Алгебра и начала анализа. 10 класс. Часть 2. Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) - Мордкович А.Г., Звавич Л.И., Денищева Л.О., Корешкова Т.А.

Author: Мордкович А.Г. Звавич Л.И. Денищева Л.О. Корешкова Т.А.
Tags: общее школьное образование общеобразовательная школа анализ алгебра математический анализ функциональный анализ задачи по математике задачник задачи по алгебре 10 класс
ISBN: 978-5-346-00793-7
Year: 2007
Similar
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Часть 2. Задачник
Сборник задач по алгебре. 8-9 классы
Загадки
Сборник задач по алгебре. Учебное пособие для 8-9 классов с углубленным изучением математики
Text
                    И НАПАЛА АНАЛИЗА
класс
В двух частях
Часть 2
ЗАДАЧНИК для общеобразовательных учреждений (профильный уровень)
Под редакцией А. Г. Мордковмча
Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации
4-е издание, исправленное
Москва 2007
УДК 373Л67Л:[512+517]
ББК 22Л4я721+22Л61я721,6
А45
Авторы: А. Г. Мордкович, Л. О.Денищева, Л. И. Звавич, Т. А. Корешкова, Г* Я. Мишустина, А Р, Рязановский, Я, В. Семенов
Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 2 задачник А45 для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [А. Г* Мордкович и др.]; под ред. А Г. Мордковича. — 4-е издм испр. — М. Мнемозина, 2007. — 336 с. ил.
ISBN 978-5-346’00793-7
Задачник представляет собой вторую часть комплекта из двух книг, предназначенных для изучения курса алгебры и начал анализа в 10-м классе с профильной подготовкой по математике (первая часть — учебник). Он содержит трехуровневую систему упражнений, выстроенную по каждой изучаемой теме. Количество заданий достаточно для работы в классе и дома, не требует привлечения дополнительных источников.
УДК 373.187.14512+517] ББК 22.14я721+22Лв1я721Я
Учебное издание Мордкович Александр Григорьевич, Деннщева Лариса Олеговна, Звавнч Леонид Исаакович и др. АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА 10 класс В двух частях Часть 2 ЗАДАЧНИК для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) Генеральный директор издательства М. И. Безвиконная Главный редактор К. Я. Куровский. Редактор С. В. Бахтина Оформление и художественное редактирование: Г. С. Богданова Технический редактор И. Л. Ткаченко. Корректор Н. А Александрова Компьютерная верстка: А А Горкин Саяитарно-эпвдемжигогнческое заключение № 77.99.60.95ЭД.ОО 1815.02.07 от 22.02.2007. Формат бОхЭО1/^ Бумага офсетная № 1. Гарнитура «Школьная».
Печать офсетная. Уел. печ. л. 21,0. Доп. тираж 50 000 эка. Заказ № 18046 Издательство «Мяемденна*. 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 29 6-Тел.: (405) 387-54-18, 367-56-27, 367-67-81; факс: (405) 165-92-18. E-mail: ioc@mikemozina.ru
Магазин «Миемоанна*. 105043, Москва, ул. 6-я Паркован, 29 б. Тел.: (495) 783-82 84, 783-82-85, 783-82-86.
Торговый дом «Мнемоэнва». Тел./факс: (405) 657-98-98. E-mail: td@mnemorina.ru Отпечатано в ОАО «Смоленский полиграфический комбинат*.
214020, г. Смоленск, ул. Смольянинова, 1.
© ♦Мкемоэина», 2005 © «Мнемоэина», 2007, с изменениями
ISBN 973-5-346-00701-3 (общ.)	Ф Оформление, «Миемозина*. 2007
ISBN 978-5-346-00793-7 (ч. 2)	Все права защищены
ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Издательство «Мнемозина» подготовило учебный комплект для изучения в 10-м классе профильной школы курса алгебры и начал анализа, состоящий из двух книг:
А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра и начала анализа. Учебник.
А. Г. Мордкович и др. Алгебра и начала анализа. Задачник.
У вас в руках вторая книга комплекта — задачник.
Наличие отдельного задачника позволило авторам выстроить в нем полноценную (как по объему, так и по содержанию) систему упражнений, достаточную для работы в классе, для домашних заданий, для повторения (без привлечения других источников). В каждом параграфе представлены упражнения трех уровней сложности: простые, средние (слева от номера такого упражнения помещен знак «О») и трудные (со знаком «•»).
В конце книги приведены ответы к большинству заданий второго и третьего уровней. Нумерация упражнений своя в каждом параграфе.
Число заданий в каждом номере — одно, два (а) и б)) или четыре (а)—г)). Все они в пределах конкретного номера однотипны, поэтому советуем вам разбирать в классе пункт а) (или пункты а) и б)), а на дом задавать пункт б) (или, соответственно, пункты в) и г)).
Данная книга естественным образом соотносится с известным задачником «Алгебра и начала анализа, 10—11» (издательство «Мнемозина», авторы — А. Г. Мордкович и др.), который с 2000 года используется в общеобразовательных школах России: значительная часть материала, имеющаяся в упомянутом действующем задачнике, содержится и в настоящем задачнике. Это даст учителю, работавшему ранее по задачнику для общеобразовательной школы, возможность более комфортно работать по задачнику для профильной школы.
1*
3
Количество упражнений в данном задачнике таково, что его достаточно для учащихся профильных классов различной математической направленности: и при четырех, и при пяти, и при шести часах в неделю на изучение курса алгебры и начал анализа. В дальнейшем предполагается выпуск методического пособия с комментариями к параграфам учебника, с решениями трудных упражнений из задачника, с разными вариантами поурочного планирования. Пока же, для удобства учителя, мы приводим три варианта примерного тематического планирования (из расчета 4, 5, 6 часов в неделю) в первой части комплекта — в учебнике.
задачи на повторение
П.1. Сократите дробь и найдите ее значение при заданных зна* чениях переменных:
б)	~ 1, если т = 4; т — 1	«
24t2 +
5а2 + 15st*
если t =
1.	5
4* 8 ~ 12
г)
, если х = 2; у = 3.
П.2. Сократите дробь: . Зх2 - 10х + 8.	. 2х* - 9х + 4.
»	?-3«	’	•>	/-16	
5х2 + х - 4.	2х2 + 5х - 3
б>	Хг + х ’	Г>	?-9	•
П.З. Докажите, что заданная функция является линейной, и найдите ее область определения:
. х4 - 5х3 + Зх - 15.	. р3 - 4ра - 5р + 20.
а> V =----?Тз-------’ В> 2 =	?-5 -----’
„ _ (4 - &1 +16.	. m* - 16m* + 64
й) “ " (t + г*? - 4)’	Г)8= (т? + 2т + Щи? -
П.4. Докажите, что график данной функции принадлежит прямой, параллельной оси абсцисс; найдите область определения этой функции:
4х-б я-1.	1 Зх + 4 х + 4.
а)^“ 7х-а 2х-6’	в)^=5х-10 Зх-6’
П.5. Докажите, что график дайной функции принадлежит прямой; найдите область определения этой функции;
х3 + 5х2 - 4х - 20
х3 - 4х2 - Эх + 36
а) У - х® + Зх - 10	’	“> у “ х2 -7х + 12	’
х3 - 2х2 - 16х -I- 32.	. х* + х* - 4х - 4
~ х2 - 6х + 8	’ Г) У ~ х3 + Зх + 2
П.6. Выразите переменную х через переменную у:
а) у =	+ 4;
в)»=т^-2;
1	7	1
"1;
.	2 е
г>*= 3^7+5‘
Упростите выражение:
П-7- •> (гй?  5ТЬ + 5^s)<25 -10» + ь*>!
/9 А 1	\
б>	- 5JT2)<“’ + 4“ + 4>'
в,М1+А-Нт)(а,+2а+1|;
( 2 4х 1 \
г> ^3^ ” 9^? "ТГх JC® + ** + «“)•
( 1	1 ь а .
6Цб^Т Ь+2
1 4а ( 1	1 \
в)	а - 2 о8 - 4 [а -1 ? - а /
с+4	1	. с + 1 . 2
о- . a - —Т • —В— + Ч—
П.9, а) а
^-68 + 9.
& +9 ’
г)	[х + 5 +	«с-
I х-51 х2 - 10х + 26
_ ,л . 3-х2 , Зх х , х-1.
п-10-*>	+ TTi + iTT1
й. Sa - 8 . а аг -4 10-За. °' а + 2 а + 2 а	а + 2 ’
в> у +1 + у + 1 ’ f -1+ у +1 *
1 ЗЬ~2 	3 Ь + 2 Ъ
г) + &»-4 з 8 + 2*
П.11, а) + 2 + х2 - х-6 + х-з] 2х +1’
( 2	10	Зх V Зх + 2.
бЦх+1	x-4j* 3 ’
( 3 .	4	2х V 2х +1,
в> ^-3+^-5r + 6 x-2j*	3 ’
f 2х 1	4	х
г) ^х + 3 + х- 1 ”	+ 2х~3J 2х+ 1*
П.12. Упростите выражение и найдите его значение при указан-
ных значениях переменной:
аТ-г^):?Лгл при1=в’
7
ПЛЗ, Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных:
_____1_____________1 1 ft(ate + a + c) e+ J_ а + Г b + ± b с
Упростите выражение:
П.14, a) lO^j - 0,57160 + Д;
б) 4^3|- 0,5756 - Д;
П.15, а)
3-75
3 + 75
в) 15^| - 0,5760 + 2^3|;
г) зД-784-Д.
в) 71£Т2 >/з78;
4 — л/б 4 + Тб
г) 4 + Тб 4-ТГ
П.16, а)
2 + Тз . 2-Тз
6) 42 + ^2 + 43 72 - 72 - 75
ПЛ7. Докажите» что
л/5 - зГл/5 - a * Y-Jo — 3 яY_ 8 о! -а
_2—+	+ I-2“ + 8J -1’
ПЛ 8. Сравните числа Л и В, если:
П.19, а) Известно, что Дх) = 7х. Найдите, при каких значениях переменной выполняется равенство f(x + 2) = Д2х+6).
б) Известно, что Дх) - 7х. Найдите, при каких значениях переменной выполняется равенство Д5х - 1) - ДЗх + 17) = О.
8
П.20. Сократите дробь:
а) 9у - 16х ;
25р - 49g .
в) 1JT* тЛ’
л 196m*-169п.
б) 13^+14m’
бУв» — bjc 81с- 36а» ’
П.21. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:
р- -Jpq + g, а) Л-Л '
б)
4 + 2$ + t.
2 + Jt
. а + 2jab + 4»
Г)"тгг2>г*
Упростите выражение:
д 11У/П — 2Ул _ 2Ул> ~ З-Ул [ Уш —
' зУт зУт зУт
в)
4>/р - 2 2^р
П.23, а)
г)
(а - b)J^4 v rya - b
ab__) . Уа» - ».
а + Уа» J * а- Ъ *
б) Уа& -
г)
7(а +	+ ») + V(a - Уд»)(Уд» - b)
/(а + УаЬ)(Уа& + b) - 4(а -
9
Решите уравнение:
П.24, а) х + 2 +	- 2х х3 - 4х’
х 1	2
б)	х + 1 х-1 х2 - I = О*
ч 2* 4.	1	_	4 л
в)	х + 2 х - 2 х* - 4 “ О’ .	2	3	_	15
г)	х* + бх 2х - 10 xi - 25* to - 7	1	_ 1
П’28* а) х* - 9х + 14 " х*-8х + 2 х —1;
8	=	1	3	.
°) хк - 9	9- бх + х* to* + бх’
Зх_________5___________1_
в) х3 — 1 4х* + 4х + 4 2(1 -х) “О»
1	4x1	+	27	=	6
Г| 1 + 2хг + 8х to* + 7х - 4 2х - 1*
П.26. Не решая уравнения х2 + 4х - 2 = О, найдите значение выражения: а) х? + б)	в)	г) ж? + х£,
где х,, ха - корни заданного уравнения.
П.27. При каком значении т сумма квадратов корней уравнения х2 + (/п - 2)х - (т + 3) = 0 будет наименьшей?
П.28. При каких значениях параметра а квадратный трехчлен (2а - 2)х* + (а + 1}х + 1 имеет отрицательные корни больше, чем -2?
П.29. Известно, что корни хр ха уравнения х* - Зах + а2 = 0 удовлетворяют соотношению xf + xj = 1,75. Найдите значение параметра а.
П.30. Решите неравенство:
а)	-2х + 8(х - 2) < 5х;	в) 8(х + 1) + Зх < 4х + 15;
б)	7х + 1 > 12(х - 2);	г) 5х - 4(х + 3) > 7х.
10
Решите неравенство:
П.31, а) > 0;
12-4* > , б) 2х + 5 >0*
»)	< °;
Г>ЙЕ>0’
П.32, а) х2 - 5х + 15 > 0;
б) х2 - 12х + 27 < 0;
П.33, a) ХК2 * *} > 0; Jt “ X “ А
б) 2х! - 11х + 12 * °5
П 34 al ***	> 1«
11.34. а) (1 _ х)(2 _ х) >1, 2 _ 3 с 5.
б> X 7^4
в) х2 + 5х - 36 > 0; г) х2 - 7х + 20 < 0.
(Х--2Х2Х-1)
J 2х2 + 7х + 3
г)
х* - 4х + 8 х* - 6х + 5
> 0;
> 0.
(х - 8)(2 - х) (3 + хМх + 2)
< 2.
<-1;
П.35. При каких значениях параметра а любое решение неравенства х2 - Зх + 2 < 0 будет решением неравенства ах3 - (За + + 1)х + 3 < О?
П.36. Найдите все значения параметра а, при которых неравенство (а2 - 5а + 6)х2 - 2(а - 3)х + 1 > О выполняется при всех действительных значениях х. Существуют ли такие значения а, при которых решением неравенства является пустое множество?
Решите систему неравенств:
(Зх - 1 > 2(х + 5), П.37, а) |7ж _ ! <	_ 11};
6)
2х + 5 > 4 - Зх, 4х - 7 < 2(4 - х);
(2х + 3 < 4(х - 1) + 13, в) (х - 1 < 2(3х - 16);
(х + 5 < 12 - 3(х - 4), г) [8х - 3 > 4(х - 5).
действительные числа
ггггггггггггггггггггггггг
$ 1. натуральные и целые числа
1.1.	а) Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 2?
б)	Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 3?
в)	Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 6?
г)	Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 27?
1.2.	Может ли из 101 идущих подряд натуральных чисел быть ровно одно делящееся:
а) на 50; б) на 51; в) на 101; г) на 10001?
01.3. Найдите какие-нибудь 36 идущих подряд трехзначных чисел, среди которых нет ни одного кратного 37. Какое наименьшее и какое наибольшее значение может принимать наименьшее из этих 36 трехзначных чисел?
1.4.	Может ли произведение 101 идущих подряд натуральных чисел не делиться:
а)	на 51; б) на 101; в) на 606; г) на 4386?
Докажите утверждение:
01.5. а) Если каждое из натуральных чисел пят делится на натуральное число р, то (л + ш) р и (п - т) р.* б) Если каждое из натуральных чисел пят делится на натуральное число р, а х, у — произвольные натуральные числа, то (пх ± ту) р.
в)	Если натуральное число п делится на натуральное число р, а натуральное т не делится на р, то ни сумма п + т, ни разность п - т не делятся на р.
* Если натуральное число л делится на натуральное число р, то принято писать л : р.
12
г)	Если сумма натуральных чисел и каждое ее слагаемое, кроме последнего, делятся на некоторое натуральное число р, то и это последнее слагаемое делится на р.
01.6. а) Если п б) Если х в) Если х г) Если х
р, то (n т) р для любого натурального т.
5, то Зх 15.
7 и у 3, то (ху + 14у) 21.
17 и у 23, то (х3 + у*) 40.
Докажите, что:
1.7.	а) Сумма двух четных чисел есть четное число;
б)	сумма двух нечетных чисел есть четное число;
в)	сумма четного и нечетного числа есть нечетное число;
г)	если х, у — произвольные натуральные числа, то ху(х + у) и ху(х - у) — четные числа.
1.8.	а) Разность квадратов любых натуральных различных чисел делится на их сумму и на их разность;
б)	разность любых натуральных различных чисел является делителем разности их кубов.
01.9. а) Если а + b делится на с, а а - Ъ не делится на с, то ни а, ни b не делятся на с;
6)ad + 6c + ac + 5d Делится на а + 6;
в)	если ad + be делится каа + Ь, тоиас + М делится на а + 6;
г)	если ad + be не делится на а + 5, то и ас + И не делится на а + 6.
1.10.	Объясните, почему не существует натуральных чисел а и b таких, что:
а)	152а + 1345 = 12 345; б) 150а + 1355 = 1234.
1.11.	Найдите все натуральные числа х и у такие, что:
а)	7х + 12у = 50;	в) 5х - у = 17;
б)	11х + 18у = 98;	г) 5л-Пу = 137.
01.12. Докажите, что:
а)	72* + 343 делится на 106;
б)	(Is + 2* + 3* +	+ 181* + Т823) делится на 183;
в)	18s + 26’ делится на 176;
г)	(2* + 3® +	+ 196* + 197*) делится на 199.
01.13. а) Число 14а + 115 не делится на 5; докажите, что и 9а + 5 не делится на 5.
б)	Число 17а + 295 не делится на 13; докажите, что и 4а + 35 не делится на 13.
13
01.14. Найдите все такие натуральные числа п, при которых: 5п + 4
а)	выражение —-— является натуральным числом;
5п+ 4
б)	выражение д + 3 является натуральным числом;
.	7п+12
в)	выражение ——— является натуральным числом;
7п + 11
г)	выражение д _ g является натуральным числом.
01.15. Найдите все такие натуральные числа п, при которых заданное выражение является натуральным числом:
. 5ва + 7п - 12.	в7 + Зл1 + 36
а> —я—;	б) —7?—*
1.16. На графике заданной функции найдите все точки, обе координаты которых — целые числа:
.	-	4 .	„ 5х +17
а)у = 2+г^,	6)1/=-^^.
01.17. При каком наименьшем натуральном значении параметра а на графике заданной функции есть ровно одна точка, координатами которой являются натуральные числа? Найдите координаты этой точки:
х + Г	х+113’
2
01.18. Известно, что при некотором значении а число Ь = а + — —
целое. Будет ли целым число:
а) а2 +	б) а® +
01.19» Найдите все значения а, при которых х и у являются натуральными числами:
а)	х = | + 3, у = | + а; б) х = | + 3, у = | + 2а.
01.20. При каких значениях параметра а уравнение имеет два различных натуральных корня:
а) ах2 -(2а1 + 5)х + 10а = 0;
б)	ах2 - (а® + 5)х + За - 5 = О?
•1.21. Найдите все целочисленные значения параметра а, при которых оба корня уравнения — целые числа:
4
а) х® + ах + ^2-4 - 0;
б) (а + 2)х® + (2а - 1)х + а1 - 5а - 4 = 0.
14
1.22.	Найдите последнюю цифру числа:
а)	21М7; б) 3м41; в) 717*; г) 918*1.
01.23. Найдите последнюю цифру числа:
а)	2001®“®*“;	в) 1345втмИ2ад;
б)	lgOO2002*™;	г) 23 Дбб789011*45
01.24. Существуют ли такие натуральные числа п и k, что последняя цифра разности указанных двух степеней равна кулю: а) 627" - 833*; б) 834" - 626*?
•1.25. а) Докажите, что если при некотором натуральном значении п число п3 - п делится на 6, то и число (n + 1)® - (л + 1) также делится на 6. Проверьте наличие делимости для п = 1 и подумайте, для каких еще значений л имеет место делимость.
б)	Докажите, что если при некотором натуральном значении п число пэ + 5н делится на 6, то и число (n + 1)® + + 5(n + 1) также делится на 6. Проверьте наличие делимости для п = 1 и подумайте, для каких еще значений п имеет место делимость.
в)	Докажите, что если при некотором натуральном значении п число 7" + Зп 1 делится на 9, то и число 7"т1+ 3(л + 1) - 1 также делится на 9. Проверьте наличие делимости для п = 1 и подумайте, для каких еще значений п имеет место делимость.
г)	Докажите, что если при некотором натуральном значении п число З2"’2 - 8п - 9 делится на 64, то и число 3to+4 - 8(n + 1) - 9 также делится на 64. Проверьте наличие делимости для n = 1 и подумайте, для каких еще значений п имеет место делимость.
Найдите НОД и НОК чисел:
1.26.	а) 164 и 210;	в) 255 и 510;
6)120 и 144;	г) 105 и 165.
1.27.	а) 2м З4 11э* и 2е Зт 11м; 6)4“ 6м 9е и 818 10п 12“
1.28.	Не пользуясь калькулятором, определите, является ли данное число квадратом или кубом некоторого натурального числа: а) 75 625; б) 614 656; в) 31104; г) 45 212 176.
1.29.	Найдите все простые числа, меньшие: а) 50;	б) 100.
1.30.	Найдите все составные числа, меньшие: а) 50;	б) 100.
15
1.31.	Выпишите все пары взаимно простых составных чисел, из отрезка натурального ряда 1, 2, 3, .... 20.
01.32. Докажите, что: а) наименьший отличный от 1 делитель натурального числа п, большего 1, есть простое число;
б)	наименьший отличный от 1 делитель составного числа п не больше Vn;
в)	если рг< рг <	< рв — простые числа, то числоpt р2... рв +1
является либо простым числом, либо делится на простое число р, большее, чем рл;
г)	простых чисел бесконечно много.
01.33. Докажите, что:
а)	любое натуральное число либо взаимно просто с задан* ным простым числом р, либо делится на р;
б)	если произведение нескольких множителей делится на простое число р, то хотя бы один из множителей делится на р.
1.34. Составьте разложение на простые множители числа: а) 504; б) 8281; в) 108 000; г) 12 321.
01.35. Найдите число делителей числа: а) 24; б) 504; в) 180; г) 60.
01.36. Полагают, по определению, что nl = 1 2 3 4 (п - 1) п! (символ п! читают пфакториал), а 1! = 1. С каким показателем входит число 2 в разложение на простые множители числа: а) 10!; б) 20!; в) 401; г) 100!?
01.37. С каким показателем входит число 5 в разложение на простые множители числа:
а) 10!;	б) 20!;	в) 40!;	г) 100!?
01.38. Сколькими нулями оканчивается число: а) 10!;	б) 20!;	в) 401;	г) 1001?
01.39. Докажите, что среди данных последовательных натуральных чисел нет ни одного простого числа: а) 23! + 2, 23! + 3; 23! -I- 4, ..., 23! + 23;
б)	101! + 2, 101! + 3; 101! + 4, ..., 101! + 101.
в)	Сколько составных чисел в каждой серии а) и б)?
г)	Выпишите 1 000 000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого.
01.40. Докажите, что:
а)	произведение двух идущих подряд натуральных чисел делится на 2;
16
б)	произведение трех идущих подряд натуральных чисел делится на 3 и на 6;
в)	произведение четырех идущих подряд натуральных чисел делится на 4, на 12 и на 24;
г)	произведение пяти идущих подряд натуральных чисел делится на 5, на 20 и на 120.
01.41. Найдите простые числа р и q, если известно, что корни уравнения я* - px + q = 0 — натуральные числа.
01.42. Найдите все простые числа р я д такие, что:
а) 5р + 17$ = 140; б) 7р + 3g = 86.
1.43.	Составьте формулу натурального числа, которое:
а)	при делении на б дает остаток 4;
б)	при делении на 11 дает остаток 7;
в)	при делении на 7 дает остаток 2;
г)	оканчивается числом, делящимся на 15.
1.44.	Найдите остаток от деления на 10 числа:
а) 1234;	6)43 215432.
1.45.	Число х при делении на 8 дает остаток 5. Чему может быть равен остаток от деления числа я:
а) на 2; б) на 3; в) на 4; г) на 6?
1.46.	Докажите, что:
а)	остаток от деления натурального числа на 2 равен остатку от деления его последней цифры на 2;
б)	остаток от деления натурального числа на б равен остатку от деления его последней цифры на 5.
1.47.	Докажите, что:
а)	остаток от деления натурального числа на 4 равен остатку от деления на 4 числа, образованного его двумя последними цифрами;
б)	остаток от деления натурального числа на 25 равен остатку от деления на 25 числа, образованного его двумя последними цифрами.
1.48.	Найдите остаток от деления на 3 числа:
а) 1234 321;	б) 55 555 155 555.
1.49.	Найдите остаток от деления на 9 числа:
а) 1234 567;	б) 55 555 155 555.
О1.50. Докажите, что произведение 1 2 3 ... 13 делится на (1 + 2 + 3 +	+ 13), а произведение 12 3	16
не делится на (1 + 2 + 3 + ... + 16).
17
1.51.	В числе 23 I I 47 заполните пропуск такой цифрой, чтобы: а) число делилось на 3; б) число делилось на 9.
1.52.	В числе 233 I 14 заполните пропуск такой цифрой, чтобы: а) число делилось на 4; б) число делилось на 12.
1.53.	В числе 735 О 4 заполните пропуск такой цифрой, чтобы:
а)	число при делении на 3 давало в остатке 2;
б)	число при делении на 4 давало в остатке 2.
1.54.	В числе 7345 Q заполните пропуск такой цифрой, чтобы:
а)	число при делении на 9 давало в остатке 2;
б)	число при делении на 25 давало в остатке 7.
01.55. Рассмотрите два предложения:
а) сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 3 тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел делится на 3;
б) сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 5 тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел делится на 5.
Докажите, что из этих утверждений верно только одно.
Найдите все пары целых чисел (х; у), удовлетворяющих уравнению: 01.56. а) 2у - х = 15;
б) 6х - у = 25;
•1.57. а) ух = 15;
б) Збх2 - у2 = 27;
в) 7х + 4у = 123;
г) 5г - 7у = 23.
в) 7ху + 4у* = 11;
г) ? - 7ху + бу* = 18.
01.58. Сколько делителей имеет данное число:
а)	315;	в) 250 000;
б)	9450;	г) 623 700?
$ 2. Рациональные числа
2.1.	Между рациональными числами а и Ь тюм&яте 5 рацио* нальных чисел:
а)	а = 1,1, b = 1,2; в) а = 11,0001, b = 11,0002;
h-W*	_	12221 .	122221
б)	а - 12* Р - ц* г) а - 12222* * ~ 122222*
2.2.	Сколько целых чисел заключено между числами: . 1111	11512.	1234	78910,
а) 37 и 361 *	6) 56 и 789 1
18
2.3.	Сколько существует обыкновенных правильных несократимых дробей со знаменателем, равным:
а) 17; б) 236?
Выпишите наибольшую из этих дробей в каждом случае.
2.4.	Среди правильных дробей вида 75, где п — натуральное число, найдите ближайшую к числу:
. 2.	3.	.4.	. 6
а)	б) у» в)	г) у.
2.5.	Среди всех дробей вида где п — натуральное число, найдите ближайшую к числу: . 2.	« 8.	. 4
а)	у	б) 7»	в) 7
02.6. Найдите число вида ~ (т, п — натуральные взаимно простые числа) с наименьшим знаменателем, лежащее на числовой прямой между числами:
. 1	2.	3	4.
а> 3 “	з*	»)	4 "	3’
„ 2	2.	.	121	101
б)	3 и	7’	г)	323	и 232'
г) ?•
2.7.	Найдите число, равноудаленное от чисел: ,5	6.	171	101
а> 6 и 5’	б> З53 и 242*
2.8.	Известно, что 0 < а < Ь. Какое из двух чисел или лежит ближе к 1?
2.9.	Запишите целое число в виде бесконечной десятичной периодической дроби: а) 1; б) 20; в) -4; г) -111.
2.10.	Запишите обыкновенную дробь в виде бесконечной десятичной периодической дроби:
,2. я, 3.	,8.	.4
а)	3> б) 7» в) д, г) и»
02.11. Используя калькулятор, определите десятичный знак с указанным номером после запятой в десятичной записи числа:
5	6
а) уд> 301-й знак;	в)	2000-й знак;
4	7
б)	ij» 123-й знак;	г)	78-й знак.
19
Запишите число в виде обыкновенной несократимой дроби:
2.12. а) 0;	б) -123;	в) 12,0006; г) 0,00123.
02.13. а) 0,(36);	б) 12,0(006); в) -1,2(3); г) -0,01(234).
2.14.	Запишите число в виде бесконечной десятичной периода ческой дроби:
а) 10,1; б)-1,2;	в) 4,023; г)-0,0101.
2.15.	Запишите данные десятичные периодические дроби в виде дробей, имеющих одно и то же число цифр в периоде, и определите период каждой из этих дробей в полученной записи: а) 3,(345) и 59,(34);	б) 3,(15) и 59,(23454).
2.16.	Запишите данные десятичные чисто периодические дроби в виде смешанных периодических десятичных дробей, определите их периоды. Единственно ли такое представление: а) 1,(34); б) 30,(115); в) 6,(543); г) 9,(2610)?
02.17. Выполите действия и представьте результат в виде бесконечной периодической десятичной дроби:
а)	70/4); б) Д48(4); в)	г) ^4,3402(7).
02.18. На числовой прямой отмечены точки Л(-5) и В(10). С помощью циркуля и линейки отметьте точку: а) С(5);	6)0(0); в) Л(1);	г)Р(0,6).
$ 3. Иррациональные числа
03.1. Докажите иррациональность числа: а) >/2; б) 73; в) 1 - 73;
г) >/з - V15.
03.2. Используя результат 3.1, докажите иррациональность числа: a) 5^2; б) -7>/3; в) 5(1 - VS); г) WL+j/Ш.
03.3. а) Пусть — несократимая дробь я q > 1. Докажите, что натуральная степень п € ЛГ, есть также несократимая дробь.
20
б)	Пусть а", п € N — целое число. Докажите, что а — либо целое, либо иррациональное число.
в)	Опираясь на утверждения а) и б), докажите иррациональность числа ^21.
03.4. Каким числом, рациональным или иррациональным, является:
а)	сумма рационального и иррационального чисел;
б)	разность рационального и иррационального чисел;
в)	произведение не равного нулю рационального числа и иррационального числа;
г)	частное рационального, не равного нулю числа, и иррационального числа?
Какое из данных чисел является иррациональным:
3.5. а) 2,(2345);
б) Д(4);
В)
г) ^6?
03.6, а) 1 + Л2 - 2>/3;	в) 2^3 - зЛ;
б)	(7 - Л1) (7 + >/П);	г) 1 + Л - V3- 2^2?
03.7. Приведите пример двух различных иррациональных чисел* таких, что:
а)	их сумма — рациональное число;
б)	их разность — рациональное число;
в)	их произведение — рациональное число;
г)	их частное — иррациональное число.
03.8. Приведите пример, если это возможно, двух иррациональных различных чисел, таких, что одновременно: а) их сумма и разность — рациональные числа;
б)	их произведение и частное — рациональные числа.
03.9. Составьте квадратное уравнение с целыми коэффициентами» у которого один из корней равен:
а) 75; б) 75 - 5; в) Тб - 2; г) 75 - 75.
оЗЛО. Докажите, что найдется пара иррациональных чисел аир таких, что:
а)	а® - р — натуральное число;
б)	2аа + Зр — целое отрицательное число.
ОЗЛ1. Докажите, что существует такое иррациональное число а, что число с является натуральным:
а)	с = а +	б) с = а2 + а.
21
03.12. а) Докажите, что для любого иррационального числа а, найдется такое рациональное число 0, что произведение сф — рациональное число.
б)	Докажите, что если точка (х; у) лежит на прямой у = Ах + Ь, где k * О, b — рациональные числа, то числа хиу или оба рациональные, или оба иррациональные.
03.13. Найдите хотя бы одно рациональное число, расположенное на отрезке:
а)	[75; 75}	в) [75 - 2; 2,23б];
б)	[75 - 75; 75 + 75]; г) [75 + 75; 3,(9)].
03.14. Найдите хотя бы одно иррациональное число, расположен* ное на отрезке:
а)	[0; 1];	в) [1,2; 1,6];
б)	[1,2; 1,22];	г) [1,2; 1,201].
03.15. Найдите хотя бы одно рациональное число, расположенное на полуинтервале:
а) (1,5; 75];	б) [75 - 75; 0,б).
03.16. Найдите хотя бы одно иррациональное число, расположенное на полуинтервале:
а) [О; 75);	б) (75 - 75; 0,б].
03.17. Найдите хотя бы одну точку (х; у), имеющую рациональные координаты, лежащую на прямой: а) у = х(75 + 1) - % б) у = -yg - 2.
03.18. Найдите хотя бы одну точку (х; у), имеющую иррациональные координаты, лежащую на прямой:
а) у = бх - 2;	б) у = у + 2.
03.19. Могут ли длины сторон треугольника выражаться числами: а) 75. 75, 1; б) 75, 75, 4?
•3.20. Отметьте на числовой прямой точки -4(1) и 8(4). С помощью циркуля и линейки постройте точку:
а) с(77);	б)В(1-77); в) е|
г) G(2 - 75).
22
§ 4.	множество действительных чисел
4.1.	На числовой прямой отмечены точки А(-2) и В(17). Найдите координаты:
а)	середины отрезка АВ;
б)	точки М, если В — середина отрезка AM;
в)	точки М, делящей отрезок АВ в отношении AM МВ = = 2 3;
г)	точки С числовой прямой, такой, что АС = ЗСВ.
4.2.	а) Отметьте на числовой прямой нули функции
у = (х - 1Я31Х - 37Х41Х - 49);
б)	определите промежутки знакопостоянства функции
у = (х - 1Я31х - 37Х41х - 49);
в)	отметьте на числовой прямой нули функции
у = (49х -I- 59ЯЗ lx + 37И41Х + 49);
г)	определите промежутки знакопостоянства функции у = (49х 59)\31x + 37)а(41х -I- 49).
4.3.	а) Отметьте на числовой прямой нули функции
У (19х - 43)’(17х - 39)*
б)	определите промежутки знакопостоянства функции 	(4х - 7)г
У ~ (19х - 43)а(17х - 39)’
в)	отметьте на числовой прямой нули функции (8х +17)*
У = (59х + 69)*(51х+ 73)’
г)	определите промежутки знакопостоянства функции 	(8х + 17)*
у ~ (59х + 69)2(51х + 73)'
4.4.	Укажите два рациональных и два иррациональных числа, принадлежащих данному промежутку: а)[о,2;Х1 в) (0,21; 51);
I -J2 Г
( ! . ! 1 И J
б)
г) (0,21; 0,22).
23
04,5. Существует ли геометрическая прогрессия, все члены которой различны и расположены на отрезке: а) [1; 2];	6) fl; 1,2]?
Если существует, то приведите соответствующий пример, если не существует, то докажите это,
4.6*	Используя калькулятор, расположите в порядке возрастания числа:
я, Y* ш’ЗД4; 3’1415> Ум и
4.7.	Выпишите 10 различных чисел, расположенных между числами:
а)	0,123 и 0,456; в) 0,123 и 0,124;
б)	-0,123 и -0,132; г) -1,9999 и -2.
04.8. На числовой прямой отмечены точки 0 и 1. При помощи циркуля и линейки постройте точки: а) 1,4; б) 72; в) -710; г) 72 - 73.
04.9. а) На числовой прямой отмечены точки -3 и 1. При помощи циркуля и линейки постройте точки 0 и 5.
б) На числовой прямой отмечены точки -72 и 3. При помощи циркуля и линейки постройте точку 0.
4.10. Найдите расстояние между точками числовой прямой: а) 2,4 и 17,9;	в) 12,14 и 18,92;
б) -4,27 и 5,03;	г) -4,27 и -5,03.
04.11. а) Докажите, что в интервале (8; 9) нет ни наименьшего ни наибольшего числа;
б) докажите, что среди чисел, удовлетворяющих неравенству х3 < 5, нет ни наименьшего ни наибольшего числа.
04.12. Число т называют точной верхней границей числового множества X, если для любого числа х € X справедливо неравенство х < ш и для любого числа е > 0 (е — буква греческого алфавита эпсилон) существует такое число х^ € X, что Хс > т - £. Найдите точную верхнюю границу множества X, если:
а)	X = [0; 1]; в) X» (ж|ж = п € Аг); In J
б)	X = [0; 1); г)Х= 1я|х = п е лА
I в	J
24
04.13. Число т называют точной нижней границей числового множества X, если для любого числа х € X справедливо неравенство х > т и для любого числа е > 0 существует такое число xr € X, что Xt < m + £, Найдите точную нижнюю границу множества X, если:
а)	X = [0; 1];	в) X = |х|х i, п е Лг};
б)	X = [0; 1);	г) Х= 1х|х « п е Лг|.
1л	J
04.14. а) Найдите все такие значения параметра 6, при которых в промежутке (-5; б] содержится ровно 8 целых чисел. 6) Найдите все такие значения параметра Ь, при которых в промежутке (-5; Ь) содержится ровно 8 целых чисел, в) Найдите все такие значения параметра 6, при которых в промежутке [б; 8] находится ровно 8 целых чисел.
г)	Найдите все такие значения параметра Ь, при которых в промежутке (Ь; 6 + 4] находится ровно 5 целых чисел.
04.15. а) Найдите отрезок наименьшей длины, содержащий 33 целых числа, большее из которых есть 12.
б)	Найдите промежуток наибольшей длины, содержащий не более четырех целых чисел, меньшее из которых есть 18.
04.16. На числовой прямой отмечены точки А(2а - 6а2) и В(2а - 3). При каких значениях а точка С лежит между А и В, если: а) 0(2); б) С(-1>?
04.17. На числовой прямой отмечены точки А(12а + 6а2) и В(-2а + 3). При каких значениях а точка С лежит между А и В, если: а) С(-2); б) ОД?
04.18. При каких значениях р числа 2 - р и ~ 4 принадлежат отрезку [-3; 2]?
4.19.	Расположите на числовой прямой числа а, Ь, 0, если:
jab < О, |а + b < О,
в)
ab < О, а + b > 0;
jab > О, 1в + ь > О,
jab > О, [а + b < 0.
25
4.20.	Пусть е > 0. Множество всех точек х числовой пряной, удовлетворяющих неравенству а-£<х<а + е, называют Е-окрестностъю точки а, при этом точки а - е и а + £ называют граничными точками е-окрестности точки а. При каких е > 0 точка 12,35 лежит в е-окрестности точки: а) 12,5;	6) 12,2?
4.21.	Точки х к у являются граничными точками некоторой Е-окрестности. Найдите £, если: а) х=12,5, у = 12,7;	в) х = -2,9, у = 3,3;
б) х = 32,31, у = 31,32;	г) х = -31, у = -29,8.
04.22. Дано множество Р = |х]х ® —, п € IV |. Определите, при In J
каких натуральных значениях п числа из Р будут лежать в е-окрестности точки 0, если:
а) £ = 1; б) е = 0,1; в) е = 0,0001; г) е =
4.23+ Целой частью действительного числа х называют наибольшее целое число, не превосходящее числа х, и обозначают [х]* Найдите целую часть числа: а) 4; б) -3,2; в) 4,45; г) -3,3456*
04*24* Докажите:
а)	если [х] = Л, то для любого натурального числа п верно равенство [х + n] = k + п;
б)	если [х] = fe, то для любого числа у справедливо неравенство [х + у] < k + у.
Решите уравнение:
04,25. а) [х] = 1; б) [х] = -11; в) [х] = -1; г) [х] = 11.
•4.26. а) [х] = х;	в) [х] = р
б)[х+5]=1-х;	г)[*+1|=ж + 2.
•4.27. Постройте на координатной плоскости хОу график соотношения:
а) Iх] = [?]:	в) [х] < [у];
б)[х]>[у];	г) [х - 1] > [у + 1].
26
4.28.	Дробной частью действительного числа х называют разность х - [х]; дробную часть числа х обозначают символом {*}. Вычислите:
а) {2}; б) {12,81}; в) {1,08}; г) {>/2}.
4.29.	Вычислите:
а)	{-2}; б) {-12,81}; в) {-1,08}; г) {-^}.
04.30. Пусть ш € [0; 1). Докажите, что для любого натурального а верно равенство:
а)	{а + «} = од б) {а - «} = 1 - од
04.31. а) Найдите все числа х, для которых {х} = 0,123;
б)	найдите наибольшее целое число, не превосходящее 1000, дробная часть которого равна 0,123.
•4.32. Постройте график заданной функции на отрезке [-4; 4]: а) У = И!	в)	у	=	[х	+ 4];
б) у = [1 - х];	г) у =	•
•4.33. Постройте график заданной функции на отрезке [-4; 4]:
а)	у = {ж};	в)	у	=	{х	+ 4};
б)	У = {1 - х};	г) у = ру*}-
•4.34. Пусть а ё [-4; 0]. Найдите отрезок наименьшей длины, содержащей все числа вида:
а)	1 + 2аг;	в) 5а3;
,	2а +1
б)	ба + а®;	г)
§ 5.	Модуль действительного числа
5.1.	Найдите модуль числа:
а)	|1 - V2|;	в)|2,2-Т5|;
б>|л/8-Л|;	г)|>/б-2,5|.
27
5.2. Используя определение модуля, запишите выражение без
знака модуля: а) 1* - 5|;	в) |х - 5] - |4х - 5|;
б) |х - 5| + |х + 8|;	Г) |х - 5| (х + 3).
05.3. При каких значениях х верно равенство:
а)	|х| = х; б)	|х - 7| = х - 7;	в) |х| = -х; г) |х* - 7х+ 12| = 7х - х* - 12?
5.4. Найдите расстояние между точками А и В числовой прямой:
а)	.4(7) и 3(12); б)	А(-17) и В(-б2);	в) А(-7) и В(12); г) 0(0) и В(-12).
На числовой прямой отметьте все такие точки х, которые удовлетворяют заданному соотношению:
5.5.	а) |х| = -х; б)	|х + 2| = х + 2; 5.6.	а) |х| < х; б)	|х| < -х; 5.7.	а) |х| > х; 6) |х| > -х;	В) |х| = х; г) |х - 2| = 2 - х. в)	|х + 2| < х + 2; г)	|х - 2| < 2 - х. в)	|х + 2| > х + 2; г)	|х - 2| > 2 - х.
5.8.	Докажите свойства модуля действительного числа:
а)	|а| > а;	в) |а[ > а <=> а < 0;
б)	-|а| < а < |а|;	г) |а| + [б| + |с| = 0 « а = Ъ = с = О.
Упростите выражение:
5.9.	а) |а - &| - |5 - а|; б) |а - с| - [а + с[ - [с - а| + |-е - а|.
05.10. а) 7л2 - 8л + 16;
« V(2 - а/5)* . V(3 - л/Я*
В) V4J? - 28л + 49;
г) 7(2,7 - М - 7(2,6-Л)’
05.11. а) |7Й - 7| + |>/51 - 5^31 + |J75 - 11|;
б)	|i - V2I + |V2 - 2V2I + I2V2 - 3>/2| + ... + + |W2 - 6V2| + |&/2 - 9|;
28
В) |1 - л/эт| + |2 - л/зт| ч-|з - >/Зт| 4- +
+ |б - Т371 + 6 |? - л/371;
г) |1-Лз7|+|2-л/137| + |з-Лз7|+ + + |11 - V137| + 11 |>/137-12|.
05.12. а) Пусть в, < о2 <	< ал. Докажите, что
|«i - flj| + |0г-<%| + |Ц» - Л.| +	+
+ |A,-i - А>| = |й -0»|-
6) Пусть п < 4а < п + 1. Докажите, что |1 - Va| + |2 - 4а\ + |з - >/л| + + + |п - >/а\ + ft |-7л - ft - 1| = п(п*
Решите уравнение: 05.13. а)|х+4| = 5;
6) |х - 4| = [10 - х|;
в) |х - 4| = 15;
г) [х - 4[ = [5х|.
05.14. а) [х + 4| = -5;
6)	|х — 4] = 15- 7227;^)
05.15. а) |х + 4[ = 2х;
6)	|х -14| = 8 + 2х;
в) |х - 4| = V20 - 2л/б;
г) |х + 4[ = 3^12 - 6-J5.
в)	[х* - 4х| = Зх;
г)	[х2 + 7х| = 4х + 10.
Решите неравенство: •5.16. а) |х + 4| < 2xi
б) |х® - 4х| < Зх;
•5.17. а) |х + 5| > 5х - 7;
б) |х® + х - 5| > Зх;
в) |х -14| < 8 + 2х;
г) |х* + 7х| < 4х + 10.
в) |7х + 4| > 6 + 5х;
г) |-х* - х| > 4х - 2.
05.18. а) Какие значения может принимать [х - 7|, если |х - 4| = 6;
6) какие значения может принимать |х + 5|, если [х - 2| = 16?
29
•5.19* а) Найдите все значения а, при которых |х - 2| = а» если |х - а] = 1;
б)	найдите все значения а, при которых |х - 2а + аг| = а, если [х - а| = 2 - а.
•5.20. а) Какие значения может принимать |х - р|, если |х - о| = 7, |р - а| = 16;
б) какие значения может принимать |а - 6|, если |х - а| = 7, |х - 6| = 16?
•5.21. а) Пусть [х — 1[ = 5. Найдите все возможные значения вы-[ 2|х + 4|
ражеш“ V? - « - ю-
б) Пусть [х — 1[ < 5. Найдите все возможные значения вы*
ражения
1х* - 2х + 5
29
Постройте график функции. Для каждой функции укажите область определения, множество значений, промежутки монотонности, нули функции:
05.22. а) у = |х - 5|;
б) у = |х + 3| + |1 - х|;
05.23. а) у = |х - 5| (х + 3);
•5.24. а) у = 12 - V5 - х
б) у = 2 -	“ Mi
в) у = 2 - |1 - х|;
г) у = |х + 3| -11 - х|. б)р = |х + 3| |1-х|.
в)р =	- V5 + х|;
г)у= |2-75 + Ы|-
•5.25. Найдите наименьшее значение функции:
а)	у ~ 2 + |х + 5|;	в) у = |х - 2| - |х + 5|;
б)	у= |х — 2| + |х+ 5|;	г)у=|х-2| |я+5|.
•5.26. На рисунке 1 изображен график функции у = /(х). Постройте график уравнения:
а)р = 1Лх)|; б)у = Д|х|);	в)|у| = Дх); г) |у| = Л|х|).
80
Выполните аналогичные задания для функций у ~ g(x) (рис. 2), у = й(х) (рис. 3) и у = ф(х) (рис. 4).
РИС. 1
31
•5.27. Постройте график уравнения:
а)	|х + 2у| = 4;	1) х + 2|у| = 4;
б)	|х| + 2у = 4;	г) |х[ + 2|р| = 4.
$ 6. метод математической индукции
06.1. Методом математической индукции докажите:
а)	формулу общего члена арифметической прогрессии а„ = о, + <Цп - 1);
б)	формулу суммы первых п членов арифметической про-рпв^„„ « _ (2а,+d(n-l))n.
гроссии Од ”	2	*
в)	формулу общего члена геометрической прогрессии
г)	формулу суммы первых п членов геометрической про* _ Ml-7")
грессии S, = £_ * при q # 1.
Вычислите сумму:
Ов.2. а) 7 + 8 + 9	+ (л + 6);
б)	2 + 11 + 20 + ... + (9л - 7);
в)	1,35 + 1,4 ч-1,45 +	+ (0,05л 4-1,3);
г)	0,(3) 4- 0,(5) 4- 0,(7) 4-	4- (0,(2)л 4- 0,(1)).
Ов.8. а) 1-24-3-4 + 5-6	+ л(-1)"*1;
б)-12 + 22- 32 + 42 - 52 +	+(-1)"ла;
в)	0+ 3 + 2 + 5 + 4 + 7 + 6 + ... + (л + (-1)");
г)	2 - 6 + 12 - 20 + ... + (-«"♦’(я1 + »)•
32
Докажите, что при любом натуральном значении п выполняется равенство:
06.4. а) 1 + 2 + 3+	+ п = Ц;
б)	1 + 4 + 7 +	+ (Зл - 2) =
1)	5 + 6 + 7+	+ (л + 4) =
А
г) 1,6 + 3,1 + 4,6 +	+ (1,бл + 0,1) =	^4).
06.6. а)1 + 2 + 4 + 8 +	+ 2-’ = 2« - 1;
«1 + 1 + 1+-+|в1’5-^
в)	3 - 9 + 27 - 81 + ... + (-ЗУ = ^(1" (-3)");
г)	1 + 0,1 + 0,01 +	+	0,000...01	= 1,(1) (1
л-1 нулей после запятой
0.000...01	).
л нулей после запятой
06.6. а) 1» + 22 + З2 +	+ ла= + 1g2n *
б)	Iй + 4й + 7* +	+ (Зл - 2)2 = д(6д* ~ Зд ~ Ц;
&
в)	Iй + 3й + 5й +. + (2л - 1)й =
О
г)	3й + 7й + 10й +	+ (4л - 1У = д(16д* + 12д - V.
О
06.7. а) 1а + 2й + 3й +	+ л» = д2(дг
4
6) 1’ + 3й + 5й +	+ (2л - 1)й = лй(2лй - 1).
06.8. а) —2 + г“з + g—j + — ♦ л(л + ц =
м _1_ + _J_ + +	1	=	"
0) 2 7 7 12	(5в - ЗХбл + 2)	10л + 4’
2' Мошкович. Зшчакк. 10ил., ч. 2
33
•6.9. Докажите, что
___1	.--------------1-------1_________|-	+
а (а + d) (a + d) (а + 2d) (а + 2d) (а + 3d)
+__________1------=-------"__,
(а + d(a - 1)М<* + da) а(а + da)
где а # 0, d # 0, п € N:
а)	методом математической индукции;
б)	без использования метода математической индукции.
Об. 10. Используя тождество из № 6.9, вычислите сумму: .1,1. 1 . . 1 . aJ 4 9 9 14* 14 19	144 149’
й) 1	1	1	+	+	1
°* 1,5 2,5 2,5 3,5	8,5 4,5	78,5 74,5*
06.11. Используя тождество из № 6.9, докажите неравенство:
а)	Г"2 + 2~8 + 3“4 +	+	л(л +1) < 15
б)	+ yj + yj + ... + gg*09 <
в)	Г*3 + З-5 + 5“7 +	+	(2л - 1М2п + 1) < °’5’
г> rV зЧ + А7 + + 9971090 < °*499в*
Докажите, что при любом натуральном значении п выполняется равенство:
06.12. а) 14 + 2 7 +	3 10+	+ л(3л + 1) = n(n + I)1;
6)	1	2 + 2	3 +	3 4+	+ л(ге + 1) = + 1Х” + 3;
3
в)	1	3 + 3	5+	+ (2и -	l)(2n +1) = г*4г? * 6д ~
г)	2	5 + 5	8 + 8 11 +	+ (8л - ВДЗл + 2) = л(3л2 + 6n +1).
06.13. а) 4 2 + 7 2® + 10 2s +	+ (8л + 1)2*" = л 2®"’
я. . 2	3 ,	, л _ п л + 2.
б)	2 +	+ g? +	+ у Z 2" *
в)	1 2® + 2 8® + ... + (л - 1)л2 = "°®* ~ У * 2);
12
. 1	3	3 ,	 п ЗГ2л + 3
г)	3	з® + {? + ’”+3" ” 4^	3"'* 7
34
1г , , * «<« + 1) .
00.14. aji 3	3 5	(2п - 1Х2в + 1) " 2(2n + 1)’
„	1	+	1	+ ж 1	- 1(1	1	\
б> 1 2 3 2 3 4 + + в(в+1Хв+2) " 42 G»+1X»+V
. 2—1 + 2_5 .	. « (я + 3) = в(в + 1).
3)	2 3 3 4	(в + 1Хв + 2) в + 2 *
.	1	.	2	3	_________1__________=
г> 1 3 5 357 579	(2в - 1)(2п + 1)(2в + 3)
в(п + 1)
2(2в + 1Х2в 4- 3)*
•6.15. Докажите, что для любого в € N выполняется равенство: а) 1 И + 2 21 + 3 3! +	+ в в! = (п + 1)1 - 1;
б) 21 + 3! + 41 +	+ (в + 1)! “ 1 “ (в + 1)1 <см* № 1,36>’
•6.16. Рассмотрите три утверждения, начните их доказывать в указанном порядке методом математической индукции и определите, какое из них является верным для любого натурального значения в, а какие нет:
а)	2 + 7 + 14 +	+ (пг + 2в -1) = л(2в* + 9л + 2),
О
2 + 7 + 14 + ... + (пг + 2в -1) = г*2п* + 7л О
2 + 7 + 14 + ... + (п* + 2п -1) = ”(2”г +69” *1};
б)	1 + l + J + T + - + ^rTi = 2l‘“ + 2rt’
1 + l + bf + " +^Ti = 31n + 3("-1),
1 + ! + 1 + т + “-+^1 = 21" + 2(п"1)-
•6.17. Докажите неравенство:
а)	б“ > Зп - 1, где п € N;
б)	3" > 2пг + Зв, где п е W, п > 4;
в)	2" > 5в + 1, где п е IV, п > 5;
г)	5" > Зпг + 10п, где в € N, п > 8.
2*
35
•6.18. Докажите методом математической индукции неравенство Бернулли* (1 + а)" > 1 + п а при а > -1.
Докажите, что для любого натурального л выполняется неравенство:
•в.18.а)^ + | + |+
1 . 1 . 1 . . 1 . 1 б> 5r+9f + l? + -+(toTijr< Г
•6.20. a) i + Д- +... + -,J > Jn + 1 - 1;
72 73 v л + 1
б) -L + 4= +... + -U— < 2VnTi -1.
V2 Уз Vn +1
Докажите, что для любого натурального значения л справедливо утверждение:
06.21. а) (л® + 35л) 6;
б) (л® + Зл2 + 8л) 3;
06.22. а) (7" - 1) 6;
биг®"*1 + 1)
•6.23. а) (11е"*’ + 1)
б) (7®“ - 42л )
•6.24. а) (б2" + 3"+I
6) (52"*1 + 3"
в) (л* - л) 80;
г) (2л* + Зл2 + 7л) 6.
в) (17я-1) 16;
г) (IS2"** + 1) 14.
в)(134я+2+1) 85;
rXe’^ + ll*’**) 17.
в) (52+я + 26 5я + 8г*+') 59;
г) (5Я+82Я - 125) 45.
б) (7я + 12л + 17) 18.
3;
148;
33;
+ 3я ) 11;
^2л-‘) 19;
•6.25. а) (6я + 20л + 24) 25;
•6.26. Выведите формулу л-го члена последовательности (а„), заданной рекуррентным соотношением:
.	„	(л - 1)л.
a)	at = О, ов + 1 = л„+ л; докажите, что а„= -1—2^*
„	г	(л - 1)л(2п - 1).
б)	Л| = О, а„ * 1 = ая + л ; докажите, что а„ --g------•
.	_	(Зл - 29)л.
в)	Л[ = —13, en+i = а„ + Зл; докажите, что ая = -—g—
.	_	з	(л - 1)2л8
г)	Д[ = О, ая,1= ов+ л ; докажите, что ая= -——•
* Якоб Бернулли (1654—1705) — швейцарский математик.
36
ов.27. а) Докажите» что количество разных наборов по два предмета» которые можно сделать из п различных предметов ,	п (п - 1)
(л > 2), равно ——-♦
б) Докажите, что количество разных наборов по три предмета, которые можно сделать из п различных предметов
Ъ Й\ МВ„Л " (п ~	(п~ 2>
(л s? равно-----------------•
06.28. а) Докажите, что количество разных непустых наборов, которые можно сделать из п различных предметов, равно 2е- 1.
б) Докажите, что л различных предметов можно расставить в ряд л! способами (см. № 1.36).
•6.29. Докажите, что любое натуральное число Л > 4 можно представить в виде Л = 3m + 5л, где т и п — целые числа.
06.30. Докажите методом математической индукции, что у выпуклого л-угольника (л > 3):
а) сумма внутренних углов равна 180°(л - 2);
„ л(л - 3) б) число диагоналей равно —•
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Числовые функции
ГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГ
§ 7.	Определение числовой функции и способы ее задания
7.1.	На рисунке 5 изображен шестиугольник ABCDEF, составленный из двух прямоугольников, причем АВ = 10, ВС = CD = 3, DE = 2.
PMC. 5	PMC. 6
Найдите:
а)	периметр шестиугольника ABCDEF;
б)	площадь шестиугольника ABCDEF;
в)	площадь прямоугольника AMtM2F, еслн AMt х, 0 < х < 7;
г)	площадь шестиугольника AMtM^DEF, если MiM2|| AF и АМХ = х, 7 < х < 10.
7.2.	Используя условие задания 7.1, выразите площадь S(x) части многоугольника ABCDEF., расположенной слева от прямой MiM2, как функцию от длины отрезка AMt = х.
7.3.	Выполните рисунок 5 в тетради и совместите ось Ох с прямой АВ, а ось Оу — с прямой AF. Определите координаты точек А, М|, В, С, D, Е, М2, F в полученной прямоугольной системе координат. Задайте функцию, графиком которой является:
а)	прямая DC;	в) отрезок DC;
б)	прямая FE;	г) отрезок FE.
38
7.4.	На рисунке 6 изображен сектор круга, радиус которого ра* вен 1, а центральный угол равен ф, причем ф € (0; 2л). а) Выразите площадь S этого сектора как функцию угла <р Я = Я(ф).
Постройте график функции Я = Я(ф).
б)	Вычислите значение функции Я = Я(ф) при Ф = 3*
в)	Найдите Я(2) - Я(1).
г)	Найдите Я(ф + 6) - Я(ф).
7.5.	Площадь треугольника со стороной а и высотой Л, опущенной на эту сторону, равна 20. Выразите длину стороны а, как функцию длины высоты Л и найдите область определения и множество значений этой функции.
7.6.	Перед вами известные физические формулы, связывающие несколько переменных величин. Выразите указанную величину как функцию от величины, записанной в скобках, a) s = vt, t(s);	в) v = v0 + at, a(»);
б> I = £ + r) P = W
7.7.	Выясните, при каких значениях переменных хи у линии, представленные на рисунках 7—10, задают функции вида у = f(x) или/и вида х = ф(у) (за единицу масштаба принят размер одной клетки).
			1			
						
						
						
		о				X
						
						
89
7*8* Из прямоугольного листа жести размером 30 х 50 см по углам вырезали квадраты со стороной г см и из полученной заготовки в форме «креста* согнули коробку прямоугольной формы высотой* равной х см (см* рис* 11)* Выразите объем полученной коробки как функцию от х.
7.9*	На рисунке представлен график функции, определенной на отрезке [а; &]; S(x) — площадь «псдграфика* на отрезке [а; х], а < х < Ь. Выразите величину S(x) через х и постройте график функции у = S(x). По этому графику найдите область значений функции у = S(x):
а) рис. 12 (а = 0, 5 = 2); б) рис. 13 (а = -4* b = 8).
Решите данное уравнение относительно у и относительно х. Исходя из полученных решений и допустимых значений переменных, выясните, можно ли говорить, что данное уравнение задает функцию вида у = fix) или/и вида х = Ф(У):
7.10.	а) 2х + Зу = 24; в) 7х - 5у = 35; - 2:	„1 2х + у _ _2
б> 772? ” 25	г> 7^ " 2*
•7.11. а) 2х - Зуг = -12; б) 7^
7.12. Постройте график функции:
а)	у = 2х - 3;	в) у = 0,5х + 1;
б)	У = 6 - Зх;	г) у = -2 -
40
Постройте график функции: „	8.
б)у=~;
7.13.	а) у = 2xJ;
7.14.	а) у = x1 - 4; б) У = (х - I)1;
7.15.	а) у = ж* - 6х + 8;
б)	у = -х2 + 2х + 3;
7.16.	а) у = л/х;
б)	у = 4х + 2;
07.17. а) у =7Ti;
б)	у = + %
7.18.	а) у = |х|;
б)	? = |х + 2|;
7.19.	а) у = 3 - х;
2
в)	у = -0,5х*; г) у = ~<
в) у = 2х2 + 1;
г) у = -Чх + 2)2.
в) у = х* + 4х + 7;
г) у = -2х’ - 6х + 1.
в)у = Jx - 1;
г) у = Vx + 2 - 4.
в) У = 7^1 + $
. Зх-1 г)г-ТЗГ
В) у = |х| - 3; г)у = |х- 1( + 2.
б) у = 4 —|х|.
07.20. а) Воспользовавшись тем, что
х-5 _	1 (х + 1)-6	1Г,	6 >	-3	1
2х + 2	2 х +1	27	x+lj	х +1	2’
jc__5
постройте график функции у = 2х + 2" Напишите уравнения асимптот полученной гиперболы.
+ ft	* О б ________
б)	Функцию у = jf где с # 0, — * -j называют дробно-
линейной функцией. Докажите, что графиком дробнолинейной функции является гипербола с асимптотами d а
х‘~с^‘с-
07.21. Постройте график функции и найдите область ее значений:
а)	у = 2х* - 1, х € (-2; 1];
X + 1
б)	У = —Р х е [0; +оо);
в)	у = Vx + 3 - 1, х € (-2; 1];
г)	у = 2Х2 + 2х - 1, х € [-1; 2J.
41
07.22. Постройте график функции у = f(x) и найдите область ее
определения и область ее значений;
a) f(x) =
2 - х, -3 < х < 1, х2, 1 < х < 2;
б)Дх) =
-3 < х < 1, х, 1 < х С 2.
Найдите область определения функции:
7.23. а) у - -г—р Л	X	
	В* “ х2 - х - 12*
	.	х + 2
	г) У - ж2 + * + 12’
07.24. а) у =	Ух +12. •’»- ««-г
1 - У-х2 - 7х + 8. б>’=	1.ЛТ» •	.	х - V-X2 - 7х + 8 г)“'=
7.25.	Пусть Дх) = -Зх + 2. Найдите: а)Л-х);	б)Дх+5);	»)/<«!»;
7.26.	Пусть Дх) = х2. Найдите:
а)	Д2х); б) Дх - 5); в) ДДЗ));
<1— , 2
<37.27. Пусть Дх) = y _ g • Найдите:
г) ДЯх)).
г) ЛЯ*))-
г) ДЯ*))-
б) Д2х - 1); в) ДД5));
07.28. а) Пусть Ях) = х2 + 2. Докажите, что Дх) = f(-x).
б)	Пусть Дх) = -х3 + 2х. Докажите, что Дх) = -Д-х).
в)	Пусть Дх) = Докажите, что (Дх))'1 = /Г—1
г)	Пусть Дх) = х2 + 2. Докажите, что Д|х|) = Дх), а |Дх)| = Дх).
•7.29. Найдите область определения функции, учитывая все воз* можные значения параметра а:
. Ух - а.	Ух2 - 7х +12.
•)k=VTT’ ’»=—’
с-----г-;	. ах9- 4-я? - 7х + 8
б) у = V1  а М; г) у =-- I ---------•
42
1 + 2зс
07.30. Пусть Дх) = 2 - V1 - х; б(х) = з+ х' Найдите область оп-
ределения функции:
а)	У = fix) + 8(хУ,	в) у =
6)	У'= Дх) - g(x);	г) у =
07.31. Пусть Дх) = х2 - Зх - 4; g(x) = 5х - х2. Найдите область
определения функции:
а)у= ТДх)

Jg(3i
в)у =
б) у = 7Л«) Мх);
07.32. Пусть D(f) = [-4; 1] — область определения функции у = Дх). Найдите область определения функции:
.	,,	.. .	.	7 + 4Дх),
а) у = 15х - Дх);	в) у = 4 + * ;

. х - ЗДх)
07.33. Пусть D(f) = [-5; 10]. Найдите область определения функции:
а)	у =	Д-х);	в) у = Д|-х1);
б)	у =	IД-х)|;	г) у = Д-|х|).
О7«34. Пусть Л(/) = [“2; 9], Найдите область определения функ-
а)	у =	4Дх - 1);	в) у = 4 Дх) - 1;
б)	у =	-4Дх +	11);	г)у	=	-4 Дх)	+ 11.
07.35. а) При каких значениях параметра а функция у = 3 —7х - а определена во всех точках отрезка [-11; 7]?
б)	При каких значениях параметра а функция у=3 - Vx - 3 определена во всех точках отрезка [а - 1; а + 1J?
•7.36. Найдите все значения параметра а, при которых областью определения функции у = Vx - 3 + Vox + 4 будет: а) луч;
б)	отрезок;
в)	единственное число (единственная точка);
г)	пустое множество.
43
07.37. а) Докажите, что, если число Ъ принадлежит области определения функции у = yfx* - 7х + 3 - Vx4 + 7х + 3, то и
число (-Ь) принадлежит этой области.
б) Докажите, что, если число b не принадлежит области определения функции у = Vx5 - х + 3 + зТ^” + х + 3, то и число (—й) не принадлежит этой области.
•7.38. Найдите все такие числа Ь, принадлежащие области опре-деления D(f) функции у =-----------х +	> для которых:
а)	число & + 1 не принадлежит Л(/);
б)	число Ь - 1 не принадлежит Л(Л;
в)	оба числа & + 1 и b - 1 принадлежат -0(7);
г)	отрезок [& + 1; & + 2] принадлежит Р(Л-
07.39. а) Докажите, что все значения функции у = 5х + 3 положительны в окрестности точки 0 радиуса 0,2.
б) Докажите, что в 0,5-окрестности точки -1 найдутся как положительные, так и отрицательные значения функции у = 5х + 3.
07.40. Пусть область значений функции у = Дх) есть отрезок [-3; 5]. Найдите множество значений функции:
а)	у =	в) у = (Дх))э;
б)	у = |/(х)|;	г) у = V4 + Ях).
07.41. Пусть область значений функции у = Ях) есть отрезок [-3; 5]. Найдите множество значений функции:
а)	У = f(x + 5);	в) у = б - Ях);
б)	у = 5 - Дх + 5);	г) у = а - Дх + Ь).
07.42. Пусть область значений функции у = Цх - 5) есть отрезок [-3; 5]. Найдите множество значений функции:
а)	У = f(x);	в) у = б - Ях);
б)	у = 5 - Ях + 5);	г) у = а - f(x + &).
44
•7.43. Пусть область значений функции у = Дх) есть отрезок [-3; 5]. Найдите все целочисленные значения функции:
а)	“ 5 + КхУ	“) ~	7 - КхУ
й, _ 8 + Дх).	.	Дх)
б)	if - 7 + дх)’	г) у =	t-fay
•7.44. Найдите область значений функции:
а) У = 1*1 (»-6)-2; б)у»х |х - 6| - 2.
•7.45. Выполните в указанном порядке задания а) и б), и, обобщив их результаты, предложите алгоритм нахождения множества E(f) значений функции у = Дх), исследуя вопрос существования корней уравнения Дх) =а, а также предложите алгоритм исследования существования корней уравнения Дх) = а, если известно E(f).
а)	Найдите область значений функции у = х2-4х-1и определите, при каких значениях параметра b уравнение Ъ = х2- 4х - 1 имеет хотя бы один корень.
б)	Определите, при каких значениях параметра а уравнение х2 + 4х - 3 = а имеет хотя бы один корень и найдите область значений функции у = х2 + 4х - 3.
•7.46. а) Определите, при каких значениях параметра а уравнение х2 - ах + 3 = О имеет корни, и найдите область £(/) **	х2 + 3.
значений функции у = —-—,
б) определите, при каких значениях параметра а уравнение ах2 - 4х + а - О имеет корни, и найдите область £(/)
значений функции у =	* £♦
•7.47. Найдите область значений функции у = Дх): а)Дх)=^Л	в)Дх)=^Л
6)/W=TTT;	г)Ях)=^т-
45
$ 8. Свойства функций
8.1, Найдите область определения функции, заданной графи
Найдите область определения функции:
О „ V	X + 1 +	ч	X2 - 1 .
8-2-а)у=^т^;
X	~ 1
б) У = х(х + 5) + б;	Г> у = (X - 10)х - 24'
8.3. а) у =	*) У ~	_ ж»
I х -12	I х+ 11
б> у ~ Ух? - 16х + 48’ г) у - Vх2 + 14х+33*
08.4. а) у =
х > 1» X
х*, х < 1;
46
r)ff =
6r
x + 7* 18
2 - x’
x < -1,
X > -1.
в) x < 100;
r) x = 100.
в) x < 1 и x > 2;
г) 0 < |x - 2| < 5.
Придумайте выражение, задающее функцию, определенную только при всех тех значениях х, для которых выполнено условие:
с8.5. а) х * 100; б) 100 < х < 101;
о8.6. а) х # 1 и х * 10;
б) 0 < (х| < 1;
Найдите область значений функции, заданной графически:
8.7.	а) рис. 14; б) рис. 15;
8.8.	а) рис. 18; б) рис. 19;
в) рис. 16;	г) рис. 17.
в) рис. 20;	г) рис. 21.
Рис. 20
47
Найдите область значений функции:
8.9.	а) у = 1 - 2х;
б)	у = 1 - 2х®;
в)	у = Зх2 - 12х + 1;
г)	у = -Зх2 - 12х + 1, х € [-6, 1).
08.10. а) у = 1 -
л?-1» 6>^=7ТТ
08.11. а) у = 4х + 5; б) у = 1 - 2л/зТх;
08.12. а) у = 2 +
б) У = х® + 2х - 77?
В) У = 7 - 12;
г)*=12гН‘
в) у = 2 - Vx + 3;
г) у = -1 + 2V-5 - Юх.
*)>=
г)» = - 21 + JTTir
•8.13. Найдите область значений функции у = Дх), если: а)я*>=1!1+1Н1+тЧ!+1Н1!
б) Ях) =
|х| |х -1| t |х - 2| |х - 3| х	х - 1 х - 2	х - 3 ’
Найдите все значения параметра а, при которых уравне-
ние имеет решение: 08.14. а) х® + 3 = а;
1
б> 2^ = а;
08.15. а) х® + 5х + 3 = а;
•8.16. а) х + |х + 2| - 2 = а;
в) х® - 36 = -а;
г>тЬ = 1-®-
б) 2х® + 5х - 3 = 7 - а.
б) 5х + |х - 7| - 2 = За.
8.17. Используя условия заданий 8.7 и 8.8, определите промежутки монотонности функций, заданных графически.
08.18. Найдите промежутки монотонности функции:
а)	у = 2х® - Зх + 4;	в) у = 5х® + 6х - 11;
б)	у = VI - х;	г) у = V3 + 5х.
48
08.19. Докажите:
а)	если функция у = f(x) возрастает на промежутке X и а > О, то при любом значении b функция у = а Дх) + Ъ возрастает на X;
б)	если функция у = Дх) убывает на промежутке X и а < О, то при любом значении Ь функция у = а Дх) + Ь возрастает на X;
в)	если функция у = f (х) убывает на промежутке X и а > О, то при любом значении Ь функция у = а Дх) + b убывает наХ;
г)	если функция у = f (х) возрастает на промежутке X и а < 0, то при любом значении Ь функция у = а Дх) + b убывает на X.
08.20. Докажите:
а)	если каждая из двух функций возрастает на промежутке X, то их сумма также возрастает на этом промежутке;
б)	если каждая из двух функций убывает на промежутке X, то их сумма также убывает на этом промежутке.
08.21. Определите промежутки монотонности функции:
а)	у = 4 - 3Vx - 5;	в) у = -3 + 5^2 - х;
б)	у = Vx + 1 + 72х - 3; г) у = V1 - х + >/з - 4х.
08.22. а) Пусть функция у = Дх) возрастает и принимает только положительные значения на промежутке X. Докажите, что функция у = (Дх))3 возрастает на промежутке X.
б)	Пусть функция у = Дх) убывает и принимает только положительные значения на промежутке X. Докажите, что функция у = (Дх))3 убывает на промежутке X.
в)	Пусть функция у = Дх) возрастает и принимает только отрицательные значения на промежутке X. Докажите, что функция у = (Дх))2 убывает на промежутке X.
г)	Пусть функция у = Дх) убывает и принимает только отрицательные значения на промежутке X. Докажите, что функция у = (Дх))2 возрастает на промежутке X.
Найдите промежутки монотонности функции:
08.23. а) у = (х2 + I)3; б) у = х* + бх2 + 15;
08.24. а) у = (х2 - I)2;
б)	у = (х2 - 9)2 + б;
в)	у = (х2 - Зх + 10)®;
г)	у = (х2 + 2)2 - 2Х2 - 3.
в) у = (х2 - Зх - 10)®;
г) у = (х2 - х - 20)* - 18.
49
8.25. На рисунке изображен график функции у = Дх). Найдите промежутки монотонности функции у = (Дх))2: а) рис. 22; б) рис. 23; в) рис. 24; г) рис. 25.
				к			
							
							
							
			0				
							
							
							
08.26. а) Пусть функция у = f(x) возрастает на X и принимает на X только положительные значения. Докажите, что функ-ция у - уф убывает на X.
б)	Пусть функции у = Дх) возрастает на X и принимает на X только отрицательные значения. Докажите, что функ-
1	V
ция у = уф возрастает на X.
в)	Пусть функция у = Дх) убывает на X и принимает на X только положительные значения. Докажите, что функция
1 v у = уф возрастает на X.
г)	Пусть функция у - Дх) убывает на X и принимает на X только отрицательные значения. Докажите, что функция
У = уф убывает на X.
50
08.27. Найдите промежутки монотонности функции:
а)у=?Ъ;	в)у=7^Т;
~ х2 + бх + 10*	т) У - х2 - 4х - 12
08.28. На рисунке изображен график функции у = Дх). Найдите промежутки монотонности функции у =
08.29. Пусть функция у = Дх) возрастает на Я. Решите: а) уравнение ДЗх + 2) = Д4Х2 + х);
б)	неравенство ДЗх + 2) < Д4х* + х);
в)	уравнение ДЗх - 48) = Д-х1 + х);
г)	неравенство ДЗх - 48) < Д-х2 + х).
51
08.30. Пусть функция у = Дх) убывает на Л. Решите:
«) иявненяе
» неравенство /(tf Д,_т) > ^Л-б}
•8.31. Пусть функция у = Дх) определена на интервале (-1; 1) и возрастает на нем. Решите: а) уравнение ДЗх + 2) = Д4х* + х);
б) неравенство ДЗх + 2) < Д4х* + х).
•8.32. Пусть функция у = Дх) определена на отрезке [-1; 1] и убывает на нем. Решите: а) уравнение ДЗх + 2) = Д4х* + х);
б)	неравенство ДЗх + 2) < Д4х* + х).
08.33. Докажите:
а)	если функция у = Дх) возрастает или убывает на промежутке X, то уравнение Дх) = а не может иметь более одного корня на X;
б)	если функция у - Дх) возрастает на промежутке X, а функция у = g(x) убывает на промежутке X, то уравнение Дх) = g(x) не может иметь более одного корня на X.
Решите уравнение:
08.34. a) Xs = 2 - х;	в) Vx +1 = 5 - х;
б) X® = 10 - х;
г) Зх 710 - х.
•8.35. а) 7х + 7х - 5 = 23 - 2х;
б) 7TI =
в)	7х + 7х - 3 = 43 - 6х - хг;
г)	(х2 + 4х + 9yj4x + 1 = 9.
8.36. Для функций, графики которых изображены на рисунках к упражнениям 8.7,8.8, найдите экстремумы, а также наибольшие и наименьшие значения.
8.37. а) Докажите, что функции, графики которых изображены на рисунках к упражнениям 8.7, 8.8, ограничены в области их определения.
б) Докажите: если функция имеет наибольшее и наименьшее значение на множестве М, то она ограничена на этом множестве.
62
08.38. Убедитесь, что функция, график которой изображен на заданном рисунке, не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; задайте эту функцию аналитически:
8.39. а) Приведите пример функции, определенной во всех точках отрезка [а, Ь], ограниченной на этом отрезке, но не имеющей ни наибольшего, ни наименьшего значений на отрезке [а, &].
б) Приведите пример функции, определенной и ограниченной на Я, но не имеющей ни наибольшего, ни наименьшего значений на Я.
08.40. Докажите: если функция у = /(х) имеет наибольшее и наименьшее значения на отрезке [а, &], а отрезок [аь bj является частью отрезка [а, Ь], то:
а) уИ1иЛ на [в, 6] не меньше у^ на [aIf &J;
а) на [а, &] не больше уК1иш на [а,, Ь,].
08.41. Докажите: если функция у = / (х) имеет наибольшее и наименьшее значения на отрезке [о, fr], причем {Л—« =	. то
функция является постоянной на отрезке [о, Ь].
08.42. Докажите, что если у = х + р то:
а)	при х < 0 уаил = -2; б) при х > О = 2.
08.43. Найдите наибольшее и/или наименьшее значение функции у = Зх2 - 24х - 100:
а)	на отрезке [-1; 5];	в) на луче [0; -ню);
б)	на луче (-оо; О];	г) на R.
S3
08.44. Найдите наибольшее и/или наименьшее значение функции у = —2х! — 12л + 3:
а)	на отрезке [-1; 3);	в) на луче [-4; +оо);
б)	на луче (-оо; -4];	г) на R.
08.46. Найдите наибольшее значение функции: 2	2
•>!'- х1 - 4х + !0’
2	2
х* + 8x® + 1*	г) У ~ х* _ 8jr2 + 17’
•8.46. Используя результаты упражнения 8.42, найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
а)!,= 77Т
4х - 4 #	49(х - 2)
б) У -	_ 2х + 17’	г) У “ хг - 4х + 53’
•8.47. Найдите наименьшее значение функции:
а)	У = |х| + |х - 2|;
б)	у = |х - 1| + |х - 3| + [х - 5|;
в)	у = |х| + |х - 2| + |х - 4|;
г)	У = Ы + ~ 1|+ + |ж - л|, n € N.
08.48. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции для каждого значения параметра а: а) у = хг + 4х + 5а на отрезке [-1; 1];
б)	у = -я? + 4х - а на отрезке [-1; 3].
•8.49. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции для каждого значения параметра а: а) у = х2 - 4х на отрезке [-1; а];
б) у = -х2 + 2х - 3 на отрезке [а; 3].
-л , л	15Х2 + 60
•8.50. а) Функция у = 	определена только для допу-
стимых целых значений х; найдите ее наибольшее значение.
14х* + 126
б) Функция у = si _ х4 определена только для допустимых целых значений х; найдите ее наименьшее значение.
54
•8.51. Докажите теорему: если функции у = Дх), у = g(x) определены на множестве X к наибольшее значение одной из этих
функций на X, равное А, совпадает с наименьшим значе-
нием другой функции на том же множестве, то уравнение
f(x) = в(ж) равносильно на X системе уравнений
/(*) = А, g(4f) = А.
•8.52. Опираясь на теорему из упражнения 8.51, решите уравнение:
a)	Vx100 + 49 = 7 - х4;
б)	Vx2 - 2х + 5 = 1 + 2х - х2;
в)	Vx22 + 64 = 8 - х12 Xм;
г)	- 4х - 1 = х2 + 4х + 7.
$ 9. Периодические функции
9.1.	Функция у = f(x) — периодическая, с периодом Т = 2. Известно, что ДО). Вычислите: а) №);
б)	/(-22);
в)	Д12Л + 8), где k — некоторое целое число;
г)	Д4 - 8fe), где k — некоторое целое число.
9.2.	Функция у = Дх) — периодическая, с периодом Т =
Известно, что Д1) = 1, /(—1) = 7. Вычислите:
а) /(1 + 8J5); б) К-1 - 22^5).
9.3.	Может ли областью определения периодической функции быть:
а)	отрезок;	в) луч;
б)	интервал;	г) множество целых чисел?
9.4.	На рисунке изображена часть графика периодической функции с периодом Т на промежутке I. Постройте график згой функции на промежутке If.
а)	(рис. 32) Т = 2,1 = [-1; 2]; Д= [-4; 8];
б)	(рис. 33) Т = 3,I = [1; 4); h = [-3; 10,5);
в)	(рис. 34) Г = 4,1 = (-3; 1]; I, = (-5; 11];
г)	(рис. 35) Т = 1,5; I « (О; 1,5); 7, = (-8; 6).
55
09.5. Пусть у = Дх) — периодическая функция с периодом 3, определенная для всех действительных значений х, причем ДЗ) = 7, Д4) = 11, Д17) = 13 и Д0,1) = О. Вычислите: а) Д141); Д-134); Д332) Д-8,9);
б) Д17,3) - Д20,3); Д32,(3)) - Д332,(3)); Д0,(1)) - Д-2,(8)); в) ДЮ); Д100); Д111111);
г) Д13,1) Д14.1) ft 15,1) /(16,1);
Д8888...88) Д22222...22). п цпфр	В
09.6. Пусть у = Дх) — периодическая функция с периодом 4, определенная для всех действительных значений х, причем ДЗ) = 5; Д4) = 11; Д5) = 9 и Д6) = 0. Сравните: а) Д1) и Д31);	в) Д-17) и Д831);
б) Д11) и ДНО);	г) /(6 + ^3) и /(^3 - б).
58
09.7. Является ли функция у = Дх) периодической: х2 -9 о
a)	f(x) = 2;	в) Дл) = х - %
б)	Дх) =	г)Дл) = тт4 + ^?
1 ~ *	1 + X
09.8. Докажите:
а)	если 8 — период функции у = Дх), то б — также период данной функции;
б)	если 9 — период функции у = Дл), то 9 — период функции у = 5Дх + 2) - 1;
в)	если 2 — период функции у = f(x), то 8 — также период данной функции;
г)	если 5 — период функции у = Дл), то 5 — период функции у = -ЗД2 - л) + 25.
09.9. Докажите:
а)	если 8 — период функции у = Дл), то б — период функции у = 5Д0,5л + 2) - 1;
б)	если 9 — период функции у - Дх), то 3 — период функции у = 8 - 1,4ДЗл - 7);
в)	если 2 — период функции у = Дл), то 3 — период функции у =100/^;111 + 7;
г)	если 5 — период функции у = Дл), то 1 — период функции у = 81 - ЗД0,7 - 5х).
09.10. Докажите, что если период функции у = Дл) равен Т, то а) период функции у = k f(x + а) + 6 (А * 0) равен Г;
Т
б)	период функции у = kf{px + о) + b (рА * О) равен
09.11. Пусть период функции у = Дх) равен 7\, а период функции У = равен Тг. Докажите, что период функции у = А(х) равен Т3:
a)	Tt = 2,Тг= 7, Л(х) = 5Дх) - 3g(x), Тл = 14;
б)	Tt = 15, Т2 = 10, Л(л) = 8Дх) + 5«(л), Т» = 30;
в)	Л = 3, Т2 = 13, Л(л) = 0,2Дл - 8) - g(x + 11), Г, = 26; /То
г)	Т, = Тг = Л(л) = 5Дх) - 8 й*), Тз = рр-
09.12. Пусть для любого х из области определения функции у = f(x) выполняется равенство Дх - 0,1) = Дх + 0,1) = Дх). Докажите, что тогда для любого х из области определения функции выполняется равенство Дх - 2) = = Дх + 2) = Дх).
67
09.13. Пусть для любого X из области определения функции у Дх) выполняются равенства Дх 3) = Дх + 3) = Дх) и Дх - 5) = Дх + 5) Дх). Докажите, что для любого х из области определения функции выполняется равенство Дх - 2) = Дх + 2) = Дх).
9.14. Пусть [х] — целая часть действительного числа х, а {х} — дробная часть этого числа (напомним, что, согласно определению, [х] € Z, х < [х] < х + 1, {х} = х - [х]).
а)	Найдите целую и дробную часть числа: 6; -3; 5,3; -5,3; 35. 35. 535. 535 53’ 53’ 353’ 853’
6)	Найдите целую и дробную часть числа: л/1Т; -Jii - 2; 3 - Л1; я; 0,(4); -2,(3); -7,(1).
09.15. а) Докажите, что для любого значения х выполняются равенства [х + 1] = [х] + 1, [х - 1] = [х].
6)	Докажите, что для любого значения х выполняются равенства {х + 1} = {х} = {х - 1).
в)	Докажите, что функция у - [х] не является периодической.
г)	Докажите, что функция у = {х} является периодической с периодом 1.
09.16. Докажите, что 1 — наименьший период функции у = {х}.
Постройте график функции и определите, является ли функция периодической:
•9.17. а) у = [х];	в) У = [2х];
б) у = [X - 2,5];	г) У = [И].
•9.18. а) у = |[х]|;	в) у = W + М;
б) У = х + [х];	г) У = [{*}]•
•9.19. а) у = {х};	в) у = {2х};
б) у = {х - 2,5}; •9.20. а) у = |{х}|; б) у = х + {х};	г) У = {|*1}. в) у = х - {х}; г) У = {[*]}•
Найдите основной период функции:
09.21. а) у = {х + 2); у = (х - 8,7); у = 2{х + 1,1} - 14; р= 13 - 5{х - 0,(8)};
58
б) у = {2х}; у = 3{2х - 2,5}; у = {2х - 2,5};
у = 4 - 0,5{2х - 2,5};
в) у = {0,5х}; у = 3{0,5х}; у = 7{0,5х} + 6; у = 9 - 1,1{0,5х};
х Г3х1. ГЗх + 21. ГЗх ft „1 ГЗх + 2 „1 г)у=шу= I-гту=к+М: у= \ г
•9.22. а) у = {х - 3,7} + 3{2х - 2,5}; у =	+ 0,3} + 5{х _ ц};
б) у = {2х} + {Зх - 2,5}; у = 4 - {12х - 2,5} + {18х};
в) у = {О,3х} + 5{0,25х); у = 7{0,15х} + 1,1{0,25х};
..	/8*1 Г5х + 21. Гй 10x1 . о Г15х + 21
->НтН—b	16-'1Г/ 3 ГйН-
•9.23. Постройте график функции: а) У = ({*})*!	в) у = >/{х};
1 .	,	{х}-1
б)’=ы;	г”=1?ад'
Выясните, может ли функция быть периодической, если она обладает указанным свойством; если может, то приведите пример, если не может, — объясните почему:
00.24. а) Областью определения функции является отрезок или луч;
б)	областью определения функции является объединение бесконечного множества отрезков, но не прямая;
в)	функция определена на всей числовой прямой, кроме одной точки;
г)	функция определена на всей числовой прямой, кроме бесконечного числа точек.
09.26. а) Функция имеет шесть нулей;
б)	функция не имеет нулей;
в)	функция положительна при х > 3 и отрицательна при х < 3;
г)	при х > 3 функция принимает положительные значения.
09.26* а) Функция убывает на всей области своего определения;
б)	функция имеет бесконечно много промежутков убывания;
в)	функция имеет наименьшее значение, но не имеет наибольшего;
г)	функция убывает на интервале (3; 11).
59
Постройте график данной периодической функции у = Дх) и укажите область ее определения, область значений, промежутки монотонности, точки экстремума, наибольшее и наименьшее значения, нули функции, промежутки знако-постоянства; исследуйте функцию на четность-нечетность:
09.27. а) Период функции равен 2 и Дх) = Зх на промежутке (-1; 1]; б) период функции равен 4 и Дх) = 4 - Xs на отрезке [-2; 2);
в) период функции равен 3 и Дх) = 2 - х на промежутке [0; 3); г) период функции равен 1 и Дх) = 2xs - 1 на промежутке (0; 1).
09.28. а) Период функции равен 2 и Дх) = |х| на отрезке [-1; 1]; б) период функции равен 4 и Дх) - 3 Vx + 2 на промежутке [-2; 2);
в) период функции равен 3 и Дх) = 3 -12 - х| на промежутке [0:3);	______
г) период функции равен 1 и Дх) = 3 - V4 - Зх на промежутке (0; 1).
00.29. а) Период функции равен 2 и Дх) = —на промежутке X + л
(-1; 1];
б)	период функции равен 4 и Дх) = — на промежутке (-2; 2];
х
в)	период функции равен 3 и Дх) = —на промежутке X т 2
[0; 3);
]х|
г)	период функции равен 5 и Дх) = |ж| _ j на промежутке [-2; 3).
09.30. Наибольшее значение периодической функции с периодом 3 на отрезке [-1; 2] равно 5, а наименьшее значение равно -2. Найдите, если это возможно:
а)	наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке (-2; 11];
б)	наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке (-5; 8];
в)	наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке (-2; 1];
г)	наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке (—оо;1).
60
09.31. Пусть у = f(x) — периодическая функция с периодом 2 и Дх) = 5х + 2 на интервале (0; 4). Решите:
а)	уравнение Дх) = 7; б) неравенство Дх) > 7.
•9.32. Пусть у = Дх) — периодическая функция с периодом 5 и Дх) = х2 + 2х на полуинтервале (-3; 2]. Решите: а) уравнение Дх) = 0;	в) уравнение Дх) = 8;
б)	неравенство Дх) > 3;	г) неравенство Дх) < О.
•9.33. Пусть у = Дх) — периодическая функция с периодом 4 и Дх) = х2 + 8х + 5 на отрезке [-6; -2]. Решите: а) уравнение Дх) = -11;	в) уравнение Дх) = -10;
б) неравенство Дх) < 11;	г) неравенство Дх) > -10.
•9.34. а) Существует ли такая функция у = Дх), что для любого х из области ее определения выполняется равенство f(x) = Дх ч- 2), а функция не является периодической? Если существует, приведите пример такой функции.
б) Существует ли такая функция у = Дх), что для любого х из области ее определения выполняется равенство Дх) = Дх - 3), а функция не является периодической? Если существует, приведите пример такой функции.
•9.35. а) Существует ли такая функция у = Дх), что для любого х из области ее определения выполняется равенство Д2х) = Дх), а функция является периодической? Если существует, приведите пример такой функции.
б) Существует ли такая функция у = Дх), что для любого х из области ее определения выполняется неравенство Д2х) > Дх), а функция является периодической? Если существует, приведите пример такой функции.
§ 10.	обратная функция
X®
10.1.	Дано равенство у = ^2 + Выразите из этого равенства х через у, если:
а) х > О; б) х < О; в) х > 2; г) х < -0,21. в*’
10.2.	Дано равенство р = т—> связывающее три величины:
р, a, t.
а)	Выразите из этого равенства з через р и t;
б)	выразите из этого равенства t через в и р.
61
10.3. Для функции, заданной графически, укажите область определения и выясните, имеет эта функция в своей области определения обратную функцию или нет: в случае положительного ответа постройте эскиз графика обратной
Рис. 38	Hie. 39
10.4.	Для функции, заданной табличным способом, укажите ее область определения и выясните, имеет эта функция в своей области определения обратную функцию или нет; в случае положительного ответа постройте график обратной функции;
а)	X	1	2	5	7	в)	X	1	2	3	7
	У	3	4	7	3		У	5	8	9	1
X	1 3	1 8	5	7
У	1 5	2 3	0,(6)	1,(4)
X	-1	1	2	5
У	4	1,(7)	сч| со 1—1	1
62
10.5.	Найдите область определения и множество значений функции у = g(x), обратной для функции у = f(x), если: a) D(f) = R, E(f) = (3; -ню );
б)	D(f) = (2; 3) - [5; 6), E(f) = (3; 4) - (7; -ко);
в)	W) = [-5; 6),£(Л = (-оо; П];
г)	D(f) = E(f) = {-3; 4; 7} - (10; +oo).
10.6.	Найдите множество значений каждой из взаимно-обратных функций у = Дх) и у = g(x), если указаны их области определения:
a)	D(f) = R, D(g) = [-2; -ко);
б)	D(f) = [-3; 4], D(g) = [4; 11];
в)	ЖЛ = (0; +оо), D(g) = (-оо; 7 );
г)	D(f) = {-1; 2; 4), D(g) = {-2; 78; 123}.
О10.7. Являются ли функции у = Дх) и у = g(x) взаимно-обратными, если:
а)	Дх) = Зх + 5, g(x) = |х -О о
б)	Дх)= f-бх, Мх)= 0.1-ix; □	о
в)	Дх) = |х - 3, £(х) = 7х + 3;
г)	Дх) = Jx + f, g(r) = |х + |? о (	го
Найдите функцию, обратную данной. Постройте на одном чертеже графики этих взаимно-обратных функций:
10.8. а) у = Зх; б) у = 5х + 2;	в) у = X - 7; г) У = Iх “ 4-О
О10.9. а)у= х + 7 , б”- й-5'	. 2 . в) у =	. » ' * х + 4 .	2х - 1 г>’= ж+8-
О10.10. Является ли данная функция обратной по отношению к самой себе: а)р = х;	в)р = -х;
б) у = Зх;	г) у = —х + 1?
63
010.11. Совпадает ли данная функция со своей обратной:
а) У =	») У = ~|;
010.12. Задайте функцию, обратную данной; постройте ее график:
(2х, если х < О, а) у = 1
(Зх, если х > 0;
Г-5х - 3, если х < -1, б) у = {
(-1 - Зх, если х > -1;
_ [-х, если х < О, 8) [Зх, если х > 0;
2х + 1, если х < 2,
Г^" -х + 4, если х > 2.
12
010,13. Задайте функцию, обратную данной; постройте графики заданной и обратной функций:
а)	у = 7х + 3;	в) у = V2x - 1;
б)	у = -72 - х;	г) у = -73 - 5х.
010.14. Может ли функция иметь обратную, если она: а) линейная;	в) дробно-линейная;
б)	квадратичная;	г) вида у = 7х + а?
010.15. Обязательно ли функция имеет обратную, если она:
а)	линейная;	в) вида у = 7х + а;
б)	дробно-линейная;	г) вида у = х3 + а?
010.16. Может ли функция иметь обратную, если она: а) четная;	в) периодическая;
б)	нечетная;	г) непериодическая?
010.17. Может ли функция иметь обратную, если она:
а)	возрастающая;	в) имеет три нуля;
б)	убывающая;	г) не имеет нулей?
64
10.18. Рассмотрите график функции, представленный на рисунке, и укажите несколько числовых промежутков, на которых данная функция имеет обратную, и несколько, —
Рис. 42
РЖ. 43
Рассмотрите данную функцию на каждом из указанных промежутков; если она на этом промежутке имеет обратную функцию, то задайте обратную функцию аналитически, укажите ее область определения и область значений, постройте ее график:
010.19. у = ж*: а) на Л; б) на [1; +оо);
010.20. у = я? - 2: а) на Л; б) на [1; 2);
010.21. у = (ж + З)2 - 2: а) на Л;
б) на [-3; +<ю);
в) на (-1; 5]; г) на (-оо; 0J.
в) на (-1; 5];
г) на [-2; 0].
в) на (-оо; -3];
г) на [-4; 4].
3 - Мордкович. Задачник, 10 кв., ч. 2
66
010.22. (См. задание на с. 65.) у « х2 - 4х + 18:
а)	на R;	в) на (-оо; 0];
б)	на [2; +оо);	г) на [-оо; 3).
•10.23. На каждом из указанных промежутков найдите, если это возможно, функцию, обратную данной:
(2х - 5, если х < 1,
а) у = < л	. на (-оо; 11, на (1; +оо), на X;
(х - 6, если х > 1
{5-х. если х С 2.
7 - 2х. «ли х > 2 “	21 “ (2;	“ *
(8х ч- 5, если х < О,
В) У = { « „„„ „	- На (-оо; 0], на (0 +оо), на X;
I х g если х и
на (-оо; 0], на (0; +со), на X.
•10.24. Постройте на одном чертеже какие-нибудь графики двух взаимно-обратных непрерывных на (-5; 10) функций У ~ Дх) и у = g(x)t для которых: а) Д8) = 3, £(5) = 5;
б)Д8) = 7, Д7) = 8,£(9) = 9;
в)	Л-D = -1, £(3) = 3;
г)	Д1) = 9, Д2) = 7, £(4) = 4.
•10.25. у — Дх) и у = £(х) — взаимно-обратные функции.
а) Л8) = 5 и g(7) = 1. Решите уравнения Дх) = 7 и g(x) = 3. б) /(4) = 4 и £(25) = 9. Решите уравнения Дх2) = 25 и £(**) = 4.
в)	Д15) = -3 и £(-7) = 1. Решите уравнения ЛО = -7 и £(*) = 15.
г)	/(7) = 5 и £(7) = 1. Решите уравнения ДЗх) = 7 и £(5 - х) = 5.
Постройте график функции у — ftgtx)), если:
010.26. а) Дх) = 4х, £(х) = 0,25х;
б)	flx) = х - 3, £(х) = х + 3;
в)	Дх) = -2х, £(х) = -05х;
г)	Дх) = -5х + 5 , £(х) = -0,2х - 1.
66
в) Дх) = х2, g(x) = -Vx;
г) Дх) = -х2. Лх) = -7-х
010.27. а) Дх) = p f(x) =
в) Ях) = 77i> Лх) = — •
в) Ях) = г(х) = £;
. „ к Х-1 _ . Х + 1 г) Я*) - ГГГ *ж>ж ТТГ
010.28. a) f(x) = х2, g(x) = л/х;
б) Дх) = -х®, *(х) = яГх;
010.29. а) Дх) = х* + 1, g(x) = Vx - 1;
б) Дх) = 3 - 0,5х®, Лх) = V6 - 2х;
в) Дх) = х® - 2, Мх) = я/х+ 2;
г) Дх) = 8 - 2х2, g(x) = ->/4 - 0,5х.
•10.30. Пусть у = Дх) и у = g(x) — взаимно-обратные функции. Постройте на двух различных чертежах графики функций у = и у = £(Дх)), если:
a)	D(f) = E(f) = R;	в) D(f) = [1; 3]; E(f) = R;
б)	D(f) = E(f) = (0; 3];	г) D(f) = [-2; 3]; E(f) = [-3; 2].
•10.31. Постройте на одном чертеже графики таких двух взаимно-обратных функций у = Дх) и у = g(x), чтобы уравнение Дх) = х:
а)	имело один корень;
б)	имело три корня;
в)	имело бесконечно много корней;
г)	не имело корней.
•10.32. Постройте на одном чертеже графики таких двух взаимно-обратных функций у = Дх) и у = я(х), чтобы уравнение Дх) = g(x):
а)	имело один корень;
б)	имело три корня;
в)	имело бесконечно много корней;
г)	не имело корней.
8*
67
•10.33. Пусть у = Дх) и у = g(x) — некоторые взаимно-обратные функции. Являются ли равносильными следующие урав*
нения: а) Дх) = х и g(x) = х;	б) ДЛх)) = х и у(Кх)) = х?
Постройте график функции и определите, существует ли для нее обратная функция. Если да, то на том же чертеже постройте график обратной функции и задайте ее аналитически:
•1034. а) у = 3х + |х|; б) у = х + 2|х|; •10.35. а) у = х|х|;	в) у = 2| х| - 5х; г) у = 2х - 5|х|. в) У = 2 - х|х|;
б) у = х“ + 2|х|;	г) у = х|х - 2|.
i I I I 1 I 1 1 I I I I I I I 1 I 1 I I I I 1 1 I
глава чХг Тригонометрические j функции
Г । i i i 1 i । t । । । । i 1 1 i i i i i 11 гг ---------ГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГ
$ 11. Числовая окружность
Горизонтальный диаметр СА и вертикальный диаметр DB разбивают единичную окружность на четыре четверти: АВ — первая, ВС — вторая, CD — третья, DA — четвертая (рис. 44).
11.1.	Вторая четверть разделена на две равные части точкой М, а третья — на три равные части точками К и Р. Найдите длину дуги:
а)	AM; б) ВК; в) PM; г) РК.
11.2	. Первая четверть разделена на две равные части точкой М, а четвертая — на три равные части точками К и Р. Найдите длину дуги:
a) DM; б) ВК; в) РМ; г) PC.
11.3	. Третья четверть разделена точкой М в отношении 2 : 3, первая — точкой Р в отношении 1:5. Найдите длину дуги: а) СМ; б) АР; в) РМ; г) МР.
11.4	. Можно ли найти на единичной окружности точку В с указанной ниже длиной дуги АЕ? Если да, то укажите четверть, в которой расположена точка Е;
&)АЕ = 2;	в)АЕ = 6,3;
б)	АЕ = л/8я;	г) АЕ = 'г +
11.5. а) К радиусам ОА и ОС проведены серединные перпендикуляры, соответственно, MN и PQ (рис. 44). Чему равен центральный угол АОМ? Найдите длину хорды MN. Найдите длину дуги QN. ^кажкп, что точки А, М, Р, С, Q, N делят окружность на шесть равных частей.
б) К радиусам ОВ и OD проведены серединные перпендикуляры LK и TS, соответственно (рис. 45). Чему равен центральный угол КОВ? Найдите длину хорды KL. Найдите длину дуги TL. Докажите, что точки К, В, L, Т, D, S делят окружность на шесть равных частей.
<Ю
Найдите на числовой окружности точку, которая соответ* ствуег заданному числу:
11.6. a)	б) -я;	в) 4я;	. Зя Г>Т
		7я,	v Зк
11.7. a) О	б> "Г	в>т;	Г) “Г
Л . 10k*	_ 17я	31я	% 19л
11<8« а)	б) :	•>Т’	г)—•
	- я	< 7я.	Ия
11.9. a)		в> 12’	Г)_Т
11.10. а) 1;	в) -2;	в) 3,5;	г)-7.
Какой четверти числовой окружности принадлежит точка, соответствующая заданному числу?
011.11. а) 6;	б) -4,5;	в) 3,3;	г) -5.
011.12. а) 10;	б)-17;	в) 31;	г)-95.
011.13. Укажите однозначное натуральное число, которому на числовой окружности (рис. 44) соответствует точка, наиболее близкая:
а)	к точке А;	в) к точке С;
б)	к точке В;	г) к точке D,
70
11.14. Как расположены на числовой прямой и на числовой окружности точки, соответствующие числам:
a) t и -t;	в) t и t + я;
б) t и t + 2itk, k € Z;	г) t + л и t - я?
Найдите на числовой окружности все точки M(t), соответствующие заданной формуле (во всех формулах предполагается, что в € Z):
11.15. a) t = 2яв; б) t = g + ян;	в) t = яп; г) t = ±х + 2яп. л
11.16. a) t = ±7 + 2пв; О	в) t =	+ яп; 0
6)i=M о	ч * ЯЛ Г)<=Т’
11.17. a) t = (-1)" | + ян;	в) t =	+ яп;
б) t = - + —; f	4	2	. . я . 2хп г) t = —- + —-• '	6	3
Числовая окружность разделена точками на восемь равных частей (рис. 46). Составьте формулу для всех чисел, которым соответствуют точки:
71
Числовая окружность разделена точками на 12 равных частей (рис. 47). Составьте формулу для всех чисел, которым соответствуют точки:
011.20. а) М и К; б) Р и Е‘, в) Р и L; г) М и F.
011.21. а) А, Р, Li	в) F, М, Q, К;
б)	В, К, Fi	г) A, N, Р, С, L, Е.
Найдите все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие указанной открытой дуге или объединению дуг (рис. 46):
011.22. а) АВ; б) АВ и СР; в) ВР; г) ВС и РА
011.23. a) MN-, 6)NM; в) ВР; г) РВ.
011.24. a) QA и NC-, в) MN о PQ;
5)ANuCQ; г)АМи BNuCPuDQ.
Найдите все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие указанной дуге (рис. 47):
O11.2S. a) MPi	6)AQ;	в) BL;	г) DR
011.26. a) EN-,	б) QM;	в) 1£А;	г) KR
Выделите на числовой окружности дугу, точки которой удовлетворяют заданному неравенству (во всех формулах предполагается, что в € Z):
11.27.	а) т + 2яв < t < — + 2яв; в) — + 2яв < t < — + 2ял;
6	3	2	2
б)	2яв < t <	+ 2яв;	г) я + 2яв < t < ^ + 2яв.
11.28.	а) ~ + 2яп < t < + Зяп: А	А
б)	+ 2жв < t < — + 2ял;
’ 6	б
в)	+ 2яв < t < 2S + 2яв;
7	4	3
г)	+ 2яв < * < — + 2яв.
7 6	4
Найдите на числовой окружности все точки Af(t), соответствующие заданным формулам; составьте общую формулу для всех чисел, которым соответствуют найденные точки:
011.29. a) i = 2яв, t = я + 2яв; в) t = “ + 2пв, t = v + 2яв;
А	А
б) t = ял, t =	+ яв; г) ( = ял, t =
72
011.30. a) t = ± J + яв, t =
6) t = (-1)’^ + ЯВ, t = (-1)"*1J + nn;
v , 2л
в) t = ±-^- + 2яв, t = 2кп;
r) t = (-1)"^ + яв, t =	+ яв.
•11.31. a) t = - J + n(2n + 1), t = О	VW О
6)	t = (-1)"t + nn, t = (-l)n**z + пв, t = яв; О	<3
.	Ж	Я i Я
в)	t = “Т +яв, t = у1т + лл» 4	4 О
г)	е =	+ nn, t =	+ лп, t = яп.
011.32. На числовой прямой и числовой окружности отметьте все точки M(i), заданные формулой и принадлежащие отрез-Г я. я].
«У L"2’ 2j
011.33. На числовой прямой и числовой окружности отметьте все точки Af(t), заданные формулой и принадлежащие отрез* ку[-2;4]:
a) t =	+ яп,
011.34. На числовой прямой и числовой окружности отметьте все точки M(t), заданные формулой и принадлежащие отрезку [-я; 2я];
a)	t = л;
б)	t = | + 2в;
в)	t = 2n + 1;
73
§ 12.	Числовая окружность на координатной плоскости
Всюду в этом параграфе предполагается, что центр числовой окружности совпадает с началом координат плоскости хОу,
Найдите декартовы координаты заданной точки:
12.1. а) М
в) 3
12.2. а) М(-Зя);
г)м[^)
\ а )
12.3.	a)Aff~-i б) М(117я); в) мГ-^1; г) М(126л).
V О J	\ о J
12.4.	Найдите наименьшее положительное и наибольшее отрицательное числа, которым на числовой окружности соответствует заданная точка:
а)*Д2*2/	в) М[ 2*2/
6)"®Д2’ 2 J	Г»М( 2* 2 J
12.5.	Каким числам из заданного отрезка соответствует точка
( ч/Й ч/г)
М ——i — числовой окружности: 2	2 1
а) [-4л; я];
в) [0; бл);
012.6. На отрезке	укажите числа, которым на чис-
ловой окружности соответствует заданная точка:
ч V5. 1Y
в) М 2 ’ 2 Г
&)М
б) М
IJ2	ч/2
I &	Ы
74
12.7. Имеется ли на числовой окружности точка, абсцисса или ордината которой равна: а) 0,7; б)	в)	г) 717 - 726?
о	4
Укажите знаки абсциссы и ординаты заданной точки число* вой окружности:
012.8. а) £(2);	б) £(-4);	в) Р(3,2);	г) М(-4,8).
012.9. а) £(12);	б) £(-15);	в) Р(49);	г) М(100).
•12.10. Что больше, абсцисса или ордината заданной точки числовой окружности:
а) £(1); б) £(-2,5); в) Р(7); г) М(-4)?
•12.11. Что больше, модуль абсциссы или модуль ординаты заданной точки числовой окружности:
а) Р(2,8); б) Д-4,2); в) £(-0,5); г) М(4,5)?
12.12.	Как связаны между собой абсциссы точек числовой окружности:
a)	t и -t;	в) t и я - t;
б)	t и t + л;	г) t и 2я - t?
12.13.	Как связаны между собой ординаты точек числовой окружности: a) t и -t;	в) t и л - t;
б) t и t + л;	г) t и 2п - i?
На числовой окружности укажите все точки, координаты		
которых удовлетворяют данным условиям, и составьте		
формулы для всех чисел, которым соответствуют эти точки:		
12.14. а) х = 0;	б) х = |;	в) х =	-&.	г) х = 1.
12.15. а) х = 4	б) х = ~4 в) х =	Д	г)х = -1.
12.16. а) у = 0;	б) у =	в) у =	~4	г)У=1*
12.17. а) у = & £t	б) у - 4? в) у -Jb	-4	r)i/=-i-
12.18. а) х = 4	У < 0;	В) X = ~4	. У < 0;
б> *=4*	у > 0;	г) х =	у > 0.
75
12.19. (См. задание к упражнениям 12.14—12.18.)
а)	У = х > 0}	в) у = х < 0;
б)	у = х < 0; г) у = х > 0.
012.20. (См. задание к упражнениям 12.14—12.18.) а) у = х;	в) х + у = 0;
б)	у = -хТЗ;	г) |	у/3.
Найдите на числовой <	окружности все точке	I с абсциссой
или ординатой, удовлетворяющей заданному неравенству		
или системе неравенств, и запишите (с помощью двойного		
неравенства), каким числам t они соответствуют:		
012.21. а) х > 0;	б) х <	2’	В)х> 2;	г) х < 0.
012.22. а) х > -^-1	б) х < 4	в) х <	г)х>
012.28. а) у > 0;	б) у <	1’ в> У > 2’	г) у < 0.
012.24. а) у >	б) у < 4	4-	-4:	г)у>
[х > 0,	[«> Л	
012.25. а) < 0;	> 1	
	у >	
	2	
х < 0,	х < 2	
й „>-1;	А г)'.	75	
Г	2	г тг	
012.26. а) х - у > 0; б) ху > 0;	в) х + у < 0;		г) ху < 0.
012.27. а) х + у < 1; б) х - у	> -1; в) х + у > -1;	г) X - у < 1.
012.28. а) 2х® - х < 0;	в) у + 2у* > 0;	
б) (2х - 1ХР - 3) > 0;	г) \2у - у/2)(х+ 2) < 0.	
012.29. а) 4х* - 1 < 0;	в) 3 - 4у® > 0;	
б) 1 - 2р* < 0;	г) 2х* - 1 > 0.	
76
§ 13. Синус и косинус. Тангенс и котангенс
Вычислите sin t и cos t, если:
13.1. a) t = 0;	6) t = в) t = ^; г) t = я.
л	£
18.2. a) t =
18.8. a) t =
в) t ~
в) t =
. Л lb r) * = ~3-
Вычислите:
13.4. a) sin I —7 | + cos+ cos I -~
1 4 I 3 I 6
6) cos 7 cos-7 cos 7 cos 7;
6	4	3	2
sin I - cos (-я) + sin I 2 J
r) sin- sin— sin7 sin—. 6	4	3	2
13.6. a) sin I I + cos! I + sin— cos—+ cos 0 sin—; 141	141	4	2	2
6)
cos 77 + cos 77 + sin — sm-77 3	3	2	8
cos^. 2
Найдите значение выражения:
13.6. a) cos 2t, если t =
& , t	я
6) sin —, если t = —jS
в) sin! t - cos21, если t = 4:
4
r) sin21 + cos21, если t = •g*
18.7.	Вычислите:
a)	tg^S;	в) tg^;
б)	r) ctg^S.
77
Вычислите:
18.8.	a) tgf-^U
6) etg[-lj;
18.9.	a) tg j sin J ctg J; 4 о О
б) 2 sin я + 3 сов я + ctg|; в)2шп| coei-ltgj;
r)2tg0 + Bcos^ - 6sin|. 2	3
13.10. a) tg J ctgb	B)tgi ctg J;
Э □	7	7
5)3tg2,3 ctg2,3; r)7tg^ ctg^.
13.11. a) sin2 (1,3 + 32л) + сое21,5 + cos
6) cos’l| +
18.12. a) tg 2,5 ctg 2,5 + cos1 я - sin2 £ - cos2 о	о
6) sin2- 2 tg 1 ctgl + cos2f+ sin2
7	I 7 J	a
13.13. a) cos 1 + cos (1 + я) + sin
6) sin 2 + sin (2 + я) + cos2
j. m-2 л 12'
013.14. Докажите равенство: sin ~ - cos я - tg I
a)____Л___-_______1 = 1
2 sin sin	4
О Z
ctg +sin tg(-^)
5)	- Л  . Й-------4_
2cos^ + 2sin2i^
О	4
3-1.
78
13.15.	Упростите выражение: a) sin t cost tg t;
6)	sint cost ctgt-1;
Докажите тождество:
13.16.	a) 1 + tg21 = cos*2t;
6)	1 + ctg21 = sin'21;
13.17.	a) tg (я - t)« -tg t;
6)	tg (2л + t) = tg t;
ctgt;
в) sin21 (1 + ctg21) - 1;
r) cos21 (1 + tg2t) = 1.
в)	ctg(n - t) = -ctgt;
r) ctg (2л + i) = ctg t.
Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения:
13.18.	а) 2 sin t; б) 3 + 4 cos t;
°1319- а> 2[ДТЗ;
б)	$ cos2 t + 9;
в)	-3 cos t;
г)	3 - 5 sin t.
1 в) 3sin2t + 4coe2t’
5 sin21 4- 5 cos21 r' 3|cost| 4- 2
Определите
13.20. a) sin
знак числа:
_ f 5л
6) cos -----
I 7
013.21. a) sin (-2);	6) cos 3;
. . 9л, v i f 3л в) sm —;	г) sin-------L
8	8 J
в) sin 5; r) cos (-6).
013.22. a) sin 10;	6) cos (-12);
в) sin (-15); r) cos 8.
Определите знак выражения:
013.23. a) sin 1 cos 2;
6) sin у cos
в) cos 2 sin (-3);
( 14л 'l	( 4л 'I
r) cos I ——	sin —— L
( 9 ) I 9 J
013.24. a) cos v-tgl?; У	lo
6) tg 1 - cos 2;
„jsb^-ctg^; r) sin 2 - ctg 5,5.
018.25. a) sin 1 cos 2 tg 3 ctg 4;
6) sin (-5) ctg (-6) tg(-7) ctg (-8).
•13.26. Вычислите:
a)	sin 4 4-1sin 4[ 4- 2 cos 13 - 2|cos 13|; tgll + |tgll|
°' |ctg 12| - ctg 12*
79
Решите уравнение:
13.27	. a) cos t =
б)	sin t = —
13.28	. a) sin t =
б)	cos t = у/З;
13.29	. а) 10 sin t = V75;
б)	V8 sin t + 2 = 0;
в) cos t = —L А
г) sint =
в) cos t = А
. . . я
Г) sin t =
в) 8 cos t - V32 - 0;
г) 8 cos t = —VS.
13.30	. a) sin2 -2 + cos* - >/2 sin t = 0; О	о
«л
COS t = cos* 1 + sin* 1.
013.31. a) I sin t| = 1;
6)	Vl - sin’t =
в) |cos t| = 1;
r) Vl - cos*t =
A
013.32. Имеет ли смысл выражение:
a)	Jsin 10,2л;	в) ^sin (—3»4гс);
б)	^/coel.Sn;	г) ^сов (-6,9л)?
Решите неравенство (относительно переменной х):
013.33. a) cos 2 (2х-1)<0;
б)	cos 3 cos 5 (х* - 4) < 0.
013.34. a) (cos t - 5ХЗх - 1) > 0;
б)	(2 + sin t)(9 - х2) > 0.
013.35. a) ctg 5 (х - 1) > 0;
_ tg 7 cos 1 „ ,	Л
6)	Bini (2x* - 72) < 0;
в)	(tg 2 sin 5) (7 - 5x) < 0;
r) tg 1 ctg 2 tg 3 ctg 4 (x* + 2) > 0.
80
Сравните числа а и tn 013.36. а) в = sin 1,6 = сое 1;
6) а = sin 4, b = cos 4;
•13.37. а) а = sin 1, b = сое б;
б)	а = sin 2, 6 = cos 4;
в) а = sin 2, b = сое 2; г) а = sin 7, Ъ = сое 7.
в) а = sin 4,6 = сое 2; г) а = sin 3, b - сое 5.
Расположите в порядке возрастания числа: 013.38. a) sin sin sin sin sin 4г» 7	5	3	6	3
-Ч ЛЛО ". «о *.	5я.	5я. ЛАО 7к
б) cos » cos , сое , cos , сое ——.
о	о	О	4	4
•13.39. a) sin 2, sin 3, сое 4, сов 5;
б)	сое 3, сое 4, сов б, сов 7;
в)	sin 3, sin 4, sin б, sin 7;
г)	cos 2, cos 3, sin 4, sin 5.
•13.40. a) 1, sin 1, cos 1, tg 1;	6) 2, sin 2, cob 2, ctg 2.
Вычислите:
•13.41. a) -Jsin2 1 + sin12 - 2 sin 1 sin 2 + Ji - sin 1 + sin21 +
V 4
+ y/1 + sin2 2-2 sin 2;
6) Vcos2 6 + cos2 7 - 2 cos б cob 7 +	- cos 7 + cos17 +
+ tjl + cos2 6-2 cos 6.
•13.42. a) ./sin2 5 - 2 sin 5 sin + sin2 — -
V	6	6
- Jsin2	- 2 sin sin 5 + sin2 5;
V 6	6
б) ./cob2 4 - 2 cos 4 cos + cob2 + 4	8	3
+Joos2 4 - 2 cos 4 coe — + cos2 V	3	3
81
Решите неравенство:
013.48. a) sin t > 0; б) sin t < А	в) sin t < 0; r) sin t >
013.44. a) cos t > 0;	в) cos f < 0;
б) cos t <	.	. jz r) cos t > £
013.45. a) sin t < —у*	в) sin t >
л/й 6) sin t > --у-;	r)sini <
013.46. a) cos t > A	в) cos t <
6) cos t <	r) cos t > -y
013.47. a) sin t <	в) sin f > a
6) cos t > A	r) cos t < y^.
Решите систему неравенств:		
	sin t > 0,	.	V2 Sin t > -^7— >
013.48. a)	. .	1	в)	2
	Не< 2;	sin t < L &
	cost < 0,	cost > 1
б) ’	cos t > —i; r)	V2
	2	cost < I	2
		
	sint > (K	sin t > --7—» n
013.49. a) 	x	1	®) ‘	£
	cos t <	
	I	2	cos t < —;
		I	2
	cos t < 0,	cos t > |,
б)	sint > —i;	r)	& • X 1/2
	I	2	Sint <
82
013*50* Решите неравенство:
a)	sin t cos t > 0;	в) ctg t cos t < 0;
6)	sin t tg t < 0;	r) tg t ctg t > 0.
Докажите неравенство:
O13»51« a) sin t < tg t, если 0 < t <
6)	cos t < ctg t, если 0 < t < £.
•13.62. a) 1 < sin 1 + cos21 < 1.25;
6) 2 < 2 sin21,2 + cos 1,2 <
•13.53. a) 0 < tg у + со®-* у < i;
6)	-1 < sin"2 4 + ctg 4 < 1.
S 14. Тригонометрические функции
числового аргумента
Упростите выражение:
14.1	. а) 1 - sin2t;
б)	cos21 - 1;
14.2	. а) (1 - sin tXl + sin t);
6)	cos21 + 1 - sin21;
в) 1 - cos t;
r) sin21 - 1.
в) (1 - cos tXl + cos t);
r) sin21 + 2 cos21 - 1.
14.3	. a) -V
COSt
6)
1 - sin2 f, COB2 *
в)	1 - . \ ; 7 sin t
1 - cos21
Г>Г^?7
14.4. a)
(rin t + cos t)2. 1+ 2sintcost’
1- 2smtcost в) (cost- sintf ’
14.5. Докажите тождество: cos21
~ sin21	.
6>r+5St+C08‘=1-
83
14.6.	Докажите, что при всех допустимых значениях t выражение принимает одно и то же значение:
a)	(sin t + cos t)2 “ 2 sin t cos t;
2 - sin2t - cos2 t.
6)	3 sin^ t + 3 cos21 *
в)	sin41 + cos41 + 2 sin21 cos21;
sin41 - cos41
r) sin2t - cos2 i’
14.7.	Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
8 = f(t), если:
a)	f(t) = 1 -(cos21 - sin2t);
б)	f(t) = 1 - sin t cos t tg t;
в)	Я0 = cos2t tg21 + 5 cos21 - 1;
r)	f(t) = sin i + 3 sin21 + 3 сов2t.
Упростите выражение:			
	)	cos21 - sin2	t^tg2!* 1);
		sin21 -1	
6) ctg21 - (sin-21 - 1);	0	cos2 t - 1 +	tg t ctg t.
. л	. sin f , sin#, 14.9. a) j + cqs j 1 - cos t’		cos t	COS # ,
	В)	1 + sint 1	- sin t*
6) ctg21 (cos21 - 1) + 1;	г)	tgt + 1 1 + ctgt*	
14.10. a) (3 sin i + 4 cos t)2 + (4 sin t - 3 cos t)2;
6) (tg t + ctg t)2 - (tg t - ctgt)2;
в) sin t cos t (tg t -i- ctg 0;
r) sin21 cos21 (tg2t + ctg2t + 2).
Докажите тождество:
014.11. a) tg ctgt = ein2t;	в) tgt^ctgt ~ 00821;
1 + tgt . .	. 1 -ctgt . .
6> 1 + ctgt	r> 1-tgt =-cte**
. .	. . cos t + ctgt. . 1 - sin t _ cost .
014.12. a) 1 + sin t - ctgt ♦ в)	1 + sint’
84
014.13. Докажите тождество:
(emt + costf-l _	.
а} ctgt-sin (cost
б) sin* t( 1 + ctg t) + сое’ t(l + tg t) = sin t + cos t; (sin t + cos t)2 - 1 _	.
B tgt-sintcost -2с1Г<»
'1-4 sin* t cos’ t ~ .
r) “TTZTm-rtS- + 2 sin t cos t = I.
7 (sin t + cos t)
По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций:
4 ж
14.14.	a) sin t = 5» «> < t < л;
5	я
б)	sin t = уд, 0 < t < д!
в)	sin t = -О,в,	< t < 0;
г)	sin t = -0,28, л < t < «5
14.15.	a) cos t = 0,8, 0 < t <
A 5 к
6)	COS t = -уд, 2 < t < л;
14.16.	a) tgt = |, 0 < t <
6)	tg t = 2,4, л < t <
014.17. a) ctg t = у, 3л < t < y{
6)	ctgt = 2л < t < y;
в)	ctg t =	t < 4л;
г)	ctgt = -уд> у < t < 3л.
3
014.18. а) Дано: sin (4л + t) = д» 0 <
—v	7T	лг>_	12 Зх
б) Дано: сов (2л + t) = уд, у ctg(K - i).
в) сов t = 0,6,	< t < 2л;
А
г) сов t = Л < t < у.
В) tg t = I < t < л;
г) tg t ~ -д, у < t < 2л.
< у Вычислите: tg (я - t).
< t < 2л. Вычислите:
85
014.19. а) Дано: cos t = “yg* 8,5л < t < 9л. Вычислите: sin (-()• 4 &7I
б) Дано: sin t = gi -g- < t < 5л. Вычислите: cos (-t) + sin (-()•
014.20. а) Известно, что sin t + cos t = 0,8. Вычислите: sin t cos t.
б) Известно, что sin t - cos t = -g. Вычислите: 9 sin t cos t.
•14.21. Известно, что sin i + cos t = 0,6. Вычислите:
a) sin3t + cos31;	6) tg t sin t + ctg t cos t.
•14.22. Известно, что tg t + ctg t = 2,3. Вычислите:
a) tg21 + ctg2 t;	6) tg31 + ctg3t.
•14.23. Известно, sin t cos t = -0,5. Вычислите:
a)	sin* t + cos2 i;	в) sin* t + cos3 i;
6)	sin41 + cos41;	r) sin81 + cos81.
12
•14.24. Известно, что sin t cos t = "49* Вычислите:
a)	tg i + ctg t;	6) tg21 + ctg21.
•14.25. Вычислите:
1	Y	д
a)	sin i + cos tt если tg t -	и 0 < t < g >
6)	2 sin t + cos t, если 4 ctg i + 6tgt + H = 0H^ < t <
sin t + 3cosl л
014*26. а) Вычислите tg t, если известно, что ^ПГТ^Зсов? =
п	2 sin f - 3 cos f _
б)	Вычислите ctg t, если известно, что g f _ з~^7 = 8*
014.27. а) Вычислите tg t, если известно, что 5 sin t - cos2t = 2,36 и < t < Зя* A
б)	Вычислите ctg t, если известно, что sin21 + 2 cos t +
+ 0,56 = 0 и -y < / < -3л.
2 sin t cost з
•14.23. а) Вычислите ctg t, если известно, что _ gjnT7 = 4 и
7 < t < Л. 4
6) Вычислите tg t, если известно, что
2 sin21 + 3 sin t cos t - cos21	1 it	к
-----гео.1,-™",-----------------2 « -4 < 1 < 2-
•14.29. Зная, что tg t = а, найдите:
a)	cos41;	в) sin41;
б)	sin t cos t; r) sin3t cos t.
•14.30. Зная, что ctg t - а, найдите:
a)	2 sin31 + 3 cos1i; 6) 2 sin31 - 3 sin t cos t - 5 cos31.
Упростите выражение:
.	/1 + cost	/1 - cost 2	_	7я
014.31. ®)	_ cqs t	\1 + cos t	+ sin t’	есЛи Зж	t < 2 ’
6)	+ Ш*. если 2ж t <
•14.32. a) ч/sin-3 t - ctg* t + cos31 - 1 +
+ 7cos-3t - tg31 + sin3 t - 1 + 2 sin t - cos t, если
t ё (13; 14);_________________________
6) y/sin3 t(l - 2 ctg t) + 4 cos3 t(l - 0,5 tg t) +
+ sint + cost, если t €. (0; 1).
•14.33. Расположите в порядке возрастания числа:
a)	i, sin 4, sin -57;	6) cos 1, cos 1,1.
А	А	A
•14.34. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:
а)	у = sin3 х + 2 sin х - 5;
б)	у= sin3 х - 3 cos3 х + 2 cos х;
в)	у = 4 cos3 х - 4 cos х - 2;
г)	у = cos3 х - 3 sin3 х - 4 sin х.
Постройте график функции:
014.35. а) у = cos3 х + sin3 х; ( в) у = sin3 -Jx + cos3 Vx;
б)	у = cos3 -7 + sin2 -jU г) у = sin3 Л . + cos3 Л .•
Л	л	A — Ч	A — 4
014.36. a) у = tg x ctg x;
б)	у = 3 cos3x + 2tgxctgx + 3 sin3x.
87
§ 15.	Тригонометрические функции углового аргумента
Переведите из градусной меры в радианную:
15.1.	а) 120°;	б) 220°;	в) 300°;	г) 765°.
15.2.	а) 210°;	б) 150°;	в) 330е;	г) 675°.
Переведите из радианной меры в градусную:
-аж о ч Зя.	Их.	, 6я.	, 46к
15.3.	а) т; б) -5-;	в) -g-5	г) -у
1 ж j	7я.	. Ия.	. 47я
15.4.	а)	б) 12>	в)	г) -§-•
Вычислите sin a, cos а, tg а, ctg а для заданного значения угла а:
15.5.	а) 90е;	б) 180е;	в) 270е;	г) 360°.
15.6.	а) 30е;	б) 150е;	в) 210°;	г) 240°.
Расположите в порядке возрастания числа:
015.7. a) sin 40°, sin 80е, sin 120е, sin 160е;
б)	cos 40е, cos 80е, сое 120°, сое 160°.
015.8. a) sin 380°, sin 830°, sin 210е, sin 1000°;
б)	cos 390°, cos 460°, cos 920°, сое 650°.
015.9. a) sin 22,5°, cos 37,4°, cos 990°, sin 990е;
6)	tg 100°, ctg 225°, cos 94,3°, sin 77°.
15.10.	В прямоугольном треугольнике известны гипотенуза с и острый угол а. Найдите катеты, площадь и радиус описанной окружности, если:
а)	с = 12, а = 60°;	в) с = 4, а = 30е;
б)	с = 6, а = 45°;	г) с = 60, а = 60е.
15.11.	Хорда АВ образует с диаметром АС окружности угол ае. Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен А
015.12. Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.
015.13. В &АВС известно, что АВ = 4-^2 см, ZA = 45е, ZC = 30е.
Найдите ВС, АС я площадь ДАВС.
88
015* 14* Высота треугольника равна 5 см, а углы, прилегающие к основанию, равны 60° и 45°. Найдите площадь треугольника.
•15.15* Использовав геометрические соображения, вычислите: a) sin 15° и cos 15°; б) sin 22,5° и cos 22,5°.
Вычислите:
015.16. a) sin* 733° + сое8 347°;
б) 2 сов* 395° + sin21000* + 2 sin* 755* + сое2 800°.
015.17. a) tg 1* tg 2* tg 3* tg 89°;
6) ctg 2* ctg 4* ctg 6* ctg 178*.
•15.18. a) sin* 1* + sin* 2* + sin* 3* +	+ sin4 90*;
6) cos* 1* + cos* 2* + cos* 3* +	+ cos* 180®.
015.19. Докажите, что верно равенство:
а)	(4 sin 30* + tg 60°)[008(^0») + ctg150°] = 2 sin 150*;
б)	(ctg 210* + 2 cos 120*Xtg 420* - 2 sin 330*) = 4 cos* 315*.
•15.20. Дано выражение sin 1° sin 2° sin 3° sin
а)	При каких натуральных значениях п это выражение положительно?
б)	При каких натуральных значениях п это выражение отрицательно?
в)	При каких натуральных значениях п это выражение равно нулю?
•15*21. Дано выражение cos 1° cos 2° cos 3° cos n°*
а) При каких натуральных значениях п это выражение положительно?
6) При каких натуральных значениях п это выражение
отрицательно?
в) При каких натуральных значениях п это выражение
равно нулю?
•15*22* Дано выражение sin 1° + sin 2° + sin 3° +	+ sin
а) При каких натуральных значениях п это выражение
положительно?
б) При каких натуральных значения^ п это выражение
отрицательно?
в) При каких натуральных значениях п это выражение
равно нулю?
89
•15.23. Дано выражение cos 1° + cos 2° + cos 3° +	+ cos n°.
а)	При каких натуральных значениях п < 360 это выражение положительно?
б)	При каких натуральных значениях п < 360 это выражение отрицательно?
в)	При каких натуральных значениях п это выражение равно нулю?
•15.24. Использовав равнобедренный треугольник с углом 36° при вершине, вычислите sin 18°, cos 18°, sin 36°, cos 36°.
Указание. Проведите биссектрису угла при основании треугольника.
5 16. Функции у = sin х у = cos х их свойства и графики
Найдите значение функции: ( Я
16.1. а) у - 2 sin I X - -g I + 1 при х = -у»
б) у = -sin | х + 4 I при х -I 4 J	4
.	п . (	тс\ ,	7х.
в) у = 2 sin | х - g I + 1 при х = г) у = -sin (л + при х = -^р-
_ „ 1
1в*2* у = если:
2к. а) х = -з ,
16.3.	у = 2 cos I х - 4 I — 1, если: I 4 J
а) х =	;
-к	к
б)	* = 4‘
16.4.	Не выполняя построения, ответьте на вопрос, принадлежит ли графику функции у = sin х точка с координатами: a) (-f; -1}	»><«!>!	г’(тр-1)7
90
16.5*	Принадлежит ли графику функции у = -sin^x + gj + 2 точка:
а) («* 1)	•> (т= 1)
г) (4я; 2,5)?
16.6. Принадлежит ли графику функции у - cos х точка с ко* ординатами:
16.7.	Принадлежит ли графику функции у = 2осв^х- 2 J+ 1 точка с координатами:
а)	(0; Уз + 1);	в) (£; 21
6)	(!; 1)	г) 8)?
16.8. Найдите наименьшее у = sin х:
.	Гя. 2я1,
а) на отрезке -g-1,
и наибольшее значения функции
б) на луче
.	__ ( За, Эк\
в) на интервале —g-» -у С
г) на полуинтервале I—я;	.
16.9. Найдите наименьшее
и наибольшее значения функции
у = COS X' а) на отрезке
я. 2л 6* 3
в) на луче
б) на интервале
г) на полуинтервале
a)	f(x) = х6 sin
6)	Дх) = Xs sin х*;
016.10. Исследуйте функцию у = Дх) на четность: 2 sin в)Л«) = ^а; г) Дх) = х* - sin х.
91
Исследуйте функцию на четность: x*sinx. 016.11. а) Дх) - х + sin х;	в) Дх) -	I	
sin2x б) дх) -	г) Дх) = sin1 х - х*.
016.12. а) Дх) = sin х cos х;	
	в)Дх)- ^25-х2)’
сое л? б) Дх) =	г) Дх) = (4 + cos x)(sin’ х - 1).
016.13. а) Дх) = х2 cos х;	.	. cos5x +1. о/м- w .
б) Дх) = х* cos Зх;	г) Дх) = х" cos х + sin x.
016.14. Найдите область значений заданной функции на заданном промежутке:
[я 7ft 1
з? тг	®) у -sin *»х € (-1» 6);
б)	у = cos х, х € (1; -и»);	г) у = cos х, х € [1,2; 7,5].
Вычислите, преобразовав заданное выражение (sin t или cos t) к виду sin t0 или cos t0 так, чтобы выполнялось соотношение 0 < t0 < 2л или 0° < t0 < 360°:
16.15.	a) sin 50,5л;
б)	cos 51,75л;
16.16.	a) sin 390°;
б)	cos 750°;
в) sin 25,25л;
г) sin 30,5л.
в) sin 540°;
г) cos 930°.
16.17.	Докажите тождество:
a)	sin1 (х - 8п) = 1 - cos1 (16л - х);
б)	cos2 (4л + х) = 1 - sin2 (22л - х).
016.18. Найдите основной период функции: а) у = sin 2х;	в) у = sin 4;
&
Зх
б)	у = cos Зх;	г) у = cos -j-.
016.19. Преобразуйте заданное выражение (sin t или cos t) к виду sin t0 или cos to так, чтобы выполнялось соотношение О < to < 2я: a) sin 8; б) cos (-10); в) sin (-25); г) cos 35.
92
16.20.	Вычислите:
3
a)	cos (t + 4л), если cos (2л -1) = ~gl
5
б)	sin (32л - t), если sin (2я - f) = jg-
16.21,	Решите уравнение:
a)	sin (t + 2л) + sin (t - 4л) = 1;
б)	3 cos (2я + i) + сое (t - 2л) + 2 = 0;
в)	sin (t+ 4л) + sin (t - 6л) » -Vs» r) cos (t + 2л) + cos (t - 8л) - 72.
Найдите область значений функции:
016.22. а) у = 2 sin х;	в) у = -3 сое х + 2;
б)	у= (3 cos х - 2)4;	г) у= (1 + 4 sin х)*.
1	2
016.23. а) у =	>) У =
8	.	15
®У Зсоех-5’	Г) 4 + совх’
016.24. а) у = sin4 х - 6 sin х + 8;	в) у = cos1 х + сое х + 2;
б) у = у/2 - соех;	г) у = ^8sinx - 4.
016.25. Найдите все целочисленные значения функции;
а)	у = 5 + 4 cos х;	в) у = 3 - 2 sin х;
б)	у = у/2 - 7 соех;	г) у = ^/11 + 2sinx.
016.26. Найдите все значения х, при которых заданному промежутку принадлежит только одно целое число; укажите это число;
а)	(5 - 2 sin х; 5 + 2 sin х);
б)	[4 + 2 cos х; 4 - 2 cos х].
Постройте график функции:
16.27.	а) у = sin ^х -
б)	у = sin [ х + 7 с
I 4 Г
16.28.	а) у = sin х - 2;
б) у = sin х + 1;
в) у = sin (х - я); r)p = sin|x + £ в) у = sin х + 2;
г) у = sin х - 3.
98
Постройте график функции:
016.29. а) у = sin j х - j + 1;
б) у = sin
016.30. а) у = -sin
б) у = -sin х + 3.
016.31. а) у = sin [х + у ] +
в) у = sin (х - л) - 1;
б) у = -sin I х - — I + 2j
г) у - -sin X +
016.32. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = sin | х - 7 I + 0,5 на промежутке:
I 4 J
я. 8я
.4* 4.
В) [0; я);
б)
г)
Постройте график функции:
я
4
16	.33. а) у = cos
б)	у = cos х - 2;
(	л ]
в)	у = cos I х - — I
\	®)
г)	у = cosx + 1,5.
016.34. а) у = cos I х +
. I я 1 . 1 в) у = cosl х - — I + —;
б) у = cos
г) у = cos
•16.35. Найдите наименьшее
у = -cos I х + £ ] + 1,5 на промежутке:
I 3 1
наибольшее значения функции
; я ; б) (1; 9); в) [231; 238]; г) О;
16.36. Известно, что Дх) = 3 sin х. Найдите: в) 2«х) + 1; г) Я-х) + Ях).
а) Я-х);
б) 2«х);
я

94
16.37.	Известно, что Дх) = —сое х. Найдите:
а)	Д-х);	в)	Дх + 2я);
б)	2Дх);	г)	Д-х) -	Дх).
16.38.	Известно, что Дх) = сов Найдите:
а)	Д-х);	в)	Д-Зх);
б)	ЗДх);	г)	Д-х) -	Дх).
16.39.	Известно, что Дх) = sin 2х. Найдите:
а)	Д-х);	в)
б)	2Дх);	г) Д-х) + Дх).
016.40. а) Дано: Дх) 2х2 х + 1. Докажите, что /(sinx) = 3-2 сов2 х - sin х.
б)	Дано: Дх) - Зх2 + 2х - 7. Докажите, что Дзт х) = 2 sin х -- 3 сов2 х - 4.
016.41. а) Дано: Дх) = 2х2 - Зх - 2. Докажите, что -Дсоз х) = = 2 sin2 х + 3 cos х.
б)	Дано: Дх) = 5х2 + х + 4. Докажите, что Дсоз х) = = 9 + сов х - 5 sin1 х.
16.42. Исследуйте функцию у = sin х на монотонность на задан-
ном промежутке:
а)
5я. 7я 2 ’ 2
v (Пл. 25л ВИ 3 ’ в
б)
7л. л в 5 в
„ (я 7я г> 3* 3
16.43. Исследуйте функцию у = сов х на монотонность на задан-
ном промежутке:
а) [Зя; 4л];
. (я. 11л^ г> (б’ “в/
016.44. На каких промежутках функция у = sin а) возрастает; б) убывает?
95
016.45. На каких промежутках функция у = cos х + — Ь а) возрастает; б) убывает?
•16.46. Докажите, что функция у = sin х:
а)	возрастает на отрезке [12; 13];
б)	убывает на интервале (8; 10);
в)	достигает на интервале (7; 12) наименьшего и наибольшего значений;
г)	не достигает на интервале (-1; 1) ни наименьшего, ни наибольшего значений.
•18.47. Докажите, что функция у = сое х:
а)	возрастает на отрезке [-3; -0,5];
б)	убывает на интервале (7; 9);
в)	достигает на интервале (3; 7) наименьшего и наибольшего значений;
г)	не достигает на интервале (-3; -0,5) ни наименьшего, ни наибольшего значений.
Решите графически уравнение: 018.48. a) sin х = х + я;
б) sin х = 2х;
2 016.49. a) sin х = — х;
Л
б) sin х + [ х + 1 +1 = 0;
016.50. a) sin I х - — ] = я - Зх;
\ 3 J
б) sin х - \]х - п = О; /	X /	\2
. . I , 1Г ] I Л ] в) sin х + - = х - - +1;
\ в / \	** )
г) -sin х = \/х.
в) sin х + х = 0;
г) sin х = 2х - 2я.
4
в) sin х = — х + 3; к
г) sinx = г2 + 1.
016.51. a) cos х = х + %;
2
б)	-cos х = Зх - 1;
018.52. a) cos х = >/х + 1;
б)	cos х = Jx - 4;
V 2
в)	cos х = 2х + 1; х	я
г)	сое х = -х + —. А
в)	сое х = -(х - п)2 - 1;
г)	cosx = |х| + 1.
96
016.53. Сколько решений имеет система уравнений:
а)
у = sinx, у = х* + 4х - 1;
у = smx,
у = sinx, у = -Зх2 - 2;
у = sin х, ,|х| - У = о?
016.54. Сколько решений имеет система уравнений: у = cosx, у = х2 - 3;
а) 
СОЗ X,
-Xs + 2х - 3;
в)
COSX, 2. х’
у = cosx, Jx| - у = О?
016.55. Решите графически уравнение:
б) sin х + cos х = 0.
a) sin х = cos х;
•16.56. Решите уравнение: 13х	3
a)sinx= 1^-4?
б)соех+	= 0, х > 0.
б) '
у = 7
У -
У =
У =
б) '
У
в) '
г) ‘
Решите неравенство:
016.57. a) cos х > 1 + | х|;
б) sin х <
Зл 2
•16.58. a) sin х > □л
б)	COS X <	- 1.
2л
Постройте график функции: 016.59. а) у = |sinx|;
б)	j/= cosx - |;
А
в)	у = |соз х|;
г)	у = sin х + ^ . а
•16.60. а) у = sin |х|;
Л •	It
б) у = Sin X-
в) у = cos |х|;
г) у = сое
016.61. Постройте и прочитайте график функции:
[х2, если х < О,	Л [sinx, если х < О,
а) у = <	б) у = < ,
[sin х, если х > 0;	[х , если х > О.
4 Мордк + Зидачмик, Юк
97
016.62. Дана функция у = Дх), где Дх) = <
sin х, если -к < х < О, >/х, если х > О.
а)	Вычислите: fl ~ L ДО), Д1), Дк®);
I a J
б)	постройте график функции у = Дх);
в)	прочитайте график функции у = Дх).
016.63. Дана функция у = Дх), где Дх) =
—, если х < О,  х
sinx, если 0 < хС л.
а)	Вычислите: Д-2), ДО), Д1);
б)	постройте график функции у = Дх);
в)	прочитайте график функции у = Дх).
Постройте и прочитайте график функции:		
	Гх + 2, если х < 0»	г 2 —, если ж < 0,
016.64. а) у = 1	. л	б) у = '	X
	[cos х, если х > 0;	-cosx, если х >0.
	cos х, если х < —,	।	[-cosx, если х < 0>
016.65. а) у = 	б)у = .	!С	[2х® - 1» если х > 0.
	sin х> если ж > —;	’ 1	2	
•16.66. Постройте график функции:
. Islnxl	2cosx.
а)	“ sin х *	в) у - |cos л-j ’
б)	у = tg х |соз х|;	г) у = ctg х [sin х|.
016.67. Постройте и прочитайте график функции:
а) У =	2х - я, если х с у cos х, если	< х < 2	2 у - х, если х > у;
б) у = 	sin х, если х < 0, хг, если 0 < х < ^, cosx, если х > 2
98
2х + 2л, если х < - л,
О16.вв. Дана функция у = Дх), где Дх) =
- slnx, если -л < х < О, -2х, если х > 0.
а)	Вычислите: Д-Л - 2), л -7 I Д2);
б)	постройте график функции у = Дх);
в)	прочитайте график функции у = Дх).
-х2, если х < О,
016.69. Дана функция у = Дх), где Дх) =
sin х, если 0 < х < я, ~(х - л)2, если х > л.
а)	Вычислите: Д-З), л 7 I Д2л - 3); I A J
б)	постройте график функции у = Дх);
в)	прочитайте график функции у = Дх).
016.70. Дана функция у = Дх), где
если-----< х < О,
2
Дх) =
- х + 1, если О < х < 2;
—Ух - 2 + 3, если х > 2.
а)	Вычислите: ДО), Д6), Д-л - 2);
б)	постройте график функции у = Дх);
в)	прочитайте график функции у = Дх).
Постройте график функции:
«6.71. а) 1,= ;^;
•16.72. а) у = sin (sin х); б) у = sin (cos х);
~ соех’
в) у = cos (cos х); г) у = cos (sin х).
99
§17. Построение графика функции
Постройте график функции:						
17.1. а) у = З7х; б) У = -2|х|;	X	1 4 в) У = ъх '• X	2					
17.2.	а) у = -2(х - 1)’; б)	у = Зх + 2|; 17.3.	а) у = 2 sin х; б)	у = 3 cos х; 17.4.	а) у = -2 sin х; б)	у = -3 cos х; 17.5.	Найдите наибольшее и			в) у = -2-Jx - 3; г) у = 0,5х"*. в) у = -sin х; г) у = -cos X. в) у = 1,5 sin х; г) у = -1,5 008 X. наименьшее значения функции			
у = 2 cos х: а) на отрезке	я. Л 2’ 2.	»	в) на полуинтервале		-3’	2 f
(п. 3*1 б) на интервале 0; — t 1	A J			г) на отрезке	Зя. 2 ’	Г	1	*
17.6.	Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = -3 sin х:
а)	на луче [0; -к»);
б)	на открытом луче I f
в)
иа
луче —; +°° 4
г) на открытом луче (-оо; 0).
017.7. Постройте график функции:
3
а)	у = 2 sin х - 1;	в) у = sin х + 8;
&
б) у = ” cos х + 2; &
г) у = 3 008 X - 2.
100
Постройте график функции:
017.8. а) у = 2 sin I х -
I 3
в) у = -sin
б) у = -3 cos х +
t  е f „ 2я г) у = 1,5 cos I х - —
017.9. а) у = 2 sin ^х + i j + 1;
б)	у = -3 cos f х -	- 2;
I 6 J
в)	у = -1,5 sin fx -	+ 2;
г)	у = 2,5 cos f x + —-1 - 1,5. \	3 J
•17.10. a) у = 2|cosx|;
в) у - 3 sin |x|;
б) у = -3 cos
г) у = -2
sin
017.11. Подберите коэффициенты а и 6 так, чтобы на данном ри-
сунке был изображен график функции у = a sin х + Ъ или
101
102
017.12. Подберите коэффициенты а и b так, чтобы на данном рисунке был изображен график функции у = a sin (х + Ъ) или у = в cos (х + £>): а) рис. 52; б) рис. 53; в) рис. 54; г) рис. 55.
								и	1									
									„Л									
																		
																		
																		
																		*
	F	7 я					Я		О		X		-в	£-г_			ft	in.	
	 в							6		3 V								
																		
										)									
										5^								
																		
103
017.13. Составьте возможную аналитическую запись функции по ее графику, изображенному:
а) на рис. 66;	б) на рис. 57.
017.14. Постройте и прочитайте график функции:
а) У =
3sinx, если л < |;
&
Зх3, если х >
а
104
б) у =
-2 соех, если х < 0;
^х\ еслих > 0.
•17.15. Решите уравнение: f	2
а)	2 sin х- 1= х I & J У
б)	2cosx =
•17.16. Решите неравенство: а) 2совх < 2 + х4;
б) -2 sinх > “И* +
Постройте график функции:
-ч _ 0083 *
* v “ 2 sin’ х - 2
•17.18. а)	у	=	3 sin х + |sin х|;	б)	у =	cos х - 3|cos х	|.
•17.19. а)	у	=	од* + igjnxj’	б)	у =
.17,20. а)	у	=	^(х - к);	б)	у =	g2j(x ♦ а).
•17.21. а) у = sin х + sin [х| + [sin х|; б) у = соех + cos|x| - |совх|.
•17.22. а) у = cos х + cos Х	+ |cos х[;
б) у = sin х - sin *	+ |sin х|.
$ 18. Построение графика функции jf =
Постройте график функции:
18.1. а) у =	в)у=(2х)4; г) у = |f |.
х
18.2. а) у = sin g>
б) у = сое 2х;
в) у = cos
г) у = sin Зх.
105
Постройте график функции:
а) у = 3 sin	в) у = -3 sin 2х;
018.3. а) у = 3 sin р
б) у = 2,5 cos 2х;
018.4. а) у = 3 sin (-х);
б) у = -2 cos (-Зх);
г) у = 2 сое з 
в) у = 2 sin (-2х); г) у = -3 сое (-х).
18.5.	Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = sin 2х:
а) на отрезке
х	* и я
в)	на отрезке ; — 14 4
г)	на полуинтервале (0; к].
18.6.	Найдите наименьшее и наибольшее значения функции
P = cos
а)	на луче [0; +оо);
б)	на открытом луче (-оо; я);
. f „ «1.
в)	на луче -°Ч	»
018.7. Постройте график функции:
а)	у = sin 2х - 1;
б)	у = cos f + 1;
&
в)	у = сое 2х + 3;
г)	у = sin - 2.
Постройте и прочитайте график функции:
018.8. а) у = -
cos2x, если х С л;
—	L если х > к;
в
-sin Зх, если х < О,
	Ух, если х > 0.
018.9. а) у =
-	2sinx, если х < 0;
-	Уйх, если х > 0;
б) у = 1
4-х, если х < 0;
3 cos х - 3, если х > О.
б) у = ‘
106
О18Л0. Составьте возможную аналитическую запись функции по ее графику» изображенному:
а)	на рис* 58;	в) рис. 60;
б)	на рис. 59;	г) рис. 61.
				!А	1							
												
												
												
												
												
		_£О			я	\ * ’ \з		т				X
			6	1 4	в			г				
				-1								
												
												
107
018.11. Исследуйте функцию у = 2 sin Зх на монотонность на за' данном промежутке:
а) [<*?]; б) (-1; 0);	г) (3; 4).
I и о i
018.12. Исследуйте функцию у = -2 сое -я на монотонность на за-А
данном промежутке:
а)	Го; М б) (-3; 2); в) f~; г) (3; 9). L “ J	\ * ** /
018.13. На каких промежутках функция у = -0,5 sin —: а) возрастает;	б) убывает?
Зх
018.14. На каких промежутках функция у = 1,5 сое —: а) возрастает;	б) убывает?
Постройте график функции:
018.15. а) у = sin хх;	* . 2ях в) у = -2 sin —; о
жч	о	я*, б) у = -2 сое —; &	.	о	Зях г) у = 3 сое —-. 4
018.16. а) у = cos 3 Гх - — р 2	|	3 j	О f	V б) у = -1,5 sin - х + -о 1	£
•18.17. а) у = sin(x + |х|); Л	х-2|х| б) у = сое —	в) у = cos(x + |х|); .	. х + 8|х| г) у = sin	jJ-1.
•18.18. Решите уравнение:
a) sin ях = 2х - 4;	XX	{=-=- б) cos -у Vl,5x.
$ 19. График гармонического колебания
019.1. Постройте график функции:
а) у = 8 sin
1
б) у = cos -
А
108
Постройте график функции:
019.2. а) у = -2 cos 2
б) у = -2 sin 3
019.3. а) у = 2 sin [ Зх -I 4
б) у = -3 сое
.	1 . {X я
019.4. а) у = - sin - + -£ I £ О
3  (X я А б)у=--сов|д--|
•19.5. Подберите коэффициенты а, b и с так, чтобы на данном рисунке был изображен график функции у = a sin (bx + с):
109
•19.6» Подберите коэффициенты at Ъ и с так, чтобы на данном рисунке был изображен график функции у = а сое (дх + с): а) рис» 64;	б) рис. 65»
							у*	L
								
			7	у				
								
		/			V			
		1			1			
	"П	—я					0	
								
						Л	L	J
							к;	,7
								
								
								
								
		7	X					
	/							
	/			\				
	Г			Л				
7				я	г	4	я	X
7	3				\	<	i	
Г					и			
L							J	
								
								
Рис 64
110
019*7* На каких промежутках функция у = -1,5 sin I 4 ~ 7
I л 4
а) возрастает;	б) убывает?
t 2л
019.8. На каких промежутках функция у = 3 сов \2х + — а) возрастает;	б) убывает?
019.9. Чему равен основной период функции:
а) у = -1,5 sin
7	о—
у = Зсов 2х + —
I	3
f X Я 1
019.10. Исследуйте функцию у=-1,5 sin I - — I на монотонность
на заданном промежутке:
а) [0; 2л]; б) (2; 4); в)
г)(-1;2).
f 2х I
019.11. Исследуйте функцию у = 3 cos I 2х + — I на монотонность
на заданном промежутке:
а) Го; а
б) (1; 2);
в)
—; 0 ; 12
г) (-1; 1).
•19.12. При каких значениях параметра а функщш у=2 sin I
I & и
а) возрастает на I а - а + I О	о
б)	убывает на [о; а +
•19.13. При каких положительных значениях параметра а функция у = -3 cos I Зх -
а)	возрастает на (а; 2а);
б)	убывает на а; а + £ ?
111
§ 20.	Функции у= tgxy = ctgx их свойства и графики
20.1.	Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = tg х на заданном промежутке:
\ \
а)	на интервале —; — с
I Ь “ J
(8Д. -1.
полуинтервале —; я I;
4 J
на
б)
в)
на
отрезке
я. я L 4* 6f
г)
на
Зя полуинтервале я; — £
20.2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = ctg х на заданном промежутке:
а) на отрезке
л. к L .4’ 2J’
в) на интервале (-я; 0);
б) на полуинтервале
г) на отрезке
Зя б’ 4
20.3	. Найдите область значений заданной функции: а) у = tgx, х€ ft
& J
_ I 5х я б) р = ctgx. х € I —--io о
в) У = tg X, х 6
(Зх. Зл^ (Зх. 7х\ ^4’ 2	2’ 4 J
г) у = ctgx, х € l-gi
20.4	. Решите графически уравнение:
a)	tgx =-75;	s)tgx = -l;
б)	tgx = 1;	г) tgx = 0.
20.5	. Решите графически уравнение:
Vs
a)	ctg х = 1;	в) ctg х =	;
О
« i Л.
б) ctg х = —;
О
г) ctg х = 0.
112
Исследуйте функцию у = Дх) на четность, если:
О20.6. а) Дх) = tg я - cos я;	В) Ax) = ctg*x -хз 4;
б) Дх) = tg я + х; О20.7. а) Дх) = tg х sin3 х; б) Дх) = fat	г) Дх) = х’ - ctg я. в) Дя) = я® tg я; г) Дх) = Xя + sin х + tg х.
020.8. а) Дл) = sin х + ctg л;	
„ „ ч 2ctgx. б) Дх) =	.	г) Дх) = Ctg X - X COS X.
О20.9. Дана функция у = fix), где Дх) = tg х. Докажите, что: а) Д2х + 2я) + Д7я - 2х) = 0;
б)	Дя - я) + Д5я + я) = 0.
О20.10. Дана функция у = Дх), где Дх) = я2 + 1. Докажите, что: 6>«ctex’ = sk'
Найдите основной период функции: 020.11. а) у = tg 2х;	в) у = tg 5х;
б)	У = tg -g;	г) у = tg тр
020.12. а) у = tg х + sin 2х - tg Зх - cos 4х;
б)	у = sin Зх + cos 5х + ctg х - 2 tg 2х.
з
20.13. Известно, что tg(9ic - х) =	. Найдите: tgx, ctg я.
4
20.14. Известно, что ctg (7л - х) = у. Найдите: tg х, ctg я.
020.15. Определите знак разности:
a) tg 200° - tg 201°;	в) tg 2,2 - tg 2,1;
б) tg 1 - tg Ъ01;	г) tg у - tg тр
Постройте график функции:
20.16. а) р = tg fx +	e)y = tgfx-^
6)p = tgx+l;	г) у = tgx -2.
113
Постройте график функции:
020.17. а) у = tg ^х + | j + 1;	B)p = tg|x-|j-l;
6)p = tg(x-£j + |;	Г) У = tg|x + ] - 2. 1	V J
020.18. а) у = -tg х;	B)p = -tg[x -
б) у = -tgx + 1;	г) У = -tg[x + s'! - 2. 1	V J
020.19. а) у = ctg ^х +	в) у = ctg X - 11 1	и J
б) у = ctgx + 1;	Г) у = ctg х - 2.
О20.20. а) р = 2 tg х;	в) у = tg 2х;
б) у = -0,5 ctg х;	0 У = ctg у.
020.21. Исследуйте заданную функцию на монотонность: а)р = 2tg(х -	1;	в) у = -tg^x +	- 3;
б) у = ctgfx + -*1 - 2;	г) у = -2ctg[ х - | + 1,5.
I 3 J	I о J
Постройте график функции:
020.22. а) у = |tg х|;	в) у = |ctg х|;
6)p = tg|x|;	r)p = ctg|x|.
020.23. а) р = tg х + |tg х|;
020.24. а) у = tg х |ctg х|;
020.25. а) у = 2 tgx ctg х + |х|; б) у = tg х ctg х + >/x.
6) у = |ctgx| - ctgx.
б) у = |tgx|ctgx.
020.26. а) у = sin2 (tg х) + cos2 (tg х);
б)	у = 3 cos2 (ctg х) + 3 sin2 (ctg х).
•20.27. а) у = -tg (cos х) ctg (сов х);
б)	у = -2 tg (sin х) ctg (sin х).
114
020.28. Решите неравенство:
a)	tgx < 1;
б)	ctg х > >/3;
в) tg X > —
О
г) ctg X < -1.
020.29. Решите систему неравенств:
COSX < 0;
ctgx > —Jb,
sinx < 2
$ 21. Обратные тригонометрические функции
Вычислите: 21.1. a) arcsin б) arcsin 1;	в) arcsin г) arcsin 0.
21.2. a) arcsin |	f	в) arcsin (-1);
б) arcsin -- в	.	 ( Л) г) arcsin —— L 1	& I
021.3. Найдите область определения функции:
а) у = arcsin х;	Ч	1	* в) у = arcsin —; &
б) у = arcsin (5 - 2х);	г) у = arcsin (х1 - 3),
021.4. Имеет ли смысл выражение:
ч	 f 2\ •>*"»“ (-а/	в) arcsin (З ~ 4/26);
б) arcsin 1»5;	г) arcsin (4 - ч/20)?
021.5. Найдите область значений функции:
а) у = 2 arcsin х;	v	1	я. в) у = arcsin х + —; А
б) у = -4 arcsin х;	г) у = я - 2 arcsin х.
115
021.6. Исследуйте функцию на четность: arcsin х
а)	У = ——*
б)	у = sin® х + х arcsin х;
в)	у = arcsin Xй + 3 сое 2х;
r)y=2tgx+x5-3 arcsin 2х.
Постройте график функции: 021.7. а) у - arcsin х;	в) у = -arcsin х;
б)	у = arcsin (-х);	г) у = -arcsin (-х).
021.8. а) у = arcsin (х - 1) + §; &
б)	у = -arcsin (х + 2) - 75 •
021.9. а) у = 2 arcsin х;
б)	у =	- arcsin х;
021.10. а) у = arcsin 2х;
б)	у = arcsin 4 + ?; Z о
в)	у = —; arcsin х;
О
г)	у = -2 arcsin (х - 3).
в) у = arcsin
3
г) у = arcsin 2(х - 1) + \
Л
021.11. Постройте и прочитайте график функции:
а) У = '	—т если х < -1; 2 arcsin х> если -1 < х С 1; —, если х > 1. 12
б)у = <	arcsin х» если -1 < х < 0; -arcsin х, если 0 < х < 1; (х - If - i, если 1 < х < 3. £
021.12. Постройте график функции: а) у = 3| arcsin х| - arcsin х; б) у = arcsin х + | arcsin х |;
В)у =	arcsin х - — ; з|
г) у = -arcsin |х - 2|.
116
Вычислите:
21.13. a) arccos 0;
б) arccos 1;
.	>/3.
в) arccos
„	1
r) arccos x*
2
21.14. a) arccos I— I 2
в) arccos (-1);
б)
arccos
r) arccos --I 2
21.15. а)
б)
в)
arccos (-1) + arccos 0;
1	J3.
arccos “ - arccos
J2	л?2
— + arccos 75-;
2 J	2
arccos
г) arccos
1 arccos т*
021.16. а)
arccos
б)
arccos
arcsin (-1);
в)
arccos
V3
+ arcsin -----
2
г)
V2 arccos------arcsin
2
/3 2
021.17. а)
cos
2 arccos- - 3arccos0 - arccos 2
б)
![ arccos! + arccos 8l 3
3
021.18. a) sin
в) ctg (arccos 0);
(v3 arccos—
2
r) sin arccos — 2
117
Вычислите:
021.19. a) sin 2a«sin-
1
6)	cos — arcsin 1 + arcsin — 2
2
f . Ja	J2
в)	tg arcsin + 2 arccos —
I 2	2
r) ctg 3 arccos (-1) - arcsin I —± I	I &
21.20. Докажите тождество:
a)	sin (arccos x + arccos (~x)) = 0;
6)	cos (arcsin x + arcsin (-x)) = 1.
021.21. Найдите область определения функции:
а)	у = arccos х;	в) у = arccos 2х;
б)	у = arccos (х - 1); г) у = arccos (3 - 2х).
21.22. Имеет ли смысл выражение:
a) arccos	в) arccos 7;
5
6) arccos
r) arccos (—Уз)?
021.23. Найдите область значений функции:
а)	у = 2 arccos х;	в) у = -- arccos х;
Л
б)	у = 1,6 arccos х - %; г) у = я - 2 arccos х.
021.24. Исследуйте на четность функцию: .	-2	".	г х* .
а)	у = arccos х + —;	в) у =-------»
' *	8	arccos х
arccos Xх.	.	„ я	л
б)	у = ——>	г) у = 2х arccos х .
021.25. Постройте график функции:
а)	у = arccos х;	в) у = -arccos х;
б)	у = arccos (-х);	г) у = -arccos (-х).
118
Постройте и прочитайте график функции: 021.26. а) у = arccos (х - 1) -а
6) у = arccos (л + 2) + 3"
021.27. а) у = -3 arccos х;
,, Зя б) у = — arccos х;
021.28. а) у = arccos 2х;
-х	х 5л
б)	у = arccos 2 -
в)	у = | arccos х;
2
г)	у = jj arccos (х + 1,5).
в) у = -arccos
г) у = arccos 2(х - 1) -
021.29. а) у =
к, если х < -1;
arccos х, если -1 < х < 1;
Vx - 1, если х > 1.
б) у =
arccos х, если -1 < х < 0,5;
если 0,5 < х < —;
3	3
х, если -5 < х < 3. 3
•21.30. Постройте график функции:
а)	У =
2п arccosх ----
3
в) у = -2 arccos [х|;
б)	у = arccos |х|;	г) у = arccos |х - 2|.
Вычислите:
21 >31, a) arctg 1;
б)	arctg (~7з);
21.32. a) arcctg
3
б)	arcctg 1;
в)	arctg у/З;
г) arctg
г)	arcctg 0.
119
Вычислите:
021.33. a) arcctg (-1) + arctg (-1);
б)	arcsin f-^1 + arcctg (—Уз);
\ “J
021.34, a) 2 arcsin
+ arctg (-1) + arccos
A
в) arctg (-7s)
+ arcsin 1;
r) arcsin (-1) -
3	1	O
— arccos — + 3 arcctg a	a
021,35* a) sin (arctg (-Уз));
в) cos (arctg 0);
г) ctg (arctg (-1)).
021.36. a) tg (arcctg 1);
6) sin (arcctg -Уз);
в) cos (arcctg (-1));
r) ctg 2 arcctg I —=
I V3
021.37. Найдите область определения функции: а) у - arcsin х + arctg х;
б)	у = arcctg 4х + arccos
а
в)	у = arctg - arccos (2х - 0,5);
г)	у = arcsin (х* - 1) + arctg 2х + arcctg (я - 1).
120
021.38. Исследуйте функцию на четность:
а>,= ^
б)	у = sin* х + х arctg х;
в)	у = arcsin х + arcctg х;
г)	у = 2 arcctg х + х* - 3 arcsin 2х.
021.39. Найдите область значений функции:
а) у = 2 arctg х;	в) у = 1,5 arcctg х -

1
б) у = arcctg х;
Л
г) у = я - 2 arctg х.
Постройте график функции:
021.40. а) у = arctg (-х);	в) у = -arcctg х;
б) у = arcctg (-х);	г) у = -arctg (-х).
021.41. а) у = arctg (х - 1) -&
б) у - arcctg (х + 2) + f.
021.42. а) у = 0,5 arctg х;
„ 2я , б) у = —— arcctg х;
021.43. а) у = arctg Зх;
х X Я.
б) У = arctg - -
. 1
в) У = “ о arcctg х; d
г) у = 1,5 arctg (х + 2).
в) у = arcctg Т’
г) у = arcctg 2(х - 1).
021.44. Постройте и прочитайте график функции: (arctg х, если х < 0;
а)	У = 1 г
ух, если х > 0.
(arcctg х, если х < 1;
б)	у = 	.	.
arctg х, если х > 1.
021.45. а) у = | arctg х|;
б) у = arcctg | х|;
в)	у = -2 arcctg | х|; г) у = arctg* +
121
Вычислите:
021.46. a) cos
6) tg (arcsln 0,6);
/	3 \
021.47. a) sin arccos — b
I	5 Г
в) cos [ arcsln	];
I	)
r) ctg (arcsln (-0,8)). в) sin (arccos (-0,8)).
6)tg
(	4
r) ctg arccos -
I	5
f	Я
021.48. a) sin I arctg—
I	4
в
f	12
6) cos arcctg—
I	5
r) cos I arctg [
I	I 1ы
•21.49. Докажите, что
a)	sin (arctg x) = “77“
X
б)	tg (arcsln х) =
b)	sin (arcctg x) = J1+”
r) tg (arccos x) - —-—.
Постройте график функции:
•21.S0. а) у = cos (arccos x);
б)	у - arctg x + arctg (-x);
в)	у = tg (arctg x);
г)	у = arcsln x + arcsln (-x).
•21.51. a) у = arccos x + arccos (-x);
_ 1 (
б)	у = arccos — + arccos ~~ F x \ *)
в)	у = arcctg x + arcctg (-x);
г)	у = arcctg 4x + arcctg (—7x).
•21.52. a) у = sin (arccos x); б) у = tg (arcctg x);
•21.53. a) у = arccos (cos x);
в) у = cos (arcsin x); г) у = ctg (arctg x).
б) у = arctg(tgx).
122
Решите уравнение: 021.54. a) arcsin 2х = •£;
7ir б) arctg (4х + 1) = —;
в) arccos (Зх - 3,5) ;
г) arcctg (4х + 1) =
8’
Зя 4‘
021.55. a) arcsin (Зх® - 5х + 1) = •£;
А
5)	arctg (х* - 27 - 7з) =
о
в)	arccos (Зх® - 10х + 2,5) =
о
г)	arcctg (х3 - 8х® + 15х + 1) = 7.
4
021.56. a) arcsin ^tg^ j - arcsin =0;
6)	arccos [ ctg — I + arctg V2x - 1 - ~ = 0. I 4 J	6
021.57. a) 8 arcsin2 x + 2л arcsin x = л2;
6)	18 arctg2 x - 3л arctg x = л2;
в)	18 arccos2 x = 3л arccos x + ла;
r) 16 arcctg2 x + Зл2 - 16л arcctg x.
(1 t	1 2x
2x + 3— = arcsin ——
3)	\ 9
6) arctg (x® - 9) = arctg 8x;
в) arccos (3x + 1) = arccos (2x + 5);
r)	arcctg (x® - x) = arcctg (4x - 6).
•21.59. a) arccos x = arctg x;
6)	arccos x = arcsin x;
в) arcctg x = arctg x; r) arcsin x = arcctg x.
в) arcsin x < —♦ 4
.	. 5я
г) arcctg x < —.
в) 16 arccos® x > я®;
г) 9 arcctg® x < я®.
Решите неравенство: 021.60. a) arccos x > 4
5)	arctg x > 4
•21.61. a) 9 arcsin®x < я®;
6)	36 arctg® x > я®;
•21.62. a) 8 arcsin® x + 2я arcsin x < я*;
6) 18 arctg® x - Зя arctg x > я*;
в) 9 arccos® x < 9я arccos x - 2я®;
r) 16 arcctg® x + Зя® > 16я arcctg x.
§ 22. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства
Решите уравнение:
22.1. a) cos х = А
б) cos х = —
22.2. a) cos х = о
б)	cos х = -1Д
Ч	V3
в) сое х =	;
г) cos х =
„	^5
в) cos х = ——;
3 . & г) сое X = —. 2
022.3. Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
a)	cos х = х е [О; 2л]; л
б)	cos х = —L х е [2л; 4л]; л
в)	COS х = х € [-л; Зл];
г) cos х = -1, х €
Зя. а_ 2к
Решите уравнение:
2^-	= *
3cosx + l,5coex-l . -с б) ---g---+----8--- V5'
022.5. а) 6 cos2 х + 5 cos х + 1 = О; б) 3 + 9 сое х = 5 sin2 х.
124
о22»в* Найдите корни уравнения на заданном промежутке: a) cos х = -j, х € [1; в];
&
< Г ю1«
б)	COS X = —, X € “*	»
2 L 4 J
в)	сов х = —L х € [2; 10]; л
. V2 л Г Л. 5я1
г)	сов х = ——, х € -4» — .
2 L 4 J
022.7. Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном промежутке:
а)	сов х = -К х € [1; б];
б)	сов х = -0,4, х € [3; 11]?
Решите уравнение: с
22.8.	a) sin х =	в)	sin х =	1;
.	&	.	.	1
б) sin х =	—;	г)	sin х =	—•
2	2
Jq
22.9.	a) sin х =	в) sin х = -1;
. 7г	. .	1
б) sin х =-----;	г) sin х =	•
2	2
22.10.	a) sin х = -|;	в) sin х = —
б)	sin х = ~i	г) sin х =
022.11. а) (2 сов х + 1)(2 sin х - -Тз) = О;
б)	2 cos х - 3 sin х сов х = 0;
в)	4 sin2 х - 3 sin х = 0;
г)	2 sin* х - 1 = 0.
022.12. а) 6 sin* х + sin х = 2;
б)	3 сов* х = 7(sin х + 1).
125
022.13. Решите уравнение: . , • Зх v2 .	» Зх
a)	sin -=7- - -7- = sin х ~ cos — + 1;
4	2	4
б)	cos12х - 1 - сое х =	- sin12х.
Найдите корни уравнения на заданном промежутке: 22.14. a) sin х = х € [0; я];
А
б)	cos х = “» х € [-я; я];
£
в)	sin х = ——, х € [-я; 2я];
£
г)	cos х = х € [-2я; я]. а
1 fl. 11я\
022.15. a) sin х = х € I р
.	1 f 5я в\
б)	sin х = х с I ; о t
75
в)	sin х =	, х € (-4; 3);
&
г)	sin х = ж € (-3; 6).
022.16. Сколько корней имеет заданное уравнение на заданном промежутке:
a)	sin х = 0,6, х €	Зя j;
9
б)	sin х = х С (2; 7)?
0
Решите уравнение: 22.17. a) tgx =1;
б)	tg х = о
22.18. a) tg х = 0;
б)	tg х = -2;
в) tg х = -1;
. * -Тз r)tgx= —.
0
в) tg х = -3;
У X	1
r)tgx=-.
126
22.19. a) ctgx = 1;	в) ctg х = 0;
б) ctg х = л/3;	г) ctgx =
22.20. a) ctg х =	в) ctgx = а
б) ctgx =-1;	г) Ctg X = -5.
22.21. a) tg2 х - 3 = 0; 6)2tg*x + 3tgx=O;	в) 4 tg* х - 9 = 0; r)3tg*x-2tgx = O.
22.22. a) tg* x - 6 tg x + 5 = 0;
6) tg* x - 2 tg x - 3 = 0.
22.23. a) sin 2х = &	. . X 1, B)sm- = ~;
Jf	1. б) cos - =	г) cos 4х = 0.
22.24. a) sin J-jJ = -у.	B)tg(-4x)= -₽•: VO
JX б) cos (-2х) =	J	r)ctg("f] = 1-
022.25. а) 2 cos 14 - 7 1 = 73;	в) 2 sin | Зх — ~ | = “72;
б) 73tgfe + j] = 3; 10 О J	г) sin	+ 1 = 0. (2	6 1
022.26. a) cos | - - 2x1 = -1; \®	7	B)2sinf|-|l= 73; Id 4 J
,	(X X >	, 6)tg	—1;	r) 2 cos [ - 3x1 = 72.
022.27, Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
a) sin Зх =	[0; 2я]; A	=2г» [-Зя; Зя]; &	о
Jo 6) cos 3x =	[-я; я]; A	г) ctg 4х = -1, [0; я].
127
Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
022.28. a) sin х =	[-4; 4]; б) cos х = 1, [-6; 16].
А
022.29. a) sin = 0, [-12; 18]; б) cos Зх =	[1; 7].
Л	£
022.30. Решите уравнение sin
-1 и найдите:
а)	наименьший положительный корень;
б)	корни, принадлежащие отрезку
я. Зя]. 2* 2]’
в)	наибольший отрицательный корень;
г)	корни, принадлежащие интервалу -я; £
I “
022.31. Решите уравнение cos
1 * = — и найдите:
а) наименьший положительный корень;
Г я. Зя “т — & U
в) наибольший отрицательный корень;
г) корни, принадлежащие интервалу -я;
Решите уравнение:
•22.32. а) |х + 3| sinх = х + 3; б) 2|х - 6| cos х = х - 6.
•22.33. a) V16- X2 sinx = 0;
б)	(V2 cos х - 1)л/4х* - 7х + 3 = 0;
в)	VTx - х2 (2 cos х 1) — 0;
г)	(2sinx - 7з)^3хг - 7х + 4 = О.
022.34. Найдите область определения функции: . sinx .	.	>1х .
а'^“2совх-1*	В)У- sinx*
ctgx б) У = ----„>
* & я - О COS X
г) У =
tgx fx - 5
128
Найдите область значений функции:
•22.35. а) у = sin х + V-cos’i;
б) у = cos х + V-sin2x.
•22.36. а) у = cos Зх + у/соз2 Зх - 1;
б)	у = sin 2х + Vein2 4х - 1.
Решите уравнение:
•22.37. a) ]sin х| = |cosx|;	в) |sin2x| = |V3cos2x|;
б) >/з ctg х = 2]cosx|;	г)-^2 tgx + 2|sin х| = О
•22.38. а) (2х - 3) |sin х| = sin х;
б) (Зх - 7) cos х = 5 |сое х|.
•22.39. a) Xs |tgx| + 9tgх = 0;
б) х® ctg х - 41 ctg x| = 0.
•22.40. а) (2л2 - 12х + 13) sin х = 31 sin х|;
б) (хг + 8х + 11) |cos 2х[ = 4 сое 2х.
•22.41. Сколько корней имеет уравнение:
a)	sin ^Зх - — Jv8x - х
б)	cos ^2х +	- х*
Решите неравенство:
22.42. а) сов I > ||
б) cos t < 2
022.43. a) cos t <
О
б) cos t > —
•22.44. а) 3 cos21 - 4 cos t > 4;
б) 6 cos2t + 1 > 5 cos t;
&	ЗПДЙЧЕНК| 10кл.(
7 = 0;
3x = 0?
V2 в) cos t > ——;
2
s .	1
r) cos t < - -a
в) cos t > ^; о
r) cos t < 7
в) 3 cos21 - 4 cos t < 4;
r) 6 cos21 + 1 < 5 cos t.
129
Решите неравенство: 022.45. а) 4 cos® t < 1;
б)	3 cos® t < cos t;
22.46. a) sin t >
6)	sin t > —-S &
022.47. a) sin t <
6)	sin t > -0,6»
•22.48. a) 5 sin® t > 11 sin t + 12;
6)	5 sin® t < 11 sin t + 12.
•22.49. a) 6 cos® t + sin t > 4;
022.50. a) tg x < 73;
6) ctg x > 0;
022.51. a) tgx < 3;
6) 3 ctg x - 1 > 0;
022.52. a) tg® x > 9;
6) tg® x > tg x;
022.53. a) sin 2x <
6) 3 cos 4x < 1;
022.54. a) sin fax - -1 >
I 3 J 3
б) COB I — - X I < -g-,
в) 9 cos® f > 1;
r) 3 cos® t > cos t.
в) sin t < —;
2
r) sin t < ~.
A
. . .. 1.
в)	sin t > * , о
г)	sin t < -0,6.
6) 6 cos® t + sin t < 4.
в) tg x < 0;
r) ctgx > -1.
в) ctg x < 2;
r) 2 tg x + 1 > 0.
в) tg® x < 9;
r) tg® x < 2 tg x.
r) 7 sin > -1.
в) cos [ 3x - — I > —7;
r)sm I — - x I < -g-.
Найдите область определения функции:
•22.55. а) у = Vsinx + . 1 усовх б)
б) у = Jcos х - ^ + ctg 2х; I	6
130
B)tf= tg2x--=L_=;
VI - 2sinx
г) у = : ./cos x - -L. ' sin 4x	^2
•22.56. a) у = arcsin^ + Jsinx +
б) у = arccos (2x -1) +	- cos x.
VV2
Решите уравнение:
•22.57. a) sin! x + sin2 3* = 0;	6) cos4 2x + 1 = cos2 (x - 2
•22.58. a) sin 4x + cos 2x = 2;	6) sin 5x + cos 3x = -2.
При каких значениях заданного уравнения не пусто: 022.59. a) sin х - 2а - 1;
б) cos х = 2а2 - 5а + 1;
параметра а множество корней
•22.60. а) оас08Х =5;
«w.w. **/ 2 cos х + а	*
в) сое х = За - 2;
г) sin х = а* - 3?
aslnx + 1 _ °* 2а - 3sinx “
•22.61. Решите уравнение с параметром а:
a) sin (2х - -1 = s
3 J а + 1 Г*. И - 2(1-1 6)coS^- + -J-—•
•22.62. Решите уравнение:
a)	ctg I — cos 2лх | = л/З;
I3 )
б) sin (2я cos х) = --j. Л
•22.63. Решите неравенство:	__________
a) sin х V4 - х* <0; б) сое xVx + 2 - хб) * 8 > О.
•22.64. При каких значениях параметра а решением заданного неравенства служит любое действительное число: a) a cos х - 2 < 0;	б) (2а - 3) sin х + 1 > 0?
б*
131
Решите систему неравенств:
•22.65. а) •	Г •	4 зтх > о cosx >	; 1	3	б)	sinx < cosx < 0,6.
	Б1ПХ < 2—,		ллв	3 cosx >
•22.66. а) •	2	б) <	7
	tgx > 1,5;		tgx < -0,1.
•22.67. а)	ctgx < О	б)	cosx <
	sinx > -0,8;		ctgx > -3.
	sin2x < —,		___ (, я 1/2 cos ox + — <
•22.68. а)	2	б)	I	4J 2
	25 - х2 > 0;		| x + 2| < 3.
$ 23. методы решения тригонометрических уравнений
Решите уравнение:
023.1. а) 3 sin2 х - 5 sin х - 2 = 0;
б)	3 sin2 2х + 10 sin 2х + 3 = 0;
в)	4 sin2 х + 11 sin х - 3 = О;
г)	2 sin2 7 - 3 sin 4 +1 = 0.
7	2	2
023.2. а) 6 сое2 х + cos х - 1 - 0;
б)	2 cos2 Зх - 5 сое Зх - 3 = О;
в)	2 cos2 х - cos х - 3 = 0;
г)	2 cos2 4+3 cos 4 -2 = 0.
7	3	3
023.3. а) 2 sin2 х + 3 cos х = 0;
б)	8 sin2 2х + cos 2х + 1 = 0;
в)	5 cos2 х + 6 sin х - 6 = 0;
г)	4 sin Зх + cos2 Зх = 4.
132
023.4. a)3tg2x + 2tgx-l = O;
6) ctg2 2x - 6 ctg 2x + S = 0;
e)2tgax+3tgx-2 = 0;
r) 7 ctg* + 2 ctg	= 5.
023.5. a) tgx - 2ctgx + 1 = 0; в) 2ctgx-3t<x + 5 = 0;
б) = 1 ;	„)	. -Ц-.
7	2 ooe x	'	4 sinz x
023.6. a) 2 cos* + >/з cos = 0; £ "
6) 4cos* (x - £ 1-3 = 0; X ® /
в) Vstg* 3x - 3tg3x = 0;
r) 4 sin2 ^2x +	- i = o.
023.7. a) sin2x - 12 sinx- 3^2 = 0;
6) cos2x - 8 cosx - 2л/3 = 0. &
023.8. a)tgsx+tgsx-3tgx = 3;
6) ctg4 2x - 4 ctg2 2x + 3 = 0.
023.9. a)	( sin2 ( x -	j -	j(cos 2x	+	1) = 0;
6)	^cos2 ^2x + •gj -	jsin	=	0.
023.10. a)	tg x sin 2x	= 0;	в)	cos x	tg 3x	= 0;
6)	(1 + cos х)	-Д--	1= О;	г) (1	+ cos x) tg
I 3LLL Л	J
О
023.11. a) sin x = - cos x;	в) 2 sin x + 5 cos x = 0;
6) 3 sin x = 2 cos x;	r) sin x cos x - 3 cos2 x = 0.

133
Решите уравнение: 023.12. a) sin х + V3 cos х = 0:
б) sin х 4- cos х = 0;
в) sin х - 3 cos х = 0;
г) >/з sin х + cos х = 0.
023.13. a) sin3 х + sin x cos x = 0;
6) V3 sin x cos x + cos2 x = 0;
в) sin1 x = 3 sin x cos x;
r) V§ cos2 X s sin x cos x.
023.14. a) sin2 x + 2 sin x cos x - 3 cos2 x = 0;
6) sin2 x - 4 sin x cos x + 3 cos2 x = 0;
в) sin2 x + sin x cos x - 2 cos2 x = 0;
r) 3 sin1 x + sin x cos x - 2 cos2 x = 0.
023.15. a) sin 2x = cos 2x; в) sin ~ = V3 cos Z	2
6) Vs Sin 3x = cos Зх; r) V2 sin 17x = Ve cos 17x.
023.16. a) 2 sin12x - 5 sin 2x cos 2x + 2 cos2 2x = 0;
6) 3 sin2 3x + 10 sin 3x cos 3x + 3 cos2 3x = 0.
023.17. a) sin2 = 3 cos2	6)	sin2 4x = cos2 4x.
023.18. a) 5 sin2 x - 14 sin x cos x - 3 cos2 x = 2;
6) 3 sin2 x - sin x cos x = 2;
в) 2 cos2 x - sin x cos x + 5 sin2 x = 3;
r) 4 sin2 x - 2 sin x cos x = 3.
023.19. a) 5 sin2 x + V3 sin x cos x + 6 cos2 x = 5;
6) 2 sin2 x - 3 sin x cos x + 4 cos2 x = 4.
023.20. a) 3 sin2 2x - 2 = sin 2x cos 2x;
6) 2 sin2 4x - 4 = 3 sin 4x cos 4x - 4 cos2 4x.
023.21. a) 4 sin2 у - 3 = 2 sin cos ^5
6) 3 sin2 4+4 cos2 4 = 8 + V5 sin 4 cos 4. 3	Q	О О
023.22. a) sin2 x - 5 cos x = sin x cos x - 5 sin x;
6) cos2 x - 7 sin x + sin x cos x = 7 cos x.
023.23. a) sin* x + sin* x cos2 x = sin2 x cos2 x + sin x cos2 x;
6) sin2 x cos2 x - 10 sin x cos2 x + 21 cos* x = 0.
184
•23.24. a) cos0 x + sin" x = 7^; lo
6) cos'* “ f 2 sin0 — 1
= 2.
Решите систему уравнений:
023.26. a)
sin X + COS у = z
sinx cosy =
Решите уравнение:
•23.27. a) |ctg x| = ctgx +
6) tg x + | ctgx = ^A--l
•23.28. a) |cosx| = 2cosx- V3sinx;
6) sin x = V3 cos x + 2 |sin x|.
~~ v sin x + cos x 023.29. а) л — 0;
Uuo UA
sin X
6»c1«x + 1 + cosx =2;
B)
C06*x + cosx sinx
= 0;
. tgx
r) ' - = cos X. l+tg*x
4sin3 2x - 3sin2x °) оовЗх
•23.31. Для каждого значения а решите уравнение:
a sin х - 1 _
а) sin х + сое х ”0’
Решите уравнение:
•	23.32. a) xs - 2х cos лх + 1 = 0;
•	23.33. a) cos0 х + sin4 х = 1;
•	23.34. а) 3 sin3 + 5 sin2 х = 8;
acosx - 1 _ G' sinx- cosx “°*
б)х2- 2xsin + 1 = 0.
б) cos* х + sin* х = 1.
б) cos2 2х - 2 cos3 Зх = 3.
13S
Решите уравнение:
. х л х - 2л _
б)	sin j+2 cos —3— = 3.
•23.36. а) 75 ~ 2sinx = 6sinx - 1;
б)	72 + 4cosx = 3 cos х + 0,5.
•23.37. а) 73 sin x - 73sin2x - 2sinxcosx + 3cos2x = 0;
6)	cos x + 7s^n2jr 4sinxcosx + 4cos2x =0.
•23.38. a) 7^sin5x - cos2x - 3 = 1 - sin x;
6)	-72cos4x - sin2x - 2 = 1 + cos x.
Решите неравенство:
•23.39. a) 4 sin x cos x - 1 > 2 sin x - 2 cos x;
б)	1 + 2 sin x > 4 sin x cos x -l- 2 cos x.
•23.40. a) 4 sin2 x - 2(73 - l)sinx- 7s < 0;
6)	4 cos2 x - 2(ТЗ + 1) cos x + 73 > 0.
•23.41. a) sin x - cos x > 0;	в) sin x + cos x < 0;
6)	sin x - 7з cos x < 0;	r) 7з sin x + cos x > 0.
•23.42. a) sin2 x - 6 sin x cos x + 5 cos2 x > 0;
6) sin2 x - 6 sin x cos x + 5 cos2 x < 0;
в) sin2 x - 3 sin x cos x + 2 cos2 x < 0;
r) sin2 x - 2 sin x cos x - 3 cos2 x > 0.
г преобразование р тригонометрических выражений
$ 24. синус и косинус суммы и разности аргументов
24.1.	Представив 105° как сумму 60° + 45°, вычислите: a) sin 105°;	б) cos 105°.
24.2.	Вычислите:
a)	sin 15°;	в) sin 15° сое 15°;
б)	cos 15°;	г) cos2 15° - sin215°.
Упростите выражение:
24.3.	a) sin (а + Р) - sin а сое Р;
б) sin | - + а I з
fsina;
в) sin a sin р 4- cos (а + Р);
ч ( Я 1 v2 r) cos а + — + — зш а.
I 4 J 2
24.4. a) sin
5л	11
— - а - - сова;
О	1	£
б)	у/З cos а - 2 сов J
л/з	f	5х
в)	— sin а + cos а-------------г,
2	I	3 J
г)	>/2 sin I а - I - sin а. I 4 J
24.5. a) cos (а - Р) - сов a cos Р; б) sin (а + р) + sin (а - Р);
_ . sin (а + Р) - cos a sin Р.
',6, a) sin (а - Р) + cos к sin Р’ sin (а - Р) + 2 cos a sin Р.
°) 2 cos a cos Р - cos (а - Р)’
в) sin a cos р - sin (а - Р); r) cos (а - Р) - cos (а + Р).
сов (а + Р) + sin a sin Р. в* сов (а - р) - sin a sin р’
cos (а - Р) - 2 sin a sin Р Г* 2 sin а cos р - sin (а - Р)‘
137
24.7.	Представив 2х в виде х + х, докажите тождество: a) sin 2л = 2 sin х cos х; б) cos 2х = cos3 л - sin3 л.
Докажите тождество:
24.8.	a) sin (а + Р) + sin (-а) cos (-В) = sin а сое В;
б)	cos (а + Р) + sin (-а) sin (-₽) - sin а cos р.
24.9. а)	^совл+1	sin л = sin	
б)	1	-Уз 2 cos*- V	sin л = cos	
в)	cos л - 4 Л	и	sin л = sin	
г)	|СОБЛ+	sin л = cos	
24.10.	a) sin 5х cos Зх + cos 5л sin Зл = sin 8х;
б)	cos 5х сов Зх - sin 5л sin Зл = сов 8х;
в)	sin 7х сов 4х - сов 7л sin 4л = sin Зл;
г)	cos 2х сов 12л + sin 2л sin 12л = cos Юл.
24.11.	a) cos (а - Р) + sin (-а) sin р = сов а cos Р;
б)	sin (30° - а) - cos (60° - а) = ->/3 sin а;
в)	sin (а - Р) - cos а sin (~Р) = sin a cos Р;
г)	sin (30° - а) + sin (30° + а) = сов а.
V2cosa - 2cost 7 _ а 1
024.12. а)-----------т—-------1 = -V2tga;
Zsinlj + al-TSsina I б I
cos а - 2 cos I + a I
6)	---7-----r-*------L- - “78 tg a.
2 sin I a - " ] - sin a \ в)
Используя формулы сложения, выведите следующие формулы (их называют формулами приведения)!
24.13. a) sin (я - л) = sin x; 6) cos (я + x) = -cos x; 24.14. a) sin p| + л) = сов л; 6) cos - x 1 = -sin x;	в) tg (2я - л) = -tg x; r) ctg (я - x = -ctg X. в) tg - x ) = ctg л; r) ctg	+ xl = -tgx.
138
Вычислите:
24.15.	a) sin 74° cos 16° + cos 74° sin 16°;
6)	cos 23° cos 22° - sin 23° sin 22°;
в)	sin 89° cos 1° + cos 89е sin 1°;
r)	cos 178° cos 2° - sin 178° sin 2°.
24.16.	a) sin7 cos-i + cos 7 sin-—;
5	20	5	20
2я ™ 5я etn 2я «4» S’.
о) cos — cos —— sin — sin —;
7	7	7	7
B	) 81пЙс08ТТ + с05й“‘п‘ПГ;
r)cosilcosf-slnnsinr
24.17.	a) cos 107е cos 17° + sin 107° sin 17е;
6)	cos 36° cos 24° - sin 36° sin 24°;
в)	sin 63° cos 27° + cos 63° sin 27°;
r)	sin 51° cos 21° - cos 51е sin 21°.
24.18.	a) cos— cos— + sin— sin—;
8	8	8	8
6) sin-^ cos 7 + cos 77 sin 4;
15	5	15	5
в) cos — cos 7 - sin — sin —;
12	4	12	4
r) sin— cos4 - cossin4-
12	4	12	4
024.19. Докажите равенство:
a)	sin 75е cos 75° = 7;	в) sin 105е cos 105° = —7;
4	4
6)	cos4 75е - sin175° =	r) cos175° + sin175° = 1.
024.20. Решите уравнение:
a)	sin 2s cos x + cos 2s sin x = 1;
6)	cos 3s cos 5s = sin 3s sin 5s;
в)	sin 8s cos s + cos 6s sin x s т» &
v3
r) cos 5s cos 7s - sin 5s sin 7s = —7-. 2
189
024.21. Найдите наименьший (в градусах) положительный корень уравнения:
a)	sin х cos 45° + cos х sin 45° = = cos 17° cos 13° — sin 17® sin 13®;
6)	cos x cos 45® + sin x sin 45° =
- sin 200° cos 80° - cos 200° sin 80°.
024.22. Решите уравнение:
a)	cos 6x cos 5x + sin бх sin 5x = -1;
6)	sin 3x cos 5x - sin 5x cos 3x = 0,5.
024.23. Найдите корни уравнения на заданном промежутке:
a)	sin 0,2х cos 0,8х + cos 0,2х sin 0,8х = cos Зх cos 2х + + sin Зх sin 2х, х € [0; Зя];
б)	cos 0,7х cos 1,3х sin 0,7х sin 1,3х sin 7х cos Ох -- sin Эх сое 7х, х € [-п; я].
Решите уравнение:
024.24. а) >/2 cos | - х I - сое х = 0,5; 4 J
б)	V2 sin I + sin - = X-.
J5	ч/з 1
024.25.	a) sin x - —	cos	x =	1;	в)	cos x + — sin x	=	1;
2	2	2	2
6)	sin x - cos x =	1;	r)	>/3	cos x + sin x =	1.
024.26.	a) sin x +	cos	x	1;	в)	cos x - sin x	1;
6)	sin x + cos x =	1;	r)	-Jz	cos x - sin x =	1.
3	Tt
024.27. Зная, что sin t = —, 0 < t < вычислите: 5	2
a)	sin - + t \ 0
6)	cos f -77 + t
I 2
024.28. Зная, что cos t =	> % < t < n, вычислите:
13 z
a)	sin 11 + — I
\	6 J
6)	cos ft + у
в)	COS I t + —
6
r) sin j t +
140
024.29. Зная, что sin а = cos Р=4* 0 < а < ^, О < р <
найдите значение выражения: a) sin (а + р);	б) cos (а + р).
4	я	я
024.30. Зная, что sin а = =» cos Р =	. — < а < ж, т < р < ж,
О	17	2	2
найдите значение выражения:
a) sin (а + р);	б) cos (а + Р).
024.31. Зная, что sin а = sin р = О < а <	< Р < 2ж,
41	41	л л
найдите значение выражения:
a) sin (а + Р);	б) cos (а + Р).
5
024.32. Зная, что sin t = —
б) cos |
3
024.33. Зная, что cos t = —, О
б)	sin t----—
2
< t < я, вычислите:
в)	sin - t);
г)	cos f-j - Л I о 1
< t < 2ж, вычислите:
в) cos
г) cos 11 - T I l в г
4 a 15 я	я
024*34. Зная, что sin a = cos p =	т<ос<^»'^<Р<л»
0	17	A
вычислите:
a)	sin (a - P);	6) cos (a - p).
024.35. Зная, что sin p = cos a = -0,8, ж<Р<^, ^<а<ж,
вычислите:
a)	sin (a - P);	6) cos (a - P).
141
Решите неравенство:
024.36. a) sin 5х сов Зх - сов 5х sin Зх > £; х	х 2
б)	cos х сов — + sin х sm — <	;
'	2	2	7
в)	sin — cos — - cos — sin ~ '	4	2	4	2	3
r) sin 2x sin 5x + cob 2x cos 5x > —
024.37. a) sin x cos 3x + cos x sin 3x >
б)	cob 2x cos 5x - sin 2x sin 5x <
в)	sin x cos + cos x sin у < x	x	xx
r) cos — cos--sin— sin— > «i—.
2	4	2	4	2
•24.38. Докажите, что для любого действительного значения х
справедливо неравенство:
a)	sin (б + х) cos х < cos (5 + х) sin х;
б)	cos (7 - 2х) cos 2х > sin (7 - 2х) sin 2х.
024.39. а) Зная, что sin | х - — ] = 0,6 и < х <	вычислите
16 1	3	6
sin х,
б)	Зная, что сое ^х +	= -0,8 и < х < вычислите
сов х.
024.40. Определите знак числа а:
а)	а = (cos 1 + cos 2)2 + (sin 1 - sin 2)s - 2;
б)	а = (sin 3 + cos 4)1 + (cos 3 + ein 4)г - 1.
024.41. Сравните числа а - сое х cos 2х и b = cos Зх, если:
а) 0 < х < £;	б) < х < л.
024.42. Сравните числа а = sin х cos 2х и Ь = sin Зх, если:
а) < х < ir	б) я < х <
142
•24.43. Сравните числа а и b, если: sin 3 созЗ	sin 4	cos 4
a)	a — gin 4 ’ b — C(Je *	6) a — cog g * b — g|n g
«24.44. а) Зная, что cos (x + y) = a, cos (x - p) = t>, найдите tg x tg y. „	tgx
б)	Зная, что sin (x + y) = a, sin (x - y) = b, найдите
«24.45. Докажите, что не существует пары (х; у), такой, что:
a)	sin х cos у = 0,7; cos х sin у = 0,4;
-v	-Л .	. V5
б)	cos х cos у = J—; sm х sm у = ——. 3	2
•24.46. а) Докажите, что если tg (а + р) sin у = cos у,тоа + Р +
+ у= +яп;
б)	докажите, что если ctg (а + Р) sin у = -cos у, то а + р + + у = лп;
024.47. Постройте график функции:
<	. 11х ___ х + 10я	11х •_ х.
а)	у = sin —— cos — ------cos —- sin —;
5	5	5	5
б)	у = cos I 2х +	I cos f x + | j +
+ sin [ 2x + — | sinf x + — I 12 I I 4
Вычислите:
। ic	3i
•24.48. a) sin — + arccos— t
I 8	5 f
. . I n .81 в) sm-----arcsin— к
14	5 1
б) cos f 5 + arccos
I V
r) cos I — - arcsin —
I 2	13
•24.49.
4 lx ««Нт»1 arccosI —- + arcsin— i о J	O
f	3	IS
6) cos arctg + arcsin —-I	4	lo
•24.50. Докажите равенство: arcsin 4 - arccos = arctg
5	^5	2
143
Докажите равенство:
•24.51. arccos | + arccos I — 2	I 7
= arccos
4	S	16	к
•24.52. arcsin— + arcsin — + arcsin— = —. 5	13	65	2
§ 25. тангенс суммы и разности аргументов
Вычислите:
25.1. a) tg 15°;	6)tg75°; B)tglO5’; r)tgl650.
tg 25° + tg 20°
aj i _ 1*25° «20° ‘ 1 - tg7O°tg65°.
0) tg70° + tg65° ’
Упростите выражение: tg2,22 + tgO,92 . 2Э-3- «J 1-tg 2,22 tg 0,92’
tg9*4-tg51* .
B' l-tg9°tg51°*
1 + tg 54° tg 9° r) tg54°-tg9° ’
tg 1,47-tg 0,69 l + tgl,47 tg0,69"
25.4. a)
tgf^ + al+ tgf” -a]
l о J l о J
1 -tgfj + a)tgfj-«?
tg(45° + tt)-tg«
1 + tg(45° + a) tga"
Докажите тождество: 1 — tff a
°25.5. a)	=tg(45°-a);
6)tg^-x+tgx = tg^-xtgx-l;
I 4 J	14 j
tga + tgp tga- tgp
B) tg(a + p) tg(a-p)
r) tg I a + -7 | - tga = 1 + tg |4 + a 1 tga.
I 4 J	14	1
025.6. a) tg(a + 0) - (tga + tgp) = tg(a + p)tga tg0;
5) tg(a - 0) - (tga - tgp) = tg(p - a) tga tgp.
144
°25-7- a>	= tg Зх tg х;
25.8.	Представив 2х в виде х + х, докажите тождество tg2x=^_.
tg (а - В) - tg а + tg 0
025.9. Докажите, что значение выражения---_ pjt<p—
не зависит от значения р.
025.10. Вычислите: („	\	2
a)	tg — a L если tg а = -;
4 j	з
6)tg^a + -|^, ecnntga=^.
025.11. Известно, что tg а = tg р = Вычислите: в	о
a)tg(a + p);	6)tg(a-p).
025.12. а) Вычислите tg а, если tg а - 1 = 3;
б)	вычислите ctg а, если tg [ а + — 1 = 0,2. X * /
025.13. а) Зная, что tg a = 3 и tg (a + Р) = 1, вычислите tg Р;
б)	зная, что tg a - -у и tg (a - р) = 2, вычислите tg р. 4
025.14. Известно, что sin a = -тт» ж < a < Вычислите: a)tgfa + y^	6)tg(a-il
4 J	J
о	к
025.15. Известно, что cos a = 7, О < a < —. Вычислите: О	4
a)tg(a + |j
145
025.16. Дано: а - р = ^- Докажите, что:
, 1 + tg₽ .	,ч tga ~1	, Г.
а>	= ^а;	б) 1^771 = tgp.
025.17. Решите уравнение: tgx + tg3x _
а' 1 - tg х tg Зх “ 1’
tg5x -tg3x _ °) 1 + tg Зх tg бх
025.18. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [-л; 2л]:
.	tgj-tg2x
УЗ-tgx	--§------=
' 1 +Vitgx *	°' tg|tg2x + l
025.19. Решите неравенство:
tg 5 + tg X
а) —*-=---<U
' l-tgjtgx
б)
tg3x -1	.
tg3x + l
025.20. Решите систему уравнений:
ftg(x + у) = -3, [2 tg х tg у = 0;
4 teU - у) -4.
2tgx + tgy = 5.
•25.21. Вычислите р, если известно, что tg (а + р) = -3, tg (а - р) = = |и^<р<л.
•25.22. Вычислите:
f —	2
a) tg - + arctg у
6)tg
в) tg [£ - arcctg I о	<S
f 4	ft
г) tg arcsin — + arcctg -
•25.23. Докажите, что прямые у = 3х+1иу = 6-2х пересекаются под углом 45°.
•25.24. Точка К — середина стороны CD квадрата ABCD. Чему равен тангенс острого угла между диагональю АС и отрезком ВК1
146
§ 26.	Формулы приведения
Упростите выражение:
26.1.	a) sin
б)	cos (2я - О;
г) sin (л + t).
26.2.	a) sin (л - t);
б)	cos
26.3.	a) cos (90° - а);
б)	sin (360° - а);
26.4.	a) tg (90е - а);
б)	ctg (180° - а);
в)	сое (2л + 0»
г)	sin I 2	,
в) sin (270° + а); r) cos (180° + а).
в)	tg (270° + а);
г)	ctg (860° + а).
Вычислите с помощью формул приведения:
26.5.	a) sin 240е; б) tg 300°; в) cos 330°;	г) ctg 315°.
26.6.	a) cos —;
в) sin —i
б) sin
11л 6
026.7. a) sin 3090°;
в) cos 4650°;
б) tg 2205°;
г) ctg 4110°.
026.8. a) cos 630° - sin 1470е - ctg 1125°; б) sin (-7л) + 2 cos - tg
в) tg 1800° - sin 495° + cos 945°;
л _	( 49л f 21л
г) cos (-9л) + 2 sin —I - ctg I —
026.9. Упростите выражение:
a)	sin (90° - a) + cos (180° + a) + tg (270° + a) + ctg (360е + a);
6)	sin I £ + t ] - cos (л - t) + tg (л - t) + ctg v - *
I 6 I	\ “
147
Упростите выражение:
026.10. а)
cos(180° + а) сов (-а), sin (-а) sin (90е + а) *
sin (л - 0 сов (2ft - 0. tg(ft - О cos (я - О ’
sin (~а) ctg (-а)
) cos(360° -a)tg(180* + а)’
„ sin (ft + 0sin (2я + О
г)------------7я^---V
tg(x + 0cos| </+11 I а I
026.11. a)
cos (я - t) + сов
sin (2я - 0 - sin
sin2 (я - t) + sin21 J - t I “ sin (я - 0
tg(ft- t).
026.12. a)
sin3 (a - 270°)cos (360* - a), tg*(a-90°)cos3(a- 270°) ’
х]^[г + g] ~	+ x)
®	\	(Зя ~ cos (2 л - и) tg(llft - x) '
cos (л-x) ctg	1	*' •'
026.13. Докажите тождество:
tg(x-0
COS (я + 0
= tg4;
sin (я - 0 c*42 *] cos (2x - t) _ tg(« + O tjf5 + t’l sin(-t)
12	1
cos*(ft - 0 + sin3 |^-t]+cos(ft + t)cos (2ft - 0 t 6 J	2 .
= coe t;
в)
148
026.14. a)
Вычислите:
11 cos 287° -25 sin 557\ sin 17®	'
13 sin 469° - 8 cos 341°
б)
сое 19°
026.15. а)
2cos^ + 8sin^£ D	1U
cos? о
5sin^ + 2cos25.K
®—L*-
sin
026.16. a) sin 77° cos 17° - sin 13° сое 73°; б) cos 125° cos 5° + sin 55° сое 85°
026.17. a)
6)
* cos 105° cos 5° + sin 105’ cos 85’ . °26’18- a) sin 195° cos 5° + cob 195’ sin 185’ ’ sin 75’ cob 5° - cob 75’ cos 85’ 6) cos 375° cos 5’ - sin 15“ sin 365° ’
026.19. a)
tg380° + tg25’ tg 225’ + ctg 290° ctg 65“ ’
026.20. Известно, что ctg [	- x I = 0,4, tg f +
I A	J	I A
Вычислите: a) tg (x + y);	6) ctg (x - y).
Решите уравнение:
026.21. a) 2 cos (2л + x) + sin I + x I = 3;
I A J
6) sin (л + x) + 2 cos i + x = 3;
I A J
в) 2 sin (я + x) + cos - x j = —
r) 3 sin I £ + x I - cos (2л + x) = 1.
I A J
149
Решите уравнение:
026.22. а) б sin [ + х 1 &
-sin[^+xj-8 cos (2я - х) = 1;
I 6 J
б) sin (2л + х) - cos I - х 1 + sin (л - х) = 1. I “	/
026.23. a) sin2 (я + x) + cos2 (2л - x) = 0;
6) sin2 (я + x) + cos2 (2л - x) = 1.
026.24. a) sin | +
6) 2 sin (я - 3x) + cos (2л - 3x) = 0.
026.25. a)cos j- 3cos [n - | j= 0;
6) 5/3 sin I л - 11 + 3 sin [| - тЙ = 0.
026.26. a) sin3 x + cos
2 cos2 x = 0;
6) sin2 3x + 3 cos13x - 4 sin
в) sin2 x + 2 sin (я - x) cos x - 3 cos2(2n - x) = 0; r) sin1 (2ж - Зх) + 5 sin (я - Зх) cos Зх + 4 sin2 f
026.27. a) 3 sin1 — + sin — sin
2;
6) 2 cos3 t - 3 sin [ я - I cos [ 2л - 41 + 7 sin* - 3; '	2 I 2 I I 2 I 2
в) 4 cos3 I ? + « + + 3 cos3 (л + x) = 3;
r) 3 sin3 (x - —I - 2 cos I	1
'3 sin
sin (я + x) +
cos (я + x) +
+ 2 sin* (x - я) = 2.
150
026.28. a) 2 sin2 (я + x) - 5 cos I -^ + x I + 2 = 0;
I i J
6) 2 cos2x + 5 cos f — - x | - 4 = 0;
I2 J
в) 2 cos2 x + sin I - x | - 1 = 0;
I 2 J
r) 5 - 5 sin 3 (я - x) = cos2 (я - Зх).
026.29. a) 2 tg2 2x + 3 tg (я + 2x) = 0;
6) tg23x - 6 ctg - 8x) = 0.
026.30. a) 3 tg2 | - 2 ctg	1 = 0;
6) tg (я + x) + 2 tg | + x | + 1 = 0; I 2 J
в) 3 tg2 4x - 2 ctg - 4x1 = 1;
r) 2 ctg x - 3 ctg I - x | + 6 = 0.
1 Л I
026.31. a) sin2 x + cos2 2x + cos21	+ 2x j + 2 cos x tg x = 1;
6) 2 cos2 x - sin
* - ;Я+tgx tg x + ^ ] = 0. Л t	1	Л J
026.32. Постройте график функции:
а)	у = sin (Зя + Зх) sin I — - х | + sin I + Зх | sin (4я- x) + I 2 J I 2 J
. 99л +Sln —;
б)	у = cos (я + x) cos | Зя - 4 | - cos I % + x | cos I 2 J 12 J 2
16x
+ cos—•
•26.33. Докажите равенство:
a)
sin 50° + cos 50°
Л sin 85"
_ cos 40° - V3 sin 40° o O) -------шло	= л.
sin 190°
151
•26.34. Докажите, что:
a)	arcsin х + arccos х = хе [-1; 1];
б)	arctg х + arcctg х = £, х Е Я. £
Вычислите:
•26.35. a) arcsin
б) arccos
г) arccos
•26.36. a) arcsin
б) arccos
г) arcctg
•26.37. Постройте график функции:
а) у = arcsin (sin х); б) у = arcsin (cos х).
§ 27. Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени
Упростите выражение:			
27.1. а)	sin2< m t - sin t; cos t	B)	cos21 - cos 2t;
	sin 6t.	_Л	cos2t	. .
б)	co^3t’	Г)	cos t - sin t
	sin 40°,		sin 100°.
27.2. а)	sin 20°’	B)	2 cos 50°’
	cos 80°	-A	cos 36° + an218°
б)	cos 40° + sin 40° ’	Г)	008181°
27.3.	Вычислите:
а)	2 sin 15° cos 15°;
б)	(сое 75е - sin 75е)1;
в) cos2 15° - sin215°;
г) (cos 15° + sin 15°)2.
152
Вычислите:
27.4. а) 2sin — cos—; 8	8
б) sin|cos| + l;
tg75° ,
27,5. a) !_ ^750*
в) cos* t; - sin* 77
8	8
•t
27.6. a)
sin2t - 2 sin t.
cost - 1	*
6)
cos2t - cos2?.
1 - cos*t ’
27.7. a) tg t + ctg t ’ 2
6) tg i - ctg t ’
6) 2^12
“’ll-1
в) sin 2t ctg t - 1; r)2cos2i^ -2sin*^.
в) (1 - tg* t) cos* t;
r) (tg t + ctg t) sin 2t.
Докажите тождество:
27.8.	a) (sin t - cos t)* = 1 - sin 2t;
6)	cos’11 - sin*11 = cos 2t;
в)	(sin t + cos t)* = 1 + sin 2t;
r)	cos* t - sin* t = 1 - 4 sin* 2t. a
27.9. a) sin*2t = 1~?B4f;
6) 2 sin* + cos t = 1;
в) 2 sin* 2t = 1 + sin [	- 4/
I &
r) 2 cos* t - cos 2t = 1.
027.10. a) cos* 3t =
i + sinl^-et 2
„ f 3» A \ 1 - sin
в) sin* — + 2t 1 =	2	;
6)
1-cost _	, t_t
1 + cost “ 2*
r)
1 - cost t sin t ~	2‘
027.11. a) 1 + sin a = 2 cos* 145° - % k
I	b J
6)	2 sin*(45° - a) + sin 2a = 1;
в)	1 - sin a = 2 sin* ^45° - j r) 2 cos*(45° + a) + sin 2a = 1.
153
Докажите тождество:
027.12. а)	rinif = ctg(K + t) - 1;
Sin Г 006 г + sin t
в) (ctg t - tg t) sin 2t = 2 cos 2t;
1-cos» + sin» te(4 _
r) l + cos» + sin» ^["2	J”1’
__, sin2t	cost	._t.
027.13. a) 1 + coe2t l + coet	^2’
_____t
л\ a*”2* cost 008 2 _ t £
°' 1 + cos» l + coet 1j.z_t” e4' 1 + coe2
__ . .	. 1 - cos 2t + sin 2t _ * _ 4.
027.14. a) i + 8in 2t + «и 2t 2 *
1 + oos» - sin» _ . fit _
6) 1 + sin» + cos» ™(4 J
027.15. a) cos2t - cos2fi - 11 = -^sinfi - 2t \ 4	)	V2 \ 4
6) sin1t -	sin2 [ — - t | =	sin! 2t ~	4
(4 J	V2 (.	4
A sin 4x 027.16. a) cos x cos 2x = 4rin
sin 8x 6) cos x cos 2x cos 4x =	•„
О 8111 Jt
sin 4x
в) sin x cos 2x = 4^^^’ . .	_	. sin8x
r) sinx cos 2x cos4x = r-
027.17. Проверьте числовое равенство:
a)	sin 18° cos 18е* cos 36° = sin 72°;
6)	sin 18° cos 36° = 4.
4
154
027.18. Упростите выражение — coe2t + ^/1 + сое2t, если: a) * « Г|; л1; л
2л ; . 2
6) t €
в)	t € |0; |J; r)t€ Гл;|| .
27.19	. Вычислите (с помощью формул понижения степени):
a)	sin 22,5°; б) сов 22,5°; в) sin г) cos 77. О	о
027.20. Вычислите:
a)	sin 11° 15' cos 11°15' сое 22’30' cos 45°;
б)	sin cos	сов ~ сое 77.
7	48	48	24	12
„„ v 1 + cos 40° + сов 80° . _ япо.
027.21. a) J.ay.rt.ao, tS40 ;
_ 1 - сов 25° + cos 50е	. йео
б> sin 50°-sin 25°------*65-
sin 125° cos 125®,	сов 150° _ sin 150°
027.22. а) 55» cos 55°’	6> sin 40® cos 40° *
•27.23. a)
cos— + sin-x I cos3 7
8	8 1	8
-sin’f
oiv, 7я(\™,4 7л oin4 7л\
6)	sin—cos — - Sin — |
в)	f cos -7: - sin 77 Y cos3 77 + sin3 77 У, Ц 12	12	12	12/
r) Sin£(cose£ - sin’ll
лЯ_ V • 2 Зя 2 Зя . 4 ®Я ,	4 Зя , - в Зя _______в Зя,
•27.24. a) sin -т- + cos — + sin -5- + cos -т- + sin — + cos’ —;
о	о	о	о	о	о
1 5я . 2 5я 4 5я . 4 5я . « 5я , в 5я б) cos — - sin — + сов — - sin — + cos -т- - sin —.
О	О	О	О	О	<5
•27.25. a) cosi cos-Ц сов^ совЦ сов^;
б) cos^ cos || cos If cos II cos— 608 W-
155
•27.26. Докажите равенство:
а)	8 сов 10е сов 20е сое 40е = ctg 10°;
б)	sin 70° + 8 сое 20е сов 40е сов 80° = 2 сое2 10е. & л
027.27. Известно, что sin t = — > — < t < я. Вычислите:
a)	sin 2t; б) cos 2t; в) tg 2t; г) ctg 2t.
027.28. Известно, что сов х = 0,8, О < х < 7. Вычислите: a) sin 2х;	б) cos 2х;	в) tg 2х;	г) ctg 2х.
027.29. Известно, что tg х =	180° < х < 270°. Вычислите:
a) sin 2х;	б) cos 2х;	в) tg 2х;	г) ctg 2х.
О27.Э0. а) Известно, что cos t = 7, 0 < t < 7. Вычислите: t	.	t	.	t	.	t
cos	sin	tg	-,	Ctg
б) Известно, что ctg t = n < t < Вычислите: t	.	t	.	t	.	t
cos	sin	-,	tg	Ctg
027.31. а) Известно, что sin 2x =	, 7 < x < n. Вычислите:
a £
cos xt sin x, tg xT ctg x. 3
б)	Известно, что tg 2x = —  Л < x < —. Вычислите: cos x, sin x, tg x, ctg x.
„ _Л . _	, x	„	2x к 2x + Jt
027.32. а) Зная, что tg — = а, найдите sin —-—, cos —-—;
£ £ £
, x	_	. x - Зя x + Зя
б)	зная, что tg — = а, найдите sin —-—, cos —-—-4	£	£
•27.33. а) Зная, что сое 4х = —fL < х < %, вычислите sin х oZd 4	£
б)	зная, что сов 4х = ^7, % < х < 77, вычислите tg х.
О1 £	4
027.34. Вычислите sin
если:
. . (х я ]
а)	sin 2" б =в;
156
027*35. а) Известно, что sin 2а = Вычислите sin4 а + cos4 а, 8
49 я
б)	Известно, что sin4а + cos4а = — и — < а < я. Вычис-
лите sin 2а.
027.36. Известно, что сое 2х = Вычислите:
13
a) sin4 х + cos4 х;	б) sin* х - cos’ х.
007.37. Сравните числа а и Ь, если:
а) а = sin b =	б) а = tg 7, Ь =
J.&	4	О	&
027.38. Выразите:
a)	sin Зх через sin х; б) cos Зх через сов х.
027.39. Опираясь на результаты № 27.38, сформулируйте необходимое и достаточное условие для выполнения равенства: a) sin Зх = 3 sin х;	б) cos Зх + 3 cos х = 0.
027.40. а) Зная, что Дх) = sin х, Да) = 0,1, вычислите ДЗа);
б)	зная, что Дх) = sin х, Да) = 0,26, вычислите Д4а);
в)	зная, что Дх) = cos х, Да) = -0,1, вычислите ДЗа);
2
г)	зная, что /(х) = cos х, Да) = вычислите /(4а).
з
•27.41. а) Зная, что 15 cos 2t + 8 sin t = 9 и 1 < f < 3, вычислите tg*;
б) зная, что б cos 2t + 5 сов ( + 3 = 0и4<(<6, вычислите ctg t.
•27.42. а) Докажите, что если sin’ x sin у cos у, to cos 2x
= 2 cos’
б) докажите, что если cos’ x = sin у cos у, to cos (я + 2x) = л , f n A
= 2 sin’ 7 - У k
I 4 j
157
•27.43. а) Известно, что tg х = 7, sin у =	0 < х < —, 0 < у < — *
7	10	А	Z
Докажите, что х + 2у = 7	7	3	я
б) Известно, что sin х = —, cos у =	созг=—, 0<х<—,
25	Zu	и	Z
JC	я	и
О < у < —, 0 < z < —. Докажите, что х + -т = з. 2	Z	Z
2 •27.44. а) Зная, что t = 2 arccos —, вычислите sin t, cos t, tg t, ctg 1;
5 ( 3>
б) зная, что t = 2 arctg I ~ k вычислите sm t, cos i, tg t, ctg t;
( 5 A в) зная, что t = 2 arcsin I k вычислите sin t, cos 1, tg f,
ctg t;
12 г) зная, что 1 = 2 arcctg —. вычислите sm t, cos t, tg t,
ctg t.
•27.46. а) Зная, что t = arccos 7, вычислите sin 7, cos 7, tg 7! 5	Z Z Z
( з'Ъ	. 1 t . t.
б)	зная, что t = arctg L вычислите sin —, cos —, tg —; I	4 I	Z	Z	Z
V	.	.	(	5 1	.1	t	.	t.
в)	зная, что t = arcsin	I» вычислите sm cos —, tg —,
I	1.0 J	z	z	z
г	. x 12	. t t . t
г)	зная, что t = arcctg —» вычислите sin 7, cos tg —. v	z z z
Решите уравнение:
27.46. a) sin 2x - 2 cos x = 0; в) sin 2x - sin x = 0;
6)	2 sin x = sin 2x; r) sin 2x - cos x = 0.
168
С/2Ц.4&. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку [0; 2л):
a)	cos 2х + 3 sin х = 1; в) cos 2х = cos* х;
б)	sin* х = -cos 2х;	г) cos 2х = 2 sin* х.
О2Я.4&. Решите уравнение:
а)	2 - cos 2х + 3 sin х = 0;
б)	cos 6х - cos Зх - 2 = 0;
в)	26 sin х cos х - cos 4х + 7 = 0;
г)	sin4 х + cos4 х = sin х cos x.
027.50. Найдите (в градусах) наибольший отрицательный корень уравнения:
gin 22,5° cos 22.5°
а> 008х = сое2 87,5»-sin2 67,5»;
ап® 75» - сое* 75“ б) sinx- 4slni5« coeigo •
Решите уравнение:
027.51. а) 3 sin 2х + cos 2х = 1; б) cos 4х + 2 sin 4х = 1.
027.52. а) 4 sin х + sin 2х = 0, х 6 [0; 2я];
z \	/	\ /о	Г Зтс
б) cos2| Зх + — I - sm2 I Зх + — | + — = 0> х € к
4 J I 4 J 2	L 4
О27ЛЗ. Сколько корней имеет уравнение:
a) (cos х - sin х)2 = 1 - 2 sin 2х, на отрезке
20х. 28я~1
9 * 9 J’
б) 2 cos2 2х - 4
I 4
2 sin2I - 2х 1 + 1 = 0t на
14 J
отрезке
л, Зя
2* 2
?
Решите уравнение:
027.54. а) 1 - cos х = 2 sin
б)	1 - cos х = sin х sin £
027.55. a) sin® 2х = 1;
б)	cos® (зх - 41 - 7’
I 4 }	4
в)	1 + сое х = 2 cos
2’
г)	sin х = tg* (1 + сое х). £
в) sin® (гх -
(	6 I 4
г) сое* (х + -^1= 1.
159
027.56. Найдите корни уравнения, удовлетворяющие неравенству |х| < 4:
а) 4 sin1 х + sin8 2х = 3; б) 4 cosa 2х + 8 совах = 7.
•27.57. Решите уравнение:
a)	sin 2х + 2 sin х = 2 - 2 cos х;
б)	4 sin 2х + 8 (sin х - cos х) - 7.
027.58. Докажите тождество:
2tg|	l-tg2|
a)	sin х =----;	б) сов х =------
i + tff	i + tg«f
027.59. Используя замену и = tg и тождества из упражне-
ния 27.58, решите уравнение:
a) sin х + 7 cos х = 5; б) 5 sin х + 10 cos х + 2 = 0.
027.60. Вычислите tg если известно, что:
a)	sin х + cos х = 1,4; О < х < р
б)	sin х - cos х = 0,2; я < х < тр
Решите неравенство: 027.61. a)4sin23x< 3;
027.62. a) sin 2х cos 2х <
027.63. a) cos2 2х - sin2 2х < -1;
б)	sin 5х cos 5х >
&
б)	4 cos2 -j > 1.
б)	cos2 - sin2 j >
в)	sin2 Зх - cos2 Зх < -1;
Яу 9г 1
г)	sin -§ cos
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: 027.64. а) у = 2 cos 2х + sin2 х;	б) у = 2 sin2 Зх - сов бх.
027.65. а) у = 3 - sin х + cos 2х;	б) у = сое 2х + 4 cos х - 1.
•27.66. а) у = sin Зх + cos 2х + 4 sin3 х;
б)	у = cos Зх + cos 2х - 4 cos3 х.
027.67. Постройте график функции:
а)	у = 4 sin — cos —;	б) у = 2 cos х.
160
Постройте график функции:
_______ v /1 + COS X 027.68. а) у =
6)0 =
„ ЛА х sin 2л\	sin 2х
027.69. а) у =	6) У =
cos 2х	cos 2х
а) У = sinx-соех + sin х; в) * = cos х +sinx + 8“ «
cos 2х	сое 2г
б> У = cos х +sinx + с08*; Г) У = cosX-sinx - СОвЖ-
027.71. а) у =
2 sinx cos х, если х < О,
2 sin2 4. еслих > 0;
4
6)0 =
(sin х + cos х)\ если х < 4*
4
2 + 7 - х, если х > 4* 4	4
•27.72. а) у =
б) у =
sin 2х
| sin х|’
sin2x
—2[ cos х | *
в)0 =
г)у =
sin 2х
-|cos х(’
sin 2х
2| sin х |'
fi - cos 2x yl + сое 2ж‘
§ 28. Преобразование «уммы тригонометрических функций в произведение
Представьте в виде произведения:
28.1	. a) sin 40° + sin 16°;	в) sin 10° + sin 50°;
б)	sin 20е - sin 40°;	г) sin 52° - sin 36°.
28.2	. a) cos 15° + cos 45°;
6)	cos 46° - cos 74°;
в) cos 20° + cos 40°;
г) сов 75е - cos 15°.
28.3. a) sin	- sin 6) sin	+ sin j;	в) sin + sin y? v . я	я г) sin g - san jp
6 - Могшыиш
161
Представьте в виде произведения:
J	к	Tt ,
28.4. a) cos jg - cos
б)
___11л , _ Зя. cos -jg- + cos -j-;
в) сов 5 - cos YjJ
Зя 5я г) cos "g" + cos
28.6. a) sin St - sin t;
6) cos (a - 20) - cos (a + 20);
в) cos 6t -t- cos 4t;
r) sin (a - 20) - sin (a + 20).
28.6. a) tg 25° + tg 35е;
6) tg 5 - tg Jo» 028.7. a) 4 - cos t;
6)	+ sin f;
в) tg 20° 4-tg 40°; r)tg| -tgj.
в) 1 + 2 cos t;
r) cos t + sin t.
028.8. a) sin 5x 4- 2 sin 6x + sin 7x;
6) 2 cos x + cos 2x 4- cos 4x.
028.9. a) sin t 4- sin 2t 4- sin 3t 4- sin 4t;
6) cos 2t — cos 4t — cos 6t 4- cos 8t.
Докажите тождество:
„„ „ л	.	sin	2a +	sin 6a	х л
28.10.	a)	cos	2a +	cos 6a	= *8 4a;
„	cos	2a -	cos 4a	. _
6)	cos	2a +	cos 4a	- tg 3a tg a.
028.11. a)
sin (a + 0) + sin (a - 0) _ cos (a + 0) + cos (a - 0) — tg <X,
6)
cos(a-p)-cos(a+B) = sin (a + 0) - sin (a - 0)	** a‘
028.12. a) sin x 4- sin у 4- sin (x - g) = 4 sin cos cos *g sin x + sin 2x + sin 3x _
°' cos x 4- cos 2x 4- cos 3x “*g
028.13. a) sin2 (a 4- 0) - sin2 (a - 0) = sin 2a sin 20;
6) cos2 (a - 0) - cos2 (a 4- 0) = sin 2a sin 20.
162
Вычислите;
«oft 1 л .сое 08е - cos 22“ 028.14. а) 8jn 68° - sin 22е
Bin 130е + sin 110е в) сов 130° + сое 110е
e(n 7я . я “"Тя“ “ о
б) 1S-----2-
' 7я _ к
ooe^-cosj
. 5я . 11л г)
' СО. 5Я 4.	11я
“•18	"9^
__	. sin а + sin За + sin 5а + sin 7а	. .	_ _
028.16. a) cog а + cog зо + cos 5<ц + cos 7а’ если 4а - 0,2;
. sin х - sin 2х + sin Зх ~ sin4x	5х
°) cosx-cos2x + cos3x-cob4x’ если4 ~ 2*
•28.16. a) sin210° + sin2130° + sin2110°;
б)	cos* 35° + cos* 25° - cos2 5°.
«28.17. a) cos 24* + cos 48° - cos 84° - cos 12°;
6)	tg 9° - tg 63° + tg 81° - tg 27°.
Проверьте равенство:
28.18. a) sin 35° + sin 25’ = cos 5°; в) cos 12“ - cos 48“ = sin 18°;
6)	sin 40“ + cos 70° = cos 10°; r) cos 20° - sin 50’ = sin 10*.
028.19. a) sin 20° + sin 40° - cos 10° = 0;
6)	cos 85“ + cos 35’ - cos 25° = 0.
028.20. a) sin 87“ - sin 59° - sin 93° + sin 61’ = sin 1°;
6)	cos 115“ - cos 35° + cos 65’ + cos 25° = sin 5°.
«28.21. a) sin 47“ + sin 61“ - sin 11° - sin 25° = cos 7е;
6)	tg 55“ - tg 35° = 2 tg 20°.
•28.22. Докажите, что если a + p + у = л, то выполняется равенство:
a)tga + tgp + tgy=tgatgptgy;
б) sin a + sin Р + sin у = 4 cos cos cos
028.23. а) Зная, что sin 2х + sin 2у = а, сов 2х + сов 2у = Ъ (а # О, Ь * 0), вычислите tg (х + у);
б) зная, что sin х - sin у-а, сов х - cos у = b (в и О, Ъ # 0), , х + и
вычислите ctg —g-*.
в*
163
•28.24. Докажите:
а)	если 2 sin х = sin (х + 2у), то tg (х + у) = 3 tg у;
б)	если 2 cos х = cos (х + 2у), то ctg (х + у) - 2 tg х =
= tgx + ctg у.
•28.26. Докажите:
а)	если cos1 х + cos* у = т, то cos (х + у) cos (х - у) = т - 1;
б)	если cos1 (х + у) + sin* х + sin* у = т, то
sin х sin у cos(x + у) = 1
Решите уравнение:
028.28. a) cos х + cos Зх = 0;	в) cos х = cos бх;
б)	sin 12х + sin 4х = 0;	г) sin Зх = sin 17х.
028.27. a) sin х + sin 2х + sin Зх = 0;
б)	cos Зх - cos бх = sin 4х.
028.28. a) sin Зх = cos 2х;
б)	sin (5л - х) = cos (2х + 7я);
в)	cos бх = sin 1бх;
г)	sin (7я + х) = cos (Эя + 2х).
028.29. а) 1 + cos бх = 2 sin* бх	в) sin* j = cos2
б) сое* 2х = cos2 4х;	г) sin* х + sin* Зх = 1.
028.30. а) 2 sin* х + cos 5х - 1;
б) 2 sin* Зх - 1 = cos® 4х - sin® 4х.
028.31. a) tg х + tg бх = О;	в) tg 2х = tg 4х;
б) tg Зх = ctg х;	г) ctg | 4- ctg	=0.
028.32. a) sin х 4- sin Зх + cos х 4- cos Зх = 0;
б) sin бх 4- sin х 4- 2 sin® х = 1.
028.33. Сколько корней имеет заданное уравнение на отрезке И
a)	sin 2х + sin бх = cos 2х;
б)	2 cos* х - I = sin Зх?
028.34. Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку (0; 2,5):
a)	cos бх 4- cos 8х = cos 10х 4- cos 12х;
б)	sin 2х 4- 5 sin 4х 4- sin бх = 0.
164
028.35. При каких значениях х числа а, Ь, с образуют арифметическую прогрессию, если:
а)	а = cos 7х, 6 = cos 2х, с = cos Их;
б)	а = sin Зх, b = cos х, с = sin 5х?
028.36. Решите неравенство:
a)	sin [ х + — ] + sin I х - — I < 1; X / X /
б)	cos f 2х + т; 1 + сов ^2х - £1	”•
028.37. Постройте график функции:
,	, - (	9х + Юл , 9х - Юл \
а)	у = 1,51 сов---+ cos-------------к
16	о )
л ( * Ох + 2л . Ох - 2я
б)	у = 2 sm—5— + sm—-— L I	43	43	1
•28.38. Постройте график уравнения:
a)	sin 2х = sin 2у;	б) cos 2х = сов 2у.
§ 29.	преобразование произведения тригонометрических функций в сумму
Представьте в виде суммы: 29Л> a) sin 23° sin 32°; тс тс, б) cos cos g>
в) sin 14° cos 16°;
V Л - Я Я
г) 2 sin g cos g*
29.2. a) sin (a + Р) sin (a — P);
6) cos (a + P) cos (a - P);
. fa .PA fa В
в) cos -g + 2 |cos 2 “ 2
r) 2 sin (a + P) cos (a - P).
29.3.	a) cos a sin (a + P);
6)	sin (60° + a) sin (60е - a);
в)	sin p cos (a 4- p);
r) cos I a + 4 I cos | a - т I
I 4 J I 4 J
029.4. a) sin 10s cos 8° cos 6°;
029.5. a) sin x sin у sin a;
029.6. a) sin3 x cos 4x;
6) 4 sin 25° cos 15е sin 5е.
6) cos x cos у cos z.
6) cos3 2x sin 3x.
165
Докажите тождество:
029.7. a) 2 sin t sin 2t + cos 3t = cos t;
6) sin a - 2 sin (j - 15’lcos + 15° 1 = |
029.8. a) sin2 x + cos
£ 4
6) 4 sin
- 4 sin2 x.
029.9. a) 4 sin x sin! — - x 1 sin 13 I
- sin 3r;
6)tfxtg|£-*]tg[£ + x|=tg3x.
1 •	/ I I
•29.10. cos2 (45° - a) - cos2 (60° + a) - cos 75° sin (75° - 2a) = sin 2a.
•29.11. a) sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x +	+ sin nr -
sin sin
— ______£_______
sin f A
6)	cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x +	+ cos nx =
Вычислите:
029.12. a) cos2 3° + cos2 Iе - cos 4’ cos 2’;
6)	sin2 10° + cos 50е cos 70’.
°291»- •> 2S1,! 10- - 2 Sin ™=;	•>	+ 4 “» lo°°-
029.14. a) 2 sin 87° cos 57’ - sin 36°;
6)	2 sin 59° sin 14’ + sin 163°.
029.15. a) sin 12’ cos 72’ - cos 33° cos 27°;
6)	2 cos 28° cos 17° - 2 sin 31° sin 14* - 2 sin 14° sin 3°.
•29.16. a) cos 10° cos 30° cos 50° cos 70°;
6) sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°.
166
029.17. Сравните числа:
а)	а = sin 1 cos 2, b = sin 3 cos 4;
6)	a = cos 2 cos 4, b = -sin 3,5 sin 2,5.
•29.18. Докажите неравенство:
a)	sin (x + 2) cos (x - 2) < sin (x + 3) cos (x - 3);
6)	cos (2x - 3) cos (2x + 3) > sin (1 + 2x) sin (1 - 2x). «29.19. а)Зная, что cosx = 4, вычислите 16 sin 4 sin тг»
3 я
б) зная, что cos x = —gt -^ < x < л, вычислите
125 sin 4 cos
A	и
Решите уравнение:
029.20. a) cos [ x + | cos I x - 4 | - 0,25 = 0;
(	3	J	\	3)
6)	sin I x	+	— I cos	I x - 4 | =	1.
\	3 >	\ 3)
029.21. a) 2 sin x	cos 3x +	sin 4x = 0;
* x * Зх 1
6) Sill SIH -g- — 'g*
029.22. a) sin 3x cos x = sin cos
6) 2 sin 14 + x I sin (4 - x | + sin® x = 0;
I 4 J 14	\
в) sin 2x cos x = sin x cos 2x;
r) cos 2x cos x = cos 2,5x cos 0,5x.
029.23. Найдите наименьший положительный и наибольший отрицательный корень уравнения:
a)	sin х sin Зх = 0,5; б) cos х cos Зх = 0,5.
029.24. При каких значениях х числа а, Ь, с образуют геометрическую прогрессию, если:
а)	а = сов 6х, b = cos 4х, с = сое 2х;
б)	а = sin 2х, b = sin Зх, с = sin 4х?
167
029.25. Решите неравенство:
a) sin
— + х | sin [ — - х | < О; 8	)	(8	)
,ч . л , х i (я iK п 6) sin — + — cos — - — > О;
^6	2 J (6	2)
в)	sin (x - 7^1 cos (x +	0;
12 J	12)
Зх + я Зх-я _ л г) cos —g— cos —g— > 0.
•29.26. Решите систему уравнений:
a)
staiiX cos^X = 1, £t	£	£
029.27. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:
а)	у = sin х + £ I cos I х - I I Q J t	J
•29.28. Постройте график функции:
Постройте график уравнения:
•29.29. а) 2 sin (х + у) cos у = sin х;
б)	2 сов (х + у) cos х = cos у.
•29.30. a) cos Ц cos = cos* f; ь	/5	&
в)	sin .4<г;1) cos	cos’ [l - U
168
§ 30.	преобразование выражения Л sinx + В cosx к виду Csin (х+1)
Преобразуйте данное выражение к виду С sin (х + t) или
С cos (х + t):
б) sin х + 73 cos x;
30.2. a) 3 sin x + 4 cos x;
6) 5 cos x - 12 sin x;
O30.3. Докажите тождество:
a) sin x + cos x + -72 =
в) sin x - cos x;
r) 2 sin x - 712 cos x.
в) 7 sin x - 24 cos x;
r) 8 cosx + 15 sinx.
272 cos* I fi о
б) cos 2х - sin 2х - -72 = -2-72 sin* I х + £ I о
O30.4. Преобразуйте сумму в произведение:
a)	sin t + сов t + 5 cos 11 + -7 E
I 4 Г
б)	sin t - cos t + -734 cos 14 - t I 4
O30.5. Вычислите:
sin 38° - cos 38й
a) .	« *70	’
sin 17° + y3 cos 17й. 2 cos 347й
sin377’-v3c cos 407°
г)
sin 752й + cos 328° V2 sin 437°
оЗО.б. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции:
а)	У = ТЗ sin х + cos х;
б)	у = sin х - -Тз cos х;
в)	у = sin х - cos х;
г)	у = -Тб sin х - -72 сов х.
О30.7. Найдите область значений функции:
а)	у = 3 sin 2х - 4 сое 2х;
б)	у = 5 сов Зх + 12 sin Зх;
в)	у = 7 sin + 24 сов
г)	у = 8 сов - 15 sin
169
О30.8. Существуют ли значения х, равенство:
a)	sin 5х + cos 5х = 1,5;
б)	3 sin 2х - 4 cos 2х - V26;
в)	sin 7х ~ Vicos 7х =
г)	5 sin х + 12 cos х = V170?
О30.9. Постройте график функции: а) у = 42 (sin х + cos х);
б)	у = -«/З sin х + cos х;
при которых выполняется
в) у = sin х - 4з cos х; г) у = sin х - cos х.
Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: оЗОЛО. а) у = cos х - 2 sin х - 1;
б)	у = [5sinx + 12cosx - 17[;
в)	у = 3 cos | + 4 sin - 5;
г)	у = |7 sin 2х - 24 cos 2х| + 15.
•30.11. а) у ~ cos х - VI sin х + 2>/з cos I 7 - х
б) у = cos 2х + sin 2х - 4? sin I - 2х
I 4
030.12. При каком значении параметра а наибольшее значение заданной функции равно числу М: а) у = б sin 1,5х - 8 cos 1,5х + а, М = 17;
б) у = 7 sin О,3х + 24 cos 0,3x + а, М = -17?
030.13. При каком значении параметра а наименьшее значение заданной функции равно числу т: а) у = -9 sin 1,4х - 12 cos 1,4х + а, т = 1;
б) у = 3,5 sin 0,2х - 12 cos 0,2х + а, т = -1?
•30.14. При каком значении параметра а наибольшее значение функции у = Дх) равно наименьшему значению функции У = SU):
a) = 7 sin 5х - 24 cos 5х + а 1, £(х) = 3-2 cos 4х; б) Дх) = 9 sin (х - 2) + 12 cos (х - 2) - 5 - а, g(x) = 2 + 7 sin (2х + 1)?
030.15. Решите уравнение:
а)	л/З sin х + сов х = 1;
б)	sin х + cos х = 42;
в) sin х - VI cos х = VI;
г) sin х - cos х = 1.
170
Решите уравнение: ОЭ0Л6. a) cos 2х + 7з sin 2х = 72;
б)	sin 5х - cos 5х =
2 ’
в)	cos 4 - 7з sin ~ 4-1 = 0;
г)	sin + cos “5 = 1»
030.17. а) 4 sin х - 3 cos х = 5;
б)	3 sin 2х + 4 cos 2х = 2,5}
в)	12 sin х + 5 cos х + 13 = 0;
г)	5 cos f - 12 sin 4 =6,5. л	С
030.18. a) sin 2х - cos 2х = >/2 sin Зх;
б)	>/з sin х - cos х = 2 сое Зх;
в)	sin 5х 4 cos 5х = 5/2 сое х;
г)	sin 2х + >/з сов 2х = 2 sin 4х.
•30.19. а) 2 sin 17х + V3 cos 5х + sin 5х = 0;
б) 5 sin х - 12 сов х + 13 sin Зх » О.
•30.20. a) (sin х + >/з cos х)1 - 5 =
я
6 Х
cos
б) (л/Звтх - cosx) + 1 = 4 coslx + £
I 3
12 «30.21, a) v3 sin x + cos x + 2 = — x;
5r
6) 72 (cos x - sin x) = 2x -&
ОЭ0.22. Решите неравенство:
а)	л/з sin x + cos x > 1;
6) 3 sin x - 4 cos x < 2,5.
030.23. При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений:
а)	5 sin 2х + 12 сов 2х = 2а - 1;
6)3 cos 7 -4sin<+ 1=а*? & &
171
Докажите, что при любых значениях х выполняется неравенство:
030.24. а) 2 sin* х + sin 2х < 2,5;
б)	16 sin* Зх + 15 sin 6х < 25.
•30.25. а) 3 sin х + 5 сое х < ^210;
б)	7з sin х - 7 сое х -^390.
030.26. При каких значениях параметра а решением неравенства является любое действительное число х: а) 12 sin 2х - 35 сое 2х < 148а2;
б)	35 sin Зх + 12 сое Зх > 18,5(а2 - 10)?
$ 31. методы решения тригонометрических уравнении
(продолжение)
Решите уравнение:
031.1. a) sin (х - 1) = cos (х + 2);
б)	sin (Зх + 3) = cos (х - 1).
031.2. a) sin х sin 5х - cos 4х;	б) cos х cos 5х = cos 6х.
031.3. sin | х + - | + сое (х + 1 = 1 + cos 2х.
\	6 J к 3)
031.4. а) 2 сое2 5х + сое Зх = 1;
б) sin 5х + sin х + 2 сов2 х = 1.
031.5. а) 8 sin2 |-3sinx-4 = 0;
б) 4 sin2 у - сое2 = 1,5 + sin х.
031.6. a) sin2 х + sin2 2х + sin2 Зх = 1,5;
б) cos2 2х + cos2 4х + сое2 6х = 1,5.
031.7. a) sin2 4 + sin2 х + sin2 ~ + sin2 2х = 2; £ £
б) cos2 х + cos12х + сое2 Зх + сов2 4х = 2.
031.8. tg (х - 15е) ctg (х + 15°) =
172
Решите уравнение:
•31.9. 8 sin6 х + 3 cos 2х + 2 cos 4х + 1 = 0.
•31.10. а) 5 sin Зх + 2 sin х = 0; б) 7 сов Зх - 3 cos х = 0.
•31.11. а) 3|сов х| + 2 cos х = 5|sin х| - 3 sin х;
б) 7|cos х| - 4 cos х = 3|sin х| + 2 sin х.
031.12. а) 4 cos* + 3>/2 sin х = 8 сое j;
б) ~ cos 4 = сов* 4 + sin 4.
4	4	4	Z
031.13. cos4 х + sin4 х - sin 2х + % sin2 2х = О.
4
031.14. а) сов 4х + 5 сов2 х = 0,75;
б) cos 4х + 3 sin2 х = 0,25.
031.15. 2 sin2 х - cos 2х = sin х.
•31.16. tg х + ctg x = 3 + cos 4x.
031.17. Решите уравнение 2 sin x - 3 сов x = 3 двумя способами:
а)	с помощью универсальной подстановки и = tg 4;
&
б)	сведя его к однородному уравнению второй степени отно-
сительно аргумента
А
Решите уравнение:
031.18. а) 3 sin 2х + сов 2х = 2; б) сов 4х + 2 sin 4х = 1.
•31.19. sin 2х + tg х = 2.
031.20. Применив подстановку у = cosx - sinx, решите уравнение 4 - 4(cos х - sin х) = sin 2х.
Решите уравнение:
•31.21. a) sin х cos х + 6 cos х + 6 = 6 sin х;
б) 5 sin 2х - 11 сов х = 11 sin х - 7.
•31.22. 2(1 - sin х - сое х) + tg х + ctg х = 0.
•31.23. a) cos = cos2 х;	б) 32 сое* х - cos бх = 1.
173
Решите уравнение:
031.24. sin 5х + cos 5x = 42 cos 13л.
031.25. a) 3 cos (x + 1) - 4 sin (x + 1) = 5;
6) 15 sin {2x - 3) + 8 cos (2x — 3) = 8,5.
= 4 cos x.
10 tgx •31.29. Найдите корни уравнения cos4x + т—= 3, принад* i + tr x
лежащие отрезку [-2; 1,4].
Решите уравнение: ж	5
•31.30. 3tg £ + ctgx =
•31.31. cos 2х - 3 cos х + 1 = 2х - ctg х) sin (х - л)'
лО- оо (1 + ctgx) _ 031.32.	• J= 3 сое х.
SU1 х — соех
л0109	. 2 - sinx + cos2x
031.33. а) —тт—	а = О;
OJt — JtX “ я
6sin2x - 6sinx + сов2х + 1
6)	^-вях + л2 ~ °-
•31.34. а) 2 ctg Зх - 2 tg Зх - 4 tg 6х = 1;
б) ctg x-tgx-2tg2x-4tg4x = 8tg 8х.
•	31.35. 6 tg х + 5 ctg Зх = tg 2х.
•	31.36. sin 5х + sin х = 2 + 2 cos’* x.
•	31.37. (sin x + 7з cos x) sin 3x = 2.
•	31.38. cos 2x fl - -Isin8 2x1 = 1.
I 4	J
174
Решите уравнение:
•	31.39. sinx + cosx = V2 + sin44х.
•	31.40. V9 - Xs (sin 2x - 3 cos x) = 0.
•	31.41. a) V25 - 4a? (3 sin 2nx + 8sinicx) = 0;
6) V49 - 4хг1 sin nx + 3cos-—-1 = 0.
I	2 /
•31.42. a) (ctg — - |sinx\/4x - x2 + 5 = 0;
12	3 J
6) (2 sin 2x - tg x)V2 — x — x2 = 0.
•31.43. ^cqs2x + 71 + sin2x = 2^snx + cosx.
•31.44. a) ^/sinTx - sin5x ^sinx;
6) 7<»s5x + coex- sin5x = ^sinx.
•31.45. a) sin (тхл/б - x1) = 0,5;	6) cos GtV? - xa) = -0,5.
•31.46. tg + sin = 2.
1 + X	1 + X
•31.47. а) Дано уравнение с параметром а: ^аоов2х — 3sin2x = cos х. Известно, что х = О является корнем этого уравнения. Найдите остальные корни.
б) Дано уравнение с параметром а: ^2sin2x - асов2х + + sinx = 0. Известно, что х = “ является корнем этого уравнения. Найдите остальные корни.
Комплексные числа
ггггггггггггггггггггггггг
§ 32.	комплексные числа и арифметические операции над ними
32.1.	Приведите примеры линейных уравнений с действительными коэффициентами, которые:
а)	имеют целые корни, но не имеют натуральных корней;
б)	имеют рациональные корни, но не имеют целых корней; в) имеют действительные корни, но не имеют рациональных корней;
г)	не имеют действительных корней.
32.2.	Приведите примеры квадратных уравнений с действительными коэффициентами, которые:
а)	имеют целые корни, но не имеют натуральных корней;
б)	имеют рациональные корни, но не имеют целых корней;
в)	имеют действительные корни, но не имеют рациональных корней;
г)	не имеют действительных корней.
32.3.	Укажите хотя бы одно значение параметра а, при котором у уравнения 2х2 + 4х + а = 0:
а)	оба корня целые, но не натуральные числа;
б)	оба корня рациональные, но не целые числа;
в)	оба корня действительные, но не рациональные числа; г) укажите все значения а, при которых действительных корней нет.
32.4.	Укажите хотя бы одно значение параметра а, при котором у уравнения Зх2 + ах + б = 0:
а)	оба корня целые, но не натуральные числа;
б)	оба корня рациональные, но только один из них — целое число;
в)	оба корня действительные, но не рациональные числа; г) укажите все значения а, при которых действительных корней нет.
176
Вычислите:
32.5.	a) i3; б) ?;	в):33; г) i" + i™*
032.6. a) (Ч)3;	в) Ч33 - (Ч)33;
б) (-21)®;	г) i* + i® + f +	+ i2005.
32.7.	Найдите значение многочлена z3 + 361 при заданном значении переменной z: а) г = I;	в) z = -Hi;
б)	z = -2i;	г) z = -19(4)’.
032.8. Найдите значение многочлена z* + 3z при заданном значении переменной z:
a)	z = Ч;	в) z = -31;
б)	z = ТЙ;	г) z = -л/Зй
032.9. Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным i, и знаменателем, равным -1.
а)	Выпишите первые 7 членов этой прогрессии;
б)	найдите значение 27-го члена прогрессии;
в)	найдите сумму первых 2007 членов прогрессии;
г)	найдите сумму членов прогрессии с 15-го по 30-й.
Для комплексных чисел zt и za найдите их сумму zt + z2 и разность zt - ztt если:
32.10. a) Zi = 1 + i, za = 1 - i;	в) zi = 4, za = 1 — 1;
6)	Z1 = 1 + i, z2 =-l + 21;	r) Z| = 1* + 41®, z2 = I3 - 3(4)*.
082.11. a) z, = 1 + i, zj = 1 - 21;
6)	Z] - 2 + I, za = — 3 + 21;
в)	Zi = 11S, Zj = 15 +1;
r) Zi = 11T + 18i“, z2 = 15ils - 16(4)'®.
032.12. Дана арифметическая прогрессия с первым членом, равным 3 — 21, и разностью, равной -1 +1.
а)	Составьте формулу n-го члена прогрессии;
б)	найдите значение 15-го члена прогрессии;
в)	найдите сумму первых 20 членов этой прогрессии;
г)	найдите сумму членов прогрессии с 10-го до 40-го.
32.13. Докажите, что:
a)	Zi + z2 = z2 + zlt zt € C, za € С;
б)	(а + b)z = az + bz, а € R, b € R, z € С;
в)	(ab)z = a(bz), а € R, b € R, z eCi
г)	a(Zi + Zg) = azl + azit a € R, zt € C, zg € C.
177
032.14. Известно, что сумма действительной и мнимой частей комплексного числа az, а € R, равна 1. Найдите а если: a) г = 1 + 1;	в) г = 13 - 231;
б)	г = 7 + 31;	г) г = 1 - I.
032.15. Вычислите az, + bzit если:
a)	г, = 1 + 1, 2,— 1 1, й — 2, b ~ 1:
б)	Si = 1 + I, zt = -1 + 2i, а = -4, Ь = -5;
в)	г, = 1 + I, г, = 1 - i, а = -2, Ь = 3;
г)	?! = 1 + 1, 2г = -2 + 31, а = 12, b = -11.
032.16. Известно, что число аг, + 2г, а € R, является чисто мнимым. Найдите а, если:
а)	2, = 3 + I, 2г - 6 - 1;	в) г, = 8 + 3i, г2 = -1 - 21;
б)	21 = 12 - 131, 2г - 31;	г) г, = 1, г2 = -1 + 21.
082.17. Известно, что число г, + агг, а € R, является действительным. Найдите а, если: a) г, = 3 + 1, 2г = 6 - 1;
б)	г, = 12 - 131, 2г = (3 + I)2;
в)	г, = 8 + 31, 2t = -1 - 21;
г)	2, = 1,22 = (2- 81/.
032.18. Найдите действительные числа а и Ь, для которых верно равенство г = аг, + bzs, если: а) 2, = 1, 2t = 1 + 1, г = 5 + 21;
б)	2, = -2 + 1, 2г = 3 - 1, г = 1;
в)	2| = 1 + 1, z2 = 1 - 1, г = 3 + 51;
г)	2\ = 4 - 1, 2г = -7 + 21, 2=1.
Вычислите:	
32.19. а) 1(1 + 1); б) 1(—3 + 21);	в) (4 - 31)1; г) 1(4 - 31)1(4 + 31).
32.20. а) (1 - 21X1 + 1); б) (1 - 1)(1 + 1);	в) (4 - 31Х-4 + 31); г) (12 ч- 51X12 - 51).
32.21. а) (1 + 1/; б) (1 -1)3;	в) (2 + 1/; г) (1+1)* +(1-1)*.
32.22. Решите уравнение: а) 12 = 1; б) (1 + 1)2 = 1;	в) (1 + 1)г = 1; г) (1 + 1)2 = 1 - 1.
032.23. Дана геометрическая прогрессия с первым членом, равным 1, и знаменателем, равным 1-1.
а)	Найдите третий член прогрессии.
б)	Найдите девятый член прогрессии.
178
в)	На каких местах в этой прогрессии расположены чисто мнимые числа?
г)	На каких местах в этой прогрессии расположены действительные числа?
Вычислите:
. 1.	1- *.	ч 1-L	, 1 + i
032.24. а) у, б) -р, в)	г)
082.25. a) i* + Г*; б) /’ + Г8; в) »8 + Г г) i-‘ + Г5.
он +	(2 - I}4
•82-26. а) (2 + £Х8 + + (з-4X8-0Л
„ 2t“ - 3? . U + aV ,93 - 3®
б) (2-808	(3 - 41X24 - 70 +	325 ’
082.27. Решите уравнение:
a)	iz = (1 - 0;	в) (1 + l)z = I;
б)	(1 + Оз = (1 - 0;	г) (1 + 0 а = (1 - О’-
082.28. Найдите действительные числа а и Ь, для которых верно
равенство = а— + bz2, если:
a)	zt = Ц za = 2;	в) z, = 1 + 2i, za = 1 - 2i;
6)	zt = 1 + I, zt = 1 - i; r) Z| = 1 + it za = 1 + 2i.
z8 +1
082.29. Найдите значение функции w = ——г» если:
a)	z = 1 + i;	в) z = 2i;
6)	z = 1 - Z;	г) z = 2 + i.
032.30. а) Докажите, что число (-6 + i4a) + (b - Z-Va) при любых действительных значениях а > 0 я Ь является действительным.	3	3
б)	Вычислите (2 + *>/&) + (2 - iV5)
•32.31. При каких действительных значениях а число
z = (2 - oZ)3 - (3 - аО2 + 5 + а(1 - a2Z):
а)	является действительным;
б)	является чисто мнимым?
082.32. Для комплексного числа z найдите сопряженное число z -	z.
и вычислите произведение zz и частное — • А
a)	z = i;	в) z = 3 - 7Z;
б)	z = -I;	г) z = -5 - 6*.
179
082.33. По заданному сопряженному числу z восстановите комплексное число z и вычислите произведение zz и частное Z Z.
a)	z = 2i;	в) z = 1 - i;
6)z = -3i;	г) г =-1 + 3/.
032.34. Дано: zt = 1 - i; zt = 4 + I. Найдите: а) t; б) в> t; г)
032.36. Дано: г( = 3 + 2i; zt = -2 + 3i. Найдите: а) •	в)
- (в! +^.
* ;
Zt + zi
Zi - 2zi <Zi + 2|)’’
г)
•32.36. Решите систему уравнений:
5zt - Szt = -9 + 5i,	|4zi + Zi = 7-6/,
4zi + zg = 3 — 4/;	[3zi — 2zg = —3 — I',
7Zi + 2zt = 7 - 4i, pz, + 2zt = 3 + 8i, 3zi Zi = 3	21;	2/z^ — Zi = 7i.
032.37. Среди корней уравнения z2 + (z)2 = 8 укажите все корни: а) с нулевой мнимой частью;
6)	с мнимой частью, равной 1;
в)	у которых действительная часть равна мнимой части;
г)	у которых действительная часть в три раза больше положительной мнимой части.
•32.38. Среди корней уравнения 2 + 1 = г + } найдите корень:
а)	у которого действительная часть наименьшая;
б)	у которого мнимая часть наименьшая;
в)	который ближе всего расположен к началу координат;
г)	который ближе всего расположен к числу i.
§ 33.	комплексные числа и координатная плоскость
Для комплексного числа г = х + 1у, его действительной части х и его мнимой части у используют следующие обозначения; х = Re z, у = Im z (от французских слов rvelle — действительный, imaginalre — мнимый).
180
33.1.	а) Отметьте на координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам Zj 1 + 2i, z2 = 2 + 3i, 23 = -2 + 5i, z4 = -9 + i, zs = -3 - 21.
б)	Укажите те точки, которые лежат левее оси ординат. Что можно сказать о знаке действительной части каждой из таких точек?
в)	Укажите те точки, которые лежат выше оси абсцисс. Что можно сказать о знаке мнимой части каждой из таких точек?
г)	Соедините данные точки последовательно отрезками. Сколько получилось точек пересечения замкнутой ломаной с осями координат? Запишите комплексные числа, которым соответствуют эти точки.
33.2.	а) Отметьте на координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам z( = -5 - 41, z2 = 1 + 8i, z3 = -2 - 4i, z4 = 8 + i, гь = -1 - 8i.
б)	Соедините заданные точки последовательно отрезками. Сколько получилось точек пересечения с осями координат? Запишите комплексные числа, которым соответствуют эти точки.
33.3.	а) Отметьте на координатной плоскости точки z„ (л = 1, 2, 3, 4, 5), если z( -5 - 3/, za = 1 + 6i, z3 = -3 - 6i, z4 = 9 + 2i, z( = 1 - 6i.
б)	Соедините отмеченные точки последовательно отрезками. Сколько чисто мнимых чисел имеется на полученной ломаной? Назовите их.
в)	Сколько на этой ломаной лежит чисел, для которых Re z = -3? Назовите их.
г)	Сколько на ломаной чисел, для которых Im z = 3? Назовите их.
Изобразите на координатной плоскости множество всех комплексных чисел 2, удовлетворяющих заданному условию:
083.4. а) Действительная часть равна -2;
б)	мнимая часть равна 3 или 4;
в)	Re г = Im г;
г)	Re г = (Im z)s.
083.6. a) Re г = 4 или Im г = 4;
б)	|Re г| = |lmz|;
в)	Re 2 = 5 или Im 2 = 4;
г)	Re г = (Im 2)г или (Re г)2 = Im г.
181
а)	Действительная часть на 4 больше мнимой части;
б)	сумма действительной и мнимой частей равна 4;
в)	сумма квадратов действительной и мнимой частей равна 4;
г)	квадрат суммы действительной и мнимой частей равен 4.
a)	|Rez| - |Imz| = 1;	в) (Re г)* = Im z - 1;
б)	(Re z)2 = Im г + 1;	r) (Re 2)(Im г) = 1.
а)	Отметьте на координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам z0 = 1, Zt 1 + г, г2 =
= (1 + if, «в = (1 +	= (1 + if.
б)	Чему равна величина угла: ZzjOzt, ZziOzt, , ZzgOzr, Zz7Oz0?
в)	Перечислите все пары точек, лежащие по разные стороны от оси абсцисс. Сколько таких пар?
г)	Запишите все числа, у которых произведение действительной и мнимой частей отрицательно. Сколько таких чисел?
а)	Отметьте на координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам z0 = 1, Z, =	= z?,
2s = Zj, Z« = Zi, Zj — Zj.
б)	Чему равна величина угла: ZzoOzlt Zz^zj,..., ZzsOz0? в) На каком расстоянии от начала координат находятся все эти точки?
г) Перечислите все пары точек, соответствующих сопряженным друг к другу числам. Сколько таких пар?
Изобразите на координатной плоскости множество всех комплексных чисел z, у которых:
а)	Действительная часть больше мнимой части;
б)	мнимая часть не меньше действительной части;
в)	мнимая часть больше 2, а действительная часть не больше 3;
г)	мнимая часть не меньше 2, а действительная часть меньше 3.
a)	Im z > 2 или Re z < 3;
б)	Im z > 2 или Re z < 3;
в)	Re z > (Im zf и (Re г/ > Im z;
г)	Im z > 2 Re z или Re 2 < 3 Im z.
033.12. a) Re z + Im z > 0;
6)1 < Re z + Im z < 2;
в) 1 < (Rez)2 + (Im:)2 < 16;
r) (Re z)* + (Im z)2 < 1 или 16 < (Re z)2 + (Im z)2.
33.13. Изобразите на координатной плоскости числа zt = 1 - I и Za = -1 + Зг, а также числа: a) 3zt; 6) -2z{; в) zt + z2; r) 3zt - 2zz.
33.14. Изобразите на координатной плоскости числа Zi = 2 - 31 и г2 = -5 + 2г, а также числа: а) д; б) -3«а; в)	г) 3%.
033.15. а) Изобразите на координатной плоскости числа zt = -8 +1 и z2 = 5 + 2г.
б)	Найдите действительный коэффициент а, при котором Z) + аг2 — чисто мнимое число.
в)	По правилу параллелограмма постройте сумму чисел Zi и azg из пункта б).
г)	Найдите действительный коэффициент а, при котором z( + az2 — действительное число; по правилу параллелограмма постройте сумму чисел zt и az{.
033.16. а) Изобразите на координатной плоскости числа zt = -3 + i и zs = 5 + 2г.
б)	Найдите действительный коэффициент а, при котором azt + z2 — чисто мнимое число.
в)	По правилу параллелограмма постройте сумму чисел azt и z2 из пункта б).
г)	Найдите действительный коэффициент а, при котором azi + z2 — действительное число; по правилу параллелограмма постройте сумму чисел azi и z3.
•33.17. а) Для п = 1, 2, 3, 4 изобразите на координатной плоскости точки z„ = (2п - 1) + (5 - п)1;
б)	докажите, что все эти точки лежат на одной прямой Z; составьте уравнение прямой;
в)	укажите число, лежащее на прямой I, у которого Re z = -5;
г)	укажите число, лежащее на прямой (, у которого Im z = 8.
•33.18. а) Для n 1, 2, 3, 4, 5, 6 изобразите на координатной плоскости точки гл = (л - 1) + (п2 - 5п + 6)1.
б)	Докажите, что эти точки лежат на одной параболе; составьте уравнение параболы.
в)	Найдите действительную часть суммы z( + z2 +	+ ze.
г)	Укажите номер л, начиная с которого мнимая часть числа z„ будет больше 100.
163
•33.19. а) Для n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 изобразите на координатной .	3.
ПЛОСКОСТИ ТОЧКИ 2„ = (п + 1) + —I. я б) Докажите, что все эти точки лежат на одной гиперболе; составьте уравнение гиперболы.
в) Укажите точку, наиболее близкую к оси абсцисс.
г) Укажите точку, наиболее близкую к началу координат.
Решите уравнение:
033.20. а) 2 Re 2 = 1;
б) 2 Re 2 = -1;
033.21. а) 2 Im 2 = i;
б) 2 Im 2 = -l;
033.22. a) 2 Re 2 = г Im г;
б) 2 Re z = 2 Im a;
033.23. a) 2 Re (a - 4) = i - 4;
б) г Im (a + 2i) = 7 - i;
в) a (Re a)2 = 1;
r) a (Re a)2 = -I.
в) a (Im a)2 = i;
r) 2 (Im a)2 = -i.
в) alma a Re a;
r) a Re a = a Rea.
в) 2 (Rea-6) = 21i - 9;
r) 2 (Im a + 4) = 10 + 4i.
§ 34.	Тригонометрическая форма записи комплексного числа
Найдите модуль комплексного числа:
34.1.	а) 6 - 81;	в) 1(2 + 0;
б)	20 + 211; г) (3 - 0(2 + 0.
34.2.	а)	б)-|;	в)4±; г)
034.3. Для комплексных чисел а, = 12 - 51 и а2 = 3 + 41:
а)	найдите 12г| и |at|;
б)	вычислите 212я и проверьте равенство |2,22| = |at| |aj|;
, 1 1| _ 1 .
в)	вычислите ~ и проверьте равенство — | = pj!
.	*	|а| - *1
г)	вычислите и проверьте равенство ~ пл-
34.4.	Для комплексных чисел 2i = 3 - i и 2г = 1 + 2i:
а)	найдите |з| и |^| и проверьте равенства IzJ |at| и
1%1 = N;
184
б)	проверьте неравенство |zj + z2| < |zt| + |zj|;
в)	вычислите и проверьте равенство = [zi [ |^|: г) проверьте неравенство |z, - zs[ > |zj - \z2\.
034.6. При каком положительном значении параметра а модуль данного числа равен 10:
а)	в + 84;	в) (а + 1) + (а - 1)4;
б)	2а + al;	г) а + —«
Изобразите на комплексной плоскости множество всех чисел z, удовлетворяющих заданному условию:
34.8.	a) |z| = 3;
б)	[л - 1| = 3;
034.7. а) |л - 4| = 1;
б)	|z + 241 = 2;
в)	|z + 2[ = 3;
г)	|z + 311 = 3.
в)|г -1-4|=>/2;
г) |z + 4 + 311 = 5.
034.8. Про комплексное число z известно, что Re z = 3 или Re z = 6. Сколько имеется таких чисел, если, кроме того, известно, что: a)|z| = 3; б) |z| = 4;	b)|z| = 6; г) |z| = 10?
034.9. Про комплексное число 2 известно, что Re 2 = 3 или Im z = 4* Сколько имеется таких чисел, если, кроме того, известно, что: а) |г| = 3; б) |2| = 4; в) |г| = 5; г) |2| = 10?
034.10. Изобразите на комплексной плоскости множество всех чисел 2, удовлетворяющих уравнению: a)|z| = |z-l|;	b)|z - l| = |z-1|;
б)	|z - 1| = |z - 3|;	г) |z + 34| = |z + 4|.
034.11. Число z задано в тригонометрической форме. Укажите его стандартную тригонометрическую форму:
.	7л . . . 7л.
а)	г = cos + 4 sin
Юл . х • Юл.
б)	z = cos —j— + 4 sm —3-; 4	4
<	. * 9л,
в)	2 = cos + I sin -j-;
ч . ™ 1017t	 101R
r)	2 = cos —7— + i sm j .
'4	4
185
Число z задано в тригонометрической форме. Укажите его стандартную тригонометрическую форму;
Л.	11л . . 11лt
034.12. a) z = cos -g- + i sin -g-»
6) z = cos
4- /sin
. _	99л , . . 99л.
в) z = cos -j- 4-1 sin —г-;
4	4
r) 2 = cos
034.13. a) 2 = cos (13,2л) + I sin (13,2л);
6) 2 = cos (-12,3л) 4- i sin (-12,3л);
в) 2 = cos (17 arccos (-1)) 4- i sin (17 arccos (-1));
r) z = cos (2 arccos (-0,5)) 4- i sin (2 arccos (-0,5)).
Найдите аргумент комплексного числа: 34.14. а) 51; б) 5,55; в) -5,51; г) -5,555. 034.15. а) 2 - 21;	в) -3 4- 31;
б) (-л/3 4- if	г) (-3 4- 31)*.
Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел, аргумент которых равен:
34.16. а)	в)
4	4
Зя я	. Зл я
б) — или ;	г) —— или —•
4	4	4	4
Л Л 'Л ГТ \ 2л л	Ъ бЛ.
34.17. а)	в) —;
я 5л	ч 2л я
б) - g ИЛИ	г) — или -.
034.18. Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел, у которых аргумент: а) положителен;	в) больше чем —;
£
б) отрицателен;	г) меньше чем
4
034.19. Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел, у которых аргумент:
. _	я	Зя.
а)	больше чем —, но меньше чем —;
&	4
«	8я	я.
б)	больше чем ——> ио меньше чем 4	О
186
ч _	Зя	к
в)	больше чем —» или меньше чем -г;
4	о
ч	Зя -	я
г)	отличается от не более чем на «г.
3	о
034.20. Изобразите на комплексной плоскости множество всех тех чисел г, у которых:
а)	| <arg(«)< и|г| = 2;
б)	j < arg (г) < и 3 < |г| < 5;
в)	--у < arg (г) < | и |г| = 8;
г)	< arg (г) < или 1 < |z| < 2.
Запишите комплексное число в стандартной тригонометрической форме:
034.21. a) 5;	6) 3i;	в)	-8;	r) -0,5t.
034.22. a) 4 + 4i;	6) 1 - i;	в)	-2 + 2i;	r) -2 - 21.
34.23. а) л/З + ii	в) зТз - 3i;	
6) -V3 + i;	r) -2^3 - 2i.	
034.24. a) 4 - 4>/&;	в) -2 - 2x/3i;	
6) 1 + л/Зц	r) + 2	2	
034.25. a) 3 - 4i;	6) -5 + 12/;	в) 6 + 8i;	r) -15 - 8L
•34.26. a) sin 35° - i cos 35°;		в) -sin 40° + I cos 40°;
6) sin (-23°) + i cos (-23°);		r) sin (-20°) - i sin (-70°).
•34.27. a) 1 - cos 100°	+ i sin 100°;	в) sm — + il 1 -	f
. 4я .f, 6) sm — + t 1 7	1	7 I	r) 1 - cos 250° 4- i sin 610°.
034.28. Представьте в алгебраической форме комплексное число: a) sfcos^ +	в) sfcoe^ + isin-^l
\®	® 7	\ 3	3 7
б) —7—-------7—V	г) —7---------7--ч-
сов[ -- I + isin| -- |	cost | + isinf-3- ]
3 J ( 3 J	\ 4 )	\ 4 )
187
Выполните действия, используя правила умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме:
034.29. а) б( cos — + i sin—1 —| cos f-— 1 + i sin 11
I 3	3 J 3(	[ 6) к 6 )j
6) (-5- 5i)
я , . . я cos— + I sin—
4	4
r) Vsf cos- + isin£ I (2 + 2>/3f). I 6	6 J
034.30. a) 8(cos|| + isin^
6) (10 + lOi) [5/2(008^ + ism^lp
в) 1
: (4 - 47$).
34.31. а) Зная, что z = i, изобразите на комплексной плоскости числа z, z2, z8, z*, z*9 и найдите их аргументы.
б) Зная, что z = -it изобразите на комплексной плоскости числа z, z*. z1*, гЛ z_iOft и найдите их аргументы.
34.32. а) Зная, что t = -72 + V2i, найдите zz, запишите числа z и г2 в тригонометрической форме, сравните модули и аргументы этих чисел, изобразите числа на комплексной плоскости.
б) Зная, что z = 2 - 2>/&, найдите z2, запишите числа z и г2 в тригонометрической форме, сравните модули и аргументы этих чисел, изобразите числа на комплексной плоскости.
188
J2	v2	v2	x/2
Зная, что Zi = — + — t и z2 = —— + -2—i, изобразите на &	&	2	2
комплексной плоскости числа г£т z и найдите аргумент указанного числа 2:
034*33* a) z = ZfZz;	в) 2 = *i(^a)3;
б) z = (2i)a2iJ	г) г = (гОв(г2)’.
034.34. а) г =	б) z =	в) г =	5 г) г =
о	1 >/з. 7з , i
Зная, что Z! = — + — i и z2 = —— + —, изобразите на ком-плексной плоскости числа г», г2, г и найдите аргумент указанного числа z:
•34.36. a) z = ztz2;	в) 2 = ziCz?)5;
б)	z = (zi)*z2;	г) г = (zi),,(zt)">.
•34.36. a) z =	б) z = а’; в) г =	г) г = ^г-
034.37. Каждое комплексное число, действительная часть которого равна -4, умножили на z. Изобразите на комплексной плоскости полученное множество чисел, если:
а)	г = I; б) z = -34; в) z = 1 - л/Э4; г) г = 3 - i.
034.38. Зная, что zt = 2 + i, z2 = 4 + 3i, z2 = -1 + 71, изобразите на комплексной плоскости треугольник с вершинами zz]t zz2, zzs, если: а) г = i;	в) z = -i;
б)	2 = 2i;	r) z = 1 - i.
034.39. Зная, что zt = 2 - i, z2 = 4 + Зг, z# = -2 + 5i, изобразите на ж 29 комплексной плоскости треугольник с вершинами —» -у*
2» если;
а) 2 = £; б) г = 2г; в) 2 = -i; г) 2 = 1 - I.
•84.40. Для числа г = сое (0,11 я) + I sin (0,11л) укажите наименьшее натуральное число п, при котором:
a)	arg (z“) > 5:	в) arg(z’) >
б)	arg (2я) >	r) arg (г") < 0.
А
189
•34.41. а) Среди корней z уравнения V3(z + z)(z — 2) = 44* найдите число, аргумент которого равен
6	_
/д
б) Среди корней z уравнения Re z Im z = найдите
л
число, аргумент которого равен д1
•34.42. а) Изобразите на комплексной плоскости множество чисел z, удовлетворяющих условию |zi 3i + 4| <
Чему равно наибольшее значение |z|?
б) Изобразите на комплексной плоскости множество чисел г, удовлетворяющих условию |zi 3 441 <

Чему равно наименьшее значение |z|?
§ 35.	Комплексные числа и квадратные уравнения
036.1. Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение z2 - 4х + а = 0: а) имеет только один корень;
б)	имеет два действительных корня;
в)	не имеет действительных корней;
г)	имеет два действительных корня разных знаков.
035.2. Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение х2 + ах + 9 = О:
а)	имеет хотя бы один действительный корень;
б)	не имеет действительных корней;
в)	имеет хотя бы один отрицательный корень;
г)	имеет два действительных корня, больших, чем 1.
035.3. Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение ах2 + 8х + 16 = О:
а)	имеет только один корень;
б)	имеет действительный положительный корень;
в)	имеет два действительных корня разных знаков;
г)	имеет два действительных корня, сумма квадратов которых равна 1.
035.4. Решите уравнение: a) zi -t-144 = 0;
в) а* + 441 = 0;
б) = z-745; г + 3J5
зг)^±^ = , + 2Л1. Z-V44
190
Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа:
035.5. a) i и -i; б) 7 + 2i и 7 - 2i;	в) 7i и -74; г) 1 + i и 1 — i.
о35.6?а) 2i и у; «1 + 3‘и I	в) -2"*i и г) (2е + 27 + 2*)4 и (З4 - 3*)i.
Решите уравнение:
35.7. а)	г2 -	2г + 2 = 0;	в) г2 -	6г + 25 = 0;
б)	г* +	4г + 5 = 0;	г) г2 +	Юг + 61 = 0.
085.8. а)	г2 -	г + 2,5 = 0;	в) г2 -	5г + 6,5 = 0;
б)	г2 +	Зг + 8,5 = 0;	г) г2 +	11г + 36,5 = 0.
035.9. При каких действительных значениях параметра а:
а)	уравнение г2 - 2г + а = 0 имеет корень 1 + i;
б)	уравнение г2 + 6г + а = 0 имеет корень i - 3;
^в) уравнение г2 - 8г + (а2 + 9) = 0 имеет корень 4 - 3i;
\J г) уравнение г2 + Юг + (а2 + 4а + 5) = 0 имеет корень -5 + <?
035.10. При каких действительных значениях параметра а:
а)	уравнение г2 + аг + 5 = 0 имеет корень 2 + 1;
б)	уравнение г2 + аг + 13 = 0 имеет корень -2 - 3i;
в)	уравнение г2 + (1 - а2)г + 25 = О имеет корень 4 + 37;
г)	уравнение г2 + (а2 + 2а + 2)г + 41 = 0 имеет корень -5 + 41?
035.11. Вычислите >/а + Ы, решив уравнение (х + pi)2 = а + 6i: а) Л; б) 7=4; в) л/91; г) ЛЙЙ.
035.12. Вычислите Л + Ы, решив уравнение (х + yi)2 -а + Ы или
использовав формулу
/-----г: J /Л2 + ft2 + а , Ь
yfa + bi =	------2	+1 JKJ
a)	T3^4i;	в) Л - 3t;
б)	ЛТП; г) V12 + 5/.
191
О35ЛЗ. Вычислите:
а)	715 + 8i;	в) 724 - 7i;
б)	715 - 8i;	г) 740 + 9i.
35.14. Изобразите на комплексной плоскости число z и множество a/z, если:
a)	|z| = 1, arg (z) =	в) |z| = 9, arg (г) =
б)	|г| = 4, arg (г) =	r) |z| = 0,25, arg (z) =
6	о
85.15.	Изобразите на комплексной плоскости число z и множество -/г, если:
a)	|z| = 1, arg (z) =	в) |z| = 9, arg (z) =
6)	|z| = 4, arg (z) =	r) |z| = 0,25, arg (z) =
•35Л6, Изобразите на комплексной плоскости множество 4zf если:
a)	|z| = 1, 0 < arg(z) < в) |z| = 1,	< arg(z) < 0;
z	в
б)	|z| = 1, 0 < arg (г) < я; r) |z| = 1, ~ < arg (г) < я.
035.17. Составьте квадратное уравнение, корнями которого явля-
^ются числа:
^а) 1 + i и 2 - i;	в)	1 + 2i и 7 - 2z;
б) 2 + i и 3 - 21;	г)	5 + 4i и 4 - 5i.
035.18. Решите уравнение:	.
40 z2 - 2iz = Oj	в)	г2 - 8z + 8 + i =	О;
б) ? + 4te = 0;	г)	z2 - 8z + 11 + 12* = 0.
035.19. Найдите те значения параметра а, при которых:
а)	уравнение z2 - 2z + а = О имеет корень 2 = 1;
б)	уравнение z2 - 8/г + а = 0 имеет корень 3 - i;
в)	уравнение г2 + 6г +. а = 0 имеет корень -
г)	уравнение г2 + 10iz + а = 0 имеет корень -10 + I.
192
035.20. Найдите те значения параметра а, при которых:
а)	уравнение z2 + az + 5 = О имеет корень /;
б)	уравнение 2я + az + 13 = 0 имеет корень -2i;
в)	уравнение 2я + az + 24г = 0 имеет корень 1 + i;
г)	уравнение z* +az+1+г = 0 имеет корень -3 + 2г.
$ 36. возведение комплексного число в степень. Извлечение кубического корня из комплексного число
36.1.	Пусть 2=2 (сое 0,2я + t sin 0,2я). Верно ли, что:
a)	z4 принадлежит первой координатной четверти;
б)	г4 принадлежит второй координатной четверти, а его модуль меньше V300;
в)	2s принадлежит третьей координатной четверти;
г)	2я принадлежит четвертой координатной четверти, а его модуль больше 100?
036.2. Пусть 2 = 3 (сов 0,3л + i sin 0,Зя). Верно ли, что: а) 2е принадлежит первой координатной четверти; б) 2е принадлежит четвертой координатной четверти, а его модуль больше 1000;
в)	2е принадлежит четвертой координатной четверти, а его модуль меньше 760;
г)	21в принадлежит второй координатной четверти?
036.3. Пусть 2 = cos 0,19л + i sin 0,19я. Какие числа из множества {г, гг, ..., 2я, г10}: а) расположены выше оси абсцисс;
б)	расположены правее оси ординат;
в)	расположены в первой координатной четверти;
г)	расположены во второй или в четвертой координатной четверти?
036.4. Пусть 2=2 (сое 0,21л + i sin 0,21л). Какие числа из множества {z, z2,	..., 2*, 210}:
а)	расположены во второй координатной четверти;
б)	расположены внутри круга радиуса 500 с центром в начале координат;
в)	расположены в первой координатной четверти;
г)	расположены правее оси ординат и вне круга радиуса 500 с центром в начале координат?
7 Мпрпкопч. Заичяик. Юкл., <t.2
193
036.5. Пусть 2 = cos 0,17л + i sin ОД 7л. Какие числа из множества {2, z2, 2?, ... , 2®, 210}: а) расположены выше оси абсцисс;
б)	расположены правее оси ординат;
в)	расположены выше биссектрисы первой и третьей координатной четвертей;
г)	расположены ниже биссектрисы второй и четвертой координатной четвертей?
•36.6. Пусть 2 = 0,5(cos 0,23л + i sin 0,23л). Какие числа из множества {г, z2, 2®,..., 2*, 21’}: а) расположены во второй координатной четверти;
б)	расположены вне круга радиуса 0,2 с центром в начале координат;
в)	расположены в первой координатной четверти;
г)	расположены правее оси ординат и внутри круга радиуса 0,001 с центром в начале координат?
Вычислите:
36.7. a) (cos 15е + i sin 15’)8;
б) (cos 15е + i sin 15°)”;
036.6. а) (1 + i)4;
б) (l + i)e;
036.9. а) (1 + 431)*;
б) (1 +
036.10. a) (cos 10° + i sin 10°)"*;
б) (cos 10° - i sin 10е)'4;
036.11. a) (1 + i)-4;
б) (1 + ОЛ
086.12. а) (1 + л/»)'*;
б) (1 +
•36.13. а) (1 + <7з)Т + (1 - /7з)?
1Ш sin£-icos£
б) ,г л 3>-.
(>/з + ()
в) (сое 75° + i Sin 75е)’0;
г) (cos 75° + i sin 75°)"*.
в) (1 - i)10;
г) (1 - i)1 •
в) (7з + i)T;
г) (Л - *)
в) (сое 10° + i sin 10е)"'1;
г) (сое 80° - i sin 80°)“”.
в) (1 - i)
г) (1 - О'28.
в) (7з + i) Т;
г) (Л - О'*
в)	(7з +	i)s + (Vs	- 0‘
/	X®
32i| sin J + i cos £ ,	l	о______6)
r) —^7=—3----------- '
W3-i)
•36.14. а) Вычислите 2li, если 2 = 2cos£[ sin-^ + i + icos^ | 8(	4	4 j
5%	♦ « oft
cos — + i sin — 6	6
б) вычислите 2м, если 2 = 2 sin
194
оЗв.15. Пусть {г, z*, У,..., У, z"'1,...} — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем z = cos 0,2л + i sin 0,2л. а) Укажите наименьшее натуральное значение п, при котором У принадлежит второй координатной четверти, б) Укажите наименьшее натуральное значение п, при котором У принадлежит четвертой координатной четверти, в) Укажите наименьшее натуральное значение в, при котором У = 1.
г) Сколько в этой прогрессии различных чисел?
036.16. Пусть {z, У, У...У, У+',...} — бесконечная геометриче-
ская прогрессия со знаменателем z = cos 0,03л + i sin 0,03л. а) Укажите наименьшее натуральное значение п, при котором У принадлежит второй координатной четверти.
б)	Укажите наименьшее натуральное значение в, при котором У принадлежит третьей координатной четверти.
в)	Укажите наименьшее натуральное значение в, при котором z" = -1.
г)	Сколько в этой прогрессии различных чисел?
•36.17. Пусть {z, z2, У,__ У, У+1,...} — бесконечная геометри-
ческая прогрессия со знаменателем z = cos 0,1л - i sin 0,1л. а) Укажите наименьшее натуральное значение п, при котором У принадлежит третьей координатной четверти (не на координатных осях).
б) Укажите наименьшее натуральное значение в, при котором У принадлежит второй координатной четверти (не на координатных осях).
в) Сколько в этой прогрессии различных чисел? г) Найдите сумму этих различных чисел.
•36.18. Пусть {z, У, У, , У, У"',...} — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем z = cos 0,01л - i sin 0,01л. а) Укажите наименьшее натуральное значение в, при котором У принадлежит второй координатной четверти, б) Сколько в этой прогрессии различных чисел? в) Сколько из этих чисел лежат на осях координат? г) Найдите сумму этих различных чисел.
•36.19. Пусть z = 1 + I. Какие числа из множества (г, У, г’,..., z", Уг):
а)	лежат на оси абсцисс;	в) лежат левее оси ординат;
б)	правее прямой х = 9;	г) выше прямой у = 2?
7*
196
036.20. Вычислите и изобразите на комплексной плоскости:
а) ^64; б) V=27; в) ^125i; г) ^5121.
36.21.	Произвольно отметьте на комплексной плоскости число 20, у которого |z0| = 1 и •£ < arg(z0) < л.
А
а)	Изобразите корень уравнения 2* = 20, принадлежащий первой координатной четверти.
б)	Изобразите корень уравнения 2* = z0, принадлежащий четвертой координатной четверти.
в)	Изобразите множество
г)	Объясните, почему у уравнения z* = z0 нет корней, расположенных в третьей четверти.
36.22.	Произвольно отметьте на комплексной плоскости число 20, у которого |z0| = 1 и ~ < arg(z0) < 0.
А
а)	Изобразите корень уравнения z® = z0, принадлежащий четвертой координатной четверти.
б)	Изобразите множество tfzo.
в)	Объясните, почему у уравнения 2Э - 2О нет корней, расположенных в первой четверти.
г)	Найдите площадь треугольника с вершинами в точках из пункта б).
•36.23. Решите уравнение:
а)	2е + (8 - ijz3 + (1 + i)e = 0;
б)	z4 + (2 - 44JZ* - (1 - О* = 0.
•36.24. а) При каком действительном значении а выражение a(sin 75° + / cos 75°)12
1(а + 21)2 - (14 - 3ol) - 2 является действительным числом?
б) При каком действительном значении Ь выражение
Ь : (сов аУЗр, - I sin 22°30')1* i(3l - b)2 - (3 - 8di) - 3
является действительным чис-
лом?
производная
§ 37.	Числовые последовательности
37.1.	Являются ли числовыми последовательностями следующие функции:
а)	у = Зх2 + 5, х € Z;	в) у = 7 - х*, х Е Q;
6)	у = sin х, х € [0; 2я];	г) у = cos %, х Е N?
а
37.2.	Приведите примеры последовательностей, заданных:
а)	с помощью формулы л-го члена;
б)	словесно;
в)	рекуррентным способом.
37.8.	Задайте последовательность аналитически и найдите ее первые пять членов, если:
а)	каждому натуральному числу ставится в соответствие противоположное ему число;
б)	каждому натуральному числу ставится в соответствие квадратный корень из этого числа;
в)	каждому натуральному числу ставится в соответствие число -5;
г)	каждому натуральному числу ставится в соответствие половина его квадрата.
По заданной формуле л-го члена вычислите первые пять членов последовательности (у„):
37.4. а) у„ = 2л* - л;	.	8ft-1. в' Уя 2л *
	.	(-1)" + 2 Зл-2 *
37.5. а) ун = 3 cos —»
6)j/„ = tg (-1)"£ I 4
B)y„=l-COS
г) Уя = sin лл - cos вл.
197
По заданной формуле n-го члена вычислите первые пять членов последовательности (y„)t
37.6. а) у„ = sin 4* - ctg J(2n + 1);
б)	уя = COS + tg |(2n + 1);
ч _ ЛК 2	ля.
в)	уя = nsin -g + п СОЗ
\	ля _	_ ля
г)	у* - sin -7— л сое 4	4
ow ff \	1 2 3 ** я.
37.7. a) y„ =--------.
_ 1 3 5 ... (2л-1)
Ул~ 2 4 6 2n *
37.8.	Выпишите первые четыре члена последовательности десятичных приближений числа 72: а) по недостатку;	б) по избытку.
Выпишите первые пять членов последовательности, задан-
ной рекуррентно:
37.9.	а) х, = 2, х, = 5 - х„.
б)	х, = 2, х„ = х„., + 10;
37.10.	а) х( = 2, х„ = пх„-
б)	х, = -5, х„ = -0,5 х„_
в) х, = -1, х„ = 2 +хл. г) Х1 = 4, X. = Хя-1 - 3.
в) Xj = -2, x^ “ —Хд—
.	-	Хя-1
г) X, = 1, Хя = ~о7’
37.11.	а) Выпишите первые шесть членов последовательности (х„), у которой Xj = 5, х2 = -3 и каждый член, начиная с третьего, равен полусумме двух предыдущих членов. Составьте рекуррентное задание последовательности.
б) Выпишите первые шесть членов последовательности (уя), у которой yi = -1, yt = 1 и каждый член, начиная с третьего, равен утроенной сумме двух предыдущих членов. Составьте рекуррентное задание последовательности.
037.12. Определите значения первых пяти членов последовательности и составьте формулу ее n-го члена, если график последовательности представлен:
а)	на рис. 66;	в) на рис. 68;
б)	на рис. 67;	г) на рис. 69.
198
PUC. 68
Постройте график функции:
037.13. а) у = (х + I)-2, х € ЛГ;	в) у =	—^5, х € N;
б) у = Зх - Xя, х € N;	т)у=	^х + 3, х е N.
037.14. а) у = 2 - х, х € N;	в) у =	х * *•» х € N;
л
б) у = Зх - Xя, х € N; г) у = Xя - 4х, х € ЛГ.
037.15. а) у = sin £х, х € N;	в) у = tg Jx, х € N;
б) у = ctg ^(2х + 1), х € Ni г) у = cos ях, х € N.
199
Постройте график последовательности:
037Дв. а)	= 10 - п3;
б) У. = (-1)"^;
в) Уп = в3 - 8;
г) у„ = 4 - л/4п.
037.17. а) у„ = 2 sin -^в; О
6)y, = (-l)“tg J(2n- 1). 4
037.18. а) Все натуральные числа, кратные пяти, расположенные в порядке возрастания, образуют последовательность. Укажите седьмой, девятый, двенадцатый, в-й члены последовательности.
б) Все натуральные числа, кратные семи, расположенные в порядке возрастания, образуют последовательность. Укажите шестой, десятый, тридцать первый, n-й члены последовательности.
037.19. а) Все натуральные числа, которые при делении на 5 дают в остатке 2, расположены в порядке возрастания. Найдите первые пять членов этой последовательности.
б) Все натуральные числа, которые при делении на 4 дают в остатке 3, расположены в порядке возрастания. Найдите сумму первых шести членов этой последовательности.
037.20. а) Последовательность состоит из квадратов простых
чисел, расположенных в порядке возрастания. Найдите сумму первых восьми членов этой последовательности.
(Число 1 не считается ни простым, ни составным).
б) Известно, что (у.) — последовательность всех натуральных степеней числа 3, расположенных в порядке возрастания. Найдите: у5, у8, у„, р1я, y^u у*,--
037.21. Задайте формулой п-го члена и рекуррентным способом:
а)	возрастающую последовательность всех четных натуральных чисел, не делящихся на 4;
б)	возрастающую последовательность всех натуральных чисел, которые при делении на 13 дают в остатке 5;
в)	возрастающую последовательность всех натуральных чисел, делящихся на 3 и на 7 (одновременно);
г)	возрастающую последовательность всех четных натуральных чисел, делящихся на 3 и на 5 (одновременно).
Составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности по первым пяти ее членам:
037.22. а) -1, -2, -3, -4, -б, б) 6, 12, 18, 24, 30,
в) 10, 9, 8, 7, 6, г) 4, 8, 12, 16, 20,
200
037.23. a) 3, 9, 27, 81, 243,	в) 1, 8, 27, 64, 125,
б) 9, 16, 25, 36, 49,	г) 2, 9, 28, 65, 126,
037.24. а) 1,1
б1 3	5	7	9	11
’ 4’	6’	8’	10’	12’"*!
а 1	1	1	J_______L
8’ 27’ 64’ 125’*" :
. 1 1__________1 1 1
П 3 5’ 5 7* 7 9* 9 11’ 11 13”"
03725	3 ± 21 -«к ^3	•
037.25. а) 4, 16, м, 256, W24..
б) 1 £	5	7 _9_
л/Г 2’ 2-^’ 4’ 4J2’"’ ’
1__	4	9	16	25
'Г"2’ >12 з’ /з 4’ V4 5* 75 б”"’
.	4	9	14	19	24
rJ	1 2	З’ 2 3	4’ 3 4	5’ 4 5	6’ 5 6	7”"
37.26. Какие члены последовательности (у„) расположены между членами: а) Уш и Рнв;	в) у^ и уюоя>
6) у„-1 и уя+а;	г) уъ,-1 И Уь+з?
2 и
037.27. Укажите номер члена последовательности у„ -----------»
5Л + 1
равного:
а)0; б) 2g, в)-g-,	г)-—.
037.28. Квадрат со стороной 1 см вписан во второй квадрат таким образом» что вершины первого квадрата являются серединами сторон второго* Второй квадрат, аналогично, вписан в третий квадрат и т. д. Получается последовательность вписанных друг в друга квадратов* а) Составьте последовательность периметров полученных квадратов* Выпишите первые пять членов этой последовательности.
б) Составьте последовательность площадей полученных квадратов. Выпишите первые пять членов этой последовательности.
в) Чему равна длина стороны одиннадцатого квадрата? г) Чему равна площадь семнадцатого квадрата?
201
037.29. Сколько членов последовательности у,= 2пя - 7в + 5 принадлежит:
а)	отрезку [2; 5];	б) промежутку (-<х>; 10)?
Начиная с какого номера все члены последовательности (хя) будут больше заданного числа А?
037.30. а) х„ = Зв - 2, А = 15; б) хл = б"'1, А = 125.
037.31. a) х, = 0, х, = х._1 + 3, А = 28;
б)	х, = 1, х, = 7Хд-1, А = 285.
037.32. Сколько членов последовательности не превосходят 1:
.	1	1	1	.	. 2_____2____2_
8125’ 625* 125”” 5	729* 243* 81”” }
„ 6	11	16	.	. 2	9____16	..
01 877’ 879’ 381””*	Г) 219’ 222* 225””
037.33. Выпишите все отрицательные члены последовательности:
а) Ул = пг - в - 6;	в) ул = в2 - вв	+ 8;
-181 .	, 1 + 2в
5) Ул - 15 _ 7п»	г) у. -
037.34. Найдите число положительных членов последовательности:
а) уя = 4в - в2;	в) у„ = -в1 + 9п - 14;
140 - п2.	.	123
у”~ бп-11*	г) Уа ~ 147 - 5в*
037.35. Найдите наименьший член последовательности;
а) у„ = пг - 42в + 13; б) у, = пя - 26п + 41.
037.36. Укажите номер наибольшего члена последовательности: а) уя = 303 + 38в - в1; б) у„ = 145 + 32в - в*.
__ „ „	Зв + 191
037.37. Найдите номер члена последовательности ул = дд + g i наиболее близкого к числу: а) 25;	6)2; в) 5; г) 41.
037.38. Дана последовательность уя = пг - 18л.
а)	Установите, сколько в ней отрицательных членов;
6)	найдите наименьший член последовательности;
в)	укажите номер члена последовательности, который равен 19;
г)	выясните, сколько членов последовательности принадлежит отрезку [-15; 2].
202
•37.39. Найдите наименьший член последовательности: а) у, = Зп2 - 10п + 3; в) у„ = 2п3 - 7п + 3; б>^=2^~5;	Г>У"=^Т4'
•37.40. Найдите наибольший член последовательности: а) = -2л1 + Ия - 2; в) у„ = 20 - 12л - Зл2;
3 ♦	.	4
’ 2n-5’	г) У« п + 4'
037.41. Является ли ограниченной снизу последовательность: а) -1, 2, -3, 4, -5,	в) 5, 4, 3, 2, 1, О, -1,
б)у” = 7ГТ1;	г)= К"1)" + 1)п‘?
037.42. Является ли ограниченной сверху последовательность: . (-1)" +1 . - 1. ®)	~ я ’	в) Хв — а д’
п	п  fi
в) 1.-1, 1.-2, 1.-3.
037.43. Является ли ограниченной последовательность: £
, (-l)'(n + 1). sin3 3 ’
г) tej.
•37.44. Известно, что (хя) —
v 1 1 1
а) 2’ 3’ 4
. sin 1 sin 2
в) —’ ~—
(-1) sin п R
tgf(2n - 1),... ?
ограниченная последовательность. Является ли ограниченной последовательность:
а) Ул = -	+ 2;
в) 2,
г) = хя sin (Зл)?
037.45. При каких значениях параметра р заданная последовательность ограничена сверху числом 1: . 2л + р.	в ?
®) У» ~ 2п + 1’	б) ” ра + п
037.46. При каких значениях параметра р заданная последовательность ограничена снизу числом 1: . п - р,	2л + Д ?
а) У” ~ п + 2 *	б) - 2п + р2
203
•37.47. При каких значениях параметра р последовательность:
2п + р
а)	уа = зд ограничена сверху числом 1;
р + 5п	. _
б)	у„ =	1 ограничена снизу числом 1?
37.48.	Определите, является последовательность (х„) убывающей или возрастающей:
a) xN = Зп + 2;	в) х„ = б1-’;
„	5 .	( if-'
б> х- = ТГГЗ’	г> *• = 1’5 J
37.49.	Объясните, является последовательность (у„) убывающей или возрастающей, если для любого номера п выполняется неравенство:
а)	y«-i - уа > 0;	в) у.,| - < 0;
6>Т<1!	Т<1(»-<0’-
037.50. Выясните, какие из приведенных последовательностей являются монотонными; укажите характер монотонности: а) У» =5 ";	в>^«=аЛт;
б)	уя = cos	Г) У. = jn + 8.
037.51. Исследуйте на монотонность последовательность:
а)	у„ = -2п +1;	в)	уя	= cos £;
б)	уа = Зп! + п - 1;	г) уя	=
•37.52. Докажите, что заданная последовательность возрастает:
х ап	v	л + 1,
а) уп = п + 2п;	в)	у„	= 777.
<ч пг .	л*_+Зп* + 1
б) " па + 10’	Г> Уа “ л4 + 3л* + в’
•37.53. Докажите, что заданная последовательность убывает:
V	Зл + 5. а> У* - ЗГЛ’	.	л* +15. В)У«= л1 + 2’
б) Ул - „а + 2п’	.	в4 ♦ 2ла 4- 7 Г>^- л^ ‘2л*-Г
204
037.54. Если (x„) — возрастающая последовательность с положительными членами, то что можно сказать о монотонности последовательности (у„):
а)	уя = 5хя + 7;	в) </„= 2 - Зх„;
7
б)	У‘ = 3 + х„;	г) У" ~ <х«> + 2?
037.55. При каких значениях параметра р последовательность (р„) будет возрастающей: а) у„=рп -5;	в) = 2 - рп;
037.56. При каких значениях параметра р последовательность (у„) будет убывающей:
2	р
а)Ул=^	в)уи=-^;
к	sin —
п
рп + 2.	5п2 - Ро
б>?- = 7^Тз’	г)уя = —
037.57. Дана последовательность ха = п* - 1. Исследуйте на ограниченность и монотонность последовательность (у„):
а)	у»~ Хя;	в) уа = — i
б)	Уа = ха,г - хя;	г) у„ = —.
037.58. Исследуйте последовательность (хп) на ограниченность и монотонность:
. п .	« п2 +1
а>х"=-ИТ2’
037.59. Приведите примеры последовательностей:
а)	возрастающих и ограниченных снизу;
б)	возрастающих и не ограниченных сверху;
в)	убывающих и ограниченных снизу;
г)	убывающих и не ограниченных снизу.
•37.60. Приведите пример последовательности:
а)	возрастающей, ограниченной сверху, все члены которой положительные числа;
б)	убывающей, все члены которой принадлежат интервалу (О; 7);
в)	возрастающей, имеющей ровно три отрицательных члена; г) неограниченной, немонотонной.
205
§ 38.	Предел числовой последовательности
38.1.	Запишите окрестность точки а радиуса г в виде интервала, если:
а)	а = 0, г = 0,1;	в) а = 2, г = 1;
б)	а = -3, г = 0,5;	г) а = 0,2, г = 0,3.
38.2.	Окрестностью какой точки и какого радиуса является интервал:
а)	(1, 3);	в) (2,1, 2,3);
б)	(-0,2, 0,2);	г) (-7, -5)?
38.3.	Принадлежит ли точка Х] окрестности точки а радиуса г, если:
a)	Xi = 1, а = 2, г = 0,5;
б)	Xi = 1,1, а=1, г= 0,2;
в)	Xi = -0,2, а = 0, г = 0,3;
г)	х( = 2,75, а - 2,5, г = 0,3?
038.4. Существует ли иомер пФ, начиная с которого все члены последовательности (хя) попадают в окрестность точки а радиуса г = 0,1, если:
,	1	. п
а)	ха = а = О;	в) х„ = j, а = О;
б)	х„ = а = 1;	г) х„ = а = 1?
Укажите номер По того члена последовательности (хп), начиная с которого все члены последовательности попадут в окрестность точки а радиуса г
038.5, a)	а = 0, г = 0,1;
б)	хя = 3 + а = 3, г = 0,2;
2 в) х„ = 1 + в = 1, г = 0,01;
г) х„ = —, а = 0, г = 0,1.
rl Т	1
оЗв.в. а) хя = I з I» а = 0, г = g?;
б)	хя = (-!)"£, а = 0, г= gp
206
в)	хя = 2 + 2j * g — 2, г — j28*
г)	хя — 3 — ("з J g = 3t г — gj*
Постройте график последовательности (ул) и составьте, если можно, уравнение горизонтальной асимптоты графика:
2 038.7. а) у„ =	. 4-
б) у* = [3 J ’	. РТ1 г) У» = [ 2 )
038.8. а) у„ ~ -1 + •£;	в) у. = 2 -
б) У« = 2 - -ji	Г) уя = “3 +
038.9. а) уА = 2 + (-1)"	В) Уя = -з + (-1Г
б)|гя = (-1Г2 + |;	г)Уя = (-1Г‘ 3-|
38 Л О» Верно ли утверждение:
а)	если последовательность имеет предел, то она монотонна;
б)	если последовательность монотонна, то она имеет пре-дел;
в)	если последовательность ограничена, то она имеет предел;
г)	если последовательность не монотонна, то она не имеет предела?
Пользуясь теоремой о пределе монотонной ограниченной последовательности, докажите» что последовательность имеет предел:
Зл2 + 2.	_	п2 - 5
088Л1. а) хя =	>	б) хв = ^77-
•38.12. а) х. = 1 + J
« 1 , 1 . . 1
б> ТТЛ+ ТГГ2 + - +Si-
207
Вычислите
38.13. а) х„ = А: д
6)х.= =£-
038.16. а) х„ = £
б)х„ = | 5-"; л
	 ь	5п + 3
038.16. а) хя - 7*f:
„	7л - 5.
б) ж" “ п + 2 ’
.	2лг - 1
038.17. а) х. = t ;
д
1 4- 2л + в2.
б) х„ 		;
в)х„ = 7 3-“;
ЛЯЯ 1Я ,1 г - + Ц" - 3)-ОиО«10» &J Xrt —	^2	’ fi. _ (Зге+1Х4в -1). б)х-- •	v	(Зл - 2M2n 4- 3). в) X„ -	J	» n .	(1-2дХ1+«) г)ж-= (Я + 2)^	*
088.19. а) х„ = <2и +	- О - 6л‘ * 12л;
Л. _ д*(2а 4-5) - 2па 4-5па - 13. ™ ж" л(п + 1Хл - 7) + (1 - в) *
в) х„ =
(1 - ПХу2 4- 1) 4- Д8. п* + 2п ’
_ л(7 - п2) 4- л3 - Зя - 1
Г) Xa ~ (я + 1Хл + 2) + (2n2 + 1)'
208
Вычислите:
«8.20. а) Шп^ + г4 + ^4 + - +
6)	Йн(г"3 + 3~5 + sS + " + (2п - 1X2» + 1)}
«в.21..) to vw= «1,m *Л;ТЛ
38.22.	Найдите сумму геометрической прогрессии (6,) , если:
а)	61 = 3. д = д»	в) 6i — —1, д — 0,2:
б)	6| = -5, q = -0,1;	г) 61 = 2, д = -|.
38.23.	Найдите сумму геометрической прогрессии:
а)	32, 16, 8, 4, 2,...; в) 27, 9, 3, 1, |,...; V
б)	24, -8,	...; г) 18, -6, 2,	....
38.24.	Найдите знаменатель и сумму геометрической прогрессии
(6Я), если:
а)	61 = -2, 6г = 1;	в) 61 = 7, 62 = -1;
б)	6, = 3, 62 =	г) 6j = -20, bt = 4.
38.25.	Найдите знаменатель геометрической прогрессии (6Я), если:
a)	8 = 2, Ь1 = 3;	в) 8 = &i = -3;
б)	S = -10, 61 = -5;	г) S = 1,5, 6j = 2.
38.26,	Найдите первый член геометрической прогрессии (6Л), если:
a)	S = 10, д = ОД; в) S = 6, д = -0,5;
б)	S =-3,	г)8 = -21,$=|.
О	4
038.27. Найдите n-й член геометрической прогрессии (6Л), если:
a)	S = 15, q = п = 3; в) 8 = 20, Ъ, = 22, п = 4;
3
б)	8 = -20, 6, = -16, п = 4; г) S = 21, д = п = 3. о
209
038.28. Найдите сумму геометрической прогрессии (&п), если: а) ь„ = |£;	в) ьа =
б)	ьл = (-1)"	г) ьа = (-If *
038.29. а) Найдите сумму геометрической прогрессии, если известно, что сумма первого и третьего ее членов равна 29, а второго и четвертого 11,6.
б)	Чему равен пятый член геометрической прогрессии, если известно, что он в 4 раза меньше куба третьего члена прогрессии, а сумма прогрессии равна 4,5?
038.30. а) Найдите геометрическую прогрессию, если известно, что ее сумма равна 24, а сумма первых трех членов равна 21. б) Найдите седьмой член геометрической прогрессии, если известно, что ее сумма равна 31,25, а сумма первых трех членов равна 31.
038.31. а) Составьте геометрическую прогрессию, если известно, что ее сумма равна 18, а сумма квадратов ее членов равна 162. б) Найдите сумму квадратов членов геометрической прогрессии, если известно, что ее сумма равна 2, а сумма кубов ее членов равна 1 у-
Вычислите: 038.32. а)2+1 + | + | +
б)	49+ 7 + 1 + ^ +
2	2	2
038.33. а)- 6+ з-27 + 243 ~
б)3+>/з+ 1 +	+
е
в)	49 - 14 + 4 - ? +
г)	4 + 2V2 + 2 + 72 +
. 3	,	2 4
в) 2	1 + 3 9 +
г) 125 + 25 + 5 + 1 +
038.34. а) 2 + 4 + 6+	+ 20+| + -y + |
2	4 о
2	4	8
б)1 + 3 + 5 + ... + 99+|-^ + 1^-
210
в) 21 + 24 + 27 +	+ 51 + g ~	—
г) 1 + 4 + 7 +	+ 100 + 0,1 + 0,01 + 0,001 +
038.35. Упростите выражение
a)	sin х + sin® х + sin® х + sin* х + б) cos х - cos® х + cos’ х - cos4 x + в) cos® X + COS4 X + cos’ X + COS* X + r) 1 — sin8 x + sin’ x - sin’ x +
Решите уравнение, если известно, что |х| < 1: 038.36. а) х + х® + хя + х4 +	+ х" + ... = 4;
б)	2х - 4х® + 8х* - 16х* +
1	7
•38.37. а) — + х + х® + х® + х* +	+ х" +
13
б)	2х + 1 + х* - х® + х* - х* +	= -g*»
•38.38. Решите уравнение:
a)	sin х + sin® х + sin® х +	sin" х + ... = 5;
б)	cos х - cos® х + cos® х -	+ (-1)'"1 cos" x + ... = 2;
в)	1 + sin®x + sin4x +	+ (sin x)®"-® + ф
г)	7 cos® x + 7 cos* x +	+7 (cos x)®" +	=1.
§ 39. предел функции
39.1. Какая из функций, графики которых изображены на рис. 70—73, имеет предел при х —> +°°? при х -оо? при X —> ОО?
39.2. Выясните, имеет ли функция у = Дх) предел при х —> +°°, при х -> -оо или при х —> оо и чему он равен, если: а) прямая у = 3 является горизонтальной асимптотой графика функции на луче (-оо; 4];
б)	прямая у = -2 является горизонтальной асимптотой графика функции на луче [-6; +оо);
в)	прямая у = -5 является горизонтальной асимптотой графика функции на луче (-оо; 3};
г)	прямая у = 5 является горизонтальной асимптотой графика функции на луче [4; +оо).
211
212
039.3. Известно, что lim fix) = 2, Вычислите:
limj(x) = -3, lim h(x) = 9. X-+*	n-> *
a)	lim (Дх) + g(x) - Л(х)); x-*®
6)	lim (Ж*) (Дх))2);
в)	lim (g(x) - Дх) + Л(х)); X-*®
г)	lim (Дх) g(x) Л(х)).
x—><JU
039.4. Известно, что lim Дх) = -2, Вычислите: а) Нт х-м® g\Xj
«ч 1™ 3/(х) + Мх).
б> 2Лх) + 15’
lim Six) = -10, lim Л(х) = 6.
г) M, 5лЫ*
Постройте график какой-либо функции у — Дх), обладающей указанными свойствами:
39.5.	a) lim Дх) = 3;	в) Um Дх) = -5;
б)	lim Дх) = -2;	г) Um Дх) = 0.
39.6.	a) Jim Дх) = 4, Jim Дх) = 0;
б)	Um Дх) = 10, lim Дх) = -2;
в)	lim Дх) = -2, lim Дх) = 1;
X—X—к-Лй
г)	Um Дх) = 3, lim Дх) = -4.
39.7.	a) Um Дх) = б и Дх) > О на (-«»; +«»);
б)	Um Дх) = -3 и Дх) > 0 на отрезке [-7; 8]; JT-* к
в)	lim Дх) = 0 и Дх) > 0 на [О, +оо);
г)	Jim Дх) = 0 и Дх) < 0 на (-<ю; +<ю).
213
Постройте график какой-нибудь функции у = Л(х), х е Я, обладающей указанными свойствами:
039.8. a) lim Л(х) = 4 и функция возрастает;
б)	liin_A(x) = 5 и функция убывает;
в)	lim Л(х) = -2 и функция возрастает; Х-+
г)	lim, Л(х) = -3 и функция убывает.
039.9. a) lim h(x) = 1 и функция ограничена сверху;
б)	lim Л(х) = 1 и функция ограничена снизу;
JT-++SC
в)	lim_ Л(х) = 1 и функция ограничена сверху;
г)	lim Л(х) = 1 и функция ограничена снизу.
•39.10. Постройте график непрерывной на (-оо; +оо) функции
У = Д*)> обладающей следующими свойствами:
a)	lim Дх) = О; Дх) > 0 на (-со, 0); E(f) - [-5; б], функция убывает на [2; 7];
б)	lim Дх) = б, lim Дх) = 0, E(f) = [-3; 5), Дх) < 0 на (О; +оо), функция возрастает на [3; -ко) и убывает на [0; 3].
Вычислите:		.. ( 2 ж 8 Y в>
39.11. a) lim	1 . 3 1	
	ГТ 2 Y	(9	5)
б) lim		г) lim TJ “ “7 Г X у
39.12. a) lim 1		в) lim (А + А + 9
	[я*	)	
б) lim		г) lim f-4 - т!
	(д’ х /	[ I? J
039.13. a) lim 1		
б) lim I Х-№» |	[?+1Н‘?-2	I*
214
в)
lim (4 + Д1-Л;
г) lim	- 2)• f-A - 3}
039.14. a) lim ^4;
„ .. Зх-4, б) 2777’
039.16. a) lim
б> В г£ГГ£;
Дд*_ v® 1
039.16. a) lim	;
„ х* - 8 . б) hm ,	,
х->» X + 1о
...	4х*	+ 9.
039.17. a) hm а , о , х-»» х + 2
г)
В)
7х + 9
в> “а аЛаЛ1:
... 4х + 3
г> йа 12х!-«х'
... Зх- 2х* + 4.
в> Й з/+ '2« •
— Зх2
Г) х4 + 2х + Г
в) lim
8х*-8. х* - 1 ’
г) lim
г-»»
10х* + 4х - 3 5х* + 2х + 1 "
39.18. Какая из функций, графики которых изображены на рис. 74—81, имеет предел при х —> 3? Чему равен этот
			У1	1								
												
												
												
			л.									
						г 1	j >					
			О”									
												
												
			0									
												
												
РИС. 75
215
216
39.19.	Постройте график какой-нибудь функции у = g(x), обладающей заданным свойством:
a)	lim g(x) = 2;	в) lim g(x) = -4;
6)	hmg(x) = -3;	г) lim#(x) = 3,5.
39.20.	Постройте график какой-нибудь функции у = Дх), обладающей заданными свойствами:
а)	ШпДх) = 3 и Д2) = 3;
б)	lim Дх) = 4 и lim Дх) = О;
в)	lim Дх) = 4, Д-1) не существует;
JC-+-1
г)	lim Дх) = -1 и lim Дх) = -5. Х-+3	X =
39.21.	На рис. 82 изображен график функции у - Дх). Найдите: a) lim Дх); б) ИтДх); в) НтДх); г) lim Дх).
х-*-л	х->3
039.22. Постройте график функции у = Дх), обладающей следующими свойствами:
a)	lim Дх) = 5; Д2) = 5; lim Дх) = -1; Д-8) = 1; lim Дх) = -2; х^Й	х-ь»
функция возрастает на (-со; 2].
б)	lim Дх) = -3; Д-1) = 2; lim Дх) = -2; ДО) = -2; lim Дх) = 3; х—>-1	х—
E(f) = (-3; 5].
217
Вычислите:
39.23. a) lim(x2-3x + 5);
2х + 3. б> ’1П} 4ТТ2’
039.24. a) Um 4х~Пг
2х -1
б) lim ——7----7?
лк v о sinnx^
039*26. a) lim ——
sin-6>
в) lim (х2 + 6х - 8);
. ..	7х-14
г> 1иЧ 2йТ2’ х~* а
в) lim V2x - 6;
х—►ЗД
. г 5-2х г) Й?1 Зх2 - 2х + 4*
. СО8ЯХ.
«УЯ —
г> I'srf-
•39.26. a) Um (2 arcsin х + 3 arccos х);
it-» 0»
arccos х 4 it gin ях .
ясоеях 4 2 arcsin х’
в) Шп (2 arctg х - arcctg х);
2 arcctg х 4 ях г) cos х - cos (-х) 4 arctg х‘
X2
039.27. a) lim ~i----;	в)
7 х - х	7
г *4 1,
6) Um pTTZ-	г)
т->-1 X 4 X
039.28. a) lim *	®)
б) Нт 1-^;	г)
т-»-2 * + *
X - 3
.. X + 5
Й775-
1. X1 - 25. hm ——
..	3 + х
1|Ю»
х—»-Я X о
039.29. а) Нт *>*2*.~ 81
х-»1 X “ 1
...	« + 1 .
в) ^Р-гх-з’
х - 2
в)£5 2?Т7^
г) Нт
Г-4»
ж* - Их + 18 х - 9
218
039.30. a)
X + 2 .
б)
lim f—p х-,-1 1-х
г)
х 3
..	16-х2
lim
.а*
039.31. а)
,, sinx.
tgx *
sin 3x + sin x. cos 3x + cosx’
б) Нт
в)
г)
.. COSX.
ctgx’
2
.. cos 5x - cos 3x
7$o sin 5x + sin 3x ’
•39.32.» lim
6) lim (V2x + 3 - V2x - 7);
B) Й5 з:
г) lim (V5 - Зх - 7-Зх). ж—в
„„ „„ v 1 - cosx.
•39.33. a) lim------;—»
r-*0 X
б)
sin 7х - sin Зх sln8x - sin2x’
39.34.	Найдите приращение функции у = 2х - 3 при переходе от точки Хо = 3 к точке xt, если: a) Xi = 3,2;	в) xt = 3,5;
б)	х1 = 2,9;	г) Xj = 2,5.
39.35.	Найдите приращение функции у = Xs + 2х при переходе от точки Хо = -2 к точке xt, если: a) Xi = -1,9;	в) х( = -1,5;
б)	Xi = -2,1;	г) Xi = -2,5.
39.36.	Найдите приращение функции у - sin х при переходе от точки Хо = 0 к точке xt, если:
a)	Xi =	в) Xi =
б)	л, =	г) xi =
039.37. Найдите прпращение функции у = 2 sin х cos х при переходе от точки х0 = 0 к точке xt, если:
. я.	-V я.
a)	xi =	в) xt =
б>«, =	г) х, = -i.
219
039.38. Найдите приращение функции у = Vx при переходе от точки х0 = 1 к точке Xi = х0 + Дх, если: а) Дх = 0,44;	в) Дх = 0,21;
6)	Дх = -0,19;	г) Дх = 0,1025.
39.39. По графику функции, представленному на рисунке, найдите приращение аргумента и приращение функции при переходе от точки х0 к точке xt: а) рис. 83;	б) рис. 84.
039.40. Найдите приращение функции у = 4х2 - х при переходе от точки х к точке х + Дх: а) х = 0, Дх = 0,5;	в) х = О, Дх = -0,5;
б)	х = 1, Дх = -0,1;	г) х = 1, Дх = 0,1.
039.41. Найдите приращение функции у = Дх) при переходе от точки х к точке х + Дх, если: а) Дх) = Зх + 5;	в) Дх) = 4 - 2х;
б)	Дх) = -х2;	г) Дх) = 2х1.
039.42. Вычислите, чему равно отношение приращения функции у - х2 - 4х + 1 к приращению аргумента при переходе от точки х0 = 2 к точке: а) х = 2,1;	в) х = 2,5;
б)	х = 1,9;	г) х = 1,5.
39.43. Для функции у = Дх) найдите Д/ при переходе от точки х к точке х 4- Дх, если:
а)	Дх) = *х + л;	в) Дх) = -;
б)	Дх) = ох*;	г) Дх) = -Тх.
220
039.44. Для функции у = f(x) катлдите при переходе от точки х к точке х + Дх, если:
а)	Дх) = kx + bi б) Дх) = ахг; в) /(х) = г) Дх) = 7х.
039.45. Для функции у = Дх) найдите lim при переходе от точки х к точке х + Дх, если:
а)	Дх) = kx + b; б) Дх) = ахг; в) Дх) = г) Дх) = 4х.
§ 40. Определение производной
40.1.	Закон движения точки по прямой задается формулой s(i) = 2i + 1, где t — время (в секундах), а(0 — отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента ti = 2 с до момента:
a)	= 3 с;	в) tg ~ 2,1 с:
б)	ts = 2,5 с;	г) t2 « 2,05 с.
Вычислите мгновенную скорость точки в момент t = 2 с.
40.2.	Закон движения точки по прямой задается формулой s(t) = t2, где t — время (в секундах), e(t) — отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента t| = 0 с до момента: a) tg = 0,1 с;	в) t2 = 0,2 с;
б)	tg = 0,01 с;	г) tg — 0,001 с.
Вычислите мгновенную скорость точки в момент t = 1 с.
40.3.	Закон движения точки по прямой задается формулой s(t) = 2t2 + t, где t — время (в секундах), s(t) — отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите среднюю скорость движения точки с момента tt= 0 с до момента: a) tg = 0,6 с;	в) tg = 0,5 с;
б)	t2 = 0,2 с;	г) tg = 0,1 с.
Вычислите мгновенную скорость точки в момент t = 1 с.
О40.4. Закон движения точки по прямой задается формулой s = s(t), где t — время (в секундах), e(t) — отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите мгновенную скорость движения точки, если: a) s(t) = 4t + 1;	в) a(t) = 3t + 2;
б)	3(f) = t1 - t;	г) a(t) = t* - 2t.
221
40.5	. Функция у = Дх) задана своим графиком. Определите значения Г(хО и f(xz), если график функции изображен: а) на рис. 85;
в) на рис 87;
40.6	. Функция у = Дх) задана своим графиком (рис. 89). Сравните значения производной в указанных точках: а) Л-7) и Л-2);	в) Л’9) и Г(0);
б) Л-4) и Л2);	г) Л-D и Л5)-
222
40.7	. Функция у = f(x) задана свои» графиком (рис. 89). Укажите два значения аргумента xt и хг, при которых: a) f(x.) > 0, f(x2) > 0;	в) f(xx) < 0, Г(хг) < 0;
б) f(xt) < 0, Г(хг) > 0;	г) Г(х,) > 0, Г(х2) < 0.
40.8	. Функция у = <р(х) задана своим графиком (рис. 90). Укажите несколько значений аргумента, для которых: а) ф'(х) > 0;	в) ф'(х) < 0;
б) ф'(х) < 0 и х > 0; г) ф'(х) > 0 и х < 0.
Воспользовавшись определением, найдите производную функции в точке х;
•40.9. а) у = з? + 2х; б) У = р	в) Зх* - 4х; .	4 г)р = р
•40.10. &)у = 4х\ Л 1.	в) у = 4х + 1; г) у = Xе.
Воспользовавшись определением, найдите производную функции в точке х0 или докажите, что она не существует:
Хо = 0.
228
•40.12. а) у = |x + 4|, x0 = -4;
б)	у = -Зх|х|, х0 = 0;
в)	у = 2х|х|, Хф = 0;
г)	у = (х - 1)| х - 1|, х0 = 1.
40.13. Найдите скорость изменения функции в точке х:
а)	у = 9,5х - 3;	в) у = 6,7х - 13;
б)	у = -16х + 3;	г) у = -Эх + 4.
040.14. Найдите скорость изменения функции у = Дх) в указан* ной точке:
а)	Дх) = г2, х0 = 2;	в) Дх) = х*, Хо = -2;
б)	Дх)= р Хф = -1;	г) Дх) = 1 хо = -0,5.
040.15. Закон движения точки оо прямой задается формулой = г’, где t — время (в секундах), s(t) — отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите скорость и ускорение (скорость изменения скорости) в момент времени I, если:
a)	t = 1 с; б) t = 2,1 с; в) t = 2 с; г) t = 3,5 с.
040.16. Закон движения некоторой точки по прямой задается формулой s(t) = t* + t, где t — время (в секундах), s(t) — отклонение точки в момент времени t (в метрах) от начального положения. Найдите скорость и ускорение в момент времени t, если:
a)	t = 1 с; б) t = 2,1 с; в) t = 2 с; г) t = 3,5 с.
§ 41.	Вычисление производных
Найдите производную функции:
41.1. а) у = 7х + 4;	в) у = -6х + 1;
6) У = хя;	. 1 г)у= р
41.2. а) у = х*; б) у = х10;	в) у - х4; г) у - х201
41.3. а) у = sin х; б) у = 7х;	в) у = сое х; г) у = х”
41.4. а) у = tg х; б) у = ctg х;	в) у = tgx + 4; г) у = ctgx + 8.
224
41.5* a) у = x2 - 7x; б) у = -Зх2 - 13x;	в) у = 7x* + 3x; г) у = -x2 + 8x.
41.6. a) у = x3 + 2xs; б) у = x4 - Xs;	в) у = x’ + 4x100; г) у = x4 - 7x*.
41.7.	а) у = 12x + Vx; б)	у = -2x2 - 41.8.	a) у = 6\[x + б)	У = -2л/х -X 41.9.	a) у = cos x + 2x; б)	у = 8 sin x + cos x;	в) у = 4x - 5x*; г) у = 10x* + p в) у = 107x + г) у = -8>/x - p в) у = sin x - 3x; г) у = 2 cos x + sin x.
41.10. a) у = sin x - 3 ctg x;	.	cosx . . . в) y- —5— + 1,4ctgx;
б) у = 2 tg x + 7з cos x;	г) у = 6 tg x - sin x.
41.11. а) у = x* + 9x“ + 1; б) у = x7 - 4xie - 3;	в) у = x* + 13X10 + 12; г) у = x® - 6x21 - 36.
41.12. a) у = (x1 - l)(x4 + 2);	в) у = (х2 + ЗХх4 - 1);
б) у = (x2 + 3Xx‘ - 1);	0 у = (Xя - 2)(хт + 4).
41.13. a) у = Vx(2x - 4); 6)y = (xs+l) 4x-t	в) у = -Тх(8х - 10); г) у = Vx (х4 + 2).
41.14. a) у = x sin x;	в) у = х cos х;
б) у = Vx cos x;	г) у = Vx sin х.
041.15. a) у = f- + 11(2x - 3); Iх J	в) у = f— + в1(5х - 2); /
б) у =	-±](6x+ 1); l	ДР J	г) у = (9 - —1(3х + 2). х)
041.16. a) у = x’ tg x;	В) у = * Ctg х;
б) у = cos x ctg x;	г) у = sin X tg X.
8
ик, 10 kju, ч» 2
225
Найдите производную функции:
041.17. а) у = (х - 1)(х2 + х + 1);	в) у = (х + IXx3 - х + 1);
б) у = (хг + 2х + 4Х« - 2); □41.18. a) v = 2^;	г) у = (х1 - Зх + 9Х* + 3). X2 в)*= 3 —4х* ч	х г> » = jrrr
041.19..),= ^; б)р=	.	cosx г) р = —— д
х® - Я 041.20. а) у = б)р- х» + 1;	.	х’ + х. »),- х1_г х13 г)р- р_2-
041.21. а) у = cos2 4 - sin2 £ &
б)	у = 2 sin | cos
в) у - cos2 Зх + sin* Зх;
г) у = -sin cos
041.22, а) у = sin 2х cos х - cos 2х sin х; х Эх х Эх
б)	у = sin — cos— + cos — sin—; ' *	3	3	3	3
в)	у = cos Зх cos 2х + sin Зх sin 2х;
.	. х _ 4х  . X . 4*
г)	у = cos — cos—— sin— sin—.
5	5	5	5
Найдите значение производной заданной функции в точке
41.23.	а) у = 4х, х0 = 4;	в) у = -Зх - 11, х0 = -3;
, 1
б)	у = х , Хо = “7;	г)	у = Хо~ 0,5.
41.24.	а)	у = sin х, х0 -	в)	у = сое х, х0 = -Зя;
б)	у = cos х, х0 = £;	г)	у = sin х, х0 = 0.
О
41.25.	а) у = бх - 9, х0 = 3;
б)	у = х3 - Зх + 2, х0 = -
в) у = 5х - 8, Хо = 2;
г) у = х2 + Зх - 4, х0 = 1.
1;
226
41.26.	а) у = x0 = 4;	в) у = |x0 = 1;
б)	у = >[х + 4, Хо = 9;	г) у = Vx + 5х, х0 = 4.
41.27.	а) у = 2 sin х - 13 cos ж, Ха = 5;
б)	у = -сов х + ^х*, Ха = |;
в)	у = -sin х - 3, Ха =
г)	у = 4 cos х + хЛ, Ха =
41.28.	а) у = tg х + 7й 4xt х0 =
б)	у = 2 ctg х - 3 tg х. Ха =
.	, к2 я
в)	у = ctg х + —. Ха = -т; * о
г)	у = (2х + З)2 - 4 tg х, Xu - 0.
«л ч sinx я.	coax
041.29. а) у = Jto = 2:	в) У = —*•> = п'
„	х +1 п	. 2х л
б)	р = ТТр *6 = 2;	г) у = —j. Ха = 0.
041.30. Докажите, что производная заданной функции принимает положительные значения при всех допустимых значениях аргумента:
а)	у = Зх + 12;	в) у = -2 sin х + 4х;
б)	у = 2х’ + 15х;	г) у = Зх - 1,5 cos х.
041.31. Докажите, что производная заданной функции принимает отрицательные значения при всех допустимых значениях аргумента:
а)	у =	- 1,5х;	в) у = 1,4 сое х - Зх;
б)	у = -4х + 14;	г) у =	+ 29.
8*
227
041.32. а) Найдите те значения аргумента, при которых производная функции у = г1 - Зх принимает положительные значения;
б)	найдите те значения аргумента, при которых производная функции у = х5 - принимает отрицательные зна-
чения;
в)	найдите те значения аргумента, при которых производная функции у = 4х + х принимает неотрицательные зна-
чения;
г)	найдите те значения аргумента, при которых производная функции у = 7 cos х + 12 принимает неположительные значения.
Найдите скорость изменения функции в точке х0: 41.33. а) у = Xs, х0 = -0,1;	в) у = 4х, х0 = 9;
б) у = р «о = -2;	г) у = cos х, хб = я.
041.34. а) у = х3 + 2х, х0 = 2;
б) у = (Vx + l)Vx, X» = 1;
в) у = -^4 - 2}, х0 = -0,5;
я
г) у = 2 sin х - 4х, х0 =
•41.35. Существует ли производная заданной функции в точке х0?
Если да, то вычислите ее: а) у = |х - 2|(х - 2), х0 = 2; б) у = (х + 2)|х + 2|, х0 = -2.
•41.36. Существует ли производная заданной функции в указанных точках? Если да, то найдите значения производных: а) у = х2 - 5|х| + 6, Хо = 2, Xj = 3, х2 = 0;
б) у = |х4 - 5|х| + б|, х« = -2, X, = 0, хг = 2,5.
Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = Дх) в точке с абсциссой х«:
41.37.	а) Дх) = х2, Хо = -4;	в) Дх) = у х0 =
б)	Дх) = р х0 =	г) Дх) = х2, х0 = 2.
228
41.38.	а) Дх) = sin x, xo - в) Дх) = cos x, x0 =
б)	Дх) = cos x, Xi, = —yi г) Дх) = sin x, xo = -7. 4	О
Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции у = Дх) равен к, если:
041.39. а) Дх) = 4х - х, Л = 1;
б)	Дх) = >/х + Зх, к = 4.
041.40. а) Дх) = sin 4 cos 4> k -
б)	Дх) = cos8 f, к =
Найдите тангенс угла между касательной к графику функции у = Дх) в точке с абсциссой Хо и осью х:
41.41.	а) Дх) = х* - 4х, хо = 1;
б)	Дх) = V7-3, х0 =
в)	Дх) = -х6 - 2х2 + 2, х0 = -1;
г)	Дх) =	+ 2, Хо — |.
041.42. а) Дх) = 10 - сов х, х0 = тр
б)	Дх) = 2 tg х, Хф =
в)	Дх) = 4 - sin х, Хо = вл;
г)	Дх) = -4 ctg х, Хо = -j-
041.43. а) Дх) = х8 sin х, j =
б)	Дх) = х(1 + сов X), Г(Я) = ?
в)	Дх) = 7з sin х + ^- + х sin j = ?
г)	Дх) = 7з cos х - х cos | +	= ?
229
041.44, Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции у = Л(х) образует с положительным направлением оси абсцисс заданный угол а: a) f(x) = x2 -Sx + 19, а = 45°;
б)	Я«)= 7Т2’ «=135°-
041.45. Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции у = А(х) образует острый угол с положительным направлением оси х, если:
а)	Л(х) = X3 - Зх2 + 1;	в) Л(х) = х* - х4 19;
б)	Л(х) = 4-Ух - х;	г) Л(х) = tg х - 4х.
041.46. Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции у = <Дх) образует тупой угол с положительным направлением оси х, если:
а)	<Дх) = sin х -I- 3;
б)	<р(х) = 0,2х® - З^х* + 9х;
в)	<р(х) = ctg х + 9х;
г)	<р(х) = х4 - |х" + 21.
041.47. При каких значениях а касательные к графикам функций у — /(x)t у = Л(х) в точке х = а не имеют общих точек: а) Дх) = хт, Л(х) = Xе; б) Дх) = х2 + х + 3, Л(х) = х1?
041.48. а) При каких значениях х выполняется равенство f(x) = 2, если известно, что fix) = 2-Тх - 5х + 3?
б) При каких значениях х выполняется равенство f(x) = 1, если известно, что f(x) = Зх - -Тх + 13?
Решите неравенство Г(х) < 0:
041.49. а) Дх) = х1 - 4*;	б) Дх) = х6 - х3 + бх.
041.50. а) Дх) = sin 2х;	б) Дх) = -4 сое х + 2х.
Решите неравенство f(x) > 0:
041.51. а) Дх) = х3 + х4;	б) Дх) = jrgf.
041.52. а) Дх) = cos2 % - sin3
б) Дх) = sin31.
230
При каких значениях аргумента скорость изменения функции у - Дх) равна скорости изменения функции у = g(x)z 041.53. а) Дх) = |xs - х1, g(x) = 7,5х* - 16х;
6) Дх) = 4х, g(x) =
041.54. а) Дх) - cos х, g(x) = sin х;
б) Дх) = tg х, g(x) = -ctg х?
041.55. При каких значениях аргумента скорость изменения функции у = g(x) больше скорости изменения функции у = Л(х): a) g(x) = ха - Зх1, Л(х) = 1,5х* - 9;
б) g(x) = tg х, h(x) = 4х - 81?
041.56. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию Г(Х) = /(х), если:
а)	Л») =	«(х) = 7_35х’
б)	Дх) = ctg х, g(x) = 2х + 15.
041.57. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию f(x) < g'(x), если:
а)	Лх) = sin х cos х, g(x) = - х + 61; л
б)	Дх) = х сое х, g(x) = sin х.
41.58. Укажите, какой формулой можно задать функцию у = Дх), если:
a)	f(х) = 2х;	в) f(x) = 3;
б)	f(x) = cos х;	г) f(x) = -sin х.
041.59. Известна производная функции у = f(x). Укажите, какой формулой можно задать функцию у = Лх), если: a) f(х) = Зх2 + 2х; в) f(x) = 5х4 - 1;
7	9 п
б) Г(х) =—?;	г>Ях)=££?
•41.60. Задайте аналитически функцию у = Лх), если графиком ее производной является;
а)	парабола (рис. 100); б) ломанная (рис. 104).
231
041.61. а) При каких значениях х верно равенство у* у + Уг если у = 2 sin х?
б)	При каких значениях х верно равенство уг + (jf)2 если у = >/х?
•41.62. При каких значениях а и Ь функция 2х - 3, если х < 1, хг + ах + Ь, если х > 1:
а)	непрерывна на всей числовой прямой;
б)	дифференцируема на всей числовой прямой?
•41.63. При каких значениях а и Ь функция
—если х < -1, 4
ах* + дх, если х > -1:
а)	непрерывна на всей числовой прямой;
б)	дифференцируема на всей числовой прямой?
041.64. Найдите вторую производную функции:
в)	у = sin х + 1;
г)	у = 2 сое х - 4.
= 0,
= 1,
= 
y = 1
a)	у = x4 + 2x;
б)	у = x5 - Зх;
041.65. Найдите /"'(О), если: а) у = 2х3 - х2;
б)	у = х + cos х;
t*
в) у = 4 sin х - сое х; г) у = sin х + сов х.
041.66. Тело движется по прямой согласно закону x(t) = *4 ~ *3* - 6t2 + 2i + 1 (где t — время (в секундах), х(0 — координата (в метрах)). Найдите:
а) ускорение движения в момент времени t = 3 с;
б) силу, действующую на тело массой 1 г в момент времени t = 3 с.
041.67. а) При каких значениях х верно равенство у" + у* - у = О, если у = 3 сов х?
б) При каких значениях х верно равенство (у")2 + 2у' = у* + 1, если у = sin х?
041.68. а) Докажите, что функция у = х sin х удовлетворяет соотношению у" + у = 2 cos х;
б) докажите, что при любых значениях а и Ь функция у - a sin х + Ь сов х удовлетворяет соотношению у" + у = 0.
232
041'69» Строится мост параболической формы, соединяющий пункты А и В, расстояние между которыми равно 200 м» Въезд на мост и съезд с моста должны быть прямолинейными участками пути, эти участки направлены к горизонту под углом 15*. Указанные прямые должны быть касательными к параболе. Составьте уравнение профиля моста в заданной системе координат (рис. 91).
PUC 91
•41,70» а) При каких значениях параметра а касательные к графику функции у = 4х2 - |а|х, проведенные в точках его пересечения с осью х, образуют между собой угол 60е? б) При каких значениях параметра а касательные к графику функции у = х3 + ]а|х, проведенные в точках его пересечения с осью х, образуют между собой угол 45*?
§ 42. Дифференцирование сложной функции, дифференцирование обратной функции
Найдите производную функции:
42.1. а) у = (4х - 9)т;
в)у= И; + 2
I if J
Г) у = (15 - 9х)“
42.2. а) у = ein (Зх - 9);
б) у = cos | £ - 4х
I 3
42.3. а) у = tg f&c -I /
б) у = V30 + 0,2x;
a) у = ain(5 - 3x);
г) у = cos (9x - 10).
в) j/= ctg - 4*^
г) у = V4 - 9x.
233
Найдите производную функции:
042.4. а) у = cos2* - sin2x;	в) у = 1 - 2 sin1 Зх;
6)y = 2sinx cosx;	г) у = sin23x + сов£3х.
042.5. а) у = sin Зх cos 5х + cos Зх sin 5х;
б) у = cos 4х cos 6х - sin 4х sin 6х;
в) у = sin 7х сов Зх - cos 7х sin Зх;
г)у=соя^ cos-| + sin^ sin^.
042.6. а) у = (1 - x”)s;	в) у =	+ 8}15
б) у = 7х3 + Зх2 - 2х + 1; Г) у =	~
т X + о
042.7. а) у = sin3 х;	в) у = tg9 х;
б) у = /ctgx;	г) у = tg(x + з?).
•42.8. а) у = 71 - х* + сов* х;
з) у = sin2 X cos vx:
б) у =
Найдите значение производной функции в точке х®: 042.9. а) у = (Зх - 2)т, Хо = 3;	в) у = (4 - 5х)т, х0 = 1;
б)	у ~ 725 - 9х, хь = 1;	г) у = 77х + 4, х0 = 8.
042.10. а) у = sin [ 2* - — L х0 = г!
\ * / °
J f Я	I	Я №
б)	У = ctg - - X L х0 = g,
I V	/
в)	y = cosl--4xLxo=g» I о J
г)	У = tg (зх - || Х0 =
042.11. а) у = (х2 - Зх + 1)’, х0 = 1;
б)»= хо = О;
в)	у = /х - IRx - 4), х0 = О;
( хг + 1f
г)»= рТз ’ xo = i-
234
«1^
042.12. а) у = tg* x, Хо =	в) у = cos x3, Xo = 0;
Г	It2	2
б)	у = sin Vx, x0 = 35!	г) у = ctg*x - 1, x0 =
Вычислите скорость изменения функции в точке х0:
042.13. а) у = (2х + 1)\ хь = -1; в) у =	*в = 2?
б)	у = V7x - 8, Хо = 1; г) у = -711 - бх, х0 = -1.
042.14. а) у = sin (Зх - Хо = %;
б)	у = tg бх, Хо = 35?
в)	у - cos I £ - 2х L х0 = £; к ®	/	6
г)	у = ctg р Хо = я.
042.15. а) у = >/4х* - 20х + 25, х0 = 3;
б)	у = Jsin2 х - 2 sin х + 1, Xq =
в)	у = 71 - Юх + 25Х2, х0 = 1;
г)	у - JI - COS X + -COSX, Хо = У	4	4
•42.16. а) у = (х - sin г)2, х0 = it;
б)	У у cos х * х° 4’
в)	у = 7(sinx + 1)COSX, Хо = g?
г)	у = (tgx - 1)\ х0 =
042.17. При каких значениях аргумента скорость изменения функции у = Дх) равна скорости изменения функции у = g(x): а) Дх) = cos 2х, g(x) = sin х;
б)	Дх) = sin бх, g(x) = cos 12х + 4;
2
в)	f(x) = 3 sin Эх, g(x) = cos 2х;
г)	Дх) = 7х2 - 2х; g(x) = 2<Ух?
235
042.18. При каких значениях аргумента скорость изменения функ-
ции у = g(x) больше скорости изменения функции у = Л(х): а) (К*) = sin [ Зх - 7 I 1г(х) = бх - 12;
6) g(x) = cos I — - 2х I ft(x) = 3 - >/2x?
14	}
042.19. Найдите тангенс угла между касательной к графику функции у = h(x) в точке с абсциссой х0 и осью х:
a) h(x) = jj!* р х0 = 0,5; в) Л(х) = V6 - 2х, Хо = 1;
б) Л(х) = cos3 х, х0 = •§>
г) Л(х) = figx, хр =
042.20. Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной к графику функции у = Дх) равен а, если:
*^2
а)	Дх) = sin х сое х, Л = —
б)	Дх) = cos2 х, h =
042.21. Определите абсциссы точек, в которых угловой коэффициент касательной равен 0: а) Дх) = tg3 х;	б) Дх) = sin3 х сое 2х.
042.22. а) Найдите корни уравнения Г(х) = 0, принадлежащие отрезку [0, 2], если известно, что Дх) = cos3 х + 1 + sin х. б) Найдите корни уравнения f(x) = 0, принадлежащие от-
g» если известно, что Дх) = sin3 х - сое х-1.
резку
042.23. а) Дано: Дх) = a sin 2х + b сое х,	j = 2, f (-g- j = -4. Чему
равны а и b?
б) Дано: Дх) = ecos2x + 6sin4x, Чему равны а и b?
042.24. Решите уравнение f(x) = 0, если:
а)	Дх) = у/со&2х;	в) Дх) = sin* х;
б)	Дх) = tg3 х;	г) Дх) = сое’ х - sin3 х.
042.25. Решите неравенство у7 < О, если: .	d-Зх)3.	(2х ♦ 8)*
(2-7x)s*	(2-5х)3’
236
042.26. Решите неравенство g*(x) > 0, если:
(2х - I)4	(4 - Зх)4
а)	в(х) =	+ 2)5 -	б) g(x) = (5Х _4)а‘
042.27. Проверьте равенство g*(x) = f(x), если:
a)	g(x) = (1 - х2) sin х2 - cos х2, f(x) = 2(x ~ Xя) cos x2;
6)	g(x) = (xa - 1,5) cos 2x - x sin 2x, f(x) = (2 - 2xa) sin 2x.
042.28. Найдите значения аргумента, удовлетворяющие условию f (х) = /(х), если:
a)	fix) - sin (2х - 3), g(x) = cos (2х - 3);
6)	f(x) = V3x - 10, g(x) = 714 + 6x.
042.29. Определите абсциссы точек, в которых касательные к графику функции у=Л(х) образуют с положительным направлением оси абсцисс заданный угол а:
а)	Л(х) = 2 72х - 4, а = 60°;
б)	Л(х) = sin (4х - £ \ а = 0°.
I 3 J
Известна производная функции у = f(x). Укажите, какой формулой можно задать функцию у = f(x)i
042.30. a) f (х) = 6(2х - I)2; б) f (х) = -20(4 - 5х)3.
2	Л
042.31. а) /•(«) =	б) Г(«) =	.
042.32. a) f(x) = sin Гзх -	6) f(x) = (xxt^x_ly
042.33. Найдите производную функции:
а)	у = arcsin Зх;	в) у = (arccos х)3;
б)	у = arctg х2;	г) у = arcctg 7х.
•42.34. Найдите значение производной функции в точке х0: а) у = (arccos х)*, х0 - 0;
2	. 2х+ I
б) у = arctg ’ х0 = -1;
х • Г 1.
в) у = arcsin Vx, х0 = -»
А
2 - х г) у = arccos -^2' Хо = 1.
237
042.35. Вычислите скорость изменения функции у = g(x) в точке ль:
а)	g(x) = arctg (1 - Зх), х0 =
б)	g(x) = arcsin л/х; х0 = 0,26;
в)	g(x) = arccos (2х - 3), х0 = 1,5;
г)	$(*) = л/arcctgx, хй = 0.
042.30. Найдите тангенс угла между касательной к графику функции у - Л(х) в точке с абсциссой х0 и осью х:
2
а)	Л(х) = arcsin (Зх - 2), Xq = д?
б)	Л(х) = arcsin х arccos х, х0 = 0.
042,37. а) Решите уравнение f(х) = 2, если Дх) = arctg (2х).
б)	Найдите те значения х, при которых выполняется равенство (f(х))2 =	где Дх) = 2 arcsin 4х.
JC
•42.38» Решите неравенство (f(x))fi > 1, если:
а) Дх) = arcsin 2х; б) Дх) = 2 arccos 4*-
§ 43* Уравнение касательной к графику функции
43.1.	Определите знак углового коэффициента касательной, проведенной к графику функции у = Дх), в точках с абсциссами a, b, с:
288
43.2. Укажите точки, в которых производная равна нулю и точки, в которых производная не существует, если график функции изображен на заданном рисунке:
а) рис. 94; б) рис. 96; в) рис. 96; г) рис. 97.
48.3.	Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = Дх) в точке с абсциссой х = а, если:
a)	fix) = х8 - 2х* + 3, а = -1;
б)	/(х) = а = 1;
в)	f(x) = х* - 7х* + 12х - 45, а = 0;
г)	rtx) = у ;-р а = 1.
239
Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = Дх) в точке с абсциссой х = а, если:
43,4.	а) Дх) = Vx - 7, а = 8;
б)	Дх) = V4 - бх, а = 0;
в)	Дх) = V10 + х, а = -5;
г)	Дх) = 73,5 - 0,5х, а = -1.
43.5.	а) Дх) =	sin х, о = 0;	в) Дх) =	cos Зх, а = -х*
б)	Дх) =	tg 2х, а =	г) Дх) =	ctg х, а =
043.6. а) Дх) =	^tgx, в =	в) Я*) =	ctg4 х, а = ^;
б)	Дх) =	cos1 х, а =	г) Дх) =	^2 - sinx, а =
Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции у = Дх) в точке с абсциссой х0:
043.7. а) Дх) = (х - 2Xxi + 2х + 4), х0 = 3;
б)	/(х) = cos2 Зх - sin2 Зх, х0 =
в)	Дх) = (2х + 1Х4Х2 - 2х + 1), х» =
г)	Дх) = sin х cos х сов 2х, х0 = 4-
4
О „Ч ~ . X* - Зх2 + Зх - 1	,
043.8. а) Дх) — х - 1	*	1
б)	Дх) = Тх2 - бх <- 9, х0 = -2;
в)Дх)= + Жо = -О,1;
г) Дх) = & - бх2 + 12х - 8, Хо - -5.
240
Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = Дх) в каждой из указанных точек:
[х2 -1, если I х| > 1, 043.9. а) Дх) = Г	. . Х| = -2, х2 = 0, х3 = 3;
1 - дг, если|х| < 1,
х2 + 2, если х > О, 2 - х2, если х < О,
-Зх, если х < О, в) Дх) =  у—	х, = -1, хг = 1, xs = 5;
V5x, если х > О,
X, = -1, хг = О, Xj = 2;
б)Дх) =
г) М = 74 - 2х-	-2, X. - 2. «, = 5.
(х - 2, если х > 2,
043.10. а) Дх) = х2 - 9|х| + 14, xt = -7, хг = 4,5, ха = 8 б) Дх) = х2 - 4|х| - 12, х> = -3, х2 = -2, х3 = 2.
043.11. а) Дх) = |х2 - 5х + б|, Xi = 0, х2 = 2,5, хг = 4; б) Дх) = |-х2 + 2х + 3|, Х| = -2, ха = 1, х» = 2.
Найдите ту точку графика функции у = Дх), в которой угловой коэффициент касательной равен k:
043.12. а) Дх) = 1,5х* - х + 1, к = 2;
б)Дх) = х + р fe = 3;
в)	Дх) = х3 - 2х2 + х, А = 1;
. м . х .2 ,	_
Г) Дх) = 2 + х’ * = -3*
043.13. а) Дх) = arcsin 2х, А = 2;
6)	Дх) = х - arccos х, к = 2;
в)	Дх) = 3 + arctg х, к =
г)	Дх) = arcctg Зх, к = 3.
43.14.	Какой угол образует с осью х касательная, проведенная к графику функции у = Дх) в точке с абсциссой х = а: а) Дх) = 4 + х2, а = 2;	в) Дх) = (1 - х)2, а = -3;
б) Дх) = 1 - р а = 3;	г) Дх) = 2х - Xя, а = 1?
241
Какой угол образует с осью х касательная, проведенная к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а:
43.15.	a) f(x) =х2,а= 0,5;	в)	ftx)	=	0,2xs,	а	=	-1;
б)	Ях) = -Зх3, а =	г)	Дх)	=	-0,25х4,	а	=	О.
43.16.	а) Я«) = х3 - Зх* + 2х -	7, а	=	1;
б)	Ях) = -7х3 + Юх2 + х	- 12,	а =	О.

43.17.	а)	Ях) = а =	б) Я*)	=	а = 1.
43.18.	а)	Ях) =	V6x + 7, а = з|;	б) Я«)	=	V5 -	2х, а	= 2.
43.19.	а)	Ях) =	7зсоз£, а =	б) Я«)	=	| sin	2х, а	=
43.20.	а)	Ях) =	tg х + sin а = Зя;
б)	Ях) = cos х + ctg %, а = р 043.21. а) Ях) = |2х - х®|, а = 1;
б)	Ях) = jx2 - Зх - 4|, а = -2;
®)	Ях) = |х* + 4х|, а = -3;
г)	Ях) = lx2 - Зх - 4|, а = -1.
Составьте уравнение касательной к графику функции у = Ях) в точке с абсциссой х = о:
43.22. а) Ях) = х2, а = 3;
б)	Ях) = 2 - х - Xя, а = 0;
в)	Ях) = х3, а = 1;
г)	f(x) = х2 - Зх + 5, а = -1.
Зх-2 Л	. ~ . 2х-5
043.23. а) Ях) = -дтТ’ ° = 2;	») Я*) = 5-х’ ° ~ 4;
6)rt«)=^. а=-3;
043.24. а) Ях) = 2>/Зх - 5, а = 2;
б)	Ях) = V7 - 2х, а = 3.
242
043.25. a) f(x) = cos a = 0; в) Дх) = sin 2x, a =
б)	Дх) = ctg 2x, a = p г) Дх) = 2 tg a = 0.
043.26. а) Дх) = arccos 3x + 2x, a = 0;
б)	Дх) = Зх1 - 0,2 arcsin 5x, a = 0;
в)	Дх) =2 arctg x + sVx, a = 1;
г)	Дх) = j" - 5 arcctg 2x, a = 1.
•43.27. а) Дх) = sin’ 2x, a = A;
4
б)	Дх) =	° = S’
в)	Дх) = cos’ 2x, a =
г)	Дх) = 2 arcctg (3x’) + 3 arctg (2X3), a = 0.
a = -2;
б)	Дх) = lx2 - 3x|, о = 4;
в) Дх) =
4x - x’, если x > 0, o = l;
-4x, если x < 0,
г) Дх) = x* - 7|x| + 10, о = -1.
043.29. Напишите уравнения касательных к графику функции у - Дх) в точках его пересечения с осью абсцисс, если: а) /(х) = 9 - Xs;	в) Дх) = х3 - 4х;
б) Дх) = х* - 27;	г) Дх) = х3- х4.
043.30. Напишите уравнения касательных к параболе:
а)	у = х2 - Зх в точках с ординатой 4;
б)	у = -х2+ 5х в точках с ординатой б.
043.31. В какой точке касательная к графику функции у = х* па* раллельна заданной прямой:
з а) у = 2х + 1;	в) у = —х - 2;
б)	у = -|х +5;	г) у = -X + 5?
А
243
043.32. Напишите уравнения тех касательных к графику функ-ции у = -g- - 2» которые параллельны заданной прямой: а) у = х - 3;	б) у = 9х - 5.
043.33. Напишите уравнения тех касательных к графику функции у = arcsin xt которые параллельны заданной прямой: а) у = 2х - 3;	б) у = х + 2,
В какой точке графика заданной функции у = ftx) касательная параллельна заданной прямой:
043.34. а) у = 8 + х, Дх) = у - Зх2 + 10х - 4;
б)	у = 0, Дх) = ^ - х2 + 8;
я
в)	у = х - 3, Дх) = у - х1 + 2х - 7;
г)	у = 2, Дх) = -х< - х3 + 6?
4
043.35. а) Дх) = sin х, у = -х;	в) Дх) = tg х, у = х;
5)	Дх) = cos Зх, у = 0; г) Дх) = sin 4, у = -1? А
043.36. а) Дх) = сое2 х, у = -х + 3;
б)	Дх) = arcctg (х2), у = -3;
в)	Дх) = ^пх, у = 5;
г)	Я^) = (arcsin х)2, у = -5.
К графику заданной функции проведите касательную так, чтобы она была параллельна прямой у = 2 - х:
043.37. а) у = у + |х* - х; б) у = у + х1 - х. О А	О
оа . 8х + 7.	х+9
043.38. а) у = -уту>	б) у = ууд-
043.39. а) у = -4>/х + 7;	б) у = V1 - 2х.
043.40. а) у = arccos х;	б) у = arcctg х.
244
043.41. а) На графике функции у = хэ - Зх2 + х + 1 найдите точки, в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 45°. Составьте уравнения этих касательных.
б) На графике функции у = ^^2 на®Дите точки» в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол 135°. Составьте уравнения этих касательных.
043.42. Составьте уравнение той касательной к графику функции У - /ОД, которая образует с осью х заданный угол а, если: а) Лх) = Лх* - З7зх, а = 60е;
у v
б) Ях) = Лх - ^х\ а = 30°. уЗ 3
043.43. а) Вычислите координаты точек пересечения с осью у тех Зх 1 касательных к графику функции у =	* которые об-
разуют угол 45* с осью х.
б) Вычислите координаты точек пересечения с осью у тех А	х + 4	л
касательных к графику функции у = х 5» которые образуют угол 135° с осью х.
043.44, Составьте уравнение параболы у = х2 + Ъх + с> касающейся прямой у = -х в точке М(1; 1).
043.45. Проведите касательную к графику функции у = х2 + 1» проходящую через точку А, не принадлежащую этому графику, если:
а) А(-1; -2); б)А(О; 0); в)А(О; -3);	г)А(-1; 1).
О43«4в. Через данную точку В проведите касательную к графику функции у = Дх):
а)	Дх) = -х2 - 7х + 8, В(1; 1);
б)	Дх) = -х2 - 7х + 8, В(0; 9).
245
Через данную точку В проведите касательную к графику функции у = f(x):
•43.47. а) Дх) = Тз^х, В(-2; 8);
б) Дх) = 73-х, 3(4; 0).
•48.48. а) Дх) = V4x - 3, 3(2; 3);
б) Дх) = V2x + 1, 3(1; 2).
043.49. а) Найдите все значения х, при каждом из которых касательная к графику функции у = cos 7х + 7 cos х в точках с абсциссой х параллельна касательной к этому же графику в точке с абсциссой
б) Найдите все значения а, при каждом из которых касательные к графикам функций у 2	14 sin Зх и
у = 6 sin 7х в точках с абсциссой х = а параллельны.
•43.50. а) Составьте уравнение касательной к графику функции
у = х > 0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна 2,25.
б) Составьте уравнение касательной к графику функции
у = х < 0, отсекающей от осей координат треуголь-х	9
ник, площадь которого равна g-
•43.51. а) Составьте уравнение касательной к графику функции у = х*, х > 0, отсекающей от осей координат треугольник, 2
площадь которого равна g*
б) Составьте уравнение касательной к графику функции у = х*, х < 0, отсекающей от осей координат треугольник, 27
площадь которого равна *g*-
•43.52. а) На оси у взята точка В, из нее проведены касательные к графику функции у = 3 - 4 х2. Известно, что эти каса-А
тельные образуют между собой угол 90°. Найдите координаты точки В.
б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции у = 0,5хг - 2,5, которые пересекаются под углом 90° в точке, лежащей на оси у.
246
•43.53. а) На оси у взята точка В, из нее проведены касательные л/З 2 л/З
к графику функции у =	Известно, что эти
& &
касательные образуют между собой угол 60°. Найдите координаты точки В.
б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции у =	(1 - х2), которые пересекаются под углом 120°
в точке, лежащей на оси у.
•43.54. а) Найдите точку пересечения касательных к графику функции у = х* - |2х - б|, проведенных через точки с абсциссами х = 5, х - -5.
б) Найдите точку пересечения касательных к графику функции у = X* + |х - 1|, проведенных через точки с абсциссами х = 2, х = -2.
•43.55. а) При каких значениях параметра р касательная к графику функции у = х8 - рх в точке х = 1 проходит через точку (2; 3)?
б) При каких значениях параметра р касательная к графику функции у = х3 + рх2 в точке х = 1 проходит через точку (3; 2)?
•43.56. Является ли прямая у = 4х - 5 касательной к графику заданной функции? Если да, то найдите координаты точки касания;
а)	у = х3 + х2 - х - 2; б) у = х® - 2х* - 7х - 13.
043.57. Найдите все такие значения параметра а, при которых касательные, проведенные к графикам функций у - Дх) в точке (а; Да)) и у = g(x) в точке (а; g(a)), параллельны: а) Дх) = Xе; у(х) = х’; б) Дх) = х4; М*) = Xs.
•43.58. а) При каких значениях параметра а прямая у = ах + 1 является касательной к графику функции у = V4x + 1?
б)	При каких значениях параметра а прямая у = 2х + а является касательной к графику функции у = V4x - 1?
247
•43.59. а) К графику функции у = 2 sin2 х + 4з sin 2х, х €

проведена касательная, параллельная прямой у - 4х - 1 = 0.
Найдите ординату точки касания.
б) К графику функции у = 2 cos2 х + %/3 sin 2х, х € £; я I & i
проведена касательная, параллельная прямой Зу - бх + + 2 = 0. Найдите ординату точки касания.
•43.60. а) Найдите наименьшее положительное значение х, при бх котором касательные к графикам функций у = 3 сов
и у = 5 сов -g- + 2 параллельны.
б) Найдите наибольшее отрицательное значение х, при котором касательные к графикам функций у = 2 -14 sin Зх и у = 6 sin 7х параллельны.
•43.61. а) Точка А с абсциссой -1 и точка В с абсциссой 1 принадлежат графику функции у = 2х3 + Зх2 - ^ + 1. Найдите сумму абсцисс всех тех точек, в каждой из которых касательная к этому графику параллельна прямой АВ.
б) Точка А с абсциссой -3 и точка В с абсциссой 3 при-1-1	г
надлежат графику функции у = ^х 2зг 22х - 28. Найдите сумму абсцисс всех тех точек, в каждой из которых касательная к этому графику параллельна прямой АВ.
•43.62. а) Составьте уравнение общей касательной к графикам функций у = х1-х+1иу = х2+5х+4.
б) Найдите точку пересечения общих касательных к графикам функций у = х4 и у = -Xs - 8.
•43.63. Углом между кривыми называют угол между касательными к кривым в точке их пересечения. Под каким углом пересекаются кривые:
а)	У = т и у = 4х; б) у = Xs и у = 4х?
Л-
248
(х - I)2 (х + I'2
•43.64. Докажите, что параболы у = 2—g— и у = -—перпендикулярны в точке их пересечения.
•43.66. а) Из какой точки оси у кривая у = V1 + х2 видна под углом 120°?
б)	Найдите множество точек координатной плоскости, из которых парабола у ~ х2 видна под прямым углом.
•43.66. а) Найдите значение параметра а, при котором касательная к графику функции у = х* + а*х -аз точке х = -1 проходит через точку М(1; 7).
б) Найдите значение параметра а, при котором касательная к графику функции у = х* - Зх* + 2а в точке х = -2 проходит через точку М(-1; -8).
•43.67. а) Найдите площадь треугольника, образованного биссектрисами координатных углов и касательной к графику функции у = Vx2 - 5 в точке х = 8.
б) Найдите площадь треугольника, образованного биссектрисами координатных углов и касательной к графику функции у = -Jx2 — 9 в точке X = 5.
•	43.68. а) Прямая у = 6х - 7 касается параболы у = х2 + Ьх + с в точке М(2; 5). Найдите Значения коэффициентов Ь и с. б) Прямая у = 7х - 10 касается параболы у = ах2 + Ьх + с в точке х = 2. Найдите значения коэффициентов а, Ь и с, если известно, что парабола Пересекает ось абсцисс в точке х = 1.
•	43.69. Докажите, что треугольник, образованный касательной к гиперболе у = — и осями координат, имеет постоянную площадь, а точка касания является центром окружности, описанной около этого треугольника. Рассмотрев чертеж к задаче, придумайте геометрический способ построения касательной к гиперболе.
•	43.70. Докажите, что касательная к параболе у - х2 в точке х = а делит пополам отрезок [0; а] оси абсцисс. Рассмотрев чертеж к задаче, придумайте геометрический способ построения касательной к параболе. Обобщите этот результат и этот способ построения касательной на любую степенную функцию у = х", где п — натуральное число, большее 2.
249
§ 44. применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы
44.1. Определите, какой знак имеет производная функции у = Дх) в точках с абсциссами а. Ъ, с, d: а) рис. 98;	б) рис. 99.
44.2. По графику производной функции у = Дх), представлен* ному на заданном рисунке, определите, на каких промежутках функция у = Дх) возрастает, а на каких убывает: а) рис. 100; б) рис. 101; в) рис. 102; г) рис. 103.
Рис. 99
260
44.3. На каком из указанных промежутков функция у ~ f(x) убывает, если график ее производной представлен на рис. 104:
251
44.4.	Определите, для какой из функций у = /(х), у = £(х), у = Л(х) отрезок [-1; 1] является промежутком возрастания, если на рис. 105,106, 107 изображены графики производных этих функций.
PUC 107
44.5*	На рис. 108, 109, 110 изображены графики производных У - f&h У - зЧ*)» У = Л\х). Определите, какая из функций у = /(х), у = g(x)t у ~ Л(х):
252
На рис. 111—114 изображены графики функций у = Дх), у = gix), у = Л(х) яу = <р(х), определенных на всей числовой прямой. Используя их, решите неравенство:
44.6.	a) f (х) > 0;
6)	/(*) < 0;
44.7.	a) f (х) < 0;
6)	/(*) > 0;
в) h'(x) < 0; г) <Р"(х) > О.
в) h'(x) > 0; г) q/(x) < 0.
258
44Л а) Изобразите эскиз графика производной функции у = fix), если известно, что данная функция возрастает на (-со; 1) и убывает на промежутке (1; +со).
б)	Изобразите эскиз графика производной функции у = Дх), если известно, что данная функция убывает на луче (-со; -1], возрастает на отрезке [-1; 3], убывает на луче [3; +оо).
44.9. Изобразите эскиз графика функции у = Дх), если промежутки постоянства знака производной Д(х) представлены на схеме:
а)	рис. 115; в) рис. 117;
б)	рис. 116; г) рис. 118.
РИС. 115
РИС. 116
РИС. 117
+ + + --------1----1-----1-----1-----► -10	12 х
ПК. 118
044.10. Докажите, что заданная функция возрастает на Я: а) у = сое х + 2х;	в) у = х5 + Зх3 + 7х + 4;
б) у = sin х + х3 + х;	г) у = х5 + 4Х3 + 8х - 8.
044.11. Докажите, что заданная функция убывает на Я: а) у = sin 2х - Зх;	б) у = cos Зх + 4х.
254
044.12. Докажите, что функция монотонна на всей числовой прямой. Укажите характер монотонности.
а)	у = х* + бх® - 7;	в) у = sin х - 2х - 15;
6)	у = х - cos х + 8;	г) у = 11 - 5х - х*
Докажите, что заданная функция возрастает; 044.13. а)у = х4 + 3х-6на (-оо; +оо);
б)у=15-^--^на (-оо, 0);
в)	у = х1 + 7х® + 2х - 42 на (-оо; +оо);
г)	у = 21х - на (0, +оо).
044.14. а) у = 7х - cos 2х на (-со; +оо);
б)	у = 10х + ain Зх на (-оо; +оо).
044.15. а) у = 2х* + 2х® + Их - 35 на (-оо; +оо);
б)	у = Зх* - бх* + 41х - 137 на (-оо; +со). fl А
044.16. а) у = на I--, +оо к
2х-13	.
б)	у = х_5 на (-оо, 5).
Докажите, что заданная функция убывает: 044.17. а) у = -X* - 5х + 3 на (-оо; +со);
б)	у = -2х® - 7х* - X + 8 на (-оо; +оо);
в)	у = -х® + Зх1 - бх + 1 на (-со; +оо);
г)	у = -4х® + 4х® - 2х + 9 на (-со; +оо).
044.18. а) у = на (-2, +оо);
-4х +1	(	1 'Ъ
®У = -2Г7Т на
044.19. а) у = 7 cos х - 5 sin Зх - 22х на (-оо; +со);
б)	у = 3 cos 7х - 8 sin - 25х + 1 на (-оо; +со).
044.20. Определите промежутки монотонности функции: а) у = х* + 2х;
б)	у = 60 + 45х - Зх® - х*;
в)	у = 2х® - Зх® - Збх + 40;
г)	у = -Xs + 5х.
255
Определите промежутки монотонности функции:
044.21. а) у =	1- 2х 6>*=ЗТЗГ
044.22. а) у = 73х - 1;	в) у = V1 - 2х;
б) у = 71 - х + 2х;	г) у = 72х - 1 - х.
ха 044.23. а) у =	Зх2 6>^=“^Т4'
044.24. а) у = sin2 х;	в) у = cos* х;
... 1 . 6) У — э а ’ CQSX	. 1 г) у = . < » '9 sirrx
044.25. а) у = 7х2 - 6х + 8;	б)у = 75Х-2-2Х2.
•44.26. а) у = arcsin х2;	в) у = arccos 7х;
б) у = arcctg 7х;	г) у = arctg2 х.
•44.28. а) у =
зс5 - 5х4 + 1, если х > О, (х + 2)2 - 3, если х < 0;
044.29. Исследуйте на монотонность функцию у - Дх) и постройте (схематически) ее график:
а)	Дх) = х3 - Зх + 2;	в) Дх) = х3 + 6х2 - 15х + 8;
б)	Дх) = х4 - 2х* + 1;	г) Дх) = -х* + 8х* - 7.
О44.Э0. Постройте график функции у = Дх), х € [0; 10], производная которой равна нулю на интервалах (0; 2); (2; б); (6; 10), если известно, что Д1) = О, Д5) = 3, Д8) = -2.
256
При каких значениях параметра а функция возрастает на всей числовой прямой:
а?
044.31. а) у = хэ + ах;	б) у =	- ах2 + 5х - 3?
044.32. а) у = ах - cos х;	б) у = 2 sin 2х - ах?
044.33. При каких значениях параметра Ь функция убывает на всей области определения:
а)	у = 7 + Ьх - х2 - х’;	в) у = Xя + ix2 + Зх + 21;
б)	у = -2Vx + 3 + Ьх;	г) у = -2ix + V1 - х?
•44.34. При каких значениях параметра а функция у = х* - Зх: а) убывает на отрезке [а + 1; а + 3];
б) возрастает на отрезке
а - £; 2а + 2 ;
2
в) убывает на отрезке
а - 3; |а + | О 3
г) возрастает яа отрезке [о - 2,5; а - 0,5]?
044.35. а) При каких значениях параметра а функция у = 2хэ -- Зх2 + 7 возрастает в интервале (а - 1; а + 1)?
б) При каких значениях параметра а функция у = -х3 +
+ Зх + 5 убывает в интервале а;
2
044,36, По графику функции у = Дх), х € Л, изображенному на заданном рисунке, определите точки, в которых ее про-
нк, 10 кл.. 4'2
257
9 Мэдкмотч,
PUC. 121
PMC. 122
044.37. По графику функции у = Дх), х € В, изображенному на заданном рисунке, определите точки, в которых производная не существует:
а) рис. 119; б) рис. 120; в) рис. 121; г) рис. 122.
044.38. При каких значениях параметра а заданная функция имеет одну стационарную точку:
а) у = х* - Зазе* + 27зе - 5; б) у = Xs - Зах2 + 75х - 10?
268
44.39. Сколько точек минимума имеет функция у = Дх), график которой изображен на заданном рисунке:
а) рис. 119; б) рис. 120; в) рис. 121; г) рис. 122?
44.40. Сколько точек максимума имеет функция у /(х), график которой изображен на заданном рисунке:
а) рис. 119; б) рис. 120; в) рис. 121; г) рис. 122?
44.41. Используя данные о производной у = f(x), приведенные в таблице,
X	(-00, 5)	-5	(-5;-2)	-2	(-2; 8)	8	(8; +оо)
у-Г(х)	+	0		0	+	0	+
укажите:
а)	промежутки возрастания функции у = Дх);
б)	промежутки убывания функции у = Дх);
в)	точки максимума функции у = Дх);
г)	точки минимума функции у = Дх).
44.42. По графику у = f(x), изображенному на заданном рисунке, определите, имеет ли функция у = Дх) точки экстремума:
а)	рис. 100; б) рис. 101; в) рис. 102; г) рис. 103.
044.43. Постройте эскиз графика какой-нибудь функции, обладающей указанными свойствами:
а)	функция имеет две точки максимума, одну точку минимума и является ограниченной;
б)	функция возрастает при х < 1 и при х > 5 и убывает на промежутке [1; 5], точка х = 1 является критической, а точка х = 5 — стационарной;
в)	функция имеет разрыв в точке х = —2, максимум в точке х = -1 и минимум в точке х = 1;
г)	функция имеет горизонтальную асимптоту у = 3 при х -> оо, одну точку максимума и одну точку минимума.
044.44. а) Постройте эскиз графика функции, дифференцируемой на интервале (а, Ь), имеющей на этом интервале одну точку минимума, две точки максимума и не имеющей наименьшего значения.
б) Постройте эскиз графика функции, дифференцируемой на интервале (а, Ь), имеющей на нем две точки минимума, две точки максимума, но не имеющей ни наименьшего, ни наибольшего значений.
9*
259
044*45. Может ли иметь только одну точку экстремума:
а)	четная функция; в) периодическая функция;
б)	нечетная функция; г) монотонная функция?
044.46. По графику функции у = Дх), х € Я изображенному на заданном рисунке, постройте эскиз графика ее производной:
260
044.47. Постройте эскиз графика функции у = fix), х € А по графику производной, изображенному на заданном рисунке:
261
Найдите точки экстремума заданной функции и опреде
лите их характер: 044.48. а) у = 2х* - 7х + 1;
б) у = 3 - 5х - х2;
044.49. а) у =	- |х* + бх - 1;
б) у = х* - 27х + 26;
044.50. а) у = 5х* - Зх*;
б) у = х* - 4х® - 8х* + 13;
4
044.61. а) у = х + —; Л
044.52. а) у = х - 2Vx - 2;
б) у = Vx + 1 + V5 - х;
в) у = 4х* - бх - 7;
г) у = -Зх2 - 12х + 50.
в) у = х* - 7х* - 5х + 11;
г) у = 2х* - 21х* + 19.
в) у = х* - 50х*;
г) у = 2х* + 5х* - 10х* + 3.
я. х2 + 9
б)	у = ——•
в)	у = 4V2x - 1 - х;
г)	у = 4х + 2V7 - х.
044.53. а) у = х - 2 cos х, х € [-я, я]; б) у = 2 sin х - х, х 6 [я, Зя].
044.54. а) у = (х* - 27х)*; б) у = >/х* - 27х;	в) у = (х* - Зх*)4; г)у - Vx* - Зх2.
•44.55. а) у = arcsin х*;
б)	у = 3 arcctg -Тх;
в)	у = arccos х2;
г)	у = arctg л/2х.
044.56. Докажите, что заданная функция не имеет ни точек максимума, ни точек минимума:
а)	у = |х* + 2х* + 4х - 12;	в) у = ^х;‘ + -|х* + х - 7;
б)	у = -^х3 + |х* - Зх + 9;	г) у = -х* - Xй + 27.
044.57. Производная функции у = ах* + 7х + 1 в точке х0 равна с. Найдите точку экстремума функции и определите, явля* ется она точкой максимума или точкой минимума, если: а) х0 = 0,5, с = 15;	в) х0 = -1, с = 9;
б)	х0 = 3, с = -5;	г) Xq = -0,5, с = 7,1.
•44.58. Найдите точки экстремума заданной функции и определите их характер: а) у = |х* + 1| + |х4 - 1| + 2х*; б) у = |х* - 8| + |х* - 1| - х*.
262
Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы: ч 1 в) у = х + cos х;
044.59. а) у = sin х - ^х; б) у = f - cos х;
г) у = х - sin X.
044.60. а) у = х - sin 2х;
044.61. а) у = х - 3| - 2;
б)у= 7-1;
Л
б)	у = х + 4 cos у.
в)	У = |(х - 2)(х + 3)|;
г)	У ~ (|х| - 2)|х|.
044.62. а) у = |х* - Зх|;
б)	у = |х - х!
на
Исследуйте функцию постройте ее график: 044.63. а) у = Зх* - 4х + 5;
б)	у = 3 + 2х - х*; 044.64. а) у = Зх* - х®;
б)	у = 6х + Xя;
044.65. а) у = х3 - Зх* + 2; б) у = -х* + 4х - 3;
044.66. а) у = 2х* + х* - 2х - 1
б)	у = ~у + х2 + Зх - у
в)	у = х3 + х* - х - 1; „8	к
r)y=f +х*-Зх + |.
044.67. а) у = —х4 + 5х* - 4; б) у = Xs - 5х;
044.68. а) у = (х - 1)*(х + 2);
л)	256 , j .д б) у = -д-х(х - 1);
Решите уравнение: 044.69. а) хя + 5 = 15 - х;
б)	хг‘ + Зх* + 7х - 11
= 0;
•44.70. a) sin 5х - 2 сов х - 8х = х® - 2;
б) 4 сов Зх + 5 sin + 15 = 4 -Л
монотонность и экстремумы и
в)	у = 7 - х - 2х*;
г)	у = 5х* - 15х - 4.
в) у = хя + Зх4;
г) у = Зх - х®.
в) у = -х* + 4х* - 3;
г) у = х* - Зх + 2.
в) у = 2х4 - Эх* + 7;
г) у = 5хя - Зх®
в) у = (х + 2)®(х - 3);
г) у = хя(2 - х).
в) 2х® + Зх* = 17 - 12х;
г) х* + 4х* + 8х - 13 = О
263
•44.71. a) 3 cos лх + 5 sin + 18* = 43 - x1 - 22x’;
6) 2 sin -2 cosnx - lOx = x5 - 54, &
Докажите тождество:
•44.72. a) arcsin x =	- arccos x;
6) arctg x + arcctg x =
A
•44.73. a) arccos Vl - X2 =
arcsin x, 0 < x < 1, -arcsin x, -1 < x < 0;
6) arctg x + arctg * + * =
•44.74. Докажите, что функция у = f(x) постоянна на указанном промежутке и найдите значение агой постоянной:
2х
а)	/М = 2 arctg х + arcsin , . „г при х > 1;
1 т Л
6) f(x) - arccos
Докажите неравенство: 1	2
•44.75. а) X1 - ха < g» если х >
б)	2>/х > 3 - р если х > 0.
•44.76. а) arcsin х > х, если О < х < 1; х^
б) arctg х > х - -jp если х > О.
§ 45. Построение графиков функций
Исследуйте функцию и постройте ее график:
045.1. а) у =	б) у =
045.2, а) у = —j—г г!	б) у = -j—|---?•
’ хг + 4х + 4	'v Xх + 2х + 1
264
045.3. а) у = f	ха + 4 б)у= х .
°45-4, а) у	х - 2 6>»= ?+5-
045.5. а) у = ртТ	«\	» - з б>»- х»-8-
ха — 1 045.6. а) у = *! + J;	б)у= 7 + 4-
ха + 4 045.7. а) у =7^7:	„	X* 4- 1 б) у = рту-
•45.8. а) у = 2-Ух - х;	б) у = Vx + 4 + •jVe - Зх.
•45.9. а) у =	б)у = (Х-З)7х.
Г	б)у=тт4'
•45.10. а)у»	
045.11. а) Постройте график функции у = х4 - 2х* + 3.
б) При каких значениях параметра а уравнение х4 - 2х* + + 3 = а имеет три корня?
045.12. а) Постройте график функции у = -х4 + 2х* + 8.
б) При каких значениях параметра а уравнение -х4 + 2г2 + + 8 = а не имеет корней?
045.13. Сколько корней имеет заданное уравнение при указанных ограничениях на параметр а:
а)	х3 - Зх2 = а, -4 < а < 0;
б)	—х3 + Зх3 - 2 = а, а < -2;
в)	Зх2 -хэ = а»0<а<4;
г)	х3 - Зх3 + 2 = а, а > 2?
•45.14. Сколько корней имеет уравнение х’ + ах + 2 = 0 при различных значениях параметра а?
045.15. Решите уравнение:
a)	3Vx + 1 = -х* + Зх* + 6;
б)	х3 - Зх = (х + I)6 + 2.
265
§ 46. Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений величин
Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке без помощи производной: 046.1. а) у = х® - 1, [-1; 2];	в) у = х3 - 4, [0; 3];
б)	у = —х* + 2, [-2; 1];	г) у = -2х< + 8, [0; 3].
046.2. а) у = (х - I)3 + 4, [-2; 1];
б)	у = 7 - (2х - 8)\ [-1; 3];
в)	у = 5 - (Зх + 6), [-2; О];
г)	у = 2(х + 3)® - 4, [-1; 2].
046.3. а) у = sin х - 3, Зл I;
б) у = сое х + 0,5,	
	
в) у = -2sinx + 1,	я. 5_"|. з’ вя ’
	
г) у = 4 - 3 cos х.	я. 7„1 "7’ 6я}
046.4. а) у = 71 + cos 2х, I “jf 2
б)	у = 71 + sinx, 0; £ ; л
в)	р = 71 - sin 2х, [0; я];
г)	У = 71+ сов2х, О
•46.5. а) у = ||х| - 4|, [-3; 3J; б) у = ]3 - |х||, [-4; 4J.
046.6. а) у = 2 - 3 sin х + 4 cos х;
б)	у = 3 sin х - 4 cos х + 1.
046.7. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции {-4х + 12, если х < 2, х2 - 2х + 2, если х > 2 на отрезке:
а) [-3; О]; б) [3; 4]; в) [-1; 3]; г) [1; 4].
266
046.8. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции (г + 2)® - 3» если X < -2, У ~ [х® - 4, если х > -2.
на отрезке:
а)	[-4;-3]; б) [О; 2]; в) [-2; 3]; г) [-3; 0].
046.9. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке: а) у = х® - 8х + 19, [-1; 5];
б)	у = х® + 4х - 3, [0; 2];
в)	у = 2х® - 8х + 6, [-1; 4);
г)	у = -Зх2 + 6х - 10, [-2; 9].
046.10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у - х3 - Эх2 + 24х - 1 на отрезке: а) [-1; 3]; б) [3:6]; в) (-2; 3]; г) [3; 5].
046.11. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = X8 + Зх2 - 45х - 2 на отрезке: а) [-6; О]; б) [1; 2]; в) [-6;-1]; г) [0; 2].
046.12. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х® - 9х2 + 15х - 3 на отрезке: а) [О; 2]; б) [3; 6]; в) [-1; 3]; г) [2; 7].
046.13. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = х1 - 8х8 + Юх2 + 1 на отрезке: а) [-1:2]; б) [1; 6]; в) [-2; 3]; г) [1; 7].
046.14. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 4
у = х + -—j на отрезке:
а)	[2; 4];
б)	[-2; О].
046.15. Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном отрезке:
а) у = ctg х + х,
2Е. з*
4: 4
б) у = 2 sin х - х, [О; я];
я. Я .
в) у = 2 cos х + х
2’ 2 Г
267
г) у = tg х - х, 0; ij.
Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном промежутке:
046.16. а) у = ха - 2х3 + 1, [0,5; +оо);
6) у = х - 2>/х, [0; +оо);
в) У = | х* - х*, (-со; 1];
т^у = ттг (-оо; +оо)‘
046.17. а) у = х + р (-со; О);
б)	у =	[О; +°°);
в)	У = -2х -	(0; -юо);
г)	у = V2x + 6 - х, [-3; +оо).
046.18. а) у = (2х - 1)г(х - 2), [-1; 2];
б)У=^ТТ. [°;2];
в) у = (х + 4ХЗх + if, [-2;
5*^
Г) у = ртгэ’ [-1: U’
046.19. а) у = х4 + 8ха + 24х1 + 32х + 21, [-3; 0];
б)	у = х4 - 4х* + бх2 - 4х - 9, [0; 4];
в)	у = 4х* - 21х* + 36х - 2, [1; 2];
г)	у = 0,25х4 - 2|х* + 3,5, [-1; 2].
046.20. а) у = хг - 5|х| + 6, [0; 4];
б)	у = х* - 5|х| + 6, [-5; 0];
в)	у = хг + 8|х| + 7, [1; 5];
г)	у = х2 + 8|х| + 7, [-8; -2].
•46.21. а) у = х3 - 2х|х - 2|, [-1; 3];
б) у = Зх|х +1| - ха, [-1; 2].
268
•46.22. а) у = x* - 4x + & + |1 - x|, [О; 4];
6) у = [х3 - 1| - Зх, [-1; 3].
046.23. а) у = sin3 х + cos3 х, 0;	;
&
б) у = sin* х - cos* х, о].
046.24. а) у = sin* 4 sin х, [-я; 0]; &
б) у = cos* 0,5х сов х, [О; я].
046.23. а) у = х* - Зх, (-со; 0];	в) у - х* - Зх, [0; +оо);
б) у = ТГГй’ № +оо):	г> У = 7тТа’ <-оо; °J-
046.26. Найдите сумму наибольшего и наименьшего значений функции:
а) у = х1 - 2х* - 6 на отрезке [-2; 2];
б) у = хэ - Зх! + 2 на отрезке [-1; 2].
Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наибольшего значения:
046.27. а) у =	7(х - 1X10 - х);	в) у = 7(2х - 6X7 - х);
б) У =	7(х + 2X4 - х);	г) у = 7(5 - хХх - 3).
046.28. а) у =	>1х - 5 + V9 - х;	в) у = V10 - 2х + -ТЗх;
б) у =	3Jx + 1 + V-х;	г) у = - Зх + 4х.
046.29. Найдите те значения аргумента, при которых заданная функция достигает наименьшего значения: а) у =	7х* - 8х + 17;	в) у = 7х* + 4х + 10;
б) у =	л/7(х + 9Rx - 6);	г) у = fax - 4Хх + 8).
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:
046.30. а) у =	fa - 5X15 - х);	в) у = 7(12 - хХх - 4);
б) у =	7(2х + 4X3 - х);	г) у = 7(5 - хХЗх + 6).
046.31. а) у =	72х! - 5х + 2;	в) у = 7х* + 6х 7;
б) у = 73х* + 6х + 4; г) у = V2x* - 2х + 1.
269
046.32. Найдите наибольшее значение функции:
а) у = -х’ + 2х* + 1; б) у = -х* + ^х’ + -|-
046.33. Найдите наибольшее значение функции:
а) у = V5 - х2 + 4х; б) у = уГ^х +	- х2
046.34. Найдите наименьшее значение функции:
а)	у = 2|х| - 4;	в) у = 3|х| + 9;
б)	у = х2 - 5]х| + 6; г) у = х2 - 6|х| - 7.
Найдите область значений функции:
046.35. а) у = 2х - >/16х - 4, х € Г|; Ц1; L4 4 _
б)	у = 2Vx - 1 - 0,5х, х € [1; 10].
•46.36. а) у = xVx + 2;	б) у = х-71 - 2х.
•46.37. у =
-2Х2 - 2х - 38 х2 + бх + 34
•46.38. а) При каком значении параметра а наименьшее значение функции у = х>/х + а равно -вТз?
6) При каком значении параметра а наибольшее значение функции у ’ (а - х)4х равно 10>/5?
•46.39. а) При каком значении параметра п сумма квадратов корней уравнения г2 - 2пх + 4п2 + Зп = 0 будет наибольшей? 6) При каком значении параметра п сумма квадратов корней уравнения х* + пх + 2п - 1 = 0 будет наименьшей?
•46.40. Докажите, что при любых значениях х выполняется неравенство:
а)	х“ + (1 - х)“ > ^5 б) х7 + (1 - х)т >
046.41. а) Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение.
б)	Произведение двух положительных чисел равно 484. Найдите эти числа, если известно, что их сумма принимает наименьшее значение.
270
046.42. а) Разность двух чисел равна 10. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.
б) Разность двух чисел равна 98. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.
046.43. а) Известно, что одно из двух чисел на 36 больше другого. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.
6) Известно, что одно из двух чисел меньше другого на 28. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наименьшее значение.
046.44. а) Представьте число 3 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма утроенного первого слагаемого и куба второго слагаемого была наименьшей.
б) Представьте число 5 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение первого слагаемого и куба второго слагаемого было наибольшим.
046.45. а) Периметр прямоугольника составляет 56 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь?
б) Периметр прямоугольника составляет 72 см. Каковы его стороны, если этот прямоугольник имеет наибольшую площадь?
046.46. а) Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 200 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей? б) Нужно огородить участок прямоугольной формы забором длиной 240 м. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?
046.47. а) Площадь прямоугольника составляет 16 см*. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?
б) Площадь прямоугольника составляет 64 см*. Каковы должны быть его размеры, чтобы периметр прямоугольника был наименьшим?
046.48. Огораживают спортивную площадку прямоугольной фор
271
мы площадью 2500 м2. Каковы должны быть ее размеры, чтобы на забор ушло наименьшее количество сетки рабицы?
046.49. Сторона квадрата ABCD равна 8 см. На сторонах АВ и ВС взяты соответственно точки Р и Е так, что ВР = BE = 3 см. На сторонах АВ и CD берутся точки соответственно К и М так, что четырехугольник КРЕМ — трапеция. Чему равна наибольшая площадь такой трапеции?
046.50. а) В арифметической прогрессии с разностью d девятый член равен 1. При каком значении d произведение четвертого, седьмого и восьмого членов прогрессии будет наибольшим?
б) В арифметической прогрессии с разностью d второй член равен 6. При каком значении d произведение первого, третьего и шестого членов будет наименьшим?
046.51. а) Найдите длину отрезка наибольшей длины, который заключен между графиками функций у = 2х* (снизу), у = 4х (сверху) и параллелен оси у.
б) Найдите длину отрезка наибольшей длины, который заключен между графиками функций у = х1 (снизу), у = -2х (сверху) и параллелен оси у.
046.52. а) На графике функции у = х2 найдите точку М, ближайшую к точке А(0; 1,5).
б) На графике функции у = л/х найдите точку М, ближайшую к точке .4(4,5; О).
•46.53. Боковые стороны и одно из оснований трапеции равны 15 см. При какой длине второго основания площадь трапеции будет наибольшей?
•46.54. Из прямоугольной трапеции с основанием а и Ъ и высотой h вырезают прямоугольник наибольшей площади. Чему равна эта площадь, если:
а)	а = 80, Ь = 60, Л = 100; б) а = 24, b = 8, Л = 12?
•46.55. У пятиугольника ABCDE углы А, В и Е — прямые, АВ = а, ВС = b, АЕ = с, DE = т. Впишите в пятиугольник прямоугольник наибольшей площади, если: а) а = 7, b = 9, с = 3, пг = 5;
б)	а = 7, b = 18, с = 3, m = 1.
•46.56. Памятник состоит из статуи и постамента. К памятнику подошел человек. Верхняя точка памятника находится
272
выше уровня глаз человека на а м, а верхняя точка постамента — на b м. На каком расстоянии от памятника должен стать человек, чтобы видеть статую под наибольшим углом?
•46.57. База находится в лесу в 5 км от дороги, а в 13 км от базы на этой дороге есть железнодорожная станция. Пешеход по дороге идет со скоростью 5 км/ч, а по лесу — 3 км/ч. За какое минимальное время пешеход может добраться от базы до станции?
046.58. Открытый металлический бак с квадратным основанием должен вмещать 32 л воды. При каких размерах на его изготовление уйдет наименьшее количество материала?
046.59. Закрытый металлический бак с квадратным дном должен иметь объем 343 м*. При каких размерах на его изготовление пойдет наименьшее количество материала?
046.60. Для перевозки груза требуется изготовить закрытый короб в форме прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого относились бы как 2:3, а объем составлял 576 ма. Каковы должны быть размеры всех его сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?
046.61. Диагональ боковой грани правильной четырехугольной призмы равна d. При какой длине бокового ребра объем призмы будет наибольшим?
046.62. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна р. При какой высоте пирамиды ее объем будет наибольшим?
046.63. Периметр осевого сечения цилиндра равен р см. Какова должна быть высота цилиндра, чтобы его объем был наибольшим?
046.64. Объем цилиндра равен V м3. Каким должен быть его радиус, чтобы полная поверхность цилиндра была наименьшей?
10- МорАкелич. Задачник, 10 к; .2
ГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГ
Комбинаторика 4 и вероятность
ггггггггггггггггггггггггг
§ 47.	Правило умножения. Перестановки и факториалы
047.1. Двузначное число составляют из цифр О, X, 3, 4, 5, б, 9 (повторения цифр допустимы).
а)	Сколько всего можно составить чисел?
б)	Сколько всего можно составить чисел, больших 50?
в)	Сколько всего можно составить нечетных чисел?
г)	Сколько всего можно составить нечетных чисел, меньших 55?
047.2. Двузначное число составляют из цифр О, 1, 2, 4, 5, 6, 7 (повторения цифр допустимы).
а)	Сколько всего можно составить чисел?
6)	Сколько всего можно составить чисел, отличающихся от 40 менее чем на 10?
в)	Сколько всего можно составить четных чисел?
г)	Сколько можно составить чисел, отличающихся от 50 более чем на 20?
•47.3. а) Сколько имеется трехэначных чисел, составленных только из четных цифр?
б) Сколько имеется трехзначных чисел, которые не меняются при перемене местами первой и последней цифр? в) Сколько имеется трехзначных чисел, кратных 5?
г) Сколько имеется трехзначных чисел, которые при перемене местами первой и второй цифр меняются менее чем на 90?
047.4. На кусок белого, черного или ржаного хлеба можно положить сыр, колбасу или масло. Бутерброд можно запить чаем, кофе, молоком или кефиром, а после этого или погулять, или пойти в гости, или остаться дома.
а)	Найдите общее число вариантов начала выходного дня. б) В скольких случаях будет выпит молочный напиток?
в)	Каков будет ответ в пункте а), если в доме привыкли масло мазать только на белый хлеб?
274
г)	Каков будет ответ в пункте а), если хлеб надо сначала купить в одном из трех ближайших магазинов?
•47.5. За четверть в классе прошли пять тем по алгебре. Контрольная работа будет состоять из пяти задач: по одной задаче из каждой темы. К каждой теме заранее был составлен список из 10 задач, одна из которых будет входить в вариант контрольной. Ученик умеет решать только по 8 задач в каждой теме. Найдите:
а)	общее число всех вариантов контрольной работы;
б)	число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все пять задач;
в)	число тех вариантов, в которых ученик ничего не может решить;
г)	число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все задачи, кроме первой.
•47.6. В каждую клетку квадратной таблицы 3x3 произвольно ставят крестик или нолик.
а) Сколькими способами можно заполнить эту таблицу? б) В скольких случаях в первом столбце будут одни крестики?
в) В скольких случаях по диагоналям будут стаять одни нолики?
г) В скольких случаях во второй строке будет стоять ровно один крестик?
047.7. В один день происходят выборы мэра города и префекта округа. На первую должность свои кандидатуры выставили Алкин, Балкин, Валкин, а на вторую — Эшкин, Юшкин, Яшкин.
а)	Нарисуйте дерево возможных вариантов голосования на выборах.
б)	В скольких вариантах будет кандидатура Эшкина?
в)	В скольких вариантах фамилии кандидатов состоят из разного числа букв?
г)	Как изменятся ответы в пунктах а) и б), если учесть еще кандидата «против всех»?
047.8. Ученик помнит, что в формуле азотной кислоты подряд идут буквы Н, N, О и что есть один нижний индекс — то ли двойка, то ли тройка.
а)	Нарисуйте дерево возможных вариантов, из которых ученику придется выбирать ответ.
10*
275
б)	Сколько среди них тех, в которых индекс стоит не на втором месте?
в)	Как изменится дерево вариантов, если ученик помнит, что на первом месте точно стоит Н, а порядок остальных букв забыл?
г)	Как изменится дерево вариантов, если буквы могут идти в любом порядке?
047,9. В урне лежат три неразличимых на ощупь шара, два белых и ’один черный. При вытаскивании черного шара его возвращают обратно, а вытащенный белый шар откладывают в сторону. Такую операцию производят два раза подряд, а) Нарисуйте дерево возможных вариантов.
б)	В скольких случаях оба вытащенных шара будут черными?
в)	В скольких случаях вытащенные шары будут разного цвета?
г)	Нарисуйте дерево возможных вариантов для трех вытаскиваний из двух черных и двух белых шаров.
047.10. Из пяти одноклассниц А, Б, В, Г, Д только В и Д дружат со всеми, Б дружит, кроме В и Д, только с Г, остальные не дружат между собой. Для проведения соревнования надо из этих одноклассниц выбрать капитана и его заместителя, которые дружат между собой.
а)	Нарисуйте дерево возможных вариантов выбора.
б)	В скольких вариантах капитаном будет А?
в)	В скольких вариантах выбора будет присутствовать В? г) В скольких вариантах выбора Г будет заместителем?
Вычислите:
047.11. а) 51 + б1>
_7_ (Ю!)2 - (9!)*. °' 11 (8!)г - (7!)2 *
, 1  1° . 630. 047.12. а) 4| + 5Г + "др
17 6! + 81.
7| + 9f ’
ч СП/ (6Q2
г) 41 а ffl 9Г
б> б! + 5! 7Г
047.13. Сколькими нулями оканчивается число: а) 10!; б) 15!; в) 26!; г) 100!?
047.14. Укажите наибольшее натуральное число п, для которого: а) 10! кратно 2”;	в) 26! кратно 5";
б)	16! кратно 2”;	г) 28! кратно 3”.
276
047.15. Докажите тождество:
а)	(л + 1)! - п! = п л!;
б)	(2п + 1)! - (2п - 1)! 2л = 4л! (2л - 1)1.
047.16. Решите уравнение:
а)	л! = 42(л - 2)!;	в) 0,125л! = (л - 1)! - 90;
б)	(k + 17)1 = 420(Л + 15)!; г) (Зх)! = 504(Зх - 3)!.
047.17. При каких натуральных значениях л выполняется неравенство:
а)	л! > (л + 1)(л - 2)!;
б)	7 (2л + 1)! (2л - 1)! < 8 ((2л)!)г?
Докажите неравенство:
•47.18. а) л! > (л + З)2 при л > 5;	в) л! > 2" при п > 4;
б)	л! > (л + 2)3 при п > 6;	г) п! > 4" при л > 9.
•47.19. а) 2,66 <1+	+ -gj +... + при всёк п > 8;
б) 2? +	+ ••*+ 2» < 0,125 при всех л > 4;.
B)l + -jj + -gj + — + -^<3 при всех л (используйте пункт
б) и номер 47.18 в));
г) 1 +	+ -gj + ••• +	< 2,75 при всех л.
047.20. У мамы и папы — один сын. К ним в гости пришла другая семья — мама, папа и дочь. За круглым обеденным столом есть 6 мест. Сколькими способами можно рассадить людей за столом, если: а) место хозяина дома неприкосновенно;
б) первыми садятся дети, и они садятся рядом;
в) первыми садятся дети, но не рядом друг с другом; г) жены садятся рядом со своими мужьями?
047.21. а) В каждом из двух заплывов по шести дорожкам участвует по 6 пловцов. Дорожки между пловцами в каждом заплыве разыгрываются по жребию. Найдите число всех возможных распределений пловцов по дорожкам.
б)	То же, но если в каждом заплыве один из пловцов — победитель отборочных соревнований — плывет по четвертой дорожке.
в)	То же, но если во втором заплыве участвуют 5 пловцов.
г)	То же, но если в обоих заплывах участвует по 4 пловца.
277
047*22. Две команды по 5 шахматистов проводят матч из пяти одновременно проходящих партий, в каждой из которых встречаются по одному из шахматистов каждой команды, а) Найдите число всех возможных распределений встреч в матче*
б)	То же, но для двух, независимо проводимых матчей* в) То же, но если во втором матче участвует только по три лучших шахматиста из каждой команды,
г)	То же, что и в пункте б), но если во втором матче капитаны команд обязательно играют между собой*
047*23* Одинаковый текст приглашения напечатан на семи разных открытках. Их надо разослать директорам семи разных школ, а) Найдите число всех возможных рассылок приглашений.
б)	То же, что и в пункте а), но если самую красивую открытку послать директору школы № 1.
в)	То же, что и в пункте а), но если в трех каких-либо приглашениях надо дописать и приглашения завучам по учебной работе.
г)	То же, что и в пункте в), но если надо пригласить еще трех завучей по воспитательной работе из трех других школ*
047*24. В зоопарке пять львов надо распределить по одному по пяти клеткам, четырех тигров — по четырем другим клеткам и трех слонов — по трем вольерам*
а)	Найдите число всех возможных распределений львов, тигров и слонов в зоопарке.
б)	То же, но если есть четыре льва и львица и одного льва (известно какого именно) вместе с львицей надо посадить в одну клетку*
в)	То же, что и в пункте а), но если у львов есть две семейные пары.
г)	То же, что и в пункте а), но если между клетками для тигров и клетками для львов нет разницы*
§ 48.	выбор нескольких элементов, биномиальные коэффициенты
048.1. Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом. Рукопожатий было от 60 до 70. Сколько человек встретилось, если известно, что: а) каждый здоровался с каждым;
б)	только один человек не здоровался ни с кем;
278
в)	только двое не поздоровались между собой;
г)	четверо поздоровались только между собой и остальные поздоровались только между собой.
048.2. Каждую из п точек, являющихся вершинами выпуклого /г-утюльника, соединили отрезками с каждой другой вершиной.
а)	Сколько провели отрезков?
б)	Сколько провели диагоналей?
в)	Сколько есть двузвенных ломаных, соединяющих вершину А с вершиной^?
г)	Сколько есть трехзвенных ломаных, соединяющих вершину А с вершиной В (самопересекающиеся ломаные допускаются)?
048.3. В футбольной команде — 11 человек: вратарь, 4 защитника, 4 полузащитника и 2 нападающих. Команда выбирает капитана и его заместителя.
а)	Найдите число всех возможных вариантов выбора.
б)	Найдите число всех возможных вариантов, если в команде 3 новичка и они не могут быть капитаном или заместителем.
в)	Найдите число всех возможных вариантов, если капитан — точно не нападающий, а его заместитель — точно не вратарь.
г)	Найдите в пунктах а) и б), число всех возможных вариантов выбора пары кандидатов, из которых тренеры позже будут делать окончательный выбор.
•48.4. Все станции пригородной железной дороги разделены на 10 зон, в каждой зоне более одной станции. В билете на проезд в одну сторону указывают номер зоны отправления и номер зоны прибытия.
а)	Сколько существует различных типов билетов?
б)	Сколько существует различных стоимостей билетов, если стоимость проезда из зоны х в зону у рассчитывается по формуле 8 = 7 + 6|х - р|?
в)	Сколько различных типов билетов можно купить не более чем за 50 руб,?
г)	Сколько существует различных типов билетов по цене, кратной 5 руб.?
279
Вычислите:
48.5.	а) С?т; б) CU в)	г) Cj.
48.6.	а)	б)	в) А^; г) А*100.
48.7.	а) Ся„ - Сг„{ б) ^5 в) Сп + С?,; г)
048.8. Упростите выражение: a)	б)
048.9. Составив частное двух чисел, выясните, какое из них
больше:
а)	Си или Сй;
б)	или С?9;
в) 0,9 или ей;
г) С» или (*1.
Решите уравнение: 048.10. а) С® = 2С2;
б)	С*'1 = 15;
048.11. а) А = 18А?.а;
048.12. а) С? = А2;
б)	С? = А?;
в)	С| + С®.! = 49;
г)	С£ = 70.
б) & - С* 79. в) С* = А’ + CJ;
г) 0,5А = 3(А-1 + C?-i).
048.13. Решите неравенство:
а)	120 < А£.: < 140;
б)	Cf < А® < С£;
в)	С?о < А* < 60;
г)	Сй < А? +	< 200.
048.14. Три ноты из семи нот (до, ре, ми, фа, соль, ля, си) одной
октавы можно нажать либо одновременно (аккорд), либо поочередно (трезвучие).
а)	Найдите число всех возможных трезвучий.
б)	Найдите число всех возможных аккордов.
в)	Найдите число всех возможных аккордов, содержащих ноту «соль».
г)	Найдите число всех возможных трезвучий, в которых подряд не идут две соседние ноты (до и си — не соседние ноты).
048.15. «Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Сколькими способами они могут: а) выбрать каждый для себя по одному инструменту из 15 данных;
б)	выбрать набор из пяти инструментов из имеющихся 12 инструментов;
280
в)	сесть по одному за какие-то четыре из выбранных в пункте б) инструмента;
г)	выгнать одного из участников квартета, и потом сесть за какие-то три выбранных в пункте б) инструмента?
048.16. Из колоды в 36 карт выбирают 5 карт и потом одновременно открывают их. Найдите:
а)	число всех возможных вариантов выбранных карт;
б)	число вариантов, при которых среди полученных карт есть четыре туза;
в)	число вариантов, при которых все полученные карты — пики;
г)	число вариантов, при которых все полученные карты — одной масти.
•48.17. По программе в концерте должен выступить хор из пяти певцов и трех певиц. Предварительное согласие на выступление дали 10 певцов и 8 певиц.
а) Сколько существует различных вариантов состава хора? б) То же, но если известно, что певцы А и Б ни за что не будут петь вместе.
в) То же, но если известно, что певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица В.
г) То же, если 6 певцов накануне сорвали голос на футболе и вместо недостающего певца придется выступать одной певице.
•48.18. Пусть у(п) =
п > 4.
а)	Укажите дробно-линейную функцию, на графике которой лежат все точки (п; у(п)).
б)	Постройте график этой функции.
в)	Укажите наибольшее п, при котором у(п) > 0,25.
г)	Укажите наименьшее п, при котором у(п) отличается
от менее чем на 0,01.
•48.19. Пусть у(п) = уз2-, в > 4.
а)	Укажите многочлен, на графике которого лежат все точки (в; у(п)).
б)	Постройте график этого многочлена.
в)	Укажите наибольшее в, при котором у(в) < 600.
г)	Укажите наименьшее п, при котором у(в) > 6000.
281
048.20. а) Докажите, что последовательность п = 3, 4, 5, монотонно возрастает.
6)	Докажите, что все члены этой последовательности больше числа 4.
в)	Укажите номер, начиная с которого члены этой последовательности будут больше 20.
г)	Найдите предел этой последовательности при п —> оо.
048.21. Найдите п, при котором:
а)	число С^+1 составляет 80% от числа Ся;
б)	число Св+1 составляет 120% от числа С4;
в)	число С&1 составляет 56% от числа
г)	число С£в+3 составляет 150% от числа С£,\22.	*
•48.22. Докажите тождество:
а)	С* = С?_1 +	в) С* = С1 + Си
б)	СГ“ = Ci + erf;	г) с* = erf + сП + сгГ*
•48.23. Выпишите треугольник Паскаля до седьмой строки включительно.
а)	Найдите сумму всех чисел в третьей строке треугольника Паскаля.
б)	Найдите сумму всех чисел в четвертой строке треугольника Паскаля.
в)	Найдите сумму всех чисел в седьмой строке треугольника Паскаля.
г)	Методом математической индукции докажите, что сумма чисел в л-й строке треугольника Паскаля равна 2\
48.24.	Раскройте скобки в выражении:
а)	(х + 1)т; б) (2х - у)*Ч в) (ж* + 2)*; г) (1 - Xя)4 048.25. У многочлена Р найдите коэффициент при л8:
а)	Р(х) = (1 + Зх)4;
б)	Р(х) = (3 - 2г/;
в)	Р(х) = (х + 2) - (2х + 1) ;
г)Р(х) = (х*-х)4+ (з-^| I	V I
( if
048.26. В разложении I х + — I по степеням х укажите:
а)	член, содержащий Xs;	в) член, содержащий х~а;
б)	член, содержащий х4;	г) член, не содержащий х.
282
•48.27. Найдите член разложения, не содержащий переменных:
а) [2x2 +	;
\ х /
8)У+Л
048.28. Известно, что сумма биномиальных коэффициентов разложения (а + Ь)" равна 1024.
а)	Найдите п.
б)	Найдите наибольший биномиальный коэффициент этого разложения.
в)	Сколько в разложении членов с этим наибольшим коэффициентом?
г)	Дайте ответы на вопросы пунктов а), б), в), если сумма биномиальных коэффициентов разложения (а + б)” равна 512.
048.29. Найдите к, при котором достигается наибольшее значение выражения:
а)	С?; б) (&; в) (* 5 г) С&‘ + С£».
•48*30* а) Докажите, что для любого натурального числа п > 1 и любого х > 0 верно неравенство (1 + x)rt > 1 + пх (неравен* ство Бернулли).
б)	Используя неравенство пункта а), укажите какое-нибудь решение неравенства 1,001я > 1000.
в)	Используя неравенство пункта а), укажите какое-нибудь решение неравенства 0,99" < 0,01.
г)	Докажите, что для любого 0 < q < 1 и любого а > 0 неравенство q* < а верно для всех натуральных п, начиная с некоторого номера.
$ 49. Случайные события и их вероятности
049.1. Случайным образом выбирают двузначное натуральное число. Найдите вероятность того, что оно:
а)	делится на 5; в) делится или на 15, или на 25; б) делится на 13; г) не делится на 29.
049.2. Случайным образом выбирают нечетное двузначное натуральное число. Найдите вероятность того, что: а) его квадрат меньше 1000;
б)	его квадрат больше 9000;
в)	сумма квадратов его цифр больше 140;
г)	сумма квадратов его цифр не больше 10.
283
049.3. Два ученика независимо друг от друга написали по одному двузначному натуральному числу. Найдите вероятность того, что: а) эти два числа различны между собой;
б)	сумма чисел равна 100;
в)	сумма чисел не больше 25;
г)	сумма чисел больше 190.
049.4. Из набора домино случайно выбирают одну фишку. Найдите вероятность того, что: а) это дубль;
б)	одна из ее половинок — «пустышка»;
в)	различие между очками на ней больше 4;
г)	сумма очков на ней больше 7.
049.5. Из значений п! для п = 1, 2, 3,	, 25 случайно выбирают
одно число. Найдите вероятность того, что это число: а) меньше миллиона;	в) делится на миллион;
б) больше миллиарда;	г) не делится на тысячу.
049.6. Из чисел, расположенных в пяти первых строчках треугольника Паскаля случайно выбирают одно число. Найдите вероятность того, что это число: а) двузначно;	в) кратно трем;
б) нечетно;	г) не является простым числом.
•49.7. В круге с центром в начале координат и радиусом л случайно выбрали точку с целыми координатами. Найдите вероятность того, что: а) сумма координат этой точки больше 3;
б)	произведение координат этой точки меньше 4;
в)	эта точка лежит в круге с центром в начале координат и радиусом л/З;
г)	эта точка лежит вне треугольника с вершинами (О; 2), (-2; -2), (1; -2).
•49.8. Двузначное число составляют так. Его первая цифра получается в результате первого бросания игрального кубика, грани которого пронумерованы цифрами от 1 до 6, а вторая цифра — в результате второго бросания этого кубика. Найдите вероятность того, что это число: а) состоит из разных цифр; в) кратно 7;
б) больше 20;	г) простое.
284
049.9. Красивых учеников в классе — 22, а умных — 18. Всего в классе 80 учеников и каждый из них умный или красивый, или и умный, и красивый.
а)	Сколько учеников, которые и умны, и красивы?
б)	Сколько учеников, которые умны, но не красивы? в) Сколько учеников, которые красивы, но не умны? г) Измените в условии общее число учеников так, чтобы ответы в пунктах а) и в) были одинаковы.
049.10. При подготовке к экзамену один ученик решил 44 задачи из общего списка в 50 задач, а второй ученик решил 26 задач из этого же списка. Известно, что каждую задачу из общего списка задач кто-то из учеников решил, а) Сколько задач были решены и первым, и вторым учеником?
б)	Сколько задач были решены первым, но не решены вторым учеником?
в)	Сколько задач были решены вторым, но не решены первым учеником?
г)	Измените в условии общее число задач так, чтобы ответы в пунктах а) и б) были одинаковы.
•49.11. У каждого из туристов есть или тугрики, или «еврики*. У 100 туристов есть только тугрики, у 88 туристов есть только «еврики», а у 31% туристов есть обе валюты, а) Сколько всего было туристов?
б)	Сколько туристов имеют тугрики?
в)	Сколько туристов имеют «еврики»?
г)	Измените в условии задачи 31% так, чтобы ответ в пункте а) стал наибольшим из всех возможных.
•49.12. Каждый из 80 учеников умный или красивый. Красивых учеников всего 26, умных — 24, а 14 учеников — ростом выше 180 см.
а)	Про скольких учеников гарантированно можно утверждать, что они и умные, и красивые, и выше 180 см?
б)	Каков ответ в пункте а), если известно, что все умные, но не красивые — ростом ниже 180 см?
в)	Каков ответ в пункте а), если известно, что все красивые, но не умные — ростом выше 180 см?
г)	Каков ответ в пункте а), если известно, что 12 умных — ростом выше 180 см?
285
049.13. Экзамен пересдавали три ученика. Рассматриваются события: А — экзамен сдал ровно один ученик; В — хотя бы один ученик; С — не менее двух учеников; D — ровно два ученика. Опишите события: а)А + С; б)А + 2); в)В + 1>; r)A + B + C + D.
049.14. Опишите события, противоположные событиям из пунктов а) — г) предыдущей задачи.
•49.15. Из чисел О, 1, 2,	,9 выбирают одно. Рассматриваются
события: А — это четное число; В — это число больше 7; С — это число кратно 3 и не равно 0; D — это или 1, или 4, или 9. Опишите события: а) АВ; б) СР; в) ВС; г)АВСВ.
49.16. Опишите события, противоположные событиям А, В, С, D из предыдущей задачи.
049.17. В темном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы случайно вытаскиваете одновременно 3 билета. Найдите вероятность того, что: а) все билеты выигрышные;
б)	есть ровно один проигрышный билет;
в)	есть ровно два выигрышных билета; г) есть хотя бы один выигрышный билет.
•49.18. В темном ящике п выигрышных билетов и п проигрышных, п > 2. Вы случайно вытаскиваете одновременно 3 билета, а) Найдите вероятность того, что есть ровно один проигрышный билет.
б) Докажите, что эта вероятность убывает с ростом п. в) К какому числу стремится эта вероятность при п -» оо? г) Найдите в, начиная с которого эта вероятность будет меньше 0,4.
•49.19. В темном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы случайно вытаскиваете одновременно п билетов, п = 1, 2, 3, ..., 9. Найдите вероятность р(п) того, что у вас есть ровно один выигрышный билет. Численные результаты соберите в таблицу.
Л	1	2	3	4	5	6	7	8	9
X»)									
049.20. В темном ящике 6 билетов, из которых п билетов выигрышных и 6 - п проигрышных, п = О, 1, 2, 3,	, 6. Вы
случайно вытаскиваете одновременно 2 билета. Найдите
286
вероятность р(п) того, что у вне есть ровно один выигрыш* ный билет. Численные результаты соберите в таблицу.
п	0	1	2	3	4	5	6
р(п)							
049.21. В темном ящике 8 белых и 7 черных шаров. Вы случайно вытаскиваете одновременно 4 шара. Найдите вероятность того, что: а) все шары белые;
б)	имеется, как минимум, три белых шара;
в)	имеется, как минимум, два черных шара;
г)	есть хотя бы один белый шар.
•49.22. В темном ящике п белых и п - 1 черных шаров. Вы случайно вытаскиваете одновременно 4 шара.
а)	Найдите вероятность того, что имеется, как минимум, три белых шара.
б)	Докажите, что эта вероятность убывает с ростом п.
в)	К какому числу стремится эта вероятность при п -» оо? г) Найдите п, начиная с которого эта вероятность будет меньше 0,35.
049.23. Какова вероятность того, что при трех бросаниях монеты: а) ни разу не выпадет «орел»;
б)	ни разу не выпадет «решка»;
в)	«орел* выпадет ровно один раз;
г)	«решка» выпадет хотя бы один раз?
049.24. Решите задачу 49.23 для четырех бросаний монеты.
•49.25. а) Какова вероятность того, что при п бросаниях монеты «решка» выпадет хотя бы один раз?
б)	Как меняется эта вероятность с изменением п?
в)	Найдите предел этой вероятности при га —► оо.
г)	При каком наименьшем п вероятность появления хотя бы одной «решки» будет больше 0,999?
049.26. Три ученика независимо друг от друга написали по одной цифре от 0 до 9. Какова вероятность того, что среди написанных цифр:
а)	не будет ни одной цифры 0;
б)	будет хотя бы одна цифра 5;
в)	не будет ни одной четной цифры;
г)	будет хотя бы одна нечетная цифра?
287
•49.27. Каждый из п учеников независимо друг от друга написал по одной цифре от 0 до 9.
а)	Какова вероятность того, что среди написанных цифр будет хотя бы одна цифра 5?
б)	Как меняется эта вероятность с изменением п? в) Найдите предел этой вероятности при п —> оо. г) При каком наименьшем п вероятность появления хотя бы одной цифры 5 будет больше вероятности ее отсутствия?
•49.28. Буквы русского алфавита написаны на карточках. Вы случайно вытаскиваете одну карточку, читаете букву, возвращаете карточку и повторяете выбор. Как только появится гласная буква — процедура заканчивается. (В русском алфавите 33 буквы, из них 10 гласных.) а) Какова вероятность того, что никаких повторений ие потребуется?
б) Какова вероятность того, что хватит двух повторений? в) Какова вероятность того, что хватит именно п повторений?
г) Найдите предел этой вероятности при п —> оо.
049.29. Стрелок не очень меток: вероятность того, что он попадет в мишень одним выстрелом, равна всего 0,1. Независимо от предыдущих промахов он повторяет выстрелы до первого попадания и после этого прекращает стрельбу.
а) Какова вероятность р(п) того, что ему хватит п выстрелов?
б) Найдите предел этой вероятности при п —> оо.
в) Численные результаты для п = 1, 2, 3,	7 соберите в
таблицу.
Л	1	2	3	4	5	6	7
Р(«)							
г) Найдите предел суммы р(1) +р(2) +	+р(п) при п оо.
•49.30. Найдите вероятность р встречи с контролером при одной поездке, если известно, что вероятность хотя бы одной встречи:
а)	при трех поездках равна 0,875;
б)	при четырех поездках равна 0,9984;
в)	при пяти поездках равна 0,98976;
г)	при шести поездках равна 0,468559.
ОТВЕТЫ
Повторение
ПЛ. а) 1,35; б) в) Ц; г) П.2, а)	б)
- 5, х — любое число; б) у = t - 2,
t * ±2; в) у = р - 4» р * ±7б; г) у = т - 2t т * 2. ПЛ. а) у =
б)	у = X * 3; в) у = х * 2; г) у = -1^; х * -1. П.5, а) у = х + 2, х * 2, х * -5; б) у = х + 4, х * 2, х * 4; в) у = х + 3, х * 3, х * 4;
г) у = х - 2, х * -2, х * -1. П.в. а) х = -^4 + 2; 6) х = 1
в)	х = —2— - 3; г) х = 3-П.7, а) 2(5 - Ь); б) т + 2; в) 5(a + 1);
У+1	у-а
2	111
г)	3 + х. П.8, а)	б) 5775: в) г) П.9, а) а + 1;
1	Ъ	х
б) Ь - 3; в)р + 4; г) х- 5. П.10. а) _ р б) а; в) у; г) _ g* П.11. а) х _ gJ
3	3	х	х - 1. А	т(т- Зп) 13
б> 7^4= » 7Тз;	’> 773'	П12- •> -5?-;	-*»= б>	3»-. • В-
ПЛЗ. -1. П.14, а)	; б)	>) зЛб; г)	-^Д.	ПЛЗ. а) Т; б) 12;
в) 12; г) 4,4. П.16, а)	1; б) 1; в)	2717; г) 72.	П.18. а)	А < В; б) А < В.
П.19, а) Ни при каких; б) 9. П.20, а)-б) 14т	1з7п;
3Jy + 4jx
П.21. •>
1
в) 5yfp-7-jq; г)
xjx + 27. ojo -8bjb П22	8
4 х - 9 ’ г) а - 4Ь	и'££' а| 7j7
1 — т Jab	Jab
П.23, а) 2Ь(а - Ь); б) а; в) ; г) , если а > b > О; ——. если
b > а > О. П.24, а) 3; б) 3; в) -0,5; г) -Й. П.25, а) 0; б) 9; в) -1; -3,5;
О
г) П.26, а) 20; б) 2; в) -10; г) -88. П.27. При т = 1. П.28. 1 < а < 2.
289
IL29. a =	IL30. a) x > -1,5; 6) x < 5; в) x C 1; r) x < -2. IL31. a) x < -4;
&
1	3
x > 2,5; 5) -2,5 < x < 3; в) x < -1^; x > 1; r) x < ^; x > 2.11*32, a) x — любое число; б) 3 < x < 9; в) x < -9; x > 4; г) таких х нет. П.ЗЗ. а) х < -2; х > 2; б) х < 1,5; х > 4; в) х < -3; -0,5 < х < 0,5; х > 2; г) х < 1; 1 < х < 3;
о
х > 5, IL34. а) 0 < х < 1; х > 2; б) х < 0; 1-g < х < 2; х > 4; в) х < -3; -2 < х < 0; г) х < 1; х > 2.1135, При а < 0 и а > 1. ПЛ6. а > 3; таких значений нет, П.37. а) х > 16; б) -0,2 < х < 2,5; в) х > 6,2; г) -4,25 < х < 4,75,
§1
1.3*112,113,114, ..., 147. Наименьшее 112, наибольшее 963.1.14. а) 1; 2; 4; б) 8; в) 1; 2; 3; 4; 6; 12; г) 6; 7; 28; 51* 1.15. а) 2; 3; 4; 6; 12* б) 1; 2; 3; 6. 1.17. а) 2; (1; 1); б) 114; (1; 1). 1.18. а) Да; б) да. 1.19. а) 1; 2; 4; б) 0,5; 1; 1,5; 3. 1*20. а) 0,5 и 1; б) таких значений нет. 1.21. а) 0; 3; 5; б) -1; 3. 1.23. а) 1; б) 1; в) 5; г) 6. 1.24. а) Да, например 6 и 2; б) да, например 2 и L 1.35. а) 8; б) 24; в) 18; г) 16, 1.36. а) 8; б) 18; в) 38; г) 98. 1.37. а) 2; б) 4; в) 9; г) 24. 1.38. а) Двумя; б) четырьмя; в) девятью; г) двадцатью четырьмя. 1.39. а) 23! + 2 делится на 2, 23! + 3 делится на 3; 23Е + 4 делится на 4,	, 231 + 23 делится на 23; б) 101! + 2 делится на 2,
101! + 3 делится на 3; 101! + 4 делится на 4,..., 101! + 101 делится на 101; в) 22, 100; г) 10000011 + 2; 1000001! + 3; 1000001! + 2;	; 1000001! +
+ 1000001. 1.41. р = 3; q « 2. 1.42. а) р = 11; q - 5; б) р = И; q = 3 или
(х = 1+ 2fe;	[х = 4 + fc
Р 5;д	17. 1.56.а) |₽ = 8	*€г;в)	= j. A€Zf
в)
* ” 7 k е z; ° I* ~ ?+2 *е z-1,ет-а) (1; 15); (-1; -15): у = 1 + 7ft;	[р = 1 + 5ft;
(15; 1); (-15; -1); (3; 5); (-3; -5); (5; 3); (-5; -3); б) (1; 3); (-1; -3); (1; -3); (-1; 3); в) (1; 1); (-1; -1); г) решений нет. 1.58. «) 12; б) 48; в) 35; г) 180.
$2
112	4
2.6. а) б) в) 1;.г) 5- 2*11- а) 8; б) 7; в) 1; г) 6. 2.18. а)
1	*т	147
б) 12^5; В) -1^; г) “nwo- 217’а) б) в> Ы8* г)2.08(3).
290
§3
3.4. а); б); в); г) Иррациональным. 3.6. а); б); г) — числа рациональные; в) — число иррациональное. 3.7. а) Тт - 3 и 1 - 7Т; б) 77 - 3 и 1 + 77; в)Т7-ЗиТ7 + 3; г) 72 и 572. 3.8. а) Нет таких чисел; б) 7*7 и 728. 3.9. а) х* 2 = 0; б) хг + 10х	22 О; в) Зх* + 12х
- 3 = О; г) составить такое уравнение невозможно. 8.10. а) Например, а > 2 + ТЗ; Р = 4^3; б) например, а = 3 - 72; р = 472.3.11. а) Су-щестует, например, при а = 2 + Тз число с = 4; б) существует, напри-
JT& - 1
мер, при а =	=— число с = 3. 8.13. а) 1,5; б) 1; в) 2; г) 3,99.
Л
3.14. а) ТоД; б); в); г) 71,44001. 3.15. а) 1,6; б) 0,49. 8.16. а) лДЛ; б) Тз 1,4. 8.17. а); б) Единственная точка (0; -2). 8.18. а) (73; бТЗ - 2); б) (772; 2 + 72). 3.19. а) Такой треугольник существует, так как V2 + 1 > >/3; б) такого треугольника не существует, так как >/3 + 75 < 4,
S4
4<5* а), б) Не существует. 4.12. а) 1; б) 1; в) 1; г) 6.4.13. а) О; б) О; в) 0; г) 5- 4Л4. а) 3 < b < 4; б) 3 < Ъ < 4; в) 0 < Ь < 1; г) таких Ъ не существует.
1 - J?
4.15. а) [-20; 12]; б) (17; 22). 4Дв> а) а > 2,5; б) < а < 1; а > 1.
4.17. а) (-1 -
4.22. а) п > 2; б) п > И; в) п > 10001; г) п > 307. 4.25. а) 1 < х < 2; б) -11 < х < -10; в) -1 < х < 0; г) 11 < х < 12. 4*26. а) х — любое целое число; б) -2; в) О; г) -3. 4.31. а) х  k + 0,123, где k принимает любые целочисленные значения; б) 999,123. 4.34, а) [1; 33]; б) (-6,25; 0];
в) [-820; 0]; г) -1;	.
55
5.3. а) х > 0; б) х > 7; в) х < 0; г) 3 < х < 4. 5.10. а) 4 - я; б) 1; в) 7 - 2л; г) 5,3 - 277. 5.1L а) 4; б) 8; в) 21; г) 66. 5.13. а) 1; -9; б) 7;
2
в) 19; -11; г) -1; д- 5.14. а); б) Решений нет; в) 4; г) -4. 5.15. а) 4; б) 2;
в) 0; 7; 1; г) 2; -1. 5.16. а) х > 4; б) х > 2; в) 1 < х < 7; г
5.17. а) х < 3; б) (-<ю; 1) и (1 + Тб; +<»); в) Г-оц
-1 < х < 2.
v (1; +«>);
291
г) (-оо; 1] и [2; +оо). 5.18. а) 3 или 9; б) 9 или 23. 5.19. а) 0,5; 1,5; б) 1; 2.
5.20. а) 9 или 23; б) 9 или 23. 5.21. а) О или 1; б) 1J 5.25. а) 2;
б) 7; в) -7; г) 0.
S6
6.2.	„ ®>^>. „ 01025„(33 + „); r)
a) -k при n « 2k; k при л = 2k - 1; б) k(2k +1) при п = 2k; Л(1 - 2k) при
ЙЬ	- х	л(п+1)	Л,	л(п+1)	-	оь -
л = 2k	1; в) g—~	при n 2&; g—-	1	при л = 2k	- 1;
29	292
г) -2k(k + 1) при л = 2k; 2k* при л = 2k - 1. 6.10. а) б)
6.16. а); б) Первое равенство неверно уже для л ~ 1. Второе равенство верно для л « 1» но не для всех к иэЛ(&) следует Л(й + 1). Таким образом» равенство неверно. Третье равенство верно.
S7
Л	(4 - х)х	f5(x + 4)» -4 < х < 2S
7,9,	ад = И-/Е, 0 < « < 2= •) ЭД - & +	2 , х < g.
./2x412. Зу* -12
7.11. а) у = xJ---5----; х - * _-----; уравнение задает функцию вида
V о	Z
х = ф(у) и не задает функцию вида у = Дх); б) у = х или у — -х - 1; х — у или х = -у - 1 при х * 3, -4, у * 3, -4. 7.21. а) [-1; 7]; б) (-оо; -1] и (1; +°°); в) (0; 1]; г) [-1,5; И]. 7.22. а) Д/) = [-3; 2], Е(/) = [1; 5]; б) D(f) = [-3; 2J, E(f) = [0; 9]. 7.24. а) [12; 4<ю); б) [-8; 1J; в) [-12; -1) и (-1; 1)	(1; 4°о);
г) [-3; 1]. 7.25. а) Зх 4 2; б) -Зх - 13; в) 5; г) ДДх)) = 9х - 4. 7.26. а) 4Х2;
б) (х - 5)*; в) 81; г) х4. 7.27. а)	«)	в) ДД5)) = 5^-;
11X4 2
г) х + g • 7.29. а) Если а > 1, то [а; 400); если а = 1, то (1; 4со); если -1 < в < 1, то [а; 1) и (1; 4оо); если в = -1, то (-1; 1) v (1; 4<ю); если а < -1, то [а; -1) и (-1; 1) и (1; 4со); б) если а < О, то ft; если а > О, то -1; 1 ; в) если а > 4, то (-со; 3] v [4; в) <j (в; 4°о); если а = 4, то
(-оо; 3] и (4; 4оо); если 8 < в < 4, то [а; 4) V (4; 4оо); если а = 3, то (3; 4) v (4; 400); если а < 8, то [в; 8) и (8; 4) и (4; 4оо); г) если а > 1, то 0; если а = 1, то {!}; если -8 < а < 1, то [в; 1); если а < -8, то [-8; 1]. 7.30. а) (-оо; -8) и (-3; Ц; б) (-со; -8) и (-8; 1); в) (-со; -8) и
292
v (-3; -0,5] и (-0,5; 1]; г) (-оо; -3)	(-3; 1]. 7.81. а) [4; 5];
б) [-1; 0] и [4; 5]; в) (4; 5); г) (-1; 0] v (4; 5]. 7.32. а) [-4. ц 6) [-4; 1]; в) (-4; 1]; г) [-4; -2) и (-2; 1]. 7.33. а) (-10; 5]; б) [-10; б]; в) [-10; 10]; г) [-5; 5]. 7.34. а) [-1; 10]; б) [-13; -2J; в) [-2; 9]; г) [-2; 9]. 7.35. а) а < -И;
4	4	4
б)	а > 4. 7.36. а) а > 0; б) —g < а < 0; в) а = —д; г) а <	7.38. а) b = -31;
-3 < b < -2; б) Ъ = -29; 5,5 < & < 6,5; в) (-оо; -31) и (-81; -30) и (-30; -29) и и (-29; -3] v [6,5; +оо); г) (-оо; -32) и (-31; -4] и [4,5; +00). 7.40. а) [0; 25); «) [0; 5];	в)	[-27; 125]; г) [1; 3]. 7Л1. а) [-3;	5]; б) [0; 8]; в) [О; 8];
г) [в -	5;	а	+ 3]. 7.42. а) [-3; 5]; б) [0; 8]; в)	[О; 8]; г) [а-5; а + 3].
7.43. а)	1,	2,	3; б) нет таких значений; в) 2, 3, 4,	5, 6, 7; г) 0, 1, 2, 3, 4, 5.
7.44. а)	(-оо;	+оо); б) (-оо; +оо). 7.45. а) £(/) = [-5;	+оо) при b > -5; б) при
а > -7; £(Л = [-7; +оо). 7.46.	а) При |а| > 2>/3; £(Л =	(-°Ч	-2JS]	и
и [&/3; -и»); б) при |а| < 2;	Е(П = [-2; 2]. 7.47. а)	(-00;	-4J2]	и
V [4j§; +°°); б) (-оо; -8] и [4;	+оо); в) (-оо; +оо); г) (-оо;	+оо).
8.4. а) (-оо; +<ю); б) (-оо; +ео); в) (-оо; 0) и (0; +оо); г) (-00; -7) и и (-7; 2) и (2; +оо). 8.5. а) у	х> б) 7(100 - х#х - »1);
в) у $100 - х; г) у 7-<100 - х)2 8.6. а) у ц ~х^ _ ху
6)у =	~ DC* - 2); г) у =
8.10.	а) (-00; 1) и (1; +оо); 6) (-оо; 1) и (1; +оо); в) (-оо; -12) и (-12; +оо);
г)
8.11.	а) [5; +оо); б) (-00; 1]; в) (-оо; 2]; г) [-1; -ню).
8.12.	а) (1; 3); б) (-1; +о°); в) (-оо; +оо); г) [0; +со). 8.13. а) {0; ±2; ±4}; б) [0; 2}. 8.14. а) [3; +оо); б) (-оо; 0) и (0; +оо); в) (-оо; 36}; г) (-оо; 1) и (1; +оо).
6) (-00; +оо).
8.18. а) Убывает на (-оо; 0,75]; возрастает на [0,75; +°°); б) убывает на (-оо; 1]; в) убывает на (-оо; -0,6]; возрастает на [-0,6; +°°); г) возрастает на [-0,6; +оо). 8.21. а) Убывает на [5; +ео); б) возрастает на [1,5; +оо); в) убывает на (-оо; 2]; г) убывает на (-оо; 0,75]. 8£3. а) Убывает на (-оо; 0];
293
возрастает на [0; -ко); б) убывает на (-оо; 0]; возрастает на [О; -ко); в) убывает на (-оо; 1,5J; возрастает на [1,5; -ко); г) убывает на (-оо; О); возрастает на [0; -ко). 8.24. а) Убывает на (-оо; -1] и на [0; 1]; возрастает на [-1; 0] и на [1; too); б) убывает на (-оо; -3] и на [О; 3]; возрастает на [-3; 0] и на [3; -ко); в) убывает на (-оо; -2] и на [1,5; 5]; возрастает на [-2; 1,5] и на [5; -ко); г) убывает на (-оо; -4] и на [0,5; 5]; возрастает на [-4; 0,5] и на [5; -ко)« 8.27. а) Возрастает на (-со; 0]; убывает на [0; -ко); б) возрастает на (-оо; -3]; убывает на [-3; +оо); в) возрастает на (-со; -1) и на (-1; 0J; убывает на [О; 1) и на (1; +оо); г) возрастает на (-со; -2) и на (-2; 2]; убывает на [2; б) и на (6; -ко), 8.28. а) Возрастает на [-3; -1] и на [0; 2]; убывает на [-1; 0] и на [2; 3]; б) возрастает на [-2; -1] и на [1; 3]; убывает на [-1; 1]; в) постоянна на [-3; -1); возрастает на [-1; 0) н на (0; 1]; убывает на [1; 2) и на (2; 3]; г) убывает на [-3; -2), (-2; -1], [1; 2) и (2; 3]; возрастает на [-1; 0) и на (0; 1]. 8.2». а) -0,5; 1; б) (-со; -0,5) u (1; +<»); в) -8; 6; Г)[-8; 6]. 8.30.а)-2; б) [-оо; -2,5) и |-а|; -2| и (1; +оо). 8.8L а)-0,5;
б) Г1 о - ; -0,51 8.32. а) -0,5; б) I о	/
Н» 4-
8.84. а) 1; б) 2; в) 3;
г) 1. 8.85. а) 9; б) в) 4; г) 0. 8.38. а) у -
-4х	3»	3 < х < 0;
х + 2, 0 < х < 3; V
б) у =
|(ж
I)1
1)*
2, -2 < х < 1;
8.43. а) Утл = —73, jrniw = —148;
2, 1 < я < 4.
б) наибольшего значения нет; = у(0) = -100; в) наибольшего значения нет; = у(4) = -148; г) наибольшего значения нет; = у(4) = -148. 8.44. а) у** - 13;	- -51; б) у^л - 19; наименьшего значения нет;
в) Уша х 21; наименьшего значения нет; г) у^д = у(-3) - 21; наимень-
шего значения нет. 8.45. а) 2; б) 2; в) г) 2. 8.48. а) у^л = 1;	= -1;
б) Ужл = 0,5; Уты = -0,5; в) Утл — 2,5; ркш = —2,5; г) = 3,5; Уты = —3,5.
8.47. а) 2; б) 4; в) 4; г) если п - четное число, то у^^ =	делИ л —
нечетное число, то у^ =	. 8.48. а) у^л = iz(l) = 5(а + 1); у^
= р(-1) « 5а - 3; б) = 1/(2) = 4 а; ряии< - у(-1) = -5 - а. 8.4». а) Если -1 < а < 2, то = у(-1) = 5, у*», = р(а) = ая - 4а; если 2 < а < 5, то « £/(—1)" 5, уты = £/(2) = -4; если а > 5, то у^д « у(а)« = аа - 4а, ушам - у(2) » -4; б) если 1 < а < 3, то у^д - у(а) = -а4 + 2а - 3,
= У<3)» -6; если -1 < а < 1, то у^ = р(1) = -2, ym = у(-1) = -б; если а < -1, то у^ = jKl) = -2,	=	~а* + 2а - 3. 8.50. a) 3; б) -2.
8.52. a) 0; б) 1; в) 0; г) корней нет.
294
59
9.5. a) 7; 11; 13; 0; б) 0; О; О; в) 11; 11; 7; г) О; О. 9.6. a) /(1) > /(31); б) /(11) > /(110); в) /(-17) = /(831); г) /(в + #3) =	- в). 9.7. а) Да;
б) нет; в) нет; г) да» 9*17» а) — г) Нет» 9.18. а) — в) Нет; г) да» 9.19» а) — в) Да; г) нет» 9»20. а) Да; б) нет; в) нет; г) да» 9.21. а) 1; 1; 1; 1; б) 0,5; 0,5; 0,5; 0,5; в) 2; 2; 2; 2; г) |; |; у. 9.22. а) Т = 1; Т = 3; б) Т = 1;
Т = в) Т = 20; Т = 20; г) Т = 12; Т = 4,4. 9.24. а) Нет; б) может, напри*
мер: у = 71 “~2W: в) нет; г) может, например: у = jjp 9.25» а) Нет; б) у = (х) + 6; в) нет; г) у = {х} + 8» 9.26» а) Нет; б) может, например: г з _
у = {-х}; в) может, например: у = {х}; г) может, например: у = |—g—|.
9.30» а) Наибольшее значение 5; наименьшее -2; б) наибольшее 5; наименьшее -2; в) определить невозможно; г) наибольшее 5; наименьшее -2. 9.31» а) х = 1 + 4Ь, k 6 Z; б) (1 + 4Ц 4 + 4Ц, I 6 Z. 9.32. а) х = -2 + 5£; х = 5Z, k 6 Z; 16 Z; б) (1 + 5г; 2 + 5r], г € Z; в) х = 2 + 5i, t е Z; г) (-2 + 5щ 5п), п Е Z, 9-33» а) х 4А, К 6 Z; б) х 6 Л; в) х -3 + 2nt п Е Z; г) (-3 + 41; -1 + 41), IEZ. 9.34» а) Существует, например: Дх) = 3 +	- 7х;
б) существует, например: Дх) = 3 + 7-Х - 7-Х. 9,35, а) Существует, например: Дх) = 1; б) нет»

10.7» а) Да; б) да; в) нет; г) нет. 10.9. а) у = 8 * Х; б) у =	5 *
) а -2 * Г) у Л* + ? 10.10, а) Да; б) нет; в) да; г) да. X	Л А
10.11. а) Да; б) нет; в) да; г) нет. 10.12. а) у =
Цбх, если х < О, если х > О;
3 ’ еС^	1*» если X < а
3	>) у = • 3
j-, если х > 2;	-х, если х > (X
о
_ (0,5(х -1), если х < 5, г) “ 12х - 8, если х > 5.
10.13. а) у = х* - 3, х > 0; б) у = 2 - х*,
295
* 1	Q _ «3
х < 0; в) у = —s~’ х > 0; г) у = —г—» х < О, 10.14. а) Может; б) не £	О
может; в) может; г) может. 10.15. а) — г) Да- 10.16. а) Нет, не может (если область ее определения не состоит из одного нуля); б) может; в) не может; г) может. 10.17. а) Да, может; б) может; в) не может; г) может.
10*19. а) Нет; б) у = 7х; в) нет; г) у =	10.20. а) Нет; б) у =	+ 2;
D(f) = [-1; 2); E(f) = [1; 2); в) нет; г) у = -777?; D(f) = [-2; 4]; Etf) = [-2; 0]. 10.21. а) Нет; б) у = 77+2 - 3; Р(/) = [-2; +со); E(f) = [-3; +со);
в)# = -ТжТ2 - 3; D(f) = [-2; -ню); £(/) = (-оо;-3J; г)нет. 10.23.
а
у = х + 6» на R обратной функции нет; б) у - 5 хт у =
</ =
если х < 3;
5 - х, если х > 3;
в) у = —£—> у - <х, на л обратной фукнции
2-х
нет; г) у = 3 - х, у = ——, у =
2-я	*
—, если х < % 3-я, если я > 3.
10.25. а) «я) = 7;
я = 1 и Мя) = 3; х = 5; б) Ях2) = 25; корни: -3; 3 и М*1) = 4; корни: -2; 2;
в) Я0 = -7; t = 1 и МО - 16; t = -3; г) ДЗя) = 7; х = | и Мб - х) - 7;
я = О. 10.33. а) Да; б) нет. 10.34. а) у =
если я < (X
б) нет; если х > 0;
1-=, если я < О,
О
х
—если х > 0;
г) нет, 10.35. а) у = ’
-7-х» если х < О,
77 если х > 0;
б) нет;
В) У =
/2 - я, если я < 2, 'х - 2, если я > 2;
г) нет.
f 11
11.11. а) IV; б) II; в) III; г) I. 11.12. а) III; б) II; в) IV; г) IV.
11.13. а) 6; б) 8; в) 3; г) 5.11.18. а) хп; б) + юг; в) + юг; г) + юг.
296
4/ъ к п	лп лп «л ч.	л я	* 2л	_
11Л9' а) ^	+	-у; б) у. 11.20. a) g	+ лд; б) -д + ял; в) ±у + 2ют;
г) Ig + 2лп.	11.21. a) -g-i	б) -g	+ -у» в) ±д + пп;	г) у-
1L22. а) 2ют с t	<	+ 2яп; б) лп	< t <	+ лп; в) -g + 2лп < t < — + 2ял;
г) + ют < Г	< лп. 11.23, а)	+ 2лп	< t < ~ + 2лп; б) -у	+ 2лл <
< t <	+ 2лп;	в) + 2ют < t <	у + 2лп; г) -у + 2лп с Г <	+ 2яп.
11,24, a) у	+	ют<*<лп;б)ют<*< ~ + ют;в)^+ют<^< у	+ лп;
г) у Г <	+ у. 1L25. а) + 2ют	< t < у + 2лп; б) 2лп < Г <	у +
+ 2лп; в) + 2лп < t с у + 2лп; г) + 2лп < Г <	+ 2ют.
11.26. а) -д + 2ют t д + 2ют; б) -у + 2лп < t < д + 2лп;
. 5л	А	.	А	* 7л	А	11л	А _ _	.
в) -у	+	2ют	<	I	<	2лп; г) у	+	2лп	<	I	<	у	+ 2лп. 11.29. а)	ют;
ют,	ч	л	,	.	ют	-- ол	.	кп,	п	,	лп,	. 2гсп.	л
б) "2s	в>	2	+	лл:	г>	Т’	11'30' а>	Т’	б)	4	+	~2~	б) * В * *> Т’ г>	±6	+
чч V к	лп+ д лп. ч пл м . я 4л 2к,
11.31. а) 3Q + 5 ’ б) 3 * ®) 12 + 3 * г) -Д-- U.82. а) 15* 15» - 5 .
.я	,3гс. ч л Зл.	За ,2л	,5л	я	5л	7л.
б>	*8’	±'5'* в>	8* Г>	1 7 ’ 121’	*21*	1LM’ а) *6*	в’	в*
5	®!Е. \ +2Е	Зл 5л.	_ л л	7л	5л	л	13л	2л	7я
°>	4*	4* в>±4-	4’ 4*	П 3* 12’	12*	12’	6’	12*	1Г	Т‘
11.34. а) -3, -2, -1. О, 1, 2, 3, 4, 5, в; б) -1,5; 0,5; 2.6; 4,5; в) -3, -1,1, 3, 5. ч я2 ,1 1515
г)-2 з» -1g. д. 1g. 3jj, 4g.
S12
,. я 7я. _. Зя 11я , 7я я 7я
12.6. а) 3. -д-. б) -р -j-; в) -§-. г) -j-. 12.8. а) х < 0, у > 0;
б) х < О, у О; в) х < О, у < О; г) х > О, у > О. 12.9. а) х > О, у < 0;
б) х < От у < 0; в) х > О, у < О; г) х > О* у < О. 12.10. а) х < у; б) х < у;
В) X у;г) X < у. 12.11. а) |х| > |у|; б) |х| < |у|; в) |х| > |у|; г) |х| < |у|.
12ЛЮ. а) -^ + лп; б) -д + яп; в) + яп; г) g + яп. 12.21. а) + 2лп <
5л	я	л
< t <	+ 2яп; б) з + 2яп < t < -3- + 2яп; в) - 3 + 2ял < t < 3 + 2яп;
297
г) + 2т < t <	+ 2лп. 12.22. a) --g- + 2яп < t < -g- + 2ял; 6)	+
+ 2irzi < f < 7? + 2nn; в) + 2m < t <	+ 2irn; г) -тг + 2irn < t <
4	4	4	0
< ^ + 2ял. 12.23. a) 2ял < t < я + 2лл; 6)	+ 2лл < i < g + 2ял;
в) g + 2m < i <	+ 2ял; г) -я + 2ял < t < 2ял. 12.24. а) -g + 2ял <
< f < ТГ + 2ял; б) -тг + 2™ < t < 4 + 2ял; в) тг + 2ял < t < тг + 2ял;
о	4	4'4	4
г) -g + 2т < t < "g^ + 2ял. 12.25. а) -g + 2ял < t < 2ял; б) g + 2ял <
7я _ к я _ Зя % 2я	5я л
< t < "g* + 2ял; в) g + 2т <t + 2яп; г) -др + 2ял < t < "g" + 2ял.
12.26. а) + 2т < i <	+ 2ял; б) 2ял < Г < g + 2лл; я + 2ял < t <
тт + 2ял; в) тг + 2ял < t -— + 2ял; г) - + 2ял < t < п + 2ял; + £	4	4	25	л
+ 2ял < t < 2т. 12.27. а) ~ + 2ял < t < 2я + 2ял; б) -я + 2т < t < g + + 2ял; в) ~ + 2ял < t < я + 2яга; г) 2ял < t <	+ 2ял. 1228. а)-£ + 2ял <
2	2	2
Я _	Я_	ЯЛлЯА	5я А . л
i < - g + 2яп; з + 2ял < t < ^ + 2ял; б) g + 2пл < t < 'g- + 2яп; в) 2яп < _	7я _	11я	_	. 5я л j.	я Л
t < я + 2яп;	-g- + 2лл	< t < -j- + 2яп;	г)	—у	+ 2ял <	i <	+ 2пл.
_ v	j. j 2я	я	Зя	. я
12.29.	а)д+яп<Г<-др + ял; б) + т < t < -j- + ял; в) -g + ял < я . я	j я
< i < о + ял; г) --г + ял < t < -т + ял. 3'4	4
S13
13.19. а) 3; 5; б) 3; 4; в) г) 1; 2,6. 13.21. а); б); в) Минус;
г) плюс. 13.22. а); в); г) Минус; б) плюс. 13.23. а); б); г) Минус; в) плюс. 13.24. а) Минус; б); в); г) плюс. 13.25. а) Плюс; б) минус. 13.26. а) 0; б) 0, 13.31. а) | + ял; б) ±| + т\ в) яп; г) | + тр 13.32. а) Да; б) нет;
в) да; г) нет. 13.33. а) х > б) х < -2; х > 2. 134J4. а) х < §» б) -3 < х < 3. 13.3$. а) х < 1; б) -6 < х < 6; в) х > 1*4; г) < х < -К». 13*36. а) а > 5; б) а < 5; в) а > Ъ; г) а < б, 13.37. а) а < б; б) а > б; в) а < 5; г) а < 5.
298
13.38. a) sin sin -g> sin sin g» sin -gS 6) cos ^g-, cos —, cos g> 7к к
cos -^r cos g* 13Л9. a) cos 4, sin 3, cos 5, sin 2; 6) cos 3f cos 4, cos 7, cos 6;
в) sin 4, sin 6, sin 3t sin 7; r) cos 3» sin 5, sin 4, cos 2. 13.40. a) cos 1, sin 1> 1, tg 1; 6) ctg 2, cos 2, sin 2, 2. 13.41. a) 0,5; 6) 0,5. 13.42. a) -1; 6) 1.
13.43. a) 2яп < t < я + 2nn; б)+ 2тсл < t < g + 2яп; в) -я + 2ял < t <
я	2л	я	я	я
< 2яп; г) к + 2яп < t <	+ 2яп. 13.44. а)+ 2ял <К + 2лп; б) -? +
V	О	А	А	4
+ 2т < I <	+ 2я«5 в) 5 + 2яя < t <	+ 2яп; г) -7 + 2яя <*<•? +
4	А	л	4	4
+ 2яп. 13.4S. а) + 2т <t<	+ 2ял; в) + 2яп < t <	+ 2яя;
в)	-§ + 2кп < I <	+ 2т; г) + 2т <1 <	+ 2т. 1346. а) +
5я	2я	4эс	5я
+ 2яп < t < -g- + 2кп; б) “д* + 2т < t < -g- + 2яи; в) -g- + 2кп < t < 7я _ ч 2к л_ 2я	v 7я . . я
< -g- + 2ял; г) --g“ + 2т < t < -g- + 2ял. 13.47. a) --g- + 2ял < t < g + + 2яп; б) -^р + 2ял < i < ^ + 2ял; в) -g + 2ял < t < "g" + 2яп;
г)	+ 2яп < t <	+ 2ял. 13.48. а) 2яп < t < g + 2ял; 4* 2т < t <
я	2к _ 4я	Зя л
< к + 2ял; б) -g + 2яи < t < "g* + 2ля; "g" + 2яп < t <	+ 2яп;
в) + 2ял < t < g + 2яп; + 2кп < t <	+ 2ял; г) 4* 2кп < t <
< g + 2ял; -g + 2яп < t <	+ 2яя. 13.40. а) | 4 2ял < t < л + 2яп;
б)	g + 2кп < t < ^ + 2яп; в) g + 2яп < t <	+ 2яп; + 2ял < t <
< -g + 2ял; г) -g + 2яп < t <	+ 2т. 13.50. а) лп < t < ~ + яп;
б)	5 + 2я« < t <	+ 2яп; t = 2лп; в) я + 2кп < t <	4- 2ял;
тг + 2ял < t < 2я + 2лл; г) t *	.
&	А
514
5	12	5
14*17. a) sin t = -уд’ cos t = _ 13* tg i =
6) sinf = 25’ cos t = ’gg»
tg t ~ ~q~9 B)sin t = “13* COB t = igt tg t = - "gS Г) Sin t = cos t = - 17»
tg/ = --jp 14+18. a) б) np 14+19.a)-j|, 6) -1,4- 14.20* a)-0,18;
6) 4. 14.21. a) 0,792; 6) -2,475. 14.22. a) 3,29; 6) 5,267. 14JS3. a) 1; 6) j;
в) r) 14.24. a) 6) ^2. 14.25. a) 1,4; 6) 1. 14.26. a) 5; 6) y-
14.27. a) 6)	14-28 a> 6) °’ M-» a> «> Г775
B) —г) —14.30. a) +?i 6)	• 14.31. a) 0;
' (1 + a2f 1 (1 + a1)2	' e2 + 1	'	1 + a2	»> w«
6) 3^7* 14.32. a) 3 sin t; 6) 3 cos 1.14.33. a) sin sin ||; 6) cos 1,1;
i; cos 1. 14.34. a) -6; -2; 6) -5; Й; в) -3; 6; г) -7; 2.
515
15.7. a) sin 160°, sin 40°, sin 120°, sin 80°; 6) cos 160°, cos 120°, cos 80°, cos 40°. 15.8. a) sin 1000°, sin 210°, sin 380°, sin 830°; 6) cos 920°, cos 460% cos 650% cos 390°, 15*9, a) sin 990е, cos 990°, sin 22,5°, cos 37,4°; 6) tg 100°, cos 94,3°, sin 77°, ctg 225°. 15.13. BC = 8 cm; AC = 4(75 + 1) cm;
S = 8 (Vs + 1) cm2. 15.14. а) 25(8 * CM*. 15,15. a) 8jn 15» = &
cos 15°
6 *	, 6) sin 22,5°
4
^2~ cos 22,5° if
5/2 + 72 2
15.16. a) 1; 6) 3. 15.17. a) 1; 6) 0. 15.18. a) 45,5; 6) 90. 15.20. a) n = 1, 2, 3,	179; б) ни при каких; в) n > 180. 15*21. а) п = 1, 2, 3+	89;
б)	ни при каких; в) п > 90* 15*22+ а) При любых л в X, кроме чисел вида п = 36ОА, п  36ОЛ - 1, А в X; б) ни при каких; в) n = 36ОА, п  36ОА - 1, Л е Я. 15+23+ а) п = 1, 2, 3,	, 178; б) п = 180, 181,	, 359; в) n = 360А,
п = 360* - 181, k е N. 15.24. sin 18° = ^4~ 1; сое 18° = Vю +	.
sin 36° =	сов 36” =	+ 1.
4	4
300
$16
16Л0. а) Четная; б) нечетная; в) четная; г) нечетная, 16,11. а) Нечетная; б) четная; в) нечетная; г) четная, 16.12, а) Нечетная; б) четная; в) нечетная; г) четная. 16.13. а) Четная; б) нечетная; в) четная; г) нечет-нал. 16.14. а) [-1; 1]; б) [-1; 1]; в) [-1; 1]; г) [-1; 1]. 16.18. а) п; б) -yi ft*
в)	4л; г) “д’* 16.19. a) sin (8 - 2л); б) сов (-10 + 4п); в) sin (-25 +• 8л); г) cos (3S - Юл). 16.22. а) [-2; 2]; б) [0; 625]; в) [-1; 5]; г) [0; 25]. 16.23. а) [1| 1]; б) 1-4; -1]; в) [-1; г) [3; 5]. 16.24. а) [3; 15]; б) [1; >/§]; в) [1|; 4 J; г) [0; 2]. 16.25. а) 1, 2, 3, 4, 5. 6, 7, 8, 9; б) 0,1, 2, 3; в) 1, 2, 3, 4, 5; г) 3. 16.26. а) 5; 2ял < х < | + 2лл; +
_	_	_	_	.	Л Л	_	4JC _
+ 2лп <	х < я + 2лл;	я е Z; б)	4;	+ 2ял	< х < “д’ + 2лл;	-д- + 2ял	<
< X < * + 2ял; л € 2.16.32. а) б) у„„„ = -|; уимл не существует; в)	г) -|. 16.85. а) 1.5; 2.5; б) 0,5; 2,5; в) 0,5; 2,5;
г)	у,^ - 1; умив не существует. 16.44. а) -g + 2ял С х <	+ 2яя, п € Z;
„ 5п	11я л л	л	11я
б)	"д'	+ 2яп < х < “g- + 2ял,	л е 2.	16,45. a) -g- + 2ял	< х < ~g-	+ 2ялт
я	5л
п е Z; б) -g + 2яя < х < -g- + 2лл, п е 2. 16.46. а) -я; б) 0; в) 0; г) л.
16.49.	а) ±^: 0; б) -5; в) г) нет корней. 16,50. а) б) л; в) г) 0. А	А	А	О	О
16.51.	а) б) 0; в) О; г) 16.52. а) 0; б) в) л; г) 0. 16.53. а) 2;
&	&	л
б)	бесконечное множество; в) 0; г) 1.16.54. а) 0; б) бесконечное множество; в) 2; г) 2. 16.55. а) ~ + ял; б) + ял. 16.56. а) б) 4р 16.57. а) х = 0; б) х =	16.58. а) х < -^5 0 < х < б) х >
301
§1?
17.11. а) у = 2 sin x + 1; б) у = -1,5 cos х + 2; в) у = -0,5 sin х - 2;
г) у = Seosх - 0,5. 17.12. а) у = -sin
б) у = 2 cos х +
в) у = 1,5 Sin fx + г) у = -Зсов Гх-
х3, если х < 0, 17Л&а)у= ! .	б)у =
- sin jt, если 0 < х < я;
1,5 сое х, если - < х < х -если х > |.
17.15. а) б) ±|. 17.16. а) х < 0; х > 0; б) < х <	•
518
«» 9* „™ г л	f-2sinx, если - 2я < х < 0,
sui^Xf если х < и, .
Г) И =  -г
2cosx, если х > О;	cos -g, если х > 0.
1&1JL а) Возрастает на 10, L о
возрастает на
убывает на
; б) убывает на
возРастает
убывает на
[7л Зя и 2 _
, убывает на
( 7я"
г) убывает на | 3, -г 1 О
возрастает на
18.12..)Возрастает а.[0,2а]. „ж« [fc. “к
б) убывает на (-3; 0], возрастает на [0; 2); в) убывает на
возрастает на
И)
г) возрастает на (3, 2л], убывает на [2я, 9).
302
18.13. a) + Злл < х <	+ Зля, n е Z; б) + Злп С х <	+
4	4	4	4
„	~	2* 4яп _ 4л 4яп „ 4лп
+ Зля. Л € Z. 18.14. а) ф + g X g + g . Л € Z\ б) —С X
< тг + П е Z. 18.18. а) 1|, 2, 2~; б) 1 О О	4	Z 4
$19
19.5. а) у =2 sin
6)y=-l,5sin|£-4119.6. a) у=-2 сое t J 4 I	л
б) у = 3 cos f2x + -^1 19.7. а) Дг + 4яп С х С 5 + 4лп, п е Z; б) -5 + I	О 1	а	а	а
Зтс	5л	тс
+ 4лп < х < -g- + 4лп, п е Z+ 19.8, a) -"g" + кп С х < - g + nnt пе Z;
б) -'g + лп < х <	+ nnt пе Z. 19.9+ а) 4п; б) ж. 19.19. а) Убывает на
возрастает на
14я ж
; б) убывает; в) возрастает на —g-,	,
убывает на
0 ; г) убывает. 19+11. а) Убывает на (X возрастает
и Гл 2я" I 6’ 3
Г 7я б) возрастает; в) возрастает на —=-~ 1а
я
3
убывает на
0 ; г) убывает на
3
, возрастает на
1J 19.12. а)+
За
+ 4лл < а < 4 я л, n е Z; б) “g" + 4лл < а
13я
-g- + 4жл, п е Z.
v л л^ я 2ял __
19.13. a) -g < а < б) а = - g + —g-> п е Ж
$20
20.6.	а) Ни четная, ни нечетная; б) нечетная; в) четная; г) нечетная.
20.7.	а) Нечетная; б) четная; в) четная; г) ни четная, ни нечетная,
20.8,	а) Нечетная; б) четная; в) нечетная; г) нечетная. 20+11. а) б) Зя;
303
в) г) 20.12. а) л; б) 2л. 20.15. а) Минус; б) минус; в) плюс; г) ми-О 2
нус. 20.21. а) Возрастает на
-g + ял; -g- + ял I л е Z;
( я	2я
б) убывает на - * + ял; -=- + ЯП t>	о
п е Z;
г) возрастает на
в) убывает на |—j- + ял; + ЯП j> п е Z;
Я 6
20.28. а) -^ + ял я < ^ + пн; б) яд х £	4
т; -g- + кп L л е Z.
Б + кп'
в) -g + кв < х <	+ яп; г)^+ял<Жя + ял. 20.29. а) 2ял < х <
ft*
< тг + 2яд; я + 2ял < я < тг + 2ял; б) —-г + 2лл < х < 2лл; т + 2т < 2	о	' 4	4
5я	. я л	7л л v л	я л
< х < -g- + 2ял; в) -g + 2ял < х < ^g- + 2ял; г) 2ял < х < — + 2т*
Зя л 5ж	_	11я
-у + 2яд < х < "g* + 2хл; я + 2ял < х < -g- + 2хп.
§21
21.3.	а) [-1; 1]; б) [2; 3]; в) [-2; 2]; г) [-2; -72] и [72; 2].
21.4.	а) Да; б) нет; в) нет; г) да. 21,5. а) [-я; л]; б) [-2л; 2я]; в) [0; л]; г) [0; 2л]. 21.8. а) Нечетная; б) четная; в) ни четная, ни нечетная;
г) нечетная. 2L18. а) £; б) в) г) 21.17. а) 0; б) 5- 21,18. а)
б) в) 0; г) 21.19. а) б) 1; в) г) 78. 21.21. а) [-1; 1];
б) [0; 2]; в)	г) [1; 2]. 21.28. а) [0; 2я]; б) я]; в) о];
г) [-К; я]. 2L24. а) Четная; б) нечетная; в) ни четная, ни нечетная; г) не-л« .. ч я. « 7я. . я. . я о. < 2к. Ня.
четная. 21.33. а) б) в) •j; г) -g- 21.34. a) --g-» б) в) я; г) я.
304
21.35. a) -	6> в> 1: г) -1' 21-3в- a> 1: e> B) r)
21.37. a)[—1; 1]; 6) [0; 2]; a)	oju^O; r) [-V2; У5]. 214». а) Нечет-
ная; б) четная; в) ни четная, ни нечетная; г) ни четная, ни нечетная.
21.39. а) (-я; л); б)	0 j; а) (-5; я j, г) (О; 2я). 21.46. а) Ц; б)
15 з	4	12	3	4	3	12	3
в) п; г) -f. 21.47. а) б) в) gl г) т 21.48. а) g! б) g5 в) 15
12/5	12
г) jg* 21.54. а) б) нет корней; в) 1; г) 21.55. а) 0; 1g? б) 3;
в) 3> 3; г) 0; 3; 5. 21.56. а) 4; б) 21.57. а) -1; б)-~, -jSi в)
г) ±1. 21.58. а) -1,5; б) 9; -1; в) нет корней; г) 2; 3. 21.59. a) 1; 1 л
б) в) 1; г) Х. 21.60. а) -1 < х < б) х > -1; в) -1 < х < 1; A	Т &	А
г)х>-УЗ. 21.61. а)-^ <х<	б)х<-^, х> в)-1<х<
г) X >	21.62. а) -1 < X < & б) X < х > УЗ; в) С х С |{
О	4	0	А	А
г) х < -1; х > 1.
$22
Я	11я	&г 10я,	.	я	я	7я	9я.	. . ___
22.3. а)	g,	-g-, б)	j> -g-. в)	-j-,	-j-s	г)±я. 22Л.	a) ±-д +
_	1	1	]	п __	.	1	_	ПА Л .	Я	бЯ .
+ 2ял, larccos 1~3	1	+ Зяп; б)	larccos	g +	2ял. 22.6. a)	ij»	~g*>
я я 7я 9я 15я. . 2л 4л 8я 5я .Зя ___ б)-4’ Т Т Т’ “Г5 в) "З’ Т’ ~3* Г)±Т‘ ±-Г 22Х а) 2; 6) 3‘
22.11. а) (-1)"^ + кп* + Зял; б) + ял, (-1)*arcsin g + ял;
в) (-Ifarcsin 4 + ял, ял; г) ? +	22.12. а) (~1)"г ял;
2	я	' я	5к
arcsin g + ял; б) 4 + 2ял. 22.13. а) (-1)" д + ял; б) ±-§- + 2ял.
11- Морвдошч. айДОилкЛОкл., ч. 2
305
.я	5л	13л. „ я	7л	11л. , 5л	я	Зя. . Зя л
22.15. а)	-g-.	-g-. 6) -g.	-g-,	-g-, в) -T,	g,	т; г) -т, -g,
22.16. а)	3; б) 2. 22.25. а) + 4лл; 4лл; б)	g + Зля; в) у>
л + 2|ге.	_ & + 4дд 22.26. а) ^g + ли; б) я + 2пл; в) 8ял, + 8лл;
и	&п	2яп	„ „ Я	я	Зя 11я 17я	19я. „ . я .11»
г> 6 +	У	22*27. а) и,	т	т,	6)±lg, ±-[д-.
, 13л,	я 7л	5я. .	Зя	7я	11я	15л лллв ,	я 5я	7я.
±Т5’’ )	3’ У’	"Т г>	16*	16*	16’	ТУ’ 22.28. a)-g,	--g-»	-g-»
б) 0, 2я, 4я. 22.29. а) -2я, О, 2я, 4я; б)	fg,
лл .	7х.	я 7я.	.	я .	я	ллл. „ л. „	.	я	4я,
22.30. a)	g’» б)	~g» •g’»	в) -g» г)	-g*	2231. a) g, б)	0,	g, я,	-g*»
В) --у; г) --у, О, g* 22.82. а) -3, g + 2ял (л = О, 1, 2, 8, ...), -g + 2ял (л = -1, -2, -3, ...); б) 6, 4р тр ±g + 2ял (л = 2, 8, 4, ...), ±-у + 2ял (л = О, -1, -2,...). 2233. а) 0, я, -я, 4, -4; б) 1;	±4 + 2лл (л = ±1, ±2,
±3, ...); в) g, -gt 0. 7; г) 1, lg, + 2ял» л € Z; g + 2ял (л “±1, ±2,...).
2234. а) х * ±g + 2ял; б) х * яд; в) х > О, х * ял (л = О, 1, 2, ...); г) х > 5, х * £ + лл (л = 2, 3, 4, ...). 22.85. а) (-1, 1}; б) (-1. 1}. 22.36. а) {-1, 1}; б) ^}* 22.37. а) ±g + ял; б) g + ял, g + ял; в) ±g + г) ял, + ял. 22.38. а) 2, дл; б) 5 + лл. 2239. а) 3, ял; б) -2, -д + ял.
4	л	2
22.40.	а) 1, 4, ял; б) -5, -7, т + ^- 22.41. а) 8; б) 7. 22.42. а) -5 + 2ял < 4	2	v
<	е < 5 + 2гсп; б) “г + 2ял < t <	+ 2яп; в) + 2яп < t <	+ 2ял;
о	4	4	4	4
я	5ж	2	2
г) + 2лп < t < ’У +	22.43, a) arccos + 2ял < t < 2jc - arccos д +
+ 2im; б) -arccos +	< * <	f”?] + -arccos 1 +	<
<	t < arccos + 2яд; г) arccos + 2гсл < t < 2я - arccos + 2»п-
ЗОв
22.44. a) arccos
< t < 2я - arccos "з 1 + 2ял; б) + 2ял <
я	1	1
< t < -g + 2ял» arccos 'g + 2ял < t < 2я - arccos g + 2ял; в) -arccos
/ 2^	1	я
+ 2ял <	t < arccos Гд I	+ 2яп; г) -arccos g + 2ял < t < - д + 2ял,
g + 2ял	< f < arccos	'д +	2ял. 22,45. а)^+ял<1<^+ ял; б) -	+
1	1	я	1
+ 2ял < t	< -arccos д	+ 2ял, arccos д + 2ял < i с — + 2ял; в) -arccos <д	+
+ пл < t < arccos + пл; г) + 2ял с t <	+ 2ял, -arccos 'д + 2ял <
< f < arccos g + 2nrc. 22.47. a) -я - arcsin g + 2пл < t < arcsin g + 2ял;
6)	-arcsin 0,6 + 2m < * < я + arcsin 0,6 + 2лл; в) arcsin + 2ял < f <
< я - arcsin + 2пл; г) и + arcsin 0,6 + 2ял < t < 2я - arcsin 0,6 + 2ял. 22.48. а) я + arcsin 0,8 + 2яп < I < 2я - arcsin 0,8 + 2ял; 6) -arcsin 0,8 + я	2
+ 2ял < t < я + arcsin 0,8 + 2ял. 22.49. a) - g + 2ял < t < arcsin -ь 2ял; 2	7я	2	2
я-arcsin g + 2ял < t< -g- + 2пл; 6)arcsin g + 2ял< t < я-arcsin g + 2ял; 7л _	_	_ 11я	я	я
g’ + 2ял < t < —д- + 2ял, 22,50. а) - + ял < х < g + ял; б) ял < х < <	+ ял; в) + ял < х < ял; г) ял < х <	+ ял. 22.51, а) +
+ ял < х < arctg 3 + ял; б) ял < х < arcctg д + ял; в) arcctg 2 + ял £ х < <я + ял; г)-arctg -|+ял<я<^+ял. 22Л2. а)-^ + ял < х <-arctg 3 +ял, arctg3 + ял<х<^+ял;б)—|+ял<х<^ + ял, +ял<х< + ял;
7я
в)	-arctg 3 + ял < х < arctg 3 + ял; г) ял < х < arctg 2 + ял. 22Л& а) + я _ 1	1 ял я 1	1 , ял,
+ ял < х <	+ ял; б) 4 arccos g + -у <х<2~4 агсс08 ^5 + ~2"’
11*
307
, я 2яп в)-15 +"3"
л	2яя	1	1
jg + —; г) -2 arcsin ? + 4яп < я < 2я + 2 arcsin ? +
+ 2лл < х < 2л + 2ял: в) 1g д arccos
+ 4т. 22.54. а) arcsln ^+лл<х<^--| arcsin + т; б) +
1 4
+ i arccos f—+ ^7Г*> г) -| + 2яп < х <	+ 2яп. 22.55. а) 2т <
о i 4 J •*	1л
< х <	+ 2яв; б) + 2т < х < 2т, 2лл < х <	+ 2кл;
в) + 2ял < х <	+ 2ял, + 2т < х <	+ 2ял, + 2ял <
< х <	+ 2яп; г) + 2ял < х < 2ял, 2т < х <	+ 2ял. 22.56. a) -g <
< х < 2; б) < х < 1* 22.57. а) ял; б) + лл. 22.58. а), б) Нет решений. 22.59. а) 0 < а < 1; б) 0 < а < 0,5,2 < а < 2,5; в) | < а < 1; г) -2 < а < - Л, V2 < а < 2. 22.60. а) -| < а < |; б) -1 < а < J. 22.61. а) | + + arcsin ~ ч + Аг» если а > 0; нет решений, если а < 0;
я	2а -1
б) ± 2 arccos ——п + 4ял, если -1 < а < 1; нет решений, если а < -1 1	15
или а > 1. 22.62. а) ±н	+ л, л е 2;б) larccos	77г	+ 2лn, larccos	77	+ 2т,
о	7	12	12
( 7 A	f 11 >
larccos ”j-g I + 2лл, larccos [“]]> + 2m. 22.63. a) -2 < x < 0, x - 2; 6) -1 < x < x = 2. 22.64. a) -2 < a < 2; 6) 1 < a < 2.
4	f В	2
22.65. a) -arcsin g + 2яв < x < arccos I “3 1 + 2ял; б) л — arcsin + + 2ял < х < 2я - arccos 0,6 + 2ял. 22.66, a) arctg 1,5 + 2ял < х <	+ 2ял;
Q-	4Г
я + arctg 1,5 + 2т < х < — + 2ял; б) + 2кп < х < arccos &	и
+ 2ял; + 2ял < х < arctg (-0,1) + 2ял. 22.67, a) arcsln (^0,8) + 2лл < 2я	4
< х < 2кп-у -д- + 2кп < х < я + 2ял; б) arccos + 2яп < х < arcctg(-8) + 2яп;
308
я + 2ян < х < 2я - arccos к + 2ял. 22.68. a) -qnr <х<	< х <
v	12	12
JL. 5л 13пф 17л	_ х - Зп. 4л 5я#
12’ 12	12* 12 С 5, б)-5<х<- 2’	<х<- б*
2я *. л
-”д" < х < -gf 0 < х < 1-
523
23.1.	а) (-l)^1 arcsin g + ял; б) (-I)’*1 g arcsin g + Др
в)	(-1)" arcsin + ял; г) ж + 4ял; (-1)я g + 2ял. 23.2. а) + 2ял;
1	2я 2кк	2я
larccos g + 2хл; б) ±-§- + -gS в) п + 2ял; г) ±я + вял. 23.3. a) ±-д- + + 2пл; б) -^ + ял; в) + 2ял; (-l)*arcsin g + ял; г) g + —р. 234* а) + ял, arcctg i + ял; б) 5 + Д£» 4 arcctg 5 + в) arctg — +
+ ял, -arctg 2 + ял; г) + 2ял, 2 arcctg s + 2ял. 23.5. а) 4 + ял, -arctg 2 +
+ ял; б) + ял, arctg + ял; в) arctg 2 + пл, -arctg д + ял; г) + ял, .	3	АЛ А \ А 	*	Я	. ЯЛ Я ПЛ
arcctg + пл. 23.6. а) п + 2пл, + 4ял; б) + ял, ял; в) тр + -g~*
г)	+ ¥• ? + т- 23-7-а) + Kni б> ±т + 2яп-лп. n v я	.я	я ЯЛ Я ЯЛ ал л * пл _пл
23.8. а) - + ял; i'j + ял; б) g +	±+ -g-. 23.9. а) б) -g-,
-Б +	28.10. а) ял; б) + 2лл; в) г) 2ял. 28.11. a) arctg + ял;
2	п
б) arctg g + ял; в) --arctg 2,5 + пл; г) + пл, arctg 3 + ял. 28.12. а) -д + ял;
б) + ял; в) arctg 3 + ял; г) + ял. 23.13. а) ял, + пл; б) + ял, -g + ял; в) ял, arctg 3 + ял; г) + ял, д + пл. 23.14. а) + ял, -arctg 3 + ял; б) + ял, arctg 3 + ял; в) + ял, -arctg 2 + ял; г) + + ял, arctg д + ял. 23.15. а) д + б)	в) + 2пл;
309
г) 51 + Т?* 23’1в> а) 1 arctg 2 + V’ 1 anste I + "У ’ б) “1 arctg3 + +	-"g arctg д +	23.17. а)	2кп; б)
1	Я	я
23*18* a) arctg 5 + ял, -arctg + ял; б) + ял, arctg 2 + ял; в) + ял, -arctg «I + ял; г) + ял, arctg 3 + ял. 23*19* а) + ял, --g + ял; б) ял, -arctg 1,5 + ял. 23.20* а) -? + arctg 2 + б) -7 arctg 1,5 + + -^г. 23.21. а) -5 + 2яп, 2 arctg 3 + 2ял; б) + Зял, •$ + Зял. 4	2	2	2
23.22. а) + яп; б) —+ ял. 28.23. а) ял, •j + ял; б) + ял, arctg 7 + ял.
arctg 3 + ял. 23.24. a) ±g + л; б) ±-д* + 2яд. 23.25. а)
х = 5 + 2ял, у = я + 2к1ц
б)
х =	+
23-М”
у * 9	3
X -	+ 2яП, (х= (лу. Я + я/ь
и
у = ±5 + 2яА, (</ = я + 2яА; О
б)
х = я + 4лп,
„ _ Я я*
у -? + -2’
Х =	+ 2КП’	9.	1
28.27. а) -я- + 2яп; б) -arctg д + ян, у =	+ яЬ
О
, 1	t л 4я л 2я 7я
-arctg g + ял. 23*28. a) g + 2ял, + 2лл; б) “g" + 2ял, "g" + 2лл.
я	Я
23.29* а) Нет решений; б) (~1)л g + ял; в) — + ял; г) нет решений.
23.30* а) (-1)*	+ ял; б) 23*31* а) Нет решений, если -1 < а < 1;
к,Л	г  Л	—	J
-j- + 2ял, если а < - V2,	+ 2ял, если а = <2; (-1)" arcsin — + ял, если
а < -72, -72 < а < -1; 1 < а < 72; а > 75; б) нет решений, если -1 <
а 1’ ~4~ + ^xrtt если а	1 + 2ял, если а v2;
± arccos ~ + 2ял, если а < —72, -72 < а < -1; 1 С а < а > VS.
W
310
23.32. a) -1; б) ±1. 23.33. a) | + кп, 2кп; б) | + 2м, ял. 23.34. а) $ + Зял; б) тг + 2лл. 23.35. а) 0; б) 2л + 24ял. 23.36. а) (-1)"	+ хп; б) ±£ + 2ял.
23.37. a) + 2ял; -arctff 3 + Щ2п + 1); б) + 2хл; arctg 3 + я(2л + 1). 23.38. а) + 2ял; б) я + 2ял. 23.39. а) + 2«л х < •д + 2ял; 7я	_	5я _	_ ч	я	л	.	7я	л к	_
-g- +	2кп < х < -g- + 2ял; б)	g	+	2кп	< х <	-g*	+ 2ял; -g	+	2яд	< х <
я	аа ja ъ. я	а	л	а 2я	а	7я
< - g	+	2лл. 23,40. а) - g	+ 2ял <	х	<	g	+ 2ял; "д’	+ 2ял < х	<	-g-	+ 2ял;
б) g + 2im < х <	+ 2ял; -g + 2ял < х < g + 2ял. 23.41. а) + 2лп <
< х <	+ 2ял; б) + 2ял < х < g + 2ял; в) + 2лл < х <	+ 2лл;
г) -g + 2ял < х < ^ + 2пп. 23.42, a) arctg 5 + ял < х <	+ ял;
б) + лл < х < arctg 5 + тел; в) + тел < х < arctg 2 + ял; г) + + хл < х < -«j + ял; arctg 3 + ял < х < ^ + ял.
$24
а. аа , я 2ял, _ я м ял	я , ял .5я ял
24.20. a) g + -д-; б) ig + -д> в) (-1)	+ -? > г)
24.21. а) 15°; б) 15°. 24.22. а) я + 2ял; б) (-1)"’1 Л + ^- 24.23. a) j, 5я 9я 5я л Эя 7я rtJ Л. _ . я _ ^я
Т’ Т: б) "8* "8 ’ Т’ 24,24‘ а) (-1) 6 +	6) *3 + 4яв-
24.25. а) 25. + 2ял; б) + 2яп, я + 2яп; в) + 2лп; г) + 2ял,
+ 2яп. 24,26. a) -j + 2хл; б) 2ял, + 2яп; в) + 2яп; г) + 2ял, + 2лл. 24.27.а) 3; б)5 в) |? г) 4~^- 24.28.а) 12^—;
б) в)	г) 24.29. •) б) Ц. 24.80. а) -Ц; б) Ц.
311
36. .24.34. а)-вд;
5л х fa + Knt
б) 2 arccos
„„	„ 1519.	720 ЛЛ . 12^3+5 „5. .	12.
24.31. а) “1^81’ б) 1в81- 24.32. a) <jg : б) “
5^3-12	4^3 + 3,	3. % 4. .3^3-4
г> 26	’ 24’33* а)" ю ’	5’ в> 5’ г> 10
б)	gg* 24.35. а) -gg» б) _g§* 24.36. a) jg + ял
2
< х < 2я + 2 arccos 7 + 4ял; в) -4 arcsin у +
„	.	.	, 1 в . -5я 2кл 5я 2ял
+ 8ял х 4я + 4 arcsin у + 8ял; г) -jg- + -у- с х < у§ + -у»
24.37. а) 57 +	* < 57 + б) i arccos (-1) + ^г- х <
£4	£	М 4 i	lol <
4я
2я - arccos --1	л	_	„	„	.
I 31	2кп.	2к	2	.2	4кп
------7—1------- + —• в) “д’ + arcsin 7 + -у < :
2	, 2 4хл. я 8яп я 8яп л. вл ,
g arcsin 7 + -§"* г) - 3 + -J- < х < 3 + —• 24.89. а) ц >
6) 3<^Q+ 4. 24.40. а) а < 0; б) а > 0. 24.41. а) а > Ь; б) а < Ь. 24^2. а) а < Ь-,
б) а >Ъ. 24.43. a) a <tr, б) а <Ь. 24.44. а) б) —у. 24.48. а) ^|0+ 4;
ЗУЗ +4.	42. A «j» Я1 &/S-4.
® “	10	’ в' 10 ’ г> 13’ 2*^9‘а» 15 » ®) *•
§25
25.10. a) i; б) - 41^L+ 80• 25.11. а) 1; б) 1. 25.12. а) -2; б) О	ас*	|	£
25.13. а) б) -1у- 25.14. а) -у! б) jj- 25.15. а)-25^*43; 6)
х яп* m - х яп «Sift 11я	*	13я- m — JL
_j + б) б + -у. 25.18. а) 12> 12 ♦ б) - эд ♦ -15. 14я	43я 29я пв. 7я	я	я яп
15 ’	30 * 15 * 2S*19’ а) “ од	+ яп * * * 20	+ яп: 6	+ 3	<
25.17. a) IQ 13л:
х
+ пр 25.20. а)
г = i + и, у = arctg 2 + яЛ,
У -	+ я&
312
б)
1  i	+Г•>»- т-23-22- •> **
у = arctg 3 + nk, W - ~arc*e4+ яЛ.
б) в) 6 г) -3 3- 25.24. 3.
$26
26.7. а) -0,5; б) 1; в) -ф; г> -д/з. 26.8. а) -1,5; б) 2; в) г) -1.
Л
26.9. а) 0; б) 2 cos t. 26.10. a) ctg а; б) сов t; в) ctg а; г) -сов t. 26.11. a) -1; i	cos2u
б) —Ц. 26.12. a) cos а; б)	26.14. a) 36; б) 5. 26,15. a) -6; б) 7.
cos г	зш у
26.16. а) & б) -1 26.17. а) 1; б) |. 26.18. а) 1; б) 1. 26.19. а) 1;
б) Л. 26.20. а) б) 17.26.21. а) 2лл; б) -| + 2гт; в) g + 2яп, -у + 2ял; П	2л	тс
г) ±2 +	26.22. а) ±"з“ + 2 ял; б) + 2лп. 26.23. а) Корней нет;
„	ЛА Ла Y Л	1	х 1
б) любое действительное число. 26.24. а) - д + -g-; б) - д arctg + -у»
26.25. а) -2 arctg 3 + 2ял; б) -к + Зял. 26.26. а) + яп, -arctg 2 + лп; я яд 1	ял тс	1
б) -12 + -д"» -д arctg 3 + -g-J в) + ял, -arctg 3 + ял; г) -д arctg 4 + + -ул + Др 26.27. а) Д + 2пп, -2 arctg 2 + 2ял; б) Д + 2ял, -2 arctg 4 + 2яд; в) ялт —5 + ял; г) ~ + ял, -arctg 4 + ял.
4	и	е	&
__ __ . . .чл.1 я	и л	А я А л 2лп
26.28. а) (-1) 1 Q + яп; б) (-1)	g	+ т; в) я + 2яп, ± д + 2яп; г) g	+	—g-*
26.29. а) -1 arctg ~	б) Др i arctg 6 +	26.30.	а)	+
+ 2ял, 2 arctg | + 2ял; б)	+ ял, -arctg 2 + лл; в)
—j arctg g + г) arctg 2 +	ял, -arctg g + ял. 26.81. а) яп; б)	я +	2яп,
л	2л я 2л 2л	Эя 4л
±3 + 2ял. 26.35. а) б) jgl в) —gS г) 26.86. a) jg; б)
. Эя 9л
313
$27
27.18.a)2sin ft -	6) 2 sin (4- Л в)2sin ft + 4 Ь r)-2sin ft + 51
4 J 4	) I 4 J
27.20. a) g; 6) ^r. 27.21. a) 1; 6) 0. 27.22. a) 2; 6) -2. 27.23. a) 1+^;
б) -^; в) r)	27.24. a) 2g; 6)	27.25. a) gg?
6) gj. 27.27. a) -	6) Igg; в) -jfg; r) 27.28. a) §5 6) ggl
b) T; r) il- 27-29- a> 25; B) T5 г) 27ла a) 4 ’ *T*
Л; 6)—~^> -2.-4. 27.31. a)—-3,-4 или—^=, 7 ’ v*’ } Л> 2 л*'° } Tio’ Tio’ 3 *“ Jio
--4=, -4, -3; 6) -Д=. --4=. 4, 3. 27.32. a) -77^ V10	8	Ло Л0 3	a* + 1	1 + a
1 — д® 2g	4
6)	—T—T- 27*33. а) t; 6) -2V2* 27.84* a) 1 ’ 2aa; б) 1 ~ 2a\ ' 1 + a 1 + а	о
17	1	97	485
27*35. a) jgi 6) -g* 27.36* a) Jgg* 6) - 2197* 27*37* a) a > b; 6) a < b, 27.38. a) sin 3x = 3 sinx - 4 sin3 x; б) cos 3x = 4 co^x - 3 cos x. 27.39. a) x = ли;
6)	x = £ + an. 27.40. a) 0,298; б)	в) 0,296; г) -gr- 27.41. a) -|;
a	Ou	OA	4
« Л	, 24	7	24	7	24	7	24	7	, 120
• 27Л4.а) -gg. -T,	6)-^, gg, -тр b)-w
119	120	119.	120 119 120	119	„ „ .	4	Й 1
169’ "US’	" 120’	r)	169’ 169’ US’	120'	27'45' a)	T’	~5~' 2’
,, Ло зЛо 1. , Лб бЛб 1. . Лё бЛб 1 6) " 10 *	10 ’ "3’ в) " 26 ’	26 ’ “5’ г) 26 ’	26 ’ 5'
27.48. а) 0, я, 2я; б) -у; в) 0, л, Зя; г) др др 27.49. а) + + 2яд; (-1)" 1 g + яд; б) g + -g-. в) (-1)”1 jjj + "2s	4 +
27.50. а) -120*; б) -240°. 27.51. а) яд, arctg 3 + ял; б) | arrtff 2 + 6 А	А
7я
27.52. а) 0, я, 2я; б) -£-• 27.53. а) 2; б) 3. 27.54. а) 2яд, я + 4яд: б) 2ял;
в) я + 2яд, 4ял; г) 2ял, + 2яд. 27.55. а)	б) (-1)"
, ял я я ял. . я	я , Зя ,5я.	. я
в) Т 12’ 4 + Т; Г) “ 3 +	27-вв* а) ± 4’ ±Т’ ±Т} 6) *6’
314
±-^' 27.57, a) 2nnt ~ + 2ял; б) + (-1)* arcsin + ял, 11 &
27,59. а) 2 arctg « + 2яп;-2 arctg « + 2ял; б) 2 arctg 2 + 2лл; -2arctg 4 + 2ял, &	и	4
А_ ЛА 1*	__ А А_	. я ял я ял. 4л
27,60, a) д»	б) -3, 27,61.	а) - § + -д-	< х < д + -gS	б)--^	+ 4ял < х <
4л . rt„rt V 5я яп 13я яп _ 2л	2л
< -д- + 4яп. 27.62. а) + -д- х< "24 + ~2 ’ б)"Т +4кп <х< "3 * .	гм... , Я ЯП. Я ЯД. . ЯП. . 8я Зяп тглл л .
+ 4ял. 27.63. а)	+ -g-; б) др + -§-; в) -д-> г)“’8" + ~2~' 27,64, а) 2:-1;
б) 3; -1. 27.65. а) 4д5 1; б) 2; -4. 27.66. a) 2д? -4; б) 4; -2д-
$28
M.7..)2sln(|-^	B2.ta(i + |] «-(2-5)
в) 4 cos	cos	r) >/2 sin j, 28.8. a) 4 sin 6x cos1
3x	t
6)	4 cos x cos2 -5-* 28.9. a) 4 cos t cos *5 sin -5-; 6) —4 sin t sin 2t cos 5t< u	a	a
28.14.	a) -1; 6) -1; в) r> -1. 28.15. a) 5; 6)	28.16. a) 1,5; 6) 0,5.
28.17.	a) 6) 4. 28.23. a) %; 6) -y 28.26. a) | + ли, J +
*. ЯЛ ЯЛ	ЯЛ ЯЛ	Я ЯЛ rt — _ _ ял 2л Л
б) ”8"’	в) ~2'	"3"’	г> Т’	20	+ 1б‘ 28-27-	а> ~2г ±-3	+ 2кп;
ПП	< ,v.	71	«000	V	Я	2,иг.	»	я 2яп, ч	Я	ЯП.
6) “4-- (-1)	о	+	ЯЛ. 28.28.	а)	10 +	5 »	®>	2 + “J"1 в>	40	+	10’
я	яп.	я	,	2яп	я	яп	я	яп. „ ян.	я	ЯЛ
20 +	Т ’ г>	6	+	Т- 28-29* •> 16 + ’8 ’	4 + *У: 6) “6 ’ в> В	+	Т’
я . я«. м Я ЛП Я ЛП	ЙСП 2лп. Я ЯП
6 + 3 ’ г) 4 + ~2' 8 V 28-30, а) 7 ’ б) 14 + 7 * 28.31. а) л * 3 + 6k; б) д + в) г) -^ + лп, я + 2яп.
28.32. а) | + ял, -д + б)	(-1)’ уд +	28.33. а) 3; б) 2.
ай ча .1 я _ ^я я 4л	7я. л л Зя «««•- . jc
28.34. а) д, о* 9*3’ 9 ♦ 9 ’ Т’ 9 ’ ®’ 4’ 2’ Т’ 28,38' а) 4
+ ъ тт? б) н + ЯП, 5 +	28.36. а) + 2яп < х < 7 + 2яп;
а ч7	а	О а	4	4
Л Я	Л
б)-д+ЯЛ<Х<д + ЯЛ.
315
529
29.4. a) 4 (sin 24° - sin 4“ + sin 12° + sin 8°); 6) cos 35° - cos 45’ +
+ cos 5° - cos 15°. 29.5. a) (sin (x + у - z) + sin (x + z ~ y) + sin (у + г ~ - x) - sin (x + у + г)); 6) (cos (x + у - a) + cos (x + a - y) + cos (y + z -- x) + cos (x + у + г)). 29.6. a) (2 cos 4x - cos 2x - cos 6x); 6)	(2 sin 3x +
1	1 Jz
+ sin 7x - sin x). 29.12. a) 1; 6)	29.13. a) 1; 6) 2. 29.14. a) |; 6)
29.15.	a) -^4+ S 6) V2. 29.16. a) 6)	29.17. a) a < b; 6) a > b.
29.19.	a) 5; 6) 82. 29.20. а) яп; б) g + яп. 29.21. a) ±| arccos | + яп; б) + яп, ±g + 2яп. 29.22. а) лп, ±g + 2яп; 6)	+ яп; в) яп; г) 2яп,
+ 2яп. 29.23. а) ±|? б) ±-j- 29.24. а) Др б) яп. 29.25. а) | + яп < 7я	я л	4х _	. 7я	. л
< х <	+ пп; б) -3 + 2т < х < -3- + 2ял; в)~у2 + яп < х <	+ лп;
г) --g- + 2т < х < "д' + 2яп* 29.26. а)
о
х = (-1)Л arcsin	+ лп,
у = (-1)* arcsin i + яА;
и
б)
х = ±т| + яп,	з	1. „	1	3
о 29*27. а)	jfaaiui “ *“4*	— 4’ 0™* “ ^4*
У = лА.
5 30
30.4. а) Зл/3sin + ^ + ф j, где ф = arcsin 5) 6 sin + ф j, где ф = arcsin	30.5. a) -1; 6) -2; в) 1; r) 1. 30.6. a) -2; 2; 6) -2; 2;
в) -V2, V2; г) -2V2, 2a/2. 30.7. a) [-5; 5]; 6) [-13; 13]; в) [-25; 25]; r) [-17; 17]. ЗОЛ. а) Нет; б) нет; в) да; г) нет. 30.10. а) -75 - 1, -75 - 1; б) 4; 30; в) -10; 0; г) 15; 40. 30.11. а) -4; 4; б) -3; 3. 30.12. а) 7; б) -42. 30.13. а) 16; б) 11,5. 30.14. а) -23; б) 15. 30.15. а) 2я», * + 2л»;
316
б) + 2яА; в) -g- + 2nkt я + 2яА; г) + 2яЛ, я + 2яЛ. ЗОЛ6. а) (- 1J* g
ГС ГСЙС j- л уД _5_	Ttfc > y	_ _	_	_ j уд д_
12 + ~2 : б> 15 + 385 + "5 ’ в^ 1Г + 4ж*’ “27t + 4я*: г> в**’ 4? + бяк. 30.17. а) 4 + arccos т + 2як; б) (-1)* тх - 4 arccos т + тг;
5	2л	5	тс
в) я + arccos + 2яА; г) ±~g- - 2 arccos jg + ink* ЗОЛ8, а) + 2 л А, к . йч я , кЬ 2я , .	. я кЬ	я , яЛ. ч я ( ,
4 + 5 ’ б) б + -у, з + я*; в) 1в + -у, -^ + з. г) 6 + я*, я , яА ол , „	. я як я vk. _. 1	5 як
9 +-3. 30.19. а) -gg	Ц’ 5 + Т* в) 4 агссо8 13 + Т’
я 1	5	7я	2я	5л
2^2 arccos 13 + лА* 30*20* a) -g- + 2яй; б) 2яА, --g- + 2яА. 30*21* a) -gS
б) у 30.22. а) 2як < х < у + 2як; б) arcsin - у + 2як <х< arcsin + + ^ + 2як. 80.23. а) « > 7; а < -6; б) а > -75; а < —75. 30.26. а) а > a < -4; б) а < 2.
А
5 31
31.1. а)-| + * +яв;б)£ -2 + яв, ~	31.2. a) yg(l + 2i»);
б) 31.8. а) + ял; + 2ял. 81.4. а) у + -у в. + j|n: б)	(-1)" -jg +	31.5. a) -arctg g + яв; б) -arctg 2,5 + яв.
31.6. a) g(l + 2л), ±| + ял; б) jg +	±| + ^у. 31.7. a) g(l + 2л),
g + б) ^(1 + 2л); ^(1 + 2л). 31.8. 45° + 180‘в. 31.9. |
1	я	1	5
31*10* а) лл; ±4 arccos(-0,7) + ял; б) ял; ±-5 arccos 7
£	2	л	<
+ яя* 31 ЛЕ a) arctg 2,5 + 2ял, л - arctg 0,5 + 2ял, я + arctg + 2лл, 5
-arctg + 2ял; б) arctg 0,6 + 2ял, я - arctg 2,2 + 2ял, я + arctg 11 + 2яя, -arctg 3 + 2ян. 31*12* а) я + 2яя, (-1)"	+ 2ял; б) 2я + 4ян, (-1)“	+ 4ял.
317
31.13. 0. 31.14. a) ±-| arccos j + яп, ±-g +яп; б) ±g + лп, ±-| arccos + + яп. 31.15. а) 7 + £ п; + 2лп. 81.1в. а) 7 + яп, (-If | arcsin "1 + + -|п. 31.17. а) я + 2ял, 2 arctg + 2яп. 31.18. a) arctg 3	+ яп;
б) ?п. J arctg2 + £п. 81.19. 7 + яп. 81.20. а) 2яп, + 2кп.
31.21. а) + 2яп, я + 2яп; б) ± arccos + 2яп. 31.22. —j + яп, 7 ± arccos	+ 2яп. 81.23. а) Зяп, ±7 + Дгп; б) £ + яп;
4	4	4 л	£
1	{ 1	А л Д ЯП л ЛП А4 v .а
±g arccos l-’j I + лп. 31.24. a) gg + -g-i -gg +	31.26* а) -1
3	18л	® я л
- arccos д + 2лп; б) 1,5 + g arccos jj ± д + лп. 31*26, а) - gg + gn, + ^jg + -yn, где <р = arccos g. 31.27. yg + gn. 31.28.	+ 2яп.
31.29.	31.30. 0. 8131.0. 81.32. £ +яп, arctg 2±„^ + ял.
L£ Id Lb	£
31.33. a) ? + 2лп, где n = ±1, ±2, ±3r	6) •? + 2m, где n = ±1, ±2,
£ £
±3,	(-1/ £ + яй, где k = ±1, ±2, ±3,	81.34. a) ~ arctg 8 + 77;
U	&£	Л £
Я JU£ _ J A„ V . 1*	1	I 1	( 1	Л.Л Я
6) gg + 15* 31.36. a) ±— arccos g + лп, ±g arccos “4 +	81.36, g +
+ 2яп. 3137. £ + лп. 3138. яп. 31.39. 7 + 2лп. 31.40. ±£; ±3. 31.41. a) 0, o	4	2
±1, +2, ±f; 6) +1, ±3, ±|- 31.42. a) -1, 5, я, TP 6) -2, 0, 1, -£•
31.43.2яп, —j + яп. 31.44. а) (-1)"	+ яп, (-1)" yg + яп, (-1)" yg + яп, яп;
кч z .4. я _ 5я п	. , у/11 , ^155 . ч/?79. —. , ^47
6) (“1/ 4 + яп, 12 + 2даи	а) ±“5“’ * с ’ ± e ? б) ±—з“’
±-^р-. 31.48. а) 2 ± Л. 31.47. а) 2яп, -arctg6 + 2яп; б) -% + 2ял, о	£
_ .^1 О о, « VU.V8I	^7179.-^747 ,.759
я + arctg + 2яп. 31.48. а) • х g -> ± g ; б) ± д“» ± 3“•
318
§32
82.6. a) /; 6) -32/; в)	2; r) 0. 32.8. a) -2l; 6) V2t; в) 181;	г) 0. MQ a) I,
1, -I, -1,	/,	1, б)	в) 1; r) 0. 32,11. a) a, + г» = 2 -	i, Z1 - Zl = 3i;
6) a, + zt	=	-1 + 3/, zt	- = 5 - i; в) ж, + za « 15, z, -	z2 = -15 - 2t;
r) zt + za	=	-34 - 14/,	Zt - zt = -2 + 16/. 32.12. a) (4 -	n) + (n - 3)/;
6) -11 + 12/; B) -130 + 150/; r) -651 + 682/. 82.14. a) 0,5; 6) 0,1; в) -0,1; г) таких а не существует. 32.15. а) 1 + 3/; б) 1 - 14/; в) 1 - 5/; г) 34 - 21/.
13
32,16, а) -2; б) 0; в) 0,125; г) таких а не существует, 32Л7, а) 1; б) -gS в) 1,5; г) А. 32.18. а) а = 8, Ь = 2; б) а = 3, Ь = 2; в) а = 4, b = -1; г) а = 2, b = 1. 32+23+ а) 2; б) 161; в) на 1-м, 5-м, 9-м, местах; г) на 3-м, 7-м, 11-м, местах* 32.24, а) Ч; б) -1 - /; в) Ч; г) L 32.25. а) -2; б) 0; в) -2(;
-2O+ZBI
г) 0. 32.26. а) -----gg-; б) 0,6. 32.27. а) -1 - I; б) Ч; в) 0,5 + 0,51;
г) i - 1. 32.28* а) а - Ч),25, 6 = 0; б) а = -1, Ъ = 0; в) а = 0,2, Ъ == -0,48; г) а = 0,56, Ъ = -0,24. 32.29. а) 1 + 2i; б) 1; в) 31; г) 2 + 2i, 32.30, б) -44+ 4	_	_	_
32.31.	а) 0; б) 1; -?♦ 32+32+ а) а = Ч; zz =1; z ; z = -1; б) г =i;zz = 1; _	_	-20 + 211
z : z = -1; в) z = 3 + 71; zz = 58; z : z - -gg-J r) z = -5 + 6i; zz = 61;
_	-11-60*	_
z : z = --gj----* 32+33+ a) z = -2f; zz = 4; z z = -1; 6) z = 3i; zz = 9;
z z = -1; в) z = 1 + i; zz = 2; z z = I; r) z = -1 - 3*; zz = 10; z z =
= -0,8 + 0,6/. 82.84. a)	б)	; в)	r)
32.35.	a) 17jo7i; 6) ~551t87f; в) г) -1-41а. 32J6. a) Zt = /;
z>= 3; 6) Zjж 1; Zj= 21; в) Zj= 1 + i; z$ ш 3 + 2i; r) Z] = 2 — t; z^ — 2 + 31. 32+37+
a)	2; -2; б) л/б + /; -Тб + /; в) таких корней нет; г) • 32438. а) -2;
1 - Тг +1
б)	-1 - /; в) 0; г)-Л----•
S33 с
33.8	. б) 45°; в) 3 3 = 9; г) г» и z>. 33.15. б) 0,6; г) -0,5. 38.16. б) тр
г) -2. 83.17. б) у = 0,5(9 - х); в) -5 + 7/; г) -7 + 8/. 88.18. б) у - ж» - Эх + 2;
в)	15; г) 13. 83.19. б) у = yTj! в) г, - 7 + 0,5/; г) Zt = 8 + 1,5/. 88.20. а) ±1;
б)	нет решений; в) 1; г) -1. 88.21. а) ±/; б) нет решений; в) /; г) -/.
319
33.22, a) 0; б) 0; в) 0; г) любое действительное или чисто мнимное число.
33,23. а) 2 - 0,51; б) 7 - I; в) 3 + 7i; г) 5 - 21.
$34
34,3. a) LzJ = 13, |zj = 5; б) = 56 + 33i, fazj = 65; в)
а 16 — 63i	f-	r-
г) = —g5—* 34'5*а) 6: 6) 2^: в> 7; г)	а) 15 б) 2; в) 3; г) 4‘
34*9, а) 1; 6)3; в) 3; г) 4,3411, a) z =сов + isin б) я» сое +
+ i sin	в) z = cos + i sin r) z = cos + I sin 34.12. a);
6) 2 = cos +isin e)2 = cos^+isin —r)z = cos	+ isin
34.13. a) z = cos (-0f8n) + i sin (-0,8л); 6) z - cos (-0,3л) + i sin (-0,3л); 2л
3
в) г) 34.21. a) 5(cos0 + isi
в) z = cos я +1 sin л; r) z = cos
+ isin |j 34.15. a)-£; 6) я 2
I; 5) 31 coe
в) 8(cos я + i sin л); г) 0,5
34.22. a) 4>/2 ^cos-^ + isin^ j; 6) ^2 ^cos(-^)+ it
в) 2V2 fcos^ + isin-^1 r) 2J2 I cosf-^l+ isin I ’	J
34.23. a) 2[cos+ isin•?\ 5) 2[cos~ + isin^l; 10	О J [0	01
34.25. a) 5(cos(-arccos 0,6) + isin(-arccos0,6));
320
в)	10 (cos (arccos 0,6) + i sin (arccos 0,6));
r) 17| coel-arccosf yB I ] + i sin|-arccos N
34*26. a) cos (-55°) + i sin (-55*); 6) cos 113d + i sin 113°; в) cos 130* + + lain 130°; r) cos 110* + Z sin 110*. 34.27. a) 2 sin 50*(cos 40* +
+ i sin 40е); 6) 2sm-^cos^ +isdn^Q в) 2шп^Гсоб^ +
г)	2 sin 125е (сое (-35°) +i sin (-35°)). 34.28. a) 2,5(-V3 + 1); 5) 0,5(1 + ь/з);
в)	2,5 (-1 + 1Л); г) -^(-1 + 1). 34.29. a) 21; б) -Sbfa в) 3(^8 + t);
г)	h/з. 34.30. а) -Уз + I; б) -51; в) 401; г) 73 + 1. 34.33. а) я; б)
в) г) -|. 34.34. a) - J; б) в) -J; г) я. 34.35. а) б) ; в)
г) 0. 34.30. а) б) Я; в) г) 34.40. а) 3; б) 5; в) 8; г) 10.
34.41.	а) 1 +	1; б) 1 +1	34.42. а) Круг радиуса 1 с центром в 3 + 41,
|z| = 6 — наибольшее значение; б) круг радиуса 1 с центром в 4 - Si, |z[ = = 4 — наименьшее значение.
5 35
35	.1. а) 4; б) а < 4; в) а > 4; г) а < 0. 35.2. а) |а| > 0; б) -О < а < 6; в) а > 6; г) -10 < а < -6. 35.3. а) а = 1 или а = 0; б) а < 0; в) а < 0; г) а = -16 - &/5. 35.4. a) ±121; б) ±21; в) ±211; г) ±321. 35.5. а) 2* + 1 = 0;
б)	з* - 14z + 53 - 0; в) 2J + 49 = 0; г) & - 2z + 2 = 0. 35.0. а) г1 + 4 = 0; б) г2 - 2г + 10 = 0; в) 64z2 + 1 = 0; r) z* + 6481 = 0. 35.8. а) 0,5 ± 1,51; б) -1,5 ± 2,51; в) 2,5 ± 0,51; г) -5,5 ± 2,51. 35.9. а) 2; б) 10; в) ±4; г) -7; 3. 35.10. а) а = -4; б) а « 4; в) а = ±3; г) а = -4 или а - 2. 35.11. а) ±2; б) ±21;
в)	(1 + i); г) (1 - 1). 35.12. а) ±(2 1); б) ±(2 + 1); в)
г)	85.18. а) ±(4 +1); б) ±(4 -1); в) ±^4jr; г) 85.17. a) z2 -V2	V2 V2
Зг + (3 + О - 0; б) г1 + (1	5)г + (8	1)	0; в) zx 8z +
+ (11 + 121) = 0; г) г* + (1 - 9)г + (40 - 91) = 0. 35.18. а) г, = 0, г, = 21; б) Zt = 0, гг а -41; в) г( = 2	1,	г, = 1 + 1; г) г( = 7 - 21,	=	1 + 21.
35.19. а) 1 + 21; б) 301; в) 1 + 61; г) -89 + 1201. 35.20. а) а = 41; б) а = -4,51; 40- 211 в) а = -18 - 131; г) в =	.
321
§36
36Х а) Нет; б) нет; в) да; г) да. 36.3. а) а, z3» г3, г4, z\ б) а, г5, г®, z\ г10; в) zt г*; г) z*t г4,	z®,	2s, г10. 36Л. а) z®, z4; б) zF z2f z®, a4, z% г®, z\ z®;
в) zf z*T zw; r) z®t z1®. 36.5. a) z1, z\ z®, z4, z®; 6) zf z2f z®, z1®; в) z2, z®, z\ z®, z®T z7; r) z®, A z7, z®, z\ z10. 36.6. a) z®, z4; 6) z, z2; в) zt zat z®, z1®; r) z*®. 36.8. a) -4; 6) -8i; в) -321; r) -*1024. 86.9. a) -8; б) 1б(1 - iVs); в) -64(73 + i); 0 -5121. 86.10. a) -1; 6) 0,5(75 + 1); в) -0,5(1 + t-Л); r)l. 36.11. a)-|; б) |1;в)	36.1Xa)-0,125;6) 2^(1 + 175);
в) 2-* (-73 + 0; 0 2-*i. 86.13. a) 128; 6) Ч; в) -3275; r) 1. 36.14. a) -641; 6) I. 86.15. a) 3; 6) 8; в) 10; r) 10. 86.16. a) 17; 6) 34; в) 100; r) 200. 36.17. a) 6; 6) 11; в) 20; r) 0.36.18. a) 101; 6) 200; в) 4; r) 0.86.19. a) z4, z% z,e; 6) zT, г*, г*; a) z*, z’, z*, z11, z“; r) z*, zw, z11. 36.20. a) 4,2 (-1 + 751), -2(1 + 175); 6) 1,5(1 + 175), -3,1,5(1 - i>/3); в) 2,5(75 + 1), 2,5(-75 + 1), -Si; r) 4(75 - i), -4(75 + 1), 81. 36.23. a) -1, 0,5(±75 + 1), -2,1 ± 175; 6) ±72(1 + 1), ±172. 36.24. a) -4; 1; 6) -9; 1,
$37
37.12. a) 1,5; 3; 4,5; 6; 7,5; 9; a. = 1,5»; 6) -1; 1; -1; 1; -1; a, = (-If; 2	ft
в) 8; 4;	2	2; 1,6; a.	r) 1; -2; 3; -4; 5; a„ (-1)**1».
37.19. a)	7,	12, 17, 22, 27; 6) 102. 37.20. a) 1027; 6) 3*, 3е, З*7, 31",	3!"+l,
3е***. 37.21. a) a„ = 4» - 2; a, = 2, a. = ая.к + 4; 6) a. = 13» + 5; a, = 18; a, = a._ 1	+	13; в) a. = 21»;	»t = 21, a„ = a._i + 21; r) a. = 30»; at	= 30,
a, “ a,-i	+	30. 37.22. a) at	= -»; 6) a„ = 6»; в) a„ = 11 - n; r) a„	- 4».
37.23. a) 3"; 6) (» + 2)s; в) в»; r) в* + 1. 37.24. а) 6) g, в)
.	1	„„ .	3" . „ 2в —1,
г) (2» + 1)(2в + 3)* 37 25‘ а) «- = г57’ « «• =	в> «- » 7^ + ц’
г)а"s + 37-27,а)2;б)5:в) 13;г)45*87*28-а)Р- = 45 4; 475; 8; 875; 16; 6) S„ = (^)^2 1; 2; 4; 8; 16; в) 32; г) 65 536. 87.29. а) 1; 6) 4. 37.30. а) 6; 6) 5. 37Л1. 6) 11; в) 4. 87.32. а) 6; 6) 124;
к
в) 6; г) 55. 37.88. а) -6; -4; 6) -22 g 5 -181; в) -1; г) мет. 87.84. а) 3; 6) 10;
322
в) 4; г) 29. 37.35. а) -428; б) -128. 37.36. а) 19; б) 16. 37.37. а) 2; б) 62; в) 15; г) 1. 37.38. а) 17; б) -81; в) 19; г) 1. 37.39. а) л « -5; б) у, = -3;
в) й = -3; г) у, =	37.40. а) у3 = 13; б) у3 = 3; в) у( = 5; г) у, =
37.41. a) Her, б) да; в) нет; г) да. 37.42. а) Да; б) да; в) да; г) да. 37.43. а) Да; б) нет; в) да; г) да. 37.44. а) Да; б) да; в) да; г) да. 87.46. а) р < 1; б) р — любое. 37.46. а) р < -2; б) -8 < р < 3. 37.47. а) р < 0; б) р > -1. 87.50. а) Убывает; б) не является монотонной; в) убывает; г) возрастает. 87.51. а) Убывает; б) возрастает; в) не является монотонной; г) убывает. 87.54. а) Возрастает; б) убывает; в) убывает; г) возрастает. 37.55. а) р > О; б) р > 1; в) р < 0; г) р < -2. 37.56. а)р > О; б) р < 0; в) р < 0; г) р < 0. 87.57. а) Ограничена, возрастает; б) неограничен», возрастает; в) ограничена, убывает; г) ограничена, убывает. 37.58. а) Возрастает, ограничена; дз
б) убывает, ограничена. 37.59. а) у„ = п*; б) уя = п* + 5; в) у. = ~~z—-• п — о
г) ул = -П.
$38
38.4. а) Да; б) нет; в) нет; г) да. 88.5. а) 6; б) 3; в) 15; г) 81.88.6. а) 4; б) 7; в) 8; г) 5. 38.7. а) у = О; б) у = О; в) у = 0; г) у = О. 38.8. а) у = -1; б) у = 2; в) у = 2; г) у = -3. 38.9. а) у = 2; в) у = -3. 38.10. а) Нет; б) нет; в) нет; г) нет. 38.14. а) О; б) б; в) О; г) -4. 38.15. а) О; б) 0; в) О; г) 0.
38.16. а) 5; б) 7; в) 3; г) 38.17. а) 2; б) 1; в) -1; г) -2. 38.18. а) 2; б) 12;
в) 6; г) -2. 38.19. а) 7; б) 0; в) 1; г) 0. 38.20. а) 1; б) 4- 88.21. а) б) 4-&	& Л
2	12
38.27. а) 2|; 6) -0,128; в) -0,022; г) 3 g. 38.28. а) 12,5; б) -8 gJ в) 22,5;
2	2	1
г) 86. 38.29. а) 41 б) 27* 38.30. a) bi = 12; q = 0,5; б) 3831. а) б, -12;
q = б) 1|- 38.32. а) 4; б) 57^5 в) 0,9; г) 156,25. 38.33. а) -5,4;
б) | Тз(л/3 + 1); в) 38г) 4J2G/2 + 1). 88.84. а) 111; б) 2500
1____ sinx	СОВ X	_	1
.>396,25;г) 1717 g- 38.35.»	6)	.>о1б>х;г) 7“??
38.36. а) 0.8: 6) 0.3. 38.37. а) 6) |; -д- 38Л8. a) (-l/arcdn | «я», Я	я
k е Z; б) нет корней; в) + яй, k я Z; г) ± g + 2яй, k е Z.
323
$39
39.3. a) -10; б) —12; в) 4; г) -54. 89.4. а) 0,2; б) 0; в) 1,2; г) -1. 39.13. а) 0; б) -2; в) 0; г) б. 39.14. а) 1; б) 1,5; в) 1; г) 1g- 39.16. а) 0;
1	2
б> 0; в) 0; г) 0. 39.16. а) -gi б) 1; в) г) 0. 39.17. а) 4; б) 2; в) 3; г) 2.
39.24. а) 3; б) |; в) 1; г) g- 39.2S. а) 0; б> 0,2; в) 0,5; г) -0,2. 39.26. а) |л; б) 1; в) £; г) -2. 39.27. а) О; б) -1; в) 3; г) 0,2. 39.28. а) 2; б) -4; в) 10;
г) 39.29. а) 4; б) в) г) 7. 39.30. а) б) 1,5; в) г) g-39.31. а) 1; б) 0; в) 1; г) О. 39.32. а) б) О; в) 12; г) 0. 39.33. а) б) |-39.37. а) б) 0,5; в) & г) -0,5. 39.38. а) 0,2; б) -0,1; в) 0,1; г) 0,05. 39.40. а) 0,5; б) -0,66; в) 1,5; г) 0,74. 39.41. а) ЗДх; б) -2хДх - (Дх)2; в) -2Дх; г) 4хДх + 2(Дх)2. 39.42. а) 0,1; б) -0,1; в) 0,5; г) -0,5. 39.44. a) fc;
б) 2ах + аДх; в)	г)	+	39.45. а) к; б) 2ах; в)
1
зТх
§40
40.4. а) 4; б) 21 - 1; в) 3; г) 2t - 2. 40.9. а) 2х + 2; 6) --в) бх - 4;
X
4	1-2	1
г) —j. 40*10. а) —/=; б) —г; в) —г) Зх2* 40,11, а) Не существует; х	2Vx х 2ух
б) 0; в) не существует; г) 2,40.12* а) Не существует; 6) 0; в) 0; г) 0.40.14* а) 4;
б) -1; в) -4; г)-4. 40.15. а) 2 м/с, 2 м/с1; б) 4,2 м/с, 2 м/с2; в) 4 м/с; 2 м/с2;
г) 7 м/с, 2 м/с2, 40*16* а) 3 м/с, 2 м/с2; 6) 5,2 м/с; 2 м/с2; в) 5 м/с» 2 м/с2;
г) 8 м/с, 2 м/с2.
§41
41.15. а) 2+^; 6)42+^; в)40+р-; г)27+р-. 41.16. а) Зх2 tgx +
б) —COS X -
•>
ЗМГХ	Xх
1	sinx
—-3-; Г) Sin X + —л. X Sin x '	COfiTX
324
41.17. а) Зх1; б) Зх1; в) Зх*; г) Зх*. 41.18. а)
х*(х + 8). m 2х
(х + 2? ’ * (х2 - I)2’
2х(3 - 2г). (3-4*)2’
в)	1? г) *	2^' 4L21, х; б) сов х; в) 0; г) сов х.
41.22. а) сов х; б) сов х; в) -sin х; г) -sin х. 41.29. а) —б) -2; в) -4-; г) 2. Я	ТГ
4L32. а) х < -1 и I > 1; б) 0 < I < 1; в) х > 0; г) 2пп < х < я + 2лл.
41.34. а) 14; б) в) 72; г) J2 - 4. 41.36. а) 0; б) 0. 41.36. а) -1; 1;
не существует; б) не существует; не существует; 0. 41.39. а) -jg; б) -j.
41.40. а) ±|я + 2яЛ; б) + 2л*. 41.43. а) я; б) 0; в) 2g; г) -&+^.
41.44. а) х= 2; б) х = О; х = -4. 41.45. а) х < 0; х > 2; б) 0 < х < 4; в)х < О; 0<х<^;г)5+яп<х<5 + яп; + лп < х < тг + яп. 41.46. а) 5 +
4 О	А	А	V	А
3	17
+ 2пп < х < 2я + 2ял; б) -3 < х < -1; 1 < х < 3; в) arccos g + тЛ < 17	17	1
< х < 2 arccos g + яА; г) x < О, 0 < x < -j- 41.47. a) a =	6) a = 1, a = - g*
41.48. a) 6)	41.49. a) x > ^; 6) -л/З < x < -V2; y/2 < x < V3.
41.50. a) + яА < x < ^я + яА; б) + 2яА х <	+ 2яА.
3	2	2
41.51. а) < х < 0, х > 0; б) х < g! х > g* 41.52. а) -ж + 2ял < х < 2яп;
б) 2кп х я + 2яп. 41.53. а) 1; 16; б) 41.54. а) £ + яА; А
(—1)*^1 arcsin + яА; б) 41.55. а) х< 0; х > 3; б) + ял < х < + яп;
я	2я	я
2 + яп < х < “д' + яп. 41.56. а); б) Таких значений нет. 41.57. а) +
+ яЛ < х <	+ яй; б) 2яп < х < я + яп, -я + 2яЛ < х < 2я*; л « 0, 1, 2,
325
у
3, ft = 0. -1, -2, -3,	41.59. а) Xя + х*; б) в) х4 - х; г) 9>/х.
41.00. а) у =	- Зх; б) у =
-х? - 4х, если х < -2,5, lx2 + ^х, если -2,5 < х < 1, (ввршины
^х2 + ^х, если х > 1
ломаной не учтены). 41.01. а) —+ itk, яп; б) 41.02. а) а + b=-2; б) а = О,
Ъ = -2. 41.63. а) а + + b = -1; б) а - Ь = -|. 41.64. а) 12х!; б) 20х»; в) -sin х; г) -2 cos х. 41.65. а) 12; б) 0; в) -4; г) -1.41.60. а) 9 м/с*; б) 9 кгм/с*. 41.67. a) -arctg 2 + яп; б) + 2яп. 41.08. а) уГ = 2 сое х - xsinx;
б) у" = -a sin х - Ъ сов х. 41.09. а) у = tg 15*^50 -±^; б)±Л, ±1.
о
ж) •>
§42
42.4. а) -2 sin 2х; б) 2 cos 2х; в) -6 sin 6х; г) 0. 42.5. а) 8 сое 8х; 1 X
б) -10sln 10х; в) 4 cos 4х; г) sin g. 42.6. а) - 15х®(1	х®)4;
. Зх2 + бх - 2	14 - 4х _______________ бх
2л/х3 + Зх2 - 2х + 1 ’	(** - 7х + 8)’	(х2 + 5)Тх2 + 5 Тх1 - 1
. „ , ,	1	. , 5tg* х. .	1 + Зх2
42.7. а) 3 sln! х еоа « 6)	,)	. г)
42.8. а)	- 3 сое2 х sin х; б) +	; в) sin 2х сое 7х
VlTx2	2(хг + Tffigi сов?х*
sin2xsinVx . xftgx + 6sin2x7ctgx	, 1.
-	277	; г)- a?sin2x -42жа)3 7,;б)-1 S: в)"35;
г) 0,7. 42.10. а) 2; б) 4; в) -2; г) 3. 42.11. а) -7; б) в) -1|; г) д /5	48	5
42.12. а) 6; б) в) 0; г) -4. 42.18. а) 10; б) 1,75; в) г) -g. г- 4	1	Ji
42.14. а) 0; б) 12; в)г) - и- 42.15. а) 2; б) -4; в) 5; г) 42.16. а) 4я; V	л	4
б) -| yfaUz - 1); в) 0; г) О. 42.17. а) + я*, (-1)Л>‘arcsin | + яЛ;
б)	arcsin | в) г) таких значений нет.
я	я	1
42.18. а) Таких значений нет; б) - g + яп < х < +яп. 42.19. а) -8; б) -1 g!
326
в) -0,5; г) 1. 42.20. а) ±|я + яп; б) (-1Г*1 ут, + “• 42.21. а) х - ял; б) ^п; (-1Г £ + т, (-1У’1 з + яп. 42.22. а) б) я, 42.23. а) а = 2,
b = 0; б) а = 2,5, Ь = 0,75. 42.24. а) б) яп; в) г)	+ яп.
42.25. а) 3. х > Ц; б) -9,1 < х < -1,5. 42.26. а) | < х < 5 б) х <
х >	42J& а) + ^; 6)9.42.29. а) »|; б) ~	4280. а)(2х-
I)9 + С; б) (4 - 5х)4 + С, где С — любое число. 4281. а) g + С;
б) V5x - 7 + С, где С — любое число. 42.32. а) -3 сое I Зх - -д ] + С;
6) ж tg (бх - 1) + С, где С — любое число. 42.38. a)	б) . ** л
°	VI - 9х*	1 + *
»	6) 1; .) 1; г) 2.42.3S..)-3;
6)	в) -2; г) —i». 42.36. а) 3; б) 42.37. а) 0; б) нет таких значе-
d	V2x	z
ний. 42.38. а) < х< б) 0 < х < 1. Л	U
§43
43.6. а) 1; б) -0,5; в) -8; г) 0. 43.7. а) 27; б) 0; в) 6; г) -1. 43.8. а) -4; б) -1; в) -103,2; г) 1. 43.9. а) -4, О, 6; б) 2, О, 4; в) -3,	|; г) -^,
£	45	4
нет» 1. 43.10. а) -5» 0» 7; б) -2» 0» 0. 48Л1. а) -5, 0» 3; б) -6» 0» -2.
4	0J7 2ч/7
43.12. а) 1; б) нет таких точек; в) 0» тр г) —=—> —=-• 43ЛЗ. а) 0; б) 0; о	f <
в) -1, 1; г) нет таких точек. 43.21. а) 0; б) х — arctg 7; в) arctg 2; г) касательной не существует. 43.23. а) у » 7х - 10; б) у = -Зх - 10;
5
в) у = 5х - 17; г) у = -х +	43.24. а) у = Зх - 4; б) у = -х + 4.
43.25. а) у = 1; б) у =	- 2х; в) у = 1; г) у » ^х. 43.26. а) у =	- х;
б) у = -х; в) у = 2,5х + 0,5 + г) у = х - 5 arctg 2. 43.27. а) у = х + + I	в) у = |х + 2	|; в) у = -2х + | + г) у = я.
327
43.28. а) у = -2x - 4; б) у = 5х - 16; в) у « 2х + 1; г) у = 5х + 9. 43*29* а) у = -бх + 18* у  бх + 18; б) у = 27х - 81; в) у = -4х, у = 8х + 16* у = 8х - 16; г) у = 0* у  -х + 1. 43.30. а) у = 5х - 16; у = -5х - 1; б) у = х - 4, у = -х + 9. 43.31. а) х = 1; б) х =	в) х = gl г) х = -0*5.
43.32. а) у = х - у = х - gi б) у = 9х - 20* у = 9х + 16. 4ХЗХ а) у  2х +
+ f- Л, У - 2х - | + Л; б) у = х. 4334. а) х = 3; б) х, = 0, х2 - Л, г~	Я
х3 в -V2; в) х = 1; г) Xi = 0, Xt - 0,6. 4335. а) х = х + 2ял; 6) х = •§ л;
в) х = яп; г) х = я + 2яп. 43.36. а) + яп; 6) О; в) + яп; г) О.
5	1
43.37. а) у = -х, у = 20 g - х; б) у = 1 g - х; у « -х. 4338. а) у = 14 - х, у = —х - 2; б) у = —х - 5, у = -х - 9. 43.39. а) у = -х - 11; б) у = 1 - х. 43.40. а) у = 5 - х; б) у = 5 - х. 4331. a) Xj « 0, у = х + 1, х2 = 2, у = х - 3;
б) х, = -3. у = -х - 1, X, = -1, у = -х + 3. 43.42. а) у =
у = Тзх + б) у - Д х - У = V* + ^Г- 43-43- а> <0; 1)1
(0; 21); б) (0; 0), (О; 12). 43.44, а) у = х2 - Зх + 3. 43.45. а) у = -бх -- 8, у = 2х; б) у = 2х, у = -2х; в) у  4х - 3, у = -4х - 3; г) у - 1* у - -4х - 3. 43.46. а) у = 8 - 7х* у = -Их + 12; б) у = -9х + 9, у = -5х + 9. 4X47, а) у = -0*1х + 2,8f у = -0,5х + 2; б) у = -0,5х + 2* 4X48* а) у = 2х - 1* 15	я к я
у = 0,4х + 2,2; б) у = х + 1, у = gx + g* 43.49* а) л = nf а = g + gn;
Afl	Я- 7С j _ у*	л a	1	2
б>а=1б+-5'’в=4 + 2В* 48-50. а) у = 3 - 2х; 6) у = ^х +
4331. а) у = Зх - 2; б) у = =~х + =±. 43.52. а) 8(0; 3,5); б) у = х - 3, у = -х - 3. 43.53. а) 8(0; О); б) у = -Д(х - 1), у = Д (х + 1). 43.54. а) -2б| б) (17; 204). 43.55. а)р = 0,5; б) р=-1. 43.56. а) (1; -1); б) не является. 43.57. а) у» б) g* 43.58. а) а = 2; б) а  0. 43.59. а) 1;
б) 1 + Тз. 43.60. а) б) - jg- 43.61. а) -1; б) 4. 4382. а) у = х; б) (0; -4). 43.63. a) arctg 3; б) arctg |. 4385. а) [ ft Д I б) у - -1. 43.66. а) -1; 2;
А	4	I О Г	4
328
б) 10. 43.67, а) 5; б) 9. 43.68. а) Ь = 2; с = -3; б) а = 3; b = -5; с = 2. 43.69. S = 2с2. 43.70. у = 2вх — о? — уравнение касательной, х =	—
Л
абсцисса точки пересечения.
§44
44.31. а) а > О; б) -Л < а < >/б. 44.32. а) а > 1; б) а < -4.
44.33. a) Ъ С б) Ъ < 0; в) ни при каких б; г) b > 0. 44.84. а) -2;
б) -2,5 <а< -1,5; а > 1,5; в) 2; г) а < -0,5; а > 3,5. 44.35. a) а < -1; а > 2; б) а < -1,5; а > 1. 44.36. a) b, d; б) с; в) а, 0; г) нет таких точек. 44.37. а) е; б) а, Ь; в) 6, с; г) а, 6, с, d, е. 44.38. а) При а = ±3; б) при а=±5.44.45. а) Да;
7
б) нет; в) нет; г) нет. 44.48. а) х = точка минимума; б) х = -2,5 —
з
точка максимума; в) х = ^ — точка минимума; г) х- -2 - точка максимума. 44,49, а) х = 2 — точка максимума* х = 3 — точка минимума;
б) х = -3 — точка максимума, х = 3 — точка минимума; в) х = - g
точка максимума* х = 5 — точка минимума; г) х = 7 — точка минимума, х = 0 — точка максимума. 44.50. а)х = -0,6 — точка максимума, х = 0,6 — точка минимума; б) х = — 1, х = 4 — точки минимума, х — 0 — точка максимума; в) х = -5, х = 5 — точки минимума, х = 0 — точка максимума; г) х = -3 — точка максимума, х = 1 — точка минимума. 44.51. а) х = -2 — точка максимума, х = 2 — точка минимума; б) х = -3 — точка максимума, х = 3 — точка минимума. 44.52. а) х = 3 — точка минимума; б) х = 2 — точка максимума; в) х - 8,5 — точка максимума; г) х = 1,4 — точка
J Ч к	5х
максимума. 44.53. а) х = - g — точка минимума, х =	— точка мак-
5я	7
симума; б) х = -g- — точка минимума, х = дя — точка максимума.
44.54. а) х = -3 — точка максимума, х = 3 —* точка минимума; б) х = -3 — точка максимума; в)х = 0их = 3 — точка минимума; х = 2 — точка максимума; г) нет таких точек. 44.55. а) х = 0 — точка минимума; б) нет; в) х = 0 — точка максимума; г) нет. 44.56. а) / = = (х + 2)2 > 0 при всех х; б) у' = -хг + Зх - 3 < 0 при всех г; в) / = ? + ? + 1 > О при всех х;
7
г) / = -бх4 - Зха < 0 при всех х. 44.57. а) 8; х = - jg — точка минимума;
у
б) -2; х =	— точка максимума; в) -1; х - 3,5—точка максимума; г) а=-0,1;
1
х = 35 — точка максимума. 44.58. а) Нет; б) х = 0 — точка максимума; х= g
329
и х = 2 — точки минимума; х = 2 — точка минимума. 44.59. а) Возраста-
тает на R. 44.60. а) Убывает на £
+ 2яп — точки минимума, х = g + 2яп — точки максимума; б) убывает на + 2лп; + 2кп |_ о	о
7
+ 2ял — точки минимума, х = цЯ + 2ял — точки максимума; в) убывает на + 2ял; + 2anj, возрастает на + 2яд; + 2nnj, х = ^ + + 2яп — точки максимума, х = — я + 2яп — точки минимума; г) возрас-4*
Я
:и минимума, х = - g + ял — точки
яп; g + яп , возрастает на
g + КГЦ + ЯП
+ яя —
максимума; б) убывает на
| + 4яп; + 4яп1, возрастает на
Зя
7я я	я	5л
—З" + 4яп;	+ 4яп t х = g + 4ял — точки максимума, х = -g- + 4ял —
точки минимума. 44.61. а) Убывает на (-оо; 3], возрастает на [3; +оо)^ х = 3 — точка минимума; б) возрастает на (-оо; 0) и на [1; +©о), убывает на (0; 1], х = 1 — точка минимума; в) убывает на (-оо; -3] и на Г-1; 21,
возрастает на
и на [2; +оо), х = -3 и х = 2 — точки минимума,
х = -g — точка максимума; г) возрастает на [-1; О] и на [1; +©о), убывает
на (-со; -1] и на [О; 1], х = -1, х 1 — точки минимума, х = 0 — точка максимума. 44.62. а) Убывает на (-оц ->/з], на [-1; 0] и на [1; л/з], возрастает на </3; -1], на [О; 1]ина [-УЗ; +оо), х = -73, х»0, х« >/3 —
1, х = 1 — точки максимума; б) возрастает на
точки минимума, х = -“ [ft i.
-1; -4
и на [1; +оо), убывает на (-°°; -1], на
Г 1 -	11
и на 1 , х = -1, х = 0, х = 1 — точки минимума, х = —х =	—
LV3	V3 V3
330
точки максимума. 44.64. г) Возрастает на [-1; 1], убывает на (-оо; ^1] и на [1; +оо), х = -1 — точка минимума, х = 1 — точка максимума. 44.65. г) Возрастает на (-оо; -1J и на [1; +°°), убывает на [-1; 1], х = -1 -точка максимума, х  1 — точка минимума. 44.66. г) Возрастает на (-со; -3] и на [1; -н»), убывает на [-3; 1], х = -3 — точка максимума, х - 1 — точка минимума. 44.67. г) Возрастает на [-1; 1], убывает на (-«>; -1] и на [1; +оо), х = -1 — точка минимума, х = 1 — точка максимума. 44.68. г) Возрастает на(-оо; 1,5], убывает на [1,5; +»),!= 1,5 ™ точка максимума. 44.69. а) 2;
2л
б) 1; в) 1; г) 1. 44*70. а) 0» б) 0. 44.71. а) 1; б) 2. 44.74. a) -gS б) 0.
S45
45.13* а) 3; б) 1; в) 3; г) 1* 45.14. а) 1 корень, если а > -3; 2 корня, если а “ -3; 3 корня, если а < -8* 45*15* а) 3; б) -1*
$45
46*1* а) 255; -1; б) 34; 1; в) 23; -4; г) 8; -154. 46.2. а) у^ - 4;
Fimin = -23; б) у.^ = -9;	= -9993; в) у^ = б; = -1; г) у^ - 31246;
Умам = 124. 46.3* а) Уивцв — ~2; Ушш — —4; б) у^^ = 1,5;	= —0,5; в) Уицд= 0;
Ушш = -1; О Уикл = Уши s 1- 46*4. а) = V2; Ума = 0; б) Уш^ = >/2;
Ушли = 1; в) у миф ж 72; У= 0; г) ршкб = 72; Укмк = 1* 46.5. а) Удав = 4;
Уши = 1; б) Уиим = о, Ушиф = 3. 46.6* а) у^ = 7; у^ = -3; б) у^ = 6; у^ = -4. 46.7. а) у^ = 24; у^ = 12; б) у^ = 10;	= 5; в) у^ - 16; у™ = 2;
г) Ушив = Ю; Уммм = 2- 46*8. а) Уднд* = 1; Улши = —2; б) ушнв = 0; Увалм = —4; в) у^ = б; у™ = -4; г) не существует; у„„ = -4. 46.9. а) у^ = 28; Уямм = 3; б) Увмй — 9; Ушни — —3; в) Уциб= 16; Утлм = “2; г) Удмб= ~7; Уши — —199. 46.10. а) у^ = 19; у^ - -35; б) у^ = 35; y^ = 15; в) уш1Л = 19; у11й1- = -98; г) у«* = 19; у.™ = 16* 46.11. а) у^ = 173; у.^ = -2; б) у^ = -43; у™ = -72; в) Ушмо — 173; Ушцм = 45; г) у^иб — “2; Удаш = —72. 46.12. а) уш^ — 4; ушин — “3; 6) У1мй* = —12; Уин» = —28; в) Унй«б = 4;	= “28; г) Уш^ — 4; у^тл = -28.
46.13. а) Уния — 20; умнн = —7; б) Удан* = 4; умим = “124; в) Уни& — 121; Ушш — —44; г) у^б = 148; Уыдм = —124.46.14* а) Ушиф= 6; у^ш = 5; б) Удмв — —3;
л ла - - .	Я ,	ЗЛ -	3^3 - Л,
Удами “ “4. 46.15. а) Уданф —	+ 1; Удали =	1> б) Удадф —	3	*
. л: л*	л. . зУз - гс. л
Унаам = “Л; В) УжалФ — V3 + g* Ушли = ”2’ Fi«* =	3	' У»мм “
5
46.16. а) не существует; у„ = б) не существует; y^ = -1;
») tf—» = 0; jf„B„ не существует; г) не существует; y^n. = 0.
331
v3
46.17. a) ifaa = -0; J,™ не существует; б) y^ = y^ = -2; в) y^ = -2; a
Утт не существует; г) у^ = 3,5; у„г- не существует. 46.18. а) у^ = 0;
5
У»им = “27; б) = 0; у^и = -4; в) Уяш» = 50; Ушпш = 0,875; г) Уншд — g*
5
Умим = ” 8* ^*19* а) Уии»= ^1» Sfa™ = 5; б) Утм ж 71; Уям^ 3 ^10; в) Ум* —18,25;
Ун*им = 17; г) Уной « 612* У*™ = “11^* 46.20. а) и б) у^м = 6; Умн» = ~От25;
в) Уншв = 72; Уивк 16; г) умн 135;	= 27. 46,21. а) Ушшо = 21;
40	г	3
Унии = “27* 6) Ря»*л = 1Ф Ушшм = 5 — 4v2. 46,22, а) Уяи^ = 8; у^ц» = I’jl
-J2
б)Увмб= 17; Уши = “3* 46.23, а) Уипб= 1; Ушш = “! б) Умяв = У™о*= “!•
Зх/З	1
46*24, а) у^б = 0; у™ = —g-; б) у^ - 1; у^ - - g* 46^5. а) у^ = 2;
Унт не существует; б) у^ - ут = 0; в) у^ не существует; у^ = -2;
г) у_ = 0: у_„ = -|. 46.26. а) -5; 6) -9, в; г) -8, 4. 46.27. а) 5,5; б) 1;
2
в) 5; г) 4. 46.28. а) 7; б) -0,1; в) 3; г) 3- 46.29. а) 4; б) -1,5; в) -2; г) -2.
К i—
46.30. а) Ут№& = 5; Уныш = 0; б) Уняв = ^rv2; у^им = 0; в) у»нб = 4;
&
Учат “ 0; г) Уныл — 3,5^^! У»™ =	46.31, а) Уйм» нс существует; Ум^м = 0;
б) ущио не существует; = 1; в) у™* не существует; = 0; г) у^ не су-шествует; у^ =	46.32. а) 2; б) 1. 46.33. а) 3; б) 3. 46.34. а) -4;
&
б) -0,25; в) 9; г) -16.46.35. а)
[ЯП Г 1 3"
|1; б)[-2: 2]“м-ав-а)
б) (-a? ^|. 46.37. [-3; -1]. 46.38. а) 9; б) 15. 46.39. а) п =
б) п = 4 - а/3. 46.41. а) 12; 12; б) 22; 22. 46.42. а) -5; 5; б) -49; 49.
1 я
46.43. а) -18; 18; б) -14; 14.46.44. а) 2; 1; 6) 1|; 8|. 46Л5. а) 14 см; 14 см;
б) 18 см, 18 см. 46.48. а) 50 м х 50 м; б) 60 м х 60 м. 46.47. а) 4 см х 4 см;
б) 8 см х 8 см. 46.48. а) 50 м х 50 м. 46.49. 32 см2. 46.50. а) 0,8;
б) -4. 46.51. а) 2; б) 1. 46.52. а) (1; 1); (-1; 1); б) (4; 2). 46.53. 80 см. 46.54. а) 6000; б) 108. 46.55. а) 21; б) 32,4. 46.56. Tab. 46.57. 3 ч 44 мин.
332
46.58.4 дм, 4 дм, 2 дм. 46.59.7 м, 7 м, 7 м. 46.60. 4^5м, $5м, м.
D
46.61.	46.62.	46.63.	46.64.
о	о	о	т М
9 47
47.1. а) 42; б) 20; в) 24; г) 14. 47.2. «) 42; б) 7; в) 24; г) 20.47.3. •) 100; б) 90; в) 180; г) 90. 47.4. а) 108; б) 54; в) 84; г) 324. 47.5. а) 100000; б) 32 768; в) 32; г) 8192. 47.6. а) 512; б) 64; в) 16; г) 192. 47.7. б) 3; в) 6: г) Эшкин будет в 4 вариантах. 47.8. б) 4.47.9. б) 1; в) 3. 47.10. б) 8; в) 3.
1	5
47.11. а) 54; б) 5184; в) у; г)yg. 47.12. а) 1; б) 0. 47.13. а) 2; б) 3; в) 6; г) 24.47.14. а) 8; б) 15; в) 6; г) 13.47.16. а) 7; б) 4; в) 7; г) 3.47.17. а) п > 3; б) п > 4. 47.18. а); б); в); г) Начиная с указанного номера п, левая часть растет быстрее правой части. 47.20. а) 120; б) 288; в) 432; г) 72.47.2L а) (61)®; б) (5!)®; в) (61)*; г) (6 5 4 3)*. 47.22. а) 120; б) 14 400; в) 720; г) 2880. 47.23. а) 7!; б) 61; в) 71 С? = 176 400; г) 7! Су С? = 529 200. 47.24. а)5! 4! 31 • 17 280; б) 17280; в) (5 4 3) 4! 3! = 8640; г) 2 177 280.
S48
48.1. а) 12; б) 13; в) 12; г) 15. 48.2. a)	б)	в) л - 2;
г) (n ~	~ 3). 4&3. а) ЦО; б) 56; в) 82; г) 55; 28. 48.4. а) 100; б) 10;
в) 94; г) 18. 48Л. Упростите выражение: a)	——; q
48.9. а) < СЙ,; б) < С&; в) С?» < С?в; г) с] CL при л > 7, с£ = C£i при л = 7. 48.10. а) 8; б) 6; в) 7; г) 4. 48.11. а) х = 9 или х = 10; б) х = 11. 48.12. а) 8; б) 27; в) 31; г) 7. 48.13. а) 15; б) 5; в) 8; г) 12. 48.14. а) 210; б) 35; в) 15; г) 100. 48.15. а) 32760; б) 792; в) 120; г) 240. 48.16. а) 376 992; б) 32; в) 126; г) 504. 48.17. а) 14 112; б) 10 976; в) 7056; г) 280. 48.18. а) у = 6(х* 8); в) 8; г) 54. 48.19. а) у = 6х(х - 1); в) 10; г) 33. 48.20. а) у = 24 [ 1 ^-= | — монотонно возрастает; в) 23; г) 24.
I	J
48.21. а) 7; б) 8; в) 12; г) 3. 48.23. а) 8; б) 16; в) 128. 48.25. а) 108; б) -720; в) 8; г)-|. 48.26. а) 10х*; б) 120х«; в) 210х-*; г) 252. 48.27. а) 60; б) 5; в) 61236; г) 24 310.4838. а) 10; б) 252; в) один; г) 9; 126; два. 48Л9. а) Л = 2
338
МГ>1 Ч J “
или k = 3; б)8; в) ft = 30 или k = 31; г) 500.48.30. б) 999001; в)9802; г) ука-
„	1 (l-K
зание: найти номер, начиная с которого ^"11 + §49
49.1. а) 0,2; б) 0,077; в) 0,088; г) 0,966. 49.2. а) 0,244; б) 0,067; в) 0,044; г) 0,088. 49.3. а) 0,989; б) 0,01; в) 0,0026; г) 0,044. 49.4. а) 0,25; б) 0,25; в) 0,107; г) 0,321. 49А а) 0,36; б) 0,52; в) 0,04; г) 0,56. 49.6. а) 0,1; б) 0,7; в) 0,15; г) 0,75. 49.7. а) 0,04; 6) 0,92; в) 0,86; г) 0,6. 49.8. а) 0,888; б) 0,833; в) 0,167; г) 0,222. 49.9. а) 10; б) 8; в) 12; г) 29. 49.10. а) 20; б) 24; в) 6; г) 48. 49.11. а) 200; б) 162; в) 100; г) 99. 49.12. а) 4; б) 8; в) 4; г) 8. 49.13. а) Это событие В; б) есть ученик, сдавший экзамен, но есть и ученик, не сдавший экзамен; в) это событие В; г) это событие В. 49.14. а) Все трое не сдали экзамен; 6) или все трое сдали экзамен, или все трое не сдали экзамен; в) никто не сдал экзамен; г) ни один ученик не сдал экзамен. 49.15. а) Это цифра 8; б) это цифра 9; в) это цифра 9; г) невозможное событие. 49.17. а) 0,119; б) 0,476; в) 0,476; г) 0,952. 49.18. а) 1)» 6) указание: постройте график функции из а); в) 0,375; г) 9.
49.19.									9
л	1	2	3	4	5	6	7	8	
	5 9	5 9	5 14	10 63	5 126	0	0	0	0
49.20.
п	0	1	2	3	4	5	6
	0	1 3	8 15	3 5	8 15	1. 3	0
49.21. а) 0,051; б) 0,338; в) 0,662; г) 0,974. 49.22. а)
б) указание: исследуйте функцию из а) на монотонность; в) 0,8125; г) 6. 49.23. а) 0,125; б) 0,125; в) 0,375; г) 0,875.49.24. а) 0,0625; б) 0,0625; в) 0,25; г) 0, 9375. 49.25. а) 1 - 2 *; б) возрастает; в) 1; г) 10. 49.26. а) 0,729;
б) 0,271; в) 0,125; г) 0,875. 49.27. л) 1 - 0,9"; б) возрастает; в) 1; г) 7.
49.28. а) 0,808; б) 0,211; в) (ЦГ (Ж г) 0.
49.29. а) О.О^ОД; б) 0;
5)
л	1	2	3	4	5	6	7
₽(л)	од	0,09	0,081	0,0729	0,06561	0,059049	0,0581441
г) 1. 49.30. а) 0,5; б) 0,8; в) 0,6; г) 0,1.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие для учителя	3
Задачи на повторение	5
глава 1. Действительные числя
§	1.	Натуральные и целые числа	12
§	2.	Рациональные числа	18
§	3.	Иррациональные числа	20
§	4.	Множество действительных чисел	23
§	5.	Модуль действительного числа	27
§	6.	Метод математической индукции	32
ГЛАВА 2. числовые функции
§ 7.	Определение числовой функции и способы ее задания 38
§ 8.	Свойства функций	46
§ 9.	Периодические функции	55
§ 10.	Обратная функция	61
глава з. тригонометрические функции
§ 11.	Числовая окружность	69
§12.	Числовая окружность на координатной плоскости	74
§13.	Синус и косинус. Тангенс и котангенс	77
§ 14.	Тригонометрические функции числового аргумента	83
§15.	Тригонометрические функции углового аргумента	88
§ 16.	Функции у = sin х, у = сое х, их свойства и графики	90
§ 17.	Построение графика функции у = mf(x)	100
§ 18.	Построение графика функции у = f(kx)	105
§19.	График гармонического колебания	108
§ 20.	Функции у = tg х, у = ctg х, их свойства и графики	112
§ 21.	Обратные тригонометрические функции	115
глава 4. Тригонометрические уравнения
§ 22.	Простейшие тригонометрические уравнения
и неравенства	124
§ 23.	Методы решения тригонометрических уравнений 132
глава 5. Преобразование тригонометрических выражений
§ 24.	Синус и косинус суммы и разности аргументов 137
§ 25.	Тангенс суммы и разности аргументов	144
§ 26.	Формулы приведения	147
§27.	Формулы двойного аргумента.
Формулы понижения степени.........................152
335
§ 28.	Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение	161
§ 29.	Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму	165
§ 30.	Преобразование выражения A sin х + В сов х к виду
С sin (х + t)	169
§31.	Методы решения тригонометрических уравнений (продолжение)	172
глава б. Комплексные числа § 32. Комплексные числа и арифметические операции над ними	176
§ 33.	Комплексные числа и координатная плоскость	180
§ 34.	Тригонометрическая форма записи комплексного числа 184 § 35. Комплексные числа и квадратные уравнения	190
§ 36.	Возведение комплексного числа в степень.
Извлечение кубического корня из комплексного числа 193
ГЛАВА 7. производная
§ 37.	Числовые последовательности	197
§ 38.	Предел числовой последовательности	206
§ 39.	Предел функции	211
§ 40.	Определение производной	221
§41.	Вычисление производных	224
§ 42.	Дифференцирование сложной функции.
Дифференцирование обратной функции	233
§ 43.	Уравнение касательной к графику	функции	238
§ 44.	Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы	250
§ 45.	Построение графиков функций	264
§ 46.	Применение производной для отыскания наибольших и наименьших значений величин	266
ГЛАВА 8. Комбинаторика и вероятность §47. Правило умножения. Перестановки	и факториалы	274
§ 48.	Выбор нескольких элементов.
Биномиальные коэффициенты	278
§ 49.	Случайные события и их вероятности	288
Ответы ..............................................289