Н. И. КАРЙКЙН
профессор, доктор технических наук
ОСНОВЫ РАСЧЕТА
ТОНКОСТЕННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
(ПРОЧНОСТЬ, УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ)
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия для строительных
и машиностроительных специальностей втузов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА»
Москва — 1960
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
3
Глава I
Кручение и изгиб тонкостенных стержней
<	§ 1. Свободное кручение................................ 6
-.§ 2. Стесненное кручение тонкостенных стержней с открытым
профилем................................................. 8
-	§ 3. Нормальные напряжения при стесненном кручении стерж-
ней с открытым профилем............................... 10
§ 4.	Касательные напряжения при стесненном кручении стер-
жней с открытым профилем........................ .	. .	15
§ 5.	Определение координат центра изгиба .............. 16
§ 6.	Зависимость между касательными и нормальными напря-
жениями и статистическими факторами..................... 19
*§ 7. Дифференциальное уравнение углов закручивания ... 22
•§ 8. Определение секториальных характеристик........... 27
Глава II
Кручение тонкостенных стержней закрытого профиля
§ 9. Деформации и напряжения при свободном кручении
тонкостенных стержней с замкнутым профилем.........	37
§ 10.	Нормальные напряжения при стесненном кручении
тонкостенных стержней с замкнутым профилем............... 40
§ 11.	Касательные напряжения при стесненном кручении
стержней с замкнутым профилем ...	...	.42
§ 12.	Определение координат центра изгиба............... 44
§ 13.	Зависимость между нормальными и касательными на-
пряжениями и статическими факторами...................... 46
§ 14.	Дифференциальное уравнение углов закручивания
стержня закрытого профиля...............................  47
Глава III
Расчет многопролетных стержней
§15.	Уравнение трех бимоментов для неразрезных стержней 56
-§ 16. Кручение многопролетных стержней с консолями .... 62
§17.	Кручение многопролетных стержней с упруго-пово-
рачивающимися опорными сечениями...................... 68
Глава IV
Кручение рамных систем
§ 18.	Расчет простейших рамных систем на кручение методом
сил..................................................... 78'
§ 19.	Метод узловых депланаций для расчета тонкостенных
многопролетных стержней на кручение..................... 81
§ 20.	Расчет рамных систем методом узловых депланаций . . 98;
Глава V
Применение тригонометрических рядов к исследованию
кручения тонкостенных стержней
§ 21.	Определение упругих углов закручивания в форме
тригонометрического ряда . .	.	...	112‘
§ 22.	Энергетический метод............................115-
§ 23.	Кручение тонкостенных стержней в упругой среде ... 123-
Глава VI
Пространственная устойчивость тонкостенных стержней
§ 24.	Устойчивость тонкостенных стержней при внецентрен-
ном сжатии..........................................129*
§ 25. Устойчивость тонкостенного стержня, находящегося
в упругой среде, при внецентренном приложении сжи-
мающей силы...............................................13&
Глава VII
Динамика тонкостенных стержней
Введение................................................14Ф
§ 26.	Колебания систем с одной степенью свободы. Свобод-
ные гармонические колебания...................... . . 145
§ 27.	Затухающие колебания............................  149
§ 28.	Вынужденные колебания без затухания . .	. . 153*
§ 29.	Вынужденные затухающие колебания.................159‘
§ 30.	Свободные колебания стесненного кручения стержней
постоянного сечения при сплошном распределении масс 164
§ 31.	Применение уравнений Лагранжа к решению задач
о крутильных колебаниях тонкостенных стержней . . . 170
§ 32.	Колебания тонкостенных	стержней,	лежащих на сплош-
ном упругом основании	172
§ 33.	Энергетический метод.............................176>
§ 34.	Применение энергетического способа к задачам о кру-
тильных колебаниях тонкостенных	стержней..............178-
§ 35.	Метод начальных параметров в теории свободных и
вынужденных крутильных колебаний тонкостенных
стержней.............................................  .	181
§ 36.	Уравнение трех бимоментов в динамике сооружений . . 190
§ 37.	Свободные изгибно-крутильные колебания тонкостенных
стержней...............................................  198
§ 38.	Влияние инерции вращения и продольных перемещений 205-
§ 39.	Колебания эксцентрично сжатых стержней............207
Глава VIII
Практический метод приближенного вычисления частот
собственных колебаний стержневых систем
§ 40.	Колебания многопролетных стержней и рам.213
Приложение ........................ 231
Николай Иванович Карякин
ОСНОВЫ РАСЧЕТА ТОНКОСТЕННЫХ
КОНСТРУКЦИЙ
Редактор К. И. Аношина
Техн, редактор И. Ф. Муликова
Сдано в набор 12/1 1960 г.
Подписано к печати 16/V 1960 г.
Формат 84Х108т/з2- Объём 15 п. л.
Усл. л. 12,3. Уч.'изд. л. 11,46
Тираж 6500 Цена 4 р. 95 к.
Т-05366. Зак. 1013
* * *
Типография № 2 им. Евг. Соколовой
УПП Ленсовнархоза.
Ленинград, Измайловский пр., 29.
ВВЕДЕНИЕ
Тонкостенные конструкции получили широкое распро-
странение в авиастроении, судостроении, вагоностроении и
во многих других областях инженерно-строительного дела.
В связи с этим анализ прочности, устойчивости и дина-
мики конструкций, выполненных из тонкостенных стержней,
приобретает огромное практическое значение.
Впервые задача о кручении тонкостенного стержня откры-
того профиля была поставлена и решена в России в 1905 г.
С. П. Тимошенко [48]. Он исследовал задачу о стесненном
кручении двутавровой балки с защемленным концом и нашел,
что для получения действительного значения угла закручива-
ния надлежит учитывать не только напряжения свободного
кручения, но также напряжения изгиба в полках двутавра.
Дифференциальное уравнение стесненного кручения, по-
лученное С. П. Тимошенко для этой частной задачи, было
распространено Вебером [61] на сечения с неодинаковыми
полками.
Дальнейшее применение дифференциального уравнения
ко всем тонкостенным открытым сечениям дано в работе
Вагнера [62].
Современная теория тонкостенных стержней с открытым
профилем разработана в СССР в трудах В. 3. Власова [12].
В его работах дана полная теория прочности, устойчи-
вости и колебаний прямых стержней с открытым попереч-
ным сечением- произвольной конфигурации.
Теория прочности тонкостенных стержней с произволь-
ным замкнутым или многосвязным сечением, а также криво-
линейных стержней впервые разработана А. А. Уманским
[52—54].
На основании этой теории, построенной на допущении
о подчинении замкнутого контура депланации свободного
кручения, создана возможность расчета авиаконструкций с уче-
том всех особенностей поперечных сечений. Для цилиндри-
ческих оболочек теория А. А. Уманского дает общую
1*
3
систему напряженного состояния при одновременном действии
изгибающих и крутящих моментов. При этом получаемая
точность отвечает общепринятой точности расчета инженер-
ных сооружений.
Результаты этой теории только спустя пять лет после
опубликования работ А. А. Уманского были частично по-
вторены в работе Кармана и Кристенсена. Во втором изда-
нии (Москва, 1953) на русском языке общеизвестной моно-
графии С. П. Тимошенко «Устойчивость упругих систем»
частично освещается и теория изгибного кручения тонкостен-
ных стержней. Подутно заметим, что изложение вопроса
у С. П. Тимошенко в указанной книге примыкает к кон-
цепциям А. А. Уманского, освещенным ранее в его труде
«Кручение и изгиб тонкостенных авиаконструкций», 1939 г.
Методы, разработанные А. А. Уманским, широко исполь-
зуются при исследовании прочности, устойчивости и дина-
мики тонкостенных стержней с открытыми контурами попе-
речных сечений.
Логическая ясность и простота основного содержания
исследований А. А. Уманского делают его теорию необхо-
димым инструментом познания прочности, устойчивости и
динамики сложных инженерных тонкостенных конструкций.
Важные для практических приложений вопросы динамики
тонкостенных конструкций исследованы Н. И. Безуховым,
распространившим на динамические задачи метод начальных
параметров и метод перемещений [5—6].
Фундаментальные исследования прочности, устойчивости
и динамики тонкостенных конструкций в пределах и за пре-
делами упругости произведены В. Н. Беляевым [8], П. М. Зна-
менским [22], Б. Н. Горбуновым [16], А. Р. Ржаницыным [43],
Р. А. Ададуровым [1—2], Г. С. Еленевским [21], В. Ф. Ки-
селевым [30], И. Ф. Образцовым [34], Г. Ю. Джане-
лидзе [18—19], Я. Г. Пановко [19], А. А. Поповым [39]
и др.
В настоящей работе в доступной форме излагаются основ-
ные положения теории прочности, устойчивости и динамики
тонкостенных конструкций. При изложении указанных во-
просов автором широко используется математическая аналогия
между задачей о продольно-поперечном изгибе и стесненным
кручением [24—28]. С помощью этой аналогии удается пред-
ставить в наглядной форме решение статических и динами-
ческих задач стесненного кручения, как отдельных стержней
(с открытыми и закрытыми профилями), а также их систем.
4
Заметим здесь, что в различных областях естественных
наук круг задач, решаемых с помощью одних и тех же диф-
ференциальных уравнений, весьма широк. Эти особенности
явлений природы были кратко и точно сформулированы
В. И. Лениным следующим образом:
«Единство природы обнаруживается в поразительной «ана-
логичности» дифференциальных уравнений, относящихся
к разным областям явлений»Г
Методы, основанные на применении аналогий, давно
с успехом используются физиками и техниками, они позво-
ляют упростить выкладки и делают более наглядными как
промежуточные этапы исследования, так и его результаты.
Говоря о прикладном характере математических наук
академик, Герой Социалистического труда А. Н. Крылов
(1863—1945) замечает: «Таких аналогий между вопросами
совершенно разных областей, но приводящих к одинаковым
дифференциальным уравнениям, можно привести множество.
Казалось бы, что может быть общего между расчетами дви-
жения небесных светил под действием притяжения к Солнцу
и между собою и качкою корабля на волнении или между
определением так называемых вековых неравенств в движе-
нии небесных тел и крупнейшими колебаниями вала много-
цилиндрового двигателя Дизеля, работающего на корабель-
ный винт или на электрогенератор. Между тем, если написать
только формулы и уравнения без слов, то нельзя отличить,
какой из этих вопросов решается,—уравнения одни и те же»1 2.
Аналогии всегда оказываются полезными и плодотвор-
ными, когда необходимо сравнить неизученное явление с яв-
лением более изученным.
Сила методов, основанных на применении аналогий, вы-
является, главным образом, при анализах и расчетах слож-
ных систем.
Интересующихся вопросами подробной истории развития
статики тонкостенных стержней отсылаем к статье профес-
сора О. Д. Ониашвили в сборнике «Строительная механика
в СССР, 1917—1957 гг.», под*редакцией профессорам. М. Ра-
биновича, а интересующихся вопросами динамики отсылаем
к статье профессора Я. Г. Пановко в том же сборнике.
1 В. И. Л е н и н. Соч., т. 14, стр. 276.
2 А. Н. Крылов. Прикладная математика и техника, собр.
трудов, т. 1, ч. 2, стр. 28, изд. АН СССР, 1951.
ГЛАВА I
КРУЧЕНИЕ И ИЗГИБ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
§ 1. Свободное кручение
Свободное кручение тонкостенных стержней
с открытым профилем
В строительной механике тонкостенным стержнем принято
называть упругое тело призматической или цилиндрической
формы, у которого три размера являются величинами разных
порядков. Например, стержень считают тонкостенным, если
отношение ширин стенок к их толщинам отвечает условию
у>5н-101. Стержень также можно считать тонкостенным,
если -^-^>10, где I — длина, a d — какой-либо характерный
размер поперечного сечения (ширина или высота профиля).
Из курса сопротивления материалов известно, что кру-
чение стержня любого некруглого сечения сопровождается
искривлением (депланацией) поперечных сечений; отдельные
точки сечения совершают различные перемещения вдоль оси
стержня.
Если при кручении стержня перемещения точек вдоль
оси зависят только от их положения на поперечном сечении
и при переходе от одного сечения к другому по величине
не изменяются, то во всех поперечных сечениях стержня
будут действовать только касательные напряжения с одина-
ковым законом распределения.
Такой случай кручения называют свободным круче-
нием (нестесненным, или чистым кручением).
Таким образом, свободное кручение характеризуется бес-
препятственной депланацией всех поперечных сечений, а сле-
1 См. А. А, Уманский. Справочник машиностроителя, т. III.
1951 г,
6
Довательно, отсутствием нормальных напряжений. В качестве
иллюстрации свободного кручения на фиг. 1, а представлена
тонкостенная труба с продольным разрезом, скручиваемая
парами сил 7И, приложенными по ее концам.
При указанном нагружении образующие трубы, повора-
чиваясь на некоторую величину угла, не испытывают изгиба,
остаются прямыми. Точки а и b какой-либо образующей
при свободном кручении совершают одинаковые продольные
перемещения, т. е. aa1 = bbl (фиг. 1,0.
6}
Фиг. 1.
Такое же явление будет иметь место в случае кручения
тонкостенных стержней, имеющих в поперечном сечении
форму двутавра, швеллера и т. п.
Для тонкостенных односвязных сечений, составленных из
узких прямоугольников, угол закручивания, как известно из
курса сопротивления материалов, может быть найден по
формуле:	м 2
Угол закручивания на единицу длины будет равен:
п,
----—6' — ------
dz . GIa
обозначено:
момент,
сечения пои kdv1
(1.1)
В формуле (1,1)
Мк — крутящий
GIa — жесткость
/а — момент инерции сечения при кручении, определяе-
мый по формуле:
4 =
7
где 8Z — меньшие, a bt— большие стороны прямоугольников
или криволинейных элементов, из которых состоит попереч-
ное сечение; а — поправочный коэффициент, зависящий от
вида профиля (для уголков и, — 1,00; для двутавров а= 1,20;
для корытных профилей а =1,12).
Касательные напряжения при свободном кручении тонко*-
стенных стержней с открытым профилем по толщине как
прямолинейных, а также криволинейных полос, входящих
в состав поперечного сечения, распределяются по закону
треугольника (согласно фиг. 2).
Фиг. 2.
В точках контура касательное напряжение определяется
по формуле	м 5
’=-7^-	(1.2)
7 а
На средней линии профиля (линии, делящей пополам тол-
щину стенки профиля) касательное напряжение т = 0.
Наибольшее касательное напряжение вычисляется по фор-
где 8шах — наибольшая толщина из всех толщин составной
фигуры.
§ 2. Стесненное кручение тонкостенных стержней
с открытым профилем
Если на тонкостенный стержень открытого профиля нало-
жены связи, препятствующие свободному перемещению точек
контура при действии крутящих моментов, то такой вид
кручения носит название стесненного (изгибного) кручения.
8
Продольные элементы тонкостенной трубы с продольным
разрезом, как показано на фиг. 3, а, испытывают деформа-
цию изгиба.
Фиг. 3.
При стесненном кручении такое же искривление будут
испытывать продольные элементы тонкостенных стержней
С Открытыми профилями в виде швеллера, двутавра и др.
9
Точки а и b какой-либо образующей при стесненном
кручении испытывают различные продольные перемещения,
т. е. ага2 Ф brb2 (фиг. 3, б).
В точках поперечного сечения, кроме касательных напря-
жений, возникают также нормальные растягивающие и сжи-
мающие напряжения, обусловленные изгибом продольных
элементов в двух плоскостях (фиг. 3 и 4).
Из условия равновесия следует, что нормальные напря-
жения, возникаемые в поперечных сечениях скручиваемого
стержня, самоуравновешиваются.
§ 3. Нормальные напряжения при стесненном
кручении стержней с открытым профилем
При изучении закона распределения напряжений при кру-
чении тонкостенных стержней исходят из следующих двух
предположений:
1. Деформации сдвига срединной поверхности стержня,
т. е. поверхности, проходящей через середины толщин пла-
стинок, образующих тонкостенный стержень, равны нулю:
Т« = о.	(1.4)
2. Проекция контура поперечного сечения не деформи-
руется, т. е. при деформации стержня проекция расстояния
между двумя точками контура
на плоскость поперечного сече-
ния остается постоянной.
Принятые гипотезы позво-
ляют выяснить характер напря-
женного состояния стержня при
стесненном кручении.
Допустим, что при круче-
нии поперечное сечение совер-
шает поворот вокруг точки А
(фиг. 5).
При кручении стержня
два сечения, расположенные на
относительно друга на
Фиг. 5.
расстоянии dz, поворачиваются друг
угол
00 . д, .
— dz = v' dz.
Здесь 6' — относительный угол закручивания. Точка С полу-
чит перемещение:	__ ^0
CCj = р dz,
10
где р = АС — расстояние от центра А до точки кон-
тура С.
Обозначая перемещение точки контура по направлению
касательной через v, можем записать выражение для пере-
мещения точки С по направлению касательной к контуру
рассматриваемого сечения в таком виде (фиг. 5):
СС2 = р dz cos а,	(1,5)
где а — угол между касательной к контуру в точке С и
отрезком ССР
Принимая во внимание, что р cos а = 7г, из (1,5) получим:
^- = 0'Л.	(1,6)
Рассмотрим теперь деформацию элемента срединной по-
верхности вследствие перемещения ее точек вдоль оси
стержня.
Выделим из тонкостенного стержня, отнесенного к системе
координат xyz, бесконечно малый элемент МасЬ, располо-
женный у точки 714 (фиг. 6). После деформации элемент
Фиг. 6.
переместится в новое положение вдоль осей s и z. Обозна-
чим перемещение точки вдоль образующей через и = и (z, s),
а по касательной к контуру в точке 714 — через v = v(z, s).
Перемещения и и v являются функциями координат точки 714.
11
Относительный сдвиг элемента МасЬ следует из рассмо-
трения фиг. 7:
. да . до
или, согласно (1,6),
На основании гипотезы об отсутствии сдвигов срединной
поверхности имеем:
4^ = —О'Л.	(1,7)
ds	'	7
Интегрируя уравнение (1,7) по $, получим:
и = —f G'hds-\-f(z).	(1.8)
Здесь f(z) означает произвольную функцию.
Произведение hds = du равно удвоенной площади заштри-
хованного элементарного треугольника (сектора) (фиг. 8),
основанием которого служит дифференциал дуги ds, а вы-
сота определяется длиною перпендикуляра h, опущенного
из точки А на касательную в точке М к контуру сечения
оболочки.
Удвоенную площадь сектора о), ограниченную отрезком
дуги контура сечения и двумя прямыми, соединяющими концы
этого отрезка с точкой А, в дальнейшем будем называть
векториальной площадью или векториальной координа-
той.
12
Подставляя в уравнение (1,8) и интегрируя по S, Пд-
лучим:
и= —0'Jd<o+/(2) = —(1,9)
Предположим теперь, что точка М вдоль образующей
получает смещение и, а бесконечно близкая точка — смеще-
ние	dz. Относительное удлинение элемента будет
равно:
4 = ^ = -0"»
(МО)
На основании закона Гука
определим нормальное напря-
жение ою:
= Е • =
= —	/'(г)]. (1,11)
„ Е
где	--приведенный
модуль упругости при плоском
напряженном состоянии.
В рассматриваемом нами
случае нагружения тонкостен-
ного стержня в каждом его поперечном сечении действует
лишь один крутящий момент L.
Поэтому сумма проекций всех действующих в попереч-
ном сечении нормальных сил на ось z (фиг. 6) и сумма мо-
ментов этих сил относительно осей х и у должны быть
равны нулю.
В аналитической форме эти условия запишутся так:
W2 = /°ш^==0,
F
Мх = J а^у dF = 0.
F
Му~ J c^xdF = Q.
F
(1.12)
13
Подставляя сюда значение напряжения (1,11), получим!
0"J iodF—‘-f'(z)F = 0,
F
(1.13)
В этих уравнениях интегралы J wdF, J coydF, J wxdF,
F	F	F
объединяемые одним общим названием — векториальные или
геометрические характеристики, условно называют:
= § w>dF— секториальный статический момент (размер-
F
ность [А4]),
где L — единица длины,
= J «у dF
F
— линейно-секториальные моменты (размер-
= I шх dF ность [А5]).
У F J
Нетрудно видеть, что секториальные характеристики мо-
гут быть положительными и отрицательными величинами.
При выбранном полюсе А всегда можно найти одно или
несколько таких положений начальной точки отсчета секто-
риальных площадей Л40, при котором секториальная харак-
теристика будет равна нулю:
Sm = f<odF=O.	(1,14)
F
Выбирая начальную точку отсчета секториальных пло-
щадей так, чтобы = 0 и принимая во внимание первое
из уравнений (1,13), получим:
/'(г) = 0.
р
Принимая приведенный модуль упругости = -р_
при плоском напряженном состоянии равным модулю упру-
14
гости Е при одноосном напряженном состоянии, можем по-
лучить, согласно закону Гука, нормальное напряжение:
а<л = Ее = —	(1,15)
Из этого выражения видно, что при стесненном круче-
нии тонкостенного стержня нормальные напряжения в попе-
речном сечении распределяются по закону секториаль-
ных площадей.
§ 4. Касательные напряжения при стесненном
кручении стержней с открытым профилем
Для определения касательных напряжений рассмотрим
равновесие элемента средней поверхности, ограниченного
двумя бесконечно близкими образующими и двумя попереч-
ными сечениями (фиг. 9). Толщину стенки 8 будем считать

T^dZ
Фиг. 9.
постоянной. Силы, действующие по граням объемного эле-
мента, показаны на фиг. 9.
Проектируя все силы на продольную ось z, получим:
8 ds+-^2- 8 ds = 0.
ds 1 dz
Обозначив через dF и приняв во внимание (1,15),
можем записать:
-^-8ds = — -^Zds = E вт  u>dF. (1,16)
ds	dz	\	/
Интегрируя (1,16), найдем:
=	+	(1,17)
о
1$
Здесь т0— касательное напряжение в точке сечения, соот-
ветствующей началу отсчета дуг s.
Если это начало отсчета дуг выбрано у края контура
сечения, то при отсутствии на этом крае внешних сдвигаю-
щих сил касательное напряжение т = 0.
Таким образом, из (1,17) имеем:
F • О'" с
= j^dF,	(1,18)
О
5
где	—— I о dF — секториальный статический момент от-
о	сеченной части поперечного сечения.
§ 5. Определение координат центра изгиба
Для тонкостенного стержня с произвольным очертанием
контура сечения существует такая ось, параллельная оси
стержня, что произвольная система сил, действующая в лю-
бой, проходящей через эту ось, плоскости, не вызывает
кручения. След этой оси на плоскости поперечного сечения
образует точку, называемую центром изгиба. Положе-
ние центра изгиба может быть найдено из условия равенства
нулю суммы моментов всех касательных сил в сечении отно-
сительно центра изгиба, или из того условия, что моменты
внутренних усилий относительно осей х и у должны быть
равны нулю, т. е.
714х = О,
Му = 0.
Следуя принятому выше условию выбора начальной точки
отсчета секториальных площадей, при котором
Зш = j <odF = 0
F
из уравнений (1,13) получаем:
4»х = f ШУ dF = °>
F
= / “х dF =
F
(1.20)
19
Уравнения (1,20) являются условиями для определения
координат центра изгиба А.
К таким же уравнениям (1,20) мы придем, если будем
исходить из условия равенства нулю суммы моментов всех
касательных сил в сечении относительно центра изгиба А.
На этом основании заключаем, что центр кручения сов-
падает с центром изгиба.
Чтобы из условий (1,20) получить формулы для опреде-
ления координат центра
изгиба, установим прежде
всего связь между секто-
риальными площадями а)л
и отнесенными к двум
различным полюсам А
и В.
При полюсе, совпа-
дающем с началом коор-
динат (фиг. 10), имеем:
= h ds,
высота h выражается
через координаты х и у
следующим образом:
h = х sin а — у cos а.
Следовательно, элементарная секториальная площадь
имеет значение:
rfin = h ds = х ds sin a — у ds cos a.
Из фиг. 10 видно, что
ds sin a = dy,
ds cos a = dx.
Следовательно,
rfco — x dy — ydx.	(1.21)
Применяя формулу (1,21) к полюсам А и В (фиг. 11),
найдем:
di»A = (х — ax) dy — (у — ау) dx,
d^B = (х — bx) dy — (у — by) dx.
(1,22)
Вычитая из первого уравнения второе (1,22), получим:
doiA = dmB + (ay — by) dx—(ax — bj dy.
2 H. И. Карякин
и
Интегрируя, получим формулу для преобразования секто-
риальных площадей при изменении полюса:
“а = “в +	х —	—ЬХ> У -+-с-
Обозначим координаты полюса А относительно полюса В
через ах и ау:
ах = (ах — ау = (ау — ЬуУ*
тогда
<0д = с»в —J— &уХ	ахУ ~Н С•	(1,23)
Здесь С—постоянная интегрирования.
Подставляя значение секториальной площади в урав-
нения
J* о)Ау dF = 0; и>Ах dF = 0; J <ол dF = 0;
F	F	F
получим:
ах?х ау^ху С$х 1^вх'
ах^ху Оу!у С$у ^дУ ’
axSx—aS — CF = S
л z	В J
(1.24)
Коэффициенты при неизвестных имеют значения:
Ix= Jy*dF-, 1у = J x^dF-, Ixy = J xydF-,
F	F	F
Sx = j'ydF; Sy = j'xdF.
F	F
18
СекТориалЬные характеристики
^вх ~ f dF, ~ f швх dF', $&в ~ J* dF
F	В	F
вычисляются для произвольно выбранного полюса В.
Таким образом, при произвольно выбранных осях коор-
динат х, у, решение задачи о нахождении положения центра
изгиба сводится к решению системы уравнений (1,24) отно-
сительно неизвестных ах, ау и С.
Если оси х и у будут главными центральными осями
инерции, то из уравнений (1,24) найдем:
Равенство (1,26) может быть записано так:
J(C + o>B)dF = 0.
F
Секториальная площадь о)л, построенная
изгиба А, называется главной векториальной
(1,25)
(1,26)
из центра
площадью.
§ 6. Зависимость между касательными и нормальными
напряжениями и статическими факторами
Секториальные касательные напряжения как было
показано в § 4, вызываются действием нормальных напря-
жений По толщине стенки В напряжения распреде-
ляются равномерно (фиг. 12, а).
Помимо указанных касательных напряжений в поперечном
сечении будут действовать касательные напряжения, возникаю-
2*
19
Щйё при свободном кручении И определяемые по формуле (1,2).
Закон распределения их изображен на фиг. 12, б.
Определим момент касательных сил в сечении, соот-
ветствующих напряжениям относительно центра изгиба
(фиг. 13)
•S1	<$1
Мю = J" тш/го ds = f
о	о
Здесь означает полную длину срединной линии контура.
Подставляя в это выражение значение касательного на-
пряжения
£•0'" Г ЯР
. J О) • dF,
о
получим:
Ма = Е6"'. f d® J <о dF.
О о
Интегрируя по частям, получим:
Первый член в скобках обращается в нуль, так как при
подстановке пределов 0 и секториальный статический
момент всего сечения, согласно (1,14), равен нулю.
20
Интеграл J* a)2dF, по аналогии с осевым моментом инер-
о
ции, будем называть секториальным моментом инерции и
обозначать
/ш=frfdF.
F
Размерность секториального момента инерции, как не-
трудно видеть, — см6.
Таким образом, можем записать:
= — ЕЦ-У".	(1,27)
Момент называется изгибно-крутящим моментом.
На основании соотношения (1,27) формула (1,19) для
касательного напряжения принимает вид:
Чтобы выразить нормальное напряжение через ста-
тическую величину, составим произведение элементарной
силы dF на соответствующую ей секториальную площадь
с полюсом А в центре изгиба:
dB^ = dF.
Подставляя значение для (1,15) и интегрируя по всей
площади, получим:
Вш = — EG" J &dF = — EIJ".	(1,29)
F
Величина Вш называется изг и б но - к р утя щи м би мо-
ментом, имеющим размерность кг • см2.
В отличие от момента внутренних сил упругости бимомент
представляет собой уравновешенную статическую величину.
Подставляя из равенства (1,29) значение второй производ-
ной от угла закручивания в (1,15), получим
»и> = ^.	*	(1.30)
7 и)
На основании (1,27) и (1,29) заключаем, что изгибно-
крутящий момент и бимомент связаны между собой
следующей дифференциальной зависимостью:
=	(1,31)
21
Для какого угодно поперечного сечения стержня стати-
ческие величины и могут быть вычислены по фор-
мулам (1.27) и (1,29), если будет найден угол поворота
О = 6 (2) и соответствующие производные 6" (z) и 0,/z (2).
§ 7. Дифференциальное уравнение углов закручивания
В поперечном сечении стержня, как уже было замечено
в § 6, кроме касательных напряжений действуют еще
напряжения
MS
-- - у—
*а
соответствующие чистому кручению.
Крутящий момент касательных усилий, при действии
в поперечном сечении указанных напряжений, должен быть
равен крутящему моменту L внешних сил относительно центра
изгиба:
МФ + МК = Ь.	(1,32)
Принимая во внимание (1,1) и (1,27), можем записать:
Дифференцируя один раз по 2, получим

или
(1,33)
где /г = 1/ -pf- — изгибно-крутильная характеристика;
dL
т = —&---интенсивность крутящих моментов.
Уравнение (1,33) называется дифференциальным уравне-
нием стесненного кручения.
Заметим здесь, что задача о кручении тонкостенных
стержней математически тождественна с задачей об
изгибе стержня, нагруженного одновременно поперечной
и продольной растягивающей нагрузкой N 124].
22
Для указанного случая продольно-поперечного изгиба
дифференциальное уравнение упругой линии имеет такую же
внешнюю структуру, что и уравнение (1,33):
,2 W
где —	Я— сплошная поперечная нагрузка.
Вследствие этого расчет тонкостенного стержня на
кручение может быть полностью заменен расчетом
того же стержня на продольно-поперечный изгиб. В ка-
честве внешней нагрузки к стержню необходимо при-
ложить продольную растягивающую силу N и ту по-
перечную нагрузку, которой скручивается стержень,
если она будет к нему приложена с эксцентриситетом
относительно оси центров изгиба.
На этом основании заключаем, что для определения
изгиб но-крутящего бимомента	в каком-либо сечении
стержня от скручивающей нагрузки, действующей на
стержень, достаточно определить изгибающий момент
в сечении растянуто-изогнутого стержня и помножить
его на эксцентриситет, с которым действует скручи-
вающая нагрузка.
Изгиб но-крутящий момент	определится выраже-
нием для поперечной силы в сечении того же стержня,
помноженной на эксцентриситет.
Чтобы найти угол закручивания 6 (z) достаточно
определить прогиб в растянуто-изогнутом стержне и
помножить его на эксцентриситет.
При определении статических величин и деформаций
указанным способом необходимо вместо продольной
силы И подставить крутильную жесткость GIa, а изгиб-
ная жесткость EI должна быть заменена секториальной
жесткостью Е1Ш.
Полная аналогия между деформациями и статическими
величинами при продольно-поперечном изгибе и стесненном
кручении стержней открытого профиля наглядно представлена
в таблице 1.
Аналогия между задачами о кручении стержней с откры-
тыми и закрытыми профилями установлена Г. Ю. Джанелидзе
и Я. Г. Пановко.
Указанная аналогия с исчерпывающей полнотой изложена
авторами в монографии [19].
23
Таблица 1
Продольно-поперечный изгиб	Стесненное кручение
V v' N M = - EIv" Q = — EIv'" Qn — Nv' — EIv'" I f(v'T^+ 0 +4/ ^-dz 0	** Cl i t 5 « s’h ®	1 * ®	"b II II 4?	® ч 3° 7	-= s n	1 <1 > ^1 II
В этой таблице обозначено:
U — потенциальная энергия,
Qn — полная перерезывающая сила.
Перейдем к решению дифференциального уравнения (1,33)
стесненного кручения.
Рассмотрим вначале случай, когда т = 0.
При этом уравнение (1,33) принимает вид:
6,v—ftV=o.
(1.34)
Общий интеграл однородного дифференциального урав-
нения (1,34), как известно, запишется так:
О = C1-[-C2z-]-C3sh	kz. (1,35)
Составим последовательные производные 6 по z:
6' = С2 + k (С3 ch kz 4~ С4 sh kz),
V = k2 (С3 sh kz 4-С4 ch kz),
V” = k3 (C3 ch kz + C4 sh kz).
(1.36)

Для статических факторов б и L находим выражения:
В = — EIJE = — Gfa (С3 sh kz 4- С4 ch kz),
L = GIaOr — EI^"' = GIaC2 4- Gfak (C3 ch kz 4~
4- Q sh kz) — ЕЦ • k3 (C3 ch kz 4- C4 sh kz) = GIa • C2.
Положив в формулах (1,35), (1,36) и (1,37) 2 = 0, найдем
произвольные постоянные:
(1,37)
бо---4“ ^4»	-С2 4-^-'З» Bq-------C±GIa\
Отсюда находим:
Подставив значения найденных постоянных в равен-
ство (1,35), получим:
е = о0 + е'.	(1 — ch kz) +	(kz - sh kz).
(1,38)
Для 0', В и L из (1,36) и (1,37) находим выражения
0' == 0Q ch kz — Во sh kz 4- 7^y- (1 — ch kz)\
В = — 0o	sh kz 4~ Во ch kz 4“ -y- sh kz\
L = Lq.
На основании принципа сложения действия сил можно
записать выражения для 0, 0', В и L при произвольном
нагружении стержня скручивающей нагрузкой.
Фиг. 14.
Влияние сплошной равномерно-распределенной крутящей
нагрузки т (фиг. 14) на величину угла закручивания будет
25
Уцениваться слагаемым:
С>
т
= £474
[k4cl-cl)	1
I —----------ch kc2 + ch kcY .
Аналогичным образом учитывается
и при определении величин 6', В и
сплошная нагрузка т
L. Итак, для случая
нагружения, изображенного на фиг. 15, угол закручивания О
и его производная О' выразятся следующими уравнениями:
е = So + 6о ^4- Во (1 - ch» + Lo	(kz - sh kz) +
+ 2^0— Ch^) + S^5» — sh*r) +
• VI m Г ^(C2“ Cl)	1
+ 2 WU~2~^-(ch^“chM’ (1,39)
()' == Go ch kz —	sh kz-\-	(1—ch kz)—V	sh kt-\~
GIa 1 GIa 4	7 GIa	1
+ 2'54(1~ChAr)+S kSra <C2 ~ Cl)—(Sh kc2 — Sh kCi).
(1.40)
Расстояния от произвольного сечения до соответствующих
нагрузок указаны на фиг. 15.
26
Изгибно-крутящий бимомент В и изгибно-крутящий мо-
мент определяются из уравнений
В = -В/ш-в",
мш = ^- = -Е/шет.
Уравнения для определения 0, О', В и А будут содержать
неизвестные начальные параметры 0О, 6о» Во и А. В каждом
конкретном случае они могут быть найдены из граничных
условий задачи.
Рассмотрим, например, условия закрепления по концам
стержня, изображенного на фиг. 16.
ео
&0
Фиг. 16.
Если поперечное сечение правого конца этого стержня
закреплено так, что оно не может испытывать поворота
вокруг оси 2, а точки контура беспрепятственно могут
перемещаться вдоль оси z, то такое закрепление будем
называть шарнирным.
В этом случае условиями закрепления на конце будут:
0 = 0 и В = f • и dF = 0.
F
В левом заделанном конце стержня угол поворота 6 = 0
и на основании (1,7) производная 6' обращается в нуль.
§ 8. Определение секториальных характеристик
При определении напряжений в тонкостенных стержнях
приходится, как мы видели, вычислять геометрические харак-
теристики сечения, зависящие от секториальных площадей,
т, е, величины:
/шдг= uydF\ I^y = J шх dF\ Ц = f rfdF.
F	F	F
27
Каждый из этих интегралов будем рассматривать как
интеграл от произведения двух функций
I
/= J" <p(s)C(s)ds.	(1,41)
о
Если одна из функций <p(s) будет иметь линейный гра-
фик (фиг. 17,6), вторая С(z) — произвольный (фиг. 17, а),
тогда интеграл (1,41), может быть вычислен на основании
известного правила Верещагина (7,59) путем перемножения
эпюр:
i
JK / = f <р (s) С (s) ds = Q<?c. (1,42)
°
Здесь 2 — площадь эпюры С($),
Чс — ордината линейной эпюры <p(s),
___взятой под центром тяжести эпю-
К ры С($).
Ж.	При построении секториальных
площадей будем считать за положи-
тельную ту площадь, которая очер-
чивается движением радиуса-век-
фиг 18	тора AM вокруг полюса А против
часовой стрелки (правая система
координат) (фиг. 18).
Способ определения секториальных характеристик поясним
на примерах.
Пример 1. Швеллерное поперечное сечение (фиг. 19)?
Для определения координат центра изгиба построим
эпюры х, у И
28
При построении эпюры сов полюс В выбирается произ-
вольно. Пусть точка В будет расположена на пересечении
срединной линии контура с осью симметрии.
Момент инерции I и линейно-секториальный момент
В'
имеют значения:
J
12 '	2
(1.43)

’в-
(1.44)
Координата центра изгиба ах определяется по
+ -у-
формуле:
'в-
(1,45)
а
Линейно-секториальный момент = 0, поэтому
“у
"£ = 0.
Jy
Начальная точка отсчета секториальных площадей должна
быть выбрана так, чтобы было выполнено условие:
а) • dF = 0.
(1.46)
29
Построим эпюру секториальных площадей относительно
полюса А, выбрав за начало отсчета произвольную точку 7И
(фиг. 20).
При выбранном положении точки 714 условие (1,46) не
выполняется.
Для построения новой эпюры секториальных площадей,
удовлетворяющей условию (1,46), воспользуемся соотноше-
нием (1,26):
J* со dF
С =	(1,47)
Для эпюры секториальных площадей (фиг. 20) находим:
следовательно
(2М1 + ЪЬ)
"	2
Площадь сечения
F = 26lblArbb,
фиг. 20.	Складывая секториальные
площади о (фиг. 20) с найден-
ным значением постоянной С, получим эпюру главных секто-
риальных площадей (фиг. 21), которая удовлетворяет условию:
У (C + w)rfF = 0.
F
Эпюра главных секториальных площадей показывает, что
начальная точка отсчета располагается на пересечении сре-
динной линии контура с осью симметрии.
Вычислим секториальный момент инерции /ш.
Пользуясь правилом Верещагина, находим:
I =с>
(Ь± — а*)8	а
2-1 "I 12	।	1Г~
(1.48)
30
йа основании эпюры главных секториальных площадей по-
строим эпюру секториальных статических моментов (фиг. 22)
s
S°™ = f ®dF.
О
Вспомогательный полюс выберем в центре кольца. За
начало отсчета секториальных площадей примем точку, рас-
положенную на пересечении линии контура с осью симметрии.
Толщину стенки кольца обозначим через 8. Находим:
Секториальная площадь относительно центра изгиба А
Равна:	ш = _ & (2 sjn а — а),
31
Йри §тоМ условие
выполняется.
Эпюра главных
на фиг. 24.
J*wd/7 = 6
F
секториальных площадей изображена
Вычислим секториальный момент инерции:
+л
/ш = j* (£)2dF=	• J* (2 sin а — a)2 da
F	-л
Порядок определения напряжений в стержнях при стес-
ненном кручении поясним на следующем примере.
Пример 3. Балка швеллерного сече-
ния, с шарнирным закреплением по кон-
цам, загружена равномерно распределен-
ной нагрузкой ^=1500 кг)м.
Фиг. 25.
Расстояние от линии действия нагрузки до центра изгиба
обозначим через е. Пролет балки I = 5,00 м (фиг. 25).
32
Определить нормальные и касательные напряжения при
следующих размерах швеллера:
8==’10 Oj = 14 мм\ Ь = $№мм\	== 200 мм.
По формулам (1,45) и (1,48) находим координату центра
изгиба ах и секториальный момент инерции /ш:
20^0,4	о
осл =------------Гд7Г = — 8,07 см.
2.20 • 1,4 +
т _ о f-8,072 -403-1 !
~2 L 24	'
+ (2°-8-°i7)8 + 8'073.402 • 1,4] = 1177 • Ю3 см».
Секториальные площади для крайних точек горизонталь-
ных полок швеллера (фиг. 21) будут:
ахЬ 8,07 -40	1 с 1 л 2
о)1 —----- =----------= — 161,4 см2
ш2 =1^^ал) =	(20 — 8,07) = 238,6 с.и2.
Секториальные статические моменты S™nc для полки
и стенки швеллера имеют значения:
(потс\	(^1 —
)п —	4	—
=..(?о-Л^:1,4=1992>55
- ал)2 + («Л + 4) = - 1992-55 +
+ 8,07_40 (8>07 14_|_М2) = 603,10 см\
Момент инерции
I =4УбХ = Ц?(2.20. 1,4’4-40 • 1) = 45,90 сл4.
и	о
Изгибно-крутильная характеристика
X,   0,4 • 45,90   Q OOQQ/L 1
k — V EI^-f 1177-103	°’0039 А см ’
3 Н. И. Карякин
33
Вычислим максимальные значения бимомента В и изгибно-
крутящего момента
Граничные условия на опорах будут:
при 2 = 0, 0 = 0; б'7 = 0
при 2 = /,	0 = 0; 6" = 0.
Они позволяют определить два параметра 0О и Lo.
По симметрии нагружения крутящий момент Lo на опоре
имеет значение:
,  	ml
Lq—	2" ,
тогда, принимая во внимание граничные условия, уравне-
ние (1,39) для угла закручивания на правой опоре приво-
дится к виду:
sh kl , ml ...	, , п т \k4*	, , , . .1 Л
е« • — + 2ОДГ* • (*Z~Sh W [-2—ch AZ +1 j = 0.
Отсюда
6о =
. kl \
shir\
. kl ’
ch^/
Подставив в уравнение (1,39) значения Lo и б0, получим
угол закручивания для произвольного сечения:
еЬ __
п  т kl 2 sh kz .
~2	7~kT ~k	1“
ch -5-
+ IGIJz (kz shkz^ G/afes( 2 chAz+lj.
Вторая производная от угла закручивания имеет значение:
б"
т
34
По формулам (1,29) и (1,27) находим бимомент В и
изгибно-крутящий момент
Фиг. 26.
Максимальное значение бимомента ^при 2 = ^-
о ____ 1
°тах — "^2"	1
1
. kl
chT~
т
~~ 0,003942
1
. 0,00394 • 500
ch--------------
= 222 - 102-m.
1
Максимальное значение (при 2 = 0):
(МД™ = Т • th = W94 •th °-985 = 191 >6 т-
3*
35
Если ПОЛОЖИТЬ £=14 СМ, ТО Втах И (^со)тах будут
иметь значения:
Втах= 15 • 14 • 222 • 102 = 466,5 • 104 кгсм2.
(MJniax= 15 • 14 • 191,6 = 40236 кгсм.
Нормальные и касательные напряжения вычисляем по
формулам:
о
23 max
466,5 • 104 • 238,6
946 кгсм2

1177-103
(М ) • somc
vvlci>/max
Тш	/ • 5
•' LO и
40236 -1992,55
1177 -103 • 1,4 ~49 кгсм2'
К полученным напряжениям необходимо присоединить
напряжения от изгиба балки при действии на нее по линии
центров изгиба нагрузки q.
ГЛАВА II
КРУЧЕНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
ЗАКРЫТОГО ПРОФИЛЯ
§ 9. Деформации и напряжения при свободном
кручении тонкостенных стержней с замкнутым профилем
Представим себе двухсвязный тонкостенный стержень,
оба контура которого очерчены плавными замкнутыми кри-
выми (фиг. 27).
Обозначим через о переменную
вдоль контура сечения толщину стенки
стержня. При малой толщине стенки
касательные напряжения т можно счи-
тать равномерно распределенными по
толщине стенки 8 и изменяющимися
с изменением дуги s средней линии
контура, отсчитываемой от какой-либо
точки М (фиг. 27).
Из рассмотрения равновесия эле-
мента abdc (фиг. 28, а), выделенного
из тонкостенного стержня, нетрудно
установить, что произведение касательного напряжения на
толщину стенки не зависит от координаты s.
Проектируя на ось z силы, действующие по граням эле-
мента abdc (фиг. 28, б), получим:
4^=о.
ds
следовательно,
= const.	(2,1)
Произведение то означает касательную силу, отнесенную
к единице длины средней линии контура. Установим зависи-
мость между касательным напряжением т и крутящим
моментом L.
ЗГ
Допустим, что при кручении поперечное сечение совер-
шает поворот вокруг точки А (фиг. 29).
Фиг. 28.
Составляя выражение для момента касательных усилий
относительно этой точки, получим
L — $ т • bh ds =
(2.2)
где Q = ($hds—удвоенная площадь, ограниченная средней
линией контура, h — перпен-
дикуляр, опущенный из точки А
на касательную к контуру се-
чения в данной точке. Из ра-
венства (2,2) находим:
г =	(2>3)
Для получения угла закру-
чивания воспользуемся гипоте-
зой о недеформируемости кон-
тура.
Обозначим через v пере-
мещение по направлению каса-
тельной к контуру, а через и—продольные перемещения
точек поверхности.
38
Зависимость между перемещениями и и v представляется
формулой (см. фиг. 7):
или
7=-Й-+е'Л-	(2,5)
На основании закона Гука имеем:
^=°О+е'л)-	<2-б>
Из равенства (2,6) находим
Отсюда
— 2__________________=______-___b'h	(2 7)
ds G	1,7
Интегрируя (2,7) по дуге s от некоторого произвольно
выбранного начала отсчета s = 0, получим дня и выражение:
й = -бй /-Т- - е' Л ds + “О’	(2-8)
о	о
где — перемещение той точки сечения, от которой ведется
отсчет дуги $.
Величина u> = J* h ds означает удвоенную площадь сектора,
о
образуемого начальным и конечным радиусами-векторами и
контуром срединной линии оболочки.
После обхода вдоль всей срединной линии оболочки мы
должны вновь прийти к первоначальному значению переме-
щения Условие однозначности функции и приводит
к равенству
Отсюда получаем:
ИЛИ
=	(2,9)
39
Здесь обозначено
G2
• ds ‘
(2,10)
Геометрическую величину 1а называют условным момен-
том инерции при свободном кручении.
Подставляя (2,9) и (2,10) в формулу (2,8), найдем для
продольных перемещений u(z) выражение:
и (z) = uQ (z) — (а) — 2s) 6' (z),	(2,11)
где через s обозначена приведенная относительная длина дуги
<2-12)
о
Введем обозначение
2s,	(2,13)
тогда формула (2,11) примет вид:
u(z) = Uq(z) — u)6z (z).	(2,14)
Полученное выражение аналогично выражению (1,9) для
продольных перемещений точек срединной линии при круче-
нии тонкостенных стержней с открытым профилем.
Так как при свободном кручении относительный угол
закручивания не зависит от координаты z, как это видно из
формулы (2,9), а продольные волокна не испытывают удли-
нений, то, на основании уравнения (2,14), можем записать:
_ du (г) __ du0 {z} _ Q
z dz ““ dz
Следовательно,
u0 (z) = const.
Это равенство выражает условие беспрепятственного
смещения поперечного сечения стержня в продольном напра-
влении.
§ 10. Нормальные напряжения при стесненном
кручении тонкостенных стержней с замкнутым профилем
Теория напряженного состояния тонкостенных стержней
с замкнутым контуром была разработана в 1939—1940 гг.
А. А. Уманским.
40
В основу этой теории положена кинематическая гипотеза
согласно которой закон перемещений и (г), выраженный
в задаче о свободном кручении формулой (2,14), сохраняется
для задачи стесненного кручения только при изменении коор-
динаты
Что касается перемещений в функции координаты z, то
для случая стесненного кручения эта зависимость нарушается;
функция 0 (г) не совпадает с углом закручивания.
Заменим эту функцию пока неизвестной функцией р(г).
Тогда формула для перемещений u(z) будем иметь вид:
и (z) = uQ (г) — р'(г)ш.	(2,15)
На основании закона Гука нормальное напряжение
будет определено равенством:
cz = E^ = E[u'0(z) — 0"(z)wj.	(2,16)
При действии на стержень одних только крутящих момен-
тов условия равновесия запишутся так:
N = §GzdF = 0,
Му = £ azxdF = О,
Мх = (£ azy dF = 0.
Подставляя сюда значение напряжения (2,16),
систему уравнений:
«'(г)/7 —₽"Cz)<pdf = 0,
xdF— р" (г) х dF = 0, •
у dF — р" (г) (£ (D у dF — 0.
(2,17)
получим
(2,18)

Так же, как и в теории открытых профилей, выберем
координаты центра изгиба и положение начальной точки
отсчета секториальных площадей так, чтобы секториальный
статический момент S- и линейно-секториальные моменты /-v
и /- обратились в нуль:
со dF = 0; (pio_ydF = O; (pcoxdF —0.	(2,19)
41
Принимая во внимание эти условия, из уравнений (2,18),
получаем:
<(г) = 0.
Формула для нормальных напряжений (2,16) примет вид:
=	(2,20)
Равенством (2,20) выражается общий закон изменения
нормальных напряжений при стесненном кручении тонко-
стенных стержней с замкнутым профилем.
§ 11.	Касательные напрчжент при стесненном
кручении стержней с замкнутым профилем
Поступая таким же образом, как и в случае кручения
стержня с открытым профилем (см. § 4), т. е. выделяя из
стержня бесконечно малый элемент средней поверхности со
сторонами dz и ds и приравнивая нулю сумму проекций
всех сил, действующих на этот элемент, на направление
образующей, получим:
%-Zds+-%~bds = 0.
ds 1 dz
Подставляя в это уравнение равновесия значение нор-
мального напряжения (2,20), можем записать:
4^8 dS = —	8 ds = EQ"'(z) <о dF.
dS	dz	г \ /
Здесь обозначено ods = dF.
Интегрируя по дуге $, находим:
E$'"(z) г- .
Т = s- J и> dF + т0,
о
или
т = ^^5- + г0,	(2,21)
где S- = J*o)dF—секториальный статический момент, т0 —
о
касательное напряжение в точке сечения, соответствующей
началу отсчета дуг s.
42
Для определения функции t0 составим выражение для
момента внутренних сдвигающих сил, действующих в сечении
стержня, относительно центра кручения:
L = $xhdF,	(2,22)
где h — перпендикуляр, опущенный из центра кручения на
касательную к контуру сечения в данной точке.
Подставляя в равенство (2,22) значение для касательного
напряжения при dF = ods и d^ =hds, получим:
L = £ [та +	$-] Л8 ds = т0о р«> + Ер"' (г) £ S- Л>,
Е = т08Й+-Ер'"(г)^5-г/и>.
Отсюда находим касательное напряжение т0:
<2-23)
Здесь обозначено: 2 = h ds—удвоенная площадь,
ограниченная средней линией контура.
Подставив найденное значение т0 в формулу (2,21),
получим:
где S- — обобщенный секториальный статический момент:
S- = S-----^-(Cs-dw.	(2,25)
о> «> Q 7	01	\ ’	/
Первым слагаемым формулы (2,24) определяются каса-
тельные напряжения при свободном кручении стержня, вы-
званные действием полного крутящего момента L.
Вторым слагаемым оцениваются касательные напряжения,
вызванные самоуравновешенной системой внутренних сил.
В этом нетрудно убедиться, приравняв нулю момент этих
сил, выраженных через касательные напряжения:
Ep'"(z)psda> = 0.
Это условие выполняется, если для S- подставить зна-
чение, определяемое по формуле (2,25).
43
§ 12. Определение координат центра изгиба
Координаты центра изгиба А и положение начальной
точки отсчета секториальных гпощадей определим из усло-
вий (2,18):
«>л rif = О,
(р шАх dF = 0,
(£ <ол_у dF-О.
(2,25)
где — обобщенная секториальная площадь, соответствую-
щая полюсу А.
Возьмем в поперечном сечении произвольную точку В
(фиг. 30). Обобщенную секториальную площадь, соответ-
ствующую полюсу В, обозначим через и>в. При расположении
полюса в начале координат дифференциал секториальной
площади, как известно из теории открытых профилей, имеет
значение:	dv = Xdy — ydx.	(2,27)
Кроме того, на основании ранее установленного соот-
ношения (2,13) можем записать дифференциал обобщенной
секториальной площади:
^ = du>_	(2,28)
У 5
44
Применяя теперь формулы (2,27) и (2,28) к полюсам А
и В, найдем:
—	Q
(1шА = (х — д r) dy — {у — Йу) dx —	,
о
— b J dy — (y — by) dx----- .
Вычитая из уравнения первого второе, получим:
d ( “л ~ юв ) = (ау — by)dx — (ах — bx~) dy.
Интегрируя, получим формулу для преобразования секто-
риальных площадей при изменении полюса:
“д = и,в + (ау ~~ Ьу>Х ~ А — ьх) У + С-
где С — произвольное постоянное число.
Обозначая координаты полюса А относительно полюса В
через ах и ау:
ах = ах—Ьх; ау = ау — Ьу,
выражение для о)д можем записать в следующей форме:
а)л“0)в + аух —	(2.29)
Подставляя значение секториальной площади (2,29) в ура-
внения (2,26), получим:
ос/— а /—CSX = I- х, )
хх У ху	х ШВ |
“Ау — аЛ'“ CSy =Ь,ВУ’ '	(2,30)
axSx — avSv — CF — S- .
XX у у	<oB J
Коэффициенты при неизвестных имеют значения:
/dF; Iy = jx^dF-, Ixy =
Sx=jydF-, Sy = §xdF.
Секториальные характеристики
7-	— У dF; I- =&^>RxdF; S- =&u)dF
WBX J	ШВУ J B	oyB J
вычисляются для произвольно выбранного полюса В.

ху dF;
45
Итак, при произвольно выбранных осях координат х, у,
решение задачи о нахождении положения центра изгиба и
в этом случае сводится к решению системы уравнений (2,30)
относительно неизвестных av, ау и С.
Система уравнений (2,30) полностью совпадает с системой
уравнений (1,24), относящихся к теории тонкостенных стерж-
ней с открытым профилем.
Если поперечное сечение стержня закрытого профиля
отнести к главным центральным осям инерции х, у, то из
уравнений (2,30) найдем:
S-
С =------(2,32)
Равенство (2,32) может быть записано в виде:
Секториальная площадь (од, построенная из центра
изгиба А, называется главной обобщенной секториальной
площадью.
§ 13.	Зависимость между нормальными и касательными
напряжениями и статическими факторами
Чтобы выразить нормальное напряжение через стати-
ческую величину, составим произведение элементарной силы
rfF на соответствующую ей обобщенную секториальную
площадь а> с полюсом А в центре изгиба:
dB- = з/о dF.
Подставляя сюда значение для sz по формуле (2,20) и
интегрируя по всей площади, получим выражение для
бимомента
В-	= - Е$" (г) (р dF = _ EI^r	(2,33)
Отсюда находим:
В-
₽"(*) =----rf-.	(2,34)
46
Здесь /- — главный обобщенный векториальный момент
инерции:
J- = £~^dF.	(2,35)
Подставляя из равенства (2,34) значение р" (г) в фор-
мулу (2,20), получим:
В- со
(2,36)
При одновременном действии на стержень нормальной
силы Nz, изгибающих моментов Мх, Му и крутящего
момента Л, полное нормальное напряжение определится алге-
браической суммой напряжений, вызванных указанными сило-
выми воздействиями.
Дифференцируя обе части равенства (2,34) по z, получим:
EI-W" (z) = -^- = — М-,
4 7 dz	ш
где М-— изгибно-крутящий момент:
ш dz
(2,37)
(2,38)
Подставив значение р'/Л(г) из формулы (2,37) в равен-
ство (2,24), получим формулу для касательных напряжений:
т M-S-
<2-39)
(D
Статические величины В и 714- могут быть вычислены по
формулам (2,33) и (2,37), если будет найдено значение функ-
ции р(г) и ее производные P"(z) и P'"(z).
§ 14. Дифференциальное уравнение углов закручивания
стержня закрытого профиля
Дифференциальное уравнение угла закручивания может
быть получено из рассмотрения зависимости между касатель-
ными напряжениями и деформациями сдвига срединной поверх-
ности (2,6):

47
Подставив в это равенство значение касательного напря-
жения из формулы (2,24), получим:
Интегрируя по дуге, находим:
и = йо+^1	+	^--6'(z) / hdS.
О	0	0
Так как перемещение и является однозначной функцией,
то при интегрировании по всему контуру функция и обра-
щается в и0. На этом основании получаем:
Вводя обозначения:
о,
= (2,41)
У 8	У 8
запишем равенство (2,40) в таком виде:
EI-V" — GIaV = — L.	(2,42)
Дифференцируя это уравнение по z, получим:
EIzJV — GIJi"= — т,	(2,43)
где
«* = #•	(2Л4)
Для нахождения двух функций р и 6, входящих в диф-
ференциальное уравнение (2,43), необходимо составить еще
одно уравнение.
Для этого воспользуемся условием равновесия:
§thdF = L,	(2,45)
где
*=°(>+е4
48
Подставляя сюда значение для и из формулы (2,15) и
принимая во внимание, что и0 = const, после преобразований
получим:
Интеграл вида
/р = <j> dF	(2.47)
называют направленным моментом инерции поперечного
сечения.
Принимая во внимание обозначения (2,41) и (2,47), пере-
пишем уравнение (2,46) в следующем виде:
₽'(4—Q + 46' = -^.	(2,48)
Отсюда получаем:
6'~4+f'(,4)-	<2'49)
Введем обозначение
D=l—4-	(2,50)
7Р
Дифференцируя уравнение (2,49) три раза по z и пола-
гая крутящий момент L — функцией от z не выше второй
степени, получим:
Внося это в уравнение (2,43), запишем дифференциальное
уравнение в таком виде:
’ £/_glv_ О/6" = — щ.	(2,52)
Р) (D	а	\	/
Вводя обозначение
запишем уравнение (2,52) в канонической форме:
6iv_fe2e" = _^..	(2,53)
CD
Уравнение (2,53) выражает дифференциальное уравнение
углов закручивания, соответствующее теории А. А. Уман-
ского для стержней с закрытым профилем.
4 Н. И. Карякин
49
При известных граничных условиях задачи оно позволяет
найти функцию 0 (г), а следовательно, и напряжения а и т.
Дифференциальное уравнение (2.53) отличается от соот-
ветствующего дифференциального уравнения для стержней
открытого профиля лишь численным значением коэффи-
циента k.
Таким образом, задача о кручении тонкостенного стержня
закрытого профиля аналогична задаче о стесненном кручении
стержня с открытым профилем.
Наличие общности между двумя указанными задачами
позволяет заменить их одной более простой и наглядной
схемой загружения — продольно-поперечным изгибом того же
стержня [24].
С помощью такой схемы расчет может быть выполнен
известными методами строительной механики.
Общий интеграл однородного дифференциального урав-
нения (2,53) имеет вид:
б = Cl-\-C2z-\-C3shkz -|- C4ch&.z; (2,54)
последовательные производные 9 по z будут:
О' = С2 + k (С3 ch kz + С4 sh kz), 1
О" = k2 (С3 sh kz + C4 ch kz), >
6Л/' = ^3(С3сЬ kz-\-C±s\\ kz). j
(2,55)
Для статических величин В- и L имеем выражения:
(2.56)
EI-
L = GI.fi' —	= GI.fi'-----б'".	(2,57)
Внося в эти уравненья значения производных О', б" и
находим:
EI-
В~ =--------£ О" = — G/a (С3 sh kz + С4 ch kz),
(2,58)
EI-
L = GI^'—^^ = Glfi2.
Положив в равенствах (2,54), (2,55) и (2,58) переменную
величину z равной нулю, найдем произвольные постоянные:
бо^ + С,; бо = С2-|-^С3; В0 = -С4О/а;
50
Отсюда находим'
Подставив эти постоянные в равенство (2,54), получим:
0 = %+ 6о ^-+ 1^(1 — Ch kz) + -^r<kz — sh kz).
tc	\J I	клла
(2,59)
В общем случае загружения стержня крутящей нагрузкой
будем иметь уравнение, совпадающее по внешней структуре
с уравнением для угла закручивания стержня открытого про-
филя [см. уравнение (1,39)].
Полная аналогия между деформациями и статическими
величинами при продольно-поперечном изгибе и стесненном
кручении стержней закрытого профиля в наглядной форме
представлена в таблице 2.
Таблица 2
Продольно-поперечный изгиб	Кручение стержней закрытого профиля
’	। "и —.	£	II II >	I 1 I1 i 1	0 0' DGI* В- = — EI-V' CD	CD EI- М. =	О'" со	1_) EI- L = GIaV	О'" D O'V _ kW =	D EI- -
В этой таблице обозначено:
N— продольная растягивающая сила,
Qn— полная поперечная сила.
4*
51
Порядок определения секториальных характеристик для
стержней замкнутого профиля поясним на следующем примере.
П ример. Для тонкостенного стержня, состоящего из че-
тырех пластинок, образующих в поперечном сечении прямо-
угольник (фиг. 31, а), определим секториальные характе-
ристики S-,	I и D.
Толщина стенок профиля принята равной 8.
Фиг. 31.
По условию симметрии заключаем, что центр кручения
совпадает с центром тяжести.
Удвоенная площадь, ограниченная контуром, имеет значе-
ние:
2 = 2аЬ.
Принимая за начало отсчета дуг точку 1, построим гра-
фик зависимости (фиг. 31, б)
S
Г
J А
= 2ab 0	 = -	, s.
f d s a4-b
Построим из того же центра секториальную эпюру w,
(фиг. 31, в)
52
Ординаты секториальных площадей wz получим путем вы-
читания из ординат эпюры coz ординаты эпюры 2s.
Эпюра coz = coz — 2s изображена на фиг. -31, г.
Для построения главной секториальной площади <о, удо-
влетворяющей условию
со dF - О,
воспользуемся формулой:
= '"l> + аух — ахУ + ₽ •
Так как в рассматриваемом примере центр кручения сов-
падает с центром тяжести сечения, то =	—-0. Величина р
определяется по формуле:
где
f = 2(a + 6)6;	=	=	.
Таким образом, главная секториальная площадь опре-
деляется по формуле
_ ab(a-b)
При d = b главная секториальная площадь w обращается
в нуль. Эпюра секториальных площадей со изображена на
фиг. 32, а.
Такую же форму будет иметь эпюра нормальных напря-
жений при кручении тонкостенного стержня коробчатого се-
чения. Принимая за начало отсчета точку /?, построим эпюру S-
(фиг. 32, б):
S
S- = pdF.
о
Для определения обобщенного секториального статиче-
ского момента 5- вычислим предварительно геометрическую
величину
где h — перпендикуляр, опущенный из центра кручения на
направление касательной к контуру сечения.
53
Вычисляй сумму площадей эпюры S- и помножая эти пло-
щади на. соответствующие расстояния /г, получим:
<£ S’ /г Яс _L Г4	. — -4-
о	<2[4 ’2 3	16 й-И)" 2 +
. Q а Ъа2Ь (а — b) / । о 2 А ЪаЬ2 (а — b) 1
~2 I6(a + b) ’	’ У ° 16 (л+ 6) J *
Подставив значение £2 = ‘lab, окончательно получаем:
£2 J о»	48 (а + Ь)
Вычитая эту геометрическую величину из ординат эпюры S-,
8а62(а-Ь)
/б(а+&)~~\
J___К
аМа-б)
SrrrrffiTinfflf
б)
6)
Ц!И1И111111П1Ща
~w(a+6)

Sat)(a b)
16
1
8ab(a-b)(Za+5)
щ(а*б)
8ab(a-6)(a-zb)
ы(а+б)
Фиг. 32.
получим ординаты обобщенного секториального момента 5^*
SU; = S~ —JS';/2,fe-
Эпюра 5- изображена на фиг. 32, в. Касательные напря-
жения по длине контура изменяются по тому же закону, что
и 5-.
<0
Далее по формуле (2,35) вычисляем главный обобщенный
секториальный момент инерции:
(d2 ds.
54
Применяя правило Верещагина, находим:
. _ Ъа^(а — by
ш 24(а-\-Ь) *
Направленный момент инерции /0, согласно (2,47), имеет
значение:
1а = £ й2 dF = 8
^h2ds.
Интегрируя по всему контуру сечения, находим:
/р = 28 [(А)2 а + (^b] = М {а + ь).
Момент инерции /а, соответствующий чистому кручению,
определяем по формуле (2,10):
 Р-2 2оЛ2^
Коэффициент D находим по формуле (2,50):
7Р— (я-Н)2’
Подставив найденные геометрические характеристики
в формулы (2,36) и (2,39), найдем нормальные и касательные
напряжения в скручиваемом стержне.
ГЛ AB A III
РАСЧЕТ МНОГОПРОЛЕТНЫХ СТЕРЖНЕЙ
§ 15. Уравнение трех бимоментов для
неразрезных стержней
Общая схема расчета неразрезных тонкостенных стерж-
ней на кручение принципиально нисколько не отличается
от известной схемы расчета неразрезных балок, находящихся
под действием поперечных и продольных усилий.
/7+г
Рассмотрим многопролетный стержень с произвольной
крутящей нагрузкой в пролетах (фиг. 33). Будем предпола-
гать, что углы поворота опорных сечений вокруг оси стержня
Фиг. 34.
равны нулю. За лишние неизвестные примем опорные из-
гибно-крутящие бимоменты. Разрежем многопролетный стер-
жень поперечными сечениями, проведенными над опорами,
на ряд однопролетных балок (фиг. 34). При определении
56
изгибно-крутящих бимоментов, приложенных по концам этих
балок, воспользуемся тем обстоятельстом, что каждые два
смежных участка неразрезной балки на их общей опоре
имеют общую касательную к кривой углов закручивания.
Это условие непрерывности может быть выражено равенством:
e;=-e;+1-	(3.D
Производные от углов закручивания б' и б' опреде-
ляются из дифференциального уравнения кручения
=	(з,2)
____	ЕЦ	к 7
,	, /~ GIa
где k = V -pf- —изгибно-крутильная характеристика;
— секториальная жесткость;
т — интенсивность крутящей нагрузки.
Решение дифференциального уравнения (3,2) в форме
метода начальных параметров приведено в § 7 [см. фор-
мулу (1,39)].
Для случая однопролетной балки, нагруженной на правом
конце бимоментом В (фиг. 35), производные б' и 6' соот-
Фиг. 35.
ветственно на левой и правой опорах определяются из урав-
нения (1,40) и (1,29) по формулам:
л' _ В / 1	1 \ _ В1
1	kEI^ \ kl sh kl) 6Е/Ш ’
_ В ( ch kl 1 \ B-l
2	— /г£/ш sh kl kl)~~ ЗЕ/Ш ’
(3,3)
где
. _ 6 / 1	1 \	_ 3 / ch kl 1 \
kl\kl shkl)’ y-~~kl\shkl kl)'
Применим формулы (3,3) к рассматриваемой нами нераз-
резной балке. Обозначим через Bn_lt Вп и Вп+1 опорные
бимоменты по концам я-го и и-]-1-го пролетов (фиг. 34).
57
Для левого пролета производная от угла закручивания 6'
определится по формуле:
(/ __ Bn—lJn л. । Вп1п । д' лев.
°" — 6£/ш ’ ™ + 3£/ш Хл + 0л
Для правого пролета производная от угла закручива-
ния 6/Zrl будет равна
д' ____1Вп1п+\	,Вп+11п+г .	। д' прав.
U,!+1— 3£/ш Xn + i’r 6£/ф тл + 1Н-°л + 1 •
В этих формулах 9пмв' и 9„"?ов’ означают производные
от углов закручивания по концам стержней при действии
крутящей нагрузки в пролетах. Вставляя найденные 6П и 9n+i
в условие непрерывности (3,1), получим следующее урав-
нение трех и з г и б н о-к р у т я щ и х бимоментов:
Вп - ЛФд + 2 Вп УпХ-п + 1п + 1Хя +1) + Вп + х1п	+ £ =
=—6£7Ш (е;лев-+е';'?“)•	(3.4)
Таких уравнений можно написать столько, сколько
имеется промежуточных опор.
Получаемые таким путем уравнения для определения не-
известных опорных бимоментов имеют такую же структуру,
что и уравнения трех моментов для расчета растянуто-изо-
гнутых неразрезных балок. Если величина kl беспредельно
убывает до нуля, функции фи/ стремятся к единице и
уравнение (3,4) в пределе обращается в приближенное урав-
нение трех бимоментов.
Решение уравнений о трех бимоментах значительно может
быть облегчено применением таблицы функций фи/ (табл. 3),
составленной И. Г. Бубновым применительно к расчету много-
пролетных растянуто-изогнутых стержней.
Таблицы тех же функций приведены в капитальном труде
П. Ф. Папковича1.
Приложение уравнения (3,4) к расчету многопролетных
стержней на кручение покажем на примере, изображенном
на фиг. 36. Обозначим длины всех пролетов через Z.
1 См. П. Ф. Папкович. Строительная механика корабля,
ч. П. Судпромгиз, 1941; И. Г. Бубнов. Строительная механика
корабля, ч. II. 1912.
58
Таблица 3
kl	Ф	X	kl		X
0,00	1,000	1,000	5,00	0,224	0,480
0,20	0,995	0,997	5,59	0,189	0,446
0,40	0,982	0,989	6,00	0,162	0,417
0,69	0,959	0,977	6,50	0,139	0,391
0,80	0,930	0,959	7,00	0,121	0,367
1,00	0,894	0,939	7,50	0,106	0,347
1,20	0,854	0,916	8,00	0,093	0,328
1,40	0,811	0,899	8,59	0,083	0,311
1,60	0,765	0,863	9,00	0,074	0,296
1,80	0,719	0,834	9,59	0,066	0,283
2,00	0,673	0,806	10,00	0,069	0,270
2,59	0,563	0,736	10,59	0,054	0,259
3,00	0,467	0,672	11,00	0,050	0,248
3,50	0,386	0,614	11,59	0,045	0,238
4,00	0,320	0,563	12,00	0,0'42	0,229
4,59	0,267	0,519			
Левый и средний пролеты нагружены равномерно распре-
деленной крутящей нагрузкой интенсивности т; по середине
правого пролета приложен сосредоточенный крутящий мо-
мент М. Пусть при заданных длинах пролетов и размерах
Фиг. 36.
поперечного сечения стержня величина kl=- 4. При этом,
согласно табл. 3, имеем:
ф = 0,320, / = 0,563.
Бимоменты на крайних опорах рассматриваемой нераз-
резной балки равны нулю (Во = В3 = 0).
Для определения неизвестных опорных бимоментов на
промежуточных опорах составим уравнение трех бимоментов
для двух групп пролетов.
Для группы пролетов 0—1—2 имеем:
2в, (1Х+/х)+в/ь=-бЕ/а (е;-’™-+е"'а‘).
59
Таблица 4
60
Для группы пролетов 1—2—3 получаем:
+ 2£J2 (/Z + //) = - 6Е1Ш (е'"в- + 6'^“').
В правой части этих уравнений производные от углов
закручивания имеют значения (см. табл. 4):
/	u kl \
I , . SH „	\
л/лев.	аг прав.	аглев. —   Til I Kl	2 1
°! =еа =ез — &ёц-1т—тг >
\ сЬт/
агправ._ Ml. 1	\
4	—	r~kT •
ш	ch -Z7- /
Подставляя в уравнения трех бимоментов численные зна-
чения функций ф и у и решая совместно эти уравнения, по-
лучим:
BL = 0,00886 • М • Z — 0,08178mZ2,
В2 = — 0,06234 • М • I — 0,03146/nZ2.
По найденным опорным бимоментам нетрудно определить
бимоменты В^ и изгибно-крутящие моменты Л4Ш в произволь-
ных сечениях пролетов.
Эпюры бимоментов и изгибно-крутящихнмоментов изобра-
жены на фиг. 37.	,•
Фиг. 37.
Нормальные и касательные напряжения при стесненном
кручении от найденных статических факторов В^ и 714^ опре-
деляются по формулам:
О	Л/Г QOmc
_____
и> г »	~ГТ •
1Ш	1 (О'*
61
§ 16. Кручение многопролетных стержней с консолями
Если многопролетные тонкостенные стержни имеют кон-
соли (фиг. 38), то, независимо от расположения крутящей
нагрузки на балке, в общем случае загружения бимоменты
на крайних опорах будут отличны от нуля.
Фиг. 38.
Для получения уравнения, позволяющего определять опор-
ные бимоменты в консольных балках, необходимо предва-
рительно изучить влияние различных крутящих нагрузок на
величину производной от угла закручивания в опорном сече-
нии консоли.
Фиг. 39.
Чтобы наглядно представить себе явление кручения кон-
соли, закрепленной шарнирно на одном конце (фиг. 39),
целесообразно заменить этот стержень растянуто-изогнутой
консолью с нагрузкой, отвечающей внешним крутящим мо-
ментам (фиг. 40).
N^Ia
Фиг. 40.
Определяя из рассмотрения продольно-поперечного изгиба
стержня (фиг. 40) деформации и внутренние силы, мы тем
самым найдем нужные нам деформации и статические вели-
чины при изгибном кручении того же стержня.
62
Так, например, при загружении растянутой консоли сосре-
доточенным моментом УИ, приложенным в опорном сечении
(фиг. 41), угол поворота на опоре определяется по формуле:
_	М-1
V — El kl-thkl ‘
(3,5)
Согласно табл. 1 этот угол поворота соответствует про-
изводной от угла закручивания в опорном сечении при
загружении того же стержня опорным бимоментом В:
EIJil • th kl '
(3,6)
Для нескольких случаев отдельных загружений значения
производных от углов закручивания приведены в табл. 4.
Для выяснения методики расчета балки с консолью рас-
смотрим предварительно кручение балки, изображенной на
фиг. 42, к правому концу которой приложен сосредоточен-
ный крутящий момент М.
Фиг. 42.
Вместо этой балки может быть принята расчетная схема
в виде растянуто-изогнутой одноконсольной балки с прило-
женной к правому концу сосредоточенной силой Р (фиг. 43).
Для определения неизвестного опорного изгибающего мо-
мента М = Х1 применим известную из курса строительной
механики теорему о взаимности работ1.
1 См. М. М. Филоненко-Бородич. Курс сопротивления
материалов, ч. II. 1949; И. М. Рабинович. Строительная меха-
ника стержневых систем. 1946.
63
Разрежем балку на две части сечением, проведенным над
опорой 2, и заменим влияние нарушенной связи моментами
М = Х1. За первое состояние растянуто-изогнутых частей
балок возьмем изгиб этих балок силами Р и Х{, за второе
Фиг. 43.
состояние возьмем изгиб тех же балок моментами Xlt рав-
ными единице. Уравнение о взаимности работ будет иметь вид:
+	• ?2 — Р . /= 1 . Тз — 1 . ?4.	(3,7)
Углы поворота <р3 и ср4 равны между собой.
Из уравнения (3,7) находим:
Согласно ранее полученным формулам (см. формулы 3,3),
имеем:
Z _ Z
3EI * Z “ ЕН ’
где
_ 3 __ kWshkl
Х X &Z ch kl — sh&Z *
По формуле (3,5) находим:
b
<р2— Elkb th kb ’
Из условия равновесия растянуто-изогнутой консоли,
нагруженной на опоре единичным моментом Хг = 1, получим
прогиб f на правом конце:
1 _
* ~ N kWEI ’
64
Вставляя найденные Значений cpt, ср2 и f в формулу (3,8),
получим
У ____ Р • I • х • th kb
Л1 ~ kl (kl th kb + x) ’
(3,9)
Подставив в эту формулу вместо сосредоточенного груза Р
крутящий момент Л4, получим значение изгибно-крутящего
бимомента В в опорном сечении 2 одноконсольного тонко-
стенного стержня:
d _ M-l-*-thkb
kl(klthkb+*) 9
или
D — ЗМ • I
2 ~ kl (х • kl • th kb + 3) •
(3,10)
• (З.Н)
Перейдем теперь к выводу дополнительного уравнения,
которое должно быть присоединено к системе уравнений
трех бимоментов при расчете балок с консолями. Для нагляд-
ного проведения процесса решения задачи вместо скручи-
ваемого однопролетного стержня с консолью рассмотрим
растянуто-изогнутую одноконсольную балку с приложенными
к ней внешними силами, указанными на фиг. 44, а.
Эта система имеет одно лишнее неизвестное. Разрезав
балку над правой опорой на две части и приложив в местах
разреза к каждой части балки момент XY = М2, получим
основную систему в виде двух балок (фиг. 44, б).
Лишнее неизвестное усилие Хх определим из канониче-
ского уравнения метода сил:
Xi • &и ^ip — 0.
(3,12)
5 Н. И. Карякин
65
В этом условии неразрывности перемещения и Д1Р,
согласно ранее полученным формулам, имеют значения:
811 = СР1+'Р2=	+	(3,13)
Д1Р = <Рз+?4 = ^«-+	<?(/)• (3,14)
В уравнении (3,13) через /(с) обозначено:
(З-15)
В уравнении (3,14) через упРао- и улев- обозначены углы
поворота на опоре 2 от действия на левую и правую растя-
нутые балки поперечных нагрузок. Последним членом опре-
деляется угол поворота на опоре 2 от действия момента ЛД,
приложенного к левой опоре однопролетной балки.
Вставляя значения перемещений оп и Д1Р в уравнение
(3,12), после несложных преобразований получим:
М, • Z • 4 (Z) + 2М> [Z • у (Z) + с • х (с)] — — 6£7 ^прас" + ср^-).
(3,16)
Это есть то дополнительное уравнение, которое необхо-
димо присоединить к уравнениям трех моментов при расчете
неразрезных балок с консолями на продольно-поперечный
изгиб.
Если в этом уравнении заменить изгибающие моменты А41
и Л12 бимоментами В{ и В2, углы поворота vnPae- и срЛ<?0- —
Производными ОТ углов закручивания Q'nPae- и а жест.
кость EI при изгибе — секториальной жесткостью £7Ш, то,
согласно математической аналогии между стесненным круче-
нием и продольно-поперечным изгибом, получим дополнитель-
ное уравнение бимоментов для расчета многопролетных
тонкостенных стержней на кручение:
В,  I • 4(/)Н-2В2[/ • z(0+c -z(c)l =-6£/M(0'”₽ae +6'4eo-)-
(3,17)
Применение уравнения (3,17) к расчету консольных балок
покажем на конкретном примере.
Рассмотрим кручение одноконсольной балки с заделанным
левым концом (фиг. 45). Пролет 1—2 загружен равномерно
распределенной крутящей нагрузкой интенсивности т. Для
раскрытия статической неопределимости задачи необходимо
66
составить два уравнения. При этом заметим, что в случае
заделанного конца уравнение трех бимоментов так же, как и
при изгибе неразрезных балок, составляется для крайней
группы пролетов, содержащих нулевой пролет lQ=0. В таком
случае первое уравнение трех бимоментов должно быть со-
ставлено для пролетов /0 и I в предположении, что опора О
шарнирная, на которой бимомент Во равен нулю.
Фиг. 45.
Согласно уравнениям (3,4) и (3,17), получим следующую
систему уравнений:
2ZV . Z (Z) + ва/ф (Z) = - 6Е/и • 0™, ]
У (3,18)
В, • Z • ф(/) + 2В2[Z . Z(Z)-|-c-Z(c)] =-—6Е/щ • 0^й0-. J
Формулы производных от углов закручивания для несколь-
ких случаев загружения стержней крутящей нагрузкой при-
ведены в табл. 4.
На основании этой таблицы получаем:
0М<?°- = О'прав- =	- th ;
при kl = 2 и kl=\, имеем:
е,ле0.=е,„рсв. =0 0298 mZ^
X (/) = 0,806; ф (/) = 0,673; / (с) = 3,939.
Подставляя эти значения в уравнения (3,18), получим:
1,612++ 0,673В2 = —0,1788m/2, )
(3,19)
0,673++5,551В2 = —0,1788m/2. j v 7
Решая совместно систему уравнений (3,19), находим:
В± = — 0,1027m/2; В2 = — 0,0198m/2.
Для стержней с первоначально заданными углами пово-
рота опорных сечений уравнение трех бимоментов имеет
такой же вид, что и уравнение трех опорных моментов для
5*
67
продольно-поперечного изгиба неразрезной балки с опорами,
расположенными на разных уровняхх.
Обозначив через	и 0п+1 углы поворота опорных
сечений, уравнение трех бимоментов может быть представлено
в таком виде:
Вп - • К + 2 Вп УпХ-п + 1 2п 4- 1Х« 4-1) + Вп 4- 11П 4- 1Фд 4-1 = “	’ а« »
(3,20)
где	п _ 0и+1-0п е„ —о„1
/«4-1	1П •
Наиболее простое решение задачи о кручении стержня
с заданными углами поворота опорных сечений можно полу-
чить, применяя метод узловых депланаций [24].
§ 17. Кручение многопролетных стержней с упруго-
поворачивающимися опорными сечениями 2
Решение задачи о кручении многопролетных тонкостенных
стержней, опорные сечения которых испытывают упругие
повороты, не представляет трудностей и может быть легко
выполнено по известным правилам строительной механики.
Представим себе многопролетный тонкостенный стержень,
нагруженный в пролетах внешними крутящими моментами
Л4р Л42, . . ., Мп (фиг. 46). Предположим, что все опоры
Фиг. 46.
стержня упруго поворачиваются на углы 61с, 02с, •••>
Коэффициенты податливости опор обозначим через сх, с2, • • •
.... сп. За лишние неизвестные в этом случае полезно при-
нять крутящие моменты Xlt Х2, • • •, Хп на промежуточных
опорах. Для их определения составим канонические уравне-
ния метода сил. Отбросив промежуточные закрепления и за-
1 С. П. Тимошенко. Устойчивость упругих систем. 1946.
2 См. Н. И. Карякин. Вестник инженеров и техников, № 1,
1953.
68
менив их действие на стержень неизвестными Xt, Х2. .. ., XlV
получим основную систему с внешними крутящими моментами:
Х<, Х2......Хп, ЛК, М2, . . AL.
1*	4’	9 ft'	1’	’ tl
Канонические уравнения метода сил для п лишних неиз-
вестных крутящих моментов запишем так:
^1611+Аз912 + Хз61з+ • • • 4“^САЛ4“	-4“	— О»
Х1О21 + Х2О22+Х3О23 Ч- • • • Ч- 4- ^2м 4- ®2с — о.
. .	.	(3,21)
Х19л1 4~^20л2 + ^36^3 4- • • • 4- Хп®пп + ®пм 4- ®пс = 0.J
Из этих уравнений находим неизвестные крутящие мо-
менты Хр Х2, . .., Хп. Угловые перемещения могут быть
определены с помощью общего уравнения (1,39).
Применение уравнений (3,21) к расчету тонкостенных
стержней на кручение поясним на примере трехпролетного
тонкостенного стержня, находящегося под действием сосре-
доточенного крутящего момента Л4, приложенного в правом
крайнем пролете (фиг. 47). Крайние опоры будем считать
шарнирно закрепленными (0=0, В = 0). Допустим, что
упругие повороты испытывают лишь две промежуточные
опоры. Пусть за лишние неизвестные будут приняты крутящие
69
моменты Хг и Х2 на промежуточных опорах,
система и единичные состояния Хг=1 и Х2=1
влены на фиг. 47.
Канонические уравнения принимают вид:
^1611 + Л2612 -|- 61JW =  61Z? -   Х]С1;
^1^21 + ^2^22 +	—  ®2с =  Х2С2.
Из этих уравнений находим:
у ____	02x012 — 61Х (O22 -|- С2)
1	(Ou + Cj) (O22 + с2) — 612621 ’
У ____	02х(011 + С1) — 01x621
2	~ 012021 — (022 + С2) (011 + СО •
Основная
предста-
(3,22)
(3,23)
Так как задача о кручении тонкостенных стержней мате-
матически тождественна с задачей о продольно-поперечном
изгибе, то найденный результат для лишних неизвестных Xt
и Х2 можно получить из рассмотрения растянуто-изогнутого
стержня, расположенного на четырех опорах, из которых
две промежуточные испытывают упругую осадку (фиг. 48).
Обозначим коэффициенты податливости упругих опор
через сг и с2; тогда канонические уравнения для определения
лишних неизвестных опорных реакций Х{ и Х2 примут вид:
-f- Айа + Sip — — Х]_с j,
•‘Vi.oai ~Н JVgOga —|~ о2р =— — Х2с2.
(3,24)
70
Перемещения 3n, 812, ...»	82р» через которые выра-
жаются неизвестные Х{ и Х2, показаны на фиг. 48; уравне-
ния (3,24) имеют такую же структуру, как и уравнения (3,22).
Определив из уравнений (3,24) лишние неизвестные реак-
ции Хг и Х2, соответствующие крутящим моментам на про-
межуточных опорах, нетрудно затем найти изгибающие
моменты и перерезывающие силы. Им будут соответствовать
изгибно-крутящие бимоменты В и изгибно-крутящие мо-
менты
Рассмотрим второй пример — кручение тонкостенного
консольного стержня с неподвижно закрепленным левым
концом, имеющим одну упруго поворачивающуюся опору,
отстоящую от правого конца на расстоянии а (фиг. 49).
По всей длине стержень загружен сплошной равномерно
Фиг. 49.
распределенной скручивающей нагрузкой интенсивности т.
Обозначим через с коэффициент податливости упругой опоры.
За лишнее неизвестное выберем крутящий момент Хг на
упругой опоре. За основную систему примем стержень
с подвижно закрепленным левым концом. Уравнение для
определения лишнего неизвестного таково:
ХЛ1 -1- 01/и — —	— — Х±с.
71
Отсюда находим:
=	(3.25)
где 01т— угол закручивания опорного сечения В при дей-
ствии на основную систему одной лишь равномерно распре-
деленной крутящей нагрузки пг\
0П— угол закручивания опорного сечения В при действии
единичного крутящего момента.
Крутящий момент на упругой опоре можно также найти
из рассмотрения растянуто-изогнутого стержня, нагруженного
равномерно распределенной нагрузкой q (фиг. 50). В этой
Фиг. 50.
N
новой расчетной схеме искомому крутящему моменту на
опоре В будет соответствовать опорная реакция Хх на
упругой опоре В.
Углы закручивания 0Х/7г и 0ц, через которые выражается
крутящий момент легко определить по общей фор-
муле (1,39)
О = т
lm Gl^chk^ 24
X	— -0 • ch klr -|- ch kl —• 1 — klt • sh klx 4~ kli sh ka^ ,
(3,26)
011 ~ aUk - ch *
X [2 • sh ka— sh ka • ch kl — sh klY-\-kl ch klr 1. (3,27)
Подставив в уравнение (3,25) найденные перемещения 01ш
и 0П, получим крутящий момент Хх на упруго поворачиваю-
щейся опоре В'.
т p2Z	ch kl^ -f- ch kl — 1 — kl^ sh klx 4- klr sh ka^
k [2 sh ka — sh ka • ch kl — sh klx 4- kl ch kl± 4~ cEIwk?> ch &ZJ
(3,28)
72
При отсутствии консоли крутящий момент будет равен:
m	ch kl + ch kl — 1 — kl sh kl )
A'1 = *(*/• ch kl ^shkr+W~Er^c~- ch kF) ’	(3’29)
Если крутильную жесткость G/tt считать равной нулю,
то такому кручению будет соответствовать приближенное
дифференциальное уравнение, совпадающее с дифферен-
циальным уравнением элементарного изгиба1.
Для стержней с обычными прокатными профилями, на-
груженных скручивающей нагрузкой, результаты, получаемые
на основании приближенного дифференциального уравнения,
далеко не точны; поэтому пользоваться указанным упроще-
нием в практических расчетах нецелесообразно.
Как видно из уравнения (3,28), при G/a = 0, или, что
то же самое, при k = 0, крутящий момент X х получает
неопределенное решение. Раскрывая эту неопределенность,
получим:
т Г/ (z, - 4) (lOZ'i + 2Z2) + Z4 - 4Z{ + 4aszj
(XX п = ~	/ ч —5-----5-----5ч-----------(3.30)
А=о	4	— 3aZ3 — zj + 3ZZf) + 24с£/ш
Положим в этом уравнении длину консоли равной нулю
(а = 0); тогда при I = получим следующее выражение для
крутящего момента Xt:
*1 =------7^-------Г-	(3.31)
8ЕЧзёк + с)
Формула (3,31) для крутящего момента имеет такой же
вид, как и для опорной реакции балки, левый конец кото-
рой неподвижно закреплен, а правый расположен на упру-
гой опоре; необходимо только заменить интенсивность крутя-
щей нагрузки т и секториальную жесткость соответ-
ственно интенсивностью равномерно распределенной на-
грузки q и жесткостью EI при изгибе.
С помощью общих уравнений (1,27), (1,29) и (1,39) легко
найти статические величины и деформации в любом сечении
скручиваемого стержня.
1 Проф. В. 3. Власов. Тонкостенные упругие стержни.
Стройиздат, 1940, стр. ПО.
73
'Гак, например, для изгибно-крутящего бимомента в про-
извольном сечении для левого участка получаем:
ва	[М, sh k (lt — z) ch kit + ch kz\ +
+ -r—'У1.. [ (sh kit — sh ka) ch kz— ch kit — sh kz}',
rv • С И KL j
для правого участка
Вю (2) = —	sh k (Л — г) — ch kit 4- ch kz} —
—kSkFt-sbk^-~Zy^kl~^
Опорные изгибно-крутящие бимоменты определяем по
формулам:
(Вф)л=- ^Izr(A/1sh1feZ1—chW1 + l) +
+таЬг(81Ш1-~8Ьйа):
(ВД = - (kit ch ka - ch kit + ch kl) +
+	(1 — ch kl) sh ka.
1 k ch klr v	7
Изгибно-крутящий момент Л1Ш для произвольного сечения
левого участка будет равен:
= ТЕЩГ[A;Z1 ch k (/i — ~~ sh kz] ~
X
--~chkF ^‘'l Ch kz --------sh * sh
для правого участка:
= T^ki; [kl>ch k (Z1 ~ z) — sh kz] +
Углы закручивания и их производные определяем по
общим формулам (1,39) и (1,40).
Рассмотрим теперь кручение двухпролетного стержня
с одинаковыми пролетами /, расположенного на трех упруго
поворачивающихся опорах (фиг. 51).
Закрепления по концам удовлетворяют условиям: 6 = 0,
В = 0. .
За лишнее неизвестное усилие примем крутящий мо-
мент Хг на средней опоре. Определим его величину при
действии на стержень крутящего момента 714, приложенного
в левом пролете на расстоянии z от левого конца стержня.
Коэффициенты податливости упруго вращающихся опор А,
Фиг. 51.
В и С обозначим соответственно через clt с2 и с3. От-
брасывая промежуточную упругую опору и заменяя ее дей-
ствие крутящим моментом Xlt получим основную систему
в виде стержня, расположенного на двух крайних опорах
(фиг. 51). Уравнение для определения крутящего момента
будет иметь вид:
Л'1611-|-61Л-|-61с = О.	(3,32)
Здесь угол закручивания 01с имеет значение:
= бд — | Од — 4 0С = *ic2 — у d ГМ(22,~г)
_1, ГЛ-1'г *11
2 Сз L 2Z 2 J '
А]
2 J
Угол закручивания в точке В основной системы,
вызванный действием сосредоточенного крутящего момента 714,
75
определяется по формуле:
л	Ml, sh kz \
61J“	2Л(7/а \kz	chfcF) ‘
Для угла закручивания 0п в сечении В от действия еди-
ничного крутящего момента Хг=1 получаем:
6П = -о, * . ,, (kl ch kl — sh kl).
11 2kGIa ch kl v	7
М • ^2 (kz • ch и — ch kz) + |
равно-
то со-
Подставив в уравнение (3,32) значение углов закручи-
вания 6И, 01м и 61с, получим выражение для крутящего мо-
мента Хг на промежуточной опоре:
(2lcL — Cjz + c3z) ch w]
2 [a ch и — sh и 2t№EI^ ch u\
_________ Л1 cp (z)
* Too •
В уравнении (3,33) введены обозначения:
u = kl^l.yZ = |(C1+Cs + 4c2).
Если в крайнем левом пролете будет действовать
мерно распределенная нагрузка интенсивности т,
гласно уравнению (3,33) крутящий момент Хг на промежу-
точной опоре определится по формуле:
i
Xl = 26 (и) ' / 'Р (2> dz =
О
ml [^2 ch w — ch w -|-	-|- у (3^ + с3) tt4 ch wj
=	. (3,34)
2 (w2 ch и — u.shu\-2t —• tE • ch и \
При загружении обоих пролетов сплошной равномерно
распределенной крутящей нагрузкой т крутящий момент на
средней опоре будет равен:
2ml \~7y - ch и — ch ы -|— 1 + 4- (сх + с3) и4 ch й!
Ъ = -----Ц------------------(3,35)
Iи2 ch и — и sh и -|- 2t • -	• и4 • ch и )
76
Если в уравнении (3,35) положить и — 0, или, что то же
самое, G/a = 0, то после раскрытия неопределенности по-
лучится следующее предельное значение для крутящего мо-
мента:
EI
1 + 2,4	(С1 + с3)
-------ЁГ1--------------•
1 + 1,5-^(С, + С8 + 4Сз)
Оно совпадает с выражением для опорной реакции двух-
пролетной балки, расположенной на трех упругих опорах
и нагруженной одной лишь поперечной равномерно распре-
деленной нагрузкой интенсивности q.
Как видно, изложенные здесь методы открывают широкие
возможности для разрешения сложных задач о стесненном
кручении тонкостенных конструкций. С помощью этих ме-
тодов без затруднения разрешаются и более сложные задачи,
например вопрос о кручении тонкостенных стержней с зам-
кнутыми контурами поперечных сечений, для которых диф-
ференциальное уравнение кручения имеет такой же вид, как
и дифференциальное уравнение кручения тонкостенных стерж-
ней с открытыми контурами1.
1 См. В. 3. Власов. Строительная механика тонкостенных
пространственных систем. Стройиздат. 1949.
Г. ГО. Д ж а не л и д з е и Я. Г. П а н о в к о. Статика упругих
тонкостенных стержней. Гостехиздат. 1948.
ГЛАВА IV
КРУЧЕНИЕ РАМНЫХ СИСТЕМ
§ 18. Расчет простейших рамных систем
на кручение методом сил
поперечнОхМ изгиое, оказываются
и в приложении их к расчету
Способы расчета тонкостенных конструкций на круче-
ние, основанные на использовании математической аналогии
между задачей о стесненном кручении и задачей о продольно-
весьма эффективными также
рамных систем.
Не останавливаясь на
известных из курса строи-
тельной механики вопросах,
связанных с выбором неиз-
вестных усилий, покажем
здесь порядок расчета на
примере простейшей рамной
системы, изображенной на
фиг. 52.
Горизонтальный стер-
жень 1—2 загружен равно-
мерно распределенной кру-
тящей нагрузкой интенсив-
ности т.
Длины горизонтального и вертикального стержней обо-
значены через I и h. Секториальная жесткость всех стерж-
ней принята одинаковой, равной Е1^. Пусть требуется
определить изгибно-крутящие бимоменты в концевых сече-
ниях стержней. Для решения этого вопроса заменим расчет
рамы на кручение расчетом ее на продольно-поперечный
изгиб. При этом вместо крутящей нагрузки т к горизон-
тальному элементу 1—2 должна быть приложена равномерно
распределенная нагрузка интенсивности q, а все стержни,
из которых состоит рама, необходимо предположить рас-
тянутыми (фиг. 53).
78
Пусть для краткости записи будет обозначено:
kl — Uf, kh = и 2
При определении моментов в концевых сечениях стерж-
ней рамы будем пользоваться готовыми формулами для опор-
ных моментов при продольно-поперечном изгибе однопролет-
ных статически неопределимых балок. В таком случае для
раскрытия статической неопределимости достаточно за не-
известное принять момент — В в узле (фиг. 53) и со-
ставить одно каноническое уравнение следующего вида:
-Wii4-Aip = 0.
(4,1)
При элементарном изгибе стержней рамных систем пере-
мещения 8П, 812, .... Д1Р, Дзр, входящие в систему канони-
ческих уравнений, весьма просто определяются на основании
интеграла Мора. В случае продольно-поперечного изгиба и
стесненного кручения применение интеграла Мора к опре-
делению перемещений в практическом отношении нецелесо-
образно.
79
Перемещения 3lt и Д^р, входящие в уравнение (4,1),
определим по формулам:
<Л1 — "“ЬТг —
1	।	1	1	/ I I h \
--------1---------— Ь/ * I----------К '— 15
m2^l2-------------kl	\ 7Ц 1 Т]2 /
Д1Р------?1<7-----
1
41
I
6 £7
Ф1-
Функции 7j и ф определяются по формулам:
и sh и — и2 ch и
2 (ch и — 1) — и sh и ’
6М_______1_\
и \и sh и )
Если принять h — I — 400 см, ul = u2 = kl = 4, то
получим:
k — 0,01 Th = tj2 = 5,797;	= 0,320.
При этих значениях находим:
. _ 1	400 • 2 _ 1
°" — EI ‘ 5,797 ~ EI
138,00,
^ = ^=-^.0,7416-108.
Перемещение Дцэ должно быть подставлено в уравне-
ние (4,1) со знаком минус, так как его направление не сов-
падает с направлением искомого момента Хг (см. фиг. 53, в).
Подставляя найденные перемещения Дцэ и в уравне-
ние (4,1), получим:
Д1Р ?• 0,7416-106
138,00	= 5373,00 •?.
(4.2)
Изгибающие моменты в опорных сечениях 2 и 3 опре-
деляются по формулам:
Л43 = —	ЛТ2 = =^ —.	(4,3)
Т]2	ZTli	7]!
В формулах функция р. имеет значение:
__ и2 — к sh к
2 (ch к—1) — к sh к
При выбранных значениях аргумента —«2 —4 находим:
V-i = Н-з = 471
80
Подставляя эти значения в соотношения (4,3) и принимая
во внимание (4,2), получим:
М2 = q • ( 916:1У7- — 1527,00) = 12273,00  q.
Л43 = — q •	• 5373,00 = — 1527,00 • q.
O,ivl
Если в выражениях полученных моментов М1 = Х1; М2
и М3 вместо интенсивности
равномерно распределенной
нагрузки q подставить интен-
сивность крутящей нагруз-
ки т, то получим значения
бимоментов в концевых се-
чениях стержней рамы:
BY = 5373,00m;
В2 = 12273,00m;
В3 = — 1527,00m.
Эпюра бимоментов изо-	Фиг. 54.
бражена на фиг. 54.
Определив изгибно-крутящие бимоменты, нетрудно теперь
найти и все другие внутренние усилия, возникающие в стерж-
нях рамы.
§ 19. Метод узловых депланаций для расчета
тонкостенных многопролетных стержней на кручение
Метод узловых депланаций, служащий для определения
неизвестных статических величин в тонкостенных конструк-
циях, работающих на кручение, принципиально не отли-
чается от известного метода деформаций, применяемого при
раскрытии статической неопределимости конструкций [24].
За основные неизвестные в методе узловых депланаций
принимаются не бимоменты в узловых сечениях стержня,
а неизвестные производные от углов закручивания в этих
сечениях. Выбор в качестве неизвестных таких величин
представляется весьма целесообразным при расчете много-
кратно статически неопределимых стержневых систем.
Приняв за основные неизвестные производные от углов
закручивания узловых сечений, можно составить систему
§ Н. И- Карякин
81
основных уравнений из условия уравновешенности всех узлов
рассчитываемой системы, т. е. из. условия приравнивания
нулю суммы бимоментов, возникаемых в концевых сечениях
стержней, сходящихся в рассматриваемом узле.
Для составления уравнений равновесия необходимо иметь
выражения для опорных реактивных усилий в однопролетных
стержнях с различными закреплениями концов от крутящих
нагрузок, действующих на стержень. Кроме того, необходимо
располагать зависимостями, выражающими величину всех
опорных бимоментов через единичные углы закручивания и
первые производные от них.
Из уравнений (1,29) и (1,39) (см. §§ 7, 8) могут быть
получены статические и кинематические величины для любых
случаев загружения стержней, имеющих различные краевые
условия.
Значения опорных изгибно-крутящих бимоментов для не-
большого числа этих случаев даны в табл. 5. Схемы за-
креплений концевых сечений соответствуют краевым усло-
виям, указанным на первом из стержней табл. 5.
В табл. 5 аргумент и имеет значение:
u = kl = iy	(4,4)
На основании системы уравнений (1,29) и (1,39) легко
могут быть получены также и изгибно-крутящие бимоменты,
соответствующие поворотам концевых сечений на угол 0—1
и производным от углов поворота 0'=1. В дальнейшем
эти бимоменты условимся называть изгибно-крутильными
коэффициентами защемления.
Значения их для всех случаев загружения стержней при-
ведены в табл. 6.
В приведенной табл. 6 все изгибно-крутильные коэф-
фициенты защемления выражены всего лишь через две
трансцендентные функции ч] и р.. Численные значения этих
функций для нескольких частных значений аргумента даны
в табл. 7.
С помощью полученных изгибно-крутильных коэффи-
циентов защемления и грузовых членов, указанных в табл. 5,
из условий равновесия узлов нетрудно определить неизвест-
ные опорные бимоменты в каком угодно многопролетном
стержне, загруженном произвольной скручивающей нагрузкой.
В общем случае упомянутые условия равновесия бимоментов
82
Таблица 5
№ п/п	Схемы нагружения стержн		ей	Изгибно-крутящие бимоменты	Значения функций
1	/>	0(о)‘О	№№ 6\оУО	т	В‘\1)--0 А г г г г с	2	1 вН + о 11 11 CQ CQ	__ ushu — w2ch и
		" у-А—t 		1	*	$		71 ” 2 (ch и — 1) — и shw
2	1	-{КЧЧ' С С f1 	7 		h	ml* 1 &1т — —	~ R	± Bim~ 2 ’ ч	= 7] + [Л и2 — и sh и 11 =	 2(сЛм—1) — zzshw
		L	1			
3		и-	Z/2-—’ М Л	7 1 —v	;	у	Со Со ьэ 3	3 II II ° + к>| Я	sh и — 2sh у а1 = —г	J— wsh и — sh и
4	7 и		..	R	_L МЛ ^1М = и—2— “2	1	и а2 = — • th — и	4
	1	*	1	-	6.	л --^LL а ^2М—	2	
Таблица 6
№ п/п		Схемы нагружения стержней	Изгибно-крутящие бимоменты	Крутящие моменты на опорах	Значение функций
1		— 		 		1	д	FI R - Е/".-г, £>22 —	V	Ff	EI A =	+ =	_	и2 — и sh и fX-'2(chu— 1) — wshu
2		—-^z h I  '?Гу^	С» Оз й	ю II	II О Сп е* S	/2	т; -^х - Р	_ ц sh гг — ц^сЬ и — 2 (ch и — 1) — и sh и
3		e-i 'S&o' 1" £ т	г	т	Оз .Си Й СО II II о о	£ =	. м2 Ь	/3 и	W-P-")
4		в"1^<90о ъ Г”	 1		i^loi + о- II II <м efi CQ CQ1		
5		' в<^-° 1		 —j	Си Си LO	LO II II + О *|е S	L =^(*+“2)	
6		„ ^\>90° |, ; у	EI р   ।	7ц> м ^22— + -^-*' R	1 ^А1) &22 = Ч- ~[Г ‘	А=^(2. + «2)	•v = 1)+(J.
Таблица 7
и = kl		Н-		и = kl		Н-	
0,00	4,000	2,000	6,000	2,70	4,890	1,803	6,693
0,10	4,001	2,000	6,001	2,80	4,953	1,791	6,744
0,20	4,005	1,999	6,004	2,90	5,015	1,779	6,784
0,30	4,012	1,997	6,009	3,00	5,081	1,767	6,848
0,40	4,021	1,995	6,016	3,10	5,145	1,755	6,900
0,50	4,037	1,992	6,029	3,20	5,214	1,742	6,956
0,60	4,048	1,988	6,036	3,30	5,281	1,730	7,011
0,70	4,066	1,984	6,050	3,40	5,353	1,718	7,071
0,80	4,089	1,979	6,068	3,50	5,423	1,706	7,129
0,90	4,107	1,974	6,081	3,60	5,497	1,694	7,191
1,00	4,132	1,968	6,100	3,70	5,569	1,683	7,252
1,10	4,157	1.961	6,118	3,80	5,645	1,671	7,316
1,20	4,189	1,954	6,143	3,90	5,715	1,659	7,374
1,30	4,219	1,946	6,165	4,00	5,797	1,647	7,444
1,40	4,255	1,938	6,193	4,10	5,868	1,636	7,504
1,50	4,289	1,929	6,218	4,20	5,953	1,625	7,578
1,60	4,330	1,921	6,251	4,30	6,031	1,614	7,645
1,70	4,368	1,912	6,280	4,40	6,112	1,603	7,715
1,80	4,415	1,902	6,317	4,50	6,192	1,592	7,784
1,90	4,458	1,892	6,350	4,60	6,275	1,581	7,856
2,00	4,508	1,882	6,390	4,80	6,440	1,561	8,001
2,10	4,556	1,871	6,427	5,00	6,608	1,541	8,149
2,20	4,608	1,860	6,468	5,20	6,779	1,521	8,300
2,30	4,660	1,849	6,509	5,40	6,952	1,503	8,455
2,40	4,716	1,837	6,553	5,60	7,121	1,485	8,606
2,50	4,773	1,825	6,596	I 5,80	7,331	1,470	8,801
2,60	4,831	1,814	6,645	6,00	7,481	1,450	8,931
записываются в следующей канонической форме:
s1Af+sne;+B12o;=o,
^+бл+б22е;+вл=°>
(4.5)
ВпМ + Вп, Л-Л-1+ Вп, Л + Вп, л+10л+1 = °- J
где В1М, В2М, . . ВпМ — означают сумму бимоментов, дей-
ствующих на узел от крутящих
нагрузок на стержнях;
85
/Зи, В12...ВПг п__х — сумму изгибно-крутящйх коэффи-
циентов защемления для концов
стержней, сходящихся в узле;
Оь 02.....0„.и—производные от углов закручива-
ния (меры депланаций)
Приложение изложенного способа к расчету тонкостенных
многопролетных стержней, работающих на кручение, поясним
на частных примерах.
Пример 1. Двухпролетный стержень (фиг. 55) с оди-
наковыми пролетами I нагружен равномерно распределенной
крутящей нагрузкой и т2.
Фиг. 55.
Для определения опорного изгибно-крутящего бимомента
на средней опоре составим условие равновесия для узла 2:
ЪВ* --	Х^22^2 ~~ О*	(4,6)
В этом уравнении первым членом выражена сумма опор-
ных бимоментов, действующих в двух опорных сечениях
стержней, сходящихся в узле 2.
На основании табл. 5 получаем:
^ = -^-•± + ^•-1.	(4,7)
Вторым членом уравнения (4,6) выражено произведение
из суммы изгибно-крутильных коэффициентов защемления
на производную от угла поворота в сечении 2.
86
При одинаковой секториальной жесткости Е1Ш в двух
пролетах сумма единичных бимоментов, согласно табл. 6,
имеет значение:
— 2/гх.
Принимая во внимание уравнения (3,7) и (3,8),
из уравнения (4,6) меру депланации 02:
__ (т2—	1
3	ЖГ “'	4/z	— р *
В этом уравнении обозначено:
(4,8)
найдем
(4,9)
(4,Ю)
опоре
(4,И)
Изгибно-крутящий бимомент на промежуточной
определим по формуле:
Bl=—Bbt = s2m+В2Х=_	. 1 _
„	(т2 — т{)Р 1	_	—	1
4п ’ Vs —|х3	4	‘	’
Таким образом нами получено исключительно простое
выражение для опорного изгибно-крутящего бимомента, за-
висящего лишь от одной трансцендентной функции т]. Числен-
ные значения этой функции даны в табл. 7.
На основании общих уравнений (1,29) и (1,39) нетрудно
теперь найти для любого произвольного сечения кинемати-
ческие и статические факторы.
Закон изменения изгибно-крутящих бимоментов и
изгибно-крутящих моментов 714^ по длине стержня предста-
влен на фиг. 55.
Пример 2. В качестве более общего случая рассмотрим
в этом примере двухпролетный стержень с разными пролетами
(фиг. 56). Левый пролет по всей длине загружен равномерно
распределенной крутящей нагрузкой т. По середине правого
пролета приложен сосредоточенный момент /И. Длины про-
летов обозначим через 1Х и 12. Условие равновесия узла 2
представится уравнением:
~Н -^22^2 == 0 •	(4,1 2)
На основании табл. 4 и 6 имеем:
m/3	1 М • /2
Вчт -	2“ • ~ “4	2	(а1)23>
^22 = --(^гг7)!? "Ь ^23%2з)-
87
Подставляя B2in и ^22 в уравнение (4,12), получим про-
изводную от угла поворота 62:
1	Г М • /9	тВ	1 ]
01 =----------i-------—tF- («1)23----------о1-------• (4,13)
”127]12Н~ ”23*23	L	2	У1.2 J
Изгибно-крутящий бимомент определим из уравнения:
В% = — Вь — В2т + £2302 =
_________________________________________________________1
— j . ”23*23
*” ”.127)12
М-19
2 (а1)гз
772/1 1
2\»12 ] ’
Изгибно-крутящие бимоменты В и изгибно-крутящие мо-
менты Мф в произвольных сечениях пролетов определяются
на основании уравнений (1,29) и (1,39). Закон изменения
этих статических величин представлен на фиг. 56.
Пример 3. Рассмотрим трехпролетный тонкостенный
стержень с жестко закрепленными концами, нагруженный по
всей длине равномерно распределенной крутящей нагрузкой
т = 60 кг (фиг. 57).
Длина крайних пролетов принята одинаковой, равной
Zt = /3 — 2,00 м.
Средний пролет имеет длину /2 = 4,00 м.
Сечение стержня — прокатный швеллер № ЗЗв.
88
Для определения изгибно-крутящих бимоментов составим
условия равновесия для узлов 2 и 3:
В% == В%т ~|~ ^22^2	^23^3	0,	(4,1 4)
В% = Взт В32О2	5330з = О-
Принимая во внимание условие симметрии, в силу кото-
рой 02 = 03, из уравнения (4,14) находим:
Грузовые члены В2т = В2т и изгибно-крутильные коэф-
фициенты защемления В22 и В2$ определяются на основании
табл. 5 и 6.
Бимоменты в опорных
сечениях определяются по формулам:
1
'12
Bi = Bitn Д- 512^2 = —2~
* Рчг
'12
^12 “F ~Г • v23
(4,16)
В2 ---В<$т ~Н ^22^!
Таким образом мы получили опорные бимоменты, выра-
женные только через две трансцендентные функции т] и pi.
По общим формулам (1,29) и (1,39) также легко могут
быть найдены изгибно-крутящие бимоменты B(z) и изгибно-
крутящие моменты Л4Ш(2) в произвольных сечениях каждого
пролета. Закон изменения их по длине стержня изображен
на фиг. 58. Аналогичным способом определяются опорные
бимоменты и в том случае, если опорные сечения будут испы-
тывать вращение на известные углы закручивания. Для учета
этих вращений в табл. 6 приведены изгибно-крутильные
89
коэффициенты защемления, соответствующие единичным углам
закручивания.
Определим теперь численное значение бимоментов при
выбранных размерах стержня.
Фиг. 58.
Для поперечного сечения, имеющего форму швеллера № 38в,
находим:
zz12 = klr = 0,01404 • 200 = 2,808;
w23 = /г/2 = 0,01404 • 400 = 5,616.
Этим характеристикам, согласно табл. 7, соответствуют
значения трансцендентных функций:
•>]12 = 4,959; р12= 1,789; *12 = Ч12 + р12 = 6,748;
т)гз = 7,163; р2з== 1,482; v23 = Р-2з = 8,645;
— = 0,148;	— =0,116.
^.12	v23
Подставив это в уравнения бимоментов (4,16) и (4,17),
получим:
В{ = 104,64 • 103 кг  см2; В?_= — 373,92 • 10s кг • см2.
Зная бимоменты, легко теперь вычислить нормальные
напряжения по известной формуле стесненного кручения:
(4.18)
1 а>
Для рассматриваемого нами случая сечения, состоящего
из прокатного швеллера № ЗЗв, секториальный момент инер-
90
ции /ш и наибольшая секториальная координата u)max имеют
значения:
4 = 57 844 см*;
u)max = 92,265 см2.
Следовательно, максимальное нормальное напряжение при
кручении швеллера определится величиной:
В?.о>тях 373,92 • 103 • 92,265
Мтах = -^7^ =----------------57 844-----= 596’43 кг'см2-
В том случае, когда многопролетный тонкостенный стер-
жень расположен на большом числе опор и загружен слож-
ной нагрузкой, производные от углов поворота легко могут
быть определены из уравнений равновесия бимоментов, со-
ставленных для отдельных частей многопролетного стержня.
Этот прием расчета, связанный с исключением неизвестных
производных от углов поворота, поясним на примере много-
пролетного тонкостенного стержня, изображенного на фиг. 59.
Фиг. 59.
При решении этой задачи указанным выше способом
уравнения равновесия бимоментов для опорных узлов 2, 3 и 4,
согласно уравнениям (4,5), имеют вид:
= В%м + ^22^2 + В2363 — 0,	|
Вз=- В$м +^3262 + ^3363 + ^3464 — 0, }	(4,19)
В 4, = В±м + £4363 + 64464 = 0.	j
Отсюда могут быть найдены производные от углов пово-
рота 62, 63, 04, а затем и соответствующие величины узловых
бимоментов.
Производные от углов поворота 02, 03 и 64 значительно
проще могут быть определены, если воспользуемся следую-
щим способом.
91
Предположив, что узел 3 неподвижно закреплен (фиг. 60),
а узлы 2 и 4 под влиянием внешних скручивающих нагрузок
могут депланировать, то условия равновесия для узлов 2 и 4
могут быть записаны как для двухпролетных самостоятель-
ных стержней в следующем виде:
для стержня 1—2—3
S2 = ^ + S33'?2 = 0-
для стержня 3—4—5
В 4= =	+ ^44^4 = 0-
Из этих уравнений получаем производные от углов пово-
рота ф', и ср':
г	.	г
?2—	В22 ’	Дц '
В этих соотношениях, согласно табл. 5 и 6, изгибно-
Фиг. 60.
крутильные коэффициенты защемления В22, B4i и бимо-
менты Въм и Bim имеют значения:
pt	FT
П22--- 412	423’
FT	FT
Г>44 - /	434 ~i 445’
Z3	Z4
Ml2	ml\	1
B2M = —9— (^2)23;	— “2 VT •
x	*	44Б
Если теперь узел 3 освободить от наложенной на него
связи и предположить, что он испытывает единичную меру
депланации, то узлы 2 и 4 будут при этом нагружаться би-
моментами В2^ и В43, равными изгибно-крутильным коэффи-
циентам защемления, приведенным в табл. 6.
Меры депланации узловых точек 2 и 4, обусловленные
единичной депланацией узла 3, определятся из уравнения
равновесия бимоментов узлов 2 и 4.
92
Эти уравнения имеют вид:
узел 2
^2 ~ ^23 4“ ^22^23 = О»
узел 4
^4 ~ ^43 4“ ^44^43 = О-
Отсюда находим:
г	Б23	/
Ъз=-в^> <р«:
Здесь означают:
FT
D ___ ... D
°23--- / с 23’	П43
*2
Полные производные от углов поворота 02 и 64 узлов 2
и 4 определятся суммированием:
02 = ?2 + ?2303: I
0I = fh + ?43,J3 J
В этих соотношениях 62 и 64 выражаются через неизве-
стную производную от угла поворота 63 узла 3, которую
нетрудно определить из уравнения равновесия бимоментов,
составленного для узла 3 [см. второе из уравнений (4,19)]:
В33 = Взм + ^32^2 4~ В33О3 4“ ^34^4 = 0,
подставляя в это уравнение 62 и 64 из уравнений (4,20), по-
лучим
В44 *
’23
. м
Z3 ^3-
(4,20)
п' ВЗМ + 532?2 + ^35?4
оз —
^32^23 + ^34?43 + *33
(4,21)
23 .
5 22
В43
В уравнении (4,21) суммарный изгибно-крутильный коэф-
фициент защемления В33 имеет значение:
FT	FT
Взз = --^-’)23—
Z2	43
Определив с помощью уравнений (4,20) и (4,21) произ-
водные от углов поворота 02, 93 и 04 узлов 2, 3 и 4, легко
можем найти опорные бимоменты по формулам:
В\ = Bi2^2\ В2 = В22^2\ В3 = В33О3 -|— ^34^4: ।
ь	/	} (4,22)
в1 = в^+в^-, в& = 0.	)
93
В этих формулах изгибно-крутильные коэффициенты за-
щемления имеют значения:
о ___ . О ________________ .
°12- ' Г12’	D22--- * 412 >
ГР	FT
^33 —	7“^ * 7]34>	^44 —	’ ^45-
Z3	Z4
На основании найденных изгибно-крутящих опорных би-
моментов с помощью уравнений (1,29) и (1,39) могут быть
найдены все другие статические и кинематические факторы.
Поясним теперь изложенный способ на расчете тонкостен-
ного трехпролетного стержня, рассмотренного в примере 3.
Фиг. 61.
Предполагая узел 3 неподвижно закрепленным (фиг. 61),
можно рассматривать левую и правую части как самостоя-
тельные системы. При этом уравнение равновесия бимоментов
для узла 2 запишется так:
В2 = В2/Д + В22СР2 = 0-
Отсюда находим:
(4,23)
Освобождая теперь узел 3 от наложенной на него связи
и предполагая, что он испытывает единичную меру деплана-
ции, составим при этом уравнение равновесия бимоментов для
того же узла 2:
В2 = В2з + В92^3 = 0-
Из этого находим:
(4-24>
Если производную от угла поворота узла 3 обозначить
через то полная производная от угла поворота, узла 2 будет
равна
(4,25)
94
Для определения меры депланации 63 составим условие
равновесия узла 2 в предположении отсутствия дополнитель-
ного закрепления узла 3.
Это условие равновесия' имеет вид:
В3 = В3,л + В3Л-|-В330; = О.	(4,26)
Подставляя сюда 62 из уравнения (3,25), получим:
6з = — Взт +	.	(4,27)
^33 Н" ^32^23
Так как при	имеют место соотношения:
В‘3т ~ Вът’ ^33 “ ^22»	&23 — ^32’
то, принимая во внимание уравнения (4,23) и (4,24), получим:
л'  _____&3т	_	В 2т
3	$22 — &23	&22 — &23
Такой же результат нами был получен в примере 3 иным
путем.
Дальнейшее решение задачи сводится к определению опор-
ных изгибно-крутящих бимоментов, что выполнено в ранее
приведенном примере 3.
Рассмотрим здесь еще одно важное обстоятельство, ока-
зывающее влияние на статические и кинематические факторы
при кручении многопролетных стержней, именно вопрос
о влиянии поворота опорных сечений.
Поворот опорных сечений вокруг оси стержня имеет для
тонкостенных многопролетных стержней такое же существен-
ное значение, как и изменение температуры или смещение
опор в статически неопределимых конструкциях. Задача о кру-
чении тонкостенного стержня, как уже было отмечено, то-
ждественна с задачей о продольно-поперечном изгибе того же
стержня. На этом основании расчет многопролетных тонкостен-
ных стержней может быть полностью заменен расчетом много-
пролетных стержней, нагруженных продольной растягивающей
силой и соответствующей крутящей нагрузкой.
Изложенных соображений вполне достаточно для решения
поставленной задачи о расчете многопролетных тонкостенных
стержней с учетом поворота опорных сечений.
Рассмотрим трехпролетный тонкостенный стержень, при-
веденный в примере 3.
Длину пролетов будем считать одинаковой и обозначать
через I.
95
Если предположить, что промежуточные опорные сече-
ния 2 и 3 совершили поворот против хода часовой стрелки
вокруг оси стержня на известные углы 62 и ®з» то уравнения
равновесия бимоментов, из которых определятся производные
от углов поворота 62 и 63, запишутся так:
В% — B'Zm	В22Р2 -1— ^2363 “I- ^22^2 Н- ^23^3 — 0, ]
, г	? (4.28)
В% — В^т 4~ -^32^2 Н- ^33^3 Н- ^32^2 Н- ^33^3 = 0. J
Изгибно-крутильные коэффициенты защемления имеют
значения:
^23  В32 	^22 	2ЦТ],
В33 = — 2пг), R22 = Y'V—j-v = 0.
R33 = ^-V— y-v = 0, fl23 = y-v, R32 = -^.V.
(4,29)
Принимая во внимание соотношения (4,29), из уравне-
ний (4,28) находим:
д' _ (р02 + 2т)03)	. д' _	(2Чез + Л)
2	(4-^2	— р.2) . /	»	-	(47]2_и2)./ •
Изгибно-крутящий бимомент на левой опоре будет равен:
О ___ О I О д' I П Д ________	п	2v [((Л2 2т]2) 62-|“
4- ^12°2 4- ^12«3 —	 7----------(4^2’JTp.2)-•
Изгибно-крутящий бимомент в левом сечении, располо-
женном в непосредственной близости от опоры 2, опреде-
лится по формуле:
В% = B^tn 4~ ^22^2 Ч- /?22®2 —---2^-----11^2 4~ у * v®2 “
_ _ тВ _	. V [Of — 4т]2 4- Р-2) 02 4- 2т)263]
2^ I	4у]2 — р.2
Для бимомента на опоре 3 находим:
Вз = В%,п 4- В33О3 Взз^з — ~2^-------п ‘	---/” v63 ~
_ ml2 . п \ [Of — 4т]2 4~ р-2) 63 4~ 2'г)2®?]
— “27" + Т	4Y]2 —р2
96
Для правой опоры получаем:
= В±т -J- B4363 -ф- ^436 =-27" —	— у А ==
_ mfi.n 2v [(И2 - 2tq2) 63 + р^ба]
2^ “г" /	4т}2 — (х2
Разобранные примеры доказывают наглядность процесса
решения задачи изложенными здесь способами, в которых
при составлении уравнений равновесия используются изгибно-
крутильные коэффициенты защемлений, выраженные через
две трансцендентные функции.
Не останавливаясь более подробно на целом ряде других
задач, с которыми приходится встречаться в практической
деятельности, упомянем еще только о том, что наличие в скру-
чиваемых стержнях консолей не требует для их расчетов спе-
циальных приемов и не вносит каких-либо трудностей. Кано-
нические уравнения метода узловых депланаций сохраняют
прежнюю форму. Опорные изгибно-крутящие бимоменты, вхо-
дящие в состав грузовых членов и обусловленные действием
скручивающей нагрузки, расположенной на консолях, опре-
деляются из уравнений (1,29) и (1,35).
Так, например, если на консоли многопролетного стержня
по всей ее длине будет действовать сплошная скручивающая
нагрузка интенсивности т, то изгибно-крутящий бимомент
будет иметь значение:
В = ±	— (и sh и — ch и -ф- 1).
№ ch и 4	17
Для получения полного опорного бимомента на крайней
опоре консольного стержня необходимо к этому бимоменту В
присоединить бимомент
В. =-^zzth иб',
к I
соответствующий депланации опорного сечения рассматри-
ваемой опоры.
Методы расчета стержней на кручение, изложенные
в §§ 15—19, применимы и к расчету рамных систем, на-
груженных скручивающей нагрузкой Ч
1 Н. И. Карякин. Кручение тонкостенных стержней и рам.
Труды МЭМИИТ, вып. 60. Трансжелдориздат, 1951.
7 Н. И. Карякин	97
§ 20. Расчет рамнйх систем методом
узловых депланаций
1. Рамы, узлы которых не испытывают
смещений
Основные положения метода узловых депланаций изло-
жены в § 19 в связи с расчетом многопролетных стержней.
Тот же метод является эффективным средством для ре-
шения задач о кручении сложных рамных конструкций.
Для выяснения метода рассмотрим вначале кручение про-
стейшей рамы равномерно распределенной крутящей нагруз-
кой т (фиг. 62).
Заменим крутящую нагрузку т поперечной равномерно
распределенной нагрузкой q и предположим, что все стержни
рамы испытывают деформацию продольно-поперечного изгиба.
Тогда для определения угла поворота жесткого узла 1
имеем уравнение:
^lq — О,
отсюда
^ = -^7-	<4-3°)
Изгибающий момент и коэффициент	определяются
по формулам:
=	Мп = —	— ед2 = — Е1
98
Подставляя эти моменты в уравнение (4,30), получим:
дР
(4,31)
Изгибающие моменты в концевых сечениях определим
по формулам:
gl*
gPri2
----П2^2
Mbr=-Mai; m2=m2q + m21^ = -^
Если принять
иг = и2 = kl = 4; Л —/ — 400 см,
то получим
Лг = 0,01;	— 5,797; jjlj. =	= 1,647;
vi —	~4- p-i = 7,444.
При этих значениях находим:
< = -	= - 5373,009;
Л42 = -£(1+^)=-^^- 1,142 = - 12273^;
м3= —	= —1527,009.
*	4>т]	7,444 • 5,797
Изгибно-крутящие бимоменты по концам стержней рамы
будут иметь значения:
В“ = —5373m; В2 = — 12273m;
В3 = — 1527m,
что совпадает с результатом, полученным при решении
той же рамы методом сил.
В качестве более сложной задачи рассмотрим двух-
пролетную двухъярусную раму, загруженную равномерно
7*
99
распределенной крутящей нагрузкой (фиг. 63). Длина всех
элементов I принята одинаковой. Секториальная жесткость
= const.
При определении изгибно-крутящих бимоментов в стерж-
нях этой рамы будем поступать так же, как и в предыду-
щем примере расчета простейшей рамы. Заменим крутящую
нагрузку равномерно распределенной нагрузкой и предпо-
ложим, что все стержни рамы находятся в состоянии про-
дольно-поперечного изгиба.
Для раскрытия статической неопределимости достаточно
составить четыре уравнения равновесия жестких узлов /, 2,
3 и 4, из которых определятся углы поворота <р1в <р2» ?з и
соответствующие производным от углов закручивания б', 6',
6' и 6' в тех же узлах скручиваемой рамы.
Поворачивая последовательно каждый из жестких узлов с 1
№ 4 иа угол, равный единице, получим единичные состоя-
ния ср = 1.
Так как жесткие узлы при действии на систему внешней
нагрузки совершают повороты на углы ср2, <р3 и <р4, то
условия равновесия узлов запишутся так:
^13?3 +- ^lq — О,
М21<?1 + ^22?2 + ^24?4 -+" ^2q = О,
^31?1 4“ ^33?3 + ^34?4 +	= О,
^42?2 + ^43?3 + ^44?4 + ^4q = О*
100
Поскольку решение системы уравнений с большим числом
неизвестных углов поворота является утомительной работой,
то определение неизвестных срь <р2, с?3 и ср4 может быть вы-
полнено путем раскрытия статической неопределимости от-
дельных секций рамы.
Предполагая жесткие узлы 3 и 4 неподвижно закреплен-
ными, можем рассматривать верхнюю и нижнюю части как
самостоятельные системы.
При этом уравнения равновесия для верхней части будут
иметь вид:
+ ^12a2”b ^lq — О»
^21а1 Ч" ^22а2 Ч~ ^2q ~ О*
Решая совместно, получим:
1 AfjjAfgg---^21^12 v
^2q^ll — ^lq^21
аг= Л!ГЛ4.Л —	'
При указанном на фиг. 63, б загружении моменты имеют
значения:
*4 = ^ = 0;	= M2q = -^;
Mi2 = M2l =— пр-, Мп =— 2«tj; М22 =— Зпт],
где
El
п=—г-
Вставляя это в выражения для ах и а2, получим:
_ ^(3vj + p>) . п __	+
1	2п^ (6т]2 — |Л2) *	2	2п^ (6>]2 — р.2)
Нижняя часть рамы свободных жестких узлов не имеет.
Если теперь представить, что закрепленные узлы 3 и 4
поворачиваются последовательно в направлении хода часовой
стрелки на угол, равный единице, то, повернув сперва
узел 3 в указанном направлении, система верхней части на-
гружается моментом M.R. При повороте затем узла 4, та же
часть системы будет нагружаться моментом Л424.
Уравнения равновесия узлов 7 и 2 при повороте узла 3
принимают вид:
^1з + ^иа1з + ^12 • а23 = 0,
^21а13 4“ ^22а23 О»
101
откуда
Зм .
13	М12Л421 — МиМ22 “	6y]2 — и2 ’
а ___ ^13^21	_ р2
23 ~ Л4ПЛ432 — М12М21 ~"6t)2 — р*
При повороте узла 4 на угол, равный единице, уравне-
ния равновесия тех же узлов 1 и 2 имеют вид:
М 11а14 + ^12а24 = О,
^24 + ^21а14 “1“ ^22а24 = О-
Из этих уравнений находим:
Л424^1<:!	Р2
“14 = AfujMas —Л121Л112 =6г^ —р.’’
______	_____ 2|«]
24 ~ Л112М21 —	~	6ч' — и2 •
Если узлы 3 и 4 повернуть на углы ср3 и ср4, то действи-
тельные углы поворота узлов 1 и 2 определяются выраже-
ниями:
?1 = “1 + ?за1з+?4“и.	(4-32)
©2 = «2 + <р3О23 4- ф4а24-
Уравнения равновесия узлов 3 и 4 напишутся так:
+ ^33?3 + ^34?4 = О’
^42?2 + ^43?3 + ^44?4 = О-
Подставляя в эти уравнения значения углов срг и <р2, по-
лучим:
(М31а13 4- М33) (р3 -J- (^3iai4 + ^34) ?4 4~	= О*
(М42а23 + ^43) <Рз + (^42а24 + М44) ср4 4“ ^42а2 = 0«	(4,33)
Введем обозначения:
^4з1а1з “F ^зз —
^1 = ^4з1а14 4“ ^434 —
Ci — Af31ax
_	(3v) 4- Р).
2v (6т]2 — р2) *
6п • 7) (2rf — р»2)
6iq2 — р.2
6ш]2р- .
6т)2 — р-2 ’
^2--- ^42а23 4“ ^43
^2 “ -4441а24 4“ ^44
С2---- -4442а2---
(2т] 4- р)
2^ (6т]2 —р2)
6ПТГ)2р .
6т]2 — р2 ’
_ бптг, (4т]2 — р2)
6т]2 — р2
102
Из уравнений (4,33) находим!
^1&2--а2&1 *
1/1	X
?4==—y2(^2+^2?3)-
Из уравнений (4,32) найдем cpj и ср2-
Пусть будет дано:
kl = u = 2', 1 = 4,00 м.
При этом находим:
т] = 4,508; (1= 1,882; v = 6,390; ?]2 = 20,32; (л2 = 3,54;
s = 6^2 —(а2 = 118,38;
at = —— • 1553,10; £>,=—229,44;
1	5	1 S
С1 = —1^28,99; «2 = —у 229,44;
£>2 = —-2102,7; с2 = ^-20,51; ^ = ^.- 15,406;
2	s *	2	2^s	1	2^s п
а2 = —^-- — 10,898; а13 = — —25,452; ам = — 3,54;
п	S	S
ам = 1 3,54; а24 = —у 16,968.
Подставляя эти значения в выражения углов поворота,
получим:
<Рз = —у^-0,0204; <р4 = |^0,0119,
Td 2vn *	*	2vn
9! = ^ 0,1348; <р2 = — ^-0,0943.
T1 2vn	2vn
Изгибающие моменты в сечениях стержней определятся
по формулам:
У зе л 1
Ml = Mlt<pt + Л413<р3 = (-0,1348VJ + 0.0204р.)	=
= — 0,569^;
м? = м1в + Л411Т1 + Л112<р2 = (1 — 0,1348ч] 4- 0,0943р)	=
= 0,569
2^
103
Узел 2
Л^2 = ^2q Ч~ ^21Т1 Ч~ ^22?2= ( 1  р» 0,1 348 —|— TQ • 0,0943) X
Х^ = -°’828С:
М% = М22<р2 = 0,0943 • 7)	= 0,425 g.
Ml = M22<f2-\-M2^i = (0,0943т; — 0,0119р.)	= 0,403 g.
Узел 3
< = Л431?1 + Л433?3 = (—0,1348р + 0,0204т;)	=
= —0,162g;
2v
Л1« = Л433?3 + /И34?4 = (0,0204т; — 0,0119р) g = 0,070 g ;
Mi = Л4ззТз = 0,0204т; g = 0,0692 g.
Узел 4
М“ = Л44зТз-|- Л444<р4 = (0,0204р. — 0,0119т;) g =
= —0,015 g;
2v
Л14=Л142<р2-|-Л144<р4 = (0,0943р— 0,0119т;) g= 0,123 g ;
Ml = Миср4 = — 0,0119т; • g = — 0,054 g;
7И^=Л444<р4 = —0,0119т;. g = — 0,054g;
= Л463<р3 = 0,0204р. g = 0,0381 g;
Л46 = М7 = Л464?4 = - 0,1348^ • g = - 0,254 g;
Л48 = Л182<р2 = 0,0943р. g = 0,177 g.
104
Определив изгибающие моменты в предположении про-
дольно-поперечного изгиба стержней рамы и подставив в фор-
мулы для моментов вместо интенсивности нагрузки q интен-
Фиг. 64.
сивность крутящей нагрузки tn, найдем изгибно-крутящие
бимоменты в тех же сечениях заданной рамы:
В? = — В* = — 0,569г; В£ = —0,828г; й| = 0,425г;
Bi = 0,403г; Вд= —0,162г; В% = 0,070г; Вс3 = 0,092г;
В° = — 0,015г; £4 = 0,123г; В1 = — 0,054г;
= — 0,054г;
В6 = 0,038г; Вв = В7 = —0,254г; В8 = 0,177г;
где
ml2
Г — ~Ъ‘
Эпюра бимоментов изображена на фиг. 64.
2. Рамы, узлы которых испытывают
смещения
Рассмотрим более общий случай рамы, имеющей четыре
неизвестных перемещения, именно: три производных от уг-
лов поворота узлов /, 2 и 3 и один угол поворота стер-
жня 1—2—%.
105
По середине левой стойки рамы приложен сосредоточен-
ный крутящий момент М. Для простоты дальнейших вычислений
длины всех стержней приняты одинаковыми и обозначены
через Z. Пусть, кроме того, для всех стержней будет принято
kl = и = const.
Опорные закрепления 4, 5 и 6 соответствуют условиям,
указанным на фиг. 65. Решения задачи об определении четы-
рех неизвестных перемещений разделим на две части. В первой
из них будем определять производные от углов поворота
жестких узлов ср', ср' и ср' в том предположении, что стер-
жень рамы 1—2—3 не имеет смещения 6. Во второй части
определим те же производные при наличии смещения 6.
а) Рама, не имеющая смещения
Предположим, что узел 2 неподвижно закреплен. Тогда
уравнения равновесия бимоментов для узлов 1 и 3 будут
иметь вид:
^ + ^1Л ~ О’
^ЗМ Н"" ^33а3 == О*
Отсюда находим:
/__ В1м___ М • .
“1—— ’
а' = О,
106
где
1 и
т = —th т.
* и 4
Если теперь узел 2 освободить от наложенной на него
связи и предположить, что он испытывает единичную меру
депланации, то узлы 1 и 3 будут при этом нагружаться
бимоментами В12 и В32 равными изгибно-крутильным коэф-
фициентам защемления, приведенным в табл. 6.
Меры депланации узловых точек 1 и 3, обусловленные
единичной депланацией узла 2, определяются из уравнения
равновесия бимоментов узлов 1 и 3.
Эти уравнения имеют вид:
^12 4“ ^иа12 = О»
^32 + ^33а32 — °-
Отсюда находим:
/ ____Bj2_____Н .	/ ______В32_________Р-7!
12 ~	Ви ~	2<	а32—	в33
Производные от углов поворота узлов 1 и 3 будут:
^ = <+“^2’
'?8 = а32<Р2-	(4.34)
В этих соотношениях ср' и ср' выражаются через произ-
водную от угла поворота ср' узла 2, которую нетрудно
определить из уравнения равновесия бимоментов, составлен-
ного для узла 2:
^241 4“ ^21^1 4- ^22^2 4- ^32^3 =
Вставляя сюда значения ср' и ср', из соотношений (4,34)
получим:
ф'=л
*2 2п
где
Н (2v)2	Р-2)	__Ml. (С) 2	.,24 m (4
2^(6^-5р*) + р4 — -2Г (2?J	' W’ (4’3b)
“	2^(6т)2 —5р.2)+р-4’
Производные ср' и ср' определяются по формулам:
?i = — П +l12(2-»l2 — р-2)‘»]; ?з = — ^V-2^- (4.36)
107
Знание производных От углов закручивания ср'р ср' и <р£
позволяет определить изгибно-крутящие бимоменты в кон-
цевых сечениях стержней рамы, а также и крутящие мо-
менты в тех же сечениях.
Так, например, результирующий крутящий момент, стре-
мящийся повернуть ригель 1—2—3 на некоторую величину
угла, если бы этому не препятствовала связь, определится
по формуле:
i = y+y(B? — Bi + Bt + Bs — В|).	(4,37)
Бимоменты, заключенные в скобках, имеют значения:
= В±м -|- Вцсрь Вь2 = #22^2’»	= ^зз^з» 1
В. = Вш + В^ В6 = ВЛ-	J (	}
б) Рама со смещающимся ригелем
Рассмотрим теперь раму в том предположении, что го-
ризонтальный стержень 1—2—3 может совершить пере-
мещение под действием крутящего момента L.
Предположим, что в узле 2 имеется закрепление, препят-
ствующее свободной депланации поперечного сечения. Тогда
при повороте ригеля 1—2—3 на угол 6 уравнения равно-
весия бимоментов в узлах 1 и 3 будут иметь вид:
^33а3 Н~ ^33® = 0*
Отсюда находим:
7 Вцб м 0	6
=	=	аз = — ^ = ~~
Производные от углов поворота узлов 1 и 3 будут:
==ai+ai2<P2, 1
_ J _ J	(4,39)
<Рз = аз + <Х- J
Производная ср' определится из уравнения равновесия би-
моментов, составленного для узла 2:
ДаЛ Н~ ^22^2 Н~ ^23^3 4“ ^22® =
108
Вставляя сюда ср' и ср' из уравнений (4,39), получим*.
—г  ^21а1 4“ ^23а3 4“ ^22^  
^21а12 4" ^22 4“ ^23а32
_ . (2^ _ р) (2у] - И) - 2т)И	- р2)	6
—	2у]^ (6т)2 — 5р) -h Р-4	* I ’
Введем обозначение:
ш — (2тГ — ^3) (2*1 — Р-) — 2У]р. (7)2 — Р 2)
27)2 (6т)2 — 5,9-2) _|_ р 4
тогда выражения для производных ср', ср' и ср£. могут быть
записаны в следующей форме:
?;=<+«=®т;	I (4 40)
?3 = а3 4“ Т •	j
В этих соотношениях
Ф = 1	0 = 27)г]_и, (^ — М^).
Перемещение 6, через которое выражены производные ср',
ср' и ср', определим из условия равновесия стержня 1—2—3,
отсеченного горизонтальной плоскостью, проведенной по
верхним концам стоек при действии на него всех моментов,
соответствующих узловым депланациям и перемещению 6.
Уравнение равновесия отсеченного ригеля имеет вид:
£Х4-^+М-2^0-М+£=о. (4.41)
В уравнении (4,41) через L2 и L3 обозначены полные
крутящие моменты, соответствующие производным от углов
закручивания, равным единице, Lr и Л3— крутящие моменты,
обусловленные единичными углами поворотов.
Для рассматриваемого случая закрепления концов стоек
крутящие моменты, согласно табл. 6, определяются по фор-
мулам:
/ — L	I — " ''I2 —Iх2 — ” у
М — ь2 — z v, Z_3 — z	— z
£1 = Z2=|2(2v + ft2Z2)=”P1,
(4,42)
Ц = ^+&12) = т^-
109
Вставляя эти моменты в уравнение (4,41) и принимая во
Ьнймание соотношения (4,40), можем записать уравнение
(4,41) в таком виде:
+	—2₽! — 51]+L = 0.	(4,43)
Обозначая выражение, заключенное в квадратных скоб-
ках буквой /?, получим из уравнения (4,43) значение для 6
в таком виде:
Производные от углов поворота <рх, сра и ср3 будут равны
Значения полных производных от углов закручивания
узлов 7, 2 и 3 определятся путем суммирования:
+ <Рр е2 = 'Ра + ?2; 08 —'Рз + 'Рз-	(4-45)
Произведем вычисления для рассмотренной рамы при
kl = 2. В этом случае будем иметь:
V) = 4,508; [1= 1,882; v = 6,390; 7 = ^-th = 0,231 ;
р1= 16,78;	= 7,772; х = 3,722.
Производные 6', 9' и 9' имеют значения:
0,0132; 02 = —- 0,0019; 0з = —— X
1	П	П	п
X 0,00043.
Для определения результирующего момента L, найдем
предварительно бимоменты в верхних и нижних сечениях
стоек по формулам (4,38):
в? = —2^1-0,9691; в| = —2^21 - 0,1481;
=	0,0279; В4 = 2^1.2,430; В-= —2^1.0,0618.
Вставляя это в (4,37), найдем:
L = 0,426244.
ПО
В уравнении (4,43) выражение, заключенное в квадрат-
ных скобках, имеет значение:
Я = (ф _|_ ф) т + Ях — 2р! — = —33,6858.
По формуле (4,44) находим:
0 = —-^- = 0,01265—.
nR	п
Производные от углов поворота будут равны:
0^ = 0,00807 — ; 6, = 0,0042 — ; 63 = 0,004759—.
и ’	п
Изгибно-крутящие бимоменты будут иметь значения:
В1 = В1М + В1Х + Вп0 = — 0,0116 Ml;
В* = Bn0j + В1202 = 4-0,011644Z;
Bl = B21oJ + В2202 = — 0,0177 Ml;
В°а = Вааба + В23О3 = — 0,035644Z;
Ва = ВааО2 -1— ВазО == —|— 0.053344Z;
В8 = В830а “I- В3363 = — 0,031 Ml;
Bl = В880з + В33О = + 0,031 Ml;
Bi = BiM + B410j + B410 = + 0,20644Z;
B5 = Вба6а 4 Вба6 =+0.069MZ.
Коэффициенты защемления Вп, В12, В22......Вп, В22
приведены в табл. 5.
Грузовые члены В1М, В2м даны в табл. 5.
Диаграмма бимоментов изображена на фиг. 66.
ГЛАВА V
ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ
К ИССЛЕДОВАНИЮ КРУЧЕНИЯ ТОНКОСТЕННЫХ
СТЕРЖНЕЙ
Задача об определении деформаций и внутренних усилий
в тонкостенных стержнях, испытывающих кручение, сводится
к интегрированию обыкновенного линейного дифференциаль-
ного уравнения с постоянными коэффициентами.
Непосредственное интегрирование упомянутого дифферен-
циального уравнения приводит к сложным выражениям для
углов закручивания и внутренних усилий, неудобным для
практического применения.
Во многих случаях решение задач о стесненном кручении
тонкостенных стержней в значительной степени может быть
облегчено, если ограничиться рассмотрением приближенной
формы для упругих углов закручивания.
В настоящей главе рассматривается расчет тонкостенных
стержней на кручение при помощи тригонометрических рядов
и энергетического метода1.
§ 21. Определение упругих углов закручивания
в форме тригонометрического ряда
Рассмотрим задачу о кручении двухопорного стержня,
нагруженного сплошной крутящей нагрузкой интенсивно-
сти m(z).
Опорные закрепления соответствуют граничным условиям:
6 = 6" = О, при 2 = 0 и 2 =/.
Определение упругих углов закручивания сводится к инте-
грированию дифференциального уравнения, имеющего вид:
Efjw —	=	(5,1)
1 См. М. М. Филоненк о-Б о р о д и ч. Курс сопротивления
материалов, ч. II. Гостехиздат, М—Л. 1949.
11?
Допустим, что угол закручивания может быть аппрокси-
мирован конечным тригонометрическим рядом:
(2) = 04sin-y-|-«2sin —~i-H ••• +«nsin——, (5,2)
где alt a2, .... an — неизвестные постоянные.
Каждый член этого ряда удовлетворяет граничным усло-
виям: 6 = 6" = 0 при z = 0 и z = I.
Чтобы удовлетворить дифференциальному уравнению (5,1),
разложим крутящую нагрузку m(z) в ряд:
т (z) =	sin ——|-m2sin——|- ... 4-mnsin —. (5,3)
Подставляя уравнение (5,2) и (5,3) в уравнение (5,1),
получим:
со
0. (5,4)
Из уравнения (5,4) находим коэффициент ап:
и приближенное решение дифференциального
имеет вид:
_______
+S)
. ПГ.2
sin —j—
уравнения
(5,6)
Здесь введено обозначение:
6(г) = 2
п = 1
Коэффициент тп, входящий в формулу (5,6), может быть
найден следующим образом. Умножая обе части равенства
(5,3) на sin-^- и интегрируя в пределах от z = 0 до 2 =
получим:
i
2 Г z ч . nnz ,	z-
тп = -у • J m(z) sin —у dz.	(5,7)
о
8 Н. И. Карякин
из
Если интенсивность крутящей нагрузки является величи-
ной постоянной, то из формулы (5,7) следует:
4m	1 о г-
тп =-- при n=l, 3, 5,
П КП г	’
mn~Q при п — 2, 4, 6, ...
(5.8)
Принимая во внимание формулу (5,8), формула (5,6) для
угла закручивания представится в виде:
(5.9)
В формуле (5,9) обозначено u = kl.
В случае жестко закрепленных концов стержня углы
закручивания и их производные равны нулю. При действии
на стержень скручивающей нагрузки одного направления
угол закручивания может быть представлен в самом общем
виде в форме тригонометрического ряда:
6(2) = -Й-(1—cos®^)+ ....	(5,10)
каждый член которого удовлетворяет граничным условиям
закрепления на концах 6 = 6' = 0 при 2 = 0 и г = Z.
Подставляя выражение (5,10) в уравнение (5,1)» получим:
-1S [£/« (F^)4+0/« (F1)2] а«cos	=т- (5> 1
Л = 1
Для определения неизвестных коэффициентов ап помно-
жим обе части равенства (5 И) на (1—cos и проин-
тегрируем результат в пределах от 2 = 0 до z — l.
/nnz sitz , к
cos—j—cos—j—dz = 0,
о
и полагая n = st после интегрирования получаем:
i[^(FL)4+o/«(47]a"=/w(i-cos2T£)dz-(5-i2>
о
114
Из уравнения (5,12) находим^
(5,13)
Угол закручивания для произвольного сечения стержня
определится выражением:
I
В том случае, когда на стержень действует сплошная
крутящая нагрузка т = const, формула для угла закручива-
ния принимает вид:
т/4
п = 18£/ш^(1+(-^)
cos?^^y (5,15)
Это и есть общее выражение для упругих углов закру-
чивания стержня с двумя жестко закрепленными концами,
нагруженного равномерно распределенной крутящей нагруз-
кой т.
§ 22. Энергетический метод
Расчет тонкостенных стержней на кручение методом энер-
гии, основанный на использовании начала возможных пере-
мещений, представляет большую практическую ценность.
При разыскании функции 6 (2) при помощи этого метода
упругая кривая углов закручивания стержня задается в форме
ряда:
6 (2) =	(2) + «2<Р2 (*) + • • • + «А (5-16)
где срх (2), ср2 С2)* • • •»	С2) — функции, удовлетворяющие всем
кинематическим условиям задачи.
Обозначим через U потенциальную энергию, накопляемую
при кручении стержня, а через Т — работу, которую совер-
шает скручивающая стержень нагрузка на перемещениях,
соответствующих кручению.
8*
115
На основании начала возможных перемещений основное
уравнение равновесия может быть записано в таком виде:
о (Г — U) = 0.	(5,17)
Приращение потенциальной энергии кручения при всяком
возможном отклонении линии углов закручивания стержня
от положения равновесия равно работе внешних сил на этом
перемещении.
Условие (5,17) позволяет найти такую искривленную
форму линии углов закручивания, которой будет соответ-
ствовать максимум или минимум выражения:
Т — 77 —С = const.	(5,18)
При известной форме кривой углов закручивания можем
записать выражение для потенциальной энергии U тонко-
стенного стержня при стесненном кручении в такой форме:
i	i
и = J (0")2d24--^- J (S'prfz.
О	о
(5,19)
Первое слагаемое уравнения (5,19) представляет собой
потенциальную энергию, накопляемую в стержне при дейст-
вии изгибно-крутящих бимоментов В = — Е1^".
Вторым слагаемым определяется потенциальная энергия
при действии на стержень крутящих моментов Mk — GIJ¥.
Согласно принятой в теории стесненного кручения гипо-
тезе об отсутствии деформации сдвига срединной поверх-
ности потенциальная энергия при действии изгибно-крутящих
моментов 714ш принята равной нулю.
При нагружении ст»7 " сосредоточенными крутящими
моментами 714 и сплошной крутящей нагрузкой интенсив-
ности m работа Т представится выражением:
п
T = ^M„e„+f me(Z)dz.
1
(5,20)
Выбрав уравнение для кривой углов закручивания так,
чтобы функции срг(2), сргС2)’ •••-	(2) удовлетворяли усло-
виям закрепления концов стержня, можно подставить равен-
ство (5,16) в уравнение (5,18) и представить (Г — (7) как
функцию параметров а19 а2, ..., ап.
116
Эти параметры должны быть подобраны так, чтобы выра-
жение (5,18) приобретало максимум или минимум, т. е. чтобы
были удовлетворены условия:
— = 0-	— = 0-	•—=
да^	3	да2 ’ * ’ ’ ’ дап
(5,21)
Применение энергетического метода к исследованию во-
просов о кручении тонкостенных стержней, проиллюстрируем
несколькими примерами.
Рассмотрим, например, стержень с шарнирным закрепле-
нием концов (6 == 6" = 0 при 2 = 0 и 2 = Z), нагруженный
сосредоточенными крутящими моментами Mr, M2t .
Пусть для кривой углов закручивания будет принято выра-
жение в виде тригонометрического ряда:
со
6 (г) = 2} sin ,
п = 1
(5,22)
каждый член которого удовлетворяет условиям на опорах.
Принимая во внимание, что
mtz . suz , Л
—-j— • sin —dz = 0:
i
;nnz snz , Л
cos —j— cos —y- dz = Q
о
> при tl Ф s
j sin2 dz = ~\ J* cos2 dz = ^~,
6	0
получаем
 l	co
f (0')2d2=^^n2a2,
0	n = l
I	co
0	/7 = 1
Следовательно, потенциальная энергия определится выра-
жением:
со	со
=	(5-23)
п=1	п = 1
117
Работа внешней крутящей нагрузки будет иметь значе-
ние:
T=^Mz(a1sm^4-c2sin^i- + ... 4-ansin-^p-).
(5,24)
Подставляя уравнения (5,23) и (5,24) в выражение (5,18),
получим:
^Al^^sin^ + ^sin ^-+ ... + «„sin-^) —
СО	со
-тг^й‘й»-Т^!й»=с- <5-25>
Составляя на основании условий (5,21) производные по
произвольным параметрам аь а2, ап и приравнивая их
к нулю, получим:
VI . mtCi	. Glophfi \
---1---^-)«„ = 0.
Отсюда находим общее выражение для параметров ап:
213^ Mi sin
Для получения угла закручивания нужно значения аъ
а2, ап вставить в выражение (5,16) для 6.
Общее выражение для угла закручивания будет иметь
вид:
Если возьмем один член ряда (5,16), то при действии на
стержень одного лишь сосредоточенного крутящего момента.
118
приложенного посредине пролета ~ у)» Угол закручива-
ния 6 (2) определится по формуле:
л г ч	2Л1/3	. TZZ	/сг ооч
0~	+ Sm ~•	(5,28)
Наибольший угол закручивания будет равен:
где
л  2Л4/3	 £2/2
Изгибно-крутящий бимомент посредине пролета опреде-
лится по формуле:
2	2
8^/2	1
(л2 _[_ £2/2) J
(5,29)
Уравнением (5,27) можно воспользоваться для определе-
ния углов закручивания и в том случае, если на стержень
будет действовать сплошная скручивающая нагрузка. Пусть
интенсивность сплошной крутящей нагрузки будет обозна-
чена через т (фиг. 67).
Фиг. 67.
Тогда сплошная нагрузка mdc, приходящаяся на эле-
мент длины de, может быть принята за сосредоточенный
крутящий момент.
Заменяя в уравнении (5,27) сосредоточенный момент
сосредоточенным крутящим моментом т de и суммируя
119
действие отдельных элементов крутящей нагрузки, получим:
Г • пС
I msin—у- ас
2/3	6	Ъ2
, km sin ~~Г
L 1 *+ 1$
6(2)
(5,30)
При действии равномерно распределенной крутящей на-
грузки т угол закручивания будет равен:
4mft
~ЁТ^
«и
, KZ
s in ——
km
 “I
. 3^Z
sin —Т~

(5,31)
Если ограничиться первым членом ряда (5,22), то полу-
чим:
П / ч	4/?zZ4	-
в (?) — £/щП8	sin —.	(5,32)
Наибольший изгибно-крутящий бимомент для этого слу-
чая загружения стержня будет равен:
32^/2	-\__mP
~ 8 лЗ (ц2 + £2/2) J — 8	(5'33)
Чтобы судить о точности результатов, получаемых на
основании формулы (5,33), достаточно сравнить коэффи-
циент ф, подсчитанный для нескольких значений аргумента
120
u = klt с коэффициентом фх точной формулы, имеющей вид
D	mF /.	1 \	8 ml? ,
Вг.±=-8- Р-—Г •^ = — '1’1'	<5’34>
a I chy I
Численные значения коэффициентов приведены в табл. 8.
Таблица 8
11 = kl	Прибли- женное значение	Точное значение	и = kl	Прибли- женное значение	Точное значение
0	1,000	1,000	0,80	0,937	0,938
0,20	0,996	0,996	1,00	0,905	0,906
0,40	0*984	0,984	2,00	0,702	0,704
0,60	0,964	0,964	4,00	0,363	0,367
Эта таблица показывает, что разность между точным и
приближенным значениями коэффициентов ф и является
весьма незначительной. Следовательно, в практических рас-
четах при определении изгибно-крутящих бимоментов и углов
Z-----—
----------------1
Фиг. 68.
закручивания всегда можно пользоваться приближенным ме-
тодом.
Рассмотрим случай стержня с двумя неподвижно закреп-
ленными концами (0 = 0' = 0) (фиг. 68).
При действии сосредоточенного крутящего момента упру-
гая линия углов закручивания представится кривой 0(2),
имеющей две точки перегиба. Для кривой углов закручива-
ния может быть принято уравнение в самом общем виде
в форме ряда:
6(г) = 2«л(1—cos^),	(5,35)
121
каждый член кбторбгб удовлетворяет всем граничным усло-
виям на концах стержня:
е (0) = 0 (/) = 0; 0' (0) = б' (/) = 0.
Если ограничиться первым приближением, то согласно
уравнению (5,19) потенциальная энергия будет иметь значе-
ние:
и = -ф- J (0")2 dz + J (S')2 dz = (	а* .
О	о
(5,36)
Работа внешнего крутящего момента Л4 будет иметь зна-
чение:
Г = Ма1(1— cos^py	(5,37)
Подставляя найденные выражения для U и Т в уравне-
ние (5,18), получим:
(—------1---11 — cos —j-j = C. (5,38)
Согласно условиям (5,21) находим:
W>(1 — COS-^)
n -- ---2__________L
Для произвольного сечения стержня угол закручивания
определится по формуле:
ЛПв(1 —cos^)
 <5-ю>
8Е^\!+4^)
В случае действия сплошной скручивающей нагрузки ин-
тенсивности m угол закручивания будет равен:
1 — cos
б(2) =
(5,40)

122
Наибольший угол закручивания имеет место посредине
I
пролета при z = :
л _____ ml* _____________ 0о
Z-1 ~ ЛОГ 4 Л 1	~ 1 I k'P '
(^1 + 4л2)	1 + 4„а
о т/4
где о0 = 4£/ ~~4~ означает угол закручивания посредине
стержня, определяемый из приближенного дифференциального
уравнения кручения (при G/a = 0):
EIJW =т.
§ 23. Кручение тонкостенных стержней в упругой среде
Дифференциальное уравнение кручения тонкостенного
стержня, свободного от воздействия упругой среды, нагру-
женного крутящей нагрузкой т, имеет вид:
01V_ft26«= ™
(5.41)
Предположим теперь, что при кручении стержней упру-
гая среда оказывает реакции, пропорциональные углам за-
кручивания. Пусть через будет обозначен коэффициент
упругости среды, имеющий размерность кг и представляю-
щий собой момент, который должен быть приложен к еди-
нице длины стержня, чтобы сообщить ему угол закручива-
ния, равный единице.
Реакция упругой среды, отнесенная к единице длины
стержня, будет иметь значение —kfi.
Интенсивность реактивных воздействий по длине стержня
не является постоянной, а изменяется по закону упругих
углов закручивания.
Полная сплошная скручивающая нагрузка, действующая
на стержень, будет равна:
т (z) = т — &09.
(5,42)
Следовательно, дифференциальное уравнение для кручения
тонкостенного стержня в упругой среде имеет вид:
0iv_A2^_i_Ae= ” .
' EI#
(5,43)
1£3
В этом уравнении обозначено:
где GIa — крутильная жесткость;
Е1^ — секториальная жесткость.
Решение дифференциального уравнения (5,43) приводит
к сложным выражениям для упругих углов закручивания
и внутренних усилий.
Чтобы получить наиболее простое решение, целесообразно
и в этом случае воспользоваться энергетическим методом.
При определении функции 6 при помощи этого метода
упругая кривая углов закручивания может быть задана
в форме ряда следующего вида:
со
е (z) = а1?1 (z) 4- Л2<р2 (Z) + ... = s «„<?„ (z),	(5,44)
п = 1
где <рл (z)— функции, удовлетворяющие тем же кинемати-
ческим условиям задачи, которым подчинена
функция 6(2). В энергетическом методе в ка-
честве таких функций, как уже было показано,
обычно используются тригонометрические ряды,
во многих случаях упрощающие вычисления.
Коэффициенты а2, . .., ап в уравнении (5,44) вычис-
ляются на основании начала возможных перемещений.
Если через U обозначим потенциальную энергию, на-
копляемую при кручении стержня, а через Т — работу
внешней крутящей нагрузки на перемещениях, соответствую-
щих кручению, то начало возможных перемещений пред-
ставится уравнением:
8 (Г — U) = 0.	(5,45)
Потенциальная энергия кручения стержня составится из
двух частей — энергии кручения стержня и энергии упру-
гой среды U2.
При заданной форме кривой углов закручивания выра-
жение для потенциальной энергии UY тонкостенного стержня
при стесненном кручении имеет вид:
l	i
=	(е")г dz+4Г / (9')2 dz- (5.46)
о	о
124
Первое слагаемое уравнения (5,46) представляет собой
потенциальную энергию, накапливаемую в стержне при дей-
ствии изгибно-крутящих бимоментов:
Яш = — EIJ".
Вторым слагаемым определяется потенциальная энергия
при действии на стержень крутящих моментов:
Потенциальная энергия деформации упругой среды пред-
ставится выражением:
i
U^^fVdz.	(5,47)
О
Следовательно,
i
и = их + иг=^^ {Е1а (0")2 4 О1Л (0')2 + fco02] dz. (5,48)
О
При нагружении стержня сосредоточенными крутящими
моментами М и сплошной крутящей нагрузкой т работа Т
будет равна:
т = 2 М„оп +fm6 (z) dz.	(5,49)
Рассмотрим кручение стержня с шарнирным закрепле-
нием концов (6 = 6" = 0 при 2 = 0 и z = Z), нагруженного
сосредоточенным крутящим моментом 7И. Расстояние от
левого конца до точки приложения момента обозначим через с.
Предположим, что угол закручивания может быть аппро-
ксимирован конечным тригонометрическим рядом вида:
6(<?) = &1sin^-4-a2sin^-4“ ••• + ап • (5,50)
Согласно уравнению (5,48) потенциальная энергия будет
равна:
со	со	со
и=и,+и2=2	2 «ч+¥ Ё •
Л=1	Л = 1	Л = 1
(5,51)
Работа внешней крутящей нагрузки будет иметь значе-
ние:
'ту	. кс ,	. 2тсс ,	.	. ппс\
Т = М	sin—••• + эн! — J. (5,52)
125
Подставляя значения (5,51) и (5,52) в выражение (4,18),
получим:
Ж (sin -у + sin — + • • •
со	со	\
+-	2 «ч+? 2 ап =с- <5-53)
л=1	л=1 f
Составляя на основании условий (5,21) производные по
произвольным параметрам aLt а2, . .., ап и приравнивая их
к нулю, получим:
м sin - (^^-+	+ k-f\ап = 0.
Из этого уравнения находим для параметра ап выра-
жение;
Общее выражение для угла закручивания будет иметь вид:
2М/з I	I
\	Е1^
Уравнением (5,55) можно воспользоваться для опреде-
ления углов закручивания и в том случае, если на стержень
будет действовать сплошная скручивающая нагрузка.
Обозначим интенсивность сплошной скручивающей на-
грузки через т. Сплошная нагрузка т de, приходящаяся на
бесконечно малый элемент de, может быть принята за со-
средоточенный крутящий момент.
Заменяя в уравнении (5,55) сосредоточенный момент М
сосредоточенным крутящим моментом т de и выполняя ин-
126
тёгрирбвание по с в пределах от 0 до /, получим^
°°	sin nnz
= У /—	№
Ограничиваясь первым членом ряда (5,50), найдем из
уравнения (5,56) для угла закручивания посредине пролета
выражение:
4/П/<
Е1^(х + I _*e!LV
(5,57)
Имея выражение для угла закручивания, легко могут
быть получены формулы для изгибно-крутящих бимоментов.
ГЛАВА VI
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
Общая теория статической устойчивости тонкостенных
стержней открытого профиля с недеформируемым контуром
сечения подробно разработана профессором В. 3. Власо-
вым [12].
В настоящей главе решение задач об устойчивости упру-
гого равновесия тонкостенных стержней проводится с по-
мощью энергетического метода, позволяющего находить ве-
личины критических нагрузок не прибегая к интегрированию
дифференциальных уравнений.
Согласно этому методу критическим значением нагрузки
будет то, при котором изменение энергии системы для ка-
кого-либо возможного перемещения обращается в нуль.
Обозначим через U изменение потенциальной энергии си-
стемы при переходе из одного положения равновесия в дру-
гое, а через Т—изменение энергии положения приложенных
к системе нагрузок при отклонении от рассматриваемой
формы равновесия, тогда система будет устойчивой, если
U — Г > 0; и неустойчивой, если U — Т <0.
Критическое значение нагрузки, при которой заданная
форма равновесия переходит из устойчивого состояния в не-
устойчивое, определяется из уравнения:
U — Т = 0.	(6.1)
При определении критических сил энергетическим методом
необходимо задавать подходящую форму кривой деформации
системы. Эта форма должна быть выбрана так, чтобы удо-
влетворить условиям на концах стержня. Для получения ре-
шения, близкого к точному, выражение для отклоненной
формы выбирают так, чтобы получить минимум выражения
для критической нагрузки.
128
§ 24. Устойчивость тонкостенных стержней
при внецентренном сжатии
Применим энергетический метод к общей задаче об устой-
чивости равновесия сжатого силами Р тонкостенного стержня,
имеющего в поперечном сечении несимметричную форму
(фиг. 69).
Обозначим координаты точки приложения силы Р в пло-
скости поперечного сечения через ех и еу.
Пусть поперечное сечение будет отнесено к главным осям
инерции х, у\ ось z направим вдоль оси стержня.
Нормальное напряжение в любой
точке /И сечения в статическом
равновесии не зависит от z и может
быть определено по формуле:
где Мх = — Р ' еу\ Му = Р • ех — изгибающие’ моменты, при-
ложенные по концам стержня.
Возьмем на поперечном сечении у точки 7И элемент
площади dF, определяемый координатами х, у. При выпу-
чивании стержня составляющие его перемещения в направле-
ниях осей х и у будут (фиг. 70):
^ = « + (ау —З’)6-
= (Ь’3)
Здесь обозначено:
ах, ау — координаты центра изгиба,
и, v — перемещения центра изгиба в направлениях осей х и у
О — углы закручивания поперечных сечений.
9 Н. И. Карякин
129
Предположив, что при выпучивании стержня на слегка
повернутые поперечные сечения будут действовать начальные
напряжения о, можем определить составляющие усилия в на-
правлениях осей х и у, действующие на элемент dz:
d*Xiur
dP -- — о dF -т-s- dz,
x	dz*
d*y tlt
dP= — cdF dz.
У	dz*
Усилия на единицу длины стержня будут:
d*x-M
dqx = — zdF—^
*	dzL
(6,4)
&Ум
dz* ’
dqy = — a dF
Крутящий момент на единицу длины стержня относи-
тельно центра изгиба имеет значение:
dmz = — с dF [и" + (ау — у) 6"] (ау — у) +
dF [v"— (ах— х) 0"] (ах— х). (6,5)
Интегрируя (6,5) по всему сечению, получаем:
тг = — J а [и" + (а, — у) 6"] (а, — у) dF -|-
F
4- J*	— (ах— х)6"](аж—x)dF. (6,6)
F
Подставляя сюда выражение для нормальных напря-
жений, получаем:
mz = - (Рау + Мх) и" + (Рах - Му) v" +
+ (Л4Х₽1-Л4у₽2-Рг2)6", (6,7)
где
г2 = ва+й,_|_^+^;
J уз dF-\- J лЗу dF
^ = F--------------------2а,;
J* х3 dF J* хуг dF
h = --------Г------------2ax-
'у
Ix, fy — моменты инерции,
F — площадь поперечного сечения.
130
Для энергии деформации и для работы, произведенной
внешними сжимающими силами и крутящими моментами, по-
лучаем следующие выражения:
i
[Е1ш(0у+О1а(в'У+Е1^'У+ЕГу(и'У]аг,... (6,8)
О
I
т=^ f [Р («Т 4- Р (г/)2 — 2 (Рау + Мх) и" 0 +
О
+ 2 (Рах — Му) v"G +	— мур2 — Рг2) 0"6] dz. (6,9)
Подставляя (6,8) и (6,9) в уравнение (6Д), получим
уравнение устойчивости:
f [Е/ш (0'7 + G/o(0')2 + Е/х	О1")2 —
О
— Р (и')2 — Р (У)2 4- 2 (Рау 4- Мх) н"9 — 2 (Рах — Му) #'9 —
_(МЛрх — Мур2 — Рг2) 9"9] dz = 0. (6,10)
Обозначая подынтегральное выражение через Ф, можем
записать:
i
f<Hdz = O.	(6,11)
О
В уравнение (6,11) входят три перемещения и, v и в;
следовательно, в рассматриваемом общем случае крутильная
форма потери устойчивости сопровождается изгибом оси
стержня.
Предположим, что концы сжатого стержня закреплены
так, что они не могут испытывать поворота вокруг оси 2,
а точки контура свободно могут перемещаться вдоль оси z.
В этом случае условия на концах (при 2 = 0 и z = /)
будут:
и = z) = 9 = 0,
и" = v” = 9".
Эти условия будут удовлетворены, если принять
и = X1sinX2; -u = z42sinX2; 9 = 43sinX2, (6,12)
где
Х =	(/г = 1, 2, 3, ...).
9*
131
Коэффициенты Д1Э А2 и А3 необходимо подобрать так,
чтобы формула (6,10) давала для Р наименьшее значение.
Составляя производные от (6,11) по каждому из коэф-
фициентов, получим систему однородных уравнений вида:
/ Ф	= (Е1уК — Р) А, — (Рау +	А, = 0,
О
I
Ф dz = (JEIJ?—P) Аг-\-(Рах —Му) Аъ = 0,
±.Jq>dz = - (Рау + Л1Л) А, + (Рал - Му) Л2 +
+ [£/J2 + МЛ ~ Му₽г - Pr2 + G/J А3 = 0.
В частном случае, когда ех = еу — 0, т. е. когда стер-
жень нагружен центрально, система однородных уравнений
приводится к виду:
(Е/уХ2_Р)Л_рауЛз = 0,
(Е1Х)? — Р) А2 + РахА3 = 0,	(6,14)
— Рау AL + РахА2 + (Е1ШК — Pr* + GIa) А3 = 0.
Искривленная форма равновесия становится возможной,
если уравнения (6,14) могут дать для коэффициентов Л15 А2 и Л3
решения, отличные от нуля, т. е. если определитель системы
уравнений (6,14) обращается в нуль.
Для краткости записи введем обозначения:
РХ = Е1Х\2; Ру = Е1у\2- Ра =	+ 0/с| , (6,15)
где Рх и Ру — эйлеровы силы, при продольном изгибе в двух
главных плоскостях,
Рш — означает критическую силу для чисто кру-
тильной формы потери устойчивости.
Приравнивая нулю определитель уравнений (6,14), по-
лучим:
Ру — Р‘>	0;	— Рау-
0; Рх — Р\ Рах\
— Рау;	Рах\ (Рш —Р)г2
(6,16)
132
Раскрывая этот определитель, получим следующее куби-
ческое уравнение:
(ах + а} - г2) Р* + [(РЛ + Ру + Рш) г2 — Рха* - Ру4] Р2 —
— (РА + р^ + PyPJ г2р + РХРУР^2 = 0. (6.17)
Из этого уравнения находим три значения критической
силы Рр Р2, Р3 при центральном сжатии, из которых
практически используется наименьшее.
Подробное рассмотрение уравнения (6,17) позволяет
сделать следующее заключение:
если
РХ<Ру<Р^,
то три корня Рр Р2 и Р3 располагаются в таком порядке
Л < Рх < Pl < Ру < РШ < Рз.
если
Рсо < Рх < Ру,
то
р1<рш<рх<р2<ру<р3.
Это указывает на то, что в общем случае несимметрич-
ного поперечного сечения наименьшая критическая сила
соответствует изгибно-крутильной форме потери устойчи-
вости; она всегда меньше эйлеровой критической силы для
чисто крутильной формы потери устойчивости.
Для симметричных поперечных сечений решение задачи
об устойчивости центрально сжатого тонкостенного стержня
значительно упрощается.
Рассмотрим, например, сечение с одной осью симметрии х\
в этом случае координата центра изгиба ау = 0.
Из первого уравнения системы (6,14) получаем:
Р1=Ру.
следовательно, потеря устойчивости стержня в плоскости
симметрии не зависит от кручения; критическая сила опре-
деляется формулой Эйлера.
Из двух других уравнений системы (6,14) получаем сле-
дующее условие для определения критической силы:
|(РХ-Р); Рах, I
I Рах, (Р^-РУг^ — ^
133
Раскрывая этот определитель, получаем:
(Рш+ Лг)	]/"(Рш — РЛ)М + 4PXPU/Vr
^.з =	2(^-4)	• (6,18)
Таким образом, для сечения с одной осью симметрии
получены три значения критических сил, из которых в прак-
тических расчетах принимается наименьшее.
Для центрально сжатого стержня, имеющего в плоскости
сечения две оси симметрии, т. е. при ах = ау = 0, усло-
виями для получения критических сил будут:
Ру-Р = 0,
Рх — Р = 0,
pw_p = 0.
Отсюда
=	= Рь = Р«-
В этом случае получаем два значения критической силы,
соответствующие потере устойчивости в двух главных пло-
скостях по Эйлеру. Третье значение соответствует чисто
крутильной форме потери устойчивости.
Если концы стержня защемлены, то условиями на ко:дах
(при 2 = 0 и z — Г) будут:
и = v = 6 = 0,
и' = -и' = 6х = 0.
Эти условия будут удовлетворены, если приняв-
« =	—cos-^-);	=	—cos-j'3^;
О = А3 1 — cos .
Подставив эти выражения в уравнение устойчивости (6,10),
из условий
i
~f$dz = 0,	(Z=1.2. 3),	(6,19)
z о
получим те же уравнения (6,14), в которых вместо —у*
должно быть подставлено Л=-у->
134
Возвращаясь к общему случаю внецентренного приложе-
ния сжимающей силы и предполагая, что концы сжатого
стержня закреплены шарнирно, на основании системы урав-
нений (6,13) условие устойчивости запишем в таком виде:
(Ру — Р) At — Р (ау — еу) А3 = О,
(Рх — Р)А2 + Р(ах—ех)А3 = 0,
-Р(ау — еу)А1 + Р(ах-ех)А2+	(6’20)
+ КЛ.—Р) г2—Р (*у₽ t + е.v₽2)l А3 = 0.
Приравнивая нулю определитель уравнений (6,20), полу-
чаем:
(Ру-РУ
0;
Р(ау	&уУ
0;
(РХ-РУ
Р(ах — ех)\
Р {Лу ву)’.,
Р(ах — ех)\
{(Р^-Р)^--Р{еу^^ех^}.
(6,21)
Раскрывая этот определитель, получим следующее куби-
ческое уравнение для вычисления трех критических сил:
(C^d — b — г2) Р3 +
+ К^л + Ру + Л») + Рх (Р — О) + Ру (Ь — с)] Р2 -
— 1(РхРу + РХР<» + PyPJ г2 + Р^ Р + РхРуР^2 = 0.
(6,22)
здесь обозначено:
b — (еу Pi + ^л-Рг)’»
с = (ах — е v)2; d=^(ay — еу^.
При ех = £у = 0 уравнение (6,22) совпадает с кубиче-
ским уравнением (6,17), полученным для центрально сжатого
стержня.
Если сжимающая сила Р будет приложена в центре из-
гиба, то
ех — ах, еу = ау, c = d = 0.
В этом случае однородные уравнения (6,20) распадаются
на три самостоятельных уравнения; из них мы получаем три
критических значения силы Р. Два определяются формулами
Эйлера:
Р1 = Ру==^Л
P2 = Px = EIx^t
135
а третье, соответствующее крутильной форме потери устой-
чивости, определяется по формуле:
Р3 = —(6,23)
1+Тз-
где
Рассмотрим задачу об устойчивости сжатого стержня,
имеющего в плоскости сечения одну ось симметрии.
Плоскость yz примем за плоскость симметрии. Предпо-
ложим, что точка приложения сжимающей силы расположена
на оси у.
Для этого случая имеем:
ах = ех — О,
и уравнения (6,20) принимают вид:
{Ру — Р) А1 — Р («у — S) Л = о,
(Рх — Р)Л2 = 0,
— Р(ау —	+	— Р)г2 —РЬ] Л3 = 0.
(6.24)
Из уравнения второго следует, что потеря устойчивости
в плоскости симметрии не зависит от кручения и от изгиба
в другой главной плоскости; соответствующая критическая
сила определяется по формуле Эйлера.
Приравняв нулю определитель первого и третьего из
уравнений (6,24), получим условие для определения двух
других значений критических сил:
I (Ру — Р); —Р(ау — еу),
I - Р (ау - еу)-, [(Рш -Р)г*- РЬ]
= 0.	(6,25)
Раскрывая этот определитель, получаем квадратное урав-
нение:
(Ру — Р) [(Рш — Р) г* — РЬ] —P2d = 0,	(6,26)
из которого могут быть найдены два значения критиче-
ских сил.
Если сжимающая сила Р будет приложена в центре из-
гиба, то ау = еу, d = 0; при этом уравнение (6,26) прини-
мает вид:
(Ру—Р) 1(РШ—Р) г2—РеД] = о.
136
Из этого уравнения находим:
п __
2~1+_L
т Г2
где
^ = S₽i-
Критическая сила Pt соответствует потери устойчивости
в плоскости xz и определяется по формуле Эйлера,
а Р2— крутильной форме потери устойчивости.
Уравнениями (6,13), полученными для несимметричного
поперечного сечения и общего случая приложения продоль-
ной сжимающей силы Р можно воспользоваться для решения
задачи об устойчивости тонкостенного стержня с шарнирным
закреплением концов и в том случае, когда по его концам
будут приложены только моменты Мх и Му.
Рассмотрим случай, когда на концах стержня приложен
только один момент Л4Г.
Положив в уравнении (6,13) Р= Му = 0, получим:
PyAY — ЛМз = 0,
— МХА!+(Ршг2 + лу,) Л3 = 0.
Приравнивая нулю определитель этих уравнений, полу-
чаем для определения критических значений моментов Мх
уравнение:
< —Р&МХ—РуРтг^ = 0,
отсюда находим:
Мх кр =	± V(^-)2 + PyPj\ (6.27)
Для сечения с двумя осями симметрии = 0 и значение
критического момента определится по формуле:
кр = УР,Р^ = X /£/у(£/т№ + 07о),	(6,28)
где
137
Формула (6,28) справедлива и в том случае, если попе-
речное сечение имеет одну ось симметрии, а изгибающий
момент действует в плоскости, перпендикулярной к оси сим-
метрии (фиг. 71), так как в этом случае pj также равно нулю.
Фиг. 71.
Фиг. 72.
В случае сечения, изображенного на фиг. 72, рх не равно
нулю, и для определения критического момента следует
пользоваться формулой (6,27).
§ 25. Устойчивость тонкостенного стержня,
находящегося в упругой среде, при внецентренном
приложении сжимающей силы
Предположим, что внецентренно-сжатый тонкостенный
стержень соприкасается с каким-либо упругим телом вдоль
линии S— S, параллельной оси
стержня фиг. 73.
Пусть положение точки линии
S— S на контуре поперечного
сечения определяется координа-
тами hx и hy.
Составляющие прогиба оси
5 — S будут:
Л = ~(.7V—йх)6; (6.29)
здесь, как и прежде, через и и v обозначены перемещения
центра изгиба в направлениях осей х и у,
6—углы закручивания поперечных сечений,
ах и ау— координаты центра изгиба.
138
Поперечные реакции упругой среды, отнесенные к еди-
нице длины и пропорциональные линейным перемещениям
точек S, имеют значения:
—	kx[u-\-(ay — Лу)6],
—	ky [г» —(аЛ —йх)0],
где kx и ky— постоянные коэффициенты пропорциональ-
ности, определяющие жесткость упругих
опор.
К этим реакциям должны быть присоединены поперечные
усилия, получающиеся от действия начальных сжимающих
усилий на слегка повернутые поперечные сечения. Поскольку
линии действия реакций упругой среды не проходят через
центр изгиба, то они будут вызывать крутящие моменты,
распределенные вдоль стержня.
Величина этих крутящих моментов, отнесенных к единице
длины стержня, будет равна:
- kх \и + (ау — Лу) 9] (ау — /гу) + ky — (а - /z v) 0] (ax-h х )
При кручении стержня упругая среда оказывает реакции,
пропорциональные углам закручивания. Пусть через kf) будет
обозначен коэффициент упругости среды, представляющий
собой момент, который должен быть приложен к единице
длины стержня, чтобы сообщить ему угол закручивания,
равный единице. Действие упругой среды на стержень может
быть представлено непрерывно распределенной крутящей
нагрузкой, интенсивность которой имеет значение:
— k(fl.
Таким образом, интенсивность полного крутящего мо-
мента определится величиной:
mz = - (Рау + М х) и" + (Рах — Му) v" +
4- (Мг₽, — Му₽2 — Рг2) 0" _ k х[и _|_ (fly _ Лу) 0] (йу — Лу) _|_
+ ky 1г» — («х — hx) fl] (ах—hv) — йоО.	(6.30)
139
Выражения Для потенциальной энергии и работы внешних
сил будут:
i
u =	1Е/т (б")2 + О/а(б')2 + Е/г (г/')2 + Е/у (а'у +
+	+ kхи* + ky& + 2k хи (ау — hy) 0 +
+ kx (ау — й/ 62	2kyV {Лх — hx)^ +
-\-ky(ax—hxY^]dz-, (6,31)
I
T=iflP ("/)2+p (v')2 ~2 (Pay+M*> u"e+
0
+- 2 (Рах — Му) v"Q + (714 Ji — Л4у₽2 — Pr2) 0"6] dz. (6,32)
На основании (6,1) условие устойчивости запишем
в таком виде:
i
f [Е/ш (О")2 + 0/о (б')2 + Е1Х (г,")2 + Ely (“У + М2 + kxu* +
О
4~ kyv2	2k хи (ау —	6 4- kх (ау — /гу)2 62 —
— 2k yv (ах — hj 6 4- ky (ах — hx)2 № — Р (w')2 —
_ р (<y')2	2 (Pay 4- Mx) u"G — 2 (Pax — 7Hy) —
— (M	— Mv₽2 — Pr2) 0,z6] dz = 0.	(6,33)
Уравнение (6,33) и условия (6,19), как и в ранее рас-
смотренных случаях, позволяют вычислить критические силы
при различных условиях закрепления концов.
Рассмотрим тонкостенный стержень с шарнирным закре-
плением концов.
Граничными условиями на опорах будут:
и — v = 6 = 0, ]
tt" = ^ = e" = oJ при 2 = 0 И Z=l.
Эти условия будут удовлетворены, если принять:
и = А1 sin \zt v=A2s\n'kz, 6 — Д3 sinks, (6,34)
где
\ =	(п=\, 2, 3, ...).
140
Внося (6,34) в уравнение (6,33), из условий
-^-f®d2 = O; -^f®d2 = O; ~f<Pdz = 0,
dAt J	dA2 J	dA3 J
о	о	о
получаем следующую систему однородных уравнений:
[(Р}, — Р) Р + kx\ A t — [(Рау + М J Р —
— kx(ay — Лу)] А> = б,
1(РЖ _ Р) )г	k*} А1 + \(Рах _ ду р _
— ky (ax—hx)\ Д3 = 0,
\kx(ay — hy) — (Pay + MXY>?}AX+	(6,35)
+ {(Pax — My) V — ky(ax — h J] A2 +
+ [(/’«—/’) ™ + (Л4Л + My₽2) P +
+ kx(ay — hyY + ky (ax — hj + fee] A3 = 0. .
Определитель уравнений (6,35) дает кубическое уравне-
ние, из которого могут быть найдены три значения для кри-
тических сил.
Применим систему уравнений (6,35) к некоторым частным
случаям.
В качестве первого примера рассмотрим случай централь-
ного сжатия стержня, имеющего в поперечном сечении две
оси симметрии. Кроме того предположим, что линия S— S
соприкосновения стержня с упругой средой совпадает с осью
центров тяжести. Следовательно, положив в уравнениях (6,35)
ах = ау = 0, hx = hy = Q и Мх = Му = $,
получим:
(Ру — P))2 + fev = 0, )
(P^-P)X2+fe)i = o, }
(Рт — Р)г2/2+ fe(J = 0. J
(6,36)
Из двух первых уравнений видно, что критические силы,
соответствующие потере устойчивости в двух главных пло-
скостях, не зависят от кручения.
Критическая сила, соответствующая крутильной форме
потери устойчивости, определяется из третьего уравнения:
пп^	I*
_ £/„, — +G4+^ fee
Р~	Г*
(6,37)
141
Рассмотрим теперь поперечное сечение с одной осью
симметрии х. Предположим также, что линия 5 — 5, вдоль
которой распределены упругие реакции, совмещена с осью
центров изгиба.
Для этого случая имеем:
hx = ах\ hy = ay = 0.
Если сжимающая сила Р приложена центрально, то
Л4у = 0 и уравнения (6,35) принимают вид:
(Ру_р)Х2 + ^ = 0; ]
[(Рж—Л-Ь^Л24|==0; }	(6,38)
PaJ?A2 + [(Рв—Р) Л2 _|_ Лз = 0 J
Отсюда видно, что эйлерова форма потери устойчивости,
определяемая первым уравнением, не зависит от закручива-
ния и может рассматриваться самостоятельно.
Приравняв нулю определитель второго и третьего урав-
нений, получим квадратное уравнение для вычисления значе-
ний критических сил, соответствующих изгибно-крутильной
и чисто крутильной форме потери устойчивости.
Пользуясь энергетическим методом, мы можем решить
задачу об устойчивости сжатого тонкостенного стержня,
соприкасающегося с неподвижной осью S— S, вокруг кото-
рой поворачиваются поперечные сечения при потере устой-
чивости. Для точек этой оси должно быть принято
£х = £у = оо и уравнения (6,29) принимают вид:
« + (лу —Лу)0 = О,
-у — (ах — hx) 0 = 0,
отсюда получаем:
u — — (ay — hy') 6,
-у = (ах— hx) 6.
Для частного случая центрального сжатия стержня с двумя
осями симметрии имеем:
ах = ау = 0; 714л = Му = 0;
и =/гув; v =— hxQ.
142
Приравнивая нулю сумму слагаемых, не содержащих
kx = ky = со, условие устойчивости (6,33) запишется в виде:
f [(Е/ш + Elxh2x + EIyh^) (0")3 + (04 - Ph\ - Ph}) (V?+
0	+ /W'9 -|~ йо02] dz = 0.	(6,39)
Если предположить, что концы стержня шарнирно закре-
плены, то для угла закручивания 6 можем принять выра-
>кение:	e = XsinXz.
Внося это в уравнение (6,39), получим значение
ческой силы:
(£/ш + EI& 4- EIyh}) Xs + G4 + Д- X»
г2 + hx 4- hy
В выражении (6,40) необходимо принять для п
значение, при котором критическая сила Pk будет
наименьшее значение.
Если линию вращения 5 — S совместить с центром изгиба,
тогд а	ах = hx, ay = hyt
и для сечения с двумя осями симметрии из равенства (6,40)
находим:	i
.	(6,41)
крити-
(6,40)
такое
иметь
При kQ = 0 уравнение (6,41) дает критическую силу, со-
ответствующую чисто крутильной форме потери устойчи-
вости.
Для случая, когда точка оси вращения 5 — 5 в плоскости
сечения определяется координатами hx = 0, hy — 00, т. е.
бесконечно удалена от центра изгиба, условие устойчивости
(6,39) приводится к виду:
I
J [Е1у (6")2 — Р (0Z)2] dz = 0.	(6,42)
О
Принимая для угла закручивания выражение
6 = A sin кг,
из условия (6,42) получим эйлерову силу при потере устой-
чивости в ПЛОСКОСТИ XZ'.
Рк = Е',*-
ГЛАВА VII
ДИНАМИКА ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
Введение
С повышением скоростей современных машин динамиче-
ские явления, проявляющиеся в процессе работы машин и
инженерных сооружений, определяют особую актуальность
вопросов расчета стержней и особенно тонкостенного про-
филя на всевозможные виды колебаний. В связи с этим не-
обходимо иметь практически удобные методы расчета этих
стержней на колебания, удар и связанную с этим динамиче-
скую устойчивость.
Современная статика тонкостенных конструкций имеет
в своем распоряжении значительное количество хорошо раз-
работанных методов их расчета на прочность и статиче-
скую устойчивость. Наряду с этим следует отметить, что.
несмотря на очевидную важность познания динамических про-
цессов в тонкостенных конструкциях, приемы динамических
расчетов этих конструкций далеко не достигли той степени
совершенства, которой располагает современная статика тонко-
стенных конструкций.
За последние двадцать лет динамика тонкостенных кон-
струкций получила развитие в трудах советских ученых
(В. 3. Власова, Н. И. Безухова, Г. Ю. Джанелидзе,
В. В. Болотина, И. И. Гольденблата и многих других).
Общая теория изгибно-крутильных колебаний упругих
систем описывается системой дифференциальных уравнений,
полученных В. 3. Власовым [12] на основании положений
кинетостатики.
Решение пространственной задачи о колебаниях тонко-
стенных ^стержней в форме метода начальных параметров
принадлежит Н. И. Безухову [6].
В настоящем разделе излагаются удобоприменимые приемы
решения задач динамики тонкостенных конструкций, осно-
144
ванные на математической аналогии между задачами о сте-
сненном кручении и продольно-поперечном изгибе [24—28].
Как и при решении многих других вопросов физики и
механики такой путь изучения динамических процессов тон-
костенных конструкций приводит к наглядному представлению
сложного явления и обеспечивает успешное развитие доступ-
ных приемов динамических расчетов.
§ 26. Колебания систем с одной степенью свободы.
Свободные гармонические колебания
(Основные понятия и определения теории колебаний)
Рассмотрим простейший случай колебательного движения
груза Р, прикрепленного к концу невесомого упругого
стержня (фиг. 74).
Если груз Р вывести из положения равновесия О, то
под действием упругой силы пружины он начнет совершать
прямолинейное колебательное движение
около неподвижной точки О.
Положение всех точек системы
в любой момент времени может быть
определено положением груза Р в тот

Фиг. 7а.
же момент, т. е. заданием одной только величины, а именно,
смещения у груза Р от положения равновесия. Такие системы
называются системами с одной степенью свободы.
К системам с одной степенью свободы относятся спи-
ральная пружина с прикрепленной на нижнем конце массой 714
(фиг. 75, а) и невесомая балка, несущая в какой-либо точке
сосредоточенную массу 714 (фиг. 75, б).
10 Н. И. Карякин
145
Для каждой из этих систем форма колебаний может быть
определена заданием одной только величины — ординаты
смещения массы. Если при колебании на массу 714 будет
действовать только упругая сила стержня — восстанавли-
вающая сила, то такие колебания носят название свобод-
ных, собственных незатухающих или естественных ко-
лебаний.
Для получения аналитического выражения этих колебаний
рассмотрим прямолинейное движение сосредоточенной массы,
расположенной на невесомой двухопорной балке (фиг. 75, б).
Выведенная из положения равновесия балка вследствие своей
упругости действует на массу 714 с восстанавливающей силой R,
направленной к центру О, соответствующему равновесному
положению массы 714 и пропорциональной первой степени
смещения у*.
R = — cy.	(7,1)
Здесь с — коэффициент пропорциональности, представляю-
щий собой силу, приложенную в точке прикрепления массы,
вызывающую в этой точке перемещение, равное единице.
Знак минус указывает на то, что сила, действующая на
массу 714, стремится возвратить ее к равновесному положе-
нию О.
Восстанавливающую силу R, пропорциональную первой
степени отклонения у, называют линейной восстанавливаю-
щей силой, а колебания, которые будут иметь место при
действии этой силы,—линейными колебаниями.
Обозначив через оаа перемещение в какой-либо точке а,
вызванное единичным грузом Р = 1 в той же точке, можем
записать зависимость между коэффициентом с и перемеще-
нием 8аа:
(7,2)
°аа
Пусть ось оу будет принята за прямую линию, вдоль
которой происходит движение массы 7Й; начало координат
поместим в центре равновесия О.
Допустим, что в рассматриваемый момент времени масса 714
движется в положительном направлении оси оу. находясь
выше центра О (фиг. 75, б).
На основании принципа Даламбера динамическое уравне-
ние равновесия будет иметь вид:
М^- = -су.	(7,3)
146
Нетрудно видеть, что знак минус в правой части сохра-
няется при любом положении массы 714 относительно начала
координат.
Разделив обе части на 7И и обозначив через со2 отношение
=	(7.4)
приведем уравнение движения (7,3) к виду
у -|—<л>2_у = 0.	(7,5)
Общий интеграл этого линейного дифференциального
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
имеет вид:
jy (/) = cos со/—|~ С2 sin cd£.	(7,6)
Произвольные постоянные Ct и С2 найдем из начальных
условий. Будем считать, что при ^ = 0, у = у0 и у = у0.
Дифференцируя (7,6), найдем скорость колебания массы 714:
y = v =— (S1co sin со/—|—С?2со cos со/.	(7,7)
Подставляя начальные условия во второй интеграл (7.6) и
в первый интеграл (7,7) найдем:
С1 = ^о. С2 = —= —.
1	и	* (О	(О
Таким образом, уравнение движения будет иметь вид:
у — соз со/ sin о)Л	(7,8)
Для большей наглядности полученного закона колебатель-
ного движения выполним следующие преобразования.
Пусть вместо постоянных Сг и С2 будут введены постоян-
ные Лиа, связанные соотношениями:
Cr = A sin а; С2 = A cos а,
тогда уравнение (7,6) можно написать в виде:
у = A sin (о)^ -|- а)-	(7,9)
Амплитуда А и угол а — начальная фаза колебаний, могут
быть легко найдены из предыдущих формул:
10*
147
Уравнение (7,9) есть также общее решение дифференциаль-
ного уравнения (7,5), но в другой форме. Оно показывает,
что масса 714 движется по закону синуса.
Движение, как видим из равенства (7,9), будет перио-
дическое. Наибольшее значение отклонения массы , от поло-
жения равновесия будет равно А, т. е. тогда, когда
sin (u)^ -|- а) — 1.
Определим теперь полный период колебания Т, т. е.
продолжительность полного цикла колебания. Из определе-
ния периодической функции можем записать:
sin [св (t -|- Т) а] = sin (оз7 -|- а).
Чтобы написанное равенство имело место, необходимо, чтобы
оз Г — 2тс,
откуда
где Ъст—статический прогиб,
g— ускорение силы тяжести.
Формула (7,10) показывает, что период гармонических
колебаний не зависит от начальных условий движения.
Величина оз называется циклической или круговой час-
тотой колебания.
Количество колебаний в секунду, очевидно, есть вели-
чина, обратная периоду:
,г=± = ^.	(7,11)
Величину п называют частотой колебаний.
Число полных колебаний, которые совершает балка
в течение 2тс секунд, будет равно:
п 2%
2тг/г = —= оз.
Число колебаний в минуту будет:
60	60
м = 60п=— = —
или
(7,12)
(7,13)
(7.14)
148
Принимая во внимание, что ускорение силы тяжести g,
выраженное в см!сек2, численно очень близко к (Юк)2, можем
приближенно записать удобные для запоминания формулы.
применяемые в технике:
5 _ 300
где- Ъст выражено в сму или
(7,15)
У\,п
если Ъст выражено в метрах.
§ 27. Затухающие колебания
Свободные гармонические колебания упругой системы,
рассмотренные в § 26, не изменяют своих амплитуд с тече-
нием времени. Если такие колебания вызваны какой-либо
причиной, то они будут продолжаться бесконечно долго.
В действительности же, колебательные процессы, наблюдаемые
в различных задачах физики и техники, показывают, что без
внешней силы, постоянно возбуждающей колебательное дви-
жение, амплитуды колебаний уменьшаются; колебательные
движения упругой системы с течением времени будут посте-
пенно затухать под влиянием сил сопротивления; к ним от-
носятся: сопротивление среды (воздуха или жидкости), тре-
ние в соединениях, шарнирах и опорах и др.
Каждому закону сопротивления будет соответствовать
вполне определенный закон изменения амплитуды.
Рассмотрим движение колеблющейся массы М под дей-
ствием двух сил: восстанавливающей силы R = cy и силы
сопротивления W, пропорциональной первой степени скорости:
W = — [Зу,
где р— коэффициент пропорциональности.
Знак минус в этом выражении указывает на то, что сила
сопротивления W направлена в каждый момент противопо-
ложно скорости.
В этом случае дифференциальное уравнение движения
колеблющейся массы 714 будет иметь вид:
Л4 • у = — су— pj/;	(7,16)
149
После разделения обеих частей равенства на массу М и пере-
несения всех членов в левую часть получим:
у-±-2пу-\-^у = 0,	(7,17)
где
2«=1-	<7’18>
Решение дифференциального уравнения (7,17) можно полу-
чить способом замены переменного, положив y = &~nt,
где с.— новая переменная.
Дифференцируя по /, получим:
у = e~nt(^ — tfy
и
y = e~nt(i — 2пВ + пЧ).
Подставляя значения функции у и ее производных в диффе-
ренциальное уравнение (7,17), после преобразования получим:
£ + (о)2 — /г2) е = 0.	(7,19)
Допустим, что > /г; обозначив со2— п2 = со2. запишем урав-
нение (7,19) в виде:
? + ш?5 = 0.	(7.20)
Таким образом мы получили дифференциальное уравнение
гармонического колебания, совпадающее по виду с диффе-
ренциальным уравнением (7,5).
Общее решение уравнения (7,20) может быть предста-
влено в следующей форме:
В = cos св-j/ С2 sin со/.
Подставив значение % = yerit, получим:
у = e~,lt (Сх cos со/ -1- С2 sin со/),	(7,21)
или
у — e~ntA sin (со/а).	(7,22)
Из этого уравнения видно, что отклонения колеблющейся
массы от положения равновесия О изменяется по закону
синуса, но с множителем e~nt. Следовательно, амплитуда
колебания будет убывать со временем. Такие колебания назы-
ваются затухающими гармоническими колебаниями.
150
Скорость при затухающих колебаниях будет:
v = у = e~nt [(— nCY -|- wiC2) cos а)/ —	+ пС2) sin а)/].
(7,23)
Постоянные и С2 определяются из начальных условий:
при / = у = у0, y — v0;
подставив эти условия в уравнения (7,21) и (7,23), получим:
Р	с __ Ц) + пУъ
Ь1 —№	С2—	—	>
следовательно, уравнение (7,21) принимает вид:
у = e~nt ^у0 cos со/ v° + ПУ° sin •	(7,24)
Произвольные постоянные А и а имеют значения:
Л = 1/^0	; tga = -^у-° -. (7,25)
|/	г'о + 'О'о
.Из уравнения движения (7,22) следует, что период затухаю-
щих колебаний равен:
Период затухающих колебаний Т легко можно выразить
через период колебаний в среде без сопротивления.
В самом деле,
где То — период свободных гармонических колебаний при
отсутствии сил сопротивления.
Если коэффициент сопротивления п достаточно мал
по сравнению с со, то, пренебрегая членами, содержащими ~
в степени, выше второй, получим:
т=т° [‘ - Г1 «] • <Л28>
Из этой формулы следует, что период колебания Т больше
периода свободных колебаний То.
151
В равенстве (7,22) роль амплитуды колебаний играет
величина	a=Ae-nt>
убывающая с течением времени.
Рассмотрим последовательные максимальные отклонения
точки от положения j/ = 0.
Такие отклонения будут наступать по истечении равных
промежутков времени Т.
В начальный момент / = 0 амплитуда а0 = А\ по истече-
нии периода t~T амплитуда
~ Ае~пТ,
после двух периодов t = <2Т амплитуда будет равна:
/7 — Л р — Т
и т. д.	а2 — ле
Отношение предыдущего отклонения к последующему
равно постоянной величине:
^- = епТ = const;	(7,29)
т. е. максимальные отклонения убывают в геометрической
прогрессии, и, следовательно, амплитуды затухающих коле-
баний убывают весьма быстро.
Величина епТ называется декрементом затухания.
Натуральный логарифм числа епТ называется логарифми-
ческим декрементом затухания} он равен:
8 = In епТ = пТ = —=^-----,	(7,30)
На фиг. 76 изображен график затухающего колебательного
движения, заключенный между линиями ± Ae~nt.
152
Если коэффициент сопротивления п достаточно мал, то
частоту колебаний (Dj = ]Ли)2 — п2 практически принимают
(Dj = W.
Не останавливаясь здесь на рассмотрении тех случаев,
когда со < п или со = п, заметим лишь, что в этих случаях
движение не будет носить колебательного характера; оно
называется апериодическим.
§ 28. Вынужденные колебания без затухания
Допустим, что кроме восстанавливающей силы балки
на массу 7И действует еще внешняя сила P(t)t изменяю-
щаяся по гармоническому закону
Р (t) — Р sin pt.
В этом случае колебания называются вынужденными, а сила
P(t)— возмущающей силой.
Рассмотрим сначала вынужденные колебания балки без
сопротивления среды. При этих колебаниях в любой момент
движения на массу М будут действовать сила инерции, вос-
станавливающая сила и возмущающая сила P(t). Поэтому
дифференциальное уравнение вынужденных колебаний будет
иметь вид:
My + cy = P(t\
или, разделив обе части на 714 и положив, как и раньше
получим это уравнение в виде:
у+«у=р-&-	(7.31)
Дифференциальное уравнение (7,31) является неоднородным
линейным дифференциальным уравнением второго порядка
с постоянными коэффициентами.
Общий интеграл этого дифференциального уравнения, как
известно, является суммой общего интеграла ylt соответ-
ствующего однородного уравнения и какого-либо частного
решения у2 уравнения (7,31):
У = У1 + Уг-
153
Решение однородного дифференциального уравнения было
уже рассмотрено; его общий интеграл имеет вид:
уг =	cos mt 4~ С2 sin mt.
Частное решение уравнения (7,31) будем искать в виде:
у2 = A sin pt.	(7,32)
Подставляя у2 в (7,31), получим:
А (а)2 — р2) sin pt = ~~дд'= sin
отсюда находим:
/ — h_______
102—^2 ’
где
. Р
h~ М •
Следовательно, общий интеграл уравнения (7,31) будет:
у = cos mt -J- С2 sin mt
.Il .	,
4- -----s- sin pt.
1 <1)2 p" *
(7,33)
Из этого уравнения следует, что при действии возмущающей
силы упругая система совершает сложное колебание, которое
является результатом наложения свободных колебаний на
колебания, происходящие с той же частотой, что и колебания
возмущающей силы.
Если частота возмущающей силы р равна частоте соб-
ственных колебаний <о, то согласно (7,32) частное решение у2
обращается в бесконечность; поэтому для случая р = т
возьмем другое частное решение:
h . .	, ,ч
ь = (Sinp#—sin (»0.
При р = т это частное решение представляет неопределен-
0
ность вида -д.
Раскрывая эту неопределенность по известному правилу
найдем:
,у3 = /г
(sin pt — sin co/)
hi
— — cos mt.
2 со
- р=О)
154
Следовательно, при р = cd общее решение уравнения (7,31)
будет:
у = cos mt -|- С2 sin mt—cos mt, (7,34)
Из этого уравнения следует, что в том случае, когда
частота вынужденных колебаний становится равной частоте
собственных колебаний, амплитуда вынужденных колебаний
неограниченно возрастает с течением времени. Такое явление
носит название резонанса, играющего большую роль при
динамических расчетах сооружений и машин.
Явление резонанса всегда сопровождается появлением
особо опасных напряжений и служит причиной разрушения
конструкции. Поэтому задачей динамического расчета является
выяснение тех условий работы конструкции, при которых
исключается возможность возникновения резонанса. Пред-
ставим амплитуду вынужденных колебаний
д —_______
— р2
в виде произведения двух сомножителей
(7,35)
. ^3 •
Первый множитель представляет статическое перемещение
точки упругой системы при действии на нее статической
силы Р. Действительно,
_ h __ Р __ Р
Уст о)2 Д/f о)2 с ’
где с — коэффициент пропорциональности.
Величина
называется коэффициентом динамичности.
На основании (7,35) можем записать:
Д = Удин Уст * Н •	(7,37)
Таким образом, мы получили простую зависимость между
статическим смещением под действием нагрузки Р и динами-
ческим смещением., вызванным периодически изменяющейся
155
нагрузкой P(t). Заметим, что уравнение колебательного дви-
жения, вызванного действием возмущающей силы P(t)t может
быть получено иным способом.
Допустим сначала, что возмущающая сила внезапно при-
кладывается к упругой системе и действует на нее в течение
бесконечно малого времени dtY. Пусть за время dtr эта сила
принимает значение Р(^). Изменение этой силы представлено
графически на фиг. 77. Ударное воздействие такой нагрузки
t ----------
Фиг. 77..
измеряется произведением’ силы P(t^ на бесконечно малый
промежуток времени dtv в течение которого действует эта
сила.
Произведение dS = Р (Q dtr называется элементарным
импульсом силы.
Предположим, что масса, расположенная на упругой
системе в начальный момент находилась в покое, т. е.
'yo=z:J/o = 0 и >о = °-
К моменту исчезновения силы P(t^, т. е. за время dtv,
скорость массы 714 возрастает на бесконечно малую вели-
чину dvt которую определим из основного уравнения динамики:
, Р (^) dtx dS
dv = —L = -TY-;
M M
по истечении того же промежутка времени смещение
У	будет бесконечно малой величиной высшего
порядка.
156
После исчезновения силы Р(^) последующее движение
упругой системы можно рассматривать как свободные коле-
бания с начальным перемещением
и начальной скоростью
y(f,)=:dV = ^-.
Пренебрегая начальным перемещением как бесконечно
малой высшего порядка, на основании уравнения (7,8) можем
получить смещение к моменту t (фиг. 77):
dy =	sin «>(,—Q =	sin (t - Л). (7,38)
Для получения полного перемещения, возникающего при
непрерывном действии силы во время промежутка от tx = О
до tr = Л нужно произвести суммирование этих элементар-
ных перемещений (7,38):
t	t
у = f 10?sin “ <z~z>) dZ> = i Jp<t^sin “dt^ <7’39)
о	0
В случае, если к началу момента действия силы Р(^)
масса М уже совершила свободные колебания, то общее
выражение перемещения массы М получим путем суммиро-
вания (7,8) и (7,39):
t
3' = J'ocos^ + ^-sinw^ + -jl; J Р (/t) sin о> (£—<,)	(7,40)
о
Это выражение является решением дифференциального урав-
нения (7,31).
Если возмущающая сила прикладывается к покоящейся
массе 714 в момент t = 0, то перемещение у определяется
последним слагаемым уравнения (7,40):
t
у = лк J р	sin w (z—z,) rfZi-
о
При действии постоянной силы
Р (^1) = Р — const
157
вынужденные колебания представятся формулой:
t
У = ~^	—Q ^1 = ^2-(1 —cos ш/).
О
Принимая во внимание (7,4), можем записать:
Р _ Р _
Л1<о2 с Уст'
где уст — статическое перемещение от силы Р.
Подставляя это в предыдущее равенство, получим:
У = Ует(1~ COS ШО.	(7,41)
Это равенство выражает закон гармонического колебания
с частотой свободных колебаний упругой системы.
Наибольшее динамическое перемещение достигается при
Z	4"*	1 r-rt 3 rjl 5 <тг,
— = Т, jT, -^Т и т. д.; оно равно
Утах	^У ст'
Динамическое напряжение системы с одной степенью свободы
при внезапном приложении нагрузки вдвое больше напряже-
ния, возникаемого при действии статической нагрузки.
При действии на систему периодической возмущающей
силы P(t), изменяющейся по закону P(/) = Psinp/, переме-
щение массы 714 в момент времени t будет иметь значение:
t
у=~м^ fsin ptl sin <U(Y—dtx =
0
= яд / Г--ar (sin pt — — sin о)Л.
M (co2 — p2) \ r co /
На основании (7,37) можем записать
У = Уст------Тру- (sin pt — £ sin “i) •	(7-42)
\<D/
Первое слагаемое правой части этого равенства соответ-
ствует чисто вынужденным колебаниям с частотой возмущаю-
щейся силы, второе слагаемое представляет собой вынужден-
ные колебания с частотой собственных колебаний.
Заметим, что в случае совпадения частоты возмущающей
силы с частотой свободных колебаний, т. е. когда
158
выражение (7,42) обращается в неопределенность вида
Раскрывая эту неопределенность по правилу Лопиталя,
получим:
У=Уст
t cos pt — — sin со/	j
----------2“------- = 4 Уст (sin “7 — CO S u>t) .
(7,43)
Полученное уравнение вынужденных колебаний системы
соответствует явлению резонанса. Колебания при резонансе
происходят с возрастающей пропорционально времени ампли-
тудой. Пренебрегая сравнительно малым первым членом
равенства (7,43), получим закон
изменения динамического переме-
щения для частного случая вы-
нужденных колебаний, т. е. для
случая р = ш. График резонанс-
ного колебания изображен на
фиг. 78.
Благодаря наличию неизбеж-
ных сопротивлений движению,
амплитуда вынужденных колеба-
ний при резонансе в действительности не может достигать
бесконечно большой величины.
В зависимости от принятой гипотезы, учитывающей не-
упругое сопротивление материала, мы будем получать вполне
определенный закон изменения амплитуды.
Вопрос об учете неупругого сопротивления материала
при расчете конструкций на колебания подробно исследован
в работе Е. С. Сорокина [48].
Фиг. 78.
§ 29. Вынужденные затухающие колебания
Рассмотрим вынужденные колебания массы 714 при сопро-
тивлении, пропорциональном первой степени скорости, т. е.
W = — pj/. Пусть возмущающая сила будет периодической
и равна P(f) = P sin pt.
Добавляя в левую часть дифференциального уравне-
ния (7,31) член 2nyt соответствующий силе сопротивления
среды, пропорциональной первой степени скорости, получим
уравнение движения:
у 4~ 2пу 4“ <&2у = h sinpt*	(7,44)
159
где, как и в предыдущем параграфе, введены обозначения:
2 С о Р , Р
“ — М’ 2,1 ~~М’ h~ М-
Уравнение (7,44) есть линейное дифференциальное урав-
нение второго порядка с постоянными коэффициентами и
со свободным членом. Общее решение этого дифференциаль-
ного уравнения можно представить в виде:
У=У1+Уг.
где уг есть общее решение уравнения без правой части,
а у2— какое-либо частное решение всего уравнения.
Общее решение уравнения
у -ф- 2пу 4~ и2 у = О
было уже найдено выше при рассмотрении затухающих коле-
баний. Оно имеет вид:
yt = Ae~nt sin (со/-|-а),
где	_______
coj = )/" со2 — /г2,
А и а — произвольные постоянные.
Частное решение уравнения (7,44) будем искать в такой
форме:
^2 = Bsin (р/+ Р),
где В и р — некоторые постоянные величины, которые должны
быть подобраны так, чтобы значение у2 тождественно удовле-
творяло дифференциальному уравнению (7,44).
Полагая для краткости записи = 6 и подставляя у2
в уравнение (7,44), получим:
— Bp2 sin 6 4“ cos 6 + <^В sin 6 == h sin (6 — р),
или
В (св2 — р2) sin б 4- 2пВр cos 6 — h sin G cos p — h cos G sin p.
Так как левая и правая части этого уравнения тожде-
ственно равны, то коэффициенты при переменных должны
быть равны, т. е.
В (со2—р2) = Acosp,
— 2пВр = h sin р.
160
2пр
Из этих уравнений получаем:
В = -	\ .	=-, tg В
/ (со 2 — р2)2 4л2р2 Ь Г	<о2 _ р2
Следовательно, ^общее решение дифференциального урав-
нения (7,44) будет:
у = Ae~nt sin (ш/+а)4- 7==^=== sin (/*+₽). (7,45)
У (0)2 — у?2)2
Первый член правой части этого уравнения определяет
собственные затухающие колебания, а второй член выражает
вынужденные гармонические колебания с частотой р и перио-
2л
дом —, вызванные действием возмущающей силы.
Амплитуда вынужденных колебаний имеет значение:
„	h	Р
в“Н уГ^_^ + 4п^
или
& Удин Уст
ПЧ р2 УспУ>
Ci)2 q)2
1
1
где |i =
===== — коэффициент динамич-
0)2 0)2
ности, зависящий от величины отношения —.
О)
Выясним, как изменяется коэффициент динамичности р-
в зависимости от изменения отношения —. Обозначим для
О)
р
краткости записи -^- = у, тогда подкоренное выражение ра-
венства (7,47) запишем в такой форме:
4>2Л2
-5Г =/(*)•
Для определения минимального или максимального значе-
ния функции /(у) запишем выражения первой и второй
производных этой функции:
(1— у* 2)2-}
Зу2
11 Н. И. Карякин
161
Приравнивая нулю первую производную f' (v), Получим
уравнение
которое имеет корни
^ = 0, v2 = /l-^-.
При < 1 корень v2 имеет действительное значение.
Подставив значения Vj и v2 во вторую производную, получим:
и
rw=4(^-1)<0
/"(v2) = 8(l-^-)>0.
На этом основании заключаем, что при v = 0 функция /(v)
достигает максимума, а коэффициент динамичности р. имеет
минимум.
При v = v2, т. е. при р = ]Лв2 — 2п2, функция /^дости-
гает минимума, а коэффициент динамичности р- достигает
максимального значения:
1
Итак, при изменении частоты р вынужденных колебаний
в пределах от 0 до ]Ла2— 2п2 коэффициент динамичности рь
возрастает от 1 до р-тах; при этом при v —> оо коэффициент рь
убывает и асимптотически приближается к нулю. Графическое
изображение закона изменения коэффициента р- в зависимости
от изменения величины v == £ (при различных значениях
отношения представлено на фиг. 79.
Таким образом, при значительной частоте р возмущающей
силы амплитуда вынужденных колебаний имеет весьма малую
величину.
При отсутствии сопротивления среды (и = 0) наибольшего
значения амплитуда вынужденных колебаний достигает при
v2=l (при р = со), т. е. при резонансе.
162
Заметим, что решение дифференциального уравнения (7,44)
может быть представлено в такой же форме, как и в случае
вынужденных колебаний при отсутствии сил сопротивления.
Действительно, представляя действие возмущающей силы
как результат сложения действия отдельных импульсов
Фиг. 79.
и полагая, что возмущающая сила P(t^ приложена
в момент t = 0, получим следующее выражение для у:
у = e~nt hdcos о)/ 4- — Sin <«/) + — sin +
t
sin “1 V—Vdt" <7’48)
0
где («j = /u)2—n2 — частота собственных затухающих ко-
лебаний.
Первое слагаемое в равенстве (7,48) представляет зату-
хающие свободные колебания, вызванные начальным откло-
нением у0 системы от положения равновесия и сообщения
ей начальной скорости у0. Второе слагаемое-представляет вы-
нужденные колебания, зависящие от возмущающей силы Р (^).
И*
163
Положив в равенстве (7,48) _у0 — О и .Уо“О, получим
общее выражение для перемещения у, возникающего вслед-
ствие действия возмущающей силы P(Q в момент f = 0:
t
У = Л^1	—(7,49)
О
§ 30. Свободные колебания стесненного кручения
стержней постоянного сечения при сплошном
распределении масс
Рассмотрим здесь задачу о свободных колебаниях сте-
сненного кручения тонкостенного, однородного упругого
стержня.
При рассмотрении этих колебаний будем исходить из ги-
потез, принятых при исследовании напряженного состояния
тонкостенного стержня.
Поперечное сечение стержня будем считать симметричным
относительно осей х и у.
Предположив, что ось стержня прямолинейна и колеба-
тельное движение происходит вокруг неподвижной оси центров
изгиба, можем воспользоваться известным дифференциальным
уравнением упругой линии углов закручивания:
аза
Bv> = -EIa^i,	(7,1)
где Е1^ — секториальная жесткость, — изгибно-крутящий
бимомент. Пусть под влиянием какой-либо причины стержень
приходит в состояние колебательного движения, при котором
поперечные сечения в каждый момент времени t отклоняются
от положения равновесия на угол 6. При колебаниях упругие
углы поворота 9 будут функцией двух независимых перемен-
ных— координаты z и времени t\
О = 9 (2, t).
При вращательном движении на каждый бесконечно
малый элемент стержня будут действовать силы упругого
сопротивления и силы инерции.
Для получения дифференциального уравнения движения
рассмотрим бесконечно :малый элемент стержня, ограниченный
двумя поперечными сечениями (рис. 80). Действие отброшен^
164
них частей стержня в момент времени t, заменим внутренними
крутящими моментами
Г	Г I
L и L-\--^-dz.
1 dz
К этим моментам необходимо присоединить моменты сил
инерции, интенсивность которых изменяется по длине стержня
и представляется выражением:
ЯР-	д20
dF — di dt2 ,
где di—момент инерции бесконечно малого элемента отно-
сительно оси о — zt имеющий значение:
dl=^-dz
g
где 1р — полярный момент инерции сечения,
7 — вес единицы объема стержня,
g— ускорение силы тяжести.
Инерционными силами от продольных перемещений мате-
риальных точек, как и в случае колебаний при изгибе,
Фиг. 80.
будем пренебрегать. Тогда на основании принципа Даламбера
дифференциальное уравнение вращательного движения за-
пишется так:
^dz-\-dF = 0.	(7,51)
165
Подставляя выражения для dF и di, получим:
-^-7о^ = О.	(7,52)
1
где /0= —----момент инерции единицы длины стержня.
Приняв во внимание известное равенство
Д = ЛЦ + Л1* = Л^ + С/а-^,	(7,53)
получим на основании (7,50) и (7,52) следующее дифферен-
циальное уравнение движения стержня:
0*0 . z 620	620 _
6z4 +	6/2 Q а dz2 °'	(7’54)
Это есть дифференциальное уравнение свободных кру-
тильных колебаний тонкостенного стержня с распределенной
массой. Оно представляет полную аналогию с дифферен-
циальным уравнением колебательного движения растянутого
стержня с распределенной массой, имеющим вид1 * * *:
£/-й-+^-йг~	<7-55)
6z4 1	6/2	6z2	V 7
Из сопоставления этих уравнений видно, что момент инер-
ции /0 единицы длины стержня в уравнении (7,54) играет
ту же роль, что погонная масса т балки в уравнении (7,55).
Таким образом все выводы, относящиеся к колебательному
движению растянуто-изогнутого стержня, могут быть пол-
ностью перенесены на случай крутильных колебаний тонко-
стенного стержня, если заменить жесткость при изгибе EI
секториальной жесткостью погонную массу т—погонным
моментом инерции /0, растягивающую силу N — крутильной
жесткостью GIa, а динамический прогиб у—динамическим
углом поворота 6. В том случае, когда стержень испытывает
нормальный вид колебания, угол закручивания 6 в любом
месте изменяется гармонически с течением времени и может
быть представлен следующим выражением:
0 = Z(Alcospit-{-Bi sinp/),	(7,56)
1 Ш. Е. Микеладзе. Новые методы -интегрирования диф-
ференциальных уравнений. 1951. М.—Л.
Н. К. Снитко, Методы расчета сооружений на вибрацию и
удар. 1953. М. — Л,
166
где Z— функция координаты z, определяющая форму рас-
сматриваемого нормального вида колебания. Наложением
друг на друга всех возможных нормальных колебаний (7,56)
получим общее выражение свободных крутильных колебаний
6 = 2zz(4zcosp/ + ^zsinP/)- (7.57)
z = i
Подставив (7,56) в уравнение (7,54), получаем
<J*Z dz^	1^1 7 Е/ш	GIa д*г Е1ш дг^	= 0.	(7,58)
Вводя обозначения				
Л4 =		GIa cfi =	. Е1ш ’		
запишем дифференциальное уравнение (7,58) в такой форме:
Z1 v (2) — a2z" (2) — A4Z (2) = 0.	(7,59)
Характеристическое уравнение имеет вид:
р4 — а2р2 — &4 = 0,
а его корни будут
Х1>2= ± X; Х3>4= ± Zp.,
где
X =	+ ]/*-j- + &4 , р. —	---4—Ь	•
Таким образом, общее решение дифференциального урав-
нения (7,59) будет:
Z (z) = C^z + С2е+ C3e^z +
или
Z (z) = A ch \z + В sh \z + C cos p.2 + D sin p.2, (7,60)
где Л, В, С и D — произвольные постоянные интегрирования,
определяемые в каждом частном случае из условий на концах
стержня. При шарнирном закреплении концов, где угол
поворота и бимомент равны нулю, имеем:
167
Для закрепленного конца, где угол поворота 0 и произ-
водная от него О' равны нулю, имеем: Z = 0 и = 0.
Условия на свободном конце стержня, где 0" = 0 и 0W = 0,
будут:
±| = 0.
Из указанных условий на концах колеблющегося стержня
могут быть найдены четыре произвольных постоянных инте-
грирования уравнения (7,60).
Рассмотрим частный случай колеблющегося стержня с шар-
нирным закреплением концов (фиг. 81).
жгга pTKKV
-L-------
Фиг. 81.
Представим общее решение (7,60) в следующем виде:
Z = Dx (cos pz Ц- ch \z) -|- D2 (cos рг — ch \z) Д-
—|— ZZ>3 (sin |x2-|-sh \z)-|-O4 (sin pz— sh \z).	(7,61)
При шарнирном закреплении концов условия на концах
будут:
(1) Z(0) = 0; (2) Z'\(0) = 0;
(3)Z(/)=0; (4)Z"(/)=0.
Из условий (1) и (2) находим: Dl — D2 — 0.
Из условий (3) и (4) получим:
D3 (sin pZ -|- sh XZ) -|- £>4 (sin p^ — sh XZ) = 0, |
D3(—[i2 sin pZ4~X2 sh (—p2 sin pZ—X2 sh XZ) = 0. J
(7.62)
Решения для постоянных D3 и £>4, отличные от нуля,
можно получить только в том случае, если определитель
уравнений (7,62) равен нулю. На этом основании получаем
следующее уравнение частоты:
(р2 -|- X2) sh XZ • sin pZ = 0,
следовательно,
sin pZ = 0.
168
Последовательные корни этого уравнения будут:
[1/ =	2к, . . . , УК,
или
н =	(V=l,2, ...).	(7,63)
Таким образом, для определения частот приходим к урав-
нению:
Из этого уравнения находим частоту какого угодно тона
колебания:
Соответственный период колебания будет:
2"
А
(7,64)
(7,65)
Если размеры тонкостенного стержня таковы, что воз-
можно крутильную жесткость GIa положить равной нулю,
то частота основного тона колебания стержня определяется
по приближенной формуле:
Pi =
Период колебания будет:
1 ’
(7,66)
(7,67)
Для различных видов колебания форма упругой линии
углов закручивания определяется нормальной функцией Z,
определяемой уравнением (7,61). Для рассматриваемого слу-
чая D1 = D2 = 0 и £>3 = D4. При этом из уравнения (7,61)
получим:
Z = Osin pz.	(7,68)
Подставляя вместо его значения из уравнения (7,63),
получим:
7 о кг	D . zkz ~ о
— ; Z2 = B2sm—j—‘t Z3 = B3sin—у- .
Ill
169
Из этого следует, что стержень может колебаться,
сохраняя форму одной из бесконечного множества синусо-
идальных кривых, называемых гармониками. Число полуволн
в последовательных видах гармоник равно 1, 2, ...
Наложением таких гармоник можно представить любой
вид свободных колебаний, вызванных какими-либо начальными
причинами. Подставив (7,68) в общее решение (7,57), получим:
4=00
6 — sin	(At cosptt 4-	sinptt).	(7,69)
4 = 1
Произвольные постоянные Alt Bt определяются из началь-
ных условий.
§ 31. Применение уравнений Лагранжа к решению задач
о крутильных колебаниях тонкостенных стержней
Решение задач о крутильных колебаниях тонкостенных
стержней может быть значительно облегчено, если при со-
ставлении уравнений движения будем исходить из дифферен-
циальных уравнений Лагранжа второго рода.
Рассмотрим свободные крутильные колебания стержня
с шарнирным закреплением концов. Для упругой линии углов
закручивания возьмем общее выражение (7,69):
4=00
6 = sinИ/cossinPzO •
Z = 1
В этом равенстве выражение, заключенное в скобках,
примем за обобщенные координаты. Обозначая обобщенные
координаты через qL, выражение для угла закручивания
запишем в виде:
4=00
e = 2^sin-¥-	(7.7°)
4 = 1
Потенциальная энергия скручиваемого тонкостенного
стержня определяется по формуле1:
i	i
V = -^f	f (Vydz.	(7,71)
О	о
1 Н. И. Карякин. Техника железных дорог, № 11, 1949,
170
Кинетическая энергий имеет значение*
О
(7,72)
Внося в уравнения (7,71) и (7,72) выражение для 6 (7,70)*
получим:
/=оо	1 = со
у=т	S	(7,73)
1	= 1	I=1
Внося (7,70) в	уравнение (7,72), получим для кинети-
ческой энергии следующее выражение:
^^/(Ж=^ЖУ-
О	1 = 1
Уравнения Лагранжа, составленные в независимых обоб-
щенных координатах имеют вид:
d д[Т-у)_ _ d(T-V) =0 (/ = ! 2...............Л).	(7,75)
dt dqt	jQi’i 4	’ v '
Функция (Т — V) называется лагранжевой функцией или
кинетическим потенциалом. Подставив в (7,75) значения Т
и V, получим:
GI^ -2
Е1^ 1 <
а
Qi ж /4
(7,76)
Вводя обозначения
2	_	.	2__ El^g
Е1^ и	’
уравнение (7,76) может быть записано так:
'9/+^(^+«2г2)9/.
или

(7,77)

где
171
Общий интеграл уравнения (7,77) имеет виД:
qt = C cos kt + D sin kt,
или
/ ли2/2 Г. . a2 \	। ~ . / ат&р Г a2 \ ,
4i~ Ccos(—p-y 1 +тг) < + Osln(i_/2— у	—р)(-
(7,78)
Внося это в уравнение для угла закручивания (7,70), полу-
чим выражение для свободного колебательного движения. Если
при выбранных размерах стержня а2 представляется большим
а2
числом, то единицей можно пренебречь по сравнению с
Уравнение (7,78) в этом случае принимает вид:
= С cos	0 + D sin	/). (7.79)
Подставляя (7,79) в (7,70), получим:
s=s „ *	2 ,.п Н4/¥ ()+
Z=1	4 = 1	Р
(7’8°)
Приведенные здесь формулы по своей структуре пол-
ностью совпадают с известными в литературе формулами
колебательного движения сплошных балок, несущих попе-
речную и продольную растягивающую нагрузку.
§ 32. Колебания тонкостенных стержней, лежащих
на сплошном упругом основании
Рассмотрим колебания тонкостенного стержня с шарнир-
ными концами, расположенного по всей длине на сплошном
упругом основании, жесткость которого обозначим бук-
вой Под жесткостью основания k§ будем понимать
крутящий момент, который должен быть приложен к еди-
нице длины стержня, чтобы сообщить ему угол закручива-
ния, равный единице. Колебания стержня, находящегося
в указанных условиях, могут быть легко изучены теми же
приемами, которые применялись к стержням, не связанным
с упругим основанием.
Предположим, что реактивные моменты упругого основа-
ния пропорциональны углу закручивания, т. е.
—
172
Тогда, присоединяя этот момент к моментам, действую -
щим на бесконечно малый элемент dz (фиг. 81), получим
дифференциальное уравнение колебательного движения в виде:
£/ш^+/0^-ОЛ^+М = 0. (Ml)
Если, как и прежде, принять для 9 выражение
6 (z, t) = Z (2) (Д cos ptt 4- В sin р/),	(7,82)
то получим:
Z,v — a2Z" — k\Z = 0,	(7.83)
где
ki=	(7,84)
Ц)
Из сравнения (7,83) с (7,59) заключаем, что общим
интегралом дифференциального уравнения (7,83) будет урав-
нение (7,60). Необходимо только вместо коэффициента k
подставить выражение для kt. Применим к решению той же
задачи уравнения Лагранжа. Примем в уравнении (7,82)
выражение в скобках за обобщенные координаты qt\ тогда
угол закручивания может быть записан в таком виде:
4 = оо
О = 2 <7, sin(7,85)
4 = 1
Присоединяя к потенциальной энергии (7,71) энергию
деформации упругого основания, получим полную потенциаль-
ную энергию системы:
i	i	I
V = J (0")2Лг + ^ J (0')2Аг+4/ 02 dz- (7>86)
ООО
Подставляя сюда значение (7,85), получим:
1—СО	l=CQ	[Z=oo
=	+	4 <7-87>
1 = 1	4 = 1	4=1
Кинетическая энергия колебания будет:
(7.88)
О	1=1
173
Предположим, что на тонкостенный стержень действует
возмущающая сила, являющаяся заданной функцией времени.
В этом случае дифференциальные уравнения Лагранжа
имеют вид:
(7,89)
где — возмущающий крутящий момент.
Подставляя в это уравнение значения Т и V, получим
уравнение движения для любой координаты
9<+^(*4+«*2+₽)<74=-М-л4;(о,	(7,90)
где
,2 _	_ GI„P .	„ _
1P1 '	EI^ ’ P ~	
(7,91)
Обозначив
^ = ^(/4 + «2 + ₽).	(7.92)
уравнение (7,90) можем записать в виде:
Ql+P2iQi = -^rMl(t).	(7,93)
Общее решение уравнения (7,93) имеет вид:
i
1 г
gz = ^zcosp/+B(sinp/+-^-. —• J Mz sinpz(Z — t^dt^
р	о
(7,94)
В этом уравнении первые два слагаемых представляют
свободные колебания.
Третьим слагаемым описываются колебания, вызванные
возмущающим крутящим моментом	В качестве при-
мера рассмотрим случай тонкостенного стержня, располо-
женного на двух шарнирных опорах и нагруженного крутя-
щим моментом 7И = Л40 sin nt, приложенным на расстоя-
нии с от левой опоры.
Обобщенный момент, соответствующий обобщенной коор-
динате qt в этом случае будет равен:
Д4z = Л40 sin	sin ntr.	(7,95)
174
Подставляя (7,95) в уравнение (7,94) и рассматривая
только вынужденные колебания, получим:
t
^ = F^77M°sin2r' f sinsin pz(Z — t^dtv
Jpll Pi	4	0
Выполняя интегрирование, получим:
<h = sin	(sin nt-JLsinp^J. (7,96)
Подставив (7,96) в (7,85), найдем угол закручивания
4 = 1
i=co / , inc , inz .	. Inc , iitz s , \
I sin -j- sin —— sin nt sin —— sin —— sin pit \
X У ________l-______l-_________2L_______L_______L______ .(7,97)
“\ p2t —	pi pl — rf I
Первое слагаемое этого выражения представляет выну-
жденное колебание, а второе — свободное колебание.
Положив п = 0 и М = Л1о sin nt, получим угол поворота
стержня от постоянного момента Л4:
1
/4 -|- аР ₽
Ip^laP-i^
1м .
Sin —р Sin —у-
Это есть статический угол закручивания. Подставляя
значение для а, имеем:
/ = оо
с	Vi 1	. lite . Inz	поч
® — Е/~^ Zj f* + а<2 -f- р Sltl ~Г 51П I ’	(7-98)
/=1
T-г	I
При с = — получим
от момента 714:
угол поворота по середине пролета
Sln Z
1 -j- а + ₽
, Зкг	. 5кг
s in —-—	sin —j-
34-ha.324-₽ + 544-a52 + P
(7,99)
175
Сравнивая вынужденные колебания
о	2Л40 sin nt • Z3 V	1	. Zkc . inz
6 = • eT^— 2l---------sin ~rsm—
co статическим углом закручивания (7,98), можем заключить,
что динамические углы закручивания можно получить с по-
мощью формулы для статического угла закручивания. Для
этого необходимо вместо (3 подставить
zz?Z4
§ 33. Энергетический метод
Задача о колебательных движениях сложных систем может
быть легко разрешена на основании рассмотрения происхо-
дящих изменений кинетической и потенциальной энергии.
Предположим, что система в виде двухопорной балки с одной
сосредоточенной массой совершает свободные крутильные
колебания.
В момент наибольшего углового смещения массы от по-
ложения равновесия кинетическая энергия Т обращается
в минимум (равный нулю), а потенциальная энергия V при-
обретает наибольшее значение.
Потенциальная энергия деформации обращается в нуль
в те мгновения, когда масса проходит через равновесное
положение, а скорость движения и, следовательно, кинети-
ческая энергия достигает максимума.
Следовательно, при отсутствии сопротивлений движению
во время колебаний упругой системы полная механическая
энергия, т. е. сумма кинетической и потенциальной энергии
остается постоянной, т. е,
Т + V = const.
Этим условием выражается закон сохранения энергии.
Так как суммарная энергия во время свободных колеба-
ний остается постоянной, то потенциальная энергия Vmax»
соответствующая наибольшему отклонению системы, равна
кинетической энергии Ттах, соответствующей моменту про-
хождения системы через положение равновесия;
Vmax = 71 max*
170
Это условие позволяет определить частоту собственных
колебаний системы. Оно сохраняет свою силу и в случае
непрерывно распределеннной массы.
Рассмотрим какую-либо форму собственных крутиль-
ных колебаний системы с частотой со:
0 (2, 0 = 6 (2) sin (о)/ -|- ср),
тогда угловая скорость движения произвольной точки системы
будет:
6° (2, 0 = 0 С2)™ cos ?)•
Кинетическая энергия определится по формуле:
T = f 4 dz =; 1. 0)2 COS2 0 J /0 (2) 02 (2) dZ'
о	о
где /0 = /0(2) — момент инерции, распределенный по произ-
вольному закону.
Наибольшее значение для кинетической энергии получим,
положив cos (ш/ -ф- ср) = 1:
i
Tmn = ^-fz0(z)f)2(2)d2.	(7,100)
о
Потенциальная энергия деформации изгиба определяется
по формуле:
V= J (S")2 +-^ J (0')2йг =
о	о
= sin2 (wt <р)
i	I
(Q"yd2 + 0Ia f (B')2d2
о	о
Максимум потенциальной энергии получим при sin (со/ -ф-
+ <Р)=1:
i	i
f (eydz + -^-f (V)*dz.	(7,101)
О	о
12 Н. И. Карякиц
177
Приравняв (7,100) и (7,101), получим:
i	i
EI^ (V'^dg-Y GI„ J (V)*dz
9	О	О
0)2 =------------1------------— .	(7,102)
J I0№dz
О
Таким образом, мы получили формулу для квадрата
угловой скорости, зависящей от функции 6(z), определяю-
щей форму собственных колебаний.
Задавшись подходящей формой колебаний, удовлетво-
ряющей условиям закрепления на опорах, можно вычислить
соответствующую круговую частоту колебаний упругой си-
стемы.
§ 34. Применение энергетического способа к задачам
о крутильных колебаниях тонкостенных стержней
При определении основной частоты, а также частот
высших видов колебаний воспользуемся энергетическим спо-
собом.
Упругая линия углов закручивания, представляющая форму
крутильных колебаний, принимается в виде ряда
Z =	(г) -|- Л2?2 (2) + Лз?з (2) 4“ • • • »	03)
в котором ср! (2), ср2(г), ... —функции, удовлетворяющие кон-
цевым условиям колеблющегося стержня. Величины пара-
метров av а2, ..... следует выбрать так, чтобы частота
основного типа колебания имела минимальное значение.
Порядок определения последовательных частот покажем на
примере крутильного колебания тонкостенного стержня
постоянного сечения. Предположим, что при колебании угол
закручивания в любом сечении изменяется гармонически с те-
чением времени и может быть представлен следующим выра-
жением:
6 = ZcospZ,	(7.104)
где Z— функция 2, определяющая форму колеблющегося
стержня, р — определяет частоту колебания.
17?
Для потенциальной энергии скручиваемого стержня имеем
выражение:
i	i
v = -^-J (6")2d2+-^- f (6')2dz,	(7,105)
0	0
Потенциальная энергия будет иметь наибольшее значение
в том случае, когда колеблющийся стержень займет свое
крайнее положение, при котором cos/?Z=l. Для этого по-
ложения находим:
о	о
Кинетическая энергия колеблющегося стержня будет:
т • 7 /
г = f (0)М2.	(7,107)
о
Максимум кинетической энергии наступает тогда, когда
колеблющийся стержень находится в своем среднем поло-
жении, т. е. при sin pt = 1 и 0max=:Zp, при этом
2	1
f	(7,108)
zs J
о
Из сравнения (0,106) и (7,108) получаем:
i	i
g Е1Ш f (Z")2 dzGI0 f (Z’^dz
р2 = —t ------------------о----------.	(7,109)
7/р J Z2 dz
о
Для получения более точного значения частоты необхо-
димо коэффициенты а2, ап в выражении (7,103)
выбрать так, чтобы выражение (7,109) было наименьшим.
Условие для минимума будет:
i	I
Е/ш f (Z")2 dz + GI„ J (Z'P dz
--------1-------?-------= °-	(7’110>
/ZM,
0
12*
179
Выполняй дифференцирование, будем иметь!
1 1 1
• f (2'7 dz + ОЦ f (Z'y dz
о	о
f ZMz
J дап
о
Г 1
— Е1Ш f (Z")2 dz + OIa f (Z'Y dz
о	о
Из уравнения (7,109) находим:
i	i
Е/ш f (Z")2dz-f-G/a f (Z')2dz g
0	0
Из уравнений (7,111) и (7,112) имеем:
i	2 7
J [е/ш (Z")2 + О/в(Z')2 —	Z2] dz = 0. (7,113)
п о
4/Z2d2=0-(U11)
о
р^1„ г
J Z2 dz. (7,112)
О
6л
Таким образом получим систему однородных, линейных
относительно коэффициентов а1% а2, .. ., ап уравнений, число
которых будет равно числу этих коэффициентов. Система
однородных уравнений может дать отличные от нуля реше-
ния, только если определитель этих уравнений равен нулю.
Из этого условия могут быть найдены частоты различных
видов колебаний. Применим формулы (7,113) к определению
частоты крутильных колебаний ранее рассмотренного тонко-
стенного стержня с шарнирным закреплением концов. Чтобы
удовлетворить условиям закрепления концов, возьмем упру-
гую линию углов закручивания в виде ряда:
~	.	. 27tz .	.	. mtz
Z = #1sin—j-~t-a2sin —•••	•
Взяв за первое приближение один член ряда
Z — a^sin—у
и подставив это в уравнение (7,113) получим:
p,.-s№/„..+a/.P>-	(7J
Такое же значение для р легко получить из формулы
(7,92), положив в ней р = 0.
180
Пример. Покажем теперь, что энергетический к«етод
легко применим и дает хорошие результаты в случае вычи-
сления частот более сложных систем.
Для примера рассмотрим тонкостенный стержень с двумя
заделанными концами (фиг. 82). Уравнение углов закручи-
вания принимаем в виде ряда
6 (z) = tZj — cos	+ «2(1 COS 4- . . . .
За первое приближение возьмем один член ряда
0 Л 2лг \
6 = aY ( 1 — cos —.
Подставляя производные
2л . 2лг
= ~гai sin —т~
в формулу (7,113), после преобразований получим:
2„4^(4л^/ш4-О7а/2)
Р	r3ZV0
где /0 — момент инерции единицы длины стержня. Решение
рассмотренной задачи вариационным методом Б. Г. Галер-
кина приводит к тому же результату.
§ 35. Метод начальных параметров в теории свободных
и вынужденных крутильных колебаний
тонкостенных стержней
Рассмотрим вначале свободные крутильные колебания
тонкостенного стержня с равномерным распределением масс.
Дифференциальное уравнение колебательного движения та-
кого стержня имеет вид:
Z1V (2) — o?Z" (2) — &Z (2) = 0-	(7.115)
181
Общее решение этого уравнения может быть предста-
влено в виде:
Z (2) = С} (ch\z 4- cos |хг) + С2 (ch\z — cos ^2) 4-
+ С3 (stikz -|- sin ^2) 4~£4 (sh\z — sin (12).	(7,116)
Введем обозначения
(ch\z 4~ cos р-2) = Az\ (sh\z 4- sin pz) = Bz, |
!	i	>	(7.И7)
у (ctikz — cos |i2) = Cz\ у (sh\z — sin pz) = Dz. I
Внося это в уравнение (7,116) и составляя последова-
тельные производные Z' (2), Z" (2) и Z"' (2), получим сле-
дующую систему уравнений с произвольными постоянными
Ср С2, Сд, С4:
Z (2) = 2 (С А + С2С2 4- C,BZ 4- C4DJ;	1
Z'(z) = 2(CM; + C2C; + cX + C4D');	I
z"(2) = 2(CM" + C2C; + C3s; + cX); | (7’ 18)
z'"(z) = 2(СИГ4-С2с74-С3ВГ + С4ОГ). J
Для определения произвольных постоянных Ср С2, С3,
С4 воспользуемся условием на левом конце стержня, где
Г	/	//	rr	fft	ш
Z — Z^ Z = Zo, Z = Zo и Z = Zo определяются гра-
ничными условиями, вытекающими из способа закрепления
концов стержня. При 2 = 0 функция 2 и ее производ-
ные (7,118) принимают значения:
Z(O) = Zo = 2Ci;
z! (O) = Zo = C3(X4-li)4-C4(k — pl);
z" (0) = Zo = Ct (X2 — [I2) 4- C2 (Xs + p.2):
Z" (0) = 4"=c8 (Xs—(?)+c4 (Xs+p3).
Из этих уравнений находим:
C.=~Z^ C2 = I^[z;-l(X2-li2)Z0];
Сз = 2XiU (№4-и2) tZ°Z°
= 2XfiP4-p) IZ°(^ Iх) (k + P')!*
(7,119)
(7,120)
182
Подставив произвольные постоянные (7,120) в первое из
уравнений (7,119), получим окончательно:
7	__ X2 cos р.г 4- р-2 ch \z 7 . Хз sin fxz + sh Хг 7'
z (*) —------Х4Ч3 0 4	W4-F--)	0 "b
. ch Хг— cos pc? 7" . jxshXz — X sin jxz w
H X2 + [x2	Z°-' Xjx (X24- p2) Z° ’	<7’121)
Применение общего уравнения (7,121) покажем на при-
мере стержня с шарнирно закрепленными концами. В этом
случае имеем следующие концевые условия:
1) Z (0) = 0;
3) Z(Z) = O;
2) Z" (&) = ()•, 1
4) Z"(Z) = O. J
(7.122)
На основании уравнения (7,121) и условий (7,122) по-
лучаем:
(X3 sin [iZ 4~ Н*3 sh	zo —|— (р- sh XZ — X sin jxZ) z'q = 0;
(— )3|? sin pZ + [Л2 sh M) Zo 4- (pk2 sh U + kp2 sin pZ) Zo" = 0.
Для того, чтобы начальные параметры Zo и Zq были
отличны от нуля, необходимо, чтобы определитель, соста-
вленный из коэффициентов этой системы уравнений, был
равен нулю. Таким образом получается следующее уравне-
ние частоты:
(X2 4~ (х2) sin [х/ sh X/ == 0,
следовательно,
sin = 0.
(7,123)
(7,123)
Тот же результат выше был получен иным путем.
Таким же способом могут быть получены формулы и для
случая вынужденных колебаний, обусловленных продолжи-
тельным действием однофазно пульсирующих нагрузок, из-
меняющихся во времени по гармоническому закону с задан-
ной частотой т.
При колебаниях стержня углы поворотов и внутренние
усилия в поперечных сечениях будут также гармонически
изменяться с круговой частотой т.
183
Таким образом, изменение деформаций и усилий при вы-
нужденных крутильных колебаниях стержня можно предста-
вить в следующей форме:
0 (2, /) == 0 (2) sin mt;
0' (2, t) = 0' (2) sin mt]
B(z, f) = В (z) sin mt]	(7,124)
(z, t) =	(z) sin mt.
При этом дифференциальное уравнение колебательного
движения будет:
0IV (2) — а20" (2) — /?40 (2) = О,
где
«2 = -^
£4
м— №
ЕВ>
(7,125)
Общий интеграл уравнения (7,125) имеет вид:
0 (2) = С\ (ch \z -|- cos и-2) 4~ С2 (ch \z — cos [12) 4~
4~ C3 (sh \z 4~ sin |i2) (sh \z — sin p-2).	(7,126)
Поступая так же, как и в предыдущем случае, получим
следующие уравнения, содержащие произвольные постоянные
интегрирования:
0о — 2Ci; 0о — Сз (X 4~ р») + ^4 (^ — р);
Во = - EfJ" = ~ Е1Ш [Cj (X*—+ С2 (№ + ^)];
Lo = О/а9'-Е1а6'"=[О1л^+у.-)-Е/а0?-^] Сз-Ь
4- [О/а (X— И) - Е/ш Q? + из)[ С4,
где Во —изгибно-крутящий бимомент,
Lo — крутящий момент.
Из уравнений (7,127) находим:
.	1 fi . Z- _ Bq	X-1	д е
I — 2 Do- C2— £/ш(ХЗ + (л2)	2(X« + p’) °’
.	+	I X-H f .
8 —	2£ZMX|*(X3 + Ix3)	2£/шХи (№ + p)
G/« (I + ^-^(Хз-р) 0/_ X + t* .
* —'	2£7Jh(X2 + ^)	° 2£ZmX|x (X9p.3)1'0’ J
(7,127)
(7,128)
184
Внося произвольные постоянные Ср С2* С3 и С4 в урав-
нение (7,126), получим:
X2cos pz-hp2ch Xz fl ,
° W	°o -t-
, Е1Ф (X3 sin pz + p3 sh \z)— GIa (X sin y.z — p sh \z)	.
' 0-t-
, B0(cospz— ch Xz) . £0(Xsinpz— p sh Xz) /7 inq\
+ £UW) +	(X24-p2)	*
Если левее рассматриваемого сечения в точке z =aL
будут действовать пульсирующие крутящие моменты М19
7Й2» • • • > то их влияние на изменение амплитуды коле-
баний 6(2) может быть учтено дополнительными слагаемыми,
аналогичными последнему слагаемому уравнения (7,129)
1 = п
уч М[ [X sin р (z — bt) — р sh X (z — bt)
t=i
Суммирование распространяется на все сосредоточенные
моменты, расположенные на участке (0, z).
Предположим далее, что к стержню прикреплены сосре-
доточенные тяжелые массы.
Участвуя в общем установившемся колебательном движе-
нии, они будут действовать как сосредоточенные крутящие
моменты. Величина каждого из них, согласно принципу
Даламбера, определится по формуле:
—	~ _ =Jfilm2 Sin mt,
где Ji — момент инерции.
Амплитуда крутящего момента имеет значение:
Следовательно, при наличии нескольких сосредоточенных
масс к правой части общего уравнения (7,129) должны быть
присоединены следующие слагаемые:
1=п
(X2 р2)	s*n	р sh X (2	Z>z)].
185
Таким образом, для определения в произвольном сечении
(фиг. 83) углов закручивания 0, производных углов закру-
z
Фиг. 83.
чивания 0' и 0", бимомента В и крутящего момента L имеем
следующую систему уравнений:
0 = яд 4- S2e'o+тгв0+игь0 4- 2 MU а+
+^2ЛД;
0' = я'0о + S'9o 4- T’zBo + и'гц 4- 2 ми'а 4-
4-«2 2 J^cU'c-,
в = EI.fi" = EIa (я"о0 4- «X+т"вй+
4-	+	J6cu");
L = EIJm — GI<fir.
(7,130)
Здесь обозначено:
J—момент инерции сосредоточенных масс Mk
(рис. 83), прикрепленных к стержню,
0С — амплитуды углов закручивания сечений,
где прикреплены сосредоточенные массы,
Е1^ — секториальная жесткость,
Rz, Sz, Tz и Uz — функции влияния, имеющие значения:
о ___ Р2 ch \z 4- № cos pz .
К*~~ Хз^-р* ’
~ _ Е1^ (рЗ sh \z -|- Хз sin p.z) + G/a (р sh Xz — X sin pz).
“	£/А(^ + и3)	’
~ ___ ch Xz — cos p.z .	,, _ p sh \z — X sin pz
£Zu>(X2-bP) ; Uz~ £VhP + ix2) ’
(7,131)
186
В формулах (7,131) обозначено:
х=/*4+/4+*4:
1	I 'и Г" I t-A
P = V-----2"+к т + * ’
где /0—момент инерции единицы длины стержня.
Общими уравнениями (7,130), служащими для определе-
ния амплитуд перемещений и внутренних усилий, можно
воспользоваться также и для составления частотных уравне-
ний свободных колебаний, положив при этом в уравне-
ние (7,130) внешние силы равными нулю.
Тогда, составляя на основании (7,130) уравнения для
перемещений и внутренних усилий и принимая во внимание
граничные условия задачи, получим систему линейных одно-
родных уравнений с неизвестными начальными параметрами.
Приравнивая определитель этих уравнений нулю, получим
уравнение частот свободных колебаний.
В качестве примера рассмотрим стержень с шарнирным
закреплением концов, для которого граничными условиями
будут:
Go = 0, Go — Во — 0;
0 (Z) = 0; 0" (Z) = .В (Z) = 0.
На основании (7,130) получаем систему уравнений:
[Е/ш (к3 sin PZ 4- sh X/) — GIa (к sin p./ — p, sh XZ)] • Go 4~
(X sin pZ — [x sh XZ) Lq = 0;
[Е/ш (p3X2 sh XZ — X3p,2 sin pZ) + GIa (Xp2 sin pZ + pX2 sh XZ)] Go 4"
4~ (— Xp2 sin pZ — pX2 sh XZ) Lo = 0.
Раскрывая определитель, составленный из коэффициентов
при начальных параметрах Go и Lo, придем к известному
частотному уравнению
sin р/ = 0.
Уравнением (7,125) можно воспользоваться также для
составления уравнений частот колебаний невесомого стержня,
т. е. такого стержня, масса которого весьма мала по срав-
нению с сосредоточенными массами, так что массой стержня
можно пренебречь.
187
Дифференциальное уравнение колебательного движения
невесомого стержня мы получим, положив в уравнении (7,125)
коэффициент k равным нулю:
0IV —а20" = О.	(7,132)
Решение этого дифференциального уравнения приводит
к следующему выражению для амплитуды угла закручивания:
0 = %	во + Во-Jr (1 — ch а2) + £0-А-(аг — sh а2).
(Z	1 у.
Сосредоточенные тяжелые массы учитываются слагаемыми:
где rt — расстояние от рассматриваемого сечения до сосре-
доточенной массы Mki.
Итак, для невесомого стержня, несущего тяжелые массы,
можем записать следующую систему уравнений:
е = ео+	е;+в0-^(1 -сь «)+а0	х
1=п
X (ос2 — sh az) -|- >	-- (arf — sh arz);
i=i
Q' — 0' ch az-Sy- shaz + Sj-(1 —ch az) -f-
+S4?<1~cha^:
i=l
В — — El J" = — El J)'oa sh az + Бо ch az -|~ Lo X
(7,133)
Применение уравнений (7,133) к решению задач поясним
на следующем примере.
Пример. Определить частоту р собственных крутиль-
ных колебаний стержня (фиг. 84), несущего в середине про-
лета сосредоточенную массу Mk.
188
Сосредоточенный крутящий момент будет равен:
где J—момент инерции сосредоточенной массы.
Принимая за начальную точку О левую опору, имеем:
0о = О, Во=0,	= А =
Пользуясь первым из уравнений (7,133), запишем выра-
жение для угла закручивания в произвольном сечении левого
участка стержня:
О = 0'	-j- -	- (аг — sh аг).
Обозначая = запишем уравнение для угла пово-
рота 6 в середине пролета:
6с = ео^-+2^(“-®Ь«)-	(а)
Используя условие симметрии, т. е. при г = -^, 0' = О,
получим второе уравнение:
eoch“ + -^-<1-ch“)-	<б)
Определив из этого уравнения 0' и подставив в равен-
ство (а), получим частотное уравнение в следующем виде:
1 2EI^ th w) = 0-
Отсюда находим
2Е/шаЗ
" J (и — th и) ’
189
или
При GIa = О
Следовательно,
16Е/Ш
Л3 ' и —th и
= 3.
J 7 и — th и
п-Л/
р—у J/3 •
§ 36. Уравнение трех бимоментов в динамике
сооружений
Рассмотрим здесь вынужденные крутильные колебания
многопролетной балки с симметричным относительно осей
координат ху поперечным сечением.
Предположим, что эта балка совершает вынужденные
крутильные колебания под действием однофазно пульсирую-
щих крутящих моментов Mlt М2, .... Мп, изменяющихся
во времени по гармоническому закону с заданной частотой т.
Сосредоточенные моменты будем * считать приложенными
в серединах пролетов (фиг. 85).
Фиг. 85.
Для установления зависимости между неизвестными опор-
ными бимоментами В и гармонически изменяющимися со-
средоточенными моментами воспользуемся условием непре-
рывности динамической упругой линии углов закручивания
над промежуточной опорой п:
е;=-в;+1-	(7.134)
Производные от углов закручивания О'п и 6' р вызван-
ные опорными бимоментами и сосредоточенными крутящими
моментами, определяются из рассмотрения двух смежных
пролетов п—1, п и /г-Д-1 балки (фиг. 85) с помощью
общих формул для амплитуд сил и деформаций (7,130).
190
Перейдем теперь к отысканию производных от углов
поворота на опорах, однопролетных стержней.
Итак, при загружении стержня опорным бимоментом В
на левой опоре, производная от угла поворота 0' на той же
опоре (фиг. 86) определится из уравнений (7,130).
vT
-----1 -
Фиг. 86.
Выберем за начало координат левую опорную точку. По
условию закрепления концов балки можно записать
ео=о, е(о=о и в(о=е/ю6"(О=о. е;=0'; в0=в.
Эти условия позволяют составить два уравнения:
— TtB+UtLo^O,
SX — TiB + U"tLo = O.
Отсюда находим:
= В = ВФ- (7’*35)
Из рассмотрения однопролетного стержня, нагруженного
гармонически изменяющимся бимоментом, приложенным на
— г —
Фиг. 87.
правой опоре, определим производную от угла поворота 0'
на левой опоре (рис. 87).
191
Выбирая в этом случае за начало координат левую опор5
ную точку, мы располагаем граничными условиями:
0о = О, 6(0 = О, £(/) = — £.
Уравнения для динамического угла поворота и бимомента
на правой опоре будут:
Sz02 — LoUi = O,
ElJ^—LbU^ — B.
Из этих уравнений получаем:
9' = —----Уг----TFT В = BW, (7,136)
/ - В
0 ЕГШ u"iSt-UtS" '
Изгибно-крутящий бимомент в середине пролета будет:
в 1=ЕГш(з^-и1)ац)=-в^^^-=-во-.
Подставив значения функций влияния, найдем:
Вг-^~ ~ 2 (№ + р) (X2seCh 2" + !x2 SeC ~ ~ BQ‘
(7,137)
Определим далее производную от угла закручивания 0Л
при загружении двухопорной балки гармонически изменяю-
щимся сосредоточенным крутящим моментом М = М sin mt,
приложенным в середине пролета (рис. 88).
Фиг. 88.
Воспользовавшись граничными условиями рассматривае-
мого случая
eo = JBo = O, 6(0 = 0 и В(0 = Е/Ш0"(0 = О,
192
можем составить два уравнения вида:
Sfi'A+LoUi—MUl/2 = 0,
Si	LqUI  MU1/2 = 0.
Из этих уравнений находим:
6д = Л1—- - ЛШ. (7,138)
StU/ — SiUt	v 7
Для определения изгибно-крутящего бимомента восполь-
зуемся условиями
6(0) = В(0) = 0; е' =0, L =
47	4 7	z = Z/3	z = Z/2	2
Уравнения для амплитуд производной от угла закручи-
вания и крутящего момента L непосредственно слева от точки
приложения сосредоточенного момента М будут:
0z= i/2 = S ;/20о + //а^о = 0,
Лг=//2 = rfz/2®o+ г 1/2^0 ~ ~2~ •
Отсюда находим:
д __ М _______Sl/2____
2 Г1/2 Sl/2 dl/2 U 1/2
0' = —М2.
Здесь обозначено:
Г1/2 ~	1/2	1/2’
^/2-EI^2-OIS^
Изгибно-крутящий бимомент в середине балки будет:
о ______ с г ( О’" Д7 I Г т" Т   /71 М ^l/2^l/2	^t/2^1/2
Dz=l/2 ~	V^Z/2°0 “Г ^1/21^) =	—-------Т7--------ГТ?— «
2 Г1/2 1/2	dl/2U 1/2
После преобразования получим:
<7-139>
13 Н. И. Карякин
193
В формулах (7,135),_ (7,136), (7,137), (7,138), (7,139)
функции Ф, Ф, 2, f и 2 имеют значения:
ф = £/M(j + (x2) (х cfSh И ctgpZ);
ЧГ = г^г /Л 1—(и cosec p-Z — X cosech XZ);
2 = 2£/ш(Х2 + р) (sec~l sech -уj;
F ~ 2(№ + ц2) (;J	+ Mh ~2 ) ’
2 =	+ (>2 «ech Ц + p2 sec 4) •
(7,140)
Выяснив значения этих функций, можем записать выра-
жения для производных от углов поворота в'п и G' . На
основании формул (7,135), (7,136), (7,138) находим:
0л+1 = £ЯФл+1 + ^я + Л + 1 + А+А+Р
Внося это в условие непрерывности (7,134), получим ди-
намическое уравнение трех бимоментов'.
вп- А+вп (Фп+фл+1)+вл+1фл+1 =
= -Д2й-Д+Д+1. (7,141)
Положив в этом уравнении частоту вынужденных коле-
баний т, равной нулю, находим:
k = 0, X = а, а = 0
и, следовательно, уравнение трех бимоментов динамики соору-
жений обращается в уравнение трех бимоментов статики
сооружений:
Вп - Мп + 2 Вп (Inin + 1п +1 Хл +1) 4"	+ Л + 1Фл +1
= -6Е/ш(0ГЧб'Жв).
В этом уравнении через фи/ обозначены функции
И. Г. Бубнова:
_6_/J______1_\ .	_ 3 (chai______1_\
’ al \al sh al) ’	a/\shaZ al)*
194
численные значения которых приведены в сочинениях И. Г. Буб-
нова и П. Ф. Папковича1.
Пример 1. В качестве иллюстрации применения дина-
мического уравнения трех бимоментов рассмотрим балку дву-
таврового профиля № 20, заделанную двумя концами, про-
летом Z = 4,00 м (фиг. 89). Под действием гармонически
Фиг. 89.
изменяющегося сосредоточенного крутящего момента с ам-
плитудой Л4 и частотой п = 1000 колебаний в минуту балка
совершает вынужденные колебания.
Из сортамента имеем:
7^ = 2142 см\ = 117 сМ= 2259 см\ /ш = 13121 см*.
а=1/" ~ = 0,02074 — ,
F Е1Ш	см
где Е = 2,1 • 106^, 0 = 8
Объемный вес балки у == 7,8 г/см3.
Круговая частота вынужденных колебаний будет:
2к72	Г 1
104,6 —.
60	сек
Пользуясь вышеприведенными численными значениями, на-
ходим:
X = 0,0211 см-1; А4 = 71,2 • 1О-1осл-4, «1 = 0,00392 см-1;
Х2-|_(12 = 46,18 • 10-бсл-2,
М = 0,0211 • 400 = 8,44,
(1/ = 0,00392 • 400 = 1,568.
1 И. Г. Б у б н о в. Строительная механика корабля, ч. II. 1912.
П. Ф. П а п к о в и ч. Строительная механика корабля, ч. II. Суд-
промгиз. 1941.
13*
195
Изгибно-крутящие бимоменты и В2 в опорных за-
креплениях, в силу симметрии, равны между собой. При-
нимая это во внимание, можем записать уравнение трех бимо-
ментов (7,141) в таком виде:
В^+^Ф^ —МЙ.
Отсюда получаем:
о _	Л42
1	Ф +
По формулам (7,140) находим численные значения функций
Ф, Ф, й, Й и F:
ф=гг J . «0,0211; J, .о.00392;
(л2 4- р)	(Л2 + [Л2)
2	=	J_u,2^0-693; 2 = «т-5 0,0000175;
£/ц> (л + Р)	Л2 + Р*
F =	-0,0118.
-j- [к2
Следовательно,
В1 = В2 = — 27,7034.
Бимомент в середине пролета определим с помощью фор-
мул (7,137) и (7,139):
В = MF -f-CBj + В2)Й = 25,0234.
При статистическом действии крутящего момента бимоменты
в опорных закреплениях имеют значения:
ch^—-1
Bls = B2s = - £	= - 23.0934.
shT
Динамический коэффициент будет равен:
_ 27,70 _
kd~ 23,09 ~ 1,2°'
Если в уравнении (7,141) положить О/а = 0, то функ-
ции Ф, Ф и й будут иметь значения:
Ф = —0,0972х,
Ф = -0,278х,
Й = —0,0769xZ.
196
Здесь обозначено:
Z
Бимоменты Вг и В2 в опорных закреплениях определим
по формуле:
do	лл, 0,0769	оп,,
В1 — Вг — ф^цг— 0,0972 + 0,278 82AL
При статическом действии крутящего момента бимоменты
в опорных закреплениях будут:
Bu=Bis = -^- = -50M.
Следовательно, динамический коэффициент равен:
^ = 5б=1’64’
что превышает точное решение на 36,7%.
Таким образом, приближенное решение динамической за-
дачи, в силу существенной погрешности, не может быть
рекомендовано для практического применения.
Положив в уравнении (7,141) внешние пульсирующие
крутящие моменты равными нулю, получим динамическое
уравнение трех бимоментов для определения частот свобод-
ных колебаний:
^-Л + 5п(Фл+Фл+1) + 5й+1Чгп+1 = 0. (7,143)
Составляя для каждых двух смежных пролетов неразрез-
ной балки уравнение вида (7,143), будем иметь систему
однородных уравнений. Такая система уравнений может дать
решения, отличные от нуля, если определитель этих урав-
нений равен нулю. Это условие приводит к уравнению, из
которого могут быть найдены частоты свободных колебаний
неразрезной балки.
Фиг. 90.
Пример 2. В качестве примера рассмотрим свободные
колебания двухпролетной неразрезной балки постоянного се-
чения (фиг. 90) и вычислим частоты свободных колебаний.
197
На основании уравнения трех бимоментов (7,143) имеем:
2В2Ф = 0.	(а)
Уравнение частот, соответствующее В2 ф 0, имеет вид:
Ф =	---L-L =3 о,
или
TLU"i— TiUi = 0.
Внося значения функций 7\ Ui, T"i и u'i, частотное урав-
нение (а) принимает вид:
X tg yZ — [1 th U = 0.	(б)
Последовательные корни этого уравнения могут быть,
найдены графическим путем.
Из уравнения (а) и (б) видно, что при колебаниях балки
бимомент В2 на промежуточной опоре обращается в нуль
при (<jZ)i = тг; (uZ)2 = 2тг, ..., когда каждый пролет будет
находиться в условиях стержня с шарнирными концами.
Частота колебаний, соответствующая наименьшему корню,
будет:
ИЯЛФ+»
При GIa=0 имеем:
ня/?-
Динамические уравнения (7,141) и (7,143) трех бимомен-
тов, полученные здесь для стержней с открытым профилем,
полностью могут быть перенесены на расчет стержней с зам-
кнутыми контурами поперечных сечений.
§ 37. Свободные изгибно-крутильные колебания
тонкостенных стержней
При рассмотрении колебательных движений стержней
в предыдущих разделах предполагалось, что тонкостенный
стержень совершает только крутильные колебания.
Общий случай колебательного движения стержня описы-
вается системой дифференциальных уравнений, полученных
в известных работах В. 3. Власова [12].
198
Рассмотрим здесь задачу об определении частоты коле-
баний при одновременных колебаниях изгиба и кручения
тонкостенного стержня, имеющего в поперечном сечении
одну ось симметрии. Пусть начало координат выбрано в центре
изгиба О, расположенного на оси симметрии х. Расстояние
от центра тяжести С до центра изгиба О обозначим через
яЛ(фиг. 91, а).
Предположим, что при колебаниях стержня какое-либо
поперечное сечение в момент времени t занимает положение,
изображенное на фиг. 91, б'. Вертикальное перемещение цен-
тра тяжести сечения стержня будет слагаться из прогиба j/.
'У
Фиг. 91.
вызванного поперечным изгибом и дополнительным смеще-
нием соответствующим вращательному движению сече-
ния на угол 6 вокруг центра изгиба О.
Интенсивность сил инерции при изгибе имеет значение
Момент силы инерции, отнесенной к единице длины будет
Ipl 620 (z)
g dfi
Для нахождения закона колебательного движения будем
исходить из общеизвестного дифференциального уравнения
упругой линии
= q	<7-144)
199
и дифференциального уравнения углов закручивания:
EfJv(z) — OJae"(Z) = m,	(7,145)
где т— интенсивность крутящих моментов.
Предположив, что колеблющийся стержень нагружен си-
лами инерции, на основании уравнений (7,144) и (7,145) мо-
жем записать следующую систему дифференциальных урав-
нений движения:
Е'^ = — т & + а*Ь(2)
й’О(г) - д* .	....
tnax	ax^Z^
_ М (Z)
0 dt* •
(7,146)
где т=—~ — погонная масса стержня, /0 — —--------момент
инерции единицы длины стрежня.
Полагая, что прогиб и угол закручивания в любом месте
изменяются гармонически с течением времени, можем принять
у = <р (2)	1
0 = ф (2) sin; j	(7,147)
где y(z) и ф(з) — функции лишь одного 2.
Внося (7,147) в уравнения (7,146), получим:
El <pIV = тр2 (<р -|- а »Ь);	]
-	} (7,148)
E/a4IV — о/аУ' = ^ЛР2(?4-М)4-Ш2. 1
Применим полученные уравнения (7,148) к задаче о коле-
баниях стержня с шарнирным закреплением концов.
Условия на концах будут:
^(O) = j/(Z) = O; 6(0) = в(/) = 0;
у" (0) = У' (Z) = 0; 0" (0) == б" (Z) = 0.
Эти условия будут удовлетворены при
<р —Xsink2, ]
, о • ч	(7.149)
ф=:В51Пк2, J
где Х = у. (i = l, 2, 3, ...),
А и В — постоянные величины.
200
Подставляя выражения (7,149) в дифференциальные урав-
нения (7,148), получим:
,2 _ (£Z^+G/,)X^
7^~P2A + Р'
ахт^~^
Вводя обозначения
В = О.
(7,150)
£/х/4	р. (£/шХ? 4- G/„) Ха _ . а^т
т ’	а^т-\-1й	ахт-\-1о
и составляя определитель из коэффициентов при А и В
однородных уравнений (7,150), получим уравнение частот:
О —	Р* — (Р + 7)Р2 + Pl = о.
отсюда находим:
, , (р + т)±]£(|3-т)з + 4а#р|
Р	2(1-ад)
(7,151)
В частном случае,
тром тяжести сечения,
когда центр изгиба совпадает
т. е. при ях = 0, получаем:
с цен-
р2=-^-
т
(7,152)
n2(£V2+G/a)X^
/о
(7,153)
Частота рг соответствует изгибным колебаниям стержня.
Формулой (7,153) определяется частота крутильных ко-
лебаний р2.
Частоты свободных изгибно-крутильных колебаний, вы-
численные на основании дифференциальных уравнений дви-
жения, могут быть определены энергетическим способом.
Применим этот способ к решению той же задачи. Для стер-
жня, изображенного на фиг 72, потенциальная энергия имеет
значение
i	i	i
U = ^rf (в")2^ + ^ f (б')2^+^ f (ynydz. (7,154)
ООО
кинетическая энергия будет
Q	о
201
Предположим, что прогиб и угол закручивания изменяются
гармонически с течением времени и представляются выра-
жениями:.
у == ф sin pt,
0 = т] sin pt,
тогда наибольшую потенциальную энергию получим при
sin pt — 1:
i	i	i
f ^dz + ^ f M2dz+^-f (fydz. (7,156)
0	0	0
Наибольшая кинетическая энергия имеет значение:
т=J (7))2dz+J(ф+а^)2 dz-(7Л57)
о	о
Сравнивая (7,156) и (7,157), получим:
i
g f Of)4 + G4 W + ЕГХ (Г)4] dz
P2 = —-----z------------------------. (7.158)
J [т/рЧ2 + Ft OP + ад)4]dz
0
Для функций ф и г], удовлетворяющих условиям по кон-
цам, выберем следующие выражения:
ф = Д5шкг,	(7,159)
= В sin \z,
где Х = у, (/=1, 2, 3, ...).
Коэффициенты А и В необходимо выбрать так, чтобы
выражение (7,158) было наименьшим. Условиями для ми-
нимума будут:
дА ’ дБ ~и’
Подставив сюда значение р2 из равенства (7,158) и при-
няв во внимание (7,159), приходим к следующей системе
уравнений:
— Р2)а — Р2ахВ = 0,	(7,160)
пгах
+ 4
р2_(^+с4)Х2
В = 0. (7,161)
202
Такие же уравнения были получены из рассмотрения диф-
ференциальных уравнений движения. Тем же способом можно
получить частотные уравнения изгибно-крутильных колеба-
ний для несимметричных сечений. Пусть такое поперечное
сечение будет отнесено к главным центральным осям инер-
ции х, у.
Перемещения центра тяжести по направлениям осей будут:
хс = х4-яу6,
Ус = У — ахв-
(7,162)
где ах и ау — координаты центра изгиба, х, у — компоненты
перемещения центра изгиба по главным осям х и у.
Потенциальная энергия представится выражением:
tZ = 'T£ f (e")2d2 + ^/(О')Мг + ^ f (y")2dz +
0	0	0
£ZV f
+ ^J (x ?dz- <7-163)
0
Кинетическая энергия имеет значение:
I 1	1
T=i^f (°)2dz + ^f G-M)2^+
о	0
I
+ g- f (x-\-ayf))2dz. (7,164)
0
Положив
x = <p (z) sin pt,
у = ф (2) sin pt,	(7,165)
0 — 7] (2) sin pt,
найдем наибольшую потенциальную энергию:
i	i
f Wd2 +
0	0
I	El 1
+ ^f (I")2 dz +	f (?")2 dz. (7,166)
0	0
203
Наибольшая кинетическая энергия будет равна:
7" = ^- f +	f (^ — axri)2dz-^-^f(<f-[-ay-r^dz.
0	0	о
(7,167)
Из сравнения (7,167) и (7,166) находим:
i
g f [£/« ttT + Gfa + EIX (ф"Р + Ely (?")21 dz
. (7.168)
J [?7/№ + E-t (i - ад)2 +	(? + dz
0
Для стержня с шарнирным закреплением концов гранич-
ные условия (при z = 0 и z = Г) будут:
х = 0, у = 0, 0=0,1
х" = 0, у" = 0, 0" = 0. J
(7,169)
Фундаментальные функции при граничных условиях имеют
вид:
<р = A sin Xz,
ф — В sin \zt
т] = С sin \z.
(7,170)
Подставляя ;(7,170) в уравнение (7,168) из условий
^- = 0; ^ = 0; ^ = 0,
дА ’	дВ ’	дС
получим следующую систему однородных уравнений:
(Е1у№ — р2т) А — р2тауС = 0,	1
(Eljfi— р2т)В-]-р^гахС = 0,	} (7,171)
р2тау А — р2тахВ — (Е1^ -|“ GIa\2 — р2тг2) С = 0, j
где
г=4_|_а2 1 й2	(7172)
т л у
204
Частоты изгибно-крутильных колебаний определяются из
условия равенства нулю определителя системы однородных
уравнений (7,171):
(Е1у\* — р*ту, 0;
0;	(EI^—рЪп);
р^пшу\	( — р*таху>
p*maXi
[ - (ЕГ^ + GI^ -р^пг*)}.
(7,173)
этот определитель, найдем частоты изгибно-
Раскрывая
крутильных колебаний.
§ 38. Влияние инерции вращения и продольных
перемещений
В предыдущем изложении колебания тонкостенных стерж-
ней рассматривались без учета влияния продольных переме-
щений элементов при изгибном кручении и вращательных
движений при изгибе.
Для получения более точного решения задачи об изгибно-
крутильных колебаниях примем во внимание указанные дви-
жения элементов. При изгибе стержня в плоскостях xz и yz
переменные углы поворота и соответствующие угловые ско-
рости будут иметь значения:
_ dy .	 <Э2у
dz ’	dt	dzdt	’
_ dx.	dyxz___ д2х
^xz dz ’	dt	dzdt	’
Кинетическая энергия при этом запишется так:
, _ ТЛ / ( d^x у
2 2g J \dz dt)
о
(7,174)
Продольные перемещения элементов при изгибном кру-
чении стержня определяются по формуле:
и = —о) ($) О' (2);
205
Соответствующая скорость будет равна
и =. — о (s) 7—37.
v 7 dzdt
Кинетическая энергия полосы оболочки с длиной dz бу-
дет иметь значение:
dl\ = f («)2 dF =	dz,
6 2g J v 7 2g \dz dtJ
F
где /ш = J* co2 dF — секториальный момент инерции относи-
тельно центра изгиба.
Для всего стержня имеем:
Гз=^> f( ™ yd2.
3 2g J \dzdtj
о
Следовательно, полная кинетическая энергия колеблю-
щегося стержня будет равна:
i
Наибольшее ее значение определится выражением:
Ря 7 с
г ] [« + ^(4,Я-ЙЛ)2+^('Р„ + ЙА)2 +
+ F СЮ2 + 'у (О2 + F (<)2] dz- (7>176)
Сравнивая ранее полученную потенциальную энергию
с наибольшей кинетической энергией, получим выражение
для квадрата частоты р2п:
^=fx
JK (V')2 +	«)2 + Е/х (Й)2 + EIy (f'yjdz
	о	
f I'prt+f (^-йл’1л)2-|-/;'(?л+а7")2+/ж('!'п)2+/»('?»)г+7ш (X)2] dz-
о__________♦
206
Принимая для функций <рп, ф/7 и прежние значения, из
условий
дА=.о дА-..о дА_0
дАп и’ дВп~"' дСп — "'
получаем следующую систему однородных уравнений:
P/S ~Рп (W + И)] Ап ~Р2п тауСп = 0;
(7_Х< +«)] Вп +р*п тахСп = 0;
где
j —r±L-	j	—IxL-	г _£шТ.	—_г
Jmx g ’	'my	’ g ’	'mw ~g~ ’	m	g »	'0	' g *
/2 = ^+^ 4- a2 .
;.7 V У
Приравнивая нулю определитель этой системы однород-
ных уравнений:
EI/n — Р2п (fmyln +	°;	- Рп ™ау’
о; £/A4.-/’«(W2 + '"); Рп^ах>
Рп тау-, — р^тах; — [Е/^п + G/^ —р2п (/т^п + йг2)],
(7,177)
найдем частоты изгибно-крутильных колебаний.
§ 39. Колебания эксцентрично сжатых стержней
Рассмотрим колебания тонкостенного стержня, подвер-
женного действию сжимающей силы N, Координаты точки
приложения силы N в плоскости поперечного сечения обо-
значим чзрез ех и еу. Нормальное напряжение в любой точке
сечения в статическом равновесии не зависит от z и может
быть определено по формуле:
где
М.ху Мух
а = —р + ~гГ~~гГ’
Mx = — Ney,
Му = Nex.
Ж
Возьмем на поперечном сечении у точки М элемент пло-
щади dF = В ds, определяемый координатами х и у. При
изгибно-крутильных колебаниях составляющие его переме-
щения в направлениях х и у будут:
хм=и+(ау~У^<
УМ = ^-(ах~х^-	(7.178)
Здесь через и и v обозначены перемещения центра изгиба
по направлению осей х и у\ 6 — углы закручивания попе-
речных сечений. Предположив, что после изгиба на поверну-
тые поперечные сечения будут действовать начальные напря-
жения а, можем определить составляющие усилия в напра-
влениях осей х и у, действующих на элемент dz Ч
а ахм
dp — — adF - dz,
л	az*
dPy = — °dF~^ dz.
(7,179)
Усилия на единицу длины стержня будут:
dqx — — adF
d*XM
dz* ’
j
(7,180)
Крутящий момент на единицу длины стержня относительно
центра изгиба имеет значение:
dtnz = - a dF [и" + («у - у) 0"] (ау - у) Ц-
+ a dF lv" — (ах — х) 9"] (ах — х). (7,181)
Интегрируя по всему сечению, получаем:
mz = — f а[и"-\-(ау — у) 6"| (ау — y)dF-\-
F
4“ J °	— х) (ах — х) dF. С» 182)
F
1 См. С. П. Тимошенко. Устойчивость упругих систем,
Гос. изд-во технико-теор. литературы, М., 1955,
208
Подставляя сюда выражение для нормальных напряжений,
получаем:
т2 = — (Nay 4- Мх) и" + (Nax — Му) +
Ч-СЗД—лу2-лгг2)е", (7,183)
где
$y*dF+ x^ydF
------------------2а>=
Jx$dF-\- Jxy^dF
₽2 = ------4-----------2ал;
г = ^+«3+«3.
Потенциальная энергия стержня имеет значение:
и = I / {Е1а (6")2 + 04 (О')*+EIX (#')2 + Е1у (а")2 -
о
— N (и')2 — ЛГ Су')2 + 2 (Nay + Мх) и"0 —
— 2 (Nax — Му) чГЪ —	— Мур2 — Nr2) 6"6] dz. (7,184)
Предположим, что прогибы и угол закручивания изме-
няются гармонически с течением времени и представляются
выражениями:
U = ^n(z) sin pnt-,
v =	(z) sin pnt-,
0 = Vn (-0 sm Pn*-
Наибольшую потенциальную энергию получим при
sin pnt = 1:
y=l/[£7«>o:)a+o/«(<)2+^(C)a+^w-
о
- N «)3 - N (ф'„ )* + 2 (№y + MJ	-
<7’185>
14 H. И. Карякин	209
Наибольшая кинетическая энергия колеблющегося стер-
жня имеет прежнее значение. Обозначая в формулах для по-
тенциальной и кинетической энергии подынтегральные функции
соответственно через Ф и №, можем записать:
	1 L/ = ±-f4>dz,	(7,186) 0 2	1 T = ^-fKdz.	(7,187) J 0
Сравнивая (7,186) и (7,187), получим:
i
	J ф“г P*„ = f °-	•	(7,188) f Kdz
о
Фундаментальные функции при граничных условиях, соот-
ветствующих шарнирным закреплениям концов, имеют зна-
чения:
	cpn — sin \z\ = A2 sin \z\ rin = A3 sin \z.	(7,189)
Подставив (7,189) в равенство (7,188) из условий
	dA=0.	^--o dZi u’ <M2 u’ dA3
или	(7Л9°) 0
?1Q
пдлучим следующую систему однородных уравнений:
+ N) - тРп] А -
- [ау^Рп + (Nay + <,) ху л3 = о,
- ('т*Р2п +	- ™Р*„] \ +
+ [^Р2п + (*4~ ^у) А = 0.
— [™уР*п + (W°y + Жх) Хл] А + ^ахРп +
+ ^ах - Му)	\ + [^Л + [	-
-МД - №*) + О/а - /шшРу X® - г’Др®) Л =0.
(7,191)
Приравнивая определитель системы уравнений (7,191)
нулю, получим следующее частотное уравнение:
[£/у^ - (/туР2п + Л') Х* -	0;
—[ау™р2 + (Nay + мх) х«];
0; [£7X-(Wn + ^)xn-^l;
[ах^Р21 + (Nax — Му) /.у ; — ['»V» + (Nay + Мх) Х«-
[тахРп + (Nax — Му) Хл];
{£7<Х + [(МД - лу2 - Wr2) + G/„-
-7отшР2]Хл — г2тр2п}.
(7,192)
Пользуясь этим уравнением, можно вычислить частоту
собственных колебаний для частных случаев приложения
продольной сжимающей или растягивающей постоянной ста-
тической силы N.
Если продольная сжимающая сила N будет изменяться
со временем: N = N(/), то на основании равенства (7,190)
может быть получена система уравнений, относящихся к тео-
рии динамической устойчивости тонкостенных стержней (10,15).
Тем же уравнением (7,192) можно воспользоваться и при
решении вопросов статической устойчивости тонкостенных
стержней при изгибе и сжатии.
14*
211
Полагая в уравнении (7,192) частоту свободных колеба-
ний равной нулю, при выбранных концевых условиях имеем:
(F//2 — N) At - N (ау — еу) А3 = 0;
— N) А2 + N (ах — ех) А3 = 0;
— N(ay — еу) A. + N (ах- ex)Az+(EI^ + G/a
-	— Ч₽2 — TVr2) Д3 = 0.
> (7,193)
J
Приравнивая нулю определитель уравнений (7,193), по-
лучаем кубическое уравнение для вычисления критических
сил Nk. Если продольная сжимающая сила N приложена
в центре изгиба, то, как это видно из уравнений (7,193),
боковые выпучивания в двух главных плоскостях и кручение
стержня не зависят друг от друга. В этом случае получаем
три критических значения силы N, два из которых опре-
деляются формулами Эйлера, а третье соответствует кру-
тильной форме потери устойчивости.
В заключение заметим, что известная математическая ана-
логия между задачей о кручении тонкостенных стержней
с открытыми и закрытыми профилями позволяет полученные
здесь результаты применить к решению задач об устойчи-
вости и колебаниях стержней с закрытыми профилями.
ГЛАВА VIII
ПРАКТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПРИБЛИЖЕННОГО
ВЫЧИСЛЕНИЯ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ
§ 40. Колебания многопролетных стержней и рам
Применение точных методов для вычисления частот соб-
ственных колебаний сложных сооружений приводит к уто-
мительной, и во многих случаях невыполнимой работе,
состоящей в решении системы большого числа уравнений.
Поэтому для динамических расчетов сложных систем при-
ходится обращаться к таким приближенным методам, кото-
рые по своей точности, наглядности и сравнительно незна-
чительной затрате труда и времени могли бы удовлетворить
запросам практики.
В настоящем разделе рассматривается практический ме-
тод приближенного вычисления частот собственных колеба-
ний многопролетных балок и рам, состоящих из однородных
стержней, предварительно растянутых силами N, приложен-
ными по концамЧ
В основу излагаемого здесь приближенного метода поло-
жен известный в строительной механике метод перемещений,
служащий для раскрытия статической неопределимости.
В канонических уравнениях метода перемещений роль
коэффициентов при углах поворотов будут играть так на-
зываемые динамические реакции [5], значение которых не-
трудно определить из рассмотрения принятой формы коле-
баний однопролетных балок. Задаваясь различными формами
колебаний отдельно взятых однопролетных стержней, мы
будем получать различные по величине динамические реакции.
1 Применительно к рамным системам, без учета влияния нор-
мальных сил N, приближенный метод динамического расчета был
разработан В. В. Болотиным [10].
213
Точность расчета сложных систем на колебания дости-
гается удачным назначением формы колебаний стержней,
составляющих систему.
Динамические реакции
1. Рассмотрим колебания однопролетного стержня с одним
шарнирным и другим защемленным концом. Пусть по концам
стержня будут приложены растягивающие силы N.
При статическом действии на балку равномерно распре-
деленной нагрузки q угол поворота на левом конце бу-
дет равен (фиг. 92):
ср = ^_
VA 12£/
6а —12 th 4
11А
Здесь обозначено:
6u —12th4
2 ф
°	u?	n'
__ н sh и — и'- ch и
2 (ch и — 1) — и sh и ’
a.
ql*
12EI
Для определения линейных смещений у (х) поперечных
сечений балки без учета влияния продольной силы N на их
величину, воспользуемся выражением:
EIy{x) = El^Ax + A^-q-^.	(8,1)
Опорная реакция А имеет значение:
где
£=1—-
214
Подставив значения <рл и А в равенство (8,1), находим:
/ \	/ л3 . 1 л4\
3'(х) = -<РЛ(х--7?+^Тз).
Положив срЛ = 1 и изменив в правой части этого ра-
венства знак на обратный, получим:
h jc3 1
= <8’2)
Воспользуемся формулой (8,2) для определения динами-
ческих реакций при колебаниях балки с двумя защемленными
концами.
Предположим, что при колебаниях левый конец совер-
шил поворот на угол <рл = 1 (фиг. 93).
В качестве формы смещения _у(х), близкой к первой
форме собственных колебаний примем то уравнение для ли-
нии изгиба балки, которое соответствует ее загружению
статической равномерно распределенной нагрузкой, т. е.
уравнение (8,2).
Интенсивность сплошной инерционной нагрузки будет
равна:
qt = тр2у (х),
где р — частота свободных колебаний.
Моменты Мд и Мв, соответствующие единичному пово-
роту <рл = 1 определим на основании принципа сохранения
энергии:
—2----by J wax— £ f [y'(x)Pdx =
О	о
I
= yj[y'(*)l2d*- (8-3)
о
215
Отсюда получаем:
i	i	i
МА =Eff [у" Wl2 dx — тр2 J* (х)]2 dx -|- N [у' (х)]2 dx.
о	оо
(8,4)
При принятой форме колебаний (8,2) интегралы имеют
значения:
Г У2 dx = p(L_	72^-63fr + 14\ _
j у ах - уз 30а	504а’	’
О
/ (У)’ ах = / (^±1 + 6-^ + 20) = с.
о
о
Внося значения этих интегралов в равенство (8,4), по-
лучим:
МА = EIR — mp2D-\- NC.	(8,5)
Момент на правой опоре Мв определим из условия ра-
венства нулю угла поворота на правом конце В (фиг. 93):
MAl MRl	г
—~з^гХ + ^Р21 J ^Wsin^rfx^O, (8,6)
о
где ф и х — функции И. Г. Бубнова1:
_______________________1_\	3 /ch zz	1 \
‘ и\и shu)’	% и \sh и	и)'
Последним слагаемым равенства (8,6) определяется угол
поворота на правой опоре балки, растянутой силами N, от
сплошной инерционной нагрузки интенсивности qL = тр2у (х).
Величина 7 имеет значение:
_	2/2
Т “ Е1ъ (^2 4- w2) •
1 И. Г. Бубнов. Строительная механика корабля, ч. II. 1912.
П. ФЛ П а п к о в и ч. Строительная механика корабля, ч, II. Суд-
промгйз, 1941.
216
Подставив в уравнение (8,6) выражение для прогиба у (х)
и выполнив интегрирование, получим момент Мв на правой
опоре:
Мв = МА 2 -*-+ SEImp^l ® ,	(8,7)
где
Ф = 0,318 — 0,125 — + 0,044 — .
а 1	а
Принимая во внимание равенство (5,8), можем записать
МВ = (EIR + NC)±-^W—ОЕ/^Ф).
Опорные реакции будут иметь значения (фиг. 93):
л = ^±^(1 + й-
-^[О(ф + 2х)-6Е/-Г/Ф+£(10й-36 + 1)],
~ §4° (Ф + 2х) - 6£/-г/ф -	(20а -126 + 5)],
или
А = (EIR 4- 7VC) (и) — mp2V2 (и),
В = (EIR 4- NC)	(и) — тр2 V3 (zz),
здесь для краткости записи введены обозначения:
У1(и) = 4(1+1);
v2 («) = ~1 [о (ф + 2Х) - 6Е/Т/Ф + £7(10а - 36 +1)];
V8 («) =	[Я (Ф + 2х) - 6 W® — £ (20а —126 + 5)].
При и -> 0 будем иметь:
.	,	.	1,3	2/2
т] = 4; Ф=х = 1; а=т; Z> = T; 1=^;
* = & D = ^’ C = l1’ ® = 0.119.
217
Подставляя эти значения в формулы (8,5) и (8,7) и по-
ложив в них N = 0, получим моменты МА и Мв при по-
вороте левого конца балки на угол <р =1:
л. 1,ЧЕ1 VdmpW
МА = ~------------630 ’
Мв =	-I- 0,0079m/)2/3.
При тех же условиях опорные реакции будут:
А =	 0 д055отр2/2(
В =	+ 0,0444тр2/2.
2.	Аналогичным способом определим динамические реак-
ции стержня, изображенного на фиг. 94.
В этом случае в качестве формы смещения у (х), близ-
кой к первой форме собственных колебаний, примем то
уравнение для линии изгиба балки, которое соответствует
Фиг. 94.
ее загружению статической сплошной нагрузкой, изменяю-
щейся по закону треугольника. При повороте левого конца
стержня на угол ср = 1, это уравнение имеет вид:
( .  х3 । х4	х5
у{х) — х	18Л1/2 -f- 24a1Z3	120^/4’
где
2
u2(7c2-|-tt2) »
интенсивность сплошной инерционной нагрузки будет:
qi = mp*y(x).
218
Момент ТИл, соответствующий единичному повороту, опре-
делим из уравнения (8,4), в котором при принятой форме
колебаний интегралы имеют значения:
г	/13	9486 \ Л
/	=	28б^г+ 108а* ) =£>1’
О
/ [-у/ dx = 1 (1 ~ 45af 2835а* ) = С''
о
о	1
Внося значения этих интегралов в равенство (8,4), по-
лучим:
МА = EIR, — mp2Dl-\-NCl.	(8,8)
Опорные реакции будут иметь значения:
а = с//?! + нс, _	(Di _j_ /Зф1)1
В=.^+^.^(Д1_/Зфг))	(8’9)
где
При и —> 0 находим:
д1==5Л>2; D1 0.0366Z3; С1 = 0,5085/,
ф1= 1,3745; Ф2 = 0,072.
Внося эти значения в формулы (8,8) и (8,9) и положив
₽ них N — 0, получим следующие динамические реакции:
МА = 5,0^£/ — О.ОЗббягр2/3,
.	5,02£/	i А 11	9 72
A=—Lp--------1,41 Imp2/2,
.6 =	-|- 0,035^тр2Р,
219
3.	Поступая таким же образом, нетрудно получить дина-
мические реакции и в том случае, когда конец стержня
будет совершать линейное перемещение на величину f — 1
без поворота поперечного сечения того же конца.
Фиг. 95.
Так, например, для стержня с двумя защемленными кон-
цами при сдвиге левого конца на величину f= 1 (фиг. 95),
находим:
.У (х)	1	2/Г +	’
где
__ 2 (ch и — 1) — и sh и
и* — и ch и ’
и
lth^'
На основании принципа сохранения энергии находим ди-
намические реакции:
А = EIQ — mp2F 4- W,
В = EIQ — тр2 (F — FJ -|~ Л/Г.
В этих равенствах обозначено:
й = ^_[3 — d (3 —с/)];
F _ 1 Г, i - 4) ,	(63 - 35cZ + 5^/2) 1.
L “Г"	12	”1“	1260 J’
Л = *(1 — i+^r); Г=-^-[Зс/(с/—5) + 20].
22Q
Момент на левой опоре определяется из условия равен-
ства нулю угла поворота на этой опоре:
i
Ma~N A— fe2£/ch„ J [chfe(Z х) l]_y(x)<Zx = 0.
О
Выполняя интегрирование, находим:
^=^V+^G[(S3-0—^-(3S1-Z3)+
+ ^(4S2-Z4)].	(8,10)
Здесь обозначено:
fcshw	ch к—1
ai — —й ; а2 =-----й—;
1 chn ’	45 ch и ’
q __ 2/з (sh и — и) Q _ 3Z4 (2 ch и — и3 — 2)
01 — ;
q  I sh и
3 и
Вводя обозначение:
Фз(“)=^Ы(5з“ Z)~ 6^3S*~ /3) + ^<4S2-Z4
равенство (8,10) можем записать в таком виде:
Мл=Л-^-+тр2ф3(в).
Момент на правой опоре будет иметь значение:
МВ = A +	[Ф4 («) — Ф3 («)],
где
При и -> 0 находим:
lim — — 4j lim с = lim v = 6,
и -> о ai	и+ o z и -> о
lim Ф3 (и) =	Z2; lim Ф4 (и) =	/2.
«->0	10 u->Q
221
При этом формулы для динамических реакций принимают
вид:
.  12Е/ 13mp"l . R  V2EI ЪтрЧ
я, 6Е/ limp2/2 лл 6£/ , 13ттгр2/2
мл=-р---------2го~; ^в=-р-ч—
4.	Рассмотрим еще один случай стержня, изображенного
на фиг. 96.
Пусть левый конец стержня относительно правого шар-
нирного конца совершает линейное смещение на величину
f= I без поворота поперечного сечения.
Для формы смещения у(х), близкой к форме собствен-
ных колебаний, примем уравнение:
-У (х) — 1	+ б/3 >
где
ТО2   U2 3	е	19
х = ------— = —;	£ —х-1-zz2;
1	X
и2 — и sh и .	и sh и — и2 ch и
2	(ch и — 1) — и sh и ’	2 (ch и — 1) — и sh и
На основании принципа сохранения энергии находим ди-
намические реакции:
А = E/Ql — mp2F2 + М\,
В = EIS^ — тр~ (F 2 — F3) + MY
МА = W {и) — щрЧФь (W).
(8.И)
222
Здесь обозначёно:
2i= з7гР—3*(ii — х)],
F2 =	[180 + 5^(3 —« + ?)Н-Эх(Зх — 2°)],
г1=ж(3^—5‘<’+20у-21-
3	\	6 1 24 / ’	47 и ch и
ф6(а)=[(Z sh “—s«) —</3 sh “—3S<)+
+ ^(Z4sh/z-456)].
Функции S4, S5 и 56 имеют значения:
i
с Г 9 ил//	/3(2сЬи — и*— 2)
S4 = J х2 sh k (I — x) dx = —,
о
S6 = / x’ sh k (I - X) dx =	t
0
s6 = J sh й (Z — x)dx = /(ch“ —o .
0
Если продольная сила N не действует на стержень, то,
положив в равенствах (8,11) аргумент и—>0, получим:
о ___ 3 л р ____ 17 , р ____ 6 а р _____ 5 р
Ь121—7з->	г2— 35*. А1 — ЗГ’ Гз~^ 8^’
ИтФ(«)=1; Пт ФБ(и)=-^-Z.
и -> 0	и -> 0	™
Таким образом, для стержня, свободного от продольной
растягивающей силы N, динамические реакции будут:
.___ 2>EI	Y7mp2l
А “ “73	35	’
~___ 3EI . 39,прЧ
13 ~ “7з '	28б~ ’
,д	ЗЕ/	ЪтрЧ*
А1д=-р----------
223
Полученные динамические реакции Сведены в табл. 9 й
10. Применение их к вычислению частот колебаний проил-
люстрируем на следующих примерах.
Пример 1. Определить наименьшую частоту свободных
колебаний трехпролетной балки с равномерным распределе-
нием масс:
Размеры пролетов указаны на фиг. 97.
Фиг. 97.
Предположим, что жесткость EI постоянна и нормальные
силы N равны нулю.
Пользуясь известным методом перемещений, составляем
частотное уравнение:
Л111<Р14-Л112<р2 = 0.	(а)
так как <рх = — <р2, то уравнение (а) принимает вид:
Л4П— М12 = 0,	(б)
где
..	5.02Е/-3	,72, \з 7,2£/	19тр2/2 .
Ми—	0,0366/гар2^3 12) +	630 ,
Л412 = ^L_|_ 0,0079mp2z|.
Внося эти динамические реакции в равенство (б), получим:
П,7- Z- — 0,04893mp2Z2 = 0.
Из этого находим частоту свободных колебаний основ-
ного тона
_ 15,07 Г EI
Р ~ ' т
224
15 Н. И. Карякин
Таблица 9
№№ п/п	Схемы нагружения стерж			ней	Изгибающие моменты при Л7^ 0	Опорные реакции при N =£ о 1 1
1	/7		—	— ,г*	г	-		Ifl	Л42з = EIR — mp^D -|- NC, Мр = М,2 Д- + SEImpt — 2х	r х	А = (EIR + NC) Vi — mp^Va, В = (£//? + NC) Vi — тр" Уъ
2		/		22>^'7 ^т7 *	1	 1		7 >^2 “ —4»/v в	Л422 — EIRr — mp,iD1 + NCj, •Mj2 = 0	Л= EIR'-+NC^	/8ф2), I*	L В = ^L±_^ _	(D) + Z3$1)
3	Л	1	2			М2, = В	тр-Ф% , m12 = b(z-J) + + mp^‘ (Ф4 — Ф3)	A = EIQ — mp* (E—Ei) + NT,
		~	-г			Il ’* 7 1. -1 Ы		
				^zz в		В = EIQ — mp^F + NT
4	л/ —	’	г			M92 = А/Ч!' — /пр?1Ф5, Л412 = 0	A = EIQi - mp^ (F2 - B3) + AZIi, В = EIQi — тр^Р^ + JVIi
	Я		г			Ъ I / Ц-* Mu в		

Таблица 10
Изгибающие моменты при У = 0	Опорные реакции при N = 0 1
л. 7,2Е/	19^р?/з 1	630 ’ М12 =	+ 0,0079тр?/з	А = 1О'г^ + 0,0444тр^-, В =	— 0,1055/прЗ/з
Ж3 = -,02г£/ — 0,0366тпр2/з, М12 = 0	А = 5,02£/ + 0,0354тр’/з В =5’02g/ — 1,411тр2/2
.. 6EI \\mpW р 210 , 6£/ . 13тпЧЗ /2 + 420	_ 12Е/ ^nip^l А~ П "Г- 70 ’ D 12^/ 13трЧ В~~1*	 35
.. ЗЕ/ ЗтрТ- 2 35 . Л113 = 0	__ 3£/ , 39/ир2/ А “ 73 + 280 _ ЗЕ/ 17тр2/ b V	35
Полученное значение частоты р на 7,6% отличается от
точного решения1):
Пример 2. Рассматриваемый здесь приближенный метод
дает также хорошие результаты и в случае колебаний слож-
ных рамных систем. В качестве примера рассмотрим колеба-
ния рамы, изображенной на фиг. 98. Вычислим частоту соб-
ственных колебаний, соответствующую симметричной форме
колебаний. Предполагая, что нормальные силы W не дей-
ствуют на стержни рамы, частотное уравнение запишется
так же, как и в первом примере:
Л4И —Л412=0,	(а)
0,03015/пр2А3 +
0,03015 -3^8ft3 ;
3/72р28Л3
здесь и ТИ12 имеют значения:
м -7’2Е/
Л|ч - h
! 7,2£/3
“Г 2Л
^i2 = ^ff^ + °'0079^7
частотное уравне-
Вводя эти динамические реакции в
ние (а), получим:
14,05 Г EI
№ V т *
Найденное для разобранного примера приближенное зна-
чение частоты отличается от точного, равного2):
_ 14,29 Г EI
~ № V т '
всего лишь на 1,7%.
i) См. К. Гогенемзер и В. Прагер. Динамика сооруже-
ний, стр. 167, ОНТИ. 1936.
2) См. К. Гогенемзер и В. Прагер. Динамика сооруже-
ний, стр. 176, ОНТИ, 1936.
15*
227
Пример 3. Для рамы, рассмотренной в предыдущем
примере, вычислим низшую частоту антисимметричных коле-
баний (фиг. 99).
Так как при таких колебаниях углы поворотов узлов
рамы равны, т. е. cp1 = <p2=cp, то уравнения метода пере-
мещений, составленные для узлов рамы, будут иметь вид:
(Mu + M12) ? +	= О,
2Qn<p -|-	-|- Ътр2 у о = О,
где, согласно табл. 2, динамические реакции имеют значения:
“Г ^12 —	---------630 Ь
, 7.2Е/3	19/72//W (
2/г	630-27
+ ^ + 0,0079	=
= 23,*£/ — 0,04995тр2/г3;
Qu = 10f£/ — 0,1055mp2h2;
Л ____	( V2EI 13mp2h \
"~35 Г
\\mp2h2 \
h2 210 /’
буквой 6 обозначено горизонтальное
Лз
6Е/
м'п =
В уравнениях (а)
перемещение узлов рамы.
Подставляя динамические реакции в равенство (а), по-
лучим:
( 23’/^/ — 0,04995/иргдз )?тр2^ 8 = 0>
/ 10.8Е/	_	„,2\ Л2Е/ 48mP’'-h\.	„
(^2-----0>1055тр2А2)?-(-^------------зГ~)й = °-
Приравнивая определитель системы уравнений (б) нулю,
получим следующее частотное ^уравнение:
0.06294Р2 + 31,4907₽ — 216 = 0,	(в)
где
□___ тр2№
Р “ EI '
Наименьший корень уравнения (в) имеет значение:
Р = 6,7604.
228
Следовательно, низшая частота собственных колебаний
рамы будет:
2,60
Р ~ № V т '
Найденное значение частоты отличается от точного, рав-
ного [14]
2,637 , Г~ЁГ
всего лишь на 1,4%.
Разобранные примеры показывают, что полученные дина-
мические реакции позволяют выполнить решение сложных
задач с достаточной для практики точностью.
Изложенный здесь приближенный метод расчета применим
также и к задачам о крутильных колебаниях сложных систем,
состоящих из тонкостенных стержней открытого и закрытого
профиля.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Дополнительные геометрические
характеристики для сортамента
швеллеров по ОСТ/НКТП 2452
про- фи- лей	Коорди- ната центра изгиба ха в см	вектори- альный момент инерции в см*	векториаль- ные площади		векториальные моменты сопротивления		Момент инерции при чис- того кру- чении / в см*	Упругая изгибно-кру- тильная ха- рактеристика . /~ёГ ъ=\/ 	- V EI в см~1
			О>1		W			
			в	СМ2	в с			
5	1,081	24,907	2,7018	4,2602	9,2187	5,8464	1,350	0,14370
6,5	1,146	64,879	3,8628	6,3557	16,796	10,208	1,497	0,09375
8	1,218	14i;83	5Д453	8,7526	27,565	16,204	1,940	0,07219
10	1,344	354,78	7,1894	12,709	49,348	27,916	2,727	0,05411
12	1,482	768,26	9,5427	17,308	80.508	44,388	3,634	0,04215
14а	1,581	1512,5	12,029	22,626	125,74	66,748	4,815	0,03483
b	1,392	1711,2	11,460	23,850	149,32	71,748	6,248	0,03730
16а	1,678	2759,8	14,740	28,630	187,23	96,395	6,306	0,02950
b	1,482	3099,4	14,033	30,092	220,87	103,00	8,227	0,03180
18а	1,834	4744,7	17,677	35,318	268,41	134,34	8,128	0,02555
b	1,572	5292,4	16,828	37,022	314,50	142,95	10,50	0,02749
20а	1,868	7773,0	20,829	42,702	373,18	182,03	10,33	0,02250
b	1,662	8616,3	19,845	44,640	434,18	193,02	13,30	0,02425
22а	1,926	11819	23,846	50,148	495,64	235,68	12,83	0,02034
b	1,717	13038	22,730	52,318	573,60	249,21	16,46	0,02193
24 а	2,127	15183	27,515	55,448	551,81	273,82	12,69	0,01784
b	1,948	16873	26,629	57,473	633,63	293,58	15,59	0.01876
с	1,737	18541	25,383	59,872	730,45	309,68	20,00	0,02027
27а	2,213	24075	32,518	66,073	740,36	364,37	15.56	0,01569
b	1,980	26676	30,831	69,069	865,23	386,22	19,23	0,01657
с	1,765	29195	29,372	71,830	993,97	406,45	24,72	0,01796
30 а	2,258	36645	37,208	76,538	984,87	478,78	20,39	0,01456
b	2,028	40436	35,229	70,975	1147,8	505,61	25,01	0,01535
с	1,802	44104	33,590	83,063	1313,0	530,97	31,75	0,01656
33 а	2,253	52630	41,387	88,539	1271,7	594,43	24,29	0,01326
b	2,017	57844	39,265	92,265	1473,2	626,93	29,92	0,01404
с	1,800	62890	37,439	95,689	1679,6	657,23	38,04	0,01518
36а	2,465	92189	49,504	104,55	1862,2	881,77	38,91	0,01268
b	2,235	100430	49,296	108.51	2123,4	925,54	46,56	0,01329
с	2,021	108420	45,360	112.18	2390,2	966,48	57,18	0,01417
40а	2,430	148100	55,779	121,67	2655,1	1217,2	59,74	0,01240
b	2,210	160100	53,514	125,86	2991,7	1272,1	70,78	0,01298
с	2,004	171870	51,513	129,80	3336,4	1324,4	85,72	0,01378
1	Приме 3*	ч а н и я. 1.	При вь	1числени1	и k приня	ты: О = 8(	)Э ООО /сг/сл	К3, Е= 2100 000
кг/см								
2. Координата центра изгиба ха отсчитывается от наружного края стенки.								
231
Дополнительные геометрические характеристики
для сортамента двутавров по ост/НКТП 2451
ПЙ:й^^И1Ш'ЦпОх
№6 профи- лей	векториальный момент инер- ЦИИ/Ш в см3	векториальная площадь для крайней точки профиля со max в см2	векториальный момент сопро- тивления W СО в см*	Момент инерции при чистом кручении /в в см2	Упругая изгиб- но-крутильная характеристика ъ-Д/  Ъ R V EI r	СО В CM~l
10	644,28	15,246	42,295	2,873	0,04122
12	1353,2	20,098	67,330	4,243	0,03457
14	2560,0	25,540	100,23	5,911	0,02966
10	4879,0	32,248	151,30	8,406	0,02562
18	8219,3	38,902	211,28	11,37	0,02295
20а	13121	46,150	284,31	14,81	0,02074
b	13857	47,053	294,50	17,85	0,02215
22а	22773	55,908	407,33	20,32	0,01844
b	23930	56,902	420,55	24,08	0,01958
24а	33799	' 64,484	524,15	25,57	0,01698
b	35426	65,573	540,25	30,12	0,01800
27а	52987	76,683	690,99	31,93	0,01515
b	55414	77,915	711,21	37,60	0,01608
30а	76704	88,376	867,93	38,83	0,01389
b	80114	89,754	892,60	45,78	0,01475
с	83612	91,130	917,50	55,23	0,01587
33а	107160	100,69	1064,3	46,19	0,01281
b	111780	102,21	1093,6	54,49	0,01363
с	116520	103,73	1123,3	65,74	0,01466
36а	154820	115,19	1344,0	56,85	0,01183
b	161210	116,85	1379,6	66,72	0,01256
с	167760	118,51	1415,6	79,99	0,01348
40а	228900	134,13	1706,6	68,75	0,01070
b	237950	136,00	1749,6	80,68	0,01137
с	247210	137,85	1793,3	96,55	0,01220
45а	376030	159,75	2327,6	95,31	0,009813
b	390770	161,86	2414,4	111,3	0,01041
с	405220	163,96	2471,5	131,8	Q,01113
50а	611990	187,10	3270,9	131,2	0,009038
b	633900	189,44	3346,2	150,3	0,009504
с	656270	191,79	3421,8	174,9	0,010079
55а	906350	216,79	4180,8	159,9	0,008198
b	937220	219,36	4272,5	182,7	0,008617
с	968720	221,94	4364,8	211,5	0,009119
60а	1349900	251,22	5373,4	195,5	0,007427
Ъ	1393200	254,04	5484,2	221,9	0,007790
с	1437300	256,86	5595,7	255,3	0,008226
Примечание. При вычислении fe приняты: G = 80000 кг/см2, £=2100000 kzJcmz					
232
ЛИТЕРАТУРА
1.	Ададуров Р. А. Определение касательных напряжений
в тонкостенных конструкциях вблизи заделки. Труды ЦАГИ,
№ 614. 1947.
2.	Ададуров Р. А. Напряжения и деформации в цилиндри-
ческой оболочке с жесткими поперечными сечениями. ДАН,
62, № 2. 1948.
3.	Афанасьев А. М. О расчете крыла моноблок на стеснен-
ное кручение. Труды научно-технической конференции ВВИА
имени Жуковского, т. 2, вып. 2. 1944.
4.	Безухов Н. И. Теория упругости и пластичности. Гостех-
издат. 1953.
5.	Безухов Н. И. Динамика сооружений. Стройиздат. 1947.
6.	Безухов- Н. И. Некоторые обобщения методов строительной
механики в динамике сооружений, „Исследования по теории соору-
жений", вып. III, Госстройиздат, М.Д939 г.
7.	Беляев Н. М. Сопротивление материалов. Гостехиздат. 1953.
8.	Беляев В. М. Расчет свободно несущих крыльев. Труды
ЦАГИ, № 165. 1935.
9.	Бернштейн С. А. Основы динамики сооружений. Госстрой-
издат. 1938.
10.	Болотин В. В. Динамическая устойчивость упругих систем.
Стройиздат. 1956.
И.	Бубнов И. Г. Строительная механика корабля, ч. II. 1912.
12.	Власов В. 3. Тонкостенные упругие стержни. Стройиздат.
1940.
13.	Власов В. 3. Новый метод расчета призматических балок из
тонкостенных профилей на совместное действие осевой силы,
изгиба и кручения. Сборник ВИА, № 20. 1936.
14.	Гогенемзер К. и Прагер В. Динамика сооружений.
ОНТИ. 1936.
15.	Г о л ь д е н б л а т И. И. Современные проблемы колебаний и
устойчивости инженерных сооружений. М. Стройиздат. 1947.
233-
16.	Горбунов Б. И. Расчет пространственных рам из тонкостен-
ных стержней. Прикладная математика и механика, вып. 1. 1943.
17.	Горбунов Б. Н. и Стрельбицкая А. И. Приближен-
ные методы расчета вагонных рам. Машгиз. 1946.
18.	Джанелидзе. Г. К). Вариационная формулировка теории
тонкостенных упругих стержней В. 3. Власова. Прикладная
математика и механика, т. VII, вып. 6. 1943.
19.	Джанелидзе Г. Ю. и ПановкоЯ. Г. Статика упругих
тонкостенных стержней. Гостехиздат. 1948.
20.	Д о б у д о г л о Н. Г. Опытное исследование устойчивости
металлических строительных профилей. Труды лаборатории
строительной механики ЦНИИПС. 1941.
21.	Еленевский Г. С. О напряжениях и деформациях тра-
пецевидного крыла при скручивании. Труды ЦАГИ, № 578.
1946.
22.	Знаменский П. М. Устойчивость открытых профилей. Тех-
ника воздушного флота, № 12. 1934.
23.	Ильюшин А. А. К вопросу о поперечных колебаниях и про-
дольной устойчивости стержней переменного сечения. Ученые
записи МГУ, вып. 7. 1937.
24.	Карякин Н. И. Метод узловых депланаций для расчета
тонкостенных стержней на кручение. Вестник инженеров и
техников, № 3. 1948.
25.	Карякин Н. И. Кручение тонкостенных стержней и рам.
Изд. МЭМИИТ. Москва. 1950.
26.	К а р я к и н Н. И. Основы расчета тонкостенных конструкций.
Изд. Белорусского института инженеров железнодорожного
транспорта. 1955.
27.	Карякин Н. И. Изгибно-крутильные колебания тонкостен-
ных стержней. Сборник статей, вып. 1. Белорусского института
инженеров железнодорожного транспорта. Трансжелдориздат.
1957.
28.	Карякин Н. И. Уравнение трех бимоментов в задачах при-
кладной динамики. Изв. Артиллерийской инженерной академии,
т. 107. М. 1958.
29.	Корноухов Н. В. Прочность и устойчивость стержневых
систем. Стройиздат. 1949.
30.	Киселев В. Ф. Расчет на прочность многопоясной цилиндри-
ческой оболочки с жесткими диафрагмами. Труды ЦАГИ,
№ 619. 1947.
31.	Китаев К. Е. Изгибно-крутильные колебания пролетных
строений железнодорожных мостов. Труды МИИТ, вып. 76-
Трансжелдориздат. 1952.
234
32.	Марьин В. А. К расчету фюзеляжа в области выреза при
кручении. Труды научно-технической конференции ВВИА
им. Жуковского, т. 2. 1944.
33.	М и к е л а д з е Ш. Е. Новые методы интегрирования диф-
ференциальных уравнений. Гостехиздат. М — Л. 1951.
34.	Образцов И. Ф. К расчету тонкостенных стержней на
устойчивость при изгибе. Труды МАИ, вып. 26. Оборонгиз.
1953.
35.	Па нов к о Я. Г. Развитие прикладной теории тонкостенных
стержней за последние годы. Труды ЛКВВИА, вып. 2. 1947.
36.	П а п к о в и ч П. Ф. Строительная механика корабля, ч. II.
Судпромгиз. 1941.
37.	Петропавловский А. А. Расчет тонкостенных стержней.
Изд. МИИТ, 1951.
38.	Попов А. А. Курс сопротивления материалов. Машгиз.
1956.
39.	Попов А. А. Изгиб и кручение тонкостенных стержней рам
вагонных тележек. Труды Всесоюзного научно-исследователь-
ского института железнодорожного транспорта, вып. 139.
1957.
40.	П р о с к у р н е в П. Г. Основные положения теории кручения
и изгиба тонкостенных стержней с незамкнутым контуром по-
перечного сечения. Вагоны, под редакцией проф. М. В. Вино-
курова. Трансжелдориздат. 1949.
41.	Рабинович И. М. Строительная механика стержневых си-
стем. Стройиздат. 1946.
42.	Р а б о т н о в Ю. Н. Сопротивление материалов. Изд. Москов-
ского университета. 1950.
43.	Р а з м а д з е А. Н. Некоторые вопросы динамической и аэро-
динамической устойчивости висячих мостов. Труды Грузполит.
ин-та им. С. М. Кирова, № 9, 1957.
44.	Р ж а н и ц ы н А. Р. Сложное сопротивление тонкостенных
профилей в пределах и за пределами упругости. Труды лабо-
ратории строительной механики ЦНИИПС. 1941.
45.	С и м в у л и д и И. А. Расчет балок на сплошном упругом
основании. Советская наука. М. 1955.
46.	Смирнов А. Ф. Статическая и динамическая устойчивость
сооружений. Трансжелдориздат. 1947.
47.	Снитко Н. К. Методы расчета сооружений на вибрацию и
удар. Стройиздат, 1953.
48.	С о р о к и н Е. С. Метод учета неупругого сопротивления мате-
риала при расчете конструкций на колебания. «Исследования
по динамике сооружений >. Стройиздат. 1951.
235
49.	Тимошенко С. П. Об устойчивости плоской формы изгиба
двутавровых балок. Изв. Политехи, института, СПб, т. IV—V.
1905—1906.
50.	Тимошенко С. П. Теория колебаний в инженерном деле.
Гостехиздат. 1932.
51.	Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. Гостех-
издат. 1955.
52.	Уманский А. А. Кручение и изгиб тонкостенных авиакон-
струкций. Оборонгиз. 1939.
53.	У м а н с к и й А. А. Расчет тонкостенных криволинейных балок..
Труды научно-технической конференции ВВИА им. Жуковского,
т. 2, вып. 2. 1944.
54.	Уманский А. А. О расчете плоских кривых тонкостенных
стержней с конечной жесткостью свободного кручения. Труды,
научно-технической конференции ВВИА им. Жуковского, т. 2,
вып. 2. 1947.
55.	Урбан И. В. Теория расчета тонкостенных конструкций..
Трансжелдориздат. 1955.
56.	Феофанов А. Ф. Расчеты тонкостенных конструкций..
Оборонгиз. 1953.
57.	Филиппов А. П. Методы расчета сооружений на колебания.
Стройиздат. 1941.
58.	Филоненко-Бородич М. М. Теория упругости. Гостех-
издат. 1947.
59.	Филоненк о-Б о р о д и ч М. М. Курс сопротивления мате-
риалов. Гостехиздат. 1949.
60.	Я г н Ю. И. Изгибно-крутильные деформации тонкостенных
стержней открытого профиля. Гостехиздат. 1952.
61	Wagner Н. Fiinfundzwanzig Jahre Technische Hochschuhle,
Danzig. 1929.
62.	Weber C. ZAMM, t. 6, стр. 85. 1926.