/
Author: Лаптев Г.Ф.
Tags: алгебра математика теория поля дифференциальная геометрия векторная алгебра векторный анализ
Year: 1975
Similar
Text
Г. ф. ЛАПТЕВ
ЭЛЕМЕНТЫ
ВЕКТОРНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1975
517.3
Л 24
УДК 512.942
Элементы векторного иечвслспия.
Лаптев Г. Ф.
Книга представляет собой учебное ру-
руководство для студентов втузов. В ней
содержится предусмотренный учебными
программами материал по векторной ал-
алгебре, дифференциальной геометрии и тео-
теории поля. Изложение построено с учетом
потребностей технических дисциплин, в
которых используется векторное исчисле-
исчисление. Книга написана просто и ясно; это
делает ее доступной пониманию студентои
первого курса, впервые приступающих к
изучению высшей математики. Книга ока-
окажется полезной и в условиях заочного
обучения.
Герман Федорович Лаптев
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
М., 1975 г., 336 стр. с илл.
Редакторы Я. II. Швейпин, В. В. Данченко
Техн. редактор Л. В. Лихачева. Корректор Л. С. Со.чсча
Сдано в набор 30/VII 1975 г. Подписано к печати 1/XII 1075 г. Бучага 84х108</а-
Фнз. иеч. л. 10,5. Условн. печ. л- 17,С». Уч.-изд. л. 16,'ii. Тираж 35000 экз.
Т-21301. Цена книги 73 поп. Заказ 2(iSl
Издательство «Паука»
Главная редакция физико-математической литературы
11/071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
2-я типография издательства «Наука». Москва, Г-90, ШуШшский пер., 10.
Отпечатано с матриц 2-й типографии изд-ва «Паука» на ордена Трудового
Красного Знамени ф-ке «Детская книга» Л» I Росглавполиграфнрома
Государственного комитета Совета Министров РСФСР по делам изда-
издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, Сущевский пал, 49.
20203—163 (Р)Главная редакция
Л ¦„,--. ,е—15-75 ^физико-математической литературы
\)Зд(И4I0 издательства «Наука», 1975.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Висдеппе 7
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Глава I. Линейные операции над векторами . . . . . 11
§ 1. Скаляры и векторы 11
§ 2. Сложение векторов 15
§ 3. Вычитание, векторов 21
§ 4. Умножение и деление вектора на скаляр .... 22
§ 5. Линейные зависимости между векторами .... 2G
Глава II. Теория проекций. Прямоугольные координаты 33
§ 1. Проекции векторов на ось . 33
§ 2. Основпыс теоремы о скалярных проекциях ... 34
§ 3. Прямоугольная система координат в пространстве 38
Глава III. Произведения двух векторов 43
§ 1. Скалярное произведение двух векторов 43
§ 2. Векторное произведение двух векторов 49
Глава IV. Произведения трех векторов 58
§ i. Простейшее произведение трех векторов .... 5S
§ 2. Векторно-векторное произведение трех векторов . GO
§ 3. Векторпо-скалярпое произведение трех векторов 03
§ 4. Выражение векторно-скалярного произведения че-
через скалярные произведения 67
Глава V. Функции векторов 09
§ 1. Произведения четырех векторов 09
§ 2. Произведения пяти и шести векторов 73
§ 3. Основные теоремы о функциях векторов ... 75
4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Г л а в а VI. Основные задачи 70
§ 1. Основные задачи, связанные с линейными опе-
операциями пад ректорами 80
§ 2. Основные задачи, связанные со скалярным умно-
умножением векторов 82
§ 3. Основные задачи, сиязаппые с, векторным умно-
умножением векторов 81
§ 4. Основные задачи, связанные с произведениями
трех и более 1!екторов 86
§ 5. Простейшие векторные уравнения 93
§ 6. Геометрические инварианты фигур ........ 97
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Глава VII. Дифференцирование векторных функций ко
скалярному аргументу 108
§ 1. Векторы, зависящие от скаляра 108
§ 2. Дифференцирование вектора по скаляру .... 112
§ 3. Формула Тейлора 117
Глава VIII. Дифференциальная геометрия линии в про-
пространстве 118
§ 1. Основные дифференциально-геометрические поня-
понятия, связанные с линией 118
§ 2. Основные формулы дифференциальной геометрии
липий в пространстве 123
§ 3. Сопровождающий трехгранник 139
§ 4. Инвариантные формулы 143
Глава IX. Плоские линии 148
§ 1. Дифференциальные уравнения плоской линии . . 148
§ 2. Кривизна плоской липни 149
§ 3. Круг кривизны 1ГH
§ 4. Эволюта 151
§ 5. Эвольвента 154
Глава X. Приложения к механике 155
§ 1. Скорость и ускорение точки 155
§ 2. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки 157
§ 3. Относительная производная вектора 162
Глава XI. Дифференциальная геометрия поверхности . 167
§ 1. Векторные функции нескольких скалярных аргу-
аргументов 167
§ 2. Параметризованная поверхность 169
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 3. Касательная плоскость и нормаль 173
§ 4. Площадь области на поверхности 170
§ 5. Первая квадратичная форма поверхности .... 184
§ 6. Вторая квадратичная форма поверхности .... 187
§ 7. Главные направления и главные кривизны по-
поверхности 192
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Глава XII. Скалярное ноле 198
§ 1. Функция поля. Поверхности уровня 198
§ 2. Градиент поля 199
§ 3. Производная но направлению 202
§ 4. Направляющие косинусы нормали поверхности 200
Глава XIII. Криволинейный и поверхностный интегралы 208
§ 1. Криволинейный интеграл как определенный инте-
интеграл от сложной функции 208
§ 2. Криволинейный интеграл как продел криволиней-
криволинейной интегральной суммы 215
§ 3. Поверхностный интеграл как двойной интеграл
от сложной функции 217
§ 4. Поверхностный иптеграл как предел поверхно-
поверхностной интегральной суммы 222
§ 5. Поверхностный интеграл в параметрической форме 228
§ 6. Кратный иптеграл как предел обобщенной инте-
интегральной суммы 234
Г л а па XIV. Векторное поле и его интегральные инва-
инварианты 239
§ 1. Векторное поле 239
§ 2. Векторные линии 241
§ 3. Циркуляция поля вдоль линии 244
§ 4. Поток поля через поверхность 240
Глава XV. Теорема Остроградского. Дивергенция iso::!i . 251
§ 1. Формула Остроградского 251
§ 2. Дивергенция ноля 256
Глава XVI. Теорема Стокса. Ротация поля 200
§ 1. Формула Стокса 200
§ 2. Ротаиия ноли 200
§ 3. Оператор Гамильтона 271
6 ОГЛЛНЛЕHUE
Глава XVII. Специальные векторные поля 272
§ 1. Потенциальное иоле 272
§ 2. Солеиоидальное поле 285.
§ 3. Потенциальное несжимаемое поло 293
Г л а в а XVIII. Простейшие электромагнитные пол» . . . 294
§ 1. Электростатическое иоле точечного заряда 294
§ 2. Электростатическое поле системы точечных зарядов 298
§ 3. Магнитное поло тока 303
Г л а в а XIX. Векторное поле в криволинейных коорди-
координатах 307
§ 1. Криволинейные коорднпаты 307
§ 2. Дифференциальные операции в к ри поли ней пых
координатах 318
§ 3. Ортогональные координаты 324
§ 4. Цилиндрические координат и 327
§ 5. Сферические координаты 330
Предметный указатель 335
ВВЕДЕНИЕ
Мы каждый раз сталкиваемся с предметом математи-
математического исследования, когда нам приходится изучать
пространственные формы и количественные закономер-
закономерности окружающего нас мира. В .математике рассматри-
рассматриваются разнообразные общие методы таких исследований.
К их числу относятся и возникшие из арифметики алгеб-
алгебраические методы.
Основные понятия арифметики прошли длительный
путь развития. Потребности счета предметов привели к
одному из самых ранних понятий — к понятию натураль-
натурального числа. Из задач измерения расстояний, площадей,
объемов, промежутков времени возникли числа дробные и
иррациональные. Под влиянием необходимости произво-
производить расчеты появилась арифметика, а затем и алгебра.
Развитие арифметики и алгебры потребовало введения
чисел относительных и комплексных. Одновременно с рас-
расширением понятия числа расширялся и смысл арифмети-
арифметических операций. Так, сложение натуральных чисел сво-
сводится к последовательному пересчету единиц, содержа-
содержащихся в этих числах; сложение дробей основывается на
сложении и умножении целых чисел:
ас nd -|- Ъг
1Г ~~ Т г": ы ''
сложепие же иррациональных чисел представляет собой
сложный процесс последовательных приближений.
Таким образом, для каждого рода чисел арифметические
операции имеют свой особый смысл. 11 тем не менее мы
знаем, что в элементарной алгебре числа обозначают бук-
буквами, независимо от характера этих чисел, и изучают
действия над числами независимо от конкретного содер-
содержания этих действий. Основой для таких отвлечений
является общность арифметических законов, которым
8 ВВЕДЕНИЕ
подчиняются действия над числами независимо от их
природы. Такими общими арифметическими законами яв-
являются законы сочетательности:
(а + Ь) + с = а + (Ь + с), (пЪ)с = a (be);
законы переместительности:
а -f- Ъ = Ь + а, аЪ = Ъа;
закон распределительности:
(а + Ь)с = ас 4- be.
Эти законы образуют тот фундамент, на котором стро-
строится и теория алгебраических преобразований, и методы
решения алгебраических уравнений, т. е. строится вся
элементарная алгебра.
В начале прошлого века после построения теории
комплексных чисел могло казаться, что развитие понятия
числа достигло своего завершения, а вместе с тем вполне
определилась и область применимости арифметических
операций и вытекающих из них алгебраических методов.
Однако очень быстро обнаружилось, что самые разнооб-
разнообразные операции, производимые в алгебре, геометрии,
механике, физике над различными объектами нечисловой
природы, также подчиняются основным законам обычной
арифметики. Эти объекты можно рассматривать как «ал-
«алгебраические величины», к которым применимы алгебраи-
алгебраические методы изучения. Таким образом, предмет алгебры
чрезвычайно расширился. С современной точки зрения
можно сказать, что алгебра занимается изучением систем
объектов любой природы, над которыми установлены опе-
операции, сходные по своим закономерностям с арифмети-
арифметическими действиями над числами.
Изучением одной из таких систем и занимается вектор-
пая алгебра. Она возникла под влиянием задач геомет-
геометрии и механики, а затем получила широкое развитие в
связи с учением об электричестве и магнетизме.
В физике очень часто приходится иметь дело с величи-
величинами, которые характеризуются не только своим число-
числовым значением, но и своим направлением в пространстве.
К таким величинам относятся скорость, ускорение, сила,
напряженность магнитного поля и т. д. Векторная алгеб-
ВВЕДЕНИЕ
pa и имеет предметом изучения системы направленных
величин и выполняемых над ними операций.
Направленные величины в математике и физике уже
давно стали изображать направлеппыми отрезками, и для
решения физических задач стали применять геометричес-
геометрические построения. Так, уже в самом начале XVII века
механики пользовались изображением сил в виде отрез-
отрезков и употребляли правило параллелограмма для опреде-
определения равнодействующей. Однако векторное исчисление в
современном смысле возникло сравнительно недавно,
когда были открыты операции над векторами, которые, с
одной стороны, подчиняются законам арифметики, а с
другой — отражают объективно существующие соотноше-
соотношения между конкретными направлеппыми величинами в
геометрии и механике.
Основы векторного исчисления были построены в се-
середине XIX века ирландским математиком и астрономом
Гамильтоном A805—1865) и немецким математиком Грас-
сманом A809—1877), которые различными путями при-
пришли к открытию векторных операций. Новые идеи не сразу
получили распространение и признание. Прежде всего,
недостаточно ясна была их практическая ценность: в
середине XIX пека еще не сформировались те физические
теории, в развитии которых векторное исчисление сыгра-
сыграло затем существенную роль. Кроме того, сами работы
Гамильтона и Грассмана *) отличались туманностью изло-
изложения, представляя большие трудности для изучения.
Непосредственным толчком для распространения и
интенсивного развития векторного исчисления было пост-
построение Максвеллом A831—1879) теории электромагнит-
электромагнитного поля A873), в которой идеи векторного исчисления
играли решающую роль. Этот факт привлек внимание
многих ученых, и в их трудах векторное исчисление
приобрело к началу текущего столетия современную
форму.
В настоящее время на основе векторного исчисления
строятся все современные курсы теоретической механи-
механики, аэрогидромеханики, теории электричества, аналити-
аналитической и дифференциальной геометрии и т. д. Широкое
*) Г. Г р а с с м а п, Учение о протяженных величипах, 1844.
10 ВВЕДЕНИЕ
применение векторного исчисления объясняется рядом
его свойств.
Во-первых, векторные представления адекватно пе-
передают суть многих понятий и закономерностей геометрии
и физики.
Во-вторых, в векторном исчислении достигается един-
единство аналитического и геометрического методов исследо-
исследования, благодаря чему векторные формулы и выводы от-
отличаются сжатостью, ясностью и наглядностью.
В-третьих, векторные формулы, выражающие физи-
физические закономерности, не зависят от выбора той или
иной координатной системы, т. е. имеют инвариантный
характер и отражают сущность явления в чистом виде.
Благодаря своим качествам векторное исчисление вош-
вошло в обиход математиков, физиков и техпиков как полез-
полезный математический метод.
В связи с запросами физики в начале текущего столе-
столетия трудами многих ученых было создано тензорное ис-
исчисление, охватывающее теорию векторов. Одно время
считалось, что круг замкнулся и дальнейшее принципиаль-
принципиальное развитие идей в этом направлении закончилось. Одна-
Однако развитие пауки в последние десятилетия доказало
противное. На базе синтеза идей алгебры, анализа и гео-
геометрии возникли новые отрасли математики — функцио-
функциональный анализ, теория представлений непрерывных групп,
исчисление геометрических объектов и т. д. Эти новые от-
отрасли математики, обобщающие и широко использующие
идеи и методы векторного исчисления, тесно сомкнулись
с проблемами новейшей физики.
В нашем курсе мы принуждены будем ограничиться
лишь том элементарным векторным исчислением, которое
является теоретической базой для механики, гидромеха-
гидромеханики и теории электричества.
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Глава I
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
§ 1. Скаляры и векторы
1. Скалярные и векторные величины. При изучении
количественных и пространственных закономерностей
окружающего нас мира выявляется важное значение так
называемых скалярных и векторных величин.
Скалярная величина с точки зрения этих закономерно-
закономерностей вполне характеризуется своей числовой мерой. Такими
величинами являются объем тела, его масса, температура,
электрический заряд и т. п.
Векторная величина характеризуется своей числовой
мерой и определенным направлением в пространстве.
Такими величинами являются скорость точки, сила, нап-
напряженность магнитного поля и т. п.
2. Скаляры и векторы. Для математического изучения
скалярных и векторных величин отвлекаются от их
конкретного содержания и вводят отвлеченные понятия
скаляра и вектора.
О ц р е д е л е н и е. Скаляром называется всякое дей-
действительное число. Вектором
называется направленный пря-
прямолинейный отрезок.
Направление вектора фик-
фиксируется тем, что одна его ко-
конечная точка считается н а ч а-
Риг 1
л о м, а вторая — к о и ц о м.
В соответствии с этим считается,
что вектор направлен от своего начала к своему концу.
На чертеже вектор изображается стрелкой (рис. 1).
В векторном исчислении скаляры и векторы рассмат-
рассматриваются как особого рода алгебраические величины, над
которыми производятся алгебраические операции.
42 ЧАСТЬ i. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Эти операции отражают характерные зависимости, ко-
которые существуют между различными скалярными и век-
векторными величинами в геометрии и в различных отделах
физики. Изучение этих операций и составляет предмет
векторной алгебры.
В векторной алгебре всякая скалярная величина изоб-
изображается скаляром, выражающим ее меру при выбранной
единице измерения. Всякая векторная величина изобра-
изображается вектором, который имеет то же направление, что
и данная величина, и содержит столько единиц длины,
сколько она содержит своих единиц измерения. Таким
образом, скаляры и векторы в векторной алгебре пред-
представляют собой абстрактные математические понятия,
при помощи которых изображаются конкретные скаляр-
скалярные и векторные величины, когда мы отвлекаемся от их
конкретного содержания, сохраняя лишь их числовые
меры и направления.
В векторной алгебре, как и в обычной алгебре, скаляры
обозначаются буквами или записываются при помощи
цифр:
а; Ъ; с; а; р*; 2,71; . . .
Векторы, в отличие от скаляров, обозначаются бук-
буквами полужирного шрифта:
a, b, to, R, i, j, к,..
Часто вектор обозначают нарой букв с общей стрелкой
над ними: АВ. При этом первая буква А обозначает начало
вектора, а вторая В — его ко-
конец (рис. 2). В этом случае го-
говорят также, что вектор АВ сое-
соединяет точку А с точкой В и
что вектор А В исходит из точ-
точки Л.
Р . 2 '* векторной алгебре при-
приходится рассматривать также
и и у левой в е к т о р. Нулевым вектором является
точка. Направление нулевого вектора считается неопре-
неопределенным. Пулевой вектор обозначается числом нуль,
набранным полужирным шрифтом.
ГЛ. 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 13
3. Равенство лекторов. В векторной алгебре дна векто-
вектора называются равными, если они имеют одинаковые
длины и одинаковые направления.
При этом два вектора считаются одинаково направлен-
направленными, если они расположены на одной прямой или на
параллельных прямых и на-
направлены в одну сторону.
Таким образом, два вектора
а и Ь считаются равными, ес-
если один из них путем парал-3
лелыюго переноса можно сов-
совместить с другим так, что
совпадут их начала и концы р,к\ 3.
(рис. 3).
Для обозначения равенства двух векторов а и Ь упот-
употребляется обычный знак равенства:
а-Ь. A.1)
Итак, с точки зрения векторной алгебры вектор не
меняется при его параллельном переносе с сохранением
его длины и его направления, т. е. точку приложения век-
вектора можно помещать в любую точку пространства. По-
Поэтому говорят, что в векторной алгебре изучаются с в о-
б о д п ы е векторы.
4. Скользящие и приложенные векторные величины.
В векторной алгебре мы иптеросуемся только длиной и
направлением вектора, отвлекаясь не только от конкрет-
конкретного смысла изображаемой им векторной величины, по и
от точки ее приложения. По этой причине математическое
понятие равенства векторов не тождественно с понятием
эквивалентности изображаемых ими векторных величин.
Как равные в отвлеченном смысле числа могут изображать
меры совершенно различных величин (например, объема
и температуры), так и равные векторы могут изображать
совершенно различные векторные величины. Более того,
при сравнении векторных величин существенное значение
могут иметь не только их наименования, но и точки их
приложения.
Нельзя, например, считать эквивалентными две силы,
действующие на твердое тело и изображаемые равными
векторами, если линии их действия параллельны, по не
совпадают. В связи с этим конкретные векторные величи-
14 ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
ны в физике подразделяются на приложенные, скользящие
и свободные.
Если векторная величина определяется численной ме-
мерой, направлением и точкой приложения, то опа называ-
называется приложенной. Так, в движущейся жидкости скорость
ее частицы является приложенной векторной величиной.
Если векторная величина определяется численной ме-
мерой, направлением и прямой линией, имеющей это направ-
направление, то она называется скользящей, а прямая — линией
ее приложения или линией ее действия. Примером такой
величины является сила, приложенная к твердому телу:
точку приложения такой силы можно переносить вдоль
линии ее действия, но нельзя смещать с этой линии, так
как в этом случае действие силы на тело изменится.
Если векторная величина определяется только числен-
пой мерой и направлением (точка приложения значения
не имеет), то опа называется свободной. Так, все точки
поступательно движущегося твердого тела имеют одина-
одинаковую по величине и по направлению скорость. Эта ско-
скорость и может рассматриваться как свободная векторная
величина, называемая скоростью тела.
Таким образом, принятое в векторной алгебре матема-
математическое понятие равенства векторов тождественно с по-
понятием эквивалентности изображаемых ими векторпых ве-
величин лишь тогда, когда эти величины являются однотип-
однотипными и свободными.
5. Модуль вектора. В векторной алгебре выбирается
определенная единица измерения длип всех векторов не-
независимо от их направлений. Поэтому длина каждого не
нулевого вектора выражается виолпе определенным поло-
положительным числом. Это число п называется модулем
вектора.
Итак, модулем вектора называется его длина при ус-
условии, что выбрана определенная единица измерения длин.
Модуль вектора а обозначается той же буквой, по-
поставленной между двумя вертикальными черточками, или
той же буквой светлого шрифта:
^ ^ |а| = а. A.2)
Векторы А В и В А имеют один и тот же модуль. Его обоз-
обозначают как соответствующий ненаправленный отре;юк,
т. е. АВ или ВА.
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 15
Ясно, что равные векторы имеют равные модули.
Модуль вектора равен нулю тогда и только тогда,
когда этот вектор нулевой:
| 0 | = 0. A.3)
6. Орт вектора. Ортом данного вектора называется
вектор, который направлен одинаково с данным векто-
вектором и имеет модуль, равный единице.
Орт вектора а обозначается а0. Следовательно,
|а°| = 1. A.4)
Очевидно, что равные векторы имеют равные орты.
7. Угол между двумя векторами. Углом между двумя
векторами называется меньшая часть плоскости, ограни-
ограниченная двумя лучами, исходящими из одной точки и на-
направленными одинаково с данными векторами (рис. 4).
Ъ
Рис. 4.
Ясно, что этот угол пе может превышать двух прямых
углов. Следовательно, радианная мера ср угла между дву-
двумя векторами всегда заключена между 0 и л;
0 < <р < я.
§ 2. Сложение векторов
1. Сложение двух векторов. При объединении двух
одноименных скалярных величин в одну их числовые
меры складываются и дают меру объединенной величины.
Например, если два тела соединить в одно, то его масса
будет суммой масс соединяемых тел. Таким образом,
арифметическая операция сложения чисел отражает опе-
операцию объединения величин.
If)
ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ ЛЛГГСПРА
Подобно этому существует математическая операции
сложения векторов, отражающая операцию объединения
векторных величин.
Хорошо известно, что действие двух сил Р\ и Л\ на
точку М тела можно заменить действием одной силы F.,,
их равнодействующей, определяемой но правилу парал-
параллелограмма (рис. 5). Если тело участвует в двух поступа-
поступательных движениях, то результирующая скорость также
не- С).
находится но правилу параллелограмма. Такая замена
двух векторных величин (одинаковой природы) а и 6 их
равнодействующей It (по правилу параллелограмма) и
составляет содержание операции сложения векторов:
за с у м м у двух векторов а и Ь, исходящих из одной точ-
точки О, принимается вектор R, исходящий из той же точки
и изображающийся диагональю параллелограмма ОАВС,
построенного на слагаемых векторах а и Ь (рис. 6).
Заметим, что для построения суммарного вектора ОБ
пет надобности строить весь параллелограмм ОАВС, дос-
достаточно построить треугольник ОАВ. Поэтому сформу-
сформулированное выше определение суммы векторов можно за-
заменить более удобным.
О и р е д е л е н и е. Суммой двух векторов а и Ь
называется третий вектор Л, соединяющий начало первого
слагаемого вектора а с концом второго при условии, что
начало второго слагаемого совмещено с концом первого
(рис. 7). При этом ясно, что результат сложения не зави-
зависит от гого, в какой точке пространства помещено начало
первого слагаемого: при ее изменении весь треугольник
параллельно перенесется.
ГЛ. Т. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
Операция нахождения суммы векторов называется их
сложением. Для обозначения употребляется обычный
знак плюс:
Ii-a\b. A.5)
2. Сложение более чем двух векторов. Сложение мно-
многих векторов а, Ь, с, (I, ... совершается последовательно:
сначала складывается первый вектор а со вторым Ь, за-
затем к их сумме а + Ь прибавляется третий вектор с,
затем к полученной сумме {а + Ь) + с прибавляется
четвертый вектор d и т. д. (рис. 8).
Непосредственно видно, что получается следующее
правило для сложения векторов.
Рис. 8.
Рис. 9.
П р а в и л о м п о г о у г о л ь п и к а. Суммой не-
нескольких векторов является вектор, соединяющий начало
первого слагаемого вектора с концом последнего при усло-
условии, что начало каждого последующего вектора совмещено
с концом предыдущего (рис. 9). -
Условимся при последовательном сложении векторов
скобки опускать:
{[{а -|- 6) f с) -4- ...} -|- g =r. а + Ь+е + ... -1- д. A.0)
18
ЧАСТЬ lt ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
3. Модуль суммы. Длина отрезка прямой, соединяю-
соединяющего две точки, не превосходит длины ломаной, соеди-
соединяющей те же точки. Поэтому (рис. 10) модуль суммы век-
Рис. И.
торов не превосходит суммы модулей слагаемых:
|а + &|<|а| + 1Н A.7)
3 а м о ч а п и е. Если слагаемые векторы имеют оди-
одинаковые направления (рис. 11), то модуль суммы равен сум-
сумме модулей:
\а + Ь\= |а|-'-|6|. A.8)
Если два слагаемых вектора имеют противоположные
Рис. 12.
направления (рис. 12), то модуль их суммы равен разности
их .модулей:
\а + Ъ\ = \а\-\Ь\, A.9)
причем из большего модуля вычитается меньший.
4. Законы сложения. Итак, в векторной алгебре гео-
геометрическая операция построения замыкающей много-
уголыгака возникла как обобщение операции определе-
определения равнодействующей приложеппых к точке сил и была
названа операцией сложения. Оправданием такому наз-
названию служит и то обстоятельство, что эта операция под-
подчиняется всем тем законам, которым подчиняется арифме-
арифметическая операция сложения чисел. Таких законов два:
закон сочетательности и закон не ре-
ГЛ. Т. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
19
местительпости. Покажем их справедливость при
сложепии векторов.
а) Закон сочетательности. Сумма не из-
изменится, если любую группу последовательных слагаемых
заменить их суммой.
Для трех слагаемых этот закон выражается формулой
(а -|- 6) -!- с - а + (Ь + с). A.10)
Для доказательства мы из слагаемых векторов а, Ь, с
составим многоугольник ОАВС, поместив начало каждого
последующего вектора в конец предыдущего (рис. 13).
0 а+Ь+с
Рис 13.
Соединив точки О и В, А и С, О и С соответственно век-
векторами ОБ, АС, ОС, мы получим, с одной стороны,
ОС ^
с другой стороны,
ОС ^
Следовательно,
С = (а + Ь)
+ с).
(а -|- 6) + с = а + F
т. е. закон сочетательности справедлив для суммы трех
слагаемых.
Для доказательства справедливости закона в обще и
случае выделим в сумме Л многих слагаемых какие-
либо два последовательных слагаемых т и п. Сумму всех
предшествующих слагаемых обозначим S, тогда вся рас-
рассматриваемая сумма запишется так:
J? = \(S + т) + п] -J-...
Так как закон справедлив для трех слагаемых, то эту
20
ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
сумму можно записать тат;:
,й = \8 + (
\- п)\
A.11)
Тем самым мы доказали возможность объединения двух
рядом стоящих слагаемых. Заменяя два последовательных
слагаемых их суммой, можно любое число последователь-
последовательных слагаемых заменить их суммой (рис. 14).
Рис 14.
Рис 15.
пе-
пеб) Закон переместительности. От
рестановки слагаемых сумма не меняется.
Для двух слагаемых этот закон выражается формулой
а-\-Ь = Ь + а. A.12)
Для доказательства построим параллелограмм О ABC
(рис. 15), две смежные стороны которого О А и ОС образо-
образованы слагаемыми векторами а и 6, исходящими из точки О.
Тогда
ОА = СВ = а, АВ = ОС = Ь.
Из треугольников ОАВ и ОСВ соответственно следует
а + Ь = ОВ, Ь + а=ОВ.
Следовательно,
а -\- Ь = Ь + а.
Теперь легко показать справедливость закона пере-
переместительности в общем случае. Действительно, при сло-
сложении многих векторов два последовательных слагае-
слагаемых, на основании закона сочетательности, можно объе-
объединить и заменить их суммой. Но доказанному (см.
A.12)) сумма двух векторов не изменится от перестановки
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 21
слагаемых. Следовательно, сумма многих векторов не
изменится, если поменять местами соседние слагаемые.
Меняя же последовательно местами соседние слагаемые,
мы можем как угодно изменить порядок сложения векто-
векторов, не изменив суммы.
§ 3. Вычитание векторов
1. Противоположный вектор. Два вектора называются
противоположными друг другу, если они имеют одина-
одинаковые модули, расположены на одной
прямой или на параллельных прямых
и направлены в противоположные
стороны.
Вектор, противоположный дан-
данному вектору а, обозначается той
же буквой с поставленным перед Рис- 16.
нею знаком минус: — а (рис. 16).
Сумма двух противоположных векторов, очевидно,
равна нулю:
а + (— а) = 0. A.13)
Вектор, противоположный противоположному, совпа-
совпадает с исходным:
— (—а) = а. A.14)
2. Вычитание векторов. Разностью двух векторов а
и Ь, из которых первый именуется уменьшаемым, а вто-
второй — вычитаемым, называется сумма уменьшаемого век-
вектора и вектора, противоположного вычитаемому.
Операция нахождения разности двух векторов а и Ь
называется вычитанием и обозначается обычным знаком
минус:
a— 6 = a-f(— Ь). A.15)
3. Вычитание как операция, обратная сложению. Из
чертежа (рис. 17), на котором изображено построение раз-
разности двух векторов а и &, видно, что
Ь + (а — Ь) = а, A.16)
т. е. сумма разности и вычитаемого вектора равна умень-
уменьшаемому вектору. Этот факт можно проверить и чисто
22
ЧАСТЬ 1, ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
алгебраически:
(а _ &)
= а + (— Ъ) -г 6 = а -':- 0 - я.
Итак, операция вычитания векторов есть операция, об-
обратная сложению векторов: при помощи ее по сумме а
и одному слагаемому Ь находится второе слагаемое а—Ь.
При желании этот факт можно было бы принять за опре-
определение действия вычитания
(как это и делается в ариф-
арифметике).
Замечание, Поло-
Положив
а — Ь = с,
в силу A.16) мы получим
а = Ь -\- е.
Гис. 17.
Следовательно, слагаемый вектор из одной части равен-
равенства можно переносить в другую с противоположным
знаком.
§ 4. Умножение и деление вектора на скаляр
1. Умножение вектора на скаляр. Естественно счи-
считать, что умножение вектора а на целое положительное
число п сводится к последовательному сложению вектора
а с самим собою п раз (рис. 18). В результате получается
О,,
а
Рис. 18.
Рис. 19.
новый вектор па, имеющий то же направление, что и дан-
данный вектор а, и в п раз больший модуль:
па — а -\- а -\- а ~- ... -\- а.
A,17)
п слагаемых
Умножение вектора а на отрицательное число — п
естественно считать равносильным умножению иротиво-
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 23
положного вектора — а на абсолютную величипу п это-
этого числа;
(-л)а^п(-а), A.18)
т. е. считать, что при таком умножении получается век-
вектор, противоположно направленный по отношению к а
(рис. 19).
Обобщение этих определений приводит к следующему
общему определению.
Определение. Произведением вектора и скаля-
скаляра называется новый вектор, который имеет:
1) модуль, равный произведению модуля умножаемого
вектора на абсолютную величину скаляра;
2) направление, одинаковое с умножаемым вектором,
если скаляр положительный, и противоположное, если
скаляр отрицательный.
Произведение вектора а и скаляра X обозначается аХ
или Ха. Таким образом,
\Ха\ = | «А. | = | А,| | а\. A.19)
3 а м е ч а н и е. Из определения следует, что произ-
произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из
множителей равен нулю:
ХО = 0; 0-а = 0. A.20)
2. Законы умножения вектора на скаляр. Эти законы
те же самые, что и законы умножения чисел. Их три:
закон п е р е м е с т и т е л ь н о с т и, закон сочета-
сочетательности и закон распределитель)! ос-
т и. Покажем их справедливость при умножении вектора
на скаляр.
а) Закон переместительности. Произ-
Произведение не меняется при перестановке сомножителей:
Ха = аХ. A.21)
Действительно, по определению мы не отли-
отличаем произведения вектора на скаляр от произведения
скаляра на вектор, считая обе эти операции тождествен-
тождественными.
б) Закон сочетательности для ска-
скалярных множителе й. Последовательное умно-
умножение вектора на несколько скалярных множителей
24
ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
равносильно умножению
этих множителей:
Я
этого вектора на произведение
- (Яц) а.
A.22)
Д с й с т н и т е л ь н о, оба вектора Я (\ia) и (}.ц)а
имеют одинаковые направления: если А, и и, имеют одина-
одинаковые знаки, то они оба будут направлены одинаково с а;
если же Я и и. имеют разные знаки, то они оба будут на-
направлены противоположно а. Модули этих векторов так-
также одинаковы:
Я (па) | — [ Я |
| (Я.ц)а | = | Ян
ш | = | Я
а I = I Я
а
По векторы, имеющие одинаковые направления и модули,
совпадают. Следовательно,
Я (|да) — (Я(х)а.
в) 3 а к о н двоякой р а с п р е д о л и т с л ь-
н о с т и. Умножение суммы векторов на скаляр, а также
умножение суммы скаляров на вектор можно производить
почленно, т. о.
(а +6)Я = ak + VK, A.23)
(Я -!- ц)а =-¦= Яа + ца. A.24)
Доказательство!. Построим треугольник ОЛ/i
из векторов а, Ь, а -'- Ь и треугольник О^А LBL из векторов
Ха, Я6, ka -I- ХЬ (рис. 20). У этих треугольников стороны
О А, АВ и ОХАЪ А\ВХ соответственно параллельны и про-
пропорциональны: OyAJOA = AXBXIAB = Я. Поэтому тре-
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАЛ ВЕКТОРАМИ 25
угольники подобны, их третьи стороны также параллель-
параллельны и их отношение также равно X.
Следовательно,
Ха '-Xb = a,(a-J"ft),
и первый закон распределительности доказан.
3 а м е ч а н и е. Чертеж (рис. 20) сделан в предполо-
предположении, что X положительно. Если X будет отрицательно,
то направления всех сторон треугольника ОХАЛВХ излге-
пятся на противоположные и доказательство останется
в силе.
Доказательство 2. Если сумма X Ч [i п о-
л о ж и т е л ь и а, то векторы (X + \х)а и Хо + ца будут
направлены одинаково с ft и будут иметь одинаковые мо-
модули:
| (X + ц)а | — | X 4- ц | а — Ха -f па,
| Ха + ца | = Ха 4- ца.
Следовательно,
(X 4- [0я = Яа +- [л«,
т. е. в этом случае гакои распределительности справедлив.
Пусть теперь сумма скаляров X + ji о т р и ц а г е л ь-
н а; тогда та же сумма с противопологкным знаком
— X — (л будет положительна и но доказанному
(—X — ц)а — —Ха + (— на),
01 куда умножением на —1 получаем
(X -I- \а)а — Ха + \va.
Итак, второй закон распределительности также до-
доказан.
3. Деление вектора на скаляр. Деление вектора на
скаляр определяется как умножение этого вектора на об-
ратный скаляр:
¦f = 4"«. A.25)
3 а м с ч а и и е. Иногда вводят операцию деления
вектора на другой вектор, одинаково или противополож-
противоположно с ним направленный. Однако прямой необходимо-
необходимости во введении такого деления нет, и мы вводить его
не будем.
26 ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
4. Выражение вектора через его модуль и орт. Ясно,
что если умножить орт вектора на модуль вектора, то
получится сам вектор, т. е. всякий вектор равен произведе-
произведению своего орта на свой модуль:
а = аа\ A.20)
5. Замечание. Если над векторами а, Ь, с, d вы-
выполнить действия сложения, вычитания и умножения на
скаляр, то в результате любого числа таких действий полу-
получится вектор вида
аа + р& -г ye -f 6f?,
представляющий собой, как говорят, линейную комбина-
комбинацию исходных векторов. Поэтому операции сложения век-
векторов, вычитания векторов и умножения вектора на ска-
скаляр называют линейными операциями.
§ 5. Линейные зависимости между векторами
1. Линейно зависимые векторы. Векторы а, Ь, с, Л, е
называются линейно зависимыми (связанными линейной
зависимостью), если между ними выполняется соотноше-
соотношение следующего вида:
аа-|-[36-г те + 6й-г ее =-¦ 0, A.27)
где скалярные коэффициенты a, |i, у, б, е не все равны
нулю.
Заметим, что если все скаляры a, fS, у, б. ь равны нулю,
то линейное соотношение A.27) будет, разумеется, выпол-
выполняться, но оно не будет устанавливать зависимости между
векторами а, Ь, с, й, е.
Понятие линейной зависимости между векторами яв-
является важным потому, что такие зависимости используют-
используются для алгебраической характеристики взаимного распо-
расположения векторов в пространстве.
2. Коллинеарные векторы. Векторы называются кол-
линеарными, если они параллельны одной прямой. Пулевой
вектор считается поллинеарным любому вектору.
Таким образом, коллинеарные векторы, и только кол-
линеарные, располагаются на одной прямой, если их на-
начала поместить в одну точку. Направления коллинеарных
векторов могут быть одинаковыми, а могут быть и противо-
противоположными (рис. 21).
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
27
Рассмотрим два коллипеарных вектора а и Ь. Пусть
один из них, например а, отличен от нуля. Тогда второй
вектор Ъ получится из него умножением на некоторый
скаляр:
Ь = Ха, A.28)
причем X = + Ыа, если а и Ь одинаково направлены,
и X = — ft/a, если а и 6 противоположно направлены.
Следовательно, а я Ь связаны линейной зависимостью:
— Ха + 1-Ь = 0.
Эта зависимость сохранится и тогда, когда оба вектора а
Рис. 21,
и Ь нулевые. В этом случае можно брать любой ска-
скаляр X.
Итак, два коллинеарных вектора всегда линейно за-
зависимы.
Пусть теперь, обратно, два вектора а и b связаны ли-
линейной зависимостью
аа -f р& = 0, A.29)
причем .хотя бы один из скалярных коэффициентов, на-
например Р, не равен нулю. Тогда мы получим
6 = —
а.
А это означает, что вектор Ь, являясь произведением пек-
тора а на скаляр —a/р, коллинеарен вектору а.
Итак, два линейно зависимых вектора всегда коллине-
арны.
28 ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Оба доказанных положения мы можем теперь объеди-
объединить в одно.
Т е о рема. Два вектора линейно зависимы тогда и
только тогда, когда они коллинеарны.
Следствие. Если между двумя неколлинеарными
векторами выполняется линейное соотношение
аа +- р& = О,
то оба скалярных коэффициента должны равняться нулю:
<х=-C = 0.
3. Компланарные векторы. Векторы называются ком-
компланарными, если они параллельны одной плоскости.
Нулевой вектор считается компланарным любой системе
компланарных между собой векторов.
Таким образом, компланарные векторы (и только ком-
компланарные) расположатся в одной плоскости, если их
начала поместить в одну точку (рис. 22).
Заметив, что два вектора всегда компланарны, мы будем
искать условие компланарности трех векторов.
Рис. 22. Рис. 23.
Пусть из трех компланарных векторов а, Ь, с, имеющих
общее начало О, два вектора а и 6 не коллинеарны (рис.
28). Через конец С третьего вектора с проведем прямую,
параллельную вектору Ь, до пересечения в точке Л, с
прямой, на которой лежит вектор а. Тогда
с = ОАХ + А~С.
По ОА\ и А±С суть векторы, соответственно коллинеар-
ные векторам а и Ь, и потому
OAl = Ka, Afi = \xb.
Следовательно, получается линейная зависимость
с = Ы + \ib. A.30)
ГЛ. I. ЛИЯЕПНЫК ОПЕРАЦИИ НАД ЛЕКТОРАМИ 29
В исключительном случае, когда три лектора а, Ь, с
по только компланарны, но и коллинеарны, каждые два
вектора будут связаны линейной зависимостью, которую
можно рассматривать как зависимость между тремя век-
векторами:
с = "ка + 06.
Итак, три компланарных вектора всегда линейно за-
зависимы.
Пусть теперь три вектора а, Ь, с связаны линейной
зависимостью
аа + Р& + ус -= 0, A.31)
причем хотя бы один скаляр, например у, отличен от ну-
нуля. Тогда мы получаем
с=— — а — — Ъ,
у. 3 , ,
т.е. векторы с, а, —о ооразуют три стороны
треугольника (рис. 24) и
лежат в одной плоскости.
Итак, три линейно за-
зависимых вектора всегда
компланарны.
Два доказанных поло-
положения мы можем теперь
объединить в одно.
Теорем а. Три век-
вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они
компланарны.
Отсюда следует, что если выполняется линейное соот-
соотношение
аа + р& + ус = О
между заведомо некомиланарными векторами а, Ь, с, то
все скалярные коэффициенты должны равняться нулю;
а = |3 = у = 0.
4. Разложение вектора по трем пекомпланарным век-
векторам. Рассмотрим произвольный вектор И и тройку не-
компланариых ьекторов а, Ь, с. Поместим начала всех
30
ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
четырех векторов а, Ь,с, R в одну точку О (рис. 25). Через
конец М вектора It проведем прямую, параллельную век-
вектору с, до пересечения в точке Р с плоскостью векторов
а, Ь. Через эту точку Р проведем прямую, параллельную
вектору Ъ, до пересечения в
точке Q с прямой, на кото рой
расположен вектор а. Тогда
R =OQ + QP + ML
Но векторы OQ, QP, PM соот-
соответственно коллинеарны векто-
векторам а, Ь, с. Следовательно,
OQ = Ха, QP - цЬ, Ш - \с.
В силу этого получаем
R = Ха -\- \xb -J- vc. A.32)
Эта формула и называется фор-
формулой разложения вектора R по
трем некомпланарным векто-
Рис. 25. рам а, Ь, с.
Докажем теперь, что полу-
полученное разложение — е д н п-
Иусть имеется другое разложение
R = Хха + HJ) + VjC. A.33)
с т в е н н о е.
Вычитание A.33) из A.32) дает
(X — Xj)a + (ji — ц^Ь + (v — Vj)c = 0.
Так как векторы а, Ь, с заведомо не компланарны, то псе
коэффициенты этого линейного соотношения должны быть
нулями, т. е.
и.
v =
Следовательно, второе разложение A.33) совпадает с
первым A.32). Получается следующая
Т соре м а. Каждый вектор It единственным обра-
образом разлагается по трем некомпланарным векторам а, Ь, с,
т. е. представляется в виде
К =
+ u.6 + vc.
ГЛ. I. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ 31
Здесь скалярные коэффициенты X, u, v определяются
однозначной называются координатами вектора R
относительно векторов а, 6, с.
3 а м е ч а н и е. Из доказанного положения следует,
что любые четыре вектора в пространстве линейно зави-
зависимы.
Действительно, если три вектора а, Ь, с не-
некомпланарны, то четвертый вектор (I по ним разлагается
и мы получаем линейную зависимость
(I — Ka — \kb — vc^O. A.34)
Если же четыре вектора а, Ь, с, d компланарны, то
каждые три из них, например», Ь, с, связаны нетривиаль-
нетривиальной линейной зависимостью, которую можно записать
так: аа + р& + ус = 0. Отсюда можно получить линей-
линейную зависимость четырех векторов
аа + р& + ус + О-d = 0. A.35)
5. Метод координат. Теорема об однозначном разло-
разложении любого вектора по трем некомпланарпым векто-
векторам (см. предыдущий пункт) позволяет векторы, а вслед
:sa тем и точки пространства определять тройками чисел
(координат). Благодаря этому становится возможным ши-
широкое применение в векторном исчислении скалярных ана-
аналитических методов, оперирующих не с векторами, а с
заменяющими их тройками чисел. С другой стороны, ста-
становится возможным широкое применение векторной ал-
алгебры в аналитической геометрии. В дальнейшем эти
идеи будут развиты подробно. Сейчас же мы остановимся
лишь на их самых общих основах.
Фиксированная тройка некомпланарных векторов elt
с.,, е3 с общим началом в фиксированной точке О назы-
называется аффинной координатной системой или аффинным
репером пространства. Фиксированная точка О назы-
называется началом координат.
Как было показано, всякий вектор R может быть од-
однозначно разложен по трем координатным векторам:
11 = Rlex -I- R*c2 -'- R3ea. A.36)
Коэффициенты разложения в этой формуле мы обозначи-
обозначили буквой R с индексами наверху (Rl, R2, R3), как это
принято в тензорном исчислении.
32
ЧАСТЬ i. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Итак, всякому вектору К однозначно соответствует
тройка чисел Я1, Л2, Л3 — тройка его координат — и,
обратно, каждой тройке чисел Л1, Л'1, Rz соответствует
определенный вектор, имеющий эти числа своими коорди-
координатами.
Положение всякой точки Л/ в пространстве (рис. 26)
можно определить ее радиусом-вектором, т. е. вектором г,
соединяющим начало координат
Ос данной точкой М:
г - ОМ.
A.37)
Разложив радиус-вектор г точки
М по координатным векторам, мы
определим его координаты х1, х2,ха.
Т = XV?,
х-е.г -I- х3е3. A.38)
Координаты радиуса-вектора ОМ
точки М называются в то же вре-
Рис. 20. мя и координатами самой точ-
точки М.
Таким образом, каждой точке пространства соответст-
соответствует определенная тройка чисел (тройка ее кординат) и,
обратно, каждой тройке чисел (координат) соответствует
определенная точка. В этом заключается нерв ы й
принцип аналитической геометрии в
пространстве.
В следующей главе мы рассмотрим так называемую
прямоугольную систем у к о о р д и н я г,
векторами которой служат три взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных орта.
3 а м с ч а н и е. Формулы разложении A.36) и A.38)
коротко записываются так:
S
-2
или еще короче так:
л =-. л%,
A.40)
ГЛ. Л. ТЕОРИЯ ПРОЕКЦИЙ. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 33
Глава II
ТЕОРИЯ ПРОЕКЦИЙ. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ
§ 1. Проекции векторов на ось
1. Осью называется направленная прямая. Ось обоз-
обозначается какой-либо буквой: х, у, з, .у, t. Направление оси
а обычно определяется лектором ,s, имеющим с ней одина-
одинаковое направление. Орт 8° этого вектора называют также
ортом оси.
2. Проекцией точки М на ось н называется основание
перпендикуляра Мъ опущенного из этой точки па данную
ось .у.
Проекция точки на ось s может быть также определена
как точка пересечения оси s с проектирующей плос-
плоскостью, т. е. с плоскостью, проходящей через данную
точку перпендикулярно оси s (рис. 27).
3. Векторной проекцией вектора АВ на ось s пазы-
—>
вается вектор Л1В1, началом и концом которого являются
Рис. 27.
Рис. 28.
соответственно проекция А1 начала А и проекция В1
—*
конца В исходного вектора АВ на данную ось .у (рис. 28)..
Векторная проекция вектора Л на ось s обозначается
UpsJt или 11 s:
ПРб.й = Л,. B.1)
4. Проекцией или скалярной проекцией вектора It
на ось s называется скаляр, абсолютная величина которого
равна модулю векторной проекции того же вектора на ту
же ось. При этом проекция считается положительной,
если направление векторной проекции совпадает с направ-
направлением оси, и отрицательной в противном случае.
2 1". Ф. Лаптей
34 ЧАСТЬ 1, ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Скалярная проекция вектора R ва ось s обозначается
llpsR или Rsi
Пр,К = В,. B.2)
Теорема о векторной проекции. Век-
Векторная проекция вектора на ось равна произведению орта
оси на скалярную проекцию вектора на эту ось, т. е.
!fps.R = я°Пр,Л B.3)
или
Us = s°Rs. B.4)
Действительно, модули векторов Rs и s°Rs
одинаковы, так как оба они равны абсолютной величине
скалярной проекции Rs. Направления этих векторов так-
также одинаковы: если векторы Rs и s° направлены одина-
одинаково, то скалярная проекция Rs положительна и s°Rs
направлен одинаково с Rs; если же векторы Jts и s°
направлены в противоположные стороны, то скалярная
проекция Rs отрицательна, а потому вектор s°Rs опять
направлеп одинаково с Rs.
Таким образом, векторы Rs и «°i?s всегда имеют одина-
одинаковые модули и одинаковые направления. Следовательно,
R3 = s°Rs.
§ 2. Основные теоремы о скалярных проекциях
1. Первая теорема о проекциях. Проекция вектора а
на ось s равна произведению модуля вектора а на косинус
угла ф между вектором и осью, т. е.
Пр5а = а соз ф B.5)
или
as = a cos (a, «). B.6)
Доказательство. Прежде всего заметим, что
если вектор а перпендикулярен оси к, то его
проекция равна пулю и косинус угла равен нулю; следо-
следовательно, в этом случае теорема верна.
Пусть теперь вектор а образует острый угол ф с
осью s (рис. 29). Через начало А и конец В вектора прове-
проведем проектирующие плоскости. Их точки пересечения Аи
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПРОЕКЦИЙ. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 35
с осью s будут соответствеЕшо проекциями точек А и В,
т. е.
Пр,«г = AXBV
Через начало Л проведем прямую, параллольпую оси s,
Гис. 20.
Рис 30.
Следовательно,
т. е.
до пересечения в точке С с проектирующей плоскостью
конца В. Очевидно,
А1В1 = АС.
Треугольник АСВ прямоугольный, причем
/ ВАС = Ф, /_ АСВ = ~.
АС = a cos ф,
Пр6а- = a cos ф.
Пусть, наконец, вектор а образует тупой угол ф
с осью ,v (рис. 30). Повторяя аналогичные построения и
рассуждения, мы получим
Пр5№ = — АуВ±,
AtBx = АС, АС = a cos (я — ф) = — a cos ф.
Следовательно,
Пр4а = a cos ф.
Теорема доказана во всех случаях.
Следствие 1. Равные векторы имеют равные про-
проекции на одну и ту же ось.
Следствие 2. Проекции двух взаимно противопо-
противоположных векторов на одну и ту же ось отличаются только
2*
36
ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕВРЛ
знаком'.
Пр., (—«) = — llpsffl.
B.7)
Депстгительн о, если а образует угол ц> с
осью s, то —а образует с пей угол л — ср (рис. 31). Поэтому
Ilps (— а) = a cos (л —ср) =
= —а cos ф = — Пр5а.
2. Вторая теорема о
проекциях. Проекция сум-
суммы векторов на. какую-либо
ось равна сумме проекций
слагаемых векторов на
ту же осы
II ps Ш + 6+ . . . + д) =
— 11р„а + Пр..6 -I- ...
• • • + Пр„9 B.8)
Доказательство. Слагаемые векторы а, Ь, с, ...
. . ., д расположим так, чтобы начало последующего сла-
слагаемого совпадало с концом предыдущего. Получи гея мно-
многоугольник ABCD . . . GII (рис. 32). Его замыкающий
Рис. 31.
вектор, т. е. вектор АН, соединяющий начало А первого
слагаемого а с концом // последнего слагаемого д, будет
суммой рассматриваемых векторов:
АН = АВ + ВС + CD + . . . +GH =
Спроектируем построенный многоугольник ABCD...GH на
ГЛ. 11. ТЕОРИИ ПРОЕКЦИЙ. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 37
произвольно взятую ось ,?. Векторные проекции слагаемых
векторов расположатся так, что начало последующей бу-
будет совпадать с концом предыдущей (рис. 32). Поэтому
вектор Л,//,, соединяющий начало Л, норной векторной
проекции с концом //, последней, будет равен сумме всех
векторных проекций:
AiIJ1 — \\\)sa + IIps6 + . . . + Ilppgr.
С другой стороны, этот вектор A-JIy является векторной
проекцией замыкающего вектора АН, л. е.
А ~/7, = П~М7/ = Пр* (а 4- Ь + . . . + д).
Сравни» оба выражения для вектора AJ1X, мы получим
Пр5 (а + b + . .. 4 д) = Пр,а + Пр8б + . . . + Пр?д.
По доказанной теореме векторная проекция вектора па
ось равна произведению орта оси на скаляриую проекцию
вектора на эту ось. Поэтому полученное равенство можно
переписать так:
8°Пря (а + Ь Л- . . . + д) =
= в°Пр8а + s°Upsb + . . . + s4Jpsg
или
*°llp, (a + b + . . . + д) —
= sn (Ilpsa + riPs& + . . . + ПРя9г).
Но два произведения орта *° на скалярные множители
будут одинаковыми тогда и только тогда, когда одинаковы
эти скалярные множители. Поэтому
Ilps (а + 0 + . . . + д) = Прча 4- IIps6 + . . . + Ilpsgr.
Теорема показана.
3. Третья теорема о проекциях. Проекция произведе-
произведения скаляра на вектор равна произведению этого скаляра
на проекцию вектора на ту же ось:
IIps (la) = MlPsa. B.9)
Доказательство. Обозначим через ф угол
между вектором а и осью s и будем пользоваться первой
теоремой о проекциях.
38
ЧАСТЬ 1, ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Если X ^> 0, то вектор Ха образует с осью s тот же угол
ф. Следовательно, в этом случае
Пр5 (Ха) = | Ха | coscp = Ха cos ф = XH$sa.
Если X < 0, то вектор Ха образует с осью s угол
я — ф. Следовательно, в этом случае
nps (Ха) = | Ха j cos (л — ф) = (— Ха)(— cos ф) =
= Ха cos ф = X Upba.
Таким образом, теорема верна во всех случаях (при X =
= О она очевидна).
Следствие из теорем 2иЗ. Проекция линей-
линейной комбинации векторов равна той же линейной комби-
комбинации их проекций;'
(аа
-Ь ус) — allpsa
§ 3. Прямоугольная система координат
в пространстве
1. Правая и левая прямоугольные системы координат.
Прямоугольной системой координат в пространстве на-
называется тройка взаимно перпендикулярных осей, пересе-
пересекающихся в одной точке О, именуемой началом координат.
Координатные оси обычно обозна-
обозначают буквами X, Y, Z и называют
соответственно осью абсцисс, осью
ординат, осью аппликат, или же
осью Ох, осью Оу, осью Oz (рис.
33).
Орты координатных осей Ох,
Оу, Oz обозначаются соответствен-
соответственно х°, у0, г°, или *, j, k. Мы бу-
будем пользоваться преимуществен-
преимущественно последним обозначением.
Различают правую и ле-
левую координатные системы.
Система координат называется правой, если из конца
третьего орта к поворот от первого орта i ко второму ор-
орту j виден происходящим против хода стрелки часов
(рис. 34, а).
У
Рис. 33.
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПРОЕКЦИЙ. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 39
Система координат называется левой, если из конца
третьего орта к поворот от первого орта г ко второму
6)
х
Рис. 34.
орту j виден происходящим по ходу часовой стрелки
(рис. 34, б).
Таким образом, если ввинчивать винт в направлении
вектора к, вращая его от * к j, то в случае правой системы
резьба должпа быть правой, а в слу-
случае левой системы — левой (рис. 35).
Многие положения векторной ал-
алгебры не зависят от того, пользуем-
пользуемся ли мы правой или левой системой
координат. Однако иногда это обсто-
обстоятельство имеет значение. В даль-
дальнейшем мы всегда будем примепять
правую систему координат, как
это принято в физике.
2. Разложение вектора по ортам
осей (см. гл. I, § 5, п. 5). Поместим
начало произвольно взятого вектора
R в начало координат О (рис. 36). Из
конца М вектора И проведем прямую,
параллельную Oz, [до пересечения в
точке/* с координатной плоскостью Оху. Из полученной точ-
точки Р проведем прямую, параллельную Оу, до пересечения
с Ох в точке А. Вектор R замыкает ломаную О АРМ.
Поэтому
М = 61 + АР + РМ.
Рис. 35.
40
ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРПАЯ АЛГЕБРА
Через конец М вектора R проведем плоскости, парал-
параллельные координатным плоскостям Oyz, Огх, Оху. Они
отсекут на координатных осях Ox, Oy, Oz соответственно
три вектора ОА, ОВ, ОС. Эти векторы, с одной сторо-
стороны, соответственно равны векторам ОА, АР, РМ, а с
другой стороны, они являются векторными проекциями
вектора R на коорди-
координатные оси:
ОА = Rx,
АР = ОВ = Rv,
141 = ОС = Rz.
В силу этою Miii по-
получим
R* = Rx ~\~ -Rп ~Ь Rz*
B.10)
По каждая вектор-
векторная проекция равна
произведению орта соответствующей оси на скалярную
проекцию вектора на эту ось. Поэтому
R = г/?,
jRv + kRz.
B.11)
Итак, коэффициентами разложения вектора R по коор-
координатным ортам прямоугольной системы являются его
проекции Rx, Rу, Rz на соответствующие координат-
координатные оси.
3. Линейные операции над векторами в координатной
форме. При выполнении линейных операций над вектора-
векторами тем же операциям подвергаются и их проекции на коор-
координатные оси.
Действительно, при сложении двух вектороа
а = гах + jay + kaz, Ь — ibx
kbz
их проекции складываются:
а 1- Ь = i (ах + Ьх) + j (av + Ьу) + к {аг + bz).
B.12)
ГЛ. II. ТЕОРИЯ ПРОЕКЦИЙ. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ 41
При вычитании векторов их проекции вычитаются:
а-Ъ --=i(ax~bx) + з (а„ - Ь„) + к (аг - Ьг). B.13)
При умножении вектора а на скаляр % его проекции ум-
умножаются на этот скаляр:
Ы -= гках -f jUy + ккаг. B.14)
4. Радиус-вектор и координаты точки. Радиусом-век-
тором г точки М называется вектор, соединяющий начало
координат О с этой точкой:
B.15)
Всякой точке простран-
пространства соответствует вполне
определенный радиус-век-
радиус-вектор, и, обратно, любой ра-
радиус-вектор определяет
единственную точку про-
пространства.
Таким образом, точки
пространства представля-
представляются в векторной алгебре
их радиусами-векторами
(рис. 37).
Координатами х, у, z точки М пространства называ-
называются проекции ее радиуса-вектора г = ОМ на координат-
координатные оси, т. е.
х = гх, у — Гу, z = г2.
Следовательно, координаты точки являются коэффи-
коэффициентами разложения ее радиуса-вектора по ортам осей,
т. е.
г = ix + jy + kz. B.16)
Координаты х, у, z или радиус-вектор г точки М
обычно пишут в скобках вслед за буквой, обозначающей
точку, т. е.
М (х, у, z) или М (г).
5. Определение вектора по его началу и концу. Зада-
Задача состоит в том, чтобы найти разложение вектора Х
по ортам осей, зная координаты его начала Мх (хи уъ
42
ЧАСТЬ 1, ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
и конца Мг (х%, у,, z2), т. е. зная радиусы-векторы начала
и конца:
y + fez,,
Из треугольника OM^l^ (рис. 38) мы найдем
откуда
или
B.17)
B.18)
B.19)
Подставив сюда разложения B.17) и B.18) радиусов-век-
радиусов-векторов гг и v2, мы получим
ЛТД, = <(*„ — хх) + з (уг — J/,) + к (z2 - zj). B.20)
Итак, проекции вектора на координатные орты равны
z
/х
Рис. 38.
Рис. 39.
разностям соответствующих координат конца и начала
вектора.
6. Деление отрезка в данпом отношении. Найдем точку
М {г), делящую отрезок Мх (»*]) М2 (г2) в отношении К:
МхМ _ .
ММч ~~
ГЛ. III. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ВЕКТОРОВ 43
Вектор МХМ паправлеп одинаково с вектором ММг
(рис. 39), причем отношение их длин равно К. Поэтому
Мф1 = КММг.
Но из треугольников OMLM и ОММг следует;
MVM = г — rlt
Ж/2 = г.г — г.
Поэтому
г _ Гх = К (,.а _ ,.),
откуда
^ = ^ТЙГ- B.21)
Эта формула и определяет радиус-вектор v искомой
точки М через радиусы-векторы г1 и тг концов отрезка.
Из равенства векторов следует равенство их проекций.
Поэтому из полученной формулы B.21) следуют три коор-
координатных формулы:
Ж ~ 1-1-А, ' У ~ 1 + Я, ' Z ~ 1 + Я. ' ^ '
выражающие координаты искомой точки Af (а:, у, z) через
координаты конечных точек Му {хх, уи zx), Мг (х2, у2, г2).
Глава III
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ВЕКТОРОВ
§ 1. Скалярное произведение двух векторов
1. Операция перемножения двух векто-
векторов, с одной стороны, должна повиноваться в основном
тем же законам, что и операция умножения чисел, с дру-
другой стороны, она должна обобщать распространенные в
геометрии и физике конкретные операции. Оказывается,
что и с той и с другой точек зрения возможны две опера-
операции умножения двух векторов. Одпа дает в результате
скаляр и поэтому называется скалярным умножением.
Другая дает в результате в е к т о р и потому называется
44 ЧАСТЬ 1, ВЕКТОРНАЯ АЛГКБРА
векторным умножением. Мы сначала изучим скалярное
умножение, начав с приводящего к нему понятия работы.
2. Работа силы. Пусть сила F, действующая па пря-
прямолинейно перемещающуюся точку М, постоянна и сос-
составляет постоянный угол ср с перемещением н точки М
(рис. 40). Тогда, как известно из физики, работа А силы
Рис. 40. Рис. 41.
F па перемещении s определяется произведением модуля
силы F на величину перемещения s и на косинус угла
между ними, т. е.
А — Fs cos ф. C.1)
Таким образом, двум векторам — силе F и перемеще-
перемещению s — оказался сопоставленным вполне определенный
скаляр А — работа. Этот скаляр А и называется скаляр-
скалярным произведением силы F на перемещение s. Дадим теперь
общее определение.
3. Определение. Скалярным произведением двух векто-
векторов называется произведение их модулей на косинус
угла между ними.
Скалярное произведение двух векторов а и Ь обозна-
обозначают одним из следующих трех способов:
а-Ь, аЪ, (а, Ь). C.2)
Мы будем придерживаться первого из этих обозначе-
обозначений: а-Ь. Таким образом, скалярное умножение будет
обозначаться точкой.
Итак, на основании определения
а-Ь = аЬ cos cp, C.3)
где ф — угол между векторами а и Ь (рис. 41).
г\. Равенство скалярного произведения нулю. По оп-
определению скалярного произведения равенство
а-Ь = 0
ГЛ. III. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ВЕКТОРОВ 45
равносильно следующему равенству:
ab cos ср = 0.
Л ото равенство означает, что либо а — 0, либо Ь = 0,
либо cos <р = 0, т. е. либо а = 0, либо 6 = 0, либо а _\__ Ь.
Итак, скалярное произведение двух векторов равно ну-
нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из перемно-
перемножаемых векторов равен нулю или когда эти векторы пер-
перпендикулярны.
Если условно считать, что нулевой вектор перпендику-
перпендикулярен любому вектору, то полученный результат можно
сформулировать короче: условием перпендикулярности двух
векторов а и b является равенство нулю их скалярного про-
произведения:
а-Ь = 0. C.4)
5. Законы скалярного умножения. Мы видим, что ска-
скалярное произведение двух векторов в алгебраическом от-
отношении существенно отличается от произведения чисел:
из равенства скалярного произведения нулю уже не вы-
вытекает обязательное равенство нулю одного из сомножи-
сомножителей. Тем не менее мы покажем, что алгебраические зако-
законы умножения чисел полностью сохраняются п для ска-
скалярного умножения.
а) Закон переместительности. Скаляр-
Скалярное произведение не меняется от перестановки множите-
множителей, т. е.
а-Ь = Ь-а. C.5)
Действительно, если ф — угол менаду векто-
векторами а и 6, то
а-Ь — ab cos ф и Ь-а = ba cos ф,
т. е.
а-Ь я= Ь-а.
б) Закон распределительности. Скаляр-
Скалярное умножение вектора на сумму векторов можно произ-
производить почленно, т. е.
а • (Ь + с) = а - Ь + а • с. C.6)
Для доказательства этого закона сначала докажем
следующую лемму.
46 ЧАСТЬ 1, ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Лемм а. Скалярное произведение равно произведению
модуля одного вектора на проекцию другого на первый *),
т. е.
pg = pUppq. C.7)
Действительно, по определению (рис. 42)
Р-Я = РЯ cos Ф-
Но по первой теореме о проекциях q cos ф = Пр^д. Сле-
Следовательно,
PQ
и лемма доказана.
\? р д / а Л Да ^
Рис. 42. Рис. 43.
Докажем теперь закоп распределится ь-
н ости. На основании леммы имеем
а • (& + с) = а Пра F + с).
По второй теореме о проекциях
Ир» (Ь + с) = Про Ь + Пра с.
Следовательно,
а-(& + с) = а (Пра Ъ + Пра с).
Закон распределительности справедлив для чисел. По-
Поэтому
«•(& + с) = аПр„ & + аПро с,
откуда, па основании леммы, получаем
а-(Ь -\-с) = а-Ъ -\-a-c.
Закон доказан.
*) Проекцией вектора q на вектор р называется проекция
вектора д на ось, направленную одинаково с р.
ГЛ, III. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ВЕКТОРОВ 47
в) Закон сочетательности относи-
относительно скалярных множителей. Скалярное
произведение не изменится, если скалярный множитель
вынести за скобки:
(Ка)-Ь = %(а-Ь). C.8)
Действительно, если скаляр % положительный
(рис. 43), то
(ka)'b = %ab cos <р = X (ab cos ф) = К (а-Ь).
Если же скаляр "К отрицательный, то
(Ка)-Ь = | А | ab cos (я — ф) = — J A, | ab cos ф ==
= kab cos ф = К (а-Ь),
т. е. закон верен во всех случаях.
6. Скалярный квадрат вектора. Так называется ска-
скалярное произведение вектора на себя:
а2 = аа. C.9)
По определению скалярного произведения мы получим
а2 = аа cos 0°,
т. е.
а2 = а\ C.10)
Итак, скалярный квадрат вектора равен квадрату его
модуля.
7. Скалярные произведения координатных ортов. Коор-
Координатные орты г, j, k имеют модули, равные единице, ска-
скалярный же квадрат вектора равен квадрату его модуля;
поэтому
г2=1, f = l, fc2 = l. C.11)
Далее, координатные орты взаимно перпендикулярны, а
скалярное произведение перпендикулярных векторов рав-
равно нулю; поэтому
i.j = j.i = O, jk = kj = 0, ki = ik = 0. C.12)
Итак, скалярное произведение одноименных координат-
координатных ортов равно единице, а разноименных — нулю.
48 ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
8. Скалярное произведение в координатной форме.
Пусть два вектора а и& разложены по координатным ортам:
а = гах -f- jav -\- ka2,
Перемножив почленно, мы получим
а-Ь = i2axbx + i-jaxby + i-kaxbz + j-iavbx + j2avb,, +
-f j-kaubz + k-iazbx + k-jazby + k2a2bz,
откуда, в силу правила перемножения ортов, будет следо-
следовать:
а-Ь — axb
ауЬи
azbz.
C.13)
Итак, скалярное произведение двух векторов равно сумме
произведений соответствующих проекции.
В частности, скалярный квадрат вектора равен сумме
квадратов его проекций:
а\ + at + a\ C.14)
2= а\
a\.
9. Неопределенность действия, обратного скалярному
умножению.
Поместим начала двух векторов а и 6 в одну точку О и
через конец вектора Ъ проведем плоскость Q, перпендику-
перпендикулярную а. Эта плоскость пересечет
ось вектора а в точке А г (рис. 44).
Имеем
a-b = ab cos <р = а Пра6 =
Мы видим, что если взять лю-
любой вектор 6j с началом О п кон-
концом па плоскости Q, то таким же
образом получим
«.&, = а (±OAt). C.15)
Рис. 44.
Итак, если известно скалярное произведение двух пек-
торов и известен один множитель, то существует бесчис-
бесчисленное множество векторов, которые при умножении па
данный множитель будут давать данное скалярное произ-
произведение. Следовательно, нельзя однозначно определить опе-
операцию деления скаляра на вектор.
ГЛ. Ш. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ВЕКТОРОВ
49
§ 2. Векторное произведение двух векторов
1. Момент силы. Как понятие скалярного произведе-
произведения возникает из понятия работы, так понятие вектор-
векторного произведения возникает из понятия м о-
мента сил ы.
Пусть твердое тело имеет одну неподвижную точку О
(рис. 45). Пусть к точке М этого тела приложена сила F. Из
физики известно, что воздействие этой силы F на тело с не-
неподвижной точкой О характеризуется особой векторной
величиной Lo, которая называется моментом силы F отно-
относительно точки О. Числовая мера момента (его модуль) яв-
является произведением модуля силы F на расстояние h ли-
линии ее действия от точки О («плечо силы»). Иначе говоря,
модуль момента численно равеп площади параллелограм-
параллелограмма, построенного на векторах ОМ и F.
Направлен момент Lo по перпендикуляру к плоскости,
проходящей через точку О и силу F, в ту сторону, откуда
вращение тела вокруг точки О, вызываемое силой F, видно
происходящим против хода часовой стрелки. Следователь-
Следовательно, направление момента силы^ определяет ось, проходя-
iujfo через неподвижную точку О, вокруг которой эта сила
стремится вращать тело.
Момент силы F относительно точки О и называется век-
¦—>
торным произведением вектора ОМ, соединяющего точку
О с точкой М приложения силы, и вектора F, который изоб-
изображает силу. Дадим теперь общее определение.
50 ЧАСТЬ 1, ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
2. Определение. Векторным произведением двух
векторов а и Ъ называется третий вектор 2f, который
(рис. 46):
1) имеет модуль, численно равный площади параллело-
параллелограмма, построенного па перемножаемых векторах;
2) направлен перпендикулярно к перемножаемым век-
векторам в ту сторону, откуда наименьший поворот первого
множителя, совмещающий его направление с направлени-
направлением второго множителя, виден происходящим против хода
часовой стрелки.
Векторное произведение двух векторов а и 6 обознача-
обозначается одним из следующих способов:
ахЬ, [аЬ], [а, Ь]. C.16)
Мы будем пользоваться первым из этих обозначений:
JV = а X Ъ. C.17)
Таким образом, векторное умножение, в отличие от ска-
скалярного, будет обозначаться косым крестом.
Известно, что площадь параллелограмма равна произ-
произведению двух его непараллельных сторон на синус угла,
заключенного между ними. Поэтому получается следую-
следующая формула для модуля векторного
произведения:
| а X Ь | = ab sin cp, C.18)
где ф — угол между векторами а и 6.
Замечание 1. Момент Lo силы F, приложенной к
точке М, относительно некоторой точки О (рис. 45) в при-
принятых обозначениях будет определяться формулой
Lo = б%1 х F. C.19)
Замечание 2. Установленное в определении на-
направление векторного произведения по перпендикуляру к
сомножителям в ту сторону, откуда наименьший поворот
от первого сомножителя ко второму виден происходящим
против хода стрелки часов, является совершенно услов-
условным. С тем же успехом можно было условиться направлять
векторное произведение по тому жо перпендикуляру, но в
противоположную сторону. Выбор этого направления в
целях простоты и общности формул обычно связывают с
ГЛ. HI, ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ВЕКТОРОВ 51
припятой системой координат. Нага выбор соответствует
правой системе координат.
В общем случае векторное произведение направляют в
ту сторону, откуда поворот от первого множителя ко вто-
второму виден так же, как виден поворот оси Ох к оси Оу со
стороны положительного направления оси Oz.
3. Условия равенства нулю векторного произведения.
Равенство нулю векторпого произведения, т. е.
а X Ъ — О,
равносильно равенству пулю его модуля:
аЪ sin ф = 0.
А это равносильно тому, что либо а = 0, либо 6 = 0, либо
sin <р = 0, т. е. либо а = 0, либо 6 = 0, либо а || Ь.
Итак, векторное произведение двух векторов равно нулю
тогда и только тогда, когда хотя бы один из перемножае-
перемножаемых векторов равен нулю или когда эти векторы колли-
неарны.
Имея в виду, что нулевой вектор считается коллинеар-
ньтм любому вектору, мы можем сформулировать получеп-
ный результат короче: условием коллинеарности двух век-
векторов является равенство нулю их векторпого произве-
произведения:
а х Ь = 0. C.20)
Замечание. Векторное произведение вектора па
самого себя всегда равно нулю:
йХ« = 0. C.21)
Поэтому для векторного квадрата вектора не вводится осо-
особое обозначение.
4. Законы векторного умножения. При векторном пере-
перемножении уже не все законы обычного умножения сохра-
сохраняются в неизменном виде: закон переместительности за-
заменяется законом противоперемести-
тельности.
1) Закон противопереместительнос-
т и. При перестановке множителей векторное произведе-
произведение меняет только свой знак:
а х Ь = — F х а). C.22)
52
ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Действительно, оба векторных произведения
а X Ь и Ь X (I имеют одинаковые модули и оба направле-
направлены по перпендикуляру к перемножаемым векторам а и Ь.
Однако направления у них противоположны: произведе-
произведение а X Ь направляется в ту сторону, откуда виден проис-
происходящим против хода часовой стрелки поворот, совмещаю-
совмещающий направление а с направлением 6; произведение же
Ь X а направляется в противоположную сторону, т. е. в
ту, откуда виден происходящшт против хода часовой
стрелки поворот, совмещающий направление Ь с направле-
направлением а. Следовательно, произведения ах Ь и 6 X а явля-
являются противоположными векторами, т. е.
а х Ъ = — F х а).
2) Закон распределительности. Век-
Векторное умножение вектора на сумму векторов можно про-
производить почленно:
(а + Ь) х с = а х с + Ь х с.
C.23)
Для доказательства закона распределительности сна-
сначала докажем следующую лемму.
Л е м м а. Чтобы найти векторное произведение двух
векторов р X д, достаточно (рис. 47): а) спроектировать
первый вектор р на плоскость,
перпендикулярную второму век-
вектору д; б) полученный вектор р1
повернуть в этой плоскости на
прямой угол так, чтобы поворот
наблюдался происходящим по хо-
ходу часовой стрелки с той сторо-
стороны, куда направлен д; в) повер-
повернутый вектор рг умножить на
модуль второго множителя д.
Полученный в результате этих
трех операций вектор р3 = p2q
и будет векторным произведе-
произведением р х д.
Действительно, р3 направлен перпендикуляр-
перпендикулярно к р и д в ту сторону, откуда поворот от р к д виден про-
происходящим против хода часовой стрелки. Так как р2 = Ри
то модуль р3 равен qpt, т. е. произведению оспования q на
высоту рх параллелограмма, построенного па векторах р и
Рис. 47.
ГЛ. III. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ВЕКТОРОВ
53
q, которое дает площадь этого параллелограмма. Этим лем-
лемма доказана.
Докажел1 теперь закон распределительности C.2.4).
а) Через пачало О вектора с проведем (рис. 48) перпен-
перпендикулярную к нему плоскость Р и спроектируем на нее тре-
треугольник О А В со сторонами
ОА = а, АВ = 6, ОБ = а-\ Ъ.
б) Полученный в проекции треугольник ОАХВХ повернем
в плоскости Р вокруг точки О на прямой угол так, чтобы
1'ис. 48.
этот поворот наблюдался происходящим но ходу часовой
стрелки с той стороны, куда направлен с.
в) Все векторы, являющиеся сторонами повернутого
треугольника ОА2Вг, умножим на \с\. Получим тре-
треугольник OASB3, подобный треугольнику ОА.гВ2.
На основании доказанной леммы
—-> *~ —>
ОА3 — а х с, ASBS = б х с, ОВг = (а -(- b) x с.
С другой стороны,
ОВЯ = OAS + А^В3.
Следовательно,
(а + Ь) х с = а х с + Ь х с,
т. е. закон распределительности доказан.
3) Закон сочетательности относи-
относительно скалярных множителей. Скаляр-
Скалярный множитель можно вынести за знак векторного
54
ЧАСТЬ i, ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
произведения, т. е.
(ка) X Ъ = % (а х Ъ).
C.24)
Для доказательства достаточно заметить, что модули
обоих векторов (Ка) X Ьш К(а X Ь) одинаковы и равны
произведению | Л, | на площадь параллелограмма, построен-
построенного на а и &; направления же этих векторов совпадают
Л<0
Рис. 49.
с направлением вектора аХЬ, когда А,^>0, и противопо-
противоположны ему, когда X < 0 (рис. 49).
5. Векторные произведения координатных ортов. Век-
Векторное произведение вектора на самого себя всегда равно
нулю. Поэтому
г х г = 0, j xj = 0, к X fc = 0, C.25)
т. е. векторное произведение одноименных ортов равно
нулю.
При рассмотрении векторных произведений разноимен-
разноименных координатных ортов существенным является сделан-
сделанное выше предположение, что наша координатная система
г, j, к является правой (рис. 50). При этом предположении
вектор г X j будет направлен одинаково с вектором к, а
вектор j X г — в противоположную сторону. Так как,
кроме того,
I * X j ) = j j X г | = 1-1-sin 90° = 18
то мы получим
г X j = k, j x i = — k.
ГЛ. 111. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ВЕКТОРОВ
55
Аналогично вычислив произведения других разноименных
ортов, получим следующую таблицу:
i X j = к, j X * = — к,
jxk^i, kxj = -i, C.26)
fc X * =- j, ixfc=-j.
Для определения получающихся знаков обычно поль-
пользуются следующим «круговым правило м». На
Рис. 50.
Рис. 51.
окружности (рис. 51) отметим три точки, которые обозна-
обозначим, как и орты осей, буквами г, j, к. Будем считать по-
положительным обход окружности от г к j, а следовательно,
и от j к к и от к к г. Мы видим, что векторное произведение
двух разноименных ортов, следующих друг за другом в на-
направлении положительного обхода окружности, равно
третьему орту со знаком плюс, в противном же случае —
со знаком минус.
Замечание. Сформулированное правило сохра-
пится и для левой координатной системы, если только при-
принятое в определении направление векторного произведения
заменить на противоположное.
6. Определители. Для удобной записи ряда формул
векторного исчисления приходится пользоваться опре-
определителями (детерминантами) второго и
третьего порядков.
Определителем второго порядка называется алгебраи-
алгебраическое выражение, составленное из четырех величин (эле-
(элементов), которое условно записывается в форме таблицы
|а ,1 и определяется формулой
— ad — be.
56
ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Согласпо этой формуле для вычисления определителя вто-
второго порядка надо взять разность произведений элементов
первой и второй диагоналей:
a b
А
= ad — bc.
\
Определителем третьего порядка называется алгебраи-
алгебраическое выражение, составленное из девяти величин, кото-
которое условно записывается в форме таблицы из трех строк
а\ Ъ\ с\
и определяется формулой
и трех столбцов
й1 bi c\ I
яг Ы a i —
аз
СЧ.
Согласно этому определению для вычисления определи-
определителя каждый элемент первой строки умножается на опре-
определитель второго порядка (минор этого элемента), который
получается, если вычеркнуть строку и столбец, пересекаю-
пересекающиеся на указанном элементе, затем эти произведения бе-
берутся с чередующимися знаками и из них составляется
сумма.
Развернув определители второго порядка, через ко-
которые выражается определитель третьего порядка, мы
получим
61
аз Ьз
Пример.
= 3
3
1
5
2
7
0
0
5
— 4
-2
-1 5
5—4
+ 0
— 1
5
= —3-28-2-D-25)= -42.
ГЛ. III. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ ВЕКТОРОВ
57
Ьг
b3
bt
C'l
C3
Ci
d2
d3
di
+ Ci
a
a
a
Я2
«3
«4
! Ъг
i b3
bi
Сг с
Сз с
а с
dz
d%
h
h
h
-1-
-d,
Аналогично определяются определители более высоких
порядков:
п\ b\ a rfi
а% Ьг сг dг
«з Ьз сз d3
64 bi Ci dt
02
и т. д.
7. Векторпое произведение в координатной форме.
Пусть два вектора а и Ь разложены по координатным ор-
ортам:
а = iax + jav + fea,,
Ъ = гЬд. -|- ,/6w + kbz.
Перемножив почленно эти разложения, мы получим
а X Ь = * X «аА + * X i^A + * X feaA + 3 X /аА -f
-г 3 X Ja-yby + j х kavbz -\-hx iazbx + к х ia26u +
+ fc X fea2b2.
Отсюда, согласно правилам векторного перемножения ор-
ортов, будет следовать:
а х Ь = fceA — i«A — fcoА Ч- *«Л + Jazbx — iazbtJ
или
axb-=i (a A — e A) — i (ax^z — a A.) + & (a A — a АЭ-
Полученныекоэффициенты при «, j и к являются опреде-
определителями второго порядка:
а х Ь = г
Мы видим, что в правой части получился развернутый опре-
определитель третьего порядка с той лить особенностью, что
элементами первой строки являются векторы г, j, к. Итак,
i j lc
ах % az . C.27)
ь„ ь„ ъ.
К
az
К
+ fe
а
X
К
\
58 ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Это и есть окончательная формула, выражающая век-
торпое произведение в координатной форме.
8. Неопределенность действия, обратного векторному
умножению. Поместим начала двух векторов а и Ь в одну
точку О и через конец В вектора Ь проведем прямую L,
параллельную вектору а (рис. 52). Возьмем вектор &,,
соединяющий точку О с произвольно взятой точкой Вг на
д прямой L. Тогда векторные произ-
-' /, ведения а X Ъ и а X Ьг совпадут
и по направлению и по модулю,
т. е.
а X Ъ = а X &1-
Итак, если известно векторное
произведение а х Ъ и один из
множителей а, то существует бес-
бесчисленное множество векторов 6й, которые при векторном
умножении на данный вектор а будут давать то же самое
векторное произведение а X Ь. Следовательно, нельзя
однозначно определить операцию деления вектора па
вектор.
Глава IV
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ ВЕКТОРОВ
§ 1. Простейшее произведение трех векторов
1. Типы произведений трех векторов. Из трех векторов
можно составить только три различных типа произведе-
произведений.
Во-первых, можно перемножить два вектора а и 6 ска-
лярно и полученный скаляр умножить па третий вектор с.
В результате получится вектор, называемый простейшим
произведением трех векторов:
(а-Ь)с. D.1)
Во-вторых, можно перемножить два вектора а, и Ъ вок-
торно и полученный вектор а X 6 умножить тоже векторно
на третий вектор с. В результате получится вектор, назы-
ГЛ., IV. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ ВЕКТОРОВ 59
ваемый векторно-векторным или двойным векторным про-
произведением трех векторов:
{а X Ь) X с. D.2)
В-третьих, можно перемножить два вектора а и 6 век-
торно и полученный вектор а X b умножить скалярно на
третий вектор с. В результате получится скаляр, называе-
называемый векторно-скалярным или смешанным произведением
трех векторов:
(аХЪ)-с. D.3)
Этими тремя произведениями и исчерпываются все ти-
типы произведений трех векторов. Мы изучим их подробно и
установим два замечательных факта. Во-первых, мы пока-
покажем, что векторно-векторное произведение (а X Ь) X с
можно представить как разность двух простейших произ-
произведений (а-с)Ь и (Ь-с)а. Во-вторых, мы покажем, что
векторно-скалярное произведение (а X Ь)-с выражает-
выражается через попарные скалярные произведения своих сомно-
сомножителей.
2. Простейшее произведение трех
векторов по нашему определению получается умно-
умножением скалярного произведения двух векторов а-Ь на
третий вектор с:
(а-Ь)с.
Мы видим, что в результате получается вектор, коллинеар-
ный с третьим вектором с.
Итак, простейшее произведение трех векторов есть век-
вектор, коллинеарный с тем своим множителем, который сто-
стоит за знаком скалярного умножения.
Из этого свойства в общем случае вытекает неравенство
а(Ь-с)ф(а-Ь)с, D.4)
которое заменится равенством лишь в том особом случае,
когда векторы а ж с коллинеарны.
Итак, в общем случае простейшее произведение трех век-
векторов не подчиняется закону сочетательности.
Этими двумя замечаниями и исчерпываются все особен-
особенности простейшего произведения, которые полезно иметь в
виду.
60
ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 2. Векторно-векторное произведение
трех векторов
1. Векторно-векторное произвело-
н и е трех векторов па определению получается
векторным умножением векторного произведения двух век-
векторов а X Ь на третий вектор с:
{а х Ь) х с.
Нашей целью будет получение формулы разложения, ко-
которая выражает это произведение через простейшие и ко-
которая фактически исчерпывает всю теорию векторно-век-
торного произведения.
2. Формула разложения векторно-векторного произве-
произведения. Векторно-векторное произведение трех векторов
является в е к т о р о м. Мы обозначим его _й:
В = (а X 6) X с. D.5)
Этот вектор М является векторным произведением век-
вектора а х Ь и вектора с. Поэтому вектор И перпендикуля-
перпендикулярен и к вектору а х 6 и к вектору с (рис. 53).
Рис. 53.
Из перпендикулярности вектора R к векторному произ-
произведению а X О вытекает, что он лежит в плоскости пере-
перемножаемых векторов а и Ь, так как они тоже перпендику-
перпендикулярны своему векторному произведению. Следовательно,
вектор R компланарен векторам a, b и разлагается но ним.
Запишем это разложение так:
R = Ха -[- и,&. D.6)
ГЛ. IV. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ ВЕКТОРОВ
61
Из перпендикулярности векторов Кис вытекает, что
их скалярное произведение равно нулю. Поэтому, умно-
умножив скалярпо обе части формулы разложения D.6) на с,
мы получим
О = ка-с + ub-с,
или
ас
Ь-с
Обозначив эти рапные отношения через о, т. с.
Ь-с
мы найдем
— а (а-с); к = — а (Ь-с).
Подставив зти выражения для к и и. в формулу разло-
разложения D.6), мы получим
R = а {Ь (а-с) — а (Ь-с)}. D.7)
Теперь остается определить скаляр а. С этой целью вве-
введем систему координат: ось ОХ направим но вектору а,
ось OY проведем перпендикулярно к ней в плоскости век-
векторов а и &; тогда ось OZ направится по перпендикуляру к
этой плоскости. Разлагая векторы а, Ь, с по ортам осей вве-
введенной координатной системы, мы получим
а = iax,
b = ibx + jbv,
с = icx 4- jcv + kcz.
Вычислим, во-первых, It по исходной формуле D.5):
i j к
; О О
¦ ь„ о
а х Ь
следовательно,
М = (а X Ь) х с =
О 0
axby
+ jaxbvcx.
D.8)
Вычислим, во-вторых, -В по найденной формуле D.7):
ас = пуСх, Ь-с = ЪуСх + буС;,;
62 ЧАСТЬ 1, ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
следовательно,
М = а {6 (а-с) — а (Ь-с)} = a {(lbx -\- jhv) axcx —
— iax (bxcx -f bvcv)} — а {— iaxbycy + jaxbycx). D.9)
Сравнивая полученные выражения D.8) и D.9) для век-
вектора It, мы заключаем, что а = 1. Следовательно, наша
формула D.7) для R принимает вид
Ii^b{a-c)-a{b-c). D.10)
С другой стороны, ввиду D.5) вектор -В обозначает вектор-
но-векторное произведение: R — (а X Ь) X с.
Сопоставив оба эти выражения для JR, мы и получим
искомую формулу разложения векторпо-векторного про-
произведения:
(а X Ь) X с = Ь(а-с) — а(Ь-с). D.11)
Эта замечательная формула выражает векторпо-векторное
произведение любых трех векторов через их простейшие
произведения.
Замечапие. При выводе формулы D.11) мы неяв-
пым образом опирались на два допущения: 1) векторы а и Ь
предполагались не коллинеарными; 2) предполагалось, что
векторы а, Ь пе перпендикулярны вектору с одновременно.
Однако если хотя бы одтго из этих допущений пе выполня-
выполняется, то обе части нашей формулы D.11) обращаются в нуль
и она, следовательно, сохраняет свою силу независимо от
этих допущений.
3. Правило разложения векторпо-векторного произве-
произведения. Чтобы сформулировать общее правило разложения
векторно-векторпого произведения, мы предварительно из
найденной формулы D.11) выведем формулу разложения
для произведения а X (Ь X с), в котором сначала пере-
перемножаются два последних множителя.
Переставив в этом произведении первый множитель на
последнее место, мы получим
а х (Ь X с) = - {(& х с) х а}. D.12)
Примепим теперь к произведению в фигурных скобках
пашу формулу разложения D.11), заменив в пей и, Ь, с
соответственно па Ь, с, а. Мы получим
ГЛ. IV, ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ ВЕКТОРОВ 63
или окончательно:
ах (Ъ X с) = Ь(а-е) — с(а-Ъ). D.13)
Обе получешше формулы D.11) и D.13) объединяются
следующим правилом разложения векторно-векторного
произведения.
Правило. Векторно-векторное произведение трех
векторов равно среднему вектору, умноженному на скаляр-
скалярное произведение крайних, минус тот крайний вектор, ко-
который заключен в скобки, умноженный на скалярное произ-
произведение двух остальных векторов.
Замечание. Из формул D.11) и D.13) непосредст-
непосредственно следует, что в общем случае
(а х Ь) х с Ф а х (Ь х с), D-14)
т. е., вообще говоря, для векторно-векторного произведения
закон сочетательности сила не имеет.
§ 3. Векторно-скалярное произведение
трех векторов
1. Векторно-скалярное произведение и его геометри-
геометрический смысл. Векторно-скалярным или смешанным про-
произведением трех векторов называется произведение, кото-
которое получается скалярным умножением векторного произ-
произведения двух векторов на третий вектор, т. е. произведение
вида
(ахЬ)-с. ^
Смешанное произведение представляет собой ска-
скаляр. Выясним его геометрический смысл.
Обозначив
8 = axb, D.15)
получим
(а X b)-c = S-c = Sccos(8,c) = Sccosq>. D.16)
Чтобы истолковать полученный результат, мы построим
па векторах а, Ь, с параллелепипед, основанием которого
будем считать параллелограмм со сторонами аг Ь. Площадь
этою основания такова:
S = | а х Ь | .
64
ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Обозначим через Н высоту, опущенную на ото основа-
основание. Тогда объем V параллелепипеда определится извест-
известной формулой
V = SH. D.17)
Теперь нам придется различать два случая.
В первом случае, когда перемножаемые векторы а, Ь, с
образуют правую систему (рис. 54), т. е. когда из
55.
конца третьего вектора с поворот от первого вектора а ко
второму Ь виден происходящим против хода часовой стрел-
стрелки,
с cos ф = Н
и формула D.16) примет вид
(а х Ь)-с = SH = V. D.18)
Таким образом, векторно-скалярное произведение трех век-
векторов, образующих правую систему, равно объему парал-
параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Во втором случае, когда перемножаемые векторы а, Ь, с
образуют левую систему (рис. 55), т. е. когда с
конца третьего вектора с поворот от первого вектора и ко
второму Ъ виден происходящим по ходу часовой стрелки,
с cos ф = — Н
и формула D.16) примет вид
(а X Ъ) с = - SII = - V.
Таким образом, векторно-скалярное произведение трех
векторов, образующих левую систему, отличается только
ГЛ. IV. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ ВЕКТОРОВ 65
знаком от объема параллелепипеда, построенного на пере-
перемножаемых векторах.
Итак,
{а X Ь)-с = ± V, D.19)
причем знак «-(-» получается, когда перемножаемые век-
векторы образуют правую систему, и знак «—», когда
их система левая.
Отсюда следует, что объем параллелепипеда, построен-
построенного на трех векторах, всегда равен абсолютной величине их
векторно-скалярного произведения:
V = | (а х Ь)-с| . D.20)
2. Законы векторно-скалярного умножения, а) 3 а-
к о и сочетательности. Векторно-скалярное про-
произведение трех векторов не зависит от группировки множи-
множителей, т. е.
(а х Ь)с = а(Ь х с). D.21)
Действительно, оба эти произведения имеют
одинаковые абсолютные величины, равные объему паралле-
параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах а, Ь, с.
Знаки этих произведений также совпадают, так как если
система векторов а, Ь, с правая, то и система Ь, с, а правая
(см. рис. 54), если же система а, Ь, с левая, то и система
Ь, с, а левая (см. рис. 55).
Следовательно, оба произведения (а X Ь)-с и а*(Ь X с)
одинаковы.
Учитывая закон сочетательности, векторпо-скалярное
произведение трех векторов а, Ь, с обозначают условно
так: (а, Ь, с).
Следовательно,
(а, Ь, с) = (а х 6)-с = a-(b x с).
б) Закон круговой переместитель-
п о с т и. Знак векторного умножения можно поставить
ыежду любой парой соседних множителей векторно-ска-
векторно-скалярного произведения. Поэтому перестановка этих множи-
множителей изменит только знак. На основании этого мы после-
последовательно получим
{а, Ь,с) = — (Ь, а, с) = (Ь, с,а) = — (с, Ь, а) =
= (с, а, Ь) = - (а, с, Ь). D.22)
3 Г. Ф. Лаптев
66 ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Чтобы сформулировать получающийся закон перемести-
переместительности, отметим на окружности (рис. 56) три топки, ко-
которые обозначим, как множители, буквами а, Ь, с. Будем
считать положительным обход окружности в направлении
abca. Мы видим D.22), что при переста-
перестановке множителей, не нарушающей их
у кругового порядка, векторно-скалярное
произведение не меняется; при переста-
перестановке же множителей, нарушающей
круговой порядок, векторно-скалярное
произведение меняет только свой знак.
в) Закон распредели-
распределительности. Векторно-скалярное
умножение суммы векторов на два дру-
других вектора можно выполнять почленно, т. е.
{а + аъ Ъ, с) = (а, Ь, с) + (аи Ь, с). D.23)
Этот закон не нуждается в доказательстве, так как он
непосредственно вытекает из закона распределительности
скалярного произведения двух векторов.
г) Закон сочетательности относи-
тельпо скалярных множителей. Скаляр-
Скалярный множитель можно выносить за знак векторно-скаляр-
ного произведения, т. е.
(Ка, Ь,с) = К (а, Ъ, с). D.24)
Этот закоп также не нуждается в доказательстве, так как
он является непосредственным следствием соответствую-
соответствующих законов для векторного и скалярного умножений двух
векторов.
3. Обращение в нуль векторно-скалярыого произведе-
произведения трех векторов. Векторно-скалярное произведение трех
векторов равно нулю тогда и только тогда, когда перемно-
перемножаемые векторы компланарны. Действительно,
объем параллелепипеда, построенного на компланарных
векторах, равен нулю, и, наоборот, если объем равен нулю,
то векторы компланарпы.
Таким образом, условием компланарности трех векто-
векторов является равенство нулю их векторно-скалярного произ-
произведения!
{а, Ь, с) = 0. D.25)
ГЛ. IV. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРЕХ ВЕКТОРОВ
67
В частности, векторно-скалярное произведение равно
нулю, если в нем два множителя одинаковы;
(а, а, Ъ) = 0. D.26)
4. Векторно-скалярное произведение в координатной
форме. Пусть векторы а, Ь, с разложены по ортам осей:
а = гах + jav + kaz,
Ь = ibx + jby + kbz,
с = icx + -jcy + kcz.
Тогда, согласно C.27), получаем
j k
Ь X С = Ъх Ъу Ьг =
Сх су cz
К К
D.28)
= г
\ К
CV °z
-j
к \
сх cz
+ k
К Ьу
следовательно,
а-(Ь X с) =
= ах
или, окончательно,
(а,
К
ь,
К
cz
-пу
е) =
ах
К
сх
к
сх
%
к
Су
к
cz
az
к
Cz
§ 4. Выражение векторно-скалярного произведения
через скалярные произведения
1. Основное тождество, связывающее квадраты ска-
скалярного и векторного произведений. Обозначим через ф
угол между векторами р и q. Тогда
p-q — pq cos ф, | р X q | = pq sin ф. D.29)
Возведя эти равенства в квадрат и сложив, мы получим
следующее тождество:
(i>-«J + |pxg|2 = />V. D.30)
Но квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату
этого вектора. Поэтому
| Р X q |s = (Р X q)\ р* = р\ в' = Я1, D-31)
3*
68 ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕВРА
в силу чего предыдущее тождество принимает такой вид:
(p-QJ + (pxqf = P2q2- D.32)
Это тождество мы и будем называть основным.
Его полезно сформулировать так: сумма квадратов скаляр-
скалярного и векторного произведений двух векторов равна произ-
произведению квадратов этих векторов.
2. Формула, выражающая векторно-скалярпое произ-
произведение через попарные скалярные произведения сомно-
сомножителей. Квадрат векторно-скалярного произведения трех
векторов, т. е.
(й,М)! = {(« Ь) -с}2,
можно рассматривать как квадрат скалярного произведе-
произведения двух векторов: (а X Ь) и с.
Согласно основному тождеству D.32) квадрат скаляр-
скалярного произведения двух векторов равен произведению
квадратов этих векторов минус квадрат их векторного
произведения. Поэтому
(а, Ь, сJ = (а х ЬJ с'г - {(а х 6) X с}2. D.33)
Квадрат векторного произведения (а X бJ мы найдем,
пользуясь основным тождеством D.32):
(а х ЪУ = «262 — (а ¦ бJ. D.34)
Для вычисления квадрата векторно-векторного произведе-
произведения [(а X Ь) х с}2 воспользуемся формулой разложения
D.11) этого произведения:
\(а х Ь) X с]2 = \Ь{а-с) — аF-с)]2 =
= 62(а-сJ — 2(а-Ь)(а-с)(Ь-с) + а2(Ь-сJ.
Подставив все это в выражение для квадрата векторио-
скалярного произведения D.33), мы получим
(а, Ъ, сJ = а26V - {а ¦ Ъ)г с2 - Ь2 (а ¦ cf -
— а2 F • сJ + 2 (а • 6) F • с) (с • а). D.35)
Эта формула и является по существу искомой. Мы толь-
только приведем ее к более удобному для запоминания виду.
ГЛ. V. ФУНКЦИИ ВЕКТОРОВ 69
Для этого перегруппируем члены так:
(а, Ь, cf-^ai\b'icL-{b-cf\ — {a-b)\(a-b)cl-
— (а-с)F-е)] -|- (а-с)[(а-6)F-с) — (а-с)б2]. D.36)
Нетрудно видеть, что правая часть представляет собой раз-
развернутый определитель третьего порядка. Оконча-
Окончательно формула принимает такой вид:
а-а а-Ь а-с
(а, 6, сJ= ьа ь-ь ь-е . D.37)
с-а с-Ь с-с
Как мы увидим, эта замечательная формула вместе с
формулой разложения векторно-векторного произведения
в известном смысле замыкает всю векторную алгебру, по-
позволяя все вычисления сводить к вычислениям лишь ска-
скалярных произведений.
Глава V
ФУНКЦИИ ВЕКТОРОВ
Целью настоящей главы является изучение выраже-
выражений, которые можно составлять из векторов и скаляров при
помощи операций векторной алгебры и аналитических
функций математического анализа. Основными и простей-
простейшими являются линейные комбинации векторов, рассмот-
рассмотренные в первой главе, скалярные и векторные произведе-
произведения, рассмотренные в третьей главе, а также произведения
троек векторов, рассмотренные в четвертой главе. В па-
стоящей главе мы предварительно рассмотрим важные
формулы для преобразования произведений, а уже затем
перейдем к более общим выражениям, которые можно сос-
составить из векторов.
§ 1. Произведения четырех векторов
1. Типы произведений четырех векторов. Все произве-
произведения четырех векторов можно получить следующими дву-
двумя способами: 1) умножением произведения трех векто-
векторов на четвертый вектор; 2) умножением произведения
двух векторов на произведение двух других векторов.
ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
В соответствии с этим возможны лишь следующие типы
произведений:
\(a-b)c]-d,
[(а-Ь)с] X d,
[(а х 6) X c]-d,
[(а х 6) X с] х d,
(a, b, с) d,
(a-b)(c-d),
(a-b)(c X d),
(a x b)-(c X d),
(a xb)X (c Xd
E.1)
He все девять получившихся произведений различны
между собой.
Действительно, во-первых, мы знаем (гл. III),
что скалярный множитель можно выносить за знак ска-
скалярного и векторного произведения. Поэтому
\(a-b)c]-d = (a-b)(c-d), l(a-b)c] X d = (a-b)(c x d).
E.2)
Во-вторых, считая векторное произведение а X 6 за
один вектор, мы можем рассматривать [(а X b) X c]-d
как векторно-скалярное произведение трех векторов:
(аХЬ), с, d. Применив к нему закон сочетательности,
получим
[(а Xb)x c]-d = (ax b, с, d) — {а X b)-(c x d). E.3)
Итак, остаются только шесть типов произведений четы-
четырех векторов:
II.
III.
IV.
V.
VI.
(a,b,c)d.
[(a Xb)xc]-d = {aX b)-(c x d).
[(a x b) x c] x d.
(a x b) X (c X d).
E.4)
Мы покажем теперь, что четыре последних произведе-
произведения являются линейными комбинациями из произведений
первых двух типов, которые и следует считать основными.
2. Выражение скалярного произведения двух вектор-
векторных произведений (а х Ь), (р X д) через скалярные произ-
произведения. Указанное произведение, как уже отмечалось, яв-
является векторно-скалярным произведением трех векторов:
ГЛ. V. ФУНКЦИИ ВЕКТОРОВ 71
(а X b,p,q). На основании закона сочетательности мы мо-
можем для вычисления этого произведения перемножить век-
торно два первых множителя а X Ь и р и результат умно-
умножить скалярыо на третий множитель q. Следовательно,
(а х Ь)-(р хд) = [(а х &) X р]д. E.5)
Развернув получившееся в квадратных скобках векторно-
векторное произведение по формуле разложения D.11), мы
получим
(«X 6)-(pxq)=[b(a-p) — a(b-p)]-q
или, раскрыв скобки,
(а X Ъ)(р X q) = (a-p)(b-q)-(a-g)-(b-p) E.6)
или
а-р a-q
(«xb)-B»xg)=
E.7)
Таким образом, скалярное произведение двух векторных
произведений, т. е. произведение E.4) IV типа, выражается
через произведения E.4) / типа.
3. Разложение вектора (а, Ь, с) В по трем векторам а,
Ь, с. Векторное произведение двух векторных произведе-
произведений
(а х Ъ) X (с х В) E.8)
можно преобразовать двумя способами.
Во-первых, рассматривая это произведение E.8) как
векторно-векториое произведение трех векторов (а X &), с,
М, мы получим
(а X Ь) х (с X В) = с (a, b,B) — R (a, b, с). E.9)
Во-вторых, рассматривая то же произведение как век-
торно-векторное произведение трех векторов а, Ь, с X М,
мы получим
(а х &) X (с х В) = & (о, с, 1?) — а F, с, Л). E.10)
Таким образом, векторное произведение двух векторных
произведений, т. е. произведение E.4) VI типа, можно дву-
двумя способами представить в виде линейной комбинации
произведений E.4) /// типа.
72 ЧАСТЬ i. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Сравнив оба выражения E.9) и E.10) для одпого и того
же произведения E.8), мы получим
с(а, Ь, В) —В (а, Ь, с) = 6 (а, с, В) — а(Ь, с, В)
или
а, Ь, с) В ~ а(Ь, с, В) + Ь (с, а, В) + с(а, Ь, В). E.11)
Замечание. Если а, Ь, с — некомпланарные век-
векторы, т. е.
(а, Ь, с) Ф 0,
то из формулы E.11) получаем разложение вектора В по
трем некомпланарным векторам а, Ь, с:
-К- (я> ^ е) [а(Ь, с, В) + Ь(с, а, В) + е(а, Ь, В)]. E.12)
Заметим, что эта формула E.12) является обобщением
формулы B.11) разложения вектора В по координатным
ортам i, j, fc.
4. Разложение вектора (а, 6, с) .К по векторным произ-
произведениям Ь X с, с X а, а X Ь. Тройное векторное произ-
произведение четырех векторов
[(а X Ь) X В] X с E.13)
можно преобразовать двумя способами.
Во-первых, разложив векторно-векторпое произведе-
произведение внутри квадратных скобок (см. D.11)) и умножив век-
торно на четвертый вектор с, получим
[(а X Ь) х В] х с=-{а-В)(Ь X с) — {Ь-В){а х с). E.14)
Эта формула выражает наше тройное векторное произве-
произведение, т. е. произведение E.4) V типа, через произведении
E.4) II типа.
Во-вторых, разложив тройное векторное произведение
как векторно-векторпое произведение трех векторов, по-
получим
[(а х Ъ) х -К] х с = В {а, Ь, с) —(ах Ь)(В-с). E.15)
Эта формула выражает то же самое тройное векторное про-
произведение через произведения E.4) II и III типов.
Сравнив оба выражения E.14) и E.15), получим
(а-В)(Ь х с) — (Ъ-В){а х с) = В(а, Ь, с) —(а х Ь)(В-с).
ГЛ. V. ФУНКЦИИ ВЕКТОРОВ 73
Отсюда найдем
(а, Ь, c)R = (R-a)(b х с) -\- (R• Ь)(с х a) + (R-e)(a x 6).
E.16)
Эта формула выражает произведение E.4) /// типа через
произведения E.4) II типа.
Замечание. Если векторы и, Ь, с некомпланариы,
т. е.
(а,Ь,с)фО,
то из формулы E.16) получаем разложение произвольно
взятого вектора R по трем векторным произведениям:
R
E.17)
Итак, мы показали, что все произведения четырех векто-
векторов выражаются линейно через произведения только двух
типов:
I. (a-b)(c-d) II. (a-b)(cxd). E.18)
§ 2. Произведения пяти и тести векторов
1. Типы произведений пяти и шести векторов. Всякое
произведение пяти векторов мы можем получить одним из
двух способов: 1) умножением произведения четырех век-
векторов на пятый вектор; 2) умножением произведения трех
векторов на произведение двух векторов.
Нетрудно показать, что всякое произведение пяти векто-
векторов линейно выражается через произведения следующих
трех типов:
I. {a-b)(c-d)e. II. (a, b, c)(d-e).
III. (a,b,c)(dxe). E.19)
Всякое произведение шести векторов получается одним
из трех способо»»: 1) умножением произведения пяти векто-
векторов на шестой вектор; 2) умножением произведения четы-
четырех векторов на произведение двух векторов; 3) умноже-
умножением произведений но три множителя в каждом.
Нетрудно показать, что всякое произведение шести век-
векторов является линейной комбинацией из произведений
74
ЧАСТЬ 1, ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
следующих трех типов:
I. (a-b){c-d){e-f). II. (a-b)(c-d)(e X f).
III. (a, 6, с) (d, e,/). E.20)
Доказательство высказанных утверждений и формул,
выражающих произведения пяти и шести векторов через
соответствующие типичные произведения E.19), E.20),
предоставляется читателю. Мы же займемся более трудным
вопросом, а именно, мы покажем, что произведение пяти
векторов E.19) III типа и произведение шести векторов
E.20) III типа линейно выражаются через соответствую-
соответствующие произведения первых типов.
2. Разложение вектора (а, Ь, с) (т X п) по векторам
а, Ь, с. Подставив
Л = т х п
в формулу E.11), дающую разложение вектора (а, Ь, с) It
по векторам а, Ь, с, получим
{а, Ь, с) (т х п) = а [(Ь хс)-(т X п)) —
— Ь[(ах с)-(т х п)) + с[(а X Ь)-(т х п)Ь
Отсюда на основании формулы E.7) для скалярного произ-
произведения двух векторных произведений следует:
(а, Ь, с)(т X п) =
= а
Ь-т с-т
Ь-п с-п
— Ъ
с-т а-т
с-п а-п
а-т Ь-т
а-п Ъ-п
или
{а, Ь, с) {т Хп) =
а
а-т
а-п
Ь с
Ь-т с-т
Ъ-п с-п
E.21)
E.22)
Таким образом, произведение E.19) III типа действительно
выражается через произведения E.19) I типа.
Итак, все произведения пяти векторов являются линей-
линейными комбинациями из произведений только двух типов'.
I. (a-b)(c-d)e. II. (а, Ь, c)(d-e). E.23)
Замечание. Если векто ры а, Ь, с не компланарны,
т. е.
{а, Ьх
ГЛ. V. ФУНКЦИИ ВЕКТОРОВ
75
то из формулы E.22) получается следующая формула раз-
разложения векторного произведения т X п по трем некомп-
лапарным векторам а, Ь, с;
а Ь с
тх п =
(«, Ь, с)
а-т
а-п
Ь-гп
Ъ-п
с-т
с-п
E.24)
Заметим, что полученная формула E.24) является обоб-
обобщением формулы C.27), выражающей векторное произве-
произведение через координатные орты г, j, к.
3. Выражение произведения двух смешанных произве-
произведений (а, Ь, с) (I, т, п) через скалярные произведения.
Умножив скалярно на вектор I обе части формулы E.21),
дающей разложение вектора {а, Ь, с) (т X п) по векторам
а, Ь, с, получим
(а, Ь, с){1, т, п) =
Ъ-т с-т
* ' Ь-п с-п
или
-\-A-Ъ)
1, т, п)
с-т
с-п
=
а
а
а
а
а
¦ 1
• т
¦ п
• т
•п
Ь-
Ь-
Ь-
-\
1
т
н
-{1-е)
с-1
с-т
с-п
т
а-т Ъ-т
а-п Ъ-п
E.25)
Эта формула является обобщением формулы D.37) для
квадрата смешанного произведения. Она выражает произ-
произведение шести векторов E.20) III типа через произведения
шести векторов E.20) I типа. Таким образом, все произве-
произведения шести векторов выражаются лишь через произведе-
произведения двух типов:
I. {a-b)(c-d)(e-f). И. {a-b)(c-d){e x /). E.26)
§ 3. Основные теоремы о функциях векторов
1. Рациональные функции векторов. Пусть задала про-
произвольная система векторов а, Ь, с, . .., которые мы бу-
будем называть векторными аргументами.
При помощи действий векторной алгебры (сложения и
вычитания векторов, умножения вектора на скаляр, ска-
скалярного и векторного умножения вектора на вектор)
76 ЧАСТЬ i. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
можно составлять разнообразные алгебраические выраже-
выражения из векторных аргументов а, Ь, с, ...
Все такие выражения мы будем называть целыми рацио-
рациональными функциями от рассматриваемых векторных аргу-
аргументов.
В силу законов распределительности всякую целую ра-
рациональную функцию можно представить в виде линейной
комбинации из произведений векторных аргументов.
Пример.
(а х Ь + Ы) х (с х d) + ца(Ь• с) [с-{а — 26)] =
— (а х Ь) х (с х d) + kb х (с х d) -{-ца (Ъ • с) (с • а)—
— 2\ia(b-cJ.
Целая рациональная функция векторов называется
скалярной, если она является скаляром, и век-
векторной, если она является вектором.
2. Элементарные функции векторов. Различные произ-
произведения векторных аргументов являются наиболее про-
простыми рациональными функциями. Из них и составляются
все другие рациональные функции.
Произведение нескольких векторных аргументов назо-
назовем элементарной функцией этих аргументов, если оно не
может быть представлено в виде произведения двух произ-
произведений, из которых хотя бы одно является скаляром, от-
отличным от единицы.
Так произведения а-Ь, ах Ь, (а X Ь) X с, (а, Ь, с),
[(а X 6) X (с X d)]-e являются элементарными функ-
функциями.
Произведения же (а-Ь) с, (а-Ь) (а, Ь, с) (а X Ь),
(а, Ь,с) (Ь-с) являются неэлементарными функциями.
Всякое произведение векторных аргументов, дающее в
результате скаляр, либо само является элементарной ска-
скалярной функцией, либо распадается в произведение не-
нескольких скалярных элементарных функций. Следователь-
Следовательно, всякая скалярная рациональная функция является фу ни
цией от элементарных скалярных функций.
3. Произвольные скалярные функции от векторов. Лю-
Любую аналитическую функцию от любых рациональных ска-
скалярных функций векторных аргументов мы будем называть
скалярной функцией этих векторных аргу-
аргументов.
ГЛ. V. ФУНКЦИИ ВЕКТОРОВ 77
Примерами таких функций могут служить
sin («•«) е(аЬ) (а %Ь)-(с X d)
V (а, Ь, сJ + (а х bf ' (а. &. с)
и т. д.
Первая основная теорема. Всякая ска-
скалярная функция от векторов может быть представлена как
функция только от попарных скалярных произведений этих
векторов.
Доказательство, а) Выразим через элементар-
элементарные скалярные функции все рациональные скалярные
функции, от которых зависит произвольно взятая функция
W. Тогда W также выразится только через элементарные
скалярные функции.
б) Докажем теперь, что всякая элементарная скалярная
функция выражается только через попарные скалярные
произведения векторных аргументов. Действительно, вся-
всякая скалярная элементарная функция х есть произведение
некоторого числа «векторных аргументов, не содержащее
скалярных множителей.
Так как это произведение должно быть скаляром, то
заключительным действием в нем может быть только ска-
скалярное умножение двух векторов:
х = А-В. E.27)
Могут представиться лить четыре следующих случая:
1) Оба векторных множителя А и В являются аргумен-
аргументами; тогда требуемое доказано.
2) Один множитель, например А, является аргументом
а, другой множитель В является векторным произведением
двух аргументов & и с. Тогда, применив формулу D.37),
выражающую смешанное произведение через попарные
скалярные произведения, получим
. E.28)
Следовательно, в этом случае требуемое тоже доказано.
3) Один множитель, например А, является аргументом
а. Другой же множитель В является векторным произве-
произведением двух множителей, из которых хотя бы один но
а
Ь-
с-
2
а
а
а-Ь
с-Ь
а-
Ь-
с
с
с
2
78 ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
аргумент, т. е. сам является векторным произведением.
В этом случае наша скалярная функция х имеет вид
х = ЛВ = а[С х (Вх Е)]. E.29)
Применив формулу для векторно-векторного произведения,
получим
х = a-\D(C-E) — E{C-D)\
или
х = (a-D)(C-E)-(a-E)(C-D).
Мы видим, что в этом случае исходная скалярная фупк-
ция выразилась через четыре новых элементарных скаляр-
скалярных функции (a-D), (С -Е), {а-Е), (С ¦!)), каждая из кото-
которых содержит заведомо меньше множителей, чем исходная
функция х.
4) Ни один из множителей А и В не является аргумен-
аргументом, т. е.
x = (CxD)-(ExF). E.30)
Это произведение можно преобразовать посредством E.0):
х = (С ¦ Е) (D ¦ F) — (С• F) (I). E).
Таким образом, в двух последних случаях исходпая эле-
элементарная скалярная функция х выражается через элемен-
элементарные скалярные функции с меньшим числом сомножите-
сомножителей. Повторяя по отношепию к каждой из них аналогичные
рассуждения, мы в конце концов выразим исходпую элемен-
элементарную функцию через попарные скалярные произведения
векторных аргументов.
Теорема доказапа.
4. Произвольные векторные функции векторов. Про-
Произвольной векторной функцией от векторных аргументов
называется всякая линейная комбинация из рациональных
векторных функций этих аргументов с коэффициентами,
являющимися любыми скалярными функциями рассматри-
рассматриваемых аргументов. Например,
* = uTW(a x 6) + lef <в х &> х <с х *)•
Вторая основная теорема. Коэффициен-
Коэффициенты разложения любой векторной функции JR по трем пе-
компланарным векторам, р, q, s являются скалярными
ГЛ. VI. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ 79
функциями от этих векторов и от исходных векторных ар-
аргументов функции R. Эти скалярные функции могут быть
выражены через попарные скалярные произведения указан-
указанных векторных аргументов и векторов р, q, s.
Доказательство. Разложение векторной
функции .В по векторам р, q, s имеет вид
Л = хр -f yg + zs. E.31)
Задача состоит в том, чтобы найти коэффициенты х, у, z.
Умножим скалярно обе части формулы разложения
E.31) на q X s. Учитывая, что векторно-скалярпое произ-
произведение, содержащее два одинаковых множителя, равно
нулю, мы получим
Jt(q X 8) =-¦ xp-(q X s).
Отсюда находим
д. _ (Д- 9, в)
(Р, Q, *') '
Аналогично найдем
^ (р, R, s) ч ^ (р, q, R)
(Р, Q, s) ' " " (р, q, s) '
Итак, искомое разложение имеет вид
(Р, 9, *) J (P, Q, «) (Р, Я, s) У '
Мы видим, что коэффициенты полученного разложения
являются скалярными функциями от векторов р, q, s и R,
т. е. от векторов р, q, s и тех векторных аргументов, от ко-
которых зависит разлагаемая векторная функция It. Эти
коэффициенты на основании первой теоремы можно выра-
выразить через попарные скалярные произведения векто-
векторов р, q, «ивекторных аргументов функции 11. Теорема
доказана.
Глава VI
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ
Основная цель векторной алгебры состоит в том, чтобы
исходя из условий той или иной задачи, выразить неизвест-
неизвестные векторы и скаляры через известные векторы и скаляры
посредством действий векторной алгебры.
80 ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Лишь после того, как такое выражение найдено, возни-
возникает дополнительный вопрос о выполнении действии при
том или ином способе задания известных векторов. С осо-
особой простотой все действия векторной алгебры выполня-
выполняются над векторами, заданными в прямоугольной системе
координат. При других способах задания векторов выпол-
выполнение этих действий приводит к более сложным вычис-
вычислениям.
Ниже рассматривается ряд основных задач, которые ре-
решаются методами векторной алгебры.
§ 1. Основные задачи, связанные
с лилейными операциями над векторами
Задача 1. Определение замыкающей ломаной лишш.
Пусть из нескольких известных векторов а, Ь, с, d, e со-
составлена ломаная линия, причем не обязательно конец
предшествующего вектора сов-
совпадает с началом последующего
(рис. 57). Требуется определить
вектор It, замыкающий эту ло-
ломаную, т. е. соединяющий одну
ее конечную точку с другой.
Для решения этой задачи мы
из правила многоугольника и
из определения вычитания век-
1>ис- 57- торов (гл. I, § 2 и § 3) полу-
получаем следующее правило.
Обобщенное правило многоуголь-
многоугольник а. Замыкающая векторной ломаной линии равна
сумме векторов, которая образуется так: данная ломаная
обходится в направлении от начала замыкающей к ее кон-
концу, причем каждый встречающийся вектор (звено ломаной)
прибавляется, если он направлен по направлению обхода, и
вычитается, если он направлен против обхода.
Так, в соответствии с нашим чертежом (рис. 57), мы
получим
В = а — Ь — с -\-d — e. (G.1)
Задача 2. Определение вектора, коллинеарного данно-
данному вектору. Всякий вектор R, коллииеарный данному
вектору а, получается умножение*! данного вектора на
ГЛ. VI. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ 81
некоторый скаляр р:
В = да. F.2)
Абсолютная величина этого скаляра р равна отноше-
отношению модулей искомого и данного векторов:
Положительному скаляру соответствует совпадение
направлений векторов Л и а, отрицательному — их про-
противоположность.
Задача 3. Определение вектора, компланарного двум
данным векторам. Всякий вектор R, компланарный двум
данным (неколлинеарным) векторам а и Ь, разлагается по
ним (рис. 58), т. е. является
их линейной комбинацией
(гл. I, § 5): / R
В = Ха + и-6. F.4)
Скалярные коэффициенты
X и (г йюгут быть определены
лишь из каких-либо допол- рис 58.
нительных условий. Если же
таких условий нет и скаляры X, ц произвольны, то полу-
полученная формула F.4) определяет совокупность scex век-
векторов, компланарных векторам а и Ь.
II р и м е р. В плоскости векторов а — * + j — А; и
it = i — j требуется найти вектор It, у которого проекции
на оси Ох и Оу соответственно равны 3 и 1.
Вектор -К, лежащий в плоскости векторов а и Ь, опре-
определяется формулой
R = ка + \ib.
Следовательно,
It = X (« + j - к) -j- |л (i - j) - г (X -г- \i) -Ь j (Л, — (х) — й-\.
По условию проекции этого вектора на оси Ох и Оу, т. о.
величины X -)- ц, и ^ — ц, должны соответственпо равняп.-
ся 3 и 1, т. е.
X + (.i = 3, Я — и = 1.
Из этой системы находим X = 2, |х = 1. Подставив ити
зпачения в выражение для вектора It, получим
It = 3i + j — 2k.
82 ЧАСТЬ 1, ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 2. Основные задачи, связанные
со скалярным умножением векторов
Задача 4. Определение модуля вектора. Скалярный
квадрат вектора равен квадрату его модуля:
а2 = а-а = аа cos 0 = а2. F.5)
В силу этого
а = У~а?. F.6)
Итак, модуль вектора равен квадратному корню из скаг
лярного квадрата этого вектора.
Пример 1. Даны длины а, Ъ, с трех ребер ОА, ОБ,
ОС параллелепипеда, исходящих из одной вершипы О,
и плоские углы а, р", у
при той же вершине
(рис. 59). Требуется
найти длину диагонали
параллелепипеда, исхо-
исходящей из той же вер-
вершины О.
Указапные ребра О А,
ОБ, ОС будем рассмат-
рис_ 59. ривать как векторы а,
Ь, с. Тогда вектор диаго-
диагонали It = ОО1 мы найдем по правилу мпогоугольпика:
-l BXOX = a + Ь -\- с.
Скалярный квадрат этого вектора равен
В2 = а2 + Ь2 + с2 + 2а-6 + 2а-с + 26-с =
= а2 4- ^2 -'г с2 + 2ab cos у 4- 2ас cos p 4- 2fcc cos а.
Следовательно, длина диагонали JR равна
R = |/"а2 + Ь2 4- с2 + 2 ab cos 7 + 2 ас cos p + 2ic cos a.
Задача 5-( Определение орта вектора. Вектор а равен
произведению своего орта а° на свой модуль а:
а — ао.0.
Отсюда нах одим
а0 = -J- F.7>.
ГЛ. VI. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ 83
Итак, орт вектора равен отношению этого вектора к
его модулю.
Задача 6. Определение угла между двумя направлениями
в пространстве. Пусть два направления в пространстве
определены векторами а и 6, и пусть ф — угол меж-
между ними (рис. 60). Тогда по опре-
определению скалярного произведения
a-b = ab cos ф,
откуда
cos ф = —г- F.8)
или
совф = а°-Ь°. F.9)
Итак, косинус угла между двумя направлениями равен
скалярному произведению ортов этих направлений.
Пример 2. Определим угол между диагональю
ООХ и ребром ОС параллелепипеда, указанного в предыду-
предыдущем примере (рис. 59).
Имеем
ОО-у = а -\- Ь -f- с, ОС = с,
Об[-ОС = а-с + Ь -с + с2 = ас cos [3 -\-be cos a + с2,
ООХ = у (а + 6 + сJ =
= /а2 + Ь2 + с2 + lab cos у + 2ас cos [i + 26c cos а, ОС = с.
Следовательно,
Об1-ОС _
a cos 3 -}- Ъ cos я + с
б2 -f- с2 + 'lab cos f + 2яс cos P + 2Ьс cos а
Задача 7. Определение скалярной и векторной проекции
вектора на ось. Проекция as вектора а на ось s равна произ-
произведению модуля а вектора на косинус угла ф между векто-
вектором и осью (гл. II, § 1):
as = a cos ф.
Но косинус угла ф между направлениями вектора а и оси
84 ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
s равеп скалярному произведению ортов этих направлении
(задача 6):
cos ф — а0-8°.
Следовательно,
as — aa°-s°,
или
ай - а-в". F.10)
Итак, проекция вектора на ось равна скалярному произ1
ведению этого вектора па орт оси.
Как мы уже отмечали (гл. II, § 1), из определения ска-
скалярной и векторной проекций следует, что векторная про-
проекция вектора на ось равна произведению скалярной про-
проекции на орт оси:
as = as8°. F.11)
§ 3. Основные задачи, связанные
с векторным умножением векторов
Задача 8. Определение площади треугольника. Модуль
векторного произведения векторов а и Ь, являющихся сто-
сторонами треугольника (рис. 61), равен площади параллело-
параллелограмма, построенного па этих
векторах. Площадь 0А этого
треугольника составляет по-
половину площади параллело-
параллелограмма. Следовательно,
<3д = 4-|а X Ь\. F.12)
Итак, площадь треуголь-
треугольника равна половине модуля
векторного произведения двух векторов, являющихся сторо-
сторонами этого треугольника.
Пример 3. Определим площадь треугольника с
вершинами Л A; 2; 3), В @; 2; 7) и С G; 5; 1).
а) Мы знаем (гл. II, § 2), что проекции вектора на коор-
координатные оси получаются вычитанием из координат конца
вектора соответствующих координат пачала. Пользуясь
этим правилом, находим
АВ = — г 4- 4А\
ГЛ. VI. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ 85
б) Эти векторы А В ж АС являются двумя сторонами на-
нашего треугольника. Перемножив их векторно, получим:
АВ X АС =
i j к
10 4
6 3—2
--= - 12* -J- 22 j — 3fc.
в) Искомая площадь треугольника ABC равна половине
модуля полученного векторного произведения, т. е.
Задача 9. Определение расстояния от точки до прямой.
Будем предполагать, что известен направляющий вектор s
прямой *), а также вектор JR, соединяющий какую-либо
точку прямой с данной точкой
М (рис. 62).
Площадь о^ параллелограм- --
ма, построенного на векторах
SH-R, равна модулю векторного
произведения этих векторов:
a^ = |exJ2|; F.13)
Рис. 62.
с другой стороны, площадь того
же параллелограмма равна произведению основания на
высоту, т. е. произведению модуля s на расстояние б от
точки Л/ до прямой:
Сравнивая оба выражении для площади параллело-
параллелограмма, получим
s6 = \s X -К|.
Отсюда и найдем искомое расстояние:
6= lsXsR] . F.15)
Задача 10. Определение нормального вектора плоскости.
Нормальным сектором JV плоскости называется любой
*) Направляющим еск/?го/ои прямой называется всякий век-
вектор s, параллельный этой прямой.
ЧАСТЬ i. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
вектор, перпендикулярный к этой плоскости. Нормальный
вектор 2Г получится, если векторно перемножить два не-
коллинеарных вектора аи Ь, лежащих в данной плоскости
(рис. 63):
JVT = а х Ъ. F.16)
Примечание. Нормальными векторами прихо-
приходится пользоваться, например, при определении угла меж-
между двумя плоскостями (см. задачу 13).
N1
Рис. 63.
Рис. 64.
Задача И. Определение вектора общего перпендикуля-
перпендикуляра к двум прямым. Вектор общего перпендикуляра JV к
двум прямым получится, если векторно перемножить на-
направляющие векторы *! и s2 этих прямых (рис. 64):
Ж = в1х*2. F.17)
§ 4. Основные задачи, связанные с произведениями
трех и более векторов
Задача 12. Определение угла между прямой и плос-
плоскостью.
а) Угол ф между прямой и плоскостью есть угол между
направляющим вектором s прямой и его векторной проек-
проекцией на плоскость (рис. 65). Этот угол ф всегда острый, его
синус равен абсолютной величине косинуса угла ф между
направляющим вектором s прямой и нормальным вектором
-2V плоскости:
sin
= | cos
Поэтому формула для угла ф между прямой и плоскостью
ГЛ. VI, ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ
87
имеет вид
-N\
F.18)
б) Если плоскость определена парой расположенных в
ней векторов а и Ь, то сначала находим нормальный век-
вектор:
Формула для угла ф между пря-
прямой и плоскостью приобретает
в этом случае вид
(а,
s a X 6
F.19)
Рис. 65.
Замечание. Получен-
Полученная скалярная функция векто-
векторов а, Ь, s может быть выражена через попарные скаляр-
скалярные произведения этих векторов (си. формулы D.32),
4.37)) следующим образом:
= f
а
Ь-
S-
а
а
а
а
Ь
s
• Ь
•ь
•ь
а
Ь
s
•S
•S
¦S
F.20)
Задача 13. Определение угла между двумя плоскостями.
а) Угол между двумя
плоскостями равен углу
между их нормальными
векторами JV", и -2V2
(рис. 66). Поэтому этот
угол ф определится фор-
формулой
глчт— TV0 У0— ДГ1'-У»
F.21)
Рис. 66.
б) Если плоскости
определены парами рас"
положенных в них векторов alt bL и а2, &2, то сначала на-
находим нормальные векторы:
JVi = «г X 61, iV2 = a2 X &2-
ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Угол ф между плоскостями определится в этолг случае
формулой
(«и X Ы)-(аг X Ь-г)
X
| «2
(b.ZZ)
Замечали е. Полученное выражение для cos ф
может быть представлено как функция от попарных скаляр-
скалярных произведении векторов аг, bv а.,, 6, (cai. формулы
(¦4.32), E.7)), следующим образом:
cos
— («1-62) («2-61)
'>l - (а,.
F.23)
Задача 14. Определение направляющего вектора линии
пересечения двух плоскостей.
а) Линия пересечения двух плоскостей перпендикуляр-
перпендикулярна к нормальным векторам JV и JV2 этих плоскостей
(рис. 67). Поэтому векторное произведение нормальных
Рис. 67.
Рис. 68.
векторов может служить направляющим вектором s этой
линии:
s = 3^ х Ж2. F.24)
б) Если плоскости определены парами расположенных
в них векторов alt bY и а2, Ь2, то сначала находим нор-
нормальные векторы:
3Т! = «1 X &1, 3^2 — «2 X Ьъ
ГЛ. VI. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ
89
j затем направляющий вектор линии пересечения:
s = («! х 60 X (а2 X 62), F.25)
или (см. E.9))
s — аг (аь &i, &.,) — 6, (ах, Ьъ а2). F.26)
Задача 15. Определение объема тетраэдра. Объем V
произвольного тетраэдра равен одной шестой части объема
параллелепипеда, построенного на трех ребрах а, Ъ, с
тетраэдра, исходящих из одной вершины (рис. 68). Следо-
Следовательно (см. D.20)),
V =- -j-\(a, Ь, с)\. F.27)
Замечание. Объем тетраэдра можно выразить
через попаршле скаляршле произведения указанных ребер
(см. D.37)) следующим образом:
Г
--J-V
а-а
>>а
с-а
п-Ь
ЬЪ
с-Ь
а-с
be
е-с
F.28)
Пример. Определим объем V тетраэдра по коор-
координатам его вершин М1 (ж,; г/х; Zj), Л/2 (х2; ,г/2; гг),
М3 (х3; у3; z3), M4 (ж4; уА; z4).
Сначала найдем три вектора-ребра, исходящие из
одной вершины Л/г:
|- fc (za — гг),
fe (z3 — zO,
+к (z4 — Zj).
Ж^М4 = * (x4 — Жх) 4- j {уц — Уг)
Эдна шестая часть абсолютной величины векторно-ека-
пярного произведения этих векторов и даст искомый
объем:
F.29)
*) Выражение mod x означает абсолютную величипу х.
V
т/
*
1
и
1 ..
mod
———=-
Х2-Х1
Хз — Xl
Xi — Х\
1
Уч.
Уз
?/4
-т
— !П
— г/1
1
Z2
Z3
Z4
1
— Z1
— Z1
— Z1
90
ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Замечание. Полученную формулу можно пред-
представить в более симметричном виде. Для этого мы сначала
заменим в ней определитель третьего порядка равным
ему определителем четвертого порядка:
1 О О
1 XI — XI у г — !/1
V = -jT- mod
о
Z2 — Z\
1 Ж4 — Ж1 У4.—У1 Z4 — i
Такая замена называется окаймлением опре*
делителя. В совпадении окаймленного определителя с
исходным мы непосредственно убедимся, если развернем
его по элементам первой строки.
Прибавив теперь к элементам 2-го, 3-го и 4-го столб-
столбцов элементы 1-го столбца, предварительно умноженные
соответственно на хг, уг и z1? мы получим следующую
формулу для вычисления объема тетраэдра по коорди-
координатам его вершин:
V = -тг mod
ь
xi 2/i
F.30)
хз уз
Xl J/4 Z4
Задача 16. Определение расстояния от точки до пло-
плоскости.
а) Будем предполагать, что известен нормальный век-
вектор Ж плоскости и вектор R, соединяющий какую-либо
точку А плоскости с данной
точкой М (рис. 69).
Расстоянием б от данной
точки М до данной плоскости
будет являться абсолютная
величина проекции вектора
AM = It па нормальный век-
вектор плоскости Ж, т. е.
N,
Рис. 69. F.31)
б) Если даны два вектора «г и & в плоскости и вектор R,
соединяющий какую-либо точку А плоскости с данной точ-
точкой М, то сначала паходим нормальный вектор
¦N — а хЪ,
ГЛ, VI. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ
а уже затем определяем расстояние от точки до плоскости:
8 I Т» -VIII I т> & X Ь
Итак,
, а, Ь)\
F.32)
Замечание 1. Последнюю формулу можно было
получить непосредственно из тех соображений, что высота
параллелепипеда равна отношению его объема к площади
его основания.
Замечание 2. Расстояние б от точки до плоскости
выражается через попарные скалярные произведения век-
векторов R, а, Ь (см. формулы D.32), D.37)) так:
.У.
R-R В-а 11-Ь
a-R а-а а-Ъ
b-R Ьа ЬЬ
а262 — (а-
F.33)
Задача 17. Определение кратчайшего расстояния меж-
между двумя прямыми. Будем предполагать, что известны на-
направляющие векторы 8Х и «2
двух прямых и вектор R, сое-
соединяющий какую-либо точку
Mi одной прямой с какой-
либо точкой М2 другой пря-
прямой (рис. 70).
Перемножив векторно на-
направляющие векторы прямых
#1 ия2,мы найдем вектор их
общего перпендикуляра 2Г:
Ж =
X s2
Рис. 70.
Как видно из чертежа,
кратчайшее расстояние б ме-
между нашими прямыми равно абсолютной величине проек-
проекции вектора J? = М-^М^ на вектор -2Vs
б =
F.34)
92
ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Следовательно,
6 =
81,
| «1 X 82 |
F.35)
Замечание. Полученное выражение для кратчай-
кратчайшего расстояния б можно представить (см. формулы D.32),
D.37)) как функцию только от попарных скалярных про-
произведений векторов М, Si, 82:
6 =
if
Si
S2
R
¦R
¦ n
R
Sl
S2
•Sl
•Sl
•Sl
R
Sl-
S2-
Sl
Sl
Si
F.36)
Задача 18. Определение проекции вектора на плос-
плоскость. Найдем векторную проекцию Ир данного вектора R
на плоскость Р с данным нормальным вектором Ж. Эта
проекция Ир является разностью (рис. 71) между вектором
It и его векторной проекцией J?.v на нормальный вектор
Ж, т. е.
"• -tip — Jtl — jKjv.
Но мы знаем (задача 7), что
векторная проекция вектора
на ось равна произведению
орта оси на скалярную проек-
проекцию вектора:
Рис 71. Вследствие этого
7?р = JR — Ж°(Н-Ж°). F.37)
Модуль полученной векторной проекции определяется
по теореме Пифагора:
\R
P |=
— (R-N0J.
F.38)
Замечание!. Если даны два вектора я и 6 в плос-
плоскости Р, то сначала находим нормальный вектор плос-
плоскости, т. е.
JV = axb,
ГЛ. VI. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ 93
я затем уже проекцию
к
(¦« X 6) (Д, a, b)
Г
Замечание 2. Векторную проекцию Rp вектора R
па плоскость Р с нормальным вектором JST = а X b можно
представить еще так:
Rp = (№>iR)x№, F.40)
или
[(.№ X Ь) X Д] X (а X 6) ,fi/in
откуда, пользуясь формулами E.8), E.3) и E.7), получаем
разложение проекции ItP по векторам а и Ь:
гу b*{a-R) — (a-b)(b-R) а'МЬ-Я) — (а-Ь) («• Д)
F.42)
§ 5. Простейшие векторные уравнения
Задача 19. Определение вектора по векторному и ска-
скалярному произведениям. Требуется определить неизвест-
неизвестный вектор г из системы двух уравнений
F.43)
где скаляр X и векторы а, Ь, с считаются известными, при-
причем предполагается, что вектор а перпендикулярен вектору
Ь и не перпендикулярен вектору с, т. е.
Умножив векторно первое уравнение системы па вектор
с, мы получим
(а X г) X с = Ь X с,
или
— а (г • с) + г (а • с) = Ъ х с,
откуда, воспользовавшись вторым уравнением системы, мы
94 ЧАСТЬ 1, ВККТОРНАЙ АЛГЕБРА
паидем
+
ас ' а-с
F.44)
Подстановкой в уравнения нашей системы можем убедить-
убедиться, что полученный вектор им удовлетворяет.
Итак, рассматриваемая система имеет единственное ре-
решение.
Задача 20. Определение вектора по векторному произ-
произведению. Требуется найти пеизвестный вектор г из урав-
уравнения
а х г = Ь, F.45)
где а и Ъ — известные взаимно перпендикулярные век-
векторы.
Скалярное умножение решения г этого уравнения на
данный вектор а дает некоторый скаляр К, т. е.
По скалярному и векторному произведениям мы теперь
найдем вектор г F.44):
^=^ + -^. F-46)
Обозначив Va2 = Л, мы получим
г = ha + ±?? . F.47)
Нетрудно убедиться подстановкой, что при любом Л
полученный вектор г удовлетворяет уравнению F.45).
Следовательно, общее решение F.47) нашего уравнения
содержит в своем составе произвольный скаляр Л.
Замечание. При Л = 0 получается единственное
решение, расположенное в плоскости, перпендикулярной
вектору а. Это частное решение имеет вид
г = -^ . F.48)
Задача 21. Определение вектора по скалярному произ-
произведению. Требуется определить неизвестный вектор т из
уравнения
га = 1. F.49)
ГЛ. VI. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ 95
Пусть г есть решение этого уравнения. Умножив его
векторно на а, мы получим некоторый вектор 6:
а х г = Ь.
На основании найденной выше формулы F.46) мы най-
найдем теперь
Обозначив Ыа% = В, получим следующую формулу для
решения:
г = ^~ + Вха. F.50)
Нетрудно убедиться, что при любом векторе В (даже пе
обязательно перпендикулярном к а) полученный вектор г
удовлетворяет уравнению F.49). Таким образом, общее
решение F.50) нашего уравнения содержит в своем составе
произвольный вектор В.
Задача 22. Определение вектора по трем скалярным
произведениям. Требуется определить неизвестный вектор
г из системы трех уравнений
где а, Ь, с — три некомпланарпых вектора.
Умпожив скалярпо первое уравнение на Ь, второе
уравнение на — аи сложив их, получим
Ь (а • г) — а (Ь • г) = 6а — aji,
или
(а х 6) X г = а& — [За. F.52)
Получеппое уравнение вместе с третьим уравнением
исходной системы
с • г = т
образует систему рассмотренного выше типа F.43). Ее ре-
решение F.44) будет иметь вид
а X Ь . (аб — ga) х с ,« го\
' (а X Ь)-с ' (а X Ь) -с ! ^ ' '
или
98 ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Задача 23. Определение вектора г из уравнения
а х г -{-'кг = 6, F.55)
где векторы а, Ь и скаляр % известны. Умножив скалярно
наше уравнение на вектор а, мы получи.м
kr-a — ab,
откуда
r-a= ^j—- F.56)
Умножим теперь исходное уравнение F.55) векторно
на тот же вектор а:
(а х г) х а + hr х а = b x а. F.57)
Развернув векторно-векторное произведение в получив-
получившемся уравнении, мы получим
га2 — a(r-a)-\-k(rxa) = b x a. F.58)
Заменив векторное произведение г X а его выражением
из исходного уравнения F.55), а скалярное произведе-
произведение г-а — найденным выше его значением F.56), мы полу-
получим
та2 — а .' ] -J- X (кг — 6) — b х а,
откуда
X (а* + X.2)
Задача 24. Определение коэффициентов разложения.
Требуется определить неизвестные скаляры х, у, z из
уравнения
It — ха -f г/6 -|- zc, F.59)
где три некомнланарных вектора а, 6, с и вектор М счи-
считаются известными.
Умножая наше уравнение последовательно на 6 X с,
с х а, а х Ь, мы получим
(-R, 6, с) =х(а, Ь, с),
(В, с, а) = у (Ь, с, а), \ F.60)
(Л, а, 6)= г (с, а, 6).
ГЛ. VI, ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ 97
Отсюда находим
х ~ (а, 6, с) ' У ~ (а, Ь, с) ' z " (а, 6, с) ' *• '
§ 6. Геометрические инварианты фигур
1. В геометрии с каждой фигурой связываются раз-
различные скалярные величины и геометрические образы,
характеризующие геометрические свойства фигуры. Так,
с треугольником связывается ряд скаляров: его углы,
длины сторон, площадь и т. д., а также ряд геометриче-
геометрических образов: биссектрисы углов, медианы, вписанная и
описанная окружности и т. д.
Все такие скаляры и образы, связанные с фигурой,
характеризуются двумя особенностями:
1) каждый из них однозначно определяется рассматри-
рассматриваемой фигурой и не зависит ни от способа задания этой
фигуры, ни от ее расположения относительно других
фигур в пространстве;
2) если перемещать фигуру как твердое тело, то свя-
связанные с ней скаляры не будут меняться, а присоединен-
присоединенные к ней геометрические образы будут перемещаться
вместе с фигурой, но меняя своего относительного распо-
расположения. Скаляры и геометрические образы, обладающие
указанными особенностями, называют геометрическими
инвариантами фигуры.
В аналитической геометрии фигуру определяют при
помощи системы координат. При этом определяется и ре
положение в пространстве относительно взятой системы
координат.
Часто фигуру определяют заданием той или иной си-
системы ее скалярных инвариантов, достаточной для опре-
определения фигуры как твердого тела. Такая система скаляр-
скалярных инвариантов называется полной. При помощи нее
можно определить все другие инварианты системы. Одна-
Однако следует иметь в виду, что полная система инвариантов
определяет фигуру как твердое тело, но не определяет ее
положения в пространстве. Именно так задаются фигуры
и элементариой геометрии. Например, треугольник там
задается той или иной системой трех независимых инва-
инвариантов: длинами трех сторон или длинами двух сторон
и углом между ними и т. д. В курсах элементарной
4 1\ Ф. Лаптев
ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
геометрии и тригонометрии уделяется большое внимание
«решению треугольников», т. е. определению различных
инвариантов треугольника при помощи той или иной
системы трех независимых инвариантов.
Мы рассмотрим векторные
методы определения инвариан-
инвариантов простейших фигурз треу-
треугольника, тетраэдра и гекса-
гексаэдра.
2. Треугольник. Пусть два
вектора а и Ь являются сто-
ропами треугольника ОАВ
(рис. 72);
Рис. 72. _». _>
ОА = а, ОВ = Ь. F.62)
Этими двумя векторами а, Ъ, исходящими из точки О,
треугольник ОАВ полностью определяется. Все инвари-
инварианты и вспомогательные векторы этого треугольника вы-
выразятся через данные векторы а и 6. Найдем для примера
несколько таких выражений.
а) Длина стороны АВ\
АВ = | Ь — а | = ]
б) УГОЛ2
- а-(Ь — а)
ъо&ОАВ
в) Площадь?
Sabc == -4-j
X
га*+ Ь*-2а-Ь. F.63)
= а1~^1'- ¦- F.64)
\-Y<P&—{a-bf. F.65)
г) Вектор-высота h, исходящий из вершины В\
h == Пр„Ь — & = ай(Ь-а°) — Ъ,
т. е.
F.66)
д) Длина h высоты, опущенной из вершины Вг
ГЛ, VI, ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ 99
т е.
е) Вектор-биссектриса т, исходящий из вершины О.
С одной стороны, т — К (а0 + &°), с другой стороны,
т = а + М- (Ь — а). Сравнив эти два выражения, найдем
Я, = —т-т. Следовательно.
F.68)
ж) Длина т биссектрисы, исходящей из вершины О:
Замечание. Мы видим, что в полном соответ-
соответствии с общей теорией (см. гл. V, § 3) все скалярные ин-
инварианты треугольника выражаются через попарные ска-
скалярные произведения данных векторов, т. е. через
а-а = а2; &-& = &2, а-Ь.
3. Полные системы инвариантов треугольника. Мы
рассмотрим несколько полных систем инвариантов тре-
треугольника ОАВ и покажем, как через них выражаются ска-
скалярные произведения а2, б2, а-Ь, через которые в свою
очередь, выражаются все остальные инварианты треуголь-
треугольника.
а) Треугольник ОАВ задан длинами двух сторон
О А — а, ОВ — Ъ и углом ср = А ОВ между ними.
В этом случае получим
а2 = а2; Ъ2 = Ь2; а-Ь = ab cos q>. F.70)
При помощи этих формул можно рассчитать любой
инвариант, предварительно выраженный через скаляр-
скалярные произведения. Например, длина высоты h будет
равна (см. F.67))
h = /б2 — Ъ2 cos2 <p = Ъ sin ф. F.71)
б) Треугольник ОАВ задан длинами трех сторон
О А = а, ОВ = Ь, А В = с. В этом случае мы получим
а2 = а\ Ъ2 = Ь2. F.72)
100
ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Для вычисления скалярного произведения а-Ь мы, воз-
возведя в квадрат векторное равенство
получим
откуда
АВ=г= Ь — а,
= в« + Ъг - 2а-Ь,
а-Ь =
я2 + Ь2 — с2
F.73)
Следовательно, все инварианты треугольника мы можем
выразить сначала через скалярные произведения а2, Ь'г,
а-Ь, а затем по полученным фор-
формулам через длины сторон.
в) Треугольник ОАВ задан
стороной А В = с и прилежащи-
прилежащими к ней углами ОАВ = ос,
ОБА = р. Для вычисления ска-
скалярных произведений а-а, Ь-Ь,
а-Ь проще всего сначала по те-
теореме синусов определить дли-
длины остальных сторон:
с sin а , с sin 3
а —
sin (а +3)
Ь =
sin (a
f 3) '
F.74)
а затем вычислить указанные произведения:
9 с2 sin2 a ., c2sin23
sin2 (а + Р)
sin2 (а + $)
а-Ь =
с2 sin а sin 3 cos (а -f- ft)
sin2 (а + pj
F.75)
4. Тетраэдр. Пусть три некомпланарных вектора
а, Ь, с, исходящих из общего начала О, являются ребрами
тетраэдра ОАВС (рис. 73):
О А = а,
г= Ь, ОС = с.
F.76)
Этими тремя векторами», Ь, с, исходящими из точки О,
тетраэдр ОАВС полностью определяется. Все его инва-
инварианты и ипвариантпые векторы выразятся через данные
векторы а, Ь, с. При этом скалярные инварианты (гл. V,
§ 3) должны выражаться только через попарные скаляр-
ГЛ. VI. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ
101
ные произведения векторов а, Ь, с. Найдем для примера
несколько таких выражений,
а) Д л и н а ребра АВ:
АВ = \Ь — а\ = уаг + Ь*— 2ab.
б) Плоский угол ABC:
F.77)
а-с — а-Ь — Ь-с 4- Ь2
, . (о. /о)
— lab уь* + с* — 26-с '
в) Двугранный угол ср при ребре О А:
(Ь-с)а* — (а-с)(а-Ь)
cos ср =
| а X 6 11 а X с |
- (а¦
г) Объем тетраэдра:
F.79)
=-§-к
а2
a-b
ас
а
1
6
• 6
>2
• с
«•с
Ьс
с2
. F.80)
д) У г о л грмежду ребром О А и гранью
OJ3C:
Sin"" a|6xc| ~а
а2
b-a
с-а
ab
б2
с-6
а
Ь-
с
с
с
2
(G.81)
е) Кратчайшее расстояние 6 между
ребрами ОА и ВС:
8 =
где
б =
Следовательно
У №2 F — СJ —
вI
1
6-С)|*
г
а2
а-с
а-Ь
б3
6-е
а
6
»
• с
• с
У ыг6'2 |- а2с- — 2а-6 -с — (а-бJ — (а-сJ + 2 (а-6) (а-с)
F.82)
102
ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Замечапие. Мы видим, что в полном соответствии
с общей теорией (гл. V, § 3) все найденные скалярные ин-
инварианты тетраэдра выразились через попарные скаляр-
скалярные произведения определяющих тетраэдр векторов.
5. Полные системы инвариантов тетраэдра. Рассмо-
Рассмотрим три такие системы.
а) Заданы длины всех ребер тетраэдра О ABC (рис. 74):
ОА = а, ОБ = Ъ, ОС = с, АВ = clt ВС = аи С А = bv
Из треугольников ОАВ^ ОВС, О АС мы находим по
этим данным все необходимые попарные скалярные про-
произведения:
= c2, ab =
с-а —
F.83)
По скалярным произведениям мы можем вычислить все
инварианты тетраэдра (см. п. 4).
б) Заданы длины ребер, исходящих из вершины О
тетраэдра ОАВС и плоские углы при этой вершине
(рис. 75)
ОА = а, ОБ = Ъ, ОС = с,
'ОС = а, СО А = 3;
ГЛ. VI. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ЮЗ
Из треугольников ОАВ, ОВС, ОСА мы находим все
необходимые скалярные произведения:
аГ- = а\ &2 = Ь\ с2 = с2;
ab = ab cosy, Ь-с = Ъс cos a, c-a — ca cos p.
. } F.84)
в) Заданы длины пяти ребер тетраэдра и двугранный
угол против пезаданного ребра:
ОА = а; ОВ = Ъ, ОС = с, АС = Ьх; 5С = ях, <р,
где ф — двугранный угол при ребре ОС.
Непосредственно находим:
а2 = а2, Ь% = б2, с2 = с2,
Ь2+С2_в2
F.85)
Таким образом, остается определить скалярное произ-
произведение а-Ь. С этой целью сначала определим векторы
На и й-в, направленные по высотам треугольников О АС
и СШС, опущенным на их общую сторону ОС (рис. 76).
На — а — Прса = а — с0(а-с0) = а — с ^,
с | F.86)
= & — с0 F-с0) = Ь — ^
104
ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Из этих уравнений находим
а = П + с
6 = Лв + с
_ Ъ\
2c2
&2 + c2 — a2
F.87)
Таким образом, векторы аи & разложились по трем векто-
векторам На, Iib, с. При этом
Из формул F.86) для 1
, a _ 2 (a-cf
HA — a ^
и й-в определяем их квадраты:
F.88)
4C2
4bV — (b2 + c2 — a2J
4^5
Учитывая, что угол между векторами Лд и й-в является
углом ф, измеряющим данный двугранный угол при ребре
ОС, мы получим
Йа-й-в =
(я2
4с2
2J
_F2_|_с2_в2)
4сг
¦ COS ф.
F.89)
Теперь, перемножив выражения F.87) для векторов а а Ь,
мы найдем необходимое скалярное произведение а-Ь:
а-6 =
4с2
1 к'\* v
X /462с2 - (б2 + с2 - a2J cos ф +
+ (а« + с2 - Ь?) (б2 + с2 - а2)]. F.90)
Итак, все необходимые скалярные произведения а2,
&2, с2, «•&, Ь-е, с-а найдены (см. формулы F.85) и F.90)).
Замечание. В рассматриваемом случае можно
взять за базисные векторы не а, Ь, с, а векторы Лд> Ни, с
и через них все выражать.
ГЛ. VI. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ
105
6. Гексаэдр с треугольными гранями. Такой гексаэдр
(шестиграппик) САВОСХ состоит из двух тетраэдров
САВО и dABO с общим основанием АВО (рис. 77). Оба
эти тетраэдра вполне определя-
определяются четырьмя векторами:
= а, ОВ^Ъ,
F.91)
Через них и будут выражать-
выражаться все инварианты гексаэдра, п
Пусть, например, заданы длины
а, Ъ, с, сх сторон О А = а, ОБ — Ь,
ОС=с, ОС?! = Cj гексаэдра, ис-
исходящих из вершины О, и
углы А ОС, СОВ, БОА, АОСХ,
С\ОВ между этими векторами.
Попарные скалярные про-
произведения векторов а, Ь, с, с1?
через которые выражаются все
инварианты гексаэдра, находятся
случае очень просто:
а-Ь — abcosAOB, а- с = ас cos А ОС,
= aex cos
в рассматриваемом
Ь-с = Ъс cos BOC,
Ъ ¦ сх = Ых cos BOC\.
Исключение составляет произведение c-clt Это произ-
произведение можпо определить по формуле E.25)
(а, Ь, с) (а, Ь, сх) =
а*
а-Ь
Ь-а с-а
б2 с Ь
а-с\ b-ci
F.92)
где смешанные произведения (а, Ь, с) и (а, 6, сх) находятся
?о формуле D.37).
Пример. Рассматривается гексаэдр САВОСХ
z треугольными гранями (рис. 78). Заданы длины ребер,
106
ЧАСТЬ 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
исходящих из вершины О, и углы при этой вершине:
OA_=i, OB = 2j_OC =3-°С1 ~ 2 Y% BOC = АОС =
= АОВ = 60°, АОСг = 50С1! = 45°.
Требуется найти расстояние
СС1 между вершинами С и Сх и
угол C0C1!.
Так как
ССХ = /(с - сгJ =
и
с os COC\ = —
Рис. 78.
то для решения того и другого
вопросов нужно найти произведе-
произведение с-сх. По формуле E.25)
(а, Ь, с) {а, Ь, сх)=
2 6
а2 6-« с-а
а-ci 6-ci c-ci
F.93)
Смешанные произведения, стоящие в левой часты этого
уравнсиия, найдем по формуле D.37)
<Р,ь
,с)=±у
а2
6а
с-а
а-6
б2
с-Ь
а-с
Ьс
с2
, /"
- г
1
1
2
1
4
4
2
4
16
= ±4/2,
(а, Ь,
/2.
Так как вершины С жС1 лежат по разные стороны от плос-
плоскости векторов а и 6, то одна из троек векторов а, Ъ, с
и а, Ь, сх правая, а другая левая. Это значит, что произ-
произведение {а, Ь, с) (а, Ь, Cj) не положительно. Следовательно,
(а, Ь, с) {a, b, Ci) = — 16.
ГЛ. VI. ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ
107
Правую часть уравнения F.93) преобразуем так:
a2 b-a c-a
d-b Ьг C'b
а-сх b-ci c-ci
1 1 2
14 4
2 4 c-ci
1 0 О
13 2
2 2 cci—4
Сравнив результаты, получим уравнение
-16= 3(ссх) - 16,
из которого найдем
С'СЛ = 0.
Отсюда находим
ССг = /(с - ClJ = /^Tc"i
= 2/6,
COC
C-Cl
CCl
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Глава VII
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ
НО СКАЛЯРНОМУ АРГУМЕНТУ
§ 1. Векторы, зависящие от скаляра
1. Вектор-функция скаляра. Мы будем рассматривать
теперь не только переменные скаляры, но и переменные
векторы. Вектор называется переменным, если в условиях
рассматриваемой задачи он может менять свою длину и
свое направление (или хотя бы одну из этих характери-
характеристик). Всякое частное положение такого вектора мы будем
называть его значением. Следовательно, значение пере-
переменною вектора есть определенный вектор.
Определение. Переменный вектор It называется
функцией скалярного аргумента t, если каждому значе-
значению скаляра t из области допустимых значений соответ-
соответствует определенное значение вектора R.
Тот факт, что вектора является функцией скалярного
аргумента *, мы будем записывать так:
B = R(t). G.1)
Примерами векторных функций могут служить радиус-
вектор г и скорость v движущейся в пространстве точки
(рис. 79). Эти векторы являются функциями времени t.
2. Вектор-функция в координатной форме. Если век-
вектор R является функцией скаляра t:
то его проекции Rx, Rv, Rz также будут функциями от
этого скаляра U
Rx = п* @; Ry = Rv @; Rz = Rz @- G.2)
Обратно, если проекции вектора являются функциями,
ГЛ. VII. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ ЮЗ
то функцией будет и сам вектор:
Таким образом, задание векторной функции It (t) равно-
равносильно заданию трех скалярных функций Rx (t), Ry (I),
Rz (t).
3. Годограф вектора. Годографом вектора It, являюще-
являющегося функцией скаляра t, называется геометрическое место
точек, которое онисывает конец этого вектора R при из-
изменении скаляра t, когда начало вектора It помещено
в фиксированную точку О пространства (рис. 80).
Рис. 79.
Рис. 80.
Годографом радиуса-вектора г движущейся точки будет
сама траектория L этой точки. Годографом же скорости v
будет некоторая новая линия Lx (рис. 81).
Пример. Построим годограф вектора It — it +
1 1
+ j-j-t2 + k-g-13. Это построение можно вести по точкам,
составляя таблицу
t
в
0
0
1
1 1
2
4 8
3
4
/ 16 . 64
Но можно поступить и так: обозначив проекции векто-
вектора R на коордипатныо оси через х, у, z, мы получим
x-v м - —" - Х
110 ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Исключив из этих трех уравнений параметр t, мы полу-
получим уравнения двух параболических цилиндров:
Эти цилиндры и пересекаются по нашему годографу
(рис. 82).
Рис. 82.
Рис. 83.
4. Предел вектора. Постоянный вектор А называется
пределом переменного вектора R, если модуль разности
между ними в процессе изменения вектора становится
и в дальнейшем остается меньше произвольного наперед
заданного положительного числа г (рис. 83).
ГЛ. VII, ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ Щ
Таким образом, для заданного 8, начиная с некоторого
момента, зависящего от величины е, будет выполняться
неравенство
\В-А\<е. G.4)
Как и в обычном анализе, пишут
lim В = А. G.5)
Вектор | называется бесконечно малым, если его пре-
предел равен нулю:
lim 1 = 0. G.6)
Замечание 1.В векторном анализе сохраняются
основные теоремы о бесконечно малых и о пределах. Это
происходит потому, что: а) определения предела и беско-
бесконечно малого вектора вполне аналогичны обычным опре-
определениям анализа; б) на векторные операции распростра-
распространяются законы, аналогичные законам обычной алгебры;
в) с модулями векторов можно обращаться, как с абсо-
абсолютными величинами чисел.
Замечапие 2. Переменный вектор В равен сумме
своего предела А и некоторого бесконечно малого вектора |,
т. е. из lim В = А следует В = А + |, lim | = 0.
Замечание 3. Предел модуля вектора равен
модулю его предела, если последний предел существует.
Действительно, пусть lim В = А. Зададим
е ^> 0. Тогда, начиная с некоторого момента, будет выпол-
выполняться неравенство
\В~А
Так как разность двух сторон треугольника меньше треть-
третьей стороны, то (см. рис. 83)
\\R\-\A\\<\It-A\.
Следовательно, начиная с указанного момента,
т. е.
lim \B\ = ]A\
или
lim | В | = | lim В |. G.7)
112 ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
5. Непрерывная вектор-функция. Векторная функция
скаляра называется непрерывной, если бесконечно ма-
малому приращению аргумента соответствует бесконечно
малое приращение функции, т. е.
lim [В (t + Af) — В (/)] = 0.
Отсюда следует, что
G.8)
т. е. предел непрерывной функции равен значению этой
функции при предельном значении аргумента.
§ 2. Дифференцирование вектора по скаляру
1. Производная вектора по скаляру. Производной В
вектора В (t) no его скалярному аргументу t называется
предел отношения приращения вектора В к соответ-
соответствующему приращению скалярного аргумента t, когда
приращение этого аргумента стремится к нулю:
^-. G.9)
Приращение &.В вектора JS является разностью между
измененным значением В (t + At) вектора и его первона-
первоначальным значением -В (t):
АВ = В (t + АО — В (t).
Если мы поместим начала измененного и начального
значений вектора В в одну точку О (рис. 84), то прираще-
приращение A-R вектора В будет вектором, соединяющим конец
начального значения с концом измененного.
Совершенно ясно, что производная В' вектора В по
скаляру t есть также вектор, являющийся функцией от
того те скаляра t.
В дальнейшем будут рассматриваться лишь такие век-
векторные функции скаляра, которые не только непрерывны,
но и при рассматриваемых значениях обладают непрерыв-
непрерывной производной.
2. Геометрический смысл производной вектора по ска-
скаляру. На годографе (рис. 85) вектора В = B(t) рассмо-
рассмотрим две точки М и Ми соответствующие исходному
ГЛ. VII. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ ИЗ
И (I) и измененному It (t + At) значениям вектора. Beit-
тор A-R, соединяющий эти точки, является приращением
вектора И:
АВ = MMt.
Прямая, проходящая через две точки М и Мг годографа,
называется секущей годографа. Предельное положение
секущей, проходящей через данную точку М и бесконечно
AR-Rlt+Atmt)
И'Ш
Рис. 84.
Рис. 85.
близкую точку Мг годографа, называется касательной
к годографу в данной точке М.
Отношение приращения A.R вектора -К к приращению
At скаляра t есть вектор АН/At, направленный по секущей
ММХ в ту сторону, куда перемещается конец вектора jB
при возрастании скаляра t.
При стремлении приращения аргумента At к нулю
точка Мг безгранично приближается к точке М, а секу-
секущая, проходящая через эти точки, безгранично прибли-
приближается к касательной в точке М. Следовательно, вектор
АН/At, расположенный на секущей, имеет своим пределом
вектор
расположенный на касательпой.
Итак, производная вектора по его скалярному аргументу
есть вектор, направленный по касательной к годографу
исходного вектора в рассматриваемой точке.
При этом панаш подчеркнуть, что производная направ-
направлена по касательной в ту сторону, куда перемещается
конец вектора но годографу, когда параметр растет.
114
ЧАСТЬ 2, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
М
3. Механический смысл производной. Пусть г есть
радиус-вектор движущейся в пространстве точки. Он бу-
будет функцией времени t. Рассмотрим два положения этой
точки, соответствующие на-
начальному и бесконечно близ-
близкому моментам времени t и
t + At. Обозначим эти поло-
положения М и Мг (рис. 86).
Перемещение точки из на-
начального положения М в но-
новое положение Мх характери-
характеризуется приращением радиуса-
вектора точки г:
~ММХ = r(t + At)— r (t)=Ar.
Рис. 86. Отношение ArJAt прира-
приращения Аг ко времени At, за
которое это приращение произошло, называется средней
скоростью перемещения точки. Ее предел при At -vO
есть вектор v, который и принимается за скорость точки
в данный момент.
Итак, производная радиуса-вектора движущейся точки
по времени есть скорость этой точки в данный момент.}
v — hm —гт- = г .
Д(->0 At
G.10)
Замечание. Производную R' (t) вектора Л
по скалярному аргументу t всегда можно истолковать
как скорость конца вектора R при условии, что его начало
находится в фиксированной точке, а аргумент t рас-
рассматривается как время.
4. Правила дифференцирования вектора по скаляру
совпадают с правилами обычного дифференциального ис-
исчисления по следующим причинам:
а) определение производной вектора по скаляру сов-
совпадает с обычным определением;
б) теоремы о пределах векторных выражений не
отличаются от обычных теорем о пределах;
в) векторные алгебраические операции подчиняются
обычным законам алгебры (кроме переместительности
векторного произведения).
ГЛ. VII. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ 115
Таким образом, мы получаем следующие правила
дифференцирования:
(u + v — w)' = u' + v' — w', G.11)
(Фм)' = <р'ад + ц>и', G.12)
(u-v)' = u'-v + u-v't G.13)
(их v)' = и' х v + uX v', G.14)
{R[t(s)}}'s = Rtt's. G.15)
Для примера мы проверим справедливость правила
дифференцирования векторного произведения. Пусть
R = и X v.
Дадим скалярному аргументу t приращение At\ тогда
функции и, v, R также получат приращения Аи, Av, AR.
При этом
R + AR = (и + Aw) X (v + Av).
Отсюда
AR = и X Av -f Am X v -\- Аи Х Аг>.
Деление на At дает
откуда, перейдя к пределу при Ai ->-0, получим
R' — uxv' + и' X V.
5. Дифференциал вектора. Дифференциалом вектор-
векторной функции R скалярного аргумента t называется произ-
произведение производной от этой функции по ее скалярному
аргументу на дифференциал этого аргумента, т. е.
dR = R\dt. G.16)
Дифференциал векторной функции, как и ее производ-
производная, есть вектор, направленный по касательной к годографу.
Из формулы G.16) для дифференциала мы получаем
т. е. производная вектора по скалярному аргументу равна
отношению дифференциала вектора к дифференциалу
аргумента.
Ufi ЧАСТЬ 2, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
6. Инвариантность дифференциала. Дифференциал
вектора инвариантен относительно любых преобразова-
преобразований скалярного аргумента.
Действительно, пусть
t = t (s).
Тогда
dt = ts ds
и, следовательно,
dB == Btis ds.
Ho
¦Rt t$ = Bs.
Следовательно,
dB = B'sds. G.18)
7. Связь дифференциала вектора с его приращением.
Пусть t — независимый аргумент. По определению про-
производной вектора
= В,.
д(->о т
Но татг как переменная отличается от своего предела на
бесконечно малую величину, то
ДД t?'j ?
где | — бесконечно малый вектор. Следовательно,
л в = B'tAt + !Д«.
Имея в виду, что t — независимая переменная и, следова-
следовательно, At = dt, мы получим
АВ = dB. + lAt, G.19)
причем
lim |==0.
Итак, если приращение скалярного аргумента беско-
бесконечно мало, то дифференциал вектора отличается от при-
приращения вектора на бесконечно малую величину высшего
порядка малости по отношению к приращению аргумента.
ГЛ. VII. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ Ш
§ 3. Формула Тейлора
1. Производные и дифференциалы высших порядков.
Производная R' (t) векторной функции R (t) скалярпого
аргумента является векторной функцией того же аргу-
аргумента, которую опять можно дифференцировать. Как и
в обычном анализе, производная от производной R' на-
называется производной второго порядка и обозначается R",
производная от производной второго порядка называется
производной третьего порядка и обозначается R"' и т. д.:
(В1)' = R", (В")' = В'",.. ., (i?'"-1*)' == В{п\ ...
Аналогичным путем определяются дифференциалы вто-
второго порядка, третьего порядка и т. д.:
d (dR) = d2R, d (d2R) = d3R,..., d{d n~xR) = dnR,...
2. Формула Тейлора. Векторную функцию .R (i) ска-
скалярного аргумента t разложим по координатным ортам:
Предположим, что при данном значении t аргумента ска-
скалярные функции X (t), Y (t), Z (t) обладают производными
до порядка п включительно. Тогда к ним можно приме-
применить формулу Тейлора:
X(t -!- At) = X(t) + %-X'(t) + ... +M
Y(t + At) = Y(i) + ^-Y'(t) + ... +
Z(l + At) = Z(t)+ -^-Z'(t) + ... +
причем
liman = 0, ]im,3n = 0,
д«-*о д«->о
Умножив эти равенства соответственно на *, j, Jc и сло-
сложив, получим
R (t + А/) = R @ + 4f-R' (t) + -^ R' (t) + ¦¦•
¦¦¦+ ^f- -E(n) @ +
118 ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Это и есть формула Тейлора для векторной функции.
Положив
B(t + At)-B (t) = АВ, ian -I- j$n + А;г„ = -—1„,
мы представим формулу Тейлора в виде
^ J^:gn, G.20)
причем
Hm In = 0.
Д(-»о
Заметим, что формулу Тейлора можно записать и в диф-
ферепциальной формез
~
а. G.21)
Глава VIII
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЛИНИИ
В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Основные диффсрепциально-геометрические
понятия, связанные с линией
1. Параметризованная линия. Если задана линия, то
можно представить себе, что по этой линии с течением
времени движется текущая точка М (рис. 87). В каждый
момент времени t эта точка М занимает определенное по-
положение па линии, т. е. время t играет роль параметра,
определяющего положение точки па липии. Это значит,
что радиус-вектор г текущей точки М является функцией
параметра U
г = г (t).
Обратно, если радиус-вектор г текущей точки М задан
как функция v (t) какого-либо скалярного параметра t
ГЛ, VIII, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЛИНИИ
119
то его конец будет описывать линию. Иначе говоря,
линия будет определена как годограф векторной функции
г Ц).
Определение. Линия называется параметри-
параметризованной, если радиус-вектор г ее текущей точки М опре-
определен как непрерывная
функция скалярного па-
параметра t, изменяюще-
изменяющегося в некотором про-
промежутке (й, Ъ):
г = г (t), a <t <cb.
(8.1)
При атом предполагает-
предполагается, что эта функция г (t)
обладает в промежут- Рпс. 87.
ке (а, Ь) непрерывными
производными первого, второго и третьего порядков, кото-
которые обозначаются одним из трех способов:
' __ л,> __ ™ ' ' _ v" __ л» __ у" __ л. /R 2^
dt ' dt3 dl3 ' ' \ ' /
Уравнение (8.1), выражающее зависимость радиуса-
вектора г текуп(,ей точки М линии от параметра t, на-
называется векторным уравнением линий. Заметим, что
вместо «линия» часто говорят «кривая линия» или просто
«кривая».
Если преобразовать параметр tt к которому отнесена
линия
г = г (О,
в новый параметр tlt положив
то получится новое уравнение той те линии:
г = г
Таким образом, одна и та же линия может определяться
различными уравнениями.
Например, уравнения
г = г cos t + j sin t, 0 < t < я,
120
ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
определяют одну и ту
У
-t\, 0
же полуокружность (рис. 88).
Параметры t и tx связаны в
данном случае соотношением
t1 = cos t.
Заметим, что различные
уравнения одной и той же ли-
линии можно истолковывать как
различные законы движения
точки по одной и той же тра-
траектории.
Спроектировав радиус-век-
точки линии на координатные оси, мы
тор г текущей
получим систему координатных уравнений линии
x = i-r(t), y = j-r(t), z = k-r(t).
(8.3)
Эти уравнения определяют координаты текущей точки
линии как функции параметра t.
Обратно, если такие функции х (?), У (t), z (t) заданы,
то определится векторное уравнение линии:
jy (t) + kz (t).
(8.4)
2. Касательная. Простейшим дифференциально-гео-
дифференциально-геометрическим понятием, связанным с линией, является
уже встречавшееся нам (гл. VII, § 2, п. 2) понятие каса-
касательной.
Определение. Касательной к линии в данной ее
точке называется предельное полозкение секущей, прохо-
проходящей через данную точку М и бесконечно близкую к ней
точку линии.
Как было показано (гл. VII, § 2, п. 2), справедлива
следующая
Теорема. Производная г' (t) радиуса-вектора г (t)
текущей точки линии по ее параметру есть вектор, на-
направленный по соответствующей касательной в сторону
роста параметра t.
Таким образом, производная г' (t) определяет соответ-
соответствующую касательную, если только эта производная
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЛИНИИ 121
существует и отлична от нуля:
г' @ ф 0.
(8.5)
В дальнейшем это всегда будет предполагаться.
Замечание. Вектор Аг, соединяющий исходную
точку M\r (t)\ с соседпей точкой М [r(t + At)], разложим
по формуле Тейлора G.20), положив в ней п = 1:
(8.6)
Мы видим, что вектор смещения Ар слагается из вектора
At r' (t), расположенного на касательной, и добавочного
вектора At |,. Касательный вектор At r' (t) имеет оди-
одинаковый порядок малости с At, добавочный вектор At |x
имеет более высокий поря-
порядок малости. Следовательно,
можно считать, что кривая в
первом приближении сливает-
сливается со своей касательной в до-
достаточно малой окрестности
точки касания (рис. 89).
3. Соприкасающаяся плос-
плоскость. Определение.
Соприкасающейся плоскостью
кривой в данной точке М
называется предельное поло-
положение плоскости, проходящей
через касательпую в данной
точке М и через бесконечно
близкую к М точку кривой.
Из определения соприкасающейся плоскости непо-
непосредственно вытекает, что соприкасающаяся плоскость
плоской кривой (не прямой) совпадает всегда с плоскостью,
в которой эта линия расположена.
Теорема. Производные первого и второго порядков
г' (t) и г" (t) радиуса-вектора г (t) текущей точки кривой
располагаются в соответствующей соприкасающейся плос-
плоскости.
Доказательство. Рассмотрим линию ** = г (t).
Проведем плоскость З6 через касательную в данной точке
М [)• («)] и соседнюю к пей точку М1 [г (I + At)] (рис. 90).
Рис. 89.
122 ЧАСТЬ 2, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В этой плоскости 5s будут лежать векторы »•' (t) и
ММ-у = Ar = r (t + Af) — г (t). Воспользовавшись фор-
формулой Тейлора G.20) при п = 2, мы получим
4г(О + 4г[(О + Ы. l2 = 0. (8.7)
11 *"• Д(-»0
Отсюда находим
Таким образом, вектор г" (i) + |2 разлагается по век-
векторам А»* и г' (?), лежащим в рассматриваемой плоскости °Р,
а следовательно, и сам он лежит в этой плоскости ?Р.
Рис. 90.
При стремлении At к нулю плоскость S5 будет стре-
стремиться к соприкасающейся плоскости. Следовательно,
расположенные в 0> векторы г' (I) и г" (t) + 12 будут
иметь своими пределами векторы lim r' (t) = г' (t) и
Д(^
lim {r" {t) + 12) = **" (*)> расположенные в соприкасаю-
Д(
щейся плоскости. Теорема доказана.
Таким образом, производные г' (t) и г" (t) первого и
второго порядков от радиуса-вектора г (t) текущей точки
определяют соответствующую соприкасающуюся плос-
плоскость, если только эти производные не коллинеарны^ т. е.
г' (t) х г" Ц)фО. (8.8)
В дальнейшем это всегда будет предполагаться
ГЛ. VIII, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЛИНИИ 123
Замечание. Рассмотрим какую-либо точку
М \r (i)l и соседнюю точку М [г {I + At)\ на нашей линии
г = г (t) и разложим вектор смещения ММХ = Аг по
формуле Тейлора:
дг = ^ г' (<) + i^P- г" @ + Щ- h, lim I, = 0. (8.9)
1! ^! <"¦! Af—»O
Мы видим, что вектор смещения А?* слагается из век-
вектора Mr' (t) + •Ц^г" (i), расположенного в соприкасаю-
соприкасающейся плоскости, и добавочного вектора —gy- !2- Но этот
добавочный вектор является бесконечно малым вектором
Рис. 91.
более высокого порядка малости, чем (А*J- Следовательно,
пространственная кривая в ближайшей окрестности ис-
исходной точки М весьма мало отклоняется от соприкасаю-
соприкасающейся плоскости и «в главном» лежит в этой плоскости
(рис. 91).
4. Главная нормаль и бинормаль. Всякая прямая,
проходящая через данную точку М пространственной
кривой и перпендикулярная касательной в этой точке,
называется нормалью. Главной нормалью пространствен-
пространственной кривой в данной точке называется та нормаль, которая
лежит в соприкасающейся плоскости. Бинормалью назы-
называется та нормаль, которая перпендикулярна соприка-
соприкасающейся плоскости (рис. 92).
3 а м е ч а п и е. Из доказанных теорем следует, что
в точке М [г (t)] линии
г = r(t) (8.10)
124
ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
касательная определяется вектором
Т = г' (О,
бинормаль определяется вектором
В = г' (t) х г" (О,
Главная нормаль определяется вектором
JV = [г' @ х г" @1 х г' @.
(8.11)
(8.12)
(8.13)
5. Кривизна. Рассмотрим на линии точку М и каса-
касательную в ней (рис. 93). При переходе в соседнюю точку Мх
Рис. 92.
Рис 93.
касательная повернется па некоторый угол ср. Отношение
ф /1 As j этого угла ср к длине | As [ дуги ММХ называется
средней кривизной дуги ММг. Оно характеризует в сред-
среднем степень изогнутости дуги MMV Ясно, что дуга ММХ
в различных своих точках может быть изогнута различно.
Однако чем меньше дуга ММХ, тем точнее средняя кри-
кривизна определит степень изогнутости в каждой точке
этой дуги.
Определение. Кривизной К линии в данной
точке М называется предел отношения угла ф поворота
касательной при переходе из данной точки М в бесконечно
близкую точку М-у к бесконечно малой длине | As | дуги,
заключенной между этими точками:
Ф
К = lim -
As-+0
As I
(8.14)
В качестве примера найдем кривизну окружности ра-
радиуса И (рис. 94). Для этого возьмем на ней две точки М
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЛИНИИ 125
и Мх. Угол между касательпыми к окружности равеп
углу ф между радиусами ОМ и OMV проведенными в точ-
точки касания. С другой стороны, длина | As | дуги окруж-
окружности равна произведению радиуса R па радианную меру ф
центрального угла, опирающегося на эту дугу:
As | =
Поэтому
Итак, кривизна окружности в любой ее точке есть вели-
величина, обратная радиусу окружности:
К=±. (8.15)
6. Кручение. Рассмотрим на липии точку М и сопри-
соприкасающуюся плоскость в ней (рис. 95). При переходе
Рис. 94.
Рис. 95.
в соседнюю точку Мх соприкасающаяся плоскость повер-
повернется на некоторый угол i|>. Отношение этого угла г|э
к длине | As | дуги ММг называется средним кручением
дуги MMV Оно характеризует в средпем степень отклоне-
отклонения пространственной кривой от плоской. Уменьшая дугу
MMit мы естественным образом придем к следующему
понятию кручения кривой в данной точке.
Определение. Кручением Т кривой в данной ее
точке М называется взятый с надлежащим знаком предел
12G ЧАСТЬ 2, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
отношепия угла г|э поворота соприкасающейся плоскости
при переходе из данной точки М в бесконечно близкую
к ней точку кривой к бесконечно малой длине | As | дуги,
заключенной между этими точками.
При этом кручение считается положительным, если
при движении вдоль кривой соприкасающаяся плоскость
совершает правовинтовое движение, и отрицательным
в противном случае.
Таким образом, абсолютная величина кручения опре-
определяется формулой
A (8.16)
Заметим, что вместо угла поворота ф соприкасающейся
плоскости можно брать равный ему угол поворота бинор-
бинормали. Заметим также, что из определения следует равен-
равенство нулю кручения любой плоской кривой (но не пря-
прямой!).
7. Длина дуги. При определении кривизны и круче-
кручения кривой мы фактически уже пользовались понятием
длины дуги кривой линии. Теперь мы это понятие строго
определим и выведем формулу для вычисления длины
дуги при помощи интег-
интеграла.
Пусть соответствие
между точками дуги АВ
линии
г = г (t)
и значениями параметра
из соответствующего от-
отрезка [ а, В]его измене-
изменения является взаим-
взаимно однозначным (правильная параметризация). Кроме
того, как всегда, будем предполагать, что производная
г' (t) существует и непрерывна. Разобьем дугу АВ
произвольным способом на п частей точками Аг [г (?])],. . .
. , Ап..г [г (?n_i)]. Соединив соседние точки хордами,
получим вписанную ломаную (рис. 96).
Определение. Длиной L дуги линии называется
предел длины вписанной в нее ломаной при условии, что
число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а мак-
ГЛ. VIII, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЛИНИИ 127
симум их длин стремится к пулю}
п
П—XX ft—j_
причем считается, что t0 = a, tn = C.
Разложив вектор г (t) по ортам координатных осей!
г (t) = гх it) -
получим
п
L = lim У, Ux(U) — x(tk_-,)]
Применив к каждой из получившихся разностей формулу
конечного приращения Лагранжа
/ (Ь) - / (а) = (Ь - a)f (с) {а<с<Ъ),
найдем
L=i
Мы получили предел интегральной суммы (с тем несущест-
несущественным обобщением, что на частичном отрезке [^-i> *J
берется не одна, а три опорные точки %, tu, t4 (см. гл. XIII,
§ 6), который равен определенному интегралу:
э
L = \ fix' @12 + [у' it)f + [z' (О]2 dt. (8.18)
а
Возвращаясь к векторным обозначениям, мы получим
следующую формулу для длины дуги линии;
L = \\r'(t)\dt. (8.10)
а
Теорема. Предел отно шения бесконечно малой дуги
к стягивающей ее хорде равен единице.
128
ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Доказательство. Применив теорему о сред-
среднем к определенному интегралу, выражающему длину L
дуги АВ, получим
L = (р — а) | г' (у) |, а < у < Р.
Длина хорды, стягивающей эту дугу, равна
АВ = \гф)- г (а) |.
Составив отношение -jg- длины дуги к хорде и устремив C
к а, мы получим
/^J л/\ I у»' /v^ I
= lim-
' (Г) I
I г' (а) I
1.
Р-о
§ 2. Основные формулы дифференциальной геометрии
линий в пространстве
1. Дуга как параметр. Дифференциал дуги. На произ-
произвольно взятой линии iL) зафиксируем точку Мо и опреде-
определенное направление (рис. 97). Длину дуги линии (L) между
фиксированной точкой Мп и текущей точкой М, взя-
взятую с определенным зна-
знаком, обозначим s и усло-
условимся коротко называть
дугой s. Дугу s будем счи-
считать положительной, если
текущая точка М смещена
в положительном направ-
направлении по отношению к на-
начальной точке Л/0, и отри-
отрицательной в противном
случае.
При этих условиях вся-
всякому положению точки М
будет соответствовать определенное значение дуги s. Об-
Обратно, всякому значению дуги s будет соответствовать он-
ределешюе положение точки М, а следовательно, и онре
деленный ее радиус-вектор г — ОМ.
Рис. 97.
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЛИНИИ 129
Таким образом, радиус-вектор г текущей точки М ли-
линии (L) является векторной функцией от ее дуги s:
г = г (*). (8.20)
Следовательно, получилось векторное уравнение ли-
линии, в котором роль параметра играет дуга s.
Рассмотрим модуль производной радиуса-вектора г
текущей точки кривой но ее дуге:
dr
lim
As-»O
Ar
As-»0
(8-21)
Мы будем основываться на том факте, что предел отно-
отношения длины As бесконечно малой дуги к длине | Аг|
стягивающей ее хорды равен единице:
'4?Т = 1- (8-22)
Этот факт достаточно очевиден, если исходить из ин-
интуитивного понятия линии. Выше (гл. VIII, § 1, п. 7) он
был строго доказан для правильно параметризованной
линии, у которой радиус-вектор текущей точки и его
производная являются непрерывными функциями.
На основании этого факта и равенства (8.22) мы заклю-
заключаем, что модуль производной радиуса-вектора г текущей
точки линии по ее дуге равен единице:
-5г| = 1- (8-23)
Отсюда следует:
| dr | =- | ds |. (8.24)
Итак, абсолютная величина дифференциала дуги про-
странствепной кривой равна модулю дифференциала ра-
радиуса-вектора текущей точки кривой.
Замечание 1. При перемещении по кривой
в сторопу возрастания дуги s дифференциал дуги ds будет
положителен. Следовательно, при таком перемещении
знак абсолютной величины в полученной формуле (8.24)
можно опустить:
ds = | dr j. (8.25)
5 Г. Ф. Лаптев
130 ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Замечание 2. Если линия отнесена к параме-
параметру t, то обычно полагают
dr
ds=\-dT
dt, : (8.26)
считая тем самым, что знаки ds и dt совпадают. Это зна-
значит, что положительное направление отсчета дуг выби-
выбирается в сторону возрастания параметра t.
Замечание 3. Разложение радиуса-вектора г
текущей точки М (х, у, z) линии имеет вид
r = ix + jy + Ы, (8.27)
где х, у, z — координаты текущей точки.
Продифференцировав это равенство, мы получим
k dz, (8.28)
откуда найдем дифференциал дуги в координатной форме:
ds = | dr | = Vdx2 + dy2 + dz\ (8.29)
2. Орт касательной. Первая основная формула. Мы
dr
знаем, что производная -т- есть вектор, направленный по
касательной к линии в сторону роста s. В предыдущем
пункте было установлено, что этот вектор единичный.
Обозначив его t, мы получим первое основное
уравнение дифференциальной геоме-
геометрии линии:
-Jf =т. (8.30)
Итак, производная радиуса-вектора г текущей точки
кривой по ее дуге s равна орту касательной т в этой точке..
При этом орт касательной t направлен в сторону положи-
положительного отсчета дуг на линии (рис. 97).
3. Инвариантность геометрических понятий. Все гео-
геометрические понятия, связанные с рассматриваемой фигу-
фигурой, отличаются той особенностью, что они целиком
определяются фигурой и не зависят от способа ее задания.
Так, все геометрические понятия, связанные с простран-
пространственной кривой, не зависят от того, задана ли она как
траектория движущейся точки, или как линия пересече-
пересечения двух поверхностей, или как-нибудь еще.
ГЛ. V1H. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЛИНИИ 131
Обратно, всякое связанное с фигурой «инвариантное
понятие», т. е. понятие, определенное фигурой, но не за-
зависящее от способа задания самой фигуры, есть понятие
геометрическое.
Этот принцип инвариантности (неизменности) геоме-
геометрических понятий находит широкое применение не только
в геометрии, по и в теории относительности и в квчнтовой
механике. Он дает возможность применять математиче-
математические методы для отделепия величин и понятий, имеющих
геометрический (или физический) смысл, от величин и
понятий, лишенных этого смысла и связанных со случай-
случайным выбором системы координат или условий экспери-
эксперимента.
Он дает также широкие возможности строить для изу-
изучаемого объекта новые геометрические величины и поня-
понятия. Так, выясняя геометрический смысл некоторых за-
заведомо инвариантных векторов, связапных с простран-
пространственной кривой, мы с необходимостью придем к понятиям
кривизны, соприкасающейся плоскости, главной нормали,
бинормали, кручения кривой, т. е. к тем самым понятиям,
которые в предыдущей главе были введены на основании
интуитивных представлений. Мало того, на этом пути мы
получим и формулы для вычисления соответствующих
геометрических величин.
4. Главная нормаль и кривизна. Вторая основная фор-
формула. Орт касательной т в произвольной точке, кривой
и длина дуги между этой точкой и фиксированной точкой
являются геометрическими понятими, не зависящими от
способа их определения.
Следовательно, тем же свойством инвариантности обла-
обладает и производная орта касательной t по дуге s. Поэтому
следует ожидать, что модуль и направление этой произ-
производной должны иметь определенный геометрический
смысл.
а) Выясним сначала геометрический смысл модуля
производной ~-т—. Для этого рассмотрим на нашей кривой
(рис. 98) две точки М (s) и М (s + As), соответствующие
исходному s и приращенному s + As значениям дуги, и
проведем в пих орты касательных т (s) и х (s + As).
Совместим начало соседнего орта т (s + As) с началом
М (s) исходного орта и (s). Радианную меру угла между
132
ЧАСТЬ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
этими ортами обозначим ф. Приращение Дт- орта каса-
касательной является основанием равнобедренного треуголь-
треугольника с единичными боковыми сторонами т (s) и т (s + As)
Mls*As)
Рис. 98.
и углом ф при вершине (рис. 98). Следовательно, модуль
этого приращения равен
|At| = 2sm-2-.
В силу этого мы получим
d%
ds
— lim -г— = lim
= lim
2 sin
Ф
I A» I
sin
= lim
Итак,
dx
(8.31)
Но предел отношения угла ф между направлениями ка-
касательных в данной точке и в бесконечно близкой точке
к длине | As | дуги, заключенной между этими точками,
называется кривизной кривой в данной точке и обознача-
обозначается К (§ 1, п. 5, (8.14)):
Итак,
(8.32)
(8.33)
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЛИНИИ 133
т. е. модуль производной орта касательной по дуге равен
кривизне К кривой.
б) Исследуем теперь направление вектора -^-. Про-
Продифференцировав по дуге s тождество
т» = 1,
мы получим
2т- -р- = 0, (8.34)
откуда следует, что вектор -т— перпендикулярен к т, т. е.
направлен по одной из нормалей кривой в данной точке.
С другой стороны, вектор dx/ds = dPr/ds2 вместе с ортом
касательной т = dr/ds определяют некоторую плоскость,
проходящую через рассматриваемую точку М. Эта плос-
плоскость, в которой располагаются производные dr/ds, dPr/ds*
первого и второго порядков, называется соприкасающейся
плоскостью линии г = г (s) (§ 1, п. 3).
Итак, вектор dx/ds направлен по той нормали кривой,
которая лежит в соприкасающейся плоскости. Эта нормаль
называется главной нормалью (§ 1, и. 4).
Орт вектора dx/ds обозначается v и называется ортом
главной нормали.
в) Вектор dx/ds равен своему модулю К, умноженному
на свой орт v. Записав это, мы и получим вторую ос-
основную формулу дифференциальной
геометрии линии
-?¦ = Kv. (8.35)
Итак, производная орта касательной по дуге равна
произведению кривизны линии на орт главной нормали.
г) Из (8.35) непосредственно вытекают формулы для
вычисления кривизны и орта главной нормали:
К =
ds
1 dx
5. Бинормаль и кручение. Третья основная формула.
Прямая, перпендикулярная к касательной и к главной нор-
нормали в данной точке, называется бинормалью.
Перемножив векторно орт касательной т и орт глав-
главной нормали v, мы получим орт бинормали, который
134 ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
обозначим Pi
р = т X v. (8.37)
Орт бинормали Р является инвариантным геометриче-
геометрическим понятием. Таким же понятием является и его про-
взводная по дуге -г-. Поэтому она должна иметь опреде-
определенный геометрический смысл. Его выяснением мы и
займемся.
а) Исследуем сначала направление производной j-.
Продифференцировав тождество
Р' = 1,
мы получим
2р •-§- = (), (8.38)
<ш
откуда следует, что вектор ^- перпендикулярен к векто-
РУ Р-
Продифференцировав тождество
р = t X v, (8.39)
мы получим
ds ds ' ds
По -г- = Kv, и потому j X v = 0. Следовательно,
uS ' flS
-f = tx-g-. (8.40)
. dR
А это значит, что вектор j- перпендикулярен к вектору т.
jo
Итак, вектор -г- перпендикулярен к векторам тир.
Следовательно, он коллинеарен орту главной нормали v
и отличается от него лишь некоторым скалярным множи-
множителем, который мы обозначим Я:
^- = Ь>. (8.41)
б) Выясним теперь геометрический смысл скалярного
коэффициента Я. Из формулы (8.41) следует:
ds
= 14- <8-42)
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЛИНЯЙ
135
Рассмотрим (рис. 99) орты бинормалей Р (s) и Р (s + As)
соответственно в данной точке М (s) и в бесконечно близ-
близкой точке М (s + As).
Обозначим угол между ^J3(s+As)
этими ортами через ty.
Приращение АР орта би-
бинормали Р (s) является
основанием равнобед-
равнобедренного треугольника с
единичными боковыми
сторонами P(s),P (s i As)
и углом ij) при
вершине. Поэтому
В силу
1М= -зг
ЭТОГО
lim
и формулы
AP
lim
11 ill
•ф
— lim
As-K)
= lim
sin
2
I A» I
мы получаем
= lim
Итак,
По предел отношения угла ij> поворота бинормали (со-
(соприкасающейся плоскости) при переходе из данной
точки М в бесконечно близкую точку к длине | As [ дуги,
заключенной между этими точками, есть абсолютная
величина кручения кривой. При этом кручение считается
положительным, если при движении вдоль линии сопри-
соприкасающаяся плоскость совершает правовинтовое движе-
движение, и отрицательным, если левовинтовое.
Итак, абсолютная величина скаляра X есть абсолютная
величина кручения.
Установим теперь геометрический смысл знака ска-
скаляра X. Если скаляр Я, отрицателен, то вектор d$/ds = kv
направлен в сторону, противоположную v (рис. 100, а).
Отсюда следует, что при движении в направлении х вектор
136
ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНА» ГЕОМЕТРИЯ
Р будет совершать правовинтовое движение.
Если скаляр Я положителен, то движение будет, очевидно,
левовинтовое (рис. 100, б). А это значит, что знак
Рис. 100.
скаляра А. противоположен знаку кручения Т. Следова-
Следовательно, к — — Т. Поэтому (8.41) можно переписать так:
da
= —Tv.
(8.43)
Это и есть третья основная формула диф-
дифференциальной геометрии линии
в пространстве.
Умножив скалярно на v обе части третьей основной фор-
формулы (8.43), мы получим следующую формулу для вы-
вычисления кручения:
6. Винтовая линия. В качестве примера рассмотрим
винтовую линию. Винтовой линией называется траектория
какой-либо точки М твердого тела, которое вращается
вокруг неподвижной оси и скользит вдоль нее так, что пере-
перемещение пропорционально углу поворота.
Расстояние точки М от оси обозначим через а. Переме-
Перемещение тела вдоль оси при его повороте па один радиан
обозначим через h.
Прямоугольную систему координат расположим так,
чтобы ось 0% была направлена по оси винтовой линии,
ГЛ. Vlir. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЛИНИИ 137
а ось Ох проходила через начальное положение Мо точки М,
описывающей линию (рис. 101).
Пусть тело повернулось на угол t и, следовательно,
одновременно сместилось
вдоль осиOz на th. Выразив
координаты х, у, ъ точки
М, описывающей винто-
винтовую линию, через пара-
параметр (см. рис. 101), мы
получим систему парамет-
параметрических уравнепий вин-
винтовой линии:
х — a cos t,
z = ht.
у = a sin t,
(8.45)
У
Рис. 101.
Ум пожив эти уравнения
соответственно на i, j, к
и сложив, получим векторное уравнение винтовой линии:
г = га cos t + ja sin t + kht. (SAd)
Для вычисления дифференциально-геометрических ве-
величин т, К, v, р1, Т нам придется вычислять производные
по дуге. При этом мы будем систематически пользоваться
тем, что производная всякой функции по дуге равна, отно-
отношению дифференциала -этой .функции к дифференциалу
дуги.
Дифференциал дуги мы будем вычислять по формуле
Это означает, что направление на кривой выбирается
в сторону возрастания параметра t.
Учитывая все эти замечания, из уравнений винтовой
линии (8.46) последовательно находим:
I. dr — (—ias'mt + j a cost -\-kh)dt,
ds~\dr\~ j/V2»m21 + a2cos21 + h2dt =
= VaF+W dt,
__ dr _ — / a sin t + j a cos <
138 ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
И 7 — i a cos t — j a sin t ,.
ax — r = at,
/a2 + №
„ _ dx _ — i a cost —j a sin f
a2 +
P = т X v = -tJ
г j к
— о sin t a cost h
— cost — sin t 0
_ ih sin t — j h c<h t + fra
/a* + №
Ш. W= i'^ost + jhsint
__ 4i dp *й cos t + ,^fe sin f
V ds 2+Й2
m • dp — Л cos21 — A sin21
* — — ^ т~ — „ , ..
US О.6 ~т- /1Л
Опираясь на полученные формулы, отметим некоторые
геометрические особенности винтовой линии.
а) Кривизна винтовой линии постоянна:
К= . * (8.47)
я2 -\- № v '
Она обращается в нуль лишь при а = 0, т. е. когда точка
движется по оси вращения тела и описывает, следователь-
следовательно, прямую.
б) Кручение винтовой линии также постоянно:
Оно равно нулю при h = 0, т. е. когда тело имеет лишь
вращательное движение без скольжения вдоль оси. В этом
случае точка М будет описывать просто окружность ра-
радиуса а.
в) Орт главиой нормали направлен по перпендикуляру,
опущенному из рассматриваемой точки винтовой линии
на ее ось Oz. Действительно (рис. 101),
= id cos t + ja sint = — av.
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЛИНИИ 139
г) Касательная к винтовой линии образует постоян-
постоянный угол с осью Oz:
cos(t, к) = т-fc =
§ 3. Сопровождающий трехгранник
1. Сопровождающим трехгранником, связанным с те-
текущей точкой М пространственной кривой, называется
трехгранник, ребрами которого являются касательная,
главная пормаль и бинормаль.
Грани этого трехгранника носят следующие названия
(рис. 102).
Грань, проходящая через касательную и главную нор-
нормаль, называется соприкасающейся плоскостью.
Грань, проходящая через главную нормаль и бинор-
бинормаль, называется нормальной плоскостью.
Грань, проходящая через касательную и бинормаль,
называется спрямляющей плоскостью.
Замечание. Небольшой кусочек кривой в окрест-
окрестности данной точки можно считать приближенно распо-
расположенным в соприкасающейся плоскости. Эта плоскость
перпендикулярна спрямляющей плоскости. Поэтому про-
проекция указанного кусочка кривой на спрямляющую плос
кость будет в первом приближении прямая линия.
140 ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
2. Система дифференциальных уравнений движения
сопровождающего трехгранника. Так называется система
уравнений, определяющих производные по дуге от радиуса-
вектора г текущей точки кривой и от ортов х, v, p1 осей
сопровождающего трехгранника. Производные от г, т, р
определяются тремя основными уравнениями (8.30), (8.35),
(8.43). Продифференцировав по s тождество
v = p х т, (8.49)
мы получим
ds ~~ ds P ds
или (см. (8.35) и (8.43))
ds '
или
-?- = - Кх + Гр\ (8.50)
Итак, получается следующая система дифференциаль-
дифференциальных уравнений движения сопровождающего трехгранника:
dr
dt (8.51)
3. Расположение линии относительно сонровождаю-
щего трехгранника. На линии
г = г (s)
будем рассматривать точку М (s), в которой
К ф 0, Т ф 0. (8.52)
Вектор Дг = г (s + As) — г (s), соединяющий исхоц-
вую точку М (s) с соседней точкой М (s + As) линии,
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЛИНИИ 141
разложим по формуле Тейлора:
• As dr , As2 d2r ,
} = 0. (8.53)
Дифференциальные уравнения (8.51) движения сопро-
сопровождающего трехгранника дают
dr д?г dx тг
В силу этого
А As . As2 „ , As3 . V4 . dK
(8.54)
Рассмотрим проекции вектора Дг на орты т, v, p.
а) ПртДг = т-Дг= ^- + -^(_а:« + |>.т). (8.55)
Мы видим, что при достаточно малых As знак этой про-
проекции будет определяться знаком главного члена, т. е.
As
знаком -ту-. Это значит, что Линия вблизи рассматриваемой
точки располагается по обе стороны от нормальной плос-
плоскости (рис. 102).
б) npvAr=-irAr + -^-(-s- + S3-v). (8.o6)
Мы видим, что при достаточно малых As эта проекция
всегда будет положительна, так как главный член —^-К
Li
положителен независимо от знака As. Это значит, что
вблизи рассматриваемой точки М (s) линия отгибается от
спрямляющей плоскости в направлении орта v (рис. 102).
в) Пр„Дг = 4г*Г-г-^|,.р. (8.57)
Мы видим, что при достаточно малых As эта проекция
мепяет знак одновременно с изменением знака As. Это
142
ЧАСТЬ 2, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
значит, что вблизи рассматриваемой точки линия распо-
располагается по разные стороны от соприкасающейся плоскости
(рис. 102).
На рис. 103 изображе-
изображены типичные проекции от-
отрезка кривой на плоско-
плоскости сопровождающего трех-
трехгранника.
4. Линии без кривизны.
Кривизна прямой линии
равна нулю, так как орт
касательной к прямой на-
направлен по этой прямой и
угол между ортами каса-
касательных в двух точках
равен нулю. Докажем
обратное утверждение.
Рис. 103.
Пусть кривизна линии тождественно равна нулю:
Тогда
откуда
и, следовательно,
= 0.
(8.58)
-?--0
dr
ds
г =
(8.59)
т. е. конец г описывает прямую (рис. 104).
Итак, линия с нулевой кривизной — прямая.
5. Линии без кручения. Кручение плоской линии
равно нулю, так как соприкасающаяся плоскость в любой
точке линии совпадает с плоскостью, в которой лежит ли-
линия, и потому бинормаль не меняет своего направления
в пространстве.
Пусть, обратно, кручение линии (не прямой) тождест-
тождественно равно пулю:
Т = 0. (8.60)
Тогда
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЛИНИИ 143
откуда
р -с0.
Умножив это равенство скалярио на
dr
X rzrz
ds
и приняв во внимание перпендикулярность тир, мы
получим
d(C°-r) 0
ds
откуда
С'-г = D, (8.61)
т. е. конец г описывает линию, лежащую в плоскости,
Рис. 105.
перпендикулярной к С и удаленной от начала О на расстоя-
расстояние \D\ (рис. 105).
Итак, линия с нулевым кручением — плоская.
§ 4. Инвариантпые формулы
Величины т, К, х, р, Т просто выражаются через
производные от радиуса-вектора г текущей точки линии
по ее дуге:
ds *
dx_
ds
V =
1 dx
К ds >
144 ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Однако применение этих формул, когда линия отнесена
к произвольному параметру t, приводит к громоздким вы-
выкладкам. Поэтому желательно выразить эти величины
через производные от радиуса-вектора т по произвольному
параметру t, к которому отнесена линия. Это можно сде-
сделать путем непосредственного преобразования формул.
Однако мы применим новый метод, при помощи которого
вновь автоматически придем к величинам х, р\ v, К, Т
и при этом получим необходимые общие формулы для их
вычисления.
Будем исходить из того, что величины t, К, х, р, Т
имеют геометрический характер и не зависят от выбора
параметра t, к которому отнесена линия. Поэтому их вы-
выражения через производные от радиуса-вектора г текущей
точки линии по произвольному параметру t не должны
изменяться при преобразованиях этого параметра.
Таким образом, если мы будем строить из производных
выражения, не меняющиеся при преобразованиях пара-
параметра, то среди них обнаружатся и интересующие нас
величины. Этими построениями мы и займемся.
1. Преобразование производных при преобразовании
параметра t. Пусть линия отнесена к произвольному
параметру Р.
r*=r(t). (8.62)
Преобразуем параметр t в повый параметр it, положив
* = ф (У, (8.63)
причем будем предполагать, что -т— Ф О и что при воз-
возрастании параметра t растет и параметр tlt т. е.
ж > °- <8-64>
Последовательным дифференцированием векторной
функции по параметру t находим следующие формулы
преобразования производных:
•и—?
dt \3 _ d?r dt d4 , dr
dtl
ГЛ. V1H. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЛИНИИ 145
Будем при помощи этих формул строить выражения,
не меняющиеся при преобразованиях параметра..
2. Инвариантный вектор первого порядка. Из урав-
уравнения (8.65) следует
dr
dh
dr
dt
dt
~dh"
(8.68)
Разделив уравнение (8.65) на полученное, будем иметь
(8.69)
dr
dh
dr
dh
dr
dt
dr
dt
Мы видим, что вектор -у-: —г- инвариантен: он не
меняется при преобразованиях параметра. Его можно
назвать инвариантным вектором первого порядка потому,
что он выражается лишь через производную первого по-
порядка. Для выяснения его геометрического смысла при-
примем за параметр дугу s. Тогда наш инвариантный вектор
выразится так:
dr
dr
ds
= т.
Следовательно, он является ортом касательной.
Итак, получена инвариантная формула для орта каса-
касательной:
dr
dt
dr
It
(8.70)
3. Инварианты второго порядка получатся из формул
(8.65), (8.66) преобразования производных первого и вто-
второго порядков.
а) Перемножив векторно эти формулы, найдем
dr d2r I dr d?r \ I dt \s
~dh~><~d~F = \~зг х ~№/ [ж •
Отсюда следует:
dr
d'lr
dr d"r
IT x ~dF
(8.71)
(8.72)
146
ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
б) Разделив скаляр (8.72) на куб скаляра (8.68),
получим
X
dt\
dr
dr
dt
1
1
- x-
dr
1Г
Vr
dt*
3
(8.73)
Мы видим, что получился инвариантный скаляр. Для
выяснения его смысла возьмем за новый параметр дугу s
нашей линии. Тогда этот скаляр представится так:
dr d-r I
ds X ds*
I ds
Следовательно, он является кривизной К. Таким образом,
мы получаем следующую инвариантную фор-
формулу для вычисления кривизны:
I dr
к = I
X
dr I3
(8-74)
в) Разделив вектор (8.71) на скаляр (8.72), мы полу-
получим инвариантный вектор:
dr d2r
dr
X
dt*
dr d*r
dt, r>ii
dtx
dr
dt
X
(8.75)
Для выяснения геометрического смысла этого инвари-
инвариантного вектора опять воспользуемся дугой s в качестве
параметра:
dr d2r dx
ds X ds2
tX
ds
dr
ds
X
т X
dx
ds
TXATv
| т X Kv |
-P,
т. е. рассматриваемый инвариантный вектор является ор-
ортом бинормали, и мы получаем для этого орта р*
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ЛИВИИ 147
инвариантную формулу:
dv cfiv
n ***¦ "* /О *7?*\
"^7T X
г) Перемножив векторно Рит, мы получим инва-
инвариантную формулу для орта главной
нормали:
/ dr db- \ dr
о \~dT Х йП ) Х ~dT .
/о 77\
. (8.7/)
I I
I dt X d«2 I I dt
4. Инвариант третьего порядка. Перемножив скаляр-
но векторы (8.71) и (8.67) и приняв во внимание, что сме-
смешанное произведение с двумя одинаковыми множителями
равно нулю, мы получим
dh X dt\) dt>
dt X dt* )\dh) dt» •
Разделив этот скаляр на скалярный квадрат вектора (8.71),
найдем инвариантный скаляр третьего порядка:
/ At* с№т* \ c$t*
v*x«b?; щ (irx-^l^r^ (8_79)
dr d^r \2 / dr d2r \2
^Tx"dif/ V"dTx"d7^"j
Для выяснения его смысла за новый параметр примем
дугу *. Тогда получим
/rfr
\ rfj X
Следовательно, рассматриваемый инвариант является кру-
кручением.
148
ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Таким образом, мы получаем следующую инва-
инвариантную формулу для вычисления
к р у ч е п и я:
Т =
dr d^r \ d^r
dr
dt
(8.80)
Глава IX
ПЛОСКИЕ ЛИНИИ
§ 1. Дифференциальные уравнения плоской линии
Рассмотрим плоскую линию
г — г (t).
(9.1)
Плоскость, в которой расположена линия, примем за ко-
координатную плоскость Оху (рис. 106). Тогда радиус-век-
радиус-вектор v текущей точки М ли-
линии разложится лишь по
двум ортам i и J осей Ох и
Оу:
r = ix + jy. (9.2)
Третья проекция z будет тож-
тождественно равна нулю и ого
будет в дальнейшем подра-
подразумеваться.
У плоской линии сопри-
соприкасающаяся плоскость совпа-
совпадает с плоскостью, в которой лежит линия, т. е. с нашей
плоскостью Оху. Главная нормаль лежит в этой плоскости,
а бинормаль ей перпендикулярна. Орт бинормали р плос-
плоской линии постоянен, и кручение Т равно нулю:
Т ~0. (9.3)
Таким образом, основные формулы (8.30), (8.35), (8.41)
для плоской линии запишутся так:
dr dx rr d& Л /п г\
— - т, -г- = Iv, -r- = 0. (9.4)
ds ds 'as x '
Рис. 106.
ГЛ. IX. НДОСКИК ЛИНИИ
14»
Дифференцирование тождества v = Р х х с учетом посто-
постоянства § дает
Итак, получается следующая система дифференциаль-
дифференциальных уравнений:
dr __
ds ~
dx „ dv v df>
== nv = Кг — =
ds ' ds ЛТ' ds
(9.5)
§ 2. Кривизна плоской линии
1. Угол орта касательной х с первым координатным
ортом i, отсчитанный от * против хода часовой стрелки,
обозначим'а-(рис. 107). Тогда будем иметь
х = * cos a + j sin а. (9.6)
Отсюда получим следующее выражение для кривизны:
К =
dx
(— г sin a + j cos а) —?- =
da
ds
(9.7)
Обычно для плоской линии рассматривают кривизну со
знаком R, полагая
р> da.
ds
(9.8)
cosor
Рис. 107.
Таким образом, кривизна со зна-
знаком плоской линии равна произ-
производной по дуге от угла касатель-
касательной с осью Ох. Она будет п о-
л о ж и т е л ь н о й, если а рас- —
тет с ростом s, и отрица-
отрицательной в противополож-
противоположном случае.
2. Найдем координатную формулу для вычисления
кривизны со знаком R плоской линии, заданной параме-
параметрической системой уравнений
х = х U), У = У (О- (9.9)
Производная от радиуса-вектора
r — ix + jy
текущей точки линии есть вектор
г — U + jy,
150
ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
направленный по касательной к линии. Тангенс угла а
касательной с осью Ох равен отношению проекций этого
вектора на координатные оси:
Отсюда находим
а = arctg ~-,
1 _ ху-ух ,._ iy.
1 + ("Г
С другой стороны, положив, что направления роста дуги
s и параметра t совпадают, получим кривизну R;
ds = \dr\ = Vr* dt = ]/> + f dt;
разделив da на ds, найдем
g. _ da iy — yx
(9.10)
§ 3. Круг кривизны
1. Кругом кривизны (или соприкасающейся окружно-
окружностью) в данной точке М линии называют окружность, ко-
Т М
торая: 1) проходит через М, 2)
имеет в М общую касательную
с линией, 3) расположена с той
стороны от касательной, куда
направлен орт v главной норма-
нормали, 4) имеет кривизну, равную
I кривизне кривой в М (рис. 108).
/ 2. Радиус R круга кривиз-
n*" \ / ны называется также радиусом
кривизны кривой в рассматри-
рассматриваемой, точке М. Радиус ок-
Рис 108. ружности есть величина, об-
обратная ее кривизне. С другой
стороны, кривизна круга кривизны совпадает с кри-
кривизной К кривой в рассматриваемой точке. Поэтому ра-
радиус кривизны R кривой в данной точке есть величина,
ГЛ. IX. ПЛОСКИЕ ЛИНИЙ 151
обратная кривизне кривой в этой точке:
r=4--
<9Л1>
3. Центр Мг круга кривизны называется центром кри-
кривизны кривой в рассматриваемой точке.
Вектор MMV соединяющий рассматриваемую точку М
кривой с соответствующим центром кривизны Mv выра-
выражается, следовательно, так:
ММХ = Rv. (9.12)
§ 4. Эволюта
1. Определение. Эволютой кривой называется гео-
геометрическое место центров кривизны этой кривой.
Чтобы получить уравнение эволюты, рассмотрим на ис-
исходной кривой текущую точку М и соответствующий ей
центр кривизны М1 (рис. 108). Имеем ОМХ = ОМ +
+ MMV Но ОМ — радиус-вектор г текущей точки кри-
кривой, ОМ1 = rt — радиус-вектор соответствующего цен-
центра кривизны, т. е. текущей точки эволюты, ММХ = Rv —
вектор, соединяющий точку М с соответствующим цент-
центром кривизны Mv Таким образом,
гх = г + Rv. (9.13)
Это и есть формула, определяющая радиус-вектор тг те-
текущей точки эволюты как функцию от параметра I, т. е.
это и есть уравнение эволюты.
2. Свойства эволюты. В качестве параметра возьмем
дугу s исходной кривой. Исходя из уравнения эволюты
(9.13),
dr , dR , n d\
+ v + R
Отсюда, использовав дифференциальные уравнения (9.5),
получим
= (x +-^J
152
ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Но RK — 1, поэтому
(9.14)
Из полученной формулы вытекают два следующих заклю-
заключения.
а) Вектор drlt направленный по касательной к эволю-
эволюте, коллинеарен вектору v, т. е. касательная к эволюте
совпадает с нормалью к
исходной кривой (рис. 109).
б) Сравнив модули
обеих частей соотношения
(9.14), мы получим
\drl\ = \dR |. (9.15)
Но | dr-f | равен абсолют-
абсолютной величине дифференци-
дифференциала дуги dsy эволюты; сле-
следовательно, | ds1 | == | dR |.
Выберем направление
отсчета дуг на исходной
кривой так, чтобы с воз-
возрастанием дуги возрастал
радиус кривизны R.
Мы ограничимся отрез-
отрезком кривой, на котором
R меняется монотонно и не имеет экстремумов. Тогда d&i
и dR будут совпадать не только по абсолютной величине,
но и по знаку:
d»! = dR. (9.16)
Отсюда следует:
Sl = R + С, (9.17)
где С — константа.
Рассмотрим на исходной линии дугу АВ. В концах
А и В этой дуги будем иметь
SiA = Ra + С, SXB = Rb + С.
Отсюда найдем
slB - «lA = Rb- Ra. (9.18)
Итак, разность радиусов кривизны исходной кривой
в двух ее точках равна длине дуги эволюты, заключенной
между соответствующими точками.
Рис. 109.
ГЛ. IX. ПЛОСКИЕ ЛИНИИ
Ш
Найденные свойства эволюты приводят к следующему
способу построения исходной кривой по ее эволюте. На
эволюту наматывают нить, которую затем начинают сма-
сматывать в натяпутом состоянии; тогда фиксированная точ-
точка этой нити и опишет исходную кривую.
3. Уравнения эволюты в координатной форме. Спро-
Спроектировав векторное уравнение эволюты (9.13)
?*! = Г + Rv
на координатные оси, получим систему уравнений эволю-
эволюты в координатной форме
хх = х + Rvx,
где xlt. Ух — координаты текущей точки эволюты, а х, у —
координаты текущей точки исходной линии, являющиеся
известными функциями параметра /. Таким образом, дгло
сводится к вычислению \х, vy и R.
Имеем
Г = гх + jy,
т==.
Отсюда находим
Вычислив дифференциал этого выражения, выполнив
необходимые преобразования и разделив на ds =
2 + у2 dt, найдем
dx - (-*У
17
Отсюда получим
К
di
ds
_\yx-yi\
• (9.20)
(9.21)
Учитывая, что R = -p- и v = -r
1 dx
-;—, на идем
154
ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Следовательно,
¦ух
(9.22)
Таким образом, окончательно систему уравнений эво-
эволюты (9.19) можно переписать так:
(9.23)
§ 5. Эвольвента
Эвольвентой данной кривой называется новая кривая,
для которой данная кривая служит эволютой. Докажем,
что если с исходной кривой сматывать в натянутом состоя-
состоянии нить, то любая фиксированная точка М2 этой нити
будет описывать эвольвенту исходной кривой (эволюты).
Таким образом, у дан-
данной кривой эвольвент бес-
бесконечно много.
Д оказательст-
в о. Обозначим через s ду-
дугу исходной кривой между
начальной точкой Мо и
текущей точкой М. На ка-
касательной б точке М в на-
направлении, противополож-
противоположном т, отложив отрезок
s + С, где С — любая кон-
константа, получим точку М2,
радиус-вектор гг которой
определится так:
Рис.110. га = г - (, + С) т. (9.24)
Это уравнение и определя-
определяет радиус-вектор г2 фиксированной точки М.г нити, ко-
юрая сматывается в натянутом состоянии с данной кри-
кривой (рис. 110).
Найдем эволюту для кривой, которую описывает точ-
точка М2. Снабжая индексом 2 все величины, связанные
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ
155
с этой кривой, последовательно находим:
s di^^^> '
ds2 = | dr21 = К (s -f 6') ds,
dt2 = j- ds = A!t ds,
Отсюда получаем
v2 == t, a:2 =
(9.25)
s + C '
Радиус-вектор г3 текущей точки эволюты для кривой, опи-
описываемой точкой М2, будет равен
Г3 = Г1 + ^2V2 = f»' — X (S + С)] + (S Н- С) X = Г,
т. е. эта эволюта совпадает с исходной кривой, что и тре-
требовалось доказать.
Глава X
ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ
§ 1. Скорость и ускорение точки
1. Скорость точки. Радиус-вектор т точки М, дви-
движущейся в пространстве, является функцией времени!
г = г (t). A0.1)
Его можно рассматривать
также как функцию от дуги
» = М0М траектории, кото-
которую описывает точка М
(рис. 111):
г = г (s). A0.2)
i/
Рис. 111.
В этом случае длина ду-
дуги s играет роль промежу-
промежуточного аргумента, который сам зависит от времени:
s = s (/). A0.3)
156 ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ,ГЕОМЕТРИЯ
Как уже отмечалось выше (см. G.10)), скорость v точ-
точки М есть производная ее радиуса-вектора по времени,
т. е.
«=¦?•¦ <10-4>
или
dr di
ds dt
Но drids = т; поэтому
«=¦**¦ ' A0.5)
Итак, скорость изображается вектором, направленным
по касательной к траектории, модуль которого равен абсо-
абсолютной величине производной от длины, дуги по времени:
2. Ускорение точки. Ускорение w точки определяется
как предел отношения приращения скорости к прираще-
приращению времени, когда приращение времени стремится к
нулю:
4r ()
Д'-о Аг . . .
Следовательно, ускорение есть производная от скорости
по времени:
w
Воспользовавшись для скорости у найденным выше вы-
выражением A0.5), мы получим
d2s ds dx
W = -pr T -\—j •
Ho
dx dx ds „ ds
~dt ~ Is '~dt ~~ V~dT'
В силу этого
Мы видим, что ускорение изображается вектором, ком-
компланарным векторам т, v, т. е. вектором, расположенным
ГЛ. X. "ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ
157
в соприкасающейся плоскости. Проекции w? и Шд/ этого
вектора на касательную и главную нормаль определяются
формулами
dt*
A0.10)
A0.11)
Итак, проекция ускорения на касательную равна второй
производной . от дуги по времени; проекция ускорения на
главную нормаль равна произведению кривизны траектории
на квадрат скорости точки.
§ 2. Движение твердого тела
вокруг неподвижной точки
1. Конечный поворот твердого тела. Рассмотрим твер-
твердое тело, имеющее неподвижную точку О, которую мы бу-
будем, в дальнейшем принимать за начало координат. Пусть
тело переместилось из одного положения в другое.
Всякое перемещение твердого тела, имеющего непод-
неподвижную точку О, можно получить поворотом вокруг неко-
некоторой оси, проходящей через
эту неподвижную точку.
Орт оси поворота, кото-
который соответствует рассматри-
в аемому нами перемещению
тела, мы обозначим Ф°. Этот
орт мы будем считать направ-
направленным по оси в ту сторону,
откуда вращение тела наб-
наблюдается происходящим про-
против хода часовой стрелки
(рис. 112).
Рассмотрим произволь-
произвольную точку М тела. При пово-
повороте она перейдет в новое
положение Мх, описав дугу окружности с центром С па
оси вращения. Угол МСМи являющийся углом поворота
тела, обозначим <р.
Обозначим через А** вектор конечного перемещения
точки М в ее новое положение Мх, а через р — средний
Рис. 112.
158 ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
радиус-вектор точки М, т. е. радиус-вектор середины М
отрезка MMt:
Ar = MMl = rx — r, A0.12)
^Zi^. A0.13)
Треугольник ОММХ равнобедренный и плоскость CMMt
перпендикулярна вектору Ф°; поэтому вектор Дг = MMt
перпендикуляреп векторам р, Ф° и одинаково направлен
с их векторным произведением, т. е.
ф°хр- A0Л4)
Отсюда получается окончательная формула конечного по-
поворота:
Дг = Фхр, A0.15)
где
Из чертежа (рис. 112) следует:
| Дг | = ММХ = 2ММ = \
• |O°Xp| = psm(O0, р) = СЖ.
Поэтому
O=2tg-|-. A0.17)
Следовательно,
4-- A0.18)
Полученный вектор Ф направлен по оси поворота
и имеет модуль 2lg -2., зависящий только от угла поворота.
Этот вектор мы будем называть вектором конечного поворо-
поворота твердого тела. Он вполне определяет поворот тела.
Согласно формуле конечного поворота A0.15) конечное
перемещение точки М твердого тела равно векторному про-
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ
159
иаведению вектора Ф конечного поворота на средний ра-
радиус-вектор р этой точки М.
2. Формула Эйлера. Допустим, что рассматриваемое
перемещение твердого тела
произошло за бесконечно ма-
малый промежуток времени At
(рис. ИЗ). Разделим на At
обе части формулы A0.15)
конечного поворота:
Дг Ф ..
По определению предел по-
полученного отношения Аг к At
является скоростью v точ- со
ки М:
д1-*о At
Приняв во
да формулу
где
.
Д1-И) \
At " гу
внимание, что lim p =
А * .п
Эйлера
v = й> X г,
Рис.
Т, МЫ
113.
получим отсю-
A0.19)
A0.20)
А1-0
есть вектор, не зависящий от выбора точки М тела. <JH
называется угловой скоростью тела.
Итак, скорость v любой точки М твердого тела, вра-
вращающегося вокруг неподвижной точки {начала О), равна век-
векторному произведению угловой скорости « тела на радиус-
вектор г точки М относительно неподвижного начала О.
3. Угловая скорость. Выясним механический смысл
возникшего в формуле Эйлера вектора ©, который мы
назвали угловой скоростью тела.
а) Модуль угловой скорости ш определяется формулой
.. Ф
= lim -r-.
A0.21)
1Б0 ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
На основании формулы A0.17) мы получим
Ф
со = Jim —xz— = Jim
Д1-К»
t-'Д'
Но
. ф
tg —
поэтому
4г- A0.22)
Итак, модуль w угловой скорости твердого тела есть
предел отношения угла поворота ср тела к времени поворо-
поворота At, когда последнее стремится к нулю.
б) Чтобы охарактеризовать направление угловой ско-
скорости, мы рассмотрим коллинеарную с ней ось, проходя-
проходящую через неподвижную точку О.
Радиус-вектор г* любой точки М* этой оси (рис. ИЗ)
отличается от со только скалярным множителем:
г* = Хо).
Следовательно, на основании формулы Эйлера A0.19)
скорость любой точки этой оси равна нулю:
v* = w х г' = ю х юЯ, = 0.
Итак, угловая скорость со изображается вектором, на-
направленным по мгновенной оси вращения, все точки кото-
которой в данный момент времени имеют нулевые скорости.
в) Определим орт мгновенной оси ю°. Воспользовав-
Воспользовавшись формулами A0.20), A0.21), мы получим
0 о 1 .. ФФ° 1 .. Ф .. rt.o
со0 = — = — ljm —г-- = — lim -—- lim Ф°,
ы ш Д(-о At W Д1-0 А(
т. е.
сй° = lim Ф°. A0.23)
Д<->0
Итак, мгновенная ось вращения есть предельное поло-
положение оси поворота тела, соответствующего бесконечно
малому изменению времени.
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ 101
4. Доказательстве существования угловой скорости
твердого тела. При переходе от формулы конечного пово-
поворота A0.15) к формуле Эйлера мы фактически постулиро-
постулировали существование предела
1 Ф
lim -^- — о,
т. е. постулировали существование вектора углсыой ско-
скорости. Теперь мы строго докажем это существование, опи-
опираясь на тот факт, что в каждый момент времени все точки
твердого тела обладают определенными скоростями,
а) Сначала докажем существование предела lim Ф°.
Рассмотрим две точки тела, скорости которых vy и vt
в данный момент / не коллинеарны. За бесконечно малый
промежуток времени (t, t + At) радиусы-векторы rt и r2
этих точек получат приращения А г, иДг2, перпендикуляр-
перпендикулярные вектору конечного поворота Ф°. Следовательно,
An Ar>
ф0==1А„хАг2 = УХУ,, (Ю.24)
X
At л М |
Предел полученного выражения существует и равен
Ни фо = _*><*» (Ю.25)
б) Возьмем теперь какую-нибудь точку твердого тела,
радиус-вектор г которой в данный момент t не коллинеареи
вектору в>°, а скорость равна v.
Модуль вектора поворота, соответствующего бесконеч-
бесконечно малому промежутку времени (t, t + At), определяется
формулой A0.16):
|©1Jxp| '
откуда
Ф
Аг
At
At | Ф° X Р I "
Предел полученного выражения существует и равен
Ф I21L.. (Ю.26)
6 г, Ф. Лаптев
162
ЧАСТЬ 2, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
в) Теперь легко доказывается существование угловой
скорости:
Ф ф0 _ |»1 ш vi X v
At I <в° X г I I vi X V;
w = lim ¦
Д(-»о
Д(-Ю
A0.27)
§ 3. Относительная производная вектора
1. Подвижная система отнесения. Очень часто прихо-
приходится рассматривать векторы, определенные относительно
движущегося твердого тела V. Обычно для такого опре-
определения вводят подвижную систему координат Л/0|т]?,
неизменно связанпую стелой (рис. 114). Начало коорди-
координат Мо и все точки осей
этой системы являются фик-
фиксированными точками тела и
движутся вместе с ним. По-
Поэтому орты осей подвижной
системы |°, ц°, ?° являются
функциями времени t.
Всякий вектор Л можно
определить его разложением
по ортам осей подвижной си-
системы:
Л = ^ + rfRr + S°fis,
A0.28)
причем относительные проекции вектора 7??, Rv, B^, т. е.
его проекции на подвижные орты, определяются обычны-
обычными формулами:-
Rz = l°-B, R^rf-B, ЯС = ?«..В. A0.29)
В общем случае относительные проекции Rz, /?*,, i?t
вектора М также являются функциями времени t. Они бу-
будут постоянными лишь в том случае, если вектор R неиз-
неизменно связан с твердым телом.
2. Абсолютная и относительная производные вектора.
Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени At
от данного момента / до следующего момента t + At. За
этот промежуток времени движущееся тело V перейдет
из положения V (t) в новое положение V (t + At), а пере-
переменный вектор Л изменит свое значение -К (t) на новое зна-
Рис. 114.
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ
163
ченпе R (t + А*)- Если бы за рассматриваемый промежу-
промежуток времени At вектор R не изменял своего относительно-
относительного положения по отношению к телу V и перемещался вмес-
вместе с ним, то из положения R (t) он перешел бы в некоторое
Рис. 115,
положение U (t; At) (рис. 115), отличное от настоящего но-
нового положения R (t + Д?).
Разности между получившимися тремя векторами R (t),
R (t; At), R (t + At) имеют определенный смысл.
Разность
R (t; At) — R(t) = AlR, A0.30)
называемая увлечением вектора, является приращением,
которое получил бы вектор R (t), если бы перемещался
с твердым телом, сохраняя фиксированное положение по
отношепию к нему.
6*
164 ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Разность
В (t + At) - В (t; At) = A.,7?, A0.31)
называемая относительным изменением вектора В, яв-
ляется приращением, которое получает вектор В с точки
зрения наблюдателя, неизменно связанного с твердым
телом.
Разность
R{t + At) — R (t) = AB A0.32)
является абсолютным приращением вектора В.
Из чертежа непосредственно ясно, что
ЛК = АХВ + А2К. A0.33)
Разделив на At и перейдя к пределу, мы получим
lim-т- = hm———t-lim —-j—-. A0.34)
Выясним смысл получившихся пределов.
а) Предел Jim —гг является обычной производной век-
Д<-> 0 А
тора -К по времени. Мы для отчетливости будем ее называть
абсолютной проимодной:
AR dR /лг\ ог\
б) Предел ]im -4т- является производной вектора В
Д<-0 Ы
с точки зрения наблюдателя, неизменно связанного с твер-
твердым телом V и рассматривающего изменение вектора В
только по отношению к телу V. Эту производную мы будем
называть относительной производной и обозначать -т-:
Й.-тг-тг- A0-36)
в) Предел lim —rr- есть предел отношепия прираще-
Д( -.0 А
ния АХВ вектора В при условии, что он неизменно свя-
связан с твердым телом, к бесконечно малому приращению
времени.
Приращение Aj.K не изменится, если твердое тело из
нового положения V (t + Дг) мы параллельно перенесем
ГЛ. X. ПРИЛОЖЕНИЯ К МЕХАНИКЕ 165
так, чтобы новое положение начальной точки Мо (t + At)
совпало с исходным M0(t). Поэтому &1Н можно
рассматривать как перемещение точки М твердого тела,
вращающегося вокруг неподвижной точки Мо. Следова-
Следовательно, можно считать, что предел Jim —J— выражает
скорость укапанной точки М и определяется формулой Эй-
Эйлера A0.19):
Нш AJ-^йХ В. A0.37)
д/-о Д?
Вектор со является здесь мгновенной угловой скоростью
тела V. Ее можно истолковать как угловую скорость вспо-
вспомогательного твердого тела V*, геометрически равного
данному телу V и вращающегося вокруг неподвижной точ-
точки Мо. При этом вращение происходит так, что в каждый
момент времени вспомогательное тело параллельным пере-
перемещением может быть геометрически совмещено с соответ-
соответствующим положением тела V.
Ясно, что угловая скорость <о не зависит от выбора на-
начальной точки Mq-
Итак, мы из формулы A0.34) получаем следующую
окончательную формулу:
4^ = сохЯ + ^-. A0.38)
Здесь -В — неременный вектор, « — угловая скорость
твердого тела, с которым связана подвижная система от-
счета, —г абсолютная производная вектора -В, -т
относительная производная вектора R.
3. Общий случай движения твердого тела. Выведен-
Выведенная формула A0.38), связывающая абсолютную и относи-
относительную производные любого вектора R, имеет основное
значение в кинематике. Она позволяет очень просто уста-
устанавливать основные соотношения кинематики твердого
тела и относительного движения. В качестве примера мы
разберем вывод формулы для скорости точки произволь-
произвольно движущегося твердого тела.
Рассмотрим произвольно движущееся в простраистие
твердое тело и определим скорости его точек.
166
ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Возьмем в этом теле произвольную начальную точку
Мо с радиусом-вектором тои произвольную точку М с ра-
радиусом-вектором г (рис. 116).
Продифференцировав оче-
очевидное соотношение
г = го + ~ЩМ, A0.39)
мы получим
dro
dr
dt
dMoM
Рис. 116.
-sr^-s-- A0-40>
По формуле A0.38) для абсо-
абсолютной производной находим
W
A0.41)
~dt
¦ = «о X М0М
Но вектор М„М неизменно связан с телом и его относи-
относительная производная равна нулю:
ьлпм
поэтому
dlh
di
Следовательно
Ж
(см.
dr
dt
Ы
= ю X МйМ
A0.40)),
dro \ a
dt +и
= 0;
ft) X (Г ~ r0).
A0.42)
A0.43)
Абсолютные производные -т- и —^ являются соответствен-
соответствен-т-
но скоростями v и v0 точек М шМ0; поэтому полученную
формулу можно переписать так:
V — Vo + О) X (Г — Го).
A0.44)
Таким образом, скорость точки твердого тела слага-
слагается из поступательной скорости, равной скорости v0
выбранной начальной точки Мо тела, и из скорости
(о X (г — »'о), обусловленной вращением тела вокруг на-
начальной точки Мо.
ГЛ. XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ 167
Глава XI
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
§ 1. Векторные функции
нескольких скалярных аргументов
1. Определение векторной функции. Если каждой сис-
системе значений переменных скаляров и, v, w из некоторой
области их изменения соответствует определенное значе-
значение переменного вектора В, то скаляры и, v, w называ-
называются аргументами, а вектор В — их функцией:
В = В (и, v, w). A1.1)
Функция пазывается непрерывной при данной системе
значений аргументов, если при их бесконечно малых из-
изменениях фупкция меняется бесконечно мало:
lim [В (и + Аи, v + Аи, w -\- Aw) — В (и, v, и)] = 0. A1.2)
Ди-»0
Дв-»0
Дго-ю
2. Частные производные и частные дифференциалы век-
векторной функции. Как и в обычном анализе, возникают по-
понятия частных производных и дифференциалов.
Частной производной векторной функции В по одному
из аргументов называется ее обычная производная по
этому аргументу, вычисленная в предположении, что
остальные аргументы рассматриваются как постоянные:
у 1 __ дД _ ,. Д (и -{- А", '¦', w) — R (и, у, w)
= lim
jp _ dR _ |. R (и, у, w -f- Au>) — R («, v, w)
Частным дифференциалом функции В по одному из не-
независимых аргументов называется произведение частной
производной от нее по этому аргументу на его приращение:
djt = BuAu, dvR = BvAv, дшВ = BwAw. A1,4)
168 ЧАСТЬ 2, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В дальнейшем будет предполагаться, что частные про-
производные существуют и непрерывны при рассматривае-
рассматриваемых значениях аргументов.
3. Полный дифференциал векторной функции. Пол-
Полным дифференциалом dJt функции R нескольких аргумен-
аргументов называется сумма ее частных дифференциалов по
всем ее независимым аргументам:
а R = RuAu + RvAv + Bwbw. A1.5)
Согласно этому определению полные дифференциалы
независимых аргументов совпадают с их приращениями;
du = Ди, dv — Дгг, dw = Ди>. A1.6)
Если аргументы и, v, w функции R сами являются
функциями от других аргументов t и s, то применимо обыч-
обычное правило дифференцирования сложных функций:
dR _ dR ди dR dv дВ dw
dt ~~ ~дп дТ ~т~ ~Ь~о ЪТ "т" dw dt '
3s ~~ da ds ~т~ dv ds ~^~ dw ds '
Из этих формул непосредственно следует свойство инва-
инвариантности полного дифференциала относительно преоб-
преобразований аргументов:
dR = Rudu + Rvdv + Rwdw = Rtdt + Rsds. A1.8)
4. Частные производные высших порядков. Дифферен-
Дифференциалы высших порядков. Частные производные высших
порядков от функции многих аргуме?1тов и, v, w, ... опре-
определяются обычным способом:
(RU)U^RUU~~, (Ди)г = Л„г=-^-, ...A1.9)
В дальнейшем всегда будет предполагаться, что все
встречающиеся частные производные не только сущест-
существуют, но и непрерывны при рассматриваемых значениях
аргументов. Вследствие этого будет иметь силу теорема
о независимости частной производной от последователь-
последовательности дифференцирований:
Ъи, = Лш. A1.10)
ГЛ. XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ 169
Точно так же обычным способом определяются и пол-
полные дифференциалы высших порядков:
d*R = d (dR), d3R = d (d*R), ... A1.11)
Если, например, R есть функция двух независимых аргу-
аргументов и, v, то
du = Аи, dv = Av, d2u = 0, d2v =- О, . . ., A1.12)
и мы получаем
dR = Rudu + Rvdv, )
d*R = d (dR) = Ruudu% -f 2Rvvdu dv + Rvvdv2, \ A1.13)
Если же аргументы и, v сами являются функциями, то
dR = J2ndu -f -Bcdf,
da Ji = d(dR) = RHUdu2 + 2Rmdu dv + RrJv* +
+ Rud2u + Rvd2v,
Во всех случаях справедлива обычная формула Тейлора
ДК = -LdR + ^d*R + --.+±dnR + -ipp-S»,
р = /da2 + dv\ lim?n = 0. A1.15)
§ 2. Параметризованная поверхность
1. Векторное параметрическое уравнение поверхно-
поверхности. Поверхность называется параметризованной, если
радиус-вектор г ее текущей точки М определен как непре-
непрерывная функция двух параметров и, v, изменяющихся
в некоторой области (о*):
r = -r(u,v), (M,i;)eC'). A1.16)
Знак «?г» указывает на то, что точка (и, v) принадлежит
области (а*). При этом предполагается, что в каждой точ-
точке области (а*) частные производные ги, г„ непрерывны
и неколлинеарпы, т. е.
ги X rv Ф 0. A1.17)
170
ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Уравнение A1.16), определяющее радиус-вектор г те-
текущей точки поверхности как функцию от параметров
и, v, называется векторным параметрическим уравнением
поверхности (рис. 117). Ясно, что если такое уравнение
A1.16) задано, то соответствующая ему поверхность опре-
определена и теоретически может быть построена по точкам.
Рис. 117.
Рис. 118.
Каждую пару значений параметров и, v целесообраз-
целесообразно рассматривать как пару декартовых координат на
вспомогательной плоскости O*uv, которая называется
плоскостью параметров или фазовой плоскостью. Область
(о*) изменения параметров составляет часть этой плоско-
плоскости (рис. 118). Уравнение поверхности сопоставляет каж-
каждой точке М* (и, v) области (о"*) определенную точку
М (и, v) поверхности (а). В дальнейшем параметризация
будет предполагаться правильной в том смысле,
что соответствие между точками поверхности (а) и обла-
области (а*) взаимно однозначное (рис. 117 и 118).
2. Поверхность в декартовых координатах. В про-
пространстве, отнесенном к декартовой системе координат
Oxyz, поверхность часто определяют уравнением, которое
связывает координаты х, у, z ее текущей точки и разреше-
разрешено относительно одной из них:
z = f(x,y). A1.18)
Таким образом, уравнением поверхности является такое
уравнение A1.18), которому удовлетворяют координаты
любой точки поверхности и только они.
Имея такое координатное уравнение поверхности
A1.18) и пользуясь разложением радиуса-вектора г
ГЛ. XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ 171
текущей точки М (х, у, z) по ортам координатных осей:
г = ix + jij + kz,
мы можем сразу написать векторное параметрическое
уравнение поверхности:
r = ix-\-jy + kf{x,y). A1.19)
Роль параметров и, v в этом уравнении играют две декар-
декартовых координаты х, у.
Обратный переход от векторного параметрического
уравнения поверхности
г = г (и, v) A1.20)
к координатному уравнению A1.18) более сложен и свя-
связан с ограничительными предположениями. С проектиро-
проектировав радиус-вектор г текущей точки параметризованной
поверхности A1.20) на координатные оси, мы получим со
декартовы координаты х, у, z как функции от параметров
и, г-.
х =¦¦ х (и, v), у = у (и, v), z = z(u, v). A1.21)
Ясно, что эта система трех координатных параметричес-
параметрических уравнений равносильна исходному векторному урав-
уравнению A1.20). Определив из первых двух уравнений пара-
параметры и и г; как функции от двух декартовых координат
х, у и подставив эти функции в третье уравнение, мы по-
получим координатное уравнение
z = f (х, у).
При этом ясно, что возникает вопрос о возможности и од-
однозначности разрешения двух уравнений системы A1.21)
относительно параметров и, v. Исследование этого вопро-
вопроса является достаточно сложным, и мы его проводить по
будем, поскольку основную роль у нас будет играть век-
векторное параметрическое уравнение, а не координатное.
3. Параметрическая сеть. Через каждую точку М (и, v)
правильно параметризованной поверхности проходят
две так называемые параметрические линии: линия и и
линия v.
Линия и описывается текущей точкой поверхности,
когда меняется только первый параметр и, второй же па-
параметр v имеет фиксированное значение v0. Следователь-
172
ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
но, векторное уравнение линии и имеет вид
r = r(u,v0). (H.22)
Аналогично определяется липия v. Ее векторное урав-
уравнение имеет вид
г = г(и0, v). A1.23)
Таким образом, поверхность (а) оказывается покрытой
сетью линий, состоящей из
семейства линий и и семей-
семейства линий у(рис. 119). Эта
сеть линий называется па-
параметрической сетью.
4. Линия на парамет-
параметризованной поверхности.
Если на правильно пара-
параметризованной поверхно-
поверхности
г = г (и, v) A1.24)
задана линия (рис. 120)
r = r(t), A1.25)
Рис. 119. то каждой точке этой ли-
линии, т. е. каждому значе-
значению ее параметра t, будет соответствовать точка на
поверхности, т. е. пара значений ее параметров и, v. Это
Рис. 120.
значит, что параметры и, v вдоль линии будут функция-
функциями параметра t:
и = и @, v = u(t). A1.26)
ГЛ. XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ 173
Обратно, если такие функции и (t), v (t) заданы, то на по-
поверхности определена линия. Векторное уравнение этой
линии получится из векторного уравнепия поверхности
A1.24):
г = r\u(t), v(t)l A1.27)
Итак, линия па поверхности задается системой уравнений
A1.26), определяющей параметры и, v, к которым отпесе-
па поверхность, как функции от одного параметра t. Эту
систему уравнений A1.26) мы будем называть системой
внутренних уравнений линии на поверхности.
§ 3. Касательная плоскость и нормаль
1. Касательные к параметрическим линиям. Мы зна-
знаем, что если радиус-вектор есть функция от одного ска-
скалярного аргумента, то его производная по этому аргумен-
аргументу есть вектор, направленный по касательной к линии,
которую описывает конец радиуса-вектора. Вследствие
этого частные производные гп и rv от радиуса-вектора г
текущей точки параметризованной поверхности
г — г (и, v)
по параметрам и, v являются векторами, направленными
соответственно по касательным к параметрическим лини-
линиям и и v. Отличие от пу-
пуля векторного произве-
произведения
г и X rv =h О
означает, что касатель-
касательные к параметрическим
линиям определены и
не сливаются.
2. Касательная плос-
плоскость. Рассмотрим на
поверхности
г = г (и, v) Рис. 121.
неособую точку М (рис. 121) и проходящую через нее про-
произвольную линию
и — и (t), v — v (?).
174 ЧАСТЬ 2, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Касательная к этой линии определится производной -т-,
которую мы вычислим по правилу дифференцирования
сложной функции:
dt "Ги dt "'¦"*» dt ' (u^?>)
Мы видим, что вектор -^- касательной в рассматриваемой
точке М к нашей линии разлагается по двум пеколлипеар-
иым векторам »'„ и ?'„, которые касаются параметрических
линий в точке М. Следовательно, касательные в неособой
точке М поверхности к всевозможным линиям, проведен-
проведенным па поверхности через эту точку, располагаются в од-
одной плоскости.
Определение. Касательной плоскостью к по-
поверхности в ее неособой точке называется плоскость, в ко-
которой располагаются касательные в этой точке М к все-
всевозможным линиям, проведенным на поверхности через
эту точку.
Таким образом, касательная плоскость определяется
лежащими в ней точкой касания М и двумя векторами
»*ui rv, касательными к параметрическим линиям в этой
точке.
3. Нормальный вектор. Нормальным вектором поверх-
поверхности в данной точке М называется вектор -№, перпенди-
перпендикулярный к касательной плос-
плоскости в этой точке М. Такой век-
вектор определяет нормальную пря-
прямую (нормаль) и направлен по
ней. Вблизи своего начала М
он выделяет определенную сто-
сторону поверхности, которая вид-
видна из его конца (рис. 122).
Нормальный лектор N в те-
текущей точке Мпараметризован-
Мпараметризованной поверхности
Рис- ш- г = r (u,v) A1.211)
автоматически определяется как векторное произведение
частных производных ти и *¦„, если только установлен
определенный порядок их следования.
ГЛ. XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ 175
Мы будем считать, что параметр и первый, а параметр
v второй. В соответствии с таким порядком следования
параметров или, как говорят, в соответствии с такой ори-
ориентацией параметризованной поверхности определяется
и нормальный вектор:
Я = ги X rv. A1.30)
В дальнейшем, записывая параметры и, v, к которым
отнесена поверхность, мы всегда па первом месте будем
писать тот, который считается первым.
4. Преобразование параметров. Рассмотрим произволь-
произвольное взаимно однозначное преобразование параметров и, v
поверхности в новые параметры а, C:
и — и (а, 6),
/ аС (И-31)
v = v (а, р). v '
При этом будем предполагать, что в рассматриваемой об-
области это преобразование A1.31) взаимно однозначно,
функции и, v обладают пепрерывньтдги частными производ-
производными и определитель преобразования (якобиан)
дч
да.
д»
ди
д$
dv
d'i
д (и, у)
A1.32)
отличен от нуля.
Радиус-вектор текущей точки поверхности»' = г (и, v)
будет сложной функцией от новых параметров:
г = г [и (а, Р), v (а, рI. A1.33)
По правилу дифференцирования сложной функции но-
лучаем
ди , dv
ди
dv
A1.34)
Перемножив векторно эти векторы, найдем
Га X Гр = Ги X
ди
дч
dv
дз
ди
д',
дг-
A1.35)
176
ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ИЛИ
Э("'
A1.36)
Вектор Гд X »*р определяет направление нормали к поверх-
поверхности при новой параметризации, а вектор ти X rv — при
старой. Мы видим, что эти направления совпадают, если
определитель преобразования д (и, v)/d (а, р") положите-
положителен, и противоположны, если он отрицателен. Таким об-
образом, можно сказать, что при преобразовании параметров
с положительным определителем преобразования ориента-
ориентация поверхности сохраняется, а с отрицательным — ме-
меняется на прот ивоположную.
§ 4. Площадь области на поверхности
1. Площадь плоской области. Площадь S плоской об-
области декартовой плоскости Оху (рис. 123) выражается
двойным интегралом
5 =
A1.37)
(S)
Если перейти к новым переменным и, v при помощи преоб-
преобразования
х = ф (и, v), у = -ф (и, v),
отображающего взаимно однозначно область (S) на новую
Рис. 123.
Рис. 124.
область (S*) повой декартовой плоскости O*uv (рис. 124),
то площадь S исходной области выразится преобразован-
ГЛ. XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ 177
иым двойным интегралом:
д (х, у)
dudv.
A1.38)
Придадим этому интегралу другую форму. Разложим ра-
радиус-вектор г текущей точки исходной плоскости по ор-
ортам осей г = гх -f- ЗУ и найдем его частные производные
по новым переменным:
dl . дх
u du ди
ди
dt . дх
ду
Векторное произведение этих частных производных имеет
вид
i j fc
дх дц
dx ду
dv dv
tu X tD =
дх
ди~
дх
dv
ди
ди
ди
dv
д (х, у)
д {и, V)
Вследствие этого формулу A1.38) для площади плоской
области можно записать так:
S = U | г„ X tv | du dv.
A1.39)
2. Площадь области на поверхности. Рассмотрим на
правильно параметризованной поверхности
г = г (и, v)
некоторую область (а) и соответствующую ей область (о*)
на плоскости параметров и, v (рис. 125). Разобьем область
(а) произвольным способом на п частей (ах), . . ., (ап).
Одновременно разобьется на соответствующие части (al),...
. . ., (сг„) и область (о*) на плоскости параметров. На каж-
каждой частичной области (ок) зафиксируем произвольно точ-
точку Мк (ик, vk), которую назовем опорной точкой. Переме-
Переместимся из нее в произвольную точку М (и, и) рассматри-
рассматриваемой частичной области (ак):
и = щ + Аи, v = vh + Аи,
и составил! соответствующий этому перемещению дифферен-
178
ЧАСТЬ 2, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
циал радиуса-вектора:
г = dr = ru (щ, vk) Аи + rv (ик, vk) Av =
= ru (uk, vk) (и — ик) + г„ (щ, vk) (v — vk). A1.40)
Если начало этого дифференциала t поместить в опорную
точку Мк, то он будет лежать в касательной плоскости
V
и
Рис. 125.
п этой точке, а его_конец будет определять в касательной
плоскости точку М (и, v), которую мы назовем изобра-
изображением смещенной точки М (и, v) (рис. 126). Таким обра-
образом, все точки частич-
частичной области (ак) поверх-
поверхности взаимно одпозпач-
но отобразятся на не-
некоторую плоскую об-
область (Ък), расположен-
расположенную в касательной пло-
плоскости. Мы назовем ее
чешуйкой, покрывающей
частичную область (о4).
Определение.
Площадью о области (а)
на поверхности называ-
называется предел суммы пло-
Рис 126. щадей чешуек E^), по-
покрывающих частичные
области (ак), на которые разбита исходная область (о)
при условии, что число п частичных областей неограни-
ГЛ. XI, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ 179
чепно растет, а максимум диаметров чешуек стремится
к нулю:
п
<з = Пт 2 б*. A1.41)
Покажем, что определенная таким образом пеличина пло-
площади о не зависит ни от способа разбиения области (а)
па частичные области, ни от «ыбора опорных точек, ни от
параметризации поверхности.
А. Сначала вычислим площадь дк чешуйки (ак). Если
за начало принять опорную точку Мк (щ, vk), то радиу-
радиусом-вектором г текущей точки М (и, v) чешуйки Eк)
будет дифференциал A1.40):
г = dr = ги (ик, vk) (и — щ) + rv (ик, vk) (v — vk).
Его частное дифференцирование по текущим параметрам
дает
Г„ = ги {ик, vk), г,. = rv (мк, vk).
Вследствие этого по формуле A1.39) для площади плос-
плоской области находим
о* = \\ |fu X xv\dudvr= U \ru(uk, vk) X rv(uk,vk)\dudv=
= l»"u(«fc, i"k) X »•„(«„ k)
D)
т. e.
Ok = I »*u ^«*. ^) X rB (wfc, i?ft) I aj, A1.42)
где с*- —площадь плоской частичной области (а*к), яв-
ляюшсйся изображением на плоскости параметров (и, v)
частичной области (ак) поверхности, а следовательно, и
покрывающей ее чешуйки (ак).
Г). Подставив найденное выражение для площади ак
и формулу A1.41), определяющую площадь поверхности,
получим
п
2 I ru К. vk) X rv {uk, vH) | а'к. A1.43)
180 ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Таким образом, площадь а поверхности (or) выражается
пределом интегральной суммы. Этот предел не зависит
ни от способа разбиения, ни от выбора опорных точек на
соответствующих частичных областях и равен двойному
интегралу
§ A1.44)
Здесь область интеграции (а*) есть область изменения пе-
переменных и, v на плоскости параметров и и v (см. рис. 125).
Она является образодг области (а) при ее взаимно однознач-
однозначном отображении на плоскость параметров и, v. Поэтому
в качестве области интеграции можпо указать эту исход-
исходную область (а) вместо ее образа (о*):
()
xrv\dudv. A1.45)
(V)
Формула A1.44), или, что то же, A1.45) для вычисле-
вычисления площади области поверхности называется формулой
компланации.
В. Покажем теперь, что определяемая формулой ком-
компланации площадь куска поверхности не зависит от пара-
параметризации поверхности. Действительно, положим
и = ф (а, Р), v = г|) (а, р).
Тогда (см. A1.36))
Га. А Гр — Гм Л Гв „ . „ .
Следовательно, воспользовавшись правилом преобразова-
преобразования интеграла к новым аргументам, мы получим
глх
д(и,
д(а,
V)
Э)
д
д
(и,
(«.
»)
Р)
da ф = U | га X г& \ da dp,
(а) д (а, Р) (а»
т. е. для о получилась в новых параметрах прежняя фор-
формула.
3. Формула для вычисления площади поверхности, за-
заданной уравнением z ¦= z (x, у). В этом случае парамет-
параметрами являются координаты х, у. Радиус-вектор текущей
точки 'поверхности имеет вид
г =-- гх -\- jy -f- kz.
ГЛ. XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ 181
Последовательно находим
dt
= г
X Ту =
j к
dz
0 17
о 1
dz
~ ~ г~д7'~ J~hT '
Следовательно, формула компланации A1.45) принимает
в рассматриваемом случае вид
(S)
<1L46)
При этом область E) изменения переменных а;, г/ при пе-
перемещении точки но рассматриваемой области (а) являет-
является проекцией этой области (о) на плоскость Оху (рис. 127).
Рис. 127.
Имея в виду, что косинус угла у, который нормаль
в текущей точке поверхности z = z(z, у) образует с
осью Oz, выражается формулой
cos y = +¦
мы можем формулу компланации переписать иначе:
182
ЧАСТЬ 2, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
4. Элемент площади поверхности. Элементом площади
da (и, v) параметризованной поверхности
г = г (и, v)
называется площадь параллелограмма, построенного на
частных дифференциалах диг, dvr радиуса-вектора г теку-
текущей точки поверхности по его параметрам. Площадь парал-
параллелограмма, построенного на двух векторах, равна моду-
модулю их векторного произведения. Поэтому для элемента
площади поверхности мы получим формулу
do (и, v) = | диг X д„г\ A1.48)
или
do (и, v) = \ги X rv\ dudv. A1.49)
Замечание. Мы видим, что элемент площади по-
поверхности A1.49) является подынтегральным выражением
в формуле компланации A1.45).
Теорема. Если дифференциалы du и dv бесконечно
малы, то элемент площади поверхности da отличается на
(u.u+du)
У
¦ Гис. 128.
величину высшего порядка малости по отношению к произ-
произведению дифференциалов du dv от площади Ло* элементарно-
элементарного четырехугольника, расположенного на поверхности
и ограниченного координатными линиями поверхности,
проходящими через точки (и, v) и (и + du, v + dv)
(рис. 128), т. е.
Аа = da + Idudv, A1.50)
ГЛ. XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ 183
где
lim ?=--0.
du->0, dv-*0
Доказательство. Формула комплапации дает
Дз = \\ | ги X rv | du dv,
причем область интеграции (До*) изображается па
плоскости параметров и, v прямоугольником со сто-
сторонами du и dv (рис. 129).
Применив к получение- у
му интегралу теорему о
среднем значении и приняв #^
ко внимание, что
До* = dudv,
мы найдем
Дз = | ru X rv\ и-,п du dv,
U u+du
Рис. 129.
где (и, v) — некоторая точка на (До*). Опираясь на не-
непрерывность функции | ги х г„ |, мы получим
= | ги X rv\ dudv
du dv,
A1.51)
что и дает пашу теорему.
5. Векторный элемент площади поверхности. Вектор-
Векторным элементом da площади параметризованной ориенти-
росашшй поверхности
г = г (и, v)
называется векторпое произведение частных дифферен-
дифференциалов диг, dvr радиуса-вектора ее текущей точки по ее
параметрам, т. е.
da = диг X д„г,
или
da = г и X rvdudv. A1.52)
Мы видим, что модуль векторпого элемента площади сов-
совпадает с элементом площади
|do| = da. A1.53)
184 ЧАСТЬ 2, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 5. Первая квадратичная форма поверхности
1. Определение первой квадратичной формы. Рассмот-
Рассмотрим параметризованную поверхность
г — г (и, v).
Независимо от того, являются ли параметры и, v незави-
независимыми аргументами или же любыми функциями от дру-
других независимых аргументов, полный дифференциал di' ра-
радиуса-вектора г текущей точки поверхности представляется
в виде (векторной) инвариантной линейной дифференци-
дифференциальной формы *)
dr = rudu -j- rvdv.
Тем же свойством инвариантности обладает и скалярный
квадрат этой формы, представляющий собой скалярную
квадратичную дифференциальную форму
dr2 = rldu2 + 2ru¦ rvdu dv -±r\dvl. A1.54)
Определение. Скалярный квадрат полного диф-
дифференциала dr радиуса-вектора текущей точки поверх-
поверхности называется первой квадратичной формой cpj поверх-
поверхности:
ф! = d>-2. A1.55)
В развернутом виде ее записывают так:
Ф, = Edu2 + 2Fdudv + Gdv\ A1.56)
Коэффициенты Е, F, G первой квадратичной формы опре-
определяются из ранее полученного для нее выражения A1.54):
Е = rl, F = rurv, G = т\. A1.57)
Замечание 1. В неособой точке поверхности
ги х rv ф 0.
Следовательно,
I ги X гр р = rlrl - (ги ¦ г„)г > 0, A1.58)
*) Дифференциальной формой называется всякий однород-
однородный многочлен относительно дифференциалов аргументов. В за-
зависимости от степени этого многочлена форма может быть линей-
линейной, квадратичной и т. д.
ГЛ. XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ 185
т. е.
EG—F*>0. A1.59)
Отсюда, в частности, следует, что в неособой точке всегда
Е > 0 и G > 0.
Замечание 2. В неособой точке поверхности векто-
векторы ru и г„ пе коллинеарны. Следовательно, если диффе-
дифференциалы du и dv параметров не равны одновременно ну-
нулю, то
dr — rudu -f rvdv Ф 0.
А это значит, что
Ф1 = й*-2>О, A1.60)
т. е. первая квадратичная форма в неособой точке поверхно-
поверхности положительно определена.
2. Внутренняя геометрия поверхности. Если поверх-
поверхность рассматривать как нерастяжимую абсолютно гибкую
пленку, то при ее изгибаниях, очевидно, будут сохранять-
сохраняться длины дуг расположенных па ней линий, углы между
линиями, площади областей. Все такие величины назы-
называются внутреннегеометрическими величинами поверхно-
поверхности. Оказывается, что все они выражаются только через
коэффициенты первой квадратичной формы и, обратно,
все геометрические величины, которые определяются толь-
только при помощи коэффициентов первой квадратичной фор-
формы, не меняются при изгибаниях поверхности и являются
внутреннегеометрическими. Ниже мы найдем формулы,
позволяющие вычислять длины, углы и площади на по-
поверхности при помощи коэффициентов Е, F, G.
3. Длина дуги линии на поверхности. На поверхности
г = г (и, v)
рассмотрим линию
и = и (t), v = v (t).
Квадрат дифференциала ее дуги имеет вид
ds2 = dr1 = rldu2 + 2ru • rvdu dv + r%dv%
или
ds* = Edu* + 2Fdu dv + G dv2. A1.61)
Таким образом, дифференциал дуги линии на поверхности
' dv \- 7l
\ ¦ / 17 \ I [17? _____ I /' I —^— 1 fit
|86 ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ -ГЕОМЕТРИЯ
является квадратным корнем из первой квадратичной фор-
формы поверхности, вычисленной вдоль этой линии. Вследствие
этого длина дуги линии, заключенной между точками Mt
я М2, которым соответствуют значения ^ и U параметров,
определится формулой
Мы видим, что для вычисления длины дуги линии на по-
поверхности, заданной системой своих внутренних уравне-
уравнений A1.26), надо знать лишь коэффициенты Е, F, G пер-
первой квадратичной формы как функции от параметров и, v.
4. Уго:1 между линиями на поверхности. Пусть в точ-
точке М поверхности
г = г (и, v)
пересекаются две линии:
( U — Щ ('.), ( U = Un(t),
Будем обозначать через d и б операторы дифференцирова-
дифференцирования вдоль этих линий:
Тогда угол 9 между этими линиями в точке их пересечения
определится формулой
wrier- t11-64*
где дифференциалы
dr = rudu + rvdv, br ¦— rubu -)- rJSv
предполагаются вычисленными в рассматриваемой точке
М. Подставив эти выражения для дифференциалов dr и
Ьг в формулу A1.64) и воспользовавшись выражениями
A1.57) для коэффициентов первой квадратичной формы,
мы получим
„ _ Edu Ьи + F {du 6v + dv 6м) + G dv bv
V du* + 2/ dudv + G dv* VE 6«2 + 2/ bu. dv + G 6v2
A1.65)
ГЛ, XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ 187
Мы видим, что для определения угла между двумя линиями
на поверхности, заданными своими внутренними уравне-
уравнениями A1.63), достаточно знать лишь коэффициенты.
Е, F, G.
5. Площадь области на поверхности. Рассмотрим на
поверхности
г = г (и, v)
некоторую область (а) (рис. 130). Ее площадь о опреде-
определяется формулой A1.45):
г„ х г„ I du dv.
(о)
Выразим модуль вектор-
векторного произведения че-
через скалярные произве-
произведения (см. A1.58)):
\ги X rv\j=
У
Рис. 130.
Имея в виду выраже-
выражения A1.57) для коэф-
коэффициентов Е, F, G первой квадратичной формы, получим
Следовательно,
EG —F1 dud».
A1.E6)
A1.67)
(°)
Итак, площадь любой области на поверхности может быть
вычислена, если известны коэффициенты Ег F, G первой
квадратичной формы поверхности.
§ 6. Вторая квадратичная форма поверхности
1. Определение второй квадратичной формы поверх-
поверхности. Рассмотрим параметризованную поверхность:
г = г (и, v).
Найдем первый и второй полные дифференциалы радиуса*
188 ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
вектора г ее текущей точки:
dr --- г, Аи -!- r.dv,
A1.68)
d V -- rvudu? + 2rU!)dM dy -fr^dy2 + »*ud2 и -f г„й2у.
Полученное выражение для второго дифференциала d2/*
не является инвариантной квадратичной формой относи-
относительно первых дифференциалов du, dv параметров и, v
вследствие наличия двух добавочных членов rud2u, rvd?v.
Эти члены обращаются в нуль, если параметры и, v яв-
являются независимыми аргументами, но они становятся,
вообще говоря, добавочными квадратичными формами,
если параметры и, v сами оказываются функциями от дру-
других аргументов, /(.обавочные члены rud2u и rvd?v являются
векторами, которые лежат в касательной плоскости к по-
поверхности в рассматриваемой точке и, следовательно, пер-
перпендикулярны орту нормали п. Умножив скалярно выра-
выражение A1.68) для второго дифференциала dV на орт п
нормали к поверхности, и приняв во внимание равенство
пулю скалярных произведений добавочных членов на пер-
перпендикулярный к ним орт нормали п, мы получим следую-
следующую инвариантную квадратичную форму:
n-dV = n-ruudu2 + 2n-rUBdudv + n-r^du2. A1.69)
Определение. Скалярное произведение полно-
полного дифференциала второго порядка d2r радиуса-вектора г
текущей точки поверхности па орт нормали п в этой точ-
точке называется второй квадратичной формой q>2 поверхно-
поверхности:
Ф2 = ra-dV. A1.70)
В развернутом виде эта формула записывается так:
ф2 = Ddu* 4- 2D'du dv + D"dv2.
Формулы для коэффициентов D, D', D" второй квадратич-
квадратичной формы следуют из ранее полученного для нее выраже-
выражения A1.69)
D = n-ruu, D' = n-ruv, D" = n-rvo, A1.71)
где
п «
r»I
ГЛ. XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХЙОСТИ \f,9
Замечание. Касательные к параметрическим ли-
линиям поверхности векторы ти и г„ортогональны орту нор-
нормали п, поэтому
п-ги — 0, п-г„ = 0.
Продифференцировав каждое из этих тождеств но пара-
параметрам и и v, мы получим
nu-rv -f n-ruv = 0, nv-rv-\- n-rvv = 0.
На основании этих соотношений мы можем придать фор-
формулам A1.71) для коэффициентов второй квадратичной
формы следующий вид:
D •¦=—»u-ru, D' — — пВ'Ги= — nu-rv, D" = —nv-r,,.
A1.72)
2. Нормальная кривизна линии на поверхности. Ми
будем рассматривать параметризованную поверхность
г — г (и, v)
и линию, расположенную на ней:
и = и (?), v = v (t).
Вектором кривизны всякой линии в том числе и линии, рас-
расположенной па поверхности, называется произведение
кривизны К этой линии на орт ее главной нормали v. Как
мы знаем (см. (8.35)), это произведение равно производной
орта касательной т по дуге s, т. е. производной второго
порядка от радиуса-вектора г текущей точки линии по
дуге:
45- = *v. A1.73)
Определение. Нормальной кривизной Кп линии
на поверхности называется проекция вектора кривизны
этой линии на нормаль к поверхности в рассматриваемой
точке.
Иначе говоря, нормальная кривизна Кп линии на по-
поверхности есть скалярное произведение вектора кривизны
Кх этой линии на орт нормали п поверхности:
Кп~К\-п A1.74)
190 ЧАСТЬ 2, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ИЛИ
Кп— n'dslr . A1.75)
На основании определений квадратичпых форм поверх-
поверхности имеем
ds2 = dr2 = фх = Е du2 + 2Fdudv + G dv2,
n-d2r = ф2 = Ddu2 + W'dudv + D"dv2.
Следовательно,
V Ч>2 — D dn~ ~^~ 2D'du d" + П"<1уг /i л 7Rv
"-n — ,, , , .—k~,—;—-, ;—,, , .,— . A1. / ОI
(pi h duc -\- Ir аи dv -j- G dv: '
Итак, нормальная кривизна линии на поверхности равна
отношению второй квадратичной формы поверхности
к первой, причем значения параметров и, v берутся в рас-
рассматриваемой точке, а их дифференциалы du, dv вычисля-
вычисляются в этой точке из уравнения линии.
Заменив знаменатель в выражении A1.76) для нор-
нормальной кривизны обратпо через ds2, мы получим
Мы видим, что нормальная кривизна выражается через
коэффициенты D, D', D", которые в рассматриваемой топ-.
du du
ке однозначно определены, и через отношения -j—, -j—,
ds ds
являющиеся коэффициентами разложения орта касатель-
касательной х рассматриваемой линии по векторам ru, rv:
dr du , dv
T - ds - Ги ds ^Г» ds •
Если две линии имеют в рассматриваемой точке общую
du dv -
касательную, то для иих отношения -г-, -j— будут соот-
ветственно совпадать или отличаться только знаком. В обо-
обоих случаях нормальная кривизна Кп для этих линий бу-
будет одна и та же. Таким образом, мы можем сформулиро-
сформулировать следующую теорему.
Теорема. Все линии на поверхности, проходящие
через данную точку и обладающие в ней общей касательной,
имеют в этой точке одинаковые нормальные кривизны.
ГЛ. XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ г31
3. Теорема Менье. Рассмотрим на поверхности сово-
совокупность линий (L), имеющих общую точку М и общую ка-
касательную в этой точке (рис. 131). Как только что отме-
отмечалось, главные кривизны Кп всех этих линий одинаковы.
Рис. 131.
Найдем связь между их кривизнами К. С этой целью из
указанных линий особо выделим одну, называемую нор-
нормальным сечением поверхности в точке М. Это — линия
(Lo), получающаяся в результате сечения поверхности плос-
плоскостью, проходящей через нормаль поверхности в точке
М. Нормальная кривизна у нее та же; ее кривизну и орт
главной нормали обозначим Ка и v0.
Так как нормальное сечение — плоская линия, то ее
главная нормаль лежит в секущей плоскости и потому
совпадает с нормалью поверхности. Это значит, что v0
и п либо равны, либо противоположны: vo-»t = ±l.
Поэтому из A1.74) получаем
Кп = ± Ко. A1.78)
Пусть 0 — угол между соприкасающейся плоскостью
линии (L) и нормалью поверхности или, что то же, острый
угол между главной нормалью линии (L) и нормалью по-
поверхности. Очевидно,
|v-n|. A1.79)
Внеся A1.78) в A1.74), будем иметь
±К0 = Kv-n.
Так как кривизны К и Ко по самому их определению
192 ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
неотрицательны, то отсюда, учитывая A1.79), получаем
Ко = К cos О,
или, что то же,
.!- = _*-cos 9. A1.80)
Величину, обратную кривизне линии, принято назы-
называть радиусом кривизны. Обозначим радиусы кривизны
произвольной линии (L) и нормального сечения (Lo) соот-
соответственно R и Ro:
R- i R - 1
к
Теперь A1.80) можно переписать иначе:
R = /?0cos9. A1.81)
Это и есть теорема М е н ь е. Сформулируем ее так:
чтобы получить в данной точке радиус кривизны любой ли-
линии (L), лежащей на поверхности, надо умножить радиус
кривизны нормального сечения, проходящего через ту же
точку и имеющего в ней общую с линией (L) касательную,
на косинус угла между соприкасающейся плоскостью линии
(L) и нормалью поверхности в указанной точке.
Из этой теоремы непосредственно следует: у всех линий
на поверхности, имеющих в общей точке общую касатель-
касательную и общую соприкасающуюся плоскость, кривизна в
этой точке одинакова.
§ 7. Главные направления и главные кривизны
поверхности
1. Направление на поверхности. Рассмотрим на по-
поверхности г — г (и, v) линию, проходящую через фикси-
фиксированную точку М. Имея в виду A1.61), орт касательной
к этой линии можно представить так:
_ dr _ rudu + rvdv
ds ~~ YE du2 + 2t du dv + G dv* '
или, если числитель и знаменатель разделить на dv,
du
A1.82)
ГЛ. XT. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ 193
Так как точка М фиксирована, то ru, rv, Е, F и С опреде-
определены, и чтобы указать направление касательной, доста-
достаточно задать отношение дифференциалов du и dv. В этом
смысле говорят, что отношение этих дифференциалов
определяет в данной точке поверхности направление.
2. Главные направления на поверхности. Ранее отме-
отмечалось, что каждому направлению на поверхности соот-
соответствует определенная нормальная кривизна Кп. Будем
искать в фиксированной точке М направления, которым
соответствуют экстремальные значения нормальной кри-
кривизны. Обозначив
du у
~dV'~= ^'
из A1.7E) получим
к Р? + 2D'l + D- ,,, oov
Так как в фиксированной точке коэффициенты квадратич-
квадратичных форм определены, то правая часть A1.83) зависит
лишь от |. Найдем се производную:
^«п_ _ - (Щ* + 2П + G) (Щ, + D') - (Р? + 2Р% + Р")Щ + F)
A1.84)
Ранее отмечалось, что в пеособой точке первая квадратич-
квадратичная форма положительно определена. Поэтому знамена-
знаменатель в правой части последнего равенства не равен нулю,
и необходимое условие экстремума нормальной кривизны
состоит в равенстве нулю числителя:
{El2 -л- 2FI + G) (Щ +/?')-
- {Dl* + 2D'l + D") (El + F) - 0 A1.85)
или. что то же,
(FD - ED')l2 + (GD - ED")l + (CD' - FD") = 0. A1.86)
В неособой точке поверхности дискриминант квадрат-
квадратного уравнения A1.86), вообще говоря, положителен.
В этом легко убедиться, введя на поверхности орто-
ортогональную параметрическую сеть, т. е. такую, что в каж-
каждой точке линия и перпендикулярна лшши v. В такой сети,
7 Г. Ф. Лаптев
194 ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
как это видно из A1.57), F = 0. В силу этого уравнение
A1.86) примет вид
—ED'l" + (GD — ED")l + GD' = 0, A1.87)
а его дискриминант равен
(GD - ED"Y 4- 4?GD'2.
Но (см. § 5, п. 1) в неособой точке коэффициенты Е и G
положительны. Поэтому дискриминант неотрицателен.
Нулю же он равен лишь при условии, что GD — ED" =•- 0
и D' = 0. Но при этом условии все коэффициенты урав-
уравнения A1.87) обращаются в нуль, т. е. это уравнение,
а потому и уравнение A1.86), обращается в тождество.
Итак, если уравнение A1.86) не является тождеством,
то в неособой точке поверхности оно имеет два различных
действительных корня 1г и ?2. Определяемые этими кор-
корнями направления на поверхности называются главными
направлениями, а соответствующие им нормальные кри-
кривизны — главными кривизнами поверхности.
Главные кривизны Кх и K.z можно получить, внося
последовательно |х и 12 в A1.83). Далее будет показано,
что они и являются экстремальными значениями нормаль-
нормальной кривизны.
Заметим, что главные кривизны можно получить и
иначе. Разделив обе части A1.85) на El2 + 1F% + G и
приняв во внимание A1.83), будем иметь
Dl + D' -Kn{El + F) = 0. A1.88)
Уравнение A1.86) приводится к виду
(Dt + D') {F\ + G) - (D'l + D") (El + F) = 0.
Внося сюда A1.88) и сокращая результат на El, + F,
получим
D'l + D" — Кп (Fl + G) = 0. A1.89)
Исключая I из уравнений A1.88) и A1.89), придем к квад-
квадратному уравнению
(F2 - EG)Kl + (ED" + GD — 2FD')Kn +
+ (D'2— DD") = 0, A1.90)
корни которого и будут главными кривизнами.
ГЛ. XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ 195
3. Перпендикулярность главных направлений. Отне-
Отнесем поверхность к главным направлениям, т. е. построим
координатную сеть так, чтобы в каждой точке линии и и v
касались главных направлений. Теперь нормальные кри-
кривизны линий и я v будут главными кривизнами. Пусть К2
является нормальной кривизной линии v. Вдоль этой ли-
линии и не меняется, и потому du — О, g = duldv = 0.
Подставив это в A1.88) и A1.89), получим
D' — KJ = 0, D" - КЛ = 0. A1.91)
Если в качестве ? взять по отношение — , а -г-, то анало-
в dv ' du '
гично получатся соотношения
D — КХЕ = 0, D' - KXF = 0. A1.92)
Вычтем второе равенство A1.92) из первого равенства
A1.91):
{Кг - K2)F == 0. A1.93)
Но К2 ф Кг, так как в противном случае из A1.91) и
A1.92) следовала бы пропорциональность
JL — -51 — _5!_
Е ~~ F (Г ¦
в силу которой уравнение A1.86) превратилось бы в тож-
тождество и главные направления не были бы определены.
Поэтому из A1.93) заключаем: F = 0. А так как, по оп-
определению, коэффициент F равен скалярному произведе-
произведению векторов ги и rv, направления которых в нашем
случае совпадают с главными направлениями, то эти век-
векторы, а потому и главные направления, перпендикулярны.
4. Формула Эйлера. Отнесем поверхность к главным
направлениям. Так как эти направления перпендикуляр-
перпендикулярны, то F — 0. Кроме того, из A1.91) и A1.92) получаем
D = КХЕ, D' = 0. D" = Kfi. Внесем это в A1.83):
Пусть ф — угол между направлением, которое определя-
определяется отношением duldv = \, и линией и. Поскольку на-
направление задается отношением дифференциалов, то один
7*
196 ЧАСТЬ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
из этих дифференциалов можно задать произвольно. Для
первого направления положим du = ?, dv = 1. Второе
направление есть направление линии ы, и потому 8v = О,
а 8м можно считать произвольным. Подставив это в A1.65)
и учтя соотношение F = 0, будем иметь
\ V»
Угол между тем же направлением -з— = 5 и линией г;
равен -^- — ф, поскольку линии и и v перпендикулярны.
Для него аналогично найдем
cos
-л ю 1 = sin ф =
С учетом этих равенств A1.94) можио переписать так:
Кп = К1 со52ф+ К2 siii^. A1.95)
Это соотношение между нормальной кривизной данной
линии, главными кривизнами и углом, образуемым этой
линией с главными направлениями, называется формулой
Эйлера.
Из этой формулы следует:
Кп = Кх + (Кч — Кг) 81п«ф,
Кп = Кг + (ЛГ, - Я2) со=2Ф.
Если /iTj ^> К2, то отсюда заключаем: Кг <i Кп <. К\-
Если же К1 < /f2, то /fj <C А'п < ЛГ2. В обоих случаях
нормальная кривизна заключена между главными кривиз-
кривизнами. Этим доказано, что главные кривизны являются
экстремальными значениями нормальной кривизны.
5. Полная и средняя кривизны поверхности. Главные
кривизны являются инвариантами поверхности: в каж-
каждой неособой точке они имеют определенные значения,
не зависящие от того, к какой координатной сети отнесена
поверхность. Поэтому они играют существенную роль
при изучении поверхности. Но эти инварианты неудобны
тем, что они как корни квадратного уравнения A1.90)
иррационально выражаются через коэффициенты квад-
ГЛ. XI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ 197
ратичных форм. Поэтому из них составляют два других
инварианта — их произведение Кх-К„ и их сумму Кг +
-+- Кг. Первый из этих новых инвариантов называют
полной кривизной поверхности, а второй — средней кри-
кривизной поверхности. По свойству корней квадратного
уравнения для них получаются такие формулы:
к —к к DD"-m
ЛПОЛН. = Л1Л2 —
К — V Л- К _
Лсредн. = Al Т" Л2
Q у, 2 »
ED" + GD~ 2FD'
V Л- К
средн. = Al Т" Л2 gQ _ j,2 •
Как видим, они вырагкаются через коэффициенты квад-
квадратичных форм рационально.
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Глава XII
СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
§ 1. Функция поля. Поверхности уровня
1. Скалярное поле. Если в каждой точке некоторой ча-
части пространства определено значение некоторого скаля-
скаляра Ф, то говорят, что в этой части пространства определе-
определено скалярное поле (поле скаляра Ф).
Примерами конкретных скалярных полей могут слу-
служить поле температуры нагретого тела, поле давлений
воздуха в атмосфере, поле плотности вещества в теле и
т. д.
Замечание. Очень часто приходится иметь дело
не с пространственными, а с плоскими полями, когда
каждой точке плоскости приводится в соответствие зна-
значение скаляра. Такие поля рассматриваются, например,
в метеорологии: поле температур в данный момент на
поверхности земли, поле давлений и т. д.
2. Скаляр поля. В каждой точке ноля скаляр по-
л я Ф имеет определенное значение. Следовательно, ска-
скаляр Ф является функцией от радиуса-вектора г текущей
точки поля:
Ф = Ф (г). A2.1)
Мы будем относить поле к прямоугольной системе ко-
координат х, у, z. Тогда текущая точка пространства будет
определяться тройкой текущих прямоугольных коорди-
координат х, у, z и скаляр поля будет функцией от них:
Ф = Ф(*, у, z). A2.2)
Замечание 1. Для обеспечения возможности
прилагать методы дифференциального и интегрального
исчисления в теории поля мы будем ограничиваться рас-
рассмотрением лишь таких скалярных функций поля, кото-
ГЛ. XII. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ 199
рые непрерывны и обладают непрерывными частными про-
производными до необходимого в исследовании порядка.
Замечание 2. Часто приходится рассматривать
переменные поля, когда скаляр поля зависит не только
от координат точки, но и от времени:
Ф = Ф (х, у, z, t).
Мы ограничимся изучением лишь стационарных полей,
не зависящих от времени. Если же поля будут перемен-
переменными, то наша теория будет относиться лишь к каждому
их мгновенному состоянию. Теория стационарного ска-
скалярного поля имеет большое самостоятельное значение.
С другой стороны, она является основой для изучения
переменных полей.
3. Поверхности уровня. Геометрическое место точек
поля, в которых скаляр поля Ф имеет одно и то же значе-
значение, называется поверхностью уровня поля.
Таким образом, уравнение поверхности уровня поля
имеет вид
Ф (х, у, z) = С, A2.3)
где С — произвольная постоянная, которой можно при-
придавать любые значения, заключенные между наимень-
наименьшим и наибольшим значениями скаляра поля.
Через каждую точку поля М (х0, у0, z0) проходит един-
единственная поверхность уровня, определенная уравнением
Ф (х, у, г) = Ф (*„, г/0, г0). A2.4)
Замечание. В случае двумерного поля понятие
поверхности уровня заменяется понятием: линии уровня.
Примерами таких линий могут служить наносимые на
картах изобары (линии равных давлений), изотермы
(линии равных температур) и т. д.
§ 2. Градиент поля
1. Определение градиента. Полный дифференциал
скаляра поля
,л ЭФ , , ЗФ , . ЗФ ,
мы можем представить как скалярное произведение двух
200 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
векторов:
°? ^ + k^).{idx + jdy±kdz). A2.5)
Один множитель является дифференциалом радиуса-
вектора текущей точки:
dr = г dx + j dy + к dz. A2.6)
Другой множитель зависит лишь от координат точки
поля и не зависит от их дифференциалов. Этот множитель
и называется градиентом поля в данной точке:
gradO==*_ + J__ + fc_r. A2.7)
Таким образом,
dO = grad Ф-dr. A2.8)
Определение. Вектор, зависящий только от
координат текущей точки, называется градиентом поля,
grad Ф, если скалярное произведение этого вектора на
дифференциал радиуса-вектора dv текущей точки являет-
является полным дифференциалом скаляра поля;
дф = grad Ф-dr.
Такой вектор выше был найден:
. ЭФ . . дФ , 7 9Ф
г-^ + j — ^k-^.
Однако возникает вопрос о его единственности:
быть может, можно указать другие векторы, обладающие
тем же свойством? Докажем, что это не так. Пусть имеется
два градиента д, и д.,, т. е.
dФ — gi-dr и dФ = дг-dr.
Вычитая из первого равенства второе, мы получим
(9i — gi)-dr^ 0.
Один множитель dr этого равного нулю скалярного про-
произведения является произвольным перемещением теку-
щей точки. Если бы второй множитель д1 — д., не равнялся
нулю, то он был бы (в силу равенства нулю скалярного
произведения) перпендикулярен к произвольному векто-
ГЛ. XII. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
201
ру dr, а этого быть не может. Поэтому gv — дг = 0, т. е.
(fl = 02-
Итак, градиент поля в каждой точке является одно-
однозначно определенным
вектором.
2. Первая теорема о
градиенте. Градиент в
данной точке поля на-
направлен по нормали к по-
поверхности уровня в этой
точке (рис. 132).
Д о к а з а т е л ь -
с т в о. На поверхности
уровня поля
Ф (х, у, z) = С
У
Рис. 132.
мы возьмем какую-ни-
какую-нибудь точку М (х, у, z) и
произвольно проведем
через нее линию L, расположенную па поверхности. Эту
линию отнесем к длине s ее дуги. Координаты текущей
точки линии будут фупкциями от s:
х = х (s), у = у (.<¦), z = z (s).
Так как линия лежит на пашей поверхности уровня,
то координаты текущей точки ее удовлетворяют уравне-
уравнению этой поверхности:
Ф \х (s), у (s), z (s)] = С.
Продифференцировав это тождество по s, мы на основании
правила дифференцирования сложной функции получим
~й7
ИЛИ
где вектор
dr. у дФ dy . дФ
as ' dj ds dz
grad Ф-т = 0,
dx , . du , ,
= г
ds
является ортом касательной к линии L.
202
ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Это соотношение выполняется в любой точке линии L,
но мы его будем рассматривать лишь в выбранной точке М.
Мы видим, следовательно, что в точке М градиент перпен-
перпендикулярен орту касательной т к произвольно проведенной
па поверхности линии L. Таким образом, касательные в
точке М к всевозможным линиям поверхности уровня,
проходящим через эту точку, располагаются в одной пло-
плоскости, перпендикулярной к градиенту.
Плоскость, в которой располагаются касательные в
данной точке М поверхности к всевозможным линиям,
проведенным на поверхности через данную точку М, на-
называется (см. гл. XI, § 3, п. 2) касательной плоскостью
поверхности в точке М. Перпендикуляр к касательной
плоскости называется нормалью поверхности в точке
касания. Следовательно, градиент направлен по нормали
поверхности уровня.
§ 3. Производная по направлению
1. Определение производной по направлению. Выясним
характер изменения скаляра ноля в данном направлении.
Пусть в данной точке М (х, у, z) поля задан направляю-
направляющий единичный вектор 8°.
Через точку М проведем
произвольную линию (Ls),
касающуюся орта s° и от-
отнесенную к длине своей ду-
дуги s (рис. 133):
х = х (s), у = у (s),
z = z (s). A2.9)
Сместимся вдоль линии
(Ls) из данной точки М \x(s),
у (s), z (s)] в соседнюю точку
Mi [x (s + As), у (s + As),
z (s + As)]. При таком сме-
смещении скаляр поля получит приращение
АФ = Ф \х (s + As), у (s + As), z{s + As)] -
- Ф \x (s), у (s), z (s)].
Предел отношения этого приращения к приращению дли-
длины дуги As линии (Ls) и называется производной
Рис. 133.
ГЛ. ХП. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ 203
понаыравлению!
дФ ,. АФ
-5— ¦= lim —т— —
_lim Ф [ж (s + As), у (s + As), z (s + As)I- Ф [x (s), y(s),z (s)]
A2.10)
Итак, производной скаляра поля в данной точке по
данному направлению называется предел отношения при-
приращения скаляра при бесконечно малом смещении вдоль
произвольно взятой линии, касающейся данного направ-
направления в данной точке, к приращению длины дуги линии
при этом смещении.
Из определения вытекают два важных факта.
а) Непосредственно ясно, что выражающий производ-
производную по направлению предел A2.10) является полной про-
производной скаляра поля по длине дуги s, когда аргументы
х, у, z рассматриваются как функции от s, определенные
линией (Ls):
дФ __ dO\x(s),y{s),z(s)\
ds ds
A2.11)
Ниже будет показано, что эта производная не зависит от
линии (Ls), а зависит лишь от точки и направления.
б) Для физического истолкования производной по
направлению существенно, что по определению она дает
в данной точке приращение скаляра в данном направлении,
отнесенное к единице перемещения. Это значит, что при
малом перемещении производная мало отличается от
отношения приращения функции к величине перемещения.
2. Выражение производной по направлению через гра-
градиент. По правилу дифференцирования сложной функ-
функции
ЭФ _ дФ dx ЭФ dy дФ dz
ds ~ дх ~dT ' ду ~ds ~> dz ds *
ИЛИ
^ . A2.12)
Приняв во внимание, что т = s°, мы получим формулу
для вычисления производной по направлению 8°:
204
ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
ИЛИ
~дГ
= Прво grad Ф.
A2.13)
Итак, производная по направлению равна проекции
градиента па это направление. Отсюда следует, что
производная по направлению но зависит от выбора линии
(Ls), которая проводится в данном направлении.
Замечание. Можно дать простой способ геомет-
геометрического построения производной по направлению в
данной точке М.
На градиенте как на диаметре строим сферу, проходя-
проходящую через данную точку М (рис. 134). Через точку М
проводим луч в заданном нап-
направлении до пересечения со
сферой в точке Р. Длина отрез-
отрезка МР и даст величину произ-
производной.
Если сферу пересечет не
луч, а его продолжение, то
производная по данному на-
направлению будет отрицательной
и будет отличаться от длины от-
отрезка МР только знаком.
3. Вторая теорема о гради-
градиенте. Производная скаляра поля
в данной точке по направлению градиента имеет наиболь-
наибольшее значение и равна модулю градиента.
Доказательство. Градиент поля направлен
по нормали поверхности уровпя; его орт мы будем обо-
обозначать и.0. Тогда по формуле A2.12) мы получим
м
Рис. 134.
ЭФ
дп
== grad Ф • п° = | grad Ф | • 1 • cos 0!1,
т. е.
A2. И)
По всякому другому направлению s° производная будет
меньше модуля градиента (как его проекция):
дФ
ds
_
дп
A2.15)
ГЛ. ХИ. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
205
4. Примеры. II р и м е р А. Рассмотрим поле скаляра
Ф = arctg -^- .
X
а) Поверхности уровня определяются уравнением
Ф = const или у/х = С,
т. е. поверхности являются плоскостями, проходящими
через ось Oz (рис. 135).
х
grad Ф
Рис. 135.
б) Находим градиент:
. дФ ,
. дФ
г~дх~
дФ
1'lIC.
L, —^-
1УС5.
1
X
в) Найдем производг1ую по направлению s = г
в точке М A, 1, 1):
дФ
—
+ к
v=i
-*+J
2
208 ЧАСТЬ 3, ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Пример В. Рассмотрим скалярное поле Ф = — ,
где г есть модуль радиуса-вектора г точки поля, т. е.
а) Поверхности уровня определяются уравнением
Ф = const или г = С
и являются сферами с центром в начале коордияат
(рис. 136).
б) Для определения градиента мы выразим скаляр поля
через радиус-вектор:
Ф= '
Найдем полный дифференциал этой функции!
л I „
йф = — _±- (г2) ^2r-dr = —-—-dr.
Но, с другой стороны,
д,Ф = grad Ф-dr.
Отсюда получаем
grad Ф = — -^ .
в) Производная по направлению s = */ + jm + Jen в
произвольной точке М (х, у, z) поля имеет вид
дФ _ grad Ф зп=- ix + j!l + kz il + Jm + kn
9s ё Y(x" + j/2 + z2K ' УР + m? + и2
xl + ym -f- zn
V ix'1 + Уг + z2K [p + m! + «2)
§ 4. Направляющие косинусы нормали поверхности
i. Поверхность, определенную уравнением
Ф (х, у, z) = 0,
можно рассматривать как поверхность уровпя поля
Ф = Ф (х, у, z).
Градиент этого поля
8г.<1Фв<*2- + ^ + *-?-п A2.16)
в любой точке М (х, у, z) нашей поверхности (§ 2 настоя-
ГЛ. XII, СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
207
s о ЭФ ЭФ
щей главы) направлен по нормали. «Здесь -*— , ——
ох су
дФ
dz
значения частных производных левой части уравнения
поверхности в рассматриваемой точке М (х, у, z).
Следовательно, направляющие косинусы нормали по-
поверхности имеют вид
дФ
дх
cos а = -
cos р —
cosy =
эф
-l f [ дФ \2 , / ЭФ \2 / дФ
ЭФ
dz
дх
A2.17)
2. Замечание. Направляющие косинусы нормали по-
поверхности
Ф (х, у, z) = 0
будут определены лишь в тех точках поверхности, в ко-
которых функция Ф (х, у, z) дифференцируема и не все част-
частные производные
дФ дФ дФ
Эх ' ду ' dz
равны нулю. Если все три частные производные равны
нулю, т. е.
ЭФ
дх
— дФ — дФ _ г.
~ ду ~ dz ~ '
то направляющие косинусы нормали, а следовательно,
и сама нормаль не определяются.
Точки поверхности, в которых не выполняются ука-
указанные условия, называются особыми. Примером такой
особой точки люжет служить вершина конической поверх-
поверхности.
3. Случай, когда уравнение поверхности разрешено
относительно третьей координаты &, Пусть это уравнение
имеет вид
* = /(*, У). A2.18)
208 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Перенеся все члены в левую часть, мы получим
z - / (х, у) = 0.
Сопоставив это уравнение с рассмотренным выше уравне-
уравнением поверхности
Ф (х, у, z) = 0,
мы можем считать, что в данном случае
Ф (х, у, z) = z — f {х, у).
Поэтому
ЭФ __ _ Э/ (ж, у) ЭФ df (х, у) дФ _ .
дх ~~ дх ' ду ~~ ~ ду ' dz *
Обычно пользуются такими обозначениями:
dz = дЦх,у) = dz_ = df (x;y) = ,12 19)
дх дх * ду ду
В этих обозначениях
п = grad Ф = —pi — qj 4- fc. A2.20)
Следовательно, для направляющих косинусов нормали
поверхности мы получим формулы
— п ~ — п
cosT= , ,,-4===^. A2.21)
Глава XIII
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Криволинейный интеграл как определенный
интеграл от сложной функции
1. Простейший криволинейный интеграл. Нам придет-
придется иметь дело с определенными интегралами от сложных
функций. Б простейшем случае такой интеграл имеет вид
ь
\F{x,y,z)dx,
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ 209
где подынтегральная функция зависит не только непосред-
непосредственно от аргумента интеграции х, но и от промежуточных
аргументов у, г, которые сами являются функциями аргу-
аргумента х. Для Еычисления такого интеграла необходимо,
кроме подынтегральной функции F (х, у, z) и пределов
интеграции а, Ь, задать еще промежуточные аргументы
у, z как функции от х:
y=fx (x), « = /,(*) (a < х < 6). AЛ.1)
Это равносильно заданию направленного отрезка линии
(L) (рис. 137) в прямоугольной системе координат Oxyz,
Рис. 137.
что дает повод называть нага интеграл криволиней-
н ы м и употреблять для него особое обозначение, отра-
отражающее необходимость задания линии (L):
5 F(x,y,z)dx.
Итак, в простейшем случае криволинейным интегралом
называется определенный интеграл от сложной функции
J F (х, y,z)dx=\F [x; /, (*); /2 (*)] dx. A3.2)
(L)
Мы обобщим это определение.
2. Криволинейный интеграл от линейной формы по
произвольной кривой. Пусть в пространстве, отнесен-
отнесенном к прямоугольной системе координат Oxyz, дан на-
направленный отрезок (L) некоторой линии (рис. 138),
210 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
определенной системой параметрических уравнений
х = Ф (t), у = Ъ (*), г = х @, A3.3)
причем параметр t монотонно меняется между своими зна-
значениями tx и L в начале и в конце данного отрезка.
Пусть, кроме того, задана линейная дифференциаль-
дифференциальная форма с тремя аргументами х, у, г, т. е. выражение
вида
со = X (х, у, z)dx + Y (х, у, z)dy + Z (х, у, z)dz, A3.4)
где коэффициенты X (х, у, г), Y (х, у, z), Z (х, у, z) явля-
являются произвольно заданными функциями от аргументов
х, у, z.
Определение. Криволинейным интегралом \ со
щ
от линейной дифференциальной формы со = X (х, у, z) dx -\-
+ Y (х, у, z) dy -j- Z {ос, у, z) dz вдоль линии (L) назы-
называется определенный интеграл, у которого:
1) подынтегральным выражением является форма со
при условии, что в ней аргументы х, у, z заменены функ-
функциями одного параметра t, определенными параметриче-
параметрическими уравнениями линии (L), а дифференциалы аргумен-
аргументов dx, dy, dz заменены дифференциалами этих функций;
2) нижним и верхним пределами интеграции являются
значения параметра t соответственно в начальной и конеч-
конечной точках рассматриваемого отрезка линии (L).
Итак
(I) (I)
h
- \ [X (<р, i\ t) <р' + Y (Ф, Ч>, х) Ч>' + Z (Ф, г|>, х) X'] dt. A3.5)
г,
Замечание. Если за параметр, к которому отне-
отнесена линия интеграции (L) криволинейного интеграла от
одночленной формы / (х, у, z) dx, примем аргумент ин-
интеграции х, то получим
Хг
§ / (х, y,z)dx=\f [х, у (х), ъ (х)\ dx. A3.6)
(X.) «1
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ 211
Таким образом, мы вновь пришли к формуле A3.2),
определяющей криволинейный интеграл как определен-
определенный интеграл от сложной функции, в которую, кроме ар-
гумепта интеграции, входит еще два аргумента, являю-
являющиеся функциями аргумента интеграции.
3. Основные свойства криволинейного интеграла. Из
свойств определенного интеграла вытекают следующие
основные свойства криволинейного интеграла.
Свойство 1. Если изменить направление пути ин-
интеграции, то криволинейный интеграл изменит только
свой знак:
= - J со. A3.7)
(-L)
Действительно, при изменении направления
пути интеграции меняются лишь местами пределы ин-
интеграции в определенном интеграле, которому равен кри-
криволинейный интеграл, а от этого меняется только знак.
Свойство 2. Если путь интеграции (L) разбить
на несколько участков, то криволинейный интеграл по
всему пути (L) будет равен сумме интегралов по всем ча-
частичным участкам:
$ § A3.8)
(L2) n
Это свойство непосредственно вытекает из теоремы о
разбиении для определенного интеграла.
Свойство 3. Криволинейный интеграл не зависит
от выбора параметра, к которому относится линия ин-
интеграции.
Действительно, пусть произведено преобра-
преобразование параметра
t = / (Я). A3.9)
Тогда система параметрических уравнений липии (L)
х = Ф (*), У = Ч> @, г = х @ (*i < t < h) A3.10)
превратится в новую систему уравнений той же линии
х = <Pi (s), У =$i (s), z = xi (*) («l < s < S2)-
A3.11)
В соответствии с этими двумя способами параметризации
212 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
линии (L) мы можем написать два различных выражения
для криволинейного интеграла, который будем для про-
простоты считать одночленным:
(ДО) U
со = \ X [ф1 (s), Ч?1 (*), Xi («)] ti (s) &• A3.13)
) s,
Выполнив в первом интеграле замену t = / (.¦?), мы по-
полу чкм
Sj
\ со = 5 Z [ф1 (s), ifx (s), x, (s)J Ф' [/ (s)J /' (s) &.
(L(O) s,
IIo <p' [/ (.9)] /' (s) = cpj (s), поэтому
со = 5 X [фх (s), г|зх (s), Xi (s)] ф! (s) ds,
co= ^ со, A3.14)
т. е., действительно, два выражения для криволинейного
интеграла, соответствующие различным способам пара-
параметризации, оказываются равными между собой.
4. Обобщенный криволинейный интеграл. В общем
случае под знак криволинейного интеграла могут входить
не только координаты х, у, z текущей точки линии инте-
интеграции, но и другие величины, определенные в этой точке.
Такими могут быть: а) производные одной текущей коор-
динаты по другой например, -~, -г^- ; б) различные диф-
\ ClX CtX I
ференциалыю-геометрические величины кривой (кривиз-
(кривизна, кручение, направляющие косинусы касательной и
т. д.); в) производные от различных определенных на
кривой величин по длине дуги кривой и т. д.
Вычисление такого рода обобщенных криволинейных
интегралов не представляет никаких принципиальных
затруднений и совершается по обычной схеме.
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ 213
Пусть дан, например, криволинейный интеграл
\
распространенный ио линии (L), заданной своими пара-
параметрическими уравнениями
х = Ф @, y=q(t), г=х@, A3.15)
причем параметр / меняется монотонно от значения ti в
начальной точке до значения t2 в конечной точке (tx < t2).
Тогда, обозначая точками производные по параметру t,
мы найдем
dv_ __ _Ф_ dz_ _ Jc_ d2z _ ФХ — Хф
dx ~~ ф ' йж ~ ф ' dx* ~ фз '
cos
В силу этого наш криволинейный интеграл превращается
в следующий определенный интеграл:
X
3 а м е ч а н и е. Для обобщенного криволинейного
интеграла не обязательно соблюдение правила изменения
знака при изменении направления пути интеграции.
5. Примеры. При м е р А. Вычислим криволинейный
интеграл Q = \ 2>ху dx -\- (hz + ay) dy — zx dz, где (L)— ду-
га винтовой линии х = a cos<, у = a sin t, z = lit с нача-
началом в точке t —- 0 и концом в точке < — л/2 (рис. 139).
Найдем dx, dy, dz:
dx — —a sin t dt, dy = a cos ? dt, dz = /г d/.
Подставив выражения для х, у, г, dx, dy, dz а криволи-
214
ЧАСТЬ 3, ТЕОРИЯ ПОЛЯ
пейный интеграл, мы получим
Q = \ Зху dx ~\- (hz -f- ay)dy — xzdz
(L)
— ^ — 3a3 sin21 cos t dt + § ahH cos t dt -f \ cfizosts'mtdt—
0
— \ ahH cos tdt — a3 \ (sin t — 3 sin21) cos tdt-=
о о
2 '
Пример Б. Вычислим криволинейный интеграл
Q = \ х2у dx — z dy + x dz, где (L) — дуга кривой у =
= х2, z — у2 с пачалом в точке О @, 0, 0) и концом в точ-
точке Р A, 1, 1) (рис. 140).
Рис. 139.
Рис. 140.
За параметр примем аргумент х и выразим через него
все аргументы:
х = х, у = х2, z — х*.
Отсюда найдем
dx = dx, dy — 2х dx, dz = 4x3dx.
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ 215
Подставив в подынтегральное выражение и заметив, что
х изменяется от 0 до 1, получим
1 1 1
Q = ^ х2у dx — zdy + xdz = \ x%dx — ^ 2x'°dx-\- ^ Ax*dx —
(L) 0 0 0
1
*"" \ 1иЛ ¦ '" ijJU j Q/JC -¦—¦ I tt- ' ,, jU I I — ,j •
о
Пример В. Вычислим криволинейный иптеграл
J L ' r \ rfi2 / ' J dx J
вдоль дуги линии у — x2, z = у2 с началом в точке
О @, 0, 0) и концом в точке Р A, 1, 1) (рис 140).
Из уравнений линии (L) находим у — х2, z = ас4,
rfi/ „ d2'/ n dz / ч тт
-1— = Ix, -pi = -i, -^т" = чхл. иодставив все эти выраже-
выражения в подынтегральную функцию и заметив, что 0 <^?<^ 1,
ми получим
\ W + У
__
3 *
§ 2. Криволинейный интеграл как предел
криволинейной интегральной суммы
\. Криволинейная интегральная сумма. Пусть задан
отрезок линии (/) и функция Ф (х, у, z), непрерывная вдоль
него. Разобьем отрезок (/) произвольным способом на п
частичных отрезков (/,), (/2), .. ., (/„) и в каждом частич-
частичном отрезке Aк) выберем какую-нибудь точку (?fc, %, tk),
которую назовем опорной точкой (рис. 141).
Сумма произведений длины /к каждого частичного
отрезка (/к) на значение данпой^ функции Ф (х, у, z)
210
ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
в опорной точке (Ек, щ, ?ft), т. е. сумма
называется криволинейной интегральной суммой, со-
составленной для функ-
Ции Ф (ж, г/, г) и рас-
пространенной по ли-
линии (/).
2. Основная теорема.
Предел криволинейной
интегральной суммы
при неограниченном уве-
увеличении числа делений
Рис. 141. и неограниченном умень-
уменьшении длины наиболгг
шего частичного отрезка кривой не аависит ни от способа
такого дробления, ни от выбора опорных точек и равен
привалинейпому интегралу:
и
lim 2 ф (Б*. Л*, Ck) h =
, ?/, z) &. A3.16)
Доказательство. Отнесем линию (L) к дуге s:
Пусть на тюнцах частичных участков дуга s имеет зна-
значения Sa = A'oi *1> • ¦ •> A"n-l> 5n = sBt a B ОПОРНЫХ
точках — значения Iv ?а, .. ., "§„-!, "§„ (рис. 141). Тогда
мы получим
п
lim 2 Ф(?ь T!ft-?u)/fc =
п
= 1 i m. 2 Ф [ф C^fc)> 'Ф (^&)> Z(^fc)l (•'» — R/r-i)-
Но последний предел представляет собой определен-
определенный интеграл вида
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ 217
т. е. криволинейный интеграл по линии (L)i
\ Ф (х, у, z) ds.
(L)
Теорема доказана.
Замечание. При доказательстве основной теоре-
теоремы мы ограничились простейшим случаем, когда подын-
подынтегральная функция Ф зависит только от координат те-
текущей точки х, у, г. Однако, теорема сохранится, если в
подынтегральную функцию войдут и другие аргументы,
принимающие определенные значения в каждой точке
произвольно заданной линии. Такими дополнительными
аргументами могут, например, быть dyldx, d2z/ds2 и т. д.
§ 3. Поверхностный интеграл как двойпой интеграл
от сложной функции
1. Двусторонние поверхности. К понятию поверхност-
поверхностного интеграла мы приходим, рассматривая двойной ин-
интеграл от сложной функции, т. е. интеграл
5
F (х, у, z) dx dy,
IS)
где подынтегральная функция зависит не только от аргу-
аргументов интеграции х, у, но и от промежуточного аргумента
z, который сам зависит от них. Необходимая для вычисле-
вычисления интеграла зависимость
* = /(*, У) A3.17)
изображается в декартовых координатах некоторой по-
поверхностью (о), вследствие чего двойной интеграл от слож-
сложной функции называется поверхностным интегралом и
обозначается y^F(x,y, z)dxdy. Для уточнения этого оп-
<°)
ределения нам придется начать с понятия двусторон-
двусторонней поверхности.
В дальнейшем мы будем рассматривать только так
называемые двусторонние поверхности.
Двустороннюю поверхность можно представлять себе
в виде непрозрачной ткани, которая имеет окрашенные
218
ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Рис. 142.
в различные цвета лицевую сторону и изнанку, причем
границами этих цветов являются только края ткани.
Заметим, что не все поверхности, как ото может пока-
показаться на первый взгляд, являются двусторонними. Про-
„ л стейшая модель односто-
ронной поверхности полу-
получится, если вырезать из
JJ д бумаги прямоугольную
ленту ABCD (рис. 142),
свернуть ее в кольцо и
склеить короткие стороны
А В и CD так, чтобы точка А совпала с точкой С, а
точка В — с точкой D. Если полученную кольцеобраз-
кольцеобразную поверхность начать окрашивать с одной стороны, то,
постепенно расширяя окраску, мы, не переходя через
края, окрасим ее всю так,
что неокрашенного места не
останется и в каждой точке
поверхность окажется окра-
окрашенной одним цветом (рис.
143) *).
Всякая замкнутая поверх-
поверхность, ограничивающая не-
некоторое геометрическое тело,
обязательно будет двусто-
двусторонней: одна ее сторона будет внутренней, другая — на-
наружной.
Каждой стороне двусторонней поверхности можно со-
сопоставить и определенное направление нормали к поверх-
поверхности в любой ее точке. Именно, соответствующую дан-
данной стороне поверхности нормаль мы будем считать на-
направленной туда, откуда видна данная сторона поверхно-
поверхности (если ее рассматривать вблизи основания нормали).
2. Определение простейшего поверхностного интеграла.
Перейдем теперь к определению поверхностного интегра-
интеграла, причем сформулируем это определение сначала для
простейшего случая.
Пусть в пространстве, отнесенном к декартовой системе
координат Oxyz, задана конечная область (а) двусторон-
Рис. 143.
*) Эта поверхность носит название лист Мёбиуса.
(Прим. ред.)
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ 219
ней поверхности (рис. 144), которая определена своим
уравнением, однозначно разрешенным для данного участ-
участка (а) относительно z:
z = z{x, у).
Пусть, кроме того, зада-
задана непрерывная на (о)
функция / (х, у, z) трех
аргументов.
Определение. По-
Поверхностным интегралом
\lf(x,y,z)dxdy
от формы I (х, у, z)dx dy,
распространенным по опре-
определенной стороне поверхности (а), называется взятый с опре-
определенным знаком двойной интеграл
(±) \ / [х, у, z (x, y)\dx dy,
у которого
1) подынтегральным выражением является форма
/ (х, у, z)dx dy при условии, что третий аргумент z заменен
его выражением через аргументы интеграции х, у, опре-
определенным из уравнения поверхности (о);
2) областью интеграции (аХ!/) является проекция рас-
рассматриваемого участка поверхности (о) па плоскость Оху;
3) берется знак плюс, если выбранная нормаль обра-
образует острый угол с осью Oz, и знак минус в противополож-
противоположном случае.
Итак,
= (±) 5 f\x,y,z(x,y)]dxdy. A3.18)
Таким образом, в простейшем случае поверхностный
интеграл является обыкновенным двойным интегралом от
сложной функции, в которую помимо аргументов интегра-
интеграции входит третий аргумент, являющийся их функцией.
3. Поверхностный интеграл от билинейной формы по
произвольной поверхности. В сформулированном опре-
определении требуются однозначность решения уравнения
220
ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
поверхности (а) относительно z и одпочлепность подынте-
грального выражения. Устраним эти ограничения.
а) Если для точек поверхности (а) третья координата
z не является однозначной функцией от аргументов инте-
интеграции х, у, но при этом
поверхность (а) разби-
разбивается на конечное чис-
число частей (о^), (а2), . . .
..., (а„)> для каждой
из которых эта од-
однозначность соблюдает-
соблюдается (рис. 145), то за по-
поверхностный интеграл
^ } (х, у, z) dx dy, pac-
Рис. 145. (о)
пространенный по всей
поверхпости (а), принимается сумма поверхностных ин-
интегралов от той же подынтегральной формы, распростра-
распространенных по отдельным частям, т. е.
(х, у, z
f (х, у, z) dx dy. A3.19)
б) Поверхностный интеграл \\ / (х, у, z) dx dy считает-
считается
ся равным нулю, если он распространен по цилиндриче-
цилиндрической поверхности (а) с обра-
образующими, параллельными Oz,
и если при этом подынтег-
подынтегральная функция / (х, у, z)
определена и ограничена на
(а) (рис. 146).
По этой причине из
поверхности (а), по кото-
которой распространен интеграл
\\ / (х, у, z)dx dy, могут выб-
Рис. 140. (я)
расываться те ее части, ко-
которые являются цилиндрами, параллельными оси Oz.
в) За поверхностный интеграл от произвольной би-
билинейной дифференциальной формы, т. е. выражения
ГЛ. ХИТ. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ 221
вида
со = X (х, у, z)dy dz + Y (х, у, z)dz dx + Z (x, у, z)dx dy,
A3.20)
принимается сумма поверхностных интегралов от отдель-
отдельных членов этой формы, т. е.
со = § {X dy dz + Y dz dx + Z dx dy} =
(a) (a)
^[^Xdydz +§Ydzdx + §Zdxdy. A3.21)
(a) (a) (a)
Замечание 2. Поверхностные интегралы с эле-
элементами интеграции dy dz и dz dx определяются анало-
аналогично разобранному выше поверхностному интегралу
с элементом интеграции dx dy.
Таким образом, в общем случае поверхностный интеграл
является алгебраической суммой двойных интегралов от
сложных функций.
4. Основные свойства поверхностного интеграла вы-
вытекают из правила выбора знака перед двойным интегра-
интегралом и из теоремы о разбиении для двойного интеграла.
Свойство 1. Два поверхностных интеграла от од-
одной и той же формы со, распространенные по двум про-
противоположным сторонам (+of) и (—о) одной и той
же поверхности, отличаются только знаком: \\ со =
--S
--
Свойство 2. Если поверхность (а), по которой
распространен поверхностный интеграл, разбить на не-
несколько частей (aj), (о2), . . ., (ап), то поверхностный
интеграл по всей поверхности будет равен сумме поверх-
поверхностных интегралов по отдельным частям:
(о) Ы—Цан)
Замечание. Кроме текущих координат х, у, z
под знак поверхностного интеграла могут входить и дру-
другие аргументы, если только в каждой точке произвольно
взятой поверхности они имеют определенные значения.
222 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Например, под знак интеграла могут входить частные про-
dz dz дЧ
взводные "я~ > "лГ ' ИГ" ' • • •» направляющие косину-
косинусы нормали к поверхности и т. j\.
Надо иметь в виду, что при наличии дополнительных
аргументов может отпасть свойство изменения знака ин-
интеграла при изменении стороны поверхности (а).
§ 4. Поверхностный интеграл как предел
поверхностной интегральной суммы
1. Поверхностная интегральная сумма. Пусть в про-
пространстве, отнесенном к прямоугольной системе координат
Oxyz, задана конечная область поверхности (а) (рис. 147),
Рис. 147.
и пусть задана функция / (х, у, z) от трех аргументов,
определенная и непрерывная на области (о). Разобьем
область (а) произвольным способом на п частичных обла-
областей (ffj), (or2), . . ., (о"п) и выберем произвольно в каждой
частичной области точку (Ък, %., t,lc), которую назовем опор-
опорной точкой для этой области. Сумма произведений площа-
площади ак каждой частичной области @/,-) на значение данной
функции / (х, у, z) в опорной точке Aк, щ, ?к) этой области,
т. е. сумма
п
S /Es, ЧиЛк)°к,
называется поверхностной интегральной суммой, состав-
составленной для данной функции / (х, у, z) и распространенной
по данной области поверхности (а).
ГЛ. ХШ. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ 223
Будем теперь безгранично правильно дробить область
на частичные области, т. е. дробить так, чтобы число п
частичных областей (о"х), . . ., (оа) неограниченно росло,
а длина наибольшего из контуров частичных областей
стремилась к нулю. При таком дроблении справедлива
следующая теорема.
2. Основная теорема. Предел поверхностной интеграль-
интегральной суммы при неограниченном увеличении числа частичных
областей не зависит ни от способа дробления области,
ни от выбора опорных точек внутри частичных областей
и равен поверхностному интегралу:
Й^ A3-23)
где у — угол нормали к поверхности с осью Oz, если толь-
только функция Ф (х, у, z) непрерывна на (а), а способ дробле-
дробления области (о") правильный.
Доказательство, а) Предположим, что для
рассматриваемой области (сг) уравнение поверхности од-
однозначно разрешимо относительно z:
* = /(*, у). A3.24)
В силу этого
tk = / (h, Л*)-
б) По формуле компланации (см. A1.47)) площадь
частичной области (ак) равна
§?& <13-25>
<V
где (sii) — проекция (aft) па Оху; у — угол нормали к
(о^) в текущей точке. Этот угол является функцией от не-
независимых координат х, у текущей точки:
V = 7 (х, у).
Применив к двойному интегралу теорему о среднем
значении, мы получим
° ^ <1326)
224
ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ НОЛЯ
где Aк, г)к) — некоторая точка на (Sk), отличающаяся,
вообще говоря, от проекции опорной точки (hk, %., t,H)
(рис. 148).
в) Подставив найденные выражения для tk и ак в по-
поверхностную интегральную сумму, мы приведем ее пре-
предел к такому виду:
lim 2
= lim 2
. VI
Последний предел представляет собой двойной интеграл,
распространенный по проекции (S) области (а) па Оху:
5
US)
1
| cos т (х, у) |
¦ dx dy.
При этом приходится иметь в виду, что утверждение о
равенстве предела двумерной интегральной суммы двой-
двойному интегралу сохраняется,
когда в интегральной сумме
участвуют не одна, а две си-
системы опорных точек (?fc, цк)
и (С/;. Щ)- Строгое доказа-
доказательство такого обобщения-
проведено в следующем па-
параграфе.
г) Удалим в подынтег-
подынтегральном выражении знак аб-
абсолютной величины у коси-
косинуса и поставим в качестве
Рис. 148. компенсации перед интегра-
интегралом соответствующий знак
плюс или минус. Тогда получим
I i m 2 Ф (it. %. С*) °к = (±) S Ф [х, V, / (х, у)} -
dx d>/
Но полученный двойной интеграл, согласно определению,
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ 225
является поверхностным интегралом по области (а), т. е.
lira 2] Ф (Бк, %•> Ik) б* - \\ Ф (*, У, z) ^. A3.27)
Теорема доказана.
3. Правило преобразования поверхностного интеграла.
Введем для предела поверхностной интегральной суммы
особое обозначение:
п
I'm 2 Ф(Б*, T]ft,?ft)ak =^0C:, у, z)da A3.28)
и будем этот предел называть поверхностным интегралом с
поверхностным элементом интеграции da.
Доказанную выше основную теорему мы можем теперь
представить формулой
Ф{х, у, z)da = \\Ф(х-, y,z)^. A3.29)
(V) Га')
При доказательстве основной теоремы мы проектиро-
проектировали нашу область (о) на Оху. Ничего не изменится в до-
доказательстве, если за основную координатную плоскость
принять Oyz или Ozx. В соответствии с этим мы получим
еще две формулы:
(а)
(а) (а)
Все эти формулы можно заменить удобным правилом.
II р а в и л о. Под знаком поверхностного интеграла
можно пользоваться следующими условными формулами:
cos a cos 3 соз т
При этом звездочка над знаком равенства напоминает
о том, что указанные формулы применимы только под
знаком поверхностного интеграла. Здесь дело обстоит так
же, как с заменой dx dy па | /1 du dv при преобразовании
двойного интеграла к новым переменным.
8 Г, Ф. Лаптев
226 ЧАСТЬ 3, ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Замечание 1. Площадь области поверхности (а)
выражается интегралом
o = §da. A3.31)
(о)
Замепив da — dx dy/cos у, мы получим обычную формулу
компланации
dxdy ,,,,?>
(a) (S) (S)
Замечание 2. При доказательстве основной тео-
теоремы мы предполагали, что подынтегральная функция
Ф (х, у, z) зависит только от координат текущей точки
поверхности. Ничего не измелится, если туда войдут ка-
какие-либо другие аргументы, принимающие в каждой точке
произвольно заданной поверхности (а) определенные зна-
значения. Например, можно писать
Г Г ,_, / dz d*z\, f С rh /
\\ Ф (x, y, z, -j- , -t-s- }da — \\ Ф [x, y
,\,1 \ ' dx ' off/2 / JJ \ ' у
(") (a)
dz d*z\ dx d>/
, z, -т~ , -r-r
' ' dx ' diy2 / cos 7
4. Примеры на вычисление поверхностных интегралов.
а) Вычислим
z dx d)/
1_ж2_г/2 '
и'
где (а) — паружная сторона сферы х2 4- У2 4- г2 = 1
(рис. 149).
Вычисляем интеграл по верхней полусфере (cj:
— у^ dxdy = S = я.
(S)
Вычисляем иптеграл по нижней полусфере (о2):
(О2) ' №
се
= \\ dx dy = S = я.
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ 227
Складываем полученные результаты:
z dx dy
= 2л.
б) Вычислим поверхностный интеграл
где (сг) — треугольная площадка с вершинами A, 0, 0),
цо.О)
х ' '
Рис. 149.
Рис. 150.
@, 1, 0), @, 0, 1), причем направление нормали взято то4
которое образует острый угол с осью Oz (рис. 150).
Имеем
(а)
Уравнение плоскости (а) имеет вид х -\- у -\- z = \. Из
него находим
, dz , dz^ м rf2z _ q
d % ' d и ' dic^
Подставив эти выражения в наш интеграл, получим
1 1—ж
F) 0 О
228 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
§ 5. Поверхностный интеграл
в параметрической форме
Мы обобщим теперь понятие поверхностного интеграла
на случай, когда поверхность, по которой распространен
интеграл, определена параметрическим уравнением (см.
A1.20))
г = r(u,v).
При этом мы спова рассмотрим два типа поверхностных
интегралов: интеграл \\/ (х, у, z)dx dy с элементом ин-
теграции dx dy, который определяется как интеграл от
сложной функции, и интеграл \\ F (х, у, z)do с элементом
интеграции da, который определяется как предел интег-
интегральной суммы. Далее мы покажем, что оба эти интеграла
сводятся к параметрическому поверхностному интегралу.
1. Координатный поверхностный интеграл как интег-
интеграл от сложной функции. Мы будем рассматривать пра-
правильно параметризованную ориентированную поверхность
r = r{u,v). A3.33)
На этой поверхности мы выберем определенную сторону,
которую определим при помощи нормального вектора п,
исходящего из текущей точки поверхности.
Определение. Координатным поверхностным
интегралом \^ / (х, у, z) dx dy от функции / (х, у, z)
с элементом интеграции dx dy, распространенным по
области (а) правильно параметризованной ориентирован-
ориентированной поверхности (см. 11.21))
х¦ = х (и, v), у — у (и, v), z = z (и, v), A3.34)
называется двойной интеграл
±\\/{х {и, и), у {и, v), z(u, v)] |^ du dv, A3.35)
(о*) '
в котором:
1) областью интеграции является область (а*) измене-
изменения параметров (и, v) при перемещении текущей точки
М (и, v) в рассматриваемой области (а);
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ 229
2) подынтет ралыюе выражение получается подстанов-
подстановкой в подынтегральную функцию выражений аргументов
х, у, z через параметры и, v из уравнения поверхности и
заменой элемента интеграции dx dy преобразованным эле-
элементом интеграции /
' . dudu, A3.3b)
д (и, v) ^ >
где т' Д — якобиан (см. A1.32));
3) перед интегралом выбирается знак плюс, если на-
направление нормали п, определяющей выбранную сторону
поверхности, совпадает с направлением векторного про-
произведения (см. A1.30))
ги X г„ A3.37)
и знак минус в противном случае.
Замечание!. Таким образом, алемент интеграции
dx dy под знаком поверхностного интеграла выражается
так:
dx dy = i (*' v\ du dv. A3.38)
д (и, v) v '
Мы видим, что если изменить порядок следования па-
параметров и, v, то элемент интеграции изменит свой знак.
Однако при этом изменяется на противоположное направ-
направление векторного произведения ги X rv, вследствие чего
при переходе к двойному интегралу будет браться про-
противоположный знак. Следовательно, поверхностный ин-
интеграл не измелится.
Замечание 2. Нетрудно проверить, что поверх-
постный интеграл инвариантен относительно преобразо-
преобразований параметров и, v и, следовательно, не зависит от
параметризации поверхности.
Замечание 3. Ранее мы определили поверхност-
поверхностный интеграл как двойной интеграл с элементом интегра-
интеграции dx dy. В этом частном случае
д (х,у) __ ,
д (х, >,) ~~ '
а вектор vxxvv направлен вверх, и поэтому знак плюс
соответствует верхней стороне поверхности, а знак ми-
минус — нижней. Следовательно, новое определение согла-
согласовано со старым.
230 ЧАСТЬ 3, ТЕОРИЯ ПОЛЯ
2. Параметрический поверхностный интеграл. Опре-
Определенный выше координатный поверхностный интеграл
\\ 1 (я> У. z)dx dy можно записать в иной форме, внеся
в него заранее преобразованный элемент интеграции:
A3.39)
' с)
Такая форма записи поверхностного интеграла дает
основание обобщить его определение следующим образом.
Определение. Параметрическим поверхностным
интегралом \\ / (х, у, z)du dv, который имеет параметри-
(о)
ческий элемент интеграции du dv, вычисляется от функции
/ (х, у, z), зависящей от аргументов х, у, г, распространен
по определенной стороне области (а) ориентированной
правильно параметризованной поверхности
х = х (и, v), у = у {и, v), 2 = z (u, v), A3.40)
называется двойной интеграл
(х> У' z) dudv = zt§f [х {и, v), у (и, v), z (и, v)] du dv,
(о)
A3.41)
В КОТОРОМ!
1) подынтегральная функция получается путем под-
подстановки в подынтегральную функцию поверхностного
интеграла выражений аргументов х, у, z из уравнений
A3.40) поверхности (а), отнесенной к параметрам и, v;
2) областью интеграции (о*) является область измене-
изменения параметров (и, v), соответствующая поверхностной
области (а);
3) перед интегралом выбирается знак плюс, если на-
направление нормального вектора п, определяющего выб-
выбранную сторону поверхности, совпадает с направлением
вектора ги X гЕ, определяющего ориентацию, и знак ми-
минус в противном случае.
Определенный таким образом параметрический по-
верхностпый интеграл, вообще говоря, будет зависеть не
только от поверхности (а), но и от ее параметризации. Это
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ 231
зпачит, что если ту же поверхность (а) определить дру-
другими параметрическими уравнениями, то параметрический
поверхностный интеграл, вообще говоря, изменится. Нас
будут интересовать лишь такие поверхностные параметри-
параметрические интегралы, которые вполне определяются поверх-
поверхностной областью (о) и не зависят от ее параметризации.
Определенный выше координатный поверхностный ин-
интеграл у^/(х, y,z)dxdy как раз дает такой параметриче-
IT ,. . д(х,у) , 7
скии поверхностный интеграл \\/(%, у, z)g(—'"^dudv,
Г»)
который ипвариантен относительно преобразования пара-
параметров и, v.
Общий аналитический критерий независимости па-
параметрического поверхностного интеграла от параметри-
параметризации поверхностной области (а) достаточно сложен. Мы
не будем им заниматься, предлагается каждый раз про-
проверять эту независимость непосредственно.
3. Поверхностный интеграл как предел суммы. Мы
будем рассматривать область (а) на правильно параметри-
параметризованной поверхности г = г (и, v) и функцию от радиуса-
вектора v текущей точки пространства (иначе говоря,
от трех координат х, у, z этой точки), непрерывную на
области (о). Разобьем область (а) произвольным способом
па п частей (о^), . . ., @п). На каждой частичной области
(<TS) возьмем произвольно опорную точку гк — г (ик, vk)
и составим поверхностную интегральную сумму, т. е.
сумму вида
Определение. Поверхностным интегралом
\\ ф (г) da с элементом интеграции da от функции
Ф (г) по области (а) правильно параметризованной поверх-
поверхности г = г (и, v) называется предел поверхностной ип-
тегральной суммы, т. е.
п
\\ Ф (г) da = lim 2 ф [г (нь »*)] ак> <13'42)
@) "-*°° (С=1
232 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
при условии, что число п частичных областей (ак) не-
неограниченно р.'ютет, а максимум длин их хорд стремится
к нулю.
Покажем, что отот предел суммы существует незави-
независимо от способа раабиения области (о) на частичные об-
области и от выбора опорных точек на зтих частичных об-
областях и что он равен некоторому параметрическому по-
поверхностному интегралу.
Формула комплннации A1.44) дает
r" x r" Idu dv-
Применив теорему о среднем значении, получим
e* = |ruX»MI|=;J|{a;.
Вследствие этого формула A3.42) принимает вид
п
= Jim S Ф(г (в»,и»)]|ги х rv \-o
(о)
Отсюда на основании обобщенной основной теоремы о
двойном интеграле *) получим
55 Ф (г) da = 55 ф \г («. v)\ I ru X ru I du dv. A3.43)
(a) (n*)
Обращаясь к определению параметрического поверх-
поверхностного интеграла, (см. предыдущий пункт), мы можем
представить последний двойной интеграл как параметри-
параметрический поверхностный интеграл:
55Ф(г)da = ±55Ф(г)\ruxrv\du dv. A3.44)
(о) (о)
Здесь знак плюс соответствует случаю, когда нормаль-
нормальный вектор п, определяющий рассматриваемую сторону
*) Эта теорема будет доказана в следующем параграфе (п. 2).
ГЛ. XIIГ. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ II ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ 233
поверхности (а), направлен одинаково с вектором гихг„,
знак минус соответствует противоположному случаю.
Между прочим, легко убедиться, что оба знака будут
автоматически учтены, если поверхностный интеграл за-
записать в такой форме:
Ц Ф (г) do = §J Ф (г) (п°, ги, г„) du dv. A3.45)
(я) (a)
Замечание 1. Получившийся здесь параметриче-
параметрический поверхностный интеграл A3.45) не зависит от пара-
параметризации поверхности, так как он равен пределу поверх-
поверхностной интегральной суммы, которая никак не связана
с параметризацией.
Замечание 2. В общем случае подынтегральная
функция Ф может зависеть не только от радиуса-вектора г
текущей точки, по и от других аргументов. Важно только,
чтобы эти аргументы однозначно определялись в каждой
точке поверхности интеграции (а) и не зависели от ее
параметризации. Это обеспечит независимость интеграла
от параметризации поверхности.
ЗамечапиеЗ. Мы видим, что переход от поверх-
поверхностного интеграла с поверхностным элементом интегра-
интеграции do к параметрическому поверхностному интегралу
A3.45) совершается заменой элемента интеграции da
элементом (п°, ru, rv)dudv. Таким образом, под знаком
поверхностного интеграла можно пользоваться следую-
следующим условным равенством:
do = (n°, ru, r,) du dv. A3.46)
Звездочка над знаком равенства указывает имеппо на то
обстоятельство, что da можпо заменять на (п*, ru, rv)dudv
лишь под знаком поверхностпого интеграла.
Если направление нормального вектора п, определяю-
определяющего рассматриваемую сторону поверхности (а), совпада-
совпадает с направлением вектора г„ X rv, то формула A3.46),
определяющая элемент интеграции, принимает вид
da = | ги X rv | du dv. A3.47)
Следовательно, в этом случае поверхностный элемент
интеграции da совпадает с элементом площади поверхно-
поверхности A1.49).
234 ЧАСТЬ 3, ТЕОРИЯ ПОЛЯ
§ 6. Кратный интеграл как предел обобщенной
интегральной суммы
1. Введение единых обозначений для заниси интеграль-
интегральной суммы. Теории двойных и тройных интегралов бук-
буквально повторяют друг друга и в конечном счете повторя-
повторяют теорию определенного интеграла. Вследствие отого
возникает естественная потребность ввести единые обо-
обозначения, которые бы без всякого изменения применялись
в теории интегралов различных кратпостей и которые бы,
в частности, позволили единообразно формулировать
основную теорему об интеграле. С введения этих обозна-
обозначений мы и пачпем.
Рассмотрим область (D), отнесенную к прямоугольной
декартовой системе координат. Эта область может быть
одномерной (прямолинейный отрезок), двумерной (пло-
(плоская площадка) и трехмерной (тело). Будем обозначать
через D меру области (D), т. е. соответственно длину,
площадь или объем.
Пусть в области (D) определена пекоторая функция,
имеющая в каждой точке М этой области определенное
значение / (М). В соответствии с числом измерений обла-
области (D) эта функция / (М) будет зависеть от одного, двух
или трех аргументов, являющихся координатами точки М
области (D).
Интеграл от функции / (М), распространенный по
области (D), во всех трех случаях мы будем обозначать
одинаково:
\ f{M)dD.
(Ь)
Этот интеграл будет определенным, двойным или тройным
в зависимости от числа измерений области (D).
Разобьем область (D) произвольным способом на п
частичных областей (Dj), (D2), . . ., (Dn). Зафиксируем в
этих областях произвольные опорные точки Ми М2, . . .
. . ., Мп и составим интегральную сумму;
fc=l
ГЛ. ХШ, КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ 235
Если функция / (М) непрерывна па области (D), вклю-
включая ее границу, и если число п частичных областей неогра-
неограниченно увеличивается так, что максимальный диаметр
частичных областей неограниченно убывает, то в силу ос-
основной теоремы предел интегральной суммы будет равен
интегралу, распространенному по области {D)\
lim
= \f{M)dD.
(Д)
Полученная формула и выражает основную теорему для
интеграла любой кратности в унифицированных обозна-
обозначениях. Для дальнейших приложений этой основной теоре-
теоремы нам придется ее несколько обобщить. К этому мы и пе-
перейдем.
2. Обобщение основной теоремы о кратном интеграле.
Пусть функции и = ф (М), v = г|э (М) определены и не-
непрерывны на некоторой области (?)), включая ее границу.
Рис. 151.
Тогда при изменении М на (D) областями изменения
функций и и v будут некоторые замкнутые отрезки
а <; и <| Ъ, c<y<d.
Мы будем рассматривать на декартовой плоскости Ouv
прямоугольник (s), координаты и, v точек которого изме-
изменяются на указанных отрезках (рис. 151).
Пусть функция / (и, v) определена и непрерывна на
этом прямоугольнике (S) (включая его границу).
236 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Разобьем область (D) произвольным способом на п
частичных областей (Dx), . . ., (?>„). На каждой частичной
области (Dk) выберем произвольно две опорные точки М^
и М"н.
Обобщенной интегральной суммой для слолшой фурп;-
ции / |ф (М), \|j {М)\ по области (D) называется сумма
Теорема. Предел обобщенной интегральной суммы
при неограниченном возрастании числа делений не зави-
зависит ни от способа дробления области, ни от выбора опор-
опорных точек на соответствующих частичных областях и
равен соответствующему интегралу:
п
Mm 2
если только при неограниченном увеличении числа п деле-
делений максимум диаметров всех частичных областей стре-
стремится к нулю и если функции ср (М), ч|5 (М), / (и, v) не-
непрерывны на соответствующих областях (D), (D) и (S),
включая их границы.
Док азательство. Рассмотрим абсолютную ве-
величину разности между обобщенной интегральной суммой
и интегралом:
Д == | 2 / 1Ф (M'k), if (M"k)] Dk - J / [ф (М), Ц (М)} dD .
k^i (b)
Воспользовавшись теоремой о разбиении области ин-
интеграции, мы представим рассматриваемый интеграл в
виде суммы интегралов по частичным областям:
Применив к каждому слагаемому интегралу теорему о
среднем значении, получим
71
/ [Ф (М), ф (М)\ dD == 2 / 1Ф №, яр (Mk)\ Dk.
ГД. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛЫ 237
Таким образом, мы представили интеграл в виде специаль-
специальной интегральной суммы, которая соответствует произ-
произвольно взятому способу разбиения области D и определен-
определенному выбору опорных точек Мк на соответствующих част-
частных областях (Dk). Воспользовавшись этим представле-
представлением, мы получим
1Ф МО. V (Ml)} Dk - 2 / [ф (Мк), у (Мк)\ D
А =
или
п
*<2
Зададим произвольно е > 0. Так как функция f \u, v\
непрерывна па некотором прямоугольнике (S), включая
его границу, то она равномерно непрерывна на нем. Это
значит, что для заданного t _> 0 можно указать такое
б ^> 0, что для любых двух точек (uu vj и (и.2, v2) из (S),
удовлетворяющих неравенствам
I Щ — щ | < б,
будет выполняться неравенство
С другой стороны, функции ф (М) иг|? (М) также равномер-
равномерно непрерывны в области (D). Следовательно, для любого
фиксированного б > 0 можно указать такое 6\ > 0, чго
для любых трех точек М, Mv Мг области (jD) будут вы-
выполняться неравенства
| Ф (mj ~ Ф Ш) \< б,
| Ф (М2) - Ф (М) | < б,
если только расстояния между точками Мх и М и между
точками М2 и М не превосходят бг
Так как при дроблении области (D) неограниченно
уменьшается максимум диаметров частичных областей,
то, начиная с некоторого момента (при п > N), этот
максимум сделается меньше указанного положительного
238 ЧАСТЬ 3, ТЕОРИЯ ПОЛЯ
числа 6j. С этого момента начнут выполняться следу-
следующие неравенства:
| ф (Ml) - ф (Мк)
а следовательно, п неравенство
I / 1ф (м'1:), у (лй)\ - / 1ф (мк), ч> (м,I К
В силу этого, начиная с указанного момента (при п ^> Л),
мы будем иметь
к=1 л-=1
Итак, при п > N получаем
п
• S / [ф (Мк), 1> (М"к)] I», - 5 / [ф(М), г|) (М)] dZ) | < е.
А отсюда по определению предела следует
lim $
n—» fc=i (Ь)
Теорема доказана.
Замечание 1. Если полученную формулу, выра-
выражающую обобщенную основную теорему, записать в обыч-
пых обозначениях для случая, например, двойного интегра-
интеграла, то она примет вид
lim 2 / [Ф (&. %). * (Й- %)] ^ = $5/ [Ф (х> 2/)- * (*, »)] dx dy.
n—°° fc=i (S)
Замечание 2. Полученная обобщенная теорема
очевидным образом распространяется и на тот случай,
когда имеется функция от более чем двух функций, т. е.
п
lim' 2 / 1Ф ТО, * (М**), X (Ml), ...]Dk =
ГЛ. XIV. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ИНВАРИАНТЫ 239
Глава XIV
ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
ИНВАРИАНТЫ
§ 1. Векторное поле
1. Если в каждой точке пекоторой части пространства
определен вектор -В, то говорят, что в этой части простран-
пространства определено векторное поле (поле вектора К). Иначе
говоря, векторное поле определяется заданием переменного
вектора Л, который становится определенным вектором в
каждой точке рассматриваемой части пространства. Этот
переменный вектор R называется вектором поля.
В каждом конкретном случае вектор поля изображает
какую-либо конкретную физическую величину.
Так, в пространстве, окружающем материальное тело,
возникает поле тяготения. В каждой точке этого поля опре-
определена сила (напряженность поля), с которой поле дей-
действует на едипичпую массу, помещенную в данную точку.
Заряженное электричеством тело создает в окружаю-
окружающем его пространстве электростатическое поле, в каждой
точке которого определена сила (напряженность поля),
с которой поле действует на единичный положительный
заряд, помещенный в эту точку.
Поток жидкости в данный момент времени определяет
в заполняемой им части пространства поле скоростей
и т. д.
Математическая теория векторного поля занимается
изучением его свойств, отвлекаясь от его конкретного физи-
физического смысла. Поэтому получаемые в этой теории по-
понятия и закономерности относятся ко реем конкретным век-
векторным полям.
2. Каждой точке поля соответствует определенное зна-
значение вектора поля (рис. 152). Следовательно, вектор поля
является функцией от радиуса-вектора точки:
R = В (г). A4.1)
Мы будем относить поле к прямоугольной системе коор-
координат с ортами осей *, j, k. Тогда вектор поля R можно
будет рассматривать как функцию от трех декартовых
240
ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
координат х, у, z текущей точки голя:
т> Р/т ,1 т\ /4 А 9\
Разложив вектор поля -К по ортам осей г, j, к, мы по-
получим
В = IX + jY + kZ, A4.3)
причем проекции X, У, Z являются функциями от коорди-
координат х, у, г точки поля:
X = X (х, у, г),
У = У (г, у, г),
1>ис. 152.
3. В многих конкрет-
конкретных случаях вектор по-
поля является функцией
не только от координат
х, у, z точки поля, но и
от времени I. Такие по-
поля называются перемен-
переменными, в отличие от
полей стационарных,не
зависящих от времени.
В дальнейшем мы
будем отвлекаться от
зависимости вектора но-
ноля от времени, т. е.
либо будем рассматривать поля стационарные (не зави-
зависящие от времени), либо будем рассматривать перемен-
переменные поля, но лишь в данный момент времени t. Получаю
щаяся при этом теория мгновенного состояния векторного
поля имеет очепь важное значение и сама по себе и как об-
щня основа для теории переменных полей.
4. Для построения математической теории векторного
поля мы будем пользоваться методами дифференциального
и интегрального исчисления. Это обстоятельство вынуж-
вынуждает ограничиться изучением лишь тех векторных полей,
которые удовлетворяют некоторым дополнительным тре-
требованиям. А именно, мы будем в дальнейшем считать, что
проекции X, Y, Z вектора поля на координатные оси яв-
являются непрерывными функциями, обладающими непре-
непрерывными частными производными первого порядка во
ГЛ. XIV. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ИНВАРИАНТЫ 241
всех точках поля. Иногда мы будем предполагать суще-
существование и непрерывность частных производных второго
порядка.
Если в окрестности данной точки пространства проек-
проекции вектора поля непрерывны и обладают непрерывными
частными производными, а в самой точке эти условия
нарушаются, то такую точку мы будем называть «особой
точкой поля». Следовательно, особая точка поля по су-
существу не принадлежит полю.
§ 2. Векторные линии
1. Векторной линией называется такая линия вектор-
векторного поля, в каждой точке которой вектор ноля касается
»той линии.
Понятие о векторной линии возникает как обобще-
обобщение линии тока в стационарном потоке жидкости, т. е.
линии, по которой движется частица жидкости тако-
такого потока. Хорошо известными примерами векторных ли-
линий являются также силовые линии магнитного и элек-
электрического полей.
2. Система дифференциальных уравнений векторных
линии. Пусть уравнение векторной линии имеет вид
г = г (t). A4.5)
По условию в каждой точке этой линии вектор поля Н
направлен по касательной к ней (рис. 153). Производная
Рис. 153.
.— также направлена по касательной. Следовательно, век-
dv
торы -В и -jj-, как коллинеарные векторы.; связаны
242 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
линейной зависимостью
или
dr = BX dt. A4.7)
Это и есть параметрическое дифференциальное уравнение
векторных линий в векторной форме.
Спроектировав полученное уравнение на координатные
оси, мы получим
dx = XX dt, dy = YX dt, dz = ZX dt. A4.8)
Исключение из этой системы X dt приводит к следующей
системе дифференциальных уравне-
уравнений векторных линий:
dx _ _dy_ _ dz ^ g
JT У z " '
Если эту систему двух уравнение проинтегрировать,
то получим систему двух конечных уравнений с двумя
произвольными постоянными:
ф1 (х, у, z) = Сх, Ф2 (х, у, z) = С%. A4.10)
Следовательно, через каждую точку пространства
Mq (x(i> Уо> zo) пройдет, вообще говоря, единственная век-
векторная линия
фх (х, у, z) = ф! (х0, уQ, zn), ф2 (х, у, г) = ф2 (х0, уп, zn).
A4.11)
3. Пример. Рассмотрим векторное поле
X = bz — су, Y = сх — az, Z —¦ ay — bx.
Система дифференциальных уравнений векторных ли-
линий принимает вид
dx dy dz p.
bz — су сх — az ay — bx
Составляем производную пропорцию
x dx -J- у dy + z dz x dx -f- у dy -(- z dz ~
x (bz — су) + у {сх — az) -f- z (ay — bx) 0
Отсюда следует
x dx -f- у dy + z dz = 0.
ГЛ. XIV. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ИНВАРИАНТЫ
243
Составляем теперь другую производную пропорцию
a dx + Ь dy -j- с dz a dx -\-Ъ dy -f- с dz
а (Ът. — су) -\-Ъ(сх — az) -j- с (ay — Ьх)
из которой
О
= О»
a dx + b dy + с dz = 0.
Таким образом, мы получаем систему следующих двух
уравнений:
j dx + у dy + z dz — 0,
a dx + b dy -\- с dz — 0.
Проинтегрировав эти урав-
уравнения, мы найдем
х% I „2 __!_ z'2 __ ?2
«д: + 6г/ + cz = С2.
Следовательно, векторные
линии получаются в резуль-
результате пересечения всевозмож- Р,1С 154
пых сфер, имеющих общий
центр в начале координат, с всевозможными плоскостями,
перпендикулярными вектору N = га + jb + кс, т.е. век-
векторные линии суть окружности. Центры этих окруж-
окружностей находятся на прямой, проходящей через начало О
и направлении вектора N. Плоскости же окружностей
перпендикулярны указанной прямой (рис. 154).
Замечание. Вектор рассматриваемого поля имеет
вид
It = i (bz — су) + j (ex — az) + к {ay — bx), .
или
т. о.
i
a
X
J
b
У
к
с
z
В = N х г.
Следовательно, рассматриваемое поле есть поле скорости
точгк твердого тела, вращающегося вокруг начала с до-
достоянной угловой скоростью АГ,
2-34 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
§ 3. Циркуляция поля вдоль линии
1. Элементарная циркуляция. Рассмотрим в векторном
поло R какую-либо линию (не обязательно векторную!)
(рис. 155) и возьмем на нем произвольную точку г (I) (I' <
< t < О-
Составим произведение длины участка As на значение
скалярного произведения вектора поля и орта касатель-
касательной во взятой точке:
AsJf\r(l)]-x(J). A4.12)
Это произведение и называется элементарной циркуля-
циркуляцией поля на данном участке.
Рис. 155.
Замечание 1. Если поле силовое, то элементар-
элементарная циркуляция будет приближенно давать работу силы
на рассматриваемом участке. Таким образом, понятие
элементарной циркуляции можно рассматривать как рас-
распространение понятии элементарной работы силового поля
на поля другой природы.
Замечание 2. Элементарная циркуляция на дан-
данном участке не является однозначно определенной вели-
величиной, она будет зависеть от выбора промежуточной точ-
точки г (t).
Замечание 3. При изменении направления орта ка-
касательной элементарная циркуляция изменит только свой
знак.
2. Циркуляция вдоль линии. Рассмотрим в векторном
поле отрезок линии (L), ограниченный двумя точками —
начальной точкой А и конечной точкой В (рис. 156). При-
Примем за параметр, определяющий положение точки на ли-
линии, длину дуги s:
ГЛ. XIV. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ИГО ИНВАРИАНТЫ 245
Разобьем линию (L) на п участков точками
и введем следующее
Определение. Циркуляцией поля R вдоль ли-
линии (L) называется предел суммы олементарных цир-
циркуляции па всех частичных участках, на которые раз-
разбивается линия (L), когда число частичных участков
RI
У
Рис. 156.
неограниченно растет, а длина наибольшего участка
стремится к пулю:
1\ = lira 2
lr {Зн)\ -t{Sk). A4.13)
Мы знаем (см. гл. XIII, § 2), что этот предел не зависит
ни от способа разбиения линии (L) па участки, ни от вы-
выбора опорных точек «к внутри этих участков; он равен кри-
криволинейному интегралу
TL= \ B-xds.
Так как т = dr/ds, то этот интеграл можно переписать так:
TL= J B-dr, A4.14)
или, в координатной форме,
TL= \ Xdx + Ydy + Zdz.
246 ЧАСТЬ 3, ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Величину Ii-dr — X dx + Y dy + Z dz мы будем на-
называть элементом циркуляции.
Замечание. В случае силового поля R циркуля-
циркуляция поля вдоль линии (L) выражает работу силы поля
вдоль этой линии.
Пример. Вычислим циркуляцию поля
*/ + f +kz
х2 + У2
вдоль витка винтовой линии
г = га cos ср + ja sin cp + kh<p, 0 ^ ф ^ 2л;.
В данном случае формула A4.14) для вычисления цир-
циркуляции принимает вид
Но
х = a cos ф, у — a sin ф, z = 1щ,
dx — — a sin ф dip, dy = a cos ф йф, dz — h d<p.
Следовательно,
2 л
/ 2 + a2 cos- q>
Г = 2я
§ 4. Поток поля через поверхность
1. Поток жидкости. К понятию потока поля мы есте-
естественным образом приходим при изучеиии поля скоростей
М текущей жидкости. Рассмотрим простейший случай,
когда скорости М всех частиц стационарно текущей
жидкости одинаковы. Выделим в этом потоке плоскую
площадку (а) (рис. 157). Объем жидкости Q, которая в еди-
единицу времени протечет сквозь (a), будет равен объему ци-
цилиндра с основанием (а) и образующей Нг т. е.
D =- a// = oR-n°.
ГЛ. XIV. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ИНВАРИАНТЫ
247
Полученный объем Q и называется потоком жидкости
через область (а).
Отправляясь от этого элементарного представления, мы
обобщим его на случай произвольного векторного поля
и произвольной поверхности (о).
2. Элементарный поток поля. Рассмотрим в векторном
поле небольшую область (а) на кривой поверхности
(рис. 158). Возьмем па ней произвольную точку М (\, ц, ?),
Рис. 157.
Рис. 158.
которую назовем опорной точкой. Через опорную точку
проведем касательную плоскость к поверхности и постро-
построим на ней какую-нибудь плоскую площадку E) с той же
площадью, что и площадь области (а). Эту площадку при-
примем за основание цилиндра, образующие которого равны
по длине и параллельны по направлению вектору поля
¦К (?, т), ?) в опорной точке. Объем Q полученного цилин-
цилиндра и называется элементарным потоком поля через об-
область поверхности (а).
Обозначив через п* (?, г), ?) орт нормали поверхности
в опорной точке (?, г\, ?), мы получим для элементарного
потока формулу
Q=*<m'(l,r\, 0-М (I, г), 0. A4.15)
Замечание 1. Если размеры площадки (а) до-
достаточно малы, то элементарный поток поля скоростей
текущей жидкости достаточно точно выражает объем
жидкости, проходящей в единицу времени через (а).
243
ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Замечание 2. Элементарный поток но является
однозначно определенной величиной для данной области
(р). Он меняется при изменении опорной точки. Правда,
если размеры области (о) малы, то эти изменения элемен-
элементарного потока будут
незначительными.
Замечание 3.
При изменении направ-
направления орта нормали на
противоположное эле-
элементарный поток меня-
меняет только свой знак.
3. Ноток поля через
поверхность. Разобьем
" , область (о) поверхности
(рис. 159) произволь-
Рис. 159. ным способом на п ча-
частичных областей (а,),
(а2), ..., (а„). Внутри каждой частичной области (ак)
произвольно зафиксируем опорную точку Aк, %, ?к) и
определим элементарный поток через эту частичную
область:
Определение. Потоком поля R через поверх-
поверхность (о) называется предел суммы элементарных потоков
через частичные области, на которые разбивается область
(а), когда число частичных областей неограниченно ра-
растет, а длина наибольшей из хорд неограниченно убы-
убывает:
Мы знаем, что этот предел поверхностной интегральной
суммы не зависит ни от способа дробления области на ча-
частичные области, ни от выбора опорных точек внутри ча-
частичных областей (см. гл. XIII, § 4) и равен поверхностно-
поверхностному интегралу. Получается следующая основная формула
потока поля через поверхность (а):
A4.18)
ГЛ. XIV. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ И ЕГО ИНВАРИАНТЫ 249
4. Различные виды формулы для вычисления потока.
а) Положив в A4.18)
R = гХ + jY 4- kZ, n* = * cos a + 3 cos P -f к cos v,
мы получим формулу для вычисления потока в коорди-
координатной форме
Q = ^(A'cosa+^cos?4-Zcosr)da. A4.19)
"(о")
б) Под знаком интеграла мы можем пользоваться соот-
соотношениями A3.30)
ф/ dz _ rizdx _ dx dy __ , МА9ПЧ
cos a cos 3 cos T ч
В силу этого формулу A4.19) можно переписать так:
Q— \\Xdydz-\-Ydxdz-\-Zdxdy. A4.21)
(a)
в) Если уравнение поверхности разрешено otftoch-
тельно третьей координаты,
г - / (х, у), A4.22)
то (см. A2.21))
cos а — .- ~ Р — , cos 3 = ¦-¦ ~ п —
cos y = , 1 A4.23)
где
Следовательно,
Подставив все это в A4.19), мы получим формулу для
вычисления потока еще в таком виде:
A4.26)
Последняя формула часто бывает удобна при решении
задач.
250
ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
г) Предположим, наконец, что поверхность (о) опреде-
определена векторным параметрическим уравнением
г = г (и, v). A4.27)
Тогда
дг ч/ _дг_
ди X dv , A428)
9г аг
дг дг
ди до
du dv, A4.29)
и формула для вычисления потока принимает такой вид:
A4.30)
Пример. Вычислим поток поля R — — * ]/ х +
+ jyz + fc через часть поверхности цилиндра z2 = 4х,
высеченную конусом z2 = 4 (х2 + у2) (рис. 100). При этом
Рис. 160.
Рис. 161.
нормаль считается направленной в сторону выпуклости
цилиндра.
Искомый поток выражается формулой A4.26)
Q = \\ R¦ пЧз = 5 ^(- рХ - qY + Z)dxdy.
(") (Я)
Вычислим проекции вектора поля ?: X — — Ух,
Y = yz,Z = l.
ГЛ, XV» ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО. ДИВЕРГЕНЦИЯ ПОЛЯ 251
Из уравнения цилиндра za = Ах находим
Исключив s из уравнения цилиндра z2 = 4л; и из
уравнения конуса z2 = 4 (ж2 + г/2), высекающего область
(а), мы получим уравнение цилиндра, проектирующего
границу (сг) па плоскость Оху: х2 + у2 = ж. Следова-
Следовательно, нроекция E) области (а) на 6>хг/ есть круг (рис. 161)
х2 + г/2 = х, 2 = О
с радиусом, равным V2.
Область (о) разделяется па две области (ох) и (о2),
проектирующихся в одну и ту же площадку (S). Поэтому
Нижняя область (o"t) имеет уравнение z — — 2
верхняя (а2) — уравнение z = + 2у х. Поэтому
W \\ \\
(S) (S) (S)
Глава XV
ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО. ДИВЕРГЕНЦИЯ ПОЛЯ
§ 1. Формула Остроградского
1. В основе теории векторного поля лежат две иптег-
ральные формулы. Первая из них принадлежит русскому
математику и механику Михаилу Васильевичу Остро-
Остроградскому *) A801—1861). Эта формула была открыта
Остроградским в 1826 г. и опубликована в 1838- г. в связи
с его исследованиями в области вариационного исчисления,
*) Ранее эта формула спязыпалась с именем Гаусса. Но, как
показывают исследования (см. Юшкевич А. П., История
математики в России, «Наука», 1968, стр. 289—293), приоритет
принадлежит Остроградскому.
252
ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
относящимися к проблеме максимумов и минимумов крат-
кратных интегралов. При этом получил он ее в гораздо более
общем виде, чем тот, в котором она применяется в теории
векторного поля.
Вторая интегральная формула теории поля была най-
найдена английским гидромехаником Стоксом A819—1903)
в 18М г.
2. Преобразование Остроградского. Это преобразова-
преобразование решает задачу сведения интеграла любой кратности
к интегралу меньшей кратности. Для целей теории поля мы
разберем эту задачу лишь применительно к тройному ин-
интегралу.
.Мы знаем, что для вычисления тройного интеграла
следует сначала частным образом проинтегрировать нод-
интегральную функцию по одному из аргументов, а за-
затем вычислить двойной интеграл от полученного резуль-
результата.
Для сведения тройного интеграла, распространенного
по произвольной области, к двойному интегралу нужно,
чтобы первое интегрирование
было выполнено в общем виде.
Л для этого нужно, чтобы иод-
интегральная функция была
частной производной от некото-
некоторой функции по одному из аргу-
аргументов.
Итак, рассмотрим, напри-
например, интеграл
Рис. 162.
(V)
причем пока будем предпола-
предполагать, что область интеграции
(V) нормальная, т. е. пересекающая область (V) вертикаль
имеет с ней только один общий отрезок (рис. 162). Кроме
того, будем предполагать, что dF/dz непрерывна в обла-
области (V), включая ее границу.
По правилу вычисления тройного интеграла мы по-
получим
" "" "' A5.1)
dt [' С
-0— dx dydz — \\dxdyF (x, у, z)
'IV)' (S)
, V)
, y)
ГЛ. XV. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО, ДИВЕРГЕНЦИЯ ПОЛЯ 253
Следовательно,
ш
(V)
-j- dx dy di =
= \ \ F [ж, у, ъг (х, у)} dxdy — W F\x, у, zx (х, у)} dx dy.
Пусть (ах) и (а2) — соответственно нижняя и верхняя
части поверхности (а), ограничивающей область интег-
интеграции (V). Нормаль к поверхности (а) мы направим на-
наружу по отношению к области (V). Тогда, по опреде-
определению поверхностного интеграла (гл. XIII, § 3), мы
получим
F (х, y,z)dxdy = —\)F [#, У, *i (я, у)\ dx dy,
F{x,y,z)dxdy =
(ог)науужн й>/
В силу этого формула A5.1) для исходного тройного
интеграла примет вид
dy. A5.2)
Объединив поверхностные интегралы, мы получим фор-
формулу нреобразовапия тройного интеграла в двойной, ко-
которую и называют преобразованием Остроградского:
F(x,y,z)dxdy. A5.3)
v ' (о)яаружн
«Колечко» на знаке поверхностного интеграла напо-
напоминает о замкнутости поверхности интеграции (а).
Замечание 1. Если область (У) не является нор-
нормальной, то мы разобьем эту область на нормальные об-
области (Kj), (F2), ..., (Vn). Для каждой из частичных нор-
нормальных областей (Ук) выведенная формула справедлива:
lk~ **dy dz = §} FdxdV-
* (в);) наружи
254
ЧАСТЬ 3, ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Сложив эти равенства, мы получим
(V)
Fdxdy. (la/i)
*-"ii> наружи
В получепной сумме взаимно уничтожатся поверх'по-
поверх'постные интегралы по всем тем частям поверхностей (ак),
по которым соприкасаются друг с другом частичные обла-
области (Уд.), и останутся лишь
поверхностные интегралы
по тем частям (о^), кото-
которые располагаются на на-
наружной границе (а). По-
Поэтому мы получим
(V)
Fdxdy. A5.5)
И (°)нарунш
Рис. 163. Итак, формула
преобразования
Остроградского верна для произ-
произвольной области (F).
3 а м е ч а и и е 2. Аналогичные формулы мы получим,
если под знаком тройного интеграла будет стоять частная
производная по х или по у:
dF .,_.,_. л_ СС cj-.iZ| A5.6)
A5.7)
(V)
3. Формула Остроградского. Рассмотрим поток поля
U через замкнутую поверхность (с), ограничивающую трех-
трехмерную область (F) (рис. 163). По формуле A4.18) этот
поток равен
Л" В-пЧо.
(а)
ГЛ. XV. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО, ДИВГ.РГЕНЦИЯ ПОЛЯ 255
При этом будем предполагать, что вектор поля R и его
частные производные определены и непрерывны во всей
области (V), ограниченной поверхностью (о).
В координатной форме формула потока имеет вид
(см. A4.21))
\\xdydz -\-Ydzdx-\-Zdxdy.
(о)
Применим к каждому слагаемому поверхностному интег-
интегралу соответствующее преобразование Остроградского:
Xdydz = ^\-^-dxdijdz, A5.8)
(о,
сг С С С 9Z
(V)
Сложив эти равенства, мы и получим формулу Остроград-
Остроградского в координатной форме
(X dy dz + Y dz dx + Z dx dy) =
(V)
4. Формула Остроградского в векторной форме. Левая
часть формулы Остроградского, как уже отмечалось, яв-
является потоком поля
It-noda. A5.12)
(") (а)
Подынтегральную функцию правой части формулы назы-
называют дивергенцией поля и обозначают Div Mi
ЭХ dY . dZ ,.r ....
— +_ + _. A5.13)
256 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Таким образом, формулу Остроградского можно за-
записать так:
сг г с г
%TD t) t) J
§ 2. Дивергенция поля
1. Мниариантность дивергенции. Дивергенция поля
у нас возникла автоматически при выводе формулы Остро-
Остроградского. При этом для со вычисления получилась коор-
координатная формула A5.13)
Dlv It = 4* ** д?
дх ' д,/ ' dz '
Непосредственно не видно, что дивергенция ноля не за-
зависит от системы координат и определена однозначно. Те-
Теперь мы докажем эту однозначность.
Для доказательства предположим, что данное иоле име-
имеет две дивергенции Z), и D2, являющиеся непрерывными
функциями от координат текущей точки х, у, z. На осно-
основании формулы Остроградского A5.14) мы получим
\ \ \ D^d
V
\ \ \ \\^\
(V; (я) "(V)
Вычтя из первого равенства второе, будем иметь
J 5S (Яг - A;)dV = 0. A5.15)
(V)
Допустим, что в некоторой точке поля М дивергенции Dx
и D., различны. Пусть, например,
Di — D2 > 0.
Тогда в некоторой окрестности (V) взятой точки М это
неравенство также будет сохраняться. Приняв эту окре-
окрестность за область интеграции, мы нолучим
$55
'(V)
что противоречит равенству A5.15). Следовательно, во
ГЛ. XV. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО. ДИВЕРГЕНЦИЯ ПОЛЯ 257
всех точках поля обе дивергенции совпадают:
?>г = D2. A5.16)
Итак, действительно дивергенция поля однозначно опре-
определена и не зависит от выбора системы координат.
Для выяснения физического смысла дивергенции мы пре-
предварительно представим ее в виде предела отношения.
2. Дивергенция как предел
отношения. Рассмотрим в поле
произвольную точку М и возьмем
какую-нибудь область (У), содер-
содержащую эту точку и ограниченную
поверхностью (а) (рис. 164). По
формуле Остроградск0го A5.14)
получим
Рис. 164.
(V)
Применив к тройному интегралу теорему о среднем зна-
значении, мы перепишем эту формулу так:
(о)
где (Div -К)д} есть значение дивергенции поля в некоторой
определенной точке внутри области (V). Следовательно,
A5.17)
(о)
Стягивая область (V) к точке М, мы получим
)u= lim
A5.18)
Итак, дивергенция в данной точке является пределом
отношения потока поля через замкнутую поверхность
к объему области, ограниченной этой замкнутой поверх-
поверхностью, при условии, что поверхность безгранично стяги-
стягивается к данной точке.
9 Г. Ф. Лаптев
258
ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Иногда это положение принимается за определение
дивергенции.
Важность полученной формулы состоит, между про-
прочим, в том, что она дает определение дивергенции, не за-
зависящее от выбора координатной системы.
3. Гидромеханический смысл дивергенции. Конкрет-
Конкретный смысл дивергенции зависит от конкретного характера
векторного поля. Мы по-
пока ограничимся выясне-
выяснением лишь гидромехани-
гидромеханического смысла дивер-
дивергенции. Рассмотрим ста-
стационарное течение жид-
•кости и поле скоростей
R его частиц. Пусть
поток жидкости прони-
пронизывает некоторую об-
область (V) (рис. 165). По-
Поверхность (а), ограничи-
ограничивающую эту область,
разобьем на часть (ст,),
через которую жидкость втекает в область (V), и часть (а2),
через которую жидкость вытекает. Тогда поток поля ско-
скоростей через замкнутую поверхность (о) представится как
сумма потоков через эти части:
JR-n°da= (\V) R-пЧз + (\V) R-n4a.
*j*j 3~j
(а) наружи («О наружи (ог) наружи
A5.19)
Первый частичный поток \^ R-n°da будет заведомо от-
ушцательным в силу отрицательности скалярного произ-
произведения -R-и." вектора поля на орт наружной пормали. По
абсолютной величине он будет давать объемное коли-
количество жидкости, втекающей в единицу времени в об-
область (V).
Второй частичный поток ^J2-w°do будет, напротив,
положительным и даст объемное количество жидкости,
вытекающей в единицу времени из области {V).
ГЛ. XV. ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО. ДИВЕРГЕНЦИЯ ПОЛЯ 259
Итак, поток поля скоростей жидкости через замкнутую
поверхность (а), ограничивающую некоторую область {V)r
равен объемному расходу жидкости из области (V), т. е.
объемному расширению в области (V) за единицу времени.
Представив дивергенцию в виде предела отношения
A5.18), т. е.
В-пЧз
мы можем сказать, что дивергенция поля скоростей жидко-
жидкости есть расход жидкости в данной точке, отнесенный
к единице объема. Иначе можно сказать, что дивергенция
поля скоростей жидкости есть объемное расширение этой
жидкости в данной точке, отнесенное к единице объема.
Замечание. Если в каждой точке поля скоростей
жидкости дивергенция равна пулю, то это означает, что
жидкость не сжимается и не расширяется. Этим свойством,
например, обладает текущая вода. Однако под жидкостью
в широком смысле в механике подразумевают, в част-
частности, и газ.
Академик С. А. Чаплыгин доказал теоретическим пу-
путем, что воздух при скоростях, не превосходящих пример-
примерно половины скорости звука, ведет себя приблизительно
как несжимаемая жидкость. Следовательно, в аэромеха-
аэромеханике малых скоростей можно считать, что дивергенция
равна нулю. Опыты вполне подтверждают этот факт.
Наоборот, при дозвуковых скоростях, близких к ско-
скорости звука, и при сверхзвуковых скоростях воздушного
потока давления не успевают перераспределяться, и воз-
воздух уже ведет себя, как сжимаемый газ. Дивергенция те-
текущего с большой скоростью газа уже отлична от нуля.
Точно так же дивергенция оказывается отличной от
нуля, когда в текущем газе возникают химические реак-
реакции (например, горение), изменяющие его плотность.
4. Теорема Остроградского. Мы перенесем гидроме-
гидромеханическую терминологию на случай произвольного поля
и будем говорить, что дивергенция произвольного поля яв-
является {(расходом поля в данной точке, отнесенным к еди-
единице объема». Тогда очень выпукло можно сформулиро-
сформулировать теорему Остроградского.
260 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
•
Первая часть формулы Остроградского является пото-
потоком поля через замкнутую поверхность (а), ограничиваю-
ограничивающую область (V), т. е. пределом суммы элементарных по-
потоков:
п
В-пЧв = lim 2 -Rfc-wfc*. A5.20)
n-oo fc=1
(о)
причем элементарные потоки положительны там, где век-
вектор поля направлен наружу области (V), и отрицательны
там, где вектор поля направлен внутрь.
Вторая часть формулы Остроградского является трой-
тройным интегралом от дивергенции по области (V), ограни-
ограниченной поверхностью (а), т. е.
п
\\\ DivBdV = lim '2 (DivH)MVk. A5.21)
(V) "-*00 K=i
Произведение объема Vk частичной области (Vk) и зна-
значения дивергенции в некоторой точке Мк этой области
(Vk) приближенно является расходом поля из частичной
области (Ук). Тройной интеграл, являющийся пределом
суммы этих элементарных расходов, дает, следовательно,
расход поля из всей области (V).
Итак, формулу Остроградского можно выразить сле-
следующей теоремой.
Теорема Остроградско. го. Поток поля
через замкнутую поверхность (о) равен расходу поля из
области (V), ограниченной этой поверхностью.
Глава XVI
ТЕОРЕМА СТОКСА. РОТАЦИЯ ПОЛЯ
§ 1. Формула Стокса
1. Формула Грина. Пусть па плоскости Оху коптур (I)
ограничивают плоскую область (S) (рис. 166). Пусть на
этой области определены две функции
P = P(x,y),Q = Q (x, у),
ГЛ. XVf. ТЕОРЕМА СТОКСА. РОТАЦИЯ ПОЛЯ
261
непрерывные и обладающие пепрерывными частными про-
производными на всей области (S), включая ее границу (I).
Lji)
Рис. 166.
Докажем, что при этих условиях справедлива следу-
следующая формула Грина:
\\(§^) A6.1)
О (S)
По определению двойного интеграла
(S)
Следовательно,
S)
XlV)
cl d
= \Q[z2 (У), У\ dy-\Q [-4 (у), у] dy. A6.2)
Получившиеся в правой части определенные интегралы
являются криволинейными интегралами по двум участ-
участкам (CBD) и (ВАС):
Q (^, У) dy,
(CUV)
•\Q\xi (У), У) dy - (i Q (х, у) dy.
(DAC)
262 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Сложив почленно эти формулы, мы слева получим наш
двойной интеграл A6.2), а справа —^ криволинейный ин-
интеграл по всему замкнутому контуру (/), обходимому про-
против хода часовой стрелки:
6
§ §Qdy. A6.3)
(S) (О
Аналогично найдем
h уг(х) b
\ \ §\TX =
-- \ P [x, уг (х)\ dx-^P [x, уг (х)] dx. A6.4)
a n
Получившиеся в правой части определенные интегралы
можно рассматривать как криволинейные интегралы по
участкам (BDA) и (АСВ) контура (/):
ь
^P[x,y2(x)]dx=--— I P(x,y)dx,
a (BDA)
b
-\P[x,yx(x)]dx=- \ P(x,y)dx.
a (ACB)
Следовательно,
§jjdxdy= — §Pdx. A6.5)
(*s> ' ('()
Вычитая почленно из формулы A6.3) формулу A6.5), мы
придем к нужной нам формуле A6.1)
(К) (О
2. Формула Стокса. Выведенная формула Грипа A6.1)
преобразует любой криволинейный интеграл, распростра-
распространенный по плоскому замкнутому контуру (/), в двойной
интеграл по плоской области (S), ограниченной этим кон-
контуром (I). Задача заключается в обобщении этой формулы
на случай произвольного пространственного контура (L),
ограничивающего кривую область (а).
ГЛ. XVI. ТЕОРЕМА СТОКСА. РОТАЦИЯ ПОЛЯ
263
Рассмотрим произвольное векторное поле
Л = гХ + jY + kZ. A6.6)
Проекции вектора поля
X = X (х, у, z), Y = Y (х, у, z), Z = Z (х, у, ъ)
A6.7)
будем предполагать произвольными непрерывными функ-
функциями, обладающими непрерывными частными производ-
производными первого порядка.
В этом поле рассмот-
рассмотрим на поверхности об-
область (о), ограниченную
контуром (L) (рис. 167).
Уравнение поверхности
будем полагать разре-
шенпым относительно
z: z = f {x, у). Нормаль
к поверхности напра-
направим так, чтобы ее угол
с осью Oz был острым.
После этого выберем
направление обхода кон-
контура (L) так, чтобы оно
было видпо происходящим против хода часовой стрелки,
если смотреть с той стороны, куда направлена нормаль.
Циркуляция поля вдоль коптура (L) имеет вид
A6.8)
У
Рис. 167.
&
B-dr= §
(I.) (Z.)
Контур (L) лежит на поверхности (сг) и потому координаты
его точек удовлетворяют уравнению поверхности
z = / (х, у),
из которого следует
Подставив все это в формулу для циркуляции, получим
204 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
ИЛИ
§R-dr=-- §(X + Z^)dx + (Y + Z^)dy. A6.9)
(L) (L)
Знак «\yi> над проекциями X, Y, Z указывает на то, что вхо-
входящая в их выражения третья координата z рассматривает-
рассматривается как функция, определенная уравнением поверхности
(а), т. е.
X=--X[x,y,f (х, у)], Y^Y[x,y,f (x, у)],
Z = Z[x,y,f(x,y)}. A6.10)
Таким образом, в последнем криволипейном интегра-
интеграле A6.9) содержатся фактически только две координаты:
и и у. По для всякой точки на контуре (L) значения этих
двух координат совпадают с их значениями для проекции
точки на плоскость Оху. Поэтому интегрирование по про-
пространственному контуру (L) можно заменить интегриро-
интегрированием по его проекции (/) па плоскость Оху:
§?) ( %L)dy. A6.11)
(О
Следовательно,
§R-dr=§Pdx-\-Qdy, A6.12)
(L) (()
где положено
p=Z + z|i, <? = F + z|i. A6.13)
Применив формулу Грина A6.1), мы получим
§*¦*¦=S^-f)*^- A6Л4)
(L) (S)
На основании правила дифференцирования сложных
функций мы из A6.13) найдем
<!2. — ^L ' 0?- ii _l (— 4- — ^l\el 4- 7 дЧ
дх ~~ дх "Т" дг дх ~*~ \ дх + dz дх / ду ~* дх ду '
3i/ ~^~ dz ~dy) ~dx
dz dy "^ \ 3i/ ~^~ dz ~dy) ~dx ~^~ ду дх '
ГЛ. XVI. ТЕОРЕМА СТОКСА. РОТАЦИЯ ПОЛЯ 265
При подстановке этих выражений в формулу A6.14) не-
некоторые члены взаимно уничтожатся и эта формула при-
примет вид
<?.R.dr= Kf_4L(?±_?l)_?L(?±_.?fi) +
('-) (S)
xdy. A6.15)
Введем обозначения
iL^p, %-=--q A6.16)
и обратим впимапие на то. что полученный двойной ин-
интеграл A6.15) в полном соответствии с определением по-
поверхностного интеграла (гл. XIII, § 3) является поверх-
поверхностным интегралом по области (сг):
+ [w-w)}dxdv' A6Л7)
По
р = cos а, г ~~я = = cosp,
A6.18)
г = cos у.
Кроме того, под знаком поверхностного интеграла
можно пользоваться соотношениями
da --- ^L = Yi + />* + <72 ^ d». A6.19)
В силу этого
R-dr= \\ U-z -г- cos а-И -5 -5—) cos Э +
(о)
266 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Это и есть формула Стокса. В чисто коорди-
координатной форме ее можно записать так;
М—— —Vosa I l— — ^.
!з. A6.20)
3. Векторный вид формулы Стокса. Подынтегральную
функцию поверхностного интеграла в формуле Стокса
можно рассматривать как скалярное произведение орта
нормали к поверхности
п° = г cos а + j cos p + к cos у A6.21)
и вектора, называемого ротацией поля или вихрем поля:
A6.22)
В силу этого формулу Стокса A6.20) можно переписать в
векторной форме так:
-йг=^то1В.пЫз. A6.23)
(а)
Левая часть этой формулы является циркуляцией поля по
контуру (L); правая же часть является потоком ротации
через (о). Получается следующая теорема.
Теорема Стокса. Циркуляция поля по замк-
замкнутому контуру равна потоку ротации этого поля через
поверхность, ограниченную этим контуром.
§ 2. Ротация поля
1. Символическая формула для ротации. Постараемся
придать весьма громоздкой формуле A6.22), определяю-
определяющей ротацию поля, более компактный и удобный для за-
запоминания вид. Для этого перепишем ее так:
ГЛ. XVI. ТЕОРЕМА СТОКСА. РОТАЦИЯ ПОЛЯ
267'
Непосредственно видно, что правую часть формулы мож-
можно записать в виде символического определителя третьего
порядка:
rot R —
I j lc
д д д
дх d;i dz
X Y Z
A6.24)
В этом определителе среднюю строку занимают операто-
операторы частных производных. Чтобы получить развернутое
выражение для ротации, достаточно символический опре-
определитель развернуть, согласно обычным правилам, по
элементам первой строки. При этом, только надлежит рас-
рассматривать «умножение» символического элемента второй
строки на элемент третьей строки как соответствующее
дифференцирование.
Символическим представлением ротации в форме опре-
определителя третьего порядка A6.24) мы и будем в дальней-
дальнейшем пользоваться.
2. Инвариантность понятия ротации. Ротация поля
возникла у нас при выводе формулы Стокса и была опре-
определена координатной формулой A6.22). Из этой формулы
непосредственно не следует независимость понятия ро-
ротации от выбора координатной системы, т. е. не следует,
что в каждой точке векторного поля вектор ротации одно-
однозначно определяется только самим векторным полем. Мы
эту однозначность теперь
докажем, т. е. докажем,
что понятие ротации есть
понятие, определенное
внутренними свойствами
поля, инвариантное по от-
отношению к выбору системы
координат.
Возьмем в векторном
поле It точку М нисходя-
нисходящий из нее единичный
вектор н°. Проведем через точку М плоскость, перпен-
перпендикулярную вектору п°. Па этой плоскости возьмем
какую-либо область (сг), содержащую точку М и окружен-
окруженную контуром (L) (рис. 168). На основании формулы
Рис. 108.
2С8 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
CioKca A6.23) мм можем написать
j> 2J-dr=$ rot R-пЧз. A0.25)
(L) (о)
Допустим, что в поло имеются две ротации Р, и Р2, яв-
являющиеся непрерывными векторными функциями от коор-
координат текущей точки поля. Тогда предыдущую формулу
A6.25) можно записать двумя способами:
(L) (a) (i.) (а)
Вычитая из первого равенства второе, получим
Sm-
Пусть в данной точке М скалярное произведение (Р, —
— Р2)-п° отлично от нуля, например положительно. Так
как это скалярное произведение меняется непрерывно,
то мы можем окружающую точку М область (а) взять
столь малых размеров, что внутри нее скалярное произве-
произведение будет оставаться положительным во всех точках,
а тогда положительным будет и весь интеграл:
Но это противоречит доказанному равенству нулю этого
интеграла. Итак
(Р1-Р8)-п° = 0
для любой точки М и для любого направления п°, а это
значит, что
Рх-Р, = 0,
т. е.
1\ = Р2.
Однозначность ротации доказана.
3. Ротация как предел отношения. Возьмем в вектор-
векторном поле JB точку М и исходящий из нее единичный вектор
пй. Проведем через точку М плоскость, перпендикуляр-
перпендикулярную вектору те0. На этой плоскости построим контур (L),
ГЛ. XVI. ТЕОРЕМА СТОКСА. РОТАЦИЯ ПОЛЯ
269
ограничивающий площадку (а), внутри которой паходит-
ся данная точка М (рис. 168). На основании формулы Сток-
са мы можем написать
(L)
(а)
К поверхностному интегралу, распространенному по пло-
плоской площадке (о), мы применим теорему о среднем значе-
значении. В результате получим
& Rdr =
A6.26)
где (rot R)jft есть значение ротации в некоторой точке М
области (а).
Разделив обе части полученной формулы па о и пред-
предположив, что контур (L) стягивается к выбранной точ-
точке М, мы получим
Rdr
A6.27)
Эта формула определяет проекцию ротации на любое
направление п° бескоординатным образом. Следователь-
Следовательно, фактически она бескоорди-
бескоординатным образом определяет и са-
саму ротацию, так как для опре-
определения вектора достаточно
знать его проекции на три
взаимно перпендикулярных
направления.
4. Ротация поля скоростей
твердого тела. Скорость v про-
произвольной точки М твердого
тела A0.44) слагается из скоро-
скорости v0 его фиксированной на-
начальной точки Мо и скорости
о) X р, обусловленной его вра-
вращением с мгновенной угловой
скоростью w вокруг мгновенной оси, проходящей через
Мо (рис. 169);
в X р. A6.28)
Рнс. 169.
V
Vo
270
ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Вектор р, соединяющий фиксированную точку тела
ь {х& Уи, z0) с его текущей точкой М (х, у, z), имеет
вид
р = г (х — х0) -f j (у — (/о) -г fc (z — z0).
Положив
v = iX l jY + kZ,
мы получим из векторной формулы A6.28), определяющей
скорость v, три координатных формулы для проекций
этой скорости:
X = Хо -1- СО,, B — 20) — Щ(У— Уо),
Z = Zo + ах (у — г/0) — со(; (ж —
A6.29)
Подчеркнем, что в фиксированный момент времени t пере-
переменными являются только х, у, г; все остальные вели-
величины х0, у0, г0, ых, «,„ сог, Хо, Yo, Zo являются величинами
постоянными. Опираясь на это, мы вычислим ротацию
поля скоростей v:
rot v =
i
д
X
э
д
к
_а_
ду dz
Y Z
an
dX
Итак, ротация поля скоростей твердого тела в любой
его точке равна удвоенной угловой скорости:
rot v = 2w. A6.30)
Замечание. Найденный механический смысл ро-
ротации имеет гораздо более широкое зпачепие. В гидро-
гидромеханике показывается, что движение бесконечно малой
жидкой частицы в текущей жидкости с точностью до беско-
бесконечно малых высшего порядка можно расчленить на по-
поступательное, вращательное и деформацию. Оказывает-
Оказывается, чю при таком расчленении ротация поля скоростей
ГЛ. XVI. ТЕОРЕМА СТОКОА. РОТАЦИЯ ПОЛЯ
271
текущей жидкости и дает удвоенную угловую скорость
частицы. В отлично от рассмотренного поля скоростей
точек твердого тела, ротация поля скоростей текущей
жидкости в каждой точке будет своя.
§ 3. Оператор Гамильтона
1. Символический вектор «набла». Дифференциальные
операции теории поля можно в весьма значительной сте-
степени алгебраизировать путем введения особого векторно-
дифференциалыюго оператора, который обозначают зна-
знаком V «пабла». Этот оператор появился еще у Гамильтона.
Он возникает из основных дифференциальных операций
теории поля следующим образом.
а) Градиент скалярного поля, т. е.
ЭФ
условно можпо записать так:
дФ
_
ЭФ
б) Дивергенцию векторного поля, т. е.
р.. та ОХ . dY , dZ
DlV It = -5 \- -z Ь -5- »
dr дц dz
условно можно представить как «скалярное произведе-
произведение», если формально применять правило скалярного
умножения векторов в координатной форме:
Div Л == (г ±+j
+ ft 4r
в) Ротацию векторного ноля, т. е.
i j к
. т, д д д
rot М = ^— -^— -з-
дя ay 9z
ЛГ Г Z
также можно условно рассматривать как «векторпое про"
взведение»:
rot R = {i JL + J |- + и —) X (IX -Ь jY + kZ).
JL
—
272 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Итак, сама собой напрашивается мысль ввести для сок-
сокращенной записи формул символический «век-
«вектор-оператор»
дх ' J ду dz
При помощи этого вектора-оператора можно записать
основные дифференциальные операции теории поля сле-
следующим образом:
grad Ф = VO, Div В = V-JJ, rot R = V X 12.
A6.31)
Такая запись дифференциальных операций широко рас-
распространена. Как показывает опыт, пользование формаль-
формальной аналогией вектора-оператора V с обычным вектором
весьма сильно сокращает выкладки.
Глава XVII
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
Чрезвычайно большое значение в физике имеют век-
векторные поля, для которых тождественно равна нулю либо
дивергенция, либо ротация, либо и та и другая величины
вместе. Изучением этих полей мы и займемся.
§ 1. Потенциальное поле
1. Потенциальное поле как безвихревое поле. Вектор-
Векторное поле -В называется потенциальным, если в каждой
его точке ротация равна нулю:
rotJS = 0. A7.1)
Потенциальное поле называют также безвихревым по-
полем.
Примером потенциального поля может служить элек-
электростатическое поле JE (см. гл. XVIII, § 1).
2. Поле градиента. Рассмотрим произвольное скаляр-
скалярное поле
Ф = Ф (*, у, г). A7.2)
ГЛ. XVII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
273
В каждой точке этого поля единственным образом опреде-
определяется градиент поля
gradO^^-l-^+fc-^. A7.3)
Следовательно, каждому скалярному полю соответствует
определенное векторное поле — поле градиента.
Найдем ротацию поля градиента какой-либо скаляр-
скалярной функции:
rot(grad Ф) =
дх
j
д
ду
дФ дФ
дх ду
к
д
dz
дФ
dz
_ . / д*Ф _
\dydz dzdyj
didx
\дхду dydxj ~~
\дхду
Получается следующая
Теорема. Поле градиента любой скалярной функ-
функции есть поле потенциальное:
rot (grad Ф) = 0. A7.4)
3. Циркуляция потенциального поля по замкнутому
контуру.
а) Рассмотрим в потенциальпом поле -В замкнутый кон-
контур (L), ограничивающий некоторую область поверхности
(о), целиком принадлежащую полю (рис. 170). На осно-
основании теоремы Стокса можем написать
IL)
(a)
По условию поле потенциальное, т. е.
rot It = 0.
13 силу этого мы получим равенство пулю циркуляции:
f§R-dr=r.<d. A7.5)
(L)
Заметим, что существенным было предположение о
принадлежности (б) полю. Только па этом основании мы
и могли применить теорему Стокса.
274
ЧАСТЬ 9. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Не всегда контур (L), целиком находящийся в поле,
может ограничивать поверхностную область (о), также це-
целиком принадлежащую полю. Например, если поле за-
занимает не все пространство, а лишь некоторую область,
расположенную вокруг бесконечного круглого цилиндра
(рис. 171), то контур (L), охватывающий этот цилиндр,
Рис. 170.
Рис. 171.
не может ограничивать пикакую поверхностную область
(о), не пересекающую этого цилиндра и принадлежащую
целиком полю.
Характерной особеннистыо контура, который способен
ограничивать поверхностную область (с), целиком при-
принадлежащую полю, является возможность непрерывной
деформацией стянуть его в точку поля, не пересекая гра-
границ поля. При таком стягивании контур и опишет поверх-
поверхностную область (о), целиком лежащую в поле.
Итак, доказанное выше равенство нулю циркуля-
циркуляции потенциального поля относится только к контурам,
которые стягиваются к точке без пересечения границ
поля.
б) Допустим, что, обратно, циркуляция пекоторого
поля по любому замкнутому контуру, который можно
стянуть в точку, не пересекая границ поля, равна нулю;
R-dr= 0.
Представив проекцию ротации этого поля на произволь-
произвольный вектор п° в виде предела отношения A6.27), мы
ГЛ. XVII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
275
получим
Rdr
(rot B)M ¦ п° = lim ^ = О,
(L)-*M 3
откуда в силу произвольности п°
rot В = О,
т. с. рассматриваемое поло потенциальное.
Итак, получается следующая
Теорема. Векторное поле является потенциальным
полем тогда и только тогда, когда равна нулю циркуля-
циркуляция по любому замкнутому контуру, который можно стя-
стянуть в точку поля, не пересекая его границ.
4. Циркуляция потенциального поля между двумя
точками. Если всякий замкнутый контур поля можно
стянуть в точку, не пересекая границ, то поле называется
односвязным. Если поле не односвязное, то его можно сде-
сделать односвязным при помощи введения дополнительных
границ. Так, поле, занимающее область, расположенную
вокруг цилиндра (рис. 171), превращается в односвязное,
если в качестве дополнительной границы присоединить
кусок плоскости, ограниченный одной из образующих
Рис. 172.
Рпс. 173.
цилиндра и линией пересечения плоскости с границей обла-
области (рис. 172). Тогда уже пельзя будет провести контур,
принадлежащий полю и охватывающий цилиндр. Всякий
же другой контур непрерывной деформацией можно стя-
стянуть в точку.
276
ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Итак, введя в случае необходимости дополнительные
границы, мы можем считать произвольное потенциальное
поле односвязным.
Соединим точку Мо (х0, у0, z0) этого потенциального
поля с точкой М (х, у, z) двумя путями (Lj) и (L2)
(рис. 173), направленными от Ма к М. Циркуляция ноля
по замкнутому контуру, образованному линией (?х) и
линией, противоположно направленной (L2), равна нулю,
т. е.
R-dr = О,
Rdr-
ИЛИ
(Li)
= § Rdr.
(L2)
A7.6)
Итак, циркуляция односвязного потенциального поля
между точками Мо и М не зависит от пути, соединяющего
smu точки, и является функцией только от координат
начальной и конечной точек. Эту циркуляцию мы будем
обозначать так:
J R dr.
(Л1„Л1)
5. Потенциал. Циркуляция односвязпого потенци-
потенциального поля между фиксированной точкой Мо (х0, у0, zn)
и текущей точкой
М {x,y,z) по доказанно-
доказанному независит отпути,со-
отпути,соединяющего эти точки,
и является функцией
только от текущих коор-
координат х, у, z:
J B-dr = <D{xty,z).
(Л10М)
A7.7)
Найдем частные про-
Рис. 174. изводные этой функции
по х, у, z. Дадим аргу-
аргументу х приращение Ах. Тогда точка М (х,у, z) перемес-
переместится в новое положение М1 (х + Ах, у, z) (рис. 174),
ГЛ. XVII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ 277
и мы получим
Ф(ж + Ах, у, z) = J B-dr=* I B-dr + jj R-dr.
(JtfoMi) (Д/0М) (MMi)
A7.8)
Следовательно,
Ф(х + Ах,у, z) — <X>(x,y,z)=--
§ JR-dr= ^ X d% + Y dy + Z dz.
(MM,) (MM,)
Вдоль отрезка ММ1 мы имеем
х ^% ^ х + Ах, у = у, z = z, dy = 0, dz = 0.
В силу этого
ж+Дж
Ф(ж-|-Дх, у, г)-Ф(ж, у, z)=
ос
Применив к интегралу теорему о средпем значении, мы
найдем
Ф (х 4- Ах, у, z) — Ф (х, у, z) = АхХ (х + 0Ах, у, z).
Разделив на Ах и перейдя к пределу при Ах —*¦ 0, мы по-
л учим
-^ = X (х, у, z). A7.9)
ОХ
Совершенно таким же путем мы вычислим частные про-
производные функции Ф по у и по z:
= Z(x,y,z). A7.10)
На основании полученных формул мы можем вектор
поля It представить так:
М = г -т -у-» \-к-т—, lH.il)
ИЛИ
jB = grad Ф. A7.12)
278 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Получается следующая
Теорема. Вектор потенциального поля является
градиентом некоторой скалярной функции.
Определение. Скалярная функция Ф, градиент
которой равен вектору потенциального поля, называется
потенциалом поля.
Потенциал поля R вычисляется, следовательно, но
форм уле
Ф- \ К dr. A7.13)
(JMi)
Замечание. Если к потенциалу Ф поля R при-
прибавить константу, то получится потенциал того же поля:
grad (Ф + С) = grad Ф -= R.
,ва потенциала векторного по;
на константу. Действительно
grad Ф — R и grad Ф = R.
Обратно, два потенциала векторного поля отличаются
друг от друга на константу. Действительно, пусть
Тогда
grad (Ф — Ф) =•- О,
т. е.
д(Ф_Ф) д(Ф-Ф) п <?($ —Ф) п
¦ ; - U, ^ — U, г - U,
д.с ' ду ' dz '
ИЛИ
ф _ ф .-.= С.
Итак, если Ф — некоторый потенциал данного потен-
потенциального поля, то всякий другой потенциал Ф этого же
поля имеет вид
Ф = Ф + С. A7.14)
6. Элемент циркуляции. Под элементом циркуляции
понимается скалярное произведение вектора поля и диф-
дифференциала радиуса-вектора точки, т. е. произведение
Л-dr.
Если поле потенциально, то R — grad Ф, и потому
Tt-dv = grad Ф-dr = с2Ф.
Пусть, обратно,
R-dr = d<$,
ГЛ. XVII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ 279
т. е
B-dr — grad Ф-dr.
Отсюда следует
В = grad Ф,
т. е. поле потенциально. Получается следующая
Теорема. Элемент циркуляции поля является пол-
полным дифференциалом - некоторой функции Ф,
dQ> = Bdr, A7.15)
тогда и только тогда, когда поле потенциально. При этом
указанная функция Ф и является потенциалом поля.
7. Характеристические признаки потенциального по-
поля. Итак, потенциальное поле В характеризуется нали-
наличием следующих признаков.
а) Ротация поля равна нулю:
rot В == 0.
б) Вектор поля является градиентом скалярной функ-
функции (потенциала)!
В = grad Ф,
причем
Ф=
в) Циркуляция поля по любому замкнутому контуру
равна нулю, если только контур можно стянуть в точку
поля, не пересекая его границ:
&B-dr=: 0.
d)
г) Элементарная циркуляция является полным диффе-
дифференциалом скалярной функции (потенциала):
Bdr = d0.
Основное утверждение, вытекающее из доказанных те-
теорем, состоит в том, что выполнение любого из перечислен-
перечисленных признаков является достаточным для того, чтобы
поле было потенциальным и чтобы выполнялись остальные
признаки.
280
ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
8. Вычисление потенциала. Для вычисления потенци-
потенциала Ф односвязного потенциального поля
R = iX (x, у, z) + jY (х, у, z) + kZ (х, у, ?) A7.16)
надлежит вычислить циркуляцию поля
Ф =
Рис. 175.
(Л(„Л7)
М(хш) _ С vjt
("'М> A7.17)
вдоль любого пути (М0М),
соединяющего произволь-
произвольно фиксированную точку
Мо с текущей точкой М.
Проще всего в качестве та-
такого пути взять координат-
координатную ломаную М0АВМ
(рис. 175), звенья которой параллельпы соответствующим
координатным осям. Обозначим через х, у, z координаты
текущей точки па пути интеграции.
Вдоль первого звена (М„А) мы получим
у — у0, z = z0, dy ¦— 0, dz = 0, х0 < $ < ж,
(х, 1/0, z0) dx. A7.18)
Вдоль второго звена (АВ) получим
Я = х, z = z0, <й = 0, dz = 0, г/о < У < У,
A7.19)
=5j Y(x,y,zQ)dy.
Но
Вдоль третьего звена (ВМ) получим
х = а:, у = г/, йг =-- 0, dy = 0, г0 < z
z,
A7.20)
ГЛ. XVTI. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
281
Сложив найденные интегралы, мы получим формулу
для вычисления потенциала:
X ц Z
Ф = \ X (х, z/0, z0) dx + \ Y (х, у, z0) dy+\z (x, У, 2) dz.
A7.21)
Vo
Пример. Дапо поле It — г Bху + z) + j (x2 —
—2у) + кх. Требуется показать, что оно потенциально,
и найти его потенциал.
а) Вычисляем ротацию:
к
д
* J
д д
дх ду
2xy+z ж2—2
= iO _ j A _ 1) -f- к Bх - 2x) - 0.
Следовательно, поле потенциально.
б) Вычислил! потенциал, приняв за начальную фик-
фиксированную точку начало координат:
Ф= \ Rdr= \
(ОМ) (ОМ)
Применив формулу A7.21), мы иайдем
Ф
— 2y)dy
В общем виде потенциал
может быть записан так:
Фобщ — ?2У — У2 + xz 4- const.
9. Центральное поле. Век-
Векторное поле называется цен-
центральным, если его вектор
определяется формулой вида
B=f(r)r, A7.22) д,
рассматриваемого поля
Рис. 176.
где г — радиус-вектор, со-
единяющий фиксированную
точку О (центр поля) с текущей точкой М (рис. J70).
282
ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Подсчитаем ротацию центрального поля:
j
rot В =
д д д
дх ду dz
X Y Z
A7.23)
Поместив начало координат в центр поля О, получим
г = гх + jy + kz,
X=f(r)z,Y*=f(r)y, Z=f (r) z,
* J
rot В =
Из формулы
следует
дг
дх
к
д д д
дх ду dz
f(r)x /(г) у /(г) z
A7.24)
A7.25)
A7.26)
= Ух2 + у% + z2
х дг__ _У__ ?L
г ' ду г ' dz
A7.27)
В силу этого
rot R = г [f (г) f.-f
[f (г) Н. _ Г (,) i
т. с.
rot В = 0.
Итак, центральное поле всегда потенциально. Найдем
его потенциал:
Ф= J Bdr= J f(r)r-dr. A7.29)
(М'0М) (Ai0M)
Дифференцирование тождества г2 = г2 даст
r-dr = rdr. A7.30)
Поэтому получается следующая простая формула для вы-
вычисления потенциала центрального поля;
г
A7.31)
ГЛ XVII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
283
10. Вихревые шнуры. Границами векторного ' поля
могут служить поверхности, а также отдельные точки и
линии, не принадлежащие полю.
Вихревым шнуром называется отдельная граничная ли-
линия поля, не оканчивающаяся внутри поля.
Мы рассмотрим вихревой шнур в потенциальном поло.
Заметим, что поле, в котором есть вихревой шнур, не яв-
является односвязным. Замкну-
Замкнутый контур, охватывающий вих-
вихревой шнур, нельзя стянуть к
точке поля, не пересекая гра-
границ поля. Следовательно, цир-
циркуляция поля по такому кон-
контуру не обязательно равняется
нулю.
Рассмотрим два замкнутых
коптура (Л,ВуС-д и (AiBiC2),
охватывающих по одному
разу вихревой шнур / и не
охватывающих других вихре-
вихревых шнуров (рис. 177). Соеди-
Соединим точки Ах и Аг этих кон-
контуров линией (А1А2) И рассмот-
рассмотрим получившийся новый зам-
замкнутый контур (А^А.гСгВгАг
АуВ^С^А-,), в котором линия
Л,/12 повторяется два раза. Этот контур можно стянуть в
одну точку поля, не пересекая его границ. Следовательно,
циркуляция поля по этому контуру будет равна нулю, т. с.
Pirc. 177.
\ R-dr-\- I R-dr
(А\лг) (А2СгВ,Л2)
\- § R-df
(АгЛ,)
B-dr=0.
Циркуляция по линиям (
жаются, и мы получаем
и (АгЛ^ взаимно уничто-
уничтоR-dr+
234
ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
ИЛИ
Jt-dr=-- \
В-dr.
A7.32)
Итак, циркуляция потенциального поля по замкнутому
контуру, который охватывает один раз данный вихревой
шнур и не охватывает других вихревых шнуров, есть вели-
величина постоянная, не зависящая ни от формы, ни от поло-
положения указанного контура. Эта циркуляция / называется
интенсивностью или мощностью вихревого шнура.
Замечание 1. Знак интенсивности / вихревого
шпура зависит от направления обхода контура. Обычно
Рис 178.
Рис. 179.
выбирают определенное направление самого вихревого
шнура и обходят контур по правилу правого винта
(рис. 178):
/= <§R.dr. A7.33)
(Г.)
3 а м с ч а н и с 2. Отношение циркуляции поля но зам-
замкнутому контуру (L), который охватывает один вихревой
шнур с ненулевой мощностью /, к площади поверхности
(о), ограниченной этим контуром, т. е.
$ R-dr
а'.)
A7.34)
ГЛ. XVII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ 285
стремится к бесконечности, когда контур (L) и. ограни-
ограниченная им область (а) стягиваются в точку М.
Следовательно, можно сказать, что во всех точках вих-
вихревого шнура с ненулевой интенсивностью ротация поля
обращается в бесконечность.
ЗамечаниеЗ. Если контур (L) обвивает вихревой
шнур песколько раз (рис. 179), то циркуляция поля вдоль
этого контура равна произведению мощности / шнура на
число п обходов вокруг шнура:
&R-dr = nJ. A7.35)
(L)
Замечапие 4. В гидромеханике вихревым шнуром
является линия, вокруг которой происходит вращатель-
вращательное движение жидкости панодобие смерча. В теории элек-
электричества вихревым шнуром является провод, по которо-
которому течет ток (см. гл. XVIII, § 3), и т. д.
§ 2. Соленоидалыюе поле
1. Соленоидалыюе поле как поле несжимаемое. Поле
R называется соленоидалъным или трубчатым, если в
каждой его точке дивергепция равна нулю;
Div R = 0. A7.36)
Соленоидальпое поле называют также несжимаемым.
Происхождение последнего названия достаточно понятно
в связи с гидромеханическим смыслом дивергенции. Про-
Простейшим примером несжимаемого поля является поле скоро-
скоростей потока несжимаемой жидкости. Причина названия та-
такого поля трубчатым (солепоидальным) выяснится дальше.
2. Поле ротации. Рассмотрим поле ротации произволь-
произвольного векторного поля Р:
В = rot Р, A7.37)
т. е.
i
д
дх
J
д
ду
РУ
к
д
dz
Pz
286
ЧАСТЬ 8. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Вычислим дивергенцию этого поля:
DiVjB=^+^ '*'
дх
дгРг
дудх
дгдх
дхду
д'-Ру
дх dz
ду dz
= о.
Получается следующая
Теорем а. Поле ротации произвольного векторного
поля является соленоид алъным, т. е.
Div (rol Р) = 0. A7.38)
3 а м е ч а н и е. Чрезвычайно наглядно это утверж-
утверждение выглядит в операторной форме:
Div (rot Р) = V-(V X Р). A7.39)
Но мы знаем, что векторно-скалярное произведение, со-
содержащее два одинако-
одинаковых множителя, равно
нулю. Поэтому
V- (V X Р)=0. A7.40)
3. Поток солено и-
дального поля чер ез
замкнутую поверхность.
а) Рассмотрим в со-
лепоидальном поле R
замкнутую поверхность
(а), ограничивающую
область (V), целиком
принадлежащую полю (рис. 180). Теорема Остроградско-
Остроградского дает
Рис. 180.
(V)
Т;»к как поле соленоидально, то
Div-R = О,
и потому
A7.41)
ГЛ. XVIT. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
$87
б) Пусть, обратно, в некотором поле В поток через
любую замкнутую поверхность, которую можно стянуть
в точку, не пересекая границ поля, равен нулю. По фор-
формуле A5.18), выражающей дивергенцию в виде предела
отношения.
R-n»d<s
Div В = lim
(o)-*0
= 0
т. е. рассматриваемое поле соленоидально. Итак, имеет
место
Теорема. Векторное поле является соленоидалъным
тогда и только тогда, когда равен нулю поток поля через
всякую замкнутую поверх-
поверхность, которую можно
стянуть в точку, не пе-
пересекая границ поля:
(Ы
Рпс-
4. Трубчатое строепие
соленоидалыюго поля.
Векторной трубкой по-
ля называется трубка,
образованная векторными
линиями поля, пересекающими
(рис. 181).
Рассмотрим в соленоидальпом поле отрезок векторной
трубки, ограниченный двумя поперечными сечениями
(а:) и (сг2). Поток поля через полную поверхность этой
трубки по доказанному равен нулю, т. е.
заданпый контур (L)
наружи
(ог) наружн
(обок) иаружя
Но на боковой поверхности трубки В J_ п", т. е. В-п" =
= 0. Нормали к (сх) и (а2) условимся направлять в ту
283
ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
сторону, куда направлены векторы поля. Если, например,
«течение поля» направлено от (oj) к (а2) (рис. 182), то на
Рис. 182.
поверхности (аг) наружную нормаль придется заменить
внутренней, и мы получим
("О
т. е.
A7.42)
Итак, поток поля через любое поперечное сечение данной
векторной трубки один и тот же. Он называется мощ-
мощностью этой трубки.
Отсюда следует, что векторная трубка не может окон-
окончиться внутри поля.
Д ействительно, если бы векторная трубка сош-
сошлась в точку поля, то благодаря постоянству потока в этой
точке вектор поля обратился бы в бесконечность, т. е. эта
точка была бы особой.
Полученное свойство и называют свойством трубчатос-
ти или соленоидалъности поля.
Замечали е. Поле вихрей (поле ротации) всегда
является полем солепоидальным. Поэтому оно всегда име-
имеет трубчатое строение (вихревые трубки не могут окан-
оканчиваться внутри поля).
ГЛ. XVII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ НОЛЯ 289
5. Векторный потенциал. Пусть имеется соленоидаль-
ное поле:
R = iX + jY+kZ, A7.43)
Div В = ^- + -^ + ^- = 0. A7.44)
дх ' дц dz х '
Попытаемся определить новое векторное поле
так, чтобы его ротация равнялась вектору данного поля
J?, т. е.
rot P = В, A7.46)
или
ду dz
ii_iL
dz дх
¦^.-^-
9ж ду
A7.47)
Итак, дело сводится к решению системы трех диффе-
дифференциальных уравнений в частных производных относи-
относительно трех неизвестных функций |, х\, ?. Мы будем искать
частное решение этой системы, налагая в процессе ее ре-
решения дополнительные ограничения на определяемые
функции (для упрощения решения).
а) Прежде всего для упрощения положим ? = 0. Тог-
Тогда система A7.47) примет вид
-|П.= Х, -Р-=У, |l-f- = Z. A7.48)
dz ' dz дх ду
Из первого и второго уравнений мы находим
dz + C1(x, у),
Эти выражения для г\ и \ удовлетворяют первому
и второму уравнениям при любых функциях Сх (х, у),
С2 (х, у) от двух аргументов хну. Теперь эти функции над-
надлежит подобрать так, чтобы удовлетворилось и третье урав-
уравнение. С этой целью мы подставим в него найденные
10 Г. Ф. Лаптев
290 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
выражения для г) и Е. В результате будем иметь
дх у } у
A7.50)
Для дальнейшего упрощения решения положим
^2 (хг У) = 0. Тогда наше уравнение перепишется так:
Мы видим, что отсюда можно определить функцию Сх (х, у)
от двух аргументов х, у, удовлетворяющую этому уравне-
уравнению, тогда и только тогда, когда правая часть не зависит
от аргумента г.
Убедимся, что этот факт в пашем случае имеет место.
Для этого вычислим производную по z от правой части:
= DivJR~=0.
Итак, правая часть не зависит от z, и мы простым интег-
интегрированием по х находим
^ ) A7.52)
Положив С (у) — 0, мы окончательно получим такое
частное решение нашей системы A7.47):
A7.53)
= 0.
Получается следующая
Теорема. Вектор соленоидального поля является
ротацией некоторого вспомогательного поля:
В = rot P. A7.54)
Определение. Вектор JP, ротация которого рав-
равна вектору данного соленоидального поля Rt называется
векторным потенциалом этого поля.
ГЛ. XVII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕК ГОРНЫЕ ПОЛЯ 291
Замечания, а) Если к векторному потенциалу Р
поля В прибавить градиент любой функции, то получится
векторный потенциал того же поля. Действительно,
rot (Р + grad Ф) = rot P + rot (grad Ф) = rot P -f 0 =
= rot P.
б) Два векторных потенциала векторного поля отли-
отличаются друг от друга на градиент некоторой функции.
В самом деле, пусть В = rot Рг и В = rot P2, тогда
rot (Рх - Р2) = 0.
По если ротация поля равна нулю, то поле потенциально
и вектор поля является градиентом потенциала, т. е.
Рх — Рг — grad Ф.
Итак, общий вид векторного потенциала векторного поля
В таков:
Р + grad Ф, A7.55)
где
rot Р = В
и Ф — произвольная функция.
6. Характеристические признаки соленоидального поля.
Итак, солепоидальное поле В характеризуется нали-
наличием следующих признаков.
а) Дивергенция поля равна тождественно нулю}
Div jR = 0.
б) Вектор поля В является ротацией вспомогательного
векторного поля Р (поле векторного потепциала):
В = rot P.
в) Поток поля через любую замкнутую поверхность ра-
равен нулю, если только поверхность можно стянуть в точку
поля, не пересекая границ поля:
B-n°d3 = 0.
(а)
Основное утверждение, вытекающее из доказанных
теорем, состоит в том, что выполнение любого из перечис-
перечисленных признаков является достаточным для того, чтобы
1Э*
292
ЧАСТЬ 8. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
поле было соленоидальным и чтобы, выполнялись остальные
признаки.
7. Источники и стоки. Отдельную граничную точку
Q поля, не примыкающую к другим граничным точкам,
мы будем называть точечным источником поля.
Мы будем рассматривать источник @ соленоидально-
го поля. Пусть поверхность (о) ограничивает область (V)
поля, внутри которой распо-
расположен данный источник (Q),
и нет других граничных то-
точек поля (рис. 183). Эту по-
поверхность (а) нельзя стянуть
в точку поля, не пересекая
граничной точки @. Поэто-
Поэтому поток поля через поверх-
поверхность (а) не обязательно ра-
равен пулю.
Рассмотрим внутри обла-
области (V) другую замкнутую по-
поверхность (at). В слое между
р 183 поверхностями (а) и (а,) со-
содержатся только точки на-
нашего соленоидального поля.
Поэтому поток через границу этого слоя, состоящую из
поверхностей (о) и (ах), должен равняться нулю. Заметив,
что наружная по отношению к слою нормаль поверхности
(о-,) является внутренней нормалью по отношению к облас-
области, ограниченной этой поверхностью (аг), мы получим
(о) наружи
(о,) виутр
ИЛИ
. A7.56)
(о,) иаружн
(а) наружи
Итак, поток поля через поверхность (а), ограничиваю'
щую источник @ и не ограничивающую других источни-
источников, есть величина постоянная, не зависящая от формы
мверяности. Этот поток Q и называется мощностью или
ГЛ. XVII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ 293
обильностью источника (Q):
Q =, (g R.nods. A7.57)
(а) наружи
Замечание 1. Источник соленоидального поля с
отрицательной мощностью пазыватот также стоком поля.
Замечание 2. Отношение потока поля через зам-
замкнутую поверхность (а), которая ограничивает область
(У) поля с источником (Q) ненулевой мощности, к объему
области V, т. е.
(g> / = -f, A7.58)
стремится к бесконечности, когда поверхность (а) стяги-
стягивается к данному источнику. Следовательно, можно счи-
считать, что в источнике с ненулевой мощностью диверген-
дивергенция поля обращается в бесконечность.
3 а м е ч a it и е 3. В поле скоростей потока жидкос-
жидкости понятия источника и стока имеют буквальный смысл.
В теории электричества роль источников играют электри-
электрические заряды (см. гл. XVIII, §§ 1 и 2).
Замечание 4. Вообще говоря, источниками мо-
могут быть не только изолированные точки, но и отдельные
области.
§ 3. Потенциальное иеезкимаемое поле
1. Уравнение Лапласа. Потенциальным несжимае-
несжимаемым полем называется такое поле, в каждой точке которо-
которого дивергенция и ротация равны нулю:
Div It = 0, A7.59)
rot -К = 0. A7.60)
Из условия потенциальности A7.00) следует паличие ска-
скалярного потенциала U, градиентом которого является век-
вектор поля:
+ ; + fc A7.61)
Подставив выражение вектора -К через потенциал U
294 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ .
в уравнение несжимаемости A7.59), мы получим
d2U d~U ОЧГ __ ~ ..-, рг,.
Это уравнение впервые возникло в теории тяготения
у знаменитого французского механика Лапласа A749—
1827) и потому называется уравнением Лапласа. Впослед-
Впоследствии обнаружилось большое зиачение несжимаемых по-
потенциальных векторных полей, а вместе с тем и уравнения
Лапласа A7.62) в различных разделах физики. Поэтому
часто такие поля также называют полями Лапласа.
Итак, скалярный потенциал несжимаемого потенциаль-
потенциального поля удовлетворяет уравнению Лапласа A7.62).
Замечание. Всякая функция, удовлетворяющая
уравнению Лапласа A7.62), называется гармонической
функцией. Таким образом, потенциал несжимаемого по-
потенциального поля является гармонической функцией.
2. Оператор Лапласа. Скалярный квадрат оператора
Гамильтона у называется оператором Лапласа Д:
Д = V2. A7.63)
Следовательно,
или
дхг ' дуг ' dz2 ' \ ' )
Уравнение Лапласа A7.62) при помощи этого оператора
можно записать так;
AU =0. A7.65)
Глава XVIII
ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ
§ 1. Электростатическое поле точечного заряда
1. Напряженность электростатического ноля точечно-
точечного заряда е. Электрический точечный заряд е создает в ок-
окружающем пространстве поле электрической напряженнос-
напряженности Е. Вектор напряженности Е в данной точке является
отнесенной к единице заряда силой, с которой поле воз-
гл, xviri, простейшие электромагнитные поля 295
действует на положительный электрический заряд, по-
помещенный в данную точку.
По закону Кулона сила взаимодействия двух зарядов
направлена по соединяющей их прямой, пропорциональ-
пропорциональна этим зарядам и обрат-
обратно пропорциональна квад-
квадрату расстояния между
ними. При надлежащем в г- А/ ? __
выборе единиц измерения О
коэффициент пропорцио-
пропорциональности можно считать
равным единице. Рис. 184.
Обозначим через г век-
вектор, соединяющий точеч-
точечный заряд е с рассматриваемой точкой М поля, в которой
мы поместим положительный заряд (рис. 184). Тогда вектор
напряженности Е определится формулой
Е^~г\ A8.1)
или
.Е=-?-. A8.2)
Единственной особой точкой рассматриваемого поля
является точка, в которой сосредоточен заряд е. В этой точ-
точке вектор поля Е обращается в бесконечность.
2. Дивергенция поля точечного заряда. Поместим на-
начало координат О в точку, где расположен заряд. Тогда
г = ix + jy + hz, A8.3)
и проекции вектора поля Е A8.2) на координатные оси
примут вид
Ех=е-^, Еу=еЛ-, Ez^e^-, A8.4)
где
г = /*¦ + »¦ + z2. . A8.5)
Вычислим дивергенцию поля Е по обычной формуле:
Приняв во внимание, что из формулы A8.5) для г следует:
дг х дг I/ дг z /«о уч
296
ЧАСТЬ 3, ТЕОРИЯ ПОЛЯ
мы получим
i/.3r«—
z-Зг2 —
Итак, дивергенция поля точечного заряда равна нулю
везде, кроме точки, в которой сосредоточен заряд (е кото-
которой дивергенция теряет смысл):
Div Е = 0. A8.8)
3. Поток поля точечного заряда через замкнутую по-
поверхность.
а) Пусть точечный заряд е расположен вне области
(V), ограниченной поверхностью (а). Тогда по теореме
Остроградского
Е • п° da = $5 Di v E dV.
Но мы показали, что для поля
порожденного точечным заря-
долг е, дивергенция равна нулю;
A8.9)
б) Пусть теперь заряд е расположен в области (V), огра-
ничепной замкнутой поверхностью (о). В этом случае
пользоваться формулой Остроградского уже нельзя, так
как Div E не всюду существует в области (V).
Окружим точку О, в которой сосредоточен заряд е,
сферой (ос.ф), целиком лежащей в области (V) (рис. 185).
Во всех точках поля, лежащих между исходной поверх-
поверхностью (а) и сферой (аСф), дивергенция поля равна нулю
Следовательно, в рассматриваемом случае
ГЛ. XVIII. ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ ПОЛЯ 297
Поэтому потоки поля Е через эти поверхности одинаковы
(гл. XVII, § 2, п. 7):
E-n°dcs = Ц E-n°da. A8.10)
(о) наружи (о0ф) наружи
Для сферы орт нормали п" совпадает с ортом радиуса-
вектора точки:
п9 = г». A8.11)
Обозначив радиус сферы (оСф) через а, мы на сфере полу-
получим
, _е_ 0 ег"
Следовательно,
Подставив это выражение в поверхностный иптеграл, рас-
распространенный по сфере, мы получим
й E-n°d°= й 1И5 = ^ й ^ A8Л2)
(о) наружи (ооф) (осф)
Но площадь поверхности сферы равна
Ц dc5 = 4iro2. A8.13)
Следовательно,
Ц A8.14)
(о) наружи
Итак, поток электростатического поля точечного заря-
заряда через замкнутую поверхность равен нулю, если поверх-
поверхность не охватывает заряд, и равен 4ле, если поверхность
охватывает заряд.
Следовательно, в электростатическом поле Е заряд е
следует рассматривать как источник с обильностью 4яе.
4. Ротация поля точечного заряда. Имея в виду
формулы A8.4) для проекций поля Е и формулы A8.7)
298 ЧАСТЬ 3, ТЕОРИЯ ПОЛЯ
производных радиуса-вектора г, мы получим
i j к
rot-E =
д д д
дх ду dz
Е* Ev Ег
= г
— 3ezy — 3eyz
/ - Ъе.гх - Зеxz \ I - 3ei/x - Зеху \ _ „
- J [ p -pr— j + « [—уо ~) - w-
Итак, ротация поля единичного точечного заряда равна
нулю во всех точках пространства кроме, конечно, точки,
в которой сосредоточен заряд и которая является особой
точкой поля:
rot E = 0. A8.15)
5. Потенциал поля точечного заряда. Равенство нулю
ротации означает потенциальность рассматриваемого но-
ноля Е A8.2). Вычислим его потенциал Ф:
Ф= \ E-dr^e \ ^~- A8.16)
Но из г2 = г2 следует r-dr = г dr. Поэтому
лч ^ * / М Iм / 1 , М
Ф = е \ —г = е —е[ ,
т. е.
Ф = —- -f const. A8.17)
Итак, поле точечного заряда A8.2) является полем гра-
градиента потенциала Ф:
() A8.18)
§ 2. Электростатическое поле системы
точечных зарядов
1. Принцип наложения (суперпозиции). Опыт показы-
показывает, что напряженность электростатического поля Е си-
системы N точечных зарядов ех, е2, ..., 6n получается сложе-
сложением напряженностей Еи Е„, ..., EN полей отдельных за-
зарядов:
Е = Е1 + Е2 + .... + EN. A8.19)
ГЛ. XVIII. ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 299
Обозпачим через rv r2, ..., rN радиусы-векторы точек,
в которых расположены наши заряды е1г ег,..., eN (рис. 186).
Тогда в точке поля с радиусом-вектором г напряженнос-
напряженности слагаемых полей определяются по закону Кулона
A8.2):
,..., 25N = ejvJ^" A8.20)
Г —- Г\ I
\г
Следовательно, напряженность Е суммарного поля будет
ра'на
N
A8.21)
2. Дивергенция и ро-
ротация поля системы то-
точечных зарядов. Дивер-
Дивергенция и ротация поля
являются линейными
комбинациями из частных производных от компонент поля:
DivI? = i^L + ^ + 4^-, A8.22)
ОХ О'/ 0Z
Рис. 186.
Отсюда непосредственно следует, что дивергенция и рота-
ротация суммы равна сумме дивергенций и соответственно ро-
ротаций слагаемых:
Div В = Div El + Div Ег + ... + Div EN, A8.24)
rot E = roi, E1 -f rot ^г -f ... + rot JE,V. A8.25)
Как мы видели (§ 1), дивергенции и ротации слагаемых
нолей отдельных точечных зарядов равны нулю. Поэто-
Поэтому и для суммарного ноля
Div В = 0, A8.26)
rot В = 0. A8.27)
300 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Итак, дивергенция и ротация поля системы точечных
зарядов равны нулю во всех точках пространства, где нет
зарядов. Следовательно, это поле является полем Лапласа.
3. Поток поля системы точечных зарядов через зам-
замкнутую поверхность. Рассмотрим произвольную замкнутую
поверхность (ст), пе проходящую ни через один из зарядов
поля Е. Поток поля Е через рассматриваемую поверхность
(о) будет равен
Е • n°do = ftV) Et ¦ n" do + ... + © EN ¦ n° ds. A8.28)
(а) (о) (о)
Пусть в области (F), ограниченной поверхностью (а), на-
находятся заряды ву, е2, ..., ек, остальные же заряды eftM, ...
..., е,\ находятся пне этой области. Тогда по доказанному
выше
$ Еу-пЧз = 4яех,..., $ Ek-n°da = Anek, A8.29)
(а) (а)
= O. A8.30)
(я) (а)
Следовательно, в силу A8.28) мы получим
Е ¦ п° da = 4л (ег + ... + ел). A8.31)
)
Итак, поток электростатического поля Е системы то-
точечных зарядов через замкнутую поверхность (а) равен про-
произведению 4я на сумму зарядов еа, расположенных внутри
области, ограниченной данной поверхности (о):
= 4лес. A8.32)
4. Потенциал поля системы точечных зарядов. Потен-
Потенциал Фк одного точечного заряда ек, как было показано
(см. A8.17)), равен
ГЛ. XVIII. ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 301
где г — гк — вектор, соединяющий точку расположения
заряда ек с рассматриваемой текущей точкой поля г. Поэто-
Поэтому на основании A8.18)
Ек = grad <Dt = grad (- , r !? r> , ) • A8-34)
Отсюда в силу A8.19)
Е = grad (- , а , - , f2 , - ... - . °N Л .
ь \ | г — п | \г — гг\ \r—rs\)
A8.35)
Таким образом, потенциал Ф поляЕ системы точечных
зарядов с точностью до постоянного слагаемого определя-
определяется формулой
N
ff=i"(r * к>
где г,, ..., r*iv —радиусы-векторы точек расположения за-
зарядов е15 ..., едг, >* — радиус-вектор текущей точки поля.
5. Непрерывно распределенный заряд. Пусть в об-
области (V), ограниченной поверхностью (а), распределены
положительные и отрицательные точечные заряды, алге-
алгебраическая сумма которых равна е. Измельчая заряды
и распределяя их между все больший и большим коли-
количеством точек области (V), мы будем приближаться к
непрерывному распределению по области (V) суммарного
заряда е. При непрерывном распределении электричества
в пространстве заряд каждой отдельной точки будет равен
нулю. Однако заряд е, каждой области (Fj) будет, вообще
говоря, отличен от нуля.
а) В процессе измельчения зарядов формула для пото-
потока поля A8.32) будет сохраняться. Следовательно, и в
предельном состоянии, когда заряды распределятся не-
непрерывно, есть все основания полагать, что эта формула со-
сохранится. Это подтверждается опытом. Таким образом, для
каждой области (V) электростатического поля Е, порож-
порожденного непрерывно распределенными зарядами, сохраня-
сохраняется формула A8.32)
E-n°ds =
(а)
302 ЧАСТЬ 3, ТЕОРИЯ ПОЛЯ
где е„ — непрерывно распределенный суммарный заряд в
области (У), ограниченной замкнутой поверхностью (а).
б) На основании формулы A5.18), представляющей ди-
дивергенцию в виде предела отношения, мы получим
{{ E-n°dcs
(Div Е)м= lim (-^—у = lim ~ = An lira —-.
A8.37)
Предел отт?ошения заряда е„ к объему У запятой им
области (У), когда последняя стягивается к точке М, на-
называется плотностью рл/ заряда в точке М:
lim ~ = р«. A8.38)
Следовательно, полученную формулу A8.37) можно пере-
переписать так:
(Div Е)м = 4ярм. A8.39)
Итак, дивергенция электростатического поля, порож-
порожденного непрерывно распределенными зарядами, в каж-
каждой точке равна плотности заряда, умноженной на 4л:
Div Е = 4лр. A8.40)
в) Опыт показывает, что при переходе к непрерывно
распределенному заряду ротация остается равной пулю
во всех точках поля как в области распределения заряда,
так и вне ее;
rot E = 0. A8.41)
I') Формула A8.36) для вычисления потенциала Ф при
непрерывном распределении заряда переходит в интег-
интегральную формулу
—, A8.42)
У> _ $)i+(у _Ч)«+(«_?)«
причем интеграл распространен по всей области (У), в ко-
которой распределены имеющиеся в поле заряды.
ГЛ, XVIII. ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 303
§ 3. Магнитное поле тока
1. Напряженность магнитного поля тока. Пусть ли-
линия (L) является проводом, по которому течет постоянный
ток силы /. Эта линия не может оканчиваться. Она либо
замкнутая; либо уходит концами в бесконечность (рис. 18 7)#
Рпс. 187.
Рис. 188.
Элементом^ тока в данной точке Р провода (L) называ-
называется вектор dl, который является произведением силы
тока / на орт касательной т к проводу в данной точке Р
и на дифференциал йздуги провода:
dl = Ixds.
Вокруг провода (L) образуется магнитное поле с опре-
определенной напряженностью Н в каждой точке М. По за-
закону Био — Савара элемент тока dl, соответствующий
точке Р провода (L), создает в произвольно взятой точке
М пространства элемент магнитной напряженности (III,
который определяется формулой
где
р=РМ.
304 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Итоговая напряженность Н магнитного поля, созда-
создаваемого в точке М током, текущим по проводу (Г,), опреде-
определяется криволинейным интегралом
(L)
По существу лишь в последней интегральной форме за-
закон Био — Савара имеет физический смысл и может быть
экспериментально проверен. Проверка же дифференци-
дифференциальной формы закона неосуществима, так как практически
неосуществим отдельный элемент тока dl.
2. Напряженность магнитного поля тока, текущего
по бесконечному прямолинейному проводу. Примем этот
провод (L) за ось Oz (рис. 188). Тогда координаты текущей
точки Р этого провода будут @, 0, s), в силу чего
р = РМ = г — sk = ix + jy + k (z — s),
p = Yx* + y2 + (z — s)\ dl = Ikals.
Следовательно,
H — [ dI X P — I [ fc X
т. e.
+ ds
Положив б = I^a:2 + у2, z — s — б tg cp, мы получим
cos2 фб3 sec3 ф
n тс
2 ~~T
т. е.
-а — z; 62 .
Подставив г — ix -{• jy + kz, мы найдем
дХ = Ы
ГЛ. XVIII, ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ
= 2/
Следовательно,
Изучим подробно полученное векторное поле Н.
3. Векторные линии поля II. Составим систему диффе-
дифференциальных уравнений векторных линии поля;
dx dy dz
dx
— У
dz
О
ИЛИ
xdx + у dy = 0, dz = 0.
Проинтегрировав эту систему, получим
х* + z/a = Clt z = С„
т. е. векторными линиями являются окружности с центра-
центрами на оси Oz, расположенные в плоскостях, параллельных
плоскости Оху.
4. Потенциал поля ?Г. Имеем
2/
- О
rot Л" =
дх
2/
д_
ду
2/ х
я2 + 2/2
dz
О
= 0.
Итак, поле И является и потенциальным и соленоидаль-
ным, т. е. является полем Лапласа. Найдем потенциал
этого поля:
ф_ С
(Л
^^
xdy
d [1-
= 2/ (arctg -^ - arctg ^ = 2/ arctg ? -f С
\ X Я-0/ З?
Мы видим, что при переходе через плоскость х = 0
полученный потенциал претерпевает скачок от —In до
11 Г. Ф. Лаптев
306 ЧАСТЬ 3, ТЕОРИЯ ПОЛЯ
+ In. Этого скачка можно избежать на полуплоскости х —
— 0, у <0, положив
Ф = 27 (arctg |- + f) при х > 0,
O = 2/(arctg -J —-f) при ж<0.
Полуплоскость а; = 0, у |> 0, на которой остается ска-
скачок (теперь уже от —2/л до +2/я), можно считать той
дополнительной границей поля, которая превращает его
в односвязное. Без этой границы поле не является одно-
связным, так как нельзя стянуть в точку поля контур,
охватывающий ось Oz, которая является особой линией
поля.
5. Провод как вихревой шнур. Ось Oz, на которой рас-
расположен провод (L), является особой линией (вихревым
шнуром) магнитного поля
так как при х = у «= 0 вектор поля И теряет смысл.
Вычислим интенсивпость / этого вихревого шнура, т. е.
циркуляцию поля Н по контуру, охватывающему ось Oz.
Эта циркуляция не зависит от выбора контура. Мы выбе-
выберем его в виде окружности (С), расположенной в плоскос-
плоскости Оху, с центром в начале и радиусом а\
х = a cos ф,
у = a sin ф,
z=0.
Тогда
2/"УДУУ = 2/^ a2sin2(P+/cos3% = 2/
т. е.
/ = 4л/.
Итак, провод (L) является вихревым шнуром созданного
им магнитного поля, причем интенсивность этого шнура
пропорциональна силе тока.
ГЛ. XIX. ИОЛЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 307
Глава XIX
ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ
§ 1. Криволинейные координаты
1. Система криволипейных координат. При помощи
декартовой системы координатных осей Oxyz каждой точке
пространства сопоставляется тройка чисел — тройка ее
декартовых координат. Обратно, каждой тройке координат
соответствует определенная точка пространства. Такое
соответствие между точками и тройками чисел может осу-
осуществляться не только при помощи декартовой системы
координатных осей. Например, положение точки над по-
поверхностью Земли очень удобно определять ее расстояни-
расстоянием от центра Земли и двумя географическими координа-
координатами — широтой и долготой. Общую идею введения ко-
координатной системы в пространстве или в некоторой ею
области (V) можно сформулировать следующим образом.
Ввести систему координат в некоторой области (V) прост-
пространства — это значит каким-либо способом установить
взаимно однозначное соответствие между точками этой
области (V) и системами значений трех переменных вели-
величин и1, и2, ия из некоторой области (V*) их изменения.
Значения этих трех переменных величин и1, и2, и9, соот-
соответствующие данной точке М пространства, называются
криволинейными координатами этой точки М. Причина
такого названия выяснится ниже.
Декартова система координат, которой мы до сих пор
пользовались, может рассматриваться как простейшая и с
многих точек зрения наиболее естественная система кри-
криволинейных координат. Однако для решения ряда спе-
специальных вопросов теории электромагнитного поля, гид-
гидромеханики и т. д. приходится пользоваться и другими
координатными системами.
2. Отображение, устанавливаемое системой криволи-
криволинейных координат. Предположим, что в рассматриваемой
области (V) пространства каким-либо способом введена
система криволинейных координат и1, и2, ия (рис. 189).
Вне связи с исходной областью (F) построим вспомога-
вспомогательную декартову систему координатных осей О*или?и*
и будем рассматривать криволинейные координаты и1,
11*
308
ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
и', и" как декартовы координаты в этой вспомогательной
системе (рис. 190).
Задав точку М в исходной области (У), мы определим
ее криволинейные координаты и1, и2, и3. По ним, как по
декартовым координатам, построим точку М* в системе
О*и}ийи9. Эту точку М* будем называть изображением ис-
исходной точки М. Если исходная точка М будет пробегать
Рис. 189.
Рис. 190.
всю область (У), то ее изображение М* будет пробегать не-
некоторую область, которая и является наглядным изоб-
изображением области (У*) изменения криволинейпых коор-
координат и1, и2, и3. Обратно, задав точку в области (У*), мы
определим ее декартовы координаты во вспомогатель-
вспомогательной системе О*иги2и3, т. е. определим криволинейные ко-
координаты точки, а значит, и саму точку в исходной облас-
области (У).
Таким образом, задание системы криволинейных коор-
координат и1, и2, и3 в области (У) пространства всегда можно
истолковывать как задание взаимно однозначного отобра-
отображения этой области (У) в некоторую область (У*), отне-
отнесенную к декартовой системе координат О*ихи2и8.
Чтобы оформить это отображение аналитически, мы
исходную область (У) также отнесем к какой-либо декар-
декартовой системе координатных осей Oxyz (рис. 189). Тогда
тройке значений криволинейных координат и1, и2, и9 бу-
будет соответствовать тройка значений х, у, z декартовых
координат и обратно. Это значит, что в рассматриваемых
ГЛ. XIX. ПОЛЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 3(К»
областях (V) и (V*) переменные х, у, z являются функ-
функциями от переменных и1, и2, и3:
х --= х (и1, и", и"-), у = у (и1, и2, и3), z = z (и1, и2, и3).
A9.1)
Обратно, переменные и1, и2, и3 являются функциями от
переменных х, у, z:
и1 = и1 (х, у, z), и2 = н2 (х, г/, z), гг3 = и3 (ж, г/, z).
A9.2)
Обратил! внимание на то обстоятельство, что если в не-
некоторой области (F) пространства введена декартова си-
система координат Oxyz и формально определено взаимно
однозначное преобразование A9.1) декартовых коорди-
координат х, у, z в новью переменные й1, и2, и3 из некоторой об-
области изменения, то эти новые переменные могут рас-
рассматриваться как криволинейные координаты в рассмат-
рассматриваемой области (V).
3. Координатные поверхности и линии. Если в неко-
некоторой области (V) пространства введена система криво-
криволинейных координат и1, и2, и3, то каждой системе зпаче-
ний переменных и1, и2, и3 из области (V*) их изменения
соответствует точка М области (V), а следовательно,
и радиус-вектор г этой точки. Это значит, что радиус-век-
радиус-вектор г текущей точки области (У) является функцией от
криволинейных координат и1, и2, и3 этой точки:
г = г (и1, и2, и3).
Если зафиксировать одну криволинейную координату
и3 = «о,
то радиус-вектор текущей точки будет зависеть лишь от
двух остальных координат и1, и2:
г = г (и1, и2, ио).
Текущая точка будет описывать в этом случае поверх-
поверхность (см. гл. XI, § 2, п. 1), которая называется коорди-
координатной поверхностью (и1, и2). Аналогично определяются
координатные поверхности (и2, и3) и (и3, и1).
Если зафиксировать две криволинейные координаты
и2 = Wo» и3 = ul,
310
ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
то радиус-вектор текущей точки будет функцией лишь от
одной оставшейся координаты и1, т. е.
г = г (и1, ul, ul),
и текущая точка будет описывать линию, которая называ-
называется координатной линией и1. Аналогично определяются
координатные линии и% и и3.
Таким образом, через произвольно взятую точку
М(щ, щ, и'о) проходят три координатные поверхности и три
координатные линии, по которым попарно пересекаются
и'
M
Рис.
Рис. 192.
координатные поверхности (рис. 191). В общем случае
координатные поверхности и линии будут кривыми. Этим
и объясняется название «криволинейные координаты».
В декартовой системе координат Oxyz координатными
поверхностями, проходящими через данную точку М,
являются плоскости, параллельные координатпым плос-
плоскостям, а координатными линиями—прямые, параллель-
параллельные координатным осям (рис. 192).
4. Линейный элемент. Квадратом линейного элемен-
элемента ds2 или фундаментальной квадратичной формой прост-
пространства называется скалярный квадрат dr2 полного диф-
дифференциала dr радиуса-вектора г текущей точки:
ds2 = dr2. A9.3)
Если пространство отнесено к декартовой системе ко-
координат Oxyz, то
r = ix + jy + kz,
dr =idx + jdy + kdz.
ГЛ. XIX. ПОЛЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 311
Следовательно, квадрат линейного элемента в декартовых
координатах выражается так:
ds- = dr2 = dx2 + dy2 + dz2.
Линейный элемент в криволинейных координатах.
Пусть в рассматриваемой области (V) пространства вве-
введена система криволинейных координат и1, и2, ия. Тогда ра-
радиус-вектор г текущей точки М (и1, и2, ия) будет функ-
функцией от ее криволинейных координат
г = г (и1, и2, иЛ) A9.4)
и его полный дифференциал будет иметь вид
dr = }\dul + r«du2 + r3du9, A9.5)
где ru ?-2, r3 обозначают частные производные радиуса-
вектора г по криволинейным координатам и1, и2, и3. В си-
силу этого мы получим
ds2 = dr2 = r1-rldutdul + rz-r2du2du2 + r3-r3du3du* +
+ 2г,.г2 duldu2 + 2r2-r3du2du3 + 2r3-r1du9dul,
или в сокращенной заниси
ds*=dr2== 2 rj.rjdwW. A9.6)
1,5=1, 2,3
Таким образом, квадрат линейного элемента пространства
всегда является однородным квадратным многочленом
относительно дифференциалов координат. Поэтому его
и называют фундаментальной квадратичной формой про-
пространства. Эта форма имеет шесть коэффициентов gy,
являющихся скалярными произведениями частных произ-
производных rlf rt, rs:
gij = ггг}. A9.7)
Геометрический смысл линейного элемента простран-
пространства состоит в том, что для произвольно взятой линии
г — г (t)
линейный элемент
ds =
дает дифференциал дуги этой линии.
312
ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Важное значение линейного элемепта определяется
тем, что через его коэффициенты g^ = г^Т} могут быть
выражены все другие геометрические величины простран-
пространства (углы между линиями, площади поверхностей, объ-
объемы и т. д.).
5. Элемент объема. Элементом объема в криволиней-
криволинейных координатах м1, и2, и3 называется объем dV (и1, и2, и3)
параллелепипеда, построенного на частных дифферен-
дифференциалах dutV, дигг, дизг радиуса-вектора г текущей точки
М (и1, и2, и3) по ее криволинейным координатам (рис. 193).
Рис. 193.
Объем параллелепипеда, построенного на трех векто-
векторах, равен абсолютной величине их смешанного произве-
произведения. Поэтому для элемепта объема dV (и1, и2, и3) полу-
получается формула
dV («1, и\ и3) = | (ди,г, д».г, 5u.r) | A9.8)
или
dV (u1, иг, и3) = | (гг, Го, г„) | du4u4u3. A9.9)
Замечание 1. Введем в пространстве декартову си-
систему координат Oxyz и разложим радиус-вектор г текущей
точки по ортам осей:
г = гх + jy + Icz.
ГЛ. XIX. ПОЛЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 313
Вычислим частные производные
дг . дх . дц , 7 dz
Of . дх , . дц , -, dz
' 2 ^^ "^—Ъ == 1 ~т~ Я —1— ~Р А/
ди2 du't ди^ ди'*
г3 =-- ~ = i—3 + j % + к — .
Пользуясь координатной формулой для смешанного про-
произведения, представим элемент объема в криволинейных
координатах в следующей форме:
= mod
дх
дх
ди»
^1
ди1
ди*
ди3
dz_
ди1
dz
ди3
A9.10)
или, в краткой записи (ср. A1.32)),
dV (и1, и2, и3) =
д (х, у, г)
9 (и1, и2, и3)
A9.11)
Таким образом, элемент объема в криволинейных коор-
координатах равен абсолютной величине определителя преоб-
преобразования (якобиана) декартовых координат в криволи-
криволинейные, умноженной на произведение дифференциалов кри-
криволинейных координат.
3 а м о ч а н и е 2. Из формулы A9.11) следует, что
элемент объема в декартовых координатах записывается
так:
dV (x, у, z) = dx dy dz.
A9.12)
Замечание 3. Выразив смешанпое произведение
в A9.9) через скалярные произведепия (D.37)), мы получим
выражепие элемента объема через коэффициенты r^Vj фун-
фундаментальной формы dr2 пространства:
dV(u\ w2,u3)=
Г1
Гя
•Г\
•n
•ri
Г\
r%
Г-Л
• гг
¦гг
¦V*
Г\
Гг
Гц
¦rs
¦Гз
¦г*
3. A9.13)
ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Замечание 4. Формула
(V*)
(«*, и2, и3)]
д (х, ?/, z)
д (и1, и\ и3)
dul du1 du3
преобразования тройного интеграла к новым переменным
может быть переписана так:
l§f{x,y,z)dV(x,y, z) =
A9.14)
Как мы видим, при преобразовании тройного интегра-
интеграла к новым переменным декартов элемент объема заменя-
заменяется элементом объема в криволинейных координатах.
Теорема. Если дифференциалы du1, du2, du3 кри-
криволинейных координат и1, и2, и3 бесконечно малы, то эле-
элемент объема dV (и1, и2, и3) отличается на величину высшего
порядка по отношению к произведению дифференциа-
дифференциалов du*du2du3 от элементарного объема AV (и1, и2, и3),
т. е. объема шестигранника, ограниченного двумя трой-
тройками координатных поверхностей, проходящих через
исходную точку (и1, и2, и3) и бесконечно близкую точку
(и1 + du1, и2 + du2, и3 + du3) (рис. 194).
Доказательство. Объем элементарного шести-
шестигранника AV (и1, и2, и3) определяется в декартовых коор-
координатах тройным интегралом
§5 dxdydz.
§5
Преобразовав этот интеграл к новым переменным и1, и2, и3,
получим
AV (и\ и\ и3) = [{{ ^(f'y:zK1 du1 du2 du3,
(AV'(ui, u2, uJ))
причем новая область интеграции AF* (и1, и2, и3) будет
прямоугольным параллелепипедом с ребрами du1, du2, du3
ГЛ. XIX. ПОЛЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 315
(рис. 195). Применив теорему о среднем значении, найдем
д (х, 1/,
д (и1, и*, и3)
ср
du1 du? du3.
Но абсолютная величина определителя преобразования
~ Ж)' ?/2' Z3, является непрерывной функцией, поэтому ее
среднее значение внутри элементарного параллелепипеда
Рис. 194.
отличается от ее значения
д (ж, у, г)
Рис. 195.
в исходной точ-
Э (и1, и2, и3)
ке и1, и2,и3 на бесконечно малую величипу |. Поэтому мы
получим
AV {и\ и2, и3) =
т. е.
AV (и1, иг, и3) = dV (и1, иг, и3) -\-1 du1 du2 du3,
I- ? П A9Л5)
hm 1 = 0. y '
Теорема доказана.
6. Подвижной репер. Репером называется фиксирован-
фиксированная тройка некомиланарпых векторов >*,, гг, г3, исходящих
из фиксированной точки М пространства. В силу неком-
планарпости векторов репера их смешанное произведение
отлично от нуля:
(»-!> >'2, ^З) Ф О- A9.16)
316 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Из некомпланарности векторов rx, r2, rs вытекает не-
некомпланарность и их векторных произведений г2 X »'R,
г3 X гх, гх X г2. Действительно, рассмотрим линейную
зависимость
Хг2 X г3 -1- \ar3 Xn + \гх х г2 = 0.
Умножив это соотношение скалярно па гх, получим
= 0,
откуда следует X = 0. Аналогично получаем, что и, = 0
и v = 0. Следовательно, между векторными произведе-
произведениями не может быть линейной зависимости, в которой не
все коэффициенты отличны от нуля. А это значит, что век-
векторы г2 X гя, г3 X гх, гх X г2 неко.чпланарны.
Заметим, что частным случаем репера является декар-
декартов прямоугольный репер, составленный из координатных
ортов г, j, к.
А. Разложение вектора по векторам
репера и по их векторным произведе-
произведениям.
1) Разложим произвольно взятый вектор а по векторам
тх, г2, т3 репера:
а = аЧ-х + aVa + а*г3. A9.17)
Для определения коэффициентов а1, а2, а3 этого разложе-
разложения скалярно умножим обе части A9.17) поочередно на
векторные произведения г2 X г3, г3 X тх, rx x г2:
(а, г2, г3) = а1 {гъ гг, г3), (а, г3, гх) = а2 (гъ г2, г3),
Отсюда найдем
1 (П, Гг, Гз) 2 (№' /' * 3 (Я, П, Г-i)
О- — тт.— .. -<" , О. = —-г-—г——г , й =
(ri, r-i, гз) ' (ri, гг, гз)
Следовательно, формула разложения A9.17) может быть
переписана так:
а = (?'!, ?•¦>, Гз) ^Г1 (а' Г'2' Г^ + Г2 (а' Г;!> Г1) + ?>3 (№> *"Ь *'2^-
A9.18)
2) Аналогично можно разложить вектор а по векторным
произведениям г2 X гя, г3 X гх, гх X г.2 векторов репера.
ГЛ. XIX. ИОЛЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 317
Однако для большей симметричности формул мы будем
разлагать вектор не по самим векторным произведе-
произведениям, а по их отношениям к смешанному произведению
(»'i, *'2> гзУ-
ftXr, rsXr, , nxr, A919)
Умножая последовательно это равенство скалярно па г,,
г2, г'3, мы определил! коэффициенты alt аг, а3 разложения
A9.19):
а1 = а-г1, а2 = а-г^, а3 = а-г3,
Разложение A9.19) примет вид
а = (п, г«, гз) № ¦Гх) (* Х Гз) + (а"Г^ (Гз Х ri) +
+ (a-rs) (r, х г2)}. A9.20)
Б. П о д в и ж п о й репер, п о р о ж д е н н ы й
системой криволинейных координат.
Частные производные радиуса-вектора т текущей точ-
точки М {и1, и2, и3) пространства по ее криволинейным коор-
координатам и1, и2, и3 мы будем обозначать так:
дг дг дг ,лг. о,ч
Г Г Г A921)
Каждая из этих частных производных гг является произ-
производной, вычисленной в предположении, что только одна
координата и1 меняется, а две другие координаты сохра-
сохраняют неизменные значения. Вследствие этого частная про-
производная г{ является вектором, касательным к координат-
координатной линии ц', вдоль которой меняется лишь та координата
и\ по которой производится дифференцирование.
Таким образом, в текущей точке М пространства воз-
возникают три вектора гх, г2, г3 касательных к координатным
линиям и1, и'2, и3. Мы будем рассматривать лишь такие
криволинейные координаты, для которых эти частные про-
производные ч\, г.2, т3 некомпланарны ни в одной точке рас-
рассматриваемой области V, т. е.
(>'i, *'2, г3) =/= 0.
Определение. Тройку некомпланарных векто-
векторов rlt r2. г3, исходящих из текущей точки М (и1, и2, ц3) и
318 . ЧАСТЬ 3, ТЕОРИЯ ПОЛЯ
являющихся частными производными радиуса-вектора г
этой точки по ее криволинейным координатам, мы будем
называть подвижным репером, связанным с этой текущей
точкой М и порожденным рассматриваемой системой кри-
криволинейных координат.
Таким образом, с каждой точкой пространства, отне-
отнесенного к системе криволинейных координат, оказывается
связанным свой репер.
7. Векторное ноле в криволинейных координатах.
Пусть в области (V), отпесенной к криволинейным коорди-
координатам и1, и2, и3, определепо векторное поле. Его вектор В,
соответствующий текущей точке М {и1, и2, и'Л), будет функ-
функцией от ее криволинейных коордипат:
В = В (и1, и2, и3).
Положение вектора поля В в текущей точке
М (и\ и2, us) по отношению к подвижному реперу, свя-
связанному с этой точкой, определяется разложением век-
вектора В но векторам ги г», г3 (см. A9.18)):
В =» Rlrt + R2r2 + Яаг3, A9.22)
где
D. (R. Тг,-гз) г)п (Д, **з, г у) 7>з С^' Гх< **2) г\с\ оч\
1\ =^ г . IX = г , Л = г . ( ly.Ztj)
(гу, гг, гз) (гу, г», гз) (гу, гг, гз) v '
Иногда бывает удобно разложить вектор поля В не по
векторам подвижного репера, а по их векторным произве-
произведениям (см. A9.20)):
В = В.хгг х rs + R2r3 х rx -J- i?3r! х г2, A9.24)
где
Д1== Д'Г1 ., Д2= Вгг ., Д3= Нгз ,. A9.25)
(гу, гг, гз) (Гу, r-г, гз) (гу, гг, Гз)
§ 2. Дифференциальные операции
в криволинейных координатах
1. Градиент в криволинейных координатах. Пусть в пе-
которой области (V) пространства, отнесенного к системе
криволипейных координат и1, и2, и9, определено поле ска-
скаляра Ф, причем этот скаляр Ф задан как функция криво-
криволинейных координат и1, и2, и3:
ф = ф (и\ и2, и3).
ГЛ. XIX. ПОЛЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 319
Его полный дифференциал
JrTS ЗФ j , , ЭФ 7 , , ЭФ
dO — 7Г-1 cfo1 -f -yirfu + Tl
можно представить как скалярное произведение двух век-
векторов следующим образом:
лф __ Г гг X Уз ЭФ , г3 X п ЭФ L п X г-2 ЭФ
L(n, /*2, Гз) ди1 * (»ч, »*2, »"з) Эк2 ' (»ч, гз, гз) ди3] '
• (гуйих -\- r^du2 -\- rsdu3).
Так как второй множитель в этом произведении есть диф-
дифференциал dr радиуса—вектора v текущей точки, то, сог-
согласно формуле A2.8), первый множитель есть градиент
поля:
dd> = grad Ф-di;
Итак, градиент поля в криеолинейных координатах опре-
определяется формулой
A9.26)
Эта формула представляет градиент поля в виде его разло-
разложения по векторным произведениям г2 X ra, r3 X rx, rtx
X г2 векторов подвижного репера.
Замечание. Чтобы получить формулу, дающую
разложение градиента поля по самим векторам rlt r2, ra
подвижного репера, мы воспользуемся формулой разложе-
разложения E.24) векторного произведения по трем некомпла-
парным векторам. Тогда получим
grad Ф =
1
Г1-ГЗ
-2, Гз)
ГЧ.-ГЗ
Vi.
n-ri
ГЗ
Гз-Гз
гз • ri
гч
гг
ГЧ
дФ
ди2
Гч.
ГЗ
-\-
1
гз
Гз
••з
¦гч
•Гз
Г\
Г\-Г\
г х-г г
дФ
ди1
ГЧ-Г\
Гг-Гг
Гз
ГЗ-Г1
Гз-Гг\
ЭФ I
ди? I
A9.27)
320
ЧАСТЬ 3, ТЕОРИЯ ПОЛЯ
ИЛИ
grad Ф =
г\.
П'Тг Г1-Гз
Г-i'Vl Гз-Гг
о
ЭФ
ди1
дФ
диг
дФ
ди3
A9.28)
2. Дивергенция в криволинейных координатах. Будем
исходить из формулы Остроградского
Div It dV = й -В • n°da.
(.V)
(я)
Предположим, что область (V) пространства и векторпое
поле -В отнесены к системе криволинейных координат и1,
и2, ы8, а замкнутая поверхность (а), ограничивающая об-
область (V), состоит из кусков, на каждом из которых вве-
введена (см. гл. XI, § 2) система параметров и, v, причем
вектор ги X г„ направлен по наружной нормали. Тогда
(см. A3.47))
dV = (ru гг, г3) аиЧиЧи*, п° = У ".,
и формула Остроградского может быть переписана так:
Div It (ru r2, rs)du4u4u? = ($ B-(ruxrv)du dy,A9.29)
(Я)
где область интеграции (V*) является изображением об-
области V (рис. 196) при переходе к вспомогательной декар-
декартовой системе О*и1и2ия (рис. 197).
По правилу дифференцирования сложной функции
получаем
_ 5а1 , Зи2 ди3
и ' Зи ди 9и *
II — *
д и1
Но
ди*
а»
ГЛ. XIX. ПОЛБ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 321
Переыионшм векторно эти два вектора:
Подставив это выражение в правую часть формулы Ост-
Остроградского A9.29) и воспользовавшись правилом A3.39)
'0*
Рис. 196.
Рис. 197.
преобразования поверхностного интеграла к новым пере-
переменным, мы получим
Div It (гь r2, rs) du4u4u3 =
= (g (R, rt, ra) du4u3 + (R, rs,
A9.30)
Поверхностный интеграл в правой части этого тождества
мы можем рассматривать во вспомогательной декартовой
системе координатЕшх осей О*и1иги3, считая его рас-
распространенным по замкнутой поверхности (о**), ограничи-
ограничивающей образ (V*) области (V). Применив к нему коорди-
координатную формулу Остроградского A5.11), мы приведем
наше тождество к виду
Div R {Г!, г2, г3) йиЧиЧи* =
(V")
(V)
д (К, га, гз)
ди1
,
+
du4u4u?.
322
ЧАСТЬ 3, ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Это тождество справедливо при любой области интегра-
интеграции (V*), что возможно лишь при совпадении подынтег-
подынтегральных функций правой и левой частей. Сравнив их и
разделив на (ги г2, г3), мы получим выражение диверген-
дивергенции в криволинейных координатах:
Div.R =
(ri,
Гд (R, п, г3) , д{В,г3, п) , д(Я<п,ггI
L ди1 "т" ди? * ди3 J'
A9.31)
3. Ротация в криволинейных координатах. Будем ис-
исходить из формулы Стокса
Предположим, что пространство отнесено к криволиней-
криволинейным координатам и1, и2, и3. В качестве поверхностной
Рис. 198.
области (а) возьмем произвольную область на коордипат-
иой поверхности и3 = const, причем нормальный вектор
п направим одинаково с вектором гх X г2 (рис. 198).
Тогда
п" —
Г1 X Г2 | '
, dr =
ГЛ. XIX, ПОЛЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 323
и формула Стокса примет вид
olR-irt, X гг)
где (а*) — образ поверхност-
поверхностной области (а) па вспомога-
вспомогательной декартовой плоско-
плоскости O*ulu2, a (L*) — ограни-
ограничивающий его контур (рис.
199). Так как область (а*) и
контур (L*) являются плос-
плоскими, к криволинейному ип-
тегралу в правой части
A9.32) можно применить фор-
мулу Грина A6.1), после че-
чего мы получим
(о*)
rot Л ¦ (г, X г,)
= Ц [
Рис. 199.
A9.33)
Тождество A9.33) справедливо при любой области интег-
интеграции (а*), а это может быть лишь в случае совпадения
подынтегральных функций. Следовательно,
Аналогично найдем
Разложение вектора ротации по векторам rlt r2, гя
подвижиого репера имеет вид (см. A9.22)):
Г01 В = Гг
A*1,
A9.34)
Подставив сюда найденные выражения для скалярных про-
rot В-(п х п)
3 (Г1, Г2, J*3)
324 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
изведепий ротации на векторные произведения, получим
Непосредственно видно, что полученное выражение для
ротации можно записать в виде следующего символиче-
символического определителя;
П Гч. Гз
rot М =
(Г1, Г2, Гз)
_ Ё_
gui диг диз
R-n R-ri R-rz
A9.35)
Это и есть формула, выражающая ротацию в криволиней-
криволинейной системе координат. Она дает разложение ротации но
векторам подвижного репера rlt v2, r3.
§ 3. Ортогональные координаты
1. Ортонормнрованный подвижной репер. Мы будем
теперь рассматривать такие системы криволинейных коор-
координат и1, и2, ия, которые характеризуются взаимной орто-
ортогональностью векторов порожденных ими подвижных ре-
реперов:
ггг2 = 0, r2-r3 = 0, r3-r1 = 0. A9.36)
В каждой точке пространства координатные липии такой
системы пересекаются взаимно перпендикулярно. Поэто-
Поэтому такие координатные системы называются ортогональ-
ортогональными. К ним относятся, в частности, декартова система и
рассматриваемые ниже цилиндрическая и сферическая
системы.
Вместо подвижного репера М, ги »*2, г3, который рас-
рассматривался в общем случае, мы теперь будем рассмат-
рассматривать подвижной репер М, т^, г\, г%, векторами которого
служат исходящие из текущей точки М взаимно ортого-
ортогональные единичные векторы r\, v\, r%, являющиеся орта-
ортами частных производных t\, гг, г3 радиуса-вектора /• теку-
текущей точки М по ее криволинейным координатам м1, и2, и3.
Такой репер называется ортонормированным. Для него
ГЛ. XIX. ПОЛЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 325
выполняются следующие соотношения:
r;-rj = l, rl-r\ = l, rl-rl = i, rvrt = 0, r,-rs = O,
»V»-i = 0. A9.37)
Мы будем предполагать, что векторы rl, r\, r\ образуют
правую систему. Тогда будут иметь место следующие со-
соотношения:
rlxrl-^rl, rSxr; = r2, r\y.rl = r\, A9.38)
(г*»г1У3) = 1. A9.39)
Рассматривая векторное поле в ортогональной системе ко-
координат, мы будем вектор поля -К в текущей точке М раз-
разлагать по векторам ортонормировагшого репера, связан-
связанного с этой точкой:
В - riRr + rlR2 + r°3R,. A9.40)
Коэффициенты Rlt R2, R3 в этом разложении являются
проекциями вектора It на орты r\, v\t r% и определяются
формулами
R1 = B-r\, R, = R-rl B3 = B-rl. A9.41)
2. Коэффициенты Ламе. Коэффициентами Ламе hu
h2, h3, соответствующими данной ортогональной криволи-
криволинейной системе координат, называются модули частных
производных rlt r2, т3 радиуса-вектора г текущей точки М
по ее криволинейным коордипатам и1, и2, и3:
К = | гг |, К = I г, |, А3 = | г31. A9.42)
Таким образом,
г, = lhr\, r2 = htrl, r3 = h3r°s. A9.43)
3. Линейный элемент и элемент объема в ортогональ-
ортогональных координатах. Имеем
dr = r-ydu} -\- 7\du2 + r3du?
или
dr = i%dul + rSujdu* + rlh3dus. A9.44)
Отсюда, учитывая единичность и взаимную ортогональ-
ортогональность векторов г\, t'l, r\, получаем для квадрата линейного
326
ЧАСТЬ 3, ТЕОРИЯ ПОЛЯ
элемента выражение
dr2 - h\ (du1J + h\ (du2J + hi (duz)\ {ЮЛЬ)
Элемент объема (см. A9.9))
dV — | (»«!, r2, ra) | duldu2du9
в силу соотношений A9.39) и A9.43) приобретает вид
dV = hJiJizdu'duHu*. A9.46)
4. Дифференциальные операции в ортогональной сис-
системе координат. Исходя из общих формул для градиента
A9.26), дивергенции A9.31) и ротации A9.35), на основа-
основании соотношений A9.37) — A9.39), A9.43) получаем сле-
следующие выражения для основных дифференциальных опе-
операций в ортогональной системе координат:
где
V X It = rot R =
75 "О ллО
hihihs
д
ди1
д
д
ди2 ди3
, A9.49)
= R-r\, R3 « й-г?. A9.50)
5. Оператор Лапласа в ортогональных координатах.
Лапласиан ДФ функции Ф определяется формулой (см.
A7.63) и A6.31))
Дф = У2Ф = Div (grad Ф).
Пользуясь формулами A9.47), A9.48) для градиепта и ди-
дивергенции, находим
~~ hih«h3 [ди1 \ hi ди1 ) ' ди2 \ Ьг ди* ] *
ГЛ. XIX. ПОЛЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 327
п
Рис. 200.
§ 4. Цилиндрические координаты
1. Введение цилиндрических координат. Зафиксируем
в пространстве декартову систему координатных осей
Oxyz (рис. 200). Положение точки М в пространстве бу-
будет определено, если будут
заданы следующие числа. # ^«
а) Расстояние р точки М
от оси Oz. Это расстояние
есть число неотрицательное
(Р > 0).
б) Радианная мера ф уг-
угла, образованноговекторпой
проекцией на координатную
плоскость Оху радиуса-век-
радиуса-вектора ОМ точки с осью Ох.
Этот угол отсчитывается от
положительного направления
оси Ох против хода часо-
часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного
направления оси Oz. Для того чтобы каждой точке прост-
пространства соответствовало только одно значение угла ф,
будем считать его изменяющимся лишь от 0 до 2л. При
этом должны иметь место неравенства 0«$^ф<;2я, где
второе неравенство является строгим, так как ипаче не
будет выполняться условие взаимной однозначности для
точек пространства у = 0, х ^> 0.
~->
в) Проекция z радиуса-вектора ОМ точки М на ось Oz.
Эти три числа р, ф, z называются цилиндрическими ко-
координатами точки М.
Заметим, что р и ф являются, согласно определению, по-
полярными координатами проекции точки М на плоскость
Оху. Из а), б), в) следует, что область изменения цилинд-
цилиндрических координат р, ф, z характеризуется следующими
неравенствами:
0<р<оо, 0<ф<2я, —
A9.52)
Ир* указанных ограничениях между точками пространст-
пространства и тройками значений цилиндрических коордипат р, ср,
z будет осуществляться взаимно однозначное соответствиел
328
ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
которое будет нарушаться лишь вдоль оси Oz, для точек
которой угол ф остается неопределенным. Из чертежа
(см. рис. 200) непосредственно видно, что декартовы коор-
координаты х, у, z точки М относительно фиксированной де-
декартовой системы координатных осей связаны с цилинд-
цилиндрическими координатами р, ср, z формулами
х = р cos ф, у = р sin ф, z = z, A9.53)
— >
и радиус-вектор г = ОМ текущей точки М может быть
записан так:
г = *р cos ф + 39 sin ф + fez, A9.54)
где г, j,h — орты координатных осей декартовой системы.
Координатные поверхности (рис. 201) в цилиндрической
системе координат будут следующие:
1) поверхности р = const — круговые цилиндры с
общей осью Oz (это и дало повод пазывать рассматрива-
рассматриваемые криволинейные ко-
координаты цилиндричес-
?шми);
2) поверхности <р =
= const — полуплоско-
полуплоскости, проходящие через
ось Oz;
3) поверхности z =
= const — плоскости,
параллельные плоскос-
плоскости Оху.
Отметим, что в каж-
каждой точке пространства,
исключая полюс О, три
координатные поверхности, а следовательно, и три ко-
ордипатные линии пересекаются ортогонально. Следова-
Следовательно, цилиндрическая система координат является
ортогональной.
2. Линейный элемент и элемепт объема в цилиндриче-
цилиндрических координатах. Продифференцировав радиус-вектор г
A9.54) текущей точки по ее цилиндрическим координатам
р, ф, z, мы получим векторы ги г2, г3 ненормированного
подвижного репера
гг~ гр — г cos ф -f- j sin ф,
r.z — гф = — *р sin ф -1- ,;р cos q>, r3 = rz = fe.
Рис. 201.
ГЛ. XIX. ПОЛЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 329
При помощи этих формул легко проверяется взаимная
ортогональность векторов репера, а следовательно, и ор-
ортогональность цилиндрической системы координат:
«V»% = 0, r4,-rz = 0, rzrp — 0.
Точно так же легко находятся коэффициенты Ламе:
К = | П | = 1, К = I Ы = р, А, = | гг | = 1. A9.55)
В связи с этим квадрат линейного элемента A9.45) в ци-
цилиндрических координатах принимает вид
dr2 = ф2 + p2dcp2 + dz2. A9.56)
Элемепт объема A9.46) выражается так:
dV (р, ф, г) = р dp Ар dz. A9.57)
Этот элемент объема является главпой частью элементар-
элементарного объема, т. е. объема гаестиграпника, образованного
•М,
Рис. 202.
двумя тройками координатных поверхностей, проходящих
через точки (р, ср, z) и (р + dp, ф + d<p, z -\- dz) (рис. 202).
3. Дифференциальные операции в цилиндрических
координатах. Имея в виду выражения для коэффициентов
Ламе A9.55), общие формулы для дифференциальных опе-
операций в ортогональных координатах A9.47) — A9.49),
A9.51), а также учитывая, что векторы ортопормирован-
330
ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
ного репера г%, г%, г% образуют правую систему, мы по-
получаем следующие формулы:
^4-^7 + ^-^Г' A9-5«)
др
Div Л = — 1 .
Р I др
rot J? = —
P
dz
а _э_
Эф dz
Rz
A9.59)
A9.60)
или
где
~р- Ыр1р-) + Т ^"+ р
1 ЭФ
ар2
¦, A9.62)
A9.63)
§ 5. Сферические координаты
1. Введение сферических координат. Зафиксируем в
пространстве декартову систему координатных осей Oxyz.
Положение точки М в про-
пространстве будет определе-
определено, если будут заданы сле-
следующие числа (рис. 203).
а) Модуль г радиуса-
вектора г = ОМ точки М
(г > 0).
б) Радианная мера G
угла между радиусом-век-
радиусом-вектором г = ОМ точки М и
положительным направле-
направлением оси Oz, причем пред-
предполагается, что 0 <^ 6 ^ л.
в) Радианная мера ф
угла между векторной
проекцией радиуса-векто-
радиуса-вектора г = ОМ точки М на плоскость Оху и осью Ох. Этот
угол отсчитывается от положительного направления оси
Рис. 203.
ГЛ. XIX, ПОЛЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 331
Ох против хода часовой стрелки, если смотреть со стороны
положительного направления оси Oz. При этом считается,
что 0 < ф < 2я (см. A9.52)).
Числа г, 6 и ф называются сферическими координатами
точки М.
Из а), б), в) следует, что области изменения сфериче-
сферических координат характеризуются следующими неравен-
неравенствами:
0<г<оо, 0<Э<я, 0<ф<2я.
A9.64)
Рис. 204.
При этих ограничениях между точками пространства и
тройками значений сферических координат г, 9, <р осуще-
осуществляется взаимно одно-
однозначное соответствие,
которое будет нару-
нарушаться лишь вдоль оси
Oz, для точек которой
угол ф остается неопре-
неопределенным.
Из чертежа (см. рис.
203) непосредственно
видно, что декартовы
координаты х, у, z точ-
точки М относительно за-
зафиксированной системы
декартовых осей Oxyz связаны со сферическими коорди-
координатами г, 0, ф этой точки М формулами
х = г sin 0 cos ф, у — г sin 0 sin ф, z= r cos 0.
Следовательно, радиус-вектор г текущей точки М (г, 9, ф)
выражается через сферические координаты так;
г — ir sin 9 cos ф + jr sin 0 sin ф -f- kr cos 0. A9.65)
Координатными поверхностями в сферических координа-
координатах являются следующие поверхности (рис. 204):
1) поверхности г = const — сферы с общим центром в
начале координат О;
2) поверхности 0 = const — круглые конусы с общей
осью Oz;
3) поверхности ф = const — полуплоскости^ проходя-
проходящие через ось Oz.
332 ЧАСТЬ 3. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Нетрудно усмотреть, что координатные линии, по ко-
которым пересекаются координатные поверхности, взаимно
ортогональны в каждой точке пространства, не считая то-
точек оси Oz. Следовательно, сферическая система координат
является ортогональной.
2. Линейный элемент и элемент объема в сферических
координатах. Продифференцировав радиус-вектор г (см.
A9.65)) текущей точки М (г, 9, ср) по ее сферическим ко-
координатам г, 0, ф, получим векторы тЛ, г2, г3 ненормиро-
вашгого подвижного репера, порожденного сферической
системой координат
i\ = гт — i sin 0 cos ф + j sin 0 sin <p + fc cos 0,
т2 — re = ir cos 0 cos <p + Jr cos 0 sin ф — Itr sin 0,
**з = rv — —ir sin 0 sin ф + jr sin 0 cos ф.
При помощи этих формул легко проверить, что век-
векторы, репера г,, г в, rv взаимно ортогональны:
vr-re = 0, re-Гер = 0, ?vrr = 0. A9.66)
Точно так- же легко вычисляются коэффициенты Ламе:
^i = I rr I = l^sin2 0 cos2 ф + sin2 0 sin2 <p + cos2 0 = 1,
ni = I ''о I = V r2 cos2 О cos2 ф + г2 cos2 0 sin2 ф + г2 sin2 0 — г,
h3 = | rv J = У rl sin2 0 sin2 ф -\- r2 sin2 0 cos2 ф = г sin 0.
A9.67)
Учитывая эти выражения для коэффициентов Ламе,
находим квадрат линейного элемента A9.45) в сфериче-
сферических координатах
dr* = dr2 + rW + г2 sin2 0 dip2 A9.68)
и элемент объема
dF = r2 sin2 0 dr сШф. A9.69)
Этот элемент объема dV является главной частью эле-
элементарного объема AV, т. е. объема шестигранника, обра-
образованного двумя тройками координатных поверхностей,
проходящих через исходную точку (г, 0, ф) и соседнюю точ-
точку (г + dr, 0 + dQ, ф + dtp) (рис. 205).
ГЛ. XIX. ПОЛЕ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 333
3. Дифференциальные операции в сферических коорди-
координатах. Имея в виду выражения для коэффициентов Ла-
Ламе A9.67) и общие формулы для дифференциальных
операций в ортогональных координатах A9.47) — A9.49),
A9 51), а также учитывая, что векторы гг, г», »*Ф под-
подвижного репера образуют правую систему, мы получим
Рис. 205.
следующие выражения для дифференциальных операций
в сферических координатах:
Э0
1
ф
дФ , „0 1 дФ , .о 1 дФ A9 70)
A9.71)
A9.72)
-т • »п л « • A9.73)
г2 sin' 0 дф2 v '
4. Видоизмененная система сферических координат.
Вместо второй сферической координаты 0 часто употребля-
употребляется радиапная мера if угла между радиусом-вектором
г sin 6 дф
•° г sin Or^
д
дф
г sin 0Я,„
ДФ = В1уёгааФ=~^^
334
ЧАСТЬ 8. ТЕОРИЯ ПОЛЯ
г = ОМ точки М и плоскостью Оху. Этот угол считается
положительным, если точка М отклонена от плоскости
Оху в сторону положительного направления оси Oz, и
отрицательным в противном случае:
--f<^< + -f- A9.74)
Таким образом, получается, видоизмененная система сфе-
сферических координат г, ф, ij). При этом подвижной репер
М, гг, гф, »•$ получается правым, если считать г первой ко-
координатой, (р — второй И1|) — третьей.
Связь между координатами 0 и я|) очень простая:
= ^ - 0.
A9.75)
Формулы A9.47) — A9.49), A9.51) для дифференциальных
операций в видоизмененной системе сферических коорди-
координат приобретают следующий вид:
ф г cos г|з йф
1
1
г cos г|)
г cos ij;
A9.77)
V X -B =
д
дг
Л-
г cos i|
д
, A9.78)
A9.79)
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Бинормаль 123, 133
Вектор 11
— пнвариантпый первого порядка
145
— конечного поворота твердого тела
158
— кривизны 189
— нормальный поверхности 174
— нулевой 12
— переменный 108
— приложенный 14
— свободный 14
— скользящий 14
Вектор-функция 108, 112, 167
Векторы коппииеарные 26
— компланарные 28
— линейно зависимые 26
— противоположные 21
— равные 13
Вихрь поля 266
Внутреннегеометрические величины
поверхности 185
Годограф вектора 109
Градиент поля 200
Деление вектора па скаляр 25
— отрезка в данном отношении 42
Дивергенция поля 255—257
Дифференциал вектор-функции 115,
116
— — полный 168
— — частный 167
— дуги 129, 185
Длина дуги 126
Дуга 128
Изменение вектора относительное 164
Инварианты фигур геометрические
97
Интеграл криволинейный 209, 210
— поверхностный 219, 221. 225,
230, 231
Источник точечный 292
Касательная к линии 113, 120
Квадрат вектора скалярный 47
Координаты вектора 31
— сферические 330
— точки 32, 4)
— цилиндрические 327
Кривизна линии в точке 124
Кривизна линии па поверхности нор-
нормальная 189
— поверхности главная 194
полная 197
— — средняя 197
Круг кривизны 150
Кручение линии 125
Линейная комбинация векторов 26
Линия векторная 241
— винтовая 136
— действия скользящего вектора 14
— координатная 310
— параметризованная 119
— параметрическая 171
— приложения скользящего векто-
вектора 14
— уровня 199
Лист Мёбиуса 218
Модуль вектора 14
Момент силы 49
Мощность источника 292
Направление главное поверхности
195
Нормаль главная 123, 133
— поверхности 202
Обильность источника 293
Оператор Гамильтона 272
— Лапласа 294
Определители 53, 54
Орт бинормали 134
— вектора 15
— главной нормали 133
— касательной 130
Ось 33, 38
Переместительность 20, 23, 45, 65
Плоскость касательная 174, 202
— нормальная 139
— параметров 170
— соприкасающаяся 121, 139
— спрямляющая 139
— фазовая 170
Площадь области на поверхности
179, 187
Поверхность двусторонняя 217
— координатная 309
— параметризованная 169
— уровня поля 199
Поле векторное 239
— — несжимаемое 285
336
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Поле векторное переменное 240
— — потенциальное 272
— — — несжимаемое 293
— — соленоидалыюе 285
центральное 281
— градиента 273
— Лапласа 294
— ротации 286
— скалярное 198
Потенциал векторного поля 278
— — — векторный 290
Поток жидкости через область 247
— поля через поверхность 248
Правило многоугольника 17
Предел переменного вектора 109
Преобразование Остроградского 252
Проекция вектора на ось вектор-
векторная 33
— — — — скалярная 33
Произведение вектора па скаляр 23
— двух векторов векторное 50
скалярное 34
— трех векторов 59, 60, 63
Производная вектора абсолютная
164
относительная 164
— — по скаляру 112
— — частная 167
— по направлению 203
Противопереместительность 51
Радиус-вектор точки 41
Радиус кривизны 150
Разложение вектора по ортам осей
40
трем некомпланарным век-
векторам 30
Разность векторов 21
Распределительность 24, 45, 52, 66
Ренер 315
— подвижной 318
— — ортонормированный 324
— пространства аффинный 31
Ротация поля 266, 267
Сеть параметрическая 172
— — ортогональная 193
Система внутренних уравнений ли-
линии па поверхности 173
— дифференциальных уравнений
векторных линий 242
движения сопровождаю-
сопровождающего трехгранника 140
— инвариантов фигуры нолная 97
— координатная аффинная 31
прямоугольная 38
Система координатная прямоугол!»-
ная левая 39
правая 38
Скаляр 11
Скорость средняя 114
— точки 156
— угловая 159
Сочетательность 19, 23, 47, 53, 65,
66
Сток поля 293
Сумма векторов 16, 17
Теорема Менъе 192
— о векторной проекции 34
— — скалярпой проекции 34, 36,37
— Остроградского 260
— Стокса 266
Точка опорная 177, 215, 247
— особая 207
Трехгранник сопровождающий 139
Трубка векторная 287
Трубчатоеть поля 288
Увлечепие вектора 163
Угол между векторами 15
— — линиями на поверхности 187
Уравнение Лапласа 294
— линии векторное 119
— поверхности векторное парамет-
параметрическое 170
Ускорение точки 156
Форма квадратичная поверхности
вторая 188
— — — первая 184
Формула Грина 261
— компланации 180
— Остроградского 255, 256
— Стокса 266
— Тейлора для вектор-функции 117
— Эйлера 159, 196
Функция векторов векторная 78
— — скалярная 76
— гармоническая 294
Центр кривизны 151
Циркуляция поля вдоль линии 245
— — элементарная 244
Шнур вихревой 283
Эвольвента 154
Эволюта 151
Элемент площади поверхности 182
— — — векторный 183
— тока 303
— циркуляции 246, 278