ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ МГ и ОН СССР
ТРУДЫ
ЦЕНТРАЛЬНОГО НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОГО
ИНСТИТУТА ГЕОДЕЗИИ, АЭРОСЪЕМКИ
И КАРТОГРАФИИ
Вып. 131
М.	С. Молоденский, В. Ф. Еремеев, М. И. Юркина
МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ВНЕШНЕГО ГРАВИТАЦИОННОГО
ПОЛЯ И ФИГУРЫ ЗЕМЛИ
Издательство геодезической литературы
МОСКВА 1960

ВВЕДЕНИЕ
В монографии рассмотрены методы изучения внешнего гравитацион¬
ного поля в системе координат, общей для всей Земли. Задача изучения
фигуры Земли с этой точки зрения сводится к определению истинных
координат точек, связанных с Землей. С «фигурой Земли» часто отожде¬
ствляют нормальный сфероид, отсчетный эллипсоид, геоид, физическую
поверхность Земли. Бесполезно обсуждать, должна ли одна из этих по¬
верхностей, какая именно и в каком приближении, приниматься за «фи-
гуру Земли». Авторы использовали этот термин из-за его общности,
характеризуя им первый, наиболее трудный этап исследования, заклю¬
чающийся в определении истинной фигуры той поверхности, на которой
заданы граничные условия — значения силы тяжести и ее потенциала,
иногда уклонения отвесной линии. Учитывая быстрый прогресс измери¬
тельной техники, авторы стремились к построению теории, которая имеет
большие потенциальные возможности для повышения ее точности. Осно¬
вой такой теории могут быть только точные51 физические законы (как за¬
кон всемирного тяготения), а любые гипотезы, как бы ни скромна была
их роль, в ней не терпимы. В монографии сравниваются пути построения
теории как при помощи геоида, так и непосредственным решением толь¬
ко краевой задачи теории потенциала, т. е. при помощи квазигеоида.
Читатель убедится, что только второй путь, связанный с использованием
квазигеоида, открывает ясные возможности для неограниченного повы¬
шения точности изучения внешнего гравитационного поля Земли. Полу¬
ченные этим путем данные являются наиболее надежной основой для
использования во всех областях науки и техники, в частности для изу¬
чения гравитационного поля внутри Земли (геоида и более глубоких
уровенных поверхностей), строения Земли и ее коры, для проверки
гипотез о закономерностях развития Земли.
Авторы стремились дать последовательное, строгое и по возможно¬
сти законченное изложение разработанных ими методов.
В первой главе исследуются возможности геометрического метода,
т. е. совокупности точных линейных и угловых измерений (триангуляция,
астрономические определения широт, долгот и азимутов, геометрическое
и тригонометрическое нивелирование). Вполне строгий подход к общей
обработке этих видов геодезических работ построен на элементарной
идее преобразования координат. Показано, что таким образом можно
строго получить в общей системе координаты точек, связанных с Землей.
Астрономические определения широт и долгот заменяют точное опреде¬
ление вертикальных углов в триангуляции (невозможное из-за вертикаль¬
ной рефракции), а астрономические азимуты, конечно, компенсируют
погрешности боковой рефракции. В силу этих обстоятельств три геоде¬
зические координаты (широта, долгота и высота над отсчетным эллип¬
соидом) связаны интегральными формулами, которые должны прини¬
маться во внимание при уравнивании большой триангуляции. Попутно
3

даны точные формулы для решения главных геодезических задач и соот¬
ветствующие им дифференциальные формулы, полученные путем соеди¬
нения определяемых пунктов прямыми линиями. Эти формулы могут
иметь преимущество по сравнению с обычными при использовании элек¬
тронных счетных машин. Редукционные формулы получены путем пре¬
образования координат и выделения из точных формул члена, завися¬
щего от высоты. Та же идея преобразования координат положена в ос¬
нову вывода уравнений градусных измерений.
Результаты измерений силы тяжести в первой главе не используют¬
ся совершенно, поэтому точно определенными считаются только высоты
над отсчетным эллипсоидом. Присоединение геопотенциальных высот
позволило бы поставить вопрос об определении гравитационного поля
Земли путем решения задачи Дирихле, однако такое искусственно узкое
использование гравиметрических материалов вряд ли заслуживает от¬
дельного рассмотрения.
Во второй главе кратко изложена теория определения внешнего гра¬
витационного поля, когда одна из внешних уровенных поверхностей
имеет форму эллипсоида вращения. Это поле использовано в качестве
нормального, т. е. для выделения из гравитационного поля Земли той
основной части, которая может быть представлена простыми и точными
аналитическими выражениями. Такой прием совсем не обязателен.
Н. К. Мигаль (1949) показал, что без потери в точности можно иссле¬
довать полное поле Земли, не разбивая его на сумму двух слагаемых;
можно использовать любую отсчетную поверхность, не обязательно уро-
венную. Однако авторы считают, что выделение малой аномальной части
поля удобно по практическим соображениям и поэтому неизбежно на
той или иной стадии исследования. Обобщение Мигал я не может при¬
вести к новым результатам по сравнению с теми, которые можно полу¬
чить более привычным способом. Оно и не упрощает теории.
В следующих трех главах исследуются методы определения ано¬
мальной части гравитационного поля. В главе III рассмотрен классиче¬
ский случай регуляризированной Земли, когда массы, находившиеся вне
геоида, любым способом убраны. Исследуется геоид и гравитационное
поле, деформированные в результате регуляризации. В сферическом слу¬
чае очень простым методом без разложения в бесконечные ряды полу¬
чены формулы, связывающие между собой аномалии силы тяжести, вы¬
соты геоида, уклонения отвесной линии, вторую радиальную производ¬
ную от потенциала (формулы выражают одну из этих функций через
другую). Как показал еще Пицетти, подобные выводы можно распро¬
странить на случай эллипсоидальной уровенной отсчетной поверхности,
мирясь при этом с относительной погрешностью порядка сжатия Земли.
Глава заканчивается решением задачи Стокса с относительной погреш¬
ностью порядка квадрата сжатия, при этом используется метод разло¬
жения решения по степеням малого параметра (сжатия).
В главе IV рассмотрены методы определения фигуры геоида, не
искаженного предварительной регуляризацией. В этом случае изучается
уровенная поверхность, находящаяся внутри притягивающих масс, по¬
этому для решения краевой задачи на поверхности геоида должны быть
заданы две функции. В обсуждаемых далее формулах использованы:
1) аномалии Прея, 2) радиальные градиенты притяжения внешних масс,
3) потенциал притяжения внешних масс, 4) аномалии, близкие к ано¬
малиям в свободном воздухе. В формуле Моисеева использованы первая
и вторая функции, Малкина — первая и третья, Молоденского — третья
и четвертая. Все три решения строго приводятся к общему виду и могут
быть интерпретированы при помощи любого метода регуляризации. Од¬
4

нако ни одно из решений нельзя достаточно строго реализовать практи¬
чески, так как потенциал притяжения одних внешних масс можно полу¬
чить только из вычислений и для этого нужно знать распределение этих
масс и их плотность. Кроме того, точное редуцирование аномалий силы
тяжести со сложной по форме поверхности Земли, где они измерены, на
геоид, форма которого ищется, является задачей большой трудности.
Таким образом, в действительных условиях задачу определения фигуры
геоида можно считать краевой задачей только в первом приближении.
В следующем приближении она является обратной задачей теории по¬
тенциала, усложненной тем, что интерпретируемое поле задано на неиз¬
вестной поверхности.
В главе V развита теория определения внешнего гравитационного
поля, основанная на непосредственном решении только краевой задачи
теории потенциала. Две функции — ускорение силы тяжести и геопотен¬
циал — считаются заданными на поверхности Земли, на которой они
фактически определены наблюдениями. Вопрос о поле внутри поверхно¬
сти Земли не ставится и не возникает, поэтому все элементы неопреде¬
ленности обратной задачи потенциала никакой роли теперь не играют.
Значение возмущающего потенциала на поверхности Земли определяет
высоту квазигеоида, значение геопотенциала — нормальную высоту. Сум¬
ма этих высот определяет высоту в исследуемой точке относительно от-
счетного эллипсоида. Высота квазигеоида (возмущающий потенциал)
определяется из решения третьей краевой (смешанной) задачи теории
потенциала при граничных значениях, заданных на поверхности Земли.
Решение этой задачи приводится к интегро-дифференциальному уравне¬
нию, или линейному сингулярному уравнению относительно возмущаю¬
щего потенциала, или к более простому уравнению, в котором неизве¬
стной является плотность того простого слоя на поверхности Земли, ко¬
торый заменяет притяжение всех аномальных Масс.
Рассмотрены условия существования • и единственности решения.
Условия существования должны выполняться, если граничные условия
точны и соответствуют их физическому смыслу. Единственность решения
не может быть обеспечена одними гравиметрическими данными. Четыре
параметра — три координаты центра инерции Земли в геодезической си¬
стеме координат и значение потенциала Земли на уровне моря — должны
определяться при помощи астрономических и геодезических измерений.
Задача градусных измерений заключается в определении этих четырех
параметров, входящих в общее решение основного интегрального урав¬
нения геодезии, являющееся вместе с тем и уравнением градусных изме¬
рений. Исследования главы I показывают возможность и способ строгого
совместного использования геометрических и гравиметрических мате¬
риалов. В конце пятой главы дается решение основного интегрального
уравнения методом разложения по степеням малого параметра. Полу¬
чается бесконечная система интегральных уравнений, разрешаемая по¬
следовательно при помощи функции Стокса; процесс можно прервать на
желаемом приближении. Первое приближение приводит к результату,
совпадающему по форме с формулой Стокса, но возмущающий потен¬
циал определяется на поверхности Земли, а не на отсчетной поверхности.
В следующих приближениях учитывается рельеф. Решение для возму¬
щающего потенциала продифференцировано по направлениям касатель¬
ных к поверхности Земли, принято во внимание исходное граничное
условие и получены формулы, определяющие уклонение отвесной линии
на поверхности Земли. Таким образом, определяется фигура физической
поверхности Земли. Гравитационное поле в любой внешней точке равно
сумме нормального поля, создаваемого уровенным эллипсоидом, поло¬

жение которого в теле Земли теперь известно, и аномального поля, опре¬
деляемого потенциалом простого слоя с известной теперь плотностью.
Конечно, как в теории Стокса, так и здесь предполагается, что аномалии
силы тяжести известны на всей поверхности Земли.
Поэтому в главе VI исследуются задачи, которые можно достаточно
точно разрешить при наличии только местной съемки. Речь идет об ин¬
терполировании астрономо-геодезических уклонений отвеса при помощи
локальной гравиметрической карты и основанном на том же принципе
астрономо-гравиметрическом нивелировании. При астрономо-гравиметри¬
ческом нивелировании по гравиметрической карте непосредственно вы¬
числяется та поправка, которую нужно добавить к полусумме уклонений
отвеса на двух соседних пунктах, чтобы получить истинный средний на¬
клон квазигеоида между этими пунктами (конечно, имеются в виду ком¬
поненты уклонений отвеса в азимуте отрезка, соединяющего пункты).
Оценены предельные случайные ошибки интерполирования уклонения
отвеса и астрономо-гравиметрического нивелирования в зависимости от
расстояния между астрономическими пунктами и от размера той обла¬
сти, где аномалии учтены.
Далее получен верхний предел накопления систематических ошибок
в результате суммирования гравиметрических поправок по звеньям ли¬
нии нивелирования. В последнем параграфе этой главы рассматриваются
некоторые практические вопросы, относящиеся к постановке подобных
работ.
В главе VII изложены методы численного интегрирования и оценки
точности для главного члена в уклонении отвеса и высоте квазигеоида,
соответствующего первому приближению главы V, определяемому фор¬
мулами Венинг-Мейнеса и Стокса. Влияние поля аномалий за пределами
сферического расстояния ф0 от исследуемого пункта раскладывается в
ряд по сферическим функциям и учитывается при помощи разложения
аномалий по тем же функциям. Коэффициенты этого ряда убывают зна¬
чительно быстрее, чем ряда Стокса. Далее поставлена и решена задача
получения ряда, который при заданном числе членов определяет влияние
дальних зон с наименьшей средней квадратической ошибкой. Дано соот¬
ветствующее этому методу преобразование функций Стокса и Венинг-
Мейнеса и оценена предельная ошибка от замены функции Стокса в
дальних зонах ее приближенным значением. На основе разложения ано¬
малий по сферическим функциям И. Д. Жонголовича оценено среднее
квадратическое и предельное влияние дальних зон на высоту квази¬
геоида и уклонение отвеса. Коротко рассмотрен более простой вопрос
об учете аномалий в ближних зонах.
Затем исследуются случайные ошибки гравиметрических выводов.
Приведены результаты изучения ошибок представительства и интерпо¬
ляции по материалам гравиметрических съемок СССР различной деталь¬
ности. Получена простая зависимость, связывающая точность гравимет¬
рической карты с точностью определения по ней уклонений отвеса. Глава
заканчивается рассмотрением простейших способов интерполяции силы
тяжести, в частности, основанных на предположении о линейной зави¬
симости между аномалией силы тяжести и высотой. Описывается способ
использования карт в изоаномалах Буге для вывода уклонений отвеса.
В восьмой главе собраны примеры вычислений. Включение их в ос¬
новной текст авторы считали нецелесообразным, так как они нарушили
бы логический ход изложения. Основная часть примеров представляет
собой расчеты, выполненные на моделях, в которых точно задано рас¬
пределение притягивающих масс, поэтому можно также точно вычислить
поле аномалий, возмущающего потенциала, нормальных высот и т. д.
6

Используя как бы измеренные аномалии и нормальные высоты, ранее
известным или новым способом можно вычислить высоты геоида, квази¬
геоида и уклонения отвеса и сравнить результаты с известными точными
значениями. Преимущество метода моделей по сравнению с примером,
основанном на действительных измерениях, заключается в том, что здесь
не играют роли ошибки наблюдения и незавершенность мировой грави¬
метрической съемки. «Эксперимент» ставится в чистом виде и базируется
только на законе всемирного тяготения.
К главе I в приложении даны упрощенные формулы решения глав¬
ных геодезических задач при расстоянии между пунктами порядка
8000 км. Рассмотрено решение треугольника со сторонами до 1000 км,
Далее рассмотрена модель базиса и делается вывод, что иногда при вы¬
числении длины базиса нужно считаться с нелинейностью изменения
уклонения отвеса по длине базиса.
К главе III рассчитано несколько моделей (шар, наполовину погру¬
женный под отсчетную плоскость; тор, опоясывающий отсчетную сферу
по экватору и наполовину погруженный в сферу; призма на плоской
отсчетной поверхности, угол грани призмы с плоскостью меняется). Об¬
щий вывод из этих моделей сводится к тому, что формулы Стокса и
Венинг-Мейнеса могут давать недопустимые ошибки. В § 4 изложена
работа Б. П. Перцева, проверившего изложенное в главе III решение
задачи Стокса с погрешностью порядка квадрата сжатия. Проверка вы¬
полнена для общего члена разложения аномалий по сферическим функ¬
циям (следовательно, для произвольного конечного ряда).
К главе V дан пример решения основного интегрального уравнения
на модели конической формы. Второе приближение уже дало хороший
результат. В § 6 на ряде моделей продемонстрирована невозможность
точного вычисления ортометрических высот. Нормальные высоты, конеч¬
но, получаются точно.
К главе VI дан пример вычисления поправок в астрономо-гравимет¬
рическое нивелирование, когда геодезические координаты вычислены ме¬
тодом развертывания. В приложении к главе VII дан способ контроля
палеток при помощи точечной массы и общего члена разложения ано¬
малий по сферическим функциям.
Первый вариант всей рукописи этой монографии составлен
М. И. Юркиной по ранее опубликованным работам. Она же проверила
все формулы, подготовила таблицы и устранила ошибки и большое ко¬
личество опечаток.
Главы с I по VII составлены главным образом по работам М. С. Мо-
лоденского, глава VIII — по работам В. Ф. Еремеева. Первоначальный
текст рукописи отредактирован и дополнен М. С. Молоденским. Многие
из этих дополнений публикуются здесь впервые.
В конце каждого параграфа указаны те опубликованные статьи, ко¬
торые положены в основу его изложения; там же отмечены результаты,
которые публикуются впервые.
Авторы выражают благодарность И. Д. Жонголовичу и Л. П. Пел-
линену за замечания, многие из которых учтены. Особую признатель¬
ность авторы выражают ответственному редактору Н. П. Макарову, вы¬
полнившему окончательное редактирование рукописи.

VORWORT
In der Monographie werden die Methoden der Untersuchung des
äußeren Gravitationsfeldes in einem für die ganze Erde gültigen Koordi¬
natensystem behandelt. Die Aufgabe der Untersuchung der Gestalt der
Erde besteht von diesem Gesichtspunkt aus in der Ermittlung der wahren
Koordinaten der Punkte, die mit der Erde verbunden sind. Man identifi¬
ziert oft «die Gestalt der Erde» mit dem Normalsphäroid, Bezugsellipsoid,
Geoid oder mit der physischen Oberfläche der Erde. Es ist zwecklos
darüber zu sprechen, ob wir eine von diesen Flächen, welche von ihnen
und in was für einer Näherung als «die Gestalt der Erde» ansehen sollen.
Die Verfasser benutzten diesen Ausdruck wegen seiner Allgemeingültig¬
keit, sie bezeichneten mit ihm die erste und allerschwerste Forschungs¬
etappe, die in der Ermittlung der wahren Gestalt derjenigen Fläche
besteht, auf der die Randwertbedingungen — die Werte der Schwerkraft
und ihres Potentials, manchmal auch die Lotabweichungen — gegeben
sind. In Anbetracht des schnellen Fortschrittes der Meßtechnik strebten
die Verfasser nach dem Aufbau einer Theorie, die möglichst große poten¬
tielle Möglichkeiten für die Erhöhung ihrer Genauigkeit hat. Nur die
exakten physikalischen Gesetze (wie das allgemeine Gravitationsgesetz)
können einer solchen Theorie zugrunde liegen, und jede Hypothese, wie
anspruchslos auch ihre Rolle sei, kann in dieser Theorie nicht geduldet
werden. In der Monographie werden die Methoden des Aufbaus der
Theorie, sowohl mit Hilfe des Geoids als auch mittels der unmittelbaren
Lösung nur der Randwertaufgabe der Potentialtheorie, nämlich mit Hilfe
des Quasigeoids, miteinander verglichen. Der Leser wird sich davon über¬
zeugen, daß nur die zweite, auf der Benutzung des Quasigeoids beruhende
Methode offensichtlich Möglichkeiten für eine unbegrenzte Erhöhung der
Genauigkeit der Untersuchung des äußeren Gravitationsfeldes der Erde
erschließt. Die auf diese Weise erhaltenen Angaben sind die sicherste
Grundlage für die Anwendung in allen Gebieten der Wissenschaft und
Technik, im besonderen für die Untersuchung des Gravitationsfeldes irn
Innern der Erde (des Geoids und der tieferen Niveauflächen), des Aufbaus
der Erde und ihrer Rinde, für die Prüfung der Hypothesen über die Gesetz¬
mäßigkeit der Entwicklung der Erde.
Die Verfasser strebten nach einer folgerichtigen strengen und nach
Möglichkeit vollständigen Darstellung der von ihnen ausgearbeiteten
Methoden.
Im ersten Kapitel werden die Möglichkeiten der geometrischen
Methode, d. h., der Gesamtheit der genauen Längen- und Winkelmessungen
(Triangulation, astronomische Bestimmungen der Breiten, Längen und
Azimute, geometrisches und trigonometrisches Nivellement) untersucht.
Das absolut strenge Verfahren bei der allgemeinen Bearbeitung dieser Art
8

von geodätischen Arbeiten beruht auf der elementaren Idee der Koordi¬
natentransformation. Es wird gezeigt, daß man auf diese Weise die Koordi¬
naten der mit der Erde verbundenen Punkte im allgemeinen System mit
vollkommener Strenge erhalten kann. Die astronomischen Bestimmungen
der Breiten und Längen ersetzen die genaue Ermittlung der Höhenwinkel
bei der Triangulation (die Ermittlung dieser Winkel ist wegen der Höhen¬
refraktion unmöglich) und die astronomischen Azimute kompensieren
selbstverständlich die Fehler der Seitenrefraktion. Die drei geodätischen
Koordinaten (die Breite, Länge und Höhe über dem Bezugsellipsoid) sind
deshalb mit den Integralformeln verbunden, die bei der Ausgleichung der
großen Triangulation berücksichtigt werden müssen. Beiläufig werden
die genauen Formeln für die Lösung der geodätischen Hauptaufgaben und
die ihnen entsprechenden Differentialformeln gegeben. Diese Formeln ent¬
stehen durch geradliniges Verbinden der zu bestimmenden Punkte. Sie
können im Vergleich mit den üblichen Formeln bei Anwendung von
Elektronenrechenmaschinen vorteilhaft sein. Die Reduktionsformeln
erhält man durch Koordinatentransformation und durch Absonderung des
von der Höhe abhängenden Gliedes aus den genauen Formeln. Dieselbe
Idee der Koordinatentransformation liegt der Ableitung der Grad-
messungsgleichungen zugrunde.
Die Ergebnisse der Schweremessungen werden im ersten Kapitel
überhaupt nicht benutzt, darum können nur die Höhen über dem Bezugs¬
ellipsoid als genau bestimmt angesehen werden. Durch Hinzufügung der
Geopotentialwerte könnte das Gravitationsfeld der Erde mit Hilfe der
Lösung des Dirichletschen Problems ermittelt werden. Aber eine solche
künstlich beschränkte Anwendung der gravimetrischen Angaben verdient
wohl kaum eine besondere Untersuchung.
Im zweiten Kapitel wird die Theorie der Bestimmung des äußeren
Gravitationsfeldes kurz dargelegt, wenn eine von äußeren Niveauflächen
die Form des Rotationsellipsoides hat. Dieses Feld wird als ein Normal¬
feld benutzt, d. h. als Feld, das denjenigen Grundteil des Gravitations¬
feldes der Erde darstellt, der mit Hilfe von einfachen und genauen analy¬
tischen Ausdrücken dargestellt werden kann. Aber ein solches Verfahren
ist nicht unbedingt notwendig. N. K. Migal (1949) hat gezeigt, daß man
das vollständige Erdfeld ohne Zerlegung in zwei Summanden und ohne
Verlust der Genauigkeit untersuchen kann. Man kann eine beliebige
Bezugsfläche benutzen, die nicht unbedingt eine Niveaufläche sein muß.
Die Verfasser sind allerdings der Ansicht, daß die Abtrennung des kleinen
anomalen Teiles aus praktischen Gründen zweckmässig und darum auf
dem einen oder anderen Forschungsstadium unvermeidlich ist. Migals
Verallgemeinerung kann im Vergleich mit den Resultaten, die man auf
gewöhnlichere Weise erhält, zu keinen neuen Ergebnissen führen. Sie ver¬
einfacht die Theorie auch nicht.
In den drei folgenden Kapiteln werden die Methoden der Ermittlung
des anomalen Teiles des Gravitationsfeldes untersucht. Im dritten Kapitel
wird der klassische Fall der regularisierten Erde behandelt, wenn die
Massen, die sich außerhalb des Geoids befinden, auf beliebige Weise weg-
geschafit worden sind. In diesem Fall untersuchen wir das Geoid und
das Gravitationsfeld, die infolge der Regularisierung deformiert worden
sind. Mit Hilfe einer sehr einfachen Methode erhält man im sphärischen
Fall ohne Zerlegung in unendliche Reihen Formeln, die die Schwere¬
anomalien, Geoidhöhen, Lotabweichungen und die zweite radiale Ableitung
des Potentials miteinander verbinden (die Formeln drücken eine dieser
Funktionen durch die andere aus). Pizetti hat schon früher gezeigt, daß
9

man mit einer relativen Genauigkeit von der Ordnung der Erdabplattung
solche Ableitungen auf den Fall der eliipsoidalen Niveaubezugsfläche aus¬
dehnen kann. Die Lösung der Stokesschen Aufgabe mit einer relativen
Genauigkeit von der Ordnung des Quadrates der Abplattung beschließt
dieses Kapitel, dabei wird die Methode der Entwicklung der Lösung nach
den Potenzen eines kleinen Parameters (der Abplattung) benutzt.
Im vierten Kapitel werden die Methoden der Bestimmung der Geoid-
figur, die durch vorangehende Regularisierung nicht verzerrt wurde,
behandelt. In diesem Falle untersucht man eine Niveaufläche, die sich im
Innern der Anziehungsmassen befindet. Darum müssen für die Lösung der
Randwertaufgabe auf der Geoidfläche zwei Funktionen gegeben sein. In
den ferner behandelten Formeln werden benutzt: 1) die Preyschen Ano¬
malien, 2) die radialen Gradienten der Anziehung der äußeren Massen,
3) die Anziehungspotentiale der äußeren Massen, 4) die Anomalien, die
den Freiluftanomalien nahe kommen. In der Formel von Moissejew wer¬
den die erste und die zweite Funktion benutzt; Malkin benutzte die erste
und die dritte Funktion, Molodenskij — die dritte und vierte. Alle drei
Lösungen können streng auf dieselbe Form gebracht und mit Hilfe
einer beliebigen Regularisierungsmethode interpretiert werden. Aber keine
Lösung kann man genügend streng praktisch durchführen, weil man das
Potential der Anziehung der äußeren Massen nur durch Rechnung erhalten
kann, wofür die Verteilung dieser Massen und ihre Dichte bekannt sein
müssen. Außerdem stellt die strenge Reduktion der Schwereanomalien von
der ihrer Form nach komplizierten Erdoberfläche, auf der sie gemessen
werden, auf das Geoid, dessen Form bestimmt werden soll, eine Aufgabe
dar, die viele Schwierigkeiten bereitet. Auf diese Weise kann man unter
realen Bedingungen die Bestimmung der Geoidfigur als Randwertaufgabe
nur in erster Annäherung ansehen. In der folgenden Annäherung stellt
sie das Umkehrproblem der Potentialtheorie dar, das darum so kompliziert
ist, weil das zu interpretierende Feld auf einer unbekannten Oberfläche
gegeben ist.
Im fünften Kapitel wird die Theorie der Bestimmung des äußeren
Gravitationsfeldes entwickelt. Diese Theorie beruht auf der unmittelbaren
Lösung nur der Randwertaufgabe -der Potentialtheorie. Zwei Funktionen,
die Schwerkraftbeschleunigung und das Geopotential, werden auf der Erd¬
oberfläche, auf der sie tatsächlich durch Beobachtungen bestimmt sind, als
gegeben angenommen. Wir stellen nicht die Frage nach dem Feld im
Innern der Erdoberfläche — diese Frage taucht nicht auf. Darum spielen
jetzt die Elemente der Unbestimmtheit des Umkehrproblems des Potentials
gar keine Rolle. Der Wert des Störungspotentials auf der Erdoberfläche
bestimmt die Höhe des Quasigeoides, der Wert des Geopotentials — die
Normalhöhe, die Summe dieser Höhen — die Höhe in dem zu untersuchen¬
den Punkt mit Hinsicht auf das Bezugsellipsoid. Die Höhe des Quasi¬
geoides (das Störungspotential) wird als die Lösung der dritten (gemisch¬
ten) Randwertaufgabe der Potentialtheorie bei auf der Erdoberfläche
gegebenen Randwerten ermittelt. Die Lösung dieser Aufgabe führt ent¬
weder zu einer integro-differentialen Gleichung oder zu einer linearen
singulären Gleichung bezüglich des Störungspotentials, oder zu einer ein¬
facheren Gleichung, in der die Dichte der die Anziehung sämtlicher ano¬
maler Massen ersetzenden einfachen Schicht auf der Erdoberfläche un¬
bekannt ist.
Die Existenzbedingungen und die Bedingungen für die Eindeutigkeit
der Lösung werden behandelt. Die Existenzbedingungen müssen erfüllt
werden, wenn die Randwerte nicht willkürlich gegeben sind, sondern ihrer
io

physikalischer Bedeutung entsprechen. Die Eindeutigkeit der Lösung kann
nicht nur durch gravimetrische Angaben gesichert werden. Vier Para¬
meter — drei Koordinaten des Trägheitszentrums der Erde im geodäti¬
schen Koordinatensystem und der Wert des Erdpotentials im Meeresniveau
müssen mit Hilfe der astronomischen und geodätischen Messungen
ermittelt werden. Die Aufgabe der Gradmessungen besteht in der Ermitt¬
lung dieser vier Parameter, die in die allgemeine Lösung der fundamen¬
talen Integralgleichung der Geodäsie eingehen. Diese Gleichung ist gleich¬
zeitig die Gradmessungsgleichung. Die Untersuchungen des ersten Kapi¬
tels weisen auf die Möglichkeit und die Methode einer Anwendung hin, die
die geometrischen und gravimetrischen Angaben streng vereinigt. Im
letzten Paragraphen des fünften Kapitels wird die Lösung der fundamen¬
talen Integralgleichung mit Hilfe der Methode der Entwicklung nach den
Potenzen eines kleinen Parameters gegeben. Man erhält ein unendliches
System von Integralgleichungen, das schrittweise mit Hilfe der Stokes-
schen Funktion gelöst wird; den Prozeß kann man bei der gewünschten
Annäherung abbrechen. Die erste Annäherung führt zu einem Resultat, das
der Form nach mit der Stockesschen Formel übereinstimmt, aber das
Störungspotential wird nicht auf der Bezugsfläche, sondern auf der Erd¬
oberfläche ermittelt. In den folgenden Annäherungen wird das Relief in
Betracht gezogen. Die Lösung für das Störungspotential wird nach den
Richtungen der Tangenten an die Erdoberfläche differenziert, die Aus¬
gangsrandwertbedingung wird berücksichtigt und man erhält die die Lot¬
abweichung auf der Erdoberfläche bestimmenden Formeln. Auf diese
Weise wird die Gestalt der physischen Erdoberfläche ermittelt. Das Gra¬
vitationsfeld hat in jedem äußeren Punkt den Wert der Summe des Nor¬
malfeldes, das vom Niveauellipsoid gebildet wird, dessen Lage im Erd¬
körper jetzt bekannt ist, und des Anomalfeldes, das durch das Potential
der einfachen Schicht mit jetzt bekannter Dichte ermittelt wird. Sowohl in
der Theorie von Stokes als auch in der Theorie der physischen Erdober¬
fläche wird es selbstverständlich vorausgesetzt, daß die Schwereanomalien
auf der gesamten Erdoberfläche bekannt sind.
Im sechsten Kapitel werden darum die Aufgaben untersucht, die man
mit ausreichender Genauigkeit bei Vorhandensein von nur örtlicher Auf¬
nahme lösen kann. Es handelt sich um die Interpolation der astronomisch¬
geodätischen Lotabweichungen mittels der lokalen gravimetrischen Karte
und um das auf demselben Prinzip begründete astronomisch-gravimetri-
sche Nivellement. Bei dem astronomisch-gravimetrischen Nivellement wird
mittels der gravimetrischen Karte die Verbesserung direkt berechnet, die
man zur Halbsumme der Lotabweichungen in zwei Nachbarpunkten hinzu¬
fügen muß, um die wahre mittlere Neigung des Quasigeoides zwischen
diesen Punkten zu erhalten (es handelt sich selbstverständlich um die
Komponenten der Lotabweichungen im Azimut des die Punkte verbinden¬
den Abschnittes). Die zufälligen Grenzfehler der Interpolation der Lot¬
abweichung und des astronomisch-gravimetrischen Nivellements werden
je nach dem Abstand zwischen den astronomischen Punkten und nach
dem Ausmaß des Gebietes, dessen Schwereanomalien berücksichtigt wur¬
den, bewertet. Dann wird die obere Grenze für die Anhäufung aller syste¬
matischen Fehler als Ergebnis der Addition der gravimetrischen Ver¬
besserungen längs der Kettenglieder der Nivellierungslinie erhalten. Im
letzten Paragraphen dieses Kapitels werden einige praktische Fragen
behandelt, die sich auf die Ausführung solcher Arbeiten beziehen.
Im siebenten Kapitel werden die Methoden der numerischen Integra¬
tion und der Bewertung der Genauigkeit für das mit der ersten Näherung
11

des fünften Kapitels übereinstimmende und mit den Formeln von Vening-
Meinesz und Stokes ermittelte Hauptglied in der Lotabweichung und
Quasigeoidhöhe behandelt. Der Einfluß des Feldes der Anomalien jenseits
der sphärischen Entfernung 'i'o vom zu untersuchenden Punkt wird in
eine Reihe nach sphärischen Funktionen entwickelt und mit Hilfe der Ent¬
wicklung der Anomalien in eine Reihe nach denselben Funktionen ermit¬
telt. Die Koeffizienten dieser Reihe nehmen viel schneller ab als die der
Stokesschen Reihe. Weiterhin wird die Aufgabe der Bestimmung der
Reihe, die bei vorgegebener Gliederzahl den Einfluß der entfernten Zonen
mit dem allerkleinsten mittleren Fehler angibt, gestellt und gelöst. Es wird
die dieser Methode entsprechende Umwandlung der Funktionen von Stokes
und Vening-Meinesz angegeben, und der beim Ersetzen der Stokesschen
Funktion in den entfernten Zonen durch ihren Näherungswert entstandene
Grenzfehler wird abgeschätzt. Auf Grund der Reihenentwicklung der Ano¬
malien nach sphärischen Funktionen von I. D. Zongolowitsch werden der
mittlere Einfluß und der Grenzeinfluß entfernter Zonen auf die Quasi¬
geoidhöhe und die Lotabweichung abgeschätzt. Die einfachere Frage nacii
der Ermittlung des Einflußes der Anomalien in den nahgelegenen Zonen
wird kurz behandelt.
Ferner werden die zufälligen Fehler der gravimetrischen Ableitungen
untersucht. Es werden die Ergebnisse der Untersuchung der Repräsenta-
tions- und Interpolationsfehler nach den Angaben der gravimetrischen
Aufnahmen der UdSSR mit verschiedener Aufnahmedichte angeführt. Man
erhält eine einfache Abhängigkeit, die die Genauigkeit der gravimetrischen
Karte mit der Genauigkeit der mit Hilfe dieser Karte bestimmten Lot¬
abweichung verbindet. Die Betrachtung der einfachsten Methoden der
Interpolation der Schwerkraft, im besonderen der auf der Voraussetzung
von der linearen Abhängigkeit zwischen der Schwereanomalie und der
Höhe begründeten Methoden, beschließt das Kapitel. Das Verfahren der
Ausnutzung der Karten der Bouguerschen Isoanomalien für die Ableitung
der Lotabweichungen wird beschrieben.
Im achten Kapitel sind die Rechenbeispiele zusammengestellt. Die Ver¬
fasser hielten die Einschaltung dieser Beispiele in den Grundtext für un¬
zweckmäßig, weil sie den logischen Gang der Darstellung stören würden.
Die meisten Beispiele stellen Berechnungen dar, die auf den Modellen aus¬
geführt sind, in denen die Verteilung der anziehenden Massen genau an¬
gegeben ist. Darum kann man auch das Feld der Anomalien, des Störungs¬
potentials, der Normalhöhen usw. genau berechnen. Wenn diese Anomalien
und Normalhöhen so benutzt werden, als wären sie «gemessene» Werte,
kann man mit Hilfe der vorher bekannten oder neuen Methode die Geoid-
und Quasigeoidhöhen und Lotabweichungen berechnen und die Ergebnisse
mit den bekannten genauen Werten vergleichen. Der Vorzug der Modelien¬
methode im Vergleich zum Beispiel, das auf tatsächlichen Messungen
beruht, besteht darin, daß hier die Beobachtungsfehler und die Unvollstän¬
digkeit der gravimetrischen Aufnahme der gesamten Erdoberfläche gar
keine Rolle spielen. Das «Experiment» wird auf reine Weise gestellt, und
es stützt sich nur auf das allgemeine Schweregesetz.
Im Anhang zum ersten Kapitel werden die vereinfachten Formeln der
Lösung der geodätischen Hauptaufgaben bei einer Entfernung zwischen
den Punkten von der Größenordnung 8000 km gegeben. Die Lösung des
Dreieckes mit den Seiten bis zu 1000 km wird behandelt. Dann wird das
Modell der Basis behandelt und es wird der Schluß gezogen, daß man
manchmal bei der Berechnung der Basislänge die Nichtlinearität der
Änderung der Lotabweichung mit der Basislänge in Betracht ziehen muss.
12

Im Anhang zum dritten Kapitel werden einige Modelle berechnet (die
zur Hälfte unter die Bezugsebene versenkte Kugel; das die öezugssphäre
dem Äquator nach umgürtende und zur Hälfte in die Sphäre versenkte
Tor; das auf der ebenen Bezugsfläche gelegene Prisma, der Winkel zwi¬
schen der Prismaskante und der Ebene ändert sich). Auf Grund dieser
Modelle kann man allgemein schließen, daß die Formeln von Stokes und
Vening-Meinesz unzulässige Fehler aufweisen können. Im vierten Para¬
graphen wird die Arbeit von B. P. Perzew dargelegt, der die im dritten
Kapitel behandelte Lösung der Stokesschen Aufgabe mit einer Genauig¬
keit von der Ordnung des Quadrates der Abplattung nachgeprüft hat. Die
Prüfung wurde für das allgemeine Glied der Reihenentwicklung der Ano¬
malien nach sphärischen Funktionen (also für eine beliebige endliche
Reihe) durchgeführt.
Als Anhang zum fünften Kapitel wird als Beispiel die Lösung der fun¬
damentalen Integralgleichung an einem kegelförmigen Modell gezeigt.
Schon die zweite Annäherung ergab ein gutes Ergebnis. Im sechsten Para¬
graphen wird an einer Reihe von Modellen die Unmöglichkeit der genauen
Berechnung der orthometrischen Höhen gezeigt. Die Normalhöhen werden
selbstverständlich genau erhalten.
Zum sechsten Kapitel wird das Beispiel der Rechnung der Verbesse¬
rungen in das astronomisch-gravimetrische Nivellement hinzugefügt,
wenn die geodätischen Koordinaten mittels der Abwicklungsmethode be¬
rechnet werden. In der Anlage zum siebenten Kapitel wird das Prüfungs¬
verfahren für die Palotte mit Hilfe einer punktförmigen Masse und des
allgemeinen Gliedes der Reihenentwicklung der Anomalien nach sphäri¬
schen Funktionen gegeben.
Die erste Variante des ganzen Manuskripts dieser Monographie hat
M. I. Jurkina nach früher veröffentlichten Arbeiten zusammengestellt. Sie
hat auch alle Formeln kontrolliert, die Tabellen vorbereitet und die Fehler
und die große Menge von Druckfehlern beseitigt. Die Kapitel vom ersten
bis zum siebenten wurden hauptsächlich nach den Arbeiten von M. S. Molo-
denskij, das achte Kapitel — nach den Arbeiten von W. F. Jeremejew
zusammengestellt. Der Anfangstext des Manuskripts wurde von M. S. Mo-
lodenskij redaktiert und ergänzt. Viele von diesen Ergänzungen werden
hier zum erstenmal veröffentlicht. Am Ende jedes Paragraphen werden
diejenigen veröffentlichten Artikel hingewiesen, die seiner Darstellung
zugrunde liegen. Dort werden auch die Ergebnisse, die zum erstenmal
veröffentlicht werden, angegeben.
Die Verfasser drücken ihre Dankbarkeit I. D. Zongolowitsch und
L. P. Pellinen für ihre Bemerkungen, von denen viele berücksichtigt wur¬
den, aus. Besonders erkenntlich sind die Verfasser dem verantwortlichen
Redakteur N. P. Makarow, der die endgültige Redaktion des Manuskripts
durchgeführt hat.

Глава I
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД ИЗУЧЕНИЯ ФИГУРЫ
ФИЗИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
§ 1. Принципиальные основы метода
В понятие «геометрический метод» будем включать совокупность
линейных и угловых измерений (триангуляция, тригонометрическое и
геометрическое нивелирование, астрономические определения координат
и азимутов). При рассмотрении возможностей геометрического метода
можно отвлечься от технических приемов, позволяющих получать ре¬
зультаты наивысшей точности, а также от инструментальных, метеоро¬
логических и иных источников ошибок, так как учет их не может рас¬
ширить возможностей метода и лишь ограничит практическую значи¬
мость некоторых вариантов.
Простыми рассуждениями мы покажем, что с принципиальной точки
зрения имеется возможность построения вполне строгой теории изучения
формы физической поверхности Земли чисто геометрическим методом.
Это очевидно в том случае, когда во всех пунктах наблюдения си¬
стемы прямоугольных координат имеют одинаковое направление всех
координатных осей. Тогда прямоугольные координаты всех точек земной
поверхности можно определить путем последовательных пространствен¬
ных засечек на основе исходного базиса, определяющего линейный мас¬
штаб.
В действительности геодезисты пользуются системой координат,
имеющей в каждой точке наблюдения свою собственную ориентировку,
связанную с направлением силовой линии гравитационного поля в дан¬
ной точке, которым и пользуются при установке геодезических инстру¬
ментов при помощи уровней. Это обстоятельство не меняет принципи¬
альной стороны вопроса, если предположить, что каждое направление,
соединяющее смежные координатные системы, измерено в каждой из
этих систем. В самом деле, ориентировка системы координат в простран¬
стве определяется тремя параметрами; измерение в новой системе коор¬
динат одного направления, уже определенного в старой системе, связы¬
вает эти три параметра двумя условиями; наличие второго подобного
направления позволяет определить третий параметр и тем самым уста¬
новить ориентировку новой системы по отношению к старой (одно усло¬
вие остается избыточным, но при идеально точных измерениях не может
быть противоречивым). Для повторения подобной операции достаточно
иметь в общей системе координаты двух точек. Следовательно, все
местные координатные системы могут быть связаны между собой, и
после поворота на известные углы мы возвращаемся к простейшему
случаю.
14

Действительная обстановка по сравнению с только что рассмотрен¬
ной может отличаться из-за определения астрономических координат
некоторых или всех пунктов. В этом случае положение координатной
оси, совпадающей с направлением силовой линии в данной точке, опре¬
делено относительно общей для всех пунктов системы координат, а
именно относительно оси вращения Земли и плоскости начального ме¬
ридиана. Если, кроме широт и долгот, определить также астрономиче¬
ский азимут направления, положение которого определено в местной
координатной системе, то направления всех трех координатных осей
местной системы будут связаны с указанной общей системой координат.
Поворотом координатных осей всем местным системам можно придать
общую ориентировку, в результате чего снова возвращаемся к простей¬
шему случаю, с которого начали1.
Не может внести принципиальных изменений присоединение к рас¬
смотренным видам геодезических работ геометрического нивелирования,
поскольку оно является частным, упрощенным видом тригонометриче¬
ского нивелирования. Астрономические определения и геометрическое
нивелирование освобождают от необходимости выполнять двусторонние
измерения направлений или дают избыточные данные. На практике, как
известно, они заменяют точное измерение вертикальных углов в триан¬
гуляции.
Изложенные общие соображения, основанные на элементарной идее
преобразования координат, в последующих параграфах этой главы ис¬
пользованы для построения простейшей, но вместе с тем вполне строгой
теории изучения фигуры физической поверхности Земли геометрическим
методом. Начав с формул преобразования координат, мы переходим
далее к задачам градусных измерений и вычисления триангуляции. Ре¬
дуцирование измеренных величин на эллипсоид является только спосо¬
бом упрощения вычислений, позволяющим уменьшить число независи¬
мых аргументов с трех до двух.
М. С. Молоденский. Изучение фигуры Земли геометрическим (астрономо¬
геодезическим) методом. Сборник ГУГК. Вып. XXVII, 1949; Труды ЦНИИГАиК.
Вып. 75, 1950.
§ 2. Геодезическая система координат
Положение в пространстве точки А (х, у, г) определим при помощи
ее криволинейных координат Я, В и Ь. За координату Я примем рас¬
стояние до точки А от эллипсоида вращения («отсчетного эллипсоида»),
определяемого уравнением
X 2 -\-у2
(1.2.1)
где а и Ь — полуоси эллипсоида.
Направление нормали к эллипсоиду (1.2.1), проходящей через точ¬
ку А, определим углом с плоскостью г = 0 (геодезической широтой В)
и углом меридианной плоскости точки А с плоскостью у = 0 (геодези¬
ческой долготой Ь).
1 Отсюда следует довольно очевидное заключение: если пункты А и В соеди¬
нены триангуляцией с двусторонним измерением горизонтальных и вертикальных
углов для всех направлений и в пункте А измерены астрономические координаты
и азимут на один из триангуляционных пунктов, то можно вычислить астрономи¬
ческие координаты пункта В. Осуществить это достаточно точно нельзя из-за ре¬
фракции.
15

Прямоугольные координаты Хо, у о, го основания отрезка Я, лежа¬
щего на эллипсоиде (1.2.1), можно выразить через В и Ь известными
формулами
Х0 = МС05ВС051
З'о = N сое £ эт I
где
z0 = ^-¡rNsinB
0 а2
(1-2.2)
р2 = а2 сое2 В + 62зш2 в .	(1.2.3)
Из уравнения прямой, проходящей через точку (х0, уо, г0) и нор¬
мальной к эллипсоиду (1.2.1)
■X х0 	 у Уо 	г г0
Н,
(1.2.4)
cos В cos L cos В sin L sin В
непосредственно можно получить формулы перехода от криволинейных
координат к прямоугольным
x = (N-\- Н) cos В cos L
y = (N-\- Н) cos В sin L
Ib2
z= -„ЛГ + H sinfi
(1.2.5)
Покажем, что система координат (1.2.5) является ортогональной.
При помощи (1.2.3) получаем две вспомогательные формулы
2g()VcosB) =
Ж sin В
¿(>Sms) = Mcosfi
^	а2Ь2	М>2
~ Ps ~ Р*
(1.2.6)
Эти формулы позволяют легко определить производные от х, у, г
по В, 1. и Я:
дх
= — (М + Н) sin В cos L,
= — (М + 77) sin В sin L,
дВ
dy
дВ
i£L = (M+H)cosB,
^ = — (TV + /7) cos В sin L,
=(N -f 77) cos В cos L,
d-L = 0
d¿ ‘
dx	d i
зт, = cos В cos L
on
ду	D • J
3= cos В sin L
dH
dz
dH
= sin В
(1.2.7)
16

Из (1.2.7) получаем
дх дх ду ду dz dz
дВ ' д! + WB ‘ dl + dB ’ dL~
дх дх ду ду dz dz
dl'Wl + di дН + дГ ' дН~[U>
дх дх ду ду dz dz
Ш'дВ + Ш"дВ + Ш"дВ~°'
' "'2'8)
{Щ+(Щ+(Щ-^+н^с^в
Из первой группы формул следует, что система координат Ву L, И
является ортогональной. Тогда из второй группы формул получаем вы¬
ражение для дифференциала длины ds любой пространственной кривой
(<is)2 = (АГ + И)2 (dB)2 + (ЛЛ+ Я)2 cos2 Я (¿¿)2 + (¿Я)2.	(1.2.9)
Направление элемента длины ds можно определить также зенитным
расстоянием г и азимутом А этого направления, отсчитываемыми от
геодезических зенита и меридиана. Проектируя отрезок ds на коорди¬
натные линии и принимая во внимание (1.2.9), получаем
cos zds = dH
sin г cos A ds = (M + H) dB
sin г sin A ds=(A/-j-H) cos В dL
(1.2.10)
Следовательно,
sin zds = (M + H) cos A d В + (N + H) sin A cos BdL .	(1.2.11)
Радиусы кривизны поверхности Н = Н (Ву Ь) можно выразить че
рез коэффициенты второй квадратичной формы
(ds)2
^4-— ?!b\idm*A-
\дВ дВ ' дВ дВ~^ дВ дВ\ ^аа ^
Е
I’d« дд ду дп dz дпЛ 2
1	| л/ • Л! > АГ • Л/ т АГ ■ л/ I \UL'f
dL dL dL dL ' dL dL
dL dB 1 dL дВ+Ж дВ\
,9{дх дп*,ду dh dz дпД
У ^ \ AT ‘ AD l AT AD~ 1 AT A Tj \aL
(1.2.12)
где пХУ nyy nz— направляющие косинусы нормали к этой поверхности.
Рассмотрим только тот случай, когда исследуемая поверхность близ
ка к поверхности Н = const и именно так близка, что разности направ
2 труды ЦНИИГАиК, вып: 131
17

ляющих косинусов нормалей пх —пХ9 пу — пу>п2—nz к обеим поверхно¬
стям, а также их~ производные являются малыми величинами, квадра¬
тами и произведениями которых можно пренебречь.
В таком случае
I дпх А D . дпх А .
"- = ''- + 5ßiS+df4i-
дх	дх дН
дВ~дВ + ПхдВ'
дх	дх , дН
Ж~Ж+Пхд1 ■
АВ=В-В
AL—1-L
(1.2.13)-
Подобные выражения имеют место и для координат у и z. Из фор¬
мулы (1.2.4) имеем:
nx = cos В cos L,
tty = cos В sin L,
n, = sin В.
Из (1.2.13) получаем:
дпх дпх дпх дAB
»	Л D Г 3d '
дВ~дВ 1 dB дВ
■ пх А В +
дАВ'
д2п.
dLdB
дпг дН
AL +
дпх д A L
Ж'~дВ~
дх
дх дпх дх dnxL . дАВ\ . дпг дН дх . п .
твдй=жш\'+^)+п’двт-п'дв‘‘в+
. д*пх дх . . . дх дпх дА L
+ dLdB "дВ ^ дВ'Ж ~Ш
и аналогичные выражения с заменой х на у и г, В на L. Очевидно, что
дпх дпу дпг 1 д . „ о .	п
Ш + n’ 1в + *• дБ= 2 551<л«+ п> + “• >=°-
При помощи формул (1.2.7) получаем:
дх , dy .dz .
ля п* + 2в Пу ~1' дВПг~°’
дВ
дх
dl
■ ду .dz .
nx+-£ns+ÄTn: = °>
dL
дх дп^ ду_ dny dz_ dj^_
dB dB ' dB dB ' dB " dB	^ ’
дх дпх , ду дПу dz_ дп^ _ -
dl '~дВ+ dL"dB+dL "dB ~U’
дх , д2пу ду
dLdB dB^ dUB дВ^ dLdB dB
д*пг_ öz_0
ft Л D
18

д2пх дх
~дСдВ~ ' di+ dLdB
д2пу ду ■ д2пг
~ ' dí+ ~дТдВ
^ = — (Л/ -f- Я) sin 5 cos В,
дх дп
дВ ‘ дТ
'-_х i ду_ ^ д_^дпх_
дВ dL
д-?+пдУ
dL
Теперь из (1.2.12) получаем
"■- + n>ú=0-
1 -(*+«,(,+“»)(«)•+
+ (АН- Н) cos2 В (l +	- 4 В. tg в)	+
+ 2[(W+/í)co.»e(-tgBA¿+4?/)]g.g.
В формулах (1.2.10) при Н = const sin 2=1. В наших условиях
отличие sin 2 от 1 — величина порядка квадрата ДВ и ДL. Поэтому с
принятой точностью
1   cos2 Л
R~ М +7/
О
<?Д В\ sin2 Л
дВ )+ N +
к
14
дМ
dL
. sin2Л д , ОА/ч
+ jr+H3g<cosB4i)'
-tgB-4s) +
(1.2.14)
Для поверхности Н — const, очевидно, Д5 = Д£ = 0. Поэтому ра¬
диусы кривизны этой поверхности равны М + Я и N -\- Н. Этот резуль¬
тат точен при любом Я.
Остается Д В и Д L выразить через Я. При перемещении по иссле¬
дуемой поверхности
дН
дВ‘
dH=44ydB+^,dL,
дН
Ж
то есть
лн- (.м + % ов <**+н'>лв~{ы+ т”о,ваВы+н>стВЛ1=0-
Мы получили уравнение касательной плоскости к исследуемой по¬
верхности. Направляющие косинусы нормали к поверхности, образуемые
с координатными линиями Я, В и £, пропорциональны коэффициентам
этого уравнения. Ограничиваясь, как и ранее, первыми степенями произ¬
водных, получаем:
Д 5=
1 дН
М + Н дВ'
САГ	1	вдн
cos 5Д£ = —-¿у г г> sec Яд,- .
/V + Н ÓL
2*
19

Таким образом, радиусы кривизны меридионального сечения М и
сечения плоскостью первого вертикала N получаются следующими:
'¥=(ж + Ч1+^(лПГ77ж))»л1 + "+	<т5>
N
., , „ , о вд2Н , идН
ы+н + ^в-^-^в-^.
(1.2.16)
Выражения для М а N точны до величин порядка
или
• На Н никаких ограничений не наложено. С этой же точностью
аномалия суммы радиусов кривизны (или приблизительно пропорцио¬
нальная ей аномалия суммы кривизн) определяется выражением
М-\- N — М — N — 2 Н -\-
1 д
д2Н
,д*Н
	+ 8ес2Я — -\&В— =
дВ2^ д!2 ё дВ
= ‘2Н +
О*
5|п»Ш)
1
	 (PH
вт2 & д!?
(1.2.17)
гдей = ^- —В. Если высота Н разложена по сферическим функциям, то
эта сумма выражается очень просто через Нп.
Рассмотрим гармоническую функцию 2 (г, -Э-, В), на сфере радиуса /?
совпадающую с функцией Н($, В),
00 Оп+1
Ъ(г,Ъ,Ц = £^1На.
Из выражения для оператора Лапласа в сферических координатах
для точек сферы радиуса Я получаем
_1	д_
эт д &
(
8Ш * и) 4
1 д2Н
вш2 312
]• (1-2.18)
Правая часть этого равенства входит в формулу (1.2.17) и может
быть заменена левой частью.
Следовательно,
{М - М) + (Л!-Ы)=-^{п- 1) (п + 2 )Нп.	(1.2.19)
о
М. С. Молоденский. Метод совместной обработки гравиметрических и гео¬
дезических материалов для изучения гравитационного поля Земли и ее фигуры. Сбор¬
ник ГУГК. Вып. XXX, 1950; Труды ЦНИИГАиК- Вып. 86, 1951.
М. С. Молоденский, 1954.
Выражение (1.2.14) получено впервые.
§ 3. Дифференциальные формулы для перехода к новой
координатной системе
Связь Земли с геодезической координатной системой можно осуще¬
ствить путем следующих построений. Прежде всего задаем полуоси а и Ь
отсчетного эллипсоида. На этом эллипсоиде отмечаем положение началь¬
ного меридиана. Некоторой фиксированной точке земной поверхности
(«исходному пункту» триангуляции) назначаем по своему усмотрению
координаты В0, В0, #0. Совмещаем точку (В0, Во, Н0) координатной си¬
20

стемы с исходным пунктом. Теперь в положении координатной системы
остаются три степени свободы, соответствующие трем компонентам вра¬
щения ее как твердого тела вокруг неподвижной точки. Направляем
ось Ь параллельно полярной оси инерции Земли. Остается еще одна сте¬
пень свободы — вращение вокруг оси, проходящей через исходный пункт
и параллельной оси Ь. Используя это вращение, можем одному из на¬
правлений, жестко связанному с Землей, придать по своему усмотрению
некоторое значение геодезического азимута А0 («исходный азимут»).
Теперь положение координатной системы относительно Земли опреде¬
лено вполне, если не считаться с фактом движения полюсов. Однако
параметры, характеризующие координатную систему (всего их восемь —
а, Ь, В0, Ь0, Но, А0, и параллельность оси Ь полярной оси инерции Зем¬
ли), не обеспечивают параллельность осей вращения эллипсоида и Зем¬
ли (из-за движения полюсов) и параллельность начальных геодезиче¬
ского и астрономического меридианов.
Установим зависимость между изменением прямоугольных коорди¬
нат точки (х, у, г) и изменением как ее криволинейных координат В, £,
Н, так и параметров, характеризующих размеры и положение в про¬
странстве координатной системы. С этой целью продифференцируем фор¬
мулы (1.2.5), считая переменными все входящие в них величины. Кроме
того, учтем поступательное перемещение эллипсоида на (1х0 по оси X, ёуо
по оси У, ёг0 по оси X и поворот эллипсоида вокруг некоторой фиксиро¬
ванной точки Хо, уо, 2о (вокруг «исходного пункта») на малые углы
ех, гу и е7 относительно осей X, У и 2.
Принимая во внимание (1.2.6) и следующие легко проверяемые фор¬
мулы
= N А- М вш2 В
да
Ь
Ь
д_1
дЬ р
алг
Ь1
р
=	1- М сое2 В
дЬ
= -Мът2В
(1.3.1)
д Ь2 .. о п
а -к	= — Мсо&2В
да р
получаем
ёх = ёх0 -\-{у — Уо) ег — (г — г0) гу — (М-\-Н) вт В сое ЬёВ—
— уёВ + соэ В сое ¿¿/У + N сое В сое В^-\-
+ М зт2 В сое В соэ В
/ёа
ёЬ\
ь)
ёу = ёу04- (г — г0)ех — (х— х0)ег — (М + Н)Ввш ЬёВ +
-}- х<И + соз В эт ¿¿/У 4- ЛАсов В зт Ь ^ -)-
-)- М з1п2 В соэ В вШ £
ёЬ\
~ъ)
(1.3.2)
ёг = ёго + (* — л;0) еу — (у —у0) ех + (М + Н) сое ВёВ +
+ эт ВёН -\- — ъ\пВ<^ — Мсоъ2 В з\п В (— —
р Ь	\а Ь/
21

Эти формулы равносильны следующим:
cos В cos Ldx -(- cos В sin Ldy + sin Bdz = dH +
+ cos В eos Ldx + eos Ssin Ldy -j- sin Bd -{-^da-\-
. 62	. t,Dldb da\ , a2-62 . _
+ ^2 Nsm2/?!-^— — I H		— smficosfiíe^cos L—zxsmL),
—	sin Ldx -f eos Ldy = {N H) eos В (dL — ez) + eos Ldy —
— sin Ldx + z{tx eos L + ay sin L),
—	sin В eos Ldx — sin В sin Ldy eos Bdz = (M + H)dB —
— sin В eos Ldx — sin В sin Ldy + eos Bdz —
— (M + N) sinocos
/т2 	 A2	/VA
- N д2 -sin В eos В + (P 4. /У) (8j( eos L - ex sin L),
где
dx = ¿*0-f еуг0 — ez_y0
dy == dy0 b2Xq ez z0
dz = dz0 + exy0 — eyx0
(1.3.4)
Пусть система прямоугольных координат х, уу г жестко связана
с Землей, т. е. не получает относительно Земли ни поступательных, ни
вращательных перемещений1. Тогда при любом, преобразовании криво¬
линейных координат
йх = йу = Лг — 0.
В формулах (1.3.3) левые части обращаются в нули, а из правых
частей можно определить dH, dB и dL — такие изменения криволиней¬
ных координат, при которых взаимное положение точек сохраняется не¬
изменным. Переходя от дифференциалов к конечным приращениям, из
(1.3.3) получим:
х0 cos В eos ¿ + У о cos В sin L -f- z0 sin В +	(а — й) —
— ~ Af sin2 В (а — а) = Д //,	(1.3.5)
^2		 ^ 2	q	^
х0 sin В cos L-\-y0 sin В sin L — z0 cos В -f N	2— sin В cos В	(-
CL	CL
+ Qtt у + sin В cos В (а — а) = — (M + H) А В,	(1.3.6)
jc0sin¿ — _y0cos¿= — (N + H)cosBAL.	(1.3.7)
1 Землю считаем твердым телом, т. е. игнорируем любые ее деформации (на¬
пример, приливного типа).
22

Здесь Д Н — высота эллипсоида а, а =
центра эллипсоида а,
над эллипсоидом й, а;
а относительно центра
*0, i/o, ¿о —_координаты
эллипсоида а, а.
В формулы (1.3.3) входят восемь произвольных параметров. Шесть
параметров определяют изменение положения координатной системы в
пространстве — ее поворот ( е*, еу, ez) и поступательное перемещение
центра отсчетного эллипсоида (dx, dÿ, dz). Два параметра (da и db)
характеризуют изменение фигуры отсчетного эллипсоида.
При сравнении геодезических и астрономических координат ось Z
координатной системы удобно принять параллельной оси вращения Зем¬
ли. Для этого геодезическую систему координат следует повернуть на
такие углы ех и еу9 которые должны быть равны соответствующим ком¬
понентам угла между «направлением мгновенной оси вращения Земли и
ее полярной оси инерции в данный момент времени. Соответствующие
такому повороту изменения В, L и Н получим из (1.3.3)
м
(еЛ sin L ■
гу cos L)
dL = — ^	^ sec В (г* cos L -+- еу sin L)
a?-b* .
dH—
sin В cos ß^sinL — г cos L)
(1.3.8)
Вместо поворота координатной системы соответствующие поправки
можно ввести (с обратным знаком) в астрономические координаты <р и X,
Упрощая предыдущие формулы, можем принять
dy = ey cos L гх sin L	)	(I
d\ = ( xcosL -f- e^sin/^tg# j
Только в том случае, когда астрономические и геодезические долго¬
ты и широты отсчитаны от взаимно параллельных плоскостей начальных
меридианов, взаимно параллельных осей вращения Земли и отсчетного
эллипсоида, разности
5	= ср — В	(1.3.10)
n = (\-L)cosB	(1.3.11)
вс всех точках являются компонентами угла между отвесной линией и
нормалью к отсчетному эллипсоиду, проходящими через рассматриваемую
точку, т. е. являются компонентами уклонения отвесной линии. Только
в этом случае значения астрономических и геодезических азимутов и зе¬
нитных расстояний связаны между собой хорошо известными соотноше¬
ниями чисто геометрического характера:
А = а — Tjtgß — (^ sin А — т] cos А) ctg z%	(1.3.12)
z = za + 5 cos A + y] sin А = -f* &,	(1.3.13)
где
fr = 5coSi4-|-T)sin A.
Поворот ег, зависящий от значения исходного геодезического ази¬
мута Л о, при неизменных dx. dy и dz сказывается только на начале сче¬
та долгот и не влияет на широты и высоты, так как в (1.3.3)
¿¿ = 8,, dBc±äH= 0.
23

Несогласованность счета астрономических и геодезических долгот
(ег = Х0 — L0 — т]с sec ß0 9^=0) приводит к тому, что для любого направ¬
ления
а — Tj tg В — (£ sin А — r¡ со$ А) ctg z = Ä — ег (sin В — cos В cos А ctg z) ф А.
Следовательно, условие Лапласа (1.3.12) или должно удовлетво¬
ряться на всех без исключения направлениях, или всюду должно быть
нарушено (если оно не выполнено, например, на исходном направлении).
Задача градусных измерений при чисто геометрическом ее решении
заключается в установлении наилучших значений параметров рассмот¬
ренной геодезической координатной системы (или иной более сложной,
например базирующейся на трехосном отсчетном эллипсоиде). Как ука¬
зывалось, все восемь параметров координатной системы могут быть за¬
даны произвольно (единственное ограничение возможной степени произ¬
вола состоит в том, что величины 5 и у] мы предполагали настолько ма¬
лыми, что могли не учитывать их вторые степени). В задаче градусных
измерений понятие «наилучшие» значения параметров обычно связывают
с условием минимума функции
В первом случае суммирование распространено на все астрономи¬
ческие пункты, входящие в состав триангуляции; во втором случае — на
всю территорию, на которой известны разности между высотами Н точек
земной поверхности и нормальными высотами к тех же точек1. Посколь¬
ку суммирование в (1.3.15) или (1.3.16) не может охватывать всю терри¬
торию Земли, оба принципа имеют чисто условное значение.
Уравнения градусных измерений, соответствующие принципу (1.3.15)
или (1.3.16), можно очень просто получить из формул (1.3.6) и (1.3.7)
или (1.3.5) путем применения хорошо известных правил нахождения
минимума функции нескольких аргументов. При нахождении минимума
той или другой функции углы ех, еу и обычно не варьируют, так как
применение «перекошенной» системы координат связано с многими не¬
удобствами. Условия ех = еу = г2 — 0 практически реализуются при по¬
мощи равносильных им условий (1.3.12) и (1.3.13), применяемых всюду,
где имеются необходимые для этого результаты наблюдений. Таким,
образом, какие-либо «азимутальные уравнения» при градусных измере¬
ниях, поскольку поворот координатной системы не производят, возник¬
нуть не могут.
М. С. Молоденский, 1945, § 25.
М. С. Молоденский, 1954.
Формулы (1.3.5), (1.3.6) и (1.3.7) получены впервые.
§ 4. Геодезические построения при помощи прямых линий
В границах очень небольшого участка земной поверхности направ¬
ления отвесных линий можно считать перпендикулярными к общей для
всего участка горизонтальной плоскости. По мере увеличения размера
территории приходится считаться с непараллельностью отвесных линий.
В первом приближении можно принять, что отвесные линии сходятся в
1 В границах чисто геометрического метода исследования нельзя точно опреде¬
лить нормальные высоты к (тем более ортометрические), поэтому условие (1.3.16),
строго говоря, не имеет геометрического смысла.
(1.3.14)
(§2 + г]2) = min
(1.3.15)
или функции
(1.3.16)
24

одной точке, во втором приближении, — что они нормальны к поверхно¬
сти некоторого эллипсоида и, наконец, приходится изучать гравитацион¬
ное поле Земли и учитывать его отличие от «эллипсоидного» поля. Сооб¬
разно с этим «геодезия плоскости» уступает место «сферической», а за¬
тем и «сфероидической» геодезии. Общий случай редуцируют к сферои-
дическому случаю (точнее говоря, используют сфероидическую систему
координат).
Для плоскости и сферы решение всех геодезических задач можно
выразить простыми и точными формулами. В сфероидической геодезии
приходится прибегать к бесконечным рядам. Как правило, структура
этих рядов сложна, общий член ряда остается неизвестным. С измене¬
нием длин сторон сфероидического треугольника обычно меняется не
только структура рядов, но и методы решения задач. Поэтому очень
простая в принципиальном отношении геометрия эллипсоида загромож¬
дается многочисленными вариантами решения одних и тех же задач.
Такое положение является результатом построения фигур при помощи
кривых линий, целиком лежащих н& поверхности эллипсоида (обычно
при помощи геодезических линий эллипсоида). В этом случае приме¬
нение специальных функций, практически же — бесконечных рядов, ста¬
новится неизбежным.
Замена сфероидических треугольников соответствующими им пло¬
скими треугольниками, состоящими из хорд эллипсоида, позволяет полу¬
чить точные решения замкнутого вида в элементарных функциях. По¬
добные решения легче программировать для счетно-электронных машин,
а способ изложения позволяет упростить все выводы и концентрировать
внимание на принципиальной стороне дела.
В этом и последующих параграфах даны решения основных геоде¬
зических задач методом хорд. Мы сочли полезным в главе VIII дать и
примеры вычислений.
Начнем с вывода основных формул.
Рассмотрим две произвольные точки: (xb у\, Z\) и (х2, #2, z2). На¬
правление и длину соединяющего их отрезка sj2 можно получить при
помощи известных формул
„		 Х2 Х\ 	 У2 У1 	 Z2 Z\	/т А 1\
12~" I ~~~т	~ п ’
¿12	rril2	ri12
где /12, #ii2, /212 — направляющие косинусы отрезка.
Плоскость у = 0 совместим с меридианом первой точки и перейдем
к криволинейным координатам при помощи формул (1.2.5).
Получаем:
^12^12 = (^Ча Н” ^2) cos cos (¿2 ^1) (Wi "f-	cos Вi,	(1.4.2)
S12ml2 = (N2 + Щ) COS B2 sin (¿2 — ¿x),	(1.4.3)
*12«19 = ф ^ + H¿) sin B* -ф N1 + 1) 9in Bi •	(lAA)
Возведем каждое из написанных выражений в квадрат и сложим
результаты. После простых преобразований получаем
*i22 = (Wi +	+ (/V2 + H2f - 2 (N, + Hx) (AV+ Щ) cos ф -
-	(W9 sin B2 - sin BJ2 -
— 2
a2 — b2
a2
(N2 sin B2 — N-l sin 5,) (H2 sin B2 — Нг sin Вг),
(1.4.5)
25

где ф— угол между координатными линиями Н\ и Н2
cos ф = sin Bi sin В2 -f cos Bx cos B2 cos (¿2 — Lx).
Определим направление отрезка su в геодезической горизонтальной
системе координат, т. е. выразим направляющие косинусы этого отрезка
через зенитное расстояние Z12 направления из первой на вторую точку
(отсчитанное от геодезического зенита первой точки) и через геодези¬
ческий азимут А12 этого направления (т. е. азимут плоскости, проходя¬
щей через отрезок S\2 и геодезический зенит первой точки).
На рисунке изображена сфера единичного радиуса. Точкой А\ отме¬
чено положение геодезического зенита первой точки; точка 5 соответ¬
ствует направлению отрезка точки X, У и Z соответствуют направле¬
ниям координатных осей.
Из сферического треугольника А\ХБ получаем
cos (XS) = 112 = cos Вг cos z12 — sin Вг sin z12 cos A]2,	(1.4.6)
из треугольника
cos(YS) = mu = sin Z12 sin Л!2,	(1.4.7)
из треугольника A\ZS
cos (ZS) = п12 = sin BL cos z12 + eos Вг sin zv¿ cos A12.	(1.4.8)*
Формулы (1.4.6) — (1.4.8) выражают направляющие косинусы от¬
резка $12 через горизонтальные координаты zi2 и A¡2. Разрешая эти фор¬
мулы относительно Z\2 и Ai2t получаем формулы для обратного перехода:
cos z12 = cos Вг-112 + sin Вгп12,
h12 = sin z12 cos A12 = cos Вг • n12 — sin Bx • l12,
Л _ ¿12 _ cos Bx. n12 - sin Bx l12
m12
(1.4.9)
(1.4.10)
(1.4.11)
Подставляя в последнюю формулу выражения направляющих коси¬
нусов через криволинейные координаты из (1.4.2), (1.4.3) и (1.4.4), полу¬
чаем	Л г
cteA -dea I а2 - ЬЧ (N, sin В, - М2sinВ2)cosBt
gл12 — ctgа12-+- а2у- (дг^ + cos g2ain
(I.4.12>
.		 sin (B2 — В A	i n j 7*2
Ctg“12 — cosfí2sin(¿2 — Lx) + Sin Bltg 2
26

Меняя местами индексы 1 и 2, получаем
ctg Ай1 = ctg а21 +
a2-¿2
а2
(TV2 sin 52 — sin #i) cos 52
(TVj + Нх) cos Вх sin (Z-j — ¿2) ’
ctg а - Sin (Вх-В^__
ё 21 — cos#1sin(¿1-¿2)
+ sin Bo tg
^1 ^2
(1.4.13)
Формула (1.4.13) определяет азимут хорды 52i относительно геоде¬
зического меридиана и геодезического зенита второй точки («обратный
азимут» хорды si2).
Формулы (1.4.5), (1.4.12) и (1.4.13) содержат общее решение пря¬
мой и обратной геодезических задач при любых s и Н.
До сих пор мы рассматривали две произвольные точки. Если обе
точки лежат на поверхности эллипсоида (1.2.1), то, очевидно, HX=H^==Q
и выражение (1.4.5) принимает вид	~
"sia* = 4N1N2 sin2 J - д4 ~Ь* (M)Sinfl2—Л^пВ^-КЛ^-ад (1.4.14)
z а	\
где
sin2 ^ = sin2 —2 ^	+ cos Вх cos В2 sin2 ^
Отрезок .V]- теперь является хордой этого эллипсоида и его длина
зависит от г 12 и Ап- В этом случае прямоугольные координаты обеих
точек должны удовлетворять уравнению (1.2.1)
№№00'
^•*1 + *18уу + ^>1 + s12mx^j + Q, + S12 п12у _ 1
Вычитая из второго уравнения первое, после перехода от прямо¬
угольных координат к криволинейным, используя затем (1.4.9), приходим
к следующему результату:
s12 ^1 -f —"• /г122^ = — 2Ní (cos Вг /12 + sin Вг ni2) = — 2N1 cos zl2.
(1.4.15)
Введем обозначение
=	(1.4.16)
и тогда из (1.4.15) получим
>12
2 R
12
(1.4.17)
Предельное значение ^12 при 512->0 равно радиусу кривизны /?|2°
сечения эллипсоида (1.2.1) нормальной плоскостью, содержащей первую
точку и хорду 512. Действительно, так как в этом случае соэг^—>0, а
бш (2:12)0—^- 1, получаем
1_
^?12
cos Вг cos А12
cos2 А12 ' sin2 А12
мх +—ц
i
/?,2°
(1.4.18)
27

Приближенное значение cos zvl таково:
cos z12 = —
312
2^?12°
0--
Ö2
512
¿2
2 Rr2c
sin 2 ßj cos Л12
>
(1.4.19)
Отметим еще формулы, связывающие криволинейные координаты
концов хорды эллипсоида с ее направлением. Из (1.4.15) имеем
cos z12	N2
(1.4.20)
cos z21
Из (1.4.3) и (1.4.7) получаем
iVj cos Вг sinz12sin A12 = — A^cos fi2sin z21 sin A21.	(1.4.21)
Далее tin = — пц, а поэтому
, N2 sin ß, + Nx sin ß2
A^Ttg4¡P^7Ñ^ctg472
cos Bx tg (z12) sin /412.
(1.4.22)
Если обе точки лежат на отсчетном эллипсоиде, решение, как видно
из формул (1.4.14) — (1.4.22), можно значительно упростить. Дальнейшие
подробности и примеры вычислений изложены в приложении (гл. VIII,
§ i).
М. С. Молоденский, 1954.
§ 5. Дифференциальные формулы геодезических обратной
и прямой задач
При решении прямой или обратной задач при Н = 0 заданы четыре
величины и три подлежат определению. Как упоминалось, решение обеих
задач можно получить из формул (1.4.5), (1.4.12) и (1.4.13). Из этих же
формул можно получить дифференциальные формулы, позволяющие ис¬
править результаты решения при малом изменении исходных данных
задачи.
Дифференцируя (1.4.14) и упрощая вид коэффициентов при dBx и
dB2 при помощи (1.4.12) и 1.4.13), получаем
з.^д L = NxN2 cos Bx cos B2 dL + M2 Nj cos B± ctg Л21 dB2 -
— N2 Mx cos ß2 ctg A12 dBx.	(1.5.1)
или
ds = (Nx cos Bx sin Л12 dL — Mx cos A12 dBx) s*n г\ч ~~ M2 cos A-n sin z,n ^ß<> ■
(1.5.2)
В результате дифференцирования (1.4.12) сначала получаем
#W i о
— л dA12— -(Mx +^5.sinß1 + /12.5.cosß1) dBx +
Sin Л^2
-f М2 (cos Bx cos ß2 + sin Bx sin ß2 cos Д L + sin ß2 sin Д L ctg Л12) dB2 -f-
-j- N2 cos ß2 (sin Bx sin Д L — ctg i4]2 cos Д L)dL.
Множители при dAl2, dB\ и dB2 можно преобразовать к окончатель¬
ному виду непосредственно при помощи формул (1.4.7), (1.4.9) и (1.4.12).
28

Для преобразования множителя при dL используем сферическую фор¬
мулу
cos A L ctg а12 —sin В1 sin A L =	ctg а21,	(1.5.3)
COS D2
в которую вместо ctga12H ctga21 подставим выражения (1.4.12) и (1.4.13).
В результате всех указанных подстановок и преобразований полу¬
чаем
—,tAr¿= ~ |Л|>+scosz.i)‘ífi. +
+M¿“|>Л-
2 cos ß2 \	¿>2	iV2
., D / ,	. a2 — b2
— Ni cos ßt í ctg¿21-	p
sin ß2J dß2 -
/а1У ЛdL
m2lNo J
(1.5.4)
Формулы (1.5.2) и (1.5.4) решают вопрос о введении дифференци¬
альных поправок в результат решения обратной задачи. Формулу для
поправки в обратный азимут получаем из (1.5.4) путем перестановки
индексов 1 и 2. Те же формулы можно использовать в случае прямой
задачи, если разрешить их относительно йВ2 и с1Ь2.
С этой целью вводим вспомогательные неизвестные
zs ~ cos A2lM2dB2 + sin A21N2cos B2dL 1
zA = sin A2lM2dB2 — eos ^A/qCos B2dL ) ’
являющиеся компонентами тангенциального смещения второй точки в
направлении на первую (т5) и в перпендикулярном направлении (zA).
Из (1.5.2) при помощи (1.4.21) получаем
~*=-7йГГ (^ + sin z12 eos	.	(1.5.6)
В (1.5.4) выражаем dB2 и dL через xs. и zA из (1.5.5). Принимая во
внимание, что
cos А21 • /21 — sin Л21 • m2l • sin B2
sin z21
— sin B2 -f cos B2 cos A21 ctg z21,
получаем
n12-s
N,
n12- s
N2
COS ß2 ctg z21 (Tj sin A21
■zA cos Л21) =
=	[5-sin zl2dA12 — sin Л12(Л11 -f- s cosz12)dßJ.	(1.5.7)
ctg zl2
Из (1.5.6) определяем х5, после этого находим zA из (1.5.7), а затем
dB2 — ^ (cos А21 zs -f* sin A21 • хД.
dL = iV2 cos ß2 (sin л21	- cos Л 2‘ •x»>*
(1.5.8)
(1.5.9)
29

Формулу поправки в обратный азимут получаем из (1.5.7) путем
перестановки индексов 1 и 2
5* sin z2l*dA21 = Sin А21 (M2 + 5 cos z21) dB2 +
+ (sin A12 M, dB, + cos Л12 Wi cos BL dl)(\- ^2.^' sin +
a2 — b2
H	p— • /z21 • s • ctg z2í cos2	dL .	(1.5.10)
Таким образом, формулы (1.5.6) — (1.5.10) решают вопрос о введе¬
нии дифференциальных поправок в результат решения прямой задачи.
М. С. Молоденский, 1954.
§ 6. Общий принцип определения высот
Если рассматривать астрономическое нивелирование как одно из
средств изучения фигуры физической поверхности Земли, а не фигуры
геоида, то можно заранее ожидать, что проблема редукции астрономи¬
ческих измерений внутрь Земли не возникнет и задача может быть ре¬
шена точно. В соответствии с содержанием § 1 прежде всего покажем,
что астрономическое нивелирование корректирует результаты геометри¬
ческого нивелирования путем сведения местных координатных систем
к общей ориентировке.
Приведем чрезвычайно простое геометрическое решение этой задачи.
Позднее покажем, что полученное решение находится в полном соответ¬
ствии с теорией гравиметрического метода изучения фигуры физической
поверхности Земли и ее внешнего гравитационного поля.
Пусть на рисунке S—физическая поверхность Земли, А—произволь¬
ная точка на поверхности S, Н — длина нормали, опущенной из точки А
на поверхность некоторого референц-эллипсоида, ВС = — dhw—элемен¬
тарное приращение высоты поверхности S, соответствующее смещению
по поверхности S на отрезок АВ = dl. Приращение dhw высоты отсчи¬
тываем по силовой линии гравитационного поля W Земли, оно является
элементарным нивелирным превышением. Обозначив проекцию dl на ка¬
сательную плоскость к поверхности Н — const через dlH, а отрезок BD
как элементарное приращение высоты над референц-эллипсоидом че¬
рез — dH и полагая с точностью до первой степени уклонения отвеса
СВ — ВЕУ можем написать
— dH + dhw=§dlMy
30

где -Э* — компонент угла между отвесом и нормалью к эллипсоиду, при¬
ходящийся на плоскость, проведенную в азимуте А элемента Ш. Азимут
будем отсчитывать от точки севера. Таким образом,
с1Н = <1кш — (£сое А + т] бш А)(11н,	(1.6.1)
где и Т| — составляющие угла & в плоскости меридиана и первого вер¬
тикала. Формула (1.6.1) устанавливает связь между элементарным ниве¬
лирным приращением и приращением высоты относительно эллипсоида,
которому соответствует система значений £, ^ уклонений отвеса. Эта
формула является обобщением обычной формулы астрономического ни¬
велирования; при ее применении вопрос о редукции за искривление сило¬
вой линии поля Земли внутри притягивающих масс не возникает. Фор¬
мула (1.6.1) указывает, что приращение высот точек физической поверх¬
ности Земли над эллипсоидом можно получить из результатов геометри¬
ческого и астрономического нивелирования. Для этого к неисправлен¬
ному нивелирному превышению нужно добавить поправочный член, учи¬
тывающий изменение ориентировки местных координатных систем от
станции к станции.
Разность высот над референц-эллипсоидом двух пунктов В и А, уда¬
ленных один от другого на конечное расстояние, очевидно, выразится
так:
Нв - НА = / dhyy— ^ (^ cos A -J- т] sin Л) dlH.	(1.6.2)
(AB)	(AB)
Оба интеграла следует вычислять по одной и той же ходовой линии,
так как каждый из интегралов в отдельности зависит от пути нивелиро¬
вания.
Рассмотрим задачу определения разности высот над референц-эл¬
липсоидом двух пунктов из тригонометрического нивелирования. Для
этого мы возвращаем читателя к формулам § 4.
Наряду с направлением отрезка s, соединяющего точки (Si, Lu Нх)
и (В2у ¿2, Н2), возьмем некоторое направление х.
Из (1.4.2), (1.4.3) и (1.4.4) следует, что
5 COS (5, х) = sl cos (х, x) + sm COS O', x) + sn cos (z, x) =
= s cos (s, x) -f H2 cos (n2, x) — H1 cos (nv x),
где n2 — направление отрезка H2y nx — отрезка Н\, 5 — хорды, соединяю¬
щей основания отрезков Н\ и Н2. Эта формула имеет очевидный геомет¬
рический смысл: проекция отрезка 5 на любое направление х равна сум¬
ме проекций отрезков НХу s и Н2 на то же направление.
Если х совпадает с пх, получаем
s cos z12 = s cos zJ2 + H2 cos ф — Иг.
Если x совпадает с п2, имеем
— s cos z21= —s cos z21 + H2 — Нг cos ф .
Складывая оба выражения, при помощи (1.4.15) находим
я2-я1 =
2 cos2-—
(cosz12 — cosz21) +
(Wa-ATi)*2
4AyV2cos2|:
0
о2 - 62
b2
(1.6.3)
31

При помощи (1.4.14) получаем приближенную формулу
Второй член достигает 2 см при 5 около 70 км и Я2 — Н\ = 6000 м.
Наибольший из отброшенных членов по сравнению с ним является ма¬
лым порядка сжатия.
После перехода к астрономическому зениту (формула 1.3.13) опре¬
деляем
М. С. Молоденский. Изучение фигуры Земли геометрическим (астрономо¬
геодезическим) методом. Сборник ГУГК. Вып. XXVII, 1949; Труды ЦНИИГАиК
Вып. 75, 1950.
М. С. Молоденский, 1954.
Зенитные расстояния, азимуты и горизонтальные углы измеряют в
астрономической (т. е. связанной с направлением отвесной линии) гори¬
зонтальной системе координат. Для перехода к геодезической горизон¬
тальной системе координат необходимо знать положение геодезического
зенита относительно астрономического, т. е. необходимо знать два ком¬
понента уклонения отвесной линии в месте наблюдения. Соответствую¬
щие поправки в направления можно вычислить по формулам (1.3.12) и
(1.3.13)	(если оси вращения отсчетного эллипсоида и Земли взаимно
параллельны).
Высоты Н всегда малы, поэтому удобно путем редуцирования к ну¬
левой высоте (т. е. к отсчетному эллипсоиду) функции трех аргументов
заменить функциями двух аргументов. Поправку в азимут можно полу¬
чить из формулы (1.4.12). Образуя разность между котангенсом азимута
при данном значении Н и при Н = 0, получаем
Зависимость зенитного расстояния от высоты рассмотрена в § 6.
Редуцирование базисных измерений можно выполнить при помощи
формулы (1.2.11). Ортогональную проекцию элемента йв длины базиса
на отсчетный эллипсоид назовем йво. Из (1.2.11) получаем
Следовательно,
cIsq = sin z ds — H (cos A dB-\- sin A cos BdL) = sin zds — Hd ф,	(1.7.2)
где d ф — угол между координатными линиями Я, проходящими через
концы отрезка ds.
Остается sin z выразить через нивелирное превышение dhw.
На основании (1.6.1)
§ 7. Редукционные задачи
а2 — Ь2
Ь2	/ V i
2
dso = М cos А dB + N sin A cos В dL.
dH = dhw — fr sin г ds,
32

где —компонент угла между отвесной линией и координатной линией
Н (т. е. компонент уклонения отвеса), приходящийся на плоскость ба¬
зиса.
Следовательно,
дН dhw
ds ds
— sinz-fr.
Отбрасывая члены, содержащие величины порядка и произведе¬
ния $ на третью степень наклона элемента длины ¿5, получаем
дН
sm Z
V
(1.7.3)
Теперь формула (1.7.2) принимает следующий вид:
ds0=\/ 1	•ds + d(*-H)-HdW + b) =
/	//ííi \ 2
= у 1 - (jjfj • ds + *dH— Hd ф.	(1.7.4)
В результате интегрирования от начала базиса А до конца В полу¬
чаем
В	-
s° =/у 1 - (%) ds - нт'(фв - ф,) + (яй-адъв-(нА-ня')ъА,
(1.7.5)
где //т' — среднее из значений высот по (ф + fr) вдоль базиса. Если
уклонение отвеса вдоль базиса изменяется линейно, то =НтУ т. е.
среднему значению высоты Н на длине базиса. Исследование формул
для редукции базисов дано в приложении (гл. VIII, § 2).
Переход от длины нормального сечения s0 к длине хорды s, если бы
отсчетная поверхность была сферой, может быть выполнен при помощи
очевидной формулы
При длине базиса до 20 км (ф ^ 0,003) поправочный член, завися¬
щий от ф, менее • Ю-6-^. Следовательно, при вычислении длины хор¬
ды по длине базиса обычной длины можно сжатие не учитывать.
Формулу для редукции к хорде эллипсоида стороны трилатерации
легко получить, вычитая (1.4.14) из (1.4.5). Обозначив
_И2 Нг Н2-Н
получим точное соотношение
- г^{2	m¿ - н1)+(н9 - н,у+
-f k °4~¿4 (yV2 sin B.¿ - sin BJ* — k (N2 — Nyf -
-2
á2 — ¿?2
(JV2 sin B2 — sin Bx) (H2 sin B2 — Нг sin Sx)|
3 Труды ЦНИИГАиК, вып. 131
33

Поскольку k и второй член правой части малы, при вычислении
можно ограничиться приближенными значениями координат.
Чтобы использовать длину базисной хорды для вычисления длин
хорд, соединяющих прочие пункты триангуляции, необходимо распола¬
гать углами между этими хордами.
Разность азимутов двух направле¬
ний после введения всех редукций
определяет двугранный угол между
нормальными сечениями, содержа¬
щими соответствующие хорды. Если
длины хорд невелики, этот угол
близок к плоскому углу между хор¬
дами.
На рисунке буквой Z обозначе¬
но положение геодезического зенита
первой точки, буквами S2 и S3— на¬
правления на вторую и третью точ¬
ку. Таким образом, в сферическом
треугольнике ZS2S3 дуга ZS2 являет¬
ся зенитным расстоянием z\2 направ¬
ления с первой на вторую точку, ду¬
га ZS3 — зенитным расстоянием Z\3 направления на третью точку, сфе
рический угол S2ZS3 — углом Ах между нормальными сечениями, дуга
S2S3 — углом ах между хордами.
Из рисунка следует, что
cosах = cosz12cosz13 -f sinz12sinz13cos Аг.	(1.7.6)
Зенитные расстояния определяют формулы (1.4.15) и (1.4.9). В боль¬
шинстве случаев достаточное приближение обеспечит применение фор¬
мулы (1.4.19) (см. пример в § 1 гл. VIII).
Формула (1.7.6) решает вопрос о переходе от угла между нормаль¬
ными сечениями к углу между хордами при любом расстоянии между
пунктами.
Если длины хорд очень малы, можно воспользоваться простым
приемом, аналогичным известному способу Лежандра. Отбрасывая чле¬
ны порядка четвертой степени отношения длины хорды к диаметру Зем¬
ли, из (1.7.6) получаем
-	cos Лч — cos Ал
А1 — л1 =	Ц	L =
1	1	sin ах
_ cosz12«cosz13 Г __ cos аг /cos z12 COS *1,41
— sin аг l 2 \cos zls cos z12/ J
На основании (1.4.17):
		g
COSZ12= —
Sjo
COSZ13 = --^-.
Используя эти выражения и теорему синусов, можем написать
_	Si9'S„ Г cosa,/sin«, R13 ■ sina2 ^laNI .
1	1	4- /?12 • R13 sin ax У 2 Vsin *2 #12 sin a3 R13J J ’
l
34

Так как углы между хордами ау а2 и а3 в сумме составляют л, то
зшаз	зш_а2= sin'», + 2
sin а2	sin а3 sina2'Sina3	1
sin а3 sin а2 sin (а3—а2) sin аг
sin а2 sin а3 Sina3-Sina2
Кроме того, с относительной ошибкой порядка квадрата сжатия
2.
^12 Ru ,
^?12
Таким образом, при помощи последних трех формул получаем
л „ 	 51г#513*з{па1 р1	,	~
Аг 1_ 8/?12-/?13 +с‘еаз-с1еа2
_ CQS «i . sin (а3 — а2)	//?13 _ ^?L2>
2 sina?-$ina2 • sina^/?^ /?13>
(1.7.7)
Относительная погрешность этой формулы — порядка квадрата от¬
ношения большей из хорд к диаметру Земли или порядка квадрата сжа¬
тия. Если длины хорд невелики, то можно принять
/?12 ä /?1;
^2
^?12 “Ь /?18 “Ь ^?23
= /?,
42 ~ 'МЗ ~ ^23—	3
тогда последний член выражения (1.7.7) обращается в нуль и
л	^19 * Sin OCj /.	.	.	.ч
А _ *1= -¿ D D (1 + ctg a3. ctg a2).
О/<j2 * ^13
Вводя «сферический избыток»
5lg>513>8in «!
получим
2 Z?2
А — «1 = J О + ctg “з ctg a2).
(1.7.8)
Вычисляя длины сторон по теореме синусов, находим
ln sia — ln s13 = 1п sin а3 — ln sin а9=1п sin As — (А3 — а3) ctg а3 — ln sin А +
^(ctgas-ctga2) =
то есть
In sin А3 —
• In sin A2 —
(л*_ €
) — ln sin ^i4.
sin 1
Л12
1
en
5ls sin |
(1.7.9)
Как выяснил Милан Бурша, эта формула впервые получена Гру-
нертом (1855).
з*
35

Таким образом, если в треугольнике с короткими сторонами из уг¬
лов между нормальными сечениями отнять по одной четверти сфериче¬
ского избытка, то отношение синусов исправленных таким образом углов
получится равным отношению соответствующих хорд.
Формулы (1.7.9) — для малых треугольников; (1.7.7) — для тре¬
угольников среднего размера и (1.7.6)—для треугольников сколь угодно
больших решают вопрос о вычислении длин хорд. Зная эти длины, гео¬
дезические координаты исходного пункта и азимут исходного направле¬
ния, из решения прямой задачи получим геодезические координаты всех
пунктов и азимуты всех хорд.
Пример на вычисление редукций сфероидических углов к плоским
и сторон плоских треугольников приведен в § 1 главы VIII.
М. С. Молоденский, 1954.
§ 8. Взаимная связь между тремя геодезическими координатами
в методах проектирования и развертывания триангуляции
В старом методе обработки триангуляции геодезические линии, дли¬
ны которых предполагаются вычисленными на геоиде, далее «разверты¬
ваются» на эллипсоиде с сохранением вычисленного для геоида значе¬
ния их длины. После перехода к обработке триангуляции методом проек¬
тирования, когда все геодезические координаты перевычислены новым
методом, вопрос о связи между системами координат, полученными ста¬
рым и новым методами, казалось бы потерял значение. Такое заключе¬
ние кажется верным еще и потому, что точное соответствие между обеи¬
ми системами координат можно получить только для «висячих» ходов.
В сети же геодезических полигонов развернутые геодезические линии
обязательно деформируются и распределение этих деформаций сложным
образом зависит от общей конфигурации сети, от последовательности и
метода уравнивания триангуляции.
Однако, кроме деформаций, проистекающих от уравнивания, систе¬
ма координат метода развертывания отличается от системы координат
метода проектирования тем, что в первой по сравнению со второй имеет¬
ся дополнительный источник систематических погрешностей — неучтен¬
ные редукции длин линий с геоида на эллипсоид. Но подобные искаже¬
ния имеют место и в методе проектирования, только их источником
являются неизбежные ошибки определения высот (астрономического и
геометрического нивелирования). Поэтому связь между двумя системами
координат, если обе получены методом проектирования при помощи раз¬
ных карт высот квазигеоида1 или по разным нивелирным данным, ничем
не отличается2 от связи между системами координат методов проекти¬
рования и развертывания.
При новом уравнивании триангуляции системе найденных поправок
геодезических координат будет соответствовать новая система астро¬
номо-геодезических уклонений отвесных линий, а потому новая карта
высот квазигеоида будет отличаться от первоначально принятой. Если
окажется, что отличие новой системы координат от старой носит случай¬
ный характер, то и в высоты квазигеоида войдут малые поправки и но¬
вого приближения не потребуется. Но если полученные поправки коор¬
динат имеют тенденцию к сохранению знака на дугах значительной про¬
тяженности, то в высоты квазигеоида могут войти вполне ощутимые
поправки и может встать вопрос об уравнивании триангуляции в новом
приближении. Далее мы увидим, что могут потребоваться все новые и
1	Термин «квазигеоид» определен в гл. V.
2	В линейном приближении, которым мы ограничимся в последующих выводах.
36

новые приближения, если только мы заранее не учтем определенной
зависимости между поправками во все три геодезические координаты В,
L и Н — именно той зависимости, которая в полной мере определяет
связь между координатами методов проектирования и развертывания.
Конечно, деформация сети после ее уравнивания не позволяет, как
говорилось, точно вычислить искомые поправки. Однако влияние этого
обстоятельства очень ослаблено, если сравниваются результаты двух
вычислений триангуляции, произведенных в одинаковой последователь¬
ности и одинаковым методом. Это замечание будет подтверждено при¬
мером (§ 7 глава VIII).
Пока для определенности и упрощения терминологии будем гово¬
рить о сравнении координат метода проектирования и метода разверты¬
вания. Начнем с простейшего примера, в котором очень ясно выявляется
различие между координатами, полученными обоими методами. Допу¬
стим, что возвышения квазигеоида над эллипсоидом обусловлены только
ошибками ориентировки референц-эллипсоида; размер и сжатие рефе-
ренц-эллипсоида точны, волнистость квазигеоида отсутствует. Пусть ряд
триангуляции от исходного пункта идет в меридиональном направлении.
С относительной погрешностью порядка сжатия можно принять М =
= N = R и при L = 0 из (1.3.5), (1.3.6) и (1.3.7) получаем
С = х0 cos В + z0 sin В
/? Д £ = х0 sin B — zQ cos В
Rhr¡ = — Vo
(1.8.1)
Применяя (1.8.1) к исходному пункту, широта которого равна В0,
находим
Со cosB0 + /?.A£0-sin В0 = х о
— R.Ar¡0 = y0
Со Sin В0 — /?• Д • cos B0 = z0 .
Подставив выражения (1.8.2) в (1.8.1), получим
С = Со cos (В0 —В)+ R- Д£0 • sin {В0—В)
А? = -jf sin (Д - Д0) + Д?0 cos СВ - Д0)
(1.8.2)
(1.8.3)
А*) = Ат)0	'
Допустим, что триангуляция обработана методом развертывания.
Очевидно, что для Д£ имеем
Д5 = Д5о,
(1.8.4)
так как при методе развертывания при откладывании дуг на двух рав¬
ных эллипсоидах вдоль меридиана широты различаются у обоих.концов
дуги на равные величины (с точностью до величин порядка а Д^), неза¬
висимо от длины дуги 5. Если теперь мы определим С» применяя обыч¬
ную формулу астрономического нивелирования, то получаем
Z = Z0-.?f(SdB + i)cosBdL) = t0-R f AI-0dB = L0-R(B-B0)U;0.
(ВВ0
(1.8.5)
37

Сравнивая (1.8.3) с (1.8.4) и (1.8.5), обнаруживаем противоречие,
которое особенно велико при больших протяженностях дуг градусных
измерений, как это видно из следующей таблицы.
в0-в
с
Д£
по (1.8.3)
по (1.8.5)
по (1.8.3)
по (1.8.4)
90°
ASo-Я
Со + у-Я-ДЕо
	Со
R
1
i
Дбо
180
~ Со
¡ -^о
¿¿о
360
+ Со
С0+2я./?.ДЕо
1 +Д£о
Д£0
Разобранный пример помогает уяснить причину получившихся про¬
тиворечий. Действительно, в формулах (1.8.3) Д£ понимается как мери¬
диональная составляющая угла между отвесной линией и нормалью к
эллипсоиду в одной и той же точке, в то время как в (1.8.4) входит раз¬
ность координат двух различных точек. Эту разность можно было бы
назвать «смешанным» уклонением отвеса, чтобы подчеркнуть тот факт,
что в нее, помимо собственно уклонения отвеса, входит еще и горизон¬
тальный сдвиг одной из сравниваемых точек по отношению к другой.
Этот сдвиг не учитывается в формуле (1.8.5), что и приводит к противо¬
речию, которое иллюстрировано приведенной выше табличкой.
Рассмотрим теперь вопрос о связи между истинным и «смешанным»
уклонениями отвеса. Возьмем сечение квазигеоида плоскостью, проходя¬
щей через рассматриваемую дугу градусных измерений и нормаль к ре-
ференц-эллипсоиду в текущей точке, и рассмотрим компоненты истин¬
ного и смешанного уклонения отвеса t = р eos А + q sin А в плоскости
сечения. Пусть длина дуги квазигеоида (от некоторой фиксированной
точки) равна S, а дуга эллипсоида (от проекции той же фиксированной
точки на эллипсоид) равна S0. Разность &— t вызвана сдвигом S —S0
и равна, очевидно, следующей величине
(1.8.61
Ро
где р0 — радиус кривизны эллипсоида в плоскости рассматриваемого се¬
чения.
Обозначим через р радиус кривизны квазигеоида в той же плоско¬
сти. По определению радиуса кривизны
_ dS
р“<*(Ф+э-)
Ро =
dS0
d ф
(1.8.7)
где ё ф — угол между нормалями к эллипсоиду в плоскости сечения на
концах дуги ёЭо. Поэтому из (1.8.6) и (1.8.7) получаем
¿(5-50) = 4[РоО>-/)]==(Р-Ро)<*Ф +
или
— Ро ЛЬ = (р — р0) (^ Ф + й 6-) — (^ — 0 ^ Ро •
Для р— р0 используем формулу (1.2.15), в которой в данном случае
следует положить Н — С, и тогда получим
- р0Л = (с + ^ (¿ф + ёЪ) - (в- - Г)ё Ро,
38

то есть
¿Ф \Ро^~Ро^Ф1 2У\ ¿Фу 'Ро ¿Ф ‘
(1.8.8)
Принимая во внимание, что в действительных условиях геодезиче¬
ской сети точное соответствие между ^ и ^ установить невозможно, мож¬
но допустить относительную погрешность порядка сжатия, приняв:
Ро ~
1	+
(I ^
1,
где /? — средний радиус Земли. Пусть еще
У
О
Тогда получим
(1.8.9)
Это уравнение относительно С является дифференциальным уравне¬
нием с постоянными коэффициентами.
Полагая С — N = у, получаем
(Ру
¿ф8
у = Ы.
Соответствующее однородное уравнение имеет решение
у = Лзшф + Ясовф.	(1.8.10)
Чтобы получить решение неоднородного уравнения, варьируем про¬
извольные постоянные обычным способом и приходим к уравнениям:
Следовательно,
йА
—г = — М сое
а ф
йВ	.а т ■
-гт = + Л/вш
¿ф
Ф»
Ф-
А = Ао
!
Мсо Б 1(11,
0
в = в0
Ыът Ы1,
где Л0 и Во — постоянные.
1 Здесь N не следует смешивать с Ы, обозначающим радиус кривизны эллип¬
соида в первом вертикале.
39

Подстановка этих выражений в (1.8.10) дает
Ф
£ — М = Л05Ш ф + б0соз ф + £ Мбш (I — ф) (й.	(1.8.11)
о
Постоянные интеграции Л0 и В0 определим из начальных условий:
при ф = 0 имеем С = £0 и ^ = ^0, поэтому
В0 = Цо А/о-
Для определения А0 продифференцируем (1.8.11) по ф
Ф
Я(— А- + 0 = А)с08 Ф — #о3*п Ф “ £ Ncos(l — ^^>)dl.	(1.8.12)
О
При ф = 0 имеем $•= и / = ¿0, поэтому
Ао = (А) — »о) Я-
После подстановки значений А0 и Во в (1.8.11) и (1.8.12) получаем
окончательно:
£ = ЛГ+/?(*<>-»о) эш ф + (Со - ЛГ0) С08ф + У ЛГвШ (/-ф)Л
О
ф
=	—¿0)со8ф+(£0—Л'0)8тф+ ! ААсоэ(/ — ф)<11
6
(1.8.13)
Эти формулы устанавливают взаимную связь между уравнениями
градусных измерений, соответствующими двум методам обработки три¬
ангуляции (метод проектирования и метод развертывания). Первая фор¬
мула определяет высоты £ квазигеоида через величины N. а вторая дает
поправку в проекцию уклонения отвеса на направление ходовой линии
развертывания триангуляции (или, что то же, в длину геодезической
линии) в функции величин N.
Чтобы получить эти же величины в функции достаточно восполь¬
зоваться правилом интегрирования по частям и выражением, определяю¬
щим N. тогда формулы (1.8.13) примут вид:
; = СоС08ф + /?(/0 —в-0)8Шф —/? I" tcos(l — ^b)dl,
6
и
У
в- = /?/ + # ($0 — ¿о) соэ Ф + Со вш ф 4- я у' ^ з1п (/ — Ф) <11.
о
Высоты £ квазигеоида через 9- определяются формулой
Ф
£ = ?о — В £ $ (И.
о
(1.8.14)
(1.8.15)
(1.8.16)
Рассмотренный в начале параграфа пример иллюстрировал те про¬
тиворечия, которые получаются, если не различать ^ и ^ и применять
формулу (1.8.16) вместо (1.8.14).
40

Легко получить формулы для обратного перехода — от элементов,
полученных методом проектирования, к соответствующим элементам ме¬
тода развертывания. Интегрируя очевидное соотношение
+ }***■
О
находим
Ф I
М= Д/’о + (С — С0) + $ М ^ ^/ = АГ0+(С-Со) + $ С(Ф~0^-	(1-8.17)
оо	0
Если в исходном пункте уклонения А- и ^ не равны нулю, учитывая
соотношение
Ф
50-5=- ^С<*ф,
О
получим
5
Ш = Ш0 + /?(&-*0) - ^(11.	(1.8.18)
6
Напомним, что наши выводы [формулы (1.8.10) — (1.8.18)] имеют
относительную точность порядка сжатия.
Рассмотрим еще следующий пример. Для случая перехода в СССР
от эллипсоида Бесселя к эллипсоиду Красовского (с ориентировкой
£0 = щ= С0 = 0 в Пулкове) вычислим по приведенным формулам по¬
правки в уклонения отвеса в первом вертикале для параллели с широ¬
той 52°30', соответствующие двум методам обработки триангуляции.
Значения, соответствующие методу развертывания, сравним с теми, ко¬
торые были получены А. А. Изотовым прямым путем, при помощи урав¬
нений градусных измерений в методе развертывания. При этом предпо¬
ложим, что развертывание триангуляции на эллипсоиде Бесселя произ¬
ведено вдоль параллели 52°30' с запада на восток, начиная от меридиа¬
на Пулкова, счет долгот также начнем от Пулкова. В этом случае, пола¬
гая для Пулковского меридиана
^о = Аг1о = ^о = 0.
по формуле (1.3.7) находим
_уо = 0.
Из (1.3.6) и(1.3.7) для данного случая получаем:
х0 — — Да (cos Вр sin2 Вр cos Вр) -f- Д b sin2 Вр cos Вр = — 450,8 м,
г0 = Д a sin Вр cos2 Вр — Д b sin Вр (1 eos9 B¿) = — 663,8 м,
где В„ — широта Пулкова, Д а = + 848 м, Д Ь= -f- 784,4 м.
m (1.3.6) следует
£ = х0 cos В cos L -f z0 sin В + (Д а — Д ¿>)cos2 В + Д Ь,
из (1.3.7)
7? к] = jc0sin L.
41

Следовательно, для составляющей q смешанного уклонения отвеса
t в плоскости первого вертикала имеем
L
Rq = х0 sin L — J [х0 cos В cos L + z0 sin В +
О
+ (А а — Д b) cos2 В + Д b\ cos BdL,
так как
dl = cos В »dL.
Выполнив интегрирование, будем иметь
Rq = х0 sin2 В sin L — Leu* Z?[z0sin В + (Д а — Д 6)cos2ß + А И (1.8.19)
Переходя к секундам дуги, получим
q = — 9", 196 sin L — 5",550L.
Ниже, в таблице, приведены результаты вычислений г} и q для 19
астрономических пунктов, лежащих вблизи параллели с широтой 52°30'.
№
по
пор.
L от Пулкова
*)
Q
q по Изотову
Расхождения 5—4
1
2
3
4
5
6
1
— 0°27',9
+ Q”,12
+ 0М2
+ 0М2
О'.ОО
2
+ 5 32 ,1
- 1 ,41
— 1 .42
— 1 ,41
+0 ,01
3
+ 8 50,7
- 2 ,25
— 2 ,27
— 2 ,25
+0 ,02
4
+13 06 ,4
- 3 ,31
— 3 ,35
— 3 ,33
+0 ,02
5
+16 49 ,7
- 4 ,23
— 4 ,29
— 4 ,26
+0 ,03
6
+21 47 ,8
— 5 ,42
- 5 ,53
— 5 ,47
+0 ,06
7
+27 49 ,7
— 6 ,82
— 6 ,99
— 6 ,92
+0 ,07
8
+31 17,3
— 7 ,59
— 7 ,81
— 7 ,74
+0 ,07
9
+34 59 ,3
— 8 ,38
— 8 ,66
- 8 ,62
+0 ,04
10
+40 02 ,1
- 9 ,40
— 9 .79
— 9 ,74
+0 ,05
11
+45 26 ,9
— 10 ,41
—10 ,96
—10 ,90
+0 ,06
12
+50 23 ,8
- 11 ,26
—И ,97
—11 ,89
+0 ,08
13
+55 08 ,9
— 11 ,99
— 12 ,89
—12 ,83
+0 ,06
14
+72 50 ,9
-13 ,96
—15 ,84
—15 ,78
+0 ,06
15
+77 17 ,4
-14 ,25
—16 ,46
-16 ,47
—0 ,01
16
+83 14 ,7
-14 »51
—17 ,20
— 17 ,24
—0 ,04
17
+88 51 ,1
-14 ,61
-17 ,80
-17 ,82
-0 ,02
18
+95 54 ,0
— 14 ,53
—18 ,44
—18 ,44
0 ,00
19
+99 35 ,0
-14 ,41
—18 ,71
—18 ,84
—0 ,13
Приведенные в последнем столбце расхождения в q могут зависеть
от того, что А. А. Изотов вычислял коэффициенты уравнений градусных
измерений путем последовательного исключения € и г, по ходовой линии,
не совпадающей с параллелью 52°30'. Мы видим, что различие между
г\ и q велико и надежно находится рассмотренным здесь способом.
Уравнения (1.8.13) — (1.8.18) линейны относительно функций £, 0-,
N.	/ и их значений при ф = 0. Поэтому с изменением t, toУ А0, й0,С0 на
Д£, Д^о, ДАо, Д^0» функции	изменяются на ДС, и Д/У таким
42

образом, что выполняются все уравнения типа (1.8.13) — (1.8.18), в кото¬
рых значение каждой функции заменено на ее приращение. Конечно,
это заключение следует и из исходных формул, использованных в этом
параграфе.
Пусть в результате перевычисления триангуляции, произведенного
на основе принятой системы значений получены поправки А В и A¿ в
те координаты, при помощи которых вычислены значения £. В связи
с этим изменятся уклонения отвеса, а следовательно, и высоты (на AQ.
Изменение компонент уклонения отвеса без учета эффекта от члена А С,
очевидно, соответствует члену St, а полное изменение с учетом эффекта
от АС соответствует Ай. При этом A t можно выразить через значения
Ай и AÍ в той же точке, а Ай и А£ выразятся интегральными форму¬
лами типа (1.8.14) и (1.8.15):
/?Дй = RS t + /?(Ай0 — A t0) cos ф + AC0sin ф +
Ф
+ /?J Afsin(¿—ф)<а,	(1.8.20)
о
дс; == Д£0 COS ф + Я(Д *0 — Д9о) Sin Ф —
Ф
-RfAtcos(l-Wdl.	(1.8.21)
О
Эти формулы можно использовать также для вычисления поправок
в координаты, если изменены астрономические координаты части или
всех пунктов (например, в результате перехода к новой системе коорди¬
нат звезд или замены более точными наблюдениями).
Формулами (1.8.20) и (1.8.21) определяются радиальный и продоль¬
ный сдвиги ряда триангуляции. Нетрудно убедиться в том, что в общем
случае нужно учитывать и поперечный сдвиг. Действительно, продоль¬
ный сдвиг RАй вызывает изменение долготы на Ай sin A sec В. В силу
этого обстоятельства геодезический азимут окажется ошибочным на
Ай sin A tg £, что вызовет искривление ряда и поперечный сдвиг
Ф
R J Ай sin A tg Bdl = — R J Ай dA.
(1.8.22)
Таким образом, только ряды, идущие вдоль меридианов или парал¬
лелей, не испытывают поперечных сдвигов. В общем случае величина
поперечного сдвига имеет тот же порядок, что и продольного.
Следует отметить, что уравнения типа (1.8.20) — (1.8.22) должны
обязательно учитываться в теории уравнивания триангуляции, обрабо¬
танной методом проектирования.
В заключение рассмотрим влияние случайных ошибок определения
уклонения отвесной линии на С*
Если Л£о = А = Дй0 == 0, то
A^ = — R J Atcos(l-y)dl^R2Atcos(l — <i>)Al.
43

Пусть A t— случайная ошибка и пусть можно принять А¿2«Д /= const*
тогда
Ф
др» = Я»Д/ад/у cos2(/ — t) = /?2Дi2Д/-f-	ф>
о
то есть при постоянном А /
ДС = ±^Д/-ДО/Л я
sin2<l»\V*
4 Ф У
(1.8.23)
где
±
д/
Формула (1.8.23) в несколько иной форме получена Л. П. Пелл и-
неном.
При малых значениях ф последний множитель близок к 1. Он при¬
нимает экстремальные значения при 2ф=1£2ф, равные соэф. Первое
экстремальное значение (максимум при Ф=0) равно 1, второе (мини¬
мум при 2 ф = 4,5) равно 0,63. Таким образом, во всех случаях этот
множитель несколько меньше единицы.
М. С. Молоденский, 1944.
М. С. Молоденский, 1945, § 25.
Формула (1.8.22) опубликована впервые.
Глава II
НОРМАЛЬНОЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
Гравитационное поле Земли принято представлять в виде суммы
нормального и аномального поля. Аномальное поле должно быть мало
настолько, чтобы имелась возможность пренебрегать квадратами ано¬
малий потенциала и всех производных первого порядка. Тогда теорию
определения аномального поля можно строить в линейном приближении.
Выбор нормального поля, конечно, этим условием не определяется.
Имея в виду полное решение задачи, которое требует использования
геодезических материалов, удобно воспользоваться той же системой
геодезических координат, которая рассмотрена в главе I. Таким образом,
следует воспользоваться теорией Пицетти и за отсчетную поверхность
выбрать эллипсоид вращения, близкий к геодезическому эллипсоиду или
совпадающий с ним. Желательно также для основной нормальной части
поля получить точное решение замкнутого вида (без разложения в ря¬
ды). С этой точки зрения удобна рассматриваемая далее специальная
криволинейная система координат, в которой точно определяются нор¬
мальное поле и связь с геодезической системой координат.
Итак, в качестве нормального гравитационного поля Земли можно
принять поле тела, вращающегося вместе с Землей, внешней уровенной
поверхностью которого является сжатый эллипсоид вращения. Это тело
будем называть нормальной Землей, а эллипсоидальную уровенную по¬
верхность — уровенным эллипсоидом. Уравнение этого эллипсоида в де¬
картовых координатах, отнесенное к центру, зададим уравнением
Л2+.У2 Z2
аа “|"б2— ’
(II.1)
где а — большая полуось и b — малая полуось эллипсоида.
44

Нормальная Земля равномерно вращается вокруг оси Ь с известной
угловой скоростью (о. Массу М нормальной Земли будем считать также
известной. Согласно теореме Стокса, этих данных достаточно, чтобы
определить все элементы нормального поля как на поверхности уровен-
ного эллипсоида, так и во внешнем пространстве.
На поверхности эллипсоида (II.1) потенциал £/ силы тяжести по
условию постоянен и пусть равен и0. Следовательно, потенциал притя¬
жения на этой поверхности равен
Уо = ио- уС*2+У)0,	(Н.2)
где индекс 0 всюду относится к поверхности исходного эллипсоида (11.1).
Функция V вне поверхности эллипсоида удовлетворяет уравнению Лап¬
ласа
ДУ
d2V
дх2
d2V d2V
ду2 ' dz2
На бесконечности функция V регулярна, то есть
Нш (р V)—/М,	(ИЗ)
где I — гравитационная постоянная, а
р2 = х2 -\-у2 + г2.
Из решения внешней задачи Дирихле нужно найти потенциал V
тяготения в любой точке вне эллипсоида (11.1), так чтобы удовлетворя¬
лись краевые условия (11.2) и (Н.З). Добавив к функции V потенциал
центробежной силы, получим потенциал и силы тяжести.
Введем систему криволинейных координат иу V, до, связанных с де¬
картовыми следующими соотношениями
х = с sin и cos v ch w
у = с sin и sin v ch w
z = c cos и sh w
(11-4)
где с = }/ а2 — Ь2, и представляет собой дополнение до 90° приведенной
широты, и — долгота. На поверхности эллипсоида вращения до = до0,
тогда
х = а sin a cos v,
у = a sin и sin v,
z = bco$u,
а = с ch Wo
b = cshw0
(II.5)
Действительно, исключая из этих уравнений и и у, получаем урав¬
нение (Н.1). Поэтому на поверхности эллипсоида (11.1)
w = wn = Aiih — = Arsh — = Arch —
(П.6)
Очевидно, что поверхность v = const является плоскостью. Из соот¬
ношений (П.4) и (И.5) следует, что поверхность до = const является
эллипсоидом вращения, большая полуось которого равна ссЬдо, а малая
полуось с sh до. Меридиональные сечения эллипсоидов до = const плоско-
45

стями v — const являются эллипсами, причем расстояние от центра до
фокусов этих эллипсов	с2 (сh2w — sh2w) = с\ следовательно, меридио¬
нальные эллипсы софокусны, и с удалением от центра Земли сжатие их
уменьшается.
На поверхности и = const
х = а' cos vchw,
у = а9 sin v ch w,
z = bf sh w,
Следовательно, поверхность и = const представляет собою одно-
полостный гиперболоид вращения с полуосями а' — с sin и, b' = с cos и.
Меридиональные сечения этих гиперболоидов и = const плоскостями
V = const представляют собою гиперболы, расстояние от центра до фо¬
кусов этих гипербол составляет \/ c2(sin2u + cos2u)= с. Таким образом,
все меридиональные эллипсы и гиперболы являются софокусными.
Для выполнения дальнейшего исследования в криволинейной систе¬
ме координат образуем частные производные от декартовых координат
по криволинейным:
дх	, дх	.	.	,
— =с cos и cos vchw, 3— = — с sin и sin v ch w,
du	dv
дх
dw
= c sin и cos г'sh-и;,
dy л	u dy	.
f- = c cos и sin v ch w, -~- = c sin a cos v ch w,
du	dv
ду	и
= c sin и sin v sh wy
dw
dz
du
= — csinttshze/,
dz
dv
= 0,
dz
dw
= c cos и ch w.
Отсюда получаем условия ортогональности и
V = (яг)* + ФУ + ФУ = ‘1(ch>w- sin» и)
*»’ = ФУ + ФУ + ФУ = *«*аЛ’*
*•* = ФУ + ФУ + ФУ = <?(<*<*-** «)
Дифференциал длины линии определится из квадратичной формы
ds% = с2 (ch9 до — sin2 и) du2 + с1 sin2 и ch2 wdv1 -(-
-f с2(сЬ2а; — sin 2u)dw2,	(II.8)
а оператор Лапласа выразится известной формулой
ДК=
1
id /hJibdV\ д /hlhbdV\ д /АхА2дУ\|
\ди \ Ах ди ) '' dv \ А2 dv ) dw \ As dw)} ’
(Н.9)
Используя значения Аь кг и Аз из (П.7), получаем уравнение Лап¬
ласа в координатах и, V, до
d / .	, дУх , d /ей2 до — зт2«^'
д г ■
Ш Csinü
С
dv V sin u ch до dv
)
+
/ .	. dV\
Í sin и ch до ^ \
= 0.
(11.10)

Из (II.4) получаем
(х2 + у2)0 = с2 sin2 a ch2 w0,	(11.11)
поэтому граничное условие (П.2) можно записать так:
V0— U0 — )^&2c2sm2UQh2w0.	(11.12)
Задача Дирихле, как известно, имеет единственное решение. Поэто¬
му достаточно найти гармоническую и регулярную на бесконечности
функцию, которая на исходном эллипсоиде w = w0 принимает значение
(IÍ.12). Поскольку краевое условие (11.12) не зависит от v, будем искать
решение задачи в виде суммы частных решений вида An^n{a)^n(w), при¬
чем каждое частное решение должно удовлетворять уравнению Лапласа
(НЛО), т. е. уравнению
•К (®) ch w í (si и и íbfiO) + i, <«) sin и i ( ch w	= 0.
Это уравнение после разделения переменных, примет вид
1	±_ Ain и dV"(u)\ =
сря (и) sin и du\	du )
=	\	. ±(CbW±M±\ = k
tyn{w)chw dw\	dw )
Левая часть полученного равенства не зависит от wt а правая от и.
Следовательно, обе равны одной и той же постоянной k. В развернутой
форме получаем:
4г + с,«“Ж + *'р''=0’	<м|3>
w+ibwd-t-k^=0-	<|||4)
Уравнение (11.13) при k = n(n-(-1) представляет собою дифферен¬
циальное уравнение Лежандра, которому удовлетворяют функции Ле¬
жандра Рп (cos и) первого и Q„ (cos и) второго рода. Второе решение не
ограничено, поэтому нужно принять ая («) = Рп (cos и), а за частное
решение уравнения Лапласа примем
AMw)Pn(cosu).	(11.15)
Теперь фл (до) должна удовлетворять уравнению
+	<”16>
и быть регулярной на бесконечности. Таким образом, мы получили
V = 2AnPn(cosu)'\>n(w).	(11.17)
Чтобы удовлетворить краевым условиям, нужно коэффициенты Ап
определить так, чтобы при w = w0 (11.17) переходило в (11.12), то есть
V0 = 2 АпРп (cos к) (wo) =Í70— ^ о)2 с2 sin2 и ch2 w0.	(11.18)
47

Поскольку
2	2
sin2 и	— — Р2 (COS и),
убеждаемся, что в правую часть (11.17) входят только полиномы Ле¬
жандра нулевого и второго порядков. Поэтому все Ап , кроме А0 и А2,
равны нулю.
Теперь легко получим формулу для распределения силы тяжести y
на поверхности уровенного эллипсоида U = U0. Для этого продифферен¬
цируем потенциал U силы, тяжести по направлению нормали к поверх¬
ности w = const и положим w = Wq. Вследствие ортогональности коор¬
динатных линий нашей системы элемент нормали к поверхности o>=const
по (11.8) составляет
dv = hs dw = с j/~ ch2 w — sin2 и dw.
Таким образом, из (11.12) и (11.17) имеем
_1dU\ _	-1
А3 dw)o с ch2 w0 — sin2 и
[ЛФ'оК) +
+ Л2Р2(соз и) ф'2(^о) + ю2я6 sin2 и\.	(11.19)
Отсюда закон изменения силы тяжести на эллипсоиде можно пред¬
ставить формулой
A cos2 и + В sin2 а
ch2 w0 — sin2 и
где А и В — постоянные, подлежащие определению. Полагая и = 90°,
получим силу тяжести на экваторе
В	Вс
V
' зЬгг»0	Ь '
а при и = 0 на полюсе
. _ А _Ас
ch w0 а
Поэтому y можно представить через y« и YР так:
		Y* a cos2 и + feb sin2 и
Y	—•
j7 а2 cos2 и -f b2 sin2 и
Принимая во внимание, что
*“ = ***•
где В — геодезическая широта, получим
	 Y^ésin2 В + 4eacos2 В
^ y b2 sin2 В + я2 cos2 В
(11.20)
(11.21)
Мы получили формулу Сомильяна, которая выражает точный закон
изменения силы тяжести на уровенной поверхности, имеющей форму
сжатого эллипсоида вращения.
48

Продолжим исследования нормального потенциала. Преобразуем
уравнение (11.16). Подставив £=/зЬ да, получаем •
(?2-1)-^- + 2^»-«(д + 1)фя = °.	(11.22)
Мы получили уравнение Лежандра. Общее решение этого уравнения
для целых значений п и | £| —-	т > 1 имеет вид
Ф n=c'nPn^) + c>'Qn{l)-
Поскольку
я0(5)=1,
РЛ 5)=|е-5.
<?„«) =
= ikv — i arc ctg sh да,
<ш=|(§р
l±l
5-1
получаем
Д, ф0 = Cy 4- c2 arc sh w
Q
Aq ф2 = ту (3 sh2 да -j- 1) + ту (3 sh2 да -f- 1) arc ctg sh да — у c4 sh да ’
(11.23)
где Ci, c2, c3 и c4 — новые постоянные, выражающиеся через с0', Со",
с2 и с2".
Потенциал V притяжения эллипсоида составит
V= А0 ф0 (да) + Л2Р2 (cos и) ф2 (о>) =	+ с2 arc ctg sh да +
+ P2(cos/t) £^(3 sh2w 4-1) -f ^y (3 sh2 да + l)arcctgsh да —
— ^-c4sh®J.	(11.24)
Так как
sh да = p/"^ (p2 — c2 sin2 и),
где p2= x2 -|- y2 -\- z2, при больших значениях p
sh to « — , arc ctg shw « —
c	6	P
Вместе с тем при больших p
1/:
,/M
поэтому
C1 = cs = о,
(11.25)
4 Труды ЦНИИГАиК, вып. 131
49

Остается определить с4. При т — изо потенциал силы тяжести равен
постоянной и0, сЬ ш0 = - , эЬ Шо = - , поэтому
U,
о)9 а2 . 2	. fM	с .
— sin2 и	arctg j +
+ (rcos" “ - r) r[(?+')arc ,e Г - 4] •
Приравнивая нулю коэффициент при sin2 иу получаем условие для
определения с4
о)2а2 3 Г/Зд2 , «\	с ЛЬ
4С<
[(4+0-'4-4]
Кроме того, получаем выражение для 1)о через /М, Ь, с, <о
.. /М с аз2 а2
Таким образом, вместо (11.24) имеем
У=Ш
(11.26)
(11.27)
arc cigsh w-\-
+
о)2 а2
Р% (соз и)
(3-^acctí¡f-3l)
^— [(3 sh2 w -)- 1) arc ctg sh w —
3sh w\.
(11.28)
Далее из (11.23) получаем:
Л Фо' (“'о) = — с9 £ = —>
А,Ф„'(wo) = [З (arctg+
= |о>2а2
l(ardg£-£
Л- + -
) с2 + а
Q + -r) arctg^-3
Поэтому вместо (11.19) можем написать
]/"а2 cos2 u-\-b2 sin2 и
^ — |-w2 а2Ръ(со$и)Х
X
i(arc,gi-.¿)j+^
\ab.c
)Ж ~'7Г о
'	- -fg o)3aé|P2(cosa) — 1|
		1	 р1_лг	4.
\ra1 cos2 и -{- Ь2 sin2 и L3 ^	3
+ \(аЧр — ЬТ,) Р* (cosи)J .
(11.29)
SO

В заключительной части равенства выписана немного преобразо¬
ванная формула (11.20).
Сравнивая коэффициенты обоих выражений для у, получаем
1	.2, fM 2 о ,
з«т, + з*т.=—-з «*<■*,
atp — Ь‘(е = ш2аЬ
2 с»2 ас2
b
(И.ЗО)
(11.31)
Формула (11.31) содержит точное выражение теоремы Клеро для
уровенного эллипсоида. Заметим, что (11.30) очень просто получается
из (11.20) при помощи формулы Гаусса, связывающей массу тела с по¬
током градиента потенциала через его поверхность.
Для определения разности моментов инерции нормальной Земли,
являющейся стоксовой постоянной, используем формулу Грина
LUdv=f *.+£-** rds =
2
= 4 к/(С — А) — 2(й2 J x2+y^ — 2z2d ^
(11.32)
Из формул (11.4), (11.7) и (11.20) получаем:
d х = hjtjib da dv dw = с3 [ 1 -j- 3 sh2 w + 2 P2 (eos a)] sin uchwdu dv dw,
Y dS= |/Af —	o»9 a2 b ^[(a ip — b y,) aP2 (eos «)J sin и du dv,
v2 _l_ v2	 o z2 1
= i. C2 [1 _ (1 + 3 sh2 w) P2 (eos «)].
2	o
Поэтому после подстановки в (11.32), интегрируя и используя при
этом ортогональность полиномов Лежандра, получаем
/(С-Л) = 1/Же2
(11.33)
Параметры /М, /(С—А), По и ш полностью характеризуют внешнее
гравитационное поле нормальной Земли. Формулы (11.30), (11.31), (11.33)
и (11.27) определяют связь этих параметров с а, а, у, и ш.
Н. Р. Малкин, 1939.
М. С. Молоденский, 1945, § 3 и 4.
4*
51

Глава III
ГЕОИД РЕГУЛЯРИЗИРОВАННОИ ЗЕМЛИ
§ 1. Некоторые соотношения между значениями гармонической
функции и ее производных
При выводе уравнений, связывающих друг с другом элементы гра¬
витационного поля, многие авторы излишне усложняли вопрос, иногда
допускали ошибки. Мы изложим этот вопрос с одной общей точки зре¬
ния и упростим вычисления, связанные с выводом основных формул.
Учитывая известные соображения, приводимые при выводе формулы
Стокса, в выводах с относительной точностью порядка сжатия краевые
условия можно считать отнесенными к сфере, а эффект вращения Зем¬
ли — исключенным.
В основу последующих выводов мы положили известное преобразо¬
вание Грина
= —<шм>
О
где U — гармоническая вне поверхности сферы и регулярная на беско¬
нечности функция, v — направление внешней нормали к сфере, г — рас¬
стояние от точки М, для которой определяем значение Uf до элемента d а
поверхности сферы.
В (ШЛ.1) мы намеренно изменили обычное написание формулы
Грина, введя вместо U под знак интеграла разность U—U0j понимая
под Ud значение U в точке пересечения сферы с радиусом-вектором точ¬
ки М. При такой записи формула (III.1.1) сохраняет свое написание при
переходе точки М на сферу перемещением по прямой к центру сферы,
так как здесь устранен скачок непрерывности потенциала двойного слоя,
плотность которого в точке разрыва непрерывности обращается в нуль.
Действительно, учитывая постоянство i/0 относительно интеграции по а
и значения интеграла Гаусса
frAd°=0’
а
если М лежит вне поверхности а, и
если М находится на сфере а, от (И 1.1.1) можем вернуться к обычной
записи формулы Грина. Заметим, что формула (111.1.1) так же, как
(III.1.2) и (Ш.1.3), остается справедливой и в том случае, если а —лю¬
бая удовлетворяющая условиям Ляпунова замкнутая поверхность.
Чтобы облегчить предельный переход к сфере после дифференциро¬
вания, к которому нам далее придется прибегнуть, произведем подобное
же преобразование и в первом члене, содержащем у
t/(Af) = -
dU
д v
d о —
I?dUo
Р др '
(III.1.4)
52

Здесь /? — радиус сферы а, р — расстояние точки М от центра этой
, дЩ	ди	.
сферы, — значение ^ в точке пересечения сферы с радиусом-векто¬
ром р точки. М. Для проверки равенства (III.1.4) учтем, что производ¬
ило
ную при интегрировании по а следует рассматривать как постоянную
и
/
4 % Я2
~Т~’
так как левую часть можно рассматривать как потенциал, развиваемый
на точку М массой, равномерно распределенной на поверхности сферы
м
1
с поверхностной плотностью, равной единице. — можно выразить через
р, Я И ф:
у = (ра- +	— 2 р /?созф)~1/2,	(111.1.5)
где ф—угол между радиусом-вектором о точки М и направлением к пе¬
ременному элементу поверхности <1 а. Образуем производные от у
^7=-(р2+^-2р/?со5ф) *'*.(!?-рсозф)
~ у = - (р2 + /?2 - 2 Р я сое ф)_8/г. (р - /? СОб Ф)
д2 1 сое Ф,3._	... п ..
-3—3	=	7- + -г(У?— р сое ф) (р — соэ ф)
ОУОр г	г3	' г°
(Ш.1.6)
Для положения точки М на поверхности сферы возьмем предельное
значение предыдущих выражений при р, стремящемся к /?
д_±_д_ ±_	1_
()»/• д р г	2 г Ц
^Т _ 1	1	_ 1	1 д 1
дчдр г3^~4/^г г3 21?дчг
(111.1.7)
причем в последних формулах под г следует, конечно, понимать расстоя¬
ние между двумя точками сферы
г = 21/?зт^-.
53

Берем производную по рот обеих частей (Ш.1.4)
dU(M) _	1 ГГ/dU dU0\ д 1
д. р	4 it J	v dv J dp г
(U-U0)
d3-
dvd p J
da +
,R2dU0
^ ?2 dv
(III.1.8)
Когда точка M переходит на поверхность сферы, первый интеграль¬
ный член на основании (III.1.7) можно рассматривать как потенциал
двойного слоя, который сохраняет непрерывность, так как плотность его
в предельной точке равна нулю.
Второй интеграл является несобственным и имеет смысл, если зна¬
чение U на поверхности сферы можно дважды дифференцировать и раз¬
ложить в ряд Тейлора вблизи значения U = t/0
и= ио + (#1 COS а + 61sin а) г + (я2соз2а + 6gsin2a + ^sin 2 а) г2 + . . .
Тогда при интегрировании по азимуту а останутся члены порядка
не ниже rz
Образуем функцию
dJTT + TRUW
и найдем ее предельное значение, когда р стремится к И. Используя при
этом равенства (Ш.1.4) и (III.1.8), получим
dUo
dv
+
_Lи L	+--\
2 RU°~ 4nJ [Uv dv J\2Rr^ dp r J
d2-
- V-y.) Q-RJf 7 + 57^)] ’+ TЖ ■
На основании (III. 1.7) заключаем, что первый интеграл обращается
в нуль и
д2-
1 д 1
1
Следовательно,
dv др
' 2Rdp г
г3’
dU0
- 1 г
К
1
£
1
dv
2п J
г3
R
(III.1.9)
Эта формула решает задачу, обратную внешней сферической задаче
Неймана. Она определяет значение нормальной производной для гармо¬
нической функции, заданной на поверхности сферы.
Применим формулу (III.1.9) к функции р ^ , которая, как изве¬
стно, также является гармонической и регулярной на бесконечности.
Очевидно,
д_ ( ¿У} — дЛ I .
др\^др/ д р ' ^ д р2
54

Следовательно, вместо (III. 1.9) получаем в этом случае
1 /ди ди0'
3\ду дч
(111.1.10)
Эта формула позволяет определить вторую радиальную производ¬
ную гармонической функции по значениям первой производной, задан¬
ным на сфере.
М. С. Молоденский, 1945, § 1.
§ 2. Основные зависимости для регуляризированной Земли
Как известно, потенциал притяжения вне поверхности Земли яв¬
ляется функцией гармонической (т. е. удовлетворяет уравнению Лапла¬
са) и регулярной (т. е. убывает с расстоянием как у). Поэтому потен¬
циал во внешней точке можно выразить через значения потенциала на
любой удовлетворяющей условиям Ляпунова замкнутой поверхности
известной формы, заключающей в себе все притягивающие массы (ис¬
следуемая точка предполагается лежащей обязательно вне этой поверх¬
ности или на ней). Это следует из теоремы Дирихле, частным случаем
которой является теорема Стокса, рассматривающая внешнюю у ро¬
вен н у ю поверхность. Вместо значений потенциала на поверхности
могут быть заданы значения производной от потенциала по нормали
к поверхности (задача Неймана).
Иметь дело с уровенной поверхностью проще, так как в этом случае
на поверхности значения потенциала обращаются в постоянную, которая
выходит из-под знака интеграла, что существенно упрощает последую¬
щие вычисления. Поэтому во всех классических работах Стокса, Пуан¬
каре, Пицетти и др. поверхность интегрирования всегда уровенная и
именно геоид. Но так как вне этой поверхности потенциал должен быть
правильной (регулярной) функцией, приходилось предполагать, что это
условие выполнено заранее путем той или иной «регуляризации Земли»,
т. е. путем удаления или переноса во внутрь поверхности всех масс, ле¬
жащих вне геоида. Таким образом, задача была разбита на две:
1.	Регуляризация Земли, т. е. вычисление тех поправок в измерен¬
ные значения силы тяжести, после учета которых можно считать эти
значения отнесенными к поверхности регуляризированного геоида.
2.	Определение фигуры геоида регуляризированной Земли.
Следовало бы добавить еще и третью задачу: возврат от получен¬
ного таким образом гравитационного поля регуляризированной Земли
к гравитационному полю реальной Земли.
Как видим, задача регуляризации Земли включает в себя геодези¬
ческий аспект проблемы редуцирования силы тяжести к уровню моря.
К этой задаче следует добавить неразрывно с ней связанные задачи
редуцирования направления силовой линии гравитационного поля (т. е.
приведение широт и долго* к уровню моря), а также задачу вычисления
высот точек наблюдения над геоидом (т. е. ортометрических поправок
в результаты геометрического нивелирования). Эти вопросы мы рассмот¬
рим в главах «Геоид нерегуляризированной Земли» и «Внешнее грави¬
тационное поле и фигура Земли». Здесь же мы предположим, что регу¬
ляризация Земли так или иначе уже выполнена и что значения силы
тяжести на поверхности регуляризированного геоида точно известны.
При рассмотрении основных зависимостей для регуляризированной
Земли будем пользоваться понятием о нормальном эллипсоиде. Пусть
центр этого эллипсоида совпадает с центром масс регуляризированной
55

Земли, малая ось эллипсоида и ось вращения регуляризированной Зем¬
ли также совпадают. Будем считать, что размеры нормального эллип¬
соида выбраны так, что его поверхность достаточно близка к регуляри-
зированному геоиду, а значения потенциала силы тяжести на этих по¬
верхностях одинаковы.
Обозначим высоту геоида, т. е. расстояние от некоторой точки геои¬
да до поверхности нормального эллипсоида, через ¡¡, а значение потен¬
циала на геоиде и нормальном эллипсоиде — через с. Все выводы будем
делать с точностью до первых степеней или аномалии, или высоты геои¬
да, или уклонения отвеса; будем также допускать ошибки порядка
произведения сжатия Земли на перечисленные величины.
При перемещении единицы массы с геоида на нормальный эллип¬
соид вдоль нормали к нормальному эллипсоиду будет совершена работа,
равная у С (с ошибкой порядка произведения высоты геоида на анома¬
лию силы тяжести; этой ошибкой, как условились, мы пренебрегаем).
Следовательно, возмущающий потенциал Т0 на поверхности нормального
эллипсоида можно определить так (формула Брунса):
Т0 = (с + ^)-с = ^.	(Ш.2.1)
Значение силы тяжести на поверхности геоида регуляризированной
Земли будем обозначать через £о. Нормальное значение силы тяжести
на той же поверхности составит
Т +
тг
2тС
Я
где Я — средний радиус Земли. Таким образом, чистая аномалия силы
тяжести на поверхности регуляризированного геоида равна
(Ш.2.2)
Допуская указанные выше погрешности, можем считать значения
возмущающего потенциала и аномалий отнесенными к сфере. Подстав¬
ляя выражения (Ш.2.1) и (Ш.2.2) в формулу (III.1.1), находим
Т(М) =
с1з.
Как уже указано, интеграл справа не терпит разрыва непрерывно¬
сти при переходе М на поверхность а, а потому после предельного пере¬
хода получаем
г- <">=к / [т (>+:Щ+ ^ £ т] 1
или при помощи (III.1.7) и (Ш.2.1)
1
2пх
з
4 п Я
/
(Ш.2.3)
Мы получили интегральное уравнение, решение которого приводит
к известной формуле Стокса. Подставляя (Ш.2.1) и (Ш.2.2) в (III.1.9),
получаем формулу
4<«+3|+й/^&‘*,=0'	(Ш-2'4)
а
56

В (III.2.3) и (III.2.4) через bg0 иС0 мы обозначили значения Д# и С
в фиксированной точке. Формула (Ш.2.4) определяет аномалию Д^ си¬
лы тяжести через высоты С регуляризированного геоида над нормальным
эллипсоидом.
Точно так же из (III.1.10) получаем
д2T0_2^g0	4 т Со
др2 /? 'г /?•
а	с
Исключая отсюда последний интеграл, при помощи (Ш.2.4) полу¬
чаем формулу
д27о_4Д£0 , 6уС0
д ра ~	/? ^ Я2
а
(III.2.5)
которая определяет вторую радиальную производную потенциала через
аномалии Д^ силы тяжести (высота Со геоида входит сюда очень слабо).
Формулу, которая дает интегральную связь между уклонением от¬
веса и высотой геоида, можно получить из самых элементарных сооб¬
ражений. Данную точку на сфере возьмем за полюс, а положение любой
другой определим ее угловым расстоянием ф от первой точки и азиму¬
том а, отсчитанным от любого фиксированного направления. Тогда
есть составляющая уклонения отвеса в направлении ф,
о
где Со — высота геоида для данной точки, а Сл — для ее антипода. Умно¬
жая обе части последнего равенства на с1 а и интегрируя по а в пределах
от 0 до 2тг, получаем
= Щ С08еС Ф й	(Ш-2-6)
о
Полученная формула соответствует идее астрономического нивели¬
рования, при помощи которого высоты геоида можно получить с точно¬
стью до произвольной постоянной. Для исключения этой постоянной
поставим условие равенства объемов геоида и нормального эллипсоида
\ =
Путем интегрирования по частям это условие выразим через укло¬
нение отвеса
2 л
0 = ^ С (I о = у й а С ф а! ф
Следовательно,
= 2-*(Со + Ся)+^/||с
а
*,+с„=-г
(Ш.2.7)
57

Исключая из (Ш.2.6) и (Ш.2.7), получаем
^=-^т?/дщс'Л“я-	<Ш2-8>
О
Поскольку исходные предпосылки вывода последней формулы мож¬
но отнести к А# и , по аналогии с (III.2.8), учитывая, что
j Д^а = 0,
О
имеем
4*» = -4»7?/^Гс,®Г‘'5-	<ш-2-9>
О
Формулу, обратную формуле Венинг-Мейнеса, определяющую ано¬
малию силы тяжести через уклонения отвеса, заданные на поверхности
сферы, легко получить из (II 1.2.4) путем интегрирования по частям.
Действительно, при условии, что
/ ¡^о=0,
о
вместо (III.2.4) можем написать
4* = 27 ] ® ^ (г* ~ 2$>) =
= 25/‘г,/к-«(‘г7 + з¥)-	<"т0>
а после интегрирования по частям получаем
А^°=2^	~	“ Й / ¿7 (т1 + 4^)^ а=
о
= 4пЯ*/(3с08ес,1'-со8есФс08ес^-	(Н1.2.11)
О
Уравнение (III.2.3) легко разрешается, если аномалия А^ разло¬
жена по сферическим функциям
Результат
С = —2^7	(Ш.2.12)
ТсР 2 п ~ 1
называют рядом Стокса — Пуанкаре. Его суммирование приводит к ин¬
тегральной формуле Стокса
2 п	я
^ =	^^•^(С08Ф)8‘ПФ^Ф>
сро о
58

где
°° 9 п 4- 1	(L	/
5(собФ)=2	P„(cos ф) = cosec— Зсоэф In (
2 п —1	*	\
sin ■+ sin2
i)
— 6 sin у + 1
- 5 cos ф.
Как показал Пицетти (русский перевод 1933 г., Михайлов, 1939),
формула Стокса определяет высоту £ геоида с относительной погрешно¬
стью порядка сжатия земного эллипсоида.
В 1913 г. Пицетти (русский перевод 1933 г.), а позднее Венинг-Мел-
нес (1928) дали общее выражение для возмущающего потенциала во
внешней точке М. Эту формулу мы называем обобщенной формулой
Стокса. Она имеет следующий вид:
7- = ^/ Д*5(р,ф)</а,	(Ш.2.13)
где на основании (III.2.12)
Так как
.9 (?, ф) = |	рйЗ (с<» Ф)-
1	оо Dn
7 = ?^(созф)'
получаем
r+3n"2y+i п — 1
Rn Рп(cos ф) 2	2Rcos ф
Входящий сюда бесконечный ряд может быть просуммирован. Для
этого достаточно проинтегрировать очевидное равенство
]	, cos ф . %	„ , г, .	, ч	1
-2 -I	+ 2 *”~2 рп (cos ф)
п—2
х2 ]/ 1 — 2 х cos ф + х2
■в пределах от 0 до д: и принять х = — . Получим
гП—1
Е 	г Рп (cos ф) = — (1 — х cos ф — ] f 1 — 2 х cos ф 4 х%) —
	о П — 1	X
п=2
, , 1 —х cos Ф 4- V 1 — 2 х cos ф 4 дс2
— совф In	1	2
Теперь для S(p, ф) можно написать замкнутое выражение
5(Р. Ф) = у-~? cosфIn j’A (р_/^С03ф + г)^	1_^С05ф.
М. С. Молоденский, 1945, § 2.
§ 3. Решение задачи Стокса с относительной погрешностью
порядка квадрата сжатия Земли
Исследования гравитационного поля регуляризированной Земли,
изложенные выше, выполнены с относительной погрешностью порядка
сжатия. С относительной ошибкой порядка квадрата сжатия задача
59

Стокса решена Д. В. Загребиным (1952)1 *. Загребин получает сначала
разложение решения в ряд по функциям Ламе, которые для эллипсоида
вращения вырождаются в сферические функции, а затем суммирует не¬
сколько рядов, выражающих окончательное решение. Для получения
окончательного результата нужно девять раз проинтегрировать по по¬
верхности нормального эллипсоида произведения аномалий на функции,
зависящие не только от расстояния до элемента поверхности, но и от
азимута направления на этот элемент.
В 1956 г. был опубликован простой и не менее точный вывод с ре¬
зультатом более удобным для применения на практике. Этот вывод со¬
стоит в следующем. Пусть потенциал № силы тяжести на поверхности
регуляризированного геоида составляет №0, нормальный потенциал и
силы тяжести на поверхности нормального эллипсоида равен С/0. При¬
мем №0 = и0у тогда отыскание С сводится к определению Т на поверх¬
ности регуляризированного геоида, так как
С = у •	(Ш.3.1)
Из определения возмущающего потенциала Т =	— и следует
дТ_д^_ди
ду ду ду 9
где V — направление внешней нормали к поверхности нормального
эллипсоида. С относительной ошибкой порядка квадрата уклонения от-
дШ
веса значение — ¿у на поверхности регуляризированного геоида й сов¬
падает со значением силы тяжести g и, следовательно,
(§т)с-Тс = -£о-	(Ш.3.2)
Все величины, входящие в это выражение, отнесены к поверхности
геоида, что мы и отметили значком (7.
Не выходя за пределы решения линейной задачи, получаем:
<£)=<$.
То = Тг + с(^) .	(И 1.3.3)
где значок Е указывает, что соответствующие величины отнесены к по¬
верхности нормального эллипсоида. Подставив (Ш.З.З) в (Ш.3.2), по¬
лучим
- ^Е== — (ёс
Т<Н\
у <Ь )
(III.3.4)
Этому граничному условию на поверхности нормального эллипсоида
должен удовлетворять возмущающий потенциал Т. К функции Т и по¬
верхности нормального эллипсоида применим вторую формулу Грина
— 2тг Т=
1дТ_ ТА1\
гду дугу
<1Е,
где г — расстояние от исследуемой точки на поверхности нормального
эллипсоида до элемента йЕ этой поверхности. Исключая отсюда при
1 Пуанкаре в решении данной задачи исходил из недостаточно точного гранич¬
ного условия.
60

помощи граничного условия (II 1.3.4), получаем линейное интегральное
уравнение
2 кТ =
±_<Ll\
гт <?v)
dE.
(III.3.5)
Для дальнейших преобразований используем формулы главы I.
Легко видеть, что (рисунок)
AI
д v г
_1 дг
г2 д v
= -^COS (rv) = ^C032.
(Ш.3.6)
Используя формулу (1.4.15), в которой ин¬
декс 1 должен быть отнесен к текущей точке, а
индекс 2 — к исследуемой, получаем
д_\_
д v г
——(1 +
2rN \ ^
(III.3.7)
где N — радиус кривизны сечения эллипсоида плоскостью первого вер¬
тикала в текущей точке, п = пи, r = s 12. Значение п раскрывает фор¬
мула (1.4.4), в которой в данном случае следует положить Н\ — #2 = 0
п = i ^2 (N0 sin Во — Msin В).
Здесь В — широта элемента йЕ, Во — широта исследуемой точки,
Л'о — радиус кривизны сечения эллипсоида плоскостью первого верти¬
кала в исследуемой точке. Формула Брунса дает
dj
д\
(Ш.3.8)
При помощи формул (Ш.3.7) и (Ш.3.8) приводим (III.3.5) к виду
2”7'=/T''E + /7(¿ + ¿? + 2f-ír)i£'	<шз-9>
где
а2- Ь2
Ь2
Таково точное в линейном приближении интегральное уравнение
рассматриваемой задачи для эллипсоида вращения. Решение будем
искать в геоцентрической системе координат р, Ф, Ь, где р — расстояние
от центра эллипсоида, Ф — геоцентрическая широта, Ь — долгота. Связь
геоцентрических с прямоугольными и геодезическими координатами вы¬
ражена известными формулами
х = р eos Ф eos L
у — р eos Ф sin L 1 ’
z = р sin Ф I
Ь2
tg® = ^tg в
i = ^cos2®+isin2®
(Ш.3.10)
(III.3.11)
61

Введем вспомогательную величину q
_1
Ь4
Д = Д COS2®+ Д sin2 Ф,
q4 а4	«4
тогда
q4 = a4 cos2 В + 64 sin2 В.
В результате простых преобразований получим
sin В — fs sin Ф
b2
cos В cos Ф
(III.3.12)
Из формул (1.2.2) находим
г>4
?2 = V + г02 = Л2 cos2 В + ^N2sin2 В. (Ш.3.13)
Подставляя в (Ш.3.13) значение N = °-- (гл. I, § 2) и пользуясь
выражением для q*, получаем:
?Р — Я
ьГ=
а* р
М:
„2 *
a26V
(Ш.3.14)
(III.3.15)
Продифференцировав первую из формул (111.3.11) и выполнив не¬
сложные преобразования, найдем
а2Ь2
d Ф=—-г dB.
Я*
(1II.3.16)
Элемент поверхности эллипсоида вращения
dE = MN cos BdBdL,
учитывая (III.3.12), (IH.3.14), (III.3.15) и (III.3.16), преобразуем в
dE = со$ Ф d Ф dL.
я2
Воспользовавшись (Ш.3.11), найдем
о С2
sin (В — Ф) = é ^2 sin Ф cos Ф.
Из очевидной формулы
г2 = ?2 + Ро2 — 2 Pop cos ф,
(III 3.17)
(Ш.3.18)
где
следует
cos ф = cos Ф cos Ф0 + sin Ф sin Фо eos (¿ — L0),
''= J^(P — Ро)2 + 4 P Po sin2 |-J l\
(III.3.19)
62

Далее используем приближенные выражения:
ps:e^l-|-e'a sin2 Ф ^ ,
q2 х а2 (1 —е'2 sin2 Ф),
Ъ2 sí а2 (1 — е'2).
Из (Ш.3.14), (Ш.3.15), (III.3.17), (III.3.18) и (III.3.19) получаем
следующие приближенные формулы:
N-.
М
1+2-е'2 sin2 Ф^ ,
а^\ — е'2	е'2 sin2 Ф ^ ,
dExa2{ 1 — g'2sin2®)cos®ú^d£,
sin (в — Ф) sí é2 sin 2 Ф,
(Ш.3.20)
(III.3.21)
(Ш.3.22)
(Ш.3.23)
sí 2 sin	j/~ ppo sí 2 a sin ^1 — ^e'2 $т2Ф^ ^1 — -^-е'281п2Ф0^
Ф
* ~,28т2Ф
1 ^
(II 1.3.24)
Из (Ш.3.22) и (Ш.3.24) находим
dE
г
^1 — ^-£,2зш2Ф^	+ ^-е'2зт2Ф0^ cosФdФ dL. (Ш.З.
25)
2 sin
При помощи (Ш.3.20), (Ш.3.21) и (Ш.З.25) преобразуем выра¬
жение, входящее в уравнение (Ш.3.9),
(L+_L+^	) **=Л+i- в-5 sm» фЛ Г i+1 ш +
■(	2N ) ' V 4	/I 3
+<г-|*°аф-(а‘°Ф~5Т'>>’'У1 -^ТГ • С»-3-
19 .4¡n2l_ /J 4 sin 4-
26)
ato*
где удержаны члены порядка не выше е' , т = — и dQ = cosФdФdL.
Для сокращения записи введем вспомогательные функции
3 ,2 .
Д g — Д i	е’2 sin2®^
Т=т(\ -^-e,2sin^
(Ш.3.27)
Теперь, сохраняя принятую точность преобразований и используя
(Ш.3.25) и (III.3.26)¿ уравнение (Ш.3.9) легко приведем к виду
2«Т= 5 -^~4rdü+ / Üfo + e^fJdQ, (Ш.3.28)
Е 2 sin тр Е
6S

где
3
/о
4 ЭШ;
, Г2 5 .	. 4 /я
л=1г-г8,п Ф+Г7*
'.=п
(бшФ — 5шФ0)‘2
12зш2|-
/о
(Ш.3.29)
Решение уравнения (Ш.3.28) будем искать в форме разложения по
степеням малого параметра е'2
Т=Т0 + е'2 7\ + е'4 Та + • • •	(Ш.3.30)
Подставив это выражение в уравнение (Ш.3.28) и приравняв члены
при равных степенях е'~, стоящие в обеих частях равенства, получим
систему уравнении, из которых можно последовательно определить все
неизвестные функции
2*Г. = /
Е
2 81п|- Е
2 «Г. = /
т0А*а+ /т./осш
Е
Е
2кТ2 = /
7\/^а+ / т2/0<ш
Е
Е
(Ш.3.31)
Так как в уравнении (Ш.3.28) члены порядка е'* и выше уже отбро¬
шены, то бесполезно отыскание функций Гг, Т3 и т. д. Следовательно,
нужно определить только Го и ^ из первых двух уравнений системы
(Ш.3.31). Эти уравнения, как следует из (Ш.3.29) и (Ш.3.31), таковы:
2кТ0 = / -дА^ -	/ -^-¿2,	(Ш.3.32)
23ш^
8»П 7,-
2я7\
5 . 0 т , 4 т
_,га!ф+г_
(вш Ф — эш Ф0)2
12зша^
¿2+
с1&.
(Ш.3.33)
В формулах (Ш.3.31) и (Ш.3.32) интегрирование должно быть вы¬
полнено по ¿2 в геоцентрических координатах — по площади сферы
единичного радиуса. Легко видеть, что уравнение (III.2.3) имеет тот же
вид, что уравнение (Ш.3.32), так как с1о= /?2 соб Фс1 Фс1Ь или в нашем
случаев о = а? с1 & . Поэтому получим
Го=^/^5(СОЗф)^й’	(Ш.3.34)
где 5(соэФ) — функция Стокса.
64

В уравнение (II 1.3.33) введем вспомогательную функцию х> значе¬
ние которой определим через известную теперь функцию То путем
интегрирования
X
1 Г Т0 (этФ- бШ Ф0)2
4я*'	. ф\*
С2з,4)
(Ш.
Уравнение (III.3.33) тогда примет вид
2иТ1 = 2пХ+^-/-—1-т-(П1
(Ш.3.35)
(Ш.3.36)
Поскольку
Т1=п±ЛТг)п,
Х= X».
п= 2
используя формулу восстановления сферических функций
2
У. = -
Л+А. Сур
4 7С ) п п
(сое ф) й £2,
Получаем соотношение между сферическими функциями порядка п
¡Тдп=%п+Ь-*7ГГТ<Тдп,
или
2	2 п + 1
(Т \ —% п -\- 1	I	Хп
К1)п	2(я—1)Лл	2 /г — 1 ‘
(Ш.3.37)
Выполняя суммирование сферических функций, из (Ш.3.37) полу¬
чаем
		О оо v
Сумма стоящего справа ряда нам известна. Она опять может быть
выражена через функцию Стокса. Поэтому
Тг
=х+и
X Я (соэ ф) й й
(Ш.3.38)
является решением интегрального уравнения (Ш.3.36). Объединяя вме¬
сте формулы (Ш.3.27), (П1.3.30), (Ш.3.34), (Ш.3.35) и (Ш.3.38),
6&
5 Труды ЦНИИГАиК, вып. 131

представим решение уравнения (Ш.3.9) с относительной погрешностью
порядка е'4 в следующем виде:
где
т= Q + ¡-е'2 sin2Ф0^ Т0 + е'2 [х+
А j^х—i-aAgsina Ф^S(cos ф)d qJ ,
(Ш.3.39)
7о=£;|д^(со8ф)<Ш,
(Ш.3.40)
-УЧ'4-^)Гг
_J_ Г Т0 (sin Ф — sin Ф0)2 d9
4тг / . о • чФ
J 8 sin® í-
Высота геоида
Т
(IH.3.41)
Уклонение отвесной линии определится путем дифференцирования
уравнений (Ш.3.39), (Ш.3.40) и (111.3.41)
¿>£ _	<72<К^
Р® <?Ф
5 = -
МдВ
dt; 	ас
р eos Ф д L
дТ
(III.3.42)
' NcosBdL
“ - 0 +
Проверка формулы (Ш.3.39) описана в приложении (гл. VIII, § 4).
М. С. Молоденский. Решение задачи Стокса с относительной погрешностью
порядка квадрата сжатия Земли. Труды ЦНИИГАиК, Вып. 112, 1956.
Глава IV
ГЕОИД НЕРЕГУЛЯРИЗИРОВАННОИ ЗЕМЛИ
В предыдущей главе мы рассмотрели теорию определения фигуры
геоида «регуляризированной Земли», т. е. тот случай, когда вне изучае¬
мой уровенной поверхности потенциала силы тяжести нет притягиваю¬
щих масс и потенциал является правильной (регулярной) функцией
координат. Все полученные там формулы можно непосредственно при¬
менить, например, к изучению «геоида Бриллуэна», т. е. уровенной по¬
верхности, проходящей через вершину Джомолунгмы (Эвереста). Однако
здесь возникли бы очень большие трудности с редуцированием измерен¬
ных на поверхности Земли значений силы тяжести и направлений верти¬
кали на эту поверхность. Такое редуцирование можно выполнить точно
только в том случае, если уже известно внешнее гравитационное поле
66

Земли, т. е. если задача уже решена. Аналитическое продолжение потен¬
циала с поверхности Земли на геоид Бриллуэна, конечно, всегда воз¬
можно, но для точного выполнения этой операции (с учетом рельефа,
что является обязательным в горных районах) пришлось бы решать
интегральное уравнение, вывод которого дан в главе V. Но тогда, как
будет показано, существует более простой и прямой путь.
Теперь мы рассмотрим задачу изучения фигуры геоида — уровенной
поверхности, совпадающей на океанах со средним уровнем воды (прохо¬
дящей через начало счета высот) и, следовательно, расположенной на
материке почти всюду ниже физической поверхности Земли. В прошлом
эта задача обычно сводилась к дискуссии о редуцировании силы тяжести
к уровню моря и о совместимости этих редукций с теорией Стокса.
Ни один из вопросов теоретической и прикладной гравиметрии не
привлекал к себе такого внимания, как вопрос о редукции силы тяжести
к уровню моря. Этому вопросу посвящены сотни работ, трактующих его
с разнообразных точек зрения. К способу редуцирования силы тяжести
геодезисты, геологи и геофизики предъявляют различные требования,
вытекающие из особенностей разрешаемых ими задач. В связи с этим
предложено значительное число методов редуцирования, каждый из ко¬
торых обладает известными преимуществами и недостатками, более или
менее существенными в условиях той или иной конкретной задачи. В
дальнейшем мы будем исключительно иметь в виду ту сторону вопроса,
которая связана с задачей изучения формы и размеров Земли. При та¬
ком ограниченном подходе вопрос о редукциях становится частью проб¬
лемы Стокса, и с принципиальной стороны его решение должно -полно¬
стью вытекать из решения этой общей проблемы.
Возможны два пути для уяснения принципиальной стороны вопроса
о редукции силы тяжести.
Первый путь, являвшийся до недавнего времени главным и почти
единственным, берет свое начало от Стокса. Он характерен тем^ что с
самого начала условия задачи упрощены: вместо реальной Земли рас¬
сматривают Землю, у которой массы, лежащие вне геоида, тем или иным
способом перемещены внутрь геоида или на его поверхность. Тогда
всюду вне геоида потенциал становится функцией регулярной. Таким
образом, исходным объектом исследования является регуляризированная
Земля, а способ регуляризации определяет метод редуцирования силы
тяжести к уровню моря, т. е. заданным здесь можно считать метод ре¬
дукции. Исследованию же подлежат связь редуцированных значений
силы тяжести с формой геоида и вывод необходимых добавочных попра¬
вок, учитывающих начальное упрощение задали.
Второй путь, впервые в общих чертах намеченный Джефрисом в
1931 —1932 гг. и развитый в работах советских геодезистов, характерен
тем, что рассматривается реальная Земля, без ее предварительной регу¬
ляризации. Идя по этому пути, можно не задаваться заранее определен¬
ным типом редукции и даже не считать этот вопрос отдельным и само¬
стоятельным. Те операции, которые нужно выполнить с измеренными
значениями силы тяжести, чтобы получить высоту геоида, уклонение
отвеса или другой какой-либо элемент гравитационного поля Земли, при
такой постановке вопроса должны вытекать из построения исходных
уравнений и их последующих преобразований. Этот путь позволяет
глубже понять существо проблемы и выявить такие поправочные члены,
которые иначе могут остаться незамеченными.
Далее мы убедимся, что при изучении нерегуляризированного геоида
центр тяжести всех затруднений также падает на задачу вычисления
редукций силы тяжести на геоид. Различные методы определения геои¬
да, приводя к определенным уравнениям, решающим эту задачу, вместе
5*	67

с тем требуют определенных типов редукций силы тяжести. Исследова¬
ние точности решений возможно только при условии четкой постановки
вопроса о редукциях силы тяжести, показывающей степень приближения
этих редукций к требованиям теории и возможность достаточно точного
их вычисления в действительной обстановке.
Н. Д. Моисеев (1933, 1934), насколько нам известно, первым поста¬
вил задачу определения фигуры геоида нерегуляризированной Земли,
составив линейное интегральное уравнение, определяющее эту поверх¬
ность. Позднее Н. Р. Малкин (1934, 1935) и М. С. Молоденский (две
работы 1936 г.) получили формулы для определения фигуры 'геоида
нерегуляризированной Земли, отличные от формул" Моисеева. В связи
с этим на страницах Астрономического журнала между Н. Р. Малкиным
(1934, 1941) и Н. Д. Моисеевым (1935) возникла дискуссия. Мы пока¬
жем ниже, что все перечисленные формулы становятся идентичными,
если исправить одно место в выводе Моисеева, а результаты по ним со¬
гласуются со строгим толкованием формулы Стокса и не приводят к ка¬
ким-либо неожиданностям. Утверждение Н. Р. Малкина (1939, 1941),
что поправку за деконденсацию в результат вычисления по формуле
Стокса с аномалиями Фая следует вводить в двойном размере и с обрат¬
ным знаком, неосновательно.
М. С. Молоденский, 1945, гл. II, § 11.
Принципиальная сторона подхода Н. Д. Моисеева (1933) к решению
задачи определения фигуры геоида нерегуляризированной Земли такова.
Пусть поверхность отсчетной сферы разграничивает массы Земли на
внешние относительно этой поверхности и внутренние (выводы выпол¬
нены с относительной точностью порядка сжатия, поэтому нормальный
эллипсоид принят за сферу).
Допустим, что на отсчетной поверхности известны значения радиаль¬
ных градиентов потенциала притяжения отдельно от внешних масс (схе¬
ма еу потенциал притяжения II,, радиальный градиент 5,) и от аномаль¬
ных внутренних масс (схема *, потенциал притяжения П,., радиальный
градиент Ь1). Здесь и далее мы будем придерживаться обозначений
Н. Д. Моисеева. Тогда из раздельного решения внешней и внутренней
сферической задачи Неймана можно определить потенциальные функции
притяжения аномальных внешних и отдельно внутренних масс и, следо¬
вательно, возмущающий потенциал силы тяжести Земли. После этого по
формуле Брунса легко вычислить высоту £ геоида над отсчетной поверх¬
ностью.
Таким образом, Н. Д* Моисеев свел задачу к представлению 5, и 8;
через С и величины, которые он считал известными, т. е. смешанные ано¬
малии Прея (—Др) и Буге (—Др). Под этими величинами он понимает
их точные значения: аномалия Прея есть разность между значением
силы тяжести на поверхности геоида реальной Земли (схема е + ¿) и
нормальным значением на отсчетной поверхности, аномалия Буге пред¬
ставляет собой значение той же разности после удаления масс, распо¬
ложенных вне геоида. Эффект смещения геоида после удаления внешних
относительно него масс Н. Д. Моисеев в аномалию Буге не включает.
Таким образом, разность Др — Д5 представляет собой радиальный ком¬
понент притяжения на геоиде масс, расположенных вне геоида.
Аномалию Буге (согласно своему определению) Н. Д. Моисеев вы¬
разил так:
§ 1. Формула Моисеева
68

где V — потенциал притяжения нормальной Земли. Производные долж¬
ны быть определены для поверхности геоида Г и отсчетной поверхно¬
сти 25. Последний член этого выражения представляет собою притяжение
круглой пластины, диаметр которой достаточно велик по сравнению с ее
толщиной £, Ое — плотность пластины. Н. Д. Моисеев допускает, что
плотность Ое постоянна и равна, например, средней плотности поверх¬
ностных слоев Земли. Это соотношение для Дв, как заметил Н. Р. Мал¬
кин (1934), неточно. Используя выражение для потенциала I притяже¬
ния внешней точки простым слоем с поверхностной плотностью Ое^
t = 4nfDe Е
П— 0 2 п + 1
1
?п+\ ’
в котором £я — сферическая функция порядка п в разложении высот
геоида над нормальным эллипсоидом, р — радиус-вектор внешней точки
в единицах радиуса сферы; для составляющей ^ притяжения при р = 1
получаем
— — — 4^/0	1 п +-1- ^
дР	1 еп=о 2/2+1
Таким образом, для аномалии Буге (согласно определению Моисе¬
ева) найдем выражение
Д* =
гаоч-пл	_4,/о 1 " +
[ д/г ]г \dRjz /и'„±02п+1
Если не учитывать погрешность, возникающую из-за отличия от
Ое плотностей масс между геоидом и отсчетной поверхностью, то по¬
грешность этого выражения для сферы имеет порядок	такой же,
как и всех остальных выводов (формулы Брунса, граничного, условия
и т. д.). Аномалию Прея, согласно Моисееву, можно представить так:
АР_Г^+п, + пл /дУ\
I.	™	-1г \PRJz
Радиальный градиент Ье на отсчетной поверхности равен
, ™ _ Га1Ч - Г<>(У+п,+п,п _ ,М\ _
га(к+и,)л /ак\
I.
Поскольку
га(^+п, + п.)1	г^(^+п, +н,)1 , „ гд2(У+п, + п,п
1Г т ] - [	> [.№ Ь’
г<?(к+п,.)-| _га(1/+п,.)1 . га2(и+п,п
|_ Ж ]г— Ь }* Ч Ь'
69

находим
8,(3) = ^- Д*+4*/Я, 2 СлоТГХТ •
п =0	*■ п г 1
Радиальный градиент о, на отсчетной поверхности равен
. Гйг1<1 - Гг<1, + 11'>1 Г‘)П -
Ь‘Ю- Ьщ\г [—Ъ 1.Й+-
“1 д* _1г ч	и 1<^.Ь
Вследствие малости % можно положить
д2(1/+Н,Л_д2К_ 2у
д%*	~д&~+ /? ’
тогда получим
(IV.!.1)
-Чг-	(IV. 1.2)
Представим значение II на поверхности сферы бесконечным рядом,
составленным из сферических функций
И = 211л.
о
Тогда вне сферы
внутри сферы
п.-=>; п
о " ?п+‘ ’
П, = 2И
о
пЯп
Поэтому
(^)2=~^(" + 1)|'-=:од"’
Следовательно, решение внутренней сферической задачи Неймана
дает формула
ПД2) = 11,(0) + /? 2 ^2,
п— 1 п
а решение внешней сферической задачи Неймана — формула
(8/)«
П,(2) = -/? 2
п=0 « + 1 '
(IV. 1.3)
(IV. 1.4)
70

Из (IV. 1.3) и (IV. 1.4) по теореме Брунса получаем
С = [II, (2) + II,- (2)] =	+
, Я 2 Г(АР-АЙ)Я
т я= 1 I п
Отсюда при п — О
_Д!а_ , 2т ,с„ 1
л + 1'1’ Я ' п + \\
_ (П, + И,)о
•О —	^
■ при пф О
п-К /?Г(АВ-АД)Я А«. Л
я+1Чл у I п Я+1] '
(IV. 1.5>
(IV. 1.6)
Заметим, что Салтыков (1937), решая уравнение Моисеева, получил
более сложное и совсем неверное при малых значениях я соотношение
^п	2 717 * 2 я2 — 2 я — 3 р/ ~ АВ)п~ п Д\Ь
где = 2 Двя — Двл, р/ — отношение средней плотности поверхностных
слоев Земли к средней плотности Земли.
Как и при любом другом методе решения, в рассматриваемом слу¬
чае необходимо, чтобы было выполнено дополнительное условие — обра¬
щалась в нуль функция первого порядка в разложении аномалий
(
)
= 0.
1
Тогда при п> 1 будем иметь
_1г _(У~2А/) , (Ар — Ав)„
Я ^п~ л— 1 'г я (я — 1)
(IV. 1.7)
■, суммируя Ся от я = 0 до я=со, получаем исправленное решение
уравнения Моисеева
С=Со + ' 4 Я /(ДР ~ 2 АД)5(С03Ф) а а +
+ ~Гт^ /(АР-АВ)/7Мйа'	(™.1.8)
где
“ 2я +1 п .	..	~ /2я + 1	.	1\ п .	..
= „12^=1)(со*« =„^(т=Т	2 - -)Р„(со»Ф) =
= (] — 3 С05 ф) 1п ^¡п £ + зта	— 6 31Л 4- + 3 — 2 соа ф. (IV. 1.9)
71

ОТ X = О ДО X = 1
00	1	/	гЬ	»Ь	\
2	— Рп (соэ ф) =— 1п ( зт -— + зш® —* ) — СОЙ ф.
	о Л	\	1	А	)
Н. Д. Моисеев, 1933.
М. С. Молоденский, 1945, § 5.
§ 2. Формула Малкина
В основу вывода Малкина (1934, 1935) положена известная теорема
Шаля. Геоид делит массы Земли на внутренние и внешние, лежащие вне
геоида. Потенциал, создаваемый вне геоида всеми внутренними массами,
по теореме Шаля можно определить через значение силы тяжести на
уровенной поверхности реальной Земли. Прибавляя сюда потенциал от
всех внешних масс, получаем результирующий потенциал от всех масс
реальной Земли. Далее обычным способом, выделяя нормальные значе¬
ния, переходим к «смешанным» аномалиям силы тяжести и к аномалии
потенциальной функции. Интегральное уравнение вначале получаем
отнесенным к поверхности геоида, а затем преобразуем его, относя к по¬
верхности сферы.
Результат в обозначениях Моисеева получается следующий:
где К>е — смещение уровенной поверхности от притяжения масс, находя¬
щихся вне геоида. Переходя к сферическим функциям, получаем соотно¬
шение
Условие, накладываемое на сферические функции первого порядка,
теперь можно записать так:
2 п + 1 *•»>
или
Кроме того,
£о = -(Оо + ^(ДР)о-
При п ф 1 имеем
2я+1 ,гл (АО,
(1У.2.1)
72

или
3(0,-£ V
С,=2(0» +
Суммируя все ¡¡Л от п = 0 до п =оо , получаем
С = Ъ + 2С,-2(С,)0-2(и + _1__ I ^^-Д^5(с08ф)йа.(1У.2.2)
Для сравнения формул Моисеева и Малкина нужно установить
связь между величинами использованными Малкиным, и Др, входя¬
щими в формулу Моисеева, так как, кроме аномалий Прея, у Малкина
считается известным еще потенциал от внешних масс, а у Моисеева —
радиальный градиент Др—Дв этого потенциала на поверхности сферы.
Решая внутреннюю задачу Неймана при заданных значениях
Др—Д5 и используя (IV. 1.3), получаем соотношение
(СЛ = * • (АР~АВ)" пфО.	(1У.2.3)
Поэтому основное соотношение между сферическими функциями
(1У.2.3), соответствующее формуле Малкина, после исключения (.£,)„
можно привести к такому виду:
2п-\-1
п(п — 1)
(ДР_ДВ)я_
Я (Ар)„ _
у ' п-\~
_ я_ Г (Ар — 2 А*)„ (Ар Ав)я 1
у [_ п — 1	п(п — 1)	’
что в точности совпадает с исправленным нами результатом Моисеева
(IV. 1.7).
Последнее выражение, исключая Ар, можно записать так:
„ (-**)„+У (О,
?. = «.). + *	¡пп		(1У-2-4)
или, суммируя по всем значениям п, кроме п— 1, получаем в интеграль¬
ной форме
с
+ 7^ Г(- 4»+	(1У.2.5)
Это решение, очевидно, можно интерпретировать следующими опе¬
рациями:
1.	Убираем все массы, расположенные вне геоида. В связи с этим
в измеренные значения силы тяжести вводим точную поправку Буте
(с учетом рельефа всей Земли). Заметим, что редуцирование силы тяже¬
сти к поверхности геоида следует производить с учетом аномалий верти¬
кального градиента силы тяжести, причем вычисление этих аномалий
нужно выполнять по карте изоаномал Буге (здесь иногда неизбежен
процесс последовательных приближений).
73

Таким образом, будет получено — Дв.
2.	Силу тяжести редуцируем на деформированный геоид (поправ-
ка-^-у.
3.	По аномалиям Буге, полученным на деформированном геоиде,
вычисляем высоты этого геоида по формуле Стокса.
4.	После этого учитываем поправку (СвЬ за деформацию геоида
в результате удаления внешних масс (переход от регуляризированной
к реальной Земле).
Здесь мы, исходя из последней формулы, получили совокупность
операций, подобную той, которая указана Граф-Хантером (1935) при
использовании изостатических аномалий (роль «геоида Буге» там играет
«компенсированный геоид»). В сущности говоря, все это вытекает непо¬
средственно из строгого толкования формулы Стокса.
Изложенная выше программа действий для определения высот
геоида приведена нами только для характеристики формул. Очевидно, с
практической стороны она нерациональна. Если определять фигуру геои¬
да подобным методом, то лучше пользоваться методом инверсии (Мака¬
ров, 1936, 1955) или конденсации (Михайлов, 1945).
Н. Р. Малкин, 1934.
М. С. Молоде некий, 1945, § 6, 7.
§ 3. Формула Молоденского
Основное соотношение (IV. 1.7) при помощи (1У.2.3) легко привести
к следующему виду:
Суммируя все£„ от нуля до о©, получаем
где
(1У.3.1)
(1У.3.2)
Со = -* [>-24* + ^
(IV 3.3>
[V— 2ДВ + ^ =0.
(I У.3.4)
Отличие формулы (1У.3.2) от формулы Стокса заключается в том,
что вместо аномалий Фая в нее входят аномалии
= Ьр — 2 Дв 4- % .
*\
Если бы можно было вычислить точно, высота геоида £ опреде-
лилась бы по формуле (1У.3.2) с относительной ошибкой порядка ^ в
схеме невращающейся близкой к сфере Земли и с относительной ошиб¬
кой порядка сжатия Земли, когда у задано эллипсоидальной уровенной
поверхностью нормального потенциала.
74

Однако величины Др и Ав непосредственно на геоиде получить
нельзя. Необходимо выразить их через измеренное на поверхности Земли
значение силы тяжести g.
Определим эти величины:
-Ар=gt cos (g„ у) - Y ~ gi — Y.
— Да= — Др+&£=£/ — ? + §g,
где gi — значение ускорения силы тяжести на геоиде внутри притяги¬
вающих масс, у—нормальное значение силы тяжести на отсчетной по¬
верхности, bg — радиальный компонент притяжения внешних масс на
исследуемую точку геоида.
Следовательно,
*
&=&-T + 2S£ + 2*.	(IV.3.5)
По формуле Брунса получаем
&	-8 = 2ё~ 4
г т
где рт и От — средние величины из средней кривизны и плотности на
отрезке Я от поверхности Земли до геоида.
Поэтому
& = * - Т +	+ 2 (8* - 2 п/Оя Н) + % .	(ГУ.3.6)
Р П1	К
Аномалия Ag близка к аномалии Фая, если малы аномалия средней
тС
кривизны, поправка за рельеф и член Наиболее существенно и труд¬
но учитывать влияние аномалии кривизны.
Следующий пример показывает, что в величине рт возможны боль¬
шие аномалии. Вообразим себе на поверхности Земли возвышенность
равномерной плотности Я, ограниченную слева вертикальной плоскостью
высотой Я. Возьмем две точки А и А', бесконечно близкие между собой
и расположенные по разные стороны от плоскости вверху, и такую же
пару точек В и В' внизу. Вследствие непрерывности производной от
потенциала изменение силы тяжести от А до В, считаемое через массу
воздуха, и изменение от А' до В\ считаемое через массу возвышенности
с плотностью Я, должны быть равны. Поэтому при помощи формулы
Брунса получаем
н
2g( (-	йН = 4п/ОН,	(1У.3.7)
^ \ Рп Рл /
где рп и рл —средние радиусы кривизны справа и слева от плоскости
раздела. Поскольку
8~^7ífDoR’
где £>о — средняя плотность Земли, Я — средний радиус Земли, из
(1У.3.7) найдем
_1	1_	_з_о _1_
рп	Рл	2 °0 # ’
75

где рп и рл —средние радиусы кривизны вдоль А'В' и АВ. Таким обра¬
зом, в этом частном случае разность между средними кривизнами в двух
смежных точках Земли оказывается величиной порядка средней кривиз¬
ны Земли. Следовательно, при больших значениях Н влияние аномалии
средней кривизны может быть весьма значительным.
Последние два члена формулы (1У.3.6), если принять От за посто¬
янную известную величину, имеют характер топографической поправки.
Следует напомнить, что они должны быть вычислены для каждой точки
геоида.
Путем дифференцирования (1У.3.2) получаем формулу, аналогичную
формуле Венинг-Мейнеса
1 г~ а$(<*>8ф)
4 п у ВР ] ё <?ф
СОБ а ¿а.
М. С. Молоденский. О редукциях силы тяжести к уровню моря для нере-
гуляризированной Земли. Труды ЦНИИГАиК. Вып. И, 1936.
М. С. Молоденский. К вопросу об определении фигуры геоида нерегулч-
ризированной Земли. Астрономический журнал, 1936, 13, № 4.
М. С. Молоденский, 1945, § 8.
§ 4. Сравнение прямого метода решения с методом
промежуточной регуляризации
Итак, формулы Моисеева, Малкина и Молоденского приводят к об¬
щему соотношению между сферическими функциями
у _(Ар-2 \д)„ (Ар-Ав)„
п-1	"** п(п — 1) 1
причем на основании (1У.2.3)
Т/С ч (Ар-АД)я _(АВР)„
/? \^е)п —	п	~ п •
Введем величины: (Ддр)с— радиальный градиент притяжения кон¬
денсированных внешних масс на внутреннюю точку, (С^)с — смещение
уровенной поверхности от конденсированных внешних масс. Очевидно,
что
Мпс = 4*/Я,
пНп
21% “I- 1
Преобразуем следующим образом:
Т („ _ 1)	= (- АР)п + 4 тг/О//, + 1Д/ - (Д/)1я +
+ [(«-!) (С/ - С Д, + 2 (^ - С/)я] £ •
Суммируя все значения С„от п = 0 до я = оо = 0), получаем,
переходя к интегральной форме,
с=с<>+(с,-с/)-(с.-с/)1+
Др + 4 тг/Ое Н Двр —
-(Д/)с +Ц (С,-С/)] 5(С05ф)йо.	(ГУ.4.1)
76

По формуле Брунса
-V+l«fDJ1 = Lg9+H№f\ ,
>	' Я1
где &g0 — аномалия силы тяжести в свободном воздухе, вычисленная
dbg
с нормальным значением вертикального градиента силы тяжести, —
аномальная часть вертикального градиента силы тяжести. Теперь имеем
окончательно
? = Со+i, - С/ - (С, - СЛ,+/ [Aft+«(w)„+
+ Д/-(Д/)‘	К,- С/)] 5(cosФ)da. (IV.4.2)
Это решение можно свести к следующим операциям:
1.	В аномалию &g0 введена поправка	за аномалию верти¬
кального градиента силы тяжести и поправка ДБР — (&вр)с за конденса¬
цию внешних масс.
2.	Сила тяжести редуцирована к поверхности геоида, деформиро¬
ванного в результате конденсации наружных масс, путем добавления
члена
3.	С исправленными после указанных операций аномалиями по фор¬
муле Стокса вычислены высоты геоида.
4.	В окончательный результат введена поправка за конденсацию
внешних масс [£* —	— (С* — C/)il-
Последнюю поправку, вопреки замечаниям Малкина (1939, 1941),
нужно вводить с ее естественным знаком. Полученный результат совпа¬
дает с точкой зрения Михайлова (1940).
К построению уравнений, определяющих фигуру геоида нерегуляри-
зированной Земли, привело стремление к уточнению формулы Стокса.
Проведенный здесь анализ этих уравнений показывает, что они могут
быть интерпретированы той или иной формой регуляризации Земли. При
такой интерпретации регуляризация входит как промежуточная стадия
вывода, а все связанные с ней обстоятельства следует последовательно
учитывать как в стадии перехода от реальной к регуляризированной
Земле, так и при обратном переходе.
Чтобы сократить дальнейшие рассуждения, перечислим и отметим
буквами последовательность тех операций, которые следует выполнять
при регуляризации.
А. Переход от реальной к регуляризированной Земле, в результате
которого должны быть получены значения ускорения силы тяжести на
внешней уровенной поверхности регуляризированной Земли.
Сюда входят следующие операции:
а)	в значения силы тяжести, измеренные в точках физической по¬
верхности Земли, вводят поправки, учитывающие изменения в резуль¬
тате регуляризации;
б)	определяют смещение геоида вследствие регуляризации, чтобы
получить расстояние точек физической поверхности Земли от поверхно¬
сти геоида регуляризированной Земли;
в)	располагая предыдущими данными, устанавливают значения си¬
лы тяжести на уровенной поверхности (геоиде) регуляризированной
Земли.
77

Б. Определение формы геоида регуляризированной Земли по фор¬
муле Стокса.
В. Возвращение к геоиду реальной Земли (путем учета ранее полу¬
ченных деформации геоида вследствие регуляризации).
Сколько-нибудь строгое выполнение указанных операций связано с
большими принципиальными (и тем более практическими) трудностями,,
которые мы кратко отметим в последовательности перечисленных опера¬
ций. Прежде всего для выполнения операций «а» и «б» нужно знать:
1)	плотность в каждой точке масс, расположенных вне геоида;
2)	действительную форму физической поверхности Земли и регул я -
ризированного геоида.
Допустим, что первое нам известно, а второе в этой задаче или пре¬
небрегаемо, или учитывается последовательными приближениями. Тогда
можно перейти к операции «в». Эта операция не возникла, если бы мы
решали краевую задачу с заданием краевых условий на физической по¬
верхности Земли. Следовательно, указанная краевая задача и операция
«в» эквивалентны и одинаково трудны. Операция «в» должна привести
к построению такой совокупности краевых значений на уровенной по¬
верхности, которая для внешнего пространства определит те же значения
потенциала, что и исходные краевые значения на поверхности Земли.
Эту задачу можно пытаться решать методом аналитического продолже¬
ния потенциала от поверхности Земли в ту область, которую до регуля¬
ризации занимали внешние притягивающие массы. Однако общие спо¬
собы решения этой сложной задачи не известны. Можно предполагать
возможность ее решения последовательными приближениями и только
в частных случаях, заранее мирясь с медленной сходимостью этого про¬
цесса в горных районах Земли. Возможность аналитического продолже¬
ния не вызывала бы сомнений, если притяжение масс, подвергнутых
регуляризации, было учтено полностью, а для этого опять необходимо
знать плотности притягивающих масс в каждой точке вне геоида. Одна¬
ко и здесь приходится ограничиваться принятием некоторой постоянной
средней плотности не только для облегчения вычислений, но и потому,
что с нужной полнотой геологическое строение даже интересующих нас
поверхностных слоев земной коры известно только для отдельных и при¬
том небольших районов. Но в этом случае возможность аналитического
продолжения потенциала становится более чем сомнительной. Все это
приводит к большому усложнению проблемы и вносит в нее значитель¬
ную неопределенность.
Может показаться, что указанные усложнения вызваны тем, что
уравнения, выведенные для нерегуляризированной Земли, здесь интер¬
претированы посредством промежуточной регуляризации. Казалось бы,
что структура уравнений, построенных для нерегуляризированной Земли,
снимает наиболее трудную операцию «в». Однако кажущееся упрощение
задачи обусловлено тем, что в эти уравнения входит сила тяжести в точ¬
ках поверхности геоида. Считая ее известной, мы предполагаем опера¬
цию «в» уже выполненной, чем и вызвана кажущаяся простота уравне¬
ний. На самом деле сила тяжести на поверхности геоида реальной Земли
весьма сложно связана с измеренными значениями силы тяжести и гео¬
логическим строением земной коры. Редукция Прея в ее простейшей
форме, когда не учтена аномалия второй вертикальной производной по¬
тенциала, явно не достигает цели. Даже предполагая ^ известным
(измеренным) вблизи поверхности Земли, мы должны с большой осто¬
рожностью пользоваться этой величиной для редукции (вследствие пре¬
рывности вторых производных потенциальной функции, сильной подвер¬
женности их местным возмущениям, учитывая возможность расходимо¬
78

сти ряда, выражающего разложение редукции, и пр.). Если мы можем
в крайнем случае считать известными плотности внешних масс, то никак
не можем отнести это и к внутренним массам. А в таком случае, чтобы
при редуцировании силы тяжести учесть аномалии плотностей внутри
геоида, вряд ли можно обойтись без промежуточной регуляризации, ко¬
торая позволит или использовать измеренное значение ^ (после соот¬
ветствующих исправлений и с большой осторожностью), или перейти
к рассмотренной ранее операции «в».
Таким образом, указанные усложнения присущи самой рассматри¬
ваемой проблеме и сохраняются при любой трактовке уравнений, выве¬
денных для определения фигуры геоида нерегуляризированной Земли.
Может показаться, что все эти затруднения носят больше теорети¬
ческий, чем практический характер, и что игнорирование их не приведет
на практике к заметным ошибкам. С этим в известной степени можно
согласиться, когда речь идет об исследовании фигуры геоида в местах
равнинных с не очень высокой точностью. В горных же районах (при
больших наклонах физической поверхности), как это показано на моде¬
лях нерегуляризированной Земли (см. приложение, гл. VIII, § 3), ре¬
зультаты вычислений по формулам Стокса и Венинг-Мейнеса значитель¬
но отличаются от истинных высот геоида и уклонений отвеса на геоиде.
В горных районах ограничение обычной формой редукции Прея означает
пренебрежение основным фактором, уточняющим элементарную трактов¬
ку теории Стокса. Тогда не будут иметь особого смысла и все дальней¬
шие уточнения, достигаемые в теории нерегуляризированной Земли.
М. С. Молоденский, 1945, § 9—И.
Глава V
ВНЕШНЕЕ ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ И ФИГУРА ЗЕМЛИ
§ 1. Неопределенность геоида и редукций на геоид
Все геодезические измерения — нивелировки, триангуляция, астро¬
номические и гравиметрические определения — в подавляющем большин¬
стве случаев выполняют на поверхности Земли. При последующей обра¬
ботке эти измерения иногда редуцируют к значительно более гладкой
поверхности геоида. Если линейные и угловые измерения охватывают
большую площадь, то необходимо второе редуцирование с геоида на
удобную для математической обработки поверхность эллипсоида.
Принятая в большинстве стран и ранее в СССР система редуциро¬
вания на геоид и через посредство геоида на эллипсоид очень несовер¬
шенна. В ней неизбежны внутренние противоречия, так как разные
взаимно связанные элементы земного гравитационного поля редуцируют
на основе различных гипотез, иногда противоречивых. Происходящие
вследствие этого несоответствия могут носить систематический характер;
в горных районах или после переброски геодезических сетей через гор¬
ные районы они могут заметно снизить точность результата.
Обычно принимали, что известны высоты мест наблюдения — точек
физической поверхности Земли — относительно геоида и известны высо¬
ты геоида относительно некоторого эллипсоида. Однако хорошо известно,
что из одних нивелирных работ, проводимых на поверхности Земли, не¬
посредственно можно получить только элементарные превышения двух
соседних точек, измеренные с одной установки нивелира, относительно
уровенной поверхности, проходящей через нивелир. Если вдоль нивелир-
79

ного хода всюду измерено ускорение g силы тяжести, то этими данными
определена только разность потенциалов
где сИгф— элементарное нивелирное превышение.
Пусть точка А находится одновременно и на поверхности геоида и
на поверхности Земли (океана), а предыдущий интеграл возьмем по
замкнутому контуру — по кривой АВ, целиком лежащей на поверхности
Земли, затем по силовой линии ВС до точки С теоида, и, наконец, по
поверхности геоида от С до Л.
где кг —длина дуги ВС (или высота точки В над геоидом — ортометри-
ческая высота), agm —значение g в некоторой неизвестной точке линии
ВС, равное среднему из значений g вдоль кг.
Величину gm можно было бы точно вычислить только в том случае,
если так же точно мы умели вычислять редукцию Прея для любой точки
силовой линии ВС, Следовательно, вычисление ортометрической поправ¬
ки в высоту содержит в себе тот же элемент неопределенности, который
был отмечен для уравнений, определяющих геоид нерегуляризированной
Земли. При вычислении ортометрической поправки в высоту обычно
предполагают, что плотность слоя земной коры выше геоида известна во
всех точках или эту плотность принимают известной постоянной вели¬
чиной и игнорируют аномалии второй вертикальной производной потен¬
циала. Кроме того, делают и другие предположения, которые служат
только для упрощения задачи (например, пренебрегают поправкой за
рельеф, предполагают линейность изменения g с высотой и пр.). Обычно
второе предположение не формулируют, хотя и принципиально и практи¬
чески оно наиболее существенно.
При таком упрощенном подходе к вычислению ортометрической по¬
правки для каждого значения высоты должно быть указано принятое
при его вычислении значение gm^, позволяющее восстановить значение
геопотенциальйой высоты. Во всех случаях ортометрические высоты
нельзя считать отсчитанными точно от поверхности геоида. Тогда роль
их становится условной и совсем не ясной.
Обратимся к следующей задаче, которую приходится решать при
обработке геодезических измерений, а именно — к редуцированию на
поверхность геоида направления вертикали. Дифференцируя (V. 1.1) по
направлению касательной к отсчетной поверхности, получаем
где g — значение ускорения силы тяжести в переменной точке внутри
притягивающих масс.
Поэтому редукции Дф и ДХ астрономических координат на геоид
могут быть выражены так:
(АВ)
Тогда
(А В)	(СВ)
80

где	и	— средние значения горизонтальных градиентов силы
тяжести на отрезке, которым измеряется ортометрическая высота йг; ось
х направлена на север, ось у — на восток. Эти формулы требуют опре¬
деления горизонтальных градиентов силы тяжести внутри притягиваю¬
щих масс. Погрешность среднего значения из горизонтальных градиен¬
тов силы тяжести в 5 этвеш при кг = 3 км влечет погрешность в 0",3 в
редукции астрономической широты на геоид. В реальных условиях сред¬
ние значения горизонтальных градиентов вычисляются значительно гру¬
бее. Рассматриваемые редукции пропорциональны производным по гори¬
зонтальным направлениям от ортометрической поправки в высоту, по¬
этому неизвестные изменения плотности внешних масс и вариации вто¬
рых производных потенциала приведут здесь к погрешностям, которые
могут быть много больше значений, получаемых при помощи элементар¬
ной теории.
Таким образом, во всех задачах, связанных как с уточненным опре¬
делением фигуры геоида, так и с редукцией измеренных геодезических
элементов (базисов, астрономических координат, горизонтальных направ¬
лений и пр.) на геоид, мы сталкиваемся с неопределенностью и неточ¬
ностью, возникающей при продолжении силы тяжести внутрь масс, ле¬
жащих между геоидом и физической поверхностью Земли. Даже после
регуляризации Земли, сопровождаемой учетом истинных плотностей этих
масс, задача остается очень сложной, поскольку необходимо учитывать
эффект изменения притяжения неизвестных внутренних масс.
Все эти затруднения вполне закономерны: они связаны с невозмож¬
ностью определить форму геоида, располагая результатами измерений
только на поверхности Земли; действительно, хорошо известны такие
конфигурации масс, которые создают одинаковые поля тяготения вне
физической поверхности Земли, но развивают различный потенциал на
отдельных участках геоида (тела нулевого притяжения, Пицетти, 1933),
М. С. Молоденский, 1945, § 11.
М. С. Молоденский, 1948, § 1.
§ 2. Фигура физической поверхности Земли
Учитывая изложенные соображения, в дальнейших построениях мы
будем исходить только из величин, которые можно считать известными
из измерений, выполненных на поверхности Земли. Следовательно, за¬
данными из наблюдений нужно принимать только значения потенциала
№ силы тяжести и его градиента g на поверхности Земли в функции
приближенных геодезических или астрономических координат. Значения
тех же величин в точках, занятых притягивающими массами, мы обя¬
заны считать неизвестными, поскольку не привлекаем к решению задачи
какие-либо геологические сведения. Поэтому краевые условия задачи
должны быть заданы на поверхности Земли.
Выше было показано (гл. I, § 1), что геометрическим методом
(астрономо-геодезическими измерениями) можно строго изучить лишь
фигуру физической поверхности Земли.
Далее мы убедимся, что гравиметрическим методом можно опре¬
делить как фигуру физической поверхности, так и внешнее гравитацион¬
ное поле Земли с любой необходимой точностью.
Изучение фигуры физической поверхности Земли является задачей
более простой, чем изучение геоида Листинга, так как переход от первой
задачи ко второй равносилен переходу от изучения только внешнего
гравитационного поля Земли к изучению также и ее внутреннего поля.
6 Труды ЦНИИГАиК, вып. 131
81

Знание внешнего гравитационного поля и фигуры физической по¬
верхности Земли дает необходимые данные для решения всех задач гео¬
дезии, включая и градусные измерения.
Редуцирование на эллипсоид всех измеренных геодезических элемен¬
тов здесь можно выполнить принципиально безупречно. Такое решение
последовательно и свободно от всех неопределенностей, которые возни¬
кают при выборе геоида в качестве основной редукционной поверхности.
Однако применение геоида имело одну, несомненно положительную
сторону: из единой очень сложной физической поверхности Земли геоид
выделяет наиболее неправильную часть, представление о которой дают
почти только одни результаты нивелировки (высоты над уровнем моря),
и несравненно более гладкую (высоты геоида над эллипсоидом).
Ниже будет показано, что такое разделение формы поверхности
Земли на неправильную «гипсометрическую» и гладкую «геоидальную»
части можно последовательно провести и без геоида Листинга путем
введения некоторой поверхности, близкой к геоиду.
Далее увидим, что высоты этой поверхности получаются как частное
от деления возмущающего потенциала в данной точке поверхности Земли
на нормальное значение силы тяжести, соответствующим образом вычис¬
ленное для этой точки.
Эта поверхность, в отличие от геоида, определяется независимо от
любых представлений о строении Земли на основе использования только
материалов геодезических измерений. Для определенности мы вынужде¬
ны ввести новый термин для наименования рассматриваемой поверхно¬
сти; условимся называть ее квазигеоидом. Квазигеоид разделяет высоты
на две части, из которых первая определяется интегрированием по кон-
туру (через геопотенциальные высоты), а вторая — путем решения крае¬
вой задачи теории потенциала в чистом виде.
На поверхности океанов и всюду, где потенциал на поверхности
Земли равен значению потенциала на поверхности океана, квазигеоид
совпадает с геоидом, а на материках он может быть принят, если это
нужно, за приближенное выражение фигуры геоида.
Высоты точек земной поверхности над квазигеоидом, в отличие от
ортометрических высот, условимся называть нормальными высотами1.
М. С. Молоденский, 1945, § 1!.
М. С. Молоденский, 1948, § 1.
§ 3. Нормальные высоты
Используем геодезическую систему координат Я, В, В, описанную
в главе I. Истинные точные координаты В*, В*, Я точек физической по¬
верхности Земли нам неизвестны. Однако всегда можно знать столь
близкие к истинным координаты В, В, Л, что величины
А В —В*-В'
А	— В '
(У.3.1)
С = Я —Л
будут настолько малы, что их вторыми степенями и произведениями
1 До 1951 г. эти высоты назывались вспомогательными.
1
82

можно всегда пренебречь1. На этом основании во всех дальнейших вы¬
числениях удержаны лишь члены первого порядка относительно А В, Д£
и £. Разлагая при этих допущениях выражение нормального потенциала
в ряд Тейлора, можно написать
=*-/
Т(В*, I*, Н) = IГ(Д*. I*, Н)
д и (В, к)
8йк^-и(В,к)~
дк
с-
и(В*, Н) =
д и (В, к)
дВ
А В.
(У.3.2)
В этом выражении можем пренебречь членом
ди {В, к)
дВ
АВх
д2 * * * Ц (В, 0)
дк дВ
кАВ,
так как даже при А 5 = 0',6 ошибка менее Юг6« к. Определим нормаль¬
ную высоту к при помощи уравнения
-j Яйкп = и {В, к) - и (В, 0) = и (В, к)-и0,	(У.З.З)
которое имеет простой физический смысл и означает, что при вычисле¬
нии нормальной высоты Л по заданной разности потенциалов^мы пола¬
гаем гравитационное поле Земли нормальным, т. е. считаем, что возму¬
щения потенциала, силы тяжести и направления силовой линии отсут¬
ствуют. При таком определении нормальной высоты А высота £ квази¬
геоида, равная Н—А, получает смысл аномалии высоты.
Расстояние С некоторой точки физической поверхности от уровенной
поверхности нормального потенциала и = II (В, А) есть высота квази¬
геоида в этой точке. Откладывая в соответственных точках высоты квази¬
геоида от нормального эллипсоида, можно построить квазигеоид.
При условии (У.З.З) из (У.3.2) получаем соотношение, аналогичное
известной формуле Брунса
Т(В*, Iл Н) = -	£ + 1Р0 - £/0 = у (Я,	+ 1Г0 - *4., (У.3.4)
где у (5, А) — нормальное значение ускорения силы тяжести в точке
с координатами В, А, а постоянный член У?о — и0 можно при желании
свести к нулю соответствующим выбором нормального эллипсоида.
Из (У.3.4) следует, что высоты квазигеоида зависят от Я, т. е. от
фигуры той поверхности, на которой заданы граничные условия и ищется
возмущающий потенциал. Эти условия наблюдениями задаются в отдель¬
ных точках, а во всех промежуточных точках определяются путем интер¬
полирования. Высоты промежуточных точек соответствуют более или
менее сглаженной модели поверхности Земли (эта поверхность сглажена
на картах всех масштабов). В известных пределах можно варьировать
форму граничной поверхности, но если граничные условия во всех ва¬
риантах считать точными, то внешнее гравитационное поле остается не¬
изменным.
1 В пределах той точности, с которой выполняют нивелировки в настоящее вре¬
мя и будут выполнять в ближайшем будущем, можно было бы последующие выводы
без каких-либо изменений повторить и в двух других системах координат: в системе
и, и, до главы II и в системе, в которой координатными линиями являются силовые
линии нормального поля. Во всех случаях ЬВ и М малы, а расстояния от иссле-
дуемой точки до уровенного эллипсоида практически одинаковы из-за малой кривиз¬
ны координатной линии, по которой отсчитывается Я. Выбранная здесь система коор.
динат удобнее для решения геодезических задач (см. главу I).
6*
83

Уравнение (У.З.З), поскольку левую часть его можно считать изве¬
стной, может служить для точного вычисления А, если воспользоваться
точным аналитическим выражением для нормального потенциала
(глава II).
Разность нормальных потенциалов в правой части (У.З.З) можно
представить также в виде
и (В, к) -и(В,0) = - ^ 1<М,
где интеграл следует брать от поверхности нормального эллипсоида
вдоль нормали, проходящей через исследуемую точку физической поверх¬
ности Земли до пересечения этой нормали с уровенной поверхностью
нормального потенциала и (В, Л).
Поэтому
4- J gdhw = J у dh =■ hA,
где Ут — среднее из значений нормальной силы тяжести вдоль рассмат¬
риваемой нормали. Отсюда получаем
h== jgdhw
Т т
(У.З.З)
Таким образом, нормальные высоты вполне точно и просто опреде¬
ляются через геопотенциальные высоты. Разность нормальных высот
представляет собою вполне определенную функцию положения началь¬
ной и конечной точек нивелирования и не зависит от положения ходо¬
вой линии.
Определение высот точек над отсчетным эллипсоидом приведено к
определению возмущающего потенциала на поверхности Земли, т. е.
к определению высот квазигеоида.
Удобная формула для вычисления нормальных высот и исследова¬
ние формул для высот на моделях даны в прилож^ии (гл. VIII, § 6).
М. С. Молоденский, 1945, § 13; 1948, § 2.
В. Ф. Еремеев, 1951.
§ 4. Квазигеоид
Теперь покажем, что фигура квазигеоида также может быть опре¬
делена результатами одних геодезических измерений, без привлечения
любых других данных. При нашем определении нормальных высот вы¬
соты квазигеоида определены равенством (У.3.4)
(У.4.1)
1 1
Значение нормального потенциала и0 на отсчетном эллипсоиде мож¬
но считать известным, если заданы полуоси этого эллипсоида, угловая
скорость вращения и нормальное значение силы тяжести, например на
экваторе (см. гл. II).
Значение потенциала №0 реальной Земли в исходном пункте ниве¬
лировок (на среднем уровне океанов) неизвестно. Размерность потен¬
циала выражена произведением ускорения на длину, поэтому чисто
гравиметрическим путем, без использования результатов линейных из¬
84

мерений, определить W0 нельзя (по величине центробежного ускорения
и со размер отсчетной поверхности и нормальный потенциал на ней мож¬
но установить весьма неточно). Поэтому Стокс отсчитывал возвышения
геоида от поверхности, имеющей равный объем с геоидом, а Пицетти —
от поверхности, для которой U0 = W0. В обоих случаях действительные
размеры отсчетной поверхности остаются неизвестными и подлежат
определению при помощи градусных измерений, в которых линейные
измерения занимают одно из главных мест; отметим, что от значений,
вычисленных одним путем, легко перейти к значениям, полученным дру¬
гим путем.
В наличии члена U0— W0 в формуле Брунса Н. Р. Малкин (1942)
усматривает неоднозначность решения проблемы Стокса. С этим можно
согласиться, учитывая невозможность определения размеров Земли из
одних гравиметрических измерений. Вводимый Малкиным в формулу
Стокса добавочный член, зависящий от U0 — W0, имеет простой физи¬
ческий смысл: он выражает изменение возвышений геоида при переходе
от отсчетной поверхности, на которой потенциал равен t/0, к поверхно¬
сти, на которой потенциал равен W0. Возникающий отсюда добавочный
эффект в уклонении отвесной линии выражает искривление силовой ли¬
нии нормального поля на отрезке от одной отсчетной поверхности до
другой.
Нормальное значение силы тяжести 7 при заданной ее величине на
экваторе и заданном сжатии практически не зависит от неточности боль¬
шой полуоси нормального эллипсоида. Поэтому, не меняя 7 и, следова¬
тельно, оставляя без изменения нормальные высоты, можем считать,
что а имеет такое значение, при котором в (V.4.1) U0= W0. Таким об¬
разом, мы учитываем невозможность определения W0 или а без привле¬
чения результатов линейных измерений, а £ отсчитываем от эллипсоида
с неизвестной большой полуосью, на поверхности которого нормальный
потенциал равен W0. В соответствии с этим будем пока принимать, что
Uо =	в § 11 этой главы мы вновь вернемся к данному вопросу.
Таким образом, определение £ сводится к определению Г на физи¬
ческой поверхности Земли, ибо теперь из (V.4.1) получаем
C =	(V.4.2)
7
Функция Т как разность потенциалов двух масс, вращающихся с
одинаковой угловой скоростью, вне поверхности Земли S удовлетворяет
уравнению Лапласа. При совпадении осей вращения граничное условие
для Г на бесконечности имеет вид
lim (Гр) = const,
р—>оо
а если центры инерции и величины обеих масс совпадают, то
Нш (7р2) = 0.	(У.4.3)
р—>СО
Остается получить граничное условие на 5. Из определения возму¬
щающего потенциала следует
дТ	dW dU
<?v dv dv
(V.4.4)
Здесь производные взяты по направлению координатной линии V,
нормальной к уровенному эллипсоиду. С относительной ошибкой поряд-
85

ка квадрата уклонения отвеса значение — на поверхности Земли сов¬
падает с измеренным значением g силы тяжести и, следовательно,
л-К
С той же степенью точности получаем:
\дV/Л+? \ду/н'
(т )а+с = (т)л •+
так что
ф.
(ё т)	у ¿У/д’
(У.4.5)
Теперь определение Т приведено к решению третьей краевой задачи
теории потенциала: нужно найти функцию Т, которая на поверхности 5
удовлетворяет условию (У.4.5), вне 5 является гармонической функцией
координат и на бесконечности регулярна или удовлетворяет более силь¬
ному условию (У.4.3). Поверхность 5 представляет собой в этой задаче
первое приближение к фигуре Земли, получаемое путем отсчитывания
только нормальных высот над отсчетным эллипсоидом.
Самый простой путь решения этой задачи заключается в следую¬
щем. Попытаемся возмущающий потенциал Т представить в виде потен¬
циала простого слоя плотности ср, распределенного на поверхности 5.
Таким образом, вместо Т вводим новую вспомогательную неизвестную
функцию ср
Т= / у ¿3-	(У.4.6)
3?
Отсюда получаем внешнюю производную от Т по направлению V
дТ_
дм ~
— 2 тс ф сое а
(У.4.7)
где первый член правой части появился вследствие разрывности произ¬
водной простого слоя на 5.
Здесь а — угол между координатной линией V и нормалью к по¬
верхности 5. Очевидно, что функция Г, определяемая равенством (У.4.6),
является гармонической вне 5, на бесконечности регулярной1. Остается
удовлетворить условию (У.4.5), которое при помощи (У.4.6) и (У.4.7)
получит вид
27СФС08	+
Для сферической отсчетной поверхности
г*—р*+ р02— 2рр0созф'
_1_ат	2_
^ д*	р
д1
Г ■	1	_ Р2 — Ро2
__	ду^2р0г~ 2Рог» '
1 Подробнее смотрите § 12..
(У.4.8)
86

Поэтому
2 лфсоэ а =
(У.4.9)
Относительно функции <р (У.4.9) является линейным интегральным
уравнением. Исследование его будет дано ниже. Определив из него ф
из (У.4.6) и (У.4.2) получим £ и уклонение отвесной линии по формуле
Если из (У.4.6) и (У.4.9) исключить вспомогательную функцию ф,
то возмущающий потенциал непосредственно определится через анома¬
лии силы тяжести. Результат исключения можем получить непосред¬
ственно, применяя к возмущающему потенциалу формулу Грина. При
помощи формулы Грина Джефрис (1931, 1932) доказал необходимость
применения редукции в свободном воздухе при исследовании фигуры
геоида. В формуле Грина мы также будем вести интегрирование по по-
верхности Земли, однако интересоваться будем наиболее точным резуль¬
татом, которого сможем достигнуть.
В примечании к одной из работ Н. Р. Малкина (1939) без вывода
приведено уравнение, которое решает сходную задачу. Это уравнение
определяет «фигуру физической поверхности Земли по силе тяжести,
используемой там, где она наблюдена без всяких редукций». В него вхо¬
дит интегрирование по поверхности Земли искомой функции и второй
производной от потенциала силы тяжести по направлению нормали к
физической поверхности Земли. Это интегральное уравнение относится
к очень сложному неизученному типу и связывает интересующий нас
элемент с функциями, которые из наблюдений не получаются.
М. С. Молоденский, 1945, § 12.
М. С. Молоденский, 1948, § 3 и 7.
При выводе интегрального уравнения для возмущающего потенциа¬
ла Т будет использована произвольная ортогональная криволинейная
система координат <7, <71, <72. Для определенности примем, что поверхность
<7 = с при соответствующем выборе постоянной с близка к поверхности
Земли (например, является эллипсоидальной или сферической); на по¬
верхности <71 = С\ при <7, близком к с, находятся точки, широты которых
отличаются между собой на малую величину (например, эта поверхность
является гиперболоидом вращения или конусом); на поверхности <72 = с2
при <7, близком к с, мало меняются долготы (например, меридиональная
плоскость). Пусть
является уравнением физической поверхности Земли 5', где Н — неизве¬
стная функция <71 и <72* Будем считать, что существуют непрерывные вто¬
рые производные от Н по <71 и <72 (следовательно, кривизны 5' непре¬
рывны и условия Ляпунова для этой поверхности выполняются). Квад¬
рат элемента длины в принятой системе координат равен следующей
величине:
§ 5. Криволинейные ортогональные координаты
Я = я (<7ь Яг)
(У.5.1)
с1Р = Ь0Чд* + к*йд? + /г22 йд.
'22
(У.5.2)
87

Через прямоугольные декартовы координаты -ху у, г коэффициенты
А0, Аь А2 определены известными формулами
*-=(S)4lD4l)!
v=(l)‘+(IK0
‘KIHiHiJ
(V.5.3)
Рассмотрим произвольную кривую на поверхности Земли. Очевидно,
дифференциалы ее координат должны удовлетворять уравнению (У.5.1)
, дН. ,дН.
dq = dï1dqi+dï/‘h-
(V.5.4)
Назовем проекции дифференциала длины di этой кривой на направ¬
ления координатных линий в данной точке через rf/0, dlXy dl2y тогда из
(V.5.2) получим
dio = hodqy
dl\ = h\dqXy
dl¿ = h2dq2
и, следовательно, через эти проекции уравнение (У.5.4) можно выразить
следующим образом:
dk_dH dli _дН dl^	0
h0 ддг ’ Ах dg2 'h2~
(V.5.5)
Направление п нормали к поверхности Земли перпендикулярно
к элементу dly так как он расположен на поверхности Земли. Условие
ортогональности
eos (qy п) dio + cos (qu n) dlx + cos (q2y n) dl2 = 0
представляет собой уравнение элемента касательной плоскости к поверх¬
ности Земли. Поэтому косинусы углов нормали п к поверхности Земли
с направлениями координатных линий в данной точке соответственно
равны
cos(?’")=ж
.	,	1 дН
coS(?lI») = -w¥i
.	,	1 дН
(V.5.6)
где
Составим выражение для производной по направлению нормали к
поверхности Земли от какой-либо функции Б{ду дХу д2) трех криволиней¬
88

ных координат. Пусть проекции элемента dn нормали на направления
координатных линий соответственно будут dn0> dri\, dn2y то есть
dn0 = cos (q> n) dn = hQdq
dnx = cos (q19 n) dn = h1dq1 .	(V.5.7)
dn2 = cos (q2, n) dn = h2dq2
Тогда
dF. dF ,	. a/7 .	. d/7
= dn0+ — dn,+ d«2=
dn0
dF
dn	dn0 0 дя1
= [^(C0S^''>+s:1cos<íi''!)+s2cos;,'í’'!)] dn =
г i df ,	. , uf ,	, , i a/7	,	,1/
= Lw М8(*я)+5*:со!(»>’я)+h,w,mi^n)\án-
Принимая во внимание (V.5.6), получаем
dF _ Г1 dF _ h0 dF_ dll	dF_ dH~\ ,	.
dn |_Ao ’ dq h^' dqx ’ dqt Л22 ‘ dq% * dq2J C0S П ’
(V.5.8)
, Рассмотрим элемент поверхности Земли, заключенный между
координатными линиями д\ и <71 йц\, 92 и 92 + ¿<72- Из (У.5.2) следует
dS' cos (<7, /г) — h\h%dq\dqi.
Теперь из (V.5.8) и (V.5.9) получаем
(V.5.9)
dF
dn
dS’=	(V.5.10)
LК dq h? dqx dqx h2- dq2 dq2J 41	2
Для сокращения дальнейших записей введем дифференциальный
оператор Я (/% Я), определив его следующим образом:
D(F,H) = -r±
hr, dF dH . hn dF dH
	 e 	 		i	. __ .
V d<7i dqx ' V * ^<72 ’
Тогда (V.5.10) можно записать короче
-dF
(V.5.11)
dF
dn
dS’=	(/7> W)] WíA,	(V.5.12)
так как в соответствии с (V.5.2)
J_ dF dF
h0‘ dq dv ’
(V:5.13)
где dv есть линейный элемент внешней нормали к поверхности <7 = сопз1
в точке с координатами <7 == И (<71, <72), <71, <72.
Определим углы между направлением силовой линии, проходящей
через данную точку поверхности Земли, и направлениями координатных
линий в этой точке. Путем рассуждений, аналогичных приведенным при
выводе формул (У.5.6), получим
1 dW 1 dW 1 dW

Очевидно, что
\А ' dq)^ \А, * dqj + \A2 ‘ dqj g '
Таким образом,
и аналогично
, , 1 dw
со Hl.S) = -¥--^
cos (ft, g) =	jr •
v 1	ghi	d(Ji
.	.	1	¿Г
vv-	'	¿•A,	dft
.	,	1	dU
cos (ft v) =	. -r~
vv I/	Y О V
1
dt/
cosw1)T) = -^-.^-
.	.	1 dt/
оов(,1.1) = -7Га.3?-
Отсюда получаем
— ^=£COS(ft£)~ ycos(9, y) ~£~
Y
dr
Axd ft
dr
A2dft2
: £ cos (ft, g) - Y cos (ft, y) * Y (5 — 5 5)
:g COS (ft,g) — YCOS (ft, Y) * Y O') — ^l)
(V.5.14)
(V.5.15)
(V.5.16)
где £ = cos (^i, g) и tq = cos(^2, g)—компоненты уклонения отвесной
линии, БЕ; = cos (<71, f) и 5т] = cos (<72, у ) —компоненты угла между си¬
ловой линией нормального поля и координатной линией а.
doF
Условимся символом jj- обозначать дифференцирование непрерыв¬
ной и однозначной функции F трех координат по q\ при условии
q = H(qu q2) и q2 = const, т. е. дифференцирование по направлению
касательной к линии пересечения поверхностей S' и q2 = const. Получим
dqx ~ dft + dq ' dft
(V.5.17)
и аналогичное выражение для производной по второй координате. Для
функции Я, которая по смыслу своего определения является функцией
двух координат д\ и <72, имеем
d2/7 _ дН д^Н_дН
* dft ~dft И dft-dft'
По аналогии с (V.5.11) определим оператор D (F, Н)
n(F т — Ь. дчн | Ао д2Яд2Я
* ’ ' Ах2 " dft ‘ dft А22 ’ dft dft ’
(V.5.18);.
90

Выражение (У.5.17) устанавливает связь между операторами
£> (Я, Я) и £> (Я, Я)
£> (Я, Я) = Я> (Я, Я) - ^В(Н,Н).
(У.5.19)
Теперь вместо (У.5.12) получаем
<?Я Г<?Я
%<&= |^(1 + й0 Я (Я, Я)) - О (Я, Я)] к.'к^д^.	(У.5.20)
Заметим, что из (У.5.6) и (У.5.11) следует, что
1 + Л0О (Я, Я) = вес2 (<?, л),	(У.5.21)
а поэтому
%<&•= зес'-‘ (Я, п)-Ъ (Я, Я) ] к'к'йд^.	(У.5.22)
Пользуясь интегрированием по частям, преобразуем интеграл
§ § й (/% Н) кхк2
5'
взятый по замкнутой поверхности 5', следующим образом:
// О (Р, Н) ААА7 А= /<<». /(^
-ЦН~кОкд£)^	(У'5'23’
Поменяв местами функции Я и Я, найдем
У ^Ъ (Я, Я)	^^Я(Я,Я)Л1/г2й<71^2 =
=-/
<у'5-24»
Введем в рассмотрение второй дифференциальный оператор, опре¬
делив его следующим образом:
4^=4[4КхС>+4(^,1г)]-	(У'525)
Таким образом,
^^ О (/% /У) А1А2Й9г1^2 = — У=
= - [ / ЯДзЯ/гЛ^!^-*-	(У.5.26)
91

Исследуем выражение (У.5.26) в случае Т7 = ~, где г' — расстояние
между двумя точками поверхности 57. Если исследуемая точка А лежит
на поверхности 57, интеграл j§T)[^p^H}h\h2dq\dq2 является несобствен-
5'
ным и, как можно показать, сходится условно. Выделим вокруг иссле¬
дуемой точки окрестность 5. Интегрируя по частям, в этом случае будем
иметь
if
S'—s 4	'
, i
ЫидМ' 2 '
*0“2
Л, dqx )
dql
<hh+
II
S'-a
1 d2
r’dq1
(
~ih <^7
2
h0h1 d.2H \ ,	,
где
e
h0ft2d^H\dq.,
К dqx) r’
hph-1 ¿£i"l
К dq2 ) r' J '
Если область 5 ограничена пересечением поверхности S' со сферой
малого радиуса г7 = const, то	*
) h2 dq2 —— ф h 1 dq^	0,
поэтому
£
h0d2H
/h0d2H\ 1 h2dq2 г ГЬ0д2Н /h0d2H\ 1 M?i
JJ г9 ^ У [^dq2 \h2dq2 JJ rf
и е стремится к нулю, если г7->0. Таким образом, равенство (У.5.26)
г 1
справедливо и при г = -г .
В качестве примера использования полученных соотношений найдем
интересную зависимость, которая понадобится в дальнейшем. Из (У.5.16)
и (У.5.11) имеем
D{T, Т).
При Н = 0, из (У.5.26) находим
jD(T, T)da=— f T\Tda.
s	s
92

Принимая во внимание выражение (П.9) для оператора Лапласа
в криволинейных координатах и выражение (У.5.25) для оператора Д2 Т,
в сферической системе координат находим:
1 >
К =9,
Л2 = р БШ
Среднее квадратическое значение уклонений отвеса на всей Земле
поэтому составляет
+ ^ = й /	^11 -	| ^ 1£)
¿0.
Подставив сюда разложения Т и производных
ческим функциям:
2
/?я+2
рЯ-И
л — 1
дЧ
дра
по сфери-
5 (я + 1)/?”+2	±£п_
д р 2 Рл+2 * л — 1 ’
<?2Г_^(Аг +1)(/г + 2)/?”+2
д р2 2	РЛ+3	* л — 1
и полагая в этих выражениях
12+^2 =
получаем
2 V «(д-И)
т2„=2(«-1)2
(У.5.27)
Раскладывая правую часть соотношения
/ (52 + >]2)^ = ;р / (д*+^)(д*+£)<Ь	(У.5.28)
по сферическим функциям, убеждаемся в полной эквивалентности фор¬
мул (У.5.27) и (У.5.28).
М. С. Молоденский, 1945, § 12, 13 и 14.
Формулы (У.5.27) и (У.5.28) опубликованы впервые.
§ 6. Преобразование формулы Грина
При преобразовании формулы Грина нам придется иметь дело с ве¬
личинами, заданными на трех поверхностях:
1)	на поверхности 5' Земли, форма которой неизвестна и подлежит
определению;
2)	на близкой к 5' вспомогательной поверхности 5, которую можно
считать известной;
3)	на поверхности 50 нормального эллипсоида.
Кроме того, некоторые величины будут отнесены к исследуемой точ¬
ке. Одни и те же величины мы будем обозначать одинаковыми буквами,
тогда индекс укажет, к какой поверхности они отнесены. Надстрочные
штрихи будут отмечать, что данная величина относится к поверхности 5'
и зависит от неизвестных координат этой поверхности; надстрочная
93

черта, как правило, будет обозначать функции, относящиеся к элементу
соответствующей поверхности интегрирования и зависящие от перемен¬
ных интеграции.
Применим формулу Грина к потенциалу V? силы тяжести реальной
Земли, вращающейся с угловой скоростью со
]У =
±Г Г 1д№
4*Уг' дп
-(\Р-\Г0
(У.6.1)
где п — направление внешней нормали к этой поверхности, с/х — элемент
объема, заключенного внутри Земли, — расстояние от исследуемой
точки до элемента объема.
Как было указано в первом параграфе главы III, при таком напи¬
сании формулы Грина исследуемая точка может находиться и на по¬
верхности 5' и вне этой поверхности.
Уравнение, аналогичное (У.6.1), можно составить и для нормаль¬
ного потенциала, взяв для него ту же поверхность интегрирования 5' и
ту же угловую скорость вращения. Тогда вторые интегралы справа бу¬
дут одинаковы. Образовав разность и вводя возмущающий потенциал Г,
получим
Т=~Ы [т'Ж -<7'- Т°>пт] <у-6-2>
Напомним, что производные здесь взяты по направлению внешней
нормали к физической поверхности Земли.
1 1
дТ 0 г'	д Т ° г'
Выразив ^ и через и при помощи формулы (У.5.12).
получим
т=-гМ[тд37-^Г-т^гЛ
~р О (Т, Н) +
+ (Т — То) Я (±, я)]	(У.б.З)
Таким образом, от производных по нормали к физической поверх¬
ности Земли мы перешли к производным по направлению координатных
линий.
Если бы поверхность 5' была известна, то выражение (У.6.3) можно
было бы рассматривать как интегральное уравнение, которое могло бы
дТ	-
служить для определения ^ по заданным значениям 7 или для решения
обратной задачи. Далее мы покажем, что в наших условиях уравнение
(У.6.3) можно привести к интегро-дифференциальному, а затем к линей¬
ному сингулярному интегральному уравнению, которое определяет фор¬
му поверхности 5'.
М. С. Молоденский, 1945, § 12.
§ 7. Вывод интегро-дифференциального уравнения для £
В уравнении (У.6.3) интегрирование распространено на поверхность
5' Земли, форма которой нам неизвестна и подлежит определению. Те¬
перь мы намерены перейти к интегрированию по поверхности 5, близкой
к 5', форму которой, как отмечено выше, можно считать известной. По¬
верхность 5 определена функцией 1°, д20)У т. е. нормальной высотой
94

Л, однозначно связанной с геопотенциальной высотой jgdhw. Значения
<71° и <72° соответствуют приближенным значениям В и В, которые могут
быть определены из геодезических или астрономических наблюдений.
		^ 'Р
В уравнении (У.б.З) неизвестными являются значения Г, ^ г', А/,
А2' для точек поверхности Земли и
Я=А + - = А + С.
т
Известные величины — потенциал № силы тяжести в точках поверх¬
ности 5х и градиент потенциала ускорение g силы тяжести — являются
функциями трех неизвестных координат //, ¿71', ¿72'. Через ¿7/ и <72' мы
обозначили значения ^ и ^ в точках поверхности 5'. Последние две
координаты приходится считать неизвестными вследствие наличия укло¬
нения отвесной линии.
Подставив выражение (У.4.2) для Т в (У.6.3) и приняв во внимание
,(У.5.16), получим
ТС = 4^ // [7 (8 ^ (?.£) — У' соз (?, т)) + (тС — У<£о) 37 7 +
+ ±0(Т,?)-(ТС - ТоСо) ^(7. V')] Л/А2'^<72,	(У.7.1)
где через у' обозначено значение нормальной силы тяжести на физиче¬
ской поверхности Земли (в отличие от у, которое должно быть вычис¬
лено для точки с координатами ¿71° и <72°, в частности В и В, располо¬
женной на высоте А над нормальным эллипсоидом). Пренебрегая вели¬
чинами порядка произведения £ на уклонение отвеса и квадрата
уклонения отвеса, можно это уравнение значительно упростить.
Прежде всего соэ (¿7, g) и тем более соэ (<7, у) отличаются от еди¬
ницы на величину порядка квадрата уклонения отвеса, и, следовательно,
могут быть заменены единицей. Далее при р или ее производных всюду
входят множители порядка или С, или аномалии (g—у). Пусть значе¬
ниям Дй и А£ соответствуют значения и Ад2- Тогда при разло¬
жении р в ряд Тейлора по степеням £0,£—£0,д	и д<72”(д ^2)0
(индекс нуль показывает, что соответствующие значения взяты для ис¬
следуемой точки) все члены разложения, кроме первого, можно не учи¬
тывать, так как они будут умножены на величины порядка £ и в урав¬
нении (У.7.1) дадут члены второго порядка малости. Обозначим через г
расстояние между точками поверхности 5, соответствующими исследуе¬
мой точке и текущей на 5'. Следовательно, мы теперь можем вместо
— подставить р, т. е. первый член разложения в ряд Тейлора. Значе-
1
ние — не зависит от перечисленных малых величин и, следовательно,
известно, поскольку для любой точки с координатами В, В, третья коор¬
дината А может быть определена по (У.З.З).
На том же основании в третьем и четвертом члене выражения
(У.7.1) можем Н заменить на Л, равное нормальным высотам текущих
точек поверхности 5, а значения А/ и А2' в (У.7.1) вычислять также для
поверхности 5.
95

Теперь вместо формулы (V.7.1) получаем
IJ [у(^ - ^ + № - ToW;577 ■+ 7°	h) -
— (yC — YoCo) D (J:, J hji^dq^dq*.
(V.7.2)
В точках поверхности 5' сила тяжести g непосредственно получается
из наблюдений, но у' неизвестна. Остается установить зависимость
у' от С- Очевидно,
Y' (ч 4 ^, Чг 4 ^ Чу 4*1 + Д Ч^ — Y (?, Ч°> 4*1°) 4 С ^ 4
4	Д <72.
1 дд2 ч*
(V.7.3)
Последний член этого разложения, когда поверхность q = const яв¬
ляется эллипсоидом вращения, равен нулю. Третий член ^ Д q± правой
части мал. Поэтому, взяв вместо радиусов кривизны координатной по¬
верхности q средний радиус R Земли и принимая во внимание (V.5.16),
можем написать приближенные соотношения
«..-ШЕ-Ш-
где Уо — среднее значение нормальной силы тяжести на Земле.
Сохраняя за собой право понимать под ¿7, q\ и q2 любые взаимно
ортогональные координаты, но полагая, что последние два члена правой
части (V.7.3) малы, можем написать аналогичное выражение для //2^7з’
Используя эти равенства, получаем
R 0(Л,;)
‘Т+&С-
Yo^o
(V.7.5)
(V.7.6)
и после подстановки в (У.7.2) имеем
^ = Л//[7	^ - 41) + 7 •	°	+
4 (тС -Y<^)	7 - О (~,	+ (тс, Л)] 4М<74<72-
При определении Т в точках поверхности 5 получаем
= 27 1з1 [■?(<■-1 - 4) + 7 Я ■0	+
+	/1^ + 7«.")]	№7.7)
Все элементы неопределенности, которые входили в связи с интегри¬
рованием по неизвестной поверхности, здесь выявлены и сведены к од¬
ной неизвестной функции С, которая должна удовлетворять этому урав¬
нению.
Заметим, что г связано с координатами Л, q\} и ¿72° той же функцио¬
нальной зависимостью, какой г' связано с Я, ¿7/ и ¿72'. С этой точки зре-
96

ния можно сказать, что мы построили поверхность 5 и перешли к инте¬
грированию по этой поверхности.
Уравнение (У.7.7) является интегро-дифференциальным. Далее мы
покажем, что оно может быть приведено к линейному сингулярному
интегральному уравнению с несимметричным ядром, установим условия
существования решения, их физический смысл и условия единственности
решения. Тем самым будет показано, что фигура реальной Земли может
быть определена из совокупности точных геодезических измерений, при¬
чем никаких гипотез привлекать для решения этой задачи не требуется.
При выводе формул (У.7.4)— (У.7.7) мы предполагали, что изве¬
стны только астрономические координаты; но с таким же успехом д\° и
</2° можно вычислять по приближенным геодезическим координатам.
Тогда А дх и А д2 будут представлять собой разности между истинными
координатами <7/ и <72' точек физической поверхности Земли и значе¬
ниями ¿71° и ¿72°, соответствующими геодезическим координатам.
В этом случае А ^ и А д2> будут зависеть от элементов размеров и
ориентировки отсчетного эллипсоида. Формула (У.З.З), определяющая й,
сохранит свое написание, но изменит смысл, ибо В и £ теперь будут
геодезическими координатами. Эта формула по-прежнему приводит к
определению нормальных высот и исключает надобность в ортометри-
ческих поправках.
Формула (У.4.2), конечно, не изменится. Вместо (У.7.4) получим
Мл
А2 а
дМ
М<7а
(У.7.8)
где N — высота нормального эллипсоида над геодезическим эллипсои¬
дом. Поэтому вместо (У.7.5) будем иметь
дТ	,	. Я п/аг \
-гг5=*-т =*-т-'з7+а;°(Л,’т)
(У.7.9)
Следовательно, в (У.7.7) под знак интеграла вместо члена
1А-
г г<А
¿>(тСл)
мы должны включить следующий член:
4?Я(Л7,т).	^.7.10)
Г По
Произведем приближенную оценку влияния АС рассматриваемого
поправочного члена на величину £ при й=0. При этом будем считать,
что криволинейная ортогональная система координат ¿7, ¿71 и ¿72 является
геодезической. Тогда
^-«Зт.рзт^соз^.	(У.7.11)
В обозначениях этой главы можно написать [см. (1.3.5) и (1.3.6)]:
Ы—Хо эш дг соз д2 + у 0 бш д1 вт д2 + г0 соб + А а — /? А а сое2 д1} (У.7.12)
7 Труды ЦНИИГАиК, вып. 131	97

(V.7.13)
dN
dq,
— x0 cos ?4 cos ?2 +_y0 cos ql sin ?2 — z0 sin ?i -f
+ 2/?Aacos^1sin^l,
df
dq 2
1	ч 1 dN d-(
ho ’ Y — Л42 dqx' dql
2tc 71
.. R^rrlldNdy.	, ,
2ñ J J
0 0
Принимая во внимание, что
2	1
cos2 ft sin ?! = - yg p3l (?i) - -g яи (?i).
(V.7.14)
cos* ?i = -| P2 (?i) + 4 Po (<7i).
COS3 ?! = p3 (?l) + 4 P1 (^l)i
COS4 ?! = -Jj P4 (?i) + 4 p2 (<7i) + ¿ P0 (<7i)>
и используя разложение ~ по сферическим функциям, получаем
А С = 4 Р { *0(- i§5 ps! (?i') cos ?2' - ¿ Pu (?/) cos ?/) +
+^	Ж Рз1 ^sin ^ — T5 Pn ^ sin ?2') +
+ z0 P3 (?/)- ^Px(^')) +
+ 2 P Да (- g?g P4 (?!') +	P2 (?!') +	-	(V.7.15)
Через q\ и q<¿ здесь обозначены координаты точки, для которой
вычисляется А С. Примем, что х0 = у о = Д а= 0, a угол между норма¬
лями к нормальному эллипсоиду и геодезическому эллипсоиду достигает
10", т. е. Zo = Rsm 10" [см. формулу (1.3.6)]. В этом случае Д£ на по¬
люсе составляет 0,6 м. Продифференцировав (V.7.15), получим, что соот¬
ветствующее значение Д£ на экваторе равно 0",05. Если центры нор¬
мального эллипсоида и геодезического эллипсоида совпадают, но из-за
отличия в сжатии угол между нормалями к эллипсоидам достигает 10",
т. е. Да = sin 10", то на полюсе ДС достигает 1,7 ж, а соответствующее
значение Д£ при cos q\ = 0,4 равно 0",03. Таким образом, рассматри¬
ваемая ошибка в с' может превосходить 2 м.
Из выражений (V.7.11) — (V.7.14) следует, что рассматриваемый
поправочный член вносит в аномалии силы тяжести сферические гармо¬
ники первого и третьего порядков за счет несовпадения центров и гармо-
98

кики второго и четвертого порядков за счет несовпадения сжатия обоих
эллипсоидов.
Как видно из приведенных рассуждений, рассматриваемый попра¬
вочный член появляется потому, что нормальное значение силы тяжести
вычисляется по аргументу систематически неверной (геодезической) ши¬
роты. Различие в системе геодезических координат отдельных континен¬
тов может, с этой точки зрения, внести новые эффекты, влияние которых
должно быть исследовано.
М. С. Молод е некий, 1945, § 13.
§ 8. Вывод линейного интегрального уравнения для £
Чтобы перейти от интегро-дифференциального уравнения (У.7.7) к
линейному интегральному уравнению, нужно из (У.7.7) исключить про¬
изводные от у С по координатам <71 и ¿72.
Чтобы сократить написание формул, мы будем исходить из нераз¬
вернутого и вполне точного уравнения (У.6.3) для возмущающего по¬
тенциала Т и уже после необходимых преобразований перейдем к един¬
ственной неизвестной функции £ подобно тому, как мы выполнили это
в предыдущем случае.
Итак, исходное уравнение (У.6.3) будет таково:
т= -Til /[737 -(Г- 4ft?-? o(T,H)+
+
(Т-Т0) я(-р,//)] h{h4dqxdq^.
Входящий в него оператор В включает дифференцирование по на¬
правлениям, параллельным координатной поверхности ¿7. Чтобы получить
возможность преобразования оператора В интегрированием по частям
по переменным <71 или <72, нужно рассматривать Т и у, как функции
только этих двух координат, перейдя к производным по направлениям,
параллельным поверхности 5'.
Используя формулу (У.5.20) для Т и у, , можем представить фор¬
мулу Грина в криволинейных координатах в следующем виде:
7 = - к Я [Gjv - <r-	"» -
О
-±D{T,H)+{T- 70) D (±, я)] h'h^dq.dq^. (V.8.1)
Теперь в (У.8.1) перейдем от оператора В к оператору Д2. В соот¬
ветствии с (V.5.18) получим
y,D{T, Н)-{Т- TJd(±,h) = D	, Н) -
-2{T-T0)d(j„h)-	(V.8.2)
7*
99

Умножая это равенство на h^'h2dq^dq2, интегрируя по всем значе¬
ниям <71 и <72 и принимая во внимание (У.5.26), находим
J f [j,° (Т, И)-{Т-Т0) D Q, я)] hxh'dqxdq,_ =
= -/ f [^У° Да Я + 2 (7- Г0) D (-±, я)] h^u/dq.dq,.
При помощи этого равенства из (V.8.1) получаем
т = - к // [0 дат~ <г“	к 7)sec2 <«•	+
+ (Г- То) Q *2 Н + 2 5 (-р, н)] l,'h^qidq%.
(V.8.3)
(V.8.4)
Таким образом, производные возмущающего потенциала по коорди¬
натам q\ и <72 исключены. Уравнение (V.8.4) точное. Принимая во вни-
„	г дТ
мание, что Т есть величина порядка а — порядка аномалии силы
тяжести, можем, как и ранее, — заменить на ~r, Н — на /г, h\ и h2— на
h\ и h2, sec2 (q, л') —на sec2 (<7, я), допуская ошибку порядка С2 или
квадрата уклонения отвесной линии.
Далее используем формулы (V.4.2) и (V.7.9):
7'=тС,
дГ	,	дч йп... ,
Вместо (V.8.4) будем иметь
Г=¿; // [т (г - ■ -с й^ D <‘v-т 0secS +
«S
+ (У— Г0)	7 sec2 (<7, л) - 7 Д2 h - 2 D , hj) j hxh2dqxdq.2. (V.8.5)
Множитель при Т0 в правой части этого уравнения можно преобра¬
зовать. На основании (V.5.22) получаем
II	7Sec2(?-п) ~ 2 D (7.	- 7 A2^J hxh2dqxdq2 =
= / 4 7 ^ " // (^ (7 ’ Л) + 7 As Л)	(V.8.6)
Первый интеграл справа есть интеграл Гаусса для поверхности 5;
поскольку нас интересует значение С на поверхности 5, он равен — 2тг;
второй интеграл равен нулю на основании (У.5.26). Таким образом, в
правой части (У.8.5) получаем Г0. Перенеся этот член влево и умно¬
жая на два, находим
Т—^~ f — (£ — y) secadS f Т Г^- —seca
2nJ г у	2 kJ	dvr	г*]
о	с L	1
Y dv
sec a —
- 2 D (Jr, cos a — j Д2 h cos aj dS.	(V.8.7)
100

Мы положили здесь
h1h2dq1dqi = cos л dS,	(V.8.8)
где а — угол наклона элемента dS поверхности S. Пользуясь (V.5.22) и
(V.8.3), получаем
T=^fj(s—i)secads+
«s
	-p-seca] dS.	(V.8.9)
ry д V J
В уравнениях (V.8.7) и (V.8.9) мы опустили член, содержащий
D (N, 7 ). В предыдущем параграфе мы видели, что влияние этого члена
достаточно мало. Однако, чтобы не вводить в результат дополнительной
ошибки, мы обязаны брать одинаковые сжатия для эллипсоидов, приня¬
того при обработке астрономо-геодезической сети и нормального. Из
этих же соображений следует стремиться по возможности совмещать
центры этих эллипсоидов. Отбросив член, содержаний D (Л/, у) или
D (у£, у), от более точного граничного условия (V.7.5) или (V.7.9) мы
перешли к граничному условию (V.4.5), в котором у определена по
астрономическим или геодезическим координатам.
Напомним, что интеграл J hjcosadS мы понимаем в смысле
S
его главного значения. Все остальные интегралы правой части (V.8.9)
сходятся, поскольку (g — у), Т и а являются непрерывными функциями
координат точек поверхности S; функция Д2Л, как мы условились, также
непрерывна.
Таким образом, мы получили линейное интегральное уравнение вто¬
рого рода с несимметричным ядром, обращающимся в бесконечность
при г-> 0. Уравнение (V.8.7) или (V.8.9) является сингулярным. Все
входящие в это уравнение функции, кроме Г, известны. Определение Т
сводится к решению этого уравнения.
М. С. Молоденский, 1945, § 14; 1948, § 4.
§ 9. Условия существования решения
Исследование уравнения (V.8.7) или (V.8.9) осложнено тем, что его
ядро обращается в бесконечность при г = 0 и входящий в уравнение
интеграл существует только в смысле главного значения Коши. Поэтому
не всегда можно переставлять порядок двух последовательных интегри¬
рований и, главным образом по этой причине, выводы общей теории к
данному случаю следует применять с большой осторожностью. Посколь¬
ку особая точка ядра
K=\M7-7^hcosa-v(j’ A)cosa~a'^seca] <У-9Л>
представляет собой полюс второй кратности, нельзя утверждать, что
после конечного числа итераций итерированное ядро будет ограни¬
ченным.
101

Уравнение (V.8.9) напишем в виде
2ъТ— J Т ^i__L|lSeca — d(^, cosa— Д2 A cos a J dS —
= +	sec a dS.	(V.9.2)
S
Составим однородное интегральное уравнение, союзное данному,
т. е. такое, в котором интегрирование будем вести по второму аргументу
(по координатам изучаемой точки); первый же аргумент в отношении
интегрирования по поверхности будем рассматривать как фиксирован¬
ный параметр.
Напомним, что ~ в этом уравнении представляет собой функцию
двух аргументов — функцию координат текущей точки, к которой отне¬
сен элемент поверхности dS, и функцию положения изучаемой точки,
координаты которой входят в — в качестве параметров. Что же касается
величина, /?, у, у, а также операторов ^ и D, то все они, конечно, за¬
висят только от координат элемента интеграции и не зависят от второго
аргумента.
Принимая во внимание эти замечания и называя через р неизвест¬
ную функцию союзного уравнения, получаем
2 тср = f Ia у ^ — í-y ^ sec a -f- cos a Д2 h \ J ydS —
s n r V‘v	/ i r
-COS a J ?d(j, h\ds.
Меняя порядок интегрирования и дифференцирования по парамет¬
рам в последнем уравнении, можно записать его иначе
2 Tip = -^ ^ ydS — Q sec a -f- COS	J" ydS —
— COS a D
(V.9.3)
Для существования решения уравнения (У.9.2) необходимо, чтобы
любое решение уравнения (У.9.3) было ортогонально к свободному члену
уравнения (У.9.2), т. е. необходимо, чтобы было выполнено условие
(g — т)
г
sec a dS
]
dS = 0.
(V.9.4)
Действительно, умножая уравнение (У.9.2) на ^ и интегрируя по
всей поверхности 5, получаем
2 л
— D
Л	Г Г д 1	1	cosa ,
	—^k~
(y, /,) cos aj íí.S^J dS = f ¡i ( j' ^	- sec a (isj
dS.
Меняя в левой части порядок интегрирования (что возможно, так
как один из интегралов обыкновенный), т. е. выполняя сначала интегри¬
102

рование по второму аргументу (по координатам изучаемой точки), мы
убеждаемся, что если \х удовлетворяет уравнению (У.9.3), то левая часть
обращается в нуль и, следовательно, должно иметь место условие (У.9.4).
Отсюда вытекает необходимость этого условия.
Значительно сложнее обстоит дело с доказательством достаточности
условия (У.9.4) для разрешимости уравнения (У.9.2).
Жиро (см., например, монографию Миранды, 1957 г.) распростра¬
нил на интегральные уравнения типа (У.9.2) следующие теоремы, изве¬
стные из теории регулярных интегральных уравнений:
1.	Однородное уравнение и союзное уравнение имеют одинаковое
число линейно независимых решений.
2.	Необходимое и достаточное условие разрешимости неоднородного
уравнения заключается в ортогональности свободного члена уравнения
ко всем решениям однородного союзного уравнения.
Из последней теоремы следует как отмеченная выше необходимость
выполнения условия (У.9.4) для существования решения уравнения
(У.9.2), так и достаточность этого условия.
Меняя порядок интегрирования в условии (У.9.4), можем предста¬
вить его в следующем виде:
—4)^001(13 = 0,	(У.9.5)
где
Теперь уравнение (V.9.3) можно записать так:
^ — 2 п р =	^ sec a -f соз а Д2	X + cos а D (X, А).	(V.9.7)
Постараемся исключить р из этого уравнения, так как в условие
(V.9.5) входит только X. Для этого примем во внимание, что X можно
толковать как значение на поверхности S потенциала простого слоя с
плотностью р, как это следует из уравнения (V.9.6). Производные от
потенциала простого слоя в направлении касательных к поверхности не¬
прерывны. Нормальная производная от потенциала простого слоя на
поверхности S терпит разрыв непрерывности, причем скачок непрерыв¬
ности и значение^ на поверхности определены известными формулами
Пуассона и Племели:
дХ дХ .
1	Г— 4- —1 — —
2	|_д/г,. дпе J — дп '
дХ
Следовательно, левая часть уравнения (У.9.7) равна уу . Значения
^ и у— на поверхности 5 связаны формулой Грина
д 1
1 =
2лJ [г дпе дп г J
dS.
ш

Подставляя сюда вместо правую часть из (У.9.7), получаем ли¬
нейное интегральное уравнение, которому должна удовлетворять функ¬
ция X
sec а +
eos а
Д2 h
_i.li
дп г J
cosa
D(k, A)J¿S.
Это уравнение нетрудно значительно упростить. Действительно, в
силу (V.5.26)
/
— До h eos a dS =
г -
jf D , h ^ eos a dS.
Из определения оператора D следует
D0, h)=\D(j, h) + jD(\,h).
Формулу (V.5.22) можно записать так:
AldS= j^Aiseca —	A^cosaJ dS.
Принимая эти соотношения во внимание, находим
2пХ= [	—Р-') seca dS.	(V.9.8)
J \dv r r-\ dv)
Мы получили линейное интегральное уравнение относительно X опять
с особым ядром. Теперь функция \i нас может больше не интересовать.
Действительно, каждому решению уравнения (V.9.3) соответствует един¬
ственное значение функции X, так как задание поверхностной плотности
во всех точках поверхности однозначно определяет потенциал простого
слоя. Вместе с тем отыскание ц по заданным значениям X, т. е. плотно¬
сти поверхностного слоя по значению его потенциала на поверхности,
сводится к решению внешней и внутренней задачи Дирихле, так как
плотность слоя можно выразить через разность внешней и внутренней
производной от потенциала этого слоя. Как известно, эта задача всегда
имеет решение и притом единственное при достаточно широких предпо¬
ложениях о свойствах поверхности S. Таким образом, X и р связаны
между собой однозначно и число линейно независимых решений урав¬
нений (V.9.3) и (V.9.8) одинаково. Последнее обстоятельство имеет
существенное значение. Поскольку число линейно независимых решений
однородного уравнения, соответствующего полному уравнению (V.9.2),
и число таких же решений союзного к нему уравнения (V.9.3) одина¬
ково, можно утверждать, что число линейно независимых решений урав¬
нения (V.9.8) равно числу линейно независимых решений однородного
уравнения, получаемого из (V.9.2) путем отбрасывания свободного члена.
Выясним число линейно независимых решений уравнения (V.9.8).
Для этого составим уравнение, союзное к (V.9.8). Поступая аналогично
тому, как делали ранее, и называя неизвестную функцию союзного урав¬
нения через ср, имеем
2шр = зеса^- í ydS — seca“§~ Г у dS.	(V.9.9)
104

Рассматривая <р как поверхностную плотность простого слоя и вво¬
дя функцию ф — потенциал этого слоя, в точках поверхности 5 полу¬
чаем
2
дф
яф= seca^
dv
sec<x , dy
-	Ф • jr •
у dv
(V.9.10)
Примем во внимание, что скачок непрерывности производной от .по¬
тенциала простого слоя по направлению, составляющему угол а с нор¬
малью, равен 4 7сср cos а. Поэтому
Ц-271Тсоэа=^.	(V-9-11)
Поскольку cos а 9^0, вместо (V.9.10) при помощи (V.9.11) полу¬
чаем
<?ф
dve
1 д у
у dv
ф=0.
(V.9.12)
Это уравнение эквивалентно (У.9.9) в том смысле, что каждому
решению одного из этих уравнений соответствует единственное решение
другого уравнения. Как и ранее, это следует из единственности решения
задачи Дирихле.
Сравнивая (У.9.12) с граничным условием. (У.4.5), мы видим, что
потенциал ф должен удовлетворять тому же граничному условию, что
и Т, но только однородному: соответствующая потенциалу ф смешанная
аномалия (£ —у)ф = 0* Очевидно, что в этом случае добавление к Т
потенциала ф не меняет граничное условие, поэтому Т + ф удовлетво¬
ряет уравнению (У.9.2), а ф —однородному уравнению, получающемуся
из (У.9.2) при g — у — 0. Существование потенциала ф означает, что
граничное условие не обеспечивает однозначности решения задачи и,
далее, что краевые значения должны удовлетворять стольким условиям,
сколько существует линейно независимых решений ф . Все эти условия
заключены в формуле (У.9.5), где X—решение однородного линейного
уравнения (У.9.8).
В следующем параграфе мы рассмотрим случай, когда отсчетная
поверхность является сферой, и покажем, что в этом случае уравнение
(У.9.8) и однородное уравнение типа (У.9.2) имеют по три линейно не¬
зависимых решения.
М. С. Молоденский, 1948, § 4.
§ 10. Сферическая отсчетная поверхность
С обычной на практике степенью" приближения можно принять
^¿т=__2
у ду р
В чистом виде это соответствует случаю, когда уровенная поверх¬
ность нормальной Земли является сферической, о)=0 и, следовательно,
Т
fM
р2 ■
В этом случае dv—d р. Нетрудно видеть, что можно принять
105

где — произвольная сферическая функция первого порядка. Действи¬
тельно, уравнение Лапласа, условие на бесконечности и граничное усло¬
вие (У.9.12) в этом случае удовлетворяются. В У1 входят три линейно
независимые функции, поэтому существуют три линейно независимые
функции Хх> Х2, Х3, удовлетворяющие уравнению (У.9.8). Заданная на
поверхности совокупность значений (g—7) для разрешимости уравне¬
ния (У.9.2) должна удовлетворять трем условиям типа (У.9.5). Значе¬
ния (£ — у) фактически получаются из наблюдений — из измерений си¬
лы тяжести, нивелировок и астрономических определений. Будут ли вы¬
полнены условия (У.9.5), если измерения произведены совершенно
точно?
Чтобы ответить на этот вопрос, произведем дальнейшее исследование
уравнения (У.9.8). Перейдем к сферической системе координат и вместо
X введем новую функцию а, связанную с X соотношением
Хзес а = ра.	(У.10.1)
Теперь уравнение (У.9.8) можно привести к следующему виду:
2*®СОва = -^о^ + р^~±)лУ.	(У.10.2)
Обозначив через р0 значение радиуса-вектора для изучаемой точки
и через х угол между р0 и р, воспользуемся известным соотношением
между этими величинами и г
Г2=гр2+Рог—2рр0СОЗ X-
Следовательно,
д 1 _ Рр cos х — Р д 1 _ р cos х — ?о
др г	г® ’ др0 г	Iя
1	ó 1 _	д 1
г^^дрг	др0 г
Теперь вместо (V.10.2) получаем
2 яа cos а = — Г — dS — -J-- í — dS.
PoJ г др0 Jr
(V.10.3>
(V.10.4)
Член 2 uracos а, стоящий в левой части, равен половине скачка не¬
прерывности производной потенциала простого слоя плотности сг по на¬
правлению, составляющему угол a с нормалью, т. е. по направлению р0.
Поэтому, вводя вспомогательную функцию U¿—потенциал простого слоя
плотности a на точку, лежащую внутри поверхности S, уравнению
(V.10.4) можно придать вид
dUt_Ui
др р '
(V.10.5)
где
При этом в левую часть равенства (У.10.5) входит внутренняя про-
Общее выражение для £/,• определяет функция
изводная.
*/,= ^Р,	ОМО.б)
106

которая внутри поверхности удовлетворяет уравнению Лапласа и урав¬
нению (У.10.5). Игрек Лапласа У\ зависит от трех линейно независимых
функций. Каждой из этих трех функций соответствует единственное и
вполне определенное значение плотности о.
Действительно,
а=±.№-МЛ
4ъ\дп дп ) ’
(V. 10.7)
где ие—решение внешней задачи Дирихле, соответствующее граничным
значениям ¿7,-. Так как заданной совокупности значений иг на поверхно-
о	« дие
сти 5 соответствует единственная совокупность значении , то каж¬
дому значению и{ будет соответствовать единственное и вполне опреде¬
ленное значение а.
К тому же результату можно прийти, если исследовать уравнение
2	лесова=У1--^^ у ¿5,	(У.10.8)
вытекающее из (У.10.4) и (У.10.6).
В результате перехода от X к а при помощи (У.10.1) условие разре¬
шимости представим в следующем виде:
/ *(£-т)р^ = 0	(У.10.9)
или, исключая о при помощи (У.10.7), в виде
/(ж-ж)^^0'	(УЮ10>
Чтобы исключить 11е, рассмотрим вспомогательную функцию
У —	*Т).	(У.10.1 П
Р ^Р
На поверхности 5 в силу (У.4.5)
К = —СйГ —Т)Р»	(У.10.12)
вне поверхности 5
ДУ=0.	(У.10.13)
Из центра отсчетной поверхности опишем сферу радиусом ртах» за¬
ключающую в себе все притягивающие массы. Очевидно, гармоническая
вне этой сферы функция Т может быть представлена в виде разложения
по сферическим функциям. Разложение функции V получится из
(У.10.11), причем в нем будет отсутствовать функция первого порядка.
Следовательно, из формулы Грина
/ [УД(Г1Р)-К1РДУМт=
получаем
/ Р Д У(1 т = 0.
Здесь интегрирование выполнено по объему и поверхности сферы
Рт«. Используя равенство
107

легко проверяемое при помощи известного выражения для оператора
Лапласа в сферических координатах, получаем
Д К=4Д7+Р^-Л7.
Следовательно, А V = 0, если А Т — 0. Поэтому
/ К1рД1/^*с = / рА	х = 0,	(V. 10.14)
г	5
так как между поверхностями 5 и сферой ртах притягивающих масс нет.
Вернемся к исследованию условия (УЛОЛО), записав его при помо¬
щи (УЛ0Л2) в следующем виде:
■
Гармонические вне 5 функции V и ие регулярны на бесконечности,
поэтому
<ую15>
Складывая два последних равенства и принимая во внимание, что
и( — ие на поверхности 5, исключаем неизвестную функцию и полу¬
чаем
Преобразуя этот интеграл при помощи формулы Грина в объемный
и принимая во внимание гармоничность функции £/, внутри 5, приводим
исследуемое условие к виду
¡и,ЬУ<1ъ = 0.	(V.10.17)
Но мы показали, что £/,= Кгр, а поэтому условие (У.10Л7) совпа¬
дает с доказанным равенством (УЛ0Л4). Поскольку же в У1 входят три
произвольных параметра, постольку все три условия, накладываемые на
аномалии (ц — у), как видим, выполнены.
Итак, если краевые значения g — 4 заданы не произвольно, а точно
соответствуют смешанному граничному условию (У.4.5), то условия
(У.9.5) существования решения рассматриваемой нами задачи выпол¬
няются сами собой. Эти условия должны контролировать правильность
краевых значений и, следовательно, тех наблюдений, из которых они
получены.
Для осуществления такого контроля необходимо решить внешнюю
задачу Дирихле: определить гармоническую вне поверхности 5 функцию
и,: принимающую на 5 значения У1 р. Эту задачу нужно решить три ра¬
за, так как в У\ входят три линейно независимые функции. Таким обра¬
зом, получение точных контрольных формул довольно сложно. Однако
приближенные формулы с относительной погрешностью порядка ^ мож-
но получить очень просто. Действительно, функции V и —± = -^ являют¬
ся гармоническими вне 5 и регулярными на бесконечности, поэтому
108

Умножая это равенство на /?3 и вычитая из (V. 10.16), получаем
+	(У.10.18)
Первый интегральный член содержит множитель порядка . Если
этим членом пренебречь, то вместо (У.10.18) получим
/ (^-т)К1С08а^ = /	о> = 0.	(V- Ю. 19)
Следовательно, в разложении (£—т) по сферическим функциям в
геоцентрических координатах не может быть сферической функции пер¬
вого порядка.
Важно отметить, что этот вывод не содержит предположения о ма¬
лости углов наклона а.
М. С. Молоденский, 1948, § 5.
Доказательство выполнимости условий существования решения и контрольная
формула (У.10.19) опубликованы впервые.
§11. Общее решение
Возвращаясь к уравнению (У.9.2), можем теперь утверждать, что
при правильно полученных краевых значениях это уравнение всегда раз¬
решимо, но общее решение его включает в себя три произвольные по¬
стоянные в соответствии с тем, что решение однородного уравнения сла¬
гается из трех линейно независимых функций.
Нетрудно получить это общее решение.
Пусть Т\ — частное решение уравнения (У.9.2), а Ф —общее реше¬
ние соответствующего ему однородного уравнения. Тогда общее решение
(У.9.2) будт равно сумме
Т=Тг + Ф.
Причина появления второго члена очевидна. Действительно, сместим
отсчетную сферу в каком-либо направлении;, очевидно, для этого сме¬
щения мы располагаем тремя степенями свободы. Тогда потенциал, раз¬
виваемый Землей сравнения в любой точке на 5 и вне 5, изменится на
у
величину ф= -ф , где У\ — функция Лапласа первого порядка, завися¬
щая от трех постоянных: трех координат центра смещенной отсчетной
поверхности относительно начального положения ее центра. Новому по¬
ложению отсчетной поверхности будет соответствовать новое значение
возмущающего потенциала и новое значение . Однако граничное усло¬
вие
дТг
^27\
дт 1
2 Т _
д?
+ Р
¿р+
Р ~
при этом не изменится,
так как
дф ,
др"1"
II
Следовательно, общее решение уравнения (У.9.2) таково:
т=тг + ц.
(У.11.1)
109

Освобождаясь от условия и0 = №0, принятого в § 4, получаем об¬
щее выражение для £
где — произвольная сферическая функция первого порядка.
Физический смысл полученной многозначности решения ясен: как
и в обычной задаче, здесь остаются неопределенными размер и положе¬
ние отсчетной поверхности.
Если усилить требования к поведению функции Т в бесконечности,
потребовав выполнения условия (У.4.3), то У\ и 1\ определятся. Центры
масс реальной и нормальной Земли совпадут, но положение уровенного
эллипсоида относительно земной поверхности этим не определится. Для
определения параметра Vо — №о нужно новое условие, также не реали¬
зуемое практически. Поэтому мы отказываемся от условия (У.4.3) и вы¬
ражаем общее решение формулой (У.11.2). Чтобы решение было един¬
ственным, необходимы дополнительные условия, определяющие положе¬
ние центра инерции Земли в геодезической системе координат и значение
потенциала при к = 0. Эти условия будут рассмотрены в § 14.
М. С. Молоденский, 1948, § 6.
Вернемся к уравнению (У.9.9) и наряду с ним рассмотрим неодно¬
родное уравнение, полученное в § 4 этой главы,
Очевидно, что союзным с его левой частью будет уравнение (У.9.8);
условие же разрешимости (формула У.9.5) является общим для этого
уравнения и для уравнения (У.9.2).
Следовательно, все выводы, полученные при исследовании уравне¬
ния (У.9.2), полностью применимы также к уравнению (У.12.1).
Введем вспомогательную функцию V — потенциал простого слоя,
распределенного на поверхности 5 с плотностью ср:
Значение на поверхности 5 внешнего предела производной от V по
направлению т, составляющему угол (пу т) с направлением п внешней
нормали к 5, выражается известной формулой
При помощи (У.12.2) и (У.12.3) уравнение (У.12.1) можно записать
следующим образом:
Вычитая (У.12.4) из (У.4.5) и повторяя рассуждения, изложенные
в конце § 9, мы убеждаемся, что в подробно исследованном нами случае
сферической отсчетной поверхности
(У.11.2)
§ 12. Представление внешнего поля через плотность
поверхностного слоя
2 тсх соэ а — "5—
и V
Г1
у дч I г
— ё — Т- (У.12.1)
(У.12.2)
(У.12.3)
(У.12.4)
110

Сравнивая этот результат с (V. 11.1), приходим к выводу, что любое
решение уравнения (У.12.1) после подстановки в (У.12.2) приводит к
частному решению уравнения (У.9.2).
Таким образом, два уравнения (У.12.1) и (У.12.2) эквивалентны
уравнению (У.9.2).
Когда отсчетная поверхность является сферой, уравнение (У.12.1)
упрощается и приводится к виду (У.4.9).
После того как из решения этого уравнения будет найдено ср, мож¬
но из (У.12.2) получить высоту квазигеоида, а (У.12.3) позволит опре¬
делить обе составляющие уклонения отвесной линии на физической по¬
верхности Земли.
Определив высоты квазигеоида и уклонения отвесной линии, мы мо¬
жем от поверхности 5, представляющей фигуру Земли в первом прибли¬
жении, перейти к новой поверхности 5', которую получим путем добав¬
ления высот квазигеоида к нормальным высотам, а также путем исправ¬
ления астрономических координат полученными величинами уклонения
отвесной линии. Новая поверхность 5' будет характеризовать фигуру
Земли во втором приближении. Если потребуется, то можно получить
и следующие приближения.
М. С. М о л о д е н с к и й, 1948, § 7.
§ 13. Эллипсоидальная отсчетная поверхность
1. Задачу изучения фигуры и внешнего гравитационного поля Земли
в общем случае можно сформулировать следующим образом.
Требуется определить поверхность 5 и гравитационное поле Земли
всюду вне 5, если известны: а) значение силы тяжести и ее потенциала
во всех точках этой поверхности в функции направления отвесной линии;
б) фигура поверхности ¿о, близкой к 5; в) угловая скорость вращения
Земли и направление оси вращения относительно 50; г) все притягиваю¬
щие массы, находящиеся вне 50*
В зависимости от постановки задачи определяемой поверхностью 5
может быть регуляризированный или нерегуляризированный геоид, сгла¬
женная физическая поверхность Земли или какая-либо другая поверх¬
ность. Вспомогательной поверхностью 5о может быть сфера, эллипсоид
или поверхность, получаемая наслоением на сферу или эллипсоид нор¬
мальных высот, иногда высот геоида или квазигеоида, определенных в
соответствующем приближении. Учет влияния притягивающих масс, на¬
ходящихся вне 50, не вызывает затруднений принципиального характера,
если распределение этих масс известно, и невозможен, если распре¬
деление масс неизвестно. Можно считать, что внешних масс нет
или их влияние учтено и они как бы отсутствуют.
Главная задача состоит в определении 5. После определения 5
внешнее гравитационное поле можно найти из решения задачи Дирихле,
детально изученной в теории потенциала.
Хорошо известный путь исследования исходит из построения нор¬
мального гравитационного поля. Для этого строят теоретическую модель
Земли — нормальную Землю, для которой поверхность 50 известной фор¬
мы является уровенной и внешней относительно всех нормальных масс.
Скорость вращения и массу принимают у модели равными соответствую¬
щим величинам у Земли. Поверхность 50 может быть и не уровенной,
но в этом случае на ней должны быть заданы значения нормального
потенциала.
Можно не вводить в рассмотрение нормальное поле и использовать
в качестве известной поверхности 5о любую близкую к 5. Такой вполне
последовательный путь исследования разработал Н. К. Мигаль (1949).
111

Нам кажется несомненным, что каким бы ни был путь построения
теории, окончательный результат должен быть выражен в совокупности
малых величин, характеризующих отличие 5 от предварительно выбран¬
ной поверхности 50. Эти величины должны быть не только малы, но и
незначительно меняться от точки к точке. Иначе их нельзя интерполиро¬
вать и пришлось бы определять непосредственно в очень большом числе
точек. Таким образом, можно ограничиться знанием приближенных
координат точек, к которым отнесены эти малые и медленно меняющиеся
величины, и с этой точки зрения можно говорить о чисто гравиметриче¬
ском методе изучения фигуры Земли.
Теория этого метода детально рассмотрена в предположении, что
поверхность 50 является сферической и уровенной, 5 — поверхность
регуляризированного геоида или сглаженная физическая поверхность
Земли. В этих условиях высоты геоида или квазигеоида могут быть
определены с относительной ошибкой порядка сжатия Земли.
Задача значительно усложняется, если за поверхность 50 принять
эллипсоид вращения. Приближенное решение этой задачи с относитель¬
ной погрешностью порядка квадрата сжатия Земли дано в работе Загре-
бина (1952) и работе Молоденского (1956), изложенной в главе III.
2. Рассмотрим внимательнее математическую формулировку задачи:
дифференциальное уравнение для потенциала и граничные условия на
Яо и на бесконечности.
Дифференциальное уравнение для № (уравнение Пуассона) выте¬
кает из условия, что вне 50 нет притягивающих масс
А]У=
д2Ш , д2]У , д2№
дх2
ду2
дг2
= 2 а)2
По тем же соображениям
Д /7 = 2 (о2.
В оба выражения положение оси вращения в пространстве не вхо¬
дит. Таким образом,
АТ=А(\У-и) = 0
при любом взаимном расположении осей вращения.
Пусть р — расстояние от какой-либо точки Земли до удаленной точ¬
ки пространства. В общем случае, когда оси вращения Земли и нормаль¬
ной Земли не совпадают и не параллельны (но угловые скорости вра¬
щения одинаковы), возмущающий потенциал Т с удалением от Земли
может возрастать вместе с потенциалом центробежной силы пропор¬
ционально р2.
Если оси вращения Земли и нормальной Земли параллельны, но не
совпадают и расстояние между ними равно Л, с увеличением ? возму¬
щающий потенциал возрастает пропорционально
Л2 —2 рЛсоэф,
то есть приблизительно пропорционально р. Если оси вращения совпа¬
дают, при удалении от Земли Т убывает как если массы Земли и нор¬
мальной Земли одинаковы, Т убывает как ; если центры их инерции
совмещены, Т убывает как ^ . Таким образом, Т обладает свойствами
потенциала притяжения только тогда, когда оси вращения Земли и нор¬
мальной Земли совпадают.
112

Теперь рассмотрим граничное условие на поверхности 50. Выше это
условие мы записали в виде (У.4.5)
Однако при преобразовании интегрального уравнения [формулы
(У.7.2) — (У.8.5)] мы пользовались более точным граничным условием,
выраженным формулой (У.7.5) или (У.7.9), которое учитывает еще и то
обстоятельство, что у ($о) вычисляем по аргументу астрономической или
геодезической широты (и долготы, если в нормальный потенциал входит
эффект трехосности).
Поправка в астрономическую широту выражена формулой
,	, 1 дТ
оср — — § = Н	,
т	' у дх
где д т — элемент длины касательной к уровенной поверхности (каса¬
тельная лежит в плоскости меридиана и направлена на север). Следо¬
вательно,
V ($0. Ф + 8 ?) = т(50,<Р) + ^ • 5^- у:
= Уо +
дТ
у дх ’ дъ
(У.13.2)
Последний член по отношению к аномалии силы тяжести является
величиной порядка сжатия. Поэтому при решении с погрешностью по¬
рядка квадрата сжатия, если нормальное значение ускорения силы тяже¬
сти вычисляется по аргументу астрономической широты, этот член сле¬
дует учитывать.
Исследование решения в случае сферической уровенной отсчетной
поверхности приводит к двум основным выводам. Распределение анома¬
лий силы тяжести на земной поверхности должно удовлетворять трем
интегральным условиям (в разложении аномалий по сферическим функ¬
циям геоцентрических координат должны отсутствовать три члена пер¬
вого порядка). Далее, если не требовать, чтобы на бесконечности Т убы¬
вал как , фигура Земли определится с точностью до параллельного
переноса. Кроме того, в решение входит параметр 110 — №0.
Напомним, что в случае сферической отсчетной поверхности выра¬
жение^-^ не зависит от широты и долготы, а ^ = 0. Таким образом,
при составлении граничного условия положение нормальной Земли не
фиксировалось. Это обстоятельство и проявилось при исследовании ре¬
шения, предопределив заранее его неоднозначность, которая формально
устраняется лишь путем усиления требований к поведению возмущаю¬
щего потенциала на бесконечности.
На решение с большей точностью эти выводы переносить, конечно,
нельзя. Может оказаться, что сферические функции первого порядка в
аномалиях равны не нулю, а малым величинам, которыми в менее точ¬
ном решении пренебрегли. Точно так же, если поступательный перенос
отсчетной поверхности раньше не менял решения, может оказаться, что
это справедливо только в пределах той точности, с которой построена
теория.
Итак, допускает ли граничное условие (У.13.1), если т(^о> Ф + 5 ф)
определена (У.13.2), поступательный перенос нормальной Земли? Ко-
8 Труды ЦНИИГАиК, вып. 131
113

т
нечно, речь идет о малом смещении порядка —, так как вся теория по¬
строена с учетом только первых степеней величин этого порядка. Если
такой перенос возможен и Т\ является частным решением рассматри¬
ваемой здесь задачи, то решением должно быть и выражение
(у13-3>
„	т
где в — постоянная малая величина порядка —, а 5 — произвольное
фиксированное направление.
Подставим Т в условие (У.13.1) и примем во внимание, что Ту удов¬
летворяет этому условию; тогда получим
/ дЮ	1 дЦ	дч	#	дЮ
V ¿5	у д8	дч	у <?х	д ъ) ~
- й+г*со$ (у- -5) + гч ^ к(С05 <у'5)))
(У.13.4)
Пересечение направлений 5, V и х со сферой единичного радиуса
определяет три точки, которые примем за вершины сферического тре¬
угольника. Стороны треугольника равны углам ($, V), (5, х) и (V, х) =
=2". Направление оси вращения Земли определяет точку, лежащую на
продолжении стороны (V, х). Углы сферического треугольника обозна¬
чим через (V), (х) и (5). Очевидно,
^^ = -соз(у),	(V. 13.5)
СОБ(х, $) =: СОЭ (V)	(V, 5).	(У.13.6)
Подставляя в (У.13.4), убеждаемся, что это выражение обращается
в нуль.
Таким образом, параллельный перенос отсчетной поверхности отно¬
сительно Земли и в этом случае оказывается совместимым с граничным
условием на 50 и уравнением Лапласа. Это объясняется тем, что при
составлении граничного условия положение отсчетной поверхности опять
по существу не фиксировалось, так как расстояние до этой поверхности
и направление нормали к ней выражались через искомый возмущающий
потенциал.
Частное решение для возмущающего потенциала Т\ можно выразить
через частное решение ср для плотности простого слоя, распределенного
на 50: Т\ = ^¿5. Общее решение Г, если оси вращения масс, развит
вающих потенциалы № и £/, параллельны, принимает вид
Т=	+	+	+ ( \Г0-и0).	(У.13.7)
114

Потенциал силы тяжести всей Земли равен
МГ=и+Т=и+ 7-,+^ +
, ди ,
+ С2 ~ду + с*
ди
дг
+ (\г0-и0).
(У.13.8)
Выясним физический смысл постоянных сХу с2, сз. Направление оси
вращения Земли известно; положение этой оси определяется из механи¬
ческих соображений, в силу которых она должна проходить через центр
инерции Земли. Поместим начало координат в центре инерции Земли.
Координаты центра уровенного эллипсоида, развивающего потенциал и,
назовем х0, уо, г0, его массу — М, постоянную тяготения — /. Общий
центр инерции, соответствующий всем слагаемым формулы (У.13.8),
должен находиться в начале координат, то есть
£ (Д ЧГ— 2м2)л:^т=0
£(Д	2о)2)у<*т=0
^Д	2(о9)г</т=0
(У.13.9)
Для определения С\ используем первое из написанных равенств.
С помощью (У.13.8) получаем:
^х (А и — 2 ю2) й х	^ А Тгхс1 т + сх	и — 2 (о2) йх-\-
+ сг/х^(Ьи-2(»*)йх + сг ^^(Д(/-2Иут = 0.
Форма записи этого выражения показывает, что потенциал центро¬
бежной силы в него не входит; областью интегрирования может являться
любой объем, заключающий все массы, развивающие потенциалы и и Т.
Проще всего ограничить этот объем сферой достаточно большого ра¬
диуса.
Первые два члена вычисляем с помощью уравнения Пуассона, а
остальные три преобразуем с помощью формулы Грина:
— 4 71 /Мх0 — 4 я
дх д / . ш2
дп'дх\У ~~~2
дх_^_ /,, 	 Ц>2
' дпд^\ ~2
^хт<К+<,/[*^(£(у-£(*»+У)))-
(л?+л)]	~ Т(л?+Л)) ~
(*•+>*))]<*•>+ <•, /[•'¿(¿(у - £(*чл)) -
■ж^(у-т^+л)]^=°-
При достаточно больших значениях радиуса р сферы п
и -
/м
?
8*
115

Множители при с2 и с3 при интегрировании по о обращаются в ну¬
ли, при С1 равен 4 п//И. Поэтому
с\= хо	X х Ф
Точно так же из второго и третьего уравнений (У.13.9) получаем:
Сз = г°+Щ-[
Таким образом, постоянные с\, с2 и сз являются координатами об¬
щего центра инерции нормальной Земли и слоя.
Подставим выражения для си с2 и сз в (У.13.8)
«7-г.=[у+^^0+1'^+^-у.]+/*«+
+7М [й ¡х<>м + § / у^+§1*»■«] • <у'3'°>
Заметим, что последние три интеграла в (У.13.10) в случае сфери¬
ческой отсчетной поверхности равны нулю и, следовательно, в общем
случае являются малыми величинами порядка сжатия по сравнению с С-
По этой причине можно принять:
_Х_ди __х
/Мдх ~	р8’
_1_ ди _ _ у
/Мду ~	р8’
где р — расстояние внешней точки от центра инерции Земли. Первый
член в формуле (У.13.10) соответствует выражению для нормального
потенциала, когда центр нормальной Земли перенесен в центр инерции
Земли,
(7о — I' -I- х,
ди , ди
°дх	+
ди
2°дг '
(У.13.1 П
а соответствующий £7о возмущающий потенциал Т определен совокуп¬
ностью оставшихся членов
Т0 = J'?rdS-4ifxfx<?dS+yfycpdS + zfz<pdSl (У.13.12)
Из этого выражения следует, что каждое частное решение ср позво¬
ляет определить возмущающий потенциал Т0 относительно центрального
эллипсоида. Разные частные решения отличаются только положением
центра инерции слоя. Интегральные члены в формуле (У.13.12) смещают
центр инерции слоя в центр инерции Земли.
3.	Теперь рассмотрим случай, когда аномалии силы тяжести заданы
в функции геодезических координат, причем уровенный эллипсоид нор¬
мальной Земли совмещен с геодезическим. Тогда поправочный член
в формуле (У.13.2) становится излишним. Подставляя (У.13.3) в усло-
116

вие (V. 13Л) и предполагая, что Т\ удовлетворяет этому условию, полу¬
чаем
дТ Т дч .
в
дъ
СОБ (т, 5) ф 0.
(УЛЗЛЗ)
В этом случае поступательный перенос нормальной Земли не совме¬
стим с граничным условием.
Так как оси вращения Земли и ее модели, нормальной Земли, не
совпадают (за счет неточности определения положения центра инерции
Земли), граничное условие (У.13.2) несовместимо с условием регуляр¬
ности на бесконечности. На бесконечности возмущающий потенциал мо¬
жет возрастать как р, т. е. не будет обладать свойствами потенциала
притяжения. Поэтому из аномалии силы тяжести необходимо выделить
ту часть, которая обусловлена действием центробежной силы. Поскольку
Т=Т+и? (хх0+уу0),
где Т — потенциал притяжения, из условия (V. 1ЗЛ) получаем граничное
условие для Т:
^ ‘ Й = — ^ ~ ^ ~ 3	с0!5	^ + -о со3	I- iV.13.14)
Смещение центра инерции входит в (У.13Л4) с множителем порядка
сжатия, поэтому его нельзя определить по аномалиям силы тяжести
достаточно точно. Определение параметров х0 и у0 является задачей
градусных измерений.
4.	Относительная погрешность условия (У.13.1) на поверхности 5
есть величина порядка —. Сохраняется ли и на 50 та же относитель¬
ная погрешность?
Условие на 50 должно быть получено с учетом изменения аномалии
от Л до Яо
(37-У50*=_<*-Т)1 +iV.13.15)
то есть
дТ
д V
Т_ д1
У * ¿V
— Се — т)
(У.13.16)
или
г д2т_
д V у дч ' у ’ д V2
(У.13.17)
Дополнительный член имеет порядок квадрата возмущающего по¬
тенциала. Отбросив его, возвращаемся к граничному условию (УЛ3.1).
Однако это означало бы, что в члене Брунса допущена относительная
погрешность д ^ дУ , т. е., по меньшей мере, порядка сжатия, а как пра-
дч
вило — значительно большая, так как аномалии вертикального градиен¬
та силы тяжести могут во много раз превосходить нормальное изменение
этого градиента с широтой.
Тем не менее, именно неточное граничное условие (У.13.1) исполь¬
зовано при решении задачи Стокса с относительной погрешностью по¬
117

рядка квадрата сжатия. Возникает вопрос: имеют ли какую-либо цен¬
ность полученные таким путем решения?
Чтобы ответить на этот вопрос, примем во внимание, что
_	“(я+1)(л+2) Д£„
*Г ~	2	2 (л — 1)	’ т '
дч
где Д£я—сферическая функция порядка п в разложении аномалий.
Множитель, зависящий от порядка функции, неограниченно возра¬
стает с увеличением п. Отсюда так же, как из прямых физических сооб¬
ражений, следует, что основное влияние на аномалию вертикального
градиента оказывают члены высоких порядков.
Влияние членов низких порядков остается в пределах квадрата сжа¬
тия (например, если А ^8 = 5 мал, то его влияние составляет менее
35- 10_6). Таким образом, при исследовании региональной формы геоида
по осредненным значениям аномалий можно исходить из упрощенного
граничного условия (V. 13.1) или (У.13.2).
Условие (V. 13.17) не линейно относительно Г, поэтому хорошо раз¬
работанные методы решения линейных граничных задач в данном случае
неприменимы. Остается путь последовательных приближений.
В первом приближении можем получить решение с относительной
погрешностью порядка первой степени сжатия. Определим соответствую¬
щую этому приближению функцию ф — плотность простого слоя, рас¬
пределенного на 50. Примем за нормальное поле V Го, где
т0 = /	(V-13.18)
50
причем здесь интегрирование следует вести уже с учетом членов порядка
сжатия, функцию ф фиксировать с той же точностью.
Нормальному полю и + Г0 соответствует новая поверхность 50',
новое поле аномалий силы тяжести 5^ и возмущающего потенциала оТ.
Очевидно, можно получить из условия (V. 13.1). Подставив туда
Т=Т0 + ЬТ,
получим
дЪТ
дч
ЪТ ду
у яду
-g^S•) + т(^о')
дТ0 , То .
ду у дч ‘
+	=	(^13.19)
Члены, содержащие 5 Г^-^ и Т0 , опущены, так как они сказа¬
лись бы лишь при решении с относительной погрешностью порядка куба
ГТ	д2Гл
сжатия. Ясно также, что	нужно знать с относительной погрешно¬
стью порядка сжатия, что не вызовет каких-либо затруднений, а Г0 и
дТ
нужно получить с относительной погрешностью порядка квадрата
сжатия. Для этой цели следует использовать выражение (V. 13.16) и
формулу, получаемую из него путем дифференцирования по направле¬
нию V. Вычисление о 7' и о g не вызовет затруднений, поскольку это вы¬
118

числение достаточно провести с относительной ошибкой порядка первой
степени сжатия.
Такой путь решения нелинейной задачи можно применить и к ли¬
нейному граничному условию (У.13.1). Он пригоден для определения
фигуры как геоида, так и ¡квазигеоида и является более общим (но и бо¬
лее сложным), чем путь решения линейных задач, рассмотренный выше,
М. С. Молоденский. Исследование решения задачи Стокса с относительной
погрешностью порядка квадрата сжатия Земли. Труды ЦНИИГАиК. Вып. 112, 1956.
§ 14. Градусные измерения
В старых градусных измерениях основными неизвестными считались
большая полуось земного эллипсоида а и его сжатие а. Однако сжатие
(и притом всей Земли в целом) надежнее определяется из гравиметри¬
ческих материалов, из движения Луны и искусственных спутников Зем¬
ли. А понятие о полуоси «общего земного эллипсоида» для реальной
Земли не ясно и само по себе интереса не представляет. Необходимость
в строгом определении подобного термина у нас еще не возникала.
В § 3 гл. I отмечена условность градусных измерений, основанных
на чисто геометрическом принципе. При помощи этих измерений можно
получить только параметры геодезической системы координат, пригодной
для общей обработки всех геодезических измерений земного шара. Но
и любая другая координатная система, в которой г\ также получатся
малыми, пригодна для этих целей.
Чисто гравиметрическим методом нельзя определить внешнее грави¬
тационное поле Земли, поскольку не известны значение потенциала на
уровне моря и координаты центра инерции нормальной Земли.
Таким образом, задача современных градусных измерений должна
заключаться в определении параметров, недостающих в гравиметриче¬
ском методе для полного решения задачи*. Это возможно, так как ранее
мы убедились в строгой согласованности обоих методов исследования
внешнего гравитационного поля и фигуры физической поверхности Зем¬
ли. Согласованность проявилась в полном совпадении всех выводов и
формул, полученных обоими методами, и обеспечена она тем, что все
выводы базировались только на ньютоновском законе всемирного тяго¬
тения.
Все элементы неопределенности чисто гравиметрического решения
вошли в общее выражение для высоты квазигеоида (У.13.7)
Г- , ди . ди . ди . ..	„1
|/1+ д!С1 + д^с% + Ж с*+ и°~ Г°]
Здесь Т\—любое частное решение уравнения (У.12.1), и — нор¬
мальный потенциал, си с2, с3, и0 — №0 — постоянные, причем и0 — изве¬
стная постоянная, выражающаяся через параметры уровенного эллип¬
соида (11.27), №о — значение потенциала Земли на уровне моря (в ис¬
ходном пункте нивелировок), си с2у Сз характеризуют возможность посту¬
пательного перемещения нормальной Земли относительно реальной.
* Н. К. Мигаль (1949) первый предложил из уравнений градусных измерений
получать величины, которые он назвал «редукционными постоянными». Мигаль —
принципиальный противник выделения нормального поля, поэтому в его редукционные
постоянные параметры нормального поля не входят.
119

Так как y является градиентом U, а сс2, сз определены формулами
(V.13.9), получаем
Т
С = — - cos (г, х) х0 — cos (г,.у).Уо — cos (т. 2-) Z0 —
~JM [С08(^Л) /* Ф¿5 + cos(y,у) JуфdS + cos(y, z) jzydS~^ -{-
+	(V.14.1)
Пусть
So = у— J7tf[cos (т> *) f<pxdS +cos (l,y) J yydS+cos(4, z) J 9zdsJ
Далее с относительной погрешностью порядка угла между коорди¬
натным и нормальным эллипсоидом, т. е. пренебрегая вторыми степе¬
нями уклонения отвеса, имеем:
—	cos (у, х) = cos В cos
—	cos (у,у) = cos В sin L,
—	cos (y, z) = sin B.
Поэтому
£ = Co + Xq cos В cos L —I— 3^o cos sin L -f z0 sin В + ~~~"° •	(V. 14.2)
В § 13 мы убедились, что любое частное решение для плотности
слоя позволяет вычислить £0, следовательно, эту величину можно считать
известной.
Всегда можно считать, что полуось и сжатие эллипсоида, задаю¬
щего геодезическую систему координат, равны полуоси и сжатию уро-
венного эллипсоида, задающего нормальный потенциал (если этого нет,
то можно в £0 ввести соответствующую поправку за разность сжатий и
полуосей по формуле 1.3.5). В таком случае астрономо-геодезические
значения £ — высоты квазигеоида, полученные астрономическим или
астрономо-гравиметрическим нивелированием, могут отличаться от гра¬
виметрических только из-за различия в ориентировке обоих эллипсоидов
и из-за отличия Wo и U0. При соответствующем выборе лс0, Уо> ¿о и
Uо—Wo одно из частных решений (V.14.2) должно совпасть с £, по¬
этому
х0 cos В cos L + у{) cos В sin L + zQ sin В +	^	= £ — Со-	(V. 14.3)
i
Такие условия можно составить для всех точек, в которых разности
£ — Со известны.
Дифференцируя уравнение (V.14.3) по В и L и сравнивая результат
с (1.3.5) — (1.3.7) и с (V.5.16), получаем условия для определения х0, уо
и г0 по разностям уклонений отвеса:
хо sin В cos L + у0 sin В sin L — z0 cos В +	0 ^ =
= (Af + /y)(í-É0),	(V.14.4)
х0 sin L— у о cos L ={N-\- Н) (r¡ — r¡0).	(V. 14.5)
20

Разность Uо — Wo входит в широтное уравнение с малым коэффи¬
циентом порядка сжатия Земли, следовательно, эту разность можно
определить только при помощи уравнений типа (V.14.3).
Уравнения типа (V.14.3) — (V.14.5) можно составить для большого
числа астропунктов, более или менее равномерно распределенных на
большой территории. При достаточном диапазоне изменения широт и
долгот все неизвестные можно определить по способу наименьших квад¬
ратов с малыми случайными ошибками. Для контроля в части система¬
тических погрешностей можно определить Хо и у0 из уравнений типа
(V.14.5), затем найти z0 из уравнений типа (V.14.4) и U0—W0 — из
уравнений типа (V.14.3). Возможны также другие комбинации исходных
материалов, позволяющие судить о наличии систематических ошибок
вывода.
Можно составить уравнения для определения Но — Wof не содержа¬
щие неизвестных х0у уо и Zo. Умножив (V.14.3) на sin В, (V.14.4) на
cos В и из первого результата вычитая второй, получим
, U0-W0/ . D 1	>v
г» +	(sm в - 7 35cos в)=
= « - ад sin В — (/И + Н) (( — 5„) cos В.
Для повышения точности это уравнение можно осреднить по парал¬
лели. Принимая
р
у дВ~ *
sin 2 б,
Н = 0,
получаем
г0 + ^—— sin В ( 1 - 2 р cos2 В) = (? - С0)« sin В -
Т в
-М{£-Ъ)псо*В,	(У.14.6)
где индексом т отмечено среднее значение по параллели. Разность двух
подобных осредненных уравнений свободна от 2о и содержит единствен¬
ную неизвестную и0 — Wo. Конечно, ио — Wo получится тем точнее, чем
больше разность широт между параллелями и чем больше длина этих
параллелей.
Подобное уравнение можно составить и .с долготной компонентой
уклонения отвесной линии. Заметим, что предыдущее уравнение пред¬
ставляет собой результат осреднения по площади аномалии меридио¬
нальной кривизны поверхности Н = АС = С — Со* Значения х0, уо и г0 ис-
ключились потому, что кривизна не может зависеть от этих величин.
Формулу с долготной компонентой уклонения отвеса проще всего
можно получить путем осреднения по площади аномалии радиуса кри¬
визны той же поверхности А£ = £ — £0 в направлении первого верти¬
кала. В главе I мы получили формулу (1.2.16)
/V-iV0 = AC + sec26-^
— tg В
дДС
дВ '
121

Умножив обе ее части на do= cos BdBdL и интегрируя в пределах
от В\ до В2 и от Li до ¿2, получим
Во Lo
Во Lo
j j (N— N0)cosBdBdL = 2 j J Д£ cos BdBdL +
Bi	Bt L¡
B2	Lt
+ fsecB [ДWh ~ (¿C/)iJ dB - J [(Д; sin B)2 - (ДС sin 5),! dL.
B,
Подставляя в правую часть этого равенства вместо Л£ левую часть
(У.14.3) и принимая во внимание, что члены с х0у у0 и <г0 в результат
не войдут, получаем
В2 L2	Во
2 j J Д£соsBdBdL-^- £ stcB{{^^)2-(^:¿)1]dB-
В1 ¿1	¿1
— (AC sin ^)XJ dL =
=2 (O0-W0)
B2 L2
и
L^i L,
cos BdBdL
Подставляя теперь в левую часть Д£= С — С0, Д£/ = — N cos В(т] — tj0)
и интегрируя по частям по В в правой части равенства, получаем
в2 l2	в2
2 j J £-Ъ) cos BdBdL-f [(ij — 40)2 — (ri — ^0)1! NdB —
Вг L¡	B[
L2
- f КС - Co)2 sin B2 - (£- Co)i sin BJ dL =
¿1
_ Uo-Wo ^sin B^ _ sin	— ¿,) Г1 + (sin9 В! + sin	sin 52 +
Y*	L ^
+ sina52)J.	(V.14.7)
В этом уравнении также единственной неизвестной является t/o—№0.
После того как U0—W0 определено, W0 становится известным.
Кроме того, известна истинная масса М Земли
fM=fM0 + jfds.	'	(V.14.8)
Далее можно определить исправленное значение разностей момен¬
тов инерции Земли
/[С~^]=/(С°~Л°)+/У*2+;2 (У149)
А40 и (Со — Ао) определяются формулами гл. II через элементы нормаль¬
ного поля.
122

Совокупность величин: №0, /М, /|С —	), со2, х0, */0, 20 полно¬
стью определяет новое нормальное поле Земли. При помощи формул
главы II по заданным №0, /М, / |С —	> 0)2 можно вычислить соот¬
ветствующие значения а, а и Полученное таким образом значение
полуоси а можно назвать «большой полуосью общего земного эллип¬
соида», а а — его сжатием.
Таким образом, основной принцип градусных измерений мы не свя¬
зываем с формальными геометрическими условиями типа (1.3.15) —
(1.3.16)	или с задачей определения параметров фигуры равновесия вра¬
щающейся Земли. Мы определяем точные значения «стоксовых постоян¬
ных» реальной Земли, т. е. тех величин, которые однозначно связаны с
ее внешним гравитационным полем. «Общий земной эллипсоид» опреде¬
ляется первыми стоксовыми постоянными.
В самом начале этого параграфа мы отметили, что нет необходи¬
мости отдавать предпочтение системе геодезических координат, в основе
которой лежит «общий земной эллипсоид». Преимущества такой системы
координат мало ощутимы, а каждое новое уточнение параметров коор¬
динатной системы практически сводит это преимущество на нет, так как
оно обязывает учитывать связанные с уточнением поправочные члены.
Эти соображения полностью применимы и к параметрам нормальной
Земли. Мы ничего не потеряем в точности, если разумным образом фик¬
сируем параметры ¿/0, С—Л, /М, о)2, Хо, уоУ г0 для нормальной Земли
(следовательно, фиксируем а,а, у*). Если при этом	у-]г »
и° ~~ будут величинами малыми, то все выводы могут быть получены
и о
с относительной погрешностью порядка большей из этих величин. Уточ¬
нение параметров обяжет только уточнить поправочные члены, имеющие,,
как мы убедились, очень простое аналитическое выражение. Конечно,
в возмущающем потенциале сохранятся сферические функции нулевого
и первого порядков.
Содержание этого параграфа опубликовано впервые.
§ 15. Решение основного уравнения
Исследование, изложенное в этой главе, доказывает принципиаль¬
ную возможность определения гравиметрическим методом формы физи¬
ческой поверхности Земли. При этом необходимы только те величины,
которые при существующих технических средствах могут быть измерены
непосредственно и с достаточной точностью. Привлекать какие-либо
гипотезы при решении этой задачи не приходится, ибо нет нужды рас¬
сматривать гравитационное поле внутри притягивающих масс. После
рассмотрения принципиальной стороны проблемы перейдем к практиче¬
ским вопросам, связанным с выбором наиболее рациональных способов
численного решения интегрального уравнения.
Как было показано, возмущающий потенциал Т проще всего выра¬
жается через вспомогательную функцию ср, которая имеет физический
смысл плотности простого слоя, распределенного на поверхности 5 «Зем¬
ли первого приближения» (У.12.2)
т= [ ив,
.*5	'
123

где г — расстояние между исследуемой и текущей точками поверхно¬
сти 5. Для определения се нужно решить интегральное уравнение
(У.4.9)
Основные трудности возникают при определении плотности слоя ср.
Наиболее рациональным представляется такой путь решения, кото¬
рый позволит выделить из Т основную часть, соответствующую обычному
приближенному решению, когда поверхность 5 принимается за сферу
или эллипсоид. В этом случае следует ожидать, что для равнинных райо¬
нов поправки к приближенному решению будут малы и зачастую прене¬
брегаемы.
Одну из возможностей построения приближенного решения получим,
если значения аномалий (# — у) будем считать отнесенными к сфере.
Этой совокупности значений аномалий на сфере соответствует значение
возмущающего потенциала Г, так как в разложении (£—по сфери¬
ческим функциям геоцентрических координат отсутствует сферическая
функция первого порядка [формула (У.10.19)], а Т определяет первое
приближение к возмущающему потенциалу реальной Земли. Не пред¬
ставляет труда определить смешанные аномалии (g — у)= А^, соответ¬
ствующие первому приближению, для всех точек поверхности Земли 5.
Применяя интеграл Пуассона к гармонической функции А^р, получаем
где р—радиус-вектор точки, в которой вычисляем А^, г — расстояние
от этой точки до текущей точки сферы, ¿а —элемент поверхности сферы.
Соответствующий первому приближению потенциал Т вне 5 можно
представить при помощи простого слоя, распределенного на 5. Плотность
этого слоя назовем ср. Уравнение, связывающее А#, <р и 5, можно напи¬
сать по аналогии с исходным уравнением (У.4.9)
Это уравнение, поскольку А^ следует теперь считать известным,
определяет ср.
Вычитая (У.15.2) из уравнения (У.4.9) и обозначая через 5<р, 8# и
5 Т разности
(V. 15.1)
57 = 7 — Т
^ё — ё — ^ — ^ё
(V. 15.3)
получаем
124

Мы пришли к уравнению прежнего типа, но только с измененным
свободным членом.
Итак, значения возмущающего потенциала Т реальной Земли можно
разложить на две части Т и 5 Т, Часть Т регулярна всюду вне сферы а и
определена граничными значениями на сфере, а потому ее можно вы¬
разить не только через плотности ср на поверхности 5, но и через ано¬
малии (g— у) или плотности слоя на сфере. Значение Т в любой внеш¬
ней точке можно получить при помощи обобщенной формулы Стокса
(III.2.13).	Щ
Часть 5 Т выражается через плотности которые можно получить
только путем решения уравнения (У.15.4). Свободный член этого урав¬
нения имеет величину порядка	Л. Чем меньше его величина, тем
в большей степени можно упростить уравнение (У.15.4) и вычисление
по формуле (У.15.5).
Систему аномалий на сфере, определяющих первое приближение к
аномальной части гравитационного поля Земли, можно задавать произ¬
вольно, лишь бы отсутствовала в них сферическая гармоника первого
порядка. Нельзя ли (например, путем проб или путем разработки общих
методов аналитического продолжения) подобрать такие значения анома¬
лий на сфере, чтобы всюду на 5 остаточные аномалии стали равными
нулю? Иначе говоря, нельзя ли на поверхности сферы построить такую
систему аномалий, которая определила бы совместно с полем нормаль¬
ной Земли внешнее гравитационное
поле, совпадающее на поверхности
5 (следовательно, и вне 5) с грави¬
тационным полем реальной Земли?
Тогда 8<р, а следовательно, и §7 бы¬
ли бы равны нулю. Таким образом,
возмущающий потенциал полностью
определился бы лишь через подоб¬
ранные таким образом аномалии, и
мы миновали бы сложный процесс
вычисления плотности 8<р вспомога¬
тельного поверхностного слоя.
Подобная попытка может увен¬
чаться успехом только тогда, когда
потенциал из области, лежащей вне
5, можно аналитически продолжить
через притягивающие массы до сфе¬
ры а. В частных случаях это возможно, но следует указать и такие при¬
меры, когда подобные попытки безнадежны. Например, пусть между
двумя концентрическими полыми сферами с радиусами а и Ь располо¬
жен однородный шар массы пг. Центр шара расположен на расстоянии
с от центра О обеих сфер. Потенциал массы т во внешней точке С всег¬
да можно представить сходящимся рядом (см. рис.)
У= — =т I Р„(со8ф)-£. ,	(V. 15.6)
г	п=0	Р"*1
где р = СО. Аналитическое продолжение этого выражения на сферу ра¬
диуса Ь приводит к заведомо расходящемуся ряду
Уь = т а Рп(с03Ф)^,
п= О	°
С
125

так как > 1 и с возрастанием п коэффициенты ряда неограниченно
возрастают. В данном случае на внутренней сфере невозможно построить
слой или совокупность значений потенциала, определяющие на внешней
сфере и вне нее потенциал массы т. Уже этот пример доказывает, что
попытки построения системы аномалий на сфере а, сводящей к нулю все
значения в общем случае обречены на неудачу.
Вполне общий и удобный метод решения уравнения (У.4.9), позво¬
ляющий по мере надобности последовательно переходить к следующим
приближениям, заключается в разложении решения по степеням малого
параметра. Подобный метод был использован нами при решении задачи
Стокса для регуляризированного геоида с погрешностью порядка квад¬
рата сжатия. Разложение решения в ряд выполнялось по степеням сжа¬
тия. Для уравнения (У.4.9) выбор параметра не так очевиден и может
быть выполнен не единственным способом. Излагаемый далее способ
нам кажется наиболее ясным и простым.
Поверхность 5 (физическую поверхность Земли) преобразуем в по¬
верхность 5, сохраняя в полярной системе координат неизменными угло¬
вые координаты и меняя только радиусы-векторы следующим образом:
Р = /? + к (Р -/?) = /? + кН,	(У.15.7)
где р — радиус-вектор преобразованной поверхности 5, к — постоянный
коэффициент. Очевидно, что при к = 1 поверхности 5 и 5 совпадают, а
при к = 0 преобразованная поверхность £ совпадает с поверхностью
сферы (в более общем случае, который мы здесь не рассматриваем, —
с поверхностью эллипсоида).
Преобразуя уравнение (У.4.9) путем замены плотности слоя ? но¬
вой искомой функцией х
Р2
Х = ^2?§еса>	(У.15.8)
получаем
2*Хсо82а = ^(£-Т) + !РоI£<*»+4р„ ! р2~ Р°2 х^'>,	(V. 15.9)
где da) является элементом телесного угла поверхности 5
мости элемента поверхности dS из начала координат)
tv
, cos a dS
diо =	5— .
Р2
(угол види-
(V. 15.10)
Для поверхности 5 уравнение, аналогичное (У.15.9), запишем при
помощи надстрочных черточек над сходными функциями
2 я/ с°52 * = ^ (8 — Т) ~Ь ~2 Ро / =й(А+~2 Ро £ X й (0- (V-15.ll)
Уравнение (У.15.9), как мы ранее в этом убедились, разрешимо,
если (£—ч) удовлетворяют условию (У.10.18) или приближенно усло¬
вию (У.10.19)
£(8 — У.) К1^0) = 0.
При переходе от 5 к 5 элемент й о> не меняется, аномалии же
(g — Т) мы сохранили неизменными. Поэтому условия разрешимости
для 5 и 5 совпадают.
126

Таким образом, уравнение (V. 15.11) разрешимо одновременно с
<У.15.9).	_
Возмущающий потенциал Г на 5 выражается через х формулой
R2
(V. 15.12)
Далее для поверхности S имеем
<
i +k
н + н0
RT
к9
IÍQl^ + píH-HqY, (V. 15.13)
где
Го = 2R sin ^, Ф — угол между р и р0.
На основании (V.5.6) и (V.15.7)
^=(М),+Ф‘=1>н^
Разложим у по степеням k
(V.15.14)
(V. 15.15)
где хл — функции, не зависящие от k. Зависимость от k функций р, г,
cos а определена выражениями (V.15.7), (V.15.13) и (V.15.14). Теперь
можем подставить в (V.15.11) полученные выражения и разложить пра¬
вую и левую части по степеням k. Ряды, входящие в левую и правую
части уравнения, должны быть равны при всех значениях k, поэтому
множители при кп в левой и правой частях уравнения должны быть
равны между собой. Таким образом, получим бесконечную систему ин¬
тегральных уравнений, из которой можно последовательно определить
п
Хо, Xi> Х2 и т. д. и сумму 2хл> являющуюся /1-ым приближением к иско¬
мой функции х *
Уравнение (V. 15.1 Г) имеет относительную погрешность порядка сжа¬
тия а Земли, так как за отсчетную поверхность принята сфера. Поэтому,
не снижая точности результата, можем упростить вычисления, если до-
н
пустим относительную погрешность порядка заменив это уравнение
следующим:
2nxcos9a=g— у +	du -f R2 j
r* = r0* + k*(H-H0Y
COS2 a = (1 -f- k2 tg2 a)-1
Для уравнения (V.15.16) получаем
2iC(Xo + *Xi-M2Xa + • • -)0 — £2tg2a + 64tg4a.
(V.15.16)
) =
= g~'( + Y*f fa* AXl + *2X2+- • -)(l-y^42 +
• )*■> + *“ j^(Xo+*Xi + A2x2- •
■)d a),
+ T*‘*‘
+ ^ **»*+•
127

_н-и0
Приравнивая коэффициенты при кп , получаем следующую систему
интегральных уравнений:
(V. 15.17)
где
<Л> = £ —Т
—/о) Хо^м+271Хо^2«
~Т^/ (И~г"0) Хо + 2 Чл а
Разрешая уравнения (V. 15.17), получаем:
/Г/а=тЬ) О,[5(со8ф)—!•]<*».
Х-=Й + (4^] 0,[5(амф)-^]^»
(V.15.18)
(V. 15.19)
(V.15.20)
Теперь можно определить возмущающий потенциал. На основании
(V. 15.12)
Т=Я*1±-(х0 + *Х1 + *“Ха+- •	+	)<Ь> =
+
= 2£" т„.
о
Принимая во внимание (V.15.19), отсюда получаем:
Г. = £ fO0[s(eost)--i-]<?»
7-1 = 4! / 0,[5(С08ф)-|]йо.
Г.= £/°> [ S <cos Ф> - у] *»-?/	М<
Г, = £ / 0,[s(co.4,)-i]tf«-|jT<ii=^x,«i.
(V.15.21)
128

Первое уравнение, соответствующее к = О, и, следовательно tg а = О
и р = /?, дает результат, который получили бы путем переноса аномалий
по радиусу на поверхность сферы, игнорируя внешние массы и любые
поправки в аномалии и потенциал. Оно соответствует стоксову прибли¬
жению с той лишь разницей, что соответствующее ему приближение в
возмущающем потенциале То должно быть отнесено не к поверхности
сферы, для которой оно вычислено, а к поверхности Земли 5. О потен¬
циале на сфере внутри 5 без дополнительных предположений никаких
заключений, конечно, делать нельзя.
Все следующие уравнения также разрешаются при помощи функции
Стокса. Рельеф учитывается со второго уравнения, наклоны, в явном ви¬
де появляются, начиная с третьего уравнения. Входящие в правые части
уравнений подынтегральные выражения убывают как ут или быстрее.
Поэтому значения этих интегралов определяются ближайшими окрестно¬
стями исследуемого пункта и интегрирование по всей Земле излишне.
Формулы (V. 15.21) определяют возмущающий потенциал только на
поверхности Земли: в них Н является заданной функцией В и I. По¬
этому из них можно получить только производные по направлениям,
касательным к 5. Уклонение отвеса, например в меридиане, выражается
дТ
через эти производные и
дТ (В, £)	 дТ(В, И) дТ (В, Н) дН
?дВ ~ ?дВ + дН ’ рдВ ’
то есть
дТ (В, L, Н) _ дТ (В, L) /	.. , 2 Т\ дН
рдВ ~ рдВ ^	‘ р ) рдВ '
Отсюда, используя (V.15.21), получаем приближения:
J ащс0,м
~(тш)= + к j°'d4':osAd'1‘-(f-'< + 2-Tf) edB ■
дНп
/ дТ \	1 Г „ dS ... З/?2 Г(Н-Н0)2 ф	..
J 0щС08М" + -г J —7^- cosixo сое Ato -
_ ¿"o (Q .l.ZZi'N
рдВ \°1+ R ) '
/ дТ \	.1 Г ~ dS . ,
— I —ттг 1 = + т— / 0.3-г eos Аа W 4-
\pdBJi ' 4пJ 8<?ф	^
. 3R2 Г (Н- HQf	ф . . Г пп ГН-Н0 . . 2 7Л дН0
+ Т	- *-cosт“• Ad.- [«• J —^x.d« + -¡f\j&.
Подобные выражения имеют место и для долготной компоненты.
Исследование на моделях (приложение, \гл. VIII, § 3) подтвердило,
что формулы Стокса и Венинг-Мейнеса, как правило, характеризуют вы¬
соты квазигеоида и уклонения отвеса на поверхности Земли. Однако эти
формулы могут дать результаты, которые существенно отличаются от
точных значений искомых величин. Следующее приближение даже в
сильно аномальном районе значительно улучшает результат (см. гл.
VIII, § 5).
9 Труды ЦНИИГАиК, вып. 131
129

Для облегчения вычислений целесообразно произвести наибольшее
сглаживание высот, но, конечно, без ущерба желаемой точности оконча¬
тельного результата. Практическим критерием возможной степени сгла¬
живания может служить требование, что расстояние сглаженной поверх¬
ности от действительной не должно превышать того отрезка, на протя¬
жении которого изменение аномалии может оказаться одного порядка
с точностью ее определения (при наибольшей возможной величине вто¬
рой радиальной производной от возмущающего потенциала). Если же
учесть другую' сторону исходных гравиметрических материалов — неиз¬
бежную дискретность отдельных определений, то придется равняться
уже не на точность измерения, а на ошибку интерполяции аномалий на
все промежуточные пункты.
М. С. Молоденский. Приближенный способ решения уравнения, опреде¬
ляющего фигуру квазигеоида. Труды ЦНИИГАиК. Вып. 68, 1949.
Метод численного решения уравнения (У.15.9) путем разложения по степеням
малого параметра опубликован впервые.
Глава VI
АСТРОНОМО-ГРАВИМЕТРИЧЕСКОЕ НИВЕЛИРОВАНИЕ
§ 1. Астрономическое нивелирование высот квазигеоида
В главе I, рассматривая геометрический метод изучения фигуры
Земли, мы получили формулу (1.6.1), при помощи которой можно осу¬
ществить астрономическое нивелирование высот Н точек поверхности
Земли относительно геодезического эллипсоида. В главе V мы выяснили,
что с разных точек зрения удобно Н представить в виде суммы двух сла¬
гаемых: высоты квазигеоида С и нормальной высоты А. Теперь мы полу¬
чим формулу, при помощи которой можно выполнять астрономическое
нивелирование высот квазигеоида Попутно мы вновь получим фор¬
мулу (1.6.1) главы I, но теперь не из геометрических соображений, а из
основных уравнений геодезической гравиметрии.
Будем исходить из обобщенной формулы Брунса (У.4.2)
К этим уравнениям необходимо добавить определение нормальной
высоты (У.З.З)
где Vо — потенциал силы тяжести на нормальном эллипсоиде. Нам нуж¬
но получить отдельно приращение высот квазигеоида и приращение
4Н точек поверхности Земли относительно нормального эллипсоида. Для
этого, очевидно, нужно продифференцировать выражения (У.4.2) и
(У.З.З). Из (У.4.2) получаем
т= \у-и = ^
и краевого условия (У.4.5)
дк ч дк~
$§ак„=и{8, А) — и0,
При помощи (У.4.5) приводим это выражение к виду
(VI-1 -1)
130

Из (V.3.3) получаем
— gdhw
àU(B h)_ dl	h) dh _ _ h ¿У dl _ T dh
dl	dh	dl ‘
НЛИ
dh = dhw + ^-^~ dhw-h-d-^dl.	(VI.1.2)
Суммируя (VI.1.1) и (VI.1.2), получаем
dH=dhw-(-Y-s + ^dJ)‘U = dhw-Q+ a.	(vi. i .3)
Первое слагаемое в множителе при dl
1 дТ
* = — т <?/
определяет уклонение отвеса в азимуте смещения (11 относительно на¬
правления силовой линии нормального поля в исследуемой точке.
Второе слагаемое
Hdj
V dl
1 du (В, H)
Y dl
_H±
~ R
sin 2 В cos А
(VI.1.4)
выражает искривление силовой линии нормального поля на расстоянии
Н от уровенного эллипсоида. Поэтому весь множитель при dl определяет
уклонение отвесной линии относительно нормали к уровенному эллип¬
соиду, проходящей через изучаемую точку. Таким образом,
ft =	77 Н	-jj- = с cos A -f r¡ sin A.
Y dl y dl
Заметим, что исходные уравнения (V.4.2), (V.4.5) и (V.3.3) сохра¬
няют свой вид при любом поступательном перемещении нормального
эллипсоида относительно квазигеоида; поэтому уравнения (VI.1.1),
(VI. 1.2) и (VI. 1.3) обладают тем же свойством. Следовательно, под
£ и тг] можно понимать астрономо-геодезические уклонения отвесной ли¬
нии, если только сжатия эллипсоидов, задающих геодезическую систему
координат и нормальное поле, одинаковы. Таким образом, из (VI.1.3)
мы вновь получаем формулу (1.6 1).
Из (VI. 1.1) теперь получаем
d С = - (feos А + y) sin A) dl —	dh,	(VI.1.5)
где
Интересно отметить, что йк и ¿С, каждое в отдельности, зависят от
ускорения силы тяжести; сумма же dZ¡ -)- dh = йН от него не зависит.
Это находится в полном соответствии с нашими исходными рассужде¬
ниями, из которых следует, что фигура физической поверхности Земли
определяется одними геометрическими элементами, тогда как фигура
квазигеоида связана с гравитационным полем. Таким образом, в теории
астрономического нивелирования следует различать два случая: астро¬
номическое (чисто геометрическое) нивелирование высот физической
поверхности Земли [формула (1.6.1)] и астрономическое нивелирование
9*
131

высот квазигеоида [формула (VI. 1.5)]. Связующим и строго согласован¬
ным звеном являются нормальные высоты, вследствие чего выбор между
формулами (VI. 1.5) и (1.6.1) принципиально безразличен и должен опре¬
деляться лишь соображениями практического характера.
Разность высот в двух пунктах А и В можно представить формулой
(1.6.1) или (VI.1.5):
Нв — НА — J dhw— J bdl№	(VI.1.6)
HB-HA = hB-hA- j bdlH-J	dhw, (VI.1.7)
где
ft = € cos A + tq sin A,
ft = ? cos A + r¡ sin A = ft — ^ sin 2 В cos A.
И
Формула (VI. 1.7) равносильна следующей:
b'dlH— j (+т) dhw.	(VI. 1.8)
Конечно, все интегралы, входящие в одну формулу, отнесены к од¬
ной и той же ходовой линии. Вычисление всех этих интегралов, кроме
одного, не связано в настоящее время с какими-либо затруднениями.
Исключением является член f&dlfí(или	так как астрономо-гео¬
дезические уклонения отвеса известны только для астрономических пунк¬
тов триангуляции, расстояние между которыми, как правило, составляет
70—100 км. Формальное интерполирование уклонений отвеса между
этими пунктами даст результат очень низкой точности.
М. С. Молоденский. Изучение фигуры Земли геометрическим (астрономо¬
геодезическим) методом. Сборник ГУГК. Вып. XXVII, 1949; Труды ЦНИИГАиК.
Вып. 75, 1950.
§ 2. Сущность астрономо-гравиметрического нивелирования
Более или менее подробной гравиметрической съемкой охвачена еще
небольшая часть поверхности Земли, что препятствует изучению фигуры
Земли чисто гравиметрическим методом. Если аномалии силы тяжести
учтены даже до расстояния порядка 4000 км от исследуемого пункта,
то среднее квадратическое влияние неучтенных дальних зон, как увидим
далее, составляет +27 м по ц и 2",2 по ft (табл, в § 8 гл. VII). Однако
для близких пунктов это влияние почти постоянно, и во всяком случае
его можно очень надежно интерполировать на промежуточные пункты.
Вместе с тем при астрономическом нивелировании единственная труд¬
ность заключается в интерполировании астрономо-геодезических уклоне¬
ний отвеса; вопрос же о влиянии аномалий не возникает совсем. Таким
образом, при совместном использовании обоих методов слабая сторона
одного метода может быть компенсирована сильной стороной другого.
Идея астрономо-гравиметрического метода изучения фигуры Земли
и, в частности, идея астрономо-гравиметрического нивелирования заклю
чается в том, что гравиметрическая карта используется только для ин-
перполяции астрономо-геодезических уклонений отвесной линии, поэтому
аномалии в областях, достаточно удаленных от исследуемой области, не
влияют на результат. Поясним это подробнее. Пусть астрономо-геодези¬
132

ческие уклонения отвеса заданы в нескольких точках области а. Если
речь идет об интерполяции по площади, то число таких точек (с изве¬
стными обеими составляющими) должно быть не менее трех. При интер¬
полировании по прямой достаточно иметь две точки на концах отрезка.
При наличии большого числа точек будем располагать дополнительными
данными, которые позволят снизить случайную часть ошибки результата.
За границу области а возьмем стороны выпуклого многоугольника,
каждая из вершин которого совпадает с одним из астрономических пунк¬
тов триангуляции (в случае двух пунктов Лий областью о будет яв¬
ляться отрезок АВ).
Всю поверхность Земли делим на две области:
1)	область 2, в каждой точке которой можем считать аномалию
силы тяжести известной;
2)	область 2', к которой относим всю остальную часть поверхности
Земли. Для дальнейших выводов необходимо предположить, что область
а целиком заключена в области 2. Основная наша задача заключается
в том, чтобы при заданных размерах о определить минимальные разме¬
ры области 2 при заданной точности интерполяции уклонений отвеса.
Астрономо-геодезическое уклонение отвеса (К) в любой точке л
области а можно представить как сумму гравиметрического уклонения
отвеса (К) и угла между отсчетным эллипсоидом, принятым при обра¬
ботке триангуляции, и эллипсоидом, принятым для вычисления аномалий
силы тяжести, то есть
М*) = М*) + Д*(*)-
Это равенство можно понимать либо как векторное, либо как ска¬
лярное для соответствующих составляющих произвольного, но всюду
одинакового направления.
Гравиметрическое уклонение отвеса можно представить в виде
суммы
где первое слагаемое определяется только аномалиями в области 2 (и,
следовательно, считается известным), а второе зависит от неизвестных
аномалий в области 2\
Таким обраюм,
»а (К) -	(2, Ю = (2', Ю + д* (К).	(У1.2.1)
Левая сторона данного равенства известна, если точка К совпадает
с астрономо-геодезическим пунктом. Она может считаться известной и
для любого промежуточного пункта, если ее изменение настолько пра¬
вильно, что окажется возможной интерполяция с заранее установленной
точностью. Угол между эллипсоидами Ай (К) меняется по известному
закону (очень медленно и плавно). Таким образом, задача сводится к вы¬
бору границы между областями 2 и 2' в функции размеров области о и
допустимой ошибки интерполяции.
Размер области 2 удобнее всего выбрать так, чтобы разность
у А = у (¥ — ^ (2)) в пределах заданной точности была линейной функ¬
цией всех координат. При интерполировании между двумя точками А и
В -у АЗ* является функцией двух координат: расстояния х текущей точки
от точки, выбранной за начальную, и высоты к текущей точки
ТА. = (тдн+[^]/+[^]<(*-*
Коэффициент при последнем члене можно преобразовать.
133

Действительно, если а- соответствует возмущающий потенциал 7, то
<Э(т£) д /	<Э7\	. дГ	Тд^Л
дк ~ дк\ д1У~ + д1 |* Т чдк\‘
Точно так же
а г 7Ч2Мг1.
дк ~ д1 1/ Т- т ¿А]
Поэтому
д№) _
' дк ~
д_
д1
7 — 7(2) д
' дк}
=+>-
7 — 7(2) д2
дкд!
гг +
+
7- 7(2) ¿у ¿у^ду
у2 дГдк~дк
(VI.2.2)
Следовательно, этот член всегда можно не учитывать, так как даже
при к — ко= 10 км его влияние на интерполированное уклонение отвеса
менее	Поэтому при линейной интерполяции между точками А и
В, расстояние между которыми равно 21, на точку, расстояние до кото¬
рой от середины отрезка АВ равно х, получаем
т (*) Д «■ (*) = у 1т (¿) Д«- (Л) + т (в) д* (В) | + ^ |т (В) м (В)-т (А) д» (Л)|.
Из (У1Л.1) получаем
а С (2) = - р (2) + с (2) у	<и -	дк.
Поэтому
Т Л (С - С (2)) = - [д* • т + К - ; (3))^] си,
то есть
— Л | т (С — С (2)) I = А» • 7 • £//.
Используя интерполяционную формулу для правой части последнего
равенства и интегрируя в пределах от —I до -\-1, получаем
Т(5)С(5)-Т(^)СИ) = -^(^)Т(^) + «;(5)Т(5)]^ +
+ {Т (В) Ц (В, 2) — у (А) С (А, 2) + [#(Д 2)у (А) + «■ (В, 2) .т (Д)| I).
Если можно принять у(В)=у(^)> то последняя формула упро¬
щается и принимает следующий вид:
ЦВ)-Ъ(А) = -[Ъ{А) + Ъ(В)]1 +
+ { С (в, 2) - ; (Д 2) + [в- (Л, 2) + в- (5, 2)1 /}.	(У1.2.3)
Члены в фигурных скобках выражают гравиметрические поправки
в результат астрономического нивелирования — поправки, учитывающие
нелинейность изменения уклонения отвесной линии между точками
Л и В.
134

Техника вычислений гравиметрических поправок отработана деталь¬
но. Мы не будем останавливаться на этих вопросах, поскольку расчет
соответствующих палеток и вычислительные приемы не имеют, конечно,
принципиального значения. Заметим только, что интересные результаты
в последнее время получены китайским геодезистом Фан Цзюнь (1958,
1959).
М. С. Молоденский, 1937; 1945, § 21.
М. С. Молоденский. Изучение фигуры Земли геометрическим (астрономо¬
геодезическим) методом. Сборник ГУГК. Вып. XXVII, 1949; Труды ЦНИИГАиК.
Вып. 75, 1950.
Оценка (У1.2.2) опубликована впервые.
§ 3. Оценка предельной ошибки интерполяции уклонений отвеса
При совместном использовании астрономо-геодезических и гравимет¬
рических материалов желательно исключить влияние неизвестных даль¬
них аномалий. Область учитываемых аномалий, внутри которой должны
быть выполнены гравиметрические работы, желательно ограничить мини¬
мальными размерами.
Чем в большей степени требуется исключить влияние дальних ано¬
малий, тем в большей области, естественно, аномалии должны быть
учтены. Существует связь между радиусом учитываемой области и соот¬
ветствующей предельной остаточной ошибкой, обусловленной всеми не¬
учтенными аномалиями. Установление этой связи является основным
принципиальным вопросом астрономо-гравиметрического нивелирования
и астрономо-гравиметрического способа развития опорной сети карто¬
графических съемок.
Для решения указанного вопроса достаточно оценить предельную
ошибку результата в зависимости от радиуса той области, внутри кото¬
рой оказалось возможным учесть аномалии. Для этого желательно дать
точную оценку, чтобы, с одной стороны, не преуменьшить ошибку ре¬
зультата, а с другой, — без нужды не выполнять лишних гравиметриче¬
ских работ. С последней точки зрения уточнение предельной ошибки
имеет большое практическое значение.
Поскольку расчет предельной ошибки носит приближенный харак¬
тер, мы можем для области 2' учитывать только главные члены Т и
выражаемые формулами Стокса и Венинг-Мейнеса.
Рассмотрим общий случай интерполирования по двум координатам.
Возьмем начало системы прямоугольных координат ху у в центральной
части области о, в точке О. Граница областей 2 и 2' должна быть на¬
столько удалена от границы а, чтобы минимальное расстояние от точки
О до внешней границы 2 было больше максимального расстояния от той
же точки О до границы области а (как увидим далее, из соображений
точности интерполяции отношение этих расстояний должно быть около
двух).
При этом условии значение г^(/02') в произвольной точке К(х, у)
области а можно представить рядом
(*3') = ^ (О 2У) + —
. дЪ.ЮЯ) .
х + ~‘+
(У1.3.1)
Этот ряд равномерно сходится во всей области а. Написанные в
(У1.3.1) члены разложения, линейные относительно координат, учтутся
при линейной интерполяции. Тогда ошибка интерполированного значе¬
ния ^(/С2'), очевидно, определится величиной последующих членов, за¬
висящих от вторых и высших степеней координат, исследование этих чле¬
нов позволит определить границу между областями 2 и 2', до которой
должны быть учтены аномалии силы тяжести. Если в качестве интерпо¬
ляционной функции избрать функцию второго порядка, то ошибка интер¬

полирования будет определена членами, начиная с третьего порядка.
Однако при подобном усложнении интерполяции число неизвестных
коэффициентов значительно возрастает, а надежность их определения
сильно понижается. Удобнее вместо этого область а разбить на части,
что также приведет к уменьшению области 5.
При расстоянии между астропунктами порядка 100 км можно не
усложнять выводы учетом сферических членов, которые, как известно,
мало сказываются в формуле Венинг-Мейнеса при интегрировании даже
до 1000 км и имеют ничтожную величину в формулах для производных
от уклонения отвеса. Поэтому мы можем исходить из предельного вида
формулы Стокса для плоского поля аномалий бесконечного простирания
V
(VI.3.2)
Обратная величина расстояния гв между точкой К и астропунктом
В может быть выражена через расстояние г = КО при помощи ряда
Маклорена
_1 = 1, V ( д" Г \ Х»в	1	Ц / дП Г \(-0"
гв г П=1\дхп I п!	г »=1 1 дхп / л! ’
где положено хв = — /.
Азимут а направления на текущую точку будем отсчитывать от оси
Ох. Известно, что обратная величина расстояния гв от точки (г, а) до
точки, расположенной на прямой а = 0 на расстоянии I от начала коор¬
динат, может бытц представлена рядом
1 _ 1	~ Рп(со$а)1п
п= 1	г**	'
Сравнивая эти два ряда, получаем известную формулу
—к-(_1)П/г1 Рп(СОЗЛ) .
дхп к ’ гп+1
Из (У1.3.2) получим
а» С
^	(У1.3.3)
Дифференцируя эту формулу еще раз по у, будем иметь
ая+ч
дхп ду
= (- 1)п
п\
2 тсу
Рп (соз а) дг
Ту
Из соотношений:
Р' (соеа)эта дал ,
		?тг	Ту\йа-
г1 = х2 -\-у2
(У1.3.4)
tgа —
У.
х
136

легко найдем частные производные:
дг
-т- = sin а,
ду
да	cos а
ду г
Используя еще соотношение между полиномами Лежандра и их
производными
(« + 1) Р„ = — cos а Р„' + Р'я+1,
из (VI.3.4) получим
-Щг = (- 1 >-+' ТП7 /(VI.3.5)
Члены второго порядка (сумму их назовем $2) Для составляющей
уклонения отвеса по х можно представить так:
а.=££.£ +£5
2 дх3 ' 2 т дх2ду ~J' 1 ду2дх 2
= _Aí! ГА„ P3(cosa)	ху Г Рв (cos a) sin а ^
2 Щ J s Ia	IÜY J s Г4
Г	S'
-^/^р,,<аУС08а4а	(V,'36)
Если — минимальное расстояние от точки О до границы областей
2 и 2', то
ОС	2 71
4^т /	jf	[3 *2 Р3 (cos а) + 2 ду Р*«, (cos а) sin а+
-f у2Р'3 (sin a) cos а] da
Оценим предельную величину результата интегрирования по а, поль¬
зуясь известным неравенством
Ь V Ь	Ь
(У1.3.7)
а	а	а
Прежде всего убеждаемся, что
2 п	^ +1
и	и	и
J fgdx <f f2dx Jg*dx-
J Ps (eos a) P'3 (cos a) sin ada = j d (P8 (д;))2 dx = 0,
o	—i
2n
J Psr (cos a) P3' (sin a) sin a eos ada = 0.
o
Равенство нулю второго интеграла вытекает из того, что подынте¬
гральное выражение при значениях переменной интеграции а и 2 тс— а
принимает равные, но противоположные по знаку значения.
137

На основании неравенства (VI.3.7)
2я
1= J Ag [3 *2 Р3 (cos a) -f- 2 ху Р3' (cos a) sin а+у2Р3' (sin a)¡cos а\ da
<
2я
2я
j ligada J [9*4P32(cosa) + 4*2.y2P3'2(cosa) sin2 a +
[0 0
-f- у4 P,2S(sin a) cos2 a+ 6 x*y2Pb (cos a) P9' (sin a) cos a\ da
V*
Далее получаем:
2 я
j P82 (cos a) í/a = 22 л,
о
JРз'2 (cosa) sin2 ada = J ^dPs^°Sa^ da—+^K,
2n
f P8'2 (sin a)
eos2 ada ■.
117
32 ’
2я
/33
P8 (eos a) P3' (sin a) eos ada = — ^ я.
0
Подставляя эти значения в предыдущее неравенство, имеем
’2я	-1>/2
/<
J Д £2rfa [jjj(17 ** + 30 *2у2+ 13У)]1/8
<
где
Поэтому
|s2|<-
<3^— (*2 +-У2)
A^m2=¿ J
о
1	оо
(*2+у2)А^СТ-
А Р2 Y
(VI.3.8)
17
X
(VI.3.9)
В неравенстве (У1.3.8) До представляет собой среднее квадрати¬
ческое значение колебания аномалии на окружности радиуса г (с цент¬
ром в О). В (У1.3.9) за Доследовало бы считать максимальное значе¬
138

ние А^т. Однако, * поскольку Д^-т умножаем на ^, интеграл в (У1.3.9)
убывает чрезвычайно быстро, и его величина определяется почти исклю¬
чительно аномалиями вблизи его верхнего предела. Поэтому под kgm
можно понимать среднее квадратическое значение аномалий вблизи гра¬
ницы областей 2 и 2'.
Выражая в секундах, получаем вместо (VI.3.9)
или
|&2|<0",16^.	(У1.3.10)
где р—отношение радиусов областей 2 и а, а Д^*т выражено в милли-
галах.
Мы не будем оценивать предельную величину членов третьего и сле¬
дующих порядков в разложении (У1.3.1): заранее можно ожидать, что
они окажутся малыми. В этом мы убедимся, когда перейдем к соответ
ствующим расчетам для астрономо-гравиметрического нивелирования.
Влияние этих членов, как увидим, будет учтено в формуле
О" 16
(VL3.11)
Эта формула определяет предельную величину полного изменения
на участке а тех нелинейных членов, которые при развитии опорной
астрономо-геодезической сети изложенным способом дадут систематиче¬
скую часть деформации этой сети. Величина § изменяется с перемеще¬
нием по области а, в зависимости от расположения опорных пунктов.
Например, если все опорные пункты расположены на контуре а, то §
имеет наибольшие значения в центре области а и убывает к периферии
приблизительно пропорционально квадрату расстояния.
При оценке Д^т в конкретных случаях нужно использовать грави¬
метрическую карту. Достаточно ограничиться довольно грубой глазо¬
мерной оценкой.
М. С. Молоде некий, 1945, § 21 и 22.
§ 4. Оценка предельной ошибки астрономо-гравиметрического
нивелирования
Обратимся к исследованию тех членов в выражении (VI.2.3), кото¬
рые зависят от гравиметрической съемки окрестностей астрономических
пунктов. Ошибка Д£^(2) в той ее части, которая зависит от размеров
области 2, очевидно, равна
ДСг(2') = с (в, £') - £ (Л, 2') + [в- (А 2') + в- (В, 2')] I =
= С (б, 2') - ? (А 2') -1
д С (В, 2')
д1
]
(У1.4.1)
139

Поскольку отрезок АВ целиком расположен в области 2, для оцен¬
ки максимальной величины ДС^(2') каждый из членов правой части
(У1.4.1) можно разложить в ряд:
Г(В^-Г(П^ I /дС(0,2') I	2')	/3а3£(0,2')
£(Я2)_С(0,.) + /	ж	+" 2]	Ш*	+ 3]	а/з	+ • • •>
гм^-ггр^ , дС (О, 2') РаЧ (О, 2') /з¿в с (о, 2)')
(ДЛ,-.) — <»(<Л Ъ) I	д1	+2!	др	3!	др +
, д с (5, 2') _ ; д £ (О, 2') , ;2 а2 £ (О, 2') , /* ач (0,2') ,
а/	—	а/	"1_ др	"|-2!	а/3	+ • • •>
, а с (А 2') _, а с (о, 2') а3 с (о, 2') р аз с (о, 2')
д1	~	д1	дР	~^2\	дР
При помощи этих равенств из (VI.4.1) получаем равномерно сходя¬
щийся ряд для ¿£¿(2')
'2 Р а3 £ (0,2') . АР а5 £ (О, 2')
bg\'’ '
AC«<g>=-2 [üí +ür ■ гж'/ +
, блач(о,2')
7!	а/7
Подставляя значения производных из (VI.3.3), находим
(VI.4.2)
|Д^(2')1 =
i г го/з	4/5
^ J A¿ [тг ^3 (cos а) + ^- Р5 (COS а) +
+ (COS я) +
]
da
ос
Л
—
/?
(VI.4.3)
где
2 тс
у=1 jAg P3(cos а) + Р5 (cos а) + -рг Р7 (cos а) + j da.
Очевидно,
2 тс
Г Ag 75- Р3 (cos а) ¿а
J
+
2 тс
J* A^^-P5(cosa)aa
0
0
+
Теперь применим к каждому члену неравенство (VI.3.7) и получим
2 к '
|7tY-/|<	/ Ag2da |	{^j f Р^ (eos a) da +
+
2; r/aÍ2P г2;
/^j ¡^[/
^[/ р‘‘<cos a) 1
Как известно,
Рп (cos а) = ап cos па + ап_2 cos (п — 2) а +
140

где все а1 положительны, убывают с уменьшением /, а их сумма равна
единице. Коэффициент ап монотонно убывает с увеличением п.
Очевидно,
2и
§ Р„2 (соэ а) йа —-а (ап2 + а2п_2 + • • •).
о
Если 3, то ап 5/8. В этом случае
5	х 2
я—а ‘
<(D+a)=
3 V—и
32
2я
У Р„2 (eos á) da ^ II л при п 3
Следовательно,
и<
у 16 т + г5 г’ J
Возвращаясь к (У1.4.3) и используя последнее неравенство, после
интегрирования по г, получаем
ДС^ЕОК]/^ —1
' /^4 » Об •
16 у
— 1 —
|/ 16 Y Ра — 1
II
/?6
...)=
(VI.4.4)
где
R
* = Т'
Здесь под Д£т можно, как и ранее, понимать среднюю квадратиче¬
скую аномалию вблизи контура Е. Поделив обе части (У1.4.4) на 21,
т. е. на длину отрезка АВ, выразив Д^т в миллигалах, а угловые вели¬
чины — в дуговых секундах, получим
21
<0',11
р2-1
(VI.4.5)
При астрономо-гравиметрическом нивелировании по астрономическим
пунктам, отстоящим один от другого на 70 км с использованием специ¬
альной палетки при R =■- 105 км, р=3 и
Agm ж 0,55	2 тс • 105 ~ 15 мгл,
где 0,55 — коэффициент, входящий в формулу ошибки представитель¬
ства. Поэтому средняя ошибка, обусловленная неучтенными зонами,
безусловно менее 0",2. В конкретных условиях заданной пары пунктов
значение на контуре 2 величины Agm можно получить с карты. Соот¬
ветствующая предельная ошибка, определяемая формулой (VI.4.5) в ус¬
ловиях равнинных районов, вероятно, будет близка к + 0",2 — + 0",3.
Поэтому в равнинных районах можно ограничиться значением р = 2.
141

При оценке предельной ошибки астрономо-гравиметрического ниве¬
лирования мы не учитывали погрешности, проистекающей из-за нелиней¬
ности изменения угла А $•(/() между эллипсоидами. При расстояниях
между астропунктами до 100 км эта погрешность ничтожна и ее можно
не принимать во внимание.
I
М) С. Молоденский, 1945, § 23.
§ 5. Верхний предел накопления систематических ошибок
в гравиметрических поправках
Формула (У1.4.5) определяет предельную величину влияния неучтен¬
ных аномалий на вывод превышения квазигеоида на одном звене линии
астрономо-гравиметрического нивелирования. Возникает вопрос о харак¬
тере накопления ошибок.
Наибольшего систематического накопления ошибок можно ожидать
в том случае, когда ходовая линия нивелирования приближается или
удаляется от большой области значительных аномалий одного знака.
Эффект накопления систематических ошибок мы усилим, если предпо¬
ложим, что аномальные области расположены полосами бесконечной
длины, перпендикулярными к линии нивелирования, причем в каждой
полосе предположим аномалию постоянной и равной ее максимальному
значению.
Когда линия нивелирования пересекает такую полосу, то вызывае¬
мые ею ошибки после прохождения середины полосы будут действовать
в другую сторону и постепенно будут погашаться. Таким образом, за¬
метный остаточный эффект дадут те полосы, которые не пересечены ли¬
нией нивелирования, а расположены на ее концах.
Следовательно, наиболее неблагоприятным случаем будет тот, когда
на одном конце А ходовой линии полоса, например, положительных ано¬
малий имеет бесконечное простирание влево, а на конце В полоса отри¬
цательных аномалий имеет бесконечное простирание вправо. Мы можем
считать, что от краев полос точки А и В удалены на расстояние 7? ра¬
диуса той области 2, аномалии в которой учтены. Посмотрим, какое
накопление ошибок за счет ограничения области интеграции 2 полу¬
чится в условиях данной схемы.
Возьмем на линии АВ точку К на расстоянии х от границы анома¬
лий + Д£. Вычислим^ при помощи формулы (У1.4.3), учитывая только
первый ее член, который, как мы убедились, имеет доминирующее зна¬
чение. Тогда получим
Ps(cos а)
г3
dr da,
где 5 — расстояние от К до границы аномалий -(-А^ по направлению а.
Очевидно, тогда
S = х sec а.
Интегрируя выражение для Д£^(2') по г, получаем
те
J ¿Л (cos a) da = Agl
те
+ 2"
ДС*(2') =
71Y X
J cos2 а Р3 (cos a) da.
те
"2"
те
‘2
142

2
Последний интеграл в правой части равен д-
А^(2')
2Д £/3
Злу*2
а поэтому
Для ошибки в среднем наклоне профиля квазигеоида на одном зве¬
не будем иметь
ДС, (Д1) _ а г/2
2/ Зтиу*2
Тогда ошибку в превышении на дифференциале длины йх можно
записать так:
а еР
Зтгул:2
йх.
Полная величина накопления этих ошибок от А до В составляет
_Т 4«р
8?=/
р1
о
3 дг
где У — общее число звеньев нивелирования. Выполнив интегрирование,
получим
5С =
_/±	1\М
— \^р	2М/ Зпт ’
а так как 2У^> р, то
Ag¿
31сур
Такую же ошибку внесет область I", расположенная справа. По¬
этому
1К|<
2
Зтсур
или в числах, выражая Д^в миллигалах, а / и £—в одинаковой линей¬
ной мере, будем иметь
I	|<2 • 10~7—/.	(У1.5.1)
Р
Например, при Д^ = 50 мгл, р= 2, I = 100 км получаем
|	| <0,5 ж.
Эту оценку можно считать верхним пределом накопления система¬
тических ошибок за счет ограничения области интеграции на каждом
звене радиусом р/. Отсюда видно, что даже значение р=2 не приводит
к такому накоплению ошибок, которое можно было бы считать чрез¬
мерным.
Итак, при выполнении астрономо-гравиметрического нивелирования
вполне достаточно знать аномалии силы тяжести в полосе шириной от
4/ до 6/.
От увеличения ширины полосы не следует ожидать существенного
повышения точности; гораздо важнее, как это будет отмечено ниже,
увеличение плотности гравиметрических пунктов вокруг каждого из
астропунктов.
143

Приведенные здесь рассуждения относятся и к влиянию тех систе¬
матических ошибок в аномалиях больших областей, которые могут воз¬
никнуть вследствие ошибок определения опорных пунктов.
М. С. Молоденский, 1945, § 24.
§ 6. Общие соображения по постановке астрономо¬
гравиметрического нивелирования
Наличие общей гравиметрической съемки избавляет от необходимо¬
сти при выполнении астрономо-гравиметрического нивелирования иметь
частую сеть астрономических пунктов, позволяя обходиться лишь астро¬
номическими пунктами базисных сетей и пунктами Лапласа. В этом
заключается преимущество астрономо-гравиметрического нивелирования
по сравнению с астрономическим. Общий недостаток обоих методов со¬
стоит в том, что высоты квазигеоида получаются путем суммирования
последовательных превышений по звеньям, что, конечно, приводит к на¬
коплению ошибок. Меры борьбы с этим явлением должны стоять в цент¬
ре внимания, когда речь идет о такой большой стране, как СССР. Ха¬
рактер необходимых мер с достаточной очевидностью подсказывается
опытом обычных государственных нивелировок, где основными средства¬
ми борьбы с накоплением ошибок являются проложение линий высоко¬
точного нивелирования по главным магистралям и образование замкну¬
тых полигонов с их последующим уравниванием. Подобные меры целе¬
сообразны и в данном случае.
В астрономо-гравиметрическом нивелировании используются астро¬
номические и геодезические координаты пунктов триангуляции совместно
с результатами гравиметрической съемки, поэтому в результаты нивели¬
рования входят ошибки всех этих измерений. Наиболее опасными с точ¬
ки зрения накопления ошибок являются систематические ошибки триан¬
гуляции. Их влияние будет снижено лишь по мере улучшения качества
триангуляции и методов ее обработки. Происхождение и величина этих
систематических ошибок еще далеко не изучены.
Астрономические определения не могут внести существенных систе¬
матических ошибок, постепенно накапливающихся от звена к звену.
Однако грубые ошибки, которые могут иметь место в отдельных звеньях,
сохранятся во всех последующих высотах квазигеоида. Подобные ошиб¬
ки чаще можно ожидать в долготных определениях, где они возникают
от резких колебаний личной разности наблюдателя. При наличии хоро¬
шей гравиметрической съемки такие ошибки можно легко обнаружить,
если сравнить разности гравиметрических и астрономо-геодезических
уклонений отвеса для близких пунктов; результаты могут быть исправ¬
лены повторными астрономическими определениями.
Случайную часть ошибок 5^, вносимую в высоту квазигеоида ошиб¬
ками астрономических координат, легко подсчитать по заданному сред¬
нему расстоянию 21 между астрономическими пунктами. Согласно
(1.8.23) для меридиональных звеньев имеем
К=±У 275 Дер
• 25\ 1/2
sin
4S
R
Для звеньев, расположенных по параллели, вместо Д? нужно под¬
ставить ДХ cos 9. Например, при S = 2R, Дер = ДХ cos ср = 0",2 и
р
2/=	^ 64 кж,8£ = + 0,6 м. Таким образом, точность определения
144

астрономических координат при существующем среднем расстоянии меж¬
ду астрономическими пунктами триангуляции дает широкие возмож¬
ности для повышения точности астрономо-гравиметрического нивелиро¬
вания.
Следует считать доказанным, что гравиметрические определения не
могут быть источником существенных систематических ошибок при
астрономо-гравиметрическом нивелировании, если гравиметрические по¬
правки вычислены правильно, т. е. с учетом аномалий в полосе доста¬
точной ширины и с сохранением одинаковых границ области учета ано¬
малий для каждой пары астрономических пунктов. Эти условия выпол¬
няются, например, при применении специальной палетки, если все ее
точки попадают в гравиметрически изученную область (Юркина, 1957;
Фан Цзюнь, 1958, 1959).
Верхний предел накопления систематических ошибок за счет огра¬
ничения области интеграции аномалий расстоянием рI от середины звена
можно представить формулой (У1.5.1)
15£ | < 2 • КГ7-^Ц
где под (А#) можно понимать половину систематической части измене¬
ния поля аномалий от начала к концу ходовой линии нивелирования,
выраженную в миллигалах. Таким образом, величина ошибки не возра¬
стает с увеличением длины ходовой линии и даже при (А^) = 50 мал и
р = 2 остается менее 5 • 10-6 /.
Однако большие случайные погрешности в определении гравиметри¬
ческой поправки входят в последующие высоты квазигеоида. Это обстоя¬
тельство может иметь место при пересечении горных районов, где ошиб¬
ка интерполяции аномалий примерно в 2—3 раза больше, чем в равнин¬
ных местах.
Случайная часть ошибки гравиметрической поправки для отдельного
звена обусловлена двумя обстоятельствами: ограничением области инте¬
грации расстоянием р/ от середины звена и ошибками интерполяции
аномалий силы тяжести. Первое приводит к ошибке, предельную вели¬
чину которой для одного звена можно определить по формуле (У1.4.5).
5С<0",22^^/,
где А^т — среднее квадратическое значение аномалии на контуре окруж¬
ности с радиусом р/, выраженное в миллигалах. Очевидно, что в усло¬
виях гравиметрической съемки СССР за счет увеличения р эту ошибку
можно сделать достаточно малой, кроме тех случаев, когда линия ниве¬
лирования проходит вблизи государственной границы.
Для основных магистралей астрономо-гравиметрического нивелиро¬
вания значение р лучше повысить до 4, чтобы снизить предельную ошиб¬
ку до 0",015 А£т/, т. е. считать нормальной ширину полосы покрытия
съемкой в 8/^ 280 км, так как при наличии общей съемки это ни к чему
не обязывает, кроме небольшого увеличения камеральных работ. Во всех
остальных случаях р не должно быть \^нее 2.
Если нельзя расширить гравиметрическую съемку, то следует сгу¬
щать сеть астрономических пунктов настолько, чтобы р было не менее 2.
Особенно это относится к тем случаям, когда поблизости имеются горы,
сопровождающиеся всегда большими аномалиями силы тяжести.
Приближенно, согласно (1.8.23), можно считать, что случайная
ошибка определения единичного превышения квазигеоида при достаточ¬
но большом р определяется простым соотношением
8£ = ±2/Д&>
Ю труды ЦНИИГАиК вып. 131
145

где ДО- — ошибка гравиметрического вывода уклонения отвесной линии
в направлении ходовой линии; она может быть подсчитана при заданном
расположении пунктов, если известны ошибки интерполяции и ошибка
определения аномалий. В ДО* существенную роль играет ошибка учета
центральной зоны вблизи астропункта.
Повышение точности определения высот квазигеоида может быть
достигнуто главным образом путем уменьшения ошибки Дй. Эту ошибку,
не прибегая к чрезмерному увеличению объема гравиметрических работ,
можно довести до + 0",5 — + 0",2.
Другой путь для снижения случайных ошибок, заключающийся в
сгущении сети астрономических пунктов триангуляции, малоэффективен.
Действительно, чтобы добиться уменьшения ошибки вдвое, число астро¬
номических пунктов нужно увеличить в четыре раза.
К точности определения дополнительных к общей съемке гравимет¬
рических пунктов следует предъявлять весьма умеренные’ требования
(ошибке измерения в 1 мгл соответствует Дй примерно в 0",15), поэтому
вопрос об обеспечении инструментами решается весьма просто.
Точность определения координат пунктов съемки сгущения должна
обеспечивать правильность их взаимного положения без существенного
искажения величин горизонтальных градиентов аномалий. Абсолютная
величина ошибки в положении близко расположенных один от другого
пунктов должна быть меньше, чем для пунктов удаленных. Поэтому
естественно исходить из относительной погрешности во взаимном поло¬
жении пунктов, задавшись реальной величиной этой погрешности и не
предъявляя завышенных требований, которые могут без нужды услож¬
нить всю работу. Если ошибка во взаимном положении пунктов не будет
превышать 5%, то требуемая точность получения гравиметрической по¬
правки будет обеспечена, даже при величине поправки до 5". Эти сооб¬
ражения должны определять способы получения высот и координат.
В настоящее время быстро расширяются площади детальных грави¬
метрических съемок, причем все они, как правило, выполняются на осно¬
ве надежной опорной сети в единой общегосударственной системе. В не¬
далеком будущем вся наша страна получит новую, значительно более
точную и детальную общую гравиметрическую съемку. Это позволит
значительно увеличить точность определения уклонений отвеса (до не¬
скольких сотых долей секунды) и по-новому отнестись к использованию
гравиметрических материалов в геодезических целях и, в частности, к
программе астрономо-гравиметрического нивелирования.
Поскольку имеются реальные перспективы получать уклонения от¬
весной линии гравиметрическим методом более точно, чем астрономи¬
ческим, то по-новому должен будет встать вопрос об использовании
гравиметрических материалов в градусных измерениях и вообще при
обработке триангуляции. За астрономическими измерениями останутся
преимущества независимости определения отдельных пунктов и непо¬
средственного получения направления отвесной линии. Зато гравиметри¬
ческим методом можно будет интерполировать уклонения отвеса с очень
высокой точностью, а следовательно, контролировать точность опреде¬
ления астрономических координат и азимутов и, более того, сглаживать
случайные ошибки астрономических определений на отдельных пунктах.
В этих условиях опорные астрономические пункты — пункты Лапласа
или астрономические пункты астрономо-гравиметрического нивелирова¬
ния — нужно получать как можно точнее, хотя бы за счет более разре¬
женного их распределения (через 200, а может быть даже через 600 км).
При этом целесообразно в небольших по размерам районах создавать
группы астрономических пунктов и сгущение сети гравиметрической
146

съемки. Затем по гравиметрической карте и данным триангуляции все
определения координат и азимутов нужно привести к одному централь¬
ному пункту, добившись таким образом уменьшения случайных и части
систематических ошибок астрономических определений.
Вопрос о расстоянии между группами пунктов в основном зависит
от состояния гравиметрической съемки: локальной, региональной и всего
мира. При очень хорошем состоянии этой съемки нужно будет считаться
с накоплением ошибок определения геодезических координат. Тогда
основу триангуляции составят жесткие групповые астрономические пунк¬
ты, координаты и азимуты которых приведены к эллипсоиду по грави¬
метрическим картам. Понятно, что расстояния между пунктами, так же
как и точность астрономических определений, триангуляции и гравимет¬
рических карт должны быть взаимно согласованы.
Существенно должны измениться и методы уравнивания триангу¬
ляции большого протяжения. В первую очередь здесь необходим учет
ошибок астрономо-гравиметрического, нивелирования или, другими сло¬
вами, переход от уравнивания на поверхности к уравниванию в про¬
странстве трех измерений, т. е. учет уравнений типа (1.8.20) — (1.8.22).
В этом заключается -главное отличие уравнивания триангуляции при
обработке ее методом проектирования и развертывания.
Пример исправления результатов астрономо-гравиметрического ни¬
велирования в случае обработки триангуляции способом развертывания
дан в приложении (гл. VIII, § 7).
М. С. Молоденский. К постановке астрономо-гравиметрического нивелиро¬
вания в СССР. Труды ЦНИИГАиК. Вып. 75, 1950.
М. С. Молоденский. Современные задачи изучения фигуры Земли. «Гео¬
дезия и картография» 7, 1958.
Глава VII
МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ОЦЕНКИ
ТОЧНОСТИ ГРАВИМЕТРИЧЕСКИХ ВЫВОДОВ
§ 1. Введение
В § 15 главы V получено решение интегрального уравнения для воз¬
мущающего потенциала в виде бесконечного ряда. Первый член этого
ряда, совпадающий по форме с решением Стокса, всегда является по
величине главным. В равнинных районах при не очень точных выводах
можно учитывать один главный член и пренебрегать влиянием всех
остальных. Оценку точности в зависимости от качества гравиметрических
материалов можно основывать на рассмотрении только этого главного
члена.
Методы учета влияния аномалий и рельефа вблизи исследуемого
пункта просты и хорошо разработаны. Отчасти они описаны в § 9 этой
главы. Методы учета влияния аномалий на больших расстояниях от ис¬
следуемого пункта (в «дальних зонах») в принципе также просты, но
простой, непосредственный путь вычислений не рационален. Численное
интегрирование по всей Земле, даже для части исследуемых пунктов,
требует большой затраты вычислительного труда или использования
счетных машин с очень большой памятью. Гораздо рациональнее пред¬
ставить влияние дальних зон в аналитической форме при помощи не¬
большого числа коэффициентов (т. е. коэффициентов разложения анома¬
лий по сферическим функциям). Два варианта решения этой задачи
изложены ниже. В обоих случаях функция Стокса в дальних зонах при¬
ближенно представлена упрощенными выражениями, позволяющими
представить ее небольшим числом полиномов Лежандра, а влияние даль¬
10*
147

них зон — таким же числом сферических функций. Во втором же случае
задача ставится так, чтобы получить наиболее быстро сходящийся ряд.
Этот метод применен к оценке среднего квадратического влияния
дальних зон, а также к оценке средней квадратической ошибки, полу¬
чающейся в результате подобного упрощения формулы Стокса. Чтобы
иметь полную гарантию, что во всех случаях ошибка не выйдет за пре¬
делы заданных для нее границ, получены верхние пределы этих ошибок
(предельные ошибки).
Далее исследуются случайные ошибки учета местных полей анома¬
лий, основанные на рассмотрении ошибок представительства и интерпо¬
ляции.
Следует отметить, что первая попытка оценить влияние дальних зон
принадлежит Граф-Хантеру (1935).
Введенная Граф-Хантером «ошибка представительства» оказалась
очень полезным средством для анализа точности всех гравиметрических
выводов. Но по самому определению ошибка представительства пригод¬
на для ориентировочной оценки точности в тех областях, где имеются
«представительствующие» гравиметрические пункты, и непригодна, если
этих пунктов нет. Поэтому выводы Граф-Хантера ориентировочно верны
там, где они связаны с наличием общей мировой или местной съемки,
и принципиально неверны для заключения об ошибках, возникающих
при отсутствии пунктов.
Граф-Хантер мог получить какое-то число, оценивающее влияние
дальних зон только потому, что исходил из разбивки поверхности Земли
на заданное число частей (т. е. на 1654 части для размещения пунктов
мировой съемки). Но если бы он число таких частей увеличил, например
в четыре раза, то его оценка влияния дальних зон уменьшилась бы
в 2 раза. Действительно, в выводе Граф-Хантера неявно предполагается,
что в каждом отсеке имеется по одному пункту с ошибкой представи¬
тельства + 113 мглу а четыре пункта в том же отсеке равносильны
одному пункту с ошибкой +56 мгл.
Конечно, одной величины, например ошибки представительства для
всей Земли (113 мгл по Граф-Хантеру), явно недостаточно для подобных
оценок. При очень большом значении этой величины влияние дальних
зон может быть малым (волны аномалий большой амплитуды, но корот¬
копериодические) и при малом значении — очень большим (волны длин¬
ного периода).
Для получения верной оценки необходимо задать спектральную ха¬
рактеристику поля аномалий — зависимость средней квадратической
амплитуды волн от номера сферической гармоники. Получить ее можно
только в результате анализа наблюдаемого поля аномалий.
Очевидно, что любой формальный метод, не опирающийся на доста¬
точное количество фактических данных, бессилен решить эту задачу.
М. С. Молоденский, 1945, § 25.
§ 2. Общая характеристика земного гравитационного поля
Рассмотрим фактический материал, характеризующий (хотя бы ори¬
ентировочно) общее распределение силы тяжести на земной поверхности.
Для этой цели используем разложение аномалий в ряд по сферическим
функциям. Вследствие того, что большие области Земли совсем лишены
наблюдений, коэффициенты этого разложения пока получаются с малой
(и, вообще говоря, неизвестной) точностью, но для общих суждений
этот материал можно считать достаточным.
До настоящего времени опубликовано несколько работ, в которых
получены разложения аномалий силы тяжести по сферическим функ-
148

дням: Дубовского, описанная Молоденским (1945), Джефриса (1941 —
1943), Жонголовича (1952) и Еремеева и Юркиной (1954). Авторы этих
работ в измеренные значения силы тяжести не вводят никаких редукций,
кроме приведения в свободном воздухе с нормальным коэффициентом,
т. е. получают разложение значений g + /г/г, где А — высота, А — нор¬
мальный вертикальный градиент силы тяжести. Разложение выполнено
на основе предположения, что гравиметрически изученные районы харак¬
теризуют гравитационное поле Земли в целом, т. е. на основе экстрапо¬
лирования низких гармоник в разложении аномалий. Наиболее тщатель¬
но разложение в ряд по сферическим функциям до восьмого порядка
выполнено И. Д. Жонголовичем (1952), который использовал около
26 тысяч пунктов мировой съемки, определенных до 1951 г.
Пункты размещены на поверхности Земли крайне неравномерно; на
южное полушарие к 1952 г. приходилось только 3% от числа гравимет¬
рических пунктов в северном полушарии. Очень мало пунктов на океа¬
нах. Поэтому при составлении условных уравнений Жонголович исходил
из средних значений аномалий на площадках, равновеликих квадрату со
стороной 10° дуги большого круга. Всего им составлено 204 условных
уравнения, представляющих 50% поверхности Земли; 150 уравнений
представляют северное полушарие, 54 — южное. При этом отброшены
явно нехарактерные для большой площади аномалии (например, отдель¬
ные аномалии изолированных островов й часть береговых).
И. Д. Жонголович получил два варианта разложений. В первом —
средние значения аномалий на площадках вычислены как простое сред¬
нее из средних значений аномалий силы тяжести на |— части каждой
площадки. Во втором учтена зависимость аномалий силы тяжести от
высоты гравиметрических пунктов. Для каждой у— части площадки при
наличии в ней гравиметрических пунктов составлены условные уравнения
p + qh2 = Ag<¡ •
Здесь Аь Аг,... — средние высоты частей участков; А % Д^2,. • • —
средние из аномалий на частях участков, р и определены по способу
наименьших квадратов. Средние аномалии на участке вычислены по
формуле
где А^р и Аср —средние аномалия и высота соответствующего участка.
Если в какой-нибудь части участка диапазон высот или глубин был
велик и количество наблюдений достаточно, то все данные этой части
разбиты дополнительно на несколько высотных диапазонов через 300 —
500 м, а для каждого высотного диапазона составлено уравнение того
же вида.
Коэффициенты разложений
g + kh = 2 S (Anm cos mL + Bnm sin mL) Pnm (cos fr)
/1 = 0 m=0
по обоим вариантам, как правило, довольно близки.
149

Коэффициенты первого варианта
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Ап о-Ю2
979 775 50
—230
+343 737
+797
+787
+545
+355
-148
+172
Ап 1-Ю2
—232
— 37
+322
+ 32
+ 21
+ 9
+ 69
+ 55
В„ г ИЯ
+ 99
— 91
—314
+ 41
+141
+119
— 22
— 88
А„2-Ю2
+ 573
+ 154
+ 46
+21,0
— 4,3
+ 0,2
— 0,3
Вп з-Юг
— 144
—100
+ П
+10,9
- 3,9
+ 0,5
+ 7,5
А.З-Ю3
+309
+ 62
- 56
—24,2
- 7,7
- 7,6
Вяз-ю3
+678
+ 45
+ 40
+14,9
- 4,4
- 4,0
А„ 4-Ю<
+248
—127
— 13
— 0,6
+ 1.2
в^-и*
+ 93
+ 37
- 83
— 5,3
- 9,1
Лз-Ю5
+280
— 8
+ 7
-19,8
В„5-Ю3
- 22
-163
— 35
— 5,9
4*-Ю8
+ 63
— 9
— 34
Вяв.Ю«
+193
+П1
+ 17
^»,.107
+ 94
+ 10
Вл7-Ю7
—150
- 3
Лв-108
+ 92
В*-10я
+ 25
Коэффициенты второго варианта
п
Л пт^пт
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Ло-Ю2
979 776 84
— 11
+344 298
+847
+743
+267
+653
+424
+252
ь
Я
О
ев
+ 53
+ 15
+384
— 69
—111
— 38
+ 90
+ 70
Вя1-Ю*
+163
+ 60
—191
— 85
+ 20
— 14
— 12
4- ю
л„г-ю2
+ 491
+ 69
+ 2
+ 8,4
+ 2,1
— 7.1
+ 4,7
вя2-ю2
— 112
- 99
+ 28
+ 2,7
—10,4
— 4,1
+ 7,9
Ай-ю3
+827
+ 57
— 70
—22,2
+16,5
— 8,6
Вяз-Ю3
+657
+ И
— 4
+21,3
—11,0
— 4,1
»Я4-Ю4
+187
— 41
— 11
—13,7
- 7,1
Вж-Ю*
+251
— 50
— 44
+ 4,7
+10,8
Ля»-105
+ 72
—116
— 20
-14,0
Вя5-Ю5
+ 48
—157
— 4
+ 5,1
А.6-106
+ 95
— 125
— 30
В„б-10в
+ 18
+ ю
+ 32
Ап 7*107
+ 69
+ И
Вя7-Ю7
—161
+ ю
Лпв-Ю8
+ 88
Вя8-ЮН
— 12
150

Особенно наглядно это проявляется при сопоставлении средних квад¬
ратических значений сферических функций разных порядков первого и
второго вариантов разложений аномалий (# — ?) в мгл (см. табл.).
Порядки сферических
функций
Первый
вариант
Второй
вариант
2
9,2
7,8
3
9,0
9,8
4
3,9
3,5
5
4,0
2,8
6
3,9
3,7
7
2,5
2.2
8
2,9
2,9
Полное значение
15,0
14,5
В дальнейшем изложении мы будем основываться на числовых дан¬
ных второго варианта.
М. С. Молоденек ий, 1945, § 16.
И. Д. Жонголович, 1952.
§ 3. Улучшение сходимости ряда Стокса
Если при использовании формулы Стокса аномалии учтены только
до сферического расстояния ф0 от исследуемого пункта, то можно ска¬
зать, что учтены «местные» волны поля аномалий. Это означает, что
результат интегрирования остальных аномалий от ф0 до я даст функцию,
которая с перемещением исследуемого пункта будет меняться более
плавно, т. е. даст волны большего периода. Понятие о волнах связано
с представлением потенциала в виде ряда, составленного из сферических
гармоник разных порядков. «Местным» волнам соответствуют гармоники
высоких порядков.
Этот ряд сходится очень медленно, так как в разложении функции
Стокса по полиномам Лежандра
5(С08ф) = 2^Ц!/>в(С08ф)
2 п ~~ 1
— 3 cos ф In /sin + sin2-|-j — 6 Sin + 1 — 5cos^ (VII.3.1)
при увеличении п коэффициент приЯ„ (cos ф) почти не убывает, стремясь
в пределе к 2. В связи с этим при ф = 0 функция S(cos<|0 = co.
Когда учтены только местные волны и получены С0 вместо С (инте¬
грированием аномалий доф0), то остаток Д£', соответствующий общим
волнам, очевидно, также можно представить в виде ряда сферических
гармоник.
Как сказано, гармоники высших порядков, вошедшие в С0, почти
исключены из Д£', т. е. ряд для Д£' должен сходиться быстрее, чем ряд
для С- Если бы оказалось, что ряд для Д£' сходится достаточно быстро,
то был бы смысл исследовать эту функцию разложением ее в ряд сфери¬
ческих гармоник; мало того, был бы смысл учитывать и АС', когда ано¬
малии известны, при помощи подобного ряда.
151

Можно считать, что Д£' определено формулой
я 2гс
Дg S (cos ф) sin ф d ф dл,
о о
в которой интегрирование распространено на всю сферу, но S(cos ф) —
разрывная функция, равная нулю при ф<ф0 и равная 5(созф) при
ф^>ф0. Выражение для Д£' можно разложить в ряд по сферическим
функциям. Для этого достаточно разложить в ряд по полиномам Ле¬
жандра функцию S(cos ф).
Пусть это разложение имеет следующий вид:
5(cos ф) = а la*!. Qnp (cos ф)>
о 2
где Qn — коэффициенты, зависящие от ф0. Чтобы определить эти коэффи¬
циенты, умножим обе части этого равенства на Рл(созф) и проинтегри¬
руем в пределах от —1 до +1. Получаем
+1	cos Фо
<?я(со8ф0)= j S(y)P„(y)dy= j S(y)Pn(y)dy. (VII.3.2)
— 1	—1
Пусть в разложении S(í/) удержаны члены только до порядка т
включительно [сумму их назовем _5т(#)]1 Тогда интегральное среднее
квадратическое значение разности S(y)—Sm (у) равно следующей вели¬
чине:
+1
*(Qm.l) = i’f ÍS(y)-Sm(y)]»dy= Z ~~Т~~ Qn2=
z J	m +1	^
-1
cos Фо
= 4 / [S{y)fdy~Z^^-Qn\	(VII.3.3)
1
Таким образом, формула Стокса принимает вид
Фп 2л
С =	f f *gS (У) Sin Ф d ф d *+ £ a &gnQH+&Z¿, (VII.3.4)
о	о
где
P оо
2	Qnbgn.
152

Дифференцируя (VII.3.4) для определения уклонения отвеса, необ¬
ходимо в интегральном члене выполнить также дифференцирование по
верхнему пределу*. Получим
£
1
4пу
Фо 2^
f /	^пфсова^фйа —
о о
5 (соэ фо) вш фо
2г.
/4*
4 7Г^
о
Фо 2*
А£
(УП.3.5)
7) = -4~ § /	8*п Ф 8*п ®^Ф^®
о о
5 (со8 Фо) эш Фо
4 тсу
2 т
эШа^а —— 2 <2„
л=2
д^ёп
дИ
созес&'+Дч
где А£ и Ау] соответствуют члену Д£2', У — полярное расстояние иссле¬
дуемой точки, и — ее долгота.
Для вычисления коэффициентов (7п функцию Стокса удобно пред¬
ставить в виде
5(1 -2г2) = -^-31пг(1 + г) + 6г21пг(1 +г)-6г -4+10г2,(УИ.3.6)
тогда
*
4„ = -41 Ря(1 -2г2)5(1 -2г'-)гйг,
1
При помощи интеграла
[ -(г^-=1)л 1п +<- 1)"'12+(-1)"-2; ?+
+ (-1)”-3
■+
+
г/г
П
получено:
(30 = - 4 * + 5 ¿2 + 6 Р - 7	+ (6	- 6 ¿4) 1п Ь (1 + €),
(]1 = - 2* + 4Р +	- 14^-8^5 + у/6 +
+ (6 г^2— 12^ + 8^6)1п/‘(1 +0-24п(1 + 0»
(?2 = 2 — 4^ + 5/2+ 14^3 —ЗС^б + 47^6+ 18^7-у^8 +
+ (6 ¿2-24^+36 ¿6 — 18^8)1пф + *),
* Этот член пропущен в работе Еремеева и Юркиной (1957).
153

Q8= 1 — 4Z + 5 Z2 + 22 Z8 — 46Z4 ■
372
Z6 + 136Z«+ 104Z7 — 166Z8 —
чго
_ 48z9 + ~ t10 + (6 Z2 - 42Z4 + 108Z6 - 120 Z8+ 48Z10) ln Z (1 +1),
O
Q4= -J — 4Z+5Z2 + ^Zs — 72 Z4 — 156Z5 + 320Z6 + 360 Z7 — 645Z8 —
o	o
1120
Z9 + 602 Z10 + 140 Z11 - 210Z12 + (6Z2 — 66 2“* + 26016 — 480 Z8 +
+ 420 Z10 - 140 Z12) ln Z (1 + Z),
209
Q6=-i--4Z + 5Z2 + 46Z*
Z4 — 294 ZB + 655 Z6 + -^^-Z7 —
— 1930 Z8 — 1660 Z9 + 2936 Z10 + 1368 Z11 — 2220 Z12 - 432 Z13 +
4608
Z14 +
+ (6 Z2 - 96 Z4 + 540 Z« - 1470 Z8 + 2100 Z1C — 1512 Z12 + 432 Z14) ln Z (1 + Z),
2	287 „	2562
Qe=-g--4Z + 5Z2 + 62Z3	2~Z4 5
19509
Z5 + 1211 Z6+ 2274 Z7
Z8 — 5558 Z9 + 10689 Z10 + 7434 Z11 •
26061
Z12 — 5082 Z18 +
+ 8283 Z14 + 1386Z16-
8547
Zie + (6 Z2 — 132 Z4 + 1008 Z6 — 3780 Z« +
1
+ 7812 Z10 — 9072 Z12 + 5544 Z14 — 1386 Z16) ln Z (1 + Z),
242
Q, = -i- _ 4z + 5Z2 + =^Z8 — 189Z4 — 840Z6 + 2072 Z® + 4768Z7 -
3
10913 Z8
140 000 Z9 + 32186 Z10 + 29708 Z11- 167860 Z12 — 32648 Z18+
+ 56848 Z14 +	Z16 — 31174 Z16 — 4576 Z17 + ^55 ¿ie_|_
о	y
+ (6 Z2 — 174 Z4 + 1736 Z6 — 8568 Z8 + 23940 Z10 — 39732 Z12 + 38808 Z14 -
- 20592 Z“ + 4576 Z18) ln Z (1 + Z),
08= 1—4Í+ 5Z2+ 102 Z8 — 241 Z4 — Z6 + 3336 Z« + ^l^z7 —
7	o	7
499 RQft
— 22251 Z8 — 38368 Z9 +	Z10 + 97380 Z11 — 195756 Z12 — 151800 Z18 +
O
706 992
+ 281424 Z14 +	Z1B — 244959 Z16 - 72072 Z17 + 118118 Z18 +
120 978
+ 15444 Z19 -	-• Z20 + (6 Z2 — 222 Z4 + 2808 Z6 - 17640 Z8 + 63756 Z10 —
— 141372 Z12 + 195624 Z14 -. 164736 Z16 + 77220 Z18 — 15444 Z20) ln Z(1 + Z).
154

Для контроля коэффициентов, входящих в Qn, можно использовать
равенство
dQj,
dt
— 4 Pn(l—2t*)S(1—2¿2) t.
Это выражение очень удобно для вычисления Qn путем численного
интегрирования.
При ф0= 180°, Qn = 0; в этом случае t = 1 и ln / (1 + /) = 1п 2. По¬
этому сумма коэффициентов многочлена при \nt(\-\-t) должна рав¬
няться нулю; сумма всех остальных коэффициентов также равняется
нулю.
2
При t = 0,Qn= п_ 1 , поэтому свободный член выражения Qn рав-
2
няется ^ • Заметим, что, кроме случая п= 1, коэффициент при t равен
—4, коэффициент при t2 равен +5.
Приведем некоторые значения Qn.
Фо
<?0
Qi
Os
Q*
<?5
<?•
Qi
Qs
0°
0,000
0,000
+2,000
+1,000
+0,667
+0,500
+0,400
+0,333
+0,286
5
—0,200
—0,199
+1,801
+0,802
+0,470
+0,304
+0,206
+0,141
+0,095
8,993(Яф0=
=1000 км)
—0,371
—0,369
+1,634
+0,639
+0,312
+0,152
+0,061
+0,004
—0,032
10
—0,414
—0,412
+1,593
+0,596
+0,274
+0,118
+0,030
—0,024
—0,056
11,478 (t=
=0.1)
-0,475
-0,473
+1,534
+0,543
+0,222
+0,071
—0,012
—0,059
—0,085
13,490(ЯФ0=
=1500 км)
-0,558
—0,553
+1,457
+0,472
+0,159
+0,015
—0,058
—0,095
—0,110
17,986(Яф0=
=2000 км)
—0,729
—0,717
+1,306
+0,339
+0,049
—0,070
-0,116
-0,126
—0,118
20
—0,798
-0,782
+1,247
+0,290
+0,011
—0,094
-0,127
—0,125
-0,105
II
ч* CN
О О
СО II
CS
-0,892
-0,870
+1,172
+0,232
—0,028
-0,112
—0,126
—0,107
—0,075
30
-1,048
— 1,010
+1,062
+0,161
—0,058
—0,103
—0,087
—0,050
—0,013
34,915 (t=
=0,3)
—1,107
—1,060
+1,028
+0,146
-0,054
—0,086
—0,063
—0,028
+0,002
40
—1,122
— 1,072
+1,021
+0,144
—0,051
-0,080
-0,057
-0,024
+0,002
50
—1,016
—0,999
+1,044
+0,122
—0,094
-0,116
-0,067
-0,006
+0,033
60
-0,761
-0,854
+1,040
+0,024
—0,188
—0,134
—0,009
+0,069
+0,063
70
-0,411
-0,707
+0,958
-0,130
-0,240
-0,053
+0,095
+0,081
—0,015
80
-0,028
—0,608
+0,807
—0,260
—0,187
+0,073
+0,111
-0,016
—0,075
90
+0,325
—0,577
+0,636
-0,306
—0,068
+0,128
+0,023
—0,076
—0,011
100
+0,596
-0,599
+0,504
-0,274
+0,024
+0,090
—0,046
—0,034
+0,041
110
+0,753
-0,637
+0,441
-0,222
+0,049
+0,038
—0,043
+0,008
+0,020
120
+0,785
-0,650
+0,431
-0,208
+0,047
+0,028
—0,035
+0,010
+0,010
130
+0,707
—0,604
+0,430
-0,237
+0,078
+0,019
-0,050
+0,034
—0,003
140
+0,549
—0,491
+0,389
—0,263
+0,140
—0,039
—0,025
+0,050
—0,045
150
+0,356
—0,333
+0,291
—0,234
4-0,171
-0,107
+0,050
—0,006
—0,023
160
+0,174
-0,169
+0,159
-0,145
+0,127
-0,107
+0,186
—0,064
+0,044
170
40,046
-0,046
+0,045
—0,044
+0,043
—0,041
+0,039
—0,037
+0,035
180
0,000
0,000
0,000
i
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
М. С. Молоденский, 1945, § 17.
В. Ф. Еремеев и М. И. Юркина. Учет влияния дальних зон на высоту
квазигеоида и уклонение отвеса. Труды ЦНИИГАиК- Вып. 121, 1957.
155

§ 4. Дальнейшее улучшение сходимости ряда Стокса
В связи с результатами предыдущего параграфа появляется жела¬
ние путем более целесообразного выделения интегрального члена полу¬
чить для остатка наиболее быстро сходящийся ряд.
Для этого используем функцию Sm(y), определив ее следующими
двумя условиями:
1)	Sm(y) является многочленом степени т от у = cos ф,
2)	коэффициенты этого многочлена определяются из условия
cos 4^0
J [S (у) —Sm(y)pdy = min.	(VII.4.1)
— 1
Вместо у введем новую переменную х:
у = kx -f- k — 1,
k = cos2 .
Очевидно, выражение Sm(у) = Sm (kx + k — 1) является многочле¬
ном степени m от x и всегда может быть представлено суммой полино¬
мов Лежандра Р„ (х) до порядка т включительно
т О п Л 1
Sm (у) = 2	£— Кп Рп (.к).	(VII.4.2)
о 1
После перехода к новой переменной х условие «2» можно записать
в виде
-щ- J |s{kx + А —	=
Отсюда получаем
+1
Кп = ^ $(£* + *- \)Рп{х)¿х.	(УН.4.3)
— 1
Представим формулу Стокса в виде суммы трех членов
+1	271
С = ?0 + Д?1 + Д?2=т^- { {ШЗ(у)-Зт(у)]4у(1а +
СОвфо б
+1 2тс	сое Ф0 2я
+	(уУОуЛа +	£ у (5(^) — 5т (;/)] йуйа.
—10 —10
Первое условие, определяющее (у), позволяет член Д£х точио^
представить суммой сферических функций до порядка т включительно.
Второе условие позволяет при соответствующем выборе ф0 и т член
ДС, сделать меньше любой наперед заданной величины и меньше, чем
при любом другом способе разложения по степеням у или х.
156

Таким образом
V
+1 2к
f f ^g[S(y)-Sm(y)ldyda +
совфо О
П т
+ £:ZK(Sm)bgn + X2,
z Yo
(VII.4.4)
где
Н"1
K(Sm)= f Sm(y)Pr(y)dy =
— 1
= S f ^±1. Knpn (y ~ \+ 1 ) РЛУ) dy.	(VII.4.5)
Мы видим, что коэффициенты Kr{Sm) связаны линейными соотно¬
шениями с коэффициентами Кп. Формулы для вычисления всех коэффи¬
циентов будут получены ниже.
Сравним это разложение с (VII.3.4) при одних и тех же ф0 и т.
Приравнивая оба выражения для £ и отбрасывая общий член, получаем
cos40 2я
^ / f ASSm(y)dyda + ^2 = ^lAgnQn+^.
—1 О
По аналогии с Q„(S) введем коэффициенты Qn(Sm)
cos Ф0
Qn (Sm) — / Sm(y)Pn(y)dy =
—1
+1
= k f Sm(kx + k-l)Pn(kx + k— l)dx.	(VI 1.4.6)
-l
Тогда получим
R
ДС2'-ДС2=^- a [Q„(Sm)]^„-^ - Qa(S)Ag„.
z T n=0	■‘1/1=0	/
Нетрудно убедиться, что Qn (S)= Q„(Sm), если n <lm. Действи¬
тельно,
СОвфо
Qn{S)-Qn(Sm)= f [S{y)-Sm{y)]Pn(y)dy = 0
при п< т, так как разность 5 (у) —	(у) не содержит полиномов Ле¬
жандра от х порядка ниже т+ 1, а Рп (у) не содержит тех же поли¬
номов порядка выше п. Заметим, что (¿п(8т)Ф 0 при п> т. Следова¬
тельно,
П оо
ДС2'-ДС2 = £ 2	<?„($*)*£.•	(УИ.4.7)
2 Ч т+1
157

Поэтому, предполагая Agn~ 0 при п> т (например, считая точ¬
ным представление аномалий порядком до т), получим по обоим разло¬
жениям одинаковый результат.
Если же можно считать, что (?п(Бт) » ()п (5) при любом п и
Г> оо
= £	£ [Qn(Sm)-QЛS))^gnъQ,
1 Т /72+1
то второе разложение точно при любом числе членов в разложении &g.
Во всяком случае влияние отброшенных членов в этом разложении зна¬
чительно ослаблено. Верхний предел их влияния оценим в § 7.
М. С. Молоденек ий, 1945, § 18.
§ 5. Разложение функции Стокса в интервале от ф0 до п
по полиномам Лежандра
Для вычисления коэффициентов Кп получим рекуррентную формулу,
позволяющую выразить Кп через /Сл_г
Для краткости записи, наряду с Кп, введем коэффициенты 1п
4, = / ЩрРа(х)йх.	(VII.5.1)
— 1
Функции Б (у) и Б'(у) непрерывны в интервале изменения х от —1
до +1, если ф0 > 0.
Подставляя в (VI 1.4.3) известное соотношение
(2п + 1) Рп (X) = Р'п+1 (•*) - Рп-Лх)
и интегрируя по частям, получаем
(2 п + \)Кп = к {1п_х - ¿п+1).	(VI 1.5.2)
Дифференцируя (УП.4.3) по получаем
^ = $ Б'{у)хРп{х)йх+ Ьп.
— 1
Учитывая рекуррентную формулу
(2 п -Ь 1) х Р„(х) = (п+Ч Рп+Лх) + п Рп-Лх)>
получаем
ж = ШТТ <'••->+ £-> + Шт <£”+£-+*> =£-++пК*-у
Отсюда при помощи (VI 1.5.2) имеем
к (жП	*ТиГ~) = - (« -И)	- (Л - 1) КП_г	(VI 1.5.3)
или
Ш{К^1)==Ш {К„-' А"+,) ” 2 Пк"К"-1’	(VII 5.4)
158

(VII.5.5)
Интегрируя в пределах от 0 до ку получаем
к
Кп = кп-г - 2 пк-"-1 £ Кп-! к* йк.
О
Мы получили интегральную рекуррентную формулу. Таким образом,
достаточно иметь выражение для Ко в функции 6, чтобы получить затем
последовательно все функции Кп для всех целых положительных зна¬
чений п.
Формулу (VII.5.3) можно записать и так:
(*„-1 Ьх-п) =	(Кпк'~") + 2 п Кпк~п.
Интегрируя в пределах от 1 до 6, получаем рекуррентную формулу
для перехода от Кп к Кп_г
к
Кп-г = Кп + 2 пк”~' | К^-Ык + {Кп^ -	(VI 1-5.6)
1
В этом случае нужно знать еще значение Кп_г при к = 1, что обыч¬
но не встречает затруднений.
Покажем одно свойство функций Кп, позволяющее контролировать
их вычисление. Разложим 8(у) вблизи значения к = 0 в степенной ряд
со ит угп
5(у) = 8(к+ 1)+ а “
т=\ т]
+1
Так как
J хт Рп (л:) dx = 0, если т < п,
—1
то будем иметь
V 1
Knk>~n — k [	2 —ykm-nxmSn(k+ \)P„(x)dx.
J т—п m •
—1
Поэтому
!im (Knk'~") = 0.
k-+0
(VII.5.7)
Следовательно, разложение Kn в степенной ряд должно начинаться
<г k п .
Итак, прежде всего из формулы (VI 1.3.3) нужно определить
2k—1
K0(S) = k-1 f S(y)dy=±Q0(cos$0).	(VII.5.8)
— 1
Следовательно,
Knk = — 2(1— k)-\-7k(\— 6) + 2 (1 — Zk)V\— k +
-f- 6/г(1 -k) In(1 —k+ \rY^k).
159

Применяя формулу (VII.5.5) и выполняя интегрирование, последо¬
вательно получаем:
= — 7 А2 + 9 А — 2 + 1 п (1 - А) (— 3 А2 + 3 А) + (2 — 6 А)\fT-k +
4- (6 А — 6 А2) 1п (1 + \^Т^к),
Кг& = -^-А84-2А24-ЗА--|-4-(1-А3)1п(1-А)4-
+	+	- 2 А8 1п (1 + у Г=А),
К^гг = — -^-А4-А8 — -^-А24-7А4-(3-ЗА)1п(1 — /г)-4*1 1 — А,
37
32
Кй& = ^ А8 + ^ А4 + ^ А8 - ^ к2 + 9 А + ^ +
2 "	2	'	1 5
28, „	16,	32'
4-(6Аа- 15 А 4- 9) 1п(1 — А) + (—к2 - ^А-^0 \Г\ -А
„,.	1 , „	3 , д	7 .	217 ,	84, 512
= - 30** - ТО* - Т* + -Г *	494 —5 к+ ТГ
+ (— 10А3 + 45Л2 — 63 А 4- 28) 1п(1 — А) 4-
„ ,й 1	. 1 ».в , 7 ,.	121	139	1086, .
Кък«= ^А7 4- -¡гк6 4- -у к5	2~А4 4- 156 А3	¡¡рА2	5“* +
1024
(15 А4 — 105 к9 4- 252 А2 - 252 А 4- 90) 1п (1 — А) 4-
+
О-
704 ьа	2816 м , 8192
35 Л‘ 35 к + 35
у—к,
+	_ 9185 ,+ 4096 +
4- (— 21 А6 4- 210 А4 - 756 к3 + 1260 к2 — 990 к 4- 297) 1п (1 — А) 4-
+
+
1248
35
¿4 +
19968
105
к3 -
6656
& +
9216
>16 .	4096 \ Ат—=-
у-к	Т~У 1~к’
160

КГ = X * + » *. + 7 „ _ 1307	+ >5899 * _ Щ1 ¥ _
252
7733 ., ,
—6~А +
28
88121
10
к*-^к-
20480
20
4- (28 А6 - 378 къ + 1890 к* —
— 4620 А3+ 5940/г2 — 3861 £ + 1001) 1п (1 — Л) +
+ ^12*6-
400	24800	, 185600 ^	140800 и2 ,
7 *°	63 Л +	63	*	21	~|~
, 407552 ,	20480
+ “63-* —
>
[/ АЭ —   ^ ¿10	!_ ¿9	I. ¿8 I ^403 ¿7
Ав ”	420	12	2	+	70
1-к,
5929
,е , 79497.. .
к +~20-к +
+ Ш5^_ »Ш9_^ + ,9949,2_92Ш4,+ Ш072_ +
+ (— 36 ¿7 4- 630 ¿6 — 4158 А-6 + 13860 /г4 - 25740 № + 27027 А2 — 15015Л +
+ 3432)1п(1-А) + (_|^ + ^.е+^-2^-™^ +
| 530944 ^	591872 ^	446464 к 131072
21
15
15
15
)
\"\ — к.
Коэффициенты функций Кп связаны между собой следующими
соотношениями:
1.	Вблизи значения & = 0 выражение Кпкп+1 может быть разложено
по степеням & в сходящийся ряд. На основании (VII.5.7) разложение
должно начинаться с к2п+К Таким образом, первые 2п + 1 коэффициент
разложения должны тождественно равняться нулю, а потому коэффи¬
циенты, входящие в /£яйл+1, связаны 2п + 1 соотношениями линейного
вида.
2
2.	Если £ стремится к единице, то Кп стремится к . Но 1п(1—Л)
в этом случае стремится к бесконечности, поэтому коэффициент при
1п(1—&) должен стремиться к нулю. Таким образом, имеем еще два
линейных соотношения между коэффициентами.
В дальнейшем между коэффициентами обнаружатся еще некоторые
связи. Но уже теперь видим, что Зп + 3 коэффициента, входящие в Кп,
связаны 2м 3 известными нам линейными соотношениями, которые
могут служить для проверки вычисления коэффициентов при интеграции.
Например, при п = 8 уже имеем 19 линейных соотношений для контроля
27 коэффициентов.
Для большего удобства численных вычислений придадим выраже¬
ниям Кп*Ьп+х иной вид. Подставив
после преобразований получим:
К0к = — 4 г1 + 5	-|- 6 ¿3 — 7 ¿4 + (6	— 6 ¿4) !п (^ + *“),
Кук? = - 2 * + 4 ¿2 +	— 9*4-2Р + Ц-Р + 21п/ —
О	о
— 2(1 — ¿‘431п (* 4-£*),
11 Труды ЦНИИГАиК, вып. 131
161

К£г = 2-М + ЬР + 4Р — у^ + зг6 — у*® + б^1п*,
ПО	1 О	1
К3£4 = 1 — и+\ЬР — 8Р — 4Р + ^Р - у ¿6 +	- Тб^* 10 +
+ (6 г12 + 12^)151 ^
К^ь = ^ — 4{ + 22Р — у^ + Зб^—12^ — у^6 + у/7 —
- У- ^8 + -4 ^10 - 4 /12 + (6 ^ + 30 ¿4 + 20 ¿6) 1п ¿,
2	2 ои
К61г6= -1-4г‘ + 28г‘2-48/3 + ?|1^_88г1б + у Р- ^-Р -
- у ** + у г19 - 5 г110 + ~Р2 - ^Р* 4- (6/2 + 54 Р + 90 ¿6 + 30 ¿8) 1п
9	«7	4Р8	19^9
К^= у-4^+у/2-76/з+2р^_±±р.,б_|_з57^_
-1^1	—	—	+ Щ Р1
О	4	ОО	2	О
47	1
10'12 + -5'14-
~ Ш ^16 + ^ + 84 ^ + 252 Р + 210 ** + 42 ¿10)1п ¿>
К^= -¿--4*-
^ *“ — ^ + 437 — 620 *
— 1040 Р + 802 Р
31460	363	104
63	4	7
2391
2
1543
15
р —
^12+ 12^3-
-	+ 4^6 - ¿^18 + (6Р + 120Р + 560^ + 840Р +
кл6=4--и
+ 420 4° + 56 ¿12)1п*,
437-Р-ШР + Р - Р +
10
10
5965 л	22780 ,, , 8217 ,8	22100 ,9 , 28097
Р	п— Р Н	о“ *	у— * + лл ^10 —
' 2
20332
¿п	 8040 12	68 13
21	20	7
20
^450 ¿14 I 88 ¿15 ®! ¿16 I
10	+ 5	14	+
+ А^18 -¿^20 + (6/12+ 1621080^ +2520/18 + 2268^10 +
+ 756 /12 + 72 ¿14) 1п Ь.
Заметим, что, начиная с п = 2, свободный член этих выражений ра¬
вен , коэффициент при ¿21п I(, независимо от п, всюду равен 6, при
последнем члене многочлена при 1п t коэффициент равен п(п + 1); коэф¬
фициент при кроме случая п= 1, равен —4.
162

Найдем интегральную среднюю квадратическую ошибку /?т прибли¬
жения порядка т к функции Стокса Б (у), получающегося в результате
отбрасывания члена
Из формулы (УН.4.4) получаем
СОвфо	+1
*“<*«.*) = у / (5-5т)2^ = |-1 (5-5т)2^х.
-1	-1
Выразив через коэффициенты Кп, будем иметь
-И	т
2&{Кт,к) = к [	+ к - 1) - 3 2 ” + 1 КпРп(х)\ Л* =
— 1
г	т 2 /2 -4- 1
/ $*(** +Л-ПЛс-	Кп2
и	‘о 1
—1
к.
Остается получить выражение для интеграла от квадрата функции
Стокса. Выполнив замену переменных, как в (VII.3.6), найдем
£ 8*(кх + к — 1)йх = ^ ^ 52(1 -2г*)гйг.
—1	е
В результате получаем
+Г	~
к I 8*(кх + к-1)йх=г?+\2 2 (— 1/- 81п2 - 61п2^-
^	г= 1	г
—1
121п^ + (б— 18^2-г 36^ — 24г6)1п2(/-К2) + (8 + Ш — 24 ¿2 —
188
— 56 Р + 84^ + 48 ¿Б- 64^)111(24-0 + ^12 Ь + 2 ¿2	д
*» +
+ 30^ + 64^ —
)
(VII.5.9)
Бесконечный ряд в этом выражении получился от разложения по
степеням £ интеграла
1	 "		 " {-Лг
Л
гьо+д	г ш(1+г) „г=*+ |
] г	12	] г	12	Г=1 г2
<	о
Полученные формулы позволяют рассчитать таблицы, которые на¬
глядно показывают, насколько улучшается сходимость ряда Стокса
после выделения зоны сферического радиуса ф0. Результаты вычислений
представлены таблицей, приведенной ниже. Для четырех значений ¿(0,01;
0,1; 0,2; 0,3) вычислены коэффициенты Кп и ошибки Кт, 1) и
Я(С}т, О по формуле (УП.З.З) соответствующих приближений для п
от 0 до 8
2/?2(Кт> 1) = | [$(** + к — 1) — До 1 КпРп (х)]2ах =
_1	_2#*(Кт>к)
*
11*
163

Для сравнения приведены значения тех же величин для t = 0. Так
как t = sin — = 2^ , где г — расстояние по прямой от исследуемой точки
до границы выделенной зоны, этим значениям t соответствуют значения
г соответственно 127,4; 1274; 2548 и 3823 км.
t — 0
г — 0
Л
¿ = 0,01
= 127,4 км
¿ = 0,1
г = 1274 км
п
Кп
R(Km, 1)
i
R{Km, 1)
R(QmA)
Кп
R(Km, 1)
R(Qm. 1)
0
0
ОО
ОО
—0,0423
3,294
3,294
—0,4806
2,098
2,088
1
0
ОО
ОО
—0,0423
3,294
3,293
—0,4870
2,056
2,048
2
2
ОС
ОО
+ 1,9583
2,461
2,460
+ 1,5613
1,086
1,119
3
1
ОО
ОО
+0,9591
2,108
2,109
+0,6254
0,703
0,857
4
2
3
ОО
ОО
+0,6264
1,887
1,890
+0,3361
0,490
0,790
5
1
2
ОО
ОО
+0,4603
1,726
1,730
+0,2038
0,355
0,781
6
2
5
ОО
ОО
+0,3608
1,599
1,606
+0,1322
0,263
0,781
7
1
3
ОО
ОО
+0,2946
1,494
1,503
+0,0894
0,198
0,772
8
2
7
ОО
ОО
+0,2474
1,404
1,417
+0,0623
0,151
0,752
t
= 0,2
2548 км
t =0,3
г — 3823 км
п
кп
R (Кт, 1)
Кп
R(Km, 1)
1)
0
—0,9292
1,656
1,625
—1,2169
1,563
1,501
1
—0,9828
1,420
1,440
—1,4007
0,986
1,188
2
+1,1650
0,566
0,595
+0,8401
0,301
0,301
3
+0,3695
0,285
0,510
+0,2091
0,119
0,231
4
+0,1588
0,157
0,508
+0,0713
0,052
0,216
5
+0,0774
0,091
0,473
+0,0277
0,024
0,163
6
+0,0405
0,054
0,416
+0,0116
0,012
0,117
7
+0,0221
0,033
0,360
+0,0050
0,007
0,103
8
+0,0125
0,020
0,326
+0,0022
0,005
0,103
164

Коэффициенты Кп убывают тем быстрее, чем больше ¿. Чтобы луч¬
ше проследить это, составим отношения этих коэффициентов при данном
значении / к их величине при £ = 0. Тогда получим следующие числа.
п
/ = 0,01
и
о
»—л
/ = 0,2
/ = 0,3
2
0,979
0,781
0,582
0,420
0,98
0,80
0,64
0,50
3
0,959
0,625
0,370
0,209
0,98
0,81
0,64
0,51
4
0,940
0,504
0,238
0,107
0,98
0,81
0,65
0,51
5
0,921
0,408
0,155
0,055
0,98
0,81
0,65
0,53
6
0,902
0,330
0,101
0,029
0,98
0,81
0,65
0,52
7
0,884
0,268
0,066
0,015
4 0,98
0,81
0,67
0,53
8
0,866
0,218
0,044
0,008
Между строчками выписано отношение последующего числа к пре-
дыдущему. Мы видим, что отношения	с увеличением п убывают
*'п\
почти точно в геометрической прогрессии со знаменателем (1—¿)2, и
убеждаемся в том, что выделение центральной зоны улучшает сходи¬
мость ряда Стокса.
С возрастанием t быстро убывает средняя квадратическая ошибка
Я(Кт, 1). Восьмое приближение при I = 0,1 дает почти такой же резуль¬
тат, как четвертое при t = 0,2. Последнее приближение дает ошибку,
лежащую между вторым и третьим приближением для / = 0,3.
Я(Кт, 1)	1) при £ = 0,01. Но уже при ¿ = 0,1 и п — 8 раз¬
ложение по Кт дает среднюю квадратическую ошибку в 5 раз меньше,
чем по а при I = 0,2 и I = 0,3 — меньшую в 16 и 20 раз. Мы видим,
что сходимость ряда Стокса существенно улучшается.
М. С. Молоденский, 1945, § 18, 30—32.
§ 6. Преобразование формул Стокса и Венинг-Мейнеса
Вернемся к формулам (УП.4.4) и (УП.4.5).
Представим формулу (УП.4.5) в следующем виде:
К(5т)= 2 ^^-кпкг{Рп\
п—0	^
где
+1 -
¡<ЛРп) = / /,*(т + |~1)^Ы4у.
—1
Эти коэффициенты можно вычислить при помощи формулы (УП.5.6),
заменив в ней ^ на к. Очевидно, в этом случае
Кп+1(Рп) = о,
а при /г = 1
К(рп) = 2п+ \ ’
К(Рп) = 0> гФп-
165-

Эти условия определяют все коэффициенты.
Таким образом, при г<п получено
1 ^ (р„)	+1-^
р(р~ 1)
2!
~2Г~ +
, 1 /яр(р— 1)(р-2) 9(9-1)(9 —2)
^4	3!	'	3!
(УИ.6.1)
где
Р = \-к,
р — П — Г — 1,
Ч = П + Г.
До п = 8 получаем следующие разложения для Р,
кР^Р + Р^х),
к*Р2 = (Р + Р)+3 РР, (Л) + Р2 (х),
кьРъ — (Р + 3 Р + Р) + 3 (Р + 2 Р) Л (л) + 5 Р Р2 (х) + Р3 (*),
А4Р4 = (Р + 6 Р + 6 Р + Р) 4- 3 ^Р + 5 Р + у Р ^ Р4 (•*) +
+ 5 (Р + 3 Р) Р2 (д;) + 7 Р Р3 {х) + Р4 (л),
ЛЬРЬ = (Р + 10 Р + 20 Р + ЮР + Р°) + 3 (Р + 9 Р + 15 Р + 5 Р) Р1 (*) +
+ 5(Р + 7Р + 7Р)Р2(дс) + 7(Р + 4Р)Р8(дс) + 9РР4(дг) + Рв(*),
¿6Р6 = (Р 4 15Р + 50Р + 50Р + 15Р° + Р2) + 3(Р + 14Р +
+ 42 Р + 35 Р -|- 7 Р°) Р, (д:) + 5 (Р + 12 Р + 28 Р + 14 Р) Р2 (д-) +
+ 7	+ 9 Р + 12 Р) Р3 (*) + 9 (Р + 5 Р) Р4 (*) + 11 Р РБ (.*) + Р6 (л:),
Л7Р7 =(Р + 21 Р + 105 Р + 175 Р + Ю5 Р° + 21 Ра + Р4) +
+ З^Р + 20Р+ ?|^Р + 140Р + 70Р°+ ^ Р2 ^ Р2 (л) +
+ 5(>
+ 7(Р+ 15Р + 45Р + ЗОР)Р3(л:) + 9^Р
+ 11 (Р + 6 Р) Рб (дс)+13 Р Р6 (дг) + Р7 (х),
+ ПР+у Р )Р4(*> +
+ 18Р + 72Р + 84Р+ ^Р<Лр2(д;) +
Л8 Р8 = (Р + 28 Р + 196 Р + 490 Р + 490 Р° + 196 Р2 + 28 Р4 + Р6) +
+ 3 (Р + 27 Р + 180 Р + 420 Р + 378 Р° + 126 Р2 + 12 Р4) Р7 (*) +
+ 5 (Р + 25 Р + 150 Р + 300 Р + 210 Р° + 42 Р2) Р2 (д:) +
+ 7(Р + 22Р+ 110Р + 165Р + 66Р°)Р3(.х) + 9(Р + 18Р+66Р+
+ 55 Р) Р4 (д:) + 11 (Р + 13Р + 26 Р) Рь (х) + 13 (Р + 7 Р) Р6 (х) +
+ 15РР7(*) + Р8(*).
166

Таким образом, имеем
5*00= 2 1Г+1/С(5т)РгОО-
г—0	1
Приведем числовые значения коэффициентов /<г(5т) при т = б и
т = 8.
Г (КМ)
К 2 ($б)
*в(‘?в)
Кх (56 )
/Св(56)
7Св(5в)
1274
4-1.716
+0,720
+0,393
+0,233
+0,140
2548
+1,551
+0,570
+0,261
+0,122
+0,052
3823
+1.425
+0,467
+0,182
+0,068
+0,020
г (км)
^2 (^8)
К3 (5„)
к.1 (5в)
*»№.)
Кв(Б8)
Ку (58)
^8 (*^в)
1274
+1,748
+0,751
+0,422
+0,261
+0,167
+0,107
+0,067
2548
+1,610
+0,624
+0,308
+0,162
+0,084
+0,041
+0,017
3823
+1,503
+0,532
+0,234
+0,106
+0,045
+0,017
+0,005
Итак, в формуле (УП.4.4) все коэффициенты известны.
Формулы для уклонения отвеса получаем путем дифференцирования
по Э1' и //:
Ф0 2те
1 1
'=^г// Л^1Гф ^ (^) -5«(3')|со8азшф^ф^а +
0 о
+ 71-^КЛЗт)^ + Ъ
]_ т
‘¿42
те 2те
^ =	//А£^[5(>')-5'л0')] С08а81пф<*ф<*а
Фо 0
(У11.6.2)
Ф«2*
Г‘ = Т^4 / / ^¿<+0') — 5«О0] 8таз1пф<*ф</а-
0	О
~^12^(5и)^с8с^+571
те ь2те
Ьг> = Т— 5ш(з/)]8таз1пф^фйа
Ф» О
М. С. Молоденский, 1945, § 31 и 33.
(УН.6.3)
167

§ 7. Предельная ошибка приближения порядка т
к функции Стокса
Оценим предельную ошибку от замены функции Стокса приближе¬
нием к ней порядка т. Будем исходить из известного неравенства Буня-
ковского — Шварца
1
Х?Ф (1 а ^ [ /<р2 с1 а £ ф2 с1 а
а	а	о
где <р и ф —две действительные функции действительного переменного,
заданные в области с. Знак равенства соответствует только тому случаю,
когда ф = с ф, где с — некоторая постоянная.
Применяя это неравенство к погрешности в высоте квазигеоида ДС2,
если учтены члены до порядка т в разложении функции Стокса, полу¬
чаем
р совф02тс
ЛС=4^ / /	-$».)№*< уА^.Я(/Ст,1),
—1 О
где
2 ТЕ +1
4 п Д^	с1ус1 а.
О —1
Оценку для уклонений отвеса найдем при помощи полученных ниже
вспомогательных формул.
Используя дифференциальное уравнение Лежандра
(1 -х*)Рп»(х)-2хРп'(х) + п(п + 1)РЯ(*) = 0
и формулу (VII.4.2), путем интегрирования по частям получаем:
+1 « 1
Ут' = | (2 5'-5т05т'(1-^)^= 2 £я(л+1)(2/1+1)К’|Д
— 1
причем
-4-1
;т" -	1 = / (2 5» - -V) 5т' 0 + X) ах -
—1
+1
- / (25'- 5'т_1)5'т_1 (1+*)^ =
— 1
= 2 [(5т' - 5'т_х) (2 5 - 5т -	.
т 2 /г 4- 1
(^=1 = 2-^±±Кя,
(5т'Ы=^л(я-г1)(2л+1)/С,.
168

Из простых, но довольно длинных вычислений получаем
'.= / (щ)‘«"Ь4*=/(§)'(1
2	arc sin t	t
+ 24 S ^—тг~ — 12 lna / — 26 ln ¿ + (12 — 36 ¿4 + 2416) ln2 (t +17) +
Г—\ r
+ (4812 + 56 ¿3 — 168 ¿4 — 48	+ 112 ¿6) ln (t + ¿2) + 34 lnl-Íl +
+¿+7_T_24í+56'2+^3_176í4_112í6+ir¿6-
Применяя теперь упомянутое неравенство в (VII.6.2) к Щ (или, без¬
различно, 5iq ), получаем
8€ = -щ- Ja gd (5~5-> COS a d а < ОМ 053 Á¡F Dm,
где
От* = (Ы0-2кУт),
7.=+.Ч-+*-'."-
Значение Jm проще всего вычислить при помощи соотношения
4-^1 = {(5т'-5'т_1) [ки + ^^-)(2 5-5т-5т_1)]}^1.
Используя таблицу значений Кп и ^(/(т , получаем следующую
таблицу предельных значений 8£, 8£ и Ьч\ приА^= 1 мал.
$£ (в метрах)
*6,
п
Фо=П°,5
Ф0=23°,1
Фо=34°,9
Фо=П°.5
Фо=23°,1
Фо=34°,9
0
13,51
10,34
9,25
Г,26
0",77
0",54
2
6,99
3,53
1,78
1 ,04
0 ,50
0 ,27
3
4,53
1,78
0,70
0 , 90
0 ,35
0,15
4
3,15
0,98
0,31
0 ,78
0 ,25
0 ,09
5
2,29
0,57
0,14
0 ,68
0 ,18
0 ,05
6
1,69
0,34
0,07
0 ,60
0 ,13
со
о
о
7
1,27
0,21
0,04
0 ,52
0 ,09
0 ,02
8
0,97
¡
0,12
0,03
0 ,45
0 ,07
0 ,01
Первая строка этой таблицы характеризует предельную величину
полного влияния дальних зон на гравиметрические выводы высоты квази¬
геоида и уклонения отвеса при среднем квадратическом значении ано¬
малии этих зон в 1 мал.
Последующие строки определяют предельные величины поправок
для тех случаев, когда учтено влияние сферических функций до порядка
п включительно.
169

По данным этой таблицы видно, что влияние дальних зон на вывод
уклонения отвеса может быть значительным. Распространенное мнение
о малой величине этого влияния, основанное на быстром убывании функ¬
ции Венинг-Мейнеса вблизи начала координат, не подтверждается.
Поскольку при оценке предельной ошибки упрощается вид функции
Стокса в дальних зонах, под A g можно понимать среднее квадратическое
значение аномалий, уже осредненных на площадках значительного раз¬
мера. При этом выбор величины площадки имеет существенное значение.
Такое осреднение сводится к гашению гармоник высокого порядка в ано¬
малиях Д^. Каким же порядком сферических функций можно ограни¬
читься, устанавливая значения A g? Здесь следует рассуждать таким об¬
разом. Пусть предельная ошибка, вычисленная описанными приемами
для Ç, Ç или т], будет Е(п, ф0)Д£\ где Е(п, ф0) —одно из чисел послед¬
ней таблицы.
Пусть п — наименьшее число, удовлетворяющее условию
E(n,<\>0)bg<e,
причем е—величина, которой можно пренебречь, a A g —пока пони¬
мается как среднее квадратическое значение неосредненной аномалии.
Тогда с ошибкой, много меньшей, чем s, т. е. по нашему допущению
вполне пренебрегаемой, для дальних зон функцию S (cos ф ) можно за¬
менить ее приближением Sn (соэф) порядка пу а потому в тех же зонах
учет аномалий порядка выше п становится ненужным. Следовательно,
под А^ следует понимать Agn9 гдеД^—п-ое приближение к àg, полу¬
ченное путем учета первых п сферических функций в разложении A g.
Поэтому теперь можно ограничиться меньшим значением я, опре¬
деляя его из условия
Е(п, ф„)Д
В приведенных нами двух вариантах разложения аномалий по сфе¬
рическим функциям, выполненных Жонголовичем, среднее квадратиче¬
ское значение второй и третьей гармоник составляет около 9 мгл, сле¬
дующих — около 4 мгл. С увеличением номера гармоники среднее квад¬
ратическое значение ее убывает. Поэтому для ориентировочных сужде¬
ний можно предположить, что при 3
Д^а< 162 + 42(й-3).
Приведем несколько значений предельных ошибок, вычисленных
указанным способом.
Фо
п
«с
8É и 8Г)
34°, 9
6
< 1,0 м
<0\4
23 ,1
6
< 4,9
<1 ,9
34 ,9
8
< 0,5
<0 ,2
23 ,1
8
< 1.9
<1 ,1
М. С. Молоденский, 1945, § 19.
§ 8. Среднее квадратическое влияние дальних зон
Пределы, о которых шла речь, являются наивысшими и могут иметь
место не только при заданном виде функции 5(созф) и заданной вели¬
чине А но при наиболее неблагоприятном для исследуемой точки рас¬
170

пределении аномалий. Фактически влияние дальних зон должно быть во
много раз меньше. Однако для суждения о средней величине этого влия¬
ния недостаточно только величины Д^— необходимо знать распределе¬
ние амплитуд аномалий по сферическим функциям. Для ориентировоч¬
ных суждений используем разложение Жонголовича.
Среднее квадратическое значение Д£ влияния аномалий в области,
расположенной за окружностью со сферическим радиусом ф0, «а высоту
квазигеоида, очевидно, равно
Д? = 4^/«*<<«•
Поэтому для среднего квадратического значения второго члена пра¬
вой части (VI 1.3.4) находим
		Г) 	 	 ос
ДГ = 2 ^ п,
¿4	п = 2
где Д£л — среднее квадратическое значение сферической гармоники по¬
рядка п в разложении аномалий.
Если ф0 = 0, то
и
Г=А *5»
*л V ' П — 1 '
Для удобства вычисления среднего квадратического влияния можно
написать
Оценим теперь среднее квадратическое значение ДЕ и Дг)
дальних зон на уклонение отвеса
Дт)2 = ^ ^ Дт]2<*а,
влияний
где Д£ и Дт] определены вторым членом правой части (УН.3.5).
Из формулы
(2 л 1) Рп_х (X) = р; (х) - Р'„_2 (х),
дифференцируя ее (т—1) раз, находим
(2 « ~ 1)Р*-г(X)	Рп->{X).
Полагая последовательно п равным (п — 2), (п — 4) и так далее
и складывая правые и левые части этих равенств, находим
+{Ъп-Ь)-£^Рп_ь{х)+ ....
171

Умножив обе части этого равенства на (1—х2) 2 , от зависимости
между производными полиномов Лежандра перейдем к зависимости
между присоединенными полиномами Лежандра
ппЛх1ч; = ^п-х)р<п^хт-гМ) + ^п-ъ)р<п-ю(т-1М) + • • • •
(1 — X ) 12
Теперь легко получаем интегральные формулы:
+1Л,.(*)		о,о„ ,, (я + м-2)!
(я + т — 4)! .
—1
2 (2 я — 5)
(я — т -2)!
+1
¡ьр‘
—1
1т
йх =
Су , если п — / равно четному числу, / < пу
О, если п — / равно нечетному числу.
Дифференциальное уравнение для присоединенных функций Ле¬
жандра
(*“ - ')Р”пт + 2 хР'пт = Я (Я + 1) Рп
т*
1 — х
2 пт
умножим на РптЛх и проинтегрируем обе части от —1 до +1. Выполняя
в левой части полученного выражения интегрирование по частям, на¬
ходим:
2я(я-(- 1)
2я + 1
(я + яг)!
(я — яг)!
/
-1
ЛКгп
яг3С„
<1Р,
1т
йх =—т?С,т
, если я — I равно четному числу I < я,
-1
йР,
1т
(1Ъ
(1х = О,
если я — I равно нечетному числу.
Таким образом,
Д^ + Ач'2
1
4 у2
2
я =2
Рл2я(я + 1)Д^2
2
4
2 апЧп-1)2$п2+гщ%
п= 2
что согласуется с формулой (У.5.27).
Выполнив расчет по всем этим формулам и присоединив ранее най¬
денные данные, получаем таблицу, характеризующую поле аномалий
172

силы тяжести до восьмого порядка включительно. В основу расчета
положен второй вариант разложения силы тяжести Жонголовича.
п
Влияние аномалий порядка п
Влияние гармоник от 2 до л
(6„2 + ■Пг?)12
(2Д Епг)к
{К2п)к
[2(?ч2 + Чя2)],/г
Ьёп
2
±7,8 мгл
±50,7 м
=4=4", 02
± 7,8мгл
±50,7 м
=Ь4",02
3
9,8
31,9
3 ,57
12,5
59,9
5 ,38
4
3,5
7,6
1 ,10
13,0
60,4
5 ,49
5
2,8
4,6
0 ,81
13,3
60,6
5 ,55
6
3,7
4,8
1 ,01
13,8
60,7
5 ,64
7
2,2
2,4
0 ,58
14,0
60,8
5 ,67
8
2,9
2,7
0 ,74
14,3
60,9
5 ,72
Цифры последней строки правой половины таблицы определяют
нижние пределы средних квадратических значений аномалий силы тяже¬
сти, высот квазигеоида и уклонений отвеса.
Влияния аномалий, выражаемых сферическими функциями порядка
от 2 до м, на средние квадратические значения Д£' и (Д£/2-|- Дт]'-)1/* со¬
ставляют:
\ Фо
п \
к
(дб'2 + Дч'2)1/г
0°
11°,5
23°, 1
34°, 9
0°
11°,5
23°, 1
34°, 9
2
±50,7 м
±38,9 м
±29,7 м
±26,1 м
±4", 02
±3",08
±2", 36
±2", 07
3
59,9
42,6
30,6
26,5
5 ,38
3 ,64
2 ,50
2 ,13
4
60,4
42,6
30,6
26,5
5 ,49
3 ,66
2 ,50
2 ,14
5
60,6
42,7
30,6
26,5
5 ,55
3 ,66
2 ,51
2 ,14
6
60,7
42,7
30,7
26,6
5 ,64
3 ,66
2 ,53
2 ,15
7
60,8
42,7
30,7
26,6
5 ,67
3 ,66
2 ,54
2 ,15
8
60,9
42,7
30,7
26,6
5 ,72
3 ,67
2 ,54
2 ,15
Вл
ияния а]
яомалий,
выражс
1емых сс
зерическ
ими фун
кциями
порядка
от 4 до пу на средние квадратические значения Д£' и (Д?,2+ Дт/2)1/*:
\ Фо
п \
дг
(Д|'2 -1- Дг)'2)1/2
0°
11°,5
23°, 1
34°, 9
0°
11°,5
23°, 1
34°, 9
4
± 7,6 м
±2,6 м
=1=0,3
±0,6
±1М0
±0",37
±0", 05
±0",09
5
8,9
2,7
1,0
1,0
1 ,37
0 ,39
0 ,19
0 ,17
6
10,1
2,7
1,8
1,3
1 ,70
0 ,39
0 ,37
0 ,23
7
10,4
2,7
2,0
1,3
1 ,80
0 ,40
0 ,42
0 ,24
8
10,7
2,8
2,1
1,3
1 ,94
0 ,46
0 ,46
0 ,24
Эти таблицы наглядно показывают эффект, достигаемый в резуль¬
тате убыстрения сходимости ряда Стокса. Уже при ф0=11°,5 прирост
173

поправок с увеличением п значительно слабее, чем при ф0 = 0; особенно
это проявляется для ф0 = 23°, 1 и 34°,9.
Если непосредственным интегрированием учтены аномалии до сфе¬
рического расстояния в 23°, 1 или 34°,9 от исследуемой точки, то среднее
квадратическое влияние всех дальних зон выражено величинами:
Фо
23°,1
34°,9
АС'
31 м
27 м
]/^д!'2+д?2
2",5
2" ,2
Предельные ошибки от замены функции Стокса шестым или вось¬
мым приближением к ней получаются соответственно:
Фо
23°, 1
34°,9
4 ,9л<
1 ,0 м
ад)
1 ,9
0 ,5
г?(56) = 8ч(5в)
1",9
ом
35(58) = 5п(58)
1",1
0",2
Среднее квадратическое влияние аномалий от четвертого до вось¬
мого порядка определяется величинами:
ф0 23°, 1	34°,9
по 2 м 1 ,3 м
по (ДГ8 + Дт,'2)1/* 0",5	0",2
Если можно пренебречь этими величинами, то при учете дальних
зон достаточно принять во внимание сферические функции только вто¬
рого и третьего порядков в разложении аномалий. Для этого необходимо
определить 10 входящих в них коэффициентов. Такую задачу можно
считать выполнимой.
В заключение подчеркиваем, что достоверность полученных выводов
зависит от того, насколько верен порядок величин коэффициентов разло¬
жения аномалий по сферическим функциям.
Изложенная методика, основанная на убыстрении сходимости ряда
Стокса, упрощает учет влияния дальних зон при массовых вычислениях.
Этот способ позволяет просто исправить результаты, если коэффициенты,
входящие в первые сферические функции разложения аномалий, опре¬
делены заново более уверенно.
М. С. Молоденский, 1945, § 20.
§ 9. Палетка для учета влияния ближних зон
Рассмотрим методику численного интегрирования при определении
местных влияний.
При вычислении по формуле Венинг-Мейнеса и Стокса сферу, по
которой ведется интегрирование, удобно разделить на сферические тра¬
пеции такого размера, чтобы на площади каждой трапеции аномалию
можно было бы заменить ее средним значением и чтобы процесс вычис¬
ления был бы возможно прост.
174

Влияние трапеций выражается следующим образом:
/
Ф1
J 5 (eos ф) sin ф d, ф = Г— eos ф + 7- eos2 ф + 2 sin у-	eos ф -f —
-у sinfín (Sin|+8in2|)]|^
Г d	...... Г 7 .	ф 13 . ф ф
J ¿ф5(С08ф)81Пф^ф= —ф + COSy-ySin^-COS^--
ь
— 6 sin2-^- eos ф- -f- 13 sin3 ф- eos
|-21ntg|+(|^-3sin|-coS|- +
ф2 Ф
-	eos-ir
+ 6Sm*Íco4)ln (».„¿+sin4)|;-a/T—i“4 +
'h	2
ф? • sin 4
Ф2
l 3 f ±	2 ¿±_3 f Ф 1 ¿ Ф .
J 2 cosí- 2 3J 2 cos* 2
Фх	2	Ф,	2
Сумма последних трех членов может быть представлена рядом
'** ф eos *
фо .	ф
-	sin
Ф,	1	Ф1	1	Ф1	^
— [ 2 ^ 8Ф2+6Ф3	128 ^	150	3072
Ф6 +
1
2205
-Ф7-
61
491520
Ф8 +
ЦФ2
Jk’
п . ^4000 км	,
Приф<Г—5-— можно ограничиться учетом члена, содержащего ф
■ и.
ф?
в пятой степени. Это обеспечит значение интеграла £ ¿¡^(совф^шф^ф
Ф1
с точностью до третьего десятичного знака включительно. Разбивка на
трапеции рассчитана так, чтобы погрешность численного интегрирования
не превысила 0,3% уклонения отвеса и 0,5% высоты квазигеоида.
Для определения влияния центральной зоны с радиусом 5 км ис¬
пользована формула Гаусса. Влияние ближайшей окрестности исследуе-
175

мой точки с радиусом 0,2 км определено по градиентам аномалий. Ра¬
диусы границ трапеций, число трапеций в зоне и влияние трапеций так
же, как влияние точек центральной зоны, приведены в таблице. В каж¬
дой зоне трапеции одинаковы по площади. В центральной зоне точки
на каждой окружности распределены равномерно.
№
Радиусы
Число
трапе-
Влияние трапеции при Д ^ = 1 мгл
зоны
зоны
(км)
ций в
зоне
на £
на г)
на £. 105
5,0
I
7,3
15
11
10,7
22
III
15,7
32
IV
22,8
| 16
0' ,005 со, (« — 180°)
• 0^,005 вт (а — 180°)
47
V
33,3
69
VI
48,5
101
VII
70,6
149
VIII
102,6 ,
219
IX
128,0
118
X
148
XI
159,6
186
198,6
> 24
) 0",002 сое (а —180°)
1 0" ,002 вт (а — 180°)
XII
232
246,7
XIII
305,4
288
XIV
357,8
262
XV
418,1
304
XVI
487,4
353
XVII
566,6
408
XVIII
656,6
1 24
1 0" ,0015 сое (а — 180°)
0",0015зт(а — 180°)
467
XIX
758,0
529
XX
872,0
596
XXI
1000,0
668
XXII
1163,7
424
XXIII
1345,5
462
XXIV
1545,6
48
0",000871 сое (я — 180°)
0", 000871 эт (а — 180°)
494
XXV
1763,9
518
XXVI
2000,0
528
176

Центральная зона
№
окруж¬
ности
Радиусы
окруж¬
ности
(км)
Число
точек
на ок¬
руж¬
ности
Влияние аномалии L g— \ мгл
на £
на rj
на C-105
1
0
1
0
0
10
2
0,425
12
—0", 03167 cosa
—0",03167 sin a
5,7
3
1,308
12
—0", 01539 cosa
—0", 01539 sin a
9,8
4
2,600
12
—0", 00920 eos a
—0',00920 sin«
11,6
5
3,892
12
-0",00517cosa
—0", 00517 sin a
9.8
6
4,775
12
—0", 00209 eos а
—0", 00209 sin a
4,8
Палетка рассчитана на применение в аномальных (горных) районах.
При спокойном гравитационном поле можно ограничиться меньшим чис¬
лом отсчетов аномалий в центральной зоне. Упрощать вычисление коль¬
цевых зон не имеет смысла, так как размеры трапеций обусловлены не
только точностью численного интегрирования, но и удобством определе¬
ния средних аномалий в трапециях.
При вычислении уклонений отвеса влияние центральной зоны и ряда
кольцевых зон можно определять по формуле Венинг-Мейнеса для пло¬
скости. В этом случае коэффициенты влияния отдельных точек централь¬
ной зоны и кольцевых зон не зависят от масштаба палетки. Поэтому
радиусы можно пропорционально увеличивать или уменьшать без изме¬
нения их коэффициентов. Таким образом, меняя масштаб палетки, мож¬
но повысить точность численного интегрирования в ближайших окре¬
стностях исследуемых точек.
Оценка точности численного интегрирования палеткой при учете
местных и региональных влияний описана в приложении (гл. VIII, § 8).
В. Ф. Еремеев. Расчет палетки для вычислений высот квазигеоида и укло¬
нений отвеса по формулам Стокса и Венинг-Мейнеса. Труды ЦНИИГАиК. Вып. 121,
1957.
§ 10. Ошибка представительства и ошибка интерполяции
силы тяжести
Выполняя гравиметрическую съемку, мы получаем аномалии силы
тяжести в отдельных пунктах. Обычно по этим отдельным пунктам съем¬
ки строят карту изоаномал и по карте получают значение аномалии для
любой точки области интегрирования. Затем производят интегрирование
тем или иным численным методом. Чтобы оценить точность получаемых
таким образом гравиметрических выводов, необходимо оценить ошибку
аномалий, снятых с карты, т. е. среднюю квадратическую разность меж¬
ду истинными значениями аномалий и значениями, принятыми при инте¬
грировании. Эту величину будем называть полной ошибкой ин¬
терполяции силы тяжести. Она складывается из двух частей:
с одной стороны, в нее входит ошибка наблюдения пунктов, по которым
построена карта изоаномал; с другой стороны, погрешности из-за пред¬
положения о плавном (линейном) изменении силы тяжести между пунк¬
тами, на которых произведены измерения аномалий (последнюю вели¬
чину будем называть «чистой ошибкой интерполяции»). Термины «пол¬
ная ошибка интерполяции» и «чистая ошибка интерполяции» введены
нами по аналогии с терминами «полная» и «чистая» ошибка представи¬
тельства, введенными Граф-Хантером (1935).
12 Труды ЦНИИГАиК, вып. 131
177

Численное значение ошибки интерполяции можно определить сле¬
дующим образом. В исследуемом районе отбросим часть гравиметриче-
12	3
ских пунктов (например, у» -у» у-и т. д.) и по оставшимся пунктам по¬
строим карту изоаномал. По этой карте интерполяцией между изолиния¬
ми можно определить аномалии в местах отброшенных пунктов и срав¬
нить эти аномалии с измеренными. Из полученных таким образом раз¬
ностей можно определить ошибку интерполяции для данной плотности
съемки.
В 1937 г. А. М. Лозинская определила ошибку интерполяции для
района от 48 до 56° по широте и от 27 до 42° по долготе. Для сравнения
ею определена для того же района ошибка представительства тем же
способом, который применен Граф-Хантером.
Получены следующие результаты.
А. Полная ошибка интерполяции
Размеры
Аномалии с редукцией в
свободном воздухе
Аномалии с
редукцией Буге
прямоугольника
(км)
число точек
ошибка интер¬
поляции (мгл)
число точек
ошибка интер¬
поляции (мгл)
60X60
1167
10,7=1=0,9
842
11,6=Ы,9
85X85
626
13,5±2,2
Б. Ошибка представительства
Размеры
прямо¬
угольни¬
ка (км)
Аномалии в свободном воздухе
Аномалии Буге
число
площадок
ошибка представительства
(мгл)
число
площадок
ошибка представительства
(мгл)
полная
чистая
полная
чистая
60Х 60
408
10,1±1,5
9,2
162
10,6=Ы,6
9,9
60X120
186
12,4=1=2,5
11,8
60X180
118
13,2=ь2,7
12,7
42
15,1±2,4
14,6
120X120
92
13,3+2,5
12,8
120X240
37
15,1±4,0
14,6
180X180
30
15,4=4=3,7
14,9
16
16,0=ьЗ,5
15,6
120X360
23
15,2=±=4,1
14,7
240X240
7
15,8=4=5,6
15,4
4
1б,3=Ь4,3
15,9
Сравнивая данные этих таблиц, приходим к следующему выводу,
который в свое время явился неожиданным: ошибка интерполяции полу¬
чается не меньше, чем ошибка представительства (несмотря на то, что
метод интерполяции в какой-то мере учитывает изменения аномалий, по
крайней мере их плавную часть). В пределах точности определения этих
ошибок оба результата можно считать одинаковыми. Это обстоятельство
указывает на то, что при рассмотренных расстояниях между пунктами
в аномалиях правильно меняющаяся часть имеет значительно меньший
градиент, чем быстро колеблющаяся часть, которая не поддается интер¬
поляции.
Если, следуя Граф-Хантеру, чистую ошибку представительства пред¬
ставить формулой
Е=С(\Гх+)ГУ),	(VII.10.1)
178

то коэффициент С у Лозинской получается равным 0,54, у Граф-Хантера
С = 0,55, если х и у выражены в километрах, а Е — в миллигалах, при¬
чем у Граф-Хантера значение коэффициента получено по материалам
съемки Индии, где рельеф значительно сложнее рельефа районов, иссле¬
дованных Лозинской. По-видимому, увеличение ошибки представитель¬
ства из-за горного рельефа Индии компенсировано применением топо-
графо-изостатических редукций.
Выводы Лозинской подтверждены работой А. И. Байбородина,
Л. А. Говоровой и Б. А. Дьякова (1951), в которой определены ошибки
представительства и интерполяции для равнинных районов и для горных
районов Кавказа и Урала. При расстоянии между пунктами около 30 км
получены следующие результаты (в миллигалах).
Районы
Чистая ошибка представительства
Чистая ошибка интерполяции
для аномалий в
свободном воздухе
для аномалий
Буге
для аномалий в
свободном воздухе
для аномалий
Буге
Равнинные
±7,1; ±8,3

± 7,0
—
Кавказ
±25
±12,8
±28,2
±10,6
Урал
±10
—
±14,4
±14,4
По материалам детальных съемок равнинных районов (один пункт
на 3—4 км2) Л. А. Говорова в 1955 г. определила ошибки представи¬
тельства для участков площадью в 25, 100, 400 и 900 км2.
Размеры участков
(км)
Чистая ошибка представительства
(мгл)
5Х ^
1,5±0,1
юхю
2,8±0,2
20X20
4,4±0,4
зохзо
7,0±0,6
Как видим, чистая ошибка представительства для площадок со сто¬
ронами меньше 30 км возрастает приблизительно пропорционально сто¬
роне квадрата и может быть выражена эмпирической формулой
Е = 0,24х мглу	(VII.10.2)
где * — расстояние между пунктами в километрах.
Ошибки интерполяции, полученные Говоровой по этим же материа¬
лам, приведены в таблице.
Степень разрежения
съемки
Среднее расстоя¬
ние между
пунктами (км)
Чистая ошибка
интерполяции
(мгл)
1:2
3,2
0,5±0,1
1:4
4,7
0,8±0,2
1:8.
6,7
1,0±0,3
Для малых квадратов, как и следовало ожидать, ошибки интерпо¬
ляции Е оказались меньше ошибок представительства (приблизительно
в два раза).
12*
179

Уменьшение ошибки интерполяции с уменьшением расстояния меж¬
ду гравиметрическими пунктами использовано Н. П. Макаровым (1956)
для определения высот точек местности. При расстоянии между опор¬
ными пунктами 4 км средняя квадратическая ошибка определения высот
промежуточных точек исследованного района составила +1,5 м.
М. С. Молоденский, 1945, § 27.
А. И. Байбородин, 1951.
Л. А. Говорова, 1955.
§ 11. Точность гравиметрических уклонений отвеса
* Погрешности гравиметрической карты, используемой для вычисления
уклонений отвеса, в основном влияют на первое приближение в форму¬
лах § 15 главы V. Это приближение совпадает с формулой Венинг-Мей-
неса. В следующих приближениях рассматриваемая погрешность меняет¬
ся незначительно. Таким образом, для оценки зависимости ошибки вы¬
вода уклонения отвеса от точности гравиметрической карты можно огра¬
ничиться рассмотрением формулы Венинг-Мейнеса. Более того, можно
исходить из формулы для плоскости, так как оценку влияния аномалий
в дальних зонах удобнее выполнять отдельно.
Очень просто оценивается ошибка вывода уклонения отвеса в том
случае, когда гравиметрическая карта имеется для всей Земли и когда
она повсюду одинаково точна. В этом случае можно исходить из фор¬
мулы (У.5.28). Если отличие истинной аномалии от полученной с карты
равной, отличие истинных компонент уклонения отвеса от вычисленных
по той же карте равно и 8т) и отличие возмущающего потенциала от
вычисленного равно оТу то, применяя формулу (У.5.28) к полю 3Ту по¬
лучаем*
/ (2£2 +5^0 = 1 /	+	+ +
Так как ^ мало по сравнению с 5£ (ибо среднее значение og для
площади значительных размеров близко к нулю) и средние значения
5£2 и 5т)2 близки между собой, то, пренебрегая произведениями малых
величин, можно написать
У* 8?2^а = у' 8т]2 ¿а =
или
51 = 87=+^,	(VII.11.1)
V 2 т
где чертой сверху отмечены средние квадратические значения соответ¬
ствующих величин.
В секундах дуги и миллигалах получаем
= 0",15 ъ£мгл.	(VII.11.2)
Далее довольно просто можно оценить ошибку той части уклонения
отвеса, которая получается в результате учета аномалий вне окружности
радиуса 2 X (2 X—среднее расстояние между гравиметрическими пунк¬
тами).	^
* Необходимо, конечно, предположить, что в разложении 5# отсутствует сфери¬
ческая функция первого порядка, так же как и в разложении g—у.
180

В условиях равномерной съемки ошибки аномалий за пределами
круга радиуса 21 незначительно изменяют общую величину ошибки вы¬
вода £ и у]. Покажем это путем вычисления для четырех случаев распо¬
ложения гравиметрических пунктов и исследуемого пункта, для которого
вычисляется уклонение отвеса.
Исходя из формулы Венинг-Мейнеса, для плоскости в полярных
координатах получаем
5 =
2 тсу
2Д&
Я сое а
—
<Лгй а =
= — 2Д gi 1п С08 а
«У £	гп
81П
2тгу
(VII. 11.3)
В прямоугольных координатах
2	' 8‘}) (х2+У2Р
=	!— 2Д я, [ АгэИ — + ЛгэЬ — — АгвЬ — — АгвЬ — I =
2 7Ху I 0|| хг	х2	Хх	х21
= -1-2Д	(VII.11.4)
(
I
Каждый из суммируемых интегралов распространен на всю пло¬
щадь, от которой «представительствует» данный пункт с аномалией Д^
Число этих интегралов под знаком суммы равно числу гравиметрических
пунктов.
Средняя квадратическая ошибка результата будет
* п\ I
где ogi—ошибка представительства для площадки /.
Рассмотрим несколько схем.
Схема А. Гравиметрические пункты расположены в шахматном по¬
рядке. Расстояние между пунктами равно 21 (см. рис.). Уклонение отве¬
са ищем для точки, совпадающей с одним из гравиметрических пунктов.
Ошибку, вносимую поясом, можно рассчитать по формуле (VII.11.4).
Схема А
Схема В. Отличие ее от схемы А заключается в том, что уклонение
отвеса ищем для точки, лежащей посередине между гравиметрическими
равно 8я.
Схема С. Расположение гравиметрических пунктов и разбивка на
элементарные площадки пояснены следующим” чертежом. Радиусы ок¬
ружностей равны (2п + 1) X, где п — номер зоны. Число пунктов в зоне
равно 8п.
181

Ошибку от зоны п можно представить формулой
« = 2^	(2СМ2*« (А“)5)1,!
или, поскольку в этом случае
Да=^ и 2 сов2 а.т = 4п,
имеем
^ = 4^ п '/г^1п
2я+ 1
2 /г — 1
Схема О. Радиусы окружностей равны 2п X и 2 (гг -(- 1)^> где п — но¬
мер зоны (см. рис.). Число пунктов в зоне равно 4(2п-\- 1). Ошибку от
зоны п можно выразить формулой
5? = 2^8£1п
п +1
п
(4я + 2)~‘/г.
Схема С
Таким образом, для схем А и С получаем
Номер
пояса
или
зоны
Пояс или
зона
Средняя квадра¬
тическая ошиб¬
ка, вносимая
поясом схемы А
Средняя квадра¬
тическая ошиб¬
ка, вносимая
зоной схемы С
Средняя ошибка
пояса и всех
предыдущих
поясов схемы А
Средняя ошибка
зоны и всех
предыдущих
зон схемы С
1
X— ЗХ
±0\059 Ъg
±0^,058 Ъg
=Ь0",059 8^
±0",058 Ъg
2
ЗХ— 5Х
0 ,019
0 ,019
0 ,062
0 ,061
3
5 X— 7 X
0 ,010
0 ,010
0 ,063
0 ,062
4
7 X— 9 X
0 ,007
0 ,007
0 ,063
0 ,062
5
9 X—11 X
0 ,005
0 ,004
0 ,063
0 ,062
Для схем В и О находим
Номер
пояса или
зоны
Пояс или
зона
Средняя квадра¬
тическая ошиб¬
ка, вносимая
поясом схемы В
Средняя квадра¬
тическая ошиб¬
ка, вносимая
зоной схемы О
Средняя ошибка
пояса и всех
предыдущих
поясов схемы В
Средняя ошибка
зоны и
всех предыду¬
щих зон схемы
О
1
2 X— 4 X
±0",030 Ьg
±0",030 8^
=Ь0",030
±0",030 Ьg
2
4 X— 6 X
0 ,613
0 ,013
0 ,033
0 ,033
3
6Х— 8Х
0 ,009
0 ,007
0 ,034
0 ,033
4
8 X—10 X
0 ,006
0 ,005
0 ,034
0 ,034
182

Сравнивая между собой эти схемы, мы видим, что схемы А и С при¬
водят к одной и той же оценке; то же относится к схемам В и О. Отли¬
чие схем А и В или С и О заключается в том, что в одном случае учтена
ошибка всех зон, начиная от А, а в другом, — начиная от 2 А. Положение
астропункта относительно гравиметрических пунктов не может играть
существенной роли. Действительно, можно совершить переход от одного
крайнего случая к другому, а именно: от схемы А к В или от С к О.
Представим себе, что линейный размер схемы О уменьшен вдвое. Тогда
величина +0",034 5^ будет соответствовать ошибке учета всех зон, начи¬
ная от 2А, при съемке, сгущенной в четыре раза. Поскольку ошибка
представительства неизменна, это сгущение приводит к повышению точ¬
ности в \/~ 4 = 2 раза и, следовательно, при начальной плотности съемки
ошибка всех зон, начиная от 2А, должна быть около +0",068 По схе¬
ме С получено +0",062 5^.
Итак, средняя квадратическая ошибка в уклонении отвеса, вносимая
областью за пределами А, равна +0",063 og, приблизительно в 2,5 раза
меньше полной ошибки вывода, а вносимая областью за пределами
2 А— + 0",034 дg. Порядок величины этой ошибки определен первой зо¬
ной. Средние квадратические ошибки по зонам убывают приблизительно
пропорционально номеру зоны в степени 3/2, так как
1„1±А
п
1п
2п + 1	1
2п — 1 ~ п ’
Таким образом, ошибка за счет центральной зоны радиуса 2А полу
чается следующей:
(0", 15)* — (0",034)‘2 о* = 0",15 5#.	(УП.11.5)
Следовательно, в условиях съемки с равномерным по площади рас¬
пределением гравиметрических пунктов практически вся ошибка вывода
уклонения отвесной линии вызвана ошибкой учета аномалий внутри
окружности радиуса 2А.
Полученное соотношение между Zgи может служить для оценки
точности вывода уклонения отвеса в зависимости от случайных ошибок
определения аномалий силы тяжести. Для этого достаточно предполо¬
жить, что указанные ошибки создают фиктивное гравитационное поле,
налагающееся на поле возмущающего потенциала. Следовательно, под
5# можно понимать корень квадратный из суммы квадратов рассматри¬
ваемой ошибки и ошибки интерполяции.
Очевидно, в формуле (VII.11.5) чgJ которую можно выразить одной
из формул предыдущего параграфа с приведенными там числовыми
коэффициентами, должна характеризовать точность карты вблизи иссле¬
дуемого пункта.
Изложенные соображения использованы при расчете гравиметриче¬
ских съемок сгущения вдоль линий астрономо-гравиметрического ниве¬
лирования СССР повышенной точности (Бровар, 1950). Желательная
точность вывода гравиметрических уклонений отвеса для астрономиче¬
ских пунктов этих линий, как указано в § 7 главы VI, составляет 0",5.
Расчет выполнен на основе предположения, что в стране имеется общая
съемка плотностью 1 пункт на 1000 км2. Бровар получил два равноцен¬
ных решения при условии, что ошибка измеренных аномалий составляет
183

+0,85 мгл (эта ошибка обусловлена в основном точностью определения
высот гравиметрических пунктов).
№ зоны
Радиусы зон (км)
Число пунктов в зоне
1
2
6 5
2
8
7 7
3
21
8 9
48
Подобные же расчеты выполнены В. В. Броваром (1958) совместно
с китайским геодезистом Ло Мин-цзинь для гравиметрической съемки
вдоль линий астрономо-гравиметрического нивелирования Китайской На¬
родной Республики. По примеру Советского Союза в Китае принято, что
точность вывода гравиметрического уклонения отвеса на рядовых линиях
астрономо-гравиметрического нивелирования должна составлять 1,0—Г',3
и на линиях повышенной точности — 0",5. Для рядовых линий при рас¬
стояниях 21 между астрономическими пунктами от 80 до 100 км полу¬
чены (/*—радиус зоны, е —средняя квадратическая ошибка измерен¬
ной аномалии) следующие значения.
Зона
Гк
21
Число пунктов
8
1
1
0,09
1
2
0,48
5
гЬ2
3
1,5
б
=ьз
При 2 / = 80 км приведенная схема дает Д‘Э, = +Г',13, а при
21 = 100 км— Д0-= + 1",29. Для расстояний 2 / от 120 до 140 км тре¬
бования к точности уклонений отвеса повышаются. При 2 I = 120 км
приведенная ниже схема дает Ай = + 0",99, и если 21= 140 км, то
Дв- = + 1",08.
Зона
Г}г
21
Число пунктов
8
1
0,045
1
2
0,22
5
¿2
3
0,65
6
±3
4
1,50
8
=Ь4
Авторы пришли к выводу, что среднее расстояние между астроно¬
мическими пунктами должно быть принято за среднее расстояние между
пунктами равномерной гравиметрической съемки II класса (опорная
сеть высшей точности в Китае создана). В северном Китае один грави¬
метрический пункт II класса придется на площадь 8000—9000 км2, а в
южном Китае — на площадь примерно 14 000 км2.
184

В. В. Бровар и Ло Мин-цзинь рассчитали также съемку сгущения
для определения гравиметрического уклонения отвеса с точностью
0,2—0",5. Поскольку ошибки интерполяции детальных съемок изучены
недостаточно, эти расчеты авторы считают до некоторой степени фор¬
мальными и неокончательными.
М. С. Молоденский, 1945, § 28*
В. В. Бровар, 1950.
В. В. Бровар и Ло Мин-цзинь, 1958.
§ 12. Интерполяция силы тяжести. Косвенные методы вычислений
Ошибки интерполяции аномалий разного типа могут различаться в
2—3 раза, поэтому метод их интерполяции между гравиметрическими
пунктами играет существенную роль. Насколько осторожно нужно под¬
ходить к этому вопросу, показывает следующий пример. В 1935 г. по¬
пытки вычислить гравиметрическим способом уклонения отвеса для
астрономических пунктов Южного берега Крыма привели к значениям
почти вдвое меньше наблюдаемых. Причина такого разногласия в том,
что изоаномалы проводились путем формальной интерполяции аномалий
в свободном воздухе и не учитывалась их зависимость от рельефа мест¬
ности.
Гораздо меньше от рельефа зависят аномалии БугеД^я. Поэтому
аномалии в свободном воздухе много надежнее можно интерполиро¬
вать при помощи карты аномалий Буге и гипсометрической карты, ис¬
пользуя простейшее соотношение
Ag = AgБ + kh,	(VII.12.1)
где к — постоянный коэффициент, /г — высота.
Карты аномалий AgJ составленные косвенным путем и непосред¬
ственно по аномалиям в свободном воздухе, отличаются только в интер¬
валах между наблюдаемыми пунктами. Однако в условиях довольно
редкой съемки (1 пункт приблизительно на 1000 км2) в горной части
Крыма разница между обеими картами доходит до 100 мал, а макси¬
мальная аномалия различается на 70 мал.
Конечно, так существенно, как в Крыму, способ интерполяции ано¬
малий влияет на результат лишь в горном районе; в равнинных местах,
независимо от метода редуцирования, различные приемы интерполиро¬
вания не могут дать существенно различных результатов. Тем не менее
в некоторых случаях и здесь прием интерполирования может иметь зна¬
чение, в частности для центральных зон при выводе гравиметрических
уклонений отвеса или гравиметрических поправок при астрономо-грави¬
метрическом нивелировании. Это обусловлено большим удельным весом
действия центральных зон, значительная часть которого выражается
через горизонтальный градиент аномалий, существенно меняющийся в
зависимости от способа интерполяции силы тяжести даже в условиях
слабо выраженного рельефа.
Можно заранее предполагать, что выравнивание аномалий в сосед¬
них пунктах наилучшим образом достигается применением топографо-
изостатической или топографической редукции.
В изостатически компенсированных областях зависимость полных
аномалий от рельефа лучше всего снимается введением топографо-изо-
статических редукций. Однако при расстоянии между пунктами, на ко¬
торых сила тяжести определена наблюдениями, порядка 30 км и меньше
влияние компенсации от пункта к пункту должно меняться довольно
185

плавно, особенно если отказаться от абсурдного представления о локаль¬
ной компенсации. Основные же быстрые и неправильные колебания ре¬
дукций должны быть отнесены за счет топографической поправки. По¬
этому применение топографо-изостатической редукции не дает преиму¬
щества по сравнению с чисто топографической.
В горных районах косвенную интерполяцию аномалий в свободном
воздухе можно выполнять точнее при помощи формулы
Ьg = Ьgн.J. + kf^-ЬgP,	(VII.12.2)
где А^н.т. —аномалия силы тяжести в неполной топографической редук¬
ции (из измеренного значения силы тяжести выделено влияние масс
топографии, обычно в пределах внешнего радиуса зоны О Хейфорда),
Д^р — поправка за рельеф. Для вычисления неполных топографических
редукций и поправок за рельеф хороший способ предложил Буллард
(1936); соответствующие таблицы составлены Танни (1942).
При этом нужно располагать тремя картами: аномалий силы тяже¬
сти в неполной топографической редукции, гипсометрической и значений
Д^р. Составление карты значений Д#р для горного района связано с
очень большим объемом вычислительных работ. В этом случае поправки
за рельеф нужно вычислить для более густой сети точек, чем сеть грави¬
метрических пунктов.
Поэтому в горном районе целесообразнее не прибегать к косвенной
интерполяции аномалий, а использовать «метод выделения топографи¬
ческого массива» (Юркина, 1954), т. е. масс, ограниченных физической
поверхностью Земли, поверхностью квазигеоида и строго определенным
контуром. Плотность масс можно считать одинаковой во всех точках
массива.
Влияние топографического массива следует выделить из граничных
значений, т. е. учесть влияние вертикальной составляющей притяжения
массива на аномалию силы тяжести и влияние массива на возмущаю¬
щий потенциал в точках поверхности Земли. В результате для горного
района будет получена гравиметрическая карта иногда почти с такими
же плавными изоаномалами, как и в равнинном районе. Поэтому способ
выделения топографического массива при вычислениях высот квази¬
геоида и уклонений отвеса по формулам § 15 главы V позволяет огра¬
ничиться меньшим числом приближений.
Используя эту карту для гравиметрических выводов, нужно учиты¬
вать, что в результате выделения массива изменяется масса Земли и
смещается центр масс. Поскольку выделенная масса составляет весьма
малую долю массы всей Земли, соответствующие поправки легко учиты¬
ваются или даже пренебрегаемы.
Влияние выделенного массива на вычисленный элемент гравитаци¬
онного поля восстанавливается непосредственно при помощи гипсометри¬
ческой карты.
На всех этапах вычисления нужно пользоваться одной и той же
гипсометрической картой, так как влияние точно одних и тех же масс
должно исключаться на первых этапах вычислений и восстанавливаться
на последних. Следует помнить, что этот прием является чисто интерпо¬
ляционным, поэтому от точности гипсометрической карты зависит только
точность интерполяции аномалий.
М. С. Молоденский и А. М. Лозинская, 1939.
М. И. Юркина, 1954.
186

Глава VIII
ПРИЛОЖЕНИЯ (ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИИ И МОДЕЛИ)
ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ I
§ 1. Решение прямой и обратной геодезических задач.
Решение большого треугольника
Обратная геодезическая задача
Зная криволинейные координаты двух точек, надо определить длину
соединяющего их отрезка прямой линии s и его азимуты относительно
геодезических меридианов и зенитов обеих точек.
Решение этой задачи при любых 5 и высотах Я, как указано (§ 4,
гл. I), можно непосредственно выразить формулами (1.4.5), (1.4.12),
(1.4.13). Если обе точки лежат на отсчетном эллипсоиде и расстояние
между ними составляет несколько сотен километров, вычисления можно
значительно упростить.
Прежде всего по формулам (1.4.3), (1.4.10), (1.4.11) вычисляем*:
m12s = М2 eos В2 sin (¿2 — ¿х),
hí2s =	sin (B2 — В,) + m12 s• sin Bxtg ^ 2 -1 —
Q? — Ь^
	2— eos Вj (Mj sin 52 ~	sin fí,),
ctg¿12
sh12
sm12
Определив A12, вычислим
s• sinza = -V—}?- = sh™■ - • (VIII.l.l) и (VIII.1.2)
12 sin A12 eos A12
Используем из этих двух формул ту, по которой s sin Z12 можно
определить более точно.
3>
Далее по формуле (1.4.19) получаем cos zí2f необходимый только
для вычисления sin zi2 (sin zl2 1), и определяем 5.
Обратный азимут получим по формуле
+	(VIII.1.3)
где
ctg -12 2 a21 = sin —зес ^ tg ^2~2~ ~1'' (VIII ! .4)
* Условимся черточку над s и z не писать.
187

Формула (VIII.1.3) для расстояний до 1000 км дает точность 0",001.
Поясним ее вывод. На рисунке Р — северный полюс, 1Х и — геодези¬
ческий зенит первой и второй точек, точка 5 отмечает направление от¬
резка 5, считая от первой ко второй точке.
Нетрудно видеть, что:
2=а12>	Р^г = 90° Ву\ <^^2 = 12—
</Р225=А21 — я; ¿lPZ2Zx =2п — а21; Z2S —п — г21; PZ2 = 90° — Я2.
Следовательно,
А^2	а12,
¿-£^<¿8= я (А21	а21).
По теореме синусов получаем
sin (Л12 — а12) _ sin z21
sin (А21 — а21) sin 2г12
1 + "2" (cos2 z12
COS2 Z21) = 1 +
+ "TT cos2 Z:
12
0-®)»
1 + * p* • Äsin(B2 - ß,)sin(B2 + ВJ
и приходим к формуле (VIII.1.3). Такой же результат можно получить
при помощи формул (1.4.12) и (1.4.13), определяя из них зт(Л12— а12)
и зт(Л21—а21) и образуя отношение этих величин.
Из треугольника Z\PZ2> используя аналогии Непера, получаем
(VIII.1.4) и формулу
. Л.о ~|“ ®01	/^1 Во	В2 Вл , Ь>2	/,1 /лгттт 1 г\
—	—— = сое	—-соэес—^—- tg	к . (VI11.1.5)
Для хорды 512 при любых »расстояниях из (1.4.14) имеем достаточно
удобную формулу
k° sin в2 _ sin ßl) + (jv±
O'
(VIII.1.6)
k0 = eä(2 — e2).
Для эллипсоида Красовского Л0 = 0,13342041 • 10“1.
Для контроля удобно использовать формулу
ctg А12 — ctg «12 _ N± cos2 Вг
ctg A21 — Ctg л21 N2 cos2 B2 ’
которая легко получается из (1.4.12) и (Т.4.13).
Прямая геодезическая задача
Пусть известны геодезические координаты первой точки, длина и
азимут отрезка прямой, соединяющего первую точку со второй. Тре¬
буется найти координаты второй точки и обратный азимут этого отрезка.
В принципе эту задачу, как и обратную, решают по формулам
(1.4.5), (1.4.12) и (1.4.13), из которых последовательными приближе¬
ниями можно определить все три интересующие нас величины. Прямой
путь решения изложен ниже для случая, когда обе точки лежат на от-
счетном эллипсоиде.
Из (1.4.2) и (1.4.3) определяем разность долгот
^(¿2- ¿1) = -"*^—+^-	(VIII.1.7)
"'12 ^12 "*12
188

Подставив сюда (1.4.6) и (1.4.7), получим
1 [TV, cos В,
Ctg(I2-¿i):
fü
И,а
sin А12 I sl2 sin z12
-j- cos Вг ctg z12 — sin Bx cos i412| .
(VIII.1.8)
Формулу для определения разности широт получаем следующим
образом. Умножим (1.4.3) на — sin Si cosec (L2— Li), a (1.4.4) на
pcos Bi и сложим. В результате получим
N2 sin (Я2 - 5j) = Nx sin eos Bx + ^¡/iaas12-eos	—¿in”°
Заменяя Nicosfii из (VIII.1.7), будем иметь
N2 sin (B2 — 5J = s12 Qij2 — sin 5xtg ¿2 2 -¿1 m12 -f
-f a2~*2cos B^n12^.	(VIII. 1.9)
Подставляя сюда (1.4.7) и (1.4.10), находим формулу для вычисле¬
ния разности широт
sin (В2 — Вг) = ^ |sin z12 (cos Л12 — sin А12 sin ff^g^2 2	+
-fe'2 «jacosfi^ .	(VIII.1.10)
Значения zi2 и ni2 в (VIII.1.8) и (VIII.1.10) определяются форму¬
лами (1.4.8) и (1.4.15) методом последовательных приближений:
cosz12 = -^-(1 +е'2 п122),	(VIII.1.11)
п12 = eos z12 sin	sin z12 eos eos A12.
Удобен следующий порядок вычислений разности широт и разности
долгот. Сначала определяем приближенно п\2 по формуле (1.4.8), пола¬
гая в ней в соответствии с формулой (VIII.1.11) в первом приближении
cos z12
sin z12
1.
Используя эти данные, по формуле (VIII.1.11) определяем во вто¬
ром приближении cos zn и затем по таблицам натуральных тригономет¬
рических функций находим sin zi2. Далее, если нужно, определяем по
формуле (1.4.8) tin во втором приближении с известными во втором
приближении cos Z\2 и sin Z\2. Затем находим снова cos Z\2y sin zX2 и
ctgzi2. Для расстояний до 100 км в вычислении ti\2y cos 212, sin Z\2 и
ctg Z\2 можно ограничиться только первым приближением. Обратный
азимут Л21 можно определить, пользуясь формулами (1.4.13). Хороший
контроль вычисления В2 и Ь2 могут дать формулы
N2 cos В2 sin (¿2 — ¿1)
sin А12 • sin z12
(VIII.1.12)
189

или
(VHI.U3)
sin A21 • sm z21
Значение sin Z21 можно определить no cos Z21, который в свою оче¬
редь определяется соотношением
COSZ21 = ^COSZJ2.
(VIII.1.14)
Для контроля вычислений обратного геодезического азимута и вели¬
чин sin Z12, sin Z21 можно использовать точную формулу
cosBy sinA12sinz12 + N2eosB2sinЛ21 sinz21 — 0, (VIII.l. 15)
где sin Z21 можно определить при помощи формулы (VIII.1.14).
Формулы (VIII.1.12) — (VIII.1.15) получены на основании формул
(1.4.3), (1.4.7), (1.4.20) и (1.4.21). При азимуте A¡2, близком к нулю, в
прямой задаче в качестве контроля следует использовать формулу
(VIII.1.6).
Приведенные формулы рассчитаны на применение счетных машин
и восьмизначных таблиц натуральных значений тригонометрических
функций. При вычислении геодезических координат В и L формулы обе¬
спечивают точность порядка +0",0001, а при вычислении геодезических
азимутов — ¿О",001.
Заметим, что удобно каждое число представить в виде двух сомно¬
жителей, из которых один по абсолютной величине меньше единицы, но
больше одной десятой, второй—10 в соответственной степени. Вычис¬
ления выполнены с восемью знаками не потому, что авторы считан^ это
правильным, а потому что так принято.
Пример. Решение обратной геодезической задачи для расстояния
свыше 1000 км ($12 = 7500 км)1.
1.
Вг
68°58'00",0000
2.
в2
37 4500 ,0000
3.
¿i
33 0500 ,0000
4.
122 2600 ,0000
5.
ЬВ12-
31 1300 ,0000
6.
~2 А В12
15 36 30 ,0000
7.
Вт
53с21'30",0000
8.
А ¿12
155 31 00 ,0000
9.
у А 7.12
77 4530 ,0000
10.
sin Вг
0,933 371 78
11.
cos By
0,358 91102
12.
sin B2
0,612 217 28
13.
cos В2
0,790689 57
14.
sin Д Ву2 —
0,51827580
15.
sin -g- Д Ву2 —
0,269059 90
1 Все линейные величины в примерах даны в метрах.
190

16.
СОЭ у Д ^12
+ 0,963123 44
17.
вт Вт
+ 0,80238368
18.
вт Д712
— 0,414 428 53
19.
эту Д £12
— 0,977 261 96
20.
у А ^2
-0,46089536
-10+1
Вычисле
н и е «12
21.
Л^х
0,639692 31-
10+7
22.
^2
0,638 626 08-
10+7
23.
N2
N1
0,998 333 22
24.
81п“т
0,343 42162
25.
4^зт2|
1,37139685
26.
эт Б2 — эт В1
0,322 175
27. |
^8,п
1 В2 — вт В^3
0,103 797
28. Л0|
1В2 — вт Б^2
0,138 486-10
-2
29.
л^г .
-0,1667-10
—2
30.
(Я->Г
0,2778-10~6
31.
(И!
1,370014 77
32.
*12
1,170 476 30
33.
512
0,748 744 69<
■ 10+7
В ы ч
и с л е
' н и е а21 по
формуле
(1.4.1
34.
соэ
-
-0,148 742 97
35.
вт Д Я12
1-0,34843717-
10+1
СОЭ вш д ь12
36.
51п
^12 “
-0,282 16810-
10+1
37.
а21 + 0,630 605 27 •
10+1
38.
*21
9°00'38",907
39.
эт а21 + 0,156 620 76
Вычисле
; н и е а12
40.
с1е
у(а12 а2г) "
-0,383974 58-
10+1
191

41.
42.
«i2-*2i	330°48'17",995
а12	339 48 56 ,902
Контроль
cosß2-3inAZ.12
sin А В, 2
COSÖj sin Д í.,2
— 0,327 684 32
+ 1,581 631 37
sin Bi tg-i Д I12 — 0,430 186 72- 10+1
ctg a12 — 2,720 235 86
<*12	339^56^902
sin a12	—0,345039 29
Вычисление азимута A2i
e2 0,669 342 16-10“2
43.
sin ß2 — sin B1 — 0,322 174 93
44.
ГЛ / 0,531 581 14.
COSi^j'Sin A¿12 ’
O
+
45.
sin2 a21 0,245 300 62-
10_I
46.
sin (Л21 — a21)0 + 0,281 195 34-10~3
47.
(Л21 - a21)0 + 0°00'58",001
48.
дл21+ 0",103
49.
(An - a21)", + 0°00'58",104
50.
(í491)j 9°01'37",011
51.
sin(/421), 0,156 898 98
52.
sin (>t2, )j ! 00! 77639
Sin a21 ’
53.
sin (Л21 — <*2i)n 0,281694 86-
IO-3
54.
(An ~ «2i)n + 0°00'58",104
55.
(Л21)„ 9 0137,011
Вычисление азимута Д12
56.
1,001669 57
А 2
57.
е2 0,669 34216-
10“2
58.
sin ß2 — ^ sin ßj — 0,322 712 83
59.
1,09529507
60.
sin2 a12 0,119 052 11
61.
sin (Л12 — a12)0 + 0,281 664 85
62.
(¿i2-«12)0+ 0°00'5S",098
63.
ДЛ12- 0",045
192

64.	(Л12 — а12)",	0°00'58",053
65.	(Л12),	339°49'54",955
66.	sin (Л12), —0,344 77510
67.	sin(y4l8)l 0,999 23432
Sin Ct12
68.	sin (Л12 - а12)„	0,281 449 18-10~3
69.	(Л12 - а12)"„ + 0°00'58",053
70.	(Л12)„	339°49'54",955
Вычисление геодезических азимутов
по формулам (1.4.12) и (1.4.13)
34.	cos В1- sin Д712 — 0,148 742 97
35.		?.-ДД18,	(-0,348 437 17-10+1
cosBj «sin A Ll2 *
36.	sin В2 tg -i- Д ¿12 - 0,282 168 10 -10+1
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
ctg a21-f 0,630 605 27 • 10+1
a21	9W38^,907
e2 0,669 342 16-10“2
^ sin B2 — sin Bx — 0,322 174 93
		0,531581 14-10+1
eos fi^sin A/.12	’
ctg A21 — ctg a21 — 0,114 632 95 • 10-1
ctg Л21 +0,629 458 94-10+1
A21	9°01'37",011
cos B2 sin Д L12 — 0,327 684 32
sin A Bí2
eos B2-sin A Lx
1,58163137
sin Bx tg ~ A ¿12 - 0,430186 72 • 10+1
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
ctg a12 - 0,272 023 59-10+1
a12	339°48'56",902
e2 0,669 342 16-lO“2
sin B2—sin B¡ — 0,322 712 83
eos Bj
eos B2’Sin A ¿12
1,095 29507
ctg An - ctg a12 — 0,236 589 54 • 10~2
^Л12 —0,272 260 18-10+1
Л12	339°49'54",956
Ап и Ац
13 труды ЦНИИГАиК, вып. 131
193

Контроль
ctg Ал — ctg «2i — 0,114 632 95 • IO-1
ctg Л1а — ctg a12 — 0,236 589 54-10~2	Отношение + 0,484 522 48 • 10+1
cos3ß2 0,62519000
cos2 0,128 817 12	Отношение -J- 0,485 331 45-10+1
&	0,998 333 22	^ + 0,484 522 5 1-1 0+1
Пример. Решение прямой геодезической задачи для расстояния
свыше 1000 км i
(si2 ^ 7500 /at)
к
В!
68°58'00",0000
2.
33°05'00",0000
3.
^12
339°49'54",955
4.
512
0,748 744 69-10+7
5.
N,
0,639 692 31 • 10+7
6.
Nx
1,170 476 30
7.
‘v12
2 Nx
0,58523815
8.
sin Bl
0,938 371 78
9.
cos Bt
0,358 91102
10.
sin Al2
-0,344 775 10
11.
cos Ai2 ■
■f 0,938 68531
12.
tg^l2-
-0,367295 73
<?'2
0,673 852 54-10“2
В ы ч
ислени? COS 212, sin Z\2y ctg Z\2
13.
* «0
- 0,209 340
14.
<
0,438233-10-1
15. Д0 =
— -S12 r,-2 ,. 2
- 2^1
0,172 824-10-3
16.
(cos z12)0
-0,58541097
17.
(sin г12)0
0,810736 70
18.
«1
- 0,273 265
19.
«I2
0,746 739-10-1
20.
Д1
0,294 487-10-3
21.
(cosz12),
-0,585532 64
22.
(sin Z12),
0,810648 83
23.
«2
— 0,273 408
24.
л22
0,747 521-10“1
25.
д2
0,294 796-10“3
26.
(cosz12)„
-0,585532 95
194

27.
(sinz12)„ 0,81064861
28.
ctgz12 — 0,722 301 81
Вычисление L2
29.
^- 0,854 35305
«12
30.
'VC0SÄ' 0,378 260 96
s12 sin z12 ’
31.
cos Bx ctg z12 — 0,259 242 08
32.
sin Вг cos A¡2 + 0,876 142 38
33.
[Qi2] 0,75712350
34.
ctg Д L12 -f 0,219 599 24 • 10+1
35.
ДТ.12- 155°31'00",003
36.
¿2- 122°26'00",003
Вычисление B2
37.
sin Д£12- 0,414 428 52
38.
у Д L12 — 77°45'30",002
39.
tg у Д ¿12 — 0,460 895 38 • 10+1
40.
fei2j —0,544 59146
41.
sin z12[012] —0,44139125
42.
елпсо&В^ — 0,661 248 10”8
43.
[Г12] — 0,442 052 50
44.
sin (ДЯ12)0- 0,517 41197
45.
(Д Я12)о - 31°09'32"
46.
(B2)o 37°48'28"
47.
(TV2)0 0,638 628 19-10+7
48.
Ш. 1,0016663
49.
sin (ДЯ^ —0,51827413
50.
(Д B12), — 31°12'59",60
51.
(Ba), 37°45'00",40
52.
(Na), 0,638 626 08-10+7
53.
(Jk) 1,00166957
54.
sin (Д513)ц — 0,518 27583
55.
(ДЯ12)„-31°13'00",006
56.
(ß2)„ 37°44'59",994
Вычисление a21, sina21
57.
sin B2 0,612 217 26
58.
cosZ?2 0,790689 58

59.
60.
eos sin Д ¿12
sin A Bv¿
eos Z^j-sin A Ll2
-0,148 742 96
+ 0,348 437 22-10+1
61.	sin £2-tgy Д ¿12 — 0,282 168 11 • 10+1
62.	ctga21+ 0,630 605 33-10+1
63.	a21	9°00'38",905
64.	?ma.2I +0,156 620 75
Вычисление азимута (первый вариант)
é2	0,669 34216-Ю-2
65.	^	0,998 333 21
66.	^ sin 52—sin B1 — 0,322 174 96
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
COS #2
eos Bj-sin A ¿l2
— 0,531581 17-10+1
sin2a21 0,245 30060.1o-1
sin (Л21 — a21)i + 0,281 19537.10"3
(Л21 - a21)"| + 0°00'58",001
ДА„ +	0,103
(^21 aai)n + 0 00 58 ,104
(A,i)n 9 01 37 ,009
sin (Л21)„ +0,156 898 97
?|^ÍL	1,001 77639
oiii «2i
sin (Л21 - а21)ш + 0,281 694 88
(A21 - a21)m + 0°00'58",104
Ají 9 01 37 ,009
В
ы числение азимута Ац (второй вариант)
57.
sin В2
0,61221726
58.
eos В2
0,790689 58
59.
eos /^«sin Д ¿12
-0,148 742 96
60.
sin A Bl2
eos Brsin A ¿12
+ 0,348 437 22-
10+1
61.
sinS2tgy Д ¿12
-0,282 168 11-
10+1
62.
ctg «21
+ 0,630 605 33-
10+1
63.
a21
9°00'38",905
196
е2	0,669 342 16.10-2

64.
Jk sin fí2- sin 0,322 174 96
65.
cos В2
О 431 ^81 17. 1П+1
COS • Sin A Lfg
66.
ctg A21 - ctg a21
-0,114 632 97-10-1
67.
ctgA,i
+ 0,629459 00-10+1
68.
9°01'37",008
Контрольное вычисление
по формуле (VIII.
w2
0,638 626 08-10+7
cos B2
0,790 689 57
sin Д L12
— 0,414 428 53
произведение
I -0,209 287 75-:
L0+7
sin A12
-0,344 77510
sin z12
0,810 648 61
произведение
II —0,279 49146
I: II = s12
0,748 744 70-10+7
точное значение s12	0,748 744 69-10+7
Контрольное вычисление по формулам (VIII.1.14) и (VIII.1.15)
Q 1,001669 57
cos z12 — 0,585 532 95
cos z21 — 0,586 510 48
sin z21 -f- 0,809 941 85
Nt 0,639621 ЗЫ0+7
cos#! 0,358 91102
sin Л12 —0,344 77510
si i z12	0,810 64861
произведение I — 0,641 691 76
N2 0,638 626 08-10+7
cos B2 0,790 689 58
sir. Л21 +0,156 898 97
s i п д2! “I- 0,809 941 85
произведение II +0,64169195
I + II +0,00000019
Решение большого треугольника
В связи с последними достижениями в области линейных измерений
больших расстояний и с целью контроля триангуляции может потребо¬
ваться решение большого треугольника со сторонами 1000 км и более.
Данными в нашем примере приняты три хорды si2, S13 и s23, являющиеся
сторонами плоского треугольника, вершины которого лежат на эллип¬
соиде, геодезические координаты Bi, L{ исходной точки (одной из вер¬
197

шин плоского треугольника) и прямой азимут АХ2 нормального сечения
в исходной точке, проходящего через $12. Неизвестными являются коор¬
динаты В2, ¿2, В3, двух вершин и азимуты А2\, Л!3, А3ь А23, Л32, а
следовательно,, и углы Аи Л2, Л3 между нормальными сечениями.
Кроме формул для решения прямой геодезической задачи, нам по¬
требуются формулы (1.7.6), (1.4.15) и (1.4.8) главы I.
Из решения прямой геодезической задачи по данным Вх, В\, $12 и
А12 определяем В2, Ь2 и обратный азимут А2ь Угол А\ определяем после¬
довательными приближениями.
Из (1.4.15) получаем
512 Л I °2 —	2\
соз г12 = - -Щ- (1 + —¿2— п™) .
используя для п выражение (1.4.8). По известным длинам хорд и пло¬
ским углам а можно при помощи (1.7.6) и соответственных выражений
для других углов треугольника вычислить углы А между нормальными
сечениями эллипсоида плоскостями, содержащими хорды треугольника.
Достаточно точное значение зенитных расстояний даже при очень боль¬
ших длинах хорд (порядка многих сотен километров) можно получить
приближенно по формуле (1.4.15). В первом приближении можно
положить:
(сое г12)0 %	2^7 ’
(coszls)0 * — -j
43
к
Эти величины позволяют определить (sin ^i2)о и (sinzi3)0, угол
(Лi)0 и азимут (Ai3)o = А\2+ (А)о, (/ii*)o и (aii3)0 по формуле (1.4.8)
и затем в новом приближении cos zX2y cos Zi3, sin Z\2 и sin zi3. Указанных
приближений достаточно, чтобы получить угол А\ с точностью до тысяч¬
ных долей секунды дуги при длине сторон до 1000 км.
Затем по ВХу Lb si3 и А\з из решения прямой геодезической задачи
определяем В3, L¿ и обратный азимут Аз i. Находим угол А2 и азимут
Л23. Вычисляем еще раз координаты В3 и L3 и обратный азимут Аз?..
Наконец, находим угол Аз.
Для контроля можно определить Аз по формулам (1.7.6), (1.4.15) и
(1.4.8). Ниже приведен пример вычисления одного
угла треугольника.
Пример.
s19 =0,391 139 11 • 10+6л*
518 = 0,548 235 2Ы0+6л*
523 = 0,689 301 57-10+6ж
Вх = 50°40' 0",000
Lx — 70°00' 0",000
Л12 = 43°08'03",737
Плоские углы <хх, а2 и а3 получены из решения плоского треуголь¬
ника, образованного хордами s12, $i3 и s23,
а1 = 92°53'05",625
а2 = 52 3534 ,956
а3 = 34 31 19 ,419
198

Из решения прямой геодезической задачи для расстояния 5)2 полу¬
чено:
coszl2 =
— 0,306 40188-10'1
sin z12 =
0,999 53048
cos z21 =
— 0,306 358 27-10“1
sinz21 =
0,999 530 62
¿2 =
74°00'00",0000
ß2 =
53°10'00",0002
II
гЧ
СЯ
226°19'02",634
ление
угла Ai и азим
0,639 105 39* 10+7
51B
0,428 908 30-IO“1
2 yVj
sin Bi	0,773 471 59
cos Bi	0,633 830 97
(cosz13)0 — 0,428 9-10_1
(sin z13)0	0,999 079
cos <*! — 0,503 296 • 10_1
cos (ЛД —0,517157* IO”1
(i4x)0	92°57'52"
(Л18)0	136°05'56"
cos (Л13)0 — 0,720 538
(«13)1 — 0,489 506
(ra13),2	0,239 616
0,692 54-10~4
(cos z13), — 0,429 600 84 • 10_1
(sin z13),	0,999 076 79
cos atj — 0,503 296 5* 10—1
(cos Лх), — 0,517179 6 • 10-1
92°57'52",355
(A1S)}	136°05'56",092
Au 136 05 56,086
Ошибка первого приближения +0",006.
M. С. Молоденский. Новый метод решения геодезических задач. Труды
ЦНИИГАиК. Вып. 103, 1954.
В. Ф. Еремеев. Формулы и таблицы для вычисления геодезических коорди¬
нат по методу Молоденского. Труды ЦНИИГАиК. Вып. 121, 1957.
199

§ 2. Редукция базисов
Точность формул для редукции базисов на эллипсоид проверить в
реальных условиях не представляется возможным, поскольку неизвестна
точная величина проекции базиса. Поэтому подобное исследование вы¬
полнено на модели. За отсчетную поверхность принят шар с радиусом
6000 км. На модели воспроизведен крайний случай расположения базиса,
возможный в условиях горной местности и допускаемый инструкцией по
базисным измерениям. Базис представляет собою отрезок прямой АВ
длиною в 12 км. Высоты концов базиса относительно поверхности шара
составляют НА = 6000 м, Нв = 6600 м (наклон базиса приблизительно
1 : 20).
Уклонение отвеса вдоль базиса представлено в двух различных ва¬
риантах. В первом варианте уклонение отвеса вызвано аномальной мас¬
сой ту сосредоточенной в точке Z), которая отстоит от центра шара на
расстоянии R — a, Z >405 = ф и Z BOD = -у =е, а = 3600 м. Величина
аномальной массы в этом варианте такая, что в конце базиса А вызывает
уклонение отвеса в 30". В точке В уклонение отвеса составляет прибли¬
зительно 51". Вдоль базиса оно изменяется нелинейно и достигает мак¬
симальной величины в — 53".
Во втором варианте уклонения отвеса вдоль базиса изменяются
параболически
%• = 20" + 12"
(W
длина базиса 5=12 кму s — расстояние переменной точки от начала
базиса. Таким образом, на концах базиса уклонения отвеса одинаковы
и составляют 32", а в середине базиса уклонение отвеса равно 20".
Приведенная длина базиса вычислена по формуле*
s0 = lQ- (^уу1г Д S - ф„в нт+ hw,	(VIII.2.1)
полученной из (1.7.4). Пользуясь рисунком, находим
^_f{R—a)m	sin (ф + е)
Y	|\н + а? + 4 (R + Н) (R - a) sin2	’2
Здесь ф отсчитывается от точки В по направлению к А.
Чтобы относительная точность редукции была порядка 1 • 10-7, необ¬
ходимо для каждого пролета в 240 м вычислить уклонения отвеса с точ¬
ностью 0", 1, превышения A hw — с точностью 0,1 мму проекции
Д5'0 = J^l — (Лд^р)2]^2 А 5	— с точностью 0,01 мм9 среднюю высоту
Нт—с точностью 0,1 м. Получены следующие результаты
Первый вариант
Второй вариант
S'o
11 985116,5 лш
11 985 058,5 мм
Нт$АВ
12 565,8 ,
12 565,8 „
^■/я A hw
)
-127,9 „
-69,8 „
*0
11 972 422,8 ,
11 972 422,9 ,
* Подобную формулу получил Л. П. Пеллинен (1953).
200

Точное значение $0 таково
50 = /?ф^в= 11 972 421,7 мм.
В первом варианте расхождение равно +1,1 мм, во втором—1-1,2 мм,
т. е. около 1 • 10-7 длины базиса. Таким образом, исходные формулы
(1.7.4) и (1.7.5) достаточно точны.
Если бы мы предположили, что уклонения отвесной линии вдоль
базиса меняются линейно и знали бы уклонения и отвесных линий
только на концах базиса, то получили бы
Первый вариант
Второй вариант
«0
11 985 116,5 мм
11 985 058,5 мм
нт
6 297,4 м
6 297,4 м
Нщ Флв
12 565,8 мм
12565,8 мм
-НА)+Ъв{Нв-Нт)
-118,2 „
-93,1 .
*0
11972432,5 „
11972 399,6 ,
ошибка
+ 10,8 „
-22,1 ,
ошибка относительная
1 : 1 000 000
1:550 000
Заметим, что значения Н' т в
рассматриваемых примерах отлича¬
ются от Ят и составляют 6302,6 м
в первом варианте и 6285,8 м —
во втором.
На практике обычно не учитыва¬
ют член, зависящий от наклона ба¬
зиса и уклонений отвеса вдоль него.
Именно такую формулу рекомен¬
дует действующее Наставление по
камеральной обработке базисных
измерений (Шерман, 1950). При¬
менительно к нашему примеру фор¬
мулу Наставления можно записать
так:
*0 = .*0-Нт флв. (VII 1.2.2)
Отличие ее от точной формулы
выражено членами
-(Нт’-Нт)^АВ-
-ЪА{НА-Нт-) +
+ Ьв{Нв-Нт1) = ЫтМ*г-
Вычисление по (УШ.2.2) дает
Первый вариант	Второй вариант
Яо	11 972 550,7 мм	11 972 492,7 мм
ошибка +	129,0 „	+	71,0 я
относительная ошибка	1 :100 000	1 : 168 000
Формулой, рекомендуемой Наставлением и некоторыми учебными
руководствами, рискованно пользоваться, если базис имеет значительный
наклон.
201

ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ III
§ 3. Оценка погрешностей формул Стокса и Венинг-Мейнеса
Обычно при изучении фигуры геоида используются аномалии в сво¬
бодном воздухе без каких-либо поправочных членов, а результат интер¬
претируется конденсацией внешних масс на геоид. Так как при конден¬
сации смещение уровенной поверхности невелико, обычно полученный
результат приписывается нерегуляризированному геоиду.
Подобные заключения, основанные на очень приближенных оценках
величин, не учитывают действительных значений аномалий ^ и влияния
рельефа. Поэтому они приблизительно правильны, когда речь идет о
низких гармониках гравитационного поля, и могут совсем не соответ¬
ствовать действительности, если исследуются местные особенности геои¬
да, например, изучаются локальные уклонения отвеса. Проще всего это
можно продемонстрировать на примерах («моделях») подобно тому, как
это делали Гельмерт (1884), А. А. Михайлов (1937, 1940) и другие. Для
модели задаются положение и плотности всех притягивающих масс, а
также условная «физическая поверхность» модели, внешняя относитель¬
но всех масс. Для этой поверхности вычисляются граничные условия,
как бы полученные из «наблюдений». Конечно, они могут быть вычис¬
лены с любой необходимой точностью. Далее считаются известными
только граничные условия и выполняются вычисления одним из иссле¬
дуемых способов (например, по формулам Стокса и Венинг-Мейнеса
с аномалиями в свободном воздухе).
Чтобы оценить истинную ошибку полученного таким образом резуль¬
тата, его сравнивают с точным значением, которое вычисляется по за¬
данному распределению притягивающих масс модели.
Преимущество модели по сравнению с примером, взятым из прак¬
тики, состоит в том, что исключаются все ошибки, связанные с неточ¬
ностью измерений и недостаточной изученностью гравитационного поля
Земли. Кроме того, предельно ясна причина несоответствия между вы¬
численными и истинными значениями.
Чтобы дать представление о возможных погрешностях формул
Стокса и Венинг-Мейнеса, рассмотрим ниже несколько моделей. Прежде
всего напомним некоторые из ранее принятых обозначений и приведем
новые.
Обозначения:
т и Д^0 —величина аномальной массы и ее максимальное при¬
тяжение на поверхности модели;
^ и у —сила тяжести на поверхности модели и ее нормальное
значение;
ТеУ Т1У Т —возмущающий потенциал на поверхности модели, на
геоиде и определяемый формулой Стокса;
%е,	5 —уклонение отвеса в направлении, где оно является
наибольшим, на поверхности модели, на геоиде и оп¬
ределяемое формулой Венинг-Мейнеса;
Е0<р —эллиптические интегралы первого и второго рода;
к2 —параметр эллиптического интеграла (&12 = 1 —&2).
Модель № 1
Аномальное поле создается шаром, центр которого находится на
отсчетной плоскости. Плотность шара постоянна. Поле аномалий счи¬
тается заданным на выступающей части шара и далее на всей отсчетной
202

плоскости. Ось Z прямоугольной системы координат перпендикулярна
к отсчетной плоскости и совмещена с осью симметрии модели
/о2 = *2 + *Л
Очевидно, что поле аномалий определяется формулой
.	(УПШ)
г0
где го — радиус шара. В пределах шара г =■ + ]/~Го2 — /о2, на отсчетной
плоскости 2 = 0.
При обычном способе использования формул Стокса и Венинг-Мей-
неса принимается, что эти значения аномалий заданы на плоскости и
определяют высоту геоида и уклонение отвеса на геоиде. В этом случае
вычисление по формуле Стокса приводится к интегралу
С
г0 2к
Ago Г f
о О
/1 —Idldp
¥ г0
VР + /02 — 27/^cösß ’
(VIII.3.2)
где /о — расстояние от исследуемой точки до начала координат, I — до
элемента поверхности ¿а = /(¿/<¿¡3, (3—угол между / и /0.
Вместо / введем новую переменную со
I
— = cos со.
го
Формула (VIII.3.2) примет следующий вид:
С
,2Agp
яТо
/5Ш
т
Sin“* (О COS О)
-j- cos©
Ко da,
(VIII.3.3)
где параметр эллиптического интеграла
4 — cos to
Ь2— го
(^ + cosw)2
Когда со-ио0 = arccos — и подынтегральное выражение неогра-
го
ниченно возрастает. Для упрощения численного интегрирования выделим
интервалы: от ы0—е0 до to0—j-s0, если cos а>0< 1 и от а>0—е0 до w0, если
cos (1>0=1. Эти интервалы выберем малыми настолько, чтобы можно было
принять
П
К<?
4
]/“Т^2
и затем выполнить интегрирование.
Таким образом, получаем
(ÜQ+eo
sin2 (i) COS (О
— + COS (i)
Го 1
Tí
К02 diл = е0sin2 ш0
eotg<ö0 I
COS (i)0 < 1
(VIII.3.4)
203

и
/Sin2 СО COS 10 Ко .	l*o ! I * I	1 /wirrorv
—-	2— dti>=	5sin3 e0In I sin e01, costo0=l.	(VI11.3.5)
— 4- cos со	0
“o—eo ro
Если в формулу Венинг-Мейнеса для плоскости подставим выраже¬
ние аномалии из формулы (VIII.3.1), то в переменных I и ¡3 получим
г0 2л.
д е f 7 ^1—у°~1 cos ^Ldld ^
i = ~2ñ%¡0 о ~{1<? + Р — 2 //0 cos Р)а/а
После замены переменной / = гя cos со получаем
ТС
^ёо {о Л gjn2 щ cos „и
"То
Í/Si
In
— — COS О)
— 4- cos со
'■о
где
k2 = -
. 4>
4 — cos со
гп
(|+cos *)
(VIII.3.6)
d со, (VIII.3.7)
Когда со-»-со0. Е02 ж 1 и ж 1п . При помощи этих формул
можно найти выражение для поправок в уклонение отвесной линии
8	1. (УИ1.3.8)
Д£ = ^2 е0 sec со0 ^2 cos 2 со0 -}- 1 -f sin2 со0 In
"То
если cosсо0<1, со0 — е0^со^со0 + е0.
ео tg wo
АЕ = _-
(VIII.3.9)
если cos со0= 1, со0 — е0 ^ со ^ со0.
Результаты вычислений по формулам (VIII.3.3) — (VIII.3.5) и
(VIII.3.7) — (VIII.3.9) приведены в таблице. Приняты следующие зна¬
чения:
/"0 = 6км, Дg0 = 502,2мгл, у0 = 2000До¬
полученные результаты можно сравнить с точными значениями на
геоиде:
2
г   3 А ё</0 (i   ^р2 Л
2 То V 3r0V
д£о lo
То
(VIII.3.10)
и с точными значениями на поверхности модели:
_д&>г
То
5* = 5,
(VIII.3.11)
204

№
точки
/0 (км)
Результаты
по формуле
Стокса
Точное
значение
высоты
геоида
С|
Точное
значение
высоты
квазигеоида
С.
Ошибка формулы Стокса
относительно
Результат
по формуле
Венинг-
Мейнеса
Точное
значение
Ошибка
формулы
Венинг-
Мейнеса
оо
с,-
(*)
с.
(%)
1
0
+235,6 см
+450,0 см
+300,0
214,4 см 48
64,4 см2\
0',0
0",0
0",0
0
2
5
153,8
345,8
+300,0
192,0 56
146,2 49
+67 ,5
+ 85 ,9
+18 ,4
21
3
6
117,7
300,0
300,0
182,3 61
182,3 61
81 ,0
103 ,1
22 ,1
21
4
7
94,4
257,1
257,1
162,7 63
162,7 63
35 .4
75 ,8
40 ,4
53
5
8
80,3
225,0
225,0
144,7 64
144,7 64
24 ,2
58 ,0
33 ,8
58

Модель № 2 (тор наполовину погружен в сферу)
В этой модели отсчетной поверхностью является сфера, так как ано¬
малии силы тяжести не сосредоточены в одном месте. Таким образом
используется формула Стокса для сферы, а не для плоскости, как в пре¬
дыдущем случае. Однородный шар опоясан по экватору тором, наполо¬
вину в него погруженным, причем предполагается, что масса шара не
вытеснена тором.
Вычисление притяжения и потенциала однородного тора можно вы¬
полнить только путем численного интегрирования. Однако можно пока¬
зать, что вне тора его притяжение с большой точностью эквивалентно
притяжению материальной окружности, находящейся на осевой линии
тора.
Представим себе семейство шаров одинаковой массы, центры кото¬
рых расположены на равных расстояниях Д 5 один от другого по прямой
линии. Зададим распределение плотности Дц внутри каждого шара сле¬
дующим законом:
Д к
\'ГГо2 - '2 ’
где Др(г)—плотность в текущей точке шара, г — расстояние от этой
точки до центра шара, г0 — радиус шара, Д к —некоторая постоянная.
Будем уменьшать Д5 и Дк так, чтобы выполнялось условие
иь
^ = С,	(УШ.3.12)
где С — постоянная величина (масса каждого шара будет стремиться
к нулю).
Плотность полученного таким образом цилиндра будет конечна и
постоянна. Действительно, вычисление ее сводится к подсчету массы
вдоль хорды шара при помощи интеграла
йт = 2 Г	.	(УШ.3.13)
I V г* -г»
где 2/0 — длина хорды, а с1е — элемент площади поперечного сечения
шара. В результате интегрирования получаем
с1т = тс (1к(1 е = и е.
Произведение (I е ¿б определяет объем, к которому отнесена масса
йт. Следовательно, плотность цилиндра
йт
¿5 • ¿е
= 7Г С
(УШ.3.14)
получается постоянной.
Если центры шаров разместить не на прямой линии, а на окружно¬
сти, то в пределе получим тор, плотность которого уже не будет постоян¬
ной. Можно заранее ожидать, что относительное колебание плотности
будет величиной порядка отношения радиуса сечения тора к радиусу Я
центральной линии, так как при увеличении последнего до бесконечности
тор превращается в цилиндр*. Поэтому в дальнейшем плотность тора р.
* См. Еремеев, 1950.
206

принята постоянной. Линейную плотность р материальной окружности
можно выразить через р из условия равенства масс линии и тора
2тг/?р = 2и2/'02R р,
то есть
? = пГ0*Р-
Составляющую притяжения тора во внешней точке по направлению
нормали к сфере выразим через притяжение материальной круговой
линии
д g, = J
о
где Rd р — элемент длины окружности, а г — расстояние от исследуемой
точки до этого элемента длины.
В прямоугольной системе координат, в которой ось Z совпадает с
осью симметрии тора, а плоскость Y = О проходит через исследуемую
точку, координаты этой точки таковы:
х0=р cos В,
У о — О»
z0 = р sin В,
где В — широта этой точки. Координаты же текущей точки:
х = R cos ¡3,
y = R sin р,
z = 0.
Поэтому
Г2 = (X — х0)2 + (.у —у0)2 + (г — z0)2 = /у2 -f р2 — 2 R р cos В cos р.
Эту формулу можно представить в более симметричной форме. Наи¬
большее и наименьшее значения г2, очевидно, таковы:
r2max = /?2 + p3 + 2p/?cos£,
Лит = R2 + Р2 ~ 2 р /?COS 5.
Поэтому
г2 = г2,пах SÍn2 —(- r2rain COS2	,
cos( р, г) можно выразить через г
cos(p,r) =
рМ-г2 — R*_
2	гр
207

Подставляя подынтегральное выражение в функции ¡3, получаем
/¿Я**
д&?:
2р
7 й
0 ^2тах Эт2	Г\ю СОЭ'2 у)
/^(р2-#2) 2*	¿Р
V*
2 Р
г—
£ (Лпах эт2 у + Г2т1п СОЭ2
2/1*/? „2 , 2fV.R^9*-t?) „2
РЛ*
*оЧ
Р ^шах тт
"О >
(VIII.3.15)
где
На поверхности тора гт\п = г0. Во втором варианте поверхность мо¬
дели сглажена. Между тором и отсчетной сферой с помощью конических
поверхностей образованы «настилы», которые касаются поверхности тора
и отсчетной сферы. Наклон «настила» относительно отсчетной сферы
близок 76. На сфере вне тора и настила, полагая	имеем:
Л	/р В V 2
ЬgR= ~^^С2 К° ’
*2=1^2§.
Согласно определению аномалии в свободном воздухе
2 Т
/т
Р2 '
Последний член добавлен для сохранения равенства масс модели и
ее нормальной Земли. Этот член не окажет влияния на результат вычис¬
ления по формуле Стокса.
На поверхности сферы, как известно,
ТоС/ = ТоС,= 7; = 2Д£я/?-^
и
(£-т) = -ЗД^+^
На поверхности тора и настила
7',=	К? _/5 .
Утах	Р
(£-Т) = Д&Г
*. = 1
р/'тах °	р2
2
208

(VIII.3.16)
Возмущающий потенциал в вершине тора равен
_ 4/р/?	| fm
'е 2 /?+ Гц° R+r0'
Несколько сложнее определяется потенциал тора во внутренней его
точке. Вернемся к представлению тора через семейство шаров. Потен¬
циал совокупности шаров семейства, не включающих в себя точку, для
которой вычисляется потенциал, сводится к потенциалу материальной
дуги, симметрично расположенной относительно данной точки. Потен¬
циал остальных шаров семейства определяется как потенциал на внут¬
реннюю точку.
Потенциал Т{ материальной дуги длиной 2 тс /? — 2s0 и линейной
плотности ji можно представить следующей формулой:
7\ = —■7-У-- К0	(VIII.3.17)
F шах
с параметром
" ф»=т-^-
где d — расстояние исследуемой точки от центральной линии тора.
Определим теперь потенциал от тех шаров, которые заключают
внутри себя исследуемую точку. Для этой цели найдем сперва потенциал
на внутреннюю точку для одного материального шара, плотность кото-
д k
poro меняется по закону	.
V 'о2—''2
Потенциал его выразится следующим образом:
	 arc sin —
Д Т=2 лД kfy^ г0а — /*2	2 тсД kfr0*	yh *
На основании условия dk =^ds получаем
arc sin —
dT = 2vf\r rf-r* ds +2vfr*	y^ds. (VIII.3.18)
Потенциал T¿ от всей рассматриваемой части семейства шаров, рас¬
положенных своими центрами на дуге 2s0, получим путем интегрирова¬
ния (VIII.3.18) по s
	 "Ь*0 arc sin —
Г2 = 2ji/ J у r*-r*ds + 2v.fr* J 	y-^ds. (VI11.3.19)
—50	so
Дуга So приблизительно равна r0. Принимая ее за прямую, имеем
r2 = 52 + ¿2	(VIII.3.20)
Первый интеграл берется в элементарных функциях, а второй — пу¬
тем замены — = и приводится к виду, удобному для численного интегри-
го
рования.
Добавляя к Т2 потенциал Ti [формула (VIII.3.17)], находим окон¬
чательное выражение для потенциала тора во внутренней его точке на
И Труды ЦНИИГАиК, вып. 131
209

расстоянии й от центральной линии тора и на расстоянии ? от центра
основной сферы
“»агсвт]/^ (^)2+ «2
Г,. = я/1хЛоЧ2+4/рг02 / 	гт ., °	+
, 4/р/?„Ф0
' £> ’
(У1П.3.21)
где
И0 —	1	^2 *	50 — }/ Г02 ^2*
На экваторе й = £>1. Для модели приняты следующие параметры:
г0 = 6 • 105 см, Я = 1000 г0,/[х = 20 • 10“8	, Уо == Ю04 гл,	=
= 5,3540. В меридиональном сечении модели расстояние от центра тора
до конца настила составляет 36 км.
Вычисление по формуле Стокса выполнено для экватора и полюса
модели. Этот выбор вызван симметричным расположением поля ано¬
малий относительно этих точек, что значительно упрощает вычисления.
Удобнее всего вести интегрирование по широте и долготе, имея в
виду постоянство аномалий вдоль параллелей и возможность избежать
простого, но трудоемкого процесса осреднения аномалий по зонам.
Если принять за новые переменные широту В и долготу Ьу то фор¬
мулу Стокса можно написать в виде
+ 2 2:1
С =	/ Г (£-т)$(£.£)созвал:,	(VI11.3.22)
4*?0 0
2
в которой (ц — у) зависит только от В.
Для точки, лежащей на экваторе, после интеграции по переменной
Ь и упрощений, цель которых заключается в том, чтобы привести инте¬
грал (УШ.3.22) к табличным эллиптическим интегралам, получаем
2тс	тс	тс
у £ 5 (5, V) <И = 4 Бес2К? -24 соб ^	+ 2 * +
+ 3 СОБ2 В
+1
+/
У1 —X2йх
—1
У1 —X СОБ В (У 2 + У1 — X СОБ В)
(УШ.3.23)
к2 = 1 — tgí
В
2 '
Значения интеграла в (УШ.3.23) получены численным интегрирова¬
нием. Преобразование его к эллиптическому интегралу табличного вида
210

не упрощает решения, так как получается эллиптический интеграл
III рода.
Для точки, лежащей на полюсе, после интегрирования по L будем
иметь
те
С = £ Г(г-тЭ/ЧФМФ,	(VIII.3.24)
То J
о
где /7(ф) = -^-5(со8ф)зтф.
Пользуясь симметричностью поля аномалий относительно экватора,
можно вести интегрирование по В в пределах от 0 до тогда
те
2
- s) + fQ- + s) j dB. (VIII.3.25)
В результате вычислений получено:
На экваторе:
С/
с,
в
С
метрах
с-;.
с-с,
без настила
-1-28,55
+26,35
+ 11,68
— 14,67
—16,87
с настилом
На полюсе:
+28,55
+26,35
+20,93
— 5,42
— 7,62
без настила
— 4,14
— 4,14
+ 2,32
+ 6,46
+ 6,46
с настилом
— 4,14
— 4,14
— 1,38
+ 2,76
+ 2,76
Уменьшение ошибок результатов, даваемых формулой Стокса в мо¬
дели с настилом, объясняется, конечно, уменьшением наклонов поверх¬
ности модели с 90° до 10°. Таким образом, даже вдали от горных рай¬
онов с большими наклонами погрешность формулы Стокса может быть
существенной-
Если уменьшить радиус осевой линии тора настолько, чтобы тор
целиком погрузился в сферу, то формула Стокса должна дать точный
результат. Убедимся в этом, а попутно проверим, насколько точны наши
вычисления.
Нормальную составляющую притяжения тора kgR в точках сферы
теперь можно вычислить по формуле, которая получается из (VII 1.3.15)
при р = R
_	те	—	те
bg*=^ Л - ¥)К<?+	0 ~ я)(2 Rr° ~ г°2) Е? ■ (уш-3-26)
'max \ А /	'max' min \ Д /
Потенциал тора Т теперь всегда эквивалентен потенциалу мате¬
риальной окружности и в точках основной сферы выражается формулой
_	те
Т= 2fv-(R~rо) К2	(VIII.3.27)
Гmax	*
где
k*=l — (—Y.
Vmax/
С этими значениями аномалий по преобразованным формулам
(VIII.3.23) и (VIII.3.25) вычислено превышение С геоида над сферой
для двух точек — вершины тора и полюса сферы — и получено для вер¬
шины тора С = + 26,27 му для полюса £= — 4,14 м. Значения С, вычис-
14*
211

ленные по формуле Брунса, в данном случае соответственно равны: для
вершины тора С*= 26,28 ж, а для полюса £>е= — 4,14 ж.
Полное согласие обоих результатов подтверждает правильность вы¬
числений:
Модели Тирона
Зависимость погрешностей формул Стокса и Венинг-Мейнеса от на¬
клона поверхности и положения возмущающей массы исследовал
И. М. Тирон (1958). Исследования точности формулы Стокса выпол¬
нены на модели в виде конуса на плоской отсчетной поверхности. Высота
конуса и радиус его основания равны Н и /?о. Аномальные массы пред¬
ставлены двумя материальными точками, расположенными на оси ко¬
нуса, одна — над отсчетной поверхностью, другая — под ней.
У
На склонах конуса аномалии силы тяжести выражает формула
(см. рис.)
Д 	/т^Н + ^ — х^а)	,
о	г О О	г\ / г ж I »	\ I	I / г г I I \Oi3Z. I
[л2 вес2 а-2(Н+И1)х^а + {Н +
	/т2(Н — Л2 — д^а)
[*2 зес2 а - 2 (Н - А2) а: tg а + (Я- Л2)2]3/* ‘
(УШ.3.28)
На отсчетной поверхности аномалии представляет следующее вы¬
ражение
/да Л
(Л^+Л!2)3/*
/тЛ0
(лг2 + /га2)3/2'
(УШ.3.29)
В вершине конуса точное значение высоты квазигеоида равно
— А Г М	и _/А_]
т[я + аЛя-л2]-
Подставив выражения (VIII.3.28) и (VIII.3.29) в формулу Стокса
для плоскости и выполнив интегрирование, найдем
212

Г/?0
(// + Ах — х tga) с1х
1 Г
У 1) [х2 вес2 л — 2 (// + Аг) х tg а -)- (//+ А1)2]3/2
+
10
¿л:
+	/(х2 + А^)3/*
V 1
оо
~Ч
Яо
+
, М
^ у
л'0
/•
(А/ — А2 — дс tg а) йх
[х2 вес2 а — 2 (А/ — А2) х (д а + (Н — А2)2]%
йх
(х2 + Л22)3/2
*х
(/?о + 1/^ + Л12) ^ А>02 + А
_/"г1 Г	^0	,
у \(н+к^ иг + ь?
	\х[ЛЬ[
■ха 1 т !(//-
Ао
(#о + ^ ^о2 + А22) ]^/?02 + Л221
При = к2 = 0 из (УШ.З.ЗО) получаем
- /т1 + //я2
*	У А/ •
А„) К (Яоа + А22)
(УШ.З.ЗО)
В этом случае формула Стокса дает точный результат.
Высоту геоида на оси конуса можно рассчитать по формуле
- _ 1 /М | /т*\
У V Ах +Л2 /
Тирон принял 7?о = 24,6 /ш, /г! = 16 /сл*. При перемещении аномаль¬
ной массы т2 вдоль оси конуса в первом варианте аномалия силы тяже¬
сти в вершине остается постоянной, т. е. /т! = 150 мгл • (Нк\)2 и
(т2 = 100 мгл • (Я — /г2)2.
Во втором варианте аномальную массу т2 определяет выражение
¡т2 = 100 мгл • Я.
Соответствующие обоим вариантам погрешности формулы Стокса
в таблице обозначены через 8^ и
Исследование точности формулы Венинг-Мейнеса Тирон выполнил
на модели в виде призмы бесконечного простирания, помещенной на
плоской отсчетной поверхности. Высота призмы равна Я, основание ее
поперечного сечения составляет 2а. Возмущающая масса представлена
в виде материальной прямой пп\ (см. рис.), параллельной плоскости и
расположенной на высоте к над ней.
Аномалия силы тяжести на грани призмы определена формулой
-{-оо
—ос
СОЭ (0 сое Р =
	2/;х (Н— А — а)
х2 $ес2а—2(Н— Л)л^а-|-(А/— Л)2’
(УШ.3.31)
где р—линейная плотность аномальной массы. На плоскости
^=-1Цтё-	<УША32>
Тирон принял, что при перемещении аномальной массы вдоль высо¬
ты призмы максимальная аномалия силы тяжести Д^шах остается по¬
стоянной и равной 250 мгл.
213

214
№
*о
Ла = 0
И2:Н
= 1 :6
Л2:Я
= 1:3
Н2:Н
= 1:2
по
пор.
(X
с,-
с.
»С1 = 8С,
с,-
Се
»с.
б^2
с,-
Се
»с.
&С2
с,-
Се
»С.
гс2
1
25°
со
4,219
0,490
12,094
5,198
0,472
1,020
8,778
5,002
0,462
1,559
7,803
4,807
0,458
2.748
2
20
оо
3,833
0,343
9,762
4,596
0,335
0,724
7,174
4,443
0,331
1,117
6,413
4,291
0,328
1,968
3
18
счз
3,682
0,297
8,904
4,364
0,290
0,626
6,593
4,227
0,287
0,969
5,914
4,091
0,286
1,716
4
16
с>о
3,536
0,252
8,082
4,137
0,248
0,536
6,043
4,017
0,245
0,827
5,443
3,897
0,244
1,464
5
14
счэ
3,394
0,210
7,293
3,916
0,208
0,449
5,520
3,812
0,206
0,695
4,999
3,707
0,206
1,236
6
12
оо
3,254
0,172
6,533
3,699
0,171
0,369
5,022
3,610
0,169
0,570
4,577
3,521
0,169
1,014
7
10
сч>
3,117
0,135
5,800
3,486
0,134
0,289
4,546
3,412
0,134
0,452
4,177
3,338
0,134
0,804
8
8
со
2,981
0,104
5,091
3,275
0,104
0,225
4,091
3,216
0,104
0,351
3,797
3,158
0,103
0,618
9
6
оо
2,847
0,074
4,403
3,067
0,074
0,160
3,656
3,023
0,074
0,250
3,436
2,979
0,074
0,444
10
4
счз
2,713
0,048
3,735
2,860
0,047
0,102
3,237
2,830
0,047
0,159
3,091
2,801
0,047
0,282
11
2
оо
2,581
0,022
3,084
2,654
0,023
0,050
2,867
2,639
0,023
0,078
2,763
2,625
0,022
0,132
12
1
СЧЭ
2,515
0,011
2,764
2,551
0,011
0,024
2,640
2,544
0,011
0,037
2,604
2,537
0,011
0,066
Все линейные величины даны в метрах.

Величину линейной плотности аномальной массы в этом случае
определяет выражение
, _Agmai(// — h) cosa
^~~	2cos2^-
Точные значения уклонений отвеса, полученные через горизонталь¬
ную составляющую притяжения возмущающей массы, вычислены сле¬
дующим образом:
2/рх0
2/рдГо
С
J
di
[хс2 + /2+ (H - h-x0ig z?f!*
1
х02sec2а — 2 (H — h) x0\g а.(Н — А)2 '
Вычисления выполнены для точек, в которых при заданных значе¬
ниях hua точные значения уклонений отвеса достигают максимума. В
этом случае
г _с _	AgmaxCOS2a
Çe — Çmax —	”	.
2 Y COS22-(l — sin a)
В соответственной точке на геоиде уклонение отвеса равно £,•
Ç _ A gmax (Я — h f COS2 а
Y cos2 j [h2 -f- (H — h)2 cos2 a]
В формулу Венинг-Мейнеса для плоскости
+00
_ J_ Г A gdx
J x — x0
215

подставлены значения Ag по (VIII.3.31) и (VIII.3.32). Получено
_ 2/£ i	cos«	\ , arct 2{Н — h)H ctg а 1
«у \ 2(H — Л) (1 — sin а) [ ^	ё(//-Л)2—^2cosec2a]
(H — h) cos a
(H—hf cos2a+/z2
h
[* — 2 arctg -++- | -f
ln [Z/ cosec a + (ZZ — A)]2 t
' 2 [(ZZ — Л)2 cos2a -f- Л2]	fH cosec <z — (ZZ — Л)]2
1	[H cosec а + (// — А)]2 (ZZ2 ctg2 « -f- A2) i iVIlIoW
4 (ZZ - A) [ZZ cosec а — (ZZ — А)]2 [ZZ2 ctg2 а + (2 ZZ — А)2] j''	^	'
Для вычислений принято: y= 980,6 гл.
a= H ctg а — 15,01 км, Н <7 км, а^25°.
Значения ^ и соответствующие им значения погрешностей формулы
Венинг-Мейнеса в процентах даны в таблице.
№
по
пор.
а
в градусах
Л = 0
h 1
Н “6
h 1
н —з
h 1
Н —2
h 2
Н “3
1
39",31
25
12,0
10,3
8,6
6,6
4.6
2
36 ,44
20
8,9
7,6
6,3
4,9
3,3
3
35 ,33
18
7,6
6,5
5,4
4,1
2,8
4
34 ,25
16
6,4
5,5
4,5
3,4
2,4
5
33 ,18
14
5,2
4,4
3,6
2,8
1.«
6
32 ,14
12
4,1
3,4
2,8
2,1
1,4
7
31 ,12
10
3,0
2,5
2,1
1,5
1.0
8
30 ,12
8
2,1
1,7
1,4
1,0
0.7
9
29 ,14
6
1,2
1,0
0,8
0,6
0.4
10
28 ,17
4
0,5
0,5
0,4
0,3
0,2
И
27 ,22
2
0,1
0,1
0,1
0,1
0,0
12
26 ,76
1
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
Погрешности Д£ примерно пропорциональны квадрату угла а.
Из таблицы видно также, что разности Д£ уменьшаются при при¬
ближении аномальной массы к поверхности модели.
Разность между точным значением £,• уклонения отвеса на геоиде и
вычисленным по формуле Венинг-Мейнеса быстро изменяется в зависи¬
мости от изменений а и (в пределах от +26" до —28")-
Таким образом, описанные исследования показали, что значения,
определяемые формулами Стокса и Венинг-Мейнеса, как правило, ха¬
рактеризуют высоты квазигеоида и уклонения отвеса на поверхности
Земли. Эти значения иногда весьма далеки от высот геоида и уклонений
отвеса на геоиде.
216

В условиях горных районов формулы Стокса и Венинг-Мейнеса мо¬
гут дать результаты, которые существенно отличаются от точных значе¬
ний искомых величин.
В. Ф. Еремеев. Применение способа моделей к исследованию формул, опре¬
деляющих фигуру Земли. Труды ЦНИИГАиК- Вып. 75, 1950.
И. М. Тирон. Исследование точности формул Стокса и Венинг-Мейнеса. Дис¬
сертация. Военно-инженерная академия имени В. В. Куйбышева, 1958.
§ 4. Проверка решения § 3 главы III
Решение задачи Стокса с относительной погрешностью порядка
квадрата сжатия, выражаемое формулами (Ш.3.39), проверил Б. П. Пер¬
цев. Он принял, что возмущающий потенциал создан произвольным про¬
стым сферическим слоем, распределенным на сфере радиуса b (Ь — ма¬
лая полуось земного эллипсоида). В этом случае значение возмущающего
потенциала во внешнем по отношению к эллипсоиду и сфере простран¬
стве можно представить в виде разложения в ряд по сферическим функ¬
циям. Перцев выполнил все вычисления для общего члена ряда
Т = р-"-1 Рпк (х) cos kL	(VI11.4.1)
Принимая b= 1, для поверхности эллипсоида с точностью порядка
сжатия получаем
р ~ 1	cos2.®,
поэтому значения возмущающего потенциала на поверхности эллипсоида
представляются формулой
Т= Pnk (jc) |l —	е'2 (1 - x2)j cos kL.	(VIII.4.2)
Здесь через x обозначен sin Ф. То же значение возмущающего по¬
тенциала, как увидим далее, Б. П. Перцев нашел по формуле Молоден-
ского.
Прежде всего были вычислены значения аномалий силы тяжести на
поверхности эллипсоида
^	dV ' у <? V dp d V дФ dv y д v *
Легко находим:
= cos (В - Ф),
йФ	sin (В — Ф)
d V	р
Таким образом,
л	дТ ,„	. ч 1 дТ . ,D . Т д y
^=-ж-рС08(в-ф)-73ф8Ш<	,+ 7^-
причем
Т 5Í = - (да+ да + 2-f) “ -21<’ -18,2 + m)- (VI1I'4'3)
В пределах принятой нами точности
cos (В — Ф) = 1,
sin (В — Ф) — е’2 х	1 —x7¿.
217

[см. (Ш.3.18) и (Ш.3.23)]. Дифференцируя (VI11.4.1), для поверхности
эллипсоида получаем:
— (Я + 1) р_я_а рпк (*) COS kL = - (и + 1) Рпк (х) cos kL +
+ (П +	ё2 (1 - л») Рпк(х) cos kL,
-i- sin (В — Ф) =	ч~2	(1 — -*г)е 2 х cos kL =
=	^ — д'2) е <2 х cos kL = — у 1 —х'Л Р„(к+v (л:) е'2 х cos kL —
— kx*P„k (я) е'2 cos kL
и далее
j- ^sin (в ~ ф) = - / I-**Pn(*+ v (х) е'2 хcos kL +
+ (1 — х2) kРпк (дг) ё2 cos kL — kPnk (л:) е'2 cos kL,
= - 2 Pnh (*) cos kL-У (n + 1) ел (1 — хг) Pnk <x) cos kL +
+ 2 ef2 Pnk(x) cos kL — 2 e'2 (1 — x1) Pnk (x) cos kL —2 mPnk(x) cos kL.
Таким образом, для kg на поверхности эллипсоида находим сле¬
дующее выражение:
bg = {n-\)Pnk{x)coskL + e’2^2Q-y^-~)Pnk{x)coskL-
ti* “I- tl -j- 4 -J- 2k.	9\ П / \ L/l
	'2	— (1 - x2) Pnk(x) cos kL-\-
+ xyT^-Pn(k+v{x)coskL J .	(VI11-4.4)
Определив kgy можно вычислить T0 по формуле (III.3.40). При этом
учтено, что
5 (cos ф)= S	Рп (cos ф)
2 ^ 1
или, если воспользоваться теоремой сложения сферических функций,
00	9 п 4- 1
5(С08Ф)= 2 ^f±y-Pn{x)Pn{x0) +
п =2 п 1
+ 2 2	s £zWp {Х)Р (x0)cosk(L- L0). (VI11.4.5)
n= 2 n~ 1 ft=l(n + «)!
Кроме того, приняты во внимание равенства
^ J Рпк(х) S (cos ф) cos kLdQ= Pnk (•*<>) coskLb, (VIII.4.6)
хРпЛх) = {П~пк^ p(n+vAx) +	P(n-m (x). (VI11.4.7)
218

Р(а+1)к (х) и Р(п—1>к (х) в правой части заменим при помощи соотно¬
шений, аналогичных (У1Н.4.7). Выполнив преобразования, найдем
х*РПк(х)--
(п — к+ Щп — к + 2)
(2п-\- 1)(2я + 3) <п+ш Г' +
2 я2
I	2 № + 211—1	„	/ ч ■ (п-\-к){п-\-к — 1) „	. , тпцл,
+	(2 л + 3) (2 я — 1)	(2я+1)(2я—1)	^	1 4-8)
Из (VII 1.4.6) и (VIII.4.8) следует
^ \ ^ ~ Рпк ^ 5 ^С08 ^С0!3 кЫ ^ =
_	2 (я2 + А2 + я — 1)	„ . . и,
~~ (2я + 3)(2я - 1)(я— 1) РпЛхо)ы*кЬй
~ (2/1 + Щ2п*+3)(п+\) Р<"+2>*<Х/1>с05к1-'	(УШ.4.9)
Для дальнейших преобразований можно воспользоваться известны¬
ми формулами:
Л ]/' 1-д:2Рп(к+1)(х) = (п — к + \)хР(п+1)к(д:) -
- (л + к-\- 1) х2Р„к (•*)
.(У1П.4.10)
хР ^	(х~\ — (га ^ Ч~ 2) р /„\ I (я -+- £ 4- 1) р , ч
хН(п+1)к \х) — (2 я -)- 3)	И(п+^)к\х>^	(2 я + 3)
Подставив последнее выражение и (УШ.4.8) в (УШ.4.10), получим
г ,/т-^р	(.Л_ (п-к + 2){п-к+\){п-к) р ( )_
V 1	Ип(к+1> (*) —	(2 я + 1) (2 я + 3)	Пп+т
_ (я 4- к + 1) (я — к) (2 к 4-1) р . , _
(2 я-1)(2я + 3)	пЛ >
(я + А + 1)(я + к)(п+к,— 1) р х ч /упи 1П
		(2я + 1)(2я-1)	Р<п-т(хУ (VIII.4.1
Выполняя интегрирование и учитывая при этом (VIII.4.5), будем
иметь
4^/х У^1—-*2Рп(к+1)(•*)(С08Ф)созkLd.il—
	 (я — к —2) (я — к -{- 1) (я — к¡)
(2 л + 1) (2 л + 3) (я -(- 1)
(л + А + 1)(я-*)(2^+1)
' Р(п+2)к (хо) С08 ^0
Рпк (Д-о) соэ к1*$
(2 я— 1)(2 я + 3)(я— 1)
(я ^ -[- 1) (я -)- к) (я И 1) р (х)со8к1, (VIII 4 12)
(2я+ 1)(2 л— 1)(я — 3) Н<п~ 9»1хо)с08*1о-(»111.4.12)
219

Используя (VIII.4.6), (VIII.4.9) и (VIII.4.12), получаем из (Ш.3.40)
для Т0 следующее выражение:
7'о = ^ J bgS (cos +	j AgS(cos ф) dQ = Pnk(x0) соз^0 +
, „л | Г 2 fn + 3 , k m\
+e ||^гтС—+2-^;-
(я2 + я + 4 + 2	(я2 + ¿2 + л — 1)
n — 1	(2 я — 1)(2я + 3)
_ (я + /г4-1)(я — ¿)(2^ + 1) 1 p , ч cos kL ,
(я- 1)(2я- 1)(2я + 3) J^WCOS*L0 +
i f (n — k + 2){n — k +1) я2 -f 3я + 4 1 p / ч oskL r
+ [ (я+1)(2я+1)(2я+3)	2 |/Vf4>*Wc°sftL0-f-
Г (/?-{-£-1) (я+ £)	(я2_« + 2) 1	,	\
+ [ („ _ 3) (2 я - 1) (2 n + 1)	2 J P(n~2jk 0>	kL°\ ’
(VIII.4.13)
Затем Б. П. Пердев вычислил вспомогательную функцию х- По¬
скольку в выражении для Т [формула (Ш.3.39)] функция х умножена
на е'г, при ее определении можно положить
Т = Рпк (х) cos kL и /0 = Pnk(x0)coskL0. (УШ.4.14)
Далее использованы равенства:
1 Г Pnk(x)coskL	2 п , .	,, т
4^ J ^,-^ф	d Q= -,j-n у Pnk (Xo) cos A>Z.0,	(VIII.4.15)
1	“	(2/я-Ь l)(m + 1)	.
r*=- s  	t,	-^«(созф). (VI11.4.
r	m—0	2
16)
Выражение (УШ.4.16) можно получить путем двукратного диффе¬
ренцирования по р известного разложения
1 1
где р < R*
Выполнив дифференцирование и положив У? — 1, находим
13
— 73 +Тб (Р— С08Ф)2= - m \"L	1) ^ш (cos Ф) рт—2.
г r	т — О
Отсюда при о —► 1 следует
— ¿= S /я(/я- 1)Рт(созф)
г /л=0
_3_
4 г
= S Г ш (ш	1)	1 Рт (cos ф) — 3 Г-
т —0 [	4J	m=0|.
v ^ (2 т -4- 1) {т + 1)
т-0 I
- — {2т+})^ /'„(cosф).
оо
Используя тождество 2 (2m + 1) Рт (cos ф) =0, которое можно
т—о
получить из разложения ядра интеграла Пуассона по полиномам Ле¬
жандра при р= 1, убеждаемся в справедливости (VIII.4.16).
220

Второй член правой части формулы (III.3.41) Перцев представил
в виде
1 Г Т0(sinФ — sinФ0)2	.0_ 1 f(x-x0fP„k(x)coskL
ЪJ ^4“	^J	^4
Значения х2Р пи(х) и хРпк(х) можно раскрыть при помощи равенств
(¥111.4.7) и (VIII.4.8). Тогда получаем
п/
(х - *0)2 Pnk (х) cos kL d ^
_j_ ff(n-k+ 1)(я-Н2)	.
— 4л J { (2я+1)(2л + 3)	<n+2;fcW'+'
(2 я 4- 3) (2 я - Г) ' я* v~'т (2 я + 1) (2 я — 1) (п~2>к
- 2 *• V+4 Р«+1'* <*> “ 2 *° ¡Йг}ПЗ P«-u*W +
+ ^PM(x)^SSl¡kda.
Подставив в это выражение равенство (VIII.4.16), найдем
1 f(x—x0)*Pnk(x)coskLjrt_
4ñJ	?	dQ~
1 í (я — k + 1)(я — k + 2) (2 я + 5) (« + 3)	4 л
— 4Ü\	(2п+Щ2п+3)	‘	2	2« + 5	°;
(2я2 — 2 *2 4- 2я — 1) (2я + 1)(я+1) 4л
(2л + 3)(2п-1)	‘	2	2я+1 яА°;
(я 4-Л) (я 4- А— 1) (2я —3) (я — 1) 4л D ,„ч ,
(2 «4- 1)(2я — 1)	2	2я-3
(я —*4-1) (2 я 4- 3) (я 4- 2) 4л
4-2х0-
4-2*о
(2 я 4-1)	2
(я 4- *) я (2 я — 1)
' 2 я 4- 3 P<n+lik +
4 л
(2 я 4- 1)	2	2 я
2(2я4-1)(»4~1)	4 л
'	2	(2 я 4- 1)
— P(n—Í)k (хо)
^nftK)bos*¿0.
Значения Хо2Р„к (*о) и Хо^Ч^о) снова можем раскрыть при помощи
соотношений (УП1.4.7) и (УШ.4.8). Выполнив эту подстановку и при¬
ведя подобные члены, получим
п/
(х - x0V Pnk(x) cos kL ' dQ _
г3
(1 — 4fe2)P„A(x0)cos*¿0
(2я — 1)(2я 4- 1)(2я4-3)'
(VIII.4.17)
221

Приняв во внимание (VIII.4.8), будем иметь
1 ГТ0х*	1 rUn-k+\){n-k + 2)
4nJ sin| 2nJ I (2я+1)(2л + 3)	^%+íw*W-h
(2л»-2^ + 2л-1)
(2я + 3)(2л-1) K
i (я +¿)(л + £ — 1) р /„-.I coskL ,п
+ (2я+1)(2л=ТГ	г
_Цп-к+1)(п-к + 2)	2
— \	(2л+1)(2л + 3) 2я + 5
+
(2я2 — 2 А:2 + 2 я — 1) 	2
(2л + ЗН2я —1)	2 л + 1
(« + Л)(л + Л-1)	2
* * f
Рпк (*о) +
,-2,*(+>)}cos¿¿0. (VIII.4Л8)
(2я+1)(2я—1) 2л — 3 ' ‘ <п
Учитывая (УШ.4Л5), (VIII.4.17) и (VIII.4.18), находим
2	/, . 2m
X =	Г 0 + ^г) Pnk (*о) C0S
5 j(n — k+l)(n — k + 2)
5 ((л-£
2 (	(2 л
+ 1) (2 я + 3)	‘ 2 л + 5 (п+ш
(*о) +
(2 я2 — 2 £2 + 2 я— 1)
+
т (2 л + 3) (2 л — 1)	2 л + 1
(л + k) (п + к — 1)	2
Рпк (*о) +
(п—Ч)к (-0)}
(2л+1)(2л—1)	2 л —3
(1 — 4k2)Pnk(x0)coskL0
cos kL0 +
+
(2 л — 1) (2 л + 1) (2 л + 3)
(VIII.4.19)
Выражение для х “Ь 8+/х*^(С08	которое входит в Т, можно
раскрыть при помощи следующего равенства, получаемого из (УШ.4.5),
Pmk(x0) cos kL +
hf
Pmk (■*) 5 (COS ф) COS kLdii =
= 24¿T)PMcoskL
Преобразуем интеграл
ae'2 j A g sin2 Ф S (cos ф) dÍ2
выражения 7\
Учитывая (VIII.4.4), можно положить
bg=(n- \)Pnk{x) coskL,
(VI11.4.20)
222

поэтому
s/t
^ У Д gx*S (cos ф) d Q =
(га — 1) (га — k 4- 1) (га — fe -f- 2)
+
(2га+1)(2га + 3)
(га — 1)(2га2 — 2fe2 + 2ra — 1)
^><(гНу*(ДС) +
(2 га+ 3) (2 га - 1)
+ (П~(2га^Н2(га-1Г1) Я*-2М(*)}•?(cosф) cosALrfQ.<VIII.4.21)
Снова пользуясь выражением (VIII.4.5), находим
^ J Agx*S( cos ф)<*0 =
	 (п О (п k-\-\)(n k -f- 2) р / \ cos I
— (га+1)(2га+1)(2га + 3)	(я+wW60 * в +
2 га '2—2 &2 + 2 га — 1
+ :
Л,Л*о) cos kL0 +
(2 я — 1) (2 га + 3)
I 1) (ti-\-k) (пk 1) р (x)coskL iVIII 4 221
+ (л —3)(2га + 1)(2га— 1) н(п-^х°> cosflLo- (Vlll.4.22)
Подставляя формулы (УШ.4.13), (У1Н.4.19) и (УШ.4.22) в выра¬
жение для Т и пользуясь (УШ.4.20), получаем после некоторых преоб¬
разований
Т=Р„ЛХо) COS kL0 + ¿,2
{
(Я-И)
2
(2 га2 — 2 А2 + 2 га— 1)
' (2 га—1)(2л + 3)
P„k(xo)coskL0—
— -n~Y — Рпк (*<>) cos kL0 +
+
(я + 1)
2
(га — h 1) (га — h —j- 2)
(2ra+l)(2ra-f 3)
P(n+2)k (xo) cos kL0 +
(«4-1)
2
(ra + k — 1) (я ~f~ k)
(2ra- l)(2ra+ 1)
P(n—m (*0) cos • (VIII.4.23)
Принимая во внимание (УШ.4.8), имеем	'
т= [1-е'2 ^±^(1-^2)]^(^о)соз^0.
Таким образом, в результате всех вычислений Б. П. Перцев получил
такое же выражение для возмущающего потенциала Г, как и непосред¬
ственной подстановкой значения р в принятое разложение Т. Проверка,
выполненная Перцевым, подтверждает, что в формуле Молоденского
учтены все члены порядка сжатия Земли.
Б. П. Перцев, 1956.
223

ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЛАВЕ V
§ 5. Пример применения формул § 15 главы V
Поверхностью модели является конус с несколько закругленной вер¬
шиной, чтобы удовлетворялись условия, накладываемые на поверхности
Ляпунова. Высота вершины конуса над отсчетной плоскостью 4100 му
радиус основания конуса Ь = 24,6 км. На расстоянии 0,6 км от оси по¬
верхность конуса переходит в параболоид вращения, касательный к ко¬
нусу, вершина параболоида на 50 м ниже вершины конуса.
В качестве аномальных масс взяты два шара, центры которых рас¬
положены на оси конуса: один расположен над отсчетной плоскостью,
другой — под ней. Внешний шар имеет массу т2, радиус Ь = 2 км, а
внутренний массу тх и радиус а — 4 км. Вертикальные составляющие
притяжения шаров для вершины параболоида соответственно равны 100
и 150 мгл. Нормальная сила тяжести у =980,2 гл.
Аномалия силы тяжести на поверхности модели через притяжение
заданных масс представляется граничным условием
д Т 2 Т
*-1 = -Гр-Т’
В котором р->оо,
(г - г, = А л	.
Г1 Г2
где Г\ и г2 (см. рис.) — расстояния точки с координатами ху уу г = Н от
первой массы (х = у = 0, г = — а) и от второй (х = у = 0, г = Ь).
После вычисления уклонений отвеса 5 по формулам § 15 главы V
результат нужно сравнить с точным значением, которое получается на
поверхности модели непосредственно по заданному распределению масс
и определяется формулой
\щ , щ\
е Т [г* + г9*\ ’
здесь /о — расстояние от оси конуса.
На геоиде модели
_Ло Г Щ	т2
*	^ I 1 9\3/,
.(аа-И09)'2	(&2+/о
При вычислении уклонений отвесных линий, используя осевую сим¬
метрию модели, двукратное интегрирование сведено к однократному
путем замены переменных интегрирования г0, А переменными /, ¡3:
г02 = /2 + /02 - 2 //0cos Р, cos А =/о ~ *--?■-£ , da = ldldp.
Гп
224

Для р—ТЕ /'“тах
= (/ + /0)2, а для р = О г2тй, = (/о — О2, так что
г02= /*2тах вт2 у +Г2т|„ СОЗ2 у •
Имея это в виду, находим
т.	к
где АГ02 и Д02— эллиптические интегралы первого и второго рода с пара¬
метром ¿2 = тпгтъ - ¿о — радиус учета аномалий. Таким образом, полу-.
"Г *0^
чаем
и
г/ (ё-
1о о
т)
л	л
/ + ¿0 ¿0 - I,
ш.
7С
т:	—
- ^ 2
Если	АГ02 и , °—: стремятся к бесконечности. Поэтому вблизи
— I
исследуемого пункта необходимо выделить центральную зону в интер¬
вале от /0 — е до /о + е , в которой можно принять
Е02=1, Ко2 =1п
4(/0 + 0
/0-/
*2 « 1, *-Т= д£о + А%еА^(¿о-0,
где Д£2 и —значения аномалий соответственно для /0—е и /о+е,
Д£0 — значение аномалии в исследуемой точке. Тогда влияние выде¬
ленной зоны составит
5? = -¿г (Аёо-г- ’ 1п8 + Д£2— Д#, — Д^о у 1п у —^go4-') .
пТо \ 'о	1о 1о	1о /
Воспользуемся формулами Молоденского для плоской отсчетной
поверхности.
Нулевое приближение:
Со = (ё — Т) = А ёо = 2 *Хо.
€о =	п~— [ ^—^-со$А(1
2*Г ]
а.
15 Труды ЦНИИГАиК, вып. 131
225

Первое приближение:
Д£1 = °0+ °1>
2пх, = Д^, 2*Х1 = 01 = 2^^ 7^^°’
'■“-пгЛ?"-
Второе приближение:
Д^11 = О0+°1 +°2 — Д £1 ■+ ^2 >
2 «XII = Д £н»	=	—гг*г «+(£—7) *8а “•
Г 	 ^ Г ^ а
Вычисление 61 сведено к вычислению интеграла
£0	г.
±_ Г(ё-№
2,*J V
¿0
1. Г (£-т)Д Ь1Е02	,
(/+«(/-'о)9
Дй^о
У <М
В зависимости от характера изменения ДА выделено несколько ин¬
тервалов и центральная зона шириной 2 е; 50 — радиус окружности, на
которой начинается закругление конуса вблизи его вершины; у0 — рас¬
стояние вершины закругления от вершины конуса.
1) А) ^ 50 > I ^ ^0 У
3
/-|-Л /	я
2 Г {ё-{)ШЕ?
Ъ Г (/ + /о)(/-/с)2
= _
71	52
ср ^ср ^
2) /0 < во, />«о,
,	2 Л с. /ср / ДА \ . I, . д/
* *ср ср (/ + /о)ср 0 —О	' +
ср
1-1.
226

3) ¿0 ==-' 5о, / ^ 5о,
Н1+^
4) /о > 5о, Lo ^ I > 5о,
у=^А^£»(гр-„Х'”|1+^
5) /о ^ £0, I ^ ¿>о,
1—	ГД£сР^С| -■'-
«	«'» «Р (/+/„),
ср
ДА
/-/„
1п
ср
1-
Д/
/0-/
1,1- 50,
J = —
Зя Д^ср^ср(
< 1
\1 + /0
1, 1 -> $0,
3^-
Згё Д^сР^ср(
< /
Ч^“Мо
ср
1 —
ср
Д I
1-1,
71
При № ^ 1, £02 ^ 1 влияние центральной зоны составляет
1) в интервале /0 $о
J
ц
/0+е	*
1 ( (ё-ч)ЬЬ1Е02
тч:~е (/+/0) (/0—о2
=-^ $£»Ч24а^+4&~44
2) в интервале /0^> $о
Л = - ^ {д^2 - д + 2 А^° т^} •
В таблицах приведены значения й — у, Д^, и Д^„ и уклонения
отвеса, вычисленные по формулам Молоденского в нулевом, первом и
втором приближениях. Графики показывают, как изменяются разности
Д^о — Д^ и Д^ — Д^п при переходе от нулевого к первому и от первого
ко второму приближениям. ,
Точность вычисления Ьgl и Д^и составляет 0,1—0,2 мгл\ точность
вычисления уклонений отвеса составляет 0",1.
15*
227

Значения g — у> и А^ц на поверхности модели
№
по
пор.
1
(км)
ё—Т
(мгл)
(мгл)
¿¿'и
(мгл)
1
0
+250,0
+168,1
+ 179,3
2
0,05
250,0
168,4
179,5
3
0,1
249,7
168,3
179,4
4
0,2
249,2
169,1
180,2
5
0,3
248,2
170,3
181,2
6
0,4
246,8
172,2
182,8
7
0,5
245,0
175,2
185,4
8
0,55
244,0
178,0
187,9
9
0,6
242,9
180,8
190,3
10
0,65
241,7
184,0
192,4
11
0,7
240,4
186,3
194,0
12
0,8
237,2
188,7
195,3
13
0,9
233,6
189,9
195,6
14
1,0
229,6
190,1
195,2
15
1.1
225,3
189,4
194,0
16
1.2
220,9
188,1
192,2
17
1,3
216,3
186,1
189,9
18
1,4
211,6
184 Л
187,6
19
1,5
207,0
181,5
184,7
20
1,6
202,5
179,0
182,0
21
1.7
198,0
176,2
179,1
22
1,8
193,7
173,7
176,4
23
1,9
189,5
171,0
173,5
24
2,0
185,4
168,4
170,7
25
2,1
181,5
165,7
167,9
26
2,2
177,8
163,3
165,3
27
2,3
174,2
160,8
162,7
28
2,4
170,7
158,3
160,1
29
2,5
167,4
155,9
157,7
30
2,6
164,2
153,6
155,4
31
2,7
161,2
151,4
153,1
32
2,8
158,2
149,2
150,8
33
2,9
155,3
147,1
148,6
34
3,0
152,5
145,0
146,4
35
3,2
147,2
141,0
142,4
36
3,4
142,1
137,1
138,3
37
3,6
137,2
133,3
134,5
38
3,8
132,6
129,6
130,7
39
4,0
128,0
126,0
127,0
40
4,2
123,5
122,3
123,3
41
4.4
119,2
118,8
119,7
42
4,6
115,0
115,2
116,1
43
4,8
110,8
111,6
112,5
44
5,0
106,8
108,2
109,0
45
5,2
102,8
104,7
105,4
46
5,4
99,0
101,4
102,1
47
5,6
95,2
98,0
98,7
48
5,8
91,5
94,7
95,4
49
6,0
88,0
91,6
92,2
50
6,2
84,5
88,4
88.9
51
6,4
81,1
85,3
85,8
52
6,6
77,8
82,2
82,8
53
6,8
74,6
79,2
79,7
54
7,0
71,6
76,4
76,9
55
7,2
68,6
73,6
74,1
56
7,4
65,8
70,9
71,3
57
7,6
63,0
68,2
68,6

№
по
пор.
1
(км)
g-V
(мгл)
Д£1
(мгл)
bgll
(мгл)
58
7,8
+60.4
+65,7
+ 66,2
59
8.0
57,8
63,2
63,6
60
8,2
55,4
60,9
61,3
61
8,4
53,0
58,5
59,0
62
8,6
5п,7
56,2
56,7
63
8,8
48,6
54,2
54,7
64
9,0
46,5
52,1
52,6
65 ■
9,2
44 5
50,1
50,5
66
9,4
42,6 ’
48,1
48,6
67
9,6
40,8
46,3
46,7
68
9,9
38,2
43,6
44,1
69
10,2
35,8
41,1
41,5
70
10,5
33,5
38,8
39,1
71
10,8
31,4
36,6
37,0
72
н,1
29,5
34,7
35,0
73
11,4
27,7
32,8
33,2
74
11,7
2->, 9
30,9
31,2
75
12,0
24.3
29,2
29,6
76
12,6
21,5
26,2
26,5
77
13,2
19.9
23,5
23,8
78
13,8
In,8
21,1
21,4
79
14,4
14,9
19,0
19,3
80
15,0
13,2
17,1
17,4
81
15,6
11,8
15,5
15,7
82
16,2
lu.5
14,0
14,3
83
16,8
9,4
12,7
13,0
84
17,4
8.4
11,5
11,8
85
18,0
7,5
10,5
10,8
86
18,6
6,7
9,6
9,9
87
19,2
6.1
8,8
9,1
88
19,8
5.4
8,0
8,2
89
20,4
4.9
7,3
7,5
90
21,0
4.4
6,7
6,9
91
21,6
4,0
6,2
6,4
92
22,2
8,6
5,7
5,9
93
22,8
3,3
5,3
5,5
94
23,4
3,0
4,9
5,1
95
24,0
2,7
4,5
4,7
96
24,6
2.4
4,1
4,3
97
25,8
2.1
3,7
3,8
98
27
1 ,9
3,4
3,5
99
30
1.4
2,6
2,7
100
35
0,9
1.9
2,1
101
40
0,6
1,3
1,5
102
45
0,4
1,0
1,1
103
50
0,3
0,7
0,7
104
55
o,¿
0,6
0,6
105
60
0.2
0,5
0,5
106
65
0,1
0,4
0,4
107
70
0,1
0,3
0,3
108
80
0,1
0,3
0,3
109
90
• ,0
0,1
0,1
110
100
0,0
0,0
0,0
229

*h*9Ж
230

В сводной таблице приняты следующие обозначения:
—	влияние кольцевой центральной зоны на уклонение отвесной
линии,
—	поправка в уклонение за наклон физической поверхности в
исследуемой точке,
—	влияние на уклонение отвесной линии аномалий без централь-
ной зоны,
—	поправка в уклонение за рельеф физической поверхности
вблизи исследуемой точки.
/- Уклонения отвесных линий на геоиве
2-	Точные уклонения отвесных линий на физич. поверхности
3-	Уклонения отвесных линийу вычисленные по формуле
Молобенского (2-ое приближение)
1-Уклонения отвесных линий, вычисленные по формуле
Моловенского(1-ое приближение)
5- Уклонения отвесных линий9 вычисленные по формуле
Венин г - Мейнеса
На этой же модели были выполнены вычисления Еремеевым (1950)
по ранее опубликованному способу решения интегрального уравнения
(Молоденский, 1949). Аномалии (g — у) в нулевом приближении тогда
относились к отсчетной поверхности, а следующие приближения опреде¬
лялись формулами (У.15.3) — (У.15.5). Результаты старых вычислений
для 14 исследуемых точек приведены в таблице и на графике. Нетрудно
видеть, что процесс приближений был более медленным.
231

со
ГО
№
по
пор.
к (км)
Н (км)
По
формуле
Венинг-
Мейнеса
результат вычисле¬
ния по обобщенной
формуле Венинг-
Мейнеса
главный член
поправки за оста¬
точную плотность
слоя з
о
формуле
1-е
прибли¬
жение
1 £
поправка к резуль- о
тэту 1-го прибли- о
жения 8
я
о
ж
о
поправка за наклон 3
физическ. поверх¬
ности
2-е
прибли¬
жение
Точное значение на
физическ. поверхности
Точное значение
на геоиде
Ошибка результата,
вычисленного по
формуле Венинг-
Мейнеса
Ошибка результата,
вычисленного по
формуле Молоденского
1-го приближения
Ошибка результата,
вычисленного по
формуле Молоденского
лижения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 (4—11)
14 (7-11)
15(10—11)
1
0,6
4,0
+ 6",8
-Н".о
+ 5'.9
+ 6",9
—3",2
+4". 7
+ 8" ,4
+ 8", 2
+24" г4
—1",4
— Г',3
+0", 2
2
1,2
3,9
12 ,0
2 ,0
10 ,6
12 ,6
—3 ,0
+4 ,3
13 ,9
14 ,2
42 ,1
2 ,2
1 ,6
—0 ,3
3
1,8
3,8
14 ,4
3 ,0
12 ,3
15 ,3
-2 ,4
+3 ,6
16 ,5
16 ,8
51 ,8
2 ,4
1 ,5
—0 ,3
4
2,4
3,7
15 ,5
3 ,9
12 ,1
16 ,0
—1 ,7
+3 .0
17 ,3
17 ,7
55 ,3
2 ,2
1 ,7
-0 ,4
5
4,2
3,4
15 ,8
6 ,2
Ю ,8
17 ,0
—0 ,9
+1 ,8
17 ,9
18 ,2
47 ,7
2 ,4
1 >2
-0 ,3
6
6,0
3,1
15 ,5
7 ,6
9 ,0
16 ,6
-0 ,2
+1 >1
17 ,5
17 ,6
34 ,8
2 ,1
1 ,о
-0 ,1
7
7,8
2,8
14 ,0
8 ,1
6 ,9
15 ,0
+ 0 ,2
+
о
СЛ
15 ,7
15 ,8
25 ,0
1 ,8
0 ,8
—0 ,1
8
9,6
2,5
12 ,1
8 ,0
4 ,7
12 ,7
+0 ,2
+0 ,2
13 ,1
13 ,6
18 ,4
1 ,5
0 ,9
—0 ,5
9
11,4
2,2
9 ,9
7 ,4
3 ,4
10 ,8
+0 ,3
0 ,0
11 ,1
Н ,4
13 ,9
1 ,5
0 ,6
-0 ,3
10
13,2
1,9
8 ,1
6 ,7
2 ,4
9 ,1
+0 ,3
0 ,0
9 ,4
9 ,4
10 ,8
1 ,3
0 ,3
0 ,0
11
15,0
1,6
6 ,8
6 ,0
1 ,5
7 ,5
+0 ,3
-о ,1
7 ,7
7 ,9
8 ,6
1 ,1
0 .4
—0 ,2
12
18,6
1,0
4 ,7
4 ,5
0 ,8
5 ,3
+0 ,1
0 ,0
5 ,4
5 ,6
5 ,8
0 ,9
0 ,3
—0 ,2
13
21,6
0,5
3 ,8
3 ,7
0 ,5
4 ,2
+0 ,1
0 ,0
4 ,3
4 ,3
4 ,4
0 ,5
0 ,1
0 ,0
14
24,6
0,0
3 ,0
3 ,0
0 ,4
3 ,4
0 ,0
0 ,0
3 ,4
3 ,4
3,4
0 ,4 1
0 ,0
0 ,0

§ 6. Формулы для вычисления высот и их исследование
Для вычисления нормальной высоты получим более удобную фор¬
мулу. Из (У.3.5) имеем
ьв= /^+-1. / (Т-Т»в)^«н-Л I (м-ч)М*-	№6.1)
(ОВ)	т т (ОВ)	Тт (ОВ)
Легко показать, что первый член этой формулы
/(т — Т тВ)Л^— /(Уо — 1ов)Мчг.
(ОВ)	(ОВ)
где *уо — нормальное значение силы тяжести на нормальном эллипсоиде
в переменной точке, ч0в — нормальное значение силы тяжести на нор¬
мальном эллипсоиде, соответствующее точке В. Действительно, с очень
большой точностью
/(т-ТлЛ^-	/(То-Тов)^=	/[(Т-То)-(Т„В-Тов)]^(г=
(ОВ)	(ОВ)	(ОВ)
— М + А йкф = 0.
Таким образом,
А*=/^ + -Ь/ (То-Тов)^ + Л	(VI11.6.2)
(ОВ)	Тт (дв)	Тт (ОВ)
Второй член правой части этой формулы представляет поправку за
непараллельность уровенных поверхностей нормального потенциала.
В качестве примера использования полученных формул рассмотрим
две модели. Для каждой модели вычислены истинные высоты тех или
иных точек ее поверхности, «измеренные» высоты, которые получились
бы путем воображаемых измерений нивелирных превышений на поверх¬
ности модели, а также значения силы тяжести и ее аномалий. Затем
вычислены ортометрические и нормальные высоты и проведено сравне¬
ние с истинными значениями высот. Такое сравнение позволяет получить
представление о точности вычисления ортометрических высот.
Модель № 1 (шар)
Модель № 1 описана выше (см. § 3 этой главы). Профиль нивели¬
рования выбран от уровня моря (точки О) до вершины горы (точки В)
в вертикальной плоскости, проходящей через точки О и В. Аномалии и
уклонения отвеса вдоль линии нивелирования выражены (УШ.3.1) и
(УШ.З.П)
&-т) = Д&^= 502,2^-лад, £ =	(УШ.б.З)
Го	го	То 'о
где Н — высота переменной точки над отсчетной поверхностью.
«Измеренные» высоты вычислены следующим образом. Элементар¬
ное нивелирное превышение (Игкоторое было бы получено из измере¬
ний, найдем по формуле (1.6.1)
ст„= йн—ъм.	(уш.6.4)
233

При помощи (VIII.6.3) получаем
где Со — высота геоида в точке О.
Для вычисления нормальной высоты воспользуемся формулой
(VIII.6.1). Для рассматриваемой модели у = const, и поэтому
Подставляя сюда (# — у) из (УШ.б.З) и отбрасывая члены порядка
квадрата аномалий, находим
Полученная формула совпадает с выражением для нормальной вы¬
соты через потенциал аномальной массы в точке В.
Вычислим ортометрическую высоту. Формула для ортометрической
высоты в рассматриваемом случае примет вид:
где Ьgm— средняя аномалия вдоль силовой линии от геоида до физи¬
ческой поверхности.
Первые два члена в формуле (УШ.6.6), как нетрудно видеть, опре¬
деляют нормальную высоту, которая была уже вычислена по формуле
(УШ.б.б). Таким образом, остается вычислить только последний член
в формуле (УШ.б.б). Произведем вычисление этого члена по способу
Нитхаммера (1932), описанному Красовским (1942).
Сущность этого способа заключается в том, что за среднюю анома-
Л
лию А £т принимают аномалию, вычисленную на высоте у следующим
образом:
1)	учитывают изменение силы тяжести на поверхности Земли вслед¬
ствие удаления всех внешних масс;
2)	измененную после первой операции силу тяжести редуцируют с
физической поверхности вниз на расстояние при помощи редукции
в свободном воздухе ^ . Эта операция, как убедимся на последующих
примерах, вносит основную часть ошибки, так как при этом не учиты¬
вают влияние внутренних аномальных масс;
3)	внешние массы восстанавливают на прежнем месте и затем учи¬
тывают их влияние на величину силы тяжести в средней точке.
Иначе говоря, для получения gm применяется редукция Прея без
учета аномалии вертикального 'градиента силы тяжести.
Сила тяжести в точке В равна То + ^о- Влияние внешних масс до¬
статочно точно определится нормальной составляющей притяжения полу-
шара в точке В.
(УШ.б.б)
(УШ.б.б)
(VIII.6.7)
где р — плотность шара.
234

Редукция ^ в свободном воздухе равна нулю, так как в однород¬
ном поле силы тяжести Я=оо. Притяжение сегмента шара с высотой
1
^ г0 определено выражением
) /о =	Д ёо.	(УШ.6.8)
Притяжение шарового слоя в этой точке равно
*/1* О + 4 /5 - ^з) г0 = (4 + ^ -	А • (УШ.6.9)
Таким образом, получим силу тяжести в средней точке
^ = То + у^2+ ^5-3^
и среднюю аномалию
А ёт = у ( ^2 +1/"5 -3) А ёо = 0,3251 Д *0.	(УШ.б.Ю)
Следовательно, последний член в (VII 1.6.6) равен
А ёт
То
ЬР
0,3251 А £0
То
г0 — 0,975 м,
я ортометрическая высота составляет
к в = ЬР —	кв = 5997,000 м — 0,975 м = 5996,025 м.
Г	щ.	НЭ
То
, Непосредственное вычисление точного значения ортометрической
высоты (через потенциал возмущающих масс) дает
Кв = '•о - Т- = 'о - Т ^ го = 5995,500 ж.
То	А То
Таким образом, на этом примере ошибка ортометрической высоты,
вычисленной по способу Нитхаммера, получается равной 0,525 м.
Теперь при вычислении средней аномалии Д^т примем, что внешние
массы представляют собой плоский слой
ж Д&, — 2 л/р г0 = — у А^о.
Тогда
кгв = 5997,000 м + 1,500 м = 5998,500 м.
Таким образом, ошибка в этом случае еще больше и равна —3,000 л/.
Модель № 2 (конус)
Модель № 2 описана в § 5. В данном случае у конуса несколько
искривлена образующая и аномальные массы увеличены в два раза.
Профиль нивелирования проходит от подножья конуса вдоль его
образующей до вершины. Высоты //, отсчитанные от отсчетной поверх¬
ности до точек профиля, даны в работе Еремеева (1951).
Измеренное превышение определяется формулой (УШ.6.4)
Начальная точка нивелирования (ее порядковый номер условно обо¬
значен нулем) находится на сфере, а не на уровне моря, поэтому ее вы¬
сота равна С0 ——0,8306 м, где Со'—высота геоида в этой точке.
235

Вычисление (§ — у) и 5 выполнено для средних точек,' т. е. для
/ = 50 му 150 м ит. д., а вычисление нормальных и ортометрических
высот — для четырех характерных точек — реперов.
Вычисление нормальной высоты. Как и в предыдущей
модели, поправка за непараллельность уровенных поверхностей нормаль¬
ного потенциала равна нулю.
Поэтому 2 (# —у) Д	для каждого репера определяет Н — Аиз:
Т*я
2(г —т) ДА^ = 0,044 л,
Т от 0
—	2 (£ — у) А = 0,094 м,
Тот О
—	2 (ё' —т)дл^ = 0,143.и,
Тот 0
—	2 (g — Y) Д = 0,470 л*.
Тот о
Нормальные высоты, вычисленные по формуле (VII 1.6.5), практи¬
чески не отличаются от их точных значений, вычисленных через потен¬
циал аномальных масс.
Вычислим ортометрическую высоту по способу Нитхаммера для вер-
уу
шины (IV). Задача состоит в вычислении аномалии на высоте уа
Вычитая из аномалии, «измеренной» на физической поверхности
Земли, притяжение всей внешней массы, т. е. внешнего шара, находим
ёв Т в	^ё\
Ту же величину аномалии мы должны принять для точки с высо-
„ Н
той у, поскольку эта точка в данном случае почти совпадает с центром
внешнего шара. Таким образом, средняя аномалия и численное ее зна¬
чение для нашего случая будут
А	* ёв “ У в ~ Ай = 300 мгл.	(УШ.6.11)
Следовательно,
1,240 .и.
ёт
Ортометрическая высота получается равной
кгв = Нв — —^-/гиз= 4047,114 — 1,240 = 4045,874 м.
ёт
Точное значение, вычисленное непосредственно через потенциал ано¬
мальных масс, равно 4044,618 м. Таким образом, погрешность ортомет-
рической высоты, вычисленной по способу Нитхаммера, получается рав¬
ной 1,256 м.
Еремеевым (1951) рассмотрена также третья модель, в которой
аномалии вызваны двумя точечными массами, равными по величине, но
противоположными по знаку. Обе массы расположены на одной верти¬
кали к отсчетной плоскости, поверхностью модели является часть сферы,
далее — отсчетная плоскость.
236

Результаты вычисления высот по всем моделям сведены в общую
таблицу.
Результаты вычисления высот (в метрах)
Модель
Измеренная
высота
(м)
Точные величины, вычис¬
ленные через потенциал
аномальных масс
Разности между вычислениями и
точными значениями
нормальная
высота по
рабочей
формуле
(лО
ортометрические высоты
по способу Нитхаммера
нормальные
высоты
(м)
ортометри¬
ческие вы¬
соты (м)
приближенно
(м)
точно
(ж)
№ 1
5995,500
5997,000
5995,500
0,000
-3,000
+0,525
№ 2 I
2198,306
2198,350
2198,229
0,000
—
—
II
2697,753
2697,846
2697,450
+0,001
—
—
III
2997,545
2997,688
2997,080
0,000
—
—
IV
4046,644
4047,114
4044,618
0,000
—
+1,256
№ 3
2991,834
2993,001
2992,684
—0,003
+0,133
—0,098
Из этой таблицы видно, что нормальные высоты во всех случаях по
рабочей формуле (УШ.6.1) вычисляются точно. Ортометрические высо¬
ты, вычисленные по способу Нитхаммера как точно, так и приближенно,
получены с ошибкой более полуметра даже в том случае, когда плот¬
ность и положение внешних масс точно известны.
В. Ф. Еремеев, 195!.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ VI
§ 7. Исправление результатов астрономо-гравиметрического
нивелирования
Для иллюстрации методики вывода высот квазигеоида по материа¬
лам большой астрономо-геодезической сети обратимся к рассмотрению
результатов астрономо-гравиметрического нивелирования СССР, полу¬
ченных в 1939 и 1943 гг. в ЦНИИГАиК.
В 1939 г. астрономо-гравиметрическое нивелирование было выпол¬
нено Б. В. Дубовским на эллипсоиде Бесселя, являвшемся тогда рефе-
ренц-эллипсоидом государственной триангуляции СССР. Триангуляцион¬
ная сеть была обработана по методу развертывания. Рассмотренные в
§ 8 главы I поправки, учитывающие систематические ошибки, не были
введены.
В 1943 г. астрономо-гравиметрическое нивелирование было повто¬
рено заново. Основное назначение повторной работы заключалось в том,
чтобы вычислить высоты базисов над тогда новым референц-эллипсои-
дом Красовского, а также определить положение этого эллипсоида по
высоте в исходном пункте триангуляции. Эта работа была проведена на
основе дополненного и целиком переработанного заново гравиметриче¬
ского материала. Для вычисления ориентировки нового эллипсоида
астрономо-геодезические уклонения отвеса были перечислены с эллип¬
соида Бесселя на эллипсоид Красовского, ориентированный по астроно¬
мическим данным в Пулкове. Астрономо-гравиметрическое нивелирова¬
ние 1943 г. выполнено на основе этих уклонений отвеса относительно
эллипсоида Красовского с ориентировкой £0 = т]0 = £0=0 в Пулкове.
237

Вся сеть астрономо-гравиметрического нивелирования была урав¬
нена методом последовательных приближении. Прежде всего уравнива¬
ние выполнено для узловых точек полигонов. Веса звеньев были приняты
обратно пропорциональными квадратам их длин. В тех случаях, когда
встречались звенья астрономического нивелирования (не обеспеченные
гравиметрической съемкой), вся невязка разверстывалась между этими
звеньями.
Таким образом, нивелирование 1943 г. было произведено по срав¬
нению с 1939 г. насколько возможно независимо: на разных эллипсои¬
дах, с другой разбивкой всей сети на полигоны, по вновь переработан¬
ным гравиметрическим материалам, по вновь составленным картам
изоаномалий. Кроме того, уравнивание результатов нивелирования про¬
ведено иным методом. Поэтому очень интересно сравнить между собой
результаты той и другой работы. Для этого мы выбрали профиль квази¬
геоида по параллели 52°30' от меридиана Пулкова до меридиана 100° от
Пулкова. В дальнейшем будем предполагать, что «развертывание» три¬
ангуляции при ее вычислении проведено с запада на восток вдоль этой
параллели. Это допущение в западной части параллели незаконно, но
там малы поправки; в восточной Же части оно близко к истине.
Формулы (1.8.13) выведены для дуги большого круга. В нашем же
случае, как мы допустили, триангуляция развернута вдоль параллели.
Вообразим себе конус с вершиной в центре сферы, секущий сферу по
данной параллели. Развернем этот конус на плоскость. При разверты¬
вании высоты квазигеоида сохранятся, условия вывода исходного диф¬
ференциального уравнения (1.8.9) не нарушатся, следовательно, оконча¬
тельная формула останется справедливой, если S = L cos В0, где L —
долгота, В0 — широта на данной параллели.
Следовательно, для дуги параллели формулы (1.8.13) можно запи¬
сать в таком виде:
С = N + R (Яо — Чо) sin (£ cos во) + Ко — N0) cos (L cos B0) +
L
-f- J Nsin [(/ — L) cos 50] cos Bedl,
о
R-q = Rq -f R(t¡0 — q0) cos (L cos B0) + (£0 - N0) sin (L cos B0) -f
L
-I- J Neos [(I — L) cos B0] cos B0dl.
о
В данном случае счет долгот ведем от точки, где заданы значения
(до—г10) и (Л/0 — С0). Примем в начальной точке профиля гю= и
£0 = ЛГо, так как накопление ошибок от Пулкова до этой точки очень
мало. Тогда
L
C = N-j- j Afsin [(/
о
L) cos В0\ cos B0dl
4 =
L
Я
+ J qcos[(l — L)
0
cos fí0] cos B0dl
(VIH.7.1)
Снятые с карты 1939 г. значения Л/^ вдоль параллели с широтой
52°30', отнесенные к эллипсоиду Бесселя, помещены в таблице, приве¬
денной ниже, во втором столбце. Значения УУв, заключенные в скобки,
238

получены приближенно (экстраполяцией), так как в этих местах ряд
триангуляции уходит от параллели 52°30' к северу. Чтобы точнее выпол¬
нить интеграцию, основную часть представим в аналитическом виде,
совершив переход к эллипсоиду Красовского. Тогда
ЛГ£=Д£ + Л7;,	(УШ.7.2)
где
Д£ = х0 cos В cos L +.у0 cos В sin L + z0 sin В + (A a — A b) cos8 В -f- A b,
Уо ~~
числовые значения Хо, 20, Да и Ai приведены в § 8 главы I.
Таким образом, получим (значения Nb, Д£ и в метрах)
L
Ne
4С
0
+ 8.9
+ 6,91
+ 2,0
10
+ 8,2
+ 11,08
- 2,9
20
+ 12.3
+ 23,46
—11,2
30
+ 24.5
+ 43,68
—19,2
40
+ 40,0
+ 71,12
—31,1
50
+ 61,8
+104,94
—43,1
60
Í+ 98,5)
+144,12
(-45,6)
70
(+147.9)
+187,48
(-39,6)
80
+208,9
+233,69
—24,8
90
+279,4
+281,34
- 1.9
100
+350,0
+328,99
+21.0
Подставив (VIII.7.2) в первую из формул (VIII.7.1) и выполнив
интегрирование, получим для высоты квазигеоида над эллипсоидом
Бесселя
SB = AC + AV + c + rf,	(VIII.7.3)
где
L
c=jN¿ sin [(/ — L) cos 50] cos B0dl,
о
d = -Х°-С°Д- ° - [cos L - cos (I cos £„)] +
SlirZ?0	\	U/J I
+ [zcsinBq + (Да — Д b)cos2£0 + Д b] [cos (L cos B0) — 1].
Третий член формулы (VIII.7.3) вычислен численным интегрирова¬
нием следующим образом:
С ~ — s {N¿)n [cos {(¿ — Ln) cos B0} - cos {(¿ — Ln_x) cos B0}] =
= - ДI cos B0 2 sin [{L — ln) cos B0].	(VIII.7.4)
П
Наименьшее значение L — Ln составляет 0o, наибольшее значение
L—Ln-X равно L; вычисления по формуле (VIII.7.4) выполнены при
Ln — Ln_x = 10° и при Al = Ln — ¿я_1=2°,5, соответствующие средние
значения (Л7А')Я—на интервалах L„— Ln_x и значения N¿ при / = /я
сняты с графика, построенного по данным приведенной выше таблицы.
239

В пределах точности вычислений эти три ряда значений с совпали. Зна¬
чения с даны в приведенной ниже таблице.
L
c
d
£s
(£/+939
(N/+943
(£/r~n¿)1943
i
1 (£/+943
1
0°
0,00
0,00
0,00
+ 8,9
+ 2,0
+ 2,3
0,00
+ 2,3
10
0,00
— 0,04
— 0,04
+ 8,2
— 2,9
— 2,3
—0,01
— 2,3
20
+
0,03
— 0,22
— 0,19
+ 12,1
-11,4
-11,1
+0,02
-11,1
30
+
0,19
— 0,66
— 0,47
+ 24,0
—19,7
— 16,0
+0,16
—15,8
40
+
0,58
— 1,60
— 1,02
+ 39,0
-32,1
—28,0
+0,49
—27,5
50
+
1,30
— 3,32
— 2,02
+ 59,8
—45,1
—38,9
+ 1,13
—37,8
60
+
2,48
— 6,20
— 3,72
(+ 94,8)
(-49,3)
(-37,0)
+2,19
(-34,8)
70
+
4,14
—10,64
— 6,50
(+141,4)
(-46,1)
(-39,0)
+3,64
(-35,4)
80
+
6,20
—17,07
—10,87
+ 198,0
—35,7
—33,8
+5,47
—28,3
90
+
8,42
—25,95
—17,53
+261,9
— 19,4
—20,3
+7,62
—12,7
100
+10,58
—37,71
—27,13
+322,9
- 6,1
—11,2
+9,22
- 1,3
Значения всех величин даны в метрах. Через (Л^Л)1943 обозначены
значения N, полученные в 1943 г., а через (С*) 1943 — высоты квази¬
геоида по результатам 1943 г. Величины (— Nk) вычислены по
формуле
L
£>k — Nk = J Л/* sin [(/ — L) cos/?0] cos Bfidl'x,
о
~ - 2 {Nk)n [cos {(L — Ln) cos B0) — cos {(L — Ln^) cos B0}] ж
ж ~ Д / cos 30 S (Nk)n sin [(L - ln) cos B0\.
Интервал L был разбит на участки так же, -как при вычислениях по
формуле (У111.7.4).
Для контроля мы можем воспользоваться формулой (1.8.17), кото¬
рую в нашем случае напишем в виде
. L L
Z = N — co&2B0f di J С di.
о о
(VI11.7.5)
Для облегчения численной интеграции при проверке значений
Ся—Л/в формулу (У1И.7.5) преобразуем
^б — Nb—cos2В0 J dl J At; di - cos2 В0 J di J ;kdl, (VI11.7.6)
причем
L L
cos2 B0
a; di =
— COS2 В0
L2
cos L) cos £0+	[z0 sin B0 + (Д a. — Д b) cos2 B0 +
Ab]
f
240

Результаты контроля приведены ниже.
L
ел
а-.
• о
*5
с
аэ
0
и
1
Расхожде¬
ние в
поправке
чз
kj>
«3
	>©
э©
о
QQ
СМ
to
0
и
1
43
а»
со
os
и»
	>о
43
е
GQ
см
со
0
и
1
£Б—
Расхожде¬
ние в
поправке
0
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
10
—0,01
0,00
— 0,04
— 0,01
— 0,05
—0,01
20
+0,02
0,00
— 0,22
+- 0,03
— 0,19
0,00
30
+0,16
0,00
— 0,67
+ 0,19
— 0,48
—0,01
40
+0,49
0,00
— 1,61
+ 0,58
— 1,03
-0,01
50
-И. 14
+0,01
— 3,37
+ 1,33
— 2,04
—0,02
60
+2,19
0,00
- 6,32
+ 2,59
— 3,73
—0,01
70
+3,64
0,00
—10,89
+ 4,40
— 6,49
+0,01
80
+5,49
+0,02
— 17,59
+ 6,72
—10,87
0,00
90
+7,64
+0,02
—26,93
+ 9,43
—17,50
+0,03
100
+9,93
+0,01
—39,44
+12,35
—27,09
+0,04
Таким образом, в пределах точности численного интегрирования
поправки совпадают.
Как видим, рассмотренная здесь поправка существенно исправляет
результат. Без учета ее было бы необъяснимо противоречие между ре¬
зультатами вычислений 1939 и 1943 гг. Величина поправки, которая
оказалась порядка определяемой величины Z, вычислена достаточно
точно.
М. С. Молоденский, 1944.
М. С. Молоденский, 1945, § 26.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ VII
§ 8. Оценка точности палетки
Проверку точности численного интегрирования при помощи палетки,
рассчитанной для вычисления высот квазигеоида и уклонений отвеса,
целесообразно провести на таком поле аномалий, влияние которого точно
известно. Чтобы не преуменьшать ошибку интегрирования, нужно выб¬
рать поле с достаточно большими и быстро меняющимися аномалиями.
Простым и пригодным для испытания палетки является поле аномалий
от точечной массы, погруженной под плоскостью. Непосредственное вы¬
числение уклонения отвеса, вызываемого аномалиями внутри окружно¬
сти с заданным радиусом, можно в этом случае выполнить достаточно
точно.
Точное значение уклонения отвеса от ограниченной области
получим как разность полной величины уклонения отвесной линии и
влияния поля аномалий вне круга радиуса г0. Если расстояние точки,
в которой нужно определить аномалию от центра поля аномалий
16 Труды ЦНИИГАиК, вып. 131
241

равно р, а глубина погружения точечной массы равна а, то аномалию
в этой произвольной точке поля можно выразить так:
(У111.8.1)
Полагая здесь
3/ a2Ag
С08а=К ~/ЙГ'
получаем
(УШ.8.2)
Для испытания палетки в области 0—5 км принято а = 3 км,
= 100 мгл. Приведем радиусы окружностей (в километрах) равных
аномалий (в миллигалах), вычисленные по формуле (УШ.8.2).
Р
Р
д£
Р
100
0,00
65
1,73
30
3,33
95
0,56
60
1,91
25
3,70
90
0,81
55
2,10
20
4,16
85
1,02
50
2,30
15
4,78
80
1,20
45
2,52
10
5,72
75
1,38
40
2,75
5
7,57
70
1,55
35
3,02
2
10,64
Определим уклонение отвеса в точке, расположенной на расстоянии
а от центра поля аномалий. Выразив рв (У1П.8.1) через * = ~ и под¬
ставив Ag в формулу Венинг-Мейнеса (для плоского случая), после
замены а = п — 2 ¡3 найдем
д? = +
1
2 тсу
/т °г	(¿х
а? J х2[1 + (Г+х)а]‘/2
*0
п
-2 К02
]■
где параметр эллиптических интегралов первого и второго рода
& =
Ах
1+(1+*)2 '
Заменяя	> получаем
д?=+
1	я
1 А* 1 Г Ли Г-дА , 1 N
2*Г «2 х0] [1 + (1 + д)8]1/* | 0 \ ^ к'У
Уклонение отвеса от аномалий области от 5 км до со, вычисленное
по этой формуле, получилось Дс = + 0",716. Значение интеграла в этой
формуле вычислено численным интегрированием по формуле Гаусса с
пятью ординатами. Полное влияние на уклонение отвесной линии в точке
В от возмущающей точечной массы в нашем случае равно +7",434. Та-
242

ким образом, влияние центральной области радиусом в 5 км на укло¬
нение отвеса составляет: 7",434— 0",716 =6",718.
Формула для учета влияния центральной зоны с пятью ординатами
(глава VII, § 9) дает +6",73. При определении влияния центральной
зоны по формуле Гаусса с тремя ординатами мы нашли +6",91. Учиты¬
вая влияние центральной зоны только по градиентам, т. е. по формуле
оо
Д^ = — 0",02628 2 ^goкcosak,
к= 1
где Дg0K — значение аномалии на окружности радиуса г0 — 5 км в Л-ой
TZ h
точке, cLk— — y мы получили Д£ = -{-3",17. В последнем случае полу¬
чается совершенно неправильный результат.
Для проверки точности численного интегрирования в других зонах
радиусы зон палетки, описанной в § 9 главы VII, рассчитаны для пло-
поверхности
(в
километрах):
5,0
49,0
208,1
657,7
I
VII
XII
XVIII
7,3
71,7
261,5
773,5
II
VIII
XIII
XIX
10,7
104,9
328,6
917,9
III
IX
XIV
XX
15,7
131,8
389,9
1089,4
IV
X
XV
XXI
22,9
165,7
462,7
1292,9
V
XI
XVI
XXII
33,5
208,1
549,2
VI
XVII
Результаты сравнения точных значений уклонений отвеса с вычис¬
ленными при помощи палетки оказались следующими:
Область
Точное
значение
Вычисленное
палеткой
Ошибка
интегрирования
0— 105 км
—6",717
—6я', 728
о
о
+
0— 329
-6 ,717
-6 ,713
—0 ,004
0—1293
—6 ,717
—6 ,710
—0 ,007
Для оценки точности учета региональных влияний при вычислении
высоты квазигеоида при помощи палетки, описанной в § 9 главы VII,
поле аномалий на «регуляризированной Земле» задано в виде
Д ёв0 = Рв =	(6435 cos 8 -Э* —(— 3432 cos 6 & + 2772 cos 4 Э- +
+ 2520 cos 2 & +1225).
Ряд Стокса в этом случае определяет точное значение £ высоты
геоида. Для полюса имеем
С =	(Д <?8)о = 0,9289 м.
Выражение Д^8 использовано для вычисления аномалий в средних
точках участков палетки (азимуты этих точек равны среднему азимуту
участка, полярные расстояния — среднему из радиусов зоны) и средних
интегральных значений аномалий на участках. Разница между этими
значениями аномалий оказалась пренебрегаемой.
16*
243

Влияние дальних зон составляет
ДС = ^(Д&)о<?8.
Значения Q8 приведены в § 3 главы VII.
Для оценки точности численного интегрирования при вычислении
уклонения отвеса поле аномалий на «регуляризированной Земле» задано
в виде
Q сos а
= Р* cos « = Уо48 (715 s¡n 8 в- + 286 sin 6 в- +
+ 154 sin 4 $ + 70 sin 2 -ft).
Точное значение уклонения отвеса в азимуте 180° на полюсе
в этом случае составляет
Г= Г?	= 71 • 5ТГ С 430 cos 8 ^ + 429 cos 6 “■ +
+ 154 cos 4 & + 35 cos 2 ft) = 1 ",0827.
Разница между значениями аномалий в средних точках участков и
средними интегральными значениями аномалий снова оказалась прене¬
брегаемой.
Члены, вычисляемые по контуру (см. VII.3.5), дают
1
85 = 2^(ф0)Р81].
где
Р (Фо) = у sjn Фо 5 (с05 Фо).
^(Фо)юоо = 1,2244,
Р (Фо)2000 ““ 1,0166.
(^81)1000 = 4,4949,
{Р81)2000 — 3,8717. ^
Влияние дальних зон составляет
244

Результаты вычислений представлены в таблице
Высота
геоида
Уклонение
отвеса
Радиус учета аномалий
1000 км
2000 км
1000 км
2000 км
Полное значение (точное)
0,9289 м
0,9289 м
Г, 0827
Г',0827
Влияние дальних зон
-0,1040 ,
—0,3827 ,
-0 ,1213 -
-0 ,4460
Влияние аномалий на контуре
—
—
0 ,5793
0 ,4143
Ожидаемый точный результат
интегрирования палеткой
1,0329
1,3116
0 ,6247
1 ,1144
Получено палеткой
1,0317
1,3085
0 ,6231
1 ,1140
Погрешность
0,0012
0,0031
0",0016
0 ,0004
Погрешность (%)
0,12%
0,24%
0 ,26%
0 ,04%
В. Ф. Еремеев. Расчет палетки для вычисления высот квазигеоида и укло¬
нений отвеса по формулам Стокса и Венинг-Мейнеса. Труды ЦНИИГАиК. Вып. 121,
1957.

ЛИТЕРАТУРА
Байбородин А. И. К вопросу о выводе ошибок представительства и интер¬
поляции. Труды ЦНИИГАиК. Вып. 86. М., Геодезиздат, 1951.
Б ров ар В. В. Оптимальное распределение гравиметрических пунктов для вы¬
вода уклонений отвеса. Труды МИИГАиК. Вып. 8. М., 1950.
БроварВ. В. и Ло Мин- цзинь. К постановке гравиметрической съемки
в КНР. «Acta geodetica et cartographica sínica», 2, № 4, 1958.
Говорова Л. А. К вопросу об ошибках представительства и интерполяции
аномалий силы тяжести. Сборник рефератов ЦНИИГАиК. Вып. 4. М., 1955.
Говорова Л. А. О составлении карт изоаномал силы тяжести с редукцией
в свободном воздухе. Сборник рефератов ЦНИИГАиК- Вып. 8. М., 1957.
Еремеев В. Ф. Вычисление поправок за уклонение отвесных линий в астро¬
номические координаты пунктов, используемых в качестве обоснования топографи¬
ческих съемок мелких масштабов. Сборник статей ГУГК. Вып. VIII. М., Геодезиздат,
1945.
Еремеев В. Ф. Применение способа моделей к исследованию формул, опре¬
деляющих фигуру Земли. Труды ЦНИИГАиК. Вып. 75, М., Геодезиздат, 1950.
Еремеев В. Ф. Сравнение двух способов астрономо-гравиметрического ниве¬
лирования. Труды ЦНИИГАиК. Вып. 75. М., Геодезиздат, 1950.
Еремеев В. Ф. Теория ортометрических, динамических и нормальных высот.
Труды ЦНИИГАиК. Вып. 86. М., Геодезиздат, 1951.
Еремеев В. Ф. и Звонов В. И. О системе высот нивелирной сети СССР.
Труды ЦНИИГАиК. Вып. 96. М., Геодезиздат, 1953.
Еремеев В. Ф. К вопросу вычисления поправок за уклонение отвесных ли¬
ний в измеренные горизонтальные направления. Сборник рефератов ЦНИИГАиК,
№ 2, 1954.
Еремеев В. Ф. и Юркина М. И. Динамические высоты и их применение.
Сборник статей по геодезии. Вып. 10. М., Геодезиздат, 1955.
Еремеев В. Ф. и Юркина М. И. Определение фигуры и размеров Земли
по астрономо-геодезическим и гравиметрическим материалам. Труды ЦНИИГАиК.
Вып. 103. М., Геодезиздат, 1954.
Еремеев В. Ф. Таблицы для вычисления уклонений отвесных линий на физи¬
ческой поверхности Земли и высот квазигеоида. Труды ЦНИИГАиК- Вып. 121. М.„
Геодезиздат, 1957.
Еремеев В. Ф. и Юркина М. И. Учет влияния дальних зон на высоту
квазигеоида и уклонения отвеса. Труды ЦНИИГАиК. Вып. 121. М., Геодезиздат, 1957.
Еремеев В. Ф. Расчет палетки для вычисления высот квазигеоида и укло¬
нений отвеса по формулам Стокса и Венинг-Мейнеса. Труды ЦНИИГАиК. Вып. 121.
М., Геодезиздат, 1957.
Еремеев В. Ф. Формулы и таблицы для вычисления геодезических координат
по методу Молоденского. Труды ЦНИИГАиК. Вып. 121. М., Геодезиздат, 1957.
Жонголович И. Д. Условия применения классической формулы Стокса.
Бюллетень 1ИТА, 4, № 6 (59), 1949.
Жонголович И. Д. Некоторые стоксовы постоянные для уровенного трех¬
осного эллипсоида. Бюллетень ИТА, 4, № 8 (61), 1950.
Жонголович И. Д. Внешнее гравитационное поле Земли и фундаменталь¬
ные постоянные, связанные с ним. Труды ИТА, № 3, 1952.
Жонголович И. Д. Об определении размеров общего земного эллипсоида.
Труды ИТА, No 6. 1956.
Загребин Д. В. Уровенный трехосный эллипсоид и сила тяжести на его
поверхности. М.-Л., изд-во АН СССР, 1948.
Загребин Д. В. Теория регуляризованного геоида. Труды ИТА, № 1, 1952.
Зверев М. С. Гравиметрические работы в СССР. «XX лет советской геодезии
и картографии». М., 1939.
246

Идельсон Н. И. Определение фигуры Земли по наблюдениям силы тяжести.
Доклады VII конференции Балтийской геодезической комиссии, № 1, М.-Л., Горгео-
нефтеиздат, 1934.
Идельсон Н. И. Теория потенциала с приложениями к теории фигуры Земли
и геофизике. Л.-М., ОНТИ, 1936.
Котляков Н. С. Применение метода Green’a к решению основной задачи
гравиметрии. Труды физико-математического института им. В. А. Стеклова, 4,
№ 71—76, 1933.
Красовский Ф. Н. Соображения по установлению эллипсоида для геодези¬
ческих работ СССР. Доклады VII конференции Балтийской геодезической комиссии.
Вып. И. М-Л., Горгеонефтеиздат, 1934.
Красовский Ф. Н. Избранные сочинения. Т. I. М., Геодезиздат, 1953.
Красовский Ф. Н. Руководство по высшей геодезии. Ч. II. М., Геодезиздат,
1942.
Кузиванов В. А. Об аналитическом продолжении гравитационного потен¬
циала во внутреннюю область. Известия АН СССР. Серия геофизическая, № 12, 1956.
Магницкий В. А. Исследование широких волн геоида путем совместного
использования геодезических и гравиметрических данных. Известия АН СССР. Серия
географическая и геофизическая, 12, № 3, 1948, стр. 213—216.
Макаров Н. П. К вопросу о редукции силы тяжести для определения фигу¬
ры геоида. Ученые записки КГУ, 1936, 96, № 8.
Макаров Н. П. Определение положения уровенной поверхности (геоида) с
применением различных методов редукции силы тяжести. Вестник Военно-инженерной
Краснознаменной академии имени В. В. Куйбышева, 81, Военно-топографический
сборник, 1955.
Макаров Н. П. Определение высот точек местности из гравиметрических
наблюдений. Вестник Военно-инженерной Краснознаменной академии имени В. В. Куй¬
бышева, 101, Военно-топографический сборник, XIII, 1956.
М а л к и н Н. Р. Об определении фигуры геоида регуляризированной и нерегу-
ляризированной Земли. Астрономический журнал, И, № 5, 1934, стр. 497—503.
Малкин Н. Р. Вывод формул Сомильяна и Клеро при помощи криволиней¬
ных координат. Астрономический журнал, 16, № 1, 1939, стр. 73—76.
Малкин Н. Р. Об обобщении формулы Стокса. Астрономический журнал, 18,
№ 4—5, 1941, стр. 347—349.
Малкин Н. Р. Об условиях применимости формулы Стокса к определению
фигуры Земли по наблюдениям силы тяжести. Доклады АН СССР, 35, № 1, 1942,
стр. 9—11.
Ми га л ь Н. К. Об определении аномалий силы тяжести по астрономо-геоде¬
зическим отклонениям отвеса. Доклады АН СССР, 21, № 5, 1938, стр. 236—238.
МигальН. К. О выборе экваториальной постоянной в нормальной формуле
силы тяжести Земли. Астрономический журнал, 16, № 2, 1939, стр. 44—46.
Мига ль Н. К. Теория совместного определения фигуры и размеров Земли.
Научные записки Львовского политехнического института. Вып. 15. Серия геодези¬
ческая, № 1, 1949.
Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.,
Издательство иностранной литературы, 1957.
Михайлов А. А. О применении формулы Стокса и редукциях силы тяжести.
Доклады советских делегаций VIII и IX конференциям Балтийской геодезической
комиссии. М., 1937.
Михайлов А. А. Курс гравиметрии и теории фигуры Земли. М., Редбюро
ГУГК при СНК СССР, 1939.
Михайлов А. А. Замечание по поводу статьи Н. К. Мигаля «О выборе эква¬
ториальной постоянной в нормальной формуле силы тяжести Земли». Астрономиче¬
ский журнал, 16, № 2, 1939, стр. 47—48.
Михайлов А. А. О применении формулы Стокса для определения фигуры
геоида. Астрономический журнал, 17, № 1, 1940.
Михайлов А. А. Таблицы для приведения силы тяжести по методу конден¬
сации. Ученые записки МГУ. Вып. 101, 1945.
Моисеев Н. Д. Об определении фигуры геоида нерегуляризированной Земли.
Астрономический журнал, 10, № 4, 1933, стр. 421—429.
М о и с е е в Н. Д. Об определении отклонения отвеса для нерегуляризированной
Земли. Астрономический журнал, И, № 4, 1934, стр. 379—384.
Моисеев Н. Д. О проблеме нерегуляризированной Земли. Астрономический
журнал, 12, № 4, 1935, стр. 372—375.
МолоденскийМ. С. О редукциях силы тяжести к уровню моря для нере¬
гуляризированной Земли. Труды ЦНИИГАиК. Вып. И. М., Редбюро ГУГК при СНК
СССР, 1936.
Молоденский М. С. К вопросу об определении фигуры геоида нерегуля¬
ризированной Земли. Астрономический журнал, 13, № 4, 1936, стр. 351—354.
247

Молоденский М. С. Определение фигуры геоида при совместном исполь¬
зовании астрономо-геодезических уклонений отвеса и карты аномалий силы тяжести.
Труды ЦНИИГАиК. Вып. 17. М., Редбюро ГУГК при СНК СССР, 1937.
Молоденский М. С. и Лозинская А. М. Астрономо-гравиметрическое
нивелирование по 51-й и 55-й параллелям от 30-го до 56-го меридиана. Сборник
ЦНИИГАиК. Вып. 3. М., Редбюро ГУГК при СНК СССР, 1939.
Молоденский М. С. Основные вопросы, связанные с выполнением астро-
номо-гравиметрического нивелирования на большой территории. Сборник статей
ГУГК. Вып. IV. М., Геодезиздат, 1944.
Молоденский М. С. Роль геофизики и геологии в исследовании фигуры
Земли. Сборник статей ГУГК. Вып. VIII. М., Геодезиздат, 1945.
Молоденский М. С. Основные вопросы геодезической гравиметрии. Труды
ЦНИИГАиК. Вып. 42. М., Геодезиздат, 1945.
Молоденский М. С. Внешнее гравитационное поле и фигура физической
поверхности Земли. Известия АН СССР. Серия географическая и геофизическая, 12,
№ 3, 1948.
Молоденский М. С. Приближенный способ решения уравнения, опреде¬
ляющего фигуру квазигеоида. Труды ЦНИИГАиК. Вып. 68. М., Геодезиздат, 1949.
Молоденский М. С. Изучение фигуры Земли геометрическим (астрономо¬
геодезическим) методом. Сборник статей ГУГК. Вып. XXVII, 1949; Труды
ЦНИИГАиК, вып. 75, М., Геодезиздат, 1950.
Молоденский М. С. К постановке астрономо-гравиметрического нивелиро¬
вания в СССР. Труды ЦНИИГАиК. Вып. 75. М., Геодезиздат, 1950.
Молоденский М. С. Метод совместной обработки гравиметрических и гео¬
дезических материалов для изучения гравитационного поля Земли и ее фигуры. Тру¬
ды ЦНИИГАиК. Вып. 86, 1951; Сборник статей ГУГК. Вып. 30. М., Геодезиздат, 1950.
Молоденский М. С. Новый метод решения геодезических задач. Труды
ЦНИИГАиК. Вып. 103. М., Геодезиздат, 1954.
Молоденский М. С. Решение задачи Стокса с относительной погрешностью
порядка квадрата сжатия Земли. Труды ЦНИИГАиК. Вып. 112. М., Геодезиздат, 1956.
Молоденский М. С. Исследование решения задачи Стокса с относительной
погрешностью порядка квадрата сжатия Земли. Труды ЦНИИГАиК. Вып. 112. М.,
Геодезиздат, 1956.
Молоденский М. С. Новые методы изучения фигуры Земли. «Геодезия и
картография» № 11, 1957.
Молоденский М. С. Современные задачи изучения фигуры Земли. «Геоде¬
зия и картография» № 7, 1958.
Пеллинен Л. П. К вопросу о приведении базисов триангуляции к эллипсоиду
относимости. Труды ЦНИИГАиК. Вып. 94. М., Геодезиздат, 1953.
Перцев Б. П. О решении задачи Стокса с относительной погрешностью по¬
рядка квадрата сжатия Земли. Труды ЦНИИГАиК. Вып. 112. М., Геодезиздат, 1956.
Пицетти П. Основы механической теории фигуры планет. Перевод с италь¬
янского А. А Михайлова. М.-Л., Гостехтеоретиздат; 1933.
Салтыков В. Н. О решении интегрального уравнения Н. Моисеева, опреде¬
ляющего фигуру нерегуляризированного геоида. Доклады АН СССР, 16, № 3, 1937,
стр. 143—147.
Салтыков В. Н. О преобразовании интегрального уравнения нерегуляризи¬
рованного геоида Моисеева в квази-стоксовой форме. Доклады АН СССР, 16, N® 3,
1937, стр. 147—150.
Слудский Ф. А. Общая теория фигуры Земли. Математический сборник.
М., 13, № 4, 1888. стр. 633—706.
Слудский Ф. А. Лекции по высшей геодезии. М., 1894.
Сретенский А. Н. Теория ньютоновского потенциала. М.-Л., Гостехиздат,
1946.
Тирон И. М. Исследование точности формулы Венинг-Мейиеса для опреде¬
ления уклонений отвесных линий. «Геодезия и картография» № 11, 1958.
Тирон И. М. Исследование точности формул Стокса и Венинг-Мейнеса. Воен¬
но-инженерная Краснознаменная академия имени В. В. Куйбышева. Диссертация,
1958.
Тихонов А. Н. и Самарский А. А. Уравнения математической физики.
М., Гостехтеоретиздат, 1953.
Шерман Д. С. Наставление по камеральной обработке базисов I и II клас¬
сов. М., Геодезиздат, 1950.
Фан Цзюнь. Палетка для вычислений по астрономо-гравиметрическому ниве¬
лированию. «Scientia sínica», 7, № 12, 1958. Acta geodetica et cartographica, № 4, 1958;
3, Ко 3, 1959.
Юркина M. И. Методы исследования фигуры Земли в горном районе. Труды
ЦНИИГАиК. Вып. 103. М., Геодезиздат, 1954.
248

Юркина М. И. Эллиптическая палетка М. С. Молоденского для вычисления
превышений квазигеоида. Труды ЦНИИГАиК. Вып. 121. М., Геодезиздат, 1957.
Bullard Е. С. The gravity measurements in east Africa. Phil.Trans. R. Soc., London
ser. A, 1936, 235.
Bruns H. Die Figur der Erde. Veröff. des königl. Preuß. Geod. Inst. Berlin, 1878.
Cassinis G., Dore R., Bailarín S. Tavole fondamentali per la riduzione dei valori osser-
vati della gravita. R. Politechnico Milano. Publicazioni dell’ Istituto di Topografía e Geodesia,
№ 22, 1937. Pavia.
Graaff Hunter J. de. Geodetic report, Survey of India, 1934, p. 142.
Graaff Hunter J. de. The figure of the Earth from gravity observations and the preci¬
sion obtainable, Philosophical transactions of the Royal societv of London, Series A, 1935,
234, jMb 743, 377—431.
Grunert J. A. Archiv der Mathematik und Physik mit besonderer Rücksicht auf die
Bedürfnisse der Lehrer an höheren Unterrichtsanstalten. Greifswald, 1855.
Helmert F. R. Die mathematischen und physikalischen Theorien der höheren Geodäsie
Leipzig, 1884.
Idelson N., Malkin N. Die Stokessche Formel in der Geodäsie als Lösung einer Rand¬
wertaufgabe. Gerlands Beiträge zur Geophysik, 1931, Bd 29, Heft 2, 156—160.
Idelson N. Die Integralgleichung der physikalischen Geodäsie. Gerlands Beiträge zur
Geophysik, 1933, Bd 40, Heft 1, 24-28.
Idelson N., Malkin N. Sur la formule de Stokes pour la distance entre le géoïde et
l’ellipsoïde. Бюллетень Астрономического института, №26, 68—70.
Jeffreys H. An application of the free-air reduction of gravity. Gerlands Beiträge zur
Geophysik, 1931, Bd 31, Heft 4, 378—386.
Jeffreys H. On the figure of the Earth. Gerlands Beiträge zur Geophysik, 1932, Bd 36,
Heft 2-3, 206-211.
Jeffreys H. The Earth. Cambridge, 1952.
Jeffreys IT. The determination of the Earth's gravitational field, M. N. R. A. S., Geo¬
physical Suppl., 1941, № 5, 1—22; 1943, 5, № 3.
Lambert W. D. and Darling F. W. Tables for determining the form of the geoid and
its indirect effect on gravity. Washington, 1936.
Malkin N. Über die Bestimmung der Figur der Erde. Gerlands Beiträge zur Geophy¬
sik, 1935, Bd 45, Heft 1—2, 133—147.
Malkine N. Sur la détermination du géoïde d'après les observations gravimétriques.
Астрономический журнал, 1939, 16, № 1, 67—72.
Moisseiev N. Über die Bestimmung der Figur des Geoids der nichtregularisierten
Erde. Gerlands Beiträge zur Geophysik, 1934, Bd 42, Heft 2—3, 279—290.
Molodenski M. S. Bestimmung der Gestalt des Geoids unter gemeinsamer Anwendung
astronomisch-geodätischer Lotabweichungen und Schwerestörungen. Verhandlungen der
neunten Tagung der Baltischen geodätischen Kommission, Helsinki, 1937.
Molodenski M. S. Grundbegriffe der geodätischen Gravimetrie. VEB Verlag Technik.
Berlin, 1958.
Molodensky M. S. New methods of studying the figure of the Earth. Bulletin géodési-
que, № 50, 1958*
Molodensky M. S. Deducing Stokes’s formula with a relative error of the flattening.
Bulletin géodésique, № 50, 1958.*
Niethammer T. Nivellement und Schwere als Mittel zur Berechnung wahrer Meereshö¬
hen. Veröffentlichungen der Schweizerischen Geodätischen Kommission. Bern. 1932.
Poincaré H. Sur les déviations de la verticale en géodésie. Bulletin astronomique, 1901,
18, 257—276.
Poincaré H. Les mesures de la gravité en Géodésie. Bulletin astronomique, 1901,18, 1—39.
RySavÿ Josef. Vy§Si geodesie. Praha, 1947.
Stokes G. G. On the variation of gravity at the surface of the Earth. Transactions of
Cambridge Philosoph. Society, 1849, 8; Coll. Works, Cambridge, 1883, 2.
Tanni. On the isostatic structure of the Earth’s crust phenomena. Publications of the
Isostatic Institute of Helsinki, 1942.
Vening Meinesz F. A. A formula expressing the deflection of the plumb-line in the
gravity anomalies and some formulae for the gravity-field and the gravity-potential outside
the geoid. Koninklijke akademie van wetenschappen te Amsterdam, Proceedings of the
section of sciences, 1928, 31, № 3, 315—331.
* В статье содержится большое количество опечаток.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение	3
Vorwort	Ь
Глава I. Геометрический метод изучения фигуры физической
поверхности Земли	...	14
§ 1.	Принципиальные основы метода ...	14
§ 2.	Геодезическая система координат	 15
§ 3.	Дифференциальные формулы для перехода к новой координатной системе	20
§4. Геодезические построения при помощи прямых линий	 24
§ 5.	Дифференциальные формулы геодезических обратной и прямой задач	28
§ 6	Общий принцип определения высот	 30
§ 7.	Редукционные задачи	 32
§ 8. Взаимная связь между тремя геодезическими координатами в методах
проектирования и развертывания триангуляции ....	...	36
Глава II. Нормальное гравитационное поле	Земли .	44
Глава III. Геоид регуляризированной Земли	52
§ 1. Некоторые соотношения между значениями гармонической функции и ее
производных	 52
§ 2.	Основные зависимости для регуляризированной	Земли	 55
§ 3. Решение задачи Стокса с относительной погрешностью порядка квадрата
сжатия Земли	* .>	59
Глава IV. Геоид нерегуляризированной Земли	. \ 66
§ 1.	Формула Моисеева .	.	.68
§ 2.	Формула Малкина .	.72
§ 3.	Формула Молоденского	 74
§ 4. Сравнение прямого метода решения с методом промежуточной регуляри¬
зации 	   76
Глава V. Внешнее гравитационное поле и фигура Земли .	79
§	1.	Неопределенность геоида и редукций на геоид	79
§	2.	Фигура физической поверхности Земли ...	81
§	3.	Нормальные высоты	 82
§	4.	Квазигеоид	 84
§	5.	Криволинейные ортогональные координаты ...	87
§	6.	Преобразование формулы Грина	 93
§	7.	Вывод интегро-дифференциального уравнения для ~	94
§	8.	Вывод линейного интегрального уравнения для £ .	99
§	9.	Условия существования решения ....	101
§	10.	Сферическая отсчетная поверхность ....	105
§	11.	Общее решение	 109
§	12.	Представление внешнего поля через плотность поверхностного слоя .	110
§	13.	Эллипсоидальная отсчетная поверхность ....	111
§	14.	Градусные измерения	 119
§	15.	Решение основного уравнения ...	123
250

Глава VI. Астрономо-гравиметрическое нивелирование	130
§ 1. Астрономическое нивелирование высот	квазигеоида	.	....	130
§ 2.	Сущность астрономо-гравиметрического нивелирования	132
§ 3.	Оценка предельной ошибки интерполяции уклонений отвеса ....	135
§ 4.	Оценка предельной ошибки астрономо-гравиметрического нивелирования	.	139
§ 5. Верхний предел накопления систематических ошибок в гравиметрических
поправках	142
§ 6. Общие соображения по постановке астрономо-гравиметрического нивели¬
рования 	144
Глава VII. Методы численного интегрирования и оценки
точности гравиметрических	выводов	147
§	1.	Введение	 147
§	2.	Общая характеристика земного гравитационного поля .	148
§	3.	Улучшение сходимости ряда Стокса ....	151
§	4.	Дальнейшее улучшение сходимости ряда Стокса	156
§ 5. Разложение функции Стокса в интервале от Ф0 до тс по полиномам
Лежандра	 158
§	6.	Преобразование формул Стокса и Венинг-Мейнеса ...	165
§	7.	Предельная ошибка приближения порядка т к функции	Стокса .	168
§	8.	Среднее квадратическое влияние дальних зон	170
§	9.	Палетка для учета влияния ближних зон	174
§	10.	Ошибка представительства и ошибка интерполяции силы	тяжести	177
§	11.	Точность гравиметрических уклонений отвеса	 180
§	12.	Интерполяция силы тяжести. Косвенные методы вычислений	185
Глава VIII. Приложения	(примеры	вычислений и модели)	187
Приложения к главе I	187
§ 1. Решение прямой и обратной геодезических задач. Решение большого тре¬
угольника ....	.	—
§ 2. Редукция базисов	...	200
Приложения к главе III	 202
§ 3.	Оценка погрешностей формул Стокса и Венинг-Мейнеса	—
§ 4.	Проверка решения § 3 главы III .	217
Приложения к главе V	 .	224
§ 5. Пример применения формул § 15 главы V	.	—
§ 6. Формулы для вычисления высот и их	исследование	.	233
Приложение к главе VI	 237
§ 7. Исправление результатов астрономо-гравиметрического нивелирования	—
Приложение к главе VII .	241
§ 8. Оценка точности палетки	—
Литература	....	245

Авторы: Михаил Сергеевич Молоденский, Владимир Федорович Еремеев,
Мария Ивановна Юркина
Редактор Н. П. Макаров	Техн. редактор В. В. Роман
Редактор изд-ва Т. А. Шам а ров а	Корректор В. А. Григорь
Т—02138	Подп. к печати 20/Н 19
Печ. листов 15,75. Уел. печ. л. 2
Тираж 1200 экз.	Зак. № 524.	Цена 11 р. 20 к. + переплет
Рижская картфабрика, Б. Алтонавас, 43.

Замеченные опечатки
Стра¬
ница
Строка
Напечатано
Должно быть
По вине
22
3 сверху
sin£d
sin Bd z
Тип.
84
13 сверху
Т т hА>
Tm ht
Авт.
91
2 сверху
D(F,H) и D (Ft Н)
D(F,H) иЪ (F, H)
Тип.
92
9 снизу
&н
h2dq 2
h§d2H
h2óq 2
Тип.
3 снизу
+ (_Ldr V
\ М J
+(ldrf
\ h2dq2 1
Тип.
95
8 снизу
Т
1
r’
Тип.
106
10 снизу
i
Vi
Тип.
106
Вторая
и третья строки снизу переставлены местами
Тип.
127
3 сверху
Т
T
Тип.
133
7 снизу
области удобнее
области 2 удобнее
Тип.
162
3 снизу
2
Тип.
п — 1 *
n— 1 *
163
10 снизу
-/
г
-/
Тип.
0
0
164
2 сверху
sin
sin -íb-
2
Тип.
165
25 снизу
Kn(t)
Кп(
*я(0
*.(0)
Тип.
181
5 снизу
равно 8 п.
пунктами.
Тип.
183
24 снизу
8^ = e^2X
Тип.
183
12 снизу
fg>
Тип.
242
2 и 1 снизу
в точке В
в избранной точке
Авт.
Труды ЦНИИГАиК, вып. 131.