Справочник по сопротивлению материалов - Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В.

2. Виды деформаций. Понятия о деформированном состоянии материала
Глава 2. Геометрические характеристики плоских сечений
7. Моменты инерции относительно параллельных осей
8. Зависимость между моментами инерции при повороте координатных осей
9. Определение направления главных осей инерции. Главные моменты инерции
10. Графическое представление моментов инерции. Понятие о радиусе и эллипсе инерции
Глава 3. Внешние и внутренние силы. Метод сечений. Эпюры внутренних сил
14. Внутренние силы. Метод сечений. Эпюры внутренних сил
17. Усилия и моменты в сечениях балки
18. Дифференциальные зависимости при изгибе балок. Некоторые особенности эпюр Q и М
19. Построение эпюр для статически определимых рам
21. Дифференциальные зависимости при изгибе плоских кривых стержней
22. Построение эпюр внутренних сил для пространственных стержней
Глава 4. Механические характеристики материала при растяжении и сжатии
26. Испытание материалов на растяжение и сжатие
Глава 5. Напряжённое и деформированное состояние
32. Прямая задача при плоском напряжённом состоянии. Круг напряжений
33. Обратная задача при плоском напряжённом состоянии
35. Деформации при объёмном напряжённом состоянии. Обобщённый закон Гука
38. Понятие о некоторых новых теориях прочности
41. Статически неопределимые конструкции
47. Кручение стержней некруглого сечения
49. Концентрация напряжений при кручении
55. Определение перемещений в балках по методу начальных параметров
56. Расчёт балок переменного сечения на прочность и жёсткость
57. Расчёт на изгиб с учётом сил инерции
58. Касательные напряжения при изгибе балок тонкостенного профиля. Центр изгиба
59. О расчёте балок на упругом основании
60. Изгиб балок, материал которых не следует закону Гука
Глава 12. Общие теоремы об упругих системах. Общие методы определения перемещений
67. Применение начала возможных перемещений к упругим системам
68. Теоремы о взаимности работ и перемещений
69. Общие формулы для определения перемещений. Метод Мора
70. Перемещения, вызванные изменением температуры
71. Вычисление интеграла Мора по способу Верещагина
73. Теорема Кастильяно. Теорема Лагранжа
74. Теорема о минимуме потенциальной энергии
Глава 13. Статически неопределимые системы
77. Многоопорные неразрезные балки. Уравнение трёх моментов
78. Расчёт статически неопределимых криволинейных стержней
79. Определение перемещений в статически неопределимых системах
80. О расчёте пространственных рамных систем
Глава 15. Расчёт толстостенных цилиндров и вращающихся дисков
86. Температурные напряжения в толстостенных цилиндрах
Глава 17. Расчёт конструкций по предельным состояниям
95. Формула Эйлера для определения критической нагрузки сжатого стержня
96. Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы
97. О потере устойчивости при напряжениях, превышающих предел пропорциональности материала
98. Расчёт сжатых стержней на устойчивость при помощи коэффициентов уменьшения основного допускаемого напряжения
99. Выбор материала и рациональной формы поперечных сечений сжатых стержней
100. Продольно-поперечный изгиб
102. Свободные колебания систем с одной степенью свободы
103. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы при гармоническом возбуждении
104. Свободные колебания системы с одной степенью свободы с учётом сопротивления, пропорционального скорости
105. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы с учётом сопротивления, пропорционального скорости
107. Свободные колебания упругих систем с несколькими степенями свободы
108. Продольные и крутильные колебания стержней
109. Поперечные колебания призматических стержней
110. Закон сохранения энергии при колебаниях
111. Некоторые приближенные методы определения собственных частот колебаний упругих систем
Глава 20. Сопротивление материалов действию повторно-переменных напряжений
113. Методы определения предела выносливости. Диаграммы усталости
114. Влияние на предел выносливости материала конструктивно-технологических факторов
115. Расчёт на прочность при повторно-переменных нагрузках
120. Проверка прочности при контактных напряжениях
Дополнение. Девять новых аналогий в сопротивлении материалов
2. Коэффициенты концентраций и чувствительности к концентрации напряжений
4. Функции Крылова для расчёта балок постоянного сечения на упругом основании
Author: Писаренко Г.С. Яковлев А.П. Матвеев В.В.
Tags: механика деформируемых тел упругость деформация ядерная, атомная и молекулярная физика испытания материалов товароведение силовые станции общая энергетика справочник материаловедение сопротивление материалов
Year: 1975
Similar
Справочник по сопротивлению материалов
Сопротивление материалов
Справочник по сопротивлению материалов
Сопротивление материалов
Text
                    Г. С. ПИСАРЕНКО,
A.	П. ЯКОВЛЕВ,
B.	В. МАТВЕЕВ
СПРАВОЧНИК
ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ
МАТЕРИАЛОВ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«НАУКОВА ДУМКА»
КИЕВ —1975

605(083)
П34
УДК 539.3/4-f539.1+620.17(03i)
В справочнике приведены сведения по основным вопросам курса
сопротивления материалов для высших технических учебных эаведе
ний, а также данные по результатам расчета достаточно широкого
круга наиболее типичных элементов конструкций.
Предназначен для инженеров различных специальностей, стал
кивающихся в практической деятельности с расчетами на проч
ность, и студентов высших технических учебных заведений, может
быть полезен также преподавателям и аспирантам.
Рецензент доктор техн. наук П. М. В А Р В А К
Редакция справочников
00001-175
Ц М221(04)—75 9	7
(с) Издательство «Наукова думка»» 197.5 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Сопротивление материалов является одной из ос¬
новных общеобразовательных инженерных дисциплин
и играет существенную роль в формировании инженера
почти любой специальности. Особенно большое значе¬
ние сопротивление материалов имеет для механических,
машиностроительных и строительных инженерных спе¬
циальностей.
Введение в учебную программу высших технических
учебных заведений новых дисциплин, отражающих со¬
временное состояние науки и техники, при ограниченных
сроках обучения привело к существенному сокращению
количества лекционных часов по курсу сопротивления
материалов. Восполнение появившихся в результате это¬
го пробелов в знании студентами втузов сопротивления
материалов может быть достигнуто в известной мере за
счет самостоятельного изучения ими необходимых разде¬
лов этого важного для будущего инженера курса по
соответствующим учебникам.
В Советском Союзе многократно издавались учебники
по сопротивлению материалов С. П. Тимошенко,
Н.	М. Беляева, В. И. Феодосьева и многие другие. Вместе
с тем имеется большая заинтересованность в справочнике
по сопротивлению материалов, отражающем с достаточ¬
ной полнотой современное состояние науки о прочности,
как со стороны большой армии инженеров-производствен-
ников и конструкторов, так и со стороны учащихся и на¬
учных работников. К сожалению, такого справочника
ни в нашей стране, ни за рубежом нет, а существующие
краткие справочники по сопротивлению материалов
и строительной механике носят специализированный
характер и подают материал по ряду важнейших разделов,
базируясь на различных подходах, применяемых в раз¬
ных курсах сопротивления материалов. Авторы поста¬
вили перед собой цель создать справочник по сопротивле¬
нию материалов, который бы обладал достаточной пол¬
нотой и универсальностью, отражал современнее состоя¬
ние науки о прочности и основывался на едином подходе
к подаче справочного материала, увязанного с соответ¬
ствующим теоретическим курсом. В качестве последнего
был принят учебник Г. С. Писаренко, В. А. Агарева,
А. Л. Квитки, В. Г. Попкова, Э. С.Уманского «Сопротив¬
ление материалов», изд. 3, Киев, «Вища школа», 1973,
в котором нашел отражение многолетний опыт препода¬
вания сопротивления материалов в Киевском политехни¬
ческом институте и опыт использования двух предыдущих
3

изданий этого учебника студентами многих высших учеб¬
ных заведений нашей страны.
Перед справочным материалом в виде окончательных
формул, таблиц и графиков в каждой главе кратко изла¬
гаются основные теоретические предпосылки. При этом
формулируются исходные гипотезы, соответствующие
правила, теоремы и даются важнейшие заключения
и рекомендации. Для облегчения пользования справоч¬
ными данными на с. 698 приведен перечень таблиц,
содержащихся в книге.
Мы надеемся, что настоящий справочник будет поле¬
зен не только инженерам-конструкторам и производствен¬
никам всех специальностей, встречающимся в практиче¬
ской деятельности с расчетами на прочность, но будет
с успехом использован также студентами, аспирантами,
преподавателями и научными работниками.

Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Наука о сопротивлении материалов.
Изучаемые объекты
Сопротивление материалов — наука об инженерных методах
расчета на прочность, жесткость и устойчивость элементов сооружений
и машин.
Прочность — способность конструкции, ее частей и деталей выдер¬
живать определенную нагрузку, не разрушаясь.
Жесткость — способность конструкции и ее элементов противо¬
стоять внешним нагрузкам в отношении деформации (изменения формы
и размеров). При заданных нагрузках деформации не должны превы¬
шать определенных величин, устанавливаемых в соответствии с требо¬
ваниями к конструкции.
Устойчивость — способность конструкции и ее элементов сохра¬
нять определенную начальную форму упругого равновесия.
Для того чтобы конструкции в целом отвечали требованиям проч¬
ности, жесткости и устойчивости, необходимо придать их элементам
наиболее рациональную форму и определить соответствующие раз¬
меры.
Сопротивление материалов решает указанные задачи, основываясь
как на теоретических, так и на опытных данных, имеющих в этой
науке одинаково важное значение.
В теоретической части сопротивление материалов базируется
на теоретической механике и математике, а в экспериментальной —
на физике и материаловедении.
Сопротивление материалов является наиболее общей наукой
о	прочности машин и сооружений. Без фундаментального знания
сопротивления материалов немыслимо создание различного рода ма¬
шин и механизмов, гражданских и промышленных сооружений, мостов,
линий электропередач и антеин, ангаров, кораблей, самолетов и верто¬
летов, турбомашин и электрических машин, агрегатов атомной энерге¬
тики, ракетной и реактивной техники и др.
Сопротивление материалов не исчерпывает всех вопросов механи ки
деформированного тела. Этими вопросами занимаются такие смежные
дисциплины, как строительная механика стержневых систем, теория
упругости и теория пластичности. Однако основная роль при решении
задач на прочность принадлежит сопротивлению материалов.
При всем разнообразии видов конструктивных элементов, встре¬
чающихся в сооружениях и машинах, их можно свести к сравнительно
пеболыпому числу основных форм. Тела, имеющие эти основные формы,
и являются объектами расчета на прочность, жесткость и устойчивость;'
Это стержни, пластинки и оболочки, массивные тела.
Стержнем, или брусом, называется тело, у которого один размер
(длина) значительно превышает два других (поперечных) размера
рис. 1). В инженерном деле встречаются стержни с прямолинейной
(рис. 1, а) и криволинейной (рис. 1, б) осями. Как прямые, так и кри¬
вые стержни могут быть постоянного (рис. 1, а) или переменного сечения
5

(рис. 1, в). Примерами прямых стержней являются балки, оси, валы.
Примерами кривых стержней могут служить грузоподъемные крюки,
звенья цепей и т. п. Стержни со сложным профилем поперечного сече¬
ния, у которых толщина стенок значительно меньше габаритных раз¬
меров сечения, называются тонкостенными (рис. 1, г).
Оболочка представляет собой тело, ограниченное двумя криво¬
линейными поверхностями, расположенными на близком расстоянии
друг от друга, т. е. тело, один размер которого (толщина) значительно
меньше двух других. Геометрическое место точек, равноудаленных от
7 0
Рис. 2
обеих поверхностей оболочки, называется срединной поверхностью.
По форме срединной поверхности различают оболочки цилиндрические
(рис. 2, а), конические (рис. 2, б), сферические (рис. 2, в) и др. К обо¬
лочкам относятся тонкостенные резервуары, котлы, купола зданий,
обшивки фюзеляжей, крыльев и других частей летательных аппара¬
тов, корпуса судов и т. п.
Если срединная поверхность оболочки представляет собой плос¬
кость, то такая оболочка называется пластиной (рис. 2, г). Пластины
могут быть круглыми, прямоугольными и иметь другие очертания.
Толщина пластин, как и оболочек, может быть постоянной или пере¬
менной. Пластинами являются плоские днища и крышки резервуаров
(рис. 2, д), перекрытия инженерных сооружений, диски турбомапшн
и т. п.
Массивным называется тело, у которого все три размера — ве¬
личины одного порядка. Это — фундаменты сооружений, подпорпые
стенки и т. п.
В сопротивлении материалов, как правило, задачи решаются про¬
стыми математическими методами с привлечением ряда упрощающих
гипотез и использованием данных эксперимента; решения при этом
доводятся до расчетных формул, пригодных для использования в ин¬
женерной практике. Основным объектом, рассматриваемым в сопротив¬
лении материалов, является прямой стержень.
6

§ 2. Виды деформации. Понятия о деформированном
состоянии материала
Реальные тела могут деформироваться, т. е. изменять свои форму
и размеры. Деформации тел происходят вследствие нагружения их
внешними силами или изменения температуры. При деформации тела
его точки, а также мысленно проведенные линии или сечения переме¬
щаются в плоскости или в пространстве относительно своего исходного
положения.
При нагружении твердого тела в нем возникают внутренние силы
взаимодействия между частицами, оказывающие противодействие внеш¬
ним силам и стремящиеся вернуть частицы тела в положение, которое
они занимали до деформации.
Различают упругие деформации, исчезающие после прекращения
действия вызвавших их сил, и пластические, или остаточные, дефор¬
мации, не исчезающие после снятия нагрузок. В большинстве случаев
для величин деформаций элементов конструкций устанавливают опре¬
деленные ограничения.
В сопротивлении материалов изучаются следующие основные виды
деформаций: растяжение и сжатие, сдвиг (или срез), кручение, изгиб.
Рассматриваются также более сложные деформации, получающиеся
в результате сочетания нескольких основных видов деформаций.
Растяжение или сжатие возникает, например, в случае, когда
к стержню вдоль его оси приложены противоположно направленные
силы (рис. 3). При этом происходит поступательное перемещение
сечений вдоль оси стержня, который
при растяжении удлиняется, а при
сжатии укорачивается. Изменение пер¬
воначальной длины стержня /, обозна¬
чаемое А/, называется абсолютным уд¬
линением (при растяжении) или абсо¬
лютным укорочением (при сжатии).
Отношение абсолютного удлипения
(укорочения) АI к первоначальной дли¬
не I называется средним относитель¬
ным удлинением (укорочением) на длине I или средней линейной
относительной деформацией участка и обозначается обычно еср:
-	**
6ср“ i •
Истинное линейное относительное удлинение, или относительная
линейная деформация в точке, определяется как относительная дефор¬
мация участка при I -► О
г м
£ = lim —.
1-+0 I
На растяжение или сжатие работают многие элементы конструк¬
ций: стержни ферм, колонны, штоки поршневых машин, стяжные
болты и др.
Сдвиг, или срез, возникает, когда внешние силы смещают два
параллельных плоских сечения стержня одно относительно другого
при неизменном расстоянии между ними (рис. 4). Величина смещения
As называется абсолютным сдвигом. Отношение абсолютного сдвига
к расстоянию между смещающимися плоскостями (тангенс угла 7)
7

называется относительным сдвигом. Вследствие малости угла f можно
принять
.	As
tg 7 * Tf = — •
Относительный сдвиг является угловой деформацией, характеризующей
перекос элемента.
На сдвиг, или срез, работают, например, заклепки и болты, скреп¬
ляющие элементы, которые внешние силы стремятся сдвинуть друг
относительно друга.
Кручение возникает при действии на стержень внешних сил, обра¬
зующих момент относительно его оси (рис. 5). Деформация кручения
сопровождается поворотом поперечных сечений стержня друг относи¬
тельно друга вокруг его оси. Угол поворота одного сечения стержня
относительно другого, находящегося на расстоянии I, называется
углом закручивания на длине I. Отношение угла закручивания <р к дли¬
не I называется относительным углом закручивания
На кручение работают валы, шпиндели токарных и сверлильных
станков и другие детали.
Изгиб (рис. 6) заключается в искривлении оси прямого стержня или
в изменении кривизны кривого стержня. Происходящее при изгибе
перемещение какой-либо точки оси стержня выражается вектором,
начало которого совмещено с первоначальным положением точки,
а конец — с положением той же точки в деформированном стержне.
В прямых стержнях перемещения точек, направленные перпендику¬
лярно к начальному положению оси, называются прогибами. Обозна¬
чим прогибы буквой Wj а наибольший прогиб — буквой /. При изгибе
также происходит поворот сечений стержня вокруг осей, лежащих
в плоскостях сечений. Углы поворота сечений относительно своих
начальных положений обозначим буквой <р.
На изгиб работают балки междуэтажных перекрытий, мостов,
оси железнодорожных вагонов, листовые рессоры, валы, зубья шесте¬
рен, спицы колес, рычаги и многие другие детали.
Рис. 4',
Рис. 5
Рис. 6
8

Описанные выше простейшие деформации стержня дают пред-
ставление об изменении его формы и размеров в целом, но ничего
не говорят о степени и характере деформированного состолкмл матери¬
ала. Исследования показывают, что деформированное состояние тела,
вообще говоря, является неравномерным и изменяется от точки к точке.
При этом деформированное состояние в точке тела полностью опре¬
деляется шестью компонентами деформации: тремя относительными
линейными деформациями гх> &г и тремя относительными угловыми
деформациями fxy, цХ2, чУх.
§ 3. Основные гипотезы
Для построения теории сопротивления материалов принимают
ряд гипотез о структуре и свойствах материалов, а также о характере
деформаций.
1.	Гипотеза о сплошности материала. Предполагается, что мате¬
риал полностью заполняет занимаемый им объем. Атомистическая тео¬
рия дискретного строения вещества во внимание не принимается.
2.	Гипотеза об однородности и изотропности. Предполагается,
что свойства материала одинаковы во всех точках и в каждой точке —
во всех направлениях. В некоторых случаях предположение об изо¬
тропии неприемлемо. Так, анизотропными являются древесина, свой¬
ства которой вдоль и поперек волокон существенно различны, а также
армированные материалы.
3.	Гипотеза о малости деформаций (гипотеза относительной жест¬
кости материала). Предполагается, что деформации малы по сравнению
с размерами деформируемого тела. На этом основании пренебрегают
изменениями в расположении внешних сил относительно отдельных
частей тела при деформации и уравнения статики составляют для
недеформированного тела. В некоторых случаях от этого принципа
приходится отступать, что оговаривается особо.
4.	Гипотеза о совершенной упругости материала. Все тела пред¬
полагаются абсолютно упругими. В действительности реальные тела
можно считать упругими только до определенных величин нагрузок,
и это необходимо учитывать, применяя формулы сопротивления мате¬
риалов.
5.	Гипотеза о линейной зависимости между деформациями и на¬
грузками. Предполагается, что для большинства материалов справед¬
лив закон Гука, устанавливающий прямо пропорциональную зависи¬
мость между деформациями и нагрузками.
Как следствие гипотез о малости деформаций и о линейной зависи¬
мости между деформациями и усилиями, при решении большинства
задач сопротивления материалов применим принцип суперпозиции
(принцип независимости действия и сложения сил). Например, усилия
в любом элементе конструкции, вызванные различными факторами
(несколькими силами, температурными воздействиями), равны сумме
усилий, вызванных каждым из этих факторов, и не зависят от порядка
их приложения. Это же справедливо и в отношении деформаций.
6.	Гипотеза плоских сечений. Предполагается, что мысленно про¬
веденные плоские сечения, перпендикулярные к оси стержня, в про¬
цессе его деформирования остаются плоскими и перпендикулярными
к оси.
Эти, а также некоторые другие гипотезы позволяют решать широ¬
кий круг задач по расчету на прочность, жесткость и устойчивость.
Результаты таких расчетов обычно хорошо согласуются с данными
эксперимента.
9

Глава 2
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
Сопротивление стержня различным видам деформаций часто за¬
висит не только от его материала и размеров, но также от очертаний
оси, формы поперечных сечений и их расположения относительно
направления действующих нагрузок. Рассмотрим основные геомет¬
рические характеристики поперечных сечений стержня, отвлекаясь
от физических свойств изучаемого объекта. Этими характеристиками
являются: площади поперечных сечений, статические моменты, моменты
инерции, моменты сопротивления, радиусы инерции.
§ 4. Статический момент площади.
Центр тяжести площади
Рассматривая произвольную фигуру (поперечное сечение стержня),
связанную с системой координат хОу (рис. 7), по аналогии с выраже¬
нием для момента силы относительно какой-либо оси можно составить
выражение для момента площади, которое
называется статическим моментом. Так, произ¬
ведение элемента площади dF на расстояние у
от оси Ох
dSx = ydF
называется статическим моментом элемента
площади относительно оси Ох. Аналогично
dSy = xdF — статический момент элемента пло¬
щади относительно оси Оу. Просуммировав эти
произведения по всей площади, получим статические моменты пло¬
щади соответственно относительно осей хну:
Sx = J ydF; Sv= xdF.
F	F
(2.1)
Размерность статического момента — единица длины в кубе (напри¬
мер, еле3).
Пусть хс и ус — координаты центра тяжести фигуры. Продолжая
аналогию с моментами сил, на основании теоремы о моменте равнодей¬
ствующей можно написать следующие выражения:
Sx — Fyc;	Sy — Fxq
где F — площадь фигуры.
Координаты центра тяжести равны
	Sy t	Sx
хс — jr >	Ус — у
(2.2)
(2.3)
10

Для вычисления статических моментов сложной фигуры ее разби-
вают на простые части (рис. 8), для каждой из которых известна пло¬
щадь (Fi) и положение центра тяжести (х^ ?/*). Статические момен¬
ты всей фигуры относительно осей Ох и Оу соответственно будут
равны
Sx = F\V\ +	+	•	•	•	+	FпУп = 2 ^Mi'
i=1
i=n
Sy = Fxxj + Ftxt + ... + Fnxn = 2 Fixi
1=1
(2.4)
координаты центра тяжести сложной фи¬
гуры
2 Fv
__Sy _ i=l
p* i=n
*Sjc i = l
;»c = -p = -i=s-
2 ^	2 F
i-1	i-1
(2.5)
§ 5. Моменты инерции плоских фигур
Осевым, иди экваториальным, леолгентол«
инерции площади фигуры называется интеграл произведений
элементарных площадок на квадраты их расстояний от рассматри-
idF
0
CjCNj
t
)
I-
Рис. 9
Рис. 10
Рис. 11
ваемой оси. Так, моменты инерции произвольной фигуры (рис. 9)
относительно осей х и у соответственно равны
(2-6)
Пользуясь этими формулами, вычислим моменты инерции для
простейших фигур.
И

Прямоугольник (рис. 10). Учитывая, что элементарная
площадка dF = bdy, найдем
h
2
Очевидно,
__ h
2
■/у- 12 •
о»	»	bh?
y2bdy = ^.
Треугольник (рис. И). Учитывая, что b (у) = -^-(h — y)t
dF = -jt (& — у) dy, момент инерции относительно оси х выразим как
h
bh3
12 *
F
dF
У dF
Рис. 13
Рис. 14
Круговой сектор (рис. 12). Учитывая, что dF = pdydp
и у = р sin <р, определим момент инерции относительно оси х:
Jx = J = j" | Р2 Sin2 (ppdcpdp = -j- [^(Р — а) — sln2P ^ Sin 2а j ^
F	а	0
Полярным моментом инерции площади фигуры
относительно данной точки (полюса О) называется интеграл произве¬
дений элементарных площадок на квадраты их расстояний р от по*
люса (рис. 9):
Jp = j?4F.	(2.7)
Если через полюс проведена система взаимно перпендикулярных
осей Ху г/, то р2 = х2 + у2. Из (2.6) и (2.7) будем иметь
(2.8)
Круг (рис. 13). Учитывая, что dF = 2яр dp, полярный момент
инерции буде^:	г
Jp=Jx+Jy
[тывая, что dF
Jp= jp4F=2TtjVdp = ^.
12

Из (2.8) очевидно, что для круга
Отметим, что величины осевых и полярных моментов инерции всегда
положительны.
Центробежным моментом инерции назы¬
вается интеграл произведений элементарных площадок на их расстоя¬
ния от координатных осей х% у:
В зависимости от положения осей центробежный момент инерции
может быть положительным или отрицательным, а также равным
нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен
нулю, называются главными осями инерции. Две взаимно перпендику¬
лярные оси, из которых хотя бы одна является осью симметрии фигуры,
будут ее главными осями; Это следует из того, что в этом случае каж¬
дой положительной величине xydF соответствует такая же отрицатель¬
ная величина по другую сторону оси симметрии (рис. 14) и их сумма
по всей площади фигуры равна нулю. Главные оси, проходящие через
центр тяжести сечения, называются главными центральными осями.
Размерность моментов инерции — единица длины в четвертой степени
(например, еле4).
§ 6. Моменты инерции сложных сечений
При вычислении моментов инерции сложных сечений последние
обычно разбивают на отдельные простые части, моменты инерции кото¬
рых известны. Из основного свойства интеграла суммы следует, что
момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции ее
составных частей. Определим момент инерции сложной фигуры (рис. 15)
относительно оси х, разбив ее на простые части I, II, III, имеющие
соответственно площади Fv ^п, Fm'.
(2.9)
F

Заметим, что в случае, когда в сечении имеется отверстие, последнее
удобно считать частью фигуры с отрицательной площадью. Так, мо-
меиг инерции относительно оси х сечения, показанного на рис. 16, будет
bh?	тег4
~\2	4~ ’
§ 7. Моменты инерции относительно параллельных осей
Пусть известны моменты инерции фигуры относительно централь¬
ных осей хл у
Требуется определить моменты инерции относительно осей xlt ylt
параллельных центральным (рис. 17):
Координаты любой точки в новой системе х101у1 можно выразить
через координаты в прежней системе хОу так:
Так как статические моменты площади относительно центральных
осей равны нулю, формулы (2.12) с учетом (2.13) окончательно могут
быть представлены в виде:
Следовательно: 1) момент инерции относительно любой оси равен
моменту инерции относительно центральной оси, параллельной дан¬
ной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между
осями; 2) центробежный момент инерции относительно любой системы
прямоугольных осей равен центробежному моменту инерции относи¬
тельно системы центральных осей, параллельных данфлмщ плюс -произ¬
ведение, площади фигуры на координаты ее центра ггтц&сйги * новых
осях. Необходимо отметить, что координаты а, 6, входящими формулу
(2.15), следует подставлять с учетом их знака.	’
§ 8. Зависимость между моментами цнерции
при повороте координатных осей
Пусть известны моменты инерции продааольной фдоуры отвфбц*
телъно координатных осей я, у (рис. 18):	-
(2.11)
F
F
F
(2.12)
хх = х -f 6; t/t = у + а.
(2.13)
(2.14)
(2.15)

Требуется определить моменты инерции относительно осей xlt уг, повер¬
нутых относительно осей х и у на угол а против часовой стрелки, счи¬
тая последний положительным:
JXi = J y\dF; JVt = J xldF-, Jxm = J xmdF (2.17)
F	F	F
Координаты произвольной элементарной площадки в новой сис¬
теме (хгОуг) могут быть представлены через координаты прежней
системы (хОу) следующим образом:
хх = ОС = ОЕ + AD = х cos а -f у sin а;
уг = ВС = BD — ЕА = у cos а ■
+ У sin а; \
: — х sin а. J
(2.18)
Окончательно находим:
JXi = Jx cos2 а + Jy sin2 a — Jxy sin 2a;
/ = Jy cos2 a-\-Jx sin2 a -f Jxy sin 2a,
(2.19)
Рис. 18
JXlVl = Jxy COS 2a — J (Jy — Jx) sin 2a.
(2.20)
Отметим, что формулы (2.19) и (2.20), полученные при повороте
любой системы прямоугольных осей, естественно, справедливы для
центральных осей. Складывая почленно (2.19), находим
Jxt + Jyt = Jx + Jy= Jp■
Следовательно, при повороте прямоугольных осей сумма осевых момен¬
тов инерции не изменяется и равна полярному моменту инерции от-
носительно начала координат.
При повороте системы осей на угол a = 90° имеем:
^Xt = Jy* *Л/, =	JXxy. — Jxy
§ 9. Определение направления главных осей инерций *
Главные моменты инерции
Наибольший практический интерес представляют главные Цбй-
тральные оси, относительно которых центробежный момент инерции ра¬
вен нулю. Обозначим главные центральные оси буквами и, v. Очевидно,
Для определения положения главных цен¬
тральных осей произвольной несимметричной
фигуры необходимо центральные оси х, у по¬
вернуть на такой угол а0 (рис. 19), при котором
центробежный момент инерции относительно
нового положения осей станет равным нулю
*Х\у\
— Jiiv —
Из форм лы (2.20) получим
15

JX,V, = J*V C0S 2a° — Jy O J* sin 2a0 =
откуда
tg2a0 =
2
2Jxy
Jy 	 JX
(2.21)
Получаемые из (2.21) два значения угла a0 отличаются друг от
друга на 90° и определяют положение главных осей.Как легко видеть,
меньший из этих углов по абсолютной величине не превышает ~.
Обычно пользуются меньшим углом. Проведенную под этим углом
(положительным или отрицательным) главную ось обычно обозначают
буквой и. Напомним, что отрицательный угол а0 откладывают от оси х
по ходу часовой стрелки.
X 1
У i
y A
LA
/J
/ *
FL
W
У
J
t
V
л
a
6
6
г
0X >Jy
Jx>Jy
Jx <Jy
JX <Jy
Jxy<0
J*y>0
JXy<0
o(o>0
c(0<Q
Ыо<0
q(0>Q
Рис. 20
На рис. 20 приведены некоторые примеры обозначения главных
осей в соответствии с указанным правилом. Начальные оси обозначены
буквами хм у. Значения главных моментов инерции можно получить
из общих формул (2.19), приняв a = a0:
Ju = Jx cos2 a0 + J у sin2 a0 — Jxy sin 2a0;
:}
(2.22)
Jv = J у cos2 a0 + Jx sin2 a0 + Jxy sin 2a0. 1
Сложим и вычтем последние выражения.^ С учетом (2,21) будем иметь:
Ju~\r JI? = Jx -J- Jу\
Jи	J v — (/x - J у) cos 2a0 — 2iJXy sin 2otQ — [Jx — J y)
1
cos 2aft
Решая совместно последние уравнения относительно Jn и JVt получим
^ = у[(Л
_L_1
cos 2a0 J
(2.23)
Очевидно, при Jx > Jy, Ju > Jv*
16

Учитывая, в соответствии с (2.21), что
/
выражения (2.23) для главных момевтов могут быть записаны в виде
причем верхние знаки следует брать при JX*>JV и нижние — при
JX ^ J у•
Таким образом, формулы (2.21), (2.23) и (2.24) позволяют опреде¬
лить положение главных осей и величину главных центральных мо¬
ментов инерции.
Если теперь вместо произвольной начальной системы центральных
осей хОу принять систему главных осей, то формулы перехода к повер¬
нутым осям (2.19) и (2.20) упростятся:
Отметим, что главные моменты инерции обладают свойством
экстремальности. В этом легко убедиться, продифференцировав выра¬
жения (2.19) по переменной а.
Плоскости, проведенные через ось стержня и главные оси инерции
его поперечного сечения, называются главными плоскостями•
§ 10. Графическое представление моментов инерции.
Понятие о радиусе и эллипсе инерции
Вычисление моментов инерции по (2.23) — (2.26) можно заменить
их графическим определением. При этом принято различать две задачи:
прямую и обратную.
При решении прямой задачи определяются моменты инерции отно¬
сительно произвольной центральной системы осей х, у по известным
главным моментам инерции Ju и Jv. Обратная задача состоит в оты¬
скании главных моментов ийерции по известным моментам . инерции
Jx> Jy и JXy относительно произвольной центральной системы осей
У	•
Прямая задача. Определить моменты инерции Jx, Jy, JXy
относительно осей х и у (рис. 21, а) по Ju и jv относительно глав¬
ных осей, направление которых известно. Для определенности поло¬
жим Ju > Jv.
Выберем прямоугольную систему координат в некоторой геомет¬
рической плоскости (рис. 21,6). По оси дбрцисс; будим, откладывать
осевые моменты инерции Joc (Ju, Jv, Jx, Jy и т. д.), а пй оси орди¬
нат — центробежные /цб (Jxy и т. п.).
Jv = У К7* +Jv)TV (Jx - jy? + 4 Jly],
JXt = Jy, cos2 a -f Jv sin2 a;
Jyx = Jv cos2 a + Ju sin2 a,
(2.26)
i7

В соответствующем масштабе откладываем вдоль оси абсцисс
отрезки О А и О В, равные главным моментам инерции. Отрезок АВ
делим пополам, так что ВС = АС = у («Л*— J«)• Из точки С описы¬
ваем радиусом С А окружность, называемую кругом инерции. Тогда
для определения момента инерции относительно оси аг, проведенной
под углом а к главной оси и, из центра круга проводим под углом
2а луч CDX. Положительные углы откладываем против часовой
стрелки. При этом оказывается, что ордината точки Dx равна центро-
Рис. 21
бежному моменту инерции Jxy, а абсцисса — осевому моменту инер*
ции Jx относительно оси х. Чтобы получить значение момента инер¬
ции Jv относительно оси у, перпендикулярной к оси х и, следова¬
тельно, проведенной под положительным углом р = а + ~ к главной
оси и; проводим из центра круга луч CDy под углом 2[J = 2 |а +
+	. Легко видеть, что он является продолжением луча CDX.
Абсцисса точки Dy равна моменту инерции Jу, ордината KyDy —
центробежному моменту инерции с обратным знаком (—Jxy)* что
соответствует центробежному моменту инерции относительно осей,
повернутых на 90°. Отметим, что двум взаимно перпендикулярным
осям соответствуют две точки круга (Dx и Dy), лежащие на одном
диаметре.
Проведем из точки Dx ось а?, параллельную соответствующей
оси на рис. 21, а. Точка М ее пересечения с кругом называетс-я по¬
люсом круга инерции (главная точка или фокус круга инерции).
Легко показать, что линия, соединяющая полюс с любой точкой круга,
дает направление оси, представленной на диаграмме данной точкой.
В частности, линия МА дает направление главной оси и. Линия
MB параллельна главной оси и.
Обратная задача. Известны моменты инерции Jx, Jy, Jxy
площади сечения бруса относительно системы центральных осей х, у
(рис, 22, а). Определить положение главных осей инерции и величину
18

главных моментов инерции. Для определенности построения примем
Jх'^> Jу ®	^	0.
В геометрической плоскости (рис. 22,6) строим точки Dx и Dy,
соответствующие моментам инерции относительно осей х и у, Абсциссы
этих точек являются осевыми моментами инерции: ОКх = Jx\ ОКу =
= Jy\ ординаты — центробежные моменты инерции Jxy, причем
Рис. 22
Рис. 23
KXDX = Jxy\ KvDy = — Jxy. Так как обе точки принадлежат одному
диаметру, то соединив их, получим центр круга инерции С, из кото¬
рого оцисываем окружность радиуса
CDx = С Dy=V (^Т^)а+ Лу
пересекающую ось абсцисс в точках А и В. Очевидно, что абсциссы этих
TQWK (ОА и ОБ) являются искомыми главными моментами инерции
/у Н Jv
19

Для определения направления главных осей построим фокуо
круга инерции. С этой целью иэ точек Dx и Dy проведем линии, соот¬
ветственно параллельно указанным осям, до пересечения с кругом
в точке М. Соединив затем фокус с точками А и В круга, получим
направление главных осей и и v (рис. 22, б). Графическое решение
обратной задачи соответственно для четырех случаев, изображенных
на рис. 20, показано на рис. 23, а, б, в, г.
Момент инерции фигуры относительно какой-либо оси можно
представить в виде произведения площади фигуры на квадрат некото*
рой величины, называемой радиусом инерции:
/*= §y*dF = Fil	(2.27)
F
где ix — радиус инерции относительно оси х.
Из (2.27) следует, что
ix=V ПГ-	<2-28)
Аналогично радиус инерции относительно оси у
iv=VJW~-	<2-29>
Главным центральным осям инерции соответствуют главные
радиусы инерции
*«=]Аф-; 4,= ]/^-.	(2.30)
Построим на главных центральных осях инерции плоской фигуры
эллипс с полуосями, равными главным радиусам инерции, отклады¬
вая при этом вдоль оси и отрезки,
равные iv, а вдоль оси и — отрезки,
равные iu (рис. 24). Такой эллипс, назы¬
ваемый эллипсом инерции, обладает тем
замечательным свойством, что радиус
инерции относительно любой централь¬
ной оси х определяется как перпенди¬
куляр О А, опущенный из центра
эллипса О на касательную к нему,
параллельную оси х. Для получения
точки касанйя достаточно провести
параллельно данной оси х любую хорду.
Точка пересечения эллипса с линией,
соединяющей центр О и середину хор¬
ды, является точкой касания. Измерив
Рис. 24	отрезок	OA — ix, находим момент инер¬
ции по формуле
Jx=Fil.
20

§ 11. Моменты сопротивления
Осевым моментом сопротивления называется
отношение момента инерции относительно данной оси к расстоянию
до наиболее удаленной точки поперечного сечения:
Wx =	.	(2.31)
Утлх
Размерность моментов сопротивления — единица длины в кубе (мм3,
см3 или м3).
Практическое значение имеют моменты сопротивления относи¬
тельно главных центральных осей, которые обычно называются просто
моментами сопротивления.
1.	Для прямоугольника (рис. 10):
И'—Ж“Т*	(2-32>
<2М>
2.	Для круга (рис. 13):
Wx = Wy = W = ^- = *-£ = j£.	(2.34)
3.	Для трубчатого сечения с внутренним диаметром	d и	наруж¬
ным — D:
ТЖГ	TXT ТТ7 Jx rc(-D4 —с?4) Я-D3 tA	4ч	,оосч
Wx =	Wy = W = ~Щ2 =	325	~ 1ЙГ	(2-35)
где
«=4-	(2-36)
Полярным моментом сопротивления назы¬
вается отношение полярного момента инерции к расстоянию от по¬
люса до наиболее удаленной точки сечения:
(2‘37)
В качестве полюса принимается центр тяжести поперечного сече¬
ния стержня.
1.	Для круга (рис. 13)
= T =	(2-38>
2.	Для трубчатого сечения
^=т=^(1"а4)-	(2-39)
21

§ 12. Порядок расчета
При анализе геометрических характеристик плоских фигур любой
сложности важнейшей задачей является определение положения глав¬
ных осей и величин главных моментов инерции. Можно рекомендовать
следующий порядок определения положения главных осей и величии
главных центральных моментов инерции сложного профиля, состоя¬
щего из простых частей, характеристики которых легко определить.
1.	Проводим произвольную прямоугольную систему осей. Разби¬
ваем фигуру на простые части и определяем по (2.5) положение ее цен¬
тра тяжести.
2.	Проводим начальную систему центральных осей х% у таким
образом, чтобы наиболее просто можно было вычислить моменты
инерции частей фигуры относительно этих осей. Для этого определяем
моменты инерции частей фигуры относительно своих центральных
осей, проведенных параллельно осям х, г/, используя при этом формулы
перехода к параллельным осям (2.14) и (2.15). Таким образом, полу¬
чаем значения Jx, Jy и Jxy.
3.	Определяем по (2.21) угол наклона главных центральных осей,
причем ось, проведенную под меньшим углом (положительным или
отрицательным), обозначаем буквой м, а перпендикулярную к ней —
буквой V.
4.	По формулам (2.24) определяем значения главных центральных
моментов инерции Ju и Jv.
Пример. Определить положение главных центральных осей
и вычислить главные моменты инерции для поперечного сечения
(рис. 25, а), которое состоит из неравнобокого уголка № 14/9 (ГОСТ
8510—57) и швеллера № 24 (ГОСТ 8240—56).
Решение. Через центры тяжести Сг и С2 уголка и швеллера
проводим центральные оси xlt yt и х2, у2, параллельные их сторонам.
Поскольку х2 — ось симметрии швеллера, она и ось у2 являются его
главными центральными осями. Главная центральная ось у0 уголка
образует с его центральной осью хг угол а.
Для уголка Fi = 22,2 см2; JXt = 146 см*\ Jyt = 444 слс4; =
22

= 7mIn = 85,5 см*; tga = 0,409; a == 22° 15'; координаты центра тяже¬
сти Xq = 4,58 см, ус = 2,12 см.
Для швеллера F2 = 30,6 см2; JXt = 2900 см4; Jy# = 208 cjh4;
= 0; координаты центра тяжести хс = 2,42 еле; == 12 см.
Найдем главный момент инерции JXo и центробежный момент
инерции JXtVt уголка:
Jx. = Лпах = 444 + 146 — 85>5 = 504.5 еле4;
JXiVi = -*°у —0 sin 2 (90° - a) = -J sin 2a =
= 504^5-85^5 0>701 = 146>7 CJB«_
Расстояния между центральными осями уголка и швеллера равны:
между осями хх и х2
12,00 + 2,12= 14,12 см\
между осями ух и у2
14,00 — 2,42 — 4,58 = 7,00 еле.
Определим координаты центра тяжести С всей фигуры в системе
осей х2, у2:
22,2 7,00 _ 0 Л/ .	22,2 14,12 с Л/
Х° ~ 22,2 + 30,6 “ ’ см' Ус ~ 22,2 + 30,6 “ ’ см‘
Центр тяжести С должен лежать на прямой С1С2, что необходимо
проверить на рисунке. Через центр тяжести С проводим центральные
оси xq и ус, параллельные проведенным ранее центральным осям
уголка и швеллера. В системе центральных осей xG% ус координаты
центров тяжести уголка и швеллера равняются:
xCi =» 7,00 — 2,94 * 4,06 см; ус^ =* 14,12 — 5,94 = 8,18 см;
хс^ = — 2,94 см; ус = — 5,94 см.
Вычислим осевые и центробежный моменты инерции всего сечения
в системе произвольных центральных осей xG, ус:
j _ 146,0 + 22,2 8,182 -f 2900 + 30,6 5,942 = 5607,6 см*;
С
Jy = 444,0 + 22,2 4,Об2 + 208,0 + 30,6 2,94* = 1282,4 см4;
J*C УС = 146,7 + 22,2	4,06	8,18 + 30,6	(“~2’94)	5'94) =
= 1417,3 см*.
По формуле (2.21) находим угол а0 наклона главных центральных
осей х и у относительно произвольных центральных осей хс и ус:
2J*CVC 2 1417'3
g 0 Jyc — Jxc 1282,4 — 5607,6	’	’
2an = — 33* 20'; o0 = —16° 40'.
Поскольку угол a0 отрицательный, главная центральная ось и откла¬
дывается относительно произвольной центральной оси хс по часовой
стрелке, а поскольку Jx > Jy , то ось и является осью, относительно
с с
которой момент инерции будет максимальным.
23

Главные моменты инерции определим по формуле (2.24):
5607,6 + 1282,4
Y (5607.6-Ш2.4|- + и„^_
2	^	r	V 2
= 3445,0 + 2585,6 сж4;
Ju = Jmax = 6030,6 см4 = 6030,6 10-3 Ж4.
= */mln = 859,4 см4 = 859,4 10-3 м*ш
Проверка. Должны удовлетворяться условия
Jxq'V JVq~	+ Jv и «/ц» = 0*
В данном случае имеем
J*c + Jyc = 5607,6 + 1282,4 = 6890,0 =Ju + Jv= 6030,6 +
+ 859,4 = 6890,0 еде4;
Геометрические характеристики плоских сечений
Форма
сечения
Любая центральная
ось — главная
Любая центральная
ось « главная
Координаты
крайних точек сечения
= Ух = %
а
*i = Ух = ~Y
24

^хс Jvc
Juv =	^	^ао	~Ь ^xqVq	2ао ^
_ 560^6—_1282Д (_0i55) + 1417i3 0,836 =
= —1189,4 + 1184,9 = — 4,5 см*.
4 5
Относительная ошибка составляет щ]Гд 100 = 0,4%, что допу¬
стимо.
На рис. 25, б показано построение круга инерции для графического
решения этой же задачи.
Геометрические характеристики различных плоских сечений,
а также сечений прокатных профилей приведены в табл. 1—8.
Таблица 1
Моменты инерции:
осевые Jх, Jy* центро
бежный JXyl полярный Jp
и при свободном
кручении JK
Моменты сопротивления:
осевые Wx, Wy; полярный
Wp и при свободном кру¬
чении V7K; х — касательное
напряжение
Радиусы инерции
Ь-Уф,
<»-У>
Л4 h2F
ft4 №F
3 “ 3 ’
Wx = Wy=~,
WK = 0,208ft3
h
1х~1у!=\т=
= 0,289А
JK = 0,1406ft4
Tmax — посередине
сторон, в углах т = 0
Эллипс инерции —
круг
ух = у„-Я4-А4 =
ТТ7 ТТ7 Я4 - Л4
Wx-Wy- ■ 6// -
1Х = 1у =
x v 12
H* + h?
~ У 12 “
"12
= 0,289 Vm + h?
Эллипс инерции —
круг
25

Форма
сечения
Тонкостенный
квадрат полый
Любая центральная
ось — главная
Координаты
крайних точек сечения
*1 = 2/1 =
Я
Квадрат полый
Любая центральная
ось — главная
F = h2 — а2
Квадрат поставлен
на ребро
Любая центральная
ось — главная
F = а2
^ = ^ = т -
= -у а = 0,71а
26

Продолжение табл. 1
Моменты инерции:
осевые Jx, Jy; центро¬
бежный JXy\ полярный Jp
и при свободном круче¬
нии JK
Моменты сопротивления:
осевые Wx, Wy; полярный
Wp и при свободном круче¬
нии WK; х — касательное
напряжение
Радиусы инерции
<„-1Пж.
Л = Jy = 1 НЧ =
FH2
“ 6
wx = wv = ~ НЧ
н
1х~1у-уъ*
« 0,408#
Эллипс инерции —
круг
7 У Л4~а4
Jx — Jy — |2 —
*2 + ** г
~ i2 F
,,, г„ Л4 — а4
6h
1Х= 1у =
-|/ Ь2 + <*2
г 12 ~
= 0,289 Vh2 + a*
Эллипс инерции —
круг
II
•Jss *13
11
L *|з
н «
н
Wx=Wy = 'iQa* =
h3
= 24 = 0,118а3 =
= 0,042/t3
При срезке верхнего
и нижнего углов на
1
Ь = —h Wx достигает
1о
максимума Wx ср =
= 0,124а3 = 0,044k3
ix = iy = 0,289а
Эллипс инерции —
круг
27

Форма
сечения
Площадь
сечепия F
Координаты
крайних точек сечения
Квадрат полый по¬
ставлен на ребро
Любая центральная
ось — главная
F = а2 — Ь2
Н
xi = Vi = ~~2~ ~
1/2
= -у- а = 0,71а
Прямоугольник
Оси я — я и у — у —
главные централь¬
ные
F = bh
*i =
*1=т
28

Продолжение табл. 1
Моменты инерции:
осевые Jx, Jy\ центро
бt ЖНЫЙ Jxy\ полярный Jp
и при свободном круче¬
нии JK
Моменты сопротивления:
осевые W^, W^;
полярный wp и при свобод¬
ном кручении т — каса¬
тельное напряжение
Радиусы инерции
х г р »
i =]/ZZ
1/ ' F
J-.J «4-64_
Jx-Jy- 12
II
II
*ас = iy —
Н* — А4
48
V'2 о4 — Ъ*
12 а ~
-i/- а2+Ь2
г 12 “
а* + ь\
= 12 *
= 0,118 а*~ь* =
а
24# ”
#4	&4
= 0,042 ——jy-
= 0,289/02+ Ь2
Эллипс инерции —
круг
bh3
Fh2
Jx —
12 =
12
Г
lib3
F62
Jy —
12
“ 12
Т
bh3
Fh2
J*2~
3
“ 3
Т
ЛЬ3
Fb2
Уг
3
~ T
b2h2
хгуг
4
Jx
хг
ii
н
b3h3
6W
Ы2 6(Ь2 + Л2)“
d4 sin8 a	Fd2 sin2 a
48
24
6/г
Jv= I2(b2 + A2)
yK = ^4
FA
6
ЛЬ2 F6
^=T = T
= n >1
= 8b3
Посередине длинных
сторон Tmax = MK/WK;
посередине коротких —
т = ^Tmax> в Углах х = 0
ix = 0.289А
iv = 0,2896
29

Форма
Площадь
Координаты
сечедия
сечения F
крайних точек сечения
п
i
1,5
2
3
4
6
8
10
е
0,208
0,346
0,493
0,801
1,150
1,789
2,456
3,123
-п
0,1404
0,2936
0,4572
0,7899
1,1232
1,789
2,456
3,123
с
1,0
0,8588
0,7952
0,7533
0,7447
0,7426
0,7425
0,7425
Прямоугольник
полый
F = BH. — bh
Оси х — х и у — у —
главные центральные
*,=—
н
»i = X
Тонкостенный прямо¬
угольник полый
Л
С
X
L
Л
ь,
F = 2Ь(В + Я)
Н
"IF
Оси X — X и у — у —
главные центральные
У i = -
В_
2
Я
30

Продолжение табл. 1
Моменты инерции:
осевые Jx, Jy\ центро¬
бежный Jxy\ полярный Jp
и при свободном круче¬
нии JK
Моменты сопротивления:
осевые Wyj
полярный Wp и при сво¬
бодном кручении VVK;
т — касательное напряжение
Радиусы инерции
h
¥ = '
Ук = J (п - °>63) Ь*
г >4
WK = j(n-0.63) 63 =
JK
ъ
В точках длинных сто¬
рон, за исключением
концов, ттах; посере¬
ди ле коротких сторон
т ^ 0,7425ттах; в углах
т = 0
BH3 — bh3
12
НВ* — hb3
12
внз-ьпз
6 н
i/ BH3 — bh3
'* Г 12 (ВН—Ъ<-)
-\f HB3 — hb3
ly V 12 (BH-bh)
'.-¥(*т+0
"-¥К+*)
ix	= 0,289Я x
т/зя + я
x	г e + я
iy == 0,2895 x
т/зя + в
x V н + в
31

Форма
сечения
Площадь
сечепия F
Координаты
крайних точек сечения
Прямоугольник
F = Ь (Н — h)
Оси х — х и у — у —
главные центральные
Прямоугольник с
круглым отверстием
_	7id2
F — bh	— =
4
=	0,785	■—)
Оси х — х и у — у —
главные центральные
*! = Т
2/1 = -
Ь_
2
Н
Ъ
= T
h
Vi = -2
Прямоугольник
с двумя отверстиями
ь
*г = Т
Vi = T
32

Продолжение табл. 1
Моменты инерции:
осевые Jx, Jy; центро¬
бежный Jxy\ полярный Jp
и при свободном круче¬
нии JK
Моменты сопротивления:
осевые Wx,
полярный VTp и при сво¬
бодном кручении WK;
т — касательное напряжение
Радиусы инерции
чс — г р »
* =1/5
гУв Г F
•/* = ^(яз-лз)
jy=*L(H~h)
(ЯЗ-ЛЗ)
цгу=-^-(Я_А)
ix =
т/ Я2+Я/1+/12
Г 12 ~
=0,289
iy = 0,2896
1 (bh3 nd*\
х “ 4 \ 3 16 / “
1 / hb3 nd*\
v ~ 4 \ 3 ” 167“
-5 (-«•£■)
"-ам-
-Т (•-«•■£)
i* = 0,289Л х
■-».*>£
г 1-°,785-£.
iy = 0,2896 X
1—0,59w
г 1-0.785^.
-1,8w(‘+
+иж)]
+«£)]
1Х = 0,289Л X
, / да х
1 x(.+.6ll)
= 0,289& X
/ 1-1,18-^-
2	5-1186	33

Форма
сечения
Прямоугольник
с полукруглыми
вырезами
Оси я ~ х и у—.* у —
главные центральные
Площадь
сечения F
Координаты
крайних точек сечения
Ъ
2/i = -2
Прямоугольник
повернутый
F = bh
yt = y (h cos а ■+* b sin о)
1
X£ = -7г(Ь cos a —* h sin a)
Узкая прямоуголь¬
ная полоса
F= It
Уо'-
CL -f- Ь
1 ' ~2
h
Vi= 2-
34

Продолжение табл. 1
Моменты инерции:
осевые Jxt Jy\ центро¬
бежный JXy4 полярный Jp
и при свободном круче¬
нии JK
Моменты сопротивления:
осевые Wx, Wy)
полярный Wp и при свобод¬
ном кручении WK;
t — касательное напряжение
Радиусы инерции
i-V±.
%x V p »
ч,-УЦ-
Т»Н
1
и
bh2 nr4
w* = T—W
‘*-V£
■,>-тг-2[°’“г‘+
w -££-
nr2 / b ^Л2!
+ Т V“2 “ 3i/ J
~J.|o,iir» +
+т(т-к)1
J*—it cos2 a+
И'*“7Х
+ 62sin2a)
Jy — (Л2 sin* a +
-f- 62 cos2 a)
= — A2)sin 2e
w A2 cos2 a + 62 sin2 a
ft cos a + 6 sin a
w h2 sin2 a + 62 cos2 a
6 cos a — h sin a
л f h2 cos2 a +
1/ + b2 sin2 a
' 12 ~~
1 /” h2 cos2 a +
= 0,289 У -f- b2 sin2 a
iy =
i/’/i2 sin2 a -f*
= 0,289 У + b2 cos2 a
/Л* Ffe*
* ~ 12 - 12
$
ii
ix = 0,289Л
Jxt= "з" (a* + + &2)
wx, = i!•(<**+ ab + b2)
2*
35

Форма
сечения
Площадь
сечения F
Координаты
крайних точек сечзния
Симметричный дву¬
тавр из прямоуголь¬
ников
F = ah+ b(H — h)
Оси X — X и у — у —
главные центральные
*1 = Т
Н
У1 = -гГ
Двутавр
F= аЯ +
+ 26 (с -f- с±)
Ь = ~(В~а)
Xl = ■
В
У 1 = -
н
Симметричное сече¬
ние из прямоуголь¬
ников
BH — bh
Ось х — х — главная
центральная
У i =
Н
2
86

ТТродолжение табл. 1
Моменты инерции:
осевые Jx, Jy', центро¬
бежный J^; полярный Jp
и при свободном круче¬
нии JK
Моменты сопротивления:
осевые поляр¬
ный Wp и при свободном
кручении WK;
т — касательное напряжение
Радиусы инерции
<»-Vf
а3Л 63 „ ,ч
v = "12" "12~ ~
w‘-m +
w>=-S- +
62
+ х(*“ А)
*X =
l/aft3 + 6 (Я3 — h3)
У 12 [aft+6 (Я—ft)]
iy =
_ l/ a3ft + b3 (Я —ft)
V 12 [aft+6 (H-h)\
Л=п[вя’-
^ = ^[в9(Я-Л) +
+ М3 + ^(В4_й4)]
h — hi
а~ 2 Ь
Для стандартных дву¬
тавров
1
6-
+ ».»• + -} (*•-•*)]
.,-Kt
ВН3 — bh3
BH*- bh?
1 / BH'3 — bh3
12
CD
1
H
l*_ r 12 (ВЯ 6ft'
37

38

Продолжение табл. 1
Моменты инерции:
осевые Jx* Jyi центро¬
бежный JXy\ полярный Jp
и при свободном круче¬
нии JK
Моменты сопротивления:
осевые Wx,
полярный Wp и при свобод-
ном кручении WKj
т — касательное напряжение
Радиусы инерции
'* - V-TT'
• -,-к?
вн3 + bh3
_вн * + »»
т/ BH*+bh*
JЛ 12
Л “ 6Я
* V 12 (£# + 6/1)
6Я3 + (В — Ъ) А3
6Я3+(Я-6)А3
к п
И JJ)
Jx 12
hB3 + (Я — Л) Ь3
* ~ 6Я
ЛЯ*+(Я-А)63
7г/_ 12
^ ~ 60
Л = ^ [Л3В + 5»(6-6)]
•/„ = ^[Ь3® + &3 (Л — 5)]
А35 + 83(Ь-8)
6А
т„ _ ЬЧ + 53 (А — 5)
v 66
39

Форма
сечения
Несимметричный
двутавр из прямо¬
угольников
Оси х — х и у — у —
главные центральные
Симметричный тавр
из прямоугольников
Площадь
сечения F
Координаты
крайних точек сечения
F = Ъсх +
-f- a (h +	+	Вс
bt = Ь — а
В± = В — CL
В
*1=-7П
У' = -2Х
X
аЮ+В^+Ь^ (2 H—Cl)
Q.H -j- fijC -j-
у; = н-У1
h = Ух — с
hi = yl~ ci
F=(B — b)c+bh
У1	g x
(B — b)c* + 6A*
(B — b) с + bh
Vi — h —
40

Продолжение табл. 1
Моменты инерции:
осевые Jx. Jy; центро¬
бежный полярный Jp
и при свободном круче¬
нии Ук
Моменты сопротивления:
осевые Wx, Wy;
полярный Wp и при сво¬
бодном кручении WK;
т — касательное напряжение
Радиусы инерции
•--к?
Л = | (%1 - -ь
+ Ьу\ - Ь,А?)
^у = ^[В*с+Ь% +
+ а3 (А + Aj)]
WXB= -—-(для верхних
волокон)
= -^-(для ншкних
У1 волокон)
wy = W[BSc+h*Cl +
-f- a3 (h + Аа)]
j*=-'x-y;r
JXi = ^[(B-b) c3+6ft3j
Jv = is tfi3c+63 (A-c)]
12
Кроме того, /л=р
Bh3
12
где p находится из
графика
Л
W =	—* — v'F
VVXB у•
У
(для верхних волокон)
wr „ = J*
2/1
h •
■2/
(для нижних волокон)
Wy = -±.[B*c +
+ 6* (А -с)]
-=У4
•-VZ-
2 Х
X
г ЗГ(£ —
— 63) с + &3/г
[(В — Ь) с -f- bh]
41

Форма
сечетш
Площадь
сечбния F
Координаты
крайних точек сечения
Несимметричное се¬
чение из прямоуголь¬
ников
F = аН + Ьс
Vi =
аН2 + Ьс2
2 (аН + Ьс)
= Н— З/i =
аЯ2 + Ьс (2Я — с)
2 (аЯ + 6с)
Ось х •— х — цент¬
ральная
Корытное сечевие
F = Bh +
+ 26 (Я —Л)
в
Б
Bh2 + 26 (Я2 — Л2)
2/1 “ 2 [ВЛ + 26 (Я — Л)]
•У 1
Устой с обратными
стенками
*
F = ВН,
а + &1
2/х=
ЗВЯ2 —Л«(6 + 2а)
: 6ВЯ — 3ft (а + 6)
у; = я-и
42

Продолжение табл. 1
Моменты инерции:
осевые Jx, Jy\
центробежный Jyyi поляр¬
ный Jp и при свободном
кручении JK
Моменты сопротивления:
осевые W^, Wy}
полярный Wp и при сво¬
бодном кручении WK;
т — касательное напряжение
Радиусы инерции
i -/2*;
1ас “ V ~рг »
<„-^5
= j (Bv\ - 6<3 +
+ аУ*)
^н = —
*н 3/1
(для нижних волокон)
ТЛ7 А _ «/ж
^ -tf_w
(для верхних волоков)
‘.-/5
Jx =
Bh* + 2b(H ~-h)* !
+ Bh(yi~*J +
+ 2b(H~h) (^=-Л +
+ Л-З/i J
B*H— (H—h) (tf—2b)*
А
Ш
(для нижних волокон)
w‘-f
(для верхних волокон)
В»Я— (Я—Л) —2ft)3
60
12
Jx = Jx%~Fy]
BH9
Jx*e=z 3 ”u
h?
^JL.(b + ba)
J - HB* ■ h X
12 48 X
fc4 — a4
Л 6 —a
Wx = -^-
2/1
(для нижних волокон)
у1
(для верхних волокон)
W - —-
wv-~
h 64 — a4
2АВ Ъ~-а
II II
43

Форма
сечения
Равнобокий уголок
Равнобокий уголок
У
Координаты
крайних точек сечения
*1 = 2/1 =
	Л2 -f- t (h — t)
= " 2 (2h — t)
f
= h — xl=h — y1
ft -f- t — 2c
^-pr-
' = h* + kt — t2
Vl ~ (2h-t)V2
C=y
,V2
Неравнобокий уго¬
лок
F = t(b+h,)=*
= *(M-6x)
Xi =
b" -|- h±t
2	(6 + ftt)
a;' = 6 — a,'] —
6* + ft, (26 — t)
~	2(6	+	M
ft4 + 6tt
^-г^ + б!)
yi = A — Vi —
ft2 + 6, (2ft — 0
2(ft + 6x)
44

Продолжение табл. 1
Моменты инерции:
осевые Jx, Jy; центро¬
бежный Jxy; полярный Jp
и при свободном круче¬
нии <7К
Моменты сопротивления:
осевые Wx, Wy\
полярный Wp и при сво¬
бодном кручении WK;
х — касательное напряжение
Радиусы инерции
1 /тс
** - К —!
i -VH
у ~ У р
Jx = Jy =
= -i- [t (ft — уг)* +
+ hy\ — (h — t) (уj — <)3]
t (2ft — 3<) (ft2-)- t2)
Wx = Wy =
v {/1
(для левых и нижних
волокон)
Wx=Wy=£-
(для правых и верхних
волокон)
lmin = 1уг =
-/з:
“ 6
7ft4 — 5 (ft — t)4
v ~ 12
— 2ft23/x (ft + +
+ 2 (ft —t) (ft —
— 2/i) (Vi + 0 —
— 4ftt/! (ft — «)*
-2(c-t)* +
+ «(* —2c+-y) ]
r ft4_(ft_t)4
Jy- ' '12
W —
хв у;
(для верхних волокон)
и*н = —
*н s/i
(для нижних волокон)
Л = |-и(Л-!/1)3 +
+ (2/i -П8]
^ = |[«(6-*i)3 +
-j- (#i — 0s]
T bbjihit
ЦЪ + hj-
bb^hhyt
- 4(ft+ix)
^„=4
*в у[
(для верхних волокон)
W = —
хн У1
(для нижних волокон)
w =^~
Уа
(для правых волокон)
W = j±-
Vл
(для левых волокон)
ix = = 0,29ft
«и = ]/ 7Г “ °*326
45

46

Продолжение табл. 1
Моменты инерции:
осевые Jx, Jy\ центро¬
бежный Jxy\ полярный Jp
и при свободном круче¬
нии JK
Моменты сопротивления;
осевые Wx,
полярный VTp и при сво¬
бодном кручении WK:
х касательное напряжение
Радиусы инерции
ЪЬ? — (Ь — ta)(fe — 20*
12
ht\ + 6t6* (6 — <i) +
+ 2t(6 —tx)8
Wx =
bfe3_(ft_tl)(ft_2t)s
«.-/5
6h
Wv =
hti -j- 6tb2 (6 se* fj) -J-
+ 2t(b-tl)3
J» ~ 12
J* cos2 a —/у sin2 а
x* “ cos 2a
Jy COS2 а sin2 a
— cos 2a
. „ bt (6 — ix) (h — t)
tg 2® — г — T"'
Jx Jv
6 (2b *x)
bh8
~ "36 18
bh? Fh*
12 - 6
bh3 Fh*
/*.= “=“2'
^ Mi (ft2 — »'»i)
^ ~ 36 ~
F(b* — x^x !>
“ 18
h (zj'8 + X®)
v, 12
= 36 x* Xuci **)
^РА = Й(36Л* + Ж»* + Ж’)
Для равностороннего треугол
роной ft и высотой h
hb* ^б*.
Jv,~ 48 ~ 24 ’
h* h*
к ~ 15 /3 25,981
3 64 ft4
~ 80 ]/з — 46,188
w = -ffi2-
*H 12
(для нижних волокон)
W =
*в 24
(для верхних волокон)
ттг Ь/г (&а — аг/а?!)
уп 36хх
(для правых волокон)
ТЯ7 bh(b2^xi'sj)
уд“ 36а:/
(для левых волокон)
ьника со сто-
ЛЬ2
W = TF = —
уп гг у л |2 ’
PFK = 0,056® =
ft3 Л3 2 Ук
7,5 КЗ ~ 12,99 ~ А
Посередине сторон
тгаах5 в Углах х = 0
h
lX~3V2 ~
= 0,2357/i
‘V 3/2 X
X /ft2 — £i ^ =
= 0,2357 X
X V b2 «=» x/xx
b ЛГ3
^""б F 2 =
= 0,2046
V

'Форма
сечения
Площадь
сечения F
Прямоугольный тре¬
угольник
У2
В
У
*3
2S
1
VK X
52:
f
х2
А
4
ь „
Уг
У
F = \bh
Координаты
крайних точек сечения
4*

Продолжение табл. 1
Моменты инерции:
осевые Jх, Jy\ центро¬
бежный Jyy\ полярный Jp
и дри свободном круче¬
нии JK
Моменты сопротивления:
осевые W^.,
полярный VTp и при сво¬
бодном кручении WK;
— касательное напряжение
Радиусы инерции
1 /“JT
г* = К —г
{ -1/3l
1/ “ Р
Для равнобедренного т
нием Ь, высотой h и yrj
= Г2 НЬ* 010564
реугольника с основа-
юм при вершине а < 15°
wK = ~hb2—o,m^=
~ ъ
В точках длинных
сторон вблизи основа¬
на 'w;
в углах т= 0
bh3 Fh2
х~~ 36 " 18
, bh3 Fh2
**“~12 ~~6~
М3 F/i2
х>~~ 4 “2
&3Л F&2
у 36 “ 18
b3h F62
у*~ 12 “Т
- 72~
Ь2Л2
y^2j/2 — 24
_ т?‘
хяу2 ~~ 8
^ = з^л2+62)-Ж
С2 = feS +
^РА = й(Аг+4г) =
bhc2
12
^B = S(3ft2 + ba)
W =-^1
*н 12
(для нижних волокон)
W = “1
хв 24
(для верхних волокон)
w = **
у л 12
(для левых волокон)
W = —-
1/ п 24
(для правых волокон)
«* = *.=0,2357й
3/2
Ь
,f/_3/2 “
- 0,23576

sc

Продолжение табл. 1
Моменты инерции:
осевые Jx, Jy; центро¬
бежный полярный Jp
и при свободном круче¬
нии JK
Моменты сопротивления:
осевые Wx, Wyj
полярный Wp и при сво¬
бодном кручении W^j
т —* касательное напряжение
Радиусы инерции
,-V1L
lv у
Jx =
А*> (6* + 466, + 6?)
W =*
ггхн
А2 (6* + 466, + 6?)
h
6(6+6,) х
36 (6+М
FAa (Ь2 + 466, + 6J)
18 (6 + 6,)2
r А® (6+ 36,)
*•- 12
№ (6 + 36,)
” 6(6+6,)
r A3 (36 + 6,)
х»~ 12
Fh* (36 + 6г)
“ 6(6+6,)
трапеции с верхним
Jx —
А3 (66? + 66,60+6?)
12(6 + 26,)
(для нижних волокон)
W =
гг х в
А» (6* + 466, + ъ\)
~ 12 (26 + 6,)
(для верхних волокон)
основанием bL и ниж-
A* (6&J + 66,60 + б”)
X V 2 ( 62 + 466, + b\)
( _ h . V
6 (26, + 60) х
36 (26, + 60)
h »-ъ\
12 (36, + 260)
А 64 — 6^
W
X l/"2 (66? + 66,60+6j)
ьг + ъ\
lV~ у 24
Jy~iS 6 — 6,
лина с большим основав
r А (6* - b})
12(6 — 6,) “
— 0,105 (6‘ + 6l)
^“24 b*—bb!
ием Ь, меньшим bv вы-
/к
pfK*=-r=
А (6* — 6f)
“ 126 (6—£,)“
6*+ 6?
— 0,105 —Т
О
В точках длинных
сторон ближе к широ¬
кому основанию
мк
‘'max ~ ЦТ
81

52

Продолжение табл. 1
Моменты инерции:
осевые Jx. Jy, центро¬
бежный JXy\ полярный Jp
и при свободном круче¬
нии J к
Моменты сопротивления:
осевые Wx, Wy;
полярный Wp и при сво¬
бодном кручении WK\
х — касательное напряжение
Радиусы инерции
<,-V±
ab3 — ajftJ
аЪ3 — «,6?
W —
1 /~ аЬг — «1^1
J*~ 48
а*Ъ — а\Ъх
И * “ 246
а36 — а?6.
W -
** У 24 (ab-a^)
-j f a3b — albt
Jy~ 48
и ~ 24а
ly V 24 (ab - a^i)
rcd4 тег4
J* - Jv - Ж - T “
_ Fd2 _ Fr2 ^
16 4 ~
» 0,05d4 « 0,785r4
Tp=JK = 2JK=2Ju =
32 2
« l,57r4
*d3 яг3
* = v = "32” = ~4"
« 0,ld3 « 0,785г3
7td3 It/*3
w =W = —-=_ ~
p "к 16 2
« 0,2d* « 1,57г3
Во всех точках пери¬
метра ттах
..dr
l*=lv = T=2
Эллипс инерции —
круг
тс (£>4 — d4)
*-Jv~ 64 ' _
= м (1 a4> =
F (D2 + d2)
16
= Ff6 (1+0*
« 0,05Z?4 (1 — a4)
^P=^K =
я (Z>4 — d4)
32 ~
« 0,1Z)4 (1 — a4)
Wx = Wy =
те (£>4 — d4)
“ 32Z) ~
^0,lZ>a(l“-a4)
W = W =
р к
Я (/>4 _ rf4)
“ 16Z) ~
= т£(1—)*
« 0,2£>3 (1 — а4)
Во всех точках наруж¬
ной окружности тшах
lx ~ iy —
= l/2>» + d* =
= /i + a2
Эллипс инерции —
круг
S3

Форма
сечения
Круг с неконцентри¬
ческим отверстием
Площадь
сечения F
. Координаты
крайних точек сечения
D
Уо=$В-
1	— а2
D 1 —а2 (1 — 2р)
1—а2
D 1 — аа (1 +2р)
Уг ” "Т 1 — а*
Р—£
Круг с круговым
вырезом
Тонкостенное кольцо
5	< 0,Id
Любая центральная
ось *-» главная
F = nbd
£
2
54

Моменты инерции:
осевые Jx, Jy\ центро¬
бежный Jxy', полярный Jp
и при свободном круче¬
нии JK
Моменты сопротивления?
осевые Wx, Wyj
полярный Wp и при сво¬
бодном кручении WKj
t — касательное напряжение
Радиусы инерции
4 -1/71,
я * “7Г-,
i -V1L
гу У
Г /А Л\
Jy — “64“ (! ”“ )
IV,- ”3® X
w С1—®2) (1—а4) —16а2Р2
D
<* = —X
Г 1 + аа —^
У -«Ш
iv = ±Vi + a*
1—а2(1+2Р)
(для верхних волокон)
71D3
32 X
,, (1—a2) (1—а4) — 16а2р2
Х 1 _ а» (1 — 2р)
(для нижних волокон)
и^= - (1~«4)
JK = hIt*
R3
W = — —
к Л2
На дне выреза ттах
-
г
~R
0
0,005
0Д
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1.5
кг
1,57
1,56
1,56
1,46
1,22
0,92
0,63
0,38
0,07
к2
0,64
1,22
1,22
1,23
1,31
1,52
1,91
2,63
7,14
j - j - -
Jx — Jy	g” —
* з Fd8
= пйг3 = -g- «
« 0.393M3
Jv = JK =
n&d3 о * 9
=	7— = 2715^3 ~
4
« 0,785&d3
= 7c5r2 « OJSbbd2
IY =W nbd2 =
" p VY к ~ 2
= 2Ti5ra « 1.57M1
Во всех точках пери¬
метра ттах
lx~ly- 2/2 “
= -4^ « 0,353d'
V2
Эллипс инерции
круг
55'

Форма
сечения
Площадь
сечения F
Координаты
крайних точек сечения
Круговое незамкну¬
тое тонкостенное
кольцо
—
d+b
У
X №
Mb
У
b^d
Полукруг
_	тid2	nr2
F = -r = T*
я 0,393d2
= 9^-6±}
J* М5Ъс h
d* ^
iksiz ~~ 9/1
r
*i = T = r
2 d
yi = 17 =
= 4- — ~ 0,212d
U It
у/ я 0,288d
Четверть круга
*’ = T ~
я 0,785r2
*i = J/i = -g- * 0,424r
xl = yl я 0,576r
56

Продолжение табл. 1
Моменты инерции:
осевые Jx, Jy; центро¬
бежный JXy; полярный Jp
и при свободном круче¬
нии JK
Моменты сопротивления:
осевые Wx, Wy;
полярный Wp и при
свободном кручении WK;
t — касательное напряжение
Радиусы инерции
■.-К4-
Tidb9
ТЛ7 (**>)2 „
~~ 3
к 3nd + 1,85 ~ 1
ndh^
~ 3
В точках внутреннего
и наружного контуров
сечения
Зтid 1,85 _.
max (itd5)a «
Jx~ 16 U 9n)
и 0,00686d4 ts 0,11/-»
nd4 n r4
Jv = Jx,-№~ 8 “
Fd? Fr4 _
= IE T ~
a 0,0246d4 « 0,393r*
Wx я 0,0324d3 я 0,259л»
(для нижних волокон)
Wx « 0,0239d3 я 0Д91Г3
(для верхних волокон)
тid^ it/*3
^=<34 = 1T*
я 0,05d3 я 0.393/1
i* « 0,132d
1у — -£
«0,0714r4
*max
^vmIn * °’038^4
^t=^*°-0549r’
J -J
J *. Jv, 16 ~
и 0,196r4
■/^, = ^0'0165"4
/
xtV* 8
pp _ w =
*2 У 2
it2/*3 9тс2 — 64
“48 Зя — 4 ~
« 0,923г3
(для верхних и правых
волокон)
W = W =
Л* Уг
тс2/*3
= _(9**_64)я
я 1,245г3
(для нижних и левых
волокон)
ix »0,302т-
*max
i- f « 0,221/'
^min
57

Форма
сечения
Площадь
сечения F
Координаты
крайних точек сечения
Круговой сектор
Оси х~х и у у«—»
главные центральные
*=V(2a-
ь
2
2	гЬ
3	s
2г sin a
я* = -g" = г sin a
йазТя
3a
= 38,2-
f Л 2 sin a\
b = 2r sin a
2/o =
*i=T
b = 2r sin a
4/* sin3 a
</i
3 (2a — sin 2a)
(4 sin3 a
• sin 2a
■ cos
■)
v;-r{i
Sin'
2asin
'j	)
in 2a /
SB

Продолжение табл. 1
Моменты инерции:
осевые. JXt
центробежный J^)
юлярный «7р и при свобод¬
ном кручении JK
Моменты сопротивления:
осевые Wx, Wy\
полярный Wp и при
свободном кручении
—	касательное напряжение
Радиусы иперции
ь-Уф,
2а + sin 2а —
г»
8
32 sin2
2а + sin 2а .
32 sin2 а
9а
= £2(2a + sin2“~
32 sin2 а\
~ 9а /
•/*, = -	(2в	+	sin	2а)
р4
Ту = -g- (2а sin 2а) =
Fr2
= &Г (2а ~ sin }
X
9а
1<
2	sin а
За
(для верхних волокон)
/Г
г лГь sin 2а
V 1—гг
sin 2а
2а
16 sin2 а
9а2
+ sin 2а
16 sin а
32 sin2
9а
(для нижних волокон)
2а sin 2а
Wy = г3
sin а
Jx = -g- (2a — sin 2а +
+ 4 cos a sin3 а) =
wx =
Vi
4 cos
2a
)S a sin3 a\
— sin 2a /
sin 2a —
(для нижсих волоков)
w —
у:
(для верхних волокон)
г3
)-
wv =
(2.-
— -g- cos a sin3 а
-¥(-4*
cos a sin3 а ^
* 2а — sin 2а /
у 8 sin а
*— sin 2а —
4	.	3	\
— У cos a sm8 а I
X
X
У
1 +
4 COS a sin3 а
2а ~ sin 2а
*»- т х
	4 cos a sin3 а
3 2а — sin 2а
JXt g- (2а —
—	sin 2а cos 2а)
59

Форма
сечения
Полукольцо
У
У
Сектор кольца
х<У Xf
У
Площадь
сечения F
Координаты
крайних точек сечения
F =
n(D2 — d2)
8
= ^(1-а2)*
« 0,393.D2 (1 — а2)
d
а = _
*1=7-
2 Z>2 + ZM + d2
У1~3*	£>+rf
_ 2 Д 1 + a + a2 ^
3	71	1	+	а	^
« 0,212Z> *.+ .g + tt*
1 + а
у/ я £> (о,288 —
-0,212^—)
1 + <* /
F = -{ (Д2 — г2) =
= f-R2 (1 — а2)
nf
7 = Ф-
Г
yi — ~о~
xl = R sin 7
2 Д3 — г3
3 Л2 — г5
sin 7
X
2 i? sin 7	1	—	а3
Т 7	1	—	а2
2 sin 7
3	7
1	— <х3\
1 — а2/
2Д sin 7
З7
X
(i — а3 3	\
\Г^сГ2 ~Ya^ 8v
во

Продолжение табл. 1
Моменты инерции:
осевые Jx, Jy;
центробежный Jxy;
полярный Jp и при свобод¬
ном кручении JK
Моменты сопротивления:
осевые Wx, Wy\
полярный Wp и при сво¬
бодном кручении WK;
х — касательное напряжение
Радиусы инерции
гх V р *
ч-Vlh
Jx « 0,00686 (ZH — d4) —
0,0i77D2d2(D — d)
D + d
= 0,00686-D4 (l — a4 —
-w!r)
1 + «/
71 (Z>4 — d4)
Wx я 0,00686£3 X
(! + «)-
ч, — 2,54a2 (1 — а)
1 г —
'ч 0,288(1 +а) —
— 0,212а2
(для верхних волокон)
Wx я 0,0324^ х
(!_««) (1 + я) —
— 2,54а2 (1 — о)
!V = TKz)2 + d2 =
==^-Kl+a2
y 128 ~~
tcZ)4
“ 128 (1 a J *
* 0,02462* (1 — a4)
х 1 + а + а2
(для нижних волокон)
ТТ7 71D3 /А дч
^ = _бГ(1_а)~
я 0,05.D3 (1 — а4)
Д4 — z-4 /
Л = 8 (2T +
32 sin2 т[\
+ «*“* . ^ ^) =
= ~ (1 - a4) j^2y +
32 sin2 Л
+ sm2T 9f j~
= iff(1 +“2> (2T +
. „ 324sin37\
1 /4 1 M O.J * |
W. — J*
Wx у;
(для верхних волокон)
Wx =
х У?
(для нижних волокон)
^ = |-3(1-а4) X
, 27 — sin 27
sin 7
R
‘« = тх
Г (1 + a2) X
ху 4+Т
W 16 sin2 -Л
9~)
R
+ s,n2? - 9r *7
R*	 r*
^ = '5-tJL(2^ +
+ sin 2f) =
^ £(!_««) (2T + sin2f)
Л4 — r4
^ = £L-§JL(2t-
— sin 2f) =
= f(l-“4) <2r —
— sin 27) = (1+a2) X
X (27 —sin 27)
X /(!+•■)(. ''"f)
61

Форма
сечения
Площадь
сечения F
Координаты
крайних точек сечения
Сектор тонкостен¬
ного кольца
F = 2 art
— па°
““180®
= г sin а
sin а
У1 = г —
,	(.	sin	о\
'.-Ч1-— I
,,	/sin а	\
уг	-cosaj
б < 2г
Круг со срезаяяыми
сегментами сверху
.и снизу
a)	Ь = d cos а
h = d sin а
d2
F = -г- (2a + sin 2a)
6) b=~-\h = Ofim
F = 0,74 d2
e)h = ~\h = 0,943d
F = 0,773d*
d_
2
d .
2
{/!= у sin a
*1-2
= 0,433d
d
*1=T
f/x = 0,471d
62

Продолжение табл. I
Моменты инерции:
осевые Jx, Jy;
центробежный
юлярный Jp и при свобод¬
ном кручении JK
Моменты сопротивления:
осевые Wx, Wy)
полярный Wp и при
свободном кручении WKj
т — касательное напряжение
Радиусы инерции
<.-V±
Sr3 1
fx = — ^2о + sin 2а —
4 sin2 а\
5г2
И'* « у X
„ . . . 4 sin* а
2а + sin 2а
1 а
j ‘*-Tx
Г 0 | sin 2a
	а" I
Fr2 /
= 12а + sin 2ос «—
4 sin2 а j
Jy = — (2а — sin 2а) =
Fr2
= (2а sin 2а)
1 sin а
а
(для верхних волокон)
if,-£x
. • «, ^ sin2 а
2а + sin 2а —
а
X
sin а
— — cos а
а
(для нижних волокон)
___ Ьг2 2а — sin 2а
^Я2‘ sin а
Xl/ 4 sfn2 os
f a2
--^(2,6а-1)
_ da (2,6а 1)
к“ 8 (0,3а+ 0,7)
В середине плоского
среза ттах; в углах —
х = 0
r d4 / sin 4а\
/ж= 32 Iе" 4 )
, d* 1 sin 2а
32 (“+ 2 +
, sin 2а cos2 а ^
TXT d3 I sin M
* ** 16 sin ax’- 4 J
d3 f sin 2a
W"~ 16 [a+ 2 +
, sin 2a cos9 a ^
Где = 0,231d
iy = 0,256d
ix = 0,244rf
iy = 0,252c?
1 з )
Jx = 0,0395d4
Jv = 0,0485d4
Jx = 0,0461#
= 0,049#
+ з )
Wx = 0,0912d3
Wv = 0,097d3
Wx = 0,0978d*
Wy = 0,098d3
63

Форма
сечения
Площадь
сечения F
Координаты
крайних точек сечения
Правильны^ шести¬
угольник
У
F = 0,866d2 =
= 2,598Д2
У1 = у
Правильный восьми¬
угольник
X, У\п
F = 0,828d2 =
= 4,828с2
Правильный много¬
угольник с л сторо¬
нами
У п
F = — па2 ctg а =
= w2 tg а =
R =
а
2 sin а
а

Продолжение табл. 1
Моменты инерции:
осевые Jx, Jy;
центробежный ;
полярный Jp и при сво¬
бодном кручении JK
Моменты сопротивления-
осевые W*,
полярный Wp, и при сво¬
бодном кручении ТУК;
— касательное напряжение
Радиусы инерции
jx=jy = 0,038d4
Wx = Wy = 0,087d3
ix == iy === 0,234d
j -j - 5У~3&-
Jx — Jy— Л —
= 0.5413Л4 = 0,06d4
d2
/k = 0,533F-£-
Wx = 4 R3 = 0.625Л3 =
О
= 0,12 d3
Wv = 0.5413Л3 = 0,06d3
Wv = 0,436F у
Посередине сторон
Tmax’ в Углах ~ т = 0
ix == iy ~~ 0,456# =
= 0,263d
jX— Jy —
= 0,638Д4 = 0,0547d4
d2
^k = 0,52F —
WX=WV = 0.6906Л3 =
= 0,1095rf3
Относительно диагонали
W,. = 0.638Д3 = 0,1012d3
Vz
WK = 0.447F J
Посередине сторон
Tmax’ в Углах х = 0
ix = iy = 1уш =
= 0,257d
Jx=JXl=-^-№*-a*)=
= ^(6Д2_а2)
(i2'-2+a2)=
= ^(12r* + e*).
i
1
1 / 6Я2 — a2
Г 24
-i/l2r2 + a2
~ Г 48
&■

Форма
сечения
Площадь
сечения F
Координаты
крайних точек сечения
Круговое сечение
с одной шпоночной
канавкой
F*'4-b,
4
*1 = »1 = -2
Круговое сечение
с двумя шпоночными
канавками
F^-2bt
4
Мостовой бык
с закруглениями
* ^
I
i
1 ;r
щ
Щ
с
6m
Оси ж — х и у — у —
главные центральные
F = bh 4- ъг1 —
=bh (*+а)
h
Ь + h b
*i = — = 2 (1 + «)
66

Продолжены& табл. 1
Моменты инерции:
осевые Jx, Jy;
центробежный Jxy;
полярный Jp и при
свободном кручении JK
Моменты сопротивления:
осевые Wx, Wy;
полярный и при
свободном кручении WK;
t — касательное напряжение
Радиусы инерции
ъ-УЬ
nd* bt (d — О2
w ^.nd* bt (d — t)2
‘-Vt-
Л ~ 64 4
^ _ icd4 6г (d — t)2
A ~ 32 " 2d
тс d3 bt(d — t)2
К ~ 32 4
16 2d
, Tid4 fa (d — t)2
Ы/ ~ fc£ (d — 0*
А ~ 64 ' 2
_ я# bt (d — О*
Л ~ 32 d
И? _ ^ 6t (d — 0*
к ~ 32 1 2
K~ 16 d
ЬЛ3 / Зтс \
•/* = -Т2-11 + Тба)
7v-^j[1+0tlB5«» +
+ Зжа (0,5 + 0,212а)*]
bh‘ Л , Зя \
PF*”-H_(1+ 16 “j
hb2
^-6(1+.)|1 +
-f- 0,165a3 +
-|- Зтш (0,5 + 0,212a)2]
67

Форма
сечения
Площадь
сечения F
Эллипс
Оси х~-х т у —- у —
главные центральные
F = nab
а
т>*
Полуэллипс
У
X
СЗ
X
ш
*1
*1
2Ьг
У
Координаты,
крайних точек сечения
хг = Ь
Vi = a
хг = 6
4
68

Продолжение табл. 1
Моменты инерции:
Моменты сопротивления
Радиусы инерции
осевые Jx, Jy;
осевые Wx, Wy\
центробежный
полярный Wp и при
полярный Jp и при
свободном кручении WK;
свободном кручении Jh
х — касательное напряжение
7za*b Fa2
J*-~r=x ~
*	0,785a36
j _ ica63	//’б2
« 0,785a3fe
•/p=X (a2 + 62) =
= _ (e. + 62)
Л,=
na3bs
к a2 +	“
F3	F*
n2 (a2 + b2) bn2J
W ___	0 785atb
4
Wy -	*	0,785a62
"к —	2
По концам малой оси
_Л/К_ 2Л/К
ттах —
По концам большой оси
bzmnv
b
1«=2
,(х	«J
\ 8	9я* /
= 2Fa2
 nab3 Fb2
"'Ч *••(-?-4)
(для нижних волокон)
\ 8 9тс/
и^=
‘“Я
(для верхних волокон)
w - каЬ2 ~
УУу	— ~
» 0,392а Ъ2
69

Форма
сечения
Площадь
сечения F
Координаты
краГних точек сечения
Четверть эллипса
У
$
nab
F=T
4 .
Полый эллипс
Оси х — х и у — у'—
главные центральные
F = п (ab — Ьх)
а _ ai 4
т = тг= >i
-£. = А = в<1
а о
70

Продолжение табл. 1
Моменты инерции:
осевые Jx, Jy;
центробежный
полярный Jp и при
свободном кручении «7К
Моменты сопротивления:
осевые W х, Wy;
полярный Wp и при
свободном кручении WK;
т — касательное напряжение
Радиусы инерции
•	I/"3*
*х-У
t -VH
ly — V -р-
‘••(п-к)-
-«■'■(в-да-)
■'«-•“(в-г,)-
ih-±)
= 4 Fb2
w	=
*min
(для нижних волокон)
w	=
Ут\а
= -Jafe2 (те—4)
(для правых волокон)
7, = _(«»&_ aft,),
*	^ a* (а + ЗЬ) Ь
J у = — (аЪ8 — ах Ьх)
п a3b — a1fe1
= Т а '
-j- а (я -j- 36) 5
4
Ьа (Ь + За) Ь
тс аЬ3 —
:-^Ь(Ь + За)5
Приближенные значения J и W пригодны,
если отношения 5 : ах и 5.: 6, малы
У«	п*+ 1
(1-а4)
кЬ*п
(I-?4)
В конце малой полуоси
=3-
ттах w ’
к
в конце большой полу-
't,
оси Т =
wmax
При малой толщине
можно принять равно¬
мерное распределение
напряжений по сечению
м к
Х 2F5
71

Форма
сечения
Площадь
сечения F
Координаты
крайних точек сечения
Параболический
сегмент
X, У\
F=Tbh
Hi = -K-
Vi = jh
' 3 h
Параболический
полусегмент
Круговой треуголь¬
ник
F = 0,215r*
3 IL
Xl = T66
' 5 h
** = 16*
2 .
Vl = jh
' 3 *,
уг =ТЛ
xL= yx = 0,223r
= y[ = 0,777г
Полое сечение
в виде чечевицы
F = a[
1 +
-f-ctg!
а5
Х1 =
т)м-
= J (Л2 + 6») = 4ar6
Ь = ft ctg
,=т(1 + с18,т)
1/1 =
72

Продолжение табл. 1
Моменты инерции:
осевые JJу\
центробежный Jxy;
полярный /р и при
свободном кручении JK
Моменты сопротивления:
осевые Wx, Wyj
полярный W”p и при
свободном кручении WK;
х — касательное напряжение
Радиусы инерции
-к?
8 „з 12№
Jx = oh3 =
175 175
, 16 „з 8Fh2
*» = 105 = ""ШГ
. 2 ЗЙ2
•/x, = T^3= —
ftb8 Fb3
30 ~ 20
(для нижних волокон)
w‘-mw
(для верхних волоков)
ш hb*
‘‘~ГнУГ 7
b
ly=~Wi
, 4 ... i2Fhi
Jx — TwF = ~ . „r
* 175 175
1“’
(для нижних волокон)
ix = jhY Y
Jx=Jy = 0,00755H
JXt = 0,003т»
Jx = /„ = 0,0181т4
хш Va '
JVt = 0,0121r*
ичш„,-0’0,ж'*
ix , = 0,187r
x*min
= г*Ъ [2a (2 +
+ cos 2a) — 3 sin 2a] =
Fr2
= _[2a (2+cos 2a) ^
3 sin 2a]
Jy = r^b (2a •— sin 2a) =
Fr2
= (2a — sin 2a)
Wx Jx - ,<JJ*.
ix = г X
9i Ъ + h
wy = -h-
y
Г 2+COS 2a
X1/ 3 sin 2a
F "4a
1 /" 1 sin 2a
lv~r V 2*" ”47“ ~
73

Форма
сечения
Площадь
сечения F
Координаты
крайних точек сечения
Волнистое железо
(волны образованы
параболическими
дугами)
Л г
У
«OI
X
g
u5u
щ х’ г-
Г
ь ш
* у
F = 12,55 х
tl
+
2"
У1 =
Ь_
2
ft + 5
, h — 5
h = —
6 + 2,65
4
Стандартный про¬
катный швеллер на
ребро
WZZZZT
22221-
Формулы приближен¬
ные, ку см
Vi
=1
2
Волнистое железо
(волны образованы
дугами круга)
F=2#(^ + At)
Xl = ~2
h + Ъ
У1= -о“
74

Продолжение табл. 1
Моменты инерции:
осевые Jx, Jy;
центробежный Jху\
полярный Jp и при
свободном кручении JK
Моменты сопротивления:
осевые Wx# W^;
полярный lVp и при
свободном кручении WK;
х — касательное напряжение
Радиусы инерции
1ас “ У -р- *
• -1/ZZ
У V р
128U 1 ,, з
Л = —‘ F {Ь'У'~
-Ы'3) =
64 ,, з , 'Зч
— (blyi 	 62t/7 ) —
16 , S '3
-Ш1Мй-й) +
+ 2,65 (и* + у;3))
iy _ 2J>-
f — \f ^Jx
h+Ъ
У Ь (26+5,2Л) ~
» 1,35 X
1 / ^i.Vi — &2У1
х 1/ 5(2& + 5,2Л)
+ f
и/ _ 2J *
* /1+6
-к?
. _.А(Л + 5)3
* ~ 162
75

Форма
сечения
Площадь
сечения F
Координаты
крайних точек сечения
Стандартный про¬
катный двутавр на
ребро
У
X
X
.с
У
Формулы приближен¬
ные, Л, см
И - 2
Сечение железно¬
дорожного рельса
(формулы прибли¬
женные)
F * 0,238Ла
Сечение любой
формы [28]
Формулы могут быть
использованы только
для ориентировочной
оценки величины мо¬
мента инерции и мо¬
мента сопротивления
относительно цент*
ральиой оси
F — площадь внутри
наружного контура
сечения
h и Ь — высота и ширина
сечения
s и t'— периметр и тол¬
щина (для полого сече¬
ния)
76

Продолжение табл. 1
Моменты инерции:
осевые JXt
центробежный
полярный /р и при
свободном кручении JK
Моменты сопротивления:
осевые Wx, Wy;
полярный Wp и при
свободном кручении WK;
т — касательное напряжение
Радиусы инерции
ч-V?.
г _ Л (Л + 2)®
х ~ 102
г^*(/г + 2)3
51
Jx « 0,032&4
ТУ* я 0,064ft3
ix « 0,37ft
Для сплошного сече¬
ния
F2h
~ 12 Ъ
Ошибка
Для сплошного сим¬
метричного сечения
тр2
W « —-
ЬЪ
~ 15%
Для полого сечения
/ Fh Г .
•/~~66'[s+
1 bh J
Ошибка
Для полого симмет¬
ричного сечения
+ 'V’]*
~ 25%
П

00
Угольники равнобокие (ГОСТ 8509^57)
Таблица 2
а.
* *.
V
У
с *
Лс
\ у«:
V
У
1. N
Ь — ширина полки;
d — толщина полки;
R — радиус внутреннего закругления;
г — радиус закругления полки;
момент инерции;
i ~ радиус инерции;
У1 расстояние от центра тяжести
до полки.
Размеры, мм
Справочные величины для осей
№
про¬
филя
Площадь
профиля,
см2
Вес
1 пог. м,
кГ
X —
- X
-
-*•
Vo “
“ Vo
xt — xt
Vi
ь
d
R
5
н
%
н
3
3
о
И
аи*
3
О
s к
§
а -
aJ
н
"ъ
ч
о
2
20
3
4
3,5
1,2
1,13
1,46
0,89
1,15
0,40
0.50
0,59
0,58
0,63
0,78
0,75
0,73
0,17
0,22
0,39
0,38
0,81
1,09
0,60
0,64
2,5
25
3
4
3,5
1,2
1,43
1,86
1.12
1,46
0,81
1,03
0,75
0,74
1,29
1*62
0,95
0,93
0,34
0,44
0,49
0,48
1,57
2,11
0,73
0,76
2,8
28
3
4
1.3
1,62
1.27
1.16
0,85
1,84
1.07
0,48
0,55
2.20
0,80
3,2
32
3
4
4,5
1,5
1,86
2,43
1,46
1,91
1.77
2,26
0,97
0,96
2,80
3,58
1,23
1.21
0,74
0,94
0,63
0,62
3,26
4,39
0,89
0,94
3,6
36
3
4
4,5
1,5-
2,10
2,75
1.65
2,16
2,56
3,29
1,10
1,09
4,06
5,21
1,39
1,38
1,06
1,36
^ о
о о
4,64
6,24
0,99
1,04

3
Л П
2,35
1,85
3.55
1,23
5,63
1,55
1,47
0,79
6,35
1,09
4
40
4
5
1.7
3,08
2,42
4,58
1,22
7,26
1.53
1.90
0,78
8,53
1,13
3
2,65
2,08
5,13
1,39
8,13
1,75
2,12
0,89
9,04
1,21
4,5
45
4
5
1.7
3,48
2,73
6,63
1.38
10,50
1,74
2,74
0,89
12,10
1,26
5
4,29
3,37
8,03
1.37
12,70
1,72
3,33
0.88
15,30
1,30
3
2,96
2,32
7,11
1,55
11,3
1,95
2,95
1,00
12,4
1.33
5
50
4
5,5
1.8
3,89
3,05
9,21
1,54
14,6
1,94
3,80
0.99
16,6
1,38
5
4,80
3,77
11,20
1,53
17.8
1.92
4,63
0,98
20,9
1,42
3.5
3,86
3,03
11,6
1,73
18.4
2.18
4.80
1,12
20,3
1,50
5.6
56
4
К
2
4,38
3,44
13,1
1,73
20,8
2,18
5.41
1.11
23,3
1.52
5
5,41
4,25
16,0
1,72
25.4
2,16
6.59
1.Ю
29,2
1.57
4
4,96
3,90
18,9
1,95
29,9
2.45
7,81
1,25
33,1
1,69
6,3
63
5
7
2.3
6,13
4,81
23,1
1,94
36.6
2.44
9,52
1,25
41,5
1.74
6
7,28
5,72
27,1
1,93
42.0
2,43
11,2
1,24
50,0
1.78
4,5
6,20
4,87
29,0
2,16
46,0
2,72
12,0
1,39
51,0
1,88
5
6,86
5,38
31,9
2,16
50,7
2,72
13,2
1,39
56,7
1,90
7
70
6
8,0
2.7
8,15
6,39
37,6
2,15
59,6
2,71
15,5
1,38
68,4
1,94
7
9,42
7,39
43,0
2,14
68,2
2,69
17,8
1,37
80,1
1,99
8
10,70
8,37
48,2
2,13
76,4
2,68
20,0
1,37
91,9
2,02
5
7,39
5,80
39,5
2,31
62,6
2,91
16,4
1,49
69,6
2,02
6
8,78
6,89
46,6
2,30
73,9
2,90
19,3
1,48
83,9
2,06
7.5
75
7
9
3
10,10
7,96
53,3
2,29
84,0
2,89
22,1
1,48
98,3
2,10
8
11,50
9,02
59,8
2,28
94,9
2,87
24,8
1,47
113,0
2,15
9
12,80
10,10
66,1
2,27
105,0
2,86
27,5
1,46
127,0
2,18
5.5
8,63
6,78
52,7
2,47
83,6
3,11
21,8
1,59
93,2
2,17
о
6
Q
о
9,38
7,36
57,0
2,47
90,4
3,11
23,5
1,58
102,0
2,19
О
ои
7
У
О
10,80
8,51
65,3
2,45
104,0
3,09
27 0
1,58
119,0
2,23
8
12,30
9,65
73,4
2,44
116,0
3,08
30,3
1,57
137,0
2,27

Продолжение табл. 2
К*
про
филя
Размеры, мм
Площадь
профиля,
см2
Вес
1 пог. м,
кГ
Справочные величины для осей
Ь
d
R
х -
- ас
*0 -
-*о
Уо -
- Уо
У Л — Хх
Ух
5
§
И .
5?
Ss*
=5
о
И .
aJ
о
is*
3
Я .
bJ
\
о
£
ч
6
10,6
8,33
82,1
2,78
130
3,50
34,0
1,79
145
2,43
ПА
7
О О
12,3
9,64
94,3
2,77
150
3,49
38,9
1,78
169
2,47
и
90
8
10
0,0
13,9
10,90
106,0
2,76
168
3,48
43,8
1,77
194
2,51
9
15,6
12,20
118,0
2,75
186
3,46
48,6
1,77
219
2,55
6,5
12,8
10,1
122
3,09
193
3,88
50,7
1,99
214
2,68
7
13,8
10,8
131
3,08
207
3,88
54,2
1,98
231
2,71
8
15,6
12,2
147
3,07
233
3,87
60,9
1,98
265
2,75
10
100
10
12
4
19,2
15,1
179
3,05
284
3,84
74,1
1,96
333
2,83
12
22,8
17,9
209
3,03
331
3,81
86,9
1,95
402
2,91
14
26,3
20,6
237
3,00
375
3,78
99,3
1,94
472
2,99
16
29,7
23,3
264
2,98
416
3,74
112
1,94
542
3,06
7
15,2
11,9
176
3,40
279
4,29
72,7
2,19
308
2,96
11
110
8
12
4
17,2
13,5
198
3,39
315
4,28
81,8
2,18
353
3,00
8
19,7
15,5
294
3,87
467
4,87
122
2,49
516
3,36
9
22,0
17,3
327
3,86
520
4,86
135
2,48
582
3,40
10
24,3
19,1
360
3,85
571
4,84
149
2,47
649
3,45
12,5
125
12
14
4,6
28,9
22,7
422
3,82
670
4,82
174
2,46
782
3,53
14
33,4
26,2
482
3,80
764
4,78
200
2,45
916
3,61
16
37,8
29,6
539
3,78
853
4,75
224
2,44
1051
3,68
9
24,7
19,4
466
4,34
739
5,47
192
2,79
818
3,78
14
140
10
14
4,6
1 27,3
21,5
512
4,33
814
5,46
211
2,78
911
3,82
12
1 32,5
25,5
602
4,31
957
5,43
248
2,76
1097
3,90

10
31,4
24,7
774
11
34,4
27,0
844
12
37,4
29,4
913
16
160
14
16
5,3
43,3
34,0
1046
16
49,1
38,5
1175
18
54,8
43,0
1299
20
60,4
47,4
1419
18
180
И
12
16
5,3
38,8
42,2
30,5
33,1
1216
1317
12
47,1
37,0
1823
13
50,9
39,9
1961
14
54,6
42,8
2097
20
200
16
18
6
62,0
48,7
2363
20
76,5
60,1
2871
25
94,3
74,0
3466
30
111,5
87,6
4020
22
220
14
16
21
7
60,4
68,6
47,4
53,8
2814
3175
16
78,4
61,5
4717
18
87,7
68,9
5247
20
97,0
76,1
5765
25
250
22
24
8
106,1
83,3
6270
25
119,7
94,0
7006
28
133,1
104,5
7717
30
142,0
111,4
8177
4,86
1229
6,25
4,95
1341
6,24
4,94
1450
6,23
4,92
1662
6,20
4,89
1866
6,17
4,87
2061
6,13
4,85
2248
6,10
5,60
1933
7,06
5,59
2093
7,04
6,22
2896
7,84
6,21
3116
7,83
6,20
3333
7,81
6,17
3755
7,78
6,12
4560
7,72
6,06
5494
7,63
6,00
6351
7,55
6,83
4470
8,60
6,81
5045
8.58
7,76
7492
9,78
7,73
8337
9,75
7,71
9160
9,72
7,69
9961
9,69
7.65
11125
9,64
7,61
12244
9,59
7,59
12965
9,56
3,19
1356
4,30
3,18
1494
4,35
3,17
1633
4,39
3,16
1911
4,47
3,14
2191
4,55
3,13
2472
4,63
3,12
2756
4,70
3,59
2128
4,85
3.58
2324
4,89
3,99
3182
5,37
3,98
3452
5,42
3,97
3722
5,46
3,96
4264
5,54
3,93
5355
5,70
3,91
6733
5,89
3,89
8130
6,07
4,38
4941
5,93
4,36
5661
6,02
4,98
8286
6,75
4,96
9342
6,83
4,94
10401
6,91
4,93
11464
7,00
4,91
13064
7,11
4,89
14674
7,23
4,89
15753
7,31
319
348
376
431
485
537
589
500
540
749
805
861
970
1182
1438
1688
1159
1306
1942
2158
2370
2579
2887
3190
3389

g	Таблица	I
Угольники неравнобокие (ГОСТ 8510—57)
В— ширина большей полки;
b — ширина меньшей полки;
R — радиус внутреннего закругления;
г — радиус закругления полки;
J — момент инерции;
£•— радиус инерции;
хо> Уо — расстояние от центра
тяжести до полок.
Размеры, мм
Справочные величины для осей
ос
1
X —
- X
у-
- У
— xt
Уг
— Vt
и —
- и
со
X
О
р»
■&
а
с
%
В
ь
d
R
г
о
Ss
go
af
8
8*
Я*-*
*
с»
Jt
3
Ja>
*
Расстоя¬
ние от
центра
тяжести
t/о» см
i
h?
Расстоя¬
ние от
центра
тяжести
х0 СМ
3
я -
а-?
а*
а^*
ч
X
со в
д ЫЗ
о ~
О
2.5
1.6
25
16
3
3,5
1,2
1,16
0,91
0,70
0,78
0,22
0,44
1,56
0,86
0,43
0,42
0,13
0,34
0,392
3,2
2
32
20
3
4
3,5
1,2
1,49
1,94
1,17
1,52
1,52
1,93
1,01
1,00
0,46
0,57
0,55
0,54
3,26
4,38
1,08
1,12
0,82
1,12
0,49
0,53
0,28
0,35
0,43
0,43
0,382
0,374
4,2
5
40
25
3
4
4,0
1,3
1,89
2,47
1,48
1,94
3,06
3,93
1,27
1,26
0,93
1,18
0,70
0,69
6,37
8,53
1,32
1,37
1,58
2,15
0,59
0,63
0,56
0,71
0,54
0,54
0 385
0,381

4,5
/ с
9Q
3
с
Л П
2,14
1,68
4,41
1,43
1,32
0,79
9,02
1,47
2,20
0,64
0,79
0,61
0,382
2,8
40
Zo
4
D
1*7
2,80
2,20
5,68
1,42
1,69
0,78
12,1
1,51
2,98
0,68
1,02
0,60
0,379
5
QO
3
5,5
4 О
2,42
1,90
6,17
1,60
1,99
0,91
12,4
1,60
3,26
0,72
1,18
0,70
0,403
3,2
OU
oZ
4
1,8
3,17
2,49
7,98
1,59
2,56
0,90
16,6
1,65
4,42
0,76
1,52
0,69
0,401
5,6
3
3,16
2,48
10,1
1,79
3,30
1,02
20,3
1,80
5,43
0,82
1,95
0,79
0,407
3,6
56
36
4
6,0
2,0
3,58
2,81
11,4
1,78
3,70
1,02
23,2
1,82
6,25
0,84
2,19
0,78
0,406
5
4,41
3,46
13,8
1,77
4,48
1,01
29,2
1,86
7,91
0,88
2,66
0,78
0,404
4
4,04
3,17
16,3
2,01
5,16
1,13
33,0
2,03
8,51
0,91
3,07
0,87
0,397
6,3
5
4,98
3,91
19,9
2,00
6,26
1,12
41,4
2,08
10,80
0,95
3,73
0,86
0,396
4,0
63
40
6
7,0
2,3
5,90
4,63
23,3
1,99
7,28
1,11
49,9
2,12
13,10
0,99
4,36
0,86
0,393
8
7,68
6,03
29,6
1,96
9,15
1,09
66,9 '
2,20
17,90
1,07
5,58
0,85
0,386
7
4,5
5,07
3,98
25,3
2,23
8,25
1,28
51,0
2,25
13,6
1,03
4,88
0,98
0,407
I
4^5
70
45
5’
7,5
2,5
5,59
4,39
27,8
2,23
9,05
1,27
56,7
2,28
15,2
1,05
5,34
0.98
0,406
5
6,11
4,79
34,8
2,39
12,5
1,43
69,7
2,39
20,8
1Д7
7,24
1,09
0,436
7,5
75
50
6
8
2,7
7,25
5,69
40,9
2,38
14,6
1,42
83,9
2,44
25,2
1,21
8,48
1,08
0,435
5
8
9,47
7,43
52,4
2,35
18,5
1,40
112
2,52
34,2
1,29
10,90
1,07
0,430
Q
5
6,36
4,99
41,6
2,56
12,7
1,41
84,6
2,60
20,8
1,13
7,58
1,09
0,387
О
T
80
50
6
8
2,7
7,55
5,92
49,0
2,55
14,8
1,40
102
2,65
25,2
1.17
8,88
1,08
0.386
5,5
7,86
6,17
65,3
2,88
19,7
1,58
132
2,92
32,2
1,26
11,8
1,22
0,384
9
90
56
6
9
3
8,54
6,70
70,6
2,88
21,2
1,58
145
2,95
35,2
1,28
12,7
1,22
0,384
5Гб
8
11,18
8,77
90,9
2,85
27,1
1,56
194
3,04
47,8
1,36
16,3
1,21
0,380

Продолжение табл. 3
№ профиля
Размеры, мм
Площадь
профиля, см*
Справочные величины для осей
3
ъ,
d
R
г
X —
X
у —
У
-
У\
. — Vt
и —
- и
Угол наклона
оси tg а
sf
со
8 §
к
$
о
о
В»
1
§
н
Расстоя¬
ние от
центра
тяжести
Уо* СЛ1
\
&
•->
Расстоя¬
ние от
центра
тяжести
*0» ом
mln
Jц, см*
И
Ю
6
9,59
7,53
98,3
3,20
30,6
1,79
198
3,23
49,9
1,42
18,2
1,38
0,393
1U
100
63
7
10
3,3
11,10
8,70
113,0
3,19
35,0
1,78
23^
3,28
58,7
1,46
20,8
1,37
0,392
6,3
8
12,60
9,87
127,0
3,18
39,2
1,77
266
3,32
67,6
1,50
23,4
1,36
0,391
10
15,50
12Д0
154,0
3,15
47,1
1,75
333
3,40
85,8
1,58
28,3
1,35
0.387
Л 4
6,5
11,4
8,98
142
3,53
45,6
2,00
286
3,55
74,3
1,58
26,9
1,53
0,402
11
но
70
7,0
10
3,3
12,3
9,64
152
3,52
48,7
1,99
309
3,57
80,3
1,60
28,8
1,53
0,402
Т
8,0
13,9
10,90
172
3,51
54,6
1,98
353
3,61
92,3
1,64
32,3
1,52
0,400
7
14,1
11,0
227
4,01
73,7
2,29
459
4,01
119
1,8
43,4
1,76
0,407
8
16,0
12,5
256
4,00
83,0
2,28
518
4,05
137
1,84
48,8
1,75
0,406
12,5
10
19,7
15,5
312
3,98
100,0
2,26
649
4,14
173
1,92
59,3
1,74
0,404
~7Г
125
80
12
11
3,7
23,4
18,3
365
3,95
117,0
2,24
781
4,22
210
2
69,5
1,72
0,400

14
140
90
8
12
4
18,0
14,1
364
4,49
120
9
10
22,2
17,5
444
4,47
146
16
9
22,9
18,0
606
5,15
186
Та
160
100
10
13
4,3
25,3
19,8
667
5,13
204
1U
12
30,0
23,6
784
5,11
239
14
34,7
27,3
897
5,08
272
18
180
110
10
14
4,7
28,3
22,2
952
5,80
276
11
12
33,7
26,4
1123
5,77
324
И
34,9
27,4
1449
6,45
446
20
200
125
12
14
4,7
37,9
29,7
1568
6,43
482
12,5
14
43,9
34,4
1801
6,41
551
16
49,8
39,1
2026
6,38
617
12
48,3
37,9
3147
8,07
1032
25
250
160
16
18
6
63,6
49,9
4091
8,02
1333
16
18
71,1
55,8
4545
7,99
1475
20
78,5
61,7
4987
7,97
161*3
2,58
727
4,49
194
2,56
911
4.58
245
2,85
1221
5,19
300
2,84
1359
5.23
335
2,82
1634
5,32
405
2,80
1910
5,40
477
3,12
1933
5,88
444
3,10
2324
5,97
537
3,58
2920
6,50
718
3,57
3189
6.54
78ё
3,54
3726
6,62
922
3,52
4264
6,71
1061
4,62
6212
7.97
1634
4,58
8308
8,14
2200
4,56
9358
8,23
2487
4,53
10410
8,31
2776
2,03
70,3
1,98
0,411
2,12
85,5
1,96
0,409
2,23
110
2,20
0,391
2,28
121
2,19
0,390
2,36
142
2,18
0,388
2.43
162
2,16
0,385
2,44
165
2,42
0,375
2,52
194
2,40
0,374
2,79
264
2,75
0,392
2,83
285
2,74
0,392
2,91
327
2,73
0,390
2,99
367
2,72
0,388
3,53
604
3,54
0,410
3,69
781
3,50
0,408
3,77
866
3,49
0,407
3,85
949
3,48
0,405

Таблица 4
Швеллеры (ГОСТ 8240 — 56)
h — высота швеллера;	J — момент инерции;
Ь—ширина полки;	W — момент сопротивления;
d — толщина стенки;	i — радиус инерции;
t — средняя толщина полки;	S — статический момент	полусече-
R — радиус внутреннего закругле-	ния;
ния;	а?0	—	расстояние от оси у — у до
г — радиус закругления полки;	наружной грани стенки.
№
про¬
филя
Размеры, мм
Пло¬
щадь
сече¬
ния,
СМ2
Вес
1 пог.
м, к Г
Справочные величины для осей
Коорди¬
ната
центра
тяжести
Хо, СМ
X — X
и^у
4
t
R
см4
сма
**•
хм
s*.
см8
•V
ем4
w
CJH8
V
см
5
50
37
4,5
7,0
6,0
2,5
6,90
5,42
26,1
10,4
1,94
6,36
8,41
3.59
1,10
1,35
6,5
65
40
4,5
7,4
6,0
2,5
8,28
6,5
54,5
16,8
2,57
10,0
11,9
4,58
1,20
1,40
8
80
45
4,8
7,4
6,5
2,5
9,91
7,78
99,9
25,0
3,17
14,8
17,8
5,89
1,34
1,48
10
100
50
4,8
7.5
7,0
3,0
11,7
9,2
187
37,3
3,99
21,9
25,6
7,42
1,48
1,55
12
120
54
5.0
7,7
7,5
3,0
13,7
10,8
313
52,2
4,78
30,5
34,4
9,01
1,58
1,59
У1
b-d
~Т
/V*
ш

14
14а
16
16а
18
18а
20
20а
22
22а
24
24а
27
30
33
36
40
140
140
160
160
180
180
200
200
220
220
240
240
270
300
330
360
400
58
62
64
68
70
74
76
80
82
87
90
95
95
100
105
110
115
5.0
5.0
5.0
5.0
5.0
5.0
5.2
5.2
5.3
5.3
5.6
5.6
6.0
6.5
7.0
7.5
8.0
8,0
8.5
8.3
8,8
8,7
9,2
9,0
9.6
9.6
10.2
10,0
10.7
10.5
11,0
11.7
12.6
13,5
8,0
8,0
8.5
8.5
9.0
9.0
9.5
9.5
10,0
10,0
10.5
10.5
11,0
12,0
13
14
15
12,3
489
69,8
5,59
13,2
538
76,8
5,65
14,1
741
92,6
6,42
15,1
811
101
6,48
16,1
1080
120
7,26
17,2
1180
131
7,33
18,4
1520
152
8,07
19,6
1660
166
8,16
20,9
2120
193
8,91
22,5
2320
211
9,01
24,0
2900
242
9,73
25,8
3180
265
9,84
27,7
4160
308
10,9
31,8
5810
387
12,0
36,5
7980
484
13,1
41,9
10820
601
14,2
48,3
15220
761
15,7
45,1
10,9
1,70
1,66
56,6
13,0
1,83
1,84
62,6
13,6
1,87
1,79
77,3
16,0
2,00
1,98
85,6
16,9
2,04
1,95
104
19,7
2,18
2,13
113
20,5
2,20
2,07
137
24,0
2,34
2,27
151
25,4
2,38
2,24
186
29,9
2,55
2,47
208
31,6
2,60
2,42
254
37,2
2,78
2,67
262
37,3
2,73
2,47
327
43,6
2,84
2,52
410
51,8
2,97
2,59
513
61,7
3,10
2,68
642
73,4
3,23
2,75
40,7
44,6
53,7
58,5
69,4
75,2
87,8
95,2
111
121
139
151
178
224
281
350
444

Т аблица 5
Швеллеры (ГОСТ 8240— 56s*)
Л —высота швеллера;	момент инерции;
Ь —ширина полки;	W~	момент сопротивления;
d — толщина стенки;	i « радиус инерции;
t —• средняя толщина полки;	S •— статический момент	полусече-
R — радиус внутреннего закругле-	ния;
ния;	х0 — расстояние от оси	у — у до
г«— радиус закругления полки;	наружной грани	стенки.
№
про¬
филя
Вес
1 пог.
м, кГ
Размеры, мм
Пло¬
щадь
сече¬
ния,
см2
Справочные величины для осей
Коорди¬
ната
центра
тяжести
зс0, см
X -
- X
У~У
h
ь
d
t
R
•Гх’
см*
Wx-
см9
ix>
см
S*.
см8
см4
wy9
см3
V
см
5
4,84
50
32
4,4
7.0
6
2,5
6,16
22,8
9,10
1,92
5,59
5,61
2,75
0,954
1,16
6,5
5,90
65
36
4.4
7,2
6
2,5
7,51
48,6
15,0
2,54
9,00
8,70
3,68
1,08
1,24
8
7,05
80
40
4.5
7,4
6.5
2,5
8,98
89,4
22,4
3,16
13,3
12,8
4,75
1,19
1,31
10
8,59
100
46
4.5
7,6
7
3
10,9
174
34,8
3,99
20,4
20,4
6,46
1,37
1,44
12
10,4
120
52
4,8
7,8
7,5
3
13,3
304
50.6
4,78
29,6
31,2
8,52
1,53
1,54

14
12,3
140
14а
13,3
140
16
14,2
160
16а
15,3
160
18
16,3
180
18а
17,4
180
20
18,4
200
20а
19,8
200
22
21,0
220
22а
22,6
220
24
24,0
240
24а
25,8
240
27
27,7
270
30
31,8
300
33
36,5
330
36
41,9
360
40
48,3
400
4,9
8,1
8
3
4,9
8,7
8
3
5,0
8,4
8,5
3,5
5,0
9,0
8,5
3,5
5,1
8,7
9
3,5
5,1
9,3
9
3,5
5,2
9,0
9,5
4
5,2
9,7
9,5
4
5,4
9,5
10
4
5,4
10,2
10
4
5,6
10,0
10,5
4
5,6
10,7
10,5
4
6,0
10,5
11
4,5
6,5
11,0
12
5
7,0
11,7
13
5
7,5
12,6
14
6
8,0
13,5
15
6
58
62
64
68
70
74
76
80
82
87
90
95
95
100
105
110
115
15,6
491
70,2
5,60
40,8
45,4
11,0
1,70
1,67
17,0
545
77,8
5.66J
45,1
57,5
13,3
1,84
1,87
18,1
747
93,4
6,42
54,1
63,3
13,8
1,87
1,80
19,5
823
103
6,49
59,4
78,8
16,4
2,01
2,00
20,7
1090
121
7,24
69,8
86,0
17,0
2,04
1,94
22,2
1190
132
7,32
76,1
105
20,0
2,18
2,13
23,4
1520
152
8,07
87,8
ИЗ
20,5
2,20
2,07
25,2
1670
167
8,15
95,9
139
24,2
2,35
2,28
26,7
2110
192
8,89
110
151
25,1
2,37
2,21
28,8
2330
212
8,99
121
187
30,0
2,55
2,46
30,6
2900
242
9,73
139
208
31,6
2,60
2,42
32,9
3180
265
9,84
151
254
37,2
2,78
2,67
35,2
4160
308
10,9
178
262
37,3
2,73
2,47
40,5
5810
387
12,0
224
327
43,6
2,84
2,52
46,5
7980
484
13,1
281
410
51,8
2,97
2,59
53,4
10820
601
14,2
350
513
61,7
3,10
2,68
61,5
15220
761
15,7
444
642
73,4
3,23
2.75

Таблица 6
Балки двутавровые (ГОСТ 8239 — 56)
h — высота балки;
b — ширина полки;
d — толщина стенки;
t — средняя толщина полки;
R — радиус внутреннего закругле¬
ния;
г — радиус закругления полки;
J — момент инерции;
W — момент сопротивления;
S	— статический момент полусече-
ния;
i — радиус инерции.
№
про¬
филя
Размеры, мм
Пло¬
щадь
сече¬
ния,
см2
Вес
1 пог. м,
кГ
Справочные величины для осей
X — X
V — У
■>Х.
wx.
*Х'
8*.
Jy.
w„,
1У-
см4
см3
см
см3
СМ*
СМ3
см
244
48,8
4,15
28,0
35,3
10,1
1,58
403
67,2
4,94
38,5
43,8
11,7
1,63
632
90,3
5,78
51,5
58.2
14,2
1,75
945
118
6,63
67,0
77,6
17.2
1,90
1330
148
7,47
83,7
94,6
19,9
1,99
1440
160
7,53
90,1
119
23,3
2,17
1810
181
8,27
102
112
22,4
2,06
10
12
14
16
18
18а
20
100
120
140
160
180
180
200
70
75
82
90
95
102
100
4,5
5.0
5.0
5.0
5.0
5.0
5,2
7.2
7.3
7,5
7,7
8,0
8,2
8.2
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.0
9.5
3.0
3.0
3.0
3.5
3.5
3.5
4.0
14,2
16.5
18.9
21.5
23,8
25.4
26.4
11,1
13,0
14.8
16.9
18.7
19.9
20.7

20а
200
110
5,2
8,3
9,5
4,0
28,3
22
220
110
5,3
8,6
10,0
4,0
30,2
22а
220
120
5,3
8,8
10,0
4,0
32,4
24
240
115
5,6
9,5
10,5
4,0
34,8
24а
240
125
5,6
9,8
10,5
4,0
37,5
27
270
125
6,0
9,8
11,0
4,5
40,2
27а
270
135
6,0
10,2
11,0
4,5
43,2
30
300
135
6,5
10,2
12,0
5,0
46,5
30а
300
145
6,5
10,7
12,0
5,0
49,9
33
330
140
7,0
11,2
13,0
5,0
53,8
36
360
145
7,5
12,3
14,0
6,0
61,9
40
400
155
8.0
13,0
15,0
6,0
71,4
45
450
160
8,6
14,2
16,0
7,0
83,0
50
500
170
9,3
15,2
17,0
7,0
96,9
55
550
180
10,0
16,5
18,0
7,0
ИЗ
60
600
190
10,8
17,8
20,0
8,0
131
65
650
200
11,7
19,2
22,0
9,0
151
70
700
210
12,7
20,8
24,0
10,0
174
70а
700
210
15,0
24,0
24,0
10,0
202
706
700
210
17,5
28,2
24,0
10,0
234
22,2
1970
197
8,36
111
148
27,0
2,29
23,7
2530
230
9,14
130
155
28,2
2,26
25,4
2760
251
9,23
141
203
33,8
2,50
27,3
3460
289
9,97
163
198
34,5
2,37
29,4
3800
317
10,1
178
260
41,6
2,63
31,5
5010
371
11,2
210
260
41,5
2,54
33,9
5500
407
11,3
229
337
50,0
2,80
36,5
7080
472
12,3
268
337
49,9
2,69
39,2
7780
518
12,5
292
436
60,1
2,95
42,2
9840
597
13,5
339
419
59,9
2,79
48,6
13380
743
14,7
423
516
71,1
2,89
56,1
18930
947
16,3
540
666
75,9
3,05
65,2
27450
1220
18,2
699
807
101
3,12
76,1
39120
1560
20,1
899
1040
123
3,28
88,6
54810
1990
22,0
1150
1350
150
3,46
103,0
75010
2500
23,9
1440
1720
181
3,62
119,0
100840
3100
25,8
1790
2170
217
3,79
137,0
133890
3830
27.7
2220
2730
260
3,96
158,0
152700
4360
27,5
2550
3240
309
4,01
184,0
175370
5010
27,4
2940
3910
373
4.09

Таблица 7
Балки двутавровые (ГОСТ 8239 — 56*)
h — высота балки;
b — ширина полки;
d — толщина стенки;
t — средняя толщина полки;
R — радиус внутреннего закругле¬
ния;
г —радиус закругления полки;
J — момент инерции;
W — момент сопротивления;
S	— статический момент полусече-
ния;
i — радиус инерции.
№
про¬
филя
Вес
1 пог.
м, кГ
Размеры, мм
Пло¬
щадь
сече¬
ния,
см2
Справочные величины для осей
X -
- X
v — V
Jx-
lX’
s*.
Jy,
wv
V
CM4
CM3
CM
CM3
CM*
CM3
CM
198
39,7
4,06
23,0
17,9
6,49
1,22
350
58,4
4,88
33,7
27,9
8,72
1,38
572
81,7
5,73
46,8
41,9
11,5
1,55
873
109,0
6,57
62,3
58,6
14,5
1,70
1290
143,0
7,42
81,4
82,6
18,4
1,88
1430
159,0
7,51
89,8
114,0
22,8
2,12
1840
184,0
8,28
104,0
115,0
23,1
2,07
10
12
14
16
18
18а
20
9,46
11,5
13,7
15.9
18j4
19.9
21,0
100
120
140
160
180
180
200
55
64
73
81
90
100
100
4,5
4.8
4.9
5.0
5.1
5.1
5.2
7.2
7.3
7,5
7,8
8,1
8.3
8.4
7.0
7.5
8.0
8.5
9.0
9.0
9.5
2.5
3.0
3.0
3.5
3.5
3.5
4.0
12,0
14.7
17.4
20,2
23.4
25.4
26.8

20а
22,7
200
110
5,2
8,6
' 9,5
4,0
28,9
2030
203,0
8,37
114,0
155,0
28,2
2,32
22
24,0
220
110
5,4
8,7
10,0
4,0
30,6
2550
232,0
9,13
131,0
157,0
28,6
2,27
22а
25,8
220
120
5,4
8,9
10,0
4,0
32,8
2790
254,0
9,22
143,0
206,0
34,3
2,50
24
27,3
240
115
5,6
9,5
10,5
4,0
34,8
3460
289,0
9,97
163,0
198,0
34,5
2,37
24а
29,4
240
125
5,6
9,8
10,5
4,0
37,5
3800
317,0
10,10
178,0
260,0
41,6
2,63
27
31,5
270
125
6,0
9,8
11,0
4,5
40,2
5010
371,0
11,20
210,0
260,0
41,5
2,54
27а
33,9
270
135
6,0
10,2
11,0
4,5
43,2
5500
407,0
11,30
229,0
337,0
50,0
2,80
30
36,5
300
135
6,5
10,2
12,0
5,0
46,5
7080
472,0
12,30
268,0
337,0
49,9
2,69
30а
39,2
300
145
6,5
10,7
12,0
5,0
49,9
7780
518,0
12,50
292,0
436,0
60,1
2,95
33
42,2
330
140
7,0
11,2
13,0
5,0
53,8
9840
597,0
13,50
339,0
419,0
59,9
2,79
36
48,6
360
145
7,5
12,3
14,0
6,0
61,9
13380
743,0
14,70
423,0
516,0
71,1
2,89
40
56,1
400
155
8,0
13,0
15,0
6,0
71,4
18930
947,0
16,30
540,0
666,0
85,9
3,05
45
65,2
450
160
8,6
14,2
16,0
7,0
83,0
27450
1220,0
18,20
699,0
807,0
101,0
3,12
50
76,8
500
170
9,5
15,2
17,0
7,0
97,8
39290
1570,0
20,00
905,0
1040,0
122,0
3,26
55
89,8
550
180
10,3
16,5
18,0
7,0
114,0
55150
2000,0
22,00
1150,0
1350,0
150,0
3,44
60
104,0
600
190
11,1
17,8
20,0
8,0
132,0
75450
2510,0
23,90
1450,0
1720,0
181,0
3,60
65
120,0
650
200
12,0
19,2
22,0
9,0
153,0
101400
3120,0
25,80
1800,0
2170,0
217,0
3,77
70
138,0
700
210
13,0
20,8
24,0
10,0
176,0
134600
3840,0
27,70
2230,0
2730,0
260,0
3,94
70а
158,0
700
210
15,0
24,0
24,0
10,0
202,0
152700
4360,0
27,50
2550,0
3240,0
309,0
4,01
706
184,0
700
210
17.5
28.2
24,0
10,0
234,0
175370
5010,0
27,40
2940,0
3910,0
373,0
4,09

Балки двутавровые широкополочные (ГОСТ 6183 — 52)
Таблица 8
№
профиля
Размеры» мм
й
Площадь
сечения,
смг
Вес
1 пог. j
кГ
Справочные величины для осей
X —
X
ь — у
8Х,
Jv
Wv,
iy.
см*
см*
см
см*
см*
ZM3
CM
Балочные профили
20Б2
200
120
5,0
7,3
26,8
21,0
1890
189
8,41
106
210
35,1
2,80
22Б
220
130
5,0
6,0
26,0
20,4
2160
196
9,12
111
220
33,8
2,91
24Б
240
140
5,0
6,0
28,2
22,1
2790
233
9,95
131
275
39,2
3,12
24Б2
241
140
5,0
6,8
30,4
23,9
3120
258
10,1
144
311
44,5
3,20
24Бг
242
140,5
5,5
7,0
32,2
25,3
3260
269
10,1
151
324
46,1
3,17
27Б
270
150
5,2
6,4
32,6
25,6
4070
302
11,2
170
360
48,0
3,33
27БХ
271,6
150
5,2
7,2
35,0
27,5
4510
332
11,4
186
405
54,0
3,40
27Б2
273,4
150,3
5,5
8,1
38,5
30,2
5070
371
11,5
207
459
61,1
3,45
ЗОБ
300
160
5,5
6,8
37,5
29t4
5750
384
12,4
216
465
58,1
3,52
30Bi
301,8
160
5,5
7,7
40,4
31,7
6410
425
12,6
238
526
65,8
3,61
30Б2
304,4
160,5
6,0
9,0
46,1
36,2
7480
491
12,7
275
621
77,3
3,67

ЗЗБ
330
170
6,0
7,2
43,4
34,1
ЗЗБ*
332
170
6,0
8,2
46,8
36,8
36Б
360
180
6,5
7,8
50,5
39,6
36Bi
362,4
180
6,5
9,0
54,8
43,0
36B2
362,8
180
6,5
9,2
55,5
43,6
40Б
400
190
7,0
8,5
59,1
46,4
40Б*
402,6
190
7,0
9,8
64,1
50,3
40Б2
404
190
7,0
10,5
66,7
52,4
45Б
450
195
7,7
9,4
69,9
54,8
45Б,
453,2
195
7,7
11,0
76,1
59,7
45Б2
454,6
195,3
8,0
11,7
80,2
63,0
50Б
500
205
8,5
10,2
82,6
64,8
50Бг
503,6
205
8,5
12,0
90,0
70,6
50Б2
506,6
205
8,5
13,5
96,1
75,5
55Б
550
220
9,0
11,4
97,6
76,6
55БХ
554
220
9,0
13,4
106
83,5
55Б2
557,2
220,3
9,3
15,0
115
90,4
60Б
600
235
10,0
12,4
116
90,9
60БХ
604,4
235
10,0
14,6
126
99,0
60Б2
609,2
235
10,0
17,0
137
108
65Б
650
250
10,5
14,3
137
107
65Bf
654,6
250
10,5
16,7
149
117
65Б2
660,6
250,2
10,7
19,6
165
129
70Б
700
275
11,0
16,0
161
127
70Б i
705,6
275
11,0
18,8
177
139
70Б2
711,6
275,5
11,5
21,8
197
155
80Б
800
300
12,0
17,0
194
152
80Бх
806,2
300
12,0
20,1
213
167
80Б2
813
300,5
12,5
23,5
237
186
7950
8880
10920
12330
12570
15660
17650
18730
22940
26120
27760
32900
37550
41470
47370
54080
59940
66170
75550
85930
93240
106280
122180
130270
149290
171500
201310
231300
266970
482
535
607
681
693
783
877
927
1020
1150
1220
1320
1490
1640
1720
1950
2150
2210
2500
2820
2870
3250
3700
3720
4230
4820
5030
5740
6570
13.5
13,8
14.7
15.0
15.0
16.3
16.6
16.8
18,1
18.5
18.6
20,0
20.4
20,8
22,0
22.5
22,8
23,9
24.5
25.0
26.1
26,7
27,2
28.4
29.1
29.5
32.2
33,0
33.6
272
300
344
383
389
444
494
521
583
653
692
757
849
927
988
1110
1220
1270
1430
1600
1640
1840
2090
2120
2390
2710,
2880
3250
3700
590
672
759
876
895
973
1120
1200
1160
1360
1450
1470
1730
1940
2030
2380
2680
2690
3160
3680
3730
4360
5120
5550
6520
7610
7660
9060
10640
69,4
79,1
84.3
97.3
99.4
102
118
127
119
140
149
143
168
189
184
216
243
229
269
313
298
348
410
404
475
552
511
604
708
3.69
3,79
3,88
4,00
4,02
4.06
4.18
4.24
4,08
4,23
4.25
4,21
4,38
4*49
4,56
4,73
4*82
4,82
5*01
5.18
5,22
5,41
5,58
5,86
6.07
6,21
6,29
6,53
6.70

Продолжение табл. 8
№
нрофиля
Размеры, мм
Площадь
сечения,
см2
Вес
1 пог. м,
к Г
Справочные величины для осей
Jx,
см*
Wx,
см3
‘Я’
см
вх.
см3
У*
см4
W
У’
см3
‘У’
CAi
90Б
90Bi
90Б2
100Б
ЭДОБ*
1'00Б2
100Б3
100Б4.
100Б6.
1Ю0Бв
юов7
К ал о
27Л
27JIj
27 JI2
ЗЗЛ
ЗЗЛХ
ЗЗЛ2
40Л
40Л*
40Л2
50Л
50ЛХ
50Л2
60Л
900
906,8
915
1000
1009
1010
1017
1023.6
1031
1039
1047.6
325
325
325.5
350
350
400
401
402.5
404
406
408
13.5
13.5
14.0
14.5
14.5
15.0
16.0
17.5
19.0
21.0
23,0
17.8
21,2
25,3
20,0
24.5
25,0
28.5
31.8
35.5
39.5
43.8
232
254
286
279
311
344
382
424
469
522
578
182
200
224
219
244
270
300
333
368
410
454
297810
342900
401370
443090
522550
595810
676480
758760
851050
956290
1070370
6620
7560
8770
8860
10360
11800
13300
14830
16510
18410
20440
35,8
36.7
37.5
39.8
41.0
41.6
42.1
42,3
42.6
42.8
43,0
3810
4310
4970
5100
5890
6650
7490
8360
9330
10430
11620
10200
12150
14560
14320
17530
26690
30660
34600
39070
44130
49680
628
748
895
818
1000
1330
1530
1720
1930
2170
2440
н'иые профили легкие
6,63
6,91
7,14
7,16
7,51
8,81
8,96
9,03
9,12
9,19
9,27
275,6
220
6,0
9,2
55,9
43,9
8040
583
12,0
319
1630
148
5,40
278,4
220
6,0
10,6
62,1
48,7
9220
662
12*2
362
1880
171
5,51
281
220,5
6,5
11,9
69,2
54,3
10430
742
12,3
407
2130
193
5,54
336,8
260
7,0
10,6
77,2
60,6
16500
980
14,6
537
3110
239
6,34
340
260
7,0
12,2
85,5
67,1
18800
1110
14,9
607
3580
275
6,47
343
260,5
7,5
13,7
95,1
74,6
21330
1240
15,0
681
4040
310
6,52
408
300
8,0
12,5
106
82,9
33080
1620
17,7
888
5630
375
7,30
412
300
8,0
14,5
118
92,3
33130
1850
18,0
1010
6530
435
7,45
415,2
300,8
8,8
16,1
131
102
42710
2060
18,1
ИЗО
7310
486
7,48
508,6
340
9,7
14,5
145
114
69110
2720
21,8
1500
9500
559
8,09
513,4
340
9,7
16,9
161
127
79770
3110
22,2
1710
11070
651
8,28
517,6
340,6
10,3
19,0
179
140
89950
3480
22,4
1910
12520
735
8,37
608,6
400
11,4
16,7
199
156
135130
4440
26,0
2450
17820
891
9,46

60ЛХ
613,8
400
11,4
19,3
220
173
60Л2
618,6
400,6
12,0
21,7
243
191
70Л
711,6
420
13,0
21,8
270
212
70ЛХ
718,4
420,3
13,3
25,2
301
236
70Л2
724,0
421,8
14,8
28,0
335
263
Колон
вые п]
рофи л
и тяж
е лы е
20Т
203
200
6
8,8
46,3
36,4
20Т,
205,4
200,5
6,5
10,8
52,2
40,9
20Т2
208
201
7
11,3
58,4
45,9
24Т
249
240
6,5
10,5
65,2
51,2
24Т,
252
240,5
7
12
73,7
57,8
24Т2
255
241
7,5
13,5
82,2
64,5
24Т3
258
241,5
8
15
90,7
71,2
ЗОТ
312,4
300
8
13
101
79,2
30ТХ
315,4
301
9
14,5
ИЗ
88,8
30Т2
318,4
302
10
16
125
98,3
зот,
322,4
303
И
18
141
110
30Т4
326,4
304
12
20
156
122
40Т
417
400
10
17
174
137
40Tf
421
401
11
19
195
153
40Т2
425
402
12
21
215
169
40Т3
429
404
14
23
239
188
40Т4
433
406
16
25
264
207
40Т5
441
406,5
16,5
29
299
235
40Тв
449
408
18
33
338
265
40Т,
457
410
20
37
380
298
40Т,
465
412
22
41
422
331
40Т9
475
415
25
46
478
375
40Т,0
489
4<Ю
28
53
531
417
40Т„
501
403
31
59
594
466
40Т1а
513
407
35
65
663
521
40Т13
527
412
40
72
746
586
40Т14
541
417
45
79
831
652
154550
5040
26,5
173960
5620
26,8
250200
7030
30,4
287620
8010
30,9
322980
8920
31,0
3640
359
8,86
4180
407
8,95
4770
459
9,04
7810
628
10,9
9010
715
11,1
10240
803
11,2
11500
891
11,3
19060
1220
13,7
21540
1370
13,8
24070
1510
13,9
27450
1700
14,0
30930
1900
14,1
59120
2840
18,4
66760
3170
18,5
74570
3510
18,6
83220
3880
18,6
92080
4250
18,7
107940
4900
19,0
125170
5580
19,2
143510
6280
19,4
162610
6990
19,6
188050
7920
19,8
215600
8820
20,1
248150
9910
20,4
283730
11060
20,7
328350
12460
21,0
376070
13900
21,3
20590
1030
9,68
23260
1160
9,79
26930
1280
10,0
31200
1490
10,2
35040
1660
10,2
1170
117
5,03
1340
134
5,08
1530
152
5,12
2420
202
6,09
2780
231
6,15
3150
261
6,19
3520
292
6,23
5850
390
7,61
6590
438
7,64
7350
487
7,66
8350
551
7,71
9370
616
7,75
18140
907
10,2
20420
1020
10,3
22740
ИЗО
10,3
25290
1250
10,3
27900
1370
10,3
32480
1600
10,4
37370
1830
10,5
42530
2070
10,6
47820
2320
10,6
54850
2640
10,7
56600
2830
10,3
64460
3200
10,4
73170
3600
10,5
84130
4080
10,6
95770
4590
10,7
2770
3090
3880
4410
4940
197
224
253
343
392
442
492
666
749
833
943
1050
1540
1730
1930
2140
2360
2730
3130
3550
3980
4550
5140
5820
6570
7480
8440

Глава 3
ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ.
МЕТОД СЕЧЕНИЙ.
ЭПЮРЫ ВНУТРЕННИХ СИЛ
§ 13. Классификация внешних сил
Внешними силами, или нагрузками, называются силы взаимодей¬
ствия между рассматриваемым элементом конструкции и связанными
с ним телами. Если внешние силы являются результатом непосред¬
ственного, контактного взаимодействия данного тела с другими телами,
то они приложены только к точкам поверхности тела в месте кон¬
такта и называются поверхностными силами. Поверхностные силы
могут быть непрерывно распределены по всей поверхности тела или
ее части. Величина нагрузки, приходящаяся на единицу площади, назы¬
вается интенсивностью нагрузки, обозначается обычно буквой р и имеет
размерность кГ/см2, кГ/м2 или Т/м2. По ГОСТу 9867—61 в Между¬
народной системе единиц физических величин (СИ) единицей силы
является ньютон (н). Это сила, которая сообщает покоящемуся телу
массой в 1 кг ускорение, равное 1 м/сек2. Размерность ньютона —
кг м/сек2.
1 кГ = 9,81 и; 1 н = 0,102 кГ.
Единица давления — ньютон на квадратный метр (п/м2). В инже*
а КГ	Н	Н
нерных расчетах можно принять 1	« 10 3	=	10	—2~»
Нагрузка, распределенная по поверхности (рис. 26, а), приведен
пая к главной плоскости (рис. 26, б), т. е. нагрузка, распределенная
по линии, называется погонной нагрузкой, обозначается обычно бук¬
вой q и имеет размерность кГ/см, кГ/м или Т/м. Характер изменения q
по длине обычно показывают в виде эпюры (графика) q.
В случае равномерно распределенной нагрузки (рис. 26, а) эпюра
q прямоугольная (рис. 26, б). При действии гидростатического давле¬
ния эпюра q треугольная (рис. 26, в).
Рис. 26
Равнодействующая распределенной нагрузки численно равна пло¬
щади ее эпюры и приложена в ее центре тяжести. Если нагрузка
распределена на небольшой части поверхности тела, то ее всегда за¬
меняют равнодействующей, называемой сосредоточенной силой Р
(кГ или Г).
98

Встречаются нагрузки, которые могут быть представлены в виде
сосредоточенного момента (пары). Моменты М (кГ см или Т м)
обозначают обычно одним из двух способов (рис. 27, а, б) или в виде
вектора, перпендикулярного к плоскости действия пары. В отличие
от вектора силы вектор момента изображают в виде двух стрелок или
волнистой линией (рис. 27, в, е). Вектор момента принято считать
правовинтовым.
Силы, не являющиеся результатом контакта двух тел, а прило¬
женные к каждой точке объема, занятого телом (собственный вес,
силы инерции), называются объемными или массовыми силами.
Рис. 27
В зависимости от характера приложения сил во времени разли¬
чают нагрузки статические и динамические. Нагрузка считается ста¬
тической, если она сравнительно медленно и плавно (хотя бы в течение
нескольких секунд) возрастает от нуля до своего конечпого значения,
а затем остается неизменной. При этом можно пренебречь уско^ейин
ями деформируемых масс, а следовательно, и силами инерции.
Динамические нагрузки сопровождаются значительными ускоре¬
ниями как деформируемого тела, так и взаимодействующих с ним тел.
Возникающими при этом силами инерции пренебречь нельзя. Дина¬
мические нагрузки делятся на мгновенно приложенные, ударные и
повторно-переменные.
Мгновенно приложенная нагрузка возрастает от нуля до макси¬
мума в течение долей секунды. Такие нагрузки возникают при воспла¬
менении горючей смеси в цилиндре двигателя внутреннего сгорания,
при трогании с места железнодорожного состава.
Ударная нагрузка характерна тем, что в момент ее приложения
тело, вызывающее нагрузку, обладает определенной кинетической
энергией. Такая нагрузка возникает, например, при забивке свай
с помощью копра, в элементах кузнечного молота.
Повторно-переменная нагрузка характерна своей непрерывной
периодичностью. Такие нагрузки испытывают при работе штоки, валы,
оси железнодорожных вагонов, колеблющиеся элементы конструк¬
ций и др.
§ 14. Внутренние силы. Метод сечений.
Эпюры внутренних сил
Между соседними частицами любого тела (кристаллами, молеку¬
лами, атомами) всегда имеются определенные силы взаимодействия,
или внутренние силы, которые стремятся сохранить тело как единое
целое, противодействуя всему, что может изменить взаимное располо¬
жение частиц, т. е. деформировать тело.
Внешние силы, наоборот, всегда стремятся вызвать деформацию
тела.
Величина внутренних сил, действующих между двумя какими-
либо частицами, в нагруженном и ненагруженном теле будет различной.
4*
99

В сопротивлении материалов не принимаются во внимание внут¬
ренние силы, действующие в ненагруженном теле, а рассматриваются
только те дополнительные внутренние силы, которые появляются
при нагружении тела. Эти дополнительные внутренние силы взаимо¬
действия, возникающие в результате нагружения, часто называют
усилиями.
Для выявления внутренних сил, возникающих в теле под нагруз¬
кой, в сопротивлении материалов пользуются методом сечений.
Смысл этого метода состоит в том, что нагруженное тело (рис. 28, а)
мысленно рассекают некоторой плоскостью на две части А и В. Для
того чтобы каждая из этих частей
находилась в равновесии под дей¬
ствием приложенных к ней внеш¬
них нагрузок, необходимо действие
отсеченной части заменить некото¬
рой системой внутренних сил в се¬
чении. Эти силы и явятся силами
взаимодействия между частями тела
А и В, Внутренние силы, действу¬
ющие в сечении со стороны части
А, в соответствии с третьим зако¬
ном Ньютона равны по величине
и противоположны по направлению
внутренним силам, действующим
в сечении со стороны части В
(рис. 28, б).
Как всякую систему сил, внут¬
ренние силы, распределенные по
сечению, можно привести к одной
точке (например, к центру тяжести
сечения), в результате чего на каж¬
дой стороне сечения получим главный вектор и главный момент
внутренних сил в сечении (рис. 28, в). Применительно к стержню
последний обычно рассекают плоскостью, перпендикулярной к оси
(рис. 29, а). Если главный вектор и главный момент спроектировать
на ось стержня z и главные центральные оси сечения у и х, то на
каждой стороне сечения получим шесть внутренних силовых факторов
(рис. 29, б): три силы (N, Qy, Qx) и три момента (Mz, Myt Мх)• Эти
величины называются усилиями и моментами в сечении стержня.
Рис. 28
Рис. 29
Как видно из рисунка, N вызывает продольную деформацию стерж*
ня (растяжение или сжатие); Qy и Qx — сдвиг сторон сечения соот¬
ветственно в направлении осей у и х\ Mz вызывает кручение стержня;
Му и Мх — изгиб стержня в главных плоскостях xz и уг. Поэтому
для усилий и моментов в сечении приняты следующие названия:
100

N — продольная, или осевая (направленная вдоль оси),
сила;
Qy и Qx — поперечные (реже — перерезывающие) силы;
М2 = Мкр —крутящий момент;
и Мэс — изгибающие моменты.
Можно дать следующие определения перечисленным компонентам
внутренних усилий: продольная сила N представляет собой
сумму проекций всех внутренних сил, действующих в сечении, на нор¬
маль к сечению (или на ось стержня); поперечные силы Qy
и Qx — это суммы проекций всех внутренних сил в сечении на глав¬
ные центральные оси сечения у и х соответственно; крутящий
момент Мг (или AfKP) — это сумма моментов всех внутренних
сил в сечении относительно оси стержня} изгибающие мо¬
менты Мх & Му — это суммы моментов всех внутренних сил
в сечении относительно главных центральных осей инерции сечения
х и у соответственно.
Для практического вычисления усилий и моментов в сечении сле¬
дует иметь в виду, что: N численно равна алгебраической сумме про¬
екций всех внешних сил, действующих на одну из частей (левую или
правую) рассеченного стержня, на ось стержня (на нормаль к сече¬
нию); Qy — то же на ось у\ Qx — то же на ось х\ AfKp численно равен
алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих
на одну из частей (левую или правую) рассеченного стержня, относи¬
тельно оси стержня; Му — то же относительно оси у; Мх — то же от¬
носительно оси х.
Таким образом, метод сечений позволяет найти все усилия и мо¬
менты в любом сечении стержня при действии любой нагрузки.
Для этого необходимо сделать следующее:
1.	Найти главные центральные оси поперечного сечения стержня.
2.	Провести мысленно поперечное сечение стержня в том месте, где
нужно найти усилия и моменты.
3.	Вычислить усилия N, Qy, Qx и моменты AfKp, Му, Мх как
алгебраические суммы проекций и моментов внешних сил, действую¬
щих на одну из частей (левую или правую по отношению к сечению)
рассеченного стержня, обычно на ту, где проекции и моменты вы¬
числяются проще.
Усилия и моменты в разных сечениях одного и того же стержня
в общем случае различны. Графики (диаграммы), показывающие,
как изменяются усилия и моменты при переходе от сечения к сечению,
называются эпюрами усилий и моментов.
При построении эпюр рекомендуется пользоваться следующими
правилами:
1.	Ось (базу), на которой строится эпюра, всегда выбирают так,
чтобы она была параллельна оси стержня (или совпадала с ней).
2.	Ординаты эпюр, выражающие в выбранном масштабе значение
усилия или момента, откладывают от оси эпюры по перпендикуляру.
3.	Эпюры принято штриховать ^ ,
линиями, перпендикулярными к базе.
Положительные значения усилий или >С/
моментов откладывают вверх от базы, /	^\\
отрицательные — вниз.	V/
4.	На эпюрах проставляют числа,
показывающие величины характерны^
ординат, а в поле эпюры в кружочке
ставят знак усилия.	Рис. 30
101

При построении эпюр продольных сил и крутящих моментов
рекомендуется пользоваться следующими правилами в отношении
их знаков.
1.	Продольная сила N считается положительной, если она вызы¬
вает растяжение, и отрицательной, если вызывает сжатие.
2.	Крутящий момент Л/кр считается положительным, если при
наблюдении с торца вдоль оси рассматриваемой части он действует
по часовой стрелке (рис. 30).
РгШ
200
I
900кГ 300 к Г
Р2=500кГ Ц
пш
800к Г
Р3=300кГ
®«Г
300
Рис. 31
Рис. 32
Примеры построения эпюр продольных сил показаны на рис. 31,
32, 33 (ocj = arctg fFос2 = arctg ^F2; -у — объемный вес). Эпюра кру¬
тящих моментов для трансмиссионного вала, схема которого приве¬
дена на рис. 34, а, показана на рис. 34, б. На рис. 34, в показано на¬
правление максимального положительного момента в сечении рас¬
сматриваемого вала.
Прежде чем перейти к построе¬
нию эпюр поперечных сил и изги¬
бающих моментов при изгибе ба-
лок — к разделу сопротивления ма¬
териалов, имеющему весьма суще-
^	I
Мк=1600кГ:м	МКз =3000кГсм
' Мк=800кГсм I Мк=600кГсм
ственное значение для понимания поведения элементов конструкции
под нагрузкой, напомним некоторые исходные основные понятия,
связанные с балками.
§ 15. Балки и их опоры
Валками называют прямолинейные стержни, работающие на из
гиб. Плоским изгибом балки называется такой изгиб балки, при кото¬
ром все заданные силы лежат в одной (силовой) плоскости (рис. 35, а),
102

причем эта плоскость совпадает с одной из главных плоскостей балки.
При расчете балку принято заменять ее осью (рис. 35, б), все
нагрузки должны быть приведены к этой оси, а силовая плоскость
будет совпадать с плоскостью чертежа.
Все многообразие существующих опорных устройств балок схе¬
матизируется в виде следующих трех основных типов опор.
Ml
Рис. 35
б
Рис. 36
Шарнирно-подвижная опора (рис. 36, а), в которой может возни¬
кать только одна составляющая реакции #А, направленная вдоль
опорного стержня.
Шарнирно-неподвижная опора (рис. 36, б), в которой могут возни¬
кать две составляющие — вертикальная реакция RA и горизонтальная
реакция НА.
Защемление (иначе жесткое ващемление или заделка), где могут
быть три составляющие — вертикальная (RA) и горизонтальная (НА)
реакции и опорный момент МА (рис. 36, в).
Все реакции и моменты считаются приложенными в точке А —
центре тяжести опорного сечения.
У1
а	б	в
Рис. 37
Балка, показанная на рис. 37, я, называется простой или одно¬
пролетной, или двухопорнощ а расстояние I между опорами — про¬
летом.
Консолью называется балка, защемленная одним концом и не
имеющая других опор (рис. 35, б), или часть балки, свешивающаяся
103

за опоры (часть ВС на рис. 37, б и части А С и BD на рис. 37, в). Балки,
имеющие свешивающиеся части, называются консольными.
Балка называется статически определимой, если число неизвест¬
ных опорных реакций не превышает трех; в противном случае балка
статически неопределима. Балки, изображенные на рис. 35 и 37,
статически определимы, а балка, изображенная на рис. 38, а, назы¬
вается неразреэной и является статически неопределимой, поскольку
имеет пять неизвестных опорных реакций: три — в опоре Л и по од-
а	5
Рис. 38
ной — в опорах В r С. Поставив, например, в любых двух сечениях
первого пролета балки шарниры (точки D и Е на рис. 38, б), получим
статически определимую шарнирную балку, ибо каждый такой про¬
межуточный шарнир к трем основным уравнениям статики прибавляет
одно дополнительное уравнение, поскольку сумма моментов относи¬
тельно центра шарнира от всех сил, расположенных по одну сторону
от него, равна нулю.
§ 16. Вычисление реакций
Для того чтобы можно было приступить к построению эпюр,
необходимо знать все внешние нагрузки, включая реакции, которые
предварительно должны быть определены.
При определении реакций рекомендуется придерживаться следую¬
щей последовательности, которую мы проиллюстрируем па примере
простой балки (рис. 37, а):
1.	Обозначив опоры буквами А и Я, три неизвестные реакции
/?А, RB и НА определим из следующих уравнений равновесия:
сумма проекций всех сил на ось балки равна нулю
2Z = 0-
откуда находим НА\
сумма моментов всех сил относительно опорного шарнира А
равна нулю
2^=о,
откуда находим RB;
сумма моментов всех сил относительно опорного шарнира В
равна нулю
%мв=о,
откуда находим RA.
2.	Для контроля можно использовать условие равенства нулю
суммы проекций на вертикаль
2у = о
или условие равенства нулю суммы моментов относительно какой-
либо точки С, отличной от А и В, т. е.
2л#0 = о.
104

Рис. 39
i
ШИШ
ррр^
\Bi
f®
®
ей
i
ft
i*
2
1ШТПТггтт>^
Рис. 40
®
<B>
Рис. 41

3.	Если в результате вычисления какая-либо реакция окажется
отрицательной, то на рисунке необходимо изменить ее направление
на обратное по сравнению с направлением, принятым в начале рас¬
чета.
4.	Если нагрузки, действующие на балку, перпендикулярны
к оси балки, то НА = 0 и уравнением SZ = 0 не пользуются.
§ 17. Усилия и моменты в сечениях балки
При плоском изгибе вся нагрузка расположена в главной плос¬
кости стержня zy (рис. 35, а), и поэтому она не дает проекций на ось х
и моментов относительно осей г и у. Следовательно, в любом сечении
балки
Qx=Mz=MKp=My = о,
и отличными от нуля будут три величины — N, Qy и Мх* кото¬
рые принято обозначать N, Q и М.
Эти усилия действуют в сече¬
ниях рам и кривых стержней. В бал¬
ках же при нагрузке, перпендику¬
лярной к оси, равной пулю будет
продольная сила N = 0. Поэтому
в балках приходится иметь дело
с поперечной силой Q и изгибающим
моментом М.
При построении эпюр попереч¬
ных сил Q и изгибающих моментов
М принимают следующие правила
знаков:
Поперечная сила Q в сечении положительна, если ее
векторы стремятся вращать части рассеченной балки по часовой
стрелке (рис. 39, а).
Изгибающий момент М в сечении положителен, если
он вызывает сжатие в верхних волокнах балки (рис. 39, а).
Очевидно, поперечные силы и моменты, показанные на рис. 39, б,
имеют отрицательные знаки. Эпюры поперечных сил и изгибающих
моментор для балок, нагруженных по различным типичным схемам,
приведены на рис. 40—44.
§ 18. Дифференциальные зависимости при изгибе балок.
Некоторые особенности эпюр Q и М
Рассмотрим балку с произвольной вагрузкой (рис. 45, а). Между
интенсивностью q распределенной нагрузки, поперечной силой Q
и изгибающим моментом М, действующими в некотором сечении, суще¬
ствуют следующие дифференциальные зависимости, которые легкс
а?
м,
~Mi
ШММТТТГТПтттт,—
Рис. 44
106
Рис. 45

могут быть выведены из условий равновесия элемента, выделенного
из балки (рис. 45, б):
dQ
-di = q'
dz V’
dz2
= ?•
(3.1)
(3.2)
(3.3)
В тех случаях, когда на рассматриваемом участке действует
кГ см
равномерно распределенный момент интенсивностью т
(рис. 45, в), формула (3.2) принимает вид
dM
(3.4)
Соотношения (3.1) — (3.4) называются дифференциальными зави¬
симостями при изрибе. Они позволяют установить некоторые особен¬
ности эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.
1.	На тех участках, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q
ограничена прямыми, параллельными базе, а эпюра М, в общем слу¬
чае,— наклонными прямыми (рис. 46).
Рис. 46
Рис. 47
2.	На тех участках, где к балке приложена равномерно распреде¬
ленная нагрузка, эпюра Q ограничена наклонными прямыми, а эпюра
М — квадратичными параболами (рис. 47). При построении эпюры М
на сжатых волокнах выпуклость параболы обращена в сторону, про¬
тивоположную направлению действия нагрузки q (рис. 48, а, б).
3.	В тех сечениях, где Q = 0, касательная к эпюре М параллельна
оси эпюры (рис. 47, 48).
4.	На участках, где Q > О, М
возрастает, т. е. слева направо
положительные ординаты эпюры
М увеличиваются, отрицатель¬
ные — уменьшаются (участки А С
и BE на рис. 46 и 47): на тех
участках, где(?<сО, М убывает
(участки CD и на рис. 46 и
47).
5.	В тех сечениях, где к
балке приложены сосредоточен¬
ные силы:
Л.
j(5)
1
! 1 1
б
Рис. 48
107

а)	на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении прило¬
женных сил (на рис. 46 и 47 эти скачки отмечены жирными линиями
со стрелками);
б)	на эпюре М будут переломы (рис. 49), причем острие перелома
направлено против действия силы.
6.	В тех сечениях, где к балке приложены сосредоточенные моменты,
на эпюре М будут скачки на величину этих моментов, на эпюре Q
никаких изменений не будет.
Рис. 49	Рис.	50
7.	Если на конце консоли или в концевой опоре приложен сосре¬
доточенный момент, то в этом сечении изгибающий момент равен внеш¬
нему моменту (сечения С и В на рис. 50).
8.	Эпюра Q представляет собой диаграмму производной от
эпюры М. Значит, ординаты Q пропорциональны тангенсу угла на¬
клона касательной к эпюре М (на рис. 43 а = р = arctg -у1).
Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балок с раз¬
личным закреплением концов приведены в табл. 9.
§ 19. Построение эпюр для статически определимых рам
Рамами называются системы, состоящие из стержней, соединен¬
ных жесткими узлами. Вертикальные стержни рамы принято называть
стойками, горизонтальные — ригелями. Жесткость узлов устраняет
возможность взаимного поворота скрепленных в узле стержней, т. е.
в узловой точке углы между их осями при деформации остаются не¬
изменными.
Л
М*Р1
,2Р
ГЛ
4—1Р-Ц
-J/,
2Р
и
on
щ
ш\
р
f
/И
©
@ 5

-
Рис. 51
Ось рамы представляет собой ломаную линию, однако каждый
участок ее можно рассматривать как балку. Поэтому построение
эпюры для рамы сводится к построению эпюр для каждого входящего
в нее стержня как для балки. Однако в отличие от обыкновенных
балок в сечениях стержней рамы, кроме изгибающих моментов М и по-
108

перечных сил Q, обычно действуют еще и продольные силы N. По¬
этому для рам необходимо строить эпюры М, Q и N.
Для N и Q сохраняются ранее принятые правила знаков: N >'0,
если продольная сила вызывает растяжепие; Q ;> 0, если вектор силы
вращает части рассеченной рамы по часовой стрелке.
Для изгибающих моментов специальных правил знаков не уста¬
навливают, а при составлении выражений для М принимают по соб¬
ственному усмотрению какой-либо момент положительным.
При построении эпюр положительные ординаты N и Q отклады¬
вают с внешней стороны, а отрицательные — внутрь контура рамы.
Эпюры М для рам условимся строить на сжатых волокнах. Построе-
аию эпюр должно предшествовать определение неизвестных реакций.
Пример построения эпюр N, Q и М для рамы-консоли, нагружен¬
ной по схеме, приведенной на рис. 51, а% показан на рис. 51, б, в, г.
§ 20. Построение эпюр для кривых стержней
В поперечных сечениях плоского кривого бруса могут действовать,
как и в рамах, три силовых фактора: N, Q и М. В случае, когда ось
кривого стержня очерчена по дуге окружности, положение любого
сечения удобно определять при помощи полярной системы координат,
и тогда продольная и поперечная силы и изгибающий момент будут
функциями угла <р — N{iр), (?(<р), М(<р).
Рис. 52
Для N и Q остаются ранее принятые правила знаков; эпюры Af,
как и в случае рам, строим со стороны сжатых волокон.
Пример построения эпюр 7У(ф), (>(<р) и М(<р) для кривого бруса-
консоли, нагруженного по схеме, приведенной на рис. 52, а, когда
N (ср) = (cos ср + 0,5 sin ср) Р\
Q (?) = (s^ ср — 0,5 cos ср) Р;
М (ср) = (1 — cos ср — 0,5 sin ср) PR
показан на рис. 52, б, <?, г.
Если на кривой стержень действует равномерно распределенная
нагрузка, при вычислении N, Q и М полезно иметь в виду следующую
теорему: равнодействующая равномерно распределенной нагрузки, при¬
ложенной к дуге любого очертания, равна произведению интенсивности
нагрузки на длину хорды, стягивающей эту дугу, перпендикулярна
этой хорде и проходит через ее середину.
Эпюры N(ф); <?(ф) и М(ф) для кривого стержня, нагруженного
по схеме, приведенной на рис. 53, а, показаны на рис. 53, б, <?, г.
109

На участке 0< <p< a N(<р), @(ф) и М(ф) определялись соответ¬
ственно по формулам:
iV (ср) = — Pi sin = «2^7?sin2	(1	—	cos	<p);
() (<p) = COS	= 2qR sin у cos у = <7д sin ¥'»
м (?) = Px = 2(?Ла sin2 = qR2 (1 — cos ?),
где равнодействующая распределенной нагрузки q на дуге, соответ¬
ствующей углу ф, Рг = 2qR sin .
Рис. 53
На участке а < <р < р
N (?) = — р2 sin (? — у) = — 2?Д sin у sin (? — у);
<? (?) = -Рз cos (? — у) = 2qR sin cos (? — у) i
М (?) = Р2 cos (? — у) = 2<7д2 sin у sin (? — у).
где равнодействующая распределенной нагрузки q на дуге, соответ¬
ствующей углу а, Р2 = 2qR sin ~ .
110

§ 21. Дифференциальные зависимости при изгибе
плоских кривых стержней
Дифференциальные соотношения между qt Qt N и Л/, которые
могут быть выведены из условий равновесия элемента, выделенного
из произвольно нагруженного кривого стержня (рис. 54 и 55), имеют
вид
(3.5)
(3.6)
с-%-*■
(3.7)
Полагая rdy=dst эти уравнения можно записать в виде
dN _ Q
ds ~~ г ’
(3.8)
-£-* + 4:
(3.9)
(3.10)
При выводе указанных зависимостей было предположено, что изги¬
бающий момент считается положительным, если он вызывает сжатие
внутренних волокон стержня (волокон, расположенных на вогнутой
стороне), а распределенная нагрузка положительна, если она направ¬
лена к центру кривизны стержня. Зависимости (3.5) — (3.10) позво¬
ляют проверить правильность составления выражений для #(ф)»
@(ф) и М(ф). Выражения для внутренних усилий в кривом стержне
для различных случаев его нагружения приведены в табл. 10 и 11.
111

§ 22. Построение эпюр внутренних сил
для пространственных стержней
В рамных системах, оси составляющих стержней которых не
лежат в одной плоскости, а также в плоских системах, находящихся
под воздействием пространственной нагрузки, могут действовать
в сечениях стержней все шесть внутренних силовых факторов: Nz,
Qy, Qxi MZy My, Mx фис. 29, б). В этом случае эпюры изгибающих
моментов по-прежнему строят на сжатых волокнах, причем ориентиро¬
вать их следует так, чтобы плоскость эпюры совпадала с плоскостью
Рис. 56
действия пары того изгибающего момента, для которого она построена.
Знак изгибающего момента вводится произвольно и притом только
в случае необходимости записать соответствующее уравнение.
Рис. 57
Для продольшлх сил и крутящих моментов сохраняются прежние
правила знаков. Эйюры N и Л/кр могут быть ориентированы как
угодно, но их ординаты всегда откладываются по нормали к оси
стержня.
Поперечные силы в сечении считаются положительными, если
их направление совпадает с положительным направлением у и х.
\\2

В качестве иллюстрации приведем для ломаного стержня
(рис. 56, а, б) результаты построения эпюр внутренних силовых фак¬
торов (рис. 57).
Эпюры внутренних слл для пространственно нагруженного криво¬
линейного стержня (рис. 58), построенные на основании зависимостей
маз (?) = MV (?) = (PR + Ма) sin 9’>
Мкр (?) = мг (?) = (PR + Ма) cos V — PR’
при Р = 200 кГ; МА = 2000 кГ см; R = 30 см приведены на рис. 59.
§ 23. Напряжения в сечении
В сечениях нагруженного стержня возникают непрерывно распре¬
деленные внутренние усилия (рис. 60, а), равнодействующими кото-
—►	—►
рых являются главный вектор R и плавный момент М, приложенные
в центре тяжести сечения. Проекции R и М на главные центральные
оси Ху у и ось стержня z дают величины компонентов внутренних уси¬
лий N, Qy, Qx, My, Мх и Мг,
Рассмотрим бесконечно малый элемент площади dF (рис. 60, б)
с произвольными координатами а?, у. В силу малости элемента можно
считать, что внутренние усилия распределены на нем равномерно,
а равнодействующая их dR приложена в центре его тяжести. Следо¬
вательно, при приведении этих усилий к центру тяжести элемента dR
будет являться главпым вектором силы, а главный момент, очевидно,
будет равен нулю.
0
Рис. 58
Рис. 59.
ч
Рис. 60
113

Проекциями dR на оси г, у, г будут элементарные силы dN,
Разделив эти величины на площадь dF, получим выражения для
внутренних усилий, приходящихся на единицу площади, называемых
напряжениями в точке (у, г) поперечного сечения стержня:
dN	dQy	dQx	...
0=dF; Zv~~dF' T“= ~dF	(• *
где о—. нормальное напряжение, Ху, х*— касательные напряжения.
Размерность напряжений — сила, деленная на квадрат длины
(кГ/мм2, кГ/см2 и т. д.).
Таким образом, напряжением называется внутренняя сила,
сенная к единице площади в данной точке рассматриваемого сечения.
Полное напряжение в точке может быть выражено через нормаль¬
ное и касательные напряжения:
<3-12)
Учитывая (3.11), нетрудно установить общие зависимости между
напряжениями а и х,с одной стороны, и компонентами внутренних
усилий с другой:
N = ^ оdF\
(3.13)
F
= I V**
(3.14)
F
Qx = ^ txdF;
(3.15)
F
My = \ xodF;
J
(3.16)
F
Mx = j yadF\
(3.17)
F
= \ (ЗД* + xty) dF = \ pxdF,
(3.18)
где
~ dF У \dFj^\dF) r V
р —* расстояние от центра тяжести сечения до линии действия dQ
(рис. 60, в).
Зависимости (3.13) — (3.18) называются статическими уравне¬
ниями. В общем случае расчета, когда закон распределения напряже¬
ний по сечению не известен, их применять нельзя. Например, зная
величину изгибающего момента Му в сечении, нельзя найти нормаль¬
ные напряжения, пользуясь формулой (3.16). Однако если, пользуясь
теми или иными соображениями, удается установить, как распреде¬
ляются по сечению о или т, то тогда по формулам (3.13) — (3.18)
можно найти и сами величины напряжений.
Выводы формул для определения напряжений целесообразно про*
водить по следующей схеме;
114

1.	Рассматривается статическая сторона задачи — записываются
те из уравнений (3.13) — (3.18), которые необходимы для вывода.
2.	Рассматривается геометрическая сторона задачи — на основа¬
нии опытных данных записываются геометрические уравнения, уста¬
навливающие зависимость перемещений точек стержня от их поло¬
жения в сечении.
3.	Рассматривается физическая сторона задачи — на основании
опытных данных записываются уравнения, выражающие зависимость
между напряжениями и деформациями (или перемещениями).
4.	Производится синтез, т. е. совместно решаются уравнения,
полученные в п. 1—3, и путем исключения деформаций (или переме¬
щений) получаются формулы, выражающие напряжения через усилия
или моменты в сечении.
§ 24. Условия прочности и жесткости
Основной задачей сопротивления материалов является определе¬
ние надежных размеров поперечного сечения детали, подверженной
тому или иному силовому, температурному или другому воздействию.
Такие размеры могут быть определены из расчета на прочность, жест¬
кость или устойчивость. Основным является расчет па прочность.
Физически очевидно, что материал не в состоянии выдерживать
сколь угодно большие напряжения. Поэтому величины наибольших
напряжений из условия надежности работы детали должны быть
ограничены некоторыми допустимыми значениями. Эти значения на¬
зываются допускаемыми напряжениями и обозначаются [а] или [т].
Если известны допускаемые напряжения и имеются формулы,
выражающие напряжения через усилия и моменты в сечении, то прин¬
ципиально можно рассчитать на прочность (подобрав необходимые
размеры, при которых напряжение не будет превышать допускаемые)
любую деталь.
На практике встречаются три случая расчета на прочность:
1.	По известным нагрузкам требуется для выбранного материала
найти необходимые размеры поперечного сечения детали, обеспечиваю¬
щие ее надежную работу (проектировочный расчет).
2.	Известны материал и размеры детали. Требуется выяснить,
может ли эта деталь выдержать заданную нагрузку (проверочный
расчет).
3.	Известны материал, размеры детали и схема ее нагружения;
требуется найти допустимую величину нагрузки.
В основе всех этих расчетов лежит условие прочности
°тах< М ил.и Ттах<М,
выражающее тот факт, что наибольшие напряжения — нормальное,
касательное или эквивалентное (см. гл. VI), действующие в опас¬
ной точке, не должны превышать допускаемого напряжения.
Аналогично проводится и расчет на жесткость, только вместо
условия прочности испольпуется условие жесткости, ограничивающее
величину деформаций (или перемещений). Однако даже в том случае,
когда выполпен расчет на жесткость, всегда необходимо проводить
проверочный расчет на прочность и, если он дает отрицательный
результат, следует принять размеры, получешше из расчета на
прочность.
115

Таблица 9
Опорные реакции, поперечные силы и изгибающие моменты в статически определимых балках
Схема нагружения
балки, эпюры
Q и М
Опорные
реакции
Поперечная
сила Q
Изгибающий
момент М
Координата опасного
сечения z0
и максимальный момент
мтах
М'
К
Rb
Hi
©
н
дв = о
мв = м0
О <2</
м = — мл
—1
AJ-.
М2
, 7
—1/
*И1111111
t
ft,
%
©
®
щ+м2
RB = о
мв = М! + м2
О <z<Z
9 = 0
0 ^ z < а
М=0
а z ^ а + Ъ
М = — М1
CL Ъ ^ 2 ^ /
Jlf= —(М, + М2)
а ^ Zq ^ /
Mmax = — (^i + ^2)

Л
iH
*
II A
a 4-
I
<N
%!
»o
+
4
о
e
N
II
V
M
о
SI
t*
V/
§ +
в
5.
T
II
as
vftyg
ki
c- 4 A
V	°
I II
V	O'
о
V	°
; и
V	O'
о
V/ *}
m 1
V II
о O'
<N
%
О |
0
ml
a,
и ii
II II
oq ■<;
_« so
В
в
«5 II
R
M
R
M
DQ
s?
I
.v^ -.
«Q
—
E
“Г
=
«4.
1
~
117

Продолжение табл. 9
Схема нагружения
балки, эпюры
Q и М
Опорные
реакции
Поперечная
сила Q
Изгибающий
момент M
Координата опасного
сечения г0
ii максимальный момент
wmax
^г.
Rt
п
ai ^ 2 ^
А
3
'‘Ч
RB == 2
i=l
^ z ^ ai+i
z0 = /
©
щ
fa
14ШЩЩ
мв = 2 pi&i
i=l
= / — fl{
Q = — 53 ^
m=-2 pj(*-a))
i=l
^max=-2 P<*i
1 = 1
W
ifJi-Oi)
v j£J j
j= 1
А
R,
ч
Нтъ = ql
0<z<Z
0 <z</
z0 = I
--ЗЗЩЦЩ
©
1
f ,
ii
Q=—qz
s:
ii
1
м =_^1
max 2

119

Продолжение табл. 9

D 	"f"	|
RB	2
= (2<7i + ?2) g-
0<z< 2-
~2 z ^ I
Q	4t +
(t-t)-
+
л/ = —
2
qsP
"зГ
2-<2<Z
+
0<z<Z
Q=—q iz—
Я2 — Й1 2
2/ 2
0<z<*
M = -?iL2_
?2 — <7i 3
J
4
(2?,+
il
6

Продолжение табл. 9
Схема нагружения
Координата опасного
Опорные
Поперечная
Изгибающий
сечения z0
балки, эпюры
Q и М
реакции
сила Q
момент М
и максимальный
момент Мтау
mi
,£2
12
дв = "Т
М» = €
О <г<г
Q = -?£
v зг2
0<2</
qi*
М = —
12г2
, = /
Л/ = —.^1
max	12
— -о"
м -**2
в 4“
0<2</
о--*®-
	 1
“TI5;
0<2</
3 \Z3	4Z4	/
20 =
Af = — —
max	4

123
q7 q
4lnfmb
FT^
^цщ
U-^|
Re
pi
%
©
3
—3
Д/
® 3
0<z< t
2	z3\
3	Z3/
0< z< /
—-?(»S-S)
20 = I
M = —
max 3
ч
'
it]
* J
4
г
Mo
* Z 7?\
№11111111111(
ОПШтттггг^'
я»
8
z
©
p 	 D _*0
HA — HB — ~f
0<z</
Q = — ^j
0<z</
м==т0(/-г)
1
z0 = 0
^max ^ ^0
A
i
H
MrMi
L
Ц-
—M,
I'ZT
■ I
пгтшишш
МШТШПТПт
f
;®
.<§)
4
RA~ RB~
Л?,-М2
0 <z<i
л Mt-M2
v /
0<z</
■ Ж ^1	 ^2
M = Ml ^ 	-2 2
I MX>M%
20 = 0; Mmax = Mi
II < M2
zo = I* ^max = ^2
i

Продолжение табл. 9
Схема нагружения
балки» эпюры
Q и М
Опорные
реакции
Поперечная
сила Q
Изгибающий
момент М
Координата опасного
сечения z0
и максимальный
момент Мтах
5
Г**
l5
о
II
вз
ft!
II
ft!
0 <z<Z
0 <z<Z
I Л?! > М2
. г.
i
1
Мг + М%
1
М = М1 М' + М*г
zo = 0; Д/тах = М,
II М1 <
1
||||||||Ш|||||
©
Ч ^’ ^тят ~ ^2
*
ТФГГГТТт^
~ЧЦЗ]
R -R -Мй
ra — kb — ~
о <а<г
о <; z а
a^z^l
hjr Mon ч
М = -^(Z—2)
I
I
a<Y
=M0
II
I
a>T
z0 = a; Mmax =—M0 —

RA — RB —
Мг + М2
I
Q =
0 <z<*
мг + м
I
Pb'
1IIMOIMII
Д||в>Г
®
A
/
®
ra = p~i
RB = PT
Q = -/>T
M
0<z<a
M1 + M2,
M =
I
a <; z <; a + 6
z
z +Ml
M =
a + 6 <: z<< Z
I
(I — z)
Мтах — наибольшее
абсолютное значение
момента в сечениях
С и D
О << z<< а
bz
М = Р-
I
Zq — d
ab
■^шах = Т
a<<z< I
М = Р —j- (I — z)
j

Продолжение табл. 9
Схема нагружения
балки, эаюры
Q и М
Опорные
реакции
Поперечная
сила Q
Изгибающий
момент M
Координата опасного
сечения z0
и максимальный
момент Mmax
а
b
i Л
Ra = Rb = P
0<z<a
а ^ z0 ^ I — а
А*
0
h
в
ТГ.
Q — P
M = Pz
^тах
А
Z
77}
Z'
a ^ z ^ I — a
a <; z <; / — a
1
Q = 0
M — Pa
р
Iffll
©
а
№
Ш1
p
I 	 fl<Z<|
i — a <: z <; i
£
k
k
®
Q = — P
M = P (l — z)
&
Я
\*S
A j
Ilf!
■ -tltti
L
«а = «в=4
0 <2<Z
1
А
7?
a z
t
о << z /
z°~2
‘ i
qL
©
Mt-t)
м =q-
2
n Z°
1РЧ
~3i
2 \ I I21
max g
^ттГТТТИ
Ift
TTtn
2
®

127

Продолжение табл. 9
Схема нагружения
балки, эпюры
Q и М
Опорные
реакции
Поперечная
сила Q
Изгибающий
момент М
Координата опасного
сечения г0
и максимальный
момент Мтах
Ж
ш
Z'
7*77
• ■"max
itlilk
Ra = qxa — R
Rq = Ячс "I" Д»
где R =
qiq2 — g2C2
I
o	<; z a
<? = <7i (a —z) — Я
a z <; a 6
2	= -д
a "(■ b ^ z ^ I
Q = q2 (a + 6 — z) —R
0<z<a
M = <7la2(—- — X
a 2a2/
a<z< a + 6
„	a2	_
М=Я\~2	Rz
a -j- b ^ z ■<! /
M = (j2c (Z — z) X
I	Д>0
z0 = a —
Д^
X
\ q2c ZcJ
Mmaz - 2 (e J)
II	Д<0
_L й
*9 = с+~оГ
м -3*-L+*X
так 2 r +
П®ТТтт>^
-£»
©
~lL
3
<R>
R - ql
ra~-T
Rt,
ql
0 <z<*
о<2<г
м
_qP( 2 	2Л
~Т\~Г	I3)
z0 = —t=- = 0,5774^
/3
Mmax =	=
= 0,0642<7/2

129

Продолжение табл. 9
Схема нагружения
балки, эпюры
Q и М
Опорные
реакции
Поперечная
сила Q
Изгибающий
момент М
о <: г <; а
0<2<а
*'=f[(3-2T)b
-£)
-•£]
а < 2 < /
а <: 2 <! 1
o = _£f!
v зг
Координата опасного
сечения г0
и максимальный
момент Мтах
2 а
3Г
1/1	2
г0 = а |/ 1	г
1-
_ А —)3/г
~тт)
г. рЩЖ
v<lTTPls!5wx
лшМк
@
-2^3>
<?
Г> _.V(i + e)
—6—
RB =
__ <7	+	д)
ь
О	< z << а
О	= ?? / ^ ~Ь с
6 \ а
а<^ z^. I
,	 Г/ -f- л
TL с
(j -ii2j
— 3-
0<г<а
а << 2 << Z
qc (I — z) Г/ + а
6	[	с
(l-zY
М =
1	а > с
2о
= |/"д( 1 '
^тах =
— g)
3
__q{l + c) -■/’а (I —с)
У Г 3
II	а <с
с (/ — а)
н = I — ]/
^тах
<7 (/ Н- а) -|/”с(1 — а)
9 Г 3

131

Продолжение табл. 9
Схема нагружени
балки, эпюры
Q и М
Опорные
реакции
Поперечная
сила Q
Изгибающий
момент М
Координата опасного
сечения z0
и максимальный
момент Мтят
Si
J
С
®
я - gl
RB- “7Г
0<z<Z
«-f (*-6S+
+ ‘Й
0<z<Z
м
-2Z-+
~ 3 \l l3 +
z° — 2
ДМ
ЛА — “5 Г
ql LM
RB=-2-+~T
AM = Мг — М1
0 <z<J
AM
0 z /
— AM — Mt
I AM
°“~ 2 ^
"«.*-■^- +
(ДМ)2 M2 + Mt
2ql*	2

ж
z'
Ра
I
нннинтггпГ
я,
*А = Р~Т
,-4+i)
0<z< /
/< z<I + a
Q= 0
0<z<i
M = —M~
I ^ z ^ I 4- a
M — — M
Q = P
0<z<i
M=—P~z
I ^ z ^ / -f" a
M = — P (I a — z)
z0 = I
^max Pa

Продолжение табл. 9
Схема нагружения
балки, эпюры
Q и М
Опорные
реакции
Поперечная
сила Q
Изгибающий
момент М
Координата опасного
сечения z0
и максимальный
момент Мтах
D г2 + а2 ,
в== 9 ~1й~ + qa
ЛЕЩГ
4 81*
ПА=Я
I2 — О*
21
о<а<г
-т-‘т)
I ^ 2 ^ I -}- а
Q = q(l-\-a — z)
-^■1
I ^ Z ^ 1 -j- fl
М = -•j
I	1<а( 1 + 1/2)
z0 = l
M =-q—
u max	2
II	/ > a (1 + 1/2)
q(l2 — a*)2
^max =
8Z2
HA~ 21
1 +
0<z</
v 2*
/ ^ 2	/ -j- a
Q = q(l + a-z)
<7a2 2
2 Z
Z<2<Z-{-a
q(i + g> — z)2
z0 ~ I
^ma x

1 Rb , /
e z,
z'"
Т95Г1
#1111
ra = rb = p
iR* /9 iR!
CIIIIl HIIIirilllllHIIIII
7 . z'
;r
Q
7 Z
a
Я
few v»i
forr*
■4^
5Л
Г*^|
4
SL71.K
2l4 p)
Щ*.
Iqo*	qa*\
г2	2 ^
RA~ RB~
=?(4+a)
CO
СП
0 z a
M = — Pz
a<z<fl+/
M — — Pa
a + / < z < I -j- 2a
M — — P (I -\-2a — z)
a ^ zq ^ I a
M = — Pa
max —
0	< z << a
Q = — qz
a ^ z ^ a -f- I
<?-4(. + 2*-
-2t)
a -f- Z ^ z ^ Z -f- 2a
Q = cj (Z -J- 2a — z)
z <; a
<7z2
л/ = -т
a ^ z ^ a —|— /
*-¥[(*+»4)*
x(t-t)-4]
a -f- Z ^ z ^ / -j- 2a
M = -±.q{l + 2a-zy
I	l>2V2a
, I
z0 = a -\~~2
max 2 [ 4	/2	J
II	l<2V2a
Zq = a; Zq = a -f- Z
м =_?!
max	2

Продолжение табл 9
Схема нагружения
балки, эпюры
Q и М
Опорные
реакции
Поперечная
сила Q
Изгибающий
момент М
Координата опасного
сечения z0
и максимальный
момент Мтах
0 <: z << а
0 <z<a
I с>Ъ
В„~р\
Q= Р
М = — Pz
z0 = 1
о,
II
аа
%
а < z< 1
a<z< /
М = Р —
trimax £
<? = />-!
М= Ра (l */)
II с<Ь
20 = а
М — — Ра
max ^
/>
L ь
В
С !
t
[пиитики
11
1.
$
%
№
Pf
®

м
м о
(4
в
i
о
1
<>
r\i
<^г|см
1
* <?
e*
1
О
1
1
II
1
1
*
max
т
в
м
8*
ел
N
V
V/
O'
N
I
N
|СМ
V
1
||
V/
1
о
*
в
II
N
а
V
8*
1
V
ft
tr
1 Л
1 ^
V
II
V
о
Су
CJ
ca¬
ll
Су
чз
1
■а
а,
1
о
Л
в
^ ^
*ХЗ
О,
II
-с>
II
II
II
И
са
о
t*
X
ев
г?
S
*
a
'tT
•£*
1
*-^4
^-Ч
N
V
**
, bd
'	Z
ас
1
V
Л
+
V
N
У
1
"N*
0,
V
Оц
N
•Q | VJ
■а
1
о
II
V
1
II
в
II
SI
и
+
в
•а I <о
-О
•ХЗ | V»
V
V
-С) j Q
+
Он
N
а.
N
0ч
в
|
V
II
V
II
V/
||
*ХЗ
O'
о
Су
N
V/
в
O'
1
«с
>|а
bd
ас
+
*Q j
+
■
II
<
t:
»|о
а,
а*
и
о:
II
X)
05
II
о
05
137

Таблица 10
Изгибающий момент М, нормальная N и поперечная Q силы
в консольном круговом стержне при нагружении в его плоскости
Схема
/V
Q
M
Р sin <р +
+ Т cos ср
P COS cp —
— T sin cp
M0 + PR sin cp —
^ 77? (1 — cos cp)
V
Р COS (а —
— ?) +
+71 sin (а —
— <р)
P sin (a —
t)
— T cos (a —
— <p)
M0 -}- РД [cos (a —
— cp) — cos a] —
—	TR [sio * —
—	sin (a — cp)]
qR (1—coscp)
qR sin cp
qR2 (1 — cos<f>)
q=const
qR sin cp
— (1 —
— COS cp)
— qR2 (<p — sin cp)
0
0
mi?cp
438

Таблица И
Изгибающий Миз и крутящий Л/кр моменты в консольном
круговом стержне при нагружении, перпендикулярном
его плоскости
Схема
И8
(иерпендииулярно
к плоскости yz)
мкр
ii
> г
—►
Pi? sin ср
РД (1 — cos <р)
У
А
К
е*
Л/0 sin ср
— Af 0 cos ср
У
с
7777Г
М0 cos <р
М о sin ср
У
{fmconst
V\jL
о/
о/ \
©/ \
77777}
	z_
<7Й2 (1 — cos <р)
<7Л2 (ср — sin <р)

Глава 4
МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИАЛА
ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ
§ 25. Напряжения и деформации при растяжении и сжатии
Напряженное состояние осевого растяжения или сжатия харак¬
терно тем, что ив шести компонентов внутренних усилий только про¬
дольная сила /V не равна нулю. Рассмотрим сгержень, нагруженный
осевыми силами (рис. 61). Для произвольного сечения п—п статиче¬
ская сторона задачи выражается уравнением
Геометрическая сторона задачи определяется гипотезой плоских
сеуений (гипотезой Бернулли), основанной на данных экспери¬
мента: поперечные сечения стержня, плоские до деформации, оста¬
ются плоскими после деформации, перемещаясь поступательно вдоль
оси стержня.	Из этого	следует,	что все волокна элемента длиной	I уд¬
линяются на одну	и	ту	же величину А/ и их относительные удлинения
в одинаковы:
А/
£ =	у = const.	(4.2)
Физическая сторона рассматриваемой задачи определяется зако¬
ном, Гука, выражающим линейную зависимость деформаций от на¬
пряжений
а
6 = _	или а = £е,	(4.3)
&
где Е — коэффициент пропорциональности, называемый модулем
упругости при растяжении или модулем Юнга. Е имеет размерность
=?■
{ (
/
1
At П
I/J!
Рис. 61
'//////	''/////•	'/////А
Е\\р
2 2
Рис. 62
ш
б=Т
напряжения (кГ/см2, кГ/мм2 и т. д.) и является одной из физических
констант материала (см. табл. 12). Учитывая, что Е = const, а согласно
(4.2), (4.3) и а = Ее = const, из (4.1) находим
)
140

При растяжении о положительно, при сжатии — отрицательно. Фор¬
мула (4.4) справедлива для сечений, достаточно удаленных от мест
приложения сосредоточенных нагрузок. Вблизи приложения нагру¬
зок имеет место более сложный закон распределения напряжений.
При определении напряжений при растяжении и сжатии, как
и при других видах деформаций, необходимо пользоваться вытекаю¬
щим из эксперимента положением, носящим название принципа
Сен-Венана: если тело нагружается статически эквивалентной
системой сил, т. е. такими силами, у которых главный вектор и глав¬
ный момент одинаковы, и при этом область приложения нагрузок
невелика по сравнению с размерами тела, то в сечениях, достаточно
удаленных от мест приложения сил, напряжения мало зависят от
способа нагружения.
Этот принцип можно проиллюстрировать примером приложения
эквивалентных нагрузок, приведенным на рис. 62. Один и тот же
стержеиь, закрепленный верхним концом, нагружается на свободном
конце статически эквивалентными нагрузками, равнодействующие
которых выражаются величиной вектора Р. Исследования показывают,
что напряжения в сечении, достаточно удаленном от места приложения
нагрузки, практически оказываются во всех трех случаях одинако¬
выми.
Относительная деформация определяется через продольную силу
на основании (4.3) и (4.4) следующей формулой:
N
EF
(4.5)
а полная деформация стержня длиной I для однородного материала
(Е = const) при одинаковой по длине силе N — формулой:
Д/ = е/ =
N1
EF
(4.6)
Д/
i
-А
N(z)
EF(z)
Формула (4.6) выражает закон Гука для абсолютных удлинений.
Произведение EF в знаменателе формулы называется жесткостью
поперечного сечения стержня при растяжении (сжатии) .и имеет
EF
размерность силы, а величина с= —-—
называется жесткостью стержня при рас¬
тяжении (сжатии), ее размерность —
сила, деленная на длину.
В том случае, когда продольная сила
и поперечное сечение стержня по длине
не постоянны (рис. 63), полное удлинение
стержня определяется по формуле
dz.
(4.7)
Рис. 63
Растяжение и сжатие сопровождаются также изменением попе¬
речных размеров стержня (рис. 64, а, б). Абсолютные поперечные
деформации стержня определяются формулами
Да = ах — а;
Д Ь = bL — b.
141

Относительные поперечные деформации (при растяжении отрица¬
тельные, а при сжатии положительные) определяются формулой
, Да __ Д&
г ~ а ~ Ь
Между относительной поперечной и относительной продольной
деформациями при простом растяжении и сжатии в пределах примени¬
мости закона Гука существует постоянное отношение, абсолютная
величина которого называется
коэффициентом Пуассона и
обозначается буквой ц
И 44-	(4-8)
Рис. 64
5	Коэффициент	Пуассона	—
безразмерная величина и для
всех изотропных материалов
(см. табл. 12) лежит в пределах 0—0,5 (для пробки близко к нулю;
для каучука близко к 0,5, для стали ц « 0,3).
Учитывая, что еив' всегда имеют противоположные знаки, по¬
лучим
(4.9)
При расчете стержней, работающих на растяжение или сжатие,
условие прочности следует записывать для опасного сечения, которое
характеризуется максимальным значением Nmax на эпюре осевых сил
•<м>
(4.10)
где [а| — допускаемое напряжение на растяжение [а+] (при расчете
на растяжение) или допускаемое напряжение на сжатие [а_] (при рас¬
чете на сжатие).
По формуле (4.10) могут быть решены задачи трех типов: подбор
размеров поперечного сечения стержня; проверка прочности; опреде¬
ление допускаемой нагрузки.
В некоторых случаях стержни рассчитывают исходя из условия
жесткости
-2J
N(z)
EF (z)
dz*C[ Д/],
(4.11)
где Д/ — изменение размеров детали; [А/1 — допускаемая величи¬
на изменения размеров.
Расчет из условия жесткости всегда должен быть дополнен расче¬
том на прочность. Если окажется, что условие прочности не удовлет¬
воряется, то размеры стержня должны быть взяты исходя из условия
прочности.
142

§ 26. Испытапие материалов на растяжение и сжатие
Испытание на растяжение. Основным видом исследования меха¬
нических свойств материалов является испытание на растяжение. Оно
проводится на специальных испытательных машинах, создающих по¬
степенно возрастающую нагрузку на испытываемый образец и осуще¬
ствляющих в процессе нагружения регистрацию величины действую¬
щей на образец силы и его деформации.
Чаще всего применяют цилиндрические образцы (рис. 65, в),
а при испытании листового материала — плоские образцы (рис. 65, б).
Для цилиндрических образцов выдержи¬
вают определенное соотношение между
расчетной длиной образца 10 и диаметром
образца d0. Обычно 10 = 10 d0 (длинный
образец); реже 10 = 5d0 (короткий образец).
Учитывая, что диаметр d0 связан
с площадью сечепия образца F0 форму¬
лой
<*„=/ ^-0=1,13/F„.
связь между расчетной длиной 10 и пло¬
щадью поперечного сечения образца F0
можно выразить для длинного образца
зависимостью
Ъ-Т
-I 10
Г
го
тЛ
1—
1
С"
-4-
	 —
1 кг
Л Lo
->
L
Рис. 65
/0 = н,з/п.
(4.12)
для короткого —
h = 5,65	F0.
В качестве основных образцов при испытапии на растяжение
применяют цилиндрические образцы с диаметром d0 = 10 мм♦ Рас-
четной длиной 10 = 100 мм и /0 = 50 мм. Допускается применение
и других пропорциональных
образцов, в которых вы¬
держаны соотношения разме¬
ров в соответствии с фор¬
мулой (4.12).
Диаграмма растяжения.
При испытании материала на
растяжение современные ма¬
шины позволяют автоматиче¬
ски получить записанный в
определенном масштабе график
зависимости деформации об¬
разца от нагрузки, или так
называемую диаграмму растя¬
жения. Типичный вид диаг¬
раммы растяжения в коорди¬
натах Р — Л/ для малоугле¬
родистой стали приведен на
рис. 66.
На диаграмме имеется ряд характерных участков и точек, соот¬
ветствующих различным стадиям деформирования образца.
143

Точка А характеризует наибольшую (предельную) нагрузку Рпц,
до которой соблюдается линейная зависимость между нагрузкой и
удлинением образца; точка В соответствует наибольшей нагрузке Руп,
при которой образец сохраняет упругие свойства, т. е. при разгрузке
еще не наблюдается остаточная деформация; точка С соответствует
нагрузке Рт, при которой образец деформируется без возрастания
нагрузки, или, как говорят, материал начинает «течь», образуя на
диаграмме так называемую площадку текучести CD.
После стадии текучести материал снова приобре¬
тает способность увеличивать сопротивление даль¬
нейшей деформации. Точка Е соответствует мак¬
симальной (предельной) нагрузке Ртах, после ко-
Рис. 67	торой	начинается	местное	сужение	образца	в	виде
шейки (рис. 67), в результате чего происходит па¬
дение нагрузки. Точка F соответствует нагрузке Рк, при кото¬
рой образец разрушается.
Пользуясь указанными характерными нагрузками, взятыми из
диаграммы растяжения, и зная площадь сечения испытуемого образца
F0i определяют основные характеристики прочности материала:
р
°пц =	— предел пропорциональности;
я о
р
с =	— предел упругости;
Рт
о	= 		предел текучести;
р
х шах	о
св =—=	предел прочности, или временное сопротивление;
ск = -г=	напряжение в момент розрыва.
г о
Поскольку при растяжении сечение образца непрерывно меняется»
особенно в период нагружения, характеризуемый участком диаграммы
DEF, значения ав и ак имеют достаточно условный характер. Осо¬
бенно условным является напряжение ак, так как начиная с нагрузки
Ртах происходит образование шейки и в момент разрыва сечение образ¬
ца в шейке Fm оказывается существенно меньше начальной площади
сечения образца F0,
Для материалов, диаграмма растяжения которых не имеет резко
выраженной площадки текучести, предел текучести условно опреде¬
ляют как напряжение, при котором остаточная деформация состав¬
ляет величину, установленную ГОСТом или техническими условиями.
По ГОСТу 1497—61 эта величина остаточной деформации составляет
0,2% измеренной длины образца, а условный предел текучести ат
обозначается а0 2.
Учитывая, что практически трудно установить начало отклонения
от закона пропорциональности и начало появления первых остаточных
деформаций, вводят также понятие условного предела пропорциональ¬
ности и условного предела упругости.
144

Под условным пределом пропорциональности понимают наимень¬
шее напряжение, при котором отклонение от линейной зависимости
между напряжением и деформацией достигает некоторой заданной
величины (порядка 0,002%).
Под условным пределом упругости понимают наименьшее напря¬
жение, при котором остаточная деформация достигает заданной вели¬
чины (обычно 0,001% —0,05%). Условный предел упругости отме¬
чается индексом, соответствующим заданной величине остаточной
деформации, например а0001 и о0>О5.
При испытании образцов на растяжение определяют также харак¬
теристики пластичности, к которым относится относительное удли¬
нение
•'П
100, %
и относительное сужение
где
AF0 = F0‘—F]
min*
Кроме указанпых выше
характеристик механических
свойств материала (прочности и
пластичности), данные о которых
для различных материалов при¬
ведены в Приложении 1, опре¬
деляются еще энергетические ха¬
рактеристики материала. Оказы¬
вается, что диаграмма растя¬
жения дает информацию и об этих его свойствах. Так, ее площадь
характеризует работу, затраченную на растяжение образца. Ра¬
бота, затраченная на растяжение образца до деформации (рис. 68),
равна
X.	X.
Ах = j (Р + dP) dk « j" Pd\,
что соответствует площади OABCDMN диаграммы, а работа, затра¬
ченная на разрыв образца, определяется площадью всей диаграммы
OABCDEFG.
В пределах упругости работа деформации выражается площадью
заштрихованного треугольника (рис. 69, а) и при удлинении образца
и соответствующей ему силе Р равна
^уп
РМ
а удельная работа деформации равна
Луп РА1
Уп~ V ~ 2FnL
а 6
2
145

и выражается площадью заштрихованного треугольника диаграммы
в координатах о—е (рис. 69, б).
Диаграмма напряжений. Поскольку диаграмма растяжения ха¬
рактеризует не только свойства металла, но и размеры образца, то ее
принято перестраивать в относительных координатах а—е. Такая
диаграмма, построенная на основании диаграммы растяжения (рис. 66)
и называемая диаграммой напряжений, представлена на рис. 70.
На этой диаграмме точки О, а, Ь% с, d, е, / соответствуют точкам О, Л,
В, С, D,	F первичной диаграммы растяжения (рис. 66).
Рис. 69	Рис.	70
Из диаграммы напряжений (рис. 70) видно, что
tg а =	=	Е,
т. е. модуль упругости при растяжении численно равен тангенсу угла
наклона прямолинейного участка диаграммы напряжений к оси
абсцисс. В этом — геометрический смысл модуля упругости при
растяжении.
Заметим, что нисходящий участок ef диаграммы напряжений
(рис. 70) носит условный характер из-за значительного различия
между сечением шейки и первоначальной площадью сечения образца
О 0,002 е
Рис. 72
F0y на которую делят соответствующие усилия, взятые из диаграммы
растяжений для получения ординат диаграммы напряжений на
участке ef.
Примерный вид диаграммы напряжений для различных материа¬
лов приведен на рис. 71. Кривые 1% 2%3, 4 соответственно характери¬
146

зуют механические свойства брончы (ав = 2470 кГ/см2; б = 36%);
углеродистой стали (<тв = 3580 кГ/см2\ 6 = 38%); никелевой стали
(ав = 7150 кГ/см2\ 6 = 54%); марганцовистой стали (ав = 9160 кГ/см2\
б	= 30%).
Диаграмма напряжения для чугуна, являющаяся типичной для
хрупкого материала, приведена на рис. 72.
Если отпосить усилия, действующие на образец в каждый момент
времени нагружения, к истинному значению поперечного сечения
в соответствующий момент времени, то мы получим диаграмму истин
ных напряжений (рис. 70, пунктирная линия).
Рис. 73
Рис. 74
Рис. 75
Испытание на сжатие. Испытание материалов на сжатие произ¬
водится на специальных прессах или универсальных испытательных
машинах. Для испытания изготовляются образцы в виде цилиндров
небольшой высоты (обычно высота составляет от одного до трех диа¬
метров) или кубиков. При испытании на сжатие трение, возникающее
между сжимающими плитами испытательной машины и торцами об¬
разца, оказывает существенное влияние на результаты испытания
и характер разрушения испытуемого образца.
При сжатии цилиндрического образца из малоуглеродистой стали
последний принимает бочкообразную форму (рис. 73). Диаграмма сжа¬
тия, полученная для этого материала, приведена на рис. 74.
Рис. 78
На рис. 75, а показан характер разрушения при сжатии образца
из камня при наличии сил трения между плитами машины и торцами
образца. При уменьшении сил трения путем нанесения на торцы слоя
парафина характер разрушения того же образца может быть проиллю¬
стрирован рис. 75, б.
147

Вид разрушенного при сжатии чугунного образца показан на
рис. 76, а соответствующая диаграмма сжатия — на рис. 77.
Диаграммы сжатия при испытании кубика древесины показаны
на рис. 78 (кривая 1 — при сжатии вдоль волокон, кривая 2 — при
сжатии поперек волокон).
§ 27. Концентрация напряжений
Концентрация напряжений — местное повышение напряжений
в элементах конструкций, обусловленное резкими переходами в попе¬
речных сечепиях, связанными с наличием отверстий, выкружек, кана¬
вок, надрезов и т. п., называемых концентраторами. На рис. 79 пока¬
заны графики распределения напряжений в сечении растягиваемой
полосы, ослабленном круглым отверстием (рис. 79, а) и полукруглыми
выкружками (рис. 79, б).
Степень концентрации напряжений характеризуется так называе¬
мым коэффициентом концентрации
ашах	// ло\
а - —		(4.13)
(4.14)
номинальное напряжение, определяемое но формуле
N
GH Е»	*
*min
где W — нормальная сила в ослабленном сечении,	—	площадь
ослабленного сечения, называемая площадью нетто.
Иногда номинальное напряжение определяют по формуле
N
(4.15)
^бр
где Fqр — площадь сплошного сечения (без учета ослабления ее нали¬
чием концентратора), или площадь брутто.
При концентраторах, занимающих незначительную часть сечения
148

(например» при малых отверстиях), номинальные напряжения, опре¬
деляемые по формулам (4.14) и (4.15), практически будут одинаковыми.
При определении максимальных напряже¬
ний в зоне концентратора расчетным путем
коэффициент концентрации, вычисленный по
(4.13), называется теоретическим коэффици¬
ентом концентрации. Например, в случае ма¬
лого круглого отверстия (рис. 79, а) а = 3, а
в случае полукруглых вырезов (рис. 79, б) а «
«2. В действительности коэффициент концен¬
трации реальных элементов конструкций, эффек¬
тивный коэффициент концентрации к, опреде¬
ляемый экспериментально, оказывается мень¬
ше теоретического (а > k). Обычно расчеты на
прочность с учетом концентрации напряжений
проводит на основании знаний величин теорети¬
ческих коэффициентов концентрации, значения
которых для случая растяжения круглых
стержней с различной формой концентраторов
приведены на рис. 80 и ниже.
Вид концентратора напряжений
Полукруглая выточка при отношении ее радиуса
к диаметру стержня
Галтель при отношении радиуса галтели к диаметру
стержня
Переход под прямым углом
Острая V-образная выточка
Нарезка дюймовая
Нарезка метрическая
Отверстие, при отношении диаметра
к диаметру стержня от 0,1 до 0,33
Риски от резца на поверхности изделия
отверстия
0,1
2,0
0,5
1,6
1,0
1,2
2,0
1,1
0,0625
1,75
0,125
1,50
0,?5
1,20
0,5
1,10
2,0
3,0
2,0
2,5
2,0
1.2-
-1,4
в Приложении 2.
Высокая концентрация напряжений особенно опасна для элемен¬
тов конструкций, изготовленных из хрупких материалов, так как
при достижении в зоне концентрации напряжений, равных пределу
прочности материала, последний начнет разрушаться. В случае плас¬
тичного материала концентрация напряжений менее опасна, пос¬
кольку при достижении в зоне концентратора напряжения, равного
пределу текучести ат, произойдет перераспределение напряжений
по схеме, показанной пунктирными линиями на рис. 81.
§ 28. Допускаемые напряжения
Определив механические свойства материала путем проведения
соответствующих испытаний образцов, можно найти, какие напряже¬
ния являются безопасными для работы конструкции, т. е. установить
149

допускаемые напряжения. Очевидно, допускаемое напряжение должно
быть меньше опасного для данпого материала напряжения, составляя
некоторую его часть. Примем
М = -^-.	(4.16)
где [а]—допускаемое напряжение; а0 — опасное папряжение; п —
коэффициент вапаса прочности.
Для деталей, изготовленных из пластичных материалов, опасным
напряжением следует считать предел текучести о0 = от, из хрупких—
временное сопротивление с0 = ав.
Выбор коэффициента запаса прочности /?, показывающего во
сколько раз допускаемое напряжение меньше опасного, зависит от
состояния материала (хрупкое, пластичное), характера приложения
нагрузки (статическая, динамическая, повторно-переменная), а также
от таких общих факторов, как неоднородность материала, неточность
в задании внешних нагрузок, приближенность расчетных схем и фор¬
мул и т. п.
Величина запаса прочности зависит также от того, какое напряже¬
ние мы считаем опасным (ат или св).
Для пластичных материалов при статической нагрузке, когда
=== ^ ===
запас прочности принимают равным
пТ = 1,4-г-1,6.
При статических нагрузках в случае хрупких материалов,
когда а0 = ов; п = пв,
запас прочности принимают равным
яв = 2,5-г-3,0.
Иногда и для пластичных материалов допускаемые напряжения опре¬
деляют по временному сопротивлению, величину которого практи¬
чески определить проще. Тогда
Учитывая, что ст = (0,5 -т-0,7) ав; пв = 2,4-f-2,6.
Иногда допускаемые напряжения на растяжение обозначаются
[<*+1, а па сжатие — [з_]. Хрупкие материалы сопротивляются сжа¬
тию лучше, чем растяжению, и для них [a+]<[a_J.
При статических нагрузках в случае однородных хрупких мате¬
риалов следует учитывать концентрацию напряжений и расчет вести
по наибольшим местным напряжениям
°тах = аон < И’
Ориентировочные значения допускаемых напряжений при статических
нагрузках для различных матерязлор приведены в табл. 13.
450

Таблица 12
Модули упругости и коэффициенты Пуассона
Наименование материал»
Модуль
упругости
Е • 10—",
кГ/см2
Модуль
уиругости
G . 10-“.
к Р/см2
Коэффициент
Пуассона
ц-
Чугун серый белый
1,15 —1,60
4,5
0,23—0,27
Ковкий чугун
1,55
—
—
Углеродистые стали
2,0—2,1
8,0—8,1
0,24—0,28
Легированные стали
2,1— 2,2
8,0—8,1
0,25—0,30
Медь прокатанная
1,1
4,0
0,31—0,34
Медь холоднотянутая
1.3
4,9
—
Медь, литье
Фосфористая бронза ка¬
0,84
—
—
таная
1,15
4,2
0,32—0,35
Латунь холоднотянутая
Корабельная латунь ката¬
0,91—0,99
3,5—3,7
0,32—0,42
ная
Марганцовистая бронза
1,0
—
0,36
катаная
1.1
4,0
0,35
Алюминий катаный
Алюминиевая проволока
0,69
2,6—2,7
0,32—0,36
тянутая
Алюмппиепая бронза, ли¬
0,7
тье
1,05,
4,2

Дюралюминии катаный
0,71
2,7
—
Цинк катаный
0,84
3,2
0,27
Свинец
0,17
0,70
0,42
Лед
0,1
То
00
со

Стекло
0,56
2,2
0,25
Гранит
0,49
—
—
Известняк
0,42
—
_
Мрамор
0,56
—
—
Песчаник
Кладка
0,18
—
—
из грапита
0,09—0,1
—
—
из известняка
0,06
—

из кирпича
Бетон при пределе проч¬
0,027—0,030
—
—
ности
—
—
0,16—0,18
100 кГ/см2
0,146—0,196
—
—
150 кГ/см2
0,164—0,214
—

200 кГ/см2
0,182—0,232
—
—
Дерево вдоль волокон
0,1 —0,12
0,055
—
Дерево поперек волокон
0,005—0,01
—
—
Каучук
0,00008
—
0,47
Т екстолит
0,06—0,1


Гетинакс
0,1—0,17


Бакелит
0,02 —0,03

0,36
Висхомлит (ИМ-44)
0.040—0,042
—
0,37
Целлулоид
0,014—0,028
0,33—0.38
151

Таблица 13
Ориентировочные величины основных допускаемых напряжений
на растяжение и сжатие
Наименование материала
Допускаемые напряжения, кГ/смг
иа растяжение
на сжатие
Чугун серый в отливках
280—800
1200—1500
Сталь ОС и Ст. 2
1400
1400
Сталь Ст. 3
1600
1600
Сталь Ст. 3 (в мостах)
Сталь углеродистая конструкцион¬
1400
1400
ная (в машиностроении)
Сталь легированная конструкцион¬
600—2500
600—2500
ная (в машиностроении)
1000—4000
1000—4000
и выше
и выше
Медь
300—1200
300—1200
Латунь
700—1400
700—1400
Б ронаа
600—1200
600—1200
Алюминий
300- 800
300— 800
Алюминиевая бронза
800—1200
800—1200
Дюралюминий
800—1500
800—1500
Текстолит
300— 400
300-400
Гетинакс
500— 700
500—700
Бакелизированная фанера
400— 500
400—500
Сосна вдоль волокон
70—100
100—120
Сосна поперек волокон
—
15—20
Дуб вдсль волокон
90—130
130—150
Дуб поперек волокон
—
20—35
Каменная кладка
до 3
4—40
Кирпичная кладка
до 2
6—25
Бетой
1—7
10—90

Глава 5
НАПРЯЖЕННОЕ И ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ
§ 29. Напряжения в точке.
Главные площадки и главные напряжения
Напряжения являются результатом взаимодействия частиц тела,
появляющегося при нагружении его внешними силами. Действию
внешних сил, стремящихся изменить расположение частиц тела или
вызвать их смещение, препятствуют возникающие при этом в теле
напряжения. Они ограничивают это смещение некоторой малой вели¬
чиной. В одной и той же точке напряжения в разных направлениях,
как правило, будут различными и только в отдельных случаях нагру
жения они могут быть одинаковыми.
Рассматривая напряжение в точке А нагруженного тела, отнесем
ной к малым площадкам (рис. 82), принадлежащим двум разным сто¬
ронам сечепия 1—1, проведенного через эту точку, легко убедиться,
что если под действием внешних нагрузок площадки стремятся отойти
одна от другой или сблизиться, то между ними возникают соответ¬
ственно растягивающие или сжимающие нормальные напряжения о.
если площадки стремятся сдвинуться одна относительно другой, то
в них возникают касательные напряжения т; если же одна площадка
стремится отойти от другой, оставаясь ей параллельной в каком-
нибудь произвольном направлении, то в такой площадке одновре¬
менно возникают и нормальные а и касательные т напряжения, а их
результирующий является полное напряжение ру вектор которого
совпадает с этим направлением. Перемещение площадок в этом случае
может быть геометрически разложено на два перемещения: взаимное
удаление и сдвиг.
В общем случае, выделим в окрестности рассматриваемой н
нагруженном теле точки элементарный обьем материала в виде
бесконечно малого параллелепипеда (рис. 83). На его гранях влияние
удаленной части тела должно быть заменено соответствующими
напряжениями или их составляющими (нормальными и касательными
напряжениями), как показано на рисунке.
При изменении ориентации граней выделенного элементарного
Рис. 82
Рис. 83
153

параллелепипеда вапряжения на его гранях также будут изменяться.
Всегда мощно найти такую ориентацию элемента, при которой в его
гранях касательные составляющие напряжений будут отсутствовать.
Те площадки, по которым не действуют касательные напряжения,
называются главными площадками, а нормальные напряжения на этих
площадках — главными напряжениями. Можно доказать, что в каж¬
дой точке любым образом нагруженного гела всегда имеется по крайней
мере три главные взаимно перпендикулярные площадки, т. е. пло¬
щадки, в которых отсутствуют касательные напряжения. Направле¬
ния, параллельные главным напряжениям, называются главными
направлениями напряженного состояния в данной точке. Главные
напряжения принято обозначать olf а2, о3; при этом полагают, что
между указанными напряжениями существует следующее соотношение
(понимая его в алгебраическом смысле):
°1 ^ °2 ^ °з*
Напряженное состояние, в котором только одно из главных напря¬
жений (любое из трех) не равно пулю, а два других равны нулю, назы¬
вается одноосным или линейным (рис. 84, а). Если два главных напря-
жения отличны от нуля, а одно равно нулю, то такое напряженное
состояние называется двухосным или плоским (рис. 84,6). Случай на¬
пряженного состояния, при котором все три главные напряжения от¬
личны от нуля, называется трехосным или объемным (рис. 84, в)*
н	и,	W,
а	6	в
Рис. 84
Кроме того, различают однородное напряженное состояние тела,
при котором в каждой точке какого-либо сечения и всех параллельных
ему сечений напряжения одинаковы, и неоднородное напряженное
состояние, при котором в разных точках любого сечения рассматри¬
ваемого тела или других параллельных ему сечений напряжения
различны.
§ 30. Линейное напряженное состояние
С линейным напряженным состоянием мы встречаемся, главным
образом, в стержнях, испытывающих растяжение или сжатие, хотя
некоторые элементы испытывают линейное напряжение и в стержнях,
подвергающихся изгибу или сложному нагружению.
При растяжении стержня (рис. 85, а) нормальное напряжение
в площадке F определяется формулой

Касательные напряжения в этой площадке равны нулю. В любой
площадке Fa (рис. 85, б), внешняя нормаль к которой па образует
с направлением о угол а, полное напряжение ра равно
N N
Ра = — = — cos а = a cos а.
Нормальные и касательные напряжения в площадке Fa будут
\р Г
о
0а = Ра cos а = о COS2 а;
та = ра sin а = у sin 2а.
(5.1)
(5.2)
Рис. 85
Нормальные напряжения аа поло¬
жительны, если они растягивающие;
касательные напряжения та положи¬
тельны, если они стремятся повернуть
рассматриваемую часть элемента отно¬
сительно любой точки, взятой внутри
ее, по часовой стрелке (аа и та па
рис. 85, б положительны).
Согласно формулам (5.1) и (5.2) при а = 0 (площадка I на
тс
рис. 85, а) та = 0; аа = о, а при а = ~ (площадка II) та = оа = 0.
Следовательно, площадки I п II являются главными; главные
напряжения будут
oi = °;	<у2	=	°з	=	о*
При сжатии Ci = о2 = 0; о3 = — о.
Касательные напряжения согласно (5.2) достигают своей наи¬
большей величины при а = + 45° и равны
та max 2 ’
Ha основании (5.1) и (5.2) легко убедиться, что нормальные
я касательные напряжения в площадке Fр, перпендикулярной
к площадке Fat т. е. в площадке, внешняя нормаль к которой обра¬
зует угол р = а + 90° с направлением напряжения о, будут
ар = о cos2 р = a cos2 (а 90°) = о sin2 а;	(5.3)
тр= у sin 2$ = ~ sin 2 (а + 90°) =		 sin 2а.	(5.4)
§ 31. Плоское напряженное состояние
При плоском напряженном состоянии, когда на элемент по его
двум взаимно перпендикулярным граням действуют напряжения
Qi и а2 (рис. 86), нормальные и касательные напряжения, действую¬
щие на площадке (а), внешняя нормаль к которой па образует с на-
155

правлением напряжения угол а, определяются соответственно по
формулам
о	= о j cos2 а + а2 s:n2 а;
1	sin 2а.
(5.5)
(5.6)
Из этих формул могут быть получены выражения для определе¬
ния нормальных и касательных напряжений в площадке (0), перпен¬
дикулярной к площадке (а), т. е. в пло¬
щадке, Внешняя нормаль к которой обра¬
зует угол р = — (90° — а) с направлением
Op = ах sin2 а + о2 cos2 а;
01 —	•	о
то =	L——* sm 2а.
Складывая левые и правые
уравнений (5.5) и (5.7), находим:
а<Х + а0 = а I "Ь а2.
(5.7)
(5.8)
части
(5.9)
т. е. сумма нормальных напряжений,
действующих по двум взаимно перпендикулярным площадкам, инва¬
риантна по отношению к наклону этих площадок и равна сумме
главных напряжений.
Из (5.6) и (5.8) следует, что как и при одноосном напряженном
состоянии, касательные напряжения достигают наибольшей величины
при а = ±45°, т. е. по площадкам, наклоненным под углом 45° к глав¬
ным площадкам, и равны
‘'max
Сравнивая (5.6) и (5.8), находим, что
То = — Т„.
(5.10)
(5.11)
Это равенство выражает аакон парности касательных напряжений,
который может быть сформулирован так; если по какой-либо площадке
имеется некоторое касательное напряжение, то по перпендикулярной
к ней площадке непременно будет действовать касательное напряже¬
ние, равное по величине и обратное по знаку.
Экстремальными значениями для нормальных напряжений явля¬
ются величины главных напряжений.
На всех наклонных площадках нормальные напряжения имеют
промежуточные между ах и <т2 значения.
Одно и то же напряженное состояние элемента может быть пред¬
ставлено главными напряжениями Oj и о2 (элемент A BCD, рис. 86
и 87, а) или напряжениями в наклонных площадках аа, та, а^,
(элементы abed на рис. 86 и 87, б).
В теории напряженного состояния различают две основные за¬
дачи.
Прямая 8 а д а ч а. По известным в точке главным площадкам
и действующим в них главным напряжениям требуется определить
156

нормальные и касательные напряжения по площадкам, наклоненным
под заданным углом к главным площадкам, т. е. по напряжениям,
действующим на гранях элемента А В CD (рис. 88), определить напря¬
жения в гранях элемента abed.
Обратная задача. По известным нормальным и касатель¬
ным напряжениям, действующим в двух взаимно перпендикулярных
площадках, проходящих через данную точку, требуется найти глав¬
ные направления и главные напряжения. Иначе говоря, дан элемент
Рис. 87
abed (рис. 88) с действующими по его граням нормальным и касатель¬
ным напряжениями; требуется определить положение элемента ABCDt
т, е. угол а0, и найти главные напряжения.
Обе задачи могут решаться как аналитически, так и графически,
§ 32. Прямая задача при плоском напряженном состоянии.
Круг напряжений
Аналитическое решение прямой задачи дается формулами (5,5) —
(5-8)v, х
Графически оа, та; ар, можно определить по известным глав-
Рис. 89
ным напряжениям ох и о2 (рис. 89, а) с помощью так называемого
круга напряжений (круга Мора), построенного в координатах о, т
157

на отрезке АВ как на диаметре, равном разности главных напря¬
жений аА — а2 (рис. 89, б). Действительно, проведя от центра круга
напряжений (точки	С) луч CD	под	углом 2а до	пересечения
с окружностью, мы получим точку Da, координаты которой будут
характеризовать соответственно напряжения оа и та:
ОКа = бс +	CDa cos 2а =	+ gl~°-cos 2а =
= cos2 а + а2 sin2	а = аа;
= Cl)asin 2а -	~	sin	2а	=	т..
Легко показать,	что точка	Dр	характеризует	напряжения
dp, тр в площадке (р), перпендикулярной к площадке а,
ОКд = ОС — Щ = Д1 j"12 — ai ~ °2 cos 2а =
= sin2 а'+ а2 COS2 а = ffpj
Точки Z)a и Dp, характеризующие напряжения на двух взаимно
перпендикулярных площадках (а) и (р), всегда лежат на концах од¬
ного диаметра.
Построенный круг Мора полностью описывает напряженное со¬
стояние элемента, изображенного на рис. 89, а. Если менять угол а
в пределах от —90° до +90°, то наклонные площадки (а) и (р) займут
последовательно все возможные положения, а точки Da и Dp опишут
полный круг. В частности, при а = 0, когда грани ef и ет станут
главными площадками и по ним будут действовать те же напряжения,
что и в гранях элемента abed, точка Da совпадет с точкой А, а точка
Dp — с точкой В.
Для определения положения полюса па круге напряжений, как
и в случае круга инерции, проведем из точки Da линию, параллельную
оа (в нашем примере горизонталь, рис. 89, б), до пересечения с окруж¬
ностью. Искомый полюс — точка М. Полюс М можно было бы найти,
проведя из точки Dp линию, параллельную напряжению ар, т. е.
проведя вертикаль. Можно доказать, что линия, соединяющая полюс М
с любой точкой круга, параллельна направлению нормального напряже¬
ния на площадке, которой эта точка соответствует. Так, например,
линия МА параллельна главному напряжению <rlf а линия MB парал¬
лельна главному напряжению <т2.
§ 33. Обратная задача при плоском напряженном состоянии
При практических расчетах часто приходится решать обратную
задачу — определять и а2 по известным оа, та, ор, тр (рис. 90, а).
Пусть аа > Ор, та > 0. Очевидно, круг напряжений в координатах
а, т (рис. 90, б) мы легко построим, зная положение двух диаметрально
158

противоположных точек круга Da и координатами которых явля¬
ются соответственно аа, та и ар, Тр. При этом абсциссы точек пересе¬
чения круга с осью о — О А и ОВ — дадут соответствующие величины
главных напряжений Cj и о2.
Для определения положения главных площадок найдем полюс
и воспользуемся его свойством. С этой целью из точки Da проведем
линию, параллельную линии действия оа, т. е. горизонталь. Точка М
пересечения этой линии с окружностью и будет полюсом. Соединив
Рис. 90
точку М с точками А и В, получим направления главных напряже¬
ний oj и о2. Положение главных площадок, очевидно, будет перпен¬
дикулярно к направлениям главных напряжений. На рис. 90, а вну¬
три исходного элемента выделен элемент, ограниченный главными
площадками, на гранях которых показаны главные напряжения а*
и а2. Из рассмотрения круга напряжений можно получить аналитиче¬
ские выражения главных напряжений а, и о2 через оа, та, Ор, тр:
®1 = J К +	+ У(°а — V2 + 4ха1 !
°2 = J К +	^ К- °?)S + 4х|]
Из рис. 90, 6 следует также, что
МКЛ
МКЛ
tff а 		=— =	 г-
АКЛ	О	А	—	OK*
(5.12)
(5.13)
Эта формула и определяет единственное значение угла а0, на
который нужно повернуть нормаль /га, чтобы получить направление
алгебраически большего главного напряжения. Заметим, что отри¬
цательному значению а соответствуют углы, отложенные по часовой
стрелке, и что если одно из главных напряжений, вычисленное по
формулам (5.12), окажется отрицательным, то напряжения следует
обозначать не at и с2, а и о3; если же оба главные напряжения
окажутся отрицательными, то они должны быть обозначены аа и а3.
159

§ 34. Объемное напряженное состояние
Объемное, или трехосное, напряженное состояние в сопротивле¬
нии материалов рассматривается редко. Поэтому мы здесь укажем
лишь на некоторые основные моменты теории объемного напряжен¬
ного состояния.
Рассмотрим случай объемного напряженного состояния (рис. 91),
когда по граням выбранного кубика действуют все три главных на¬
пряжения
<у1>°2>а3 =£0-
Очевидно, в площадке У, параллельной alf нормальные и касательные
напряжения не будут зависеть от с1э а только от напряжений о2 и а3
и во всех подобных площадках будут характеризоваться кругом на¬
пряжений Lj с диаметром с2—а3 (рис. 92). В площадке //, парал¬
лельной о2, нормальные и касательные напряжения будут характери¬
зоваться кругом напряжений Ln с диаметром о1—а3 и, наконец, в
площадке III, параллельной напряжению о3, нормальные и касатель¬
ные напряжения будут характеризоваться кругом напряжений £ш с
диаметром <?1--<J2.
Во всех указанпых площадках метод определения оа> та и ар, тр
не будет отличаться от рассмотренного выше метода решения прямой
задачи для плоского напряженного состояния.
Можпо доказать, что если провести площадку, не параллельную
ни одному из главных напряжений, то нормальное аа в касательное та
напряжения в этой площадке могут быть определены по формулам
аа = ах cos2 at -}- а2 cos2 а2 + °з cos2 аз?
			(5.14)
та = У ох COS2 а1 + а2 COS2 а2 + а3 COS2 а3 — а* *
где af, а2, а3 — углы, которые образует нормаль к рассматриваемой
площадке с направлениями о*, а2, о3.
** Доказывается также, что точка £a(ca, *а), характеризующая
напряженное состояние в произвольно наклоненной площадке, будет
всегда лежать в заштрихованной области (рис. 92) или на границе ее»
если площадка параллельна одному из главных напряжений.
Из рассмотрения кругов напряжений (рис. 92) видно, что ттах.
характеризуемое точкой D на окружности Ьи и действующее в пло¬
щадке, параллельной глаэному напряжению а2, наклоненной к напря-
160

жени ям	и а3 под углом а = 45°, равно радиусу большого круга.
Следовательно, при объемном напряженном состоянии
ттах
(5.15)
В случае площадки, внешняя нормаль к которой образует с на¬
правлениями clf о2 и о3 одинаковые углы аг = а2 = а3 = а, назы¬
ваемой октаэдрической площадкой (поскольку она параллельна грани
октаэдра, который может быть образован из куба), когда
Касательное напряжение, определенное по формуле (5.17), назы¬
вается октаэдрическим. Октаэдрическое нормальное напряжение пред¬
ставляет собой как бы среднее напряжение для данного трехосного
напряженного состояния.
При оценке прочности материала в условиях сложного напряжен¬
ного состояния часто используется некоторая фиктивная величина
напряжения а*, называемая интенсивностью напряжения и связанная
с токт зависимостью
§ 35. Деформации при объемном напряженном состоянии.
Обобщенный закон Гука
Базируясь на гипотезе о том, что материал следует закону Гука,
а деформации малы, можно получить зависимости между напряжени¬
ями и деформациями в общем случае объемного напряженного состоя¬
ния. При этом будем исходить из зависимостей (4.3) и (4.9), получен¬
ных ранее для линейного напряженного состояния.
Рассмотрим деформацию прямоугольного параллелепипеда раз¬
мерами aXbxc (рис. 93, а) под действием главных напряжений оь
о2, о3 (полагаем, что все они положительны) по трем его граням,
параллельных соответственно ребрам а, &, с.
Удлинения р^бер соответственно будут Да, Д6, Дс, а относитель¬
ные деформации в главных направлениях
COS2 «j -f cos2 а2 -{- cos2 а3 = 1;
* 1
cos2 а = -g-,
формулы (5.14) примут вид
_ о, + аг + а3 _	_
окт— з	ср’
(5.16)
= 4" У(С1 ~ °2)2 + (°2 — °з)2 + К — Ol)2 •
(5.17)
3
°i = Trk т<
у г окт

Каждое из этих относительных удлинений есть результат дей¬
ствия всех трех напряжений а1э а2 и а3. При этом, например,
Ч	= ei + ei + Ч »	(5.19)
где согласно (4.3) и (4.9)
С л	т	Со
Ч = ‘
I
a+Aa
\i
Лтв^ I
<r
Рис. 93
Учитывая (5.20), можно записать (5.19) в виде:
Ч =	—	Iх	~1Г	^	(°2	9з)1-
Е
Е
Е
(5.21)
Аналогично могут быть записаны и выражения для е2 и е3 как
/(<Ч> а2, а3). В результате обобщенный закон Гука для изотропного
материала выразится следующими соотношениями:
1
£3 = -^-[a3 — fA(al + °2)]«
(5.22)
J
Заметим, что сжимающие напряжения следует в формулы (5.22)
подставлять со знаком «минус». Очевидно, в случае плоского напря¬
женного состояния, в частности при а2 = 0, обобщенный закон Гука
(5.22)	будет иметь вид
= — ^3);
е2 — —I?- (°i + °з);
*9== ~Е
АШ

Закон Гука справедлив не только для главных деформаций,
*го и для вычисления относительных деформаций по любым трем вза¬
имно перпендикулярным направлениям, поскольку при малых дефор¬
мациях влиянием сдвига на линейную деформацию из-за его малости
можно пренебречь. Поэтому относительные удлинения в направлении
действия напряжений са, (рис. 93, б) равны:
1	1
е« = -ё-(°а — ^р)’ ep==-f-(,5p — I*0.)-
Объемная деформация tVi представляющая собой относительное
изменение объема i?0 = abc, после приложения к нему напряжений
°i> а2> аз определяется с точностью величин второго порядка мало¬
сти формулой
tv =	—2 = fci + е2 + ез	(5.23)
уо
дани чуррг напряжения с учетом (5.22) формулой
1	— 2 (х
Е
(ai + *2 + ^з)*	(5.24)
SB частности, при равномерном всестороннем сжатии, когда
= а2 = а3 = — р,
Р
Д-,	(5.25)
тде К =
3(1 -2(х)
ЛЗеличина К называется модулем объемной деформации. Из (5.24)
1видно, что при деформации тела, материал которого имеет коэффициент
ИЛуассона ц = 0,5 (например, резина), объем тела не меняется.
;§ 36. Потенциальная энергия деформации
Потенциальной энергией деформации называется аШёргйй, kofcl-
рая накапливается в теле при его упругой деформации. Когда под
действием внешней статической нагрузки тело деформируется, точкй
приложения внешних сил перемещаются и потенциальная энергия
нагрузки убывает на величину, которая численно равна работе, совер¬
шенной внешними силами. Энергия, потерянная внешними силами,
не исчезает, а превращается, в основном, в потенциальную энергию
деформации тела (незначительной частью энергии, рассеиваемой
в процессе деформации, главным образом, в виде тепла, при этом пре¬
небрегают).
Приращение потенциальной энергии U деформируемого тела
фадно уменьшению потенциальной энергии нагрузки Un и численно
равно работе Ар, совершенной внешними силами, т. е.
U = Ар.	(5.26)
Таким образом, потенциальная энергия деформации численно равна
работе внешних сил, затраченной при упругой деформации тела.
163

В случае простого растяжения (рис. 94)
РМ
U =
2	'
удельная потенциальная энергия
_ U _ РМ _ се
“ = “ = ~2ЁТ = "2 ’
(5.27)
где v — объем тела; F — площадь поперечного сече¬
ния.
Учитывая, что е = — , получим
ь
2 Е ’
(5.28)
В случае объемного напряженного состояния,
когда потенциальная энергия деформации опреде¬
ляется суммарной работой главных напряжений olt
о2, Од на соответствующих перемещениях ех, е2, еа
(рис. 95), на основании (5.28) удельная потенциаль¬
ная энергия выражается формулой
_			11 I	2	2	,
Ри^г 94	+	~	+	~
Воспользовавшись обобщенным законом Гука, можем исключить
деформации. Получим
2 Е
■ [ох + с2 + Од	2(Х (о1о2 -|- о2о3 -f a3Cl)I-
(5.29)
При деформации упругого тела (рис. 95)
изменяется, вообще говоря, не только его объем,
но и форма (например, кубик превращается
в параллелепипед). Поэтому полную удельную
потенциальную энергию деформации и можно
представить в виде двух слагаемых:
u=uv + мф,
где uv — удельная потенциальная энергия иэме-
нения объема;
Иф — удельная потенциальная энергия изме¬
нения формы.
Можно показать, что
uv = — 0£ ^ (°1 +	+	С;)2;
W* = ~Аг- [<*1 + С2 ■+ с3 — ( а1°2 + с2а3 + c3°l)] =
ф 3 Е
1 + и-
6Д
[(ах — а2)2 + (о2 — о8)2 + (с3 — ох)2].
(5.30)
(5.31)

Глава 6
КРИТЕРИИ ПРОЧНОСТИ
§ 37. Основные теории прочности
Важнейшей задачей инженерного расчета является оценка проч¬
ности детали по известному напряженному состоянию, т. е. по извест¬
ным главным напряжениям в точках тела. Наиболее просто эта задача
решается при простых видах деформации, в частности при одноосном
напряженном состоянии, так как в этом случае значения предельных
(опасных) напряжений легко установить экспериментально. Напом¬
ним, что опасным напряжением для пластичных материалов является
предел текучести, а для хрупких — временное сопротивление.
Таким образом, условие прочности при одноосном напряженном
состоянии (рис. 96, а) принимает вид
(6.1)
где [а+] и [а__]—допускаемые напряжения соответственно при
растяжении и сжатии.
В случае сложного напряженного состояния, когда два или все
три главных напряжения сх, а2, а3 не равны нулю (рис. 96, б), пре¬
дельное (опасное) состояние для одного и того же материала может
иметь место при различных предельных значениях главных напряже¬
ний в зависимости от соотношения между ними. Поэтому эксперимен¬
тальная проверка опасного состояния из-за бесчисленного множества
возможных соотношений между ах, а2, а3 и трудности осуществления
экспериментов практически исключается.
Другой путь решения поставленной задачи заключается в выборе
критерия прочности (критерия предельного напряженно-деформи¬
рованного состояния). Для этого вводится гипотеза о преимуществен-
Рис. 96
Рис. 97
ном влиянии на прочность материала того или иного фактора. При
этом предусматривается возможность проверки выбранного критерия
прочности сопоставлением данного сложного напряженного состояния
с простым, например с одноосным растяжением (рис. 97, а, б), и уста¬
новления такого эквивалентного напряжения, которое в обоих слу¬
165

чаях дает одинаковый коэффициент запаса прочности. Под по¬
следним в общем случае напряженного состояния понимают число /?,
показывающее, во сколько раз нужпо одновременно увеличить все
компоненты напряженного состояния (ах, а2, а3), чтобы оно стало пре¬
дельным:
Выбранные таким образом гипотезы называют механическими
теориями прочности. Ниже рассмотрены основные критерии (теории
прочности).
Критерий наибольших нормальных напряжений (первая теория
прочности). Предполагается, что опасное состояние тела, находяще¬
гося в условиях сложного напряженного состояния, определяется
уровнем наибольшего нормального напряжения
Эта теория подтверждается на практике только для весьма хруп¬
ких и достаточно однородных материалов (стекло, гипс, некоторые
виды керамики).
Критерии наибольших относительных линейных деформаций
(вторая теория прочности). За критерий предельного состояния при¬
нимают наибольшую по абсолютной величине линейную деформацию,
т. е. условие разрушения:
Как видно из (6.6), с допускаемым напряжением нужно сравнивать
ООО
Cj —	а2	—	па	2»	°з	—	яа3.
о
или
(6.2)
Условие прочности с коэффициентом запаса п имеет вид
или
(6.3)
где
(6.4)
Условие прочности имеет вид:
emax — ei < [е1 = — •
(6.5)
Учитывая, что [с] = -Цг-. а также, что
IL
1
4 = ~jf tal — I* (°2 + Os)].
условие прочности (6.5) можно представить в виде:
«X — М°2 + °з)< М-
(6.6)
160

ие то или иное главное напряжение, а их комбинацию. Эквивалентное
напряжение в этом случае будет равно
°8КВ II = °1 — (* (°2 + °8)-	(6.7)
Эта теория имела довольно широкое распространение, но опытное
подтверждение получила только для весьма хрупких материалов.
Критерий	наибольших касательных напряжений (третья	теория
прочности).	Предполагается, что опасное	состояние	нагруженного
тела определяется уровнем максимального касательного напряжения.
Условия разрушения и прочности соответственно имеют вид:
ттах = х°»	(6*8)
W«M = “T-	(6-9)
Так как
Л а0 г , Га 1
Ттах	2	’	Х =	2	’3	^	~	2	’
условие прочности (6.9) для главных напряжений запишется так:
°i — з3<[°Ь	(6.10)
а эквивалентное напряжение по третьей теории прочности опреде¬
лится формулой
°экв ill = ai ~ аз-	(6-11)
Эта теория дает хорошие результаты для материалов, одинаково
сопротивляющихся растяжению и сжатию. Недостатком третьей тео¬
рии является то, что она не учитывает среднего по величине главного
напряжения а2, которое оказывает определенное, хотя в большинстве
случаев и незначительное, влияние на прочность материала. Считая
предельным состоянием для пластичных материалов предел текуче¬
сти, условие (6.8) можно представить в виде
°i — аз = °т*	(6*12)
Это условие удовлетворительно описывает начало пластической
деформации разупрочняющихся материалов, для которых характерна
ее локализация.
Критерий удельной потенциальной энергии формоизменения (чет¬
вертая теория прочности). Предполагается, что опасное (предельное)
состояние нагруженного тела определяется предельной величиной
накопленной удельной энергии формоизменения. Последнюю можно
определить при простом растяжении в момент начала текучести
“ф max = “ф = "ф. т-	<6-13)
Условие прочности будет
“ф max <	<6-14)
Полагая, что материал следует закону Гука вплоть до наступле¬
ния предельного состояния, на основании (5.31) при простом растя¬
жении в момент начала текучести (ог = ат; а2 = а3 = 0) имеем:
	 1 ~Ь (X ^2
иф. т — зе °т*
167

Условие (6.13) после подстановки (5.31) и значения Мф т из
последнего равенства примет вид
Эквивалентное (расчетное) напряжение по четвертой теории
прочности определится формулой
Расчетное уравнение четвертой теории прочности можно полу¬
чить исходя из критерия постоянства октаэдрических касательных
напряжений
Такая трактовка освобождает рассматриваемую теорию прочности
от ограничений, связанных с областью применимости закона Гука,
и дает возможность установить не только начало пластической дефор¬
мации, но и начало разрушения.
Четвертая теория прочности применима для пластичных материа¬
лов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию.
Критерий Кулона — Мора. Этот критерий основан на предположе¬
нии, что прочность материала в общем случае напряженного состоя¬
ний на этих напряжениях, называется предельным. Меняя соотно¬
шение между Gt и сг3, получим для данного материала семейство пре¬
дельных окружностей (рис. 98). Огибающую ABCDE семейства
предельных кругов можно с достаточной степенью точности заменить
прямыми, касательными к кругам Мора, построенным для растяже¬
ния, с диаметром, равным временному сопротивлению при растя¬
жении сгв, и для сжатия — с диаметром, равным временному сопротив¬
лению материала при сжатии ав сж (рис. 99).
или
(6.15)
Условие прочности (6.14) будет иметь вид
Y Т K»t - «*)* +	-	°з)2	+	(«.	-	°l)a]	«	-£■	=	[в].	(6.16)
°экв IV —
= Yt [(01 “ 02)2 + (°2 “ °з)2 + (°3 “ °l)2] • (6,17)
окт max
ния зависит, главным образом, от вели¬
чины и знака наибольшего ах и наимень¬
шего (Т3 главных напряжений (погреш-
Рис. 98
q б ность, связанная с тем, что не учитывается
I	а2, обычно не превышает 12—15%). Исходя
из этого предположения, любое напряжен¬
ное состояние можно представить одним
кругом Мора, построенным на главных
напряжениях аг и а3.
Если при данных ах и сг3 нарушается
прочность материала, то круг, построен-
Очевидно, рис. 99 может быть перестроен в масштабе допускае¬
168

мых напряжений (рис. 100). Диаметр круга для растяжения равен
°в. сж
[о+] = — , а для сжатия — Га 1 =
п	1	п
Из рассмотрения подобия треугольников 0х02а и Ot03b находим
условие прочности
(6.18)
Рис. 99
Рис. 100
Эквивалентное напряжение по рассмотренной теории Мора
[°+]
аэкв. М :
•°3-
(6.19)
Теория прочности Кулона — Мора позволяет установить сопротив¬
ление разрушению материалов, обладающих разным сопротивлением
растяжению и сжатию (хрупких материалов). Она имеет сущест¬
венное преимущество перед первой и второй теориями, которые на
практике еще иногда применяются.
Следует подчеркнуть, что хрупкое или пластичное состояние мате*
риала определяется не только его свойствами, но и видом напряжен¬
ного состояния, температурой и скоростью нагружения. Как показы¬
вают опыты, пластичные материалы при определенных условиях
нагружения и температуре ведут себя как хрупкие, а хрупкие матери¬
алы, при определенных напряженных состояниях, могут вести себя
как пластичные.
§ 38. Понятие о некоторых новых теориях прочности
Условие перехода материала в предельное состояние можно выра¬
зить в виде некоторого уравнения
°2> °з) = 0,	(6.20)
которое может быть представлено предельной поверхностью в трех¬
мерном пространстве, где по осям декартовой системы координат от¬
кладываются главные напряжения.
Так, предельная поверхность, соответствующая условию появле¬
ния массовых пластических деформаций, по теории удельной потен¬
циальной энергии формоизменения (6.15) имеет вид
(®1 — «2)2 + (®2 — °3)2 + (®S — «l)2 — 2от = 0-	(6>21)
Предельная поверхность (6.21) представляет собой круговой цилиндр
с осью, равнонаклоненной к координатным осям (рис. 101, а), и ра¬
диусом г = j/" ст.
169

Для плоского напряженного состояния, когда одно из главных
напряжений равно нулю, условие (6.21) дает эллиптическую предель¬
ную кривую (рис. 101, б).
Критерию наибольших касательных напряжений соответствует
предельная поверхность в виде правильной шестигранной призмы,
вписанной в цилиндр. Критерию наибольших нормальных напряжений
соответствует куб с ребрами, равными
о0. Заметим, что все точки, распо¬
ложенные внутри области, ограни¬
ченной предельной поверхностью,
соответствуют напряженным состоя¬
ниям с коэффициентом запаса
прочности п >1, а напряженные
состояния, представленные точками,
лежащими вне области, ограничен¬
ной предельной поверхностью, име¬
ют коэффициент запаса прочности
лг <Г 1-
Новейшие теории и основывают¬
ся на выборе различных вариантов
формы предельной поверхности, при которой можно наиболее полно
учесть особенности сопротивления данного класса материалов в
условиях сложного напряженного состояния.
Критерий прочности Ягна — Бужинского. Предельная поверх¬
ность (6.20) принимается в виде полинома второй степени, симмет¬
ричного ко всем трем главным напряжениям,
(°1 “ °г)2 + (°2 — сз)а + (ci — сз)2 + а (а1 + а2 + аз)2 +
+ Ъ (ci -(- а2 + <J3) = с,	(6.22)
где
_	6[т]2-2[с+][а_]	e	t	6	М* ([«_]-[«+])
а = 	;	77	:	; О =
[° + ] [°-J
С=6[Т]2.
[*+][*-]
При этом [04.], [а__], [т] определяются из опыта для данного мате¬
риала при испытании соответственно на одноосное растяжение,
сжатие и чистый сдвиг.
Очевидно, теория прочности Ягна—Бужинского позволяет учесть
не только различие в сопротивлении материала растяжению и сжатию,
но также и сопротивление сдвигу.
Критерий прочности Писаренко—Лебедева. К числу новых теорий
следует отнести теорию, предложенную Г. С. Писаренко и А. А. Лебе¬
девым [14], которая основана на предположении о том, что наступление
предельного состояния обусловлено способностью материала оказы¬
вать сопротивление как касательным, так и нормальным напряжениям.
Критерий прочности предлагается искать в виде инвариантных к на¬
пряженному состоянию функций касательных напряжений, например
октаэдрических касательных напряжений, и максимального нормаль¬
ного напряжения.
При этом критерий прочности может быть записан в виде
токт + т1°1 < т2-	(6.23)
Выражая константы т и т2 через предельные напряжения при
одноосном растяжении а0+ и сжатии a<L (в частности, через ав
и ов ст), условие (6.23) приводим к виду
у| 4toki+ (!-*)
170

или, переходя к интенсивности напряжений, к виду
*«i + (1 — *) «1 < О®.	(6.24)
О
°+
где	х = ——
а_
Для материала, находящегося в пластичном состоянии, когда
а+ = а_; X = 1, выражение (6.24) преобразуется в критерий проч¬
ности, соответствующий теории формоизменения; для хрупких
материалов, когда X = 0, выражение (6.24) преобразуется в первую
теорию прочности. При	что соответствует большинству
реальных конструкционных материалов, предельная поверхность по
уравнению (6.24) будет представлять собой равнонаклоненную к глав¬
ным осям фигуру, в которую вписана шестигранная пирамида, соот¬
ветствующая теории Кулона—Мора, и выражаемая формулой (6.19).
Теория, представленная критерием (6.24), хорошо согласуется
с данными эксперимента для широкого класса достаточно однородных
конструкционных материалов.
Для материалов, обладающих существенной структурной неодно¬
родностью (отдельные виды металлокерамики, графиты, пенопласты,
каменное литье и т. п.), предложено условие
+ (1 — *)	=	а°+,	(6.25)
1	де / = CTl J2- СТз — параметр напряженного состояния, Л—параметр
структуры материала, среднестатистическое значение которого для
указанного класса материалов составляет 0,7—0,8.
Уточненное значение параметра А можно определить, используя
данные испытаний на кручение:
А = Ч — УЪг.
1	— X *
а'
Г0
где <р = ——	тк — предельное напряжение при кручении.
тк
Критерий прочности Фридмана. Этот критерий базируется на рас¬
смотрении диаграмм механического состояния, которые строят исходя
из того, что, в зависимости от типа напряженного состояния, материалы
могут разрушаться от растягивающих напряжений (путем отрыва)
и от касательных напряжений (путем среза). Соответственно этому
различают две характеристики прочности — сопротивление отрыву
дУ0Т, представляющее собой величину нормальных напряжений на
поверхности разрушения в первом случае, и сопротивление срезу *
представляющее собой величину касательных напряжений во втором
случае. Обе характеристики прочности SQT и /к не зависят от типа
напряженного состояния. Кривые деформации также не зависят от
напряженного состояния.
Нарушение прочности путем отрыва описывается второй теорией
прочности
°экв II = а1 Р (а2 + °з) = ^от*	(6.26)
а нарушение прочности второго вида — третьей теорией прочности
*тах=^Чр- = *к-	(6-27)
171

Диаграмма механического состояния состоит из двух диаграмм
(рис. 102) — диаграммы в координатах ^тах» аэкв II = ^от и
диаграммы ттах, *(тах. На диаграмму наносят предельные линии,
соответствующие пределу текучести при сдвиге тт, сопротивлению
срезу tK и сопротивлению отрыву S0T. Отклонение линии сопротив¬
ления отрыву вправо выше предела текучести соответствует возрас¬
танию сопротивления отрыву с появлением остаточных деформаций.
Для характеристики типа напряженного состояния вводится
коэффициент мягкости
сэкв II
(6.28)
Различные напряженные состоя¬
ния изображаются на диаграмме
лучами, тангенсы углов наклона
которых равны а.
При всестороннем растяжении
К = °2 = аэ)
Tmax = 0» а ~ О
и луч совпадает с осью абсцисс. При простом растяжении (ах = о;
а2 = а3 = 0) имеем
о
“экв II
= с; а = 0,5.
При простом сжатии (cj = а2 = 0; с3 = — а)
а 1
Tmax ~2 * °экв II	^ст * а 2{Г *
Принимая (х = 0,25, находим а = 2.
Рассматривая лучи, отвечающие различным типам напряженного
состояния материала, можем приближенно установить вид разруше¬
ния и выбрать, следовательно, подходящую теорию прочности. ' *
Из рассмотрения на диаграмме луча 1 видим, что он раньше всего
пересекает линию сопротивления отрыву. Следовательно, материал
разрушится путем отрыва без предшествующей пластической дефор¬
мации. Луч 2 пересекает сначала линию текучести, а затем линию
сопротивления отрыву. Следовательно, при данном напряженном
состоянии разрушению путем отрыва предшествует пластическая
деформация. Для напряженного состояния, характеризуемого лучом 3,
разрушение происходит после пластической деформации путем среза.
В случае, когда луч сначала пересекает линию сопротивления
отрыву, следует пользоваться теорией Кулона—Мора, первой или
второй теорией прочности. Если же сначала пересекается линия пре¬
дела текучести, то расчет прочности должен производиться по третьей
или четвертой теории прочности.
Таким образом, диаграммы механического состояния, с известным
приближением, отражают тип разрушения в зависимости от вида на¬
пряженного состояния.
Заметим, что лучи, изображающие напряженное состояние, явля¬
ются прямыми лишь до достижения предела текучести.
В заключение настоящей главы приведем в виде таблицы сводку
рассмотренных и других теорий прочности, встречающихся в сопро¬
тивлении материалов (см. табл. 14).
172

i^ui^uu иредошшш и состояния изотропных материалов (при статическом нагружении)
сэкв— эквивалентное напряжение; а1# а2, а3 — главные напряжения; elt е2> £з — главные относительные деформации,
определяемые по обобщенному закону Гука; аср — среднее напряжение, (ох + а2 + а3) j ; а* — интенсивность на-
пряжения (l/"-|-[(0i ~ а2)г+ (°2 — °з)2 + (°з—	:	«o'.	ао”’	''о	—	предельные для данного материала на-
пряжения соответственно при одноосном растяжении, одноосном сжатии и чистом сдвиге; Х =—— ; <р ±=
Критерий
Выражение для эквива¬
лентного напряжения
стэкв
Геометрическая интерпретация
критерия в пространстве
напряжений
Примечания
Критерий наи¬
больших нормаль¬
ных напряжений
(Галилея — Лейб¬
ница, называют
также Клебша—
Ренкина)
°экв = С1
или
°ЭКВ = °3
Куб с центром, смещенным
относительно начала коорди¬
нат в сторону гидростатиче¬
ского сжатия
Удовлетворительно описывает пре¬
дельное состояние весьма хрупких
достаточно однородных материалов,
таких, как стекло, гипс, некоторые
виды керамики
Критерий наи¬
больших линей¬
ных деформаций
(Мариотта—Г рас-
гофа, называют
также Сен-Венана)
°9КВ = °1 — Iх («а + °з)
Равносторонний косоуголь¬
ный параллелепипед с осью
симметрии, равнонаклонен-
ной к координатным осям
Ввиду^ малой достоверности в рас¬
четной практике в настоящее время
почти не применяется

Продолжение табл. 14
Критерий
Выражение для эквива¬
лентного напряжения
аэкв
Геометрическая интерпретация
критерия в пространстве
напряжений
Примечания
Критерий наи¬
больших каса¬
тельных напря¬
жений (Кулона)
сэкв = С1 — аз
Правильная шестигранная
призма, равнонаклоненная
к координатным осям
Удовлетворительно описывает пре¬
дельное состояние пластичных мало-
упрочняющихся материалов (отпу¬
щенные стали), для которых харак¬
терна локализация пластических де¬
формаций
Критерий окта¬
эдрических каса¬
тельных напряже¬
ний или удельной
энергии формоиз¬
менения (Губера—
Мизеса—Генки)
а9кв = ai
Круговой цилиндр, описан¬
ный вокруг призмы, интер¬
претирующей критерий мак¬
симальных касательных на¬
пряжений
Хорошо описывает предельное со¬
стояние широкого класса пластичных
материалов (медь, никель, алюминий,
углеродистые и хромоникелевые стали
и т. п.)
Критерий Куло¬
на—Мора
09кв=01-Хс,з
Шестигранная равнснакло-
ненная к координатным
осям пирамида
Применяется для установления пре¬
дельного состояния достаточно одно¬
родных материалов, по разному со¬
противляющихся растяжению и сжа¬
тию

Критерий Ягна —
Бужинского
5ЭКВ = 3 (1 — X) Оср +
+4=[«;-
°0 1
_(|^_3)х
X (OjOjs + а2о3 + ОхОз)!
Равнонаклоненная к главным
осям поверхность вращения.
Однозначной геометрической
интерпретации не имеет
Применяется в тех же случаях, что
и критерий Кулона — Мора. При
a* = совпадает с критерием окта¬
эдрических касательных напряжений
Критерий Балан¬
дина
°8КВ = 3 (1 — X) Сср +
2
+4
°0
Параболоид вращения, рав-
нонаклоненный к коорди¬
натным осям
Является частным случаем критерия
Ягна — Бужинского
(при т0=|/" 3 )
Критерий Бот¬
кина — Миролю-
бова
а8КВ = 3 (1 — X) 0ср +
+-1(1 + 1) ц
Круговой конус, равно-
наклоненный к координат¬
ным осям
Применяется в тех же случаях, что
и критерий Кулона — Мора. При
4 = о0 совпадает с критерием окта¬
эдрических касательных напряжений
Критерий Друк-
кера — Прагера
В8КВ = (1 + VI) -
_^Х-Хс +
1 + ]П ср+
, /1-/ху°ср
\1 + VxJ о0
Двуполостный параболоид
вращения, равнонаклоненный
к координатным осям
Удовлетворительно описывает пре¬
дельное состояние сравнительно пла¬
стичных материалов, для которых
1> 0,3

Продолжение табл. 14
Критерий
Выражение для эквива-
тентного напряжения
°9КВ
Геометрическая интерпретация
критерия в пространстве
напряжений
Примечания
Критерий
С. Д. Волкова
%<в = ^[сКа77~
S
2 2
-f- <У2 + <3g 	 2fX ( Cj Og -f-
а2°я Н~ аЗаг) “t"
+ р( 2	1- Хсср) -Ь
, «1 — «я
2
Предельная поверхность не
исследована
Критерий получен на основе анализа
модели микроскопически неоднород¬
ной среды в предположении, что
критическое касательное напряжение
в плоскости скольжения зависит от
нормального напряжения в этой
плоскости и от среднего напряжения.
Xs, р, X, С — константы материала,
определяемые из опытов при различ¬
ных напряженных состояниях, напри¬
мер при одноосном растяжении, одно¬
осном сжатии, чистом сдвиге и двух¬
осном равномерном растяжении
Критерий Писа¬
ренко — Лебедева
°экв = *°i + (! — *) а1
Коническая поверхность,
описанная вокруг пирамиды
Кулона — Мора. В сечении
октаэдрической плоско¬
стью — равносторонний кри¬
волинейный треугольник
Хорошо описывает предельное со¬
стояние широкого класса достаточно
однородных конструкционных мате¬
риалов. При а* = аЦ” преобразуется
в критерий октаэдрических касатель¬
ных напряжений. В случае, когда
a J < с7 (весьма хрупкие материалы),
результаты вычислений практически
совпадают с данными расчета по кри¬
терию наибольших нормальных на¬
пряжений

Критерий Писа¬
ренко—Лебедева
Критерий
В. А. Кузьменко
■
За.
ср
+ (1-Х) ъА
Предельная поверхность рав-
нонаклонена к координат¬
ным осям. В сечении окта¬
эдрической плоскостью —
равносторонний криволиней¬
ный треугольник
Хорошо описывает предельное состоя¬
ние неоднородных материалов (хруп¬
кие металлокерамические композиции,
графит, хрупкие термореактивные
пластмассы, различные горные породы,
пенопласты и т. п.). Среднестатисти¬
ческое значение параметра А для ука¬
занных материалов составляет 0,7—0,8
экв •
где
2(1-<?)+?2(3-
-2?)+1,33(1-
- 2<у) (!-<?)*
2(1 —</) + ?* (3 —’
-2q) + с(1-
-2*) (1 —Я)2 +
+ **1(1-2*)
qjq2 "Ь q2q3 ~Ь q3ql .
2,2,2 *
ql + q2 + °3
C= 1 +
ef + e2 4“ £3
| ex| + | e2 |+|e3|
Предельная поверхность
при	q = 0,5 — круговой
цилиндр, соответствующий
критерию удельной энергии
формоизменения. При измене¬
нии q цилиндр деформируется
Предельное состояние считается ре¬
зультатом развития докритического
значения деформаций сдвига, связы¬
ваемых с пластическим течением, и
деформаций растяжения, связываемых
с образованием и раскрытием трещин
в деформируемом материале.
Критерий хорошо описывает пре¬
дельное состояние материалов, плас¬
тичность которых значительно зависит
от условий деформирования. Параметр
состояния q изменяется от 0 (хрупкое
состояние) до 1 (пластичное состояние)

Глава 7
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЁ
§ 39. Расчет стержней на растяжение (сжатие)
с учетом собственного веса
Напряжение в любом сечении стержня постоянного сечения под
действием внешпей растягивающей силы (рис. 103, а) с учетом соб¬
ственного веса может быть определено на основе гипотезы плоских
сечений по формуле
—	(7-1)
здесь
F
N (z) = Р + fFz,
где F — площадь сечения; f — удельный вес.
Очевидно,
|АМ1пшж = *-Нет!
IN(z) |
max
Условие прочности будет
о.
Р + 4FI Р
F
F
или
F>
[a]-TZ
(7.2)
При Р = 0
cmax =
а условие прочности принимает вид
V < М-
178

Отсюда предельная дайна, при которой стержень не должен разру¬
шаться от действия собственного веса,
^пр
_М_
7
а критическая длина, при которой стержень будет разрушаться от
собственного веса,
кр'
Перемещение любого сечения, находящегося на расстоянии z от
свободного конца стержня, к которому приложена внешняя сила Р
(рис. 103, а), определяется по формуле
(Р + 4FI) dl
EF
Ц*1'* ж (7-3)
Перемещение нижнего конца стержня, очевидно, будет равно
полному удлинению стержня и определится формулой
Р1
(г)г=0 = Дг =	+ ~2Е~
Учитывая, что вес стержня Q = ylF, получим
PI , QI
М =
EF "*■ 2EF "
(7.4)
Эпюры осевых сил, напряжений и перемещений показаны на
рис. 103, б, в, г.
§ 40. Стержень равного сопротивления растяжению (сжатию).
Ступенчатый стержень
Стержнем равного сопротивления растяжению (сжатию) назы¬
вается такой стержень, в каждом поперечном сечении которого
напряжения одинаковы и равны допускаемому.
Площадь поперечного сечения такого стержня
(рис. 104) изменяется по закону
II
F(z) = F0eM.	(7.5)
FfzHFtzh
где Fq =
М
■минимальное сечение стержня
в месте приложения нагрузки; f — удельный
вес; z — текущая координата; е — основание
натуральных логарифмов.
Наибольшая площадь сечения
Рис. 104

Вес стержня Q определяется из условия Р + Q = [a] Fmax, от-
JL
куда Q = [о] Fmix — Р, или с учетом (7.6) <? = P(e[aJ —1).
Относительное укорочение стержня равного сопротивления
М
сжатию е =	,
а абсолютное укорочение
rrwr
(7.7)
Стержень равного сопротивления действию
осевых сил является оптимальным с точки зрения
рационального использования материала, что суще¬
ственно в случае большой длины стержня.
Ступенчатый стержень состоит из отдельных
участков (ступеней) с постоянной площадью попе¬
речного сечения в пределах каждого участка. Он
занимает промежуточное положение между стерж¬
нем постоянного поперечного сечения и стержнем
равного сопротивления
Сечение любого n-го участка при длинах уча¬
стков llt l2*	Iз, ..., 1пу •••» 1т	и сечениях	соответ¬
ственно Flt	F2, F3, ..., Fn, ...	, Fm	(рис.	105)	мо¬
жет быть определено по формуле
р [в]»*1
Fn = (И-til) (И-71.) (М-чМ ‘	(7,8)
Если длины	всех участков одинаковы:
/i = /2 = /3 =	= 1п = •.. = 1т	=	9
Рис. 105
то
Fn = '
PH
п-1
(7.9)
где т— число ступенек в стержне; I — длина стержня.
§ 41. Статически неопределимые конструкции
Статически неопределимыми называются конструкции, в эле¬
ментах которых усилия не могут быть определены из уравнений
статики. Кроме уравнений статики при решении статически неопре¬
делимых задач необходимо использовать также уравнения, учитываю¬
щие деформации элементов конструкций.
Все статически неопределимые конструкции имеют так называе¬
мые лишние связи в виде закреплений, стержней или других элементов.
Лишними такие связи называются потому, что они не являются необ¬
ходимыми для обеспечения равновесия конструкции и ее геометриче¬
ской неизменяемости, а обусловливаются требованиями к прочности
и жесткости конструкции. Число лишних неизвестных, или степень
статической неопределимости системы, устанавливается разностью
180

между числом неизвестных, подлежащих определению, и числом
уравнений статики.
При одной лишней неизвестной система называется один раз или
однажды статически неопределимой, при двух — дважды статически
неопределимой и т. д. Конструкции, показанные на рис. 106, а, б,
г, д, е, являются однажды статически неопределимыми, а конструкция,
приведенная на рис. 106, в,— дважды статически неопределимая.
'//'А
pS >
7/7777.
5
Л
Ш»т.
д
Рис. 106
Решение статически неопределимых задач проводят в четыре
этапа.
1.Статическая	сторона задачи. Составляют урав¬
нения равновесия отсеченных элементов конструкции, содержащие
неизвестные усилия.
2.	Геометрическая сторона задачи. Устанавли¬
вают связь между деформациями отдельных элементов конструкции,
исходя из условий совместности деформаций. Полученные уравнения
называются уравнениями совместности деформаций.
3.	Физическая сторона задачи. В уравнениях
совместности выражают деформации элементов конструкций на основа¬
нии закона Гука через действующие в них неизвестные усилия.
4.	Синтез.. Решают совместно полученные уравнения относи¬
тельно искомых неизвестных усилий.
Ниже приведен пример расчета один раз статически неопредели¬
мой трехстержневой системы-подвески (рис. 107, а).
1.	Статическая сторона задачи (рис. 107, б)
2 * = N3 sin а — N2 Sir. а = 0;	(7.10)
2У=Л1 + Л,совв+Л,совв-Р = 0.	(7.11)
Из (7.10) находим:
N3 = N2;	(7.12)
181

из (7.11) находим:
N! -}- 2N2 COS а = P.
2.	Геометрическая сторона задачи (рис. 107, в)
М3 = М2 ~ Мг cos а.
3.	Физическая сторона задачи
Nth
Ah =
EFi ’
м —
2	EFа
(7.13)
(7.14)
(7.15)
Рис. 107
4.	Синтез. Подставляя (7.15) в (7.14), получим
N2l2 _Nih
ef2
EF,
Решая совместно (7.16) и (7.13), находим
Р
iV2 =
где
1	+ 2 — cos2 а
Р — COS а
С1
1 + 2 — COS2 а
Cl
EFi	Я/Л
= —г-- :	с2	=	—
h
(7.16)
(7.17)
Усилия Ni и N2 оказались зависящими от соотношения жесткостей
стержней. Поэтому при проектировочном расчете вычислить их можно,
задавшись некоторым отношением жесткостей стержней. В этом одна
из особенностей расчета статически неопределимых стержневых систем.
182

§ 42. Расчет гибких ните&
Гибкой нитью называется стержень, способный сопротивляться
только растяжению. Из шести компонентов впутренних сил для гиб¬
кой нити только осевая сила не равна нулю.
К гибким нитям относят провода электрических и телеграфных
сетей, цепи висячих мостов, тросы канатных дорог и т. п. Точки под¬
веса гибких нитей могут находиться как на одном, так и на разных
уровнях (рис. 108, а, б).
Основной нагрузкой гибкой
нити из материала с удельным
весом 7 и с площадью попереч¬
ного сечения F является собст¬
венный вес провода с интенсивно¬
стью qn = yF. Однако нагрузка
в гибкой нити может создаваться
не только собственным весом
провода, но также некоторыми
другими факторами, например
давлением ветра, весом льда при
обледенении проводов. Эти на¬
грузки также предполагаются рав¬
номерно распределенными по
длине нити. Интенсивности этих
нагрузок обозначим соответствен
но <7В и 7л*
1 -■—
2
1

1
2 t
С
1 >1
в
Рис. 108
Толщина корки льда в зави¬
симости от климатического райо¬
на принимается равной 0,5—
2,5 см.
Давление ветра в горизонтальной плоскости будет
или
Яв= Pd
?в = каясА
(7.18)
где р — давление; d — диаметр провода с учетом его увеличения
счет обледенения; k = 1,2 — аэродинамический коэффициент;
а = 0,85 — коэффициент неравномерности ветра; дск — скорость на¬
пора. Выражая последнюю через скорость ветра в метрах в секунду,
a d — в метрах, найдем интенсивность ветровой нагрузки:
qB = 636 lO-Vd [кГ/m].	(7.19)
Суммарная интенсивность нагрузки на гибкую нить может быть
определена по формуле
q = V(qa + qaY + q\.	(7.20)
Плоскость действия суммарной нагрузки, совпадающая с плос¬
костью провисания нити, не будет вертикальной.
Гибкая нить относится к классу однажды статически неопредели*
мых систем.
183

Приведем основные формулы, применяемые при расчете гибкой
нити в общем случае, когда точки подвеса нити находятся на разных
уровнях (рис. 109, а).
Обычно распределенную нагрузку q, действующую на провод,
заменяют статически эквивалентной нагрузкой </, распределенной
вдоль пролета длиной I:
Полагая нить идеально гибкой, можно считать растягивающие
усилия в любом сечении нити касательными к кривой провисания нити.
В точках закрепления А и В усилия, действующие в нити, равны реак¬
циям опор ТА и Тв. Представляя реакции опор в виде горизонтальных
(#) и вертикальных (R) составляющих, из рассмотрения статической
стороны задачи найдем:
2г = -ЯА + Яв = 0;
2 У = -	-	Дв	+	<7* = 0]
^MB~^HAk + RA I-Ji- = о.
откуда
II
со
II
1?
(7.21)
"f + 'Ti
(7.22)
ql h
~2	НТ'
(7.23)
184

Из рассмотрения равновесия части нити (рис. 109, б) находим
%Z = -H + T2(Z) = 0-,
2Y = -RA + qz + Ty(z) = 0,
откуда
Tz(z) = H-	(7.24)
Tv{z) = H±- + q(±-^,	(7.25)
Я — горизонтальная составляющая усилия, одинаковая во всех сече¬
ниях, называется натяжением нити.
Суммарное растягивающее усилие в любом сечении нити
Г(*)= KrJW + rJW - VЯ* + [я A + (?(!_z)J	(7.26)
и максимально при z = 0, т. е.
Гта* = V Hi + ("у- + Н А)*	(7.27)
Для пологих нитей (длина которых по кривой провисания мало,
не более чем на 10%, отличается от длины пролета) разница между
Tm3LX и Я невелика. Поэтому с достаточной для практики точностью
расчет нити на прочность ведут по величине натяжения Я.
Уравнение кривой провисания нити найдем, приравняв на осно¬
вании совершенной гибкости нити изгибающий момент нулю:
М (г) = Raz - Ну -= 0,
откуда с учетом (7.22) получим
*-{ж+Т:)’-Ж-	Р'28»
т. е. кривая провисания нити имеет аналитическое выражение
параболы.
Заметим, что если задачу решать точно, считая нагрузку распре
деленной равномерно по длине нити, а не по пролету, то кривая про
висания будет цепной линией. Правая часть уравнения (7.28) является
первым членом разложения уравнения цепной линии в рядМаклорена
по степеням z. Использование приближенной формулы (7.28) на прак¬
тике дает вполне удовлетворительные результаты.
Положение нижней точки подвешенной нити, координаты которой
обозначены z = а; у = /' (рис. 110, а), определим, приравняв нулю
производную правой части уравнения (7.28):
dy	ql . h	gz
dz ~ 2H	l	Я	’
185

откуда
z = а = Jl -f-
2
Hh
ql
(7.29)
Подставив (7.29) в (7.28), найдем наибольшее провисание нити
_ г _ Я12
Ут ах / gjy
Яй2 , h
2ql* 2
(7.30)
Различают три характерных случая расположения низшей точки
кривой провисания нити.
1.	Низшая точка кривой провисания находится в пределах про¬
лета, т. е. а < I (рис. 110, а). Согласно (7.29) это будет иметь место,
когда
ql2
Н<
2 h
(7.31)
2.	Низшая точка кривой провисания находится вне пролета,
т. е. а >« Z (рис. 110, б). Это будет при условии
Я>-
2 h
(7.32)
3.	Низшая точка кривой провисания совпадает с нижней точкой
подвеса, т. е. а = Z (рис. 110, в). Для этого случая необходимо, чтобы
(«3)
Во всех трех случаях координаты а и /' низшей точки определя¬
ются по формулам (7.29) и (7.30).
Установим зависимость между натяжением Я и стрелой прови-
I	h
сания /. Подставляя в (7.28) z = -су и	/	(рис.	111),	найдем
/ =
Я?
8Я
(7.34)
186

или
(7-35)
Натяжение нити, выраженное через наибольшее провисание /', най¬
дем нз решения квадратного уравнения (7.30) относительно Н:
Если низшая точка кривой провисания находится в пределах пролета,
то перед корнем берется знак «минус», если вне пролета — знак
«плюс».
Рассматривая геометрическую сторону задачи, установим связь
между длиной подвешенной нити S, пролетом /и величиной провиса¬
ния /. Длину элемента нити, учитывая малое провисание, можно выра¬
зить следующей зависимостью:
dS = Vd^+dP = [l + (-J-)2] 2 ^ = [l+| {tj] (7-36)
Подставляя производную от выражения (7.28) в (7.36) и инте*
грируя по всей длине, найдем
или, учитывая (7.35),
<7-38)
Удлинение подвешенной нити от растяжения равно
а2Р	h2
Д S^S-L^l + j^ + ^-L,	(7.39)
где L — длина неподвешенной нити.
Из рассмотрения физической стороны задачи устанавливают зави¬
симости изменения длины нити от растягивающего усилия и от изме¬
нения температуры.
Принимая для пологих нитей за расчетное растягивающее усилие
натяжение Н и заменяя длину нити расстоянием между точками под*
веса найдем удлинение нити по формуле
ASH = ~EF ~ EF cos Р ‘	*7-40)
Температурное удлинение нити определяется формулой
Ла,! = «/1(*-!в) = -г~<*-*0).	(7.40а)
187

где а — коэффициент линейного расширения материала нити; t0 —
температура в момент подвешивания нити; t — температура, для
которой проводится расчет нити.
Суммарное изменение исходной длины нити
/77	д/	'
AS — kSft -f- AaS^ = “ТГ7?	5—I	5“	— ^o)*	(7*41)
a 1	1	cos	P	cos	(J	4	07	v 7
Приравнивая правые части (7.39) и (7.41), выражающие одну
и ту же величину удлинения подвешенной нити, найдем:
r , , qH3	, Ь?	HI	al	#	ч
+ 24Я2 + 21 EF cosp cos p (	o)>	(	*
Совместное рассмотрение уравнений (7.35) и (7.42) позволяет
определить натяжение нити Н и стрелу ее провисания /. Опреде¬
лив Я, по формуле (7.27) можно найти 7^^, а зная последнее,—
проверить прочность по формуле
^гпах Я ^ |- .	у* /о\
о	= ——	<М>	(7.43)
или с учетом (7,35)
8	fF
Введя понятие удельной нагрузки
7 р, *
получим условие прочности (7.44) в виде
° =	(7.45)
Заметим, что при расчете электрических проводов сечение провода F
определяется из электрических соотношений, а затем выполняется
проверочный расчет по формуле (7.45).
Большой практический интерес представляет частный случай
расчета нити, когда точки подвеса находятся на одном уровне, т. е,
при
cos р = cos 0=1; h = 0; RA = RB = jLt
2
Как и в общем случае, останутся в силе формулы (7.34) и (7.35), а урав¬
нение совместности деформаций (7.42) примет вид
д2/3	Н1
L — I + 24я2	EF	^	(7«46)
На практике часто приходится учитывать влияние на напряжение
и стрелу провисания нити изменений температуры и нагрузки. Пусть
188

требуется определить изменение напряжения и стрелы провисания
в состоянии п, характеризуемом параметрами tn, qn% fn, Нп =
Яп12
=	—	, по сравнению с первоначальным состоянием т в момент
о/п
Q I2
подвеса нити, характеризуемом параметрами tmi qmt fm% Нт =
o/m
Решение поставленной задачи может быть получено, если выра¬
зить длину L нити для состояний т и п в соответствии с (7.46):
L=l + —^	-aZ (г,„-(0);
24 Я	^
m
,	,	,	?пгз ИЩ _аИ. м
~24Я^	(п ~ о)‘
Приравняв правые части этих уравнений и введя эамену
Ят __	.	Яп_	_	нт	.	Нп
~р~~ — Тт> ^7 — 7n> am —	^	—»
окончательно получим
rJPE
°п	а	—с»п	г	~h аЕ Urn — ^п).	(7.47)
24о„	24зст
Зависимость (7.47) иногда называют уравнением состояния нити.
Она может быть представлена в виде
з
°п-
am	^2	a (*n — tm) | an	= 0,	(7.48)
или, учитывая, что
в виде
_	1ml2	U	_	_	YnZ2
I	Of	»	о/
°/m	o/n
[ An + § a/2	64 £/m ]	64	~	^7‘49*
При различных уровнях точек подвеса уравнение состояния
нити соответственно примет вид

Кубическое уравнение (7.49) или (7.50) относительно fn удобно
решать графически. Так, записав его в виде f^ — afn — 6=0 или
= afn + Ь, где а и b — известные числа, строят графики
У = /п и у = 0/п + Ь.
Абсцисса точки пересечения получаемой при этом кубической
параболы с прямой линией и дает значение искомого провисания /п
(рис. 112).
При расчете нити на прочность необходимо учитывать случаи
наиболее неблагоприятных сочетаний ветра
и обледенения, вызывающих максимальные
напряжения в ней.
Из уравнения состояния (7.47) следует,
что в случае малых пролетов при I 0
Gn = cm + аЕ (tm — tn),
т. е. изменение напряжений зависит главным
В случае больших пролетов при I
получим
л -	г.
СП — 		 а7П>
1771
т. е. напряжение в основном зависит от нагрузки.
Критической длиной нити /кр называется такая длина, при кото¬
рой напряжение в нити одинаково в обоих опасных состояниях (как
при наибольшей нагрузке — состояние л, так и при наинизшей тем¬
пературе— состояние пг), т. е. когда
°n=®m=M-	(7.51)
Полагая, что гп соответствует температуре обледенения (обычно
*об = — 5° С), при которой 7n = Tmax» а соответствует наинизшей
температуре £min, при которой на нить действует только собствен¬
ный вес 7, т. е. 7т =	найдем критическую длину нити /кр из
(7.48) с учетом (7.51):
'™=М1/	Ч1"’
17	Tmax — Ti
Сопоставляя расчетный пролет I с критическим /кр, можно убе¬
диться, чго при I < Iкр наибольшие напряжения будут при наиболее
яизкой температуре, а в случае I > /кр наибольшие напряжения в
«шти будут при наибольших нагрузках.

Глава 8
СДВИГ
§ 43. Сдвиг. Расчет на срез
Деформация сдвига характерна тем, что из шести составляющих
главного вектора силы R и главного момента М отлична от пуля
только одна поперечная сила Q (или Qx), а все остальные равны
нулю.
Примером сдвига или среза может служить деформация полосы
при резке ее ножницами (рис. 113, а, б). Практически деформацию
сдвига в чистом виде получить трудно, так как она обычно сопровож¬
дается другими деформациями, и чаще всего деформацией изгиба.
При нагрузке по схеме, показанной на рисунке, на участке Ъс,
очевидно, поперечная сила
Q = P,
(8.1)
а связь между касательными напряжениями х и поперечной силои
будет
J т dF - Q.
(8.2)
Принимая касательные напряжения т по площади поперечного
сечения F распределенными равномерно (рис. 114), на основании
(8.2)	найдем
или, учитывая (8.1),
0__
F ’
Р
F
(8.3)
Рис. ИЗ
Допущение о равномерности распределения касательных напря¬
жений по сечению является весьма условным, поскольку в силу за¬
кона парности касательные напряжения у верхней и нижней граней
191

равны нулю. Однако принятое допущение широко используется на
практике при расчете болтов, заклепочйых и сварных соединений,
шпонок и т. п.
§ 44. Чистыи сдвиг
Случай плоского напряженного состояния, когда по четырем
граням выделенного элемента действуют только касательные напря¬
жения (рис. 115), называется чистым сдвигом. Найдем величину глав-
Рис. 115
ных напряжений применительно к схеме нагружения, приведенной
на рис. 115, а. Для этого, имея в виду, что в данном случае аа =
== Ср = 0; та = —т; Тр = т, строим круг напряжений (рис, 115, б),
из которого следует, что
«1 = — <*3 = т.	(8.4)
Средние напряжения в главных площадках, совпадающих с фасад¬
ной гранью, <т2 = 0. Главные площадки наклонены к граням элемента
под углом 45°. Под действием касательных напряжений элемент
abed, имевший форму квадрата со стороной а, превратится в ромб
a'b'c'd'. Деформация чистого сдвига заключается в изменении пря¬
мых углов. Представляя для наглядности элемент, находящийся
в условиях чистого сдвига, закрепленным по одной из граней (рис. 116),
найдем
A s

Учитывая малость угла, можем принять	тогда относи¬
тельный сдвиг
Т-т-	(8'5>
Зависимость между нагрузкой и деформацией при сдвиге видпа
из диаграммы сдвига (рис. 117), которая может быть получена по¬
добно диаграмме напряжений при испытаниях на растяжение.
Очевидно, в пределах линейной зависимости между ] и т справед¬
ливо соотношение
7 = ИЛИ X = Gf,	(8.6)
где G — коэффициент пропорциональности, который называется
модулем упругости при сдвиге или модулем упругости второго рода
и имеет размерность кГ/см2 (или кГ/мм2). Формулы (8.6) выражают
закон Гука при сдвиге, записанный в относительных координатах.
Из рис. 116 видно, что удлинение А1 диагонали АС = / = а^2 равно:
и = CCi cos ^ — -1) « CCi cos 45° =
As
W
а относительное линейное удлинение диагонали (в направлении сх)
или, учитывая (8.6)#
* = TG-	<8’7>
Применяя обобщенный закон Гука к чистому сдвигу (рис. 116),
находим
в = Ч =	Т.	(8.8)
Из сопоставления правых частей равенств (8.7) и (8.8) получаем
“-■гттттг-	<**>
При =	G	= (0,375	0,4) Е.
Используя (8.5), выразим абсолютный сдвиг As через Q = Ft:

Формула (8.10) выражает закон Гука при сдвиге в абсолютных еди-
ницах.
Потенциальная	энергия деформации при	сдвиге	определяется
формулой
77 — ^2 - 2^. ■
2 ~ 2GF
Удельная потенциальная энергия деформации при сдвиге
U 02а т2
U = -V=lLF--2G	<8-“>
где V — объем элемента.
Главные напряжения при чистом сдвиге	(рис.	115,	а)	равны:
ох = т; о2 = 0; о3 = —т.
Условия прочности при чистом сдвиге запишутся;
по первой теории прочности
oi = t<[o];	(8.12)
по второй теории прочности
°i —
Подставляя значения главных напряжений, находим
*<-П^Г=М-	(8.13)
Для металлов (х = 0,25 — 0,42, поэтому [т] = (0,7 -4-0,8) [а].
По третьей теории прочности
а1~а3 < М-
Отсюда
М
% ^ -
и допускаемое напряжение
[т] = 0,5 [а].
Г1о четвертой теории прочности
V °1 + <3з — схОд < [о];
М
V3 '
Следовательно,
194

Отметим, что при расчетах деталей из пластичных материалов
(болты, заклепки, шпонки и т. п.) наиболее подходящей является
последняя формула.
§ 45. Некоторые примеры расчета на срез
Расчет болтовых и заклепочных соединений. При расчете болтов
на срез (рис. 118, а) условно принимают распределение внешних сил,
О
7//7/У//
I
г
Q*P
в
действующих на болт, и касательных напряжений в сечении среза
соответствующим схеме, приведенной на рис. 118, б.
Условие прочности болта на срез может быть записано в виде
О
ттах — р ^ [Т]
или, учитывая, что Q = P (рис. 118, в), a F =
4	Р
хтах =	< 1ТЬ
Отсюда определим диаметр болта
<«•«>
При расчете болтовых или заклепочных соединений следует учи¬
тывать, что нагрузка, приложенная к элементам соединения, помимо
среза вызывает смятие контактирующих поверхностей. Под смятием
понимают пластическую деформацию, возникающую на поверхности
контакта.
Расчет на смятие проводят приближенно, поскольку закон распре¬
деления давления по поверхности контакта в точности не известен.
Обычно принимают нелинейный закон распределения давления
193

(рис. 119, а), считая, что давление пропорционально проекции dFx
площадки dF цилиндрической поверхности на диаметральную плос¬
кость
±_
Qi
dF
dFi
. q1 i •
S\'df

\dF
■g
ar art
=const
Рис. 119
Максимальное напряжение смятия для цилиндрической поверхности
равно
Р Р
*СМ~ ^см ~ W
где FCM = bd — площадь проекции поверхности контакта на диамет •
ральную плоскость (рис. 119, б).
Условие прочности на смятие имеет вид:
Зсм id ^ ^асм1*
(8.16)
Допускаемые напряжения на смятие устанавливаются опытным
путем и принимаются равными
KJ = (2~2,5)[0.
На основании (8,16) можно определить необходимый диаметр
болта:
(8.17)
Из двух диаметров, найденных по формулам (8.15) и (8.17), следует
взять больший, округлив его до стандартного значения.
Так как болты и заклепки ослабляют соединяемые листы, послед¬
ние проверяют на разрыв в наиболее ослабленных сечениях, В случае
одного болта условие прочности будет иметь вид
F min	b(b^d)
<[«+]>
где b — ширина листа.
196

Рассмотрим заклепочное соединение, заклепки которого испыты¬
вают двойной срез (рис. 120).
Полагая, что растягивающая сила N равномерно распределена
между заклепками, найдем, задавшись диаметром заклепок с? и толщи¬
ной листа 6, число заклепок i из условия прочности на срез
N г М;
2 i
. 7id2
27V
или из
смятие
nd2 [х]
условия про
N
ibd
Рис. 120
N
~ “[«и
Расчет сварных соединений. На срез принято (также условно)
рассчитывать и некоторые сварные соединения. Наиболее распростра¬
нены соединения в стык и соединения с помощью угловых или валико-
шфт:
IS,4\44fy^
5
Рис. 121
в
вых швов. Соединения в стык применяются, когда соединяемые листы
находятся в одной плоскости. При толщине листов 6 < 8 мм кромки
листов не обрабатываются (рис. 121, а); при 6 = 8-т-20 мм кромки
листов скашиваются и сварка производится с одной стороны. При этом
получается V-образный шов (рис. 121, б); при 5 ;> 20 мм кромки ска¬
шиваются с двух сторон. Получается Х<образный шов (рис. 121, в).
Расчет таких швов проводится на разрыв. Расчетную толщину шва
принимают равной толщине листа 5 (наплавы не учитываются).
Соединения с помощью угловых швов применяют в случаях,
когда соединяемые листы параллельны или перпендикулярны. К ним
Л5&
НГ
Рис. 122	Рис.	123
относятся соединения внахлестку, с накладками и тавровые. Если
направление шва перпендикулярно к действующему усилию, то шов
называется лобовым. Швы, параллельные усилию, называются флан¬
говыми или боковыми. Применяются также косые швы (рис. 122),
направленные под некоторым углом к действующей силе. На рис. 123
197

показано соединение листов внахлестку лобовыми швами, на рис. 124-
соединение с накладками, приваренными фланговыми швами, на
рис. 125 — тавровое соединение.
Обычно при расчетах сварных швов наплывы не учитывают,
а считают, что в разрезе угловой шов имеет форму прямоугольного
равнобедренного треугольника (рис. 120, а, б).
Разрушение шва будет происходить по его
минимальному сечению, высота которого
iww
£k
SS3
Рис. 124
Рис. 125
Рис. 126
Расчетная площадь сечения шва длиной I составит
F = ml = 0,7 Ы.
Расчет швов, как и заклепок, условно ведется в предположении рав¬
номерного распределения напряжений по сечению шва. Некоторые
значения допускаемых напряжений при расчете сварных соединений
конструкций, изготовленных из Ст. 3, приведены в табл. 15.
Расчет лобового шва. Учитывая, что сопротивление стали срезу
ниже, чем сопротивление растяжению, составляющей нормальных
напряжений в лобовом шве пренебрегают и расчет швов производят
условно на срез, предполагая, что касательные напряжения равно¬
мерно распределены по площади сечения ABCD (рис. 126). При рас¬
чете лобовых швов соединения внахлестку учитывают оба шва — верх¬
ний и нижний. Их общая площадь
F = 2т1 = 2 0,75/ = 1,4В/.
Условие прочности запишется в виде
Р	Р
Т ^ ~F	1,48/	^
Расчетная длина торцевого шва /р определится формулой
1р 1,45 [т8] •
Расчетная длина шва Zp в связи с непроваром в начале и в конце шва
обычно принимается на 10 мм меньше действительной I:
/р — I 10 мм.
Расчет фланговых швов. Фланговые швы наиболее распространены
на практике. Они менее жестки, чем лобовые, из-за большей протя-
198

женности металла в направлении действия силы. Фланговые швы
всегда ставятся парами. Они работают на срез в биссекторных сечениях
(рис. 127). Площадь среза двух швов
F = 2 0,7В (Z — 10 мм) = 1,4В (I — 10 мм).
Условие прочности на срез:
__ Р	Р	г.
т	F	1.4S (/ — Юлии) <[тэ1-
Рис. 127
Длина шва определяется формулой
га
1 =
1,46 К
10 мм.
Расчет врубок. К числу соединений, прочность которых опреде¬
ляется в основном из условия среза, относятся врубки, используемые
для соединения деревянных элементов конструкций (рис. 128). Древе¬
сина является анизотропным материалом, его механические свойства
зависят от направления силовых воздействий относительно ориента¬
ции волокон.
Так, для сосны предел прочности вдоль волокон равен 400 кГ/см2,
поперек волокон — 50 кГ/см2; для дуба соответственно 500 кГ/см2
и 150 кПсм2. Вследствие различной сопротивляемости древесины
вдоль и поперек волокон приходится принимать разные допускаемые
напряжения для различных направлений действия сил.
Некоторые данные о допускае¬
мых напряжениях для сосны и дуба
приведены в табл. 16.
В качестве примера рассмотрим
расчет соединения стропильной ноги
со стропильной затяжкой (рис. 128).
Угол между осями	стропильной
ноги и затяжки обозначим а, а силу,
Рис 128	действующую вдоль	стропильной
ноги, — N. Сечение	стропильной
ноги F = ЪЬ. Конец затяжки испы¬
тывает скалывание вдоль волокон под действием горизонтальной
проекции силы N
N1 = N cos а.
199

Длину части затяжки х, выступающей за врубку, определим из
условия
Ni ^ Г 1
Ттах - рск ~Ьх
откуда
Nt
М ’
а
^ Ni Ncos а
х> Ыт] ~ 6 [xj •
Необходимая площадь смятия врубки
Nt
1асм1
N cos а
Рш=ЬУ>'
Глубина врубки
У>'
ы°ш) М»см1 •
Таблица 15
Допускаемые напряжения для сварных соединений, кГ/см2
Вид
деформации
Обозначение
Ручная сварка
(электроды с тонкой
обмазкой)
Автоматическая
и ручная сварка
(электроды
с толстой обмаэкой)
Растяжение
1000
1300
Сжатие
[°8 1
1100
1450
Срез
Ы
800
1100
Таблица 16
Допускаемые напряжения для древесины
Вид деформации
Обозна¬
чение
Доп ускаемое
напряжение,
кГ/см2. для
сосны
дуба
Растяжение
[<*+]
100
130
Сжатие вдоль волокон и смятие торца
Ю
120
150
Смятие во врубках вдоль волокон
[*см]
80
110
Смятие перпендикулярно к волокнам
(на длине более 10 см)
[°см! Тс
2
24
48
200

Продолжение табл. 16
Вид деформации
Обозна¬
чение
Допускаемое
напряжение,
кГ/см2, для
сосны
дуба
Скалывание во врубках вдоль волокон
м
5—10
8-14
Скалывание во врубках поперек во¬
локон
[T]JL
6
8
Изгиб
KJ
120
150
Скалывание при изгибе
ы
20
28
Примечание. При смятии (или скалывании) под углом а к направле¬
нию волокон допускаемое напряжение имеет промежуточное значение между
[асм1 и СасмЗ те или М и Ст] тс и может быть определено по условной формуле
2~	Т

Глава 9
КРУЧЕНИЕ
§ 46. Напряжения и деформации при кручении
Напряженное состояние кручения характеризуется наличием
в стержне единственного внутреннего силового фактора — крутящего
момента Mz = М р (рис. 129), т. е. момента, действующего в плос¬
кости поперечного сечения стержня (остальные компоненты внутренних
сил равны нулю):
Qx = Qy = N = 0; МХ = МУ = 0.
Стержень, работающий на кручение, называется валом. Экспери¬
ментально установлено, что при кручении вала длиной I двумя крутя¬
щими моментами Мк, приложенными по концам вала, последний
будет закручиваться, т. е. одни сечения вала будут поворачиваться
относительно других, в то время как длина вала останется неизменной.
Рассматривая кручение вала, нагруженного по схеме, приведенной
на рис. 130, легко заметить, что угол поворота <р любого сечения,
находящегося на расстоянии z от места задел¬
ки вала, будет тем больше, чем больше z и кру¬
тящий момент Мк. Если закручивать вал
вплоть до его разрушения и представить
зависимость ф = f(MK) графически, то полу¬
чим диаграмму кручения, вид которой для
пластичного материала приведен на рис. 131.
На этой диаграмме, как и на диаграмме растя¬
жения, можно заметить ряд характерных учас¬
тков и точек (1, 2, 3): Млц — величина крутя¬
щего момента, до которой сохраняется линей¬
ная зависимость между <р и Мк; Мт — мо¬
мент, соответствующий началу текучести; Мв — величина крутящего
момента, вызывающего разрушение. Обычно интересуются значениями
202

моментов и деформациями, соответствующими линейному участку
диаграммы кручения, для которого справедлив закон Гука.
Крутящий момент в некотором сечении вала, являющийся равно¬
действующим моментом касательных напряжений тр, действующих
в элементарных площадках dF, расположенных на расстоянии р от
центра сечения, можно выразить уравнением
"кр={еу*Л	(9-1)
F
Характер распределения касательных напряжений тр по сечению
устанавливается из геометрической картины деформации вала при
кручении, представленной на рис. 132. Опыт показывает, что рас¬
стояния между сечениями скручиваемого вала
не меняются, а продольные линии предвари¬
тельно нанесенной сетки принимают винтовой
характер. При этом прямые углы сетки иска¬
жаются, как и в случае чистого сдвига. По¬
следнее обстоятельство является свидетель¬
ством того, что выделенный элементарный
объем любого слоя материала вала находится
в условиях чистого сдвига. Вследствие того,
что радиусы, проведенные в торце сечения,
остаются прямыми, нижележащие слои по
мере приближения к центру испытывают мень¬
шую деформацию сдвига. Согласно экспери¬
ментальным данным сечения, плвские до де¬
формации вала, остаются плоскими и после
деформации, поворачиваясь одно относитель¬
но другого на некоторый угол ср. В этом
смысл гипотезы плоских сечений, на основа¬
нии которой строится элементарная теория
кручения стержней.
Для наружного слоя выделенного эле¬
ментарного участка вала длиной dz (рис. 133) будут справедливы
соотношения, полученные ранее применительно к чистому сдвигу,
т. е.
tg*T
Ь'Ъ
ab'
rdcp
dz
203

Величина $ — относительный угол закручивания, имеет размер¬
ил
ность см"1 и обозначается обычно 0.
Связь между относительным сдвигом и относительным углом
закручивания примет вид
7 = 0л	(9.2)
Выражая сдвиг у в наружных волокнах вала через напряжения,
в соответствии с законом Гука при сдвиге найдем связь между каса¬
тельными напряжениями в крайних волокнах тг и относительным
углом закручивания 0
т r=Gdr.	(9.3)
Учитывая, что радиусы сечений остаются прямыми, можно по анало¬
гии с (9.3) установить связь между касательными напряжениями
в сечении стержня на расстоянии р от центра сечения и относительным
углом закручивания
гр = Свр.	(9.4)
Подставляя (9.4) в (9.1), найдем
MKp=Gejp»dF=GdJp.
Отсюда получим формулу для определения относительного угла за¬
кручивания вала
б _ ^2. _ М*р	(а 5)
dz ~ GJp ’	(9,5)
где GJV — жесткость поперечного сечения стержня при крученищ
имеет размерность кГсм2.
Полный угол закручивания вала длиной I равен
Н -ятт*-"—гтр	<м>
О
где GJp/l — жесткость вала при кручении, имеет размерность кГсм
(размерность момента).
Подставив значение 0 из (9.5) в (9.4), определим касательное
напряжение тр в любой точке сечения стержня
МипР
ТР = —1Г~~-	(9*7)
Р
Максимальное касательное напряжение, очевидно, будет

или
М«т>
'«па*-ЦТ1-	(9-8)
Р
Jv
где PFp = —у	полярный момент сопротивления (см. (2.38)).
Для сплошного круглого вала диаметром d полярный момент
сопротивления определяется формулой (2.38) и
*та* = -^-	(9-9)
Для трубчатого круглого вала Wp определяется по (2.39) и
16
ттах
кр
тсD* (1 — а4) ’
(9.10)
d
где а =	—	отношение	внутреннего	диаметра	вала	к	наружному
Условие прочности при кручении вала записывается в виде
мкп
*та х=ТГЕ<М-	(9-11)
Р
Отсюда момент сопротивления вала при кручении должен быть
Мт>
Wv>-£T‘	(9.12)
На основании (9.9) диаметр круглого сплошного вала определим
из условия
j/ !6^кр
16М„
RP	(9.13)
а на основании (9.10) наружный диаметр трубчатого вала при
заданном а — из условия
16Л/К0
D>v Г(Т-- gfa-	(9-14)
Если крутящий момент выразить через мощность N, л.
и число оборотов в минуту п, то получим
мкр = 71620	,	кГсм,	(9.15)
и формула (9.13) примет вид
(9.16)
205

а формула (9.14) запишется так:
/>>71
*у.
N
ге[т](1 —а4)’
(9.17)
Если мощность К задана в киловаттах (1 л. с. =0,736 кет), крутя¬
щий момент может быть выражен формулой
71620 К	К	„
М == ——	= 97360	кГсм.
КР (J,73b п	п
(9.18)
Помимо расчета на прочность, валы рассчитывают также и на жест¬
кость, ограничивая относительные углы закручивания некоторой
допускаемой величиной [0]:
кр
GJ„
<[0].
(9.19)
откуда полярный момент инерции, обеспечивающий допускаемую
жесткость, определится формулой
mkd
г \ КР
G [0J *
Отсюда диаметр сплошного круглого вала должен быть
\/ 32Мкр
' У jtcrei
isG[6] 1
а наружный диаметр D трубчатого вала при заданном а
4
р>т/—
n{i—a*)C
*)С[0 j
(9.20)
(9.21)
(9.22)
Рис. 134
Поскольку в поперечных сечениях вала действуют касательные
напряжения, распределенные согласно (9.7) по линейному закону
(рис. 134, а)у то, в силу закона парности касательных напряжений,
и в диаметральных сечениях вала должны возникать касательпые
напряжения, равные по величине, но обратные по знаку (рис. 134, <5).
206

По площадкам, расположенным под углом 45° к сечениям, в кото¬
рых действуют максимальные касательные напряжения, действуют
главные нормальные напряжения, равные по величине касательным
напряжениям в данной точке сечения, как показано на рис. 135.
В связи с этим характер разрушения (сдвиг или отрыв) вала при кру¬
чении будет зависеть от способности материала сопротивляться дей¬
ствию касательных или нормальных напряжений. Так, при кручении
деревянных валов с продольным
расположением волокон послед¬
ние будут разрушаться от каса¬
тельных напряжений, действую¬
щих вдоль волокон (трещины
продольные) (рис. 136). При кру¬
чении чугунных валов разруше¬
ние наступит под действием нор¬
мальных растягивающих напря¬
жений, максимальное значение
которых имеет место в сечениях,
идущих по винтовой линии и пересекающих образующие под углом
45°, как показано на рис. 137.
Рис. 135
f)t\ —
Рис. 136
Рис. 137
§ 47. Кручение стержней некруглого сечения
При кручении стержней некруглого сечения (прямоугольных, тре¬
угольных, эллиптических и др.) гипотеза плоских сечений неприме¬
нима. Точные расчеты на кручение таких стержней могут быть полу¬
чены методами теории упругости. Окончательные формулы для опре¬
деления максимальных касательных напряжений ттах, относительного
угла закручивания 0 и полного угла
В этих формулах Ук и — неко-	Рис.	138
торые геометрические характери¬
стики, которые условно называют моментом инерции и моментом со¬
противления при кручении и размерность которых соответственно
см4 и см3 (см. табл, 1).
207

Распределение касательных напряжений по прямоугольному сече-
нию стержня приведено на рис. 138. Наибольшие напряжения возни¬
кают в наружных слоях посредине длинной стороны сечения (точки С
и D). Определяются они по формуле (9.23), где
W к = ahb2	(9.26)
(k — длинная сторона; Ь — короткая сторона прямоугольного се¬
чения).
Напряжения посредине короткой стороны (в точках А и В) могут
быть выражены через ттах:
' =	(9.27)
Относительный угол закручивания определится по формуле (9.24),
где выражение для момента инерции при кручении JK будет
/к = рЛ&3.	(9.28)
* h
Коэффициенты а, (3 и Ъ зависящие от отношения , приведены
ниже
1
1,5
1,75
2,0
2,5
3,0
0,208
0,231
0,239
0,246
0,256
0,267
0,141
0,196
0,214
0,229
0,249
0,263
1,000
0,859
0,820
0,795
0,766
0,753
4,0
6,0
8,0
10
оо
0,282
0,299
0,307
0,313
0,333
0,281
0,299
0,307
0,313
0,333
0,745
0,743
0,742
0,742
0,743
Условия прочности и жесткости при расчете на кручение стержня
прямоугольного сечения соответственно имеют вид:
Мкх>
ттах ~’ ahb2 ^	.(9*29)
MKD
®max — $hb3G ^	(9.30)
При кручении стержней, сечения которых представляют собой
равнобедренную трапецию, приближенные значения ттах и 0 могут
быть получены путем определения указанных величин для стержпя
208

с сечением эквивалентного прямоугольника, который строится по
схеме, приведенной на рис. 139.
При кручении стержня сложного замкнутого сечения, состоящего
из прямоугольных элементов (рис. 140), момент инерции равен
Ук = “'к, + Jk, + 7ка +	=2'v
(9.31)
Q'
2
d
Рис. 139
Рис. 140
где п — 1, 2, 3, ... — номера составных простых частей рассматри¬
ваемого сечения.
Так как угол закручивания для всего сечения и для каждой его
части один и тот же
М	Мкп
I 			 KPl
АТ,
НРг
м
КРп
к»
GJ„
GJ„
то крутящие моменты, воспринимаемые каждой частью сечения,
будут пропорциональны их жесткости:
Ju
М = М —
KPi ШКР J Q
JK G
-Jh—	м - 1
КР J
к	''к
М = М ——
шкр, шнр
М =М
кРп
КР
Соответственно наибольшее касательное напряжение в каждом л-м
элементе сечения будет
МЛ
ч=
кр
Очевидно,
где
кп \ __ *^кр / JKn \
',) к (.«'.„j-
Л/,
кр
w„
кр
кп /max
(-e)
\ n / П
Для стержня эллиптического сечения (рис. 141)
кЪ*К
(9.32)
(9.33)

где Ь и h соответственно размеры малой и большой осей эллипса.
Наибольшие касательные напряжения ттах возникают в наруж¬
ных точках сечения, лежащих на малых полуосях, и определяются
по формуле
	 jy 		_	J.9 Z. *	'	'
кр
кЪЧ ’
Напряжения в наружных точках, лежащих на больших полуосях,
равны
где т =
Условный момент инерции эллипса при кручении
JK = lZ{h2 + b2)-
(9.36)
Рис. 141
Рис. 142
При кручении замкнутых тонкостенных профилей (рис. 142),
в которых стенка настолько тонка, что касательные напряжения по ее
толщине можно считать одинаковыми, равными напряжениям посре¬
дине толщины стенки и направленными по касательной к срединной
линии стенки, касательные напряжения можно определять по фор¬
муле Бредта:
кр
2о)5
(9.37)
где со — площадь, охватываемая средней линией тонкостенного сече¬
ния; 6 — толщина стенки.
Если толщина стенки профиля по контуру будет неодинакова,
то максимальное касательное напряжение в тонкостенном замкнутом
стержне определится формулой
кр
2<o5min
угол закручивания
(9.38)
тонкостенного стержня
Относительный
с неодинаковой толщиной стенки определится формулой
М,
кр
где s -
4G(o2
* длина замкнутого контура.
(9.39)
210

Полный угол закручивапия стержня длинен I будет
’ = да-|-т-	<9-40)
Формула (9.39) может быть записана в виде
Мг
кр
где
GJlt ’
4(о2
m~W
При постоянной толщине стенки по контуру формула (9.39)
примет вид
а	КР
4G(o25 •
В частности, для круглой тонкостенной
трубы с радиусом срединной линии R при
5	= const
2	tzR
Cl)
Согласно (9.37) и (9.41)
М
х = —
кр
2	kR4
2iti?38G
Рис. 143
При кручении тонкостенных стержней открытого профиля
(швеллер, двутавр, уголок) (рис. 143) можно воспользоваться теорией
расчета на кручение стержней прямоугольного сечения. В этом слу¬
чае профиль разбивают на прямоугольные элементы, толщина h кото¬
рых значительно меньше их длины Ъ. Согласно данным, приведенным
на стр. 208, ~ > 10, а = р =	.
Тогда для составного профиля на основании (9.31)
(9-42)
где т] — некоторый поправочный коэффициент, учитывающий схемати¬
зацию, связанную с заменой реального профиля прямоугольниками.
Ниже приведены значения коэффициентов г\ для типичпых профилей:
для уголкового сечения т] = 1,00;
для двутаврового сечения г\ = 1,20;
для таврового сечения т] = 1,15;
для швеллерного сечения г\ = 1,12.
В тонкостенных открытых профилях длину контура принято
обозначать через s, а толщину — через 6. При этом формула (9.42)
примет вид
•/«=4S5»s».	(9-43>
п
211

Максимальные касательные напряжения в незамкнутом про¬
филе определяются по формуле
_ ^кр* ^тах
Ттах	т	»
к
(9.44)
где
\ кп /п
§ 48. Расчет винтовых пружин
Цилиндрические винтовые пружины. Приближен¬
ные формулы для определения напряжений, возникаю¬
щих в винтовой пружине с малым шагом при ее растяже¬
нии или сжатии (рис. 144), могут быть получены из рас-
Рис. 144 смотрения внутренних усилий, действующих в сечении
витка (рис. 145), заменяющих влияние мысленно отбро¬
шенной пижней части растягиваемой пружины. Под
действием поперечной силы Q = Р и крутящего
момента, равного произведению растягивающего
усилия на средний радиус R пружины Л/кр = PR,
в сечении витка возникают две группы касательных
напряжений: напряжения от среза, которые условно
примем распределенными равномерно и равными
F ~ ltd*'
и напряжения от кручения,
которых
МТ
X,
максимальное значение
wmax '
_ '"кр
16 PR
nd* ’
где d — диаметр поперечного сечения проволоки пружины.
Характер распределения напряжений т' и т", действующих в се¬
чении витка, показан соответственно на рис. 146, а и 146, б. Из кар¬
тины распределения напряжений следует, что в наружных волокнах
витка, расположенных со стороны оси пружины (точка Л), напряже¬
ния т' и т^ах совпадают по направлению. Поэтому максимальные
чапряжения в пружине будут
4 Р , 16РД
nd3
или
= 16РДЛ
:	Kd*	\	^	4Д/
(9.45)
При расчете пружин большого среднего радиуса R из тонкой про-
d
максимальное напряжение с достаточной
волоки, когда < 1,
степенью точности можно определить по формуле
16 PR
nd3
(9.46)
212

На практике при расчете пружин в формулу (9.46) вводят попра¬
вочный коэффициент k, учитывающий как влияние перерезывающей
силы, так и некоторые другие факторы (изгиб стержня пружины, про¬
дольные деформации и т. п.). В этом случае формула (9.46) примет вид
(9.46а)
Л/,
ттах ^
кр
= k
16 PR
itd*
Рис. 146
Значение поправочного коэффициента k зависит от отношения радиуса
пружины R к радиусу витка г и определяется по формуле
,	4т-1 , 0,615
* = 4^4+-^ •	<9-47>
где т — —*.
г
Значения коэффициента
приведены ниже:
4	5
k для различных соотношений —
Я- 3
6	7	8	9	10
Г
k 1,58	1,40	1,31	1,25	1,21	1,18	1,16	1,14
Удлинение (или осадка при сжатии) пружины определяется по формуле
,	64	PR*n
X	,	(9.48)
где п — число витков пружины.
При расчете пружин на прочность в случае статической нагрузки
допускаемые напряжения на срез следует выбирать в зависимости от
диаметра проволоки, из которой изготовлена пружина. Для закален¬
ной пружинной стали	при диаметре	проволоки d — 6 мм	[т] =
= 50 кГ/мм2 \	при	d —	10 мм [т] = 40	кГ/мм2; при d — 12	мм	[т] =
= 35 кГ!мм2\	для	хромоникелевой стали при d — 12 ч- 16	мм	[т] =**
= 70 кГ/мм2: для фосфористой бронзы с G = 4,4	10б	кГ/см2 при
d = 16 мм [т] = 13 кГ/мм2.
В случае изменяющихся нагрузок указанные значения [т] должны
быть уменьшены примерно на 30%, а при непрерывной работе пру¬
жины в условиях переменных нагрузок — на 60%.
Часто при расчете амортизационных пружин (пружин для смягче¬
ния резких толчков) за основу берут кинетическую энергию Т, кото¬
рую должна поглощать пружина (рессора) при эксплуатации.
213

При таком (энергетическом) подходе объем пружины при задан¬
ном допускаемом напряжении [т] определяется по формуле
г.. iGT
[tp
Конструируя пружину по найденному объему, следует выбрать
ее размеры R, d и п с таким расчетом, чтобы при проверке осадки пру¬
жины А, не было закрытия зазоров между витками.
Конические винтовые пружины. На практике приходится встре¬
чаться с коническими пружинами (в виде усеченного конуса). Если
R1 и R2 — соответственно минимальный и максимальный радиусы
концевых витков пружины, то максимальное касательное напряжение
может быть определено по формуле (9.45) или (9.46) после замены
радиуса R величиной большего радиуса R2:
16 PR2
Tmax — nd3 •
Осадка конической пружины определяется по формуле
x = ^№2 + i?2)№ + -R2)-
§ 49. Концентрация напряжении при кручении
Максимальное напряжение в зоне концентраторов (надрезов,
выточек, отверстий, резьбы и т. п.) при кручении можно найти по фор¬
муле
ттах ~ ахТн»
где тн — номинальное напряжение, вычисляемое методами сопро¬
тивления материалов, в частности, для круглого вала радиуса г по
формуле
ат — коэффициент, показывающий, во сколько раз в месте концентра¬
тора возрастет номинальное напряжение. Коэффициент ах опреде¬
ляется методами теории упругости
или экспериментально на упругих
моделях и обычно называется тео¬
ретическим коэффициентом кон¬
центрации.
На рис. 147 приведены графики
,/2Р\
зависимости- ах == / I ~ I для различ¬
ных соотношений (рис. 148).
Для случая кручения трубчатых
тонкостенных валов с малыми попе¬
речными отверстиями (рис. 149, а)
коэффициент концентрации около
отверстия равен четырем.
Действительно, выделив вокруг
отверстия главными площадками,
по граням которых будут действо¬
вать нормальные напряжения а = т
214

(по площадкам ab и cd — растягивающие, а по площадкам ad и
Ъс — сжимающие), некоторый элемент (рис. 149, б) и представив
картину напряжений у отверстия от растягивающих напряжений
ъ
т
■V»
Рис. 148
Рис. 149
Рис. 150
(рис. 150, а) и от сжимающих напряжений (рис. 150, б), раздельно
находим в точках т (см. § 27)
в точках п
Поскольку
amin
max = За о = 4о;
= — о — За = — 4а.
кр
wn
то
. = 4о =4-^2-
Wr
Таким образом, в рассматриваемом случае коэффициент концентра¬
ции ах = 4.
215

Глава 10
ИЗГИБ
§ 50. Нормальные напряжения при плоском изгибе
Расчетные формулы для определения нормальных напряжений
при изгибе обычно выводят из рассмотрения плоского чистого из¬
гиба (рис. 151, а).
Чистый изгиб характерен тем, что из шести компонентов внут¬
ренних усилий только Мх не равен нулю, а
N = Qx = Qy = 0; My = Мг = 0.
Условие равновесия, связы¬
вающее напряжения и внутренние
усилия в поперечном сечении
балки (рис. 151, б) (опускаем
индекс х у момента), будет иметь
вид
;
aydF = М.
(10.1)
Геометрическая сторона за¬
дачи вытекает из рассмотрения
Рис. 152	картины	деформации	той	же
балки (рис. 152).
Наблюдая за деформацией сетки, предварительно нанесенной на
балку (рис. 152, а), легко заметить (рис. 152, б), что продольные линии
сетки при чистом изгибе искривляются по дуге окружности, контуры
поперечных сечений остаются плоскими кривыми, пересекая продоль¬
ные линии под прямыми углами. Это свидетельствует о том, что при
чистом изгибе поперечные сечения остаются плоскими и, поворачиваясь,
становятся нормальными к изогнутой оси балки.
216

В сжатой области (сверху) волокна укорачиваются, а в зоне рас¬
тяжения удлиняются. Зона растяжения и зона сжатия в сечении балки
разделяются нейтральным слоем с радиусом кривизны р. Длина ней¬
трального слоя при изгибе остается неизменной.
Относительное удлинение некоторого волокпа, находящегося на
расстоянии у от нейтрального слоя (рис. 153, а), при чистом изгибе
(р + У) db — dz
dz
(р + у) М — [
р dQ
У_
Р
dz .
Ь0 нл
Рис. 153
Подставив (10.2) в физическое уравнение (закон Гука)
о
е —ТГ'
1
выразим нормальное напряжение о через кривизну —:
Е
0==—У-
Далее подставив (10.4) в (10.1), получим
1	М
9	EJX *
(10.3)
(10.4)
(10.5)
а подставив (10.5) в (10.4), найдем формулу для определения нормаль¬
ного напряжения в любом слое сечения балки на расстоянии у от
оси х:
Му
Jx
(10.6)
Из анализа формулы (10.6), называемой формулой Навье, следует,
что изменение напряжений по высоте сечения подчиняется линейному
закону; напряжения максимальны в слоях с координатой з/тах, а ми¬
нимальны (равны нулю) при у= 0, т. е. в нейтральном слое.
217

Подставляя а из (10.6) в условие N= J cdF = 0, найдем, что
F
| ydF = Sx = 0. Отсюда следует, что нейтральная линия сечения
F
(ось х) проходит через центр тяжести сечения.
В случае прямоугольного сечения балки с высотой h
МУтах М 2
JX
м
И' '
(10.7)
где Wx =
Л.
Ути А
называется моментом сопротивления сечения
при изгибе (см. § 11).
НЛ
ЯЛ.
Рис. 154
Очевидно, для любого сечения, имеющего горизонтальную ось
симметрии (рис. 154), возможен единственный момент сопротивления
при изгибе в плоскости ?/г, определяемый по формуле
W- —
Ь-
1
IJ
н.л.
	4
У
Рис. 155
Если сечение не имеет горизонтальной оси симметрии (рис. 155),
следует различать два момента сопротивления
и W' =
218

Эпюра нормальных напряжений о в последнем случае не будет
симметричной, как для сечений с горизонтальной осью симметрии,
а будет иметь вид, показанный на рис. 155 и 156.
Формулы для определения нормальных напряжений, полученные
из рассмотрения чистого изгиба, оказываются с достаточной степенью
точности пригодными для определения
нормальных напряжений в общем
случае изгиба, когда Q не равно нулю.
§ 51. Касательные напряжения
при изгибе
В общем случае поперечного изгиба
(рис. 157, а), когда в сечениях стержня,
кроме изгибающего момента М, дей¬
ствует также поперечная сила Q,
в сечении балки возникают не только
нормальные о, но и касательные напря¬
жения т, равнодействующая которых
равна Q.
Вывод формулы для определения
касательных напряжений в сечении основан па методе сечений, диф¬
ференциальной зависимости между моментом и поперечной силой
и законе парности касательных напряжений.
Рис. 157
Рассматривая условия равновесия элемента А1т1т2А2 (рис. 157, а,
б, в,д), выделенного сечениями АХВ1% А2В2 и mlt т2 из балки, нагру¬
женной сосредоточенной силой Р (рис. 157, а), найдем:
Nx + Т = N2,	(10.8)
219

где
N,
T = т 'bdz\
„ №^ = -*L
.) J,
■Sx(yy,
(10.9)
(10.10)
N..
= j o'dF = j (M+7dM> 11 rfF =	Sx	(y).	(10.11)
Подставляя (10.9) — (10.11) в (10.8) и учитывая закон парности
касательных напряжений, получим формулу Журавского для опреде¬
ления касательных напряжений при поперечном изгибе балки про¬
извольного сечения
’■-’-w'-	(,<ш>
где Sx(y) — статический момент относительно нейтральной линии
той части площади F(y), которая расположена ниже или выше рас¬
сматриваемого слоя материала на расстоянии у от нейтрального слоя
балки; Ъ(у)~- ширина сечения в рассматриваемом слое материала.
Характер изменения касательных напряжений по высоте балки в об¬
щем случае зависит от формы сечения балки.
Поскольку в рассматриваемом сечении Q и Jx постоянны (а в слу¬
чае прямоугольного сечения и ширина b постоянна), то, как видно из
формулы (10.12), закон изменения касательных напряжений в сечении
будет определяться законом изменения статического момента Sx(y).
В частности, рассматривая статический момент площади Cin1m1A1
(рис. 157, г), находим
£Ы=Р(у)уц.т=-^ (i-тт).	(10-13>
г. е. статический момент по высоте сечения изменяется по параболи¬
ческому закону. Очевидно, по такому же закону по высоте балки
изменяются и касательные напряжения, достигая максимума при
у = 0:
о
Ф^тах	8	_	3 Q	^	^
Ттах - и ~ bh? ~~ 2 F '	(10.14)
6	12
где F = bh — площадь сечения балки.
В наиболее удаленных от нейтральной линии точках в наруж*-
ных волокнах г/ = ± и т = 0.
Эпюра касательных напряжений для прямоугольного сечения
220

балки, построенная на основании формулы (10.12) с учетом (10.13),
приведена на рис. 158. При этом
Из формулы (10.15) видно, что максимальные касательные
напряжения в стержне прямоугольного сечения, действующие
в нейтральном слое, отличаются от средних напряжений, которые
Для круглого сечения (риг\ 159) формула Журавского для верти¬
кальной составляющей полного касательного напряжения может быть
записана в виде
Закон изменения т по высоте и в данном случае оказывается пара¬
болическим. В наиболее удаленных от нейтральной линии точках
А (при y= + R) т = 0. Наибольшее касательное напряжение будет
в точках нейтральной линни (при у = 0):
Эпюра т для круглого поперечного сечения, построенная на осно¬
вании формулы (10.17), приведена на рис. 159.
Формулу для выражения максимальных касательных напряже¬
ний применительно к поперечному сечению любой формы по аналогии
с (10.14) можно в общем виде представить так:
где k — коэффициент, зависящий от формы сечения. Так, например,
для прямоугольника к = 1,5, для круга k = 1,33.
(10.15)
Рис. 158
Рис. 159
могли быть получены по формуле тср =	,	в	полтора	раза,	т.	е
(10.16)
(10.17)
Т“ах з пД2
4 Q
(10.18)
221

Эпюры нормальных и касательных напряжений, построенные
соответственно на основании формул Навье и Журавского для дву¬
тавровой балки № 12 {Jx — 4 03
5max== 38,5 смл) при М =
= 200 кГм и Q = 1 т, приведены на рис. 160. Наблюдаемые на эпюре т
перепады объясняются резким
^	изменением	ширины	балки при
переходе от полки к стенке.
§ 52. Расчет на прочность
при изгибе
При изгибе балки в общем
случае, когда М =h 0 и Q Ф 0
(рис. 161, а), из-за неравно¬
мерности распределения нор¬
мальных и касательных на¬
пряжений отдельные элементы
материала находятся в усло¬
виях различного напряженного состояния (рис. 161, б). При этом
только наружные волокна (элементы 1, 2, 12, 13, 14) находятся в усло-
Рв-3,7г
!’®Т
-я-	Jl
5
Рис. 161
виях линейного напряженного состояния (растяжения или сжатия),
все остальные выделенные по высоте балки элементы (3—11) нахо¬
дятся в условиях плоского напряженного состояния, причем элементы
222

(6, 7, 8) нейтрального слоя находятся в условиях чистого сдвига.
Характерно, что при деформации изгиба максимальные значения нор¬
мальных	и	касательных	напряжений оказываются в	разных	точках
сечения.	В	точках,	где	а максимально	(наружные	волокна	балки),
т = 0, и, наоборот, там, где т максимально (нейтральный слой), а = 0.
Таким образом, логично рассматривать два условия прочности,
относящиеся к различным точкам балки:
а)	по нормальным напряжениям
W =	(10-19)
б)	по касательным напряжениям
^max^max	^ х л	МП
ттах= 	57	«М-	(1аА,)
Обычно из условия прочности по нормальным напряжениям
(10.19)	определяют размеры балки принятой формы поперечного
сечения
(10-21)
а потом проверяют, удовлетворяет ли выбранное сечение балки усло¬
вию прочности по касательным напряжениям (10.20).
Однако такой подход к расчету балок, особенно балок с опти¬
мальной формой сечения, обеспечивающей минимальный вес и необхо¬
димую прочность (двутавровые, тавровые, швеллерные и другие про¬
фили), еще не гарантирует прочность балки. Во мпогих случаях в се¬
чениях балок имеются точки, в которых одновременно действуют
большие нормальные напряжения (мало отличающиеся от максималь¬
ных) и большие касательные напряжения.
В частности, такое сочетание сит имеет место при изгибе двутавро¬
вой балки в зоне перехода полки в стенку (рис. 160). В таких случаях
возникает необходимость проверки балки на прочность по главным
напряжениям.
В общем случае плоского напряженного состояния, испытывае¬
мого элементом материала балки (например, элемент 5 на рис. 161, 6),
на который действуют оа = о, определяемое по формуле Навье, та =
= тр = т, определяемое по формуле Журавского, и при = 0, глав¬
ные напряжения находят по формулам (см. § 33):
ох = у [о + ]/о2 + 4т2];
а2 = 0;
аз = 4- [° — Vа2 + 4т2].
(10.22)
Зная главные напряжения, можно по различным теориям проч¬
ности выразить эквивалентные напряжения, которые не должны пре¬
вышать допускаемые.
223

Таким образом, условия прочности по различным теориям могут
быть представлены в виде (см. § 37)
°9КВ I=т [°+< М;	(ю-23)
°акв И = °-35° + °>65 Va* + 4ха [а] (при р, = 0>3).	(Ю.24)
(10.25)
°экв iv = ^o2 + 3'c2<[0];
(10.26)
сэкв М
(10.27)
где
При проверке прочности балок по главным напряжениям часто
возникает необходимость знать не только величины главных напря¬
жений в той или иной точке, но и их направления.
В частности, это необходимо при конструировании железобетон¬
ных балок, в которых арматуру следует располагать таким образом,
чтобы она сопротивлялась действию растягивающих напряжений.
§ 53. Концентрация напряжений при изгибе
При изгибе, как и в случае растяжения или кручения, в местах
резкого изменения размеров или формы поперечного сечения возни¬
кает концентрация напряжений. При статических нагрузках концен¬
трация напряжений в деталях, изготовленных из пластичных материа¬
лов, не является опасной благодаря перераспределению напряжений
в зоне концентрации за счет текучести материала. В случае хрупких
материалов, когда не приходится рассчитывать на перераспределение
В любой балке можно построить ли¬
нию, касательная к которой в каж¬
дой точке будет характеризовать
направление главных напряжений.
Такая кривая называется траекто¬
рией главных напряжений. Траекто¬
рии главных напряжений зависят от
вида нагрузки и условия закреп¬
ления балки.
Очевидно, через каждую точку
балки проходят две траектории
главных напряжений, соответственно
бетонных балках обычно стремятся
fi	и а3, пересекающиеся между
о собой под прямым углом. В железо-
— располагать арматуру в направлении
ъ траектории главных растягивающих
Рис. 162
напряжений (рис. 162).
224

К .
л
V , '
напряжений и ограничение максимальных напряжений пределом теку¬
чести, концентрацию напряжений следует учитывать и при статиче¬
ских нагрузках. Допускаемые максимальные напряжения в зоне кон¬
центратора не должны достигать временного сопротивления материала,
являющегося в данном случае предельным.
Влияние концентрации, возникающей в месте резкого изменения
диаметра вала (рис. 163, а), мо¬
жет быть учтено введением неко¬
торого коэффициента концентра¬
ции а:
°max = ас и ,
Р1
где а„ = ==, найденное для вала
и w
с диаметром, равным меньспему
диаметру рассматриваемого вала
(рис. 163, б) при отсутствии
кониептратора.
Значения коэффициента кон¬
центрации а для различных со-
„	D
отношении диаметров и ра¬
диусов закруглений в галтели г,
найденные методами теории упру-
D Q	D	К
гости ДЛЯ -г- = 3 И —Г- = 1,5,
а	а
У
ч,
&
1
У
У
У „
/
/
У
/
, 4
/ 1
/
*
г
L
б
Рис. 163
приведены в виде графика а
-'U)
(рис, 164).
Максимальные напряжения в воне концентратора в пластине
с двусторонней выточкой гиперболической формы при чистом изгибе
■5 М.
Круглая галтель
4/	б	—	Ы'бн
Рис. 164
Рис. 165
в плоскости пластины (рис. 165) могут быть определены по следующей
формуле, полученной методами теории упругости:
а _а
ТУТ
ъ[У j +(j-i)^cigY j]
8 6-1186
225

где
3 М
cu = -ТГ-5ГГ (Ь толщина пластины),
н 1ай о
На рис. 166 приведен график зависимости стах от отношения
-у. На рис. 167 даны зависимости теоретического коэффициента
концентрации а для различных отношений ширины пластины Я
к ее ширине h в месте выточки радиуса р от отношения .
Рис. 168
На рис. 168 даны графики распределения напряжений в зоне
концентратора в виде эллипти'ьеского отверстия в широкой пластине
при чистом изгибе в ее плоскости для случая, когда — = 25. По мере
226

удаления от дна выточки, а также в направлении вдолй оси у напря¬
жения быстро убывают. Штриховой линией покачано распределение
напряжений, вычисленных по элементарной теории изгиба путем
учета ослабления сечения отверстием.
Наибольшее напряжение, возникающее у дна выточки, можно
определить по формуле
°тах = ан (*	’
где
mt
2ЬЪ*
Зависимость о
(& — толщина пластины).
тах от отпошения — графиче-
Р
ски представлена на рис. 169.
Для круглого отверстия omj
■ о.
: = 2о. При
20 30 40j
Р -*• 00 Отах •
В случае глубокой круговой выточки на
теле вращения (рис. 170) наибольшее напря-	Рис.	169
жение при изгибе возникает у дна выточ¬
ки, где материал находится в условиях объемного напряженного
состояния. На рис. 170 показано распределение всех трех главных
напряжений (а,, а2 и а3), а на рис. 171 дано распределение напряжений
о* и о2 у дна выточки в зависимости от
отношения — при различных коэффи¬
циентах Пуассона.
В случае мелких выточек на деталях
вращения величина коэффициента концент¬
рации зависит, главным обраэом, от отно¬
шения радиуса закругления г к диаметру
выточки. На рис. 172 приведен график за¬
висимости
а = /(т)
для этого случая.
Весьма распространенными концент¬
раторами в работающих на иэгиб дета¬
лях машин являются различного рода
поперечные отверстия. Концентрация
в этом случае зависит от отношения
диаметра поперечного отверстия d к диа¬
метру детали D, в которой это отверстие
сделано. Зависимость коэффициента кон-
d
центрации а от — приведена в виде
графика на рис. 173.
В заключение заметим, что при изгибе
возможна не только концентрация нор¬
мальных напряжений, но и концентрация
касательных напряжений в местах резких переходов, в частности
в сечении 1—1 двутавровой балки (рис. 174, а, б). Однако
вследствие закруглений в местах перехода стенки в полку концент¬
Сечение х=0
Рис. 170
8*
227

рация напряжений снижается и вместо эпюры, показанной на
рис. 174 бл имеет место эпюра, показанная на рис. 174, в.
Рис. 172
§ 54. Дифференциальное
уравнение изогнутой оси
балки (упругой линии)
В инженерной практике при¬
ходится проводить расчет балок
при ивгибе не только на проч-
Рис. 174	ность,	но	и	на	жесткость,	или	де-
формативность.
Деформативность балки в данном сечении характеризуется про¬
гибом w и углом поворота 0. Информацию о w и 0 как функциях коор¬
динатной оси, совпадающей с осью балки, можно получить, зная
уравнение изогнутой оси балки (упругой линии).
Упругой линией называется плоская кривая, форму которой при¬
нимает ось балки при плоском изгибе. На рис. 175 и 176 упругие
линии изображены тонкими линиями.
228

Уравнение упругой линии легко получить, зная выражение кри¬
визны через изгибающий момент M(z) в данном сечении и изгибную
жесткость EJ поперечного сечения балки (см. § 50)
М (z)
EJ
(10.28)
У
1
1
X
1
I
2	 02
Рис. 176
Рис. 177
и выражение кривизны через координаты точки в данном сечении
w и zt известное из курса высшей математики:
d2w
'Tzт
М*)Т
(10.29)
Имея в виду знаки для М и - в зависимости от действия моментов
и расположения координатных осей (рис. 177), можно приравнять
правые части выражений (10.28) и (10.29), приняв в обоих случаях
229

знак «плюс». Тогда точное уравнение изогнутой оси балки получим
в виде
d2w
dz2	М (z)
М*)Т
ЕТ-	(10-3°)
В связи с малостью деформации балки (о>тах = (0,01 —0,001) I и
(dw\2
dz) ~ 02‘
Тогда дифференциальное уравнение (10.30) можно переписать
в виде
_d*w _ М (г)	.
dz* ~ EJ	'	(Ю.31)
Это п есть	то исходное (приближенное)	дифференциальное уравнение
изогнутой	оси	балки, решая которое	можно получить	уравнение
упругой линии w = / (z) и уравнение угла поворота 0 = ^ = /х (2),
Проинтегрировав уравнение (10.31) первый раз, найдем
0(z) = 'S“=I^irrfz+<7i- (10-32)
Проинтегрировав второй раз, получим
w(z)=^dz\)^p-dz	+ C1z+C2,	(10.33)
где Ci и С2 — постоянные интегрирования, которые должны быть
найдены из граничных условий (условий на концах балки).
Если балка имеет на конце заделку (рис. 178), то прогиб
и угол поворота в ней равны нулю:
Wg = 0;	=	0.
Для балки на двух шарнирных опорах (рис. 176) равны нулю
прогибы на этих опорах:
wA = 0; wB = 0.
Учитывая дифференциальную зависимость между изгибающим
моментом М (z) и распределенной нагрузкой (см. § 18)
d*M (z)
выражение упругой линии (10.31) можно записать в виде:
&[EJ^d24^]=q(z)-	(10-34)
230

В этой форме дифференциальное уравнение применяют обычно при
расчете балок на упругом основании, а также при рассмотрении коле¬
баний балок.
Для иллюстрации нахождения уравнений упругой линии w =
= f(z) и угла поворота 0 = f(z)f а также определения максимальных
прогибов и>тах и углов 0тах (представляющих наибольший практиче¬
ский интерес) путем интегрирова¬
ния дифференциального уравнения
(10.31)	рассмотрим несколько при¬
меров.
Для консоли постоянного попе¬
речного сечения при действии сосре¬
доточенной силы Р на свободном
конце (рис. 178) изгибающий момент
на расстоянии z от конца будет
М (z) = — Pz,
а дифференциальное уравнение изо¬
гнутой оси консоли (10.31) примет
вид
d2w
Рис. 178
Pz
dz2
EJ
После двукратного интегрирования будем иметь
dw
dz
= 9(2) = .
Pz*
2 EJ
+ Ci
Pza
U>(z) = — -щу + CiZ + Ct,
Ci и C2 определим из граничных условий:
при z—l w = 0\
при z = I 0=0.
Из второго условия получим
Г _ Pl* .
Cl “ 2EJ ’
из первого условия получим
С 2 =
Р13
3 EJ •
Уравнения прогпба и угла поворота следующие:
" [*-*f+(т) 1
w (z) = .
в w =
6 EJ
PI2
2 EJ
ь-т
(10.35)
(10.36)
231

Максимальные значения w и 0 имеют место на свободном конце
б алки в точке А:
Р13
:=/а = '
max А
3	EJ 1
Р12
2	EJ #
(10.37)
(10.38)
Отрицательное значение fA свидетельствует о том, что прогиб направ¬
лен в сторону, противоположную
положительному направлению оси и>\
положительное значение 0 показы¬
вает, что поворот сечения происхо¬
дит против часовой стрелки.
В случае изгиба балки, шар¬
нирно опертой по концам и несущей
равномерно распределенную нагрузку
q (рис. 179), выражение изгибаю¬
щего момента будет
qz2
г5?{*
та
Рис. 179
М (z) =-^-2
а дифференциальное уравнение
изогнутой оси балки (10.31) примет
вид
d?w
dz2
	L(sLz_^L)
~ EJ \ 2	2	)-
Проинтегрировав дважды, получим
dw
qi
6	(Z) ~ dz ~ kEJ Z*	6EJ *“ + Cli
ql
qz*
W ^ = 12EJ Z* ~ 24EJ + ciz + c2-
Граничные условия следующие:
при г = 0 w = 0;
при z — I w = 0.
Из первого условия находим w (0) =.С2= 0;
из второго условия имеем
Г _ Шь
1_~ 2AEJ ‘
Подставив значения С* и С2 в выражения для w (z) и 0 (z),
получим уравнение упругой линии и уравнение угла поворота
w (z) = —
0 (*) = -■
qlH
24 EJ
qXA
IkEJ
ЫтЫтП-
ЫтМтП-
(10.39)
232

Максимальное значение прогиба будет посредине пролета
"’max 1	384	■	(10.40)
Максимальные значения угла поворота будут на опорах
8(°) = <>а = -2Ш'	<1(Х41>
Уравнения изогнутой оси балки, значения максимальных проги¬
бов и углов поворота опорных сечений для различных схем нагруже¬
ния простейших балок приведены в табл. 20.
При определении перемещений отдельных сечений балки в ряде
случаев удобно использовать графоаналитический метод, основанный
на аналогии между дифференциальным уравнением упругой линии
(10.31)	и дифференциальной зависимостью (3.3), связывающей изгибаю¬
щий момент и интенсивность распределенной нагрузки. Указанная
л	М (z)
аналогия позволяет вычисление прогиба w по известному ■ х ■
hiJ
вести так же, как определение М (z) по q (z). Ордината эпюры
М (г), деленная на EJ, рассматривается как некоторая фиктивная
нагрувка
/ ч	M(z)
<7ф (г)	EJ •
В этом случае искомые прогиб w(z) и угол поворота 0(z) опреде¬
ляются соответственно как изгибающий момент M^(z) и поперечная
сила @ф(з) в сечении z фиктивной (взаимной) балки от фиктивной
нагрузки, равной эпюре M(z) действительной балки
•м-4г
(10.42)
Фиктивная (взаимная) балка имеет длину участков, равную длине
участков действительной балки, а опоры выбирают таким образом,
чтобы удовлетворить условиям деформации действительной балки.
Сочетания опорных закреплений действительной и фиктивной балок
приведены в табл. 17.
Последовательность определения деформаций следующая. Строит¬
ся эпюра изгибающего момента действительной балки; выбирается
соответствующая схема фиктивной балки; фиктивная балка нагру¬
жается эпюрой изгибающего момента действительной балки; в выбран¬
ном сечении фиктивной балки определяются фиктивные изгибающий
момент Мф(г) и поперечпая сила (?ф(2) и по формулам (10.42) вычисля¬
ются значения прогиба и угла поворота в выбранном сечении*.
• Приведенный выше графоаналитический метод, или метод Мора, основан¬
ный на идентичности дифференциальных уравнений, не является единственно
возможным. Недавно были сформулированы и другие аналогии, позволяющие
заменить нахождение силовых и деформационных факторов в одном (заданном)
стержне нахождением деформационных и силовых факторов в другом (фиктив¬
ном, взаимном) стержне (см. Дополнение, стр. 610).
233

При вычислении M^{z) и Q${?) в случае сложной конфигурации
эпюры изгибающего момента действительной балки, представляющей
фиктивную нагрузку, ее разбйвают на отдельные простейшие фигуры
(см., например, рис. 240), площади и положения центров тяжести
которых известны (табл. 23).
§ 55. Определение перемещений в балках по методу
начальных параметров
Определение перемещений методом непосредственного интегриро¬
вания дифференциального уравнения упругой линии в случае балок
с большим числом участков, каждый из которых характеризуется
своим выражением изгибающего момента, сопряжено со значитель¬
ными трудностями, связанными с определением произвольных постоян¬
ных интегрирования. При интегрировании дифференциальных урав¬
нений для п участков приходится иметь дело с двойным числом посто¬
янных интегрирования. Добавив к двум основным условиям на кон¬
цах балки 2(л—1) условий непрерывного и плавного сопряжения всех
участков упругой линии, можно составить 2п уравнений для опреде¬
ления »тцх произвольных постоянных.
Задача становится весьма трудоемкой уже при трех участках.
Технику определения постоянных интегрирования можно существенно
упростить, сведя ее к отысканию всего двух неизвестных — прогиба
и угла поворота в выбранном начале координат. Этот метод, называе¬
мый методом начальных параметров, основан на следующих исходных
положениях:
1.	Начало координат выбирают в крайней левой точке рассматри¬
ваемой балки и оно является общим для всех участков.
2.	Выражение для изгибающего момента M(z) составляют путем
вычисления моментов сил, расположенных слева от рассматриваемого
сечения, взятого на расстоянии z от начала координат.
3.	При включении в уравнения внешнего сосредоточенного мо¬
мента М, приложенного на некотором расстоянии а от начала коорди¬
нат, его умножают на множитель (z—а)0, равный единице.
4.	В случае обрыва распределенной нагрузки (например, в сече¬
нии z = d, рис. 180, б) ее продлевают до конца рассматриваемого
участка, а для восстановления фактически действующей на балку
нагрузки вводят компенсирующую нагрузку обратного направления
(экстраполированную дополнительную нагрузку и нагрузку, ее ком¬
пенсирующую, принято показывать пунктиром).
5.	Интегрщювание уравнений на всех участках производят без
раскрытия скобок.
При таком подходе выражение изгибающего момента на любом
участке представлено через все силовые факторы, действующие слева
от рассматриваемого сечения, включая изгибающий момент М0 и по¬
перечную Силу <?0, действующие в сечении, совпадающем с началом
координат. Величины М0 и ()0 так же, как и прогиб и?0 и угол поворота
0О	в начале координат, называются начальными параметрами. Изги¬
бающий момент для балки, показапной на рис. 180, а, при выборе
начала координат в точке К на расстоянии г (в четвертом участке
балки) будет*
М (z) = М0 + Q0z + М (2 - 0)0 + Р (* - 6) +	+	к	.
234

где
Qd Яс
к = tg Р = 7=7" •
После подстановки изгибающего момента в дифференциальное
уравнение (10.31), двукратного его интегрирования и определения
постоянных интегрирования, которыми оказываются начальные
параметры
С\ = 0д И С2 = Wq,
Рис. 180
уравнения 0 (z) = /х (z) и w (z) = / (z) в самом общем виде могут
быть записаны так:
М*) = 0* + '^г[Л/о"П" +	+	S	Р	2!	+
4!
-2*^*
(10.43)
235

I	Г	(z	d\2
w (z) = «„+002+ -gj-	+	2j	M—2i	^
Полученное уравнение (10.44) обычно называют универсальным
уравнением упругой линии, имея в виду, что оно может быть приме*
пено при любых расчетных схемах балок.
В уравнения (10.43) и (10.44) подставляют нагрузки, расположен¬
ные слева от рассматриваемого сечения; знаки слагаемых определя¬
ются знаком соответствующих силовых факторов. Итак, определение
перемещений по методу начальных параметров в конечном итоге сво¬
дится к определению величин начальных параметров Q0, ЛГ0, 0О и w0.
При этом статические начальные параметры Q0 и М0 находятся из
условия равновесия балки, геометрические начальные параметры 0О
и и?0 определяются из условий на опорах. Для определения начальных
параметров (>0 и М0 могут быть использованы данные табл. 9, а для
определения параметров 0О и ш0 — данные табл. 20.
Воспользуемся полученным универсальным уравнением для
определения прогибов консоли (рис. 181, а, б) в точках z = а и z = 2а.
Уравнение упругой линии на участке, где приложена нагрузка <у,
будет иметь вид
Из условия равновесия балки
Л находим
Так как начало координат совпа¬
дает с эаделкой, то геометрические
начальные параметры — прогиб и
угол поворота в начале координат—
равны нулю:
В
w0 = 0; 0О = 0.
Рис. 181
Уравнение прогибов на первом
участке АС будет
“»(«) = 17
При z = а
аа4
236

Уравнение прогиба на втором участке СВ будет
Положив z = 2а, получим для прогиба свободного конца
7?а4
Wa ~ 2AEJ 1
Определив прогибы и углы поворота, можно проверить жесткость
балки или подобрать ее сечения из условия жесткости:
Допускаемые величины прогибов [/] устанавливаются из условий
эксплуатации или экспериментальных данных.
В случае расчета перемещений для балок с промежуточным шар¬
ниром универсальные уравнения (10.43) и (10.44) должны быть запи¬
саны в виде:
где а — угол, на который отличаются углы поворота стержней, при*
мыкающих к промежуточному шарниру, т. е.
где 0 (е)пр — угол поворота правого стержня в точке S (рис. 180);
0	(*)л — угол поворота левого стержня в том же шарнире S.
Слагаемые с сомножителем (z — /) < 0 при расчете не учитываются.
237
max
(10.45)
w (г) = u>0 + 80г + а (г — е) +-i-|моМ ll—-f-
(10.46)
Рис. 182
Рис. 183
0(в)л + а = в(е)пр>

Взаимный угол наклона а является дополнительной неизвестной
величиной в уравнениях (10.45) и (10.46). Как и начальные параметры
w0 и 0О, угол а определяется из условий на опорах. В зависимости от
расчетной схемы балки возможны два основных случая составлении
опорных условий.
1.	Угол а может быть определен из условия равенства нулю про¬
гиба на правой опоре (рис, 182).
2.	Угол а определяется совместно с 0О из условия равенства нулю
прогибов на опорах В и С (рис, 183) путем решения системы двух
алгебраических уравнений.
§ 56. Расчет балок переменного сечения
на прочность и жесткость
Ступенчатые стержни. При расчете на прочность ступенчатого
стержня, изготовленного из пластичного материала, условие проч¬
ности будет иметь вид
Мп
W
<[*].
(10.47)
'~гф.
Щ 2Р.
Е-
Vv~-7ч *П*
Для стержня из хрупкого
материала следует учитывать кон¬
центрацию напряжений в местах
сопряжения двух сечений разного
диаметра. В этом случае условие
прочности должно записываться
в виде
М
втах = аан=аЦГ< t3]-
(10.48)
где а — теоретический коэффи¬
циент концентрации напряжений
(см. Приложение 2). В обеих фор¬
мулах W — момент сопротивле¬
ния ослабленного сечения.
При определении деформации
ступенчатой балки (рис. 184, а)
необходимо записать дифферен¬
циальное уравнение изогнутой
оси балки для каждой иэ ступе¬
ней, изгибные жесткости попереч¬
ных сечений которых соответствен¬
но равны EJX\ EJ2\ EJa;.,
d2w M (z) s d2w	M (z)	d2w __ M (z)
dz2 = TD\ '' d& ~ #77“ 5 dz* ~ EJ3
(10.49)
Заменим ступенчатую балку эквивалентной балкой постоянного
сечения с моментом инерции У0» равным моменту инерции одного из
участков балки, например второго J0 = /2. Умножив числитель и
энаменатель правой части дифференциального уравнения (10.49)
для произвольного участка п на У0, получим
d2w ^ М (z)J0 ^ M(z) J0 М (z)
dz2 EJn Jq EJq Jn EJ0
Pn»
(10.50)
238

где pn = J^— коэффициент приведения. В примере, приведенном
п
на рис. 184, Jf: J2: J3 = 1: 3 : 2 и Pi = 3; ра = 1; Р3 = у.
Так как изгибающий момент является линейной функцией нагруз¬
ки, то для каждой части балки вместо умножения на коэффициент
приведения изгибающего момента можно умножить на этот коэффи¬
циент все внешние нагрузки данной части вместе с внутренними усили¬
ями Q и М в местах сопряжения различных ступеней (рис. 184, б, в).
Соединив отдельные части друг с другом и просуммировав внутренние
усилия на стыке, мы получим балку постоянного сечения с изгибной
жесткостью EJ0, нагруженную приведенными внешними нагрузками
(т. е. нагрузками, измененными в раз). При этом в местах сопря¬
жений будут наблюдаться скачки поперечных сил и изгибающих мо¬
ментов, соответственно равные
Д<?1 — Qi (Рг — Pi)» = Q2 (Рз Рг);
Mfi-JMP.-Pi); Ш2 = М2(р3-р2).
В местах стыка частей балки надо приложить дополнительные
сосредоточенные силы и сосредоточенные моменты, определяемые при¬
веденными формулами.
Полученная таким образом эквивалентная балка (рис. 184, е)
будет иметь упругую линию, полностью совпадающую с упругой
линией заданной ступенчатой балки (рис. 184, а).
Перемещения такой балки можно определить, интегрируя диффе¬
ренциальное уравнение.
d2w М D (z)
туг—Вт-	<10-51>
где Мир — момент приведенных внешних нагрузок и дополнительных
нагрузок ДQ и AM, определяемый, как и в обычной балке, нагружен¬
ной по схеме рис. 184, г. Для определения и> и 0 можно воспользо¬
ваться также универсальными уравнениями (10.43) и (10.44) метода
начальных параметров, рассматривая приведенную балку, как балку
постоянного сечения с изгибной жесткостью поперечного сечения EJ0.
Балки с непрерывно меняющимся по длине сечением. Если раз¬
меры сечения стержня непрерывно изменяются по длине, то формулы,
полученные на основании гипотезы плоских поперечных сечений,
становятся неверными, как и сама гипотеза. Однако, как показывают
результаты расчета методами теории упругости, в том случае, когда
угол наклона образующей поверхности стержня к его оси не превы¬
шает 15—20°, распределение нормальных напряжений по высоте се¬
чения можно принимать линейным. Тогда, естественно, можем ис¬
пользовать обычное условие прочности и дифференциальное уравне¬
ние упругой линии
»max = ^f	(10.52)
d2w	М (z)
dz2 “ EJ(z)
(10.53)
239

Погрешности при вычислении касательных напряжений по фор¬
муле Журавского
т QS(y)
b(z)J (z)
(10.54)
в даниом случае будут бблыпими, чем при вычислении нормальных
напряжений по формуле Навье:
М (z) у
J(z)
(10.55)
Формулу (10.53), выражающую дифференциальное уравнение
изгиба балки переменного сечения, можно записать в виде;
d2w
dz2
МПР(*)
EJ„
(10.56)
где MnD (z) = ■
■M(z)— приведенный изрибающий момент, смысл
nPv' J(z)
которого отличен от Мпр, входящего в формулу (10.51); J0 — момент
инерции какого-либо сечения, обычно наибольший или наименьший.
Балка, момент сопротивления которой меняется пропорционально
изгибающему моменту от внешних нагрузок, называется балкой рав¬
ного сопротивления изгибу, Рассчитывается такая балка по формуле
W(z) =
M(z)
М
(10.57)
В балке равного сопротивления изгибу максимальные напряже¬
ния в любом сечении одинаковы и равны допускаемым [а]. Примером
балки равного сопротивления может служить консоль с постоянной
шириной Ъ и переменной высотой h(z) (рис. 185), определяемой из фор¬
мулы (10.57). Тогда
bh2 (z)
4U
6
W (z) = •
откуда
h(z)=Y -
M(z)
[°]
Pz
M
6 p
Vz.
(10.58)
Рис 185
b [a]
Следовательно, высота балки меняется по
параболическому закону, достигая максиму¬
ма в месте закрепления
К = h (I)
V-
6 р
6[з]
VI.
Поскольку согласно (10.58) в месте приложения силы (z = 0) h (0) = 0,
то высота концевого сечения определяется из условия среза:
3 Р
3 Р
~ 2 F 2 bh < М-
240

откуда
Л>-г
3 Р
2b |т|
Балки параболического очертания (весьма выгодпые с точки
зрения экономии материала) из-за сложности изготовления применя¬
ются весьма редко. На практике часто применяют балки равного
сопротивления изгибу, имеющие по¬
стоянную высоту h и переменную ши¬
рину Ь(г) (рис. 186).
. -	Закон изменения ширины b (z) най-
Дем 03 (10.57). Тогда
I
7
£
£
Ь (z) №
6
М (z)
Ж
Рг
2 [а]
откуда
мость
получаем линейную зависн-
• л
LXv -
1
1 r]
1
/ 1
7
EL
^ггтТТПМПТГтгь.
mini
iLlLlIllili
III 1ШШ
mwwww
Рис. 186
3	Р
&(*) = fc2[a] z*
Рис. 187
—(4)-
3 PI
2/г2 (a | '
Максимальный прогиб такой балки равного сопротивления изгибу
определяется па основании (10.56). По известным У0» J (z) и их
отношению
Л =
/(*) =
Ь (z) /*э.
12 ’
о	_ b0 	 I
J (z)~ Ь (z) ~~ 2z
12
241

можно найти приведенный момент
HP(' ~ J(z) 0	2	J(z)	4	•
'(«)
Подставляя Мпр в (10.56), получим
d2uf
PI
dz2	4Я/0 *
Интегрируя это уравнение дважды, находим
■5-'м-вг(т*+«-);
"“ Щ ("Т" + с‘‘+ с‘) •
Постоянные интегрирования Ci и С2 определяются из условий
»(0)-0; в(4)“°-
Отсюда
Рис. 188
Сх = -^; сг = о.
Тогда
/ ч 1	/Pl 2	№	'i
Ш(г)=-ш;(-г2 “"Г 2J-
/Л р/3
“’max /	\	2	j ‘62EJ(
'A2EJ0 •
Отсюда видно, что максимальный прогиб
балки равного сопротивления изгибу в полто¬
ра раэа больше прогиба балки постоянного
сечения с изгибной жесткостью EJb.
Приведенная теория о достаточной степе¬
нью приближения может быть использована
при расчете рессор (рие. 187, а, б, в, г).
При этом ширину концевых сечений
балки определяют из условия среза
(см. рис. 188, а, б).
откуда
Ь =
*К1
242

Формулы для определения размеров поперечного сечения, и макси¬
мального прогиба балок равного сопротивления приведены в табл. 18.
В табл. 19 даны уравнения упругой линии и углов поворота попереч¬
ных сечений консольной балки переменной высоты для некоторых
случаев ее нагружения.
§ 57. Расчет на изгиб с учетом сил инерции
Действие сил инерции следует учитывать при расчете элементов
конструкций, испытывающих большие ускорения. Примером может
служить спарник АВ (рис. 189), соединяющий две оси, одна из кото¬
рых (Ох) является ведущей. Любой элемент длины спарника, описы¬
вающий окружность радиуса г с угловой скоростью со, испытывает
центростремительное ускорение со2г. Интенсивность возникающей по
длине спарника распределенной нагрузки будет:
где F — площадь поперечного сечения спарника; 7 — удельный вео
материала; g ускорение силы тяжести.
Наиболее опасным положением спарника будет крайнее нижнее
положение AXB1% при котором нагрузки от сил инерции ди и от соб¬
ственного веса q0 суммируются:
Рассматривая спарник как балку на двух шарнирных опорах,
найдем максимальный изгибающий момент
Силы инерции необходимо учитывать также при расчете шатуна
поршневой машины (рис. 190). Шатун испытывает инерционную рав¬
номерно распределенную нагрузку, меняющуюся по линейному за¬
кону, как показано на рисунке, Максимальная интенсивность нагрузки
Рис. 189
Рис. 190
243

будет в точке Л, когда кривошип составляет с шатуном угол, рав¬
ный 90°,
2
g
где г — радиус кривошипа.
Максимальный изгибающий момент в шатуне (при рассмотрении
его как шарнирно опертой балки), как известно, будет на расстоянии
1	т>
—— от точки В:
/з
м - <?тах*2
max 9у$ •
а максимальное напряжение
•^тах
=
max ур
Подставляя значение <7тах, найдем
^тах^2 F‘fl2i£>2r
°тах ” TyliF ~ ij/ж'
§ 58. Касательные напряжения при изгибе балор
тонкостенного профиля. Центр изгиб#
Формула Журавского дает верные результаты в случаях, когда
ширина балки (сечения тп на рис. 191) достаточно мала по срав¬
нению с высотой h.
В сечениях т^пх полок тонкостенного профиля (рис. 191, в, а, д)
напряжения т, параллельные усилию Q, настолько малы, что ими
а	б	6
Рис. 191
можно пренебречь. Но в этих полках возникают касательные напря¬
жения тп, перпендикулярные усилию Q. Учитывая малую толщину
полки t, можно считать, что касательные напряжения тп по толщине
полки распределены равномерно. Тогда их величина определится по
формуле
QS(x)
а~ Jt 1
(10.59)
244

найденной из рассмотрения условия равновесия части полки двутавро¬
вого сечения длиной dz (рис. 192), где статический момент
(10.60)
Из сопоставления формул (10.59) и (10.60) видно, что закон распреде¬
ления касательных напряжений по ширине полки определяется зако¬
ном изменения статического момента
S	(х), т. е. тп распределяются по линей¬
ному закону.
Эпюры касательных напряжений,
построенные для двутаврового сечения
№ 20 при Q = 10 000 кГ% приведены на
рис. 193.
Касательные напряжения в полках
тонкостенных профилей существенно влия¬
ют на характер напряженного состояния
стержня и вид его деформации.
Если сечение имеет две оси
симметрии и силовая плоскость про¬
ходит через одну из них (рис. 194, а),
то в сечении возникают равнодей¬
ствующие усилия в стенке Т{
от
1084 кГ/см*
и в полке Тп (рис. 194, б). В силу
симметрии полок усилия Тп вза¬
имно уравновешиваются на каждой
полке.
Иначе обстоит дело, если глав¬
ная центральная ось, перпендику¬
лярная к нейтральной линии, не яв¬
ляется осью симметрии (рис. 195, а).
Касательные напряжения в стенке
и полках приводятся соответственно
к усилиям Тот и Тп (рис. 195, б).
При этом вертикальными касательными напряжениями в полках
пренебрегают. Поперечная сила
,835 кГ/см*
Рис. 193
ст*
При этом она не проходит через центр тяжести, а будучи равнодей¬
ствующей силы Тст и двух сил Тп, создающих пару, смещена на
245

некоторое расстояние хс (рис. 195, б) и пересекает нейтральную
линию в точке С.
Смещение хс можно определить из условия
£ МА = ?(*«,+4)-Гп(Л-0=0,
11!
*0^1 ?п
НЛ
Ц-Т.
Тп
Тст
НЛ
Тп Тп
5
Рис. 194
Рис. 195
откуда
*С = — (Л-0-т.
(10.61)
Учитывая, что
6—Хщ	Ь—х0
•4*0-d)
—{х0—d)
QS(x)
Jt
dX =5
b—x0
iJ	«/" i	4«/
-Lxo-d)
формулу (10.61) можем записать в окончательном виде:
г (fe — t)2(b — d)2 d
U
2 *
Смещение равнодействующей относительно центра тяжести сече¬
ния на расстояние хс + Зчм к&к это следует из схемы, приведенной
на рис. 196, а, приводит к тому, что внешняя нагрузка Р, действую-
щая в плоскости zy, вызывает в сечении балки не только переменный
по длине изгибающий момент M(z) = Pz, но также крутящий момент
(рис. 196, б) Мкр = Р(хо + *с) за счет смещенности поперечной силы
Q = р (являющейся равнодействующей усилий ТСТ и 2"п). Вследствие
этого балка будет не только изгибаться, но и скручиваться (рис. 196,е).
Для предотвращения скручивания на практике используют сим-
246

метричные сечения из двух швеллеров или выносят точку приложения
нагрузки из главной плоскости так, чтобы она проходила через точку С
(рис. 196, г).
В этом случае участок балки длиной z полностью уравновесится
силами Р9 Q (z) = Р и моментом М (z) = Pz и кручения не будет. По¬
этому точку С пазывают центром изгиба или центром жесткости.
Центры изгиба всех сечепий балки расположены на прямой, которая
называется осью жесткости балки (рис. 196, б). Очевидно, для стерж¬
ней с двойной симметрией ось жесткости балки совпадает с осью, на
которой размещены центры тяжести сечепий.
§ 59. О расчете балок на упругом основании
При рассмотрении балки на сплошном упругом основании
(рис. 197) предполагается, что реакция основания в каждой точке про¬
порциональна упругому прогибу w в этой точке.
Обозначив коэффициент пропорциональности, имеющий размер*
f, ft д
I
'/////////\
Рис. 197
ность
сила
, буквой а, получим, что интенсивность реакции осно-
(длина)21
вания равна а и?.
Таким образом, при заданной внешней распределенной нагрузке
q(z) полная распределенная нагрузка, действующая на балку, будет
Р (*) * Я (*) ~	(*)•
(10.62)
247

Расчет балок на упругом основании представляет собой статиче¬
ски неопределимую задачу. Интенсивность реакции основания связана
с деформацией балки, поэтому при решении задач сначала необходимо
найти упругую линию балки. Дифференциальное уравнение изогну¬
той оси балки согласно (10.34) можно записать в виде
= ж[<? (2) ~aw (2)1-	(1(Ш)
Если распределенная нагрузка отсутствует, q(z)=0 (рис. 198),
уравнение (10.63) примет вид
TO-W-	“»•«>
Выберем начало координат на левом конце рассматриваемого
участка, где начальными параметрами будут: w0t 0О, М0 и Q0. Введя
обозначение
~жг
-у*
(L имеет размерность длины) и заменив независимую переменную ъ
безразмерной абсциссой
«-т-
уравнение (10.64) перепишем в виде
d*w . /	г\
-jg- + 4u> = 0.
Общее решение этого уравнения:
w = Схе5 cos 6 + С2И sin £ + Сге~~5 cos £ +	sin 6.	(10.65)
Взяв соответствующие производные от (10.65), выразим через
них Q, М и 0:
= 0Z, = Cxel (cog 6 — sin 6) + С2е* (cos 6 + sin 6) —
—	Сяе~* (cos 6 + sin £) + C4e-Z (cos g __ sin £);	(10.66)
-*“Уг = ~ ej^ =	(Cie* sin 5 — C2e* cos $ —	sin	6	+
^	(cos	*	+ sin £) — C2e" (cos 6 — sin 6) —
—	(cos 6 — sin 6) — C4e~“* (cos 6 — sin £)].	(10.68)
248

Положив в (10.65) — (10.68) 6 = 0, получим выражения для
начальных параметров:
И>0 = ^1 + ^3»
£,0о = Сх + С2 ■— С3 + С4;
LaM0 = —(— 2С2 + 2С4) EJ;
L3(?0 = ~ (2СХ — 2Са — 2С3 — 2С4) Я7.
Решив систему этих четырех линейных уравнений относительно
постоянных интегрирования, получим выражение последних через
начальные параметры в виде:
Г	wo	|_ Ыр I	^0.
1	2	4	8EJ 1
L60	L2M0	L»Q0
2	4	4ЯУ	^ 8Я/ *
Г 	 ^0	 L6Q ,	t
Сз“ 2	4 +8Д</ *
_Z90	L2M0	L»Q0
4	“ 4	4Я/	“*■	8Я/	*
Подставив выражение постоянных интегрирования в (10.65) —
(10.68), найдем
w (S) = u>o^i (6) + lAJt (5) + ^2 К3 (6) + ¥2? Y4 (5);
в («) = в0У1 (6) +	(€) + Уа (6) - ^ У4 (5);
М (s) = MqYx (5) + LQ0Y2 (6) - «Л^У, (5) - а£«в0У4 (£);
<? (Ю = QPi (5) - el^r, (6) - aLa60yj (5) -	M0F4 (J),
где У1э У2, У3, У4 — функции А. Н. Крылова*;
Ух (6) = ch 6 cos £ = у (И + е“*) cos £;
(S) = у (сЬ 6 sin 6 + sh $ cos 6) =
= l(eЕ + е“6) sin $ + (И — <?~£) cos £];
Уз (£) = y sh 6 sin $ = у [у (И — <Г"*) sin ;
У4 (£) = (ch 6 sin £ — sh £ cos £) =
= 4~ [(*" + *“E) sin £ — (e5 ~ e”^) cos £].
* Значения этих функций приведены в Приложении 4. Волео подробные
таблицы имеются в [1, 15].
249

При дифференцировании функций Крылова имеют место следующие
важные зависимости:
LYi = - 4 У4; LY[ = У15 LY3 = У2; lVa = У,.
В общем случае (рис. 199), когда на отрезке Oz действует
сосредоточенный момент М\ в точке с абсциссой асосредоточенная
сила Pi в точке с абсциссой
и равномерно распределенная на¬
грузка qe на участке от z=c до
2	= d, общие уравнения для w, 0, Q
и М будут иметь вид:
(^) + e0LY2 (-£-) +
+ -Ey{+m^y{^Y ^8у«(т)+
(1о-б9)
е« - «Л (т) +	{+	M«LY> (т) + ^ (х) -
- пг (х) +1S MiY> (2-т^) + i2S (2-=^) +
+ Ц я{ г4 (^)- у.(^)]} 1	(Ю.70)
M(z) = MJify + QJLYt (-j) ~aL*w0Ys(j)-a£%Y4(£) +
+ £ ад (nr)+L I! ^ (nr)+L2 S [y« й -
~y’(nr)];	<10-71)
<? W = СоУ, У -W, (i ) - «W. (-i ) - y4 (.£ ) _
—r S M‘y* (nr) + 2 ^ (nr) +
+ l Yi 4i [y%	r‘ (^7~)] •	(10-72)
Таким образом, при известных начальных параметрах w0, 0О» М0
и Q0 величины w(z)t 0 (2), М (z) и Q (z) могут быть определены
в любом сечении с координатой z по формулам (10.69) — (10.72).
Начальные параметры в каждом конкретном случае могут быть
определены из условий на концах оалки. Эти условия для различных
случаев закрепления балки при совмещении начала координат с левым
ее концом представлены ниже.
250

Условия на концах балки
Левый конец
(* = 0)
Правый конец
(z = 0
Левый конец
Правый конец
W
G
м
Q
W
0
м
Q
Свободен
Свободен


м()
Qo


м,
Ql
Свободен
Оперт
—
—
М0
Qo
0
—
Ml
Свободен
Заделан
—
—
м о
Qo
0
0
—
Оперт
Оперт
0
—
мо
—
0
—
Ml
—
Оперт
Заделан
0
—
М0
—
0
0
—
—
Заделан
Заделан
0
0
—
—
0
0
—
—
Mt и Qt — соответственно внешние сосредоточенные момент и сила
на правой опоре.
При выборе начала координат на левом конце однопролетной
балки два начальных параметра всегда известны. Для определения
двух других параметров необходимо решить систему двух алгебраиче¬
ских уравнений, составленную из условий закрепления правого конца
балки.
§ 60. Изгиб балок, материал которых
не следует закону Гука
Диаграммы растяжения и сжатия для материалов, не следующих
закону Гука (чугун, камень и др.), показывают, что напряжения
растут медленнее деформаций и отставание роста напряжений от де¬
формаций значительнее при растяжении, чем при сжатии (рис. 200).
В этом случае нейтральная линия не проходит через центр тяжести
поперечного сечения, а смещается в сторону центра кривизны оси
балки (рис. 201). По известному радиусу кривизны нейтрального
слоя р на основании гипотезы плоских сечений относительное удлине-
Рис. 200	Рис.	201
ние волокна, находящегося на расстоянии у от нейтрального слоя,
как и прежде, определяется известной формулой
•“f-.	(Ю.73)
Поэтому прежде всего следует найти положение и радиус кри¬
визны нейтрального слоя,
251

Рассмотрим балку прямоугольного сечения из материала, не сле¬
дующего закону Гука (рис. 202). Учитывая, что для многих материалов
зависимости 8 = /(а) при растяжении и сжатии могут быть представ¬
лены в виде
Подставляя (10.77) в (10.75) и (10.76) и интегрируя, соответственно
получим
Учитывая, что hx -f- h2 = h9 из последних двух уравнений пайдем
р, hi и h2i а затем по формулам (10.77) — напряжения ар и осж.
Можно решить и обратную задачу:	определить	наибольший
допускаемый изгибающий момент по допускаемым напряжениям
растяжения [ор] или сжатия [®сж]. При этом, пользуясь формулами
(10.77), определяют напряжения в крайних волокнах
(10.74)
где fcp, /ссж, п и т — величины, характе¬
ризующие физические свойства мате¬
риала, положение нейтрального слоя
Рис. 202
F
ИЛИ
(10.75)
о
о
(10.76)
о
о
На основании (10.74) и (10.73)
1
1
1
1
(10.77)
1 1
1 1
1

На основании (10.80) выражения (10.78) и (10.79) можно предста¬
вить в виде
п+ 1
С 1^1'
т-1-1
^2^2 — О»
(10.81)
П ,,2
2 п + 1
2т + 1
ba2hl = М.
(10.82)
Кроме того, из уравнения (10.80) следует, чго
Jh_
h2
«Г*р
■Г**
(10.83)
изгибающего мо-
Пользуясь соотношением (10.81) — (10.83) и учитывая, что
hi -\-h2=zh, можно по известному [ор] или [<*сж] 4 определить поло¬
жение нейтральной оси и допускаемое значение
мента [М].
В случае, когда материал сле¬
дует закону Гука, но модули уп¬
ругости при растяжении Ёр и сжа¬
тии Ест неодинаковы (обычно
^сж^^р)» эпюРа нормальных на¬
пряжений будет иметь вид, приве¬
денный на рис. 203, а максималь¬
ные напряжения при известном
действующем изгибающем моменте
М для стержня прямоугольного се¬
чения будут определяться по фор¬
мулам
3 М
bh2
Ш
(,+/ -£)•
(10.84)
В случае, когда напряжения определяются через относительные
деформации в крайних волокнах, найденные с помощью тензомет¬
ров, формулы (10.84) лучше представить в виде

Таблица 17
Схемы действительных и соответствующих им фиктивных балок
Действительная балка
s
Зг
Фиктивная балка
S
j	т
7J-
а I
I	L
j
±' Лг
254

Таблица 18
Балки равного сопротивления изгибу
255

Таблица 19
Уравнения упругой линии и угла поворота поперечных сечений консольной балки переменной высоты
Схема балки
и нагрузки
пит
Уравнение угла поворота
	«Л Д
2 \a+z L)	j

|за (а z) [In (« + i) 1] 3aL In£, _PjP_ |_ 3(I ,n (t _ z) +
Kj
CM
+
+
+
«
+
+
(4
I
eo
+

	"
„ In
«N
|Гч1
1
1
+
**«4
в
+
+
t*
+
T
(M
ЧН |csi
+
257

GO
Таблица 20
Уравнении упругой линии, максимальные прогибы и углы поворота концевых и опорных сечений
статически определимых балок постоянного поперечного сечения
Схема балки
Уравнение упругой линии w (z)
и максимальный прогиб /
Угол поворота 8
<3
w
v z
—
L
В
'
wz-
/=
0<2<J
М,
2 EJ
M0l2
'J\ i)
2EJ
при z = 0
0 =
EJ
При 2 = 0
Л 1
j?
1 (■
0<< a
+ («-*)•-
— M2(e+6—z)a]
а<г<я+Ь
10Z='
2EJ
wz-.
[(Mx + M2) (I — z)2 — M2 (a + 6 <— *)■]
a -f- b^z^l
(м1 + м2) «у
2Я/
e=^J[(M1 + A/2)Z-
— Mxa — Af2 (a + 6)]
при 2 = 0

Г(ЛГа + М2) /* — — М2(а + Ь)а]
259

Продолжение табл. 20
Схема балки
w
Г
£ г
а
Ь
\
'[ 1
Уравнение упругой линии w (z)
и максимальный прогиб /
wz =
РЪ3
6ДУ
2< /
^ = -77
Р&3
6Д/
ПРИ 2 = 0
Угол поворота 6
е=
при 2=0
уЧ
0 << z << I
Ql4
24 EJ
[•-‘т+(4Л
/ =
8 EJ
при 2=0
9=
6 EJ
при 2=0

261
при z

Продолжение гпабл, 20
Схема балки
Уравнение упругой линии w (z)
и максимальный прогиб /
Угол поворота 6
\W
32г.
О	<z<Z
"<•> —тш?(1,-‘5т+5т-4)
,	ii.
7	120
3JL
EJ
при 2 = 0
0^ 2<! а
w(z)
-тёгК5-^+т)-
-=(‘-8т+3Ят+^]
/=
qal3
30 EJ
(5~5t+'f) пРиг = °
9*3
&EJ
при 2 = 0
qal2
2AEJ
(6-*т+34)
при 2 = 0

120 EJ
263
lO.fyi*
192EJ	При Z

to
1>
Схема балки
Уравнение упругой линии w (z)
и максимальный прогиб /
Продолжение табл. 20
Угол поворота 0
ЫН,
0<2</
W(Z) :
£ll?i -f- 4q2 — 5 (3qx -f- fo) -у- -f
120 EJ
4- -jf-4- (q2 — <7i) -jg-J
f-	при 2 = 0
•3 24?/~	дри 2 = 0
0< 2<*
»— _ M«l* (2 J- _ ч Jl a.
* J ~	l г га + г» /
Mol2
ltjAV
при Z = y
MS1
t = — 0,0642 при z = 0,422/
hJ
M0l
3 EJ
M0i
bEJ
при 2=0
при 2 = I

w(z)=——— (2 Мг + Мг)
265
при z

Продолжение табл. 20
Схема балки
Уравнение упругой линии w \z)
и максимальный прогиб /
Угол поворота 0
IV
р
Z
^ i .
7?.
т:
1
»(*) = ■
/—
0<z<Z/2
PI3
4SEJ
Pi3
48EJ
(•W)
Pl2
16ДУ
PJ2
при 2 = 0
16ДУ
JT
0 <z-<a
Ра?Ъг IЛ z , z
6EJI
а<: 2<< /
Pa2fc2 Г / — 2	I — 2
*(1)	617Г[2— +
рь
а2Ь J
U — 2)31
аЬ2
48EJ{3li-Ab2)	пРиг = Т
№
ЗДУ
(£)'
при 2 = а
pw2/3i//,	ь2\3	i/>—&*
	27ЖГ К i1-^) ПРИ ж" У —
Р&а
6EJI
Р12
6EJ
при 2 = 0
Ра
(а -4- 2Ь) =
6 ЯЛ
При 2 = I
(4-т)
= о
(г2 —а2)

7 = z ndn
0 = 2 ndn
ran
?.lb
ran
sib
Uni.	=/
tlbq
+
■ = (z) ai
?>*> о
4^ 1 ilf
ГхШГЩПТп
>	Mt
7 = z ndn
0 = z ndn
/5ГЕ
(<j 4- d) »<f
rsz
(q + d) vj
(*»-*•)
—	= z ndn
1
ГЭП
zld
V = Z ndn
q v^z^v
[t-Цт+Ц
»>z>0
Jt

Схема балки
Уравнение упругой линии w (z)
и максимальный прогиб 1
Продолжение табл. 20
Угол поворота 0
&
w а
ЕЙ
■х
w а
TTffn
о z а
w(z) =
48£/
К(4-4)-тК-
4)]
2о&2	63
a<z <a-f Ъ
/ \	QbP	Г0 d ( z	z3 \	z (Q d3
wW~	48EJ	L TIT	1*")	т(8 I3	'
— 2
ab2
fc3
’£)■
, (г — а)4
М3
]
0<г<а
W (Z) =
qa4
2kEJ
a^z^l
qbl
2AEJ
2 ( d d9
И4Т-4ТГ +
ab2 JL b3
+ I3"4- 2	7"	Z2	/
при z = 0
d = с -f- -g- &
—1&(—&•)*
при 2=0

w (z) = ■
qaH
24 EJ
— 4
(t + 6)z3
a2/2
z* 	(z — a)4
a3/	a3/
qa6l
24EJ
|4-7j + 3при z = a
qaH
12EJ
при z = I
(i—±
\ 2P
JltTfTTrfijly
77 77	^
0<z< J
*|->--*йт(,т-м-г+3т)
ql4
t = '— 0,00652 -gj- при z = 0,5193/
7ql3
3G0EJ
при z
8ql*
360EJ при 2:

Продолжение табл. 20
Схема балки
Уравнение упругой линии w £2)
и максимальный прогиб /
Угол поворота 6
Iir
li.
'iwrrm
ж
*
а
• (»> —«Г [(«•-45Т +12тг) 7-
-“(•-*т)тг+»ж]
qaH
90 EJ
_5i^
•]
qaH
15ЖГ
(б — 9-y- + 4-^-) при z = a
0< 2< a
w(z) = -
qabH
[(io _ 3 ^_) -J—10 -|p-j
360Д/
a <[ z < I
qabH
qaH
360EJ
(4°-45t-
+ 12 -yj-j при 2 = 0
ЯаП U 3 gM
90Я/ \	*а /
при z = /
0 =
mEj
при 2 = 0
(,о-з£)

2
т
при Z =I
е = —
ЗОЯ/
j/3
= *~"7ао ~еГ при 2 = 0
= Too ~Ё7 при z=l
_5
192
J5
192

Продолжение табл. 20
Схема балки
Уравнение упругой линии w (z)
и максимальный прогиб f
Угол поворота
ЖГ
w(z) =
0<2</
Pal2
6 EJ
2<< I + a
(t-£)
w(z) =
Pal*
GEJ
/3
(l + a) (*-/)8|
аГЛ	I
Pal2
= 0,0642 —r-r- при z = 0,578/
Pa*
?>EJ
bJ
(l-h а) при z = 1 + a
tt =
Pal
HeT
Pal
Pa
при z = 0
при z=I
(21 + 3 a)
6EJ
при z = I a
w
P
Ж
w(z) =
Pa*
6 EJ
Ж
и < 2 <: a
•|(3/ + 2a) — 3(i +
. Z 23 1
a)T + l?\
w{z)
_ Pa* [
6EJ [
(3/ -f* 2a) — 3 (Z -j- a) ~—h
,	23	(2	—	Л)»	I
^ a2 a2 I
Pal
e = •
2 EJ
Pal
~2ET
при z — a 1

Ра2
6 EJ
(31 + 2а) при 2 = 0 и г = / + 2а
Pal2
/=w при 2==а+т
Ра (а + /)
2Д/
при Z —
W
Pfi
7
L ’
jL
О	< 2<! /
, ч i/a2z2 / 2	23	\
ш (z) - i2EJ \ I I» )
I	<: 2 <: I + я
»<й---Щ(4+3т)-4(' +
+ 4)(1 + т~т)+-5-(,+т_т)
qaH2
32£/
= 0,0321 при Z = 0,5771
£/
да
u> = — -24£j- (4г + За) при z = I + а
qaH	.
= 1Ш при2 = (
qazL
-w приг =
= -<£-<‘+г>
при 2 = 14- а
I

Продолжение табл. 20
Схема балки
Уравнение упругой линии w lz)
и максимальный прогиб /
Угол поворота 0
I
w q
rrriftttnm g
1	'Та
35
0< z < I
. j*1]
/2 ) /3 + Z4 J
Z«</ + а
-(4_F-,+4'F')(1+T_t) +
+ (, + т-т)
Ql*
384Д/
при 2= у
да*
24EJ
(5-,24)
(8 + 4Т~Тг) «!»»-' + «
^Z3
■М-Й
2AEJ
при 2=0
24£7 V i* /
при Z = I
|-^-^~(4 —4-4—-l)
		24Д/ V Z3 + I2 V
2AEJ
при 2 = / + а

w
шрщшц
ж
О< z<a
-('-4-4)т-т]
при z = 0 и z = / + 2а
(JL д2 \
\24	/2/
16 EJ
при z = а + у
4]
,
24Д/ (*	6	I2
, а3\
~41*~) ПРИ 2 = 0
ql3 (1 __
‘ \ 6 *2 /
при
4EJ
fl _ дР (_1	«М
4Я/ \ 6	Z2 /
при Z = д -{-1
24£/ Г /*	4
при z = i 4- 2а

Глава 11
СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Под сложным сопротивлением подразумевают различные комбина¬
ции простых напряженных состояний (растяжения, сжатия, сдвига,
кручения, изгиба). В общем случае нагружения бруса (рис. 204, а)
в его поперечных сечениях действуют
шесть компонентов внутренних усилий
(N, Qx, Qv, Мх, Му, Мкр) (рис. 204,6),
		связанные с четырьмя простыми деформа-
\	циями стержня: растяжением или сжа-
\	тием, сдвигом, кручением и изгибом.
На основании гипотезы о независимом
действии сил напряженное состояние
жесткого стержня определяют путем сум*
мирования напряженных состояний, вы¬
званных каждым видом простого нагруже¬
ния в отдельности.
Аналогично деформации (перемеще¬
ния) могут быть определены путем сло¬
жения деформаций (перемещений), вы¬
званных каждым компонентом нагрузки
в отдельности.
Принцип суммирования действия сил,
или принцип суперпозицииу применим во
всех случаях, когда деформации малы,
а материал подчиняется закону Гука. На
практике редко встречаются случаи, ког¬
да в стержне возникают все шесть ком-
усилий, обычно приходится иметь дело с раз-
Рис. 204
понентов внутренних
личными их комбинациями.
§ 61. Сложный и косой изгиб
Сложный, или неплоский, изгиб вызывается внешними силами,
действующими в разных плоскостях, проходящих через ось балки
(рис. 205, а). Изогнутая ось балки в этом случае не является пло¬
ской кривой.
Если все нагрузки, вызывающие изгиб, действуют в одной пло¬
скости, не совпадающей ни с одной из главных плоскостей, то изгиб
называется косым (рис. 206, а).
Обычно сложный или косой изгиб приводят к двум плоским
изгибам, для чего нагрузки, действующие в произвольных продоль¬
ных плоскостях, раскладывают на составляющие, лежащие в главных
плоскостях zy и zx (рис. 205,6, 206,6). При этом в сечении возни¬
кает четыре компонента внутренних усилий: QXt Qy, Мх и Му.
276

Напряжения в точках любого сечения, расположенных в первом
квадранте системы координат ху (рис. 207, а), при одновременном
действии Мх и Му определяются формулой
Мху Мух
/* Jy ‘
Применяя эту формулу в общем случае, следует учитывать знаки
при координатах х и у.
277

При косом изгибе (рис. 208) имеют место зависимости
Мх = М cos а; |
Му = М sin а, J
(11.2)
где М ■» изгибающий момент в данном сечении в силовой плоскости
рр (рис. 207,6).
Формула (11.1) может быть записана в виде
.. (у cos а , :rsina\
м1—+—J-
(11.3)
Рис. 207
Уравнение нейтральной линии получим из (11.1), приняв о = 0:
, _ М*Уа I МУ*ь = о.
(11.4)
Уравнение (11.4) является уравнением прямой линии, проходящей
через начало координат. Положение нейтральной линии определяется
тангенсом угла ее наклона р (рис. 207, 6) к главной оси х:
tg8 = -^-=— Ml . IS-
КР	Мх	Jy
(11.5)
Строя векторную диаграмму моментов (рис. 208), определяют
угол а наклона силовой плоскости рр (плоскости действия момента)
tga =
_Му
Мх
(11.6)
Тогда угол наклона нейтральной линии (11.5) может быть представ*
лен формулой
tgP =
(И.7);
278

из которой видно, что в общем случае сложного изгиба, когда
Jx Ф Jy* нейтральная линия не перпендикулярна к силовой линии.
Поскольку при косом изгибе отношение Му к Мх, характери¬
зуемое tg а (11.6), постоянно по всей длине стержня, угол наклона
нейтральной линии р также постоянен, т. е. упругая линия распо¬
ложена в одной плоскости п~^п (рис. 208), называемой плоскостью
изгиба.
Проверка прочности при сложном напряженном состоянии осу¬
ществляется на основании данных о наибольшем суммарном напря¬
жении. Очевидно, при сложном изгибе атах будут в точках, наи¬
более удаленных от нейтральной линии (точки А и В на рис. 209),.
В данном случае в точке А возникают наибольшие растягивающие
напряжения, в точке Z? — наибольшие сжимающие напряжения.
Условия прочности будут иметь вид:
МхуА М ха
= а, = -^ + -М«[°+];
cmin аВ
Jх	Jy
МхУв Мух В
(11.8)
(11.9)
В случае косого изгиба (рис. 207, б) условия прочности запишутся
в виде:
(Хт> sin а уп cos а\
+	(11.10)
(хп sin а уп cos а\
-27;г+^7г-)<1а_].	(ll.ll)
min
В частности, для прямоугольного сечения, когда

(11.12)
(11.13)
формулы (11.10) и (11.11) могут быть представлены так:
..	/sin a cos а\ .
°max “ аВ ~~ ^max ^ “Ь jyx J ^ 1 °+J*
/sin а . cosa\ .
°min ' aD ^max у	J	^ [а—J*
Определение размеров сечения в случае неплоского изгиба
производят методом подбора, задаваясь различными отношениями
моментов сопротивлений. Касательные на¬
пряжения могут быть определены по фор¬
муле Журавского
_ QySx.		QxSy
Jyh *
Перемещения определяются по принципу
независимости действия сил. Если w — про¬
гиб в направлении главной оси у; v — прогиб
в направлении главной оси х (рис. 210), то
дифференциальные уравнения изгиба в пло¬
скостях yOz и xOz будут иметь вид
EJx ~ м*'
EJy = My. (11.14)
Уравнения (11.14) решают любым известным
способом как для простого изгиба.
Величина полного прогиба в любом сечении балки может быть
получена геометрическим суммированием прогибов в разных плос¬
костях по формуле
f = Vv* + W*.
§ 62. Изгиб с растяжением
(11.15)
Совместное действие изгиба и растяжения (сжатия) имеет место
при: продольно-поперечном действии нагрузок; внецентренном растя¬
жении (сжатии).
Сложный изгиб с растяжением (сжатием) прямого бруса. В об¬
щем случае (рис. 2И, а), когда на брус действуют продольные
и поперечные силы, пересекающие ось бруса, в сечении возникают
усилия MXs Му, Qx, Qy, а также продольное усилие в направлении
оси z — Nz (рис. 211,6). Нормальные напряжения в произвольной
точке при этом определяются формулой
А
F
+ ■
Мх
jX
■ Му
У 4- -Г*- я-
(11.16)
Полагая напряженное состояние в опасной точке линейным (прене¬
брегаем при этом касательными напряжениями), условие прочности
запишем в обычном виде
:М-
(11.17)
280

Для сечения с двойной симметрией формула (11.16) примет вид
Л Мх Му
°± = ~1~W71	■
В случае изгиба в плоскости zy
_ N Мх
a±~~F Wx
(11 18)
Эти формулы применяются также при расчете на прочность плоских
рам и арок малой кривизны.
Рис. 211
Внецентренное растяжение (сжатие)
прямого бруса. Ядро сечения. На прак
тике часто изгиб сочетается с растяжени
ем (сжатием), что обусловлено внецентрен
ным приложением нагрузки, параллельной
оси стержня, когда равнодействующая
Р не совпадает с осью балки (рис.
212). Обозначим координаты точки при
ложения равнодействующей хр и ур,
а расстояние этой точки до оси z, называемое
эксцентриситетом, — е. Внутренние усилия
в любом сечении равны:
N = Р\ Му = Рхр\ Мх = Рур4
а напряжения в произвольной точке сечевия
определяются формулой
N Му Мх ..	„
Gz=-jr + -Г-х+ -Г-У (И.19)
р I xPF ypF \
^—Г\'+—,х + -77')-	“‘-201
Эту формулу можно выразить также через радиусы инерции

Уравнение нейтральной линии а = 0 находим из (11.21):
(11.22)
Отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях у и х (рис. 213),
найдем из (11.22), положив х0 = 0, Уо = 0,
Из (11.23) следует, что нейтральная линия пересекает координатные
оси в точках, принадлежащих квал-
Эпюры напряжений а2 приведены на рис. 213.
Для стержня прямоугольного сечения условие прочности удобно
представить следующим образом:
Формулы (11.24) — (11.26) справедливы и в случае, когда сила Р
является сжимающей, прй условии, что нет опасности потери устой¬
чивости.
Расстояние нейтральной линии от центра тяжести и величины
зон сечения, испытывающих растягивающие и сжимающие усилия,
зависят от эксцентриситета е. Очевидно, одна из зон может отсут¬
ствовать (при растяжении — зона сжатия, при сжатии — зона растя¬
жения), а нейтральная линия не будет пересекать сечение.
Представляет большой практический интерес, особенно при вне-
центренном сжатии колонн из материалов, плохо сопротивляющихся
растяжению (например, кирпичной кладки), знать то максимальное
значение эксцентриситета, при котором в сечении не будут возни¬
кать напряжения растяжения, т. е. нейтральная линия будет каса¬
тельной к сечению.
.2
.2
Ур
(11.23)
4^
Рис. 213
(11.24)
(11.25)
а 		1-
max F ^ Wx
(11.26)
282

Область вокруг центра тяжести сечения, внутри которой прило¬
жение силы Р вызывает во всех точках поперечного сечения напряжения
одного знака, называется ядром сечения. Для определения ядра
сечения необходимо задаваться различными положениями нейтраль¬
ной линии, проводя ее касательно к контуру и нигде не пересекая
его (рис. 214), и вычислять координаты соответствующих точек при¬
ложения силы по следующим, вытекающим из (11.23), формулам:
Вычисленные таким образом точки и определят контур ядра сечевия.
При повороте нейтральной линии относительно некоторой
неподвижной точки контура сечения, например точки Л, точка при-
ложения силы перемещается вдоль некоторой прямой, например
2—3.
Для построения ядра сечения какой-либо фигуры, например
прямоугольника (рис. 215), необходимо рассмотреть ряд положений
нейтральной линии, совпадающих со сторонами сечения. Совместив
нейтральную линию со стороной CD (положение 1—1), получим:
уя = ян= с» ; тогда на основании (11.27)
где
.a Jx hb3 6я .а_ Jy bh3 h*
l*~ F ~ 12bh ~ 12 ’ lV~ F ~ 126ft ~ 12 *
Таким образом, мы определим координату точки 1 ядра сечения.
Совмещая положение нейтральной линии со стороной AD (положение
2)% аналогично получим

а координатами точки 2 ядра будут
Ла	h
Задаваясь соответствующими положениями нейтральной линии 3—3
и 4—4, по аналогии определим координаты точек ядра 3 и 4.
В табл. 21 приведены форма и размеры ядра сечения для раз¬
личных сечений брусьев.
§ 63. Изгиб с кручением
Круглый вал. Совместное действие изгиба и кручения является
наиболее характерным случаем нагружения валов. В этом напряжен¬
ном состоянии имеют место пять компонентов внутренних усилий:
При расчете валов сначала строят эпюры изгибающих моментов
Мх и Му, результирующего момента М а также крутящих момен-
Мкр = мг< МУ' мх, Qy И Qx.
Рис. 216
284
Рис. 218

тов Л/кр и устанавливают опасное сечение (рис. 216, а, б, в9 е, д).
Результирующий изгибающий момент определяют по формуле
м = Y М1 + М1 ■	с11-28)
По известным М и Л/кр в опасном сечении определяют макси¬
мальные нормальные и касательные напряжения в опасных точках
сечения (рис. 217) по формулам:
м	]/~ м* + м2
°шах = ^-=	^	■	:	(11.29)
Мкг>
w-ir	(И-30)
р
Главные напряжения в наиболее опасной точке (точка В на рис. 218)
будут (см. § 52)
ai = у (° + V <** + 4т2); а2 = 0; о3 == ~ (о — /о2 + 4тя).	(11.31)
Для проверки прочности элемента, выделенного у опасной точки,
следует воспользоваться одной из формул соответствующей теории
прочности:
°8КВ м =	0	+	4^	<	[С];	(11.32)
а9КВ IV == ^°2 “Ь 3х2 < [а1*	(11.33)
где
[<4-1
т =
[О ’
Формула (11.32) пригодна при т<^ 1 для хрупких материалов и при
т = 1 для пластичных материалов.
Подставляя в формулы (11.32) и (11.33) выражения для напря¬
жений и учитывая, что Wp = 2W, получим
°экв М = -|г [Чг+
+]/ Kp + Ml+Ml\ < [«];	(И.34)
'«в IV	= -W V°'15M«P+M*+Ml < '0l-	<1U5>
Вторые	сомножители	в этих формулах представляют собой	приведен¬
ные	моменты Мир,	действие которых эквивалентно	совместному
285

действию моментов Мх% Му и Мкр в соответствии с принятыми
теориями прочности
1 — т -
прм——Ум1+м1+^Умю+м1+м1' <и-36)
(11.37)
Мщ> IV = ]/Г°'75МЮ+Мх+М1 = К°-75Мкр + М* ■
Аналогично для других теорий прочности получим:
Mnv II = °-35 VMx + My + °>65 У'м1+мгу + м\
(при fi = 0,3);
а
кр
(11.38)
(11.39)
(11.40)
Условия прочности (11.34) и (11.35)
можно выразить одной формулой
МпрШ = VMl + Ml + М
а
кр •
(11.41)
Отсюда
w:
м,
пр
М
(11.42)
диаметр вала определим из условия:
а
10-
мл
пр
*М ~ r w М ’
(11.43)
П риведенные формулы полностью при-
менимы и при расчете валов кольцевого
сечения.
Брус прямоугольного сечения. При
нагружении бруса прямоугольного сече¬
ния системой сил Рг и Р2 (рис. 219, а),
вызывающих в сечении моменты MXf Му
и Мкр, расчет проводят по следующей
схеме. Внешние силы раскладывают на
составляющие, приводя их к оси вала.
Для нахождения опасного сечения строят
эпюры Мх, Му и Мкр (рис. 219, б). Установив по эпюрам опасное
сечение 1—i, расположенное левее точки приложения силы Р2, нахо¬
дят опасную точку в нем, для чего строят эпюры напряжений от
всех силовых факторов (рис. 220, а, б, в, е, д, е):
яг(Мх); аг (Му); т xz{Qx); tyz{Qv)\ *(М	).
286

Эпюра z (М) для длинной стороны контура имеет максимум,
который обозначим ттах(^кр)- Наибольшую ординату эпюры т (Мкр)
(М ). Эти напряжения можно
кр
на короткой стороне обозначим ^ах,
X
mhfy
51
м
L.
r,t(Qyb
• iN,
У Z
А
.Q/Sy
д
Рис. 220
рассчитать по известным формулам кручения брусьев прямоуголь¬
ного сечения (см. § 47):
Л/Кр
ттах (^кр) ~ TL ~ TiV — ^52 »
Ттах (Мкр) =*М = 'К =ках (^кр).
В данном случае <Jmax от изгиба не совпадают с ттах от круче¬
ния, поэтому для выявления самой опасной точки приходится рас¬
сматривать сочетание напряжений в нескольких точках. Обычно
бывает достаточно трех точек: одной из угловых (А или С) и точек
посредине длинной (точки L или N) и короткой (точки М или К)
сторон прямоугольника. Так, для точек С, L, К будем иметь:
Мх , Му ^
wx + Wy <[0]>
(11.44)
^кр . 3 Qx .
ahb2 Х 2 bh *
(11.45)
* Мкр , 3 Qy
( М2 - 2 bh'
(11.46)
287

Обычно касательные напряжения от поперечных сил Qx и Qy
малы и ими можно пренебречь
Эквивалентные напряжения в точках L и К согласно IV теории
прочности и теории Рулона—Мора равны:
в точке L
l-m Мх	1 + т	1/(	Мх	/	Мкр	\«
®9КВ М- 2 Wx	2	'I	W*	/ +	\	< 1 J’
(11.48)
в точке К
1—m	, l+ml/7	\2 , .(*МКр\2	, ,
°9квМ— 2	*Pj, +	2 г I Wv ) + V ahb*) ^ ^	(11<5°)
Таким образом, наиболее опасная точка определяется только
в результате вычисления эквивалентных напряжений во всех трех
точках (С, L и К) по формулам (11.44), (11.47) — (11.50). При этом
в каждом конкретном случае положение наиболее опасной точки
зависит от соотношения моментов Мх> Му и Мкр.
Общий случай действия сил на брус. Если в сечении стержня
действуют осевая сила Nz> изгибающие моменты в главных плоско¬
стях Мх и Му, а также крутящий момент Л/кр, то условие прочно¬
сти, например по IV теории прочности, в точке К (рис. 220, а)
будет
аналогично в точке L
288

Форма и размеры ядра сечения
Таблица 21
Поперечное сечение:
ядро сечения
(заштриховано)
Квадрат
Ядро — квадрат
Размеры ядра сечения
6	*
Х2 — У 2 — "g" i
rmin = °»0589Л
И рямоугольник
У1 = 6”;
bh
ml" 6 Vb* + h?
Равнобедренный
треугольник
Xl 8 ’ Ul ~ 12 ’ Уг ~ 6
VI
При h = -у b (равносторонний треуголь¬
ник)
Уз,
У з,
— 8 ; У\ — 24 ь> Уг — 12 Ь
Ядро подобно
поперечному сечению
1° 5-1186
289

Продолжение табл. 21
Поиеречное сечение:
ядро сечения
Размеры ядра сечения
(заштриховано)
Полый прямоугольник
Ядро — ромб
I	hb»	—	tixb'l
~6	6(6Л—	bxht)	*
Vi =6
bh* — 6, Л,
h (bh — bxh{) ’
При h = b и ht = bi (полый квадрат)
rmln=0,0589fc[l+(-£-)']
Восьмиугольник
rmin 0,2256#.
Если восьмиугольник полый (радиусы
описанных окружностей: наружной — R2,
внутренней — Rlt толщина стенки равна
0,924 (/?2 — /?!)), то
'min
Ядро — восьмиугольник
D
Ядро — круг
290

Продолжение таб4. 21
Поперечное сечение:
ядро сечения
(заштриховано)
Размеры ядра сечения
Ядро — круг
Тонкостенная труба
Ядро — круг

Глава 12
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ УПРУГИХ СИСТЕМАХ.
ОБЩИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
§ 64. Обобщенные силы и перемещения
Встречающиеся в задачах сопротивления материалов и строи¬
тельной механики внешние нагрузки весьма разнообразны и обычно
В Bi
A At
Al
Fhc. 221
представляют собой группу сил. Работу группы постоянных сил
можно представить в виде произведения двух величин
А = Р Дг
(12.1)
в котором множитель Р зависит только от сил группы и называется
обобщенной силой, а Ар зависит от перемещений и называется
обобщенным перемещением.
Таким образом, под обобщенной силой будем понимать любую
нагрузку (сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, распре¬
деленные нагрузки), которая способна совершать работу на соответ¬
ствующем обобщенном перемещении.
Так, рассматривая работу системы сил, действующих на стер¬
жень (рис. 221), будем иметь
А = РДХ — РД2 = Р (ДА — Д2) = РДр,
где Р — обобщенная сила; Др = Ах — Д2 = Д/ — обобщенное переме¬
щение.
Работа системы сил (рис. 222)
А = Р AAt -Ь Р BBi = Р (ОА + ОВ) Жр = РаЖр = Mdy.
Здесь обобщенной силой является момент М = Ра, а соответствую¬
щим обобщенным перемещением — угол поворота С'ср.
292

Для системы сил (рис. 223) обобщенной силой является момент М9
а обобщенным перемещением — изменение угла а между элементами
АВ и CD, т, е.
Др = rfcpi + d<p2.
Обычно принято обозначать обобщенные перемещения (как
линейные, так и угловые) буквами А и В с соответствующими двой¬
ными индексами. Первый индекс указывает точку и направление
перемещения, второй — силовой фактор, вызвавший это перемещение.
Например, Дрр означает перемещение точки приложения силы Р по
направлению ее действия, вызванное той же силой Р (рис. 224, а),
Дмм*— перемещение точки приложения момен¬
та М в направлении действия момента, выз¬
ванное этим моментом (рис. 224, б).
Для обозначения полного перемещения,
вызванного несколькими силовыми факто¬
рами, при А сохраняют только первый ин¬
декс. Так, полный прогиб и угол поворота
конца балки (рис. 225) соответственно выра¬
зятся формулами:
Ар _ А рр + А рд -)- Дрм
ЛМ = UMPT AMQ
Д iw = ^iwp+ Дмо + дмм
ч
М' )
(12.2)
Перемещения^ вызванные единичной силой (Р = 1) или единич¬
ным моментом (М = 1), принято обозначать буквой В и называть
удельным перемещением. Если единичная сила Р = 1 вызвала пере-
Вр, то полное перемещение
мещение
Д
,р, вызванное силой Р, будет
Др = РЬр.	(12.3)
\а с
и 5
f f В'
Рис. 225
Отсюда размерность удельного перемещения
размерность обобщенного перемещения
[8] =
размерность обобщенной силы
(12.4)
Если силовые факторы, действующие на систему, обозначить
соответственно Хъ Х2, Х3 и т. д. (рис. 226), то перемещения по
направлению каждого из них можно выразить формулами
Ai = AiP -f Xi&ii + ^2^12 + ЛГ3В13;
Д2 = &2P “b ^1^21 “1“ -^2^22 Ч" ^3^23»
^3 ~ ^3Р Н“ Xlhl “Ь ^2^32	*3*33.
(12.5)
293

где
^1^11 = ^11»	^2^12	=	^12^	^3^18	=	^13?
Xfimi = ^mi*
Размерность перемещений bmi можно установить, умножив
последнее равенство на Хш. При этом выражение XmXibmi = XmAmi
имеет размерность работы (кГсм), откуда получим
кГ см
l5miJ =
l*m\ №1
Рис. 226
Например, в формуле (12.5) размерность
кГ см	кГ	см
[*1] [*з!
§ 65. Работа внешних сил
кГ кГ см
Из рассмотрения картины деформации упругого элемента
(рис. 227, а) в пределах закона Гука, представленной в координатах:
P+dP
j !
J
A
/
>
i
I
A
*
$
0
A
fiA
Рис. 227
обобщенная сила Р — обобщенное перемещение Д (рис. 227,6), сле¬
дует, что приращение силы dP вызывает бесконечно малое переме¬
щение dA. Работа внешних сил при этом, если пренебречь беско¬
нечно малыми второго порядка, равна
dA = (Р + dP) dA » PdA.
294

Полная работа, совершенная статически приложенной обобщен¬
ной силой Р, вызвавшей обобщенное перемещение А = РЪрр> вы¬
ражается формулой
р р
А = j PdA = j* Pd (РЬрр) = j* PbppdP =
ЪррР*
A =
PP
P2
A2
РД
25
PP
(12.6)
Таким образом, действительная работа при статическом действии
обобщенной силы на упругую систему равна половине произведения
окончательного значения силы на оконча¬
тельное значение соответствующего пере¬
мещения.
При действии на упругую систему
нескольких обобщенных сил Р19 Р2> . .. ,
Pi (рис. 228) работа деформации равна
полусумме произведений окончательных
значений обобщенных сил на соответст¬
вующие окончательные суммарные обоб¬
щенные перемещения
(12.7)
и не зависит от порядка нагружения
системы.
Рис. 228
§ 66. Работа внутрениих сил
При упругой деформации в элементах
деформируемого тела развиваются внутренние
силы — силы упругого сопротивления (рис. 229).
Эти силы также совершают работу. Поскольку
направления упругих сил (показаны пункти¬
ром) противоположны перемещениям (на
которых они совершают работу), вызываемым
виешними силами (показаны сплошными
линиями), то работа внутренних сил всегда
от рицательна.
Работа внутренних сил TV, Q и М, воз¬
никающих в элементе стержня длиной ds (рис. 229),
осевой силой N на перемещении
совершаемая
A (ds) :
Nds
EF *
моментом М на перемещении
Mds
<t = ~E7
295

и поперечпой силой Q на перемещении
Qds
fds = к ~Qp,	(12.8)
может быть выражена формулой
dw	M4s_N41_ Q4s
~	2EJ 2EF	2GF'	'	>
Интегрируя (12.9) в пределах каждого стержня и суммируя резуль¬
таты по всем стержням системы, получим формулу для работы
внутренних сил в случае плоского изгиба
0	0	о
Заметим, что выражение (12.8) получено из условия
awQ
=	7Г
где
-	Q*ds Г ^ иг- к Q'ids
= -2GTJ)^dF	Ау
2 GF '
г С S JF
ку = г \ —-р	коэффициент, зависящий от формы сечения.
7‘V
В частности, для прямоугольного сечения Ь х h:
#7	/	bk3 С	bk2l4
F — bh, JK —	» Sx — ~~g~ ^1 — h2 J f
h/2
‘•-U
32
для круглого сечения к = ^ ; для прокатных профилей приближенно
F
к=—БГ, где Fc—площадь стенки; Fполная площадь сечения.
F0
296

Для чистого сдвига, когда
Т=т’
1
z^dsdF 		Ту iF^ds = —
Q-jds
Q2ds
2GF'
В том случае, когда в стержне действует крутящий момент
Мкр, при котором элементарный участок стержня закручивается на
угол
d(.р = •
MKvds
GJ..
где GJK — жесткость поперечного сеч**
ния стержня при кручении, элемен¬
тарная работа внутренних сил за счет
кручения равна
2	GJK
а полная работа внутренних сил в стержне длиной / будет:
W,
ир
-J
1 К*
2 GJ„
(12.11)
В общем случае (рис. 230), когда в сечении стержня действуют
все шесть силовых факторов (N, Qx, Qy, МХ} Му, М2 = Мкр), работа
внутренних сил (сил упругости) будет определяться по формуле:
w = - С M*ds ?Mvas г
J 2EJX J 2EJy J
S	3	S
_CN4s_ Ck ?>_(*,
3	2EF J * 2 GF J 1
M^ds
2 GJ„ '
Qyds
(12.12)
гGF	J и2GF
s
Формула (12.12) справедлива и для стержней малой кривизны.
§ 67. Применение начала возможных перемещений
к упругим системам
Применительно к упругим системам начало возможных переме¬
щений можно сформулировать так: если система находился в равно•
ее сии под действием приложенной нагру аки, то сумма работ внешних
297

и внутренних сил на возможных бесконечно малых перемещениях точек
системы равна нулю
Wim = Ot	(12.13)
где Pi — внешние силы; Д*т— возможные перемещения точек при-
ложения этих сил; 2 Pi^im — работа внешних сил; Wim — работа
внутренних сил.
В процессе совершения системой возможного перемещения вели¬
чина и направление внешних и внутренних сил остаются неизмен¬
ными. Поэтому при вычислении работ следует брать не половину,
а полную величину произведения
соответствующих сил и перемещений.
Учитывая малость деформаций
и их линейную зависимость от
нагрузок, в качестве возможных
перемещений можно принимать
упругие перемещения, вызванные лю¬
бым видом нагрузки и происходя¬
щие без нарушения связей. Работа
внешних и внутренних сил на воз¬
можных перемещениях называется
возможной или виртуальной работой.
Рассмотрим два состояния пло¬
ской системы, находящейся в рав¬
новесии: состояние а, при котором
система деформируется обобщенной
силой Ра (рис. 231, а), и состояние Ъ системы, деформируемой силой
Рь (рис. 231, б).
Перемещения состояния b могут рассматриваться как возможные
для состояния а и, наоборот, перемещения состояния а являются
возможными для состояния Ь.
Поэтому работа Ааь сил состояния а на перемещениях состояния
зрз,
&Ьа
ds I Pi
b	В
ДаЬ
б
Рис. 231
Рис. 232
Ь и работа Аьа состояния b на перемещениях состояния а соответст¬
венно равны
Ааь = ЛАи»	(12.14)
Аьа = PtAba-	(12-15)
208

Работа внутренних сил состояния а (рис. 232, а — штриховые
линии) на перемещениях, вызванных нагрузкой состояния b (рис.
232, а, б), может быть найдена из рассмотрения работы внутренних
сил при деформировании элемента стержня длиной ds (рис. 233).
№
ds
Ниже приведена схема определения работы внутренних сил.
Знешиее усилие,
действующее на
элемент
(рис. 232, б)
Деформация
элемента
(рис. 233)
Работа внутренней
силы состояния а
на перемещениях
состояния Ь
Работа внутренней
силы состояния а
в системе стержней
Nb
(ДЛОь =
-Na(Ads)b =
С NaNbds
2j j ef
II
NaNbds
EF
s
Qb
(ids)ь =
— Qa (tds)b =
^ j* k Q°Qbds
II
ft*
Cjo-
к QaQbds
” GF
s
Мь
(df)b =
— Ma (d9)b =
v-i MaMbds
2jJ ej
Mbds
-~ЁГ
MaMbds
~ EJ
Таким образом, полное значение возможной работы внутренних
сил стержневой системы будет
Wab =
MaMbds
EJ
— V
2jJ 1
Nbds
EF
-EJ
. QaQbds
GF *
(12.16)
299

Подставляя (12.14) и (12.16) в (12.13), получим общее выражение
начала возможных перемещений для плоской упругой стержневой
системы
Если в качестве возможных принять действительные перемеще¬
ния Да, вызванные заданной нагрузкой Ра> то выражение (12.17)
примет вид
представляет собой действительную работу внешних сил в процессе
статической деформации, а
представляет собой работу внутренних сил в процессе статической
деформации.
Из уравнения (12.20) следует, что действительные значения
работы внешних и внутренних сил равны по величине и противо¬
положны по знаку.
N qN 5 ds
~EF h
s
в
(12.17)
s
(12.18)
8
или
(12.19)
s
Таким образом,
A + W = 0,
(12.20)
где
(12.21)
s
s
s
300

§ 68. Теоремы о взаимности работ и перемещений
Рассмотрим упругую систему в двух состояниях: в состоянии 1
(рис. 234, а) и в состоянии 2 (рис. 234, б). На основании принципа
возможных перемещений для первого состояния получим
<*»>
S	8	S
для второго состояния
к12-241
s	a	s
р<
р,=1
I
Рис. 235
Так как выражения для работ внутренних сил в обеих формулах
одинаковы, то из (12.23) и (12.24) выводим равенство
Pi А12 = Р2 Дя1*	(12.25)
Формула (12.25) выражает теорему о взаимности работ (теорему
Бетти): возможная работа внешних (или внутренних) сил состояния 1
на перемещениях состояния 2 равна возможной работе внешних (или
внутренних) сил состояния 2 на перемещениях состояния 1.
В частном случае, когда = 1; Р2 = 1 (рис. 235), на основании
(12.15)	получим соотношение
(12.26)
выражающее теорему о взаимности перемещений (теорему Максвелла):
перемещение точки приложения первой единичной силы по ее направле¬
нию, вызванное действием второй единичной силы, равно перемещению
точки приложения второй единичной силы по ее направлению, вызван-
ному действием первой единичной силы.
§ 69. Общие формулы для определения перемещений.
Метод Мора
Общие формулы для определения перемещений легко получить»
пользуясь началом возможных перемещений, если в качестве вспо*
могательного состояния принять систему, нагруженную в точке,
301

перемещение которой_ нас интересует, соответствующей единичной
обобщенной силой 2Г* = 1, которая должна совершать работу на
возможном перемещении, каким является интересующее нас переме¬
щение А{Р под действием внешних нагрузок.
Обозначив усилия, вызванные системой внешних сил ЪР
(рис. 236, а), через Мр, Np, Qp, а усилия, вызванные единичной
силой Xi = 1 (рис. 236, б), — через М\, Ni, Qi, начало возможных
перемещений для вспомогательного состояния (принимая в качестве
возможного действительное перемещение) можно записать в виде
8 8 8
Очевидно, в самом общем случае, при наличии всех шести ком¬
понентов внутренних сил, формулу (12.27) можно записать в виде
Л	V» Г\М*МР ,	,
iP 2jJI EJx + EJy + GJK +
8
QfQp Q\QVP iVj/Vpl
+ k*-W+kv-hr +-y\ds-	<12-28>
Формула (12.28) является наиболее общей и применима также для
расчета стержней малой кривизны. Определение перемещений по
формулам (12.27) и (12.28) называют способом Мора или способом
перемножения эпюр.
В большинстве случаев при определении перемещений в балках,
рамах и арках по методу Мора в формуле (12.27) можно пренебречь
влиянием продольных деформаций и сдвига, учитывая лишь переме¬
щения, которые вызываются изгибом. Тогда формула (12.27) для
плоской системы может быть записана следующим образом:

При пространственном нагружении формула Мора принимает вид
При расчете шарнирных ферм, образованных из прямых стерж¬
ней, в формуле Мора сохраняется член, содержащий лишь продоль¬
ную силу:
Формула (12.31) носит название формулы Максвелла.
Порядок определения перемещений по методу Мора.
1.	Строится вспомогательная система и нагружается единичной
нагрузкой в точке, где требуется определить перемещение. При
определении линейных перемещений в заданном направлении прикла¬
дывается единичная сила, при определении угловых перемещений —
единичный момент.
2.	Для каждого участка системы выписываются выражения сило¬
вых факторов в произвольном сечении заданной (Мр, N р, Qp)
и вспомогательной (М{, Ni, Qi) систем
3.	Вычисляются по всем участкам системы интегралы Мора. При
расчете плоских балок, рам и арок используется формула (12.29),
при расчете ферм — формула (12.31).
4.	Если вычисленное перемещение имеет положительный знак,
то это значит, что его направление совпадает с направлением еди¬
ничной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действитель¬
ное перемещение противоположно направлению единичной силы.
В табл. 22 приведены выражения интеграла Мора для наиболее
распространенных случаев сочетания эпюр М{ и Мр при изгибе.
§ 70. Перемещения, вызванные изменением температуры
Предположим, что элемент стержня ds нагрет внизу до темпера-
/77 Л Ae(ds)
t/r Г"
туры tB и наверху—до tB (рис. 237, а, б), а также, что по высоте
сечения температура изменяется по линейному закону. Тогда удли¬
нения верхних и нижних волокон рассматриваемого элемента равны:
где а — коэффициент линейного температурного расширения.
M^M^ds
1
.	(12.30)
8
8
8
(12.31)
а
5
Рис. 237
в
(12.32)
303

Удлинение по оси неравномерно нагретого элемента и взаимный
угол поворота его крайних сечений высотой h равны:
-f* t„
(A ds)t = а ”■■■■■? ds;	(12.33)
bn(ds)-AB(ds) t —t
(**)/ = -	ЦГ—	 =a-2—±ds.	(12.34)
Для определения перемещения любой точки К системы в любом
направлении i — i, вызванного разностью температур, выбираем
вспомогательную систему и нагружаем ее соответствующей обобщен¬
ной единичной нагрузкой Xi = 1 (рис. 237, в). Принимая интересую¬
щее нас перемещение за возможное, запишем в соответствии
с (12.27) формулу возможных перемещений применительно к рас¬
сматриваемому случаю:
д1( =	Mi (d<f)t +	Ni (Ads)t.	(12.35)
8 8
Учитывая (12.33) и (12.34), получим
=	S J Ni* “Hr1 ds + 2IMia \ *в	(12-36)
/	7
Формула	(12.36) применима и для расчета брусьев	малой кривизны.
В фермах,	где действуют только продольные	усилия,	темпера¬
турные перемещения определяются по формуле
bu=’2iNiatl,	(12.37)
fH + *в
где t =	^	температура по оси стержня.
§ 71. Вычисление интеграла Мора
по способу Верещагина
Интеграл Мора ^ M\Mpdz для случая, когда эпюра от заданной
нагрузки имеет произвольное, а от единичной — прямолинейное
очертание (рис. 238), оказалось удобным определять графо-аналити-
ческим способом, предложенным А. Н. Верещагиным.
Примем следующие обозначения: Q — площадь эпюры Мр от внеш¬
ней нагрузки; С — центр тяжести эпюры; Мс — ордината эпюры от
единичной нагрузки под центром' тяжести эпюры Мр.
304

Очевидно,
М pdz = dQ
(дифференциал площади эпюры);
= z tg а;
j* M{Mpdz = tg о ^ z Q;
j* zdQ = zcQ; tg о zc = Mc;
i
j* MxMpdz = QMC.
Общая формула перемещений для систем, состоящих из прямо
линейных элементов
Г* М{Мpdz
*ip = 2j J ш ’
запишется в виде:
Это и есть формула Верещагина. Вычисление по этой формуле
производится по участкам, на каждом из которых прямолинейная
эпюра должна быть без переломов (рис. 239).
В тех случаях, когда обе эпюры (М* и Мр) прямолинейны,
можно умножать площадь одной из них на ординату другой эпюры,
расположенную под центром тяжести первой. Сложная эпюра Мр
может быть разбита на простые фигуры (рис. 240), для каждой из
которых легко определить координату центра тяжести. При этом
площадь каждой фигуры умножают на ординату единичной эпюры под
305

ее центром тяжести, обозначаемую через t\k (вместо MCk). Формула
Верещагина в этом случае примет вид
д{р=
-	S 1Г	“139>
fe*l. 2, 3...
В табл. 23 приведены площади и координаты центров тяжести
некоторых элементарных фигур.
При учете кручения в соответствующий член общей формулы
(12.38)	будет входить жесткость на кручение GJK. Если эпюры Мр
и Mi противоположны по внаку, то результат их умножения имеет
знак минус.
Общая формула Верещагина применима и при расчете стержней
переменного сечения. В этом случае интеграл Мора записывается
в виде:
V Г MiMpdz V1 Г
--Zjj
м ^0
РЦ*1м.
J EJ (г) “	,)	EJ„	Midz'
где J (z)— момент инерции площади произвольного сечения; J0—»
момент инерции определенного (характерного) сечения.
Назовем величину
приведенным изгибающим моментом в текущем сечении. Теперь
интеграл Мора может быть записан в виде
а _ X1 С М{М пр ^
AU»-2jJ EJo
а формула Верещагина —
А
-ЁГГ-	(1240)
где 2цр — площадь эпюры ^пр; Мс — ордината единичной эпюры
под центром тяжести приведенной эпюры.
§ 72. Потенциальная 9нергия деформации
В соответствии с законом сохранения энергии работа внешних
сил при деформировании упругой системы не пропадает, а трансфор¬
мируется в потенциальную энергию деформации, которая может
проявиться в виде работы, совершаемой внутренними силами при
306

разгрузке. Так, при частичной разгрузке (рис. 241) балка, несколько
выпрямляясь и приподнимая оставшую часть груза, совершает опре¬
деленную работу.
Пренебрегая при статическом нагружении кинетической энер¬
гией, а также потерями энергии на внутреннее трение, изменение
температуры, магнитные и электрические явления, имеющие место
при деформации, можно утверждать, что. уменьшение потенциальной
энергии груза равно изменению потенциальной энергии деформации,
накопленной упругой конструкцией, т. е.
U-Up,
где U — приращение потенциальной энергии деформации; Up —
уменьшение потенциальной энергии груза.
Уменьшение потенциальной энергии
груза численно равно действительной
работе внешних сил при нагружении тела.
Следовательно, потенциальная энергия
деформации численно равна работе внеш¬
них сил при нагружении системы или
работе внутренних сил, совершенной
в процессе разгрузки. Согласно (12.12),
потенциальная энергия деформации в об¬
щем случае может быть определена фор¬
мулой
и_А_1[м>	j №
2 J EJX	2 J EJy	2 J GJK +
, 1 [N 4s , 1 (*,. Q> , !	<?>
+ 2 J EF + 2 J * GF + 2 J v GF	(12.41)
S	Я
Поскольку потенциальная энер¬
гия деформации является квадра¬
тичной функцией обобщенных сил
(или обобщенных перемещений), она
всегда положительна.
§ 73. Теорема Кастильяно.
Теорема Лагранжа
Рассмотрим упругую систему
(рис. 242), статически нагруженную
произвольной нагрузкой Q и некоторой обобщенной силой Р. Пере¬
мещение точки приложения силы Р по ее направлению и от ее дей¬
ствия будет Арр, а перемещение той же точки под действием сил
Q будет ApQ. При полном перемещении рассматриваемой точки,
равном Ар = Арр-f-Ард, потенциальная энергия упругой системы
выразится формулой
U = ~2	+ P^PQ + &QQ»
Га/1
Рис. 241
ds
307

где Uqq — энергия, накопленная в результате деформации системы
только силами Qt численно равная работе сил Q на вызванных ими
перемещениях.
Так как АРР = РЪрр, то вышеприведенную формулу можно запи¬
сать в виде
U = ±-P4pp+PbpQ + UQQ.	(12.42)
Продифференцировав это выражение по силе Р, получим
dTJ
= РЬрр + A PQ == Арр + A PQ = Ар.
Таким образом,
dU
Др = -^-.	(12.43)
Перемещение точки приложения обобщенной силы по направлению
ее действия равно частной производной от потенциальной энергии по
этой силе. В этом состоит теорема Кастильяно.
Заметим, что вторая производная от потенциальной энергии по
силе (обобщенной) согласно формуле (12.42) равна:
дт	дАр
=	(12.44)
и имеет существенно положительную величину.
Для плоской стержневой системы формула (12.41) примет вид
S	S	S
где М (s)t N (s), Q (s) — усилия в сечении стержня.
Применяя правило дифференцирования по параметру, находим
_ dU _CM(s)ds дМ (5) Г* N (s) ds dN (s)
P- дР -) EJ	dP	EF dP
8 8
+	Чг1'	(1246)
8
или, пренебрегая	влиянием	на	величину	перемещений	осевых
и поперечных сил, будем иметь
rM(s)ds дМ (s)
ЛР=) ~ш	w~-	(12-47)
8
Если при определении перемещений точки по условию задачи
нет соответствующей обобщенной силы, ее вводят в виде фиктивной.
308

Составленное выражение для потенциальной энергии деформации
дифференцируется по этой силе, после чего она приравнивается нулю.
Если представить потенциальную энергию деформации как
квадратичную функцию независимых перемещений Дх, Д2,	»
то оказывается, что частная производная от потенциальной энергии
по любому перемещению равна силе, действующей по направлению
перемещения, т. е.
-Щ-~П
В этом состоит теорема Лагранжа.
§ 74. Теорема о минимуме потенциальной энергии
Заменим в статически неопределимой системе (рис. 243, а\ лишние
связи соответствующими реакциями Хъ Х2, Х3... (рис. 243, б), которые
будем рассматривать как независи¬
мые друг от друга внешние нагруз-	i	i
ки, и вычислим по методу Кастил ьяно	A I	1 11 ТП	$	С \	D
соответствующие перемещения Дх,	Mi	П1 и !	м	и—I	о
А A	m	^	s/r//,	7&77
2» а3» • ••	~	п
Зная заранее, что указанные .	ц	.
перемещения равны нулю, мы имеем	/4л	г in'll	„	г \	n
право записать	Щ	М	111.1		?
Ь - Ж _	ди	_	1х,	\х2	%
Д1- — -0, д2--и.	5
= 0,
Рис. 243
где U = U (Xlt Х2, ЛГ3, , Р)—полная потенциальная энергия
деформации системы.
Легко убедиться, что равенства
dU = 0;	^-=0;	-gL	= 0.	(12.49)
дХх ’ ЭХ2 ’ дХ3
выражают условия экстремума функции U. Нетрудно видеть, что
этот экстремум является минимумом. Доказательством последнего слу¬
жит положительный знак вторых производных, которые, согласно
(12.44), выражают перемещения В1х, В22, В33, ... , являющиеся сущест¬
венно положительными величинами:
d2U % d2U . d2U
дХ\ и’ дх\ 22’ дх\ 33‘
Таким образом, в статически неопределимых системах лишние
неизвестные усилия принимают такие значения, при которых потен¬
циальная энергия деформации имеет наименьшее значение (теорема
Менабреа). Эта теорема известна также как теорема о наимень¬
шей работе, так как вместо потенциальной энергии можно говорить
о численно равной ей работе внешних сил. Из нее следует, что при
добавлении в упругую систему каких-либо связей потенциальная
энергия системы всегда уменьшается.
309

Таблица 22
Выражения интеграла Мора \ MiMpdz для различных сочетаний эпюр ЛГ* и Мр(1 —• основание площади эпюры)
N. Эпюра
\ М\
Эпюра \
Мр \
^тттгТП>
.З^гггГ
<rmf *
-1 1 1 \S\ /
4^
.„И—.г
1 ■7 -
i.<*i.. v
>
±ш
1 h (fe'j + 2A2) /
-i-A(2A2 —At)/
-i-AA(l -J-a)i
1a(2A,+A2)/
-i.A(A2-2A,)/
■i-AAd+P)/
«гггпТГПТ.
]*
~2 0*1 ■+• А2) hi
1 (A, + 2ht) hi
-g- [А, (2A, + A2) +
+ ^2 (2^2 + ^l)l I
-g- |Л, (ft2 — 2AX) +
-j- h2 (2h2 — Л^)] /
i[(l+p)A,+
4- (1 + «) AJ hi

г» < Г» ndD
ih°)ir
‘» > г» ado
-(j-
\ 09
-’MlT
1$ Рч — *ч)ч^
(z4 + l4)4^-
V
1$ЧЧ-7
/to
nil4(i + о —
— 8q (® +1)]-^
ll(x4Z — z4) ly —
— (lv — гчг) 8vl -f
~ V
1 l(zV + l4Z) l4—
~(l4 + z4Z)z4}-7
“ V
ra (xv — ечг) -7
I
14 (1ч — sv) -f-
~ V
z> = » Hdn
p
W4j
;ч[1ч(й + v) —
— sv(° +1)1-7
~ I
/v(s4(® + l) +
+ ‘4(d-M)]y
m(» + 1)7-
I
mf
Ч^-
~нГ.
7?	№
7
W
1Р

313

Таблица 23
Площади и координаты центров тяжести некоторых элементарных
фигур
Эпюра
М
Площадь
2
Координаты центра тяжести
гС
I - ZQ
_ 2С	l-Zc
т'
t-zc
(hx -f- h2)
2
-j- 2hp
3 (h\ "f* ^2)
h2 -f* 2hf
3 (h\ 4” h2)
I
J]
m ^0
l~Zc ,
I
lh_
2
a + /
”T"
b+l
Квадратичная
парабола
—
2c	l-Zc	'
lh
3
T'
T*
314

Продолжение табл. 28
Эпюра
м
Площадь
2
Координаты центра тяжести
гС
Кубическая
парабола
—=щшп
1с _ 1-1С-
Jh
4
Половина квадратич¬
ной параболы
лШЛТШ
J-Zc_
Ttt
4'
Квадратичная
парабола
„ zff e
1
п. .
4“
Квадратичная
парабола
ql
ii*+
l-z.
4- За (а + /)]
/	6all -f- 8а/2 -(- З/3 в
г° = Т За®/ + За/2 + /3 *
/	6аа/ + 4а/2 + 13
2с — 4	За2/+ За/2 +/3'

Глава IS
СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
§ 75. Основные этапы расчета статически
неопределимых систем
Статически неопределимыми называются системы, силовые фак¬
торы в элементах которых не могут быть определены только из
уравнений равновесия твердого тела. В таких системах имеется
больше связей, чем это необходимо для равновесия. Таким образом,
Рис. 244
!Ra |Rb	ft
a	§ mrm..,
77977". //У/А	*
ДПШ
Рис. 245
часть связей в этом смысле является как бы лишней, а соответ¬
ствующие усилия являются лишними неизвестными. По числу лишних
связей или лишних неизвестных усилий
устанавливают степень статической неопре¬
делимости системы.
На рис. 244, а приведена статически
определимая система, а на рис. 244, б — один
раз статически неопределимая. На рис. 245, а
показана дважды статически неопределимая
балка, полученная из статически определи¬
мой системы (рис. 245, б) в результате уста¬
новки двух шарнирных опор в точках
В и С. На рис. 246 показана дважды стати¬
чески неопределимая плоская рама.
Статическая неопределимость может быть
результатом не только введения дополни¬
тельных связей, но также и условием образования системы. Приме¬
ром может служить рама (рис. 247, я), в которой реакции опор
Ra, На, Rb легко определяются из условий равновесия, но послед¬
ние не позволяют найти все силовые факторы в ее элементах. Раз¬
резав раму на две части и рассматривая равновесие одной из них
К
р.
I
Рис. 246
316

(рис. 247, б), мы устанавливаем, что эта рама представляет собой
систему шесть раз статически неопределимую, так как каждый
замкнутый (бесшарнирный) контур является три раза статиче¬
ски неопределимым.
Установка шарнира на оси стержня (рис. 248, а) (одиночный
шарнир) обращает в нуль изгибающий момент в этом сечении и,
следовательно, снижает степень статической неопределимости на
единицу. Шарнир, включенный в узел (общий шарнир), где схо¬
дятся п стержней (см., например, рис. 248, б, в), снижает сте¬
пень статической неопределимости на п— 1, так как заменяет
Рис. 247
\\\\Ч	\\\\\
К к
Рис. 248
собой столько же одиночных шарниров (рис. 248, г). Степень ста¬
тической неопределимости плоских систем (s) может быть определена
по формуле
s = 3к — ш,	(13.1)
где к — число замкнутых контуров, ги — число шарниров в пересчете
на одиночные. Основание (земля) рассматривается как стержень
бесконечной жесткости (EJ = оо).
При расчете статически неопределимых систем можно в качестве
неизвестных принимать как силы или силовые факторы, так и пере¬
мещения или деформационные факторы. В первом случае имеем так
называемый метод сил, во втором — метод перемещений.
Расчет по методу сил проводят в такой последовательности.
1.	Устанавливают степень статической неопределимости.
2.	Путем удаления лишних связей заменяют исходную систему
статически определимой, называемой основной системой. Таких систем
317

можно построить несколько, соблюдая при этом условие их геомет¬
рической йеизменяемости.
3.	Основную систему нагружают заданными внешними силами
и лишними неизвестными усилиями, заменяющими действие удален-
вых связей, в результате чего получают эквивалентную систему.
4.	Для обеспечения эквивалентности исходной и основной систем
неизвестные усилия должны быть подобраны так, чтобы деформации
основной системы не отличались от деформации исходной статически
неопределимой системы. Для этого перемещения точек приложения
лишних неизвестных по направлению их
действия приравнивают нулю. Из полу¬
ченных таким образом уравнений опреде¬
ляют значения лишних неизвестных уси-
Mi-gl
if1
si
8
I
в
Рис. 249
Рис. 250
лий. Определение перемещений соответствующих точек можно
производить любым способом, однако лучше использовать при этом
наиболее общий метод Мора или способ Верещагина.
5. После установления значений лишних неизвестных усилий
производят определение реакций и построение эпюр внутренних
усилий, подбор сечений и проверку прочности обычным способом.
Рассмотрим пример расчета статически неопределимой системы
(рис. 249, а). Приняв реакцию опоры В за лишнюю неизвестную Xl9
получим основную систему в виде консоли, нагрузив которую рас¬
пределенной нагрузкой q и усилием Хг, придем к эквивалентной
системе (рис. 249, б). Дополнительным уравнением перемещений
будет равенство нулю прогиба в точке В:
Д1==0.	(13.2)
Полный прогиб Aj можно представить как сумму прогибов от внеш*
ней нагрузки (рис. 249, в)
Aip=~~mr	(13-3)
и от неизвестной реакции Л] (рис. 249, е)
А«=ЗЖГ	(134)
318

Уравнение (13.2) можем записать в виде
Д1 = Д1Р+ = О*
(13.5)
или
Ql*
8 EJ
+ 4£--о.
3 EJ
Отсюда находим искомую реакцию
X, = j ql.
Из уравнения статики легко найти остальные
обычным способом построить эпюры Q и М, как
это показано на рис. 250.
В табл. 24 приведены расчетные формулы
для определения опорных реакций, поперечной
силы Q, изгибающего момента М и перемещений
для основных случаев нагружения стати¬
чески неопределимых однопролетных балок,
а в табл. 25 — для случаев смещения опор
и неравномерного нагрева балок.
§ 76. Канонические уравнения метода сил
Дополнительпые уравнения перемещений,
выражающие равенство нулю перемещений по
направлениям лишних неизвестных, удобно
составлять в так называемой канонической форме,
т. е. по он роделенной закономерности. Покажем
это на примере решения простейшей статиче¬
ски неопределимой системы (рис. 251, а).
Выберем в качестве основной системы кон¬
соль; в качестве эквивалентной системы полу¬
чим консоль, нагруженную внешней силой Р
и лишней неизвестной Хх (рис. 251,6). Допол¬
нительное уравнение перемещений, выражающее
равенство нулю перемещепия точки В от сил
Р и X,, будет
(13.6)
реакпии, а затем
£,р
Д, = Д (Р, Xt) =0.
в
(13.7)
На основании принципа независимости дей¬
ствия сил запишем
Aj — Д^р -j- Д
(13.8)
е
Рис. 251
где Д1Р — перемещение от заданной нагрузки Р
(рис. 251, в); Дп — перемещение от силы Xf. Обозначив перемещение
от Хх = 1 по ее направлению через Ьп (рис. 251,<9), получим
Уравнение перемещений (13.8) примет вид
4" р — 0.
(13.9)
319

Это каноническая форма уравнения перемещений для один раз ста¬
тически неопределимой системы. Из формулы (13.9) имеем
*1='
(13.10)
Для системы, имеющей две лишние связи (рис. 252), канониче¬
ские уравнения будут иметь вид
^11^1 4 ^12^2 4* ^{Р = 0»
^21*^1 + &22^? 4 ^2Р =
(13.11)
Аналогично могут быть написаны в канонической форме, урав¬
нения перемещений для любой п раз статически неопределимой
системы
^11*^1 4 ^12-^2 4" &13^3 4“	4* ^{пХП Н“ ^1Р —
&21^1 + &22^2 4* &23^3 +	+ 52П^П + ^2Р =
5п1 х\ + Ьп2Х2 4 5п3^я +	4	КпХп + АпР = °-
(13.12)
1
р т
С
£
А
77}
77^
77.
В
77
Рис. 253
Перемещения AiP и В^-, входящие в канонические уравнения,
следует определять по методу Мора или способу Верещагина. При
расчете рам и балок, для которых отношение высоты стержня к его
длине, как правило, меньше 0,1, в общей формуле Мора ограничи¬
ваются сохранением интегралов, учитывающих лишь изгибающие
моменты. При этом прикладывают к основной системе единичные
нагрузки Хх — 1, Х2 = 1,	,	Хп	= 1, а также внешние нагрузки
320

и строят соответствующие эпюры моментов, как это показано приме¬
нительно к трижды статически неопределимой системе (рис. 253) на
рис. 254. Ординаты эпюр изгибающих моментов о»т заданной нагрузки
Р (состояние Р) и каждой единичной силы Хг = 1 (состояние 1),
Х2 = 1 (состояние 2) и т. д. обозначим соответственно через Мр,
Mi, МШ9 ..., Мп. На основании (12.29) находим
Л1Р
JMxMpds
~еГ
2Р '
M2Mpds
EJ
А
пР
JMnMpds
~ЁГ
(13.13)
%=f 1г1
W\
7Я7Г£
I
Рис. 254
Удельные перемещения, имеющие одинаковые индексы (главные
коэффициенты канонических уравнений), определяют по формулам
°п
_[мп
“J J
Mnds
EJ 9	nn	J	EJ
8 8 8
(13.14)
Удельные перемещения, имеющие разные индексы (побочные
коэффициенты), определяют по формулам
MfM3ds	Г	MiMjtds
ift = J 17
8 8 8
(13.15)
Эти перемещения могут быть положительными или отрицательными,
а также равными нулю.
На основании теоремы о взаимности перемещений
hk =
Для систем, состоящих из прямолинейных элементов, вычисле¬
ния перемещений удобно производить по способу Верещагина.
Например, для статически неопределимой системы (рис. 251, а)
имеем (см. рис, 251, в, г, д, е):
°>рМСр % %MCi
ip = ej '	= ~~т~ *
Р1\ X? 5,
°P = —; MCD = ~а I»
8
il
2
12 	 2
о » MCi =
И 5-1186
321

Следовательно,
1°
3	EJ
Из формулы (13.10) находим
** 5ц ” 16 ’
Если учитывать влияние разности температур, то порядок расчета
сохранится прежним, а свободные члены канонических уравнений
при этом будут представлять собой перемещения в основной системе
не только от заданной нагрузки’ но и от изменения температуры:
8Ш^1 + Ьп2Х2 +	+	ЬппХп	+	ДпР	+	Дп(	—	0>
(13.16)
где Ait — перемещение в основной системе по направлению силы Xi,
вызванное разностью температур.
После определения коэффициентов tyj и свободных членов А^ и
Ац решаем систему канонических уравнений (13.16) и находим лиш¬
ние неизвестные Хъ Х2,	,	Хп.	Далее	обычным	способом	строим
эпюры внутренних сил (iV, Q и М). Построения удобно производить
методом суммирования по схеме
М = М±Хх + М2Х2 + +Мр;
Q = Q1Xi + Q2X2 + +Qp;
N = NiXt + N2X2+ --+Np
(13.17)
Отметим, что вид канонических уравнений остается неизменным
при любом возможном варианте основной системы, изменяется лишь
смысл лишних неизвестных и геометрический смысл перемещений.
В табл. 26, 27, 28 приведены расчетные формулы для определе¬
ния изгибающего момента в характерных сечениях некоторых видов
статически неопределимых рам для простейших случаев их нагру¬
жения.
§ 77. Многоопорные неразрезные балки.
Уравнение трех моментов
Неразрезными называются балки, лежащие более чем на двух
опорах (см., например, рис. 255, а). Число лишних связей в нераз¬
резной балке, а следовательно, и лишних реакций равно числу про¬
межуточных опор. Иногда крайняя опора выполняется в виде
защемления. В этом случае степень статической неопределимости
балки увеличивается на единицу.
При выборе основной системы за лишние связи целесообразно
принимать не промежуточные опоры и лишние неизвестные реакции
322

в йих (рис. 255, б), что привело бы к излишне громоздким вычис¬
лениям при определении лишних неизвестных, а изгибающие моменты
в опорных сечениях. В этом случае, очевидно, основной системой
будет система однопролетных балок, соединенных на опорах шарни¬
рами. Тогда эквивалентная система при расчете по методу сил будет
представлять собой ряд простых шарнирно-опертых балок, нагру¬
женных заданной нагрузкой и неизвестными изгибающими моментами
по концам (рис. 256):
Mi =	Л*2	=	Х2‘,	... J Mn+i = Xn+i
Дополнительное уравнение перемещений для каждой промежу-
11
V^i't r I	г'тт-тг*
\Xf \%z I Xft-2 I Xfrf	\Xatf 'Xn+2 Xtn-2
2	n-2	n-1	ГГП	n
n+1	n+2	IHltlH	m-1
5
Рис. 255
Xf I Xt Xn-2 Xn.f , лп I I .A*/ Awi <A/Th2 ,
. ^n*f ■Xn*} 'Xm-S
Рис. 256
точной опоры должно выражать условие равенства нулю взаимного
угла поворота опорных сечений смежных балок. Поскольку
каждая из двух опорных балок основной си¬
стемы под действием внешних нагрузок в про¬
лете и концевых моментов деформируется
независимо от другой, то торцы двух смежных
балок, примыкающих к одной опоре, например п-й
(рис. 257), могут поворачиваться на некоторый
угол Д£ев и Д^3®. Так как в исходной статически
неопределимой неразрезной балке каждая пара
таких сечений представляет собой одно сечение,
то из условий сплошности их взаимный угол пово¬
рота должен быть равен нулю. Отсюда для каждой
промежуточной опоры
Дп= д£ев + Сав= о.
Рис. 257
(13.18)
Так как основная система состоит из отдельных, не связаниых
между собой однопролетных балок, то при раскрытии условия (13.18)
И*
323

достаточно рассмотреть примыкающие к и-й опоре два пролета 1п
и	Тогда	условие	(13.18), записанное в канонической форме,
будет иметь вид
К П-*1 ^П-1 4" ^пп^п "Ь П+1^П+1 “Ь ДпР О*
(13.19)
Г?у,
-X, X,
X
ln+f
V
On
В соответствии с построениями, приве¬
денными на рис. 258, а, б, в, в,
А	1	,
пР=1т; в" т^+
г?>79
Ьр.
Jn+1
^fiTr Xfl 1	77977	%п	1
77077
/(
1
7п-Н
1
(13.20)
Zn+1
*			‘	Jn_ A J_
n.n“1 EJn	2 '	* 3	6EJn*
(13.21)
'ft
w~~
■u
Рис. 258
Рис. 259
Ьпп~Ётп
In 4	2
т 1#т+
In
“ зд/п
1 I
+ "g
n+1
n-f-i
n-H
n, n+1 — EJ
ln+1
n-fl
6ДУ,
n+1
Подставляя (13.20) — (13,23) в (13.19), получим
Y	In I OV / In I	\ j у
п.—i “7	н	“7~	-f-	“7	) + л +1 -y—
Jn	\ Jn Jn+i ) T *Л
= 6 ((1>nan -f с°п+1^п+1 \
\ *^n ^n+i^n+i /
n-J-l
324
(13.22)
(13.23)
(13.24)

Заменив обозначение лишних неизвестных Х{ на Мполучим урав¬
нение трех моментов
0 / j \
\ Jnln Jn+iln+\ ]
(13.25)
При расчете неразрезных балок составляют столько уравнений
трех моментов, сколько имеется промежуточных опор. Решив полу¬
ченную систему уравнений, определяют лишние неизвестные моменты
М% на опорах. Зная концевые моменты эквивалентной системы, все
дальнейшие расчеты выполняют обычным методом, как при расчете
любой статически определимой системы.
Для балок постоянного сечения (J = const) уравнение трех
моментов (13.25) упрощается:
Уравнения трех моментов для второй и предпоследней опор нераз¬
резной балки, очевидно, будут содержать только два момента.
Уравнения трех моментов используются и при расчете неразрез¬
ной балки, один конец которой жестко заделан. В этом случае
составляют уравнение трех моментов также для защемленного конца,
ставя там как бы промежуточную опору, и в сторону заделки вводят
фиктивный пролет. Если заделан левый конец балки, в уравнении
трех моментов должны быть положены равными нулю	1п,
а член 6 будет отсутствовать. Если не все опоры неразрезной бал-
tn
ки находятся на одном уровне, а имеет место смещение некоторых
опор, то в балке могут возникнуть значительные начальные напря¬
жения. Эти напряжения зависят от разницы в уровнях опор и жест¬
кости балки, увеличиваясь пропорционально указанным величинам.
Влияние смещения опор на напряженность неразрезной балки
может быть оценена следующим образом. Пусть имеет место картина
смещения опор, приведенная па рис. 259. Углы поворота левого
и правого пролетов относительно опоры п будут
Угол поворота считаем положительным, если сечение поворачивается
по часовой стрелке. Очевидно, взаимный угол поворота торцевых
сечений на опоре п
Мп_{1п + 2Мп (1п + /п+1) + Мп+1/п+1 —
(13.26)
~ °п-И
(13.27)
329

Теперь каноническое уравнение при расчете на смещение опор,
в котором роль АпР играет Дп, примет вид
п-1*п-1 + bnnXn + &nf n+l^n+t + Дп = 0-	(13.28)
В случае балки постоянной жесткости, с учетом (13.21)—(13.23)
и (13.27), уравнение трех моментов (13.28) окончательно можем запи¬
сать в виде
+ 2Mn (ln + ln+{) + Мп+[1п+1 =6EJ (0n_j.j ^ 0n)‘
(13.29)
Если, кроме смещений опор действуют внешние нагрузки, в правой
части уравнения (13.29) должны быть сохранены члены, содержа¬
щиеся в правой части уравнения (13.26).
§ 78. Расчет статически неопределимых
криволинейных стержней
При расчете статически неопределимых упругих систем, содер¬
жащих криволинейные стержни, так же, как и при расчете любых
статически неопределимых систем, рекомендуется пользоваться кано¬
ническими уравнениями метода сил. Однако в этом случае переме¬
щения, входящие в канонические уравнения, следует вычислять не
по способу Верещагина, а по методу Мора.
В качестве примера рассмотрим круговое кольцо постоянного
поперечного сечения, растягиваемое двумя равными и противопо¬
ложно направленными силами Р (рис. 260, а). Эта система, как
и всякий замкнутый контур, является трижды статически неопре-
Рис. 260
делимой. Выберем основную систему, разрезав кольцо по сечению А2
(рис. 260, б). Из условия симметрии следует, что поперечная сила
в этом сечении Х2 = 0. Разрезав кольцо по диаметру Аг — Л2
(рис. 260, в), из условий равновесия отсеченной части находим зна-
р
чение нормальной силы Х$ = Неизвестный изгибающий момент
Хг найдем из рассмотрения эквивалентной системы (рис. 260, е).
Каноническое уравнение перемещений, выражающее условие
равенства нулю взаимного угла поворота граней в сечении Л2, будет
*iA + Au>-0,	(13.30)
326

При этом Мр и Мх согласно рис. 261, а, б могут быть выражены
формулами:
~ (1 — cos ср) ^0<<р	;
М, = ^ 1.
Подставляя выражения для Мр и Мг
в (13.31) и (13.32), получим:
л _ / Г />Яа(1-со8<р)*р
Aip-A]	ш
о
2PR* (к	\
А
№л.
Щ
р\в‘ © 0
X,*f
Xri
Рис. 261
. С Rdy 2пR
EJ EJ
Теперь уравнение (13.30) может быть переписано так:
откуда
2рда (т-1)
2п R
= — 0Д82РД.
(13.33)
Таким образом, изгибающий момент в сечении А
МА = 0,182 PR
и направлен в сторону, противоположную принятой ранее.

Изгибающий момент в произвольном сечении можно выразить
формулой
Поперечная сила в любом сечении выражается формулой Q (<р) =
= 0,5Р sin ср; осевая сила N (<р) = 0,5Р cos 9. На рис. 262 приведены
эпюры М, Q и N.
В табл. 29 приведены расчетные формулы для определения уси¬
лий и перемещений в различных случаях нагружения кольца.
§ 79. Определение перемещений в статически
неопределимых системах
После определения значений лишних неизвестных усилий
и построения эпюр перемещения в статически неопределимых систе¬
мах можно найти обычными способами. При этом в каждом конкрет¬
ном случае следует использовать тот метод, который наиболее просто
приводит к результату, Например, прогибы и углы поворота сечений
статически неопределимых балок, несущих сложную нагрузку* реко¬
мендуется определять по методу начальных параметров. Метод Мора,
являющийся универсальным, обычно используют при определении
перемещений в балках, рамах и фермах.
Используя формулу Мора
следует рассматривать окончательные эпюры М, N, Q от силовых
факторов статически неопределимой системы, а также эпюры М
Ni, Qi от единичного силового фактора, соответствующего искомому
перемещению. При этом для установления эшор M\t N1 и Q% целесо^
м (<р) = — -у (1 — COS <р) + МА;
максимальный момент
Л/тах = ^В	0.318PR
\2
2
Рис. 262
М(Мр ds
EJ
s
8
S
328

образно единичную нагрузку прикладывать к основной статически
определимой системе.
В качестве примера вычислим взаимные перемещения точек
Л| — А2 и Z?!*—#2 соответственно в горизонтальном и вертикальном
А,
If
*2*
j £
Ьг.
х,
t
Bt
X,
X,
*
k 1
I \
X,
к yrfEL
; Nm ТОН' •«
Sign*
е
7\
ШН
ШГ
т\\
llffllll
з
направлениях для статически неопределимой системы, представляю¬
щей собой одноконтурную раму, под действием сил Р, приложенных
по схеме, приведенной на рис. 263, а. Прежде всего определим лиш¬
ние неизвестные этой трижды статически неопределимой системы.
Выберем основную систему, разрезав одну из стоек по оси симметрии
(рис. 263, б). Вследствие симметрии нагрузки в месте разреза попе¬
речная сила Х2 = 0. Из рассмотрения условий равновесия половины
рамы (рис. 263, в) находим
2	Х3 = Р; Х3 = -
2 '
Лишний неизвестный момент Хх определится из следующего кано¬
нического уравнения:
(13.35)
Здесь А1Р —перемещение в направлении действия усилия Х± от
Р
сил Р и Х3 = -Tf- ■
329

Для определения перемещений и 5^ строим соответствую¬
щие эпюры (рис. 263, г, д) и, пользуясь способом Верещагина,
находим
^^MiMpds 2 Pl\ Pl\
A‘p=2jJ EJ “177	~	=
МЛМЛ ds
2*j
я/!
2Z2
&/2
(13.36)
(13.37)
Подставив (13.36) и (13.37) в (13.35), имеем:
+
pi\
4EJ,
= 0;
Xi = -
При li = l2 = l и J1 — J2=J
x	IL
1 ~ 16 •
На рис. 263, в, яе, а построены эпюры M, Q и N для рассмотрен¬
ной рамы.
Для определения взаимного перемещения точек Аг — А2 в гори¬
зонтальном направлении прикладываем к основной системе в этих
2
pill
IIII1
* ^
1
LL.—J
Л/
Л
b [Тттгч
точках единичные силы (264, б) X* = 1. Перемножая эпюру Мр>
которую удобнее представить в виде, показанном на рис. 264, а, на
эпюру находим (при 1г = /2 = / и = /2 = /).
V С	MiMpds_	\	(	p/2	i ^
^ ~ ZJ J	Щ— ~ ~Ё7	\	16”	2
8
pi2 I	р/*	/	\	Рг3
8	2	32 " 4	/ —	64£/ '
330

Чтобы определить взаимное вертикальное перемещение точек Bt — B2t
прикладываем к основной системе в этих точках единичные силы
Хь = 1 (рис. 264, в). Перемножая эпюры Мр и М^у находим
V1 f ШкМр ds	1 I pi*	i
Bi-Вг ~ k ZjJ EJ ~ EJ \ 16	2 "
PI*
16
8
IL 2U
i6 j “
ъ_
192
PI3
В случае действия на статически неопределимую систему темпе¬
ратуры к перемещениям основной системы, нагруженной найденными
лишними неизвестными, следует добавить температурные перемеще¬
ния. При этом формула (13.34) с учетом (12.36) примет вид
M{Mt ds
EJ +
Ту	+	О
NiNt ds
EF
+
si
GF
2jSi*
(*H	^b)
(13.38)
где Mu Nt, Qt~ эпюры от лишних неизвестных, обусловленных
изменением температуры.
В табл. 24, 25, 29 приведены выражения для перемещений
в статически неопределимых однопролетных балках и кольце для
различных случаев их нагружения.
§ 80. О расчете пространственных рамных систем
Как известно, в самом общем случае в сечении стержня действуют
шесть внутренних силовых факторов: Nzt QXt Qy, МХ} Му и Mz.
Для неподвижного закрепления,
сечения нужно наложить шесть связей
усилия в которых могут быть найдены
из шести уравнений равновесия твер¬
дого тела.
Рис. 265
Количество связей в пространственной системе, превышающее
указанное число, дает степень статической неопределимости. Так,
пространственная рама, показанная на рис. 265, а, является системой,
шесть раз статически неопределимой, так как из уравнений равно¬
весия можно определить лишь реакции одной жесткой опоры. Один
из вариантов основной системы вышеуказанной рамы приведен на
рис. 265, б. Для определения шести неизвестных усилий необходимо
решить шесть канонических уравнений обычного вида.
331

Пространственная рама, показанная на рис. 266, а, является
системой 24 раза статически неопределимой. Основная система
(рис. 266, б) содержит четыре разреза, в каждом из которых имеем
шесть неизвестных усилий.
В конструкциях встречаются плоские рамы, подверженные дей¬
ствию пространственных нагрузок. В плоских рамах, нагруженных
перпендикулярно к их плоскости (рис. 267, а), силовые факторы,
характеризующие работу рамы в ее же плоскости, равны нулю. Сле¬
довательно, из шести неизвестных (рис. 267, б) три равны нулю,
т. е. Х4 = Х6 = Хв = 0 (рис. 267, в). Это обстоятельство упрощает
расчет плоских рам.
При расчетах плоских рам пространственные нагрузки расклады¬
вают на составляющие, действующие в плоскости рамы и перпенди¬
кулярно к ней, и, используя принцип независимости действия сил,
рассчитывают систему отдельно для каждой из нагрузок, действую¬
щих в разных плоскостях.
В качестве примера приведем расчет по методу сил рамы, пока¬
занной на рис. 267, а. Из соображений
D. симметрии выберем основную систему
в виде, приведенном на рис. 268. Этот
вариант удобнее, чем приведенный на
рис. 267, в% так как крутящий момент
Х2 и поперечная сила Х3, т. е. косо¬
симметричные силовые факторы, оказы¬
ваются равными нулю. Неизвестный
изгибающий момент Хг легко опреде¬
лить из канонического уравнения
Рис. 268
(13.39)
Для определения перемещений ДАр и &п строим эпюры изгибаю¬
щих и крутящих моментов для Р-то (рис. 269, а) и единичного Хх = 1
(рис. 269, б) состояний. Эпюры крутящих моментов показаны
штриховыми линиями.
Пренебрегая влиянием осевых и поперечных сил, формулы Мора
для определения перемещений запишем в виде
■4 Р
-EJ
MxlMxPds
EJx
°11
= У С МXIмxl ds
EJx
■si
8
sf
Myi MvPds
EJy
MV1Mmds
EJy
6
МЛ MzPds
GJ„ '
MziMzi ds
GJZ *
(13.40)
(13.41)
332

Учитывая, что единичные эпюры ограничены прямыми линиями,
перемещения AiP и можем определять по способу Верещагина
,2
ql 1
А
2
1 . 2 —
GJ„
/2.1 2=
24£У,(1 + 6 &/к
h\.
к)'
Рис. 269
»			I	2/ji
8” “177 сТГ ~
2_		j	4	.	«	_£а_\
к	G/’	kj-
На основании (13.39) найдем
Д1Р
,2
Як
,+б S:
к
к
5„
24
EJX
1 +2 а/.
h.
к
9?, /
2 /
V ,
чЧ
Т ,
/|/А
D
j6 у
Н/
сШ
У /
qii
24 ’
U\-
©
где
‘ + е-й--т
14-2
1	+	/1
Окончательные эпюры М, Мкр и (? приведены на рис. 270.
333

Таблица 24
Опорные реакции, поперечные силы, изгибающие моменты и перемещения в статически неопределимых
однопролетных балках
Схема нагружения
балки. Эпюры Q и М
Опорные реакции,^ поперечная сила Q, изгибающий
момент М, координата опасного сечения zo,
максимальный момент Мтах
Уравнения упругой линии w (z), угол
поворота 0 концевого сечения, максимальный
прогиб / (при постоянном EJ)
Мо
!>L . ^
, 2
i)
и,
?
«	«	3 Мл _.	1	,	,
Дд =	=	~2 J	— ~2	0
O^z ^ /
„-I*;
а*=0 wmax = Мо
M0l* / z3	,2	,	\
»(«)-*- 4£У \1з	2~W+~J
M0l*	1	,
'=—тт при г=тг
М qI	л
Ш “Р" 2 = 0

О = г ndn
(jL
e t vji°M
; ^ z > v
[v(t-') + (ts~
S2 / V Z° ) \ J zfW
V > z > о
о = хв™д ?iie‘° ~ 0 Hdn
I XB“/v I > I XBT/r I 7SiZ‘0 > ® и<*п
(^-s-i)°№}- = m> ;=•*
-1)V°№f^ = xe”^ °='z
t_“w
[Ф~')ъ f—'» '=”>0
Ю
S?
mr
©^С“‘'ЧЩ
@ШШЖШПР
W
<ЙН=-
% 5Г

Продолжение табл. 24
Схема нагружения
балки. Эпюры Q и М
Опорные реакции, поперечная сила Q,
изгибающий момент М, координата опасного
сечения z0, максимальный момент Мтах
Уравнения упругой линии w (z), угол
поворота 0 концевого сечения, максимальный
прогиб / (при постоянном EJ)
* \р «Л
£
16'
О < Z < //2
«-в* м-шр■
1/2 < z < I
«—в* М-Р{{-Ш‘)
2°	^тах = ^ 16
0<2<у
мф) =
PZ3
У6ДУ
"2 <2</
/ = — 0,0093
PV*
EJ
Р12
‘32Я/
при z = 0,447/
при 2 = 0
7РР	I
' 768EJ “Ри 2 ~ 2

00
со
■р И'-
%
я-шшп
П _ р
Ra~~2
rb~~2
^(3~тЬ
4МЧ=
МВ = Ц£(1 + Ъ)
0<z< 6
,«-т -?(»—f)= «-т т(3-т)
6<z<Z
в-'[т тМЬФ
—'»[т('-т)-!^]
ч’-» «„„-^(з-i)
при а = 0,6341 наибольшее значение
■^max = 0.174PZ
*-* Мты	^(Z + b)
при а = 0,4231 наибольшее значение
M^ = -o,mpi
О	<z<6
PI3
”w	w[t(3t-tt)-
-3^]
Pasb2 (За -f 46)
\2l3EJ
6<z</
'И—ш{т-И-4)-
+(l-4)1
—	3*
при a = 0,586J наибольший прогиб
при z = Ъ
/ = — 0,0098
PZ3
EJ
-	2^1 /^1 _
“ 4ЯУ w3 “pry
при z = 0

Продолжение табл. 24
Схема нагружения
балки. Эпюры Q и М
Опорные реакции, поперечная сила Q,
изгибающий момент М, координата опасного
сечения zq, максимальный момент Мтах
Уравнения упругой линии w (2), угол
поворота 6 концевого сечения,
максимальный прогиб / (при постоянном EJ)
*a = § ql; дв = 4 <?*•■	= 4-
0<z</
т): «-""(т-т т)
0<z<f
/ ^	/9	г4
wW- тщпу I*
/ =	ту	при	z	=	0,421	i
3-^ +
185Д./
_ qP
48EJ
при 2 = 0

со
со
CD
'42
£д1Щтгч
ГШщ(
64
0 < z < Ц2
64
г/2<г</
м
=«‘’[к-т-т(т-1)-
~Ит-9Ч(т~Щ
Zg I -A^max	<?^2
z0'= 0,415/ M^n^qP
t =
ql4
289,8EJ при z
= 0,5/

Продолжение табл. 24
Схема нагружения
балки. Эпюра Q и М
Опорные реакции, поперечная сила Q,
изгибающий момент М, координата опасного
сечения z0, максимальный момент Мшах
Уравнения упругой линии w (2), угон
поворота 0 концевого сечения, максимальный
прогиб / (при постоянном EJ)
10
2о
15У?
£
RA = Wql; RB = Tqli МВ = 15^
о <г<г
*-*(W 4)
15 1/5
при г = 0,447/
w 426,bEJ ПрИ 2 — 2

ТПТгт-^1
M,
ь
А
^^ТГтк <g>
ял-а?,; дв = £^; ^в = ш^2
o<z<i
_	/11	Z	1	Z*	\
Q~q Щ ' I + 2 Р );
и-£(ё_1+1 . jL)
2 \20	/	+	3	I2	)
zo I ^max 120
zj = 0,329/ ^ax = g
'	ЗЙШ" ПРИ г = 0-402г
<?*4
349Я/ при г ~ 2
*/Л Л/в г2	г
“7 = и,Ы + 1бЖ7 при 2 = Т
Параметры со знаком * соответствуют
статически определимой балке на двух
опорах (см. рисунок)

Продолжение табл. 24
Схема нагружения
балки. Эпюры Q и М
Опорные реакции, поперечная сила Q,
изгибающий момент М* координата опасного
сечения Zq9 максимальный момент Мтах
Уравнения упругой линии u?(z), угол
поворота 6 концевого сечения, максимальный
прогиб t (при постоянном EJ)
И
<*
Ил
«циинФигтт®
Чсъ
Ks,
Па-ь*о-^-; лв = блг0 вЬ
13 ’
а
МА — М0 ~~£2~	^)» МВ — Мо ~~jT (2^ *— а)
0 < z < а
u
Г* в
Яв
й\
Q — — 6Л/0 ;
м м 06 {•■> b
1 T
b
n
0 a
^ Г
a < /
М = М0 (2		 —
-•4+5-)
*«'=0 ^* = ^0-гг (2а-6»
*о=* ^тах	М.
(—т-
0<г<а
/8 Г	23	Z2	1
,(г) ~~Ш7 \~Ra~W "*■ ЗМа I5”]
_ Q Mabz2 (.) a b 0 az \
= EJl1 V" I ~ I "	/*	;
i<*<4
“’max О °> при г = -| (2— Aj|
“’max « °> “РИ г = J (l + -J-) 1

Zq = й -Л^щах = Mg ^4
П а* о я8\
-9-^- + 6irJ
4V=i Ml^x = -M0^(2b-a)
К
.1/2
I
%
4рШШ
m
m
Ж
и
Ra = Rb = \p> ma = MB = ~Pl
0 <z<-
Q = yi>; М = ~ P (Az — I)
2<г<1
Q = -~P; ж = 1р(зг-4г)
^.'=4 Mmax=±.pi
w(z) =
/ = ■
0<z<y
Pt» /3j^_
48Д/ \	/2
PVA
\92EJ
при

Продолжение табл. 24
Схема нагружения
балки. Эпюры Q и М
Опорные реакции; поперечная сила Q, изгибающий
момент М, координата опасного сечения z0?
максимальный момент Мтях
Уравнения упругой линии w (z), угол
поворота 0 концевого сечения, максимальный
прогиб f (при постоянном EJ)
Ra ip RB
fllM-rUI
К
(a)
ШШЖ
r. _ n b2 (3a + b) . r*	n	(3&	+	a)	.
nA~ ^	73	* KB ~ Г 	ji	’
/з * ^B
A1
12
O^z^a
MA-Pa-jr; MB = Pb
a*
~W
Q_pb2JM±H.t
a < I
<? —*££»±i!; M_Pa^[
*o'=° Мшж = -Р^-
2o =a	ax	=	2P1T
M"=-pb4>
3 a -}- b
al
, 4 Pab2	*2 U о * b z\
да<г) = -ш- 1*\	T T tJ
a>b
t—lJ.
>	Q	J7	/
a3fea
3	Я/ (3a + 6)2
2al
пРиг = !мГЬ
acb
2	P
a263
3	Я7 (36 + я)2
2bl
при Z — I —
Pa3 63
ЗЯЛ3
3b-
при z = a

Продолжение табл. 24
Схема нагружения
балки. Эпюры Q и М
Опорные реакции, поперечная сила Q, изгибающий
момент Mt координата опасного сечения
максимальный момент
Уравнения упругой линии w (z)f угол
поворота б концевого сечения, максимальный
прогиб / (при постоянном EJ)
/Ъ
МА
.1/2
Ч
«а = Лв = -^-;	=	=
О < г < 1/2
А ^	5\
~ 3 Z3 24/
4<г<г
в-М-т]»
мт+ит
1^32	2/2	З/3
М =
Zq — 0; z0 — I ^max — ^/щах —	Q6^2
/' - -i л/"	-
0	“ 2 max _ 32
7ql*
3840EJ

Яа
mAU
Ц
^qlTlt&TTr^
QL2,
30
am
H
®
№
<B>
ql2
Ra ~ 20 Rr ~ 20 Ma ~ 30 ’ Mb ~ ?n
0<z</
«-Мй~£)! «-"‘(я т-
1 z3 1 \
"73	30/
z' = 0 M '	=	*
о u штах	зо ’
z"=i м;ах = -^-
*> 0.548/ <ax = g
764EJ
Ql4
mEj
при z = 0,525/
при z = у
Любая нагрузка
fa Л /ГГмтч
^=*a“
*B —	■
*	—	^В
мл-мв
+
(МА + Мв)га
16£/
/
МА = Щ^ (2®а - в*в): л/в = ^(20в-^
При Z = y
Параметры со знаком * соответствуют
статически определимой балке на двух
опорах (см. рисунок)

Таблица 25
Расчетные формулы, учитывающие смещение опор и изменение температуры в статически неопределимых
балках (при постоянном EJ)
Схема балки
Опорные реакции# поперечная сила Q
и изгибающий момент М, координата опасного
сечения гь и величина максимального момента Мтах
Уравнение упругой линии го (2), угол
поворота 0 концевого сечения и максимальный
прогиб /
45»
ъ
ЗШШЫНШ®
р  /0 в	3EJ/0 в	. 3EJf0
пА	JJT~ ’ «в “	/з"	‘	’	11В —	J2~~
0<z<Z
3&//0
z2
„w._4(2_3j.+4)
/ = — /о при z = О
I	== при z = 0
%
*a
I
№
„	3 ЕП0, „	3£У9„.	M bEJb„
ПА —	/2“’ ПВ —	]2	’	1V1A— I
0<z<Z
ЗД/0
2п — О М.
3 Eje„
max	i
О< z<J
w(z) = - в0 \ (2 3-Jp + -Jp)
/ = — O,1930o / при z = 0,422Z
0 = — 0O при z = 0
1
0=-й-0о при z = Z

<8>
§Elt
p   r% \2EJ л -	,	_	6EJ
A		/3	/o>	—	В	—	—	/о
0<z<Z
Q = ^,0;
<=0	^„ax=^/o
*" = / м;ах	^/„
o< 2<г
ш (2) = — /0 J^1 — ^3 —
/ = — /о при 2
А
0<2</
AEJd„
3-i)
-' — 0 ilf — 4/?/0о
о	йтат
го = * мтах = ■
со
СО
I
2EJQ0
L
u>(z) = -
/ =
0< z< /
40п
про
27
= — 0О при z

Продолжение табл, 25
Схема балки
Опорные реакции# поперечная сила Q
и изгибающий момент М, координата опасного
сечения z0 и величина максимального момента Мшах
Уравнение упругой линии w (z), угол
поворота 0 концевого сечения и максимальный
прогиб /
По высоте сечения
балки температура из¬
меняется линейно
Л* „ Цш
ЩПШЦПЦ©
^аИПЙП®"
ra — Rb~
ЯаД|Е\7
Мв-
о <2<Z
ZaAtEJ
lh
о <2<г
аШЧ z	*»\
w(*> = — It — 2ir + irJ
/ =
4А \ i
aAtl2
27 Л
I
при 2 = у
Ш
*0 = l Mmax =
Ж
3aUEJ
2h
а	л
0 = -гг- ПРИ 2 = 0
4/1
коэффициент линейного темпера¬
турного расширения материала
балки;
Дг — разность температур верхнего
нижнего волокон балки)
По высоте сечения
балки температура
изменяется линейно
Ml
W
dAtEJ
h 1
(g)
Ra — Rb = 0»	= MB =
aAtEJ
0<z</
_ Л __ аД tEJ
Q = 0; Af = —7— = const
0<z<Z
w(z) — 0
(a *- коэффициент линейного темпера¬
турного расширения мате риала
балки;
дi _ разность	температур верхнего
и нижнего волокон балки)

Таблица 26
Изгибающие моменты в Г-образной раме
Схема нагрувии
Изгибающий момент М
и эпюра М
в характерных сечениях
Ригель и стойка
шарнирно оперты с
ft £
7^7
П = 1 -f /с
м *&-*)ЬЪр
В	2п
в==т
кМ
Л*в = [3а (2-а)^2]_;

Продолжение табл. 26
Бертикальное смещение
опоры А
Значения М те же, что и при верти¬
кальном смещении опоры С, но с обрат¬
ными знаками
Нагрев на At
а — коэффициент
линейного температур¬
ного расширения
352

Продолжение табл. 26
Схема нагрузки
и эпюра М
Изгибающий момент М
в характерных сечениях
Ригель шарнирно оперт,
стойка защемлена
. .А
s/7/S
353

Продолжение табл. 26
Схема нагруэки
и эшора М
Изгибающий момент М
в характерных сечениях
д.
Jk
<7(2 + k)h*: м _qkh*
МА~ 4д ' "в- 4„
Гор
смещ
г*
изонтальное
ение опоры С
ГТТГГТТГ^ЛТ
Мд = 6(2+3Л)4^1
Мв = 18 ^2/
в nhl
S
Вертикальное
смещение опоры С
М _ 6 1
МА~Ь п12
М —1°
\
Вертикальное
смещение опоры А
Значения М те же, что и при верти¬
кальном смещении опоры С, но с обрат¬
ными знаками
Поворот опоры А
на угол 0
"а = 12(1 + *)§«
М„ = 6^-29
в ni
f
354

Продолжение табл. 26
Схема нагрузки
и эпюра М
Изгибающий момент М
в характерных сечениях
Нагрев на Дt
си — коэффициент
лннейного темпера¬
турного расширения
и*-вж(з+4+£Ь‘
"»-6§(з+2-£)°4'
Ригель и стойка защемлены
В А
А
',с
L
Л
77)7*
п = \ + к
мА = -гг— Р; мв = — р
А 2п	°	п
Mc = [(2-a)k+2(i~a)]£P
Мр = ааР — аМв —* (1 — а) Мс; а = —
mnfm
и -4- ■ M.-4L
МА— 9 Ап ’ МВ —

Продолжение табл. 26
Схема нагруэки
и эПЮра М
Изгибающий момент М
в характерных сечениях
. ^*ч
МА = [\ + а(\ + 2к)]±Р
tj
р
<а
1
к
м “Hi-*)Ь
в п
.. 	ak(i а) b _ а
М0 ~ 2 п Р' а~ h
yf
-ИЗ
м
Mq = (1 «— а) (За — 1)
кМ'	а
~ъ. : а = Т
«*ГТ"й
,<3 + 2*)>-	„
л	24?г	в	4	°м
12л
мс = 4¥-
0	24и
Горизонтальное
смещение опоры С
Мл = 3(1 + 2*)-^/
д/ _ й ^ f.
МВ~Ь пЫ
М 3 EJ*f
MC-6~nhT
356

Лродолжение табл. 26
Схема нагрузки
и эпюра М
Изгибающий момент М
в характерных сечениях
В
CM6I
вертикальное
цение опоры С
м*-3
Mc=3(2+k)J¥lL
Вертикальное
смещение опоры А
Значения М те же, что и при верти¬
кальном смещении опоры С, но с обрат¬
ными знаками
Поворот опоры А
на угол 0
г
Мя,(3+щЁй
".■41
n. ‘3EJ2
М* = ~пГ
6 EJ.
Мв = ~^
МС= nh
(2+т+4")
(l + аМ
[l+(2 + fc)-^-]
aht
а — коэффициент
линейного темпе¬
ратурного расширения
357

Таблица 27
Изгибающие моменты в П-образной раме
(*-#■)
Схема нагрузки
и эпюра М
Изгибающий момент М
в характерных сечениях
Стойки
шарнирно
оперты
В
~т~
■J, J,
% ,
п = Ъ + 2к
«.-«о-ъгг
р±«|«1р
*	Ini
(3 - 2а) a* ql*
мв С	4^
I
шнйщ
«в-м0—£
358

Продолжение табл. 27
Мв-(2+*)-^
ма = (6 + 5к)
359

Продолжение табл. 27
Схема нагруэки
и эпюра М
Изгибающий момент М
в характерных сечениях
Нагрев на
Д t
Нагрев At
^\Ш)&
а — коэффициент
линейного температур¬
ного расширения
В
Стойки
защемлены
4
Л ^
4
V I
п± = 2 -f к п2 = 1 + 6/с
Mr
к2 п1
1п2 ,
'1 |
2а —1'
. "1
2л2 (
’ 1
2а — 1
, ni
2л2 ,
’1 ,
2а— 1’
,2 п, +
2^2 ,
Ь
0t =
1
360

Продолжение табл. 27
Схема нагрузки
и эпюра М
Изгибающий момент М
в характерных сечениях
М,
I	.2 Г3 — 2“	3(1 — а)21 ?га
л	*		~Jir
,	Г3 — 2а , 3(1-а)*] ql*
= а —
__ п,Г2(3-2а)	3 (1 — а)а~| ql*
1	L щ	" пг \ 12
_j2(3-2a) , 3(1-а)21 ql* .
[—^7—JlT1
м, = мп =
л	D	12Щ
м -в м — ^2
-	МС - "6^7
м 2 + ЗЛс 2
max ‘	24^	4
Р
к
1 J
2
3	А;
Мв = Мп =	—	ЛР
2 л»
361

Продолжение табл. 27
Схема нагрузки
и эпюра М
Изгибающий момент М
в характерных сечениях
м
L 3(1 а) к |
1 I
+
а [1+ »(! + *)]
*В~[
If
3	(1 — а)к а (1 — а) к
Мп = | —		^\^гР
п2	пг
If
М
-{*
а[1 +
3(1 —а) А:
a(l+fe)]) а
«1 I 2
М,
_[3(1 — а) к , а( 1—а)/с] а п
“L ~ + Ъ J 2-р
1J
Сз
м.
За (2 — а)
+ 1-
а (2 —
2 п
За) к I 6ак \"| М
"«-*‘(*ir+4)"
md = [3a (22~g)-i +
( \"1 ik/
4—-VJ 2-
а (2 — За) к
a
а~“ ¥
362

Продолжение табл. 27
Схема нагрузки
и эпюра М
Изгибающий момент М
в характерных сечениях
к
~ьст! 1111111 to
__k A
ma = md =
8	4- 'Sk qh?
~60~
4
"■-"с-|=Г
Нагрев на At
Нагреб At
pmnjj
a — коэффициент
линейного температур¬
ного расширения
мд = л/0 =
3(1 + k)EJ2 aAt
knx h
3EJ2 ct&t
363

Таблица 28
Изгибающие моменты в замкнутой раме
k = j£-, р = jj ; u = l+p + 6A; m = (2+fe) + | (3 + 2Л)
Схема нагрузки
Изгибающие моменты в узлах рамы
(положительные моменты вызывают растяжение
с внутренней стороны рамы)
ч
J,
к__|Л
П /о	и
77^*	£	7Я77
— 2а\ Р1
2
а
а = т
а\Р
М
М
<А ^ /з 4- 2Л , 1 — 2а\ Р/
^=а(1-а)Ч“ьг±”^г-;г;
ч / 1 _ 1 — 2а\ Рг
в.с = -«(1 —«)	+	—7Г—J 2-
77ГУ,	7&Г
м
К. D = “ {“
.[«(1 + fc)_(2+fe)]qr
М
В. с
Т±(1+3*(2—)l}"
,.{-1
: (“ (к + р) + р] ±
+ 1 (3в* + рЛ ^
364

Продолжение табл. 28
365

Продолжение табл. 28
Схема нагрузки
Изгибающие моменты в узлах рамы
(положительные моменты вызывают растяжение
с внутренней стороны рамы)
ь
Р7т7	rb:
м
D = o‘ap[^r(3-2«)(2fe+3)±
мв,с = ~-а2р\^г-±
3(1-а)*] ql* .	а
±	«	J~12~’ “~Т
Мв,с	(Ч?
шш
Ыттш;
тг шп
MA = MB=MC = MD =
1 + к
1	+ к
hL
12	ql2
12 ПРИ •'Я — У3
366

Продолжение табл. 28
Схема нагрузки
Изгибающие моменты в узлах рамы
(положительные моменты вызывают растяжение
с внутренней стороны рамы)
MA=MD:
8+3ft	g/ta
т	60
т
60
777>7	7&7i
Л/
А,
м
_	/3	+	2к	1 \М
D— р\кт — п) 2
12к  1 \ ilf
мас-^р(-^г+ п) Y
367

Усилия и перемещения при нагружении кольца в его плоскости
Nf Q, М — нормальная и поперечная силы и йзги*
показаны положительные направления для усилий,
* растания угла ср); 5^, Ьу — изменения диаметра, кольца
личению диаметра); Е — модуль упругости шгееридл^
Схема
N
Q
о
iR
0
с
р
л
1
у Р sin ?
1
Y Р COS ср
J
' р
г
2Р
Л
0<9<у
Р (0,3183 cos ср -f- sin ср)
тс
у<ср<тс
Р • 0,3183 cos ср
0 <*<у
— Р (0,3183 sin ср —
— cos ср)
У<ср<тс
— Р 0,3183 sin ср
к
-л
368

Таблица 29
бающий момент в сечении кольца, определяемом углом (на рисунке
действующих на впереди лежащее сечение кольца в направлении воз-
в направлении осей х и у (положительное значение соответствует уве-
F, J — площадь и момент инерции сечения кольца.
м
ь
0
ft ft
bx = by= Ep
— PR (о,3183 — у sin
PR3
ьх- 0,137™
by = 0,149-^
0<¥< у
PR (0,3183 cos tp -f- sin 9 — 0,8183)
у <?<“
PR (0,1817 -+ 0,3183 cos 9)
PR3
5* = -0,1366
PR3
by = 0,1488
369

Схема
N
О
2Р
0<! ср <; а
0< ср < а
IP
\Р
rTNl
Р (0,3183 sin2 а cos ср +
Р (COS ср —
СД А
+ sin ср)
— 0,3183 sin2 а sin ср)
а <; ср << тс
а <1ср < %
Р 0,3183 sin2 а cos ср
— Р 03183 sin2 а sin
0<ср<а
0<ср < а
Р [0,3183 cos ср (sin2 р —
Р [0,3183 sin <р (sin2 а —
АР
, АР
— sin2 а)]
— sin2 Р)]
а<ср< Р
а < ср < р
Р [0,3183 cos ср (sin2 р —
Р [0,3183 sin ср (sin2 а —
ТР
— sin2 а) + sin ср]
— sin2 Р) + cos ср]
P<«p<7t
P<<f<7t
Р [0,3183 cos ср (sin2 р —
Р [0,3183 sin ср (sin2 а —
— sin2 а)]
sin2 Р)]
370

Продолжение табл. 29
м
б
Ьх= EJ [2 (зщ2а + 2) +
0< ср < а
+ 0,6366 (а sin а + cos а —»1) —
PR [0,3183 (a sin а + cos а -f
+ sin2 а cos ср — 1) *=
— sin а + sin <р]
а< ср <тс
— 2 sin а j
» PR3 Г1, •
у = EJ 1 2 (Sin а cos а +
PR [0,3183 (а sin а +
+ cos а + sin2 а cos ср — 1)]
+ а) 0,6366 (а sin а +
-}- cos а — 1) — sin а|
0<ср<а
PR [0,3183 (р sin р + cos р —
— а sin а — cos а — sin2 а cos ср -f
Pi?3 Г 1
5х = EJ ['2 (Sm2 а + Sin2 ^ +
+ sin2 р cos ср) sin р + sin а]
+ 0,6366 (р sin р + cos р —
а<ср<р
a sin а — cos а) + 1 — 2 sin р]
PR [0,3183 (р sin р + cos р —
1— а sin а — cos а — sin2 а cos ср +
+ sin2 р cos ср) — sin р + sin ср]
р<ср<7С
PR [0,3183 (р sin р + cos р —
— а sin а -f COS а — sin2 а cos ср -f-
PR3 Г 1
h =^еТ [у (sin Р cos Р +
+ р — sin a cos а — а) +
+ 0,6366 (Р sin р + cos р —
— a sin а <— cos а) +
4- sin а « sin р]
+ sin2 р cos ср)]
371

Схема
/V
1 Q
0<ср < а
0<ср<а
V?1
Р [0,3183 (а —
— sin а cos а) — 1] cos ср
Р [0,3183 (sin a cos а «—
— а) + 1] sin ср
7\
хг
а ^ ср ^ тс
а<[ср< тс
\
J
Ч
Р . 0,3183 (а —
~ sin а cos а) cos ср
Р 0,3183 (sin а • COS а <—
— а) sin ср
V
/Р
р / л
7S Л р
0<ср< а
0<ср<а
^у.
*р
2 sin a C0S ^
2sinaSm?
<f
0< <р < я
М
0< ср<тс
М л л л
—0,6366 cos ср
R
- “° 0,6366 sin <р
372

Продолжение табл. 29
м
б
0< ср <а
53e = ^[°'6366(sina^
PR [0,3183 (sin а — а cos а -|-
-Ь а COS ср — sin а cos а cos ср) —
— cos ср -f cos а]
1 I
— a cos a) -f- — (sin a cos a«a) ;
а <ср ^ тс
PR9 Г
by = 0,6366 (sin a ~
PR 0,3183 (sin а — а cos а +
4- а COS <р — sin а COS а COS <р)
a COS a) -+* COS a +
+ у sin2 о — 1J
0<ср<а
/>/? / COS ср 1 \
2 \ sin а а /
при ср = 0, 2а, 4а,
Радиальное перемещение точки
приложения силы от центра
PR3 Г 1 (а
2EJ sin2 а \2 +
sin 2a \ 11
+ 4 / aj
Радиальное перемещение в точ¬
ках ср = 0, 2а, 4а, (к центру)
max 2 \ Sin а а)
при ср == а, За,
"и«х“-г5(т-с,ва)
PR3 /2 1 a cos а \
4EJ \ a sin a sin2 а /
0<?<у
М0 ^0,6366 cos ср — ~ j
5Х = 0
у < ? < *
о
II
«о
Л/0 ^0,6366 cos <р -f- j
373

Схема
М{
0<Ср<ТС
0,6366 sin a COS ср
М о
0< ср < тс
0,6366 sin а sin ср
Р = sin а
0<ср < а
/ 1
-	q R I	sin3 а cos ср +
+ sin а sin ср j
а < ср ^ тс
■	qR ^ sin3 а cos ср -f*
+ sin2 cpj
0<< ср << а
qR sin3 а sin ср ■
—	sin а cos cpj
а< cp< тс
qR sin3 a sin cp
—	sin cp cos
?)
374

Продолжение табл. 29
м
б
0< ср<а
М0 [0,3183 (2 cos ср sin а + а) — 1]
М
(0,6366а sin а)
LJ
а<ср<я
М0 [0,3183 (2 cos ср sin а + а)]
М 7?2
*у- ^ (0,6366а + COS а 1)
0 < срС а
М (0) — qR2 £sin а sin ср —
. 2^Д4Г 1 sin а sin2 а
EJ [ 4 "2 ' 1 "2 "
1 1
— ^ sin3 а (1 — COS ср)
sin3 а 1 / а
12 44 sma +
а <: ср <; 71
1 3 • , 1 .2 м
+ sin а cos а + — а sin2 а 1
М (0) + qR2 ^ sin3 a(l— cos <е) —
2qR* Г 1 sin2 а
Ъу~ - Ej [ 12 1 4
— у (sin2 a + sin2 9) j
а sin а sin2 а cos а
4 12
M (0) = qR2 + у sin2 а +
COS а 1 ^а sin2 а ,
6 те V 2 "и
1 / 1
-|	sin а	— a sin2 а —
7t \ Z
. 3 • . а • W
-f — sin а COS а + ~ — sin а 1
sin3 а 3 . а \1
3 4 Sin а cos а 4JJ
375

Схема
i
0<cp < a
— gi? [sin a sin cp +
+ (1 + cos a) cos cp] —
0 < cp < a
Р = 2qR sin a
— N (те) cos <p
qR [sin a cos cp —
■/>
a ^ cp ^ те
— (1 + cos a) sin cp] —
(dC
"Vi
— дД (1 + cos a) —
+ N (те) sin cp
— TV (те) cos <p
a ^ <p < те
"TvX^
TV (те) = ,—. (те —
' те '
— sin a + a COS a)
qR sin cp + TV (те) sin cp
yV*
0 < cp < a
— qR sin2 cp
0< cp < a
qR sin cp cos cp
VV2[
a < <p те — a
a ^ <p ^ те — a
Tv?
— gЛ • sin a sin cp
qR sin a cos 9
376

Продолжение табл. 29
м
б
0 < <р< а
7/?2 |^sin a sin ср + (1 + cos а) cos ср —
у<а<тс
qR* ( 2а
Ъ* = ~-~ЁТ 12~1Г +
1 1
	(тс — а + sin а) +
ТС J
, 2 sin а 3 sin а
+ тс 2 ~
-f- N (тс) R cos ср
тс cos a a COS сЛ
'"2 1 ' 2 )
а < ср ^ тс
0 < а ^ я
qR2 ^cos ср — -1 (sin а — а) j +
+ N (тс) R COS 9
,2 sin a a sin а \
+ тс 2 ***)
0< ср < о
- д#4 Г . sin3 а
8,- [ 8Ш« з +
М(0)—!^ sin® ср
1
-)	(а + 3 sin a cos а +
тс
а < ср ^ тс — а
М (0) — qR2 ^sin а sin ср —
--Ism**)
г . /
-f- 2а sin2 a) j
Ъу—-#[sin2a-
sin2 а cos а
*	^	— а sin а —
м(°)=5д*[!(!+
а sin2 а sin а cos aj —
-Isin’a]
2 cos а ( 2 , тс sin а
3 1 3 1 2
1
	(2а sin2 а 4- 3 sin а >Г
тс
X COS а + a)j

Глава 14
РАСЧЕТ ПЛОСКИХ КРИВЫХ БРУСЬЕВ
§ 81. Определение напряжений в брусьях
большой кривизны
К кривым брусьям относятся грузоподъемные крюки, проушины,
звенья цепей, ободы шкивов и колес, арки и т. п. Оси этих брусьев
являются плоскими кривыми. В поперечных сечениях плоского кри¬
вого бруса в общем случае действуют три внутренних силовых фак¬
тора Mt Q и N, правило определения которых такое же, как и в
брусьях с прямой осью. Дифференциальные зависимости между Му
Q и q были приведены в § 21.
Рис. 271
Представляют большой практический интерес кривые брусья,
имеющие продольную плоскость симметрии (рис. 271, а, б), в кото¬
рой обычно действуют внешние нагрузки.
Распределение нормальных напряжений в поперечных сечениях
кривых брусьев иное, чем в брусьях с прямой осью. Это различие
при прочих равных условиях тем больше, чем больше кривизна бру¬
са, характеризуемая отношением высоты поперечного сечения h
кривого стержня к радиусу кривизны R его оси. В связи с этим
378

принято различать брусья малой кривизны, у которых	и
л 5
брусья большой кривизны, у которых —	.
/г 5
При изгибе брусьев малой кривизны нормальные напряжения
с достаточной степенью точиости можно определять по формуле Навье
(10.6), выведенной для балок с прямой осью. Максимальные напря¬
жения, подсчитанные по формуле Навье для бруса прямоугольного
h 1 оп/
сечения с отношением — = -т-=, отличаются на 2% от напряжении,
л 1и
вычисленных по формулам для бруса большой кривизны; при
^ — на 3,5%; при = i- — па 7%.
Рассмотрим случай чистого изгиба бруса большой кривизны
:> (рис. 271). Предполагаем, что радиус гн нейтрального
слоя неизвестен и пе совпадает с радиусом R оси стержня.
При выводе формулы для определения нормальных напряжений
в брусе большой кривизны исходят из тех же гипотез, что и при
выводе формулы Навье, т. е. пользуются гипотезой плоских сечений
и гипотезой о том, что продольные волокна материала не давят
друг на дргуа. Выбираем направление осей сечения х и у, как пока¬
зано на рис. 271 (при этом ось х считается совпадающей с нейтраль¬
ной линией, положение которой пока не известно). Направление у
к центру кривизгш принято за положительное.
Рассмотрим статическую сторону задачи и напишем условие равно¬
весия применительно к элементу бруса (рис. 272, а), оставшемуся
379

после удаления отсеченных частей. Для нашего случая, когда в сече¬
нии действует один силовой фактор MXi будем иметь
В силу симметрии
My = j* ax dF = 0.
F
Рассмотрим геометрическую сторону задачи. Относительное удли¬
нение произвольно выделенпого элементарного участка ABt находя¬
щегося на расстоянии у от нейтральной линии (рис. 272, б) и полу¬
чившего в результате деформации удлинение у A dyt равно:
	zA*L-	(14.з)
(г„ — у) d<i ’
где (гн — у) dy — длина элемента до деформации.
Из рассмотрения физической стороны вадачи, определяемой зако¬
ном Гука
с = £Е=£А^ -JL_,	(14.4)
df гИ —у
условие (14.1) перепишем в виде
[ a dF = С jAL. = о.
J	d<f	J	га	—у
Так как
TO
Ц*1Ф О,
J '•н — У
(14.5)
Из (14.2) находим
F
380
f jn Е A dv Г у2 dF	...
\ aydF = —у-*- \ 		= М.	(14.6)
J	dy	J	гн	—	у

Так как
f y2^
I	rH “ У
(14.7)
можем представить (14.6) так:
E A dy „ n/r
—-—1 eF = M.
ay
Отсюда
ЯД dy _ ijf
d<p ~~ eF ’
где б — расстояние от нейтральной линии до центра тяжести; Я —
площадь поперечного сечения.
(14.8)
Рис. 273
Подставив (14.8) в (14.4), найдем формулу для определения нор¬
мальных напряжений при изгибе
Му
или
eF ('н — у) ’
Му
"Sxlb-y)’
(14.9)
(14.10)
381

где М — изгибающий момент в сечении; Sx—статический момент
площади сечения кривого бруса относительно нейтральной линии.
Из анализа (14.9) или (14.10) видно, что нормальные напряжения
по высоте распределяются по гиперболическому закону (рис. 273, б).
Абсолютные величины напряжений в крайних волокнах сечения
бруса согласно (14.9) определятся по формулам
Mhx	Mho	...	...
•‘-Ш, - •■-ЯЙ-	<14“>
где Ri и R2 — соответственно радиусы кривизны внутренних и внеш¬
них волокон кривого бруса; hx и h2 — расстояния от нейтральной
линии до этих волокон. Знак напряжения определяется по направ¬
лению изгибающего момента в сечепии.
Формулы (14.9)—(14.11) могут быть использованы, если известна
входящая в эти формулы величина е или радиус нейтрального слоя
гн, поскольку
е = R — ги,	(14.12)
где R — радиус слоя, в котором расположены центры тяжести сече¬
ний бруса. Радиус гв определим из уравнения (14.5).
Произведя замену переменных: г = гн — у или у = гв — г, пере¬
пишем уравнение (14.5) в следующем виде:
или
Отсюда
V*~y I r
(1413)
F
Так как для прямоугольного сечения F = bh (h —»высота сечения;
6—ширина сечения); dF = bdr, формула (14.13) может быть записа¬
на в виде
bh
гн rI ==	=	77	•	(14.14)
■bdr 1п§	2,303	lg	~
Г
Ri
Ri
Воспользовавшись рядом
R + -чГ	1	+	=7Б
. я, _ , 'Г 2-	,	1	^	2R h Г , 1 ( h V , 1 / h V ,	1
iTA_^L1+3"Ы +тЫ +-J-
2 R
382

будем иметь
е = R — гш = R ■
1 +
±(a)s+±(aV
3 \2R) ^ 5 \2R)
+
6 первом приближении
e = R(\		-.	(14.15)
Во втором приближении
На основании (14.13) аналогичным путем можно получить выра¬
жение для е в случае других форм поперечного сечения. В табл. 30
приведены радиусы кривизны гн нейтрального слоя для сечений
различной формы. Из (14.12) по известным гн могут быть опреде¬
лены и величины е. Для некоторых форм поперечного сечения е
можно определить по табл. 31.
§ 82. Расчет на прочность
Условие прочности для стержня малой кривизны, когда в его
сечении действуют изгибающий момент и нормальная сила (рис. 273, а)
имеет вид
■т.*	+<14Л7>
где F — площадь сечения; W — момент сопротивления сечения (см.
§ И).
Для стержня большой кривизны на основании (14.9) условие
прочности будет
•ш„ - у.	+ У<М-	(«•«>
При этом	нужно	рассматривать	точки сечения,	в	которых сум¬
марные напряженйя от изгиба и растяжения будут наибольшими
(рис. 273,	б, в, г).	Для этих точек в формулу (14.18)	следует под¬
ставлять	у = h1	или у = h2 и	соответственно	гн	— у = R± или
Ги — У = д2.
383

Если брус бдзнцдой кривизны изготовлен из материала, для
которого допускаемые напряжения на растяжение [о+) и сжатие [о	]
различны (некоторые чу^уды, пластмассы и др.)» то условия проч¬
ности должны выполняться для крайних точек сечения как в растя¬
нутой, так и в сжатой области.
§ 83. Определение перемещений
Для определения перемещений в стержнях любой кривизны
удобно пользоваться методом Мора (§ 69).
В стержнях малой кривизны можно пренебречь продольной
деформацией и деформацией сдвига и в случае плоского изгиба
пользоваться формулой Мора в виде
МiMр ds
При плоском изгибе бруса большой кривизны деформация эле¬
мента от действия усилий Мр и Np состоит из удлинения A (ds)
отрезка ds оси и относительного поворота dd сечений, ограничива¬
ющих элемент (рис. 274, а, б). Взаимный угол поворота сечений
Ady == dblt вызванный изгибающим моментом, можно определить из
(14.8), где eF= |S,| = 5,
Mpdy	М р ds
rfe‘ = ‘lT=a%'
Угол поворота сечений, вызванный осевыми силами вследствие
неодинаковой длины волокон элемента (рис. 274, б), равен
N pds
kfK'
Полный угол поворота составляет
Mpds Npds
л-м‘+м‘-тт+тт- <ма»
Удлинение элемента в результате действия осевых сил
A(ds)1.
Np ds
EF
384

Удлинение, вызванное поворотом сечения на угол d0lt
Мр ds Мр ds
Д (ds)2 =» е dOj = ~Ёщ;е = -ЁЩ •
Полное удлинение осевого волокна
Npds Mpds
Л (ds) = A (ds), + A (ds)2 =	.	(14.21)
Рис. 274
Подставляя (14.20) и (14.21) в формулу возможных перемещений,
находим общую формулу для определения перемещений бруса боль¬
шой кривизны
f (MiMp _ NiMp+MiNp , NiNp t , &<V| ^ ,,, oov
ip J [ ESRU + EFRa	EF	GF	J	(14-22)
Обычно на практике пренебрегают влиянием поперечной силы,
в результате чего последнее слагаемое в (14.22) отсутствует.
В табл. 32, 33 приведены выражения для определения переме¬
щений свободного конца консольного кругового стержня постоянного
поперечного сечения при различных схемах его нагружения, а в
табл. 34 — значения определенных интегралов, часто встречающихся
при определении перемещений в кривых стержнях.
385

Таблица 30
Радиус кривизны нейтрального слоя гн для сечений
различной формы
<С‘
Сечение
•	центр тяжести)
Прямоугольник
1 + А
2Д
In
i-А
2R
. Д2 Л Г. , 1 ( h V , 1 / ft V ,	1
Ь^ШЯ11 + ТЫ ТГ \2Д/ + —J
Трапеция
h (h + h)
Тавр
X ил
\bi
b2 lng + Ьх Injj*
Тавр
%
386

Продолжение табл. 80
387

Продолжение табл. 30
Сечение
(С — центр тяжести)
Круг
У]
XV///.
d2
11	4(2Д-/4Да	—	d2)
Кольцевое сечение
V 4Яг — d2 + V 4Д2 — D2
4
D2 — d2
4	(У4R2 — d2 — VAR2 — Л2)
Овальное сечение
Л
d2
н 4 (2Д — /4Я2 — d2)
Значение коэффициента А; о формуле е = kR
Таблица 31
Сечение
Прямоугольник
У
. *
УУУ
щ
X
%
Щ
нл
ь
ге
“ У
(
1
А
2
1,2
1.4
1,6
1,8
2,0
2,2
2.4
2,6
2,8
3.0
3.5
4.0
6.0
8,0
10,0
0,305
0,204
0,149
0,112
0,090
0,077
0,065
0,055
0,047
0,041
0,028
0,021
0,0093
0,0052
0,0033
388

Продолжение табл. 31
Сечение
А
а
Тавр
— 4&2»	—	1»5Ь2>	^2 —4|5&2»
а = R — /?, = 2,04&9
1,2
0,418
1,4
0,299
1,6
0,229
1,8
0,183
2,0
0,149
2,2
0,125
2,4
0,106
2,6
0,091
2,8
0,079
3,0
0,069
3,5
0,052
4,0
0,040
6,0
0,018
8,0
0,010
10,0
0,0065
Двутавр
а)
= 6Ь2; Ь3 = 4&2;
= 2.1)2i h2 = 3&2» ^3 = ^2>
а = R — Ri = 2,34Ь2
б)
— t>3 ~ 362; h, — h§= Ь2\
h2 == 4&2»
а = R —	=	3&2
1,2
1.4
1,6
1,8
2,0
2,2
2.4
2,6
2,8
3.0
3.5
4.0
6.0
8,0
10,0
1,2
1.4
1.6
1,8
2,0
2,2
2.4
2,6
2,8
3.0
3.5
4.0
6.0
8,0
10,0
0,409
0,292
0,224
0,178
0,144
0,120
0,103
0,089
0,077
0,067
0,049
0,038
0,018
0,010
0,0065
0,408
0,285
0,208
0,160
0,127
0,104
0,088
0,077
0,067
0,058
0,041
0,030
0,013
0,0076
0,0048
389

Продолжение табл. 31
в)
Сечение
&1 = &з = 6 Ь.2;
ftj — Лд ■ — &2I	^2	=	^2	^
а — R — йх = ЗЬ2
0,453
0,319
0,236
0,183
0,147
0,122
0,104
0,090
0,078
0,067
0,048
0,036
0,016
0,0089
0,0057
Трапеция
а)
Ьх = 262; Л = (1 -г- 3) Ь2;
a = R — R1 = ~h
1,2
1.4
1,6
1,8
2,0
2,2
2.4
2,6
2,8
3.0
3.5
4.0
6.0
8,0
10,0
0,336
0,229
0,168
0,128
0,102
0,084
0,071
0,061
0,053
0,046
0,033
0,024
0,011
0,0060
0,0039
б)
— 4&2i ^ — ^62,
a = R — R1=2b2 = 0,4h
1,2
1.4
1,6
1,8
2,0
2,2
2.4
2,6
2,8
3.0
3.5
4.0
6.0
8,0
10,0
0,352
0,243
0,179
0,138
0,110
0,092
0,078
0,067
0,058
0,050
0,037
0,028
0,012
0,0060
0,0039
390

Продолжение табл. 31
Сечение
Треугольник, у которого
3
h = ~ Ь и а = R — Ri =
о
— L— ь
■“ 3 “"5
1,2
0,361
1,4
0,251
1,6
0,186
1,8
0,144
2,0
0,116
2,2
0,096
2,4
0,082
2,6
0,070
2,8
0,060
3,0
0,052
3,5
0,038
4,0
0,029
6,0
0,013
8,0
0,0060
10,0
0,0039
Круг
а“ 2
1,2
0,224
1,4
0,151
1,6
0,108
1,8
0,084
2,0
0,069
2,2
0,058
2,4
0,049
2,6
0,042
2,8
0,036
3,0
0,030
3,5
0,022
4,0
0,016
6,0
0,0070
8,0
0,0039
10,0
0,0025
Кольцевое сечение
1,2
0,269
1,4
0,182
1,6
0,134
1,8
0,104
2,0
0,083
2,2
0,068
2,4
0,057
2,6
0,049
2,8
0,043
3,0
0,038
3,5
0,028
4,0
0,020
6,0
0,0087
8,0
0,0049
10,0
0,0031
391

Таблица 32
Перемещения свободного конца консольного кругового стержня постоянного сечения при нагружении
в его плоскости (w, и, д — вертикальное, горизонтальное и угловое перемещения соответственно)
Схема
W
6
М0^
тСг
g[M0(l-cosa) +
	(a sin 2а\
+ РВ\2~ 4 )
-TR (1-2C°Sa)2]
~ |—М0 (а — sin а) —
PR (1 *°S а)* +
+ r«(32. 2sina + Sin42“)]
§j[MQa+PR( 1-cosa)-
— TR (a — sin a)]
(г
т; 1
W
р
V v
г
л2 Г
дУ Мо (sin а — a cos а) +
+ PR ^а + ~а cos 2а	^-sin 2а j—
— TR ^cos а — ~ cos 2а —
-lasin2a-|)]
л2 Г
pTj — Mq(ol sin а — 1 -f cos а)—
— PR ^cos a — ~ cos 2a —
1 1 \
—-g-asin 2a—— 1 +
+ TR ^a	a cos 2a -f-
+ sin 2a — 2 sin a j j
gj [M0a + PR (sin a —
— a cos a) — TR (a sin a —
— 1 + cos a)]

EJ\ 2
2 sin a +
sin 2сЛ
qR3,
gj (a — sm a)
EJ\2
a sin a +
?Л3Л	a2\
_^_cose_ _j
mR3
EJ
(1 — COS a — a sin a)
mR2 a2
£7 ' 2

g	Таблица 33
Перемещения свободного конца консольного кругового стержня постоянного сечения при нагружении
в перпендикулярной плоскости (X — отношение жесткостей сечения при изгибе EJ и кручении &/к)
Схема
Перемещение, перпендикулярное
к плоскости wv
Угол поворота вокруг оси v
Угол поворота вокруг оси w
•Ск
W
PRS( 1 + ЗХ , X—1 . „
EJ 1 2 “+ 4 8ш2“
— 2Х sin aj
PR*(l-i . n , 1 + X.
ET \ 2 Sm 2 e
— X sin a j
PR} ГХ — 1
EJ I 2 S1D a +
+ X (1 — COS a) J
M0R?(\— 1 . „ , 1 + Х
EJ I 4 Sm2e+ 2 “
— X sin a j
M0R /1 + Х , X—1 . „ \
EJ [ 2 “+ 2 Sm2“J
M0R X — 1 . 2
EJ 2 Sm *

395

Таблица 34
Значения определенных интегралов, часто встречающихся
при определении перемещений в кривых стержнях
Пределы интегрирования
Интеграл
от 0 до a
n *
от 0 до -y-
от 0 до
от 0 до it
^ sin ср dy
1 — cos a
0,293
1
2
^ COS ср dy
sin a
0,707
1
0
J sin2 ср dy
— 4-sin 2a + y
0,143
0,785
1,571
j* cos2 cp dy
1 . 0 . a
T sm 2a -f- —
0,643
0,785
1,571
j sin2 cp cos cp dcp
sin3 a
3
0,118
0,333
0
^ cos2 cp sin cp dy
1 — COS3 a
3
0,216
0,333
0,667
^ sin 2cp dy
1	COS 2a
2	1 2
1
2
1
0
J COS 2cp rfcp
1
sin 2a
1
2
0
0
^ sin cp cos cp dy
sin2 a
2
0,25
0,5
0
^ cp sin cp dy
sin a a cos a
0,152
1
3,141
^ cp cos cp rfcp
COS a -|- a sin a — 1
0,262
0,571
—2
j* cp sin2 cp rfcp
1
(a2 — a sin 2a) —
— (cos 2a — 1)
0,0833
0,868
2,47
^ cp COS2 cp dcp
•i- (a2 a sin 2a) +
+ i-(C0S2a-l)
0,226
0,368
2,47
j* cp sin 2<p cfcp
sin 2a a cos 2a
4 2
0,25
0,785
—1,571
j* cp cos 2<p rfcp
i- (COS 2a — 1) +
, a sin 2a
+ 2
0,143
—0,5
0
j* sin (a — cp) sin cp dy
sin a a cos a
2 2
0,076
0,5
1,571
£ cos (a — cp) sin cp d<p
a sin a
2
0,278
0,785
0

Глава 15
РАСЧЕТ ТОЛСТОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРОВ
И ВРАЩАЮЩИХСЯ ДИСКОВ
2rt
§ 84. Толстостенный цилиндр, подверженный
внутреннему и наружному давлению
Цилиндр считается толстостенным, если толщина его стенки
больше одной десятой его среднего радиуса. Рассмотрим толстостен¬
ный цилиндр, находящийся под действием внутреннего (pt) и наруж¬
ного (р2) давлений (рис. 275); rt и г2 — соответст¬
венно внутренний и наружный радиусы цилиндра.
Вследствие осевой симметрии цилиндра и нагрузок
напряжения и деформации в цилиндре будут так¬
же симметричны относительно его оси.
Двумя сечениями, перпендикулярными оси
цилиндра, выделим кольцо единичной длины
(рис. 275). Из этого кольца вырежем элемент abdc
(рис. 276, а) двумя плоскостями, проходящими че¬
рез ось цилиндра и образующими между собой угол
d0, и двумя цилиндрическими поверхностями ра¬
диусами г и r-\-dr (рис. 276,6). По граням этого
элемента будут действовать радиальные ог и тан¬
генциальные ад напряжения, заменяющие воздей¬
ствие отброшенной части цилиндра и удовлетво¬
ряющие условиям равновесия элемента. Очевидно,
о0	и ог будут главными напряжениями.
Определение ог = / (ри р2, г) и о0 = /х (plf р2, г)
начнем с рассмотрения статической стороны задачи
и составим уравнения статики в соответствии с
принятой системой координат (рис. 276, в):
2^ = 0; = °-
_ lr*l
1
1
—H
1
! I
1-4—
—*~
1
1 i
. 1
-■1—
I
1 I
1 r
Рис. 276
Благодаря симметрии элемента второе условие удовлетворяется
тождественно, а первое после подстановки выражений для усилий
цримет вид
2	X = —аг/* ^0 + (аг + dar) (/• + dr) db — 2 ^а0 dr sin = 0.
397

. da db
Принимая smи отбрасывая величины второго порядка
малости, получим
rW + ar-a* = °-	<151)
Это	уравнение	содержит два неизвестных напряжения се и сг.
Для их определения необходимо рассмотреть геометрическую и физи¬
ческую стороны задачи, что позволит представить уравнение (15.1) в
перемещениях.
Обозначим радиальное перемещение цилиндрической поверхности
радиуса г через и (рис. 276, г); тогда перемещение цилиндрической
поверхности радиуса г -f- dr будет и -J- du. Относительное удлинение
элемента длиной	dr выразится формулой
•г-£-	<15-2>
Относительное удлинение в тангенциальном (окружном) направ¬
лении будет равно:
	(f + и) db -г- г db и	/у| ^ д\
ee_	rdb	~	г ’
Рассматривая физическую сторону задачи, представим зависимости
между напряжениями и деформациями в соответствии с обобщен¬
ным законом Гука применительно к плоскому напряженному состоя¬
нию в следующем виде:
Е
er=i_(Ja(er + lue);
Е
се = j _	(*е	+
Учитывая (15.2) и (15.3), получим
Е (du	и\
er-r=vl5F + !XTj:
Е [ и	du\
С®~1 — (х2 \ г	^ dr] '
(15.4)
Подставив (15.4) в (15.1), получим дифференциальное уравнение
в перемещениях
г=°.	<«*>
Записав это уравнение в виде
d_ Г1 d (ur)] _
dr[T
после двукратного его интегрирования найдем общее решение:
м = С1г + сД.	(15.6)
Г
где Сх и С2 — постоянные интегрирования, определяемые из гранич¬
ных условий. В нашем случае такими граничными условиями будут:
Л и	^а*
398.

Подставив (15.6) в (15.4), найдем
0г=т^Г2[(1+^)С1~1-=^<:2];	(15.7)
+ (158)
Подставляя граничные условия в (15.7), получим
—Pi = 1^75 [(1 + *)С1- “рС,];
Решив совместно эти уравнения, найдем
_	1 — (X riPi — г2Р2 а
i	1?	2	2	*
Е rl^rl
1 + ц r\r\ (Pi — p2)
3	W~“ '	2	2	•
b r2 — rl
Подставив значевия постоянных ^ и Ca в (15.6)—(15.8), найдем
окончательные формулы для определения радиального перемещения и
и напряжений (формулы Ляме):
1 — a riPi—rzP2 1 + м* rir2(Pi Р2)	1
И =	^	2	2	Р	2	2	У »	(15.9)
Ь	^*2	^*1 Л	^*2	5 ^*1	Г
^Pi —	'‘гРг	V2 (Pi ~ />2)	1
°Г = 	2	2	2	2	 72*	(15.10)
Г2 — ^1	>2 — 'l	Г
—	^ , V2 (Pi “ Р2)	1
а0 =	я	2-+ 	2	a		(15Л1)
Г 2 — гг	Г2 Г1	*
Сложив (15.10) и (15.11), убеждаемся, что
ar + °е= const,
следовательно,
Ч	= — -|г (<*г + ае) = const,
т. е. поперечные сечения цилиндра при деформации остаются пло¬
скими. Формулы (15.9)—(15.11) праведливы для бесконечно длин¬
ного цилиндра и годятся для использования в сечениях цилиндра,
достаточно удаленных от днищ, если таковые имеются.
При наличии осевых нагрузок N, действующих на цилиндр»
в частности при наличии днищ, в его стенках возникают осевые
напряжения
N	N

При этом в (15.9) появляется слагаемое
Да = — (х	г.
(15.13)
а напряжения ог и о0 не изменяются.
В частном случае, когда отсутствует наружное давление (р2 == О,
pt = р), формулы для определения напряжений и перемещений в
толстостенном цилиндре можно записать в виде
2 . 2 ,
Г г —г Л	г '
°о = т~ ir f1 + $) Р;
r2-ri \ г /
'‘IP
'• +
1 + (Х
При этом
где
Я ri-rt • * в
(°r)max = (°r)r=r1 =
2 2
2 2
^*2 ^*1
1 + к2
-/c2i
(15.14)
(15.15)
(15.16)
(15.17)
Л —-SL.
Радиальное перемещение внутренней поверхности, т. е. увели¬
чение внутреннего радиуса, равно:
Для наружной поверхности цилиндра имеем:
(°г)г=гв = 0;
9	k2
2/с2
(15.18)
(15.19)
(15.20)
Рис. 277
'r-г, е 1 — /с2	^
Эпюры напряжений для рассмат¬
риваемого случая при /с = — = 0,5
Г2
приведены на рис. 277, а. Напряже¬
ния вдоль радиуса изменяются по
гиперболическому закону. Опасные
точки (точки наибольших напряже¬
ний) находятся на внутренней по¬
верхности цилиндра при г = гг.
Из анализа (15.17) следует, что
при г2 -► оо и к -► 0
(°г)г=г, = —/>; (®e)r=r, = Р-
Используя, предположим, третью теорию прочности, имеем
°ЭКВ III
= *1 — о3<[о].
(15.21)
400

В рассматриваемом предельном случае (к -> 0)
ai = (аб)r=rj = Р» °з = (аг)г=г1 — Р
условие прочности (15.21) примет вид
2р< [о],
откуда
,<«?•
Таким образом, цилиндр с весьма толстой стенкой не допускает
внутреннего давления, бблыпего определенной величины, т. е. уве¬
личение толщины стенки цилиндра не всегда является эффективным
способом увеличения прочности.
Рассмотрим частный случай, когда отсутствует внутреннее дав¬
ление (Pi = 0, р2 = р). Формулы (15.9)—(15.11) примут вид
1	— jjl ггР	1	+	fx	**i r2p	1
2 2' р 2 2»
Г2	 Г1 * Г2	Г1 Г
(15.22)
(15.24)
Как видно из (15.23) и (15.24), оба напряжения в этом случае
сжимающие, причем | а01> | аг|. На внутренней порерхности
ЫГ=Г1 = 0;	(15.25)
Ыг=г, = — t _Гр Р'	(15.26)
Mr-rt = —jr	Р-	<15-27>
На наружной поверхности цилиндра
(°г)г=г2 = —р;
Ы=г,= -тУр;	(15.28)
(“)г=г2 = - X (fS - <*) Р-	<15-29)
Эпюры	напряжений аг и а0 при Л = — = 0,5	приведены на
Г2
рис. 277, б. Наибольшее по абсолютной величине напряжение а0 ока¬
зывается на внутренней поверхности цилиндра; эти точки и являются
опасными. Положив в формуле (15.22) г* = 0 и г = г2, получим вели¬
чину перемещения наружной поверхности для сплошного цилиндра:
(»)г-г, = -Т(1“‘1)-	(15-30)
В	табл.	35	приведены расчетные формулы	для	толстостенных
цилиндров при различных схемах нагружения.
401

§ 85. Расчет составных цилиндров
С целью получения более равномерного распределения напряже¬
ний по толщине стенки и разгрузки внутренних слоев за счет луч¬
шего использования наружных, цилиндры делают составными путем
одевания с натягом одного цилиндра на другой (обычно с помощью
горячей посадки). В таких цилиндрах величина допускаемого внут¬
реннего давления может быть значительно больше, чем в цельном
цилиндре, что используется при изготовлении орудийных стволов.
При посадке одного цилиндра на другой с натягом окружные
напряжения во внутреннем цилиндре являются сжимающими, а в
наружном — растягивающими. Эпюра напряжений, возникающих после
посадки, представлена на рис. 278, а.
Под действием внутреннего давления в таком составном цилиндре
возникают напряжения, определяемые по формулам (15.14) н (15.15)
как для цельного цилиндра и характеризуемые эпюрами, показан¬
ными на рис. 278, б. Просуммировав эпюры напряжений, приведен¬
ные на рис. 278, а и рис. 278, б, мы получим действительную эпюр$
(рис. 278, в), имеющую место в составном цилиндре при внутреннем
давлении.
Из суммарной эпюры видно, что напряжения в стенке составного
цилиндра распределены более равномерно, чем в сплошной стенке
(эпюра показана пунктиром), поэтому в составных цилиндрах имеет
место более рациональное использование материала, чем в сплошных
цилиндрах.
При расчете составных цилиндров основным является установле¬
ние величины давления рс на поверхности их контакта при заданном
патяге 5, представляющем собой разность между наружным диамет¬
ром внутреннего цилиндра / и внутренним диаметром наружного
цилиндра II (рис. 279). Очевидно, уменьшение наружного радиуса
внутреннего цилиндра Wj и увеличение внутреннего радиуса наруж¬
ного цилиндра Wjj равны половине натяга:
Учитывая, что & весьма мал по сравнению с радиусом поверх¬
ности контакта, будем считать, что f2I = rui = гс (гс — радиус по¬
верхности контакта составного цилиндра).
Контактное давление рс будет наружным для внутреннего ци¬
линдра и внутренним для наружного цилиндра.
а	б
Рис. 278
I ui I + I ип I = ~2 *
(15.31)
402

Обозначим
к — — ‘ к — —
К\ — „	»	кг	—	_
Радиальное перемещение контактной поверхности внутреннего
цилиндра определяем по формуле (15.29):
гс /1 +
наружного —по формуле (15.18):
1 + к2
11 Ег \1 — к:
В
Г
*015411
to Рс
(15.32)
(15.33)
Подставляя абсолютные значения этих перемещений в (15.31),
имеем
Я,
1 +kl
1 VI
'to Р(
+ *—
: “ TP
i + Ч
откуда, решив уравнение относительно р0, находим
2
Рс =
1 + ^1
Ei \l _ к\
(15.34)
Если составляющие цилиндры изготовлены из одного материала,
формула упрощается и принимает вид
(1 - к\) (1 - kt)
(15.35)
ЬЕ
Ро~2гс
(1 + kl) (1 - kl) + (1 + kl) (1 - к?)
По найденному значению рс = / (5) определяют начальные напря¬
жения во внутреннем (формулы (15.23), (15.24)) и наружном (фор¬
мулы (15.14), (15.15)) цилиндрах. Формулы (15.34) и (15.35) справед¬
ливы, если напряжения не превышают предела пропорциональности.
При появлении при посадке пластических деформаций фактические
усилия рс будут меньше расчетных.
403

§ 86. Температурные напряжения в толстостенных цилиндрах
В случае неравномерного нагрева толстостенных цилиндров в них
развиваются температурные напряжения. При расчете температурных
напряжений полученные ранее уравнение равновесия (15.1) и геомет¬
рические соотношения (15.2) и (15.3) останутся без изменений, а фи¬
зические зависимости будут несколько иными.
Обозначив через t (г) повышение те*\шературы, зависящее от
текущего радиуса г, и через а — коэффициент линейного расширения,
а также, приняв значения модуля Е и коэффициента Пуассона [х
соответствующими средней температуре стенки, запишем обобщен¬
ный закон Гука в виде
1
ez =	(<J2	—	— рт9) + Н = const;
1
®r = -g- (®r —	—	t^e)	+	(r);
l
£0 =	(a0	—	№	—	\*r)	+	('*)•
(15.36)
J
Решив эти уравнения относительно напряжений, получим
Е
= (1-)-(Л)(1 — 2[ij ^ — ^ ** + ^	^ — (* + НО at W1; (15.37)
Е
°r	=	(14-[J.)(1	—2[х) К1 — !*) er + Fo + 1*Ь — (1 + р) И1;	(15.38)
_2ц) ^	^ е« +	^ — (! + Iх) а* (г)]-	(15.39)
Имея в виду, что
*г = Тг и е9 = Т’	(15-40)
после	подстановки в уравнение (15.1) выражений (15.38) и	(15.39)
найдем
d2u 1 du и _1 + (а dt(r)
Зная закон изменения температуры г = / (/•), из уравнения (15.41)
можно определить перемещение.
Переписав (15.41) в виде
d\ 1 d(ur)] =1 + [х dt(r)
dr [ г	dr J 1 — [a	dr *
после двукратного интегрирования этого уравнения получим
„=1 }±еС
г 1 — [О
Постоянные интегрирования Сг и С2 определим из условий для
аг на внутренней и наружной поверхности цилиндра
Ыг=г. = 0; Ыг=г, = 0.	(15.43)
404

Внеся (15.40) и (15.42) в (15.38), будем иметь
Ma‘('Wr+i^_^ + r=V2]-
Гх
Подставив это выражение в (15.43) и решив полученную при этом
систему двух уравнений относительно постоянных интегрирования,
найдем
г2
(1 + И-) (1 — 2р.)	1	Г
1 —г\-г\)
1±±	ri С
■1-1» 4-r2,j
at (г) rdr^-~ [j.ez;
Tt
Ti
•2-r1<ri
at (r) r dr.
После подстановки (15.40) в (15.37)-—(15.39) с учетом (15.42) и най
денных значений С± и С2 получим
Т 2 2 Г*
«Г = ^ [- ± J * М ' *■ +	$	<*	и	^	dr]	•	(15.44)
П	ГХ
Т 2 Г*
Е Г 1 С	r2 — r\ С
®9 = T^jl [т* J at ^ r dr + ir2_r2\ri J at ^ rdr~‘at (г); (15-45)
П	2	1	Гх
Гг
az =	а 2<Х ^ |	at (г) г dr + (1 —	р) ег —	at (г) j.	(15.46)
Г 2 — Г1 п
Неизвестная величина ez, входящая	в последнюю	формулу, в слу¬
чае свободного расширения цилиндра может быть найдена из условия
отсутствия в поперечном сечении цилиндра продольной силы:
2тс г2
N = j* j <v dr d<? = 0	(15.47)
О п
или
Га
J azr dr = 0.
Ti
Подставляя в последнее равенство выражение для а2 (15.46), найдем
г2
.--гМ.
г2 — rx J
at (г) /• dr.
‘ гх
С учетом полученного выражения г2 формула (15.46) примет вид
Гг
Т^. (г2 —г2 1 а< ^ rdr~at (г)) •	(15.48)
403

'I
Вычислить интеграл ^ at (г) г dr и определить напряжения воз-
п
можно, если известен закон изменения температуры t(r) по толщине
стенки.
При линейном законе изменения температуры
= f >	(15.49)
2 	 Г1
где Т = ti —г2; h и Ч — температура на внутренней и наружной
поверхностях цилиндра соответственно.
Подставив (15.49) в (15.44), (15.45) и (15.48), после интегрирова¬
ния найдем
[3	/	2 \	3	3*
/ гЛъ — ъ
г	г»	\	г*)г\-г\_
[3	/	2 \	3	3
о	,	Л	,	rAr*—ri
Г2	^	+	r*Jr2_r2
ЕаТ	Го	2
3(1 — fx)(r2 —rx)	[	J*
(15.50)
(15.51)
(15.52)
Напряжения у внутренней поверхности цилиндра при г = гх будут
Ыг=г, =0;
, V	V	Го. 2(r"-ri)	}	(15.53)
(®e)r-ri - (Ог=г, - з (i _ ji) (Г2 _ 3ri
У наружной поверхности при г = г2
(аг)г=г2 = 0»
ЯаГ Г 2(г?-г?)1
(°о)г=г, - Юг=г, - 3(i	(г2[ЗГа ~	J*
(15.54)
Рис. 280
Эпюры распределения температурных напряжений по толщине
стенки цилиндра с отношением k = -L = 0,5 при ^ = 0,3 приведены
г9
на рис. 280, а.
406

В случае логарифмического закона изменения температуры в стенке
толстостенного цилиндра
После подстановки (15.55) в (15.44), (15.45), (15.48) и выполнения
интегрирования формулы для определения напряжений сг, а0 и а2
соответственно будут иметь вид
Эпюры распределения температурных напряжений по толщине
стенки цилиндра с отношением к = у- = 0,5 при jx = 0,3 в случае
изменения температуры по логарифмическому закону представлены
на рис 280, б.
Вблизи торцов цилиндра напряжения, определяемые с помощью
приведенных формул, могут иметь место лишь в том случае, если
торцы будут нагружены поверхностной нагрузкой, изменяющейся в
соответствии с формулой для аг.
§ 87. Расчет вращающихся дисков
Вращающийся диск обычно испытывает растяжение под дейст¬
вием центробежных сил, являющихся для него основной нагрузкой,
а также изгиб. При неравномерном нагреве в нем могут возникнуть
и температурные напряжения. Обычно нагрузка и температурное
поле симметричны относительно оси диска, вследствие чего напря¬
жение является функцией расстояния от оси вращения.
Рассматривая тонкий плоский диск постоянной толщины Л,
можно считать, что напряжения по его толщине распределены равно¬
7	г
(15.55)
[
[■
(15.56)
(15.57)
У внутренней поверхности цилиндра при г = напряжения
{п.Л = п*
(15.59)
У наружной поверхности при г = г2
Ыг=г =°;
т=г2
ЕаТ
(°е) r=r, — (°*)r=r*
2(1Ini
■j.	(15.60)

мерно, а напряжения, параллельные оси диска, отсутствуют (<т2 == 0).
Таким образом, задача определения напряжений в диске сводится к
так называемой плоской задаче теории упругости, а именно к задаче
о	плоском напряженном состоянии.
Если диск, удельная масса материала которого равна , вра¬
щается с угловой скоростью а), то массовые силы, действующие на
выделенный элемент диска (рис. 281, а), могут быть представлены
равнодействующей (рис. 281,6), лежащей в срединной плоскости
элемента и равной
dmoi2r = — hr db dr оо2/*.
ё
Рис. 281
Запишем условие равновесия элемента, спроектировав все силы на
ось х:
dar
dr
+ °r — °е — -j “2r2 = 0.
(15.61)
Геометрические и физические уравнения при расчете дисков
такие же, как и в задаче Ляме ((15.2)—(15.4)). Поэтому дифферен¬
циальное уравнение (15.61) в перемещениях с учетом (15.4) примет
вид
d2u 1 du и 		1	—	ji2
dr2 г
dr
Переписав (15.62) в виде
d Г 1	d(ur) 1
dr [ г	dr J
1 — Р2 Tf 2

Е g
и проинтегрировав его последовательно дважды, найдем
и -
1 — (X2
г 8 Е
Подставив (15.63) в (15.4) будем иметь
С2 3 + у-
— Сх ■
«е - Сг -
г2 8
С2 1 + 3[х
-i-a>2/*3
g
-1 (О V:
где
Cl ~ Г=7хс*
8
С.= —
1+1*
<й*Гл,
Съ.
(15.62)
(15.63)
(15.64)
(15.65)
(15.66)
408

Постоянные Ci и С2 (следовательно, С± и С2) определяются из гра¬
ничных условий. Для диска с центральным отверстием в общем слу¬
чае имеем следующие условия на внутреннем (г = гг) и внешнем
(г = г2) контурах:
((Jr)r=r1 = агу
(«г)г_г, = ог,.
В соответствии с (15.64) эти условия дают два уравнения:
"г, —	■
Решая совместно эту систему двух уравнений, находим:
2
'•i
с, =
2
^*2
2	2	Г2	2	2	*!
*2 — Г2 — Г 1
2 2
Vi
2 2
V2
3 + 1Х Л_ ,„!»«
(15.67)
(15.68)
г _	3 + [X Т	2 2
2	g— Y	1 2‘
В случае, когда аг> = 0 и afj == О,
(15.69)
(15.70)
Подставив последние значения Сх и С2 в (15.64) и (15.65), получим
°г = Чг 7 “•('J + 'J-7?<15-71)
2 2
0,-i- -1 О)2[(3 + (Л) (,* +г* + !£-*)_ (1+3,0 г2].	(15.72)
Обозначив
i	=	=	р;	•	4-	•	“2г2	=	с;	1,~*Т_3||Х	=	От,	(15.73)
3 + fX
можем записать:
crr = c[l+fc2(l--±-)-p1!J;
"0 = e[l + *2 (i + jrj — mP2]-
(15.74)
409

Напряжение аг положительно и достигает наибольшей величины
при р = У к = 1/ — :
г г2
KU = c(l-ft)2.	(15.75)
Напряжение а0 также положительно при всех значениях р и
достигает максимума при р = к:
(оь)тах = с[2 + (\~-т)к*].	(15.76)
Из сопоставления (15.75) и (15.76) следует, что всегда имеет место
неравенство (о0)шах > (сг)щах* Поэтому условие прочности должно
быть записано (например, по IV теории) в следующем виде:
°9КВ IV - Ытах = с [2 + (1 - ») *2] < М.	(15.77)
В случае хрупкого материала следует пользоваться теорией Ку¬
лона—Мора, которая при о3 =а2 = 0 приводит к той же формуле
(15.77).
Формулы для определения напряжений в сплошном диске (/i=0)
на основании (15.64) и (15.65) будут иметь вид
ar = C,-^t£ -1 coV;	(15.78)
в9-С,-Ц^ -1 ш2г«.	(15.79)
Если внешняя нагрузка на наружном контуре (г = г2) отсутст¬
вует, т. е. <зГъ = 0, то согласно (15.78) находим
Сг =	•	-1	<0^	= с.	(15.80)
О	б
Подставив (15.80) в (15.78) и (15.79), будем иметь
ог = с(1-р2);	(15.81)
ое = с(1 — тр2).	(15.82)
Оба напряжения положительны и увеличиваются с приближением
к центру диска. В центре диска при р = О
Ютах = (аеW = с =	~g “2г2-	(15.83)
Согласно (15.3) радиальное перемещение
и = е0 • г.	(15.84)
Так как
60 = ~Е ~
то
и =	(09 — |ЛЯГ).	(15.85)
410

Для определения перемещения на наружном контуре диска в фор¬
мулу (15.85) необходимо подставить значения г = г2; о6 = а02; аг=аГг
В случае неравномерного нагрева диска к напряжениям, вызван¬
ным центробежными силами и контурными нагрузками (если таковые
имеются), следует прибавить температурные напряжения. Темпера¬
турные напряжения определяются так же, как и в толстостенном
цилиндре, поэтому уравнение равновесия (15.61) при <*> = 0 будет
совпадать с уравнением (15.1):
dar .	А
г_ + аг_Ое=0.
(15.86)
Относительные деформации с учетом температурного расширения
определяются следующими выражениями:
1
*г =-Y (°г —	+аг И;
1
*о = -р («е — и°г) + <*< (>•)•
(15.87)
Решая совместно эти уравнения относительно напряжений, найдем
Е
яг= i_|x2 [«г +	— (1 +1*)	И];
Е
Ч	— 4 _,.2 t£e +	— (1 + Н-)	(»•)].
1	(X
Учитывая (15.2) и (15.3), получим
(15.88)
(15.89)
При линейном изменении температуры вдоль радиуса диска
7* 	7*1
t (г) = Т		 последние выражения принимают вид
^*2 ^*1
Е
[du , и
d7 + lxT'
(i + ri *т
Г2 Г1
Е [ и , du /л , ч ^ г — ril
> = Г^2|Т + 1Х^“(1 + ^) aT7T=Til
(15.90)
(15.91)
Модуль упругости Е и коэффициент Пуассона (х полагаем постоян¬
ными, не зависящими от температуры, и равными их значениям при
средней температуре диска.
411

Подставляя (15.90) и (15.91) в уравнение равновесия (15.86), будем
иметь
^+±.*f_iL=i±Jia7\	(15.92)
dr2 г dr г2 г 2 — гг	'
Записав это уравнение в виде
£[±.£rf = l+±ar,
drir dr J г2 — rx
после двойного интегрирования получим выражение для перемещения
7 + 5КЙЗ'(,S93)
Подставив (15.93) в (15.90) и (15.91), для напряжений найдем
В2	Т
Г2 3 (Г2 — Г!)
_Я_2__2 Т
1 г2	3	г,-г,
Bi = г^~ (ж +	;
1—(1 \ 1 ' Гь — rJ'
er=Bl+%-1—aEr,	{15.94)
a0=B1-^-4 -Лг^.	(15.95)
где
Е ^
l + (iJ
В2 — “—;—- В^»
Постоянные Вг и В2 могут быть определены из граничных условий
при r = rt; (ar)r=eri = ari = 0 и при г = г2; (аг)ГеяГ. = 0.
Напряжения от центробежных сил и температурные напряжения
следует просуммировать. В случае линейного изменения температуры
вдоль радиуса, сложив правые части выражений (15.64) и (15.94),
а также (15.65) и (15.95), будем иметь
3 + f*
8
JL a)2/*2 e
g
3 (^*2	^l)
a Er;
.i+2e ±.„v2'_t_
8 g	3	r2	—	rt
aEr,
где D = Ci + Bi\ L = C2 + B2 — новые постоянные, которые надле¬
жит определить из граничных условий.
412

Расчетные формулы для толстостенных цилиндров
Таблица 35
Схема нагружения.
Эпюры напряжений
Главные напряжения в точках
цилиндрической поверхности j
радиуса г
Радиальное перемещение точек
цилиндрической поверхности
радиуса г
Главные напряжения в опасной
точке; эквивалентное напряжение
для опасной точки
(-*)
Цилиндр под
действием внут¬
реннего давления р
2 2 \
pri L rA
°r = n—«I1 —-pri
'■г —'’Л	r >
РГ' (л <г2Л
°е = ~2	г!1 + 7*)
г2— гЛ	т 1
аг = О — открытый цилиндр
рЛ
■	закрытый
г2 — Г1 цилиндр
Открытый цилиндр
рг 1	Г
“ = ТГ71	57 [(1 — Н-)'- +
Е (/•* — М L
А1
+ (1 + (А)—I
Закрытый цилиндр
РГ1	Г	Г2
и = —г	Г (1—2к1)/-+(1+(х)—
^('•а — '•l) L	Г-
r = rt
1	+ к2
а2 = а2=0 —открытый цилиндр
^2
а2 = а2 =	  - Р—закрытый
1	к цилиндр
аз — аг —	Р
2р
ЭКВ III = 1 	 Д.2
аэкв М
= p(i±bl+tA)
p\i-k2^ [,_,]}
Цилиндр под
действием наруж¬
ного давления р
pri	(	г\\
°Г~	г2)
2	/	2 ч
рг 2	/	>*l\
°е = —2	2 I + 72" I
г2 —Г,\	' /
= О — открытый цилиндр
2
Р"2
Oz =	2	2 — закрытый
Г'2 — Г1 ЦИЛИНДР
Открытый цилиндр
2	р
Рг% г
“ = — ГГ2	Г» (1	(*) Г +
Е — »V L
/•ll
+(1+H)-J
Закрытый цилиндр
РГ 2	Г
-J—— 2(х)г +
Е{г\-г\)\
+(1 + ц)
r = ri; а1==:аг = 0
о2	= аг = 0 — открытый
цилиндр
р
а2 = а2 = —  	——закрытый
1~к‘ цилиндр
2	Р
в* = °е=-ПГр
-
ЭКВ III		 д.2
2р_ [«,+]
эквМ 1 — к2 [<5_,]

Яродолжение табл. 35
Схема нагружения.
Эпюры напряжений
Главные напряжения в точках
цилиндрической поверхности
радиуса г
Радиальное перемещение точек
цилиндрической поверхности
радиуса г
Главные напряжения в опасной
точке; эквивалентное напряжение
для опасной точки
Цилиндр под
действием внутрен¬
него рх и наруж¬
ного р2 давлений
г iPi — г2р2
Открытый цилиндр
2 2
1 — и. riPi — ггР2
7* == 7*1
аг = —Pi
(1 -f- &2) Pi —
а0“ 1 — к2
аГ— 2 2
vl (Pi — Р2) 1
и - JP 1 2 2 Г "Г
^ 7*2 — /-!
| 4- {X Г1Г2 (Pi 	 Р2) 1
2 2 >2
г2 — гг г
+ _Ё"' rl-rl
Закрытый цилиндр
rlPl Г2Р2 ,
2 2
1—(—2р. '‘iPi “ Г2Р2
к2 Pi — р2
г“ 1 —к2
а0 2 2 1
Ъ — Г1
2 2/ .
Г1Г2 \Р 1 	 Р2) 1
2 2 * .2
г2 — г
U JP 2 2 Г '
Е Г 2 ^*1
l + jj. Va (Pi — Р2) 1
Е г2 —г* г
7*2 —

Глава 16
РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК
§ 88. Расчет тонкостенных оболочек
по безмоментной теории
К тонким оболочкам могут быть отнесены цистерны, водонапор¬
ные резервуары, воздушные и газовые балоны, купола зданий,
герметические перегородки в самолетах и судах, аппараты химиче¬
ского машиностроения, части корпусов турбин и реактивных двига¬
телей и т. п.
Рассмотрим элемент оболочки, показанный на рис. 282, а, б.
В общем случае в сечениях, которыми выделен элемент, будут дей¬
ствовать погонные (отнесенные к единице длины сечения) усилия
(рис. 282, а) и моменты (рис. 282, б): нормальные усилия N+ и TV2;
касательные (сдвигающие) усилия £1 и S2\ поперечные силы Qi и Q2',
изгибающие моменты Мх и М2\ крутящие моменты	и	М2 кр.
Учет всех перечисленных силовых факторов при расчете оболо¬
чек приводит к весьма сложным исходным дифференциальным урав¬
нениям, решение которых даже для простых случаев сопряжено
с большими математическими трудностями. Во многих случаях исход¬
ные уравнения могут быть существенно упрощены. Этого можно
достичь исходя из самого характера задачи. Во-первых, если обо¬
лочка представляет собой тело вращения и нагрузка симметрична
относительно оси оболочки, то задача называется осесимметричной
и в этом случае во всех сечепиях, образованных плоскостями, прохо¬
дящими через ось симметрии, и ортогональных им сечениях имеют
место равенства
Во-вторых, если по виду оболочки, характеру нагрузки и закрепле¬
ний можно по тем или иным соображениям прийти к выводу, что
какие-либо усилия или моменты всюду малы по сравнению с осталь-
Рис. 282
ilflKP = Af2KP = ‘Sl = lS'2=0; Ql=° (ИЛИ <?2 = 0).
415

егыми усилиями или моментами, то принимают допущение, что эти
усилия и моменты равны нулю. Например, часто полагают, что
Mi = М2 = М! кр = М2 кр = 0; Qt = Q2 = 0,
и в результате приходят к так называемой безмоментной теории
оболочек.
В частности, безмоментной теорией оболочек пользуются при
определении напряжений в резервуаре (рис. 283), представляющем
собой осесимметричную оболочку. Будем считать, что меридиональ¬
ные сечения срединной поверхности оболочки образуют плавные кри¬
вые, а толщина оболочки h является малой по сравнению с радиу¬
сами кривизны. Тогда в случае закрепления краев резервуара таким
образом, что на них могут действовать только усилия, касательные
к меридиональным кривым, можно считать, что оболочка находится
в безмоментном напряженном состоянии.
Резервуар, показанный на рис. 283, заполненный (полностью или
частично) газом, жидкостью или сыпучим веществом, в котором
давление одинаково во всех точках плоскости, перпендикулярной к
оси резервуара, представляет собой оболочку, находящуюся не только
в безмоментном, но и в осесимметричном напряженном состоянии.
Выделим из рассматриваемой оболочки прямоугольный криволи¬
нейный элемент ABCD, проведя два близких осевых сечения и два
ортогональных к ним и к поверхности оболочки сечения. Обозначим
длины граней элемента через dsx и ds2 (рис. 284). В гранях элемента
соответственно будут действовать растягивающие усилия (в случае
внутреннего давления) N2 dsx и ds2. Здесь Ni и N2 соответственно
нормальные усилия, приходящиеся на единицу длины контура эле¬
мента,
N^cfh; N2 = ат • ht	(16.1)
где at — окружное (широтное или кольцевое) нормальное напряжение,
направленное по касательной к окружности радиуса р* = рг, —
меридиональное нормальное напряжение, направленное по касательной
к меридиану с радиусом рт = р2.
Рассмотрим условие равновесия элемента, спроектировав на нормаль
OOi	(рис. 284) внутренние усилия, действующие по контуру элемента,
416

а также давление pf действующее на выделенный элемент площадью
cfy j ds ^ •
2Ntdst sin + N2'is1 sin ~ + (N2 + dNt) dst sin ^ — pdstds2=0.
Учитывая малость углов dy, и dy2 и пренебрегая величинами
второго порядка малости, находим
Pi Ра
(16.2)
Учитывая также (16.1) и то, что р< = и рт = р2, на основании
(16.2) получим
_j_	__	Р_
91	Pm h *
(16.3)
Уравнение (16.3) называется уравнением Лапласа. Для определе¬
ния двух неизвестных с* и ст одного уравнения Лапласа недостач
точно. Второе уравнение легко можно получить из рассмотрения
условий равновесия нижней части оболочки радиуса г, отсеченной
конической поверхностью AxDiBi (рис. 285):
N2 cos о • 2ъг « p%r2 Q
О,
где @ж — вес жидкости или сыпучего тела, находящейся в рассмат»
риваемой части резервуара; Qp — собственный вес рассматриваемой
части резервуара.
p-const	д..
U
Рис. 285
Рис. 286
Отсюда погонное усилие в рассматриваемом сечении стенки будет
+ Qp
n2 = ^-
Z COS a
2тir cos a
(16.4)
Зна; N-г, меридиональное нормальное напряжение am согласно (16.1|
определим из формулы
Ст = , рг - + g,K + gp .	(16.5)
lh COS a	Ziirh COS a
Так как задача определения напряжений в стенках резервуара
решалась в предположении, что напряжения по толщине стенки рас¬
пределены равпомерно, не было необходимости рассматривать геомет¬
рическую и физическую стороны задачи, т. е. в принятой постановке
задача о расчете тонкостенных сосудов оказалась статически опре¬
делимой.
14 6*1186
417

Нормальные напряжения at и ат, действующие в площадках,
где отсутствуют касательные напряжения, очевидно, являются глав¬
ными. Что касается третьего главного напряжения, направленного
по нормали к поверхности оболочки, то оно на внутренней поверх¬
ности равно р, а на наружной — нулю (при внутреннем давлении).
Поскольку в тонкостенных оболочках а1 = и о2 = ат значительно
больше рУ последним по сравнению с а( и ст пренебрегают, т. е. о3
полагают равным нулю.
Слеловательно, будем полагать, что материал оболочки находится
в плоском напряженном состоянии. Поэтому при расчете на проч¬
ность в зависимости от состояния материала следует пользоваться
соответствующей теорией прочности. Так, по IV теории прочности
условие прочности будет иметь вид
аэкв IV = ^ а? + ат — atam < М-	(16.6)
Ниже приведены расчетные формулы для резервуаров различных
форм.
Сферический баллон заполнен газом, давление которого
равно р. Подставляя в (16.3) значения pm = р* = R; ат = с* = а,
найдем
или
a = 3i = °2 = S-	(16-7)
Условия прочности по первой, третьей и четвертой теориям проч¬
ности приводятся к виду
°экв IV = ^-< М*	(16-8)
Цилиндрический баллон заполнен газом, давление которого
равно р (рис. 286).
В этом случае
Из (16.3) находим
Pt = Я; Рт=°°-
Напряжение ат в стенке баллона, отдаленной от его торцов, опре¬
делим по формуле (16.5) (положив Qm = Qp = 0; a = 0):
«m-ff.	(16-10)
«m = у
Сферический резервуар (рис. 287) наполнен жидкостью
(или сыпучим телом) с плотностью 7. В этом случае
?t = Pm = г = R sin <р; Н — R (cos <р — cos р);
р = уН = 7Я (cos <р — cos р).
418

Ид уравнения Лапласа находим
. pR	чЛ2 .	оу
Ч	+	= -J = (COS <р — COS Р).
(16.11)
Воспользовавшись формулой (16.5), в которой
<?ж ==‘tVABC = 1 J пНС (Зл ~Hc)=Y R3 (* — cos ?)2 <2 +
+ coscp),	(16.12)
положив в ней (?p = 0 и а = 90° — ср, найдем
7#2 Г1 -Ь cos ср + cos2 у	cos pi
°т~1Г [	3	(1	+	cos	tp)	2 J •
Затем из (16.11) определим
cos р]
Pi
at — h | Q (\ _j_ pnc „л	2 J*
Максимальное напряжение будет в точке С, где ср = О,
_ 7Я2 Г 2cos2 ср + 2cos ср — 1
JT [	3	(1	+ cos ср)
	7Я2 (1 — cos р)
°»*max °*шах	2h
На краю оболочки, при ср = р
.	-,0ч_Лл2	2	COS	Р	—	COS2 Р
°т (Р)	(Р)	=	Ж	i +~cos р
(16.13)
(16.14)
(16.15)
(16.16)
Сферический купол радиуса Лис толщиной стенки h
и готовлен из материала с плотностью 7 (рис. 288). Вес едииицы
площади оболочки q = 7/1. Нормальная составляющая
qn = q cos ср = yh cos cp
играет роль давления, приложенного к поверхности, и в уравнении
Лапласа (16:3) следует полагать р = —qn% а в уравнении (16.5) р=0.
Учитывая, что р/ = рт = Л, из уравнения Лапласа находим

Используя формулу (16.5), в которой
<?р = 4SACB = 4hSACB = ^2tzRHc = ^h2%R2 (1 — cos <p),
т. e.
= 2iz^hR2 (1 — cos cp);
r = Л sin cp; a = 90° — cp; p = 0,
а также учитывая, что в сечении ЛВ вес части АС В вызывает сжа¬
тие, найдем
Тогда из уравнения (16.17) имеем
Меридиональные напряжения всюду сжимающие и возрастают
по мере удаления от вершины купола к краю. Кольцевые напряже¬
ния в верхней части купола отрицательные (сжимающие); при
ср = 51°50/ они обращаются в нуль, а при <р>>510 50' становятся
растягивающими. Приведенные результаты верны, если устройство
купола таково, что в нем могут возникать только реакции, направ¬
ленные по касательной к меридиональной кривой.
§ 89. Распорные кольца в оболочках
Если в некотором сечении ААг оболочки (рис. 289) имеется пере¬
лом, то касательные к меридиональной кривой слева и справа от
точки А образуют между собой угол 180° — (ах + а2). Погонные уси¬
лия, вызванные меридиональными напряжениями ami и от2 (рис. 290)
Ь сечениях ВВг и СС\, бесконечно близких к АА1 (образованных
коническими поверхностями OxBBi и 02CClt нормальными к средин¬
ной поверхности оболочки), будут равны	и	am2h2, где hx и h2 —-
толщина частей оболочки 1 и 2.
(16.19)
BjAfij
Рис. 289
Рис. 290
или
Из условия равновесия кольца ВВ^хС имеем:
QtnJli COS ах 2nr = amth2 cos a2 2nr,
COS flj = am9h2 COS atg.
420

Таким образом, проекции этих усилий на ось оболочки взаимно урав¬
новешиваются. В то же время сумма проекций указанных усилий на
плоскость ААХ (рис. 291) дает погонное радиальное усилив
которое можно рассматривать как местную нагрузку, сжимающую
оболочку и могущую вызвать в оболочке значительный изгиб.
Чтобы уменьшить изгиб, в резервуарах часто устанавливают
кольца жесткости, или распорные кольца (рис. 292), которые и вос¬
принимают на себя радиальные усилия q по схеме, приведенной
на рис. 293. В кольце возникают только сжимающие напряжения,
и условие прочности для кольца будет иметь вид
где RK — радиус срединной поверхности кольца; FK — площадь по¬
перечного сечения кольца; q — погонная нагрузка, действующая на
кольцо, определяемая по формуле (16.20).
Иногда вместо распорного кольца в месте излома создают мест¬
ное утолщение оболочки, загибая края днища резервуара внутрь
оболочки, или, например так, как показано на рис. 294.
В табл. 36 приведены расчетные формулы для определения на¬
пряжений и перемещений в тонкостенных оболочках.
Я = sin + cmth2 sin а2,
(16.20)
А
Рис. 291
Рис. 292
(16.21)
Рис. 293
Рис. 294
421

Таблица 36
Расчетные формулы для определения напряжений и перемещений
в тонкостенных оболочках
р — давление; q — погонная нагрузка; ат и at— меридиональное и
окружное нормальные напряжения (положительные при растяжении);
h — толщина оболочки; R — радиус срединной поверхности в попе¬
речном сечении оболочки; Е, (х, fM — соответственно модуль упру¬
гости, коэффициент Пуассона и удельный вес материала оболочки;
w — перемещение в направлении нормали к поверхности (направление
от оси или центра оболочки считается положительным); 7 — удель¬
ный вес жидкости.
Схема
Формулы
Сферическая оболочка.
Равномерное внутрен¬
нее давление
Сферическая оболочка,
полностью заполненная
жидкостью и опертая
по кольцу радиуса
R sin а0
Внутреннее давление р = *(R (1 — cos а)
а< а0
422

Продолжение табл. 36
Схема
Формулы
Сферический резер¬
вуар, наполненный
жидкостью. Кромки
свободно оперты
Внутреннее давление р = (cos ср — cos (3)
7Л2 Г 1 + cos ср -f cos2cp cos Si
am~ h [■ "3(1+cos*) ~г\
f/?2 Г—1 -\-2 cos f + 2 cos2 9 cos pi
0< _ h L 3 (1 + cos 9) 2 J
при cp = 0
7Я2 1 — cos p
am — — h 2 “ °max
при cp = p
7Л2 2 — cos p — cos2 p
°m- 6(1+C0SP)
Изменение радиуса круга на контуре
. 4R2 sin Р (1 + fx) (2 —- cos а — COS2 а)
“ Eh 6(1 + COS а)
Сферический купол под
действием собственного
веса. Кромки свободно
оперты
7м^ _ _ м D 1 —” cos — cos2 ср
Gw 1 + COS Cp ’ а* — 1 + cos Cp
0/ = 0 при <p = 51° 50'
а*<0 при 0 «< a <51° 50'
0/ >0 при a> 51° 50'
Сферический купол.
Равномерноег нормаль¬
ное давление. Кромки
шарнирно оперты на
упругое кольцо. Мате¬
риалы оболочки и коль¬
ца одинаковы
Вдали от краев при Н ;> \0h
pR
°т ~ ~ ж
Напряжения в опорном кольце
DS! . Г COS a 0,39 УRh 1
р/?2 sin a Л sm a
Зк_ 2 L F + 0,39ft VM J’
где F — площадь сечения опорного кольца
423

Продолжение табл. 36
Формулы
Схема
Длинная цилиндриче¬
ская оболочка с дни¬
щами. Равномерное
внутреннее давление
Вдали от краев
pR.
pR
°т~ 2h ’ h ~ Зп
Цилиндр, заполненный
жидкостью. Верхние
края свободно оперты
7#Я	у	(Н — х) R
°”*= 2Г: 3< = i	к
Длинная коническая
оболочка. Равномерное
внутреннее давление
Вдали от краев
рх tg а	рх	tg	а
°т 2Л ’	h
3рх2 tg2 а
W~ AhE
424

Продолжение табл. 36
Схема
Формулы
Коническая оболочка
под действием собст¬
венного веса. Края
свободно оперты
Вдали от краев
Км * х	'
= -	 ; с* = —
х • sin" а
т 2 cos а '	*	cos	а
Радиальное перемещение края (х = I)
При sin а = у Д = О
Коническая оболочка,
полностью наполненная
жидкостью. Края сво¬
бодно оперты
ух tg а
(Я-Й
2h cos а
Я1 = _Ш_^(Н_Х)
h COS а
3ТHHga	3 „
°mmax — 16Л cos а ПрИ *“4
Я
°<max - 4/j cos а при* — ^
jHHga
Ah cos а
Изменение радиуса круга на контуре
Д
^ 6hE cos а
425

ТТродолжепие табл. 36
Формулы
Цилиндрическая обо
л очка с коническим
днищем, заполненная
жидкостью
Напряжения в днище
Дк
Если И .> -g- , то
= j(Я + т) ПРИ * =
Нн
Если Н < — , то
U
Если	то
7 t£? а	^	Ч-
<3'max = 4fc cos а + Як)2 ПРИ * =	2
Если Н < Як, то
Т а г* гж
°'max ~ h COS а к ПРИ х= Нк
Цилиндрическая обо¬
лочка со сферическим
днищем, заполненная
жидкостью
Напряжения в днище
а —1И\НЛ-Н —yJU Х (ЗД ~ Ж)1
т 2Л [ с + 3(2Я — *)J
“тшах = ^ (Я + ЯС> при х = О
[ £7 , и	а?(ЗЛ	—аг)"|
°‘=ш[н + нс-х-щт-*)\
°W	+	Вс) при х = О
Для полусферического днища (Нс = R)
“wmai = °'тах = ^ (Я + Л) при х = О
426

Продолжение табл. 36
Схема
Формулы
Торовая оболочка. Рав¬
номерное внутреннее
давление
_ pR 2а-\- R sin ср
771	2h а R sin ср
pR (2а — R)	тс
°mmax - 2Л (а — Д) ПрИ * = —Т
о
* 2h
рд2Га
W = ггтп- П —
2 Eh
(! — 2(a) + (1 — [*) cos <р|
Значения ат и а/ достаточно точны при
а>(2 — 3)Л

Глава 17
РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ
СОСТОЯНИЯМ
§ 90. Основные понятия о предельном состоянии
Приведенные выше методики расчета на прочность стержней,
балок и конструкций были основаны на оценке прочности материала
в опасной точке, т. е. проводился расчет по допускаемым напряже¬
ниям. Опасным, или предельным, состоянием конструкции считалось
такое ее состояние, при котором наибольшее местное напряжение
достигало опасной величины — предела текучести (для пластичного
материала) или временного сопротивления (для хрупкого материала).
Состояние всей остальной массы материала во внимание не прини¬
малось.
В то же время при неравномерном распределении напряжений,
например при изгибе, кручении, в статически неопределимых кон¬
струкциях, изготовленных из пластичных материалов, появление
местных напряжений, равных пределу текучести, в большинстве слу¬
чаев не является опасным для всей конструкции в целом.
В связи с этим возникла необходимость в новом подходе к оценке
прочности конструкций по ее предельному состоянию.
Под предельным состоянием конструкции понимают такое ее со¬
стояние, при котором она теряет способность сопротивляться внеш¬
ним воздействиям или перестает удовлетворять предъявляемым к ней
эксплуатационным требованиям.
Различают три вида предельных состояний: а) по несущей спо¬
собности (прочности, устойчивости и усталости. При достижении
этого состояния конструкция теряет способность сопротивляться
внешним воздействиям или получает такие остаточные изменения,
при которых она перестает удовлетворять предъявляемым к ней
эксплуатационным требованиям; б) по развитию чрезмерных дефор¬
маций от статических или динамических нагрузок, при которых в
конструкции, сохраняющей прочность и устойчивость, появляются
необратимые деформации или колебания чрезмерной амплитуды, так
что конструкция перестает удовлетворять предъявляемым к ней
эксплуатационным требованиям; в) по образованию и развитию тре¬
щины, когда в конструкции, сохраняющей прочность и устойчивость,
появляются крупные трещины, вследствие чего дальнейшая эксплуа¬
тация конструкции становится невозможной (потеря требуемой водо¬
непроницаемости, опасность коррозии из-за повреждения отделочного
слоя и т. п.).
Методы расчетов по предельным состояниям широко применяются
при проектировании строительных конструкций и позволяют вскрыть
резервы прочности, не используемые при расчетах по допускаемым
напряжениям, и уменьшить вес конструкции.
Ниже рассмотрены некоторые примеры расчета по предельным
нагрузкам конструкций, изготовленных из пластичных материалов,
имеющих площадку текучести на диаграммах растяжения, сжатия
и чистого сдвига. С целью упрощения расчетов эти диаграммы
(рис. 295) схематизируются таким образом, что участок прямой, выра¬
428

жающий закон Гука, непосредственно переходит в горизонтальную
прямую без плавного перехода (рис. 296). Этим самым принимается
равенство между пределами пропорциональности и текучести. Длина
горизонтального участка диаграммы не ограничивается, т. е. материал
считается идеально пластичным, не упрочняющимся. Такая диаграмма
носит название диаграммы Прандтля.
Замена реальных диаграмм схематизированной диаграммой Пранд¬
тля приемлема для материалов типа алюминия и вполне допустима
для материалов, имеющих диаграммы с ограниченной длиной пло¬
щадки текучести (рис. 297).
Предельное состояние конструкции, определяемое значительной
пластической деформацией, наступит в начале упрочнения материала
и предельная нагрузка может быть вычислена по пределу текучести.
Рис. 295
Рис. 296
Для сложного напряженного состояния существуют различные
теории перехода материала в пластичное состояние. Наиболее просто
расчеты выполняются при использовании теории пластичности Сен-
Венана, согласно которой пластичное состояние материала при слож¬
ном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшие
касательные напряжения достигают предельного значения — предела
текучести при сдвиге
Tmax = V	(17.1)
Исходя из изложенных выше положений, рассмотрим некоторые
характерные случаи расчета по предельному состоянию.
§ 91. Расчеты при растяжении и сжатии
При растяжении и сжатии напряжения распределяются равно¬
мерно по площади поперечного сечения стержня. Поэтому расчеты
на прочность статически определи¬
мых систем по допускаемому напря¬
жению и по предельному состоянию
дают один и тот же результат.
В случае статически неопределимых
систем результаты расчетов будут
различны. Это легко показать на
примере расчета на растяжение трех¬
стержневой подвески (рис. 298), на¬
груженной силой Р. Площади попе¬
речных сечений стержней одинаковы;
материал пластичный с пределом те¬
кучести от.
При расчете рассматриваемой однажды статически неопределимой
системы по допускаемому напряжению, согласно данным § 41, при
f1 = f2 = f
Ж—*
1 р

Очевидно, всегда Nx > N2 = N3I т. e. большее усилие возникает
в среднем стержне. Следовательно, в среднем стержне будет и наи¬
большее напряжение, равное
N1 _	1	Р	/17 /ч
’max ~ р "1 + 2 cos8 о F '	(	'
Запас прочности при этом будет равен:
5т 1 + 2 cos3 а
FaT.	(17.5)
При расчете рассматриваемой подвески по предельному состоянию
усилие в среднем стержне при появлении в нем пластической дефор¬
мации будет
ЛГ1т = F	(17.6)
При этом согласно (17.2) внешняя нагрузка
Р1т = (1 +2 cos3 a) Fav	(17.7)
а усилия в крайних стержнях рассматриваемой системы, превратив¬
шейся в статически определимую систему, будут
P—Fa.
N2 = N„ = —	-т.	(17.8)
2	cos а	4	'
Несущая способность конструкции выдержать нагрузку Р> piT
будет исчерпана, когда напряжения в крайних стержнях достигнут
предела текучести, а соответствующая этому моменту нагрузка со¬
гласно (17.8) будет равна:
Откуда
Pnp = (i+2cosa)FaT.	(17.9)
Запас прочности при расчете по предельному состоянию
Рп (1 + 2 cos a) Fa
V = -^=	р	"•	(17-Ю)
Из сопоставления (17.5) и (17.10) видно, что лпр;>гст. Например,
при а == 30° отношение -^ = 1,19. Таким образом, расчет по пре¬
дельному состоянию позволил выявить скрытый запас прочности
конструкции.

§ 92. Расчет при кручении
При кручении стержней сплошного круглого сечения касатель¬
ные напряжения в упругой области на расстоянии р от центра сече¬
ния (рис. 299) определяются по формуле (§ 46)
(17.12)
Рис. 299
Рис. 300
Опасное состояние стержня при расчете на кручение по допус¬
каемым напряжениям определяется появлением пластических дефор¬
маций в крайних волокнах, когда крутящий момент
=	=	(17.13)
При этом стержень сохранит способность воспринимать возрастающий
крутящий момент вследствие роста напряжений до уровня предела
текучести тт (рис. 300) в точках, лежащих ближе к центру сечения
(рис. 301, а).
При расчете по предельному состоянию, при котором пласти¬
ческие деформации распределены по всему сечению (рис. 301, б),
крутящий момент равен (рис. 301, в)
S^jV.*
\К
или
Рис. 301
d/2
Мщ> — \ Р хт = \ 2я I
F	0
71Л	ъйЪ
пр — хт If'
(17.14)
117.15)
481

Величина
_ \у
12 ~ VY v (пл)
(17.16)
называется пластическим моментом сопротивления при кручении. Тогда
W.
(17.17)
Отношение предельного момента М к моменту Мт, определяе-
МЩ> = ХТ,
Р (пл)*
мому по формуле (17.13), будет
На
Л7Ж
К В 1
№
У~Х7
»° ш щ
		(
2а
# ,
а
4,1
4Г
1
IIIII0IIIII
1
■
6
$
H'N'
пр _
Р (пл)
тid3 16
12 тid*
или
Л*пр = уМт=1,ЗЗЛ*т.
в
Рис. 302
Таков скрытый запас прочности скру¬
чиваемого круглого стержня, который об¬
наруживается при переходе от расчета по
допускаемым напряжениям к расчету по
предельному состоянию.
В случае статически неопределимой
системы, приведенной на рис. 302, а, б, в
запас прочности при расчете по предель¬
ному состоянию оказывается в 1,78 раза больше запаса прочнос¬
ти, получаемого при расчете по допускаемым напряжениям.
§ 93. Расчет при изгибе
При изгибе нормальные напряжения по высоте сечения распре¬
делены неравномерно (рис. 303, а) и на расстоянии у от нейтральной
линии определяются по формуле Навье (10.6)
Му
Пластические зоны
MpL
с-
dF
Ь'
Максимальные напряжения на краю сечения
М

где W — момент сопротивления при изгибе, который, например,
для балки прямоугольного сечения шириной b и высотой ft равен:
w = b-?
6
Опасная величина изгибающего момента при расчете по допускае¬
мым напряжениям будет (если пределы текучести при растяжении
и сжатии одинаковы)
(17.18)
При этом балка способна воспринимать возрастающий изгибающий
момент. По мере увеличения изгибающего момента по сравнению
с Мт пластическое состояние материала распространяется в направ¬
лении нейтральной оси (рис. 303, б) вплоть до полного исчерпания
несущей способности балки. Предельное состояние наступит тогда,
когда текучесть распространится по всему поперечному сечению
(рис. 303, *), после чего дальнейшая деформация балки будет происхо¬
дить без увеличения изгибающего момента В рассматриваемом попе¬
речном сечении образуется так называемый пластический шарнир,
который передает изгибающий момент, равный предельному изги¬
бающему моменту, определяемому для сечения, симметричного отно¬
сительно нейтральной оси, по формуле
Мщ>
= [ aTv dF = ат 2 j ydF=°T-2 Smax, (17.19)
F	F/ 2
где Sm3LX — статический момент площади половины поперечного сече¬
ния относительно нейтральной оси.
Величину 2<5,тах принято называть пластическим моментом сопро¬
тивления и обозначать WnjI. Тогда
^пр = ‘т^шг	(17.20)
Отношение
М W
-^ = —	Г17 2П
мт w
характеризует степень увеличения запаса прочности балки при пере¬
ходе к расчету по предельным нагрузкам. В случае балки прямо*
угольного сечения
bh2
^пл	 4 	. _
W ~ bh2 ~1,°-
6
W
ГУ пл
Для двутавровых прокатных балок в среднем -щ- = 1,18.
В табл. 37 сведены расчетные формулы для определения пласти¬
ческих моментов сопротивления для некоторых сечений балок.
433

Таблица 37
Пластические моменты сопротивления для некоторых
сечений балок
Сечение
Пластические моменты сопротивления
434

Продолжение табл. 37
Сечение
Пластические моменты сопротивления
1 —
а = г
У\
\
X
ezzi
wnn = 25*; Wan * (1,14-5-1,18) Wx

Глава 18
УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ
S 94. Устойчивое и неустойчивое упругое равновесие
P<PV
Я
р-р«
В системе, находящейся в деформированном состоянии, равно¬
весие между внешними нагрузками и вызываемыми ими внутренними
силами упругости может быть не только устойчивым, но и неустой¬
чивым.
Упругое равновесие устойчиво, если деформированное тело при
любом малом отклонении от состояния равновесия стремится возвра¬
титься к первоначальному состоянию и возвращается к нему после
прекращения внешнего воздействия, нарушившего первоначальное
равновесное состояние. Упругое равновесие неустойчиво, если де¬
формированное тело, будучи выведено из него каким-либо воздейст¬
вием, продолжает деформироваться в направлении вызванного
отклонения и после прекращения воздействия в исходное состо¬
яние не возвращается. Между этими двумя состояниями равнове¬
сия находится переходное состояние, называемое критическим. При
критическом состоянии деформированное тело находится в безраз¬
личном равновесии: оно может сохранять первоначально приданную
ему форму, но может и потерять ее от самого незначительного
воздействия.
Устойчивость формы равновесия деформированного тела зависит
от величины приложенной к нему нагрузки. Нагрузка, превышение
которой вызывает потерю устойчивости пер-
Р^кр воначальной формы тела, называется крити¬
ческой нагрузкой и обозначается через Ркр.
На рис. 304, а, б, в показаны возможные
случаи деформирования стержня в зависи¬
мости от сжимающей нагрузки: при Р <С
I	< Ркр — форма равновесия остается устой»
' чивой (рис. 304, а); при Р = Ркр— состояние
безразличного равновесия, когда стержень
может занимать одно из трех показанных
сплошной и пунктирными линиями положе¬
ний (рис. 304, б); при Р>Ркр стержень те¬
ряет устойчивость, выпучивается, т. е. пря¬
молинейная форма равновесия перестает быть
устойчивой (рис. 304, в).
Достижение нагрузками критических значений равносильно раз¬
рушению конструкции, так как неустойчивая форма равновесия
неминуемо будет утрачена, что практически связано с неограничен¬
ным ростом деформаций и напряжений. Разрушение обычно происхо¬
дит внезапно от изгиба и при малых значениях сжимающих напря¬
жений, когда прочность элемента на сжатие еще далеко не исчерпана.
Для обеспечения определенного запаса устойчивости необходимо,
чтобы удовлетворялось условие
Р «[П	(18.1)
S
Рис. 304
436

где Р — действующая нагрузка; [Р] — допускаемая нагрузка, которая
при коэффициенте запаса устойчивости лу равна:
[Р] =	.	(18.2)
П1
Таким образом, при расчете упругих систем (в частности, таких
типичных систем, какими являются сжатые стержни) на устойчи¬
вость прежде всего необходимо уметь определять величину крити¬
ческой силы Ркр.
Ниже мы рассмотрим основные формулы
для определения критических нагрузок при
сжатии длинного тонкого стержня или при
так называемом продольном изгибе.
§ 95. Формула Эйлера для определения
критической нагрузки сжатого стержня
Предполагая, что критическая сила Ркр
не вызывает в стержне напряжений, превы¬
шающих предел пропорциональности, и что
имеют место только малые отклонения от
прямолинейной формы, значение критической
силы Ркр для сжатого стержня длиной /,
закрепленного по схеме, приведенной на
рис. 305, а, можно определить из следующего
приближенного дифференциального уравнения
изогнутой оси балки (§ 54):
EJmln	=	М	(ж),	(18.3)
где «/min — наименьший момент инерции сечения стержня (при
потере устойчивости прогиб произойдет перпендикулярно к оси
наименьшей жесткости); М (z) — изгибающий момент, равный
М (z) = — Pw.	(18.4)
Подставив (18.4) в (18.3), получим

Решением полученного однородного дифференциального уравне¬
ния (18.5) будет
w = A sin kz В cos kz,
где А и В — постоянные интегрирования — определяются из гранич¬
ных условий. В частности, для случая шарнирного закрепления кон¬
цов сжатого стержня (рис. 305, а), граничные условия будут:
i2=o = °; w(*) Iг=/= 0-
Из первого граничного условия следует, что В = 0, поэтому
w (z) = A sin kz.	(18.7)
Из второго условия получаем
A sin kl = 0.
Так как
А + 0,
то
sinW = 0.	(18.8)
Корень этого уравнения kl может иметь бесконечное число значений:
0, те, 2те, , пте, т. е.
kl == пп,
где п — произвольное целое число.
Очевидно, первый корень kl = 0 должен быть отброшен, так как
он не соответствует исходным данным задачи. Таким образом,
кЧ2 = пЧ2.	(18.9)
Учитывая (18.6) и (18.9), находим искомое критическое значение
усилия Р
п27С2 EJ j
Ркр =	(18-10)
Это выражение впервые	было получено	Эйлером	и	называется фор¬
мулой Эйлера.
Наименьшее	значение критической	силы	Р*р,	получаемое при
п = 1 и Ы = те, равно:
(18-11)
Уравнение изогнутой линии при малых деформациях согласно
(18.7) имеет вид

Значение А характеризуется величиной максимального прогиба
u>max = /» К0ГДа sm ~у~ = 1 • Следовательно,
, . nnz
w = f sin —.
(18.12)
Максимум w (z) имеет место при таком значении z, для которого
‘ = 0,
dw
dz
т. е.
или
Наименьшее
71
нулю, равно ,
откуда
dw r mi rnzz Л
~dz — / у cos “ = °>
COS — = 0.
значение аргумента, при котором косинус равен
следовательно,
W7C2
1
2	п
(18.13)
Из (18.12) или (18.13) следует, что п рав¬
но числу полуволн синусоиды, умещающихся
на длине изогнутого стержня (рис. 306). Если
I
п = 1,то z =	,	и максимальное значение
прогиба и>тах = / имеет место посредине
стержня. Это соответствует основному случаю, показанному на рис.
305, б, когда после потери стержнем устойчивости при мйнимальном
значении критической силы Pjp на его изогнутой оси умещается
только одна полуволна синусоиды.
§ 96. Влияние условий закрепления концов стержня
на величину критической силы
Влияние условий закрепления концов стержней на величину
критической силы легко выяснить путем сопоставления вида изогну¬
той оси стержня при различных случаях закрепления с формой
изогнутой оси в основном случае, т. е. при шарнирном закреплении
обоих концов стержня.
Стержень длиной I с одним жестко закрепленным, а другим сво¬
бодным концом (рис. 307, а). При потере устойчивости стержень нахо¬
439

дится в таком же состофши, как и половина стержня длиной L = 21
с шарнирно закрепленными концами (рис. 307,6). Это значит, что в
рассматриваемом случае
Р1 =
кр
lEJ
min
lEJ
min
(21)2
4J2
(18.14)
При этом изогнутая ось стержня (рис. 307, а) имеет вид половины
1
полуволны синусоиды. Значит, л = ~.
■£т
Рис. 307
7>
р
г
1Р
Рис. 308
Стержень длиной I с двумя жестко закрепленными концами
(рис. 308). При потере устойчивости средняя часть стержня будет
иметь такую же форму, как и стержень длиной L = ~ с шарнирно
закрепленными концами, т. е.
Ркр-'
я2 EJ,
min
2
4n*EJ,
min
(18.15)
В этом случае образуется две полуволны: средняя, длиной Z, = —,
и две крайних половинки полуволны, длиной у. Значит, п = 2.
Стержень, длиной I с одним жестко закрепленным концом,
а другим шарнирно опертым (рис. 309). После потери устойчивости
440

правая часть стержня СВ будет иметь вид полуволны синусоиды.
Из сравнения рис. 309 и рис. 307, б находим, что участок СВ имеет
длину L = 0,7Z, а следовательно,
(шб)
Из сопоставления (18.11) и (18.14) —(18.15) следует, что в общем
случае указанные формулы могут быть представлены в виде
р _^lf£mln	МЯ1Т>
кР— (V2)a	’	(18.17)
где W = /цр — приведенная длина стержня; I — фактическая длина
стержня; v — коэффициент приведения длины.
При шарнирном закреплении обоих концов стержня v = 1; если
один конец стержня жестко закреплен, а другой свободен, v = 2;
если оба конца жестко закреплены, v =	;	если один конец жестко
закреплен, а второй шарнирный оперт, v = 0,7.
Приведенные случаи закрепления концов стержня на практике
в чистом виде встречаются редко. Наиболее распространены случаи
закрепления, когда один конец стержня жестко заделан, а другой
упруго оперт или когда оба конца упруго закреплены.
Рассматривая первый из указанных случаев (рис. 310), легко
заметить, что после потери устойчивости упруго опертый конец пере¬
мещается в вертикальном направлении на величину /в, при этом
возникает упругая реакция Дв, пропорциональная отклонению /в
и равная
Яв = 0 1в'
где с — коэффициент жесткости опоры В.
Дифференциальное уравнение упругой линии при этом будет
иметь вид
Я-Лпт 4?" = PUb “ »> “ с*в (* ~ *>	(18-18)
или
где
-^г = *2 (/в ~ю) —жг~ ^ — *)'	(1819)
az	mln
Р
*2 = 	КР
^mln
Переписав уравнение (18.19) в виде
d2w ,	...	Л	cl	\	cfB
(18.20)
441

находим его решение:
w = С sin kz -f D cos kz + fB (\	— fB z. (18.21)
\	кр	/	кр
Постоянные интегрирования и критическую нагрузку определим
из граничных условий:
при 2 = 0
н7(0) = ц>д=0,	(18.22)
= 0 (0) = 0;	(18.23)
при Z=I
Из (18.22) находим
w (I) = шв = /в.	(18.24)
Для использования (18.23) вычислим производную (18.21)!
= кС cos kz — kD sin kz +	—	/n,
dz	Pun	a
откуда при z = 0 получаем
еГ .L
кС + -p—fn — 0,
KP
или
_	с
kp«v
/в•
Подставив полученные значения С и D в (18.21), найдем
w ^ = ~ "л?—sin — /в I1 —7— f)cos !<z +
+ /B(1--^i) + -F£'2-	(18.25)
\	кр	/	кр
Используем граничное условие (18.24). Положив в (18.25) z = Z, найдем
w(l) = —	— fB sin kl — fB(l	zj cos kl +
+ /в f1	p—	+ ~p— /в1 = fB*
\	кр	/	*кр
442

или
с
■ sin
,— oin kl — [1	— /) cos kl = 0,
”кр	\	*KP	/
откуда
tgftZ = w(l—(18.26)
Если из этого уравнения найти наименьшее значение к, то тем самым
будет найдено наименьшее значение критической нагрузки
^кр = ^min-
Рассмотрим два предельных случая. Положив с = 0, находим
tgkl = оо; kl = у,
т. е. приходим к расчетной схеме, когда один (левый) конец жестко
заделан, а другой (правый) свободен (рис. 307, а). Величина крити¬
ческой силы в этом случае определяется формулой (18.14).
71
Положив с =00, из (18.26) находим igkl = kl; &/ = —, и вели¬
чину критической силы (18.16), которая соответствует случаю, когда
один конец стержня жестко заделан, а другой шарнирно оперт (рис.
309).
Следовательно, изменение коэффициента упругости с от нуля до
бесконечности может быть учтено коэффициентом приведения v, кото¬
рый при этом будет изменяться в пределах от 2 до 0,7.
Значения коэффициента приведения длины v, а также коэффи¬
циента устойчивости if) =к21* для центрально сжатых стержней
постоянного и переменного поперечных сечений для различных слу¬
чаев их нагружения и закрепления приведены в табл. 38. В табл. 39
даны значения критических нагрузок для полосы и некоторых дву¬
тавровых балок.
§ 97. О потере устойчивости при напряжениях,
превышающих предел пропорциональности материала
Формула Эйлера была получена из дифференциального уравнения
упругой линии, поэтому ею можно пользоваться лишь в случае,
если справедлив закон Гука, т. е. пока критическое напряжение,
возникшее в сжатом стержне при критической нагрузке Р*р, не пре¬
вышает предела пропорциональности
с	<	а
скр р ^ °пц-
Представив критическое напряжение в виде
®кр р	р	^V? j* '
443

/^min
F
где i = i^in = I/ —£г" ^-наименьшии главный радиус иперции
площади сечения стержня (§ 10), или
Ха '
°кр — '
(18.27)
где
vi
min
(18.28)
— безразмерная величина, называемая гибкостью стержня, из (18.27)
видим, что критическое напряжение зависит только от модуля упру¬
гости Е и гибкости X.
Построив график зависимости акр = /(Х) (рис. 311) — гиперболу
Эйлера,— можно убедиться, что для
данного материала (с известным мо¬
дулем Е) формула (18.27) справед¬
лива, начиная с определенного зна¬
чения гибкости, которое может быть
найдено из условия
тс2Д
: X2
<
ПЦ
Определим предельную гибкость
ед, ниже которой формулой
(18.27) пользоваться нельзя:
пред*1
V °пц
Так, например, для стали марки Ст. 3, модуль упругости которой
Е — 2 10е кГ/сма, опц « 2000 кГ/см*,
3,142 2 10е
2000
100,
т. е. формулой Эйлера (18.27) можно пользоваться на участке гипер¬
болы, показанной на рис. 311 сплошной линией, при гибкости X
не менее 100.
Однако, как показывает опыт, и на участке, где Х<Хпред, при
напряжениях в стержне, больших спц, при которых формула Эйлера
дает завышенные значения критических напряжений (участок гипер¬
болы Эйлера, показанный на рис. 311 пунктиром), стержень может
потерять устойчивость. В этом случае значение критического напряже¬
ния может быть вычислено согласно опытным данным Ф. С. Ясин¬
ского для различных материалов по эмпирической формуле
акр = а '— Ь\.	(18.29)
Для яугупа пользуются квадратичной зависимостью

Значения постоянных коэффициентов а% Ь и с для некоторых
материалов приведены ниже.
Материал
хпред
ь
Ст. 2, Ст. 3
100
3100
11,4
Ст. 5
100
4640
32,6
Сталь 40
90
3210
11,6
.—
Кремнистая сталь
100
5890
38,2
—
Дерево (сосна)
110
293
1,94
—
Чугун
80
7760
120
0,53
При некоторых значениях гибкости Х0 величина акр, вычисленная
по формулам (18.29) или (18.30), становится равной предельному
напряжению при сжатии, т. е. для пластичных материалов
°кр = ат>
для хрупких материалов
°кр = ав*
Стержни, у которых Х<Х0, называют стержнями малой гибкости
и рассчитывают только на прочность. Для стали марки Ст. 3, напри¬
мер, при 40<Х«<100 график зависимости акр = /(Х), полученный на
основании формулы (18.29), представляет собой наклонную прямую
SM (рис. 311), а часть графика NS при 0«<Х«<40 может рассматри¬
ваться как горизонтальная линия.
Таким образом, график скр = / (X) для стали марки Ст. 3 состоит
из трех участков: горизонтального участка NS, соответствующего
скр = ат; наклонного участка SM при 40 < X < 100 и гиперболы Эй
лера при Х>100 (правее точки М).
§ 98. Расчет сжатых стержней на устойчивость
при помощи коэффициентов уменьшения
основного допускаемого напряжения
Центрально сжатые стержни с малой гибкостью (Х«<Х0) сохра
няют несущую способность при условии, что критические напряже
ния не превышают опасного напряжения, т. е. что
°кр ^ °о»
где для хрупких материалов а0 = ав, для пластичных материалов
с0 = от. Несущая способность стержней малой гибкости определяется
прочностью материала.
В случае стержней с большой гибкостью опасным состоянием
следует считать момент возникновения в сжатом стержне напряже¬
ний, равных акр. Поэтому для обеспечения работоспособности стержня
необходимо выполнение следующего условия устойчивости:
°иР<1°]Т	(18‘31>
445

гДе My — допускаемое напряжение на устойчивость, определяемое
по формуле
Здесь пу — коэффициент запаса устойчивости, который из-за возмож¬
ной эксцентричности приложения нагрузки, искривления стержня
и неоднородности материала принимается всегда несколько больше
основного коэффициента запаса прочности (гсу >> п0). Для стали
яу = 1,8 -г- 3,0; для чугуна лу = 5,0-т- 5,5; для дерева лу = 2,8 -г- 3,2.
Чем больше гибкость, тем меньшим принимают пу.
На практике при расчете на устойчивость принято пользоваться
не допускаемым напряжением на устойчивость [а]у, а допускаемым
напряжением на сжатие [а__] с соответствующим поправочным коэф¬
фициентом <?, значение которого может быть установлено из отно¬
шения
Отсюда
П7
Му—7е-
7 °о	у
Му(18.32)
где
? = _!se_ Jk.	(18.33)
°0 пу
Здесь <р—. коэффициент уменьшения допускаемого напряжения на
сжатие, или коэффициент условного допускаемого напряжения.
В табл. 40 щшведены значения ср для различных гибкостей.
Таким образом, учитывая (18.32), расчетную формулу на устой¬
чивость (18.31) теперь можем переписать в виде
°max < Му = 9 l°-J
или
N
ТР
Гбрутто
< <р [0-1-	(18.34)
Различают два вида расчета на устойчивость: поверочный и проек-
тировочный.
При поверочном расчете исходят из известных размеров и формы
поперечного сечения стержня и прежде всего определяют наименьший
446

осевой момент инерции /т1п» площадь F, вычисляют минимальный
радиус инерции
‘min
/*Лп1п
F ’
а также гибкость
Х-Д-.
lmin
Затем, зная гибкость, находят по таблице коэффициент определяют
допускаемое напряжение на устойчивость
Му = <Р [О,
i
^ брутто
я
сравнивают действительное напряжение а = —-	с допускаемым
брутто
напряжением на устойчивость [а]у и выясняют, удовлетворяется
ли условие
°< Му
При проектировочном расчете исходят из условия
< [а_].	(18.35)
^брутто
Необходимое сечение определяется формулой
^брутто = ^		j *	№	*36)
Кроме искомой площади брутто в последнем соотношении неизвест¬
ным является также коэффициент ср. Поэтому при подборе сечения
приходится пользоваться методом последовательных приближений,
варьируя величину коэффициента <р. Обычно при первой попытке
принимают cpj = 0,5-т-0,6. При принятом <pj по формуле (18.26) опре¬
деляют /'бруТХ0 и подбирают соответствующее сечение. Зная сечение
и определив /mln, imln и X, устанавливают фактическое значение
коэффициента <р/. Если «р/ значительно отличается от cplt то и напря¬
жение будет отличаться от допускаемого. Тогда следует повторить
расчет, т. е. предпринять вторичную попытку, приняв среднее по
величине значение между коэффициентами <pj и <р/:
_ _ ?i + ?i
ъ-——•
В результате второй попытки устанавливают	Если	требуется
третья попытка, то расчет повторяют при
+ 9*
Ъ 2
и т. д. Обычно на практике удается обойтись двумя-тремя попыт¬
ками.
447

g 99. Выбор материала и рациональной формы
поперечных сечений сжатых стержней
Для стержней большой гибкости (М> Хдред)* когда 0Кр<<*пц,
модуль упругости Е является единственной характеристикой, опре¬
деляющей сопротивляемость стержня потере устойчивости. Тогда,
очевидно, для стальных стержней, работающих на сжатие» у которых
практически Е меняется мало, нецелесообразно применять сталь
повышенной прочности. Что касается формы поперечного сечения, то
рациональной будет такая форма, при которой при определенной
площади величина наименьшего радиуса
наибольшей.
Введем безразмерную характеристику
инерции imln является
mln
Vf '
которую назовем удельным радиусом инерции. О рациональности того
или иного сечения можно судить на основании данных, приведенных
ниже.
Сечение	I
Трубчатое = — = 0,95 — 0,в|	2,25—1,04
Трубчатое (а = 0,7 — 0,8)
Уголковое
Двутавровое
Швеллерное
Квадратное
Круглое
Прямоугольное (h = 26)
Анализ приведенных данных
1,2 -1,0
0,5 —0,3
0,41—0,27
0,41-0,29
0,289
0,283
0,204
показывает, что наиболее рацио¬
нальными являются трубчатые
сечения, столь же рациональны
коробчатые тонкостенные сечения.
Наименее рационал ьными являют¬
ся сплошные прямоугольные сече¬
ния.
При проектировании стерж¬
ней, несущая способность кото¬
рых определяется сопротивлением
потере устойчивости, следует
стремиться к тому, чтобы стер¬
жень был равноустойчивым во
всех направлениях, т. е. чтобы главные моменты инерции были по
возможности одинаковыми.
WI
-L
k Р
М
rf
Ь ‘
а
z=
Г
-1/2
Щ,-/в
Рис. 312
§ 100. Продольно-поперечный изгиб
Изгиб стержня называется продольно-поперечным, если в его
поперечных сечениях возникают изгибающие моменты как от про¬
дольных, так и от поперечных нагрузок (рис. 312),
448

Вычисление полного изгибающего момента Мп в поперечных
сечениях производят с учетом прогибов оси стержня:
| Mu(z) | = | M(z) | + | Swu(z) I,	(18.37)
где M(z) — изгибающий момент от действия поперечной нагрузки;
Swu(z) — изгибающий момент от действия осевой нагрузки S. Определе¬
ние величины полного изгибающего момента Mu(z) осложняется тем,
что в этом случае нельзя пользоваться принципом независимости
действия сил.
Рассмотрим приближенный метод определения изгибающего
момента Mu(z). Он основан на допущении, что изогнутая ось балки при
поперечной нагрузке принимает форму синусоиды, т. е.
w (z) « t sin -
(18.38)
При наличии продольной силы также приближенно принимают, это
KZ
(18-39)
Такое допущение позволяет получать достаточную точность для
шарнирно опертой балки при действии поперечных нагрузок, направ¬
ленных в одну сторону, особенно, если деформация балки оказы¬
вается симметричнои относительно ее средины, где
Дифференциальные уравнения упругой линии при поперечном
и продольно-поперечном изгибе соответственно запишем так:
<Р w{z) М (г)
- ~ЁТ '	(18'40)
d*u>u{z) M(z) Su>n(z)
dz2
EJ
EJ
(18.41)
Исключив из уравнений (18.40) и (18.41) М (z) и учтя допущения
(18.38) и (18.39), будем иметь
,,	d2	( . nz\	S . nz
Г (** —J	_ ,Q sm —.
15 5-1186
449

После дифференцирования получим
— ап-/) = -£тАг	(18.42)
Обозначив
^=РЭ.	(1843)
из уравнения (18.42) найдем выражение для прогиба посредине про¬
лета балки при продольно-поперечном изгибе
1
1^-
/п	(18.44)
Р9
Формула (18.44) дает удовлетворительные результаты, когда сжи¬
мающая сила S не превышает 0,8Я*р. Предполагая, что изгибающие
моменты пропорциональны прогибам, в соответствии с (18.44) можно
получить простую приближенную формулу для определения изги¬
бающего момента при продольно-поперечном изгибе в виде
Мп =—-—o'	(18.45)
Тогда величина максимальных напряжений в сечении стержня опре¬
делится формулой
S	, (^nWx	,ло/ах
-р + -1Г-	(1846)
или с учетом (18.45) формулой
4	+	/	"■	с	\	•	(18.47)
W
Из формулы следует, что принцип независимости действия сил
здесь не имеет места.
В табл. 41 приведены уравнения изгибающего момента и упру¬
гой линии для некоторых случаев продольно-поперечного изгиба
балок постоянного поперечного сечения.
450

Таблица 3&
Коэффициенты v и tj для определения критической нагрузки центрально сжатых стержней
к2 EJ EJ
по формуле Ркр =-ЩГ = Ч 7Г
С
с
2
Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины v
Коэффициент устойчивости tj
1
и
1
9,8696
2
'Л
Л,	±
0,699
20,199
3
4
2
2,4674
/
£ ,р
/ 'п
1
9,8696

Продолжение табл. 38

а
I
* 1
л
0
2
0
2,4674
0,1
1,87
0,1
2,832
0,2
1,73
0,2
3,283
0,3
1,6
0,3
3,845
0,4
1,47
0.4
4,551
0,5
1,35
0,5
5,438
0,6
1,23
0,6
6,511
0,7
1,13
0,7
7,726
0,8
1,06
0,8
8,874
0.9
1.01
0.9
9,637
а
i
а
0
2
0
2,467
0,1
1,85
0,1
2,883
0,2
1,7
0,2
3,414
0,3
1,55
0,3
4,105
0,4
1,4
0,4
5,021
0,5
1,26
0,5
6,26
0,6
1,11
0,6
7,99
0,7
0,975
0,7
10,39
0,8
0,852
0,8
13,59
а,9
0,757
0.9
17,24

Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины v
Р*/Рг
ЖГТ
ркр = (р1 + ^)
кр
0
0,25
0,5
0,75
1
2
1
0,95
0,91
0,89
0,87
0,82
В общем случае при
V
Л
ав 1,1 —
1,0 14 1,8 22 2,6 т
Продолжение табл. 38
Коэффициент устойчивости т)
Рг/Рх
0
9,8696
0,25
10,93
0,5
11,92
0,75
12,46
1
13,04
2
14.68

и
Ж?
“2Г
Ркр —	+	Р2),
кр
13
£
3.
0,773
16,5
0,858
13,41

IN
СЛ
as
Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины у
14
Я
а
1
РКР “Ь ^2)Кр
Продолжение табл. 38
Коэффициент устойчивости т)
р*
а
1
J
Pi
0
0,1
0,2
0,5
0
2,467
2,714
2.961
3,701
0,1
2,467
2,714
2,960
3,698
0,2
2,467
2,710
2,953
3,679
0,3
2,467
2,703
2,936
3,622
0,4
2,467
2,688
2,904
3,525
0,5
2,467
2,665
2,856
3,384
0,6
2,467
2,635
2,793
3,211
0,7
2,467
2,599
2,715
3,020
0,8
2,467
2,557
2,636
2,821
0,9
2,467
2,513
2,551
2,641
1.0
2,467
2,467
2,467
2,467
j
Р*
а
1
Р.
1
2
5
10
0
4,935
7,402
14,80
27,14
0,1
4,930
7,377
14,68
26,66
0,2
4,880
7,207
13,78
23,19
0,3
4,712
6,769
11,70
16,82

4,470
6,074
9,187
11,57
4,136
5,268
7,060
8,210
3,759
4,497
5,504
6,048
3,385
3,830
4,376
4,660
3,040
3,280
3,551
3,685
2,734
2,832
2,936
2,986
2,467
2,467
2,467
2,467
В общем случае

Продолжение табл. 38
Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины v
Коэффициент устойчивости т\
15
Р 2Р
JP
3,952
0,632
Оп=1
16
+ +*(?)Ч
+	+	Яп|,
17
жг
кр
0,725
18,76
^кр ^^кр

18
- ^ Я _
i
^кр = кр
0,434
52,5
19
1=
^к? = (?г>кр
1.122
7,83
20
Я- 31!
1 , f
Ркр = ^>кр
0,723
18,9
21
4Х
СЛ
СО
Я
Л\ 7.
у7 /
^КР = (^Кр
\L£.
7>
0,577
29,64

Продолжение табл. 38
Схема стержня
и его вагружения
22
Коэффициент
приведения длины
0,366
Коэффициент устойчивости tj
73.65
^кр (^кр

4Д7
5,123
16,126

Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
приведения длшнтл «
Продолжение табл. 38
Коэффициент устойчивости т]
п	i	712	EJ
Для п — ql: ——
п
п
0
9,87
0,25
8,62
0,50
7,40
0,75
6,08
1,0
4,77
2,0
— 0.66
3,0
— 4,94
4,0
— 9,87
5,0
—14,80
При больших значениях п коэффициент ^ может
оказаться отрицательным и для устойчивости
равновесия стержня к нему должна быть приложена
растягивающая сила Р

29
30
Л
a
i ,
t
05
CO
n	,	n*EJ
При n = ql: _j-
n
0
2,47
0,25
2.28
0,50
2,08
0,75
1,91
1,0
1,72
2,0
0,96
3,0
0,15
4,0
—0,69
5,0
—1,56
См. примечание к схеме 28
Jt : J
a: I
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0,01
0,153
0,27
0,598
2,26
7t2
0,1
1,47
2,40
4,50
8,59
7t2
0,2
2,80
4,22
6,69
9,33
7C2
0,4
5,09
6,68
8,51
9,67
Я*
0,6
6,98
8,19
9,24
9,78
K2
0,8
8,55
9,18
9,63
9,84
K2
1.0
7t2
7t2
*2
7C2
K*

Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины *
3
Jf ^ Р
а
75
7 "
1
J Р
—
, а
1
Продолжение табл. 38
Коэффициент устойчивости т\
а : t
: J
0#2
0,-4
0,6
0,8
1*0
0,01
0,614
1,08
2,39
8,48
4тс2
од
5,87
9,48
15,5
17,1
4тс2
0,2
11,1
16,3
20,5
21,1
4тса
0,4
20,2
24,9
26,3
27,5
4л2
0,6
27,7
30,6
31,1
32,5
4тс2
0,8
34,0
35,3
35,4
36,4
4*2
1,0
4тса
4л2
4тс2
4л2
4л:2
Приближенно
: [~1 г — +«{— -1Js,nTj
Некоторые конкретные значения ц:

! /
0
0,1
0*2
0,5
1*0
2.-0
5,0
10
20
50
100
0
2,467
2,243
2,056
1,645
1,234
0,8225
0,411
0,2243
0,1175
0,0484
0,0247
0,1
2,467
2,285
2,126
1,761
1,367
0,944
0,4894
0,2714
0,1436
0,0595
0,0301
2’2
2,467
2,325
2,197
1,881
1,52
1,093
0,5919
0,3350
0,1793
0,0749
0,038
0,3
2,467
2,363
2,262
2,013
1,692
1,277
0,7293
0,4237
0,2302
0,0971
0,0494
0,4
2,467
2,396
2,327
2,141
1,879
1,499
0,9174
0,5498
0,3064
0,1309
0,067
0,5
2,467
2,423
2,379
2,256
2,068
1,756
1,178
0,7462
0,4268
0,1860
0,0958
0,6
2,467
2,444
2,420
2,350
2,235
2,025
1,531
1,052
0,633
0,2848
0,1482
0,7
2,467
2,457
2,446
2,415
2,356
2,256
1,950
1,530
1,018
0,488
0,2588
0,8
2,467
2,464
2,461
2,453
2,440
2,402
2,297
2,106
1,730
0,9991
0,5592
0,9
2,467
2,467
2,466
2,465
2,465
2,459
2,446
2,424
2,374
2,189
1,746
1,0
2,467
2,467
2,467
2,467
2,467
2,467
2,467
2,467
2,467
2,467
2,467
Pкр = *1 “jr • Приближенно t] = 2,467 : ^1
'-^2 Jj v (I‘ Д1 )2^ I л	У аг)2\
Ji	I3	)\	Л	12	!
33
^	-7-	P
-H
g/i-/1
fe
05
СЛ

05
05
Продолжение табл. 38
Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины
Коэффициент устойчивости т)
34
р =м
«Р \ 4 /кр
35
Число участков с различными моментами
инерции
3
2
3
5
10
0,2
5,2
6,32
6,48
7,32
7,4
0,4
9,88
10,9
11,1
11,2
11,2
0,6
14,0
14,6
14,7
14,76
14,8
0,8
17,4
17,8
17,8
17,9
18,0
1,0
20,5
20,5
20,5
20,5
20,5
jLl
J
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Число участков с различными моментами
инерции
18,1
31,2
41,0
49,4
54,8
21,8
34,2
42.4
49.5
54,8
22,8
34.3
42.4
49.5
54,8

36
£
Момент инерции сечения изменяется вдоль оси
по закону
J(z)=J0(a+bz)п
*
П
~
1
2
3
4
0
3,67
0,25
0,1
4,67
3,59
3,24
3,12
i 0,2
5,41
4,73
4,52
4,41
0,4
6,78
6,39
6,28
6,24
0,6
7,78
7,70
7,64
7,64
0,8
8,85
8,83
8,83 -
8,83
i i.o
*
7С2
тс2
ТС2
к2
n — 1 — сплошной стержень прямоугольного попереч¬
ного сечения постоянной высоты; ширина сечения
меняется по линейному закону
п = 2 — пирамидальный стержень, составленный из
четырех угловых поясов, соединенных решеткой (или
обшитых тонкими листами)
п = 3 — стержень прямоугольного сечения постоянной
ширины, когда высота сечения меняется по линей¬
ному закону
п = 4 — сплошной пирамидальный (конический)
стержень
}

Продолжение табл. S8
с
с
g
Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины v
Коэффициент устойчивости т)
Момент инерции сечения
закону J (z) — У0 (а + bz)n
изменяется вдоль оси по
*
Л
л
~
0,-5
1
U5
2
4
37
—
0
0,1
0,2
0,4
0,6
©,8
1,0
(
1,0
5,4
6,37
7,61
8,51
9,24
тс*
7,86
7,97
8,31
8,76
9,3
1C2
о,/о
6,48
7,01
7,87
8,61
9,27
7С2
5,78
6,58
7,69
8,54
9,25
ТС2
5,01
6,14
7,52
8,5
9,23
7U*
4,81
6,02
7,48
8,47
9,23
1C2
Момент инерции сечения
закону J (z) = У0 (a -f- &z)n
изменяется вдоль оси по
*
Л
п
38
.7 п
~Г
1
2
3
4
.~Г
—
0,1
14,39
13,7
13,3
J 1 *1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
20,35
26,16
31,03
35,42
4я2
18,93
25,54
30,79
35,35
4л2
18,49
25,34
30,71
35,33
4п2
18.23
25.23
30,68
35,32
4тс2

39
а
"Ч
1
Момент инерции сечения крайних участков
няется вдоль оси по закону / (z) = У0 (а + ^z)n
изме-
*
Ji
а : 1
Т~
0
0,2 |
м
0.-6
0*8
0
5,78
7,04
8,35
9,36
9,8
1
1,0
1,56
2,78
6,25
9,59
2
0,01
5.87
7,11
8,4
9,4
9,8
1
3,45
4,73
6,58
8,61
9,71
2
2,55
3,65
5,42
7,99
9,63
3
2,15
3.13
4,84
7,53
9,56
4
0,1
6,48
7,58
8,63
9,46
9,82
1
5,4
6,67
8,08
9,25
9,79
2
5,01
6,32
7,84
9,14
9,77
3
4,81
6,11
7,68
9,1
9,77
4
0.2
7,01
7,99
8,9
9,73
9,82
1
6,37
7,49
8,61
9,44
9,81
2
6,14
7,31
8,49
9,39
9,81
3
6,02
7,2
8,42
9,38
9,8
4
0,4
7,87
8,59
9,19
9,7
9,85
1
7,61
8,42
9,15
9,63
9,84
2
7,52
8,38
9,1
9,62
9,84
3
7,48
8,33
9,1
9,62
9,84
4
0.6
8,61
9,12
9,55
9,76
9,85
1
8,51
9,04
9,48
9,74
9,85
2
8,5
9,02
9,46
9,74
9,85
3
8,47
9,01
9,45
9,74
9,85
4
0,8
9,27
9,53
9,69
9,82
9,86
1
9,24
9,5
9,69
9,82
9,86
2
9,23
9,5
9,69
9,81
9,86
3
9,23
9,49
9,69
9,81
9,86
4

Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины •
J
&
г%р
я а ^
—
1
Продолжение табл. 38
Коэффициент устойчивости tj
Момент инерции сечения
крайних участков
изме-
няется вдоль оси по закону J (z) =
•
J1
а * 1
~
0
0,2
0,4
0,6
0.8
п
0,2
20,36
22,36
23,42
25,55
29,0
1
18,94
22,25
22,91
24,29
27,67
2
18,48
20,88
22,64
23,96
27,24
3
18,23
20,71
22,49
23,8
27,03
4
0,4
26,46
27,8
28,96
30,2
33,08
1
25,54
27,35
28,52
29,69
32,59
2
25,32
27,2
28,4
29,52
32,44
3
25,23
27,13
28,33
29,46
32,35
4
0,6
31,04
32,2
32,92
33,8
35,8
1
30,79
32,02
32,77
33,63
35,64
2
30,72
31,96
32,72
33,56
35,6
3
30,68
31,94
32,69
33,54
35,56
4
0,8
35,4
36,0
36,36
36,84
37,84
1
35,35
35,97
36,34
36,8
37,81
2
35,33
35,96
36,32
36,8
37,8
3
35,32
35,96
36,32
36,78
37,8
4

41
Момент инерции сечения изменяется
,,, r(i—An
закону J(z) = J1—— J
вдоль оси па
п
0
1
2
Т1
7,839
5,78
3,67
п
0
1
2
3
‘П
16,1
13
9,87
6,59
Момент инерции сечения изменяется вдоль оси по
ll—z\n
закону /(z) *»•'./1—-—I
Момент инерции сечения изменяется вдоль оси па
т / * r(l—z\n
закону J (z) = JI—— I
0
27,3
41,3
1
23,1
36,1
52,1
2
18,9
30,9
45,8
3
14,7
25,7
39,5
4
10,2
20,2
33,0
63,6

Продолжение табл. 88
472

Продолжение табл. 88
473

Продолжение табл. 38
Схема стержня
Коэффициент
Коэффициент
и его нагружения
приведения длины v
УСТОЙЧИВОСТИ Т)
46
тт Ла
прнв,-/1(1_.)
Ро (1 — а)
-в п =
Рх а
р _ 	™
кр	(ма)2
I Г"
Чгк
^ -
—!
№
«;ЙВ
О Q4 0,8 1,2 IS Л
Р,л J,	иMh ^
-^Г
При Рг = Р2 ~ Р и Jx = J2 = J
КР (уI у
п2 EJ	EJ
2	—	Ч	72
а
Т
а
1
п
0
0,5
0
39,48
0,1
0,463
0,1
46,13
0,2
0,426
0,2
54,45
0,3
0,391
0,3
64,56
0,4
0,362
0,4
75,22
0,5
0,35
0,5
80,76
0,6
0,362
0.6
75,22
0,7
0,391
0,7
64,56
0,8
0,426
0,8
54,45
0,9
0,463
0,9
46,13
1,0
0,5
1.0
39,48
474

Продолжение табл. 38
Схема стержня
Коэффициент
Коэффициент
и его нагружения
приведения длины v
устойчивости т]
47
гт J 2а
При т = -—f
У, (1 — а)
„ я='*.<;-«>
Р,а
Ркр =
(™)2
/? J,
fi-b
J, ЩР,
I
J
При Р1 = Р2 = P и J1 = J2 = J
u2 EJ
(W)2
EJ
12
а
1
а
Т
0
1,0
0
9,87
0,1
0,933
0,1
11,83
0,2
0,868
0,2
13,11
0,3
0,804
0,3
15,26
0,4
0,746
0,4
17,72
0,5
0,699
0,5
20,19
0,6
0,672
0,6
21,88
0,7
0,668
0,7
22,14
0,8
0,679
0,8
21,4
0,9
0,693
0,9
20,55
1,0
0,699
1.0
20,19
475

Продолжение табл. S8
Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
фит;дения длины v
Коэффициент
УСТОЙЧИВОСТИ Т)
48
J, АЗ з, щ р.
S'
J
При т —
J 9 а	Р<> U - а)
■ .	.	 И П ss -
./, (/ — а)	РЛа
тс2 EJ
min
КР (^а)2
2	4	6	8	П
кр
«=Р и
те2 EJ
(v/)2
*^1 — *^2 :
EJ
~ч 7»
а
1
а
Г
я
0
1.0
0
9,87
0.1
0,925
0.1
11,53
0,2
0,85
0.2
13,65
0,3
0,776
0,3
16,37
0,4
0,704
0,4
19=9
0,5
0,636
0,5
24,42
0,6
0,575
0,6
29,82
0,7
0,53
0,7
35,1
0,8
0,507
0,8
38,41
0,9
0,501
0,9
39,4
1,0
0,5
1,0
39,48
476

Продолжение табл. 38
Схема стержня
и его нагружении
Коэффициент
приведения длины v
Коэффициент
УСТОЙЧИВОСТИ Т)
49
При т = y~~
J1 /2
Р2 /о
ИП = Й
р ** KJmln
«р (Wx)2
Значения v находят из
графиков, построенных
для схемы 47
50
При mi
ЗУ0/1	„	^ 	 ЗУ,/,
7	/	0	2	J 1
JI i0	«/1 ^2
** ^min
Ркр =
(W,)2
477

Продолжение табл. 38
478

Продолжение табл. 38
Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины v
Коэффициент
УСТОЙЧИВОСТИ 7]
55
р
кр (v^)*
56
9,8696
57
п — число пролетов
Т Хш
1
0Э699
1
20,2
2
0,879
2
12,77
3
0,939
3
11,19
4
0,964
4
10,62
5
0,977
5
10,34
6
0,983
6
10,21
7
0,988
7
10,1
8
0,99
8
10,07
9
0,992
9
10,029
10
0,994
10
9,9895
479

Продолжение табл. 38
Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины
Коэффициент
УСТОЙЧИВОСТИ Т)
58
п — число пролетов
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,5
0,699
0,814
0,879
0,917
0,939
0,954
0,964
0,971
0,977
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
39,48
20,2
14,9
12,77
11,74
11,19
10,84
10,62
10,47
10,34
59
Р
О АО 80 120 160 jgfi
IbtJ

Продолжение табл. 38
Схема стержня
н его нагружения
Коэффициент
приведения длины
[коэффициент
устойчивости *1
62
V
0,6
0,2
О	40 80 120
63
Si I
т' = ~ЁТ
s2 I
m9 —
EJ ’
_ r2 /,,***.***»
(S1 + s2) EJ
0,5 < v < 00
Некоторые конкретные
данные при:
n = О
О	< т) < 39,48
16 5 1166
481

Продолжение табл. 38
Схема стержни
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины
Коэффициент
УСТОЙЧИВОСТИ Г)
63
п = 2
п = 4
/
L
/
0.8S
№
482

Продолжение табл. 38
Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины v
Коэффициент
УСТОЙЧИВОСТИ Г]
64
0,5< v<2
Некоторые конкретные
данные
т,*т;т2=оо ^ р
7.
[
T?
m
mf=oo;m2=m
P
X , Ц,
\,1=0,V
\ OJf
0.У1
ft,00
/ 1,11 r
Ш
it 8	12	16	т
si*
mi = TJ'
m2= 17
rj Г 2la
(Sj + s2) EJ
* ** ****
2,4424 <4 <39,48
65
0,7 < v < oo
Некоторые конкретные
данные
n
2*t
16
’=0,85-1
Lam
V
few
V A A61
/
№
7 74У±00
7/
//У(лоо
Q 4	8	12	16	IJ]
0<y,< 20,14
Si I
s21
~Ю'	~~ EJ
, _	r2 Z3
(S1 “f~ S2) EJ
«**
483

Продолжение табл. 38
Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины »
Коэффициент
УСТОЙЧИВОСТИ Tj
66
0,5 < v < 1
Конкретные значения v
могут быть взяты из
графика, построенного
для схемы 50
Если тг = т2 = т =
si
= и ■то
9,8696	<i)< 39,48
ri r21:)
(i-i + sa; EJ
*** «*•*
У
w
0,7
Q5t
Act
'1МПП
1	1
юта
I—\ 1
1
0 2 4 6 8 т
67
п=0
1 < v <С оо
Конкретные значения
могут быть взяты из
графика, построенного
для схемы 63 (случай
п = 0)
Если тг = т2 = т =
si
~~Ej’T0
гг Г2 I3
(Sj + s%) EJ
*«* ****
\
\
Ч
Act
		1
С/Л//7/7
1	1
юта
1 \
0	2	4	6	8	т

Продолжение табл. 38
485

Продолжение табл. 38
Схема стержня
Коэффициент
Коэффициент
и его нагружения
приведения длины v
УСТОЙЧИВОСТИ Т)
70
mf~m; тг=п=оо р
I
m,=n=oo; т2=т	Р
{ щг
si I
шжг;
.9 2 I
~ЁТ
0,5 < v < 0,7
Конкретные значения v
могут быть взяты из
графика, построенного
для схемы 54
=	^ *2 *3
(S1 + S2) EJ
20,14 < i) < 39.48
71
m,=m;n=0; т2°оо^ p
I
№ m, = oo ;n=0; m2 =m p
mj =
s} I
~wr
s2 I
EJ ’
r, r, /3
(5i + 5г) EJ
*** ***+
l<v<2
Некоторые конкретные
данные
1,8
1.4
1,0
0	2	4	6	8m
2,4424<v< 9,8696
4S6

Продолжение табл. 38
Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
ар и веден и я длины v
Коэффициент
устойчивости Т)
72
|*^f=/77;/7=00; тг=0
а тгО;п=оо;т2=т р
h, { jjг
0,7<v< 1
Конкретные значения v
могут быть взяты из
графика, построенного
для схемы 52 с учетом,
s7 I
что т1 =
_ s21
~ ~ЁГ '
EJ
9,8696 < Y) < 20,14
'•i r2l
(.s, -j- s2) EJ
** ****
73
m^m\n=0\m2=0 p
I
J*
4 m,=0; n=0; m2=P
s-d
m‘ = I7;
Sal
т* = Ш'
Т\Т4Ъ
($i ~h s2) EJ
2< v <oo
Некоторые конкретные
данные
1
V
\
Аси
7
мптота
0 2 U 6 8 m
0 <y]< 2,4424
74
far
m,=m2=0	_	p
I
Si I .
= ~ЁТ
s., I
i
Необходима также про¬
верка устойчивости по
формуле
Ркр 'l + Г,
* * *
За расчетное принима¬
ют наименьшее значе¬
ние Ркр
9,8696
487

Продолжение табл. 38
Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины
Коэффициент
УСТОЙЧИВОСТИ Т)
75
’Нг~
(г — коэффициент жест¬
кости упруго-переме-
щающейся опоры)
76
г — коэффициент же¬
сткости упруго-пере-
мещающейся опоры
При числе пролетов
п = 2 значения v могут
быть взяты из гра¬
фика, построенного для
схемы 69.
При п = 3
18 \
ho\ \
т
0 i
При п ■
16 24 -
= 4
с
1
OR 1
2,61
I
1,0
к,
10
' 0
8
16
24
С
488

Продолжение табл. 88
Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины v
77
г — коэффициент же¬
сткости упруго-пере-
мещающейся опоры
При числе пролетов
п = 2
п = 3
I
\
\
V
О в
16	24	С
1,8
1,0
\
\
ч
с =
г/3
Я/
Коэффициент
УСТОЙЧИВОСТИ Т)
48$

Продолжение табл. 38
Схема стержня
и его нагружения
Коэффициент
приведения длины
Коэффициент
УСТОЙЧИВОСТИ Т)
78
1Г
Значения v могут быть
взяты из графика, по¬
строенного для схе¬
мы 52. При этом т =
si
~ 2 EJ
(s — коэффициент же¬
сткости упруго-повора-
яивающейся опоры)
79
^Р
: (
L, J
Значения v могут быть
взяты из графика, по¬
строенного для схе¬
мы 54. При этом т =
—	sI
~~ 2EJ
(s — коэффициент же»
сткости упруго-пово-
рачивающейся опоры)
* J и Jt — наибольший и наименьший моменты инерции поперечного сечения
соответственно.
** Предполагается, что имеется несколько участков одинаковой длины,
причем раэности между моментами инерции соседних участков одинаковы.
*** гх и г2 — коэффициенты жесткости левой и правой упруго-перемещаю-
щихся опор.
**** s, Hst- коэффициенты жесткости левой и правой упруго-поворачи¬
вающихся опор.
***** с __ коэффициент жесткости упругого основания (коэффициент
постели), равный отношению реакции основания к его осадке.
490

Таблица 39
Критические нагрузки для полосы и некоторых двутавровых балок*
Типы опор:
В горизонтальной и
вертикальной плоско¬
стях — заделка
7&7,
В горизонтальной
плоскости заделка,
в вертикальной —
шарнир
м
м
1
В горизонтальной
плоскости шарнир,
в вертикальной — за¬
делка
В горизонтальной
плоскости шарнир,
в вертикальной —
направляющие
Г"	1	I	В	горизонтальной	и
вертикальной плоско¬
стях — шарниры
тЯттГ
Схема
Критическая нагрузка
*у4
м
кр 21
При потере устойчивости плоскость дей¬
ствия пары сохраняет неизменную ориента¬
цию в системе подвижных осей, жестко
связанных с перемещающимся торцовым се¬
чением
„ р 4,01 as
при а = 0 Ркр = —
Если высота консольной полосы меняется
п / z
по закону h = ho I/ 1	г , где h0 — высота
полосы у основания; z — текущая координата
вдоль полосы, то
^кр
mS
п I 1
1,333 I
1 2
1 4
m J 2,4
2,81
3,21
1 3,61
* S = у EJX.GJ" , где EJ — наименьшая жесткость при изгибе
GJ — жесткость при кручении.
491

Продолжение табл. 89
Схема
Критическая нагрузка
кр
kS
12
Коэффициент к берется из таблицы.
При этом х = -tj
ii
А» D
кость одной из полок двутавра при изгибе
в ее плоскости
х 10,1	112	13	4 I 6 I 10	24	I	40
к 144,3 15,7| 12,2| 10,7 9,7б| 8,69| 7,58 6,19| 5,64
4,013
При х>40 к =
(-*)
ДШ1ШП
кр '
(^)к
5,565
12,855
'КР —	/2
Если высота консольной полосы меняется
по
п Г ^
закону h = h0 у 1 — — , где h0 — высота
полосы у основания, z —текущая коорди-
/	14	т$
ната вдоль полосы, то (wKD = -р
1
1,333
9,6 | 10,4 I 11,2 | 12,8
кр
2
4
Л
■ГГт>..
1Ч1-
26,5 S
V1
д0 в корне
492

Продолжение табл. 39
Схема
Критическая нагруэка
Г1 ЧИП I
ЙОно-
15.95S
кр —	(2
л я
кр —	/
h
I
-|
тА
Vr? ^ 77$
Vr?
мл
кр
Dh*
2 GJU
где h — высота балки; D — жесткость одной
из полок двутавра при изгибе в ее плоско¬
сти
М
EJ + GJU
кр ■
2Я -
±/(т')'+£(£-')
Нижний знак определяет критическое зна¬
чение момента, направленного противо¬
положно покапанному па схеме
о .
IP
^ 77$
\т7
Ркр
kS
” I2
а : 1
о
о
СЛ
I 0,1
0,15 I
0,2 I
0,25
к
111,6 |
1 56,01
37,88 1
29,11 1
24,1
а : /1
I 0,3
0,35
0,4
0,45 I
0,5
к
21,01
19,04
17,82
17 15 |
16,94
Ркр-
16,93 (
12 \
5 __ 3,48 0- EJ
)
P
I '
J
t—
=+■-
t *,
, n
77
493

Продолжение табл. 89
Схема
Критическая нагрузка
р
КР /2
/2	2 GJK
При х = -jj - р t где h — высота балки,
D — жесткость одной из полок двутавра при
изгибе в ее плоскости, значения к будут
X I 0,4 I 4 I 8
16
32 I 64 11601400
к J 86,4| 31,9| 25,6
21,8
19,б| 18,з| 17,5| 17,2
шжш
(*0КР =
28,31 S
/а
"Ж
/ A	kS
)кр	/2
При х =
2СЛ,
где h — высота балки,
h2 D
D — жесткость одной из полок двутавра
при изгибе в ее плоскости, значения к
будут
|°,4|
4 I 8
16 1
32 I 64 I
128 I 400
'143|
53 142,6
36, з|
32,б| 30,5|
29,4) 28,6
Если при опрокидывании нагрузка остается
параллельной первоначальному направле¬
нию, то
EJ	(7С2— 0 2)2
(^)кр	Л 2
е
Если при опрокидывании нагрузка остается
направленной к исходному центру кривизны,

77родолжение табл. 89
Схема
Критическая нагрузка
Щ’- яр
м
Т-.^ ..т
кр “ ~
'кр-
44,55
I2
Ркр =
kS
I2
“ 7771	/	777*77
/2
При * = -р-
л
где h — высота балки;
D — жесткость одной из полок двутавра при
изгибе в ее плоскости, значения к будут
X
0,4
со
00
32 I 64
128
320
к
268 |
| 88,8| 65,5| 50,2
40,2| 34,1
30,7
28,4
1 0,1
I 0,2 I 0,3
0,4 I 0,5
1117 1
53,2\ 35,2
28,51 26,7
Л±
ttttt
rh
1 ^
48,65
кр"
495

Продолжение табл. 89
Схема
Критическая нагрузка
/2
При * = -р-
2GJf
~~D
■, где h — высота балки,
D — жесткость одной из полок двутавра при
изгибе в ее плоскости, значения к будут
У.
0,4 I 4
8
1 16
32
96 I128
400
к
488| 161
119
1 91,3
73,0
58,0| 55,8
51,2
р
КР ~	/2
а :/ I 0,1 I 0,2 I 0,3 I 0,4 0,5
к | 608 1155 1 80,9| 58,6 53,0
НИ 1'1гТ
<nl\	i29’lS
^кр	/2
(пП\ — mEJ
№Д2
Нагрузка остается параллельной своему
первоначальному направлению
и : 21 тс
1,06371
1 ,l7l| 1,2471
12,611,85
1,54
1,40| 1,00
Р
77^
777 ' ^
_ JsS
кр “ /2
а : 11 0,1 I 0,2 [ 0,3 I 0,4 I 0,5 I 0,6
к | 65,8| 34,7| 25,8| 22,8| 22,9| 25,7
0,7 I 0,8 10,9
32,9| 50,7|111
ЦШ11Ш
39,6S
(^)кр	/2
496

Продолжение табл. 39
Схема
Критическая нагрузка
ТТ/ "77
р
кр — /2
я: / I 0,1 I 0,2 I 0,3 I 0,4 I 0,5 I 0,6
к j 77,5| 41,5| 31,5| 28,9| 30,б) 37,1
0,7 I 0,8
53,9| 104
0,9
376
Q i
mi
1 1 1
1
_ 57,25
(^Кр ~ "~/2
р
кр — /2
а :/ I 0,1 I 0,2
Л I 79,6| 43,2
0,3 I 0,4
33,7| 31,9
0,5 I 0,6
35,1| 45,1
0,7
70,3
0,8
149
0,9
625
№
64,65
'кр
ffl
а : /I 0,1 I 0,2 I 0,3
к j 1381 67,1)47,0
, kS_
кр= /a
0,4 I 0,5 I 0,6 I 0,7 I 0,8 10,9
40,1] 39,9) 46,2j 64,2| 119 [ 422
497

Продолжение табл. 39
Схема
Критическая нагруэка
iff
\W
84,8 S
КР	/2
7^!77’}
р
КР /2
к 145 | 67,6
0,3
47,1
0,4
40,7
0,5
41,8
0,6 I 0,7 I 0,8 [ 0,9'
50,5| 75,0| 150 630
Вертикальные перемещения опорных сече¬
ний невозможны:
р II
1
HI 1 1
а : / I 0,1
0,2
I 0,3
0,4 I 0,5
к | 393
114 |
1 63,1
47,2\ 43,2

Продолжение табл. 39
Схема
Критическая нагрузка
Вертикальные перемещения опорных сече¬
ний предполагаются невозможными
(90,
В,7 S
'кр
kS
/2
а : I
0,1 I 0,2 I О,Я I 0,4 I 0,5 I 0,6
399 118 67.8 52,6| 50,2| 57,7
0,7
0,8
82,2
161
0,9
621
1ШМ
120>65
)кр /2
499

п Г)
80
>75
,70
,63
,65
,26
48
,53
,387
,387
269
.58
,64'
,57
,46
,49
условного допускаемого напряжения на
0
10
20
30
40
50
60
1,00
0,99
0,97
0,95
0,92
0,89
. 0,86
1,0
0,98
0,95
0,92
0,89
0,86
0,82
1,00
0,98
0,95
0,93
0,90
0,83
0,78
1,00
0,97
0,95
0,91
0,87
0,83
0,79
1,00
0,97
0,91
0,81
0,69
0,57
0,44
1,00
0,95
0,87
0,75
0,60
0,43
0,32
1,00
1,00
1,00
1,00
0,973
0,973
0,996
0,999
0,945
0,946
0,992
0,998
0,917
0,89
0,90
0,835
0,87
0,77
0,78
0,70
0,77
0,64
0,66
0,568
0,685
0,542
0,557
0,455
1,00
0,99
0,96
0,91
0,85
0,78
0,72
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,83
1,00
1,00
0,96
0,90
0,84
0,76
0,70
1,00
1,00
0,95
0,86
0,73
0,68
0,59
1,00
0,99
0,97
0,93
0,87
0,80
0,71

Та б л и ц а 40
кость х
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
0,69
0,60
0,52
0.45
0,40
0,36
0,32
0,29
0,26
0,23
0,21
0,19
0,62
0,51
0,43
0,38
0,32
0,28
0,26
0,24
0,21
0,19
0,17
0,16
0,54
0,45
0,39
0,33
0,29
0,26
0,23
0,21
0,19
0,17
0,15
0,14
0,55
0,43
0,35
0,30
0,26
0,23
0,21
0,19
0,17
0,15
0,14
0,13
0,20
0,16
0,14
0,12
0,465
0,415
0,365
0,327
0,296
0,265
0,235
0,322
0,28
0,243
0,213
0,183
0,162
0,148


0,312
0,252
0,21
0,175
0,15
0,129
0,113
__



_
0,212
0,172
0,142
0,119
0,101
0,087
0,076
—
—
—
—
—
0,53
0,48
0,43
0,38
0,35
0,32
0,29
0,57
0,52
—
__


_

0,51
0,45
0,38
0,31
0,25
0,22
0,18
0,16
0,14
0,12
0,11
0,10
0,09
0,08
501

50 2
Таблица 41
Уравнения изгибающего момента М (z) и упругой линии w(z) для некоторых случаев продольно-поперечного
изгиба балок постоянного поперечного сечения |к = "j/"
Схема балки
и ее нагружения
М (2)
W (2)
N
W
P К 2
*1
0
b
*
I
w. v Р \shkb .
M(z) = x[ihfeTshfcz-
—	в (a) sh Л (г — а)|
D cl-» L• А
М (а) =
sb ка
к sh /с/
в (а) = 0 при z <: а
е (а) = 1 при z >• а
Р f sb Л:Ь	/ а \ ,
= 17F- \ЮГ	— 1 Г/
—	в (а) [sh к (г — о) — к (г — а)] j
М7(а)=то{та8,1ка-(1-т)Ч
N
4
N 2
*1
I
a
7*
b
<n
'i ;
М (2)
=
ch kb
sh kl
sh-Лг —
— е (a)ch
к (z — a)j
, v %м ch kb , ,
M (a) = M — sh ка
sh kl
e (a) = 0 при z <a
e (a) = 1 при a
U’(Z)—	{	sh	kl
—	e (a) (ch к (z — a) — 1] j
M Г ch kb	a
w{a)=-m? sh a т
ch A'6	z
sh kz	:

*ж
mfnrn л
шли
j-lГ
M(z) =
к2
ch к
И)
+ 1
(г)"*»
ch*-g.
сЬЛ-
/V 1
}р
\ 1
с
M(z) =
jP sh /С2
А:	ch /с/
W
2
ч
t / ,
w(z)
Я
EJW
•ш-
ch А
(г~т)
chfcT
А:2 /г Л z \
— 11_т]
EJk*
ch *4
А-2 /2

Продолжение табл. 41
Схема балки
и ее нагружения
М( 2)
и> (Z)
J
N '
w 9 ,,i
; 2
HHHfH
L _
'<r
М (I) =
к2 ch kl
(1 — ch kl — kl sh kl)

Л
w
\P N z
a
H
b
*77
I
M(z)
— _iL Гsii
~ к [ si
sin kb
sin fcZ
sin fez —
— e (a) sin к (z — a) I
M(a) =
A:	sin	kl
e (a) = 0 при z < a
* (a) = 1 при z >» a
sin ka
N.
4
N 2
U
I
a
4
T~b
t
M (z) = m \ C0S sin kz —
|_ sin kl
—	e (a) cos к (z — a) j
v	cos kb . .
M(a) = M —:—— sm ka
sm kl
e(a) = 0 при z < a
e (a) = 1 при a
/X ^	/ sin kb ... I.	a \
u'(z) = -g7P l“sr«em*, + l1	*/*г +
+ e (a) [sin £ (2 — a) — ft (2 — a)]|
"(e> = w {--+(* “ т) 4
M f
w{z)=kw{-
cos kb . f .2
. yy ■ sm kz + -r- —.
sm kl	I
w(a) =
— e (a) [1 — cos k(z — a)]|
[cos kb . _	,	a	1
	:—rr sm	+ T
sin kl	I	J
M
EJk2

Продолжение табл. 41
Схема балки
и ее нагружения
М (2)
w (z)
ж
Н h ж н n z
w(z) =
EJk4
к2
cos
cos -
kl
•ш-
Ч /1	*-
№
£УА-4	kl	1	8
cos-^
w
Пл. i
7.
a
L
b
*7:
«Л- / V Я Г COS Л/ — cos fefc . ,
(Z = -гг 	^~п	s,n kz ■
кг [ sin kl
—	cos kz + 11

и>г/ /ч 9 Гcos И— cosArb . ,
M(z) = w[	шш—sm*z-
—	cos kz -f- cos к (z — я)
ъя, x	Я I sin kz	z\
M(z)=-p-lior-Tj
.,	1	sin kl
max ПРИ z = X аГС C0S ~~Ы~

Продолжение табл. 41
Схема балки
и ее нагружения
М (г)
w{z)
!U
\У*
ЧР
V z
мм р sinb
, 1 ,
к cos/с/
W
М
\ Z
М (2) = COS k{l — z)
—
“П
1
cos kl
J1
* я
M (I) = та—^;— (1 — cos &Z —
N
Ш1П\\
, / , :
; 2
v ' *2cos*Z v
— kl sin kl)

Глава 19
УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 101. Классификация механических колебаний
Все колебательные процессы, с которыми приходится встречаться
в физике и технике, можно классифицировать в соответствии с зако¬
ном, по которому некоторая величина, характеризующая колебатель¬
ный процесс, изменяется во времени. Такую классификацию можно
назвать кинематической в широком смысле этого слова. Колебания
могут быть периодическими и непериодическими. Кроме того, имеется
широкий промежуточный класс так называемых почти периодических
колебаний.
Периодические колебания описываются периодической функцией,
значение которой повторяется через определенный отрезок времени Т,
называемый периодом колебаний, т. е.
f(t + T) = f{t)
при любом значении переменной t.
Непериодическими называются функции, не удовлетворяющие
атому условию.
Почти периодические функции определяются условием
I/i (f + 'O-MOKe
-определенные постоянные величины. Оче-
мало по сравнению со средним значением
модуля функции /х (г) за время г, то поч¬
ти периодическая функция будет близка
к периодической, в которой т будет почти
периодом.
К наиболее распространенным перио¬
дическим колебаниям относятся гармони¬
ческие, или синусоидальные, колебания.
Непериодические колебания гораздо
разнообразнее периодических. Такие коле¬
бания чаще всего являются затухающими
(рис. 313, а) или нарастающими (рис. 313, б)
синусоидальными колебаниями. Затухаю¬
щие колебания математически могут быть
представлены выражением
х = i4"“5/ cos (со* + ср), (19.1)
где Ау ср, Ь и со — постоянные величины;
t — время.
Рис 313	Нарастающие гармонические колеба¬
ния математически описываются аналогич¬
но (19.1), только знак при bt должен быть заменен на обратный
(плюс).
при любом г, где т и е —
видно, что если е очепь
510

Строго говоря, название затухающие гармонические (или сину¬
соидальные) колебания не совсем логично, так как гармонические
колебания не могут затухать. Тем не менее на практике этим назва¬
нием пользуются.
Классификация колебательных процессов по внешним признакам
не является достаточной, а потому она должна быть дополнена клас¬
сификацией колебаний по основным физическим призна¬
кам рассматриваемых колебательных систем.
При исследовании колебательных движений упру¬
гих систем важно знать, какое число независимых пара¬
метров определяет положение системы в каждый данный
момент времени. Число таких параметров называется чис¬
лом степеней свободы.
В простейших случаях положение системы может
быть определено одной величиной. Такие системы назы¬
ваются системами с одной степенью свободы. Колебатель¬
ная система, состоящая из груза Q, подвешенного на
пружине (рис. 314), будучи устроена так, что возможны
только вертикальные перемещения груза, является систе¬
мой с одной степенью свободы. Ее положение в любой
момент времени может быть определено одним пара¬
метром — перемещением по вертикали.	Рис.	314
Примером системы с двумя степенями свободы может
служить невесомая балка, несущая две массы (рис. 315). Здесь неза¬
висимыми параметрами, определяющими положение системы в любой
момент времени, могут служить перемещения масс тг и т2 относи¬
тельно положения равновесия. Увеличивая число сосредоточенных
масс колеблющейся балки, переходим в пределе к балке с распреде¬
ленной по всей длине массой колебательной системе (рис. 316)
с бесконечным числом степеней свободы.
Классификация механических колебаний
может быть проведена и по другим признакам
В частности, принято различать следующие
четыре типа колебаний: собственные колебания,
вынужденные колебания, параметрические колеба¬
ние,. о15	ния	и автоколебания.
Собственными ^или свободными) называются
колебания, возникающие в изолированной системе вследствие внешнего
возбуждения («толчков»), вызываюгцего у точек системы начальные
отклонения от положения равновесия, и продолжающиеся затем благо*
даря наличию внутренних упругих сил, восстанавливающих равновесие.
Необходимая энергия, обеспечивающая процесс колебаний, поступает
извне в начальный момент возбуждения колебаний. Период колебаний
'		 - 		~
Рис. 316	Рис.	317
(время одного полного колебания) или частота колебаний (величина,
обратная периоду) зависит от самой системы. Частота колебаний явля¬
ется вполне определенной для данной системы и называется собственной
частотой колебаний системы Собственные колебания из-за потерь энер¬
гии в системе практически всегда являются затухающими, хотя при
анализе собственных колебаний потерями энергии часто пренебрегают.
511

Вынужденными называются колебания упругой системы, происхо¬
дящие при действии на систему (в течение всего процесса колебаний)
заданных внешних периодически изменяющихся возмущающих сил. Ха¬
рактер колебательного процесса при этом определяется не только
свойствами системы, но существенно зависит также от внешней силы.
Примером вынужденных колебаний могут служить поперечные коле¬
бания балки (рис. 317), вызываемые неуравновешенной массой ротора
установленного на ней работающего электромотора.
Вынужденные колебания происходят с частотой возмущающей
силы и поддерживаются за счет непрерывного поступления энергии
извне. При совпадении частоты возмущающих сил с частотой собст¬
венных колебаний системы наступает явление резонанса, характерное
резким возрастанием амплитуды вынужденных колебаний, представ¬
ляющим опасность для работы рассматриваемой механической коле¬
бательной системы.
Параметрическими называются колебания упругой системы, в про¬
цессе которых периодически меняются физические параметры системы—
величиныу характеризующие массу или жесткость системы. При этом
внешние силы не влияют непосредственно на колебательное движе¬
ние, а изменяют физические параметры системы. Примером парамет¬
рических колебаний могут служить поперечные колебания массы на
вращающемся стержне некруглого сечения, имеющем разный эква¬
ториальный момент инерции относительно взаимно перпендикуляр¬
ных осей.
Автоколебаниями, или самоколебаниями, упругой системы назы¬
ваются незатухающие колебания, поддерживаемые такими внешними
силами, характер воздействия которых определяется самим колеба¬
тельным п роце ссом.
Автоколебания возникают в системе в отсутствие внешних перио¬
дических воздействий. Характер колебаний определяется исключи¬
тельно устройством системы. Источник энергии, покрывающий потери
энергии в системе в процессе ее колебаний, составляет неотъемлемую
часть системы. Таким образом, автоколебания отличаются от собст¬
венных колебаний, являющихся затухающими, тем, что они не зату¬
хают. С другой стороны, автоколебания отличаются от вынужденных
и параметрических колебаний, вызываемых внешними силами, харак¬
тер действия которых в обоих случаях задан, тем, что они являются
самовозбуждающимися, так как процесс колебаний здесь управляется
самими колебаниями.
Примером автоколебаний может служить вибрация частей само¬
лета (флаттер), когда источником дополнительной энергии, поддер¬
живающей колебания системы, является энергия воздушного потока,
а также трепетание флага на ветру.
Классификацию колебаний принято также проводить по виду
деформаций упругих элементов конструкции. В частности, примени¬
тельно к стержневым системам различают продольные, поперечные и
крутильные колебания.
При продольных колебаниях перемещения всех точек упругого
стержня направлены вдоль оси стержня. При этом имеет место дефор¬
мация удлинения или укорочения стержня, т. е. продольные коле¬
бания можно называть колебаниями растяжения — сжатия.
При поперечных (изгибных) колебаниях основные компоненты пере¬
мещений (прогибы) направлены перпендикулярно оси стержня.
При крутильных колебаниях имеют место переменные деформации
кручения. Возможны также изгибно-крутильные колебания, т. е.
колебания, при которых одновременно имеют место переменный изгиб
и кручение.
512

§ 102. Свободные колебания систем
с одной степенью свободы
Простейшей колебательной системой с одной степенью свободы
может служить груз, подвешенный на вертикально расположенной
пружине (рис. 318).
Дифференциальное уравнение колебаний груза
Q получим, взяв сумму проекций всех сил (вклю¬
чая силы инерции согласно принципу Даламбера)
на вертикальную ось, в виде
где х — вертикальное перемещение груза от поло-
•• d2x
'жения статического равновесия; х =	;	t	— время; с — жесткость
пружины; g — ускорение силы тяжести; со — угловая частота собст¬
венных колебаний
где А и В — постоянные интегрирования, зависящие от начальных
условий.
Если заданы начальная координата груза х0 и начальная скорость
и0 = х при t = 0, то из (19.4) определим
Величина Ы + а называется фазой колебаний, а величина а — сдвигом
фазы. На основании (19.6) а может быть определено из условия
или
Отсюда
х + ю2# = 0,
(19.2)
Рис. 318
(19.3)
fcCT =	—	удлинение	пружины	при	статическом	действии	груза	Q.
Решением уравнения (19.2) будет
х = A cos Ш + В sin at,
(19.4)
А = xQ; В = — .
0	со
(19.5)
Полагая
vo
хп = a sm а и — = a cos а,
и	О)
решение (19.4) можно представить в виде
х = a sin (юг + а)>
где а — амплитуда колебаний, определяемая формулой
(19.6)
17 5-1186
513

Угловая частота колебаний (число колебаний, совершаемое в
течение 2п сек) на основании (19.3) будет
(19.7)
где т = 		масса подвешенного груза.
Зная круговую частоту, можно определить период колебаний
т-*-г.УЬ*-г.У ”.
(о	~	е	~	с
(19.8)
Число колебаний в секунду, т. е. секундная частота, выражае¬
мая в герцах, определится формулой
1 	 со
~Т~ ~ 2п '
(19.9)
При колебаниях груза, подвешенного на конце пружины, пред¬
ставляющей собой стержень длиной I с жесткостью поперечного
сечения на растяжение EF и жесткостью
EF
С~ I *
собственная частота колебаний согласно (19.7) определится формулой
— /с-УЩг-	<1Э-*°>
Имея в виду, что -у- = т, можно записать:
V	т У ml
(19.11)
Из формул (19.10) и (19.11) видно, что частота соб¬
ственных колебаний системы при неизменной массе
возрастает с увеличением жесткости и уменьшается
с увеличением массы при неизменной жесткости.
Отношение частот собственных колебаний грузов,
прикрепленных к концам двух разных стержней,
обратно пропорционально корню квадратному из
отношения статических удлинений стержней.
Примером системы с одной степенью свободы
может служить также колебательная система, со¬
стоящая из массивного диска, прикрепленного к
нижнему концу жестко закрепленного верхним кон¬
цом вала (рис. 319). Если к диску в его плоскости
приложить и внезапно удалить пару сил, то воз¬
никнут свободпые колебания кручения вала вместе
с диском. Обозначим крутильную жесткость вала
(крутящий момент, вызывающий закручивание вала на один радиан)
через с:
<-ТТ2-	<"-12>
514

где G— модуль упругости при сдвиге; d^диаметр вала; длина
вала.
Воспользовавшись принципом Даламбера (инерцией массы стержня
пренебрегаем), получим дифференциальное уравпепие крутильных
колебаний диска, приравняв крутящий момент сср, действующий
в валу при его закручивании на угол <?, моменту сил инерции массы
диска:
/J| + «P = 0.	(19.13)
где J — момент инерции диска относительно оси стержня, перпенди¬
кулярной плоскости диска.
Для диска постоянной толщины h, изготовленного из материала
с удельным весом 7, получим
J ~ 32g ~ 8g '
где D — диаметр диска; Q — вес диска.
Для диска переменной толщины h (р)
D/2
(?) ТР3 ^Р*	(19.15)
о
Обозначив
2 с
со - j ,
уравнение (19.13) перепишем в виде
(19.16)
**+ »** = <).	(19.17)
Общее решение этого уравнения будет
<р = A cos a>t + В sin at.	(19.18)
Период колебаний рассматриваемой системы
Т’=| = 2,/4\	(19.19)
Для стержня постоянного диаметра d с учетом (19.12) имеем:
т=г*У‘Ш'	<1э-2о>
а секундная частота колебаний
1-т-кУш,-	<«-2<>
В табл. 42 приведепы собственные частоты колебаний систем
с одной степенью свободы,
17*	515

§ 103. Вынужденные колебания систем
с одной степенью свободы при гармоническом возбуждении
Уравнение вынужденных колебаний системы с одной степенью
свободы (рис. 318) получим, если в (19.2) кроме сил инерции
и сил упругости, действующих на груз Q, учтем влияние периоди¬
ческой возмущающей силы Р cos pt:
х -f- cx = P cos pt.	(19.22)
Обозначив
^ = to»;	(19.23)
PJSS1P} = q cog pti	(19.24)
где p — угловая частота возмущающей силы, приведем уравнение
(19.22) к виду
х + со2# = q cos pt.	(19.25)
При р	малом	по сравнению с со членом х можно	пренебречь	и счи¬
тать,	что	имеет	место	только статическая деформация,	максимальное
значение которой
:гст==^*	(19.26)
Для определения динамической деформации необходимо решить
уравнение (19.25). Решение уравнения (19.25) будет состоять из суммы
общего решения однородного уравнения (при q cos pt = 0)
х = A cos (tit + В sin u)t	(19.27)
и частного решения уравнения (19.25)
х — С cos pt.	(19.28)
Подставив (19.28) в (19.25), найдем
(19.29)
Тогда общее решение уравнения (19.25) будет
х = A cos wt -f- В sin ш + -2 [j_~p2cos Pl•	(19.30)
Первые два слагаемых правой части (19.30) характеризуют свобод¬
ные колебания, которые обычно быстро затухают; последнее характе¬
ризует вынужденные установившиеся колебания с угловой частотой р
1	2тс	Р	\	Q
^с периодом 7\= — или / == 2^84J и амплитудои С =^2	-^ . Ампли¬
туда вынужденных колебаний существенно зависит от соотношения
516

собственной (о и вынужденной р частот колебании и может быть
охарактеризована так называемым коэффициентом нарастания колеба¬
ний или коэффициентом динамического усиления
» с я я _ to2 =	L
xnrv О)2 — р2 *
tDz — р*
1 ,rt2
ИЛИ
где
Р =
i_I!
г,2
р	(О
- 1 и С
нужденных колебаний р
хСТ. Когда же частота вы-
Как видно из (19.31), при малом отношении
to
со, т. е. — -► 1, то
и)
С -*• оо. Когда р = со, имеет место состояние
резонанса. Соответствующая частота возму¬
щающей силы р = ркр при этом называется
(19.31)
(19.32)
критической. График зависимости |Р|
приведенный на рис. 320 и представляющий
собой так называемую амплитудную кривую резонанса, или ампли-
тудно-частотную характеристику, позволяет проанализировать пове¬
дение колебательной системы в зависимости от соотношения частот
свободных а) и вынужденных р колебаний.
§ 104. Свободные колебания системы с одной степенью
свободы с учетом сопротивления, пропорционального скорости
Уравнение свободных колебаний системы с одной степенью сво¬
боды (рис. 321, а) с учетом сопротивления, пропорционального ско¬
рости движения колеблющегося
груза, получим из рассмотрения
условий его динамического равно¬
весия:
Q	— х — ах = Q + сху
g
или
х + 2пх + а)2а? = 0, (19.33)
где а — коэффициент пропорцио¬
нальности; ах — сила сопротивле¬
ния.
В уравнении (19.33)
ю*=^-;2(19.34)
Рис. 321
Обозначим
I)2 — п2.
(19.35)
517

Решение уравнения (19.33) будет
х = e~nt (A sin	-f- В cos о)АJ),	(19.36)
где е = 2,718.
Период затухающих колебаний рассматриваемой системы
г =	(19.37)
ft), yV _па
где п — коэффициент, характеризующий демпфирующую способность
колебательной системы. Из (19.36) видно, что из-за множителя е—п/
амплитуда колебаний с течением	времени	уменьшается	— колебания
затухают. Постоянные интегрирования А и	В в решении	(19.36) опре¬
деляются из начальных условий. Так, полагая, что при t = 0 х = х0;
х = х0, находим
В = х0] А = — (i0 + rax0).
В этом случае решение (19.36) может быть представлено в виде
х = e~~nt sin а)хг + х0 ^cos ^ sin	(19.38)
В частном случае, когда А = 0, т. е. когда
х0 л пхо
О)
уравнение (19.38) примет вид
/
х = х0е cos ш1^.
Графически это уравнение представлено на рис. 321,6. Уменьшение
амплитуды следует геометрической прогрессии. Действительно, при
t = 0; * = Г; t = 2Т и т. д. амплитуды соответственно имеют значения:
 пТ	 2 г)Т
а0 = х0\ ах = х0е	; а2 = х0	и т. д.
ао _ а1 __	__ flfe __ gnT
fll а2 aft+l
откуда
In -25- = In enT = пТ = 5.	(19.39)
Величина 5 называется логарифмическим декрементом колебаний и
обычно является основной характеристикой затухания колебаний, или
характеристикой демпфирующих свойств колебательной системы.
Методы определения характеристик демпфирования колебательных
систем и данные по демпфирующим свойствам конструкционных
материалов приведены в [И].
§ 105. Вынужденные колебания систем с одной степенью
свободы с учетом сопротивления, пропорционального скорости
Согласно данным предыдущих параграфов дифференциальное
уравнение вынужденных колебаний системы, приведенной на рис. 321, ау
при действии внешней возмущающей силы Р sin pt должно быть запи¬
сано в окончательном виде:
х + 2пх -{- id2# = q sin pt,	(19.40)
518

- Q ч-Q-	(19.41)
Общее решение уравнения (19.40) будет состоять из суммы решения
однородного уравнения (19.33)
х = e~nt (A sin + В cos а^г),
где (о1 = 1/ла)2 — п2, и частного решения уравнения (19.40)
х — К sin pt + L cos pt.	(19.42)
После подстановки (19.42) в (19.40) найдем
„ Я (°>2 — р2)	г	_	2дрп	,ол.
Л “ (<0* - р*)* + 4р*«* ’ (Ш2 _ ^2)2 + 4/)3„2
Тогда общее решение уравнения (19.40) будет иметь вид
х = e~~nt (A sin (охг 4. в cos о^г) —
2pan	q	(со2	—	р2)
•“ (<0» _ р2)2 + 4003 р* + '(а)2 _ J,2)2 + 4р2газ sln Р1- (19.44)
Поскольку со временем свободные колебания, характеризуемые
членом, содержащим множитель е~затухают, то при установив¬
шихся колебаниях вынужденные колебания системы будут характе¬
ризоваться последними двумя членами правой части решения (19.44),
пропорциональными q. Период незатухающих колебаний будет
т 2тс
1 = 7'
Если ввести следующую замену:
(0)2 _ р2)2 _j_ 4р2„2 = ^ S1D а’	(19.45)
д(«г-Рг) _?fco:a
(ш2 _ р2)2 + 4р2„2 - -»COSa,
(19.46)
то решение для вынужденных колебаний может быть представлспо
в виде
х	= (cos a sin pt — sin a cos pt) = 9t sin (pt — a),	(19.47)
где амплитуда	и угол сдвига фаз а на основании (19.45) и (19.46)
определяются соответственно формулами:
51 =,. j	;	(19.48)
Y	(to2 — р2)2+4р2Д2
=	(Ю.49)
При to >■ р угол а будет положительным и меньшим , т. е
71	71
0<а<-т--. При а) < р получим — < а О, т. е. вынужденные коле*
^	£

бания отстают от возмущающей силы больше, чем на . При
tg а = оо, т. е. колебательная система занимает свое среднее положение
в тот момент, когда возмущающая сила имеет максимальное значение.
Имея в виду, что
„ ер- »2 се
*=Q’"=Q’
находим
±
0)2
gPQ
Qcg '
р_
с
ст*
(19.50)
(19.51)
где 5СТ — деформация пружины при статическом приложении ампли¬
тудного значения возмущающей силы.
Учитывая (19.51), выражение для амплитуды вынужденных коле*
баний 91 (19.48) можем представить в виде
ЗЕ	—^ 	 	,	(19.52)
2	п
где f = — — коэффициент, зависящий от демпфирующей способности
колебательной системы.
dt
Л
ГЩ
1*0
1
Рис.
R
ш
323
При 7\ > Т 91 ->- 6СТ; при Tt Т оо.
Коэффициент нарастания амплитуды р в рассматриваемом случае
равен:
Л Я
или, с учетом (19.52),
4 р2п2
(19.53)
Амплитудные резонансные кривые ? = /i Для различных зна¬
чений -у показаны на рис. 322, а график, выражающий зависимость
о	= /2 г приведен на рис. 323.
520

§ 106. Критическая скорость вращения вала
Число оборотов, при котором вращающиеся валы, попадая в резо¬
нанс, становятся динамически неустойчивыми, в результате чего могут
возникнуть недопустимо большие колебания, называется критическим.
Можно показать, что таким критическим числом оборотов вала явля¬
ется число оборотов в секунду, соответствующее собственной частоте
его поперечных колебаний.
Рассмотрим вращение диска, насаженного на вал (рис. 324, а).
Центр тяжести диска С практически всегда не совпадает с осью
вращения на некоторую величину е. Центробежная сила, действую¬
щая на вал при вращении диска весом Q а
угловой скоростью р, будет
Из условия равновесия очевидно, что Р = Т. Подставив вместо Т
и Р их выражения, найдем:
Имея в виду, что собственная частота поперечных колебаний вала
Из (19.56) следует, что критическая скорость, при которой w оо,
будет
При ркр > to центр тяжести диска будет располагаться между линией,
соединяющей опоры, и искривленной осью вала (рис. 324, б), и урав¬
нение для определения прогиба запишется так:
где с — его изгибная жесткость. В случае постоян¬
ного сечения жесткостью EJ, при размеще¬
нии диска посредине шарнирно опертого вала
где w — прогиб вала в месте посадки диска.
Реакция вала в месте приложения силы Т
Р = CW,
Т = у Р2 (w + с),
48 EJ
Рис. 324
или
е
(19.54)
w =
(19.55)
уравнение (19.54) можно представить так:
е
(19.56)
(19.57)
521

откуда
w = — 	= —е—..	(19.58)
i _ ,£L i _ “
p2Q р2
Из (19.58) следует, что с увеличением р прогиб	т. е. при очень
больших скоростях центр тяжести диска достигает линии, соеди¬
няющей опоры, и изогнутый вал вращается вокруг центра тяжести
диска С.
§ 107. Свободные колебания упругих систем
с несколькими степенями свободы
При рассмотрении колебаний упругих систем с несколькими сте¬
пенями свободы дифференциальные уравнения движения во многих
случаях можно получить, как и в случае системы с одной степенью
х,
%>»}>>>>>>h'J'"ct(xrx(.t) CtofarXj	-ОД	й	~тЛ
а	5
Рис. 325
свободы, пользуясь принципом Даламбера. Так, для системы с двумя
степенями свободы, показанной на рис. 325, а, состоящей из двух
масс т1 и т2 и двух пружин с жесткостями сх и с2, положив, что
массы могут перемещаться при отсутствии трения только в горизон¬
тальном направлении вдоль оси х, а также обозначив перемещение
массы mY и т2 соответственно через и х2, будем иметь, что на
массу т1 действуют силы натяжения пружин — сххг и с2 (х2 — хг),
а также сила инерции — т1х1. Уравнение движения массы т, будет
—с1х1 + с2 (х2 — хг) — /тг1ж1 = 0,
или
—	с2 (х2 — хх) = 0.	(19.59)
Схема сил» действующих на i-ю массу, в общем случае показана на
рис. 325, б.
На массу т2, кроме силы инерции, действует только сила натя¬
жения второй пружины — с2 (х2 — хх) и уравнением ее движения будет
т2х2 + с2 (х2 — хг) = 0.	(19.60)
Уравнения движения (19.59) и (19.60) можно было бы получить
несколько иным способом. Действительно, можно считать, что име¬
ются две связанные между собой пружины (рис. 325, в), которые под¬
вергаются действию сил инерции — m1xl и — т2х2, приложенных в точ¬
ках 1 и 2. Тогда первая пружипа нагружается силой—— m2x2t
а вторая — силой — т2х2. Перемещение первой массы при этом будет
равно удлинению первой пружины:
_ -—т1х1 — т2х2
а перемещение второй массы
  т2х2  —т1х1 — т2х 2	т2х2
^2	^1	^2
522

Преобразовав последние уравнения, получим систему дифференциала -
ных уравнений, эквивалентных (19.59) и (19.60):
*1^1 + пг1х1 + т2х2 = 0,	(19.61,
32С1С2 + С2 (™А + т2Х2) + ^1т2^2 =	(19.62)
Наиболее общим способом составления дифференциальных урав¬
нений является известный из теоретической механики способ, осно¬
ванный на применении уравнений Лагранжа второго рода, которые
при отсутствии	сил	сопротивления и	внешних	возмущающих	сил
имеют вид
d (дТ\ дТ	dU
dt [dxj ~ дщ~	dxi’	)
(i = 1, 2, 3, . .. , n)t
где Т и U — соответственно кинетическая и потенциальная энергия
системы.
Применительно	к	системе, приведенной на	рис.	325,	а,	будем
иметь
•2 *2
тгХ1 т2х2
Т = ~2~ + ~ '
тт ClX* , с2 (Х2 — Xlf .
2 2
ЯГ • дГ ■ дТ . дТ п
£--»А!
й/с?Г\ .. d /дТ\
^Т2) = ,ад!:
g = СЛ - C2 (x2 - *,); g- = c2 (*, - *i).
Уравнение (19.63) примет вид
mx»i + Ci^i — c2 {x2 — »j) =
ro2‘i2 + c2 (ж2 — ®i) = 0.
°1
(19.64)
Уравнения, полученные из уравнений Лагранжа, оказались полностью
совпадающими с таковыми, полученными на основании принципа
Даламбера. Такое совпадение имеет место всегда.
Решение уравнений (19.64) ищем в виде:
хг = Х^ sin (at + a)j
х2 = Х2 sin (tot + а)
)5 J	(19.65)
где Xf, Х2, (л и а — постоянные, которые должны быть выбраны так,
чтобы удовлетворялись уравнения (19.64). Подставив решения (19.65)
в уравнения (19.64), пайдем
h (<а 4- с2 — щсо2) — Х2с2 = 0;
—Х^а + Х2 (с2 — м2а>2) = 0,
: J	(19.66)
52.3

В этих уравнениях неизвестными являются Xj, Х2 и м. Частоту to
определим из (19.66), полагая, что Xj Ф О и Х2 Ф 0. Это возможно
тогда, когда определитель однородной системы относительно Хх и Х2
будет равен нулю:
I	Cj + с2 — тх(0а	—с2	I _ 0
-с2	с2	—	т2о)2 |
Отсюда
0,4 _ (с±±_5 + ^.) с* + iifs. = о.
\ пг j mj тхт2
2	_	1	(сг	+	с2	,	-\/~ 1 (сх + с2 , с2у
2	2	\	/Tij т2/ г 4 V ^	т2)
слс9
тггп2
Соответственно могут быть определены две собственные частоты:
/1 tCj+ с2 сЛ _ 1Г 1 /Cl + C2 сг\2 Ci£j_ _
2 V тх т2) V 4 V т, тг* OTjOTj *
-/к-
ci+_£? 4. .£?)_l l/"J_(ci + с2 , _^а _
т2/	Г 4 \ тг	m2) mxm2'
(19.67)
Двухчастотный колебательный процесс в соответствии с (19.67)
можно записать так:
a?i = Xii sin К* + ctj) + Х12 sin (co2f + <z2);
х2 = Х2х sin (caj + oti) + Х22 sin (<ь2г + а2).
(19.68)
Первый индекс при X показывает номер координаты, а второй — номер
слагаемого в строке, или номер частоты. Из (19.66) имеем
Х4 Ч + Cj — Щ<4. Х2	са
Xj	сг	’	Xj
С2 — Ш2а>2
2 »
или в соответствии с принятой индексацией
v X2i ci + с2 — Щ<*1
2i — ^— —	-	;
А11	С2
V 	 ^22	С2
^12 С2	ГП2(Л 2
(19.69)
Тогда уравнения (19.68) могут быть записаны так:
хг = Xn sin (о)^ + аг) + Х12 sin (a)2t + а2);	\
х2 = ^2iXii sin ((o^ff -j- aj) -j- X22X12 sin (co2£ -f- a2). J
Значения X^, X12, и a2 определятся из начальных условий. Так,
например, полагая при t = О
xi	(0) = 0; х2 (0) = 0;
*i(0) = 0; х2 (0) = v0,
из (19.69) найдем
Xn sin «1 + Х12 sin a2 = 0;
^21^11 al “Ь ^22^12 a2 ~ 0;
^цЦ>1 COS ax -j- X12io2 cos a2 = 0;
^21^11^1 cos -J- Х22к12(Л2 cos Ct2 = 1>q.
524

Отсюда, поскольку ю*. со2, 12\ и ^22 известны, найдем
VQ	1
Л. ■ч	^0	1
а1 — а2 — и» Л11 — “	7	т~" 1
Ш1 *-21   ^22
*12 — '
Подбирая начальные условия так, чтобы Х12 было равно нулю, полу¬
чим одночастотные колебания, описываемые одной гармоникой:
*11 = *ii sin (wi* + <*i);
*21 = *21*11 sin (wi* + ai)‘
Колебания, описываемые одной гармоникой, называются первыми нор¬
мальными колебаниями.
Очевидно, при условиях, когда х» = о, колебания будут проис¬
ходить по второй форме. Вторые нормальные колебания будут опи¬
сываться формулами
*12 = *12 sin (W2* + a2);
*22 = *22*12	(w2^	“Ь	®г)*
Число нормальных форм колебаний и равное ему число собствен¬
ных частот совпадают с числом степеней свободы колебательной
системы.
В табл. 42 приведены собственные частоты колебаний систем
с двумя степенями свободы.
й^4
itf
1
Рис. 327
Характерными колебательными систехмами со многими степенями
свободы являются упругие валы с насаженными на них дисками
(рис. 326, а). Рассмотрим крутильные колебания такого вала.
Пусть J2t J3t . . . , Jn — моменты инерции масс дисков отно¬
сительно оси вала; cplf ср2> ср3, , срп— углы поворота дисков при
колебаниях; clt c2t с3, . .. , сп— жесткости при кручении различных
участков вала:
GJп
где —полярный момент инерции площади сечения вала; Ц — дли¬
на соответствующего участка.
Тогда величины крутящих моментов, возникающих в сечениях
различных участков вала при взаимном повороте дисков, соответст¬
венно будут сг (срх — ср2); с2 (ср2 — ср3) и т. д. (рис. 326, б). Кинетическую
и потенциальную энергии системы с п степенями свободы (пренебре¬
525

гая моментом инерции массы вращающегося пала по сравнению с мо¬
ментами инерции дисков) можно представить в виде
Подставляя (19.70) в уравнения Лагранжа (19.63), получим сле¬
дующую систему дифференциальных уравнений свободных крутиль¬
ных колебаний вала с п степенями свободы:
т. е. момент количества движения системы вокруг оси вала при
свободных колебаниях остается постоянным. Обычно момент коли*
чества движения принимают равным нулю и тем самым исключают
из рассмотрения любое вращение вала как твердого тела и рассмат¬
ривают только колебательное движение, вызываемое скручиванием
вала.
Решение уравпений (19.71) ищем в виде
i=n
• о
i—1
г«п
(19.70)
J
где
Л?1 + с1 (?i — ъ) = 0;
Лъ + с2 (?2 — <Рз) —«*i(?i — Та) = 0;
Л?з + *з (?8 “	— с2 (ъ ~ ъ) = 0;
Jn—i?n—i + cn—1 (?n—I — ?п) — сп—2 (Тп—г — Tn—i) — 0;
Jn?n cn—i (?n—i *“ ?n) == 0.
Суммируя эти уравнения, будем иметь
J 1?1 "Ь 2?2	JпУп = 0,
откуда
JiTi “Ь 2^2 +••• + «/п9п — const,
?i= cos (a)i + a);
ср2 = Х2 cos (cot + a);
?n = COS ((tit + a).
(19.72)
Подставляя (19.72) в (19.71), будем иметь:
a)2 - cx	— X2) = 0;
,/2X2U)2 “I- C1	1 — ^2) — C2 (^2 — ^3) = 0;
(19.73)
Jn^n®2 ~b cn—1 Q^n—1 ^n) — 0.	J
Исключая из этих уравнений X*, Ха,	Хп,	получим	уравнение
частоты.

Так, в случае трех дисков (рис. 327) система уравнений (19,73)
примет вид
JCj (Xj — Х2) = 0;	\
J2l2iо2 + сг (Хх - Х2) - с2 (Х2	Х3) = 0; |	(19.74)
J3Х3а)2 -{- с2 (*2 — *з) =	J
Сложив эти уравнения, получим
J^Х^ -J- У2*2 ~Ь J3*3 = О»	(19.74а)
Из первого и третьего уравнений системы (19.74) найдем

*1 ='
1—С1*2
Хо =
1	JtО)2 .— Сх * Л3 /3(1)2 — с2
Подставив (19.75) в (19.74а), получим
(19.75)
J1J 2J;
Сл Со
(1)
4~
С1 С2
+ (*Л. + «Л» + Л) =
(1)2 +
(19.76)
Решая это уравнение относительно о)2, можно получить два корня
а>1 и cog, соответствующие двум главным видам колебаний. Подставив
затем о)? и (1)2 в уравнение (19.75), получим отношения амплитуд
X
и -г^ для двух главных видов колебаний и тем самым установим
3
состояние системы во время колебаний. Указанные два вида колеба¬
ний для трехмассовой колебательной системы представлены на рис. 327
диаграммами I и II соответственно для одноузловой и двухузловой форм
колебаний.	'
В качестве другого примера системы со многими степенями
свободы рассмотрим поперечные колебания упругой балки, несущей
ряд сосредоточенных точечных масс
(рис. 328). Прогибы в местах приложе-	mi	%	ms	тп
ния массл^, т2, . . . , пгп могут быть	А	*	Ш .	Ш	"
выражены через силы инерции в следу-
ющем каноническом виде:
[ h-#-
Рис. 328
w-± — ’	—	m2w2b12	—
w2 = —m^w^b2i — m2w2b22 —	—mnwn^2n\
wn — iriiWibnl — m2w2bn 2 —	«— mnwn^nn>
где (см. § 69)
(19.77)
0
(индексы ik при 5 выражают перемещения в направлении i, вызван¬
ные единичной силой, действующей в направлении Л;); Mi(z),
изгибающие моменты, вызванные соответственно единичными силами
Pi = — miwi = 1; Ph = — mkwh = 1.
527

Коэффициенты o;ft удобно определять по формуле Верещагина
(§ 71):
К _ V
4k ej '
где Q — площадь эпюры М\ (или ее части); — ордината эпюры
Мь> расположенная против центра тяжести площади эпюры Q.
Для системы с одной степенью свободы на основании (19.77) бу¬
дем иметь уравнение с одним неизвестным
wx = —171,10
Это уравнение эквивалентно известному уравнению
mw + cw = О,
поскольку
1
Для системы с двумя степенями свободы неизвестные функции
прогиба w1 и w2 согласно (19.77) выразятся так:
W, = <—^1^1^11 — In 2^2и12»
W2 = <—^1^1^21 — ^2^2^22*
В общем случае при решении уравнений (19.77) функцию прогиба
следует искать в виде
wi = \ sin («ог + «).	(19.78)
Подставляя (19.78) в (19.77), найдем
^>1 (/Т^ЬцО)2 — 1) “Ь ^2^2^12^ “1“	“1“ ^nmrfil7lU>2 — Oj
X1/71152i(02 -f- X2 (ш2Ь22(Л2 — ^) "I~ * * * "f" ^nfnn^2Tl^ = 0}
Х^Щ^Ь^О)2	\2ПЪ2Ьц2(Л2	“f“	“f"	^71	(771 я^ft71W2	1) = 0.
(19.79)
При наличии колебаний амплитуда X* не обращается в нуль,
если определитель, составленный из коэффициентов системы уравне¬
ний (19.79) при равен нулю:
т2Ъ12<й2	тпЪ1Г1(й2
^i52iW2	7п^>2 2^2 — 1	тпь2пы2
т1ЬП1 to2	т2Ьп2(л2	mnbnnii>2 — 1
= 0. (19.80)
Написав этот определитель в развернутом виде, будем иметь
1	— ajco2 + я2о)4 — яза)в+ +(—1)пап(л2п = 0,	(19.81)
где ai — коэффициенты при различных степенях угловой частоты to.
Из (19.81) можно найти выражения для частот <olf о>2, <оп
((0^	0)2	(Лп).
528

Общее решение системы уравнений (19.79) будет
Щ = ^ii "Ь ai) “Ь ^i2	(ш2^	4“ аг) 4“ * ‘ ’ 4" Мп sin (wn^ + an)»
или
W\ — Хц sin (to^ -j- g^) -j- X12 sin (to2£ 4" аг) 4“ * * * 4" (wn^ 4~ an)»
^2 = ^21 S^11	4“	al) 4“ ^22 SiQ (Ш2^ 4" a2) 4" * ‘ * 4" ^271 s^n (<M 4" aTl)t
wn = Xni sin (toxt -f- ®i) 4~ ^n2 sin 4“ a2) 4“ * *’4" ^nn sin (“n^ 4“ an)*
В частном случае системы с двумя степенями свободы уравнени
(19.79) и (19.80) будут иметь вид
\ (/и^цсо2 — 1) + Х2яг2512(о2 = 0;
Х^ш1521со2 -j- Х2 (я12&22со2 «— 1) = 0j
Imi5n<o2 — 1	m2512to2
/ni52ia)2	m2522(o2 — 1
или
CD* (^11^22 	 ^12) ^1^2	0)2 (^11^1 4“ ^22^2) ~f~ 1 = 0.
Решив последнее уравнение, получим выражения для частот 0Х и о>2:
= 0,
“1=]/"
2	(^ц^22 — &i2) т2
ттТг[8п + 8^5 +
+ У (511 + *22	—	4	(»11»м	—	8и)а	—*];
“2= ]/" 2
2 (&11&22 — ^12) т2
[Sll + 522^-
-	У (61Х + »22	— 4 (»и#м — » 12)а	.
§ 108. Продольные и крутильные колебания стержней
При продольных колебаниях стержня все его частицы дви¬
жутся параллельно оси. При выводе дифференциального уравнения
продольных колебаний стержня рассмотрим
условие динамического равновесия участка
стержня длиной dz (рис. 329, а), ограничен¬
ного сечениями а и Ь. Обозначив перемеще¬
ние сечения а через и, а сечения Ъ — через
ди
u~^dz^Zi наиДем Усилия» действующие в се-
а Ъ
Z №
нениях
имея в виду, что относитель¬
ное удлинение е
“ dz) :
EF ~ ;
dz
т.Т „„Гди . д (ди\ _ 1
Nb = EF [;Tz + Tz\Tz) dz\*
Na = -EF^;
529

Сила инерции элемента стержня длиной dz при общей массе
стержня т и длипе I будет
т д2и
и~ I 'др
Тогда,, пользуясь принципом Даламбера, условие динамического
равновесия элемента стержня запишем в виде
Nb-Na = Pu,
или
__ д (ди\ , т д2и _
EFa-ArJdz = TWdz-
Сократив на dz и заменив — на р (плотность материала), пред¬
ставим дифференциальное уравнение продольных колебаний стержня
в виде
=	<19-82>
Е
Обозначив — = а2, уравнение (19.82) запишем так:
д2и а д2и
aF=a*W	<19-83>
Решение уравнения (19.33), следуя методу Фурье, ищем в виде
и = ZT,	(19.84)
где
z = /i (ZV> T = f2(t).
Продифференцировав уравнение (19.84) по z и t, получаем
д2и	7d2T д2и	d2Z
1F* = ZdF' д? = Т!Г*-	<19-85)
Подставив (19.85) в (19.83), имеем
Ъ&Т_ <РЪ
dt*~	dzа ’
или
1	d2T _ a2 d2Z
Т ' dt2~ Z ' dz2'
Приравнивая правую и левую части последнего уравнения к одной
и той же постоянной величине со2, получим два обычных уравнения
второго порядка:
d2T
У- = -ш’Г;	(1D.86)
g —=.’*	(19.87)
Частными решениями этих уравнений соответственно будут
Т = cos ш*; sin о>£;
(19.88)
„	to . ■ (1)	х '
Z = cos — z\ sin —	z.
a	a
530

Для получения общего решепия уравнения (19.86), составленного
из частных решений (19.88), необходимо учитывать граничные усло¬
вия стержня. Так, если оба конца свободны, то должны удовлетво¬
ряться следующие условия:
(!)«.„<19-89»
Подстановкой решений (19.88) в (19.86) и (19.87) убеждаемся, что
решеиие sin ~ z уравнения (19.87) следует исключить, как не соот¬
ветствующее первому условию (19.89).
Для обеспечения второго условия (19.89) необходимо, чтобы вы¬
полнялось равенство
sin = 0.	(19.90)
Полученное уравнение частоты будет удовлетворено при
03 1
—1 = 1и,
а
где i = 1, 2, 3...
Частоту основного тона колебаний будем иметь при t = l:
ак п	-| Г Е	,, Л Лч
0)1 = т=т	У у	<19-91)
Соответствующий период колебаний
^ = % =	(19-92>
Форма этою вида колебаний показана	на рис. 329,6 кривой 1%
для которой
_	_	(tiiZ	_	7ZZ
Zx — Сг cos = Сг cos —.
Форма второго вида колебаний, для которого
о)2/ п „	2 tzz
-j- = 2п и Za = С2 cos -у-
приведена на рис. 329, б (кривая II).
Общий вид частного решения уравнения (19.83) при i-й форме
колебаний будет
i%z ( . mat • _	.	inat\	/)(ЛЛОЧ
и = cos — I Af cos —p + Bi sm	I.	(19.93)
Наложением подобных частных решений любое продольное коле¬
бание стержня можно представить в виде
V1	i%z ( a inai I г* • ircat\
м= £j	cos — I Л* cos-у-+ Я* sm-у-I,	(19.94)
i	= i, 2, 3...
где произвольные постоянные А\ и В% должны выбираться из началь¬
ных условий.
531

Например, пусть при t = 0 (и);=,0 = / (л); (и'),=о = Д (г). Тогда
из (19.94) при t = О находим
1 = 1
i=l
откуда, используя метод Фурье, найдем
4 / \ V г71Л Г»	i%Z
/i(z) = 2i ~т BiCOS~’
i=1
Фурье,
-■И
# / *
/ (z) cos — ete;
*-4-f
iTia J
o
^	\	llzz	j
Zi (z) COS —
/Л
л
V5
С/ \J XJ \
JL.
dz
$
dz
К
Крутильные колебания стержня (например, цилиндрического)
легко охарактеризовать посредством вычерчивания волнистой линии
на развернутой поверхности
стержня (рис. 330, а). Обозначим
угол закручивания сечения, на¬
ходящегося на расстоянии z, отно¬
сительно неподвижного сечения
через ср, а угол закручивания се¬
чения с координатой z + dz .—
Эф
через ф + ~ dz (рис. 330, б). Тогда
oz
относительный угол закручивания элемента длиной dz будет ^, а
крутящие моменты (см. § 46) в сечениях стержня с крутильной жест¬
костью GJp, ограничивающих элементарную его длину dz слева и
справа, соответственно будут:
ду
} dz
Рис. 330
GJV£ и GJP
Приравнивая равнодействующую этих крутящих моментов моменту
02ф
инерции вращения элемента длиной dzt равному рJp-r^dz, где р—*
плотность материала, получим дифференциальное уравнение кру¬
тильных колебаний стержня
$2ф	,	$2ф
Gjp-^dz = pjp-^dz,
или после сокращения на Jp и dz:
виде
Обозначая — через а2, уравнение (19.95) можно представить в
d2(Р _ д2 д2(?
dt*~~ dz*'
(19.96)
532

Решение уравнения такого вида рассмотрено выше для 'случая про
дольных колебаний стержня.
В табл. 43 приведены частотные уравнения и собственные формы
продольных и крутильных колебаний стержней при различных гра¬
ничных условиях.
§ 109. Поперечные колебания призматических стержней
Дифференциальное уравнение поперечных колебаний стержня
получим из рассмотрения условий динамического равновесия эле¬
мента dz (рис. 331), выделенного из произвольно закрепленного
стержня.
Проектируя все силы, действующие на рассматриваемый элемент
(включая в соответствии с принципом
кальную ось w, будем иметь
Q — qidz—Q — ^dz
откуда
qi	dz'
где Q — поперечная сила; q\ — интен¬
сивность сил инерции массы
на верти- w
At
« .г
= 0, ^
, 2
dz
(19.97)
"ПШшш
dz
(19.98)
Рис. 331
(F — площадь поперечного сечения; р — плотность материала; w —
поперечное перемещение; t — время).
Подставив (19.98) в (19.97), найдем уравнение поступательного
движения элемента колеблющегося стержня:
(19-99)
Для получения уравнения вращательного движения элемента
стержня в плоскости wz сложим угол поворота сечения 0, вы¬
званный изгибом, с углом сдвига 7, обусловленным действием
поперечной силы:
дю
(19.100)
В силу известной связи между изгибающим моментом М и
углом поворота 0 (§ 54)
M = EJ~,	(19.101)
и между поперечной силой Q и углом сдвига 7 для принятой в на¬
шем случае системы координат (§ 66)
Q=^FG	(19.102)
(А<—коэффициент, учитывающий форму сечения стержня) выражение
для Q в соответствии с (19.100)—(19.102) может быть представлено
—kFG
(£-)■
(19.103)
533

Так как момент инерции вращения массы рассматриваемого эле-
меыта равен
04 С 2 _ дЧ Г 2 __ _ ач
-дТ2 J j,* А» = Жг J сн?* = Р7 Ж2
б/2,
уравнение вращательного движения элемента на основании принци¬
па Даламбера может быть записано в виде
дМ .	тдЧ	.
dz =	9	~с№
или после сокращения на dz и подстановки (19.101) — следующим
образом:
Продифференцировав это уравнение по z, получим
“9-,о4>
Подставив (19.103) в (19.99), будем иметь
<“•«*>
Исключив из (19.104) и (19.105) угол 0, получим дифференциальное
уравнение свободных поперечных колебаний стержня
„	<94и7	/	Е) dxw	,	pV	04и>	л	4П -ЛР\
dz4 — 9	(	*5/ <5г2 rfi2 "** р &2	+	IfcG	ft4 —	(19-10°)
Если пренебречь силами инерции вращения	элемента	и	влиянием
на прогиб поперечной силы, уравнение (19.106) можно представить
в виде
"S+p'iS-0-	(19107)
Простейшим периодическим решением уравнения (19.107) является
так называемое главное колебание, в котором функция прогиба колеб¬
лющегося стержня изменяется с течением времени по гармониче¬
скому закону
w = <р (z) sin (ом + а).	(19.108)
Функция ср (z), устанавливающая закон распределения макси¬
мальных отклонений точек оси стержня, называется формой главного
колебания или собственной формой.
Для получения уравнений собственных форм подставим (19.108)
в (19.107) и после сокращения на sin (со* 4 а) получим
0-^ = 0,	(19.109)
где
k4 =	.	(19.110)
buj
Общее решение уравпепия (19.109) имеет вид
<р (z) = A cos kz + В sin kz 4- С ch lez -f- D sh kz,	(19.111)
или, будучи выражено через функции Крылова, значения которых
приведены в Приложении 3, записывается так:
<р (z) = CXS {kz) + СгТ (kz) + CjJ (kz) + С4Г (kz).
534

Здесь Ау В, С, D (или Съ С2у С3, С4) — постоянные интегриро¬
вания, определяемые из условий закрепления стержня. Так, напри¬
мер, для шарнирно-закрепленного стержня (рис. 332) условия на
концах будут:
при z = 0 ср (0) = 0; ср" (0) = 0;
при z = I ср (I) = 0; ср" (I) = 0.
Исходя из этих условий и из (19.111), будем иметь
А + С = 0; В sin kl + D sh kl = 0;
~-A +С = 0; ~-B sin kl + D sh kl = 0,
откуда
A = С = D = 0,
В sin kl = 0.
Но так как В Ф 0, следовательно, sin kl = 0. Из полученного частот¬
ного уравнения находим
kil = in
(i = 1, 2, 3, ...).
Из равенства
Я7" “ Я/
определим собственную круговую частоту
т
период
и частоту коле§аиий, aif,
/
.2 1 /”EJ i2rc2 -1 Ai
т_2я _2г* IйГ
— tait г £/
_ JL_1— л/’Ш.
~ Т ~ 212 У m ‘
(19.112)
(19.113)
Уравнение собственных форм коле¬
баний стержня будет
tfi(z) = B sin^y. (19,114)
Первые три собственные формы коле¬
баний балки на двух опорах показаны
на рис. 332.
Общее решение дифференциального
уравнения (19.107) применительно к рас¬
сматриваемой балке на двух опорах мо¬
жет быть записано в виде
Рио. 332
Sitti
(а{ cos щг + b{ sin щг) sin -у ,	(19.115)
i-l
где at и должны быть подобраны из начальных условий (при (=0).
Частотные уравнения и их корни, а также уравнения собственны!
форм поперечных колебаний стержней при различных закреплениях
их концов приведены в табл. 44. Корни частотных уравнений попе-
535

речных колебаний стержней на упругих опорах приведены в табл. 45;
стержней с сосредоточенными массами — в табл. 46. В табл. 47
приведены значения некоторых интегралов, встречающихся при рас¬
четах поперечных колебании стержней.
Если колеблющийся стержень испытывает действие продольной
сжимающей силы N, то дифференциальное уравнение упругой линии
имеет вид
EJ^ = М (z) — Nw.
После двойного дифференцирования и замены согласно принципу
d2M	d2w
Даламбера = — рF ^ получим дифференциальное уравнение
свободных поперечных колебаний стержня
„ d*w d2w d2w л
dzi^' ~dz* p dt*~
Собственная форма колебаний определится в этом случае выражением
<р (z) = A cos kxz + В sin kxz + С ch k2z + D sh k2z,
где
N
a~ EJ'
Величина к определяется по формуле (19.110).
Выражения для собственных частот поперечных колебаний стерж¬
ней, нагруженных продольными силами, приведены в табл. 48.
§ 110. Закон сохранения энергии при колебаниях
Из принципа сохранения энергии при колебаниях вытекает, что
сумма кинетической и потенциальной энергии колебательной механи¬
ческой системы в любой момент времени остается постоян¬
ной (энергетическими потерями пренебрегаем), т. е.
Т + U = const.	(19.116)
В частности, применительно к системе с одной сте¬
пенью свободы (рис. 333), для которой
т = — ia;
1	2 е
и = —
2	*
уравнение (19.116) примет вид
О • о су2
^X + -j- = const,	(19.117)
где с — жесткость пружины.
536

Правая часть уравнения (19.117) зависит от начальных условий.
Полагая, например, что при t = 0 перемещение (*)*=о = хо> а началь¬
ная скорость (x)issQ = х0 = 0, будем иметь
(19.118,
т. е. при колебаниях сумма кинетической и потенциальной энергий
остается равной начальной энергии деформации пружины, растянутой
на величину х0.
Из анализа уравнения (19.118) видно, что в момент, когда колеб¬
лющийся груз находится в среднем положении (х = 0), энергия
системы определяется кинетической энергией
л *2	2
max	с*0
(19.119)
Уравнение (19.119) может быть использовано для определения
частоты колебаний. Действительно, положив
х = х0 cos о)«; ятах = х0о),
после подстановки значения х и а?тах в (19.119) будем иметь
л 2 о	2
Qx0tn* сх0
~2fT =_2
откуда
2 ^
® Q
(19.120)
что совпадает с полученной ранее формулой (19.3).
Заметим, что, исходя из уравнения (19.117), выражающего закон
сохранения энергии при колебаниях, легко получить дифференциаль¬
ное уравнение движения колеблющегося груза. Для этого достаточно
уравнение (19.117) продифференцировать по времени t и произвести
соответствующее сокращение.
§ 111. Некоторые приближенные методы определения
собственных частот колебаний упругих систем
Способ Рейлея. Частота колебаний определяется из рассмотре¬
ния баланса энергии системы при определенных допущениях относи¬
тельно деформирования колебательной упругой системы. В частности,
для учета массы пружины в колебательной системе с одной степенью
свободы (рис. 333) делается допущение, что масса пружины мала по
сравнению с массой подвешенного груза Q, форма колебаний не
зависит существенно от массы пружины и с достаточной точностью
можно принять, что перемещение любого ее поперечного сечения на
расстоянии у} от закрепленного конца такое же, как если бы пружина
была невесомой, и равно ^ (I—длина пружины).
537

При весе единицы длины пружины q,
мента пружины длиной dr\ будет
ЛТ -±(±	**
dTv-2g\l ' dt,
кинетическая энергия эле-
а полная кинетическая энергия всей пружины выразится интегралом
I
т 	 С JL Г Л-
u~)2g(l ' dt) d* “ 2 g \dt) 3 *
пружины следует прибавить
_ Q (dA*
« “ 2 g [dt)
Тогда полная кинетическая энергия будет
Это значение кинетической энергии
к кинетической энергии груза
Tt
Г-ту,+ Г„-£ (£)'(<? + !)
Выражение потенциальной энергии останется прежним:
Теперь условие сохранения
быть представлено в виде
u = f.
энергии колеблющейся системы может
1	(dx\2 ( ql\ сх2 схо
2l\di) 1<?+Tj + T = T'
Сравнивая это уравнение с (19.118), находим, что для оценки
влияния массы пружины на частоту собственных колебаний нужно
к весу груза прибавить одну треть веса пружины. Таким образом,
круговая частота определяется формулой
(19.121)
m
Рассмотрим	колебания груза, расположенного посредине балки
(рис.	334).	Следуя	методу Рейлея, полагаем, что вес балки ql мал
сравнительно с грузом Q и что кривая про¬
гиба балки при колебаниях имеет такую
же форму, как и кривая статического про¬
гиба. Обозначив через / перемещение гру¬
за Q при колебаниях, получим выражение
поперечного перемещения любого элемента
балки длиной dz и весом qdz, находяще¬
гося на расстоянии z от опоры (стр. 266):
Ю = /	.	(19.122)
Рис. 334
Кинетическая энергия самой балки
i/2

Кинетическая энергия груза
т =Я-{й\
г 2 g\dt)
Полная кинетическая энергия системы будет
^	■	17	7
35 (dfY
T = Tr + T* = ^-[ji}	(19-123^
Пользуясь известным выражением для потенциальной энергии
деформации изгиба
it - {M2<*z
J 2EJ 9
О
а также учитывая, что
я* ГТЛ
M = EJd.?•
где для рассматриваемого случая согласно (19.122)
d2w 24
найдем:
1/2
dz2 ~	/г’
Условие сохранения энергии при колебаниях теперь примет вид
T + U :
(dfY , 24Я/ ,,
Ы; + —'=const
Продифференцировав последнее уравнение по времени t, после сокра¬
щения получим
ГТгГ,1-0'	(,9Л24>
« + 35,‘
или, введя понятие приведенного прогиба 5^,
<? + ggT«
6пр = -1Ш^г3-	(19Л25>
дифференциальное уравнение колебаний груза на балке с учетом
массы последней (19.124) окончательно можно представить в виде

Отсюда круговая частота колебаний груза согласно (19.120) опреде¬
лится формулой
£..	(19.126)
Из (19.125) следует, что для учета массы балки при определении
частоты собственных колебаний груза, расположенного посредине
17
балки, достаточно к весу последнего прибавить = 0,483 веса балки.
Величина ^ а — называется приведенной массой балки.
о5 £
Используем метод Рейлея для определения частоты поперечных
колебаний стержня с сосредоточенными массами (рис. 328). В этом
случае предполагается, что кинетическая энергия системы опреде¬
ляется только поступательным перемещением масс, а потенциальная
энергия обусловлена только изгибом стержня. Полагая, что все массы
колеблются синфазно с одинаковой частотой, перемещение сечения
балки с абциссой z в функции времени можем описать синусоидаль¬
ным законом
<р (2, t) = w (z) sin (ш -j- о),
где w (z) — функция, определяющая форму колебаний.
Скорость перемещения оси балки будет
д<р (zt t)
v (z, t) =	Qt—" =	(z) COS (to* -J- a),
umax
Максимальное значение кинетической энергии п масс равно
i=n
Т = Т 2 «Ч»*»!.	(19.127)
г=1
где wi — амплитудное значение прогиба в месте i-й сосредоточенной
массы.
Максимальная потенциальная энергия деформации балки
с/ = т$Е-/(^)2^	(19Л28)
0
Приравнивая правые части уравнений (19.127) и (19.128) и решая
полученное уравнение относительно to2, найдем
WS)’
dz
г = п
2
(19.129)
2
г=1
540

В случае непрерывно распределенной массы формула Рейлея для
приближенного определения квадрата круговой частоты (19.129) при¬
мет вид
i
\ 2
dz
j mw2dz
О
где
» F'<
т = —.
g
Если действительная форма колебаний w(z) известна, формула (19.129)
дает точное значение частоты. Обычно функция прогиба w (z) заранее
не известна и ею, следуя методу Рейлея, приходится задаваться.
Способ Ритца является дальнейшим развитием способа Рейлея.
В уравнение упругой линии колеблющейся системы вводятся неко¬
торые параметры, величина которых подбирается таким образом,
чтобы частота основного тона была минимальной. Так, например, при
поперечных колебаниях стержня функция прогиба выбирается в виде
ряда
w(z) =	(Z) + a2w2 (z) + . .. ,	(19.131)
каждый член которого должен удовлетворять граничным условиям,
а коэффициенты ряда ах, а2, а3> должны выбираться из условия
минимума частоты:
i
\ 2
dz
\rfz“ /
д_ 0
да\	I
^ mw2dz
О
Продифференцировав это выражение и разделив результат на
^ mw2 dz, с учетом (19.130) получим
0
i
4H£/(S),_eW]*=a	(19ЛЗЗ)
Таких уравнений будет столько, сколько членов в ряде (19.131). По¬
лученная система уравнений однородна относительно коэффициентов
#1» #2> а3*	• * * > аТЪ•
Приравняв определитель этой системы нулю, получим частотное
уравнение. Этот метод позволяет найти не только низшую частоту
собственных колебаний, но и значения высших частот, хотя и с
меньшей точностью.
541
И^)'
	=0.	(19.132)

Способ Бубнова—Галеркина. Применим этот способ при реше-
пин, например, задачи о поперечных колебаниях стержня перемен¬
ного сечения, описываемых дифференциальным уравнением
Решение этого уравнения можно найти с помощью подстановки
используя которую ползучим дифференциальное уравнение для опре¬
деления функции прогиба Z(z):
Согласно способу Бубнова—Галеркина действительная кривая про¬
гиба, выражаемая функцией Z(z), заменяется некоторой приближен¬
ной функцией ф(я), удовлетворяющей граничным условиям задачи.
Функция ф (z) должна быть ортогональна исходному дифференциаль¬
ному оператору. С этой целью образуем интеграл
и рассмотреть каждое из слагаемых (г) как возможное перемеще¬
ние, то вместо (19.136) получим соотношение, выражающее равенство
нулю виртуальпой работы:
Таких равенств можно записать столько, сколько слагаемых имеет
принятое для ф (z) выражение (19.138).	4
Каждое из уравнений (19.139) однородно и содержит неизвестные
коэффициенты alt а2, а3, . . . в первой степени. Приравняв нулю опре¬
делитель системы уравнений (19.139), получим частотное зпэавнение,
из которого может быть определена угловая частота собственных
колебапий.
(19.134)
w = Z(z) T(t),
(19.135)
j (S [£,/ (z)	(z)}+(2) dz=°- (i9-i36)
— mco2<
0
Отсюда, в частности, может быть получена формула Рейлея
О
(19.137)
о
Если представить ф (z) в виде ряда
Ф (*) =	(г)	+	а2ф2	(z)	Н
(19.138)
I
^ {[EJ(z)Y (z)]” — m^(z)} ^i(z)dz = 0.	(19.139)
©
542

Таблица 42
Собственные частоты колебаний систем с одной и двумя
степенями свободы
т — масса груза; с — жесткость упругого элемента; I — длина стерж¬
ня; G — модуль упругости при сдвиге; EF — жесткость поперечного
сечения стержня при растяжении; GJp — жесткость поперечного сече¬
ния стержня при кручении; EJ — жесткость поперечного сечения
стержня при изгибе
543

Продолжение табл. 42
Схема колебательной
системы
Число
степе¬
ней
свобо¬
ды
Собственная частота /, гц
-в/
С1 + С2
т
nif с
пштп
I = J. 1 f с(тах
2я г тх
+
/ — момент инерции массы диска
относительно оси стержня
Л
со|
GO
/
— 11/
2я У I
(Ji + /2)
2п г	/У^	t/^2
^i* *^2 — моменты инерции масс дисков

Продолжение табл. 42
Схема колебательной
системы
Число
степе¬
ней
свобо¬
ды
Собственная частота /, зц
EJ
nab V та (с
3	ЕЛ
(3 а + Щ
а		 ь
при а = Ь = ■
F- A 3EJ
~~ к У 7ml3
Я ^
Си—£
а
Y7’
1 ' г
Я # Д
* ^
t*.Y
_ л Г ЗЕЛ
2ъаЬ У mab
I
при а = Ъ = ~
/-4/
3££
ml'3
7сЬ г т (3<
ЗЯ/
f= —l/-
2теЬ г г
(За+ 46)
ZEJxJ2
т (aJ2 + bJx)
при J j — J 2 — J
/== J_ i/ZMZZ
7 2ub г m (а + 6)

Продолжение табл. 42
Схема колебательно!
системы
Число
степе¬
ней
свобо¬
ды
Собственная частота /, щ
с, т f с3 т2 С2 v
fwowowf
2
1 т/ 1 r^i + с3 , С2 + cs\
К* ~2к К 2 И '' т, 'И
l/"/Ci-j-Cj c2+cs\a ^jCj+CjCg+CjCg]
Г \ /те, mt ) "* J
1 1/ 1 |7C1+C3 , «2 + ^ T
— 2тс К 2 Ll та, т-г)
т 1/ fCl + °3 с2 + с3у , ^ сз 1
V V n»i Щ J ' WjmJ
при Cj = c2 = с и /пх = m2 = m
A-s/i^-5/Чг1
fflf Cf ITIg C%
ШШЮ
2
,'.5“гЛ//' И[(5+5)+(й+5)]’:
*i/[(s+sHs*5M-
= 1 l/1 Г(Л + «*+ .«i + M T
2u r 2 1 to., m9 )
T 1/ (ci+e4Cl+C2)2-4c1c2m,+m2+'n3l
г m3 m2 / тЛ m2 m3 ]
при cx = ca = с и т1 = m2 = m3 = m
546

Продолжение табл. 42
Схема колебательно!
системы
Число
степе¬
ней
свобо¬
ды
Собственная частота /, гц
i &
2
*!/(;:+“Г) 4;?j-
-H-jHp
7Ь J2 — моменты инерции масс дисков
относительно оси вала
ГТрИ Cj — С2 — С 0 i/j —— У2 — i/
1 т/зт/s с
' 2 /
+4Ф+
2
, 1 l/i ff«i + с, о2 + е3\
>1.2-2* К 211 /, | -у; J*
т | f ^Х+Сз | C2+C8j* ^jCj+CjCg+CjCj j
-2l/2[(',j;‘,+‘,/,‘')T
J\> J2 моменты инерции массы дис*
ков относительно оси вала
При Cj — С2 —— С И «/j — 1/2 — i/
ь-в/'-т*
547

Продолжение табл. 42
Схема колебательной
системы
Число
степе¬
ней
свобо¬
ды
Собственная частота /, гц
«Л 'к ^
А-НН®
2
т/(>‘+7+аГ!)1Ч',^тТ7£‘]-
г \JX J$ J2 / 1 j\j3 J
”sV^т1[(г[+Й+(Й+^] T
А» *^2» — моменты инерции масс дис¬
ков относительно оси вала
При Cj == ^2 == С И i/| == »/"2 = Jз — »/"
и?7» \\fi
лгд-о—х
		|>
2
/1.2=2i^' 2(»u 822-8ja)m2[8“ 1 #"»*iT
т У (8ii+622—*j -4(5ц522—8«) —*j
— прогиб оси балки в сечении i от
единичной силы, приложенной в
сечении к;
hk = ьм
II»
И-#
2
Tl/1+ij+'5f)
i0 —радиус инерции груза относи*
тельно его центра тяжести;
при 1 > i0
<'-тУ ш('-4)
'•“Ч/st(»+g
548

Таблица
Частотные уравнения и собственные формы продольных и крутильных колебаний стержней постоянного
сечения
43
Схема закрепления
стержня
Частотное уравнение
Корни частотного уравнения 1
Собственная фор¬
ма колебаний
fiEG
sin kl = 0
kil = in
i = 1, 2, 3,
<P (z) = С cos
1
* РФ
cos kl = 0
k{l = -77- (2i — 1)
i = 1, 2, 3, ...
cp (z) = С sin kz
- ' ■
М т
sin kl = 0
k{l — in
i=l, 2, 3, ...
cp (z) = С sin kz

Продолжение табл. 43
Схема закрепления
стержня
Частотное уравнение
Корни частотного уравнения •
Собственная фор¬
ма колебаний
'А РЦЫр
гтз
.a	kl
tg kl —
а
cl
При продольных колебаниях а — — ;
iLr
при крутильных колебаниях а =	,
(jJ р
где F и Jp — площадь и полярный момент
инерции поперечного сечения стержня;
с — жесткость опоры относительно про¬
дольных или крутильных перемещений
k,L
&
№
1
Аси
Щ
ттота
7U Ц-fL-
Г1—г—
Основной
тон
/
10	20	а
Ю 20 Ы
ср (z) = С sin kz
pEFGJp
mJ
tg kl = a kl
При продольных колебаниях a =	;
при крутильных колебаниях а =	,
где т — масса груза; J — момент инерции
массы груза относительно оси стержня;
F — площадь сечения; Jv — полярный мо-
мент инерции сечения стержня
кЛ
0,5
л 4,26
1,0
4,50
10
4,69
ср (я) = С cos kz

pEGFJp
mJ
kl tg kl = a
При продольных колебаниях a = ^-1 • При
m *
крутильных колебаниях а = ^I,
где т — масса груза; J — момент инерции
массы груза относительно оси стержня;
F — площадь сечения; /р — полярный мо¬
мент инерции сечения стержня
0,01
0,05
0,20
0,30
0,50
кЛ
кЛ
0,10
0,90
0,82
0,21
1,00
0,42
1,50
0,86
Ы
5,00
1,32
0,98
10,0
0,52
2,00
0,65
3,00
0,70
0,75
4,00
1,08
20,0
1,20
100,0
1,27
1,42
1,52
1,568
л/2
Aft Г
0	5 10 &
4
3
О 5	10	£
<р (г) = С sin kz

Схема вакреплепия
стержня
Частотное уравнение
ЮЛ	т,Ъ
j~ pm р
Продольные колебания
[mim* (^) — l]tgfei — (mi + Щ) jp = °;
крутильные колебания
Щ — массы грузов; Jlf /2—моменты
инерции массы грузов относительно оси
стержня; F — площадь сечения; Jv — по¬
лярный момент инерции сечения стержня
П:
•	Собственные частоты определяют по формуле ^ о, где а
лебаний.
Продолжение табл. 43
Корни частотного уравнения •
Собственная фор¬
ма колебания
Ч (2) =
= С ^cos kz —>
	к sin kz
pjP
)
E	ЛГ G
— для продольных и a - у — для крутильных ко-
Р	Г р

Таблица 44
Частотные уравнения и собственные формы поперечных
колебаний стержней постоянного сечения
Схема закрепле¬
ния ГТЙПЖНЯ
Частотное
уравнение
Корни частот¬
ного уравне¬
ния *
Собственная форма
колебаний
i
hil
pro
cos kl ch kl = 1
1
2
3
0
4,730
7,853
? (z)=(ch kl—cos kl)x
X (sh kz + sin kz) —
— (sh kl — sin kl) X
1
4
5
10,996
14,137
|(2/-1)
i
X (ch kz + cos kz)
№.... .
1
2
3,142
6,283
А
z *
sin kl = 0
3
4
9,425
12,566
in
<p (z) = sin kz
i
а
к
1
2
4,730
7,853
? (*)=(sh kl—sin к I) X
, < -Г
cos&Z chM=l
3
4
10,996
14,137
y(2i+l)
X (ch kz — cos kz) —
— (ch kl — cos kl) X
X (sh kz — sin kz)
i
'Л
да
1
2
1,875
4,694
7,855
10,996
cp (z)=(sh W+sin kl) X
X (ch kz — cos kz) —
— (ch kl + cos kl) X
/
cos W-ch W=—1
3
4
г
i
!(2<-l)
X (sh kz — sin kz)
1
2
3,927
7,069
10,210
13,352
cp (z)=(sh sin kl) X
1
tg A:Z = th W
3
4
X (ch kz — cos kz) —
—(ch kl + cos kl) X
i
“f (4«+l)
X (sh kz — sin fez)
^ п
1
2
3
0
3,927
7,069
10,210
13,352
4i — 3
4 *
cp (z)=(ch &Z+cos kl) X
X (sh kz + sin kz) —
— (sh Ы + sin kl) X
, * +
>
tg M = th kl
4
5
i
X (ch kz + cos kz)
• Собственные частоты определяют по формуле	Щгв
где m — pF.	*	р « m

Таблица 45
Корни частотных уравнений поперечных колебаний
стержней постоянного сечения на упругих опорах *
Схема закрепления стержня
График для определения
коэффициентов kl
№
щ
AcuMnmomi
при ki=3
i i
.ЛЖ
1
Г
/
О 100 200 si.
/4а
/
In
70/77*
* 1
да
*г
ЯГ
pFEJ
г < j
k,L
4
)
Асимптота |

Л
/
при
kL =
71 _
/
Л
EJ
/
to
по
тт
и Hi
тс
г
‘Г
О 250	500	$L
fir
.	*	(kl)2	l/~EJ	k*-\/~FJ
•	Собственные частоты определяют по формуле / =	JF	“2пУ "т*
где m = pF
554

Продолжение табл. 45
Схема закрепления стержня
График для определения
коэффициентов hi
pFE3
жг '	1
О 10	20
ргр
X
pFEJ .
1=07 0,6 0.9 1,0 0.S
			os-
555

Таблица 46
Корни частотных уравнений поперечных колебаний
стержней постоянного сечения с сосредоточенными
массами т*
Схема стержня
* Lf ш-
~ /77
, Р[ЕЗ
1
pFEJ т
m pFEJ m
Ж± *
i, ] i,
График для определения
коэффициентов hi
fa I'
1
75'
V
\
•—-
20
hzl
3,5
>4>т
10
l=j Hi 0,2 0,3 ол as
Ц
$
1
k2i
4
3
с
Си
[111
I—
Р/77/7,
?5at
U4Hi
ШЯ
ые
20	40	fa
1 "
Л/д
— Ki
1мег
олес
прщ
Чани
/ныб
\я—
10
Ж..
2pFL
мШШь® Mt:0J
(hi)* i /~EJ
Собственные частоты определяют по формуле / = I/
¥ йР
556

Таблица 47
Значения некоторых интегралов, встречающихся при расчетах
поперечных колебаний стержней (<р* — г-я собственная форма
колебаний)
Схема закрепления
стержня
i
i Jn*
0
± Jvjdx
0
l
1 j* (?i >2 dx
0
i
13 J dx
0
1
0,6366
0,5
4,9343
48,705
2
0
0,5
19,739
779,28
3
0,2122
0,5
44,413
3945,1
4
0
0,5
78,955
12468
5
0,1273
0,5
123,37
30440
1
0,8445
1,0359
12,775
518,52
2
0
0,9984
45,977
3797,1
i—1
3
0,3637
1,0000
98,920
14619
4
0
1,0000
171,58
39940
5
0,2314
1,0000
264,01
89138
1
0,6147
0,4996
5,5724
118,80
2
—0,0586
0,5010
21,451
1250,40
ЯГ"
3
0,2364
0,5000
47,017
5433,0
4
—0,0310
0,5000
82,462
15892
5
0,1464
0,5000
127,79
36998
1
1,0667
1,8556
8,6299
22,933
и
2
0,4252
0,9639
20,176
467,97
	1
3
0,2549
1,0014
77,763
3808,5
4
0,1819
1,0000
152,83
14619
5
0,1415
1,0000
205,52
39940
557

Таблица 48
Собственные частоты поперечных колебаний стержней постоянного
сечения, нагруженных продольными силами
Схема стержня
Собственная частота колебаний
*
pFEJ
М
. _ 0,562 л Г EJ ( 5NI* )
h 1г V pi? \ + 14EJ)
У
✓
L
'А
pFEJ
. _ 0,562-./EJ ( ql* \
h—irV р-И1+ш)
'
* / *
Л
pFEJ
N
я i* 1 / EJ / N1* \
h 2 1ъ V рF \ + i4*EJ)
L

Глава 20
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ ДЕЙСТВИЮ
ПОВТОРНО-ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
§ 112, Явление усталости материалов
Усталостью материалов (в частности, металлов) называется явле¬
ние разрушения при многократном повторении нагружений. Способ¬
ность материалов сопротивляться разрушению при повторно-перемен¬
ных напряжениях называется выносливостью
материала.
Усталостное разрушение наблюдается
при наличии одной из следующих особен
ностей нагружения:
1)	при многократном нагружении одно¬
го знака, например, периодически изме¬
няющегося от нуля до максимума (рис
335, а);
2)	при многократном нагружении, пе¬
риодически изменяющемся не только по
величине, но и по знаку (знакопеременное
нагружение), когда на выносливость мате¬
риала одновременно оказывают влияние и
повторность и переменность нагружения.
При этом различают симметричное нагру¬
жение (рис. 335, б) и несимметричное
(рис. 335, в, г).
Для разрушения от усталости недо¬
статочно переменности напряжений. Не¬
обходимо также, чтобы напряжения имели
определенную величину. Максимальное на¬
пряжение, при котором материал способен
сопротивляться, не разрушаясь, при любом
произвольно большом числе повторений нагружений, называется
пределом выносливости или пределом усталости.
Усталостный излом металла имеет
характерный вид (рис. 336). На нем
обычно можно наблюдать две зоны:
одна из них (А) — гладкая, притертая,
образовавшаяся вследствие постепен¬
ного развития трещины; другая (В) —
крупнозернистая, образовавшаяся при
окончательном изломе ослабленного
развившейся усталостной трещиной
сечения детали. Зона В у хрупких ма
териалов имеет крупнокристалличе¬
ское, а у вязких — волокнистое строе
ние.
Механизм образования трещин при
повторно-переменном напряжении весь¬
ма сложен и не может считаться пол-
Рис. 336.
У\/\/\.
*
а
Ww
о
’>W\r
п 1
/\/\А
г
Рис. 335
559

постыо изученным. Из несомненных положений теории усталости
можно отметить следующие:
1)	процессы, происходящие в материале при повторно-переменном
нагружении, носят резко выраженный местный характер;
2)	решающее влияние на явление усталости до образования пер¬
вой трещины оказывают касательные напряжения, вызывающие пла¬
стические сдвиги и разрушение путем среза. Развитие усталостных
трещин ускоряется при наличии растягивающих напряжений и у
пластичных, и, в особенности, у хрупких материалов (типа чугуна),
в которых появление трещин отрыва значительно повышает чувстви¬
тельность к растягивающим напряжениям.
Предел выносливости определяют экспериментально на соответ¬
ствующих испытательных машинах путем испытания партии образцов
из данного материала в количестве не менее 6—12 штук. Предел
выносливости зависит от многих факторов, в том числе от формы и
IN.
т г
Ini4-
т . t
Рис. 337
размера образца или детали, способа ее обработки, состояния поверх¬
ности, вида напряженного состояния (растяжение — сжатие, кручение,
изгиб), закона изменения нагрузки во времени при испытании, темпе¬
ратуры и т. п.
В большинстве случаев переменные напряжения, вызывающие
разрушение от усталости, представляют собой функцию времени
а = f(t) с периодом, равным Т. Совокупность всех значений напряжений
за один период называется циклом напряжений (рис. 337, а). На вели¬
чину предела усталости оказывают влияние максимальные (pmax) и
минимальные (pmin) напряжения цикла. Основной характеристикой
цикла является коэффициент асимметрии цикла
Рщ in
^max
Различают также среднее напряжение цикла (рис. 337, б)
Лпах "Ь Лтп
рс—	О
и амплитуду цикла
^тах' ^min
(20.1)
(20.2)
(20.3)
560

Среднее напряжение цикла может быть как положительным, так
и отрицательным; амплитуда цикла определяется абсолютной вели¬
чиной (без учета знака).
В соответствии с (20.2) и (20.3), очевидно,
Ртах = Рс + Р&> РтШ = Рс ““ Р&-
Наиболее опасным является так называемый симметричный цикл
(когда Pmax = -Pmin и Рс = °)' ПРИ котором
р — ^т1П 	 	|
^max
Предел усталости при симметричном цикле обозначается через
При пульсирующем цикле, когда Рт1П = 0,
, = JL=o,
Ртах
а предел выносливости обозначают через р0. При постоянной нагруз¬
ке, когда pmax = pmin = р,
В самом общем случае при коэффициенте асимметрии г предел
усталости обозначают через рг. В частном случае, например, при
г = —0,5 предел усталости обозначают р__0 5. Циклы, имеющие оди¬
наковые характеристики /*, называют подобными. Характеристика цикла,
или коэффициент асимметрии, может меняться от —оо до +оо (см.
табл. 49).
Следует иметь в виду, что в случаях, когда речь идет об уста¬
лости при растяжении — сжатии или изгибе, вместо обозначений ра,
Рс> Ро* Ртах» Pmin и Т* Д* необходимо использовать обозначения
соответственно оа, ос, о0, amaY> amin и т. д., а в случае рассмотрения
сопротивления материалов действию повторно-переменных касатель¬
ных напряжений (при циклическом кручении) следует применять
обозначения та, тс, т0, ттах, Tmin ит, д.
§ 113. Методы определения предела выносливости.
Диаграммы усталости
При испытании материала на выносливость чаще всего исполь¬
зуют гладкие цилиндрические образцы диаметром 7—10 мм.
В зависимости от вида действующих в образце повторно-пере¬
менных напряжений (растяжения — сжатия, переменного изгиба,
переменного кручения), а также характеристики цикла (коэффициен¬
та асимметрии г) значения предела выносливости будут различными.
Поэтому, ставя перед собой цель получения предела выносливости
материала, следует заранее указать, при каком виде деформации
(изгибе, кручении и т. п.), а также при каком характере изменения
напряжений за цикл, т. е. при каком значении г, требуется опреде¬
лить предел выносливости.
В соответствии с поставленной задачей выбирают испытательную
Минину. Для испытания на усталость при изгибе применяют машины
501

(рис. 338), в которых циклические симметричные напряжения в испы¬
туемом образце возникают за счет вращения образца» нагруженного
укрепленным на конце с помощью шарикового подшипника грузом.
Число оборотов в минуту таких машин обычно составляет около 3000
ления закономерности изменения числа циклов до разрушения при
тех или иных уровнях напряжений.
Обработка получаемых экспериментальных данных осуществляется
путем построения кривых усталости, часто называемых кривыми Вел¬
лера (рис. 339).
Кривая усталости строится по точкам в координатах: максимальное
напряжение цикла ртах (отах или ттах) — число циклов до разру¬
шения N. Каждой точке соответствует один разрушившийся образец,
проработавший N циклов с заданным ртах.
По мере снижения напряжения образцы выдерживают до разру¬
шения все большее число циклов, а кривая усталости ртах = / (N)
как бы приближается к некоторой асимптоте, параллельной оси
абсцисс N. Число циклов, при котором кривая усталости практи¬
чески начинает совпадать с асимптотои, может быть принято за базу
испытания на усталость, т. е. за такое число циклов, превышение
которого при данном напряжении практически не должно приводить
к разрушению образца. Таким образом, базой испытания на выносли¬
вость называется наибольшее число повторно-переменных нагружений,
существенное превышение которого не должно приводить к усталостным
разрушениям испытуемого образца при данном напряжении.
Для черных металлов (сталь, чугун и т. п.) в инженерной прак¬
тике за базу испытания принимают 10 млн. циклов; для цветных
металлов (медь, алюминий и т. п.) —база испытания в 5—10 раз
больше, чем для черных металлов.
В некоторых случаях, особенно для цветных металлов, кривая
усталости в координатах N, р медленно стремится к асимптоте, по¬
этому базу испытания приходится выбирать значительно бблыпей.
В таких случаях вообще трудно говорить об истинном, так называемом
физическом пределе усталости, поскольку таковой практически отсут¬
ствует. Говорят об условном пределе усталости, понимая под ним
(50 щ). Современные усталостные машины,
в частности машины с магнитострикцион-
ными вибраторами для испытания при
растяжении.— сжатии, позволяют произво¬
дить испытания при частотах порядка
10000—20000 гц.
Рис. 338
При испытании партии образцов с
целью определения предела выносливости
необходимо обеспечивать в отдельных
образцах различные напряжения для выяв-
0
N
LgN
Рис. 339
Рис. 340
562

максимальное напряжение, при котором не происходит разрушение
при осуществлении определенного наперед заданного числа циклов,
принимаемого за базу испытания.
Кроме построения первичных диаграмм усталости, в координатах N,
°тах ПРИ растяжении — сжатии и изгибе или в координатах N, ттах
при кручении эти диаграммы строят также в полулогарифмических
координатах lg N, omax (рис. 340) или lg N, *тах. В этом случае пре¬
дел усталости будет характеризоваться ординатой горизонтального
участка кривой усталости.
Как показывают многочисленные испытания на усталость, для
некоторых материалов можно заметить следующие соотношения между
пределами выносливости при симметричном цикле, полученными при
образцах. Для стали °^_1 = 0,7аи1; для чугуна oV~ = 0,65а^,	=
= 0,8а^; для сталей и легких сплавов == 0,553^. Замечено так¬
же, что для стали существуют следующие соотношения указанных
пределов выносливости с временным сопротивлением при растяжении:
= 0,28ав;	=	0,4ов;	=	0,22ав.	Для	цветных	металлов
с“1== (0,24 -0,5) св.
Диаграмма предельных напряжений. Для характеристики сопро¬
тивляемости материала повторно-переменным напряжениям при раз¬
личной асимметрии цикла строится так называемая диаграмма пре¬
дельных напряжений (рис. 341) в координатах атах* ат1п — <*с (диа•
грамма Смита).
делов усталости (максимальным значениям напряжения) при различ¬
ной асимметрии цикла, которые берутся из первичных диаграмм
усталости.
Тангенс угла наклона луча, проведённого из йачйла координат
до пересечения с предельной кривой САВ и образующего угол Э
с осью абсцисс ас, будет:
изгибе <£ , кручении и растяжении — сжатии	на	гладких
Рис. 341
Рис. 342
Ординаты кривой САВ диаграммы соответствуют значениям пре-
Qmax “Ь °min 1 “h ^
max
(20.4)
563

Диаграммы предельных напряжений обычно ограничивают в верх¬
ней части пределом прочности или пределом текучести материала.
Примерный вид диаграммы предельных напряжений, ограниченной
ден на рис. 342.
Диаграммы предельных напряжений можно строить также в коор¬
динатах оа — ас(диаграмма Хейя). В этом случае (рис. 343) тангенс
угла р, образованного лучом, проведенным из начала координат,
с предельной кривой будет выражаться так:
tgEi=V
max
min
Для оценки сопротивляемости
напряжениям при сложном напря¬
женном состоянии, например при
совместном действии циклического
изгиба и кручения, используют
соответствующие усталостные ма¬
тах “f“ °min
материала
(20.5)
1 —г
Г+7‘
повторно-переменным
шины, позволяющие получать интересующее нас напряженное со¬
стояние.
На рис. 344 приведены результаты экспериментов с гладкими
образцами при различном сочетании переменных нормальных (о) и
касательных (т) напряжений при симметричном цикле. Через о—1
и обозначены пределы выносливости соответственно только при
изгибе и только при кручении, а оа и та — предельные амплитуды
при одновременном действии изгиба и кручения. Экспериментальные
данные группируются около кривой, которая с достаточной степенью
точности может быть аппроксимирована для конструкционных сталей
дугой круга (рис. 344, кривая 1), описываемой уравнением
feMc-,)*-1-	(20'6'
Для высокопрочных сталей и чугунов экспериментальные данные
располагаются ближе к эллиптическим дугам (рис. 344, кривая 2).
В случае симметричного цикла с соблюдением синхронности и
синфазности напряжений условие прочности в амплитудах главных
напряжений в соответствии с третьей теорией прочности запишется
так:
(»i)a-Ы. = «-1.	(2°.7)
а по четвертой теории	прочности — в виде:
[Ыа ~ <«•).]' +	К».), “ (°э)а]2 + [(«•). - («i)a]* =	(20-8)
564

При сложном напряженном состоянии, характеризуемом совмест¬
ным действием циклического изгиба и кручения, условие прочности
(20.8), с учетом соотношения « -р^Зт^ будет иметь вид
V	°а + (^) та = °-1-	(20.9)
Это условие совпадает с выражением (20.6), вытекающим из экспери¬
ментальных данных.
§ 114. Влияние на предел выносливости материала
конструктивно-технологических факторов
Влияние концентрации напряжений. Наибольшее влияние на
предел выносливости оказывает концентрация напряжений, степень
которой характеризуется теоретическим коэффициентом концентрации
а (см. § 27). Как показывают опыты, предел усталости образцов с кон¬
центраторами напряжений я_1к оказывается больше вычисленного
через теоретический коэффициент концентрации а, т. е.
Р-
Поэтому наряду с теоретическим коэффициентом концентрации вве¬
дено понятие эффективного, или действительного, коэффициента кон¬
центрации к. Эти коэффициенты обозначены так: для нормальных
напряжений
для касательных напряжений
где o_i и — пределы выносливости, полученные при действии
циклических нормальных и касательных напряжений на гладких
образцах; с— 1к и *с_1к — пределы выносливости образцов с концентра¬
торами напряжений.
Практически оказалось удобнее определять эффективный коэффи¬
циент	концентрации	через так называемый	коэффициент	чувстви¬
тельности материала к концентрации напряжений
* = 7=Т.	(20Л0)
который зависит от материала, а также от коэффициентов qg; ka;
ag — при нормальных напряжениях или qz\ кг\ ат — при касательных.
Для определения коэффициента чувствительности q в литературе
имеются графики (рис. 345). Зная q, а также теоретический коэффи¬
циент	концентрации	нанряжения а, можно	определить	согласно
(20.10) эффективный коэффициент концентрации к по формуле
k = i + q(a — 1).	(20.11)
565

Для материала, чувствительного к концентрации напряжения,
когда q -► 1, к -+ а. Для материала, не чувствительного к концен¬
трации напряжения, когда q -* 0, к 1.
Влияние концентрации напряжений при сложном напряженном
состоянии оценивается на основе испытания образцов с концентра¬
торами и получения соответствующих диаграмм (рис. 346), которые
аналогично диаграммам, приведенным для гладких образцов (рис. 344),
описываются эллиптической зависимостью
(20.12)
40	60	80	100
КГ/ИИ9
Рис. 345
где <^1к,	— пределы усталости при симметричном цикле для
образцов с концентраторами только при изгибе и только при круче¬
нии соответственно; сак, так — амплитудные значения напряжений
при одновременном синхронном и синфазном изменении напряжений
при сложном напряженном состоянии и различных сочетаниях пере¬
менных нормальных и касательных напряжений.
Влияние размеров (масштабный фактор). Эксперименты пока¬
зывают, что с увеличением размеров образца предел выносливости
падает. Это снижение обычно учитывается с помощью некоторого
коэффициента, обозначаемого, например, применительно к нормаль¬
ным напряжениям так:
••-fefe-	(2°лз1
где (a_i)do предел выносливости гладкого лабораторного образца
диаметром d0 = 7~ 10 мм\ (0^)^ — предел выносливости рассматри¬
ваемой детали диаметром d>d0. Поскольку (а	•< (а^)^, то, оче¬
видно, коэффициент влияния абсолютных размеров еа-<1.
При наличии концентратора влияние масштаба оценивается так
же, как и для гладких образцов с помощью коэффициента еок:
(а—ln)d	(20.14)
°К (‘-Ik)*	*
где (с_lK)d и (a^iK)d —пределы выносливости детали и лаборатор¬
ного образца соответственно. На рис. 347 приведены кривые зависи¬
566

мости e = /(tf). Здесь кривая 1 соответствует детали из углеродистой
стали без концентратора, кривая 2*— детали из легированной стали
(ов == 100-4-120 кГ/мм?) при отсутствии концентратора и из углеро¬
дистой стали при наличии концентратора; кривая 3 соответствует
детали из легированной стали при наличии концентратора; кривая 4—
для любой стали при весьма большой концентрации напряжений
(например, при концентраторе типа надреза).
Снижение предела усталости
с увеличением размеров особенно
сильно выражено у неоднородных
материалов. Так, например, с уве¬
личением размера образца из се¬
рого чугуна с 5 -f-10 мм до 50 мм
снижение ов и может достиг¬
нуть 60-г-70%. Для углеродистой
стали увеличение диаметра образ¬
ца с 7 мм до 150 мм приводит к
снижению предела выносливости
примерно на 45%.
Кроме эффективного коэффи¬
циента концентрации (^a)d Для образца вводят понятие эффектив¬
ном коэффициента концентрации напряжений для детали (&а)д» учи¬
тывающего одновременно и размеры и концентрацию:
Рис. 347
(*»)д1
(20.15)
Если (#a)d определяется на образцах достаточно большого диа¬
метра (когда"дальнейшее увеличение диаметра мало влияет на (к0)д),
то
,i \	/ол ла\
<*•>«	{ЖЩ
*5
Ctg
И
У V
"fL-'
-Ч.Ч)
' fM
Л V ы
\\v1
\v
'D -
\Л\
6gs50
Ъ
1
ч -120 к/умм*
0	0,1	0,2	Q3
$=2; d=30-50 мм
Рис. 348
г
d
2; d=30-50мм
Рис. 349
Влияние концентраторов напряжения существенно зависит от вида
напряженного состояния. При циклическом кручении, например, коэф¬
фициент концентрации оказывается более низким, чем при изгибе
при той же форме концентратора. Это видно, в частности, из рис. 348
и 349, на которых приведены значения эффективных коэффициентов
567

концентрации для ступенчатых валов с галтелью соответственно для
изгиба и кручения. Соотношение между кх и ка может быть пред¬
ставлено формулой
*х = 1 + 0,6(Лв-1).
На рис. 350 приведены графики, характеризующие эффективные
при растяжении — сжатии. Из графи¬
ков (рис. 348 и 350) видно, что значе¬
ния эффективных коэффициентов при
растяжении — сжатии несколько пре¬
вышают таковые при изгибе. Более
полные данные о коэффициентах кон¬
центрации и чувствительности к кон¬
центрации напряжений приведены в
Приложении 2.
Влияние состояния поверхности.
На предел выносливости существенное
влияние оказывает состояние поверх¬
ности детали или образца. Это объяс¬
няется тем, что на поверхности почти
всегда имеют место дефекты, связанные
с качеством ее механической обработ¬
ки, а также с коррозией под влиянием
окружающей среды. Поэтому усталост¬
ные трещины, как правило, начинаются
с поверхности, а плохое качество последней приводит к снижению
предела усталости.
Влияние качества механической обработки поверхности на вынос¬
ливость можно оценить некоторым коэффициентом 1, который
равен отношению предела выносливости испытуемого образца с опре¬
деленной обработкой поверхности к пределу выносливости тщательно
коэффициенты концентрации
Рис. 351	Рис.	352
отполированного образца. На рис. 351 приведена зависимость коэф¬
фициента р от предела прочности для различных видов обработки
поверхности стальных образцов. Кривая 1 соответствует полирован¬
ным образцам; кривая 2 — шлифованным; кривая 3—образцам с тон¬
кой обточкой; кривая 4— образцам с грубой обточкой; кривая 5 — с
наличием окалины. Из графика видно, что при грубой обточке пре¬
дел выносливости снижается на 40%, а при наличии окалины — на 70%.
Влияние коррозии в процессе испытания на предел выносливости
при ротационном изгибе показано в виде графиков на рис. 352, где
по оси ординат отложено значение коэффициента
568

выражающего отношение предела выносливости корродированного
образца к пределу выносливости полированного образца o__lf а по
оси абсцисс — временное сопротивление материала исследуемых образ¬
цов. Кривая 1 характеризует влияние коррозии в пресной воде при
наличии концентраторов напряжений; кривая 2 — в пресной воде при
отсутствии концентраторов и в морской воде при наличии концентра¬
ции; кривая 3 — в морской воде при отсутствии концентрации.
Влияние пауз. На предел выносливости имеют влияние паузы
(перерывы нагружения). Иногда за счет пауз число циклов до разру¬
шения увеличивается на 15—20%. Увеличение числа циклов тем
больше, чем чаще паузы и чем они длительнее (последний фактор
влияет слабее).
Влияние перегрузок (нагрузок, больших предела выносливости)
на величину предела выносливости зависит от характера перегрузок.
При малых перегрузках до отэеделенного числа циклов усталостная
прочность повышается, при оолыпих перегрузках после определен¬
ного числа циклов — понижается.
Влияние тренировки. Если создавать в образце напряжения не¬
много ниже предела выносливости, а затем постепенно их увеличи¬
вать, то сопротивление усталости материала может быть существенно
повышено. Это явление, называемое тренировкой материала, широко
используется в технике. Особого эффекта можно достигнуть при
постепенном увеличении перегрузки. При этом упрочнение можно
получить при сравнительно кратковременных тренировках (порядка
50 000 циклов), но при сильных перегрузках.
Влияние температуры. Применительно к обычным конструкцион¬
ным материалам повышение температуры приводит к снижению пре¬
дела выносливости, а снижение температуры — к повышению выносли¬
вости как гладких образцов, так и образцов с концентраторами.
Для стали при температуре выше 300° С с ее повышением на
каждые 100° С предел усталости падает на 15—20%. Однако для
некоторых сталей с повышением температуры от 20 до 300° С наблю¬
дается некоторое повышение предела усталости. Это повышение,
по-видимому, связано с физико-химическими процессами, протекаю¬
щими в материале под одновременным воздействием температуры
и циклических напряжений. Влияние концентрации напряжений на
выносливость, как правило, с повышением температуры уменьшается.
При понижении температуры от 20 до —190° С предел выносли¬
вости у некоторых сталей увеличивается более чем вдвое, хотя удар¬
ная вязкость при этом существенно падает.
§ 115. Расчет на прочность при повторно-переменных
нагрузках
При простых видах деформации детали, работающей при сим¬
метричном цикле, например при циклическом растяжении — сжатии
или изгибе и фактически действующем знакопеременном напряже¬
нии аа, запас прочности можно определить по формуле
где	—	предел выносливости детали при растяжении-сжатии
или изгибе, который может быть определен по пределу выносливости
лабораторных полированных образцов (а	x)ci0, с учетом эффективного
коэффициента концентрации (&a)d. масштабного фактора еа, состояния
569

поверхности и среды, характеризуемых, соответственно, коэффициен¬
тами р и рк, по формуле:
(в	\ — (q—
I	-1кid “ (k9)dtaWK
В случае сложного напряженного состояния согласно (20.9)
(3-lK)d = j/°a + [|^]	<
2	2
(20Л7)
(a-lK)d (X-iK)d
или согласно (20.6)
Тогда, имея в виду, что
(T-iK)d
на основании (20.17) будем иметь
1 1,1
откуда запас прочности при сложном напряженном состоянии опре¬
делится формулой
п = УлП'--=.	(20.18)
В случае определения запаса прочности при асимметричном цикле
и любом виде циклического нагружения (изгиб, растяжение сжа¬
тие, кручение) можно исходить из
схематизированной диаграммы пре¬
дельных напряжений для гладких
образцов (рис. 353), представив ее
в виде прямой, проходящей через
точки А п В с координатами О,
о0
9—1 и	о0>	уравнение которой
имеет вид
°тах = i + °°	9о = °-1 +
~2
+
ИЛИ
°тах =	+	(1	"	Фа) <V (20-19)
где коэффициент чувствительности материала к асимметрии
цикла равен:
= --1 ~ °0 _ (20.20)
°0
570

При действии касательных напряжений уравнение предельной
кривой максимальных напряжений по аналогии с (20.19) будет иметь
вид
хюах ~ т—I	С1'К) V
(20.21)
Значения коэффициентов <1^ и Фх Для сталей с различным вре¬
менным сопротивлением приведены ниже:
ав, кГ1мм*
Фа
Фт
35—55
0
0
52—75
0,05
0
70—100
0,1
0,05
100—120
0,2
0,10
120—140
0,25
0,15
Предельная амплитуда напряжений для гладкого образца на
основании (20.19) может быть выражена формулой
°а = °max ’ °с == а—i **"" ^a°c*
Предельная амплитуда напряжений для детали (aaK)d будет
0а 0_, — фао0
(°ак)й
(К)д (К)ц
(20.22)
Рис. 354
а уравнение кривой предельных напряжений для детали (рис. 354)
может быть записано в виде
(°max)<j = (°ак)й + "о =	+ [* ~V (20-23)
Для определения запаса прочности детали, напряжение в которой
на диаграмме предельных напряжений (рис. 355) характеризуется
точкой М с координатами оа, ос, необходимо найти координаты
точки N, находящейся на пересечении луча, выходящего из начала
координат, с кривой предельных напряжений для детали. Координаты
571

точки N определятся из совместного рассмотрения уравнений кривой
(линии) AN предельных напряжений для детали
(°maxt K)d =	^	°с	(20.24)
и уравнения луча
°тах = °о = Р	(20.25)
с
где штрихами обозначены текущие координаты.
Ордината точки N, лежащей на пересечении прямых AN и ON,
будет одна и та же, т. е.
(°тах, к)с* = °тах»
или
<7~1 I Г1	^ I а' — °ШаХ а'
+1‘ ет'--”'-
(Мд
откуда находим абсциссу точки N:
а—1	а-1	°с
Учитывая, что аа=°тах — °с. получим
°с = П ^	. °1	•	(20-26)
°	( а) Д 11 a +
Подставляя это	значение в (20.25)	и	обозначая	эту	ординату
(®тах) яеРез (°m)d- получим
°“1°тах
(°гк)
d (*0)д°а + Фа°с ‘
Таким образом, окончательное выражение для запаса прочности
запишется так:
= Ыл =	д-1		.	(20.27)
°шах (А0)д3а +
Аналогично при кручении
пх = ...		.	(20.28)
*	(Ат)дта + ФЛ
При сложном сопротивлении и несимметричном цикле запас проч«
ности может быть определен по формуле
'•> — — 		»
Упа + п\
где п0 и пх находят, соответственно, по формулам (20.27) и (20.28).
Выбор запаса прочности при расчетах на действие повторно¬
переменных напряжений зависит от точности определения усилий
и напряжений, от однородности материала, качества обработки детали
572

и других факторов. При повышенной точности определения напря¬
жений (в частности, с использованием тензометрирования), однород¬
ном материале и качественной обработке принимают запас прочности
п = 1,3 -т-1,4.
Для обычной точности определения усилий и умеренной одно¬
родности материала п = 1,4 -f- 1,7. При пониженной точности опре¬
деления усилий и напряжений, а также при пониженной однород¬
ности материала п = 1,7 -г- 3,0.
Остановимся на порядке проектировочного расчета на выносли¬
вость, например, штока поршневого двигателя, когда даны нагрузки,
действующие на проектируемую деталь (Ртах и Рт[П); задан мате¬
риал, т. е. известны ав> ат, a_lt известна технология обработки
детали; известеи тип концентратора (предположим, задан диаметр
поперечного отверстия в детали Ь) и требуется определить размеры
детали. При решении поставленной задачи прежде всего устанавли¬
вают опасное сечение детали, которым, очевидно, будет сечение в
месте концентратора. Так как соотношения диаметра отверстия кон¬
центратора и диаметра самой детали неизвестны, следует задаться
теоретическим коэффициентом концентрации аа и для данного мате¬
риала по известному (ав) из графика (рис. 345) при данном aa опре¬
делить коэффициент чувствительности материала к концентрации
напряжений qot а затем по формуле
(*»)d = 1 + <Ua, ~ !)
найти значение эффективного коэффициента концентрации. Из гра¬
фика (рис. 351) находят значение коэффициента р, характеризующего
качество обработки поверхности. Задавшись коэффициентом е, учиты¬
вающим размеры, определяют эффективный коэффициент концентра¬
ции детали
гм
(%)д —	*
Затем, задавшись коэффициентом запаса прочности na, по формуле
_	а_!	q_1F
(^а) Даа "Ь ^aac /h v ^тах ^mln , ^тах “t" ^min
( о)д 2	^	2
находят площадь поперечного сечения детали
jp п* Г/. ч ^тах ^min . . ^тах “Ь -^rninl
9	+	т<
и ее диаметр
По окончании расчета необходимо проверить правильность выбран¬
ного коэффициента е по графику (рис. 347) при известном теперь
диаметре детали d. В случае резкого расхождения полученного зна¬
чения е с принятым ранее расчет необходимо уточнить.
В случае проверочного расчета известны форма и размеры детали
(предположим, речь идет о круглом ступенчатом стержне, подвержен¬
ном осевой повторно-переменной нагрузке с заданной асимметрией
цикла); заданы максимальный диаметр d и радиус закругления г
в месте сопряжения разных диаметров вала; известен материал детали
573

(°в, gt, ^—i) и качество ее механической обработки. Требуется опре¬
делить допускаемое усилие, которое может воспринимать деталь.
Решать поставленную задачу следует в таком порядке:
1.	Установить теоретический коэффициент концентрации ^.поль¬
зуясь, например, графиком, приведенным на рис. 350.
2.	По графику (рис. 345) найти коэффициент чувствительности
к концентрации напряжений qa.
3.	Определить эффективный коэффициент концентрации
4.	По графику (рис. 347) найти коэффициент влияния абсолютных
размеров е.
5.	По графику (рис. 351) определить коэффициент р, учитывающий
качество обработки поверхности.
6.	Найти эффективный коэффициент концентрации напряжений
для детали
«и -М
(Ла)д ~ ер *
7.	Задаться коэффициентом запаса прочности па.
8.	Определить амплитуду напряжений, исходя из формулы
°а = —‘		 	•
П° (*.)д + +.--Г
а
Обычно для некачественных сталей фа = 0, тогда
а“ММд'
9.	Определить допускаемое амплитудное усилие
Р -F с	а~г
а_ m,n а_ 4 %(K)S'
10.	Найти среднее усилие
Р = Р IdZ-C
С	а ! — г'
11.	Определить максимальное и минимальное усилия цикла
Р = Р 4- Р -
max	а ~ с’
р		 р	г
^ mln	max *
Наконец, рассмотрим порядок определения вапаса прочности
для вращающегося круглого трубчатого вала с поперечным от¬
верстием для смазки 5, испытывающего переменный изгиб при
симметричном цикле с заданным ^тах “ ^а совместно с пере¬
менным кручением с ^кртах при известной асимметрии цикла г.
574

Известен наружный D и внутренний d диаметры вала, материал вала
(ав, ат, о_х, х_г), а также качество механической обработки поверх
ности вала.
Задачу следует решать в таком порядке:
1.	Определить номинальные напряжения в вале от изгиба и кру¬
чения (§ 46, 50):
^тах
пах уу ’
о = о . а = 0*
a max’ uc
	^кр max
Wp
2
Tmax “Ь Tmin
2.	Определить коэффициент концентрации при изгибе при изве¬
стном -р (рис. 173).
3.	Определить по графику (рис. 345) при найденном аа и извест¬
ном ов коэффициент чувствительности к концентрации напряжений q0
и найти эффективный коэффициент концентрации при изгибе
4.	Выбрав по графику (рис. 347) е, а по графику (рис. 351)«— р,
определить эффективный коэффициент концентрации для детали
(*')Д = 7Г
5.	Определить запас прочности при изгибе по формуле
=	=	(К)Д	°а
(так как для рассматриваемого случая ос = 0).
6.	Установить коэффициент концентрации при кручении «х
а также, приняв qx « qa, определить эффективный коэффициент кон¬
центрации при кручении
кх = 1 + <?т (ат — 1).
Приняв те же значения е и р, что и при изгибе, найти эффек¬
тивный коэффициент концентрации для детали при кручении
(^)д = Ж-
575

7.	Определить запас прочности при кручении
= WzTvHV'T
8.	Вычислить общий коэффициент запаса прочности
Таблица 49
Характеристики циклов повторно-переменного нагруженця
576

П родолжепие табл. 49
Наименование цикла
Pmax; Pmin
Pmax+Pmiii
2
Pmax“"Pmin
pa« - . 2
^min
pmax
Симметричны
!/> J
й
Pmax = Pmin
Pmin ^ ®
Pc = °
Pa = Pmax
r = —1
\
t
\А.
4
\
Несимметр]
г\
ачный
t
Pmax
Pmin
Pmax ^ 1 Pmin 1
Pc<°
Pa
— oo<X—1
У
Пульсирующий
отрицательный
\р t
Pmax = ^
Pmin
_ 1
Pq 2 Pmin
1 ,
Рэ 2 1 Pniin !
r = —oo
y\j'i
Несиммет
отрицате
ричный
)ЛЬНЫЙ
t
^max ^ ^
Pmin ^ ^
Pc<°
Pa^°
+ 1<Г<+00
v/V
л
Постоянный
отрицательный
р t
Pmax = Pmin^^
Pmax = Pmin =
= PC<°
Pa = °
r = +1
i
9 5-1186
577

Глава 21
РАСЧЕТ НА УДАРНУЮ НАГРУЗКУ
§ 116. Расчет на удар при осевом действии нагрузки
Влияние ударного действия нагрузки на величину деформации
или напряжения принято оценивать коэффициентом динамичности
ь __Д
Д ~ Кт '
СТ
(21.1)
где Ь(
ском
ст — деформация упругого элемента (рис. 356, а), при статиче-
приложении аагрузки Q (при постепеипом увеличении нагрузки
от нуля до ее конечного значения); 5Д — де¬
формация (рис. 356, б) при ударном приложе¬
нии нагрузки (предположим, при падении
груза Q с высоты Н).
Динамическая деформация может быть
выражена через статическую формулой
*д = ^а^ст
По аналогии устаповим связь между дина¬
мическим и статическим напряжениями:
(21.2)
Чтобы воспользоваться формулой (21.2),
необходимо знать коэффициент динамичности
V
При определении коэффициента динамичности исходят из допу¬
щения, что связь между усилиями и деформациями сохраняется оди-
наковой как при статической Рст, так и при динамической Рд нагруз¬
ках, т. е.
Рп
^ст
ст
с
EF
где с = —	жесткость стержня.
Вывод формулы для определения коэффициента динамичности
базируется на законе сохранения энергии. Изменение потенциальной
энергии положения груза Т при его падении с высоты Н и прохож¬
дении пути Я -f Ьд будет
T = Q(H+bp).	(21.3)
578

Потенциальная энергия деформации стержня, накопленная при
ударе, может быть выражена формулой
1 сЬ1
Un = ~2	=	Т	*
На основании закона сохранения энергии запишем
т = ия
или
сЬ2
-3 = <?(Я + 8Д).	(21.5)
Имея в виду, что 80Т = -у- , уравнение (21.5) можно представить так:
8*д-25ст 8Д_28СТ # = 0.
Отсюда определим неизвестную динамическую деформацию
8„ = 80Т±У5^ + 250ТЯ.
Удерживая в соответствии с физическим смыслом задачи знак плюс,
последнюю формулу можем представить в виде
+	<2,6>
Таким образом, в соответствии с (21.2) находим выражение коэф¬
фициента динамичности:
К = i + r-	<21-7>
ст
Если учесть, что Н =	(v — скорость падающего груза в начале
удара), получим
*д = 1+ /i
V
2
* + w-	<21-8)
2	Н	Т0	Qv*
Так как	гДе	=	QH	—	кинетическая	энергия	па-
°ст и ст
дающего груза к моменту соударения; UCT = —- QbCT — потенциаль-
2
ная энергия деформации стержня при статическом й^иложении на¬
грузки Q, коэффициент динамичности можно также выразить формулой:
i+w~-	(2i-9)
г	СТ
При Я = 0 &д = 2. Поскольку, как правило, Н > fcCT, то в Выраже¬
нии для &д можно пренебречь единицей по сравнению со вторым
слагаемым. Тогда получим
-\Г2Н _ л I l/"v*	.	.	Л^	То

Динамическое напряжение при ударе согласно (21.2)
Динамическая нагрузка при ударе
ря - *«*■ = Vcr^ = Q (« +	(21-12)
Из анализа формулы (21.11) видно, что при равномерном распреде¬
лении напряжений по длине стержня, т. е. когда стержень имеет
постоянное сечение, величина динамических напряжений аа висит не
только от площади поперечного сечения стержня F, как это имеет
место при действии статической нагрузки в статически определимых
системах, но и от его длины I и модуля упругости материала Е. При
этом, чем больше объем материала, подвергаемого удару упругого
стержня, тем меньше возникающие в нем динамические напряжения.
С другой стороны, снижение напряжений при ударе в стержне
с выточкой может быть достигнуто путем уменьшения объема упру-
Соответствующая кинетическая энергия элементарною участка
стержня длиной dx в рассматриваемом сечении будет
а полная кинетическая энергия ударяемого стержня может быть
выражена формулой
Ич
того элемента за счет уменьшения площади утол¬
щенной части и увеличения тем самым деформа-
тивности стержня. Этой же цели можно достиг¬
нуть, взяв материал с более низким модулем
упругости; выравняв площади поперечного сече¬
ния по длине стержня; увеличив длину стержня;
а также путем включения буферных пружин.
Рис. 357
Учет массы стержня, испытывающего удар,
может быть осуществлен в предположении, что
после смятия и снижения скорости груза на
первом этапе от v до ии равной скорости дви¬
жения верхнего сечения стержня в начале второго
этапа удара, скорость нижележащих сечений умень¬
шается по линейному закону, падая до нуля
в нижнем сечении (рис. 357), т. е. скорость в
любом сечении стержня на расстоянии х от
нижнего конца будет
V (ж) = vt -J.
где Qc — 4FI — собственный вес ударяемого стержня.
580

Выразим потерю энергии на смятие материала в месте соударе¬
ния груза и стержня в течение первого этапа удара (когда скорость
изменяется от v = /2 gH до i^) формулой
<21ЛЗ>
Эту же потерю энергии можно выразить так:
Приравняв правые части формул (21.13) и (21.14) и решив получен¬
ное уравнение относительно vl9 найдем
Н	Т7Г-	(21.15)
1	+ -^
1+ 3 Q
Таким образом, кинетическая энергия, которая при ударе переходит
в энергию деформации ударяемого стержня, будет
т = Те+Т'%	/	•	<21-16>
Г(1 + Т^)
Подставив в (21.9) вместо Т0 полученное значение Г, выразим
коэффициент динамичности формулой
или
	Qy*
2*(,+т
v6	Q
— = Н\ HQ = Т0, а также, обозначив
мулу (21.17) перепишем в виде
*д=1 + 1/1 +	/	.	Ч-	<2118)
Максимальное напряжение при ударе определится формулой
или
1+\f 1+~ /Г° 1
V	^ст(1 + ур)
5И УД
^ Т^(‘+тр))’
°п = Алаот = вст/1 + 1/ ! +
2	EFH
581

Значения коэффициента, учитывающего массу ударяемого эле¬
мента, для некоторых частных случаев приведены в табл. 50.
§ 117. Напряжение при скручивающем ударе
В случае ударного кручения, осуществляемого, предположим, по
схеме, приведенной на рис. 358, максимальные динамические напря¬
жения в вале т
муле
где
д определятся по фор-
Тдтах ~ *ДТсттах>	(21.19)
fe„=l+]/l+	(21.20)
СТ
в = «я = -g-p- R - Q#!i.
СТ f GJp п GJP ’
= ^кр
Wn
QR
Wp'
Здесь Я —высота падения груза; Q —вес падающего груза; R —
радиус кривошипа; I — длина вала; Jр, Wp— полярные момент
инерции и момент сопротивления сечения вала.
Динамические напряжения, возникающие в вале при резком
торможении быстро вращающегося маховика (рис. 359), имеющего
запас кинетической энергии Г0,
можно найти, также исходя из за¬
кона сохранения энергии
тп = и
(21.21)
где с/д — потенциальная энергия
деформации вала при ударном кру¬
чении.
Имея в виду, что
Рис. 359
1
Кр.Д*
(21.22)
и учитывая, что
М
кр. д
Дтах
Wp
или
Л/,
nd3
кр. д'
Дтах
16 дтах ’
можно записать
ип =
х n2del
Дтах
16 2GJP 2
4 G
(21.23)
582

Подставив (21.23) в (21.21) и решив полученное уравнение отно¬
сительно искомого максимального динамического напряжения, получим
1ГМ
V	IF *
(21.24)
где кинетическая энергия маховика весом Q, вращающегося с угло¬
вой скоростью о, определится формулой
т-£(*>)'-1*-
°~ 2 \dt) 2 ’	8g
(D — диаметр маховика).
§ 118. Расчет на удар при изгибе
Максимальные динамические напряжения при ударном изгибе
могут быть определены по формуле
аДтах ^ДасТтах*
где
/,+ё
(/ — статический прогиб в месте удара, зависящий от схемы нагру¬
жения и условий опирания).
В случае удара посредине балки с
изгибной жесткостью сечения EJ
(рис. 360) получим
Ql3	м	QI
/ст - 48EJ ’ °CTmax W	4W ’
а максимальные динамические напря¬
жения в этом случае будут
°Дтах ^Дасттах
= -^Гц-
4ИЧ
■у I . 2WEJ~\
Ql* J'
Обозначив QH = Т0, будем иметь
Дтах
= ^.fl + l/l+96Wl
4W \	г	Q4•* J-
Условие прочности в этом случае запишется так:
(21.25)
(21.26)
где
(ид— запас прочности с учетом динамической нагрузки, ст — предел
текучести материала балки).
583

Учесть массу ударяемой балки можно, применив методику, рас¬
смотренную при продольном ударе. Будем полагать, что в конце
первого этапа удара скорость балки в месте падения груза равна
Qv\
Кинетическая энергия груза, очевидно, будет равна —. Предполо¬
жат
жим также, что при ударе и при статическом приложении нагрузки
(в нашем случае посредине пролета балки) изогнутая ось балки
может быть описана одним и тем же уравнением
10 =(3/2z	4з8),
О/3
где / = /пр; — стрела прогиба балки.
LkObJ
Обозначив величину максимального прогиба посредине балки
через wmax, величину прогиба в сечении на расстоянии z от левого
конца балки определим по формуле
а скорость движения этого сечения —* из выражения
dw ^max 1 /0|2	,	оЧ
V = Tt=~dT IT (3^4*3).
Кинетическая энергия элемента балки dzt находящегося на рас¬
стоянии z от левого конца балки, будет
jrr v2mfF dz yF Г^тах 1 /0|2	,	j
6 = 2g~ = 2g LrfT- ~W ( J
а кинетическая энергия всей балки определится формулой
1/2
О
Поскольку в конце первого этапа удара скорость посредине балки
равна vit т. е.
°Чпах
~di
то кинетическая энергия балки в начале второго этапа удара будет
т*~т Щ	<21Я>
Выразив потерю энергии на смятие в месте удара за первый
этап в виде
"■£-(£+8-$<)-£[--!(*+8 f)]. о*
584

или
_^.[»-2»1 + .:(.+g !”)].	(21.29)
а затем, приравняв правые части уравнений (21.28) и (21.29) и решив
полученное уравнение относительно vl9 найдем
Pl- 17 tFI-
1 + 35' Q
(21.30)
Кинетическая энергия системы (балка — груз), которая должна
трансформироваться в энергию деформации балки при ударе, опре¬
делится формулой
<^i l7	1	/01311
2|	35 2g 2g i , 17 7FZ ’	(21,31)
35 ' Q
Обозначив
r _ ПИ — 0°*
T0 — QH —	,
формулу (21.31) можем переписать в виде
Г— 'и ,w	<2,-32>
‘ + 35 -5-
Максимальное динамическое напряжение согласно формуле (21.25)
после замены в ней Т0 на Т определится так:
_ Ql L , lA , MTEJ\
°Дтах 4W \ Г ^ Q43 )'
или с учетом (21.32)
°Дтах= ЛЯ°СТтах =	1	^	“	I	’	(21‘33)
где
96 T0EJ
Ад = 1 + |/ 1 +	>—°Г „/■	(21.34)
<И1+й>]?)
585

Таблица 50
Значения коэффициента а, учитывающего массу ударяемого
элемента в формуле коэффициента динамичности
*д = 1 + \Г‘1 * 5ст(1 + ° Р) = 1 +	1	+	*#ст(1 + с Р)
Н — высота падения ударяющего тела; и — скорость ударяющего тела
в момент начала удара; SCT— деформация ударяемого упругого эле¬
мента при статическом приложении силы, равной весу ударяющего
тела; р = -~, где Q9JI — вес ударяемого элемента, Q —вес ударяю¬
щего тела; g— ускорение силы тяжести
586

Продолжение табл. 50

Глава 22
КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
§ 119. Основные понятия и формулы для определения
контактных напряжений и деформаций
Напряжения и деформации, возникающие при взаимном нажатии
двух соприкасающихся тел, называются контактными. Материал
в месте контакта, не имея возможности
свободно деформироваться, находится
в объемном напряженном состоянии
(рис. 361). Контактные напряжения
имеют чисто местный характер и весьма
быстро уменьшаются по мере удаления
от места соприкосновения. Контактным
напряжениям следует уделять сущест¬
венное внимание при расчете на проч¬
ность таких деталей, как шариковые
и роликовые подшипники, зубчатые
колеса, колеса подвижного состава,
рельсы и т. п.
Впервые правильное решение ос¬
новных задач о контактных напряжениях и деформациях было про¬
ведено методами теории упругости в 1881—1882 гг. Г. Герцем.
Ниже приведены некоторые формулы для определения контакт¬
ных напряжений и деформаций, полученные при следующих пред¬
положениях:
1)	напряжения в зоне контакта не превышают предела упругости;
2)	площадки контакта малы по сравне¬
нию с поверхностями соприкасающихся
тел;
3)	силы давления, распределенные по
поверхности контакта, нормальны к этой
поверхности.
Сжатие шаров. Радиус круговой пло*
щадки а (рис. 362), образующейся в месте
койтакта при взаимном нажатии силой Р
двух шаров с радиусами и Д2 и моду¬
лями упругости материала соответственно
Ег и Е2, определяется по формуле
* Г
а = 0,881/
1 1
1
РЕ1 1
Е*
‘ н
1
(22.1)
Нормальные (сжимающие) напряжения на площадке контакта
распределены по полусфере, Наибольшее напряжение, имеющее место
588

в центре площадки контакта, может быть определено по формуле
Два других главных напряжения в центре площадки равны:
Благодаря объемному напряженному состоянию материала
в центре площадки контакта, при котором все три сжимающие
напряжения практически одинаковы, материал здесь, может выдер¬
живать без появления остаточных деформаций весьма большие дав¬
ления, составляющие, цапример, согласно четвертой теории прочно¬
сти величину <Jmax = 5aT. Для стали, у которой апц = 10000 кГ/см2,
°тах Достигает 50 000 кГ/см2.
Наиболее опасная точка в зоне контакта расположена на оси z,
на глубине, равной примерно половине радиуса площадки касания.
Главные напряжения в этой точке равны:
Максимальные напряжения, возникающие в площадке при дав¬
лении шара на вогнутую сферическую поверхность с радиусом 7?а
(рис. 363), получим по формуле (22.2), заменив в ней знак при #а
на обратный:
сз — — I сщах I — — 1.5 “ГТТ
0,388
1р Е\Е\ (Д, + да)*
(£, + £,)’ R\ r\
(22.2)
°i = °а = — 0,81 отах |.
Р
Р
Рис. 363
Рис. 364
®i = °2 = —0,18amajc; о3 = — 0,8зтах,
тах»
(22.3)
где атах определяется по формуле (22.2).
Наибольшее касательное напряжение в опасной точке
max
'max*
(22.4)

При давлении шара радиусом /?х = R на плоскость (рис. 364),
напряжения определим по формуле (22.5), приняв в ней Д2= оо:
1 / Я? е\
. — 0,388 у 4Р (£] + Ег
(22.6)
Сжатие цилиндров. При взаимном сжатии равномерно распреде¬
ленной нагрузкой q двух цилиндров, соприкасающихся параллель¬
ными образующими (рис. 365), ширина прямоугольной площадки
контакта определяется по формуле
(22.7)
Рис. 365
г
,Р
\\
Г7
A Vj
У_ _в
/_ \2о\ \
!г
i
Рис. 366
Наибольшее напряжение, действующее в точках оси площадки каса¬
ния, определяется формулой
Ел Ео
+ е2
Д1 + Д2
/?1 Л2
(22.8)
Опасная точка в зоне контакта находится на оси г на глубине,
равной ОЛЬ. Главные напряжения в этой точке имеют следующие
значения:
«1 =— 0,180ошах;
о3	= — °.780отах.
(22.9)
Максимальное касательное напряжение в опасной точке
ттах =
0,3°тах.	(22.10)
590

Изменив в формуле (22.8) знак при R2 на обратный, получим напря¬
жение в случае давления цилиндра на вогнутую цилиндрическую
поверхность
атах = °-418	^	‘+	^	щ-.	(22.11)
При взаимном давлении цилиндра радиусом	и	плоскости,
приняв в (22.8) i?2 = оо, найдем
“max °>418 У д	(22.12)
Приведенные выше формулы получены при коэффициенте Пуас¬
сона р. = 0,3. Однако в практических расчетах они пригодны и при
других значениях ц.
В общем случае контакта двух тел из одинакового материала,
сжимаемых силой Р в направлении оси z (рис. 366) и касающихся по
плоскости АВ, при радиусах кривизны первого тела рх и р/; второго
тела р2 и р2' (полагаем, что pi<p/; р2<рг) полуоси образующейся
эллиптической площадки контакта определяются формулами:
з	Г	ЗР(1-У)	.
а = аТ/ Е(-±-+-±т + 4- + Тг)
f	\	Pi	Pi	Р2	Р2	/
(22.13)
з	Г	ЗР(1-<*2)
1/	+	+ ±) ’
f	\	Pi	Pi	Рг	Рг	/
(22.14)
где fx—коэффициент Пуассона.
Ниже приведены значения коэффициентов аир как функций
вспомогательного угла ф, вычисляемого по формуле
У (-!—д
r \P1 Pi
’)+ ih ~ h)+ 2 fe"i?) (р~г ~ 008 2у
1111
_ _i_ _ _1_ _ л_ _
Pi Pi Р2 р2
(22.15)
где ср — угол между главными плоскостями кривизны тел, в которых
лежат радиусы рх и р9. Знаки в формуле (22.15) выбираются так,
чтобы созф был положительным.
591

ф0
Р
20
3,778
0,408
30
2,731
0,493
35
2,397
0,530
40
2,136
0,567
45
1,926
0,604
50
1,754
0,641
55
1,611
0,678
Ф°
Р
60
1,486
0,717
65
1,378
0,759
70
1,284
0,802
75
1,202
0,846
80
1,128
0,893
85
1,061
0,944
90
1,000
1,000
Наибольшее напряжение в центре площадки контакта
_. ,_Р
"max — 1*® %аЬ
(22.16)
Наиболее опасная точка расположена на оси ъ на некоторой глубине,
Ъ
зависящей от отношения —.
Максимальное касательное напряжение не зависит от указанного
отношения и равно
(22.17)
Как следует из приведенных формул, контактные напряжения
зависят от упругих свойств материала и не являются линейной
функцией нагрузки, так что темп их роста отстает от темпа увеличе¬
ния сжимающей нагрузки. Это объясняется тем, что с увеличением
нагрузки увеличиваются и размеры площадки контакта. В табл. 51
приведены расчетные формулы для определения параметров контакта
двух тел (коэффициентов А и В уравнения эллипса касания, раз¬
мера площадки контакта, наибольшего контактного напряжения
стах и взаимного сближения А). Для упрощения вычислений по при*
веденным формулам в табл. 52 даны значения входящих в них коэф¬
фициентов па, пь, пр, лд в зависимости от отношения А и В.
§ 120. Проверка прочпости
при контактных напряжениях
Проверку прочности при контактных напряжениях следует произ*
водить по третьей или четвертой теории прочности:
°8квШ = в1— «*<[«*
®8КВ IV =	К°1	—	9»)г	+	(«•	—	°»)2	+	(°*	°х)2	<	[el-
592

Подставив в эти формулы с*, с2, о3, выраженные .через отах в центре
площадки контакта, запишем условия прочности в виде
°вкв = mamax< N-	(2218)
откуда
1
°тах ^ т [а1 = [а1конт>
где [а]КОит —		допускаемое напряжение для наибольшего напря¬
жения в месте контакта. Значения коэффициента т в зависимости от
Ъ
соотношения полуосей эллиптическои площадки — приведены ниже.
1 (круг)
0,75
0,50
0,25
0 (полоса)
аЭКВ III
т в
CTmax
0,620
0,625
0,649
0,646
0,600
м q9KB IV
amax
0,620
0,617
0,611
0,587
0,557
Можно рекомендовать следующий порядок расчета на прочность
элементов конструкции в местах контакта:
1.	Определить главные радиусы кривизны контактирующих тел
Pit Pi» ?2f a также угол у между их главными плоскостями
кривизны.
2.	Вычислить по формулам (22.13) и (22.14) с учетом (22.15)
размеры полуосей эллиптической площадки контакта.
3.	По формуле (22.16), определить стах, а в случае круглой
й. прямоугольной площадок контакта по формуле (22,2) или (22.8)
соответственно, не определяя размеров площадки.
4.	Расчет на прочность можно производить по формуле (22.18),
находя значения т по вышеприведенной таблице. При этом рекомен¬
дуется исходить из четвертой теории прочности.
5.	Для роликовых и шариковых подшипников [<*]конт =
= 35000'-г- 50000 кГ/см2\ для рельсовой стали — 8000 -т- 10000 кГ/см2.
В_ табл. 53 приведены наибольшие допускаемые давления
на площадке контакта при первоначальном контакте по линии
(т = 0,557) и статическом нагружении. В случае первоначального
контакта в точке значение	следует	увеличить	в	1,3	-г-1,4
раза.
593

Расчетные формулы для определения параметров контакта двух тел
Схема касания
Коэффициенты
уравнения эллипса
касания
В
Размеры площадки контакта
Два сфериче¬
ских тела
г ^
А
Ri + R*
Д1 + Д2
2i?i
2Ri R2
a = b = 0,9086 X
X
V	Ri+RA Et + B, )
Если Ег = E2 = b
Шар и сфери¬
ческое углуб¬
ление
R2>Xi
^2 ^1
•^2 — ^1
2/?i R2
2/?! Д2
а = Ь = 0,9086 X
X
\/ Д,Да /1-N	1-^
К Д2-Дх1 Вг + В, /
Если Ег = Е2 = 1
•-‘-мои/X -5^7
594

Таблица 51
Наибольшее напряжение, °тах
Сближение соприкасающихся тел, А
з Г (Л, + Л.у
0 5784 I / р — /
0,8255 X
U.JJUJ Ш у 2 -
у с 7:+г)
И (i-i = (J-2 = ОД ТО
0,388 V !
1
тах х = -з w;
max а2 = 0,133omax
0,5784 X
0,8255 X
л/г та
и (*1 = ^2 = 0.3, ТО
х j 1-lA2
К «1Д2 V Ех 1 Е% ')
0,388 VГР (\R*')
тахх = 1отах
max ох = 0,133отах
595

Схема касания
Коэффициенты
уравнения эллипса
касания
В
Размеры площадки контакта
Сферическое
тело и плос¬
кость
&
тЯГ'ТГГГ/П
1
2R
1
2R
а = 6 = 0,9086 X
Если Е± = Е2 = Е
а = 6 = 1,109 |/ -J-Я
Сферическое
тело и цилиндр
ё.
РЧ
R2 Ri
1
27?!
+
а = 1,145ла X
X
X
Ъ = 1,145пъ X
l/j. *1** У1-»*, *-й\
V	2Ла + i?i \ Ег ^ Ел I
Если E± = Е2 = E
— <л/4-5&Й5
‘-'•597“‘F?s|pi;
596

Продолжение табл._ 51
Наибольшее напряжение, <*тах
Сближение соприкаоающихоя тел, А
3 / р
0,8255 X
и [Xj = [Aj в» 0,8, то
0,388
maiT=-i«mal!
max <ц - 0.133omiI
* V х(х+х1
1>2311^"(т)тг
0,365np x
0,655лА X
ХУr№+'?)'
Н = ^2 = Q.3, то
0,245лр X
ч ?/Р.2я1+л1(«-1*; 1-^у
х К ЛхЛа ^ 1 2?2 У
597

Схема касания
Коэффициенты
уравнения эллипса
касания
В
Равмеры площадки контакта
Сферическое
тело и цилинд¬
рический же¬
лоб
J_/_1
2 \Ri
-4-J
2RX
а = 1,145па X
X
1 Г R, R, П-Н 1-^
V	2Ri-R1\ Et f Е3 J
Ь = 1,145nb X
1/ИаНГ(Е?7Е?)
V	2Ri-R1\ Et * Ег )
Если Е± = Е2 = Е
Сферическое
тело и крото¬
вой желоб
(шариковый
подшипник)
Wj
2 U,
чу
1/L.
2 U,
h4j
а = 1,145гса X
х	I/	JL_J_ + -L
г	/г, дЛ Я,
Ь = 1,145п(, X
з А	1-Р?
1/ Г *1*1
Х	|/	_?	L +J_
f Я, дЛ Дэ
3 f
а = 1,397/га "1/
)
Если Ег = Е2 = Е
Т]
Е
г	L_l _L
Ro R.
b = 1,397/15
|/~	£
'	е+4,
598

Продолжение табл. 51
Наибольшее напряжение, атах
Сближение соприкасающихся тел, Д
0,365/ip X
0,655лд X
XV
и 111 = 1х2 = 0,3, ТО
*V
0,245», у
(Ре)‘-£Х'
0,365/ip X
0,655пд х
ХУ сг’+'гТ
И Hi = N = 0,3, ТО
У х(‘^>‘гТ
о *сру №(-2-_4-+4-j’
0,977». У (4-)’(тг—s;+tJ
599

Схема касания
Роликовый
подшипник
Коэффициенты
уравнения эллипса
касания
Размеры площадки контакта
_1
1 / 1
2 Ui
1 \
1 '
id
+ Дз-
+
а = 1,145па X
з Г	|	1-6
л р	Е*
Г «Л я/ д, д4
Ь = 1,145^5 X
3 Г	|	1-1X2
1/ р Дх Д.
I/	-L +JL +J	L
Г	я, «2 д*	д4
Если Е1 — Е2 = Е
Ь = 1,397мь
/?1	/?2	«3	-^4
т/~	\
* к+к+к’"тг,
600

Продолжение табл. 51
-
Наибольшее напряжение, ?тах
Сближение соприкасающихся тел# Д
0,365rip X
0,655лд X
, / (1 , 1 , 1 1V
-т / Ал 1 Д. Л4'
■|/'”(«;+s;+s;_'s;)x
■l'
У х(1^+1^у
и (ix = (ij = 0,3, ТО
0,245лр X
0,977лд х
xiAKi+i.+i-i)’
х|/ Ш (4г+-щ+4;’—У
601

Схема касания
Цилиндры со
взаимно пер¬
пендикуляр¬
ными осями
Коэффициенты
уравнения эллипса
касания
Размеры площадки контакта
2До
а = 1,145ла X
2 Я,
1/Р д1 л* аи*+
V Яг + Яг \	Et	)
b = 1,145^5 X
X
\/Р Л, Л, /1-^,1-^)
у Г л2 + дх V Ei Т Et /
При
а = Ь = 0,9086 X
Если Е± = Е2 = Et
—'■397”«у тжйг
»_ 1,397»»]/-гтйг
При
а = 6 = 1,109 |Л
Я
602

Продолжение табл. 51
Наибольшее напряжение, <Утах
Сближение соприкасающихся тел, А
0,365лр X
0,655/гд X
\/г (ад-
ХУ ('г+'г'Г
/?1 = /?2 = R
з Г Р
0 8255 1*/ 'L^lrS,+ ,_hV
°>wv * гг
и (хх = (х2 = 0,3, то
• К Я \ Е, + В. 1
0.2№,^ «•(* + "■)
Rj = /?2 = R
0-388 P(ff
и»К(т)т
603

Схема касания
Коэффициенты
уравнения эллипса
касания
В
Размеры площадки контакта
Цилиндры
с параллель¬
ными осями
нщшь
да
2 Ux
+
Полуширина полоски контакта
6 = 1,128 х
л/ р RiRt (1-6 . 1-&\
V I Л, + дД Et ^ Ег 1
При
Ь = 0,798 X
X
Если Et = Е2 = Е
При
604

Продолжение табл. 51
Наибольшее напряжение, 0шах
Сближение соприкасающихся тел, а
0,5642 X
Г Ri + я2
2Л‘Г:К,+Н+
XI/ Р. ,
1/ г 4 — (Ч , 1 —
Г El 1 Е2
= /?2 = R
/ —
0-7981 / 				г
Г Ех + Е2
хСт + т)]
Н Pi = = 0,3, ТО
°-4,8/г А,
0,5796 (in + 0,814)
^ = л2 = я
•» /¥
0,5796-J- (in + 0,814)
605.

Схема касания
Коэффициенты
уравнения эллипса
касания
В
Размеры площадки контакта
Цилиндр
и цилиндриче¬
ская впадина
с параллель¬
ными осями
2 Ui
-i.)
Полуширина полоски контакта
6	= 1,128 X
Р Я, д2 (i-vi
< У I Я2-ЯД Et ^ Et )
Если Ег = Е2 = Е
Цилиндр
и плоскость
Два тела, огра¬
ниченные
криволиней¬
ными поверх¬
ностями и
соприкасав¬
шиеся до де¬
формации в
одной точке
2 R
Полуширина полоски контакта
6	= 1,131 X
Если Е± = Е2 = Е
Ъ = 1,526 j/"-
PR
IE
Большая полуось эллипса
_	I3/"з/i—— ^ р
ПаУ 2 [ Ех + Ег ) 2*
Малая полуось эллипса
2*
Р — нагрузка, Е — модуль упруго¬
сти; {л — коэффициент Пуассона;
1 и 2 — индексы, соответствующие
первому и второму телам; —
сумма главных кривизн поверхно¬
стей соприкасающихся тел в мест^
первоначального контакта
606

Продолжение табл. 51
Наибольшее напряжение, <*тах
Сближение соприкасающихся тел, Д
Г
°-5б421/ т-r—
1/ 1 1 — N 1 — Ка
Г h
> (*х = 14 = 0.3, то
1,82-^-(1-In 6)
Г -JL
0,5642 т/ 		ji2	j-
1/ ‘“Kl 1-^2
Г ЕЛ Et
Л [it = [12 = од то
0.4.8 УЩ
Уменьшение размера диаметра ци¬
линдра между двумя сжимающими
его гранями (с учетом контактных
и общих деформаций цилиндра)
4®-,.159-д-(о-4< + |»т)
1
«дуХ
"¥bfyy-
1
где Пг> =
г па пь
*Vi(-
607

Таблица 52
Численные значения коэффициентов па% пь, пру пд
А_
В
Ч
Пр
Пд
1,0000
0,9623
0,9240
0,8852
0,8459
0,8059
0,7652
0,7238
0,6816
0,6384
0,5942
0,5489
0,5022
0,4540
0,4040
0,3518
0,3410
0,3301
0,3191
0,3080
0,2967
0,2853
0,2738
0,2620
0,2501
0,2380
0,2257
0,2132
0,2004
0,1873
0,1739
0,1603
0,1462
0,1317
0,1166
0,1010
0,09287
0,08456
0,07600
0,06715
0,05797
0,04838
0,04639
0,04439
0,04237
0,04032
0,03823
1,000
1,013
1,027
1,042
1,058
1,076
1,095
1,117
1,141
1,168
1,198
1,233
1,274
1,322
1.381
1,456
1,473
1,491
1,511
1,532
1,554
1,578
1,603
1,631
1,660
1,693
1,729
1,768
1,812
1,861
1,916
1,979
2,053
2,141
2,248
2.381
2,463
2,557
2,669
2,805
2,975
3,199
3,253
3,311
3,373
3,441
3,514
1,0000
0,9873
0,9742
0,9606
0,9465
0,9318
0,9165
0,9005
0,8837
0,8660
0,8472
0,8271
0,8056
0,7822
0,7565
0,7278
0,7216
0,7152
0,7086
0,7019
0,6949
0,6876
0,6801
0,6723
0,6642
0,6557
0,6468
0,6374
0,6276
0,6171
0,6059
0,5938
0,5808
0,5665
0,5505
0,5325
0,5224
0,5114
0,4993
0,4858
0,4704
0,4524
0,4484
0,4442
0,4398
0,4352
0,4304
1,0000
0,9999
0,9997
0,9992
0,9985
0,9974
0,9960
0,9942
0,9919
0,9890
0,9853
0,9805
0,9746
0,9669
0,9571
0.9440
0,9409
0,9376
0,9340
0,9302
0,9262
0,9219
0,9172
0,9121
0,9067
0,9008
0,8944
0,8873
0,8766
0,8710
0,8614
0,8507
0,8386
0,8246
0,8082
0,7887
0,7774
0,7647
0,7504
0,7338
0,7144
0,6909
0,6856
0,6799
0,6740
0,6678
0,6612
1,0000
0,9999
0,9997
0,9992
0,9985
0,9974
0,9960
0,9942
0,9919
0,9889
0,9852
0,9804
0,9744
0,9667
0,9566
0,9432
0,9400
0,9366
0,9329
0,9290
0,9248
0,9203
0,9155
0,9102
0,9045
0,8983
0,8916
0,8841
0,8759
0,8668
0,8566
0,8451
0,8320
0,8168
0,7990
0,7775
0,7650
0,7509
0,7349
0,7163
0,6943
0,6675
0,6613
0,6549
0,6481
0,6409
0,6333
608

Продолжение табл. 52
А
В
Щ
Пр
0,03613
3,594
0,4253
0,6542
0,6251
0,03400
3,683
0,4199
0,6467
0,6164
0,03183
3,781
0,4142
0,6387
0,6071
0,02962
3,890
0,4080
0,6300
0,5970
0,02737
4,014
0,4014
0,6206
0,5860
0,02508
4,156
0,3942
0,6104
0,5741
0,02273
4,320
0,3864
0,5990
0,5608
0,02033
4,515
0,3777
0,5864
0,5460
0,01787
4,750
0,3680
0,5721
0,5292
0,01533
5,046
0,3568
0,5555
0,5096
0,01269
5,432
0,3436
0,5358
0,4864
0,009934
5,976
0,3273
0,5112
0,4574
0,007018
6,837
0,3058
0,4783
0,4186
0,003850
8,609
0,2722
0,4267
0,3579
Таблица 53
Допускаемые давления на площадке контакта при первоначальном
контакте по линии и статическом нагружении
Марка
металла
Временное
сопротивле¬
ние,
кГ/мм*
Твердость
по Бринелю
Допускаемое
максимальное давление
на площадке контакта
Мконт’ кГ/сма
Сталь
30
48—60
180
8500—10500
40
57—70
200
10000—13500
50
63—80
230
10500—14000
50Г
65—85
240
11000—14500
15Х
62—75
240
10500—16000
20Х
70—85
240
12000—14500
15ХФ
160—180
240
13500—16000
111X15
—*
—
38000
Чугун
СЧ21-40
96
180—207
8000—9000
СЧ24-44
100
187—217
9000—10000
СЧ28-48
110
170—241
10000—11000
СЧ32-52
120
170—241
11000—12000
СЧ35-56
130
197—255
12000—13000
СЧ38-60
140
197—255
13000—14000
20 6-1186
60Э

Дополнение
ДЕВЯТЬ НОВЫХ АНАЛОГИЙ В СОПРОТИВЛЕНИИ
МАТЕРИАЛОВ
В работах [30,31] предложены девять новых аналогий, базирую¬
щихся на идентичности дифференциальных уравнений в задачах
нахождения для стержней продольных сил и продольных перемеще¬
ний при осевом растяжении сжатии, угловых деформаций и угло¬
вых перемещений при кручении, угловых деформаций и сдвиговых
линейных перемещений при сдвиге, обобщенных поперечных сил
и изгибающих моментов, углов поворота и прогибов при изгибе.
Ниже формулируются эти аналогии.
Аналогия 1. Задачи нахождения продольных сил и перемеще¬
ний при осевом растяжении — сжатии стержня эквивалентны вадачам
нахождения обобщенных поперечных сил и изгибающих моментов при
изгибе взаимной балки. Условия эквивалентности и взаимности
таковы:
EF (х) q
■тщ-ггы-	<Д-2>
u(x)ZM(x).	(Д.З)
Здесь п (х) — интенсивность распределенной продольной нагрузки;
q (а?) — интенсивность распределенной поперечной нагрузки; N (а;) —
продольная сила; EF (х) — жесткость при растяжении — сжатии;
Q* (х) — обобщенная поперечная сила, Q* (х) = Q (а?) + т (х); и (х) —
продольное перемещение; М (х) — изгибающий момент; т (о?) ~ интен¬
сивность распределенной моментной нагрузки.
Аналогия 2. Задачи нахождения продольных усилий и переме¬
щений при осевом растяжении — сжатии стержня эквивалентны зада¬
чам нахождения углов поворота и прогибов при изгибе взаимной балки.
Условия эквивалентности и взаимности таковы:
п(х)	М (х)
EF (х)	EJ(x)
(Д-4)
(*);	(Д-5)
EF (г)
u(x)Zw (х).	(Д.6)
Здесь EJ (х) — жесткость при изгибе; а (я) —угол поворота; (а?) —
прогиб.
610

Аналогия 3. Задачи нахождения угловых деформаций и линей¬
ных сдвиговых перемещений при сепарированном сдвиге стержня экви¬
валентны вадачам нахождения продольных сил и продольных перемеще¬
ний при растяжении —= сжатии взаимного стержня. Условия эквива¬
лентности и взаимности таковы:
Здесь GF (а?) — жесткость при сдвиге; к — коэффициент, характери¬
зующий неравномерность распределения касательных напряжений по
высоте сечения; 7 (а?) — относительный сдвиг (угловая деформация):
v (х) — сдвиговое линейное перемещение.
Аналогия 4. Задачи нахождения угловых деформаций и линей¬
ных сдвиговых перемещений при сепарированном сдвиге стержня экви¬
валентны задачам нахождения угловых деформаций и угловых переме¬
щений при кручении взаимного стержня. Условия эквивалентности
и взаимности описываются формулами:
Здесь тк (х) — интенсивность распределенной крутящей нагрузки;
GJK(x) — жесткость при кручении; 0 (а?) ^—угловая деформация (отно¬
сительный угол закручивания); ? (х) ^угловое перемещение (угол
закручивания).
Аналогия 5. Задачи нахождения крутящих моментов и углов
вакручивания при кручении стержня эквивалентны вадачам нахождения
обобщенных поперечных сил и изгибающих моментов при изгибе взаим¬
ной балки. Условия взаимности и эквивалентности таковы:
Ч (х)Ь
GF(x)
ч. п(х)
EF (х) ’
(Д-7)
(Д-8)
v (х) £ и (х).
(Д-9)
q (а;) к
GF(x)
_ “kW .
(Д-Ю)
7	(х) £ 9 (х);
(Д.11)
v(x)’Z<f(x).
(Д-12)
(Д-14)
(Д-13)
<р (*) £ М (х).
Здесь МК (ж)» крутящий момент.
2С*
(Д-15)
611

Аналогия 6. Задачи нахождения продольных сил и переме¬
щений при растяжении — сжатии стержня эквивалентны задачам
нахождения крутящих моментов и углов закручивания при кручении
взаимного стержня. Условия взаимности и эквивалентности таковы:
п (х)
тк(х)
EF (х) GJK (х) '
N(х)	^	Мк(х)
EF (х)
а (х);
' GJK(x)
: <е (*)•
(Д.16)
(Д-17)
СД-18)
Аналогия 7. Задачи нахождения угмвых деформаций и линей-
ных сдвиговых перемещений при сепарированном сдвиге стержня экви¬
валентны задачам нахождения обобщенных поперечных сил и изгибаю-
щих моментов при изгибе взаимной балки. Условия эквивалентности
и взаимности таковы:
?*(*);	(Д-19)
v(x)ZM(x)-	(Д-20)
у (X) 2 <?*(*).	(Д-21)
Аналогия 8. Задачи нахождения угловых деформаций и линей¬
ных сдвиговых перемегцений при сепарированном сдвиге стержня экви¬
валентны задачам нахождения углов поворота и прогибов взаимной балки.
Условия взаимности и эквивалентности выражаются формулами:
9 И k ёМ .	(п оо)
GF	EJ ’	(Д '
v (ж) Z Vi (х);	(Д-23)
7	(*) 2 “ (*)•	(Д-24)
Аналогия 9. Задачи нахождения крутящих моментов и углов
закручивания при кручении эквивалентны задачам нахождения углов
поворота и прогибов взаимной балки при изгибе. Условия взаимности
н эквивалентности таковы:
тк(») М(х)
GJK(x) ч* EJ(x) !
Мк( х)
; а (х).
GJK(x)
? (х) 2 w (х).
(Д-25)
(Д-26)
(Д-27)
612

Проиллюстрируем некоторые аналогии примерами, взятыми из
указанных статей.
Пример 1. Тяжелый призматический стержень находится под
действием силы тяжести, представляющей собой осевую равномерно
распределенную нагрузку интенсивностью п (х) = 7F (рис. 367, а).
Здесь F — площадь поперечного сечения; 7 — объемный вес. Покажем
для этого случая применение аналогии 1. В заданном стержне гра¬
ничные условия таковы: при х = 0 и = О и при х = I и = 0. В соот¬
ветствии с (Д.З) взаимный стержень должен оыть выбран так, чтобы
Рис. 367
изгибающие моменты по концам равнялись нулю. Этому условию
удовлетворяет балка на двух опорах (рис. 367, б). В соответствии
Fy	7
с (Д.1) фиктивная нагрузка для этой балки q (а?) = 		— 		,
где Е — модуль упругости. Теперь достаточно для этой взаимной
(фиктивной) балки построить от фиктивной нагрузки две эпюры:
поперечных сил (рис. 367, в) и изгибающих моментов (рис. 367, г).
Первая эпюра в соответствии с (Д.2) представляет эпюру продольных
N (х)
сил „ ', вторая — эпюру продольных перемещении,
дг
Пример 2. Тяжелый призматический брус закреплен у верх¬
него конца (рис. 368, а) и находится под действием собственного
веса. Покажем и на этом примере применение аналогии 1. Граничные
условия здесь таковы: при х = 0 N = 0 при х = I и = 0. В этом
случае взаимная балка должна быть выбрана так, чтобы поперечная
сила на одном конце и изгибающий момент на другом равнялись
нулю. Соответствующая балка показана на рис. 368, б. Эпюра Q (х)
N (х)
(рис. 368, в) соответствует эпюре ■■ ^ , а эпюра М (х) (рис. 368, г)
hit
соответствует эпюре и (я).
Пример 3. Для стержня, показанного на рис. 369, а, применим
аналогию 2. В соответствии с (Д.6) граничные условия во взаимной
балке должны быть таковы, чтобы по концам прогибы равнялись
нулю. Этим условиям удовлетворяет балка, показанная на рис. 369, б.
613

В соответствии с (Д.4) -1- = -=гт представляет собой моментную
t, Ь/J
нагрузку, а потому эпюры Q (я) (рис. 369, в) и М (х) (рис. 369, г) от
этой нагрузки будут эпюрами углов наклона и прогибов, которые
N (х)
в свою очередь являются эпюрами	и	и	(я).
Пр и мер 4. Защемленный с двух концов круглый вал закру-
Рис. 368
Рис. 369
чивается равномерно распределенными крутящими моментами интен¬
сивностью пък (рис. 370, а). Покажем на этом примере приложение
аналогии 5. Граничные условия в заданном стержне таковы: при
а? = 0 <р = 0 и при х=1 <р = 0. В соответствии с (Д.15) во взаимном
стержне на концах изгибающие моменты должны равняться нулю.
Взаимная балка показана на рис. 370, б. Фиктивная нагрузка
614

q (x) =	. В соответствии с (Д.14) и (Д.15) эпюра Q(a?) соответ-
к
М(х)
ствует - г	(рис. 370, в), а эпюра М (х) — эпюре углов закруяива-
ujk
ния ср (ж) (рис. 370, г).
Пример 5. Ступенчатый вал (рис. 371, а) закручивается двумя
сосредоточенными моментами. Взаимная балка постоянного поперея-
тМ*тк
Лх)аЗк
/•' ' Улик
Пиит
м=о
7П7Т
Ш 4М
/1Л
Ж
и
GJP
1,
17'
Ж
т
нШ
18 Ж	Ю—.
17 G<)p	17Щ
Q=M„
TmiLk.
Ш Wrn
>
М=(р
Рис. 370
Рис. 371
ного сечения, по продольным размерам и схеме нагружения соответ¬
ствующая исходному валу, но с приведенными значениями длин,
т. е. с различным масштабом приведенных участков, показана на
рис. 371,6. Здесь Jp и J'v — полярные моменты инерции сечений
вала слева и справа. Теперь для решения задачи осталось построить
две эпюры Q и М (рис. 371, в, г).
Подобным образом могут быть применены для решения задач
и другие аналогии. Приведенные аналогии значительно расширяют
возможности эффективного использования материала справочника. Ряд
данных, относящихся к одному виду напряженно-деформированного
состояния стержня, может быть с помощью аналогий использован
при рассмотрении других видов деформаций.
615

Физико-механические свойства материалов
(для ориентировочных расчетов)
св	—предел	прочности	при	растяжении	(для	дерева —»вдоль	волокон);
о0	— предел	прочности	при	сжатии (для	дерева	— вдоль	волокон);
си	<— предел	прочности	при	изгибе;
тв	— предел	прочности	при	кручении;
тср — предел прочности при срезе (для дерева ^ вдоль волокон);
спц — предел пропорциональности при растяжении;
от —предел текучести при растяжении;
Материал
Предел
прочности,
кГ/мм*
Предел
текучести,
пропор¬
циональности,
к Г/мм2
Предел
выносливо¬
сти, кГ/мм2
Углеродистые
0 б
ыкнов енного
ГОСТ 380—60
Ст. 1
св = 32 — 40
вт = 18
с_1р = 12-15
= 16 — 22
х	! = 8 — 12
Ст. 2
и*
II
со
to
1
о
ат = 19 - 22
1р = 12 16
а__! = 17 — 22
х	! = 8 — 13
Ст. 3
W*
II
со
00
1
•О
®т = 21 — 24
с—1р = 12-16
a_i = 17 — 22
= 10 — 13
Ст. 4
ов = 42 —52
ат = 24 - 26
= 19 — 25
Ст. 5
ов = 50 — 62
от = 26 - 28
1р = 17 22
= 22 — 30
т	! = 13 — 18
Ст. 6
ов = 60 — 72
от = 30 - 31
с
о 1р = 19 —25
а, =25 — 34
= 15 — 20
jпециального
ГОСТ 5520 — 62
15К
20К
«в = 38
= 41
HQHQ
II II
to to
СО НЛ.
1 1
to to
СД со
—

Приложение 1
ao,i
—	условный предел текучести при растяжении (деформация 0,1%);
—	предел текучести при сжатии;
°т. и — предел текучести при изгибе;
■-ip'
•предел выносливости при растяжении;
-^предел выносливости при изгибе;
—предел выносливости при кручении.
Относи¬
тельное
удлинение
(относи¬
тельное
сужение),
%
Твердость
по Бри-
велю,
к Г/мм2
Ударная
вяэкость,
кГм/смг
Модуль
упругости
E(G),
х 10—4 кГ/мм2
Коэффи¬
циент
Пуассона
Удельный
вес, е/см*
Коэффициент
линейного
расширения.
х10‘^а
стали
качеств а***
28
110
—
—
—
—
-
26
116
—
—
—
—
—
21—23
131
7—10
—
—
—
—
19—21
143
ОО
1
со
_
г -
15—17
170
—
—

на з на1
I е н и я
'
‘
23
7—8


22
6-7
г
617

Материал
Предел
прочности,
к Г/мм2
Предел
текучести,
пропор¬
циональности,
к Г/мм2
Предел
выносливости,
к Г/мм2
ГОСТ 6713 — 53
Ст. 3 мост.
М16С
«В = 38
’в = 38
5Т = 24
°т = 23
—
ГОСТ 1414 — 54
А12
А40Г
св = 42 — 57
ов = 60 — 75
-
качестве
ГОСТ 1050 — 60
10
в =34 — 42
В
от = 21
®—1р = 12 — 15
я. =16 — 22
= 8 — 12
20
Св = 42 — 50
от = 25
1р =12 — 16
о_г = 17—22
= 10 —13
30
св = 50 -— 60
от = 30
lp = 17 21
, =20 —27
т__1 = 11 —14
40
ав = 58 - 70
ат = 34
1р = 18 24
а, =23—32
= 14 — 19
45
ав = 61—75
ат = 36
®—1р =19 — 25
а ,=25 — 34
т	! = 15—20
50
ав = 64 <— 80
от = 38
о_1р = 20 — 26
o_i = 27 — 35
t_j = 16 —21
60
св = 69—90
от = 41
о_, =22 — 28
а , =31 — 38
т	j = 18—22
ЗОГ
ав = 55 — 70
ат = 32
о	! = 22 — 32
60Г
«В = 71
°т = 42
а_1р = 25 — 32
618

Продолжение приложения 1
Относи¬
тельное
удлинение
(относи¬
тельное
сужение),
%
Твердость
по Ври
нелю,
кГ/мм2
Ударная
вязкость,
кГм/см2
Модуль
упругости
X 10—4 кГ/мм2
Коэффи¬
циент
Пуассона
Удельный
вес, г/см8
Коэффициент
линейного
расширения.
XlO'-iy
град
22 (50)
7«—10
22 (50)
7—10
■—
—
—
22 (36)
160
2,02

11,9—14,2
14 (20)
207
■—
1—
н ы е***
31 (55)
—
—
1,90
—
7,83
11,6=14,6
25 (55)
—
-
2,02
—
7,82
ц,1—14,4
21 (50)
—
8
—
—
7,82
12,6—15,6
19 (45)
—
6
2,135
—
7,81
12,4—14,6
16 (40)
—
5
2,04
—
7,81
11,6—14,7
14 (40)
—
4
2,20
—
7,81
12,0—14,1
12 (35)
—
-
2,08
—
7,80
11,1—14,6
20 (45)
С!—Г
8
2,17
__
7,81
И (35)
2,109
7,81
11,6—14,6
619

Предел
Предел
текучбсФи,
Предел
Материал
прочности,
к Г/мм*
пропор¬
выносливости*
циональности,
к Г/мм2
кГ/лш*
Легированные
ГОСЩ-65
св = 64-66
ат = 39-42
a__i = 31
'С—i = 16
ГОСТ 4543—61
20Х
ов = 72 — 85
ат =* 40 <— 65
c__i = 31—38
= 17 — 23
40Х
ав = 73 — 105
ст = 65 —90
c_i =24 —34
о 1=32 —48
т	! = 21—26
45Х
ав = 85 — 105
ат = 70 - 95
= 40 — 50
ЗОХМ
ав = 74 — 100
ат = 54 — 85
*-1р = 37
а_! = 31 — 41
= 23
40ХН
ав = 100 — 145
ат = 80 <— 130
1р = 31 —42
= 46 — 60
12ХНЗА
ав = 95 <— 140
ат = 70 <—> 110
а_1 = 42 — 64
т_! = 22 — 30
20ХНЗА
ав = 95 — 145
ат = 85 — 110
0_1 = 43 — 65
т_х = 24 — 31
40ХНМА
ЗОХГОА
ав = 110 — 170
ов = 110 — 170
ат = 85 — 160
ат = 85 - 150
a_j = 50 — 70
т_! = 27 — 38
а_х = 48 — 70
х_! = 28 — 40
Нержавеющие жар
ГОСТ 5632 — 61
1X13 (ЭЖ1)
ав = 61
ат = 41
о_1 = 37
620

Продолжение приложения 1
Относи¬
тельное
удлинение
(относи¬
тельное
сужение),
%
Твердость
по Бри-
нелю,
кГ/мм2
Ударная
вязкость,
кГм/см2
Модуль
упругости
Е (G),
х 10—4 кГ/мм2
Коэффи¬
циент
Пуассона
Удельный
вес, г/см*
Коэффициент
линейного
расширения,
хю*-L_
град
стали***
18—21
—
7,11
-
—
—
-
—
—
—
2,07
—
7,74
11,3
—
—
—
2,185 (0,808)
—
7,85
13,4—14,8
9(45)
187—219
5
2,109 (0,8015)

7,82
12,8
—
—
—
2,130
—
7,82
12,3—14,4
—
—
—
2,040
—
7,82
11,8
—
—
—
-
—
—
-
—
—
—
2,040 (0,815)
—
7,85
11,0—14,5
—
—
—
2,040
—
7,85
11,7
—
—
—
1,980 (0,830)
—
7,85
11,0
прочные (
стали
22 (60)
—
1
2,2
—
7,75
10,1—12,25
621

Материал
Предел
прочности,
к Г/мм2
Предел
текучести*
пропор¬
циональности,
кГ/мм2
Предел
выносли¬
вости,
кГ/мм2
2X13 (ЭЖ2) (закал¬
ка с 1000—1020° С
на воздухе, отпуск
при 720—750° С)
“в = 72
от = 52
= 37
1Х17Н2 (ЭИ268) (за¬
калка с 1030° С, от¬
пуск при 680° С)
ав = 96
ат = 77
= 49
1Х18Н9Т (ЭЯ1Т)
ав = 58
от = 24
с	х = 20 —* 24
= 13,5
Х12Н22ТЭМР
(ЭИ696М, ЭПЗЗ)
(прокатка, старение
730° С, 16 ч +
+ 630° С, 16 ч)
°в = 135
О
II
Жаростойкие и жаро
ГОСТ 5632 31
Х20Н77Т2ЮР
(ЭИ437Б) (аустени-
тизация при
1080° С) с охлажде¬
нием на воздухе,
старение при
750 С, 16 ч)
eQ
п
со
to
]
1-^
о
со
со
СО
II
о6*
ЖС6К (закалка с
1210—1220° С с ох¬
лаждением на воз¬
духе, отжиг при
950° С, 2 ч)
и°
II
О
О
О
ат = 88~94
Тугоплавкие
Вольфрам (нелегиро¬
ванный*****)
Сплавы вольфрама
°в = Ю.7
—
W —15Мо*****
°в = 17,5

,—,
2Nb*****
«в = 23,4
—

W —3,6Та*****
°в = 35
622

Продолжение приложения 1
Относи¬
тельное
удлинение
(относи¬
тельное
сужение),
%
Твердость
по Бри-
нелю,
кГ/мм2
Ударная
вязкость,
кГм/см2
Модуль
упругости
х Ю**4 кГ/мм2
Коэффи¬
циент
Пуассона
Удельный
вес, г/см*
Коэффициент
линейного
расширения,
Х10" 1-
град
21 (65)
—
6—17
2,2
—
7,75
10,1
17(59)
—
—
2,0
—
7,75
10,3
70 (80)
—
28
2,0
—
7,9
16,6—18,6
20 (46)
—
—
—
—
прочные
сплавы
11—24
(10—21)
—
3,5
2,0
1—
8,2
12,7
1,5—7
(8-16)
—
—
—
—
—
металлы
49 (76)
—
-
4,2 (1,5)
0,3
19,3
4,45
27 (78)




С
9 (25)
—
—
—
—
—
—
15(8)
623

Материал
Предел
прочности,
кГ/мм*
Предел
текучести,
пропор¬
циональности,
кГ/мм*
Предел
выносливо¬
сти, кГ/мм2
Молибден
н
3
со
н
Сплавы
молибдена
ВМ-1
’ 20° С
.1800° С
ав = 80
®в = 10
s
II [
о*
—
ВМ-2
20° С
Д800°С
ав = 75
ов=9
—
f 20° С
ов = 43 — 60
—
—
ВМ-3 <
1
ll800° С
ав = 12 —13,5
—
—
Ниобий
шв
II
-<1
8
II
—
Сплавы ниобия
ВН-2 1
\ 20° С
[1500° С
sQ aQ
и ii
00	3!
1
t-A.
О
£
II 1
н
t>

вн-з|
( 20° С
<JB = 75 — 80
—
—
1
ll500°C
ав=12,5
—
—
ВН-4 |
\ 20° С
[1500° С
а =81
ав = 17
ат = 73
—
Серый
ГОСТ 1412 — 54
СЧ 12-28
СЧ 15-32
СЧ 18-36
а =12
8
II
1
ОО
СМ
II
> S
°в= 15
—
ао = 65
= 32
тв = 24
II
ОО
—
Q
П 1
II
-5
О
«и = 36
1р — 3,5
о-i = 9,0
624

Продолжение приложения 1
Относи¬
тельное
удлинение
(относи¬
тельное
сужение),
%
Твердость
по Бри-
нелю,
кГ/мм2
Ударная
вязкость,
кГм/см2
Модуль
упругости
Е (G)
х 10—* кГ/мм2
Коэффи¬
циент
Пуассона
Удельный
вес, д/см8
Коэффициент
линейного
расширения,
xl0*iir
20
—
—
3,3 (1,22)
0,31
10,2
5,6
10


3,3
,	,
10,3
45
—
—
1,85
—
—
—
10 (30)
—
0,2
3,33
—
—
—
18
—
—
1,85
—
—

2,8 (0,7—
—
—
3,25
—
—

40)
40—50
—
—
—
—
—

(6,5)
20—25

37
1,06 (0,88)
0,39
8,57
7,1
(25—35)
18—28

27
1,06
—
8,66
6,25
<—
—
—
—
—
—
—.
16—20

30
—

(40—70)
40—43
—
—
—
—
—
—
16 (33)
—
5—7
—
—
—
—
24 (30)
—
’—'
—
—
—
—
чугун
—
143—229
—
0,8—1,5 (0,45)
0,23—0,27
pi
ОО
1
10—12
—
163—229
—
0,8-1,5 (0,45)
0,23—0,27
6,8—7,1
10—12
—
170—229
—
0,8-1,5 (0,45)
0,23—0,27
7,0—7,2
10—12
625

Материал
Предел
прочности,
кГ/мм*
Предел
текучести,
пропор¬
циональности,
к Г/мм*
Предел
выносливо¬
сти, кГ/мм2
СЧ 21-40
°В = 21
«С= 95
Зи = 4°
тв = 28
ат = 0,75ов
o_i = 10
8
СЧ 24-44
®в ~ 2*
а. = 100
а = 44
и
хв= 30
«т = 0,75ав
1р = 6.5
о_1 = 12
т_г = 10
СЧ 28-48
ав= 28
°0 = но
а„= 48
хв= 35
°т = °.75ав
“-ip = 7,5
o_i = 15
X	1 = 11
СЧ 32-52
ав= 32
°с = 120
52
Хв= 39
0Т = 0,85ов
°—1р = 7
«_1 = 14
x_i = 11,5
СЧ 35-56
°В= 35
°с = 120
°и = 56
тв= 40
от = 0,85а в
о_1р = 7,5
a_wl = 15
х_1 = 11,5
СЧ 38-60
ав= 38
ао=140
°и = 60
тв= 46
от = 0,85ов
c_i = 15
*-1 = 11,5
Белый чугун
ГОСТ 2176—43
ав = 10 — 20
ос = 70 — 140
аи = 30— 50
Жаропрочный
Х28
ав = 35
°и = 55

—
Х34
ав = 40
°и — 5°
—
—
626

Продолжение приложения 1
Относи¬
тельное
удлинение
(относи¬
тельное
Сужение)»
%
Твердость
по Бри-
нелю,
кГ/мм2
Ударная
вязкость,
кГм/см1
Модуль
упругости
X10—4 кГ/мм2
Коэффи¬
циент
Пуассона
Удельный
вес, г/см8
Коэффициент
линейного
расширения,
град
—
180—207
0,9
0,85 (0,45)
0,23—0,27
7,2—7,3
10—12
187—217
0,9
1,1 (0,48)
0,23—0,27
7,25—7.4
10—12
1,0-1,2
170—241
1,0
1,2 (0,52)
0,23—0,27
7,3—7,4
10—12
1,0—1.2
187—255
1,0
1,3 (0,56)
0,23—0,27
7,3—7.4
10—12
1,1—1,3
197—269
1,1
1,45 (0,64)
0,23—0,27
7,3—7,4
10—12
1,2-1,4
207—269
1,0
1,6 (0,7)
0,23—0,27
7,4—7,6
10—12
—
300—700
0,1=0,5
1,6-1,8
—
7,5 ± 0,2
8±2
чугун
—
220—270
—
—
—
—
—
—
250—320
—
—
—
627

Материал
Предел
прочности,
кГ/мм2
Предел
текучести,
пропор¬
циональности,
кГ/мм*
Предел
выносливо¬
сти, кГ/ммя
Ковкий
ГОСТ 1216—59
Ферритный
КЧ 30-6
ав>30
ои = 49
тв = 34
«т=19
°т. с = 21
5т. и = 31
»-1р= 7
«_! = 12
Х_1 = 11
КЧ 33-8
ав>33
а„=53
тв = 34,5
ат = 21
ат.с = 23
ат. и = 33
а-1р= 8
а__х = 13
T_j = 12
КЧ 35-10
«в >35
«„ = 57
тв = 35
от = 22
°х.с = 24
аг. и = 34
°-ip= 8
а__х = 14
т__1 = 13
КЧ 37-12
ав>37
°„ = 58
хв = 37
Gij,= 23
«т. о = 25
ат. и — 35
°-1рвв 8
а_! = 14
= 13
Перлитный
КЧ 45-6
«в >45
—
—
КЧ 50-4
«в>50
«„ = 72
хв = 52
ат = 27
-т.с = 30
°т. и ^
■-1Р-И
а_! = 18
Т	! =* 16
КЧ 56-4
ов>56
—
КЧ 60-3
<jb > 60
е
,—
КЧ 63-2
ов> 63
—
Чугун с шара
ГОСТ 7293—54
ВЧ 45-0
«В= 45 —
®с = 150 —
°„ = 65-
Тв= 45 —
50
160
75
50
ат = 35 — 40
0^ = 18 — 20
ВЧ 60-1,5
£ с? eQ
II || II II
8 о § S
1111
60
180
100
55
ат = 40 - 50
а_1 = 20 — 22
= 17 — 21
628

Продолжение приложения 1
Относи¬
тельное
удлинение
(относи¬
тельное
сужение),
%
Твердость
по Бри-
нелю,
кГ/мм2
Ударная
вявкость,
к Гм/см2
Модуль
упругости
E(G),
х 10—4 кГ/мм2
Коэффи¬
циент
Пуассона
Удельный
вес, г/см*
Коэффициент
линейного
расширения,
xIC —iy
град
чугун
>6(7)
< 163
1,2
1,55 (0,63)
0,23
7,2
10,5
>8(9)
<149
1,3
1,6(0,64)
0,25
7,21
10,3
>10(11)
<149
1,4
1,66 (0,65)
0,27
7,22
10,2
>12(13)
<149
1,6
1,98 (0,73)
0,36
7,24
10
>6
<241
L
_
_
>4(3,5)
<241
0,8
1,74 (0,68)
0,28
7,3
10
>4
<269


_

>3
<269
—
—
—
—
—
>2
<269
—
—
—
—
—
1ИДНЫМ г
рафитом
0,4-1,4
207—269
0,5—1,5
1,3—1,6 (0,7)
—
7—7,5
10,6—11,4
О.
СО
1
^-1
207—255
1,5—3
1,3(0,775)
—
7—7,5
10,6—11,4
629

Материал
Предел
прочности,
кГ/мм2
Предел
текуч ести,
пропор¬
циональности,
кГ/мм2
Предел
выносливо¬
сти, кГ/мм*
ВЧ 60-2
ав= 60— 70
«0 = 200 — 210
<ти = 105 — 110
тв= 60— 75
ст = 42 — 55
а_ i = 17 — 23
= 15 — 16
ВЧ 45-5
ов= 45— 55
ос = 180 — 200
ои= 65- 75
тв= 40— 45
ат = 32 — 42
o_i = 18 — 20
ВЧ 40-10
ав= 40— 55
оо = 200 — 220
ои= 60— 70
ат = 30 —40
= 25 —28
т_х = 19,8
Цветные
Алюминиевые сплавы
ГОСТ 4784-65
АМцМ
«в = 13
тср = ®
°т = 5
о-i = 5*
АМг2М
°В =19
V = 12’5
от = 8
о-i = 12*
АМг2П
°в =25
%=15
зт = 21
а_! = 12,5*
АМгб
ав =32
®т = I?
—
АМгбМ
ав =30
ат= 15
—
Д1 (0)
°в =21
«т = И
о-i = 7,5*
Д1П (3 и ЕС)
«в =41
тср = 27
ат = 25
o_i = 12,5*
ПЛ(0)
Д6 \(3 и ЕС)
°в =22
ов =46
hq *3°
II II
СО
О
630

Продолжение приложения 1
Относи¬
тельное
удлинение
(относи¬
тельное
сужение),
%
Твердость
по Бри-
нелю,'
кГ/ммг
Ударная
вявкость,
кГм/см2
Модуль
упругости
Е (G)t
х 10—* кГ/мм2
Коэффи¬
циент
Пуассона
Удельный
вес, г/см3
Коэффициент
линейного
расширения,
град
2—3
255—285
1,5—3
1,8 (0,8)
7—7,5
10,6—11,4
5—10
173—207
2,5—8
1,3 (0,7)
—
7-7,5
10,6—11,4
10—20
156—179
5-7
1,6(0,75)
—
7—7,5
10,6—11,4
металлы
деформируе мы е
23 (70)
30
—
0,71 (0,27)
0,3
2,73
24
23 (64)
45
—
0,71 (0,27)
0,3
2,67
23,8
6
60
—
0.71 (0,27)
0,3
2,67
23,8
24
р—,
0,7
—
2,64
24,7
18
—
—
0,71 (0,27)
0,3
2,64
24,7
18 (58)
45
—
0,71 (0,27)
0,31
2,8
22,9
15 (30)
115
3
0,71 (0,27)
0,31
2,8
22,9
15 (50)
50

0,71
0,31
2,8
22
105
0,71
0,31
2,8
22
631

Материал
Предел
прочности,
кГ/мм8
Предел
текучести,
пропор¬
циональности,
кГ/мм*
Предел
выносливо¬
сти, кГ/мм2
Д16,
Д16П
плакированные листы
II
05
<м
н
о*
(3 и ЕС)
ПОЛУ-
г( 3 и ЕС)
°в =52
HQ
II
со
00
ов1 = 14*
фа£ ,
хср = 21—30
рика-
(О)
“в =22
а. = 10
a_i = 9*
ты
1(СЗ)
о» =43
HQ 1
II
to
со
плакированные листы
(3 и ИС)
=46
аФ = 41
—
профили (3 и ИС)
1
II
to
1
сл
о
1
II
0
1
!&
—
АК4-1
0В =43
ат = 28
= 13**
ВД17
®в =49
от = 33
= 16,5*
Алюминиевые
ГОСТ 2685-63
AJI1
литой в эемлю
°в =20
ат = 17
°-1
= 5,6*
термообработка Т5
*ср=!7
°в =26
ат = 22
°-1
= 5,6*
термообработка Т7
•а
н и
to to
to to
«т = 18
литой в кокиль
°в =30
«т = 26
°-1
= 6,5*
(термообработка Т5)
AJI2
литой в эемлю
тср = 22
°в =18
ат = 8
= 5,5**
литой в металли¬
''ср = 13
®в =22
°т = 9
0-1
__ у**
ческую форму
литой под давле¬
°в =22
от =12
нием
АЛЗ
литой в землю
°в = 47
ат =12
термообработка Т5
ов =20
от =17
—
литой в металли¬
ов =22
от =12
—
ческую форму
термообработка Т5
1
II
to
от =22
—
632

Продолжение приложения 1
Относи¬
тельное
удлинение
(относи¬
тельное
сужение),
%
Твердость
по Бри-
нелю,
кГ/мм*
Ударная
вяэкость,
кГм/см8
*3
hgo*
X
Коэффи¬
циент
Пуассона
Удельный
вес, а/см•
Коэффициент
линейного
расширения,
град
18 (30)
105
—
11 (15)
131
—
18 (30)
42

>, 0,71 (0,27)
0,31
2,78
22,7
13 (15)
6
“
7
13 (26)
120
—
0,72 (0,27)
0,33
2,8
19,6-24,8
20
115
'—
0,71 (0,27)
0,31
2,75
23,6—26,9
сплав
ы лите]
эные
1,0
80
—
0,5
100
0,3
, 0,72 (0,27)
0,33
2,75
22,3—24,4
1,2
90

0,5
120
—
6
50
—
5
55
0,8
0,7—0,72
0,33
2,65
21,1—23,3
(0,27)
1,8
—
—
2
70

3
75
—
0,7—0,72
0,33
2,7
22—24
4
70
0,22
(0,27)
3
80
0,45
633

Материал
Предел
прочности,
кГ/мм*
Предел
текучести*
пропор¬
циональности,'
кГ/мм*
AJI8 (термообра¬
ботка Т4)
литой в землю
литой в металли¬
ческую форму
АЛ9
литой в землю
(термообработка
Т4)
литой в землю
(термообработка
Тб)
литой в металличе¬
скую форму (тер¬
мообработка Тб)
AJI11 (термообра¬
ботка Т2)
AJI13
литой в землю
литои в металли¬
ческую форму
AJI15B
литой в землю
термообработка Т5
литой в металли¬
ческую форму
термообработка Т5
AJI19 (литой в
землю)
термообработка Т4
термообработка Т5
°в =30
^ср = 23
ап =33
°в =20
тср=15
= 24
, = 12
°в
хср ■
св =23
: 22
= 17
> = 14
ср
=20
= 15
= 20
= 18
= 22
= 32
= 37
°т =17
ат =18
ат =11
ат =21
ат = 15
ат =9
=10
т
От = 16
ат =22
ВТ1
ОТ4
®В =61
а„ =70 — 85
от =47
от =55 — 65
Предел
выносливо¬
сти, кГ/мм2
a_j = 5*
о	I = 4,5*
= 6,5
c_i = 4*
= 7**
= 7*
Титан и его
o_i = 26
634

Продолжение приложения 1
Относи¬
тельное
удлинение
'(относи¬
тельное
сужение) ,-
%
Твердость
по Бри-
нелю,
к Г/мм*
Ударная
ВЯ8К0СТЬ,
кГм/см2
Модуль
упругости
Е (Gh
X10—* кГ/мм2
Коэффи¬
циент
Пуассона
Удельный
вес, г/см3
Коэффициент
линейного
расширения,
Х10«—1_
град
12
75
1
15
80
—
. 0,7—0,72
(0,27)
0,33
2,55
24,5—25,6
6
55
—
2
75
—
. 0,7—0,72
(0,27)
0,33
2,66
23—24,5
5
70
—
2
80
—
—
—
2,94
24,4
3
5
65
70
0,5
1 0,7—0,72
( (0,27)
0,33
2,6
20
L
70
шят,
0,5
80
70
—
0,7—0,72
(0,27)
0,33
2,7
22-24
0,5
85
—
9
5
90
100
\ 0,7—0,72
} (0,27)
0,33
2,78
19,5—21,9
сплав
ы
20—30
(>45)
10—40
(25—55)
150-180
>7
1,121 (0,411)
0,32
4,5
8
229—302
3,5—6,5
1,1 (0,4)*-
— 1,2
4,55
8—9,8
635

Материал
Предел
срочности,
кГ/мм*
Предел
текучести,
пропор¬
циональности,
кГ/мм2
Предел
выносливо¬
сти, кГ/мм2
ВТ8
0В =105—118
от =95 — 110
= 50
Тср= 65-70
спц = 75 — 85
ВТЗ-1
ов = 95—120
ат =85 — 110
= 48
хср>“ 65
ю
00
1
о
II
а
ВТ14
II
СО
СЛ
1
ьъ
О
ат = 85 —110
—
Медные
JIami
ГОСТ 1019—47
JI68
мягкая
ав
= 32
°0,1
= 9,1
= 12
твердая
тср
ав
= 20
= 66
С0.1
= 52
а_! = 15
JIA77-2
мягкая
ав
= 40
ат
= 14
—
твердая
ав
= 65
—
—
ЛМц 58-2
мягкая
ав
= 40
ат
= 15,6
—
твердая
ав
= 70
—
—
ЛС 59-1
мягкая
ав
= 40
®т
= 14
—
твердая
ТСР
ав
= 26
= 65
ат
= 45
а__! = 16
ЛК80-3
мягкая
ав
= 30
ат
= 20
—
твердая
ав
= 60
636

Продолжение приложения 1
Относи¬
тельное
удлинение
{относи-
тельное
сужение),
%
Твердость
по Бри-
нелю,
кГ1мм2
Ударная
вязкость*
к Гм/см2
Модуль
упругости
E(G),
х 10—4 кГ/мм2
Коэффи¬
циент
Пуассона
Удельный
вес, г/см*
Коэффициент
линейного
расширения,
хю'—L_
град
9—15
(30-55)
310—350
3—6
1,1 (0,425)
0,3
4,48
8,3-9,1
10—16
(25-40)
—
3—6
1,15 (0,43)
0,3
8,6
4,5
6-10
(25—35)
255-388
2,5-5
1,15
—
4,52
8—8,7
сплавы
ни
55 (70)
55
17
1,1

8,6
19
3
150
—
1,15
—
—
—
55
60
20
1,05
_
8,6
18,3
12
170
—
—
—
—
—
40
85
12
1,0

8,4
21,2
10
175
—
—
—
—
—
45 (44)
90
2,6—5
1,05 (0,35)
—
8,5
20,6
16
140
—
—
—
—
—
58
100
12
0,98

8,5
17
4
180
637

Материал
Предел
прочности,
кГ/мм2
Предел
текучести,
пропор¬
Предел
выносливо¬
циональности,
сти, кГ/мм2
кГ/лш2
Бронзы
Бр. 0-10
Q
О
II
to
СЛ
—
—
Бр. ОЦ8-4
°в = 20
ат =4 — 5
,
Бр. ОЦС 6-6-3
ГОСТ 613—65
литье в землю
°В =15
ат = 11
—
литье в кокиль
°в =18
тср ~ 22
pQ hq <
J3
и и
СП 00
1
о
Бр. ОФ 10-1
литье в землю
II
0
1
со
о
®т = 14
—
v= 8-9
литье в кокиль
0В =25 — 35
*ср = 34
°т =20
°пц = 13 — 14
Бро ивы
ГОСТ 493-54
Бр. А5
литье в кокиль
°в
= 28
°т = 7
_
мягкая деформи¬
руемая
ав
= 38
ат =16
—
твердая деформи¬
руемая
Бр. АМц 9-2
ав
= 80
от =50
°пц = 48
= 13,4**
литье в кокиль
ав
= 40
от =20
°пц = 11
*т =30
—
мягкая деформи¬
руемая
ав
= 40
—
твердая деформи¬
руемая
ав
= 60
ат =50
= 21****
Бр. АЖМц 10-3-1,5
ав
= 56
II
•—>
литье в кокиль
тср
= 38
°пп = 17
мягкая деформи¬
руемая
твердая деформи¬
руемая
ав
= 61
J
II
СО
—
ав
о
г-
1
8
II
"
а_1 = 28****
638

Продолжение приложения 1
Относи¬
тельное
удлинение
(относи¬
тельное
сужение) 9
%
Твердость
по Бри-
нелю,
кГ/мм*
Ударная
вязкость,
кГм/см2
Модуль
упругости
X10—4 кГ/мм8
Коэффи¬
циент
Пуассона
Удельный
вес, е/см8
Коэффициент
линейного
расширения,
xio* —L.
град
оловянные
И
80
—
3
—
—
4
75
—
-
—
—
6
60
- _
: ,
8,82
4 (6-10)
60
2—3
0,9
—
1—
3(3)
80—100
0,6
0,754
—
8,58
7—10 (10)
со
0
1
to
о
0,9
1,03
—
8,76
алюминиевые
55 (48)
65
16
65 (70)
60
И
1
—
8,2
15,6
4
200
—
1.1
—
—
20 (25—
8
1
ц*
to
О
7
0,92
27)
25
110—130
—
1,05
—
—
—
4—5 (55)
о
00
ЧТН
1
S
—
—
7,6
17—20
22 (25—
130
1
со
1
27)
32 (55)
125—140
—
1,05
—
—
9—12
160—200
7,55
16—20
639

Материал
Предел
прочности.
кГ/мм2
Предел
текучести,
пропор¬
циональности,
к Г/мм2
Предел
выносливо¬
сти, кГ/мм2
Бр. АЖС 7-1,5-1,5
ав
= 50
,—.
«.1 = 21****
Бр. АЖ9-4
литье в кокиль
св
= 55
ат =20
—
мягкая деформи¬
ав
= 60
апц = 18
ат = 22
руемая
°n„ = 12.7
твердая деформи¬
св
= 55
Q
II
СО
СЛ
= 18,5****
руемая
Б рота
ГОСТ 493—54
Бр. КМцЗ-1
= 35-40
ат =10-20
= 11 — 16
мягкое состояние
ав
твердое состояние
°в
= 65-75
ат =10-20
Ма г н и
е вы е сплавы
МА1
листы
ав
= 21
°т =12
= 7,5**
прутки
ав
тв
тср
= 24
= 19
= 13
от = 14
= 7,5**
МАЗ
полосы
св
тср
= 29
= 14
Зт =17
прутки
св
= 28
СМ
СМ
II
в*
—
ВМ65-1
прутки
ав
= 35
о
со
II
о*
—
прутки (ИС)
ав
тср
= 33,5
= 16
апц = 14>5
0Т =28
= 15**
полосы
ав
= 34,5
от =29
—
профили
°в
= 34,5
апд = 13
°т =29
поковки
ав
= 31
°т =25
—
штамповки
°в
= 32
ат =26
*—
640

Продолжение приложения 1
Относи¬
тельное
удлинение
(относи¬
тельное
сужение),
%
Твердость
по Бри-
нелю,
кГ/мм2
Ударная
вязкость,
кГм/см2
Модуль
упругости
E(G),
Ж Ю—4 кГ/мм2
Коэффи¬
циент
Пуассона
Удельный
вес, г/см3
Коэффициент
линейного
расширения,
хю*—!—
град
18
10—20
(25—30)
40 (33)
5
120—140
110
160—200
6,3
8
кремнистая
деформируемые
1,12
1,12
1.16
0,49
8
45
0,5
4(6)
45
0,6
15(23)
—
1
12
60
—
9(24)
60
—
9(24)
—
0,9
10 (25)
—
—
10
12
—
—
14
55
—
0,4
0,4
0,43
0,43
0.43
7,5
16,2—17,1
25—45
70—90
ll3—17
1,04
8,4
5—10
170—190
)
15,8—20
jo,34
1,76
J 0,34
1,8
0,34
1,8
22,3—32
26,1—31,2
20,9—22,6
5-3166
641

Материал
Предел
прочности,
кГ/мм2
Предел
текучести,
пропор¬
циональности*
к Г/мм2
Предел
выносливо¬
сти, кГ/мм2
Магниевый сплаг
MJI6
литой
°в =16
тср = I4
о7 =11
= 8.5**
термообработка Т4
°в =25
хср = 15
°в =26
тор = 16
«т =10
о_, = 9,5**
термообработка Тб
от =14
= 8,5**
Свинец
ГОСТ 3778 — 65
°в =1-5-
—1,8 (дефор¬
мированный
и О)
1!
0
Сп
1
о	j = 0,42***
Цинк ГОСТ 3640 — 47
°В =6.4
*т =1,0
—
Никель
Q
3
II
0
1
СД
сд
от = 6 —20
—
ГОСТ 849—56
(мягкое
состояние)
(мягкое
состояние)
ав = 50 — 100
(твердое
состояние)
от = 28 — 90
(твердое
состояние)
Мельхиор МНЖМц
30-0,8-1 (МН 70-30)
ГОСТ 492 — 52
мягкое состояние
ав = 35 — 45
от= 14
—
твердое состояние
св = 55 — 65
ст = 54
—
Нейзильбер МНЦ 15-
20
ГОСТ 492.— 52
мягкое состояние
св = 40 — 45
ат=14
c_i = 12 — 14
твердое состояние
св = 60 — 72
от = 59
—
Монель НМЖМц
28-2,5-1,5
ГОСТ 492 — 52
мягкое состояние
cdQ
II
сд
О
f
О
ст = 20
o_s = 17
твердое состояние
II
0
1
00
СЛ
ат = 65 - 75
= 26
642

Продолжение приложения 1
Относи¬
тельное
удлинение
(относи¬
тельное
сужение),
%
Твердость
по Бри-
нелю,
кГ/мм2
Ударная
вяэкость,
кГм/см2
Модуль
упругости
Е (G),
х 10—4 кГ/мм2
Коэффи¬
циент
Пуассона
Удельный
вес, а/см4
Коэффициент
линейного
расширения,
xiO'-i-r-
град
литейный
1.5 (2,5)
55
0,2
(0,16)
^-1
5(12)
60
0,3
0,42 (0,165)
0,33
1,81
26,1—27,7
1(3)
80
0,15
(0,165)
0,33
35—50
(90—100)
(литой)
60—70
(Дефор-
мирован-
ный)
20 (50)
3,8—4
(литой)
20
20,6—2,3
(О)
0,15—0,18
0,53
11,34
7,133
28
39,7
30—50
(мягкое
состоя¬
ние)
2—15
(твердое
состоя¬
ние)
90—120
(О)
125—220
(нагарто-
ванный)
—
1,8—22,7
(0,73)
—
' 8,9
13,3—16,3
40—50
3-5
70
190
—
| 1,54
—
8,9
16
40—50
2-3
70
160
—
| 1,26
—
8,7
16,6
30—50
(65)
3—5 (50)
110—140
140—220
-
| 132
—
8,8
14—15
643

Материал
Предел
прочности,
к Г/мм*
Предел
текучести,
пропор¬
циональности,
кГ/мм2
Предел
выносливо¬
сти, кГ/мм2
Пластические
0В = 26 — 40
ос =10 — 30
ои = 13 — 15
°пп = 12.2—26
2=1 = 0,22 <-0,25
°в
ов = 30 — 50
ос = 23 — 46
ои = 40 — 42

= 0,25 — 0,28
°в
ов = 4,5 — 11
сс = 12 — 25
°и = 7,5 —16
тв = 9 — Ю
°т = 7 — 8
^=i = 0,25 — 03
°в
1р = 2
ов = 14—30
®с = 12 —18,5
ои = 16,5 — 28
°в= 6 —Ю
ои = 4 _ !4
—
^ = 0,25 - 0,3
®В
3-1Р = 5,8
?=1 = 0,2 — 0,3
°В
о_1 = 3,5 — 4,9
°в = 5 — 7
°с = 8 — 14
Зц = 6 «—* 9,5
?=1 = 0,2 —03
°в
ав = 3-13
а = 10 <— 15
,и = 4-13
с-=1 = 0,25 — 0,3
°в
Стеклопласты
ГОСТ 10087 — 62,
ГОСТ 10292 — 62,
ГОСТ 2910 — 67,
ГОСТ 10316 — 62
на основе ткани
на основе нитеи,
ориентированных
в двух взаимнопер¬
пендикулярных на¬
правлениях
Текстолиты (на ос¬
нове хлопчатобу¬
мажных тканей)
ГОСТ 5 — 52,
ГОСТ 2910 — 67,
ГОСТ 5385 — 50
Древесные пластики
ГОСТ 8697—58
Гетинакс (на основе
сульфатной бумаги)
ГОСТ 2718 — 66
Фибра (на основе
специальных сор¬
тов бумаги)
ГОСТ 6910 — 54
Волокниты (наполни¬
тели:
хлопковые очесы,
асбоволокно, стек¬
ловолокно)
644

Продолжение приложения 1
Относи¬
тельное
удлинение
(относи¬
тельное
сужение),
%
Твердость
по Бри-
нелю,
кГ/мм2
Ударная
вязкость,
кГм/см 2
Модуль
упругости
Е(О),
X10—* кГ/мм*
Коэффи¬
циент
Пуассона
Удельный
вес# е/см3
Коэффициент
линейного
расширения,
ХЮ'—Ur
град
массы
—
27—38
0,5—5,25
0,18—0,22
(0,035—0,04)
0,035—
0,622
1,4—1,85
0,45—8,3
—
28—52
0,5—5,25
0,24—0,35
0,035—
0,622
1.7—1,9
0,45—8,3
—
30
0,35
0,04—0,1
(0,25)
—
1,3—1,45
3,3-4,1
—
18—20
0.17—0,8
0,12—0,34
—
1.2—1,4
—
—
25—30
(8—20) х
X 10~2
0,1—0,18
(0,008—
0,025)
—
1.3—1,4
20
—
10
—
(0.07)
—
1,1—1,25
—
—
18—35
(15-65) х
х 10-*
I
0,05—0,118
1,35—1,9
645

Материал
Предел
прочности,
пГ/мм2
Предел
текучести,
пропор-
циональности,
кГ/мм2
Предел
выносливо¬
сти, кГ/мм2
Термореактивные
пресснорошки (на¬
полнители:
древесная мука,
кварцевая мука,
слюда)
ГОСТ 5689 — 66,
ГОСТ 9359 — 66
ав = 2,5 — 6,9
0С = 7 — 30
аи = 4,5 — 10
= 0.3 — 0.4
°В
Органическое стекло
(на основе полиме¬
ров и сополимеров
метакриловой кис¬
лоты)
ГОСТ 10667 — 65,
ГОСТ 9784 — 61
а = 5 — 10,8
«с = 7 12
°и = 8’—17,6
^=1 = 0,1— 0,16
°В
Термопласты
линейные полимеры
с различной сте¬
пенью кристаллиза¬
ции
неармированные
ав= 1,2-8
<ГИ = 1,2 -10
ав = 0,04 —
— 0,42
о. = 0,017 —
0,45
аи = 0,07 -
0.5
—
=0,15 — 0.2
"в
Фторлон-4 (фторо-
пласт-4)
ГОСТ 10007 — 62
ов= 1,4 —2,5
ас = 1,2-2
ои = 1,1 — 1,4
Капрон А, Б, В
Полиамидная смола
68 ГОСТ 10589 — 63
®в = 6
а0 = 7,5
Зи = 9
,в = 5-6
ас = 7 — 8,5
°и = 7
—
—
646

Продолжение приложения *1
Относи¬
тельное
удлинение
(относи¬
тельное
сужение),
%
Твердость
по Бри¬
не лю,
кГ/мм2
Ударная
вязкость,
кГм/см2
Модуль
упругости
Е (С7),
х 10—4 кГ/мм2
Коэффи¬
циент
Пуассона
Удельный
вес, г/см3
Коэффициент
линейного
расширения,
xiO*
град
—
10—60
0,03—0,8
—
—
1,3—2,7
(0,22—7)Х1С
2,5—23,2
12—25
(4—33) X
х ю-2
0,027—0,041
—
1,18—12
46—120
—
3—16
—
0,0015—0,007
—
0,92—2.1
—
1,5—14
*-
(0,16—
—2.2) X
X 10-2
0,00037—
0,002
(0,00015—
0,00019)
-
0.02—0,6
(3,5-7,8) X
ХЮ
300—350
3-6
-
0,0047—
0,0085
—
2.19—2.35
(8—25) X10
150—200
10—12
1.5—1,6
0,0144
(0,0045—
0,0048)
—
1,1—1,14
(6-15) х 10
100
10—15
0.012
1,11
(10—12) X10
647

Материал
Предел
прочности,
кГ/ммг
Предел
текучести,
пропор¬
циональности,
кГ/мм2
Предел
выносливо¬
сти, кГ/мм*
Винипласт
ГОСТ 9639 — 61
°В = 4 — 6
аг = 8-16
«„ = 8-12
—
—
Полиэтилен высокой
плотности (низкого
давления)
«в = 2,2 — 4,5
ас = 2,8 — 4
°и = 2 — 3,8
Полистирол блочный
ГОСТ 9440 — 60
«в = 3,5
«с = 1°
°и = ^ — Ю
Другие
Лед
—
—
Каучук натуральный
0В= 1,6 — 3.8
—
—
Стекло
ГОСТ 10135 — 62
«в = 3 — 9
ос = 50 — 200
«в = 5 —15
—
—
Базальт
II
to
СЛ
1
со
о
—
—
Гранит
ав = 0,3
ас = 12-26
—
—
Известняк
00 = 5.0 — 15
—
—
Песчанник
°в — 0.2
«<- = 4-1,5
—
—
Мрамор
Кладка из гранита,
ос = 10 — 18
ов = 0,02 —
—
—
известняка, кир¬
пича
0,05
«с = 0,25 —
0,9
Бетон
ОО
f
О
II

Продолжение приложения 1
Относи¬
тельное
удлинение
(относи¬
тельное
сужение),
%
Твердость
по Бри-
нелю,
к Г/мм2
Ударная
вявкость,
кГм/см2
Модуль
упругости
Е (G),
х 10—« пГ/мм2
Коэффи¬
циент
Пуассона
Удельный
вес, г/см3
Коэффициент
линейного
расширения,
Ж10*—i—
граб
10—100
13—16
0,5—0,8
0,03—0,04
0,354
1,3-1,4
(6-7) X10
250—900
4,5-5,8
—
0,005—0,008
—
—
0,94—0.96
0.4—0,7
14—15
0,16—0,2
0,012—0,032
—
1,05—1,1
60
материа.
пы
—
—
—
0,1 (0,25—
0,03)
—
—
50.7
600—700
—
—
(0,6—1)Х
Х10~4
0,47
0,91
(1.8-2.8) х
X Ю2
0,015—
0,025
0,48—0,85
(0,022—
0,032)
0,18—0,32
2,2-8
0.5—15
—
—
—
0,49
—
2,7—3,3
2,5—2,8
—

—
—
0,42
—
1,8—2.6
—
—
—
0,18
—
2.1—2.8
—
—
—
—
0,56
—
2.5—2,8
—
—
—
-{
0,09—0,1
0,06
0,027—0,03
—
—
) м
1
““
0,146—0,232
0,16—0,18
10—14
649

Материал
Предел
прочности,
кГ/мм2
Предел
текучести,
пропор¬
циональности,
кГ/мм2
Предел
выносливо¬
сти, пГ/ммъ
Сосна обыкновенная
(15% влажности)
ав = 9,31—11,5
ас = 4,27—4,66
аи = 7,36-8,77
Тср = 0,62-0,73
°пц = 6>!
апц = 3.1
Ель обыкновенная
(15% влажности)
ов = 10,7—12,2
ос = 3,85—4,23
ои = 7.74—7,22
т„п = 0,52—0,67
ср
°пц = 5*6
°пц = 2,7
Береза обыкновенная
{1Ъ% влажности)
ав = 16,1 - 21
ос = 4,37—5,33
аи = 9,67—10,84
тор =0,85-1,33
апц = 3,4
Тополь (15% влаж¬
ности)
яв = 8,69
а0 = 3,47
зи = 6,09
тср =0,54-0,71
Акация (15% влаж¬
ности)
Зв = 16,9
ас = 6,65
ои = 13,92
тср = 1,25-1,4
Бук кавказский (15%
влажности)
ов = 12,91
°с = 4,74
ои = 9,53
хср = 0,99-1,31
°пц = 7
V « 2.Э
Ясень (15% влажно¬
сти)
ов = 14,4—16,6
ос = 4,5 — 5,1
аи = 9,8-11,5
тор = 1,14-1^8
°пц =
"пц = 2*7
650

Продолжение приложения 1
Относи¬
тельное
удлинение
(относи¬
тельное
сужение),
%
Твердость
по Бри-
нелю,
кГ/мм*
Ударная
вязкость,-
кГм/см*
Модуль
упругости
Е (G),
х 10—4 к Г/мм2
Коэффи¬
циент
Пуассона
Удельный
вес, г/см3
Коэффициент
линейного
расширения,
хм- —L-
град
1,99—2.7
0,18—0,23
0,102—0,145
(0,0055)
0,49
0,48—0,54
Вдоль воло¬
кон 3,7;
поперек
волокон
63,6
132—2,52
0,18-0,19
0,11 (0,0055)
0,44
0,46
Вдоль воло¬
кон 5,4;
поперек
волокон
34,1
—
2.98—3,92
0,41—0,54
0,15—0,184
(0,0065)
0,41
0,64—0,73
Вдоль во¬
локон 2—5
-
1,73—2,5
0,19
0,13 (0,0055)
—
0,46
Вдоль во¬
локон 2—5
-
6,19-—8,81
0,92
0,09—0,16
(0,0045-
—0,0065)
—
0,75-0,81
Вдоль во¬
локон 2—5
—
3,79—5,71
0,39
0,127 (0,0065)
0.58
0,68
Вдоль воло¬
кон 2—5
—
5,34—7,32
! 0.3—0.43
0,124—0,15
(0,0065)
0,43
0,66—0,71
Вдоль воло¬
кон 2—5
651

Материал
Предел
прочности,
к Г/мм2
Предел
текучести,
пропор¬
циональности,
к Г/мм2
Предел
выносливости,
кГ/мм2
Дуб (15% влажно¬
сти)
о = 12,88
«С = 5.2
ои = 9,35
тор =0,85—1,25
®пц = 2.9
»оц = 7.4
Липа (15% влажно¬
сти)
ов = 11,58
«. = 3.98
ои = 7,8
хср — 0,73<—0,8
°пц = ^
°пц = 2
—
Ольха (15% влажно¬
сти)
ав = 9.63
°с — 3,87
-и = 7,1
хср =0,78-0.85
—
—
Клен (15% влажно¬
сти)
ао = 5»2
0И = 10.53
тср=1,13-1.29
*	Предел выносливости получен на базе 5 x10е циклов.
*• Предел выносливости получен на базе 2х107 циклов.
*** Предел выносливости получен на базе 107 циклов.
**** Предел выносливости получен на базе 10е циклов.
***** ав» относительное удлинение и относительное сужение приведены для
Состояние материала: О — отожженный; 3 — свежезакаленный; ЕС — естественно
Термообработка: Т2 — отжиг; Т4 — закалка; Т5 — вакалка и кратковременное
Т7 — вакалка и стабилизирующий отпуск.
652

Продолжение приложения 1
Относи¬
тельное
удлинение
(относи¬
тельное
сужение)*
%
Твердость
по Бри-
нелю,
кГ/мм*
Ударная
вязкость,
кГм/см2
Модуль
упругости
E(G),
х 10—4 кГ/мм2
Коэффи¬
циент
Пуассона
Удельный
вес, 8/см*
Коэффициент
линейного
расширения,
град
4,63—6,53
0,46
0,073—0,151
(0,0065)
0,43
0,76
Вдоль
волокон
4,9;
поперек
волокон
54,4
1,56—2,34
0,28
0,09 (0,0045)
0,51
Вдоль
волокон
5,4;
поперек
волокон
44,1
—
2,48—3,67
0,25
0,132 (0,0055)
—
0,53
Вдоль
волокон
2—5
5,06—6,9
0,37
0,118 (0,0055)
—
0,7
Вдоль
волокон
2-5
температуры 1650° С.
состаренный; ИС — искусственно_состаренный.	-
(неполное) искусственное старение; Тб — закалка и полное искусственное старение;
653

05
СЛ
its
Приложение 2
Коэффициенты концентрации и чувствительности к концентрации напряжении
Схема нагружения
элемента конструкции
или детали
Теоретический коэффициент
концентрации напряжений «
Эффективный коэффициент
концентрации напряжений р
Коэффициент чувствительности
к концентрации напряжений
q = —i
1.
Валы, оси с галте¬
лями
При d = 30— 50 мм и
р
1
Cf
12
\
\
\
аг
Растяжение *
сжатие
При d = 30 -— 50 мм и -г- = 2
а
t*
to
3'
О 0,2	0,4	0,6r/d
Для стали
1	— ав = 120 кГ/мм2
2	— ав = 80 кГ 1мм2
3	— ав = 40 кГ/мм2
Для стали
"в,
кГ/мм2
40
80
120
0,2—0,5
0,2—0,5
0,2—0,5
0.27—0,32
0,59-0,65
0,82—0,93

2.
Валы, оси с галте¬
лями
/
г
ЩМ
Изгиб
При d = 30 — 50 мм и
\
V,
\
О 0,!	0.Z	0,3	rji
05
СЛ
СЛ
При = 2
Для стали
1	— °в = 120 кГ/ммг
2	— ав = 100 кГ/мм2
3	— ав = 80 кГ/мм2
4	— ав = 40—60 кГ/мм2
При “2Р<2
Р„ = 1-М(р—1)
Значения v находятся из гра¬
фика
w ^
	4
1
-А-
/
t:
Р-
W 1,2 1,4 iff %9W
Для стали

Схема вагружения
элемента конструкции
или детали
Теоретический коэффициент
концентрации напряжений а
Продолжение приложения 2
Эффективный коэффициент
концентрации напряжений Р
Коэффициент чувствительности
к концентрации напряжений
п Р-1
в о — 1
D
г
ав, кГ/мм2
d
~Т
< 50
80
> 100
0,02
1,70
1,88
2,05
0,05
1,48
1,57
1,63
1,05
0,10
1,28
1,33
1,36
0,15
1,20
1,23
1,25
0,20
1,16
1,20
1,22
0,02
2,00
2,24
2,47
0,05
1,64
1,70
1,75
1Д
0,10
1,37
1,42
1,45
0,15
1,27
1,31
1,34
0,20
1,20
1,24
1,27
0,02
2,12
2,68
3,10
0,05
1,81
1,97
2,10
1,25
0,10
1,47
1,54
1,60
0,15
1,35
1,40
1,43
0,20
1,30
1,32
1,34
0,02
2,42


0,05
1,91
2,06
2,20
1,5
0,10
1,53
1,61
1,67
0,15
1,38
1,44
1,48
0,20
1,33
1,36
1,38

3.
Валы, оси с галте¬
лями
f
Мк
}С
При d=3
d
2
1
Кручение
05
СЛ
— 50 мм
О Щг/4
Для чугуна
при d — 12 мм р = 1,15
при d = 50 мм [1 = 1,25
Л
Для сталей при -j- = 1,4
1	— ств — 120 кГ/мм2
2	— ав = 60 кГ/мм2
3	— ав = 40 кГ/мм2
При -^-<1,4 pv = l + v(3

№ п/п
Схема нагружения
элемента конструкции
или детали
Теоретический коэффициент
концеитрации напряжений а
Продолжение приложения 2
Эффективный коэффициент
концентрации напряжений р
Коэффициент чувствительности
к концентрации напряжений
Значения v находятся из гра¬
фика
При d = 30 — 50 мм и -j- = 2
1
2
Ь 			I	1ч	I
0	0,1	0,2	0,3	r/d
При = 2 для сталей
а
°в,
кГ/мм*
г
d
щ
50
0,025
0,05
0,075
0,1
0,125
0,15
0,7
0,65
0,63
0,6
0,57
0,5
120
0,025
0,05
0,075
0,1
0,125
0,15
0,82
0,8
0,8
0,77
0,77
0,76

1	—' <тв = 120 к Г/мм2
2	— ав = 50 кГ/ммг
При ~^-<2
Р, = 1+*(Р-1)
Значения v находятся из гра¬
фика
V
0,75
0,5
0,25
t
Для сталег
i
/
i
г
/
/
о т 1,5 т
\
D
d
г
d
®в, кГ/ммг
< 50
80
> 100
1,05
0,02
0,05
0,10
0,15
0,20
1,24
1,15
1,08
1,06
1,05
1,29
1,18
1,10
1,08
1,06
1,33
1,20
1,12
1,09
1,07

Схема нагружения
элемента конструкции
или детали
Теоретический коэффициент
концентрации напряжений а
Продолжение приложения 2
Эффективный коэффициент
концентрации напряжений (3
Коэффициент чувствительности
к концентрации напряжений
<ПГГ
Для' сталей
D
d
г
d
ав
, КГ/ММ9
< 50
80
> 100
0,02
1,40
1,52
1,62
А Л
0,05
1,25
1,28
1,30
1,1
0,10
1,12
1,16
1,18
0,15
1,09
1,12
1,14
0,20
1,06
1,08
1,10
0,02
1,64
1,73
1,80
4 9^
0,05
1,40
1,45
1,48
1.ZO
0,10
1,20
1,27
1,32
0,15
1,15
1,20
1,24
0,20
1,09
1,13
1,16
0,02
1,76
1,97
2,14
4 ^
0,05
1,48
1,56
1,62
1,0
0,10
1,24
1,32
1,38
0,15
1,19
1,25
1,29
0,20
1,10
1,18
1,24

Валы, оси с выточ¬
ками
Растяжение — сжа¬
тие
Схема определения ис¬
ходной величины а пока¬
зана пунктиром
rJ=Q
4 3 2 1 01234567Щ?
W
Для чугуна — 1,1 — 1,4
Для сплава MJI4 — ОД «—
—	0,12^ —1,4 —1,8
Для -сплавов МА2, МАЗ, МА5 —
1,7 — 2
Для сплавов АЛБ, AJI7, AJI8,
АЛ9 — 1,3 — 1,8
Для сплавов Д16, АК2, АК8 —
1,6	—1,8
Для сталей р находят из таб¬
лицы, приведенной для схемы 5
Для сплава МЛ4 ОД—
—0,12 j—0,4 —0,8
Для сплавов МА2, МАЗ,
М А5 — 07 — 1
Для сплавов АЛ5, АЛ7,
АЛ8, АЛ9 —0,3 —0,8
Для сплавов Д16, АК2,
АК8 — 0,6 — 0,8
Валы, оси с выточ¬
ками
м
1
V
•*-
~ f
\
Изгиб
Схема определения иско¬
мой величины а показана
пунктиром
ST2 i (НШШШР
Для стали
при d = 30 — 50 мм и = 1
О 0! 0.2 (Яф
1	— ов = 100 кГ/мм2
2	— ов = 50 кГ/мм2
Для сталей при
с < 50 кГ/мм2
t
г
г
d
я
0,02
0,6
0,05
0,69
0,5
0,10
0,74
0,15
0,75
0,20
0,75

Схема нагружения
элемента конструкции
или ‘детали
Теоретический коэффициент
концентрации напряжений а
Продолжение приложения 2
Эффективный коэффициент
концентрации напряжений р
Коэффициент чувствительности
к концентрации напряжений
4 а - 1
При — Ф 1
Значения
графика
V
%0
0,75
0,5
Q25
Pv = 1 + v (Р— 1)
находятся из
f-
0	1	2	t/r
Некоторые значения р
t
г
г
d
Q
0,02
0,5
0,05
0,59
1,0
0,10
0,72
0,15
0,74
0,20
0,75
0,02
0,45
0,05
0,57
2,0
0,10
0,72
0,15
0,72
0,20
0,74
t
т
<7g, КГ/ММ2
г
d
< 50
80
> 100
0,02
1,77
2,02
2,22
П с
0,05
1,72
1,87
1,98
и«э
0,10
1,59
1,69
1,77
0,15
1,45
1,53
1,59
0,20
1,37
1,41
1,45
Для сталей при св =
= 80 кГ/мм2
0,5
0,02
0,78
0,05
0,83
0,10
0,84
0,15
0,84
0,20
0,85

1,0
0,02
0,05
0,10
0,15
0,20
1,85
1,80
1,65
1,50
1,45
2,12
1,96
1,76
1,58
1,48
2,35
2,10
1,85
1,65
1,50
1,0
0,02
0,05
0,10
0,15
0,20
0,66
0,71
0,84
0,85
0,86
2,0
0,02
0,05
0,10
0,15
0,20
1,92
1,86
1,70
1,54
1,48
2,21
2,03
1,82
1,63
1,52
2,46
2,19
1,92
1,70
1,54
2,0
0,02
0,05
0,10
0,15
0.20
0,59
0,69
0,84
0,85
0,87
Для сталей при
100 кГ/мм2
св>
t
г
г
~
я
0,5
0,02
0,05
0,10
0,15
0,20
0,9
0,93
0,94
0,95
0,95
1,0
0,02
0,05
0,10
0,15
0,20
0,8
0,82
0,94
0,94
0,94
2,0
0,02
0,05
0,10
0,15
0,20
0,71
0,8
0,93
0,94
0,94

Схема вагружения
элемента конструкции
или летали
Теоретический коэффициент
концентрации напряжений а
Продолжение приложения 2
Эффективный коэффициент
концентрации напряжений 3
Коэффициент чувствительности
к концентрации напряжений
4 а —1
Для серого чугуна при ов =
= 29 кГ/мм2
При d = 8 мм и — ^ ^ = 0,33
0 0,1 0,2 №г№
При	Ф	0.33	р,	=	vp
D
Значения
графика
Для сплавов = 8 мм;
= 1,25 — 1,5 j
МЛ4 — 0.4 — 1
МА2, МАЗ. МА5 — 0.7 — 1
АЛ5, AJI7, АЛ8, АЛ9 —
0	— 03
Д16, АК2, АК8 —0.5 —1
находятся из
0J й
2 азмз!

6. Валы, оси с выточ¬
ками
Кручение
Схема определения иско¬
мой величины а показана
пунктиром
Для сплавов ^ = 8 мм —
= 1,25—1.5)
МЛ4 —1,4 —2
МА2, МАЗ, МА5 —1,7 —2
АЛ5. АЛ7, АЛ8, АЛ9 —1—1.3
Д16. АК2. АК8 —1.5 —2
Для сталей
Для сталей
при св < 50 кГ/мм2
i
г
г
~d
ав, кГ/мм2
< 50
80
> 100
0.5
0,02
0,05
ОДО
0,15
0,20
1,46
1.43
1,36
1,27
1,22
1,61
1,52
1,42
1,32
1,25
1,73
1,60
1,46
1,36
1.27
t
Т
г
~d
я
1,0
0,02
0.05
ОДО
0,15
0,20
0.64
0,74
0,81
0.91
1,00
1.0
0.02
0,05
0,10
0,15
0,20
1,51
1,48
1.39
1.30
1.27
1,67
1,58
1,47
1,35
1,29
1,81
1,66
1.51
1.39
1.30
2,0
0,02
0,05
ОДО
0,15
0,20
0,49
0,72
0,76
0,77
0,96
2.0
0,02
0.05
0,10
0,15
0.20
1.56
1.51
1,42
из
1,29
1,73
1,62
1,50
1,38
1,30
1.87
1.71
1.56
1,42
1,32

№ П/D
Схема нагружения
элемента конструкции
или детали
Теоретический коэффициент
концентрации напряжений а
Продолжение приложения 2
Эффективный коэффициент
концентрации напряжений р
Коэффициент чувствительности
к концентрации напряжений
,-£и1
4 а —1
t
г
г
~d
■1
при <JB =
= 80 кГ/мм2
0,02
0,84
А П
0,05
0,89
1*и
0,10
0,98
0,15
1,06
0,20
1,07
0,02
0,47
0,05
0,73
2,0
0,10
0,91
0,15
0,91
0,20
1,00
при Св>100 кГ/мм2
0,02
1,01
0,05
1.02
1.0
0,10
1,06
0,15
1,14
0,20
1.15

Валы, оси с выточ
нами
Изгиб
При d = 8 мм; —-г— =
а
= 1,02 — 1,6
г = 0,05 мм; -4- = 0.006;
а
= 4 — 4,5; а = 4.5 —6
Валы, оси с попе¬
речными круглыми
отверстиями
Иr-iFii«
О®
2,0
При = 0,1 — 0,33
Изгиб
2,0
0,02
0.76
0,05
0.84
0,10
1.00
0,15
1.00
0,20
1,07
Для сплавов
МЛ4 —1,8 —4,3
МА2, МАЗ, МА5 — 1,9 — 2,5
А Л 5, АЛ7, АЛ8, АЛЯ — 1 —1,4
Д16, АК2, АК8 —1,1—2,6
Для сплавов
МЛ4 —0,2 —0,8
МА2, МАЗ, МА5 —0.25-
— 0,26
АЛ5, АЛ7, АЛ8, АЛ9 —
_0 — 0.07
Д16, АК2, АК8 — 0.03 —
—	0.27
Для сталей
Для сталей — 0,7 — 1,0
ft
2Л
1,8
1А
J
Г
2
1
40 QQ 80 100
0S, КГ/ММ*

Схема нагружения
элемента конструкции
или детали
Теоретический коэффициент
концентрации напряжений а
Продолжение приложения 2
Эффективный коэффициент
концентрации напряжений р
Коэффициент чувствительности
к концентрации напряжений
q = T=\
1 —' Д- = 0,05 — 0,1
а
2—4- = 0,15 —0,25 (d = 30 —
а
50 мм)
Некоторые числовые значения
Р приведены в таблице
а
ав, кГ/мм2
Т
50
60
80
100
0.05—0.1
1.90
1,95
2,05
2,15
0,15—0.25
1.74
1,77
1,86
1.95
Для серого чугуна с ав =
а
= 20 кГ/мм2 и при -j =
= 0.1-0,15
/
1,2
% 20 30 40(1/1»

при других величинах ов сле¬
дует применять поправочный
коэффициент 5, который нахо¬
дится с помощью нижеприве¬
денного графика
Верхняя граница соответствует
высоколегированным чугунам,
нижняя — малолегированным
чугунам
Валы, оси с попе¬
речным круглым
отверстием
К\	^	Г")	Мк
(fflc
Кручение
Для сталей при d = 30 — 50 мм
И 4- = 0,05 — 0.25
а
40 60
80 100
б^кГ/т2
Некоторые числовые значения р,
соответствующие графику, при¬
ведены в таблице

Схема нагружения
элемента конструкции
или детали
Теоретический коэффициент
концентрации напряжений а
I
i
Продолжение приложения 2
Эффективный коэффициент
концентрации напряжений р
Коэффициент чувствительности
к концентрации напряжений
e-Lzl
4 0 — 1
а
ав, кГ/мм2
Т
50
60
80
100
0,05—
—0,25
1,75
1,78
1,83
1,92
Для серого чугуна с ав =
= 22 кГ/мм2 и при ~ — 0,1
1**
:р\*г\ iihlj
jo л? за 40 ш

Валы, оси с одной
и двумя шпоночны¬
ми канавками
Изгиб
Для расчетов: при одной шпо¬
ночной канавке
ТД7 _ bt(d — tf
и ~ 32
2d
при двух шпоночных канавках
W„ и
bt (d — t)2
" 32
d
где Wn — момент сопротивле¬
ния сечения при изгибе.
Для сталей
, кГ /мм2
P
50
1,5
60
1,6
70
1,72
80
1,8
90
1,9
100
2.0

JNfo п/п
ОЭ
to
Схема нагружения
элемента конструкции
или детали
Теоретический коэффициент
концентрации напряжений а
Кручение
Продолжение приложения 2
Эффективный коэффициент
концентрации напряжений р
Коэффициент чувствительности
к концентрации напряжений
Для расчетов: при одной шпо¬
ночной канавке
bt(d — t)2
16	2d
при двух шпоночных канавках
w -.’W*3 bt(d — t)г
•'•'к - 16	d
где WK — момент сопротивле¬
ния сечения при кручении.
Для сталей
ств, кГ/мм2
50
1.4
60
1.5
70
1.6
80
1,7
90
1.8
100
1.9

Валы, оси со шли¬
цевыми (зубчаты¬
ми) участками
Изгиб
Для сталей при расчетах в слу¬
чае прямобочных шлицев мо¬
мент сопротивления сечения
определяют по формуле
где d внутренний диаметр;
6 — поправочный коэффициент,
равный:
для легкой серии 1,09 — 1,16;
для средней серии 1,14 **—
1.27:
для тяжелой серии —1,14 ^—
1,39
Меньшие значепия £ соответ¬
ствуют большим d
Для эвольвентных шлицевых
соединений Wn определятся
как для сплошного круглого
сечения с диаметром, равным
диаметру делительной окруж¬
ности

Продолжение приложения 2
Схема нагружения
Коэффициент чувствительности
Теоретический коэффициент
Эффективный коэффициент
к концентрации напряжений
ЕЭ -
элемента конструкции
или детали
концентрации напряжений а
концентрации напряжений р
4 а - 1
Р
ств»
Прямоуголь¬
Эвольвентные
кГ/мм2
ные шлицы
шлицы
(ГОСТ 1139—
53)
(ГОСТ 6033—
51)
1
40
1,35
1,35
50
1,45
1,45
60
1,55
1,55
70
1,60
1,60
80
1,65
1,65
90
1,70
1,70
100
1,72
1,72
120
1,75
1,75
Кручение
Для прямобоких шлицев
Р
Для црямобоких шли¬
ав»
Прямоуголь¬
Эвольвентные
кГ/мм2
ные шлицы
шлицы
цев — 0,5 —1,2
а = 2,5 — 3,2
(ГОСТ 1139 —
(ГОСТ 6033 —
Для эвольвентцвдх шли»
53)
51)
цев ^ 0,8 « 3,0
Для эвольвентных шли¬
40
2,10
1,40
цев
50
2,25
1,43
а = 1*2 — 1,5
60
70
80
90
100
120
235
2,45
2,55
2,65
2,70
2,80
1,46
1,49
1,52
1,55
1,58
1,60

Некоррегированные
шестерни эволь-
вентного профиля
с углом а = 20°
при нагрузке, при¬
ложенной к верши¬
не зуба
При количестве зубьев
*	= 20--80
от
2,2
18
Vt
1,0 V 2,6 s/i
Момент сопротивления сечения
с прямобокими шлицами при
кручении
WK = 2Wa
Для эвольвентных шлицевых
соединений WK определяется
как для сплошного круглого
сечения с диаметром, равным
диаметру делительной окруж¬
ности
Для сталей
Я
0,8
0Ао 2 4 6rt,m

п/п ДО
Продолжение приложения 2
Схема нагружения
элемента конструкции
или детали
Теоретический коэффициент
концентрации напряжений а
Эффективный коэффициент
концентрации напряжений (3
Коэффициент чувствительности
к концентрации напряжений
q ~ а — 1
1	— = 0,124 — 0,222
т
Для чугуна — 1,2 —* 1,3
00
сГ
II
«ф"
[
г	— = 0,124 —0,17
т
2	— =0,7
°в
3	— = 0,258 ■— 0,36
т
°т
3		 = 0,6
Ов
4	Я- = 0,305 — 0,317
т
4 °т - 0,55
0D
5	— — 0,55
т
В
5— ^2-= 0,4 —0,5
6 _ Л-= 0,495 — 0,6
т
°в
Здесь: s — толщина осно¬
вания зуба в опасном се¬
чении; 1 <— плечо дейст¬
вия изгибающей силы.
т —* модуль зацеп л ения;
Г\ —»радиус закругления
вершины зуба инстру¬
мента

Болтовые соедине¬
ния при растяже¬
нии — сжатии для
d = 12 мм
Прямоугольная
ступенчатая полоса
Растяжение — сжа¬
тие
2J5
2,0
15
го
&
&
■А
$
£
а 0,2 D/t 0,6 ф
Для сталей
ив»
кГ/мм2 |
40
60
80
100
метрическая
резьба
3,0
3,9
4,8
5.2
дюймовая
резьба
2,2
2,9
3,5
3,8
Значения q могут быть
взяты из графика, при¬
веденного для схемы 12

Продолжение приложения 2
в Схема нагружения
"н элемента конструкции
или детали
Теоретический коэффициент
концентрации напряжений а
Эффективный коэффициент
концентрации напряжений Р
Коэффициент чувствительности
к концентрации напряжений
4 а —1
15.
Прямоугольная
ступенчатая полоса
Изгиб
О Q2 0,Ь Q6 r/h
1 = 1 + 9(а_1)
Значения q могут быть
взяты из графика, приве¬
денного для схемы 12
16. Прямоугольная
пластина с отвер¬
стием
Растяжение — сжа¬
тие
_d_
в
Для сталей
0
3,0
од
3,03
0,2
3,14
0,3
3,36
0,4
3,74
0,5
4,32
Р
1,6
1,2.
J0 50 70 90 110
бв,нГ/мм2
Для сплавов МА2, МАЗ, МА5, Д16, АК2, АК8 при В •
= 40 мм\ d = 1 — 6 мм\ толщине h = 1,5 — 5 мм
2,5-3	|	1,2 —1,8
Для сталей
ав> кГ/мм2
в
60
80
100
0
0,3
0,4
0,48
ОД
0,3
0,39
0,47
0,2
0,28
0,36
0,44
0,3
0,25
0,34
0,4
0,4
0 22
0,29
0,35
0,5
0,18
0,24
0,29
0,1—0,53

Прямоугольная
пластина с отвер¬
стием
Изгиб
Для сталей
Р
W
12
Ц8_
30 50 70 90 110
6в, кГ/мм*
Некоторые значения q при
B/h = 3 и ■— = 0,1 — 0,9
£>
Для стали с ав =
= 60 кГ/мм2 — 0,37 — 1.46;
ав = 80 кГ/мм2 — 0,5 — 2
ав = 100 кГ/мм2 — 0,63 —
—	2,5
Для сплавов МА2, МАЗ, МА5, Д16, АК2, АК8 при В = 40 мм;
d = 1 — 6 мм; h = 1,5 — 5 мм
1,6 —2,5	|	1,3	—1,8
0,2 —1,3
Прямоугольная
пластина с боко¬
выми вырезами
р
\
Ь-Г
00
р
(
Растяжение — сжа¬
тие
0,2 № 0,6 г/Ь
1=1 + 9(а-1)
Значения q могут быть
взяты из графика, приве¬
денного для схемы 12

Продолжение приложения 2
к Схема нагружения
д элемента конструкции
или детали
Теоретический коэффициент
концентрации напряжений а
Эффективный коэффициент
концентрации напряжений (3
Коэффициент чувствительности
к концентрации напряжений
4 а — 1
19.
Прямоугольная
пластина с боко¬
выми вырезами
P = l + g(a — 1)
Значения q могут быть
взяты из графика, приве¬
денного для схемы 12
Изгиб
0,2 ОА 0,5 г/Ь
20.
Прямоугольная
пластина с боко¬
выми вырезами
-Г\.
м j м
(□цф)
Изгиб
Для сплавов МА2, МАЗ, МА5, Д16, АК2, АК8 при В = 12 мм\
г = 16 мм: h — 0,5 мм
1.5 — 2
0,5 — 1
21.
Полоса с односто¬
ронним или с двух¬
сторонним надрезом
Для сплавов МА2, МАЗ, МА5 при г = 0,02 — 0,05 мм; -у- = 3 =» 15;

Приложенае 3
Функции Крылова $, Т, U, V
1
S (kz) вв.у (ch kz + cos kz)\
1
T (kz) = у (sh kz + sin kz);
1
U (kz) = ^ (ch kz « cos kz);
1
V (kz) = (sh kz — sin kz)t
причем
S'
(kz) =
AF (fez);
S" (kz) =
= kW (kz);
S'"
(A:z) —
W (fcz);
T'
(kz) =
W (Az);
Г (Az) =
= кгГ (kz);
2v//
(*z) =
ft3Z7 (A?«);
U'
(fcz) =
(Arz);
г/" (kz) =
= k2S (kz);
' (kz) =
: Л3Г (А*);
V'
(b) =
kU {kz);
F" (fcz) =
= кгТ (kz);
(/C2) =
k*S (kz)
Н
8 (bz)
T(h2)
U (hi)
У (hz)
0,00
1,00000
0,00000
0,00000
0,00000
0,01
1,00000
0,01000
0,00005
0,00000
0,02
1,00000
0,02000
0,00020
0,00000
0,03
1,00000
0,03000
0,00045
0,00000
0,04
1,00000
0,04000
0,00080
0,00001
0,05
1,00000
0,05000
0,00125
0,00002
0,06
1,00000
0,06000
0,00180
0,00004
0,07
1,00000
0,07000
0,00245
0,00006
0,08
1,00000
0,08000
0,00320
0,00009
0,09
1,00000
0,09000
0,00405
0,00012
0,10
1,00000
0,10000
0,00500
0,00017
0,11
1,00001
0,11000
0,00605
0,00022
0,12
1,00001
0,12000
0,00720
0,00029
0,13
1,00001
0,13000
0,00845
0,00037
0,14
1,00002
0,14000
0,00980
0,00046
0,15
1,00002
0,15000
0,01125
0,00056
0,16
1,00003
0,16000
0,01280
0,00068
0,17
1,00003
0,17000
0,01445
0,00082
0,18
1,00004
0,18000
0,01620
0,00097
0,19
1,00005
0,19000
0,01805
0,00115
0,20
1,00007
0,20000
0,02000
0,00134
0,21
1,00008
0,21000
0,02205
0,00155
0,22
1,00010
0,22000
0,02420
0,00178
0,23
1,00012
0,23000
0,02645
0,00203
0,24
1,00014
0,24000
0,02880
0,00231
0,25
1,00016
0,25000
0,03125
0,00261
0,26
1,00019
0,26001
0,03380
0,00293
0,27
1,00022
0,27001
0,03645
0,00328
0,28
1,00026
0,28001
0,03920
0,00366
0,29
1,00029
0,29001
0,04205
0,00407
682

Продолжение приложения 3
kz
s (kz)
T (kz)
U (kz)
V(hz)
0,30
1,00034
0,30002
0,04500
0,00450
0,31
1,00038
0,31002
0,04805
0,00497
0,32
1,00044
0,32003
0,05120
0,00546
0,33
1,00049
0,33003
0,05445
0,00599
0,34
1,00055
0,34004
0,05780
0,00655
0,35
1,000625
0,35004
0,06125
0,00715
0,36
1,00070
0,36005
0,06480
0,00778
0,37
1,00078
0,37006
0,06845
0,00844
0,38
1,00086
0,38006
0,07220
0,00915
0,39
1,00096
0,39007
0,07605
0,00989
0,40
1,00106
0,40008
0,08000
0,01067
0,41
1,00117
0,41009
0,08405
0,01149
0,42
1,00129
0,42011
0,08820
0,01235
0,43
1,00142
0,43012
0,09245
0,01325
0,44
1,00156
0,44014
0,09681
0,01420
0,45
1,00171
0,45015
0,10126
0,01519
0,46
1,00186
0,46017
0,10581
0,01625
0,47
1,00203
0,47019
0,11047
0,01731
0,48
1,00221
0,48021
0,11522
0,01844
0,49
1,00240
0,49023
0,12007
0,01961
0,50
1,00260
0,50026
0,12502
0,02084
0,51
1,00280
0,51029
0,13007
0,02211
0,52
1,00304
0,52031
0,13522
0,02344
0,53
1,00329
0,53024
0,14048
0,02481
0,54
1,00354
0,54038
0,14583
0,02624
0,55
1,00381
0,55042
0,15129
0,02773
0,56
1,00410
0,56046
0,15684
0,02927
0,57
1,00440
0,57050
0,16250
0,03037
0,58
1,00471
0,58054
0,16825
0,03253
0,59
1,00505
0,59060
0,17411
0,03424
0,60
1,00540
0,60074
0,18006
0,03601
0,61
1,00577
0,61070
0,18612
0,Q3784
0,62
1,00616
0,62076
0,19228
0,03973
0,63
1,00656
0,63082
0,19853
0,04169
0,64
1,00699
0,64089
0,20489
0,04369
0,65
1,00742
0,65097
0,21136
0,04578
0,66
1,00790
0,66104
0,21791
0,04793
0,67
1,00830
0,67112
0,22458
0,05013
0,68
1,00891
0,68121
0,23134
0,05248
0,69
1,00945
0,69130
0,23820
0,05477
0,70
1,01000
0,70140
0,24516
0,05718
0,71
1,01059
0,71150
0,25223
0,05967
0,72
1,01120
0,72161
0,25939
0,06223
0,73
1,01183
0,73173
0,26666
0,06486
0,74
1,01249
0,74185
0,27403
0,06756
0,75
1,01318
0,75198
0,28149
0,07034
0,76
1,01390
0,76211
0,28906
0,07319
683

Продолжение ni
риложения 8
kz
S {kz)
г (kz)
U (kz)
V(kz)
0,77
1,01465
0,77226
0,29674
0,07612
0,78
1,01542
0,78240
0,30451
0,07913
0,79
1,01623
0,79256
0,31238
0,08228
0,80
1,01707
0,80273
0,32036
0,08538
0,81
1,01794
0,81290
0,32844
0,08862
0,82
1,01884
0,82309
0,33662
0,09194
0,83
1,01978
0,83328
0,34490
0,09535
0,84
1,02075
0,84348
0,35329
0,09885
0,85
1,02175
0,85380
0,36177
0,10242
0,86
1,02280
0,86392
0,37036
0,10608
0,87
1,02388
0,87415
0,37905
0,10983
0,88
1,02500
0,88440
0,38785
0,11366
0,89
1,02615
0,89465
0,39674
0,11758
0,90
1,02735
0,90492
0,40573
0,12159
0,91
1,02858
0,91520
0,41483
0,12570
0,92
1,02986
0,92549
0,42404
0,12990
0,93
1,03118
0,93082
0,43335
0,13418
0,94
1,03254
0,94612
0,44275
0,13856
0,95
1,03395
0,95645
0,45227
0,14303
0,96
1,03540
0,96679
0,46188
0,14761
0,97
1,03690
0,97716
0,47161
0,15297
0,98
1,03845
0,98753
0,48143
0,15704
0,99
1,04005
0,99793
0,49136
0,16190
1,00
1,04169
1,00833
0,50139
0,16687
1,01
1,04338
1,01876
0,51152
0,17193
1,02
1,04513
1,02920
0,52176
0,17710
1,03
1,04693
1,03953
0,53211
0,18237
1,04
1,04878
1,05014
0,54256
0,18774
1,05
1,05068
1,06064
0,55311
0,19322
1,06
1,05264
1,07116
0,56377
0,19880
1,07
1,05466
1,08169
0,57454
0,20449
1,08
1,05673
1,09225
0,58540
0,21029
1,09
1,05887
1,10283
0,59638
0,21620
1,10
1,06106
1,11343
0,60746
0,22222
1,11
1,06333
1,12405
0,61865
0,22835
1,12
1,06562
1,13469
0,62995
0,23460
1,13
1,06800
1,14536
0,64134
0,24095
1,14
1,07044
1,15605
0,65285
0,24742
1,15
1,07295
1,16677
0,66446
0,25401
1,16
1,07552
1,17750
0,67619
0,26071
1,17
1,07816
1,18828
0,68801
0,26753
1,18
1,08087
1,19908
0,69995
0,27447
1,19
1,08365
1,20990
0,71200
0,28153
1,20
1,08651
1,22075
0,72415
0,28871
1,21
1,08934
1,23163
0,73641
0,29601
1,22
1,09243
1,24254
0,74878
0,30344
6»4

Продолжение приложения 3
kz
S(hz)
Т (kz)
U (kz)
V (kz)
1,23
1,09550
1,25348
0,76196
0,31099
1,24
1,09865
1,26444
0,77385
0,31867
1,25
1,10187
1,27545
0,78658
0,32647
1,26
1,10518
1,28648
0,79936
0,33439
1,27
1,10856
1,29750
0,81228
0,34245
1,28
1,11203
1,30866
0,82531
0,35064
1,29
1,11557
1,31980
0,83845
0,35896
1,30
1,11920
1,33097
0,85163
0,36741
1,31
1,12292
1,34218
0,86507
0,37600
1,32
1,12673
1,35343
0,87855
0,38471
1,33
1,13062
1,36471
0,89214
0,39357
1,34
1,13460
1,37604
0,90585
0,40256
1,35
1,13867
1,38740
0,91966
0,41169
1,36
1,14283
1,39881
0,93336
0,42096
1,37
1,14709
1,41026
0,94764
0,43035
1,38
1,15144
1,42175
0,96180
0,43991
1,39
1,15588
1,43329
0,97607
0,44959
1,40
1,16043
1,44487
0,99047
0,45933
1,41
1,16507
1,45655
1,00497
0,46941
1,42
1,16982
1,46817
1,01959
0,47952
1,43
1,17466
1,47990
1,03434
0,48980
1,44
1,17961
1,49167
1,04920
0,50021
1,45
1,18467
1,50349
1,06417
0,51078
1,46
1,18984
1,51537
1,07926
0,52149
1,47
1,19510
1,52728
1,09448
0,53237
1,48
1,20048
1,53926
1,10981
0,54339
1,49
1,20597
1,55130
1,12526
0,55456
1,50
1,21157
1,56338
1,14083
0,56590
1,51
1,21729
1,57553
1,15653
0,57738
1,52
1,22312
1,58773
1,17235
0,58903
1,53
1,22907
1,59999
1,18828
0,60083
1,54
1,23514
1,61231
1,20435
0,61279
1,55
1,24132
1,62469
1,22053
0,62492
1,56
1,24769
1,63714
1,23679
0,63720
1,57
1,25407
1,64965
1,25327
0,64965
1,58
1,26063
1,66222
1,26983
0,66226
1,59
1,26732
1,67486
1,28652
0,67504
1,60
1,27413
1,68757
1,30333
0,68800
1,61
1,28108
1,70034
1,32027
0,70112
1,62
1,28815
1,71319
1,33734
0,71441
1,63
1,29536
1,72608
1,35453
0,72786
1,64
1,30271
1,73910
1,37186
0,74149
1,65
1,31019
1,75216
1,38932
0,75530
1,66
1,31782
1,76530
1,40690
0,76928
1,67
1,32558
1,77852
1,42462
0,78344
1,68
1,33348
1,79181
1,44248
0,79778
1,69
1,34154
1,80519
1,46046
0,81229
685

Продолжение приложения 3
кг
8 (kz)
T(hz)
U (kz)
V(kz)
1,70
1,34974
1,81864
1,47858
0,82699
1,71
1,35808
1,83219
1,49683
0,84186
1,72
1,36657
1,84581
1,53523
0,85692
1,73
1,37522
1,85952
1,53375
0,87216
1,74
1,38401
1,87331
1,55242
0,88759
1,75
1,39297
1,88820
1,57122
0,90321
1,76
1,40208
1,90117
1,59016
0,91903
1,77
1,41135
1,91524
1,60924
0,93502
1,78
1,42078
1,92940
1,62846
0,95120
1,79
1,43038
1,94366
1,64783
0,96759
1,80
1,44013
1,95801
1,66734
0,98416
1,81
1,45006
1,97246
1,68699
1,00093
1,82
1,46015
1,98697
1,70679
1,02191
1,83
1,47042
2,00166
1,72673
1,03507
1,84
1,48086
2,01642
1,74682
1,05244
1,85
1,49147
2,03128
1,76706
1,07001
1,86
1,50225
2,04625
1,78745
1,08778
1,87
1,51322
2,06133
1,80798
1,10576
1,88
1,52437
2,07652
1,82868
1,12394
1,89
1,53570
2,09182
1,84952
1,14233
1,90
1,54722
2,10723
1,87051
1,16093
1,91
1,55892
2,12276
1,89166
1,17974
1,92
1,57081
2,13841
1,91297
1,19877
1,93
1,58290
2,15418
1,93443
1,21800
1,94
1,59518
2,17006
1,95605
1,23745
1,95
1,61265
2,18608
1,97783
1,25713
1,96
1,62032
2,20222
1,99977
1,27701
1,97
1,63319
2,21849
2,02187
1,29712
1,98
1,64626
2,23489
2,04415
1,31745
1,99
1,65954
2,25142
2,06707
1,33800
2,00
1,67302
2,26808
2,08918
1,35878
2,01
1,68671
2,28337
2,11193
1,37828
2,02
1,70062
2,30181
2,13487
1,40102
2,03
1,71474
2,31889
2,15797
1,42249
2,04
1,72907
2,33611
2,18125
1,44418
2,05
1,74362
2,35347
2,20470
1,46611
2,06
1,75840
2,37098
2,22832
1,48827
2,07
1,77360
2,38864
2,25212
1,51068
2,08
1,78861
2,40645
2,27609
1,53332
2,09
1,80405
2,42441
2,30024
1,55620
2,10
1,81973
2,44253
2,32458
1,57933
2,11
1,83565
2,46081
2,34910
1,60269
2,12
1,85179
2,47925
2,37380
1,62630
2,13
1,86817
2,49785
2,39868
1,65017
2,14
1,88479
2,51661
2,42375
1,67428
2,15
1,90165
2,53554
2,44902
1,69865
2,16
1,91876
2,55464
2,47447
1,72327

Продолжение приложения 8
kl
Ъ (\z)
т (kz)
и (kz)
V (kz)
2,17
1,93612
2,57392
2,50011
1,74813
2,18
1,95S73
2,59337
2,52594
1,77326
2,19
1,97158
2,61300
2,55198
1,79865
2,20
1,98970
2,63208
2,57820
1,81431
2,21
2,00807
2,65279
2,60464
1,85022
2,22
2,02671
2,67296
2,63126
1,87640
2,23
2,04560
2,69332
2,65810
1,90285
2,24
2,06476
2,71388
2,68513
1,92956
2,25
2,08420
2,73462
2,71237
1,95655
2,26
2,10390
2,75556
2,73982
1,98381
2,27
2,12387
2,77670
2,76748
2,01135
2,28
2,14412
2,79804
2,79536
2,03916
2,29
2,16465
2,81958
2,82345
2,06725
2,30
2,18547
2,84133
2,85175
2,09563
2,31
2,20657
2,86329
2,88027
2,12429
2,32
2,22795
2,88546
2,90902
2,15324
2,33
2,24964
2,90785
2,93798
2,18247
2,34
2,27161
2,93045
2,96717
2,21200
2,35
2,29388
2,95328
2,99659
2,24182
2,36
2,31645
2,97634
3,02624
2,27193
2,37
2,33932
2,99962
3,05612
2,30234
2,38
2,36250
3,02312
3,08624
2,33306
2,39
2,38598
3,04686
3,11658
2,36406
2,40
2,40978
3,07084
3,14717
2,39539
2,41
2,43389
3,09506
3,17800
2,42700
2,42
2,45832
3,11952
3,20907
2,45895
2,43
2,483С7
3,14423
3,24039
2,49119
2,44
2,50814
3,16919
3,27196
2,52375
2,45
2,53354
3,19439
3,30378
2,55664
2,46
2,56927
3,21986
3,33585
2,58983
2,47
2,58535
3,24558
3,36817
2,62335
2,48
2,61174
3,27156
3,40076
2,65720
2,49
2,63848
3,29781
3,43360
2,69136
2,50
2,66557
3,32433
3,46672
2,72587
2,51
2,69300
3,35113
3,50010
2,76070
2,52
2,72079
3,37820
3,53374
2,79584
2,53
2,74893
3,40555
3,56765
2,83137
2,54
2,77742
3,43318
3,60175
2,86722
2,55
2,80627
3,46110
3,63632
2,90342
2,56
2,83549
3,48931
3,67107
2,93995
2,57
2,86507
3,51780
3,70061
2,97683
2,58
2,89502
3,54660
3,74144
3,01408
2,59
2,92535
3,57571
3,77705
3,05167
2,60
2,95606
3,60511
3,81295
3,08962
2,61
2,98714
3,63483
3,84915
3,12793
2,62
3,01862
3,66486
3,88565
3,16660

Продолжение приложения 3
kz
8 (кг)
Т (kz)
У (kz)
2,63
3,05047
3,69521
3,92235
3,20564
2,64
3,08273
3,72587
3,95955
3,24505
2,65
3,11538
3,75186
3,99696
3,28483
2,66
3,14843
3,78818
4,03469
3,32499
2,67
3,18188
3,81984
4,07273
3,36552
2,68
3,21755
3,85182
4,11108
3,40645
2,69
3,25001
3,88415
4,14926
3,44775
2,70
3,28470
3,91682
4,18877
3,48944
2,71
3,31980
3,94985
4,22810
3,53152
2,72
3,3и533
3,92321
4,26717
3,57401
2,73
3,39128
4,01695
4,30777
3,61688
2,74
3,42767
4,05105
4,34811
3,66017
2,75
3,46449
4,08550
4,38879
3,70384
2,76
3,50175
4,12034
4,42982
3,74794
2,77
3,53945
4,15554
4,47120
3,79244
2,78
3,57760
4,19112
4,51293
3,83736
2,79
3,61619
4,22709
4,55503
3,88271
2,80
3,65525
4,26345
4,59748
3,92847
2,81
3,69476
4,30020
4,64030
3,97465
2,82
3,73493
4,33735
4,68330
4,02127
2,83
3,77520
4,37490
4,72705
4,06832
2,84
3,81612
4,41285
4,77098
4,11582
2,85
3,85751
4,45122
4,81530
4,16375
2,86
3,89940
4,49001
5,86000
4,21212
2,87
3,94176
4,52921
4,90510
4,26095
2,88
3,98461
4,56884
4,95059
4,31028
2,89
4,02796
4,60891
4,99648
4,35996
2,90
4,07181
4,64940
5,04277
4,41016
2,91
4,11617
4,69034
5,08947
4,46082
2,92
4,16103
4,73173
5,13658
4,51195
2,93
4,20640
4,77357
5,18410
4,56355
2,94
4,25230
4,81586
5,23206
4,61563
2,95
4,29875
4,85862
5,28042
4,66820
2,96
4,34567
4,90181
5,32923
4,72124
2,97
4,39315
4,94553
5,37846
4,77478
2,98
4,44117
4,98970
5,42814
4,82881
2,99
4,48972
5,03435
5,47825
4,88335
3,00
4,53883
5,07949
5,52883
4,95838
3,01
4,58850
5,12513
5,57985
4,99392
3,02
4,63872
5,17127
5,63133
5,04998
3,03
4,68950
5,21791
5,68327
5,10655
3,04
4,74085
0,26556
5,73569
5,16364
3,05
4,79277
5,31272
5,78858
5,22126
3,06
4,84527
5,36090
5,84195
5,27942
3,07
4,89836
5,40963
5,89580
5,33810
3,08
4,95204
5,45888
5,95014
5,39734
3,09
5,00631
5,50868
6,00498
5,45711
688

П родолжепие приложения 3
hi
Б (kz)
Т (kz)
и (kz)
У (kz)
здо
5,06118
5,55901
6,06032
5,51744
3,11
5,11666
5,60990
6,11616
5,57832
3,12
5,17275
5,66135
6,17252
5,63976
ЗДЗ
5,22931
5,71336
6,22936
5,70177
3,14
5,28678
5,76594
6,28678
5,76435
3,15
5,34475
5,81910
6,34471
5,82751
ЗД6
5,40316
5,87284
6,40317
5,89125
3,17
5,46257
5,92717
6,46217
5,95657
ЗД8
5,52245
5,98209
6,52171
6,02049
3,19
5,58298
6,03762
6,58182
6,08601
3,20
5,64418
6,09375
6,64247
6,15213
3,21
5,70603
6,15050
6,70369
6,21885
3,22
5,76855
6,20787
6,76349
6,28621
3,23
5,83161
6,26588
6,82800
6,35417
3,24
5,89564
6,32451
6,89080
6,42277
3,25
5,96021
6,38379
6,95384
6,49199
3,26
6,02535
6,44372
7,01848
6,56185
3,27
6,09145
6,50431
7,08322
6,63236
3,28
6Д5813
6,56555
7,14857
6,70352
3,29
6,22552
6,62747
7,21454
6,77533
3,30
6,29364
6,69006
7,28112
6,84782
3,31
6,36248
6,75334
7,34833
6,92095
3,32
6,43206
6,81732
7,41619
6,99478
3,33
6,50238
6,88199
7,48460
7,06928
3,34
6,57345
6,94737
7,55383
7,14448
3,35
6,64527
7,01346
7,62363
7,22036
3,36
6,71786
7,08027
7,69410
7,29696
3,37
6,79121
7,14782
7,76524
7,37425
3,38
6,86534
7,21610
7,83706
7,45226
3,39
6,94026
7,28513
7,90957
7,53099
3,40
7,01597
7,35491
7,98277
7,61045
3,41
7,09247
7,42546
8,05666
7,69065
3,42
7,16978
7,49676
8,13028
7,77159
3,43
7,24790
7,56885
8,20661
7,85326
3,44
7,32685
7,64172
8,28266
7,93573
3,45
7,40662
7,71539
8,35945
8,01893
3,46
7,48723
7,78986
8,38697
8,10291
3,47
7,51858
7,86514
8,51535
8,18768
3,48
7,65099
7,94124
8,59427
8,27322
3,49
7,73415
8,01816
8,67407
8,35956
3,50
7,81818
8,09592
8,75464
8,44671
3,51
7,90309
8,17453
8,83599
8,53466
3,52
7,98888
8,25398
8,91813
8,62343
3,53
8,07556
8,33431
9,00107
8,71302
3,54
8,16315
8,41550
9,08482
8,80346
3,55
8,25164
8,49717
9,16938
8,89472
3,56
8,34104
8,58054
9,25478
8,98685
689

Продолжение приложения 3
kz
S (kz)
T(hz)
U (kz)
V (kz)
3,57
8,43137
8,61440
9,34100
9,07982
3,58
8,52264
8,74917
9,42807
9,17367
3,59
8,61485
8,83485
9,51599
9,26838
3,60
8,70801
8,92147
9,60477
9,36399
3,61
, 8,80213
9,00902
9,69442
9,46048
3,62
8,89772
9,09751
9,78495
9,55788
3,63
8,99330
9,18696
9,87637
9,65618
3,64
9,09035
9,27738
9,96870
9,75541
3,65
9,18845
9,36878
10,06193
9,85557
3,66
9,28747
9,46116
10,15608
9,95666
3,67
9,38754
9,55453
10,25115
10,05869
3,68
9,48864
9,64891
10,34717
10,16168
3,69
9,59077
9,74430
10,44414
10,26564
3,70
9,68159
9,84072
10,54206
10,37057
3,71
9,79819
9,93819
10,64095
10,47648
3,72
9,90349
10,03670
10,74082
10,58339
3,73
10,00986
10,13626
10,84169
10,69130
3,74
10,11732
10,23690
10,94355
10,80023
3,75
10,22587
10,33861
11,04643
10,91017
3,76
10,33552
10,44141
11,15033
11,02116
3,77
10,44630
10,54533
11,25526
11,13318
3,78
10,55819
10,65034
11,36124
11,24627
3,79
10,67123
10,75649
11,46878
11,36041
3,80
10,78540
10,87377
11,57638
11,47564
3,81
10,90074
10,97221
11,68555
11,59195
3,82
11,01725
11,08180
11,79582
11,70935
3,83
11,13493
11,19255
11,90719
11,82786
3,84
11,25380
11,30449
12,01969
11,94750
3,85
11,37389
11,41763 ;
12,13329
12,06826
3,86
11,49518
11,53198
12,24803
12,19017
3,87
11,61769
11,64754 1
12,36393
12,31322
3,88
11,74145
11,76434
12,48099
12,43745
3,89
11,86646
11,88238
12,59922
12,56285
3,90
11,99271
12,00166
12,71864
12,68944
3,91
12,12024
12,12224
12,83926
12,81723
3,92
12,24905
12,24407
12,96109
12,94623
3,93
12,37917
12,36722
13,08415
13,07645
3,94
12,51059
12,49167
13,20844
13,20797
3,95
12,64333
12,61744
13,33398
13,34063
3,96
12,77740
12,74453
13,46079
13,47460
3,97
12,91283
12,87299
13,58888
13,60966
3,98
12,04960
13,00280
13,71825
13,74637
3,99
12,18775
13,13398
13,84893
13,88421
4,00
13,32730
13,26656
13,98094
14,02366
4,01
13,46823
13,40053
14,11427
14,16384
4,02
13,61057
13,5359a
14,24895
14,30565
690

Продолжение приложения 3
kz
S (kz)
T (kz)
U (kz)
V (kz)
4,03
13,75435
13,67275
14,38500
14,44882
4,04
13,89955
13,81102
14,52242
14,59335
4,05
14,04622
13,95074
14,66122
14,73228
4,06
14,19435
14,09195
14,80144
14,88658
4,07
14,34395
14,23464
14,94306
15,03530
4,08
14,49506
14,37883
15,08613
15,18545
4,09
14,64767
14,52455
15,23065
15,33703
4,10
14,80180
14,67179
15,37663
15,43007
4,11
14,95747
14,82058
15,57408
15,64456
4,12
15,11470
14,97095
15,67304
15,80055
4,13
15,27350
15,12288
15,82351
15,96304
4,14
15,43386
15,27641
15,97551
16,11703
4,15
15,59533
15,43157
16,12905
16,27755
4,16
15,75942
15,58835
16,28415
16,43962
4,17
15,92464
15,74676
16,44082
16,60324
4,18
16,09150
15,90648
16,59909
16,76844
4,19
16,26001
16,06860
16,75896
16,93522
4,20
16,43020
16,23204
16,92046
17,10363
4,21
16,60208
16,39721
17,08360
17,27121
4,22
16,77568
16,56409
17,24841
17,44530
4,23
16,95099
16,73272
17,41490
17,61862
4,24
17,12806
16,90312
17,58307
17,79360
4,25
17,30687
17,07529
17,75297
17,97028
4,26
17,48746
17,24926
17,92458
18,14867
4,27
17,66985
17,42505
18,09795
18,32878
4,28
17,85405
17,60266
18,27309
18,51064
4,29
18,04008
17,78214
18,45002
18,69425
4,30
18,22794
17,96367
18,62874
18,87964
4,31
18,41767
18,14670
18,80929
19,06683
4,32
18,60928
18,33183
18,99168
19,25583
4,33
18,80280
18,51889
19,17594
19,44667
4,34
18,99823
18,70790
19,36207
19,63935
4,35
19,19558
18,89887
19,55010
19,83392
4,36
19,39491
19,09182
19,74005
20,03037
4,37
19,59620
19,28677
19,93194
20,22872
4,38
19,79949
19,48374
20,12579
20,42901
4,39
20,00479
19,68277
20,32162
20,63121
4,40
20,21212
19,88385
20,51945
20,83545
4,41
20,42150
20,08701
20,71931
21,04164
4,42
20,63296
20,29229
20,92120
21,24985
4,43
20,84651
20,49968
21,12516
21,46007
4,44
21,06217
20,70922
21,33120
21,67235
4,45
21,27996
20,92093
21,53935
21,88670
4,46
21,49991
21,13483
21,74963
22,10315
4,47
21,72204
21,35094
21,96236
22,32170
4,48
21,94635
21,56927
22,17665
22,54240
4,49
22,17288
21,78587
22,39345
22,76524
691

Продолжепие приложения 3
kz
S (kz)
Т (kz)
U (kz)
V(kz)
4,50
22,40166
22,01274
22,61246
22,99027
4,51
22,63270
22,23791
22,83371
23,21750
4,52
22,86602
22,46540
23,05722
23,44695
4,53
23,10165
22,69524
23,28303
23,67865
4,54
23,33965
22,92744
23,51114
23,91962
4,55
23,57990
23,16204
23,74159
24,14888
4,56
23,82259
23,39905
23,97439
24,38796
4,57
24,06766
23,63850
24,20957
24,62888
4,58
24,31766
23,88041
24,44916
24,87166
4,59
24,56510
24,12481
24,68719
25,11733
4,60
24,81752
24,37172
24,92967
25,36541
4,61
25,07242
24,62117
25,17463
25,61593
4,62
25,32984
24,87318
25,42210
25,86892
4,63
25,58980
25,12777
25,67210
26,12438
4,64
25,85233
25,38498
25,92467
26,38236
4,65
26,11746
25,64483
26,14981
26,64288
4,66
26,38520
25,90734
26,43757
26,90597
4,67
26,65559
26,17254
26,69797
27,17164
4,68
26,92.865
26,44046
26,96103
27,43994
4,69
27,20440
26,71113
27,22678
27,71087
4,70
27,48287
26,98456
27,49526
27,98448
4,71
27,76410
27,26079
27,76799
28,26079
4,72
28,04810
27,53985
28,04045
28,53982
4,73
28,33490
27,82177
28,31729
28,82160
4,74
28,62454
28,106555
28,59693
29,10618
4,75
28,91704
28,39327
28,87944
29,39356
4,76
29,21242
28,68490
29,16483
29,68378
4,77
29,51072
28,97852
29,45314
29,97686
4,78
29,81197
29,27513
29,74440
30,27285
4,79
30,11619
29,57477
30,03855
30,57176
4,80
30,42341
29,87746
30,33591
30,87363
4,81
30,73367
30,18325
30,73367
31,17849
4,82
31,04699
30,49215
30,93959
31,48637
4,83
31,36340
30,80420
31,24607
31,79729
4,84
31,68295
31,11943
31,55569
32,11130
4,85
32,00565
31,43787
31,86847
32,42842
4,86
32,33153
31,75955
32,18445
32,74868
4,87
32,66063
32,08450
32,53670
33,07212
4,88
32,99298
32,41277
32,82615
33,39876
4,89
33,32862
32,74438
33,15194
33,72865
4,90
33,66756
33,07936
33,48105
34,06181
4,91
34,00976
33,41774
33,81353
34,39828
4,92
34,35554
33,79570
34,14942
34,73810
4,93
34,70464
34,10486
34,48879
35,08128
4,94
35,05718
34,45367
34,83153
35,42788
4,95
35,41320
34,80602
35,17782
35,77792
4,96
35,77275
35,16195
35,52765
36,13145
692

4,
4,
4,
5,
5,
5,
5,
5,
5,
5,
5,
5,
5,
I
6,
6,
6,
6,
6,
6,
6,
7,
7,
7,
7,
7,
7,
7,
7,
7,
5
2
7,
8,
8,
8,
I:
8,
8,
8,
8,
8,
Продолжение приложения 3
8 (kz)
36,13585
36,50253
36,87284
37,24680
41,19599
45,55370
50,36263
55,67008
61,52834
67,99531
75,13504
83,01840
91,72379
101,33790
111,95664
123,68604
134,37338
136,64336
150,96826
166,77508
184,24925
203,55895
224,89590
248,47679
274,53547
303,33425
335,16205
370,33819
409,21553
452,18406
499,67473
552,16384
610,17757
643,99272
674,29767
745,16683
823,49532
910,06807
1005,75247
1111,50710
1228,39125
1357,57558
1500,35377
1658,15549
1832,56070
T (kz)
35,52149
35,88467
36,25155
36,62214
40,54105
44,87495
49,66682
54,96409
60,81919
67,29004
74,44067
82,34183
91,07172
100,71687
111,37280
123,19521
133,87245
136,15092
150,46912
166,39259
183,92922
203,30357
224,70860
248,35764
274,48655
303,28381
335,25434
370,50003
409,44531
452,92446
500,03281
552,58097
610,64966
644,49252
674,81986
745,73409
823,95189
910,70787
1006,41912
1112,18393
1229,09140
1358,28205
1501,05950
1658,85342
1833,42607
U (kz)
35,88107
36,23810
36,59878
36,96314
40,81801
45,08518
49,80826
55,03539
60,81967
66,21974
74,30033
82,13288
90,79631
100,37773
110,97337
122,68950
133,37338
135,64350
149,97508
165,79749
183,29902
202,64457
224,02740
247,66106
273,78157
302,64970
334,55370
369,81211
408,77698
451,73742
499,42347
552,01042
610,12361
643,99272
674,34367
745,31233
823,73886
910,40722
1006,18385
1112,02639
1228,99326
1358,25430
1501,10242
1658,96658
1833,42614
V(kz)
36,48849
36,84908
37,21326
37,58106
41,46686
45,75840
50,49909
55,73685
61,52473
67,92131
74,99136
82,80633
91,44562
100,99629
111,55491
123,22830
133,87245
136,13411
150,35257
166,17747
183,61768
202,89872
224,21449
247,77920
273,82956
302,62707
334,46067
369,64954
408,54660
451,54146
499,06489
551,58780
609,65112
643,49252
673,82102
744,74473
823,28200
909,76714
1005,51695
1111,33933
1228,29291
1357,54765
1500,39658
1658,26850
1832,74284
693

Продолжение приложения 3
kz
S (kz)
T(hz)
U (kz)
V (kz)
9,0
2025,31545
2025,97701
2026,22658
2025,56489
9,1
2238,34934
2238,98270
2239,29706
2238,66360
9,2
2473,79487
2474,39373
2474,76971
2474,17079
9,3
2734,00871
2734,56071
2735,00094
2734,44255
9,4
3021,59536
3022,10755
3022,59505
3022,08297
Зтс
3097,41192
3097,91193
3098,41197
3097,91193
9,5
3339,43314
3339,89411
3340,43031
3359,96926
9,6
3690,70306
3691,11321
3691,68775
3691,27754
9,7
4078,92063
4079,26590
4079,88299
4079,53766
9,8
4508,47103
4508,25298
4508,90146
4508,61946
9,9
4982,14802
4982,35202
4983,03721
4982,32136
10,0
5596,19606
5506,34442
5507,03599
5506,88844
Приложение 4
Функции Крылова для расчета балок постоянного сечения
на упругом основании
е
Jt
Jr
J*
0
1
0
0
0
0,010
1,0000
0,01000
0,00005
0,00000
0,020
1,0000
0,02000
0,00020
0,00000
0,05
1,0000
0,0500
0,0013
0,00002
0,10
1,0000
0,1000
0,0050
0,0002
0,20
0,9997
0,2000
0,0200
0,0014
0,30
0,9987
0,2999
0,0450
0,0045
0,40
0,9957
0,3997
0,0800
0,0107
0,50
0,9895
0,4990
0,1249
0,0208
0,60
0,9784
0,5974
0,1798
0,0360
0,70
0,9600
0,6944
0,2444
0,0571
0,80
0,9318
0,7891
0,3186
0,0852
0,90
0,8931
0,8804
0,4021
0,1211
1,00
0,8337
0,9668
0,4945
0,1659
1,10
0,7568
1,0465
0,5952
0,2203
1,20
0,6561
1,1173
0,7035
0,2852
1,30
0,5272
1,1767
0,8183
0,3612
1,40
0,3656
1,2217
0,9383
0,4490
1,50
0,1664
1,2486
1,0620
0,5490
п/2
0,0000
1,2546
1,1507
0,6273
1,60
—0,0753
1,2535
1,1873
0,6615
1,70
—0,3644
1,2322
1,3118
0,7863
1,80
—0,7060
1,1789
1,4326
0,9237
1,90
—1,1049
1,0888
1,5464
1,0727
2,00
—1,5656
0,9558
1,6490
1,2325
2,10
—2,0923
0,7735
1,7359
1,4020
2,20
—2,6882
0,5351
1,8018
1,5791
2,30
—3,3562
0,2335
1,8408
1,7614
694

Продолжепие приложения 4
i
Ji
J,
J3
J 4
2,40
—4,0976
—0,1386
1,8461
1,9461
2,50
«-4,9128
—0,5885
1,8105
2,1293
2,60
—5,8003
—1,1236
1,7256
2,3065
2,70
*—6,7565
—1,7509
1,5827
2,4725
2,80
—7,7759
—2,4770
1,3721
2,6208
2,90
*—8,8471
—3,3079
1,0838
2,7443
3,00
—9,9669
-4,2485
0,7069
2,8346
3,10
—11,1119
—5,3023
0,2303
2,8823
3,20
—12,2656
—6,4711
—0,3574
2,8769
3,30
—13,4048
-7,7549
—1,0678
2,8068
3,40
—14,5008
-9,1507
—1,9121
2,6589
3,50
—15,5198
—10,6525
—2,9014
2,4195
3,60
—16,4218
—12,2508
—4,0459
2,0735
3,70
—17,1622
-13,9315
-5,3544
1,6049
3,80
—17,6875
—15,6761
-6,8343
0,9969
3,90
—17,9387
—17,4599
—8,4909
0,2321
4,00
—17,8498
—19,2524
—10,3265
—0,7073
4,10
—17,3472
—21,0160
—12,3404
—1,8392
4,20
—16,3505
-22,0755
—14,5274
—3,1812
4,30
—14,7722
—24,2669
—16,8773
—4,7501
4,40
—12,5180
—25,6373
—19,3743
—6,5615
4,50
—9,4890
—26,7447
—21,9959
—8,6290
4,60
—5,5791
—27,5057
—24,7117
—10,9638
4,70
—0,6812
—27,8274
—27,4823
—13,5732
4,80
5,3164
—27,6052
«-30,2589
-16,4604
4,90
12,5239
—26,7239
—32,9814
—19,6232
5,00
21,0504
—25,0565
-35,5775
—23,0525
5,10
30,9997
—22,4661
—37,9619
—26,7317
5,20
42,4661
—18,8057
*—40,0350
—30,6346i
5,30
55,5317
—13,9201
—41,6826
—34,7246
5,40
70,2637
—7,6440
—42,7727
—о8,9524
5,50
86,7044
—0,1901
—43,1593
—43,2557
5,60
104,8687
9,7544
—42,6775
-47,5558
5,70
124,7352
21,2199
—41,1454
—51,7563
5,80
146,2448
34,7564
—38,3640
—55,7429
5,90
169,2837
50,5203
*—34,1198
—59,0363
6,00
196,1881
70,6079
—27,4846
—62,7889
6,10
221,8019
91,4992
—19,4005
—65,1503
6,20
245,5231
112,5249
—10,2356
—66,4981
2%
267,7468
133,8725
0
—66,9362
6,30
272,2487
138,4120
2,2886
—66,9175
6,50
324,7861
198,1637
35,7713
—63,3105
7,00
413,3762
386,8072
180,1191
—13,2842
7,50
313,3700
580,6710
423,9858
133,6506
5/2тс
0
643,9927
643,9926
321,9964
8,00
—216,8647
628,8779
737,3101
422,8713
8,50
—1479,3701
241,4136
981,0984
860,3917
9,00
—3691,4815
—1010,8800
834,8607
1340,3007
Зл
—6195,8239
—3097,9120
0
1548,9560
9,50
—6660,9594
—3581,4756
—250,9959
1539,7410
10,0
—9240,8733
«=7616,1462
—2995,7095
812,3636

ЛИТЕРАТУРА
1.	Ананьев И. В. Справочник по расчету собственных колебаний упругих си¬
стем. ОГИЗ — Гостехиздат, М., 1946.
2.	Биргер И. АШорр Б. Ф., Шнейдерович Р. М. Расчет на прочность дета¬
лей машин. Справочное пособие. «Машиностроение», М., 1966.
3.	Варвак П. М, Варвак А. П. Пять новых аналогий в сопротивлении матери¬
алов.— Проблемы прочности, 1972, 1.
4.	Варвак П. М., Варвак А. П. Четыре новые аналогии в сопротивлении мате¬
риалов.— Проблемы прочности, 1972, 10.
5.	Иванов В. Ф., Никитин Г. В. Справочник по строительной механике, т. 1*
Изд-во КУБУЧ. Л., 1933.
6.	Любошиц М. И., Ицкович Г. М. Справочник по сопротивлению материалов*
«Вышэйшая школа», Минск, 1969,
7.	Материалы в машиностроении, т, 1, Цветные металлы и сплавы. «Маши¬
ностроение», М., 1967,
8.	Материалы в машиностроении, т. 2, Конструкционная сталь. «Машино¬
строение», М., 1967.
9.	Материалы в машиностроении, т, 3. Специальные стали и сплавы, «Маши¬
ностроение», М., 1968.
10.	Материалы в машиностроении, т, 4. Чугун. «Машиностроение», М., 1969.;
11.	Материалы в машиностроении, т. 5, Неметаллические материалы. «Маши*
ностроение», М., 1969.
12.	Михайлов-Михеев П. Б. Справочник по металлическим материалам турби-
но- и моторостроения. Машгиз, М.—JL, 1961.
13.	Писаренко Г. С., Яковлев А. П., Матвеев В. В. Вибропоглощающие свойства
конструкционных материалов. Справочник. «Наукова думка», К., 197Ь
14.	Писаренко Г. С. и др. Сопротивление материалов. Гостехиздат УССР К.*
1963.
15.	Писаренко Г. С. и др. Курс сопротивления материалов, Изд-во АН УССР,
К., 1964.
16.	Писаренко Г. С., Лебедев А. А. Сопротивление материалов деформирова¬
нию и разрушению при сложном напряженном состоянии. «Наукова дум¬
ка», К., 1969.
17.	Прочность. Устойчивость. Колебания, т. 1. Под редакцией И. А* Биргера
и Я. Г. Пановко. «Машиностроение», М., 1968.
18.	Прочность. Устойчивость. Колебания, т. 2. Под редакцией И. А,- Биргера
и Я. Г. Пановко. «Машиностроение», М., 1968.
19.	Прочность. Устойчивость. Колебания, т. 3. Под редакцией И. А< Биргера
и Я. Г. Пановко. «Машиностроение», М., 1968.
20.	Рудицын М. Я., Артемов П. Я., Любошиц М. И. Справочное пособие по
сопротивлению материалов. Госиздат БССР, Минск, 1958.
21.	Рудицын М. Н., Артемов П. Я., Любошиц М. И. Справочное пособие по
сопротивлению материалов. «Вышэйшая школа», Минск, 1970.
22.	Серенсен С. В., Ногаев В. П., Шнейдерович Р. М. Несущая способность
и расчеты деталей машин на прочность. Машгиз, М., 1963.
23.	Справочник по технической механике. Под редакцией академика
А. Н. Динника. ОГИЗ, М.— Л., 1949.
24.	Справочник по строительной механике корабля. Под редакцией академика
Ю. А. Шиманского, т. 2. Л., 1958.
25.	Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зда¬
ний и сооружений. Под редакцией А. А. Уманского. Гос. изд-во литера¬
туры по строительству, архитектуре и строительным материалам. М., 1960.
26.	Справочник машиностроителя, т. 6. Под редакцией Э. А. Сателя. «Маши¬
ностроение», М., 1964.
27.	Справочник машиностроителя, т. 3. Под редакцией академика АН УССР
С. В. Серенсена. Машгиз. М., 1963.
28.	Технический справочник железнодорожника, т. 2. Технические расчеты,
Гострансжелдориздат, М., 1950.
29.	Трощенко В. Т. Усталость и неупругость металлов. «Наукова Думка»,
К.; 1971.
30.	Фесик С. П. Справочник по сопротивлению материалов. «Буд1вельник»,
К., 1970.
31.	Химушин Ф. Ф. Жаропрочные стали и сплавы, «Металлургия», М., 1969.
696

ПЕРЕЧЕНЬ ТАБЛИЦ
Таблица 1. Геометрические характеристики плоских сечений 24
Таблица 2. Угольники равнобокие (ГОСТ 8509 — 57)' .	78
Таблица 3. Угольники неравнобокие (ГОСТ 8510 — 57)	82
Таблица 4. Швеллеры (ГОСТ 8240 — 56)	86
Таблица 5. Швеллеры (ГОСТ 8240 — 56*).	. .	88
Таблица 6. Балки двутавровые (ГОСТ 8239 — 56) .	90
Таблица 7. Балки двутавровые (ГОСТ 8239 — 56*)	92
Таблица 8. Балки двутавровые широкополочные
(ГОСТ 6183 — 52)		94
Таблица 9. Опорные реакции, поперечные силы и изгиба¬
ющие моменты в статически определимых
балках		116
Таблица 10. Изгибающий момент М, нормальная N и попе¬
речная Q силы в консольном круговом стержне
при нагружении в его плоскости .	. .	.138
Таблица 11. Изгибающий Миз и крутящий Мкр моменты в
консольном круговом стержне при нагружении,
перпендикулярном его плоскости		139
Таблица 12. Модули упругости и коэффициенты Пуассона 151
Таблица 13. Ориентировочные величины основных допуска¬
емых напряжений на растяжение и сжатие .	152
Таблица 14. Критерии предельного состояния изотропных
материалов (при статическом нагружении) .	173
Таблица 15. Допускаемые напряжения для сварных соедине¬
ний 		.			200
Таблица 16. Допускаемые напряжения для древесины . .	200
Таблица 17. Схемы действительных и соответствующих им
фиктивных балок		254
Таблица 18. Балки равного сопротивления изгибу ....	255
Таблица 19. Уравнения упругой линии и угла поворота по¬
перечных сечений консольной балки переменной
высоты				256
Таблица 20. Уравнения упругой линии, максимальные про¬
гибы и углы поворота концевых и опорных се¬
чений статически определимых балок постоян¬
ного поперечного сечения .	258
Таблица 21. Форма и размеры ядра сечения .	289
Таблица 22. Выражения интеграла Мора j* MtMpdz для раз¬
личных сочетаний эпюр М{ и Мр	310
Таблица 23. Площади и координаты центров тяжести неко¬
торых элементарных фигур . .	314
697

Таблица 24. Опорные реакции, поперечные силы, Изгибающие
моменты и перемещения в статически неопреде¬
лимых однопролетпых балках	.	.	334
Таблица 25. Расчетные формулы, учитывающие смещение
опор и изменение температуры в статически не¬
определимых	балках (при постоянном EJ)	348
Т а б л и ц а 26.	Изгибающие	моменты в Г-образной раме .	.	351
Таблица 27.	Изгибающие	моменты в П-образной раме	358
Т а б л и ц а 28.	Изгибающие	моменты в замкнутой раме	.... 364
Таблица 29. Усилия и перемещения при нагружении кольца
в его плоскости	.			368
Т а б л и ц а 30. Радиус кривизны нейтрального слоя гв для сече¬
ний различной формы		386
Таблица 31. Значение коэффициента к в формуле e = kR .	388
Таблица 32. Перемещения свободного конца консольного
кругового стержня постоянного сечения при на¬
гружении в его плоскости ....	392
Таблица 33. Перемещения свободного конца консольного кру¬
гового стержня постоянного сечения при нагру¬
жении в перпендикулярной плоскости ....	394
Т а б л и ц а 34. Значения определенных интегралов, часто встре¬
чающихся при определении перемещений в кри¬
вых стержнях	....	396
Т а б л и ца 35. Расчетные формулы для толстостенных цилинд¬
ров	.	413
Таблица 36. Расчетные формулы для определения напряже¬
ний и перемрщений в тонкостенных оболочках 422
Таблица 37. Пластические моменты сопротивления для неко¬
торых сечений балок	434
Т а б л и ц а 38. Коэффициенты v и tj для определения критиче¬
ской нагрузки центрально сжатых стержней по
формуле Ркр = -Щ7 = г, -р-	451
Т а б л и ца 39. Критические нагрузки для полосы и некоторых
двутавровых балок . .	.			491
Таблица 40. Коэффициенты условного допускаемого напря¬
жения на сжатие <р		500
Таблица 41. Уравнения изгибающего момента М(г) и упругой
линии w(z) для некоторых случаев продольно¬
поперечного изгиба балок постоянного попереч¬
ного сечения	.	502
Таблица 42. Собственные частоты колебаний систем с одной
и двумя степенями свободы		543
Таблица 43. Частотные уравнения и собственные формы про¬
дольных и крутильных колебаний стержней по¬
стоянного сечения 		549
Таблица 44. Частотные уравнения и собственные формы по¬
перечных колебаний стержней постоянного се¬
чения	.	553
Т а б л и ц а 45. Корни частотных уравнений поперечных колеба¬
ний стержней постоянного сечения на упругих
опорах		554
Таблица 46. Корни частотных уравнений поперечных колеба¬
нии стержней постоянного сечения с сосредото¬
ченными массами т	.	556
т

Таблица 47. Значения некоторых интегралов, встречающихся
при расчетах поперечных колебаний стержней
(<pt. — i-я собственная форма колебаний)	557
Таблица 48. Собственные частоты поперечных колебаний
стержней постоянного сочепия, нагруженных
продольными силами		558
Таблица 49. Характеристики циклов повторно-переменного
нагружения	576
Таблица 50. Значения коэффициента а, учитывающего массу
ударяемого элемента в формуле коэффициента
динамичности	586
Таблица 51. Расчетные формулы для определения параметров
контакта двух тел	594
Таблица 52. Численные значения коэффициентов па, пь> пр, яд 608
Таблица 53. Допускаемые давления на площадке контакта
при первоначальном контакте по линии и ста¬
тическом нагружении	609

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . • • * *		3
Глава 1. Введение 		5
§ 1. Наука о сопротивлении материалов. Изучаемые
объекты
§ 2. Виды деформаций. Понятия о деформированном
состоянии материала
7
§ 3. Основные гипотезы 			9
Глава 2, Геометрические характеристики плоских сечений 10
§ 4. Статический момент площади. Центр тяжести пло
щади
§ 5. Моменты инерции плоских фигур
§ 6. Моменты инерции сложных сечений
§ 7. Моменты инерции относительно параллельных осе
§ 8. Зависимость между моментами инерции при ново
роте координатных осей
§ 9, Определение направления главных осей инерции
Главные моменты инерции
§ 10. Графическое представление моментов инерции
Понятие о радиусе и эллипсе инерции ....
§ 11. Моменты сопротивления
§ 12. Порядок расчета
Глава 3. Внешние и внутренние силы. Метод сечений
Эпюры внутренних сил
§ 13. Классификация внешних сил
§ 14. Внутренние силы. Метод сечений. Эпюры внутрен
НИХ СИЛ .
§ 15. Балки и их опоры
§ 16. Вычисление реакций
§ 17. Усилия и моменты в сечениях балки
§ 18. Дифференциальные зависимости при изгибе балок
Некоторые особенности эпюр Q и М
§ 19. Построение эпюр для статически определимых рам
§ 20. Построение эпюр для кривых стержней
§ 21. Дифференциальные зависимости при изгибе плос
ких кривых стержней
§ 22. Построение эпюр внутренних сил для простран
ственных стержней
§ 23. Напряжения в сечении
§ 24, Условия прочности и жесткости
10
11
13
14
14
15
17
21
22
98
98
99
102
104
106
106
108
109
111
112
ИЗ
115
700

Глава 4. Механические характеристика материала при
растяжении и сжатии	140
§ 25. Напряжения и деформации при растяжении и сжа¬
тии 	'	140
§ 26 Испытание материалов на растяжение и сжатие . 143
§ 27. Концентрация напряжений	148
§ 28. Допускаемые напряжения	149
Глава 5. Напряженное и деформированное состояние . . 153
§ 29. Напряжения в точке. Главные площадки и глав¬
ные напряжения	153
§ 30. Линейное напряженное состояние	154
§ 31. Плоское напряженное состояние	155
§ 32. Прямая задача при плоском напряженном состоя¬
нии. Круг напряжений	157
§ 33. Обратная задача при плоском напряженном состоя¬
нии 	158
§ 34. Объемное напряженное состояние	160
§ 35. Деформации при объемном напряженном состоя¬
нии. Обобщенный закон Гука 	161
§ 36. Потенциальная энергия деформации	163
Глава 6. Критерии прочности	165
§ 37. Основные теории прочности	165
§ 38. Понятие о некоторых новых теориях прочности. . 169
Глава 7. Растяжение и сжатие	178
§ 39. Расчет стержней на растяжение (сжатие) с учетом
собственного веса	178
§ 40. Стержень равного сопротивления растяжению
(сжатию). Ступенчатый стержень 	179
§ 41. Статически неопределимые конструкции	180
§ 42. Расчет гибких нитей	183
'Глава 8. Сдвиг	191
§ 43. Сдвиг. Расчет на срез	191
§ 44. Чистый сдвиг	192
§ 45. Некоторые примеры расчета на срез	195
Глава 9. Кручение	202
§ 46. Напряжения и деформации при кручении .... 202
§ 47. Кручение стержней некруглого сечения	207
§ 48. Расчет винтовых пружин	212
§ 49. Концентрация напряжений при кручении	214
Глава 10. Изгиб 	216
§ 50. Нормальные напряжения при плоском изгибе . . 216
§ 51. Касательные напряжения при изгибе	219
§ 52. Расчет на прочность при изгибе	222
§ 53. Концентрация напряжений при изгибе	224
§ 54. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки
(упругой линии)	228
§ 55. Определение перемещений в балках по методу
начальных параметров	234
701

§ 56. Расчет балок переменного сечения на прочность
и жесткость	238
§ 57. Расчет на изгиб с учетом сил инерции	243
§ 58. Касательные напряжения при изгибе балок тонко¬
стенного профиля. Центр изгиба 	244
§ 59. О расчете балок на упругом основании	247
§ 60. Изгиб балок, материал которых не следует закону
Гука		 251
Глава	11.	Сложное сопротивление	276
§ 61. Сложный и косой изгиб	276
§ 62. Изгиб с растяжением	280
§ 63. Изгиб с кручением	284
Глава	12.	Общие теоремы об упругих системах.	Общие
методы определения перемещений 	292
§ 64. Обобщенные силы и перемещения	292
§ 65. Работа внешних сил	294
§ 66. Работа внутренних сил	295
§ 67. Применение начала возможных перемещений
к упругим системам		 297
§ 68. Теоремы о взаимности работ и перемещений . . . 301
§ 69. Общие формулы для определения перемещений.
Метод Мора	301
§ 70. Перемещения, вызванные изменением температуры . 303
§ 71. Вычисление интеграла Мора по способу Вереща¬
гина 	304
§ 72. Потенциальная энергия деформации	306
§ 73. Теорема Кастильяно. Теорема Лагранжа . . . * . 307
§ 74. Теорема о минимуме потенциальной энергии . . . 309
Глава	13.	Статически неопределимые системы	316
§ 75. Основные этапы расчета статически неопредели¬
мых систем	318
§ 76. Канонические уравнения метода сил	319
§ 77. Многоопорные неразрезные балки. Уравнение трех
моментов 	322
§ 78. Расчет статически неопределимых криволинейных
стержней 	326
§ 79. Определение перемещений в статически неопреде¬
лимых системах	328
§ 80. О расчете пространственных рамных систем . . . 331
Глава	14.	Расчет плоских кривых брусьев	378
§ 81. Определение напряжений в брусьях большой кри¬
визны 	 		378
§ 82. Расчет на прочность	383
§ 83. Определение перемещений	384
Глава	15.	Расчет толстостенных цилиндров и	вращающихся
дисков	397
§ 84. Толстостенный цилипдр, подверженный внутрен¬
нему и наружному давлению	397
§ 85. Расчет составных цилиндров		 . 402
702

§ 86. Температурные напряжения в толстостенных ци¬
линдрах 	404
§ 87.	Расчет	вращающихся	дисков	407
Глава 16.	Расчет	тонкостенных	оболочек	415
§ 88. Расчет тонкостенных оболочек по безмоментной
теории	415
§ 89. Распорные кольца в оболочках	420
Глава 17. Расчет конструкций по предельным состояниям . 428
§ 90. Основные понятия о предельном состоянии .... 428
§ 91. Расчеты при растяжении и сжатии	429
§ 92.	Расчет	при кручении	431
§ 93.	Расчет	при изгибе	432
Глава 18. Устойчивость сжатых стержней	436
§ 94. Устойчивое и неустойчивое упругое равновесие . . 436
§ 95. Формула Эйлера для определения критической
нагрузки сжатого стержня	437
§ 96. Влияние условий закрепления концов стержня на
величину критической силы	439
§ 97. О потере устойчивости при напряжениях, превы¬
шающих предел пропорциональности материала	.	443
§ 98. Расчет сжатых стержней на устойчивость при
помощи коэффициентов уменьшения основного
допускаемого напряжения		...	445
§ 99. Выбор материала и рациональной формы попереч¬
ных сечений сжатых стержней	448
§100. Продольно-поперечный изгиб 	448
Глава 19. Упругие колебания	510
§101. Классификация механических колебаний	51К>
§ 102. Свободные колебания систем с одной степенью
свободы	513
§ 103. Вынужденные колебания систем с одной степенью
свободы при гармоническом возбуждении	516-
§ 104. Свободные колебания системы с одной степенью
свободы с учетом сопротивления, пропорциональ¬
ного скорости	517
§ 105. Вынужденные колебания систем с одной степенью
свободы с учетом сопротивления, пропорциональ¬
ного скорости	518
§ 106. Критическая скорость вращения вала	521
§ 107. Свободные колебания упругих систем с несколь¬
кими степенями свободы	522
§ 108. Продольные и крутильные колебания стержней . . 529
§ 109. Поперечные колебания призматичесщ* о^ерщней . 533
§ 110. Закон сохранения энергии цри колебаниях .... §36
§ 111. Некоторые приближенные методы определения
собственных частот коцебанцй урругих систем . . 537
Глава 20. Сопротивление материалов действию повторно¬
переменных напряжений 	559
§ 112. Явление усталости материалов	559
§ ИЗ. Методы определения предела выносливости. Диа¬
граммы усталости	561
7Q3

§ 114. Влияние на предел выносливости материала кон¬
структивно-технологических факторов	565
§115. Расчет на прочность при повторно-переменных
нагрузках			569
Глава 21. Расчет на ударную нагрузку	578
§116. Расчет на удар при осевом действии нагрузки. . 578
§117. Напряжение при скручивающем ударе	582
§118. Расчет на удар при изгибе	583
Глава 22. Контактные напряжения	588
§ 119. Основные понятия и формулы для определения
контактных напряжений и деформаций	588
§ 120. Проверка прочности при контактных напряжениях 592
Дополнение. Девять новых аналогии в сопротивлении мате¬
риалов 	610
Приложения 	616
1.	Физико-механические свойства материалов . . . 616
2.	Коэффициенты концентраций и чувствительности
к концентрации напряжений	654
3.	Функции Крылова 5, Т, U, V	682
4.	Функции Крылова для расчета балок постоянного
сечения на упругом основании 	694
Литература	696
Перечень таблиц	698
Писаренко Георгий Степанович
Яковлев Анатолий Петрович
Матвеев Валентин Владимирович
СПРАВОЧНИК ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ
Редактор Е. А. Воронько. Художественный редактор В. М. Тепляксп. Оформле¬
ние художника В. Ф. Ковальского. Технический редактор Б. М. Кричевская.
Корректоры Л. М. Тищенко, А. И. Раабицкая.
Сдано в набор 28.1 1974 г. Подписано к печати 8.IV 1975 г. БФ 00999. Зак.5-1186.
Изд. № 328. Тираж 76 ООО. Бумага машинно-мелованна я для книг в переплете
N? 7, бумага №для книг в переплете № 5. Формат 84xl08VM. Условно-печ.
листов 36,96. Упетно-изд. листов 33,3. Цена 2 руб. в переплете № 7 и 1 руб.
80 коп. в переплете № 5.
Издательство «Наукова думка», Киев, Репина» 3.
Отпечатано с матриц Книжной фабрики им. М. В. Фрунзе республиканского про¬
изводственного объединения «Полиграфкнига», Госкомиздата УССР, Харьков,
Донец-Захаржевская, 6/8 на Харьковской книжной фабрике «Коммунист» респу¬
бликанского производственного объединения «ПолиграсЬкнига» Госкомиздата
УССР, Харьков, ул. Энгельса, U*