/
Text
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ЛОГИКА
И ОСНОВАНИЯ
МАТЕМАТИКИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1970
РЕКУРСИВНЫЙ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Р. Л. ГУДСТЕЙН
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
А. О. СЛИСЕНКО
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Г. Е. МИНЦА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА>
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1970
Б17.2
Г 93
УДК 164
Рейбен Луис Гудстейн
РЕКУРСИВНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
(Серия: «Математическая логика и основания
математики»)
М., 1970 г. 472 стр.
Редактор В, В» Донченко
Техн, редактор Л. А. Пыжова
Корректор Н. Д, Дорохова
Сдано в набор 19/VII 1969 г. Подписано к печати 3/1V 1970 г.
Бумага 84Х108’/32- Физ. печ. л. 14,75.
Условн. печ. л. 24,78. Уч.-изд. л. 21,45. Тираж 8000 экз.
Цена книги 1 р. 78 к. Заказ № 267.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография №2
имени Евгении Соколовой Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Измайловский проспект, 29.
2-2-3
209-69
ОГЛАВЛЕНИЕ
Вступительная статья. О рекурсивном математическом
анализе и исчислении арифметических равенств Р. Л. Гуд-
стейна (Н. А. Шанин) 7
т. Рекурсивная теория чисел 77
Предисловие 79
Введение 83
Глава I. Определение по рекурсии 96
Примеры к гл. I 109
Глава II. Исчисление равенств 111
Примеры к гл. II 136
Г л а в a III. Логические константы 140
Примеры к гл. III 165
Глава IV Основные теоремы арифметики 168
Примеры к гл. IV 183
Глава V. Формализация примитивно рекурсивной арифметики 185
Глава VI. Сведения к примитивной рекурсии 202
Глава VII. Устранение параметров 218
Глава VIII. Гёделевская нумерация и неполнота арифметики 227
Решение примеров 242
Библиографические замечания 261
Библиография 261
II. Рекурсивный анализ 263
Предисловие 265
Символы 266
Глава I. Рекурсивная сходимость 267
Глава II. Рекурсивная и относительная непрерывность 310
Глава III. Рекурсивная и относительная дифференцируемость 330
Глава IV Относительный интеграл 363
Глава V. Элементарные функции 372
Глава VI. Трансфинитные ординалы.....................383
6
ОГЛАВЛЕНИЕ
Добавление. Рекурсивная иррациональность трансцен-
дентность 401
Библиографические замечания 409
Библиография 410
III. Приложения 413
Приложение 1. Разрешимый фрагмент рекурсивной арифметики.
Р. Л. Г у д с т е й н. 414
Приложение 2. Конструктивистская теория плоских кривых
Р Л. Гудстейн. 419
Приложение 3. Формализация рекурсивной арифметики
X. Б. Карри. 437
Приложение 4. Эквивалентность некоторых формализаций при-
митивно рекурсивной арифметики. Ю. С. III е-
с т о в. 462
Указатель.................................................470
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
О рекурсивном математическом анализе и исчислении
арифметических равенств Р. Л. Гудстейна
Н. А. Ш а н и н
§ 1. В настоящее время интенсивно развивается кон-
структивное направление в математике, в частности,
конструктивный математический анализ. Р. Л. Гудстейн
является автором весьма интересного и своеобразного
подхода к построению некоторых фрагментов конструк-
тивного математического анализа. Этот подход суще-
ственно отличается (как по общему замыслу, так и по
характеру центральных понятий) от подходов, исполь-
зованных другими математиками; он тесно связан с вве-
денным Гудстейном исчислением равенств,
представляющим собой аксиоматический фрагмент тео-
рии рекурсивных арифметических функций, обладающий
рядом важных достоинств. Аксиомы исчисления равенств
и выводимые в этом исчислении объекты представляют
собой формулы вида 1\ = Т2, где 1\ и Т2— функцио-
нальные выражения (термы), составляемые обычным
способом из натуральных чисел, предметных перемен-
ных (допустимыми значениями которых считаются на-
туральные числа) и знаков примитивно рекурсивных
функций*). При этом, если аь ап — список всех
*) Примитивно рекурсивные функции (сокращенное название —
п. р. функции) представляют собой алгорифмически определяемые
арифметические функции одного частного, но (как было выяснено
еще в первой трети текущего столетия) весьма важного и доста-
точного для очень многих целей типа.
В этом параграфе функциональные выражения (термы) указан-
ного выше типа называются примитивно рекурсивными термами (п. р.
термами), а формулы вида 7\ — Т2, где Т\ и Т2— п. р. термы, назы-
ваются примитивно рекурсивными равенствами (п. р. равенствами).
8
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
предметных переменных, входящих в формулу Т\ — T2i
то эта формула воспринимается как утверждение: «При
любом ой» , при любом ап верно равенство Т\ = Т2».
Можно провести рассуждение, опирающееся на фор-
мирующиеся в опыте обобщенные представления о
натуральных числах и о процессах вычисления значений
рекурсивных функций, результатом которого является
заключение: любая формула, выводимая в исчислении
равенств, представляет собой равенство, верное при
любых значениях входящих в него предметных перемен-
ных. Далее, несмотря на отсутствие в языке исчисления
равенств логических связок (логическая связка «при
любом» подразумевается, но явно в язык исчисления не
вводится), это исчисление оказывается достаточным для
многих целей; в частности, в него может быть ,,вложен”
ряд разделов элементарной теории натуральных чисел
и на его основе (с привлечением понятия «вывод издан-
ных равенств при фиксации данных переменных») мо-
жет быть построен обширный фрагмент оригинально
задуманного варианта конструктивного математического
анализа *).
Основу этой книги составляют две монографии
Р Л. Гудстейна: «Рекурсивная теория чисел» и «Рекур-
сивный анализ» (в дальнейшем изложении используются
их сокращенные наименования — РТЧ и соответственно
РА). Монография РТЧ содержит систематическое и об-
стоятельное описание и исследование построенного Гуд-
стейном исчисления п. р. равенств **) и некоторых моди-
фикаций этого исчисления; в ней описываются и изу-
чаются также некоторые „надстройки” над исчислением
равенств, использующие определенные расширения язы-
ка исчисления равенств и допускающие „переводы** в
исчисление равенств; излагаются и некоторые тради-
*) В тексте этой статьи кавычки вида « » используются для вы-
деления некоторых терминов и оборотов речи, примененных в их пря-
мом смысле, а также для выделения цитируемых текстов и названий.
Кавычки вида „ “ используются для выделения терминов и оборо-
тов речи, примененных в данном месте в переносном смысле.
**) В значительной части текста монографии РТЧ речь факти-
чески идет не только об исчислении п. р. равенств, но также и об
аналогичных исчислениях равенств для рекурсивно определяемых
функций некоторых более общих типов, чем п. р. функции.
О РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 9
ционные разделы теории рекурсивных функций, а также
некоторые разделы элементарной теории чисел, допу-
скающие „вложение0 в исчисление равенств. В моногра-
фии РТЧ устанавливается также, что теорема о непол-
ноте аксиоматизаций арифметики, доказанная К. Гёде-
лем для традиционной аксиоматизации арифметики и ее
расширений, переносится и на исчисление равенств и его
расширения. Монография РА суммирует основные ре-
зультаты ее автора в области рекурсивного анализа
(этим термином Гудстейн называет разрабатываемый
им вариант конструктивного математического анализа).
Эта книга содержит также: (а) две работы Р. Л. Гуд-
стейна (см. Приложение 1 и Приложение 2), тесно свя-
занные по содержанию соответственно с РТЧ и РА,
(б) работу X. Б. Карри «Формализация рекурсивной
арифметики» (см. Приложение 3; в дальнейшем изло-
жении используется сокращенное наименование этой ра-
боты— ФРА), посвященную описанию и исследованию
иного, чем у Гудстейна, исчисления равенств, и (в) тес-
но связанную с РТЧ и ФРА работу Ю. С. Шестова (см.
Приложение 4), посвященную „прямому" доказатель-
ству равнообъемности (эквивалентности) исчислений
п. р. равенств, построенных Карри и Гудстейном *).
Весь материал, содержащийся в книге (кроме не-
скольких небольших „вкраплений0), принадлежит кон-
структивному направлению в математике (конструктив-
ной математике). Монографии Гудстейна и работа Кар-
ри, включенные в эту книгу, написаны так, что для их
понимания не требуются какие-либо специальные зна-
ния в области конструктивной математики. Однако чи-
татели, для которых эта книга окажется первым серьез-
ным источником знаний о конструктивном направлении
в математике, могут встретиться с затруднениями, обус-
ловленными как отсутствием общей ориентировки в
*) Ранее было известно об эквивалентности упомянутых исчи-
слений лишь на основании установленной Карри и Гудстейном экви-
валентности их исчислений определенному исчислению, построенному
для бескванторных логико-арифметических формул в монографии
Д. Гильберта и П. Бернайса [5]. В статье Ю. С. Шестова
устанавливается „прямая0 связь между выводами в исчислении Кар-
ри и выводами в исчислении Гудстейна.
10
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
принципиальных особенностях конструктивной матема-
тики, так и характером изложения в книге некоторых
фрагментов и деталей. В расчете прежде всего на таких
читателей и написана эта вступительная статья.
* * *
Язык, состоящий лишь из п. р. равенств, может пока-
заться слишком „бедным44. Однако в результате иссле-
дований Т. Сколема и К. Гёделя (см. [19] и [2]) выясни-
лось, что любая формула значительно более „богатого44
логико-арифметического языка, называемого в этом па-
раграфе языком арифметики Сколема (сокращенно —
ЯАС), может быть истолкована (на основе того отчет-
ливо характеризуемого понимания фигурирующих в ЯАС
логических символов, которое используется в математи-
ческих теориях с конечной областью объектов изуче-
ния) как специального вида запись некоторого п. р. ра-
венства. Логическими символами ЯАС являются про-
позициональные логические знаки V, (чи-
таемые соответственно «не», «и», «или», «если..., то»,
«тогда и только тогда, когда») и два составных знака —
ограниченные кванторные комплексы AJ и (читаемые
соответственно «при любом а, не превосходящем Т» и
«существует а, не превосходящее Г»)*), где а — какая-
либо предметная переменная нТ — какой-либо п. р. терм,
не содержащий а. Простейшими (атомарными) форму-
лами этого языка являются знакосочетания видов
(Л = Т2), (Т}^Т2), (Т1<Г2), (Л<Т2), где и Т2-
*) Выше воспроизведены логические символы, использованные
Гудстейном в РТЧ. В языке исчисления предикатов первой ступени
и в традиционных логико-арифметических языках кванторным комп-
лексом называется любое знакосочетание вида Qa, где а — какая-
либо предметная переменная и Q — квантор общности (знак А, чи-
таемый «при любом») или квантор существования (знак Е, читае-
мый «существует»). Такие кванторные комплексы иногда называют
(чтобы подчеркнуть их отличие от ограниченных кванторных ком-
плексов) неограниченными кванторными комплексами. В значитель-
ной части современной математической и логической литературы
в качестве кванторов используются не буквы А и Е (как в сим-
волике Гудстейна), а соответственно знаки V и 3 В тексте этой
вступительной статьи в качестве кванторов будут использоваться
знаки у и 3.
О РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕИНА Ц
п. р. термы; формулой этого языка называется, во-пер-
вых, любая атомарная формула и, во-вторых, любое
знакосочетание, которое может быть получено из ато-
марных формул при помощи перечисленных логических
символов по таким же правилам построения, по каким
формулы языка исчисления предикатов первой ступени
и формулы традиционных логико-арифметических язы-
ков *) строятся из простейших (атомарных) формул этих
языков, но с использованием в роли неограниченных
кванторных комплексов (являющихся логическими сим-
волами упомянутых языков) ограниченных квантор-
ных комплексов. Вхождения предметных переменных в
формулы ЯАС таким же способом, как в только что упо-
мянутых языках, классифицируются на связанные и сйо-
бодные**). Если F—какая-либо формула ЯАС и ои,
..., ап — список всех предметных переменных, имеющих
хотя бы одно свободное вхождение в F, то F предста-
вляет собой запись определенного условия с перемен-
ными ой, ап. Однако эту формулу можно рассмат-
*) Правила построения формул всех упомянутых сейчас язы-
ков существенно отличаются друг от друга лишь в исходном пункте,
характеризующем простейшие формулы (см. [9], §§ 17, 18,31; [3], § 3).
**) Применяя термин «язык арифметики Сколема», я имею в
виду логико-арифметический язык, построенный по образцу таких
традиционных логико-арифметических языков, в которых фигури-
руют предметные переменные для натуральных чисел (т. е. пере-
менные, допустимыми значениями которых считаются натуральные
числа) только одного рода, и вхождения этих переменных в
формулы классифицируются на связанные и свободные (см., на-
пример, [9], § 17 и § 18). У ЯАС имеется „близнец", построенный
по образцу таких традиционных логико-арифметических языков, в
которых фигурируют предметные переменные (для натуральных чи-
сел) двух родов: связанные предметные переменные и свободные
предметные переменные (см., например, [3], § 3); в языках этого
типа определение понятия «формула» сложнее, чем в языках пер-
вого типа. В разделе 3.6 монографии РТЧ описывается (к сожале-
нию, без достаточно пунктуальных определений), по-видимому,
именно „близнец" ЯАС (говоря точнее, „близнец" того расширения
ЯАС, о котором говорится ниже в подстрочном примечании на
стр. 14); однако это описание сопровождается замечанием, из кото-
рого следует, что фактически будет использоваться язык первого
типа. Логико-арифметические языки первого типа по своей струк-
туре ближе к „разговорному математическому языку", чем языки
второго типа. В этой вступительной статье фигурируют лишь логико-
арифметические языки первого типа.
12
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
ривать и как запись определенного утверждения, а имен-
но утверждения «при любом ось •••, при любом ап вер-
но F». Таким образом, ЯАС предоставляет довольно ши-
рокие возможности для записи арифметических утвер-
ждений.
Т. Сколем в работе [19], оказавшейся основополагаю-
щей для принципиально нового круга идей в области
исследований оснований математики и для разработки
принципиально новых методов построения математиче-
ских теорий*), выяснил, что многие арифметические
определения и утверждения, формулируемые обычно по-
средством языка, использующего неограниченные кван-
торные комплексы, могут быть переформулированы на
языке, названном выше языком арифметики Сколема
(ЯАС). При этом Сколем выяснил, что новые формули-
ровки рассмотренных им утверждений могут быть обос-
нованы посредством «рекурсивного способа мышления».
Сколем не уточнил, какой смысл он вкладывает в по-
следний термин, но пояснил это на многих примерах. Из
этих примеров видно, что характерными чертами «рекур-
сивного способа мышления» он считает, в частности,
использование для определения арифметических функ-
ций метода рекурсивных определений в сочетании с
методом явных определений **) и использование для
определения новых арифметических предикатов (т. е. по-
нятий и отношений) также метода рекурсивных опреде-
лений в сочетании с общеупотребительным способом
использования для этой же цели простейшего арифмети-
ческого предиката «равенство» и пропозициональных ло-
гических знаков. Сколем установил возможность исклю-
чения ограниченных кванторных комплексов посредством
рекурсивных определений предикатов. В результате
*) Название работы [19] начинается словами, формулирующими
целую программу: «Обоснование элементарной арифметики посред-
ством рекурсивного способа мышления...». Эта работа Сколема
была выражением его реакции на обнаруженные к тому времени
парадоксы теоретико-множественного способа математического
мышления.
**) Арифметические функции, получаемые из алгорифмически
определенных функций в результате комбинирования определений
этих типов, представляют собой алгорифмически определенные
функции.
О РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧЦСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 13
исключения ограниченных кванторных комплексов из
логико-арифметической формулы, не содержащей неогра-
ниченных кванторных комплексов, получается бескван-
торная формула, т. е. формула, составленная из
рекурсивно определенных арифметических предикатов
при помощи лишь пропозициональных знаков (но содер-
жащая, вообще говоря, предметные переменные). Среди
логических средств, использованных Сколемом для обос-
нования бескванторных формул (истолковываемых ука-
занным выше способом как записи утверждений), фигу-
рируют, в частности, классическое исчисление высказы-
ваний, правило подстановки термов вместо предметных
переменных и метод математической индукции (в ва-
рианте, соответствующем бескванторным формулам).
В [19] на обширном конкретном материале было осу-
ществлено значительное развитие метода рекурсивных
определений арифметических функций и арифметических
предикатов*). Дальнейшее развитие метод рекурсивных
определений арифметических функций получил в рабо-
тах Д. Гильберта [4], В. Аккермана, К. Гёделя, Р Пе-
тер, Ж. Эрбрана, С. К. Клини и многих других авторов.
Важный этап в развитии этого метода и теории ре-
курсивно определяемых арифметических функций связан
с именем К. Гёделя. В частности, в его работе [2]: 1) было
введено общеупотребительное в настоящее время поня-
тие примитивно рекурсивной функции **) (подготовлен-
ное в значительной степени работами Р. Дедекинда и
Т. Сколема); 2) было установлено, что использованные
Сколемом рекурсивные определения арифметических
предикатов (в частности, те определения, посредством
которых Сколем исключал ограниченные кванторные
комплексы) могут быть заменены определениями подхо-
дящих примитивно рекурсивных функций и что любая
*) Рекурсивные (рекуррентные) определения конкретных ариф-
метических функций используются в математике очень давно; при-
мерами могут служить определения арифметической и геометриче-
ской прогрессий. Изучение возможностей, предоставляемых методом
рекурсивных определений функций при исследованиях оснований
математики, было начато Р. Дедекиндом.
**) В работе [2] К. Гёдель связал с введенным им понятием
термин «рекурсивная функция», применяемый в настоящее время
в значительно более широком смысле.
14
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
формула ЯАС может быть „расшифрована" в виде не-
которого равенства, имеющего форму 7 = 0, где Т — при-
митивно рекурсивный терм*)\ 3) значительно расширен
набор существенных конкретных примеров арифметиче-
ских определений и утверждений, естественным образом
записываемых на ЯАС или на том расширении ЯАС, ко-
торое упомянуто в последнем подстрочном примечании.
В монографии Д. Гильберта и П. Бернайса
[5] для бескванторных формул ЯАС (т. е. для формул,
которые могут быть построены из п. р. равенств при по-
мощи пропозициональных логических знаков) была по-
строена аксиоматическая теория **), достаточная, в част-
ности, для построения выводов „переводов1* в бескван-
торную форму всех рассмотренных Сколемом и многих
других арифметических утверждений. Эта теория вклю-
чает в себя, в частности, все перечисленные выше логи-
ческие средства, использованные Сколемом. Дедуктив-
ные средства этой теории достаточны для того, чтобы
для любой бескванторной формулы Н рассматриваемого
языка вывести формулу = 0), где (Т = 0) — то
*) Последнее утверждение фактически обосновано Гёделем для
языка, представляющего собой определенное расширение ЯАС — та-
кое расширение, в котором в той же роли, в какой в ЯАС фигу-
рируют п. р. термы, могут фигурировать как п. р. термы, так и тер-
мы более сложного типа. В этом языке термы и формулы харак-
теризуются посредством единого определения, в котором наряду с
правилами построения термов и формул, заимствуемыми из ЯАС,
фигурирует еще следующее правило: если F— формула, Т — терм и
а — предметная переменная, не входящая в Т, то выражение LjF
считается термом (это выражение читается так: «наименьшее из
тех натуральных чисел а, которые удовлетворяют условию Г и не
превосходят Г, если такие числа существуют, и 0 в противополож-
ном случае»). При классификации вхождений предметных пе-
ременных в формулы на связанные и свободные выражение Lq рас-
сматривается на тех же правах, как и ограниченные кванторные
комплексы. Если F—формула только что описанного языка, то, как
установил Гёдель, выражение Lj F может быть „расшифровано**
в виде некоторого п. р. терма. Операция Lj полноценно заменяет
аналогичную, но не всегда определенную операцию, упоминаемую
Сколемом в [19], — она полностью соответствует „примитивно ре-
курсивному характеру** ЯАС.
**) В другой терминологии — логико-математическое исчисление.
О РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 15
п. р. равенство, которое является „расшифровкой*' фор-
мулы Н.
Новый важный шаг в исследовании и преобразова-
нии логических основ теории п. р. функций был сделан
X. Б. Карри и Р.Л. Гудстейном. В 1940 году Карри пред-
ставил в печать работу ФРА (опубликованную в 1941 го-
ду), в которой построено и исследовано весьма инте-
ресное исчисление равенств — аксиоматическая теория,
в которой аксиомы и выводимые объекты представляют
собой п. р. равенства (содержащие, вообще говоря, пред-
метные переменные). Он доказал, что любое п. р. равен-
ство, выводимое в его исчислении, выводимо и в бес-
кванторном исчислении Гильберта и Бернайса и что
„расшифровки" (в видеп. р. равенств) всех аксиом исчис-
ления Гильберта и Бернайса выводимы в его исчислении,
а „расшифровки" всех правил вывода исчисления Гиль-
берта и Бернайса являются допустимыми в его исчисле-
нии правилами вывода. В 1941 году Гудстейн представил
в печать работу [6] (опубликованную в 1945 году), в ко-
торой построено исчисление равенств, существенно от-
личающееся по своему типу от исчисления Карри. Гуд-
стейн доказал в этой работе (ссылаясь на некоторые
результаты Бернайса и Сколема), что его исчисление
обладает всеми упомянутыми свойствами исчисления
Карри. Следовательно, исчисления п. р. равенств, по-
строенные Карри и Гудстейном, равнообъемны (эквива-
лентны).
Выводы в исчислении Гудстейна представляют собой
списки п. р. равенств, в которых каждый член или яв-
ляется аксиомой исчисления, или получается из одного
или нескольких предшествующих ему членов списка по
одному из правил вывода. В исчислении Карри понятие
вывода существенно сложнее, оно опирается на вспомо-
гательные выводы из допущений методом
индукции. При естественной интерпретации вспомога-
тельных выводов при помощи понятия секвенции, введен-
ного Генценом (см. [3]), можно придать выводам в ис-
числении Карри такую же форму, как в исчислении
Гудстейна. Однако выводы в этом новом смысле бу-
дут представлять собой списки секвенций, т. е. п о су-
ществу списки утверждений, в которых под иным
16
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
названием фигурирует (вообще говоря) логическая связ-
ка «если..., то». С этой точки зрения исчисление равенств
Гудстейна имеет ощутимое преимущество перед исчис-
лением равенств Карри.
В монографии РТЧ Гудстейн развил в значительном
объеме теорию построенного им исчисления равенств.
В частности, он доказал, что при рассмотрении формул
ЯАС как нерасшифрованных записей некоторых п. р. ра-
венств оказывается допустимым в его исчислении ра-
венств не только весь аппарат логического вывода клас-
сического исчисления высказываний, дополненный пра-
вилом подстановки термов вместо свободных вхождений
предметных переменных и правилом индукции, но допу-
стима и естественная модификация применительно к
ограниченным кванторным комплексам всего аппарата
логического вывода классического исчисления предика-
тов первой ступени*). Конкретный материал, имеющий-
ся в РТЧ, свидетельствует о хорошей приспособленности
построенного Гудстейном исчисления п. р. равенств для
роли отчетливо обоснованного и весьма простого по
своей структуре логико-математического фундамента
ряда разделов теории натуральных чисел. Вопрос о том,
как далеко можно продвинуться „вглубь" теории чисел,
оставаясь по существу в рамках этого исчисления
(т. е. используя для логических выводов лишь такие
языковые и формально-дедуктивные расширения исчис-
ления п. р. равенств, которые оказываются эквивалент-
ными этому исчислению), еще ждет своих исследова-
телей.
Исчисление равенств в определенном смысле (более
широком, чем тот, который имеется в виду в предыду-
щей фразе) является фундаментом разрабатываемого
Гудстейном варианта конструктивного математического
анализа; этот вариант Гудстейн называет рекурсивным
математическим анализом. Изложению определенной ча-
*) Для языка, описанного в подстрочном примечании на стр. 14,
Гудстейн указывает ряд дополнительных выводимых формул и до-
пустимых правил вывода, связанных с операцией ограниченного
поиска наименьшего натурального числа, удовлетворяющего данно-
му условию.
О РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 17
сти рекурсивного математического анализа посвящена
монография РА.
§ 2. Из истории науки известно, что традиционный
(классический) математический анализ длительное вре-
мя разрабатывался на весьма неотчетливой логической
базе. Несмотря на это и несмотря на возникавшие иногда
парадоксы, созданные математические аппараты в це-
лом оказались весьма „работоспособными"— они дали
возможность решить огромное количество проблем ме-
ханики, физики и астрономии и привели к колоссальному
прогрессу в разработке теоретических основ этих наук.
Это обстоятельство оттеснило на задний план вопросы,
связанные с уточнением основных понятий и логической
базы в целом, — в центре внимания оказались разно-
образные соотношения, выражаемые посредством фор-
мул, и применения этих соотношений в естествознании
и в задачах прикладного характера. Однако с течением
времени вопрос об уточнении основных понятий и дока-
зательств теорем начал привлекать значительное внима-
ние математиков. Это внимание стимулировалось не
только свойственным математикам стремлением к воз-
можно большей отчетливости, но и конкретными затруд-
нениями и недоразумениями, возникавшими в матема-
тическом анализе (например, при оперировании с беско-
нечными рядами). В результате обострения внимания к
логической базе математического анализа эта база про-
шла ряд уточнений и преобразований (главным образом
в трудах Коши, Больцано, Вейерштрасса, Дедекинда и
Кантора).
Опубликованные в конце XIX столетия работы
Г Кантора и Р. Дедекинда по теории множеств и тео-
рии вещественных чисел (а также работа Ш. Мерэ, в
которой сформулировано такое же определение понятия
вещественного числа, какое несколько позже было сфор-
мулировано Кантором *)) завершили в главных чертах
*) Мерэ и Кантор в основу понятия вещественного числа поло-
жили понятие фундаментальной (т. е. удовлетворяющей условию
Коши) последовательности рациональных чисел; для таких последо-
вательностей вводится отношение равенства, и равные друг другу
фундаментальные последовательности рациональных чисел мысленно
объединяются в одно вещественное число.
18
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
создание той логической базы математического анализа,
которая (после некоторых уточнений) завоевала весьма
широкий круг сторонников и в настоящее время боль-
шинством математиков расценивается как удовлетвори-
тельная.
Основу этой логической базы математического ана-
лиза (и канторовской теории множеств в целом) состав-
ляют специфические акты воображения, в результате
которых в сознании математика возникают представле-
ния о бесконечных совокупностях одновременно суще-
ствующих объектов; математик, принимающий эту ло-
гическую базу, разрешает себе рассуждать о воображае-
мых бесконечных совокупностях в основном так же, как
о конечных совокупностях реальных предметов, исполь-
зуя навыки мышления, выработанные традиционной
(заимствовавшей исходные принципы у Аристотеля)
логикой.
В период, предшествовавший созданию теории мно-
жеств, математический анализ строился и излагался при
помощи понятий «переменная величина», «бесконечно
малая величина», «бесконечно большая величина» и т. п.,
причем с этими терминами обычно связывались пред-
ставления о некоторых процессах, т. е. представле-
ния, которые были близки к представлениям античных
математиков о «потенциальной бесконечности»*). Од-
нако вопрос о том, какие именно процессы имеются при
*) Известно, что уже античные математики различали «потен-
циальную бесконечность», связывая этот термин с процессами,
и «актуальную бесконечность», связывая этот термин с представле-
ниями о совокупностях одновременно существующих объектов.
Парадоксы Зенона (такие, как «Ахиллес и черепаха», «летящая
стрела», «бесконечная делимость» и др.), а также, конечно, отсут-
ствие в опыте людей примера бесконечной совокупности одновремен-
но существующих реальных предметов какого-либо отчет-
ливо охарактеризованного типа, склонили античных математиков к
отказу от использования в математике представлений об актуально
бесконечных совокупностях. Однако фактически отказ от этих пред-
ставлений был лишь частичным, так как использование античными
математиками некоторых логических принципов и средств (закона
исключенного третьего, рассуждений «от противного» при доказа-
тельствах существования „объектов" с определенными свойствами
и др.) представляло собой неосознанное апеллирование к этим пред-
ставлениям.
О РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 19
этом в виду, не получил отчетливого разъяснения — со-
ответствующие представления имели расплывчатый ха-
рактер. Переход к теоретико-множественному способу
математического мышления представлял собой переход к
таким идеализациям, которые вызывают в воображении
математика статические картины и освобождают от
необходимости оперировать с расплывчатыми представ-
лениями о некоторых процессах. Это обстоятельство
весьма импонировало многим математикам, в част-
ности, потому, что предоставляло возможность строить
математические теории, не отклоняясь от навыков
мышления, выработанных традиционной логикой, и вы-
зывало ощущение „строгости" определений и рассу-
ждений.
Известно, что в теории множеств на начальных эта-
пах ее развития были обнаружены парадоксы (логиче-
ские противоречия). Эти парадоксы вызвали у разных
математиков различные реакции. Некоторые математики
направили усилия на устранение обнаруженных пара-
доксов посредством уточнения допускаемых способов
введения понятий — им удалось создать такие аксиома-
тические построения теории множеств, в которых обна-
руженные к тому времени парадоксы не удавалось
воспроизвести. Совершенно иной характер имела реак-
ция А. Пуанкаре, Л. Э. Я. Брауэра, Г Вейля, Т. Ско-
лема и некоторых других математиков.
Брауэр подверг критике фундамент теории мно-
жеств — представления об актуально бесконечных мно-
жествах. Он возобновил дискуссии об этих представле-
ниях, начатые еще античными математиками. По мне-
нию Брауэра, представления об актуально бесконечных
множествах не соответствуют математической интуиции.
Конечно, если бы вся проблема сводилась к особенно-
стям человеческой интуиции, критика теории множеств,
предпринятая Брауэром и присоединившимся к нему
Г Вейлем*), не имела бы тех последствий, которые она
*) Г. Вейль до знакомства с работами Брауэра критиковал тео-
рию множеств с иной точки зрения — его критика касалась непре-
дикативных определений и не затрагивала способов рассуждений.
В дальнейшем он признал свою критику недостаточной и присоеди-
нился к точке зрения Брауэра.
20
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
фактически вызвала. В действительности же Брауэр и
Вейль привлекли внимание математиков к глубокому
разрыву между представлениями, лежащими в основе
теоретико-множественного способа математического мыш-
ления, и данными экспериментального исследования
природы. Возникшую в связи с этим методологическую
проблему Д. Гильберт характеризует следующим обра-
зом: «Раньше мы уже выяснили, что какие бы опыты и
наблюдения и какую бы отрасль науки мы ни рассма-
тривали, нигде в действительности мы не находим бес-
конечности. Должны ли мысли о вещах быть столь
непохожими на то, что происходит с вещами, должны ли
они сами по себе идти другим путем, совершенно в сто-
роне от действительности?»*). Ответом Гильберта на
этот вопрос было предложение ограничиваться рассуж-
дениями, не использующими представлений об актуаль-
но бесконечных множествах, в тех случаях, когда речь
идет о доказательстве непротиворечивости той или иной
формально-дедуктивной теории (при таком доказатель-
стве объектами рассмотрения являются знаковые кон-
фигурации— логико-математические формулы и списки
таких формул), и снять с обсуждения вопрос о смысле
самих теорем формально-дедуктивных теорий, кроме
теорем, имеющих очень простую логическую структуру
(например, имеющих вид равенства между двумя функ-
циональными выражениями, составленными на основе
алгорифмически определенных арифметических функ-
ций). По мнению Гильберта, теоремам, содержащим
неограниченные кванторы, отводится, вообще говоря,
роль «идеальных высказываний», вводимых «для того,
чтобы удержать формально простые законы обычной
аристотелевой логики» ([4]).
Брауэр (в отличие от Гильберта) на первый план
выдвигал вопрос о смысле математических теорем
и, считая неудовлетворительными разъяснения смысла,
*) См. [4]. В приведенной цитате (см. стр. 360 русского пере-
вода) Гильберт, применяя термин «бесконечность», имеет в виду
актуальную бесконечность. Этой цитате в работе Гильберта пред-
шествует анализ данных физики и астрономии, касающихся как
микроструктуры реального мира, так и строения Вселенной в целом.
О РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 21
апеллирующие к представлениям об актуально бесконеч-
ных множествах, предложил вариант математического
анализа, в основу которого была положена идея „стано-
вящейся" бесконечности. При этом он подчеркивал не-
допустимость механического заимствования принципов
и способов рассуждений, выработанных класической ло-
гикой. Вейль, излагая точку зрения Брауэра на класси-
ческую логику, писал следующее: «Согласно его взгля-
дам и пониманию истории, классическая логика была
абстрагирована от математики конечных множеств и их
подмножеств... Забывая об этом ограниченном происхо-
ждении, впоследствии эту логику приняли ошибочно за
нечто высшее и первичное по отношению ко всей
математике и в конце концов стали применять ее без
какого-либо оправдания к математике бесконечных мно-
жеств» ([1]).
Вейль, исходя из иных, чем Брауэр, идей, предложил
такой вариант математического анализа, в котором
язык теории строится в виде последовательности „сло-
ев", простейшими объектами изучения являются нату-
ральные и. рациональные числа, а объектами более
сложных типов являются условия с одной свободной
переменной («множества») и условия с несколькими сво-
бодными переменными («отношения» и «функции»), до-
пускающие запись в виде символических выражений
используемого языка; допустимыми значениями пере-
менных, фигурирующих в записи какого-либо условия
(или суждения), считаются некоторые символические
выражения, принадлежащие более низким „слоям" язы-
ка, чем тот „слой", которому принадлежит рассматри-
ваемое условие (суждение). Вейль разрабатывал этот
вариант математического анализа на основе классиче-
ской логики, которая не дает возможности учитывать
конструктивный характер символических выражений,
оказывающихся в его теории непосредственными объек-
тами изучения, и не предусматривает конструктивного
истолкования суждений и условий, формулируемых по-
средством использованного Вейлем языка.
Варианты математического анализа, предложенные
Брауэром и Вейлем, вызвали большой интерес. Однако
они обладали многими существенными недостатками и
22
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
не удовлетворили математиков*). В то же время, мно-
гие принципиальные идеи Брауэра и Вейля подготовили
почву для конструктивного математическо-
го анализа, их плодотворность в полной мере про-
явилась после того как в математике были выработаны
точное понятие алгорифма и точное поня-
тие порождаемого множества (точное
понятие исчисления). В результате введения этих
понятий сложились реальные предпосылки для разра-
ботки таких вариантов математического анализа (объ-
единяемых здесь общим наименованием «конструктив-
ный математический анализ»), в которых: 1) объектами
изучения являются знакосочетания некоторых типов
(примерами таких объектов могут служить натуральные
числа, рациональные числа, матрицы, составленные из
рациональных чисел, схемы алгорифмов, схемы поро-
ждаемых множеств и т. п.) **) и некоторые процессы
построения знакосочетаний, каждый из которых опреде-
ляется посредством некоторых знакосочетаний (приме-
рами могут служить процессы применения алгорифмов
к исходным данным — каждый такой процесс опреде-
ляется схемой алгорифма и исходным данным); 2) при
теоретическом рассмотрении знакосочетаний какого-либо
типа не допускается акт воображения, приводящий к
представлению об актуально бесконечном множестве
знакосочетаний, — эти объекты не рассматриваются как
одновременно существующие, они рассматриваются
*) См. введение к статье: Н. А. Шанин «Конструктивные ве-
щественные числа и конструктивные функциональные пространства»
([14]). Заметим, что некоторые варианты «интуиционистского матема-
тического анализа» Брауэра и «предикативного математического
анализа» Вейля рассматриваются в литературе и в настоящее вре-
мя. По мнению автора этой статьи, они в той же степени уязвимы
для критики, как и первоначальные варианты Брауэра и Вейля.
♦♦) Знакосочетания каждого конкретного типа характеризуются
посредством (а) списка конкретных знаков, из копий которых фор-
мируются знакосочетания рассматриваемого типа, (б) списка исход-
ных знакосочетаний, (в) списка правил построения (производящих
правил) и (г) условия, предназначенного для „выделения** некото-
рых знакосочетаний среди всевозможных знакосочетаний, характери-
зуемых посредством (а), (б) и (в); во многих случаях „выделяющее
условие*' отсутствует.
О РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 23
лишь как потенциально осуществимые;
3) понимание математических суждений о знакосочета-
ниях и процессах построения (прежде всего суждений
о существовании знакосочетаний, обладающих опреде-
ленными свойствами) основывается на способе опреде-
ления этих объектов, в частности, на том, что знакосо-
четания являются, вообще говоря, результатами осуще-
ствления процессов построения.
Еще одним существенным источником идей конструк-
тивной математики явилась упомянутая выше работа
Т. Сколема [19]. По общему замыслу она существенно
отличается от работ Брауэра и Вейля, хотя и близка
к ним в некоторых отношениях. Эта работа Сколема
явилась одним из результатов его поисков путей построе-
ния математических теорий, свободных от парадоксов
(в частности, от парадоксов, обнаруженных в перво-
начальном варианте теории множеств). Об основопола-
гающей работе Сколема в области рекурсивной ариф-
метики и о дальнейшем развитии рекурсивной арифме-
тики речь уже шла в § 1. Весьма существенна общая
программная идея этой работы — идея построения
математических теорий на основе бескванторных
(или иных, но как можно более простых) язы-
ков— таких языков, в которых суждения допускают
достаточно отчетливое понимание.
Гудстейн распространил (воспользовавшись
языком, в котором допускаются неограниченные кван-
торные комплексы, но не допускаются сложные
сочетания логических связок) программную
идею Сколема и на математический ана-
лиз— это распространение ему удалось осуществить
при помощи весьма интересных и своеобразных кон-
структивных аналогов понятия равномерно непрерывной
(в сегменте с рациональными концами) функции и поня-
тия k раз равномерно дифференцируемой (в таком же
сегменте) функции (см. § 9 этой статьи)*).
*) Характер этих конструктивных аналогов таков, что кон-
структивные функции упомянутых типов в смысле Гудстейна есте-
ственно называть «аппроксимативно определенными конструктив-
ными функциями».
24
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
Подход к построению конструктивного математиче-
ского анализа, разработанный Гудстейном, был первым
последовательно конструктивным и об-
стоятельно исследованным подходом *), фактически про-
демонстрировавшим свою результативность на довольно
обширном материале. Главная особенность этого под-
хода— его тесная связь с упомянутой программной иде-
ей Сколема. Эта связь проявляется в том, что рассмат-
риваемые утверждения формулируются на языке, не
использующем сложных комбинаций логических связок,
и допускают благодаря этому достаточно отчетливое по-
нимание.
Кроме подхода, предложенного Гудстейном, разра-
батываются и другие подходы. Значительное развитие
получил подход, основы которого были разработаны
А. А. Марковым. На формирование этого подхода силь-
ное влияние оказало стремление оперировать такими
конструктивными аналогами понятий традиционного
(классического) математического анализа, которые бы-
ли бы возможно ближе по форме к их „прообразам" **).
Однако для достижения этой цели во многих случаях
приходится пользоваться формулировками, имеющими
более сложную логическую структуру, чем в рекурсивном
анализе Гудстейна. В качестве первых литературных
источников для ознакомления с этим подходом и полу-
ченными на его основе результатами можно рекомендо-
вать работы А. А. Маркова и его учеников, опублико-
ванные в четырех сборниках под общим названием
«Проблемы конструктивного направления в математи-
ке» ([13] — [16]). В этих же сборниках содержатся и ра-
боты по конструктивной математической логике, тесно
*) Первые публикации Гудстейна вышли в свет в 1945 и 1950 гг.
(см. [6], [7]).
**) Такой характер имеет, в частности, предложенный
А. А. Марковым и исследованный им конструктивный аналог обще-
употребительного в классической математике понятия веществен-
ной функции вещественной переменной (понятия отображения мно-
жества всех вещественных чисел или его подмножества в множество
всех вещественных чисел) — см. работу А. А. Маркова «О кон-
структивных функциях» ([13]). Конструктивные функции в смысле
А. А. Маркова естественно называть «точечно определенными кон-
структивными функциями».
О РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 25
связанные с представленным в них вариантом конструк-
тивного математического анализа. Общей основой всех
только что упомянутых работ является монография
А. А. Маркова «Теория алгорифмов» ([11]).
При построении конструктивного математического
анализа на основе определений, имеющих „достаточно
сложную0 логическую структуру, возникают серьезные
осложнения принципиального характера: несмотря на
определенные успехи, достигнутые в проблеме конструк-
тивного истолкования математических суждений, в во-
просе о конструктивном понимании „достаточно слож-
ных0 математических суждений до настоящего времени
нет желаемой ясности. Поэтому общий замысел Ско-
лема и его конкретные реализации (в частности, рекур-
сивный анализ Гудстейна) заслуживают пристального
внимания. По мнению автора этой статьи, в настоящее
время сложились реальные предпосылки для сближения
подхода, сложившегося в научной школе А. А. Маркова,
и подхода Р Л. Гудстейна.
§ 3. Первые стимулы к разработке конструктивного
математического анализа имели (как уже отмечено вы-
ше) методологический характер — к поискам новой базы
для математического анализа побуждали характер идеа-
лизаций, используемых при теоретико-множественном
способе мышления, и степень разрыва между этими иде-
ализациями и „экспериментально осязаемыми0 понятия-
ми, при помощи которых в экспериментальных науках
описываются реальные объекты и явления. Однако в
процессе разработки конструктивного математического
анализа выяснилось, что имеются и серьезные стимулы
практического характера, связанные с недостаточностью
информации, которую может предоставлять классический
математический анализ при рассмотрении вопросов вы-
числительного характера.
Классический математический анализ, основанный на
представлениях об актуально бесконечных множествах,
и его разнообразные обобщения, также основанные на
этих представлениях (функциональный анализ, тополо-
гия и др.), оказались весьма плодотворными инструмен-
тами исследования природы и практической деятельности
26
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
людей, несмотря на большой произвол человеческого
воображения, допускаемый при формировании предста-
влений об актуально бесконечных множествах. Это утвер-
ждение касается математического анализа и его обобще-
ний, рассматриваемых в целом. При рассмотрении
этих же разделов математики по частям и в де-
талях приходится констатировать, что различные поня-
тия и теоремы и даже различные фрагменты теорий во
многих случаях радикально отличаются друг от друга и
по их роли в работоспособных в целом разделах мате-
матики, и с точки зрения возможности какого-либо экс-
периментально осязаемого истолкования. Примером тео-
ремы, для которой невозможно предложить какое-либо
экспериментально осязаемое истолкование, может слу-
жить следующая теорема Хаусдорфа (озадачивающая
даже самых ортодоксальных приверженцев теоретико-
множественного способа мышления): «Существуют такие
подмножества Р, Q, R, S трехмерного шара Л, что 1) лю-
бая пара этих множеств имеет пустое пересечение,
2) объединение этих четырех множеств совпадает с Л,
3) трехмерная мера Лебега множества S равна нулю,
4) каждое из множеств Р, Q, R конгруэнтно каждому из
остальных двух множеств, 5) множество Р конгруэнтно
объединению множеств Q и Р»*).
Но математики, придерживающиеся мнения об удо-
влетворительности теоретико-множественной логической
базы математического анализа, обычно игнорируют та-
кого рода „сюрпризы" теории множеств и подчеркивают
действенность всей теории в целом, многочисленность и
разнообразие тех теорем классического математического
анализа, которые фактически оказываются полезными
при решении задач, выдвигаемых естествознанием и
практической деятельностью людей.
Но действительно ли „работоспособность" математи-
ческого анализа, например, в традиционных областях
его приложений, не оставляет желать лучшего?
В приложениях математики систематически встре-
чаются задачи (предусматривающие, вообще говоря,
варьирование исходных данных), в которых как исход-
*) См., например, [12], . XI, § 5.
о РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 27
ные данные, так и искомые объекты представляют собой
некоторые „конкретные информации", т. е. знакосо-
ч е т а н и я некоторых типов, играющие „достаточно
осязаемые" роли при знаковом моделировании наблю-
даемых или представляющихся возможными ситуаций,
процессов и т. п. Примерами таких „конкретных инфор-
маций" могут служить натуральные числа, рациональ-
ные числа, списки и матрицы, составленные из рацио-
нальных чисел, схемы алгорифмов*) (например, схемы
конструктивных вещественных чисел, схемы конструк-
тивных функций, ставящих в соответствие рациональным
или конструктивным вещественным числам рациональ-
ные или конструктивные вещественные числа, схемы
алгорифмов, представляющих собой последовательности
таких функций), списки и матрицы, составленные из
схем алгорифмов, и т. п.
В задачах, о которых здесь идет речь, желательно
иметь алгорифм, дающий возможность по любой
исходной „конкретной информации" построить искомую
„конкретную информацию", т. е. построить знакосоче-
тание определенного типа, находящееся в определенном
отношении к предъявленному исходному знакосочетанию.
При обсуждении какой-либо конкретной задачи рас-
сматриваемого сейчас типа прежде всего возникает
вопрос: возможен ли желаемый алгорифм? При отри-
цательном ответе на этот вопрос возникают дополни-
*) В дальнейшем изложении, применяя термин «алгорифм» без
каких-либо уточняющих пояснений, мы всегда будем иметь в виду
одно из тех точно охарактеризованных понятий, которые рассматри-
ваются в настоящее время как математические понятия, пригодные
для стандартизации общего описательно определяемого понятия
алгорифма (это означает, что любой алгорифм рассматриваемого
точно охарактеризованного типа можно моделировать посредством
некоторой машины Тьюринга, и обратно). Говоря о схемах алго-
рифмов как о примерах „конкретных информаций”, мы имеем в
виду как алгорифмы какого-либо универсального (в только что ука-
занном смысле) типа, так и алгорифмы того или иного более узкого,
но точно охарактеризованного типа, достаточные для математиче-
ского моделирования рассматриваемых реальных ситуаций. Одним
из элементов точной характеризации алгорифмов какого-либо кон-
кретного типа является определение схем алгорифмов, т. е.
определение тех знакосочетаний, которые играют роль описаний кон-
кретных алгорифмов рассматриваемого типа.
28
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
тельные вопросы. В частности, нельзя ли алгорифмиче-
ски получать искомые результаты, добавляя к исходным
данным некоторые дополнительные „конкретные инфор-
мации"? (В дальнейшем изложении этот вопрос и пре-
дыдущий рассматриваются как варианты вопроса о
достаточных исходных данных.) Нельзя ли
при тех же исходных данных алгорифмически получать
некоторую существенную часть искомого результата или
же некоторую „конкретную информацию", способную
заменить в том или ином отношении искомую? Не об-
стоит ли дело так, что подобные надежды несостоятель-
ны и могут быть разрушены подходящими примерами
или рассуждениями?
При рассмотрении этих вопросов на основе класси-
ческой математики часто используют в качестве ориен-
тиров параметрические теоремы существования, т. е.
утверждения вида:
«Каков бы ни был объект X типа Р, су-
ществует объект Y типа Q такой, что X и
У удовлетворяют условию U».
(1)
При этом в качестве понятий, обозначенных здесь сим-
волами Р и Q, обычно фигурируют некоторые понятия,
основанные на общих понятиях теории множеств.
Математик, выбирая в качестве ориентира некоторую
теорему вида (1), обычно руководствуется надеждой,
что окажется доказуемой следующая модификация тео-
ремы (1):
«Каков бы ни был объект X' типа Р'9
можно построить объект Y' типа Q' такой,
что X' и У' удовлетворяют условию (7'».
(2)
Здесь Р' и Q' обозначают некоторые конструктивные
понятия (типы „конкретных информаций"), являющиеся
с точки зрения классической математики частными слу-
чаями соответственно понятий Р и Q и в то же время
воспринимаемые как подходящие (с той или иной точки
зрения) конструктивные аналоги понятий Р и Q; U'
обозначает условие, получаемое в результате „конструк-
тивного прочтения" условия (7. Более того, в таких
О РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ.- РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 29
случаях математик обычно надеется, что из доказатель-
ства теоремы (1) удастся „извлечь" некоторый конструк-
тивный метод (алгорифм), дающий возможность обосно-
вать утверждение (2) при следующем истолковании этого
утверждения:
«Можно указать конструктивный метод ’
(алгорифм) F, строящий по любому конст-
руктивному объекту X' типа Р' конструктив-
ный объект F(X') типа Q' такой, что X' и
F(X') удовлетворяют условию U'».
(3)
Однако хорошо известно, что далеко не всякая пара-
метрическая теорема существования оправдывает эту
надежду. Уже давно математики стремятся различать
„эффективные" теоремы существования и, так сказать,
„чистые" теоремы существования. Давно известно, что
использование в доказательстве теоремы (1) рассуждения
«от противного» может оказаться неодолимым препят-
ствием к извлечению из ее доказательства желаемого
метода построения. Позже выяснилось, что примене-
ние в доказательстве теоремы (1) закона исключен-
ного третьего к условию, не допускающему алгорифми-
ческой проверки, также может оказаться таким
неодолимым препятствием. Еще позже выяснилось, что
„источники неэффективности" (в указанном смысле)
параметрических теорем существования не исчерпы-
ваются упомянутыми „опасными" логическими сред-
ствами; при этом характер некоторых „источников
неэффективности" оказался неожиданным. Рассмот-
рим, например, следующую параметрическую теорему
существования (теорему о полноте континуума):
«Какова бы ни была фундаментальная
последовательность вещественных чисел ф, ( .
существует вещественное число х, являю-
щееся пределом последовательности ф».
Чтобы иметь дело с понятиями классической матема-
тики, достаточно удобными для перехода к соответ-
ствующим конструктивным понятиям, мы будем основы-
ваться на следующих определениях. Вещественным
числом называется всякая последовательность рацио-
30
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
нальных чисел f, для которой существует регулятор
сходимости в себе, т. е. существует последовательность
натуральных чисел g такая, что, каковы бы ни были
натуральные числа z, k, I,
если k>g(i) и />g(z), то — f(l)\< 24
Последовательностью вещественных чисел называется
всякая двойная последовательность рациональных чи-
сел <р, удовлетворяющая следующему условию: суще-
ствует двойная последовательность натуральных чи-
сел ф такая, что, каковы бы ни были натуральные чис-
ла n, z, k, I,
если й>ф(м, z) и /^>ф(п, z), то |ф(я, k) — ф(п,/)|<24
(В варианте теории множеств, использующем аксиому
выбора, эти определения эквивалентны обычно исполь-
зуемым определениям понятий вещественного числа и
последовательности вещественных чисел.) Всякую двой-
ную последовательность натуральных чисел гр, обла-
дающую указаным свойством, будем называть последо-
вательностью, сопряженной с ф.
Доказательство теоремы (4), которое может претен-
довать на указание конструктивного метода построения
искомого вещественного числа при конструктивном ис-
ходном данном ф, проводится следующим образом.
Пусть ф — фундаментальная последовательность веще-
ственных чисел. Тогда существует (хотя бы одна) по-
следовательность, сопряженная с ф. Пусть ф— какая-
либо последовательность, сопряженная с ф. Тогда
функция х такая, что х(/г) =ф(я, ф(п, /г)), представляет
собой фундаментальную последовательность рациональ-
ных чисел, т. е. вещественное Число, и это вещественное
число является пределом последовательности веществен-
ных чисел ф.
Если ф'—конструктивная последовательность кон-
структивных вещественных чисел, т. е. алгорифм,
для которого может быть построен сопряженный с ним
алгорифм (сопряженная с ф' алгорифмическая по-
следовательность), и если ф'— какой-либо алгорифм,
сопряженный с ф', то алгорифм %' такой, что х'(^) =
= ф'(л, ф'(л, я)), представляет собой алгорифмическую
о РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 31
последовательность рациональных чисел. Можно дока-
зать, что если <р' — фундаментальная в конструктивном
смысле последовательность вещественных чисел, то х'
является фундаментальной в конструктивном смысле
последовательностью рациональных чисел и конструк-
тивное вещественное число %' является пределом в
конструктивном смысле последовательности ф' Может
показаться, что описан конструктивный метод (алго-
рифм), строящий по любому алгорифму <р' указанного
типа искомое конструктивное вещественное число. Од-
нако в действительности алгорифм %' построен не по
одному алгорифму ф', а по паре исходных данных — по
алгорифмам <р' и ф', находящимся в определенном от-
ношении. При этом в проведенном рассуждении ника-
кой конкретный способ построения алгорифма ф' по
алгорифму ф' не указан и построение алгорифма %' про-
ведено при предположении, что как-либо уга-
дан алгорифм, сопряженный с ф', что этот алгорифм
как-то выделен среди всевозможных алгорифмов, со-
пряженных с ф' Таким образом, проведенное рассужде-
ние обосновывает не утверждение вида (3), сформули-
рованное применительно к (4), а лишь следующее более
слабое утверждение:
«Можно указать алгорифм, строящий по
любой паре алгорифмов ф', ф' такой, что ф'
является фундаментальной (в конструктив-
ном смысле) последовательностью конст-
руктивных вещественных чисел, а ф' пред-
ставляет собой алгорифм, сопряженный с ф',
некоторое конструктивное вещественное чис-
ло, являющееся пределом (в конструктивном
смысле) последовательности ф'».
(5)
В связи со сказанным заметим, что используемые
в конструктивной математике правила конструктивного
истолкования математических суждений (правила по-
строения конструктивной расшифровки) таковы, что
лишь в некоторых случаях конструктивной расшифров-
кой утверждения (2) оказывается утверждение (3). Вид
конструктивной расшифровки утверждения (2) существен-
но зависит (в частности) от логического типа условия,
32
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
характеризующего понятие Р' Вообще говоря, кон-
структивная расшифровка утверждения (2) имеет вид
более сложный, чем (3). Примером утверждения вида
(2), для которого имеет место как раз такая ситуация,,
может служить следующий конструктивный аналог
утверждения (4):
«Какова бы ни была конструктивная
фундаментальная (в конструктивном смыс-
ле) последовательность конструктивных ве-
щественных чисел ф', можно построить кон-
структивное вещественное число х'у являю-
щееся пределом (в конструктивном смысле)
последовательности ср'».
(6)
Оказывается, что конструктивная расшифровка утвер-
ждения (6) такова, что, обосновав утверждение (5), мы
тем самым обосновали и утверждение (6).
Возвращаясь к проведенному выше рассуждению
[результатом которого было обоснование утверждения
(5)], заметим, что мы могли бы не считать ф' отдельно
задаваемым исходным данным для построения искомого
предела алгорифмической последовательности <р' и огра-
ничиться одним исходным данным ф', если бы удалось
указать конструктивный метод (алгорифм), строящий
по всякому алгорифму ф' рассматриваемого сейчас типа
некоторый конкретный алгорифм, сопряженный с ф'.
Для конструктивных последовательностей некоторых
частных типов такой конструктивный метод действи-
тельно возможен (например, для последовательностей,
определяемых равенствами вида
k
ф' (п, k) = р (п) + 2 т(п, 0 • io"z,
/=!
где р — алгорифмическая последовательность целых чи-
сел и т — двойная алгорифмическая последовательность
натуральных чисел такая, что 0^т(п,/)^9 при лю-
бых пи/). Частные случаи такого рода могут создать
впечатление, что и в любом случае второе исходное
данное является лишним в том смысле, что его можно
получить алгорифмическим методом из первого. Однако
о РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 33
в действительности это не так — невозможен алгорифм,
строящий по любой конструктивной фундаментальной
(в конструктивном смысле) последовательности конст-
руктивных вещественных чисел (предъявленной без ка-
кой-либо сопряженной с ней алгорифмической последо-
вательности!) такое конструктивное вещественное число,
которое является пределом этой последовательности (это
доказал Б. А. Кушнер [10]*)).
Однако в классической математике теорема (4)
рассматривается как достаточное основание для введе-
ния „операции" предельного перехода lim, у которой
исходными данными считаются фундаментальные после-
довательности вещественных чисел без какой-либо
дополнительной информации, и этим спо-
собом совершается переход от отношения «число х яв-
ляется пределом последовательности вещественных чи-
сел <р» и от построения теории пределов в предикатной
форме (т. е. на основе этого отношения) к „опера-
ции" lim и к „операторной" форме построения этой
теории. Переход к этой „операции" представляет собой
шаг, который сразу усложняет ориентировку в вопросе
о достаточных исходных данных**). Такой шаг совер-
шается уже в самом начальном „этаже" классического
математического анализа. Шаги такого же рода систе-
матически и в последовательно усложняющихся формах
*) Значительно раньше этой теоремы была установлена следую-
щая теорема (родственная с упомянутой в некоторых отношениях):
«Невозможен алгорифм, строящий по любой конструктивной фунда-
ментальной (в конструктивном смысле) последовательности рацио-
нальных чисел (предъявленной без какого-либо алгорифмического
регулятора сходимости в себе!) некоторый алгорифмический регуля-
тор сходимости в себе рассматриваемой последовательности». Эта
теорема опубликована в 1958 году Гудстейном [8] (доказатель-
ство проведено Гудстейном* недостаточно детально); этот же резуль-
тат (с точным доказательством) был доложен Г. С. Цейтиным в
1955 году в Ленинградском семинаре по математической логике и
опубликован в его работе «Теоремы о среднем значении в конструк-
тивном анализе» ([14]).
**) Ситуация существенно меняется, если переход к операции
предельного перехода осуществляется на основе теоремы (5) — имен-
но так вводится операция предельного перехода в конструктивном
математическом анализе [эта операция определяется для пар алго-
рифмов ф', ф' указанного в теореме (5) типа].
34
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
происходят и на всех более высоких „этажах" математи-
ческого анализа, например, в связи с отношениями
«число х является точной верхней границей непрерывной
на сегменте [а, 6] функции Л», «число х является инте-
гралом Римана функции G в сегменте [а, 6]», «функция
V является производной функции U» и т. д.— вводимые
в классической математике „операции", соответствую-
щие этим отношениям, имеют такой же характер, как
и „операция" предельного перехода.
Эти шаги в процессе развертывания математических
теорий разными способами переплетаются друг с дру-
гом (а также с применениями упомянутых выше „опас-
ных" логических средств) и в целом приводят к такому
положению, когда математик лишается возможности
правильно и отчетливо ориентироваться в вопросе о
достаточных исходных данных и в других связанных с
ним вопросах.
Теорема (4) представляет собой пример такой тео-
ремы классической математики, буквальный перевод
которой на язык „конкретных информаций" (т. е. на
язык конструктивной математики) *) является теоремой
конструктивной математики. В то же время весьма мно-
гие теоремы классического математического анализа
(в частности, весьма многие параметрические теоремы
существования) оказываются в значительно менее бла-
гополучном положении, чем теорема (4). Использова-
ние в классической математике без каких-либо ограни-
чений закона исключенного третьего, рассуждений «от
противного» и некоторых других логических средств ча-
сто приводит к таким параметрическим теоремам суще-
ствования и теоремам иных типов, буквальные конструк-
тивные аналоги которых оказываются опровержимыми
утверждениями**). Постепенно выяснилось, что для
весьма многих параметрических теорем существования
(и теорем иных типов), имеющихся в классическом ма-
тематическом анализе, доказуемы лишь приблизитель-
♦) Буквальным переводом на язык конструктивной математики
(а также буквальным конструктивным аналогом) конкретного утвер-
ждения вида (1) называется соответствующее утверждение вида (2).
**) В логическом выводе теоремы (4) упомянутые логические
средства не используются.
о РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧЦСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 35
ные конструктивные аналоги, а для некоторых теорем
невозможны даже „умеренно отдаленные" доказуемые
конструктивные аналоги.
Гудстейном были найдены приблизительные, но впол-
не удовлетворительные с прагматической точки зрения
доказуемые конструктивные аналоги теоремы Коши о
существовании корня у любой меняющей свой знак не-
прерывной функции, теорем Ролля, Лагранжа и Тейлора
(см. «Рекурсивный анализ»). В упомянутой выше ра-
боте Г С. Цейтина имеются иные, чем у Гудстейна,
доказуемые приблизительные конструктивные аналоги
теорем Коши, Ролля и Лагранжа; там же доказана
невозможность алгорифмов, осуществимость которых
утверждают конструктивные расшифровки буквальных
конструктивных аналогов упомянутых теорем классиче-
ской математики [такие опровержения утверждений ви-
да (2) иногда называют опровержениями «в слабом
смысле»], и доказана невозможность опровержения этих
же конструктивных аналогов «в сильном смысле», т. е.
посредством предъявления конкретного примера, опро-
вергающего общее утверждение.
Примером параметрической теоремы существования,
которая не имеет даже „умеренно отдаленного" дока-
зуемого конструктивного аналога и для которой бук-
вальный конструктивный аналог может быть опроверг-
нут «в сильном смысле», является теорема о существо-
вании предела любой монотонной и ограниченной
последовательности вещественных чисел. Э. Шпеккер
[21] построил конкретную монотонную и ограниченную
алгорифмическую последовательность рациональных чи-
сел, для которой невозможен алгорифмический регуля-
тор сходимости в себе. Ни одно конструктивное веще-
ственное число не является пределом этой последова-
тельности. Для теоремы о существовании предела
монотонной и ограниченной последовательности веще-
ственных чисел удается найти лишь весьма отдаленный
доказуемый конструктивный аналог, использующий по-
нятие конструктивного вещественного псевдочисла.
Поиски доказательств и опровержений («в слабом
смысле» и «в сильном смысле») „близких" и „отдален-
ных“ конструктивных аналогов различных параметриче-
36
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
ских теорем существования и теорем иных типов, имею-
щихся в классическом математическом анализе, выявили
наличие обширного спектра разнообразных ситуаций,
возникающих при попытках „конструктивизации" совер-
шенно однотипных с точки зрения классической мате-
матики теорем, — две однотипные теоремы могут ради-
кально отличаться друг от друга по своей потенциаль-
ной „работоспособности" в качестве ориентиров для
правильных ответов на вопросы, касающиеся связей
алгорифмического характера между различными „кон-
кретными информациями", и, в частности, для правиль-
ного ответа на вопрос о достаточных исходных данных.
Однако эти вопросы постоянно возникают во многих
разделах математики. В некоторых случаях на них удает-
ся находить удовлетворительные ответы. Но возможно-
сти, предоставляемые классической математикой для по-
иска ответов на эти вопросы, весьма ограничены, особен-
но при анализе сложных ситуаций. На практике обычно
выручают не какие-либо точно формулируемые теоремы
классической математики, а лично приобретенный опыт
и выработанная на его основе интуиция (подсказываю-
щая, в частности, реалистичные модификации постано-
вок задач), выручают и индивидуальные особенности
рассматриваемых конкретных задач, дающие возмож-
ность в отдельных случаях „непосредственно усматри-
вать" необходимую, но не предусматриваемую теорема-
ми классической математики дополнительную информа-
цию. В рамках классической математики принци-
пиально невозможно достичь желаемой ясности
в упомянутых вопросах, из-за того, что в ней конструк-
тивные понятия рассматриваются, вообще говоря, как
ничем не примечательные частные случаи соответствую-
щих теоретико-множественных понятий, из-за отвлече-
ния от особенностей различных типов определений кон-
структивных понятий, из-за слишком большой „свободы"
при выборе идеализаций и формировании понятий, а
также при выборе средств логического вывода теорем.
Конструктивный математический анализ представля-
ет собой особый вариант математического анализа, ко-
торый специально строится так, чтобы на
любом „этаже" математического „здания" обеспечива-
о РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 37
лась правильная и отчетливая ориентировка в связях
алгорифмического характера между „конкретными
информациями" и, в частности, в вопросе о достаточных
исходных данных, обеспечивалось корректное введение
операций на основе параметрических теорем существо-
вания и аналогичных им теорем. Постепенно выясни-
лось, что для достижения этих целей необходим ряд
предпосылок.
Во-первых, необходима новая система понятий, ос-
нованная в значительной степени на понятии алгорифма
(а также на понятии порождаемого множества). Суще-
ственно новым явлением, в сравнении с классической
математикой, оказалось систематическое введение в
качестве объектов изучения наборов конструктивных
объектов, не имеющих прямых аналогов в классической
математике, — таких наборов, которые оказываются под-
ходящими исходными данными для конструктивных опе-
раций (алгорифмов), соответствующих тем или иным
отношениям, и дают возможность развивать не только
предикатный вариант той или иной теории (т. е. ва-
риант, излагаемый при помощи отношений), но и ее
операторный вариант. Примером может служить введе-
ние в качестве объектов изучения пар алгорифмов, о
которых говорится в утверждении (5).
Во-вторых, для достижения упомянутой цели необхо-
димо особое конструктивное понимание логических свя-
зок, прежде всего связок «существует» и «или». Новый
смысл связки «существует» выражается словами «по-
тенциально осуществим» или же словами «можно по-
строить». Необходимо также особое конструктивное по-
нимание сочетаний логических связок в суждениях. На
этом понимании основан алгорифм выявления конструк-
тивной задачи (алгорифм построения конструктивной
расшифровки)*), имеющий существенное значение для
правильной ориентировки в вопросе о достаточных ис-
ходных данных.
В-третьих, необходим особый аппарат логического
вывода, основанный на конструктивном понимании
*) См. статью Н. А. Шанина «О конструктивном понимании
математических суждений» (I13J).
38
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
суждений. Этот аппарат ощутимо отличается от аппа-
рата логического вывода классической математики.
Все это в целом приводит к тому, что переосмысли-
вание какой-либо уже сложившейся математической
теории на конструктивной основе является, в общем,
сложной задачей, требующей в ряде случаев серьезных
технических средств конструктивной математики и часто
таящей в себе много неожиданностей. По существу, при-
ходится строить новую теорию с резко выраженной
спецификой, и при таком построении исходная теория
классической математики может служить лишь прибли-
зительным ориентиром. Уже подбор удовлетворительных
конструктивных аналогов для основных понятий, отно-
шений и операций классического математического ана-
лиза представляет собой в ряде случаев сложную за-
дачу, решение которой часто достигается лишь посред-
ством корректирований в процессе развития теории. Этот
подбор наталкивается на тонкости, не проявляющиеся
в классической математике. Он осложняется тем, что
эквивалентные в классической математике понятия во
многих случаях приводят к неэквивалентным конструк-
тивным аналогам. В этих случаях приходится или искать
веские основания для предпочтения одного из вариантов,
или искать веские основания для параллельной раз-
работки нескольких теорий, соответствующих различ-
ным конструктивным аналогам одного и того же по-
нятия.
Кроме того, необходимо корректно осуществить вы-
бор таких понятий, на основе которых возможно построе-
ние основных разделов теории в операторной форме,
которая для приложений безусловно предпочтительнее
предикатной формы.
Конкретная теория классической математики, оказав-
шаяся плодотворной в приложениях, представляет собой
теоретическую модель, отвечающую на определенные за-
просы естественных или иных наук. Конструктивная ма-
тематика предлагает вместо этой модели теоретическую
модель иного типа, разрабатываемую так, чтобы она
удовлетворяла тем же самым запросам, но более
полноценно, чтобы она предоставляла возможность
правильно и отчетливо ориентироваться в связях алго-
о РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 39
рифмического характера между „конкретными информа-
циями“ Важно подчеркнуть, что такие преимущества пе-
ред соответствующей теорией классической математики
достигаются в результате перехода к рассмотрению
лишь конструктивно определяемых объ-
ектов и одновременного отказа от использования пред-
ставлений об актуально бесконечных множествах — эти
методологические принципы, вводя математическое мыш-
ление в русло более „осязаемых", чем в классической
математике, понятий и уменьшая произвол чело-
веческого воображения, приводят к таким усовершен-
ствованиям математических теорий, которые могут об-
легчить применение математики к задачам прикладного
характера. Направленность какой-либо теории классиче-
ской математики и ее конструктивного варианта на мо-
делирование одних и тех же связей между реальными
предметами, явлениями, процессами и т. п. обычно при-
водит к тому, что конструктивный вариант во многих
своих частях оказывается внешне похожим на исход-
ную теорию классической математики. Однако упомяну-
тые выше серьезные дополнительные требо-
вания, предъявляемые к теориям конструктивной
математики, в значительном числе случаев приводят к
существенным, иногда радикальным расхождениям даже
во внешнем облике теоретических моделей, предлагае-
мых для одной и той же ситуации конструктивной мате-
матикой и классической математикой.
§ 4. Переосмысливание на основе принципов кон-
структивной математики уже сформировавшихся разде-
лов классической математики составляет лишь одно из
направлений развития конструктивной математики.
Интенсивно развиваются и математические теории, фор-
мирующиеся под воздействием проблем, специфичных
именно для конструктивной математики. „Три кита", на
которых основывается конструктивная математика,—•
теория порождаемых множеств конструктивных объек-
тов (называемая также общей теорией исчислений),
теория алгорифмов и конструктивная математическая
логика — представляют собой ветви математики, не
имеющие „близких родственников" в классической
40
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
математике. В этих сравнительно новых ветвях матема-
тики уже достигнуты значительные успехи.
В частности: аппараты теории алгорифмов и общей
теории исчислений доведены до высокого уровня „тех-
нической оснащенности" *), обстоятельно исследованы
связи между различными вариантами этих аппаратов;
огромную роль в разъяснении ряда коренных вопросов
оснований математики сыграл созданный К- Гёделем
конструктивный метод арифметизации формально-дедук-
тивных систем и арифметической интерпретации поня-
тия выводимости; широкую известность получили тео-
ремы о невозможности алгорифмов, решающих некото-
рые (длительное время привлекавшие внимание
математиков) массовые проблемы теории логических и
логико-математических исчислений, алгебры, топологии,
математического анализа и других разделов матема-
тики; значительные результаты достигнуты в изучении
различных способов сведения одних массовых проблем
к другим и в исследовании иерархии „сложностей" мас-
совых проблем; введение в обиход математики разнооб-
разных критериев сложности конструктивных объектов
(например, алгорифмов) и конструктивных процессов
(например, процессов применения алгорифмов к исход-
ным данным) привело к формированию новых многообе-
щающих направлений исследований, уже зарекомендо-
вавших себя серьезными результатами; шаг за шагом
уточнялись и углублялись принципы конструктивного
понимания математических суждений о конструктивных
объектах; были разработаны и получили значительное
развитие аппараты логического вывода, согласованные
с конструктивным пониманием математических суж-
дений.
Специфическая проблематика упомянутых базисных
разделов конструктивной математики и достигнутые
здесь успехи не отодвигают на задний план задачу пе-
реосмысливания на конструктивной основе все новых
и новых разделов классической математики (как уже
*) Особенно принципиальным результатом в этой области яв-
ляется теорема о существовании универсального алгорифма (первый
вариант этой теоремы принадлежит А. М. Тьюрингу).
о РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 41
сформировавшихся, так и формирующихся в настоящее
время) *). Решать эту задачу во все большем и боль-
шем объеме побуждают как соображения, изложенные
выше в § 3, так и серьезность давно беспокоящей мно-
гих математиков методологической проблемы, сформу-
лированной в приведенном выше (в § 2) высказывании
Гильберта. Обратим сейчас внимание именно на эту
методологическую проблему.
Естественно возникает подозрение, что в тех случаях,
когда какая-либо конкретная теория классической мате-
матики (или какая-либо часть обширной теории класси-
ческой математики) оказывается „работоспособной" в
некоторой области приложений (т. е. оказывается спо-
собной предоставлять некоторые ориентиры), „далеко
идущие" идеализации (прежде всего представления об
актуально бесконечных множествах) представляют со-
бой дезориентирующие излишества принятого способа
математического моделирования реальных явлений. Воз-
никает подозрение, что „источниками работоспособности"
такой теории (или такой части теории) являются некото-
рые „достаточно осязаемые" понятия и отдельные объ-
екты, которые или фигурируют в рассматриваемой тео-
рии в качестве самостоятельно используемых понятий
(соответственно объектов)**), или воспринимаются в
классической математике как ничем не примечательные
частные случаи некоторых фигурирующих в рассматри-
ваемой теории математических и логических понятий
(или некоторых модификаций таких понятий), но отли-
чаются от последних тем, что при их формировании до-
пускается существенно меньший произвол воображения,
чем при формировании охватывающих их более общих
*) Процесс развития базисных разделов конструктивной мате-
матики и процесс переосмысливания на конструктивной основе клас-
сической математики стимулируют и обогащают друг друга, и имен-
но сочетание этих двух процессов формирует облик конструктивной
математики в целом.
**) Простыми примерами таких понятий и конкретных объектов
могут служить понятия натурального и рационального числа, поня-
тие полинома с рациональными коэффициентами, алгорифмически
определяемые иррациональные числа л, У2, е, алгорифмы, опреде-
ляющие коэффициенты разложений в степенные ряды функций
sin х, ех и т. п.
42
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
понятий*). Представляется правдоподобным, что эти
„достаточно осязаемые", но, быть может, отдельно не
выделяемые понятия и объекты, хотя и теряют свое спе-
цифическое „лицо" на фоне охватывающих их более
общих понятий (в результате того, что теория в целом
ориентирована на эти более общие понятия и строится
на основе характерных для них „далеко идущих" идеа-
лизаций), но все же в некоторых ситуациях проявляют
(быть может, лишь частично и в деформированном
виде) свои „потенциальные возможности" Эти предпо-
ложения рождают надежду, что „работоспособная" в
приложениях теория классической математики может
быть усовершенствована посредством ограничения та-
кого рода частными случаями математических и логи-
ческих понятий и посредством как можно более полного
и отчетливого выявления их „потенциальных возмож-
ностей" Надлежащая перестройка всей первоначальной
теории в целом на основе учета специфических особен-
ностей этих более „осязаемых" понятий может дать (как
показывает уже накопленный в математике опыт) не
только методологический эффект — она может привести
к существенному повышению „качества ориентирова-
ния" в математических проблемах, связанных с областью
применений первоначальной теории.
Общий замысел конструктивной математики и его
конкретные воплощения представляют собой определен-
ные выражения такого рода надежд и устремлений. При
реализации этих устремлений естественно желание по-
лучать такие теории конструктивной математики, кото-
♦) Например, на роли подходящих (при определенных ситуа-
циях) частных случаев понятия вещественного числа могут претен-
довать: понятие конструктивного (алгорифмически определенного)
вещественного числа, основанное на понйтии общерекурсивной функ-
ции или на каком-либо ином эквивалентном ему понятии алгорифма,
понятие примитивно рекурсивного вещественного числа, понятие эле-
ментарно рекурсивного (в смысле Л. Кальмара) вещественного чис-
ла и др. Еще плодотворнее оказываются аналогичные конструктив-
ные частные случаи такой модификации классического понятия веще-
ственного числа, при которой вещественным числом называется лю-
бая пара функций такая, что первый член пары представляет собой
последов-ательность рациональных чисел, а второй член является
регулятором сходимости в себе этой последовательности.
О РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 43
рые проясняют как можно отчетливее „источники и гра-
ницы работоспособности" исходных теорий классической
математики (и в этом смысле как можно полнее „де-
мистифицируют" исходные теории) при помощи как
можно более „осязаемых" математических и логических
понятий. Пионерская роль в разработке „достаточно
осязаемых" математических и логических понятий кон-
структивной математики, способных удовлетворить зна-
чительный круг запросов именно этого характера, при-
надлежит Т. Сколему и его последователю Р. Л. Гуд-
стейну*). Эта книга суммирует основные результаты
Гудстейна.
§ 5. Много вопросов и недоумений может вызвать
«Введение» к РТЧ, посвященное понятиям «натуральное
число» и «счет числа членов совокупности предметов» и
имеющее в значительной степени философскую тональ-
ность. Многое из того, что говорится во «Введении», не-
понятно автору этой статьи, многие высказывания вы-
звали возражения (однако эти обстоятельства не были
препятствиями к пониманию дальнейших глав РТЧ!).
«Введение» начинается с замечания, что первое из
упомянутых выше понятий «неуловимо, как блуждающий
огонек, когда мы пытаемся определить его». Далее Гуд-
стейн говорит о некоторых встречающихся в литературе
«попытках определения» понятия «натуральное число»,
критикует их одну за другой и предлагает свой вариант,
который, по его словам, приводит к тому, что «наконец
мы обнаруживаем ответ на вопрос о природе чисел».
Таким образом, речь идет не об определении некоторого
понятия, которое автор считает полезным с определен-
ной точки зрения и намерен рассматривать в дальней-
шем изложении и с которым он связывает термин «на-
туральное число»; речь идет и не о простом констатиро-
*) Иной характер имеет выдающийся вклад Брауэра и Вейля в
формирование предпосылок конструктивного направления в матема-
тике. Многие их логические и математические идеи сыграли суще-
ственную роль при формировании более широких, но в то же время
и менее отчетливых (в логическом аспекте), чем у Сколема и Гуд-
стейна, теорий конструктивной математики. Идеи Брауэра, Вейля,
Сколема и Гудстейна плодотворно дополняют друг друга.
44
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
вании различий между понятием, с которым он связы-
вает этот термин, и некоторыми другими фактически
встречающимися пониманиями этого же термина, а о
чем-то другом. Создается впечатление, что обсуждается
вопрос: каково правильное понимание термина «нату-
ральное число»? Точку зрения многих математиков и ло-
гиков (в частности, и автора этой вступительной статьи)
на дискуссии о „правильном понимании" терминов удач-
но выражает следующее высказывание А. Тарского:
«В большинстве случаев создается впечатление, что дан-
ная фраза *) употребляется в почти мистическом смысле,
основанном на вере, что каждое слово имеет только
одно „реальное" значение (нечто вроде идеи Платона
или Аристотеля) и что все конкурирующие понимания
действительно пытаются ухватиться за это одно значе-
ние; однако из-за того, что они противоречат друг другу,
только одна попытка может быть успешной, а из этого
следует, что только одно понимание является „правиль-
ным"» ([20]).
Предлагаемое Гудстейном понимание термина «нату-
ральное число» выражено им следующей фразой: «Чис-
ла один, два, три и т. д. являются действующими лицами
в игре арифметика, фигуры, которые исполняют их роли,
являются числовыми знаками **), а то, что делает неко-
торый знак числовым знаком, соответствующим конкрет-
ному числу, — это та роль, которую он играет, это
правила преобразования данного знака». Никаких уточ-
няющих пояснений о понимании им оборота речи «дей-
ствующее лицо в игре арифметика» и других встречаю-
щихся в этой цитате оборотов речи Гудстейн не дает и
ограничивается иллюстрацией на примере игры в шах-
маты. Гудстейн подчеркивает обязательность различения
понятий «натуральное число» и «числовой знак». При
*) А. Тарский имеет в виду фразу «правильное понимание».
**) В английском оригинале — слово «numeral». Переводчик мо-
нографий Гудстейна, включенных в эту книгу, предпочел использо-
вать в качестве русского синонима этого слова термин «цифра». Та-
кой перевод представляется мне не вполне удачным, так как этот
термин часто используется в качестве наименования числовых зна-
ков того или иного конкретного типа, не расщепляющихся на более
простые числовые знаки этого же типа.
о РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 45
этом термину «числовой знак» он придает весьма широ-
кий смысл, о чем свидетельствует описание предлагае-
мого им понимания процесса счета числа членов какой-
либо совокупности предметов. Это понимание таково, что
даже простое созерцание какой-либо совокупности кон-
кретных предметов, при котором игнорируются индиви-
дуальные материальные особенности ее членов, но осо-
знается существование некоторых различий между рас-
сматриваемыми предметами, признается завершенным
актом счета числа членов совокупности и сама рассма-
триваемая совокупность (например, совокупность планет
солнечной системы) трактуется как числовой знак,
„играющий роль“ числа членов рассматриваемой сово-
купности. Кроме такого тривиального способа счета
Гудстейн рассматривает и более сложные способы; при
этом каждый из них трактуется как некоторое преобра-
зование только что упомянутого числового знака в знак
какого-либо другого типа (например, в знак вида 0 + 1 +
4- 1 + +1 или в знак позиционной десятичной чис-
ловой системы и т. п.).
Автору этой статьи (и, по-видимому, читателям этой
книги — тоже) не приходилось раньше встречаться с ис-
пользованием термина «числовой знак» в столь широком
смысле и с использованием термина «натуральное чис-
ло» в столь абстрактном (и охарактеризованном Гуд-
стейном совершенно недостаточно) смысле. Наблюдения
над практикой речевого общения людей показывают, что
типичной является следующая ситуация: если человек А
спрашивает у человека В, сколько членов у некоторой
(достаточно отчетливо охарактеризованной) совокупности
предметов, то В понимает, что А не удовлетворит в ка-
честве ответа на этот вопрос фраза «число членов есть
некоторое действующее лицо игры арифметика», не удо-
влетворит и предложение обозреть эту совокупность,
игнорируя индивидуальные особенности ее членов, не
удовлетворит и предъявление списка индивидуальных
наименований членов совокупности — спрашивающего
удовлетворит лишь некоторое знакосочетание (или
звукосочетание) одного из тех немногочис-
ленных конкретных типов, которые фактически
используются членами некоторой группы людей, в
46
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
которую входят А и В, в качестве ответов на вопросы о
количестве членов конкретных совокупностей.
Одна из сильных сторон математики состоит в том,
что математика способна предоставлять другим наукам
и человеческой практике весьма „работоспособные" тео-
ретические модели, „составные части" которых предста-
вляют собой знакосочетания некоторых конкретных ти-
пов, формируемые из отчетливо отличимых друг от друга
„элементарных" знаков, умещающихся на небольших
участках „более или менее плоских" материальных носи-
телей *). При этом не очень обширный набор
типов используемых знакосочетаний оказывается спо-
собным удовлетворять потребности в „знаковом модели-
ровании" весьма отличающихся друг от друга во многих
отношениях реальных объектов, процессов, ситуаций
и т. п.
В частности, знакосочетания некоторых весьма про-
сто характеризуемых конкретных типов (а при рассмо-
трении чисто теоретических вопросов — даже знакосоче-
тания какого-либо одного подходящего типа) способны
удовлетворить потребность в таком „знаковом моделиро-
вании" совокупностей реальных предметов**), которое
претендует лишь на достаточно полное отражение тех
свойств совокупностей предметов, которые одинаковы у
чрезвычайно разнообразных, но подобных друг
другу совокупностей.
Используя оборот речи «совокупность предметов Р
подобна совокупности предметов Q», я имею в виду (в
отличие от Гудстейна) следующее операционально-
физическое определение: условимся говорить, что
совокупность предметовР подобна совокупности пред-
*) В устных вариантах математических теорий такими „состав-
ными частями" являются звукосочетания, составляемые из корот-
ких звуков.
**) Имеются в виду практически достаточно отчетливо охарак-
теризованные (применительно к рассматриваемой ситуации) ко-
нечные совокупности одновременно существующих и практически
достаточно отчетливо охарактеризованных реальных предметов.
Прилагательное «конечные» фактически является лишним, так как
экспериментальное исследование природы не предоставило примера
бесконечной совокупности одновременно существующих реальных
объектов какого-либо отчетливо охарактеризованного типа.
о РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 47
метов Q, если осуществим утвердительно заканчиваю-
щийся процесс почленного сравнения совокупности Р с
совокупностью Q. Здесь процессом почленного сравне-
ния Р с Q называется любой осуществляемый каким-
либо человеком или подходящим механизмом процесс,
удовлетворяющий следующим условиям: (а) первый шаг
процесса состоит в фиксировании внимания человека или
соответственно воспринимающей части механизма сна-
чала на некотором (выбираемом, вообще говоря, произ-
вольно) члене совокупности Р, а затем на некотором
(выбираемом, вообще говоря, произвольно) члене сово-
купности Q, в запоминании некоторых индивидуальных
особенностей как первого предмета, так и второго, по-
зволяющих отличать каждый из этих предметов от всех
остальных членов соответствующей совокупности, и в
мысленном или каком-либо материальном соединении в
упорядоченную пару комплекса запомненных признаков
первого предмета и комплекса запомненных признаков
второго предмета; (б) каждый новый шаг процесса про-
изводится так же, как первый, но выбор некоторого чле-
на первой (второй) совокупности производится лишь
среди тех членов первой (соответственно второй) сово-
купности, которые не были выделены на предыдущих
шагах*); (в) процесс обрывается тогда, когда члены
хотя бы одной из двух рассматриваемых совокупностей
окажутся исчерпанными. Процесс будем называть утвер-
дительно заканчивающимся, если в момент окончания
окажутся исчерпанными члены обеих совокупностей.
Согласно сформулированному выше определению от-
ношения подобия, для обоснования утверждения «сово-
купность Р подобна совокупности Q» необходимо факти-
ческое осуществление некоторого утвердительно закан-
чивающегося процесса почленного сравнения Р с Q. Од-
нако знание некоторых фактов и законов природы часто
позволяет ограничиваться обоснованиями косвенного ха-
рактера. Например, иногда практически достаточно осу-
*) Если совокупности Р и Q имеют общие члены, то может
оказаться, что некоторый предмет, уже фигурировавший до данного
шага процесса в качестве выделенного члена одной из рассматри-
ваемых совокупностей, еще не фигурировал в качестве выделенного
члена другой совокупности.
48
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
ществить процесс почленного сравнения двух наборов,
каждый из которых состоит из индивидуальных наиме-
нований, или „словесных портретов", или фотографий
всех членов одной из двух рассматриваемых совокупно-
стей предметов.
Типы „знаковых моделирований" конкретных сово-
купностей предметов варьируются в соответствии с пре-
следуемыми целями. В некоторых случаях имеется в
виду лишь присвоение членам рассматриваемой сово-
купности индивидуальных наименований. Процесс такого
„знакового моделирования" некоторой совокупности
предметов Р аналогичен процессу почленного сравнения
двух совокупностей, только в этом случае не обязательно
наличие „в готовом виде" какой-либо совокупности зна-
косочетаний — в роли членов совокупности Q, выделяе-
мых на отдельных шагах процесса почленного сравнения
двух совокупностей, могут фигурировать знакосочетания
какого-либо фиксированного типа *) Q, конструируемые,
когда возникает необходимость, посредством некоторой
(выбираемой в рамках предварительно заданных ограни-
чений, вообще говоря, произвольно) цепочки применений
правил построения, фигурирующих в определении знако-
сочетаний типа Q, или посредством осуществления какого-
либо детерминированного процесса, приводящего к зна-
косочетанию типа Q. Процесс обрывается тогда, когда
все члены совокупности Р окажутся исчерпанными.
Процессом присвоения индивидуальных наименова-
ний является, в частности, общеупотребительный про-
цесс счета числа членов какой-либо совокупности пред-
метов Р посредством десятичных числовых знаков (этим
термином здесь и ниже называются знакосочетания по-
зиционной десятичной числовой системы). В этом про-
цессе знакосочетание, присваиваемое в качестве индиви-
дуального наименования очередному выделенному члену
совокупности Р, строится посредством определенного
алгорифма из знакосочетания, присвоенного некоторому
члену совокупности Р на непосредственно предшествую-
щем шаге процесса (на первом шаге процесса строится
знак 1). и, следовательно, процесс построения последо-
*) См. подстрочное примечание *♦) на стр. 22.
О РЕКУРСИВН АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 49
вательно „вводимых в действие" знакосочетаний детер-
минирован.
Гудстейн утверждает, что такое описание процессов
счета посредством десятичных числовых знаков не вы-
являет «истинной природы счета». Его описание процесса
счета посредством десятичных числовых знаков состоит
в следующем. Сначала рассматриваемая совокупность
предметов трактуется как исходный числовой знак и этот
числовой знак преобразуется в некоторое знакосочетание
(трактуемое тоже как числовой знак), имеющее вид схе-
матичной копии исходного числового знака, например в
знакосочетание, имеющее вид «один и один и. и один»,
или в ряд черточек || |, или в знакосочетание вида
a&b&. &ky где а,Ь, ..., k — буквы, играющие роль
индивидуальных наименований членов рассматриваемой
совокупности. Искомый десятичный числовой знак, играю-
щий роль числа членов рассматриваемой совокупности,
получается в результате преобразования посредством
подходящего рекурсивного процесса полученной схема-
тичной копии исходного числового знака, и лишь с чисто
практической точки зрения можно считать, что процесс
построения искомого десятичного числового знака про-
текает одновременно с процессом построения схематич-
ной копии исходного числового знака.
Однако опыт показывает, что процесс построения схе-
матичной копии рассматриваемой совокупности предме-
тов осуществляется людьми лишь в редких случаях.
Обычно он не фигурирует даже в воображении, но это
ничуть не мешает людям считать число членов совокуп-
ности. По мнению автора этой статьи, рассмотрение
упомянутого процесса в качестве обязательной (в прин-
ципе) части любого нетривиального*) процесса счета
числа членов совокупности представляет собой искус-
ственную идеализацию; эта идеализация оказалась од-
ним из источников следующего тезиса Гудстейна: любой
нетривиальный процесс счета числа членов совокупности
предметов представляет собой процесс преобразования
исходного числового знака (т. е. рассматриваемой сово-
купности предметов) в числовой знак другого типа,
*) См. стр. 45.
50
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
играющий роль того же самого натурального числа, что
и исходный числовой знак.
В связи с этим тезисом Гудстейна и в связи с пред-
ложенным Гудстейном чрезвычайно широким понима-
нием термина «числовой знак» хочется обратить внима-
ние читателей на следующие два обстоятельства, (а) Про-
цессы, посредством которых осуществляются преобразо-
вания схематичных копий исходных числовых знаков в
десятичные числовые знаки, определяются некоторыми
алгорифмами, и, следовательно, эти процессы детерми-
нированы. Совершенно иначе охарактеризованы процес-
сы преобразования исходных числовых знаков (т. е. раз-
нообразных совокупностей предметов) в их схематичные
копии — каждый из этих процессов представляет собой
или включает в себя процесс присвоения индивидуаль-
ных наименований всем членам рассматриваемой сово-
купности (например, наименований |, ||, ||| и т. д.), и из
описаний этих процессов невозможно исключить
разрешение актов произвольного выбора
тех членов рассматриваемой совокупности, на которых
фиксируется внимание при выполнении очередных ша-
гов процесса; процессы этого типа в принципиальном от-
ношении ничем не отличаются от процессов непосред-
ственного наименования членов рассматриваемой сово-
купности десятичными числовыми знаками, (б) Рассмо-
трение произвольных совокупностей предметов в каче-
стве числовых знаков вызывает вопрос: какой числовой
знак естественно считать суммой двух таких числовых
знаков, если две рассматриваемые совокупности имеют
общие члены? Если для определения суммы придется
предварительно преобразовывать исходные числовые
знаки, например, в отдельно расположенные ряды чер-
точек, то какова реальная польза от столь широкого
понятия?
Одно из широко распространенных пониманий тер-
мина «натуральное число» (упоминаемое Гудстейном в
качестве одной из неудачных, по его мнению, «попыток
определения» понятия «натуральное число») состоит в
том, что натуральными числами называют знакосоче-
т а и и я некоторого (подходящего) конкретного типа,
мысленно отождествляемые друг с другом всякий-раз,
О РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 51
когда выполняется некоторое условие равенства
знакосочетаний, игнорирующее весьма многие мате-
риальные свойства этих объектов. При этом как в по-
вседневной жизни, так и при занятиях математикой
люди, используя в различных ситуациях термин «нату-
ральное число», часто имеют в виду знакосочетания раз-
личных типов, т. е. фактически используют различные
понимания этого термина. Однако различные „знаковые"
понимания этого термина обладают некоторыми общими
чертами, позволяющими обычно (но не всегда!)*) „мо-
делировать" одно понимание посредством других пони-
маний и математические теории, основанные на одном
понимании, посредством математических теорий, осно-
ванных на других пониманиях. Фактически термин «на-
туральное число» при его „знаковом" понимании ис-
пользуется как неаккуратное сокращение термина «на-
туральное число числовой системы N», где N — наимено-
вание некоторого конкретного типа знакосочетаний (или
звукосочетаний), а термин «счет числа членов совокупно-
сти предметов» используется как неаккуратное сокраще-
ние термина «счет числа членов совокупности предметов
посредством натуральных чисел числовой системы N» **).
Не расплывчатые и никак не поддающиеся отчетли-
вому описанию представления, связываемые некоторыми
авторами с сокращенными терминами «натуральное чис-
ло» и «счет числа членов совокупности», а конструктив-
но или операционально определяемые понятия, называе-
мые упомянутыми выше полными терминами, являются
подлинными „действующими лицами" арифметики и ее
приложений. Фактически и Гудстейн констатирует отсут-
*) В повседневной жизни люди часто используют такое „зна-
ковое" понимание термина «натуральное число», при котором нату-
ральными числами называются определенные слова разговорного
языка (в русском языке — слова «ноль», «один», «два» и т. д.).
Однако, ввиду отсутствия в грамматиках разговорных языков пра-
вила „сколь угодно далекого" продолжения процессов построения
терминов этого семантического типа, такое понимание термина «на-
туральное число» не может в необходимой для математики степени
„моделировать" используемые в математике понимания.
**) Последнее выражение означает процесс такого же типа, как
описанный выше процесс счета посредством десятичных числовых
знаков.
52
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
ствие „работоспособности" у того весьма абстрактного
представления, которое он связывает с термином «нату-
ральное число» и пояснению которого он посвятил не-
сколько страниц. Это видно из следующих слов: «...объ-
ектов нашего изучения является не само число, а пра-
вила преобразования числовых знаков, и в последующих
главах у нас больше не будет причины рассматривать
понятие числа».
При построении общетеоретических разделов ариф-
метики достаточно остановиться на каком-либо одном
варианте „знакового" понимания термина «натуральное
число», т. е. достаточно рассматривать натуральные чис-
ла какой-либо одной числовой системы: все распростра-
ненные в современной математике варианты „знакового"
понимания этого термина простыми способами модели-
руют друг друга *), и любой из них может играть роль
эталона для связывания друг с другом остальных ва-
риантов и соответствующих им математических теорий.
В теории рекурсивных арифметических функций
удобно основываться на следующем определении: на-
туральными числами называются знак 0 и любое соче-
тание знаков, которое может быть построено в резуль-
тате процесса **), первый шаг которого состоит в написа-
нии знака 0 и каждый новый шаг (если он совершается)
состоит в переходе от знакосочетания N, полученного
в результате предшествующего шага, к знакосочета-
нию S(/V). Таким образом, при этом соглашении нату-
ральными числами называются знакосочетания 0, 5(0),
5(5(0)), * ***).
♦) Утверждая это, мы отвлекаемся от возможных трудностей
при практическом осуществлении переводов чисел одной числовой
системы в числа другой числовой системы.
*♦) При теоретических рассмотрениях имеются в виду не толь-
ко реально осуществимые процессы построения и их результаты, но
также и представления о «сколь угодно далеких продолжениях»
таких процессов и представления о результатах этих продолжений.
***) В качестве компактных обозначений натуральных чисел
этой числовой системы обычно используются натуральныё числа
позиционной десятичной системы. В таких ситуациях для предот-
вращения путаницы желательно натуральные числа десятичной чис-
ловой системы называть каким-либо термином, отличным от сокра-
щенного термина «натуральное число» (например, термином
«десятичный код натурального числа»).
О РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 53
§ 6. В монографиях РТЧ и РА определения прими-
тивно рекурсивных (в другой терминологии—1-рекур-
сивных) функций и рекурсивных функций более общих
типов (например, 2-рекурсивных функций, т. е. функ-
ций, рекурсивных по двум переменным, и т. п.) форму-
лируются без уточнения некоторых деталей техниче-
ского характера. Иное по форме определение прими-
тивно рекурсивных функций, весьма привлекательное
своей отчетливостью, детальностью описания используе-
мой символики и достоинствами технического харак-
тера, дано в работе X. Б. Карри ФРА. Определения и
символика, введенные в ФРА, могут оказаться полез-
ными читателям этой книги для уточнения понимания
некоторых деталей в монографиях Гудстейна (см. ниже).
Символика теории примитивно рекурсивных функций,
введенная Карри, не содержит функциональных перемен-
ных (Гудстейн при изложении рекурсивной арифметики
также не упоминает о функциональных переменных).
Однако вполне отчетливое понимание некоторых разде-
лов монографий Гудстейна может быть достигнуто лишь
при использовании языка с функциональными перемен-
ными. Во многих случаях подходящим оказывается язык,
представляющий собой весьма экономное расширение
предложенной Карри символики посредством присоеди-
нения функциональных переменных и соответствующих
обобщений некоторых языковых понятий. Поэтому здесь
уместно дать краткое описание этого языка (включаю-
щее в себя, в частности, определение примитивно рекур-
сивных функций в форме, предложенной Карри)*).
Исходным определением является сформулированное
в предыдущем параграфе определение натуральных чи-
сел. В дальнейших определениях буквы k, I, т и п сим-
волизируют конкретные положительные целые числа (т. е.
натуральные числа, отличные от нуля). Знакосочетания
вида Хь называются предметными переменными и зна-
*) В приводимом ниже описании языка допущены отступления
от упомянутой работы Карри в некоторых деталях чисто техниче-
ского характера, а также при выборе некоторых обозначений и тер-
минов (в частности, в качестве функциональных знаков исходных
примитивно рекурсивных функций использованы символы, принятые
в монографиях Гудстейна).
54
ВСТУПИТВЛЬНАЯ СТАТЬЯ
косочетания вида f* называются п-местными функцио-
нальными переменными. Буквы S и Z называются исход-
ными l-местными (одноместными) функторами-, знако-
сочетания вида /£, где &-С«, называются исходными
п-местными функторами.
Любой «-местный исходный функтор и любая «-мест-
ная функциональная переменная называется п-местным
функторным термом-, если ф— ^-местный функторный
терм и фь .... фд— «-местные функторные термы, то
знакосочетание [<^фф1 фд] называется «-местным
функторным термом-, если ф — «-местный функторный
терм и %—(« +2)-местный функторный терм, то зна-
косочетание [5?фх1 называется (« + 1)-местным функ-
торным термом. Любой «-местный функторный терм, не
содержащий функциональных переменных, называется
п-местным функтором и рассматривается как обозначе-
ние (функциональный знак) определенной «-местной
примитивно рекурсивной функции; это обозначение та-
ково, что оно, рассматриваемое совместно с определяю-
щими равенствами (см. ниже), полностью характери-
зует определенный арифметический алгорифм, перера-
батывающий любую «-членную систему натуральных
чисел в некоторое натуральное число (см. ниже) *).
Знак 0 и предметные переменные называются пред-
метными термами-, если ф — ^-местный функторный терм
и Т[, .... Tk — предметные термы, то знакосочетание
ф(7'1, ..., Tk) называется предметным термом. Пред-
метный терм Т называется функционально постоянным,
если он не содержит функциональных переменных, и
называется постоянным, если он не содержит ни функ-
циональных, ни предметных переменных.
Если Г] и Тг — предметные термы, то знакосочета-
ние Ti = Г2 называется равенством, При истолковании
равенств допустимыми значениями любой предметной
переменной считаются натуральные числа и допусти-
мыми значениями любой «-местной функциональной пе-
♦) Здесь сделано следующее отступление от языка, используе-
мого X. Б. Карри: не введены 1-местные функторы вида [ЛТ%], где
Т — постоянный предметный терм (см. ниже) и х — 2-местный функ-
тор. Введение таких функторов усложняет язык и в то же время не
является необходимым (см. ниже § 8).
О РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 55
ременной считаются «-местные функторы. В тех слу-
чаях, когда равенство Ti = 7г рассматривается как за-
пись утверждения, полная формулировка соответствую-
щего утверждения имеет вид: «Каковы бы ни были
|ь .... верно равенство Т1 = Т2»; здесь |ь' gm-
список всех переменных (как предметных, так и функ-
циональных), входящих в данное равенство.
Функтору Z и функторам видов 1к, [<^<’фф1 ... фА]
и [^Фх] ставятся в соответствие следующие определяю-
щие равенства:
(^i) ^(а1) = 0; (Е2) Ik(alt ак, an)=afcj
(Е3) [<^фф1 Фл1(аь а„) =
= ф (ф! (аь а„), фй (аь .... a„))j
(£') Ифх1(аР а„, 0) = ф(ар %),
(Е") ИфхЦар «». S(a„+i)) =
= Х(«1. а«+1. [<#ФХ1(«1. a„+i)).
Здесь ф — fc-местный функтор, ф1......Фа и ф — «-мест-
ные функторы, % — (« -I- 2) -местный функтор и аь
..., ап, «п+1 — произвольные, но различные предметные
переменные.
Если R — какое-либо равенство одного из видов
(ЕО, (е2), (Ез), (еО, Ш то любое равенство /?*, по-
лучаемое в результате подстановки в R вместо каждой
входящей в R предметной переменной какого-либо на-
турального числа, рассматривается как определение
значения постоянного предметного терма, стоящего в
/?* слева от знака =, через значение постоянного пред-
метного терма, стоящего в R* справа от этого же знака.
Например, значением терма [5?фх1 (М, ..., Nn> S(Nn+\))i
где Afi, Nn+i — какие-либо натуральные числа, счи-
тается значение терма xW, ...» Nn+\, [$4>х1(^ь ^..
..., Vn+i)). Это соглашение является основой описания
детерминированного процесса вычисления значения
любого постоянного терма вида со (Mi, , Mi), где
со —/-местный функтор и М\, ..., Mi — натуральные чис-
ла. Значением примитивно рекурсивной функции со на
56
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
системе натуральных чисел Л1Ь называется зна-
чение терма (o(Ajb Mi) *).
Определяющие равенства для функторов (т. е. ра-
венства видов (Ei), (£2), (Ез), (Е4), (/и)) верифици-
руемы; это означает, что они верны при всех значениях
входящих в них переменных. Если Т\ и Т2— какие-либо
предметные термы такие, что знакосочетание 7\ = Т2 со-
держит переменные, но не является определяющим ра-
венством для какого-либо функтора, то вопрос о вери*
фицируемости равенства Т\ = Т2 может оказаться весьма
трудным. Алгорифм для распознавания верифицируе-
мых равенств среди всевозможных равенств невозмо-
жен; более того, невозможно исчисление (формально-де-
дуктивная система)**), в котором выводимые объекты
представляют собой верифицируемые равенства и любое
верифицируемое равенство выводимо (см. РТЧ,
гл. VIII). Однако на основе упомянутой выше осново-
полагающей работы Т. Сколема в работах Гильберта
и Бернайса [5], X. Б. Карри и Р. Л. Гудстейна были
построены отличающиеся друг от друга по своему типу,
но равнообъемные (эквивалентные) исчисления ***), об-
ладающие следующим свойством: любое выводимое в
исчислении равенство верифицируемо (таким образом,
выводимость равенства в каком-либо из этих исчислений
является достаточным условием верифицируемости рас-
сматриваемого равенства). При этом обнаружилось, что
верифицируемые равенства, выводимые в этих исчисле-
ниях, достаточны для обоснования многих существенных
теорем арифметики, а понятие вывода в этих исчисле-
ниях из заданных равенств при фиксации заданных пе-
ременных может служить подходящей основой для обо-
♦) По образцу языка, предложенного Карри для определения
примитивно рекурсивных функций, могут быть введены языки для
определения 2-рекурсивных, 3-рекурсивных и т. д. функций.
♦•) Имеется в виду такое понятие исчисления (формально-де-
дуктивной системы), при котором выводимые в исчислении объекты
алгорифмически перечислимы.
***) Эти исчисления и эквивалентные им исчисления в литера-
туре часто объединяются термином «примитивно рекурсивная ариф-
меша»’
О РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 57
снования многих существенных теорем конструктивного
математического анализа.
В монографии РТЧ описывается и обстоятельно ис-
следуется несколько эквивалентных друг другу исчисле-
ний равенств для примитивно рекурсивных функций.
Исчисление, введенное во второй главе, обобщается и
на 2-рекурсивные, 3-рекурсивные и т. д. функции*).
К сожалению, рассуждение, предложенное в разде-
ле 2.98 в качестве обоснования верифицируемости ра-
венств, выводимых в рассматриваемых Гудстейном
исчислениях, в действительности таким обоснованием не
является. Корректное обоснование можно получить, раз-
дельно проведя два рассуждения: рассуждение, обосно-
вывающее вычислимость и единственность значения
любой примитивно рекурсивной (2-рекурсивной и т. д.)
функции при произвольно выбранных значениях пред-
метных переменных (это рассуждение опирается на
описание процесса вычисления значений рекурсивных
функций рассматриваемого типа и проводится методом
индукции по шагам процесса построения рассматри-
ваемого функтора), и рассуждение, обосновывающее
верифицируемость любого равенства, выводимого в ис-
числении (это рассуждение проводится методом индук-
ции по шагам процесса вывода рассматриваемого ра-
венства).
Ниже формулируются применительно к описанному
выше языку с функциональными переменными два экви-
валентных друг другу исчисления Гудстейна: исчисле-
ние, положенное в основу гл. II, и одно из исчислений,
упомянутых в гл. V. Мы будем пользоваться в даль-
нейшем изложении следующим обозначением. Пусть Т—
предметный терм, gi, ..., Ъ>п — различные переменные и
//„ — знакосочетания, такие, что если &— пред-
метная переменная, то Hi — предметный терм, а если
•) В настоящее время опубликовано уже значительное количе-
ство работ различных авторов, посвященных исчислениям равенств
для рекурсивных функций, функционалов и операторов различных
конкретных типов. Настоящая книга отражает лишь один из суще-
ственных этапов развития этого круга идей. Из работ, непосред-
ственно примыкающих по своей тематике к РТЧ, упомянем лишь
[17] и [18] (во второй работе исправляется существенная ошибка,
допущенная в первой).
58
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
& — ^-местная функциональная переменная, то Hi —
^-местный функторный терм (/= 1, . ..,п); выражение
Р’ 1//,. будет обозначать результат одновременной
подстановки терма Hi вместо всех вхождений gi в Т,
терма Нп вместо всех вхождений gn в Т.
Первое исчисление равенств Гудстей-
на. Аксиомами исчисления считаются, во-первых, ра-
венства видов (£i), (£г), (£з), (£0, (Е"), в которых в ка-
честве ф, фь фп, ф и х могут фигурировать не только
функторы, но и функторные термы с функциональными
переменными, и, во-вторых, равенства вида
(I) Т = Т,
где Т — произвольный предметный терм. Правилами вы-
ие правила (II), (III) и (IV):
Здесь Р* и Q* — предмет-
ные термы, получаемые в ре-
зультате подстановки предмет-
ного терма V вместо некоторых
вхождений предметного терма
U в Р и соответственно в Q
(количество заменяемых вхо-
ждений может равняться нулю).
Здесь U и V — предметные
термы, | — предметная или
^-местная функциональная пе-
ременная и Н — предметный
или, соответственно, ^-местный
функторный терм. (В каждом
применении этого правила вы-
деленная переменная £ назы-
вается собственной перемен-
ной рассматриваемого приме-
нения *).)
вода
(П)
(Ш)
считаются
U = V
P = Q
P‘ = Q’
U = V
♦) Если не иметь в виду формулируемого ниже обобщения по-
нятия вывода в исчислении равенств (см. определение понятия вы-
вода из данных равенств при фиксации данных переменных), то
правило (III) достаточно формулировать для случая, когда £ — пред-
О РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 59
®!(аь ...» а„, 0) = i|>(ai, ап)
®2(«i....an> 0) = 4>(ai, а„)
®t(ab ..., а„, S(ая+1)) = х(аь ...»а„+1, <о1(а1.ап+1))
а>2(«1..on>-S(«n+i)) = x(gi. -»an+i, <о2(аь -.ttn+i))
®1(аь an+i) = ®2(ai> an+i)
Здесь *ф» %, «I и ©2 — функторные термы и ai,
..., ата, an+i — различные предметные переменные.
(В каждом применении этого правила переменная an+i
называется собственной переменной рассматриваемого
применения.)
Второе исчисление равенств Гудстей-
н а. Аксиомами считаются такие же равенства, как в
предыдущем исчислении, кроме равенств вида Т = Т.
Правилами вывода считаются следующие правила (Г),
(II'), (III'), (IV'):
Ui = Vi
u = v . .
(Г) (1П________________________________________________
V = W V1’ ф(^, [7») = ф(Уь у*)
Здесь U, V, W, £7Ь ..., Uhi Vi, Vk — предметные
термы и ф — й-местный функторный терм.
Правило (III') совпадает с правилом (III). Правило
(IV') получается в результате замены в правиле (IV)
первых двух посылок одной посылкой (01 (аь ...» an, 0) =
= (02 (ai, ...» an, 0).
Следующие ниже определения и утверждения форму-
лируются одновременно для обоих исчислений.
Выводом в исчислении равенств называется всякий
список равенств ..., Ri такой, что при каждом k
(k = 1, ..., I) равенство Rk или является аксиомой, или
получается из одного или нескольких предшествующих
ему в данном списке равенств по одному из правил
метная переменная; правило (III) в общей формулировке является
следствием аксиом и комплекса всех правил вывода, в котором пра-
вило (III) сформулировано в „урезанном" виде.
60
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
вывода. О равенстве /? говорят, что оно выводимо в ис-
числении, если можно построить вывод в исчислении,
последним членом которого является R.
Важную роль в понимании некоторых разделов этой
книги играет следующее обобщение понятия вывода в
исчислении равенств. Пусть
^1» (7)
— произвольный список равенств и
1ь ...» In (8)
— произвольный список переменных. Говорят, что спи-
сок равенств R\, ..., Ri является выводом в исчисле-
нии равенств из списка (7) при фиксации переменных
(8), если при каждом k (Л — 1, ..., /) равенство /?Л
или является аксиомой исчисления, или входит в спи-
сок (7), или получается из одного или нескольких пред-
шествующих ему в списке ..., Ri равенств по од-
ному из правил вывода, примененному так, что собст-
венная переменная этого применения не фигурирует в
списке (8) [последнее условие касается правил (III),
(IV), (III') и (IV')].
Это понятие необходимо для правильной формули-
ровки дедукционной теоремы, сформулированной в гл. V
монографии РТЧ неточно (см. соответствующее приме-
чание редактора перевода). Это же понятие Гудстейн
использует (не вводя его явно) в монографии РА при
обосновании (говоря точнее, при истолковании) некото-
рых утверждений, формулируемых посредством языка,
использующего неограниченные кванторы и, следова-
тельно, существенно выходящего за рамки языка, рас-
сматриваемого в РТЧ. Роль рассматриваемого понятия
в истолковании теорем некоторых типов обусловлена
следующими свойствами исчисления равенств:
1) Если в каком-либо конкретном применении ка-
кого-либо правила вывода все посылки оказываются
верифицируемыми равенствами, то и заключение яв-
ляется верифицируемым равенством-
2) если равенство R выводимо из равенств Lu ...
.... Lm при фиксации переменных .... то, ка-
О РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И. ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 61
ковы бы ни были допустимые значения С(, ..., Сп (со-
ответственно) переменных |ь |п, из равенств
[L1 ^'1. У’ [Лт |с1’.У (9)
выводимо равенство
[л о»)
и (следовательно) если все равенства (9) верифицируе-
мы, то и равенство (10) верифицируемо [при этом, если
обоснование верифицируемости равенств (9) осущест-
вимо посредством их вывода в исчислении равенств, то
и обоснование верифицируемости (10) осуществимо та-
ким же способом].
§ 7. Для упрощения техники выводов в исчислениях
равенств при использовании описанной выше символики
Карри полезна следующая теорема (представляющая
собой переформулированную применительно к исчисле-
ниям Гудстейна теорему 3.3 из ФРА):
(А) Каковы бы ни были предметный терм Т и спи-
сок различных предметных переменных аь ..., а,-
(i 0), содержащий все предметные переменные, вхо-
дящие в Т, можно построить функторный терм <р (i-мест-
ный, если i > 0, и l-местный, если i = 0), не содержа-
щий функциональных переменных, отличных от тех, ко-
торые входят в Т, и такой, что в исчислении равенств
можно вывести (притом без использования правил (III)
и (IV) в первом исчислении и правил (III') и (W')-eo
втором) равенство
<р(аь at) = Т (П)
[если i — 0, то левая часть равенства (11) имеет вид
Ф(0)].
Доказательство этой теоремы состоит в построе-
нии (индукцией по шагам процесса построения пред-
метного терма Т) искомого функторного терма *) и
♦) Описание этого построения представляет собой описание опре-
деленного алгорифма.
62
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
в построении (индукцией по шагам того же процесса)
вывода равенства (11).
В монографиях Гудстейна используется иное по
форме, чем у Карри, понятие примитивно рекурсивной
функции, и теореме (А) соответствует предусмотренный
определением этого понятия способ введения новых
функций посредством явных определений.
Непосредственным следствием теоремы (А) является
следующая теорема (представляющая собой перефор-
мулированную применительно к исчислениям Гудстейна
теорему 3.4 из ФРА):
(Б) Каковы бы ни были предметные термы Т\ и Т2
и список различных предметных переменных аь
..., а,-,а,+ь а<+2 (i^O), такие, что все предметные пе-
ременные, входящие в Т\, содержатся в списке аь ...
..., а, и все предметные переменные, входящие в Т2,
содержатся в списке аь ..., а,, а^+ь a,i+2, можно по-
строить (I + I) -местный функторный терм со, не содер-
жащий функциональных переменных, отличных от тех,
которые входят хотя бы в один из термов Т\, Т2, и та-
кой, что в исчислении равенств выводимы (притом при
фиксации всех переменных, кроме а,+2) равенства
<o(oi....а(, 0) = Ti,
со(аь щ, S(а<+1)) = [Г21“^,. а,.,а/+,)]•
В монографиях Гудстейна этой теореме соответст-
вует используемая форма определения новых функций
посредством примитивной рекурсии.
Непосредственными следствиями теоремы (А) яв-
ляются также следующие две теоремы (В) и (В') (пред-
ставляющие собой аналоги в исчислениях Гудстейна
теоремы 3.5 из ФРА):
(В) Каковы бы ни были предметные термы 7\, Т2,
U, V и различные предметные переменные а, р такие,
что а и (} не входят в U и р не входит в Т\ и Т2, в ис-
числении равенств из списка равенств
М = [Г21о]=^
(12)
О РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 63
при фиксации всех переменных, кроме а и 0, выводимо
равенство
Л = Т2.
Заменив в списке (12) первые два равенства одним
равенством [7\ Й = [Т2 Й» исключив из текста теоремы
(В) упоминания о терме U и сохранив остальной текст
этой теоремы, мы получим формулировку теоремы (В').
В монографиях Гудстейна теоремам (В) и (В') со-
ответствуют используемые формы правил вывода (IV)
и (IV').
§ 8. В гл. VI и в некоторых других главах моногра-
фии РТЧ имеется ряд теорем о представимости в форме
примитивно рекурсивных функций некоторых арифмети-
ческих функций, характеризуемых посредством таких
определяющих равенств, которые отличаются от опре-
деляющих равенств для примитивно рекурсивных функ-
ций и включают в себя (вообще говоря) функциональ-
ные знаки, символизирующие некоторые примитивно
рекурсивные функции. Теоремы этого типа фактически
представляют собой утверждения, записи которых по-
средством общеупотребительной логической символики
(использующей, в частности, квантор общности V и
квантор существования 3) имеют вид
Vtu nfe+zG; (13)
здесь G — формула*) вида
(Va> (U п = /„)), (14)
•) Здесь и ниже формулами называются логико-арифметиче-
ские формулы, т. е. знакосочетания, которые строятся, исходя из ра-
венств, при помощи логических знаков &, V, <-►, V, Н по
таким же правилам построения, по каким в языке исчисления пре-
дикатов строятся формулы этого языка, исходя из простейших (ато-
марных) формул.
Если F — какая-либо формула и gi, £2, ..., 5m — какие-либо
переменные, то выражения V5i52 5m^ и %mF мы
будем использовать в качестве сокращенных записей (соответствен-
но) формул VjjVgz ... и 3^3g2 ... 3£mF.
64
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
где Ui, Un, Vi, Vn — некоторые предметные
термы и a™, aj* (»от 0) — список всех пред-
метных переменных, входящих в равенство Um = Vm
(m=l, .... п); in, т)А, т]А+1, т|А+г —список (без
повторений) всех функциональных переменных, входя-
щих в G.
Примером теоремы этого типа может служит тео-
рема о представимости в форме примитивно рекурсив-
ных функций таких арифметических функций, которые
определяются, исходя из примитивно рекурсивных функ-
ций, посредством одновременной рекурсии по одной и
той же переменной. Частный случай этой теоремы, рас-
смотренный в разделе 6.2 монографии РТЧ, имеет вид
Vf?fi3/}f‘((f|(0) = 0)&(f'(0) = 0)&
&Vx,(f}(S(x,))=f?(f}(xI),/•(*,)))&
&VxI(f>(S(x1)) = ^(Z](xI),f>(x1)))). (15)
Во многих случаях утверждения вида (13) удается
обосновать в следующем смысле: удается построить
функторные термы <pi, ..., <рг, не содержащие функцио-
нальных переменных, отличных от т]ь ..., т|А, и такие,
что в исчислении равенств при фиксации переменных
т|ь т)А выводимы равенства
al-vh u*n=v*n,
где Um и Vm обозначают соответственно термы
[umi;*+*•ф;+Ф
Для уяснения формы, которую в монографии РТЧ в не-
которых случаях имеют такого рода обоснования ут-
верждений вида (13), рассмотрим (15). Для обоснова-
ния в указанном смысле утверждения (15) достаточно
(на основании теоремы (А)) построить какие-либо
предметные термы пТъ не содержащие функциональ-
ных переменных, отличных от и ff, и предметных пе-
ременных, отличных от Xi, и такие, что в исчислении ра-
О РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 65
венств при фиксации переменных fj и выводимы ра-
венства
[Т11?‘] = 0, [г21о‘] = о,
КмН(л.
(Такие предметные термы и строятся в РТЧ.)
В качестве пояснения подстрочного примечания на
стр. 54 заметим, что в таком же смысле, как выше, мо-
жет быть обосновано утверждение
(o^vx^s^-^x,, №))))•
Одноместный функторный терм, при помощи кото-
рого достигается искомое обоснование, имеет вид
где <р обозначает 2-местный функторный терм
В языке, используемом Гудстейном в гл. III моно-
графии РТЧ, знаки ф, <, &, V, *-> играют
роль символов, предназначенных для сокращенной запи-
си некоторых равенств. Ввиду такой роли указанных
знаков в формулах, не содержащих неограниченных
кванторных комплексов, к виду (13) приводимы и неко-
торые утверждения, имеющие несколько иную форму,
чем только что рассмотренные. Примером может слу-
жить следующая теорема о „склеивании" примитивно
рекурсивных функций:
VfW&'Vx, (((/ (х,) - 0) -»(f‘ (х.) - f} (х,))) &
4(ЙМ*о)^(«(х,)-/;(х,)))).
Теоремы вида (13) представляют собой утверждения
о возможности решения системы функциональных урав-
нений относительно выбранных функциональных пере-
менных. В рассмотренных выше и подобных им приме-
рах важен вопрос о единственности решения. Чтобы
избежать громоздких записей, рассмотрим в качестве
примеров теоремы вида
(J7, = V.) & (U2 = V2)). (16)
66
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
Утверждение о единственности решения, соответствую-
щее утверждению (16), имеет вид
(У. - И0&УжЛ(£/,- Vx,(С/; - V])&
&Vx1x!(C/;-Va)-Vx1x2(^(x„ x2)-f|(x„ х2))). (17)
Здесь C/|, Vi, U2, Уг — предметные термы, получае-
мые соответственно из термов Ui, Уь U2, V2 в резуль-
тате подстановки переменной f% вместо всех вхождений
переменной f%. Во многих случаях утверждения этого
вида удается обосновать в следующем смысле: удается
построить вывод равенства ^(х,, х2) = /з(хр хг) из Ра*
венств Ul == Ур U2 = У2, U* = У,, U*2 = V’2 при фиксации
переменных fj, ff, ff, fl*).
В монографии РА часто рассматриваются и обосно-
вываются утверждения, логическая форма которых
сложнее, чем во всех рассмотренных выше примерах
(но не превосходит все же определенного „уровня слож-
ности"). О типе утверждений, фигурирующих в рекур-
сивном анализе Гудстейна, и о характере обоснования
этих утверждений речь будет идти ниже в § 10.
§ 9. Для подхода Гудстейна к построению конструк-
тивного варианта математического анализа характерна,
прежде всего, следующая черта: рассмотрения ведутся
в рамках какого-либо фиксированного типа рекурсив-
ных арифметических функций, такого, что для любой
функции этого типа может быть обосновано утверж-
дение о ее потенциальной вычислимости при любых зна-
чениях переменных (например, в рамках понятия «при-
митивно рекурсивная функция» или понятия «А-рекур-
сивная функция», где k — одно из чисел 2, 3, ...,
и т. п.). В качестве функций, на примере которых под-
робно разъясняется предлагаемый подход, выбраны
примитивно рекурсивные функции. Такое ограничение,
налагаемое на тип используемых алгорифмов, может
показаться весьма стеснительным с теоретической точки
*) Обоснования единственности решений функциональных урав-
нений Гудстейн не проводит.
О РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 67
зрения. Действительно, многие соображения теоретиче-
ского характера побуждают разрабатывать такие ва-
рианты конструктивного математического анализа, в
которых это ограничение снято или же значительно ос-
лаблено. Однако одним из доводов в пользу целесооб-
разности разработки и того варианта конструктивного
анализа, который предложен Гудстейном, является сле-
дующее обстоятельство: конкретные алгорифмы, факти-
чески используемые в различных областях приложений
математического анализа, лишь в редких случаях не допу-
скают представления посредством примитивно рекурсив-
ных функций (говоря о представлении какого-либо алго-
рифма посредством примитивно рекурсивной функции,
мы имеем в виду, что исходные данные для алгорифма
закодированы натуральными числами). Возможности
примитивно рекурсивных функций как технических
средств определения конкретных конструктивных объек-
тов изучения математического анализа широко проил-
люстрированы в гл. V монографии РА и в Добавлении
к РА. Еще один довод будет упомянут в конце § 10.
Второй характерной чертой подхода Гудстейна яв-
ляется своеобразие предложенных им конструктивных
аналогов понятий равномерно непрерывной и равно-
мерно дифференцируемой в сегменте (с рациональными
концами) вещественной функции вещественной перемен-
ной. „Уровень логической сложности" условий, характе-
ризующих эти понятия, не выше, чем для понятия при-
митивно рекурсивного вещественного числа: эти условия
(а -также условия, характеризующие отношение равен-
ства и другие рассматриваемые в РА отношения, вводи-
мые для упомянутых конструктивных аналогов) могут
быть записаны посредством формул вида
3g, SpVgp+, ...£р+?(£/ = Ю, (18)
где gi, .... gp+g — некоторые переменные, U и V — не-
которые предметные термы. Формулы вида (18) *) на-
зываются в дальнейшем изложении формулами типа ЗУ.
В определениях упомянутых конструктивных аналогов
не фигурирует понятие конструктивного вещественного
•) Предполагается, что р + q > 0.
68
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
числа и даже понятие примитивно рекурсивного веще-
ственного числа. Объекты, играющие роль аналогов упо-
мянутых функций вещественной переменной, предста-
вляют собой (говоря несколько упрощенно) алгорифми-
чески заданные последовательности примитивно рекур-
сивных рационально-значных функций рационально-
значной переменной*), обладающие примитивно рекур-
сивным „регулятором сходимости в себе" и примитивно
рекурсивным „регулятором равномерной непрерывности"
(соответственно, „регулятором равномерной дифферен-
цируемости"). Несмотря на то, что определения этих
объектов не опираются на понятие конструктивного (при-
митивно рекурсивного) вещественного числа, любая
функция в смысле Гудстейна, предъявленная вместе с
упомянутыми „регуляторами", дает возможность п о-
строить ее значение на любом примитивно рекурсив-
ном вещественном числе, представляющее собой такое
же число (а при переходе к более широкой точке зре-
ния, допускающей рассмотрение и общерекурсивных
вещественных чисел, дает возможность строить ее зна-
чения и на таких числах). Более того, по любому k мо-
жно построить (посредством примитивно рекурсивной
функции) такое I, что будет выполнено следующее усло-
вие: каково бы ни было рациональное число г из сегмен-
та, в котором задана функция, можно построить (посред-
ством примитивно рекурсивной функции) рациональное
число s такое, что s будет приближенным значением
данной функции с точностью до 10“ft в любой общерекур-
сивной (и, в частности, в любой примитивно рекурсив-
ной) точке, для которой г служит приближенным значе-
нием с точностью до 104 В этом смысле предложенный
Гудстейном конструктивный аналог понятия равномерно
непрерывной функции вещественной переменной пред-
ставляет собой такое понятие конструктивной матема-
тики, которое весьма хорошо согласуется с идейной
основой представлений математиков интуиционистского
*) Каждое рациональное число представимо посредством тройки
натуральных чисел (см. РА, гл. I) и благодаря этому упоминаемые
здесь функции описываются на языке примитивно рекурсивных ариф-
метических функций, введенных в РТЧ.
О РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 69
направления'(прежде всего — Л. Э. Я. Брауэра) о при-
емлемом с их точки зрения аналоге упомянутого поня-
тия классической математики. Свой вариант такого ана-
лога Брауэр определяет иным способом.
Весьма существенным для теории Гудстейна является
тот факт, что в определении вводимого им ана-
лога понятия равномерно непрерывной функции при-
митивно рекурсивные вещественные числа не фигури-
руют в качестве подлежащих рассмотрению значений
аргумента. Это не означает, что при построении теории
введенных им функций необходимо избегать рассмот-
рения значений этих функций в примитивно рекурсив-
ных точках — как уже было упомянуто, любое такое
значение может быть построено в виде примитивно
рекурсивного вещественного числа. Однако Гудстейн
почему-то стремится избегать рассмотрения значений
функций в примитивно рекурсивных (даже в рациональ-
ных) точках. Эта тенденция лишает его возможности
приблизить к формулировкам классического математи-
ческого анализа, упростить, а в некоторых случаях и
уточнить формулировки некоторых теорем, не выходя
при этом за рамки допускаемого его подходом „уровня
логической сложности" утверждений. Примером может
служить теорема 2.4 из РА. Построенное в доказатель-
стве этой теоремы примитивно рекурсивное вещественное
число h представляет собой не только верхнюю границу
функции f, но и ее. точную верхнюю границу (ввиду рав-
номерной непрерывности рассматриваемых функций по-
нятие точной верхней границы можно определить, осно-
вываясь лишь на значениях функции в рациональных
точках, — эти значения представляют собой примитивно
рекурсивные вещественные числа).
Гудстейн строит свой вариант конструктивного ма-
тематического анализа в йредикатной форме*). „Со-
ставные" конструктивные объекты, необходимые для
*) По-видимому, Гудстейн является первым из тех математи-
ков, которые отчетливо осознали недопустимость безоговорочного
перенесения в конструктивную математику используемого в класси-
ческой математике способа перехода от предикатной формы построе-
ния теорий к операторной форме.
70
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
корректного перехода к операторной форме построения
теории [подобные тем, которые упоминаются в утверж-
дении (5) из § 3 этой статьи], явно Гудстейном не
вводятся. В их рассмотрении и нет необходимости при
строгом соблюдении предикатной формы построения
теории. К сожалению, некоторые используемые Гуд-
стейном обозначения и обороты речи иногда приводят
к нарушению отчетливости изложения. Примерами та-
ких обозначений могут служить обозначение Rf(p),
введенное в разделе 1.35, и обозначение If(n, а, Ь), вве-
денное в разделе 4.1 и распространенное на функции
более общего типа в разделе 4.2. Эти обозначения имеют
операторный характер и используются автором именно
как операторные обозначения; однако исходные данные,
необходимые для выполнения соответствующих опера-
ций, отражены в этих обозначениях совершенно недо-
статочно*).
§ 10. Гудстейн в предисловии к монографии РА ут-
верждает, что рекурсивный анализ (так он называет
разрабатываемый им вариант конструктивного матема-
тического анализа) формализуем в исчислении равенств,
однако нигде в тексте РА не поясняет, какой смысл он
вкладывает здесь в термин «формализация». Конкрет-
ный материал, содержащийся в РА, свидетельствует о
том, что это утверждение Гудстейна нельзя понимать
в том смысле, что все теоремы рекурсивного анализа
допускают запись в виде равенств и эти равенства вы-
водимы в исчислении равенств. Ситуация значительно
сложнее. Обычно теоремы рекурсивного анализа при
записи их посредством общеупотребительной логической
символики имеют вид
V&, Ь((Л& &F*)->F*+I), (19)
*) Вообще приходится с сожалением констатировать, что в
весьма интересных с идейной точки зрения монографиях Гудстейна
читатели встретятся с некоторыми погрешностями изложения, в том
числе с нарушающими отчетливость обозначениями и способами
записи, с неточными и даже ошибочными утверждениями и рассу-
ждениями. В наиболее существенных случаях в примечаниях пере-
водчика и редактора перевода даются необходимые пояснения,
О РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 71
где gi, .... 51 — переменные и Fit Fh, Fk+i — фор-
мулы типа ЗУ *). Ввиду возможности корректного пе-
реименования переменных можно предполагать, что в
(19) различные вхождения кванторов связывают раз-
личные переменные.
Формулы вида (19) не являются равенствами, но в
РА обоснование утверждений этого вида (за которым
скрывается определенное понимание таких утвержде-
ний) действительно основывается на исчислении ра-
венств (хотя детали и не приводятся).
Для построенного Гудстейном фрагмента конструк-
тивного математического анализа характерна следую-
щая черта: „логическая сложность" рассматриваемых
в нем теорем не превосходит (в определенном смысле)
„логической сложности" формул вида (19); встречаю-
щиеся в РА теоремы рекурсивного анализа, имеющие
более сложный вид, переводимы в утверждения вида
(19) или в конъюнкции таких утверждений посредством
небольшого набора преобразований, переводящих лю-
бую формулу в эквивалентную ей (с точки зрения кон-
структивной логики) формулу**).
Монография РА включает в себя не только понятия
и теоремы, лежащие в рамках специфического рекур-
сивного анализа Гудстейна, но также некоторые понятия
и теоремы, выходящие за рамки этой теории. Последние
сконцентрированы главным образом в первой главе, но
встречаются и в дальнейших главах. К сожалению, в
монографии РА понятия и теоремы этих двух типов
не отделены отчетливо друг от друга. Среди определений
*) Гудстейн обычно формулирует теоремы рекурсивного анализа
без использования логической символики (лишь иногда используют-
ся знаки пропозициональных логических связок). При формулирова-
нии теорем вида 719) начальная часть формулировки, выраженная
знакосочетанием ... &, обычно им не выговаривается (но
всегда подразумевается); в таких случаях список £t, .... состоит
из всех переменных (как предметных, так и функциональных),
имеющих хотя бы одно свободное (т. е. не связываемое никаким
квантором) вхождение в формулу ((Fj & ... &F*) ->Fk+t).
**) Обычно- достаточны преобразования, состоящие в перехо-
дах от формул видов (4 -> (В & С)), ((4 V В) -+ С), (4 -► (В -> С))
соответственно к формулам ((4 -> В) & (4 -» С)), ((4 -> С) &
&(В->С)), ((4&В)->С).
72
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
и теорем, имеющихся в РА, за рамки рекурсивного ана-
лиза Гудстейна выходят определения и теоремы, в ко-
торых фигурирует понятие общерекурсивной функции,
и теоремы о невозможности эффективных методов (ал-
горифмов), удовлетворяющих определенным условиям.
Эти теоремы имеют существенно более сложную (с
определенной точки зрения) логическую структуру, чем
теоремы вида (19), и их обоснование осуществляется
посредством рассуждений совершенно иного характера,
чем в случае теорем вида (19). В монографии РА тео-
ремы этого типа играют роль дополнений к специфиче-
скому фрагменту конструктивного математического ана-
лиза, разработанному Гудстейном.
Гудстейн, говоря о формализации рекурсивного ана-
лиза посредством исчисления равенств, подразумевает,
по-видимому,- возможность обоснования рассмотренных
им (и многих других) теорем вида (19) и упомянутых
в § 8 видов в определенном „сильном" смысле, соответ-
ствующем определенному „сильному** конструктивному
истолкованию утверждений этих видов, которое полно-
стью согласуется с используемым в конструктивной ма-
тематике более общим истолкнованием суждений о кон-
структивных объектах, но предполагает относительную
простоту определенных конструкций и связей. Описание
этого „сильного** истолкования утверждений вида (19)
читатель без труда составит на основе следующего при-
мера*). Рассмотрим утверждение вида
(20)
где Fit F2 и F3 обозначают соответственно формулы
3x6/3f'Vx7fi₽3;
здесь Ri, R2 и R3 — обозначения некоторых равенств.
Первый шаг истолкнования утверждения (20) состоит
в том, что (20) рассматривается как утверждение, имею-
щее точно такой же смысл, как утверждение
Vxlf2x2f}x4f3((G1&G2)->F3)i (21)
*) Мы ограничиваемся здесь конкретным примером, чтобы избе*
жать громоздких записей.
О РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 73
где Gi и G2 обозначают соответственно формулы
Vx3/?p Vx6ff/?2.
Следующий шаг состоит в переходе от (21) к утверж-
дению более „сильному" (с точки зрения используемого
в конструктивной математике конструктивного понима-
ния математических суждений), чем (21), а именно, к
утверждению
( (Gi & g2) оз)> (22)
где Оз обозначает формулу Vx7fjR3.
Утверждение (22) понимается в конструктивной мате-
матике как утверждение о возможности построения трех
алгорифмов, строящих по любым допустимым значениям
переменных х2, fj, х4, f3 некоторые допустимые
значения (соответственно) переменных х6, f3t f*, удо-
влетворяющие вместе с исходными данными условию
(Gi &С2)~>Оз). В используемом языке теории прими-
тивно рекурсивных функций имеются технические сред-
ства, позволяющие описывать некоторые алгорифмы,
строящие по допустимым значениям указанных пере-
менных допустимые значения переменной х$ (натураль-
ные числа); такими техническими средствами являются
предметные термы; но в этом языке нет технических
средств для непосредственного описания алгорифмов,
строящих по тем же исходным данным функторы. По-
ложение станет иным, если мы расширим понятия функ-
торного терма и предметного терма, объединив правила
построения функторных термов и предметных термов в
одном определении и включив в него следующее новое
правило построения функторных термов: если <р — £-ме-
стный функторный терм, Ть ..., Тт — предметные
термы и tn<k, то знакосочетание Тш] назы-
вается (k — т)-местным функторным термом. Функто-
рам (т. е. постоянным функторным термам) нового
типа поставим в соответствие определяющие равенства
вида
... T'm]((Xi9 Otk—m) =
= ф(^1> •••> O&fc—m). (23)
74
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
Конструктивные операции, характеризуемые функтор-
ными термами только что описанного типа, принадле-
жат „нижним этажам" иерархии разнообразных кон-
структивных операций; их „уровень сложности" вполне
соответствует общему замыслу Гудстейна.
Расширив понятия функторного терма и предметного
терма, мы расширим также исчисление равенств посред-
ством нового понимания терминов «функторный терм»
и «предметный терм» и посредством присоединения к
аксиомам ранее указанных типов новых аксиом — ра-
венств вида (23), в которых в качестве Ти ..., Тт мо-
гут фигурировать любые предметные термы (в новом
смысле) и в качестве'ф — любой Л-местный функторный
терм (в новом смысле) такой, что т < k. Располагая
этим расширением исчисления равенств, мы можем сле-
дующим образом сформулировать „сильное" истолкова-
ние утверждения (22) и одновременно утверждения (20):
эти утверждения называются обоснованными в сильном
смысле, если построены предметный терм Н, 3-местный
функторный терм Ф и 1-местный функторный терм Чг, не
содержащие переменных, отличных от хр f2, х2, f}, х4, fj,
и такие, что равенство |^6'ф2’^] окажется выводимым
из равенств и Rt при фиксации переменных хр fj,
Х2> /}» Х4> И
Можно рассматривать также „особенно сильное"
истолкование утверждений (22) и (20)— такое истолко-
вание, при котором в качестве Ф и W допускаются лишь
функторные термы вида 0m], где ф — функтор-
ный терм первоначального типа и 0ь ..., 0т— пред-
метные переменные. При этом, если в равенстве 7?з
функциональные переменные f| и /2 не входят в какие-
либо отличные от них самих функторные термы, то
знакосочетания вида [J$fy0i 0m] можно рассматривать
не как самостоятельно вводимые объекты, а лишь как
символические выражения, используемые для удобной
записи некоторых предметных термов (в первоначаль-
ном смысле), — любое выражение, имеющее вид
[ЛГф01 0т](Я1......Яь-т), где Я1, ..., Ял-m —Пред-
метные термы, можно воспринимать как специальную
О РЕКУРСИВН. АНАЛИЗЕ И ИСЧИСЛ. РАВЕНСТВ ГУДСТЕЙНА 75
запись предметного терма <р(0ь .... Pm, Ну ..., Нь-т).
В этом состоит определенный способ косвенного опи-
сания некоторых алгорифмических операций, и Г у fl-
ст е й н фактически часто прибегает к это-
му способу (не используя, однако, какой-либо спе-
циальной символики).
По-видимому, для всех встречающихся в РА и подхо-
дящих по своему, типу теорем возможно обоснование
в этом „особенно сильном** смысле; однако проверить
это предположение нелегко.
Варианты конструктивного математического анали-
за, в которых фигурируют понятия, основанные на по-
нятии частично рекурсивной функции или на понятии
общерекурсивной функции (или на каких-либо экви-
валентных им понятиях), представляют собой теории
более общего типа, чем рекурсивный анализ Гудстейна.
Однако возникающие в этих теориях осложнения логи-
ческого характера побуждают в максимальной степени
использовать ценные черты, имеющиеся в более узком,
но в то же время более четком в логическом отношении
(и вполне достаточном для многих целей) варианте
Гудстейна, который уже оказал значительное идейное
воздействие и на исследования, выходящие за рамки
некоторых принципов этого варианта.
Читатель, познакомившийся с этой книгой, приобщит-
ся ко многим плодотворным идеям общематематического
и общелогического характера и получит хорошую основу
как для дальнейшего изучения конструктивной матема-
тики, так и для размышлений о глубинных процессах,
происходящих в настоящее время в математике и колеб-
лющих представление о безупречности того «рая, кото-
рый создал нам Кантор» ♦).
ЛИТЕРАТУРА
[1] Вейль (Weyl Н.), Mathematics and logic, Amer. Math.
Monthly 53 (1946), 2—13.
[2] Гёдель (Godel K.), Uber formal unentscheidbare Satze der
Principia Mathematics und verwandter System I, Monatsh. f.
Math, und Phys. 38 (1931), 173—198.
[3] Г e н ц e н (G e n t z e n G.), Die Widerspruchsfreiheit der reinen
Zahlentheorie, Math. Ann. 112, N 4 (1936), 493—565 [русский •)
•) Г и л ь б е р т [4].
76
ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ
перевод: Г е н ц е н Г., Непротиворечивость чистой теории чисел,
сб. «Математическая теория логического вывода», «Наука»,
1967].
[4] Гильберт (Hilbert D.), Uber das Unendliche, Math. Ann.
95 (1926), 161—190. [Русский перевод: см. добавление VIII к кни-
ге Д, Гильберт, Основания геометрии, Гостехиздат, 1948.]
[5] Гильберт и Бернайс (Hilbert D., Bernays Р.),
Grundlagen der Mathematik, I, Berlin, 1934.
[6] Г у д с т e й н (G о о d s t e i n R. L.k Function theory in an axiom-
free equation calculus, Proc. London Math. Soc. (2) 48 (1945),
401—434.
[7]Гудстейн (Goodstein R. L.), Mean value theorems in
recursive functions theory, I, там же 52 (1950), 81—106.
[8] Гудстейн (Goodstein R. L.), On the nature of mathema-
tical systems, Dialectica 12, N 3—4 (1958), 296—316.
[9] Клини (Kleene S. C.), Introduction to metamathematics,
N. Y., 1952 [русский перевод: Клини С. К.» Введение в мета-
математику, ИЛ, 1957].
[10] Кушнер Б. А., Цейтин Г. С., Некоторые свойства F-чисел,
Записки научных семинаров ЛОМИ 8 (1968), 107—120.
[11] Марков А. А., Теория алгорифмов, Тр. Матем. ин-та АН СССР
им. В. А. Стеклова, XLII, изд. АН СССР, 1954.
[12] Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной,
Гостехиздат, I960.
[13] Проблемы конструктивного направления в математике, 1. Тр.
Матем. ин-та АН СССР им. В. А. Стеклова, LII, изд. АН СССР,
1958.
[14] Проблемы конструктивного направления в математике, 2, там
же, LXVII, изд. АН СССР, 1962.
[15] Проблемы конструктивного направления в математике, 3, там
же, LXXII, «Наука», 1964.
[16] Проблемы конструктивного направления в математике, 4, там
же, XCIII, «Наука», 1967.
[17] Роуз (Rose Н. Е.), On the consistency and undecidability of
recursive arithmetic, Z. math. Logik Grundl. Math. 7 (1961)»
124—135.
[18] Роуз (Rose H. E.), Some metamathematical results in recur-
sive arithmetic, там же 13 (1967), 381—384.
[19] Сколем (Skolem T.), Begrflndung der elementarenArithmetik
durch die rekurrierendft Denkweise ohne Anwendung schelnbarer
Verfinderlichen mit unendlichen Ausdehxumgsbereich, Videnskaps-
selskapets skrifter, I, Matem.-naturvid. klasse, no. 6 (1923).
[20] Тарский (Tarski A.), The Semantic Conception of Truth,
Readings in Philosophycal Analysis, N. Y., 1947.
[21] Шпеккер (S pecker E.), Nicht konstruktiv beweisbare Satze
der Analysis, J. Symbolic Logic 14 (1949), 145—158.
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
РАЗВИТИЕ РЕКУРСИВНОЙ АРИФМЕТИКИ
В ИСЧИСЛЕНИИ РАВЕНСТВ,
СВОБОДНОМ ОТ ЛОГИЧЕСКИХ СВЯЗОК
R. L. GOODSTEIN
RECURSIVE NUMBER THEORY
A DEVELOPMENT OF RECURSIVE
ARITHMETIC IN A LOGIC-FREE EQUATION
CALCULUS
AMSTERDAM
1957
ПРЕДИСЛОВИЕ
Открытие рефлексивного парадокса, состоящего в
том, что понятие класса всех классов, которые не яв-
ляются членами самих себя, является противоречивым,
привело к возникновению трех новых направлений в ма-
тематике. Первым из них была теория типов Рассела,
одна из частей которой разделяла объекты на типы (так
что классы-объектов одного типа образовывали объекты
следующего, более высокого типа) и запрещала образо-
вание классов смешанного типа. Эта теория привела к
значительным усложнениям в построении арифметики,
ибо она исключала не только парадоксы, но также и
некоторые конструкции, лежащие в основе теории ве-
щественных чисел, такие, как наименьшая верхняя гра-
ница ограниченного класса чисел, а восстановление воз-
можности этих конструкций вызвало необходимость
введения аксиомы, связывающей с пропозициональной
функцией (пропозициональной формой с одной перемен-
ной), аргумент которой имеет своей областью измене-
ния объекты данного типа, некоторую пропозициональ-
ную форму с теми же истинностными значениями, аргу-
мент которой имеет своей областью изменения объекты
первого типа. В более поздних формулировках теории
множеств были предложены альтернативы теории типов
(и аксиомы сводимости); эти альтернативные рассмот-
рения зиждутся на некоторых ограничениях на право
быть элементом множества, усиленных (в случае систе-
80
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
П
мы Куайна) тем, что можно назвать возможностью со-
отнесения типов, согласно которой в любой истинной
формуле в символизме без типов можно так приписать
номера символам объектов, что каждый объект получит
номер на единицу меньший, чем номер класса, которому
он принадлежит.
Вторым направлением исследований, вызванных к
жизни открытием рефлексивного парадокса, была «ин-
туиционистская» логика и арифметика Брауэра, наибо-
лее новаторской чертой которых был отказ от закона
исключенного третьего (tertium non datur), — логиче-
ского принципа, утверждающего, что всякое предложе-
ние является или истинным или ложным, причем не
представляется никакой третьей возможности. Отверже-
ние закона исключенного третьего устраняет рефлексив-
ный парадокс*), ибо этот парадокс опирается на допу-
щение, что всякий класс или является или не является*
членом самого себя, но оно также делает неверными
обычные интерпретации значительной части арифметики
(хотя Гёдель показал, что интуиционистская арифме-
тика включает в себя всю классическую арифметику в
том смысле, что любой формуле, доказуемой с помощью
классической логики, соответствует формула, доказуемая
средствами интуиционистской логики).
Третьей системой, которая была развита для того,
чтобы избавиться от рефлексивного парадокса, была
рекурсивная арифметика Сколема. Сколем заметил, что
он может избежать этого парадокса без обращения к
ограничениям теории типов и без удаления каких бы то
ни было правил классической логики, если он не будет
*) Как заметил X. Б. Карри, рефлексивный парадокс можно
получить без использования закона исключенного третьего (с по-
мощью импликации (хе х Д)) -> Д, выводимой средства-
ми конструктивного исчисления высказываний без знака отрица-
ния).— Прим. ред.
ПРЕДИСЛОВИЕ
81
употреблять существование в качестве одного из пер-
вичных понятий логики. В исчислении, которое выра-
жает всеобщность только при помощи свободных пере-
менных, это приводит к недопущению применения за-
кона исключенного третьего в тех случаях, когда это
могло бы привести к парадоксу, так как исключено от-
рицание предложений, начинающихся со всеобщности.
Пожертвовав существованием как первоначальным
понятием, Сколем лишился классического метода опре-
деления функций, и на его место он ввел определения
с помощью рекурсии. Говорят, что функция f(n) опре-
деляется с помощью рекурсии, если вместо того, чтобы
определить ее явно (т. е. как сокращение для некото-
рого другого выражения), дается значение f(0), и
f(n+ 1) выражается как некоторая функция от f(n).
Другими словами, рекурсивное определение определяет
не саму f(n), а дает процесс, следуя которому значе-
ния f(0), f(l), f(2), f(3) и т. д. определяются одно за
другим.
В следующем далее изложении рекурсивной арифме-
тики мы показываем, что логику и арифметику можно
строить одновременно в исчислении равенств со сво-
бодными переменными, в котором единственными ут-
верждениями являются равенства вида а — Ь, где «а»
и «6» означают функциональные выражения. С помо-
щью этого исчисления равенств можно построить ло-
гику и арифметику с самого начала, с полной строго-
стью и со всеми деталями на значительно более элемен-
тарном уровне, чем было возможно до сих пор, и есть
надежда, что первая половина этой книги окажется до-
ступной первокурснику университета, специализирую-
щемуся по математике. В этой части значительное ко-
личество более мелких деталей отделено от текста и
представлено в виде примеров (с полными решениями
82
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
П
в конце книги) как для того, чтобы сделать текст более
удобочитаемым, так и для того, чтобы помочь читателю
усвоить новую технику на простых ситуациях.
Я хочу выразить сердечную благодарность профес-
сору Рейтингу за тот благожелательный интерес, кото-
рый он проявил к подготовке этой книги от первого
рукописного наброска до окончательного машинописного
текста; Джону Хулею за подготовку указателя и за
щедрую помощь в чтении корректур и наборщикам
Северо-Голландской издательской компании за велико-
лепное качество их работы.
Р. Л. Гудстейн
Лейчестер, Англия
ВВЕДЕНИЕ
Природа чисел. Арифметика и игра в шахматы. Опреде-
ление счета. Эволюция концепции формальной системы.
Природа чисел
Вопрос «какова природа математических сущно-
стей?» является вопросом, который занимал мыслите-
лей более двух тысяч лет и на который, оказывается,
очень трудно ответить. Даже первое и наиболее суще-
ственное из этих понятий — натуральное число — неуло-
вимо как блуждающий огонек, когда мы пытаемся опре-
делить его.
Один из источников трудностей определения того,
чем же являются числа, — это отсутствие в окружаю-
щем мире чего бы то ни было, на что мы могли бы ука-
зать при поиске определения числа. Число семь, напри-
мер,— это не какая-нибудь конкретная совокупность из
семи объектов, ибо, если бы это было так, то ни о какой
другой совокупности нельзя было бы сказать, что она
имеет семь членов; действительно, если мы отождест-
вляем свойство быть семью со свойством быть некото-
рой конкретной совокупностью, то быть семью является
свойством, которым не обладает никакая другая сово-
купность. Более приемлемой попыткой определения
числа семь было бы высказывание о том, что свойство
быть семью является тем общим свойством, которым
обладают все совокупности из семи объектов. Трудность,
возникающая при этом определении, состоит в описании
как раз того, что же на самом деле общего у всех сово-
купностей из семи объектов (даже если мы сделаем
вид, что всегда можем рассмотреть все совокупности из
семи объектов). Конечно, число объектов в некоторой
совокупности не является свойством этой совокупности
в том смысле, в каком цвет двери является ее свой-
ством, ибо мы можем изменить цвет двери, но мы не
84 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Д
можем изменить число объектов в совокупности, не из<
менив самой совокупности. Утверждение о том, что
дверь, бывшая красной, теперь зеленая, вполне согла-
суется со здравым смыслом, тогда как утверждение о
том, что некоторая совокупность из семи бусин является
той же самой совокупностью, что и некоторая совокуп-
ность из восьми бусин, есть чепуха. Если число членов
совокупности является свойством совокупности, то оно
является определяющим свойством совокупности, ее су-
щественной характеристикой.
Это тем не менее нисколько не приближает нас к
ответу на вопрос «Что общего у всех совокупностей из
семи объектов?» Хороший способ продвинуться в реше-
нии проблемы такого рода — это задать себе вопрос
«Как мы узнаем, что некоторая совокупность имеет
семь членов?», потому что ответ на этот вопрос непре-
менно должен привести к прояснению того, что являет-
ся общим у совокупностей из семи объектов. Очевидный
ответ состоит в том, что мы находим число членов
совокупности, считая члены совокупности, но этот ответ
не представляется убедительным, ибо, когда мы счи-
таем члены совокупности, мы, оказывается, делаем не
что иное, как «навешиваем» на каждый член совокупно-
сти «бирку» с некоторым числом. (Вообразите строй
солдат, рассчитывающихся по порядку.) Ясно, что мы
не получим определение числа, если скажем, что число
есть свойство совокупности, которое находится сопостав-
лением чисел членам этой совокупности.
Определение Фреге — Рассела
Приписывание каждому члену совокупности некото-
рого числа, как мы, очевидно, делаем при счете, являет-
ся на самом деле установлением соответствия между
членами двух совокупностей: объектов, которые надо
сосчитать, и натуральных чисел. Считая, например, со-
вокупность из семи объектов, мы устанавливаем соот-
ветствие между считаемыми объектами и числами от
одного до семи. Каждому объекту приписывается един-
ственное число и каждое число (от одного до семи)
приписывается некоторому объекту данной совокупно-
ВВЕДЕНИЙ
86
сти. Если мы говорим, что две совокупности подобны,
когда каждый объект одной из них имеет единственный
соответствующий ему объект в другой, то можно ска-
зать, что пересчет некоторой совокупности означает на-
хождение совокупности чисел, подобной данной. Так
как подобие является транзитивным свойством, т. е.
две совокупности подобны, если каждая из них подобна
третьей, то, следовательно, подобие мы можем считать
свойством, общим всем совокупностям, содержащим
одно и то же число членов, — свойством, которое мы
искали, а так как само подобие определяется безотно-
сительно к числу, оно, конечно, может быть использовано
в определении числа. Чтобы завершить определение, нам
нужно только выделить определенные стандартные сово-
купности из одного, двух, трех и т. д. членов; тогда бу-
дем говорить, что некоторая совокупность имеет опреде-
ленное число членов, если только она подобна стандарт-
ной совокупности, имеющей то же число членов. Сами
числа можно сделать требуемыми стандартами следую-
щим образом. Мы определяем пустую совокупность как
свойство не быть тождественным себе, и тогда число
нуль определяется как свойство быть подобным пустой
совокупности. Затем мы определяем стандартную еди-
ничную совокупность как совокупность, единственным
членом которой является число нуль, и число один опре-
деляется как свойство быть подобным единичной сово-
купности. Далее в качестве стандартной пары берется
совокупность, членами которой являются нуль и единица,
и число два определяется как свойство быть подобным
стандартной паре, и т. д. Это фактически определение
числа, открытое Фреге в 1884 году и независимо Рассе-
лом в 1904 году. Его нельзя, однако, принять как полный
ответ на вопрос о природе чисел. Согласно этому опре-
делению число есть отношение подобия между совокуп-
ностями, при котором каждый элемент одной совокупно-
сти ставится в соответствие определенному элементу
другой, и наоборот. Недостаток этого определения кроет-
ся в понятии соответствия. Как мы узнаем, что два эле-
мента находятся в соответствии? Чашки и блюдца в сово-
купности чашек, стоящих на своих блюдцах, находятся
в очевидном соответствии, но каково соответствие между,
86
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
П
например, планетами и музами? Мало помогает упоми-
нание о том, что хотя нет явного соответствия между
планетами и музами, мы можем легко установить его;
ибо, как мы узнаем об этом, и, что важнее, какого рода
соответствие мы допускаем? Определяя число в терми-
нах подобия, мы, в сущности, заменили неуловимую кон-
цепцию числа столь же неуловимой концепцией соответ-
ствия.
Число и цифра *)
Некоторые математики пытались избежать трудно-
стей в определении чисел, отождествляя числа с циф-
рами. Число один отождествляется с цифрой I, число
два с цифрой II, число три с III и т. д. Но эта попытка
неудачна, так как каждый осознает, что свойства цифр
не являются свойствами чисел. Цифры могут быть си-
ними или красными, печатными или рукописными, поте-
рянными или найденными, но совершенно бессмысленно
приписывать эти свойства числам, и, наоборот, числа
могут быть четные или нечетные, простые или составные,
но это — не свойства цифр. При более тонком варианте
той же попытки определить числа в терминах цифр чис-
ла считаются не тем же самым, что и цифры, а именами
цифр; при этом устраняются нелепости, возникающие
при попытке отождествить число и цифру, но это приво-
дит к равно абсурдному заключению, что некоторое
одно обозначение является квинтэссенцией числа. Дело
в том, что если числа являются именами цифр, то мы
должны решить, которые цифры они называют; мы не
можем считать число десять, например, названием как
римской, так и арабской цифры. А если говорится, что
число десять является именем всех цифр десять, то мы
приходим к абсурдному заключению, что значение слова,
сопоставленного числу, меняется с введением каждого
нового обозначения.
Противоположность «числа» и «цифры» является про-
тивоположностью, обычной для языка, и, возможно, ее
*) Термином «цифра» переведено английское слово «numeral». —
Прим, перев.
ВВЕДЕНИЕ
87
наиболее характерную черту можно обнаружить в паре
терминов «высказывание» и «предложение».
Предложение является некоторой физической реали-
зацией высказывания, но .его нельзя отождествлять с
высказыванием, так как разные предложения (напри-
мер, в разных языках) могут выражать одно и то же
высказывание. Если же мы попытаемся сказать, что же
такое выражают предложения, то обнаружим, что оха-
рактеризовать концепцию высказывания так же трудно,
как и концепцию числа. Иногда считается, что высказы-
вание— это нечто в нашем сознании в противополож-
ность предложению, которое находится во внешнем
мире; но если это означает, что высказывание есть не-
который вид мысленного образа, то это является лишь
очередным случаем путаницы высказывания с предло-
жением, ибо все, что бы ни возникало в нашем мозгу,—
будь то мысль в словах, или картина, или даже более
или менее аморфное чувство, — все это является пред-
ставлением данного высказывания, отличным от напи-
санного или произнесенного слова только потому, что
оно не является средством общения. Таким же обра-
зом можно видеть, что точка зрения, считающая, что
число неопрёделимо, а есть нечто, познаваемое нашей
интуицией, снова путает число с цифрой, т. е. путает
число с одним из его представлений.
Арифметика и игра в шахматы
Как часто замечалось, можно Провести замечатель-
ную параллель между игрой в шахматы и математикой
(или даже самим языком). Цифрам ставятся в соответ-
ствие шахматные фигуры, а операциям арифметики —
ходы этой игры. Но параллель продолжается даже
дальше, ибо проблеме определения числа соответствует
проблема определения сущности игры. Если мы зада-
димся вопросом «Что такое шахматный король?», то мы
обнаружим точно те же трудности при попытке ответить
на этот вопрос, какие мы встретили при наших рассмо-
трениях проблемы определения понятия числа. Несом-
ненно, шахматный король, ходы которого описываются
88 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ [I
правилами игры, не есть фигура с характерными
очертаниями, которую мы называем королем, так же как
цифра не есть число, ибо любой другой объект, напри-
мер, спичка или кусочек угля, столь же хорошо служил
бы королем для игры. Вместо вопроса «Что такое шах-
матный король?» давайте спросим: «Что делает некото-
рую конкретную фигуру королем?». Ясно, что это не очер-
тания этой фигуры и не ее размер, ибо и то, и другое мо-
жет быть по желанию изменено. То, что делает фигуру
королем, — это ее ходы. Та фигура является королем, ко-
торая может ходить как король. А шахматный король
сам по себе? Шахматный король — это просто одна из
ролей, которые играют фигуры в шахматах, так же как
Король Лир —это роль в драме Шекспира; актер, играю-
щий Короля, является королем в силу той роли, которую
он исполняет, благодаря тем предложениям, которые он
произносит, и тем действиям, которые он совершает (а
не просто потому, что он одет как король) и фигура на
шахматной доске, играющая роль короля в игре, яв-
ляется фигурой, которая совершает ходы короля.
Теперь, наконец, мы обнаруживаем ответ на вопрос
о природе чисел. Мы видим, прежде всего, что для пони-
мания смысла чисел нам надо обратиться к той «игре»,
в которую играют числами, т. е. к арифметике. Числа
один, два, три и т. д. являются действующими лицами
в игре арифметика, фигуры, которые исполняют их роли,
являются цифрами, а то, что делает некоторый знак циф-
рой, соответствующей конкретному числу, — это та роль,
которую она играет, или, как можно сказать словами,
более подходящими контексту, — это правила преобразо-
вания данного знака. Поэтому, следовательно, объектом
нашего изучения является не само число, а правила пре-
образования числовых знаков, и в последующих главах
у нас больше не будет причины рассматривать понятие
числа. Но так же, как шахматные правила обычно фор-
мулируют в терминах шахматных понятий, так что, на-
пример, мы говорим, что шахматный король ходит
только на одну клетку за один ход (исключая рокиров-
ку), вместо полностью эквивалентной формулировки
«фигура, играющая роль короля (или просто фигура-
ВВЕДЕНИЕ
89
король) передвигается на одну клетку за ход (исклю-
чая рокировку)», так и мы будем продолжать форму-
лировать в чисто описательных местах операции ариф-
метики в терминах арифметических сущностей, а не в
терминах арифметических знаков. Например, мы можем
говорить о «сумме чисел два и три», а не придержи-
ваться формулировки в знаках «2 + 3», где « + » это
знак, роль которого в арифметике — это то, что назы-
вается сложением, а «2» и «3» — цифры, которые играют
роль чисел два и три. Другими словами, при определении
роли, которую играет в арифметике знак, подобный « + »,
мы будем говорить, что определяемый нами объект яв-
ляется функцией сумма, но само определение будет от-
носиться лишь к операциям для преобразования выра-
жений, содержащих знак <+».
Числовые переменные
Аналогия между шахматами и арифметикой пере-
стает иметь место, когда мы противопоставляем опре-
деленное множество фигур в игре в шахматы и имею-
щееся в арифметике разрешение строить цифры по же-
ланию. В этом отношении арифметика больше похожа
на язык, который не налагает в принципе никакого
ограничения на длину своих слов. Обычное обозначение
для цифр изображает их как слова в алфавите «О»,
«1» и «+»; каждое «слово» начинается с «О», за кото-
рым следуют пары «4-1». Так, например, мы образуем
по очереди «О», «0+1», «0+1 + 1», «0 + 1 + 1 + 1».
Образование цифр может быть полностью охарактеризо-
вано с помощью двух операций следующим образом.
Мы расширяем алфавит введением нового знака «х»
и образуем «слова», подставляя вместо «х» или «0», или
«х + 1»; например, мы можем по очереди образовать
«х», «х + 1», «х + 1 + 1», «х + 1 + 1 + 1», «0 + 1 +1 + 1»;
последнее из этих выражений является цифрой. Этот
новый знак мы называем «цифровой переменной». Пра-
вила, разрешающие подстановку «х + 1» или «0» вместо
«х», фактически позволяют подстановку любого числа
вместо х; цель формулировки, принятой нами, состоит в
том, что она служит для определения понятия произволе-
90
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
[1
ной цифры и одновременно понятия Цифровой перемен-
ной. Впоследствии не только буква х, но и другие буквы
тоже будут употребляться как цифровые переменные.
Цифра, получаемая подстановкой некоторой цифры
вместо «х» в «х 4- 1», называется цифрой, следующей за
данной. Например, написав «0 + 1 +. 1» вместо «х» в
«х + 1», мы получаем «0 + 1 + 1 + 1» — цифру, следую-
щую за «0 + 1 + 1». По этой причине «х + 1» назы-
вается функцией (знаком функции) следования. Одно-
значность этого названия является, однако, несколько
вводящей в заблуждение, ибо вместо х мы можем пи-
сать любую другую букву, употребляемую как цифро-
вая переменная; в системе, где х, у и г все являются
цифровыми переменными, каждое из выражений «х+1»,
«у + 1», «г+1» является знаком функции следования.
Тем не менее мы будем говорить о единственности функ-
ции следования, поскольку единственность, о которой
идет речь, есть единственность знака, который мы полу-
чаем в результате подстановки некоторой определенной
цифры вместо переменной, будь то х, у или г.
С целью стандартизации обозначений мы в нужный
момент вместо „алфавита" «0», «1» и « + » введем для
записи цифр „алфавит" <0», «5», в котором цифрами
являются «0», «50», «SS0», «SSS0» и т. д. В этих обо-
значениях знаком функции следования является «5х», а
правилами преобразований для цифр—(i) Sx можно
писать вместо х, (п) 0 можно писать вместо х. В каче-
стве еще одного общеупотребительного обозначения для
функции следования используется «х'»; в этом случае
цифры записываются так: «0», «О'», «0"», «О'"» и т. д.
Определение счета
Никакая теория натуральных чисел не является за-
вершенной, если она не учитывает ту роль, которую
числа играют вне арифметики. Свойством числа девять
является не только то, что оно есть квадрат, но и то,
что оно есть число планет, а это последнее свойство
не является просто следствием законов арифметики.
Согласно определению числа по Фреге — Расселу число
членов некоторой совокупности отыскивается путем про-
ВВЕДЕНИЕ
91
верки ее подобия со стандартными одно-, двух-, трех-
и т. д. элементными совокупностями, в то время как в
свою очередь эта проверка производится с помощью
процесса счета, но поскольку мы предложили определе-
ние числа, не опирающееся на не определенное понятие
соответствия подобия, то мы не можем принять счет в
смысле Фреге — Рассела как средство нахождения числа
членов класса без того, чтобы снова допустить это не-
определенное понятие. Имеется, однако, совсем другая
интерпретация процесса счета, которая делает счет при-
емлемым для нас в качестве средства регистрирования
числа членов совокупности без нарушения наложенного
нами ограничения выражать свойства чисел в терминах
правил преобразования числовых знаков. Мы начнем с
разделения двух отчетливых этапов в процессе счета.
Первый из них — тот, который мы будем называть «ис-
пользование совокупности в качестве цифры», — состоит
в том, что игнорируются индивидуальные „черты харак-
тера" элементов данной совокупности, и они считаются
все одинаковыми (но не тождественными) для нашей
цели. Это просто (возможно, довольно крайняя) форма
рассмотрения знаков, одинаковых на всех этапах чте-
ния, письма и разговора; например, буквы «а» на печат-
ной странице имеют некоторые различия, а будучи под-
вергнуты достаточно внимательному осмотру, оказы-
ваются столь же различными, сколь, скажем, солдаты
во взводе, но для целей чтения мы игнорируем эти раз-
личия и рассматриваем разные а как один и тот же знак.
Точно так же при разговоре мы считаем одним и тем же
звуком несколько слегка разных звуков. В другом кон-
тексте знаки, которые мы считали бы одними и теми же
при чтении, являются различными — например, когда мы
проверяем качество печати. Этот процесс, при котором
мы замечаем одни различия и не замечаем другие, играет
в языке фундаментальную роль; он является процессом,
с помощью которого мы объединяем объекты с „фамиль-
ным сходством" некоторым родовым именем, и процес-
сом, который делает возможным употребление в языке
терминов обобщающих понятий. Без него никогда бы не
возникло понятие числа элементов класса. Второй этап
процесса счета состоит в переходе от одного числового
92 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ [I
обозначения к другому по правилам «один и один —
два», «два и один — три», «три и один — четыре» ит, д.
Это чтение указанных правил (в сокращенной форме,
где « и один» каждый раз опускается или заменяется
указанием на считаемый объект или прикосновением к
нему) создает иллюзию, что при счете мы связываем
некоторое число с каждым из пересчитываемых элемен-
тов, тогда как на самом деле мы делаем перевод с обо-
значений, в которых числовыми знаками являются
«один», «один и один», « один и один и один» и т. д.,
в обозначения, в которых этими знаками являются
«один», «два», «три» и т. д. Истинная природа счета,
возможно, выявится наиболее ясно, если мы снова вве-
дем ранее упомянутый процесс счета с помощью бир-
ки*). Счет данной совокупности с помощью бирки со-
стоит в некотором формализованном представлении
элементов этой совокупности, скажем, посредством чер-
точек на листе бумаги, так что при счете по бирке мы
переписываем числовой знак в некотором стандартном
обозначении — находим число членов данной совокупно-
сти, рассматривая ее как числовой знак и переписывая
этот знак. Бирка для числа планет состоит из ряда
черточек
111111111.
Если теперь мы перейдем к преобразованию этого знака
с помощью наших правил преобразований 11=2, 21=3,
31 = 4, 41 = 5, 51 = 6, 61 = 7, 71 = 8, 81 = 9, мы после-
довательно получим 111111111 =21111111 = 3111111 =
= 411111 =51111 =6111 = 711 =81 =9, что завершает
преобразование. При таком счете, какому мы учим
сегодня, процесс построения отметок на бирке и пре*
образование знаков выполняются одновременно, тем
самым избегается повторное переписывание „хвоста”
числового знака в процессе преобразования к арабской
цифре. Важно понять, что счет не находит число членов
некоторой совокупности, а преобразует цифру, которой
♦) «Биркаэ — дощечка, на которой нарезками отмечают счет. —
Прим. перев.
ВВЕДЕНИЕ
93
является сама эта совокупность, из одних обозначений
в другие. Сказать, что любая совокупность имеет число
членов, — это все равно, что сказать, что любую сово-
купность можно использовать как числовой знак.
Формализация счета
Счет можно формализовать в некоторой знаковой
системе посредством формулирования правил преобра-
зования для пересчитывающего оператора «№►. Мы
представляем объекты пересчитываемых совокупностей
буквами а, Ь, с, ..., а совокупности — посредством
конъюнкций вида а&&, а&&&с, ...; причем единичный
объект рассматривается так же как совокупность. Бук-
ву I мы используем в качестве переменной для объектов,
т. е. как букву, вместо которой можно написать любой
объект; прописная буква L служит для совокупностей и
может быть в любом тексте заменена определенной со-
вокупностью или выражением «L & I». Цифрами системы
являются знаки (кроме х), получаемые из /, х и функ-
ции следования х + 1 подстановкой. Далее мы опреде-
ляем
Лф)=1, ^(L&/)=^(L)+:l.
Эти равенства достаточны для определения числа чле-
нов любой совокупности*). Например, подставляя «а»
вместо знака переменной «/», во-первых, мы получаем
У(а) = 1, и во-вторых, подставляя затем «а» вместо «£»
и «й» вместо «/» мы получаем
N(a&b) = N(a) + 1,
и, значит,
Л/(а&&) = 1 + 1.
Далее, подставляя вместо «Л» и «с» вместо
«/», мы имеем
N(а & b&с) = N(а & b) + 1 = 1 + 1 + 1.
Мы видим, что N(L) определяется с помощью ре-
курсии, т. е. N(L) не есть просто сокращение для
♦) Имеются в виду совокупности, заданные списками. — Прим,
ред.
94 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ [I
некоторого другого выражения, как, например, когда мы
полагаем 2=14-1, зйак <2» можно заменить на выра-
жение <1 4- 1», для которого он, в сущности, является
сокращением, a N(L) определяется только шаг за ша-
гом путем введения членов пересчитываемого класса
по одному (или отбрасывания их по одному) на каж-
дом шаге. Мы можем выразить это, сказав, что для пе-
ременной L само N(L) не определено, и лишь результат
подстановки каждого конкретного класса (вроде
а&Ь&с) вместо L определен с помощью рекурсивного
определения. Это рекурсивное определение является, так
сказать, схемой или шаблоном, по которому для любого
конкретного класса а&Ь& ... &k можно получить оп-
ределение (значение) N(a&b& ... & k).
Эволюция понятия формальной системы
В последующих главах мы будем излагать арифме-
тику как формальную систему. Идея формальной си-
стемы— это идея, которая развилась из построения
геометрии Евклидом, но это понятие значительно разви-
лось за последнее столетие. Намерение Евклида в
«Началах* состояло в том, чтобы вывести все геомет-
рические знания его времени из немногих самоочевид-
ных истин (называемых аксиомами) с помощью чисто
логических рассуждений. Евклид, однако, не уточнял
природу „логических рассуждений", а первая попытка
сделать это была предпринята Джорджем Булем в
1847 году в его Математическом анализе логики. Буль
построил символический язык, в котором „законы мыш-
ления“, сформулированные в виде аксиом, можно изу-
чать с помощью математической техники. Полное
развитие этого понятия привело к тому, что формаль-
ная система слагается из набора знаков, разделенных
на различные категории, из разнообразных соглашений
об их употреблении (аксиомы и правила преобразова-
ний); при этом система предназначена для образования
последовательностей формул (которые сами суть после-
довательности знаков с некоторыми специфическими пра-
вилами образования), связанных друг с другом опреде-
ленным образом так, чтобы получилась некоторая спе-
ВВЕДЕНИЕ
95
циальная фигура, называемая доказательством. Фор-
мальная система может содержать как математические,
так и логические знаки (различие между которыми
условно), и математические и логические аксиомы; ее
существенной чертой как формальной системы является
то, что ее операции не предполагают никакого знания
смысла знаков этой системы, кроме того, который дан
аксиомами и правилами преобразований. Математиче-
ские аксиомы не являются больше «самоочевидными
истинами», — они суть произвольные начальные» позиции
в некоторой игре, а логические аксиомы выражают не
«законы мышления», а произвольные соглашения об ис-
пользовании логических знаков.
В той формальной системе, с которой мы прежде
всего столкнемся в этой книге, — в исчислении ра-
венств,— знаками будут только знаки для функций,
цифровые переменные и знак равенства. Там нет ника-
ких аксиом, кроме равенств, вводящих функциональные
знаки, и нет никакого обращения к „логике**, причем
работа системы определяется просто правилами пре-
образования для математических знаков. Показывается,
что некоторая часть логики определима в исчислении
равенств, а логические знаки и теоремы вводятся как
удобные сокращения для некоторых функций и формул.
Эта часть логики характеризуется тем, что существова-
ние числа с данным свойством в ней может утверждать-
ся только тогда, когда искомое число может быть най-
дено за точно определенное число шагов.
ГЛАВА I
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПО РЕКУРСИИ
Арифметические операции. Определение итерации и ре-
курсии. Сокращенная символика. Одинарные и кратные
рекурсии.
1. Переменные
Мы уже имели случай — при определении цифры —
использовать букву в качестве знака для переменной.
В терминах двух операций
(1) заменить х на х +; 1,
(2) заменить х на О,
мы определили цифры как знаки, получаемые из х пу-
тем повторного применения операции (1), за которым
следует применение операции (2). ^Начинающийся со
знака х процесс построения цифр можно рассматривать
как процесс исключения х с использованием лишь опе-
раций (1) и (2). Например, цифра 0 4-14-1 + 1 стро-
ится из х с помощью трех применений операции (1),
за которыми следует применение операции (2). Опре-
деляющим свойством цифровой переменной х является
то, что ее можно заменять на нуль или х + 1. Конечно,
любая буква может служить цифровой переменной, но
в настоящей главе будут использованы только буквы
х, у, z и w. Употребляя переменные, мы можем форму-
лировать общие утверждения о числах — утверждения,
которые истинны, если вместо переменной подставить
любую конкретную цифру.
1.1. Сложение
Основной операцией арифметики является сложение.
Сложение — это операция соединения двух цифр с по-
мощью знака сложения «+». Например, соединяя две
цифры, 0 + 14-14-1 + 1 и 0+1 + 1, мы получаем
(опуская начальную часть 0+ во второй цифре) цифру
ГЛ. I)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПО РЕКУРСИИ
97
9+1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, которая называется суммой
О + 1 + 1 + 1 + 1 иО+1 + 1.
Однако сказать, что сложение есть операция соеди-
нения двух цифр, не значит дать математическое пред-
ставление этой операции, ибо мы просто заменили слово
сложение неопределенным термином соединение. Оче-
видно, что имеется много способов, которыми мы могли
бы соединять две цифры, но лишь один из них дает то,
что мы подразумеваем под сложением. Математическое-
определение сложения нужно формулировать в терми-
нах только цифровых переменных и знака сложения
« + »; не следует вводить никаких посторонних элемен-
тов. Ребенок сначала учится складывать с помощью
простого присоединения цифр; например, для того чтобы
найти сумму 3 и 4, он из •••и •••• комбинирует
и «считает эти точки», т. е. преобразует
в 7. Позже он учится из 3 получать 7 повторным
прибавлением 1, и этот значительно более экономичный
процесс является основой следующего формального
определения:
х + 0 = х, Ai
А
* +(У+ 1) = (* + ?) + !• А2
Знак «=» здесь означает, что выражения, стоящие
с каждой стороны от него, эквивалентны в том смысле,
что каждое из них может быть замещено другим; иначе
говоря, Ai и А2 выражают правила преобразования, по
которым одно знаковое выражение может быть преобра-
зовано в другое. (Конечно, знак равенства « = » исполь-
зуется в математике и в совсем другом смысле, к кото-
рому у нас будет случай обратиться позже.)
Переменная х в равенстве Ai может быть по опре-
делению заменена на 0 или на х+ I; следовательно, х
может быть заменена любой цифрой, ибо цифры строят-
ся из х с помощью этих же самых подстановок. И, ана-
логично, как х, так и у в А2 могут быть замещены лю-
бой цифрой.
Чтобы проиллюстрировать преобразования А, мы
выразим цифрой сумму 5 и 4. Подставляя 5 вместо х
98 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ |1
в Ai и А2 и по очереди 0, 1, 2, 3 вместо у в А2, мы по-
лучаем
5 + 0 = 5, 5+1=6,
5 + 2 = (5+1)+1=6+1=7,
5 + 3 = (5 + 2)+1 =7 + 1 = 8,
5 +4 = (5 + 3) + 1 = 8 + 1 = 9.
Каждый промежуточный результат после первого полу-
чается с помощью предыдущего результата; например,
мы переходим от (5 + 2) + 1 к 7 + 1 с помощью ранее
полученного равенства 5 + 2 = 7.
1.11. Сложение трех или более цифр определяется в
терминах повторного сложения пар. Так, например, мы
определяем:
А' х + у + г = (ж + у) + а,
А" х + у + z + w = ((ж + у) + z) + w
и т. д.
В эти определения, как и в определение А, склады-
ваемые числа входят несимметрично. В определение А
переменные х и у входят не на одинаковых основаниях,
и совсем не очевидно, что х + у = у + х. В А' все три
слагаемых х, у, z складываются именно в этом порядке
и так же в А". Мы докажем в следующей главе, что
сумма двух цифр не зависит от порядка, в котором они
складываются; отсюда следует, например, что
y + x + z = (y + x) + z = (x + y) + z = x + y + z.
Это равенство х + у + z и у + х + z требует тем не
менее отдельного доказательства, а общее доказатель-
ство того, что сложение любого числа слагаемых
полностью симметрично, значительно более трудно.
Определейие суммы переменного числа слагаемых яв-
ляется задачей, к которой мы вернемся позже; но имеет-
ся специальный случай, который мы рассмотрим сей-
час, — это случай повторного сложения одного и того же
числа.
ГЛ. I]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПО РЕКУРСИИ
99
1.2. Умножение
Повторное сложение одного и того же числа на-
зывается умножением-, суммы к + х, х + х + х,
х + х + х + хит. д. обозначаются соответственно через
2-х, 3 «х, 4-х и т. д., при этом первый член пары обозна-
чает число повторений второго члена. Формальное опре-
деление умножения следующее:
0-х = 0, М,
м
(у + 1) • х = (у • х) + х. М2
Подставляя по очереди 0, 1, 2 и т. д. вместо у в М2
(и используя Mi), мы имеем поочередно:
1-х = 0 + х = х, 2-х = 1-х+х=х-И*, 3-х=2-х+хв»
= х + х +' х
и т. д. Выражение х-у называется произведением х и у;
когда это не вызывает двусмысленности, мы будем
обозначать произведение х и у через ху, опуская точку
между сомножителями.
1.21. Произведение трех или более членов опреде-
ляется в терминах произведений пар. Так,
х-yz-(x-у)-г,
X - У - 2 - W (х - у • z) • W.
Умножение, как и сложение, — симметричная опера-
ция, но доказательство этого также следует отложить
до тех пор, пока у нас не будет в распоряжении необ-
ходимых средств доказательства.
1.3. Возведение в степень
Повторное умножение одного и того же числа назы-
вается возведением в степень-, произведения х • х,
х-х-х, х-х-х-х и т. д. обозначаются соответственно че-
рез х2, х3, х* и т. д.; «показатель» означает число повто-
рений основания. Формальное определение хк такое:
х°“=1, Е|
Е
х<у+» = (*у).ж. Е2
100
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
[1
Подставляя по очереди 0, 1, 2 и т. д. вместо у в Е2
(и используя Ei), мы получаем соответственно
х1 = 1 . х = х, х2 = х1 • х = х • х, х3 = х2 • х = х • х • х
и т. д.
Возведение в степень не является симметричной опе-
рацией; иначе говоря, ху и ух в общем случае различны.
Точно также,как мы переходим от сложения к умноже-
нию и от умножения к возведению в степень, итерируя
одно и то же число, мы можем определить итерацией
дальнейшие операции. Эти операции не имеют устано-
вившихся названий, так что мы будем называть их про-
сто тетрация, пентация, гексация, гептация и т. д. Обо-
X ХХ
значая возведения в степень х\ хх , хх и т. д. соот-
ветственно через 2х, Зх, 4х и т. д., мы определим ух так:
lx=l, Tj
Т
<y+i)x = x(^)) Т2
так что, полагая у = 0, 1, 2, мы имеем поочередно
!х = х, 2х = хл, Зх = = х*л
и т. д.
Аналогично, если мы обозначим х, Хх, Хх, ... соот-
ветственно через ix, 2*, з*> мы можем определить
<х=1, Pi
Р
(y+1)x = b*)x. р2
1.4. Вычитание
Осталось определить еще одну фундаментальную
операцию арифметики натуральных чисел, а именно
вычитание, обратною сложению. Сначала мы введем
обращение операции +1, которое мы обозначим через
— 1, следующим формальным определением:
0 — 1 = 0,
(х + 1) — 1 == X,
ГЛ. И
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПО РЕКУРСИИ
101
и затем разность х у определяется так:
х — 0 = х,
S
х — (у + 1) = (х —у) —1.
Употреблением модифицированного знака вычитания
вместо обычного — мы подчеркиваем существенное раз-
личие между приведенным определением вычитания и
определением вычитания в элементарной арифметике.
Если х не меньше, чем у, то х~=-у имеет свое обычное
значение, и, как мы впоследствии покажем, у + ^х—у) =
= х; но если х меньше, чем у, определение S приписы-
вает х-*-у значение 0, так что у+ (х — у)= у.
Наконец, мы определим |х, у\ — положительную раз-
ность между х и у — равенством
I*. У 1 = (х — у) + (у — х).
1.5. Функции
Выражения, получаемые из переменных, такие как
х3, х + у или х •//•£, называются функциями *); более
точно, функция — это операция над числами, определяе-
мая с помощью переменных. Те несколько обозначений,
с помощью которых мы выражали функции до сих пор,
имеют существенное историческое и техническое значе-
ния, но их пестрота ведет к тому, что скрывается их
основная структура; поэтому мы введем стандартизован-
ные обозначения. Мы будем обозначать функцию именем
операции (если необходимо, сокращенным), предшест-
вующим используемым переменным. Так, функция сле-
дования х+1 будет обозначаться через 5(х) (и по-
этому цифры —через О, S(0), S(S(0)), S(S(S(0)))
и т. д.), функция сложения х +'у— через Sum(x, у),
произведение х<у— через Prod(x, у) и возведение в
степень — через Ехр(х, у)\ скобки в этих выражениях,
так же как и запятая между переменными, являются
*) Автор не различает функциональные выражения (в другой
терминологии — термы) и символы функций. Чаще всего автор на-
зывает функциями именно термы. Более четкая терминология вве-
дена в статье X. Б. Карри «Формализация рекурсивной арифмети-
ки» (см. настоящую книгу). — Прим, перев.
102 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ II
несущественными частями этих выражений, но они
включены для удобства чтения и будут опускаться, ко-
гда это не будет приводить к двусмысленности.
В стандартизованных обозначениях определения
А, М, Е, Т и S принимают вид
д Sum (ж, 0) = х,
Sum (ж, Sy) — S (Sum (ж, у)),
„ Prod (ж, 0) = 0,
Prod (ж, Sy) = Sum (ж, Prod (ж, у)),
Ехр (ж, 0) = 1,
Ехр (ж, Sy) = Prod (ж, Exp (ж, у)),
ТеЦж, 0) = 1,
ТеЦж, Sy) = Ехр(ж, ТеЦж, у)),
_ ОИ(ж, 0) = ж,
ОИ(ж, Sy)=P(Dif(X, у)),
где Р(х) — это ж —1, определяемый так:
Р(0) = 0,
PSx = ж.
Общая черта всех определений от А до S очевидна;
каждое определение имеет вид
F(x, 0) = а(ж),
I
F(x, Sy) — b(x, F(x, у)),
где F(x, у)—определяемая функция, а а(х), Ь(х, у) —
или ранее определенные функции, или переменные, или
конкретные цифры.
Схема определения I называется итерацией-, опреде-
ление с помощью итерации является частным случаем
ГЛ. I]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПО РЕКУРСИИ
103
определения с помощью рекурсии, схема которой та-
кова:
F (х, 0) = а (х),
R
F(x, Sy) = b(x, у, F(x, у)).
(Разница между итерацией и рекурсией состоит в том,
что в последней функция b зависит не только от х и
F(x, у), но и от у.)
Примером функции, которую можно определить по
схеме R, является сумма геометрической прогрессии
1 4- х + х2 + 4-xn = G(x, и),
которая удовлетворяет равенствам
G (х, 0) = 1,
G (х, Sn) = В (х, n, G (х, п)),
где В(х, y,.z) = Sum (Ехр(х, у + 1), z).
Более точно, схема R называется рекурсией по у\
вторая переменная х называется параметром этой схе-
мы. На число параметров не налагается никаких огра-
ничений, так что, например, схема
Г(0, у, z, w) = a(y, z, w),
R*
F(Sx, у, z, w) = &(x, у, z, w, F(xt y, z, w))
также называется рекурсией (по х).
Переменные в выражении некоторой функции, такие
как х, у, z в F(x, у, z), иногда называются аргументами
этой функции. Если можно найти (единственную) циф-
ру f такую, что F(a, b, .) = f, где а, Ь, обозначают
определенные цифры, то f называется значением функ-
ции F(x,y, ..) для значений а, Ь, аргументов
х, У, • функции F(x, у, .). Характеристическим свой-
ством функции F(x, у, .), определяемой с помощью
рекурсии, является то, что значение F(x, у, .) опреде-
лено для любого множества значений аргументов в
предположении, что вспомогательные функции в оп-
ределяющей схеме обладают этим же свойством;
104
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
П
действительно, F(0, у, .) — известная функция, а зна-
чение A(Sx, у, .) определено, если известно значение
F(x, у, ...), ибо F(Sx, у, ..) выражается в терминах
F(x, У, • • •) с помощью некоторой функции с известными
значениями.
1.6. В следующей главе будет видно, что введение
вспомогательных параметров, как в схеме R*, является
на самом деле излишним, и что достаточно рассматри-
вать только простейшую схему рекурсии
F (0) = 0,
F(Sx) = b(F (х)),
в которой совсем нет параметров. Мы перечислим здесь
для будущих ссылок три функции, играющие в этом
сведении важную роль. Это
Alt х, Hfx = [x/2] и Rtx = [x4
определяемые следующими рекурсиями:
(i) AltO-0, AltSx = 1 — Altx,
так что Alt 1 = 1, Alt 2 = 0, Alt 3=1 и т. д.,
(ii) Hf 0 = 0, HfSx = Hfx + Altx,
так что Hf 1 = 0, Hf 2 = 1, Hf3 = 1, и т. д., т. е. Hf 2х =
= Hf(2x + 1)= х;
(iii) RtO = 0, RtSx = Rtx + {l~Р(х, Rtx)},
где р(х, у) = (Sy)2 — Sx; поэтому Rt Sx получается из
Rtx прибавлением 1, если Sx — следующий после
(Rtx)2 квадрат, и прибавлением 0 в противоположном
случае, т. е. Rt х есть наибольшее число, квадрат кото-
рого не превосходит х.
1.61. Сокращенное обозначение
Когда функция определена простейшей рекурсией
F(0) = 0, F(Sx) = b(F(x)),
ее последовательные значения F(l), F(2), F(3),
представляются выражениями 6(0), 66(0), 666(0),
и естественно обозначать их через 61 (0), 62(0), 63(0),..
ГЛ. I]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПО ' РЕКУРСИИ
105
так что F(x) можно выразить в виде &х(0), где &°(0)
есть 0. Поэтому, так как х +}у определяется так, что
х + 0 = 0, х + Sy = S (х + у),
то х + 1 = Sx, х + 2 = S2(x), х + 3 == S3(x), ..сле-
довательно, х + у можно представить в виде S^(x), где
S°(x) обозначает х.
1.7. Подстановка
Простейшей операцией, с помощью которой можно
построить новую функцию из данных функций, является
подстановка.
Если дана некоторая функция произвольного числа
переменных, например, функция Р(а, Ь, с, d) четырех
переменных, и даны произвольные четыре функции, ска-
жем, Л(х, у, z), В(х, у, z), С(х, у, z), D(x, у, z), то
можно определить новую функцию F(x, у, z) с помощью
равенства
Subst F(x,y,z) =
= Р(А (х, г/, z), В(х, у, z), С(х, у, z), £>(х, z/,z)).
Говорят, что так определенная функция F построена
из функций Р, Л, В, С и D с помощью подстановки в Р.
Например, в определении сложения х + Sy построена
из х + у и S с помощью подстановки в Sx.
Об определении типа Subst говорят еще, что оно яв-
ляется явным определением функции F, в противовес
рекурсивному определению. В явном определении каж-
дая переменная, входящая в правую часть уравнения,
должна также входить в новую функцию слева, но в
левой части могут быть и дополнительные перемен-
ные *).
1.8. Исходные функции
Часто бывает удобно уметь выражать какую-либо
переменную или некоторую цифру в виде функции.
♦) Например, введение функции посредством равенства
/?(хь ..., xrt) = xz(l </<п) является определением типа Subst.—
Прим. ред.
106 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ (Г
Для этой цели мы вводим ряд специальных функций.
Первая из них — это нулевая функция Z(x), определяе-
мая равенством
Z(x)= 0.
Это определение можно представить рекурсивно в виде
Z(0) = 0, ZS(x)=Z(x),
но явное определение потребуется в дальнейшем. В до-
полнение к нулевой функции мы определяем также тож-
дественную функцию 3 равенством
3 (х) = х.
Из нулевой функции мы можем получить любую кон-
стантную функцию с помощью подстановки в функцию
следования Sx. Например, функция С(х) со значением 2
для любых значений х определяется так:
С(х) = S2Z(x).
1.9. Однократно рекурсивные функции
Говорят, что функция однократно рекурсивна (или
примитивно рекурсивна), если она может быть опреде-
лена из нулевой функции, функции следования и тож-
дественной функции с помощью подстановок и рекурсий.
Мы можем также выразить это определение, сказав, что
нулевая функция, функция следования и тождественная
функция однократно рекурсивны и, далее, что функция
однократно рекурсивна, если она определяется подста-
новкой однократно рекурсивных функций в однократно
рекурсивную функцию или определяется однократно
рекурсивной схемой с использованием только однократ-
но рекурсивных функций. Таким образом, все функции,
определенные до сих пор, однократно рекурсивны, и лю-
бая функция, получаемая из них подстановкой, будет
однократно рекурсивной.
В некотором смысле, который будет уточнен в сле-
дующей главе, всякая рекурсивная функция является
вполне устранимой, иначе говоря, если вместо всех ее
аргументов подставить конкретные цифры, то эту функ-
цию можно преобразовать в единственное число. Дейст*
вительно, исходные функции, конечно, устранимы и
ГЛ. I]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПО. РЕКУРСИИ
107
подстановка устранимых функций в устранимую функ*
цию дает в результате устранимую функцию; наконец,
функция F(x)t которая может содержать параметры,
определяемая в терминах устранимых функций с по-
мощью однократно рекурсивной схемы, является устра-
нимой, ибо 2(0) устранима и F(Sx) устранима, если
F(x) устранима.
1.91. Дважды рекурсивные функции
Совокупность арифметических операций — сложение,
умножение, возведение в степень, тетрацию, пентацию
и т. д. — можно выразить одной функцией. Если мы оп-
ределим функцию Н(р, п, а) равенствами
Я(0, л, а) = 5л, 2/(1» 0, а) = а, Н (2, 0, а) = 0,
Н Я (р + 3, 0, а)=1
(так что Н (р + 1, 0, а) = а (1 — р) + {1 — (2 — р)})
и Н (р + 1, п + 1, а) = Н (р, Н (р + 1, л, а), а),
то значение Н(р, л, а) определено для любого значения
р, п и а\ ибо Н(0, и, а) дано, и если для некоторого р
и произвольных п и а дано Я(р, л, а), то Н(р + 1, л, а)
определяется однократной рекурсией по л. Функции
2/(1, л, а), Я (2, л, а), Я(3, л, а), 27(4, л, а), опреде-
ляют соответственно сложение, умножение, возведение в
степень, тетрацию, ибо
/7(1, 0, а)= а, /7(1, л + 1, а)= S/7(l, л, а),
так что /7(1, л, а) = п + а, и поэтому
/7(2, 0, а) =0, /7(2, л + 1, а) = /7(2, л, а) + а,
так что /7(2, л, а) = ла, и отсюда мы по очереди нахо-
дим, что
Я(3, 0, а) = 1, /7(3, л + 1, а) = Я(3, л, а) - а,
так что Н (3, л, а) = ап,
Я (4, 0, а)== 1, Я (4, л+1, а) = а^п,а)>
так что Я(4, л, а) = па и т. д.
Равенства Н не подпадают под схему однократной
рекурсии R, ибо в них используются как 5л, так и Sp.
108
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
П
Равенства Н являются примером определения с по-
мощью двойной рекурсии.
Общий вид определения с помощью двойной рекур-
сии таков:
О функции G(p, п), которая может еще зависеть от
одного или более параметров, говорят, что она опреде-
ляется с помощью двойной рекурсии из некоторых дан-
ных функций, если
r2
G (0, п) является одной из данных функций,
G (р + 1, 0) = а (р, G (р, b (р))),
G (р + 1» п + 1)=®
= с{р, n, G (р, d[p, п, G(p+ l,n)J), G(p+ 1, п)}>
где а(х, у), Ь(х), с(х, у, г, оу) и d(x, у, z) — данные
функции. Мы видим, что G(p + 1, 0) получается подста-
новкой некоторой данной функции в G(p, п) вместо п
и подстановкой результата в одну из данных функ-
ций; G(p+l,n+l) получается тоже подстановкой
G(p + 1, п) в данные функции и подстановкой в G(p, п)
вместо п. Мы покажем в примере 1.9, что первые два
равенства можно заменить на G(0, п) = G(p + 1, 0) = 1.
Если данные функции однократно рекурсивны, то
равенства R2 показывают, что для любого данного зна-
чения р функция G(p, п) однократно рекурсивна по п,
ибо G(0, п) задана как однократно рекурсивная, а если
для некоторого р G(p, п) однократно рекурсивна по п,
то G(p + 1, п +, 1) выражается с помощью однократной
рекурсии в терминах G(p+l,n). Однако G(p, п) не
обязана быть однократно рекурсивной функцией п с па-
раметром р, и мы впоследствии покажем, что имеются
дважды рекурсивные функции, которые, как можно до-
казать, отличны от любой однократно рекурсивной
функции; в частности, это верно для дважды рекурсив-
ной функции Н(р,пуа), определенной выше (см. Пе-
тер [1])*).
По аналогии с равенствами R2 можно без труда
определить рекурсии по трем и более переменным, но
*) Число в квадратных скобках относится к библиографии. —
Прим, ред.
ГЛ. I]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПО РЕКУРСИИ
109
у нас не будет случая использовать более чем двойную
рекурсию.
1.92. С помощью однократных и многократных рекур-
сий мы устанавливаем общее понятие рекурсивной функ-
ции. Говорят, что функция рекурсивна *), если она одно-
кратно рекурсивна или определяется рекурсией по про-
извольному числу переменных из данных рекурсивных
функций, или определяется из данных рекурсивных функ-
ций подстановкой.
Мы покажем, что все процессы классической арифме-
тики* **) можно описать с помощью рекурсивных функ-
ций.
Примеры к гл. I
1. Сформулируйте рекурсивные определения арифме! ических
процессов гексации и гептации.
1.1. Вычислите Tet(2,3) и Pent(2,3) и выразите Нех(2, 3) как
повторное возведение в степень.
1.2. При условии, что f(0, л) = h f(p,O) вр+1 и
f(p + 1, п + 1) = f (р, рп)-f (р 4- 1, п), найдите значения f(2, п),
f(3,n) и f(4,4).
1.3. Докажите, что если ф(х) рекурсивна и f(0) « 0, f(x + 1) =
« ф(х + 1), то f (х) рекурсивна.
1.31. Докажите, что если g(x) и h(x) обе рекурсивны и
, , ч ( g W при х < 2,
( h (х) при х > 2,
то f(х) рекурсивна.
1.4. Докажите, что следующие функции рекурсивны:
1.41. Остаток и частное от деления х на 2; наибольший общий
делитель х и 2 и их наименьшее общее кратное.
1.42. То же, что в 1.41, с «3» вместо «2».
1.5. Покажите, что если g(x) и h{x) рекурсивны и
(g (х), если х четно,
h (х). если х нечетно.
то f(x) рекурсивна.
♦) Обычно термин «рекурсивная функция» употребляют в ином
смысле, а именно как синоним термина «общерекурсивная функция»
(см. А. И. Мальцев, «Алгоритмы и рекурсивные функции», «Нау-
ка», 1965). — Прим. ред.
**) Термин «классическая арифметика» автор понимает здесь,
по-видимому, в гораздо более узком смысле, чем это обычно принято
(см., например, Р. Л. Гудстейн, «Математическая логика», ИЛ,
19G1). — Прим, ред*
ПО РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ Ц
1.6. Покажите, что коэффициент при хт в разложении (1 +х)п
является дважды рекурсивной функцией.
1.7. Предполагая, чтв а + b = b 4- а и (л + Ь) + с =а 4- (Ь 4- с),
докажите, что сумма а + b + с + d не зависит от порядка слагае-
мых.
1.8. Определите примитивно рекурсивные функции i(x), j(x,y)t
k(x,y) так, что 1(0) — 1, i(x 4- 1) « 0; /(0, //) = 0, /(х4-1,0)«1,
j(x 4- 1, у 4- 1) « 0; k{Q,y) ~ 0, k(x 4- 1,0) = 0, k(x 4- 1, y+ 1) - 1.
1.81. Докажите, что если a(x), b(x) и c(x, у) примитивно ре-
курсивные функции и
f(0, у) = а(у),
f(x+l,0) = d(x),
f(x4-1, у+ 1) = с(х, */),
то f(x,y) примитивно рекурсивна.
1.9. Докажите, что если
Л (р, л, w, v) = i (р) • а (п) 4- j (р, л) • 6 (р — 1, л) 4-
+ k (р, п) • с (р — 1, п — 1, л, о)
и
р (р, л, ш) ® i (р) 4- j (р, n)'Sd (р — 1) 4- k (р, n)-Se (р —1, п — 1, w)
и если ф(р, п) определяется двойной рекурсией:
ф (0, п) « ф(р4-1, 0) — 1,
ф (р4-1, п4- 1)«Х (р, п, ф(р, р. [р, п, ф (р+ 1, л)] ), ф (р 4- 1, п)),
то из G (р, л)» ф (р 4- 1, л 4- 1) следует
С(0,л)« л(л), G(p 4- 1,0) = b(p, G(p,d(p)))t
G(p 4- 1, п 4- 1)= с(р, л, G(p, е [р, л, G(p 4- 1, л)]) G(p 4- 1, и)).
1.91. Сформулируйте равенства, вводящие функцию f(x, у, г) с
помощью тройной рекурсии.
ГЛАВА II
ИСЧИСЛЕНИЕ РАВЕНСТВ
Определение доказательства. Коммутативное и ассоциа-
тивное свойство сложения. Равенства х + (#— х) =
=У+(х—У) и (1 —|х, t/|)f(x) = (1—|х, УШУ).
Функции Ef, П/ и [I/. Неравенства. Верифицируемое™
и непротиворечивость.
2. Мы описали два процесса — подстановку и рекур-
сию, с помощью которых можно определять новые функ-
ции из введенных ранее, и показали, как строятся все
рекурсивные функции из нулевой функции и функции
следования. Теперь мы переходим от построения функ-
ций к доказательствам равенств. Рассматриваемые нами
равенства выражают тот факт, что некоторые функцио-
нальные выражения можно подставлять вместо других,
например, равенство х + у = у + х указывает, что х + у
можно подставить вместо у + %, и наоборот. Общий вид
таких равенств — F = G, где F и G — рекурсивные
функции *).
2.1. Определение доказательства
Доказательство — это таблица равенств, каждое из
которых представляет собой или определение (часть
определения) некоторой функции, или равенство вида
F = F, или доказанное равенство. Если F = G — одно
из равенств доказательства, то с помощью замены
функции F на функцию G в одном или более вхожде-
ниях F в некоторое равенство доказательства полу-
чается доказанное равенство.
Далее, равенство, получаемое заменой некоторой
переменной во всех ее вхождениях другой переменной,
или конкретной цифрой, или функцией, является дока-
занным равенством.
Наконец, F = G является доказанным равенством,
если некоторые равенства доказательства получаются
) См. примечание переводчика на стр. 101. — Прим. ред.
112 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ П
подстановкой функции F вместо некоторой функции Н
и подстановкой функции G вместо Н в равенствах, ко-
торые определяют функцию //*).
Если результаты подстановки F и G в определяю-
щие равенства некоторой функции являются равен-,
ствами доказательства, мы будем говорить, что F и G
удовлетворяют одним и тем же вводящим равенствам.
Правило, по которому F — G, если F и G удовлетворяют
одним и тем же вводящим равенствам, является лишь
другой формой выражения того, что процессы рекурсии
и подстановки определяют единственные функции. На-
пример, равенства х 4- 0 = х, х + Sy = S (х + у), кото-
рые вводят функцию суммы, определяют эту функцию
полностью, так что любая f(xty), которая удовлетво-
ряет тем же равенствам, а именно: f (х, 0) = х, /(х, Sy) =
= Sf(x, у)—является лишь другим обозначением для
той же самой функции.
2.11. Для иллюстрации техники доказательства и в
качестве подготовки к последующим приложениям мы
здесь собираем вместе доказательства основных свойств
функций, которые мы ввели в предыдущей главе.
Свойства суммы
В качестве первого примера доказательства мы рас-
смотрим коммутативность сложения, которая выра-
жается равенством
2.2. х 4- у = у + х.
Для того чтобы было легче следить, мы разобьем это
доказательство на две части, начав с доказательства
равенства
Sx 4- у = S(x 4- у).
Доказательство состоит из девяти равенств:
2.21. х + 0 = х,
2.22. Sx 4- 0 = Sx,
2.23. Sx = Sx,
*) Ср. со схемами Т п Ui главы V (см. также примечание ре-
дактора на стр. 186). — Прим. перев.
ГЛ. II]
ИСЧИСЛЕНИЕ РАВЕНСТВ
113
2.24. S(x 4- 0) = Sx,
2.25. х 4- Sy = S (x 4- у),
2.26. Sx 4- Sy = S (Sx 4- y),
2.27. S(x4-St/) =S(x4-St/),
2.28. S (x 4- Sy) = SS (x 4- y),
2.29. Sx 4- У = S (x 4- y).
Мы видим, что 2.21 и 2.25 являются определяющими
равенствами суммы; 2.22 выводится из 2.21 подстанов-
кой Sx вместо х; 2.24 выводится из 2.23 подстановкой
х 4-0 вместо х (в левую часть) в силу 2.21; 2.26 выво-
дится из 2.25 подстановкой Sx вместо х; 2.28 получается
из 2.25 и 2.27. Равенства 2.22, 2.24, 2.26 и 2.28 показы-
вают, что как Sx 4- у, так и S(x4-(/) удовлетворяют
вводящим равенствам
Ф (х, 0) = Sx,
ф (х, Sy) = 5ф (х, у),
так что 2.29 является доказанным равенством. Подстав-
ляя х вместо у и у вместо х в 2.29, мы получаем
2.291. Sy 4- х = S(y + х).
Следующим шагом является доказательство равенства
2.3. 0 4- х = х;
пара равенств
0 4- 0 = 0, 0 4- Sx = S(0 4- х),
которые получаются подстановкой из 2.21 и 2.25, по-
казывает, что функция 0 4-х удовлетворяет вводящим
равенствам
ф(0) =0, ф(5х) =5ф(х),
которым удовлетворяет также тождественная функция
<7 (х), что доказывает 2.3. Четыре равенства 2.21, 2.3,
2.25 и 2.291 показывают, что х 4- у и у 4- х удовлетво-
ряют вводящим равенствам
ф(х, 0) = х, ф(х, Sy) =5ф(х, у),
114 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ [Г
что завершает доказательство равенства
х + у = у + X.
В качестве следующего примера мы возьмем важ-
ное равенство
2.4. (х + у) + z = х + (у + z),
которое выражает ассоциативность сложения.
Так как (х + у) + Sz = S{(x + у) + z} и х +
+ (у + Sz) = х + S (у + z) = S{x + (у + z)} (где мы
используем сокращения вида а = b = с для обозначения
пары равенств а = b, b = с), то обе функции (х + у) + z
и х + (у + z) удовлетворяют равенству ср (х, у, Sz) =
= Scp(x, у, z); далее (х + у) + 0 = x + i/ = x + (у + 0),
так что эти функции также удовлетворяют равенству
ф(х, г/, 0) = х + у,
и поэтому 2.4 доказано.
2.5. Произведения
Коммутативность умножения, выражаемая равен-
ством
ху = ух,
без труда доказывается с помощью равенств 2.2 и 2.4.
Определяющие равенства для произведения ух таковы:
2.51. 0-х = 0, (Sy) -х = (у-х) +’х;
как и в доказательстве 2.2, мы начинаем с установления
пары равенств
2.52. х • 0 = 0, х • Sy = (х • у) + х.
Первое из них доказывается с помощью двух равенств
0-0 = 0, Sx-0 = x-0 (частные случаи вводящих ра-
венств для произведения), которые вместе с Z(0) = 0,
ZSx = Zx (где Zx—нулевая функция) показывают, что
х • 0 = Zx = 0.
ГЛ. It]
ИСЧИСЛЕНИЕ РАВЕНСТВ
115
Для доказательства второго равенства заметим, что
О • Sy = 0 = 0 • у 4- 0, Sx • Sy = х • Sy 4- Sy
и
Sx • у 4- Sx = (x - у + у) + Sx =
= (x • у 4* Sx) + у = (в силу 2.4)
= S(x-t/ + x) + r/ =
= S ((x * у + x) + у) = (в силу 2.29)
= (х • у + х) 4- Sy\
это показывает, что x*Sy и х>у + х удовлетворяют вво-
дящим равенствам
ф (0, у) = 0, ф(5х, у) = ф(х, у) 4- Sy,
что доказывает 2.52. Равенства 2.51 и 2.52 показывают,
что функции у-х и х-у удовлетворяют одним и тем же
вводящим равенствам, что завершает доказательство.
2.53. Если для некоторой f(x) доказуемы f(0)=0
и f(Sx) = O, то доказуемо f(x) = O. Ибо из f(Sx) = O и
O-f(x)=O мы выводим f (Sx) = 0 • f (х), а так как
ZSx ~ 0 • Zx, то как f(x), так и Zx удовлетворяют вво-
дящим равенствам
ф(0) =0, <p(Sx) =0‘ф(х),
так что f (х) =Zx и f(x) =0 доказуемы.
2.6. Свойства разности
Мы начинаем с доказательства важного равенства.
2.61. x — y=Sx — Sy.
Из равенств
х — 0 = х, Sx — SO = (Sx — 0) — 1 = Sx — I = x
и
x — Sy = (x — y) — 1, Sx — SSy = (Sx — Sy) — 1
(которые являются частными случаями вводящих ра-
венств для разности) следует, что х — у и Sx — Sy удо-
влетворяют вводящим равенствам
Ф (х, 0) = х, ф (х, Sy) = ф (х, у) — 1,
Ив РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ [I
так что х — у= Sx — Sy. Следовательно,
2.611. (х + у) — у — х,
ибо (х + Sy) — Sy = S {у + х) — Sy = (х + у) — у и поэтому
если 1\ (х, у) явно определена равенством Ц (х, у) = х,
то и (х + у) — у, и Ц (х, у) удовлетворяют равенствам
<р (*, 0) = х, <р (х, Sy) = <р (х, у).
Из равенств 0 — 0 = 0, 0 — Sx = (0 — х) — 1 и Z0 = 0,
ZSx = Zx — 1 следует, что 0 —х = 0, и, аналогичным
образом используя Z (х, у), явно определяемую равен-
ством Z (х, у) = 0, мы можем доказать, что у — (х + у) = 0
и поэтому у — у = 0.
Мы определяем положительную разность*) х и у —
Зх, у\—с помощью равенства
\х,у\ = (х-у) + (у-!- х).
Имеем |х, у\ = \у, х| и, используя 2.61,
2.612. | х, y| = |Sx, Sy|.
Применения правил приравнивания функций, кото-
рые встречались у нас до сих пор, ограничивались лишь
случаем однократных рекурсий. .Однако следующее до-
казательство равенства
2.62. х + (у — х) = у + (х — у)
требует применения этого правила к двойной рекур-
сии**). Мы замечаем, что
х + (0 — х) = х = 0 + (х — 0),
0 + (Sy — 0) = Sy = Sy + (0 -t- Sy)
и
Sx + (Sy — Sx) = Sx + (y — x) = S (x + (y — x)),
Sy + (Sx — Sy) = Sy + (x — y) = S (y + (x — y)),
♦) В терминологии некоторых авторов — симметрическая раз-
ность. — Прим. ред.
♦♦) В главе V приведено доказательство равенства 2.62, в колю-
ром правило приравнивания функций применяется только к одно-
кратным рекурсиям. — Прим, ред.
ГЛ. И]
ИСЧИСЛЕНИЕ РАВЕНСТВ
117
так что и х + (у — х), и f/ + (x~ у) удовлетворяют
дважды рекурсивным равенствам
ф(х, 0) = 0, ср(О, Sy) = Sy,
Ф (Sx, Sy) = 5ф (х, у),
что завершает доказательство. Общее значение
x + fz/^x) и у + (х — у) является наибольшим из х
и у, которое обозначается через max (х, у).
Теперь, подготовляя доказательство теоремы, свя-
зывающей равенство с обращением в нуль положитель-
ной разности, мы докажем, что для любой рекурсивной
функции f(x) имеет место
2.63. (1 — |х, y\)f(x) = (1 ^|х, y\)f(y).
Частный случай 2.63, получаемый подстановкой х + у
вместо х, а именно
2.631. (l-x)f(x + z/) = (l-x)f(y)
очевиден, ибо и (1 — x)f(x + у), и (1 — x)f(y) удовле-
творяют равенствам
ф(0. =№), <Р($х, у) = Zcp(x,y).
Подставляя х — у вместо х в 2.631, мы получаем
2.64. (1 --(x^y))f(z/) = (l — (x-j- y))f(y + (х-у))
и после умножения на 1 — |х, у\ с использова-
нием доказуемого равенства {1 — (х— //)}{1 — |х, t/[} =
= {1 — |х, #1} (см. пример 2.241) это переходит в
2.65. (1— \x,y\)f(y) = (1 -\x,y\)f(y + (х —г/)).
Подставляя х вместо у и у вместо х в 2.65 и учитывая
|х, у\ = \у, х|, мы получаем
2.66. (1 — |х, y\)f(x) = (l -\x,y\)f(x + (y-x))
и поэтому 2.63 следует в силу 2.62.
Взяв в 2.63 в качестве f(x) тождественную функцию
0 (х) = х, мы имеем
2.67. (1 -\х,у\)х = (1 — |х,
118
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
(Т
и поэтому, если |F, G\ = 0 доказано для некоторых функ-
ций F и О, то, подставляя F, G вместо х, у в 2.67, мы ви-
дим, что F=G— доказанное равенство. Обратно, из
F = G мы выводим, используя F — F = 0, как F — G = О,
так и G — F = 0 и, следовательно, | F, G | = 0.
Таким образом, мы показали, что каждое из ра-
венств
\F, G|=0, F=G
может быть выведено из другого.
Равенство 2.63 можно представить в другой форме,
более удобной для использования; если мы умножаем
2.63 на 1—f(x) и используем равенство
(l^f(x))f(x) = O.
которое получается подстановкой f(x) вместо х в до-
казуемое равенство х(1 — х) = 0 (см. пример 2.1), то
мы получаем
2.68. (l--\x,y\)(l— f (*))/(*/) == 0*).
2.7. В качестве первого примера использования экви-
валентности равенств \F, G| = 0 и F=G мы докажем
равенство двух функций f и g, о которых известно, что
они удовлетворяют равенствам
f(O) = g(O), f(Sx) = g(Sx).
Мы определяем <р(х) = |/(х), g(x) |, так что доказуемы
ф(0) =0, q)(Sx) =0, и поэтому <p(Sx) =Zq>(x). Так
как Zx также удовлетворяет вводящим равенствам
Z(0) = 0, ZSx = ZZx,
то ф(х) =Z(x) и, следовательно, ф(х) =0 являются до-
казанными равенствами; значит, по предыдущей тео-
реме доказанным равенством будет f(x) = g(x). Обоб-
щение этого результата приведено в примере 2.73.
♦) Умножение равенства на некоторый множитель — это сокра-
щенный способ описания вывода равенства са = cb из равенства
а = Ь\ этот вывод, конечно, можно произвести на самом деле, под-
ставляя *Ь» вместо «а» в правую часть равенства са « са.
ГЛ. II]
ИСЧИСЛЕНИЕ РАВЕНСТВ
119
Для выражения того факта, что доказательство не-
которого равенства F = G можно получить, комбини-
руя доказательства одного или более равенств fi =
f2 = g2i fh = ghi мы пишем просто
fl = gl
fi = ёг
fk — gk
F = G
и называем это схемой доказательства*). Так, преды-
дущую теорему можно представить схемой
f(O) = g(O)
f(Sx) = g(Sx)
f (х) = g (х)
2.8. Если для некоторой функции f(x) доказуемы
равенства
f (0) = 0, (1 — f (x))f (5х) = О,
то доказуемо равенство f(x) = 0, или, в виде схемы,
f(0) = 0
(1 —f (х) )f (Sx) = О
fW = o
В силу примера 2.232 (l--a)b — b — ab и, следова-
тельно, из (1 — f(x))f(Sx) = 0 мы выводим
(1 —f(x)) (1 —f(Sx)) =
= (1 f(x))—(1 f (x))f(Sx) = 1 —f (х),
и поэтому, если g(x) определена рекурсией
g(0) =1, g(Sx) = g(x)(l-f(x))
и если h(x) = g(Sx), то
h(Sx) = g(Sx) (1 — f(Sx)) = g(x) (1 -f (x)) = g(Sx)-
*) По-видимому, автор имеет в виду, что F = G выводимо в
расширении рассматриваемого исчисления, которое получается до-
бавлением к нему равенств fi ='gi, [г ~ g2, fh=gk в качестве
аксиом. — Прим. ред.
120 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ П
но /i(0)»=gr(0) (ибо Д0) = 0) и, следовательно, h(x) =
= g{x).
Таким образом, g(0) = 1, g(Sx) = g(x) и, следова-
тельно (в силу примера 2.7304), g(x) = 1 и поэтому
1—f(.r)=l. Отсюда, используя пример 2.1, получаем
f(x) = f(x)(l-f(x)) = O.
Мы покажем позже, что теорема 2.8 устанавливает
справедливость метода доказательства, известного как
математическая индукция.
2.9. Функции 2f> Ilf и Hf-
Для любой функции f(x) мы определяем
Sf (0) = f (0), Zf (n + 1) = 21 («)+f (n + 1),
Ilf(0) = И0), Ilf(n +1) = Ilf(n) • f(« +1),
так что для любой цифры р
2f(p) = H0) + Hi)+ + /(р),
И
1Ъ(р) = Н0).Ц1). -f(p);
для функции f(x, а), зависящей также от параметра а,
мы полагаем
2/(0, а) = /(0, a), 2/(^ + 1, «) = S/(^» a) + f(n+l, а);
аналогичная формулировка дается и для случая более,
чем одного параметра. Подразумевается, что подобное
определение сформулировано и для функции Ц-
Для любой конкретной цифры р мы имеем
Sf(p, ^) = f(0, а) 4-/(1, а) + + f (р, а)
и
П/(р, а) = т а)- - f(p, а).
При использовании функций 2f> Hf мы принимаем
первую переменную в f за оперативную переменную;
для изучения суммы вида
f(tz, O) + f(a, 1)+ ... +/(а,р),
ГЛ. II]
ИСЧИСЛЕНИЕ РАВЕНСТВ
121
мы вводим ф(х, а) явным определением ф(х, a) = f(a,x)
и представляем f (а, 0) 4- f (а, 1) 4- 4-/(а, р) как
2ф(р. «)•
2.91. Если для некоторых функций f(x), g(x) дока-
зуемо равенство
(l^g(n))(Sn^-a)f(a)=O, (i)
то доказуемо
(1 — g(«))2f(«) = 0. (И)
Обозначим (Sn — т) (1 — g(n)) 2/(т) через А(т);
тогда в силу (i) Д(0) = 0 и
A (Sm) = (Sn — Sm) (1 — g (n)) (Sf (m) + f (Sm)} =
= (Sn — Sm)(l — g(n))^t (m)=A(m) — (1 — g (n)) Sf (m),
так что {1 — A (m)}A (Sm) = 0 и поэтому в силу 2.8
А (т) = 0. В частности, А (п) = 0, т. е. {1 — g(n)}2f (п) = 0.
2.92. Если для некоторых f(x), g(x)
(Sn —a) (I—f(a))g(n) = 0,
ТО {1 пj(n)}g(n) = 0.
Пусть А(т), В(т), С(т) обозначают соответственно
(Sn — пг)(1 — IL(m))g(n), (Sn — Sm)(l — JJf(m))g(n)
и (Sn -- Sm) (1 — f(Sm))g(n). По предположению C(m) =0
и, следовательно, {1 — Д(пг))С(/п) = 0; более того,
{1 - А(т)}В(т) =
= {1 — Л(т)}{Д(т)— (1 — ILM g(n)} =0
и, следовательно (в силу примера 2.47 с Hf(m) вме-
сто a, f(Srn) вместо b и (1 — А(т)) (Sn --Sm)g(n) вме-
сто с),
{1 —А(т)}А (Sm) = 0,
и поэтому А (т) = 0; значит, А (п) ~ 0, т. е.
{ Ilf («)) g (п) = 0.
122 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ (1
2.921. {1 — f (х)} IL(x) = 0.
Действительно,
{i—f(o))IL(o) = {i—f(O)H(o)=o
И
{1 (Sx)} IL (Sx) = {1 -ч (Sx)} f (Sx) IL (x) = 0.
2.93. В следующем разделе нам потребуется ряд эле-
ментарных свойств функции а(х) = 1—(1—х), которые
доказаны в примерах 2.26. В частности, мы будем ис-
пользовать равенства
а (а (х)) = а (х), а (1 — х) = 1 — а (х),
х-а(х)=х и а(ху) = а(х) • а(г/).
Функция а(х), очевидно, удовлетворяет равенствам
а(0)=0, cc(Sx) = l.
Для данной f(x) мы определяем р(х) = a(f(x)). Имеем
а(р (х)) = a (a(f (х))) = a(f (х)) = р (х)
И
а(1 —р(х))= 1 —а(р(х))= 1 —р(х).
Более того,
а(Пр(*)) = Пр(Д
ибо
а(ПР(0)) = р(0),
а (Пр (Sx)) = а (Пр (*)) • р (Sx),
так что а(Пр(х)) удовлетворяет тем же вводящим ра-
венствам, что и сама Пр(х)-
2.931. {1 —р(х)}}(х) = 0.
Действительно,
{1 — р(х)}/(х) = f(x)—f(x)"a(f(x)) = f(x) -f(x) = O.
2.932. {1—f(x))p(x) = 0.
Действительно, 1 — f (х) = 1 •— р (х).
2.933. f(x)-|p(x), 1| = 0.
ГЛ. II]
ИСЧИСЛЕНИЕ РАВЕНСТВ
123
Так как а(х) — 1 = О и, следовательно, р(х) — 1 =0, то
f(x) (р(х) — 1) = 0; но f(х)(1 — р(х))= 0 и, следователь-
но, складывая, получаем f (х) • | р (х), 11 = 0.
2.934. Если р(х) = a(f(x)), то ПрW = a(IL(*))•
Так как
а(Пг(5х)) = а Пг(х) • af (Sx) = aflfW * P(Sx)
И
Пр(5х) = ПрМ‘Р(5Д
И
аПг(0) = а/(0) = р(0) = Пр (0),
следовательно, Пр(х) и аП/(х) удовлетворяют одним
и тем же вводящим равенствам.
2.935. Если a(/(x))-g(x) =0, то f(x)-g(x) =0. Дей-
ствительно,
0 = f(x)- a(f(x))-g(x) = f(x)-g(x).
2.94. Для любой функции f(x) мы полагаем*)
0/(п) = Пр(«)^Пр(М
и
pf (0) = 0, pi/ (Sra) = Sn • 0f (га) + Hf (n.) • (1 — 0f (ra)),
где p(x) = a(f (x)). Отметим, что непосредственно из
определений следует
(1 — 0f(«))Pf (Sn) = (l — 0f(n))|xf (га),
Of (га) (Sra) = 0f (ra) • Sn
(ибо 0f(ra) 0f(ra) = aHf(n) (1 — p(Sn)) аП^«) X
X (1 — p(Sra)) = aHf (rt) • (1 ~P (Sn)) = 0f (n)). Если для
некоторого а Пр(а)=1 и P(Sa) =0, то 0/(а) = 1 и,
*) Смысл оператора ц разъясняется перед разделом 2.95.
Прим, ред.
124
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
(I
следовательно, |i/(Sa)=Sa; если или Цр(а) = 0 или
p(Sa) = 1, то (Sa) = (а).
2.941. Если Rf(x)= 1— еДх), то
f(0)(l^nf-(Sx))ILf(x) = 0.
Посредством Д(х) обозначим
р(0)(1 —Пр($х))Пд,(*);
тогда
Л(0) = р (0)(1-*-Пр(1))(1 (0)) =
= р(0)(1--р(0))(1^Пр(1)) = 0
A (Sx) = р(0)(1 Пр(SSx)) W (1 ЧПр (Sx) +
Пр (SSx))} = р (0) (1 Пр (SSx)) П^ (*) 0 ~ Пр (Sx))=
= {1^Пр(55х)}Д(х),
так что (1 — Д(х)) A (Sx) = 0 и поэтому А(х) = 0. Так
Р (0)(1 Пр(Sx)) = af (0)(I а П/(Sx)) =
= a(f(0)(l — II/(Sx))),
то 2.941 теперь следует из 2.935.
2.942. pf (х) — х = 0.
Действительно,
{1 — 6f (х)} {pf (Sx) — pf (x)J = 0
и
ef (х) {pf (Sx) — Sx) = 0;
поэтому в силу примера 2.36
(Н/ (Sx) — Sx) (pf (Sx) — pf (x)) = 0;
отсюда в силу примера 2.422
{Sx — Ji; (х)) {р/ (Sx) - Sa) = 0.
ГЛ. HJ
ИСЧИСЛЕНИЕ РАВЕНСТВ
125
Так как (в силу примера 2.41)
5х-ц/(х) = {х-ц/(х)} + {1 — (ц/(х) — х)},
{1^-(И/(х)-^х)}{И/(5х)-1-5х} = О,
но |х/(0) —0 = 0 и, следовательно, по теореме 2.8
рДх) — х = 0.
2.943. р/ (х) — |Х/ (Sx) = 0.
Как и в предыдущем доказательстве,
{Ц/(х)— |i/(Sx)}{Sx— g/(Sx)} = 0.
Отсюда, так как в силу 2.942 р./(х) — х = 0, то (исполь-
зуя пример 2.423) р/(х) — цДЗх) = 0.
2.944. (Sa —х) (И/(х)-^(а)) = 0.
В силу примера 2.461 из щ(х + г) — р/(х 4- Sr) = 0
мы выводим
{1 - (и/ (X) - И/ (X + г)) ){ц/ (х) ц/ (х + Sr)} = 0;
отсюда, так как цДх) — ц/(х + 0) = 0, то получаем
|Л/(х)—|лДх + г) = 0 и поэтому в силу примера 2.71
(Sa — х) (ц/(х) —ц/(а)) = 0.
2.945. IL(x)nZ(x)-0.
Мы имеем Пр(0)и/ (0) = 0 и
(1 — П р (х) (if (х)} П р (Sx) fif (Sx) =
*= {1 — Пр W (x)j Пр (x) p (Sx) {Sx • 0f (x) +
+ pf (x)(l — 0f (x))} =
= (1 — Пр (x) (x)} Пр (x) p (Sx) p, (x) = 0,
ибо p (Sx) • 0f (x) = 0; это доказывает, что Пр(х)Ц/(х) = 0.
Но Пр (х) = a (П, (X)), следовательно, по 2.935
П (x)ty(x)-0.
2.946. (1 П (х)) • I lit (х + г), iif (х) | = 0.
126 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ [Т
Из двух равенств (1 — 6f (х)) (Hf (Sx) — Hf (х)) = 0 и
(1 — 0f(x))(gf(х) — Hf(Sx)) = 0 мы выводим
(1 — Of(x)) • Igf (х), nf(Sx)| = O,
что вместе с {1 —Пр (х)} Of (х) = 0 дает (в силу при-
мера 2.36)
(1 — Пр (х)) I Hf (Sx), (if (х) | = О,
и поэтому
(1 — Пр (х + г)) I |if (х + Sr), Hf (х + г) | = 0.
Так как (в силу примера 2.74)
{1— Пр(х)} Пр(х + г) = 0,
{1 — Пр (х)} I Hf (х + 5r)> Hf (х + г) | = 0.
Отсюда в силу примера 2.452
{1 — (1 — Пр (х)) • | gf (х + г), Hf (х) |) X
X (1 — Пр (х))| Hf (х + Sr), nf (х) | = О,
что вместе с {1 — Пр (x)}lHf(x), Hf(x)l = O доказывает,
{1 — Пр (х)} I Hf (х + г), Hf (х) | = 0.
Так как 1 — Пр(х) = а(1 — П> (х))> т0 п0 2.935 имеем
{1 — П/ (х)} | Hf (х + г), Hf(x)| = O.
2.947. (Hf (Sx) — х) f (Sx) = 0.
2.9471. (Hf(Sx) — х)П/(5х) = 0.
Из н/(х) —x = 0 мы выводим в силу примера 2.46
{h/(Sx)-~ x}{S’h/(x)- н/(5х)} = О,
а так как (в силу примера 2.41)
5н/(х)--н/(5х) = {н/(х)— нДЗх)) +
+П — (н/(5х)— н/(х))},
то, умножая на 1 — 0/(х), получаем
(Hf(Sx)-x)(l-0f(x)) = O
и отсюда
p(Sx) (h/(Sx) —х) (1 — 0/(х)) = 0;
ГЛ. П)
ИСЧИСЛЕНИЕ РАВЕНСТВ
127
но p(Sx)0/(x) = 0, так что
p(Sx) (р/(Sx) — х)0Дх) = О,
поэтому, складывая, имеем
{р/ (Sx) — х}р (Sx) = О,
откуда 2.947 следует по теореме 2.935.
Теорема 2.9471 следует из 2.947 с помощью при-
мера 2.741.
2.948. {р/ (Sx) x}f (р/ (Sx + г)) = 0.
Из 2.946 и 2.9471 мы получаем (в силу примера 2.36)
{p/(Sx) x}|p/(Sx + г), p/(Sx) | = 0 (i)
и, следовательно, в силу примера 2.472
{1 — |py(Sx), Sx I} | р/ (Sx + r), p/(Sx) | = 0
и аналогично из 2.947
{1 —- |py(Sx), Sx|)f (Sx) = 0;
но
{1 1Р/ (Sx), Sx | }f (и, (Sx)) = {H Р/ (Sx), Sx i }f (Sx)
и, следовательно,
{1 —|p/(Sx), Sx|}f(p/(Sx)) = 0,
что в силу примера 2.481 преобразуется в
{p/(Sx) —x}f(p/(Sx)) = 0. (ii)
Из (i), (ii) и теоремы 2.63 мы получаем 2.948, что
можно переписать в виде
{1 —-|p/(Sx), Sx|}f(pz(Sx + г)) = 0.
2.949. [1-^1Ъ(х)И(рг(х)) = 0.
Так как
aef (х) = а Пр (х) • a (1 - pSx) = Пр (х) (1 — pSx) = 0f (х),
то 1 — Rf(x) = 0/(х) и 0/(х)- 0/(х) = 0/(х), и, следова-
тельно, {1 — 7?/(x))|p/(Sx),Sx| = 0; отсюда и из послед-
ней теоремы следует
{1---/?Дх)}/(p/(Sx + г)) = 0.
128
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Из примера 2.711 следует, что
(Sx — а) (1 — 7?/(a))f(p/Sx) = О
и поэтому по теореме 2.92
отсюда в силу теоремы 2.941 (и примера 2.36)
f(0)(l — II/(Sx))f (pf (Sx)) = 0. (i)
Так как в силу 2.63
{1 H/(r)V(H/(r))=(l^H/(/-)V(0) (ii)
и в силу 2.946 (полагая х = 0) {1 — f(0)}ц/(г) = 0, то,
умножая (ii) на 1—f(0), имеем
и, следовательно, (1 —f(0))(l —Uf(Sx))f(pf(Sx)) = 0,
что сложенное с (i), дает
(l-^IL(Sx)Wf(Sx)) = 0.
Наконец, мы видим, что (1 — П f (0)) f (jx> (0)) =
= (1 — f (0) )f (0) = 0, а это завершает доказательство.
2.9491. f(0) (1 —f(x)) (1 — ру(х)) = 0.
Так как (1 —f(x))H/(x) = 0, то, следовательно, по
предыдущей теореме (1 --f (х))/(ц.у(х)) = 0; но
(1 -ц/(х))/(ц./(х)) = (I — |i/(x))f(0) и поэтому 2.9491
получается умножением на 1 -f(x). Из 2.9491 и 2.944,
используя пример 2.462, мы выводим
(Sa —х) (1 —f(x))f(O) (1 — ц.Да)) = 0
и поэтому в силу 2.92 имеем
2.9492. f(0)(l — П/(а))(1 u, z,!) = 0.
Далее мы докажем
2.9493. {1 — f(a)}{py(x)—а} = 0.
ГЛ. II]
ИСЧИСЛЕНИЕ РАВЕНСТВ
129
Сначала мы докажем, что {1 — f + п) — а} = 0.
Обозначим {1 — f(я)}цу(а + п) через g(n)\ тогда, по-
скольку в силу примера 2.74 {1 — f (a)}Qf(a 4- п) = 0, мы
имеем g(Sn) = g(n) и поэтому g(n) = g(0), т. е.
{1 — f (а)}р/(а + n) = {l-fa)}|*/(<0.
Но цДа)— а = 0 и поэтому {1 — f (а)} {ц/(а + п) — а} = О,
что можно выразить в виде
(5х-а)(1-/(а)){Ц/(х)--а} = 0. (i)
Но по 2.944 и 2.942
(Sa — x)(nf(x)— g/(a)) = 0, И/(а)^-а = 0
и, следовательно,
(Sa —х) (р.Дх) —a) = 0; (ii)
умножая (ii) на 1 — f(a) и прибавляя (i), мы получаем,
учитывая
(Sx — a) + (Sa x) =
= 1 + {1 — (a — x)} + (a —x) + (x — Sa)
(см. примеры 2.245 и 2.41),
(1 —/(a)) (рДх) —a) = 0.
Мы покажем в следующей главе, что из теорем 2.945,
2.949 и 2.9493 следует, что если f(x) обращается в нуль
для некоторого х от 0 до п, то рДп)— это наименьшее
из тех х между 0 и п, для которого f(x) есть нуль, но
если каждое из чисел f(0), f(l)....f(n) не равно нулю,
то p.f(n) = 0.
2.95. Дальнейшие свойства функции р/.
2.951. Если Х/(0) = 0 и
(Sn) = (n) + Sn • {1 — (n) + / (Sn))),
to (n) = p (0) • kf (n).
В нижеследующем доказательстве мы будем для
упрощения записи опускать индекс и писать просто А(п)
и р(п) вместо Мп) и Н/(п)’
130
рекурсивная теория чисел
И
Доказательство опирается на следующие свойства
Х(х), получаемые из определяющих равенств умноже-
нием на подходящий множитель:
р (Sn) • Л (Sn) = р (Sn) • Л (n), (i)
X (п) • X (Sn) = Л (п) • Л (и), (ii)
{1 — X (и)} {1 — р (Sn)} Л (Sn) = {1 — Л (n)} {1-^р (Sn)} Sn. (iii)
Легко видеть, что (не считая введения множителя р(0))
эти равенства выполняются, если мы заменим X на ц.
Равенства, получаемые из (i) и (ii) заменой X на р,
доказываются с помощью ранее установленных соотно-
шений p(Sn) *0(п)= 0 и ц(п) -Ц(п) = 0; вместо (iii) мы
имеем
р (0) (1 — р (Sn)} {1 — р (n)} р (Sn) =
= р (0) {1 — р (Sn)} {1 — р (п)} • !!(«)•$« =
= р(0){1 — p(Sn)}{l — р(п)} • Sn,
ибо П(п)(1— |х(п)) = П(п) и р(0)П(«) = Р(0)(1-ц(п));
последнее доказывается с помощью 2.631, 2.949, 2.93 и
примера 2.26. Из (i) и соответствующего равенства для
ц мы имеем
р (Sn) {I — | X (n), р (п) |} | % (Sn), р. (Sn) | =
= {1 — |X(n), р(п) |} |p(Sn)X(Sn), p(Sn)p(Sn) | =
= p(Sn){l — |X(n), p(n) |}|X(n), p(n) | = 0,
т. е.
p(Sn){l —|Х(п), р (n) |} | X (Sn), p(Sn)| = 0, (iv)
а из (ii) и аналогичного ему
{! — |Х(п), р (n) |} р (n) | X (Sn), p(Sn)| =
= {1 — | X (n), р (n) |} | р (n) X (Sn), (n) p (Sn) | =
= {1 — | X (n), p(n) |}| X(n)X(Sn), p(n)p(Sn) | =
= {1 — |X(n), p(n) |}|X(n)X(n), p(n)p(n)| = 0,
t. e.
p(n){l — |X(n), p(n) |}|X(Sn), p(Sn)| = 0. (v)
ГЛ. II]
ИСЧИСЛЕНИЕ РАВЕНСТВ
131
Наконец, используя (Ш) и соответствующее равенство
для ц, получим
{1—|Х(п), р. (n) |} р (0) (1 — p(Sn))(l — ц (п)) ц (Sn) =
= {1—|A.(n), |x(n) |}р(0)(1 —p(Sn))(l —ц(п)) • Sn =
= {1 — | X (n), [х (п) |} р (0) (1 — р (Sn)) (1 — X (п)) • Sn =
= {1—|X(n), |i(n) |}р(0)(1 —p(Sn))(l —X(n))X(Sn) =
= {1 | X (п), р (п) |} р (0) (1 р (Sn)) (1 (х (n)) X (Sn)
и, следовательно,
(I — |x(n))p(0) (1 —p(Sn))(l — |Х(п), |х(п)|)Х
X.|X(Sn),p(Sn) | = 0; (vi)
прибавляя (v) к (vi) р(0) (1 — p(Sn)) раз и учитывая,
что ц. + (1 — ц) = 1 + (ц—1), имеем равенство
р(0) (1 — p(Sn)) (1 —|X(n), jx(n)i) |X(Sn), p(Sn) | = 0,
прибавляя к которому (iv) р(0) раз, получаем
р(0) (1 -^|Х(п), |х(п) |) |X(Sn), |х(Sn) | = 0.
Используя пример 2.471, имеем поэтому
{1 —|p(0)X(n), p(0)p.(n) |}|p(0)X(Sn), р(0)jx(Sn) | = 0,
что в сочетании с | р(0)Х(0), р(0)ц(0)| — 0 дает
|p(0)X(x), p(O)jx(x)|=O
и, следовательно,
р(0)Х(х) = р(0)ц(х);
по теореме 2.9493 имеем (1 — р(0))ц(х) = 0; следова-
тельно, ц(х) =р(0)Х(х), что и требовалось установить.
2.96. Неравенства
2.961. Мы определяем неравенство а > b как обозна-
чение для равенства
а = b + (а — Ь),
а неравенство а < b — как обозначение.для
а = b — (Ь — а).
132
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
П
Неравенство а> b читается: «а больше или равно 6»,
а а b — «а меньше или равно Ь».
Мы вводим также еще два неравенства:
а < Ь (а меньше Ь),
а > b (а больше 6), которые определяются как обо-
значения соответственно для Sa b и а Sb.
Из примера 2.5 следует, что неравенство а b можно
вывести из равенства а —6 = 0 и обратно, и что, ана-
логично, неравенства а ^.Ь и 6> а (и поэтому также
неравенства а < b и b > а) можно вывести одно из дру-
гого.
Следующие простые неравенства сразу же полу-
чаются из определений и свойств разности
а 4- х > а, а > а — х, а 4- Sx > a, Sa > а — х.
2.962. Отношения неравенства транзитивны, иначе го-
воря,
2.9621. а с следует из а>6 и 6>с,
2.9622. а > с следует из а > b и b > с.
Так как а b эквивалентно 6>а (т. е. каждое из
них выводимо из другого), транзитивность отношений
и < следует из 2.9621 и 2.9622. Доказательство 2.9621
содержится в примере 2.461; далее мы видим, что по-
скольку (у — Sx) = (у — х) — 1, то Sx> у следует из
х у, и поэтому 2.9622 следует из 2.9621. Действитель-
но, 2.9622 есть следствие
2.963. а > с следует из а > b и b с, что следует из
2.9621 и
2.964. если b с, то Sb Sc;
для доказательства последнего заметим, что из
b = с + (Ь — с)
мы выводим Sb = Sc 4- (b -- с), и, следовательно,
S6 = Sc + (Sb -~Sc).
2.97. Неравенства a> 6, а 4- с> b 4- с могут быть
выведены одно из другого, то же верно и для нера-
венств b, а * Sc b * Sc.
гл.
ИСЧИСЛЕНИЕ РАВЕНСТВ
133
Действительно, (Ь + с)~(а + с) = b — a, b-Sc-^
~ а * Sc = (b — a)-Sc и (6 — a)Sc = 0 тогда и только
тогда, когда Ъ — а = 0, ибо (b — a)Sc — (b — а) с +
+ (Ь — а).
2.98. Рекурсивная арифметика, такая, какой она
была введена в 2.1, непротиворечива в том смысле, что
мы можем показать, что если р = q, где р и q — опреде-
ленные цифры, является доказуемым равенством, то р
и q — одна и та же цифра. Другими словами, в рекур-
сивной арифметике невозможно доказать равенство 0=1.
Если мы будем говорить, что равенство F = G вери-
фицируемо, когда F и G — одна и та же цифра или
когда подстановка цифр вместо переменных в F и G *)
всегда переводит F и G в одну и ту же цифру, то мы
можем выразить непротиворечивость словами: только
верифицируемые равенства доказуемы.
Как мы заметили в 1.9, если переменные на местах
аргументов заменены цифрами, то знак рекурсивной
функции полностью устраним, иначе говоря, для любой
рекурсивной функции f(%i, х2, , хр) от р перемен-
ных и для любого набора из р цифр 2Vb W2, • •, NP
имеется одна и только одна цифра V такая, что доказуе-
мо равенство
Л/2,. .,A/p)=V.
Это, очевидно, верно для исходных функций Z(x), S(x),
с7 (%) **), и это свойство сохраняется при подстановке;
например, если f(u, v), g(x, у), h(x, у), устранимы, то
для любого данного набора цифр M, N имеются един-
ственные цифры U, V, W такие, что доказуемы равен-
ства
g(M,N)=U, h(M,N)=V, f(U,V)=W,
поэтому для функции
<p(x,y) = f(g(x,y), h(x,y)),
*) И вычисление значений функций. — Прим. ред.
**) Даже для исходных функций утверждение о единственности
цифры V, обладающей упомянутым выше свойством, не является
очевидным (и требует для своего доказательства рассмотрения
всего исчисления равенств). — Прим, перев.
134 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ [!
определяемой из f, g и h подстановкой, равенство
<р(М, N)= W
доказуемо для одного и только одного W, соответствую-
щего данной паре М, N.
Дальше мы замечаем, что это свойство сохраняется
при рекурсии. Если /(а, п) (с любым числом параме-
тров) вводится однократной рекурсией
На, 0) = а(а),
f (а, п+ 1) = р(а, n, f (а, п)),
где аир — устранимые функции, то f устранимо, ибо
для любого набора цифр Л, N имеются цифры Vb
V2, VN такие, что мы можем последовательно дока-
зать
а(Л) = У0, р(Л, 0, 7o)=Vb
р(Л, 1, 1Л) = V2, р(Л, Af-l, VN_{) = VN
и
/(Л, О) = Уо, f(A 1) = Уь НА, N) = Vn.
Если На, fa, а) дважды рекурсивна, то для любого
конкретного набора цифр Л, М функция ЦА, М, п) од-
нократно рекурсивна и, следовательно, любому дан-
ному N соответствует единственное V, так что доказуемо
f(A, М, А/)= V. Аналогичные соображения можно при-
менить для доказательства того, что ^-рекурсивная
функция устранима (для любого k).
Так как подстановка любой цифры вместо х в ра-
венство х = х дает верифицируемое равенство, то для
завершения доказательства того, что только верифици-
руемые равенства доказуемы, мы должны показать, что
допустимые преобразования в выводе дают из вери-
фицируемых равенств снова верифицируемые. Надо
рассмотреть лишь два случая. Первый из них — это под-
становка G вместо F в некоторое равенство, содержа-
щее F, в случае, когда F = G — верифицируемое равен-
ство. Если F и G — уже цифры, и так как по предполо-
жению F = G верифицируемо, то F и G — одна и та же
цифра и подстановка не изменяет равенства; если F и
ГЛ. И)
ИСЧИСЛЕНИЕ РАВЕНСТВ
135
G — функции*), то по предположению результат под-
становки цифр вместо переменных в F и G должен пе-
реводить и F и G в одну и ту же цифру v, следова-
тельно, если мы подставим G вместо F в некоторое
верифицируемое равенство и затем подставим в это ра-
венство цифры вместо переменных, то места, где G за-
менило F, заполняется цифрой v так же, как если бы
подстановки не было.
Мы, наконец, приходим к случаю, когда равенство
F = G доказано в силу того, что F и G удовлетворяют
одним и тем же вводящим равенствам; обозначим по-
средством <р функцию, вводящим равенствам которой
удовлетворяют как F, так и G.
Если ф однократно рекурсивна и если ее вводящие
равенства имеют вид
Ф (а, 0) = а (а), ф (а, п + 1) = 0 (а, п, ф (а, п)),
то по предположению равенства
F (a, 0) = a(a), F (а, п + 1) = р(а, п, F (а, п)),
G (а, 0) = а (а), G (а, п+ 1) = р(а, п, G (а, п))
верифицируемы. Значит, если для некоторого набора
цифр A, N значения F(A, 0), F(A, 1),..., F(A, N) и
G(A, 0), G(A, 1),...,G(A, N) суть соответственно
Vo, Vit...,VN и IFo, Wi,..., WN, то как Vo, так и Wo
равно а (А), откуда
У, = ₽(Д 1, У0) = ₽(Д 1. IF0)=Fb
V2 = p(A, 2, A,) = p(A, 2, Wt)=W2
и т. д. до VN = WN, что показывает верифицируемость
равенства F = G.
Если ф дважды рекурсивна, а ее вводящие равенства
суть
Ф (а, 0, п) = ф (а, р + 1, 0) = 1,
ф(а, р + 1, п + 1) = с (а, р, п, ф(а, р, d(a, р, п,
Ф(а, р+1, п))), ф(а, р+1, п)),
) Точнее, если F или G не является цифрой. — Прим. ред.
136
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
П
то F(A, О, Л/)= G0, О, N) для любой цифры N, и, по-
лагая F(A, 1, 0) = G(A, 1, 0) = Цю, d(A, 0, 0, vl0)=d0Q,
F(A, 1, l)=c(A, 0, 0, vQ, doo, ^io)=G(A, 1, 1)х=ун и
d(A, 0, 1, Цц) = doi, имеем
F(A, 1, 2) = с(Д, 0, 1, v0, dOi, ^11)= G(A, 1, 2)
и т. д. до F(A, 1, 2V)=G(i4, 1, N) = vlN для любой
цифры N.
Далее, полагая Р(Л, 2, 0) = G(A, 2, 0) = у20,
d(A, 1, 0, ц2о) = ^ю, имеем
F(A, 2, 1)= G(A, 2, 1)~ с(Л, 1, 0, иь d10, ц20)
ит. д. до Р(Д, 2, N) = G(A 2, N).
Таким образом, шаг за шагом мы приходим к
F(A, Р, JV) = G(A, P, N)
для любого набора цифр (Л, Р, N), и, следовательно,
F = G верифицируемо. Аналогичные рассуждения при-
менимы, если ф—рекурсивная функция более высокого
порядка. Это завершает доказательство того, что всякое
доказуемое равенство верифицируемо. Впоследствии мы
покажем, что обратное не имеет места, ибо имеются ве-
рифицируемые равенства, которые недоказуемы.
Примеры к гл. П
2. Докажите, что если f (0, у) « у и f (Sx, у) (х, у), то
f (х, у) = у.
Докажите равенства-.
2.01. а (Ь + с) = ab + ас. 2.02. (ab) с = а (Ьс).
2.03. (ab) • (cd) = (ас) • (bd). 2.1. х (1 — х) ~ 0. 2.2. 1 — х = 0<
2.201. (1— х) + {1—(1—х)}= 1. 2.21. а — (Ь + с) = (а — Ь) — с.
2.22. (а — Ь) — с = (а — с) — Ь. 2.23. (а + х) — (Ь + х) = а — Ь.
2.231. а (х — 1)*=ах — а. 2.232. a (b — c) — ab — ас. 2.233. х—х2 = 0.
2.234. (1 — х) (1 — х) = 1 — х. 2.24. (1 — | а, 6 |) (Ь — а) = 0.
2.241. (1 — | а, Ъ |) (1 (Ь а)) == 1 — | а, b |.
2.242. (b — a) (Sa д)«=0. 2.243. {1 — (Sa—*)} {1 — (Ь-^-а)}=0.
2.244. (Sa — b) (Sb — а) | а, b | « 0.
2.2441. {1 — (Sa b)} + {1 — | а, b | }« 1 — (а — Ь).
2.245. (b — а) + (Sa — Ь) = 1 + (а — b) + (b — Sa).
2.246. Sa — b = (а — b) 4- {1 — (b — a)}.
2.25. 1 — (p + q) = (1 — p) (1 — q).
2.251. {1 —(? + r)} + (l—<Z)r = (l~ <7) + (l^<7) U—I).
ГЛ. II]
ИСЧИСЛЕНИЕ РАВЕНСТВ
137
2.26. Докажите, что если а (х) = 1 — (1 — х), то
а (х) — 1 = О, а (х) + {1 — а (х)} = 1, а (х) — х = 0, х*а(х) = х,
а (1 — х) = 1 — а (х), а (а (х)) = а (х), 1 — а (х) = 1 — х,
а (х) • а (х) = а (х), а (ху) = а (х) • а (у),
и что а (f) • g = 0 следует из f • g = Q.
2.261. Докажите, что если а (х, у) — а (| х, у |), то
{1 — а (х, у)} х = {1 — а (х, у)} у и {b — Ъ • а (с, Ь)} + с * а (с, Ь) « с
2.27. Докажите равенства:
2.271. (1 — с) — (1 — ас) = 0.
2.272. (1 — ас) — (1 — с) = (1 — а) а (с).
2.273. (1 — (I — a) b) (1 ас) b = (1 -i- (1 — a) b) (1 с) Ь.
2.274. (1 — (1 — ab) с) (1 — а) с = 0.
2.28. Докажите правила для показателей:
2.281. хт • хп = хт+п, 2.282. (хт)п = хтп. 2.283. (х • у)п = хп • уп.
2.29. Докажите, что 3-2 = 6, 4-2 = 8, 3-7 = 21, 4-7 = 28 и
34-27 = 918.
2.3. Установите следующие схемы доказательств:
f + g = O oqo {х + (1—x)}f = O {1—(g-MY>/* = 0
(S/-Lg)A = o •
2.31. f = 2-32, ’
2 331 (Sf^g}h = O
’ (l—(g — f))/i“0‘
{l^-(Sf —g))A = O
{1—If.gllA^O
• t\fS’h\h n 2,351 • ’
И g, h I = 0
fg = O
(l^-g)A-O
fh - 0 • 2<37,
2.4. Докажите, что:
2.41. (x + y) — z^(x-^z) + {y — (z — x)}
2.42. Sx — (x — a) = S (x — (x — a)).
2.421. a — (a — b) = b —(b — a),
2,422> (^a^~hU^h^C\°n- 2-423,
(a — b) (Sb — c) = 0
2.43. | &, a + (b — a) | -a — b. 2.44.
b — a = 0
a — b = c
b + c = a
2.34.
2.35.
2.36.
2.45.
f = 0
2 332 (f-^e}h = o
2-332, {f^Sg}h~o-
f -a(g) = 0
2.,4L
а(£)= 1 — f ‘
fg~O-
(I— f)(g + a— /0(1 — g)<p) = o
h = Q
(i —D<p-o-
(а — b) (Sc — Ь) + (а — с)~Ъ
а — b — 0 ’
| а, b — (Ь — а) \ = а — Ь.
2.451. ------
р | а, Ь | = р | а, с |
138
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
И
2.452.
_____________p\b, с \ — Q
{1 — р|а, Ь|}р]а, с] = 0 ’
а — 6 = 0
2.453.
2.46. -7—. м/с" . \2.461.
(с — b) {Sa — с) = О
p{(a^b) + (b^c)} = 0
р|а, 6| + р|а, с| — О
р | Ь, с | = 0 ’
b — с — О
2.462.
2.4701.
--------------. 2.47.
р(а —с) = 0
(1 — ab) с = О
U^(a^b)} (а — с) = 0‘
{(1 — g) + (l — 6)}с = 0
{(1 — а) + (1 — &)) с = 0 ’
(Sa-b)c-O л
— ------------ 2.473.
2.471.
(1 — ab) с = 0
(1 — а)Ьс = О
(\—ab) Ьс = О'
1 — (а —6) = 0
2.472. ci . I---гт»----л
{1 — | а, b [}с = О
2.48. {1 —(1 —*)*/}(! — xz) yz — O.
2.4801. {1 — (1 — ab) с) {(1 — а) + (1 — b)} с = 0.
(1 — | а, 5|)с = 0
(а — 6) с = О
а« b + (а — Ь)
2.481.
(Sa — b) с = 0 ’
2.49. {1 — (1 — a) b} (1 — а) = (1 — а) (1 Ь).
(1 — а)(1 — Ь)с = О
(l—d)c = 0
2.491. {1 _j_(1 — ad)c = O ’
2.5. Докажите, что каждое из равенств
(a) b = а + (Ь — а), (0) а = b — (Ь — а), (у) а — b = О
следует из любого другого.
2.6. Докажите равенство
{1 — (a — b)} + {1 — (Sb — а)} = 1.
2.7. Обоснуйте схемы:
2 701 /(а,а + с)=0
f (а, а + с) = О
(Sb — a)f(a, 6) = 0 *
f(a, а + с) = О
f (а + Sc, а) = О
f(at Z>) = 0-
2.71.
2 711 W + Sc’ Ь^°
(a — b) f (a, b) = O'
2.7201. Докажите равенства:
a — (a — (a — b)) = a — b,
{1 — (6 — a)} {6 — (a — (a — &))} = 0.
2.73. Докажите, что для любой конкретной цифры р имеет место
Нр^_г) = 0 f(O) + f(l)+ +f(p) = o
?7301 f(P + Sr) = O _______________f(p + Sr) = O
2 7301. f (x) = Q 2.7302. .
2.72.
ГЛ. Il)
ИСЧИСЛЕНИЕ РАВЕНСТВ
139
f(p —Sr) = O
/(Р) = О / (0) = р
2.7303. 2.7304. .
f(x) = 0 f(x) = p
2.74. Докажите, что если <p (х, 0) = f (Sx) и <p (x, Sr) = ф (x, г) X
Xf(x + SSr), to JJj (x +Sr)= (x)-ф (x, г), и выведите, что
{* ~IIfW) nfu + r) = o.
2.741. Докажите, что
(1^ч«}ПЛх>=°-
2.8. В обозначениях из § 1.6 докажите:
2.81. Alt х • Alt Sx = 0, Alt х + Alt Sx = 1, Alt 2x = 0,
Alt(2x+l)=l, a (Alt x) = Alt x. 2.82. Hf (2x) = Hf (2x + 1) = x.
2.83. Sx — (S Rt x)2 = 0, (Rt x)2 — x = 0.
2.9. Докажите, что если функция п! определена равенствами
01 = 1, (Sn)l = (nl) Sn,
то 1— п! = 0 и (Sn)l = JJS (n).
2.91. Докажите равенство
(1 х. (1 а) (1 — b)} (1 ас) + с))} == 0.
ГЛАВА III
ЛОГИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
Пропозициональное исчисление. Пропозициональные
функции. Ограниченные операторы всеобщности, суще-
ствования и минимизации Л*, £” и L”. Математическая
индукция. Считающий оператор 2V".
3. Если а и b — натуральные числа и если равенство
|а, 6|— 0 доказуемо, то мы называем равенство а = Ь
истинным высказыванием, а если доказуемо неравенство
\а, &|>0, то равенство а = b называется ложным ew-
сказыванием. Так как каждое из равенств а = Ь,
\а, Ь\ = 0 можно вывести из другого, то истинное выска-
зывание является доказуемым равенством и обратно.
Более того, поскольку \х, у\ —рекурсивная функция,
то для любых натуральных чисел а, b имеется единствен-
ное натуральное число с такое, что доказуемо
|а, Ь\ = с;
если это число с есть нуль, то а == b является истинным
высказыванием, а если с — не нуль, то доказуемо
1— \а, &| = 0, так что а = Ь является ложным высказы-
ванием. Таким образом, любое высказывание*) или
истинно, или ложно, и никакое высказывание не является
одновременно истинным и ложным.
3.1. Мы называем а(|а, Ь\) номером высказывания
а = Ь, так что истинное высказывание имеет номер О,
а номер ложного высказывания есть единица. Обратно,
если а(|а, &|)=0, то |а, &| = 0, так что высказывание
а = Ь истинно, а если а(|а, то Ь|>0 и
а = Ъ ложно, и поэтому номер некоторого высказывания
есть нуль тогда и только тогда, когда это высказывание
♦) Здесь автор, видимо понимает под высказыванием любое
равенство вида а = Ь. — Прим, ред.
ГЛ. Ш]
ЛОГИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
141
истинно, и есть единица тогда и только тогда, когда это
высказывание ложно.
3.11. Высказывание 1— \а, 6| = 0 называется отри-
цанием высказывания а — Ь. Так как
а(1 — |.r,i/|)= 1 — \х,у\,
то если высказывание а = Ь истинно, так что \а, Ь\ = О,
то номер отрицания а — b есть единица, а если а = Ь
ложно, то номер его отрицания есть нуль. Поэтому от-
рицание истинного высказывания есть ложное высказы-
вание, а отрицание ложного высказывания является
истинным высказыванием.
3.12. Мы обозначаем высказывания просто буквами
р, qy г или этими буквами с цифровыми нижними ин-
дексами. Отрицание высказывания р обозначается че-
рез ~ р, что читается «не р». Если контекст позволяет
избежать двусмысленности, то мы будем писать просто
«р» вместо «р истинно» и «~р» вместо «р ложно».
3.13. Если р, q обозначают соответственно высказы-
вания а = &, с = d, то высказывание
\а, b\+ |с, d| = О
обозначается через р & р, что читается «р и р»; выска-
зывание
\a,b\-\c,d\ = 0
обозначается через р V q, что читается «р или 9», а
(1 — |a,6|).|c,dj = 0
обозначается через p-+q, что читается «р влечет q».
р —* q — это то же самое высказывание, что и ~р V q-
Наконец, мы обозначаем равенство
(1 — \а, b\) [с, d \ + (1 — jc, d\ )-\а, b\ = О
через р р, что читается «р эквивалентно р», так что
р«->р —это то же самое высказывание, что и (р-»р)&
&
Мы видим, что поскольку 11а, 6|, 0| = |а, Ь\, то
(а = &| = 0),
а поскольку
(1 — х) а (х) = х (1 — а (х)) = О
142
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
[I
и а(а(х)) = а(х), то
(х == 0) (а (х) = 0),
(х > 0) (а (х) = 1).
Мы обоснуем предложенное чтение знаков &, V,
—> и ++ в следующем разделе.
3.14. Из равенства \а, Ь | + |с, d\ = 0 следует, что
\а, 6| = 0 и |с, d\ = 0, и обратно; поэтому p&q истинно
тогда и только тогда, когда и р, и q истинно.
3.141. Произведение |а, Ь\ |с, d\ обращается в нуль,
если |а, Ь|= 0 или \с, d\=0, а если и |а, Ь| > 0, и
|с, d\> 0, то |а, Ь\ • |с, d\> 0 и, следовательно, р V q
истинно тогда и только тогда, когда р истинно или q
истинно.
3.142. Теперь видно, что р —► q истинно тогда и только
тогда, когда р ложно или q истинно, — это мы считаем
смыслом выражения «р влечет q».
3.15. По определению эквивалентности р и q эквива-
лентны тогда и только тогда, когда р и q оба истинны
или оба ложны. Из высказывания р q и доказатель-
ства q мы извлекаем доказательство р, ибо если ра-
венства
{1 — |а, Ь\} • |с, d \ + {1 — |с, d\} -|а, Ь \ = 0
и |с, <t| = 0 доказаны, то равенство \а,&| = 0 доказано;
таким образом, для доказательства некоторого выска-
зывания р достаточно доказать высказывание, эквива-
лентное р.
3.16. Знаки &, V, и известны как логиче-
ские константы; их введение дает значительную эконо-
мию в технике доказательства, выявляя много легко уз-
наваемых блоков, которые можно использовать при этом.
3.2. Свойства логических констант
(1 — х)у = 0
(1-a_x)z = 0’
и поэтому, если р, q, г — произвольные высказывания,
ГЛ. Ill]
ЛОГИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
143
к примеру, = а2, Ь\ = Ь2, с{ = с2, то, взяв [аь а2|
вместо х, 62| вместо у и | сь с2| вместо г, мы полу-
чаем схему доказательства
P^q
p->r ’
сущность которой можно коротко выразить словами:
«—►» является транзитивным отношением. Аналогично,
из схемы _
х = О
(1 — х)у = 0
у = 0
мы извлекаем фундаментальную схему для импликации
(известную как модус поненс *))
Р
р-*д
Я
3.22. Поскольку сложение и умножение коммута-
тивны, то имеют место следующие схемы доказатель-
ства:
р&д рУ д р*-+д
д&р ' дУ р ' д^р ’
Они показывают, что «&», «V« и «<->» являются
симметричными отношениями.
3.23. Из равенства х(1 — х) = О мы выводим как
р —* р, так и р р\ это показывает, что «—►» и «<->»
являются рефлексивными отношениями.
3.24. Поскольку f — 0 и g = 0 следуют из f + g = О
и обратно, мы имеем
р&д р+-+д р++д
р ’ p->q ’ q^p
и
Р p-+q
д д~+р
p&q’ p+—q
Следовательно, «*->», как и «->», транзитивно.
*) Эта схе.ма называется также схемой сокращения посылки. —
Прим. ред.
144
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
3.3. Теперь мы рассмотрим некоторые важные соот-
ношения, которые имеются между логическими кон-
стантами.
Поскольку 1 — {1 — (1 ~ х)} = 1 — х, то
3.31. ~~р«->р.
Из равенства 1— (х + р) = (1 х)(1 — у) мы выводим
3.32. ~(р&7)*->- -pV-7,
а из 1 — ху = а((1 — х) + (1 — у)) следует
3.321. ~(р ~7-
Далее, поскольку х(у + г) = ху + хг, то р V (q & г) —
это то же самое высказывание, что и (р V q)&(p V г),
так что
3.33. р V (q&r)^(p V q)&(p V г),
а поскольку {1 — (х + yz)}(x + у) (х + z) =
= {1 —(х + у) (х + г)}(х + ух) = О,
то
3.331. р & (q V г) (р & q) V (р & г).
Для эквивалентных высказываний мы можем дока-
зать взаимозаменяемость; точнее, имеет место следую-
щая теорема:
3.34. Если pi «-> р2 и q\ 72, то
Pi ~ р2, Pi & qi р2 & 72, Р\ V 7i р2 V 72,
(Pi -> 7j) (р2 72) и (pi 7,) (p2^q2)-
Прежде всего мы заметим, что поскольку индексы 1, 2
взаимозаменяемы в данных посылках р{ р2, q{ <-> q2,
то достаточно доказать требуемые высказывания с им-
пликацией вместо эквивалентности. Поскольку р -> q —
это то же самое, что и ~ р V 7, то истинность четвер-
того высказывания следует из истинности первого и
третьего, а тогда пятое получается с использованием
рторого.
ГЛ. Ill]
ЛОГИЧЕСКИЕ KQHCTAHTbl
145
То, что ~р2-+ ~ р\ следует из pi —>р2, показывается
с помощью равенства
{1 —(1 Х2)}(1 —Х0 = (1 - xj — {(1 — х,) — Х2(1 —Xj)},
в силу которого {1 — (1 ~Х2)}(1 — *1) = 0 следует из
(1 — Х1)%2 = 0.
Так как ~ ~г г, из 3.321 мы выводим, что
3.341. р V q ~ ~
так что истинность третьего высказывания следует из
истинности первого и второго.
Осталось лишь доказать схему
Pi р2
а она следует из равенства
{1 - (Xi + У\)}(х2 + у2) =
= {(1 — Х1)х2 — //]Х2} + {(1 — У\)У2 — *\У2},
с помощью которого мы выводим
{1 --(%! + */1)}(х2 + у2) == 0
из равенств (1— Xi)x2 = 0, (1 — у\)у2 = 0.
3.342. Важность результатов, содержащихся в тео-
реме 3.34, заключается в том, что она позволяет нам
заменить любое высказывание в выражении, состав-
ленном с использованием логических констант, на экви-
валентное; выражение, получающееся в результате
такой замены, будет эквивалентно исходному и, следо-
вательно, в силу 3.15 доказательства преобразованного
выражения достаточно для доказательства исходного.
В частности, поскольку высказывания |а, Ь|~0 и
а = Ь эквивалентны, мы можем без потери общности
предположить, что любое высказывание имеет вид с = 0.
3.343. В качестве примера использования этого прин-
ципа мы подробно рассмотрим доказательство высказы-
вания
146 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ (I
Если р', р', г' эквивалентны соответственно р, р, г,
то р' —* q', rf V р', г' V q' эквивалентны -соответственно
р -> q, г\/ р, rV q, и, следовательно, Р эквивалентно
Р': (р' — — V p')-^(r' V /)}.
Каковы бы ни были высказывания р, q, г, мы можем
считать, что р', q\ г' имеют соответственно вид а = О,
b = 0, с = 0 и, следовательно, Р эквивалентно
Р*: р _^(i _2_а)Ь}(1 ~^са)сЬ= О,
где а, 6, с—конкретные цифры, которые можно полу-
чить из доказуемого равенства (пример 2.48)
G: {1 — (1 —х)у}(\ — zx)zy = О
(где х, у, z— цифровые переменные) подстановкой а, Ь
и с соответственно вместо х, у и г.
Если мы допускаем, что р, qr г играют как роль
имен для высказываний, так и роль цифровых перемен-
ных, мы можем написать G прямо в виде
{1— (1— р)<?}(1 — rp)rq = 0;
иначе говоря, мы можем сформулировать эквивалент Р,
просто написав (1—р)р вместо p-^q, гр вместо rVр
и т. д. (хотя, конечно, мы изменяем значение букв, ко-
гда мы делаем эту транскрипцию).
3.35. Из доказуемых равенств
х(1 — х) = 0, 1 — {х + (1 — х)} = 0
мы получаем, что истинны высказывания
и ~(р&~р),
которые известны соответственно как принцип исклю-
ченного третьего (или terfium non datur) и как принцип
непротиворечивости.
3.4. Пропозициональные функции
Если х — переменная, a f(x), g(x)— две данные ре-
курсивные функции, то равенство
f(x) = £(x)
гл.
логические константы
147
называется пропозициональной функцией; если для не-
которого значения а переменной х доказуемо f(a)=g(&),
то говорят, что эта пропозициональная функция истинна
для данного значения а; если |f(a), g(a)|>0 доказуе-
мо, то говорят, что эта пропозициональная функция ло-
жна для значения а. Более точно, равенство f(x) = g(x)
называется пропозициональной функцией с одной пере-
менной, а7(*, y) = g{x> У)—пропозициональной функ-
цией с двумя переменными и т. д. Пропозициональные
функции обозначаются посредством р(х), р(х, у) и т. д.
в соответствии с числом переменных*).
3.41. Как и в случае высказываний, если р(х) и q(x)
обозначают пропозициональные функции
P(x) = f(x), G(x) = g(x),
то мы обозначаем 1 — \F(x), f(x) | = 0 через -~р(х),
|F(x)J(x)| + |G(z/), g(y)\ через p(x)&q(y),
\ F (х), f М\ \ G (у), g(y)\ через p(x)Vq(y),
~p(x)V q (у) через р (х) -► q (у) и
{р (х) -> q (z/)} & {q (у) -► р (х)} через р (х) «->- q (у).
3.42. Те соотношения между логическими констан-
тами, которые мы установили для высказываний, также
имеют место для пропозициональных функций, причем
соответствующие доказательства проводятся с использо-
ванием тех же формул, которые имеются в доказатель-
ствах указанных соотношений для высказываний; на-
пример, мы получаем
р(х) V - Р(х)
из у(1— у) = О, подставляя \F(x),f(x)\ вместо у. Мы
охватываем термином формула и высказывания, и про-
позициональные функции.
В обозначениях этой главы фундаментальная теоре-
ма 2.68 приобретает вид
3.43. х = у-+{р(х)-*р(у)}.
*) В действительности автор считает пропозициональной функ-
цией любое равенство, даже если количество переменных, входящих
в левую часть равенства, не равно количеству переменных, входя*
щих в правую часть. — Прим, перев.
148
Рекурсивная теория чисел
3.5. Логические константы позволяют нам вводить
условные равенства элементарной алгебры. В отличие
от переменной х, которая характеризуется тем свой-
ством, что ее можно заменить нулем или Sx, куда бы
она не входила, х в условном равенстве является зна-
ком неизвестной цифры, который можно заместить не-
которой конкретной цифрой. Например, когда мы гово-
рим, что х = 3 является решением равенства х2 = 9, мы
имеем в виду, что в результате замены х на 3 во втором
из этих равенств получается истинное равенство, но ни
в х = 3, ни в х2 = 9 мы не можем заменить х на нуль или
на Sx. На самом деле, х = 3 и х2 = 9 являются не равен-
ствами *),а пропозициональными функциями, и тот факт,
что 3 есть то значение х, которое удовлетворяет условию
х2 = 9, выражается импликацией
F: (х = 3)—>(х2 = 9).
Формула F выполняется, как легко проверить, для лю-
бого значения х, ибо 1—13 + Sr, 3| = 0 и 1~|3 —Sr,
31 = 0 (в силу примера 2.42), и |32,9|=0, так что (в
силу примера 2.7303)
{1 — |х, 3|}-|х2, 91 = 0,
что завершает доказательство формулы F.
Подобным же образом тот факт, что «равенство»
X-2 + 6 = 5х имеет лишь два решения, х = 2 и х = 3, вы-
ражается импликацией
(х2 + б = 5х)—>(х = 2) V (х = 3),
т. е. {1 — |х2 + 6, 5х|} -|х, 21• |х, 3| = 0; обозначая левую
часть этого равенства через f(x), мы имеем
f (3 + г) = {1 — r(r + 1)}г(г + 1) = 0
и f(0) = /(!) = f(2) = 0, что доказывает f(х) = 0.
3.6. В дополнение к логическим константам мы вво-
дим ограниченные операторы всеобщности, существо-
вания и минимизации AJ, Ех и Lx следующим об-
) Имеются в виду истинные равенства. — Прим. ред.
ГЛ. Ill]
логические константы
149
разом: Л” (/ (х) = 0) обозначает пропозициональную
функцию Sf (ri) = 0; Ex (f (x) == 0) — пропозициональную
функцию Ц/(/г) = 0 и Ex(f(x) = 0) — функцию ц/(п).
Операторы «Ах», «£р>, «L?» читаются так: «для всех х
от 0 до п», «для некоторого х от 0 до п» и «наименьшее
х от 0 до и»; мы переходим к обоснованию этих предло-
женных названий. (Мы используем термин «обосновать»
в неформальном обсуждении — здесь не может быть
речи о формальном доказательстве, ибо в формальном
построении участвует только сам знак, а не его интер-
претация.)
3.61. Логические константы и операторы можно рас-
сматривать просто как сокращения для тех выражений,
с помощью которых они были введены: в этом случае
во всяком формальном доказательстве логические кон-
станты и операторы следует устранить, заменив их те-
ми выражениями, которые они обозначают. В противо-
положном случае мы можем рассматривать эти знаки
как дополнительную часть формальной системы, удо-
влетворяющую, по определению, соотношениям
{(а = Ь) V(c = d)}^{|a, b|4c,d| = 0},
{(а = b) & (с = d)} {| a, b\ +1 с, d | = 0},
{(a = &)->(c = d)}^{(l^|a, b\)-\c, d| = 0},
{(a = b)+-+(c = d)}++{(l — \a,b\)\c,d\ +
+ (1—\с, d\)\a, b\ = 0},
m = oH>)=o),
£x(fW = o)MIL(n) = o),
L:aw=o)=iif(n),
которые следует добавить к списку формул, допустимых
в доказательстве; в этом случае эти новые знаки нельзя
полностью устранить, но выражения, содержащие их,
можно преобразовать в эквивалентные равенства, в ко-
торых они не встречаются.
150
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Н
Знак х в операторах*) Ax(f (х) = 0), £,”(Их) = 0) и
Ь2(/(х) = 0) является не настоящей переменной, а вспо-
могательным знаком, известным как связанная пере-
менная. Нас бы не затруднило обозначать связанные
переменные особыми знаками, но поскольку риск пута-
ницы мал, обычно для них используют те же знаки, что
и для переменных. Тот факт, что х в Ax(f(x) = 0) яв-
ляется связанной переменной, можно формально выра-
зить правилом: Л"(/(х) = 0) можно заменять на
Ay(f(y) = 0) или на выражение, получаемое замещением
х на любую другую переменную, однако подстановка
вместо связанной переменной не разрешается; для
остальных операторов можно сформулировать аналогич-
ные правила.
Иначе мы можем сформулировать это правило в
виде эквивалентности
АпЛ(х) = 0)~Апу(Ш = 0),
в которой х и у можно замещать на любые другие пере-
менные; для прочих операторов эквивалентности анало-
гичны.
3.62. Л°(/(х) = 0) есть высказывание Sf (0) = 0>
т. е. f(0) = 0, и если для некоторого р Ax{f{x) = Q) экви-
валентно
f(O) = O&f(l) = O& &f(p) = O,
то, поскольку +l) = Sf(«) + /(«+1) и, значит,
Ax+I (f (х)=0) есть высказывание Л£(/(х)=0)&/(р+1) = 0,
имеем, что Л?+1(/(х) = 0) эквивалентно
f(0)= 0&f(l) = 0& &f(p+l) = O,
поэтому для любого конкретного р выражение
Л£ (/ (х) = 0) эквивалентно
f(0)= 0&f(l) = 0&. &f(p) = O.
*) Здесь автор не различает операторы и операторные гермы
(см. сноску на стр. 101). — Прим. ред.
ГЛ. Ill]
ЛОГИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
151
Аналогично, поскольку
IIf(n + i)=rL(«)-f(n + i).
то Ex(f(x) = 0) эквивалентно
f (0) = О V f (1) = О V Vf(p)=o.
Для интерпретации оператора L" мы напомним ха-
рактеристические свойства функции ц/(п), установлен-
ные в предыдущей главе.
Из доказанных равенств (2.942 и 2.949) мы имеем
и
{1-г-Пг(п))/(Н/(п)) = 0,
откуда мы получаем формулу
£2 (f (х) = 0) -> {f (|*f (n)) = 0 & (n)< n),
которая утверждает, что если для некоторого значениях
между 0 и п функция f(x) обращается в нуль, то ц/(п)
есть одно из таких значений. Из равенства 2.9493
{1-Ч(«)){ц (х) —л} = 0
мы имеем
f(n) = 0-> ц/(х)<п,
что эквивалентно
п< ц/(х) — f(n)> 0,
т. е. тому, что f(n) не обращается в нуль ни при ка-
ком и, меньшем ц/(х). Поэтому если f(x) обращается
в нуль при некотором значении х от 0 до и, то ц/(п) —
наименьшее из таких значений.
Если f(x)> 0 для всех х от 0 до и, то из равенства
2.945
rif(«)Mn) = °
следует
£2(/(х) = 0) = И,(п) = 0.
152
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
[I
3.7. Математическая индукция.
Из теоремы 2.8 следует, что справедлива схема дока-
зательств
р(0)
р (х) —» р (х + 1)
Р(х)
Эта схема известна как схема математической индукции.
Соответствующую ей формулу
3.8. [р (0) & Ах {р (х) -> р (х + 1)}] -+ р (ге)
можно назвать принципом математической индукции.
Мы выводим формулу 3.8 из
3.81. [р (0) & А"(р (х) -> р (х + 1)}] р (п + 1);
любая р(х) имеет эквивалентную пропозициональную
функцию, скажем, f(x)=O; в силу примеров 3.01, 3.02
и 3.322 мы видим, что формула 3.81 эквивалентна
ф(п) = 0, где
ф(д) = {1 — f(O)}IIe(n)f (n+1),
0(x) = f(x) + {l^-f(x+l)}.
Действительно, ф(0) = {1 — f(0)}{f(0) + (1 — f(l))}f(l) = 0 и
Ф(п+1) = {1^/(0)Ше(п){/(п+1) +
+ (1 —f(n + 2))}f (п + 2) = ф(п)/(п + 2),
так что {1 — ф(м))ф(ц + 1) = 0, отсюда ф(м) = 0 следует
по схеме индукции.
Если мы обозначим пропозициональную функцию 3.8
через Р(п), то Р(0) есть
р(0)&{/7(0)-р(1)}->/7(0),
что имеет место в силу примера 3.031, а Р(п + 1) экви-
валентно
р(0)& Лх{р(х)->р(х+ 1)}&(р(п + 1)-> p(n + 2)}-> р(п+ 1),
что следует из 3.81 (и примера 3.031). Так как Р(0) и
Р(п + 1) доказаны, то Р(п) получается в силу 2.7.
ГЛ. HI)
ЛОГИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
153
3.9. Здесь мы соберем для ссылок основные свойства
операторов А, Е и L; дробная часть номеров следующих
формул та же, что и у номеров теорем предыдущей главы,
переформулировками которых являются эти формулы.
3 91 <7 (n) -> {а < п -» р (а)} .
q(n)-+Anap(a)
3 92 {а<п&р(а)}-><7(п) .
E"p(a)->q(n) ’
3.921. р(п)->£"р(а);
3.942. L"p (х) < га;
3.945. ~£2р(х)->[^р(х) = 0};
3.949. £"р (х)-* р (Л"р (х));
3.9493. p(a)->U"p(x)<a}.
3.95. Рассмотрим еще несколько теорем об этих опе-
раторах, которые потребуются в дальнейшем. В ниже-
следующих доказательствах мы систематически употре-
бляем строчные буквы для обозначения функций, пред-
ставляющих **) предикаты, обозначенные соответствую-
щими заглавными буквами. Произведение Ilf (п) и сумма
(л) будут также обозначаться соответственно Ц/(х)
п
и SfW-
3 951 ***) Н {F (х) —> G (х)}
' Н{EXF (х) Ех G (х)} ’
В терминах представляющих функций нам надо вы-
вести равенство
(9 (1-й)(1-П/(«))Пи») = о
из (1 —А) (1— f (х))я (х) = 0.
*) Для обоснования этой и ряда дальнейших схем (см., напри-
мер, 3.92, 3.951 и т. д.) используется правило подстановки вместо
(свободной) переменной. В связи с этим импликации, соответствую-
щие этим схемам, не будут, вообще говоря, выводимы (ср. теорему
о дедукции, гл. V). — Прим. ред.
**) Под представляющей функцией предиката F автор имеет в
виду такую функцию f, что f(x) =0*->F(x). — Прим. ред.
***) Переменная х не входит свободно в Н. — Прим. ред.
154
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
П
Для п = 0 требуемый вывод очевиден.
В силу 2.7 имеет место (1— р) — pq = 1 -- р, отсюда
с помощью 2.7 (по q)
1 - W = (1-р){1-41 + (1 ^ <?)
Следовательно,
Г1--{(1--л)(1^Пг(п))11а«)}](1-:-^)(1^Пн«+1)) х
X Цв(п+1) = [1 — {(1 —ft)(l —IIf(rt))IIg(n)} 1(1 ~й) X
X g (п +1) IL (n) {(I гь («)) (1 (1 (п +1)))+
+ (l-x-f(n+l))) = O,
что с помощью 2.8 завершает доказательство (i).
3.9511*). ----?->{F(x)-»G(x))_
Н-+{AnxF(x}-+AnxQ(x)}
Действительно, имеем
[ 1 - {(1 - й) (1 Sf (п)) (п)} ] (1 — й) X
х {(1— Sf(n))—f(n + i))(2e(«) + g(« +1))=
= [i -X. ((1 Й) (i Sf («)) Sg (n)] (I -- Й) X
X {(1 —f(n + 1)) — Sf(^)) • g(ra + 1) = 0,
используя гипотезу (l-ft)(l-f(x))g(x) = O.
Аналогичное доказательство показывает также, что
справедливо
3.952 **).
ff-»(F(x)-»G)
Я->(£"Г(х)->0) '
Для каждой из этих схем, взяв 0 = 0 в качестве Я, мы
видим, что эта схема верна также, если опустить Я.
3.953. Ex(x^n&F(x))-*EnxF(x).
Действительно, имеет место
x<n&F(x)—►F(x),
откуда требуемый результат следует по 3.951***).
*) х не входит свободно в Н. — Прим. ред.
**) х не входит свободно ни в Н, ни в G. — Прим. ред.
***) Если взять в качестве Н, например, 0 = 0. — Прим. ред.
ГЛ. Ill)
ЛОГИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
155
3.954. Л"(х<п).
Совпадает с примером 3.831.
3.955. EXF (х) & AnxG (х) -> Епх {F (х) & G (х)}.
Утверждение очевидно при п = 0. Далее,
[1 — (1 —а)(1 — Ь) с](1 — (а + <?))(1 — bp)c(p + q) =
= [ 1 (1 а) (1 Ь) с] (1 (а + <?)) (1 -- &) ср =
= [1 — (1 — а)(1 — &)с] {(1 — а)(1 — Ь)ср — <?(! — Ь)ср} = 0
(ибо (!—</) </ = 0 и (1 — bp) р = (1 — Ь) р), и потому
[1—(1— 2 g(x)Ui — П П (Z(x) + gW)] х
X (1— 2 g(x)Ul— П fW\ П (f(x) + g(x)) = 0,
\ хСМ-1 /\ х<д+1 /х<п+1
откуда 3.955 получается с помощью 2.8.
3.956. £xF(x)->£"(x<n&F(x)).
Это следует из Ах (х п) -> {EXF (х) -* Ех (х п & F (х))}
3.957. EXF (х)^Ех(x^n&F (х)).
Получается из 3.953 и 3.956.
3.958. F(n)^EnxF(x).
Получается из равенств (1 — f (0)) f (0) = 0 и
{1 ^f(n+ 1)}^Ш(х)р(п+1) = 0.
3.959. Если G не содержит переменной х, а п — пе-
ременная, не содержащаяся ни в F, ни в G, то
f (х) -> G
£"F(x)->G '
Случай п = 0 очевиден.
Поскольку, как нетрудно доказать, (р -> q) & (г -► q) ->
->(р V r-*q), то
(EnxF (х) -> О) & (F (п + 1) G) (е2+ 'F (х) -> G)
следовательно, из F(n+ 1)—>G вытекает
(EnxF (х) -> G) (Епх+lF (х) -> G),
и доказательство завершается с помощью 3.7.
156
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
П
Отсюда следует, что справедлива схема *)
х < п & Г (х, п) -> G (п)
Е* (х < п & F (х, п)) -+G(n)'
и, значит, в частности, схема
х < п & F (х, n) -> G (п)
EnxF (х, п) -> G (п)
3.96.
F->G(x)
F^AnxG(x) ’
Очевидно, что при п = 0 схема верна.
Поскольку
Ii^(i^Z) 2я(х)1(1-Ч)| 2g(x)+?(n+l)l=
( п J I п J
=| 1 41 2 g(x)l(i--f)g(n + i) = o
I хСл J
(здесь использовалось предположение (1 — f) g(x) = 0),
доказательство также завершается с помощью 3.7.
3.961. AXG (,х)-> EXG (х).
Это верно в силу G (0) —> G (0) и
[1—2 g(x)l П ё(х) =
I х<л+1 J х< п+1
= [(!—Я(«+ О)— 2 g(x)lg(n+ 1) П £(х) = 0.
I п J х<п
3.962.
F-»G(x)
F->£”G(x) ’
Получается с помощью 3.96 и 3.961.
3.963.
F (х) G (х)
~EXF (х) EnxG (х) ’
F (х) G (х)
A*F (х) A^G (х) '
Следует из 3.951 и 3.9511.
3.964. ~ AXG (х) Ех ~ G (х).
*) Из посылки этой схемы по 3.959 получается
(х п & F (х, п)) -> G (п);
отсюда заключение схемы получается подстановкой п вместо т, —
Прим. ред.
ГЛ. Ill]
ЛОГИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
157
Случай п — 0 очевиден. Для доказательства
~ AxG (х) -> Ex ~ G (х) мы воспользуемся равенством
[I -{1 -41 --а)}6]{1 -41 — (а + с))}й(1 -с) = О,
которое доказывается применением 2.8 к переменной с;
если взять 2 g(x) в качестве а, Ц (1 ~g(x)) в ка-
х С п х < п
честве b и g(n + 1) в качестве с, то доказательство за-
вершается применением схемы 2.8. Подобным же обра-
зом для доказательства Ex ~ G (х)~> ~ AxG (х) мы ис-
пользуем равенство
{1 -• (1 — а) (1 — 6)}{(1 6)—6с){(1 — о)—с} = О
(которое доказывается тоже применением 2.8 к перемен-
ной с) с той же подстановкой вместо а, b и с.
3.9641. Положив F(x) в 3.957 равным ~G(x) и ис-
пользуя 3.964, мы имеем
Anx{x^n^G(x))++AnxG (х).
Из пропозициональной схемы
Р-*д
и 3.964 сразу же получаем
h«)-*4;gw
о.Уоз. —------------------.
£;~G(x)-*~F(n)
3.966. x<re&f(x) = O->££{i/ = x&f(z/) = O}.
Обозначим эту импликацию через Р(п). Р(0) оче-
видно, и
{х < п & f (х) = 0} [/> (ге) Еу{у = х & f (у) = 0}].
Но EyG (y)^-Ey+iG (у), так что
{Р (п) -> EnyG (?/)) [Р (n) - Eny+,G (//)},
откуда, взяв у — х & f(y) = 0 в качестве G(y), получаем
{x<n&f(x) = 0}^[P(n)->£"+'{f/ = ^&f(i/) = 0}].
Но
{x = n + 1 &f (x) = 0)->(x = n + l)&{f(n+ l) = 0)
Ey+i {x = у & f (y) = 0} (в силу 3.958),
так что
x = n+l&f(x) = 0^[p(n)->£"+I(l/ = x&f(i/) = 0}].
Поскольку
x<n+l&f(x) = 0-+
->{x<n&f(x) = 0) V {x = n+ l&f(x) = O},
TO
{x<n+l&f(x) = O}^[P(n)^E"+l{y = x&f(y) = O}],
откуда
P («) -* [{X <n + 1 & f (x) = 0} ->Eny+' {y = x & f (y) = 0}],
т. e. P(n)—>P(n + 1), что завершает доказательство.
Если F не зависит от х, то
3.9661. Л" (F & G (х)) *-> F & AXG (х).
3.9662. Ах (F V G (х)) *-> F V Л"О (х).
3.9663. Ex(F &G(x))~F &ExG(x).
3.9664. Ех (F V G (x)) F V EXG (x).
Из F & G (x) G (x) с помощью 3.9511 мы выводим
Anx(F&G(x))^AnxG (x),
а из F&G(x)-+F с помощью 3.959, 3.961 мы выводим
Anx(F&G(x))-+F,
откуда следует
Anx(F&G(x))->F&AnxG (х).
Обратно, из
AyG (^)-*{x<n->G(x)}
следует
F& AnyG (y)->F&{x<n-»G(x)},
ГЛ. Ill]
ЛОГИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
159
откуда получаем
F & AnyG (у) -> {х < п -> (F & G (х))}
и, следовательно, в силу 3.96, 3.9641
F & AyG (у)-> Ax(F & G (х)),
что завершает доказательство утверждения 3.9661.
Снова в силу 3.9641 имеем
AyG (y)->{xs^n->G (х)}
и, следовательно,
F V AyG (у) -> F V {х < п -> G (х)},
откуда получаем F V AyG (у) -*• {(х n) -> (F V G (х))} и,
следовательно, как и выше,
F VAnyG (//)-> Ах(FVG(x)).
Обратно,
Апу (F V G (у)) -> {х < п -> (F V G (х))},
следовательно,
Any(Fy G(y))&~F-+{x^n-+G(x)}
и поэтому
Ay(F V G (у))&~FAyG (у),
откуда следует 3.9662.
Теоремы 3.9663 и 3.9664 следуют из 3.9662, 3.9661,
если взять ~F в качестве F и ~G(x) в качестве б(х).
3.97. Считающий оператор N*F(x)
Для того чтобы выразить число корней уравнения
f(x) = О в области Q-^x^n или, что то же самое, число
значений х в этой области, для которых пропозицио-
нальная функция f(x) = 0 истинна, мы вводим функцию
Nx {f (х) = 0}, определяемую рекурсией
Nnx+l {f to = 0} = Nx {f (x) = 0} + (1 f (n + 1)}.
160
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
И
Если f(x)—представляющая функция пропозициональ-
ной функции F(x), то мы пишем NxF (х) = N*{f (х) = 0}.
Первая теорема о считающем операторе, которую мы
докажем, такова:
3.971. ^(х) .
NnxF (х) = NnxG (х)
Если D(a, b) обозначает положительную разность
между 11 — а, 1 — b | и 1 — {1 — | (1 — a)b, (1 — й)а|), то
D (а, 0) = 0, D (0, Sb) = D (Sa, Sb) = 0,
так что D(a,Sb) = 0 и поэтому D(a,b) = 0 и, наконец,
11--а, 1 — й | = 1 — {1 — | (1 — а)6, (1 —
Таким образом, из {1 — f(x)}g(x) = {1 — g(x)]f (х) = 0 мы
выводим
1 — f(x)=l — g(x).
Следовательно, NXF (х) — NXG (х) и
\Nnx+lF(x), Nx+lG (x)\ = \NxF (х), NXG (х)\,
откуда в силу 2.8 получаем |jV"F(x), У2С(х)| = 0, что
завершает доказательство.
3.972. {nxF(x) = 0}Ах~ F (х).
При п = 0 эта эквивалентность есть просто
(1—f(0)) = 0 •*-*•(!—f(0)) = 0.
Так как Nnx+l(f(x) = 0) = Nnx(f(х) = 0) + (1 (п+ 1)),
то {№+'/:’(x) = 0}<->{№F(x) = 0)& - F(n+ 1); кроме
того, Ax+l ~ F (x)-*-+{Ax~F (х^й.™ F (п + 1) и, следова*
тельно,
[{№F(x) = 0}-*^~F(x)]->
-> [{№+‘F (х) = 0} -> (ЛГ1 ~ F (х)) ],
откуда в силу 3.7 получаем
{NnxF (x) = 0}^~F(x).
гл.
ЛОГИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
161
Обратно,
-+ [ЛГ1 ~ F (х) - [Nx+iF (х) = О}],
откуда следует А" ~ F (х) [nxF (х) = О).
Эквивалентность 3.972 можно также выразить в виде
{NnxF(x)>0}^EnxF (х).
3.973. NXF (х) = Nx (F (х) & G (х)) + № (F (х) & ~ Q (х)).
Пусть S(n) обозначает положительную разность
между левой и правой частью этого равенства. Доказан-
ного равенства 1 — р = {1 — (р + q)} + [1 — {р + (1 — <?)}]
достаточно для доказательства и S(0) = 0, и S(n) =
= S(n + 1).
3.974. Nx{F(x) У G (x)} = NXF (x) + Nnx(~F(x)& G (x)).
Доказывается, как и выше, с использованием ра-
венства
1 — pq = (l — р) + [1 —{<? + (! — Р)}].
3.975. Nx (F (х) &. G (х)) < NXF (х).
В равенстве {1 — (а — 6)} {[а + (1 — (р + р))]—
— [6 + (1 — р)]} = 0, которое доказывается применением
схемы 2.7 к переменной q, мы берем NX(F (х)& G (х))
в качестве a, NxF(x) в качестве b, F(n + 1) в качестве р
и G(n+1) в качестве q.
3.976. x>n-+[Ny(y = x) = 0}.
Пусть Р(п) обозначает данную импликацию; тогда
Р(0) эквивалентно
{1 —(1 —х)}(1 —х) = 0.
Так как х >n + 1 —> х>п их>п+1—>(1—|х, п+1 |) = 0,
то Р(п)-> {х>п + 1 —>[/v№ = х) = О]) и, следовательно,
Р(п)& х >п + 1 —► {мЛ# = х) + (1 — | х, п + 1 |)} = 0;
отсюда получаем Р(п)-> (х >n + 1 —>Ny+l (у = х) = 0],
т. е. Р(п)->Р(п+ 1).
3.977. ^(р = п)=1.
162
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
[1
При п = 0 это просто 1—(0 —0)=1, а
№+1(f/ = «+l) = ^(«/ = rt+l) + (l^-|n+l,n+ll)=l
в силу 3.976.
3.978. Ny+r(y = r)=l.
Для п = 0 это сводится к предыдущей теореме; кроме
того,
Ny+r+i (y = r) = Ny+r(y = г) + {1 —|n + г + 1, г I) =
~Ny+r(y = r).
Отсюда следует п х —> Ny (у = х) = 1, ибо
кп = к~ (п ~ %) —>
-> Ny (.У - х) = Ny+(n~" х) (у = х) = 1
в силу 3.978.
Из х > и —> {Ny(y = х) = 0} следует х>п->
—► (у = х) 1), а из х^га —>(Ny(y = x) = 1} следует
X<n->{^(J/ = X)<1), что дает (х > n) V (х п) ->
-* Ny(y = х)^Д, а так как (х>n) V (хСп) доказуемо
с помощью двойной рекурсии, мы получаем
3.979. ^(г/ = х)<1.
3.980. ^(x<n+ l) = M(x<n) + ^(x = n+ 1).
Так как х<п+1*-*(х<п) у(х = п+1)их = п+1 *->
(х = п + 1) & ~ (х п), то требуемое получается в силу
3.971 и 3.974.
3.981. №(х<п) = п+1.
При п = 0 это очевидно, а в силу 3.980
№+1(х<п+1) = №+,(х<п) + №+1(х = п+1) =
= N" (х С «) + 1 (в силу 3.977),
откуда следует требуемое.
3.982. x^n&f(x) = 0->[Ny{y = x&f(y) = 0}= 1].
Сначала рассмотрим случай п = 0. Так как х-С0->
->{f(x) = 0->f(0) = 0}, то x<O&f(x) = O^f(O) = O и,
следовательно, х^0&/(х) = 0 ->х + f(0) = 0, откуда по-
гл. HI]
ЛОГИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
163
лучаем x<0&f(x) = 0->{1 — (х + f(0))} = 1, что дока-
зывает случай п = 0.
В силу 3.972 [Ny{y = x&f(y) = 0} = 0]-+Ay~{y = x&
&f(y) = O) и> следовательно, в силу 3.965
^{i/ = x&f(y) = 0}->№{y = x&f(i/) = 0}>0,
откуда в силу 3.966
x^n&f(x) = 0^Ny{y = x&f(y) = 0}>0.
Но в силу 3.979 и 3.973 имеет место
Nny(y = x&f(y) = 0}^l
и поэтому х п & f (х) = 0 —> Ny {у = х & f (у) = 0} = 1.
3.983.
[Ny(f(y)=O)=k+l}^->Ex{f(x)=O&Ny(f(y)=O&y^x)—k].
Из Nny(f (у) = 0) = Ny(f (у) = Q&y^x) + Nny(f(y) =
= 0 & у = х) следует х < п & f (х) = 0 Ny (f (у) = 0) =
= Nffl(y) — 0 & у =£ х) + 1, откуда
х < п & f (х) = 0 -> {Ny (f (у) = 0 & у х) = k] —>
^Nny(f(y) = O) = k+l},
т. е.
х < п & f (х) = О & {^’ (f (у) = 0 & у =# х) = k} ->
->{№(/(у) = 0) = А+1},
отсюда получаем
Enx(f (х) = 0 & [Nny(f (У) = 0 & у х) = М)->
->{O(i/) = 0) = £ + l}.
Обратно, из
x<n&f(x) = O->{^(f(!/) = O) = ^(H!/) = O&y¥=x)+l}
следует
x<n&f(x) = 0->{O(y) = 0) = A+l->
->Ny(f(y) = O&y^x)^k],
164
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
[I
откуда {лГу(№) = 0) = k+ 1} -*{(х О & f (х) = 0 -►
-+Ny(f (у)=0&y^x)=k} и, следовательно, {Af"(f (г/)=0)=
= 0& z/#= х) =•&)], откуда в силу 3.951 {Ny (f (у) = 0) =
= fe+l)^[E"(x<n&f(x) = 0)->E2(x<n&f (х) = 0&
& Ny (f (у) = 0 & у =£ х) = k)} и поэтому в силу 3.957
{О(!/) = 0) = 6+1}^
-* {Епх (f (х) = 0) -> Ex (f (х) = 0 & Nny (f (у) = 0 & у х) = k)].
Но в силу 3.972 JVj(f (0) = O)»fc+1->О(х) = 0) и,
следовательно,
Nny (f (у) = 0)=k + 1 -> Епх {f (х)=0 & Nny (f (у) = 0 & у^х) = k},
что завершает доказательство.
Из 3.972 и 3.983 следует, что
(Nt (НО = 0) = 1) Епх {/ (х) = 0 & Nl (f (0 = 0 & t х) = 0}
— Епх if (х) = 0 & A? (f (t) = 0 -> t = х)},
(О (0 = 0) = 2) Епх {/ (х) = 0 & N?(f (0 = 0 & t х) = 1}
Enx(f (х) = 0&Eny[f (у) = 0 & у¥=х &
& Atf (f (0 = 0 & / =/= х & / =/= у) = о]}
++ЕпхЕПу {f(x) = O&f(z/) = O&x^&
& A?(f (0 = 0-*(/= х) V (/ =«/))};
{A# (f (0 = 0) = 3} *-> Ex {f (х) = 0 & N? (f (0 = 0 & t #= х) = 2}
Епх [f (х) = 0 & ЕПуЕпг {f (г/) = 0 & f (г) = 0&
&Х^=у&Х^=2&у=/=2&
& (0 = 0 & t ^х = у) V (/ = г))} ]
^EnxEnyEnz(f(x) = O&f(y) = O&f(z)^O&
& х=/=у & x^=z & y=/=z &
& A?(f (0=0-*(^х) V (t~y) V (t=z))}
И т. д.
Эти эквивалентности показывают, что оператор
Nx{f(x) = O} обладает требуемыми свойствами. А имен-
но, Nx(f(x) = 0) принимает значение единица тогда и
гл. HI)
ЛОГИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ
165
только тогда, когда имеется единственное х между 0 и
п, для которого f(x) = 0, и Af2(f(x) = O) принимает зна-
чение 2 тогда и только тогда, когда имеются х и у ме-
жду 0 и п такие, что х отличен от у, f(x) = 0 и f(y)=* О,
a f(t) не обращается в нуль ни для какого другого t
между 0 и п, и т. д.
Примеры к гл. III
3. Докажите формулы;
3.01. р &q+-+~(~p V~<7). 3.02. ~ (р->?)•*-> р & ~/7.
3.03 . pV Р“>р. 3.031. p&q-^p. 3.032. р & (q & г) (р & q) & г.
3.04. q -> (р V q). 3.041. (р -> ?) -> (р & г -> q). 3.05. (р V q) -> (q V р).
Обоснуйте схемы:
3.051. - P±L, 8.052. 3.05.
(p&q)-*r (p&<?)-> r q-*-(p->r)
q p- *P*
3.0601. P‘ 3.061. p-> (g-*r) 3.0611. — Q- •>?* • 0 21 •
P- P-+ r p &q- *p &q
□ ЛА9 P^ p
P~> o.uuo. (p V r) -> (<7 V r) '
r) P^ -(q v r)
3.064. а н ►{p-»(p-»r)) a->(p->r) 3.07. r -> p->(<?-> V 3.071. s) г н P-^ ► (? V s) ’
p-»<7 V r q^-q*
p->7
3.08. '-^•±4. 3.081. r ->r* 3.082.
p^(r->s) p^-q’V r*' <7^(p-*r)
3.083. a^b (p -> a) -> (p -> b) ' q ->s V t 3.084. p-><7 ><7) ,
s->r p->(<7->
3.085. (p-><7)->(p-*r) " 3.09. -r*) Л->(г Ar*)}’
p -> (q & r -> s) p & q^i ► r
3.091. 3.0911. —5-^
(p & <7) -> s р&рн (p & q) -> (r -»s) ► s
3.092. 4^ • 3.093. p->r p&q^s •
166
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
(Г
Докажите формулы:
3.1. 8.11. (д<Ь)->(д<Ь) У(д- Ь).
3.12. (a < ft) V (a > ft) V (a - b). 3.121. (a < b) & (b < c) -> (a < c).
3.13. (д>Ь)&~(д-Ь)-*(д>ЗЬ). 3.131. (a-6) & (b-c) ->(a-c).
3.132. д = b-> | a, x | -1 b, x |. 3.14. (дЬ » 0)-> (д - 0) V (b-0).
3.15. ab > 0 -> (a > 0) & (b > 0). 3.16. x’ + 1 > 2x.
3.161. a1 + b3 > 2ab. 3.17. д<Ь-»{Ь-д + (Ь-«- a)}.
3.171. (д - 4) & (b = B) -► {f (a, b) - f (A, B)}.
3.18. fe < b & / < a -> {fea lb = (a — I) b-*-(b-*-k) a).
3.19. b > c -> ((a + b) c — a + (b — c)}.
3.191. l^n&m^n&n — I <n-s~ tnm < I.
3.192. p > fl & г > s -> {(p — fl) — (r — s) — (p + s) — (fl + r)).
3.193. x < n -> {/ (x) < 2f («)} •
3.194. fl>r-*((p —r) —(fl —r)-p —fl}.
3.2. Докажите схемы:
p(x,a)
Anm p (m. a) ’
p{x)
EXnPW’
P (x. a)
A°p (x. a) ’
3.3. Докажите формулы:
3.31. (1 — n) L’ (ф (я, x) = 0} = 0.
3.32. ~ Anxp (x)Ex ~ p (x).
3.321. E^P (x) -> ~ A" ~ p (x). 3.322. ~ Anxp (x)^E^^ p (x).
3.33. Anxp (x) -> p (я). 3.34. A™+np (x) -> 4” p (x).
3.35. Exp (x)^-e}p{n->- r). 3.36. 4f+c {g (/, y) - 0) -► g (x, y) - 0.
3.37. 4? {f (t, a)-0}&A*{f (x, «) - 0) -► (f (x, a) - 0).
3.38. (f (x) •» a) & p (a) -> E^p (f (x)) (используйте пример 3.42;
см. ниже).
Докажите схемы:
(о -= a) р (а). р (д) -» ~ (д ° а).
р(д) ’ ’ 1 ~р(а) ’
3.392.
р(д + г)^-А(д)
Р (b) -> q (b -5- г) •
3.4. Докажите формулы:
3.41. Е%р (х) -> Е^пр (х). 3.42. а < b & р (д) -> Еьхр (х).
Apxq(x)q(p + Sr)
3.5. Обоснуйте схему--------, где р — произвольная
Я W
конкретная цифра.
3.6. Докажите, что если / ™ 1%р (п—х) и g « п — /, то
(1) E%p(x)-+p(g), (ii) g<a&fl<n-> ~ р(д), .
гл. nt]
ЛОГИЧЁСКЙЁ КОНСТАНТЫ
167
так что g есть наибольшее из тех х, не превосходящих п, для кото-
рого выполняется р (х).
3.7. Докажите, что если ab > 0, то имеется наибольшее значе-
ние п, для которого nb < х & па < у.
3.8. Докажите схемы (х не входит в р):
3.81. ; 3.82.
Р -> (х) E“q (х) -> р
3.83. Докажите формулы *):
3.831. Л;(х<л). 3.832. Ахр(х)->(у<п-+р(у)).
3.833. Апх (р V q (х)) ♦-> (р V Anxq (х)).
3.834. Л"(р^<7(х))*->(р->Ли<7(х)).
3.84. Докажите схему
р-»(<?-»г(X))
рЛ"г (х)) "
3.9. Докажите следующие формулы:
3.91. р -> Л" (р V q (х)). 3.92. Ах (р & q (х)) <-► р & A$q (х).
3.93. Ах (р (х) & q (х)) ++ Апхр (х) & Axq (х).
3.931. Е% (р (х) V q (х)) Е^р (х) V Е*д (х).
3.94. А" (р (х) +• q (х)) -► (Ахр (х) -> Axq (х)).
3.95. А" (х < п -> р (х)) *-* Ахр (х).
3.96. £^(х<п&р(х))ч->£;р(х).
3.97. Л!? (р (х) -> <? (х)) -> (Е$р (х) -► E$q (х)).
3.98. Л" (р (х) q (х)) -+(ЕГхр (х) ч-» f*q (х)).
3.981. Л"(р(х)->9)*->(£"р(х)-><7).
3.982. АпхАпур (х, у) АпуАпхр (х, у).
3.983. Е^р^^^^у). 3.984. ГхАпур (х, у) -► A'Efy (х, у).
3.99. Е"Е" (р (х) & р (у) & х > у) Е^ (р (х) & р (у) & у > х) ♦->
«-►е;£"(р(х)&р(у)&х Фу).
*) В примерах 3.831—3.92 буква р (в примерах 3.84, 3.981 бук-
ва q) обозначает формулу, не содержащую свободно х.
ГЛАВА IV
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АРИФМЕТИКИ
Основные теоремы арифметики. Простые числа. Един-
ственность разложения на простые сомножители. Наи-
больший общий делитель.
4. Понятия частного и остатка вводятся в рекурсив-
ную теорию чисел с помощью рекурсивных функций
Q(a, Ь) и R(а, Ь), которые мы определяем следующим
образом.
Для упрощения формул мы пишем а (с, d) вместо
а( |с, d\), так что а (с, d) = 0, 1 в соответствии с тем, рав-
ны с и d или нет. Полагаем
R (0, ft) = 0,
R(Sa, b) = SR(a, b)-a(SR(a, b), b)
Q(0, 6) = 0,
Q(Sa, b) = Q(a, b) +{I—a(SR(a, b), b)}.
To, что эти функции на самом деле обладают требуе-
мыми свойствами, видно из следующих формул:
4.01. a = b-Q(a, b)+R(a, b).
4.02. b >0-*R(a, b)<b.
4.03. {(a = be + r) & (r < &)} -> {c = Q(a, b) & r =•
= R(a, b)}.
Доказательство 4.01. Если
то
f(a) = bQ(a, b) + R(a, b),
f(O) = Z>Q(O, b) + R(O, b) = 0,
гл. IV)
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АРИФМЕТИКИ
169
f(Sa) = bQ(Sa, b) + R(Sa, b) =
= bQ(a, b) +b(l—a(SR(a, b), b)) +
+ SR (a, b)-a(SR(a, b), b) =
= bQ(a, b) + SR(a, b) (в силу примеров
2.27 и 2.08)
= Sf(a),
так что f(a) = a.
Доказательство 4.02. Из вводящих равенств
для R(a, b) следует, что
a(SR(a, b), b) = 0-*R(Sa, ft) = 0
и, следовательно, по теореме 3.43
4.021. a(SR(a, ft), ft) = 0^{0< b-+R(Sa, ft)<ft}.
Так какх*а(х) = х, то х>0-*а(х)= 1 и, поскольку
х < у -> | х, у | > 0, то
SR(a, b)< b->a(SR(a, ft), ft)=l.
По теореме 3.43
{a(SR(a, ft), ft) = 1}->{[T? (Sa, ft) =
= ST?(a, b)-a(SRla, ft), ft)] —> [T? (Sa, ft) = ST? (a, ft)]},
откуда
a (ST? (a, ft), ft) =1-*T? (Sa, ft) = ST? (a, ft)
и, следовательно,
ST?(a, ft)<ft-»T?(Sa, ft) = ST?(a, ft).
Ho T?(Sa, ft) = ST? (a, ft)->{ST?(a, ft)<ft->T?(Sa, ft)<ft},
так что
4.022. ST? (a, ft) < ft -> T? (Sa, ft) < ft.
Так как x = у —* a(x, у) = 0, то
4.023. T? (a, ft) < ft {ST? (a, ft) < ft V a (ST? (a, ft), ft) = 0}.
Обозначая формулу 0 < 6-► {T?(a, ft) < ft} через P(a), мы
выводим из 4.021, 2.3 (и примера 3.085)
P(a)->P(Sa).
170
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
[I
Поскольку Р(0) выполнено в силу определения R(a, b),
то 4.02 доказано.
Доказательство 4.03. Употребляя Q, R соответ-
ственно вместо Q(a, b), R(a, Ь), имеем по теореме 3.43
а = bQ + R ->{(а = be + r)->(bc + г = bQ + /?)},
откуда в силу 4.01 получаем
4.031. а = be + г ->(bc + г = bQ + /?);
но
{Q = Sc + (Q^Sc)}->
->[{6с + г = bQ + = b + b(Q — Sc) + /?]]
и, следовательно (используя пример 3.061),
(а = be + г)—*(Q > с —> г > Ь),
откуда (в силу примера 3.062)
(а = Ьс + г)—>(г < b —> Q с) t
Аналогично получаем
(а = Ьс 4- г) >(/? < b -> Q > с)
и, следовательно (используя примеры 2.043, 3.09),
(а = Ьс + г)->{(г < b)&(R < b)-> Q = с}.
Так как г < Ь —► 0 < 6 и 0 < b R < Ь, то (в силу
примера 3.091)
4.032. {(а = Ьс + г) & (г < b)} -+(Q = с),
но
4.033. (Q = с) -> {(be + г = bQ + R) -> (г = /?)}
и, следовательно (в силу 4.031, 2.3 и примера 3.093),
4.034. {(а = Ьс + г) & (г < Ь)} -> (г = /?).
Поскольку г = R -> {(Ьс 4- г = bQ 4- /?) (be = 6Q)} и
(а == be + r)-*(bc 4- г = bQ 4- /?),
из 4.034 следует, что
(а = Ьс 4- r)&(r < b)-+(bc = bQ),
но имеет место г < b —*0 < Ь, и, используя пример 3.095,
получаем г < b—*(bc = bQ —► Q = с), следовательно (ис-
гл. IV]
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АРИФМЕТИКИ
171
пользуя пример 3.0911), a = bc + r&r<b-+Q = c, что
завершает доказательство 4.03.
4.1. Из формулы 4.03 следует, что если а = Ьс, то
R(a, b) = 0 и обратно, если R(a, b) = 0, то а = bQ(a, b),
так что истинность равенства R(a, b) = 0 необходима и
достаточна для делимости а на Ь.
4.2. Простые числа
Если р(п) = 0 обозначает пропозициональную функ-
цию *)
п > 1 & Аа {а 1 V а = п У R (п, а) > 0},
то равенство р(п)=0 утверждает, что п больше еди-
ницы, и всякое число от 0 до и, большее единицы, но не
совпадающее с п, не делит п, т. е. что у п нет делите-
лей, кроме него самого и единицы, так что п — простое
число.
Таким образом, р(п) = 0 утверждает, что п — простое
число.
4.21. Если q(n) есть наименьший делитель п, боль-
ший единицы, т. е. если
?(n) = L2{/?(n, х) = 0&х>1}>
то, используя примеры 4, 4.1, имеем
R (и, q (п)) = 0, q (n)< п, n > 1 -> q (n) > 1
и а < q (п}-+ {R (п, а)> 0 V а 1}, так что (используя
теорему 2.91 и пример 3.063)
п> 1 -> {q(n)> 1 & Аа{п)(а^ 1 V а = q(ri) У R (п, а) > 0)},
т. е. формулу n> 1->р(^(п)) = 0, которая утверждает
что q(n) простое, если п>1.
Из формулы
{<? (n) = п} -> {р (q (п)) = 0 -> р (п) = 0}
мы выводим, что
п > 1 & q (п) = п —> р (п) — 0.
*) Имеется в виду, что р есть представляющая функция опи-
санного предиката. — Прим. ред.
172
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
п
Из R (п, п) — 0 и
(р (п) = 0) (п > 1) & {а < п & а > 1 -► R (п, а) > 0}
мы выводим прежде всего
(р(п) = 0)->[{?(п)>1)&{/?(п, а) = 0-м<1 Va>4
откуда, поскольку 7?(п, ^(п)) = 0, используя пример 2.37,
получаем
p(n) = 0->[q(n)>n}.
С помощью доказанной формулы q(n)^Cn мы выводим
р(п)= 0-*<?(«)= п.
4.22. Таким образом, условие q(n) — п необходимо и
достаточно для того, чтобы п было простым числом.
4.3. Следуя идее знаменитого доказательства Евкли-
да о бесконечности простых чисел, мы можем легко по-
строить формулу, дающую сколь угодно большие про-
стые числа. Фактически мы доказываем, что для лю-
бого п между п и n! + 1 имеется простое число.
В силу характеристических свойств q(n), поскольку
га! 4- 1 > 1 (см. пример 2.82),
p(q(n\ + 1))= 0 и q(n\ + 1)<п| + 1.
Далее из примера 4.44 мы имеем
{7? (га! + 1, а) = 0& а > 1} ->-а > п
н, следовательно,
{/?(n! + 1, q{n\ + 1))=0&<7(п1 4- 1)> 1} —
-*(?(«! + 1)> п),
откуда имеем ^(п! + 1) > п, а это доказывает, что
q(n\ 4- 1) является простым числом, большим п, но не
большим га! 4- 1.
4.4. Последовательность простых чисел
Если р(0)= 2, ₽(n+ l) = Z.Vrt),+'{х>р(п)&р(х) = 0},
то (для п > 0) р(п) есть п-е нечетное простое число.
ГЛ. IV]
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АРИФМЕТИКИ
173
Сначала мы показываем, что р(п) является простым
для любого п. Так как
?(»(*)! + 1)>Р(*)
р(?(Р(*)1 +1))=0,
₽(*+!)>»(*)> Р(₽(*+ 1))=0
Н* + !)<?(₽(*)! + 1),
так что р (k + 1) простое; но в силу примера 4.45 р(0)
простое, и, следовательно, р (п) простое при любом п.
Из примеров 4.5 и 4.61 следует, что p(n + 1) —не-
четное простое число. Для того чтобы показать, что (для
п>0)р(п) на самом деле является n-м нечетным про-
стым числом, мы покажем, что всякое простое число со-
впадает с р(п) при некотором п, т. е.
р (т)= 0 -> Ek {т = Р (k)}.
В силу свойств операции ц, мы имеем
tn<y(k + 1)—>/n <р(&) V р(/п)> О,
т. е.
р(т) = 0 ~ {p(k) < т & т <$(k + 1)}.
Пусть ф (m) = Lx {т < £ (х)}, тогда, поскольку в силу
примера 4.51 р(т)> т, мы имеем
р(ф(т))>т и <р(т)^т;
но
{tn > 1 & р (х) > т} —> р (х) > р(0)
и, следовательно,
{т > 1 &р (х) > т} —* х > 0;
отсюда получаем
т > 1 —*ф(т)> 1,
т. е.
т > 1 ->ф(т) = 1 + (ф(/и)— 1).
Полагая ф (т) = ф (т) — 1, так что т > 1 -> ф(/п) < ф (т),
мы имеем (поскольку ф(т)—первое х, для которого
174
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
(I
р(х) превосходит т)
т > 1 m & p(tp(m) + 1) > т}\
это дает
т > 1 —* {[р (ip (т)) < т &p(xp(m) + 1) > т] V
Vp (t(/n))= rn}.
Поскольку р(т) = 0 -+ иг > 1 и
р (т) — 0 -> ~ {р (k) < т & т < р (k + 1)},
то
р(т) = 0 ->р (4(т)) = т.
Поэтому в силу примера 3.42
р (т) = 0 Ek (т = р (k)).
4.5. Для подготовки к теореме 4.51 ниже мы дока-
зываем, что если bd > 0 и R(ab, d) = 0 и если
l = Lbx{x>Q&R(ax, d) = 0},
то
R(b, /)= 0.
Мы видим, прежде всего, что
b>O&R(ab, d) = 0->l>0&R(al, d) = 0
и
d>0&R(ad, d) = 0-*l ^.d.
Пусть p, p обозначают соответственно Q(b, I), R(b, I),
так что
b = pl + p и p < I.
Так как R(ab, d) = 0, to R(alp + ap, d) = 0, откуда, по-
скольку R(al, d)= 0, мы имеем R(ap, d)— 0; но
{x < I & R (ax, d) = 0} —> x = 0
и, следовательно, из неравенства p < l следует, что
p = 0, а это завершает доказательство.
4.51. Если р простое, то
R(ab, р)= 0 & R(a, р)> О-* R(b, р) = 0,
ибо по предыдущему результату, поскольку
p>0&R(ap, р)=0, имеем R(p, I) = 0 и 1^>р, и по-
ГЛ. IV]
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ. АРИФМЕТИКИ
175
этому, так как р простое, или I = 1 или I = р. Но
R(al, р) = 0 и /?(а, р) > 0, так что ~ (I = 1), и поэтому
I = р. В силу 4.5 R (6, /) = 0 и, следовательно, R (6, р) = 0.
4.6. Разложение на простые множители
В этом и следующем разделах желательно снова вве-
сти тот условный знак, которым выражается произведе-
ние произвольного числа сомножителей. Для любой
функции f(x) мы определяем (как в 3.95)
Ш(х)-1Ъ(п).
х<п
Наш основной результат состоит в том, что любое число
можно представить единственным способом как произ-
ведение простых сомножителей. Мы начнем с рассмо-
трения наивысшей степени, с которой данное простое
число входит в заданное натуральное число. Мы опреде-
ляем
v(0, £)= 0,
v(Sn, k) = L*R(Sn, (p(fc)}x+1)>0.
Поскольку р(£)>1, то в силу примера 4.701 {₽(&)}">»
и, следовательно,
R(Sn, {р(&)}"+1)>0,
а поэтому (по теореме 3.949)
R(Sn, {p(fe)}v<Sn,ft,+')>0,
т. е.
4.61. «>0->7?(га, {p(fe)}v("’ft)+1)>0
и (в силу 3.9493) v(n, k)^n и
х < v (п, k) + 1 -> R (п, {р (k))x) — 0,
так что, в частности,
4.62. R{n, ft>) = 0.
Из формул 4.61 и 4.62 следует, что v(n, k) есть пока-
затель наибольшей степени, с которой k-e нечетное про-
стое число входит в п.
4.63. m>0->m = П {Р(х)Г'('",х).
176
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
[I
В силу примера 4.86 т делится на Ц {P(x))v<m> х} и,
т
если Q — частное, то из формулы 4.61 и примера 4.87
следует, что
т > 0 —>(Q, Р(х))> О
и поэтому (в силу примера 4.84) т > 0 —> Q = 1.
4.64. Для того чтобы показать, что разложение един-
ственно, мы изолируем индивидуальный сомножитель в
произведении с помощью следующих теорем:
если qp(m, г, 0)= 1 и
ф(т, г, S£) = a(r — k) П {Р (x)}v (m’х)+
+ {1 -- а (г - k)} {р (Sk)}v(m-• ф (tn, r, k),
TO
4.641. П {Р«(т’х) = {Р«(т'г> • <p(/n, r, k)
X < k
И
4.642. г —> /? (qp (m, r, k), p(r))>0.
Обозначим формулы 4.641 и 4.642* соответственно по-
средством «г & —► //(&)» и «г тогда оче-
видно, что г О—»/7(0) и г<2 0—>7(0).
Если г — Sk, то
П JC) = {P(S^)}v,m’ Sk) II {p(x)}v(m>J£) =
х < Sk x^k
= {p(Sfe)}v(m- зд-ф(т, r, Sk),
так что
(г = Sk)-+H(Sk);
0)
если r k, то <p(/n, r, Sk) = (p (Sfe)}v<zn’ Sft) • <p(/n, r, k) и,
следовательно,
-[w W^{xPsft{P(x)}v('n’Jt, = {p(r)r<'"^.v(m, r, Sfc)}],
t. e.
(r^k)^{H(k)->H(Sk)}.
(ii)
ГЛ. IV]
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АРИФМЕТИКИ
177
Из (i) и (ii) с помощью примера 2.491 следует, что
{(г <&)->// (k)} -> {(г < Sfc) Н (Ш,
а это завершает доказательство утверждения 4.641 по
индукции.
Доказательство утверждения 4.642 происходит ана-
логично; если г = Sk, тоср(/п, г, S£)= П {PU)}v(m’х) и,
k
следовательно (в силу примеров 4.82, 4.85),
(г = 5Л)->/?(Ф(т, г, Sk)y »(5£))> О,
поэтому
(Г = S6) —7(56).
Если г то ф(т, г, Sk) = {|)(S^)}4(m’ Sk) • ф(т, г, k) и,
следовательно, по теореме 4.51 (и снова в силу при-
мера 4.82)
и доказательство завершается так же, как и прежде.
4.7. Единственность разложения на простые множи-
тели.
Нам надо доказать, что если m допускает два раз-
ложения на простые множители, скажем, Ц {t>wr'n,x)
и П {Р(*)Р(”’’*>» то g(/n, x) = v(m, х) при х^.ш.
х < тп
Имеем
х m —► /? (m, {р (х)}'(т’ х)) = О,
х пг —> m = {р (x))v (m’ x)q>(m, х, tn)
и
x^.m-+ R((p(tn, x, m), p(x))>0,
так что (в силу примера 4.801)
х < m -> R ({Р (x)}v <m’ х\ {р (х)}5 (т’ х)) = 0
и, следовательно (в силу примера 4.711), v(/n,x)>'
х) при всех х^.пг. Аналогично, g(m, х)> v(m, х),
значит, ^(m,x) —v(m, х) при всех х-^т.
4.71. {/п>0&/?(т, р(х)) = 0}->v(m, х)>0.
178
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Поскольку
{v(m, х) = 0} —> {[m > 0->/? (m, {р (x)}v(m’х)+1)> 0]->
-» [т > 0 -> R (т, р (х)) > 0]}
и
m>0-*R(m, {p(x)}v(m> *,+')>(),
то в силу примера 3.064
v(/n, x) = 0-»{m>0~*R(m, p(x))>0
что доказывает 4.71.
Следовательно,
{т>0& R(m, р(х)) = 0} v(m, х)>0,
так что если т > 0, то v(m, х) >0 является необходи-
мым и достаточным условием для делимости т нар(х).
4.72. Наибольший простой делитель
Если l(n) = Lx{v(n, п — х)>0} и g(ra) = « — /(«), то
мы покажем, чтор(§(п))— наибольший простой дели-
тель числа п.
Так как в силу примера 4.83
n>l-*Enx{R(n, р(х)) = 0},
то
п > 1 -*• Ex {v (и, х) > 0}.
Следовательно, в силу примера 3.35 имеет место
4.721. п> 1—>-v(n,g(n)) >0
4.722. g(n) <а&а-^.п—*-v(n, а) = 0.
Поскольку а > п —>- R (п, р (а)) = п, то
а > п—>v(n, а) = 0
и 4.722 можно переписать в виде
4.723. g(n) <а—>-v(n, а) =0.
Формулы 4.721 и 4.723 показывают, чтор(£(п)) —
наибольший простой делитель числа п.
4.8. Функция v(m, х) позволяет ставить в соответ-
ствие любой заданной совокупности чисел некоторое
ГЛ. IV]
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АРИФМЕТИКИ
179
единственное число. Если дана совокупность а0, ...
..., ап с ая>0, то мы ставим в соответствие этой со-
вокупности число такое, что
N= П Р(х)ал
л
Число N полностью определяется данным множеством
чисел ао, Qi, , а* с ап> 0, и обратно, само множество
однозначно определяется одним числом N, ибо
# = П V(x)v(W,x> в силу теоремы 4.63, и, следователь-
N
но, поскольку разложение единственно, то
x<g(N)—>v(N,x) =ах,
т. е. числа v(W, 0), v(N, 1), v(2V, 2), ..., v(Af,g(N)) вос-
производят данную совокупность (где g(N) опреде-
ляется так же, как в 4.72).
4.9. Наибольший общий делитель
Следуя примеру 3.36, мы можем без труда опреде-
лить наибольшее число, которое делит каждое из двух
отличных от нуля чисел а и Ь. Мы предпочитаем, однако,
действовать иначе и определять наибольший общий де-
литель как наименьшее ненулевое значение функции
ах —by. Мы определим функции k(a, b) и 1(а, Ь) так,
что h(a, b) = ak(a, b)— Ы(а, Ь) имеет наименьшее воз-
можное значение, не меньшее единицы.
Из равенства
b • а — 0 • b = ab
мы выводим
а отсюда в свою очередь мы выводим
Ek {Е° (ka—lb = ab)}.
Отсюда и из неравенства ab > 0 следует
Еась {с > 1 & Ebk (Е? (ka — lb = с)))
и поэтому, если
h (a, b) = Lacb[c^\& Еьк(Ei (ka -lb = c))J,
180
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
[I
то для а, b таких, что ab > 0, мы имеем
Ebk(Ef(ka— lb = h(a, &))) и Л(а, &)>1.
Поэтому, если
k (a, b) = Lbx {Ei (ха — lb = h(а, b))}, ab > 0,
ТО
b) — lb = h(a, b)) и k(a, b)^b
и, следовательно, если
l(a, b) = Ly(a • k(a, b) — yb = h(a, b)),
то мы имеем
ab 1 -> {a • k (a, b) — b • I (a, b)=h (a, b) &
&k(a, b)^b&l(a, b)^a&h(a, &)>!}.
4.91. Если одно из а или b есть нуль, то мы пола-
гаем h(a,b) = а + Ь, так что
а^0&& = 0->1-а —0«& = й(а, Ь}
и
а = 0& &^0->1‘&—0-а = й(а, 6).
4.92. k^b &l 4а&с^ 1 &ka — lb = с h(a, b)-*Cc.
Действительно,
k < b & I & ka — lb = c^Ek{Ei(ka — lb = c))
И
Ebk(Et(ka — lb = c))&c^l-*h{a, b)^c
(в силу теоремы 2.9493).
4.93. В силу примера 3.18
k^b&l^a^ {ka — lb = (a — /) b — (b — k) a},
откуда, поскольку a — I (a, b)^a, b — k(a, b)^b, имеем
h(b, a) ^h(a, b).
Аналогично, h(a, b)^.h(b, а), так что
h(a, b) =h(b,a).
4.94. R(a, d) = 0 & R(b, d) = 0^R(h (a, b), d) = 0.
ГЛ. IV]
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АРИФМЕТИКИ
181
Действительно, если R(a,d)=Q и R(b, d) = О, то,
обозначая Q (a, d) и Q (b, d) соответственно через аир,
имеем
h(a, b) = {а£(а, Ь) — р/(а, b)}d.
4.95. Если значение га — sb не нуль, то оно кратно
h(a, b).
Мы можем без потери общности предполагать, что
ab > 0. Обозначая k(b, а), ЦЬ,а) и h(a,b) для крат-
кости через k, I и h, имеем
kb — la — h.
Пусть q — частное, а р — остаток от деления ra-^-sb~>Q
на h, так что р < h и
га — sb = hq + р;
но kqb — Iqa — hq и, следовательно,
(г +'qt)a = (s + qk)b + р,
что для краткости мы запишем в виде
ха — yb — р.
В силу примера 3.194, если nb^x, па^-у и yb^ax, то
a(x — nb) — b(y — na) = p-,
поэтому, если М — наибольшее п, удовлетворяющее усло-
вию nb х & па < у (см. пример 3.7), и если мы обо-
значим х — Nb, у — Na через X, Y, то мы имеем
аХ — bY = р.
Если У>а, то в силу примера 2.41 из неравенств
Nb ^.х, Na^,y мы выводим ^+1)6, у (N + 1) а,
что противоречит определению Af; следовательно, или
Y < а, или X < Ь.
Если X> Ь и Y < а, то аХ -- bY> ab — bY =
= b (a — У) > 0 и, следовательно,
X^b& Y<а-+ЕхЕу(ах — by = c)&c>Q&c<h,
поэтому из EbxEy(ax—by==c)&.c'>Q^>-c'^:h (теорема 4.92)
мы заключаем, что
~(Х>д& У<а).
182
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
(I
Если X < 6, то, поскольку Yb^Xa, мы имеем У <а
(при 6>0); но р<й и h — наименьшее ненулевое зна-
чение иа— vb при и поэтому р = 0, что
завершает доказательство.
4.96. Из последнего результата следует, что h (а, Ь)
делит как а, так и Ь, ибо 1 • а — 0 • b = а кратно h (а, Ь),
а 1 • b — 0 • а = b кратно h (b, а) = h (а, Ь).
Таким образом, h делит и а, и Ь, Так как всякий
общий делитель а, b является делителем Л, то h яв-
ляется наибольшим общим делителем а и Ь, В частно-
сти, если h = 1, то а и b взаимно просты.
4.97. Из равенства ka — lb = h, где k, I и h обозна-
чают k(a, b), l(a,b), h(a,b) и ab > 0, следует (в силу
примера 4.31), что
ka~h (mod b),
а из (a— l)b — (b — k)a = h мы выводим
(a — l)b = h (moda).
Так как ka = 0 (modа) и (a — l)b = 0 (modfe), мы на-
ходим, что для любых г и s (используя примеры 4.322,
4.323)
{a — I) br + kas = rh (mod a),
(a — I) br + kas = sh (mod b).
Отсюда в силу примера 4.91, если п обозначает
R((a — l)br + kas, ab), получим
n = rh (mod a),
n — sh (mod b).
Таким образом, если а и b взаимно просты, так что
h = 1, то мы доказали:
Если а и b взаимно просты и если г, s — любые два
числа, то имеется число п <ab такое, что
п — г (mod а),
п — s (mod b).
ГЛ. IV]
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ АРИФМЕТИКИ
183
Примеры к гл. IV
Докажите формулы:
4. = 4.01. R (а, 0) = а, Q (а, 0) = 0. 4.011. R (х, у) = 0->
-> («/ > 0) V (х = 0). 4.012. R (а, 6)^0 &R(b, e)~0->R(a, с) = 0.
4.013. R (a, x)=0->R(ab, х)==0. 4.014. х > 0 ->{R (ах, Ьх) = 0 ->
->R(a, Ь)=0). 4.02. R (р, a) = 0&R(q, b)~O->R(pq, ab) = 0.
4.03. R (x, l) = 0. 4.04. R (a, bc) = Q->R (a, fc) = 0. 4.1. R (a + b, c) ~
= 0 & R (a, c) = 0 -> R (b, c) = 0. 4.2. R (ab, b) = 0. 4.21. R (a, b) «
= Q&b> l->R(a+l, *)==!. 4.3. b> 1 -> R (аЬЧ-1, &) = 1.
4.31. Докажите, что если a — cd = b и b > 0, to
R (a, d) = R (b, d).
4.32. Покажите, что a = b + dx -> a « b (mod d).
Докажите схемы:
a = b (mod d)
4.321. 4.322. a-b-^>.,
a = c (mod d) ar = br (mod d)
— (mod d)
4 323 ^2 = ^2 (mod d)
ai + a2 = b] + b2 (mod d)
Докажите, что:
4.4. JJf(^) Делится на f 00- 4.41. J]j(r + n) делится на Ilfw-
4.42. Если а п, то JJ^(rc) делится на Пла>-
Докажите формулы:
4.43. 0 < a &a^n-+R (nl, а) = 0. 4.44. 1 <а & a^n->R (nl + 1, а) = 1.
4.45. Докажите, что 2 — простое число. 4.46. Докажите, что 3 — про-
стое число.
Докажите формулы:
4.5. р (п + 1) > 2. 4.51. р («) > п. 4.6. п > 2 & R (п, 2) == 0 -> р (п) > 0.
4.61. р(я) = 0->(я = 2) V {R (п, 2) = 1). 4.7. (1 + х)т 1 + тх.
4.701. а > 1 ат > т. 4.702. а > 1 & р > q -> ар > aq. 4.71. а > 0 &
& b > а -> R (а, Ь) > 0. 4.711. х > 1 & R (ха, xb) — Q->b^a,
Докажите, что если р — простое число, то
4.8. R(xk+',p) = 0^-R(x, р) = 0. 4.801. R (а, р) > 0 & R (ab, pk) = 0->
-»R(h. р*) = 0. 4.802. R(m,a)=0&R(m, pk) = 0 & R (а, р) >0->
-» R (т, арк) = 0.
Докажите формулы:
4.81. R(pft, pz) = 0->* = /. 4.82. ~ (k = I) -» R (p^, pz) > 0.
4.83. in > 1 E™R (m, px) = 0.
4.84. Покажите, что
x tn -> R (m, px) > 0
m^= 1 *
184
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
п
Докажите формулы (где р —простое число):
4.85. (/ (х), р) > 0 -> R ( Д f (х), р\ > 0.
\х<* /
4М R (т, JJ х)\ = 0.
\ x^k )
Обоснуйте схему:
Ех{^(Ь, Р,) = 0}
х т -> R (а, р^х') = 0
4-87. ---------- д V, ’---.
£7{/?(a6, р/ =о)
4.9. Докажите, что если а(1)> 0 и N — JJ р (х)а<х\ то в обо-
х</
значениях теоремы 4.7 g (Af) = /.
4.91. Докажите, что если b > 0, то R (at bc) = a (mod b).
4.92. Докажите, что если Л —Н. О. Д. а и 6, а Я — Н. О. Д.
h и с, то Я — Н. О. Д. at b и с.
4.93. Докажите, что Н. О. К. х и у является примитивно рекур-
сивной функцией.
ГЛАВА V
ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРИМИТИВНО
РЕКУРСИВНОЙ АРИФМЕТИКИ
Формализация рекурсивной арифметики. Дедукционная
теорема. Редукция схемы единственности.
В этой главе мы рассмотрим формализацию прими-
тивно рекурсивной арифметики, в которой единственны-
ми аксиомами являются явные и рекурсивные определе-
ния, а единственными правилами вывода являются
схемы подстановок *)
сн F(x)°G(x) .
F(A) = G(A)’
о. A = B •
“2 F(A) = F(B)’
A = B
T A = C
1 B = C ’
где F(x) и G(x)—рекурсивные функциии и А, В, С —
рекурсивные термы, и правило единственности прими-
тивной рекурсии
. F(Sx)-H(x, F(x))
и F (х) = HXF (0) ’
где итеративная функция Hxt определяется примитивной
рекурсией H°t = t, HBxt = Н (х, Hxt); в схеме U функция
F может содержать дополнительные параметры, Н —
функция не более чем двух переменных. В Sbi функцию
♦) Схему Sbi следует понимать так: доказуемое равенство пере-
ходит в доказуемое в результате подстановки в него произвольного
терма вместо всех вхождений некоторой переменной.
Схему Sb2 следует понимать так: если доказуемо равенство
А « В, то доказуемо и равенство F = F', где F' получается из F
в результате одновременной подстановки терма В вместо несколь’
ких (не обязательно всех) вхождений терма А в F. — Прим. ред.
186
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
[Г
G(x) можно заменить термом G, не зависящим от х,
если G(4) также заменено на G.
Особенность этой формализации состоит в выводимо-
сти ключевого равенства а + (b — а) = b + (а~ Ь) с по-
мощью правила единственности примитивной рекурсии
без использования правила приравнивания для двойной
рекурсии, как раньше.
Мы начнем с того, что докажем несколько вспомо-
гательных схем. Из определяющих равенств х + 0 == х,
х+;0 = х с помощью Т следует х = х, отсюда в силу
Sbi мы приходим к А = А. Так как В = А следует из
А = В и А = А по Т, то мы доказали, что*
Схемой, эквивалентной U, является следующая схема*):
f(O)»g(O)
/(Sx)-tf(xJ(x))
тт g(Sx) = H(x, g(x))
U1 fW = g(x)
Переход от Ui к U очевиден; для обратного перехода **)
мы выводим
f(x)~tf*f(O), ^(х)=Я^(0)
из посылок с помощью U и выводим Hxf (0) = Hxg(0)
из /(0) = g’(0) с помощью Sb2, откуда f(x)=g(x) сле-
дует в силу Т и К.
В качестве иллюстрации использования Sb2 мы вы-
ведем F(at b) = F(A, В) из пары равенств а = А, b = В.
Сначала мы выведем F(a, b) = F(а, В) из b = В по Sb2
и аналогично F(a, B) = F(z4, В) из а = А\ затем, при-
меняя К и Т, мы получаем F(a, b)= F(At В) из а = Л,
b = В.
*) Указанные выше (в первом абзаце настоящей главы) аксио-
мы вместе с правилами Sbb Sb2, Т и lb —это, по существу, полный
перечень аксиом и правил главы П, относящихся к примитивно ре-
курсивным функциям. — Прим. ред.
**) Имеется в виду, что Н — функция не более, чем двух пере-
менных. — Прим. редк
ГЛ. V) ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРИМИТИВНО РЕКУРС. АРИФМЕТИКИ 187
Две следующие важные схемы таковы:
F(Sx)-F(x).
Dl f(x) = F(0) ’
F (0) = 0, F (Sx) = 0
t2 F (x) = 0
Для доказательства Ej мы определяем Hl(x, t), C(t)
явно с помощью аксиом
H^x, t)=t, C(/)=F(0),
откуда мы без труда получаем C(0) = F(0), C(Sx) =
= Hi(x, С(х)), F(Sx) — Hi(x, F(x)), что в силу U| вле-
чет Ё(х) = С(х), а отсюда мы приходим к Е(х) = F(0)
с помощью Sbi и Т. Для доказательства Еа мы опреде-
ляем Z(/)=0, так что Z(E(x)) = 0; тогда из F(Sx)=0
следует F(Sx) = Z(F(x)). Это равенство вместе с
Z(Sx) =Z(Z(x)) и F(0)= Z(0) влечет F(x)=Z(x) в
силу Ui, а отсюда следует Ег.
Далее мы установим несколько результатов для сло-
жения, вычитания и умножения, взяв в качестве опреде-
ляющих равенств для этих операций следующие:
а + 0 = а, а + Sb — S (а + Ь);
0 — 1=0, Sa — 1 = а, а — 0 = а, а — Sb = (а — b) — 1;
а • 0 = 0, а • Sb = а • b +' а.
5.01. (а b) — 1 = (а — 1) Ь.
Так как (а — 0) — 1 = (а — 1) — 0, (а — Sb) — 1 =
= {(а —6) — 1} — 1, (а—1) —S6 = {(а—1)—6} — 1, то
этот результат получается по Ui.
5.02. Sa — Sb = а — b.
Действительно, мы получим Sa — Sb = (Sa-^-1) — b =
= a — b, используя 5.01.
5.03. a — - a = 0.
Действительно, Sa — Sa = а — а и, следовательно,
a^a = 0 —0 = 0.
5.04. 0 - a = 0.
188
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
(I
Доказательство получается в силу Ei с помощью
О — Sa = (0— 1)— а = 0 — а.
5.05. (a + b) — b = а.
В самом деле
(а + Sb)-'-Sb =S(a + b) — Sb = (а + b)-*-b,
так что в силу Ei имеет место (а + b) — b= а.
5.051. (а + п) — (Ь + п) = а-*-Ь.
Действительно, (а+Sn) — (b+Sn) =S(a+n)->-S(b + n) =
= (а + n)—(b + га) и а + 0-±-(& + 0) = а — Ь.
5.052. п —(Ь + п) = 0.
Получается в силу 5.051 и 5.04.
5.06. 0 + а = а.
Так как 0 + 0 = 0, 0 + Sa=S(0 +.а), Sa = Sa, резуль-
тат следует по U],
5.07. а + Sb = Sa + b.
Мы используем а + SO = Sa = Sa + 0, a +'_SSb =
«= S(a + Sb), Sa + Sb = S(Sa + b) и Up
5.08. a + b = b + a.
Из a + 0 = 0 + a, a + Sb = S(a + b) с помощью 5.07
следует Sb + a — b + Sa = S (b + a). Тогда 5.08 следует
no Ui.
5.09. a + b — a = b.
Получается с помощью 5.08 и 5.05.
5.10. (a +.Ь) + c = a + (6 + c).
Применяем Ui с с в качестве переменной.
5.11. Sa-b = a-b + b.
Так как Sa*0 = a*0 + 0, Sa • Sb = Sa« b + Sa,
a>Sb + Sb = (a>b + a) + Sb — S{(a • b + a) + Z>) =
= S{(a • b + b) + a) в силу 5.08, 5.10 и, следовательно.
гл. V] ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРИМИТИВНО РЕКУРС. АРИФМЕТИКИ 189
a-Sb + Sb = (a-b + b) + Sa, то 5.11 следует отсюда
по Ui.
5.12. 0-а = 0.
Так как 0 • Sa = 0 • а, то 0 • а = 0 • 0 = 0.
5.13. а(1 — а) = 0.
Действительно, 0(1-*-0) = 0 и Stz(l-*-Sa) = Sa(0 —а) =
= Sa • 0 = 0.
5.14. а - b = Ь-а.
В самом деле, а-0 = 0*а и a'Sb = a-b+'а, Sb-a =
= 6 • а + а.
5.15. а(Ь + с) = а* b 4- а- с.
Это следует с помощью Ui из следующих доказуемых
равенств:
a(b + 0) = a- b = a'b + a-0,
a(b + Sc) = а • S (Ь + с) = а (Ь + с) + а,
а ‘ b + а ' Sc = ab + (ас + а) = (ab + ас) + а.
5.151. a(bc) = (ab)c.
Поскольку а(Ь • 0) =0= (а-Ь)-0 и а(Ь • Sc) =a(bc+b)—
= a(bc) + ab, имеем ab • Sc = (ab)c + ab.
Теперь мы докажем расширение схемы Ег:
ДО) = д(О)
f(Sx) = g(Sx)
3 f(x) = g(x) •
Определяем Н2(х, t) = 0 • t + g(Sx) = 0 • t + f (Sx); тогда
f(Sx) = O-f(x) + f(Sx) = H2(x, f(x)),
g (Sx) = 0 • g (x) + g (Sx) = H2 (x, g (x)),
откуда Ез следует no Ui.
5.16. (1 -!-a)b = b — ab.
Действительно, (1— O)b = b = b — 0-b, (l-^Sa)b —
•=(0 — a)b = O и b — Sa- b = b — (b + a« b) = 0.
190
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
[I
Теперь мы докажем, ключевое равенство
5.17. а + (b — а) = b + (а — Ь).
Определяем f (а, Ь) = а 4- (Ь — а), так что f(a,0) = a,
f(O,b)-— b, f(Sa, Sb) = Sf(a, b), и определяем g(a,b) =
= b+(a~ b), так что g(a, 0) =at g(0, b) = b, g(Sat Sb) =
— Sg(a, b). Мы начнем с доказательства
5.171. f(a, b) = f(a—b-^ 1) + {1 --(1 -^(a + 6))}.
В силу E3 имеет место а = (а — 1) + {1 — (1 — а)},
откуда получаем f(a, 0) = f (а — 1, 0) 4- {1 — (1 — а)}, что
доказывает 5.171 при 6, равном 0. При подстановке Sb
вместо b 5.171 переходит в равенство
f(a,Sb) = Sf(a^-l,b),
которое является следствием равенств f(0, Sb) = Sb ~
— Sf(O,b)t f(Sa,Sb)=Sf(atb)t что завершает доказа-
тельство 5.171.
Далее мы определяем
Ф (0, а, Ь) = 0, ф(5п, а, Ь) =
= Ф(п, а, Ь) 4- {1 -41 ^-((а-^-п) + (Ь -^-п))]}
и докажем, что
f(a — п, Ь — п) 4- ф(п, а, Ь) =
= f(a — Sn, b — Sn) 4- ф(5п, а, Ь)\
в самом деле, в силу 5.171
f (а — n, b — п) 4- ф (лг, а, Ь) =
== f (а — Sn, b — Sn) 4- Ф (п, а, Ь) 4-
4-{1 —[1 —((^ —п) 4-(& —п))]} =
= f (а — Sn, b — Sn) 4- ф(Sn, а, 6),
так что f (a — n, b — п) 4- ф(п, a, b) = f (а, Ь) 4- Ф(0, а, Ь) =
= f(a,b), откуда получаем f (af b) = f (a — b, 0) 4-
4- ф(6, b) = (a— b) + q>(b, a, b).
Аналогично получим, что g(a, b) = (a -- b) 4- ф(&, a, b),
откуда следует равенство 5.17
Из 5.17 мы выводим схему
|4, В | = 0 е
А = В ’
ГЛ. V] ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРИМИТИВНО РЕКУРС. АРИФМЕТИКИ 191
ибо из |Д, В | = 0 в силу 5.04 следует IД, В | — (В — Д) =0,
откуда в силу 5.05 получаем Д — В = 0 и аналогично
В — А = 0; от этих равенств мы приходим к
А +(В — Д) = Д, В + (Д —В) = В
и поэтому в силу 5.17 имеет место А = В. Вывод
|Д, В | = 0 из Д = В, конечно, тривиален.
Теперь мы переходим к некоторым схемам индукции.
Пусть Р(х) обозначает равенство Дх) = ^(х).
Обычная схема индукции такова:
Р(0), P(x)->P(Sx)
11 PW
или, полагая р(х) = |Дх), g(x)|,
Р (0) — 0> (l^p(x))p(Sx)-0
р(х) = 0
Так же как в доказательстве 2.8, мы полагаем р(0) = 1,
q(Sn) = q(n) (1 — р(п))\ тогда
q(SSn) = q(Sn)(l p(Sn)) =
= (1 p(n)) (1 p(Sn)) =
?(п){(1 ^p(n))^(l — p(n))p(Sn))} = p(Sn),
где последнее равенство имеет место в силу посылки
схемы, ибо
(1 ~-p(n))p(Sn) = 0;
отсюда следует, что q(Sn) — q(S0) = 1, т. е.
q(n) (1 — р(п)) = 1, а умножая это на р(п), получаем
в силу 5.13 р(п) = 0.
f (а, 0) = 0, f (0, Sb) = 0, {/ (а, Ь) = 0} —> {f (Sa, Sb) = 0}
12 f(a, b) = 0
Прежде всего, мы замечаем, что из ДО, 0) = 0,
ДО, S6) = 0 следует ДО, Ь) = 0. Посылка схемы, имею-
щая вид импликации, обозначает равенство
{1—Да, b)}f(Sa,Sb) = O.
Теперь имеем {1 — ДО, b 1)}Д0, Ь) = 0 и из
{1 Да,0)}Д5а,0) = 0, {1 f (а, b)}f(Sa, Sb) = 0
192 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ [I
следует
{l—f(a,b — l)}f(Sa,&) = 0,
поэтому
{1 — f(a 1, b l)}f (а, Ь) = О,
и, следовательно,
{1 — f(a — Sn, b — Sn)}f(a — - n, b — n) = 0
Далее мы покажем, что
(j) f (a, b){l — f (а — п, b — п)} = 0.
С этой целью мы доказываем
— b){l — f (а — п, b — п)}] X
X f (a, 6){1 — f (a — Sn, b Sn)} = 0.
Обозначим через p, q, г соответственно f(a, &),
f(a — n, b — n) и f(a — Sn, b ~ Sn), тогда левая часть
этого равенства примет вид
{1 —р(1 — <?)}р(1 —г) = р{(1 — г) — р(1 — </)(! —г)} =
= Р{(1 — г) — р(1 —г)} = р(1 —г)(1 — р) = 0,
ибо <?(1 — г) = 0,
что завершает доказательство (j) по Ь (поскольку
истинность (j) при п, равном 0, очевидна)*).
Если положить |ф(а, b), if (a, b)\=f(a, b), то из I,
следует, что верна схема
ф(а, O) = if(a, 0), ф(0, Sb) = if (0, Sb),
т {ф(а, b) = if(a, b)}-»to(Sa, Sb) = if (Sa, Sb)}
3 ф(а, b) = ty(a, b)
В качестве частных случаев схем 12 и 13 отметим
следующие: из f(a, 0) = 0, f(O,Sb) = O и f(Sa,Sb) = O
следует f(a, 6) = 0; из f(a, 0) = 0, f(0, Sb) = 0, f(a,b) =
= f(Sa,Sb) следует f(a, b) = 0, и из ф(а, 0) = if (a, 0),
ф(0, Sb) = if(0, Sb), <p(a, b) = <p(Sa, Sb) и if (a, b) =
= if (Sa, Sb) следует ф(а, b) = if (a, b), ибо если мы обо-
значим |ф(а, b), if (a, b) | через f(a, b), to f(a, 0) = 0,
*) Полагая здесь n = b и используя первую посылку Ij, полу-
чаем f (a, b) = 0. — Прим. ред.
ГЛ. VI ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРИМИТИВНО РЕКУРС. АРИФМЕТИКИ 193
ЦО, Sb) = О, а из <р(а, b) = <p(Sa, Sb), ty(a, b) = ty(Sa, Sb)
следует f (a, b) = f (Sa, Sb), откуда f (a, b) = 0 и, следова-
тельно, <p(a, b) = ф(а, b).
Как частный случай этой последней схемы, мы упо-
мянем
5.18. с(а — b) = са — cb, a — (b + c) = (a — b)—c.
Для завершения построения рекурсивной арифме-
тики остается лишь доказать теорему о подстановке:
(х = y)-*-{F(x) = F(y)}.
Это легко выводится из равенства
(1 -|x,f/l)F(x) = (1 — \x,y\)F(y).
Точно так же, как в 2.63, мы начинаем с равенства
(1 — z)F(t/+ z) = (1 —- z)F(y),
которое доказывается применением Е2 с z в качестве
переменной, и выводим
{1 (X -- у)} F (у + (X у)) = {1 -(х --у)} F (у),
а умножая на 1—|х, yl, мы приходим к
(1— Iх, y\)F(y + (x — «/)) = (! — |х, y\)F(y),
поскольку
{1— [(х — у) + (у — х)]}{1 — (х — у)} =
= (1— IX, ^ |) — (х—(х—г/)] — (у—х)}=1 — I х, у |;
аналогично имеем
(1 — lx, t/|)F(x + («/ — х)) = (1— |x,z/|)F(x),
а так как
х + (у — х) = у + (х-!-у),
то требуемый результат следует по Т.
Мы назовем описанную выше формализацию рекур-
сивной арифметики системой
194
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
II
Дедукционная теорема
Если равенство А = В выводимо в из некоторого
допущения F« G (т. е. из некоторого недоказанного
равенства) и если вывод не содержит подстановку вме-
сто переменных этого допущения*), то в Й доказуемо
(F = G)—>(Д = В).
Мы умножим каждое равенство вывода на 1 — |F, G|,
Посылка перейдет в доказанное равенство
{1 —|F, G|}F == {1 —|F, G|}G,
а последнее равенство перейдет в равенство
{1 —|F, 0|}|Д = {1 —|F, G|}B,
из которого мы можем вывести
{1 —|F, G\}\A,B\ = 0, т. е. (F = G)—>(Д = В).
Если Р = Q является доказанным равенством, то для
любой функции R равенство
RP = RQ
является доказанным равенством, и, следовательно, ум-
ножение на 1— \F, G\ переводит доказанное равенство
в доказанное равенство.
Далее мы покажем, что умножение на некоторый
множитель не нарушает правильности применения лю-
бой из схем Sbh Sb2, Т и U. Для Sbi нам надо дока-
зать, что схема
R. F (х) = R • G (х)
R-F(A) = R-G(A)
верна, если множитель R не содержит переменной х, а
это, конечно, является следствием самой Sbi. Для слу-
чая Sb2 нам надо доказать, что верен переход
R-A = R-B
R • F (А) *= R • F (В) *
♦) Подразумевается, что при использовании правила U (или Ui)
совершается подстановка вместо переменной х. — Прим. ред.
гл. V] ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРИМИТИВНО РЕКУРС. АРИФМЕТИКИ 195
С этой целью мы замечаем, что поскольку Я|Л, £?[ =
^\RA,RB\ в силу равенств 5.15 и 5.18, то
(RA = RB) -+ (Л = В) V (Я = 0),
(F (Л) = F (В)) -> (Я • F (Л) = R • F (В)),
(Я = 0)->(Я-Я(Л) = Я F(B))
и по теореме о подстановке имеем
(Л = В)->{Я(Л) = В(В)},
откуда, используя схемы
Pi~*Q Н^К
p2-+q k->l
Pi V P2^Q ’ H—> L ’
которые следуют из доказуемых равенств
(1 —Pi) + (1 — р2) = (1 — Р\р2) + {1 — (pi + р2)},
£ + (1^й) = 1 +(Л—1),
мы доказываем
(R-A=R-B)—+{R-F(A) = R-F(B)}
и, следовательно (взяв 0 = 0 вместо Н во второй из
упомянутых выше схем), мы видим, что R-F(A) =
= R • F(B) следует из Я • Л = Я • В.
Для схемы Т нам надо только доказать схему
ял = яв
ял = яс
RB = RC ’
а она следует по самой схеме Т. Остается доказать, что
применение Ut остается корректным после умножения
на Я, т. е. что переход
Я Р(0) = Я G (0)
Я F(Sx) = R- Н(х, F(x))
Я G(Sx) = R Н(х, G(x))
R-F(x) = R G(x)
196
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
(I
корректен, если Р не содержит переменной х. Мы нач-
нем с доказательства схемы
P = Q
R = S
(P = R)-+(Q = S)
В силу Sba имеем
P=Q R~S
\P,R\ = \Q,R\ ’ IQ, R | = | Q, S| ’
откуда по T получаем
p = Q
7? = S
IP, PI = IQ, $Г
и требуемый переход получается по схеме
а= b
(i—a)b = Q 9
которая тоже доказывается с помощью 5Ьг.
Из формулы (ka = kb)—>{kJ (а) = kJ(Ь)\ которая
доказана выше, следует
{Р • F (х) = Р • G (х)} {R • Н (х, F (х)) = Р -Н (х, F (х))};
отсюда и из данных посылок по упомянутой выше схеме
следует
{Р • F (х) = Р • G (х)}—ИР • F(Sx) = Р • G(Sx)},
а это вместе с первой посылкой доказывает Р-Р(х) =
= P-G(x) по схеме индукции If, дедукционная теорема
доказана.
Дедукционная теорема имеет место для любого числа
посылок. Например, если дан вывод А = В из допуще-
ний F\ = Gi, F2 = G2, то мы получаем доказательство
импликации
(Pi = Gi)-^{(P2 = G2)—*(A = В)},
умножая каждое равенство в этом выводе на множитель
(1-|Л, Gi|)(l—IF2, с2|).
гл. V) ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРИМИТИВНО РЕКУРС. АРИФМЕТИКИ 197
Аналогично, мы освобождаемся от допущений F\ = Gi,
F2 = G2, F3 = G3, умножая каждое равенство в выводе
из этих допущений на
(l-|Fb Gi|)(l—|F2, G2|)(1-^|F8, g3|)
и т. д.
Сведение схемы U
Сначала мы рассмотрим систему <ё?*, в которой
имеются только Sbh Sb2, Т, схема
р f(0) = 0, f(n)-f(Sn)
Е Н«)-0
аксиома
А а + (b — а) = b + (а — Ь)
и (вместо обычных вводящих равенств для функции
предшествования) аксиома
Р Sa — Sb = a — b.
Аксиома а + (b — а) = b + (а —Ь) позволяет нам вы-
вести а = b из а — b = 0 и b — а = 0. В самом деле,
в силу Sb2
_____6 — g = 0____ _______a — b = 0___
a+(b — a) = a + 0 = a’ b + (а — b) = Ь+ 0 — b '
а из a + (b — a) = a, b+(a — b) = b и а + (Ь — а) =
= b + (а — Ь) следует а = Ь. Вывод а = b из а — Ь) = О,
b — а = 0 мы называем схемой А.
Для доказательства схемы Еь а именно
F(Sx) = F(x)
F(x) = F(0) ’
мы определяем Ф(х) = F(x) — F(0); тогда Ф(0) = 0*) и
Ф($х) = F(Sx) — F(0) = F(x)^-F(0) = Ф (х),
откуда в силу Е получим Ф(х) = 0, т. е. F(x) — F(0) = 0.
Аналогично, F(0) — F(x) = 0 и, следовательно (по схе-
ме А), получаем F(x) = F(0), что завершает доказатель-
ство схемы Еь
j См. сноску на следующей странице. — Прим, ред.
198
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
1Г
Теперь мы перейдем к пересмотру равенств и схем,
доказанных в <$.
Равенство 5.01 мы оставили на конец. Равенство 5.02
теперь является аксиомой. Доказательства 5.03*) и 5.05
остаются неизменными.
Доказательство 5.07 в <$?*.
(а + SO) —(Sa + 0) = Sa-^Sa = 0,
(a + SSZ>) —(Sa + Sf>) =
= S(a + Sb) — S(Sa + b) = (a + S6)-^-(Sa + b),
что доказывает (a + Sb) — (Sa + b) = 0. Аналогично,
(Sa + b) — (a + Sb) = 0, откуда 5.07 следует по схе-
ме А.
Доказательство 5.06.
(0 + Sa) —Sa = S(0 + a) —Sa = (0 + а)— а,
так что (0 + а) — а = (0 + 0) — 0 = 0. Аналогично,
Sa — (0 + Sa) = а — (0 + а), откуда 5.06 следует по
схеме А.
Доказательство 5.08.
(а + 0) — (0 + а) = а — а = 0,
(a + Sb)-(Sb-\-a) =
= S(a + b) — S(b + a) = (a + b)-(b + a),
так что (a 4- b) — (b + a) = 0, откуда (b + a) —(a + b) = 0
иа + b — b+'а. следует по схеме A.
Доказательство равенства 5.09 остается неизмен-
ным.
Доказательство 5.04.
a + (0 а) = 0 + (а — 0) = а,
поэтому {а + (0 — а)} — а = а — а = 0, откуда в силу
5.09 0 — а = 0.
*) Равенство а = а (5.03) используется при обосновании в Я*
схемы Ei, поэтому его следует доказать с помощью Е, Р и равен-
ства а — 0 = а. — Прим. ред.
гл VI ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРИМИТИВНО РЕКУРС. АРИФМЕТИКИ 199
Схема
f(O) = g(O)
/($<*) = Ж
g(Sa) = g(a)
f(a) = g(a)
следует с помощью двух применений схемы Е и двух
применений схемы Т.
Доказательства 5.051, 5.052 остаются неизменными,
а из 5.051 следует, что
| а + п, & + п| = |а, Ь\.
Доказательство 5.10.
I л + (Ь + 0), (а + Ь) + 0 j — 0,
\а + (6 + S/i), (и + b) + Sn\ = + (Ь + п), (а + Ь) + п\
т. д.
Доказательство 5.11.
Поскольку Sa • Sb = Sa • b + Sa и
a-Sb +.Sb = (ab + a) + Sb = S{(ab + a) + b} =
= S{(ab + b) + a} = (ab + b) + Sa,
TO
|Sa*S6, a • Sb + Sb\ = \Sa • b, a-b + b\
и т. д.
Доказательство 5.12 остается неизменным.
Для доказательства 5.14, 5.15 и 5.151 мы замечаем,
что
| а • Sb, (Sb) а\ = \ ab + a, ba + a | = | ab, ba\,
I a (b + Sc), ab + a • Sc | =
= | a (b + c) + a, (ab + ac) + a\ = \ a(b + c), ab + ac\,
I a(b*Sc), ab • Sc | = | a (bc) + ab, (ab)c + ab | = | a (be), (ab) c |
и т. д. Схема
F(x) + G(x) = 0
F(x) = 0
доказывается с помощью равенств 5.09, 5.04, из которых
200
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
П
вытекает
{F(x)+G(x)}-G(x) = F(x)
и
0—6(х) = 0.
Для доказательства схемы Е2
F (0) = 0, F (Sx) = О
F(x)-0
мы полагаем Ф(0) — 0, Ф(5х) = Ф(х) + F(x), так что
Ф(55х) = Ф(5х), откуда получаем Ф(5х) = Ф(£0) = 0
и, следовательно, Ф(х) 4-F(x) = 0, откуда вытекает
F(x) = 0.
Доказательство 5.13 в .$?* получается по Е2 так же,
как и вй, а доказательство 5.16 остается неизменным.
Следовательно, доказательства схем индукции Ii, 12,
13 и схемы подстановки тоже непосредственно перено-
сятся из St в St*
Остается только доказать схему Ui:
F(0) = G(0)
F(Sx) = tf(x, F(x))
G (Sx) = H (x, G (x))
F(x) = G(x)
Полагаем Ф(х) = |F(x), G(x) |, тогда Ф(0) = 0 и по схеме
подстановки
{1 —Ф(х))|Я(/, F(x)), H{t, G(x))| = o,
откуда
{1 — Ф(х)} |Я(х, F(x)), Н(х, G(x))| = 0
и, следовательно,
{1 — Ф(х)}Ф(5х) = 0,
откуда вытекает Ф(х) = 0 и поэтому f(x) = g(x).
Доказательство равенства 5.01 в St поэтому верно
и в St*.
ГЛ ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРИМИТИВНО РЕКУРС. АРИФМЕТИКИ 201
Очевидно, что мы можем взять равенство
(а -- 6) — 1 = (а — 1) — b в качестве аксиомы в Я* вме-
сто Sa — Sb = а — Ь, Систему 52* можно модифициро-
вать дальше, взяв схему
с а — Ь = 0
Ъ a + (b — a) = b
вместо аксиомы А, в предположении, что мы добавляем
аксиому
0^1=0.
В самом деле, в силу S и Sb2
а — £ = 0, d — a = 0
a = b
Для доказательства 0 — а = 0 мы используем 0 — Sa—
= (0 — а)— 1=(0— 1)-!-а = 0 — а и 0 — 0 = 0 (вместо
аксиомы А).
Наконец, равенство а+ (6 — a) = d + (а — 6) доказы-
вается точно так же, как в Я.
ГЛАВА VI
СВЕДЕНИЯ К ПРИМИТИВНОЙ РЕКУРСИИ
Сведения к примитивной рекурсии. Возвратная рекур-
сия. Рекурсия с подстановкой вместо параметра. Одно-
временная рекурсия. Схема обобщенной индукции. Пере-
становка.
6. Возвратная рекурсия
Имеется много видов рекурсивных определений, ко-
торые, хотя по форме они сильно отличаются от прими-
тивной рекурсии, можно на самом деле преобразовать
в примитивную рекурсию.
Рассмотрим, например, последовательность f(0),
f(l), f(2), в которой / (0) = а, f (1) = 6, f(2) = /(!) +
+ f (0) = а + b, f (3) = f(2) + f (1) = а + 2b и т. д. Общая
закономерность этой последовательности такова:
f (п + 1) = f (n) + f (п — 1), так что/(п+1) зависит не
только от f(n), но также и от f(n — 1).
Для того чтобы показать, что эту последовательность
f(n) можно также получить одной примитивной рекур-
сией, мы вводим функцию
g(«)“ П #4
так что f(n) равно v(g(n), п)—показателю наиболь-
шей степени простого числа рп, которое делит g(n).
Пусть y(n, b) = v(b, n) + v(b, п — 1), так что
y(n,g(n.))^f(n) + f (n—l) = f(n+ 1).
Тогда
g (п + 1) = 'g(n) = pvft 8 <") > • g(n),
так что g(n) примитивно рекурсивна и поэтому f(n)
тоже примитивно рекурсивна.
Функция Цр£(г) называется возвратной функцией
п
для f(n),a рекурсия, в которой f(n+l) зависит не толь-
ГЛ. VI] СВЕДЕНИЯ К ПРИМИТИВНОЙ РЕКУРСИИ 203
ко от f (п), но также и от значений f (х) при х < и, назы-
вается возвратной рекурсией. Описанный выше метод
преобразования возвратной рекурсии в примитивную
применим и в общем случае. Так, если 0(п, &2, ••
, bk)—примитивно рекурсивная функция от (Л + 1)
переменных и если Хг(м) примитивно рекурсивна и удо-
влетворяет неравенствам для г =1,2, Л,
то возвратная рекурсия
f(n+;l)=P(n, f(M(n)), f(X2(n)), -, f(Xft(n)))
преобразуется в примитивную рекурсию с помощью воз-
вратной функции
ЙИМ11’’ -к(п),
т. е.
g (0) = (0), g (п + 1) = g (п) • ».
Действительно, если выполняется следующее равенство:
у (и, b) = p(n, v(b, Xi(n)), v(&, X2(n)), v(&, Xft(n))),
так что у примитивно рекурсивна, то
Y(«> g(n)) = P(n, f(A.i(n>), f(X2(n)).f(M»))) = /(n+ 1)
И
g (n + 1) = g (n). ’> = g (n). s <"> >,
t. e. g(n) определяется примитивной рекурсией, a f(n+l)
получается подстановкой из у и g.
Аналогично, если Х(п) примитивно рекурсивна и
f(0)=l, f(n + l)= П(/(х) + Л(х)),
п
то мы берем g(n), как и выше, и
Y(n, b) = П {v(b, х) + Л(х)},
так что у(п, g(n)) = f(n +Г) и
g(n+ l) = g(n) • ew>,
как и прежде.
204 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ (I
6.1. Рекурсия с подстановкой вместо параметра
Другая рекурсия, сводимая к примитивной рекур-
сии,— это рекурсия с подстановкой вместо параметра.
В качестве примера такой рекурсии мы рассмотрим
f(0, а) = a, f(п + 1, а) = f(п, у(п, а)).
Для определения f(n + 1, а) из второго из этих ра-
венств нам надо знать значения f(n, х) не только для
х — а, но и для значения х, равного у (п, а), которое, ко-
нечно, изменяется с изменением п.
Метод сведения этой рекурсии (по Р. Петер) пред-
ставляет собой значительный интерес помимо настоя-
щего приложения. Вычисляя последовательно значения
f (я, а) для п = 0, 1, 2, 3 и т. д. мы определяем последо-
вательность термов
а, у(0, а), т(0, у(1, а)), у(0, у(1, у(2, а)))
и т. д., которые строятся повторной подстановкой вместо
параметра. Основная идея упомянутого сведения состоит
в распутывании этих подстановок с помощью функции
ф(п, а) со следующими свойствами:
для любого п мы можем найти р, q и для любых
р, q мы можем найти п так, чтобы
t(n+;i, а) = у(р, Ф(<7. а))-
При подходящем начальном условии, вроде
ф(0, а) = а, эта функция преобразует любой терм
вида у(0, у(1, у(2, а))) последовательно в
Y(0, у(1, у(2, хр(О, а)))), y(°. YU. Ф(ль «)))>
Y(0, хр (hi, а)) и, наконец, в ip (h3, а) при подходящих
hi, h2, h3 таких, что если ф можно определить примитив-
ной рекурсией, так же как и вспомогательную функцию
hr, то это же можно сделать и для f(n, а).
Для того чтобы построить такую функцию ф(п, а),
мы заметим, что п + 1 для любого п единственным об-
разом представимо в виде 2р(2<? + 1); действительно,
здесь р = v(n +' 1, 0) и q = [(n + 1)/2Р+1], так что р и q
являются примитивно рекурсивными функциями п (и,
конечно, п является примитивно рекурсивной функцией
р и q). Мы определяем
ip(0, а) = а, ф(п + 1, а) = у(р, хр(^, а))
гл. VI]
СВЕДЕНИЯ К ПРИМИТИВНОЙ РЕКУРСИИ
205
(где р, q — только что введенные функции п)\ поскольку
q<n + 1, то это возвратная рекурсия, поэтому ф при-
митивно рекурсивна. Для завершения преобразования
остается показать, что имеется примитивно рекурсивная
k(n) такая, что f(n, а) = ф(£(п), а); но сначала мы вве-
дем g(n, а) такую, что
ф(/г, ф($, а))=ф(£(п, s), а).
Для определения g(n, а) мы рассмотрим соотношения
Ф(£("+ 1> 5), а) = ф(п+ 1, ф($, а)) = у(р, ф(?, ф($, а))) =
= Y(P, ty(g(q> s), а)) = ф (2Р (2g (</, s) + 1), а),
которые делают ясным определение с помощью возврат-
ной рекурсии
g(n + 1, s) = 2P+1-g(q, s)+.2p;
определение g завершается, если положить g(0, s) = s.
Аналогично, для определения k(n) мы рассматриваем
ф(/?(п+ 1), a)=f (п + 1, e) = f(n, у(п, л)) = ф(6(я), у(п, а)) =
= Ф(6(п), ф(2\ а)) = ф (Л (п), 2я), а),
откуда k(n + 1) = g(k(n)y 2П), что вместе с начальным
условием А(0) = 0 является примитивно рекурсивным
определением функции k(n).
6.2. Одновременные рекурсии
В качестве последней иллюстрации косвенного опре-
деления примитивно рекурсивной функции мы рассмот-
рим одновременные рекурсии
f(O) = g(O) = O,
f(n+ = g(n)),
g(n+ l) = Q(f(n), g(n)),
где P и Q примитивно рекурсивны.
Здесь снова мы вводим вспомогательную функцию
Л(п) = 2А")-3*(п),
так что f (и) = v(h(n), 0), g(n) = v(h(n), 1) Остается
показать, что Л (и) примитивно рекурсивна. Полагая
206
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
(1
р(х) — P(v(x, 0), v(x, 1)), q(x) = Q(v(x, 0), v(x, 1)) и
ц(х) = 2^x>* 3^x), имеем
f(n+ l) = P(f(n), g(n)) = p(h(n)),
g(n+ l) = Q(f(n), g(n)) = q(h(n))
и, следовательно,
ft (n + 1) = 2^+!) • 3^+0 = 2P(h^ • ЗчЫп» = ц (ft (n)),
что вместе с начальным условием Л(0)= 1 завершает
примитивно рекурсивное определение h (и) в терминах
данных функций Р(и, и), Q(u, v).
6.3. Обобщенные схемы индукции
6.31. Теперь мы рассмотрим некоторые обобщения
индукции, доказуемые в Первым из них является
схема
(П Р(а, 0)
Ig (j) P(f(a, n), n)-»P(a, Sn)
(k) P(a, n)
Эта схема очевидно похожа на рекурсию с подстанов-
кой вместо параметра, и доказательство этой схемы
зависит, по существу, от сведения рекурсии с подстанов-
кой вместо параметра к примитивной рекурсии. В при-
водимом ниже доказательстве эта связь, однако, не вы-
является, поскольку упомянутое сведение проделано
заранее.
Для подготовки к доказательству мы установим ра-
венства:
(h) Sn^b-+n = b —S(b — Sri),
(12) Sn^b-*S(b — Sn) = b — n
и схему доказательства
Р~+Ч
p^(r-»s)
(q-+r)-+(p->s) ’
Равенство (h) очевидно при b, равном 0; с Sb вме-
сто b это равенство переходит в равенство
n-Cb -+п = b — (Ь — п),
ГЛ. VI]
СВЕДЕНИЯ К примитивной рекурсии
207
которое следует по теореме о подстановке (3.43) из
-i-(6п) = п—(п-=-£>) (пример 2.421). Для доказа-
тельства (h) мы имеем
Sn «С b -> b = Sn + (b — Sn)
->b = n + S(b — Sn)
->b — n — S(b — Sn).
Для доказательства схемы (m) мы замечаем, что ее
посылки эквивалентны V q и V ~r Vs, и,
следовательно, из них вытекает ~pVsV(~f & q), что
в свою очередь эквивалентно (^—»г)—♦(/?—► s), что и
требуется получить.
Для доказательства схемы 1емы определим g(n, а, Ь)
следующей примитивной рекурсией:
g (0, а, Ь) = а,
g(Sn, a, b) = f(g(n, a, b), b—Sn).
Из посылки (i) следует P(g(b, а, Ь), 0), а отсюда сле-
дует
(п) 0 b-+P(g(b— 0, а, Ь),0).
Из (h) и теоремы о подстановке (3.43) мы находим
Sn^b-*{f(g(b— Sn, a,b),n) =
= f(g(b — Sn, a,b),b—S(b — Sn))}
и, следовательно, в силу (lj)
Sn^b—*{f(g(b — Sn, a, b), n) = g(b — n, a, b)}.
Но в силу посылки (j)
P(f(g(b — Sn, a, b), n), n)—► P(g(b — Sn, a, b),Sn),
откуда мы выводим
Sn^.b—*~{P(g(b n, a, b), n)—>P(g(b — Sn, a, b), Sn)},
а поскольку Sn^.b —* n^.b, то по схеме (m) следует,
что
{(n -^b)-* P(g(b — n, a, b), n)}—►
-*{(Sn<6)->P(g(6~Sn, a, b),Sn)},
208
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
что вместе с (п) завершает индуктивное доказательство
п Ь —► Р (g (b п, а, Ь), п),
а подставляя п вместо 6, мы выводим
п),
откуда следует (к), поскольку доказуемо п^п.
6.32. Единственную посылку гипотезы (j) в схеме Ig
можно заменить на последовательность посылок, факти-
чески даже на последовательность переменной длины,
что приводит к схеме:
(П Р(а, 0)
Ig (j') A* (а- n)P (f (x, a, n), n)^P (a, Sn)
(k') P (a, n)
(посылка (j') является конъюнкцией k(a, n) членов
P(fi, n)&P(fz, n)& &P(fk,n), где fr обозначает
f(r,a,n)).
Для доказательства схемы Ig мы сначала вводим
функцию
F (а, п)= 3 f(x, а, п),
х < k (а, п)
которая в силу примера 3.193 удовлетворяет соотноше-
нию
x-^k(a, n)—>{f(x, a, n)^.F(a, n)}.
Затем мы определяем
G (0, п) = F (0, п)
G (Sa, п) = G (а, п) + F (Sa, п),
откуда легко следует, что
F(a, n)-^.G(a, п) и G(a, n)-^.G(Sa, п).
Из второго неравенства мы выводим с помощью индук-
ции по т, что
G(a, п)< G(a -Е/n, п).
а отсюда, подставив Ь — а вместо т и используя импли-
кацию
а^Ь ->(а + (Ь — а) = Ь)
ГЛ. VI]
СВЕДЕНИЯ К ПРИМИТИВНОЙ РЕКУРСИИ
209
Mb! ВЫВОДИМ
(1') a<&->{G(a,n)<G(6,n)}.
Пусть р(а, п)—представляющая функция Р(а, п) и
пусть Q(a, п) обозначает равенство 2 р (х, n) = 0t
х < а
так что имеют место эквивалентности
Q(a, п)*->Л?Р(х, п),
Q(0, n)*->P(0, n), Q(Sa, n)<->Q(a, ri)&P(Sa, n).
Отсюда следует, что Q(a, п)->Р(а, п) и Q(Sa, п)~*
-*Q(a, п). Рассматривая по очереди случаи, когда вме-
сто а подставлен 0 и когда вместо а подставлено Sa,
мы без труда доказываем
Q(a, n)-*Q(a — 1, n),
а отсюда индукцией по т
Q(a, n)-*Q(a — tn,n).
Взяв т равным а — Ь и используя
b^.a—>{а — (а — Ь) = 6}, мы выводим
6-Ca-»{Q(a, n)-+Q(b, n)},
импликацию
а поэтому из (!') получаем
(т') 6<a->{Q(G(a, n),n)-*Q(G(b, n), n)},
а так как
x-^.k(b, n)-+{f(x, b, n)^.G(b, n)},
TO
x<k(b, n)-* {Q(G(b, n)~* Q(f(x, b, n),n)},
откуда мы по очереди выводим
x-^.k(b, n)->{Q(G(b, n), n)—*P(f(x, b, n), n)},
Q(G(b, n), n)->Akx(b‘n)P(f(x, b, n), n)
и затем в силу посылки (j')
Q(G(b, п), n)-*P(b, Sn).
210 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ [Г
Отсюда в силу (mz)
6<a->{Q(G(a, n), n)-*P(b, Sn)}.
откуда по очереди следует
Q (G (a, n), n) -> AaxP (x, Sn)
и
(if) Q(G(a, n), n)-*Q(a, Sn).
Наконец, из эквивалентностей
Q(0, 0) •*-* P(0, 0), Q(Sa, 0)«->Q(a, 0)&P(Sa, 0)
И ПОСЫЛКИ (i') мы выводим
Q(0, 0) и Q(a, 0)-*Q(Sa, 0),
что доказывает Q(a, 0).
Из Q(a, 0) и (nz) мы с помощью Ig выводим (kz),
доказав тем самым схему Ig.
6.34. Последним обобщением индукции, которое мы
рассмотрим, является схема:
(hzz) Р(а, 0)
,, О") P(f(O, п), n)-»P(0, Sn)
e (j") P(f (Sa, п), п) -> {Р (a, Sn) -+Р (Sa, Sn)}
(kzz) Р(а, п)
Мы начинаем с определения
g(0, n) = f(Q, п),
g(Sa,.n) = g(a, n) + f(Sa, п),
из которого следует, что
g(a, n)<.g(Sa, п)
и
f(a, n)<g(a, п)
и, значит,
(lzz) b4fa-^{g(b,n)<fg(a,n)}.
Мы определяем Q(a, п), как и выше, так что доказуемо
Q(a, 0) и, следовательно, доказуемо также
Q(a, п)т*Р(а, п).
ГЛ. VII СВЕДЕНИЯ к ПРИМИТИВНОЙ РЕКУРСИИ 211
Следующим шагом доказательства является установле-
ние импликации
(m") Q(g(a, п), n)-*Q(a, Sn).
Случай 0 = 0 есть посылка (i").
Для завершения индуктивного доказательства (ш")
мы используем схему
л->в, л->я
{Л & (В -> С)} -> (С & D) ’
которая доказывается, поскольку, как легко заметить,
{4&(В—*C)}-+(C&D) эквивалентно ~4V(B&~C)V
V(C&D) и равенство
(1 —a) (6 + (l^c))(c + d) = 0
следует из равенства (1 — а) 6 = 0, (1—a)d = 0.
Мы подставляем Q(g(Sa, п), n), Q(g(a, п), п) вме-
сто А, В и Q(a, Sn), P(f(Sa, n), n) —вместо C, D.
Импликация 4-+B следует из (1"), поскольку
g(Sa, n)^g(a, п) и, аналогично, из f(Sa, n)^.g(Sa, n)
следует
Q(g(Sa, п), n)->Q(f(Sa, п), n);
но
Q(f(Sa, n), n)-*P(f(Sa, n), n)
и, следовательно, Q(g(Sa,n),n)-*P(f(Sa,n),n), t. e.
A-*D.
Из A->B, A-> D мы выводим {4 & (В-*С)}->(С& D),
т. е. Q(g(Sa, п), n)&{Q(g(a, п), п) -> Q(a, Sn)} ->
->Q(a, Sn)&P(f(Sa, n), n). Ho
Q(a, Sn)&P(f(Sa, n), n)^
-+Q(a, Sn)&P(a, Sn)&P(f(Sa, n), n)->
->P(a, Sn)& P(f(Sa, n), n)&Q(a, Sn)^-
->P(Sa, Sn)&Q(a, Sn)->[e силу посылки (j")l
~>Q(Sa, Sn).
Поэтому мы доказали
[{Q(g(a. «). n)~+Q(a, Sn)}&Q(g(Sa, n), n)]->
Q (So, Sn) t
212 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ [Г
что эквивалентно
{Q(g(a, «), n)-*Q(a, Sn)}—*
—►{Q(g(Sa, n),n)-*Q(Sa, Sn)},
а это завершает индуктивное доказательство имплика-
ции (m").
Из Q(a, 0) и (m") мы по Ig выводим Q(a, п), а из
Q(a, п) мы выводим Р(а, п), чем доказывается 1g.
6.4. Перестановка
В этом разделе мы определим с помощью рекурсии
процессы транспозиции и перестановки и применим по-
лученные результаты для доказательства того, что сум-
ма переменного числа слагаемых
а(1) +.а(2) + +а(р+1)
не зависит от их порядка.
Мы начнем с определения функции x(k, п) в терми-
нах a(k) с помощью следующей рекурсии:
x(k, 0) = a(k), x(k, п + 1) = x(k, п) + а(п + k -Е1).
С помощью индукции по г получаем, что
6.41. х(р, q) +Хд + q + 1, г) = х(р, р + q + г + 1).
Обозначив 1— (1 — х) через а(х), мы определяем
о (Р, q) = т (р, q — р) • a (Sq р),
так что
о(р,р + п) = х(р, п),
o(q + п + l,q) = 0
и
а(р, p + q+l)^a(p, p + q) + a(p + q+ 1).
Теперь мы заметим, что
а(р, р + q) + а(р + q + 1, р +'.q + r)=a(p, p + q + r),
так как при г, равном 0, это равенство очевидно, а при
г + I вместо г это равенство переходит в 6.41.
ГЛ. VI]
сведения к примитивной рекурсии
213
Затем мы докажем равенство
6.42. <т(1, р 4-<7 4-1) =
= о(1,р) + а(р + 1) + а(р 4- 2, р + q + 1).
Сначала рассмотрим это равенство при q, равном О,
т. ё.
6.421. о(1, р 4- 1) = о(1, р) + а(р 4- 1).
Это равенство очевидно при р = 0, а при р 4- 1 вместо р
оно переходит в
о(1, р + 2)= о(1, р + 1)4- а(р + 2),
что эквивалентно равенству т(1, р 4- 1) = т(1,р)4-
4-а(р4-2), которое следует из определения т.
При q 4- 1 вместо q (используя 6.421) равенство 6.42
эквивалентно равенству
г(1, р 4- q 4- 1) = т(1, Р)+ т(р 4- 2, q),
которое следует из 6.41, и это завершает доказательство
6.42.
6.422. Из предыдущего следует
о(1, г) + а(г 4- 1)4-о(г 4-2, q + r 4- 1)4-а(? 4-г 4-2)4-
4-о (</4-г 4-3, p + q + r 4-2)=о(1, q+r + 1)4-а(^4-г4-2)4-
4- о (q 4- г 4- 3, р 4-?4-г 4-2) = о(1, р4- q + r 4-2).
6.43. Для определения перестановки а (г) и а (г 4- з)
мы вводим функцию
Q(r,s,k) « [H{(r4s)~Л)|А,г|*1 —(Л —г)|г 4-з,Л|*,
где |х,у\* = 1 — а(х,у), трк что
6(г, s, k) = k, если k=£r, k^r + s,
= r + s, если k = г,
= г, если k — r + s.
Тогда, если Ь(г, з, й) = а(6(г, з, &)), то
b(r, s, k) — a(k), если k^r, k ф г 4-з,
= а (г 4- з), если k = г,
“ а (г), если k = г 4- з.
214 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ П
Для построения суммы а(1) 4- а(2)4- '+'а(п), в кото-
рой переставлены а (г) и a(r + s), мы вводим функции
т*(г, s, k, п) и а* (г, s, р, q) следующими равенствами:
т* (г, s, k, 0) = 6 (г, s, k),
т* (г, s, k, п 4-1) = т* (г, s, k, п) 4- b (г, $, п 4- k 4-1),
а* (г, s, р, q) = a(Sq — р) -т*(г, s, р, q — p).
Точно так же, как и выше в 6.422, получаем, что
6.431.
<f (г + 1, q 4-1, 1, г) 4- b (г 4-1, q+ 1, г +1) +
4-<т*(г-Ь 1, q4-1, г4-2, r + q+ 1)4-
4-&(r4-l, q 4-1, г 4- q 4-2)4-
+ <т* (г 4-1, 94-1, г 4- 9 4- 3, г + 9 + Р + 2) =
= о* (г 4-1, 9 4-1, 1, г 4-9 4- р 4- 2).
6.44. Далее мы докажем следующие три равенства:
6.45. а*(г 4-1, 9 + 1. U П= а(1, И;
6.46. о* (г 4- 1,9+ 1, г + 2, г 4- 9 + 0 =
= о(г 4-2, г 4-9 + 1);
6.47. о*(г 4- 1, 9 + 1. г + Я + З.г + 9 + Р + 2) =
= о(г 4- 9 + 3, г + р 4- 9 + 2).
Сначала рассмотрим 6.45. При г равном 0, это ра-
венство очевидно, а при г 4- 1 вместо г оно эквивалентно
6.451. т*(г 4- 2, 9 4- 1, 1,г) = т(1,г).
Для доказательства 6.451 мы рассмотрим равенство
6.452. т*(г + k 4- 2, 9 4- 1, 1, г)= т(1, г),
которое обозначим через P(k,r). Тогда P(k, 0) очевид-
но, ибо
х*(г 4- k 4- 2, 9 + 1,1, 0) = b(r 4- k 4- 2, 9 4- 1,1) =
= а(1) = т(1, 0),
Далее, поскольку
т*(г + А + 3, 94- 1,1,г+ 1) =
« т*(г 4-Л 4-3, 9 4- 1,1, г) 4- а(г 4- 2)
и
т(1, г 4- 1) = т(1, г)4-а(г + 2),
то
P(k+ 1, r)^»P(k, r+ 1)
ГЛ. VI)
СВЕДЕНИЯ К ПРИМИТИВНОЙ РЕКУРСИИ
215
и P(k, г) следует по обобщенной схеме индукции Ig. От-
сюда следует Р(0, г), а это и есть равенство 6.451, что
завершает доказательство 6.45.
Доказательство 6.46 проходит аналогично; при q = О
это равенство очевидно. При q + 1 вместо q это равен-
ство эквивалентно равенству
6.461. т*(г 4- 1, q + 2, г + 2, q)~x(r 4- 2, q),
которое следует из
6.462. т*(г 4-1, q 4- k 4- 2, г 4- 2, q) = x(r 4- 2, q).
Обозначим 6.462 через R (k, q). Мы легко устанавливаем
R(k, 0) и R{k 4- 1, q)—*R(k, q 4- 1),
откуда R (k, q) следует no Ig, что завершает доказатель-
ство 6.46.
Доказательство 6.47 гораздо проще.
При р = 0 это равенство очевидно; при р 4- 1 вместо р
это равенство эквивалентно
х*(г 4- 1, q 4- 1, Г 4- q 4- 3, р) = х\г 4- q 4- 3, р),
а последнее доказывается индукцией по р.
Из 6.422, 6.431 и 6.45—6.47 непосредственно следует
6.48. о* (г + 1,7 + 1»1, г 4- <7 4- р 4- 2) =
- о(1,г 4- р 4- q 4- 2),
поскольку
Ь(г 4- Г, q 4- 1, г 4- 1) = а(г 4- q 4- 2),
b(r 4- 1, 7+1. r + 7 + 2)- a(r 4- 1)
и для любых /, k, I, т, п
j + k + 1 + т + п — j + m+1 + k + n.
Равенство 6.48 эквивалентно равенству
6.481. т*(г+ 1,7+ 1,1,г + 7 + р4-1) =
= т(1, г 4- 7 4- р 4- 1)
и, как мы сейчас докажем, эквивалентно также
216
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
П
6.482. {г>1 &$>1 &га>(г 4-s)~ 1} —
-*{т*(Г, S, 1, п)=т(1, я)}.
Обозначим равенство т*(г, s, 1,га) = т(1,га) через
R (г, s, га). Тогда в силу 6.481 имеет место /?(г 4- 1, q 4- 1,.
г 4- q + р 4- 1) и поэтому выполняется R(r 4-1, ? 4- 1,
г 4- 1 4- q 4- 1 4- р); подставляя г — 1 вместо г, мы вы-
водим
Я(1 4- (г ^-1), q 4- 1,1 4- (г -1)4- q+1 + р),
а отсюда по теореме о подстановке, используя равенство
1 4- (г— 1) = г 4-(1 — г), получаем
(1 —г = 0)-*Я(г, <7 4- 1, г 4- 1 4- q 4- р).
Подставляя s — 1 вместо q, имеем
{(1 — $) = 0) —>{(1 — г) = 0 —*./?(г, s, г 4-($ — 1) 4-р)}.
Наконец, подставляя n-^-{r4(s-l)) вместо р, мы вы-
водим
{(r4.(s^l))^rt = 0}-*[(l^S) = 0-*
-{1-^-r = 0->Я(г, s, га)}],
что эквивалентно 6.482.
Равенство 6.482 доказывает, что сумма п членов не
меняется при перестановке любых двух из них.
Поскольку перестановку можно рассматривать как
результат транспозиций, остается только рекурсивно он-,
ределить последовательность транспозиций. Если даны
три функции, r(n), s(n) и а(п), то мы определяем
В (О, А)-а (А),
В(п4-1, А) = В(га, 0(г(га), s (га), k)),
поэтому в силу 6.1 В примитивно рекурсивна.
При любом п В(п+ 1, А) является транспозицией
В(га, А), так что
В («4-1, А)=В (га, А) если A#=r (га), A=#r (n)4-s (га),
= В (га, г (п) 4- $ (га)), если А = г (га),
₽B(n,r(n))F если А - г {п) 4- а (га),
ГЛ. VI) СВЕДЕНИЯ К ПРИМИТИВНОЙ РЕКУРСИИ 217
Определим функцию суммы Т (n, k, р) с помощью ра-
венств
Т(п, k, 0)*=В(п, k),
Т(п, k, р 4-1) — Т (п, k, р) + В (п, k + р + 1),
затем, взяв в доказательстве 6.482 В (л, k) вместо a (k)
и В(л + 1, k) вместо b(r, s, k) при г = r(n), s — s(n),
мы получаем Т(л+1, 1, р)=Т(л, 1, р), и, следова-
тельно, равенство Т(п, 1, р)=Т(0, 1, р) = т(1, р), кото-
рое показывает, что сумма а(1)+а(2)+ +а(р+1)
не изменяется при изменении порядка ее членов.
ГЛАВА VH
УСТРАНЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ
Устранение параметров. Исходные функции и порожде-
ние всех примитивно рекурсивных функций с помощью
единственной схемы Fx = А 0. Нумерующая функция.
Дважды рекурсивная функция, которая не может быть
определена только примитивными рекурсиями и подста-
новками.
7. В этой главе мы произведем устранение параме-
тров в схеме определения с помощью рекурсии, на ко-
торое мы ссылались в § 1.6.
Это устранение осуществляется с помощью подходя-
щей нумерации всех пар натуральных чисел. Очень про-
стая нумерация, достаточная для первых шагов этого
устранения, дается функцией /(и, о) = (и + о)2 + и. Для
того чтобы показать, что J(u,v) сопоставляет различ-
ным упорядоченным парам различные числа, мы вводим
по очереди следующие функции:
Ех = х~ (Rtx)2,
где Rtx— функция, определенная в § 1.6 как наиболь-
шее целое число, квадрат которого не превосходит х,
Ux = Ex, Vx = Rt x — Ex;
Ex — то число, на которое x превышает ближайший
квадрат, содержащийся в нем.
Так как
(м + о)2</(«, »)<(« + «+ I)2,
то
Rt/(w, v) — и + v
и, следовательно, UJ(u, v) = и, VJ (и, v) = v. Эти равен-
ства доказывают, что 1(и, о) ставит в соответствие раз-
личным упорядоченным парам различные числа, ибо
ГЛ. VII)
УСТРАНЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ
219
если 1{и, v) = /(«', v'), то
u = UJ(u, v) = UJ(u', v') = u'
и
v = VJ(u, v) = VJ(u', =
7.1. Мы начнем с того, что покажем, как можно уст-
ранить один параметр. Рассмотрим рекурсию
R f(u, v, 0) = а (и, v),f(u, v, Sx) — b(u, v, x,f(u, v, x)),
в которой могут быть еще параметры, кроме тех, кото-
рые обозначены через и и о. Мы переходим к получе-
нию этой функции f из функций, определенных рекур-
сией с меньшим числом параметров.
Пусть функция F(w, х) определяется следующей ре-
курсией:
R' F(w, 0) = Л(а»), F(w, Sx)=B(w, х, F(w, х)),
где A (w) = a(Uw, Vw), B(w, x, y)=b(Uw, Vw, x, y),
так что F(w, 0) = f(Uw, Vw, 0) и
{F(w, x) = f(Uw, Vw, x)}-*{F(w, Sx) =f(Uw, Vw, Sx)},
что доказывает
F (w, x) = f (Uw, Vw,x)-,
отсюда, подставляя J (и, v) вместо w, мы имеем
f(u, v, x)=F(J(u, v), x),
так что f получается подстановкой из F, a F опреде-
ляется рекурсией R', в которой содержится на один па-
раметр меньше, чем в исходной рекурсии R.
Повторным применением этого процесса сведения мы
можем получить f подстановкой из некоторой функции,
определяемой рекурсией с одним параметром. Мы мо-
жем предполагать, что этой функцией в действитель-
ности является F, определенная выше с помощью R',
где функции А и В не содержат никаких других пере-
менных, кроме указанных явно.
7.2. Далее мы покажем, что переменные w и х можно
устранить из В. Определим <p(w, х) следующей рекур-
сией:
R" <p(w, 0) = a(w), <р(а>, Sx) = р(х, <p(w, х)),
220' РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ ff
где а(а>) = J(w,Aw), ^(х,у) = J(Uy,B(Uy,x,Vy))\ лег-
ко видеть, что
ф(о>, х) = J{w, F(w, х)),
поскольку это равенство выполнено при х = 0, а это ра-
венство с х влечет равенство, получающееся из данного
заменой х на Sx. F(w, х) получается из. <р(о>, х) одной
подстановкой, ибо
F(w,x) = Уф(ю, х).
Затем определим ф'(и*, х) итерацией:
I ф'(ш,0) = a'(w), Sx) = р'ф'(гг\х),
где a'(w)=J(0, a(w)), fi'y = J(SUy, f}(Uy, Vy)); как
и раньше, мы докажем, что
ф'(о>, х) = /(х, ф(Ш, х)),
замечая, что это равенство имеет место при х = 0 и что
J(SUJ(x, ф(о>, х)), p(t/J(x, ф(ш, х)), У/(х, ф(ш, х))))~
= J(Sx, р(х,ф(ш,х))) = J(Sx,ф(ш,5х)), так что ф'(ш,х) =
= J(x, ф(ш, х)) влечет
ф'(а>, Sx)=/(Sx, ф(ш, Sx)).
Функция tp' определяется итерацией без параметров и
ф(ш, х)= Vq>'(w, х).
Это завершает сведёние схемы примитивной рекурсии
к следующему простому виду:
f(w, 0)= a(w), f(w, Sx)= b(f(w, x)).
7.3. Дальнейшее упрощение может быть достигнуто,
если взять
R* F(w, 0)“ w, F(w, Sx)= b(F(w, х)),
так что f(w, х)= F(a(w),x).
Для устранения параметра w из рекурсии R* мы вве-
дем новую нумерацию пар:
/(u, v) = ((u + о)’ + и)’+ р,
Ux — Е Rt х, Vx » Ext
ГЛ. VII]
УСТРАНЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ
221
Так как ((и + о)2 + u)2< J(u, о)<((u + о)2 + u + I)2,
то Rt Ци, v) = (и + о)2 + и,
EJ(u, t») = o
и
£Rt7(u,
так что UJ(u, о) = и, VJ(и, v) = v.
Эта вторая нумерация пар обладает дополнительным
свойством: если ESx>0, то USx — Ux и VSx = SVx,
ибо если ESx > 0, то Sx не есть квадрат и, следова-
тельно,
RtSx = Rtx,
откуда получаем USx — Е Rt Sx = Е Rt х = Ux и
VSx =* Sx — (Rt Sx)2 = (1 + х) —(Rt x)2 =
={x (Rt x)2} + (1 {(Rt x)2 - x})={x (Rt x)2} +1 = SVx
поскольку ESx > 0 влечет (RtSx)2< Sx и поэтому
(Rtx)2-Cx, так что (Rtx)2 —x = 0 (это равенство в
силу примера 2.83 выполняется также, когда ESx = 0).
Если теперь мы определим G(x) рекурсией без пара-
метра:
Ii G0 = 0, GSx = c(x, Ох),
где с(х,у) = (1 -i-ESx)' USx + {! — (1 -±-ESx)}-b(y), так
что
с (х> У} —USx, если ESx = О,
= b (у), если ESx > О,
то можно показать, что
G(x)=F(t/x, Vx).
Доказательство случая х = 0 очевидно. Если ESx = О,
так что VSx = О, то F(USx, VSx) = USx = с(х, Gx) =
= GSx, а если ESx > 0, то
F(USx, VSx) — F(Ux, SVx) =
= b(F(Ux, Vx)) = c(x, F(Ux, Vx))
и, следовательно, из допущения G(x)= F(Ux, Vx) мы
выводим равенство
G(Sx)-E(l/Sx, VSx),
222 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ JT
которое завершает доказательство. F получается из G
подстановкой
F(u, v) = GJ (и, v).
Переменную х можно устранить из с(х, у) точно так же,
как из функции В выше. Мы определяем
//0 = 0, HSx = dHx,
где dy = J (SUy, c(Uy, Vy)).
Докажем, что имеет место
Нх = J (х, Gx).
Доказательство случая х = 0 очевидно, а из допущения
Нх = /(х, Gx) следует
HSx = dHx = dJ(x, Gx) = J (Sx, c(x, Gx)) = J (Sx, GSx),
что и требовалось.
Таким образом, Gx получается из Нх подстановкой
Gx = VHx,
а Нх определяется схемой
НО = 0, HSx = dHx,
так что Нх = </я0.
Для того чтобы выполнить описанное сведение, мы
ввели ряд вспомогательных функций, каждая из которых
определима подстановкой в терминах функций
и + v, u — v, u-v, Rt и,
которые мы будем называть исходными функциями.
Таким образом, мы доказали, что, располагая этими
четырьмя функциями, все примитивно рекурсивные
функции можно получить подстановкой и применением
одной лишь схемы
Fx = Ах0
для порождения функций одной переменной.
7.31. Можно показать, что на самом деле достаточны
лишь две исходные функции
и + v, Ей,
но это уменьшение числа исходных функций несуще-
ственно для наших целей и будет опущено, хотя и пред-
ГЛ. VII]
УСТРАНЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ
223
ставляет большой интерес, ибо показывает, что все при-
митивно рекурсивные функции любого числа перемен-
ных можно получить всего из одной функции двух пе-
ременных.
7.4. Для построения примитивно рекурсивных функ-
ций одной переменной никогда не возникает необходи-
мость определять подстановкой функции более чем од-
ной переменной. Например, если мы можем получить
функцию f(n) из функции F(x, у), полагая, скажем,
/(«)= P(g(n), h(n)),
где F(x, у) определена в терминах данных функций
а(и, v), b(x, у), с(х, у) подстановкой
Г(х, у)= а(Ь(х, у), с(х, у)),
то поскольку
f(n) = a(b(g(n), h(n)), c(g(n), h(n))),
вместо того, чтобы определять функцию двух перемен-
ных F(x, у), мы могли бы определить функции одной
переменной
₽ («) = b\g (и) ,h (п)), у («) = с (g («)»А («))
и, следовательно, определить f(n) непосредственно та-
ким способом:
f(n)= a(p(n), у(п)).
Следовательно, все примитивно рекурсивные функ-
ции одной переменной можно получить, используя лишь
схемы
f(n) = g(n) + ft(n), = —A(n), f(n) = g(n)’A(rt),
J(n) = Rtn, f(n) = g(A(n)), f(n) = g"0.
7.5. Этот последний результат позволяет нам зануме-
ровать все примитивно рекурсивные функции одной пе-
ременной.
Нумерующая функция q>m(n) определяется следую-
щим образом: в качестве первых четырех функций
224
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИ~ЕЛ
(I
в нашей нумерации мы берем функции 0, п, Sn, Rtn,
так что
фа(л) = 0, ф1 (л) = п, ф2(л) = Sn, фз(п) = Rt п.
Затем мы поставим в соответствие операциям +, •,
подстановке и рекурсии пять областей значений т. Обо-
значая, как и в 4.61, показатель наибольшей степени k-ro
нечетного простого числа в разложении п на простые
множители через v(n, k), мы связываем каждую опера-
цию со случаями v(m, 0) = 0, 1, 2, 3 и v(m, 0)>3
(т>3). Рассмотрим теперь функцию фт(л), значения
которой перечислены в следующей таблице:
Условия на т Значение Фт (п)
т — 0 т— 1 т-2 т —3 т > З&у (т, 0) — 0 т > 3&v (т, 0) — 1 т > 3&v (т, 0) — 2 т > З&у (т, 0) — 3 т > 3&V (т, 0) > 3 0 п Sn Rtn Фу(т. 1) («) + Фу (m. 2) M Фу (m, 1) (ft) ~ Фу (m, 2) (л) Фу (m, L) W ‘ Фу (т*2) Фу (m, 1) (Фу (m, 2) (ft))
Мы покажем, что последовательность
фо(л), ф!(л), ф2(«),
является нумерацией всех примитивно рекурсивных
функций одной переменной (с повторениями).
Эта последовательность содержит исходные функции
О, л, Sn и Rt л. Если она содержит функции g(n) и Л (л),
то имеются целые р, q такие, что
£(л)-фр(л), Л(л)»ф,(л).
Если мы выберем значение т, для которого v(m, 1),= р,
v (т, 2) = q, то мы будем иметь
ЧЧт. 1>(«) - g (П)> фу(т,2>(«) = А (Я)-.
ГЛ. VII]
УСТРАНЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ
225
Таким значением т является, например,
2к • Зр • 5« • 7,
куда множитель 7 включен для получения неравенства
т > 3. Обозначим 2Л • Зр • 5« • 7 через так что
v(mh, 0) = k, v(mk, 1) = р, v(mk, 2) = g
и
mk>0,
и поэтому для значений k = 0, 1, 2, 3 функциями фОТл(п)
являются соответственно следующие:
g(n) + h(n), g(n)-h(n), g(n)-h(n), g(h(n)),
а для k > 3
q>mA (0) = 0, <pmjfe (n + 1) = g (n)),
откуда следует, что последовательность ф„,(п), т =
= 0, 1, 2, .... содержит все примитивно рекурсивные
функции одной переменной.
Для удобного представления фто(п) в виде единого
выражения мы пишем 6л(га) вместо 1—1&, п| и е*(п)
вместо 1— (k — п), так что дь(п)=1, если n = k, и
бл(п) = 0 в противоположном случае; г*(п) равен 1,
если п > Л, и нулю в противоположном случае. Тогда
фто(п) можно записать таким выражением:
(т) • п + 62(т) • Sn + d3(m) • Rtn +
+ е4 (m) {d0 (v (m, 0)) • (фу (m, n (n) + фу (m, 2) (n)) +
+ d1 (v (nt, 0)) • (фу (m, „ (n) фу (m> 2) (n)) +
+ 62 (v (nt, 0)) • (m> j, (n) • фу (m, 2) (n)) +
+ d3 (v (nt, 0)) • (фу (m, d (фу (m, 2) (n))) +
+ e4 (v (tn, 0)) • в! (n) фу (m> 2) (фт (n — 1) }.
Как функция двух переменных т, п, функция фт(и)
не является примитивно рекурсивной, ибо если бы это
было так, то фп(п)+ 1 была бы примитивно рекурсив-
ной. Но фт("0+ 1 >фт('п), так что фп(и) + 1 не со-
впадает с функцией фт(п) ни при каком значении т и,
226 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
следовательно, фп (n) + 1 не содержится в нашей нуме-
рации всех одноместных примитивно рекурсивных функ-
ций.
Определение <pm(n) показывает, что значение
фто(п + 1) дается в терминах фт(п) и фт(п), фтз(п), где
mi, m2 оба меньше /и; поэтому <рто(п) определяется двой-
ной возвратной рекурсией, которую можно преобразо-
вать в обычную двойную рекурсию методом предыдущей
главы. Таким образом, <pm(n) является примером функ-
ции, определяемой двойной рекурсией, которую нельзя
определить только примитивной рекурсией и подстанов-
кой.
ГЛАВА VII!
ГеДЕЛЕВСКАЯ НУМЕРАЦИЯ
И НЕПОЛНОТА АРИФМЕТИКИ
Гёделевская нумерация и неполнота арифметики. Ариф-
метизация синтаксиса. Построение верифицируемого не-
доказуемого равенства. Сколемовская нестандартная мо-
дель арифметики.
8. Основная цель этой последней главы — показать,
что имеется такая примитивно рекурсивная функция
/(п), что каждое из равенств f(0)=0, f(l)=0,
f (2) = 0, доказуемо в ^*, а равенство f(n) = 0 с пе-
ременной п не доказуемо в SI*. Существование такой
функции f показывает, что &1* неполна, иначе говоря,
что имеется равенство
которое верифицируемо, но не доказуемо в Si*-
Этот замечательный результат, который был открыт
Куртом Гёделем в 1931 году, наводит на мысль о том,
что натуральные числа, возможно, не являются един-
ственным классом объектов, для которых доказуемые
формулы из Si* верифицируемы, и что, возможно, су-
ществует класс объектов, который включает все нату-
ральные числа и, кроме них, другие объекты, для ко-
торых доказуемые формулы St* верифицируемы. То, что
такой класс на самом деле существует, было действи-
тельно установлено через три года после результата Гё-
деля Торальфом Сколемом, создателем рекурсивной
арифметики, который показал (независимо от методов
и результатов Гёделя), что не только системы вроде &
и St*, но всякая формализация арифметики н.е может
полностью характеризовать понятие числа и допускает
в качестве значений числовых переменных класс объек-
тов такой, что все натуральные числа являются лишь
его начальным сегментом.
8.1. Построение недоказуемого равенства
f(n) = О
228
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
[I
осуществляется при помощи кода, при котором выра-
жениям St* соответствуют числа, а синтаксис St* —
примитивно рекурсивным отношениям. Такое кодирова-
ние называется гёделевской нумерацией St*. Мы будем
считать, что переменными Si* являются т, п, Xj,
х2, х3, функциями — <ро(п)> ф1(п). фг(л).- - • вместе
с т + п, т-*-п и т-п; а схемами доказательств —
Р F(0)-0, P(n)-F(Sn)
11 /=•(«) —О ’
Л = В
В = С ’
F(n)-G(n)
OD| F(4) = G(4)’
о, A“B
002 F(X) = F(B) ’
В качестве аксиом мы возьмем только
А т + (п — т) = п 4-(т — п),
В Sm — Sn = m—n,
определяющие равенства для функций т +' п, т — п и
Ш’П а определяющее равенство для фт(п).
Таким образом, различные примитивно рекурсивные
функции одной переменной все определяются единствен-
ной аксиомой — определяющим равенством фщ(п).
8.2. Отдельные элементы Si* нумеруются следующим
образом: функциям <р& ставятся в соответствие числа
4k + 17, k = 0, 1, 2, а переменным хк — числа
4k + 19.
Номера остальных знаков указаны в таблице:
0 - < 1 ) 1 + — т п
1 3 5 71 9 11 13 15 19
Теперь любая формула Si* рассматривается просто как
последовательность знаков St*; если
л0, пь пг, пз, .... пк
ГЛ. V1H] ГЁДЕЛЕВСКАЯ НУМЕРАЦИЯ И НЕПОЛНОТА АРИФМЕТ. 229
— номера знаков, составляющих данную формулу (в их
порядке в этой формуле), то мы ставим в соответствие
этой формуле число
где рл — k-e нечетное простое число. По одному лишь
номеру формулы мы можем написать саму формулу,
просто разлагая на множители ее номер. Например, но-
мером формулы
т + 0 = т
является 2,8’39«5‘73« И15, а номером формулы
т • Sn = т • п + т
является 218 • 3,# • 528 • 71® -1 Is -13‘8 • 17*’ • 19*’ • 23» • 2918,
ибо «5» совпадает с «фг».
Отдельные знаки все имеют нечетные номера, но но-
мер любой их последовательности обязательно четный.
Разумеется, <бессмысленные> последовательности
символов, как
) + фз = (»
также имеют номера, но это не приводит ни к каким
осложнениям.
8.3. Далее мы замечаем, что поскольку любое дока-
зательство в Я* представляет собой последовательность
формул, то доказательства тоже можно перенумеровать.
Так, доказательству, которое состоит из последователь-
ности формул с номерами
fo. А, А...А.
ставится в соответствие число
2f<> • 3f> • •
так что если N — номер доказательства, a k — наиболь-
шее значение г, для которого v(Af, г)> 0 (и поэтому N
делится на ненулевую степень и является наиболь-
шим простым числом, для которого это верно), то
v(N, k)—номер формулы, доказываемой доказатель-
ством номер N. Мы увидим, как выделить значения N,
230
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Н
которые действительно являются номерами доказа-
тельств.
8.31. Как и все формулы, аксиомы системы St*
можно занумеровать, и мы будем обозначать через Ль
Л2, Л3, Л4, А$ и Л6 номера упомянутых выше шести
аксиом. Нам не потребуются действительные значения
номеров, обозначенных этими буквами. Мы обозначим
через Ах(п) дизъюнкцию n = Atvn = A2vn = A3V
V п = Л4 V п = Л5 V п = Лв, которая утверждает, что
п есть номер аксиомы.
8.4. Первый шаг в арифметизации синтаксиса си-
стемы 3?* состоит в нахождении условия, выражающего
свойство быть переменной. Так как номерами перемен-
ных являются числа вида 15 + 4k, где k пробегает чис-
ла 0, 1, 2, ..., то свойство <п есть номер переменной»
выражается примитивно рекурсивным отношением
Епт{п = 4т + 15)
(имеется т между 0 и п такое, что п = 4т + 15).
Мы обозначим это отношение через. V(n).
8.41. Аналогично, отношение «п есть номер одномест-
ной примитивно рекурсивной функции» выражается фор-
мулой
Епт(п = 4т+17),
которую мы обозначим через /(п).
8.42. Далее мы рассмотрим отношение «п есть номер
переменной в формуле с номером /». Оно выражается
примитивно рекурсивным отношением
Em{v(f, m) = n&V(n)J,
которое мы обозначим через V/(n).
8.43. Число членов в последовательности с номером f
есть If + 1, где If определяется с помощью соотношения
h = (Lfm{R(f, pm) = 0&Afn(n>m->R(f, p„)>0)})x
X (/?(/+ I, 2)},
ГЛ. VIII] ГЕДЕЛЕВСКАЯ НУМЕРАЦИЯ И НЕПОЛНОТА АРИФМЕГ. 231
где R(a, b) — остаток от деления а на b (таким образом,
If = 0, если f нечетно, а если f четно, то If есть наимень-
шее целое т такое, что f делится на т-е нечетное про-
стое число, но не делится ни на какое большее). Преди-
кат Е(п), говорящий о том, что п есть номер последова-
тельности знаков, теперь можно выразить так:
R (п, 2) = 0 & A1" {R (v (п, г), 2)- 1}.
8.5. Перед тем, как мы рассмотрим основную синта-
ксическую операцию подстановки, мы введем прими-
тивно рекурсивную функцию т Д п, которая вычисляет
номер выражения, получающегося приписыванием выра-
жения с номером п вслед за выражением с номером т.
Например, номер «ф4(т)» равен 233 • З5 • 515 • 77 и номер
«4- п» равен 2® • З19; тогда номер «ф4(т) + п» равен
233 • З5 • 5‘5 • 77 А 29 • З19 = 233 • З5 • 515 • Т7 • 119 • 1319.
Функция т Ал определяется равенством
т А п = т • П fzvm(+/+i>
если ни т ни п не являются номерами единичных чле-
нов, т. е. если и т и п оба четны. Если т нечетно, а п
четно; то
/пЛп = 2”*-П
К1п
если т четно, а п нечетно, то
т Д п = т • р"ш+1
и если тип оба нечетны, то
т Л п = 2т • Зп.
8.51. Выражение f(O)A Af(n) обозначается че-
рез
ПЛ/(0, где ПЛД0 = /(0), 1ГМ =
/ < и / < О К п+1
232
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
П
8.6. Теперь мы в состоянии выразить связь между
тремя числами f, v, п и номером выражения, которое по-
лучается подстановкой объекта с номером п вместо пе-
ременной с номером v в формулу с номером f.
Имеем П ° и при каждом значении i, для
которого v(f, i)— v, переменная с номером v замещается
объектом с номером п. Определим
?/ = (!—1*(/, 0. о|)п + {1 —(1 —|v(f, 0» »!)}• *(А 0
И
Subf (о/п)= ПЛ<7р
i /|+1
Тогда Sub/(t>/n) является требуемым номером выраже-
ния, получаемого подстановкой объекта с номером п
вместо переменной с номером v в формулу с номером f.
Например, номер формулы
<р4(/л)
есть
233 • З5 ♦ 515 • 77,
номер формулы
Х\ + х2
есть
223.39.529,
результатом подстановки + х2 вместо т в бу-
дет формула
<p4(-*i + *2)
с номером 233 • З5 • 523-7е • 1127 • 137, который равен
33 Л 5 Л 223 • З9 • 527 Л 7.
8.7. Далее мы попытаемся охарактеризовать понятие
«рекурсивный терм», или «рекурсивная функция», t есть
номер рекурсивного терма, если t является номером пе-
ременной, или номером одной из функций т + п, т — п,
т-п, фл(п), или номером выражения, получающегося
подстановкой рекурсивного терма вместо переменной в
рекурсивный терм.
ГЛ. VIII] ГЁДЕЛЕВСКАЯ НУМЕРАЦИЯ И НЕПОЛНОТА АРИФМЕТ. 233
Номерами функций т + п, т — п, т-п и q>k(n) яв-
ляются
215-3®. 519; 215-Зи-519; 215-313-519 и 24ft+17 • З5 • 519 • 79,
и мы обозначим их соответственно через вг, оз и о (Л).
Тогда предикат Т(п), утверждающий, что п есть но-
мер рекурсивного терма, можно определить так:
(n = оО V (п = <т2) V (п = а3) V Ek (п = a (k)) V
ЕхЕПуЕх{х<п&у<п&Т(х)&Т(у)^
& Vx(z)&n = Subx(z/«/)}.
Это возвратная рекурсия, так что Т(п) — примитивно
рекурсивное отношение.
8.71. Теперь легко сформулировать условие Е(п),
выражающее отношение: п есть номер равенства между
рекурсивными термами. Е(п) можно выразить в виде
ЕхЕу(Т (х) & Т (у) &п = х А 3 Д у).
8.8. Наиболее важная часть арифметизации синтак-
сиса— это представление предиката «п есть номер до-
казательства». С этой целью мы должны рассмотреть
отношения между номерами посылок и заключений в
схемах вывода.
8.81. Для Sbi мы рассмотрим примитивно рекурсив-
ное отношение Si(m, п), которое выражает отношение:
п является номером равенства, выведенного из равенства
с номером m по Sbi; Si(m, п) принимает вид
ЕхЕ^Е7Е1 {Г (х) & Г (у) & (г) & /п = х А 3 А I/ & Г (г») &
& п = Subm (z/w)}.
Si(m, п) утверждает, что существуют х, у, г между О
и m и существует w между 0 и п такие, что х, у и w —
номера термов, z—номер переменной в равенстве с но-
мером m; m — номер равенства между термами с номе-
рами х и и и п — номер равенства, получающегося
234
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
[I
в результате подстановки терма с номером w вместо
переменной с номером г.
8.82. В случае Sb2 рассмотрим отношение 32(/п, п),
записываемое в виде
Ex Еу EnuEnv {T(x)&T(y)&tn = x/\3/\y&T(u)&Va(v)&
&п = Subu (v/x) ДЗД Subo (v/y)}
(х и у — номера термов, меньшие, чем т, п — номер
терма, v — номер переменной в терме с номером и,
т — номер равенства между термами с номерами х и у,
п — номер равенства между термами, полученного под-
становкой сначала терма с номером х, затем терма с но-
мером у вместо переменной v в терм с номером и).
8.83. В случае схемы Т мы рассмотрим отношение
Т (т, п, р), записываемое в виде
ExEyEnz (Т (х) &Т(у)&Т (z) &
&m = xA3A«/&n = xA3Az&p = i/A3Az)
(х, у и z — номера термов; tn, п и р — номера равенств
между термами с номерами соответственно х, у; х, г
и у, г).
8.84. Наконец, в случае схемы Е мы рассматриваем
отношение Е(т, п, р), определяемое так:
ExEy(Т(x)&Vx(y)&m = Sub,(у/1) А 3 А 1 &
& п = х А 3 A Subx(y/25 А у)& р = х АЗ А1)
(х — номер некоторого терма, у — номер переменной в
этом терме, m — номер равенства, образованного при-
равниванием нулю результата подстановки нуля вместо
переменной в терм с номером х, п — номер выражения,
образованного приравниванием терма с номером х к ре-
зультату приписывания «S» перед переменной в этом
терме, и р — номер выражения, получающегося прирав-
ниванием нулю терма с номером х).
8.85. Теперь мы в состоянии определить предикат
«л есть номер доказательства», который будем обозна-
ГЛ. VIII] ГЕДЕЛЕВСКАЯ НУМЕРАЦИЯ И НЕПОЛНОТА АРИФМВТ. 235
чать через Pf (rt). В качестве Pf(rt) мы берем отношение
R(n, 2) = 0 & Агхп {Ах (v (rt, х) ) V
V Ey(Si(v(n, у), v(n, x))VS2(v(rt, у), v(n, x)))V
V ЕцЕу (T (v (rt, и), v (rt, о), v (rt, x)) V
V E (v (rt, u), v(rt, o), v(rt, x)))}
(rt — номер последовательности равенств, каждое из ко-
торых является либо аксиомой либо выводится из од-
ного или двух предыдущих равенств по одной из схем
вывода).
8.86. Как мы уже заметили, отношение Pr (m, rt), вы-
ражающее, что m есть номер доказательства формулы
с номером «, представимо так:
Pf (/п) & v (tn, lm) = n.
8.87. Цифры 0, SO, SSO, SSSO,... представляются в 5?*
как 0, ф20, Ф2Ф2О, Ф2Ф2Ф2О» ... и, следовательно, их номе-
рами являются 1, 225 • 3, 225 • З25 • 5, 225 • З25 • 52Б • 7, ...; ес-
ли мы обозначим эти номера через No, Ni, N2, N3,
то Nr примитивно рекурсивна и
Уо=1, AG = 2».3, Afr+1 = Afr-^4-^+1, г>1.
Будем использовать Stf(v/n) как сокращение для
Subf(v/An), так что St/(t)/n)—номер выражения, кото-
рое получается, когда цифра ф2ф2 ф20, куда ф2 вхо-
дит п раз, подставляется вместо переменной с номером v
в выражение с номером f.
8.88. Так как ~Pr(m, Stn(19/n))—примитивно ре-
курсивное отношение, то его можно записать в терми-
нах символов St* в виде равенства, и мы можем гово-
рить о «-~Pr(m, Stn(19/rt))»KaK о сокращении для этого
равенства в St*.
Пусть то равенство в для которого
~Рг (m, Stn(19/n)) является сокращением, имеет но-
мер р. В формуле с номером р подставим цифру номер
Np (т. е. ф2ф2 ф20, куда ф2 входит р раз) вместо
переменной с номером 19 (т. е. переменной п); номером
236 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ [Г
результата является St^(19/p), а сам результат можно
сокращенно записать так:
~Pr(m, St„(19/pJ)
и обозначить, скажем, через G(m).
8.89. Мы покажем, что выражение, обозначенное че-
рез G(m), не доказуемо в
Действительно, если бы выражение, которое обозна-
чает G(m)t было бы доказуемо в и если бы k было
номером его доказательства, то k было бы номером до-
казательства равенства с номером Stp(19/p) и имело
бы место
Pr(ft, St„ (19/р)) ;
но если G(/n) доказуемо, то доказуемо и G(k), поэтому
- Рг(Л, St^ .(19/p))
имеет место. Так как ~ Pr(/n, St^(19/p)) является при-
митивно рекурсивным отношением, его представляющая
функция, скажем, f(m), примитивно рекурсивна и зна-
чение f(k) можно получить из определяющих равенств
для f(m) не более, чем k подстановками.
Это значение будет или 0 или 1; если 0, то выпол-
нено ~ Рг(Л, St^ (19/р)) и если 1, то выполнено
Рг(й, Stp(19/p)), но эти два утверждения не могут вы-
полняться одновременно. Таким образом, выражение,
обозначенное через G(m), не доказуемо — это эквива-
лентно тому, что равенство
f (т) = О
не доказуемо в 5?*, где f(т) — терм в 5?*, выражаю-
щий представляющую функцию равенства, обозначае-
мого через G(m). Однако утверждение о том, что это.
равенство не доказуемо, эквивалентно тому, что ника-
кое из чисел 0, 1,2, 3, не является номером доказа-
тельства равенства с номером St^(19/р), т. е. тому, что
каждое из равенств
f(0) = 0, f(l) = 0, f (2) = О,
имеет место и поэтому выводимо в
гл. VIII] ГЕДЕЛЕВСКАЯ НУМЕРАЦИЯ Й НЕПОЛНОТА АРИФМЕТ. 237
примитивно рекурсивная
Таким образом, имеется
функция f такая, что каждое из равенств
f (0) = О, f(l) = 0, f (2) = О,
доказуемо в но равенство
f(m) = 0
со свободной переменной т не доказуемо в <$**.
8.9. Наличие в недоказуемого равенства не яв-
ляется чисто случайным обстоятельством, связанным со
специфическими аксиомами ^*; мы можем добавить к
<£?* сколько угодно новых (верифицируемых) аксиом и
все равно описанная выше конструкция будет выпол-
нима. В частности, мы можем добавить само равенство
f (m) = 0 в качестве аксиомы, и все-таки мы сможем по-
строить равенство, недоказуемое в расширенной систе-
ме, скажем, 5?+ Этот результат наводит на мысль, что
натуральные числа 0, 1, 2, не исчерпывают значений
переменных.
Мы действительно можем легко показать, что нату-
ральные числа не составляют наибольшего класса объ-
ектов, которые удовлетворяют аксиомам рекурсивной
арифметики.
8.91. С этой целью мы докажем, что если дана любая
последовательность функций fQt, fit, f2t, f^t и т. д. (ре-
курсивных или нерекурсивных), то имеется монотонно
возрастающая функция*) g(t) и функция v(i, j) такая,
что для всех i, j одно из отношений
fig(J)<fjg(J), fig(t) = fjg(t), fig(t)> fjg(t)
выполняется для всех t > v(i, j).
Мы начнем с того, что расположим все пары функ-
ций fr, fs с г < $ в виде простой последовательности, на-
чинающейся с пары fo, fi, за которой следуют fQ, f2; fo, ft',
fi, f2; fo, ft! fl, fs; fo, h; fi, fa; fz, fs И т. д., причем пара
fi, fa идет (е2 + 1’+1)-й или (е2 4- е + i 4- 1)-й в этой
*) В оставшейся части главы VIII автор отходит от конструк-
тивной точки зрения Объекты, которые он называет здесь функция-
ми, не являются алгорифмами. — Прим. ред.
238
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСВЛ
[I
последовательности в зависимости от того, четно i + /
или нечетно, где 2е — наибольшее четное число, содер-
жащееся в i + /.
Для любых двух функций ф(/), ф(0 мы можем найти
монотонно возрастающую функцию v(t) такую, что одно
из отношений
фУ (/) <фу (/), фи (/) = фи (/), фУ (/) > (О
выполняется для всех значений для определения v мы
разбиваем все натуральные числа t на три класса, С<,
С=, С> , в зависимости от того, какое из отношений
<, =, > имеет место между ф/ и фЛ
По крайней мере один из этих трех классов бесконе-
чен, и мы считаем члены этого класса в возрастающем
порядке значениями у(/) для значений /, равных 1, 2,
3, мы обозначим через V то из отношений (<, =
или >), которое имеет место между фУ(/) и фу(0 для
всех значений t.
Далее мы последовательно определяем уД/)>
и2(/), , с которыми связаны отношения Vb V2, •»
следующим образом: иД/) и 1Д— это функция и отно-
шение, определенные так же, как выше, так что для
всех значений t
Vi/Чу ДО >
затем мы берем fQVi и /2У1 в качестве ф и ф и опреде-
ляем v2 и V2 так, чтобы для всех t
V2f2vxv2(t).
Таким образом, мы определяем шаг за шагом у3, V3;
u4, У4; уп, Vn, так что для всех t
(Е) ^У1У2 Vn^VnfjV^. vn(t),
где п — порядковый номер пары fit f, в описанном выше
упорядочении.
Положим
£(/1) = У1У2 vn_}vn(n)t
тогда (полагая t = п в равенстве Е)
fig(n) Vnf3g(n)
гл. VIII] ГЕДЕЛЕВСКАЯ НУМЕРАЦИЯ И НЕПОЛНОТА АРИФМЕТ. 239
Аналогично, подставляя vn+iVn+2 vn+p(t) вместо t в
равенство Е, мы находим, что для всех t имеет место
fiVtV-2. v„+p(t) VnfjViV2 Vp+n(t)
и поэтому, взяв t = п + р, получаем
fig(n + Р) Vnfjg(n + р)-
Это доказывает, что
fig (t) vnfjg(t)
выполняется для всех / > п.
Так как vn+i(t) монотонно возрастает (и ее значе-
ниями являются различные целые числа), то
Vn+i (л + 1) > я, так что
g(n + 1) = VnVn+i(n + 1)>^2 ^Vn(n) =g(n)9
что доказывает, что g(n) монотонно возрастает.
8.92. С помощью этой теоремы мы можем ввести ли-
нейный порядок между функциями fo, fa, f2, fz, Мы
считаем
fi < fa или fi = fa или fa > fa
в соответствии с тем, имеет ли Vn значение <, или
>, т. е. в соответствии с тем, имеет ли место
fig(JXfjg(J), fig(i)= fjg(t) или fig(t)> fjg(t)
для всех t > п. Легко проверить, что fi = fa и fa = fk вле-
чет fi = fk, и fi < fa, fa < fk влечет fi < fk, как и подска-
зывают используемые обозначения.
В последовательность функций f0, fi, /2» /з, • мы мо-
жем, если угодно, включить все константные функции
f(t)= 0, f(t)= 1 и т. д., которые мы можем обозначать
просто через 0, 1 и т. д., и тождественную функцию
f(t)= t, Неравенства между натуральными числами пе-
реходят в те же неравенства между константными функ-
циями; так, например, если т < п, то, рассматривая tn
и п как константные функции от /, имеем т < п для
всех t. Каждая из функций f(t), конечно, удовлетво-
ряет неравенству 0-</(/) и каждая функция f(t) имеет
240
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
[I
единственную следующую f(t)+ 1, ибо если бы была
функция h такая, что f < h < f + 1, то мы бы имели
для всех достаточно больших t, что, конечно, невоз-
можно.
Таким образом, члены последовательности fo, fi,
fs, .... как и натуральные числа, обладают свойством
иметь единственный следующий, но эта последователь-
ность имеет члены, большие, чем каждое натуральное
число, поскольку, например, тождественная .функция
f (/) = t превосходит каждую константную функцию, по-
тому что fg(t) имеет значение g(t), которое становится
с ростом t больше любого наперед заданного числа.
8.93. Теперь возьмем в качестве fo. fi, /2, fo, по-
следовательность всех одноместных примитивно рекур-
сивных функций, причем пусть fo — нулевая функция.
Мы покажем, что все истинные утверждения рекурсив-
ной арифметики останутся верными, если мы возьмем
fo, fi, fi, fo, вместо натуральных чисел.
Пусть дана произвольная рекурсивная функция
F(xi, х2, хп)
натуральных чисел; мы введем функциональные пере-
менные ф| (/), фг(/), «значениями» которых являют-
ся функции fi, f2, .
Для любого набора значений переменных
^(ф1, ф2, фп)
становится одноместной функцией, скажем,
F(M), fk,(t).....hn(ty,
которую мы считаем значением функции
^(ф1, Ф2, фп)
для значений fA(, fkt, .... fkn аргументов ф,, ф2, .... ф„.
В частности, когда мы берем в качестве значений
фи фг, • •, фп константные функции, скажем, а\, а2,
. ., ап, тогда F имеет своим значением константную
функцию
F(й|, а2, .... ап),
ГЛ. VIII] ГЕДЕЛЕВСКАЯ НУМЕРАЦИЯ И НЕПОЛНОТА АРИФМЕТ. 241
которая, конечно, совпадает со значением
F(x,, х2, ..., хп) для значений аь аг, ап аргумен-
тов Х\, Хг, ., хп.
Таким образом, функцию натуральных переменных
можно интерпретировать как функцию в пространстве
функций fo, fi, [г, • • • без изменения ее значения.
8.94. При этой интерпретации истинное равенство
(будь то аксиома или равенство, выводимое из аксиом)
F(Xi, х2, хп)= G(xh х2, хп)
переходит в истинное равенство в пространстве функ-
ций; действительно, если это равенство выполняется для
всех X), Хг, ..., хп и если i, j — те индексы, для которых
G(M>’ f*nW)=fiV)
для данного набора kit k2, k3, .kn, to
A(0 = A(0 Для всех t,
и, следовательно,
= fjgU) Для всех t,
что доказывает fi = fj и поэтому
F(Z.,. f.,. bJ-G(b,.f.„
для всех аргументов fkr, r = \, 2, ..., n.
8.95. Поскольку мы определили равенство и неравен-
ство независимо, остается проверить, что равенства
и х -1/ = О эквивалентны при нашей функциональ-
ной интерпретации.
Для истинности А-С А мы требуем Ая(О^Ая(О при
t > v (t, /); для истинности fi — А = 0, переписав это так:
fi — fj = fk, мы требуем
fkg (t) = fog (0 при t > и (k, 0).
Так как fkg(/) = fig(t) — fjg(t) и fog(t)=O, то условия
fkg(t)=fOg(t) И fig(tXfjg(t)
эквивалентны при любом t, что завершает доказатель-
ство.
242 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ [I
РЕШЕНИЯ ПРИМЕРОВ
Глава I
1. Последовательно определяем Pent (х, 0)-l, Pent (х, Sy) «»
=Tet (х, Pent (х, у)), Hex (х, 0) = 1, Hex (х, Sy)=Pent (х, Hex (х, y))t
Hept(x, 0)=1, Hept(x, Sz/) = Hex(x, Hept (x, y)).
1.1. Tet (2, 3) « 16, Pent (2, 3)=Tet (2, 4)=2ie=65536, Hex (2, 3) =
2
= Pent (2, 4) - Tet (2, 65536) - 22* c 65536 членами.
1.2. f (1, n) = 2, /(2, n)«3«2rt, /(3, п) = Зл-2л2“п+2, f(4, 4) =*
= 2ne*3,8*5.
1.3. f (x) = {l — (1 — x)}g(x), что получается подстановкой ре-
курсивной функции (1 — (1 — х)) вместо и и g(x) — вместо и
в рекурсивную функцию uv.
1.31. Если k (х) = 1 — (х — 2), то f(x) = A(x)g(x) +
+ {1 — А (х)} А (х).
1.4. Пусть Q (х, у) и Я (х, у) обозначают частное и остаток от
деления х на yt a Hf (х, у) и Lm (х, у) — наибольший общий дели-
тель и наименьшее общее кратное х и у. Тогда /?(0, 2) = 0,
Я (х 4-1, 2) = 1 — Я (х, 2), Q (0, 2) = 0, Q (х+1, 2) = Q (х, 2)+Я (х, 2),
Hf(x, 2) = 2 — Я(х, 2), Lm (х, 2) — х{1 4-R (х, 2)}; аналогично,
Я (0, 3) = 0, R (х4-1, 3)«{1—(Я(х, 3)—1)}$Я(х, 3), Q (0, 3) = 0,
Q(x4-1, 3) = Q(x, 3)4-{Я (х, 3)^-1), Hf (х, 3) = 1+2 (1-^-Я (х, 3)),
Lm (х, 3) = х{3 —2(1 —Я(х, 3))}.
1.5. f (х)»{1 — Я (х, 2)} g (х) 4- Я (х, 2) А (х).
1.6. Если С (п, г) — коэффициент при хг в разложении (1 4-х)л,
то С(п, 0) = 1, С (0, г 4-1) = 0, С (п 4-1, г 4-1) = С (я, г) 4- С (п, г 4-1);
тем ие менее функция С (я, г) примитивно рекурсивна, ибо nl при-
митивно рекурсивна и С (п,.г) « nl/rl (п — г)1.
1.7. а 4- Ь 4- с 4- d »((а 4- Ь) 4- с) 4- d = (а 4- (А 4- с)) 4- d =
в ((А4-с)4-а)4-^=((с4-А)4-а)4-^ = с4-А4-а4-^ = (б4-с)4-
+ (a4-^)«(A4-c)4-(d4-a) = ((A4-c)4-rf)4-a = (d4-(A4-c))4-a =
— ((d 4- b) 4- с) 4- а = d 4- b 4- с 4- а, и т. д.
1.8./ (х)= 1 —х, /(х, £f)~{l —(1 -^-Х)}(1^), А (х, у)~
= {1—(1—х)}{1~ (1-^)}.
1.81. f (х, у) i (х) • а (у) + j (х, у) • b (х — 1) 4- k (х, у) • с (х — 1,
у — 1).
1.9. G (0, n) = i|>(l, п+ 1) = Х(0, п, ф (0, ц(0, п, ф(1, «))),
ф (1, п) ) = а(п)\ G (р+ 1, 0) = ф (р4-2, 1) = b (р, ф (р+ 1, ц (р+ 1,
0, ф(р4-2, 0))), ib(p4-2, О)) = А(р, ф (р 4- 1, Sd(p))) =
= b (р, G (р, d (р))) и С(р4-1, п 4- 1) = ф (р4-2, n4-2) = X (р 4-1,
п+ 1, ф (р4-1, ц (р4-1, /14-1, ф (р4-2, п 4-1))), ф (р 4- 2, п 4-1) ) =
= с (pt nt G (р, е (р, п, G (р 4-1, п))), G (р 4-1, п)).
Этот пример показывает, что функция <?(р, п), определяемая
дважды рекурсивными равенствами R2, может быть получена подста-
новкой 6(р, п) = ф(р 4-1, п 4-1) из дважды рекурсивной функции
РВШ1НИЯ ПРИМЕРОВ
243
ф(р, и), которая удовлетворяет более простым вводящим равенствам
• Г Ф(0, и) = ф(р+1, 0)«1,
2 I ф(р + 1, и + 1)=Л (р, nt 4? (р, ц(р, п, ф (р+1, п))), ф (р+1,
Следовательно, мы можем считать равенства Rj стандартными вво*
дящими равенствами любой функции, определяемой двойной рекур-
сией
1.91. f (0, n2t ns) « f (ti\ + 1, 0, n3) «f (tii + 1, п2 + 1, 0) « 1,
f (ni + 1, и2 + 1, и3+1)яа(иь и2, и3, /1 (иь и2, и3), f2 (иь и2, и3),
f3 («1, «2» Из) )»
где
fiOh, n2t п3)^1(пь b(nu п2, пъ f(ni + l, и2 + 1, и3)), с(иь и2, п3,
f («1 + 1, п2 + 1, И3)) ),
f2 (Пъ «2» Из)я f («1 + 1, п2, d (иь и2, и3, f («1 + 1, n2 + 1, Из) )),
fs (Пь n2t Из) = f (Hi + 1, и2 + 1, Из),
Глава II
2. Пусть ф(х,р) « \f(xty)t р|, тогда ф(0,!/)=0 и ф(5х, р)«
*=ф(х, р), так что {1—<р(х, р)}ф(5х, р) х= 0, откуда ф(х,р)=0 и,
следовательно, /(х, у) = у.
2.01 . Обозначим а(Ь + с) и ab + ас, соответственно, через f(c)
и g(c), тогда f (0) = ab « #(0) и
f(Sc)~a(b + Sc)-aS (b + с) ~f (с) + а,
g (Sc) = ab-\- aSc = ab + (ас + a) =* g (с) + a.
Таким образом, f(x) и g(x) удовлетворяют одним и тем же вводя-
щим равенствам, так что f(c) « g(с).
2.02 . (ab)-0 = 0 - а(Ь-0); (ab)Sc - (ab)c + ab и a(b-Sc)**
= a(bc + Ь) «= a(bc) + ab, после чего доказательство завершается
так же, как в 2.01.
2.03 . (ab) • (cd) = a(b • (cd)) = а((cd) -b)^ (a(cd)) b «((ас) d)b «
в (ас) • (db).
2.1. Если f (х) = х (1 — х), то f (0) — 0 и f (Sx) == 0.
2.2. 1—0 = 0°, 1 —Sx = 0 = 0s*.
2.201. (1— 0) + {1—(1—0)} = SZ0,
(1 — Sx) + {1 — (1 — Sx)} = SZSx, так что
(1 -s- x) + {1 — (1 — x)) = SZx = 1.
2.21. a — (6+0) = a — 6 = (a—6) — 0;
a — (b + Sc) = a — S (b + c) = {a — {b + c)} — 1
(a-^6) —Sc = {(a —&) —c}-i-l.
2.22. Используйте пример 2.21.
244
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
П
2.23. +
(а + Sx) — (b + Sx) « S (а + х) S (ft + х) —
«= (a + х) — (b + х),
откуда результат следует так же, как в* примере 2.
2.231. a (0 — 1)« 0— а • 0 —a; a (Sx — 1) - a (Sx — SO) - ах
и в силу 2.23 а • Sx — а «(ах + а) — а — ах.
2.232. В силу 2.231 а (Ь — 0)« ab — ab — а • 0; a (b — Sc)«
= a{(b — с) — l}«a(ft — с) — а и в силу 2.21 ab — a*Sc =
= ab — (ас + а) — (ab — ас) — а.
2.233. В силу 2.232 и 2.1 х — х2« х (1 — х) «0.
2.234. В силу 2.232 и 2.1 (1 — х) (1 — х) = (1 — х) х (1 — х) =
= 1 — х.
2.24. По теореме 2.63 {1 — | a, b |} (b — а) - {1 — | a, b |} X
X(ft-=-ft)~0.
2.241. Используйте 2.232 и 2.24.
2.242. Если f (a, b) = (b — a) (Sa — ft), то f (а, 0)« 0, f (0, ft) -
«= ft(l — ft) = 0 и f(Sa, Sb) = f(a, ft), так что f(a,b) удовлетворяет
тем же дважды рекурсивным вводящим равенствам, что и нулевая
функция Z(a, ft) —0.
2.243. Доказательство такое же, как для 2.242.
2.244. Как выше.
2.2441. Как выше (используя 2.201).
2.245. Если f (a, ft) — (ft — a) + (Sa — ft) и g (a, b)= 1 + (a — ft)+
+ (ft — Sa), to f (a, 0) = Sa — g (a, 0), f (0, Sft) = Sb « g (0, Sb) и
f(Sa, Sft) = f(a, ft), g(Sa, Sft) = g(a, ft).
2.246. Доказательство таксе же, как и в 2.245.
2.25. Используйте двойную рекурсию, как в 2.245.
2.251. Подставьте по очереди 0 и Sr вместо г.
2.26. В силу 2.22 a (х) — 1 -»(1 — 1) — (1 — х) и, следова-
тельно, a(x) — 1 — 0; а (0) + {1 — а (0)}= 1, a(Sx) + {1 — a(Sx)}» 1,
так что а (х) + {1 — а (х)} = 1; а (0) — 0 = a (Sx) — Sx « 0, что до-
казывает а(х) —х = 0. х • а (х) х — х (1 — х) = х; а(1—х)«
^1— (1— (1— х))=1 — а (х); а (а (0)) = а (0) = 0, a(a(Sx)) =
= а (1) = 1 = a (Sx), так что а (а (х)) « а(х). Аналогично, 1 — а(х)«
= 1— х. В силу 2.1 а (х) а (х) = а(х) — (1 — х) а (х) =
= а(х) — (1— а(х))а(х) = а(х). Более того, a(0-i/)«0 =
= a(0)-‘a(i/), а(х*0)«0^а(х)-а(0) и a(Sx-St/)«=a(S(x + ^ +
+ ху)) = 1 » a (Sx) • a (Sy). Наконец, из f • g — 0 следует a (f • g)« 0
и, значит a(f)*a(^) = 0, a (f) • g- a (g) «0, a(f)-g«0.
2.261. Если f (ft, с)«{ft — ft • a (c, ft)) + c • a (c, ft), g(b, c) = c,
to f (0,c) = c = ^(0, c); f(bt 0)~0-g(ft, 0); f (Sft, Sc)« (ft + 1) (1 —
— a (c, ft)) + (c + 1) a (c, ft)« f (ft, c) + {1 — a (ct ft)} + a (c, ft) = S /(ft, c)
и g (Sft, Sc) *=Sc*=Sg (ft, с), так что f (ft, c) = g (ft, с). Более того,
{1—a(x, t/))x = {l — |x, y|}x«{l — | x, у h = {l — a(x, y))y в
силу 2.26.
2.271. Подставьте по очереди 0 и Sc вместо с.
2.272. Используйте двойную рекурсию, как в 2.245.
РЕШЕНИЯ ПРИМЕРОВ
245
2.273. Обозначим (1 (1 — a) b) (1 — ас) Ъ через f (а, Ь, с) и
(1 (1 — a) b) (1 — с) b — через g (а, Ь, с); тогда f (а, Ь, с)
— g(a, b, с) «(1 — (1 — a) b) b ((1 — ас) — (1 — с)) -
— (1 — (1 — a) b) (1 — а) b • а (с) = 0 и g (а, b, с) — f (а, Ь, с) —
— (1 — (1 — a) b) b ((1 — с) (] ас) ) =д откуда следует, что
|А g 1“0 и поэтому f — g.
2.274. Подставьте по очереди 0 и Sa вместо а.
2.28. xm-x°-xm-xm+0, xm-xSn^(xm-xn)x и xw+Sa-
— х5(т+я) »хт+Л-х, откуда следует 2.281.
В силу 2.281 (xw)°—1—xm‘°, (xm)Sn — (хт)п • хт
и xmSn — хтп+т в хтп. xmt и в силу 2.03 (xy)Q — 1 = x°g°, (xy)Sn —
= (ху)п-ху и х5"• ySn-(х"• х)• (У1 • у) = (хп• уп)• ху.
2.29. Повторным применением формул а + Sb — Sa + b и 1 — SO,
2“SI, ...» 9-S8, 10-S9 получаем 3-2-3-SI «3-1+3 = 34-3 =
— 4 + 2 — 5+1 — 6 и, аналогично, 4-2 — 8. Затем мы действуем так:
3-7 —7-3 —7-S2 —7-2 + 7 —(7+ 7)+ 7,
7 +7-7 +(3 + 4)-(7 + 3)+ 4- 10 + 4,
(10 +4)+ 7- 10+ (7 + 4)- 10+ (7 + 3)+ 1-10+ 10+ 1-2-10+1,
так что 3-7 — 2-10+1.
Аналогично, 4-7 — 2-10 + 8. Для вычисления 34 - 27 имеем
всилу 2.01 (3-10 + 4)(2-10 + 7) = (3-10 + 4)-2-10 + (3-10 + 4)-7 =
-6-10* +8-10+(2- 10+ 1) 10 + 2- 10 + 8-(6 + 2) 10*+ (8 + 2) 10 +
+ 1-10 + 8 — 9 -10*+1-10+ 8, снова в силу 2.01 и 2.03.
2.31. f-(f + g) —g-0 —g-0.
2.32. {х + (1 — x)}f = {l +(х-^ l))f-f + (х — l)f, откуда ре-
зультат следует в силу 2.31.
2.33. Из {1 — (g —/)}Л —0 мы выводим
(Sf^-g){l-^(g^-f)}h~O
и, следовательно, (Sf — g) А — 0, так как в силу 2.242 имеем
(Sf — g)(g —Л“0.
2.331. Используйте 2.246 и 2.31.
2.332. (f^Sg)h^(f-^.g)h^h^ 0.
2.34. Используйте 2.2441.
2.341. 0-(1—f)(l^a(g))-(l^D^a(g)(l—П =
— (1 — f) — a (g), поскольку f • a (g) — 0; ио a (g) — 1 — 0 и, следо-
вательно, (1 —/)<x(g) —(1 — Л-0, откуда a(g) —(1 — f)«0.
Поэтому | a (g), 1 — f | — 0 и, следовательно, a (g) = 1 — f.
2.35. f(g-L.A)-fg-^fh-O; f(h^-g)~fh — fg~O.
2 351. К f*g — O добавьте (1 — f)fg = ^ и используйте 2.32.
2.36. Из fg — O и (1—g)/i —0 мы выводим fgh^Q и
(1 -^g) /Л —0 и нужный результат получаем с помощью сложения,
используя 2.32.
246
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
[I
2.37. Из данных равенств следует (1 — f) (g + (1 -1- g) qp) = О,
(1 — /)ЯФ“0> (1 — /) (1 — g) и, следовательно, имеем
О — /)ф(£+(1 — g) М откуда (1—f)(p = O, ибо
g+d^g)»l + (g-^l). ч
2.41. Положим f (х, z) = (х 4- у) — z, g (х, z) =«= (х — z) 4-
+ {g — (* — *)}» тогда f (0, z) « у — z - g (О, z), f (х, 0) - х + у =
“ g (х, 0) и f (Sxt Sz) « f (x, z), g (Sx, Sz) = g (x, z).
2.42. Подставьте 1 вместо у и х— а вместо z в 2.41.
2.421. Двойная рекурсия с использованием 2.42. Общее значение
а — (а — Ь) и b — (Ь — а) является наименьшим из а, b и обозна-
чается через min (а, Ь). Кроме того, мы можем использовать равен-
ства 2.62, 2.611 и пример 2.22 следующим образом:
а — (а — Ь) = {(а 4- (Ь — а)) — (Ь — а)} — (а — Ь) =
= {(Ь 4- (а — Ь)) — (а — Ь)} — (Ь — а) = b — (Ь — а).
2.422. (а — b) (Sb — с) =* (а — b)l((a + Sb) — а) — с} =
~(a-*-b) {((a4-Sb) —с)-»-а}-(а —Ь) {((а — с) 4-
4- {Sb (с — а)}] — а)«= (а — b) {(Sb — а) — (с — а)} = 0
в силу 2.242, ибо (а — Ь) (а-3-с) = 0. Поскольку Sb — с = (Ь — с)4~
4- {1 — (с — Ь)}, то, конечно, (а — Ь) (Ь — с) = 0.
2.423. В силу 2.41 и 2.32 (а — Ь) (с Ь)« 0 следует из (а—Ь)Х
X(Sc —Ь) = 0 и (а — Ь)(с — Ь) = (а — Ь){((с4-а) — а) — Ь} =
- (а—Ь) {((с — а) 4- а) — Ь} = (а—Ь) {а^Ь 4- ((с^а) — (Ь—а))},
откуда (а — Ь)2=»0 и, следовательно (в силу 2.233), а — Ь = 0.
2.43. | b, а + (b — а) | = | b, b 4- (а — Ь) | = а — Ь.
2.44. Двойная рекурсия, используя 2.42.
2.45. а == (а 4- b) — b = (а — Ь) 4- {Ь — (Ь — а)} = с 4- Ь.
2.451. Из р | Ь, с | = 0 мы выводим как р (Ь — с) = 0, так и
р (с — Ь) = 0; тогда получаем р (а — с) =- р {((а 4- Ь) — Ь) — с} «
« р{( (Ь4-а) — с) — b} = p (а— Ь), используя 2.41. Аналогично,
р (с — а) =*р (Ь — а). Таким же образом из р\Ь, с 1 = 0 мы выво-
дим по очереди | pb, рс | = 0, pb^pc и поэтому из pa — pb =
— pa — pb следует ра~ pb~ ра — рс и т. п.
2.452. Это следует из 2.451 и 2.1.
2.453. Это следует из 2.451.
2.46. (с — b) (Sa — с)»({(с 4- а) — а} — b) (Sa — с) =
= {( (с4-а) — b)—a}(Sa — с) =
= {(с^-(Ь^- а)) — а} (Sa-*-c)«
= {(с — а) (Ь — а)) (Sa — с) - 0
в силу 2.242, ибо а — b = 0.
2.461. (а — с) {1 — (а — Ь)} = ({(а4-Ь) с) — b) {1 — (а — Ь)}=
» ({а (с Ь)} —Ь){\ — (а — Ь)} =
= {(а^Ь) ^(с^Ь)}{1^(а^Ь)} = 0,
ибо b с = 0.
2.462. р (а — с) = р {((а + Ь) — с) — Ь} =
«=р{[(Ь-^с) + {а^(с-^Ь)}] -Ь}«
« р ((а — Ь) — (с — Ь)} = 0, ибо
р (Ь — с) = р (а — Ь) = 0.
РЕШЕНИЯ ПРИМЕРОВ
247
2.47. Из (1 — а) с = 0 и (1 — Ь) с = 0 мы выводим с — Ьс « 0 и
be abc =-« О, откуда в силу 2.462 с — abc = 0, т. е. (1 — ab) с « 0.
2.4701. Из (1 — ab)c = Q следует (1 — ab) (1 — а) с — О, что,
сложенное с ab(\ — а)с = 0, влечет (1 — а)с = 0; аналогично
(1
2.471. Из (1—а)Ьс = О и abc (\ — Ь) = 0 мы выводим
(1 — ab) = O в силу 2.462.
2.472. {1 — | а, Ь |} с Ml — {(а — *) + (* — а)}) с =
М{1-МЬ —а)}-На-=-Ь)1с~0,
ибо {1 — (Ь — а)} с = 0 следует из (Sa — b) с = 0.
2.473. В силу 2.242 имеем (а — Ь) (Ь — а) = 0 и, следовательно,
{1 — (1 -- (а — Ь))} (Ь — а) = 0, откуда b — а — 0, и результат
следует из 2.45.
2.48. Подставьте {1 — (1 — х) у} у вместо с, х — вместо а и
z — вместо b в 2.471; затем из {1 — (1 — х) у] у • (1 — х) z « 0 вы-
водится 2.48.
2.481. {1 — |а, Я}сН{1 — (Ь~ а)} —(а —*)]* =
= [{1 —(Ь~а)} + (а —Ь)] с,
ибо (а ~ Ь) с = 0; отсюда вытекает результат.
2.49. {1 — (1 — a) b} (1 — а) = (1 — а) — (1 — а) b =
«(1 — а) (1 — Ь) в силу 2.234.
2.491. Заметим, что так как (1 — d)c — Ot то мы имеем
{1 — (1— а) Ь}{(1 — а)+ (!—<*)} * = {1 — 0 — а) Ь}(1 — а)г =
= (1—а)(1—*)св0
и, следовательно, 2.491 следует в силу 2.47.
2.5. Из (а) мы получаем b — (Ь — а) ~{а + (Ь — а)} —
— (Ь — а) = а и а — b = а — (а 4- (Ь ~ а) ) = (а — а) — (Ь —*а)=0;
из (Р) выводим (й —а) + а = (/) —+ —(&—а)} =
= b + {(b— а) — b} = b и а — b— {b (b — а)} — b — (Ь ~ Ь)—
— (b — а)*=0; из (у) получаем а 4- (b — а) = b + (а — b) = b и
b — (Ь — а) — а — (а Ь) = а.
2.6. Двойная рекурсия.
2.701. По теореме 2.68, поскольку 1 — f (а, а 4- (Ь — а)) = 1,
то {1 — | а 4- (Ь — а), b I} f (а, Ь) » 0, и результат следует в си-
лу 2.43.
2.71. Это следует из 2.701 в силу 2.33.
2.711. Как и в 2.701, {1 — | Sb + (а — Sb), а |} f (а, Ь)~ 0 и,
следовательно, {1 — (Sb — a)) f (а Ь) = 0, откуда, умножая на
(а — Ь), получаем результат с помощью 2.242.
2.72. В силу 2.701 и 2.71 [{1 — (а — Ь)) 4- (а — b)] f (а, Ь) = 0,
и результат получается с помощью 2.32.
2.7201. а — (а — (а — Ь)) = (а — Ь) — {(а — Ь) — а}«
= (а — Ь) — ((а — а) — Ь} = а — Ь;
{1 — (Ь — а)}{Ь ^-(а-(а-^Ь) )} = '
= {1 ^(b^a)}{b^(b-(b-^a))} = {1 — (Ь — а)}(Ь — а)«= 0.
248
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
П
2.7301. По теореме 2.68 {1 — | х, р — (р — х) |} f (х) — 0, ибо
f (Р ~ (Р — *))в 0 и, следовательно, {1 — (х — р)) f (х) = 0. Ана-
логично, {1 — (Sp — х)} f (х) = 0 и результат получаем с помощью
сложения, используя 2.6.
2.7302. Рассмотрим, например, случай р = 2; имеем / (0)« 0,
f(l)~0, f (2) = 0, f (24-Sr) = 0. Пусть ф (М = f (2 4-г); изф(0) = 0,
<p(Sr)*s=0 следует, что ф(г) = 0. Пусть (г) — f (I + г); из ф(0)«0,
-ф (Sr) «= <р (г) = 0 следует ф (г) = 0. Наконец, из f (0) = 0, f (Sr) =
= ф (г) — Q следует f (г) = 0.
2.7303. Пусть Ф (г) « f (р — г), тогда ф (0) = 0, ф (Sr) = 0 и, сле-
довательно, f (р — г)» ф (г) « 0, и результат получается с помощью
2.7301.
2.7304. Если ф (х) = | f (х), р |, то ф (0) = 0, ф (Sx) = ф (х) и, сле-
довательно, Ф (х) =2 (х) — 0, откуда f (х) » р.
2.74. (х + 30) = Ц, (х) • / (Sx) = (х) • ф (х, 0) и
П, (х + SSr) - П, ' f + SSr>>
JJf (x) • Ф (x, Sr) = nf (X) • *₽ (*• r) • f (* + SSr)>
что доказывает первое равенство; следовательно, второе равенство
выполняется при г = 0 и при подстановке Sr вместо г и поэтому
выполняется и для любого г.
2.741. Если Ф(х) = {1 — f (х)} П/(х), то иф(5х) =
= {1 —/(Sx))f (Sx) jlj(x) = O.
2.81. AltSx- Altx = (l — Altx) Altx«0; Altx4-AltSx=Altx4-
4- (1 ~ Altx)«l; (1 — Alt 2x) (1 — Alt (2x +!)) = (! — Alt2x X
X (1 — (1 — Alt 2x)) = 0 и аналогично {1 — (1 — Alt (2x + 1))} X
X Alt (2x 4- 2) = 0, откуда в силу 2.36 (1 — Alt 2x) Alt 2 • Sx = 0, что
в сочетании c Alt 2-0 = 0 доказывает Alt 2х «• 0; следовательно,
Alt (2х+ 1)= 1. Наконец, a (Alt 0) = а (0) « 0= Alt 0, a(AltSx)«
— а(1 — Altx)=l — Alt х« AltSx, что доказывает a (Alt х) = Alt х.
2.82. Мы замечаем сначала, что Hf SSx — Hf х 4- Alt х4- Alt Sx=
= Hf x 4-1, откуда Hf (2 • Sx) = S Hf (2x), что вместе c Hf (2 • 0) = 0
доказывает Hf (2x) = x. Следовательно, Hf (2x 4- 1) = Hf (2x) 4-
4- Alt (2x) = x.
2.83. В силу примера 2.243 и вводящих равенств для Rtx,
обозначая для краткости Rt х через Rx, имеем
(1 — {SSx — (SRx)2}) RSx = (1 — {SSx — (SRx)2}) Rx
и, следовательно, в силу 2.35
(I — {SSx — (SRx)2}) • | Rx, RSx |- 0. (i)
По теореме 2.68
(1 — | Rx, RSx |) (1 — {SSx — (SRx)2}) (SSx — (SRSx)2) - 0 (ii)
Умножая (i) на SSx — (SRSx)2 и прибавляя к (ii), мы получаем
(1 — {SSx — (SRx)2}) {SSx ~ (SRSx)2} = 0. (A)
РЕШЕНИЯ ПРИМЕРОВ
249
В силу примера 2.241, умножая вводящее равенство на
1 — | (SRx)2, Sx мы получаем
{1 1 (SRx)2, Sx |} • RSx - 1 {| (SRx)2, Sx |} • SRx
и, следовательно,.
{1 —1 (SRx)2, Sx |} • | RSx, SRx | = 0. (iii)
Снова по теореме 2.68
{1—1 RSx, SRx |} {1 — | (SRx)2, Sx | } • | (RSx)2, Sx | = 0 (iv)
и, прибавляя |(RSx)2, Sx| раз (iii) к (iv), получаем
{1 | (SRx)2, Sx |} • | (RSx)2, Sx | = 0. (v)
Следовательно,
{1 — I (SRx)2, Sx I} {Sx — (RSx)2) = 0,
поэтому
{1 — I (SRx)2, Sx ]) {SSx (SRSx)2}» 0. (B)
Из (А) и (В) в силу примера 2.34
(I -HSx (SRx)2}) (SSx — (SRSx)2)« 0;
но SO — (SRO)2 « 0 и поэтому
Sx —(SRx)2 = 0. (vi)
Из (v) мы получаем
{1 — | (SRx)2, Sx |} {(RSx)2 — Sx) = 0. (C)
Опять из вводящих равенств мы находим, что имеет место
{(SRx)2 — Sx) | Rx, RSx | « 0. По теореме 2.68
(1 — | Rx, RSx |) (1 — {(Rx)2 — x}) ((RSx)2 -^-x) = 0
и, следовательно, в силу примера 2.36
((SRx)2 Sx) (1 — {(Rx)2 — x}) ((RSx)2 — x) - 0,
откуда в силу 2.332
((SRx)2 — Sx) (1 — {(Rx)2 — x}) ((RSx)2 Sx) =» 0. (D)
Из (C), (D) (так как 1 — |a, b | =« {1 — (a — b)} — (b — а) и prs == 0
следуют из qrs = O и (p — q)r = 0)
(1 — {Sx — (SRx)2)) (1 —{(Rx)2 x}) ((RSx)2 - Sx) = 0
и поэтому в силу (vi)
(1 — {(Rx)2 x)) ((RSx)2 Sx) = 0,
что вместе с равенством (RO)2 —0 = 0 доказывает (Rx)2 — r = G.
2.9. Из {1 -=-(l — nl)l(l — rt!) = 0, {1 — (1 — rt!)} (1 — Sn, =0
в силу примера 2.47 следует {1 — (1 — a!)} {1 — (n!) Sn} = 0, т. e.
250 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ |!
{1 — (1 — nl)} {1 — (Sn)!} = 0, что вместе с 1 — 01 = 0 доказывает
I-s_rtf = O. Далее (S0)l - 1 - JJS (0); (SSn)l ={(Sn)l}SSn и
IL(S«) «= (л) • SSn, а это доказывает, что (Sn)!« Пз(п).
2.91. Из (1 —с){1 —(1 —с)) = 0 и {1 — (1— а)(1 — 6)} X
X (1 — а) (1 — Ь) °0 следуют такие два равенства:
{1 (1 ^а) (1 Ь)}(1 -*-с){(1 -Ml -=-с) )^-д}-0,
{1 _^(i -u fl) (1 Ь)} (1 — а) {(1 — b) — (1 - c)}s0,
откуда в силу примера 2.47 получаем
{l^(l^fl)(l_u6)}(l —ас){1 —(Ь + (1—с) )) = 0.
Глава III
3.01. Используйте примеры 2.25 и 2.26. 3.02. Примеры 2.25. 2.47
и 2.26. 3.03. Примеры 2.351, 2.1. 3.031. Примеры 2.25, 2.1. 3.032. Ассо-
циативное свойство сложения. 3.04. Пример 2.1. 3.041. Примеры 2.25,
2.1. 3.05. Коммутативное свойство умножения. 3.051. Пример 2.25.
3.052. Пример 2.25. З.Ов. Коммутативное свойство умножения.
3.0601. Пример 2.31. 3.061. Пример 2.36. 3.0611. Пример 2.25.
3.062. Пример 2.26 (последняя часть). 3.063. Пример 2.471. 3.064. При-
мер 2.351. 3.07. Пример 2.36. 3.071. Так же, как 3.07. 3.08. Так же,
как 3.07. 3.081. Так же, как 3.07. 3.082. Пример 2.351. 3.083. Пример
2.48. 3.084. Пример 2.351. 3.085. С помощью примеров 3.081, 3.083 и
3.084. 3.09. Пример 2.25. 3.091. Так же, как в 3.09. 3.0911. Примеры
2.25, 2.36 и 2.232. 3.092. Пример 2.232. 3.093. Примеры 2.25 и 2.232.
3.1. Пример 2.242. 3.11. Примеры 2.331 и 2.244. 3.12. Пример 2.244.
3.121. Данная формула эквивалентна формуле
(Sb — a) (Sc — b)(a — c) = (Sb — a) (Sc — b) {{(Ь — с) +
+ (а — (с Ь))} — b] = (Sb — a) (Sc — b) • {(а — Ь) — (с — Ь)}« 0.
3.13. Эквивалентно 3.12. 3.131. Теорема 3.43 и пример 3.052.
3.132. Теорема 2.63 и пример 2.35. 3.14. Пример 2.1. 3.15. Пример
2.4701. 3.16. Если f(x) = 2л— (1 + х2), то f(0) == 0, f(Sx) -
« (2х + 2)— (2 + 2х 4- х2) = 0. 3.161. Если f(a, b) = 2ab — (а2 + b2)t
то f (а, 0) « f (0, b) = 0 и f (Sa, Sb) = f (a, b), так что f(a, b) = 0.
3.17. Пример 2.43. 3.171. В силу теоремы 2.63 и примера 2.25 имеем
{1 ~ I я» Д|}-|/(а, b), f (A, b)| = 0
и
{l^-|b, B|)-|f(A, b), f(A, В)| = 0;
умножая первое равенство на 1 — [ Ь, В |, а второе — на 1 —|а, А |
и используя пример 2.453, получаем
{1 —|а,А1}{1—|b,B|} (a, b)J(A, В) | = 0,
откуда результат получается с помощью примера 2.25.
РЕШЕНИЯ ПРИМЕРОВ
251
3.18. Действительно k^b->b = k + (b —k) и Z<a->a«=Z4-
+ (а — Z), ka — lb » k (I 4- (a — I)) — I (k4- (b — k)) - k (a — I) —
— l(b — k) [в силу примера 2.23] « (fe4-(6 — Л)) (a — Z)—
— (I + (a — I)) (b — k) [в силу того же примера] = b (а — I) —
— a(b — k),
3.19. b^c->b**c + (b~c) и b~c + (b — c) -> (a + Ь) — c =•
{a+ (b — c) + c}c.
3.191. I < n -> n =“ I + (n — Z), m<n->n«/n + (n —m) и, сле-
довательно (в силу примера 3.131),
Z<n&m^n->{Z + (n — Z)«m + (n — т)}
->{l +S (n —I) = Sm +(n-3- m)};
HO
n — I < n — m->S(n — l)^n — m
-* {Sm + (n — m)} — S (n —l) =
« Sm 4- {(n — m) — S (n — Z)},
и поэтому
l^n&m^n&n —1 < n — m->l = Sm 4- (Z — Sm) -+l> m.
3.192. p > q & r s -> (p « q + (p — ?)} & {r = s 4- (r — s)} ->
-> {(p 4- s) — (q 4- r)} «{(q 4- s 4- (p — q)) — (q 4- s 4- (r s))} =
« (p q) — O' — s)‘
3.193. Обозначим данную импликацию через Р (п), Р (0) — это
просто (1 — х) {f (xj| — f (0)} = 0. Из (x=*Sn)->{f (x) = f(Sn)} и
a = Нс следует (х = Sn) -> {f (х) ($Л)}» и отсюда
мы выводим Р (л)-> {(x^Sm) ->(/(х) ($*))}; аналогично, из
a^.b->a^b + c мы выводим
Р (п) -> {(X < П) -> (f (X) < 2 f
Отсюда в силу примера 2.47
Р (n) -> {(х < n) V (х - Sn) -> (f (х) < 2f (Sn))},
и затем в силу примера 3.11 мы выводим Р (п) -> Р (Sn), что дока-
зывает Р (п) по индукции.
3.194. (р —г) —(<7 —г)=р —(г+(<?—г))=р —(<?+(г —д)) =
= (р — q) — (г q) и, следовательно,
{1 — (г — ?)) {(р — г) — (р -- г)} = {1 — (г — <?)} (р — q),
откуда {1 — (г — q)} \(p — r) — (q — г), (р — q) | = 0.
3.2. Пусть р (х, а) обозначает равенство f (х, а) — 0; из дока-
занного равенства f (х, а) = 0 мы выводим f (0, а) = 0 и / (Sn, а) = 0
и поэтому
О —Sf(«)} Sf(sn) = {i — SiH {Sf(«)+^Sn- «)}=о.
В случае второй схемы мы замечаем, что {1 — f (х)} ILW-o
в силу примера 2.741.
252 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ (I
3.31. Подставьте по очереди 0 и Sn вместо п.
3.32. Поскольку ~ ~ р р, то нам надо доказать ф (п) «
« III (гДе (1—ЛОО обозначает функцию
1 ^rf(n)). Результат следует из равенств
Ф(0)-/(0).(1-Ч(0))-0,
{1 - Ф (п)} Ф (Sn) - {I ф (n)} {Sf (я) + f (Sn)} П1 * f W X
X (1 — / (Sn)) — (I Ф (n)) Ф (n) (1 f (Sn)) - 0.
3.321. Если ф(п)«» О —ILooH1 —to
1> (0) - {1 — f (0)) (I-Ч1-Ч (0))} - о
{1 — Ф (n)} ♦ (Sn) - {1 -4t IL (n))(l -=- 31 - /<«>)) X
x(i —nf(n)-f(Sn)Hi—{Si-fW+U—f(Sn))}}-0
в силу примера 2.91.
3.322. Это следует из двух предыдущих примеров.
133. (1 — 2,(0)р(0)-0 и
(1 — 21 (Sn)} f (Sn)-{14 (Sn)} f (Sn) 2 f (n) f (Sn) - 0.
3.34. Индукция по n с использованием примера 3.041.
3.35. Пусть / — L"p (x), тогда E* p(x)-*p(l) & f < n,
I < n -> I« n — (n — /), I - n — (n — I) -+ {p (/) -> p (n — (n — /))}
и, следовательно (используя пример 3.092),
E* p (x) -> p (n — (n — /))
-+E?p(n — r).
3.36. Это следует из 3.33 и 3.34.
3.37. Положим ф(а, х) —f (х, а); в силу примера 3.36 мы имеем
Aat+cg(t, а + с)-0}Ч(а, а + с)-0,
так н
А*}*6 {ф (/, а + с) — 0} -> ф (а, а + с) - 0,
т. е.
A^c{f(a^ct f)-O}->f(a + c, а)«0.
Поэтому» если Р(х, а) обозначает
Wt a)-0}&4j(f(x, tt)-O)->f(x, а)-0,
то мы доказали как Р (а + с, а), так и Р (а, а + с)9 откуда Р (х, а)
следует в силу примера 2.272.
РЕШЕНИЯ ПРИМЕРОВ
253
8.38. Обозначим L™ (f*(x)— а) через 6, тогда Е™ (f (х) « а)
-*f(b) — a. Так как f(b)« а -+ (р (а) -> р (f (b))}, т. е.
V (6) - а)&р(а)->р(/(6)) и b<m, то Е™ {{(х) = а) & р (а) -+
-*Е% p(f (х)) в силу примера 3.42.
3.39. f (а) “ 0 следует из {1 — | а, а |} f (а)« 0.
3.391 . 1 — f (а) — 0 следует из {1 — f (а)) {1 — | а, а |} — 0.
3.392 . Из р (а 4- г) -* q (а) мы выводим р (а 4- (Ь — а)) -* q (а);
по теореме 3.43 {Ь « а + (Ь а)} {р (Ь) -> р(а + (Ь а))} и, сле-
довательно, (Ь° а4- (Ь — а)}—>{р(д) (аН, откуда, взяв Ь—г
вместо а, в силу (Ь — г) 4- [Ь — (Ь — г)) — b 4- {(b — r) — b} — b
имеем {6 — 6} ->{р (b) -*q(b — г)} и, следовательно, р (b) ->q (b—r).
3.41. (1—flfW} IIf(n)}IIf(«)-MS«)-0-
3.42. Пусть P (ft) обозначает формулу a < b & p (a) -> Ebp (x),
где p (x) — пропозициональная функция f (x)=0. P (0) выполняется no
теореме 3.43. Поскольку E^p (x) -► E$bp (x) (в силу примеров 3.322,
3.34), то P(b)-+{a^b&p (a)->£®*p(x)}; но {(a-Sb)&p (a))->p (Sft)
(теорема 3.43) и, следовательно, (a — Sft) & p (a) -> E%bp (x). Так как
(a < Sb) (a < b) V (a “Sb) (пример 3.11), то в силу примера 3.081
Р (Ь) -► Р (Sb), что завершает доказательство Р (Ь) по индукции.
,3.5. Пусть Q (г) обозначает A?+Srq (х), • тогда Q (0) следует
из A?q (х) и q (р4-1); так как Q (Sr) эквивалентно Q (г) & q (p4-SSr),
то q (р + SSr) -► (Q (г) -► Q (Sr)) и, следовательно, Q (г) -> Q (Sr)
следует из q (р 4- SSr), что доказывает Q (г), т. е. A?+Srq (х). В силу
примеров 3.34 и 3.392 A^rq(x) следует из A^q(x), и поэтому
A*q(x) следует в силу примера 2.7301.
3.8. Имеем b < / -* ~ р(п -*-Ь) в силу характеристического
свойства L-оператора. Так как g <а&а^п-*п — а<1 (взяв п — а
в качестве т в примере 3.191), то g < a&a< п->~р (п — (п — а));
но а < п -> а в пЧ- (п а) и, следовательно, ^<a&a<n->^p (a),
что доказывает (ii). Формула (i) следует из примера 3.35.
3.7. Так как a«0->ab®0, то ab > 0 -* 1 & b 1. Более
того, a > 1(р4-1) a > (у4-1) > р. Из (р4-1)а>р следует
£^+l~{nb^x&па^у} и поэтому, если У •* L£+1~{nb<x&na<p},
то ~{Nb ^x&Na^y); так как 0 < х & 0 С Р» то W> 0 и, следо-
вательно, ЛГ — 1 < AL Но п < N -* {nb < х & па < р} и поэтому
N — 1 является наибольшим значением п, для которого nb х & па^у.
3.81. Из доказанного равенства (1 — р)р(х) = 0 мы выводим
(1 — р)р(О)-»О и (1 — р)р(х4-1)«0, поэтому
a - (I р) S, W )(i -‘-р) 2, (*+о=
- (1 -U(l -up) 2, (х)) (1,—р) 29 (X)=0»
и по индукции следует (I — р) 2e М “ 0-
254/ РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ [I
3.82. Из доказанного равенства (1 — q(x))p*=0 следует
(1—<;(0))р«0 и (1 — q (х 4-1)) р = 0 и отсюда, используя при-
мер 2.272, получим
О—О -ILtoMO — П/*+1))р=
П/*))₽}(1-м(*+1))р-°.
что завершает доказательство по индукции.
3.831 . Из истинной формулы
(п — г) > п (0 = 0)
и предыдущего примера следует
Enr((n — г)>п)->~(0«0),
откуда
(0~0)->~£гп((л — г)>п)
-+~Е%(х> п) (в силу примера 3.35)
-> А* (х < п),
а отсюда с помощью примера 3.39 мы выводим А* (х < п).
8.832. В виде ~ (у < л -► р (#)) -> ~ А*р (х) это эквивалентно
примеру 3.42.
3.838. Если обозначить функцию р • q (х) через г (х), то нам
надо доказать (1 — 2Г 00 )р 2? Это слеДУет из равенства
2г 00 e Р 2? М» которое легко доказывается, если заметить, что
оно верно при п — 0 и что
Зг(п+1)-Зг(п) + Р'<?('’ + 1)
и
р • 2? +1) “ р • w+р • я (п+о.
3.834. Взять ~р вместо р в примере 3.833.
8.84. В силу 3.81 р -* A* (q -► г (х)) следует из р -> (q -> г (х))
и в силу 3.834 А * (q -> г (х) )->(<? -> А*г (х)), откуда следует истин-
ность рассматриваемой схемы.
3.91. Как и в примере 3.833, если г (х) = р • q (х), то 2г00в
“ Р • 2$ 00 и» следовательно, (1 — р) 2 r ) = (1 ~ Р) Р 2/ft)а °-
3.92. Положим г (x)=p+q (х); тогда 2Г (п) = (п + 1)'р + 2$ W»
ибо функции и в левой и в правой частях этого равенства удовле-
РЕШЕНИЯ ПРИМЕРОВ
255
творяют одним и тем же вводящим равенствам, а поэтому
О — ХМ Ь+ХМЧО — (р+ХМ)—МО’+ХМ-0
и
О — (р+X м)} X (") -11—О’+X («))} пр -
- Ч—р) — X Мрп “ °-
3.93. Функции Sp+g М и М + 2$ как легк0 показать,
удовлетворяют одним и тем же вводящим равенствам, и из равен-
ства 2р+д + М следует рассматриваемый пример.
3.931. Рассмотрите отрицания обеих частей 3.93 с ~pt ~q
вместо р, q,
3.94. Пусть г (х) = {1 — р (х)} q (х), так что нам надо доказать
ф (п) = (1 — X W)0 ~ X № ) X = °- Ясн0> чт0 Ф (°) ” 0 и
ф(«+1)-(1-’-33«+1))(1—X («+1))Х(я+1)=
-{(1— г(п+1))-=-ХМх
х{(1—р («+!))-=-ХМ {?(«+о+ХМ-
- Ю X <«)) ^г («+’ )Н0 -1- X (п)) р («+1)) X м -
= ф(п)—{(1—X (л))р(п+1) + (1—X('l+1>)r(n+l)} X («)•
ибо (1 — г (n+ 1)) (1 — р(л + 1))<7(л+1) = 0, и поэтому имеем
(1 — ф(п)) ф (п + 1)== 0, что доказывает ф (п) = 0.
3.95. Д* (х < п -> р (х)) -> (4" (х < п) -> Ахр (х)) в силу 3.94
и поэтому Ах (х С п) -> (Д£ (х < п -> р (х) ) -> Ахр (х)), в силу чего
первую часть рассматриваемого примера можно вывести из при-
мера 3.831. Что касается второй части, то в силу 3.832
Апхр (х)^(у^п^р(у))
и, следовательно,
Ахр (х) -> Апу(у^п-+р (у))
4^ (х С п -► р (х)).
3.96. Рассмотрите отрицания обеих частей 3.95 с ^р вместо р.
3.97. Из равенства (1 — (1 — р) q) (1 — (1 — q)) (1 — р)» 0
(которое доказывается, если взять в качестве р по очереди 0 и Sp)
мы выводим (р (х) (х)) ~ (х) ->~р (х)), а из этого дока-
занного равенства мы получаем
Апх (р (х) -><7 W ) -> A* (~q (х) -^^р (х))
->(л"(~<7(х))->л;(~р(х)))
->(ф (х)->£^(х)).
256
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
П
3.98. Скомбинируйте формулу 3.97 с формулой, получающейся
из нее перестановкой р (х) и q (х), а затем примените пример 3.93.
3.981. Л"(р(х)->р)*-*Л"(~р(х) V<?)*-*(~Ety(x)V q)
♦* (Е%р (х)-><?).
3.982. Л"Л"р (х, у) Л"Л"р (и, и)
-+А*(у^п-*р(и, у))
-*(х<п)-*(у<п->р(х, у))
и, следовательно, (А^АдР (и, о) & у < я) -> ((х < п) -► р (х, у)); по-
этому (А"А"р(и, v) & у п)-+А"р (х, у) и, следовательно,
Л£Л"р («, о) ->(у < п -* А"р (х, у)), АуА*р (и, о) -> АуА"р (х, у).
3.983. Рассмотрите отрицания обеих частей 3.982 с ~ р вместо р.
3.984. Из (х С п) & Р (*, У)-*Е^Р (А У) мы последовательно
выводим
А" ((х < ») & р (х, у)) -> А^р (г. у),
Щх^п&А'р (х, у)) -> А^р (г, у),
ЕпхАпур{х,у)^АпуЕпкр(х, у).
3.99. ОД (Р (*) &р(у)&х> у)++
-w Е*Е% (р (и) & р (о) & и > о)
ЕуЕх (р (у) &р(х)&у> х)
Е%Е% (р (х) & р (у) & у > х) в силу 3.983;
из равенства
(1 — (а + Ьс)) (а + Ь) (а + с) «(а + с) ((1 — а) be) b ==
= ((1 —Ьс) — а) Ьс = О
мы выводим р(х)&р (у) & ((х > у) V (х < у)) (р (х) &р(у)&
& (х > У)) V (р (х) & р (у) & (х < у)) и, следовательно, с помощью
двух применений примера 3.931 и с помощью равенства
(1 — (1 — b) а) (1 — ab) а = 0 получаем
ЕпхЕпу(р (х)&р(у) &х^ у)^Епх^у(р (х)Ьр(у) &х>у).
Глава IV
4. R (0, 0) = 0 и по теореме 4.03 п > 0 & л=л • 1+ 0->/? (п, и)=0.
4.01 . Если ф (а) = R (а, 0), ф (0)« 0 и ф (5а) « £ф (а) • а$ф (а) «
» Зф (а), так что ф (а) ® а. Аналогично, Q (а, 0) = 0.
4.01 1. х > 0 & y = i)~>R (х, р) = х > 0.
4.01 2. R (а, Ь)« 0 -> а = Ъ • Q (а, Ь), R (bt с) = 0 -> b = с • Q (Ь, с)
и, следовательно, R (at b) « 0 & R (Ь, с) = 0 -> а « с {Q (а, Ь) • Q (Ь, с)},
РЕШЕНИЯ ПРИМЕРОВ
257
откуда <?>0-*{R(a, b) = Q&R(bt c)«0->R(a, с)-0}, Но
c = 0&R(bt с) «= 0 -> О, Ь * 0 & (4, 6) = 0 -> а 0, и поэтому
с « 0 -> {R (а, Ь) « 0 & R (bt с) — 0 -> R (а, с) — R (0, 0)» 0), что завер-
шает доказательство.
4.013. Х“0&/?(а, х)«=0->д«=0, поэтому
x-0->{R(a, x)»0->R(ad, х) -R (0, 0)-0);
х > О A R (а, х) “ 0 -> ab = х {Ь • Q (а, х)} -* R (ab, х)« 0.
4.01 4. Достаточно доказать эквивалентную формулу
R (ах, 6х) = 0 & R (а, Ь) > 0 -> х «= 0.
Поскольку а = bQ (а, b) + R (a, Ь)у то ах = bxQ (а, Ь) 4- xR (а, Ь);
если" b > О, R (а, b) < bt то b > 0 -> (х > 0 -> xR (а, Ь) < 6х) и, сле-
довательно» b > 0 -> {х > 0 -> xR (а, Ь)== R (ах, Ьх)}, откуда b > 0 ->
->{х > 0->R (а, Ь)« О V R (ах, Ьх) > 0), так что b > 0->{R (ах, Ьх)=*
b) > 0 -> х = 0). Далее, b — 0 & R (ах, Ьх) = 0 -► ах » 0;
6=0 & R (а, Ь) > 0 -> а > 0, так что в результате получаем
b « 0 -> {R (ах, bx) w 0 & R (а, Ь) > 0 -> х = 0}.
4.02 . {R (р, а)=0 & R (q, b)=*0 -> pq=ab {Q (р, а) • Q (q, 6)}}, так что
ab>Q-*{R (р, а) = 0 AR(?, b)~O->R(pq. ab)~O}.
Далее, аб = 0= О V 6 » 0; а = О A R (р, а)и0->р«0 и
b = 0 & R (q, Ь) = 0 -* q =» 0, так что
a*eO->{R (р, a)«0AR(^, b)~Q-*R(pq, ab) = R(Ot 0) = 0).
4.03 . R (О, 1) = 0, x«x-l+0&x>0->R(x, 1)«0.
4.04 . R (a, be)« 0 -> а = b {с • Q (а, Ьс)} и, следовательно, b > 0 ->
-> {R (а, Ьс)« 0 -> R (а, Ь) » 0); но b « 0 & R (а, Ьс) = 0 -> а = 0, так
что b~Q-+{R (a, M«0->R(a, b)~R(Ot 0)==0}.
4.1. R (а 4- Ь, с) — 0 -> а 4* b = с • Q (а 4- bt с), R (a, с) — 0 ->
-> а — с • Q (а, с), и поэтому R (а 4- bt c) = O&R(a, « 0 ->
-> b =* с {Q (а 4- b, с) — Q (а, с)), что завершает доказательство в
случае с > 0. Если с — 0, то мы заключаем, как и выше, что b « О
и, следовательно, R(b, с)*=0.
4.2. ab « b • а 4- 0, так что b > 0 -> R (abt b) = 0; если b » 0, то
R(abt b)^R(Ot 0)«0.
4.21. Если R (а, Ь) = 0, то а + 1 « Ь • Q (а, Ь) 4- R (а, Ь) 4-1 «
• bQ (a, b) + 1, так что b > 1 -> R (а 4-1, b) — 1.
4.3. Это следует из примеров 4.2 и 4.21.
4.31. В силу примера 2.473 имеем 6>0->a — d4-cd, и поэтому
b > 0 -> а = d (с + Q (bt d)) 4- R (Ь, d) & R (bt d) < dt что доказывает
6>0->R(a, d)~R(bt d).
4.32. a = {Q (b, d) 4- x} d 4- R (b, d), откуда R (a, d) — R (b, d).
4.321. R (c, d) = R (bt d)~R (a, d).
4.322. Так как ar== Q (a, d) dr+R (a, d)r, br=^Q (bt d)dr+R (b, d) rt
то в силу 4.32 ar = R (a, d) r (mod d), br^R (b, d) r (mod d), откуда,
поскольку R (a, d) — R (5, d)t результат следует с помощью 4.321.
258
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
П
4.323. Если Г] обозначает общее значение /?(аь d), R(bitd)'t
r2 — общее значение R (а2, d), R (b2, d), то
+ #2 = {Q (аЬ *0 + Q (#2» <01 4“ /*1 4“ /*2»
Ь^-\- b2 — {Q (Z?i, d) 4- Q (b2t d)} d 4- rj + r2t
откуда aj + a2 — (ri 4- r2) (mod d) « bx 4- b2 (mod d).
4.4. Если ф (n) = R (]~[f(rt)> f (n)), to q> (0) = 0 и ф (Sn) = 0
в силу 4.2.
4.41. Если ф (n) = R (II f (г + п). П,(г)). то ф (0) = 0 и в силу
4.013 ф (и) = 0 -> ф (Sn) = 0.
4.42. (а 4- (п — а)) делится на JJf (а) и а<п->а4-(п — а) = п.
4.43. Если Р (п) обозначает данную формулу, то выполняется
Р (0) и, поскольку (Sn)! = (п), то х ^.п-+R ( (Sn)l, Sx) ~ 0
(в силу 4.42), т. е. Sx SnR ((Sn)l, Sx) = 0, так что получаем
0 < а & a^Sn~+ R ((Sn)l, а) = 0, т. е. имеет место Р (Sx).
4.44. Примеры 4.21 и 4.43.
4.45. q (2) <^2, q (2) > 1, так что q (2) « 2 и, следовательно,
р(2) = 0.
4.46. q (3) <3, q (2) > 1; так как 3 = 2 • 1 4-1, то R (3, 2) = 1 и,
поскольку R (3, q (3)) = 0, то по теореме 3.43 следует, что имеет
место ~(q (3) = 2), и поэтому (?(3) = 3, что доказывает простоту
числа 3.
4.5. р(0) = 2, р (1) > р (0), так что р (1) > 2; из р (n4-2) > р (n4-1)
и р (п 4-2) > р (п 4-1) & р (п 4-1) > 2-> р (п 4-2) > 2 по индукции
следует р (п 4- 1) > 2.
4.51. р (0) = 2, 2 > 0, и р (п 4- 1)^ Sp (п) & р (п) > п ->р (п 4- 1) >
> п 4- 1.
4.6. Пусть Р (а) обозначает формулу (а<П) V (а = п)VR (п, а)>0;
тогда п > 2 & R (п, 2) = 0 Р (2), но
п>2&~Р(2)-+Епа{~Р(а)}
->~Апа{Р (а)}
и, следовательно, п > 2 & R (п, 2) = 0 -> р (п) > 0.
4.61. В силу 4.6, ибо р (п) = 0 -> п > 1 и R (п, 2) С 1.
4.7. Если ф (т) = (1 4- пгх) — (14-х)т, то ф (0) = 0 и (14- х) ф (т) «
«={1 4- (т 4- 1) х 4- х2} — (1 4- x)m+1 =ф (т 4-1) 4- [х2 — {(14- x)m+1 —
— (1 4- (т 4- 1) х)}], так что, умножая на 1 — ф (пг), мы получаем
{1 — ф (ш)} ф (т 4- 1) = 0, что доказывает ф (т) = 0
4.701. В силу 4.7 имеем
а — 1 4- х & х > 1 -> ат^ 1 4- tnx & 1 4- mx> 1 4- т
и, следовательно, а > 1 -> ат > т.
4.702. В самом деле, а> 1 & p = q + Sr->ap = aQ • aSr > Sr • aQ> aq.
4.71. a = 0 b + a& a<b^R(at b) — a> 0.
4.711. В силу 4.702 a < b & x > 1 -> xb > xa
->R(xat х*)>0.
РЕШЕНИЯ ПРИМЕРОВ
259
4.8. Если Р (k) обозначает данную формулу, то имеет место Р (0)
и R (xSft+I, р) — 0 -> R (xSk, р) = 0 V R (х, р) = 0 и, следовательно,
(1 — а) Ьс — 0
используя схему — fl) с — q ’ которая доказы-
вается, если заметить, что из (1 — a) bc = Q следует
(1 — (1 — 6) с)(1 — а)с = (1 — а)с —{(1 — а) с2 —(1 — а) Ьс2} =
= (1 — а) с (1 — с) «= 0,
получаем, что Р (k) -> Р (Sk), а это завершает доказательство.
4.801. Если Р (k) обозначает
R (а, р) > 0 & R (ab, pk) = 0 -> R (6, pk) = 0,
то имеет место Р (0) (в силу 4.03), и так как (в силу 4.04)
R (ab, pk+r) = 0 -> R (ab, pk) = 0,
то Р (k) -> {R (а, р) > 0 & R (ab, pfe+1) = 0 -» R (&, рк) = о}; но если
c = Q (Ь, pk), то R (6, р^) = 0 -> Ь = ср\ и, следовательно (в силу 4.014),
Р (£) & R {а, р) > 0 & R (ab, pk+l) = 0 -> R (ас, р) = 0.
Однако имеют место R (а, р) > 0 & R (ас, р) = 0 -> R (с, р) = 0 и
R (с, р) = 0 -> с = pQ (с, р). Следовательно,
Р (k) & R (a, p)>0&R(ab, pk+') = 0 b = pk+lQ (с, p)
->R(b, p*+1) = 0,
т. e. P (k) P (k 4- 1), что доказывает P (k).
4.802. R (tn, a) = ft^>tn = a • Q (tn, а) и в силу 4.801 R (Q (tn, a), pk) = 0.
4.81. Так как p^ — простое число, то R (р^, x) = 0^x=l V * = P^
и, поскольку pz > 1, to R (pft, pz) = 0 -> (pz = pfe) -> (k = I).
4.82. Действительно, R (p™, pz) = 0 -> R (pfe, pz) = 0 -> (k = I).
4.83. В самом деле, q (m) ^.m, p (q (tn)) = 0 -> E™ (q (m) = px); но
R (tn, q (tn) ) = 0 и tn> 1 -> p(q (tn)) = 0, и, следовательно, в силу
примера 3.38 tn > 1 ->E™R (tn, px) *= 0.
4.84. По теореме 3.91 мы выводим A™R (tn, рх) > 0, т. е.
~E™R (tn, рх) = 0, из условия х < tn R (tn, рх) > 0. Из при-
мера 4.83 получаем ~E™R (tn, рх) = 0 т 1. Так как
пг = 0 -> R (т, р0) = 0, то tn = 0 -> E™R (tn, рх) = 0, откуда следует
результат.
4.85. Обозначим данную формулу через F (k)\ ясно, что имеет
место F (0). Далее,
R ( П f(x),p\>O&R( П f(x),p\ = O^R(f(Sk), р)=0
\х<Л / /
и
A$kR (f (х), р) > 0 -> AkxR (f (х), р) > 0 & R (f (Sk), р) > 0,
260
РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
[I
откуда F (k) & AxkR (f (х), р) > 0->/? ( Д f (х), р\ > 0&Я (f(Sk),p) >
\x<k /
> 0 -> R ( JJ f (х), р) > 0 по теореме 4.51, т. е. F (k)->F (Sk), что
доказывает F (k).
4.86. Имеем /?(т, ^(т,х)) = 0; пусть Р (k) обозначает данную
формулу. Тогда выполняется Р (0). В силу 4.82 и 4.85 получаем
R f JJ px(m’р^+1\ > 0 и, следовательно, в силу 4.802 из
\х<£ /
/?(т, ^j7’fe+I))=0 следует
P^(m’x)b₽^?fe+O>0,
\ 1х<Л J /
т. е. P(k)^>P(k + 1), так что Р (k) доказано.
4.87. Обозначая Lx {/?(£, рх) = 0} через £, мы имеем
Е™ {R(b, Рх) == 0}-> 7? (&, p0 = O&g</n.
Из х С rn -> R (а> рхх) = 0 и Е™ {/? (6, рх) = 0} мы выводим поэтому
|)^ = 0 и, следовательно, в силу 4.02 R (ab, Р^+1) = 0, что
вместе с m влечет
В частности, если с = / Ц рхх1& и если (^’ ^х)в ^}» то
I х<т J
{*(*• р:л=о}-
4.9. Имеем v (АГ, /) > 0 и / < &-> v (АГ, k) = 0 и, поскольку N > 1,
то v(N,g(N))>6 и g (АГ) < k -> v (W, k) = 0. Поэтому
g (АГ) < I -> v (АГ, /) — 0 и, следовательно, v (V, /)> 0 -> g I и ана-
логично, так как I < g (W) -> v (Af, g (АГ) ) = 0, то v (A^, g (AT) ) > 0 -►
-> g (N) h откуда следует, что 1 = g (N).
4.91. Обозначая R(a, be) через г, имеем a=bcQ(a, be) 4- r,
r=bQ(ry b) + R(r,b)y где R(r\ b) <bt ибо b > 0, и, следовательно,
a = b(Q(r, b) 4- cQ(a, be)) 4- R(r, b), откуда, поскольку R(r, b) <b,
получаем R (r, b) = R(a,b)t что завершает доказательство.
4.92. И л$лт hy с и, следовательно, Н делит a, Ъ и с. Если f
делит а, &, г, то оно делит Л, с и, следовательно, f делит Ну так
что Поэтому Я является наибольшим общим делителем а, &, с.
4.93. Мы определяем
L (х, р) = А^{а>0&Я(а, х) = 0&Я(а, у) = 0}.
Поскольку ху > 0 -> {/? (хр, х) = R (ху, у) « 0}, то
ху > 0 -*{Я (L (х, р), х) « 0« R (L (х р), у)}
и
а < L (х, у) -> а = 0 V R (а, х) > 0 V R (а, у) > 0,
поэтому L (х, р) — наименьшее общее кратное х и р для ху > 0.
БИБЛИОГРАФИЯ
261
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Рекурсивная арифметика была открыта норвежским математи-
ком Торальфом Сколемом и его первое сообщение (на немецком
языке) было опубликовано в 1923 году в статье Сколем а [1]*).
Работа Сколема описана в книге Гильберта и Бернайса
[1], стр. 286—346, где содержится также дальнейшее развитие рекур-
сивной арифметики.
Первое сообщение о построении логики на основе арифметики
принадлежит Р. Л. Гудстейну; см. Гудстейн [1]. Хотя эта статья
опубликована в 1945 г., она была представлена Лондонскому Мате-
матическому обществу в июне 1941 г.
Система, в некоторой степени аналогичная исчислению равенств,
была независимо развита X. Б. Карри; см. Карри [1].
Наиболее полное изложение свойств рекурсивных функций, све-
дёние к нормальным формам и устранение параметров приведено
автором этих результатов — Р Петер; см. Петер [1]. Эта книга
содержит исчерпывающую библиографию публикаций о рекурсивных
функциях вплоть до 1950 г., и это единственная книга на упомяну-
тую тему.
Доказательство схемы обобщенной индукции было дано Т. Ско-
лемом [2] и завершено Р. Петер [2] в ее реферате на эту статью.
При устранении параметров мы следовали Р. М. Робин-
сону [1].
Открытие того, что арифметика имеет нестандартную модель
(т. е. интерпретацию, при которой роль чисел играет класс более
широкий, чем все натуральные числа), было опубликовано Т. Ско-
лемом [3].
Открытие Курта Гёделя — неразрешимые предложения — было
впервые опубликовано в работе Гёдель [1] и было применено им
для установления того, что для любой системы теории чисел ее
непротиворечивость не может быть доказана средствами, формали-
зуемыми в этой системе. Изложение статьи Гёделя имеется в рабо-
тах: Гильберт и Бернайс [1], Клини [1], Мосто вский [1]
и (только в общих чертах) Г удстейн [2].
Теория общерекурсивных функций, которая не затрагивается в
настоящей книге, рассмотрена в цитированных выше книгах Петер
и Клини. Петер также изучала трансфинитные рекурсии, введенные
Аккерманом [1].
Краткий обзор рекурсивной арифметики дан Сколемом [4].
БИБЛИОГРАФИЯ
Аккерман (Ackermann W.)
[1] Zur Widerspruchsfreiheit der Zahlentheorie, Math. Ann. 117
(1940), 162—194.
•) Числа в квадратных скобках относятся к библиографии. —
Прим. ред.
262 РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ [I
Бернайс (В е г п а у s Р.)
[1] Uber das Indukstionsschema in der rekursiven Zahlentheorie,
Kontrolliertes Denken, Untersuchungen zur Logikkalkul und
zur Logik der Einzeln-Wissenschaften. Komissions — Verlag
K. Alber, Munchen, 1951.
Гёдель (G d d e 1 К.)
[1] Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica
und verwandter Systeme I, Monatsh. f. Math. u. Phys. 38
(1931), 173—198.
Гильберт и Бернайс (Hilbert D., Bernays P.)
[1] Grundlagen der Mathematik, Vol. 1, Berlin, 1934; vol. 11, Ber-
lin, 1939.
Гудстейн (Goodstein R. L.)
[1] Function theory in an axion-free equation calculus. Proc. Lon-
don Math. Soc. (2), 48 (1945), 401—434.
[2] Constructive Formalism, Essays on the foundations of mathe-
matics, University College, Leicester, 1951.
[3] Permutation in recursive arithmetic, Math. Scand. 1 (1953),
222—226.
[4] Logic-free formalisations of recursive arithmetic, Math. Scand.
2 (1954), 247—261.
Карри (C u г г у H. В.)
[1] A formalisation of recursive arithmetic, Amer. J. Math. 63
(1941), 263—282. [Русский перевод: Карри X. Б., Формали-
зация рекурсивной арифметики, см. наст, сборник.]
Клини (К 1 е е n е S. К.)
[1] Introduction to Metamathematics, Amsterdam, 1952. [Русский
перевод: Клини С. К., Введение в метаматематику, ИЛ, 1957.]
Мостовский (MostowskiA.)
[1] Sentences Undecidable in Formalized Arithmetic, Amsterdam,
1952.
Петер (Peter R.)
[1] Rekursive Funktionen, Budapest, 1951. [Русский перевод: Пе-
тер P., Рекурсивные функции, ИЛ, 1954.]
[2] Review of Skolem [2], J. Symbolic Logic 5 (1940), 34—35.
Робинсон (Robinson R. M.)
[1] Primitive recursive functions, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947),
QOK____Q49
Сколем (Skolem T.)
[1] Begriindung der elementaren Arithmetik durch die rekurrie-
rende Denkweise ohne Anwendung scheinbarer Veranderlichen
mit unendlichen Ausdehnungsbereich, Skrifter Norske Viden-
skaps-akademi, 1, No. 6b, Oslo, 1923.
[2] Eine Bemerkung uber die Induktionsschemata in der rekur-
siven Zahlentheorie, Monatsh. f. Math. u. Phys. 48 (1939),
268—276.
[3] Uber die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels
endlich oder abzahlbar unendlich vieler Aussagen mit aus-
schliesslich Zahlenvariablen, Fund. Math. 23 (1934), 150—161.
[4] The development of recursive arithmetic, Xth Congress of
Scandinavian Mathematicians, Copenhagen, 1946.
//
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
R. L. GOODSTEIN
RECURSIVE ANALYSIS
AMSTERDAM
196 1
ПРЕДИСЛОВИЕ
Имеется несколько систем конструктивной теории
функций; некоторые из них, как, например, интуицио-
нистский анализ, основаны на новой логике, другие изу-
чают конструктивные объекты, например, рекурсивные
вещественные числа, методами классического анализа,
а третьи пытаются выразить с помощью функционалов
часть классического анализа в виде формул со свобод-
ными переменными. Система, описанная в этой книге,
отличается от всех этих систем. Она основана на при-
митивно рекурсивной арифметике, и в ней делается по-
пытка построить теорию функций в поле рациональных
чисел, напоминающую в одних отношениях классический
анализ, а в других — интуиционистский анализ. Все
доказательства в рекурсивном анализе формализуемы
в исчислении равенств*)—системе рекурсивной ариф-
метики, описанной в моей книге «Рекурсивная теория
чисел», но настоящую работу можно читать без деталь-
ного знания рекурсивной арифметики.
Я снова глубоко признателен профессору Рейтингу
за его благосклонную поддержку, г-ну Джону Хулею за
щедрую помощь в чтении корректур и наборщикам Се-
веро-Голландской издательской компании за удовольст-
вие, которое они мне доставили отличным качеством
своей работы.
Университет, Лейчестер, Англия.
Р, Л. Гудстейн
*) Это утверждение неточно; автор исправляет его в середине
пункта 1.1 главы I. См. также § 10 вступительной статьи Н. А. Ша-
нина. — Прим. ред.
символы
С, Cf, С{ 310 N(k), Nf(k)
сп ck 334 Nf(k, m)
С (k, X, у) 311 N(k,x), Nf(k, x)
cos(n, х) 375
d, df 330 O(^)
3 270 (p. q)lf
E (n, x) 372 [plq]
f1 330
{fM 283 sin(rt, x)
<pr(n) 303 T
If(n, a, b) 365 tan (ra, x)
log (rt, x) 373 Tab
M(k), Mf(k) . . 277 co
276
278
312
270
275
272
274
277
375
270
380
383
383
ГЛАВА I
РЕКУРСИВНАЯ СХОДИМОСТЬ
Примитивно и общерекурсивные функции. Рекурсивная
арифметика и ее расширения. Рекурсивная сходимость
и относительная сходимость. Приведенная последова-
тельность. Рекурсивные пределы и признаки рекурсив-
ной сходимости. Примитивно и общерекурсивные веще-
ственные числа.
1. Рекурсивный анализ — это теория функций в поле
рациональных чисел, содержащая лишь свободные пере-
менные и основанная на рекурсивной арифметике. Он
не содержит никаких предварительных логических пред-
положений и развивается от определения к теореме
только при помощи схем вывода.
Элементарными формулами рекурсивной арифметики
являются равенства между термами, а класс всех фор-
мул строится из элементарных формул с помощью опе-
раций исчисления высказываний. Термами являются
свободные цифровые переменные, знак 0 и знаки для
функций.
Функциональные знаки включают в себя знак S(x)
для функции следования (так что 5(х) играет роль х+1
в элементарной алгебре) и знаки для функций, вводи-
мых с помощью рекурсии. Используемых правил вывода
взято достаточно для установления всегда истинных
предложений исчисления высказываний, и они включают
схему подстановки термов вместо переменных, схему
для равенства
схему индукции
crf(O), <4 (п)<4 (S (п) )
<А(п)
268
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[П
схемы явного определения функций от любого числа
аргументов и, наконец, схемы определения по рекурсии.
Простейшей схемой определения по рекурсии является
схема примитивной рекурсии'.
f(0, а) = а(а), f (S(n), а) = р(п, а, f(n, а)).
Точнее, эта схема определяет f(n, а) примитивной ре-
курсией, исходя из функций а и р. В качестве исходных
примитивно рекурсивных функций мы берем функцию сле-
дования S(x), тождественную функцию /(х), явно опре-
деляемую равенством I (х) = х, и нулевую функцию Z(x),
определяемую равенством Z(x) = 0. Говорят, что функ-
ция является примитивно рекурсивной, если она исход-
ная или определяется с помощью подстановки или при-
митивной рекурсии из уже определенных примитивно
рекурсивных функций.
1.1. В этой книге мы будем иметь дело главным
образом с примитивно рекурсивными функциями. Не
изменяя характера той системы, которую мы будем
строить, можно было бы расширить этот класс функций,
включив в него, например, многократно рекурсивные
функции и даже некоторые ординально рекурсивные
функции (с ординалами, не превосходящими при
настоящем уровне знаний). Однако эту систему нельзя
было бы расширить до класса функций, сыгравших
столь важную роль в исследованиях по основаниям ма-
тематики,— а именно до класса квази (или обще) рекур-
сивных функций, без того, чтобы полностью не изме-
нить характер нашей системы. Квазирекурсивная функ-
ция определяется системой равенств (в правой части
которых, как можно считать, встречаются только цифры
или примитивно рекурсивные функции), из которой с
помощью подстановки можно вывести значение опре-
деляемой функции при любом заданном наборе значе-
ний аргументов. Однако левые части этих равенств,
кроме определяемой функции, могут содержать вспомо-
гательные функции, о которых мы, возможно, имеем
лишь неполную информацию. Рассмотрим, например,
ГЛ. I]
РЕКУРСИВНАЯ СХОДИМОСТЬ
269
следующую совокупность равенств1)’
л(х, !/)= П х(*> п),
п<у
т (Sz, 0, у) = у,
f(x) = T (л (х, у), л (х, Sy), у),
где П х(х, п)=1, П Х(х, п) = J П х(х, п)1 • %(х, у)
п < О n<Sy { п< у )
и х(х, п)—примитивно рекурсивная функция, о которой
(в некотором смысле, который еще надлежит рассмот-
реть) известно, что для любого х имеется у такой, что
Х(х, У) = ®- Тогда эти равенства определяют f(x) как
квазирекурсивную функцию. Для того чтобы показать
это, нам надо рассмотреть способ, с помощью которого
можно выводить значения f(x) из этих равенств. Для
иллюстрации предположим, что для некоторого данного
значения х, скажем, х = 3, первое значение у, для ко-
торого х(х, у) обращается в нуль, есть 7. Тогда, при
X = 3, мы видим, что
л(3,0), л(3, 1), л(3,2), л(3,7)
все больше нуля, но л(3, 8) =0. Вспомогательная функ-
ция т(и,v,у) определена только для значений и, боль-
ших нуля, и для v = 0; поэтому f(3) может быть вы-
числена, только когда мы найдем у, для которого
л(х, z/)>0 и л(х, St/) = 0, а как мы предположили, это
происходит при у = 7 (и ни при каком другом значе-
нии у), — что доказывает равенство
f(3)=7.
Это Иллюстрирует тот факт, что для определения значе-
ния f(x) мы должны сначала найти значение yt для ко-
торого %(х, у) = 0.
В определении квазирекурсивной функции не накла-
дывается никаких ограничений на способ, которым мы
показываем, что для любого х имеется у, для которого
*) Ср. Клини [2], стр. 249. (Ссылка дается на русский пере-
вод. — Прим, перев.)
270 РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ [П
х(*>!/) = 0; мы можем, например, установить существо-
вание у, доказав в некоторой формальной системе, что
предположение: х (х, */) > 0 Для всех f/ —приводит к про-
тиворечию. Такое доказательство, может случиться, не
даст нам никаких средств для нахождения требуе-
мого у и поэтому никаких средств для нахождения
значения f(x); мы можем заниматься вычислением зна-
чений х (*»*/) Для больших и больших значений у не-
определенное время, не находя у, для которого х(х, */) =
= 0. Ограничивая же наши рассмотрения примитивно
рекурсивными функциями, мы уверены, что значения
всех функций в нашей системе можно найти, сделав за-
ранее определенное число шагов.
Наиболее подходящей системой для рассмотрения
квазирекурсивных функций была бы не система со сво-
бодными переменными, а система, содержащая опера-
тор существования «В» и оператор минимизации «р,»,
который выбирает наименьшее число из данного мно-
жества значений. Из теоремы существования
у)
с помощью оператора минимизации получается функ-
ция f(x) такая, что
f(x)= nyR(x, у).
Если /?(х, у) — примитивно рекурсивное отношение, то
f(x), определяемая с помощью оператора минимизации,
является, как можно показать, квазирекурсивной; при-
мером является система равенств, рассмотренная выше.
Для ссылок в будущем мы перечислим еще некоторые
важные свойства квазирекурсивных функций и отноше-
ний 9-
Имеется примитивно рекурсивный предикат T(z, х, у)
такой, что при z = 0, 1, 2, формула 3yT(z, х, у) яв-
ляется нумерацией всех предикатов вида 3yR(x, у) с
рекурсивным R. Следовательно, классы предикатов вида
3yR(x,y) с квазирекурсивным отношением R и с при-
митивно рекурсивным R совпадают.
9 См. Клини [2], стр. 251—252, 257. (Ссылка дается на рус-
ский перевод. — Прим, перев.)
ГЛ 1]
РЕКУРСИВНАЯ СХОДИМОСТЬ
271
Для произвольного данного R пусть г таково, что
3yR (х, у) ЗуГ(г, х, у)
(где обозначает эквивалентность предикатов*)) и
поэтому
3yR (>*, У)^1уТ (г, г, у)
и, значит, 3yR(r,y) не эквивалентно Уу~Т(г, г, у)
и (взяв в качестве R и s — в качестве г) получим
VyS (s, у) У у — Т (s, s, у),
так что VyS(s, у) не эквивалентно ЗуТ (s, s, у). Пусть
дан произвольный квазирекурсивный предикат /?(х) и
пусть /?(х, у) обозначает предикат R(x)&y = у, так что
/?(х, у) тоже квазирекурсивен и
R (х) 3yR (х, у) VyR (х, у),
откуда следует, что имеются числа г, s, для которых
R(r) отличается от Чу~Т (г, г, у)
и
R(s) отличается от ЗуТ (s, s, у),
и поэтому ни ЗуТ(х,х,у), ни Vy ~ Т(х,х,у) не рекур-
сивны. Другими словами, ЗуТ(х, х, у) представляет со-
бой пример предиката вида 3yR(x, у) с примитивно ре-
курсивным R, который не является квазирекурсивным.
Другая важная теорема о нумерации утверждает:
Для некоторой примитивно рекурсивной функции U(t)
последовательность
U([iyT(nt х, z/)), п = 0, 1, 2,
является перечислением всех квазирекурсивных **)
*) Предикаты U и V автор считает эквивалентными, если имеет
место Vx ((U (х) -> V (х)) & (V (х) -> U (х) )). - Прим. ред.
**) Это утверждение ошибочно; автор имеет в виду соответст-
вующее утверждение, относящееся к частично рекурсивным функ-
циям. — Прим, пврев.
272
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
функций (одной переменной), и с той же самой U и под-
ходящим Т (п, хь х2, у) последовательность
U(iiyT(n, хь х2, £/)), п = 0, 1, 2,
является перечислением всех квазирекурсивных *) функ-
ций k переменных.
Возвращаясь к примитивно рекурсивным функциям,
заметим, что о многих определяющих схемах, которые
по виду очень отличны от примитивной рекурсии, из-
вестно, что они определяют только примитивно рекур-
сивные функции. Мы не будем вдаваться здесь в рас-
смотрение этих схем, но в дальнейшем у нас будет по-
вод отметить некоторые из таких схем. Различные виды
рекурсивных определений приведены в книге автора
«Рекурсивная теория чисел», где показано, что рекур-
сивную арифметику можно формализовать в системе,
в которой доказуемы аксиомы исчисления высказыва-
ний и все перечисленные выше схемы вывода.
1.2. Построение рекурсивного анализа на основе ре-
курсивной арифметики включает введение рациональных
чисел и функций. Рациональное число можно опреде-
лить как упорядоченную тройку (ptq)lr натуральных
чисел с г>0. Мы полагаем по определению
(р, q)!r 5 (р', q')/r' *-> pr' + q'r § p'r + qr',
где «*-►» — знак эквивалентности; так, например, ра-
венство (p,q)/r = (p',q')lr' выполняется тогда и только
тогда, когда pr'+ q'r=p'r -I- qr' и, в частности, (р, q)lr=
= (kp + п, kq + n)/kr, где k > 0.
Рекурсивная функция одной (или более) переменных
(p,q)lr— это тройка рекурсивных функций от нату-
ральных чисел
{Р (р, q,r), Q (р, q, г) }/R (р, q, г)
таких, что R(p, q, г)>0 и (обозначая P(p,q,r) через Р,
P(p',q',r')—через Р' и т. д.)
(Р'. q')lr' = (Р, q)lr—ЧР', Q')IR' = (Р, Q)IR.
) См. сноску**) на стр. 271. — Прим, ред.
гл.
РЕКУРСИВНАЯ СХОДИМОСТЬ
273
Например, сумма двух рациональных чисел опреде-
ляется так:
(Рь РО/п + (р2, q2)/r2 = (Р1Г2 + р2Г1, qir2 + q2r\)lrlr2,
если
(Рр = (Р1> ?!)/< И (Р2« Р2)/Г2 = (Р2- Р2)/Г2>
то легко проверить, что
(PA + P/p 9/2 + ^1)/r/2 = (p?; + P^, q{r'2 + q'^r'{r'2.
Произведение (pb q\)/r{ и (р2, Рг)/Г2 определяется как
(Pip2 + qiq2, Piq2 + p2qi)lrir2,
и снова мы можем легко проверить, что если
(Рр Pi)/ri = и (р2, q2)[r2 = (р'2, q'2)/r'2,
ТО
(Рр Pi)/ri • (р2> Р2)/Г2 = (Р{- Р{)/г1 • (р2’ Р2)/г2-
Определяя вычитание в терминах сложения, мы имеем
(Pi> Р1)/П “ (Рг. q2)/r2 = (р3> <7з)/гз*-*
«-* (Pi. qi)/ri = (р2, q2)/r2 + (рз, q3)/r3,
так что
(Рь Pi)/ri - (р2. q2)lr2 = (Р1, <71)Л1 + (q2, р2)/г2,
в случае деления мы имеем: если р2=И=Р2> т0
(Рь рЛ/п (Рг> q2)/r2 = (p3, q3)/r3^
(Pi. Pi)/'’! = (Р2> q2)/r2 • (р3. Рз)/г3,
так что
(Pi. Pl)/'’! (р2> Р2)/'’2 = (Pl. Pl)/'’! • (p2r2, q2r2)/\ р2, р212.
где \р, q\—положительная разность р и q.
Обычные сокращения +s/r, —s/r вводятся с помо-
щью равенств
+’ s/r = (р + s, р) /г, —s/r = (р, р + s) /г
п, как обычно, +р/1, —р/1 обозначаются соответствен-
но через +р, —р, а (р, р)/г, равное как +0/г, так и
—0/г, обозначается просто через 0.
274
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
(П
Мы будем использовать буквы k, т, п, р, q, г и их
же с индексами для обозначения натуральных чисел,
х и у — для рациональных чисел. Мы будем иметь дело
в основном с функциями рациональной переменной х,
обозначаемыми f(x), g’(x) и т. д., и с функциями ра-
циональной переменной х и натуральной переменной и,
обозначаемыми х), g(n, х) и т. д.
1.21. Можно было бы подумать, что класс рацио-
нальных рекурсивных функций можно расширить до-
бавлением новой схемы рекурсии для рациональных ре-
курсивных функций натурального аргумента, но это
не так.
Например, если мы определяем рациональную функ-
цию f(n,x) рекурсией
f (0, х) = 0, f(Sn, х) = <р(п, х, f (n, х)), (i)
где
<р(п, (/?, q)/r, (и, v)/w) = (а, Ь)/с,
а, b и с — рекурсивные функции от n, р, q, г, и, у,
то мы можем найти рекурсивные функции ип(р, q, г),
vn(p, Я, г), wn(p, q, г) такие, что
f(n, (р, q)/r) = (ип, vn)/wn. (ii)
Достаточно определить ип, vn, wn одновременными ре-
курсиями: uQ « Уо = 0, Wo = 1 и
«п+1 (р, q,r) = a (п, ип, vn, wn),
vn+i (р, q, г) = b (п, ип, vn, wn),
wn+x (p, q,r) = c (n, un, v„, wn),
где uni vn, wn рекурсивны и поэтому функция х),
определенная с помощью (ii), рекурсивна и удовлетво-
ряет рекурсии (i).
1.3. Обозначения
Пусть р, q — натуральные числа и q > 0, тогда через
[plq] мы обозначаем частное от деления р на q\ для
целых I, j таких, что / 4= 0, мы полагаем
[«//] = II i 1/1 / 11, если ij О,
- - [I /1/1 /IL если ij < 0.
гл. I]
РЕКУРСИВНАЯ СХОДИМОСТЬ
275
Если для некоторого числа k и рационального х
[10Ах] = 0, то мы пишем х = 0(ft), так что х = 0(ft) экви-
валентно рекурсивному отношению |х| < 1/10*.
1.31. Об отношении, которое выполняется для всех
достаточно больших п, говорят, что оно выполняется
для мажорантных п. Точнее, отношение
/?(п, mbm2, тр)
выполняется для мажорантных п, если имеется рекур-
сивная функция M(mi, т2) тр) такая, что
n>Aj(mb т2, .., тр)—mbm2, tnp)
со свободными переменными п, т2, ..., тр, где М
сводится к константе, если в R нет переменных, кроме п.
Более общо, /?(т, п, гь г2, гр) выполняется для
мажорантных т, п (порядок т.п существен), если
имеются рекурсивные функции
М (rlr г2, ..., rp), N (т, ц, r2i , гр)
такие, что
т М(г\, г2,
гр) & п> N(т, Т\, г2,
- гР) —
—ri, г2,..., гр).
1.32. Относительное равенство
Если f(rt) — g(n) = 0(k) для мажорантных п, то мы
говорим, что f(n) эквивалентна g(n) и пишем
f(n) = g(n) относительно п*).
Аналогично, если f(n)>—10~А для мажорантных п, то
мы пишем
f(n)>0 относительно п,
и если f(n)<]O~h для мажорантных п, то
f(n)^O относительно п.
Далее, если
f (m, n) — g(m, п) = 0 (ft)
*) Если функции fug являются рекурсивными вещественными
числами (см. 1.6), то равенство f и g относительно п означает ра-
венство этих вещественных чисел. — Прим. pedt
276
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
ПТ
для мажорантных /и, п, то мы пишем
f (jnt п) = g(tn, п) относительно т, п.
1.33. Рекурсивная сходимость
Примитивно (обще) рекурсивная функция f(n) яв-
ляется примитивно (обще) рекурсивно сходящейся*),
если имеется примитивно (обще) рекурсивная функция
N (k) такая, что N(k + 1) > /V (fe) > й и
N > п > W)—Ч (АГ) — f(n) = 0(A).
Когда нужно подчеркнуть связь N и f, мы добавляем
f к М в качестве индекса. Мы систематически исполь-
зуем этот прием в дальнейшем как по отношению к N
из только что приведенного определения, так и по отно-
шению к функциям c(k), d(k), которые нам встретятся
позже. Любые параметры f могут также появляться в N.
Рекурсивная функция f(n,x) от положительной це-
лочисленной переменной п и рациональной переменной х
является рекурсивно сходящейся в интервале**)
а^х^Ь, если имеется рекурсивная функция N(k, х)
такая, что
a<x<b&N>n>N(k, x)—*f(N, x) — f(n, х) = 0(6).
Если имеется рекурсивная функция N(k)t не завися-
щая от х, такая, что
a<x<b&N>n>N(k)-^f(N, x) — f(n, х) = 0(6),
то говорят, что f(nt х) является равномерно рекурсивно
сходящейся в (а,Ь). В частности, если N(k) = kt то
f(n, х) является равномерно рекурсивно сходящейся в
стандартной форме.
*) То есть является примитивно (обще)рекурсивным веществен-
ным числом (см. 1.6). — Прим. ред.
♦♦) Речь идет о сходимости последовательности рационально-
значных функций в рациональных точках интервала.
Ниже, автор обозначает замкнутый интервал с концами а, b че-
рез (а, Ь), а открытый интервал с теми же концами — через [а, 6].—
Прим. ред.
ГЛ. I]
РЕКУРСИВНАЯ СХОДИМОСТЬ
277
Так как
f(N(k),x) — f (п, х) = 0 (k) при n'^-N(k),
то f(N(k),x) эквивалентно f(n, х), и поскольку
Р > — х) = 0(?),
то f(N(£),x) является эквивалентом в стандартной
форме для равномерно рекурсивно сходящейся функ-
ции f (п, х).
1.34. Относительная сходимость
Говорят, что рекурсивная функция сходится
по m относительно п, если имеется рекурсивная функ-
ция M(k) такая, что M(k + 1) > Л4(&) и
/П1 >Л1(&) &tn2^M(k)—n) — f(tn2i п) = 0(k)
для мажорантных п*).
Функция f(m, п), сходящаяся по tn относительно п,
не обязательно сходится при любом фиксированном зна-
чении п. Например, m/п сходится по tn относительно п,
ибо
(/Hi — m2)/n = 0(&),
если /П1 = пг2 и если т\ т2 и n>10A|/ni — /и2|; но
при любом фиксированном п и любом /и.
(Af — m)/n>l, если М > т + п,
так что т/п не сходится при фиксированном п.
1.35. Приведенная последовательность
Пусть дана произвольная рекурсивная функция
f(m,n), рекурсивно сходящаяся по п и сходящаяся по tn
относительно п; тогда мы можем найти рекурсивно схо-
дящуюся функцию Rf(rn) такую, что
f (tn, п) = Rf(tri) относительно tn, п.
♦) Если является последовательностью рекурсивных ве-
щественных чисел (то есть если при каждом конкретном М функция
п) является рекурсивным вещественным числом), то сходимость
f(m, п) по m относительно п означает сходимость в себе этой после-
довательности вещественных чисел. — Прим. ред.
278
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[П
Так как f(m,n) сходится по п, то имеется рекурсивная
функция N(k, т) такая, что
n*> n>M(A, tn)—>f(/n, n*) —f(/n, n) = 0(A),
а поскольку f (m, n) сходится относительно n, то имеется
рекурсивная функция М(А) такая, что
/и* > m >Л4(А)—>f(m*, п)— f(m, п) = 0(A)
для мажорантных п.
Пусть R/(p) = f(М(р), N(p, М(р))); Rf(p) называет-
ся приведенной функцией для f(m, п). Прежде всего
мы покажем, что приведенная функция является ре-
курсивно сходящейся.
Для мажорантных п мы имеем
f(M(p), — f(M(p),n) = 0(р),
N(q,M(q)))-f(M(q),n)=0(q)
и если q > р, то
f(M(p),n)-f(M(p),n) = 0(p),
так что при q > р
/?/(p)-/W = 3-0(p),
что доказывает сходимость. Остается показать, что
f (т, п) = Rf(m) относительно т, п.
Мы замечаем, что
f (tn, п) — f (М (tn), п) = 0 (А) для мажорантных т, п
и
f (М (tn), ri) — f(M (т), N (tn, М (tn))) = 0 (tn)
для мажорантных п,
откуда
f (tn, п) — Rf (tn) = 2 • 0 (А) для мажорантных т, п,
что и требовалось показать.
1.4. Известная теорема классического анализа о том,
что монотонная ограниченная последовательность схо-
ГЛ. I]
рекурсивная СХОДИМОСТЬ
279
дится, не имеет места в рекурсивном анализе*). Для
доказательства этого мы используем одну важную тео-
рему из метаматематики арифметики; эта теорема ут-
верждает, что невозможна эффективная процедура для
распознавания по любой примитивно рекурсивной функ-
ции f(n), имеется ли значение п, для которого f(n)> О,
или f (n) — Q для всех п. Доказательство этой теоремы
приведено в «Основаниях математики» Гильберта
и Бернайса ([1], том 2, стр. 417—418).
Пусть f(n) — примитивно рекурсивная функция и
пусть
F(0) = 0, F(n+ l) = F(n) + [l^(F(n) + (l^-f(n))}],
так что F(n) принимает только значения 0, 1 и не убы-
вает. Если бы было верно, что любая монотонная огра-
ниченная последовательность является рекурсивно схо-
дящейся, то имелась бы примитивно рекурсивная функ-
ция N(k) такая, что
n>N(k)—>F(n) — F(N(k))^O(k)
и, в частности,
n>N(\)—>|F(n)-F^(l))|<l,
так что поскольку F(ri) целое, то F(n) = F(Af(l)) при
Если Г(ЛГ(1)) = О, то F(n)==0 при n>W(l)
и поскольку F(n) не убывает, то F(n) = 0 также при
п<У(1). Поэтому если F(W(1)) = O, то F(n) = 0 для
всех п; однако если f(n)= i для некоторого и, то
F(n+ 1)= 1, и если f(n) = 0 для всех п, то /?(м)= О
для всех п. Следовательно, если F(A/(1)) = 0, то f (п) = О
для всех п и если F(/V(l))= 1, то f(n) = 1 для некото-
рого п^Л/(1). Так как F(n) и N(k) рекурсивны, то
значение F(W(1)) вычислимо за конечное число шагов
и дает, тем самым, эффективную процедуру для распо-
знавания того, имеет ли место f(n) = 0 для всех п
или нет. Поскольку такая эффективная процедура
*) Имеет место более сильный результат Э. Шпеккера [1]:
можно построить примитивно рекурсивную монотонную ограничен-
ную последовательность рациональных чисел, не сходящуюся ни к
какому рекурсивному вещественному числу (см. также Р, Петер
[1]). — Прим, перевг
28Э
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[П
невозможна, то предположение о том, что F(n) является
рекурсивно сходящейся, несостоятельно. Многие класси-
ческие признаки сходимости являются, тем не менее,
верными признаками рекурсивной сходимости, как мы
покажем далее.
1.41. Пределы
Говорят, что рациональное число / является рекур-
сивным пределом рекурсивно сходящейся последова-
тельности s(n) и что s(n) рекурсивно стремится к пре-
делу Z, если имеется рекурсивная функция n(k) такая,
что
n^n(k)—— s(n) = 0(A).
Разумеется, если s(n) рекурсивно стремится к некото-
рому пределу, то s(n) рекурсивно сходится.
Рекурсивная функция s(n) является рекурсивно рас-
ходящейся, если имеется рекурсивная функция d(n) и
целое k такие, что
\s(n + d(n))— s(n) |> 10\
Условие, при выполнении которого последователь-
ность s(n) не стремится рекурсивно к пределу, состоит
в том, что имеются рекурсивные функции v(p,q,r),
n(p,q,r,k), такие, что*) п(р, q, г, k)^ k и
п = п(р, q, г, А)—>|s(n)— (р, q)/(г + 1) |> 10'v(p> г\
Для иллюстрации этого условия мы докажем, что по-
следовательность $(п) == и(п)/п\, где u(0) = 1, и(п 4- 1) =
= (п + 1) и(п) + 1, является рекурсивно сходящейся, но
не стремится рекурсивно к пределу* **). Действительно,
n>q—*0<s(n) — s(q)< l/q(ql),
так что s(n) рекурсивно сходящаяся; но (рассматривая
лишь нетривиальный случай неотрицательных рацио-
♦) Напомним, что формулируется условие того, чтобы последо-
вательность не сходилась к рациональному пределу. — Прим. ред.
**) Члены этой последовательности представляют собой частич-
ные суммы ряда 21/л! (ср. доказательство теоремы 1.61 ниже),—
Прим. ред.
гл. I]
РЕКУРСИВНАЯ СХОДИМОСТЬ
281
нальных чисел)
{s(q) — p/q}ql = n(q) — p{(q — 1)!} =
= q(q— l)u(q — 2) — p{(q — 1)!} + ?+ 1 =
= 2 (mod q—1), <?>4.
Поэтому |s(n)-p/<7|>(l-!/<?)/?!
для всех n таких, что n>^>4; в случаях q = 1, 2, 3
при п>4 разность |s(n) — plq\ принимает наименьшее
значение при р = 8, q = 3, а |$(п)—8/31 > 1/24, что за-
вершает доказательство того, что $(п) не стремится ре-
курсивно к plq для любых р, q.
1.42. Признаки рекурсивной сходимости
Мы начинаем с доказательства рекурсивной сходимо-
сти геометрических прогрессий 2 х” Для O-Cx^l. Из
пхп < 2 = (1 ~ хп+')/(1 - х) < 1/(1 - х)
следует, что хп<1/п(1—х), и поэтому хп рекурсивно
стремится к нулю, а 2 хг рекурсивно стремится к
г
1/(1 —х).
Если х>1, то У хг — S хг = хп+1^1, так что
г<п+1
2 хг рекурсивно расходится. И аналогично, если а (п)
г^п
не стремится рекурсивно к нулю, так что а(п+1)^
10-v<0,0’0), когда п + 1=п(0, 0, 0, k), то
5 а (г) - 2 а (г) = а (п. + 1) > 1O~V(0’ °’0),
г<п+1
когда п + 1 — п (0, 0, 0, k\, это доказывает, что У, а (г)
г< п
рекурсивно расходится. Более того, если 2 л (г) рекур-
п
сивно расходится и а(г)>0, то для любого tn последо-
вательность 11 2 Д (г) рекурсивно стремится к нулю;
пусть s(n) = 2 а (г) и е(0) = 0, е(п + 1) = е(п) +
+ d(e(n)), так что по предположению s(е(п + 1)) —
— s(e(n))> 10ft, откуда следует, что s(e(n))> 10* и
поэтому
p>e(n)-> l/s(p)< l/s(e(n)X 10~*/n;
282
рекурсивный анализ
[II
это показывает, что s(n) рекурсивно сходится к
нулю.
1.43. Сравнительные признаки сходимости для поло-
жительных рядов, очевидно, верны для рекурсивной
сходимости. Действительно, если fev(n), то
2 u(r)^.k 2 v (г)
и, следовательно, если 2у(г) рекурсивно сходится, то
и 2^(г) рекурсивно сходится; если 2^(г) рекурсивно
расходится, то и 2v (г) рекурсивно расходится. Более
того, из неравенства
и(п + + 1)/и(п)
следует u(n)^{u(0)/v(0)}v(n), так что рекурсивная
сходимость 2 (я) влечет рекурсивную сходимость
2^(п), а 2 v (п) рекурсивно расходится вместе с2^(^)-
1.44. В случае признака Коши мы заметим, что если
для некоторого фиксированного k
u(n)^kn < 1,
то 2«W рекурсивно сходится по предыдущему при-
знаку, а если и(п)>1 при п = п(г), где п(г) строго
возрастает, то и и(п) не стремится рекурсивно к нулю
и, следовательно, 2^(п) расходится.
1.45. В случае признака Даламбера мы замечаем,
что из
и(п + l)/u(n)^k < 1
для фиксированного k следует и(п + 1)/и(/г)< ^7г+1/Лп,
и поэтому 2*W рекурсивно сходится, а из
и(п + l)/u(n)> 1
следует рекурсивная расходимость 2 ибо u(n)>u(0).
1.46. Признак Куммера требует более подробного
рассмотрения. В своем первоначальном виде этот при-
знак верен для рекурсивной сходимости, ибо если име-
ется константа а > 0 такая, что
с(п){и(п)/и(п + 1)} — с(п + 1)> а,
гл
РЕКУРСИВНАЯ СХОДИМОСТЬ
283
и если с(п)и(п) рекурсивно стремится к нулю, то
2 и (г) рекурсивно сходится, ибо
а 5 и(г)^.с(п)и (м) — с (W) и (N) <с(п)и (п).
Этот признак в форме Дини, в которой отсутствует усло-
вие о том, что с(п)и(п) рекурсивно стремится к нулю,
не верен, ибо тогда он эквивалентен утверждению о ре-
курсивной сходимости монотонной ограниченной после-
довательности; действительно, если s(n) — произвольная
строго возрастающая рекурсивная функция, ограничен-
ная сверху целым числом В, и если
и (п) = S (п) — S (п — 1), V (м) = В — 2 и (г)
1 < п
и с (п) = V (п)/и (п), то
с (п) {и (п)/и (п + 1)} — с (п + 1) = 1.
1.47. Далее мы рассмотрим конденсационный при-
знак Коши.
Обозначим 2 /(г) через f(tn, п)\ тогда если f (г)
монотонно убывает, то /(2n, 2"+1—1)<2П/(2П) и по-
этому
f(2n, 2W+I —1)< 3 2'f(2'),
откуда следует, что если 2;v+I М + 1, то
2 f(r)< 2 27(2').
Аналогично, если 2" + 1 т, то
2 f(r)> 2 27(2r+I).
Эти-неравенства показывают, что конденсационный при-
знак верен для рекурсивной сходимости и расходимо-
сти. Мы получаем, что S 1/г рекурсивно расходится, так
что 1/ S (1/г) рекурсивно стремится к нулю при
любом фиксированном т. Кроме того, 21/г2 рекур-
сивно сходится вместе с 2 1/2'.
284 РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ [П
1.48. Признак Раабе для рекурсивной сходимости и
расходимости принимает такой вид:
Если для некоторого k > 1
и(п)/и(п + 1)> 1 + k/n,
то %и(п) рекурсивно сходится, а если
и (п)/и (п + 1)< 1 + 1/п + 1/п 2 (1/Н,
то 2^(п) рекурсивно расходится.
Для этого признака сходимости мы замечаем, что
данное неравенство влечет
{п- и(п)/и(п + 1)} — (п + 1)>& — 1 >0,
откуда мы заключаем, что
п- и(п)/(п + !)• и(п + 1)> 1 + (k— l)/(n+ 1)
и отсюда с помощью умножения (используя
а>0&&>0—>(1 +а)(1 + Ь)>а + Ь.
получаем
ЛЬ и(W)•«(«)/(£-1) 3 (1/г),
n+KrCN
следовательно, при фиксированном п произведение
N-u(N) рекурсивно стремится к нулю и ^и(п) рекур-
сивно сходится по признаку Куммера.
Что касается признака расходимости, мы начнем с
доказательства того, что если
v(r)=l/r 3 (1/р),
1<Р<г
то 2v 0 рекурсивно расходится. Действительно,
l/2nv(2n) < n + 1, так что 22ло(2я) расходится, что
следует из сравнения данного ряда с 2 1/(п+ 1)’ и от-
сюда, в силу конденсационного признака 2»0 тоже
гл. I]
РЕКУРСИВНАЯ СХОДИМОСТЬ
285
рекурсивно расходится. Так как
v(n)/u(n+1) = J 1+(n+1) 2 (1/г)1/п 2 (1/г) =
I 1<г<п )' 1<гСп
= 1 + 1/n + 1/п 2 (l/r) > U (п)/и (п + 1),
1 <п
то 2«(и) рекурсивно расходится.
В качестве подготовки к доказательству признака
Гаусса для рекурсивной сходимости мы докажем
1.49. Если 2«(г) рекурсивно сходится, а п-м(п)
строго убывает и рекурсивно стремится к нулю, то
•I 2 1/г\п • и(п) тоже рекурсивно стремится к нулю.
11<г<п I
При п> г мы имеем
п-и(п)/г = {n-u(n)/r<u(r)}u(r)^.u(r),
а так как 2 «(г) рекурсивно сходится, то имеется ре-
курсивная функция n(k) такая, что (обозначая
2 (1/г) через h(m, п))
п
п > n(k)—>h(n(k) + 1, n). nu(ri) < l/2k.
Далее, поскольку п-ы(п) рекурсивно стремится к нулю,
то имеется рекурсивная функция r(k) такая, что
ft(l, n(k))' пи(п) < 1/2& при n>r(k), откуда следует,
что
п > max (n(k), r(k))—>Л(1, n)-nu(n) < \/k.
Упомянутые выше признаки можно суммировать как
Признак Гаусса. Пусть имеются константы а, 0, М
и рекурсивная функция 0(п) такая, что 10 (n) | < М и
и(п)/и(п + 1) = а + 0/п +,0(п)/п2;
тогда,
если а> 1 или а = 1 и 0> 1, то2и(п) рекурсивно
сходится;
если а < 1 или а = 1 и 0<И, то 2“(«) рекурсивно
расходится.
Один только случай а=1, 0^1 требует специаль-
ного рассмотрения. По предыдущей теореме (взяв 1/п2
в качестве и(п)) мы знаем, что (1/п) 2 (1/г)
286
рекурсивный анализ
[И
рекурсивно стремится к нулю и, следовательно, имеется
рекурсивная функция N(k) такая, что
п>АЦМ)
е (к) 1
п2 « 2 (1/г)’
1 < г < п
это показывает, что а= 1, достаточно для рекур-
сивной расходимости ^и(г).
1.5. Теперь мы переходим к рассмотрению признаков
относительной сходимости.
Относительная сходимость уже была определена.
Говорят, что рекурсивная функция s(m, п) расходится
по п относительно пг, если имеется константа k 1 и
рекурсивная функция Л (и) такая, что
\s(m, п -I- Л (и)) — s(/n, п) 1/А»
для мажорантных п, гп.
Говорят, что s(m, п) стремится к нулю относительно
т, если
s(m, п) = 0(&)
для мажорантных п, т.
В следующих теоремах а(т, п), b(m,ri), с{т,п)~
положительные, ненулевые рекурсивные функции.
Теорема 1. Если для некоторого фиксированного k
и мажорантных пг
а(пг, < 1,
то 2 {я (w, г)}г сходится по п относительно пг.
Q^r < п
Действительно, 2 {а(т, г)}г^ 2 kr для ма-
N N
жорантных т. Если i (r+ 1) + /(г) и если а (пг, i (г)) >1
для мажорантных т, то 2 {а (т> г)}г расходится от-
0<г < п
носительно т, ибо
2 (а (т, г)У - S {а (т, r)}r > 1
0<r<Z(n+l)
для мажорантных пг.
гл.
РЕКУРСИВНАЯ СХОДИМОСТЬ
287
Теорема 1.1. Если для некоторого фиксирован-
ного X > О
а(пг, п)^ЛЬ(пг, п)
для мажорантных т, то сходимость ^b(m,r) относи-
тельно m влечет сходимость ^а(пг,г) относительно т,
а относительная расходимость последнего ряда влечет
относительную расходимость первого.
Действительно,
2 а(лп, г)<Л 2 Ь(гп, г)
n^r^N
для мажорантных т.
Теорема 1.11. Если имеются константы /г, Н та-
кие, что
a <h^.a (пг, 0) Н, h^b (пг, 0) Н
и a(m,n + \)/a(m,n)^b(m,n + \)/b(m,n) для мажо-
рантных т, то относительная сходимость 2 b (пг, г)
г^п
влечет относительную сходимость 2 а (т, г), а относи-
г^п
тельная расходимость последнего ряда влечет относи-
тельную расходимость первого.
Действительно, a(m, n)^(H]h)b(rn, п) для мажо-
рантных т.
Теорема 1.12. Условие а(т, п + 1)/а(т, n)^Ck<\
для мажорантных т достаточно для относительной схо-
димости 2 a (w, я), поскольку a (m, п + 1) /а (т, п)
kn+xlkn для мажорантных т.
Условие а(пг,п + 1)la(m, n)> 1 для мажорантных т
достаточно для относительной расходимости, ибо 2 1
г < п
расходится *).
Теорема 1.13. Если имеется константа р > 0 та-
кая, что
c(m, ri){a(m, n)/a(m, п + 1)} — c(m,n-\- 1)>р
*) В этой теореме подразумевается выполнение условия
0<h^a(m, 0) Н при некоторых h и Н. Аналогичные условия
подразумеваются в теоремах 1.14 (а(т,0) //), 1.15
(0<Л^а(т,0)) и 1.17 (0 < h а (т, 0) Н). — Прим, перев.
288
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
(П
для мажорантных tn, и если c(m,n)a(tn,n) стремится
к нулю по п относительно tn, то 2 а (ш, г) сходится
п
относительно tn.
Действительно, 0 2 а (tn, r)^.c (tn, п) a (tn, п)
n+l^r^N
для мажорантных tn.
Теорема 1.14. Если имеется константа р>\ та-
кая, что
a(tn,n)/a(m,n + 1) > 1 + р/п
для мажорантных т, то 2 а (tn, г) сходится относи-
г^п
тельно tn.
Мы легко получаем, что n*a(tn, п) стремится к нулю
по п относительно tn, и требуемый результат следует
из предыдущей теоремы.
Теорема 1.15. Если a (tn, п)/а (tn, п + 1)<-1 + 1/п +
п
+ 1/п S (1/г) для мажорантных tn, то 5 а(т, г) расхо-
г = 1 г<л
дится относительно т.
(Доказательство такое же, как для рекурсивной рас-
ходимости.)
Теорема 1.16. Если f(m,n) монотонно убывает
по п относительно ш, т. е. если f (m, N) < f (m, n) для
N > n и мажорантных m, то
ZfM %2rf(m,2r)
одновременно сходятся или расходятся относительно tn.
(Доказательство такое же, как для рекурсивной схо-
димости.)
Теорема 1.17. Если a(tn, n)/a(tn, п + I) +
+ р/п + в (tn, п)/п2 для мажорантных tn и если
10 (т, п)\<М, то а > 1 или 1, Р > 1 являются до-
статочными условиями для относительной сходимости,
а а < 1 или а = 1, р^С 1 —достаточными условиями для
относительной расходимости 2 а (m, п).
г^п
Это следует из теорем 1.12, 1.14, 1.15.
Теперь мы собираемся усилить теорему 1.17, дока-
зав сначала ряд подготовительных теорем.
'Л. 1]
РЕКУРСИВНАЯ СХОДИМОСТЬ
289
Теорема 1.18. Если а> b и п>'2, то
nbn~x < (ап — Ьп)1(а — Ь)< пап~\
Доказательство. Если х > 1, n > 1, то тогда
S xr > п + 1 и поэтому
(xn+1 — 1) / (х— 1) > п + 1,
откуда, взяв х = а/b, получаем
(an+1— bn+})/(a — Ь) > (п + 1)6П.
Аналогично, если х<1, п>1, то ^xr<(n + 1) и по-
г
этому
(1—xn+1)/(l_x)<n+ j,
и вторая часть теоремы получается, если взять х = bfa.
Заметим, что поскольку 1=J S 1), то
из t > 0 следует, что / 1 в соответствии с № 1.
Теорема 1.181. Если а положительно, а р. q — по-
ложительные целые числа, причем p>q.TO (1 +;а)Р>
>{1 4-(р/<?)а}«.
Эта теорема — простое следствие специального слу-
чая знаменитой теоремы о средних, а именно:
{(ma + nb)l(m + n))m+n > а™Ьп, а=/=Ь. где т. п — поло-
жительные, отличные от нуля целые числа. (Имеется не-
сколько алгебраических доказательств этой теоремы о
средних, которые верны в рассматриваемой системе.)
Возьмем т = q, т + п = р, а = 1 +; (p!q)a. 6=1,
тогда получим нашу теорему. Аналогично, если р <q.
то, взяв т = р, т + п = q. 6 = 1, а = 1 + а, мы имеем
(1 +!а)р <{1 +(р/?)а}«.
Теорема 1.19. Если р. q. х— целые числа. х> 1,
q > 1, р> 1 и если хк — наибольшее целое число такое,
что (xh)<? <.хр • 2ft^, то хп12п рекурсивно сходится.
Доказательство. Так как (2xft) ч^хр- 2<А+1^, то
хд+1 > 2х& и, следовательно, %&/2А монотонно возрастает,
а поскольку %о является наибольшим целым числом та-
ким, что (х0)^<хр, и Н< хр, то х0> 1 и, следовательно,
xh > 2k. Из неравенств
(xh) я < хр • 2^ <хрз-2*9
290
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
(II
следует, что хк < хр • 2*. Отсюда получаем (по теоре-
ме 1.18)
О < ХР — (Xh/2ft) Я < {(Xfe + 1)9— (ХЛ) «}/2*« <
< q(xh + 1)9-1/2*9 < q{xp + l/2ft}’-‘/2ft <q{xP +’ 1}«->/2*
следовательно, (хл/2А)’ рекурсивно сходится к хр.
Полагая xfe/2A = так что уь монотонно возрастает
и уяк рекурсивно сходится, имеем
{(!/а+г)’—(yh)q}l{yh+r—yh} > q(yk)q~' > q,
Т. е. yk+r — yn<{(yk+r)q — (yk)q}/q, поэтому yk рекурсив-
но сходится, что завершает доказательство.
1.51. Для р>1, <7>1, х>1 мы определяем
Х(х, р, q, k)=xh/2h (где xk определено выше) и
Х(1,р, 1.
Теорема 1.2. У l/x(r, р, q, k) сходится по п от-
Г^П
касательно k, если р> q, и расходится по п относитель-
но й, если p^q.
Так как {%(х, р, q, А)}9 рекурсивно сходится к №, то,
полагая ah = %(х 4-1, р, q, й)/х(х, р, q, k), мы имеем, что
если р > q, то (аь)я рекурсивно сходится к (1 4- 1/х)р>
>(14- plqx)q по теореме 1.181; рекурсивная сходимость
aQk определяет рекурсивную функцию Q(x) такую, что
j (1 + 1/х)р — (aft)«| <(1 + 1/х)р— (l+p/qx)<i при k>Q(x)t
и поэтому + p/qx)<it так что ah > 1 + p/qx
при £>Q(x). Следовательно, по теореме 1.14
2 1/x(g р, q9 k) сходится относительно k, если р> q.
г^п
Если p=*q, то %(п, р, q, k) = п и, следовательно,
S 1/х(г, р, <?, £) расходится. Если p<q, то тогда
г < п
ah < 1 + plqx при Q*(x), откуда по теореме 1.15 по-
лучаем, что 2 Vx(r> Р> k) расходится относительно k.
г^п
Теорема 1.21. Если ф(п, р, qy k) = п/х(п, р, q, k), то
q(n,p,q,k) монотонно убывает к нулю относительно
k при р> q.
ГЛ. I]
РЕКУРСИВНАЯ СХОДИМОСТЬ
291
Действительно,
ф(п, р, q, k)/q>(n 4- 1, р, р, k)>{n/(n + 1)}{1 + Plqn} =
= 1 +((p/<7)-l)/(n+ 1),
если 6>Q(n), p>q, так что ф(п, р, р, k) монотонно
убывает относительно k, и далее, если N > п, то
<pOV, р, q, k)/q>(n, р, q, k)< 1 / П 0 + ((рЛ?) - 1)М <
! N^r> п
<l/((p/q) — 1) 2 (1/г) Для мажорантных k;
N^r > п
это показывает, что q>(Af, р, р, k) стремится к 0 относи-
тельно k.
Теорема 1.22. J S (1/г) I • n/x(n, р, р, k) стре-
( Кг < п I
мится к 0 относительно k, если р> q.
Если п > г, то по теореме 1.21
<p(n, р, q, k)/<f(r, р, q, k)x(r, р, q, k)< p, q, k)
для мажорантных k. Так как 2 l/x(r> P> k) сходит-
r<n
ся относительно k при p > p, то для x > 1 мы можем
определить функцию п(х) так, что
S l/x(r, р, q, k)< 1/2х
п (х)< Г < п
для п>п(х) и мажорантных k. Более того, поскольку
ф(л, Р, Р» Ь) стремится к 0 относительно k, то
| 2 (1М1<Р(«, Р, q, k)< 1/2х
U<r<n(x) J
для мажорантных и, k. Отсюда получаем
/ 2 (1/г)1ф(п, р, <7, Л)< 1/х
для мажорантных и, а это доказывает, что
J 2 (1/г)1ф(п, р, р, fe) стремится к 0 относитель-
11<гО )
НО k.
1.52. Сейчас мы в состоянии сформулировать аналог
признака Гаусса для относительной сходимости.
292
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[И
Теорема 1.3. Если для мажорантных k и р> q
имеет место
а(п, k)/a(n + 1Д) = а + р/п + 0(п, £)/%(п, р, q, k)
и |0(n, k) | < М, то а > 1 или а = 1, р > 1 являются до-
статочными условиями для сходимости 2 а (г, k) отно-
г^п
сительно k, а а < 1 или а = 1, р^ 1 являются достаточ-
ными условиями для относительной расходимости.
Нам надо рассмотреть только случаи а = 1, Р>1
и а = 1, р^1. Когда Р>1, тогда, поскольку
0 (тг, k)(p(n} р, q, k) стремится к 0 относительно k, мы мо-
жем найти такое, что
|П0(П, k)/x(n, р, <?, й) | < (1/2) (р — 1)
для я > Л’о и мажорантных k и, следовательно,
а(п, k)/a(n + \,k)> 1 + (1/2) (0 + l)/n
для п>М) и мажорантных k, что достаточно для отно-
сительной сходимости по теореме 1.14.
Аналогично, если ₽<1, то а(п, k)/a(n + 1, k) <
< 1 + (1/2) (0 + 1)/п, что доказывает относительную
расходимость в силу теоремы 1.15.
При Р = 1, поскольку
{.<?< Рг Я’
стремится к 0 относительно ky мы можем найти «о та*
кое, что
I 9(«, &)/%(«, р, q, k) К 1/п 3 (1/0
Кг< п
для мажорантных й, откуда в силу теоремы 1.15
получаем, что 2 к) расходится относительно k.
г^п
1.6. Рекурсивные вещественные числа
Всякая примитивно рекурсивная функция f(n), кото-
рая является примитивно рекурсивно сходящейся, назы-
вается примитивно рекурсивным вещественным числом.
Всякая общерекурсивная функция f(n), которая яв-
ляется общерекурсивно сходящейся, называется обще-
рекурсивным вещественным числом. Когда различие
между примитивной и общей рекурсией несущественно
ГЛ. I]
РЕКУРСИВНАЯ СХОДИМОСТЬ
293
(в том смысле, что контекст допускает любую), мы бу-
дем говорить о рекурсивном вещественном числе.
Если f(ri) и g(n) —рекурсивные вещественные числа
и Ип) = £(п) относительно щ то мы говорим, что ре-
курсивные вещественные числа f(n), g(n) равны, и пи-
шем
{/(«)} = {£(«)}•
Если для некоторой константы с> 0 имеет место f(n)>c
для мажорантных п, то мы говорим, что рекурсивное ве-
щественное число f(n) положительно, и пишем
{/(«)} > 0.
Аналогично, если для некоторой константы с > 0 вы-
полняется f(n)<— с для мажорантных п, то говорят,
что рекурсивное вещественное число f(n) отрицательно,
и пишут
{/(»)}< 0.
Говорят, что два рекурсивных вещественных числа
f(n) и g(n) рекурсивно неравны, если имеется константа
k>0 и рекурсивная функция п такие, что
\f(K(n))-g(K(n))\>k.
1.61. Арифметика рекурсивных вещественных чисел
Если s(n) и t(n) рекурсивно сходятся, то, очевидно,
s(n)+ t(n) и s(n)—f(n) тоже рекурсивно сходятся. Ре-
курсивное вещественное число s(n)+t(n) называется
суммой рекурсивных вещественных чисел s(n) и /(п),
и мы пишем
(s(n)}+{/(n)} = {s(n) + /(«)}.
Рекурсивное вещественное число s(n)—t(n) назьь
вается разностью {«(«)} и {/(и)}, и мы пишем
{«(«)} — {*(«)} =
Рекурсивно сходящаяся последовательность ограни-
чена, потому что имеется константа nQ такая, чго
|s(n) — s(n0)|< 1, и, следовательно, если
М = max| s(n) |
п < п»
и S = М + 1, то }$(п) |< S.
294
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[П
Если s(n) рекурсивно сходится, то s(n)2 тоже рекур-
сивно сходится, ибо
\s(N)2 — s(n)2\ =
= \s(N)-s(n)\-\s(N) + s(n)\ <2S -|$(М) — s(n)
Следовательно, если s(n) и t(n) рекурсивно сходятся,
то то же верно и для
sW-iW-j + (")-'!-> г'
Рекурсивное вещественное число s(n)'t(n) называется
произведением {s(и)} и {/(и)}, и мы пишем
($(«)} •{/(«)} = {s(n)-t(n)}.
Если $(п) рекурсивно сходится и рекурсивно отлич-
но от 0 и если s(n) =# 0, то
l/s(n) рекурсивно сходится.
Действительно, имеется константа k > 0 и рекурсивная
функция X(n)> п такие, что
\s(K(n))\>k,
и константа v такая, что
п v&nt > v -> | з (п) — з («О | < y k,
откуда, поскольку X(ni)> п1( следует, что при /ij > v
Так как s(n)¥=0, то min | s(n) | = т >0 и, следовательно,
если s = min(m, то |s(n)|^s.
Следовательно, 1/з(п) рекурсивно сходится, ибо
|_!_______1 1^ |s(AT) —s(n)| .
I s (n) s (АГ) I S2 ’
рекурсивное вещественное число (1/з(га)} называется
обратным к ($(«)}, и мы пишем
l/{s(n)} = (1/3(n)}.
ГЛ. I]
РЕКУРСИВНАЯ СХОДИМОСТЬ
295
Для рекурсивных вещественных чисел {s(n)}, {/(п)}
мы определим частное {s(n)}/{/(n)} как вещественное
число {s(n)} • 1/{/(п)}, когда {t(n)} рекурсивно отлично
от нуля.
Теорема 1.4. Невозможна эффективная процедура
для распознавания равенства двух рекурсивных веще-
ственных чисел.
Пусть f(n)—произвольная примитивно рекурсивная
функция, пусть $(п) = 0 и /(0)=f(0), /(п+1)==
= /(и) + f(n + 1). В этом случае tin) = 0 тогда и только
тогда, когда f(r) = 0 для всех г^п. Как {s(n)}, так и
{/(п)} являются примитивно рекурсивными веществен-
ными числами*). Если имеется эффективная процедура
для распознавания того, верно ли, что {s(n)} = {/(n)} или
нет, то имеется эффективная процедура для распозна-
вания по произвольной f(n), имеет ли место f(n)=O для
всех п или найдется и, для которого f(n)> 0, а это, как
мы знаем, невозможно.
Мы полагаем по определению
{f (п)) > &(")} *-> {/(«)}-{£(")} > 0.
Теорема 1.5. Если и {g(n)} рекурсивно не-
равны, то или {/(«)} >(£(я)} или (g(n)} > {f (n)}.
Действительно, имеется константа k и строго возра-
стающая функция Х(п) такие, что
щад)-я(М'0)1>*;
в силу рекурсивной сходимости мы можем найти N та-
кое, что
f,(п) |< уk& | g(m)- g(л) |<уk.
Поэтому, если f(X(M))> £(М^)), то
f(UN))-g(MN))>k
и, следовательно,
f(zi)-g(n)>y£
*) Для того чтобы это утверждение было справедливо, доста-
точно изменить определение t(n) следующим образом: Цп 4- 1)
=/(и) 4- 2_71-1 • sg f(n 4- 1). — Прим, перев.
296
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[И
для п> N — это доказывает, что
{/(«)}> {£(«)}•
Аналогично, если f(k(N)) < g(k(N)), то
{£(«)} >{f(n)}.
Теорема 1.51. Если {f(n)}, {g(n)} — неравные об-
щерекурсивные вещественные числа, то они общерекур-
сивно неравны.
Действительно, если {/(и)}, {g(n)} не равны, то
имеется константа k и при данном п имеется целое N
такие, что
N>n& |/(ЛО-£(ДГ)|> (1)
пусть Л(п) будет наименьшим значением N, для кото-
рого эти неравенства выполняются; тогда %(п) общере-
курсивна, Л(п)> п и — g(h(n))\>k, так что
{/(п)} и {g(n)} общерекурсивно неравны. Важно заме-
тить, что мы установили только общерекурсивное нера-
венство; даже если {/(п)} и {g(n)} являются неравными
примитивно рекурсивными вещественными числами, мы
не можем доказать их примитивно рекурсивное нера-
венство, ибо существование N, для которого выполняют-
ся неравенства (1), не служит доказательством суще-
ствования примитивно рекурсивной %(п), для которой
X (п) >п & | f (X (п)) — g (%(п)) | > k.
Рекурсивное вещественное число {f(n)} является ра-
циональным, если имеется рациональное число I такое,
что f(n) рекурсивно стремится к /; иначе говоря,
f(n)-Z = O(fe)
для мажорантных п.
Рекурсивное вещественное число является ре-
курсивно иррациональным, если имеются рекурсивные
функции v(p, q, r)> 1, n(p, q, г) такие, что
n>n(p, q, r)-+\f(n) — (p, q)!(r+ l)|>l/v(p, q, r).
Если все упомянутые функции примитивно рекурсивны,
то {[(п)} является примитивно рекурсивно иррациональ-
ным.
ГЛ. I)
РЕКУРСИВНАЯ СХОДИМОСТЬ
297
Теорема 1.6. Если рекурсивное вещественное чис-
ло {f(n)} иррационально, т. е. если для любых р, q, г су-
ществуют k и tn такие, что
п> tn-*\f(n) — (p, q)/(r + 1) |> 10-*
для всех п, то общерекурсивно иррационально.
Действительно, имеется рекурсивная функция n(s)
такая, что
n>n(s)-*|f(n) — f (n(s)) | <
и, следовательно, в силу иррациональности {f(n)} имеет-
ся k такое, что
| f (п (k)) - (р,q) / (г + 1) | > 9 • 10-(*+0.
Пусть ср(р, q, г) — наименьшее s такое, что
|f(n(s))-(p,p)/(r+ 1)| >9.10-(з+1),
и пусть N(p, q, k) = n(q>(p, q, г)), так что ф(р, q, г) и
N(p,q,r) общерекурсивны и
п> N(p, q, г) — \f(n)— (р, p)/(r + 1) |> 104ф(р, Q. r)+D;
это доказывает, что {f (п)} общерекурсивно иррацио-
нально.
Теорема 1.61. Невозможна эффективная процеду-
ра, распознающая по любому общерекурсивному веще-
ственному числу, является ли оно рациональным или
иррациональным.
Пусть s(0)=l, s (п + 1) = 1 + (п + l)s(n), так что
{$ (п) /п\}— примитивно рекурсивное вещественное число е,
которое, конечно, иррационально. Пусть f(n)—произ-
вольная примитивно рекурсивная функция и пусть
Z(n)=s(n), если f(r)=O для всех г^.п, и t(n)=s(k),
если k — первое значение г^Сп, для которого
при N > п имеет место t(N)/N\ — t(n)/n\ —
—s(n)/nl, так что t(n)/n\ примитивно рекурсивно сходится.
Если существует эффективная процедура для рас-
познавания того, является ли {t(n)/nl} рациональным
или иррациональным, то имеется эффективная процеду-
ра для распознавания того, существует ли п, для кото-
рого /(п)¥= 0, или нет.
298
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[П
1.7. Рекурсивные полиномы
Если ап — (примитивно) рекурсивная функция, то
2 агхг
г^п
называется (примитивно) рекурсивным полиномом сте-
пени п с коэффициентами аг, г^п.
Если 2 агГ = 0для некоторого /, то t называется
г < п
нулем полинома 2 ciTxr
г^п
Если f (х) = 2 не имеет ни одного рациональ-
г < п
ного нуля и аг, г и, — целые, то
\f(plq) \> i/qn.
В самом деле, qnf(p/q)= S arprqn~r и поскольку
п
f(p/q)=£O и 5 arprqn~r целое, то
г< п
|гЗпагРг^-г|>1.
откуда следует, что
\f(plq) \> Uqn-
Если 2 агх' имеет рациональный нуль p]q (р, q —
г^п
взаимно простые), то р является делителем а0, а
g— делителем ап\ действительно,
0 = <?л 2 ar(plqY = апрп + q 2 arprqn~r-',
г^п г<п-1
поэтому ап делится на q, и
о = q" S ar (p/q)r = айрп + р 2 afpr-lqn-r,
r^n 1 n
так что a0 делится на р.
Теорема 1.7. Если fn (х) представляет собой по-
лином 2 Мп = max| ar | и z не меньше | х ]у| и
г^п г^п
единицы, то
I " | + 1)(1)
ГЛ. I]
РЕКУРСИВНАЯ СХОДИМОСТЬ
299
Действительно,
х — У
и если (1) выполняется при n = k, то
fk+Ax)-fk+1(y)
х-У
fk(x)~fk(y) , xk+l-yk+l
—у + «fe + l —у
< у М* + 1) Mkzk~' + (k + 1) Mk+iZk <
< { (k + 1) + (k + 1)} Mk+izk = + l)(fe + 2) Mk+lzk,
так что (1) выполняется также при п = k 4- 1 и поэтому
по индукции (1) выполняется для всех п.
Теорема 1.71. Если f(x)—примитивно рекурсив-
ный полином степени п с целыми коэффициентами аг,
не имеющий рациональных нулей, и если {sn} — прими-
тивно рекурсивный нуль f(x) —иначе говоря, {sn} — при-
митивно рекурсивное вещественное число и f(sn) при-
митивно рекурсивно стремится к нулю, — то {$п} прими-
тивно рекурсивно иррационально.
Так как sn является рекурсивно сходящейся, мы мо-
жем найти S такое, что | sn | 4С S для любого п. Пусть
z = max(| p/q\, S, 1),
й = тах|аг| и М==±-п(п+l)hzn~'-,
r^n z
тогда по предыдущей теореме \f(plq) — f (sw)
<M-\p/q — sm\.
Так как f(sm) рекурсивно стремится к нулю, мы мо-
жем найти k так, чтобы
однако
и поэтому
откуда
tn>k-*\f(sm) |< 1/2?п;
\Hplq) \>Uqn
\f(p/q)-f(sm)\>\/2qn,
tn> k-*\plq — sm\> \ j2Mqn\
300
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[П
это доказывает, что {sm} примитивно рекурсивно ирра-
ционально.
1.71. Рекурсивные разложения
Если {sn}— (примитивно) рекурсивное вещественное
число и если ап—(примитивно) рекурсивная последо-
вательность такая, что
0<an+i — 1,
г>2,
и
Ю = 12 apr~P I,
I р<гг J
то говорят, что вещественное число {sn} имеет (прими-
тивно) рекурсивное разложение У арг~р по основа-
нию г.
Теорема 1.72. Если {sn} — рекурсивно иррацио-
нальное рекурсивное вещественное число, то {sn} имеет
рекурсивное разложение по любому основанию г^2.
Так как {sn} — рекурсивное вещественное число, то
имеется строго возрастающая рекурсивная функция
n(k') такая, что
п> rt(k)-+\sn — snW\< l/rft+1,
а поскольку sn рекурсивно иррационально, то имеются
рекурсивные функции i(p,q), N(p,q) такие, что для
любых целых р, q (q > 0)
n > N (р, q) -> | sn - p/q | > r“z rt.
Взяв p = 0, q = 1, мы видим, что для всех достаточ-
но больших /, k
1$/- sJCr-**0’1)
и
|S/|>r-z(o,i)> I sk |>г-'<0’ О,
так что Sj, sh имеют один и тот же знак. Поэтому бе?
потери общности мы можем предположить, что все sn
положительны.
Пусть [х] обозначает наибольшее целое, содержа-
щееся в х, и пусть pk = [гл5п(Л)]; тогда или
0 r $п (/г) Pk 2
(0
гл. I]
РЕКУРСИВНАЯ СХОДИМОСТЬ
301
или
так что
k 1
Г 5Л(Л)
0 Pft + 1 Г 8п (А) < 2 •
(ii)
Сначала мы рассмотрим случай (i).
При n~^n(k)
-у <rksn-rksnW<±-
и, следовательно, в силу (i)
kfcsrt-pAl< 1;
п >N(pk, rk)->| sn - pk/rk \>г~‘(Рк-г*\
И поэтому при n N(pk, rh)
\>\rksn-pk\>dk = rk-l^'rk\
Полагая m(k) = max (n(k),N(pk, rft)), получаем, что
при n^m(k) каждое rhsn лежит или в открытом интер-
вале (pk + dk, Pk + 1) или в открытом интер-
вале (pk — 1» ph — dk).
Полагая р,(£) = n(i (pk, rk)), мы имеем
п > р (£) -> | rhsn — гЧ^к) I < dh\
это показывает, что все rksn при n>max{p,(£),An(£)} —
= М (k) лежат в одном или другом из этих интервалов,
и поэтому
или
или
кЧ] = pk
= pk -1
для всех п М (k)
для всех п М (k),
и, следовательно, [rftsn] = дляп^М(k).
В случае (ii) тот же самый результат выполняется
для n> M*(k), где
M*(k) = max{n(z(pA + 1,rA)), b'(ph + 1,г*)},
302
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
пт
и, следовательно, если
v(0) = max{Af (0), M*(0)}
и
v(k + 1) = max{Al(£ + 1), M*(k + 1), v(k) + 1},
то
n>v(k)-^[rksn] = [rftSv(ft)]
и v(k) строго возрастает.
Следовательно,
0 < sn — [rftsv(A)]/rft < 1/r*
для га > v(&).
Пусть
во = К(0)], an+l = ['•n+1$v(n+l)l — rk"sv(n)],
тогда
2 akr~k = [rnsvM]/rn.
k^n
Теперь для любого рационального х
0 < гх — г[х] < г
—1 < [гх] — гх<0,
так что
— 1 < [гх] — г[х] < г;
взяв х равным rnsv(n+i), получаем, что поскольку
[rnSv(n)] = knsv(n+i)], то 0< ап+1 < г. Остается доказать,
что вещественные числа {sn} и {[rnsv(n)]/rn) равны, ибо
тогда2аАг~* является примитивно рекурсивным разло-
жением (sn) по основанию г.
При га>га(А +. 1)
|Sn — Sv(n)|< 1/г*+‘
И
04s^)-[rnSv(n)^n < l/rn< l/r*+l,
и поэтому
|«п —['П«у(п)]ЛП|< 1/г*
для га>га(£ + 1), что завершает доказательство.
Для последней в этой главе теоремы о том, что име-
ется примитивно рекурсивное вещественное число, деся-
тичное разложение которого не является примитивно
ГЛ. I]
РЕКУРСИВНАЯ СХОДИМОСТЬ
303
рекурсивным, мы напомним некоторые результаты из
теории рекурсивных функций.
По теореме Р. Петер все примитивно рекурсивные
функции одного аргумента можно перенумеровать*) в
виде
Фо(п), <Р1(п), ф2(п),
где
Фо(п) = О, Ф1(п) = п+1, ф2(п) == л — [V^]2,
В этой нумерации каждая функция фт(п) встречается
бесконечное число раз, причем функции фр(п) и фпг(п)
равны при р = Зтп*7-11х, где х— произвольное неотри-
цательное целое, а функция <pm(n) + Sn равна фр(п) при
р = 3™-52, так что (pm(n) и <рР(п) являются разными
функциями при т > 0. Отсюда следует, что функция
d(n) = <pn(n) не является примитивно рекурсивной, ибо
если бы d(n) была примитивно рекурсивной, то такой
же была бы d(n) + 1, а поэтому нашлось бы число р
такое, что
ФР(п) = d(n) + I
при всех п, откуда следовало бы фр(р) = d(p) + 1 =
~фр(р)+1> что невозможно. Тем не менее функция
d(n) общерекурсивна (на самом деле, определима двой-
ной рекурсией) и, следовательно, по теореме Клини о
нормальной форме имеется примитивно рекурсивная
функция ф(п) и примитивно рекурсивный предикат
#(т,п) такие, что
d(n) = ф{цхЯ(/г, х)},
где pxR(n,x) обозначает наименьшее значение х, для
которого выполняется R(n, х).
(Аналогично можно построить функцию d(n), кото-
рая является общерекурсивной, но не определима с по-
мощью кратных рекурсий никакого конечного порядка.)
С помощью этой функции d(n) мы можем теперь до-
казать важную теорему, принадлежащую Э. Шлеккеру.
Теорема 1.8. Имеется примитивно рекурсивный
предикат Р(х) и примитивно рекурсивная функция у(п),
*) См. раздел 7.5 книги «Рекурсивная теория чисел». — Прим,
ред.
304
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[П
которая принимает лишь значения 0 и 1 такие, что об-
щерекурсивная функция
уЫх(Х> П&Р(Х))1
не является примитивно рекурсивной.
Пусть а (и), р(и)—примитивно рекурсивные функ-
ции, обладающие свойствами
а(0) =0, а(и + 1) = 1; р(0) =1, р (n + 1) = 0,
и пусть i(m,ri) и j(m,n)—представляющие функции
примитивно рекурсивных предикатов
Зх{п = Зт*7 11х}, 3x{x^n&R(m, х)}.
Таким образом, i(m,n) и j(m,n) принимают лишь зна-
чения 0 и 1 и если i(m, п) обращается в нуль, то функ-
ции фт(/) и фп(^) равны. В терминах i и j мы опреде-
ляем функции а(п), Ь(п), с(п) следующей одновремен-
ной рекурсией:
a(0)=fe(0) = c(0) = 0;
если а(п) = 0, то
a(n + l) = p(Z(6(n), п+ 1)),
b(n+ b(ri) +а(п+ 1),
с(п+ 1) = п+ 1;
если а(п) = 1, то
а(п + 1) = a(/(c(n), п + 1)),
b (п + 1) — b(n)9
с(п+ 1) = с(п).
Функции а(п), Ь(п), с(п) примитивно рекурсивны;
а(п) принимает только значения 0 и 1, поскольку аир
принимают только эти значения. Теперь мы покажем,
что а(п) имеет бесконечно много нулей.
Действительно, предположим, что при некоторых п
и Р
а(п) = 0, а(п + 1) = а(п + 2) = .,. = а(п + р) = 1;
гл. I]
РЕКУРСИВНАЯ СХОДИМОСТЬ
305
тогда
и
с(п + г+1) = га + 1,
0 < г < р,
b(n + г + 1) = b(n) + 1, О^г^р,
Z(Z>(n)+l, га + г+1) = 0,
0 р,
так что все функции фп+г+1 (t), 0-^.г^.р, равны. Но
функции q)n+i (/), фп+р+1(0 не равны, если
п + р + 1 = 3n+1 • 52
и, следовательно, для достаточно больших р имеет ме-
сто а (п + р + 1) = 0.
С другой стороны, а(п)= 1 для бесконечно многих п,
ибо если
a (n) = а (п + 1) = а (п + 2) = = а (п + р) = О,
то
и
b (п + г + 1) = Ь(п), 0^г<р,
i(b(n), n + r+ 1)== 1,
0 <г < р.
Так как, однако, если т — Зь<п> • 7*1 Iй, то i(b(n), т) = 0
и так как Зь<") .7 . 1 Iй > 7 -11ft > п для достаточно боль-
ших k, то а(п + р 4- 1) = 1 для достаточно больших зна-
чений р.
Отсюда следует, что для бесконечно многих значе-
ний га
а(п) = 0 и а(п 4- 1) = 1
и, следовательно,
b(n + 1) = b(n)+ 1;
так как Ь(п) не убывает и изменяется на единицу время
от времени, то это показывает, что значения Ь(п) содер-
жат все неотрицательные целые.
Пусть
ф(п)= ф{цх(х<п<&/?(с(п),х))}
и
у(м)= ₽(Ф(П)).
306
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
Мы докажем, что функция
g(n) = Ybx(a(x) = 0&х> п)}
не является примитивно рекурсивной.
Действительно, если бы g(n) была примитивно ре-
курсивной, то мы могли бы найти т так, чтобы
g{n) = <pm(n)
для всех л; тогда, поскольку т + 1 является значением
b(i) при подходящем t, мы можем найти наименьшее /,
скажем, п + 1 такое, что b(n + 1) = т + 1, и поэтому
Ь(п) — т.
Для этого значения п мы имеем
а(л)=0, а(л+1)=1, с(л+1)=л+1
и i(m, п + 1)= 0; это последнее равенство показывает,
что функции <рт(0 и <рп+1(0 равны, и поэтому по пред-
положению
g(n + 1) = фп+1(п + 1) = d(n + 1).
Мы видели, что необходимо имеется N > л, для которого
a(N) = 0; пусть п + р + 1 — наименьшее значение
(большее л), для которого а(п + р + 1) = 0, так что
а (п + г) = I при К г 4р. Таким образом,
ц.я(а(х)= 0&х> л + 1)= п + р + 1,
с(п + г + 1)=л+1 при 0<г4р
ф(л + р + 1) =
= ф{|Лх(^< « + Р + 1 & R(c(n + р + 1), X))} =
= ф(цх(^<« + Р + 1 &R(n+ 1, х))}.
Тем не менее, так как а(п + р) = 1 и а(п + р + 1) = 0,
/(с(л + р), п + р + 1) = 0,
откуда следует
j(n + 1, п + р + 1) = 0;
ГЛ. 1]
РЕКУРСИВНАЯ СХОДИМОСТЬ
307
это показывает, что имеется значение х такое, что
х4п + р + 1 и /? (и + 1, х), и поэтому
ф(и + Р + 1) = <р{цхЯ(n + 1, х)} = d(n + 1).
Следовательно,
g(n + 1)= ₽Ш(а(х) = 0&х> п + 1))} =
= + Р + 1)} = + Ш
и это противоречие доказывает теорему.
Теорема 1.9. Имеется примитивно рекурсивное ве-
щественное число с десятичным разложением, которое
не примитивно рекурсивно.
Пусть а (и), у(п) —функции, определенные в преды-
дущем разделе, и пусть
Г(п) = 4у(п)+ 1,
<р (п) = 3 • а (а (п)) + р (а (п)) • Г (п).
Так как у(и) принимает лишь значения 0 и 1, то Г(п)
принимает лишь значения 1, 5, а <р(п) принимает только
значения 1, 3, 5. Более того, поскольку а(п) = 0 для бес-
конечно многих п, то имеется бесконечно много п, для
которых ф(п)=#3. Мы замечаем, что условие ф(п)=АЗ
эквивалентно а(п)= 0. Следовательно,
ф{цх(ф(*) ¥= 3 & х п)} = ф{цх(л(я) = 0 & х п)} =
= Г{цх(а(я) = 0&х>п)} = q(n), например *).
Обозначая через г(п) остаток от деления п на 10, а че-
рез s(n)—частное (п — г(п)}/10, мы полагаем
ф(п + 1) = г{3-ф(п)'+ s[3-q(n 4- 1)]},
так что ф(п + 1) —это последний десятичный знак чис-
ла, которое получается умножением ф(п) на 3 и затем
прибавлением 1 или 0 в зависимости от того, имеет ли
при А>п+1 первое ф(й), не равное 3, значение 5
или 1.
Смысл этого определения легче понять, если рассмо-
треть изменение десятичной дроби, состоящей только из
цифр 1, 3, 5, при ее умножении на 3.
♦) Здесь и в дальнейшем изложении автор пользуется этим
оборотом речи для выражения того, что q(n) —новая функция, вво-
димая при помощи последнего равенства. — Прим, перев.
308
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
Сначала мы докажем, что рекурсивные вещественные
числа
равны.
Заметим, что V t~
представляет собой
n-членное десятичное разложение числа
У 4>(fe)
Zj ю*
Для
достаточно больших значений п. Поэтому
а <- о у <F(fe) _ у 4>(fe+D _1_
10й 10й 10я’
k^n k^n
но
<--q У У -- 2
Ю* 44 ю* Ю"
k^n k^n
и, значит,
у ц>(fe+1) _о у <p(fe)
44 10* 10й
2
10" ’
что доказывает равенство рассматриваемых веществен-
ных чисел. Следующая таблица дает значения ip(n + 1)
для всевозможных комбинаций значений <р(п) и
<7(n + 1):
Ф(«) Q (П + I) Ф <п+ 1)
1 1 3
3 1 9
5 1 5
1 5 4
3 5 0
5 5 0
ГЛ. I] РЕКУРСИВНАЯ СХОДИМОСТЬ 309
Следовательно, если мы определяем /(м) как 1 для не-
четных значений п и как 5 для четных п, то мы имеем
q(n + 1)= t($(n + 1)).
Поэтому если бы функция ф(п) была примитивно ре-
курсивной, то и q(n) была бы примитивно рекурсивной,
а по предыдущей теореме мы знаем, что этого не может
быть.
В классическом анализе разложение, имеющее вид
2ф(п + 1) • в котором ф(п)=#9 для бесконечно
многих п, единственно, но классическое доказательство
этого неверно в рекурсивном анализе. Поэтому приве-
денный выше пример не дает окончательного ответа на
вопрос, существует ли примитивно рекурсивное число,
которое не может иметь примитивно рекурсивного раз-
ложения.
ГЛ АВА И
РЕКУРСИВНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ
НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Равномерные и дважды равномерные эквиваленты для
относительно непрерывной рекурсивной функции. Верх-
ние и нижние границы и невозможность их достижимо-
сти. Условия, достаточные для того, чтобы относительно
непрерывная функция обращалась в нуль, если она ме-
няет знак, и несуществование рекурсивного корня в об-
щем случае.
В этой главе мы изучаем свойства рекурсивной непре-
рывности и относительной непрерывности, первое — свой-
ство отдельных рекурсивных функций, второе — свойство
сходящихся последовательностей рекурсивных функций.
Сначала мы определяем рекурсивную непрерывность в
точке и в интервале.
2. Рекурсивная непрерывность.
2.01. Рекурсивная функция f(x) является рекурсивно
непрерывной в точке если имеется рекурсивная функ-
ция C\(k) такая, что для всех х
х — Xi = 0(c,(fe))->f(x)— f(Xi)= 0(A).
2.02. f(x) является равномерно (или интервально)
рекурсивно непрерывной при а х -С Ь, если имеется
с (k) такая, что для всех х, X, для которых
<Х<Ь,
х-Х = 0(с(А))->f(x) — f(X) = 0(A).
Так, например, функция х2 равномерно рекурсивно
непрерывна в любом интервале (—10?, Юр), ибо
х2 — X2 = 0(fe), если
х — Х = 0(£ + р + 1).
Если f(x), g(x) рекурсивно непрерывны в х{ (в ин-
тервале /), то, конечно, рекурсивно непрерывны и
ГЛ. II) РЕКУРСИВНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ 311
f(x)±g(x)t f(x) •g(x)f а также f(x)/g(x), в предполо-
жении, что g(%i)=/= 0 (\g(x) |> 10а в i).
2.1. Относительная непрерывность.
Если f(n, х) рекурсивно сходится при а^Сх^СЬ и
если имеется строго возрастающая рекурсивная функ-
ция c(k) и рекурсивная функция C(ky х, у) такие, что
для всех х, X, удовлетворяющих условиям а < X 4 ft
и х — Х = 0(с(£)), выполняется f(n,x)—f(n, X)=0(k)
для всех n^C(k, х, X), то мы говорим, что f(n, х) не-
прерывна при относительно п. (Заметим, что
относительная непрерывность является равномерным
свойством.) Функция f(n, х), которая непрерывна отно-
сительно п, не обязательно непрерывна при любом кон-
кретном значении п. Так, например, если <p(p/p)=Q,
где Q = q/(p, q) и (р, q) —наибольший общий дели-
тель р и q, то ф(х) не является непрерывной для любого
рационального значения х, ибо если pjq и P\lq\ — несо-
кратимые дроби и 0 <\p/q — pi/qi\< 1/2р?, то q > 2qx
и, следовательно, <p(p/q)— <р (Pi/^i) = q — q\ > Pi > 1;
поэтому, если f (n, x) = qp(x)/n, to f(n, x) не является
непрерывной для любого п, но
|f(n,pi/pi) — f(n, p2lq2) КI Pi — P2IM = 0(6)
при n>[pi — рг|* 10\ так что f(n,x) относительно не-
прерывна.
Как и непрерывность, относительная непрерывность
сохраняется при сложении, вычитании и умножении; бо-
лее того, если g(n, х) относительно непрерывна при
a^.x<^b и если при некотором целом а имеет место
\g(n, х)|>10а при а^х^Ь и мажорантных п, то
l/g(n, х) относительно непрерывна при а^х^Ь.
Теорема 2.1. Относительная непрерывность инва-
риантна по отношению к эквивалентности.
Действительно, если g(n, х) эквивалентна f(n,x) и
если f(n, х) непрерывна при а^.х^Ь относительно п,
то для всех Xi, х2, удовлетворяющих условию
а<Х] <х?<&, Xj — х2 = 0(cf(k + 1)),
312
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
in
и мажорантных п мы имеем
xj-fin, Xt) = O(fe + 1),
g(n, x2) — f(n, x2) = 0(fe + 1),
f(n, Xi) — f(n, x2) = 0(fe + 1),
так что
g(n, xO— g(n,x2) = 0(£);
это доказывает, что g(n, x) неперерывна относительно n.
Теорема 2.11. Если f(n,x} относительно непре-
рывна при а^х^Ь и \f(n, х) |> 10-^ для мажорант-
ных п, то или х)> 10'^ для всех х из (а, Ь) или
f(n,x)^—10_J1 для всех х из (а,Ь) при мажорант-
ных п.
Действительно, если хь х2 — две произвольные точки
из (а, Ь), то мы можем разделить (хьх2) на конечное
число частей таких, что значения f(n, х) в любых двух
точках из одной и той же части отличаются меньше, чем
на IO-*1-1 для мажорантных п, и поэтому f(n, Х|) и
f(n, х2) имеют одинаковый знак для мажорантных п.
Теорема 2.2. Относительно непрерывная функция
имеет равномерно сходящийся относительно непрерыв-
ный эквивалент.
Действительно, если f(n, х) относительно непрерывна
при а х 4^ 6, то имеются рекурсивные функции N(k, х)
и с (k) такие, что для всех х, X, удовлетворяющих усло-
виям
а<х<Х<&, х — X = 0(с(£)),
мы имеем
f(n, X) — f(n, х)= 0(й)
для мажорантных п, и
AZ > п > N (k, х) f (N, х) — f (n, x) = 0 (k).
Пусть ф (k, х) = f(N (k, х), х); тогда
р>?-*ф(р, х) — ф(<7, x)=0(q)
и
Ф(*, X)-q>(k, x) = f(N(k, X), X) — f(m, Х) +
+ f (m, X) — f (m, x) + f (m, x) — f (N (k, x), x) =
!=3-0(й) для мажорантных m;
ГЛ. Ill РЕКУРСИВНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ
313
это показывает, что ф(п, х) равномерно сходится и от-
носительно непрерывна.
Поскольку
ф(п, х)— f (п, х) = ф(п, х) — f (т, л*) + f (mf х)— f(n, х) =
= 2*0(6) для мажорантных и,
то ф(п, х) эквивалентна f(n, х).
Далее мы замечаем, что при k и X — х = 0(с(6))
ф(п, X)—ф(п, х)= 5*0(6),
ибо ф(п? X)— ф(6, X)= 0(6) и ф(п, х)— ф(6, х) = 0(6),
если п > 6, и ф(6, X)—ф(6, х) = 3*0(6), если будет
X — х = 0(с(6)).
2.2. В силу теоремы 2.2 мы можем без потери общ-
ности считать, что любая относительно непрерывная
функция f(n» х) находится в стандартной форме, так
ЧТО p>q-*f(p,x) — f(q,x) = Q(q).
Теорема 2.21. Если f(n,x) относительно непрерыв-
на при а^х^Ь и если s(n) рекурсивно сходится к ра-
циональному х*, а<х*<6, то f(n, s(n)) и f(n, х*) эк-
вивалентны.
Поскольку s(n) рекурсивно сходится к х*, то имеется
рекурсивная строго возрастающая функция v(6) такая,
что
п > v(6)~► s(n) — х* = 0(6),
и поэтому
n> v(c(6))—>s(n) — X* = 0 (с (6)),
откуда следует, что
п v(c(k))-*f(n, s(n))—f(nf х*) = 5 • 0(6)
и, значит, f(n, s(n)) и f(n, х*) эквивалентны.
В частности, если f(x) рекурсивно непрерывна при
а х Ь и s(n) рекурсивно сходится к х*, а < х* < Ь,
то f(s(n)) рекурсивно сходится к f(x*).
2.21. Независимо от того, имеет ли последователь-
ность s(n) рациональный предел или нет, имеет место
следующая форма теоремы 2.21.
Теорема 2.22. Если f(n,x) непрерывна при
а^х^Ь относительно п и если s(n) рекурсивно
314
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
сходится и a<Cs(n)^b, то f(n,s(n)) тоже рекурсивно
сходится.
Так как s(n) рекурсивно сходится, то имеется ре-
курсивная функция Af(fe) такая, что
N > n> N(k)-+s(N) — s(n) = 0(fe),
и в силу относительной непрерывности
{x-X = Q(c(k))}&n^k^f(n, x)-f(n, Х) = 5.0(Л),
а поэтому, если W > п N (с (&)), то
f(n,S(A0)-f(n,s(n)) = 5-0(*).
Следовательно,
= f (N, s (N)) - f (n, s (N)) + f (n, s (N)) - f (n, s (n)) =
= 6.0(£),
если N n> N(c(k)), ибо N(c(k))^ Af(&)> k, что за-
вершает доказательство.
В частности, если функция f(x) равномерно рекур-
сивно непрерывна при а^х^Ь, то рекурсивно
сходится.
Теорема 2.221. Если f(n, х) непрерывна при
а^х^Ь относительно п и если s(n), t(n)—эквива-
лентные рекурсивные вещественные числа такие, что
a^s(n)^b, a^t(n)^b, то f(n,s(n)) и f(n,t(n)) —
тоже эквивалентные рекурсивные вещественные числа.
Действительно,
s(n)—t(n) =0(c(fc)) для мажорантных п
и
X — х = 0(c(k))-+f(n,x)—f(n,X) = 0(&) при
и, следовательно,
f(n, s(n))—f(n, /(n))=0(fe) для мажорантных n.
Снова отметим частный случай:
Если f(x) равномерно рекурсивно непрерывна при
о^х^Ь и s(n), t(n) —эквивалентные оекурсивные ве-
щественные числа такие, что a^s(n)^b, a^t{n)^b,
ГЛ. П] РЕКУРСИВНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ?Г)
то f(s(n)) и f(/(n))—тоже эквивалентные рекурсивные
вещественные числа.
2.22. Рекурсивное вещественное число f(n,s(n))
можно считать значением относительно непрерывной
функции f(n, %), когда значением ее аргумента является
рекурсивное вещественное число s(n). Таким образом,
строится, а не определяется, значение относительно
непрерывной (рекурсивно непрерывной) функции для
рекурсивного вещественного аргумента.
Такое определение как
f(x) = O, если х рационально,
=1, если х иррационально,
неприемлемо в рекурсивном анализе. Рекурсивная функ-
ция обязательно непрерывна для рекурсивного ирра-
ционального вещественного аргумента.
2.23. Если f(n, х) и g(n,t)—функции, заданные в
стандартной форме, f(n, х) относительно непрерывна при
а^х^Ь и g(n,t) равномерно сходится при а^/<Ср,
и если a^g(n, t)^b при а^/^р, то
f(k+ \,g(cf(k+ 1),/))
называется применением f к g или результатом подста-
новки g в f и обозначается через fg(k,t).
Теорема 2.23. При cf(k+\) и
а t р имеет место
fg(k> t)—f(n,g(m,t)) = 0(£).
В самом деле, поскольку
g(m,t)— g(cf(k + 1),/)=0(с/(£ +1)) при т>су(^+1),
fg(k,t)-f(k + l,g(m,t)) = 3-0(*+ 1),
а так как при + 1 имеет место
f(n,g(m,t))—f(k + \,g(m, /))= 0(k + 1),
fg(b,t)-f(n,g(m, 0) = 4.0(Л+ 1).
Теорема 2.24. fg (k, t) рекурсивно равномерно схо-
дится в стандартной форме.
316
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
пг
Действительно, если q>p, то
fg(<7> *) =
= f{q + 1, g(cf(q+ 1), t))-f(p + 1, g(cf(q+ 1), /)) +
+ f{p + 1. g(cf(q+ 1), t))-f(p + 1, g(cf(p + 1), /)) =
= 0(p + l) + 3.0(p + l) = 0(p).
Теорема 2.25. Если <p(n, x), y(n, t) являются экви-
валентными для относительно непрерывной f(n,x) и рав-
номерно сходящейся g(n,t), причем все функции нахо-
дятся в стандартной форме, то <ру (A, t) эквивалентна
fg(k,t).
Так как g(m,t) и эквивалентны, то имеется
рекурсивная функция М (k, t) такая, что
/п>Л1(А, t)-*g(m, f)— v(tn, 0 = 0(&),
поэтому
п k & tn > М (с/ (k), /)->•
-* f (n, g {tn, t)) — f (n, у (tn, t)) = 5- 0 (k).
Но в силу эквивалентности функций f(n, х) и <р(п, х)
f (п, /)) — ф(п, у(т, /)) = 0(fe) для мажорантных п
и поэтому
f (я, g (пц /)) — qp (п, у (т, /)) = О (k)
для мажорантных т, п,
и требуемый результат следует теперь из теоремы 2.23.
2.24. Если f(n,x) относительно непрерывна и g(n, /)
равномерно рекурсивно сходится, не обязательно в стан-
дартной форме, и если F(ntx), G(n,t) — их эквиваленты
в стандартной форме, то мы определяем fg(n,t) как
FG(n, /).
Теорема 2.26. Если функция f (п, х) относительно
непрерывна при a^.x^.b и если g(n,t) относительно
непрерывна при причем
а < g(n,t)<b для мажорантных п
и а р, то fg(n9t) относительно непрерывна при
а t р.
ГЛ. II] РЕКУРСИВНАЯ и ОТНОСИТЕЛЬНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ
317
Мы можем без потери общности предполагать, что
f и g находятся в стандартной форме, ибо любой экви-
валент G функции g также удовлетворяет условиям
a<G(n, t)<b для мажорантных п и
Тогда, если
и T-t = O(cg(cf(k + l)+\)),
то
fg(n, T)-fg(n, t) =
=f(n + l, g(cf(n + l), T))~f(n+\, g(cf(n+V), t)) = Q(k)
при n k.
Теорема 2.3. Относительно непрерывная функция
ограничена по абсолютной величине.
Пусть f(n,x) относительно непрерывна в (а,Ь); раз*
делим (а, Ь) на р частей с длиной 0 (с (1)), так что для
любых двух точек х и X из одной и той же части при
/г>1 выполняется f(n, х)—f (п, X) = 5 *0(1). Тогда
для любого х из (а, Ь) ип>1
If (n, x)-f(n, а)\<~р,
а поскольку f(n, а) рекурсивно сходится в стандартной
форме, то f(n, а)—f(l, а) = 0(1) при 1.
2.3. Теорема 2.3 является следствием равномерности
относительной непрерывности. Мы проиллюстрируем это,
построив рекурсивную функцию f(n, х), которая рекур-
сивно сходится и непрерывна при любом п, но неограни-
чена. Пусть ап — десятичное разложение ]/2 с п деся-
тичными знаками, а0 = 1 и Ьп = ап + 10-п, п>-0. Далее,
пусть f (0, х) = 0 и
f(r+l, х) — f (г, х),
если а0^х^аг
= r + (x-ar)/(ar+i-a~),
= г + (х - dr)/(6r+i - br),
= r+ 1,
или Z>r^x<60,
если ar<x^ar+i,
если br+i^x<br,
если ar+i^x^br+l.
318
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
(II
Пусть х лежит в (а, Ь)\ если х2<2, то пусть ar+i — пер-
вое рациональное приближение, для которого х<аг+ь
тогда f(n,x)—константа при Аналогично, если
х2>2 и Ьг+1 — первое рациональное приближение, для
которого Ьг+\ < х, то f(n, х)—константа при п^г. Та-
ким образом, f(ntх) рекурсивно сходится и, очевидно,
f(n,x) непрерывна при любом фиксированном п. Но
f (n, х) не является абсолютно ограниченной, ибо
f(r,ar)=r и, следовательно, f(n,x) не является относи-
тельно непрерывной, что можно также увидеть, если
учесть, что f (г + 1, ar+i) < f (г + 1, ar) = 1, тогда как
ar+i — аг можно сделать сколь угодно малым.
Теорема 2.4. Если f(n, х) относительно непрерывна
в (а, й), то имеется рекурсивно сходящаяся h(n) такая,
что при а^х^.Ь имеет место f(n, х)^й(п) относи-
тельно п.
Неравенство f(n, x)^h(n) выполняется относитель-
но и, если
f (п, x)<ft(n)+10"*
для мажорантных п.
Пусть 10х — наименьшая степень 10, которая превос-
ходит Ь — а\ пусть
a; = a + (6-a)r/10c(n>+\
й(п)= max f(n, а")
и пусть k(n)—наименьшее г, для которого f(n, aty =
= h(n) и ап = а^м. Мы докажем, что й(п) рекурсивно
сходится.
Поскольку ап = для некоторого р, если W > п, то
h (N) - h (n) = f (N, aN) - f (N, a") + f (N, an) - f (n, an) >
(M, an) — f(n, an)> — 10“n при
пусть a — наибольшее целое, для которого a**^.aN; то-
гда aN<a*+x и, следовательно,
h(N) — h (n) = f(N, aN) — f(n, aN) + f (n, aN) — f (n, a") +
+ f (n, a-) - f (n, an) < {f (AT, aN) -f(n, a")} +
+ (f («» aN) — f (n, ag)} <6/10fe+1 при
ГЛ. II) РЕКУРСИВНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ 319
отсюда вытекает, что при имеет место
h(N) —ft(n)=0(fe).
Возьмем произвольное х из (а. Ь) и пусть т — наи-
большее целое, для которого а”^х, так что х лежит
между а" и а"+1, и поэтому
f(n, x)-f(n, а") = 0(й)
при п>&+1. Отсюда следует, что
f(n, x)^h(n)+ IO-*
при п k+ 1.
Аналогичным образом мы можем определить ниж-
нюю границу 1(п),
2.4. Если бы последовательность ап была рекурсивно
сходящейся, то, поскольку f (n, ап) = h(n), мы могли бы
сказать, что функция f(n,x) достигает своего максимума,
равного рекурсивному вещественному числу h(n), при
значении аргумента, равном рекурсивному вещественно-
му числу ап. Следующий пример показывает, однако, что
доказательство рекурсивной сходимости ап невозможно.
Пусть g(n)—произвольная примитивно рекурсивная
функция и пусть у(п)—примитивно рекурсивная функ-
ция, которая принимает значение п, если g(r) =0 для
всех и принимает значение р, если р является
первым значением для которого g(r) >0. Таким
образом, у(и) для всех п и у(и)<и для некоторых
п, если только имеется значение и, для которого g(n) >0.
Покажем, что доказательство рекурсивной сходимости
ап составляет разрешающую процедуру для равенства
g(n) = 0, но, как мы уже заметили, существование такой
разрешающей процедуры привело бы к противоречию
в рекурсивной арифметике.
Пусть
f (n, х) = (1 — 2“Y (Г1)) х, если 0<х<1,
= — (1 — 2!“п)х, если — 1<х<0.
Тогда, если у(п)=п, наибольшее значение f(nt х) дости-
гается при х«=1, но если у(п)<п, наибольшее значение
f(n, х) достигается при х=—1. Пусть а71—то значение х,
при котором f(n, х) принимает свое наибольшее
320
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
значение; если ап рекурсивно сходится, то имеется
рекурсивная функция пк такая, что
п nk -> ап — а1* = 0 (fe),
и, следовательно, при и > Hi имеет место | ап — ап' | < 1/10
и поэтому, поскольку ап целое, ап = ani при всех п.
Следовательно, если ап' = 1, то ап= 1 при всех п пь
и поэтому у(п)=п при всех п и g(n)=0 при всех п; но
если ап> = — 1, то y(ni)<ni и имеется значение
для которого g(n)=#0; это показывает, что доказатель-
ство рекурсивной сходимости ап давало бы разрешаю-
щую процедуру для равенства g,(n)=0. Последователь-
ность ап является, конечно, классически сходящейся и
представляет собой пример сходящейся последователь-
ности, которая не сходится рекурсивно*).
2.41. Хотя теорема 2.2 достаточна для наших целей,
следующий результат показывает, насколько эта тео-
рема может быть усилена.
Теорема 2.5. Каждая относительно непрерывная
функция имеет дважды равномерно непрерывный экви-
валент.
Более точно, если f(n, х) рекурсивно сходится по п
и непрерывна относительно п при а^х^Ь, то имеются
рекурсивные функции Г(п, х) и cF(k) такие, что:
(l)F(n, k) эквивалентна f(ntk) при a^x^b;
(2) а^х <г/ & х — у = 0(cF(k)) F(n,x) —
—F(n, y)=0(k) при всех и;
(3) a^x^b и /и > n > & +1 -> F (/и, х) — F (п, х) =
Пусть ф(п, х) =f{N{n, х), х); тогда
m п k —> ф {tn, х) — ф (п, х) = 0 {k)
и
п У (fe, х) -> ф (n, х) — f {п, х) = 0 {k).
*) Это утверждение неточно, так как ап — семейство последо-
вательностей, зависящих от параметра g. Автором доказана лишь
невозможность семейства «регуляторов сходимости», рекурсивно
зависящих от g. В то же время каждая из последовательностей ап
(при фиксированном g\ не может не быть рекурсивно сходящейся.—
Прим. ред.
ГЛ. II] РЕКУРСИВНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ 321
Обозначая наибольшее из N(k,x), /V(6, z/), С(6, х, у)
через M(k, х, у), мы имеем
ф (м, х) - <р (п, y) = f(N (п, х), x) — f(M (k, X, у), х) +
+ f (М (k, х, у), x)~f(M (k, х, у), у) +
+ f(M(k, х, у), у)-Ш(п, у), г/) = 3 •()(£)
при каждом и х — y = O(cj(k)). Если у— наимень-
шее целое, положительное или отрицательное, такое, что
10v больше b — а, и если /(&) =С;(й)+у, то мы полагаем
Д, = (6-а)Ю-/(г)
И
а* = а + г • Дп,
так ЧТО Дп = 0(С;(6)) при k9 и ввиду того, что
cf(k + 1) > cf(k), получаем Дп+1 < Дл/10.
Следовательно,
k-> <p(n, а"+1) —qp(n, а") = 3 • 0(6).
Далее мы определяем полигональную аппроксимацию
для ф(/г, х); пусть
F (п, х) = <р(п, а") + (ф (п, а"+1) - ф(п, <)} (х - а;)/Дп
при
а?^х^а?+1 и 1 г + 1 10/(п),
так что F(n, х) рекурсивна и F(п, а") = ф(п, а"), а при
п>6 и а"<х<а"+1 имеет место
F (n, х) — F(n, = 0(6), F (п, х) — F(п, а"+1) = 3*0(6).
Рассмотрим теперь две произвольные точки х, у из
(а, Ь), удовлетворяющие условиям х<у и х — у =
= 0(с/(6)); пусть п^Аи пусть ц, v — наибольшее и наи-
меньшее значения г такие, что соответственно х<апг
и а?<у. Тогда, поскольку «” — ^^ = 0(^(6)), то
F (п, х) — F (n, y) = F (п, х) — F (п9 а") + F (п, —
- F + F (n, а^) — F (п9 у) = 9 • 0 (6).
322
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[П
Рассмотрим теперь значения п, меньшие k\ так как
Cj(k) С/(п) + 1, то
Но
п п 1 /1 acf
аг+г — аг^ 1/10 1
и поэтому не более одного а" лежит между х и у. Если
хну лежат в одном и том же замкнутом подынтервале
(a*, ar+i)> то поскольку F(n, х) линейна по х в каждом
подынтервале, имеем
а если х, у лежат в соседних интервалах с общим кон-
цом а“, то
Л. о (t),
F(n, a") — F(n, у) 3
-3—а----L12L = _ . о (k),
о^-У
откуда, поскольку
F (п, х) — F (п, у)
Х-У
F (п> x)-F (n, a") F (л, а") - F (п, у)
лежит между --------?---- и --------------, то
х-аг аг-у
F (п> x)-F (п> у)
х~У
независимо от того, лежат ли х, у в одном и том же
подынтервале или нет; отсюда следует, что
| F (п, х) — F (п, у) |<3 • 10Cf W+V 10 к/(Ь — а)<
<3- 10"ft+I.
Таким образом, для всех значений п
F (п, х) — F (п, у) = 0 (£)
ГЛ. II] РЕКУРСИВНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ
323
при условии, что х — у = O(cf(k + 2)); тем самым дока-
зано (2) при
cF(k) = cf(k + 2).
Так как для а"^х^а”+1 выполняется равенство
F (м, х) — f (м, х) = {F (п, х) — F (7г, а")} +
+ [qp (п, а") — ф (п, х)| + {ф (n, х) — f (п, х)} = 7 • О (k)
при n>2V(£, х), то F (п, х) эквивалентно f(n, х).
Наконец, если то для любого х из (а, Ь)
мы можем выбрать г так, что
а;<а;<х<а-+1<а;+1,
и поэтому
F (т, х) — F {п, х) = [F (m, х) — F (т, а™)} +
+ [F (7г, aty - F (пу х)} + {ф (т, а™) - ф (п, а™)} -t-
+ {ф (п, а™} — ф (7г, а")] = 10-0 (А),
что доказывает (3).
2.5. Теперь мы переходим к рассмотрению фундамен-
тального свойства непрерывных функций. Мы увидим,
что классическое свойство непрерывных функций, со-
стоящее в том, что непрерывная функция обращается в
нуль, если она меняет знак, остается верным для равно-
мерной рекурсивной непрерывности, но не для относи-
тельной непрерывности.
Сначала мы докажем, что имеет место
Теорема 2.6. Если [(х) равномерно рекурсивно не-
прерывна при а^х-^b и f(a) то имеется ре-
курсивное число {s(n)} из (а, Ь) такое, что =0
относительно п.
Мы можем без потери общности предполагать, что
f(a)<0, f(b)>0.
Пусть а0 = а, Ьо = Ь', если f (” 2 ) > то мы полагаем
ai = a0> Ьх = ап + 6° , а если то мы полагаем
ai = —°^й° , bx = bQ. Далее, если f j>0, то мы
полагаем an+l = ап, bn+i = - * , а если f рМр5) < 0, то
„ _ аП “b Ьп д ______ д
^л + 1 ~“ 2 ’ + \ ~~ “м
так что ап и Ьп рекурсивно сходятся, а так как
Ьп— ап-+0, то ап и Ьп — эквивалентные рекурсивные
вещественные числа. Легко видеть, что f(an) и
f(ftn)>0, ибо это верно при п = 0 и если это верно при
n=k, то, поскольку f(aft+i) =f(afe) и f(bk+i) = f (^2^)’
(д, Ч- bl. \ / cit, ~Ь bи \
—и f(a*+i) = f(—2—)’ H^+i) = f(M.
—)^0, это же выполняется при n = k+\ и
поэтому при всех п.
Так как f(x) равномерно рекурсивно непрерывна, то
f(an) и f(bn) эквивалентны, т. е.
\f (Ьп) — f (an) I <1/10* для мажорантных п
и, следовательно,
f (ап) =f(bn) =0 относительно п.
2.51. Аналогичные рассуждения можно применить к
относительно непрерывной функции в предположении,
что эта функция удовлетворяет некоторым дополнитель-
ным ограничениям. Мы докажем, что верна
Теорема 2.61. Если функция f(n, х) непрерывна
при а^х^Ь относительно п и f(n, а)<0, f(n, ft)>0
для всех п и если имеются рекурсивные функции g, h
такие, что при a-^x^ib выполняется ft > ft (х) ->
\f(n, х) |> 10“*<х\ то имеется рекурсивное веществен-
ное число sn такое, что f(n, sn)=0 относительно п.
Пусть m(x) =max(g(x), ft(x)) и F(x) =f(m(x), х).
Как и в теореме 2.6, имеются эквивалентные рекурсив-
ные вещественные числа ап, Ьп такие, что
т)>о,
т. е.
/ (пг (ая), ап) < 0,
ГЛ. II] РЕКУРСИВНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ
325
так что f(m(an), ап)^.— 1/10?^п\ и, аналогично,
Так как
| f (р, х) — f (m(x), х) |< 1/10т (х) при р^т(х),
то
f {Р> ап) <0 при р > т (ап),
и, аналогично,
f(p, Ьп)>0 при р^т(Ьп).
Тем не менее, поскольку Ьп = ап относительно п, то
f(&, — an) = 3*0(k) для мажорантных п,
и, следовательно,
f (k, bn) = 3 • 0(k)t f(k, an) = 3 • 0(fe) для мажорантных n
откуда следует, что f (п, an) = 0 относительно n.
2.6. Далее мы рассмотрим общий случай, касаю-
щийся относительно непрерывной функции, без допол-
нительных ограничений и докажем, что имеет место
Теорема 2.62. Если f(n, х) непрерывна при
а х Ь относительно п, то имеются рекурсивные функ-
ции ап, Ьп такие, что a,n^an+\<bn+\^bn и для всех
х выполняется ak^x f(k + 2, x)=0(fe) *).
Для любого рационального х пусть [х] обозначает
целую часть х и пусть {x}ft==[10fex]/10\ Далее пусть
а? = а + (Z> — a) r/10c(t+1)+v
(где 10?— наименьшая степень 10, которая больше
b — а). Тогда при 1 < г + 1 < 10г (*+1)+Y
f(fe+l, + • 0(fe + 1)
поэтому
|(f(^+l, a*+()} -(f 7e+l, <)} |<l/10*;
*) Имеется в виду, что /(n,а) <0 и }(n,b) >0 при всех п.—
Прим, перев.
326
рекурсивный анализ
это показывает, что целые 10* {/(6+1, равны или
являются последовательными для последовательных зна-
чений г. Поэтому, когда г изменяется от 0 до 10c(ft+1)+Y,
то {f (k + 1, Лг)}& принимает каждое значение п!\№ ме-
жду любыми двумя своими значениями, и это — суще-
ственное общее свойство, которым обладают относи-
тельно непрерывные функции и рекурсивно непрерывные
функции, В частности, из f(п, а)< — 10“ц получаем
f(k + l, a)<10~*+1 при й > ц, следовательно,
{f(k+ 1, a))ft<-10-ft+1<-
аналогично, из f(n, 6)>10 11 следует {f(k+ 1,
при поэтому имеется наименьшее v, скажем, v=vs,
такое, что {f (k + 1, = 0, т. е. f (k+ 1, a* J = 0(fe).
Позже мы покажем на примере, что в общем случае
последовательность не является рекурсивно сходя-
щейся. Сначала, однако, мы более подробно проанали-
зируем ситуацию, показав, что имеются рекурсивные
функции аПу Ьп такие, что an^.an+i<bn+i Ьп и
f(k + 2, x) = 0(fe)
для всех х таких, что аь^-х^Ьк.
Сначала мы напомним, что из/(& + 1,х)<—1/10*
следует f(k + 2, х)<—1/10*+1, поскольку имеет место
f(k + 2,x)-f(k+ l,x) = 0(k+ 1).
Пусть akr = а + (b — a) г/10е <fe)+v; тогда, поскольку
?(ц + 1, а)<- 1/10и и f(g + l, 6)>1/10и,
имеется первое г, скажем, г=гц, такое, что
f (|*+ 1, а?+1)> 1/10“,
и наибольшее $+1<гц, скажем, такое, что
тогда
Нн+1, ($<-1/10и;
- 1/10и</(и+ 1, a»)<l/10g
ГЛ. П] РЕКУРСИВНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ 327
для всех п от su до включительно. Теперь мы рекур'
сивно определим rn, sn для п > р следующим образомг
предположим, что для некоторого k
-l/10fe<f(fe+l, «*)< l/10ft
для всех п от sk до rk и что
f (k + 1, 4) <- 1/10\ f (k + 1, ar\)> l/10\
Тогда
f(fe + 2, - l/10fe+x, f(k + 2, fly>l/10ft+1.
Пусть rft+i —первое г, большее чем юс<4+1)~‘:такое,
что
f(k + 2,
и пусть Sa+i — наибольшее s + 1 < rh+i такое, что
так что
f(k + 2, а*+1)<- 1/Ю*+1,
- 1/104+1<Н^ + 2, akn+v) < l/10ft+l
для всех п от Sk+i до rk+\ включительно, что и завершает
определение.
Пусть akSk == akr^ = bk. По определению rh, sh мы
имеем для всех k ц
-l/10fe<f(*+l, а„)<1/104
при всех п от sk до rk включительно.
Если аЬ^х^.ап+1, то/(6+1, x) — f(k+ 1, а*) = 5-0(6),
так что
f(k + 1, х)= 6-0(6).
Таким образом, для всех х таких, что ak^ х bk> мы
имеем f (6 + 1, х) = 6- 0(6) и
'С йк+\ < ^А+1
Хотя последовательность ah не убывает и ограничена
сверху, a bh не возрастает и ограничена снизу, тем не
менее, мы увидим, что как так и Ьк не обязательно
328
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
Ht
рекурсивно сходятся, и в общем случае невозможно ре-
шить, имеет ли место bh = ak относительно k или нет.
Однако если f(n, х) удовлетворяет некоторым подходя-
щим дополнительным условиям, мы можем доказать,
что ak и bh — эквивалентные рекурсивные вещественные
числа. Конкретнее, мы докажем, что верна.
Теорема 2.63. Если f (п, х) непрерывна при
а^х^.Ь относительно п и если имеется константа q >0
такая, что при а х -^у -С b выполняется
j f(n,x)-f (п, | g,
для мажорантных п, то имеется рекурсивно сходящая-
ся последовательность ап такая, что f(n, ап) = 0 относи-
тельно п.
По предыдущей теореме мы можем найти рекурсив-
ные последовательности ап, Ьп такие, что
'С ^А+1 < ^А+1 Ьк
и
ak х < bh и п k + 2 —* f (п, х) = 0 (fe).
Но по предположению
О < bh — ak <(l/q) \f(n, bk) — f(n, ak) |
для мажорантных n,
и поэтому
О < bh — ak <(2/q) • 0(k)*t
это доказывает, что ah и bh рекурсивно сходятся.
2.61. Теперь мы покажем, что последовательности ак,
bh, построенные в теореме 2.62, не обязательно рекур-
сивно сходятся. Как и в § 2.4, пусть g(n)—произволь-
ная примитивно рекурсивная функция, а у(п)—рекур-
сивная функция, которая принимает значение п, если
g(r) = 0 для всех г <4 п, и значение р, если р — первое
г п, для которого g(r) > 0. Поэтому у(п) = п, если нет
значения р, для которого g(p)>0, и тогда у(п)<л
при п > р. Мы определяем f(п, х) при 0<х4 3 так:
если у(п) = п, то
/’(п, х) = х — 1 при O^x^l,
== 0 при 1 х <1 2,
—2 при 2<^х^3;
ГЛ. РЕКУРСИВНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ 329
если у(п) = р<п, то
f (п, х) = х — 1
= - 1/(р+1)
= х-2
при О -С х 1 — 1/(р + 1),
при 1 - 1/(р + 1)^х<2 - 1/(р+ 1),
при 2 — 1/(р + 1) С х 3.
Так определенная функция f(n, х), очевидно, рекурсивно
сходится и непрерывна при 0 х 3 относительно п.
Действительно, если N п, то
у(УУ)=М или y(W) = р п —► f(N, х) — f(n, х) = О
п <y(N)< № — 0<f(n,x) — f(N,x)^ Щп + 1);
более того,
X — х = 0(fc) — f(n, X)—f(n, x) = 0(k)
для всех значений n.
Пусть ah обозначает первую, a bh — последнюю из
тех точек между 0 и 3, где f(k, х) обращается в нуль.
Тогда, если g(n) = 0 для всех и, то ап = 1, но если р —
это первое м, для которого g(n)>0, то ап = 2, р.
В соответствии с этим, если бы ап рекурсивно сходилась,
то у нас была бы разрешающая процедура для равен-
ства ^(п)=0, ибо у нас было бы целое пх такое, что
а(п) — а(М1) = 0(1) при всех пи и поэтому a (nJ
доказывало бы, что g(n)=0 для всех п, а
а(п2)> доказывало бы, что имеется п, для которого
£(")> 0.
Одновременно мы доказали, что невозможно решить,
верно ли, что f(n, х) = 0 относительно п для единствен-
ного значения х или для интервала значений, поскольку
если бы мы могли решить это, то у нас опять была бы
разрешающая процедура для равенства g(n)=0.
ГЛАВА III
РЕКУРСИВНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
Неравенства, касающиеся среднего значения. Дважды
равномерный эквивалент для относительно дифференци-
руемой функции. Теорема о среднем значении. Теорема
Тейлора. Теорема о равномерном среднем значении. Су-
ществование относительно дифференцируемых функций,
не удовлетворяющих теореме о равномерном среднем
значении.
3. Дифференцируемость
3.01. Говорят, что рекурсивная функция f(x) рекур-
сивно дифференцируема в точке Хо, если имеется рекур*
сивная функция d(k) и число А такие, что
х — х0 = O(d(k))->f(x) — f(x0) = (x — х0) (Л + 0(k)).
3.02. f(x) равномерно рекурсивно дифференцируема
при а-<х-<6, если имеются рекурсивные функции
Р(х), d(k) такие, что
a<x<X<b&x — X = 0(d(k))—*f(x) — f(X) =
= (х-Х) (f>(x)+O(*)).
Р (х) называется рекурсивной производной (функ-
ции f — Прим, ред.) в \а,Ь). В общем случае функции
d(k), f'(x) будут содержать любой параметр из /(х).
3.03. Говорят, что рекурсивно сходящаяся функция
f(n, х) целочисленной переменной п и рациональной пе-
ременной х дифференцируема при а^.х <6 относи-
тельно п, если имеются рекурсивные функции р(п, х),
d(k) такие, что для мажорантных п
a<x<X<&&x-X==0(d(fe))->f(n, x)-f(n, X)-
== (х — X) (f1 (n, x) + 0(k)).
f'(n,x) называется относительной производной f(n.x)
в (а, Ь).
ГЛ. HI]
РЕКУРСИВНАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
331
Теорема 3.01. Если f(n,x) относительно диффе-
ренцируема в (а, Ь) с относительной производной fl (и, х)
и если ф (п, х), ф1 (п, х) — эквиваленты соответственно
f(n,x), fx(ntx), то ф (п, х) относительно дифференци-
руема в (а, Ь) с относительной производной фЦп, х).
Действительно, если х < X, то
f (п. х) - f (n, X) _ ф(/г, х) -ф(п, X) f (п> х) - Ф (к, х) .
х - X х-Х х - X
+ = 0 (А) для мажорантных п
и
f1 (п, х) = ф1 (п, х) + 0 (k) для мажорантных п,
и поэтому
а С х < X < b & х — X = 0 (d (k)) -+ ф (п, х) — ф (n, X) =
= (х — X) (ф1 (п, х) + 3 • 0 (k)) для мажорантных п.
Заметим, что, в частности, ф1 (п, х) —относительная про-
изводная f(n, х), a f] (п, х)—относительная производная
ф(п, х).
Теорема 3.02. Если f(n,x) относительно диффе-
ренцируема в (а, Ь) с относительной производной
Р(п,х), то f(ntx) и Р(п, х) непрерывны при а^х^Ь
относительно п.
Из
f (п, х) - f (п, X) = (х - X) {fi (n, x) + 0 (A)}
при х — X « O(d(k)) и мажорантных п получаем, меняя
ролями х и X, что
f (п, X)-f(n, х) = (X - x){f (n, X) + 0(A)}
для мажорантных /г,
откуда
P(n, X)—f1 (п, х) =2 • 0(A) для мажорантных п\
это доказывает, что fx(n, х) относительно непрерывна.
Так как fx(n, х) относительно непрерывна, то
ЯЦя, х)| ограничена, скажем, числом 10\ Пусть
с (А) = max{d(A), А + X +. 1};
332
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
(И
тогда
Х — х = 0(c(k))-*f(n, x) — f(n, Х) = 0(A)
для мажорантных и;
это доказывает, что f(n, х) относительно непрерывна.
3.1. Рекурсивная дифференцируемость для всех ра-
циональных х из некоторого интервала, конечно, не вле-
чет равномерную рекурсивную дифференцируемость. На-
пример, если f(x) определена при х>0 условиями
х2 < 2 f (х) = — х,
х2 > 2 -> f (х) = + х,
то f(x) рекурсивна и рекурсивно дифференцируема для
любого рационального х > 0. Но f (х) не является равно-
мерно рекурсивно дифференцируемой при 14х<2,
ибо если х2 < 2 и X2 > 2, то
f(X)-f(x) Х + х^ 2 v ^1/аг
х-х если x-x<i/n,
f (X) - f (x)
так что —неограничена.
Более того, функция f(n, х) может быть относительно
дифференцируемой в некотором интервале, не будучи
равномерно дифференцируемой ни при каком фиксиро-
ванном значении п. Действительно, предположим, что
f(n,plq) = ql(p,q), если q~^n,
= 0, если q < п\
тогда f(n, plq) рекурсивно сходится, поскольку
ДМ plq) — f(n, p/q) = Q при N>n>q, и Дп, plq) отно-
сительно дифференцируема в любом интервале, ибо
f (п, p/q) — f (n, р'/q') л
p/q-p'/q' =Q ПРИ n> max (<?,/).
Но при любом фиксированном п и q>n
Цп, l/q) — f(n, \/(q+ 1)) „/„.n
-----1/9- 1/(7 +1)--= -?(?+!).
ГЛ. Ш]
РЕКУРСИВНАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
333
что не ограничено, — это показывает, что функция
f(n, х) не является равномерно рекурсивно дифферен-
цируемой при фиксированном п.
Теорема 3.1. Если f(x) равномерно рекурсивно
дифференцируема с производной Р (х) при 6 и
если Р (х) = 0, то при а 41 х b имеет место f(x) = f(a).
Пусть точки а^, делят (а, Ь) на равные
части длины ДЛ == 0(d(&)), так что при а*4^х^а*+1,
1 41 г + 1 41 i (k), выполняется
{fW~f(a*)]/(x —а*) = 2 • 0(fe) для мажорантных п,
откуда
f(x)-f(a) = O
для любого х из (а, Ь).
Теорема 3.11. Если f(n, х) дифференцируема с
относительной производной Р(п, х) при а^х^Ь и если
g(n, t) дифференцируема с относительной производной
g1 (n, t) при а 41 / 41 р и если, кроме того, а < g(n, t) <b
при а t р, то fg (п, t) относительно дифференци-
руема при сс41/^1р с относительной производной
Рассмотрим любые две точки /, Т такие, что
сс41/<Т4-Р; пусть e(t, Т)—показатель наименьшей
степени 10, которая больше 1/(7—/), и пусть
d(k)= max(dg(&), cg(df(k))).
Тогда при Т — t = O(d(k))
Т))-Цп,е(пг,^ {т> t) =
= {/’(«> g(m, t)) + g'(m, 0 + 0(fe)} • 0(fe)
для мажорантных m, n.
Но при p > k + e(t, T)
fg (p, T) - fg (p, t) _ f (n, g(m,T))-f (n, g (m, t)) q
для мажорантных tn, n и
g(p, t)-g'(P, g{m, t))-gl(m, f) =
= {/’ («, g(m, t)) + gl (m, 0 + 0(k)} • 0(k)
для мажорантных mt n,
334
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
(И
откуда следует теорема 3.11, ибо fl(n,x) и ог-
раничены.
Теорема 3.2. Если f(n,x) дифференцируема в
(а, Ь) относительно п с относительной производной
fl (п, х) и если f] (п, х) = 0 относительно п для всех х из
(а,Ь), то f (п, х) = f (п, а) относительно п при всех х
из (а, Ь).
Пусть akr = а + (b — a) r/10d(fe)+Y, где у — показатель
наименьшей степени 10, которая больше Ь — а, так что
Пусть х — произвольная точка из (а, Ь) такая, что
as<x^as+i> тогда
1)+от
<4+1-* *
= 2-0(й)
для мажорантных п,
для мажорантных п
и для любого г, 0^г<$,
• v —— = ^(п, a^) + Q(k) для мажорантных п,
аг+\~аг
= 2-0(й) для мажорантных п,
откуда
— -f (п, а) = 2 . о (й) для мажорантных п
и, следовательно, f(n, х) = f(п, а) относительно п.
3.2. Неравенства, касающиеся средних значений
Теорема 3.21. Если для каждого значения п функ-
ция f(n, х) равномерно рекурсивно дифференцируема
при а^х^Ь с рекурсивной производной х), то
имеется рекурсивная функция с^ такая, что а<с^<Ь и
Цп’Ь)ь~[{п'а1^р(п, c-) + O(k)
для каждого значения п.
ГЛ. Ill]
РЕКУРСИВНАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
335
Пусть цп(х, у) обозначает {f(n, х) — f(n, у)}/(х— у),
х<у\ если z — средняя точка (х, г/), то |in(x, у) лежит
между Цп(*> г) и pn(z, У) и, следовательно, цп(х, у)
меньше одного из z) и |in(z, у); таким образом,
мы можем повторно делить (а, Ь) пополам, выбирая
последовательность интервалов, скажем, (а, &), (а", &?),
(«2, каждый из которых является половиной
предыдущего и таким, что цДа", не убывает по
Для подходящего значения г, однако,
где мы берем в качестве с" какое угодно из чисел а"
или Ь?, лишь бы оно лежало внутри (а, Ь).
Те же рассуждения доказывают, что верна
Теорема 3 22. В условиях теоремы 3.21 мы мо-
жем найти рекурсивную функцию с%9 значения которой
лежат в (а, Ь), такую, что
{f(n, b) — f(n, c£) + 0(fc)
для каждого значения п.
3.21. Неравенства для среднего значения также име-
ют место для относительной дифференцируемости. Дей-
ствительно, если &“) определено, как выше, и
если f(n, х) дифференцируема при а^Сх^Ь относитель-
но п, то для г, удовлетворяющего равенству (У— а)/2г=
«= 0(d(&)), мы имеем
= $ + 0(*)
для мажорантных п, гдес£ — или а”, или Ь?. Таким об-
разом, доказана
Теорема 3.23. Если f(n, х) относительно диффе-
ренцируема при а^Сх^СЬ с относительной производной
(п, х), то имеется рекурсивная функция с£, значения
которой лежат в (а, Ь), такая, что
{f(n, b) — f(n, a)}/(b-a)^f\n, ^) + 0(А)
для мажорантных
336
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
(П
Соответствующий результат имеется и для обрат-
ного неравенства.
3.3. Мы можем, однако, доказать значительно более
сильный результат, чем теорема 3.23, как мы покажем
впоследствии (теорема 3.3, ниже).
Теорема 3.24. Если при а^х функция s (п, х)
равномерно рекурсивно дифференцируема при каждом
фиксированном п с производной о(п, х) и если о(п, х)
равномерно рекурсивно сходится, то s(n, х) дифферен-
цируема относительно п с относительной производной
о(и, х).
Из определения 3.02 следует, что имеется рекурсив-
ная функция d(n, k) такая, что
а ^х < у &х — у = 0(d(n, k)) —►o(n, х) — о (п, у) ~
= 0(6),
и поскольку о (и, х) равномерно рекурсивно сходится, то
имеется N(k) такая, что
o(n, x)-a(N(i), x)—0(k) при n^>/V(£).
По теореме 3.21 имеется функция с'£ такая, что
а^х <с%< у и
<g(„. c;) + 0(H
и поэтому при и х — y = 0(d(N(k), k))
-<j(n, x) < {a(n, c") -<j(N (fe), c")} +
+ (a (N (k), -<j(N (k), x)} +
+ {a^(H x)-ff(n, x)} + 0(&) = 4 • 0(6)
и аналогично по теореме 3.22 для таких же п, х, у
.s(n,x)-s(n,^_g(n) X)>4.W
что завершает доказательство.
ГЛ. Ill]
РЕКУРСИВНАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
337
Теорема 3.25. Если
(i) при а^х^Ь функция g(m,x) непрерывна отно-
сительно пг и
а = g(m, a)<^g(m, х)^С р для мажорантных
(ii) при функция f(n,t) дифференцируема
относительно п и
\f[(n, t) |> 1(W для мажорантных п и f(n, а) = а,
(iii)npu а^х^Ь имеет место fg(n, х) =х относи-
тельно п, то
gf(n, t) = t относительно п
для любого t такого, что для некоторого х < b
< g(m, х) для мажорантных пг.
Из условия (ii) следует, что f'(n,t) не меняет знак
при а^/^р и мажорантных п, и поэтому мы можем
без потери общности предполагать, что f1 (и, /)^> 10“^
при a^Z-^р и мажорантных п. Из (iii) следует, что
f (n, g (т, х)) = х 4-0 (£) для мажорантных т, п.
Мы начнем с доказательства того, что если а t <
<g(jn, х) для мажорантных пг и некоторого х < Ь, то
а f (п, t) < b для мажорантных п.
Действительно, неравенство, которому удовлетворяет
fl(n, t), показывает в силу теоремы 3.23, что f(n,t)
строго возрастает (для мажорантных п) и, следова-
тельно, в силу (iii), если
< g(m, х) для мажорантных пг и х < Ь, то
а = f(n, a)^f(n, t) < f(n, g(m, х)) == х + 0(k) < b
для достаточно больших k и мажорантных пг, п.
Используя равномерную сходимость f(n, х), g(n, х)
и относительную непрерывность f(n, х), из (iii)
получаем, что
f(n, g(m, х)) = х + 5• 0(&)
338
рекурсивный анализ
[II
при п> k и а-^x^b и поэтому для таких
же т, п и при p^k
t)))=f(n, 0+6.0(fe),
если a •< t < g (m, x) и x <b.
Но по теореме 3.22, имеется рекурсивная функция с%
такая, что, обозначая g(m, через g, имеем
I f {п, g) - f (п, t) | > | g - л . {f (n. c«) + 0 (A)}
для мажорантных n и поэтому
g(m,f(p, t))—t = O(k — p—\)
при tn'^'Cf(k), p~^k, откуда следует, что
gf(n, t) = t относительно n.
Теорема 3.3 (теорема о среднем значении). Если
f(n,x) дифференцируема при а^.х^.Ь относительно п,
то мы можем построить ck, зависящие только от k, та-
кие, что а < Сь<Ь и
f (п, a) =fi{n>Ck} + Q{k)
для мажорантных п.
Пусть а" = а + (ft — a) r/10cf'(re+V> где Ь — а=С10\ и
Д = пп — лп’
иг+\ иг>
ПОЛОЖИМ
Х-ап
g (п, х) = f (п, а") + {Г (п, а;+1) - f' (п, а?)}
для ar^x^ar+i, 0^r^tn = 10} , и
Q(n, a) = f(n, a),
G (n, x) = G (n, a^) + (x — a") • f1 (n, a") +
(x - a")2
+4^ “))
для a;<x<a;+1, 0=5r</„.
ГЛ. nil
РЕКУРСИВНАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
339
Так как
g (п, х) - (п, х) = (Р (n, а") - fl (п, х)) +
4---(Г (п> a?+i)-fl(«> «?)} = 6 • 0(6) при п>6 и
а^Сх^Ь, то g(n, х) эквивалентна Р(п, х), так что
g(n, х) относительно непрерывна.
Точнее, если а*^.х<у то
S (п, x)-g (п, у) = -^у) {f1 (п, а"+1) - fl (п, а;)} =
= 5-0(6) при п^б,
и если
х<а"<у, у — х = 0 (cfl (6)),
то
g (п, y)-g (п, а*) = (f1 (п, аг«+1) - f1 (п, аг")} =
= 5 • 0 (&) при п k
и
(ап - x'l
g (П, x)-g (п, а?) = {/1 (п, аг") - f1 (п, аг"+1)} =
= 5 • 0 (6) при п 6,
так что g(n, у) — g(n,x) = 0(k—1) при п>6 в обоих
случаях.
Кроме того, если а"^х<а"+1, то
g(N, x)-g(n, x)-[g(N, x)-g(N, a;)) +
+ {£ (jV, a?) - g(n, a;)) + {g (n, a") - g(n, x)) =
= 2 • 0 (6 - 1) + {f1 (У, ar") - f1 (n, a")) =
= 3-0(6—1) при У^п^б.
Это доказывает, что g(n,х) равномерно сходится.
Далее мы докажем, что G(n, х) дифференцируема
при a4х4Ь относительно п с относительной производ-
ной g(n, х).
340
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
(П
Если i/<a”+1, то
G (/?, у) - G (п, а")
= Г (п, cty +
У-а*
{/’ («, а;+1) - Г (П, а;)}
у —
И
е("'?-.)+
+ а,_л.
= f1 (П’ аг) + АдГ а") -f'
G (п, y) — G (п, х) G («> У) “ ° («> аг)
и поскольку v —-Н------ лежит между--------------
У ~х У ~аг
G (п, а?) — G (п, х)
и —-—4----------> то
< — х
° (”’ - Р(«» О = 5 • 0(ife) при n > k.
Если, с другой стороны,
< х<у^а?+1,
ТО
G(n, y)-G(n,x) =fl( а„.
у-х 1 X г)
+2±Кг1^1(«> «7)}.
так что снова
° - х ~ (rt’ а") = ’ 0 при n^k.
Таким образом, для любых х, у из (а,Ь), удовлет-
воряющих условию х — у = 0 (Ср (fe)), мы имеем
G (п, y}-G (п, х)— fx(nt х) = 0(k — 1) при п k;
У х
ГЛ. Ш]
РЕКУРСИВНАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
341
это доказывает, что G(n, х) относительно дифференци-
руема с относительной производной f[(n, х).
Следовательно, G (и, х) — f (п, х) относительно диф-
ференцируема с производной, равной нулю относитель-
но п, а поскольку G(n, а) — f(n, а) = 0, то по теореме 3.2
G(n, х) эквивалентна f(n, х).
Далее мы покажем, что для любых х, у из (а, 6),
х < у, имеется (рациональное) z между х и у такое, что
G(n, x)-G_(n,y)_^ ( .
х —у о \ f /
Если a^^:x1<x2^a^+l (0<г</п), то очевидно, что
G (п, xj) - G (п, х2) _ [ X, + х2 \
xi-x2 ~£\п’ 2 J
и, следовательно, если р, q — соответственно наимень-
шее и наибольшее целое такие, что то
G (n, х) — G (п, у)
х-у
лежит между наименьшим и наибольшим из
при
и, следовательно, между наименьшим и наибольшим из
g(n,x), g(n>y) и g(n, а") ПРИ p^r^q', так как
g(n,x) — ломаная, то имеется рациональное z между х
и у такое, что
G(n,x)-G(n,y) , .
(фактически, если мы переименуем точки х, а}, у в Ьг,
то g(n, I) линейна в каждом интер-
вале br^t^br^\\ пусть v — наименьшее целое, не мень-
шее р — 1, такое, что g(n, bv) >{G(n, х) — G(n, у)}/(х—у);
тогда если и =# р — 1, {G(n, х)—G(n, г/)}/(х—у) лежит
между g(n, bv-x) и g(n, bv) и поэтому равна g(n, z)
для рационального г, лежащего между bv_i и bVl а если
v = p—1 и ц — наименьшее целое, большее у, для
342
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[И
которого имеет место g(n, &ц) <{G(n, х)—О(п, у)]1(х—у),
то
{G(n, x)—G(n, у)}/(х — у)
лежит между g(n, b^-i) и g(n, b^) и т. д.).
Конечно, z зависит от п. Так как G(n, х) и f(n, х)
эквивалентны, то имеется рекурсивная функция
N(k, х, у) такая, что при х Ф у
р(„. .) - G („. Ц,. ») - Н^> _ 0 №) при n>f/Vh л
пусть Ch — то значение z, которое соответствует п =
= N(k, х, у); тогда
+ о („)
л У
при п>АЦ£, х, у). Так как g(n, х) эквивалентна f'(n, х),
то мы заключаем, что
£(«» у) р Q для мажОрантных га>
X у
Важно заметить, что последовательность Ck не обяза-
тельно сходится.
Мы упомянем одно дополнительное условие на
f(n,x), которое обеспечивает сходимость Сь.
Если для некоторой константы а>0 и а^х<у ^.Ь
имеет место
f1 (п, у) — f* (п, х) 1
у —z- для мажорантных п,
у — х 10й
то имеется сходящаяся последовательность сп такая,
что
= f1 (п» fn) относительно п.
Действительно, как мы уже видели, имеется рекурсив-
ная функция Ck такая, что
•— = (п> ck) + 0W Для мажорантных п.
ГЛ. ПТ]
РЕКУРСИВНАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
343
Следовательно, при N > k и мажорантных п
Г («, CN) - f1 (п, ск) = 0 (/г)
и поэтому
cN- ck = o(k-a),
что доказывает рекурсивную сходимость сп. Так как
Р (га, сп) — f1 (га, Ст) =0(k)
при гаг cfl (k) + а и мажорантных га и
'Z д(П’ °) = Р (п> ст) + 0 (гаг) для мажорантных га,
то, следовательно,
f (п, b) -f(n, а) л , ч
——~La' = f1 (п, сп) относительно п.
Функции G(n, х), g(n, х) имеют и другие важные
свойства, которые нам не было нужды упоминать до сих
пор; они служат для доказательства следующей тео-
ремы.
Теорема 3.31. Если f(n, х) относительно дифферен-
цируема при а-^x^b, то у нее имеется эквивалент
G(n, х), который дифференцируем при а^х^СЬ равно-
мерно по х и п.
Используем обозначения предыдущей теоремы; пусть
р и q — соответственно наименьшее и наибольшее це-
лое такие, что если х^а, ^а*^у, то значение
{g(n, х)—- g(n, г/)}/(х — у) лежит между наименьшим и
наибольшим из
g(n, arn+i)-g(n, я?)
<+1~аг
при р—V^r^q и, следовательно, поскольку
Р (га, а?+1) - Р (га, а") = 3 • 0 (га), то
_ g („, Х). g („, г) _ s („, х} _
311
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
|П
если отсюда получаем
0 z G 0,. _е(Д| х)_0№
у л
Более того, из
У - х = 0 (ср (Л) + 2).
G (п, у} — G (п> х)
У-х
~g(ti, г)
следует, что поскольку g(n, z) — g(n, x)=0(k—1) при
k и у — x = 0 (&)), то
G (п, у) — G (п, х) _
У-х
g(n, х) = 0(Л)
при всех п и всех х, у из (а, Ь), удовлетворяющих усло-
вию х — у = 0 (Ср (£) + 2); это доказывает, что G(az, х)
дифференцируема при а^х^Ь равномерно по х и п.
Так как G(az, х) относительно непрерывна, она обя-
зательно имеет равномерно сходящийся эквивалент, но
на самом деле она сама равномерно сходится, как мы
сейчас покажем.
Поскольку
G (п, а"+1) - G (п, а") = + \п {/> (л, а?) + Р (п, а?+1)},
то
г—I
G(/i, a?) = f(n, a) + -jAn^ {f'(rt, a") + f(n, a"+1)}.
n=o
Обозначая r • 10^’(rn) Cfl(n) через o(r), имеем при m>n
G (tn, aty — G (n, aty = G (m, a™{r^ — G (n, aty =
= d)-f{n, а)) + уД,иУ]
О (H+D-l
2 av)-
ц=0 V = cr (Ц)
= 0(n) + yAm 8а(г)-0(л) при m^n.
= 0 (n) + 4 (b — a) • 0 (n), m n,
ГЛ. lit]
РЕКУРСИВНАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
345
Однако при а"<х<1а*+1 имеем
{G (tn, х) - G (п, х)} - {G (/и, а") - G (п, а")} =
f G {tn, х) — G (m, a?) G (п, х) — G (п, a?) 1
( Ur I х-а" х-а” J
= (х-z^-g(n, z2)}, где zp z2 оба
лежат в (х, а"),
= 4 (х- агп) • 0(п- 1) при тп,,
и поэтому
G (tn, х) — G (п, х) = 0(6) при ги^п^^ + у4-1.
Теорема 3.32 (теорема Ролля). Если f{n, а) =
= f{n,b) относительно п и если f(n,x) дифференци-
руема в (а, Ь) относительно п, то мы можем построить
ch, зависящую только от k, такую, что а<с^<Ь и
fl (п, Ck) = 0(fe) для мажорантных п.
Действительно, имеется рекурсивная Ck такая, что
^П> = f' (п> ck) + 0+ 1) Для мажорантных п,
и по предположению
f {п, b) — f (п, а) п । 1 \
b - а =0(Н 1) для мажорантных п,
откуда следует теорема Ролля.
Как и в теореме о среднем значении, сходимость Сь
можно обеспечить выполнением условия
у1 (п, х)-Р {п, у) 1
х-у 10а ’
и когда это условие выполнено, заключение теоремы
Ролля принимает такой вид:
f{(n,cn)=O относительно п.
Теорема 3.33. Если f(n, х), g(n, х) дифференци-
руемы в {а, Ь) относительно nt то имеется рекурсивная
346 РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ (II
функция Ch такая, что a<.ck<b и
{f(n,b) — f(n, a)}gl (п, ch) —
—{g(n, b)—g(n, a)}f' (n, ch) = 0(Л)
для мажорантных n.
Нам надо лишь применить теорему Ролля к функции
Н (п, х) = {f(n,b) — f(n, a) (п, х) —
—{g(n,b) — g(n, a)}f(n, х).
Теорема 3.34 (теорема Коши). Если f(n,x),
g (п, х) дифференцируемы при а х b относительно
п и если имеется рекурсивная функция а(т) такая, что
для достаточно больших значений ш
а + 1/т < х < b — 1/т —*gl (п, х)>
то имеется рекурсивная функция ск такая, что а<ск<Ьи
f(n, b)—f(n,a) Р(п, ck)
^п,~Ь) --7(пГа) = "gr(n, ck) + 0 для ммырантных П.
Применяя теорему 3.33 к интервалу (a+l/zn, b—1/т),
мы определим с™, лежащее между а + 1/ти, b — 1/т,
так что
{f (п, b — 1/т) — f(n, а+1/т)} gl (п, cf) -
~{g(.n, b—l/m) — g(n, a+l/m)}fl(n, c^) = Q(k)
для мажорантных n.
По теореме о среднем при k = <x(tn)+ 1 и m^l02-v
имеет место
g(n, b — 1/tn) — g(n, а + l//n)> 10v-a('”)“2,
откуда, обозначая с^+2а (m)_Y+3 через of, имеем
f(n, b-l/m)-f(.n, а + \/т) f' (п, of)
g (п, b - 1/т) - g (п, а + 1/m) g1 (п, о")
для мажорантных п.
гл. Ill]
РЕКУРСИВНАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
347
Остается доказать, что
f(nt b) — f(nt а) = f(n, b-l/m)-f(n,a+l/m) । n /< . n
g (п, b) - g (п, a) g(n, b-l/m)-g(n,a+l/m) '
при подходящем выборе m, зависящего только от /г, и
для мажорантных п. Это следует из относительной не-
прерывности f(n, х) и g(n, х), если мы можем найти
абсолютную положительную нижнюю грань для
g(n,b)— g(n,a).
Пусть аь аг — точки, разделяющие (а, Ь) на три рав-
ные части, и пусть а=а0 и Ь = а^\ тогда по теореме о
среднем значении
g(n, ar+i)-g(n, ar)=^(b-a){gl(n, ck>r)+0(k)}, r = 0, 1,2,
откуда, складывая и полагая /г = а(/П1) + 1, где mi —
наименьшее целое, большее 3/(6— а), мы имеем
g («. b) - g (п, а) = (b - a) {gl (п, ck,,) + g{ (п, ск, 2) +
+ g' (п, ск, 3) + 3 • О (ft)} >
>y(&-a){g'(«, cU + 3 • О(/0)> 1/^10°(m‘>+1,
что дает требуемую нижнюю границу.
3.31. Говорят, что функция f(n,x) повторно диффе-
ренцируема при а-^х^-Ь относительно п, если имеются
рекурсивные функции fr(n, х), dr(k) такие, что
f°(n, х) = f(n, х) и
(D) а < х < Ъ & х — у = 0 (dr (fe)) —>
- (Г (П, х) - г (п, у)}/(х -у) = fr+l (х) + О (6).
Функция fr(n, х) называется r-й относительной произ-
водной функции f(n,x). При каждом фиксированном
значении г функция /г+1(п, х) является производной
функции fr(n, х) относительно п.
Если условие (D) выполняется только при г то
говорят, что f(n, х) относительно дифференцируема
X + 1 раз.
Теорема 3.35 (теорема Тейлора) Если функция
f (п, х) повторно дифференцируема при а^х-^Ь
348
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
относительно п, если g(n,x) удовлетворяет условиям
теоремы Коши и если F (п, X, х, г) определена рекурсив-
ными равенствами F(n, X, х, 0) = f (п, х),
F (п, X, х, г + 1) = F (п, X, х, г) + Г+' (п, х),
то имеется рекурсивная функция Ok, значения которой
лежат в (х, X), такая, что
f(n, X) = F(n, X, х, r) +
g(n,X)-g(n,x) (X-ak)r . „ч.лш
для мажорантных n.
Сначала заметим, что
Fl (п, X, х, г) = —7,Х)Г Г+' (п, х).
В самом деле, введя обозначение
Ж X, X, = X),
мы имеем
f1 (п, X, х, 0) — i|> (п, X, х, 0) = 0,
а так как
F1 (п, X, х, г + 1) = F1 (n, X, х, г) +
Г1 (-,«).
то
F' (n, X, х, г + 1) — ip (п,Х, х, г + 1) =
= Fl (п, X, х, г) —(n, X, х, г).
Кроме того,
F(n, X, X, 0) = f (п, X) F(n, X, X, г + 1) = F(n, X, X, г)
и, следовательно,
F(n, X, X, r)~f(n, X).
ГЛ. HI)
РЕКУРСИВНАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
349
Применяя теорему Коши к функциям F(n, X, х, г),
g (п, х) в интервале (х, X), определим ck так, что
F(n, X,X,r) — F(n, X, х, г) (X-cky f+1(n, ck)
g (п, X) — g (п, х) rl g’(n,ck)
для мажорантных n.
В силу относительной непрерывности мы можем вы-
брать kQ так, что
|Я(П, X) — g(n,x)\< 10*'
, полагая Oh = Ch+ka, имеем
f(n, X) = F(n, X, х, r) +
g(n,X)-g(n,x) (X-oky .
+-------------------H----‘ («><^) + 0(*)
для мажорантных n.
Взяв g (n, x) = (X — x) p, мы получаем «остаточный
член» в форме Коши:
{Х-хУ(Х-акУ^ ,
--------да--------f
а при р = г + I — «остаточный член» в форме Лагранжа:
(X — x)r+l pr+i / \
(г+1)! '
3.4, В теореме Ролля (и ее следствиях) функция ск,
определяемая по этой теореме, удовлетворяет неравен-
ству а < ск < b, и мы можем найти число nth такое, что
а + l/гпь — \/tnk\ но мы не можем однако, опре-
делить т, не зависящее от fe, такое, что а +- 1/т < ch <
<b—l/tn, ибо, как мы впоследствии покажем, для не-
которой функции f(n,x) может случиться, что сколь бы
большое т мы ни выбирали, все-таки может найтись
некоторое значение k, для которого ск лежит вне интер-
вала
(а + 1/m, b — 1/т),
хотя сходимость ск к а или b не доказуема.
350
рекурсивный анализ
[П
Мы докажем, что функция сь, определяемая по тео-
реме Ролля, равномерно содержится в [а, Ь], т. е. что
а + 1/т •< ck Ь — \/т
для всех k независимо от f(n, х), в предположении, что
функция эффективно непостоянна или эффективно по-
стоянна относительно п.
3.41. Функция f (п, х) эффективно непостоянна в (а, Ь)
относительно п, если можно найти рациональные с2
и натуральное а такие, что а-*Ссх < с2^СЬ и
\f(nt Ci) — f(п, с2) 1/10° для мажорантных п.
3.42. Функция f(n, х) эффективно постоянна в (а, Ь)
относительно п, если
а х < у b —> f (п, х) — f (п, у) == 0 (fe)
для мажорантных п.
Теорема 3.4. Если f{n,x) эффективно непостоянна
в (а,Ь) относительно п, то можно найти с из (а,Ь) и
натуральное а такие, что
\f(n,c) — f(n,a)\> 1/10а для мажорантных п.
Так как
I {f tp, Cl) - f tp, а)} - {f (р, С2) - f (р, а)} | =
= \ftp, ci)-f(p, с2)|>10"а,
то или
IftP, Ci)-f(p, а)|>1/10а+1(
или
\f(p, c2)-f(p, а)|>1/10а+1
т. е.
[ftp, с)-f(p, а)|>1/10“+‘,
где с равно Ci, если выполняется первое неравенство, и
равно с2 в противоположном случае.
Но в силу сходимости
|f(p, — с) К 1/10а+2 для мажорантных п9
и поэтому
|f (л, c) — f(n9 а)|^ 1/10а+2 для мажорантных п.
ГЛ. Ill]
РЕКУРСИВНАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
351
Те же рассуждения показывают также, что будет
\f(n, 6)|>1/10а+2
Теорема 3.41. Если функция f(n,x) дифференци-
руема в (а, Ь) относительно п и если можно найти р
и с из (а,Ь) такие, что \fl(n, с) |> 1/10& для мажорант-
ных п, то f(n,x) эффективно непостоянна в (а,Ь) отно-
сительно п.
Найдем с* из (а, Ь) так, чтобы |с* — с| « l/10d(P+1)+1;
тогда
= f'(nt с) + 0(р+ 1) для мажорантных п
и, следовательно,
\f (п, c*)-f{n, c)|>|c*-c|/10₽+I = l/10d(p+1)+p+2 для ма-
жорантных п.
Теорема 3.42. Если{(п,х) эффективно постоянна
в (а,Ь) относительно п, то f(n,x) дифференцируема от-
носительно п с производной, равной нулю.
Действительно, для любых х, у, таких, что а^х<,
< y^ib, имеем
- '*П'— = 0(fe) для мажорантных п.
Теорема 3.5 (равномерная теорема Ролля). Если
f(n,x) дифференцируема и эффективно непостоянна
или эффективно постоянна в (а, Ь) относительно п и
если f (п, а) = f (п, Ь) относительно п, то можно постро-
ить ск, равномерно содержащуюся в открытом интер-
вале [а, 6], такую, что fx(n,Ch)=*Q(k) для мажорант-
ных п.
Предположим сначала, что f(n, х) эффективно непо-
стоянна. По теореме 3.4 имеется с из (а, Ь) такое, что
\f(n, с) — f(n,a)\> 1/10^ для мажорантных п;
так как f(n, а) и f(n,b) равны относительно п, то
а < с < Ь.
Без потери общности мы можем предполагать, что
f (п9 c) — f(n, а)> 10“р для мажорантных п.
352
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
Ш
По теореме о среднем значении мы можем найти с*
соответственно из [а, с], [с, Ь] такие, что для любого р
~ =Г(^Ф+О(р)
и
f (п, b) — f (п, с) £1 z о\ . л / \
2-----------= Г(п, ср) + О(р) для мажорантных п.
Пусть 0 — наибольшее целое такое, что с — а^Ю-0,
b — с< 10-0; тогда, взяв
ро = max (Р + 1, р — 0 + 1),
мы имеем
Записывая с'рв в виде а + l/mb — в виде Ь — 11пг2, по
основной теореме об относительной непрерывности —
теореме 2 применительно к относительно непрерывной
функции Р(п, х)—можно построить лежащую в
(а + l/mb b — 1/т2),
такую, что (n, ck) = 0(6) при мажорантных п.
Если f(n, х) эффективно постоянна, то по теореме
3.42 f}(n, х) эквивалентна нулю и, в частности,
у(а + b)j = 0(6) для мажорантных/:.
Теорема 3.51. В теореме 3.5 условие о том, что
f(n,x) эффективно непостоянна или эффективно по-
стоянна, можно заменить условием: f1 (п, х) эффективно
непостоянна или эффективно постоянна относительно п.
Действительно, если f1 (/г, х) эффективно непостоян-
на, то по теореме 3.4
|f(n, с)|> 1/10₽ для мажорантных п,
и, следовательно, по теореме 3.41 f(n, х) эффективно
непостоянна.
В частности, условие: If1 (п, с) | > 1/10& при мажо-
рантных п — достаточно для равномерной теоремы
Ролля.
РЕКУРСИВНАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
353
С другой стороны, если f[(n, х) эффективно постоянна
в (а, Ь) относительно п, так что f'(n, х)— f1 (п, а) = 0(k)
для мажорантных п, то, вводя обозначение
F (n, х) = f (п, х) — xf1 (п, а),
мы имеем
F1 (n, х) = Р (n, х) — f1 (п, а) = 0 (k) для мажорантных п
и поэтому
F(n, 6) — F(n, a) = 0(k) для мажорантных п,
откуда, поскольку f(n, b) = f(n, а) относительно п, мы
имеем
(b — a) fl (п, a) = f (п, b) — f (п, а) + 0 (k) = 0 (k — 1)
для мажорантных п.
Следовательно, при а^х^Ь
fx(n,x) = Q(k) для мажорантных п.
Теорема 3.52 (теорема о равномерном среднем
значении). Если f(n,x) дифференцируема в (а,Ь) отно-
сительно п и если (п, х) эффективно непостоянна или
эффективно постоянна в (а, Ь) относительно п, то можно
построить Ck такую, что
fin, Ck} + 0{k)
для мажорантных п, причем Ck равномерно содержится
в (а, Ь).
Введем обозначение:
ф (п, х) = f (п, х) - х { f(n’ }•
Если f1 (п, х) эффективно непостоянна, то имеются
целые а, V такие, что
| f1 (п, с() — fl (п, с2) | 1/10а при п > V
и, следовательно,
|ф'(п, сО-ф'(п, с2)1> 1/Юо при (i)
Но
ф'(м, х) — ф'(m, х) = 0(а+ 1) при п^т^а+ 1.
354
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[И
Пусть ц = max (V, а + 1); тогда, взяв п равным р в
(i), имеем
|Ф‘(ц, с)Ы/2- 10“,
где с равно одному из С2, и поэтому
| ср^п, с)|^ 1/4 • 10а при
Таким образом, по теореме 3.51 ф(п, х) удовлетворяет
условию, достаточному для выполнения теоремы Ролля;
следовательно, получаем теорему 3.52.
Если f1 (п, х) эффективно постоянна, то, как и в до-
казательстве теоремы 3.51, имеем
{f (п, b) — f(n, a)}(b - а) = f1 (и, а) + 0(A) =
= Р(п, х) + 0(А — I)
для мажорантных п
Теорема 3.53 (равномерная теорема Коши). Если
F(n,x), G(n,x) дифференцируемы в (а,Ь) относитель-
но п, G1 (n, х)> 1/10а (т) при а+1/m^.x^b—\/т,
n^N(tn) и если F^n.xj/G^n^x) эффективно непо-
стоянна или эффективно постоянна в открытом интер-
вале [а, 6], то можно построить Сь такую, что
F (nt b) — F (п, a) F^ntck)
"тп—п—ft—+ 0 («) для мажорантных п
G (n, b) — G (п, a) G1 (п, ^)
и ck равномерно содержится в открытом интервале
(а,Ь).
Если Е1 (и, x)/G] (м, х) эффективно непостоянна, то
можно найти Q, V и с2 из [а, 6] такие, что
I п.М ~ТГГ^С41> VIO0 при
I О' (п, Cl) G' (п, с2) К
и, следовательно, в силу равномерной сходимости
имеется W такое, что
I F' (п, с) _ F(n, b)-F(n, а) I > , /]OQ+1 » > U7
I G1 (я, с) G (п, Ь)~ G(n, а) 1/10 ПрИ
где с равно одному из Сь с2.
ГЛ. Ill]
РЕКУРСИВНАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
355
Так как с лежит в [а, &], то с лежит и в интервале
{а + 1/ц, b—1/|л) ПРИ некотором р,; в соответствии с ц
можно найти R, N такие, что
\G'(n>x){F(n, b)-F(n, а)} | >1/10^ при п>ЛГ
и при а + 1/ц<х<& — 1/ц, и, следовательно, при
х = с, а поэтому
\F'(n, c){G(n, b)—G(n9 a)}-Gl(n> c){F(n, b)-F(n, a)}|>
>l/10Q+R+*
при n>max(W\ JV)— это доказывает, что функция
F(n, x){G(n, b) — G(n, a)}— G(n, x){F(n, b)— F(n, a)}
удовлетворяет условию, достаточному для выполнения
равномерной теоремы Ролля. Следовательно, можно
найти од, Vk и т, не зависящее от k (последнее мы счи-
таем не меньше ц), такие, что а+ l/m^Ok^b—1/т и
F' (я, o/i){G(n, b) — G(n, a)} —
— G1 (n, ofe){F(n, b)— F(n, a)} = 0(Л)
при Поэтому, полагая ch = ол+д, мы имеем при
Vk + R
F(n, b)-F(n, а) _ F'(n9 ck)
G (n, b) — G (n, a) Gl (n, ck) 1 h
Если, с другой стороны, F1 (n, x)/Gi (n, x) эффективно
постоянна в [a, 6], то
F1 (rz, x) Fl (nt c) r\/r\
-qi x) ~ Ql (w>c) = 0 (*) Для мажорантных n
и для любых х, с из [а, 6]. Так как G{(n, х) непрерывна
и, следовательно, ограничена сверху относительно м, то
F1 (п, х) G1 (п, с) — F1 (п, с) G1 (и, х) = 0 (k)
для мажорантных п\
этот результат выполняется для любого х из [а, Ь] и
поэтому в силу непрерывности и для любого х из зам-
кнутого интервала (а, Ь) для мажорантных п.
356 рекурсивный АНАЛИЗ [II
Следовательно,
{F(n, b)—F(n, а)}^1 (п, с) —
— {G(n,b) — G (п, a) }Р (п, с) = 0 (k)
для мажорантных п и поэтому, взяв произвольное с в
интервале
(а — 1/ц, b + 1/р,),
получаем
Т (п, b) — F(n, а) __ F1 (ц, с) п , .
G (п, b) — G (и, a) Gl (п, c) U W
для мажорантных n, что завершает доказательство.
Теорема 3.54 (равномерная теорема Тейлора).
Так как теорема Тейлора является непосредственным
следствием теоремы Коши для функций
F(n,_X, х, г), g(n, х)
с производными (относительно п) соответственно
(X — x)r fr+l (п, x)/rl, gl(n,x),
то из теоремы 3.53 следует, что равномерная
теорема Тейлора имеет место в предположении, что
(X — x)r fr+i (п, x)/g{ (п, х) эффективно непостоянна или
эффективно постоянна. В частности, для остаточного
члена в форме Лагранжа мы имеем g(n, х) — (Х — х)г+[
и условие, при котором верна равномерная теорема Тей-
лора, принимает особенно простой вид: fr+l (п, х) дол-
жна быть эффективно непостоянна или эффективно по-
стоянна.
3.5. Равномерная теорема Ролля была установлена
при дополнительном условии, что f(n, х) эффективно
непостоянна относительно п или эффективно постоянна
относительно п, и мы обращали внимание на необходи-
мость некоторого условия, кроме относительной диффе-
ренцируемости. Теперь мы покажем, что равномерную
теорему Ролля нельзя доказать в рекурсивном анализе
без дополнительного ограничения. Мы снова будем ис-
пользовать метод, который применялся в предыдущих
ГЛ. Ш]
РЕКУРСИВНАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
357
главах и который состоит в том, что показывается, что
в рекурсивном анализе доказательство равномерной тео-
ремы Ролля дало бы разрешающую процедуру для
класса равенств р(п) = 0, где р(п)—произвольная при-
митивно рекурсивная функция, принимающая лишь зна-
чения 0 и 1.
Пусть дана произвольная рекурсивная функция р(/г)
такая, что р(0) = р(1) = р(2) = 0; полагаем
п
ео = О, е„+1 = е„ + П(1-Р(Н)>
г=0
^0 = ^п + 1 ~ V^/i+b
и при 0 х -«С 1 и п > 3
f (п, х) =
(1 - х)
^ + (’-2d„)x '
Сначала мы заметим, что если равенство
еп = п
доказуемо, то доказуемо и равенство
р(п) = 0.
Действительно, из еп = п следует en+i = п + 1 и по-
п
этому п (1 - Р (г)) = 1, откуда получаем
г=0
п
р(п) = р(п)П(1 -р(г)) = о.
г=0
Легко доказать, что еп^п. Действительно, если р(г)=0
для всех г4я, то еп+\ = п. + следовательно, если
имеется г^п, для которого р(г) = 1, и если г0—первое
такое г, то еп = п при п г0 и еп = г0 при и > г0.
Следовательно, если N > п 1, то
Q^.dn — dN< i/n.
356
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[П
В самом деле, если dn > 1/п, то еп < п и поэтому
eN = en и dN = dn\ но если dn = 1/п, то из dv^dn сле-
дует
0^dn-dN< 1/п»
Величина dn, конечно, зависит от существования или
несуществования п, для которого р(п)=1. Фактически
мы можем доказать, что если имеется рекурсивная V(k)
такая, что
n^V(k)—>dn = 0(&) для всех значений п,
то р(п) — 0 для всех п.
Действительно, если ert >10^ при n^V(k)t тс
^n+V(n)^ Юп > П;
поскольку, однако,
^П + 1 = ^n + p ft
для любого р, то, взяв р равным V(n), имеем
en+i > еп для всех п,
п
поэтому П (1—р(г))> 0 для всех п и, наконец,
г=0
р(п) =• 0 для всех п.
Далее мы покажем, что при п>3и при 1 имеет
место
O^f(n, х)<4
Вводя для краткости обозначение Л = d„/(l — 2dn), мы
имеем
f(n, х) = {2Л + 1 - (х + z) - -х 1},
откуда следует, что (для каждого п) рациональная
функция f(n, х) достигает своего максимального значе-
ния d4n при х = dn.
Кроме того, если 3<ln<W и то
/(У, х).
ГЛ. Ш]
РЕКУРСИВНАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
359
Действительно,
d _ 2/3{/2 + х(2-3/)} п
dt /2 + (1-2/)х {/2 + (1 — 2/) х}2
когда 0 < t < 2/3, a dn не возрастает.
Отсюда следует, что при З^Сп^СМ и 0^х-<1
0</(п, х) — f(N, х)< 1/п4.
Ибо, если dn > \/п, то dN = dni так что f(Nt х) = f(nt х);
а если dn = 1/п, то
о < f(n, х) - f (N, х) < d*n = 1/п4.
Таким образом, f(n, х) сходится равномерно по х
при 0 -Сх -С 1.
Простые вычисления показывают, что при OjCx<
<Х< 1
f (п, X) — I (п, х) 2р(%+1) 1 (X-x)%2(%+l)d2
Х-х Mnt (х + Х)2 Ч “ (х + %)2 (X + %)
<(X-x)(l-dnY<X-x-,
это доказывает, что f (п, х) рекурсивно дифференцируема
по х равномерно по х и п и, следовательно, дифферен-
цируема относительно п с производной
f' (п, х) = Л4{ - 1}
в предположении, что f' (п, х) сходится. Однако для
каждого п>3, если х возрастает от 0 до 1, то f'(n, х)
строго убывает от d2n до — dn/(l—dn)2 и поэтому если
Л/ > п > 3 и 0 < х < 1, то
/* GV, х) - f' (п, X) < 4 + 4/(1 - dn)2 < 4 + 44
и
f (JV, х) - f' (п, х) > - dl/( 1 - ^)2 - 4 > - 44 - 4.
Если dn > 1/п, то djv = dn и f (N, х) = fl (п, х); но если
d„ = 1/п, то dN^. 1/п, так что в любом случае
—4/п4 — 1/п2 < Г (N, х) - f1 (п, х) < 1/п2 + 4/п\
360
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[II
это доказывает, что fl(n, х) сходится равномерно по х,
0<х4Н.
Так как f(n, 0) = f (и, 1) = 0, то мы показали, что
f(n, х) удовлетворяет условиям теоремы Ролля.
Теперь мы подходим к наиболее существенной части
доказательства.
Предположим, что (для любой р(п)) равномерная
теорема Ролля доказуема для f(n, х). Тогда имеется
рекурсивная V(k), рекурсивная ck и эффективно опре-
деляемое целое р такие, что ch^ \/р и
п> ch) = 0(k)
для всех значений п.
Поскольку имеем
fI, .ч
! {п’Ck) ^+(1-2</пн*
и
dn + (1 - 2dn) ck > d2n + (1 - 2dn) ck,
TO
n V (k) dnl(dn - Ck) = 0 (k).
Для данного целого p будет или dp+} = 1/(р + 1) или
dP+l>(\l(p+ 1).
Если dp+l = 1/(р + 1), то dn<^l/(p+l) при
n>(p + 1), так что
\dn — Ck\> Ир(р + 1)
и поэтому
n>V(4k + p)-+dn=0(k)
для всех п, откуда следует, как мы уже видели, что
р(п) = 0
для всех значений п.
С другой стороны, если dp+i > 1/(р + 1), то имеется г
между 0 и р + 1, для которого p(r) = 1. Таким образом,
предположение о доказуемости равномерной теоремы
Ролля для f(n, х) влечет существование разрешающей
процедуры для неразрешимого класса равенств р(п) = 0.
ГЛ. HI)
РЕКУРСИВНАЯ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
361
Важным следствием является то, что имеются ре-
курсивные функции, которые ни относительно*) непо-
стоянны, ни относительно*) постоянны**), ибо мы
установили равномерную теорему Ролля для функций,
обладающих любым из этих свойств.
Конечно, равномерная теорема Ролля может вы-
полняться и для функций, которые не являются ни от-
носительно постоянными, ни относительно непостоян-
ными **).
Пусть
/i(n, х) = х(1 —x)dn.
Ясно, что /i(n, х) равномерно сходится в (0,1) и
й(п,0) = Л(п, 1) = 0;
более того, при 0 х < X 1
h(n,X) h(n,x){l _ 2x}dn I = (x _ x) d <{X_x)>
Л Л I
так что /i(n, x) дифференцируема по x равномерно no x
и n с равномерно сходящейся производной (1—2x)dn.
Кроме того
у) = 0 для всех п,
так что существование равномерно содержащейся в
(0, 1), установлено. Однако если бы h(n,x) была отно-
сительно постоянна, то имелась бы рекурсивная функ-
ция V(k,x) такая, что в (0, 1)
h (п, х) = 0 (k) при п V (k, х);
*) Здесь и далее до конца главы III вместо «относительно»
должно быть «эффективно». — Прим. ред.
**) Это утверждение автора неверно: нетрудно доказать, что
если относительно непрерывная функция не является относительно
постоянной, то она является относительно непостоянной. Автор имел
в виду по-видимому, верное утверждение, сформулированное в по-
следнем абзаце этой главы. — Прим. ред.
362
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[II
взяв х=1/2, мы имеем
dn = 4 • 0(k) при n^v[k, у),
откуда следует, что р(/?) = 0 доказуемо для всех п.
А если бы й(п, х) была относительно непостоянна,
то имелось бы св (0,1) и целые р, q такие, что
й(п, с)> 1/р при n> q
и, следовательно, поскольку h(n, с)—наибольшее значе-
ние Л(п, х) в (0,1), мы имеем
dn 4/р при п > </;
пусть г—наибольшее из р, q, тогда > 4/г, так что
имеется целое п между 0 и г, для которого p(n) = 1.
Таким образом, если бы й(п, х) была относительно
непостоянной или относительно постоянной для любой
функции р(п), то у нас опять была бы разрешающая
процедура для класса равенств р(п) = 0.
ГЛАВА IV
ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ
Линейчатые функции. Относительно интегрируемые
функции. Теорема Дарбу. Непрерывность и производная
относительного интеграла. Подстановка в относитель-
ный интеграл.
4. Линейчатые функции
Говорят, что рекурсивная функция f(n,x) является
линейчатой при а^х^Ь, если f(n,x) равномерно ре-
курсивно сходится при а^х^Ь и если имеются рекур-
сивные функции a?, v“, b(n) и t(m, п, г) такие, что
а0 = а> аЪМ=Ь> аг"+1>а;> аг=ацт.п,г) ПР“ т>п
и
f(n, x) = v” при а"<х<а"+1 и 0^r^6(n) — 1.
Линейчатая функция абсолютно ограничена, ибо
если Мо — максимум |f(0, п°)|, O^Cr<.6(0), и |и®|,
то |f(0, х) |^СЛ40 при а-^x^b. Но (взяв
f(n, х) в стандартной форме)
\f(n, x)-f(0, х) |< 1
и поэтому |f (и, х) | < А40 + 1 для всех п и для всех х
из (а, Ь) Свойство быть линейчатой функцией, конечно,
не инвариантно относительно эквивалентности.
4.01 . В определении линейчатой функции f(n, х) мы
требовали равномерную сходимость f(n,x). Равномер-
ность нужна для того, чтобы обеспечить сходимость
f(n, хп) в случае сходимости хп, — это показывает сле-
дующий пример. Пусть 1п— семейство вложенных интер-
валов, рациональные концы которых монотонно стре-
мятся к 1/|/*2 так, что для любого рационального х
из (а, Ь) точка х лежит вне in для некоторого п. Да-
лее, пусть f(n, х)=п в замкнутом интервале in и пусть
f(n, х) = 0 вне in\ Для каждого значения п функция
364
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
(И
f(n, х) является ступенчатой, а для рационального х
f(n,x) = 0 начиная с некоторого п, так что f(n, х) схо-
дится. Но если хп — конец in, то f(n, х„) = п, так что
f(n, хп)—>-оо. Конечно, f(n, х) не является равномерно
сходящейся, поскольку для любых двух р и q таких,
что q > р, и х из iq
f(q,x) — f(p, x)=q — p>\.
Теорема 4.1. Сумма, разность, произведение и
частное двух линейчатых функций является линейчатой
функцией.
Действительно, соединяя разбиения, соответствую-
щие рассматриваемым двум функциям, мы получаем
(для любого значения п) разбиение, в каждом откры-
том интервале которого обе функции постоянны.
Теорема 4.11. Любая относительно непрерывная
функция имеет линейчатый эквивалент.
Если f(n, х) относительно непрерывна при a^Cx^Ch
и если у — наименьшее целое такое, что b — а<С10\ то,
вводя обозначения
anr = а + (b - a)r/10Y+e(n), b (п) = 10v+c(n)
и
ф(п, а) = f (п, а), <р(п, х) = f(n, а*+1) при а"<х^а"+1
имеем, что <р(п, х) — линейчатая функция, эквивалент-
ная f(n, х).
Теорема 4.12. Если f(n,x) относительно непре-
рывна при a^Cx^b, g(n,t)— линейчатая функция при
а^/<р и a-<Cg(n,f)^b при a4U^Cp, то fg(n,t) —
тоже линейчатая функция при а t -С р.
Действительно,
fg(n, 0 = f(n + l,g(cf(n + 1),/)).
4.1. Относительный интеграл
Если f(n, х) линейчата в (а, Ь), то сумма
Ь(п)-1
2 vrn(ar%,-arn)
ГЛ. IV]
ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ
365
называется относительным интегралом f(n,x) от а до b
(а<Ь) и обозначается через /у(п, а, 6)*).
Если а = Ь, то мы полагаем по определению
/у(п, а, Ь) = 0, а если а > Ь, то
If {п, а,Ь) = —If (п, 6, а).
Относительный интеграл 1/(п, а, Ь) рекурсивно схо-
дится.
Действительно, если N > п и если t (N, п, r)^s <
< i(N, п, г + 1), то
Vs ~ Vr = 0
и поэтому
If(N, a, b) — If(nt а, 6) =
b (n)-l t (N, п, г+!)-1
r=0 s=t(N, п,
что доказывает рекурсивную сходимость If(n, а, Ь).
Теорема 4.13. Если f(n,x), g(n,x)— эквивалент-
ные линейчатые функции, то If(n,a,b), Ig(n,afb) экви-
валентны.
Соединяя разбиения, на которых f и g постоянны
при данном п, мы находим разбиение, скажем, (с"), та-
кое, что и f(n, х) и g(n,x) постоянны на каждом интер-
вале (с", с?+1); если средняя точка этого интерва-
ла, то
It (n, a, b) - Ig (п, а, 6) = 2 {/ («. Н") - g(ti, р.")) (cr"+I - с«),
но при N > п
f(n, ц") = 0(п),
g(«, Н?) - g(N, и;) = 0 (п)
и
Р>) —р") = 0(п) для мажорантных V,
*) В дальнейшем автор рассматривает выражение If(n,a,b) как
значение операции, строящей упомянутую выше сумму. Но для по-
лучения этой суммы, кроме f, п, а, Ь, необходимы исходные данные,
позволяющие строить aj?, и ^(п)« — Прим, перев,
366
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
гп
так что
/Дм, a, b) — Ig(n, a,b) = 3(Ь — а) - 0(л).
4.2. Если рекурсивная функция f(n,x) имеет линей-
чатый эквивалент F(n,x) в (а,Ь), то говорят, что f(n,x)
относительно интегрируема с относительным интегра-
лом IF(n,a,b)\ интеграл f(n, х) можно также обозна-
чать через If(n,a,b). В частности, относительно непре-
рывная функция относительно интегрируема.
Теорема 4.13 показывает, что любые два относи-
тельных интеграла функции f(n, х) эквивалентны.
Заметим, что относительно интегрируемая функция
ограничена; действительно, если f(n, х) имеет линейча-
тый эквивалент F(n,x), то мы знаем, что \F(n,x)\<M
при некотором М и при всех х и п, и поэтому
\f (п, х) \ < М + 1 для мажорантных п.
Теорема 4.2 (теорема Дарбу). Если f(ntx) отно-
сительно интегрируема в (а,Ь) и если (xr), —
разбиение (а, Ь) и V — произвольная точка в (хг, хг+1),
1 < г + 1 < N, то
If(k, а, Ь) — 2 f (п, gr) (хг+1 - хг) = 6 (Ь - а) • 0 (k)
г=0
для мажорантных п и любого разбиения (хг), состоя-
щего из достаточно маленьких интервалов.
Пусть М — абсолютная граница линейчатого эквива-
лента F(n, х) функции f(n, х) в Ь); по теореме 4.13
If a, fe) — (ft, a, Z?) = 3 (6 — а) • 0 (k);
поскольку
TV-1 АГ-1
S F (n, ^r) (xr+i Xr) — 2 f (^> £r) (xr4-1 "" xr) =
r=0 r=0
= 2 (b - a) • 0 (k)
для мажорантных n, то остается доказать, что
IF (k, a, b) - Z' F (k, lr) (xr+1 - xr) = (b - a) • 0 (k)
r«=0
при подходящих разбиениях.
ГЛ IV]
ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ
367
Пусть (а")—разбиение, соответствующее линейчатой
функции F(n, х) (в стандартной форме), так что
Г(п, х) —константа при
а*<х< а"+1, 0 < г < b (п),
для каждого значения и, и пусть v*— значение F (п, х)
в открытом интервале а"+1); тогда
If (kt a, b) = S v* (a^+l — cty.
Далее, пусть длина любого подынтервала xr+i— xr,
—1, меньше Д*+1 —я* и также меньше
(b — а)/2М- ]Ok-b(k).
Наконец, пусть сг, 0 р, — разбиение, получен-
ное соединением (хг) и (а*). В силу ограничения на
длины интервалов (xr, xr+i), не более одной точки aks
попадает в любой замкнутый интервал (хг, хг+|),
0<r<2V— 1.
Пусть coj5 обозначает значение F(k, х) в открытом
интервале (cti Сж)- Тогда
р-i
IP(k, a, b)= —ct)
и
АГ-I р-1
2 F(k, g,)(*r+i -xr) = 2 F(k, T]f)(cz + 1 -ct),
r=0 M
где тц = если (ff, Cf-i-i) содержится в интервале
(xr, xr+i) (или совпадает с ним).
Если x\t лежит между ct и Tof(£, т],) = со^ пусть
t = /2, •••» tq — значения /, для которых (cz, c/+i)
не содержит т],. Так как интервал (cz, C/+i), который не
содержит т|г, может появиться, только когда некоторое
aks попадает в интервал (xr, xr+i), то q^. b(k).
368
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
Таким образом,
р-i р-i
%F(k’ Ч,)(£-1+| — с,)— 2«.J(c,+1-0 -
< 2Mb (k) • (b - a)/2M 10* • b (fe) = (b - a) • 0 (fe);
это завершает доказательство того, что
2V-I
IF (k, a, b) - 3 F (k, lr) (xr+i - xr) = (b - a) • 0 (fe).
r-0
Теорема 4.21. Если f(n,x) относительно интегри-
руема в то \f(n,x)\ относительно интегрируема
в (а, Ь) и
\If(n, a, f\(n, а, b) относительно п.
Так как f(n, х) относительно интегрируема, то f(nt х)
имеет линейчатый эквивалент F (п, х) и, следовательно,
|f(n, х) | имеет линейчатый эквивалент \F(n, х)|. Бо-
лее того,
12 V? (а;+, - а?) | < 21 v; I (а;+! - а?),
откуда следует требуемый результат.
Теорема 4.22. Если f(n,x) относительно интегри-
руема в (а, 6) и если с лежит между а и Ь, то f (я, х)
относительно интегрируема в (а, с) и (с, Ь) и
If(ny а, с) + Ij(n, с, b) = If(n, а, Ь) относительно п.
Пусть F(n,x)—линейчатый эквивалент f(rc,x) в
(а, 6); тогда разумеется F(/i, х) является линейчатым
эквивалентом f(n, х) в (а, с) и (с, Ь). Так как
IF(n, a, c) + IF(nt с, b) = IF(n, а, b), то
If(n, а, с) + If(n, с, b) If(n, ау Ь) + 9(6 — а)-0(п).
Теорема 4.23. Если f(n,x) и g(n,x) относительно
интегрируемы в (ауЬ), то f (п, х) + g(пу х) тоже относи-
тельно интегрируема и
If(n, a, b) + Ig(nt a, b) = If+g(n, ау Ь) относительно п.
ГЛ. IV]
ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ
369
Пусть F, G — линейчатые эквиваленты f, g; тогда
F + G — линейчатый эквивалент f + g и
ZF(n, a, ft) + /o(n, а, b) = IF+o(nt а, b).
Поэтому разность между If(ny a, b) + Ig(n, а, Ь) и
If+g(n, а, Ь) равна 9(6 —а)*0(п).
Теорема 4.3. Если f (п, х) = 0 при а^. х ^.Ь и
n>Nt где N не зависит от х, то If(n, а, Ь) = 0 при
n>N.
Действительно, f(n, х) линейчата и = О
при и > М
Теорема 4.31. Если}(п,х) относительно интегри-
руема в (а, Ь) и f(n,x)^0 в (а,Ь), то
Ij (п, а,Ь)^ 0 относительно п.
Пусть F(n,x) — линейчатый эквивалент f(n, х), так
что
F(nt х)>—10~* для мажорантных
и поэтому
F(k, х) >— 2/10\
так что
IF(k, a,
и, следовательно,
/Д/г, а, b)^—5(b — а)/10\
Аналогично, если f(n,x) относительно интегрируема и
f(n, х) = 0(6) в (а,Ь) для мажорантных п,
то
If(n, а, Ь) = 5 (Ь — а) • 0 (k) для мажорантных п.
Теорема 4.32. Если$(п,х) относительно интегри-
руема в (а, &), то If(n, а, х) относительно непрерывна
б (а, Ь).
Если F(n, х) — линейчатый эквивалент f(n, х), то
\F(nt х) | ограничена, скажем, числом 10? и, следова-
370
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[П
тельно, для любых х, X таких, что а^х <Х^Ь9 мы
имеем
|/F(n, х, Х)|<10р(Х-х) = 0(/0 при Х-х = 0(£ + р);
но
/Дп, а, X) — /f(n,
, X)=^If(n9 Xt X)
= /F(n, X, X)
= 2-0(A)
относительно n,
относительно n,
относительно n
при X — x = 0(& + p).
Теорема 4.4. Если f(n, x) относительно непрерыв-
на в (а, 6), то функция lf(n, а, х) относительно диффе-
ренцируема в (а, Ь) с относительной производной
f(n, х).
Пусть a^t<T^.b и <р(п, х) = f(м, х) — f(п, /),
так что если Т — t = 0(c(k)) и t х Г, то
<р(п, х) = 0(k) для мажорантных п
и, следовательно,
{If(n> a, T) — If(n, a, 0 =
= {/ф (и, /, Т) + 18 (Ь - а) • 0 (п)}/(Т -t) =
= 5 • 0 (k) + {18 (b - а)/(Т - /)} • 0(п) = 6 • 0 (6)
для мажорантных п (пользуемся теоремами 4.22 и 4.23).
Теорема 4.41. Если f(n, х) имеет относительную
производную (п9 х) в (а, Ь), то
If'(n9 a, b) = f(nt b)~f(n, а) относительно п.
Действительно,
а, х) — f1 (п, х) = 0 относительно п.
4.3. Подстановка в относительный интеграл
Теорема 4.5. Пусть в интервале (/0, Л) функция
g(n, t) относительно диффеоенцируема с относительной
производной g'(n9 /) и a^g(n, t) для мажорант-
ных п. Тогда если f(n> х) относительно непрерывна при
а^Х’Ср и если а = g(n,tQ)9 b=g(n,t[) относительно
п, то
If(nt a, b) = IfS.si(n, /0, t[) относительно п.
ГЛ. IV]
ОТНОСИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ
371
Из двух условий: (i) g(n, tQ) — а относительно л,
(ii) g(n, /0)>а следует, что а, и аналогично,
что b р, так что f(n, х) непрерывна в (а, Ь) относи-
тельно п и /Дл, а, х) существует при а^х^Ь. Так
как fg(n> 0 и g'(n, I) обе относительно непрерывны в
(/о» Л), то интеграл /0, 0 существует при /о
Обозначая /Дл, л, х) через F(n, х), Fg(n,t) через
G(n, t) и Ifg.g'(n, /0, /)—через /7 (л, /), легко видеть,
что
ОДл, t) —Н'(п, t) == 0 относительно п
и поэтому
G(n, G) — G(n, to) = Н(п, /0 относительно л,
откуда, поскольку G(n, tQ) = F (п, а) и G(n, Л) =
= А(л, b) относительно л, следует теорема.
4.4. Относительно взаимно обратные функции
Теорема 4.6. Пусть при О^х^СЬ функция
g(tn, х) дифференцируема относительно tn с относитель-
ной производной \l<pg(tn, х) и
g (tn, 0) — а g (пг, х) 0 для мажорантных пг,
а при а t р функция ср (л, t) непрерывна относи-
тельно п и ср (л, /) > 10~^ для мажорантных п. Тогда
g(n,x) и /ф(л, а,/) являются взаимно обратными
функциями относительно л.
Обозначим 1ц(п, а, t) через f(n, /); тогда при
^х<^6 относительная производная от fg(k, х) есть
функция
ф£(*. х) -gl(k, х),
которая по предположению оавна единице относитель-
но k. Следовательно, при О^х^Ь
4.41. fg(k, х) = х относительно k и поэтому
f(n, g(m, х)) = х относительно пг, п\
по теореме 3.25 отсюда следует, что при а t <
<£(лг, х), мажорантных пг и х < Ь имеет место
4.42. gf (k, t) = t относительно k.
Равенства 4.41 и 4.42 показывают, что f и g — от-
носительно взаимно обратные функции.
ГЛАВА V
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Относительно показательная, логарифмическая и круго-
вые функции.
5. Относительно показательная функция Е(п, х)
определяется рекурсией
Е(0, х) = 1, Е(п + 1, х) = Е (п, х) + хп+'/(п + 1)!.
Функция Е(п, х) равномерно рекурсивно сходится в лю-
бом интервале, ибо если N — произвольное положитель-
ное целое и если |х| и то
|£(n + r+ 1, х)-Е(п + г, х)К(А/л/п1)2"(г+1)<
< {^2^/(2^)!} 2-(п_2Л,) • 2-<r+l) = {(2N)2NI(2N)\} 2~п 2"(г+1),
так что при m > и > 27V
5.01 . | Е (т, х) - Е (п, х) | < К/2п,
где /< = (2Л92л7(2Л0!.
Так как при | х | Af, | X | N мы имеем
s-02-
то
ЧПЧ I Хп+1-хп + 1-(Х-х)(п+\)хп
о.О<5. | (X — х)2
< 21 х l""r| 1 < Хп~! 2 г = п (п + 1) (2N)n~ll2n.
г=1
Следовательно,
1 I Г1+1 -х"+1 , , 1Ч „
(«4-1)11 Х-х («+1)х
< ^г\X-Х |,
ГЛ. vi
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
373
поскольку (2N)r/r\ строго возрастает вместе с г до мак-
симума при г = 2N и затем строго убывает, и поэтому,
если
_g_(/t+l,A)-£(n+l,x) x) = Fn,
ТО
\Fn-Fn^\<2n\X^x\f
но Fo = 0 и, следовательно,
5.1. \Fn\<K\X-x\,
откуда вытекает, что Е (п, х) дифференцируема относи-
тельно п с относительной производной Е (п, х) в любом
интервале —N х < N.
Аналогично, относительная производная
Е(п, —х)-Е(п, х + а)
равна нулю относительно п и поэтому
Е (п, —х) • Е (п, х + а) = Е (п, 0) • Е (п, а)= Е (п, а)
относительно п; в частности,
Е(п, —х)-Е(п, х) = 1
относительно п и, следовательно,
5.2. Е (п, х) -E(nta) = Е (п, х + а)
относительно п — это известное свойство показательной
функции.
Из 5.1 также следует, что Е(п,х) непрерывна по х,
равномерно по х и п из любого интервала — N^x^N.
В этом же интервале
п п
5.21. |£(n, x)|<^W7r!
г~0 г=0
где К взято из 5.01.
5.3. Обозначая обратную функцию 1/х через R(ny х),
мы определим относительно логарифмическую функцию
log (п, х) как интеграл
log(n, х) = /я(п, 1, х), х>0.
374
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
(II
Поэтому относительная производная от log (ft, х) есть
1/х. По теореме 4.22,
IR(n, 1, a) + IR(n, a, ab) = IR(n, 1, ab) относительно п,
а по теореме 4.5, беря at в качестве g(nt t) и R(nt х)
в качестве f(nt х), имеем
IR(n. a, ab) = IR(nt 1, b) относительно ft,
откуда следует, что
5.31. log (ft, а) + log (и, b) = log (ft, ab) относитель-
но п.
5.4. Так как Е(п,х) является собственной относи-
тельной производной и
l/RE(n, х) = Е(п, х),
то в любом интервале (О, N) у Е(т, х) имеется относи-
тельная производная 1//?£(т, х), и, кроме того,
£ (т, 0) = 1 Е (т, х) •< £ (/и, JV)
и при 1 £ (zn, N) имеет место /?(ft,/)> 1/2/(, так
что по теореме 4.6 £(zn, х) и log (ft, х) являются относи-
тельно взаимно обратными функциями, и при 0^x</V
5.41. log (ft, £(fti, х)) = х относительно zn, ft,
а при l^/4C£(zn, N) для мажорантных m мы имеем
5.42. E(tn, log (ft, /)) = t относительно ft, tn.
Так как Л/ произвольно и E(m,N) неограниченно
растет с ростом N, то 5.41 выполняется для всех х>0,
а 5.42 выполняется для всех />1. Однако £(zn,—х) =
= \!Е(т, х) относительно т и log (ft, 1//) = —log (ft, t)
относительно ft, так что
log (ft, £(zn,—x)) = —x относительно zn, n
для всех x>0 и поэтому 5.41 фактически выполняется
для всех х, положительных или отрицательных. Заме-
няя t на 1// в 5.42, мы видим, что подобным же обра-
ГЛ. vi
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
375
зом 5.42 выполняется и при t < 1 и, следовательно, для
всех положительных значений /.
5.5. Относительно круговые функции sin (ft, х),
cos (ft, х) определяются рекурсиями
sin (0, х) = х,
sin (ft 4- 1, x) = sin(ft, х) 4- (— I)rt+l x2n+3/(2ft + 3)!,
cos (0, х) = I,
cos (ft 4-1, х) = cos (ft, х) 4- (— I)n+I x2rt+2/(2ft 4- 2)!;
ясно, что sin (ft, 0) = 0, cos (ft, 0) = 1 при всех п.
Тот же анализ, что и для функции E(ft, х), показы-
вает, что sin (ft, х) и cos (ft, х) дифференцируемы отно-
сительно п с относительными производными соответст-
венно cos (ft, х) и —sin (ft, х). Одним из непосредствен-
ных следствий этого является то, что у функции
sin2 (ft, х) 4- cos2 (ft, х)
относительная производная есть нуль и поэтому
sin2 (ft, х) 4- cos2 (ft, х) = 1 относительно п
для всех х.
Другим следствием является то, что относительная
производная функции
cos (ft, с — х) cos (ft, х) — sin (ft, с — х) sin (ft, х)
есть нуль и поэтому
cos (и, с) = cos (ft, с — х) cos (ft, х) —
— sin (ft, с — х) sin (ft, х)
относительно п или, взяв х 4- у в качестве с, получим
5.51. cos (ft, х 4- у) = cos (ft, х) cos (ft, у) —
— sin (и, x)sin (и, у)
относительно п. Дифференцируя обе части этого равен-
ства как функции х, мы находим
5.52. sin (ft, х 4- у) = sin (ft, х) cos (ft, у) 4-
4- cos (ft, x)sin (ft, y)
относительно ft, что доказывает формулы сложения.
376
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[П
5.6. Для использования в дальнейшем мы найдем
грубые границы для sin (и, х) и cos (п, х).
При 0 < | х | и р > 1 мы имеем
{cos (р + 2, х) — cos (р, x)}/{cos (р + 2, х) — cos (р + 1, х)} =
= 1—(2р + 4) (2р + 3)/х2<0;
это показывает, что cos (р + 2, х) лежит между
cos (р, х) и cos (р + 1, х), и поэтому при п > р + 1 > 2
и |х|-<4 все cos (п, х) лежат между cos (р, х) и
cos (р + 1, х).
Аналогично, так как
{sin (р + 2, х) — sin (р, x)}/{sin (р + 2, х) — sin (р + 1, х)} =
= 1-(2р + 4)(2р + 5)/х2<0
для той же области значений х и р, то sin (п, х) лежиг
между sin(p, х) и sin(p+l,x) при п>р+1>1 и
|х|^4. В частности, при 0^х<11,6 функция sin (п,х)
лежит между у х и х для п 2.
При 0^х^З,2 мы имеем
—4,12 < cos (1, х) < 1, —0,5 < cos (2, х) < 1,
и поэтому все cos(n, х), п>0, лежат в интервале
(—4,12; 1).
Аналогично, при тех же х имеем 0 sin (0, х)^ 3,2 и
—2,2 < sin (1, х) < 1,
и, следовательно, все sin(n, х), п>0, лежат в интер-
вале (—2,2; 3,2). При 1^х^2 имеем sin(0, х)>1 и
sin(l, х)>2/3, так что
sin(n, х)^> 2/3 для всех п.
Пусть дан произвольный полином
2 arxr = g(x)-,
вводя обычное обозначение,
Dg(x) = 3 rarxr~',
I <п
ГЛ. V}
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
377
получаем в силу теорем 3.21 и 3.22, что если
то
а х b —Dg (х) М,
т
о — а
(то, что g(x) равномерно рекурсивно дифференцируема,
легко следует из 5.03).
Для фиксированного р, поскольку Dcos(p, х) =
= —sin(p—1,х) и D sin(p, х) = cos(p, х), находим
у2р + 1
D (sin2(p, x) + cos2(p, х)} = (- l)p2cos(p, х) (2р + 1)Г
и, следовательно, в интервале О^х-^3,2
| £>{sin2(p, x)+cos2(p, х)} |< 10-(3,2)2₽+1/(2р +1)!< 10-2р+2°,
ибо
3,2)31 1 2155
зТГ = То37' "зТГ
1 8
2 ' 3 " 4 ' ' 7 ' 8 '
8 16 16 257 (8)19 1
15 ' 16 * 31 1031 IO31 < 1012 * * 15 * * * *
и, следовательно,
(3,2)r 1 (32)r 1 (32)31
г! 10г ' г! 10г ’ 311
г >31
(на самом деле (3,2)31/(31) I много меньше, чем 10~12,
но эта граница вполне достаточна для наших целей),
откуда следует, что
|{cos2(p, х)— 1} + sin2(p, х) |<(3,2)/102р-20.
При х = 3,1 мы имеем
sin (5, х) > (3,1) {1 -1,602 + 0,769-0,176 + 0,023-0,002} =
= 3,1 X 0,012>0
и, следовательно, sin (4; 3,1) > 0, и поэтому sin(n; 3,1)> 0
при всех п > 4.
378
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
(11
При х = 3,2 мы имеем
sin (4, х) < (3,2) {1 - 1,706 + 0,874 - 0,212 + 0,032} =
= - (3,2) X 0,012 < 0,
поэтому sin (3; 3,2) < 0 и, следовательно, sin (п; 3,2) <0
для всех и > 3.
Между х — 3,1 и х = 3,2
cos(4,x)<(l +4,37 + 0,28) —(4,80+ 1,23)<—1/3,
откуда cos(3,х)<—1/3, и поэтому cos(n, х)<—1/3 при
всех п>3; это доказывает, что при каждом п sin (га, х)
строго убывает в интервале (3,1; 3,2).
Пусть Ко = 3, Xi = 31, %2 = 314, Хз = 3141 и при п 4
пусть Кп— наименьшее целое между 31 10п-1 и 32- 1071-1
такое, что
sin(n, (Хп + 1) 10~п) < 0
и sin(n, %10~п)> 0; Кп примитивно рекурсивна. Пола-
гая пп = Хп10~п, поскольку D sin(n, х) = cos(n, х) и
|cos(n, х) | < 5 при |х|<3,2, мы имеем
0 < sin(n, Пп)— sin(n, лп + 10~п) < 5« 10-п,
так что 0 < sin(n, лп) < 5- 10~п, и поэтому
_Ю'б-2п <sin(n + 1,л„)<5 - 10-” + 1016-2”,
откуда |sin(A?, лп) | < 1/Юп-1 для всех N, п таких, что
N>n> 16.
Так как |cos(n,х) |> 1/3 при п>3 и 3,1 -<х^3,2, то
sin (Af, jtN) — sin (/V, лп) > 1
nN~nn 3
и, следовательно,
I ллг-л„|СЗ(10|-п+ 10'~'v)< 1/10"-2;
это доказывает, что лп примитивно рекурсивно сходится.
Неравенство
m >и > 16—♦|sin(m, лп) | < 1/1071-1
показывает, что sin(m, лп) = 0 относительно n, т и, в ча-
стности, sin(n, лп) = 0 относительно п.
ГЛ. V] ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 379
Из соотношений
| {cos2(p, х) — 1} + sin2(p, х)| <3,2/102р“20,
16->| sin(W, лп)|< 1/101""
следует
/V>n>16^|cos2(Af, л„) - 1|<1/102л~21,
и поэтому, поскольку 11 — cos(Af, лп) |> 1, то
|1 +cos(AT, лп) |< 1/102”-21.
5.61. Из формулы сложения следует, что
2cos2(n, ~ лп) = 1 +cos(n, лп) относительно п,
= 0 относительно п,
так что
cos(n, = 0 относительно п,
и поэтому, поскольку sin(п, х)>2/3 при 1^х^2 и
cos2(n, x) + sin2(n, х)=1 относительно п,
то мы имеем
sin (п9 у = 1 относительно п.
Кроме того,
sin(n, 2л„) = 2 sin (n, nrt)cos(n, л„) = 0 cos(n, 2jtrt) = cos2(n, л„) —sin2(n, пп) = 1 откуда мы находим sin(n, х + 2л„) = sin (n, x)cos(n, 2лп) + + cos(n, x)sin(n, 2л„) = sin (п, х) и cos (n, х + 2л„) = cos (n, x) cos (n, 2n„) — — sin (n, x) sin (n, 2nn) = cos(n, x) относительно n, относительно n, относительно nt относительно n, относительно n, относительно n относительно n, относительно n;
380
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[П
это доказывает, что sin (п, х) и cos(n, х) относительно пе-
риодичны с относительным периодом 2лп.
Так как cos [п, у пп — х^ = sin (л, х) относительно /г, то
если 0 < х <И,6, то
cos (/г, для мажорантных п.
5.7. В приложении доказано, что рекурсивное веще-
ственное число (лп) примитивно рекурсивно трансцен-
дентно, откуда следует, что имеется примитивно рекур-
сивная пр такая, что
лР+пр>лР+1/10р+'Ч
мы используем этот результат в следующем разделе.
5.71. Если | х К у при некотором ft, то
cos (п, х) = COS (и, у пп - (у пп - х)) > у (лп - л*) > 1/10*
при некотором I и мажорантных п.
Следовательно, функция
tan (n, х) = sin (n, х) /cos (я, х)
определена при |x]^y^, ограничена сверху числом
10* при некотором /, которое примитивно рекурсивно за-
висит от ft, и дифференцируема относительно п с отно-
сительной производной 1 + tan2 (л, х).
Полагая <р(л, /) = 1/(1 + /2), мы видим, что ср(п,/)
относительно интегрируема, а ее относительный инте-
грал от 0 до t обозначается через arctan (п,/). По тео-
реме 4.6 tan (л, t) и arctan (п,/) являются относительно
взаимно обратными функциями при |х|^ул^.
5.72. arctan (и, tan (хи, х)) — х относительно хи, п
и
5.73. tan (хи, arctan (п,/)) = t относительно хг, /и,
если
0^/<tan(xn, х) при мажорантных т.
ГЛ. V]
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
381
При 0< х < 1 и мажорантных п
cos [п, у пп — х) = sin (п, х) < 2х,
sin (п, у пп — х) = COS («, х) > у
и, следовательно,
tan(«.
в частности, tan 4” стРемится к 00, когда п
стремится к оо, так что 5.73 выполняется при всех зна-
чениях t.
5.8. Функция arcsin(n, х) определяется рекурсией
arc sin (0, х) = х,
(2п)! x2rt+1
arcsin(n, х) = arcsin(n — 1, х) + п>1.
Функция arcsin(n, х) рекурсивно сходится при
|хК 1 и в любом замкнутом интервале I, лежащем
внутри интервала —1 < х < 1, производная от
arcsin(n, х) равномерно сходится; мы обозначим эту
производную через р(п, х) и заметим, что в I функция
р(п, х) тоже дифференцируема с равномерно сходя-
щейся производной, скажем, о(п, х).
Так как
х • р (п, х) - (1 - х2) • о (п, х) = х2п+',
то при |х| < 1.
х-р(«,х) = (1—х2)-о(п,х) относительно п.
Пусть |х Ку лк при некотором К; тогда имеется N та-
кое, что
|xK|«,v-1/2W+1,
382
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
ПТ
и, следовательно,
| sin (N, x)|^cosQv, 1/2лг+1) относительно N,
< 1 — 1/3 • 22ЛГ+2 для мажорантных N,
и поэтому
sin(m, x)-p(ra, sin(m, х)) =
= cos2 (/и, х)* o(n, sin(/n, х)) относительно т, п\
отсюда следует, что
p(n, sin(m, x))cos(/n, х) = 1 относительно т, п
при | х | у пк, а отсюда в свою очередь — что
arcsin (n, sin(/n, х)) = х относительно т, п.
Так как p(n, х)> 1 при х> 0, то из теоремы 3.25 сле-
дует, что при | х | < 1
sin (иг, arcsin (п, х)) = х относительно п, /п;
это завершает доказательство того, что sin(m, х) и
и arcsin (п,/) являются относительно взаимно обрат-
ными функциями.
Г Л А В A VI
ТРАНСФИНИТНЫЕ ОРДИНАЛЫ
6. В этой главе мы построим некоторую часть тео-
рии трансфинитных ординалов в рамках рекурсивной
арифметики. В основе построения лежит идея представ-
ления целого числа в системе счисления. Последователь-
ность натуральных чисел, записанная в системе с осно-
ванием 3,
О, 1, 2, 3, 3+1, 3 + 2, 2-3, 2-3+1,
з23+2, з32
3*
имеет очевидную аналогию с последовательностью
трансфинитных ординалов
О, 1, . . ., CD, CD + 1, . . ., CD2, . . ., (02tt>+2, ..., СО"2, ..., (0®“, ...
Мы используем эту аналогию в следующем определении.
6.1. С помощью сложения, умножения и возведения
в степень любое целое п можно однозначно представить
в виде
CkSak + Ca-jS0*-’ + + C2S^ + C|S°* + Co,
где s>2, O<co<s, 0 < cb c2,..., ch < s, 0 < <
< a2 < . < и каждое аг- само представлено в таком
же виде. Если /?5(и) обозначает такое представление п
с основанием $, то удовлетворяет рекурсивному
равенству
Rs(n) = cs^(a) + Rs(n-csa'),
где а — показатель наибольшей степени $, которая не
превосходит и, a csa — наибольшее кратное sa, не пре-
восходящее п.
Мы определяем Г©(п) как выражение, получающееся
подстановкой «со» вместо «т» в представление п в си-
стеме с основанием /и. Например, Г©(103)—это ординал
<ow+1 + 2со2 + со + 1, ибо 103 = 33+* + 2 • З2 + 3 + 1. Каждый
384
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[И
ординал, меньший первого е-числа (любое е-число удо-
влетворяет уравнению со8 = е), выразим в виде Г©(п),
где т — произвольное целое, большее, чем все целые
числа в таком представлении этого ординала; например,
исходя из ординала
Q = (o^ + 7(d(o+ j 1а>17 + 21>
мы можем заменить со любым целым т >21, образуя
п = тт' + 7пгт + 11m17 + 21,
и тогда Q = Г© (п).
При обычном определении неравенства между орди-
налами, Qi < Q2 тогда и только тогда, когда это нера-
венство выполняется при замене в Qi и й2 знака со на
любое достаточно большое целое.
Однако для последующего важно не представление
числа в некоторой системе счисления, а преобразование
одного числа в другое с помощью изменения системы.
Например, число 34 представляется в системе с основа-
нием 3 как З3 + 2*3 + 1, а изменяя основание 3 на 4
(и оставляя цифры 0, 1, 2 неизменными), приходим
к числу 44 + 2 • 4 + 1 = 265, так что при изменении ос-
нования системы с 3 на 4 число 34 преобразовалось
в 265. Формально мы определяем Ть (п) — результат пре-
образования п при изменении основания системы счис-
ления с а на b, b > а, — следующим образом.
Пусть q — показатель наибольшей степени а, содер-
жащейся в и, и пусть рая— наибольшее кратное а?, со-
держащееся в /г, так что р и q являются примитивно ре-
курсивными функциями а и п, а >2, п>1. При
& > а > 2 мы полагаем
П(0) = 0,
Таь (n) = pbT°b + Tab (п - рач\ и > 1;
это определение является возвратной рекурсией, так что
Тъ(п) — примитивно рекурсивная функция.
Для образования ординала, большего, чем некоторое
Т©(п), мы берем такое, что целые, получаемые
ГЛ. VI]
ТРАНСФИНИТНЫЕ ОРДИНАЛЫ
385
подстановкой достаточно больших целых i вместо <о,
скажем, ТТ(п) и удовлетворяют неравенству
тГ(п)<т^(Ю
при i^m, тогда, если т^М, то мы видим,
что Та (п) < Та (N) тогда и только тогда, когда имеет
место T%(N)>T%(n) = n, т. е. n<T%(N).
Таким образом, убывающая последовательность
ординалов принимает вид
W О(«3). К'Ы
где
тг+1>тг И nr+l<T2rr+l(.nr') ПРИ r>L
Для данной последовательности mb /и2, т3, мы
получаем наиболее длинную убывающую последователь-
ность ординалов, полагая пг+х == Т™г+ (пг) ~ Ь ибо
Г© (я) == 0 тогда и только тогда, когда п = 0, а Т™г (п)<
<7'2r (Ю тогда и только тогда, когда n<N.
mr+\
Генпен доказал, что трансфинитная индукция до
любого е-числа не сводима к обычной индукции, и по-
этому теорема об убывающей последовательности орди-
налов, которая утверждает, что всякая такая последо-
вательность конечна, и которая эквивалентна трансфи-
нитной индукции, не сводима, но трансфинитная индук-
ция до любого ординала, меньшего, чем первое е-число,
сводима к обычной индукции в достаточно богатой систе-
ме, вроде системы Z.
Может ли это сведение быть выполнено в некоторой
формализации рекурсивной арифметики для всех орди-
налов, меньших, чем первое е-число, или нет — это пока
открытый вопрос, но мы установим этот результат для
ординалов, не больших, чем «со®0*».
В силу взаимосвязи, которая была установлена ме-
жду трансфинитными ординалами и представлением чи-
сел в системе счисления, теорема об убывающей после-
довательности для ординалов, меньших первого е-числа,
эквивалентна следующему утверждению F*:
386
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
6.2. Пусть дана произвольная неубывающая функ-
ция рт такая, что ро^ 2, и функция пт с начальным зна-
чением По, определяемая примитивной рекурсией
Пг^ = ТРргг+1{пг)^-\-,
тогда имеется значение г, для которого пг == 0.
Мы начнем с замечания о том, что это высказывание
является простым следствием теоремы F:
Если mr+i = Tprr+l(nir— 1), то имеется значение г,
для которого mr = 0.
Действительно, если mr > 0, г < $, и ms+x = 0, то,
полагая по = пг0— 1, если nh = mk — 1 для некоторого k,
мы находим, что
п -Tpk (п = (m 1)—1 — пг *.1 — 1,
откуда по индукции nr = mr — 1 для всех г и поэтому
ns+i = 0.
Мы начнем с доказательства F для случая mQ< ppt,
что эквивалентно доказательству теоремы об ординалах
для ординалов со°.
Пусть а(п)—неубывающая функция, а (п) >2; си-
стема рекурсивной арифметики, в которой следующее
доказательство может быть формализовано, будет зави-
сеть от природы а(п), и поэтому мы будем предпола-
гать, что <у(п) определена кратной рекурсией или, на ху-
дой конец, трансфинитной рекурсией типа со1).
Пусть функция у (а, Ь, с, п) определяется примитив-
ной рекурсией
у (а, Ь, с, 0)-(а + 1){а(с)}ь,
у (а, Ь, с, п+ 1) = Г? (ntc+i) {у (а, Ь, с, п) — 1}
и пусть f(x,p,n) определяется двойной рекурсией с под-
становкой вместо параметра
НО, 0, п)=1, (i)
f(x + 1, р, n) = qp(x, р, f(0, р> п), п), (ii)
НО, р + 1, п) = ф(о(/г)— 1, р, f(0, р, п), п), (iii)
9 См. Р. Петер [1].
ГЛ. VI)
ТРАНСФИНИТНЫЕ ОРДИНАЛЫ
387
где
<р(а, Ь, с, d) — c + f(a, b, c + d).
Функция f(x, р, п) считает число членов в последо-
вательности у(х, р, п, г), г = 0, 1, 2, , до (не обяза-
тельно первого) нуля. Действительно, мы докажем, что:
при х, р < о(п) и & > f (х, р, п)
у(х, р, п, k) = 0.
Обозначим это высказывание через 8 (х, р, п).
В силу равенства (i) выполняется 3(0,0, и), а в силу
равенства (ii)
3(0, р, n)&3(x, р, n + f (0, р, n))->3(x + 1, р, п),
ибо, начиная с (х + 2){ст(«))р = (х + 1){ст(п)}р + {ст(п)}р
при х + 2 < ст(п) мы достигаем (х + 1){ст(/г + f (0, р, п))}р
за f(0, р, п) шагов и, следовательно, мы доходим до
нуля за следующие f(x,p,n + f (0, р, п)) шагов по пред-
положению.
Более того, начиная с
{ст (п))₽+1 = {ст (га) — 1} {ст (п)}р + {ст (п)}р, р + 1 < ст (п),
если 3.(0, р, и) и 3(<*(га) 1, Р, «+ f(0,р,п)) выполняют-
ся, то в силу равенства (iii) имеет место 3(0, р + 1> по-
следовательно, доказуемы
3(0, 0, п),
3(0, р, n)&3(x, р, n + f(0, р, n))->3(x+ 1, р, п),
3(0, р, п)&3(ст(п)—1, р, п + f(0, р, п))->3(0, р+ 1, п),
а отсюда мы можем вывести ^(х, р, п) с помощью об-
общенной индукции *), доказав тем самым теорему F
для т0<рр>.
Распространение на случай т0 = р%* делается просто.
Обозначая ст(д) через ст, ст(п)—1 через cti и учитывая,
что
СТа = СТ1СТа‘ + стСТ1,
*) Формальные детали этого вывода имеются в доказательстве
по П. Бернайсу в статье автора [1].
388
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[И
имеем, что последовательность 6(м, г) такая, что
6(п, 0) = а*7,
д(п, г+1) = Т?^)+1){б(«,
доходит до нуля не более чем за
f (0, Gi, п) + f (oi, оь п + f (0, oi, n)) = f (0, oi, п)
шагов, ибо /(О, Oi, п) шагов приводят от + к
©i{a(n + f(0, аь п))}°'и следующие f (oi, d, n+f(O, Оь п))
шагов приводят к нулю.
Далее рассмотрим последовательность е(х, у, г, п, г)
такую, что
е(х, у, z, п, 0) = (х + l){o(n)}tf+z0(n),
е(х, у, z, п, г + 1) = Та^+н^х, У, z, п, г)— 1).
Определим функцию f(x, у, z, п) тройной рекурсией
с подстановкой вместо параметра:
f(0, 0, 0, n)=l, (iv)
f (х + 1, х, у, п) = <р (х, у, z, f (0, у, z, п), n), (v)
f (0, у + I, z, п) = ф (ст (п) — 2, у, z, f (0, у, z, п), п), (vi)
f(0, 0, z+ 1, n) =
= ф(ст(п) —2, ст(/г)—I, z, f(0, ст(п)—1, z, n), n), (vii)
где
ф(х, у, z, c, n) = с + f(x, у, z, с + n),
и пусть 8 (х< У, п) утверждает следующее:
если х, у, z < о (п) и k = f (х, у, г, п), то е (х, у, z, п, k) = 0.
Равенство (iv) показывает, что § (0,0, 0, п) выпол-
няется.
Так как (х + 2) о? = (х + 1) qp + о₽, то если
/(0, у, z, п) шагов приводят от оР+г” до нуля и
f(x,y,z,ri) шагов приводят от (х + 1)<jp+zct до нуля, в
силу равенства (v) требуется f(x+ 1, у, г, п) шагов для
перехода от (х + 2) <jp+zct до нуля, что доказывает
8(0, у, z, п)&8(х, у, z, n + f(Q, у, z, «))->
-»8(х+ 1, у, z, п); (viii)
ГЛ. VI] ТРАНСФИНИТНЫЕ ОРДИНАЛЫ 389
кроме того,
(T(r/+I)+za==ai(jJ/+zQ + (jJ/+za
и, следовательно, в силу равенства (vi)
$ (0, у, z, n) & g (ст, — 1, у, z, n + f (0, у, z, п)) ->
-*8(0, у + 1, z, п). (ix)
Наконец, из
а(г+1)а = ст1а<’,+г<’ + (/’‘+г<’
и равенства (vii) мы выводим
$ (0, ab z, п) & § (ai — 1, ai, z, n + f (0, сть г, п))->
-*8(0, 0, z + l, п). (х)
Из доказанной формулы g (0, 0, 0, п) и (viii), (ix), (х)
мы выводим
8(х, у, z, п),
применяя обобщенную схему индукции, которая тоже
сводима к обычной индукции.
Аналогичное доказательство ’) устанавливает теоре-
му F для последовательности с начальным членом
(х + l)(ff (rt)}go+»i0<n)+M°(n»2+ ••• +«'?(<’(«)/
при любом конкретном целом / и, следовательно, для
последовательности с начальным членом a’a, что рав-
носильно доказательству теоремы об убывающей после-
довательности ординалов, меньших или равных
Этот метод доказательства, очевидно, пригоден и для
ординалов, лежащих за но для получения доказа-
тельства для общего ординала Йп, где йо=«>. £2n+1 = ®a,t,
может оказаться необходимым совсем другой подход.
Если f(n)—ординальная рекурсивная функция типа
й, так что значение f(0) дано и
f(n)= <р(п, f(X(n))),
где <р примитивно рекурсивна и Х(п)—предшествен-
ник п в примитивно рекурсивном упорядочении
Гудстейн [1], стр. 36.
390
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
1П
натуральных чисел типа Q, то кажется вероятным, что
имеет место следующий результат (гипотеза Т). Если
R+ — формализация рекурсивной арифметики, которая
допускает определение с помощью ординальной рекур-
сии по ординалам Q, меньшим первого е-числа, то число
членов в убывающей последовательности ординалов, мень-
ших или равных (ой, вычисляется с помощью ординаль-
но рекурсивной функции с ординалом соа, где а<й*).
Теорема об убывающей последовательности ордина-
лов, очевидно, непосредственно используется в опреде-
лении с помощью ординальной рекурсии, ибо построение
последующих значений f(n), определенной равенством
/(«) = ф(«>ИМ«))>
требует, чтобы последовательность А(и), Х(Х(п)),
Х(Х(Х(п))), достигала 0 за определенное число ша-
гов, определяемое, конечно, функцией, которая или при-
митивно рекурсивна или ординально рекурсивна с орди-
налом, меньшим ординала самой f.
Недавний1) еще не опубликованный результат Алон-
зо Черча наводит на мысль, что гипотеза Т может быть
ложной при определенных способах представления убы-
вающих последовательностей ординалов в рекурсивной
арифметике, так что особенности той интерпретации
теоремы об убывающей последовательности ординалов,
которая была принята выше, могут оказаться необхо-
димыми для истинности гипотезы Т
6.3. Далее мы рассмотрим распространение изложен-
ного выше рекурсивного представления ординалов за пер-
вое е-число. В главе I мы воспользовались идеей мажо-
рантных переменных и отношений, которые выполнялись
только для мажорантных переменных, т. е. для доста-
точно больших значений этих переменных. В этом раз-
деле мы будем обозначать мажорантные переменные
через со, (Or, где 1. Мы напомним, что о примитивно
*) Это утверждение доказано В. Тейтом (Tait W. W., Nested
recursion. Math. Ann. 143, № 3 (1961), 236—250). — Прим. ред.
!) Доложенный на Международном Конгрессе математиков а
Эдинбурге, 1958 г,
ГЛ. VI)
ТРАНСФИНИТНЫЕ ОРДИНАЛЫ
391
рекурсивном отношении R(ti0, th, , пь), для которого
существует константа Со и примитивно рекурсивные
функции
cr+i(n0> «ь пг), г=0, k—1,
такие, что
Я (Н0, «1, «г, «*)
выполняется для всех по, «ь nk, удовлетворяющих
неравенствам
«о>Со, «г+1 >Сг+1 («0. «1, «г), 0<г<Л,
говорят, что оно имеет место для мажорантных
По, th, . , Пь.
Если /?(ио, «ь •••. «*) имеет место для мажорант-
ных по, П\, th,, то мы пишем
/?(©, <01, ©2, ©*).
Например, пусть даны конкретные цифры а, Ъ, с; имеем
©“ > а©& + с,
ибо пп > апь + с, если п > max (а, Ь, с).
Пример с двумя мажорантными переменными:
который выполняется, поскольку N>nnn при всех п и
всех N, удовлетворяющих соотношениям
N>Ci (и) = ппП.
Другой пример с двумя мажорантными переменными:
©©“ + ©“ + 5 > ©“а, + ©““,
который имеет место, поскольку
nN + п + 5>п N +п
при любых и>3и N^nnn.
6.4. Мы начнем с обобщения понятия числа, пред-
ставленного в некоторой системе счисления с выделен-
ным множеством цифр.
392
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
Пусть f(x) — рекурсивная функция такая, что
f(0) = 0, f(l)=l и f(x+ l)>f(x) + 1
для всех х, и пусть (k + 1)“ — наибольшая степень
k + 1, которая не превосходит п, a c(k 4- 1)° — наиболь-
шее кратное (k + 1)а, не превосходящее п.
Тогда мы определяем функцию <pf следующей ре-
курсией:
<Р1,а(0) = 0.
= f (с)ст^,а(а) + ф1,а(«-с(^+ 0°), 1.
Эти равенства определяют <р£ 0(п) как функцию от
О, f(0), f(l), f(k)-
мы называем ф£ (п) представлением числа п с «циф-
рами» f(r), и базой о. Например,
<pb(104) = f(3)o’ + of<4).
Когда функция f содержит более чем один аргумент,
тогда та переменная, которая используется при построе-
нии ф, будет помещаться на последнее место. Если i —
тождественная функция i(x) = x, то ф£ ft+1(«) будет
обычным разложением п по основанию k + 1 с цифрами
0; 1, 2, , k.
Прежде всего мы заметим, что
6.5. ф£ a(r) = f(r), если г <6.
Действительно, r = r(fe+l)° и, следовательно,
Ф*. о (г) = f (г)а<Р*’а<0) + Фл,«(°) = f(И- Аналогично,
ф1,»(*+ О=ог-
6.51. При фиксированном и фиксированном
s>f(fe)+l функция ф£ Ди) строго возрастает по п.
Обозначим ф[ s(n) через ф(п), тогда нам надо доказать
ф(п + 1)> ф(п) + 1.
Если n^k, то это следует из 6.5, ибо f(n+ 1)>
>/(«)+ 1; допустим, что
ф(п + 1)> ф(и) + 1
ГЛ. vil
ТРАНСФИНИТНЫЕ ОРДИНАЛЫ
393
выполняется при п^т—1, где k 4- 1. Пусть
с — показатель наибольшей степени k 4- 1, не превосхо-
дящей т, пусть b — наибольшее целое такое, что
и пусть а = т — 6(&+1)с, так что
О (k + 1)с, 1 b < k 4- 1 и 1 -С с. Тогда по опреде-
лению
<p(m) = /(6) _|_ ф(а).
Рассмотрим по очереди случаи: а = 0, 0 < а <
< (k + 1)с — 1, а + 1 = (fe + 1)с и b + 1 < k 4- 1 и, нако-
нец, а + 1 = (k + 1)с, b = k.
Когда а = 0, тогда <р(а) = 0 и, следовательно,
ф(т + 1) = + 1 =8 <p(/n) + 1.
Когда 0 < a <(k + 1)с— 1, тогда
<р(т + 1) = f (6) s*p<c> 4- q>(a 4- 1)> f (b)s4>^ 4- ф(а) 4- 1 =
= ф(ш) + 1,
ибо а + 1 <(k + 1)с<т— 1 влечет ф(а + 1)> ф(а) + 1
по предположению.
Когда а+1 = (£ + 1)с и 6 + 1 <k + 1, тогда
ф(т + 1) =
= f(b + 1 )st(c) > f(b) s<r<c)+ 5Ч>(с)>^(&)5’’(е>-|-ф(а) + 1 =
= ф(т) + 1,
ибо неравенство а 4- 1 = (k 4- 1)с< т влечет 14-ф(я)-^
< ф(а 4- 1) = s’**.
Наконец, когда а 4- 1 = (к 4- 1)е и b = k, мы имеем
ф(/п 4-1) = ф({6 4- 1}с+1) =
= s’<c+,) > s’(с) • s > f (b) s’(с) + ф (а) 4-1 = Ф (m) + 1
при т > (k 4- 1)с > 1 4- ck 1 4- с, так что по предполо-
жению
ф(с 4-1)> ф(с) 4- 1,
и, более того, s f (b) 4-1 и а 4- 1 = (k 4- 1)с < tn, так
что
$<р(с) = ф(а 4- 1)> ф(а) 4- 1.
394
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
Таким образом, это неравенство выполняется при
и если оно выполняется при п = т—1, то оно выпол-
няется также при п = т, следовательно, по индукции,
оно выполняется для всех и.
6.511. В частности, полагая f (х) = i (х) = х, мы ви-
дим, что при функция строго возра-
стает по м, а полагая
f(x) = f'(x) = q>'_ ,+ 1(х),
получаем, что если q р 1 и если s > f® (k), то <р£ s (n)
строго возрастает по п.
6.52. Если f(x) и g(x)— строго возрастающие функ-
ции и если h(x) = f(g(x)), p^-g(q) и s>f(p), то при
q > 1 и всех п.
6.521. <pf s (ф| р+1 (п)) = ф* Дп).
При п = 0 обе части равенства 6.521 равны нулю;
предположим, что это равенство выполняется при
n = 0, 1, ., т—1. Пусть а и с — наибольшие целые
(а выбирается первым) такие, что c(q + 1)а^.т и
b = т — c(q + 1)“;
тогда с <q + [, b <(q + 1)а и т <(q + 1)°+'. Следова-
тельно,
<Р£ р+1 = S (с) (р + 1)Ф* р+1<а> + ф« р+1 (6) <
< g (с) (р + 1 )Ф* р+1 (а) + (р + 1 /й р+*(в) =
(в силу 6.51, ибо b < (р + 1)°)
= {g (с) + О (Р + I)’’’₽+1 <0) < (Р + 1)Ф* Р+1 (0)+1,
ибо g(c)<g(q)<p + 1.
Это показывает, что ф| , (а) является показателем
наибольшей степени р + 1, a g(c)—множителем наи-
ГЛ. VI]
ТРАНСФИНИТНЫЕ ОРДИНАЛЫ
395
большего кратного этой степени, не превосходящего
<₽f,p+1(m). Поэтому
ф£, s {ф?. р+1 (т)} = h (с) 5 ₽+1 + ф£, s {<Pf. p+i (*)) =
= Л(С)Х*(Й) + Ф^(&)
по индуктивному предположению, а тогда
Фр. s {ф* р+1 <т>) = Фр. s иб° m = С (<? + 1)а + 6,
что завершает доказательство 6.521 по индукции.
6.53. Далее мы определяем функцию Xn(k), которая
зависит от двух функций, р(п), л(м), где р(п) и п(п)—
произвольные рекурсивные функции такие, что р(п)>1.
Мы определяем Xn(k) так:
X0(k) = k,
*л+1 (^) = фр”п>, хп(р (п))+л (п)+1
Полагая р'(п) — Хп(р(п)) + л(п), имеем
= для всех п-
В случае, когда надо явно показать зависимость X
от р и р', мы будем писать Хп р (k) вместо Xn(k).
Для оправдания этого определения Xn(k) мы дол-
жны показать, что для всех п>0 функция Xn(k) моно-
тонно возрастает вместе с k.
Это наверняка имеет место при п = 0, ибо Хо(^) = k,
и если это верно при п = т, то это же выполняется и
при п = т + 1 в силу 6.51. Отсюда следует, что для
всех п и k имеет место Xn(fe)> k.
6.531. Теперь мы рассмотрим связь между Хр> р,
Xp'q и Xq’p' Мы докажем, что если p(r)> 1, ty(r)> 1,
р' (г) > max {х? * (р (г)), X?" р' (q (г))}
и
q(r)>Xp-q(p(r))
для всех г, то
6.54. Xp„-p'(k)^Xqn-p\XDn- q{k))
для всех n, k.
396
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
(И
Так как — для любых s и /, то 6.54 имеет
место при п = 0; если оно выполняется при п = /п, то
Xqm!i (Х^, (*)) = =
Р' / Q \ %Р> Pf
4*47(m), p'(m)+l V^pfm), <j(m)+l VO) <Pp(m), p'(n>)+l
^Xm+\{k) в силу 6.521,
ибо по индукционному предположению
ХЪР\х) = Х^РХхр^ (х)\
Таким образом, 6.54 выполняется при п = т + 1 и,
следовательно, для любого п.
6.55. Зависимость, которая имеется между Хрп’Т (р (п))
и Xnr сохраняется для всех достаточно боль-
ших г. Точнее, если р(й)> 1, <?(£)>• 1,
г (k) > max \xpk’r (р (k)), Xqk’r (q (k))}
И
s (k) > max №s (p (k)), Xqk s (q (k))},
то при n>k^0 выполняется
X?r(p(n))^Xqn-r (q(n))
в зависимости от
X^Xp(n))^Xqn’ s(q(n)).
Определим
t(n), Хрп-\ Xqn*, ХГп‘
и Хп* одновременно следующими рекурсиями:
XS’ * (k) = Xg’ * (k) = Xo’ ‘ (k) = XS’ ‘ (k) = k,
t (n) = max {Xpn' * (p (n)), Xqn’ ‘ (q (n)), Xrnl * (r (n)), Xj'(s (n))}
И
_ / vP*
vP> \ ___ mAn
Фр (л), t (n)+P
Yr- * - mXn ‘
An+l фг (n),/(rt) + p
Ф<7(п), t (n) + P
4 Ys>
yS» t Xn
An+1 — Ф5(п), f (n) + l*
ГЛ. VI]
ТРАНСФИНИТНЫЕ ОРДИНАЛЫ
397
Тогда в силу 6.54
Хг«* (Хрп г (р(«))) = Л’
X»'(<?(«))) = Л’Ч<7(«))>
и поэтому в силу 6.53
ХРп*(р (п))^ХЧп\д(п))
в зависимости от того, что
XPnr(p(n))^Xl’r(q(n)).
Аналогично,
Хр'\р(пУ)^хГ(д(пУ),
в зависимости от того, что
Xp's(p(ri))^XnS(q(n)),
откуда следует 6.55.
6.56. Если p(n)^k>0 и при 0^г<п, p(r)Z>l
выполняется р'(г) Хр’р (р(г)), то
Xpn’p'(k) = Xp’+pl(k).
Действительно, Хр;р{ (k) = фр"'>₽ р, (п)+(= X*р' (k), по-
скольку k^p(n). Следовательно, если N>n и при
п С т < N имеет место р (т) k, то
XPnP'(k) = XPNP\k).
6.6. Мы определяем
qP
йРп+\^в%1П),ч>п^> причем соо = ш, где ©, ®г, г>1,
мажорантные переменные.
При данных k, п и р(г) эти равенства определяют
£lp(k) как функцию от <о, ®1( мы называем
Qp(k) трансфинитным ординалом типа п.
398
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[И
Трансфинитный ординал типа п равен некоторому
ординалу типа п+1, ибо если p(n)^kt то
«.ei. е;+,да- ,,да-а;да.
Отсюда следует, что если p(tn)~^k при
N — 1, то
6.62. Qpn(k) = QpN(k).
В формулировке определения й£(&) мы предвосхи-
тили доказательство того, что Qp(k) строго возрастает
вместе с k; это следует из &o(k) = k и теоремы 6.51.
6.63. Легко видеть, что имеются ординалы типа
п + 1, которые не являются ординалами меньшего типа.
Действительно, если то
QP+i(k)>Qp+\(tn) = Qp(tn).
Взаимосвязь между ординалами различных типов
дается теоремой
6.64. Если p(r)Z>l, ‘’(р(г)) при
п — 1, то
Мы опять действуем по индукции. При k = 0 требуе-
мое равенство сразу следует из определения; если оно
выполняется при п — т, то
(*)) - Ч>^>.... (%&>. .м+, («) = т
по предположению, и поэтому
что доказывает равенство при п = пг + 1 и, следова-
тельно, при всех п.
6.65. Если р(г)>1, ^(r)> 1, 0<г<п, то
QS(p(n))5Q^U(n))
в зависимости от
6.651. Хрп-' (р (п)) 5 Xqn'r
ГЛ. VI]
ТРАНСФИНИТНЫЕ ОРДИНАЛЫ
399
6.652. где r(k)^max{x^’r(p(k)), Xk’rq(k))} при
п > k ^O.
Действительно, в силу 6.64
Qp(p(n)) = Qrn(Xp'r (р(п)))
и
Q4n(q(n)) = Qrn(X4nr(q(n))),
откуда 6.65 следует в силу 6.63.
В силу 6.55 отношение 6.651 не зависит от выбора
чисел г (Л), если выполняется условие 6.652.
6.7. Результат, содержащийся в 6.65, позволяет нам
распространить утверждение теоремы об убывающей по-
следовательности ординалов на ординалы любого типа.
В терминах последовательности функций pn{k) мы оп-
ределяем
Последовательность ординалов я = О, 1,2,
строго убывает, если
л;п(л+1)<л^(«),
где
rn (k) > max «(п), Лгп(п + 1)), 0 < k < i.
Поэтому теорема о том, что убывающая последователь-
ность ординалов необходимо конечна, может быть вьь
ражена так:
Если рп(0>0 для данного целого г, а при
Pn(A)> 1, и если
и
rn(k) = max {Arrt(n), (га + 1)}
Arre(n+l)<Ajn(n)
при pn(i)>0, то существует значение п, для которого
Рп (i) = 0.
400
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
6.8. Вводя дополнительные операции, более сильные,
чем возведение в степень, мы можем определить орди-
налы большей «сложности», чем Qn(fe). Например, если
мы определим тетрацию ьа так, что °а = 1,
(п+1,а = а(п«)
(и, следовательно, 'а = а, 2а = аа, За = а“а и т. д.), то
мы можем обобщить представление в системе счисления
на четыре операции. Пусть а, Ь, с — наибольшие целые
такие, что (при 1)
в(& + 1)<п,
{a(k + l)f
с{а(/г +
определим
I г ,, к
4>4.fe.s(fl) = <PG.^C^4>4'fe,S ’ +
+ фи.>“сНб + 1)}6), +
Функция <pf t дает разложение п с цифрами
f(0), f(l), ., f(k) и базой s, используя четыре опера-
ции: сложение, умножение, возведение в степень и тет-
рацию.
Взяв f(x) = х, мы имеем, например,
Ч к. Д103) = + О (“+l®}“ + (® + 1) {М {“+*со} +
4- со (“+1©} + <в {“со)
(ибо 1000 = (1 + 2) (22’)2 + (1 + 2)22 • 22: + 2 • 22’ + 2 - 22).
Используя р операций вместо четырех, мы опреде-
ляем
G (k + 1, а, п + 1) = G (k, a, G (k + 1, а, п)),
причем G(3, а, 0)=1, G (2, а, 0) = 0, G(l, а, 0) = а,
G (0, а, п) = п + 1,
ghP.k^ = G(p, £+1,Л(1)),
8p,k(m +[)==G(p-m, gh^k(m), h(m + 1)), 1 1;
РЕКУРСИВНАЯ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ И ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ 401
далее» при 1 мы определяем а (г) так, что при
1 значение а (г) является наибольшим целым та-
ким, что при 1 s г имеет место
(и поэтому а (г) < /г, 1 г << р).
Наконец, мы полагаем по определению
YfP,k.s(”i + V = G(p-m, Yfp k s(m), ^k_s(a (m + 1))),
1 tn p — 1,
и
Ч.М^= YP.k,M’ n^k + 1.
ДОБАВЛЕНИЕ
РЕКУРСИВНАЯ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ
И ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ
Пусть Рп(х) — п-й полином в нумерации всех полино-
мов одной переменной х с целыми коэффициентами;
пусть
||z|| = ||x + п/|| = |х| 4-1#1
и пусть sn — сходящаяся последовательность рациональ-
ных вещественных или комплексных чисел. Тогда клас-
сически limsn является трансцендентным, если
(1) Vr3k3NVn (n > A^ || Pr (s„) || > 2~k).
Сходимость sn выражается условием
(2) VA3vVn (n > v -> || s„ - sv || < 2~k).
Пусть v(k)—наименьшее значение v, удовлетворяю-
щее (2), такое, что
п> v(^)-^||s„-sv(ft)||<2-(''+2),
и пусть kr, Nr — наименьшие значения k, N, удовлетво-
ряющие (1), такие, что
(3) n>jVr-||Pf(s„)||>2-4
Если sn квазирекурсивна и рекурсивно сходится, так
что v(k) рекурсивна, и если далее функции Nr, kr в (3)
402
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[В
обе ивяшракурвдвны, то говорят, что рекурсивное ве-
щественное (комплексное) число (sn) является квази-
рекурсивно трансцендентным.
Если sn, v(fe), Nr и kr все примитивно рекурсивны, то
говорят, что примитивно рекурсивное вещественное чис-
ло (sn) является примитивно рекурсивно трансцендент-
ным.
В частности, взяв в качестве Рг(х) линейную функ-
цию х, мы получаем соответствующие определения ре-
курсивной иррациональности.
Для квазирекурсивной рекурсивно сходящейся после-
довательности число ($п) квазирекурсивно трансцендент-
но тогда и только тогда, когда оно классически транс-
цендентно.
Действительно, если М = max || sr || + 1 и если
0<r<v(l)
Р*(х) —сумма положительных значений членов производ-
ного полинома Р'(х), то
и, обозначая через сг показатель наименьшей степени 2,
превосходящей Р*(М), имеем
(4) m, n^v(k + cr)^\\Pr(sm)- Pr(sn)\\<2~k.
Из (3) и (4), взяв kr в качестве k и Nr + v(kr + cr + 2)
в качестве п и обозначая v(kr + сг + 2) через vr(&), мы
получаем
||Рг(Чда)||>1/2*'+1,
откуда
(5) Vr3fe {|Pr(sv,W)|| > I/2fe+I}.
Если Лг — наименьшее значение k, удовлетворяющее (5),
то, поскольку v(k) квазирекурсивно, К тоже квази'
рекурсивно, и
|Л(»ММ)|>1/2‘'+'
Снова используя (4) при k = + 2, мы имеем
n>vr(M-*IIPr(5„)ll>l/2^+2;
РЕКУРСИВНАЯ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ И ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ 403
это доказывает, что (sn) квазирекурсивно трансцендент*
но. Эта теорема, конечно, перестанет быть истинной,
если мы заменим квазирекурсивность на примитивную
рекурсивность.
При любом рациональном х¥=0 функция ех = ^(х)п1п\
примитивно рекурсивно сходится1 2) и то же верно для л?)
На самом деле, и е и л оба примитивно рекурсив-
но трансцендентны, как мы сейчас покажем.
Примитивно рекурсивная трансцендентность е. Пусть
р-i п 67
ф(х) = -("-Щ П ~ = S с^’ где ?=р« + р~1>
r=l $=р-1
И
п
ф(х)= S asxs,
s = 0
А = max | as |;
1 <s C n
далее, пусть
Q
Гф(х)=2фЧД
s^O
где
Ф^и)=^ c'+^r>
r=0
Тогда в силу соображений из элементарной алгебры
можно легко показать, что
I (0) | = (п!)р
и что при r=f=p—1 имеет место фг(0) =0 (mod р), а при
\^т^п и любом г имеет место фг(лп)=0 (modp), так
что если р — простое и больше и, то 7\р(0) не делится
на р, но
Тф (т) = 0 (mod р), 1 т п
9 См. Р. Л Гудстейн [3].
2) См. Р. Л. Гудстейн [12].
404
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
Теперь Т<р(0)= S (г!)сг и, следовательно, обозна-
г-р-1
N
чая ^тг/г\ через EN(m), имеем
г-0
Т<р (0) (т) {Tmr + N>q,
- р-i
где
Tmr = тг + rmr~l + r(r — l)mr-2 + +r!
и
ny m i_____________I । (r I) om
UZf r+1 (r+l)(r + 2) + "г AT!
что можно легко показать индукцией по т).
Следовательно,
Гф(0)- EN(m) = T<p(rn) + 3m S сД/и',
г-р-1
где 0Г = 1Г,3-т, так что 0 < 0Г < 1. Но
a Q
I У, crQrmr I < У \сг\ тг =
г=р—1 г^р-1
nP~' ТТ г , ХР мР
~ (р-1)! 11 (г+ /п) < (р- 1)! ’ 1
г=1
п
где М = П (г + п).
г = 0
Теперь если р > 2М, то
РЕКУРСИВНАЯ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ И ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ 405
и, поэтому, полагая
п ( q 1
Н = 2 1 3mam 2 cr®rtnr |
ffl=lI r«p—I J
при
(2M)2M Vor+i, i n
P>-(2M-1)1 2j3 larl = p’ например,
r=l
мы имеем \H\ < 1/3.
Таким образом,
Тф(0) S amEN(m) = аоТу(О) + S Tq>(m) + H,
m~l m = I
где, если p — простое, большее max{P, |ao|}, то
(i) По7ф(О) —целое, не делящееся на р,
п
(ii) 2 (т) — целое, делящееся на р,
т=1
(iii) |Я|<1/3,
так что
Так как
п
I Т’ф(О) £ amEN(n)\>^.
m=0
то
(2m)2m
(2т- 1)!
1
2П-1
и, следовательно,
Тф (0) ат {Еы (! )}m - J} amEN (т) <
Lm=0 m=0 J
<21 7ф(0) | I am I<I Тф(0) I • 24/iw+2/^ + 1)! <
< | 7\p (0) | • A (2n)2n/(2n — 1) 12W < 1/3,
406
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[П
если N >\ЗАТср(0) \ (2п)2п/(2п—1)! (обозначим это, ска-
жем, через В).
Отсюда следует, что при А/> В и р>тах{Р, |а0|}
мы имеем
S аш{^(1)Г >1/31 Гф(0)|.
т=0
Так как EN(i) примитивно рекурсивно сходится (с клас-
сическим пределом е), то, следовательно, е примитивно
рекурсивно трансцендентно.
Примитивно рекурсивная трансцендентность л. Мы
предпошлем доказательству примитивно рекурсивной
трансцендентности л список основных свойств нормы
||х + iy\\= |х| + \у\
комплексного числа х + iy с рациональными х и у.
Пусть z = х + iy, w = и + iv, тогда:
1. ||z + ffi»IKl|z|| + ||ay||, ибо ||х + и + i(y + v) || =
= |х + и\ + \у + v |<||z|| + ||ш||.
2. ||z ± w||>||z||—||а>||, ибо ||z— w + w||<
<||z — w|| + M-
3. ||zw|K||z|MI®ll, ибо ||zw|| = \xu — yv\ + \xv+yu\^.
4. |z|2 <||z||2 <2|z|2.
5. II zw || ^ у || z || • || w ||, ибо II zw |p^| z |2 • | w |2^
>|llz|p • II w II2.
6. I/||z||C||l/z|K2/|lz||, ибо \\Vz\l={\x\ + \y\}l(x*+yt)
и
x2 + y2<{\x\ + \y\}*<2(x2 + у2).
Пусть a — алгебраическое число с соответствующим ему
полиномом
CIqX^ + ClfX + + Cltf
и пусть нулями этого полинома являются
ai = а, аг» а3, ..., а^.
РЕКУРСИВНАЯ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЬ И ТРАНСЦЕНДЕНТНОСТЬ 407
Обозначим |а0| + +|«n| через у Л и 2NA через В.
Далее, пусть p2r-i — tar, р2г = —iaz, г = 1, 2, N. так
что при 1 2N
ИМ<л,
и пусть у5, 1 ^s^Al==22yv--1, — все возможные суммы
чисел рь, 1^£^2N, которые берутся по/штук, l^/^2Af,
так что ys, 1 являются корнями некоторого по-
линома
Q (х) = 60хм + hx*1"1 + + Ьм
с целыми коэффициентами и ||у5||< В.
Мы определяем
^W = 77^6HQ«}p==
= Cp-iX”-'+ СрХР + +CpM+p-iXPM+P~1,
где р — простое, большее чем |6о&м|;
L (Ч> (х)) = 2 Ф' (х), К = L (ф(0)) = 2 cr (г I),
г—1
п
Еп(х)=ЪхгКг\)
Г“1
И
тп = (I + Еп (р.)) (1 + Еп (р2)) (1 + Еп (p2 v)).
Числа фг(0), гфр—1, являются все целыми кратными
р, а фр-1 (О)=ЬоМ, Ьм—целое, не делящееся на р. Кроме
того, если х — нуль Q(x), то фг(х) = 0 при г^р—1, а
м
при r^-р сумма 2 Фг(Ym) есть целое, делящееся на р.
т=1
При фиксированном х имеем ф(х)—>0, когда р-»оо,
и аналогично,
рМ + р-1
2 I сг || х Г—>0, когда р-*оо.
г-р-1
м
Теперь Тп = 1 + 2 Еп (yr) + Vn, причем, поскольку
г = 1
||Е„ (х) • Еп (у) - Еп (х + у) || < 2 (||х|| +1|у ||) "+>/ (n + 1)!
408
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[П
для достаточно больших п и поскольку аналогичное не-
равенство выполняется для трех или более множите-
лей, то мы имеем
|| V„||<2MBn+7(n+l)!.
Но
К • Еп (у) = L (а|> (у)) + S C/y'^v,
где
Y* n ?+1 I Y*+2 1 । y!
i! Av.i T (/ + 2)! I'n!’
так что ||/?v,,||< En(B) и поэтому
£„(В)Ж1-8г
стремится к 0, когда р стремится к оо.
Таким образом,
К %Е„(у) = Ф(у)) + ер,
где ер —* 0 при р—*оо, a L (2 Ч1 (v))— целое, делящееся
на р. Следовательно, КТп является суммой целого не
делящегося на р члена, который стремится к нулю по р,
и члена, который стремится к нулю по п.
Выберем р так, чтобы ||ер||<у; тогда, поскольку
2/<Л1Вп+1/(п + 1)! <4- ПРИ > 6/СЛ4Вв+1/5!, мы имеем
о
IITnlO 1/3/С
Однако
|| 1 +£„(₽)||<4л
и, следовательно,
|| Тп ||<|| 1 + Еп (ta) || • 4(2У"ол <|| 1 + Еп (ia) ||4В,
откуда
|| 1 +£rt(za)||> 1/3/C • 4й.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
409
Пусть л„ — значение псп десятичными знаками, то-
гда можно показать*), что (при п 14)
II1 + £2n+i (X) II < 1/Юп~‘ < 1/12/( • 4В при n^K-4B+i
и, следовательно,
|| £2„+1 (fa) - £2n+l (1пп) || > 1/К • 4в+1
при n>c = max{/(-4B+I, ЗКМ Вв+1/В|}_
Так как || inn || < 4А и || /а ||<4Л, то
II £2n+i (М - £2n+i (X) II < II а - пп II Ё2п (4л) < II а - л„ II • 3<<л>
и, следовательно, при п^с
|| а|| >!//<. 4s - 3<4Л>, (1)
откуда || а — л || ^ 1/К • 4В • 3^л\ что показывает, на
сколько, по меньшей мере, отличается л от а.
Так как (1) выполняется для произвольного нуля а
полинома aQxN + + aNi то при гг > с
|| ЯоЛп + Я1Л/1 1 + + || ^
>11 а01||| пп - а, ||... || л„ - а„ || • 2~N >|| ао \]/KN • 2(2B+,)3^.
что доказывает примитивно рекурсивную трансцендент-
ность л.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Глава I. Рекурсивная арифметика была введена Т. Сколемом
в статье Сколем [1]. Различные формализации рекурсивной ариф-
метики приведены в работах Карри [1], Гудстейн [15] и
Чёрч [2]. Свойства общерекурсивных функций имеются в книгах
Кл и н и [2] и Девис [1].
Понятия относительной и рекурсивной сходимости и приведен-
ной последовательности введены у Гудстейна [2]. Признаки ре-
курсивной сходимости впервые приведены у Гудстейна [6].
Другое доказательство теоремы 1 имеется у Райса [1].
Нумерация примитивно рекурсивных функций описана в книге
Петер [1], которая также содержит очень хорошую библиографию
по рекурсивным функциям.
По поводу теоремы Шпеккера смотрите Шпек кер [1].
Доказательство теоремы 1 также дано по Шпеккеру. Рекурсив-
ные вещественные числа изучались М е ш к о в с к и м [2].
*) Детали смотрите в статье Гудстейна [12].
410
РЕКУРСИВНЫЙ АНАЛИЗ
[II
Глава II. Понятия рекурсивной и относительной непрерывно-
сти введены у Гудстейна [2]. Теорема 2.4 принадлежит Мешков-
скому и была опубликована в статье Мешковский [1].
Теорема 2.5 была доказана Шпеккером и впервые опубликована
в работе Гудстейн [5].
Глава III. Понятия о рекурсивной и относительной дифферен-
цируемости введены Гудстейном [2].
Классическая теорема о том, что функция, непрерывная в замк-
нутом интервале, принимает в этом интервале свое максимальное
значение, не верна в рекурсивном анализе; доказательства смотри
у Шпеккера [2], Лакомба [1] и в реферате Крайзеля [1].
Марков [1] приводит неконструктивное доказательство того, что
для рекурсивной вещественной функции F(x) такой, что F(0) = —1,
F(l) = 1, существует рекурсивное вещественное число с такое, что
F(c) = 0; конструктивное доказательство этого результата невоз-
можно, ибо Шпеккер показал, что имеется рекурсивная последова-
тельность Fk рекурсивных вещественных функций таких, что
(0) =—1, F*(l) = 1 и ни для какой рациональной рекурсивной
функции $(£, п), рекурсивно сходящейся по п при каждом k, не мо-
жет выполняться lim Fk (s (ft, n)) = 0. Это показывает, что мы не
п -> оо
можем отождествлять рекурсивный анализ с классическим изуче-
нием рекурсивных вещественных чисел. По вопросу о сравнении
различных уровней конструктивных теорий см. «Constructivity in
Mathematics», под редакцией А. Гейтинга (North-Holland Publi-
shing Со., 1959).
Глава IV. Относительный интеграл был введен Гудстей-
ном [11], и все результаты этой главы были впервые опубликованы
в этой статье.
Глава VI. Эта теория рекурсивных ординалов была впервые
развита Гудстейном [1], [4].
Другие конструктивистские трактовки ординалов приведены в
работах Аккерман [1], Гильберт и Бернайс [1], Черч [1],
Черч и Клини [1].
Добавление. Понятие рекурсивной иррациональности (в дру
гой терминологии) было введено Г удстейном [3], и доказатель-
ство рекурсивной иррациональности ех при рациональном ненуле-
вом х дано в этой же статье. Доказательство рекурсивной иррацио-
нальности л приведено у Гудстейна [12]. Рекурсивная трансцен-
дентность была введена в докладе автора на Конгрессе математиков
в Эдинбурге, 1958.
БИБЛИОГРАФИЯ
Аккерман (Ackermann W.)
[1] Zur Widerspruchsfreiheit der Zahlentheorie, Math. Ann. 117
S, 162—194.
•uktiver Aufbau eines Abschnitts der zweiten Cantor-
schen Zahlenklasse, Math. Z. 53 (1951), 403—413.
Бернайс (Bern ay s P.)
[1] Uber das Induktionsschema in der rekursiven Zahlentheorie,
Kontrolliertes Denken, Untersuchungen zum Logikkalkul und
БИБЛИОГРАФИЯ
411
zur Logik der Einzelnwissenschaften. Kommissions-Verlag
K. Alber, Munchen, 1951, 10—17.
Гильберт и Бернайс (Hilbert D. and Bern ays P.)
[1] Grundlagen der Mathematik, Berlin, 1934, 1939.
Гжегорчик (Grzegorczyk A.)
[1] On the definitions of computable real continuous functions,
Fund. Math. 44 (1947), 61—71.
Гудстейн (Goodstein R. L.)
[1] On the restricted ordinal theorem, J. Symbolic Logic 9
(1944), 33—41.
[2] Function theory in an axiom-free equation calculus, Proc.
London Math Soc. (2), 48 (1945), 401—434.
[3] The strong convergence of the exponential function, J. Lon-
don Math. Soc. 22 (1947), 200—205.
[4] Transfinite ordinals in recursive number theory, J. Symbolic
Logic 12 (1947), 123—129.
[5] Mean value theorems in recursive functions theory, Part I:
Differential mean value theorems, Proc. London Math. Soc.
(2) 52 (1950), 81 — 106.
[6] The Gauss test for relative convergence, Amer. J. Math. 72
(1950), 217—228.
[7] Constructive Formalism, Essays on the foundations of mathe-
matics, University College, Leicester, 1951.
[8] The foundations of mathematics, University College, Leicester,
1951.
[9] Permutation in recursive arithmetic, Math. Scand. 1 (1953),
222—226.
[10] A problem in recursive function theory, J. Symbolic Lo-
gic 12 (1953), 225—232.
[11] The relatively exponential, logarithmic and circular functions
in recursive function theory, Acta Math. 92 (1954), 171 — 190.
[12] The recursive irrationality of л, J. Symbolic Logic 19
(1954) 267—274.
[13] Logic-free formalisations of recursive arithmetic, Math. Scand.
2 (1954), 247—267.
[14] A constructivist theory of plane curves, Fund. Math. 43
(1956), 23—35. [Русский перевод: P. Л. Гудстейн, Кон-
структивистская теория плоских кривых, наст, сборник.]
[15] Recursive Number Theory, Amsterdam, 1957. [Русский пере-
вод: Р. Л. Гудстейн, Рекурсивная теория чисел, наст,
сборник.]
[16] Models of propositional calculi in recursive arithmetic, Math.
Scand. 6 (1958), 293—296.
[17] Recursive Analysis, в кн. Constructivity in Mathematics, Am-
sterdam, 1959, 37—42.
Девис (Davis M.)
[1] Computability and Unsolvability, New York, 1958.
Карри (C u г г у H. В.)
[1] A formalisation of recursive arithmetic, Amer. J. Math. 63
(1941), 263—282. [Русский перевод: X. Б. Карри, Формали-
зация рекурсивной арифметики, наст, сборник.]
Клини (К 1 е е n е S. С.)
[1] On notation for ordinal numbers, J. Symbolic Logic 3 (1938),
150—155.
[2] Introduction to Metamathematics, Amsterdam, 1952. [Русский
перевод: Клини С. К-, Введение в метаматематику, ИЛ.
1957.]
Крайзель (KreiselG.)
[1] Review of Meschkowski [1], Math. Rev., 1958, 238.
Лакомб (Lacombe D.)
(1] Extension de la notion de fonction recursive aux fonctions
d’une ou plusieurs variables reelles. Compt. Rend. 240 (1955)
2478-2480; 241 (1955), 13-14, 151—153.
Майхилл (Myhill J. R.)
[1] Criteria of constructibility for real numbers, J. Symbolic
Logic 18 (1953), 7—10.
Марков A. A.
[1] О непрерывности конструктивных функций, УМН 9, № 3 (61)
(1954), 226—229.
Мешковский (Meschkowski Н.)
[1] Zur rekursiven Funktionentheorie, Acta Math. 95 (1956),9—23.
П e т e p (P e t e r R.)
[1] Rekursive Funktionen, Budapest, 1951. [Русский перевод: П e-
тер P., Рекурсивные функции, ИЛ, 1954.]
[2] Zum Begriff der rekursiven reellen Zahl, Acta Scient. Math.,
Szeged, 12/A, Leopoldo Fejer et Frederico Riesz LXX annos
natis dedicatus, 1950, 239—245.
P а й c (R i с e H. G.)
[1] Recursive real numbers, Proc. Amer. Math. Soc. 5 (1954),
784—791.
Сколем (Skolem T.)
[1] Begriindung der elementaren Arithmetik durch die rekurrieren-
de Denkweise ohne Anwendung scheinbarer Veranderlichen
mit unendlichem Ausdehnungsbereich, Videnskapsselskapets
Skrifter 1, Math-Natur. KI. 6 (1924), 3—38.
[2] Eine Bemerkung fiber die Induktionsschemata in der rekursi-
ven Zahlentheorie, Montash. f. Math. u. Phys. 48 (1939), 268—
276.
[3] A remark on the induction schema, Det Kongelige Norske Vi-
denskabers Selskab 22 (1950), 167—170.
Чёрч (C h u r c h A.)
[1] The constructive second number class, Bull. Amer. Math. Soc.
44 (1938), 224—232.
[2] Binary Recursive Arithmetic, J. de Math. 36 (1957), 39—55.
Чёрч и Клини (Church A, and К leene S. C.)
[1] Formal definitions in the theory of ordinal numbers, Fund.
Math., 28 (1936), 11—21.
Шпеккер (S pecker E.)
[1] Nicht konstruktiv beweisbare Satze der Analysis, J. Symbolic
Logic 14 (1949), 145—158.
[2] Der Satz von Maximum in der Rekursiven Analysis, Construc-
tivity in Mathematics, Amsterdam, 1959, 254—265.
HI
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
РАЗРЕШИМЫЙ ФРАГМЕНТ
РЕКУРСИВНОЙ АРИФМЕТИКИ*)
Р. Л. Гудстейн
Наиболее распространенная модель [1] двузначной
логики в рекурсивной арифметике связывает с отрица-
нием, конъюнкцией, дизъюнкцией и импликацией сле-
дующие примитивно рекурсивные функции:
1— Р, a(P + q), а(Р<1) и (\—p)a(q)
где а(х)= 1 — (1 — х). Эти функции на самом деле яв-
ляются таблицами истинности, имеющими требуемые
значения 0, 1 для значений 0, 1 переменных: функция а,
связанная с доказуемым предложением А, удовлетво-
ряет доказуемому равенству а = 0 (доказуемому, напри-
мер, в исчислении равенств) и, обратно, предложение А
доказуемо (в некоторой формализации логики предло-
жений), если равенство а = 0 доказуемо. Для установ-
ления доказуемости равенства а = 0, связанного с дока-
зуемым предложением Л, достаточно показать, что ра-
венства, связанные с аксиомами логики предложений,
доказуемы, и что если р = 0, q = 0 соответствуют пред-
ложениям Р, Q и если Р, Р —*Q связаны с доказуемыми
предложениями р = 0, (1 — p)a(q) = 0, то а(^)=0 до-
казуемо (что очевидно) и, следовательно, q= 0. Обратно,
если равенство а = 0 доказуемо, то предложение Л, со-
ответствующее а, доказуемо, ибо функция а является
истинностной функцией для Л, которая имеет значение 0
(истина) для всех значений (включая 0, 1) своих пере-
менных, а всегда верное предложение доказуемо.
Модель, которую я наиболее часто использовал в
своей книге о рекурсивной теории чисел [2], отличается
от приведенной выше модели в одном важном пункте:
функции, связанные с логическими операциями, могут
♦) Перевод статьи: R. L. G о о d s t е i п. A decidable fragment
of recursive arithmetic, Z. f. math. Logik und Grundlagen d. Matn.
2 (1963), 199—201.
416
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
принимать значения, отличные от 0, 1. Так, с конъюнк-
цией, дизъюнкцией и импликацией связаны функции
Р + Я, РЯ и (1 — p)q.
Точно так же как и раньше, доказывается, что если
а — функция, связанная с предложением Д, то а = 0 до-
казуемо, если А доказуемо. То, что обратное истинно,
однако, менее очевидно, ибо функции, связанные с логи-
ческими операциями, больше не будут таблицами истин-
ности для этих логических операций. Например, р + q
принимает значение 2 (а не значение 1) для значения 1
переменных р и q.
Тем не менее рассматривая отношение между А и
его конъюнктивной нормальной формой Ас, мы можем
показать, что А доказуемо, если а = 0 доказуемо. Сна-
чала мы заметим, что функция ас, соответствующая
предложению Ас в конъюнктивной нормальной форме,
принимает вид
ас = fi + h + +fn>
где каждое fi представляет собой произведение перемен-
ных р или термов 1 — р, соответствующих неотрицаемым
или отрицаемым переменным для предложений в состав-
ляющих Ас частях Fi. Если fi + fz+ + fn = 0, то
каждое fi = 0, откуда следует, что fi содержит и р, и
1 — р для некоторой переменной р; следовательно, Fi
содержит некоторую переменную для предложений с
отрицанием и без отрицания, так что Fi доказуемо.
Так как каждое Fi доказуемо, то же верно для их
конъюнкции Ас.
Предположим теперь, что а = 0 доказуемо. Так как
доказуемо, то
(1 — а)ас = 0
доказуемо, откуда следует, что
ас = 0
доказуемо, поэтому Ас доказуемо и, наконец, само А до-
казуемо.
Предположим теперь, что F — произвольная функция,
построенная с помощью композиции только из функций
Р + Я, РЯ и 1 — р. Функция F связана с некоторым пред-
ложением Ф (получаемым заменой сложения и умноже-
РАЗРЕШИМЫЙ ФРАГМЕНТ РЕКУРСИВНОЙ АРИФМЕТИКИ 417
ния на & и V, а 1— р на ~р) с нормальной формой
Фс, с которой связана функция Fc.
Предположим далее, что F = 0 доказуемо только для
значений О, I своих переменных: тогда Fc = 0 подобным
же образом доказуемо для значений 0, 1 своих перемен-
ных и поэтому, то же справедливо для составляющих Fc
частей Fi, F2i ..., Fn — каждое равенство Fi = 0 дока-
зуемо для значений 0, 1 своих переменных. Если Ф2— та
часть Фс, которая ассоциирована с Fi, то, следователь-
но, Ф, всегда истинно, поэтому Фс всегда истинно и,
наконец, само Ф доказуемо, откуда следует, что F=0 —
доказуемое равенство.
Таким образом, у нас имеется разрешающая про-
цедура для равенств
F = О,
где F построено с помощью композиции из р + q, pq
и 1 — р\ равенство F = 0 доказуемо тогда и только то-
гда, когда F принимает значение 0 для значений 0, 1
своих переменных.
Этот результат имеет место также для равенств вида
1—1 —G,
где F, G построены из р + q, pq и 1 — р; действительно,
1 —F = 1 —G
тогда и только тогда, когда выполняются оба равенства
(l-^F)G = 0, (l-^-G)F = 0,
ибо из (1 — F) G = 0 следует (1 — F) (1 — G) = 1 — F, а
из (1 G) F = 0 следует (1 — F) (1 — G) = 1 — G.
Другое специальное равенство, к которому приложим
этот метод’ таково:
(1—F)G = (l — G)F,
ибо это равенство эквивалентно паре равенств
(l^F)G = 0, (1 — G)F = 0.
Простой пример
р = р2
418
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
показывает, что этот разрешающий метод неприменим к
равенству общего вида:
F = G.
Так как F = G эквивалентно паре равенств, то отсюда
следует, что функцию р - q нельзя получить компози-
цией из функций р + q, pq и 1 — р.
ЛИТЕРАТУРА
Гёдель (К. G о d е 1)
[1] Uber formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica
und verwandter Systeme I, Monats. f. Math. u. Physik 38
(1931), 173-198.
Гудстейн (R. L. Goodstein)
[1] Recursive Number Theory, Amsterdam, 1957. [Русский пере-
вод: P. Л. Гудстейн. Рекурсивная теория чисел, наст,
сборник.]
ПРИЛОЖЕНИЕ
КОНСТРУКТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ
ПЛОСКИХ КРИВЫХ*)
Р. Л. Гудстейн
Введение
В этой статье развивается теория р-кривых, представ-
ляющих собой конечные матрицы, элементами которых
служат двоичные дроби. Грубо говоря, р-кривая— это
конечная последовательность точек некоторой решетки,
причем расстояние между двумя соседними (в последо-
вательности) точками имеет фиксированное значение в
одном или другом из двух «направлений». Затем поня-
тие плоской кривой вводится в терминах последова-
тельностей р-кривых. Везде в этой статье делается упор
на строго финитистский характер доказательств.
Настоящая работа по топологии (analysis situs) яв-
ляется предварительной для изучения криволинейных
интегралов.
Определение. Буквы I, /, k, I, т, и, ц, v, р, q, г,
s, /, р, о, т и они же с нижними индексами обозначают
целые числа, буквы a, b, с, d, х, у, g, г] и они же с верх-
ними и нижними индексами — двоичные дроби вида
т12?\ более подробно — при данном р мы обозначаем
т/2р через хр и т. д. Упорядоченная пара (х, у) назы-
вается точкой, а упорядоченная пара (хьх2)— интерва-
лом', упорядоченная пара интервалов (хь х2) {у\, у%) (где
Xi < *2, Vi < У2) называется прямоугольником с верши-
нами (xr, ys), г = 1, 2 и s = 1, 2. Если
2рар, 2pbp,
— целые числа, лежащие соответственно между 2Р хр и
2рхр и между 2рур и 2рур, то точки
(ар, Ьр\ O^s^Vp,
*) Перевод статьи: R. L. G о о d s t е i n, A constructivist theory
of plane curves, Fundam. math. 43, № 1 (1956), 23—35.
420
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
называются узлами сетки
F (х?
р\уч ур)
в прямоугольнике (xf, x0(z/f, у$у прямоугольники
(a?, apr+\){bs, bp+\), Q^r^iip, 0^s^vp,
называются р-клетками прямоугольника хр2)(ур{,
или сетки
( хр Х2 \
Fp\yp Ур /
Пусть для данного 1 целые ir, jr удовлетворяют ра-
венству
(0.1) | *г+1 — ir I + |/r+i — /г | = 1
для всех г, O^r^Ck — 1, и x^ = zr/2P> УР = !г1%Р'> тогда
упорядоченное множество точек
(0.2) (х?, yfy 0<r<6,
называется плоской кривой или, подробнее, плоской
р-кривой, соединяющей точки (xfi, yfy и (xg, z/£). Если
(0.3) \ir — is\ + \jr — js\> 0
для всех г, 5, удовлетворяющих 0-0 <$<£, то о кри-
вой (0.2) говорят, что она простая и открытая.
(0.31) Если zr, jr удовлетворяют условию (0.3) для
всех г, s таких, что О<О < s^k — 1 или 1 < s4#,
и если в дополнение к этому ih = z0, Д = /о, й > 4, то
говорят, что кривая (0.2) является простой и замкнутой.
Если хг, уг — периодические с периодом k и если
(хг, z/r), 0<Х&, — простая замкнутая кривая, то тем
самым кривая (xr, yr)y m^r^m + k — простая и зам-
кнутая. Говорят, что кривые (xr, yr), и (xr, ут),
m^r ^пг 4- k эквивалентны и взаимно заменяемы.
Если
'Г' = ЧР- r+'l = i? + <₽+.
и
/Г' = 2/₽ = /; + уР+1> ,
конструктивистская ТЕОРИЯ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
421
где if, j? удовлетворяют (0.1), то, очевидно, что 1?+[9
j?+i удовлетворяют (0.1). Говорят, что р-кривая (х?9 у^)9
и (р+1)-кривая (x{?+1, */£+1), 0^г^2А (где
xJ? = iJ?/2?, #/ = j//2z7 при q~py р+1) эквивалентны
и взаимно заменяемы.
Мы будем обозначать через g (с одним или более
индексами) значение, принимаемое одним или более из
чисел хг, а через т] — значение, принимаемое
одним или более из уТу O^r^k. В сетке Fp значение
g + 2~р будет называться следующим за g и обозна-
чаться через g', a g— 2~р будет называться предшест-
вующим g и обозначаться через g* Аналогично мы опре-
деляем т)', т)* Следующим за хг является, конечно, хг+ь
г < k9 а предшествующим хг+1 является хг, г^>0; мы
будем также называть Xi следующим за xk( = xQ) в зам-
кнутой кривой, a xh-i — предшествующим xQ. Анало-
гично следующим за уь и предшествующим yQ являются
соответственно у{ и уь-ь когда кривая замкнута.
Пара вида g, g' будет называться вертикальной поло-
сой; пара т), т)' — горизонтальной полосой.
Если гп, 0-^п^Сц, — все индексы г такие, что или
= g, Xr-|-i g ИЛИ Хр g , Xf+i = g
в простой замкнутой кривой (хг, уг), 0 то зна-
чения т]п чисел угп, называются граничными
уровнями вертикальной полосы g, g' (заметим, что
ут = уг+и поскольку хг=/=хг+1). Эти числа т] все раз-
личны, ибо точки (хп, т]п), (Xn+i, Лп+1) не могут обе
дважды входить в множество (xr,yr), 0^.r^.k. Анало-
гично мы определяем граничные уровни горизонтальной
полосы Т), Т)'
Предшествующие определения и следующие доказа-
тельства можно рассматривать как схемы определений
и доказательств, которые можно формализовать, заме-
нив используемые там неконкретные числа и функции
конкретными числами и функциями. Определения, од-
нако, допускают также формализацию в исчислении со
свободными переменными.
1. Теорема 1 Если (хГ9уг)9 0 г k — простая
кривая и если для некоторых пг9 п (где 0 m < n^k9
422
ПРИЛОЖЕНИЕ 9
если эта кривая открыта, и 04m < n <k или 0 < tn <J’
< n k, если она замкнута) и для всех s, t, удовлетво-
ряющих неравенствам m4s<t4n, имеет место ys = yt,
то последовательность хг, m^r^n, строго монотонна.
Мы можем предположить, что п^ m + 2, иначе не-
чего доказывать. Пусть xs = g, так что, поскольку
f/s+i = У$, *s+i должно быть или g' или g*; допустим, что
имеет место первое; тогда xs+2 отличается и от х$ и от
x5+i, а значения xs+b xs+2 являются последовательными
в Fp, поэтому Xs+2 = I" Аналогично, если xs+i = g*, то
*s+2 = I** и, следовательно, поскольку хт *^+1, то по-
следовательность хг, т^г^п строго монотонна.
2. Теорема 2. Если целые ir удовлетворяют равен-
ству (0.1) и если 0-</п<п-<й, го ir принимает каж-
дое целое значение между im и in для значений г, лежа-
щих между тип.
Действительно, если im < v < in и если р, — наимень-
шее целое, большее т и такое, что то тогда
/ц-! < v — 1; но
0<(1ц— и)+’(и— 1 — tw_i) = (/|1 —fw-i)— 1<0
и, следовательно, == v.
Отсюда следует, что если (*г, Уг), 0<r<fe,— р-кри-
вая, то хг принимает каждое значение //2р между хт, хп
для г, лежащих между т, п, а уг принимает каждое
значение //2? между ут, уп Для г, лежащих между т, п.
3. Теорема 3. Если целые ir, удовлетво-
ряют (0.1) и ik = io и если при некоторых tn, v i0 < v,
im = v, a X < k — наибольший индекс такой, что ix = v,
то имеет место = v— 1; действительно, иначе i\+i ==
= v + 1 и по теореме 2 мы имели бы ir = v для некото-
рого г, где X + 1 < г < k. Аналогично, если iQ> v и
р — наименьший индекс, для которого = v, то iu_i =
= v + 1.
4. Теорема 4. Если (xr,yr), O^r^k, — простая
замкнутая кривая и если для некоторых tn, п
%т ~ *т+1 “ 5 U ~ » *п+1 ~
то т 4= п + \ и п ¥= т + 1.
Действительно, в силу (0.31) *т+2^Г>*п+1 и
*71+2 < *т+1«
конструктивистская ТЕОРИЯ плоских КРИВЫХ
423
5. Теорема 5. Если (xr,yr), — простая
замкнутая кривая, то каждая пара значений g, gz при-
нимается последовательными значениями х четное
число раз.
Доказательство. Если нет ни одного значения г,
такого, что для данной пары g, g' имеет ме-
сто хг = g и Xr+1 = g' или хг = gz и xr+i = g, то теорема
доказана.
Если имеется единственное значение г, O^r^k, та-
кое, что хг = g, Xr+i = Г, то имеется s, такое,
что xs = I', xs_|_] = g. Ибо если *о < g' и s— наибольший
индекс такой, что xs = gz, то по теореме 3 xs+i = g. Бо-
лее того, по теореме 4 s > г + 1.
Если имеется более одного значения г, для которого
Хг = Хг+1 = g', то между любыми двумя такими после-
довательными значениями, скажем, тип, имеется р
такое, что
Хр = хр+1 = g и р + 1 < п.
Действительно, если р + 1 — наименьший индекс между
m + 1 и п такой, что xp4.i = g, то по теореме 3 хр = g'
(и m + 1 < р < п— 1 по теореме 4). Аналогично, между
последовательными значениями г, для которых xr = g',
xr+i = g, имеется значение г, для которого xr = g,
Xr+l “ g
Пусть ms, 0^$<сг, где ms < ms+b— все значения г,
для которых хт = g, xr+1 = gz, и пусть рь
0 где [if < — все значения г, для
которых хг = gz, Хг+1 = g.
Мы можем без потери общности предполагать, что
т0< ро- Так как имеется р между т0 и ть то ро лежит
между т0 и ть а поскольку имеется т между ро и рь
то mi лежит между р0 и рь и, следовательно, р0 — един-
ственное р между то и ть
Аналогично, ps —это единственное р между ms и ms+i,
—1. С помощью рассмотрения эквивалентной
замкнутой кривой (xr,yr), k, отсюда сле-
дует, что имеется единственное т между та и т0 + k
такое, что xr = gz, xr+i = g, и, следовательно, имеется
только одно р, большее чем т0 (ибо наименьшее р, т. е.
424
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
цо, превосходит /и0). Таким образом, т = о, что завер-
шает доказательство.
Таким же образом мы можем показать, что каждая
пара значений т), т/ принимается четное число раз по-
следовательными значениями у.
Из теоремы 5 следует, что в простой замкнутой р-кри-
вой имеется четное число граничных уровней в каждой
горизонтальной полосе и четное число — в каждой вер-
тикальной полосе. Если Xi, xg— наименьшее и наиболь-
шее значения хг, a yb yg— наименьшее и наи-
большее значения уг, если 2?XS, O-^s^o —
целые от 2*% до 2?xg включительно, a 2^Yt, —
целые от 2?yi до 2?yg и если, наконец, т^,
<^2ps, — граничные уровни в полосе Xs, Xs+1 и
l^r^2vb—граничные уровни в полосе У/, У/-ы, то
клетки сетки Fp во всех прямоугольниках
<*s> nfr>, 0<s<a-l,
называются внутренними рх-клетками данной кри-
вой, а клетки сетки Fp во всех прямоугольниках
1 0<т<г — 1, называются
внутренними ру-клетками данной кривой. Клетка сетки
Fp в вертикальной полосе, которая не является внутрен-
ней рх-клеткой, называется внешней рх-клеткой, а клетка
в горизонтальной полосе, которая не является внутрен-
ней Ру-клеткой, называется внешней ру-клеткой.
6. Сцепленные граничные уровни. Пусть (хг, уг),
— простая замкнутая кривая на сетке Fp, где
хг, ут периодичны с периодом k.
Говорят, что уровень а (этой замкнутой кривой) в
полосе £*, g сцеплен по % с уровнем р в полосе g,
если или Р = а, или р а и для некоторых ц, v > 1
Хц = , хг = ц Н” 1 г ц -j- v,
и у у, = а, Уц+v+i = Р, а 2?уг, ц + ц + v, — все
целые от 2?а до 2рР включительно.
Говорят, что два уровня а, р одной и той же по-
лосы £*, £ или g, i' сцеплены по если = а, уц+у+1 = р,
а 2?уг, р+. 1 ц + v, — все целые от 2?а до 2₽Р
КОНСТРУКТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ плоских кривых
425
включительно и хг = g, р 4- 1 г р + v, и либо
Ху, = Х ц+v+l = £ , Либо Хц = Хц+У-|-] = £
6.1. Если уровень а сцеплен с уровнем р по |, то а
не сцеплен с другим уровнем по действительно, у про-
стой кривой не может быть двух значений г,
для которых уг = t/r+i = а и либо xr = £*, xr+i = либо
Xr = , Xr-|-i =
6.2, Если а, р — последовательные граничные уровни
в одной из полос g*, g; |, если а^т]<т/^р и если
для некоторого р выполняется х^ = x^+i = g и у^ = т),
Уи+1 = т/ (или Ум = П'» Уи+1 = п), то уровни а, р сцеп-
лены по
Пусть 2?ps, 0— целые от 2^а до 2^р вклю-
чительно, где р/ = т|» рж = т], О t < о. Если а = т|,
Р — г/, то нечего и доказывать; поэтому мы можем пред-
положить, что р>2, так что при 1><s<o—1 ps не
является граничным уровнем ни в какой из полос g*, El-
s’ г.
Поэтому Хц+2 = В, Ум+2 = Pf+2 И ПО ИНДуКЦИИ Хп = В,
уп = pn+f-ц при р4р + а — t. Аналогично, хт =
Ут = Pm+f-ц при р — —1, что завершает до-
казательство.
6.21. Из 6.2 следует, что если последовательные гра-
ничные уровни а, р не сцеплены по g, то нет значения р,
О р k, для которого хи = xu+i = g и 2ру^ 2^u+i яв-
ляются последовательными целыми между 2^а и 2?р
включительно.
6.3. Если а, р, у (а < р < у)— последовательные гра-
ничные уровни в любой из полос £*, g или g, g', то либо р
является уровнем в обеих полосах, либо р сцеплен по g
или с а, или с у.
Действительно, если р и не является уровнем в обеих
полосах и если у^ = = р и один из хц, хц+1 есть g,
то возможны два случая:
(а) хи+1 = £, тогда хи+2 = ^+1;
(Ь) xil = g, тогда хи_! = хи.
В случае (а) либо у^+2 = Р', либо у^+2 = Р*; если
выполняется первое, то р сцеплен по § с у, а если
426
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
выполняется второе, то 0 сцеплен с а в силу 6.2. Анало-
гично получается требуемый результат и в случае (Ь).
Заметим, что если у — наибольший граничный уровень
в какой-либо из полос и если у является уровнем только
в одной из этих двух полос и в другой полосе нет боль-
шего граничного уровня, то предшествующие рассмот-
рения показывают, что у необходимо сцеплен с 0 по £.
Если у является уровнем в обеих полосах, то по опре-
делению у сцеплен по £.
6.4. Мы считаем очевидными соответствующие 6—6.3
определения и теоремы о сцепленных уровнях в горизон-
тальных полосах.
6.5. Если (g*, g>(tj, г/) и (£,£') (тъп') —внутренние
рх-клетки простого замкнутого контура (хг,уг), 04г4
то § не является граничным уровнем в полосе т], т)'
Имеется нечетное число уровней в полосе §*, ко-
торые не меньше чем r|z, и нечетное число — в полосе
g, Поэтому имеется четное число уровней, которые
лежат в одной или другой из этих двух полос и которые
не меньше чем т/ (считая дважды значение уг, которое
является уровнем в обеих полосах). Пусть эти уровни
в порядке убывания величин суть Лг, 1 (где для
некоторых значений г hr может равняться /ir+i). В си-
лу 6.3 hi сцеплен с h2, А3 с /ц и, следовательно, по ин-
дукции h2r-i сцеплен с h2r при 14г<п. Если h2n+i —
первый уровень в какой-либо полосе, который меньше т/
(и поэтому не больше г|), то h2n, будучи специальным
с h2n_\, не сцеплен с h2n+i и, следовательно, в силу 6.21
нет такого ц, 0 ц < А, что = xu+i = g и у^ = т],
уи+1=г|' (или = т], Уц = П')> — это доказывает,
что I не является граничным уровнем в горизонтальной
полосе т|, т]'.
6.51. Если одна из рх-клеток (£*, g)(r], rf),
(g, I') (т], rf) внутренняя, а другая внешняя, то g — гра-
ничный уровень в полосе г), rf и обратно.
Доказательство аналогично 6.5.
7. Теорема 7. В простой замкнутой кривой (хг, уг),
внутренние рх-клетки являются внутренними
ру-клетками и наоборот.
Пусть граничные уровни в полосе т|, if суть |s,
1 < s < 2ц, где |s+i > Is, 1 < s < 2ц — 1.
КОНСТРУКТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
427
Если а меньше, чем xr, 0^r^.k, то в силу 6.51 в
прямоугольнике (о, л') нет внутренних рх-клеток;
следовательно, в силу 6.51 все внутренние рх-клетки,
которые лежат в полосе rj, rf, лежат в прямоугольниках
(Ьг-ь ВггХтъ Л') и поэтому являются и ру-клетками. Ана-
логично, внутренние руклетки являются и /^-клет-
ками.
В свете теоремы 7 теперь мы опускаем индекс и го-
ворим о внутренних рх- или руклетках как о внутрен-
них р-клетках, а о тех клетках сетки FPt которые не
являются внутренними р-клетками, как о внешних
р-клетках.
8. Для любого s, O^s^k—1 простые кривые
(хг, у г) у s<r-<s+l, соединяющие точки (xs, ys).
(Xs+bf/s+i), называются граничными линиями простой
замкнутой кривой (хг, уг), О -С г k\ для любого кон-
кретного значения г между 0 и k включительно точка
(хг, уг) называется граничной p-точкой или вершиной
этой простой замкнутой кривой.
9. Пусть 2?аг, 0 г ц, — целые от 2? а до 2рЬ
включительно, a 2^vr, O^r^v,— целые от 2рс до 2pd
включительно; тогда, если
xr = ат,
xr = bt
*r ^2p,+v-r>
хт = а,
Ут = с>
Уг = Yr-ц,»
yr = d,
У г = ?2ц,+2у-г>
0<г <ц,
+ V,
H + v^r^2p + v,
2ц + v О (ц -h v),
и
Xr X'2H+2v-r’ “ ^2]i+2v-r’ 0^f^2(p + v),
то простая замкнутая кривая (х*, р*), 0^г^2(ц + у)
(или эквивалентная р-кривая), называется p-путем во-
вокруг прямоугольника {a, b){c, d) по часовой стрелке,
а (хг, Ут) у 0^r^2(p + v) называется p-путем против
часовой стрелки.
Стороны p-пути вокруг р-клетки называются сторо-
нами р-клетки. Внутренняя клетка простой замкнутой
кривой, которая имеет сторону, общую с этой кривой,
называется внутренней граничной клеткой.
428
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
9.1. Для любого узла (£, л) сетки Fp мы определяем
xsr = l, г = 0, 3, 4,
х* = £', г = 1, 2,
^0=^1= УЬ У2 = Уз>
l<s<4,
Z/o = 1b 5=1,2, ys2=4t\', s = l,
Уо = П', 5 = 3, У| = Л> s = 3, 4,
^ = Л*> 5 = 4, ys2 = vt, 5 = 2.
Легко проверяется, что простые замкнутые р-кривые
(х*, yf), 0-044, являются путями по часовой стрелке
при s = 2, 3 и путями против часовой стрелки при
$ = 1, 4. В кривых, получаемых при s = 1, 2, точка (£, л)
предшествует точке (£', л), а в кривых, получаемых при
s = 3, 4, точка (£', л) предшествует (g, л).
Таким образом, среди этих четырех кривых имеется
одна, идущая по часовой стрелке, и одна, идущая про-
тив часовой стрелки, в которых точка (£, л) предшест-
вует точке (£', л); одна кривая, идущая по часовой
стрелке, и одна, идущая против часовой стрелки, в ко-
торой точка (£', л) предшествует точке (§, rj).
9.11. Пусть л— граничный уровень в полосе g
простой замкнутой кривой Г; тогда из четырех кривых
(xsr, У% 0 044, или те, у которых s = 1, 3, или те,
у которых s = 2, 4, являются путями вокруг внутренней
граничной клетки с вершинами (£, л), (£', л)- Во всяком
случае имеется только одна кривая, в которой порядок
точек (£, т|), (£', л) тот же, что в Г Аналогично, имеется
лишь один путь вокруг внутренней граничной клетки
с вершинами (£, л), (£', л), в котором порядок этих то-
чек тот же, что и в Г Таким образом, с каждой гранич-
ной линией Г мы связали единственный путь вокруг
внутренней граничной клетки, и об этом пути говорят,
что он описывается в том же направлении, что и Г. Мы
покажем, что все пути, описанные вокруг внутренних
граничных клеток Г и описанные в том же направлении,
что и Г, являются либо направленными по часовой
КОНСТРУКТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ плоских КРИВЫХ
429
стрелке либо против часовой стрелки. В первом случае
говорят, что кривая Г направлена по часовой стрелке,
во втором — против часовой стрелки.
9.12. Пусть путь вокруг внутренней граничной клетки
из Г с вершинами (g, л), (£'> л) есть кривая (х/, z/’),
0^г^4, направленная против часовой стрелки, и рас-
смотрим точку из Г, следующую за точками (g, л),
(Г, л)-
Если этой следующей точкой является (g", л), то V
не есть граничный уровень в полосе л» Л7> и поэтому
£")(л» Л7) представляет собой внутреннюю гранич-
ную клетку; таким образом, путь, связанный со сторо-
ной Г, соединяющей точки (£', л)> (£/z, л)»— это идущая
против часовой стрелки кривая
(Г, л), (Г, л), (Г, л7), (Г, л7), (Г, л)
(т. е. кривая (х^, г/’), 0^г^4, в которой g заменено
на g' и поэтому g' заменено на g").
Если такой следующей точкой является (£', лЭ» то
g'— граничный уровень в полосе л» Л?> и поэтому
(g, g')^> Л7) представляет собой внутреннюю клетку, свя-
занную со стороной Г, соединяющей точки (g', л), (^»Л7)»
и путь, связанный с этой стороной — это идущая против
часовой стрелки кривая (xj, г/*), 0^г^4.
Если рассматриваемой следующей точкой является
(g', л*), то <g, gz)(л*» л)—внешняя клетка и поэтому
(g', g") (л*> л) представляет собой внутреннюю клетку,
связанную со стороной, соединяющей точки (g\ л)»
(g\ Л*)» а путь, связанный с этой стороной, есть иду-
щая против часовой стрелки кривая (х4г, 0^г^4,
в которой g' заменено на g и g"— на g'
Подобный же анализ можно применить для рассмот-
рения точек, следующих за (g, л)» (£, Л7)- Таким обра-
зом, если путь вокруг одной внутренней граничной клет-
ки, описанный в том же направлении, что и кривая Г,
идет против часовой стрелки, то то же верно и для
пути, описанного в том же направлении, что и Г, вокруг
всякой другой внутренней граничной клетки. А если тот
путь идет по часовой стрелке, то и все остальные также.
430
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
10. Если Гр+1 — замкнутая кривая на сетке Fp+i, ко-
торая эквивалентна кривой Гр на сетке Fp, то внутрен-
ние (р + 1)-клетки Гр+1 являются (р + 1) -клетками
внутренних р-клеток Гр. В самом деле, если у? — гра-
ничный уровень в полосе хрг, х£+1, то ур+х = у? — гранич-
ный уровень в каждой из полос xfr+1, х^; х^Д2.
Аналогично для граничных уровней в горизонтальных
полосах.
11. Пусть Г и у— простые замкнутые кривые на
сетке Fp. Если все внутренние клетки у являются и
внутренними клетками Г, а все внутренние клетки Г,
имеющие вершины на Г, являются внешними для у, то
говорят, что у полностью содержится в Г.
Говорят, что у и Г являются полностью внешними
одна к другой, если никакая внутренняя клетка одной
не является внутренней клеткой другой и никакая гра-
ничная p-точка одной не является граничной р-точкой
Другой.
11.1. Если у полностью содержится в Г, то все клет-
ки, внешние к у, с вершиной на у являются внутрен-
ними для Г
Пусть (g, Y) — клетка, внешняя к у, а (£, т]) —
граничная p-точка у. Если £ — граничный уровень у в
полосе т), rf, то клетка (£*,£) (rj, rf) является внутрен-
ней клеткой у и также Г; поэтому ни (£, т]), ни (|, т/)
не являются граничными точками Г и, следовательно,
g не является граничным уровнем Г в 1], т)' Поэтому
клетка (g, т/) — внутренняя для Г. Аналогичный
результат имеет место, если т] — граничный уровень у
в полосе
Если | не является граничным уровнем у в Л» л'»
а г] не является граничным уровнем в g, то клетка
—внешняя к у; поскольку (£, т]) необходимо
содержится между и (В, т]*) в Y» то клетка
(£*, г|)—внутренняя к у, а, следовательно, и к Г.
Поэтому (|, т]) не является граничной точкой Г и, сле-
довательно, g не является граничным уровнем Г в по-
лосе т)*, т), а т] не является граничным уровнем Г в g,
в соответствии с этим и (т)*, тр, и (g, |')(т], т)'}
суть внутренние клетки Г.
КОНСТРУКТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ плоских КРИВЫХ
431
11.2. Если Yi, Y2» Уз — простые замкнутые кривые и
если yi полностью содержится в у2, a уг полностью со-
держится в у3, то yi полностью содержится в
Действительно, внутренние клетки yi являются внут-
ренними клетками у2, а внутренние клетки у2 являются
внутренними клетками уз, так что внутренние клетки yi
являются внутренними и для уз- Кроме того, всякая клет-
ка, которая имеет вершину на уз, является внешней для
У2 и поэтому внешней для уь
11.3. Вершина внутренней р-клетки простой замкну-
той кривой, которая не является также вершиной самой
кривой, называется внутренней p-точкой этой кривой.
Вершина внешней р-клетки, которая не является верши-
ной самой кривой, называется внешней р-точкой.
Если L — внутренняя, а М — внешняя p-точка про-
стой замкнутой кривой у, то любая простая р-кривая,
соединяющая L с А4, имеет вершину, общую с у.
Пусть k — простая р-кривая от L до М. Имеются гра-
ничные p-точки k, внешние к у (например, А4); пусть
(ar+1, br+i) —первая точка k, которая не является внут-
ренней p-точкой, так что (аг, Ьт) — внутренняя р-точка.
По крайней мере одна из двух клеток с вершинами
(ar, br), (ar+\, Ьг+\) является внутренней р-клеткой и,
следовательно, (ar+i, br+i) — граничная p-точка у.
12. Пусть Г — простая замкнутая кривая yty,
O^r^k, на сетке Fp, а у — простая замкнутая р-кривая
(a?, bfy такая, что каждая точка (а£, bty,
является внутренней точкой Г. Тогда у пол-
ностью содержится в Г.
Пусть Ь? — граничный уровень у в полосе (а?, я£+1)
с ftp = мы можем без потери общности предпола-
гать, что дР+1>аР. Поскольку (flp, Ь§ и 6?+1) —
внутренние точки Г, то Ь? содержится между последова-
тельными граничными уровнями Г в полосе (а?, а%_^
скажем rji, т)2, где гц < т]2, и пусть
хр = аР, хр+1 = аР+1> ха = аР+„ ха+1 = аР,
*/р = П1» f/p+l = rll> |/а = П2. Уа+1 = П?-
432
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Обозначим через 2p+1er, целые от 2^r|i до 2рг|2,
а через D — простую замкнутую (р+1)-кривую (Хг, Уг),
где
= гг = ^р+р 0<г<2(о-р),
Xr = x2p+v ^ = е2(.,_р)+л_г> 2(а-р)+1<г<2(а-р) + А,
И
<+1 = *р, Ч+Л=4(*,р + *?+1)’
Ур2г+ ' = УР> УР2^ = 4 (УГ + Уг +1)
(так что (xf+I, Уг+[), 0^r^2fe, эквивалентна Г).
Далее, пусть L — простая (р+1)-кривая ftP+I)>
2 (v + 1) г 2 (v + Z), соединяющая точки (a?, bty,
(а?+р ^v+i)» где (а?+1’ 0^г^2Л, эквивалентны
(др, ftp), и как «р+1, так и ftp*1 периодичны
с периодом 2Z.
Единственным граничным уровнем D между «р и др+1
в любой из полос er, er+\, 1, является Хо,
и, следовательно, одна из точек (др, ftp), (a£+l, ft£+1)
внутренняя для £), а другая внешняя к £). Отсюда
в силу 11.3 L и D имеют общую граничную (р +1)-
точку. Можно показать, что Г и у не имеют общих то-
чек, и поэтому общие точки L и D суть (Хо, ег) для не-
которых значений г. Пусть общими точками являются
(ар+!( bp+iy r = 2(v+l) + rm, где гт+1>гти
rn<2L Сравнение (др+’, +1) и (др, &р) показывает,
что при r = 2(v+l) + rm, bp+l является гра-
ничным уровнем у в полосе др, др+1 и граничным уров-
нем L в каждой из полос д^+1, др*^ и a^+i’ a2v+2-
Следовательно, при г = 2 (v + 1) + гт + (— l)m, 1 С т < п,
точки (др+1, &Р+1) лежат на той же стороне D, что и д^+11
а те точки, для которых г = 2(у + 1) + гт — (— 1)т,
лежат на той же стороне, что и дР; но
2 (v + 1) + гп — наибольшее значение г (меньшее 2 (v +1)),
для которого (д₽+1, Ь{!+г) является общей точкой L и D,
КОНСТРУКТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
433
и поэтому Н-(— 1)л < — (—1)\ что доказывает не-
четность п.
Поскольку само bv также является граничным уров-
нем у в полосе а?, а£+1, то, следовательно, имеется
четное число граничных уровней у в полосе а?, а?+1,
которые лежат между тн и т]2 — последовательными гра-
ничными уровнями Г.
Таким образом, между любыми двумя последова-
тельными уровнями Г в полосе g, g' лежит четное число
граничных уровней у (и никакой граничный уровень у
не лежит вне Г, поскольку вершины у являются внутрен-
ними точками Г), так что если fr, 1 г 2г,— гранич-
ные уровни Г в g, g' (в порядке возрастающих величин),
то внутренние клетки у в этой полосе лежат между f2r-i
и f2r, 1-Сг<С*, и поэтому все являются внутренними
клетками Г, а граничные клетки Г являются внешними
клетками у. Таким образом, у полностью содержится
внутри Г.
13. р-кривая относительно непрерывной функции.
13.1. Рациональная рекурсивная функция (см. [1]*))
f(n, х) сходится по п и непрерывна по х относительно п
(см. [1], стр. 174* **)) в интервале (а, 6), если имеются
рекурсивные функции N(k,x), ak[r), ₽(&), г) и
C(x,y,k) такие, что для всех положительных целых k,
для всех целых и, не меньших N (k, х), и для всех ра-
циональных х из (а, Ь} имеет место
|f(n, х) — f(N(k, х),х) |< 1/2\
а при 0 г р(6) выполняется
И(«. — ah(r)
l/2ft
для всех х, удовлетворяющих ah (г) << х ah(r + 1) и
n > С(х, aft(r), 6), где aft(0) = a, ah($(k) + 1) = 6,
ah(r) < ah(r +1), 0 г р(£) и aA+1(r) = г)).
♦) Или главу I книги автора «Рекурсивный анализ», перевод
которой помещен в настоящем сборнике. — Прим. ред.
**) Или стр. 310 настоящего сборника. — Прим, ред.
434
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
13.2. Пусть f(n, х) сходится по и и непрерывна отно-
сительно п в (а, by тогда каждая из разностей
| f (п, а*+2 (г)) - f (N (k + 2, а*+2 (г)), а*+2 (г)) |,
If (я, ак+2 (г + 1)) - f (N (k + 2, ак+2 (г + 1)), ак+2 (г +1)) |,
If (и, aft+2(r + 1)) — f (я, а*+2(г))|
меньше, чем l/2ft+2, откуда
|f(W(£ + 2, aft+2(r+ l)),aft+2(r+ 1)) —
— f(N(k +2, ah+2 (г)), ah+2 (г)) | < 3/2ft+2
и, следовательно, если
fk (г) = [2*f (N (k + 2, ah+2 (r)), ал+2 (г)) ]/2л
(где [х] обозначает наибольшее целое, не превосходя-
щее х, если х неотрицателен, [х] = — [—х], если х от-
рицателен), то
|fft(r+l)-fk(r) |< 1/2*
и, следовательно, целые 2hfk(r) равны или являются по-
следовательными для последовательных значений г.
fk(r) называется канвой функции f(n, х); канва зависит,
конечно, от разбиения ah(r).
13.3. Пусть f(n, х) и g(n, х) обе сходятся по п и не-
прерывны относительно п в (а, Ь}. Комбинируя разбие-
ния (а, Ь), связанные соответственно с f(n,x) и g(n, х),
мы можем образовать канву каждой из этих функций —
fft(r) и gk(i')—на общем разбиении, скажем, ah(r),
0<r<p(fc)+ 1.
Пусть
0(О) = О, 0(r+l) = 2^{fp(r + l)-fp(r)J,
ф(0) = 0, <p(r+l) = 2qgrp(r + l)-^(r)},
так что ©(г) и ф(г) принимают лишь значения 0, ±1.
Далее, пусть г0 = 0 и пусть rn+i — наименьшее целое,
большее чем гп и такое, что |0(гп+1) | + |ф(гп+1) | > О,
если такое число существует; в противном случае
rn+i = rn. Пусть цр — наибольшее положительное целое
такое, что |Ыр^р(р)+ 1 и Гцр>Гц —1, если такое су-
КОНСТРУКТИВИСТСКАЯ ТЕОРИЯ плоских КРИВЫХ
435
ществует; в противном случае == 0. Отсюда, если
С(0 = Цгг) и ёр(1) = ёр(г1У 0<»<Ир> и
0* (0) = 0, ©•(/+!) = 2Р (f; (I + 1) - fp (i)},
Ф*(0) = о, ф’(» +1) = 2₽ {§; (4 +1) - (/)},
то 0*(i), <Р*(0 принимают только значения 0, ±1 и не-
обращаются одновременно в нуль при i > 0.
Далее, пусть 4- 1, k2 + 1, , kv + 1 —значения i
(если такие есть) в возрастающем порядке величин, для
которых |0* (0ф*(0 | > 0; тогда мы определяем
fP(kr + r) = fP (fer + 1), f (/) = f₽ (/ - s),
gp {kr + r) = 8'P (M> 8P (/) = g*p (i ~ s),
I r ,
^4+s +1 4*5,
1 «С s 1,
и
fp(/)=f;(/)> gp(/)=g;(/)>
fp (/) = fp (/ - v), gp (/) = g'p (j - v), kv 4- v 4-1 < j <|ip 4- v.
Если 0* (i)ф* (i) = 0 для всех t, 0 |ip, то мы огь
ределяем
= gpV) = g'p(t),
В любом случае
2P{! fp {i 4-1) _ f p (i)| 4- | gP {i 4-1) _ gp (i) 1} = 1
и поэтому
(.fp(r),gp(r)), 0<.r^nP+v
(где v — число значений i, для которых |0*(О<₽*(О 1>0),
является плоской р-кривой, которую мы будем назы-
вать р-кривой, сопоставленной паре f(n,x), g(n,x).
Таким образом, пара функций f(n, х), g(n, х), каж-
дая из которых сходится по и и непрерывна по х отно-
сительно и, определяет последовательность кривых —
р-кривых, сопоставленных этой паре, для всех положи-
тельных целых значений р.
14. Если f(r)—канва функции f(n, х) на разбиении
а(г), + 1, то S If (г + l)~f (г)| называется от-
г=0
носительной вариацией f(n,x) на разбиении а (г)..
439
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
14.1. Если V1, V2 — относительные вариации f(n, х)
на разбиениях ai(r), О С г С Pi+ 1; а2(г), О -С г 4^ 02+ 1,
и если имеется положительная целая функция vp такая,
что при k > 1
| V1 — V2| < \lk
для любых разбиений ai(r), а2(г), удовлетворяющих
max {(ai(r+l)-ai(r)), (а2(«+ 0 ~а2 («)))< l/v*.
ос
то (в предвидении следующей теоремы) говорят, что
f(n, х) является функцией с вариацией, сходящейся от-
носительно п.
14.2. Если f(n,x)— функция с вариацией, сходя-
щейся относительно п, и если Vp — ее относительная ва-
риация на разбиении а?(г), ₽(р)+ 1, такая, что
шах (ар (г 4-1) — ар (г)} -> 0, то Vp сходится.
Действительно, мы можем определить ph так, что
max {ар (г + 1) — ар (r)}< l/vk при p^pki и, сле-
0<г<(3 (Р)
довательно, если q — произвольное положительное число,
то в силу 14.1
I ^p+g I < 1/^,
что доказывает сходимость Vp.
14.3. Если f(n, х), g(n, х) имеют вариацию, сходя-
щуюся относительно п, то говорят, что последователь-
ность р-кривых, сопоставленных этой паре функций, яв-
ляется спрямляемой.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Гудстейн (R. L. Goodstein), Recursive function theory,
Acta Math. 92 (1954), 171—190.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
ФОРМАЛИЗАЦИЯ РЕКУРСИВНОЙ
АРИФМЕТИКИ*)
X, Б. Карри
I. Введение
Термин «рекурсивная арифметика» в том смысле, в
каком он употребляется здесь, означает развитие неко-
торой части теории натуральных чисел путем постулиро-
вания элементарных логических операций со свобод-
ными переменными и равенством, функции следования
п + 1 и возможности применять «примитивно рекурсив-
ные определения» вида
ф (*^1» > 0) = Ф (*^1» • > %п) ,
ф(*Ь ,*п, У + 1) = х(хь .. ,хп, у, ф(хь ,хп, */)),
где ф и % — функции указанных переменных, которые
уже были определены. Такое рассмотрение арифметики
было начато Сколемом !), хотя основные идеи были уже
у Дедекинда и Пеано; а значительная часть ее развита
в седьмой главе первого тома книги Гильберта и Бер-
найса* 2). Огромным стимулом для идей рекурсивной
арифметики явилось использование их Гёделем в его
теореме о неполноте, 1931 г.; с тех пор они сыграли важ-
ную роль в метатеоретических исследованиях.
Некоторые из этих метатеоретических приложений
рекурсивной арифметики предполагали возможность
формализовать ее, т. е. построить полностью абстрактную
систему, определенную некоторым множеством исход-
ных термов, операций, аксиом и правил, интерпретацией
*) Перевод статьи: Н. В. Curry, A formalization of recursive
arithmetic, Amer. J. Math. 63 (1941), 263—282. Представлено Амери-
канскому Математическому обществу 26 апреля 1940 г.
9 «Begriindung der elementaren Arithmetik durch die rekurrie-
rende Denkweise ohne Anwendung scheinbarer Variablen mit unend-
lichen Ausdehnungsbereich», Videnskapsselskapet Skrifter, 1923.
2) D. Hilbert und P. В e r n a у s, Grundlagen der Mathematik,
vol. I, Berlin, 1934.
438
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
которой является описанная выше интуитивная рекур-
сивная арифметика1). В предпринятом недавно ана-
лизе теоремы Клини — Россера о непротиворечивости я
обнаружил, что мне нужна такая формулировка, и по-
этому я построил такую систему как часть работы на
эту тему2). Эта формализация отличается от формали-
зации Сколема и Гильберта — Бернайса тем, что она
строится не на основе логического исчисления, а яв-
ляется полностью независимой логической системой3).
Рекурсивная арифметика на такой основе не развивается
детально в той статье: это основная задача настоящей
работы. Цель состоит в том, чтобы показать адекват-
ность этой формулировки рекурсивной арифметики: ко-
нечный результат — это доказательство того, что рас-
сматриваемая система эквивалентна системе Гильберта
и Бернайса.
Основные этапы в предлагаемом рассмотрении
можно предварительно описать следующим образом.
В § 2 находится формулировка системы: здесь она при-
ведена подробно, так что настоящая статья не зависит от
предшествующей. После рассмотрения некоторых фун-
даментальных теорем в § 3 более простые свойства не-
которых арифметических функций приведены в § 4.
В § 5 показано, как в нашу систему погружается про-
позициональное исчисление. После этого и до конца
статья нацелена на доказательство того, что формализм
Гильберта — Бернайса можно включить в настоящую
схему. Это занимает в §§ 7 и 8, а в общем плане обсуж-
’) Обсуждение природы формальной системы см. в § 2 статьи,
цитированной в следующей сноске, или в моем выступлении в Нью-
Йорке «Некоторые аспекты проблемы математической строгости»
(Н. В. С и г г у, Some aspects of the problem of mathematical rigor,.
Bull. Amer. Math. Soc. 47 (1941), 221—241.—Прим, nepee.).
Система, приведенная ниже, сложна не только потому, что в
ней бесконечно много исходных символов, но и потому, что в ней
имеется правило (см. 2.74) не элементарного характера. Это инте-
ресный пример такой неэлементарной системы.
2) The paradox of Kleene and Rosser, Trans. Amer. Math. Soc. 50
(1941), 454—516.
3) Таким образом, она является дальнейшим шагом по сравне-
нию с работой Сколема, который показал, что рекурсивную ариф-
метику можно формализовать без кванторов.
ФОРМАЛИЗАЦИЯ РЕКУРСИВНОЙ АРИФМЕТИКИ
439
дается в начале § 7; § 6 состоит только из лемм.
Имеются две основные трудности: вывод схемы равен-
ства J2 в 7.4 и теорема 8.7. Ключом для решения их
обеих служит теорема о двойной индукции 7.2.
При ссылках на различные части этой статьи исполь-
зуются обозначения арабскими цифрами; число перед
точкой является номером параграфа. Если делается
ссылка на несколько подразделений одного параграфа,
то номер последнего не повторяется; так, 4.11.34.15 озна-
чает ссылку на 4.11, 4.34, 4.15 в указанном порядке.
Ссылки на различные параграфы отделяются запятыми.
2. Формулировка основной конструкции.
2.1. Предварительные объяснения,
2.11. Система рекурсивной арифметики, формулируе-
мая здесь, будет называться системой Я.
2.12. Теоремы системы Я будут включать в себя не
только числа и числовые переменные, но и функции лю-
бого числа аргументов. Соответственно мы рассмотрим
бесконечную последовательность типов термов 60,
62, Здесь 60 включает в себя числа, числовые пере-
менные и выражения, которые можно подставлять вме-
сто них; мы будем ссылаться на них просто как на (ре-
курсивные) выражения. С другой стороны, термы из
при п > 0 представляют (рекурсивные) функции п аргу-
ментов.
2.13. Желательно также подразделить термы из 60 в
соответствии с теми переменными, от которых они зави-
сят (или задуманы как зависящие). Так, если I —- про-
извольное множество переменных, то 60(3F) — класс вы-
ражений, все переменные которых принадлежат 3F.
В этой связи пустое множество переменных обозначается
через «©», а множество всех переменных — через®, так
что термы из 6о(©)—это постоянные выражения,
а @о08) —это то же самое, что и @0- Мы будем также
подразумевать, что @о(*ь . ,хп) означает то же самое,
что и @о({*ь ,хп})> где {%1, , хп} — множество, со-
стоящее из , хп.
2.14. Соглашения относительно использования букв
следующие:
440
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
2.141. Арабские цифры используются как индексы, а
в интуитивных обсуждениях — в их обычном смысле.
«0» и «1» используются также для обозначения специфи-
ческих выражений (чисел); из них 0 — исходный знак,
тогда как 1 определяется в терминах 0 и функции сле-
дования обычным образом (см. 4.0).
2.142. Строчные латинские буквы с индексами или
без них используются следующим образом:
«/», «т», «п» — для обозначения неспецифицирован-
ных (unspecified) цифр в интуитивных обсуждениях
и в качестве индексов, так же как в обычной матема-
тике;
«^1», «и2», —для обозначения специфических выра-
жений — числовых переменных, составляющих класс 93;
«а», «6», «с», «d», «х», «у», «2» — для обозначения
неспецифицированных переменных (т. е. членов 93).
2.143. Строчные греческие буквы используются для
функций. Буквы «ф», «ф», «х» обозначают неспецифици-
рованные функции; другие обозначают специфические
функции и поэтому имеют фиксированное значение на
протяжении всей статьи.
2.144. Строчные готические буквы используются для
неспецифицированных выражений. Они могут быть снаб-
жены аргументами для того, чтобы показать их зависи-
мость от определенных переменных, как это объяснено в
начале § 3.
2.145. Прописные латинские буквы используются для
операций. Они предшествуют своим аргументам; по-
скольку их вид фиксирован, скобки не нужны (как в
польской системе логических обозначений).
2.146. Прописные готические буквы используются для
специальных целей следующим образом:
«Я» — как в 2.11;
«6:», «О», «93» — для классов термов, как в 2.12.13;
«ЗЕ», «^)» — для неспецифицированных классов пере-
менных;
«Я», «8», «б» — для неспецифицированных термов
пропозиционального исчисления в 5.3.
2.15. Различные дополнительные соглашения относи-
тельно использования символов. (Заметим, что символы
ФОРМАЛИЗАЦИЯ РЕКУРСИВНОЙ АРИФМЕТИКИ
441
из 2.151 —2.155 являются неформальными, т. е. они слу-
жат сокращениями для выражений обычного языкя.)
2.151. «^=» обозначает тождество по определению.
2.152. «&» используется как конъюнкция «и» между
предложениями, а также как связка в исчислении вы-
сказываний.
2.153. «—►» используется как импликативная связь
между предложениями. В этой статье она используется
лишь там, где переход от антецедента к консеквенту со-
вершается только по правилам 2.71—2.731).
2.154. «^» аналогично используется в качестве эк-
вивалентности.
2.155. «е» и «^» используются в их обычном теоре-
тико-множественном значении — «е» — для принадлеж-
ности классу, «^» — для включения.
2.156. Ниже в формулировках части текста в скоб-
ках касаются интерпретации Я; они не относятся к аб-
страктной формулировке.
2.157. Чтобы устранить излишние скобки, символы
операций и подобные им классифицируются по старшин-
ству так: символы любой строки старше (т. е. связы-
вают сильнее), чем символы в строке ниже ее2).
&,
V, А,
+ , □,
2
(умножение)
9 «->» используется также в §§ 5 и 7 в качестве импликатив-
ной связки исчисления высказываний. Это делается для того, чтобы
обозначения были такими же, как у Гильберта — Аккермана.
2) Ср. мою статью об использовании точек в качестве скобок в
Journal of Symbolic Logic 2 (1937), 26—28. Точечные обозначения
не используются здесь из-за возможного смешения с умножением.
442
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Что касается символов, находящихся в одной и той
же строке этой классификации, то их следует распола-
гать слева направо, так что
а + Ь + с = (а -Е Ь) + с.
2.2. Исходные термы. Их имеется бесконечное мно-
жество (об использовании скобок см. 2.156):
2.21. (Числовая константа): 0.
2.22. Бесконечная последовательность 53 числовых
переменных: v2, . По поводу обозначения кон-
кретных членов S3 см. 2.142.
2.23. (Функция) о. (Это функция следования, перево-
дящая любое выражение а в а + 1.)
2.24. (Функция) £. (Это функция, имеющая 0 своим
постоянным значением; ср. 2.62.)
2.25. Множество (функций) knm, где n= 1, 2, 3,
и m = 1, 2, n( knm выбирает m-й аргумент из после-
довательности п аргументов; ср. 2.63).
2.3. Операции. Они также образуют бесконечное мно-
жество, разбитое на три типа так, как в 2.31—2.33.
2.31. Для любого п > 0 имеется (п + 1)-арная опе-
рация Ап. (Она представляет собой применение п-арной
функции к п аргументам.) В соответствии с традициями
мы полагаем
<р(«ь <*2, &п) = •••<*«,
где и а2, ..., <*п
2.32. Для каждого пг > 0 и п > 0 имеется (п +" 1)-ар-
ная операция Smn (представляющая подстановку пг
n-арных функций в одну /n-арную; ср. 2.64 ниже).
2.33. Для каждого п>0 — бинарная операция Rn
(представляющая рекурсивное определение (п +1)-ар-
ной функции в терминах п-арной и (п + 2)-арной; ср.
2.65 ниже).
2.4. Правила построения. Теперь мы переходим к
правилам построения выводимых выражений и к клас-
сификации выражений на типы, упомянутым в 2.1.
2.41. Oe6o(J) для любого X.
2.42. Xc=g0(X).
2.43. о е
2.44. £ €=
2.45. knm е ®л (п = 1, 2, ...; пг = 1, 2, ..., п).
ФОРМАЛИЗАЦИЯ РЕКУРСИВНОЙ АРИФМЕТИКИ
443
2.46. Если (ре6„ и аге®0(Х) при /=1, 2, п,
то <р(аь <t„) <= (So (X).
2.47. Если и ф/ е ®„ при 1=1, 2, т, то
*^тпфФ1 • • • Ф/n
2.48. Если ср е= ®„ l), a фе®„+2, то /?„<рф е Sn+1.
2.5. Элементарные высказывания. Единственным ис-
ходным предикатом системы является бинарное отноше-
ние равенства между числовыми выражениями. Элемен-
тарными считаются высказывания, имеющие вид
й = Ь,
где а, Ь е ®0 (®) •
2.6. Аксиомы. При формулировании аксиом у нас
есть две возможности: или мы можем формулировать
специфические аксиомы с правилом подстановки, или
мы можем формулировать схемы аксиом в смысле фон
Неймана. Здесь мы следуем второму пути. Подразуме-
вается, что в, К с — произвольные выражения из @о, а
Ф, ф, % — произвольные функции.
2.61. а = а2).
2.62. £(а) = 0.
2.63. Ьпт (®1, ...» &n) = ат.
2.64. Если фе®т, a Xi> • • •> и, кроме
того, Ф=5тпфХ1 Хш> то
ф(“1> М = Ф (Xi (аь ап), Х-п(аь ап))-
2.65. Если i|)G(S„3), хе®п+2, Ф=Я„Фх> то
ф(«ь ля, 0) = ф(аь а„),
ф(аь а„, а(Ь)) = х(аь а«> Ь, ф(аь а„, Ь)).
2.7. Правила вывода. Как и прежде, а, Ь, с — произ
вольные выражения из Go-
2.71. а = Ь->Ь = а.
2.72. а = Ь&Ь = с->а = с.
*) В случае п=0 под (£0 понимается <£0 (&)•
2) Это излишне, ибо мы имеем &ц(а) = а в силу 2.63, а = (а)
в силу 2.71, а = а в силу 2.72.
3) В случае п = 0 @0 (£)) следует понимать как и в 2.48.
444
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
2.73. Если (рейп и а< = 1\- (/=1, 2, п), то
ф(*ь Ап) = <Р(Ьь Ьп)1).
2.74 (математическая индукция). Если ф,фс?л+1
и ab art^ (£(§)) таковы, что
(i) ф(аь ал, О) = ф(аь ап, 0),
(ii) в предположении, что
(1) ф(Аь х) = ф(аь ал, х),
где х — переменная, не принадлежащая g), с помощью
2.71—2.73 и известных теорем можно получить
(2) ф(йь a(x)) = 4?(ai, а„, а(х))2),
то для любого b 60
ф(аь b) = T|)(ab an, b).
3. Основные теоремы.
3.0. Соглашения. Выражение «а(хь хп)» будет
обозначать произвольное выражение из ^o(J), где I —
переменных, включающее
К) будет обозначать резуль-
Ьп соответственно вместо
некоторое множество
хь , хп. Тогда a (bi,
тат подстановки
1) Это правило, конечно, сильнее, чем необходимо. В действи-
тельности, достаточно сформулировать это правило для следующих
случаев: (а) когда (Ь) когда ф==/?,пф% и только последний
аргумент ф заменяется. (Я не исследовал, можно или нельзя изба-
виться от этого второго требования; во всяком случае, его доста-
точно.) Оставшаяся часть 2.73 может быть затем выведена мето-
дами § 3.
2) Это можно, если угодно, более точно сформулировать так:
равенство (2) является последним в последовательности равенств,
каждое из которых является или равенством (1) или известной тео-
ремой, или выводится из некоторых предыдущих равенств по од-
ному из правил 2.71—2.72.
ФОРМАЛИЗАЦИЯ РЕКУРСИВНОЙ АРИФМЕТИКИ
445
хь ..., хп в а(хь , хп) !). Если аргументы опущены,
то подразумевается, что они суть хь хп.
3.1. Теорема. Если а (%!, ..., хп) е б0(хь хп) и
Ь1( ..., Ь„ е= @0 ($), ТО а (Ьь ... Ь„) е ®0 ($).
Доказательство. Доказательство проводим ин-
туитивной индукцией по конструкции а, имея в виду, что
а должно строиться из 0, хь ..., хп только с помощью
2.46. Мы обозначаем а(Ьь ..., Ьп) посредством а'
Если а = 0, то а' = О и теорема получается в силу
2.41. Если а = Xi, то а' = и теорема следует из по-
сылки. Таким образом, теорема имеет место, если
а—исходный терм.
Предположим теперь, что а = ф(аь ..., ат), где
а а£ — сокращение для at(xb ..., хл), и что тео-
рема выполняется для а£. Тогда в силу 3.0 а' = ф(а', ..., а'),
где а' = аДЬр bj, и теорема получается в силу 2.46.
3.11. Следствие. Если X s s 23, то S0(X)^
s®o(?))-
Доказательство. Если fl е 60 (X), тоа е 60 (хь...
..., хп) для некоторых хь ..., xnei По теореме при
bi^Xj и 2.42 мы имеем ае®0(?)), что и требовалось
доказать,
3.2. Теорема. Если
“U1, х„) = Ь(хь хп),
то для любых сь с„
а(сь сп) = Ь(сь с„).
’) Это понятие подстановки определяется индуктивно; но его
можно, если угодно, определить формально индукцией по построе-
нию а следующим образом:
i) если а^О, то
а(Ь,....5„)s0;
ii) если а = то
а(Ьь bn)^bz;
iii) если а = у, где у не совпадает ни с одним из X/, то
О (t’i> Ья)^^;
iv) если а^ф(а|(х1, х„)....ап (хь хп)), где ф <=
то
а (б)....Ь„) = ф(а1 (6Ь ь„)....am (bj.....Ьп)).
446
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Доказательство. Это можно доказать интуитив-
ной индукцией по длине вывода посылки. Если посыл-
ка— аксиома, то заключение — также аксиома. С дру-
гой стороны, если посылка получается по одному из
правил 2.7 и указанные подстановки допустимы в по-
сылках этого правила, то это же самое правило по-
зволяет вывести заключение из так преобразованных
посылок. Ограничения на посылки этого правила выпол-
няются в силу 3.1.
3.3. Теорема. Если ae6o(xb хп), то суще-
ствует ф такое, что
Доказательство. Как и в 3.1, мы применяем ин-
туитивную индукцию по построению а.
Если а — исходный терм, то это или 0, или некото-
рое В последнем случае ф kni удовлетворяет всем
условиям (2.45.63). В первом случае положим ф=£1п£/гпЬ
Тогда ф£^ (в силу 2.44.45.47); кроме того, также (в
силу 2.64)
Ф U1, “ С (^nl 0^1, ♦ ~
= 0 (в силу 2.62).
Требуемый результат получается отсюда в силу 2.72.
Предположим теперь, что а^ф(аь , ат), где
и «1, > amебо(Х1, , хл), и что теорема
имеет место для й/. Тогда существуют фЬ фте6п
такие, что
(1) фг(*ь xn) = di (i = 1, 2, m).
Пусть
ф = 5тпфф1 фт-
Тогда фЕ®п (2.47). Кроме того, в силу 2.64
ф(хь ..., Хп) = Ф(ф!(хь Хп), фт(Х1, Хп))
(в силу (1), 2.73) = ф(аь ат) =
= а.
Это завершает доказательство по индукции.
3.4. Теорема. Если а(аь ., an)^So(^i> •, лл)
и b (аь ... , ап, х, у) <= (аь ..., ап,х, у), то существует
ФОРМАЛИЗАЦИЯ РЕКУРСИВНОЙ АРИФМЕТИКИ 44?
<р е 6n+i такое, что
q>(a1( а„, 0) = а,
Ф(аь ап, а(х)) = Ь(аь ап, х, ф(аь ап, х)).
Доказательство. В силу 3.3 существуют фуню
ции фе и 7,eS„+2 такие, что
ф(аь ап) = а,
%(аь ап, х, t/) = b(ab ап, х, у).
Следовательно, по 2.65 и 3.2 ф = RntyK удовлетворяет
всем требуемым условиям.
3.5. Теорема (обобщение математической индук-
ции). Если а (х), Ь(х)ей0(х, ylf уп) таковы, что
(О а(О) = Ь(О),
(ii) из допущения а (х) = b (х)
с помощью правил 2.71—2.73 (и известных теорем) сле-
дует, что а (а (х)) = b (а (х)), то а = Ь.
Доказательство. В силу 3.3 эта форма индук-
ции сводится к 2.74.
4. Элементарные арифметические функции.
В этом параграфе приводятся простые свойства сум-
мы, произведения и подобных арифметических функций.
Доказательства по большей части хорошо известны,
поэтому они лишь кратко намечаются.
Здесь, как и в остальной части этой статьи, допусти-
мы теоремы из § 3. Новые функции определяются ра-
венствами, к которым применимы 3.3 или 3.4; в послед-
нем случае переменной, по которой производится рекур-
сия, всегда будет х. На основании 3.2 буквы а, b и т. д.
в следующих теоремах можно понимать как произволь-
ные выражения. В случае некоторых функций вводится
не символ для функции как таковой, а лишь обычное
операциональное представление ее значения; так, сло-
жение определяется согласно 3.4 тем, что дается значе-
ние а + 0 и способ построения а + о(х) из а + х.
В случае, когда не приводится доказательства, оно
проводится с помощью индукции (3.5) по последней в
448
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
алфавитном порядке переменной или соответствующая
теорема следует непосредственно из определений.
4.0. О п р едел ение: 1=о(0).
4.1. Сложение. 4.10. Оп ределение. 4.101. а + 0 = а.
4.102. а + о(х) = о (а + х). 4.11. 0 + а = а + 0 = а.
4.12. 1 +а = а + 1 =о(а). 4.13. а + (Ь + с) = (а + 6) + с.
4.14. а (а) + b = а + о (6) = а (а + Ь). 4.15. а + b = b + а.
4.2. Вычитание. 4.20. Определения. 4.201. 6(0) = 0.
4.202. 6(а(х)) = х. 4.203. a — Q — a.
4.204. а — а(х) = 6 (а — х).
4.21. б(а) = а —1.
4.22. 0 —а = 0.
4.23. а (а) — о(Ь) = а — Ь.
4.24. (а + с) — (Ь + с) = а — Ъ.
4.241. (а + Ь) ~ а = Ь. (4.11.15.24)
4.242. а — а = 0. (6 = 0 в 4.241)
4.243. а — (а + Ь) = 0. (4.11.15.22)
4.244. а + £> = 0#а = 0& & = 0. (4.241.22.15)
4.25. а — (Ь + с) = (а — Ь) — с = (а — с) — Ь.
4.251. (а — Ь) — а = 0. (4.243.25)
4.252. 5(а)^-6 = а — о (6) = 6 (а — Ь). (4.21.25)
4.3. У множение. 4.30. Определения. 4.301. а-0 = 0.
4.302. а • а (х) = а • х + а.
4.31. 0 • а = а • 0 = 0.
4.32. 1 • а = а • 1 = а.
4.33. а (а) • b = а • b + 1.
4.34. а • b = b • а.
4.35. а • (Ь + с) = (а • Ь) + (а • с).
4.36. а • (Ь • с) = (а • Ь) • с.
4.37. а • &(Ь) = (а Ь) — а.
4.38. а • (Ь — с) = а • b — а • с.
4.4. Отрицание. 4.40. Определение: | а | 1 — а.
4.41. |0|= 1; |а(а)| = 0.
4.42. а • | а | = 0.
4.421. (а —6)-|а| = 0. (4.42.38.22)
4.43. |«|.|«| = |а|. 4.44. | а • Ь | = | а | • | b |.
ФОРМАЛИЗАЦИЯ РЕКУРСИВНОЙ АРИФМЕТИКИ
449
4.45. \a-b\-\a\ + \b\~4a\-\b\.
4.451. |а| + ||а||=1. (4.42.45.41)
4.46. П0|| = 0; ||<т(а)||=1. (4.41)
4.47. Л а ||| = | а |. 4.48. а = 6(а) + || а ||. (4.46.41)
4.481. Если |а| = 0, то а = а(6(а)). 4.49. 6(a) — 6(b) = (a — b) — | b |. (4.48.41.12)
4.5. Функция равенства. 4.50. а □ b = (а — Ь) + (6 — а). Определение:
4.51. а □ 0 = а. (4.20.22.10)
4.52. а □ а = 0. (4.242)
4.53. а □ b = b □ а. (4.15)
4.54. (а + с) □ (Ь + с) = а □ Ь. (4.24)
4.541. ст(а) □ ст(6) = а □ 6. (4.12)
4.55. а (Ь □ с) = (а • Ь) □ (а • с). (4.35.38)
5. Исчисление высказываний.
В книге Гильберта и Бернайса 1) показано, что каж-
дая формула, полученная комбинированием равенств со
связками исчисления высказываний, эквивалентна про-
стому равенству вида а = 0. Эта идея используется здесь
для того, чтобы показать, как можно погрузить исчис-
ление высказываний в систему Я. Действительно, допу-
стим, что мы интерпретируем выражение а как высказы-
вание а = 0; или, что приводит к тому же самому, допу-
стим, что мы приписываем истинностное значение «исти-
на», когда а = 0, и «ложь», когда а = а(6(а)). Тогда
связки исчисления высказываний определимы; действи-
тельно, |а|—это отрицание а, а арифметические сумма
и произведение суть соответственно логическое произве-
дение и сумма* *); импликация и эквивалентность опре-
деляются ниже. Мы увидим в этом параграфе, что каж-
дая формула **) исчисления высказываний верна в Я,
1) См. стр. 310 книги, указанной в примечании2) на стр. 437.
Идея восходит к Гёделю, Monatsh. f. Math. u. Phys. 38 (1931), стр. 180.
*) To есть связки «и» и «или». — Прим. ред.
**) Имеются в виду выводимые формулы. — Прим. ред.
450
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
если ее переменные заменены на выражения, а ее связки
интерпретируются указанным образом.
5.0. Определения. 5.01. а b = | а | • Ь.
5.02. а => с: b = (а :□ Ь) + (Ь о а).
5.1. Предварительные теоремы.
5.11. Если а = 0, то а=>Ь = Ь. (4.41.32)
5.12. Если а = 0 и а=эЬ = 0, то Ь = 0. (5.11.01)
5.13. аэ0 = (т(й)оа = 0, (5.01,4.41.31)
5.14. а=1=|а|. (5.01,4.32)
5.15. Если а = Ь, то агэЬ = 0. (5.01, 4.42)
5.16. а=з сг || а || = 0.
Доказательство. (5.01) а гэ|| а || = | а | • || а ||
(4.42) =0. (1)
(5.01) || а || => а = ||| а ||| • а.
(4 AT) = I а I • а.
(4.34.42 ) = 0. (2)
Заключение следует в силу (1), (2), 4.244 и 5.02.
5.2. Проверка аксиом.
5.21. а • а и а = 0. (4.45.43.241.42)
5.22. a id а • b = 0. (4.36.34.42.31)
5.23. а * b id Ъ • а = 0. (4.34, 5.15)
5.24. (a id Ь) => (с • а => с • Ь) = 0.
Доказательство. (5.01) с • а о с • b = | с-а Ь(с-6).
(4.34.36)
(4.45)
(4.36.35.38)
(4.42.31.36)
(4.11)
(4.34.36)
(5.01)
= b • с • | с • а |.
= Ь -с.(|сЦ-|а| — |с]-|«1>-
= Ь-(с-|с| + с | а |—с • | с | • | а |).
= 6 • (0 + с • [ а | -=-0).
= b • с • | а |.
= ( |а | • Ь) • с.
<=(а^>Ь'рс.
Это сводит доказываемую теорему к 5.22.
5.25. а + b zoc:||a|-|6||= 0.
(5.16, 4.44).
ФОРМАЛИЗАЦИЯ РЕКУРСИВНОЙ АРИФМЕТИКИ
451
5.3. Теорема. Пусть £ — формула классического ис-
числения высказываний такая, что £ выводима в этом
исчислении. Допустим, что вместо переменных £ мы
подставляем произвольные выражения системы 9? и ин-
терпретируем связки следующим образом1):
а как | а |,
а V Ь как а • Ь,
а&Ь как а + Ь,
а—>Ь как азэЬ.
Тогда если t—выражение, построенное таким образом
из £, то теоремой системы 91 является равенство
t = 0.
Доказательство. Классическое исчисление вы-
сказываний порождается с помощью правила вывода * *)
из следующих восьми схем:
51->51 V S,
51 V?l,
vs),
21&23->a v^,
a v
VS,
S VS-^(2l->S).
(Первые четыре из этих схем — это аксиомы Гильбер-
та— Аккермана, тогда как последние четыре дают
«определения» конъюнкции и импликации.) Если J —
частный случай любой из первых шести схем, то наша
теорема выполняется в силу 5.2 (и в силу 4.244 в случае
1) Обозначения Д. Гильберта и В. Аккермана, Grundzilge der
theoretischen Logik, Berlin, 1928.
(Русский перевод: Введение в теоретическую логику, ИЛ,
1947. — Прим, перев.)
*) Modus ponens. — Прим, передо
452
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
двух последних); если 2—частный случай одной из по-
следних двух схем, то наша теорема следует в силу
5.01.15. Для завершения индукции по доказательству 2
нам надо лишь показать, что если наша теорема выпол-
няется для Si и $1 —► 22, то она выполняется и для
22; это следует в силу 5.12.
5.4. Специальные случаи. Следующие равенства пере-
числяются для ссылок в дальнейшем:
5.41. (а о b) zd (а + с о Ь + с) = 0. 5.42. а + Ь о а = 0.
5.43. (а =)&)=)((& о с) о (а о с)) == 0. 5.44. а + b Ь = 0.
5.45. (а + Ь о с) о ((а Ь) => (а zd с) ) = 0.
5.46. (а о Ь) =3 (а • с о Ь • с) = 0.
6. Обобщенное суммирование.
Эти теоремы являются леммами для использования
в § 7. Систематическое изучение обобщенных сумм про-
исходило бы несколько иначе.
о
6.0. Определение. 6.01. 2 а (г) = а (0).
2 = 0
6.02. 2 а (z) = 2 а С?) + а (о (х)).
г=0 2=0
6.03. Замечание. Заметим, что z в этих опреде-
лениях— связанная переменная, и ни г, ни a(z) не яв-
ь
ляются составляющей частью выражения 2a(z)- Дей-
2 = 0
ствительно допустим, что а(х)ебо(х, у\, уп) и что
ф— такая функция, что
Ф(Уь Уп, х) = а(х).
X
Тогда 2 а (z) есть <р(г/1, уп, х), где <р определяется
2-0
так:
<p(i/i> уп. o) = Wi, Уп. о),
•••> Уп. <?(*)) = ф(#1> Уп. *) + Ф(*/ь •••• Уп. *(*)).
ФОРМАЛИЗАЦИЯ РЕКУРСИВНОЙ АРИФМЕТИКИ
453
6.1. Теорема. Если а (а) = 0, то
ь
2 а(г) = 0.
2 = 0
Доказательство. Индукцией по Ь,
Замечание. Теорема не совсем тривиальна по
причине, отмеченной в 6.03. Она требует использования
математической индукции; следовательно, ее нельзя ис-
пользовать для установления посылки (ii) из 2.74.
6.2. Теорема. Если а(а) = Ь(а), то
ь ь
2 »(z) = 2 Ь (z).
2 = 0 2=0
Доказательство. Индукция по Ь.
6.3. Теорема. Если а (а) b (а) == 0, то
ь ь
2 “ (z) 2 Ь (z) = 0.
2=0 2=0
Доказательство. Индукция по & и 5.41.
6.4. Теорема.
а+а(&) Ъ а
2 tt(z)= 2 a(z) + 2 ct(z + o(&)).
2=0 2=0 2-0
Доказательство. Индукция по а с использова-
нием 5.44.
6.5. Теорема.
2 d (г) а (а) = 0.
2 = 0
Доказательство. Индукция по а, используя
5.44.
6.6. Теорема.
а+& а
2 “ (z) 2 a (z) = 0.
2=0 2=0
Доказательство. Индукция по & с использова-
нием 5.42.
454
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
7. Теоремы об индукции и равенстве.
Теперь мы приступаем к выполнению программы,
имеющей целью показать, что техника Гильберта — Бер-
найса для рекурсивных функций включается в систе-
му Я. Как объяснено в книге Гильберта и Бернайса
на стр. 307, эта техника состоит из (1) элементарного
исчисления со свободными переменными*), (2) аксиом
равенства /1 и J2**b (3) формулы О'=#0, (4) общего
использования рекурсивных определений, (5) подста-
новки и явных определений и (6) схемы индукции***).
Будет показано, что все это можно включить в Я, если
мы интерпретируем исходные символы системы Гиль-
берта— Бернайса следующим образом:
Г.-Б. Я
а доказано а = 0
а | а |
а V Ь а • Ь
а&Ь а+Ь
а->Ь а zd Ь(г= | а| • Ь)
а=Ь а□Ь
а' а (а)
д(а,Ь) а —Ь
При таком понимании справедливость элементарного
исчисления со свободными переменными была показана
*) Исходными формулами элементарного исчисления со сво-
бодными переменными являются тождественно истинные формулы
исчисления высказываний, а правилами вывода — подстановка вме-
сто предикатных переменных и свободных предметных переменных,
а также схема вывода modus ponens. — Прим. ред.
**) Аксиомы равенства
Jp а = а>
J2: a = b->(A (a) -> A (b)).
— Прим. ped.
***) Схема индукции;
Я(0)
81 (a) -» Я (a')
81(a)
— Прим. ped.
ФОРМАЛИЗАЦИЯ РЕКУРСИВНОЙ АРИФМЕТИКИ
455
в 5.3; справедливость аксиомы равенства Ц — в 4.52;
формула 0'=£0, которая переходит в равенство
|о(0)П0| = 0, следует в силу 4.51.41, тогда как пункты
(4) и (5) из перечисленных выше были установлены в
§ 3. Остается только вывести схему индукции и аксиому
равенства J2- Это сделано ниже соответственно в 7.2 и
7.4. Окончательный результат заключается в 7.6.
7.1. Теорема. Если
(i) й(0)=0,
(ii) а (х) зэ а (сг (х)) = О,
то
а (а) = 0.
Доказательство. В силу (ii) и 5.12 посылка
(ii) из 3.5 выполнена; следовательно, искомая теорема
получается в силу 3.5.
7.2. Теорема. Если
(i) а(а,0) = 0,
(ii) а (0,6) = О,
(iii) а (х, у) => а (ст (х), ст (г/)) = 0,
то
а.(а, Ь) = 0.
а
Доказательство. Пусть b(a,b) = Zj а(z> b).
2 = 0
Тогда (6.01, (ii))
b(0, 6) = 0; (1)
также (6.1, (i))
Ь(ст(а),О) = О. (2)
Снова (6.6)
b (о (а), 6) □ b (а, Ь) = 0,
тогда как (в силу 6.3, (iii))
b (а, 6) о 2 а (ff (г), (6)) = 0.
2 = 0
(5.43) *)
b (сг (а), х) => 2 а (о (г), ст (х)) = 0. (3)
2 = 0
*) Знак автор использует в качестве замены слов «ввиду*,
«на основании» и т. п. — Прим. ред.
456
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
С другой стороны, в силу 6.4.01, 4.12
Ь(ст(а), ст(х)) = а(0, ст(х)) + 2 ®(z + 1, ст(х))
((0, 4.11.12)
= 2 а(ст(г), ст(х)) (4)
£=0
((3), (4))
b (ст (а), х)гэ b(ст (а), ст (х)) = 0. (5)
((2), (5), 7.1)
Ь(ст(а), &) = 0. (6)
((1), (6), 3.5)
Ь(а, 6) = 0.
Отсюда доказываемая теорема следует в силу 6.5, 5.12.
7.3. Теорема. Если ф е @п, то
(aiDZ>i)+. .+ (ann&n)=>q>(ai, ..., ап) □ф(&ь . ,&n)=0.
Доказательство. Индукцией по построению ф.
Если q> исходная, то или 1) ф есть ст, или 2) ф(а) =0,
или 3) ф(аь , ап) = at для некоторого В слу-
чае 1) теорема выполняется в силу 4.541 и 5.15. В слу-
чае 2) заключение импликации есть 0 (4.52) и теорема
выполняется в силу 5.13. В случае 3) заключение совпа-
дает с одной из посылок, и теорема выполняется в си-
лу 5.3.
Допустим, что ф есть 5тпфХ1 -Хт и что теорема вы-
полняется для ф и каждого х<- Пусть J>i, определяют-
ся так:
₽/ = Х<(аь а„); bn).
Тогда, поскольку теорема выполняется для каждого %*,
(а1П61)+ +(ап □ &„)=>р/□ qz = O. (1)
Аналогично, поскольку теорема выполняется для гр,
(р} □ vh) + ... + (р,„ □ q,„) => Ф(Р!. pm) □ ф(дь .... q„,)=0.
(2)
ФОРМАЛИЗАЦИЯ РЕКУРСИВНОЙ АРИФМЕТИКИ
457
Так как в силу определения и 2.64
фОЬ an) = t(Pb I’m)
и
ф(*1, М = Ф(Я1> Ят)>
то теорема следует из (1) и (2) в силу 5.3.
Допустим теперь, что <р bs Япфх и что теорема выпол-
няется для ф и х- Пусть
а (с, d) = 6 + (с □ d) с (с, d),
где
Ь = (а, □ bi) + + (ап □ Ьп)
и
c(c,d) = (p(a|, ап, с) □ф(6ь bn, d).
Тогда (2.65)
с(0, 0)=ф(аь ап)Оф(&1, Ьп).
Следовательно, в силу предположения о ф и 5.3 мы
имеем
в (0, 0)=0. (3)
а (о (х), 0) = b + (ст (х) □ 0) о с (ст (х), 0)
(4.51.10) = ст (Ь + х) :=> с (ст (х), 0)
(5.13) =0. (4)
((3), (4), 3, 5) а (с, 0) = 0. (5)
Снова (4.53) a(0, d) = a(d, 0).
(5) a(0, d) = 0. (6)
Далее, так как теорема выполняется для х> мы имеем
(2.65)
b + (cDd) + с (с, с/)зэс(ст(с), o(d)) = 0. (7)
Из (7) и 5.45, 4.541 мы имеем
a(c, d)z>e(CT(c),o(d)) = 0. (8)
В силу (5), (6), (8) и 7.2 мы имеем теорему для ср, что
завершает доказательство.
458
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
7.4. Теорема (аксиома равенства /2).
аОЬ го а (а) □ а (Ь) = 0.
Доказательство. Пусть у\, уп — все пере-
менные из а(х), отличные от х, и пусть
ф(Уь Уп, х) = а(х).
Тогда в силу 7.3
(У1П{/1)+ -Е(УпПуп) + а(а) □«(&) = 0.
Посылки УгОуг в силу 4.52 и 4.11 можно опустить.
7.5. Теорема. Если а = 0 —► b = 0, то
а □ 6 = 0.
Замечание. Эта теорема показывает эквивалент-
ность формулировки математической индукции в книге
Гильберта и Бернайса и в 2.74.
Доказательство. В силу 2.153 b = 0 следует из
а = 0 только по правилам для равенства. Но эти пра-
вила для равенства можно вывести средствами исчисле-
ния высказываний из 4.52 и 7.4. По дедукционной теоре-
ме для исчисления высказываний мы имеем доказывае-
мую теорему.
7.6. Теорема. Если формулу
а = Ь
можно установить в формализме Гильберта и Бернайса,
то в 31 мы имеем
аПЬ = 0.
Доказательство. См. введение к § 7.
8. Заключительные теоремы.
Для завершения доказательства эквивалентности си-
стемы Я с системой Гильберта и Бернайса необходимо
показать, что отношения
а = b и а□b = 0
эквивалентны в Я. Теоремы, относящиеся к этому вопро-
су, рассматриваются в настоящем параграфе.
формализация рекурсивной арифметики
459
8.1. Теорема. (о(а) — Ь)-(Ь — а) = 0.
Доказательство. Пусть
а (а, Ь) ==(о(а)—Ь) (Ь — а).
Тогда (4.22.31) а(а,0) = 0.
Также (4.0.40.421) а(0,6) = 0.
Наконец, (4.23) а (<т (х), <т (у)) = а (х, у).
Отсюда теорема получается в силу 5.15, 7.2.
8.11. Следствие.
(а — Ь) (Ь а) = 0 (4.23.204.37.34.22).
8.2. Т е о р е м а. |а(а) — — а| = 0.
Доказательство. Пусть
а(а, Ь) = \о(а)— Ь \ \ Ь — а|.
Тогда (4.22.41) а(а,0) = 0.
Кроме того (4.40.42), а (0, b) = || b || • | b | = 0.
Снова (4.23) а (а (х), а (у)) = а (х, у).
Отсюда эта теорема также следует в силу 7.2.
8.3. Теорема. Если асэс:Ь=0, то
Ца|| = ЦЬ||.
Доказательство. Допустим
а сэ cz b = 0.
Тогда (4.244) асэЬ = 0.
(5.01) |а|-Ь = О.
Отсюда, из 5.01.16 и из допустимости эквивалентной
замены в исчислении высказываний мы имеем
|а|-||ЬЦ=О. (1)
Аналогично, из
b zd а = 0
имеем
а.|Ь| = ||а||.|Ь| = О. (2)
460
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Далее в силу 4.451.32
|а| = |а | • (| Ь| + ||Ы|)
(4.35) =1 л | • | Ь |+ | а | • || Ь ||
((1), 4.101) = | а | • | Ь |.
(4.45) II а1| = 11 й|| +1| Ь || —1| ft || • IIЬ ||. (3)
Но в силу 4.451.32
11«Н = 1|а||-(I Ы + 11Ь||)
= 11а II • I Ь |+ || й|| • || b ||
((1), (2), 4.Н) = II а II • IIЬ ||.
Если мы подставим это в (3), то доказываемая теорема
получится в силу 4.241.
8.4. Теорема. |ст(а) — Ь\ =||& — а||.
Доказательство. В силу 8.1 и 5.16
|| <т(а) —& || • (6 — а) = 0.
(5.01.02) |<т(а) — b\=>b—a = Q. (1)
Снова (8.2, 5.01, 4.34)
b — а гэ | о (а) — b | = 0. (2)
((1), (2), 5.02) |а(а) —&|ocz& —а = 0.
(8.3) III о (aW III = 11 6-^ а II.
Требуемый результат получается в силу 4.47.
8.5. Теорема. а(а)—b = (а, —Ь) + \Ь — а\.
Доказательство.
(4.203.12) <т(а) —0 = а(а) = а + 1
(4.203.41) =(а —0) + |0|
(4.22) = (а —0) + |0 —а|. (1)
(4.23) а (а) — а(х) = а — х.
(4.48) = д(а —х) + ||а—х||
(4.252,8 .4) =(а — а(х)) + |а(х) — а |. (2)
(1), (2) дают доказательство по индукции.
8.6. Теорема, а + (b — а) = b + (а — Ь).
ФОРМАЛИЗАЦИЯ РЕКУРСИВНОЙ АРИФМЕТИКИ
461
Доказательство.
(4.22.11 ) а + (0 — а) = а = 0 + а — 0. (1)
Допустим, что а + (х — а) = х + (а — х). (2)
Тогда (8.5) а + (а(х) — а) = а + (х — а) +1 а — х |
((2)) = х + (а — х) +1 а — х |
(4.48) =х + 6(а — х) + ||а—х|| + |а — х|
(4.204.45 1) = х + (а — ст(х))+1
(4.13.15. 12) = ог(х) + (а-^-а(х)).
Теперь искомая'теорема следует по индукции.
8.7. Теорема. Отношения
а = b
аП Ь = 0
эквивалентны.
Доказательство. Первое отношение влечет вто-
рое в силу 4.52. Если второе отношение выполняется, то
(4.244) а — Ь = О&Ь— а = 0, откуда в силу 8.6 полу-
чаем а — Ь.
8.8. Теорема. Если равенство
а = b
имеет место в системе Гильберта — Бернайса, то оно
имеет место и в 91(7.6, 8.7).
Обращение этой теоремы не нуждается в доказатель-
стве, так как процессы в Я допустимы в формализме
Гильберта — Бернайса.
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ НЕКОТОРЫХ
ФОРМАЛИЗАЦИЙ
ПРИМИТИВНО РЕКУРСИВНОЙ
АРИФМЕТИКИ
Ю. С. Шестов
Ниже излагается прямое доказательство равнообъем-
ности формализаций примитивно рекурсивной арифме-
тики, предложенных Карри [1] и Гудстейном [2].
Доказательство состоит из ряда лемм, в которых лока-
лизуются шаги перестройки выводов; для этого вводится
несколько вспомогательных формализаций примитивно
рекурсивной арифметики. Рассматриваемые здесь фор-
мальные системы излагаются на языке, который был
описан Карри [1]. В дальнейшем буквы %, у, z, Xi,
обозначают числовые переменные, буквы а, Ь, с, Ь, аь
обозначают термы и /?, Ri, R2, обозначают равенства.
Если М — терм, равенство или список равенств, то вы-
ражение [Л4]£ будет обозначать результат подстановки
терма а вместо всех вхождений переменной х в М.
Обозначим посредством ® формальную систему, ко-
торая отличается от системы, введенной Гудстейном
[2, гл. 5] лишь немногими техническими деталями:
1) схемы аксиом этой системы суть равенства
1. 6(х) = 0,
2. ........Х[, Xkj^Xt,
3. [Cfh fft](xb x„) = f(fi(xb xn),
.... fk (*i. xn)),
4. •••> xn, O) = f(xb xn),
[/?fg](xb..., Xn, о (x)) = g(xI.Xn, x, [Kfg] (xb .,., x„, x));
2) правила вывода следующие:
[a = b]J
й = ь
a = c TT lbi:w-[cir
b = c 1 a = b
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ НЕКОТОРЫХ ФОРМАЛИЗАЦИЯ
463
Обозначим через ®i формальную систему, у которой
1) схемы аксиом суть схемы равенств 2.62—2.65*)
и 2) правила вывода суть правила Т, Sb2 и следующее
правило:
[а = Ь]?
т/ [bU=[<
U1' [а = Ь]Г
Собственной переменной правила Ui будем называть
переменную х этого правила.
Карри рассматривает формальные системы, содержа-
щие наряду с правилами обычных типов (из объектов
Л1, Ап (посылок), удовлетворяющих условию Р,
выводим объект А (заключение)), также и правила, по-
сылками которых могут служить не только отдельные
объекты, но и целые выводы в рассматриваемой системе.
Примером такого типа может служить следующее пра-
вило:
если (i) Но есть вывод равенства [/?]oi •••, Нп
суть выводы соответственно равенств
Яь и
I (ii) Н есть вывод равенства [7?]*(х) из равенств
. •> Rn, в котором применяются разве
лишь правила Т и Sb2,
то Но, Н{, Нп, Н, [/?]* есть вывод равен-
ства [7?]*.
Обозначим через К формальную систему, которая
получается из формальной системы ®i заменой правила
вывода на правило I.
Обозначим посредством Я формальную систему, ко-
торая получается из формальной системы, предложенной
Карри в [1], вычеркиванием равенства 2.61 из спи-
ска схем аксиом системы (см. сноску2) на стр. 443).
*) Здесь и далее ссылки делаются на соответствующие правила
и теоремы статьи Карри [1]. — Прим, ред.
4Д4 ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Обозначим через S?i формальную систему, которая
получается из системы Л заменой правила 2.74 на сле-
дующее правило:
если (i) Яо есть вывод равенства Яь ...» Нп
суть выводы соответственно равенств
/?1, Rn и
Ij (ii) Н есть вывод равенства [/?]* (х) из равенств
/?1, ..Rn, R, в котором применяются разве
лишь правила 2.71—2.73,
то Яо> Яь ЯЛ, Я, [/?]* есть вывод равен-
ства [/?]„.
Обозначим через $2 формальную систему, которая
получается из системы S заменой правила Ui на сле-
дующее правило:
если (i) Но есть вывод равенства Нъ ..., Нп
суть выводы соответственно равенств
/?ь Rn и
J (ii) Н есть вывод равенства из равенств
Rm • • •» Rn> R> в котором применяются разве
лишь правила Т, Sb2 и Sbb причем пра-
вило Sbi применяется лишь для подста-
новки вместо переменных, не входящих
в выводимое равенство,
то Но, Нъ Hni Н, R есть вывод равен-
ства R.
Всякий вывод в формальной системе § будем назы-
вать ^-выводом. Правило W является производным пра-
вилом вывода в формальной системе если из посылок
правила W в формальной системе можно вывести за-
ключение этого правила.
Лемма 1. Всякое равенство, выводимое в системе
®, выводимо в системе ®ь
Достаточно доказать следующее: во всяком S-выводе
между посылкой и заключением правила Sbi можно
вставить такие равенства, что полученный список ока-
жется Si-выводом. Докажем последнее предложение ин-
дукцией по числу применений правила Sbi в исходном
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ НЕКОТОРЫХ ФОРМАЛИЗАЦИЙ
465
©-выводе. Не нарушая общности, можно считать, что
заключение правила Sbi стоит непосредственно за по-
сылкой этого правила во всех случаях применения пра-
вила Sbj в выводе.
База индукции S-вывод без применения правила Sbi
является также ©i-выводом.
Индукционный переход. Пусть список равенств
/?г-ь Ri, Ri+ъ Rk
является S-выводом, причем Ri есть последнее при-
менение правила Sbi, а именно Ri = [Ri-J*. Применим
индукционное предположение к ©-выводу.
Rli • • • , Ri—1
и полученный Si-вывод обозначим через L. Докажем,
что список
L, [L]*, Ri+b Rk
есть требуемый ©рвывод. Для этого достаточно дока-
зать, что список L, [L]* есть ©рвывод равенства Riy по-
следнего в этом списке. Если собственная переменная
всякого применения правила U( в ©рвыводе L отлична
от х, то, как нетрудно проверить, даже список [L]* яв-
ляется @1-выводом. Если же в выводе L некоторое ра-
венство выведено по правилу Ui с собственной пере-
менной х, то соответствующее ему равенство в списке
[L]* выводимо по правилу Ui из тех же самых посы-
лок списка L. Отсюда следует, что список L, [L]* есть
©i-вывод. Лемма доказана.
Лемма 2. Всякое равенство, выводимое в системе
@1, выводимо в системе ®.
Достаточно доказать, что правило вывода Ui являет-
ся производным в формальной системе К. Для этого в
свою очередь достаточно доказать, что из равенств
(1) а = Ь,
(2) 1«Йи-М.’.
(3)
466
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
выводимо равенство
в*=*>]:«)
лишь по правилам Т и Sb2.
Действительно, применяя правило Sb2 к равенству
(1), получим
[<=[<;
теперь, используя правило Т и допущения (2) и (3), не-
трудно получить нужный нам вывод равенства [а = Ь]* (х).
Лемма доказана.
Лемма 3. Всякое равенство, выводимое в систе-
ме S, выводимо в системе S.
Благодаря теореме 3.5 достаточно доказать, что в
формальной системе Я правила вывода Т и Sb2 являют-
ся производными.
Пусть
(1) <х = Ь,
(2) а = с;
тогда, применяя правило 2.71 к равенству (1), получим
(3) Ь = а.
Теперь, применяя правило 2.72 к равенствам (3) и (2),
будем иметь
Ь = с.
Таким образом, правило Т является производным в си-
стеме Я.
Пусть
(0) а = b
и х, Xi, , хп есть список переменных, содержащий
все переменные, входящие в терм е. Равенства
(О х1 = х1
(п) хп = хп
выводимы в системе Я. По теореме 3.3 можно построить
такой функтор ср, что в системе Я выводимо равенство
с = ф(Х, хь ..., хп).
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ НЕКОТОРЫХ ФОРМАЛИЗАЦИЙ
467
Применяя теорему 3.2 к предыдущему равенству, полу-
чим
[с]* = ф(а> ХЬ хп)>
1с]б=ф(Ь, X], х„),
а применяя правило 2.73 к равенствам (0), (1(п),
будем иметь
ф(Я, ХЬ Хп)=ф(Ь,Х1, хп).
Из трех последних равенств по правилам 2.71 и 2.72 лег-
ко вывести равенство
к=[<.
Таким образом, правило Sb2 является производным пра-
вилом вывода в системе Я. Лемма доказана.
Лемма 4. Всякое равенство, выводимое в систе-
ме ®, выводимо в системе йр
Это предложение очевидно.
Лемма 5. Всякое равенство, выводимое в систе-
ме выводимо в системе ®2.
Доказательство. Всякая аксиома системы Я1
имеет вид [У?]*1’где R — некоторая аксиома систе-
Я|, ..., ап
мы $2, а переменные Xi, , хп не входят в термы
di, ., «п, и может быть выведена в системе Я2 п при-
менениями правила Sbi.
Правило 2.71 является производным в системе Я2 ([2],
стр. 186).
Правило 2.72 также является производным в систе-
ме ®2- Действительно, пусть
(1) а = Ь,
(2) Ь = с;,
тогда, применив правило 2.71 к (1), получим
(3) Ь = а.
Теперь равенство
а = с
получается из равенств (3) и (2) по правилу Т.
468
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Докажем, что правило 2.73 является производным в
системе Яг. Обозначим через Sb следующее правило вы-
вода:
если qp(ab az_b xb xi+b xn)-=
= ф(Ь1.....ь<_1 х1+х........х„), аг=л,
Sb Xi не входит в термы аь Ьь а/-ь 1\_ь
то <р(аь .... az_b ab xi+b х„) =
= ф(Ь1, Ьг_ь Ь/, хг+ь х„).
Правило Sb является производным в системе Я2. Дей-
ствительно, равенства
ф(аь az_b ab xz+1.....х„) =
= ф(аь ai-ь Ь>, xi+l, х„),
ф(Ьь Ьг-ь Ь;, xi+i, х„) =
= ф(а1> <Ч-ь •*£ + !, хп)
выводимы из посылок правила Sb по правилам Sb2 и Sbb
а из этих равенств нетрудно вывести заключение Sb в
системе Яг- Из посылок правила 2.73 легко получить
заключение этого правила, применяя п раз правило Sb,
выбрав переменные хь хп так, чтобы они не встре-
чались в термах ab Ьь .., Из предыдущих, рас-
суждений ясно, что в Ярвыводе можно так заменить
применения правил 2.71—2.73 на вставки, содержащие
только применения правил Т, Sbi и Sb2, что применения
правила Ii перейдут в соответствующие применения пра-
вила J.
Лемма 6. Всякое равенство, выводимое в систе-
ме Я2, выводимо в системе ®.
Докажем следующее предложение, из которого наша
лемма получается индукцией по числу применений пра-
вила J в Яг-выводе:
если (i) в системе ® выводимы равенства [/?]о,
/?ь ...» /?« и
(ii) из равенств 7?b Rn, R выводимо ра-
венство [/?](х) лишь по правилам Т, Sb2
и Sbb причем Sbi применяется лишь для
подстановки вместо переменных, не входя-
щих в равенства /?ь ., Rn, R,
то равенство R выводимо в
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ НЕКОТОРЫХ ФОРМАЛИЗАЦИЙ
469
Используя пункт (ii) и теорему о дедукции
[2, стр. 194], получим, что равенство
(1) (И-Иа) ))
выводимо в системе ®. Применяя и раз правило modus
ponens ([2], гл. 4) к (1), получим
Теперь, используя правило 1р
[Я]о
Я
производное в системе ® ([2], стр. 191), легко доказать,
что равенство 7? выводимо в системе ®. Лемма доказа-
на.
Из доказанных выше лемм следует
Теорема. Формальные системы ®, ®b Е, 5?, S?! и
равнообъемны.
Примечание. Введем формальные системы ®, ®ь
Е, Я, и Яг, добавив к языку уже рассмотренных си-
стем переменные для функторов, а к определению поня-
тия терма следующий пункт:
если аь , ап являются термами и f есть п-местная
функторная переменная, то , ап) есть терм;
формулировка правил вывода и определения понятии
равенства и вывода сохраняются без изменений. Для
этих систем имеет место теорема, аналогичная доказан-
ной здесь.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Карри X. Б., Формализация рекурсивной арифметики, наст. сб.
[2] Гудстейн Р. Л., Рекурсивная теория чисел, наст. сб.
УКАЗАТЕЛЬ
Аккерман (Ackermann W.) 261,
410
Аксиома А 197
— Р 197
Анализ рекурсивный 267
Арифметика рекурсивная 77, 267
Бернайс (Bernays Р.) 261, 279,
387, 410
Буль (Boole G.) 94
Возведение в степень 99
Высказывание 140
Рейтинг (Heyting А.) 410
Гёдель (Godel К.) 227
Гильберт (Hilbert D.) 279, 410
Дарбу (Darboux G.) 366
Девис (Davis М.) 409
Делитель наибольший общий 182
— наименьший 171
Дифференцируемость относи-
тельная 330
— рекурсивная 330
Доказательство 111
Значение среднее 334, 338
Индукция 152
Интеграл относительный 363, 364
Иррациональность рекурсивная
401
Исчисление равенств 111
Итерация 102
Карри (Curry Н. В.) 409
Клини (Kleene S. К.) 269, 270,
409
Коммутативность сложения 112
— умножения 114
Константа 0 89
— 1 89
— & 141
- V 141
--->- 141
- 141
- > 141
Крайзель (Kreisel G.) 410
Кривая, вершина 427
— плоская 420
— простая и замкнутая 420
-------- открытая 420
точка внешняя 431
—,— внутренняя 431
Лакомб (Lacombe D.) 410
Логарифм относительный 373
Мажорантный 275
Марков А. А. 410
Мешковский (Meschkowski Н.)
409
Непрерывность относительная
311
— рекурсивная 310
Неравенства о среднем значении
334
Неравенство 131
Номер гёделевский 228
Нумерация примитивно рекур-
сивных функций 224
Оператор минимизации 148, 270
— считающий 93, 159
— Ах 148
— Е“ 148
УКАЗАТЕЛЬ
471
Оператор L” 148
— N* 159
Ординал типа п 397
— трансфинитный 383
Остаток 168
Остаточный член в форме Лаг-
ранжа 349
Относительно непостоянная 361
Оценка рекурсивная 318
Пентация 100
Переменная 96
— связанная 150
— числовая 89
Перестановка 212
Петер (Peter R.) 108, 204, 303,
386, 409
Подстановка 105, 370
Полином рекурсивный 298
Последовательность приведенная
277
Предел 280
Предикат Е(т, 234
— Е(п) 233
— Pf(п) 235
— Pr(m, п) 235
— Si(m, п) 233
— S2(m, п) 234
— St/(y/n) 235
— Sub/(o/n) 232
— Т (m, п, р) 234
— Т(п) 233
Процедура эффективная 295
Равенство вводящее 112
— верифицируемое 133
— доказанное 111
— относительное 275
Разложение рекурсивное 300
Райс (Rice Н. G.) 409
Рассел (Russell В. A. W.) 85
Расходимость рекурсивная 280
Рекурсия возвратная 202
— двойная 107
— однократная 106
— примитивная 106, 202
— с подстановкой вместо пара-
метра 204
Система счисления 391
формальная 94
Система 91 193
— Я* 197
— № 237
Сколем (Skolem Т.) 227
Сложение 96
— , ассоциативность 114
Сомножитель простой 175
Схема доказательства 119
— индукции Ig 206
---I' 208
— А 197
— Е 197
— Ei 187
— Е2 187
— Ез 189
— Ii 191
- 12 191
- 1з 192
- К 186
- Р 197
— S 201
- Sbi 185
— Sb2 185
- Т 185
- U 185
- Ui 186
Сходимость относительная 277
—, признак 281
—, — Гаусса 285, 291
—,— Даламбера 282
—, — Коши 283
—, — Куммера 282
—, — Раабе 284
— рекурсивная 276
Счет 90
Теорема дедукционная 194
— Коши 346
--- равномерная 354
— о нумерации 270, 271
— Тейлора 347
Тетрация 100
Трансцендентность рекурсивная
Тэйт (Tait W.) 390
Умножение 99
Форма стандартная 276
Фреге (Frege G.) 84
472
УКАЗАТЕЛЬ
Функции круговые 375
Функция 101
— возвратная 202
— исходная 105
— линейчатая 363
— показательная относительно
372
— приведенная 278
— пропозициональная 146
— рациональная 272
— рекурсивная 109, 268
— с относительно сходящейся
вариацией 436
— Alt(x) 104
— Е(х) 218
- £(*) 178
— h(a,b) 179
— Н(р,п,а) 107
- Hf(x) 104
— Я(х) 106.
— J(u,v) 218
— h 230
- NP 235
- Q(a,b) 168
- R(a.b) 168
— Rt(x) 104
— Sx 90
— U(x) 218
— V(x) 218
— Z(x) 106
- p(n) или pn 172
— a(x) 122
— Н/ 123
— v(n, k) 175
Функция p(x) 123
— 0/ 123
- A 231
— П/ 120
— Пл 231
— 2, 120
— + 97, 102, 112
— • 99, 102, 114
------ 100, 115
— II 101, 118
Цифра 86
Частное 168
Чёрч (Church А.) 390, 409
Число 83
— простое 171
— рациональное 272
— рекурсивно иррациональное
401
--- трансцендентное 401
— рекурсивное вещественное 292
Шпеккер (Specker Е.) 279, 303
Эквивалент 275
— линейчатый 364
— равномерный 343
— ,— дважды 320
Эквивалентность р-кривых 421
Эффективно непостоянная 350
— постоянная 350