Варианты вступительных экзаменов в вузы в 1981 году
Московский
физико-технический
институт
Математика Письменный экзамен Вариант   1
1.	Решите уравнение
2 log4 (4-х) =4—Iog2(—2—х).
2.	В  треугольнике с углом  120°  длины сторон образуют арифметическую прогрессию с разностью 1 см. Найдите длины сторон треугольника.
3.	Решите систему уравнений
{У 7х + у + Ух+у =6 ¦фс+у— у+х = 2.
4.	Точка D лежит на стороне АС треуголь-
2
ника ABC. Окружность радиуса	, вписанная в треугольник ABD, касается стороны АВ в точке М, а окружность радиуса УЗ , вписанная в треугольник BCD, касается стороны ВС в точке N. Известно, что |ВУИ|=6, \BN\ =5. Найдите длины сторон треугольника ABC.
5.	В    правильной   треугольной   призме ./4ВС4,В|С, точка D — середина ребра А,С,. Правильная треугольная пирамида расположена так, что плоскость ее основания совпадает с плоскостью ABC, одно боковое ребро проходит через вершину В, другое — через точку D, а третье пересекает ребро ССХ. Найдите отношение объема пирамиды к объему призмы.
Вариант  2
1.	Решите уравнение
(|        ч CtgJCH—:	  I =1 sinx /
2.	Решите систему уравнений
2 log4 (у + 1) 4- log2i/ = log2 (— —2 6
¦      х log2—
3.	На  продолжении  стороны АВ  ромба ABCD за  точку  В  взята  точка  М,  причем
\MD | = \МС | и MDC = arctg -|-. Найдите отно-
о
шение длин отрезков МА и MB.
4.	Длина   ребра   куба   i4flCDi4,fi,C,?)1 равна  а.  Точки  Е  и  F —  середины  ребер ВС и ССу  соответственно. Рассматриваются треугольники,   вершинами   которых   служат
46
точки пересечения плоскостей, параллельных основаниям куба, с прямыми AlE, DF, AD,. Найдите
а)	площадь   того   треугольника,   плоскость которого проходит через середину ребра AAi\
б)	наименьшее возможное значение площади рассматриваемых треугольников.
5. Решите систему уравнений
 —у—4г = — 4 2^
Вариант  3
1. Решите уравнение VF    ,   . /Т+х
!\+Х
2.	Решите неравенство 4x+log2 9>log2(9 • 22x+1—5).
3.	В  прямоугольном  треугольнике ABC с   гипотенузой   АС  длины   2   см   проведены медианы AM н CN. Около четырехугольника ANMC можно описать окружность. Найдите радиус этой окружности.
4.	Решите систему уравнений
 -^-= (cosy—у) (l-t-2sin2x)  3	3
I
\ sin у
5. В основании призмы ABCDAlBiCiDi с боковым ребром длины 8 лежит трапеция с основаниями \AD\ =12, \ВС\ =7;В^ВС = 60°. Отрезок, соединяющий вершину В с центром О грани AAlDiD, перпендикулярен ей; |ВО|=9. Рассматриваются цилиндры, расположенные внутри призмы, с основанием в грани ВВХСХС. Найдите
а)	наибольшее  значение  объема  таких цилиндров с данной высотой h;
б)	наибольшее  значение  объема  среди всех рассматриваемых цилиндров.	•
Физика
Вариант 1
1.	На неподвижный невозбуждениый атом водорода   налетает   другой   невозбужденный атом  водорода.  Какова должна  быть  минимальная кинетическая энергия  налетающего атома, чтобы в результате столкновения мог излучиться фотон? Энергия ионизации атома водорода ?н = 13,6 эВ. Частоты излучения атома      водорода      определяются       формулой
v=/J 1-у	j \    где  R — постоянная,  п  и
т — целые числа.
2.	Одинаковые по массе количества водорода (цн, = 2 г/моль) и гелия (цне=4 г/моль)" поместили в сосуд объемом К,, который отделен от пустого сосуда объемом V2 полупроницаемой перегородкой, свободно пропускающей молекулы водорода и не пропускающей гелий. После установления  равновесия  давление  в первом  сосуде  упало  в 2  раза.  Определите V2/V,. Температура постоянна.
3.	В плоский конденсатор, между пластинами   которого   поддерживается   постоянная разность потенциалов, вводится диэлектрическая   пластина  с  диэлектрической   проницаемостью е = 3. Во сколько раз изменится сила

N /
Рис. 1.
О     2    4    6    8 Рис. 3.
/
У
Рис. 2.
Рис. 4.
электростатического взаимодействия между пластинами конденсатора? Толщина диэлектрической пластины составляет половину расстояния между пластинами конденсатора. 4. Собирающая линза диаметром D = 2 см н фокусным расстоянием F =20 см освещается широким параллельным пучком света (рис. 1). За линзой стоит идеальное плоское зеркало так, что 25% светового потока, прошедшего через линзу и отразившегося от зеркала, снова попадает на линзу. Найдите расстояние между линзой и зеркалом.
Вариант 2
1.	В заднюю стенку башни танка, идущего со скоростью чт = 72 км/ч, ударяется горизонтально  летящая  со  скоростью   ио = 75О   м/с пуля и упруго отскакивает от нее   (рнс. 2). С какой скоростью полетит отскочившая пуля? Стенка   наклонена   к   вертикали   под   углом <р = 30°.
2.	Герметичный шар-зонд, изготовленный из   нерастягивающегося   материала,   должен поднять аппаратуру массой At = 10 кг иа высоту около 5,5 км,  где  плотность     воздуха (цв = 29 г/моль) вдвое меньше, чем у поверхности    Земли.        Шар    наполняют    гелием (цне=4 г/моль) при внешних условиях (температура Г = 300 К, давление р = 1 атм). Объем шара К=100 м3. Определите массу квадратного   метра   материала   оболочки   шара. Универсальная      газовая      постоянная   Л = =8,3 Дж/(моль • К).
3.	Определите разность потенциалов между электродами газоразрядной трубки, заполненной гелием, прн которой начинается процесс ионизации атомов электронным ударом. Известно, что распределение потенциала (в относительных единицах) по длине трубки в этот момент имеет вид, изображенный на рисунке 3; длина    свободного       пробега       электронов /= 10  4 м; потенциал ионизации атомов гелия Фи =24,5 В.
4. Точечный источник света S равномерно движется параллельно экрану, в котором имеются два маленьких отверстия на расстоянии d  друг  от  друга;   расстояние  от   источника
Рис. 6.
до экрана равно h (рис. 4). Приемник света А, расположенный на осн системы, регистрирует периодически изменяющуюся освещенность. Определите скорость движения источника v, если частота колебаний интенсивности ^ = 15 Гц; длина волны света Х = 6 • 10~7 м; d — 2 mm; Л= 1 м. Во время измерений источник движется вблизи оси системы.
Вариант 3
1.	Невесомая   штанга  длиной   L   одним концом закреплена в идеальном шарнире, а другим опирается на пружину жесткостью k (рнс. 5). Определите период малых колебаний штанги в зависимости от положения / на ней груза массой т.
2.	С какой максимальной силой прижимается к телу человека банка  (применяемая в медицинской практике для лечения), если диаметр  ее  отверстия  О =4  см?   В   момент прикладывания  банки  к телу  воздух  в  ней прогрет до температуры f = 80°С, а температура окружающего воздуха /0=20°С. Атмосферное давление ро=1О3 Па. Изменением объема воздуха   в  банке   (из-за   втягивания   кожи) пренебречь.
3.	Две катушкн самоиндукции с индук- тивностямн ?, и L2 подключены через ключи /С, и К2 к источнику с постоянной ЭДС   & и внутренним сопротивлением г (рис. 6). В начальный момент времени оба ключа разомкнуты. После того как ключ К, замкнули и ток через катушку  L,   достиг  некоторого  значения /0, замыкают ключ К2. Определите установившиеся  значения   токов  через   катушки после замыкания ключа К2- Активными сопротивлениями катушек пренебречь.
4.	Положение звезды, видимое с Земли, немного отличается от истинного из-за преломления лучей атмосферой. Определите ошибку при фиксировании углового положения звезды, видимой с Земли под углом а = 45" к вертикали.   Среднее   значение   показателя   преломления   лучей   атмосферой   считать      равным п= 1,0003.
Публикацию подготовили А. Болибрух, А. Шеронов
47