тл - a min У -arc sin v-f+ A	 A B'ltC IS’kCF S*mxl кА V №Л2 кА ,k 1±ткС)г' С.П7 ~аГа‘~ тС I m2cz] ~7~Г~Т2 J АЪ Д / к	с ZBC(l-m) Я А2 , В + КС А^~
	Ж		тС С \ X и 8+КС ~В ~ tj/M							
1Z	-в	У	В	с	У 0			4-ni z 1 ,	а(А)=О А = С	9В А А=С
		0 -в		X		я 2	я	2 ЯГ		
172
Продолжение табл. 2 1
13	У В -С-гпС	ILL	У 0	_3Г Тч-V 2Л	zb ,/. тгсг TiA r A1 Аг-тС	2В [ тС ) ЯА\ А / Аг тС
	0	тб С X -В		V Jl_ Я |	|	F		
/4	У -с_ 0		У 0	— Ti /\ г 2Г^	К I A^C	К Я АгС
		/ С X		Л s\ I ¥ 2		
15	У -Сг-С, 0		У 0	/Я	.	к,	.6 -(arcsLn — + 3i	A c ./, сг ’] + 7 Г'Л/ АЪС, при А=Сг	я. A ' 2AI A>Ct при А=Сг
	1 1 /	С, Сг X -fl		^\j_| zs- v		
16	УЬ в -С /	'/р ,	У 0		, в+кс А-~к~	ПА 1 А/ А- к~
	/0	/с X -в ЧР-*		v я	\7zfiv		
и фазовой
С
/, С2 v
Л/ А2
(2.89) характеристик рассматриваемой двузначной нелинейности. Эти формулы внесены в табл. 2.3. Там же приведены зависимости и для других типов двузначных нелинейностей.
Для построения шаблонов рассматриваемого примера воспользуемся следующими формулами:
“'«W — 20|e-Hr-20l|iT <290>
И
Т)(Л) = - 180°-д (А).	(2.91)
На рис. 2.27, а н б изображены шаблоны, построенные по формулам (2.90) и (2.91). Для других типов двузначных нелинейностей онн построены в логарифмическом масштабе на рис. 2.27—2.34.
С помощью этих шаблонов находят амплитуды и частоты автоколебаний в нелинейных САР и строят области устойчивых и неустойчивых состояний по пара
метрам линейной нлн нелинейной частей систем (см. гл. 7).
Следует указать, что существует два типа двузначных нелинейностей — пассивные и активные. Под пассивной понимается такая двузначная нелинейность, в которой за один период входного сигнала нелинейная характеристика обходится против часовой стрелки. В этом случае в выходном сигнале наблюдается фазовое запаздывание. Если же обход нелинейной характеристики происходит по часовой стрелке, то двузначная нелинейность является активной и в выходном сигнале имеет место фазовое опережение. Формы сигналов на выходе пассивной нелинейности изображены на рис. 2.35, а, а активной — на рис. 2.35, б. Активные нелинейности применяют в устройствах коррекции САР для обеспечения их устойчивости. Реализация таких устройств может быть выполнена на электронных
173
b(A)
г)
линеаризации двузначных нечетных нелиней-
Рис. 2.19. Коэффициенты иостей при В = С и трех а и б — однопознцнонного реле соответственно для а(Л) н 6(Л); в н г — однозначного реле с неполным смещением соответственно для а(Л)
гармонической т типа:
Рис. 2.20. Коэффициенты гармонической линеаризации двузначных нечетных нелинейностей типа:
а — характеристики идеального гистерезиса; б и в — однопознцнонного реле с С — S - 1 н k— 1 соответственно для а (А) н Ь(А)
н
b(A)
174
a)
bW
Рис. 2.21. Коэффициенты гармонической линеаризации двузначных нечетных нелинейностей при С = В типа:
а и б —люфта с шириной 2С н k - 1 соответственно для а(А) н Ь(А)
в)
Рис. 2.22. Коэффициенты гармонической линеаризации двузначных нечетных нелинейностей типа:
а и б — однопознцнонного реле с гистерезисом при k— 1 соответственно для а(Л) и Ь(А); в и г — гистерезиса с С - В — 1 соответственно для а (Л) и Ь(Л)
175
Рис. 2.23.\ Коэффициенты гармонической линеаризации двузначных нечетных нелинейностей типа:
а н б — двухпозицнонного реле с зоной нечувствительности соответственно а (Л) и Ь(Л); в н г — гистерезиса с зоной нечувствительности соответственно для а (Л) н Ь(А)
элементах или в виде рабочих программ на управляющих ЭВМ.
Рассмотрим гармоническую линеаризацию нелинейностей, когда на их вход поступают сигналы типа Xi (t) = х0 + A sin ф, где Хо — постоянная составляющая входного сигнала.
Для определения формул гармонической линеаризации снова воспользуемся нелинейностями, приведенными в примере 2.7, но при наличии смещения х0 (рис. 2.36,а). При этом сигнал на выходе нелинейности
У1 (<) =
*о+ А sin ф В
Хо + A sin ф
—Хо—A sin ф — В
—Хо—A sin ф
при О Ф Ф11
при Ф1 < ф < л — фи
при л — ф1 ф л;
при л ф л + ф2;
при л+ф2<ф<2л—ф2;
при 2л — ф2 < ф < 2л.
(2.92)
bM
г)
Тогда первое приближение для выходного сигнала имеет вид
У1 (0 = Ро (хо, >1) + Аа (х0, Л) sin ф, (2.93)
где Fo(xo, Л)—функция смещения выходного сигнала (постоянная величина при заданных значениях х0 и Л).
Для нахождения коэффициентов линеаризации
2я
Fo (хо, Л) = -^-^ F (х0 + A sin ф) </ф, (2.94) о
2я
а (х0, Л) = F (х0 + A sin ф) sin ф йф
о
(2.95)
подставим в формулы (2.94) и (2.95) выражение (2.92); тогда получим
4»
Fo (*о. А) =	(х0 + A sin ф) </ф +
О
л-м>,	я
5 Г	1 С
+ 2л J ^^Зл J (хо + А sin фМф—
фх	я-ith
176
AM)
a)
-0,2'-----------------------
г)
в)
Рис. 2.24. Коэффициенты гармонической линеаризации двузначных нечетных нелинейностей типа: о н б — двухпозицнонного реле с зоной нечувствительности при ft = 1 соответственно для а(Д) и Ь(Д); в н г —гистерезиса с зоной нечувствительности соответственно для а (А) н б (А); д — однозвенного элемента с фазовым опережением
д)
177
a)
a(A)
bM 0,6
0,4
0,2
0
b(A)
	/т-0,25			
	т-0,5			
	т-0,75			
				
2	4	6	8 A
6)
			-cj^'	0 с
				tgP’A
				
				
				
				
0	2	4	6	8 A
г)
			-Сг-С,ВО	&
			LJZ	
				tgjw
				
О 2	4	6 в А
а) а (А)
			У	
			-г	1 
			/0,	'С ’ -в
				tgp-b
				
				
О 2	4	6 в А
Рис. 2.25. Коэффициенты гармонической линеаризации двузначных нечетных нелинейностей типа:
а и б — гистерезиса с зоной нечувствительности, с фазовым опережением соответственно а(А) и Ь(А); в н г — двухзвенного треугольного элемента с фазовым опережением С «• k — I соответственно а (Л) н Ь(А)
Рис. 2.26. Коэффициенты гармонической линеаризации двузначных нечетных нелинейностей типа:
а н б — двухзвенного трапецеидального элемента соответственно а(А) н о(А); в н г — идеального гистерезиса с фазовым опережением и k — 1 соответственно а(А) и &(А)
6)
178
таблица 2.3
Вычисление коэффициентов усиленияf фазовых углов для типовых нечетных двузначных нелинейностей
№ л/л	вид нелинейности						Форнулы для Вычислений	
							Ч(А)	У (А)
								с
			у	в				
1					с	X	4В С_ ЛС А при АгС	-aictg ГЧГ при А >С
		-с	0					
				-в				
2			У	в			при А г С	
	-С			тС ‘		X		
		-т	С 0					а“'9\Я'ЯР при А ъС
				-в				
3			У ,	В			4В С ЛС А при А-С	-30° при А-С
	-С				С	X			
			0					
				-в				
4			У	|С к			. / , 18В2 С2 Т +Л2С2 ' Аг ВкВ С Г С2 ЛС А V А2 при А* С	4В С^ _Qxctg 	^А2 к ЛС aV а2 при А* С
	-С		0	tg/5-л				
5	У, -с /						к /Гл	. /, 2С\12 л\1[7 zcs V~T/j +	
							+4а('~а) + [л+2а1С5'п{'-г]х	° 9 Л	1 2С\ ^+ (ucsin |J“ H- ,	2	к А /
	/о			/С			при А»С	при А
179
Продолжение табл. 2.3
	У в -С -тС	тт»		
				”’C,S V-W-’r
в	0	тС С -В	при А» С	при АъС
при А = С
/ тС
. \ А - axctg\ /----
\/ 1+т — V	А
при А= С
180
Продолжение тадл.2.5
			к . //л  Г с/,-т)7 ^^atcsmp- д J С	. тС12 - atcsin — - atcsin — I + A	A J		At*1 с 4		
						т-t	-т
			' ^СЧ С \21, v If,			Al\ 1	
10			^ЫНпГаГ		ULLiy —+aicsin 2		г,-«^5-
	У, В-кС В к -С -тС	F7 »			.С	. тС -atcsm	atcsin —7- + А	А		
							
					«Ч ’	<*ч 1 т- О <	1 Lj- е|< ; -'5>	।	а 1 1	1 д 1*-^» ।		
		тС С В-кС -в к tgP-K	. С	. mCl -atcsin—atcsm — А	А тС ,/ т2С21 А V A2 J , в + при А = —	Ag- кС			
11			1 . / ,/7	. В+кС . В+ткС — \/ к2//atcsm ——+ atcsm—— л, V Ц	кА	кА				
			.С	. тС -atcsin--atcsin — А	А	\2АВ2С2. f В+ткС 	X			
			| кА V к2А2	кА , /, (В+ткС)2 С,/, С2 тС V' к2А2 АV' А2 А Х . /, m2C2\J . В + кС ^-^^(atcsin—+		aiLig к	Г . В+кС aicstn А + кА	
	У В-кС в к -С-тС	/тг.»			. В+ткС	. С * aicstn—:	aicsin— - 	А	А . тС В+кС . I, (B-^kcV -atcsmT^— В+ткС, / В+ткС + кА У	к2А2 "AV А2~тС V1' A2 J’ , В+кС npuA = —j^~		
	JLL	тС С В-к С -В к tgB = K					
			. В+ткС	. С + atcsin—-	atcsin — - кА	А . ткС\/В+кС . /, (В*кс1 -atcsin-— —— и /——т А Д кА V к2А2				
			В+ткС . / (В+ткС)2_ + кА V	к?А2 С./ С2_ткС,Г т2С2}1 "А V '~А2 А V A2 JJ’ . в+кв при А=-^—				
181
Продолжение табл. 2.5
12		у	в	X	п п >1^	90° Ь = С
	-с	0	-в	с 1		
13	У -С -тС		в	X	£\Д/;-Л!£) ЯС А V V А / ' А=С	11 — axct9\/ me ,+ lT A = C
	1±		тС С -в			
И	а _-со		х ' " с 1		Я V 4	32,5°
.15	У в -с 'о		/О *		к !(	кС]2 , —\/аъсяп —) + я V\	я/	, №] “XCt9 . cJcTp7
	1		с -fl tgj3 = K			
/6	У, -С/		*		J\Z/2+aXCSinp-ff+ ++xH)+2A+2axcsin('f|	,	АГ Л QXCtg Я . (~2C\Z 7+axcstn^--j +
	/о		/с tgj3-/c			
182
Рис. 2.27. Шаблоны для графического определеиия режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетными двузначными нелинейностями, с параметрами, указанными на рис. 2.19, а—г, типа:
а и б — однопозиционного реле; в и г — однозначного реле с неполным смещением
Рис. 2.28. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетными двузначными нелинейностями, с параметрами, указанными иа рис. 2.20, а—в, типа: а и б — характеристики идеального гистерезнса; в и г — однопозициоииого реле с наклоном
183
Рис. 2.29. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетными двузначными нелинейностями, с параметрами, указанными на рис. 2.21, а, б, типа люфта
Рис. 2.30. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетными двузначными нелинейностями, с параметрами, указанными иа рис. 2.22, а—г, типа:
а и б — однопозиционного реле с гистерезисом при k — 1; ей г — гистерезиса
184
Рис. 2.31. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетными двузначными нелинейностями, с параметрами, указанными на рис. 2.23, а—г, типа:
а и б — двухпозициоиного реле с зоной нечувствительности; в и г — гистерезиса с зоной нечувствительности
Л+фг	2Л—ф;
	(х0 + A sin ф) йф — — j б/ф —
Л	Л+ф2
2л
$ (ХО + 4 sin ф) dip =
2Л—ф2
= — [(Хо — С) ф; — A cos ф; + Л
+ (х0 + С) ф2 + A cos фа]. (2.96)
Заменив sin ф; = (С — х0)/Д, 5тф2 = = (С + х0)/Д, окончательно запишем
Fo (Хо, А) = ± | (С + х0) arcsin С + *0' —
— (С — х0) arcsin дХ° +
при А > С + | Хо |.	(2.97)
Теперь определим коэффициент линеаризации
Ф1
а (х0, А) — —-г \ (х0 + A sin ф) sin ф dф + ТС A J
о
Л—-ф1	л
+-^д S sinфdф + ^-	(х0-|-Д sin ф)Х
Ф>	л-ф,
Л + 1|);
X sin ф dф—i-	(xo+Дsiпф)sinфdф—
Ф2 sin ф dф —
Фг
—г \ (х0 + A sin ф) sin ф dф = nA J
2 л-ф2
=	(ф‘ — А°^— с°5ф1 + Ф2 +
+ ^^-со5ф2),	(2.98)
2Л-— ( nA j л+
2Л
откуда
/	1 Г . С + Хо ,
а (х0, Д) = — I arcsin —---------1-
+ arcsin
С — х0 , С + Хо
А + А
(С + х0)2 , С — х0
А2 + А
д/1 _ <С.	1 при 4>С + | х0|.
(2.99)
185
Рис. 2.32. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетными двузначными нелинейностями, с параметрами, указанными на рис. 2.24, а—д, типа:
в и б — гистерезиса с зоной нечувствительности при k — 1; в и г — двухпозиционного реле с зоной нечувствительности при k — 1; д и е — однозвенного элемента с фазовым опережением
186
Рис. 2.33. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетными двузначными нелинейностями, с параметрами, указанными на рис. 2.25, а—г, типа:
а и б — гистерезиса с зоной нечувствительности с фазовым опережением; в и г — двухзвенного и треугольного элемента с фазовым опережением
Рис. 2.34. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетными двузначными нелинейностями, с параметрами, указанными на рис. 2.25, а—г, типа:
а и б — двухзвенного трапецеидального элемента с фазовым опережением; вне — гистерезиса с фазовым опережением прн k — 1
187
Рис. 2.35. Формы сигналов иа выходе нелинейностей: а — пассивной; б — активной
Рис. 2.36. Формы сигналов на выходе нелинейностей при наличии смещения х0: а — однозначной нечетной нелинейности; б — двузначной нечетной нелинейности
Рис. 2.37. Коэффициенты гармонической линеаризации для однозначной нечетной нелинейности типа насыщения со смещением при В = 1, k = 1:
а) Ра (Хо, 4); б) а (Ха, А)
Рис. 2.38. Коэффициенты гармонической линеаризации для однозначной нечетной нелинейности типа переключения по уровням В и —В (В = 1) со смещением:
в) Ра (xQ, Л); б) а (Ха, Л)	_
188
Запишем полученные формулы в табл. 2.4. Формулы для других типов однозначных нелинейностей F0(x0,A) и а(х0,Л) также приведены в табл. 2.4. Кривые коэффициентов гармонической линеаризации со смещением построены на рис. 2.37—2.44, а шаблоны для них 20 1g ~ё~7 тг и 20 1g —7 тг показаны
ь Fa (х0, Л) Б q (х0, Л) на рис. 2.45—2.60.
Рассмотрим прохождение сигнала со смещением через двузначную нелинейность, приведенную в примере 2.7. Форма выходного сигнала yi (t) показана на рис. 2.4, б, откуда следует
f — В при 0 ф ф,;
У1(О=< в при ф|<ф<л — ф2; (2.100) I — В при л — ф2<ф<2л.
При смещении ха первое приближение для выходного сигнала будет
yi (0 = ^"о («о, Л) + Аа (х0, Л) sin ф + + АЬ (х0, Л) cos ф.
Формулы для определения &~а(ха. Л) и а(х0, Л) получим, подставив в выражения (2.94) и (2.95) соотношение (2.100); тогда
2л
&~о(ха, Л)	(*о + A sin ф) йф =
0 л-ф2	2 л
В dф 4- В	г!ф—В	</ф
0	ф,	л-ф2
= 4	+ ф2):	(2.Ю1)
Таблица 2 А
Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации типовых несимметричных однозначных нелинейностей
NS П/П	Вид нелине		’(//	юсти	fd(a)	а(х0,А)
I	У, В -с 0 1 у 1			U-	^(C+x0)aicsin	- (C-x0)*	к Г	С+х0	. С~Хп —/aicsin-T—2+ aicsin —~ + Л[	А	А
				V 1 X JCo tg/3=K	 C-x0 , Г. /, (C+x0)2 xaxcsm д°+а/\/'- д2°-при А» С+/х0/	+ £ + Х0	\ / т	(2 А	дг + С~ХО	\	(F-Xq)2	1 А	V	A2	J при А » С + /х0/
2	-Сг 'С, \ 1	У В 0	- -в	Cj 0? X *0	—/fo+x0) arcsin	-(Ci“X0) * JC[	A Cj~Xq1 К? Г/ /» X x axcsm A л/ ^c’’x°^x /	Cj-X0\ x faicstn	-axcsLn -д~/“ х/	C2+X0 -(C,+x0)(aicsin A - _ aLCSin £ip|-	T- A J Л I V	A2 \ 11-(B<+XoY] K2AT l,(C2~X$_	(К^ + К2}/	С1~Хл	С/ + Х(Л -Л-— (arcsm —4—5+ai.csin——у - л 1	А	 A j Х1[С1~Х0 , /	(С|~хо]г, С; + Хв л[ А V ' А2	А Х  7'-1 А	А_ V	А2 ^1~Хо 1 / J f^rXpV. ^2+х0 \ /г (^2+Хд V'—7Г-+—
				4Pi‘Ki	V	A1 J Jt / V A2 •• C2 + Xo) “QTCSID д	) при А»Сг+1х01	2В, Г. /. (С; х0)2 / (C2-x0)2t ЛА[ V А2 V А2 при A^Cz+|x„|
Продолжение табл. 2.4
3	У В 'СзЧЧ У	>		В /	Сз~Хо	Cj ~X0 — aicsin-^-^-aicsin —:	 JC\	A	A . C3+X0 - aicsin —- “ + A . Ci<-X0'\ X,X0/	, C,"X0 +aicstn ——x +-!—1-aicsin-1—y+ A / Jt 1	A . С,+Х(Л xpf/o x ★aicsin	^/V*o)x x (aicsin ~4~ -aicsin	- -(Cz+Xo)^csin ^^-aicsin при A >C, +/x0/	Kj Г t Bl"Xn	Bi^Xn J axcsln-^+ausm-V-2- -Ц-5 JCl	A	A	A ХуГ	C3~Xn	, C^~Xq -—laxcsin , °-axcsin . “+ XL	a	A . C3+x0	. c2+xo Cj-Xo * axcsin -x^-S - aicsin д ° - -^—- Ч'-^’Ч-^] при А> Cj+/Xo/
	\ 1 1	> V 1X		С] Cj X ад=*1 tgj32-x2		
4	и в 0			2fi . x0 — aicsin-11 Л	A	— \/'-4 ЛА V Ai
	—	-в	До x	при А»lxDl	при А »/х0/
5	У. в -с2-с,	-1		1	*	1	%-,	rS^—| '°7^	'J	x	* *	,	+	®	f <	+ ч ЛГ	1	«	tp	« «1	a	«—	1	>— =	. -L c	i J-	® 3	,*	>?l	Й	L'->» “	Cj	*	О	4>-	+ 7	.5	in	Й l F-Л °	s	=	°i	4 + L	„	a _ £	?	F ~ 'V	й	гГ	£Г	£	| .5	F	1	<=	Д	1	c 3	3	<L ®IH	।	,	।	к Г . Cz-Xn	. Ci-xB - aicsin \ - aicsin -'. ? + х[	А	А .	- С?+Хо	^)+хо +aicsin -f, -У - aicsin -4-^ + А 	 А Cj~Xq / - (C]~Xq)2 С?“Хл А V' Ai А * Ч’-'^^Ч'-'^ Ч'-^№^: + \/i-]при а>с2+1хо1
	_У0	1 cr X 4^ tgfl-к			
6	У в -с	И	1	В/ . C+xB	. C-x0\ — axcsin-r-^ - axcsin —^1	^Ч-^Ч-'^
	0		C	X До	при А»C+/х0/	при А> С +/х0/
190
Продолжение табл. 2А
в
			л'[(С2’С,^агс51П 5Д 0 . С2-х0	. Cj + xD -aicsin , ° - aicsin	* А	А +aicsin	~^Cj-x0)x x/aicsin C* x° -atcsin -(c;+x0) (aicsin —-+x° -\	A Cj*Xq\*| к?!,-	\[	. Сух* -aicsin ——/ + -’(Crxo) aicsin—-A /J JLL	\	A	Xf /	^2~Xq —4aicsin —--Ч -Jt t	A Cl-x0	Ci + Xn - aicsin -4-2+aicsin ——2 -A	A
				-aicsin	i/l-M A	A V Az
				_ C2~Xq	(Cj-X^f C, + Xp .. A V' A2	A x
				к2Г, . Cj-x0	. c2-x0 /aicsin -4-2- aicsin -- + Л[	A	A + aicsin £4^-aicsin -22x9 _ A	A
В в -Cj-C^-C]				
Л£7	|С, Ci Cj X -в |*о		-aicsin	}-{C2+x0)x 1	. C3+Xq	. С2-»Хп\| /GA x aicsin -i—s-aicstn -S-s --1- x 1	A	A /J Л	^3~XQ 1/. (^3~X0P Cg-Xp v A V’’ A* " A X
				xV'’^+^
			#444--44’-	
ЧР2 к2				
				~ла[^	a^' +!c^x
				
			при A> С2+/х0/	,,/j (^ХоУ ^ВГ / (C2-x0y
				V A2 J XaLV' a’
				4'-444'-4^'- при A»C3+/x0/
Atf.^ С* В -Ct-Cj-fy-Cj	*-|х0| tgp2=K2 *!ог		j[(c2-^ (aicsin -^#2 - - aicsin -Ц-^2 -mcsin -C-^x° + A	A ,	^»2*Хп\| К j * aicsin . l~— x A // Jt * pC/-Xo)(aicsin - дХ° - - aicsin ---- -(C;*xB) x A !	. Ci+Xq	. Cj+XqXI x aicsin —7-2-atcsin-4-£ + \	A	A /J ♦^/(Cj-Xorfoicsin С4дХ|!~	KtC . C2-xa	. Ci-xB -t/aicsin-4—2- aicsin —r-2 + ЛI	A	A . C2+x0	. Ct+x0 Cj~xo + aicsin	aicsin —-+-7— x 	A	A	A ,\ /. (Cr*o? C2-x0 / (C2-xoy &+Xp \г~аГ' a V ~aT~ a f . C+-Xo	. C3-x0 x /aicsin	- aicsin —- + I	A	A . C4+X0	. Cj*x0 C4-x0 *aicsin	aicsin - -~-x x A -	A	A
	р С2 CJ С+х А			
				\ /. (CA~Xp)2 Cj~Xq 1 /. (Сз~Х0}2 У’ A2	A V1 A2 +
	г			

191
Продолжение табл. 2.4
9			У	в	'rZ/JtJofA) Sin Xg /Л l oo ~2n-l	C°s x°| n~	 n-l	J где J0(a) u J^-rfA) - функция Бесселя	-£/jrJr(A)COSX0-Л A L -2S_1>](A)Sinx0j, где Jj(а)-функция Бесселя 1-го рода -, S-^ (А)- функция Лоннеля
			0	X La Г*о		
10	У. -С 0				x2xo + ^{fC-x0)x	K^-hr[aiCSin~A^ +
				1 /\Рг id	• C’Xg .	.	. C+Xn xaxcsin-^p+fc-xglaxcsin	+	talcsinCp+£^;-^
	1 1 >			1 С х *о	при A > С+/х0/	c+xo / (C*XOH 1 A V A2 j при А>С+/х0/
				tgjl)-''; tgj32-«2		
11	У -с 0			UL-	«*0-^С; + Х0)х	к Г • С-х0 j. к- —laicsin ——+ XL	А
					d-^’7 при A x C+/xqI	при А > С+/х0| Г
				! с х I r*0 tg/3-х		
12	у в 0			Kt_	2 В	Xn XX0+-~ QXCSLn-^ л	A	4В , /, xj к+Та V'-tt
	-в			1 x |х_о Г^~ tgj3=«		
13	У. В -с 0				K2xo~^lxo(K2-l<i)-Bjaicsin^^ при A*C+lxol	г i	> *2-^(хг + хг)х • С+х0 С»х0 ,(С+х0)2,С xaicsin—
				! c x '8j_Xo		V A2 JTaV Д2 при A^C*lxol
				1 tgj»,-*» tg^2«x2		
14	У. 0			f	2Bf[, A2]	. x0 3 ,, /~xj] л|(Х»+Г]аШ1ПА+2ХоА\/,Л	?[Xoalcsin?+(7+w)^’^
				X	x "0 g-x2sgnx		
192
Продолжение табл. 2.4
Рис. 2.39. Коэффициенты гармонической линеаризации для однозначной нечетной нелинейности типа насыщения с зоной нечувствительности Ci = В = 1, k = 1 со смещением:
о) Pt (х«, Л); б) а (хо, А)
Рис. 2.40. Коэффициенты гармонической линеаризации для одиозиачиой нечетной нелинейности С = В =: 1 со смещением:
a) Fa(x«, А); б) а (х«. А)
7 Ю. И. Топчеев
193
О 2.4	6	8 А
3)
Рис. 2.41. Коэффициенты гармонической линеаризации для однозначной нечетной нелинейности С — 1, k = 1 со смещением: в) Fa (х#. А); в) а (х», А)
Рис. 2.42. Коэффициенты гармонической линеаризации для однозначной нечетной нелинейности типа квадратической параболы при В = 1 со смещением:
в) Fo (х0, А); б) а (Хо, А)
а)
Рис. 2.43. Коэффициенты гармонической линеаризации для однозначной нечетной нелинейности типа кубической параболы при В =* 1 со смещением:
a) F» (хо, А); б) а.(хл. А)
194
SO 40 20
О 2	4	6 в А
О)
линеаризации для функции у = Вх — ех3
Рис. 2.44. Коэффициенты гармонической при В = 6 = 1 со смещением:
a) Fo (Хо, А}-, б) a (fco. А)
Рис. 2.45. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетной однозначной нелинейностью типа насыщения при В — 1, fe — 1 со смещением: я) 2018 6)20,8
Рис. 2.49. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетной однозначной нелинейностью типа ограничения сигнала, в виде треугольника при ki = kt — 1, В ь= 1 со смещением:
а)201g "г,/--»; g) »»gT7Z,'"лГ
** 0	A)	Q (Хо» л)
7»
195
Рис. 2.47. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетной однозначной нелинейностью типа ограничения сигнала в виде трапеции при k\ = kg = 1, В — 1 со смещением: а) 20 ig д-.1  б) 20 1g Го (Хо, A)	Q (Хо, А)
Рис. 2.48. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетной однозначной нелинейностью типа переключения сигнала по уровням В и. —В (В = 1):
а) 20 Ig -й-А—ТТГ б) 20 Ig — '
Б Ft, (Хо, А)	Ч (Хо, А)
Рис. 2.49. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетной однозначной нелинейностью типа ограничения с зоной нечувствительности при Ci = В = 1, k = 1, со смещением:
20*-5м£аг> «20”7сгЬ)
196
Рис. 2.50. Шаблоны для графического определения режимов нейиых системах с нечетной однозначной нелинейностью типа ню В и —В (8 = 1) с зоной нечувствительности С = 1:
а) 20 1g -.;	; б) 20 1g —
F<) (ж», Л)	g (х<?, Л)
автоколебаний в йели-переключения по уров-
Рис. 2.51. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетной однозначной нелинейностью типа ограничения сигнала, в виде треугольника, с зоной нечувствительности, при С, = В = 1, k\.= kt = 1 со смещениям:
а) 20 1g -/-J . ; б) 20 1g .1 Го (Хо» А)	д (Хо» А)
Рис. 2.52. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетной однозначной ' нелинейностью типа ограничения сигнала, в виде трапеции, с зоной нечувствительности при Cj = В =•), ki = #2=1, со смещением:
201«ТйЪг: « №1е-^Ьй
197
Рис. 2.53. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетной однозначной нелинейностью типа синусоиды, с одним периодом при В = 1, со смещением:
л>,201« РлЬгг;
Рис. 2.54. Шаблоны для графического определения режимов нейных системах с нечетной однозначной нелинейностью в прямых, с двумя наклонами fa = 1, fa= 1,5, со смещением: л) 201g у.-; б) 20 1g -	'  г-
/*о (Хо, Л)	<7 (Хо, А)
автоколебаний в нели-виде кусочно-линейных
Рис. 2.55. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетной однозначной нелинейностью в виде зоны нечувствительности при С = 1, k — 1, со смещением:
20’8 р J j,-; б> 20*8
Г9 (Хо, A)	Q (Хо, А)
198
Рис. 2.56. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетной однозначной нелинейностью типа переключения, с постоянным наклоном k = 1 при ограничениях по уровням В и —В (В = 1) со смещением:
а) 20 1g	б) 20 Ig n
Г С (Хо, л)	Q \Хо, А)
а)	' 0)
Рис. 2.57. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетной однозначной нелинейностью типа с переключением по уровням В и —В (В = 1) с последующей кусочно-линейной частью при kt = 1, Й2 = = 0,5 со смещением:
4 201ё-р-7^~7: ; б)201г'Т7тЦг го (Хо, А)	<7 (Хо, л)
Рис. 2.58. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетной однозначной нелинейностью в виде квадратической параболы с В = 1 со смещением:
л) 20 1g „ .!	; б) 20 1g . -1
Ft (х0. Л) ’	q (Хо, Л)
199
Рис. 2.59. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с иечетиой однозначной нелинейностью в виде кубической параболы с В = 1 со смещением:
О) 20 1g р , ‘ Ф 20 1g  , 1 -j;-® Ft (Хо. A)	Я (Хо. А)
2я
а (х0, А) = —-г \ 9~ (х0 + A sin ф) sin ф4ф= ЛЛ J
о
Ф<	я
—В j sin ф 4ф + В sin ф с/ф — о	ф1
2Л	п
SI 2В
sin ф 4ф I = (cos ф] + созфа).
Я-Фо	J
(2.102) Подстарив в формулу
,2я
b (х0, 4) = У (х0 + A sin ф) cos ф Йф о
Рис. 2.60. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетной однозначной нелинейностью в виде функции Вх — ех* при В »= 1, е = 1: в)20,87л£АГ;
соотношение (2.100), найдем
2Я
b (хо, 4) = У (х0 + sin ф) cos ф dф = о
Ф1	я—фо	-
~—В cos ф 4ф + В созф^ф 1= о	ф|	J
2й
и»----j- (sin ф1 + sin фа). (2.103)
ЛЛ
Так как sin ф] = (С — х0)/4, a sin фа == ==(С + х0)/4, то из выражений (2.101) — (2.103) можно получить
SFо (х0, А) = - (arciin С д*° +
+ arcsin	• А С + | х01;
, о,	2Я г . Л	(С-х0)» ,
а (хо, 4)	[ Д/1  -----да---- +
+	(СУ^], Л > С + | х01;
&(хо. 4) = ~4j4’ л>с + 1*о|.
Формулы для вычисления коэффициентов Уо(хо, А), а(хо, А), Ь(хо, 4) для этих и других типов двузначных нелинейностей приведены в табл. 2.5. Коэффициенты гармонической линеаризации для них приведены иа рис. 2.61—2.71. Формулы для вы-
200
Рис. 2.61. Коэффициенты гармонической линеаризации двузначной нечетной нелинейности типа однозначного реле при С я= = В = 1 со смещением:
a) (х«, А); б) а (х0, Л); в) 6 (хо, Л)
числений q(xa, Л) н ц(хо,Л) даны в табл. 2.6, а шаблоны 20 Ig .---------у-;
“ 0 А)
201g' , 1 ..
e q Л)
— 180° — g (х0, Л) построены
на рис. 2.72—-2.84.
В нелинейных САР при недостаточном уровне подавления линейной частью высших гармоник необходимо учитывать дополнительные гармонические составляющие автоколебаний. При этом эквивалентная передаточная функция зависит от двухчастотного или многочастотного входного сигнала. Использование таких эквивалентных передаточных функций в нелинейных САР >
Таблица 25
Вычисление козрнрициентов гармонической линеаризации типовых двузначных несимметричных нелинейностей
Д'* Щп	Вид нелинейности			Т(х,.А)	а(х,.А)		BfXg.A)
1	-с	5 0 it- -в	fc- ..с х	Arcsin Я'	А	А/ при Л^С+JxJ	при AtC-\x,\		ЧВС ЯАг при A t С*|х,|
2	~т 11	а|- С а	ft ис| . Jc х -U»	A tensing*arcsinH!^~>-.arcstnAl'-msinS^la) 'А	А / при А » С* 1х,1	при A t С*/х,/		при AtC + IXgl
J	-с	в -0 -в	/ у* Т	Г,(Х,,А)-0 при А = С + |ХО|	а(х( при А=	,А)-0 С + IxJ	ЧВ " Я А при A-C + IXgl
Ч		Л 0	1, гр с X	KX'-jurcsln^fl _ -arcsin и / при А» С\|Х0|	к гв ЯА ‘ при X	iL	+ и	 (С-Хц)1 At J » |х,|	ЧВС Я А2 при At С^/Х,1
5		*: -С,/	п X в	кх„ при At С С,-С	при At С С,-С		ЯА 1 А/ при At С С,’С
201
Пройвлжение тайл, z.s
6	qq		У	hz	-arcstn ±^X21f|_ (c-л,) » xGrcstn-**^"*^ arcstn-I*£~*»1 L	хЛ	*4 J -X Гarcstn XlXX2i2 -ZX L	kA - arcstn !lH^ipi,arcstn^f^^-kA	kA -arcstn ХЛ<£2*дЛ _ JX. , kA J 2Я	JL [arcstn /'''Af	± ZfiL	kA + arcstn --* ( P+xq) t kA arcstn	хо^-агс$Си^'х» кА	kA . + JL (C-XalS^1~ я/	kW -lr Klc\)^t- . |/. rW(Ctxjj»i д 1'	K‘AX	fXA Jll t LB*k (С-кв)]г '. ’V ""	- 4SC XAX . s+aC , , при л>—-+|XO| Л ct-c i
			a	Jp = H		. |/* lB ~K (C~XO) JZ t y/-	..a.. t	
	*з		P		-^P^,2.P- _ 1/, IB-к (C-x,)l 2' I Г	Л1!	J при A »——-/ X,l Ct~C	* L Wk (С + х„]]г'. Г кЧ1 J к fe*K(C-X0) |/, LBr-KfB-Kjg!. 2T\ kA . B-K<C-X„1 J, IB-Kfc-Xyf. кА	г к‘Аг B+Ktc+x,,) L [K->x(C*x^l'‘ kA K‘Al	* x B-KfCt-Xgl ^,_IB-K(ctx,)]‘ при A^	+)x,|. C,‘C "	
1	Л-ntf, B К —				к fC, -ci r kk0 к * ч г zx j(C, txs) arcstn J^LUL^al- -(C-Xularcsin - X [arcstn МСЙ-Хд! _ 2x\_	kA - arcstn -^~У(С7Я«)~1 -кА	J (i/. Й-лГСлх»)]8 ZX у'~ - при A = ffiXx, и A.S±rJ^ к	°	_x Г X ' я [ z Jsrcstn	+ Z	kA + -!, arcstn	/ g~ltp)~|	_ 2	kA	_2Xff+CJ+2L^ ЯА	'	ЯАг .	B*ac , при	A	- —		x0 и . B+KC A="		+Хд Л	°
	-Ji. t	’Ey	S-ntC "X X Jp =«			^-x,/y?-j> XA\V K’A’ . a-x(c-x,) i/, cfl-x(c-xj]< кА У' kW t	
202
Прпволжение таВл. 2 5
S	в -С -тС J_L!	Lf C X ~0 | _л о		2%	A	A £A[I A2 I A2 ^tnJ^L^tnS^) A	A / f Аг 1 A* J при АъС+/Х01	Л/Ш A^G+lKgl	2BC (,-m} при AZ-C+Ixol
3	5 ~mGf U'	j Uc|g 1 x #i X XD		В ,	mC.i-x,	я	1 (rnC-xJ1' 2t(arcsin A - -ansin^i.j	' при. A= C-x0 a	nPu	A~C-x, и 4- C, + xt	A “^iX,	-А. Г, CT/g*c>/ ЯА [J	Л при Л» C-x, и A-C, ixs
13		a b	*	A. Farcsin -52-SJSzXj> + 2л Ц	ЛЛ + tirtsin.	* f	r	•&. npf^tn В + к ( C+xp) + я+ ; L	kx +arcsm	*x°) _ -aresU-f^-fc-x,), _ercsii, ^a.jrtsfn c±j0 -^[arcsin	-	_ aifatn д^.тй^ -arcrtn-^ie j+fmC^x.M ^j<c->>)	- ^[nrcsin -в15^£1М -	- p-L£^jt^lc.Kii) , -arcsln —-fmC-xt) n	i -	— «[arosin - arcstn -Z?Lg^*oJJ> -	1 .Cii-K^njC-XtH2 _ —§=- farcsln	l+A- x 4Л I	» лл	f	Д*	) ЛА	2B3 .,	, 	-(1-m) ЯА2 Bi-AfC+IXnl) при A 	к --
	x«. *s	fi-K	X StKC l—к	.arcstn -^(C-tliL _ «W j-l^xfC-blJ2 + । KA	U ’	каЛ* -arcsln -ShJ^LiAd - ^l-^jcix,lV t - ansi.n -А^с^Л-М, хМ'^гу.'Л; ^у-д)Г }- \	, Д*й(дс-<п1 |/,_ИчМ-/,»‘. - |Г гд^/с/х.и1	+ й  f да \ 	+ Pusap^ Л - Шд(спл\ |/. [!*л1тС1Х,13х _ .	г.А Г  iU£_ L г	«М«	xfl««toC*XoJ У, .t8»x(mt4JI	
				i/x <C-X»)J. 14 rC-Jf,)1	KA	1' x^A‘ У	A2	V' A2 1 4-Xj |/z_ (C-x,)2.. Ciftl - \lt (тС-X,)2. t!< ImCixA ?-.. '.	,A Г , А2 Г А2 /х/г-Л^хД’ -m^ix при A9..?.*K<C*W	1 . P&C-7,)»- mcixo .	
					npuA>l^nML
203
Продолжение main 2.5
fl	. -с				С _	/ ^(Хд.А)-О При А -С+1х0|	а (Ха,А)=0 при A^C+IXtl	ХА при А-С+1ха1
		-а		j	X			
12	и в -тС,			LEL		-£-(arc$tn	- -arcsin—™£_1Аа) А / при. А^С-Хд а А *	ВЛ ^л1у Л» , |/, ImCt+Xg)2 ГА* 1 при А'С-хв и А * С,+ха	В Г, л>{С*С,)1 ^Л [ A J при А - С-Хв и А • Gf + Xg
			0	tnC G X				
13						г	‘ х arcsin——7й^г'|'Х>) _ кА -(c-xjarcstn  В~~КД~Х,^~ 2Х	кА -arcsin кА	J кА J~ i/, [В~К1С*Х,)]г 2Я\|	кгА	'arcsin-t!^^ X[2 2	кА bJ-arcstn-8~K(lc~:,l>} [-г	кА J	ХА(С С’> ХАГ при А-^^-Хд и к	\ X I
							ХА	*7 кхАг	
	У в		1 xfl				Й/, 1Д-Х/С,лл,)]г ' +ЯЛ\Г' K^i \/, tH-Kltrfill1 L И	К‘А*	J _ Л / й-xffitx,) л 2Х 1	кА	
						~ Л 1В~к 1 г-х,>)]2Д. Г	л’Л	J при А--^~-Хо Л- г +х0 /	Лу,_ 1Ц^12г +	
							в-лгс-х,) |/, гАпт-л.»* ★кА V к*Аг J при А-^£-Хв ; Л = М+Х0	
целесообразно, когда требуется оценить влияние высших гармоник на появление автоколебаний. Например, в нелинейной системе на 1-й гармонике отсутствуют автоколебания, а от действия 3-й гармоники появляются автоколебания (см. гл. 7).
Пусть на вход двузначной нечетной симметричной нелинейности поступает сигнал
Xj (/) = At sin at + А3 sin (Зсо/ Д- Фз)>
где Ai и Д3 — соответственно амплитуды 1-й и 3-й гармоник; <р3 — сдвиг фазы 3-й гармоники.
Тогда : на ее выходе образуется сигнал вида
sin соЛ-^з sin (Зш/+фз)], (2.104)
или, положив, как и раньше, Ai = — А, найдем
yi (t) =* А [а (Я) sin ф + b (Я) cos ф +
+ Оз(Д)81П(Зф + фз)-|-
+ 63(Л)соз(Зф + фз)], (2.105) где а(Л), Ь(А) и а3(А), Ь3(А) — коэффициенты гармонической линеаризации соответственно по 1-й и 3-й гармоникам.
204
Рис. 2.62. Коэффициенты гармонической линеаризации двузначной нечетной нелинейно' сти типа однопозиционного реле при С = В — 1 со смещением: a) о (Хо, Я); б) а (х0, А); в) b (х0, Я)
Рис. 2.63. Коэффициент гармонической линеаризации двузначной нечетной нелинейности с характеристикой идеального гистерезиса С = В = 1 со смещением
Рис. 3-64. Коэффициенты гармонической линеаризации двузначной нечетной нелинейности типа однопозициоииого реле при С <= = В == 1 и k = 1 со смещением:
a) (Хо> А); б) а (хо, А); в) Ь (х«, Л)
а)	б)	б)
Рис. 2.65. Коэффициенты гармонической линеаризации двузначной нечетной нелинейности типа гистерезиса при С — В = 1 и £ = 1 со смещением:
a) & о (хо, Я); б) а (х0, Я); в) Ь (х0, Л)
205
Рис. 2.66. Коэффициенты гармонической линеаризации двузначной нечетной иелниёй-ностн типа одиопозициониого реле с гистерезисом при А = 1 со смещением:
а) (хо, Л); б) а (х0. Л); в) Ь (х«. Л)
Рис. 2.67. Коэффициенты гармонической линеаризации двузначной нечетной нелинейности типа гистерезиса с фазовым опережением при k = 1 со смещением:
а) <Р"о (хо, Л); б) а (хо, Л); в) b (Ха. Л)
Рис. 2.68. Коэффициенты гармонической линеаризации двузначной нечетной нелинейности типа двухпозициоииого реле с зоной нечувствительности со смещением при т = 0,25:
а) ^о (Хо, Л); б) а (хо, Л); в) Ъ (х0, Л)
206
la)	б)	в)
Рис. 2.69. Коэффициенты гармонической линеаризации двузначной нечетной нелинейности типа гистерезиса с зоной нечувствительности при т — 0,25:
4) <^"о(Хо, А); б)а(х0, А); в) &Ч*о. А)
Рис. 2.70. Коэффициенты гармонической линеаризации двузначной нечетной нелинейности типа двухпозициониого реле с зоной нечувствительности при k = 1 со смещением при т = 0,25r	j
a) (Хо, А); б) а (х0, А); в) b (х0, А)
Рис. 2.71. Коэффициенты гармонической линеаризации двузначной нечетной нелинейности' Типа гистерезиса с зоной нечувствительности со смещением при т = 0,25: a) <Sro(x«, А); б) а(х0. А); в) Ь(Хо, А)
207
опре-
180е
целине со
Рис. 2.73. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетной двузначной нелинейностью типа одиопозиционного реле ст значениями функции со смещением:
Рис. 2.74. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетной двузначной нелинейностью, имеющей характеристику идеального гистерезиса со смещением:
а) 20 lg vj б> -ИО’-и (», А)
Ч \*<h Л)
208
Таблица Z.6
бичисление амплитудных и фазовых характеристик длк типовых вврзначных несимметричных нелинейностей
пЩ	Вид, нелинейной харакагеростики
	"Г -
1	
	-с о j ГТ
	' -д| |<х»
	Г| т
	-г- i ,g .
2	-С +тС 1 тС я
	
Формулы для Вычисления				
?0 (Xq, А)	Ч,				_
— (arcsin C*xf -Я	А - arcsin - С~гл) при А * f*/xj	' £FF~			'arcts Г Аг + + j/ при A * C*lx,l
	при. A^C*lx,l			
4'т=‘”-£т‘. ♦ arcsin A C-Xg - arcsin —~ ~ A mG-Xg - arcsin — Л при. A^C+lxol	/etk± JntC-xt)(niC .	A*		x,VC^x,\ A* HXa)*4C*mt	/*/n) "mt9 i, f'-d1 ~ L'~ iL-r 1 А‘ Г A‘
				^(-LO^1 ’ при A* C+/xol
			Г, (mC+xJ. L' A* j	
	. i			
0 при A C+ixe)	' 46 ЯА при 4-C+IXjl			X ~ z. при- A‘C<-pr0| ,
В ,	. с~*ч KXt~—(arcsin—-*-° Я	, A -arcsin при Л»С+|х,|	Г ЯА			при A»C^lxol
	' 66‘ > ZW	/♦ + лг		
	при Л-С+/Хо|			
при А^С
tj /«к
209
Продолжение main. ZB
В
кА J [arcstn ±^+ +arcstn kA JJ * Гяга£я £!^ . 2л L	кА - arcstn kA .win kA - arcstn	_ - KA J к1 A2	^{’arcan ^y-x*> +	Ш A1
	+ X Bresin s~k(c+xq} * г	ka	
	.Jarcstn^L'a^stn^ Z	kA I	kA C-k„ ,/. rJ-K(C-f,Uz C-iJl-KfC-K, А Г K-A1 Al K‘A!	(Z	- kA I	kA I	kA
	C+x, L ^к1Сч,0‘ С/х, * А Г к2А2 А Гк’А2	
		-L arcstn tf&J, ctx,Sxff-xji I	nA A ' K2A2
	В J. [8«K{t-xj!\8 ^-KfC-x„^ кА 1 к2А2 кА 1 K2A2	C-x„ 1/. Ц-л(С-х0Рг OXjiffiffnij А 1 к2А2 АГ K2A2
	,!_ Jf.[B*K(P*xJ]\ S ife-KlIW1 кА 1 к‘А2 кА I it1!1 B*K(C-X„i |Д1 [Л^хГС-Щг ~~"ZkA 1	kW P-KfC-x,,)	{f-K(C-K,lil " ZKA Г k>A‘ 	C^Kti b-KfC^Jl2 8 it tW(C-x,)f Л	K!A2 KA 1	K‘A2 s L fB-Ktc-xji2 a J (1>к(сч2 KAI	K*Ae кА' кгАг
		+ J l/t У1-к1с^!‘а*к1с-х,)Мн. KAI k‘Az ZkA 1 к‘Аг
	в+к( С*х,} 1лВ*к(С*хУ? ZkA r k2A2	
|/ IB~K (t-K,}]2 1	к2А2		B-k(C-Xi) I :I/-k(C-x,)1‘ ZkA	1 к‘Аг
	е-к (c<-x„) l.y-xT^f ZkA f к2 A2 ~!SB2C2 при ^sl±^+|x„|	
1/, u*K(c*x,}it ’ г	;		B-к (Ci-Xtl [/ b^KfC^x,)]2 ZKA	*
- R-ppq npil Ла^+/Х,|		b-k(c*x,) / ZkA	' кгАг J при A ,	t|xt|
k(C,-C> kx0 к ♦	Z ' ZX x[(c, +x„) arcstn L v	kA	-<4 + arcstn ^Xl\Z	кА r + arcstn * tti CJ UH	_	T kA	A	1 ZIC'C,) (C-C,)‘ A	A1 a’"ct^ Я	B-K(C,-X„I
	.J, CB-k(C-k.)Jz C,KS <’ к'А* ~ A *	Г^п-
		Jarcsia^ML^K kA	A
	Ji fB-K(C,^l,IJ2r в 	
		
Л rBrcstne^hL 2Я L	kA -arcstn г	KA	J	1' ' к‘А1	kA J . k*A2	kA	 J. 'С6-к(С,*К,)]с B-KlC,-/,)	Л, tB~K(C~Xa)ll C,rx. ' K>A2	А У J. СВ*к1С,-Хв)]г t В '	к*Аг t кА .
	J.	K2_Ai	 _ ZkA __	J tB-Kic-x,i)2 a ll [s-Kic^ji
лЛ Jll. CB-KfC,-/,)!2 ZSt\l ’	K2A‘ s	1 СВ-к(С,-Х,112 8-к(С,*х,1 Xf K>A*	ZKA /	' 	К2Аг KAI к‘Аг _в-к<с,-х,) Il .^iB-KlCrx^f ZkA f 1 к‘А*
_ (/.-.rs-ntf,+x„tr 1	2 1В-к(С,^к,}1‘ \ .	
I 	КгА2 J , Bi-kC Л= к A^^+KB я °	T	„Mi  J +	B-K(el*x,)ii. ta-K(c,*xeiil ZkA 1 kka1 при A » ^^-x, и 1 к	'
	. [Z(C,*CI „ (C-С,!2 ? + L A	A^- J . B*kC	d A ’ —J	X» u A - — tK,	
210
Продолжение main. г. 6
s	! 8 -С -тС		л			В Г	£+Хд --(urw -Т-- -arcsln — *° + тС-ха	(тС-ХцКтс+Хц]^ с1		-ret’ l/^F ’ /	A_2 	Ai_J _ A2
			. j				Л. !с'х‘,г 	Л* , 4^] ik а'*°)г гТ~~лг . 1 (С*Ха1г' Аг J +^_ <'/пС~хд)г при А*С<	' _(тС-х,]г L А1 . ' (тС*ха)г L' Аг \ (тС-х„}г .	А2 и ОлС+Хд)*] w	
					А тС-x,,} -arcsin	—- ; А • при А * с+/х0|			Il (mC + xa)2 Г	A1 при A^ C<-|x0|
		0	тс с х 1 ~S\ х ЖЛО					
3	В -Ci -тС		h		В ,	тС +Х„ ^т11П А ~ - a'rcsin	; А ' при. А ~С-хв и А-С^Хц	8 iL[,.№-*,)(тС,i-x,) _ Г,А А* - гт (.c+ci'l А		ar^ ,/	(!П C, Mg)2 4! A* при А=С-хаг и АГС,^х0
		Е	< С X д[			при А= С-Хц и А^С^хе		
211
Продолжение-табл. 2.6
ю	-		к	,Г . В*к(С*хР -arcsin Г . В+к(С-хЛ х aicsin । <; 19 ~ [	'кА -atc$in~^j+(mC+x0)x Г . В+к(тС+ха) х/aicsin	!	- - L	кА - atcsin-^y^J-f/nC-Xo)» Г . В^к(тС~х„\ х /aicsin	4—& - 1	кА -aicsin -L[aicslnBM!!p>)+ 2Л[	кА . В + к(С~Хп) +atcsin	4—~~ КА В+к1тС+х0) -aicsin	'	— - К -aicsin±^i7-КА J ха f / [в+к(с-х0]]2, 2л[У	К2 А2 Г [В*к(тС~ха]]2 У	к2А2	к,П1 . В*к(С-хв) —\ itaicsin	4—~ + л У 12	кА I . В+кЬпС-Хд} 1	. В*к(Ся +TQICS1П	4—- +-QICSIO 4- 2	кА 2	кА	12	кА
				!	. fl+xfmC+x») Г . С-х» *тагс$1 п —4—--rQtcsin L	КА i	А	1	. В+кбпС-х») +7 aicsin	n-r1”* а»	КА
				1	. тС-Xg I	. /пГ-Хп --aicsin —-— -aicsin —г-2 + 2	А 2	А	/	. В+к(С+Хд) +-aicsin —4—- + 2	кА
				С-Хд./ [В->к(С-ха]]г С-ха А V к2А2	А *	f , В+к/иС+Хо) I . С-Хд +jatcsin——^yaicsm—-
				/. ^-х0)2 С’Х„ / ГВ’х/С’Хд)/2 V А2 А V', к!А2	1	. Ох» 1	. тС-хд --aicsin-T-i-ratcsin —гл-2	А . 2	А
				С+Хд , /, (С+Xg)2 тС-ха А У А2 " А ’	1	. тС+Хд С-Хд --ausm——-х L	A	А
				Z [8*к(тС-х01]2 mt-KQ, ! ImC-xj, * к&А^	AV А	х \ 11	^~х0 х ХГ~ к2А2  А.
				mC+Xj / /В-»х(тС+х0У2 тС+Хд * А V' к2А2	А Х	/ (С-Хд}2 Сххд , /, [В+К^ХдУ У' А2 + А V' KW ’
				/. (тС+ха)г В / [B+KfC-Xg)]2 V1 A2 ’ xaVT к2А2 +	С*Х, /, (С*Хд)2 тС-Хд „ А V А2	А
				Д[B^(^xg)]2 ( xAV	х2Аг	/ ffl-xfac-x,!!2 I7ic-xo, / (niC-xtf V' .KW а л a2 1
	В -С -тС j l<)	'/ [р |гаС С х fl		+	[Вхк(тС-х0]]2 + КАУ	к2А2	t mC+Xg / _ f8*KfrnC+x0U2 A V	K2A2
				В / [В+к(тС-ха}]г В кАУ	к2А2 +кАХ	mCxxg /, (mC*XgY fl / ffl*x(C-x^2 A V A2 +XAV k2A2
			I [В+к(С+хвЦ2 У , к2А2	. /. [’B^xfmCtXg)]2 S+x(C-.x0) VH" к2А2 ‘ 2кА Х	В Л [В-к(Сххд)]2, кАУ	K2A2
			_Л, Лв+к(тСххв)]2__ V	к2 А2	Л [Вхк(С-Хд)^ Вх-к(тС~Хе} У	К2А2	2кА	B_ / [Вх-к1тС-Хд}]2, кА V	k2A2
				./ [В-хк(Сх-Хд)]2 В^к(тС-»х^ V1 к2 А2	2 кА Х	,.—\jl ff^xlinC^Xiiff fl*x(C-xn\ *xAV ' к2А2	2хД ”
				. /, [B+K(niC+Xg'S2 В-Хд V к2А2	2А	/, [Вхк(С-Хд)]2 B+Klt>Xg} Л1' K2A2 ” 2kA X.
			. 8+к(С+1хд1) при Д »	I—	—	l^2, с+2<> 1 /т (с**^2. Г А2 2А V А2	[BxK(Cxxg1]2 8х-к(тСх-х0)_ V' x2A2 ’ 2xA X
				4- тС"х» 1 /1	mC+xO , 2А У А2.	2А	/, [Вхк/тСххд}}2 C-Xg x\/'- KW -+2A
				лриА> B+xf^M)	mc-xg 1 (mC-Xg}2 mC + Xg + 2A V1' A2 +~2A~
212
продолжение табл 2.6
If		в	У			0 при А =“С+/х,|	М ХА при A* C+lKtl	я 2 при А=С+/Хд1
								
	-с	0			С X			
			1 J		'о			
/г						В lamin тС'**' -		, пиос,) 	А
	в -С -тС		У					‘ $ |/г М-ХдН. ' А*
						2X(m3in А тС-ха) - arcsin —-——I при А = С-Хд и А^С^Хд	ЯА 1‘-{3	Аг _	
				J.			Zm(C+C,}' т/г (тС-х,)1 х А ' Г L Аг	.1L fmCf+Xg)1' 1	А‘ при А - С-Хд и Л- nt4o
			BlmCf х					
							Г (Л7С,*Х,)*П L Аг JJ при А = С-х, и А = 6,1-Х,	
				^0				
/j						к(С,-С).кх,+ к Г ,		2(С*С,) (С-С,)1 А ' А‘
							К Л Я	, в-X (С.-Х.) ~пт + arcs tn	г2—с * Я| 1^2	кА	
							В~К( Cj+Xq) > arcsin		—=— кА	^Х	В-к(С,-Хд) ^arcsin J » +
						v 2 гя Гх* В~я ( Bf + Х д) *a.rcsin 		—-- «Л , в-к(с.-х.!\		
							С-Хд V	[В-к(С-х,)]г ~ А 1	кгАг		 в-х (C,<-xJ rarcsm	/—*- - 	 «А
							С-к, f. ra-x(c,txj? А 1	к‘Аг .	_ С~Х»	CB-K(C,tXg)]ii .А 1	к’А1
	в -с,/\		У			кА J В Г , В-к(С,+Х,) ~ arCStn 	.	L - 2JL	кА B-K,(C-xt)1		
							+ А |/	M-x(C-x0)J» t + кА 1 ’ к‘А*	+ ± 11 СВ-к(С,-ха}11 гкА Г	KW
				'/.в ,			+ В	[В-к(С,гХ,)]Х _	B-K(t,-Xg) / CB-KlCf-xji
	/0		~в	С X		кА j	. кА Г	кгАг	2кА 1 ' КгАг
						kAJ |/ fe-xf’fi-x.U* 2д[Г хМ* L	I 1	К‘Аг J . В+kG при Л =	х0 и	.ца=а!-г±^'-	С’^О 1Г,[В-К(С,-Хд)]\ А Г	кМ‘
								
	WK						в-к(с,чв)Л [1-к(с,-х,)1А	(в II [В-к(С,-Хв)]‘
							r ZkA 1	к‘Аг ]	' КА 1	к‘Аг
							Г2(С*С,) (С-С,)‘Лг . +1 А 1 Аг J ' В + КС при Л= —— ~*д и В-^кС, А = —^Хд	В-к (С, *х,) /Л [B-k(C,+xJ
								‘ ZKA I' VA* . В + кС При: А 		Хо U К . В*кС, „ /, = -Г“^+х» л
213
Рис. 2.76. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетной двузначной нелинейностью типа люфта со смещением: а) 20lg^CT; « 2O,«-Tohr: 8) -180°-— Л)
Рис. 2.77. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетной двузначной нелинейностью типа однопозиционного реле . гистерезисом при k = 1 со смещением: а) 20 le idbrб) 201е а: —ц ta, 4)
214
Рис. 2.78. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетной двузначной нелинейностью типа гистерезиса со смещением:
в) - 180е—-Ц (Хо» Л)
Рис. 2.79. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетной двузначной нелинейностью типа двухпознционяого реле с зоной нечувствительности со смещением:
°> 20 ‘8 -у-Л"4Г; б) 20 18 ~о<х~4Г;
су» о (Xoj Л)	Я -Л)
в) -180“—Ц (Хо, А)
Рис. 2.80. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетной двузначной нелинейностью типа гистерезиса с зоной нечувствительности со смещением:
а) 20 б) 20 lg
& о (Хо, Л)	Q (X®, А)
в) -180е— Ц№, Л)
to
35
-100
-120
-140
-ISO
-180
1,0	10	A
Рис. 2.81. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетной двузначной нелинейностью типа двухпозиционного реле с зоной нечувствительности при k = 1 со смещением:
а> 201g-=-^---—; 6) 201g
(Хо. А)	<7(Хо, А)
в) — 180°—Ц(Хо, А} *
Рис. 2.82. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетной, двузначной не-
линейностью типа однозвенного элемента с фазовым опережением со смещением:
a) 201g	. ?—б) 180°—М*>, Л)
<7 (Хо» А)
Рис. 2.83. Шаблоны для графического определения режимов автоколебаний в нелинейных системах с нечетной двузначной нелинейностью типа гистерезиса с зоной нечувствительности с фазовым опережением со смещением:
в) 201g	в) 20 1g	в) !80°-
'	* 9о (Хо. Л)	<7 (хо. Л)
— й (Хо. Л)
линейностью . типа гистерезиса с фазовым опережением со смещением:
а)20,г-^(Ьл);б)201г7СТ; в) 18°-— И(Хо. Л)
217
Для вычисления коэффициентов гармонической линеаризации воспользуемся формулами:
2Л'
О
+ &з sin (Зф + Фз)]}
2л
Ь = f?in + О
4- d3 sin (Зф + Фз)]} cosipdij);
2л
аз(А) = ^^{А[щпф4-о
(2.106)
4~б3 sin (Зф4~Ф3)]} X
X sin (Зф + фз) d$;
2Л
МЛ) = ^^{А[8тФ + о
+ '63sin (Зф + Фз)]} X
X cos (Зф + фз) г/ф,
гДе 63 = А3/А — относительная амплитуда 3-й гармоники.
Подынтегральные функции в формуле (2.106) относятся к классу обобщенных, так как большинство из рассматриваемых нами нелинейностей являются кусочно-линейными, первые производные которых представляют собой дёльта-функции. Разложим обобщенные функции в ряд Тейлора и возьмем только первые члены разложения; тогда из формул (2.106) получим
2л а^==~^ J (А sin,i’)+ о
+ S2" ]А {sin ф + е [б3 х
X sin (Зф-f-ф3)]}] X
ХА [б3 sin (Зф+ф3)]} sin ф</ф;
2л	(2.107)
${^'И.8шф) +
0
-HF[A{sin ф-]-е[63 51п(3ф+ .
+ Фз)1) 1 А [63 sin (Зф+ф3)]} X :
Хсозф^ф;
. f	I
аз(А) = ~^ р^"(^8Щф)+ • О
+ &~ [A {sin ф-j- е[б3Х X sin (Зф + фз)]}] X X А [63 81п(3ф + фз)]} X
X sin (Зф 4- ф3) </ф;
${^Мзтф) + о
4- ЯГ [ A{sin Ф4-8[63 sin (Зф + +Фз)]}1 А [б3 sin (Зф4-фз)]} X X cos (Зф 4- фз) б/ф.
(2.107)
В выражениях (2.107)
& [A {sin ф 4-е [63 sin (Зф 4- ф3)]}] ==
__ДУ (Л {sin ф + е [63 sin (Зф + ф3)]}] -	d (Л sin ф)
*
Параметр е удовлетворяет неравенству 0 < 8< Г, а остаточный член разложения можно записать в виде
/? =
У [A {§in ф + е [63 sin (Зф + <р3)]}] X __	X [63 sin (Зф + <рз)]2__ 2!
(2.108)
По величине остаточного члена можно оценить ошибку, которая может быть получена, если пользоваться только первым членом разложения, а не всеми последующими. Для рассматриваемых нами однозначных и двузначных кусочно-линейных нелинейностей (см. табл. 2.1, 2.2, 2.4 и 2.5)	-> 0, и при приме-
нении формул (2.107) практически не вносятся погрешности вычисления коэффициентов гармонической линеаризации [30].
Для удобства использования формул (2.107) положим, что еб3 ввиду
218
его малости равно нулю; тогда из выражений (2.107) найдем
2л
а(Л}==-^£ iF (Л sin ф) sin фйф + о
2л
+	j д (4 sin ф) sin Зф Х
о
Xsin +
2л
X § & (Л sin -ф) cos Зф sin фйф; о
2я
Ъ (Л) = --т- ST (Л sin ф) cos ф«/ф + ЛЛ J
0
2я
+ бз^МРз J (Л sin ф) sin Зф X о
ХсозШ--Ц^Х
2Л
х J И sin ф) cos Зф cos ф^ф; о
2л
$^"(4Sinitsin(3$4-о
2л
+ Фз) + -?--C-^ Фз $5Г (Л sin ф)Х '
О
х Sin2 Зф</ф + 2дз sin cos фз  X
2Л
X J (Л sin ф) cos Зф sin Зфг/ф 4-о
2Л
4- дз S1" ф», д- (Л sin ф) cos2 Зфг/ф;
о 2я
Ьз М) = ~ J (Л sin ф) cos (Зф 4-о
2л
4-	4-	J д- (Л Sin ф)х
о
х Sin Зф cos Зфггф 4- .^‘Р.Мфз Х
2л
X J (Л sin ф) cos2 Зфг/ф — о
2Л
- ^_8^--°-фз. j д- (Д' sin ф) X •
о	>
X sin2 Зфйф - **1^1 х I
2Л
X J (Л sin ф) sin Зф cos Зфйф. I о	J
(2.109)
Формулы (2.109) запишем через основные и добавочные коэффициенты гармонической линеаризации в виде
а (Л) = а{ (Л) 4- Да13 (Л) 63 cos q>3 4-
4- Д'а13 (Л) 63 sin q>3;
b (Л) = bt (Л) 4- Д% (Л) 63 cos Фз —
— Дй13(Л)63зтф3;
а3 (Л) = а' (А) 4- Да33 (Л) 63 cos2 ф3 4-
4- Дх«зз (Л) 2б3 sin Фз cos фз 4-
4- Д&зз(Л)63 8Ш2 ф3;
(А)*=Ь'з (А) +дЧз И) бз соз2ф34-
4- Д633 (Л) 63 sin фз cos фз —
— Да33 (Л) 63 sin фз cos ф3 —
— Д'азз (Л) б3 sin2 фз,
(2.110) где 2л
а^Л) = -^д (Л sin ф) sin о
Да13 (Л) =	j Т (A sin ф) X
о
X sin Зф sin фйф;
2л
Д'а13(Л) = -^ J (Л sin ф) X о
X cos Зф sin ф«/ф;
2я
(Л) =	( У (Л sin ф) cos ф дГф;
> Л/Ч J
о
Д'61з(Л)=^ $ЗГ(Л8тф)Х о
X sin Зф cos ф«/ф;
2л
ДМЛ) = и<Г(Лзй1ф)Х . о
X cos Зф cos ф^ф; j
219 \
2л
азМ)=^А ^Hsint)X ; о
X Sin (3^ + q>3)dij); 2л
Aa33(4) = -^- ^^(4 sin t) sin23tdt; о 2л
Д'аззМ) = ^ \&-(А sint)X* о
X cos Зф sin 3tdt;
2я
&з<л) = -£4 $ (4sint)X 0
X cos (Зф + q>3) dt;
2Л
Д6зз(Л) = ^- J^(4sint)X О	ч
X cos2 Зф^ф.
(2.1Н)
В формулах (2.110) и (2.1,11) функции cti(4), bi(A) являются коэффициентами гармонической линеаризации по 1-й гармонике, a Adi3(4), A'ai3(4), Д'&1з(4) и Д513(4)—добавочные коэффициенты гармонической линеаризации, учитывающие влияние 3-й гармоники на 1-ю. Функции а3'(4), b\{ 4) являются основными коэффициентами гармонической линеаризации по 3-й гармонике, а Да33(4), Д'а33(4), Д633(4) — добавочные коэффициенты гармонической линеаризации по 3-й гармонике.
Для удобства вычисления коэффициентов гармонической линеаризации введем следующие обозначения:
а3 (4) = cos ФзОзз (4) -f- sin ф^ (4); | Ь'й (4) == cos ф36зз (4) — sin ФдС^ (4), J
(2.U2) где 2л
°зз (4) = -zt ( У (4 sin t) sin Зф dt;
JCzt J о
2Я
&зз (4) — -^д $	(4 sin t) cos Зф dt-
о
(2.113)
С помощью формул (2.110) можно найти выражения для определения эквивалентных амплитудной и фазовой характеристик двузначных нечетных симметричных нелинейностей в виде
di(4) —
= v [d! (4) + Ad13 (4) бз cos Фз +
+’Д'а13 (4) бз sin Фз]2+[61 (4)+”*
4-Д'б13 (4) 63 cos фз — '*
— Д613 (4) б3 sin фз]2; (2.114)'
И1(4) =
МА) + Д'М (A) ds cos Фз—
—~ ДМ (A) d3 SH1 ф3 /911ЕХ
С ga, (А) +Да,з (А) б3 созф3 + - (2Л 15>
+ Да и (А) д3 sin фз
В качестве первого приближения для нахождения бз и ф3 примем
б3 = Л/^(4) + ^(4);
.	(А)
Фз = 180° + arctg
(2.116)*
Подставив значения б3 и ф3 из формул (2.117) в 3-ю и 4-ю формулы (2.110), найдем второе приближение для бз и фз в виде
63 = Va2(4) -f- б2 (4); ' ф3!= 180° + arctg -^1. ,
(2.118)
Определив б3 и ц3 по формулам (2.118) и подставив их в выражения (2.114) и (2.115), в окончательной
* Следует иметь в виду, что истинные значения З3 и фз зависят не только от вида нелинейности, но и определяются частотными характеристиками линейной части системы регулирования, т. е.
дз= \W(j3a>)\^/a3t(A) + b'32(A)-'
фз =» 180° + arg [IF (J3<a)] +
+ arctg
ь'з (A) а'з (A)
>(2.117)
Угол 180° во 2-й формуле (2.116) введен для возможности исследования устойчивости нелинейной системы (см. подробнее в Гл. 7).
220
форме получим эквивалентные амплитудную и фазовую характеристики для двузначной нелинейности.
Данную методику можно распространить на нелинейные системы, в которых наряду с 3-й приходится учитывать 5-ю [102] и более высокие гармоники. Одиако при практических расчетах для многих типов нелинейных САР можно ограничиться влиянием лишь 3-й гармоники (см. гл. 7).
Пользуясь найденными коэффициентами гармонической линеаризации, двузначную нечетную симметричную нелинейную характеристику можно записать в виде
(х) «<х (Л) *, (0 + i, (0 +
+£[Мл)мо+.ЦИЧ(()]
(2.119)
и заменить прямой с наклоном, равным q(A), и фазовым углом ц(А).
Формулы для однозначных нечетных симметричных нелинейностей можно получить из (2.110) и (2.111) в виде
а (4) tZj (А) + Да13 (A) d3 cos фз;
Ь' (А) = — А613 (А) б3 sin ф3;
а3 (А) = а3 (А) + Аа^ (A) б3 cos2 ф3 +
+ А633 (А) б3 sin2 ф3;
Ь3 (А) = Ь3 (А) + Д633 (А) X
X б3 sin Фз cos фз —
— Дйзз (А) б3 sin ф3 cos фз,
(2.120)
где
а'(А) = созф3а33(А); |
' 6'(А) = з^ф3а33(А). J (2Л21)
С помощью формул (2.120) можно найти выражения для определения эквивалентных амплитудных и фазовых характеристик однознач
ных нечетных симметричных нелинейностей в виде
4i (А) =
= V[at (А) + Да13 (A) б3 cos ф3]2 + *
*’vTM3(A)63sin Фз]2 ; (2.122)
Н1 (А) =
— — ягг+а А^13 (^) Дз sin <р3 ® ai (Л)+Да1з (Л) d3 cos <р3’
(2.123)
Из формулы (2.123) следует, что при учете высших гармоник на выходе однозначных нелинейностей за счет их действия образуется ёдвиг фазы, который оказывает существенное влияние на определение частот и амплитуд автоколебаний. В этом случае для нахождения бз и ф3 следует пользоваться формулами (2.] 16) — (2.118).
Однозначную нечетную симметричную нелинейность можно описать зависимостью
F(x) «а^х.^ + ^-х, (/) +
+ "б? La3 М Хз ------ЗФ~ *3 J
(2.124)
и заменить прямой с наклоном q(A) и фазовым углом ц(А).
Рассмотрим методику определения коэффициентов гармонической линеаризации для однозначной (рис. 2.4, а) и двузначной (рис. 2.4, б) нелинейностей. >
Пример 2.8. Определить основные н добавочные коэффициенты гармонической линеаризации для однозначной нечетной симметричной нелинейности типа насыщения. Сигнал на выходе нелинейности можно записать в виде (2.71). Подставив в него те основные и добавочные коэффициенты гармонической линеаризации из выражений (2.111) и (2.113), которые относятся только к однозначным нелинейностям, найдем формулы для их вычисления. Основные коэффициенты гармонической линеаризации определяют по 1-й гармонике при А^С щ (4) =. I (arcsin	д/ 1 - £)
(2.125)
221
Таблица г. 7
Формулы вычисления основных и дополнительных коэффициентов гармонической линеаризации типовых однозначных нелинейностей по 3-й гармонике
Вид нелинейной ырактеристини		<*33	Аа,3		Ав,3	AS я
V в -с-i /	0 С X -в	при А * С	при АлС	D 2к ~ агсзъп—- ~ Я	A JX при А * С	при А^С	i 1	и|5? ft	’	1	1 $ V —* В-"Жя
' 9 в	U 0Ct С3 С3Х -I цд-х, ЧА'л»	‘FJ} при А^С3	-fi АЙ при	~-[к. arcsin - *1	,	А -r2(ercsw^-en:stn^- при А^С3	ЯГ]} при А^С3	г Г . с{ -=-<«. arcsin -г — • л (J	А Xjfarcsin-y-amin При А^Сз >
у -с / °	С X	при А * С	ок e3 i/. ' c* ~я при А±С	К 2К	.С arcsin дл	А * + ,йл’) АЛТ ,S А")А V А1 при А^С	- £.’)_? , Я 1 АЧ А «RI при А»С	-- — arcsin — -J л	А 2к ,, Сг -зя!ЗЧВ-р + + ,г^’Ц|О1 + " аЧА 1' Ai при A s-C
а составляющую по 3-й гармонике
'•w>-ra('-j)V‘-5'(2!26)
Добавочные коэффициенты линеаризации, учитывающие влияние 3-й гармоники иа 1-ю, будут
Дай (Л) =	x\J 1 — — ;	(2.127)
(2.128)
Добавочные коэффициенту линеаризации, учитывающие взаимное влияние по 3-й гармонике для однопознционного реле, находим по формуле
А /ЛЧ 2 Г .С	С f
Ддзз (А) = — arcsin—:-— ( 3 —
л L А ЗА \
ДЬзэ(Л)-|-[атс81п + ~ (з-4^)х
х(1“45)д/^5’- (2129б)
Формулы для основных н добавочных коэффициентов гармонической линеариза
ции однозначных нелинейностей приведены в табл. 2.7. Соответствующие коэффициенты гармонической линеаризации для однозначных нелинейностей в зависимости от амплитуды А построены в виде кривых на рис. 2.85, а, б — 2.87, а, б.
Формулы для вычисления основных и добавочных коэффициентов гармонической линеаризации двузначных нелинейностей приведены в табл. 2.8. Коэффициенты гармонической линеаризации в зависнмостн от изменения амплитуды А изображены в виде кривых на рнс. 2.88, а—г н 2.89, а—к.
Пример 2.9. Определить основные и добавочные коэффициенты гармонической линеаризации для двузначной нелинейности (рис. 2.4, б), если сигнал на выходе нелинейности можно записать в виде (2.78). Подставив последнее в выражения (2.111) и (2.113), наймем формулы для вычисления основных 'н добавочных коэффициентов гармонической линеаризации, которые определяют по 1-й гармонике:
п₽нл>с:|
ч /лч 4ВС л-^/>	|
01 И)-» — при Л>С, I
(2.130)
222
Рис. 2.85. Основные и дополнительные коэффициенты гармонической линеарнзацнн однозначной нечетной нелинейности типа насыщения с учетом 3-й гармоники:
о) а„(4); б) Да,3(4), ДЬи (Л)
Лам.ДЬц
В)
Рис. 2.86. Основные н дополнительные коэффициенты гармонической линеаризации однозначной нечетной нелинейности типа ограничения в виде трапеции с учетом 3-й гармоники:
о) о» (4); б) Да13 (4), Д6» (4)
Рис. 2.87. Основные н дополнительные коэффициенты гармонической линеаризации однозначной нечетной нелинейности типа зоны нечувствительности:
а) о» (4); б) Да» (Л), ДЬц(4)
223
I
Таблица 2.8
Вычисление осноВных и дополнительных коэффициентов гармонической линеаризации дбд злачных нелинейностей по 3-й гармонике
Вид нелинейной характеристики		°зз	А а и		 A‘a„		A a 33	A'a33
У в 	-С/ /о	/с х -в tgfl*k	ВВС 1,^0 ,.С2] Ух У Г А) А ЗЛА \	А	А1/	8k/ л ( Л/	1	NJ ‘IN 'Т1	8k f , с a с2 I — -3 +8-r-B—2 / x Я 1	A	A* J '№ при А2>С		\k 2k . Л 2B1V [j+Farcs,nrT/J d/(.s+6itL ЗЛ |	A C2	C3 - 320 Ti +512~J -A	A3	sfd-d^r- •(’-m при A
		УИЯ' при А	» \	n / /1 при A &C				^Jarcsm^Mn^ kA	A arcstn^ -grcsln ^kC) _ х(в*ксШ f6^c)r.iy kV J 1 K2A2 3 'H^+l(e+m/c£) x	
• в+кс		2k (B*kCf\ 1 (B+kC)2' Г kW*	2k\(B+kC)}\ / _ (B+kC)2' л LfrW V7 k2A2 CS\L C2' m3Cs 'а~3У''а* + A3 X i\/i mid (B+mkC)3, V	k3A3 ^/._(В*ткйГ] V7 " Ш J . B*kC при A^ k		2k(/B+kClf (8+ X \ kA / ! k‘	’A2 f Я’ kCl2t I2		±	Ml* 09	*<;, Ч г-*а>а,<*> * +	Э 1—-1	+ ь J	Г1 +	M r>	£i N rs i	>	, ^,r-~' 1 V 1	J i	. 	” - * Xln “I’S ' I h*
У В _ -С -тс	/jQ тС С х -В	Wkcyd (B*kC)2 l k2A2 J rA^	 \L_d_ zkC\L c2' V A2 ЗлАу A22 .h-A-U^ML, I A2)	jjfA			Л /, !S1C1 (8+m XV7 Л2 ' kh ,Г, (B^mkC)2]^ XL7 k2A2 J			
			ткС)2 гА2	2k (В ^/nkC)3 г k’A3 *	Д/ (B + mkC)2 V7 k2A*			
		z_,_£L V7 k2A2 7 * Z					’ A	kA x fc ^rnkG)2 fB^mkC^ll/. (B+mkC)2 'I Г6 k2A2 +’C	JV k2A2 f	
		V k2A2	*A У1		/л2Сг 2mkC\L A2 ЗЛА У	A2 \	A2 /			
00
3 S
Толчеев
to
to
СП
Продолжение тадл. 2.3
вид нелинейной характеристики		Ьзз		Д'Ь/з	^Ь13	^'Ьзз		46jj
у в -с/		ь X X	1—Г"1	5? 7 -тЧ »!<> Л	1	Оа , biri +	X	х	**("$- ->ЯЯ)‘ при А &С	л (	А „ С2 I С +2 —т) — » А1/ А при А	Вк (г	С 77 Р"16 Т + <//Г |	А		Г к 2к . /, 2CI1 [r-arcs>np--^ + 77Л-*4 + Зл (	А С2	С2 + 320-^~Я2—3 * Я-Я' при а ЪС
/о	'С -в tgfi=k	('-Я] при A t-C				при А ъС		
		*_Г, 2fS<XdZl К Г . !В*кС)г. гл[' М j'M's ТР		kflB^kC)2\ (B^HC)2] 4 В2A2 L ‘ кгА2 J £2 / , Р \jn2C2f, 'а2Г2^Г^-(3' ?тгСг\ (В*ткС)г , 2 А2 / К2А2 . B+kC при	Z*/ <в+*с! Г л | кА	К\(8->-кС)\	(В-^кС)2] 2_ ЗЛ\ кА Г* к2А2\ , сг\г..тС\-, ’Тг4р] 4~Г" , отгсг12 (в+ткс)\, -* А2 Г кА ?'		^.(arcsin	+arcsin- кА	А - arcsin -j - arcsin "	+ А	КА •/&>»$ -J-SFp-x'W''* B + kC при А 7 к
у. в -С -тС		ч X к * + * х	W ] г^А«/'*жЛ ,  (В+кСРА.ИВ+ктСр.. J * nW J зл**! х х К Г» В(в*ткс)г М	Кг А^ tB^mkC)'.'] 2ктгСг КАА* J ЗхА*		(В^КС)г\\/, (ВАКС)2 к2А2 J V' к2А2 С / С2 П/, Qi тС 'a[1'a2H1'a2 А			
	//\В							
					/ тгСг\\! т2С2 (В-АткСК (8+ткС)А кА Г к2А2 Г Д /. . (B+mkC)z\ Г к2А2 J А-, BA-ВС при А к	(В+ткС/2]2 к2 A2 J приА? к		
jjo	тсс •» -В tgJ3=k							
Рис. 2.88. Основные и дополнительные коэффициенты гармонической линеаризации двузначной нечетной нелинейности типа гистерезиса с k = 1г
а) аи (А); б) Лаи (А). Аби (А); в) б» (А); г) Д'ац(А), Л'in (А)
составляющие по 3-й гармонике при А С

(2.131)
Добавочные коэффициенты, учитывающие влияние третьей гармоники на первую, будут прн А С
.	... 4ВС2 /	. С2\
Да1з(Д) = —ф_4_);
Д'а13 (Л) «=
Aa'tf.Ab'u
3-й гармонике, запишем в виде при А С
.	... 4ВС2 /,	. С2\2
Лазз(л) = -^йг l3-4^) ’
x(-‘£)V-5’
,,ч 4ВС /, лСг\ /. С2 Д6зз(Л)=» 3лД (1	4лз)/\/1 Аг-
(2.133)
У нелинейностей, выходной сигнал которых определяют с помощью выражения (2.7), имеем
2я/а>
а (А, со) — -U- SF (Л sin со/, ЗТЛ J
о
Лш cos ©Л sin art dart',
(2134Г
b (Л, ©) =	£Г (Л sin со/,
о
Лео cos ©О cos art dfst.
(2.132)
Добавочные коэффициенты линеаризации, учитывающие взаимное влияние по
* Формулами (2.134) можно пользоваться при нахождении коэффициентов гармонической линеаризации симметричных нелинейностей, иа входе которых образуется сигнал
Xi (t) = Ai sin <ot + A3 sin (2<oi + <p»).
226
Рис. 2.89. Основные двузначной нечетной тельностн прн k = 1: а) Д»Ц(Л); б) Дап(Л); u) A'iM (А); к) Д'д13(А)
и дополнительные коэффициенты гармонической линеаризации нелинейности типа двухпознцноиного реле с зоной нечувстви-
в) Ai»(A); 3} AaJS(A); д) азг (А); е) Д'а„(А); ж) А'ац(А); з) Ь„ (А);
8*
227
Для более полного воспроизведения выходного сигнала наряду с 1-й гармоникой приходится учитывать и 2-ю гармонику; тогда
у{ (/) = ЯГ [(Л] sin со/, А,со cos со/) 4* + (Д2 s>n (2со/ 4- ф2),
242со2 cos (2со/ 4- Ф2))1 , (2-135)
или, положив А, — А, А2=62А, со/ = = ф и 2со/— 2"ф, получим
2л
а(4,<о)=-^Д {ЯГ [(4зтф, 4сосо8ф)4-ЭТ/i J
О
+ [д2Л sin (2ф + cp2),
262 Д(дСО5(2*ф + ф2)]1} sin фйф; (2.136)
2л
ь (Л, <о) = —^ {Т [(4 sin Ч».
О
Л<о cos ф) + [62 A sin (2ф + qp2), 2д2Дсо cos (2ф+ф2)]]} cos ф д?ф; (2.137)
2л
а2 (А, со) = ~д- {& 1(4 sin ф, о
4<о cos ф) 4- [624 sin (2-ф 4- ср2), 2624<о cos (2ф 4- <р2)] 1} sin (2-ф 4- <Рг) с^ф!
(2.138)
2л
b2 (А, со) =	{&~ [(4 sin ф,
о
4<о cos ф) 4- [б24 sin (2ф 4- ср2), 2624со cos (2ф 4- ф2)] ]} cos (2ф 4- ф2) с/ф.
(2.139)
Разложив подынтегральные функции в выражениях (2.135) — (2.139) в ряд Тейлора и взяв лишь первые члены разложения, получим
2л
а (А, со) =	{&- (4 sin ф,
о
4ш cos ф) 4- /F [(4 sin ф, 4со cos ф) 4-4-е (624 sin (2ф 4- Фг), 2&24<о cos (2ф 4-
4- Фг))] • [62А sin (2ф 4- ф2) 4-
4- 2б24ш cos (2-ф 4- ф2)]} sin ф с/ф;
(2.140)
2л
Ь (А, со) = —^л-	{/F (4 sin ф,
Л/i J о
4<о cos ф) 4- ЯГ ](Л sin ф, 4со cos ф) 4~
4- е (d24 sin (2ф 4- Фг), 2624со X
X соэ(2ф 4-фв))]  IM 81п(2ф 4-ф2)4-
4- 2d24co cos (2ф 4- Фг)!} cos ф с?ф;
(2.141) 2л
а2 (4, со) =	{<F (4 (sin ф,
о
4со cos ф) 4- ЯГ [(-4 sin ф, 4со cos ф) 4-4- e(d24’sin (2ф 4- Фг),
2д24со cos (2ф 4- Ф2))] • [524 sin (2ф 4-
4- ф2) 4- 2d24co cos (2ф 4- Фг)]} X
X sin (2ф 4-Фг) с^ф; (2.142)
гл
Ь2 (4, со) = -^-	(4 sin ф,
о
4со cos ф) 4- ЯГ [(4 sin ф,
4со cos ф) 4- е (624 sin (2ф 4- Фг), 2624<о cos (2ф 4- Фг))] ’ 624 sin (2ф 4*
4- фг) 4- 2624<о cos (2ф 4- Фг)1} X
X cos (2ф 4-фг) ^Ф-- (2.143)
Как и прежде, при е = 0 из выражений (2.140) — (2.143) найдем с точностью до остаточного члена формулы для вычисления коэффициентов гармонической линеаризации в виде
2л
а(4, со) =-^- Г [(4 sin ф,
О
Дсо cos гр)] sin ф йф +
2л
4- 62 c°s ф2 J зг [(4 sin ф, О
Д<о cos ф)] sin 2ф sin ф йф +
2Л
4- б2..ух j зг [(4 sin ф,
О
Лео cos ф)] cos 2ф sin ф с^ф 4-2л
4- 26^os<p2 j 0Г[(48тф, О
228
Дш cos ip)] cos 2-ф sin ip dip —
2л
_ 2б2ш Jn ф, j ^[(4sin^ о
Д® cos ip)] sin 2ip sin ip dip; (2.144)
b (Л, co) = -U-	[(Д sin ip,
jt/1 J
0
4® cos ip)] cos ip dip +
2л
+ da c°s ф2 $ ST [(4 sin ip, 4<o cos ip)] X о
X sin 2ip cosip dip +
2л
+ 62 S^n-ф2 j [(Л sin ip, Дсо cosip)]X 0
X cos 2ip cos ip dip +
2л
+ 26^OS «У* j дг [(д sin ip, 0
Лео cos ip)] cos 2ip cos ip dip —
2л
_	j ^[(X sin ip,
0
4(ocosip)] sin 2ipcosipdip; (2.145)
2л
a2 (A, co) = J T [(A sin ip, о
Д® cos ip)] sin (2ip + <p2) dty +
2л
+ Й2 С^ -У2- j g~ [(Л sin ip, Д® cosip)]X о
x Sin2 2ip dip + 262 sin^ cos?2 x
2л
X $ &~[(A sin ip, Дсо cos ip)] X 0
X cos 2ip sin 2ip dip +
2л
+ Й2 ф2 ( ЯГ [(Д sin ip, Дсо cos ip)] X
\ z 2 r> 1. j 1 1 262co cos2 ЧР2 \ z
x COS2 2ip dip ч--------й—:x
2л
xj &~[(A sin ip, Дсо cos ip)] X 0
\ z r> , • n , j 1	262co sin2 q>2 . ,
X cos 2ip sin 2ip dip-----—-—— X
2л
X J	[(Д sin ip, Дсо cos ip)] X
0
X sin 2ip cos 2ip dip +
, 262<b sin <p2 cos <p2 4Z
+	л	X
2л
x$ &~[(Asin ip, Дсо cosip)]cps22ipdip—
0
2л
 262co sin^p2 cos qp2 j [(л s.n
0
4(0 cos ip)] sin2 2ip dip; (2.146)
2л
b2 (Д, co) = J T [(Д sin ip, 0
4(0 cos ip)] cos (2ip + (p2) dip +
2Л
+ д2С0$ ф2 $	[(4 sin ip, 4(o cos ip)] X
0
, . . a . o 1 J 1 I ^2 Sin фз COS (fj \_y
X sin 2ip cos 2ip dip H---------------— X
2л
X 1И sin Ч1» cos Ч>)1 X
0
X z 2 П 1 л I 62 sin Ф2 COS ф2 к/
X cos2 2ip dip--------------------X
2л
x J [(4 sin ip, 4(o cos ip)] X
0
ч ✓	• 9 n 1 J 1	^2 Sin2 ф2
X sin2 2ip dip--------------X
2л
x J	[(Д sin ip, Ди cos ip)] X
0
, . „	_	,. , 262<o cos2 ф2 , z
X sin 2ip cos 2ip dip H---------------X
229
2л
х $ & [(Asin г!?, шсо&ф)]со&22фс/ф— о
4d2a) sinqpacoscpa л
2л
x 5 & [(A sin if, a cos -ф)] X
0
X sin 2-ф cos 2ф t/ф +
2Л
26а(О j ST [(A sinip, о
Aa cos-ф)] sin22i|) rfip. (2.147)
Формулы (2.144) и (2.147) запишем через основные и добавочные коэффициенты гармонической линеаризации, т. е.
а (А, а) = а1(А, а) + Да12(А, а) X X f>2 cos <р2 + A/qi2 (Л,.ю) d2 sin <р2 +
+ 2Д'д12 (А, ®) d2a cos <р2 —
— 2 Да12 (А, ®) d2a sin <р2;
b (А, а) = bt (А, ®) + Д^12 (Л, ®) X X 62 cos <р2 + А^12 (А, ®) б2 sin ф2 +
+ 2Дй12 (А, ®) d2® cos ф2 —
— 2Д'Ь12 (А, и) д2а sin ф2;
а2 (А, ®) = а' (А, ®) + kd22 (А, а) X
X б2 cos2 ф2+ 2Дс22 (А, ®) д2 sin ф2 X
Xcos ф2 + Де22 (А, о) д2 sin2 ф2 +
+ 2 Дс22 (А, о) д2а cos2 ф2 —
— 2 Дс22 (А, а) д2а sin2 ф2 —
— 2 Де22 (А, а)»д2а sin ф2 cos ф2 —
— 2 Дб/22 (А, ®) д2а sin фа cos ф2;
Ь2 (А, а)=6' (А, ®)+Дс22 (А, ®) д2Х
X cos2 ф2 + Де22 (А, о) д2 sin ф2 X •
ХС03ф2—ДЙ22(А, ®)д2 5Шф2СО8ф2— |
— Дс22(А, а) д2 sin2<p2 + 2 Де22 X I
X (А, ®) д2а cos2 ф2 — 4 Дс22 X
X (Л, ®) д2а sin ф2 cos ф2 + + 2 Дй22 (А, ®) 2д2а sin2 ф2,
(2.148)
где
2л
ах (А, а) =	[(A sin ф,
ЛЯ J
о
Л<оcos-ф)] sin ф^ф;
2Л
Да12 (Л, со) =	$ & [(Л sin ф,
о
Л<о cos ф)] sin 2ф sin ф б/ф;
2Л
Д'а12(Л, <о) = -^- ^"[(Лзтф, о
Лш cos ф)] cos 2ф sin ф <2ф;
2л
МЛ, ®) = ^4 j S' [(Л sin ф, О
Лш cos ф)] cos ф б/ф;
2Л
Д'д12 (А, ®) = j ST [(A sin ф, о
A® cos ф)] sin 2ф cos ф йф;
2л
Дй12 (А, а) = -^- ^ ST [(A sin ф, о
A® cos ф)] cos 2ф cos ф д?ф;
2л
«2 О4’ ®) =	Sil1 ’
О
Лео cos ф)] sin (2ф + Фг) ^Ф;
2л
Дс22 (А, ®) —	[(A sin ф,
о
(2.149)
A® cos ф)] sin 2ф cos 2ф ^ф;
2л
Ad22 (А, а) = Т [(A sin ф, о
A® cos ф)] sin2 2ф ^ф;
2л
Ъ2 (А, а) = J Т [(A sin ф, • о	*
230
A cocos-ф)] cos(2-ф + <p2)I
2Л
Де22 (Л, co) = — ^ (F [(Л sin ф, •
° I
Лсосоэф)] соз22фс/ф. f
Коэффициенты линеаризации o'(A, co) и b2(A, co) можно записать в виде
а' (А, со) = cos ф2а22 (А, со) +
+ 5Шф2622(Л, со);
Ь'2 (Л, со) = cos ф2622 (Л, со) —
— sin ф2а22(Л, со).
Здесь 2л	1
022 (Л, со) =	Т [(л sin ф,
о
Лео cos i|0J sin 2*ф dfy
*22 (А со) =	9~ [(Л sin ф,
о
Лео cos ф)] cos 2ф с/ф.
(2.151)
Пользуясь формулами (2.148), определим выражения для вычисления эквивалентных амплитудной и фазовой характеристик для нелинейностей рассматриваемого типа
(Л, со) — -y/la^A, со)+б2 (cos ф2— *
*	—2со sin ф2) Да12 (Л, со) + *
*	+ 62(sin ф2 + 2сосоэф2) X *
	*'" ХДЧгМ, со)]2 Н- [А (Л, со)+‘ ’ ’ *
+ б2(созф2 — 2со sin ф2) X *
X А*12(А <о) + б2(5Шф2-|- *
* +2сосозф2) Д612(Л, со)]2; (2.152)
н.(А =
&1 (Д, со) + d2 (cosq>2 — ® sin q>2) X ХЛ612(Д, со) +d2(sin <j>2 +
_ arcfe + 2co cos ф2) А&12 (Я, co)
® at (Д, co) +d2 (cos <p2 — 2co sin <j>2) X ’
X ЛП12 (Д, co) + d2 (sin <J>2 +
-|-2cocosq>2) Aza,2 (Д, co)
(2.153)
В качестве первого приближения возьмем
б2 = V[cos ф2а22 (Л, w) +
+ sin ф2622 (Л, со)]2 +
+ [COS ф2*22 (^»	—
* — sin ф2а22 (Л, со)]2 ; ф2 = л + cos q>2&22 (Д, со) — яггс„ ~ sin 111)2022 (Л’ <0)
'  ь cos <р2а22 (Д, со) + + sin Фг^22 (Д, со)
Подставив значения б2 и ф2 в 3-ю 4-ю формулы (2.148), найдем вто
рое приближение для 62 и ф2 в виде
б2 = д/а^Л, со) + 62(Л, со); .	. Ь2(А, со)
ф2 = л+ arctg аг(А> m)--
(2.154)
и
(2.155)
Определив бг и ф2 по формулам (2.155) и подставив их числовые значения в выражения (2.152) и (2.153), в окончательной форме получим эквивалентные амплитудную и фазовую характеристики нелинейности.
Найдем формулы для вычисления коэффициентов гармонической линеаризации и построения шаблонов, с помощью которых могут быть определены эквивалентные амплитудные и фазовые характеристики нелинейностей при действии суммы входных сигналов одной частоты. Для простоты будем считать, что на вход нелинейностей поступают двухчастотные синусоидальные сигналы
х (0 = А{ sin ф + А2 sin (ф + ф).
(2.156)
Тогда нелинейную функцию можно записать через коэффициенты линеаризации at и а2 в виде
х/(0 = Г(х) = а1(Л)х1 (0 +
-|- а2 (Л) х2 (0,	(2.157)
где х1(0 = 41з1пф;	x2(t) =
= А2 sin (ф + ф).
231
В этом случае коэффициенты гармонической линеаризации будут
aiG4)= 2^5д7$ JfMjsinW
0 о
+ А2 sin (ф + <р)] sin ф dty dtp; (2.158)
2Л 2Я
2^ $ 5 F [Л1 sin Ф-h
0 о
+ A2 sin (ф + ф)] sin (ф + ф) с?ф dtp.
(2.159)
Формулы (2.158) и (2.159) перепишем в виде
“'м» = ЖГ/|; <2160>
<МЛ> —<2161) где
2Л 2л
7] = J i/ф j F [Л] sin ф +
+ А2 sin (ф + ф)] sin ф dtp; (2.162)
2Л 2Л
12 = </ф F [At sin ф 4-о о
+ Aj sin (ф + ф)] sin (ф + ф) dtp.
(2.163)
Рассмотрим несколько примеров двухчастотной гармонической линеаризации для однозначных нечетных симметричных нелинейностей.
Пример 2.10. Пусть на вход нелинейности типа идеального реле с уровнями переключения В — 1 н В = — 1 действует входной сигнал (2.156). В этом случае переключения реле будут происходить при Ai sin ф + + Л2sin (ф + <₽)= 0, т. е.
F(x) =
1 при ОСФ + фСл+arcsin-ф-sinф; Л2
—1 при л + arcstn -ф- sin ф < ф + Ла
+ Ф < 2п —- arcsin -4- sin ф; Лг
А
1 при 2л —arcsin-4- з1пф<ф+ф<2л. ^2
(2.164)
Выражения (2.164) запишем для случая, когда As > Ар
Пользуясь соотношением (2.164), вычислим 2л
?! = 4 sin ф arcsin sin ф) йф ™ о
2Л
= 16 J sin ф arcsin sin ф) йф. (2.165) о
Введем в последнее выражение следующее обозначение k — Ai/A2; тогда получим
Я/2
Z, = 16
о
k cos2 ф
Vl — k* sin2 ф
йф =
Л/2
,	1 -н
A J V1 - sin2 ф
Л/2
+	л/\—Л2зШ2ф <2ф. (2.166)
Первый член в выражении (2.166) является эллиптическим интегралом 1-го рода K(k), а второй — эллиптическим интегралом 2-го рода E(k), т. е.
Л = 16-£~-К(А:) + -£-E(k). (2.167)
Подставив выражения (2.167) в (2.162), найдем первый коэффициент линеаризации “|Л|-55мт1'г<‘>+ттаг',<‘>-
(2.168)
Второй коэффициент линеаризации после подстановки в формулу (2.159) выражения (2.164) будет иметь вид
as^-szL-^ + A).	(2.169)
/Л‘Л2
где
Л/2
Sk cos2 ф ,. —.	йф =
V1 — k* s*n2 Ф
=	К{k) + .Цс^ф
k
(2.170)
k
= 16
k
Я/2 г , „ . С k cos2 ф 73 = 16 sin ф \ —, —	-.. ..... <2ф =
J Vl -k1 sin2 ф
^--Vslny- К (k) +1^12. E(k).
(2.171) подстановки выражений (2.170) | в формулу (2.169) получим
«>2 (А) —	|(fe2-1) (cos ф + sin ф) К (Л)+
+ (cos ф + sin ф) Е (А)].	(2.172)
После н (2.171)
232
По формулам (2.168) н (2.172) иа рнс. 2.90, а построены зависимости коэффициентов линеаризации at от At прн различных значениях Аг, а на рис. 2.90,6 — а2 от Аг прн- различных значениях Д, и <j> = 15°, 45°.
Пример 2.11. На вход нелинейности типа насыщения действует входной сигнал (2.156). В этом случае имеем
-£• (Д1 sin ф + Аг sin (ф + q>)) прн 0 «С Ф + Ч>
[С — A, sin ф I
-------Аг-------J1
. Г С — Д, sin ф
В прн arcsin -----------д-------
ГС — Д, sin ф 1 ------------------1-
Аг
Рнс. 2.90. Коэффициенты гармонической линеаризации для нелинейности типа идеального реле с переключениями по уровням В и —В (В = 1):
a) ai (А); б) аг(А2, <р)
F(x) =
(Д1 sin ф + Аг sin (ф + ф)) прн
л + arcsin
С — At sin ф
Аг
+ arcsin
sin
,	. Г С — Д| sin ф 1
+ arcsin 1----------------'•
Дг.
Подставив выражения (2.172) в формулы (2.158) н (2.159), получим
а, {-^-pi (0. Ф*. *о, k) + Л Ai <, С L
+ 4-(1 +2сО53ф*) — о
— cos ф* — 12 (0, ф*. k0, k) +
+ /3 (0, ф*. k0, *)] + -у cos ф* —
-/4(ф‘,-^-, k0, *)}.	(2.174)
— В при л + arcsin
[С — Д| sin ф -------г-------
Аг
[С — Д1 sin ф 1
Аг J’
(Д1 sin ф + Аг sin (ф + <р)) прн
2л — arcsin sin ф
[С — Д1 sin ф Аг
(2.173)
где (С + А।)/Аг	1; /г0=вС/Аг', k = At/A2-
Здесь
Ф*
It (0, ф‘, k0, k) = k sin2 ф arcsin (k0 — о
— k sin ф) йф;
/2 (0, ф*, k0, k) =
Ф*
= S Vl - (feo - * sin ф)2 sin3 ф йф; о
/3 (0, ф‘, k0, k) =
Ф*
= 5 лЛ ~ (^° — ^ s*n Ф)2 sin Ф cos2 Ф ^Ф> о
Л (0, ф", k0, k) = л 2
= arcsin (fe0 — k sin ф) sin ф йф.
♦*
233
Рнс. 2.91. Графики решения трансцендентного уравнения (2.175):
а— для 1-го коэффициента; б —для 2-го коэффициента
Кроме того, ф* = ©Г, а /* - решение уравнения вида
/* — _L arcsin [£0 — k sin (to + А©) /], co
(б<ф<-у), Ф =
at, ср = Дсо/.
(2.175)
Здесь
М>‘
Z5 (0, ф", k0, k) = arcsin (k0 — k sin ф) йф; о
Ze (0, ф*, fe0, k) =
= S V1 - (*о - fe Sin ф)2 (kg — k sin ф) C/ф; о
h Т’ fe°’ л/2
=	л/1 — (&о — £ 5!пф)2 sin2 ф <7 ф.
ф*
Графики зависимости решения ф* от А2 при различных значениях Л, показаны на рнс. 2.91,6 (С = В == 1).
С помощью ЭВМ вычислим коэффициенты гармонической линеаризации по формулам (2.174) и (2.176); на рис. 2.92, а построим зависимости сц от Л1 при различных значениях Л2, а на рис. 2.92, б — а2 от Л2 при различных значениях Л1 (С = В= 1).
Рассмотрим приближенный способ определения коэффициентов гармонической линеаризации для однозначных и двузначных нелинейностей, задаваемых графически [38, 39]. Для однозначной нечетной симметричной нелинейности выражение (2.77) можно переписать в виде л/2 2 С
а(А) = —j \ F (Л sin ф) sin ф dty.
Графики зависимости решения ф* от Л, при различных значениях Л2 показаны на рис. 2.91, а (С = В = 1):
9 о г д г 1
=	4 (1+2 cos’ ф*)-созф‘-
- 11 (О, ф’, fe0, k) + l3 (О, ф*, fe0, fe) +
+ |[т’1’‘2+(*о + 4) sinV-
4	4,2 __ 1
—- kok sin3 ф* Ч-------------g— sin4 ф* +
+ /6 (0, ф*. k0, k) - It (0, ф*. ka, k)] +
Г Г	k
+ -4- 1- sin2 ф*+-х-(1 — sin3 ф‘) + л ц	о
Рис. 2.92. Коэффициенты гармонической линеаризации для нелинейности типа насыщения:
a) ai (Ai); б) а2 (Л:)
+ Z7 (ф’, 4-.	*)]} (2.176)
234
В выражении (2.177) введем новую переменную х = A sin ф и ах = A cos ф d§, где cos -ф = = ± V1 — (Х/А)2. Знак плюс в последнем соотношении берется при углах ф, находящихся в 1-м и 4-м, а знак минус — во 2-м и 3-м квадрантах. Тогда выражение (2.177) будет
<2-178>
где z = х/А, Ft (z) — F (z) z.
Интеграл (2.178) можно вычислить по формуле квадратур Стеклова, т. е.
а(Л)=4[т{'7'(1) + Г',-1) +
+ 2Г,(1) + 2Г, (_|)} +Я].
(2.179)
д (6) (е) где остаточный член R = —	6 р.
Заменяя z и F^z) на и и отбрасывая остаточный член, получим
a(X)«^-[F(X) + F(4)]- (2.180)
Так как остаточный член содержит производную 6-го порядка, то выражение (2.180) дает точные результаты для полиномов до 5-й степени включительно, а при более высоких порядках полиномов получим приближенные значения а(Д). В тех случаях, когда требуется обеспечить более точное нахождение коэффициента гармонической линеаризации, следует брать вместо выражения (2.180) формулу
oW)_^.[fH) + f(4) +
+ VS’F^d)]. (2.181)
а)
Рис. 2.93. Графический способ определения коэффициента гармонической линеаризации для однозначной нечетной нелинейности типа насыщения с двумя наклонами: а — без смещения; б и в — со смещением
Формула (2.181) позволяет получить точное решение для полиномов до 11-й степени включительно.
Пример 2.12. Найти графическим способом значения коэффициентов гармонической линеаризации для однозначной нечетной симметричной нелинейности, изображенной на рис. 2.93, а. При построении будем использовать формулу (2.180). На рис. 2.93, а показано нахождение коэффициентов а(Д) для двух амплитуд: А, = = 2,5 и А2 = 4 (жирная сплошная линия).
Данный метод построения может быть распространен на случай поступления на вход однозначной нелинейности F(x) сигнала с постоянной составляющей Хо, т. е.
235
x(t) = Хо + A sin wt; тогда получим еле дующие приближенные формулы:
Л>(Хо, Л)	(хо + Л) +
+ 2F (*о + 4) +
+ 2Г (х0 - 4) + f Uo- Л)]; а (Хо, Л) —	(х0 + Л) +
+ Г (х° + 4) +
+ 2F (х0-4)	(Хо-Л)].
(2.182)
Пример 2.13. Найти графическим способом значения коэффициентов гармонической линеаризации для нелинейности, приведенной в примере 2.12. Необходимые построения по формулам (2.182) приведены на рис. 2.93, б, в соответственно для Fo(xn, Л) и а(хо, Л), когда х0 = Л и А = == 2,5. Здесь же жирными сплошными линиями показаны зависимости Го(хо, Л) и а(х0, Л), полученные графическим способом для ряда значений А, но при Хо = 1.
Для двузначных нечетных нелинейностей, записываемых в виде
9Г(Л) =
(Л),
3\ (Л),
если
если
Л > 0;
Л < О,
можно пользоваться следующими приближенными формулами [39]:
2
(4)-
1=1
-3-i (-4) -^-/(-Л)]; (2.183) (4)+у'(-4)-
-Ч4)-Ч-4)]- <2184> Если функция несимметричная, то
(Л)=~4 X (л)+2£Г; (4)+ Z=1
+ 2<П (~4) + ^(-Л). (2.185)
Пример 2.14. Найтн графическим способом значения коэффициентов гармонической линеаризации для двузначной нечетной симметричной нелинейности. Порядок построении показан на рис. 2.94, а, б соответственно для а(Л) и Ь(А). Здесь же жирными сплошными линиями построены зависимости а (Л) и b (Л).
Рис. 2.94. Графический способ определения коэффициента гармонической линеаризации для двузначной нечетной нелинейности типа однопозиционного реле:
а) а (4); б) Ь (А)
Этот способ можно распространить и при поступлении на вход двузначной нелинейности сигнала х (t) = Хо + A sin at. Тогда вместо формул (2.183) — (2.185) следует пользоваться
2
а (х0, Л) =1 £ 4 (х« + ») + 1=1
- 3-i [- (х0 - Л)]|;	(2.186)
(2187)
2
^о(х°’ Л) = “4? X (х°+ Л) +
+23-1	+ 23-i [- ( *°р--)]+
+ 3\ [- (х0 - Л)]}.	(2.188)
В целом ряде практических задач по заданной кривой коэффициента
Рис. 2.95. Графический способ определения по коэффициенту гармонической линеаризации типа нелннейностн: а) а(Л); б) F(x)
236
гармонической линеаризации однозначной нелинейности необходимо найти вид нелинейной функции Г (Л). Тогда на основании формулы (2.180) можно записать [39]
^-a(X) = F(4) + F(4);
(2.189)
Просуммируем все слагаемые в выражении (2.189) и отбросим член (—1)п^(-^т); тогда получим
И)=£[(->)“^ <.(£)]. п=0
(2.190)
При использов.ании формулы (2.190) можно ограничиваться тремя-четырьмя членами.
Пример 2.15. По зависимости коэффициента гармонической линеаризации а (Л), показанной на рис. 2.95, а, определить вид нелинейной характеристики. Для этого воспользуемся формулой (2.190) и по трем ее членам найдем характеристику F(x), которая построена жирной сплошной линией на рис. 2.95, б. При этом видно, что она соответствует однозначной нечетной симметричной нелинейности типа насыщения.
Наряду с рассмотренным графическим методом нахождения коэффициентов гармонической линеаризации можно использовать другой способ [39]. В этом случае выражение (2.181) следует записать в виде
х(т)"(-г)- <2191>
В формуле (2.191) знак плюс берется в первом и четвертом квад
рантах, где d(x/A) > 0, а знак минус — во втором и третьем, где d(x/A) < 0.
Выпишем следующее соотношение:	__________
,2Л92>
Подставив его в выражение (2.191), найдем
1
аИ) = т-^	-(W-
-1	(2.193)
Если ввести новую переменную интегрирования
v = V1 — (х/А)2
и обозначить F (х) через F{ при х > 0, х > 0; через F2 при х > 0, х < 0; через F3 при х < 0, х < 0 и через F4 при х < 0 и х > 0, то из выражения (2.193) получим
г 0	1
аИ) = -^4 — $ F'dv + $ F*dv +
L i	о
+ J F3dv— J F4dol; (2.194) i	о J
а(Л) = J (F, + F2 - F3 - F4) dv.
(2.195)
Рассмотрим три случая:
a)	F(x) — нечетная функция, тог-да F3 = — Fi и Fi — — F2; при этом формула (2.195) имеет вид
1
\VA + F2)dv, (2.196) о
б)	Е(х) — однозначная функция, в этом случае F\ = F2 и Ез = Е4; тогда формулу (2.195) можно записать
а(Л) = ^- \(Fi~F2)dv, (2.197) о
в)	Е(х) — однозначная нечетная функция; при этом Fi = F2, и фор-
237
Таблица 2.9
Значения функции ^/] _ (Xi/A)2
i		Xj//1	i		х,./л
					
1	0,05	0,9987	6	0,55	0,8352
2	0,15	0,9886	7	0,65	0,7399
3	0,25	0,9683	8	0,75	0,6615
4	0,35	0,9368	9	0,85	0,5268
5	0,45	0,8930	10	0,95	0,3122
мула (2.196) имеет вид
1
F>dv-
о
(2.198)
Для приближенного нахождения коэффициентов гармонической линеаризации интеграл в формуле (2.194) заменим суммой; тогда формулы (2.196) — (2.198) примут вид п
1=1
XAV1-U/M)2;	(2.199)
п
XAVl-(xl-M)2; (2.200) а (Л) = X F1 (Xi) А Vl-(x,M)2.
(2.201)
Составим табл. 2.9 значений функции V1—(Х/М)2 для 10-и интервалов i от 0,05 до 0,95 [39].
Для определения коэффициента гармонической линеаризации Ь(А) можно использовать формулу (2.50). Тогда по аналогии с выражением (2.194) найдем
Ж)
, 1	о
= '^4 J Fidv + 5 Fidv +
Lo 1
-1	О	-J
+ j F3 dv + j Fi dv I. (2.202) о	-i J
a)
i)
Рис. 2.96. Графический способ определения коэффициента гармонической линеаризации однозначной нелинейности, полученной экспериментальным путем по 10 точкам: а — вид нелинейности; б — коэффициент гармонической линеаризации а{А)
При двузначной нечетной функции (х) имеем F3 — —F{ и Ft — = —F2; в этом случае из выражения (2.202) получим
1
(2.203)
о
или
2 Д	х.
Ъ (Л) = ItA £ [Л|	~	Л -Т 
(2.204)
Пример 2.16. Найти графическим способом зависимости коэффициентов гармонической линеаризации для однозначной нечетной симметричной нелинейности, харак-
Таблица 2.10
Коэффициенты гармонической линеаризации однозначной нелинейности для 10-и значений i
i	Л	а (Л)	i	Л	а (Л)
1	0,8	0,69	6	3,4	0,35
2	1,6	0,63	7	3,6	0,30
3	2,1	0,57	8	3,8	0,26
4	2,7	0,49	9	3,9	0,25
5	3,1	0,40	10	4	0,23
238
Рнс. 2.97. Графический способ определения коэффициентов гармонической линеаризации для двузначной нелинейности:
а—вид нелинейности; б — коэффициенты линеаризации
теристнка которой изображена на рнс. 2.96, а. Определим по ней значения функции F и составим табл. 2.10.
Для определения коэффициентов гармонической линеаризации а (Л) воспользуемся формулой (2.201) и табл. 2.10. На рнс. 2.96, б построена зависимость коэффициента гармонической линеаризации а(Л).
Пример 2.17. Определить формулы для вычисления коэффициентов гармонической линеаризации для двузначной нечетной нелинейности, изображенной иа рис. 2.97, а, при А > х. Для этого воспользуемся формулами (2.196). и (2.203). Перепишем их в виде
1 2 Г а(Л)=-^-\иГ.(х) + ЯА J 0
+	(х)1 d (V1 - (ХМ)»);	(2.205)
I 2 Г
ь (Л)="ял" г~ W] d (*/Л)-о	(2.206)
Подставив в формулы (2.205) и (2.206)
значения #"i (х) — -4 + ~ sgn (х — С) и
^2 (X) = -у + -у Sgn (х — тС), определен
ные по рис. 2.97, а, получим
1
°(л>=7т $ [А + т(sgn “ С) + о
+ sgn (х - тс))	( д/1 - (тг)2);
(2.207)
!
о
— sgn (х — znC))J d (4-).	(2.208)
После ряда преобразований и подстановок формулы (2.207) и (2.208) примут вид
+V1 - (4)7 <22о9>
НЛ) = --~(1~'«)- (2.210)
Формулы (2.209) и (2.210) совпадают с ранее приведенными в табл. 2.2 зависимостями для данного типа нелинейности.
Пример 2.18. Найти графическим путем зависимости коэффициентов гармонической линеаризации а (Л) и Ь (Л) для двузначной нелинейности типа петли гистерезиса якоря электромагнитного реле (рис. 2.98, а). При этом видно, что рассматриваемая нелинейность состоит из четырех участков кривых —9"Для получения коэффициентов гармонической линеаризации данной нелинейности воспользуемся формулами (2.195) и (2.202), записанными в виде
п а(Л)=^г2>1(4)+ £ = 1
+ ^2(4)]д(71- (4/л)2)-л
1=1
+ ^4(4)1д(7ГЯ4/лТ): (2.211)
п 6(Л)==-^г2>>(4)-м
п
-^2(4)]д(4/Л)--^-£Г3(4)-i = 1
-^4(4)]Д(4/Л)-	(2.212)
239
Рис. 2.98. Графический способ определения гармонической линеаризации двузначной нелинейности:
а — вид нелинейности; б — коэффициенты линеаризации
Разобьем, как это показано на рис. 2.98, а, каждую из кривых i—3~4 на 10-ть участков и составим табл. 2.11, пользуясь данными которой и формулами (2.211) н (2.212) вычислим коэффициенты гармонической линеаризации а(Д) н Ь(А). На рис. 2.98, б построены кривые изменения коэффициентов гармонической линеаризации а(Д), Ь(А).
Если нелинейность описывается нелинейным дифференциальным уравнением y = f(x,x), то пользу-
Таблица 2.11
Коэффициенты гармонической линеаризации двузначной нелинейности для 10-н значений 1
	£		2 (х£)	&з (*i)		3 Q	•О
1	—2		6	2	-6	0,07	-0,02
2	0		7	0	—7	0,22	—0,08
3	2		8,2	—2	-8,2	0,43	—0,22
4	4		9	—4	-9	0,65	-0,31
5	6		9,8	-6	-9,8	0,82	-0,26
6	8		10,6	—8	— 10,6	0,90	-0,22
7	9,2		11	-9,2	— И	0,95	—0,21
8	10,4		11,4	-10,4	-11,4	0,97	-0,20
9	11,2		11,8	-11,2	-11,8	0,99	—0,19
10	12		12	-12	-12	1	-0,18
ются рассмотренным выше приближенным способом определения коэффициентов гармонической линеаризации. Запишем следующую зависимость:
(	\ (х, х) при х > 0; 1
(х, х) I (х, х < 0. J
(2.213)
Подставляя в формулу квадратур Стеклова выражения
хЗ~ (хА, ± ш.4 У1 ~ х2), У1 — х2 X Х^(хД, ^аДУГ^х5), ^(хД± ± ш.4 У1 — х2), получим
а (Д, а)= ^_£[<ГДД, 0) +
1=1
+^(4- (-п'-'ад^)-
-^(-4- (-1),-1«>д#)-
-^(-Д, 0)];	(2.214)
^-) + #г(-4, «л^п)-
-^2 (-4-	(2.215)
240
Рис. 2.99. Построение эквивалентных характеристик нелинейного дифференциального уравнения (2.223): а — при е = 4; б — при е = 8
2
°н-
+ 2^г(д, (-1)'->соД^-) +
+ 2^(- А, (-1)‘->соД^-)4-
+	0)].	(2.216)
Пример 2.19. Допустим, что нелинейное дифференциальное уравнение имеет внд
р = х —е('. -х2)х,	(2.217)
где е — некоторый параметр.
С помощью формул (2.214)—(2.216) нетрудно найти коэффициенты гармониче
ской линеаризации
а (Л, со) = 1; Ь (А, со) = — есо (1—)
/о(Да)=О.	(2.218)
Для проверки правильности полученных выражений подставим соотношения х = = A sin со/, х = со A cos со/ в уравнение (2.217); тогда получим
у = A sin со/ — е (1 — A2 sin2 со/) соА cos со/ —
— A sin со/ — ecoA cos со/ + ecoA3 cos со/ — — ecoA3 cos3 со/ или
у = A sin со/ — ecoA (1 — A2) cos со/ —
— ecoA3 cos со/ + — cos Зсо/). (2.219)
Отбрасывая в уравнении (2.219) 3-ю гармонику, найдем
yt = A sin со/ — есоА (1 — у) cos со/. (2.220)
Пример 2.20. Рассмотрим решение примера 2.19 другим способом. Как известно
241
методике гармонической линеаризации [см. формулу (2.7)] принято считать, что
yi (0 = а (А со) х, (/) +	х, (/); по
этому
а (А, со) = 1;
З^о (А со) == 0.
Ъ (Л, со) = — есо
(2.221)
Если x(f) — A sin art, то гармонически линеаризованное уравнение (2.217) можно записать
у = х - есо (1 --у-) *	(2.222)
Из выражения (2.221) можно получить эквивалентную передаточную функцию нелинейного уравнения (2.217) в виде
7 (А /со) = ^//l + ew(l--^-y X
X exp р arctg ( — есо (1 —	(2.223)
где
откуда
у = — Л3со sin2 св/ cos art = xfa
---------— (1 — cos 2art) cos art —
=--------- <cns at — cos 3art). (2.227)
Из выражения (2.227) следует, что в сигнале на выходе нелинейности содержится 3-я гармоника. Ее амплитуда сильно ослабляется линейной частью системы, представляющей собой низкочастотный фильтр. В результате этого выражение (2.227) можно переписать в виде
Аа> . А2 . oot>.
у =-------—cos art =-----(2.228)
Эквивалентное характеристическое уравнение нелинейной системы (рис. 2.100, а) можно представить в обычной форме, т. е.
еА2 .
1 + , • ч2	= 0, (2.229)
(ja>)2 — ещ> + 1
откуда
(1 - о»2) - /во» (1 +	« 0. (2.230)
Из выражения (2.230) получим формулы для вычисления эквивалентных амплитуд-
Характеристики 20 Ig q(A, со) = И и ц(А со) =0 построены на рис. 2.99, а, б соответственно прн е = 4 и 8.
Пример 2.21. Найти формулы для вычисления коэффициентов гармонической линеаризации и эквивалентную передаточную функцию нелинейной системы с отрицательной обратной связью, если ее объект управления с устройствами управления и измерения описывается дифференциальным уравнением Ван-дер-Поля
у' = х + е (х2 — 1) х + х. (2.224)
Уравнение (2.224) при х, — х, х2 = х н у’ — 0 можно записать в виде
х, = х2;	•)
/ох	> (2.225)
х2 = — е [х[ — 1 ] х2 — Х[. J
По уравнениям (2.225) при р = по-
строим схему, показанную на рис. 2.100, а.
Для определения эквивалентной передаточной функции воспользуемся тремя способами.
Первый способ. Примем, что на вход нелинейности поступает гармонический сигнал. Тогда на выходе образуется сигнал
У = - XjXp	(2.226)
Рис. 2.100. Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации для уравнения Ван-дер-Прля:
а _ структурная схема (блоки: / — сравнения сигналов; 2 —возведения в квадрат; 3 —дифференцирования; 4 — умножения; 5 — линейная часть системы; 2—4— нелинейная часть системы); б—<Э — эквивалентные характеристики при различных е и амплитудах Л
242
ной и фазовой характеристик системы, т. е.
q (А, со) =
= arctg
(2.231)
Пользуясь выражениями (2.231), найдем эквивалентную амплитудно-фазовую характеристику нелинейной системы в виде
7 (Л, со) = д/(1 — а2)2 + е2а2 (1— X
(2.232)
Второй способ [39]. Подставим в уравнение (2.224) следующие сигналы: х = = A sin at; х = Ла cos at и х — = —Аш2 sin <о(; тогда получим
у' = (1 — a2) A sin at — еаЛ cos at +
+ еа/12 cos at — еаЛ3 cos3 at
или
у' = (1 — a2) A sin at — еаЛ (1— A1) cosat—
( 3	1
— ea/131 — cos at 4- -r cos 3at \ 4	4
В выражении (2.233) отбросим 3-ю гармонику; тогда
у' — (1 — a2) A sin at —
— еаЛ (1-----) cos at. (2.234)
Из выражения (2.234) имеем а (Л, а) = (1 — а2);
Ь (Л, а) = - еа (1 -	. (2.235)
Пользуясь соотношениями (2.235), получим формулу для эквивалентной амплитудно-фазовой характеристики нелинейной системы
7 (А а) = д/(1 - а2)2 + е2а2 (1- ^Х
которая совпадает с формулой (2.232).
На рнс. 2.100, б—д построены эквивалентные амплнтудно-фазовые характеристики 7 И, а) в зависимости от а, вычисленные по формуле (2.232) для двух значений е = 1 н 10 при четырех амплитудах Л = 1; 3; 4; 5.
Пример 2.22. Найти формулы для вычисления коэффициентов гармонической линеаризации и эквивалентную передаточную функцию нелинейной системы уравнений кинетики точечной модели ядерного реактора
6
п = -^п-^С;;	(2.236)
« = 1
Рх
Ct =-±-п- 'kiCt, (2.237)
где бк — изменение реактивности; [J,- — доля запаздывающих нейтронов t-й группы; 1/а,— время жизни запаздывающих нейтронов i-й группы; Ci — концентрация носителей запаздывающих нейтронов i-й группы; I* — среднее эффективное время жизни нейтронов.
Нелинейным является уравнение (2.236) из-за наличия произведения бкп. Положив 6к=Лв51ПаЛ, п = Л„ sin(at + ср„), получим
Г Ап cos ф„ ,
L
Лп sin Фп Л.а о
sin at.
(2.238)
После чего, нелинейность эффициентов найдем
а (Л, а) -
подставляя преобразованную в исходные формулы для ко-гармоннческой линеаризации,
(2.233)
4Ап cos фп лЛ6
л/2
j (sin3 ф +
о
+ sin2 ф cos ф) i/ф;
6 (Л, а) =
л/2
4Л„ sin Фп f . , ,	...
————— 1 sm3 ф cos ф аф.
ГС/1. J
6 о
Точные значения данных интегралов совпадают с интегралами, вычисленными с помощью квадратур Стеклова:
. 4ЛП (2 cos ф„ + sin фп) .
а <Л- =-----------з^Т----------’
О
b(A о)	(sin фп + cos фп)
' ’ '	ЗлА6
Откуда получим
q (Л, а) =	д/2 + 3 cos2 фп + 3 sin 2ф„;
ЗлЛ
(2.239)
И (Л, а) = arctg Г osin cos.g»_l. (2.240) L 2 cos фп + sin фп J
Значения Ап и ф„ находятся из следующих трансцендентных уравнений:
Лп = |^,вк(>’ АгР
Фп = аг8[^„,йк(/“. А,- Фя)]>
где W . (ja, А , <р )—передаточная фуик-
X М Tlf
243
ция от бк к п гармонически линеаризованной системы 7-го порядка (2.236) н (2.237).
В нелинейных САР довольно часто действуют два сигнала в виде гармонических составляющих: низкочастотной Хо(() и высокочастотной (автоколебательной) х* (() = = A sin <j>t. Тогда на входе нелинейности образуется сигнал вида
х (t) — х0 (t) + A sin со(. (2.241)
От действия автоколебаний происходит изменение формы нелинейности для сигнала Xo(t). В результате этого приходится выполнять двойную гармоническую линеаризацию функции смещения ф(хо).
Известно, что на начальном участке функция смещения имеет вид плавной однозначной кривой около начала координат, т. е. иначе говоря, наблюдается процесс сглаживания нелинейности для низкочастотной составляющей xo(t) за счет высокочастотных колебаний х* (/). Это и позволяет производить обычный процесс линеаризации функции смещения
^о(хо, А) = 4г| х0. (2.242)
ОХ» 1хо-О
В выражение (2.242) можно ввести
-^-1 =кЙ, (2.243) ах° Ьсо=О
где кн является нелинейным коэффициентом усиления по низкочастотной составляющей.
Как известно, в общей форме коэффициенты линеаризации можно записать в виде формул
2л
^о(х0, А, со) = -^ &~(х0 + Asinip, О
Л© cos i|)) dip; (2.244)
2Л
а (х0, А, со) = j (х0 + A sin ф, О
Л© cos *ф) sin di|);	(2.245)
2л
Ъ (х0, А, со) =	(х0 + A sin ф,
о
Асо cos ф) cos ф с/ф. (2.246)
Из формул (2.244) — (2.246) видно, что для определения кн следует пользоваться выражением
/ дУ0 . дУ0 dA
\ дх0 ' дА dx0
. dSF~0 da \
-t" ди dxa JX^Q
(2.247)
Можно показать, что если в нелинейной САР имеется однозначная или нечетная суммарная нелинейность, то
дУ0 I
да> L=o
дУ0 дА г
Хо** >
2л
1 f дУ
2л J дх о
sin ф с/ф = 0;
1х=Л sin Ч>
тогда формула (2.247) примет вид
,2-248>
где Зго = ^"о(А, х0); А = А(х0, Ас).
Здесь Ас — амплитуда симметричных одночастотных вынужденных колебаний с малой частотой при Хо=О. Ее определяют через параметры всей системы управления (см. гл. 7).
Рассмотрим порядок определения функции смещения и коэффициентов линеаризации по низкочастотной составляющей. Тогда для однозначных нечетных нелинейностей из формулы
а(х0, А) = ас(Ас) (2.249)
можно определить следующее соотношение:
А = А(х0, Ас). (2.250) Подставив последнее в выражение Fq = Fq (xq, А), получим формулу для функции смещения
Е0 = Ф(х0) Ас), (2.251) откуда и находится соотношение (2.243).
244
А(хв,Ас)
Рис. 2.101. Определение А и функции Ф в зависимости от амплитуды симметричных колебаний Ас при различных смещениях Хо: в) А (Хо> Ас); б) Ф (Хо, Ас)
Для двузначных нечетных нелинейностей имеем
а(х0, А) = ас(Ас); 1
Ь(х0> Д) = &С(ЛС); > (2.252)
#"0 = Ф(х0) Дс) J
при кн = кн(Лс)-
На практике обычно применяют аналитический и графический способы нахождения коэффициентов кн. Рассмотрим оба эти способа на конкретных примерах.
Пример 2.23. Определить коэффициент кя для идеальной релейной характеристики. По данным табл. 2.1 и 2.4 нетрудно найти формулу (2.249) в виде
(2.253)
откуда получим уравнение
(2.254)
Из решения уравнения (2.254) найдем
(2.255)
Формула (2.255) справедлива при —Лс/2 Хо Дс/2. Перед вторым квадратным корнем берется знак плюс, так как А = Ас Только при х0 = 0.
Для удобства вычислений можно ввести следующее обозначение:
-^2-=sinP;	(2.256)
Лс
Ф(хо>Ас)
тогда
А/Ас — cos р/2, откуда найдем
4 = Ас cos (у arcsin  (2.257)’
Функцию смещения определим по формуле, приведенной в табл. 2.4, т. е.
Fo = — arcsin 4?-,	(2.258)
Л	А
где	___________
x0/4 = Vl ~(А/Ас)2 нлн
sin (у arcsin • (2.259)
Подставив соотношение (2.259) в формулу (2.258) н имея в виду соотношение (2.251), найдем
& = — arcsin-^-. (2.260)
Формула (2.259) справедлива лишь при —4с/2 iC Хо	4с/2.
График функции Д=4(х0,4с), построенный по формуле (2.257), показан иа рис. 2.101, а, а для Ф(хо, 4С), определенной по формуле (2.260), изображен на рис. 2.101, б.
Нелинейный коэффициент усиления по низкочастотной составляющей вычислим, используя формулы (2.242) и (2.243), с помощью выражений
dF
дх
2В
К" ~~ лАс '
Хо=О
В табл. 2.12 приведены формулы для вычисления нелинейных коэф-
* Для вычисления амплитуды А можно использовать формулы (2.255) или (2.257).
245
Таблица 2.12
Определение нелинейных коэффициентов усиления
фициентов кн других типов однозначных и двузначных нелинейностей.
Выполним повторную гармоническую линеаризацию для нелинейности типа реле при xo=Mosina/
Я/2
ао (х0, Лс) = Ф (Ло sin ф) X
О
X sin фг/ф =-^-Х
Я/2
X$ arcsin (-^-2-sin ф) sin ф dip, о	с
(2.261) которую можно переписать в виде
Оо(х0, Лс) =
Я/2
 4В f fe2 — 1 + 1 — fe2 sin2 ф n2A0k J 1 — k2 sin2 ф
(2.262)
Из выражения (2.262) получим
ao (xo> Л) = я2?1о X г	я/2
I fe2 — 1 Г _____dip______.
|_ * j" V1 — k2 sin2 ф
+ V1 — k2 sin2 ф dt|)l = о	J
+4-^(1’ *)]}’ (2-263) где К (-у, и -Б(-у. л) — эллиптические интегралы соответственно первого и второго рода.
По формуле (2.263) вычислим а0(х0, Лс) при |х0| <Лс/2 и построим на рис. 2.102, а, б соответствующие графики.
Для некоторых нелинейностей аналитический способ определения коэффициентов ао(хо, Лс), Ь0(х0, Лс) и 3~0 — Ф(х0) Лс) с помощью повторной гармонической линеаризации представляет определенные трудности. В этом случае можно применить графический способ. Тогда параметры нелинейностей запишем относительно переменных С/Ас и
246
Рис. 2.102. Аналитический способ определения коэффициентов гармонической линеаризации а (До, Ас):
а—в зависимости от Ас при трех значениях AQ; б—в зависимости от Ао при трех значениях Ас
а по табл. 2.1 имеем
BfAz. Для однозначных нелинейностей повторную гармоническую линеаризацию выполним также графическим способом по формуле (2.180), а для двузначных нелинейностей — по выражениям (2.252) с повторной гармонической линеаризацией по формулам (2.185) — (2.187).
Пример 2.24. Рассмотрим графический способ определения коэффициентов гармонической линеаризации на примере однозначной нелинейности типа релейной характеристики с зоной нечувствительности; тогда, по данным табл. 2.4, можно записать
«<*о, Л)=-ЭТХ
Рис. 2.103. Аналитический способ определения коэффициентов гармонической линеаризации:
а) а (х0, А); б) А/Ас в зависимости от х0/А
''''-тЙ'ЧН' <2265)
По формуле (2.264) вычислим значения а(х0, А) и построим их в виде семейства кривых на рис. 2.103, а. Затем по формуле (2.265) найдем ас(Ас) и проводим горизонтальную прямую соответственно этой величине. Тем самым обеспечим выполнение формулы (2.249). Тогда точки пересечения прямой ас(Ас) с кривыми а(х0, А), построенными при разных хо/Ас, позволяют найти на оси абсцисс значения А/Ас. Пользуясь ими, на рнс. 2.103,6 построим кривую в системе координат (х0/А,А/Ас).
Для построения графика функции Ф	воспользуемся формулой
— arcsin
70] } <2266>
которую нетрудно получить по данным табл. 2.4. Подставляя значения А/Ас, снятые с рис. 2.103, а, в формулу (2.260), получим кривую Fo/B = Ф(хо/Ас)/В, которая построена на рнс. 2.104, а.
Нелинейный коэффициент кн, как следует из выражения (2.243), представляет собой значение угла наклона прямой, проведенной через начало координат. Соответствующее построение показано на рнс. 2.104, а, и к„ = 0,3. По данным  табл. 2.12, коэффициент к„ = 0,27, что указывает на хо-
247
Fo. в
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
О 2	4 6 8 Хо 0	2 4 0
а)	б)
Рис. 2.104. Повторная гармоническая линеаризация:
a) Fa!B от xQ; б) FQ (х0/В) в зависимости от Лс при двух значениях х0: в) а0 (Ло, Лс)
рошее совпадение результатов графического определения числового значения кн. В результате этого можно найти функцию
Fo (ха/В) = кнх0/В.
Графически она изображена на рис. 2.104,6.
Для повторной гармонической линеаризации воспользуемся формулой (2,180), записанной в виде
(2.267)
Соответствующее графическое построение по формуле (2.267) и методике, приведенной в примере 2.14, показано на рис. 2.104,в.
Применение методов гармонической линеаризации для исследования нелинейных САР рассмотрено в гл. 7.
3.
В САР в реальных условиях эксплуатации на вход существенных нелинейностей наряду с детерминированными поступают и случайные управляющие и возмущающие сигналы. Следует указать, что иногда детерминированный сигнал является малым, и его влиянием на САР можно пренебречь. В этом случае следует считать, что на вход нели
8 10 12 Ас о 2 4 6 8 10 12. Ао В)
нейности поступает случайный сигнал.
Существующие строгие методы анализа нелинейных САР со случайными сигналами требуют учета законов распределения случайных величин (т. е. моментов высшего порядка), что приводит к громоздким математическим выкладкам, затрудняющим процесс проектирования. Поэтому в инженерной практике принято пользоваться приближенным способом — методом статистической линеаризации [13, 30], сущность которого состоит в замене нелинейного элемента статистически линеаризованным, но позволяющим учитывать особенности нелинейного преобразования сигнала. Таким образом, однозначную нечетную нелинейную характеристику y(t) — F(x) заменяют линейной, т. е.
yn(t) = komx+kix(t), (2.268) где коэффициенты ka по математическому ожиданию шх, и центрированной случайной составляющей О
х = х — шх выбирают так, чтобы приближенный процесс на выходе нелинейного элемента yn(t) был бы практически близок к y{t) При этом считают, что на вход поступает случайный сигнал с нормальным законом распределения, который получается за счет эффекта «нормализации», создаваемого линейной частью системы.
Существует два подхода определения коэффициентов статистической линеаризации.
248
Первой подход. Коэффициенты выбирают из условий
М Ш‘)] = М [z/(0];
Л1{[ул(/)-т,л(0]2} =
= М[у (0 — ту (О]2.
Подставляя эти соотношения в выражение (2.268), получим
М (0] = м [Мх + *(iI>x°W] = komx
или
= komx (2.269)
M{[y„(t) — my «} =
= М \kQmx — k^x (t) — my]2
или
^[^р2.	(2.270)
Коэффициенты статистической линеаризации, определяемые по этому методу, вычисляют по формулам
W(mx’ СТх) =
оо
= -±- ( F(x)f,(x, t)dx; (2.271) тх J
— оо стх) =
f2toMx,0dx-m£(0,
(2.272) где
(у~тх)г
,	2а2
f1(x,0 = —1=е х (2.273) сх -у 2л
— нормальная плотность вероятности.
Второй подход. Коэффициенты статистической линеаризации выбирают из условия минимума квадрата ошибки от замены y(t) на ул(0, т. е.
т1п{Л4[1/(0-гМ0]2}. (2.274)
где коэффициенты k0 и удовлетворяющие условию (2.268), находят
из уравнений
-±-{M[y(f)-komx-
-^(0]2} = О;
-^7 {М [у (0 — kQmx —
-М(0]2} = О.
Решая уравнения (2.275), определим
= W (%.®.). (2.276) а
й<2) (тх, ох) == -V J (х — т*) X °Х _то
X F (X) fi (х, 0 dx.	(2.277)
Из формул (2.272) и (2.277) следует, что применение первого и второго подхода приводит к различным результатам. Для многих типов нелинейностей числовые значения коэффициентов статистической линеаризации и /г(2> одинаковы. В тех случаях, когда наблюдается некоторое отличие, используют соотношение
Нетрудно показать, что из формул (2.277) и (2.271) получим
kl\mx> О =
Г °°	т
д I F (х) fi (х) dx I
=	-------1. (2.279)
При вычислении коэффициентов статистической линеаризации проще использовать формулу (2.279). В первом подходе применяют обозначения Л*)0, А!<°, а во втором — k®\ #2).
Пример 2.25. Определить формулы для вычисления коэффициентов статистической линеаризации однозначной нелинейности типа идеального реле. Для этого будем применять формулы (2.271), (2.272) и (2.279). Тогда для нахождения коэффициента статистической линеаризации
249
выражение (2.271) запишем в следующем виде:
(х-тх)2 оо —
V2jx fnxax J
— оо 0	(х~тх)2
В f 2а2 -------—£------- \ е х dx +
V2ji тхох J
— оо (x-mx)2 оо —
В Г 2а2
+	-----\ е х	dx. (2.280)
V2n тхах J
Выполним в выражении (2.280) замену переменных (х — тх)/ах — и\ тогда найдем
оо
=	’	(	t-^du-
тх V 2л J тх L —
тх/стх	Т
---( е-“2/2 du .	(2.281)
V2n j	J
Если в выражение (2.281) подставить функцию Лапласа
тх1°х
Ф(тх/<Тх) = —^=-	( е-“2/2 du, (2.282)
72л J ’	л
то формула (2.282) примет вид
4’-£{[4-+7г)]-
Для коэффициента статистической линеаризации выражение (2.272) запишем в виде
М” = д/ J F2(x}fl(x,t)dx-m2(t) = — ОО
_£71_1ф.(^) (2.284) и, наконец, для коэффициента статистической линеаризации fc}2) из формулы (2.279) имеем
0	(х-тх)2
/о\	В Г	2О2
М *  ----7=—Г \ (х—тх) е х dx +
V2n cr J л —оо оо	(Х~тх)2
В Г ,
+ ~7=-Г \ (* — «*) е х dx.
о£ J
(2.285)
Подставляя в формулу (х — тх)!ах — и, найдем
(2.285)
В 72л ах
J ue U^2du — ~mxlax

... 2В с-^/2^ 72л ах
(2.286)
Пример 2.26. Определить формулы для вычисления коэффициентов статистической линеаризации двузначной нелинейности типа реЛе (рис. 2.4,6). Для двузначных нечетных нелинейностей статистически ли
неаризованная характеристика примет вид
Уп (О = k(^mx +	+ k%}°x{-,
тогда коэффициенты k^\ k ]2* и k удовлетворяющие условию
min {М [у (0 — ул (О]2}, W V?
находятся из уравнений
{-«[, (0-4'Ч-Ж;в - 0;
Ок j
4® {и [,
2
Используя приведенные зависимости и функции Лдпласа (прил. П-1.4), запишем *(>) =—{ф (с + ™х>) - ф (_ ° тх I \ ах )	\ <зх )
(2.287)
1 z С—тх \2 , гхх (С - тх) 1	I-5?-)
+----^2--- е
1 ( С+тх\2) гх±(С+/их)1	21 °х /I
ххУ .. .-il I е 4	7 11 (2.288)
а^л J	)
250
Таблица 2.13
Коэффициенты статистической линеаризации нечетных однозначных нелинейностей
№ п/п	Вид нелинейности		по постоянной составляющей *0	По случайной составляющей	
				Пердый сnocoS к'('	Второй способ
1	в -С (7	У 7\\		.H.'W	где т^Ир-, а=^-
	I > I 7	с' -В			
2	5 £	У та*	^нп,)«^^т,)Ф^ ' '7 0’ . J	2л- /А?)'- .-№р где В,Ах 2 ац Сг-т’ = Т	-^*?ЖНт/ , ^[(1^(1^т,^-2]л(!^ /Ьг(1-р)г е ' 7 .^[М^-^-рл?] .Жр\г т,в,-а, +Тн$-е2у')+ т,д, +0, ”т(т?) К*т2 /2 + Ы е	в’ /	б*+т]-т, Г (р-т\ рр)д, Р\0,) -P&yj-k'Tril/ed.у/
	\| 7 \| 7	Cj с2 -В			
3	в ^г 0	У	В (чип, /чип,] 1<-т, (1ип\ mJ 1-ч tf,/ /-v Ф\ 4/ -рА\ьГГчФ\~РГ 1 .4 )ВД/ -e*\7’/ +?7 ' л 1 г Г,	Сг ^г;- v-~3	Р^Ш‘ У^У("гн)е-'№!1')+ + 0,(т,-р)е*&У)У (1-ч)	/ Г (’-Р т,д,-а, АА2) Р (1-р	/ т‘	л °л т,-— ; Л=— G	G	Ш	El V	i	-EtjS'E	v л	Л	it	SS-Jf.!t	i	il«- S'	It	В?	©В?®	"?F	1 V W F P
	V 1 /	с, <л -в			
251
Продолжение та до. 2.13
В	у X		iH^)f	mi 2B ~e% 12^
В	~в			
в	У	x^)Am'-v)x _е-^),е-^) + т tyt . X ^Х i> G т'=й’ 'n>; v‘t	В фп1 (l*m^(l-m,-2e)-e‘ \6J	(t-v) - J fhaii? + (l-mt-2v) e °’' + lfmr^	z/mrvf/A ‘ufrOf^e A * /[f	Ar)]
	с, Сг' -В			
в -с	У _1 f	ГПг т’=Т' а’-с	1 If k’m’ e, [ Вг	• /гМ,-КМ/ vTTTY	j
6 	U (7	С -в			
7	» -Q-Q-b-C,	У /ТЪ	АУГНГ)-ГТНГ) * ъ№И?)‘ ^гнг)у %№)-№)] „« Ш=Л Т/2я(ь-^[ /'М/. « .. J у}я (1-v,)	B_hmhe' л /*>Л'+т’к ?'7г(^г/+ 'AW'tv} if	L +y^[eIm^"' V ₽‘? (‘V'jy + (V-f- -зй/^ M + p№’L Ко /П, l г вг I	-^)^)~ АГ)]<-IAr)Ary ^rHr)I + 1_ 7-v, _ 2(v3nm,) ₽-^!^Д v2-v,	1rv,	★ +^el^L^e^t vrvi 1-v,	1-v,	J .	/77» x ^x .1 0 . VIA; V3A 	Li	G	
'и/:	f , С; С, £$ -в			
252
Продолжение табл. 2. /5
8	С	'У	т,^я1	jj Ш, , gn т^Т’ e’=T	-^[Н'‘’^\;	-[^Ш]
	1 0	С X			
9	вг в, -с	, У /1 1 /	-2е'*&) ]] т mt л бх	wgpsH)V* ^J^1	•''l('L^('-&-
	1 1 1 >	0 с ’ -Bt -Вг			
10		У . / *	т! Ргпч-и '* к-0 р=0,1,...	/4л*2	/х 5 J V Гк	Г ~Л.\2^ L^2 тх	> / к’° /	75 X сгпч m? Ргп-2-к ux k-o
		0	* „2л*Г у*Вх п 0,1,...			
11	У	/ Л	*7М/		
		0 уВ xs			
12	У	/ х	_t_ ”/ 1 +^elgT / }2пбх е J	[ mj	ml . ’1^+6^ + s!gi /	t ml 1 J
		0 !j-8i2sign>			
И	вг в, -сг -С,	У Е1.	<H!W	-	< Ж gU dl ex 5	?IJ_ l.1 II	-—4	*»k	, ***? ji д^д
	в	G сг -в, -В,			
253
2 В 2о; Г,т. (С — тх\ , .— е л I Ф {---------------| -р
V2п с. L \ ах )
4- Ф
(2.289)
^хх
где г„;.==------< 1.
лл стхах
В табл 2.13 приведены формулы для вычисления коэффициентов статистической линеаризации других типов нечетных однозначных нелинейностей, а в табл. 2.14 — для нечетных двузначных нелинейностей.
По формулам табл. 2.13 и 2.14 на рис. 2.105, а—в — 2.108, а—в построены графики коэффициентов статистической линеаризации, которыми будем пользоваться в гл. 7.
4. (ОВМЕС ТИЛЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ и - т атипическая ЛИНЕАРИЗАЦИЯ
При поступлении на вход нелинейного элемента суммы двух сигналов, представляемых в виде
О
х (t) = тх (/) + х. (t) + A sin со/, (2.290) можно считать, что коэффициенты статистической линеаризации являются периодическими функциями
времени. Тогда для однозначных нелинейностей выходной сигнал
с/= 5 [* (/)].	(2.291)
Применив к функции (2.291) совместную гармоническую и статистическую линеаризации [39], получим приближенную зависимость
у (/) « F* (Л, пгх, oQ +
+ а (Л, тх, <ух) Л sin ф +
+ ^(Л, тх, <гх)х°(/), (2.292) где
mx> ах) =
2.Т
== -^- ^ F (тх + Л sin ф, ах) с/ф;
(2.293)
а (А, тх, ах) =
2П
— -U- F (тх + A sin ф, <тх) sin ф с/ф;
JT/1 J
(2.294)
k* (А, тх, ах) =
2JX
= "ЙГ S Х sin Сх>>
(2.295)
254
Раблица 2.74
Коэффициенты статистической линеаризации нечетны/ двузначны/ нелинейностей
№ л/л	вид нелинейности				По постоянной составляющей Л,	По случайной составляющей	
						Первый спасав К^	Второй спасав к,1
7		у	в	X	Г 1 fC-fyf ifOMifn		**№)] А	$**	1 -0^ <1
	-С	0	в	с			
2		У			mjf ' <с~^ t/mC-mtf xe”i[ е2 ЦЛ~КГ)+	z  « г» (c'trn/'ll. " )/2л Оя J * ПтС-т,\! г	У ’М'[г<№-\ :И у'Тл бх J	J	ei^L	, l(fnC~mxV !/С* /пх\211 +/А л Лр Л )J
	~с		тС	X			
		пС	0 -в	г.'			
5	У -с/		 А3		г1) \	V'-'-xx	/ при r,t < 1 т* \&* / при rxi=1	к	ml 2вС -^1
	/о		/г х K~tgp				
4	У, в ~G /			-If	^Н^)- <	Г -221 ~ е!е'[е - ~е Jr^c5-C^ ([ (Cz-rn,)1 (Сг"Л‘ J е- -,е -‘Г +	й(к„тх) атя	d(komx) dmx
	1 \/	Г' ч / । /	/GQ G -в				
255
Продолжение табл. 2. 74
			(Сз^х)2 (Сг-тх)г 7 + е' _е J + г г Г (с^)! <сг^1 . Г Ч~тх) IW7 &т 2в‘ ~е г \ ох /	\ о, / . Г г т	(с^т^2 + 1 СЛГЧк р id _ V??/ бх Г т <сз-тх}2	(Ctw$ -	е"ЯГ gX	Ь		
5	В -С-тс	7	»э 1 +	<">	+	-а 41	41	Л ।	~	। - '		”,	S’ls?	JB S*	п	I	I 5 >•» э *7	т> 1£	£|э	„ /г (^"к? (тС-тх)2-! в //„ 2в,?	ге$ / g3^[	J [нш^- +^tri . 2я [тС+тх х -jr-е в“ ~ (с-нп,)1	(C-mxf е+тх —L-m. —гл-—е 2вз +—^е гвз бх	gx (тС-1п,}2~1 тС~т>. „ гц* gl	-J	V2fgx [Фт _ (тС-mA (тС+тЛ -0 —+ф —-JSI-у ох /	у <?х / _й/.147+ Вг^ т* х \gx /J al т1 Г (С*т^г (тС^тх)2 * е^Че -е г‘х _^и!)2	(тС-тх)21 +;^-е- 2“з j
	,	0	тС С -В			
256
Рис. 2.106. Графики коэффициентов статистической линеаризации для ограничения сигнала по постоянному уровню при А С: а) б) 4°; в) 42>

Рцс. 2.107. Графики коэффициентов статистической линеаризации для двухпозициоиной релейной характеристики при А С: а) 6) «<2>; в) 42>
9 Ю. И. Топчеев
257
Рис. 2.108. Графики коэффициентов статистической линеаризации для однопозиционной несмещенной релейной характеристики при А С:
. J1). к S<2>. „,S<2)
a) ; б) Л| ; в)*2
При нечетной характеристике первый член зависимости (2.292) можно записать в виде
Г;(Л, тх, Ox) = k'0(A, тх, ах)тх.
(2.296)
Полученные формулы (2.293) — (2.296) показывают, что F*o и коэффициенты k*0 и k\ представляют собой усредненные за период 2л значения гармонической составляющей
функции F и статистических коэффициентов k0 и ki. Коэффициент а * — статистически усредненный за период 2л коэффициент гармонической линеаризации.
Для двузначных нелинейностей выходной сигнал
y = F[x(t), х(/)].	(2.297)
Применив к функции (2.297) совместную гармоническую и статистическую линеаризации, получим при-
258
Таблица 2.15
Коэффициенты совместной гармонической и статистической линеаризации Оля нечетно- симметричных однозначных нелинейностей
nfn	Вид нелинейности			а*	
1	У В -С 0		/VI х	П*0 Xi‘C№<Sx при тх +х0 ‘ 0	оо	Чп b_\^L , б, Lu 2п * 1 Л’О *Сп(Г}'> при тх-> х0 =0
		<—	С в K = tgB		
2	в 0		X	Во (Г) при тх+хо=0	Г Со (j-) 0Х при тх + х0 *0
	—		-в		
3	У в -с		| ж	-А^пвп п-0 х^С/Яб* при тх + хо=О	^г1псп(г/; п-0 x-f=C/V26x при тх+х0 =0 1
	—	0	с -в		
4.	у -с			п-0 “8Л frl] ; Х'-С/Ябх при тх+х0 *0	*Г/'7 х L бк X L-, 2п + 1 ПгО *Сп(г)} ; x.’CI^Ok при тх+хв=0
	/ 0		С	X k=tgfi		
9*
259
Продолжение табл. 2.16
s			(2п^1)! х	(2п-1)!г
	0			2П к ^"A^^Pi при тх+Х0 ‘О
			2п	
	У =	X ВХгпЧ	к!(п-к)!(п*Ц при. тх*хо“0	
6	У я		^ВА2 ч при тх+х0 =0	^В(А2-2Рх) при тх*х0 •О
		X у= Вх3		
7	У 0		ВАР (у) при т^+хо'О	ВбхЕ(г) при тх -i-Xo sO
		*х ^«8x2sgn х		
блаженное соотношение
y\t} = &-*0(A, tnx, сгж, ог,) +
+ а* (А, тх, ох, оА) A sin ф + 4-Ь*(4, тх, ах, at) A cos ф +
+ (4, тх, ах, ст±) Д (0 +
+ ^(4, тх, ах,	(2.298)
О
°, /л\ dxi
где
В зависимости от (2.298) имеем
&~о (А, тх, ох, ot) =
2я
=	3~ (тх + A sin ф, 4© cos ф,
о
oXt Oi)cty, (2.299) 2я
а’(4, тх, ах, о^) = J (т,+ о
4- 4 sin ф, Аа cos ф, ах, at) sin ф ^ф, (2.300)
260
Таблица 2.16 Коэффициенты совместной гармонической и статистической линеаризации для нечетно - симметричных двузначных нелинейностей
и л/л	Тип нелинейности						а*				ь*					k*	
/				в			sM«C^28 . К 5) Ic-J л eL *% £ 	х	st					1 :	1 «5 1 К	to	Cl «Ol’S	+	х	С	2В°(^бУ С бхх/,[1/26x1		8- АЛ/?) MW ^xx<5jii^ 1 ^//тсбхх ,n / A -2R- 		1 . ffi6xx + 1-	2B	 Г £м УЗБпЗм [ A oo , . _ jM 1 При Mx+Xo^O	
							„ . . б* б*г йХ'й'.-					/ А ) 1^/ у тх +х0	•0				
	-с		0		С X		оо			\ 2л •| * ]’О							
				8			п*Ъ при		^°х —) /пх + л					;чгб(// чЬЯця J при mx+xo-0			
2							В Д	fykLtf ^б*1 ^гп)Сп(х)^			8 Аб *ВС 0	Г			i*	6}i^B6}6x	
	У В -С -тС											,1 / V 1» *1 / А ' ’(VT^/	IIIJ * + fA f .Л		6XCM		ffir6lt •o	-i^n Г C(1*m)
							, бхбх	х 2л’(3»/х 6^ оо	2л дан при тх + х0 *0							2jv X'\c^+m	1 ]cn(fr	X	У-^г 'C(l+m) ~f . tf6x(2n$
			0	тС С х -в							2згбхб/°						
														при mx+xo*0		„ I A ) ‘c"l tie,) при mx+x0‘D	
3							В А	г о©	2п а© г.	-,2п			В А	1-Bo(r)*		1	К» 1 C«4 +		1
			у	В										1/2ябх			^Ябх
	-С			тС			-L		С(1-т) L^J	Mfr	.5x6j ( А 1JC 1^бх/. при тх+х0 “0			^+2C(1+m)»		X	* г / A \
		-тС		0	С X		2ТГ1^6ХГМ при тх+Хо^0							X		при mx+xo*O	
				-в										о© 2n да» при mx+Xa ‘0			
261
2л
b'(A, тх, ах, tfx) = ^4 (тж + о
4- A sin -ф, А<а cos ф, ах, а±) cos ф с?ф,
(2.301)
2Л
тх> °Х’	ki (j”x +
о
+ A sin ф, Лю cos ф, ах, ст*) с?ф,
(2.302)
2л
л;(Л, тх, стх, 3.) = ^ J Ь2(тх + 0
4-A sin ф, Дю cos ф, ст*, стл)йф. (2.303)
В формулах (2.299) — (2.303) коэффициенты а * и b * являются статистически усредненными за период 2л коэффициентами гармонической линеаризации а и Ь. Коэффициенты и k2 — усредненные за период 2л статистические коэффициенты Л, [по xt(0] и Л2[по х[(0].
В табл. 2.15 приведены формулы для вычисления коэффициентов совместной гармонической и статистической Линеаризации нечетных однозначных нелинейностей, а в табл. 2.16 — для нечетных двузначных нелинейностей *.
* Формулы, приведенные в табл. 2.15, заимствованы из киигн И. Е. Казакова. Статистические методы проектирования систем управления.—М.: Машиностроение, 1969.— 262 с.
Рис. 2.109. Графики функций, используемых при вычислении коэффициеитои совместной статистической и гармонической линеаризации:
о) Рп (v); б) с„ (y); «) D (у); в м
В формулах табл. 2.15 и 2.16 использованы функции В„(у), С„(у), D (y), Е(у) и Ф(у), которые вычисляют по выражениям
В„(у)= ..
. 4	(-»)ft+"[2(^ + n)]l f Y\2ft+I
(2n)t(ну(k+n)i u; :
Л-0 c„(y) =
rV2 p (—l)fe+" [2 (fe + n)]| /_y\2t (2п)1(Л!)2(Л + п)1 U) ’
v Д-0
где n = 0, 1,2,... и у = —; ax V2
£(y) =
_ Г V (—l)fe+1 (2Л)1	/уч»"1
“Л(Л1)’(2Л-1)1(Л+1)1 \ 2 J ’
¥ fe-0
E (V) = V? Y2 [1 + 2Y2 -
E(-l)ft(2fe + l)t / у k\ [(Л + 2)1]* I 2 )
Л-0
Графики для определения коэффициентов Вп(у), Сп(у) приведены на рис. 2.109, а и б, а Г>(у) и Е(у) — на рис. 2.109, в. Таблица для функции Лапласа Ф(у) приведена в прил. П-1.4.
262
5. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ АМПЛИТУДНЫЕ И ФАЗОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛОЖНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В п. 2 гл. 2 были приведены таблицы с формулами для вычисления логарифмических эквивалентных амплитудных и фазовых характеристик однозначных и. двузначных простейших типов нелинейных элементов q(A), q(x0, А), &"0(хй, 4) и ц(4), р,(Хо> 4). Там же изображены таблицы, построенные в полулогарифмическом масштабе для характерис-тик SOlg^. 2018-77^45-2016тйЬп,дБ) ” -|80°-нИ). —180° — .ц(хо, 4) (в град), которыми следует пользоваться при исследовании обычного типа нелинейных САР.
Для подавления автоколебаний или расширения областей устойчивых состояний в некоторых типах нелинейных систем иногда применяют сложные нелинейные элементы, представляющие собой сумму параллельных нелинейностей или последовательное соединение двух нелинейностей, разделенных между собой линейным динамическим звеном, или нелинейных и линейных элементов, образующих внутренние контуры с отрицательной и положительной обратными связями.
Рассмотрим первый тип построения сложных нелинейностей, которые состоят из суммы нескольких простых однозначных или двузначных нелинейных характеристик. Для определения коэффициентов гармонической линеаризации таких нелинейностей следует применять табл. 2.1 и 2.2 и использовать процедуры, приведенные в следующих трех примерах.
Пример 2.27. Определить формулы для вычисления коэффициентов гармонической линеаризации сложной иелииейиости, состоящей из суммы трех простых однозначных нечетных симметричных нелинейностей, структурная схема которой изображена иа рис. 2.110, а. Построить шаблон для данной иелииейиости.
Как следует из рис. 2.110, а, суммарный коэффициент линеаризации сложной иелииейиости ас определим по формуле
вс (А) = ai (А) + аг (А) + а3 (А). (2.304) f
По данным табл. 2.1 находим соотношения для коэффициентов гармонической линеаризации аь аз и аз. Подставив их в (2.304), получим
ас (А)
С,	С,
arcsin —j- 4- arcsin	+
Л
2(Bi- В,) v
(2.305)
Графическая зависимость для коэффициента гармонической линеаризации ас в соответствии с формулой (2.305) может
сложной иелииейиости:
а—структурная схема нелинейности; б— графики коэффициентов ои а3, а3, ас; в—шаблон 20 1g (!/Чс(Л)]

263
Рис. 2.Ш. Гармоническая линеаризация сложной нелинейности: а—структурная схема нелинейности; б—.графики коэффициентов аг а3, ас, Ьс;	в—шаблон
20 1g [1/?с (4)]; а—шаблон—180°—цс (Л) .
быть найдена суммированием элементарных коэффициентов гармонической линеаризации простых нелинейностей, снятых с рис. 2.5, а, 2.6,6 и 2.8, в, как это показано иа рнс. 2.110,6. Графнк ас(Л) изображен иа рис. 2.110,6 жирной сплошной линией. Логарифмическая амплитудная характеристика 201g д) приведена в виде шаблона (рнс. 2.110, в).
Пример 2.28. Определить формулы для вычисления коэффициентов гармонической линеаризации сложной нелинейности. Построить шаблон для дайной нелинейности, показанной на рнс. 2.J 11, а.
Суммарный коэффициент гармонической линеаризации для нее определим по формулам'	'(.‘Г.’ Г- Г.
«С (Л) — 1 + «1 (Л) + а, (Л); (2.806)
5С(Л) —6,(Л).	(2.307)
Для вычисления коэффициентов а<, Oj И bi следует пользоваться табл. КГ и 2.2. Тогда получим	1
2 г	£
Ос(Л)-«1+-jj-1 fe arcsin-j-+
+т«в+с*) д/'-Ст-)1} (2.308)
МЛ)---^-.	(2.309)
Графические зависимости для коэффициентов гармонической линеаризаций ас и Ьс в соответствия с формулами (2.308) и (2.309) могут быть найдены суммированием коэффициентов гармонической линеаризации простых нелинейностей, взятых с рис. 2.5, а и 2.19, а и 6. Соответствующие кривые показаны иа рис. 2.111,6, где характеристики ас в Ьс показаны жирными лиииямй.
Для нахождения эквивалентных амплитудной и фазовой характеристик сложного нелинейного элемента (рнс. 2.111, а) воспользуемся формулами (2.308) и (2.309). При этом
(Л) — jl + [fe arcsin -j- +
+ ^да+С*>дД-(^)1]}’ +
pe(A)B*arctg<
4ЙС
 1 .. г1  С
яЛ* 4-2 |ЛЧ arcsin +Л(2Д+С*)д/1-ЦУ
(2.311)
264
1k (Л) =
Логарифмические амплитудные и фазовые характеристики 201g	и
— 180s —Цс(Л) приведены в виде шаблона, (рис. 2.111, в, г).
Пример 2.29. Определить формулы для вычисления коэффициентов гармонической линеаризации сложной нелинейности, состоящей из суммы двух двузначных нелинейностей, структурная схема которой изображена иа рнс. 2.112, а. Построить шаблон для данной нелинейности.
Из рис. 2.112, а видно, что суммарные коэффициенты гармонической линеаризации ас(Л) = а.(Л) + аа(А); (2-312) 6с (Л) = 6, (Л)+ 6, (Л).	(2.313)
Для вычисления коэффициентов ah aj, di и bt будем пользоваться табл. 2.1 и 2.2. Графические зависимости для коэффициентов гармонической линеаризации ас и Ьс в соответствии с формулами (2.312) и (2.313) могут быть найдены суммированием коэффициентов гармонической линеаризации простых нелинейностей, снятых с рис. 2.19, а ибн 2.21, а и б. Соответствующее построение показано на рис, 2.112,6, где суммарные характеристики ас и Ьс изображены жирными линиями.
Эквивалентные амплитудные и фазовые характеристики сложного нелинейного элемента (рис. 2.112.в) будем находить с помощью формул (2.312) и (2.313);,
хд/4(-4)Г+
— arctg
(2.315)
Логарифмические	амплитудная
2018 —77Г и фазовая —180° — цс (Л) ха-<7с (Л)
рактеристики показаны в виде шаблона (рис. 2.212,0, г, жирные линии).
Аналогичным образом можно находить формулы вычисления коэффициентов гармонической линеаризации и строить шаблоны для сложных нелинейностей, представляющих собой суммы нескольких элементарных нелинейностей различных типов, включая нелинейности со смещением хо-
Пример 2.30. На рис. 2.113, а показана структурная схема сложной нелинейности, образованной суммой простых нелинейностей при подаче иа вход сигнала х(1) = = х0 4-Л sin wf. На рис. 2.113,6—г изображен шаблон с характеристиками
20lg ^o(t. Л)’ 2018 Сс(х0, Л) "
— 180s —Цс(х0, Л).
265
Рассмотрим второй тип построения сложных нелинейностей, которые образованы последовательным соединением двух простых нелинейностей, разделенных между собой линейным динамическим звеном. Если линейное звено с частотной характеристикой Ч7л(/<о) обеспечивает хорошую фильтрацию сигнала, то иа выходе второй нелинейности образуется гармонический сигнал в виде 1-й гармоники. В этом случае эквивалентные амплитудные характеристики двух однозначных нелинейностей qc можно находить как произведение двух эквивалентных амплитудных характеристик элементарных нелинейностей, т. е.
<?с (Л,, со) = <7, (Л,) <?2 (Л2), (2.316) где амплитуды иа входе второго нелинейного элемента будут
А2 = Л191 (Л,) | Гл (/со).	(2.317)
Если линейное звено ие обеспечивает достаточную фильтрацию, то ие выдерживается условие
| Г3 (/Зсо) |< | «7, (/со) |.	(2.318)
В этом случае следует учитывать влияние высших гармоник (см. п. 2 данной главы). Наличие линейной части приводит к сдвигу фазы р.с(Л,.со). Таким образом, шаблон состоит из двух характеристик 20,g^cb^ и-18°в-Мс(»в«>).
Пример 2.31. Определить логарифмические характеристики 201g	—— и
—180° — |к(Л|, со) для сложной нелинейности, состоящей из последовательно соединенных нелинейности Fi, линейного звена 117, и нелинейности F2 (рис. 2.114, а), и построить шаблон 20 lg[l/<7c(A|, со)] и —180°— — Цс(Л,,ш).
Из рис. 2.114, а видно, что при условии (2.317) амплитуда иа входе второй нели-
нейности
Лг = Л191	k' (2.319)
4 А‘ 7 VM+i
Эквивалентный коэффициент линеаризации первой нелинейности вычислим по формуле
( С, \	2 (	. С, ,
91 bd==n(arcsin дг +
<-£- V' - (-хгУ) (2“’
Пусть параметры имеют следующие числовые значения: Ci = 1 рад; й, = 2 и Т, = 0,04 с. Подставляя их в выражения (2.319) и (2.320) при со.- = 2; 4; 6 и 10, получим зависимости А2 = f(4i,со;), которые в виде семейства кривых изображены на рис. 2.114, б.
Эквивалентные коэффициенты линеаризации для второй нелинейности вычислим по формуле
где С2= 0,5 рад.
По кривым, приведенным на рис. 2.114,6 для ряда значений Ci/Ai, найдем А2, а затем вычислим С2/А2 Подставляя в формулу (2.321) значения Сг/Ai, получим семейство кривых q2(C2/A2). На рис. 2.114, в построена зависимость 20 lg[l/gc(4,,«)] для ранее принятых значений со;. Фазовые характеристики вычислим по формуле
Нс <>) = — arctg со/Т,. (2.322)
На рис. 2.114, г построена характеристика — 180° — цс “У Таким образом, кривые иа рис. 2.114,8, г образуют
266
Рис. 2.114. Гармоническая линеаризация двух нелинейностей, разделенных линейной частью:
а—структурная схема сложной нелинейности; б — семейство функций А2 (А,, <о);	в —шаблон
20 18 [1/<7с (А,, <>)]; а—шаблон —180°—цс (Ар а)
шаблон, с помощью которого можно исследовать нелинейные САР (см. гл. 7).
Пример 2.32. Определить логарифмические характеристики 20 lg [1/дс (Аь (о)] и —180° — |1С Аь со) сложной нелинейности (рис. 2.115, а). Рассмотрим два случая.
Первый случай. В передаточной функции линейной части 7’2>7’i, т. е. 'обеспечивается фильтрующее действие сигнала на входе второй нелинейности. При этом можно пользоваться методикой, приведенной в примере 2.29, т. е. находить семейство характеристик
( С, \	/ 1 + Г]®2
A2 = Ai91 -i- д/——(2.323) \ А, / у 1 + 72®
Рис. 2.115. Гармоническая линеаризация двух нелинейностей, разделенных линейной частью:
а—структурная схема сложной нелинейности; б— семейство функций А2 (А(, <о);	в —шаблон
20 18 [1/<7с (АР <“)]: г—шаблон —180°—|*с (Ар <о)
где эквивалентный коэффициент первой нелинейности будем вычислять по формуле
"• (^)“|4(а"=!",Т7 + +4rV'-(-x-)!)- <2-зм>
Пусть параметры имеют следующие числовые значения: Ci = 1,0 рад; Т\ = 0,04 с; 7*2 = 0,4 с. Подставляя их в выражения (2.323) и (2.324) при со = 2; 4; 6 и 10, получим зависимости Аг = /(Сь/Ai. со), которые в виде кривых изображены на рис. 2.115, б.
Эквивалентный коэффициент линеаризации для второй нелинейности вычислим по формуле
/ С2 \	2 f С2
•Ш-Д™ Х +
« £-7'-(£)’)• <2Ж>
где С2 = 0,5 рад.
По кривым, приведенным на рнс. 2.115,6 для ряда значений С|/Аь найдем А2, а затем С2/А2. Подставляя значения С2/А2 в формулу 12.325), получим семейство кривых <72(С2/а2). На рис. 2.115,в построены
267
Рис. 2.116. Гармоническая линеаризация двух нелинейностей, разделенных нефильтрующей лниейиой частью:
а—структурная схема сложной нелинейности; б— семейство функций A2i (А,. ш): в—семейство функций б3 (А,, ш); г—функция <р3 (ш); б—шаблон 20 1g [1/<7с (А,, <в)]; е—шаблон —180’—рс (Ар ш)
зависимости 201g[l/gc(4i, ш)]. Фазовые характеристики вычислим по формуле
На рис. 2.115, г построена характеристика —180° — р.с	ш). В результате полу-
чим шаблон (рис. 2.115, в, г).
Второй случай. В передаточной функции линейной части Т2 < Ti, т. е. в сложной нелинейности ие обеспечивается условие (2.318). При этом необходимо с помощью структурных преобразований исключить нуль s = —1/Ть Преобразованную исходную схему сложной иелииейиости (рнс. 2.115, а) можно привести к виду, изображенному на рис. 2.116, а, где нелинейность Fi совместно с последовательным соединением двух звеньев образует нелинейность F*, которая выделена на рис. 2.116, а штриховой линией.
На рис. 2.116,6 построены характеристики
X21-^-=L=, (2-327)
7 2 со + 1
где
^21 = Л1<71 (Ci/Ai) aJ 1 + Т, ®2. (2.328)
Семейство характеристик построено для параметров Ci — 1, Г; = 0,4 с, Т2 == 0,04 с и ранее принятых он. Для учета влияния
3-й гармоники иа нелинейность F2 запишем
выражение для ее амплитуды:
- л/1	, /1+^(За»2
V Ai у 1 + Т1 (з°>)2
(2.329)
Семейство характеристик 0з(41,ш) = — А«зМ1> где Ацз было вычислено по формуле (2.329), построено на рис. 2.116, в.
Воспользуемся следующими формулами, учитывающими влияние 3-й гармоники иа первую гармонику для нелинейности F2:
вг (А21) = q2 (A2i) + бз cos фз Д01з (^21),
(2.330)
да (^21)1=8 — дз sin <Рз Дб^з (^4ai)» (2.331)
где
. (Т|-Г2)«О
Фз — arctg j + TiTi(j)2
(7i — Та) 3<а
arctg 1 + Т’1Г2(3(о)2-	( 33
сдвиг фаз между 1-й и 3-й гармониками иа входе нелинейности Р2. График зависимости фз от е> приведен иа рис. 2.116, е. Шаблон 20lgfl/фсИь <о)], с учетом того, что фс = у а2 + Ь2> построен иа рис. 2.116, д, а шаблон—180° —цс построен иа рис. 2.116, е. Далее вычислим
268
семейство фазовых характеристик, учитывая при этом влияние 3-й гармоники:
рс = -180° - arctg —.	(2.333)
аг
Шаблон для фазы по формуле (2.333) построен на рис. 2.116, е для двух значений Л|.
Рассмотрим третий тип сложных нелинейностей, структурные схемы которых представляют собой контуры с обратной связью, состоящие из линейной части и однозначной или двузначной нелинейности (рис. 2.117, а — в). Причем нелинейная и линейная части могут находиться в прямой цепи (рис. 2.117, а) или линейная часть — в прямой, а нелинейная — в обратной цепи (рис. 2.117, б), и наоборот (рис. 2.117, в). Нелинейная часть в контуре может состоять и из двух нелинейностей, разделенных между собой линейным звеном. В этом случае структурные схемы будут иметь вид, как показано на рис. 2.117, г — е.
Частотные характеристики замкнутого нелинейного контура, изображенного на рис. 2.117, а, можно записать
1 +	 <2-334>
Рис. 2.117. Структурные схемы замкнутых нелинейных систем:
 а— замкнутая система с нелинейностью н линейной частью в прямом канале; б — замкнутая система с нелинейностью в обратной связи; в — замкнутая система с линейной частью в обратной связи; а —замкнутая система с линейной частью н нелинейностью в обратной связи; д — замкнутая система с двумя нелинейностями, разделенными линейной частью, в прямом канале; е — замкнутая система с двумя нелинейностями, разделенными линейной частью, в обратной связи
Разделив числитель и знаменатель выражения (2.334) на /(Л), получим
Фк (A, /а) == —, Гл(/М)---. (2.335)
7(лТ + ^(/<о)
Ранее было показано (гл. 1, п. 7), что для линейной системы передаточная функция замкнутого контура Ф (/©) = И70 (/©)/[! + И70 (/со)]. (2.336)
Из сравнения формул (2.335) и (2.336) следует, что если логарифмическую амплитудно-фазовую характеристику линейного замкнутого контура строим относительно центра номограммы с координатами 0 дБ и — 180° [эти координаты соответствуют формуле (2.336)], то логарифмические амплитудно-фазовые характеристики замкнутого контура с нелинейностью определим относительно центров номограммы, смещенных на величину 1//(Л), вычисленную в дБ *.
Величина смещения зависит от вида нелинейности и амплитуды сигнала А на ее входе. В результате можно получить семейства амплитудных 20 1g | Фк(4, /©) | и фазовых агд[Фк(Л, /©)] характеристик замкнутого контура.
* Для однозначных нелинейностей J(A) — q(A) н характеристики 20lg[l/<7(А)] откладывают по оси ординат номограммы замыкания. Для двузначных нелинейностей координаты амплитудно-фазовых характеристик замкнутого контура наносят в виде точек на номограммы замыкания 20 lgfl/?(A)J по оси ординат и —180° — — Н(А) по оси абсцисс. Затем эти точки соединяют сплошной линией.
269
1т,дБ
a)
Рис. 2.118. Определение частотных характеристик замкнутой системы с однозначной нелинейностью: а—графики	характеристик
20 lg [1/<? (С/А)] и 20 lg «7Л (/<»), построенные в координатах номограммы замыкания; б — семейство амплитудно-фазовых логарифмических частотных характеристик замкнутой системы
270
Для удобства нахождения логарифмических амплитудных и фазовых характеристик замкнутых контуров с нелинейностями необходимо логарифмическую характеристику линейной части контура строить на прозрачной бумаге в масштабе номограммы. На оси ординат, проходящей через точку, соответствующую центру номограммы, откладывают значения характеристики 20 lg [ 1 lq (А) ]. Затем накладывают прозрачную бумагу с кривой 201g	так, чтобы точка ха-
рактеристики 20 lg [Xjq(Л) ] с интересующей нас амплитудой At совпадала с началом координат номограммы. Точки пересечения характеристики 201g	со
сплошными линиями номограммы соответствуют значениям амплитуд, а точки пересечения той же характеристики со штриховыми линиями номограммы — значениям фаз замкнутого контура с нелинейностью. Для другой амплитуды А2 смещают прозрачную бумагу и по новым точкам пересечения с кривыми линиями номограммы получают значения амплитуд и фаз контура. Таким же образом, изменяя значения амплитуд А3, Д4, ..., At, получают семейство искомых амплитудных и фазовых характеристик замкнутого контура.
Пример 2.33. Построить семейства логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик для замкнутого контура (рис. 2.117, а) с однозначной нечетно-симметричной нелинейностью типа насыщения и линейной частью с передаточной функцией
W\(s) = 40/[s(0,ls + 1)].	(2.337)
Подставим в выражение (2.337) s = /со и построим на прозрачной бумаге характеристику 20 1g В7л(/со) (рис. 2.118, а). Здесь же на оси абсцисс точками нанесем значения 20 lg[l/?(C/4)] при С/Л = 0,2; 0,4 и 0,8. Эти значения взяты из графика, показанного на рис. 2.12, а. Наложим прозрачную бумагу на номограмму замыкания, как это изображено иа рис. 2.118, а (для С/Л = 0,2), и по точкам пересечения определим амплитуды
20 1g | Фк (Л, /со) | и фазы arg [Фк (Л, /со)].
На рис. 2.118,6 нанесены полученные таким образом точки. Соединив их сплошными линиями, построим логарифмическую амплитудную и фазовую характеристики замкнутого контура с однозначной нелинейностью. Перемещая прозрачную бумагу по номограмме, получим семейство характеристик замкнутого контура (рис. 2.118,6).
Пример 2.34. Построить семейство логарифмических амплитудных н фазовых частотных характеристик для замкнутого контура (рис. 2.117, а) с двузначной нелинейностью типа люфта при С/Л = 0,2; 0,4 и 0,8. Полученные значения 201g[l/?(CA4)] и —180°-р(С/Л) нанесены точками иа рис. 2.119, а. По ним построена кривая /; кривой 2 показана амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части системы, полученная с помощью передаточной функции (2.337). Накладывая прозрачную бумагу на номограмму замыкания, найдем семейство частотных характеристик замкнутого контура с двузначной нелинейностью (рис. 2.119,6).
Рассмотренная методика может быть применена к САР с двумя нелинейностями, разделенными собственной линейной частью. В этом случае структурную схему контура можно представить, как показано иа рис. 2.117,6. Тогда выражение (2.335) можно переписать в виде
фк(Д,/о) =------- --------------, (2.338)
ч 7-7---Г + «’'л (/СО)
7с (Л, /со)
где 7с (Л, со)—эквивалентная передаточная функция сложной нелинейности, зависящей от двух переменных Л и со.
Для получения семейства логарифмических амплитудных и фазовых частотных характеристик контура со сложной нелинейностью необходимо на прозрачной бумаге построить два типа кривых: для сложной нелинейности по точкам с координатами 20 lg[l/q(Л, со)], — 180° — ц(Л, со) и для линейной части характеристики 20 lg Wx(ju>). Затем следует наложить прозрачную бумагу с построенными кривыми иа номограмму, совмещая ее начало координат с точкой иа кривой функции * 20 lg[l/7c (Л,/со)], имеющей заданную амплитуду Ai и частоту со,-. Значения амплитуд 20 1g | Ф*.к) (Л, /со) | и фаз arg [Ф*к) (Л, /со)} для замкнутого нелинейного контура находятся по точке пересечения логарифмической амплитудно-фазовой характеристики с кривыми номограммами только при частоте со/ (рис. 2.119, а). Следует отметить, что при таком построении обеспечивается выполнение условия, заданного в виде формулы (2.338). Перемещая прозрачную
* В этом случае функция 7с (А °) =
. /Г-180»-|1с(А.й»]
= 9с (Л, со) е 1 с J.
271
Lm, дб
ш=то a"i
Рис. 2.119. Определение частотных характеристик замкнутой системы с двузначной нелинейностью:
а — графики характеристик 20 lg [1/<? (С/Л)1 и 20 1g Гл (/<>) в координатах номограммы замыкания; б — семейство амплнтудио-фазовых логарифмических частотных характеристик замкнутой системы
272
бумагу с кривыми 20 Ig[l/^с (Л/, со)] и 201g Жл (/со) по номограмме, получим семейства амплитудных фазовых частотных характеристик замкнутого нелинейного контура (рис. 2.119, б).
Пример 2.35. Построить семейство логарифмических частотных характеристик для замкнутого контура со сложной нелинейностью (рис. 2.117, д). Как видно из рис. 2.117, д, сложная нелинейность состоит из двух нелинейностей Ft и Fz, разделенных между собой линейным звеном Гь Структурная схема и параметры такой нелинейности приведены в примере 2.31.
По кривым 20 lg[l/<?c(4i, со)] (рис. 2.114, д) и —180° —Цс(Ль со) (рис. 2.114, е) построим на прозрачной бумаге характеристику 20 Igfl/^n,/со)] и, накладывая ее несколько раз иа номограмму, как это показано на рис. 2.120, а, получим в виде точек значения амплитуд 20 lg|®„(4b /со) | и фаз arg[<DK(4i,/ю)]. Соединив их сплошными линиями, построим иа рис. 2.120,6 семейство логарифмических амплитудных (рис. 2.120,6) и фазовых (рис. 2.120, в) частотных Характеристик для замкнутого контура со сложной нелинейностью.
Для построения семейства логарифмических амплитудных и фазовых характеристик замкнутого контура, структурная схема которого изображена на рис. 2.117,6, будем применять формулу
Фк (Д, /со)
Гл(/ю) -1
+ /м’'
(2.339)
которую можно представить в виде
20 1g | Ф<к> (Д, /со)| =
= 201g
Гл (/сэ)
+ Гл (/со)
1
/(Д)
(2.340)
Из формулы (2.340) следует, что порядок построения частотных характеристик замкнутых контуров с помощью номограммы замыкания в основном сохраняется. Различие заключается лишь в изменении масштаба разметки оси ординат для амплитудных характеристик в 1//(Д) раз. Масштаб разметки фазовых характеристик не изменяется.
Для построения семейства логарифмических частотных характерис
тик замкнутого контура (рис. 2.117, д) воспользуемся формулой
201g| ФК(Д, /<о)| =
= 201g
(2.341)
В этом случае с помощью номограммы также получим семейства логарифмических амплитудных н фазовых характеристик. Затем следует изменить значения амплитуд для каждой частоты <о; в l/У(Д, (о() раз и уменьшить фазовые углы при тех же частотах на — arg \ f (Д, (оОЬ
Построение логарифмических частотных хар!актеристик замкнутого контура (рис. 2.117, в) выполним по формуле
201g] ФК(Д, /<о)| =
НГл (/Ш)	1	1	)
— +Гл(/<0)
/(4) + лЧ ’ J )
(2.342)
Из формулы (2.342) следует, что полученные по номограмме семейства характеристик необходимо перестроить, изменяя значения амплитуд при о)< в 11/1Гл(/(щ) | раз и соответственно фаз на arg[^(/(o<)].
Рассмотрим последний вариант из числа возможных структурных схем сложного замкнутого контура (рис. 2.117, е). В этом случае для построения семейств логарифмических частотных характеристик воспользуемся формулой
20^|Фк(Д, /ш)| =
= 201g
Гл (/со) 1 _____1_____+ /с (А /®)
+ Гл(/<о) J
Zc (4. /ю)
(2.343)
Полученные по номограмме амплитудные и фазовые частотные характеристики перестроим в соответствии с сомножителем 1//с(Д, /со).
273
a)
Рис. 2.120. Определение частотных характеристик замкнутой системы с двумя нелинейностями, разделенными линейной частью:
а—изображение характеристики 20 lg [ 1/<?с (Л,, <>>)] в координатах номограммы замыкания; б — амплитудная логарифмическая характеристика замкнутой системы; в — фазовая характеристика замкнутой системы
274
6. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ СУЩЕСТВЕННЫХ ДИСКРЕТНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В гл. 1 было показано, что в САР наряду с непрерывными применяют и дискретные способы преобразования сигналов. В зависимости от типа квантования сигнала системы подразделяют на импульсные (с квантованием сигнала по времени), релейные (с квантованием сигнала по уровню) и цифровые (с квантованием сигнала как по времени, так и уровню). Квантование по времени осуществляется импульсным устройством иа основе трех типов модуляции: амплитудно-импульсной (АИМ), широтно-импульсной (ШИМ) и частотно-импульсной (ЧИМ). При амплитудно-импульсной модуляции с входа быстродействующего импульсного устройства в тактовые моменты времени То снимаются импульсы в виде сигналов б-функций. При широтно-импульсной модуляции на выходе импульсного элемента образуются импульсы, ширина которых в тактовые моменты То изменяется в зависимости от амплитуды входного сигнала. При частотно-импульсной модуляции сохраняется постоянная ширина импульса малой длительности, а период квантования определяется амплитудой входного сигнала.
Быстродействующие устройства с АИМ (преобразователи аналог — код) являются линейными импульсными элементами, а устройства с ШИМ и ЧИМ — нелинейными. Устройства с квантованием по уровню для управляющих ЭВМ часто относят к нелинейным импульсным элементам. Нелинейный импульсный элемент для удобства математического описания можно представить в виде совокупности линейного и нелинейного элементов.
При проектировании САР с цифровыми устройствами и нелинейными импульсными элементами воспользуемся методами гармоничес
кой и статистической линеаризаций [38].
Сигнал на выходе двузначного нелинейного импульсного элемента в соответствии с выражением (1.123) запишем в виде
у (кТй) = [х (t)]6 (t), (2.344) где
6(0 = Z б^-кТо)- (2.345)
К»-сю
При этом будем считать, что входной сигнал является гармоническим, т. е.
х (0 = A sin (<oZ + <р), (2.346) причем
о = п/(пТ0),	(2.347)
где пТ0 — полупериод гармонического колебания (n = 1, 2, ...).
Подставив формулу (2.347) в
(2.346), а затем в выражение (2.344), найдем
у (кГо) = Т [A sin + <р)] б (О-
(2.348)
При учете 1-й гармоники выходной сигнал
4/1 (л^о) = А [а (А, п, ф) sin ~~ +
+ Ь(А, п, ф)соз-^-]б(/). (2.349)
Определим условия наилучшего квадратического приближения yi (кТ0) к у(кТ0). Для этого запишем следующее соотношение:
Г»/2
II ёт ||2 = у- ( ег(/)й, (2.350) 7 О J
0
где Го/2 — полупериод функции е(/).
Подставив в соотношение (2.350) соответствующие выражения, полученные из (2.348) и (2.349), найдем
1|8т|Р = лГо
—йт j {^г[Лsl"(йh+'|^)]-О
— А |а(А, п, ф) sin -^у- +
+ b (А, п, ф) cos |2 б (0 dt.
(2.351)
275
Условия минимума средней квадратической ошибки при замене точного выходного сигнала приближенным будут
aiiemll2 дАа (Л, п, qp)
д || ёт II2 дАЬ (Д, п, ф)
(2.352)
Учитывая соотношение (2.352), из выражения (2.351) при условии (2.345) получим
л—1
Ё МлsinGr + *’’)]-к-0
— А [а (А, п, qp) sin +
+ ь (Л, п, ф)соз-^-]}х
X sin — = 0;
Ё {^р^п(^+ф)~ к-0
— Л [а (Л, п, ф) sin +
+ 6 (Л, п, ф) cos -] } X пк п
X cos — = 0. ' п
(2.353)
Из выражения (2.353) после ряда преобразований определим формулы для вычисления коэффициентов гармонической линеаризации в виде
а (Л, п, ф) =
л—1
-ж-Ё^[-”|"(^-+»)]х
к-0
к > • Л/С
Xsin---;
п
Ь (Л, п, ф) =
л-1
[л sin (-Т- + *₽)]X
к-0
V . як
X cos —. п
(2.354)
Пользуясь формулами (2.354), найдем эквивалентную передаточную функцию
/(Л, п, ф) = <7(Л, п, ф)е ' п: Л
(2.355) где
q (Л, п, ф) =
= '\/а2(А, п, ф) + ^2(Л, п, ф); (2.356)
(лк .	\	, Ь (А, п, ф)
—+ <p)--arctg7lT^i.
(2.357)
По формуле (2.356) находим эквивалентную амплитудную характеристику дискретного нелинейного элемента, а по (2.357) — эквивалентную фазовую характеристику.
Для однозначного дискретного нелинейного элемента в соответствии с формулами (2.354) имеем
q(A, п, ф) = а(Л, п, ф) (2.358) и
н(^+ф)-о.
В работе [38] показано, что коэффициент гармонической линеаризации дискретного нелинейного элемента а (А, п, ф) равен сумме непрерывных коэффициентов гармонической линеаризации по всем гармоникам (1 + 2кп)-го порядка т. е.
ОО
а (А, п, ф)= £ а1+2кпИ> ф)-
(2.359)
В табл. 2.17 приведены формулы для вычисления коэффициентов гармонической линеаризации однозначных дискретных нелинейных элементов и построены соответствующие характеристики в координатах Re а (Л, п, ф) и Im а (Л, п, ф). В табл. 2.18 приведены формулы для коэффициентов гармонической линеаризации двузначных дискретных нелинейных элементов. Здесь также построены характеристики ЯГ (Л, п, ф) в той же системе координат.
При применении логарифмических характеристик для исследования дискретных или дискретно-непре-
276
Таблица 2. П
Коэффициенты гармонической линеаризации однозначных дискретных нелинейных элементов
277
Таблица 2.18
коэффициенты гармонической линеаризации двузначных дискретных нелинейных элементов
Продолжение таблицы 2.18
2		У	В		-тС ^+sgn^ A sin	<р j- с|]х х[/+ sgn	)] + + рулр Sin	к+<р	+ + sgn (a sin {^-х+<р j + С jj х xp-jj/rcwpy/r+pjjpM	-mcj+sgn^A sin [-^x + g> j- fjjx xQ+syn гм p^x + gijj + +рдл pj/л {jfx+<f j+fl/Cp + sjnpj/Tzppr + yj + C )]x х[/-$0л см^к+^jj jcor-^K	a ’Л J,o o,« 0,6 o,^ 0,2		1	1	1	8 0,4 0,8 0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8	'	
	-С		тС							
										Г 1	1	* j 5^TJ0	A -1 / / _ у  (p=o
		-тС	0	С X						
			-В							
							0 n =	5	10 A 2; 8=M;A»C; (f>=0; f	,fv	
3	У 8 -С -тС				^гс\ +sgn ^Asin (^-к + /р	[ /* ♦*?я(	*?))]+ +[гулр5/л^+^ j+f)+ + sgn p sin (jpK+<p 'j-mc j] p--s^cwpEjr *^]p/n-£*	^{[ЦЧН4 +sgn pj/n ^л’+^j+w^] p+ +J?npWp^))]+ + [^лрг/л pf/r+y^ ->-c}+ + sgn ^Asin^x+p'j - wfjp-	a 1,2 1,0 0,8 0,6 0,6 A	i	i	i	8 1,2 1,0 0,8 0,6 0,6	 1
										
			0 тС С х -В							
										
								5	W A =2; В=С=Г, A^C,m-0,15 -°’ f	0	5 / 10 A tf = O
Тайлица. 2.19
280
рывных систем используют шаблоны 201g [Ifq(Л, п, <р)] и— 180° — ц(Л, п, ф). Поэтому в табл. 2.19 и 2.20 приведены формулы для вычисления амплитудных и фазовых характеристик соответственно однозначных и двузначных нелинейных элементов (там же построены и шаблоны).
Теперь перейдем к определению формул для вычисления коэффициентов статистической линеаризации однозначных дискретных нелинейных элементов из условия наилучшего средиеквадратического приближения замены тбчного выходного сигнала приближенным. В этом случае формулы (2.268) и (2.274) следует записать в виде
Ул («^о) = [*од (Чд)’ ст?‘) Чд) +
+ ^>(ЧД). <д))^(кГо)]6(П;
min {Л4[^(кТо)-^(кТо)]26(О},
к<Д>,
(2.360) где kfi и удовлетворяющие условию (2.360), находим из уравнений
Если считать, что плотность вероятности распределена по нормальному закону, т. е.
ww, (кт0)]=
[х(хГ0)-т<Д>]2
1 -----------е * ^2я а^д)
(2.364)
то с помощью формул (2.362) и (2.363) можно найти значения коэффициентов статистической линеаризации для однозначных дискретных нелинейностей.
Пример 2.36. Определить коэффициенты статистической линеаризации однозначной дискретной нелинейности типа идеального реле (см. пример 2.23) я построить кривые
^д)-	- и й(д> - * - в зависимости от
Для вычисления воспользуемся формулами (2.362), (2.363); в этом случае можно записать
п
X Bs*ro)]x х к— — п
xfi к (кГо). KT0]dKT0-,
п
Мд'=-4г Е [Ч*го)-4д)]х
х к----------
X в sgn [х (кТо)] fl [х (кТо) кТо] dtiT0.
- Л<Д)х(/сТо)]2б(О) = О.
(2.361)
Из уравнений (2.361) имеем *од)(Чд)> °хд)) =
X fi [х (кТ0), (кТо)] d (кТй)-, (2.362) ^(т<л>,а<Д>) =
= -^Г £ ^(^О)-ЧД)]Х
Х К-Л
X F [х (кГ0)] f, [х (кто), (кГо)] d m.
(2.363)
Соответствующие кривые построены на рис. 2.121. Можно получить также фор-
Рис. 2.121. Графики коэффициентов статистической линеаризации и Л<д> для дискретной нелинейности типа идеального реле
281
Таблица 2.20
Амллитудно - фазовые характеристики и шаблоны для двузначных дискретных нелинейных элементов
мулы для совместной гармонической и статистической линеаризации; тогда вместо функции (2.290) применяют функцию
х(кГо)-[4Д) + *1(^о) +
+ A sin (-^+ ф)] « (0.
но при этом значительно усложняются формулы для расчетов коэффициентов k\n\
7. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ГАРМОНИЧЕСКОЙ И СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Для сложных видов дискретных нелинейностей довольно трудно получать формулы, позволяющие вычислять коэффициенты гармоничес
282
кой и статистической линеаризации. В этом случае можно рекомендовать пользоваться программами, составленными на языке ПЛ/1 для различных численных процедур интегрирования.
При гармонической линеаризации непрерывных нелинейностей [см. формулы (2.147), (2.148)] вычисляют следующие коэффициенты:
2л/0)
<*(4) = ^ J ^HsiiwOX о
X sin со/ dt',	(2.365)
2л/ш
= j ^HsincoOX о
X cos at dt. (2.366)
Если считать, что хк = Лк sin <а(к — последовательность значений входного синусоидального сигнала, а ук — последовательность соответ
ствующих значений на выходе нелинейности в моменты (к, то формулы (2.365) и (2.366) при вычислительной процедуре по методу трапеций можно переписать в виде
я
К-1
X Sin ( ^+2^-‘-(о)А; (2.367) я
Ь^ = ^аХ-'К±2У-~' X К-1
X cos	(о) h, (2.368)
где h — шаг измерений; п = = 2л/(®/i) — число измерений выходного сигнала за один период.
По формулам (2.367) и (2.368) составлена программа численного (по методу трапеций) определения коэффициентов линеаризации (программа № 2 TRP).
ПРОГРАММА № 2 TRP
Программа предназначена для вычисления коэффициентов гармонической линеаризации произвольной неоднозначной нечетно-симметричной нелинейности методом трапеций.
Обращение к программе
TRP (N,A,AA,BB)
Входные параметры
N — число шагов интегрирования на интервале от 0 до л;
А — амплитуда входного гармонического сигнала.
Выходные параметры
АА, ВВ — коэффициенты гармонической линеаризации.
Программа использует подпрограмму UNL(Y,Y0,F), содержащую аналитическое описание нелинейности и обеспечивающую получение значения нелинейной функции при заданном значении аргумента и его производной.
Входные параметры подпрограммы
Y — значение аргумента на данном шаге интегрирования;
Y0 — значение аргумента на предыдущем шаге интегрирования;
F — значение функции на предыдущем шаге.
Выходные параметры подпрограммы
F — значение функции.
TRP: PROC	(N, А,	АА, ВВ);	Y = A. SIN(T); CALL UNL (Y.	Y0.	F);
DCL (N, K)	BIN	FIXED	(15);	FK = F; SUMA = SUMA + (FK +	FKM1)/
DCL (А. АА, ВВ,	T, ТК,	TKM1, FK, FKM1,	2 . SIN ((TK + TKMl)/2);
F, SUMA, SUMB, H,	PI, Y, Y0)	DEC	SUMS = SUMB + (FK + FKM1)/
FLOAT (12); PI == 3.141593; H=PI/N;	2 . COS	((ТК + ТКМ1)/2);	TKM1 = TK;
Y0 = 0; T=0; F=0; Y = A.SIN(T);	FKM1 = FK; Y0 = Y;	END;
CALL UNL (Y, Y0, F);	Y0=Y;	AA — 2 .	SUMA/(A . N);
FKM1 = F; TKM1 = T; SUMA, SUMB = 0;	BB=2 . SUMB/(A « N); END	TRP;
DO K=1 TON; T = K*H; TK = T;
283
Для повышения точности численного интегрирования формул (2.365) и (2.366) пользуются методом Рунге — Кутта 4-го порядка В этом случае вместо формул (2.365) и (2.366) будем иметь
Ж) =
Л *к+1 <0
яА К-0 tK
X U — tK) + Ук] sin со/ dt =
X (/ — /к) + Ук] cos со/ dt =
м V ( Г ук+1 ~^к f sin(0< яЛк4?1-'к+1-'к	“2
По формулам (2.369) и (2.370) составлены программы численного интегрирования для определения коэффициентов гармонической линеаризации (программа № 3 RQ4).
ПРОГРАММА № 3 RQ4
Программа предназначена для вычисления коэффициентов гармонической линеаризации произвольной неоднозначной нечетио-симмётричиой нелинейности методом Рунге — Кутта 4-го порядка.
Обращение к программе
RQ4 (N.A.AA.BB)
Входные параметры
N — число шагов интегрирования на интервале от 0 до л;
А — амплитуда входного гармонического сигнала.
Выходные параметры
АА, ВВ — коэффициенты гармонической линеаризации.
Программа использует подпрограмму UNL(Y,Y0,F) (см. описание программы № 2 TRP).
RQ4: PROC(N,A,AA,BB); DCL (N.K.KD) BIN FIXED (15); DCL (A.AA.BB.T, TK,TKM1„FK,FKM1,F,SUMA,SUMB,H,PI,Y,Y0) DEC FLOAT (12); PI = 3. 141593; H=PI/N; Y0 = 0; T==0; F = 0; Y = A.SIN(T); CALL UNL(Y,Y0,F); Y0= Y; FKM1 = F; TKM1 = T; SUMA, SUMB=0; DO K = 1 TO N-l; T = K«H; TK = T; Y = A. SIN(T); CALL UNL (Y,Y0,F); FK = F; TR = TK; KD = 1;
M: SUMA = SUMA + ((FK - FKM1)/H . (SIN(TR) - TR . COS(TR)) + ((FK - FKM1)/H • TKM1 - FKM1) • COS(TR)) . KD; SUMB — SUMB 4-((FK - FKM1)/H . (COS(TR) + TR . SIN(TR)) + (FKM1 -(FK~FKM1)/H«TKM1).SIN(TR)).KD; IFKD-, = 1 THEN GO TO MARK; TR — TKM1; KD = -I; GO TO M;.
MARK: TKM1 = TK; FKMl-wFK; Y0=Y; END; AA = 2 . SUMA/(PI • A); BB = 2 . SUMB/(PI • A); END RQ4;
В неоднозначных нелинейных элементах гистерезисного типа выходная переменная зависит ие только от входной переменной, но и от ее производной. Рассматривая производную входного сигнала как дополнительный аргумент передаточ-
ной функции нелинейного элемента, по аналогии с формулами (2.276) и (2.277) получим выражения для коэффициентов статистической линеаризации. При этом для простоты будем полагать, что входной нормальный случайный сигнал и его
284
производная являются некоррелированными. Статистическую характеристику непрерывного нелинейного элемента определим по формуле ^2)(mx, т*, ах, стА) = ОО оо = ~	(х, х)<а(х, x)dxdx. _ оо —оо (2.371)	лы (2.371), (2.372) и (2.373) примут вид ^2)(тх> тг °х>	= I	л	, _ 1	у Ук + ук_, h д/2лаЛтх	2 (2.375) где (хк-"»х)г 2(у2 Г «* У к. ~ е	х	> 0) X
Выражение для коэффициента усиления по центрированному случайному входному сигналу имеет вид (тх, тх> стх, ст*) = 00 = -^-	(х—тх)ЗГ(х, х)ш(х, x)dxdx. Ж — оо (2.372) В некоторых задачах требуется определить коэффициент усиления по центрированному значению производной случайного входного сигнала	X (о,5 - Ф	+ ST (хк, хк < 0)Х х(о,5 + Ф (£))]; Л®(тх, mi, ах, d) = = -7=^	 У -Ц,-к-‘ И. (2.376) Здесь (хк-тх)г “5 ХрГ(х, X > 0) (о,5 - Ф (-^У) +
&22) (тх, тх, ах, стх) = ОО =	(х—mi) (F (х, х) ю (х, х) dx dx.	+ Г (х, х < 0) (о,5 + ф	; ^22)(mx, mt, ах, <Si) =
(2.373) Двумерную плотность распределения вероятности определим по формуле (x~mx)i 1	20% (*-тх)г 202. Хе х	(2.374)	п. -2»^ Ё	(2-377> Х * к	Я где (*k~wx)2 т\ 2О2	2а2 zK = e	х е х% Х(^(х, х<0)-^(х, х>0)). По формулам (2.375), (2.376) и (2.377) составлены программы для
С помощью вычислительной процедуры по методу трапеций форму-	нахождения коэффициентов статистической линеаризации: программы Ns 4—6.
ПРОГРАММА М4 STALK0
Вычисление статистического коэффициента усиления К0 произвольной неоднозначной нелинейной функции, заданной аналитически, при фиксированных значениях вероятностных моментов входного сигнала и его производной.
Обращение к программе
S ТALK0 (MX, MDX, DXX, DDXDX, DDXX, HX, Е Р S, FI)
285
Входные параметры
MX — математическое ожидание входного сигнала;
MDX — математическое ожидание производной входного сигнала;
DXX — дисперсия входного сигнала;
DDXDX — дисперсия производной входного сигнала;
DDXX — корреляционный момент входного сигнала и его производной;
НХ — шаг интегрирования;
EPS — точность вычисления коэффициента статистической линеаризации.
Выходные параметры
FI — статистическая характеристика нелинейной функции
STALK0: PROC (MX.MDX,DXX,DDXDX,DDXX,НХ,EPS,FI);
DCL (NMX.IP.IN) BIN FIXED (15), (MX,MDX,DXX,DDXDX,DDXX,HX,EPS,FI, DR,MRP, MRN,X0P,X0N,XIP,XIN, SQRT2, PI, FNEGP, FNEGN, F0P.F0N, FIP, FIN) DEC FLOAT (12); DCL UNL ENTRY RETURNS (DEC FLOAT (12)); PI=3.141593; SQRT2=SQRT (2); FI=0; DR=(DXX * DDXDX — DDXX • DDXX)/DXX; NMX=MX/HX; X0P,X0N = MX; IP, IN = NMX; GO TO М3; Ml: IP = IP + 1; IN=IN— 1; М3: XIP=IP . HX; XIN=IN . HX; MRP=MDX + DDXX/DXX . (XIP-MX); MRN = MDX + DDXX/DXX * (XIN - MX);
IF MRP>=0 THEN FNEGP = 0.5 — ERF (MRP/SQRT(DR)/SQRT2)/2; ELSE FNEGP = 0.5+ERF (-MRP/SQRT (DR)/SQRT2)/2;
FIP = UNL	(XIP,XIP + 1) • FNEGP + UNL (XIP, XIP — 1) • (1 — FNEGP);
IF IP = IN THEN DO; F0P. F0N = FIP; GO TO Ml; END;
IF MRN>=0 THEN FNEGN = 0.5 — ERF (MRN/SQRT (DR)/SQRT2)/2;
ELSE FNEGN = 0.5+ERF (-MRN/SQRT (DR)/SQRT2)/2;
FIN = UNL (XIN,XIN + 1) • FNEGN + UNL (XIN,XIN - 1) . (1 - FNEGN);
FI = FI + (EXP (- (X0P - MX) . . 2/DXX/2) . F0P
+ EXP (- (XIP - MX) . .2/DXX/2) . FIP + EXP (- (XIN - MX) . . 2/DXX/2) • FIN + EXP (- (X0N - MX) . . 2/DXX/2) . F0N)/2 . HX; X0P = XIP; X0N = XIN; F0P = FIP; F0N = FIN; IF EXP (—(XIP — MX) • • 2/DXX/2) » ABS (FIP) + EXP (—(XIN—MX) » » 2/DXX/2) » ABS (FIN)>EPS! IP»HX<1 THEN GO TO Ml; PUT SKIP DATA (XIP,XIN); FI=FI/SQRT (2 » PI» DXX); PUT SKIP LIST (’FI=’,FI); END STALK0;
UNL: PROC (X.Y) RETURNS (DEC FLOAT (12));
DCL (X,Y,F,X1,X2,X3,X4,F1,F2,F3,F4,K1,K2,K3,K4,AX,AY) DEC FLOAT (12); XI =3; X2 = 7; X3 = 3; X4=l; Fl = 1; F2 = 5; F3 = 5; F4 = 3; K1=F1/X1; K2 = (F2 - F1)/(X2 - XI); КЗ = (F3 — F4)/(X3 - X4); K4 = F4/X4; AX = X; AY = Y; MA: IF AX>=0 THEN IF AX > AY THEN IF AX < = XI THEN F=K1«AX;
ELSE IF AX > XI &AX < =X2 THEN F = Fl + K2 » (AX — XI); ELSE F = F3; ELSE IF AX < = X4 THEN F=K4*AX;
ELSE IF AX > X4 & AX < = X3 THEN F = F4 + КЗ • (AX - X4); ELSE F = F3; ELSE DO; AX = - AX; AY = —AY; GO TO MA; END; IFAX-,=X THEN F = —F; RETURN (F); END UNL;
ПРОГРАММА № 5 STALK1
Вычисление статистического коэффициента усиления К1 по центрированному случайному входному сигналу произвольной неоднозначной нелинейной функции, заданной аналитически, при фиксированных значениях вероятностных моментов входного сигнала и его производной.
Обращение к программе
STALK1 (MX, MDX,DXX, DDXDX, DDXX, HX, EPS, KX)
Входные параметры
MX — математическое ожидание входного сигнала;
MDX — математическое ожидание производной входного сигнала;
DXX — дисперсия входного сигнала;
DDXDX — дисперсия производной входного сигнала;
DDXX — корреляционный момент входного сигнала и его производной;
НХ — шаг интегрирования;
EPS — точность вычисления коэффициента статистической линеаризации.
Выходные параметры
КХ — статистический коэффициент усиления по центрированному случайному входному сигналу.
286
STALK1: PROC (MX,MDX,DXX,DDXDX,DDXX,HX,EPS,KX);
DCL (NMX.IP.IN) BIN FIXED (15), (MX,MDX,DXX,DDXDX,DDXX,HX,EPS,KX, DR,DR 1,MRP,MRN,X0P,X0N,XIP,XIN, SQRT2,PI,FNEGP, FNEGN, F0P,F0N, FIP, FIN,F210P,F21IP,F210N,F21IN) DEC FLOAT (12);
DCL UNL ENTRY RETURNS (DEC FLOAT (12)); PI = 3.141593; SQRT2 = SQRT(2); KX = 0; DR = (DXX . DDXDX - DDXX . DDXX)/DXX;
DR1=DDXX/DXX/SQRT (2 • PI • DR); NMX=MX/HX; X0P, X0N=MX; IP, IN = NMX; GO TO М3; Ml: IP = IP4-1; IN — IN-1;M3: XIP = IP • HX; XIN = IN»HX; MRP = MDX + DDXX/DXX * (XIP - MX); MRN = MDX + DDXX/DXX • (XIN - MX); IF MRP>=0THEN FNEGP =0.5 — ERF (MRP/SQRT (DR)/SQRT2)/2;
ELSE FNEGP =0.5 +ERF (—MRP/SQRT (DR)/SQRT2)/2;
FIP = UNL (XIP, XIP + 1). FNEGP + UNL (XIP, XIP — 1) • (1 — FNEGP); F21IP = (UNL (XIP, XIP + 1) - UNL (XIP, XIP - 1)) • EXP (- MRP • MRP/DR/2); IF IP = IN THEN DO; F0P.F0N = FIP; F210P, F210N = F21IP; GO TO Ml; END; IF MRN>=0 THEN FNEGN = 0.5 — ERF (MRN/SQRT (DR)/SQRT2)/2;
ELSE FNEGN = 0.5+ERF (-MRN/SQRT (DR)/SQRT2)/2;
FIN = UNL (XIN, XIN + 1). FNEGN + UNL (XIN,XIN — 1) •( 1 — FNEGN); F21IN = (UNL (XIN,XIN + 1) - UNL (XIN,XIN — 1)) • EXP (—MRN • MRN/DR/2); KX = KX + (EXP (- (X0P — MX) * . 2/DXX/2) * (((X0P - MX)/DXX) . F0P + DR1 . F210P) + EXP (- (XIP - MX) * • 2/DXX/2) . (((XIP - MX)/DXX) . FIP + DR1 . F21IP) + EXP (- (X0N - MX) » . 2/DXX/2) . (((X0N - MX)/DXX) . F0N + DR1 . F210N) + EXP (,- (XIN - MX) • . 2/DXX/2) . (((XIN - MX)/DXX) . FIN + DR1 » F21IN))/2 • HX; X0P==XIP; X0N = XIN; F0P = FIP; F0N = FIN;
F210P = F21IP; F210N = F21IN; IF EXP (—(XIP — MX) • • 2/DXX/2) • (ABS ((XIP - MX)/DXX . FIP) + DR1 . ABS (F21IP)) + EXP (- (XIN - MX) . . 2/DXX/2) • ABS ((XIN — MX)/DXX • FIN) + DR1 • ABS (F21IN)) > EPS!
IP ♦ HX<1 THEN GO TO Ml; PUT SKIP DATA (XIP,XIN); KX=KX/SQRT (2 . PbDXX); PUT SKIP LIST (’KX =’, KX); END STALK1;
UNL: PROC (X,Y) RETURNS (DEC FLOAT (12)); DCL (X,Y,F,X1,X2,X3, X4,F1,F2,F3,F4,K1,K2,K3,K4,AX,AY) DEC FLOAT (12); Xl=3; X2 = 7; X3 = 3; X4=l; Fl = 1; F2 = 5; F3 = 5; F4 = 3; K1 = F1/X1; K2 = (F2 - F1)/(X2 - XI); КЗ = (F3 - F4)/(X3 - X4); K4 = F4/X4; AX = X; AY = Y;
MA: IF AX > = 0 THEN IF AX > AY THEN IF AX < = XI THEN F=K1 • AX; ELSE IF AX > XI & AX < = X2 THEN F = Fl + K2 • (AX — XI); ELSE F = F3; ELSE IF AX < = X4 THEN F = K4*AX;ELSE IF AX > X4 & AX < = X3 THEN F = F4 + КЗ »(AX — X4); ELSEF = F3; ELSE DO; AX = - AX; AY = —AY; GO TO MA; END; IF AX-, = X THEN F = —F; RETURN (F); END UNL;
ПРОГРАММА № 6 STALK2
Вычисление статистического коэффициента усиления К2 по случайному центрированному значению производной входного сигнала произвольной неоднозначной нелинейной функции, заданной аналитически, при фиксированных значениях вероятностных моментов входного сигнала и его производной.
Обращение к программе
STALK2 (MX,MDX, DXX, DDXDX, DDXX,HX, EPS ,KDX)
Входные параметры
MX — математическое ожидание входного сигнала;
MDX — математическое ожидание производной входного сигнала;
DXX — дисперсия входного сигнала;
DDXDX — дисперсия производной входного сигнала;
DDXX — корреляционный момент входного сигнала и его производной;
НХ — шаг интегрирования;
EPS — точность вычисления коэффициента статистической лииеарнзации.
Выходные параметры
KDX — статистический коэффициент усиления по центрированному значению производной случайного входного сигнала.
STALK2: PROC (MX, MDX, DXX, DDXDX, DDXX, HX, EPS, KDX);
DCL (NMX,IP,IN) BIN FIXED (15), (MX,MDX,DXX,DDXDX,DDXX.HX.EPS,KDX,
DR, MRP, MRN, X0P, X0N.XIP, XIN, SQRT2, PI, FNEGP,
FNEGN, F210P, F21IP, F210N, F21IN) DEC FLOAT (12);
DCL UNL ENTRY RETURNS (DEC FLOAT (12)); PI = 3.141593; SQRT2 = SQRT (2);
KDX =0; DR = (DXX . DDXDX - DDXX • DDXX)/DXX; NMX = MX/HX; X0P,
287
X0N = MX; IP, IN = NMX; GOTO М3; Ml: IP = IP + 1; IN = IN-1; М3:	XIP = IP.HX; XIN = IN • HX; MRP = MDX + DDXX/DXX . (XIP - MX);
MRN = MDX + DDXX/DXX . (XIN-MX); F21IP = (UNL (XIP, XIP-J-1)
-UNL (XIP, XIP — 1)) • EXP (—MRP • MRP/DR/2); IF IP = IN THEN DO; F210P, F210N=F21IP; GO TO Ml: END; F21IN = (UNL (XIN,XIN + 1) - UNL (XIN,XIN - 1)) . EXP (- MRN . MRN/DR/2); KDX = KDX
- (EXP (- (X0P - MX) » . 2/DXX/2) » F210P + EXP (- (XIP - MX) . . 2/DXX/2) . F21IP + EXP (- (X0N-MX) . . 2/DXX/2) . F210N + EXP (- (XIN - MX) • . 2/DXX/2) * F21IN)/2 • HX; X0P = XIP; X0N = XIN; F210P = F21IP; F210N = F21IN; IF EXP (- (XIP-MX) . • 2/DXX/2) < ABS (F21IP) + EXP (- (XIN - MX) . . 2/DXX/2) . ABS (F21IN) > EPS! IP » HX < 1 THEN GO TO Ml; PUT SKIP DATA (XIP, XIN); KDX = KDX/(2 . PI . SQRT (DXX . DDXDX - DDXX . DDXX));
PUT SKIP LIST (’ KDX =’, KDX); END STALK2;
UNL: PROC(X,Y) RETURNS (DEC FLOAT (12)); DCL (X,Y,F,X1 ,X2,X3,X4, Fl,F2,F3,F4,K1 ,K2,K3,K4,AX,AY) DEC FLOAT (12); XI =3; X2 = 7; X3 = 3; X4=l; Fl = 1; F2 = 5; F3 = 5; F4 = 3; K1 = F1/X1; K2 = (F2 - F1)/(X2 - XI); КЗ = (F3 - F4)/(X3 - X4); K4 = F4/X4; AX = X: AY = Y;
MA: IF AX > = 0 THEN IF AX>AY THEN IF AX < = XI THEN F=K1 * AX; ELSE IF AX.> XI & AX < = X2 THEN F = Fl + K2 . (AX-XI); ELSE F = F3; ELSE IF AX < = X4 THEN F = K4 • AX; ELSE IF AX > X4 & AX < = X3 THEN F = F4 + КЗ . (AX - X4); ELSE F = F3; ELSE DO; AX = - AX; AY = —AY; GO TO MA; END; IF AX-, — X THEN F = -F; RETURN (F); END UNL;
При фиксированной величине шага h определим отдельно число шагов интегрирования п для каждого коэффициента статистической линеаризации из условия обеспечения наперед заданной' точности вычислений.
Пример 2.37. Определить коэффициенты гармонической линеаризации для сложной двузначной нелинейности (рис. 2.122), пользуясь при интегрировании формулами для определения коэффициентов а (А) и Ь(А) методами трапеций и Рунге — Кутта 4-го порядка. На рис. 2.123, а изображены кривые изменения коэффициентов а в зависимости от А, полученные обоими методами интегрирования. При этом видно, что они полностью совпадают.
Кривая 1 показана в виде функции изменения коэффициентов Ь, полученная с помощью метода трапеций (рис. 2.123,6), а кривая 2 — по методу Рунге — Кутта 4-го порядка. Эти кривые отличаются друг
от друга лишь в области малых амплитуд входного сигнала.
Пример 2.38. Определить коэффициенты статистической линеаризации для двузначной нелинейности (рис. 2.122) по методу интегрирования трапеций в виде зависимостей <!q2) (рис. 2.124), (рис. 2.125) и fe(2) (рис. 2.126) от математического ожидания случайного входного сигнала тх при следующих статистических параметрах скорости изменения входного сигнала: а* = 1) тЛ = -2; -1; 0; 1; 2.
Пример 2.39. Определить коэффициенты гармонической и статистической линеаризации для однозначной сложной нелинейности, изображенной на рис. 2.127. Коэффициент гармонической линеаризации а(А) вычисляют с помощью интегрирования по методу трапеций (рис. 2.128). Коэффициенты статистической линеаризации (рис. 2.129) и £]2) (рис. 2.130) вычисляются тем же методом. При построении коэффициентов £|2) и fe<2) дисперсия входного сигнала составляет Dx = 1.
Рис. 2.122. Сложная двузначная нелинейная характеристика типа упругого люфта
Рнс. 2.123. Коэффициенты гармонической линеаризации двузначной нелинейности (рис. 2.122), полученные путем численного интегрирования: а —для а (Л); б—для Ь (Л)
288
k(z) Ко
						г” //у''	Ч’-оу		
					т^-2 Л	'тг-1/	\ X л		
					у/.				
						///			
•				//о					
-10	-1	-1					А			тх
									
				' //! //1					
									
					-5 					
Рис. 2.124. Коэффициент статистической линеаризации k^1 в зависимости от тх при пяти значениях математического ожидания скорости изменения входного сигнала
Рис. 2.125. Коэффициент статистической линеаризации А® по центрированному случайному входному сигналу при пяти значениях математического ожидания скорости изменения входного сигнала
Ю Ю. И. Топчеев
289
Рнс. 2.126. Коэффициент статистической линеаризации по центрированному значению производной случайного входного сиг
нала при пяти значениях математического ожидания скорости изменения входного сигнала
Рнс. 2.127. Сложная однозначная нелинейная характеристика
Рис. 2.128. Коэффициент гармонической линеаризации однозначной нелинейности (рис. 2.127), полученный путем численного интегрирования по методу трапеций
Рис. 2.129. Коэффициент статистической линеаризации в зависимости от тх
Рнс. 2,130. Коэффициент статистической линеаризации в зависимости от тх
290
Глава 3
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Из теории автоматического регулирования известно [1, 6, 13, 14, 33], что основное назначение САР заключается в том, чтобы выходной сигнал во время нормальной эксплуатации системы с наибольшей точностью отслеживал изменение входного -сигнала, уменьшая вредное влияние возмущающих воздействий. Для этого в каждую систему, кроме объекта регулирования и устройств управления, должны входить измерительные устройства, с помощью которых производится измерение управляющих и возмущающих сигналов, позволяющих создать замкнутую динамическую систему за счет введения в нее главной обратной связи. Таким образом, большинство САР можно привести к двум типовым структурам, упрощенные схемы которых показаны на рис. 3.1, а и б. На этих схемах управляющий сигнал 2 формируется в задающем устройстве 1. Он сравнивается в устройстве 3 с выходным сигналом, который измеряется датчиком 11. В результате сравнения сигналов образуется сиг-
Рис. 3.1. Схемы САР:
а — с отработкой ошибок от сигналов управления и возмущения; б — с комбинированным управлением и компенсацией ошибок
нал разности 4, поступающий через устройства управления 5 и 6 на объект регулирования 7. При этом обеспечивается такой процесс регулирования объектом, когда на его выходе удается получить требуемую форму и параметры выходного сигнала. От действия сигнала возмущения 8, поступающего в систему через сумматор 9, происходит некоторое искажение выходного сигнала 10. Замыкание системы осуществляется ’ с помощью главной обратной связи 12. Если на схеме рис. 3.1, а исключить задающее устройство, то ее назначение сводится к парированию вредного влияния возмущающего воздействия. Подобного рода системы принято называть автоматическими системами или системами автоматической стабилизации, отрабатывающими сигнал возмущения.
Системы (рис. 3.1, а) с задающим устройством 1 в зависимости от типа сигнала управления принято относить к программным (если задан закон его изменения) или следящим системам, когда закон изменения является произвольным. Динамическая точность работы таких САР определяется статическими и динамическими характеристиками измерительных устройств, устройств управления и объекта регулирования. Система, изображенная на схеме рис. 3.1, б, отличается от системы, показанной на рис. 3.1, а, тем, что в ней для получения более высокой точности применяются три датчика 11, которые не только измеряют выходной сигнал 10, но и сигналы управления 2 и возмущения 8. Эти два сигнала после прохождения устройств 5 поступают на сумматор 13 и уменьшают влияние сигналов на ошибку САР. Обе эти схемы можно привести к структурным системам (рис. 3.2, а, б), ко-
10*
291
Рис. 3.2. Структурные схемы типовых САР: а — с управлением по ошибке (изображения: G(s) — функции управляющего воздействия; X(s) — функции выходного сигнала; F\(s), Fits) — функции возмущающих воздействий; E(s) — функции ошибки); б —с комбинированным управлением
торыми обычно пользуются проектировщики при решении задач анализа и синтеза САР. В отличие от схем, приведенных на рис. 3.1, а, б, структуры систем, показанные на рис. 3.2, а, б, содержат не одно, а два возмущающих воздействия. При наличии большего числа динамических звеньев их количество может быть существенно увеличено. Для расчетов необходимо располагать такой математической моделью, в которой кроме динамических характеристик устройств и объектов регулирования должны быть указаны не только виды сигналов управления и возмущения, но и места их приложения. Наиболее просто это обеспечивается на основе применения структурных схем или графов.
На рис. 3.2, а изображена структурная схема системы с управлением. по ошибке, а на рис. 3.2, б — с комбинированным управлением. На схемах объект регулирования обозначается передаточной функ
цией U/q(s), а устройство управления—передаточной функцией Wy(s). В комбинированной системе введены три корректирующих устройства U^ik(s), №2к($) И U73k(s). Приведенные на рис. 3.2, а, б структурные схемы изображены на рис. 3.3, а, б в виде графов. Цифрами в кружках обозначены вершины графов.
В структурных схемах и графах наряду с линейными элементами, описываемыми передаточными функциями U7;(s) (t=l, 2, ...), встречаются и нелинейные элементы с эквивалентными передаточными функциями вида //(А) или /;(А,(о) (/= 1, 2, ...). При этом путем последовательного или параллельного соединения, а также соединений с помощью обратной связи отдельных САР или их комбинаций получают более сложные системы — комплексы.
При традиционных способах проектирования математическую модель обычно представляют в виде структурной схемы или в виде графа. Различные типы соединений линейных и нелинейных элементов в виде структурных схем и графов приведены в табл. 1.7 и 1.8. При этом
Рис. 3.3. Графы типовых САР:
а — с управлением по ошибке; б — с комбинированным управлением (1—6 — вершины графов)
292
необходимо сохранять положения нелинейных элементов неизменными.
При структурных преобразованиях дискретно-непрерывных САР учитывают места включения импульсных элементов. Иногда для возможности выполнения структурных преобразований приходится вводить дополнительно фиктивные импульсные элементы.
Применяемые в последнее время автоматизированные способы проектирования систем с помощью ЭВМ. основаны на приведении непрерывной или дискретно-непрерывной математической модели к дискретной форме. Это позволяет применять аппарат спектрального разложения матриц к любым типам систем и получать единое представление в виде передаточных функций в замкнутом или разомкнутом виде.
!• СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ
И ГРАФЫ САР
С помощью преобразования структурных схем и графов можно любую сложную многоконтурную САР привести к одноконтурной, имеющей вид, показанный на рис. 3.2 и 3.3, а также получить передаточные функции замкнутых систем относительно различных сигналов (по ошибке, возмущающему воздействию и т. п.).
Выходной сигнал для структурной схемы, изображенной на рис. 3.2, а, можно записать в виде
Гу(я)Г0(я)
Х 1 + Гу (s) Го (s) G (s) +
+ 1 + Гу (s) Го (s) f 1	+
1 + Wy (s) Го (s) ^2 (s)•	(3.1)
Из выражения (3.1) можно найти передаточные функции замкнутой системы:
по управляющему воздействию при действии сигнала G(s)
w O(s) l + r,(.)r,(.> • 1  '
по возмущающему воздействию сигнала /ч ($)
ф /с) — %	 (3 3)
F,(s) - 1 + Гу(з)Г0(з) ’ ( ’ } по возмущающему воздействию сигнала
=	1 + Гу (S) Го (s)  (3,4)
Введем в формулы (3.2) — (3.4) следующее обозначение:
W(s) = Wy(s)W0(s),	(3.5)
где IT(s)—передаточная функция разомкнутой системы.
Имея в виду выражение (3.5), можно записать передаточные функции (3.2) — (3.5) в виде
Ф(5) = Г($)/[1 + Г(я)]; (3.6)
O1(s) = r0(s)/[1 + r(s)]; (3.7)
O2(s) = 1/[1 + IT (s)].	(3.8)
Если в выражение (3.1) подставить соотношение
X (s) = G ($) — Е ($),	(3.9)
то получим
Е 1 -г Wy (s) Го (s) G — _	r0(s)	„ , , _
1 + Гу (s) Г» (s) к ’
— 1 + Гу (s) Го (s) 7=2 или
E(s) = Ee(s)-EeI(s)-Ee2(s). (3.11)
Из выражений (3.6) и (3.7) найдем передаточные функции относительно сигналов ошибок в виде
ф (s\ = J-jety). =-----!------•
W g (s)	1 + Гу (s) Го (s) ’
(3.12) ф	Ее. (з>	^o(s)
^el W — Fl (s)	1 _|_ ry (s) Го (S) ’
(3.13)
.ту / \__ Е'еД (s) _	1______
^62 W— p3{s} — l + ry(s)r0(s) 
(3.14)
293
После введения соотношения (3.5) в (3.12) — (3.14) имеем
Фе = 1 + F (s) ;	(3.15)
ф-^’—ГТ¥%Г	(3'16>
Фе2 ($) = 1 + IF (s) ’	(3-17)
Отметим, что для любых сложных САР в результате преобразований структурных схем или графов можно получить расчетные передаточные функции вида (3.5) — (3.8) и (3.15) —(3.17).
Выходной сигнал для структурной схемы (рис. 3.2, б) будет
Fy(s)F0(s)+F2K(s)Fy(s)
Х ~	1 + Fy (s) Wo (s)	“l"
, Fo (s) + F1K (s) Fy (s) Fo (s) p ( +	1 + Fy (s) Fo (s) n(s) +
, l + F3K(s)Fy(s)F0(s) c z /oio4 1	1 + Wy (s) Fo (s)	• (3 •18)
Из выражения (3.18) определим передаточные функции замкнутой комбинированной системы:
по управляющему воздействию G(s)
ф (s) .	=
' ’ О (s)
Fy (s) Fo (s) + F2k (s) Fy (s) )пч —	1 + Fy (s) IFO (5)	’
по возмущающему воздействию F,(s)
ф / i— *(s) — uz°<s)ll+UZ1*<s>uzy(s)J F,(s) —	1 + Fy (s) F0(s)	1
(3.20) по возмущающему воздействию
F2(s)
Ф I — *(s) _ 1 + w'3K(s)W'y(s)U70(s) — F2 (s) —	1 + IFy (s) Fo (s)	•
(3.21) Вводя в формулы (3.19) — (3.21) соотношение (3.5), получим
ф(5)== 'Г(5)+^к(^у(^). (3.22)
1 + V (s)
ф М _	(s) + F)K (s) F (s) .
ЧМЗ) —-------------1 + JF(S)--------•
=	(3.24)
Подставляя в выражение (3.11) соотношение X (s) = G ($) — Ё ($), найдем
E(s)
1 — F2K(s)Fy(s) ч ~ 1 + lFy (s) Fo (s) °
_ Fp (s) - F,K (s)	, , _
1 + Fy(s) F0(s)
— 1 + Fy (s)KF„(s)	(3l25)
или
Ё (s) = Ee (s) - Eel (s) - Ee2 (S). (3.26)
Пользуясь выражениями (3.25) и (3.26), запишем передаточные функции относительно сигналов ошибок в виде
Ф = Ёе (S) _ 1 ~ ^2К (S) Гу (S) («) — q (S) — 1 + Fy (S) IFо (s) :
(3.27)
ф (-Л :	(s) Fq(s)-F,k(s) .
F,(S)	1 + IFy (s) Fo (s) ’
(3.28)
Ф fcl Eq2 (s)	1 F3K (s)
F2(S}	1 + IFy (s) IFo (s) •
(3.29)
Вводя в формулы (3.27) — (3.29) соотношение (3.5), получим
1 - F2k (s) Fy (s)
Фе(*)=	T+F(s)	; (3’3°)
Фе.(*)=	(i+~F^)	: <3-31>
<3-32>
Для любых сложных комбинированных САР путем структурных преобразований схем или графов можно получить передаточные функции (3.15) — (3.17).
2. СТРУКТУРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ
И НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
ИЛИ ИХ ГРАФОВ
Рассмотрим структурные преобразования схем на ряде конкретных примеров. При этом будем пользоваться способами, приведенными в гл. 1.
294
е)
Рис. 3.4. Структурные схемы сложных САР: а — исходная миогокоитурная без перекрещивающихся линий обратных связей; б — приведенная к форме, удобной для расчетов; в — с перекрещивающимися линиями обратных связей; г — преобразованная с исключением перекрещивающихся линий обратных связей; д — преобразованная к одноконтурной; е — приведенная к форме, удобной для расчетов
Пример 3.1. Привести исходную структурную схему САР (рис. 3.4), состоящую из линейных элементов, к расчетной. Для этого воспользуемся структурными преобразованиями, приведенными в табл. 1.7.
Из рис. 3.4, а видно, что исходная структура имеет один входной и один выходной сигнал и ие содержит перекрещивающихся связей. Поэтому путем объединения внутренних контуров в передаточные функции получим
^W-i-rTwr.(.>; <3'33)
1Fhk(s) =
^4 (S) FtK (s) IF7 (s)_________
1 + IF4 (s) IFIk (S) IF7 (s) IFs (S) Ц7. (S) ’
(3.34)
Ушк (s) =
=___________V?3 (8)В7Пк (s)F,o(s)__________.
1 + IF3 (s) WUK (S) IF1O (S)	(S) IF12 (S) ’
(3.35)
UZivk (s) =
1 + UZ2 (s) W'lHK (s) w13 (S) IFie (s) X ’ X [U7u (S) + ir16 (S)J
(3.36)
IF, (s) IFIVk (s) IF 17 (s)
= (3-37)
или после введения обозначения IF (s) = = IF, (s) ITivk (s) ITi7 (s) найдем
ф (S) = IF (s)/[l + IF (s)],	(3.38)
295
Рис. 3.5. Структурные схемы двухканальных САР: а — исходная; б и в — с заменой сравнивающих устройств по второму каналу: г — преобразованная из рис. 3.5,6; д — преобразованная из рнс. 3.5, в
т. е. получим расчетную схему системы (рис. 3.4,6), где IT(s)—передаточная функция разомкнутой системы, a Ф(э) — передаточная функция замкнутой системы по управляющему воздействию G(s).
Пример 3.2. Привести исходную структурную схему САР (рис. 3.4, в), состоящую из линейных элементов с перекрещивающимися связями, к расчетной. Снова воспользуемся структурными преобразованиями, приведенными в табл. 1.7, с помощью которых в исходной схеме устраним перекрещивающиеся связи. В результате получим схему, изображенную иа рис. 3.3, г. Далее, объединяя внутренние контуры, можно записать следующие передаточные функции:
W4k(s) =
____________«75(.s)«7,3(.s)_______.
1 + «72 (s)	(s) U7s (s) IF7 (s) X ’ 1 '
XW!3(s)Wl5(s)
U^iik (s) =
=___________ITik (s) 1F,6 (s) 1T,9 (s)___
1 + 1T1K (s) «76 (s) «7,2 (S) W7„ (s) «7,, (s) ’
(3.40)
W^IIIK (s) =
=_________________IFiik (S)_______________.
1 + W^iik (s) IF,, (s) IF,7 (s)/U75 (s) «7,9 (S)>
(3.41)
IFivk (s) =
=___________IFniK (s) Wz ($)________
1 + IFiiik(s) (s) «7,4 (s)/»74 (s)  (3.42)
rVK (S) = 1 - Wzz (s) 1F23 (s) ’	(3’43)
_________IFvk (s) «724 (s)
VlK ' ;	1 - IFVk (s) IF24 (s) «72s (S) 
(3.44)
«7у11к(з)=^к(Ч);	(3.45)
IFviiik (s) =
_ ____________IFivk ($) IFviik (s)________
1 + IFjvk (s) IFvhk (s) W3 (s) «7,0 (s) X ’
X «720 (s) «722 (s)/«724 (s)
(3.46)
IF' (s) = «727 (s) +	(3.47)
U/24 (s)
Так как контур IX образует всю замкнутую систему, то его передаточную
296
функцию можно записать в виде
rviliK(s)r(s)ir,(s)ITa,(s)
1 + Гушк ($) Г'(s) Г, (s) X '
X Г28 GO Г18 (s)
(3.48)
Вводя в формулу (3.48) обозначение
W" (s) = ГуШк (s) V (S) Г, (S) Г28 (s).
получим
Ф (S) = UZ" (s)/[l + W" (s) Г„ (s)]. (3.49)
Формула (3.49) соответствует структурной схеме, изображенной на рис. 3.4. д После введения в нее обозначения
lF(s) = r"(s)r18(s)	(3.50)
получим структурную схему (рис. 3.4, д), которую можно привести к расчетной (рис. 3.4, е).
Пример 3.3. Для исследования устойчивости многосвязной САР с линейными элементами (рис. 3.5, а) определить передаточную функцию в разомкнутом состоянии. Для этого воспользуемся способом, рассмотренным в примере 1.34, когда можно пренебречь влиянием второго управляющего сигнала G2(s).
Из рис. 3.5, а видно, что САР состоит из трех основных элементов, выделенных штрихпунктириыми прямоугольниками: 1 — измерительных устройств; 2 — объекта регулирования; 3 — регуляторов. Если G2(s) =0, то исходную схему (рис; 3.5, а) легко представить в виде двух схем, как это показано на рис. 3.5, б и в, с помощью которых нетрудно получить структурные схемы, изображенные на рис. 3.5, гид.
Пользуясь преобразованными структурными схемами, можно записать передаточные функции для двух разомкнутых подсистем в виде
Г2 (s) = ГИ1 (s) Гр2 (s) Г02 (s) -
Гн1 (s) ^pl (s) ^01 (s) ^04 (s) X
ХГи2 (s) rp2 (s)
1 + Гя2 (s) Гр, (s) Wоз (s)
(3.52)
Рассматриваемая CAP является линейной, и для нее справедлив принцип суперпозиции. Поэтому результирующая передаточная функция всей разомкнутой системы в соответствии с передаточными функциями (3.51) и (3.52) будет
W (s) = Г, (s) + Г2 (S) = Ц7И1 (S) X
X [Гр1 (s) Г04 (s) + Гр2 (s) Г02 (s)] -
- ГН1 (s) Гр1 (s) Ги2 (а) Гр2 (а) X
„ Г Го2 (а) Г03 (а)
А L 1 + ги2 (S) Гр2 (а) Го, (а)
. Гр, (а) Гр4 (а)	1
1 + Ги2(а) Гр2(а) Грз(а) J'
Пример 3.4. Привести исходную структурную схему САР (рис. 3.6, а), состоящую из одного нелинейного и пяти линейных элементов, к расчетной [128].
Структурные преобразования будем выполнять только для линейных элементов, но таким образом, чтобы место положения нелинейного элемента в исходной и преобразованной схемах оставалось неизменным (что показано далее на нелинейных элементах штрихами). На рис. 3.6,6, в даны соответственно промежуточные и расчетная схемы. С помощью последних исследуются нелинейные системы (см. гл. 7).
Пример 3.5. Привести исходную структурную схему многоконтурной САР с одной нелинейностью (рис. 3.7, а) к расчетной [38]. Структурные преобразования показаны на рис. 3.7, б, а расчетная схема — на рис. 3.7, в.
r,(s) = r„,(s) Гр1(з)Го4 (s)-Ги2 (s) Гр2 (s) Г02 (s) ГИ1 (s) Гр1 (s)
1 + Ги2 (s) Гр2 (s) Г01 (а)
(3.51)
Рис. 3.6. Структурные схемы многоконтурных САР с нелинейностью:
а — исходная; б — преобразованная к двухкои-турной; в — преобразованная к одноконтурной с гибкой обратной связью; г—преобразованная к одноконтурной с жесткой обратной связью
297
в)
Рнс. 3.7. Структурные схемы сложных САР с нелинейностью:
а — исходная; б — преобразованная к вложенным контурам; в — приведенная к форме, удобной для расчетов
Пример 3.6. Привести исходную структурную схему САР с тремя нелинейностями (рис. 3.8, а) к расчетной. Для этого необходимо объединить нелинейные элементы в одну нелинейность, т. е. /П(А) = = /1(А)+/2(А) + /зИ), как показано штрнхпунктнрнымн линиями на рис. 3.8, б. Затем с помощью структурных преобразований линейных элементов получим расчетную схему системы (рис. 3.8, в).
Пример 3.7. Привести исходную структурную схему САР со сложной нелинейностью (рис. 3.9, а) к расчетной. Нелиней
ная часть системы выделена иа схеме штрихпунктирным прямоугольником.
Сначала приведем нелинейную часть системы к виду
7п (А /со) = </п (^4. ®) <Л Ш)
и покажем это на рис. 3.9, б. Затем выполним несколько промежуточных структурных преобразований линейных элементов (рис. 3.9,в, г). После выделения двух линейных элементов 1 и 2 получим расчетную схему, показанную на рнс. 3.9, г.
3. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫХ ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
С помощью структурных преобразований дискретно-непрерывных ли
298
нейных и нелинейных систем (рис. 3.10) можно получить расчетные формулы для нахождения передаточных функций замкнутых систем относительно выходного сигнала G* (s) или сигнала ошибки E*(s). На рис. 3.10, а, б приведены две наиболее простые структурные схемы дискретно-непрерывных систем, где передаточные функции МДз), ITi(s) и U^2(s) могут состоять из нескольких последовательно или параллельно соединенных типовых непрерывных линейных звеньев.
Из рис. 3.10, а следует, что
Е‘ (s) = G* (s) - X* (s) (3.54) и
X' (s) = W* (s) E’ (s).	(3.55)
Исключив из выражений (3.54) и (3.55) E*(s), получим передаточную функцию замкнутой дискретнонепрерывной системы относительно управляющего сигнала в форме дискретного преобразования Лапласа
Ф’ (s) = Г (s)/G‘(s) = W * (s)/[ 1 + W *(s)], (3.56) где W* (s) — передаточная функция разомкнутой дискретно-непрерывной системы.
Исключая из выражений (3.54) и (3.55) X*(s), найдем передаточную функцию замкнутой дискретнонепрерывной системы относительно сигнала ошибки
O;(s) = E-(s)/G-(s)=l/[l + UT(S)].
(3.57)
Как было показано в гл. 1, передаточную функцию элемента (объекта) или разомкнутой САР можно записать в форме г-преобразования, т. е.
Г (г) = з[Г (s)].	(3.58)
Для простейших передаточных функций IT(s) таблицы z-преобра-зований приведены в прил. П-1.3.
Из теории дискретно-непрерывных САР известно [13, 16, 24], что все передаточные функции со звездочками можно заменить функциями от
переменной z. В этом случае (3.56) и (3.57) будут иметь вид
Ф (z) = W (г)/[ 1 + W (г)]; (3.59)
Фе(г)=1/[1 + Г(г)]. (3.60)
Для структурной схемы, изображенной на рис. 3.10, б, имеем
Е‘ (s) = G* (s) - X* (s) (3.61) и
X[(s) = ttZ1r;(s)E,(s). (3.62)
Откуда, исключив E*(s), найдем передаточную функцию замкнутой дискретно-непрерывной системы относительно управляющего сигнала
Ф’(5) = Г(5)/0-(5) =
= Г!(з)/[1+ г1г;(з)]. (3.63)
Передаточную функцию замкнутой дискретно-непрерывной системы
5)
W, (s)	(s)
1*W,(S) W2(S) W}(S)
Рис. 3.8. Структурные схемы CAP с параллельно соединенными нелинейностями:
а — исходная; б — с объединением трех нелинейностей в одну; в — приведенная к форме, удобной для расчетов
299
CL)

Рнс. 3.9. Структурные схемы САР с нелинейностями:
а — исходная с двумя нелинейностями, разделенными фазозапаздывающим динамическим звеном: б, © — преобразованные; г — приведенная к форме, удобной для расчетов
Рис. 3.10. Структурные схемы дискретнонепрерывных САР:
а — с жесткой обратной связью; б — с гибкой обратной связью
300
Таблица 3.1
Передаточные функции линейных дискретно - непрерывных систем автоматического регулирования
/Vя п/п	Структурная схема			В форме дискретного преобразования Лапласа		В форме z-преобразования	
				W*(s)	X(s); X*(s}	W(z)	X(z),[<l>(z)]
I		* Т° 	 1	[йад]			fs)	w,w}(s)	x(s^ ^(S^ls) X(sl hw,w2'(s)	w,w2(z)	'«ЖА"
1	щ(з)\	 Т	>о	1	 Xi(s)	. , , .	Tq 1	ВД к—-o-"o	 L£LJx7s)		<fs)	w^siw^s)	wWWs) ' ’ i*w,*(s)wf(s)	w,(z)w2lz)	X(Z,-[mW,(z)W2(z)]C!zI
3	| то	n—1 ъ 1	|>щ|			fsj	w;4s)w24s)	YV?, . tV,7s)G«fs) 11 i*w,4s)w;(sj	W,lz)w2(z)	XfZ,~[l*W,(z)W2(zjClZl
4		 X,fsj|	j	 To			 1	w3(s) k—o'4»*-J w2(s) L— 1	Ix’l'S) X2(s) 1	1		Xis)	w,w2w'(s)	X(s)‘CW,(s)-CW,W^s)W,W3(s) p-W,W2Wf(S)	WjW^lz)	X(S)‘CWif!]- CW,W2(z)W,W3lz) l^W,W2W3(z)
5	Cfs) Elz)	।	. -kQ«<wJ w,ls)	J w2(s) k-| Л To 1	' T°	LZ-J^ i	[йад]			X(s)	wlf(s)w2w3‘(s)	W^S}W2(S)C*(S) l^(s)W2W^s)	w,(pw2w3lz)	XM=[ wdz)W2(zl ) x'zl [hw,(z)w2w3(z)]cit
6	*(4					W,W2W*(s)	cw:is)w2(s) 1 ' r>W,W2W$(s)	w,w2w3(z)	cw,lz)w2(z] HW,W2W3(Z)
1	ОД~E(s) r(5lr—№Sl £(S> 1	П щ (S) Lkc^okJ w2 fs) u J X7(S)T			, X*(5) 1	IV/SjL-o^o	 1	1 To		ад	WT(S)^(S}W/(S)	, w,Ys)^s)cYs) lSh i*w;is]w$(s)w$(s}	W,(z^(z)W3(z)	W,lz)W2(z) PW,(z)W2(z)W3lz)
8	Cfs) x,(s)	fH		|Ш|	1 T To 1	1	1	1 Г—-1 1	|адр	X(s)	^W2(s}+WjWj(s)	w,w2(s)C4s) 11 hWdffls^WfWrts)	mz)^(z)	
301
Продолжение табл 3.1
9	X,(s)		ед ИО W	 >^>Чади<>о^га-0 \ X3{s) &S- 	|ад|				ед	w2wt(s)+ ^*(s)w2w;(	wris)w2ls)c'(s) 11 “^(s)	W2W3(z}->	11 b^w2w3(zh ^W/fzIWiWifz)]^1
10		Чад|	1 x4 (s) 	ад од E*(s)	 1 	 ЭД	 1	^хед 1				W2W*(s)	Xfs^WjWiGl'sh ! w2w3(s)[ew?(s)-1^W2W^S) -O^i(s}]	W2W3(z)	x(z)-w3w40(z)->- +	W2W3(Z) _ HW2W3(Z) >[GW,(z)-CW3W4(z)]
11	ед, <(5)		E*(S) г»</<>Чад]-Ч *ед|-| ед т°	x^4kJ —। 	1 	|ад>|		<(s)	Ws)w4(sl ' и U^s)Wi(s)!	xk}... W3(s)0(s) 11 l-W3(s)Wi(s) + wtts}w2(s) + l^W3(s]Vli(s} 1 ед i* _ li+w3(s)w4(s)J	3{H/3(s)W4(s)} и U-WjIsJWifslI	хы-3/-Ж^1 ll+W3(s)W4(s)J ^(s)w2fs)l . 1 !^w3(s)w4(s)f з('—^ I  1 l^w3(s)w4(s)J
						I l+W3(s)W4(s) J		JWl(s)W2(s)W4(s)[- I I-W3(S)W4(S) J
12	ед, X,®		ед .—.	x Э	Чад|	 	1 T°X3(s}x,(s).		 —1 Вдку>о*0-Ч адн Xj(s) |	(s)	W’ls)^ ^W,W2W^(S}	x(s)-w,(s)C(s)-_w,fs)w3(s)w,w2e*(s) i+w*(s)<-w,w2w;(s]	W3{z) + ^w,w2w3Sz)	X(z)’=GWjfz}~ WtW3(z)W,W20{z) 1^W3(z^WtW2W}(z)
13	ад	——Чад]—। 	 ° e(s) rw	 |ад xfs) Ч	w2(s) |—<+>Чад |~г» | 'о	X^S'x/S)	I			w2w;(s)	»S)-^N3W4(s} + W2w3(s)[cw^(s)-1+W2W3'(s) -Wsiw3wf(s)]	w2w3lz]	X(z)-ow3w4(z) ; W2w3(z) 1<-W2w3(z) [Wfz)-C(z)w3W4/z)J
/4	од		Чад|—I X,fs) ОД ПО ' U(S) Чад ксх'Ч адЬчэЧад Т 0	^%/У 	|и£<4					X(s)	W2W3W?(s)	X(S)-OW3W4(S)± + W2w3(s) 1-W2w3w^(s} [ew;(s)-OIV3W4W^s)]	w2w3ws(z)	X(z)-CW3W4(z)-b W2W3(z) I^W2W3W3(Z) [CWt(zl-CW3W4Ws(z)]
302
 Таблица 3.2
Характеристические уравнения нелинейных дискретно-непрерывных cuemen автоматического регулирования
Л'° /7//7	Структурная схема					характеристическое уравнение системы в срорме дискретного преобразования Лапласа	характеристическое уравнение системы в форме z- преобразования
1	ед^	£(s} £*(s)	 )*axo*-|jfA,f?,p)|—W(s) |		x(s)			1+J (A,n,$W*(s)-0	l*3(A,n,ip) [W(z)]-0
							
2	ед^ То		xls)			IfJ (A.n,^)W,W*(s)-0	1*3(А,п,у>) [W,W2(z)]~0
		Y° 'Wfj ,	\AL(c\ L—					
							
3	”^^,.,„1-1 U 1	1 w2(s) |			X(s)			М (A,n,ip)W,Wf(s)-0	1~J(A,n,<p) [W,W2 lz)]=0
4	F*/c) г-	п 1	1 W,(s) |— W ° 	 1	1 W2(s) Н-°>	 'о		xfs)			1*3 (A,n.ip)W*(s)W2(s)-0	l*3(A,n,ip)W,(z)W2(z)-0
5	Clsl x,!s)'	ед/ (sr	1 1		1 ^»<^o»|7fA,n,y)|-—| W,(s) p*-o^>*-| W2(s) |—			x(s)	1*3 (A,n,ip)W*(s)W2W3(s)-0	M(Ap.ip)W,(z) [W2W3(z]=0
		1	1					
6	w’(s>	wz® h °		X*(s) 1	1 W3(s) P*o> ’o				t(s)	1*3 (AflipjW'IsjW^W^sj-O	l*3(A,n,ip)W,{z) W2(z) tVj(z)-0
7	ед, x,(s)	ед-f,(s)^s>	1	I	 T 7° 1	7-1 I	1 И^(5) P			(S)	 -| W2(s) |-	x(s)	1*3 lA,n,lf)[w,W’(s)*W,WT(s)]-0	!*3(A,n,lf) [w,w2(z) * W,Wjf4 -0
							
303
относительно сигнала ошибки запишем в виде
ф;(5)=е- (S)/g* ($)=
= 1/[Ц-Г,Г;(«)].	(3.64)
Из формул (3.63) и (3.64) следует, что передаточная функция всей разомкнутой системы
Г’(«) = Г1Г2(в).	(3.65)
В форме z-преобразования формулы (3.63) и (3.64) имеют вид
Ф (г) = Г1(г)/[1 + W (г)] (3.66) и
Фе(г)= 1/[1 + W (г)], (3.67) где W (г) = 1^ W2 (г).	(3.68)
В табл. 3.1 приведены структурные схемы и передаточные функции для некоторых типов линейных дискретно-непрерывных систем в разомкнутом и замкнутом состояниях, записанных в форме дискретного преобразования Лапласа и г-преоб-разования. Подставив в формулы z = (2/Т0 4- s)/(2/7’o — s), получим характеристики, с помощью которых при $= /й можно исследовать устойчивость дискретно-непрерывных систем, а также анализировать показатели качества и точности процессов регулирования (см. гл. 4—6).
В табл. 3.2 даны структурные схемы и характеристические уравнения для некоторых нелинейных дискретно-непрерывных систем регулирования. Пользуясь формулами, записанными в форме z-преобразования,
Рис. 3.11. Графы САР:
а —с жесткой связью; б—с гибкой связью (/, 2 — вершины графов}
в)
Рис. 3.12. Структурные схемы линейных дискретно-непрерывных САР с экстраполятором нулевого порядка:
а — исходная^ б — в форме z-преобразоваиий; в — в форме ^-преобразований
и приведя их к форме «-преобразования, получим характеристические уравнения, в которые входят наряду с передаточными функциями линейных элементов и эквивалентные передаточные функции дискретных нелинейных элементов. Для однозначных нелинейностей они совпадают с коэффициентами гармонической линеаризации (см. табл. 2.17), и проектировщик может исследовать обычно применяемыми методами устойчивость дискретно-непрерывных САР. Соответствующие примеры исследования таких систем с конкретными рекомендациями приведены в гл. 7.
Если передаточные функции линейных элементов состоят из большого числа звеньев, то традиционные методы проектирования линейных и нелинейных дискретнонепрерывных систем приводят к значительным затратам времени. Для упрощения расчетов применяют вычислительные процедуры, которые приведены в п. 2.7.
При проектировании дискретнонепрерывных систем вместо структурных схем можно пользоваться графами. На рис. 3.11, а, б показаны графы эквивалентных структурных схем соответственно с изображенными на рис. 3.10, а, б передаточными функциями. Если вместо дискретного преобразования Лапласа проектировщик будет использовать ма
304
тематический аппарат г-преобразо-вания, то на структурных схемах и графах исключаются импульсные элементы (ключи), а передаточные функции записываются в виде ^i(z), .... Wm(z) или j[UMs)b .... 3[UMs)].
Пример 3.8. Определить передаточные функции разомкнутой и замкнутой линейной дискретно-непрерывной САР по структурной схеме, изображенной на рис. 3.12, а.
Используя z-преобразование для разомкнутой передаточной функции W'(s), получим
Г (Z) = ~	* [s2 (0,1s + l)‘(0,05s + 1)]=
z- 1 Г 2	0,3	0,4	0,1 1
z 4 s2	s + s + 10 s + 20 J
0,4	, 0,4 (z-1)	0,1 (z-1) nq_
“ z- 1 + z-0,135 z-0,0185	’
_	0.152 (z+ 0.045) (z+ 1,135)
(z - 1) (z - 0,135) (z - 0,0185) 	1	’
В соответствии с формулой (3.69) на рис. 3.12,6 изобразим структурную схему замкнутой системы, передаточная функция которой в форме z-преобразования имеет вид
0,152 (z + 0,045) (z Ч- 1,135)
, (z - 1) (г-0,135) (г-0,0185) = 0,152 (z + 0,045) (z+ 1,135)
1	+ (z - 1) (z - 0,135) (z - 0,0185)
_ 0.152 (z + 0,045) (z+ 1,135)
(z + 0,015) (z2 - l,017z + 0,350) ’	' ‘ '
Подставив в формулы (3.69) и (3.70) соотношение z = (10 + s)/(10 — s), запишем передаточную функцию разомкнутой системы в s-форме (рис. 3.12, в):
2	(1 — 0,1s) (0,091s Ч- 1) (1—0,006s) W (S) s (0,131s + 1) (0,104s + 1)
(3.71)
По формуле (3.71) определим передаточную функцию замкнутой системы в виде
_ (1 —0,1s) (0,091s + 1)(1 —0,006s)
Ф (0,096s + 1) (0,07s2 + 0,389s +1) '
(3.72)
Пример 3.9. Определить передаточные функции разомкнутой и замкнутой нелинейной дискретио-непрерывиой САР с нелинейностью типа насыщения по структурной схеме, изображенной на рис. 3.13, а. Так как линейная часть этой системы аналогична случаю, рассмотренному в примере 3.7, то на структурной схеме (рис. 3.13,6) функцию W(z) можно записать в виде выражения (3.69). Эквивалентную передаточную функцию перепишем
из табл. 2.17, т. е.
J (А, п, ф) =	/ п — (k! + ki + 1) —
ТС
sin — (fc| + &2 + 1) -2/[ф+-^-(fei-fe.)J
тс sin — п
2С Sin "£r{kt+fei+l) -/[ф+^.-м]
+ А . л е	| ’
sin -г— 2п
(3.73)
где Е — целая часть от числа, стоящего в фигурных скобках.
Характеристическое уравнение в s-форме (рис. 3.13,в) можно записать в виде
2 (1 — 0,1s) (0,0924s + 1) X
. , ...	. X (1 — 0,006s)
1 + 7 (А, п, ф) . (01312-+	(0,i038s+1) °’
(3.74)
По уравнению (3.74) определяют периодические режимы, возникающие в нелинейной дискретно-непрерывной системе, с помощью построения годографа и кривых —1/7(А,п, ф)=—l/q(A,n, ф) при разных я= 1, 2, ... и ф или по логарифмическим характеристикам (см. гл. 7).
Пример 3.10. Привести исходную структурную схему дискретно-непрерывной САР с широтно-импульсным модулятором (рис. 3.14, а) к схеме в пространстве состояний и составить соответствующие уравиеиия. Для этого воспользуемся методикой, изложенной в п. 2.3. Тогда ис-
а)
б)
б)
Рнс. 3.13. Структурные схемы нелинейных САР с экстраполятором нулевого порядка: а — исходная; б — в форме z-преобразованнй; в — в фбрме з-преобразованнй
305
a.)
Рис. 3.14. Структурные схемы САР с ШИМ:
а — исходная; б — преобразованная к форме с изменяющимся коэффициентом Хн
ходную схему при нулевых начальных условиях можно привести в дискретной форме к виду, изображенному на рис. 3.14, б.
При действии на входе единичной ступенчатой функции воспользуемся схемой, приведенной иа рис. 3.14,6; запишем уравнения в переменных состояния.
§(кГо + О) = §(кТ());
и (кГо + 0) = g (кТ0) — х (кТ0);
У (кТй + 0) = у (кТй);
х (кТа + 0) = х (кТй)-,
У № = и (кТо) -±у (кТ0);
1 I	i 1
(3.75)
х (кТ0) = у (кТ0), где Ян — переменный коэффициент усиления ШИМ, который можно для к-го периода прерывания представить в виде
Яи = [и, (/сГ0 + 0)1/[м (кТ0 + 0)]. (3.76)
Следует отметить, что переменный коэффициент усиления при исследовании нелинейных дискретно-непрерывных систем в зависимости от их структуры можно отнести к импульсному элементу типа ШИМ
или к корректирующему устройству, реализованному в виде рабочей программы на языке ассемблер иа ЭВМ, или к непрерывной части. С помощью схемы, приведенной на рис. 3.14,6, и векторно-матричных преобразований можно достроить переходный процесс х(кТ0) в системе (см. гл. 5 и 8).
4. СТРУКТУРНЫЕ СХЕМЫ ЗАМКНУТЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ И ДИСКРЕТНО-НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ В ВЕКТОРНО-МАТРИЧНОЙ ФОРМЕ
Типовые структурные схемы линейных стационарных систем, имеющие один вход g(t) и один выход x(t), изображены на рис. 3.15, а — в. В систему кроме объекта входят по одному последовательному корректирующему и исполнительному устройству, а также датчик, формирующий сигнал ошибки е(0- Обозначим эти устройства через ш. Из рис. 3.15, а—в видно, что системы замкнуты жесткой отрицательной обратной связью. В некоторых из них в главную обратную связь может входить коэффициент, меньший 1. Структурные схемы, когда
306
связью*. В этом случае с помощью рис. 3.15, а запишем следующую систему уравнений при нулевых начальных условиях у(0) = 0:
Рис. 3.15. Структурные схемы линейных непрерывных стационарных САР, представленные в векторно-матричной форме с одним входом и одним выходом:
а — типовая; б — с параллельно включенным динамическим элементом d; в —с динамическими элементами с матрицей Лт’ находящейся во внутренней обратной связи
объект и элементы системы нестационарны, показаны на рис. 3.16, а — в.
Если системы имеют сигналы на входе и выходе в векторной форме, то типовые структурные схемы для стационарных систем примут вид, изображенный на рис. 3.17, а — в, а нестационарных — на рис. 3.18, а — в. Так как эти схемы являются многомерными, то в них входит несколько исполнительных и корректирующих устройств. Кроме того, введены измерительные датчики. Все эти устройства на рис. 3.18, а — в обозначены матрицей M(t).
Пользуясь структурными схемами (рис. 3.15, а — в — 3.18, а — в), можно привести их к форме векторно-матричных уравнений для замкнутых систем с главной отрицательной или положительной обратной
Из уравнений (3.77) имеем
У (О = (А — тЬст) у (t) + btng (/); | х(0==сту(/).	1
(3.78)
Введем в уравнения (3.78) следующие обозначения:
А — тЬс* = А3;
Ьт — Ь3,
тогда векторно-матричные уравнения для замкнутой системы будут
* См. п. 3.8.
Рис. 3.16. Структурные схемы линейных непрерывных нестационарных САР, представленные в векторно-матричной форме с одним входом и одним выходом:
а — типовая; б — с параллельно включенным динамическим элементом d(t); в— с динамическими элементами, описываемыми матрицей Ат (О» находящейся во внутренней обратной связи
307
откуда
y(t) = A3y(t) + b3g(t); |
* (t) = cT3y (t) + d3g(f), J где
(3.82)
,_____mb
3	1 + md ’
,   md й'л~~ l+md'
-- -------
3	1 + md
С помощью рис. 3.15, в составим систему уравнений
Рис. 3.17. Структурные схемы линейных непрерывных стационарных многомерных САР, представленные в векторно-матричной форме:
а —типовая: б —с параллельно включенными динамическими элементами, описываемыми матрицей О: в—с динамическими элементами, описываемыми матрицей К, находящейся во внутренней обратной связи
у(t) = Ay (t) + bu'(t); ' u'(t) = m[g(t) — x(t)]+ > + kTy(t)-,
x(t) = cTy (t).
(3.83)
иметь ВИД
у (0 = А3у (г) + b3g (/); j x(t) = cTy(t). )
Для рис. 3.15, б запишем систему уравнений
y{i) = Ay (/) + &«(/);
«(/) = m[g(t) — х(/)];
г/ДО^нЦ); (3.80)
У1 (t) = с‘у (/);
х (0 = У1 (0 + у? (/)•
Из системы уравнений (3.80) найдем
’|,1=(л-тУЪ ДМ +
л (б = Тх.1 ~й' сТУ (0 + 1 у ё (0,
(3.81)
Рис. 3.18. Структурные схемы линейных непрерывных стационарных многомерных САР, представленные в векторно-матричной форме:
а — типовая; б — с параллельно включенным динамическим элементом, описываемым матрицей D (/); в — с динамическими элементами, описываемыми матрицей К (/), находящейся во внутренней обратной связи
308
Из уравнений (3.83) найдем
у(0 = (Л—mbcT+bkT)y(t)+ '
+ mbg(ty, x(t) = cTy(t),
(3.84)
а после подстановки в первое уравнение (3.84) А3 — А — mbc' + bkT и b3 = mb получим систему уравнений
у (t) = А3у (t) 4- b3g (t); 4 X{l) = CTy(t). J
В случае нестационарных CAP, структурные схемы которых изображены на рис. 3.16, получим векторно-матричные уравнения вида (3.80), (3.82) и (3.85), где матрицы и векторы зависят от времени t.
Если на входе и выходе САР имеются не скаляры, а векторы, то структурные схемы можно представить в виде, показанном на рис. 3.17, а — в и 3.18, а — в. Как и для ранее рассмотренных структурных схем, составим системы векторно-матричных уравнений в другой форме. Для рис. 3.17, а можно записать
x(t) = Cy(t).
Имея в виду систему уравнений (3.85), найдем
у (t) — (А — ВМС) у (t)Ч
+ BMg(ty,	!> (3.87)
«(/)== Су (/)	)
или
y(t) = A3y(t) + B3g (ty,	|
x(t) — Cy(t).	J
Пользуясь рис. 3.17,6, определим
у (t) = Ay (t) + Bu (t); u(t) = M[g (/) — *(/)];
Vi (t) = Du (ty,
У2 (t) = Cy (0;
x(t) = yi (0 + У2(0-
(3.89)
Откуда для замкнутой системы нетрудно получить
У (0 = А3у (t) + B3g (ty, | x(t)^C3y(t) + D3g(ty j
где
A3 = A - В (I + MD)~'MC;
B3 = B(IyMD)M,
C3 = [/ - D (I + MD)"'Л] C;
D3 = D (I + MD)lM.
Из рис. 3.17, в имеем
y(t) = Ay (0 + Ви' (t);
u'(t) = M[g(t)-x(t)] + Ky(ty, (3.91) x(t) = Cy(t),
откуда
у (t) = Ay (t) + BMg (t) - BMx (t) + + BKy(ty, x(t) — Cy (t)
или
y(t) = A3y (t) + B3(t) g (ty, x(t)~Cy(t),
где
A3 = A - BMC + BK;
B3 = BM.
Для нестационарных систем из рис. 3.18 получим зависимости типа (3.88), (3.90) и (3.92), в которые войдут матрицы А(/), B(t), C(t) и D(t).
Теперь перейдем к рассмотрению линейных дискретно-непрерывных САР с различными типами экстра-поляторов. С помощью рис. 1.62 нетрудно получить структурные схемы систем, изображенные на рис. 3.19. На рис. 3.19, а — в показаны системы с векторными сигналами, а на рис. 3.19,г — е — с одним входным и одним выходным сигналами.
Выше было показано, что векторно-матричные уравнения, описывающие динамику САР, по своему написанию ничем не отличаются от соответствующих уравнений объектов
309
Рис. 3.19. Структурные схемы линейных дискретно-непрерывных нестационарных САР, приведенные к z-форме с экстраполяторами различного порядка:
о—в — многомерные; г—е — с одним входом и одним выходом
Рис. 3.20. Структурные схемы замкнутых САР с одним входом и одним выходом, представленные в векторно-матричной форме:
а — для рнс. 3.15, а; б—для рнс. 3.15,6; в — для рнс. 3.15, в
Рис. 3.21. Структурные схемы замкнутых САР с векторным входом и выходом, представленные в векторно-матричной форме: а —для рис. 3.17, а; б —для рис. 3.17,6; в — для рис. 3.17, в
310
(устройств). Только в них входят расширенные матрицы А3, В3, С3, D3 или &3, k3, в которых учитываются уравнения датчиков, корректирующих и исполнительных устройств в виде матрицы М или скаляра т. Поэтому методика представления математических моделей непрерывных и дискретных систем основана на формулах (1.404) — (1.406).
На рис. 3.20 показаны структурные схемы замкнутых САР с одним входом и одним выходом, записанные в векторно-матричной форме. Структурные схемы для замкнутых систем с векторными входом и выходом приведены на рис. 3.21. Из рис. 3.20, а — в и 3.21, а — в нетрудно получить передаточные функции разомкнутых САР:
UZ(s) = cT[s7- А]~'Ьт; (3.93)
F(s) = {cT[s7-	+	(3.94)
W(s)==cT[sI - A + bkx]~'btn; (3.95)
IF (s) = C[s7 — A]-1 BAf; (3.96) IF(s) = {C[s7-Ar1B+Z)}Af; (3.97)
W (s) == C [si-A +
(3.98)
Передаточные функции разомкнутых непрерывных систем, записанные в векторно-матричной форме (3.93) — (3.95), можно представить в виде дробно-рациональной функции от оператора s. В функции IF(s) порядок числителя всегда меньше порядка знаменателя.
Для построения математических моделей САР с различными экстра-поляторами необходимо пользоваться вычислительными процедурами спектрального разложения матриц.
5. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ И КОМПЛЕКСНЫХ МАТРИЦ
Рассмотрим решение системы дифференциальных уравнений (3.85), описывающей динамическую стаци
онарную САР. Будем предполагать, что эта система имеет один вход g(t), один выход x(t) ив начальный момент времени to = 0 задан вектор фазовых состояний* y(to)=yo.
В выражении (3.85) матрица А3 является действительной, размерности (п X п); &3 — вектор передачи управления размерности (п X 1); ст — вектор формирования функции выхода размерности (1 X п). В дальнейшем индекс «з» для простоты записи будем опускать; тогда можно записать
у = Ау + Bg-,	(3.99)
х — сТу.	(3.100)
При этом согласно формуле (1.381) решение системы (3.99) имеет вид
t
У (/) = eAty (to) + 5 еЛ {t~x)Bg (т) dr, 0	(3.101)
а выражение для выхода x(t) может быть получено путем подстановки y(t) из (3.101) в соотношение (3.100), т. е.
х (t) = сТеА<у (/0) + t
+ $стеЛ(/-ЧВ£(г)Дг. (3.102) о
Аналитическое решение (3.102) стационарной системы (3.99) — (3.100) удовлетворяет начальным условиям y(to) = yo и описывается с помощью фундаментальной матрицы eAt.
Вычисление фундаментальной (переходной) матрицы выполняют различными способами. Пусть матрица А являемся матрицей простой структуры размерности (п X п) и, следовательно, имеет различные действительные собственные значения Х2....Хп. Воспользуемся спектраль-
ным разложением матрицы А (см. прил. П-1. 1) и найдем аналитическую функцию от матрицы eAt. При
* Наличие одного входа и одного выхода не нарушает общности изложения.
311
спектральном разложении матрицы определяют все ее собственные значения и системы собственных векторов, которые используют для записи матрицы через произведение трех матриц
A = RAL", (3.103)
где R — матрица, образуемая собственными векторами матрицы А; Л — диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные значения; £н—матрица, образуемая собственными векторами матрицы Ат.
Поскольку считаем, что матрица А простой структуры, то и Ат будет матрицей простой структуры, и собственные значения этих матриц совпадают. В общем случае спектральное разложение действительной матрицы А (3.103) определяемся произведением матриц /?, Л, L", получаемых следующим образом. Матрица К является матрицей правых собственных векторов и удовлетворяет условию
AR = RA. (3.104)
Для получения матрицы L" заметим, что матрица R — невырожденная, и из выражения (3.104) найдем
/?1А = Л/?1;	(3.105)
перепишем последнее в виде
АТ£ = £ЛН. (3.106)
Согласно выражению (3.106) матрицу £ называют матрицей левых собственных векторов, имеющей
блочную структуру:
1п], где вектор lt яв-
следующую £=[Z,U2: .
ляется собственным вектором матрицы Ат. Эти собственные векторы также образуют линейно-независи
мую систему.
Для эрмитовой матрицы А имеем
£н = R1,
и выражение (3.103) сохраняет свой вид.
Выражение (3.103) в координатной форме запишем следующим образом:
А=^МпГ{. (3.107)
»=1
Соотношение (3.107) представляет собой сумму п матриц. Система собственных векторов и собственных значений матрицы А полностью определяет любую аналитическую функцию от А; тогда в нашем случае имеем
tAt =	(3.108)
1 = 1
где kt, i = 1, п — собственные числа матрицы A; r„ I— \,п—множество собственных правых векторов, определяемых условием (3.104), а ZHt, i=l, п— множество собственных левых векторов, определяемых выражением (3.106).
Подставив представление фундаментальной матрицы tAt через сумму матриц (3.106) в решение (3.102), получим
п
x(t) — cT £rzZ?e^0 +
1 = 1
+ ст$	x}Bg(r)dr.
0 i = l
Вынесем из последнего выражения за знак интеграла величины, не зависящие от т; тогда значение выходной функции
х(/) = ст г^^Уо +
nt	-1
+	eKi{t~x)g(r)dr ,
1 = 1	о	J
(3.109)
где ст — строка размерности (1-Х п
X «); У, TiVt — матрица размер-
ности (п X п); у0 — вектор-столбец размерности (пХ1); В — вектор-столбец размерности (пХО-
312
В произведении получим размерность (1X1) выходной функции х(/) [здесь (1 Х«) («Х») («X XI)—размерность первого слагаемого, а (1 X п) (п X п.) (п X 1) — размерность второго слагаемого].
Таким образом, для решения системы уравнений (3.85) стационарной замкнутой системы необходимо найти собственные значения и собственные правые и левые векторы матрицы А. Вычислительные алгоритмы решения полной проблемы собственных значений и собственных векторов для произвольных матриц были разработаны сравнительно недавно [36]. В основном имеется два подхода: метод Якоби, разработанный сначала для действительных симметричных матриц, и обобщенный — на случай комплексных матриц; QL и Qfl-алгоритмы (см. прил. ГТ-1.1) для любых матриц.
Рассмотрим второй подход [37]. В теоретическом плане QL и QR-ал-горитмы почти совпадают. Основное их различие состоит в том, что интерационные матрицы Ак в QL-алгоритме сходятся к блочной левой треугольной матрице и собственные значения в диагональных блоках упорядочиваются по неубыванию их модулей; в Q/f-алгоритме итерационные матрицы Ак сходятся к блочной правой треугольной матрице, диагональные элементы которой расположены в порядке невозрастания модулей.
QL-алгоритм выгоднее применять в тех случаях, когда большие элементы матрицы А сосредоточены в ее нижнем правом углу;
Qfl-алгоритм удобен, когда большие элементы матрицы находятся в ее левом верхнем углу.
При использовании Q/J-алгорит-ма предварительно матрицу А следует привести к почти треугольной форме, что позволяет существенно уменьшить объем вычислений при определении собственных значений. Матрицы, имеющие нули при всех значениях i > / + 1, называют верх
ней формой Хессенберга и обозначают через Н [37].
Для приведения матрицы А к форме И необходимо провести (/1 — 2) элементарных преобразований. Если проведено (к— 1) шагов, в результате которых сформирована матрица Ак, такая, что (к— 1) первых ее столбцов соответствуют верхней форме Хессенберга, то на к-м шаге:
1)	определяют максимальный по модулю элемент |а^|, / = к+1, к + 2, ..., л; если все элементы равны 0, то нужно переходить к следующему шагу, так как к-й шаг считается законченным; если среди этих элементов будет несколько максимальных, равных между собой по модулю, то берут из них с меньшим номером /, который обозначают а!к + 1Г, к!
2)	производят перестановку строк и столбцов с номерами (к 4- 1)' и (к+ 1);
3)	вычисляют для каждого значения /, j — к -|-2, п величину
и по /-Й строке находят соответствующие произведения (к + 1) строки, умноженной на х/, к+i. Эти преобразования матрицы Ак можно записать в матричном виде, введя элементарные матрицы преобразований:
AK+i = N +iPk+i, (К+ j/ X
X ЛР(к+1), (k+D'Vk+1, (3.111)
где Рк+i, (к-м)' — элементарная матрица перестановок вида
Рк+1,(к+1)' =
(к+ 1)' к +1 _
1 0 0...0 0...0.. .0
0 1 0...0 0...0...0
= 0 0 0...0 0...1...0 (к+ 1)'.
0 0 0...1 0...0...0 к+ 1
0 0 0...0 0...0...1	(3.112)
313
У этой матрицы по диагонали стоят единицы, кроме (к + 1) и (к+1)' строк, единицы которых с диагонали сдвинуты соответственно на (к + 1)' и (к + 1) места. Эта матрица содержит в каждой строке и столбце только один элемент, равный 1; остальные равны нулю. При умножении слева на Рк+i, (к+1)' в матрице А переставляются строки, а справа — столбцы.
Элементарная матрица определяется элементами
«И =«/,«+!.	/ = к + 2, П-
«тата-к-
где на всех остальных местах 6/к — символ Кронекера.
Итерационная процедура (3.111) не более чем за (п — 2) шага приводит матрицу А к форме Хессен-берга. Если матрица А комплексная, то алгоритм (3.111) обеспечивает сходящийся процесс с
комплексными величинами. В этом случае главный элемент в столбце проще определять по величине max(Rea^+I) + Imа$+1)), а не по максимальному значению модуля комплексного числа.
Для действительных матриц общего вида рассмотрим другой способ приведения ее к типу Хессен-берга за счет унитарных преобразований. В этом случае необходимо также (п — 2) шагов. По аналогии с предыдущим будем считать, что исходная матрица приведена к Ак, у которой первые (к—1) столбцов имеют нули с номерами
а*/’, i = 1, к — 1, / > i + 1;
/= 1, п.
Следующая итерация имеет вид
Л+1 = ЛЛКРК, (3.113) где Рк — ортогональная матрица вида
	к	к+1	к + 2	
"0 0 .	. 0	0	0	0
0 0 .	. 0	0	0	0
00...О	0	0	...	0 к
00...0	(<“,.„ + о!
о о ... о «ед к «д «+о	(“Й!.«)!	  	»Й2. л к+2;
О О ... ° а^> (а1к> + о ) айайз «
Пл \ КтЬ Л	К /	Tin ЛТ4
(<к>)2
здесь
Вычисление матрицы Дк+1 следует производить последовательно: сначала умножить Ак слева на Рк‘, тогда получим
Ах+. = Л-^«к(»А), (3.114)
где
“к = [°> 0...0, а«1 + + СТк> а&2,К. •••> <к].
Затем полученную матрицу AK+i справа умножаем на Рк, в результате имеем
Ак+1 == -Ак+1Рк == Дк+1 "^"(^k+1Uk) Ик‘
(3.115)
За (п — 2) шагов итерационных
314
процессов (3.114) и (3.115) определим матрицу верхней формы Хес-сенберга.
Для вычисления собственных значений матрицы А воспользуемся <?/?-алгоритмом. Сначала допустим, что действительная матрица имеет действительные и все различные собственные значения. В основу этого алгоритма положено преобразование матрицы А к треугольному виду, т. е.
А = QR,
где Q — унитарная матрица; R— верхняя треугольная матрица.
Матрица RQ унитарно подобна исходной А. Поскольку матрицу Q можно определить только с помощью последовательно выполненных элементарных преобразований, строим итерационный процесс вида
А = QsRs, ^s+l == Qs^sQs>
(3.116)
который имеет своим пределом верхнюю треугольную матрицу.
Для улучшения сходимости итерации (3.116) необходимо матрицу А привести к верхней форме Хес-сенберга, используя итерационный процесс (3.113) или (3.114) — (3.115).
Запишем Q/J-алгоритм со сдвигом (см. прил. П-1.1), имеющим следующие рекуррентные формулы:
Rs = Qs(^s-<ysIY,
3^s+i — RsQs +
= H, s = 1, 2, ...
(3.117)
где Qs — ортогональная матрица; Rs — верхняя треугольная матрица; Os — сдвиг.
Для всех преобразований (3.117) матрица 3%s+l сохраняет свою структуру и согласно исходной матрице Н является верхней формой Хессен-берга.
В случае, когда собственные значения матрицы А действительны и различны, последовательность 3^s+i имеет пределом верхнюю треугольную матрицу, диагональные элементы которой представляют собой собственные значения, расположенные в порядке убывания их модулей.
Если исходная матрица А имеет кратные действительные собственные значения, то предельная матрица не будет верхней треугольной, а содержит диагональные блоки порядка кратности собственного значения. Величины <ys выбирают близкими к собственному минимальному значению матрицы 3^s; в этом случае обеспечивается быстрая сходимость итерационного процесса (3.117). Поскольку действительная матрица 3fts может содержать комплексные собственные значения, необходимо использовать комплексносопряженные значения сдвигов.
Рассмотрим два шага итерационного процесса (3.117) с двумя значениями сдвигов as и cFs+i, которые можно считать действительными или комплексно-сопряженными. Для двух итераций имеем
^s+2 = Qs+iQs^sQTsQTs+l. (3.118)
Так как Qs и Qs+i — ортогональные матрицы, то выражение (3.118) можно переписать в виде
MsQsQl+i = QTsQTs+iMs+2, (3.119) откуда
QsQs+i (Rs+iRs)=
= (^ - <rj) (^ - as+1Z).	(3.120)
Из равенства (3.120) следует, что ортогональное преобразование QsQs+l приводит матрицу, являющуюся произведением — <ysI) X Х(^>- <ts+iZ), к треугольному виду. В самом деле, рассмотрим подробнее произведения входящих в это выражение матриц. Произведение
315
двух треугольных матриц Jts+iJts является треугольной матрицей (см. прил. П-1.1), а произведение двух ортогональных матриц QsQs+ — ортогональной матрицей, обладающей свойством
(QsQs+i)"1 =
= (QsQl+1)T = Qs+i<?L (3.121)
Согласно выражению (3.121) из равенства (3.120) получим соотношение
Ks+lKs = Qs+iQl - <Tj) X
X(^-ai+J).	(3.122)
В любом случае, являются ли и <Ts+i действительными числами или комплексно-сопряженными, матрица (3^s — <ysI) (3%s — <rs+1/) действительная, которую всегда можно привести к треугольному виду последовательным умножением слева на элементарные эрмитовы матрицы вида
С/к =
К к+1
'1 0 0...	0	0 ... 0 0"
010...	0	0...00
00...	1	0... 0 0 к
0 0... -пк+1,к 1 ...00 к + 1.
0 0...	’	0 ... 1 о
0 0... — пт 0 ... 0 1
Таким образом, преобразование Qs+iQs определяется произведением элементарных матриц UK. Значе
ние сдвигов <rs и (Ts+i на каждом шаге зависит от собственных значений матрицы размерности (2Х Х2), расположенной в правом нижнем углу текущей матрицы Ms, и
сле-
их можно определить, решая дующую систему уравнений:
+ °s+i = hn\ n-i +
<r,or	„ ,A<S>
s s+1	* П—1, ft—1 fl, n
(3.123)
№. „ M5> . fl— I, n n, n— I
При сходимости итерационного процесса возможны два варианта: элементы	или п_2 ста-
новятся достаточно малыми.
Если элемент достаточно мал, то элемент h^n можно считать собственным значением и уменьшить размер преобразующей матрицы за счет вычеркивания последней строки и последнего столбца.
Если же элемент h[^}_, л_, достаточно мал, то в качестве собственных значений матрицы 3€s следует принять пару собственных значений матрицы размерности (2X2), стоящую в нижнем правом углу матрицы Ж.. В этом случае уменьшается порядок преобразуемой матрицы до (п — 2)-го порядка вычеркиванием последних двух строк и двух столбцов.
Сходимость итерационного процесса является достаточно быстрой, если в качестве исходной матрицы в формулах (3.117) берется почти треугольная верхняя матрица.
Результирующая матрица при использовании <?/?-алгоритма не является строго треугольной и может содержать блоки размерности (2X2) на главной диагонали. Каждый такой блок соответствует действительным собственным значениям или комплексно-сопряженной паре.
Рассмотрим теперь QL-алгоритм для определения собственных значений симметричной матрицы А. Аналогично формулам (3.116) имеем рекуррентные формулы QL-алгоритма вида
A. = QSLS; 1
1	(3.124)
as+1 = qXQs. )
где Qs — унитарная матрица; Ls — нижняя треугольная матрица.
Когда собственные значения матрицы А действительны и различны, предельную матрицу процесса (3.124) можно представить в нижней треугольной форме. При этом
316
ее диагональные элементы являются собственными значениями исходной матрицы, расположенные в порядке возрастания их модулей. Сходимость итерационного процесса существенно улучшается, если вместо алгоритма (3.124) взять следующие выражения:
== QsLs Н-	л
As+l = LsQs + osI-, Л, = А; 1(3.125) As+i QsAsQs.	J
Матрица As унитарно подобна исходной матрице А. Элементы матрицы в процессе итераций стремятся к значению
(Ь — Os)/(^j — <rs).
Если сдвиг Os выбран близким к величине М, которая является наименьшей по модулю из собственных значений, то в пределе внедиагональные элементы первой строки будут равняться нулю. Элемент в пределе равен 1. Если в QL-алго-ритме матрица А действительная и симметричная, то все матрицы действительные и симметричные, а Qs все ортогональные и определяются последовательным перемножением матриц элементарных преобразований. Таким образом, используя соответствующие итерационные процедуры последовательных преобразований (3.125) исходной матрицы А, получим в результате все собственные значения.
Для определения собственных векторов вернемся, не нарушая общности рассуждений, к Qfl-алго-ритму, который был применен к матрице Хессенберга Ж (3.116). Обозначим предельную верхнюю треугольную матрицу через тогда
=	(3.126)
где Q — произведение всех матриц преобразования, используемых в ф/?-алгоритме.
Поскольку матрица А была получена из исходной матрицы путем
конечного числа преобразований (3.114) и (3.115), в общем виде можно записать
^ = S-1AS, (3.127) где S — невырожденная матрица, являющаяся произведением всех элементарных матриц преобразования, используемых при приведении действительной матрицы А к виду Хессенберга.
Тогда выражение (3.126) примет вид
R^Q S ASQ. (3.128)
Собственные значения матрицы А расположены на главной диагонали матрицы R.
Будем считать, что диагональный элемент матрицы R. г.ц X;. является t-м собственным значением. Собственный вектор матрицы R, соответствующий действительному собственному значению Z,,, запишем в виде
x2i
Xni_
и определим его компоненты из условий
Пх{ = ^Х{, i = TT~n, (3.129) которые представим в виде системы алгебраических уравнений
О, к = i + 1, п-
(3.130)
Для решения системы (3.130) могут быть использованы стандартные программы решения систем алгебраических уравнений (например, метод Гаусса, метод итераций
317
и др.). Как только получим компоненты вектора то собственный вектор матрицы А определим в виде
P^SRXi. (3.131)
Поэтому для нахождения собственных векторов необходимо помнить все матрицы преобразования для получения матрицы SR. У комплексно-сопряженной пары собственных значений матрица содержит диагональный блок размерности (2X2). В этом случае компоненты собственных векторов можно определить с помощью следующих выражений:
(гK_lr к-! — kj)	i + "Ь Gc-l, к •'•Ki ==	
i = — £ /-к+1 ^*к, к— 1-^k—1, i	(3.132)
+ (ГКК
i
= — 2 Гк1Хц-/ = к+1
i = 1, tv, к = 2, п.
Паре комплексно-сопряженных собственных значений соответствуют комплексно-сопряженные векторы.
В заключение приведем программу № 7 OWN спектрального разложения произвольных действительных матриц с помощью Qfl-алго-ритма.
Пример 3.11. Найдем решение полной проблемы собственных значений для дей-
ствительной матрицы вида
"3125"
.	2 13 7
A =
3 12 4
.4 1 3 2_
С помощью унитарных преобразований (3.114) и (3.115) матрицу А можно привести к верхней форме Хессенберга, а с использованием Р₽-алгорнтма определить приближенные собственные значения М = = 10,59; Х2 = —2,36; А3 = 0,19;	=
= —0,42, которым соответствуют полу
ченные с помощью (3.130) векторы
" 0,85 ”
1
Г‘ = 0,78 ’
_ 0,79 _
" -0,29 "
о.и 
_ -0,08
выражений (3.129),
’ 0,36 “ 1 2 = 0,09 ’
_ -0,62 _
" -0,01 ‘
1
Г 4 =
-0,24
_ -0,09 _
Собственные векторы и — rt образуют матрицу правых	собственных	векторов R
в выражении (3.103):
"0,85	0,36	—0,29	—0,01 '
1	1	1	1
0,78	0,09	0,11	-0,24
_ 0,79 —0,62 —0,08 —0,09 _
Согласно свойству собственных правых и левых векторов действительной матрицы А (см. прил. П-1. 1) с различными действительными собственными значениями, получим матрицу левых собственных векторов в виде
£=(«-1)Т =
"0,37	0,59	—1,64	0,68	”
0,11	0,02	0,34	0,53
0,26	0,5	1,55	—2,34
_ 0,44 —1,1.6 —0,19	0,91 _
или, соответственно,
li =	" 0,37 " 0,11 0,29	; 1г =	" 0,59" 0,02 0,5	»
	_ 0,44 _		_-1,16_	
	"—1,64	—	" 0,68	—
1з =	0,34 1,55 _—0,19		0,53 —2,34 0,91	
Матрица Л имеет диагональную форму
	" 10,59	0	0	0 "
А =	0	—2,36	0	0
	0	0	0,19	0
	0	0	0	— 0,42 _
£н =
В спектральном разложении (3.103) матрица L" имеет вид
0,37	0,11	0,29	0,44"
0,59	0,02	0,5	-1,16
-1,64	0,34	1,55	-0,19	'
0,68	0,53	-2,34	0,91	_
318
Таким образом, с помощью спектрально- также множества собственных левых Ц—Ц го разложения матрицы А получены при- и правых г,—г4 векторов.
ближенно собственные значения X, — Х4, а
ПРОГРАММА № 7 OWN (0WN1 - 0WN8)
Программа предназначен^ для спектрального разложения произвольных действительных матриц с помощью QK -алгоритма, предложенного Дж. Франсисом и В. Н. Куб-лановской, с предварительным приведением матрицы к верхней форме Хессенберга.
Обращение к программе
OWN (N,A,W,R,L,INT)
Входные параметры
N —порядок матрицы А;
А — произвольная действительная матрица.
Выходные параметры
А — матрица собственных значений в канонической форме Жордана;
W — массив с N строками и двумя столбцами, в первом из которых размещена действительная, а во втором — мнимая часть собственного значения;
R — матрица правых собственных векторов, приведенная к канонической форме Жордана;
L — матрица левых собственных векторов, приведенная к канонической форме Жордана;
INT — вектор, определяющий тип собственного значения. Его компоненты принимают значения 0, если соответствующие собственные значения действительные, и 1 — если они комплексные.
OWN: PROC (N,A,W,R,L,INT); DCL (A,W,R ,L) (*,♦) DEC (16), (N,LOW,K,I,J) FIXED BIN, (PR,LV,RV) BIT (1), INT (*); PR = ’0’B; LV,RV=’1’B; IF N < 0 THEN DO; N=—N; PR=’1’B; END; IF ADDR (A) = ADDR (R) THEN RV = ’0’B; IF ADDR (A) = ADDR (L) THEN LV = ’0’B; IF ADDR(R) = ADDR (L) THEN LV = ’0’B; BEGIN; IF PR THEN PUT LIST (’НАЧАЛО OWN’, TIME) SKIP; DCL (U.TOL, (D,D1) (N)) DEC (16); TOL = IE-12; IF RV! (iRV & -,LV) THEN DO; IF LV THEN DO 1 = 1 TON; DO J=1 TO N; L (I,J) = A (I,J); END; END; CALL OWN1 (N,A,LOW,K,D); IF PR THEN PUT EDIT (’ПРОШЛА БАЛАНСИРОВКА’,TIME,’LOW=’,LOW, ’K=’,K) (SKIP.3 A,2 (F(3),A)); CALL 0WN2 (N,LOW,K,TOL,A,D1); IF PR THEN PUT LIST (’ПРОШЛО ПРИВЕДЕНИЕ’,TIME) SKIP; IF RV THEN CALL 0WN3 (N,LOW,K,A,DI ,R); CALL 0WN4 (N, LOW, K, TOL, A, R, W, INT, RV, FAIL); IF RV THEN CALL 0WN8 (N,LOW,K,TOL,A,R,W); IF PR THEN PUT EDIT (’СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ’, TIME, ((W (I, J) DO J = 1,2), INT (I) DO 1= 1 TO N)) (SKIP.2A, (N) (SKIP,2F (12,6),	F(8))); IF RV THEN DO;
CALL OWN5 (N,LOW,K,D,R); CALL 0WN6 (N,W,R);
IF PR THEN PUT EDIT (’УПОРЯДОЧЕННЫЕ’,TIME, ((W (I, J) DO J = 1, 2), INT (I) DO 1=1 TON)) (SKIP.2A, (N) (SKIP,2F (12,6), F (8))); END; END; IF LV THEN DO; IF RV THEN DO I = 1 TO N; DO J = 1 TO N; A (I,J) = L (J,I); END; END; ELSE DO I = 1 TO N; DO J = I + 1 TO N; U = A(I,J); A (I, J) = A (J,I); A(J,I) = U; END; END; CALL OWN1 (N, A, LOW, K, D); CALL 0WN2 (N,LOW,K, TOL, A, D1);CALL 0WN3 (N,LOW,K,A,D1,L); CALL 0WN4 (N,LOW,K,TOL,A,L, W.INT, LV, FAIL); CALL 0WN8 (N, LOW, K, TOL, A, L, W);
IF PR THEN PUT EDIT (’СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ’, TIME,((W(I,J) DO J =1,2), INT (I) DO 1 = 1 TO N)) (SKIP,2A,(N)	(SKIP,2F (12,6),	F (8)));
CALL 0WN5 (N,LOW,K,D,L); CALL 0WN6 (N,W,L); IF RV THEN CALL 0WN7 (N,W,A,R,L,INT); IF PR THEN PUT EDIT (’УПОРЯДОЧЕННЫЕ’, TIME, ((W (I, J) DO J =1,2), INT (I) DO 1=1 TO N)) (SKIP,2A, (N) (SKIP,2F (12,6), F (8))); END; GO TO RET; FAIL: DO 1 = 1 TO 5; DISPLAY (’БОЛЕЕ 30 ИТЕРАЦИИ’); PUT EDIT (’БОЛЕЕ 30 ИТЕРАЦИИ’) (SKIP (2),X (10),A); END;
RET: IF PR THEN DO 1= 1,2; PUT LIST (’КОНЕЦ OWN’,TIME) SKIP; END; END; IF PR THEN DO 1 = 1, 2; PUT LIST (’OWN ENDED’,TIME) SKIP; END; END OWN;
Подпрограмма 0WN1
OWN1:PROC (N,A,LOW,HI,D); DCL N,(A (»,»),D (*)) DEC (16), (LOW,HI) FIXED BIN; /* ПОНИЖЕНИЕ НОРМЫ МАТРИЦЫ A (N,N)*/ /♦ТОЧНЫМ ПРЕОБРАЗОВАНИЕМ ПОДОБИЯ*/
319
/* ИНФОРМАЦИЯ О КОТОРОМ ПРЕДСТАВЛЕНА В МАССИВЕ D (N) */ DCL (I,J,K,L), (B,B2,C,F,G,R,S) DEC (16), NOCONV BIT (1); EXC : PROC (M); DCL M; D(M) = J; IF M = J THEN RETURN; DO I = 1 TO K; F = A(I,J); A (I, J) = A (I,M); A (I,M) = F; END; DOI = 1TON; F = A(J,I); A (J,I) = A (M,I); A(M,I)=F; END; END EXC; В = 16; B2 = В * В; L = 1; К = N; D = 1;
/* ВЫДЕЛЕНИЕ НУЛЕВЫХ СТРОК И СДВИГ ИХ ВНИЗ»/
LI: DO J = K BY - 1 ТО 1; R = 0; DO I = 1 TO J - 1, J + 1 TO K; R = R + ABS (A (J,I)); END; IF R < IE - 16 THEN DO; CALL EXC (К); K = K — 1; GO TO LI; END; END;
/«ВЫДЕЛЕНИЕ НУЛЕВЫХ СТОЛБЦОВ И СДВИГ ИХ ВЛЕВО*/
L2: DO J=L ТО К; С = 0; DO I = L ТО J - 1, J + 1 ТО К; С = С + ABS (А (I, J)); END; IF С < IE - 16 THEN DO; CALL EXC (L); L = L + 1; GO TO L2; END; END;
/♦МАСШТАБИРОВАНИЕ ПОДМАТРИЦЫ, C L ДО К */ LOW = L; HI = K;
ITERATION: NOCONV=’0’B; DO I = L TO K; C,R=0; DO J = L TO I - 1, 1 + 1 TO К; С = C + ABS (A (J,I)); R = R + ABS (A (I, J)); END;G=R/B; F = 1; g _ Q |	
L3: IF C < G THEN DO; F = F * В; С = С * B2; GO TO L3; END; G = R ♦ B;
L4; IF C>=G THEN DO; F=F/B; С = C/B2; GO TO L4; END; IF (C + R)/F < 0.95 * S THEN DO; G = l/F; D (I) = D (I) * F; NOCONV = ТВ; DO J = L TO N; A (I, J) = A (I, J) * G; END; DOJ=1TOK; A (J,I) = A (J,I) . F; END; END; END; IF NOCONV THE GO TO ITERATION; END 0WN1;
Подпрограмма 0WN2
0WN2: PROC (N,K,L,TOL,A,D); DCL N,K,L,(A (*,*), D (*), TOL) DEC(15), I,J,M,LA, (F,G,H) DEC(15); LA = L-1; DO M = K+1 TO LA; H = 0; DO 1 = L BY - 1 TO M; F ,D (I) = A (I,M - 1); H = H+ F » F; END; IF H < =TOL THEN DO; G = 0; GO TO SKIP; END; G = SQRT (H); IF F > = 0 THEN G = - G; H = H — F * G; D (M) = F — G; DOJ = MTON; F = 0; DO I = L BY - 1 TO M; F = F + D (I) * A (I, J); END; F = F/H; DO I = M TO L; A (I, J) = A (I, J) - F * D (I); END; END; DO I = 1 TO L; F = 0; DO J=L BY-1 TO M; F = F + D (J) * A (I, J); END; F = F/H; DO J = M TO L; A (I, J) = A (I, J) — F » D (J); END; END;
SKIP: A(M,M — 1) = G; END; END 0WN2;
Подпрограмма 0WN3
0WN3: PROC (N, LOW, UPP, H, D, V); DCL (N, LOW, UPP, I, J, К, M) FIXED BIN, (H (*,*), D (*), V (*,*), X,Y) DEC (15); DO I = 1-TO N; DO J = 1 TO N; V(I,J) = 0; END; V(I,I)=1; END; DO К = UPP - 2 BY - 1 TO LOW; M = K+1; Y = H(M,K); IF Y = 0 THEN GO TO SKIP; Y = Y * D (M); DO I = K + 2 TO UPP; D(I) = H(I,K); END; DO J = M TO UPP; X = 0; DOI = MTOUPP; X = X + D (I) * V (I, J); END; X = X/Y; DO I = M TO UPP; V (I, J)=V (I, J)+X * D (I); END; END;
SKIP: END 0WN3;
Подпрограмма 0WN4
0WN4: PROC (N, LOW, UPP, MACHEPS, H, VECS, WW, CNT, RV, FAIL); DCL (N,LOW,UPP,CNT (*), I, J, K, L, EN) FIXED BIN, ((H, VECS, WW) (*,*), MACHEPS,P,Q,R,S,T,W,X,Y,Z, RA, SA, VR, VI, NORM) DEC (16), M, NA, ITS, (NOTLAST.RV) BIT (1); DO I = 1 TO LOW - 1, UPP + 1 TO N; WR (I) = H (1,1); WI(I) = 0; CNT(I) = 0; END; EN = UPP; T = 0; NEXTW: IF EN < LOW THEN GO TO FIN; ITS = 0; NA = EN - 1;
NEXTIT: DO L = EN BY - 1 TO LOW+1; IF ABS (H (L,L - 1)) < = MACHEPS * (ABS (H(L - 1,L - 1)) + ABS (H(L,L))) THEN GO TO CONTI; END; L = LOW;
CONTI: X = H(EN,EN); IF L = EN THEN GO TO ONEW; Y=H(NA,NA); W=H (EN,NA) * H (NA.EN); IF L=NA THEN GO TO TWOW; IF ITS=30 THEN DO; CNT(EN) = 31; GO TO FAIL; END; IF ITS = 10! ITS =20 THEN DO; T = T + X; DOI = LOW TO EN; H (1,1) = H(I,I) — X; END; S=ABS(H(EN,NA)) + ABS (H (NA,EN — 2)); X,Y = 0.75 * S; W = — 0.4375 * S * S; END; ITS = ITS + 1; DO M=EN —2 BY — 1 TO L; Z=H(M,M); R = X - Z; S = Y - Z; P = (R * S — W)/H (M + 1 ,M) + H (M,M + 1); Q = H (M + 1 ,M + 1) — Z — R — S; R = H (M + 2,M + 1); S = ABS (P) + ABS (Q) + ABS (R); P = P/S; Q = Q/S; R = R/S; IF M=L THEN GO TO CONT2; IF ABS (H(M.M- 1)) * (ABS (Q) + ABS (R)) < = MACHEPS * ABS (P) ♦ (ABS (H(M - 1, M-l)) + ABS (Z) + ABS(H(M+1, M+l))) THEN GO TO CONT2; END;
320
CONT2: DO I = М + 2 TO EN; H (1,1 — 2) = 0; END; DO I=M + 3 TO EN; H (1,1 - 3) = 0; END; DO K=M TO NA; NOTLAST=K-,=NA; IF K-,=M THEN DO; P = H(K,K- 1); Q = H (K + 1 ,K — 1); IF NOTLAST THEN R =H(K + 2, К — 1); ELSER=0; X = ABS (P) + ABS (Q) + ABS (R); IF X = 0 THEN GO TO CONT3; P = P/X;Q = Q/X; R = R/X; END; S = SORT (P * P + Q * Q+R * R); IF P < 0 THEN S=—S; K-, = M THEN H (К, К - I) = - S * X;
ELSE IF L-, = M THEN H (К, К — 1) = —H (К, К — 1); P = P + S; X = P/S; Y = Q/S; Z = R/S; Q = Q/P; R = R/P; /* МОДИФИКАЦИЯ */ DO J = К TO N; P = H(K,J) +Q*H(K+ L J); IF NOTLAST THEN DO; P = P + R * H (K + 2, J); H (K + 2, J) = H (K + 2, J) — P * Z; END; H (K + 1, J) = H(K+L J) - P * Y; H(K,J) = H(K,J)-P*X; END; IF К + 3 < EN THEN J = К + 3; ELSEJ=EN; DO 1 = 1 TO J; P = X»H(I,K) + Y*H(I,K+ 1); IF NOTLAST THEN DO; p = p + Z * H (I, К + 2); H (I, К + 2) = H (I, К + 2) - P * R; END;
H(I, K+ 1) = H (I, K+ 1)- P»Q; H(I, K) = H(I, К) - P; END; IF RV THEN DO I = LOW
TO UPP; P = X* VECS (I, K) + Y* VECS (I, К + 1); IF NOTLAST THEN DO; P = P + Z * VECS (I, К + 2); VECS (I, К + 2) = VECS (I, К + 2) — P * R; END; VECS (I, К + 1) = VECS (I, К + 1) — P * Q; VECS (I, K) = VECS (I.K)-P; END;
CONT3: END; GO TO NEXTIT;
ONEW: WR(EN), H (EN,EN) = X + T; WI(EN) = 0; CNT (EN)=ITS; EN=NA; GO TO NEXTW;
TWOW:	P = (Y — X)/2; Q = P • P + W; Z = SQRT (ABS (Q)>;
X,H(EN,EN) = X + T; H (NA, NA) = Y+T; CNT (EN) = - ITS; CNT(NA) = ITS; IF Q>0 THEN DO; IF P < 0 THEN Z = P - Z; ELSE Z = P + Z; WR (NA) = X + Z; WR(EN), S=X—W/Z; WI (NA), WI (EN)=0; X=H(EN, NA); R=SQRT (X * X+Z*Z); P = X/R; Q = Z/R; DO J = NA TO N; Z=H (NA, J); H (NA, J)=Q • Z+P • H (EN, J); H (EN, J) = Q * H (EN, J) — P * Z; END: DO 1=1 TOEN; Z = H(I, NA); H(I, NA) = Q»Z +P»H(I,EN); H (I, EN) = Q • H (I, EN) - P • Z; END;
IF RV THEN DO I=LOW TO UPP; Z = VECS(I, NA);
VECS (I,NA) = Q * Z + P * VECS (I,EN); VECS (I,EN) = Q » VECS (I,EN) — P * Z; END; END; ELSE DO; WR (NA), WR (EN) = X + P; WI (NA) = Z; WI (EN) = - Z; END; EN = EN — 2; GO TO NEXTW;
FIN: ; DCL FAIL LABEL, ,WR (N) DEC (16) DEF WW(1SUB, 1), WI (N) DEC (16) DEF WW(1SUB,2); END OWN4;
Подпрограмма OWNS
OWN5:PROC(N, LOW, HI, D, R); DCL (N, LOW, HI) FIXED BIN, (D(*), R (*,*)) DEC(16); /«ПРОГРАММА ФОРМИРОВАНИЯ R ИЗ СУЩ. ИЛИ ДО НИХ*/ DCL(I,J,K), S DEC (16); DO I = LOW TO HI; S=D(I), DO J =1 TON; R (I, J) = R (I,J) * S; END; END; DO I = LOW - 1 BY - 1 TO 1, HI+1 TO N; K = D(I); IF K-, = I THEN DO J=1 TO N; S = R(I,J); R (I, J) = R (K, J); R(K,J) = S; END; END OWN5;
Подпрограмма 0WN6
OWN6: PROC(N,W,T); DCL (W,T) (*,*) DEC (16), N, I, J, K, (A,U) DEC (16); DO 1= 1 TO N- 1; A = ABS (W (1,1)) + ABS (W(I,2)); K = I; DO J = 1+ 1 TO N; U = ABS (W (J, 1)) + ABS (W (J,2)); IF U = A THEN IF W(I,2)<0 THEN K = J; IF U > A THEN DO; A = U; К = J; END; END; IF К > 1 THEN DO J = 1 TO N; A=T(J,K); T(J,K) = T(J,I); T(J,I) = A; IF J < 3 THEN DO; A = W(K,J): W (K,J) = W (I,J); W (I, J) = A; END; END; END; END OWN6;
Подпрограмма 0WN7
OWN7: PROC (N,W,A,R,L,INT); DCL ((A, W,R,L) («,»), U, Ul) DEC (16), N, I, J, К, M, INT (»), (S,S1) CPLX DEC (16); A = 0; INT = 0; DO 1=1 TON; IF W (1,2) >0 THEN DO; DO J = 0,1; A (I + J, I + J) = W (I + J, 1); A (I + J, I + 1 — J) = W (I + J> 2); INT (I + J) = 1; END; U = 0; S = CPLX(U,U); DO J = 1 TO N; S = S + COMPLEX (R (J,I), R (J, I + 1))* COMPLEX (L (J,I), L (J, I + 1)); END; S = S/2; DO J=1 TO N;
COMPLEX (L (J,I), L (J,I + 1)) = CONJG (COMPLEX (L (J,I), L (J,I + 1))/S); END; 1 = 1+1; END; ELSE DO; A(1,1) = W(1,1); U = 0; DO J=1 TON; U = U + R (J,I) * L (J,I); END; DO J = 1 TO N; L (J, I)=L (J,I)/U; END; END; END; /* ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ L */ DO I = 1 TO N; DO J = I + 1 TO N; U = L(I,J); L (I,J) = L (J,I); L(J,I) = U; END; END; END OWN7;
11 Ю. И. Толчеев	321
Подпрограмма 0WN8
OWN8: PROC (N, LOW, UPP, MACHEPS, H, VECS, WW);
DCL (N, LOW, UPP, M, NA, ITS, I, J, K, L, EN) FIXED BIN, ((H, VECS, WW) (*,*), MACHEPS, P, Q, R, S, T, W, X, Y, Z, RA, SA, VR, VI, NORM) DEC (16); NORM = 0; K=l; DO 1=1 TO N; DO J = К TO N; NORM=NORM + ABS (H (I,J)); END; K = I; END; DO EN = N BY - 1 TO 1; P = WR (EN); Q = WI(EN); NA = EN — 1; IF Q = 0 THEN DO; M = EN; H(EN,EN)= 1; DO I=NA BY-1 TO 1; W = H(I,I)-P; R = H(I,EN); DO J = M TO NA; R = R + H (I,J) * H (J.EN); END; IF WI (I) < 0 THEN DO; Z = W; S = R; END; ELSE DO; M = I; IF WI(I) = 0 THEN IF W-, = 0 THEN H (I,EN) = — R/W;
ELSE H (I,EN) = — R/(MACHEPS * NORM); ELSE DO; X=H(I,I+1); Y=H (1+1,1);
Q = (WR (1) — P) * * 2 + WI (I) * * 2; H(I,EN), T = (X*S-Z*R)/Q;
IF ABS (X) > ABS (Z) THEN H (I + 1 ,EN) = (—R — W * T)/X;
ELSE H (I + 1,EN) = (—S — Y * T)/Z; END; END; END; END; ELSEIFQ<0 THEN DO; M = NA; IF ABS (H (EN.NA)) > ABS (H (NA.EN)) THEN DO; H (NA,NA) = — (H (EN,EN) - P)/H (EN,NA); H (NA.EN) = -Q/H (EN,NA); END; ELSE CALL CDIV (-H (NA, EN), 0, H(NA,NA)-P, Q, H(NA,NA), H(NA,EN)); H(EN,NA)=1; H(EN,EN) = 0; DO I = NA - 1 BY-1 TO 1; W = H(I,I)-P; RA = H(I,EN); SA = 0; DO J = M TO NA; RA = RA + H (I.J) * H (J.NA); SA = SA + H (I, J) * H (J, EN); END; IF WI (I) < 0 THEN DO; Z = W; R = RA; S = SA; END; ELSE DO; M = I; IF WI (I) = 0 THEN CALL CDIV (—RA, —SA, W,Q,H(I,NA), H(I,EN)); ELSE DO; X = H(I,I+1); Y = H(I+1,I);
VR = (WR (I) — P) * * 2 + WI (I) * * 2 — Q * Q; VI = (WR (I) - P) * 2 * Q;
IF VR = 0 & VI = 0 THEN VR = MACHEPS * NORM * (ABS (W) + ABS (Q) + + ABS (X) + ABS (Y) + ABS (Z)); CALL CDIV (X * R — Z * RA + Q * SA, X*S — Z*SA —Q*RA, VR, VI, H (I,NA), H (I,EN)); IF ABS (X) > ABS (Z) + +ABS (Q) THEN DO; H (I + 1, NA) = (—RA - W * H (I,NA) + Q * H (I,.EN))/X; H (I + 1,EN) = (—SA —W*H(I,EN) — Q * H (I,NA))/X; END;
ELSE CALL CDIV (—R — Y * H (I,NA), —S — Y * H (I,EN), Z, Q, H(I+1, NA), H(I+1,EN)); END; END; END; END; END; DO 1 = 1 TO LOW-l, UPP + 1 TO N; DO J = I + 1 TO N; VECS (I, J) = H (I, J); END; END; DO J = N BY - 1 TO LOW; IF J < = UPP THEN M = J; ELSE M = UPP; L = J - 1; IF WI (J) < 0 THEN DO; DO I = LOW TO UPP; Y,Z = 0; DO K=LOW TO M; Y = Y+VECS (I,K) * H (K,L); Z = Z + VECS(I,K)*H(K,J); END; VECS(I,L) = Y; VECS (I,J) = Z: END; END; ELSE IF WI(J) = 0 THEN DO I = LOW TO UPP; Z = 0; DO K = LOW DO M; Z = Z + VECS (I,K) * H (K, J); END; VECS (I,J) = Z; END; END;
DCL CDIV ENTRY (DEC (16), DEC (16), DEC (16), DEC (16),,),  WR (N) DEC (16) DEF WW(1SUB,1), WI(N) DEC (16) DEF WW(ISUB,2); END OWN8;
Программа OWN может быть настроена на несколько режимов работы: решение полной проблемы собственных значений с вычислением правых и левых собственных векторов; вычисления только правых или левых собственных векторов или вычисления только собственных значений. При этом времена решения этих трех режимов будут находиться в отношении 1; 0,5; 0,1. Для выделения из общей задачи частных задач используют различные способы обращения к программе OWN.
Вычисление собственных значений и только правых собственных векторов можно задать двумя способами:
OWN(N, A, W, R, A, INT);
OWN (N, A, W, R, R, INT);
аналогично при вычислении только левых собственных векторов:
OWN (N, A, W, A, L, INT);
OWN (N, A, W, L, L, INT).
Для вычисления только собственных значений обращение к программе должно быть таким:
OWN (N, A, W, A, A, INT).
6. АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОТ МАТРИЦ
В п. 5 была использована функция от матрицы вида Ф(А) = ел/, записанная в форме (3.108) через сумму легко вычисляемых матриц. Рассмотрим любые аналитические функции от матриц.
Согласно правилам умножения матриц (см. прил. П-I.l) произведение квадратной матрицы на се
322
бя можно записать как степень матрицы
А • А = А2, и, обобщая это произведение на к сомножителей, имеем
АК = А-А- ... -А;
при этом выполняются следующие правила:
АкАт = Ак+т-(АТ = Акт; А° = 1.
(3.133)
Те же правила справедливы и для отрицательных степеней, если матрица А неособенная, т. е.
(А~1)т = А~т.
Очевидно, что теперь можно записать многочлен от матрицу в виде
f (А) = а0/ -|- atA + а2^2 +  • •
... +a„A"=SMi (3.134) i«=0
ИЛИ
/(А) = а„(А-М)И-V) ••• ...(А-М),	(3.135)
где Xi, А-2, ..., Хл— корни многочлена f(z), удовлетворяющие уравнению
Оо + a^z -j- a2z2 -j- ... -|- anzn = 0.
Бесконечный ряд по А можно записать следующим образом:
/(А)=£а<А'.	(3.136)
(«0
При этом ряд (3.136) является сходящимся [28], если сходятся соответствующие скалярные ряды f(XK), к—1, п, где Хк — собственные значения матрицы А.
Вопросы сходимости матричных рядов (3.136) здесь не приводятся ввиду их сложности. Укажем лишь
матричные ряды для элементарных функций: экспоненциальной
(3.137)
синусоидальной
. я я А3 , А5
sinA = A--5f + -5i----...
 exp (/А) — exp (— /А) .	138)
косинусоидальной
cosA = T-^r + —- ... _ exp (/А) + exp (— /А) .
гиперболического синуса
Л3 Л 5
shA = A + 4r + 4r+ ...
... =ехрА-ехр(-А) . (3 Д40)
гиперболического косинуса
лл-/+4+4-+...
 exp А + exp (— А)
2
Возьмем для простоты симметричную матрицу А, которую, как известно, с помощью матричного преобразования Р можно привести к диагональному виду, т. е. ее можно записать в виде
(3.142)
Нетрудно для любого
убедиться в том, что целого к справедливо
11*
323
равенство
Ai 0 ... О 1
АК = Р
О Лг ... О
Р\ (3.143)
L О О ... Л* J
Следовательно, используя выражения (3.133), (3.134), (3.142) и (3.143), имеем
(3.144)
Матрица (3.144) справедлива, когда Хь Х2, .... не являются корнями многочлена f(z). Если выбранный многочлен (3.134) является характеристическим многочленом матрицы А, то f(M) = = 0, ..., f(Xn) = O, и матрица А удовлетворяет своему собственному характеристическому уравнению А — X/ = 0.
Заметим, что при характеристических числах матрицы А, отличных от нуля, обратную матрицу можно записать в виде
Эти рассуждения обобщаются на случай, когда f(z) является аналитической функцией аргумента z; тогда матричная функция f(A) записывается ' аналогично формуле (3.144). Подобные формулы были получены для любой квадратной матрицы в работе [11].
Рассмотрим выражение (3.104). Согласно формулам (3.133), (3.143) можно записать равенство
АКЦ = РАК,	(3.146)
в котором в координатной форме матрица Ак имеет следующий вид:
Ак=£л“<	(3.147)
i1
Таким образом, согласно соотношениям (3.144), (3.147) многочлен от матрицы А определяется соответствующим многочленом от собственных значений. При этом слагаемые собственных правых и левых векторов не изменяются.
Используя выражение (3.144) и покоординатную запись спектрального разложения, получим
f (A) (М г til (3.148)
<=1
Выражение (3.148) используют при построении алгоритмов вычисления аналитических функций от матриц на областях, содержащих собственные значения квадратной матрицы А. Приведем некоторые матричные функции, встречающиеся при исследовании САР.
Фундаментальная матрица Ф = ел< как функция приведена в выражении (3.108), а несколько других матричных- функций представим конечными рядами вида
е"лг°= Le-^r»nZ"; (3.149) f (А) = (елг°-/)	=
= £ е Л ~	(3.150)
i«l *
Т(Л)_А‘Н2ф._
п о 1 Т
=	2 rill (3.151)
л—J 1 0
<F(A)=Ath-^A-16 = n th ^i^O
= У TTf^r^bi. (3.152) fe(^9
Программу № 8 MFUNC используют для вычисления функций, приведенных в табл. 3.3.
324
Программа № 8 MFUNC
Программа MFUNC предназначена для вычисления аналитических функций от действительных матриц, спектр которых не содержит кратных собственных значений. В программе в качестве исходных данных использовано спектральное разложение исходной матрицы А, которое может быть получено с помощью программы OWN.
Прн каждом обращении к программе вычисляют пару матричных функций, используемых в теории динамических систем. Определяемые функции приведены в табл. 3.3. Они задаются прн обращении к программе по параметрам Q, С н Е>[26].
Таблица 3.3
Матричные функции
Признак Q |	Вычисляемые функции		| Признак Q 1	Вычисляемые функции	
	С	D		с	D
1	елт°	(елт°—/)А-1	3		
2	А"1	А	4	-^-(Ф + ТГ^Ф-Т) J 0	-^-(Ф+7)"1^ * 0
А — матрица исходной непрерывной системы; Ф —переходная матрица; £==(ф—./) А~'.
Обращение к программе
MFUNC (N,T,Y,A,R,L,C,D,P,Q)
Входные параметры
N — порядок динамической системы;
Т — такт дискретности;
Y — информационный вектор, задающий порядок следования собственных значений в матрице;
А — действительная матрица в канонической форме Жордана, содержащая собственные значения исходной-' матрицы;
R — матрица правых собственных векторов исходной матрицы;
L — матрица Эрмитово сопряженных левых собственных векторов исходной матрицы; Q — параметр, задающий вид вычисляемых матричных функций.
Выходные параметры
C.D — вычисляемые матрицы;
Р — массив собственных значений матрицы.
MFUNC: PROC (N, Т, Y, A, R, L, С, D, Р, Q); С = 0; D = 0; Р=0; DCL (N, I, J, К, Q) FIXED BIN,Y(*), (Т, (A, R, L, С, D, Р) (*,*), X, G, Н, LAM, ОМЕ, SI, СО, REC, IMC, RED, IMD) DEC (12), (М (9), Z (9)) LABEL; IF Q>=4 THEN Q = 4; IF Q< = 1 THEN Q = 1; DO 1=1 TO N; LAM=A(I,I); H = EXP (A (1,1) • T); IF Y (I) < 0.5 THEN DO; IMC,IMD = 0.0; GO TO M(Q);
M(l): REC = Hi IF ABS (H — 1) < 10E - 10 THEN RED = T;
ELSE RED = (REC- 1.0)/LAM; GO TO OUT;
M(2): REC = 1.0/LAM; RED = LAM; GO TO OUT;
M(3): REC=2.0/T*(H-1.0)/(H+1.0); IF ABS (H—1)<10E—10 THEN RED=1; ELSE RED = REC/LAM; GO TO OUT;
M (4): RED = 2.0/T/(LAM +1.0); REC = RED * (LAM - 1.0); GO TO OUT;
OUT: ; END; ELSE DO; ОМЕ = A (I + 1,1); G = LAM * LAM + ОМЕ * OME; CO = COS (ОМЕ * T); SI = SIN (OME * T); GO TO Z (Q);
Z (1): REC = H*CO; IMC = H*SI; RED = ((H • CO—1.0) ♦ LAM + H* OME * SI)/G; IMD = (H * SI * LAM - ОМЕ * (H * CO - 1.0))/G; GO TO OUT1;
Z (2): REC=LAM/G; IMC=-OME/G; RED = LAM; IMD = OME; GO TO OUT1;
Z (3): X = (H»H+ 1.0 + 2.0» H* CO) ♦ T/2.0; REC = (H ♦ H — 1.0)/X; IMC = 2.0 * H * SI/X; RED = (REC * LAM + IMC * OME)/G;
IMD = (IMC * LAM - REC • OME)/G; GO TO OUT1;
325
Z (4): X = ((LAM + 1.0)*»2 + ОМЕ * ОМЕ) * T/2.0;
REC = (LAM* LAM - 1.0 + OME * OME)/X; IMC = 2.0 * OME/X;
RED = (LAM + 1.0)/X; IMD = —OME/X; GO TO OUT1;
OUT1: ; 1 = 1+ 1; END; DO J = 1 TO N; DO K=1 TON; H=L (I,K) * R (J.I); G=0.0; IF Y(I)>0.5 THEN DO; H = H + R (J,I - 1) * L (I - 1 ,K);
G = R (J,I) * L (I — 1 ,K) — R (J,I - 1) * L (I, K); END; C (J,K) = C (J,K) + REC * H + IMC*G; D (J,K) = D (J,K) + RED * H + IMD * G; END; END; P (1,1) = REC; P (2,1) = IMC; IF Y (I) >0.5 THEN DO; P (1,1 - 1) = REC; P (2,1 — 1) = —IMC; END; END; END MFUNC;
7. ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ CAP
Так как в современные САР входят управляющие электронно-вычислительные машины, то необходимо для реализации вычислительных процедур строить дискретные модели. В п. 1.10 даны обобщенные формы представления математических моделей для объектов в дискретной форме, структурные схемы которых приведены на рис. 1.62. Пользуясь этими схемами и формулами п. 3.4, нетрудно получить структурные схемы САР,
как это показано на рис. 3.20 и 3.21.
Для определения дискретных моделей необходимо пользоваться последовательно реализуемыми на ЭВМ программами № 7 OWN, № 8 MFUNC и № 9 DISCR. Программа DISCR обеспечивает получение дискретной модели системы. Все формулы, с помощью которых получается дискретная модель, приведены в п. 1.10 для динамических объектов с экстраполяторами 0, 1 и 2-го порядков.
Приведем программу №	9
DISCR.
Программа № 9 DISCR
Предназначена для получения дискретной модели непрерывной системы.
Обращение к программе
DISCR (N,AA,H,TAKT,M,L,А,В)
Входные параметры
N — порядок исходной непрерывной системы;
АА — матрица исходной непрерывной системы;
Н — вектор передачи управления непрерывной системы;
ТАКТ — такт дискретности;
М — число измерений входного сигнала;
L — порядок степенной функции;
А — матрица размерности (N + M—1)X(N + M—1), в верхнем левом углу которой расположена матрица размерности (NXN); остальные элементы нулевые. Выходные параметры
А — матрица дискретной модели; В — вектор передачи управления;
DISCR: PROC (N, АА, Н, ТАКТ, М, L, А, В); DCL I, J, К, L, М, N, ((А, АА) (*,»), (В,Н)(*), D(N,N), S (M,L + 1), (ST,T) (L + I ,M), (STS,TS) (L + 1,L + 1), (C,G)(N,N), E(N,L + 1), B(N,M), ТАК, ТАКТ) DEC(12); CALL FAD(AA,N,D); C,G = 0; E = 0; KOT = L + 1; B=0; S = l; DO J=2 TOL + 1; S (1,J) = 0; DO 1 = 3 TO M; S (I,J) = (I — 1)» * (J — I); END; END; CALL MATRT (S, M, KOT, SI); CALL MATR (ST, S, KOT, M, KOT, STS); CALL FAD (STS, KOT, TS); CALL MATR (TS, ST, KOT, KOT, M, T); DO 1=1 TON; DO J =1 TON; G (I, J) = A (I, J); END; END; DO 1= I TON; G (1,1) = G (1,1) _ 1; END; CALL MATR (G, D, N, N, N, C); DO K=1 TOL + 1; DO I = 1 TO N; DO J = 1 TO N; E (I,K) = E (I,K) + С (I, J) • H (J)/TAKT **(£-!); END; END; TAK=—ТАКТ * * K; DO 1=1 TO N; DO J=1 TO N; C (I,J)=K * С (I, J); END; END; DO 1=1 TO N;' C (1,1) = C (1,1) + ТАК; END; G = C; CALL MATR (G, D, N, N, N, C); END; CALL MATR (E, T, N, KOT, M, R); B=0; DO 1=1 TON; B(I) = R(I,M); END; IF M > 1 THEN DO; B(N+l) = l; DO 1 = 1 TO N + M-l; DO J=1 TO N + M-l; IF I>N I J>N THEN A(I,J) = 0;
326
Рис. 3.22. Структурная схема САР для примера 3.12
END: END; DO I = 1 TO N; DO J = N + 1 TO N 4-M - 1; A (I, J) = R (I,N + M-J); END; END; IF M > 2 THEN DO I = N 4- 1 TONfM-2; A (14-1,1) = 1; END;END;
MATRT: PROC (A, N, M, AT); DCL ((A, AT) (*,*)) DEC (15), N, M, I, J; DO 1 = 1 TO M; DO J=1 TO N; AT (I, J) = A (J,I); END MATRT;
MATR: PROC (A, B,N, K,M, C); DCL N, M, К, I, J, КЛ, ((A,B,C) (»,*)) DEC (15); DO 1=1 TON; DOJ=1TOM; C(I,J) = 0; DO КЛ = 1 TO K: C (I,J) = С (I, J) 4-A (I.KJl) * В (КЛ ,J); END MATR;
FAD: PROC (A,N,B); DCL N, I, J, К. P DEC (15), ((A, B) (*,*), Al (N,N)) DEC (15); DO 1 = 1 TON; DO J =1 TON; Al (I, J) = A (I, J); IF I = J THEN В (I, J) = 1; ELSE B(I,J) = 0; END; END; DOK=ITON; IF К = 1 THEN GO TO Ml; CALL MATR (A,B,N,N,N,A1);
Ml: P=0; DO 1 = 1 TO N; P = P - Al (I,I); END; P = P/K; IF P=0 THEN PUT SKIP LIST (’СЛЕД = 0’); IF K<N THEN GO TO М2; DO 1 = 1 TO N; DO J=1 TO N; В (I.J) = В (I,J)/P; END; END; GO TO М3; М2: ; DO 1 = 1 TO N; DO J=1 TO N; IF I = J THEN В (I,J) = Al (I,J) - P; ELSE В (I, J) = Al (I, J); END: END;
М3: ; END FAD; END DISCR:
Пример 3.12. Определить				матрицы		Ф, F		ме объекта регулирования				входят рулевой	
н ст	для дискретной модели непрерывной							привод н корректирующее устройство. Рас-					
системы с		экстраполятором 0-го порядка.						ширенная матрица			системы	полученная до-	
Структурна		э схема	САР с	объектом,		займ-		бавлением к		объекту элементов регулиро-			
ствованным		нз примера 1.6, изображена на						вания, приведена в			виде матрицы (3.153).		
рис.	3.22. Откуда видно, что в				схему	кро-							
	0,4	0	0	0	0		0	0	0,4	0	0	0	
	0,06	0,05	0	0	0		0	0	0,01	0	0	0	
	0,0015	0.05125	0,05	0	 0		0	0	0,00025	0	0	0	
	0,015	0,5125	100,5 -	100	0		0	0	0,0025	0	0	0	
	0	0	0	100	-100		0	0	0	0	0	0	
А =	0	0 '	0	0	400	-400		0	О'	0	0	0	(3.153)
	0	0	0	0	0 2,5.10е			0	0	0		0	0	
	0	0	0	0	0	0		0	3000 -9 • 10’1 9000			9- 106	
	0	0	0	0	0	0		0	0 -	-3000	! о,ооз з		
									мв	«в мв ам м			 • 1В • 	
	0	0	0	0	0	0		0	0	0	Г” o’	1 !	
	0	0	0	0	0	0		-0,22	0	0	?	0	-ю 	
											во • во •		
Соответствующие			векторы b		и ст имеют			Строки F		и ст	для дискретной модели		
вид													
JT = [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,22];
cT = [0 0 0 0 0 0 I 0 0 0 0].
В матрице А выделим жирными линиями: сплошными — подматрицу объекта, штриховыми — подматрицу коррекции, а штрнхпунктирными — подматрицу рулевого привода. Остальные невыделенные жирными линиями подматрицы учитывают взаимное влияние выделенных подматриц.
Дискретная модель разомкнутой системы регулирования, состоящая из корректирующего устройства, рулевого привода н объекта, приведена в виде матрицы (3.154).
FT = [0,0013 3,13 • 10“5 7,83 • КГ7 8,13 • 10~6 -4,04 - 10"7 1,90-10-7 7,97-Ю-4 -1,4598 2,65-10~6 9,51 • 10“7 -1,01 • 10-9];
ст = [0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0].
В гл. 4 по данной дискретной модели построены логарифмические амплитудно-фазовые частотные характеристики разомкнутой системы (пример 4.22), а в гл. 5 приведен переходный процесс x(f) (пример 5.21):
327
8. УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ
Управляемость и наблюдаемость линейных и нелинейных замкнутых систем относится к основным понятиям теории автоматического регулирования, позволяющим оценивать правильность выполнения структурных преобразований. При этом следует иметь в виду, что управляющие сигналы g(t) должны переводить системы из любого начального состояния в установившееся за конечное время tK (управляемость) и по выходному сигналу x(t) однозначно определять ее начальное состояние (наблюдаемость). Пользуясь данными понятиями, проектировщик САР может при различных преобразованиях исходной схемы путем ввода дополнительных сигналов или их исключения без нарушения правильности ее структуры получить управляемые и наблюдаемые системы. В ряде случаев проектировщик пользуется системами, в которых обеспечивается управляемость.
Сформулируем понятия управляемости и наблюдаемости для любых систем, в которых протекают изменяемые во времени процессы x(t). Эти процессы называют управляемыми, если на каждую переменную состояния y(t) можно целенаправленно воздействовать с помощью сигнала управления g(t) в течение конечного времени.
Если переменная состояния не зависит от управления g(t), то отсутствует возможность требуемого ее изменения во времени и она является неуправляемой. Когда это касается всех переменных состояния, то система в целом является неуправляемой.
В ряде случаев требуется определить переменные состояния по результатам изменения входных и выходных сигналов, например, иногда появляется необходимость оценить по изменениям входных и выходных сигналов те переменные со-
328
Рнс. 3.23. Графы состояний:
а — не полностью управляемой системы; б — не полностью наблюдаемой системы
стояния, которые необходимы для закона управления. Здесь появляется понятие наблюдаемости.
Процесс g(t) называют наблюдаемым, если каждая переменная состояния процесса обусловливает изменение некоторых выходных переменных. На рис. 3.23, а изображена схема состояния процесса с двумя переменными yi и у2. Так как входной сигнал g(t) воздействует только на переменную yi(t), то переменная состояния y2(t) является неуправляемой, а процесс не полностью управляемым или неуправляемым. На рис. 3.23, б изображена схема, соответствующая состоянию ненаблюдаемого процесса. В самом деле, переменная состояния y2(t)< не связана с выходной переменной x(t); поэтому, если сигнал x(t) измерен, можно определить переменную y\(t), поскольку yi(t)=x(t). Однако по имеющейся информации об yi(t) нельзя определить переменную y2(t). Значит, процесс можно охарактеризовать как не полностью наблюдаемый или ненаблюдаемый.
Определение управляемости линейных непрерывных и дискретных систем совпадает, за исключением того, что во втором случае уравнениями состояния являются линейные разностные уравнения 1-го порядка.
Согласно уравнениям (1.18), (1.90), (3.83) запишем состояние
процесса в виде разностных уравнений для нестационарных систем У ('к+1) = А (/к) у (tK) + В (tK) g (tK); j * (tK) = C (tK) у (tK) + D (tK) g (tK), ]
(3.155)
где у (/K), g (tK), x (tK) — соответственно векторы размерности (n X 1). (mXl), (г XI); W, B(tK), C(tK), D(tK) — матрицы коэффициентов соответствующих размерностей (nXrt)» (nXm), (rXn), (rXm).
Определим понятия полной управляемости по состоянию и полной управляемости по выходу:
1) система, описываемая уравнениями (3.155), является полностью управляемой по состоянию, если для произвольного начального момента времени to существует последовательность управлений g(t0), g(ti), •••, g(tN-\), которая переводит каждое начальное состояние у (to) в некоторое конечное состояние у (In) за конечное tN t0',
2) система, описываемая уравнениями (3.155), является управляемой по выходу, если для произвольного начального времени t0 существует последовательность управлений g(t0), g(t\), ..., g(tN-\), таких, при которых некоторое конечное значение выходной переменной x(tN) может быть достигнуто из произвольного начального состояния за конечное время fo to-
Иногда говорят об абсолютной управляемости системы, имея в виду, что система является полностью управляемой (по состоянию или по ВЫХОДУ) ДЛЯ любых to и tN to.
Приведем условия об управляемости линейных стационарных систем. Уравнения состояния такой системы имеют вид
У (Ui) = Ay (tK) + Bg (fo); | x(tK) = Cy(tK) + Dg(tK), Р -10 >
где А, В, С, D—матрицы постоянных коэффициентов соответствующих размерностей, как в системе (3.155).
329
Линейная стационарная САР, описываемая уравнениями (3.156), полностью управляема по состоянию тогда и только тогда, если матрица размерности (nXNtn)
К = [В АВ А2В . . . AN 'B] (3.157)
имеет ранг п.
Линейная стационарная САР, описываемая уравнениями (3.156), является полностью управляемой по выходу только в том случае, если матрица
Т = [CAN~'B С AN~2B ... CAB СВ]
(3.158)
имеет ранг г.
Для линейных нестационарных систем, описываемых уравнениями вида (3.155), необходимые и достаточные условия полной управляемости по состоянию состоят в том, что матрица вида
£ = [£0 ^1 • • • Av-J размерности (nXNm) (3.159)
должна иметь ранг п, где Lt — = W(tN, ti + x) B(tj) — матрица размерности (n X tn), i = 0, N-—2;
(^V> ^i + l) =	(^N-l) & (^-2) • • •
... A (//+1) — матрица размерности (n X n);
V(tN, ti+l) = I, i = N—l.
Если система (3.92) имеет только один вход т—\, матрица L имеет размерность (лХ«), и в этом случае условие полной управляемости по состоянию состоит в том, что эта матрица должна быть невырожденной.
Линейная нестационарная система, описываемая уравнениями (3.155), является полностью управляемой по выходу тогда и только тогда, если матрица вида
8 = [So, 8Ь ..., S,v] размерности
[rX^+l)™]	(3.160)
имеет ранг г.
Здесь матрицы S,- определяются следующим образом:
C(tN)W(tN, ti+l)B(ti),
Si
» = 0, N — 1; D(tN), i = N.
Кроме того, для полной управляемости по выходу (m X tn)-мерная матрица Грамма
,v
ss'= £ s.s;
1=0	*
должна быть невырожденной.
Пример 3.12. Рассмотри.^ САР, описываемую следующими уравнениями:
M'K+1) = «MU +(3.161)
y2(/K+i) = ^2(Q + M(U- <3-162)
где а 0,	0, 62 =5^ 0.
С физической точки зрения состояния у> (/к) и угОк) являются несвязанными. Однако, поскольку динамика этих состояний совпадает, не представляется возможным независимо управлять ими с помощью одной входной переменной g(t).
Покажем, что эта система не является управляемой по состоянию. Составим матрицу К. ..гласно выражению (3.157)-
Г^1
К = [В АВ}=|
L «2
аЬ^ ab2
(3.163)
Очевидно, что матрица К является вырожденной, следовательно, ранг К меньше 2 и система (3.161)—(3.162) неуправляема по состоянию.
Введем определения полной и глобальной наблюдаемости.
Линейная автоматическая система, описываемая уравнениями (3.155), является полностью наблюдаемой, если для некоторого t0 состояние у (to) может быть определено по известному входу £(/к) и выходу х(/к) для tQ С (к tn, где In — конечное время. Если же система является полностью наблюдаемой для всех to и tK > to, то ее называют глобально наблюдаемой.
Рассмотрим условия наблюдаемости для стационарной системы,
330
описываемой уравнениями (3.156). Линейная стационарная система является полностью наблюдаемой тогда и только тогда, когда матрица размерности (n X Nr)
G = [Ст АТСТ (Ат)2Ст ... (АТ-’СЧ
(3.164)
имеет ранг п.
Запишем переходное уравнение состояния в виде
у(/к)=^ак, /о)у(/о)+
к —1
+ S *(tK, ti^Bdi) g(tt), (3.165) /»0
где Т (tK, to)—A (Q A (tK_j)... A (t0)— матрица размерности (n X п).
В этом случае необходимые идо-статочные условия полной наблюдаемости для нестационарных систем состоят в том, что матрица Q размерности («Х") имеет ранг п:
лг-1
Q=Z ч'Ж *о)Ст(6)Х
«“О
(3.166)
Приведем примеры для иллюстрации применения представленных методов проверки управляемости и наблюдаемости САР.
Пример 3.13. Рассмотрим систему уравнений 2-го порядка вида
У^)-АУ((К) + ВИ(^ где
А = Р ®1. В=Г 1 1.
L0 3 J’ L2 J
Составим матрицу К согласно выражению (3.157):
Очевидно, что det К = 0, следовательно, система является неуправляемой. С физической точки зрения состояния yi и у2 являются . несвязанными, т. е. состояниями нельзя управлять независимо с помощью одной входной переменной g.
Рис. 3.24. Структурная схема системы с тремя связями
Пример 3.14. Имеем линейную цифровую систему управления, описываемую разностными уравнениями:
y(/K+i) = ^(U + B,(/K);
х (<к) = Су (tK), где
ГО 1 1	Г°1
-2J= B = L1J: С = [22]-
Составим матрицу
K=[B4B] = [J _*].
Поскольку ранг К = 2, то рассматриваемая система является полностью управляемой по состоянию для переменных t/i(/K), у2(/к). Наблюдаемость системы исследуют с помощью матрицы G вида (3.164):
[о __о 1
2 -г]
Так как полученная матрица является вырожденной, то система неиаблюдаема. Следовательно, не все состояния У1(М, ytdt.) могут быть определены по известной выходной переменной x(t0) за конечный интервал времени (t0, tN). Наконец, составим матрицу Т и проверим управляемость системы по выходу.
Согласно матрице (3.158) имеем
Т = [С АВ СВ] = [-2 2].
Так как ранг этой матрицы равен единице, то система является управляемой по выходу. Таким образом, рассмотренная линейная цифровая система является управляемой по состоянию и по выходу, но ненаблюдаемой.
Пример 3.15. Дискретная модель динамики космического аппарата описывается векторно-матричным уравнением состояния
»w=wB«('K)-
где А и В — матрицы, имеющие соответственно размерности (11 X И) и (ЧХО-Запишем эти матрицы:
331
Поскольку система имеет только одни вход, исследовать ее управляемость можно с помощью вычисления определителя матрицы К размерности (11 X11) вида
К=[В АВ А2В ... А,0В);
det К = 44,6- 10".
Следовательно, система является полностью управляемой по состоянию.
В случае исключения отдельных связей и передаточных функций из структурных схем, а также изменения их параметров происходит потеря управляемости и наблюдаемости. Например, из анализа структурной схемы (рис. 3.24) можно показать, что за счет выбора ее параметров теряется управляемость и наблюдаемость. Откуда следует
U (s) — W3(s)G (s) + W[(s)G (s)—
— kisW 1 (s) W2(s)G(s) —
— k2Wl(s)W2(s)G (s) (3.167) или
W(S)=U^L =
W {) G (s)
_ IF, (s) + IF3 (s)	/qtfiRl
l + (fc1S + fc2)IF,(s)IF2(s) ’
Примем, что IF1(s) = (7'Is + I)-1; UZ2(*) = №$+ I)]-’ и W3(s) = k; тогда после их подстановки в выражение (3.168) получим
t/(s) G(s)
(fe17’1s + fe+l)(r2s+1)
s(F,s+ l)(F2s+ l) + fe2(^s+ 1)
(3.169)
Если принять k\/k2 = T2, то можно записать
U(s) = —^Gts) +
s + 77
+ Tf^G<s) + 7fi7G<s)’ (ЗЛ70) где
(s + Ф1) ($ + <P2) = s2 + 77 + 4? •
(3.171)
332
В выражении (3.170) при условии (3.171) получим вычеты передаточной функции (3.168) в полюсах системы
Y1 = Res {Г (s)} | s т2
Y2 = Res{IF(s)}|s._(pi; (3-172)
Уз = Res {Г (s)}!^. J
Опишем данную систему в пространстве состояний в виде
Xi(s) = —H-j-GW;
s+n
*3(s)=ThrG(s)-
Имея в виду эти соотношения, запишем следующую систему уравнений:
*1 (0 = — 77 х, (/) + y,g (/);
-МО = — Ф1Х2(0 + Тг£(О: (3.173) А (0 = — <Р2*з (0 +	(0;
и (() — Х1 (0 + х2 (0 + х3 (0- J
Условие управляемости данной
системы можно представить в виде
det К = у!у2у3 (ф( —	(ф! — ф2) X
X (ф2 — —) #= о.
Так как Yi — 0, то det К = 0, что указывает на отсутствие управляемости САР.
Если изменить переменные состояния системы, приняв
то уравнения состояния и выхода будут иметь вид
*1 (О = — 77 xi (0 + g (0;
М0 = — Ф1Х2(0 -+- «г(0;
М0 = — ф2М0 + £(0;
U (0 = У 1Xj (0 + у2х2 (0 + '+ Узхз (0-
} (3.174)
Система (3.174) управляема по входу и не наблюдаема по выходу u(t), так как
det {Г} = у(у2уз (ф( — X
X (Ф1 — ф2)(ф2 — 1/Г2) = О при У! = 0.
Возможны и более сложные случаи потери управляемости и наблюдаемости, связанные с изменением нескольких параметров системы.
9. НОМОГРАММЫ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ
При исследовании многоконтурных систем автоматического регулирования необходимо определять логарифмические амплитудную и фазовую частотные характеристики замкнутых (контуров) * или систем по частотным разомкнутым характеристикам разомкнутых систем. Для этого пользуются номограммой замыкания Никольса, которая может быть построена с помощью следующих формул:
Г (/(о) = Д'(®)е/0(“) (3.175) и
Ф(» = А (ш) е/ч>(и). (3.176)
В формулах (3.175) и (3.176) через Н' ((d) и А (со) соответственно обозначены амплитудные и фазовые частотные характеристики разомкнутой и замкнутой систем;
* См. гл. 1, п. 4.
333
-340 ~320 -ЛЮ '200 -260 '240 220 200 ИО /60 '140 120 100 -60 ~60 ~40 ~20	0 20 40	60 60 100 120 140 160 100 200 220 240 260 200 000 320 340 0°
Рис. 3.25. Номограмма Никольса в декартовой системе координат
Рис. 3.26. Номограмма Никольса в полярной системе координат:
стрелка 1 — направление положительных углов 0”; стрелка 2— отрицательных углов; в случае положительных 0° значения ф° указаны в кружках на штриховых линиях; для отрицательных значений 0° углы ф® — результат суммы с углом — 360°
0(ш) и <р((о)—соответственно фазовые характеристики разомкнутой и замкнутой систем.
Имея в виду, что частотные характеристики разомкнутых и замкнутых систем при наличии главной отрицательной обратной связи * связаны между собой соотношением
ф«“)—TTiFW- ,3177'
* Построение частотных характеристик контуров с положительной обратной связью изложено в гл. 1, п. 7.
после подстановки в (3.177) формул (3.175) и (3.176) получим
А (^	• (3-178)
' ’	1 + Н' (ш) е70(и) v
Выделим из выражения (3.178) отдельно амплитудные и фазовые частотные характеристики; тогда найдем
А «о) = , ,	"4<й)	;
VН'г (<о) -|- 2Н' (со) cos 0 (<о) -|- 1
(3.179)
z \ if sin 0 (со) ) ф((0) = arctg
(3.180)
По формуле (3.179) в логарифмическом масштабе строится амплитудная частотная характеристика замкнутой системы (приведена на рис. 3.25 тонкими сплошными
335
Рис. 3.27. Номограмма Никольса, построенная в пространстве
линиями), а по формуле (3.180) в логарифмическом масштабе изображена фазовая частотная характеристика замкнутой системы (показана на рис. 3.25 тонкими штриховыми линиями).
Числовые значения Д(со) в дБ обозначены кружками, которые расположены на сплошных линиях номограммы, а <р(со) в градусах — кружками на штриховых линиях. Номограмма Никольса в декартовой системе координат приведена на рис. 3.25. На рис. 3.26 построена номограмма Никольса в полярной системе координат.
Если пользоваться номограммой Никольса в декартовой системе координат, то необходимо помнить, что по оси ординат отложены значения * И (а), а по оси абсцисс 0(<о). Кривая 201g	которая
получена по точкам, соответствующим Д(со) и 0(со) при пересечении со сплошными линиями, даст 20 1g Л (со), а со штриховыми — <р(ш).
Практическое использование номограммы Никольса (рис. 3.26)
* В гл. 1 введено следующее соотношение: 201g/Г (со) = Н (w).
также требует построения кривой 20 lg W{jio), но в этом случае значения Я(со) и 0(<о) откладываются в полярной системе координат.
Как уже говорилось раньше, декартова система координат представляет собой сочетание многолистных . фазовых поверхностей, изображенных на рис. 3.25 в виде нескольких плоскостей, линией раздела которых являются прямые, проходящие вверх от начала координат (—180°,‘ 0 дБ) или (+180°, 0 дБ). Выделим эти прямые жирными сплошными линиями. Тогда при пересечении кривой 20 lg W(ja) штриховых линий номограммы (рис. 3.25) не происходит скачкообразного изменения фазы ср с 0° до 360°.
С целью доказательства этого на рис. 3.27 построена номограмма Никольса в пространстве на трех плоскостях. Откуда видно, что изменение характеристики 20 lg №(]<&) (кривые / и 2) никогда не приводит к скачкообразному изменению фазы <р(со). Данное положение подтверждается с помощью номограммы Никольса, построенной в декартовой системе координат.
Итак, при применении- номограммы Никольса в декартовой системе координат переход характеристикой 201g W(ju>) жирных прямых обеспечивает непрерывность по
336
строения фазы <р(со). Для ее получения фазовую характеристику замкнутой системы следует смещать на ±360°. Номограммами (рис. 3.25 и 3.26) следует пользоваться при графоаналитических расчетах простых типов систем автоматического регулирования.
В случае сложных систем для замыкания разомкнутых систем необходимо применять вычислительную процедуру, которая приведена в программе № 10 N0M0, предназначенной для соединения устройств и объектов регулирования в замкнутые динамические системы.
Программа № 10 NOMO
Программа предназначена для вычисления логарифмических амплитудно-фазовых характеристик замкнутых систем автоматического регулирования.
Обращение к программе
САН. NOMO (OM.LR.TETR.LZ.TETZ)
Входные параметры
— круговая частота;
I.R — значение логарифмической амплитудной характеристики разомкнутой системы; FETR — значение фазовой характеристики разомкнутой системы.
Выходные параметры
LZ — значение логарифмической амплитудной характеристики замкнутой системы;
TETZ — значение фазовой характеристики замкнутой системы.
Указанные значения характеристик вычисляются при данном значении круговой частоты
NOMO: PROC (ОМ, LR, TETR, LZ, TETZ); DCL (OM,LR,TETR,LZ,TETZ, HZ, HR, ('. V) DEC FLOAT (16); DCL (WR.WZ) CPLX DEC FLOAT (16); HR = 10.0 * * (LR/20.0); WR = HR * CPLX (COSD (TETR), SIND(TETR));
WZ = WR/(1.0 + WR); U = REAL(WZ); V = IMAG(WZ); HZ = ABS(WZ); TETZ = ATAND (V,U); LZ = 20.0* LOG10(HZ); END NOMO;
Hi. COЕДИНКНИГ CAP
В ДИНАМИЧЕСКИЕ КОМПЛЕКСЫ
зуясь этой схемой, запишем
Большинство CAP соединяются в комплексы управления с помощью следующих видов соединений: последовательного, параллельного и их взаимных комбинаций с обратными связями [32]. Каждая САР может быть описана в векторно-матричной форме с помощью уравнений вида
Д = Г^..	&0)с(2)т
L о	А<2)
Г 6<‘W<2> I
6=L ь<2> J:
СТ = [С(1)Т = Д(1)С(2)т];
d =
(3.182)
У = Ay + bg\
X = с1 у + dg.
(3.181)
При параллельном соединении двух САР (рис. 3.28,6) имеем следующие соотношения:
На рис. 3.28, а изображена структурная схема двух последовательно соединенных САР*. Поль-
' Принадлежность к структурной схеме обозначают индексами: (1)—для первой схемы; (2) — для второй схемы.
Г ДО) I 0 1 4 _	.....!.....
L О [ Д<2> .
Г6<1) 1
ь=L б<2) J: СТ = [С(1)Т ; С(2)Т]. d = до) + Д(2).
(3.183)
337
Рис. 3.28. Структурные схемы соединения САР в комплексы:
а — последовательная; б — параллельная; а —с обратной связью
Если соединить рассматриваемые системы с помощью обратной связи по схеме на . рис. 3.28, в, то получим
где q = 1/(1 +	Верхний
знак в этом соотношении соответствует положительной обратной связи, а нижний — отрицательной.
Процедура вычислений соответствующих матриц и векторов систем в комплексе реализована в виде программы № 11 JOINT.
ПРОГРАММА № 11 JOINT
Программа предназначена для соединения динамических систем с одномерными входами и выходами, описываемых уравнениями вида
у = Лу + bg;
х = сту + dg.
Осуществляются четыре вида соединения: последовательное, параллельное, а также этн соединения с отрицательной обратной связью. При этом рассмотрены следующие последовательности соединений: 1) вторая система является выходом; 2) первая система является выходом.
338
Обращение к программе
CALL JOINT (A1,B1,C1,D1,N1,A2,B2,C2,D2,N2,A0,B0,C0,D0,N0,P)
Входные параметры
N1 —порядок системы Si;
Al (N1,N1), Bl (NI), Cl (NI), DI—описание системы S,;
N2 — порядок системы S2;
A2(N2, N2), B2(N2), C2(N2), D2 — описание системы S2;
P — признак соединения (см. рис. 3.29).
Выходные параметры
N0 — порядок объединенной системы;
A0(N0,N0), В0 (N0), С0 (N0), D0 — описание объединенной системы.
JOINT: PROC (Al, Bl, Cl, DI, NI, A2, B2, C2, D2, N2, A0, B0, C0, D0, N0, F); DCL Al (*,*), Bl (*), Cl (*), A2 (*,*), B2 (*), C2 (*), A0(*,*), B0(*), C0(*); N0 = N1+N2; A0=0; IF P>0 THEN DO; D7=D1*D2; IF D7=-l THEN GO TOM; Q=l/(1 + D7); DO 1=1 TONI; B0 (I) = Q * Bl (I); DOJ=1TON1; A0 (I, J) = Al (I, J) — Q * D2 * Bl (I) * Cl (J); END; DO J = N1 + 1 TO N0; A0 (I,J) = —Q * Bl (I) * C2 (J — NI); END; END; DOI = N1+1 TO N0; B0 (I) = Q * Cl * B2 (I — NI); DO J = 1 TO NI; A0(I,J) = Q* B2 (I-Nl)* Cl (J); END; DO J = N1 + 1 TO N0; A0 (I, J) = A2 (I-Nl, J-Nl) - Q*D1 * B2 (I-Nl) * C2 (J-Nl); END; END; IF P > 1 THEN DO; DO 1 = 1 TONI; C0 (I) = Q * Cl (I); END; DO I = N1 + 1 TO N0; C0 (I) = —Q * DI * C2 (I — NI); END;D0 = Q*D1; END; ELSE DO: DO 1= 1 TO NI; C0 (I) = Q * D2 * Cl (I); END; DO I = NI + 1 TO N0; C0 (I) = Q * C2 (I — NI); END; D0=Q*D1*C2; END; END; ELSE DO; IF P> = 1 THEN DO; DO 1=1 TONI; B0(I) = B1(I);	C0(I) = C1(I);
DO J = 1 TONI; A0(I,J) = Al (I, J); END; END; DO I = N1 + 1 TO N0; B0 (I) = B2 (I — NI); C0(I) = C2(I —NI); DO J = Nl+l TO N0; A0(I,J) = A2 (I-Nl, J-Nl); END; END; D0=D1 + D2; END; ELSE DO; DO 1=1 TO NI; B0(I) = B1(I);	C0 (I) = Cl (I) * D2;	DO J=1 TONI;
A0(I,J) = Al (I, J); END; END; DO I = NI + 1 TO N0; B0 (I) = B2 (I - NI) * DI; C0(I) = C2 (I — NI); DOJ=1TON1; A0(I,J) = B2 (I - NI) * Cl (J); END; DO J = N1 + 1 TO N0; A0 (I, J) = A2 (I - NI, J-Nl); ENI?; END; D0=D1*D2; END;
M: END JOINT;
Пример 3.16. Составить результирующие матрицы и векторы для четырех типов схем (рис. 3.29,а—г), если исходные уравнения имеют вид
y = A!y+6ig; у — Агу + b2g-, 1
> (3.185)
X = с\у + d,g; х = с^у + d2g. )
Примем, что матрицы и векторы систем (3.185) имеют следующие числовые значения:
Рис. 3.29. Соединения CAP $i и $г в комплексы при реализации процедуры №11 JOINT: а — при Р — —1,5; б — при Р - —0,5; в — при Р — 1,5; г — при Р — 0,5
339
Тогда при последовательном соединении, пользуясь процедурой № 11 JOINT, получим
“-1	60000“
4 -10	0	0	0	0
.	0	0 -12	3	4
.Ал =
0	0	0 -9	6	7’
2	098-34
При параллельном соединении
"—1	6	0	0	0	0
4	—10	0	0	0	0
0	0	-1	2	3	4
° ~	0	0	0	—9	6	7
0	0	9	8	—3	4
Если комплекс образован последовательным соединением систем с отрицательной обратной связью, тогда
“—1	60000“
4	—1	—1	—2	0	0
,	0	0	-1	2	3	4
До —
0	0	0	-9	6	7’
2	0	9	8	—3	4
_ 4	0	5	5	7	—5_
а при параллельном соединении систем получим
-— 1	6	0	0	0	0“
4	—1	—1	—2	0	0
,	0	0	—1	2	3	4
До==
0	О	0	—9	6	7 ’
2	0	9	8	—3	4
_ 4	0	5	5	7	—5 _
11. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕДУРЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИИ РАЗОМКНУТЫХ И ЗАМКНУТЫХ САР
При исследовании устойчивости, качества и точности САР не в пространстве состояний (гл. 4—6) используются передаточные функции разомкнутых систем с числовыми значениями коэффициентов. Раньше было показано, что они записываются в виде дробно-рациональных функций относительно аргументов s, s и z. Числитель функции представляет собой полином, где корни являются нулями передаточной функции, а знаменатель — полюсами.
Для вычисления передаточных функций применяется программа № 12 TRFUNC, входными параметрами которой являются матрицы А, В и С. При переходе к передаточным функциям для анализа устойчивости необходимо знать полюсы и нули дробно-рациональной функции. Для этих целей используется программа № 13 BERSTOW.
340
ПРОГРАММА № 12 TRFUNC
Предназначена для вычисления передаточных функций динамических систем, заданных векторно-матричными тройками {А, В, ст}. Передаточная функция формируется в виде отношения двух полиномов
«7	„	Р1*п~‘+ Ргхп~2 + ... +РП
хл + сцх”-1 + а2хл-2 + ... 4-а„’
где х — комплексная переменная s.
Обращение к программе
TRFUNC (N,P,F,FB,C,BETA,ALPHA)
Входные параметры
N — порядок системы;
Р — массив собственных значений матрицы;
F — матрица системы;
FB — вектор передачи управления;
С — вектор формирования выхода.
Выходные параметры
ВЕТА — вектор коэффициентов числителя;
ALPHA — вектор коэффициентов знаменателя.
TRFUNC: PROCEDURE (N, Р, F, FB, C, BETA, ALPHA);
DCL N, (